Sachverhalt:
A.
Die Stadt Bischofszell ersuchte am 27. Juni 2016 um eine Baubewilligung für die umfassende Erneuerung der Quellenanlagen auf den Grundstücken Nrn. 707 und 710 im Weiler U._. Geplant ist unter anderem die bestehende Sammelbrunnenstube Assek.-Nr. 712 auf dem Grundstück Nr. 710 aufzuheben und durch ein Kunststoff-Fertigbauwerk mit einer UV-Anlage ca. 20 m westlich von der bisherigen Sammelbrunnenstube innerhalb des Waldes auf dem Grundstück Nr. 707 zu ersetzen. Der Abbruch des Gebäudes Assek.-Nr. 712 ist nicht Bestandteil des Baugesuchs. Am 26. Januar 2017 bewilligte der Gemeinderat Niederhelfenschwil das Baugesuch unter Eröffnung aller kantonalen Teilbewilligungen. Die Einsprache von A._, dem Eigentümer der Parzelle Nr. 710, wies er ab. Das Baudepartement des Kantons St. Gallen wies den von A._ dagegen erhobenen Rekurs am 24. Juni 2019 ab. Am 13. August 2020 hob das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen auf Beschwerde von A._ hin die Entschädigungsregelung des Rekursentscheids auf. In der Sache schützte es den Entscheid.
B.
Mit Eingabe vom 14. September 2020 führt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt, den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 13. August 2020 aufzuheben. Das Baugesuch der Stadt Bischofszell vom 27. Juni 2016 für Bauten und Anlagen im Zusammenhang mit den Quellwasseranlagen U._ sei abzuweisen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Stadt Bischofszell beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Politische Gemeinde Niederhelfenschwil verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde. Laut Bundesamt für Raumentwicklung (ARE) wirft die Beschwerde aus Sicht des Bundesrechts keine grundsätzlichen planerischen oder planungsrechtlichen Fragen auf, weshalb es auf eine Stellungnahme verzichte. Das Bundesamt für Umwelt (BAFU) stellt keinen konkreten Antrag, hält aber fest, da technische und betriebliche Gründe für den geplanten Standort im Wald sprächen, sei die relative Standortgebundenheit des Neubaus zu bejahen. Gemäss seiner Einschätzung stelle die neue Sammelbrunnenstube eine nichtforstliche Kleinbaute dar und bedürfe keiner Rodungsbewilligung. Indessen wären die Tätigkeiten und Installationen im Zusammenhang mit den Bau- und Grabungsarbeiten mittels einer temporären Rodung zu bewilligen gewesen. Die Stadt Bischofszell und der Beschwerdeführer nehmen erneut Stellung und halten an ihren Anträgen fest.
C.
Mit Präsidialverfügung vom 23. Oktober 2020 hat das Bundesgericht das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid im Bereich des Baurechts. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer nahm am vorinstanzlichen Verfahren teil. Er ist als Eigentümer des Grundstücks Nr. 710, auf welchem eine bestehende Leitung ersetzt wird, und als direkter Nachbar des Grundstücks Nr. 707, auf welchem die neue Sammelbrunnenstube erbaut werden soll, sowie als Adressat des angefochtenen Urteils gemäss <ref-law> zur Beschwerde legitimiert. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verletze Bundesrecht, Völkerrecht oder kantonale verfassungsmässige Rechte (Art. 95 lit. a, b und c BGG). Die Verletzung des übrigen kantonalen Rechts kann abgesehen von hier nicht relevanten Ausnahmen gemäss Art. 95 lit. c und d BGG vor Bundesgericht nicht gerügt werden; zulässig ist jedoch die Rüge, die Anwendung dieses Rechts führe zu einer Verletzung von Bundesrecht, namentlich des verfassungsmässigen Willkürverbots (<ref-ruling> E. 3.1.3 mit Hinweis). Nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts liegt Willkür vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 3.1; Urteil 1C_406/2020 vom 17. März 2021 E. 1.3; je mit Hinweisen).
1.3. Nach <ref-law> legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Abs. 1). Es kann diese Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Abs. 2). Von der beschwerdeführenden Person kann die Feststellung des Sachverhalts wiederum nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (<ref-law>) ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (vgl. <ref-law> i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 5.1).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer macht vorab geltend, er habe die Durchführung einer mündlichen Verhandlung bzw. einer persönlichen Anhörung beantragt. Die Verweigerung dieser Anträge verletze Art. 6 EMRK und Art. 86 Abs. 3 des alten Gesetzes vom 6. Juni 1972 über die Raumplanung und das öffentliche Recht des Kantons St. Gallen in der Fassung vom 1. Januar 2015 (aBauG/SG; sGS 731.1). Nach dieser Bestimmung müsse das Verwaltungsgericht auf Begehren einer Partei eine mündliche Verhandlung durchführen.
2.2. Gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person ein Recht darauf, dass über Streitigkeiten mit Bezug auf ihre zivilrechtlichen Ansprüche und Verpflichtungen von einem unabhängigen und unparteiischen, auf Gesetz beruhenden Gericht in einem fairen Verfahren, öffentlich und innerhalb angemessener Frist verhandelt wird. Nach ständiger Rechtsprechung gilt die Pflicht zur Durchführung einer öffentlichen und mündlichen Verhandlung indes nicht absolut. Die Rechtsprechung des EGMR und des Bundesgerichts lässt ein Absehen von einer öffentlichen und mündlichen Verhandlung zu, wenn die Angelegenheit ohne Weiteres aufgrund der Akten sowie der schriftlichen Parteivorbringen beurteilt werden kann, wenn sich keine Tatfragen - insbesondere keine Fragen der Beweiswürdigung -, sondern reine Rechts- oder Zulässigkeitsfragen mit geringer Tragweite stellen oder wenn der Streitgegenstand komplexe technische Fragen betrifft. Hingegen ist eine öffentliche und mündliche Verhandlung notwendig, wenn die Überprüfung der vorinstanzlichen Sachverhaltsermittlung erforderlich ist, wenn die Beurteilung der Angelegenheit vom persönlichen Eindruck abhängt oder wenn das Gericht weitergehende Abklärungen zu gewissen Punkten treffen muss. Ob eine öffentliche und mündliche Verhandlung durchzuführen ist, beurteilt sich anhand der konkreten Umstände des Einzelfalls (vgl. zum Ganzen: <ref-ruling> E. 3.5 mit Hinweisen).
2.3. Die Vorinstanz erwog, es sei nicht ersichtlich und werde vom Beschwerdeführer auch nicht dargetan, inwiefern die zu beurteilenden Rechtsfragen einen persönlichen Eindruck brauchten. Weiter sei nicht erkennbar, welche neuen entscheidwesentlichen Erkenntnisse, die sich nicht bereits aus den Akten und dem Geoportal ergäben, durch die beantragte mündliche Parteibefragung gewonnen werden könnten. Eine öffentliche Verhandlung würde nichts zur Klärung der Angelegenheit beitragen. Sie erscheine daher weder notwendig noch zweckmässig. Diese vorinstanzlichen Ausführungen sind im Lichte der erwähnten bundesgerichtlichen Rechtsprechung nicht zu beanstanden (vgl. E. 2.2 hiervor). Die vom Beschwerdeführer gerügte Beurteilung der Standortgebundenheit der neuen Sammelbrunnenstube (vgl. E. 4 hiernach) bzw. deren allfällige Auswirkungen auf den Wald (vgl. E. 5 hiernach) hängen nicht von einem persönlichen Eindruck des Beschwerdeführers ab. Die Vorinstanz konnte rechtsgenüglich aufgrund der Akten sowie der schriftlichen Parteivorbringen entscheiden. Der Beschwerdeführer hatte hinreichend Gelegenheit, sich schriftlich zur Sache zu äussern.
