Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Beschwerdeführer) war Radrennfahrer. Er ist portugiesischer Staatsangehöriger und wohnt in Portugal.
A.b. Mit Entscheid vom 15. November 2018 sperrte das Anti-Doping Tribunal des Weltradsportverbandes "Union Cycliste Internationale" (UCI), ein Verein mit Sitz in Aigle, den Beschwerdeführer wegen einer Verletzung von Anti-Dopingregeln für vier Jahre.
A.c. Der Beschwerdeführer erhob gegen den Entscheid der UCI am 14. Dezember 2018 beim Tribunal Arbitral du Sport (TAS) Berufung. Er beantragte die Aufhebung der Sperre und die Gewährung der "assistance judiciaire" gestützt auf den "Code de l'arbitrage en matière de sport" ("Code") sowie auf die "Directives sur l'assistance judiciaire au Tribunal Arbitral du Sport" ("Directives").
A.d. Für die "assistance judiciaire" ist die "Commission d'assistance judiciaire" (Art. 3 der "Directives") zuständig. Mit Entscheid vom 25. Januar 2019 wurde das Gesuch im Sinne eines Beitrags von maximal Fr. 1'500.-- an die Reise- und Unterkunftskosten des Beschwerdeführers und jene seiner Zeugen, Experten und Übersetzer für ihre Teilnahme an einer Anhörung vor dem TAS gutgeheissen. Da der Entscheid keinem Rechtsmittel unterliegt, ersuchte der Beschwerdeführer um Wiedererwägung. Mit Entscheid vom 4. März 2019 bestätigte die "Commission d'assistance judiciaire" den Entscheid vom 25. Januar 2019, stellte dem Beschwerdeführer aber ausserdem einen in Art. 6 der "Directives" vorgesehenen unentgeltlichen Anwalt (sog. "pro bono counsel") zur Seite. Die Anträge auf Befreiung von Gerichtskosten sowie auf Übernahme der Honorare für Experten und seines Rechtsvertreters wies die "Commission d'assistance judiciaire" ab.
A.e. Das TAS und die "Commission d'assistance judiciaire" sind Organe der "Fondation Conseil international de l'arbitrage en matière de sport" (Stiftung CIAS), einer am 31. Januar 1995 im Handelsregister eingetragenen Stiftung mit Sitz in Lausanne. Gemäss Veröffentlichung im Schweizerischen Handelsamtsblatt (SHAB) Nr. 92 vom 11. Mai 2000 wird die Stiftung CIAS durch die "Autorité de surveillance LPP et des fondations de Suisse occidentale" (AS-SO) beaufsichtigt.
B.
B.a. Am 11. März 2019 gelangte der Beschwerdeführer an die Eidgenössische Stiftungsaufsicht (ESA) sowie an die AS-SO als kantonale Stiftungsaufsichtsbehörde.
B.b. Der ESA beantragte der Beschwerdeführer, die Entscheide vom 25. Januar 2019 und vom 4. März 2019 der Organe der Stiftung CIAS aufzuheben und die Stiftung CIAS anzuweisen, ihm für das Berufungsverfahren vor dem TAS die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren (Befreiung von Verfahrenskosten; Rückerstattung Kostenvorschuss; Bestellung unentgeltlicher Rechtsbeistand; Reise- und Unterkunftskosten für ihn, die Experten, Zeugen und Übersetzer sowie den Rechtsbeistand; Honorare für Experten). Ausserdem forderte er, die Aufsichtsbehörde solle untersuchen, ob der "Code" und die "Directives" mit dem von der Stiftung CIAS verfolgten Zweck und mit den gesetzlichen Grundlagen in Einklang stünden.
B.c. Am 19. März 2019 informierte der Beschwerdeführer die ESA, dass die AS-SO ihm mitgeteilt habe, die ESA habe ihr die Aufsichtsbeschwerde zuständigkeitshalber weitergeleitet, dass er aber der Ansicht sei, für die Behandlung seiner Beschwerde sei die ESA zuständig. Für den Fall, dass sich die ESA als unzuständig erachte, ersuchte er um Erlass einer anfechtbaren Verfügung. Am 27. März 2019 teilte die ESA dem Beschwerdeführer mit, die Stiftung CIAS werde nicht von ihr beaufsichtigt, weshalb sie nicht befugt sei, die gewünschte Verfügung zu erlassen. Per E-Mail erkundigte sich der Beschwerdeführer schliesslich am 2. Mai 2019 bei der ESA nach dem Verfahrensstand. Die ESA antwortete, sie sei in der Sache nicht zuständig, worauf der Beschwerdeführer wiederum um Erlass einer anfechtbaren Verfügung ersuchte. Die ESA liess ihn gleichentags wissen, dass sie keine Verfügung erlasse.
C.
C.a. Mit Eingabe vom 3. Juni 2019 beantragte der Beschwerdeführer dem Bundesverwaltungsgericht, die Verfügung der ESA vom 2. Mai 2019 sei aufzuheben, es sei festzustellen, dass die ESA für die Aufsicht über die Stiftung CIAS zuständig sei, und die ESA sei anzuweisen, seine Stiftungsaufsichtsbeschwerde vom 11. März 2019 materiell zu prüfen. Sodann ersuchte der Beschwerdeführer um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung.
C.b. Das Bundesverwaltungsgericht wies das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung mit Verfügung vom 21. November 2019 ab. Der Beschwerdeführer erhob dagegen Beschwerde, die das Bundesgericht guthiess (Urteil 5A_15/2020 vom 6. Mai 2020).
C.c. Mit Urteil vom 31. August 2020 wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde ab, soweit darauf eingetreten werden konnte. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wurde gutgeheissen.
D.
Der Beschwerdeführer erneuert mit Eingabe vom 8. Oktober 2020 vor Bundesgericht seine Rechtsbegehren auf Feststellung, dass die ESA für die Aufsicht über die Stiftung CIAS zuständig sei, und auf Anweisung an die ESA, seine Stiftungsaufsichtsbeschwerde vom 11. März 2019 materiell zu prüfen. Er beantragt, eventuell die Sache zu neuer Beurteilung und Entscheidung an das Bundesverwaltungsgericht zurückzuweisen und ihm für das Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Es seien sämtliche Akten beizuziehen. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil betrifft die Aufsicht über eine Stiftung (<ref-law>) und unterliegt - mit der hier nicht gegebenen Ausnahme der Aufsicht über Vorsorge- und Freizügigkeitseinrichtungen - als öffentlich-rechtlicher Entscheid, der in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht steht, der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 4 BGG). Es geht um eine vermögensrechtliche Angelegenheit (<ref-ruling> E. 1.3 S. 267), deren Streitwert den für die Beschwerde in Zivilsachen vorausgesetzten Mindestbetrag von Fr. 30'000.-- überschreitet (<ref-law>; zit. Urteil 5A_15/2020 E. 1.2). Geurteilt hat das Bundesverwaltungsgericht (<ref-law>) zum Nachteil des Beschwerdeführers (<ref-law>) über die Beschwerde gegen die ESA, die es mangels Zuständigkeit abgelehnt hat, die Stiftungsaufsichtsbeschwerde des Beschwerdeführers zu behandeln, und die damit das Verfahren abgeschlossen hat (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 172). Die - im Weiteren fristgerecht erhobene (<ref-law>) - Beschwerde ist zulässig. Soweit zur Begründung der Begehren teilweise auf die Eingabe vor Bundesverwaltungsgericht verwiesen wird (S. 27 Rz. 78 der Beschwerdeschrift), kann darauf nicht eingetreten werden. Die Begründung hat in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.3 S. 145; <ref-ruling> E. 2 S. 116).
2.
2.1. In ihrer E-Mail vom 2. Mai 2019 hat die ESA festgehalten, dass sie in der Sache nicht zuständig sei. Zuständig für die Behandlung der Beschwerde sei die AS-SO als für die Stiftung zuständige Aufsichtsbehörde (Beilagen 4 und 5 der Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht).
2.2.
