Sachverhalt:
A.
A.a. C._ (geb. 1998) leidet seit Jahren an erheblichen gesundheitlichen Problemen. Vom 28. Februar 2018 bis 27. August 2018 lebte sie im Wohnheim D._ in T._. Dem Austrittsbericht des Wohnheims D._ zufolge hatte C._ Phasen, während derer sie ihre Impulse nicht kontrollieren konnte. Es sei zu Strangulationen, Schlucken von Gegenständen, Ritzen an den Unterarmen, stundenlanges Schlagen der Hände, der Füsse und des Kopfes gegen Fenster, Türen und Fensterbretter gekommen.
A.b. In der Folge wurde C._ im Psychiatrischen Zentrum E._ in U._ fürsorgerisch untergebracht. Nach einer Anhörung bei der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Appenzell Ausserrhoden kehrte sie nicht wie abgemacht in ihr Zimmer im Psychiatrischen Zentrum E._ zurück, sondern begab sich zum Bahnhof U._, wo sie sich auf die Gleise setzte und schliesslich unter Polizeieinsatz in die Klinik zurückgebracht werden konnte, nachdem es zu Aggressionen gegen Personen und Sachen sowie zu weiteren suizidnahen Handlungen gekommen war.
A.c. Die fürsorgerische Unterbringung nach dem Konzept "F._" unter der Verantwortung des Vereins "G._" in V._, welche die KESB Appenzell Ausserrhoden am 16. November 2018 angeordnet hatte, musste am 21. November 2018 abgebrochen werden. Nachdem sie wiederholt ausrückte, um C._ vor Suizidversuchen zu retten, verbrachte die Polizei die Patientin ins Psychiatrische Zentrum E._ zurück. Die dortige ärztliche Leitung verfügte die Zurückbehaltung; am 22. November 2018 sprach der Psychiater Dr. med. H._ eine fürsorgerische Unterbringung aus. Eine dagegen erhobene Beschwerde von C._s Eltern, A._ und B._, wies das Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden am 5. Dezember 2018 ab.
A.d. Zwischen Dezember 2018 und April 2019 wurde C._ - teils mit ärztlicher Verfügung, teils mit Entscheid der KESB Appenzell Ausserrhoden - zur fürsorgerischen Unterbringung in die Psychiatrische Klinik in W._, in die Klinik I._ der Psychiatrischen Dienste Aargau, in die Psychiatrische Universitätsklinik X._, in die Klinik J._ in Y._ und in die Klinik K._ in Z._ eingewiesen. In diesen Institutionen verblieb C._ jeweils nur für kurze Zeit (einige Tage bis wenige Wochen), bis sie - infolge von Strangulationsversuchen, Verschlucken gefährlicher Gegenstände und anderen selbst- und fremdgefährdenden Verhaltensweisen - wieder zurück in die Akutabteilung des Psychiatrischen Zentrums E._ verlegt wurde.
B.
B.a. Nachdem sie sich bereits gegen frühere Entscheide betreffend die fürsorgerische Unterbringung ihrer Tochter bis vor Obergericht gewehrt hatten, stellten C._s Eltern am 24. April 2019 bei der KESB Appenzell Ausserrhoden erneut ein Gesuch, ihre Tochter aus dem Psychiatrischen Zentrum E._ zu entlassen und die fürsorgerische Unterbringung aufzuheben. Mit Kollegialentscheid vom 2. Mai 2019 wies die Behörde das Gesuch ab.
B.b. A._ und B._ erhoben darauf Beschwerde beim Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden. Dieses wies das Rechtsmittel ab und bestätigte den Entscheid der KESB Appenzell Ausserrhoden. Die begründete Fassung des obergerichtlichen Entscheids vom 21. Mai 2019 wurde am 29. Mai 2019 versandt.
C.
Mit Beschwerde vom 1. Juli 2019 wenden sich A._ und B._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Sie stellen das Begehren, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und C._ aus der fürsorgerischen Unterbringung im Psychiatrischen Zentrum E._ zu entlassen. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, jedoch keinen Schriftenwechsel angeordnet.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob die Eintretensvoraussetzungen gegeben sind (<ref-ruling> E. 1 S. 99; <ref-ruling> E. 1 S. 186).
2.
Der angefochtene Entscheid bestätigt die Abweisung des Gesuchs der Beschwerdeführer, die fürsorgerische Unterbringung für C._ aufzuheben und C._ aus dem Psychiatrischen Zentrum E._ zu entlassen. Das ist ein öffentlich-rechtlicher Entscheid in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG). Das Obergericht ist eine letzte kantonale Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin einen Endentscheid gefällt hat (Art. 75 und 90 BGG). Die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Von daher stünde die Beschwerde in Zivilsachen an sich offen.
3.
3.1. Nicht die von der fürsorgerischen Unterbringung Betroffene, sondern deren Eltern kämpfen vor Bundesgericht um die Aufhebung dieser Massnahme und die Entlassung der Tochter aus der Klinik. Gestützt auf <ref-law> können Personen, die der von einer Massnahme betroffenen Person nahe stehen, im kantonalen Verfahren gegen Entscheide der Erwachsenenschutzbehörde Beschwerde führen. Im Verfahren vor Bundesgericht richtet sich das Beschwerderecht hingegen ausschliesslich nach <ref-law> (Urteil 5A_18/2019 vom 6. Juni 2019 E. 3.1; 5A_318/2019 vom 25. April 2019 E. 2; 5A_1012/2017 vom 25. Juni 2018 E. 3.1; 5A_116/2017 vom 12. September 2017 E. 1.3; 5A_729/2015 vom 17. Juni 2016 E. 2.2.2; 5A_911/2015 vom 21. Januar 2016 E. 3.1; 5A_295/2015 vom 29. Juni 2015 E. 1.2.1; 5A_310/2015 vom 20. April 2015 E. 2; 5A_683/2013 vom 11. Dezember 2013 E. 1.2; kritisch zu dieser Rechtsprechung: PHILIPPE MEIER/ESTELLE DE LUZE, Le recours des proches au Tribunal fédéral en matière de protection de l'adulte - une Prozessstandschaft? in: Roland Fankhauser et al. [Herausgeber], Das Zivilrecht und seine Durchsetzung, Festschrift für Thomas Sutter-Somm, 2016, S. 847 ff., insbes. S. 855 ff.). Danach ist zur Beschwerde berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (Bst. a). Zusätzlich ist vorausgesetzt, dass die Beschwerde führende Person durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (Bst. b). Es ist Sache der Beschwerdeführer darzulegen, dass die gesetzlichen Legitimationsvoraussetzungen gegeben sind, es sei denn, dies ergebe sich ohne Weiteres aus dem angefochtenen Entscheid oder aus den Akten (<ref-ruling> E. 1.2 S. 539; <ref-ruling> E. 1 S. 556; s. jüngst etwa die Urteile 5A_18/2019 vom 6. Juni 2019 E. 1; 5A_956/2016 vom 19. Juni 2017 E. 1.3.3; 5A_310/2016 vom 3. März 2017 E. 1.2).
Das schutzwürdige Interesse setzt voraus, dass die Beschwerde führende Person einen praktischen Nutzen an der Gutheissung der Beschwerde hat, wobei dieser Nutzen materieller oder ideeller Natur sein kann (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 539 mit Hinweisen; Urteil 5A_295/2015 vom 29. Juni 2015 E. 1.2.1). Mit der Beschwerde geht es sodann nicht darum, Interessen Dritter geltend zu machen. Vorausgesetzt wird vielmehr ein eigenes schutzwürdiges Interesse der Beschwerde führenden Person (Urteile 5A_911/2015 vom 21. Januar 2016 E. 3.1; 5A_310/2015 vom 20. April 2015 E. 2; 5A_238/2015 vom 16. April 2015 E. 2). In seiner Rechtsprechung hat das Bundesgericht den Sohn für beschwerdeberechtigt erachtet, die Einweisung seiner Mutter in ein Alters- und Pflegeheim anzufechten, weil er die Mutter persönlich betreuen wollte (Urteil 5A_338/2015 vom 1. Juli 2015 E. 1.1). Hingegen hat das Bundesgericht das schutzwürdige Interesse der Tochter verneint, die sich gegen die fürsorgerische Unterbringung ihrer Mutter zur Wehr setzte (Urteil 5A_238/2015 vom 16. April 2015 E. 2). In gleicher Weise verneinte das Bundesgericht das schutzwürdige Interesse der Mutter, die sich dagegen zur Wehr setzte, dass ihrer Tochter ein Berufsbeistand bestellt wurde (Urteil 5A_345/2015 vom 3. Juni 2015 E. 1.2.2). Ebenso verneinte das Bundesgericht das schutzwürdige Interesse der Eltern, die ihr Beschwerderecht im Streit um die Absetzung des Beistands ihrer Tochter damit begründeten, dass ihnen der Beistand eine Entschädigung für ihre Dienste verweigerte, obwohl sie ihre volljährige Tochter, die infolge eines Verkehrsunfalls hilfsbedürftig war, vollzeitlich betreuten. Das Bundesgericht stellte klar, dass es sich hierbei um ein rein tatsächliches Interesse handelte, das sich nur indirekt aus der Situation der Tochter ergab und obendrein auf der blossen Mutmassung beruhte, ein anderer Beistand würde ihren Geldforderungen nachkommen (Urteil 5A_295/2015 vom 29. Juni 2015 E. 1.2.3.1).
