Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt bestellte mit Verfügung vom 27. Februar 2018 Advokat B._ als amtliche Verteidigung von A._ in dem gegen ihn geführten Strafverfahren. Am 26. Juni 2018 ersuchte der amtliche Verteidiger um Entbindung von der amtlichen Verteidigung. Die Staatsanwaltschaft entliess den amtlichen Verteidiger mit Verfügung vom 27. Juni 2018 aus dem Amt und forderte A._ gleichzeitig auf, bis spätestens am 9. Juli 2018 einen neuen Verteidiger zu bezeichnen, ansonsten ihm die Staatsanwaltschaft einen neuen Verteidiger bestellen werde. Gegen diese Verfügung erhob A._ am 16. Juli 2018 Beschwerde. Er machte geltend, dass die Voraussetzungen einer notwendigen Verteidigung nicht gegeben seien und er sich selbst verteidigen wolle. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt wies die Beschwerde mit Entscheid vom 23. Oktober 2018 ab. Es führte zur Begründung zusammenfassend aus, dass gewisse Indizien für eine psychische Beeinträchtigung des Beschwerdeführers bestünden, weshalb die Staatsanwaltschaft eine psychiatrische Begutachtung angeordnet habe. Es bestünden begründete Zweifel, ob der Beschwerdeführer infolge seines psychischen Zustandes dazu in der Lage sei, seine Verteidigung ohne Anwalt wahrzunehmen, womit ein Fall der notwendigen Verteidigung gemäss <ref-law> vorliege. Ausserdem erscheine es nicht von vornherein ausgeschlossen, dass eine Freiheitsstrafe von mehr als einem Jahr ausgesprochen werden könnte, weshalb auch ein Fall einer notwendigen Verteidigung im Sinne von <ref-law> vorliege.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 4. Januar 2019 Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 23. Oktober 2018. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Auch wenn der Beschwerdeführer die Strafbarkeit seines Verhaltens anders beurteilt als die kantonalen Behörden, vermag er mit der Darstellung seiner Sicht der Dinge nicht nachvollziehbar aufzuzeigen, inwiefern das Appellationsgericht in rechts- bzw. verfassungswidriger Weise von einer notwendigen Verteidigung im Sinne von Art. 130 lit. b und c ausgegangen sein sollte. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>). Mit dem vorliegenden Entscheid ist das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos geworden.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Januar 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli