Sachverhalt:
A.
Die 1951 geborene A._ war als Berufs- und Fachschullehrerin bei der Direktion B._ angestellt und damit bei der HDI Global SE (HDI) gegen die Folgen von Unfällen versichert. Gemäss Bagatellunfallmeldung vom 11. November 2015 war sie am 14. September 2015 beim Treppensteigen mit Schulmaterial in den Händen ausgerutscht und vornüber gestürzt. Laut Zeugnis der erstbehandelnden Ärztin, Dr. med. C._, Fachärztin FMH für allgemeine Medizin, welche sie am 6. Oktober 2015 aufsuchte, verletzte sich die Versicherte bei der Abstützreaktion des rechten Armes am Oberarm. Die Unfallversicherung kam für die Heilbehandlung auf. In einer MRI-Untersuchung vom 19. Juli 2016 am Spital D._ fanden sich eine Arthrose im Schultereckgelenk (Akromioklavikulargelenk: ACG) mit Reizzustand, eine Impingementkonstellation, eine mindestens subtotale Ablösung der Supraspinatussehne vom Tuberculum majus und einer Retraktion bis 15 mm sowie Tendinopathien der Infraspinatussehne, der Subscapularissehne und der langen Bizepssehne. Der Vertrauensarzt der HDI, Dr. med. E._, Facharzt für innere Medizin FMH, hielt in seiner Stellungnahme vom 27. Oktober 2016 zusammenfassend fest, der Unfall habe nur eine vorübergehende Verschlimmerung einer degenerativ geschädigten Schulter bewirkt, welche spätestens Ende des Jahres 2015 abgeklungen sei. Gestützt darauf stellte die HDI mit Verfügung vom 13. Dezember 2016 ihre Versicherungsleistungen per 31. Dezember 2015 ein. Daran hielt sei auch auf Einsprache hin fest (Einspracheentscheid vom 23. November 2017).
B.
Das Obergericht des Kantons Uri wies die hiegegen geführte Beschwerde, mit welcher neben weiteren Leistungen der Unfallversicherung die Abgeltung zweier im Beschwerdeverfahren eingereichten ärztlicher Stellungnahmen des Dr. med. F._, Facharzt FMH für Chirurgie, vom 18. Januar 2018 und vom 16. September 2018 beantragt wurde, vollumfänglich ab.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, in Aufhebung des kantonalen Entscheides seien ihr die gesetzlichen Leistungen nach UVG auszurichten. Eventualiter sei die Sache zur Einholung eines medizinischen Gutachtens an die Beschwerdegegnerin zurückzuweisen. Zudem seien die Kosten der Berichte des Dr. med. F._ vom 18. Januar und vom 16. September 2018 der Beschwerdegegnerin zu überbinden.
Das Bundesgericht holte die vorinstanzlichen Akten ein. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht im Beschwerdeverfahren (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1 S. 236; <ref-ruling> E. 1.6 S. 280).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie die von der Beschwerdegegnerin verfügte Leistungseinstellung per 31. Dezember 2015 schützte. Im Zentrum steht dabei die Frage, ob auch die danach bestehenden Schulterbeschwerden kausal auf das Unfallereignis vom 14. September 2015 zurückzuführen sind.
3.
3.1. Das kantonale Gericht legte die massgebenden Bestimmungen und Grundsätze zum Erfordernis eines natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen dem schädigenden Ereignis und einem Gesundheitsschaden (<ref-ruling> E. 1 S. 438; <ref-ruling> E. 3.1 S. 181; <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 406) sowie zum Dahinfallen der Leistungspflicht bei Erreichen des Status quo sine vel ante, namentlich bei krankhaften Vorzuständen (Urteil U 61/91 vom 18. Dezember 1991 E. 4b, in: RKUV 1992 Nr. U 142 S. 75) zutreffend dar. Gleiches gilt für den im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 5b S. 360) und die beweisrechtlichen Anforderungen an ärztliche Berichte (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352). Darauf wird verwiesen.