3.2. Im konkreten Fall begründen die Beschwerdeführer ihr eigenes schutzwürdiges Interesse im Sinne von Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG zusammengefasst damit, dass die gegenwärtige Betreuung ihrer Tochter im Isolierzimmer des Psychiatrischen Zentrums E._ für sie kaum mehr zu ertragen ist und diese Belastung unter anderem dazu führte, dass sich die Beschwerdeführerin 2 selbst in ärztliche Behandlung begeben musste. Aufgrund dieser " (Ausnahme-) Situation" bestehe "ein materieller und vor allem ein ideeller Nutzen an der Aufhebung". Im Unterschied zu einer nahe stehenden Person, der aufgrund einer behördlichen Massnahme - direkt - die Möglichkeit abgeschnitten wird, ihren Angehörigen selbst zu betreuen, gründet das von den Beschwerdeführern geltend gemachte Interesse einzig im Umstand, dass sie als Eltern in einer besonderen Beziehung zur direkt betroffenen Tochter stehen und durch deren fürsorgerische Unterbringung ebenfalls berührt sind. Allein aus solch einem mittelbaren Interesse ergibt sich - bei allem Verständnis für die Singularität des vorliegenden Falles - kein eigenes Interesse der Beschwerdeführer, das im Sinne von Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG schutzwürdig wäre und sie zur Beschwerde an das Bundesgericht berechtigen würde. Gerade mit Blick auf C._s lange und leidvolle Krankengeschichte und die äusserst schwierige Suche nach einem geeigneten Rahmen für ihre Behandlung und Pflege kann im Übrigen auch nicht als gesichert gelten, dass mit ihrer Entlassung aus dem Psychiatrischen Zentrum E._ auch die schwere Belastung entfiele, mit der die Beschwerdeführer zu kämpfen haben. Auch unter diesem Gesichtspunkt eignet sich die Argumentation der Beschwerdeführer nicht dazu, den Nachteil darzulegen, der ihnen aus dem angefochtenen Entscheid erwächst und den sie mit der Gutheissung ihrer Beschwerde nicht erleiden würden.
4.
Nach dem Gesagten tritt das Bundesgericht nicht auf die Beschwerde ein. Im Übrigen würden die Beschwerdeführer mit ihrem Hauptantrag selbst dann nicht durchdringen, wenn sie zur Beschwerde berechtigt wären und ihre Beschwerde auch sonst zulässig wäre. Der angefochtene Entscheid legt ausführlich dar, weshalb das Psychiatrische Zentrum E._ in der gegebenen Ausnahmesituation zur vorübergehenden Unterbringung von C._ eine im Sinne von <ref-law> geeignete Einrichtung ist und weshalb bis zur Etablierung einer anderen Betreuungssituation auch erhebliche Freiheitsbeschränkungen in Kauf zu nehmen sind. Ebenso erklärt das Obergericht, weshalb mildere Massnahmen gestützt auf das ärztliche Gutachten von Dr. med. L._ vom 26. März 2019 und die Berichte der übrigen Psychiater im Moment realistischerweise nicht ersichtlich sind. Die Beschwerdeführer begnügen sich im Wesentlichen damit, dem angefochtenen Entscheid ihre Sicht der Sach- und Rechtslage gegenüber zu stellen. Insbesondere setzen sie sich auch nicht mit der vorinstanzlichen Erklärung auseinander, wonach laut ärztlichem Gutachten ein rein agogisches Vorgehen ohne ausreichende Sicherungsmassnahmen unzureichend und mit einer unmittelbaren Gefährdung von C._ sowie von Drittpersonen verbunden ist. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz mit dem abweisenden angefochtenen Entscheid Recht verletzt hätte.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens haben die Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Dem Gemeinwesen ist keine Entschädigung geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Appenzell Ausserrhoden, C._, dem Obergericht Appenzell Ausserrhoden, Einzelrichter, und M._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Juli 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn