Sachverhalt:
A.
Die 1964 geborene A._ arbeitete seit 22. Oktober 2013 teilzeitlich als Büroangestellte bei der Praxis B._ GmbH und daneben seit 11. April 2014 bei der C._ GmbH. Am 26. Februar 2015 meldete sie sich bei der IV-Stelle Solothurn zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle gewährte ihr Frühinterventionsmassnahmen in Form eines vom 1. September bis 1. Dezember 2015 dauernden Belastbarkeitstrainings bei der D._ GmbH. Die Versicherte besuchte es an vier Tagen; das Training wurde abgebrochen. Die IV-Stelle veranlasste ein Gutachten des Neurologen Dr. med. E._ vom 18. Mai 2016 und des Psychiaters Dr. med. F._ vom 22. Juni 2016 mit interdisziplinärer Beurteilung vom 18. Mai 2016. Mit Verfügung vom 7. April 2017 verneinte sie den Anspruch der Versicherten auf Invalidenrente und berufliche Eingliederungsmassnahmen mangels relevanter Einschränkung der Arbeitsfähigkeit.
B.
Die hiergegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn teilweise gut. Es stellte fest, die Versicherte habe ab 1. Dezember 2015 Anspruch auf eine halbe Invalidenrente (Entscheid vom 5. Juli 2018).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei ihre Verfügung zu bestätigen. Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie ihr das rechtliche Gehör bezüglich <ref-ruling> und 418 gewähre oder ein (psychiatrisches) Obergutachten einhole. Subeventuell sei die Sache an die IV-Stelle zur Durchführung eines Mahn- und Bedenkzeitverfahrens im Sinne der Erwägungen zurückzuweisen. Der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Die Versicherte schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei; die aufschiebende Wirkung sei nicht zu erteilen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf Vernehmlassung.
D.
Mit Verfügung vom 25. Oktober 2018 hat der Instruktionsrichter der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG). Rechtsfragen sind die vollständige Feststellung erheblicher Tatsachen, die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes bzw. der Beweiswürdigungsregeln nach <ref-law> und der Anforderungen an den Beweiswert von Arztberichten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Bei den aufgrund dieser Berichte getroffenen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit und bei der konkreten Beweiswürdigung geht es um Sachverhaltsfragen (nicht publ. E. 1 des Urteils <ref-ruling>). Frei überprüfbare Rechtsfrage ist hingegen, ob und in welchem Umfang die ärztlichen Feststellungen anhand der Indikatoren nach <ref-ruling> auf Arbeitsunfähigkeit schliessen lassen (<ref-ruling> E. 7 S. 308; Urteil 8C_175/2018 vom 27. September 2018 E. 1).
1.2. Nach <ref-law> hat die Rechtsschrift, mithin die Beschwerde unter anderem eine Begründung zu enthalten. An einer solchen fehlt es im vorliegenden Fall nicht in jeder Hinsicht. Insbesondere trifft es nicht zu, dass sich die Beschwerde ausschliesslich auf eine vom angefochtenen Entscheid abweichende Beweiswürdigung oder auf allgemein gehaltene appellatorische Kritik beschränken würde (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 264). Entgegen dem, was die Beschwerdegegnerin beantragt, ist auf die Beschwerde somit einzutreten.
2.
Das kantonale Gericht hat die rechtlichen Grundlagen über die Invalidität (<ref-law>; <ref-law>), die Voraussetzungen des Rentenanspruchs (<ref-law>), den massgebenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 6 S. 221) und den Beweiswert ärztlicher Berichte (<ref-ruling> E. 4.4. S. 470, 125 V 351 E. 3 S. 352 ff.) richtig dargelegt. Gleiches gilt bezüglich der Rechtsprechung zur Beurteilung der Invalidität bei psychischen Erkrankungen (<ref-ruling>). Darauf wird verwiesen.
Zu ergänzen ist, dass das Bundesgericht mit <ref-ruling> vom 30. November 2017 entschieden hat, dass grundsätzlich sämtliche psychischen Erkrankungen einem strukturierten Beweisverfahren nach <ref-ruling> zu unterziehen sind. Diese neue Rechtsprechung ist vorliegend - wie auch <ref-ruling> gleichen Datums - anwendbar (vgl. statt vieler Urteil 8C_175/2018 vom 27. September 2018 E. 4).