Daran ändert auch der Verweis des Beschwerdeführers auf Art. 86 Abs. 3 aBauG/SG nichts. Wie die Vorinstanz in E. 5 des angefochtenen Entscheids festgestellt hat, bleibt das alte Planungs- und Baugesetz des Kantons St. Gallen auf das strittige Bauvorhaben anwendbar. Art. 86 aBauG/SG trägt die Marginalie "Einsprachen gemäss <ref-law>" und sieht vor, dass das Verwaltungsgericht auf Begehren einer Partei eine mündliche Verhandlung durchzuführen hat. Inwiefern die Erneuerung der Quellenanlagen, namentlich der Ersatz der bestehenden Quellwasserleitung auf dem Grundstück des Beschwerdeführers übermässige Immissionen im Sinne von <ref-law> verursachen sollte, ist vorliegend allerdings von vornherein nicht ersichtlich (vgl. auch E. 12 des angefochtenen Entscheids). Dies gilt umso mehr, als der Beschwerdeführer gemäss den aktenkundigen Dienstbarkeitsverträgen (Quellenrecht, Baurecht für Wassersammelstube, Durchleitungsvereinbarung für öffentliche Wasserleitungen) Bauarbeiten im Zusammenhang mit der Quellwasserfassung, Sammlung bzw. Weiterleitung zu dulden hat.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt weiter, die Vorinstanz habe zu Unrecht seinem Antrag auf Durchführung eines Augenscheins nicht stattgegeben. Dies sei nicht mit <ref-law> und Art. 15 des Gesetzes vom 16. Mai 1965 über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons St. Gallen (VRP/SG; sGS 951.1) vereinbar. Dies gelte umso mehr, als die Vorinstanz mehrfach auf die örtlichen Verhältnisse abgestellt und die Beschwerde unter Bezug auf die örtlichen Verhältnisse abgewiesen habe.
3.2. Wie die Vorinstanz indes zu Recht ausführte, erlauben die bei den Akten liegenden Fotos in Verbindung mit den Plänen, sich ein klares Bild von der fraglichen Situation zu verschaffen, zumal überschaubare räumliche Verhältnisse vorliegen. Unbehelflich ist insofern auch der Einwand des Beschwerdeführers, es handle sich um Waldareal und auf den Luftaufnahmen im von der Vorinstanz zur Beurteilung insbesondere der Erschliessung herangezogenen Geoportal könne angeblich nichts gesehen werden. Streitig sind sodann nicht die tatsächlichen Verhältnisse, sondern ihre rechtliche Beurteilung. Inwiefern die neue Sammelbrunnenstube im Waldgebiet standortgebunden ist, ob eine Rodungsbewilligung hätte erteilt werden müssen bzw. ob das Bauvorhaben hinreichend erschlossen ist, stellen Rechtsfragen dar. Unter diesen Umständen durfte die Vorinstanz willkürfrei davon ausgehen, ein Augenschein könnte nichts Wesentliches zur weiteren Erhellung der sachlichen Grundlagen des Rechtsstreites beitragen. Sie durfte daher in antizipierter Beweiswürdigung auf den beantragten Augenschein verzichten, ohne das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers zu verletzen. Es ist kein zusätzlicher Erkenntnisgewinn ersichtlich, der aus einem Augenschein hätte gewonnen werden können; die tatsächlichen Umstände wurden ausreichend erhoben.
Daran ändert auch die Behauptung des Beschwerdeführers nichts, die Vorinstanz habe die Planunterlagen als "unbrauchbar" bezeichnet. Dies trifft nicht zu. Die Vorinstanz hielt einzig fest, der Situationsplan entspreche nicht den gängigen Anforderungen betreffend farblicher Darstellung von verbleibenden, abzubrechenden und neu zu erstellenden Anlagen. Sie erwog aber, die Darstellung sei zusammen mit dem Baubeschrieb und dem Kurzbeschrieb im Baugesuchsformular hinreichend klar. Folglich ist es auch nicht willkürlich, dass die Vorinstanz - trotz dieses Mangels des Situationsplans - auf einen Augenschein verzichtet hat.
3.3. Schliesslich vermag der Beschwerdeführer auch aus dem Umstand, dass das Bauvorhaben nicht visiert worden ist, nichts zu seinen Gunsten abzuleiten. Die Visiere sollen auf das Bauvorhaben aufmerksam machen und es veranschaulichen, damit davon betroffene Dritte die Baugesuchsakten einsehen und gegebenenfalls Einsprache erheben können (vgl. Urteil 1C_332/2019 vom 18. Dezember 2020 E. 2.3 mit Hinweis). Inwiefern vorliegend dem Beschwerdeführer aufgrund der fehlenden Visierung ein Rechtsnachteil erwachsen sein soll, ist nicht ersichtlich und wird von ihm auch nicht dargetan. Aus welchem Grund sich die Vorinstanz aufgrund der fehlenden Visierung kein Bild von den örtlichen Verhältnissen hätte machen können, erschliesst sich ebenfalls nicht. Die Rüge erweist sich als unbegründet.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, die innerhalb des Waldareals geplante Sammelbrunnenstube sei nicht standortgebunden. Dies zeige sich unter anderem auch an der bestehenden Sammelbrunnenstube Assek.-Nr. 712, die nur ungefähr 15 m entfernt in der Landwirtschaftszone stehe und nach wie vor genutzt werde. Deren Abbruch sei nicht geplant und es sei offensichtlich, dass das neue Gebäude, welches dem gleichen Zweck diene, nicht auf einen Standort innerhalb des Waldareals angewiesen sei.