3.2. Zu betonen ist, dass der Beweis des natürlichen Kausalzusammenhangs bzw. dessen Wegfallens in erster Linie mit den Angaben medizinischer Fachpersonen zu führen ist. Während bei der Frage, ob ein Kausalzusammenhang überhaupt jemals gegeben ist, die versicherte Person beweisbelastet ist, trägt die Unfallversicherung die Beweislast für einen behaupteten Wegfall der Kausalität aufgrund des Erreichens des Zustands, wie er vor dem Unfall bestand oder sich ohne diesen ergeben hätte (Status quo sine vel ante; Urteile 8C_523/2018 vom 5. November 2018 E. 3.2; 8C_198/2017 vom 6. September 2017 E. 3.2; 8C_331/2015 vom 21. August 2015 E. 2.1.1, in: SVR 2016 UV Nr. 18 S. 55; je mit Hinweisen). Dabei hat der Unfallversicherer nicht den Beweis für unfallfremde Ursachen zu erbringen; entscheidend ist allein, ob die unfallbedingten Ursachen eines Gesundheitsschadens ihre kausale Bedeutung verloren haben, also dahingefallen sind (Urteil U 180/93 vom 18. Juli 1994 E. 3b in: RKUV 1994 Nr. U 206 S. 329). Ebenso wenig geht es darum, vom Unfallversicherer den negativen Beweis zu verlangen, dass kein Gesundheitsschaden mehr vorliege oder dass die versicherte Person nun bei voller Gesundheit sei (Urteile 8C_523/2018 vom 5. November 2018 E. 3.2; U 290/06 vom 11. Juni 2007 E. 3.3, in: SVR 2008 UV Nr. 11 S. 34).
Bei Entscheiden gestützt auf versicherungsinterne ärztliche Beurteilungen, die im Wesentlichen oder ausschliesslich aus dem Verfahren vor dem Sozialversicherungsträger stammen, sind strenge Anforderungen an die Beweiswürdigung zu stellen: Bestehen auch nur geringe Zweifel an der Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit der ärztlichen Feststellungen, ist eine versicherungsexterne medizinische Begutachtung im Verfahren nach <ref-law> oder ein Gerichtsgutachten anzuordnen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 229; <ref-ruling> E. 4 S. 467 ff.).
4.
4.1. Die Vorinstanz hat die medizinischen Berichte über die Untersuchungen der Beschwerdeführerin sowie die Stellungnahmen aufgrund der Akten des Dr. med. E._ einerseits und des Dr. med. F._ andererseits einlässlich dargelegt. Sie hat die Beweise umfassend gewürdigt und festgestellt, die vorliegenden Befunde am rechten Schultergelenk seien nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit auf den Unfall vom 14. September 2015 zurückzuführen. Daran würden auch die von der Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren eingereichten medizinischen Stellungnahmen nichts ändern. Bezüglich des Unfallherganges stehe fest, dass die Versicherte beim Treppensteigen auf einem Papier ausgerutscht und mit einer Abstützreaktion des rechten Armes vornüber gestürzt sei. Damit sei mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt, dass kein Verletzungsmechanismus vorgelegen habe, welcher eine traumatische Rotatorenmanschettenruptur auslösen könne. Dies gelte auch entgegen den Ausführungen des Dr. med. F._ in seiner Stellungnahme vom 18. Januar 2018 und der von ihm darin zitierten Literatur (Leitlinien der Deutschen Gesellschaft für Orthopädie und Orthopädische Chirurgie, Stand März 2017, S. 7).
4.2. An der Beurteilung des kantonalen Gerichts, dass die von der Beschwerdeführerin angerufenen Berichte des Dr. med. F._ keine auch nur geringen Zweifel an der Einschätzung des Dr. med. E._ erweckten, vermögen auch die letztinstanzlich vorgebrachten Argumente nichts zu ändern.