3.
Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie der Beschwerdegegnerin ab 1. Dezember 2015 eine halbe Invalidenrente zusprach.
Sie erwog im Wesentlichen, laut der Beurteilung der Gutachter Dres. med. E._ sowie F._ vom 18. Mai und 22. Juni 2016 bestünden bei der Beschwerdegegnerin folgende Diagnosen mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit: rezidivierende depressive Störung mit chronischem Verlauf und gegenwärtig leicht- bis eher mittelgradiger Episode (ICD-10 F33.0/1); episodische Migräne ohne Aura. Gemäss der interdisziplinären Beurteilung der Gutachter sei die Versicherte aus neurologischer Sicht zu 20 % und psychischerseits zu 40 % eingeschränkt. Da von einer Teiladditivität auszugehen sei, lasse sich gesamtmedizinisch eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit sowohl in der zuletzt ausgeübten als auch in einer alternativen Tätigkeit von 50 % begründen. Das Gutachten des Psychiaters Dr. med. F._ enthalte alle notwendigen Feststellungen für eine Indikatorenprüfung. Er habe sich an dem vom Bundesgericht entwickelten Kriterienkatalog orientiert. Er leite die Diagnose unter Berücksichtigung der anamnestisch angegebenen Einschränkungen und der erhobenen Befunde (formal langsamer Gedankengang, psychomotorische Langsamkeit) ab. Weiter lege er dar, inwiefern Fähigkeitsniveau, Gruppenfähigkeit, Kontaktfähigkeit zu Dritten und die Fähigkeit zu familiären Beziehungen eingeschränkt seien. Zu Behandlungs- und Eingliederungserfolg oder -resistenz führe er aus, dass die Versicherte eine adäquate wöchentliche Gesprächstherapie besuche und in psychopharmakologischer Hinsicht Optimierungspotenzial bestehe. Die von ihm postulierte Arbeitsfähigkeit gelte für den Fall, dass die medikamentöse Behandlung optimiert und die bisherige Behandlung weitergeführt werde. Dr. med. F._ verneine Komorbiditäten und handle den Komplex der Persönlichkeit ab, wobei er den Verdacht auf eine schizoide Persönlichkeitsstörung äussere. Auch nenne er persönliche Ressourcen, wobei wenige gegeben seien. Die Versicherte verfüge kaum über soziale Kontakte und habe auch keinen Kontakt zur Familie, leide darunter aber offensichtlich kaum. Bezüglich der Kategorie der Konsistenz stelle der Gutachter eine gleichmässige Einschränkung des Aktivitätsniveaus in allen vergleichbaren Lebensbereichen fest. Ein behandlungs- und eingliederungsanamnestisch ausgewiesener Leidensdruck würde nicht erkannt. Ebensowenig liessen sich aber Hinweise auf Aggravation erkennen. Damit könne die Indikatorenprüfung anhand des Gutachtens des Dr. med. F._ vorgenommen werden. Seine Ausführungen seien nicht nur in sich schlüssig, sondern auch in der Ableitung einer 40%igen Arbeitsunfähigkeit in der angestammten oder einer Verweisungstätigkeit. Diese sei daher zu berücksichtigen.
4.
4.1. Die IV-Stelle macht geltend, die Vorinstanz habe ihren Anspruch auf rechtliches Gehör (vgl. <ref-law>) verletzt, da sie ihr nicht Gelegenheit gegeben habe, sich zur Praxisänderung bei psychischen Leiden (<ref-ruling> und 418) zu äussern.
4.2. Der Gehörsanspruch ist zu gewähren, wenn eine Behörde ihren Entscheid mit einer Rechtsnorm oder einem -grund zu begründen beabsichtigt, die im bisherigen Verfahren nicht herangezogen wurden, auf die sich die beteiligten Parteien nicht berufen haben und mit deren Erheblichkeit im konkreten Fall sie nicht rechnen konnten (<ref-ruling> E. 5b/bb S. 278; Urteil 9C_417/2017 vom 19. April 2018 E. 4.4.1).
Die strittige Verfügung vom 7. April 2017 erging damals mangels entsprechender psychischer Diagnosen zu Recht nicht in Anwendung der Praxis <ref-ruling> vom 3. Juni 2015. Die vorinstanzliche Beschwerde der Versicherten datierte vom 11. Mai 2017. Die Vorinstanz schloss den Schriftenwechsel am 1. September 2017 ab. Die Urteile <ref-ruling> und 418 ergingen am 30. November 2017. Damit wurden Umstände rechtlich bedeutsam, welche die Verwaltung - und die Versicherte - aufgrund der bei Erlass der strittigen Verfügung geltenden Praxis nicht festzustellen bzw. zu würdigen brauchten (vgl. Urteil 9C_636/2015 vom 2. Februar 2016 E. 4.2).
Indessen darf von der IV-Stelle erwartet werden (vgl. <ref-law>), dass sie um eine Praxisänderung weiss und mit entsprechenden Ergänzungen aus eigenem Antrieb während eines laufenden Beschwerdeverfahrens an die Rechtsmittelinstanz gelangt. Hierzu hätte sie hier genügend Zeit gehabt, da der angefochtene Entscheid erst am 5. Juli 2018 erging (vgl. auch Urteil 9C_636/2015 E. 4.3). Zudem setzt sich die IV-Stelle letztinstanzlich mit der vorinstanzlichen Indikatorenprüfung auseinander. Unter diesen Umständen erübrigen sich Weiterungen im Sinne der Gewährung des rechtlichen Gehörs (siehe auch Urteil 9C_445/2017 vom 16. April 2018 E. 5.2).
5.
5.1. Die IV-Stelle bringt weiter im Wesentlichen vor, mit Blick auf das bidisziplinäre Gutachten vom 18. Mai und 22. Juni 2016 sei es der Vorinstanz nicht gelungen, das rechtsprechungsgemäss geforderte stimmige Gesamtbild einer hälftigen Einschränkung der Versicherten in allen Lebensbereichen aufzuzeigen. Sie habe es unterlassen, die Arbeitsfähigkeitsschätzung des psychiatrischen Gutachters einer kritischen Würdigung nach <ref-ruling> zu unterziehen. Es reiche nicht aus, lediglich auf die Ausführungen des psychiatrischen Gutachters hinsichtlich der Kategorie "Konsistenz" abzustellen, da sich die Arbeitsfähigkeit gleichsam aus dem Saldo aller wesentlichen Belastungen und Ressourcen ableite (<ref-ruling> E. 3.4.2.1 S. 292). Im Prüfungsprogramm seien zwar auch Ressourcen erfasst worden, die das Leistungsvermögen der Versicherten begünstigten; allerdings habe es die Vorinstanz unterlassen, die massgebenden Beweisthemen im Rahmen einer umfassenden Betrachtung zu prüfen, was eine Rechtsverletzung sei. Die psychischen Funktionen der Versicherten seien nicht dermassen eingeschränkt, dass sich daraus eine hälftige Arbeitsunfähigkeit in sämtlichen Tätigkeiten ableiten liesse. Es fänden sich keine Angaben dazu, dass sie nicht bewusstseinsklar und -hell sowie zu allen Qualitäten orientiert sein solle. Klinisch hätten sich keine Konzentrations-, Aufmerksamkeits- oder Auffassungsstörungen während der zweistündigen Untersuchung und insbesondere auch keine Ermüdungszeichen feststellen lassen. Der Gedankengang sei in formaler Hinsicht weder gehemmt noch arm an Ideen; in inhaltlicher Hinsicht sei er unauffällig. Auch angesichts der Ergebnisse der Mini-ICF-APP (Mini-ICF Ratings für Aktivitäts- und Partizipationsbeeinträchtigungen bei psychischen Erkrankungen) sei festzustellen, dass sehr viele Items überhaupt nicht eingeschränkt seien. Ferner deuteten das psychosoziale Funktionsniveau und die Selbstlimitierung der Versicherten darauf hin, dass kein von der Rechtsprechung gefordertes stimmiges Gesamtbild für die Bejahung einer hälftigen Arbeitsunfähigkeit in Bezug auf sämtliche Tätigkeitsbereiche vorliege.