2.2.1. Das Bundesverwaltungsgericht hat es als fraglich bezeichnet, ob der Beschwerdeführer materiell beschwert sei, sei doch lediglich umstritten, welche Aufsichtsbehörde für die Behandlung der Aufsichtsbeschwerde zuständig sei. Die kantonale Aufsichtsbehörde habe die Stiftungsaufsichtsbeschwerde entgegengenommen und ihre Zuständigkeit zu deren Behandlung ausdrücklich bejaht. Gleichwohl insistiere der Beschwerdeführer auf der Zuständigkeit der ESA. Inwiefern er durch diese Frage besonders berührt sei und welchen konkreten Nutzen er daraus ziehen könnte, dass es die ESA und nicht die kantonale Aufsichtsbehörde sei, die seine Aufsichtsbeschwerde materiell beurteile, habe er indessen weder dargetan noch sei es für das Gericht ersichtlich. Ob die materielle Beschwerdelegitimation gegeben sei, sei daher mehr als zweifelhaft (E. 1.2 S. 6 und E. 2.9 S. 11), könne indessen offen gelassen werden, denn selbst wenn sie gegeben und auf die Beschwerde einzutreten wäre, wäre diese abzuweisen, wie nachfolgend darzulegen sei (E. 1.4 S. 6).
2.2.2. Zu den Beschwerdebegehren hat das Bundesverwaltungsgericht festgehalten, indem der Beschwerdeführer auf der Zuständigkeit der ESA insistiere, verlange er damit, auch wenn er dies selbst nicht ausdrücklich so formuliere, faktisch einen Wechsel der Aufsicht über die Stiftung CIAS von der seit deren Errichtung zuständigen kantonalen Aufsichtsbehörde zur ESA (E. 2.6 S. 10 und E. 2.9 S. 11).
2.2.3. Die Frage der Zuständigkeit einer Aufsichtsbehörde, so hat das Bundesverwaltungsgericht ausgeführt, sei gerichtlich klärbar, nämlich durch eine Beschwerde gegen die Verfügung der Aufsichtsbehörde, die Aufsicht über die Stiftung zu übernehmen (E. 2.7 S. 10 i.V.m. E. 2.4 S. 9). Werde die Übernahmeverfügung nicht angefochten, so könne sie in formelle Rechtskraft erwachsen und sei in einem erneuten Verfahren als materiell rechtskräftig beurteilte und damit verbindlich entschiedene Vorfrage einzustufen. Anders als im Zivilprozess sei die materielle Rechtskraftwirkung im Verwaltungsverfahren nicht auf diejenigen Personen beschränkt, die am erstinstanzlichen Verfahren effektiv teilgenommen hätten, sondern erstrecke sich auch auf alle weiteren Personen, die legitimiert gewesen wären, die Verfügung mit Beschwerde anzufechten (E. 2.8 S. 11). Dass die kantonale Aufsichtsbehörde die Aufsicht über die CIAS übernommen habe, sei am 11. Mai 2000 im Handelsregister bzw. im Schweizerischen Handelsamtsblatt SHAB veröffentlicht worden. Die Übernahmeverfügung sei nicht angefochten worden. Der Beschwerdeführer habe in seiner Berufung vom 14. Dezember 2018 die Gewährung von unentgeltlicher Rechtspflege durch die Stiftung CIAS beantragt und daher spätestens zu diesem Zeitpunkt den Status eines potenziellen Destinatärs erlangt. Nachdem er selber potenzieller Destinatär der Stiftung CIAS geworden sei, hätte er die Übernahmeverfügung innert angemessener Frist anfechten müssen, um zu verhindern, dass sie auch ihm gegenüber in formelle Rechtskraft erwachse und materielle Rechtskraft erlange. Dies habe er indessen unbestrittenermassen nicht getan. Es sei folglich davon auszugehen, dass die Übernahme der Aufsicht über die Stiftung CIAS durch die Übernahmeverfügung der kantonalen Aufsichtsbehörde auch dem Beschwerdeführer gegenüber materiell rechtskräftig sei, weshalb die ESA zu Recht ihre Zuständigkeit verneint und die materielle Behandlung der Stiftungsaufsichtsbeschwerde abgelehnt habe (E. 2.10 S. 12). Die Beschwerde erweise sich daher als unbegründet und sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei (E. 3 S. 13 des angefochtenen Urteils).
2.3.
2.3.1. Eine Verletzung von <ref-law> erblickt der Beschwerdeführer darin, dass das Bundesverwaltungsgericht von ihm verlangt habe, er müsse einen konkreten praktischen Nutzen an der Klärung der Zuständigkeitsfrage nachweisen bzw. dartun. Die gesetzliche Regelung über die Zuständigkeit für die Stiftungsaufsicht sei objektiv-zwingend und damit formeller Natur, d.h. unabhängig von einem konkreten Nachteil, der dem Rechtsuchenden aus der Unzuständigkeit einer bestimmten Behörde erwachsen könnte. Es bestehe ein voraussetzungsloser Anspruch der Destinatäre auf Einhaltung der gesetzlichen Zuständigkeitsordnung, die von den verfahrensbeteiligten Behörden aufgrund des Legalitätsprinzips zu beachten sei. Davon abgesehen erwachse ihm aus der angeblichen Zuständigkeit der AS-SO anstelle der ESA tatsächlich ein konkreter unmittelbarer Nachteil, und er habe in seiner Beschwerdeschrift dargetan, dass die Aufsicht über die international tätige Stiftung CIAS durch die ESA anstelle der AS-SO geboten sei. Seine Vorbringen habe das Bundesverwaltungsgericht indessen nicht berücksichtigt (S. 15 ff. Rz. 42-57).
2.3.2. Im Hauptstreitpunkt wendet der Beschwerdeführer ein, die Unzuständigkeit der ESA lasse sich nicht damit begründen, er habe die Übernahmeverfügung der AS-SO nicht angefochten und müsse die materielle Rechtskraft der Übernahmeverfügung gelten lassen. Das Bundesverwaltungsgericht missachte damit den unumstrittenen Rechtsgrundsatz, dass Verfügungen anders als Zivilurteile nicht in materielle Rechtskraft erwüchsen. Damit stehe in Einklang, dass im Stiftungsrecht ein Wechsel der Aufsichtszuständigkeit jederzeit möglich sei. Hinzu komme, dass eine materielle Rechtskraftwirkung, wenn überhaupt, nur zwischen den gleichen Parteien in Frage käme, er selber aber weder Adressat der Übernahmeverfügung noch an deren Zustandekommen irgendwie beteiligt gewesen sei. Als widersprüchlich erscheine zudem, dass das Bundesverwaltungsgericht einerseits seine materielle Beschwerdelegitimation in der Frage der Aufsichtszuständigkeit bezweifle, ihm aber andererseits vorhalte, er habe die zuständigkeitsbegründende Übernahmeverfügung nicht angefochten und müsse sich deshalb deren materielle Rechtskraft entgegenhalten lassen. Die beiden Begründungen schlössen sich gegenseitig aus und seien auch in der Zwischenverfügung über die unentgeltliche Rechtspflege nicht erwähnt worden, in der das Bundesverwaltungsgericht die Aussichtslosigkeit seiner Begehren damit begründet habe, er müsse den Gerichtsweg und nicht den Beschwerdeweg beschreiten (S. 20 ff. Rz. 58-70).
2.3.3. Abschliessend legt der Beschwerdeführer dar, dass schweizweit, grenzüberschreitend oder im Ausland tätige Stiftungen immer der Aufsicht des Bundes unterstünden. Nach dem klaren Wortlaut von <ref-law> habe die entscheidende Behörde kein Ermessen hinsichtlich der Zuständigkeit für die Stiftungsaufsicht. Da die Regelung objektiv-zwingend sei, spiele eine Einigkeit zwischen der ESA und der AS-SO keine Rolle. Zuständig sei die ESA (S. 74 f. Rz. 71-75 der Beschwerdeschrift).
3.
3.1. Gemäss <ref-law> stehen die Stiftungen unter der Aufsicht des Gemeinwesens (Bund, Kanton, Gemeinde), dem sie nach ihrer Bestimmung angehören. Der Beschwerdeführer bestreitet die Aufsichtszuständigkeit der AS-SO. Er erneuert vor Bundesgericht sein Rechtsbegehren auf Feststellung, dass die ESA für die Aufsicht über die Stiftung CIAS zuständig sei. Wie vor Bundesverwaltungsgericht (E. 2.2.2 oben) beantragt der Beschwerdeführer damit sinngemäss eine Übertragung der Aufsicht über die Stiftung CIAS von der kantonalen Aufsichtsbehörde AS-SO an die Bundesaufsicht durch die ESA (vgl. zur Auslegung von Rechtsbegehren allgemein: <ref-ruling> E. 6.2 S. 622; <ref-ruling> E. 1.3 S. 317; für Feststellungsbegehren: Urteile 5A_1032/2019 vom 9. Juni 2020 E. 1.2; 5A_753/2018 vom 21. Januar 2019 E. 3.1 und E. 3.3.1).
3.2.
3.2.1. Stiftungen bedürfen der Eintragung in das Handelsregister (Art. 52 Abs. 1 und Art. 81 Abs. 2 ZGB). Der Handelsregistereintrag hat für die Erlangung der Rechtspersönlichkeit konstitutive Wirkung (<ref-ruling> E. 2a S. 19; <ref-ruling> E. 3d S. 141).
3.2.2. Am 1. Januar 2021 ist eine vollständige Überarbeitung des dreissigsten Titels des OR zum Handelsregister in Kraft getreten (Obligationenrecht [Handelsregisterrecht] Änderung vom 17. März 2017, AS 2020 957; Botschaft zur Änderung des Obligationenrechts [Handelsregisterrecht] vom 15. April 2015, BBl 2015 3617, S. 3626 Ziff. 1.2.4). In den Übergangsbestimmungen zur Änderung wird auf die Art. 1-4 SchlTZGB verwiesen. Es gilt folglich der Grundsatz, dass Tatsachen, die - wie hier - vor dem Inkrafttreten der Änderung im Handelsregister eingetragen wurden, dem bisherigen Recht unterstehen (vgl. Art. 1 SchlTZGB). Damit übereinstimmend regelt die ebenfalls überarbeitete Handelsregisterverordnung (HRegV; SR 221.411), dass Tatsachen, die vor dem Inkrafttreten dieser Verordnung beim Handelsregisteramt zur Eintragung angemeldet werden, altem Recht unterstehen (<ref-law>).
3.2.3. Der Eintrag der Stiftung im Handelsregister umfasst unter anderem die Stiftungsaufsichtsbehörde. Der geltende <ref-law> wie auch der bisherige Art. 103 aHRegV (in verschiedenen Fassungen, zuletzt AS 2005 4557) sahen zum Verfahren inhaltlich im Wesentlichen übereinstimmend vor, dass das Handelsregisteramt der seines Erachtens nach zuständigen Aufsichtsbehörde die Eintragung der Stiftung mitteilt und ihr eine Kopie der Stiftungsurkunde sowie einen Handelsregisterauszug übermittelt, dass die Aufsichtsbehörde die Übernahme bestätigt und eine Übernahmeverfügung erlässt, die es dem Handelsregisteramt zustellt, und dass das Handelsregisteramt die Aufsichtsbehörde in das Handelsregister einträgt. Bestehen Zweifel darüber, wer die Aufsicht ausüben wird, so wirkt das Handelsregisteramt auf eine Klärung der Zuständigkeit hin.
3.2.4. Die Aufsichtsbehörde ist an die Mitteilung des Handelsregisteramts nicht gebunden und entscheidet über ihre Zuständigkeit selbst. Bestätigt sie ihre Aufsichtszuständigkeit, erlässt sie die Übernahmeverfügung, auf die sich der Eintrag der Aufsichtsbehörde im Handelsregister stützt. Das Handelsregisteramt hat diesbezüglich keine Entscheidbefugnisse (vgl. zum früheren Verfahren: RIEMER, Berner Kommentar, 1975, N. 8 zu <ref-law>; vgl. zum heutigen Verfahren: RIEMER, Berner Kommentar, 2. Aufl. 2020, N. 12 zu <ref-law>; GRÜNINGER, Basler Kommentar, 6. Aufl. 2018, N. 6 f. zu <ref-law>; VEZ, Commentaire romand, 2010, N. 29 zu Art. 81 und N. 7 zu <ref-law>).
3.3.
3.3.1. Gemäss <ref-law> werden die Einträge ins Handelsregister im Schweizerischen Handelsamtsblatt elektronisch veröffentlicht und mit der Veröffentlichung wirksam. Die Einträge werden gleich mit der Veröffentlichung Dritten gegenüber wirksam und nicht mehr erst am folgenden Werktag, wie es der bisherige <ref-law> vorgesehen hatte (Botschaft, a.a.O., S. 3646 zu Art. 936a des Entwurfs). Nach dem bisherigen - hier anwendbaren (E. 3.2.2 oben) - <ref-law> (BS 2 199 S. 412) wurde eine Eintragung im Handelsregister gegenüber Dritten erst an dem nächsten Werktage wirksam, der auf den aufgedruckten Ausgabetag derjenigen Nummer des Schweizerischen Handelsamtsblattes folgt, in der die Eintragung veröffentlicht ist; dieser Werktag ist auch der massgebende Tag für den Lauf einer Frist, die mit der Veröffentlichung der Eintragung beginnt (massgebend auch für Stiftungen: RIEMER, a.a.O., N. 103 [1975] und N. 127 [2020] zu <ref-law>).
3.3.2. Wurde eine Tatsache ins Handelsregister eingetragen, so kann gemäss <ref-law> niemand einwenden, er habe sie nicht gekannt. Die Regelung entspricht dem bisherigen <ref-law>. Der Einwand, dass jemand einen veröffentlichten Eintrag des Handelsregisters nicht gekannt hat, ist ausgeschlossen (positive Publizitätswirkung). Der Gesetzgeber statuiert damit die Fiktion, dass der Registerinhalt allgemein bekannt ist (Botschaft, a.a.O., S. 3647 zu Art. 936b des Entwurfs). Der Grundsatz der positiven Publizitätswirkung kennt nach der Rechtsprechung zum bisherigen - hier anwendbaren (E. 3.2.2 oben) - <ref-law> (BS 2 199 S. 412) Ausnahmen und wird unter anderem durch das Gebot von Treu und Glauben eingeschränkt. Die Nichteinsicht in das Handelsregister schadet dem Gutgläubigen namentlich dann nicht, wenn die Gegenpartei Anlass zum guten Glauben an eine vom Registereintrag abweichende Rechtslage gegeben hat (Urteile 2A.162/2005 vom 10. Januar 2006 E. 4.3 zusammengefasst in: Schweizerische Zeitschrift für Sozialversicherung und berufliche Vorsorge, SZS 2006 S. 463 f.; 5A.4/2007 vom 11. Oktober 2007 E. 2.1 mit Hinweisen auf KÜNG, Berner Kommentar, 2001, N. 40 ff., und ECKERT, Basler Kommentar, 2002, [heute: 5. Aufl. 2016], N. 6 f., je zu <ref-law>; seither: VIANIN, Commentaire romand, 2. Aufl. 2017, N. 15 ff. zu <ref-law>).
3.3.3. Das Bundesgericht hat die Anwendbarkeit der Grundsätze auf Änderungen des Stiftungszwecks bestätigt. Mit der Veröffentlichung im SHAB wird die von der Aufsichtsbehörde genehmigte Zweckänderung wirksam. Gleichzeitig beginnt die Frist zur Anfechtung der Genehmigungsverfügung zu laufen. Die Bestimmungen über die Wirksamkeit des Handelsregistereintrags gehen als lex specialis den allgemeinen Vorschriften über die Eröffnung einer Verfügung durch amtliche Publikation gemäss den Bestimmungen des Bundesgesetzes über das Verwaltungsverfahren (VwVG, SR 172.021) vor (zit. Urteile 2A.162/2005 E. 4.4; 5A.4/2007 E. 2.2).
3.3.4. Die Veröffentlichung im SHAB ist eine gerichtsnotorische Tatsache (<ref-ruling> E. 1.1.4 S. 384; <ref-ruling> E. 3.3 S. 297). Am 11. Mai 2000 wurde die Eintragung der AS-SO als kantonale Aufsichtsbehörde der Stiftung CIAS im SHAB veröffentlicht. Mit der Veröffentlichung hat somit die Frist zur Anfechtung der Übernahmeverfügung zu laufen begonnen und war im Zeitpunkt der Beschwerdeeinreichung am 11. März 2019 längst abgelaufen. Eine besondere Vertrauensgrundlage, die zur gegenteiligen Annahme berechtigte, ist nicht ersichtlich. Sie wird vom Beschwerdeführer, dem entsprechende Vorbringen oblegen hätten, auch nicht behauptet.
3.4. Die Rechtsprechung behält die Nichtigkeit der Verfügung vor (zit. Urteile 2A.162/2005 E. 4.4; 5A.4/2007 E. 2.3). Mängel, die die Übernahmeverfügung als nichtig erscheinen liessen, sind indessen nicht ersichtlich (vgl. zum Begriff der Nichtigkeit: <ref-ruling> E. 4 S. 438). Die Zuständigkeitsregelung in <ref-law> hat zwar objektiv-zwingenden Charakter (<ref-ruling> E. 4a S. 379), wie der Beschwerdeführer zutreffend hervorhebt, doch sind auch besondere Verhältnisse zu berücksichtigen und Zweckmässigkeitsüberlegungen massgebend, die allesamt dem örtlichen Bezug in irgendeiner Weise Rechnung tragen wollen (<ref-ruling> E. 3 S. 376). Den Behörden bleibt in der Zuständigkeitsfrage ein Ermessensspielraum (RIEMER, a.a.O., N. 5 [1975] und N. 9 [2020] zu <ref-law>; GRÜNINGER, a.a.O., N. 6 zu <ref-law>; THOMAS SPRECHER, Stiftungsrecht, 2017, S. 36), und es ist nicht ausgeschlossen, dass unter bestimmten Voraussetzungen ein Kanton die Aufsicht über eine international tätig Stiftung übernehmen kann (ALVAR SPRING, Der Inhalt einer Stiftungsurkunde, 1995, S. 10/11; RIEMER, a.a.O., N. 16 [1975] und N. 20 [2020] zu <ref-law>). Mit Blick darauf kann die Übernahmeverfügung der kantonalen Stiftungsaufsichtsbehörde AS-SO nicht als nichtig bezeichnet werden.
3.5. Der Beschwerdeführer hat im vorinstanzlichen Verfahren eingewendet, die Eintragung der Stiftungsaufsichtsbehörde im Handelsregister sei rein deklaratorisch. In der Lehre findet sich die Aussage, der Eintrag der Aufsicht im Handelsregister sei nicht konstitutiv (SPRECHER, a.a.O., S. 38). Dass eine Eintragung im Handelsregister deklaratorisch wirkt, ist indessen die Regel und schliesst andere Wirkungen wie insbesondere registerrechtliche nicht aus (PETER GAUCH, Von der Eintragung im Handelsregister, ihren Wirkungen und der negativen Publizitätswirkung, in: Schweizerische Aktiengesellschaft, SAG 48/1976 S. 139 ff., S. 142). Auch ein nicht konstitutiver Eintrag erzeugt die mit der Funktion des Handelsregisters verbundene Publizitätswirkung gegenüber Dritten (<ref-ruling> E. 3a S. 288; <ref-ruling> E. 5a S. 445). Der Einwand des Beschwerdeführers ist folglich unberechtigt.
3.6. Aus den dargelegten Gründen kann im Ergebnis nicht beanstandet werden, dass die ESA die beantragte Feststellung abgelehnt und das Bundesverwaltungsgericht die dagegen erhobene Beschwerde abgewiesen hat.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer erneuert vor Bundesgericht sein Begehren, die ESA habe seine Stiftungsaufsichtsbeschwerde vom 11. März 2019 materiell zu prüfen. Eine allfällige Prüfungszuständigkeit der ESA setzte deren Aufsichtszuständigkeit für die Stiftung CIAS voraus. Die ESA müsste folglich ihre Aufsichtszuständigkeit als Vor- bzw. Eintretensfrage prüfen und bejahen können.
4.2. Der ESA hat ein Handelsregistereintrag vorgelegen, der die AS-SO als zuständige Stiftungsaufsichtsbehörde ausweist und sich auf eine unangefochten gebliebene Übernahmeverfügung stützt. Darüber hätte die ESA nur dann hinwegsehen dürfen, wenn der Eintrag im Handelsgericht nichtig wäre (vgl. GULDENER, Grundzüge der freiwilligen Gerichtsbarkeit der Schweiz, 1954, S. 68 ff. Ziff. III; GRISEL, Traité de droit administratif, vol. I, 1984, S. 190; MOOR/FLÜCKIGER/MARTENET, Droit administratif, vol. I, 3. Aufl. 2012, S. 574; aus der Rechtsprechung z.B. <ref-ruling> E. 3 S. 151; <ref-ruling> E. 3 S. 44). Die Voraussetzung ist vorliegend nicht erfüllt (E. 3.4 oben). Es kann deshalb nicht beanstandet werden, dass die ESA ihre Zuständigkeit abgelehnt hat.
4.3. Der Beschwerdeführer übersieht, dass die ESA keine Oberaufsicht über die kantonalen Stiftungsaufsichtsbehörden zukommt; die Aufsichtsbehörden sind koordiniert, nicht subordiniert (SPRECHER, a.a.O., S. 36; RIEMER, a.a.O., N. 12 und N. 133 [1975] sowie N. 16 [2020] zu <ref-law>). Zur Wahrung seiner Rechte genügt es, dass der Beschwerdeführer an die im Handelsregister eingetragene Stiftungsaufsichtsbehörde AS-SO gelangen kann, wie er es auch getan hat (S. 12 Rz. 27 der Beschwerdeschrift). Soweit sie seine Legitimation bejaht, wird die AS-SO folglich ihre eigene Zuständigkeit prüfen und gegebenenfalls eine Übertragung der Aufsicht auf den Bund veranlassen können (vgl. RIEMER, a.a.O., N. 11 [1975] und N. 15 [2020] zu <ref-law>; GRÜNINGER, a.a.O, N. 6 zu <ref-law>; VEZ, a.a.O., N. 7 zu <ref-law>; SPRECHER, a.a.O., S. 37; SPRING, a.a.O., S. 11). Ihr Entscheid unterliegt den Rechtsmitteln bis zuletzt an das Bundesgericht. Ihm ist nicht vorzugreifen.
4.4. Dass die ESA die Stiftungsaufsichtsbeschwerde des Beschwerdeführers materiell nicht geprüft und das Bundesverwaltungsgericht die dagegen erhobene Beschwerde abgewiesen hat, erweist sich aus den dargelegten Gründen im Ergebnis nicht als bundesrechtswidrig.
5.
Insgesamt muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschwerdeführer wird damit kosten-, hingegen nicht entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 3 BGG). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann entsprochen werden, da die Bedürftigkeit ausgewiesen, von fehlenden Erfolgsaussichten nicht auszugehen und die anwaltliche Vertretung geboten ist (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Der Beschwerdeführer hat der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn er später dazu in der Lage ist (<ref-law>). Der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers hat seine Kostennote eingereicht (Beschwerde-Beilage Nr. 13; vgl. Art. 10 und Art. 12 des Reglements über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht, SR 173.110.210.3).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Dr. Thilo Pachmann als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Rechtsanwalt Dr. Thilo Pachmann wird aus der Bundesgerichtskasse mit insgesamt Fr. 4'500.-- entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Eidgenössischen Departement des Innern (Eidgenössische Stiftungsaufsicht) und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. März 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: von Roten