4.2.1. Es genügt nicht, lediglich eine Stellungnahme eines eigenen Arztes vorzulegen, um ungeachtet ihres Inhalts bereits "geringe Zweifel" im Sinne von BGE <ref-ruling> E. 4.6 S. 471 zu begründen. Soweit auch nicht geringe Zweifel an der Richtigkeit der Schlussfolgerungen eines beratenden Arztes des Versicherungsträgers bestehen, sind sie zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 4.7 S. 471). Zwei sich widersprechende Gutachten im Rechtssinne liegen hier entgegen den Ausführungen in der Beschwerde nicht vor, weshalb kein Grund ersichtlich war, ein Gerichtsgutachten einzuholen. Das kantonale Gericht hat sich detailliert mit den verschiedenen medizinischen Ausführungen auseinandergesetzt und begründet, weshalb es auf diejenigen des Dr. med. E._ abstellte. Entscheidend ist nach den vorinstanzlichen Erkenntnissen dabei der Umstand, dass der Unfallmechanismus (Ausrutschen vornüber beim Treppensteigen) nicht geeignet war, eine Verletzung der hier zur Diskussion stehenden Art zu verursachen. Das gilt namentlich auch bezüglich der von der Beschwerdeführerin geltend gemachten "Abstützreaktion", also einer direkten Krafteinwirkung auf die Schulter. Selbst in der von Dr. med. F._ in seiner Stellungnahme vom 18. Januar 2018 angeführten Literatur, auf welche die Beschwerdeführerin hinweist, wird die Möglichkeit einer Rotatorenmanschettenruptur bei kraftvollem Abstützen nach einem Sturz nur in Zusammenhang mit einer "starken Verletzung der Schulter" erwähnt (a.a.O. S. 4). Von einer solchen konnte beim Ereignis vom 14. September 2015 jedoch nicht gesprochen werden. So wurde erst rund drei Wochen nach dem Sturz erstmals eine Ärztin aufgesucht (Erstkonsultation vom 6. Oktober 2015). Dr. med. C._ fand damals eine Schulterprellung und ausdrücklich keine Hinweise für eine Rotatorenmanschettenruptur. Die Vorinstanz hat sich auch mit diesem Vorbringen bereits eingehend auseinandergesetzt und ist zum Schluss gekommen, dass nach den überzeugenden Darlegungen des die Unfallversicherung beratenden Arztes die Befunde, welche für eine Unfallkausalität sprechen würden, fehlten. Schliesslich können auch die eigenen Hinweise der Beschwerdeführerin auf medizinische Literatur und in die daraus entnommenen Zitate und Ausführungen an den begründeten Feststellungen im angefochtenen Entscheid nichts ändern.
4.2.2. Auch der blosse Hinweis, dem Vertrauensarzt der Beschwerdegegnerin mangle es als Internist an Fachwissen bezüglich einer orthopädischen Fragestellung, weshalb auf seine Stellungnahme nicht abgestellt werden könne, vermag die vorinstanzlichen Feststellungen nicht zu entkräften. Das kantonale Gericht hat überzeugend dargelegt, weshalb die ärztlichen Stellungnahmen des Dr. med. E._ nachvollziehbar überzeugender sind als jene, die die Beschwerdeführerin eingereicht hat. Dabei hat die Vorinstanz im Rahmen ihrer obliegenden freien Beweiswürdigung alle ihr vorgelegten medizinischen Akten umfassend gewürdigt und daraus unter Berücksichtigung des Beweisgrades der überwiegenden Wahrscheinlichkeit bundesrechtskonforme Schlussfolgerungen getroffen. Für eine Abqualifikation bestimmter medizinischer Berichte besteht kein Raum (vgl. E. 3.1 hievor).
4.2.3. Nach der überzeugenden vorinstanzlichen Feststellung, wonach die Rotatorenmanschette auch nicht teilweise durch das Ereignis vom 14. September 2015 geschädigt wurde, muss die Unfallversicherung für deren ab Juni 2016 erfolgte Behandlung auch nicht aufkommen.
4.3. Die Kosten eines von einer versicherten Person veranlassten Gutachtens sind vom Versicherungsträger dann zu übernehmen, wenn sich der medizinische Sachverhalt erst aufgrund des neu beigebrachten Untersuchungsergebnisses schlüssig feststellen lässt und dem Sozialversicherer insoweit eine Verletzung der ihm im Rahmen des Untersuchungsgrundsatzes obliegenden Pflicht zur rechtsgenüglichen Sachverhaltsabklärung vorzuwerfen ist (RKUV 2004 Nr. U 503 S. 186, U 282/00, sowie SVR 2016 UV Nr. 24 S. 75, 8C_354/2015 E. 6.2 und Urteil 8C_200/2018 vom 26. November 2018 E. 6.4 mit Hinweis).
Die Stellungnahmen des Dr. med. F._ waren nicht notwendig zur Feststellung des massgebenden Sachverhalts, weshalb die Voraussetzungen einer Kostenübernahme durch die IV-Stelle nicht erfüllt sind. Der kantonale Entscheid ist auch diesbezüglich nicht zu beanstanden.
5.
Das Verfahren ist kostenpflichtig. Die unterliegende Versicherte hat die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Uri, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. Juli 2019
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Schüpfer