5.2. Entgegen der IV-Stelle hat der psychiatrische Gutachter Dr. med. F._ im Rahmen der Indikatorenprüfung nicht eine 50%ige, sondern eine 40%ige Arbeitsunfähigkeit festgestellt. Die 50%ige Arbeitsunfähigkeit wurde interdisziplinär unter Einbezug der Migränebeschwerden attestiert.
5.3. Laut Dr. med. F._ kann nicht von einer eigentlichen Vernachlässigung einer therapeutischen Option durch die Versicherte gesprochen werden. Es wäre jedoch wünschenswert gewesen, wenn sie schon viel früher - und nicht erst wieder im Jahre 2015 - eine Psychotherapie begonnen hätte.
5.4. Soweit die IV-Stelle auf das psychosoziale Funktionsniveau der alleinstehenden Versicherten verweist, hat die Vorinstanz gestützt auf das Gutachten des Dr. med. F._ grundsätzlich verbindlich festgestellt, dass sie seit Jahren keinen Kontakt mehr zu ihrer Familie (Eltern und eine Schwester) habe. Sie habe noch zwei Freundinnen. Die eine sehe sie, wenn sie bei ihr ein- bis zweimal pro Monat für etwa zwei bis vier Stunden arbeite. Privat sähen sie sich - wie mit der anderen Freundin - drei- bis viermal pro Jahr. Sonst habe sie telefonisch oder per Mail Kontakt mit ihnen.
5.5. Dr. med. F._ führte eine Testung gemäss den Mini-ICF-APP durch (vgl. hierzu SVR 2016 IV Nr. 2 S. 5, 8C_340/2015 E. 4.3, 2015 IV Nr. 10 S. 27, 8C_398/2014 E. 4.3.2). Er kam zum Schluss, das entsprechende Fähigkeitsniveau sei insgesamt etwa mittelgradig eingeschränkt. Insbesondere die Durchhaltefähigkeit, die Flexibilität und Umstellungsfähigkeit sowie die Spontanaktivitäten seien zumindest mittelgradig reduziert. Darüber hinaus seien auch die Kontaktfähigkeit zu Dritten, die Gruppenfähigkeit und die Fähigkeit zu familiären Beziehungen eingeschränkt. Die übrigen Items des Ratingbogens Mini-ICF-APP seien nicht relevant herabgesetzt. Auf diese Ressourcen, Coping-Strategien und verbleibenden Fähigkeiten könne sich die Versicherte bei der Ausübung einer Tätigkeit abstützen. Damit ist die Versicherte zwar in sieben der dreizehn Fähigkeitsdimensionen nicht beeinträchtigt. Dies reicht entgegen der IV-Stelle aber nicht aus, um die psychiatrisch festgestellte 40%ige Arbeitsunfähigkeit in Frage zu stellen. Gleiches gilt unter den gegebenen Umständen auch für die weiteren Einwände der IV-Stelle (vgl. E. 5.1 hiervor).
5.6. Insgesamt ist nicht ersichtlich, inwiefern sich der psychiatrische Gutachter Dr. med. F._ bei der Arbeitsfähigkeitsschätzung nicht an die massgebenden normativen Rahmenbedingungen (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 296 ff.) gehalten haben soll. Für die Vorinstanz bestand deshalb zu Recht kein Anlass, seiner Beurteilung aus juristischer Sicht nicht zu folgen (vgl. E. 2 hiervor; siehe auch Urteile 9C_555/2018 vom 17. Oktober 2018 E. 4.2.3 und 9C_59/2018 vom 15. Mai 2018 E. 3.3.3). Indem die Vorinstanz anhand der psychiatrischen Indikatorenprüfung schlüssig die massgeblichen Beweisthemen im Rahmen einer umfassenden Betrachtung eines stimmigen Gesamtbildes abhandelte und auch aufzeigte, wo die ärztlichen Darlegungen nicht mit den normativen Vorgaben übereinstimmten, und indem sie daraus schloss, dass aus juristischer Sicht der psychiatrisch attestierten Arbeitsunfähigkeit von 40 % gefolgt werden könne (<ref-ruling> E. 5.2. S. 306 f. und 140 V 193), hat sie kein Bundesrecht verletzt.
6.
Die IV-Stelle rügt weiter, die von der Vorinstanz unkritisch übernommene Teiladdition der in den Teilgutachten ermittelten Arbeitsunfähigkeitsgrade könne nicht nachvollzogen werden. Die von den Gutachtern attestierte 50%ige Einschränkung der Arbeitsfähigkeit in sämtlichen Tätigkeiten fusse folglich auf einer unbegründeten ärztlichen Gesamtbeurteilung, die aus rechtlicher Sicht nicht übernommen werden könne.
Es ist nicht ersichtlich, inwiefern das Abstellen des kantonalen Gerichts auf die interdisziplinäre Schätzung der Arbeitsunfähigkeit durch die Gutachter auf einer qualifiziert falschen Sachverhaltsfeststellung beruhen oder bundesrechtswidrig sein soll. Dies um so weniger, als auch Dr. med. G._, Facharzt Allgemeine Medizin, Regionaler Ärztlicher Dienst (RAD) der IV-Stelle, der gutachterlichen Beurteilung beipflichtete.
7.
7.1. Die IV-Stelle macht geltend, selbst bei Bestätigung der vorinstanzlichen Arbeitsfähigkeitsschätzung müsste die Sache an sie zur Durchführung eines Mahn- und Bedenkzeitverfahrens zurückgewiesen werden, damit die Optimierung der pharmakologischen Behandlung eingefordert und bei Nichtbeachtung durch die Versicherte eine Leistungsverweigerung oder -kürzung vorgenommen werden könnte. Sie beruft sich auf das Urteil 9C_682/2016 vom 16. Februar 2017 E. 3.2.
7.2. Dem kann nicht gefolgt werden. Denn die Vorinstanz hat in für das Bundesgericht verbindlicher Weise festgestellt, dass die Optimierung der medikamentösen Behandlung laut dem psychiatrischen Gutachter Dr. med. F._ nicht einer Verbesserung, sondern der Erhaltung der von ihm postulierten Arbeitsfähigkeit dient.
Der neurologische Gutachter Dr. med. E._ führte aus, prognostisch seien an und für sich keine relevanten Veränderungen des Gesundheitszustandes der Versicherten in näherer Zukunft zu erwarten. An medizinischen Massnahmen zu empfehlen sei eine Wiederaufnahme der Basisbehandlung der Migräne z. B. mit Betablockern oder auch mit Topiramat etc. Wichtig sei zudem, dass die Menge der eingenommenen Medikamente pro Monat gut kontrolliert werde, da ein gewisser negativer Einfluss durch die häufige Einnahmefrequenz auf die Kopfschmerzen angenommen werden müsse. Dr. med. E._ kam zum Schluss, diese medizinischen Massnahmen könnten möglicherweise zu einer gewissen Besserung des Gesundheitszustandes führen. Damit ist aber eine Verbesserung nicht mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit erstellt (vgl. E. 1 hiervor).
Ein Mahn- und Bedenkzeitverfahren ist somit nicht durchzuführen. Unter diesen Umständen kann die IV-Stelle auch aus dem Urteil 9C_682/2016 vom 16. Februar 2017 E. 3.2 nichts zu ihren Gunsten ableiten.
8.
Insgesamt lassen die Vorbringen der IV-Stelle den angefochtenen Entscheid nicht als bundesrechtswidrig erscheinen. Da von weiteren medizinischen Abklärungen keine entscheidrelevanten Ergebnisse mehr zu erwarten sind, verzichtete die Vorinstanz darauf zu Recht (antizipierte Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 5.3 S. 236).
9.
Gegen die rechnerische Ermittlung des Invaliditätsgrades durch die Vorinstanz erhebt die IV-Stelle keine Einwände, weshalb sich hierzu Weiterungen erübrigen.
10.
Die unterliegende IV-Stelle trägt die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. Januar 2019
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Jancar