4.2. Gemäss Art. 24 RPG können Bewilligungen abweichend von Art. 22 Abs. 2 lit. a RPG namentlich zur Errichtung von Bauten und Anlagen ausserhalb der Bauzonen erteilt werden, wenn deren Zweck einen Standort ausserhalb der Bauzone erfordert (lit. a) und keine überwiegenden Interessen entgegenstehen (lit. b). Eine Anlage ist im Sinne von Art. 24 lit. a RPG standortgebunden, wenn sie aus technischen oder betriebswirtschaftlichen Gründen auf einen Standort ausserhalb der Bauzone angewiesen oder wenn die Anlage aus bestimmten Gründen in einer Bauzone ausgeschlossen ist. Nach der bundesgerichtlichen Praxis muss jedoch ein Standort in der Bauzone nicht absolut ausgeschlossen sein. Es genügt vielmehr eine relative Standortgebundenheit, die dann zu bejahen ist, wenn gewichtige Gründe einen Standort in der Nichtbauzone gegenüber Standorten innerhalb der Bauzone als erheblich vorteilhafter erscheinen lassen (<ref-ruling> E. 7.6.1; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen). Diese beurteilen sich nach objektiven Massstäben, weshalb es grundsätzlich weder auf die subjektiven Vorstellungen und Wünsche des Einzelnen noch auf die persönliche Zweckmässigkeit oder Bequemlichkeit ankommen kann (<ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 4a; Urteil 1C_236/2019 vom 21. Juli 2020 E. 3.1; je mit Hinweisen). Die Bejahung der relativen Standortgebundenheit setzt eine umfassende Interessenabwägung voraus, die sich mit derjenigen nach Art. 24 lit. b RPG überschneidet (<ref-ruling> E. 7.6.1; Urteil 1C_236/2019 vom 21. Juli 2020 E. 3.1; je mit Hinweisen). Dabei können nicht nur technische Aspekte, sondern auch Interessen des Natur-, Landschafts- und Ortsbildschutzes berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 4.3.3; <ref-ruling> E. 3.3; Urteil 1C_236/2019 vom 21. Juli 2020 E. 3.1; je mit Hinweisen).
4.3. Die Vorinstanz führte mit Blick auf die Standortgebundenheit und in Übereinstimmung mit den Ausführungen des Baudepartements aus, das Quellwasser müsse dort gefasst werden, wo es zutage trete. Aus diesem Grund seien die Quellfassungsanlagen technisch bzw. funktional standortgebunden. Im Übrigen sei auch keine zusätzliche Sammelbrunnenstube vorgesehen, sondern die neue solle die Funktion der alten ersetzen. Die neue Sammelbrunnenstube mit UV-Anlage zur Entkeimung des Wassers könne nicht im bestehenden Gebäude Assek.-Nr. 712 eingebaut werden. Letzteres diene vorderhand dem Leitungszusammenschluss, weshalb es noch nicht abgebrochen werde.
4.4. Das BAFU teilt die Auffassung, dass technische und betriebliche Gründe für den geplanten Standort im Wald und die relative Standortgebundenheit sprechen. Es treffe zu, dass eine Sammelbrunnenstube möglichst nahe an der Quelle gebaut werden solle, zudem solle eine UV-Anlage zwecks Gewährleistung einwandfreier Trinkwasserqualität direkt in der Sammelbrunnenstube integriert werden.
4.5. Für das Bundesgericht besteht vorliegend kein Anlass, von den überzeugenden Ausführungen der Vorinstanz - die im Übrigen auch mit den Erwägungen des BAFU übereinstimmen - abzuweichen. Ihre Folgerung, wonach die Quellfassungsanlagen aus hydraulischen Gründen sowie aus Gründen des Gefälles standortgebunden seien, erscheint nachvollziehbar. Wie den Akten entnommen werden kann, wurde die bestehende Quellfassungsanlage zwischen den Jahren 1880 und 1890 erstellt und entspricht nicht mehr den heutigen Anforderungen an eine Trinkwasserversorgungsanlage. Es leuchtet ein, dass das Wasser dort gefasst werden soll, wo die Quelle entspringt. Die Wasserversorgungsnetze müssen aufeinander abgestimmt werden. Wenn die kantonalen Behörden festhalten, die Höhenlage der neuen Sammelbrunnenstube müsse aus hydraulischen Gründen ungefähr derjenigen der bestehenden Anlageteile entsprechen, ist dies plausibel. Sodann sollte die UV-Anlage so positioniert sein, dass sie ihre Funktionen zur Entkeimung und zur Gewährleistung einwandfreier Trinkwasserqualität erfüllen kann, bevor das Wasser über die Versorgungs- und Hausanschlussleitungen zum Verbraucher geführt wird. Damit liegen technische Gründe für den Standort innerhalb des Waldes vor. Die neue Sammelbrunnenstube erfüllt die Voraussetzungen der relativen Standortgebundenheit nach Art. 24 lit. a RPG.
Im Übrigen soll die neue Sammelbrunnenstube, entgegen der Behauptung des Beschwerdeführers, auch nicht zusätzlich zur alten Stube erstellt werden. Letztere befindet sich wie erwähnt in einem mangelhaften baulichen Zustand und weist eine ungenügende Hygiene und Sicherheit auf. Wie der aktenkundigen Erläuterung zur Baueingabe vom 27. Juni 2016 entnommen werden kann, ist der Abbruch des Gebäudes Assek.-Nr. 712 zwar nicht Bestandteil des vorliegend strittigen Baugesuchs, soll aber später ausgeführt werden. Anhaltspunkte, an diesen Ausführungen zu zweifeln, sind keine ersichtlich und werden vom Beschwerdeführer auch nicht rechtsgenüglich aufgezeigt.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer ist weiter der Ansicht, die Erstellung der neu im Wald gelegenen Sammelbrunnenstube verletze die Vorschriften über die Waldgesetzgebung. Er macht insbesondere geltend, die geplante Sammelbrunnenstube inkl. Vorplatz sowie die Zufahrtsstrasse zum Gebäude hätten einer Rodungsbewilligung bedurft. Zudem seien temporäre Rodungen für die Baustellenzufahrt, die Baustelleninstallation etc. erforderlich. Die gegenteilige Beurteilung der Vorinstanz sei aufgrund der nicht erfolgten Abklärung des Sachverhalts willkürlich.
5.2. Die Vorinstanz erwog, das strittige Bauvorhaben solle im Wald realisiert werden. Es sei nicht umstritten, dass die geplante Erneuerung der Quellfassungsanlagen keinem forstwirtschaftlichen Zweck diene. Sämtliche Leitungen würden jedoch erdverlegt und die Oben- und Fronteinstiege würden nur wenige Quadratmeter Waldboden beanspruchen. Aus diesem Grund sei nicht mit einer intensiveren Nutzung als bei anderen üblicherweise bewilligten Nutzungen (bescheidene Rastplätze, Feuerstelle, Sport- und Lehrpfade, erdverlegte Leitungen und Kleinantennenanlagen) zu rechnen. Gemäss der Einschätzung des Kantonsforstamts vom 30. September 2016 werde das Bestandsgefüge des Waldes davon nicht tangiert. Folglich sei bei den geplanten zu erneuernden Quellfassungsanlagen noch von einer punktuellen Beanspruchung des Waldbodens bzw. -weges auszugehen, welche keiner Rodungsbewilligung bedürfe. Zur Frage, ob allenfalls eine temporäre Rodungsbewilligung im Hinblick auf die Bauarbeiten erforderlich wäre, äusserte sich die Vorinstanz nicht.
5.3. Das BAFU vertritt die Auffassung, dass die geplante neue Sammelbrunnenstube mit einer Fläche von ca. 24 m2 mit einem Rastplatz oder einer Feuerstelle im Wald zu vergleichen sei. Da das Gebäude nicht komplett frei im Wald stehen solle, sondern erdüberdeckt werde, sei noch von einer punktuellen Beanspruchung des Waldbo-dens auszugehen, welche die Waldfunktion nicht oder nur minimal beeinträchtige. Aufgrund des Terrainversatzes solle der Fronteinstieg mit Bachsteinen ausgebildet werden, womit die Sammelbrunnenstube weniger auffalle und sich optisch einigermassen gut in den Wald eingliedern könne. Es sei weiter davon auszugehen, dass das geplante Gebäude nicht täglich von mehreren Menschen betreten werde, sondern nur gelegentlich von Mitarbeitern der zuständigen Wasserversorgung. Folglich sei nicht mit einer intensiven Nutzung des Gebäudes durch Menschen zu rechnen. Das geplante Gebäude stelle demzufolge eine nichtforstliche Kleinbaute dar. Dasselbe gelte für die erdverlegten Zu- und Ableitungen, die erneuert würden. Diese würden das Bestandsgefüge des Waldes ebenfalls nicht beeinträchtigen.
Indessen wären nach Auffassung des BAFU die Tätigkeiten und Installationen im Zusammenhang mit den Bau- und Grabungsarbeiten mittels einer temporären Rodung zu bewilligen gewesen. Durch die Bauarbeiten sei mit einer zumindest vorübergehenden intensiven - und nicht mehr nur punktuellen - Beanspruchung des Waldbodens für nichtforstliche Zwecke zu rechnen. Dafür spreche, dass die Arbeiten in schlecht zugänglichem Waldgebiet erfolge. Die Angaben im Baubeschrieb und das Beispielfoto im Situationsplan liessen erahnen, dass für die Erstellung der neuen Sammelbrunnenstube eine gewisse Fläche Umschwung zur eigentlichen Baute im Rahmen der Bauarbeiten notwendig sein werde. Grabungsarbeiten würden naturgemäss mit eher grossen und schweren Maschinen durchgeführt, dies könne insbesondere im schwer zugänglichen Waldgebiet zu zusätzlichem Platzbedarf für Material und Maschinen führen. Zudem sei zu berücksichtigen, dass die im Baubeschrieb erwähnte temporäre Bodenabtragung von ca. 500 m3 und ein Aushub von ca. 300 m3 im Wald nur schwer mit der Erhaltung des Waldes vereinbar seien.
5.4. Das Waldgesetz bezweckt die Erhaltung und den Schutz des Waldes und soll dafür sorgen, dass der Wald seine Funktionen erfüllen kann; es soll die Waldwirtschaft fördern und erhalten (Art. 1 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 4. Oktober 1991 über den Wald [Waldgesetz, WaG; SR 921.0]). Als Wald gelten auch Waldstrassen (<ref-law>). Bauvorhaben, die den Waldboden dauernd oder vorübergehend zweckentfremden, bedürfen einer Rodungsbewilligung (<ref-law>). Rodungen sind grundsätzlich verboten (vgl. <ref-law>). Eine Ausnahmebewilligung darf gemäss <ref-law> erteilt werden, wenn der Gesuchsteller nachweist, dass für die Rodung wichtige Gründe bestehen, die das Interesse an der Walderhaltung überwiegen und zudem die folgenden Voraussetzungen erfüllt sind: das Werk, für das gerodet werden soll, muss auf den vorgesehenen Standort angewiesen sein (lit. a), das Werk muss die Voraussetzungen der Raumplanung sachlich erfüllen (lit. b) und die Rodung darf zu keiner erheblichen Gefährdung der Umwelt führen (lit. c). Die Erteilung einer Rodungsbewilligung befreit nicht von der Einholung einer Baubewilligung nach Art. 22 oder Art. 24 RPG (vgl. <ref-law>).
Die Beanspruchung von Waldboden für forstliche Bauten und Anlagen sowie für nichtforstliche Kleinbauten und -anlagen gilt nach Art. 4 lit. a der Verordnung vom 30. November 1992 über den Wald (Waldverordnung, WaV; SR 921.01) nicht als Rodung und stellt somit keine Zweckentfremdung des Waldes dar. Umgekehrt folgt daraus, dass nichtforstliche Bauvorhaben, ausgenommen Kleinbauten und -anlagen, als eine Zweckentfremdung des Waldes zu betrachten sind. Sie bedürfen deshalb einer Rodungsbewilligung und, wie die forstlichen Bauvorhaben, immer auch einer Ausnahmebewilligung nach RPG. Für den Wald nachteilige Nutzungen, die keine Rodung darstellen, sind grundsätzlich unzulässig, dürfen aber von den Kantonen aus wichtigen Gründen unter Auflagen und Bedingungen bewilligt werden (<ref-law>). Als solche Nutzungen gelten punktuelle oder unbedeutende Beanspruchungen von Waldboden für nichtforstliche Kleinbauten und -anlagen, wie bescheidene Rastplätze, Feuerstellen, Sport- und Lehrpfade, erdverlegte Leitungen und Kleinantennenanlagen, die das Bestandesgefüge des Waldes nicht beeinträchtigen (Botschaft des Bundesrats vom 29. Juni 1988 zum WaG, BBl 1988 III 191).
Die nichtforstlichen Kleinbauten und -anlagen benötigen somit zwar keine Rodungsbewilligung, weil sie den Wald nicht geradezu zweckentfremden. Da sie für diesen jedoch nachteilig sind, bedürfen sie einer Ausnahmebewilligung des Kantons und, weil sie als nachteilige Nutzungen dem Zweck des Waldes nicht entsprechen, einer Ausnahmebewilligung nach Art. 24 RPG. Die Beurteilung, ob eine nichtforstliche Kleinbaute vorliegt, hat in erster Linie mit Blick auf den Umfang und die Intensität des beanspruchten Waldbodens zu erfolgen, wobei ein strenger Massstab anzusetzen ist, damit der Zweck der Waldgesetzgebung, namentlich die Erhaltung des Waldbestands, nicht weitgehend in Frage gestellt wird. Weist eine Baute eine derartige Grösse auf, dass von einer punktuellen oder unbedeutenden Beanspruchung des Waldbodens nicht mehr gesprochen werden kann, lässt sie sich bereits aus diesem Grund nicht mehr unter den Begriff der "Kleinbaute" im Sinne von <ref-law> subsumieren. Geht eine Baute allein unter dem Gesichtspunkt ihrer flächenmässigen Ausdehnung nicht über die genannte Beanspruchung hinaus, folgt daraus jedoch nicht zwingend, dass sie als Kleinbaute einzustufen ist. Vielmehr ist in einem solchen Fall weiter zu prüfen, ob ihr Zweck auch den Einbezug eines gewissen Umschwungs bedingt und wie intensiv die Nutzung in diesem Bereich ist. Ob eine Baute oder Anlage als nichtforstliche Kleinbaute oder -anlage im Sinne der Waldgesetzgebung in Betracht fällt, ist somit in jedem Einzelfall anhand der gesamten Umstände zu prüfen (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 6.2).
5.5. Der geplante Standort der neuen Sammelbrunnenstube befindet sich unbestrittenermassen ausserhalb der Bauzone im Wald. Indes gelangten die kantonalen Behörden und das BAFU übereinstimmend zum Ergebnis, für die Sammelbrunnenstube sei keine Rodungsbewilligung erforderlich. Sie haben in Übereinstimmung mit der genannten bundesgerichtlichen Rechtsprechung (vgl. E. 5.4 hiervor) aufgezeigt, weshalb es sich bei der geplanten Sammelbrunnenstube aufgrund ihrer geringen flächenmässigen Ausdehnung um eine nichtforstliche Kleinbaute handelt. Für das Bundesgericht besteht kein Anlass, von diesen zutreffenden Ausführungen abzuweichen. Bei der neuen Sammelbrunnenstube mit einer Fläche von ca. 24 m2 ist grundsätzlich nur von einer punktuellen Beanspruchung des Waldbodens auszugehen. Sie ist mit Blick auf ihren Umfang und die Intensität des beanspruchten Waldbodens als nichtforstliche Kleinbaute im Sinne der Rechtsprechung zu qualifizieren und bedarf demzufolge grundsätzlich keiner Rodungsbewilligung. Inwiefern diesbezüglich eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung vorliegen soll, wie vom Beschwerdeführer behauptet, ist nicht ersichtlich (vgl. auch E. 1.3 hiervor).
6.
In Bezug auf die Bauarbeiten, welche die Realisierung der neuen Sammelbrunnenstube notwendigerweise mit sich bringt, stellt sich demgegenüber tatsächlich die Frage, ob nicht von einer vorübergehenden zweckfremden Nutzung auszugehen ist. Gemäss der aktenkundigen Baueingabe vom 27. Juni bzw. 27. Juli 2016 wird immerhin mit einer Abtragung von ca. 500 m3 Waldboden und einem Aushub von 300 m3 gerechnet. Würde die Frage bejaht, bedürften die Tätigkeiten und Installationen im Zusammenhang mit den Bau- und Grabungsarbeiten tatsächlich einer temporären Rodungsbewilligung (inkl. allfälligem Rodungsersatz, vgl. <ref-law>). Dazu haben sich die kantonalen Behörden nicht geäussert.
Es ist jedoch nicht am Bundesgericht, diese Frage vorliegend in erster und einziger Instanz zu überprüfen. Nach <ref-law> kann das Bundesgericht im Falle der Rückweisung frei entscheiden, ob es die Angelegenheit der Vorinstanz oder einer dieser vorgeschalteten unteren Instanz überweisen will. Aufgrund der hier vorliegenden Ausgangslage rechtfertigt es sich, die Streitsache an den dafür zuständigen Gemeinderat Niederhelfenschwil zurückzuweisen zur Prüfung, ob für die Bauarbeiten eine Rodungsbewilligung (inkl. allfälligem Rodungsersatz) erforderlich ist und ob eine solche erteilt werden kann. Im Anschluss daran wird der Gemeinderat auf der sich daraus ergebenden Grundlage - sowie unter Berücksichtigung der bundesgerichtlichen Erwägungen - neu über die Erteilung der Baubewilligung für die umfassende Erneuerung der Quellanlage zu befinden haben.
7.
Aus prozessökonomischen Gründen rechtfertigt sich allerdings noch ein Hinweis zu der vom Beschwerdeführer beanstandeten Erschliessungssituation des Bauvorhabens. Die Vorinstanz hat anhand des Situationsplans und dem Gemeindestrassenplan im Geoportal nachvollziehbar dargelegt, dass die Zufahrt zum strittigen Bauvorhaben über eine Gemeindestrasse dritter Klasse führe und die Zufahrt zu den Quellfassungsanlagen somit in tatsächlicher Hinsicht grundsätzlich hinreichend sichergestellt sei. Der Beschwerdeführer vermag jedenfalls nicht substanziiert dazulegen, inwiefern die vorinstanzliche Beurteilung falsch bzw. willkürlich sein soll. Dies gilt umso mehr, als die Strasse nach Beendigung der Bauarbeiten ohnehin nicht täglich benutzt, sondern einzig der Zugänglichkeit für gelegentliche Unterhaltsarbeiten an den Quellfassungsanlagen dienen wird.
8.
Gesamthaft betrachtet erweist sich die Beschwerde insoweit als begründet, als die kantonalen Behörden die Frage einer allfällig erforderlichen Rodungsbewilligung im Zusammenhang mit den Bauarbeiten nicht behandelt haben. Sie ist demnach gutzuheissen. Der angefochtene Entscheid sowie die Baubewilligung sind aufzuheben. Die Streitsache ist an den Gemeinderat Niederhelfenschwil zur Prüfung zurückzuweisen, ob für die Bauarbeiten eine Rodungsbewilligung (inkl. allfälligem Rodungsersatz) erforderlich ist und ob eine solche erteilt werden kann.
Dem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens entsprechend sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Der Kanton St. Gallen hat dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zu entrichten (vgl. <ref-law>). Sodann ist die Sache zur Neuverlegung der Kosten und Entschädigungen der kantonalen Verfahren an das Verwaltungsgericht St. Gallen zurückzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 13. August 2020 und damit auch die vom Gemeinderat Niederhelfenschwil am 26. Januar 2017 erteilte Baubewilligung werden aufgehoben. Die Streitsache wird an den Gemeinderat Niederhelfenschwil zurückgewiesen zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton St. Gallen hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 4'000.-- auszurichten.
4.
Das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen wird über die Verlegung der Kosten und Entschädigungen in den kantonalen Verfahren neu zu entscheiden haben.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Stadt Bischofszell, der Politischen Gemeinde Niederhelfenschwil, dem Baudepartement des Kantons St. Gallen, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung I, dem Bundesamt für Raumentwicklung und dem Bundesamt für Umwelt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. September 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier