Sachverhalt:
A.
A._ (nachfolgend: der Steuerpflichtige) hat Wohnsitz in G._/SH. Er war Alleineigentümer der dort gelegenen Liegenschaft GB G._ Nr. xxxx. Mit Verfügung vom 6. August 2018 unterzog das Amt für Grundstückschätzungen des Kantons Schaffhausen (nachfolgend: die Bewertungsbehörde) die Liegenschaft einer Neubewertung. Diese führte zu einem Steuerwert von Fr. 483'000.-- und einem Eigenmietwert von Fr. 15'510.--. Dagegen erhob der Steuerpflichtige am 4. September 2018 Einsprache.
B.
Am 28. Februar 2019 kam es zu einer Einigungsverhandlung. Nachdem der Steuerpflichtige sich mündlich und schriftlich geäussert hatte, hob die Bewertungsbehörde die Verfügung vom 6. August 2018 auf. Mit neuer Verfügung vom 5. März 2019 setzte sie den Steuerwert auf Fr. 488'000.-- und den Eigenmietwert auf Fr. 15'290.-- fest. Die Einsprache des Steuerpflichtigen vom 28. März 2019 blieb erfolglos: Mit Einspracheentscheid vom 29. April 2019 bestätigte die Bewertungsbehörde den Steuer- und den Eigenmietwert gemäss Verfügung vom 28. Februar 2019 und legte sie den Verkehrswert auf Fr. 676'000.-- fest.
C.
C.a. Der Steuerpflichtige erhob am 28. Mai 2019 beim Obergericht des Kantons Schaffhausen Rekurs, wobei er beantragte, der Steuerwert und der Eigenmietwert seien auf ein "reelles Niveau" herabzusetzen. Auf Ersuchen des Steuerpflichtigen gab das Obergericht am 16. Oktober 2020 die Zusammensetzung des Spruchkörpers bekannt. Dieser setzte sich aus Oberrichter B._, Vizepräsidentin C._ und Oberrichter D._ sowie dem Gerichtsschreiber E._ zusammen. Mit Eingabe vom 28. Oktober 2020 beantragte der Steuerpflichtige, soweit hier interessierend, den Ausstand von Vizepräsidentin C._. Präsidentin F._ wies das Gesuch mit Entscheid 95/2020/30/A vom 6. November 2020 ab, soweit darauf einzutreten war. Dieser Entscheid erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
C.b. Der Steuerpflichtige hatte sein Ausstandsgesuch damit begründet, dass Vizepräsidentin C._ einzelrichterlich einen Beschwerdeentscheid betreffend Nichtanhandnahme des von ihm angestrengten Strafverfahrens gefällt habe. Präsidentin F._ erwog, der einzelrichterliche Entscheid vom 7. Januar 2020 habe eine Strafanzeige des Steuerpflichtigen gegen den Leiter der Bewertungsbehörde zum Inhalt gehabt. Der Steuerpflichtige habe die Strafanzeige im Zusammenhang mit der streitbetroffenen Bewertung seiner Liegenschaft erstattet und dabei geltend gemacht, Vizepräsidentin C._ habe sich ihre Meinung zu einem der beiden Aspekte der Hauptsache bereits gebildet. Konkret habe sie angedeutet, dass die neue Bewertung "schon mehr oder weniger [ihre] Richtigkeit habe".
C.c. Dabei übersehe der Steuerpflichtige, so Präsidentin F._, dass im Beschwerdeentscheid vom 7. Januar 2020 ausdrücklich festgehalten worden sei, dass die Nichtanhandnahme des Strafverfahrens unabhängig von der Hauptsache zu bestätigen sei. Zudem sei der Steuerpflichtige darauf hingewiesen worden, dass die im Rahmen der Neubewertung zu berücksichtigenden Faktoren nicht im Rahmen des strafrechtlichen Beschwerdeverfahrens, sondern im abgaberechtlichen Rechtsmittelverfahren zu klären seien. Weitere Äusserungen zur Hauptsache liessen sich, so Präsidentin F._ weiter, dem Entscheid vom 7. Januar 2020 nicht entnehmen. Folglich könne keine Rede davon sein, dass die Vizepräsidentin sich damals zur Hauptsache bereits festgelegt bzw. überhaupt inhaltlich dazu Stellung genommen habe. Das Ausstandsgesuch erweise sich als unbegründet. Es könne daher auch offenbleiben, ob das am 28. Oktober 2020 erhobene Ausstandsgesuch rechtzeitig ("unverzüglich") gestellt worden sei, nachdem die Gerichtsbesetzung im Verfahren Nr. 66/2019/10 dem Steuerpflichtigen mit Schreiben vom 16. Oktober 2020 bekanntgegeben worden sei.
D.
In der Hauptsache hiess das Obergericht des Kantons Schaffhausen den Rekurs des Steuerpflichtigen mit Entscheid 66/2019/10 vom 11. Juni 2021 teilweise gut, soweit darauf einzutreten war. Die Sache wurde im Sinne der Erwägungen zu neuem Entscheid an die Bewertungsbehörde zurückgewiesen. Am Entscheid wirkten Oberrichter B._, Vizepräsidentin C._ und Oberrichter D._ mit. Das Obergericht verwies im Sachverhalt seines Urteils kurz auf den seinerzeitigen Ausstandsentscheid vom 6. November 2020. Im Übrigen bildete die Mitwirkung von Vizepräsidentin C._ kein Thema mehr. In der Sache selbst erkannte das Obergericht, die Bewertungsbehörde habe in mehrerlei Hinsicht gegen den Anspruch des Steuerpflichtigen auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verstossen. Neben der Begründungs- habe sie auch ihre Aktenführungs- und Protokollierungspflicht verletzt. Es bleibe der Bewertungsbehörde überlassen, ob sie einen neuen Schätzungsentscheid fällen oder am angefochtenen Einspracheentscheid, mit rechtsgenüglicher Begründung, festhalten wolle (angefochtener Entscheid E. 8). Entsprechend liege eine Rückweisung der Sache mit noch offenem Ausgang vor (angefochtener Entscheid E. 9).
E.
E.a. Der Steuerpflichtige scheint aufgrund eines Kontakts bei einer weiteren Behörde erfahren zu haben, dass er sich auf einer Liste von Personen mit Gefährdungspotential befinde (vgl. Schreiben des Polizeikommandos des Kantons Schaffhausen vom 31. Mai 2021 an den Steuerpflichtigen). In der Folge erhob der Steuerpflichtige bei der Kantonspolizei ein Gesuch um Akteneinsicht. Die Kantonspolizei, Arbeitsgruppe Bedrohungsmanagement (POGEV), kam dem Gesuch am 14. Juni 2021 nach und überliess dem Steuerpflichtigen diverse Unterlagen (vgl. Schreiben der Sicherheitspolizei vom selben Tag an den Steuerpflichtigen). Dem Steuerpflichtigen wurde insbesondere auch ein Eintrag in der Datenbank zugänglich gemacht, wobei es sich um einen Protokollauszug vom 17. Juni 2019 handelte. Der Eintrag lautete wie folgt:
"Antrag um Aufnahme von A._
Seit einem Jahr ist A._ regelmässiger Kunde bei der [Staatsanwaltschaft]. Er lehnt jegliche Art von staatlicher Autorität ab, verhält sich massivst drohen[d] und gewaltbereit. Er ist vor kurzer Zeit beim Obergericht erschienen und hat die dortigen Mitarbeiterinnen aufs Übelste beschimpft. Er ist verzeichnet wegen Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte. Die Staatsanwaltschaft ist der Meinung, dass er sehr gewaltbereit ist und ein Alkoholproblem hat. C._ teilt diese Auffassung vollumfänglich. Die Arbeitsgruppe erteilt den Auftrag, den Personenstamm inkl. der dazugehörigen Unterlagen in der Datenbank zu [e]röffnen. Anschliessend können die Mitglieder der [Arbeitsgruppe] per Mail informiert und [gemäss] Reglement um Genehmigung ersucht werden."
E.b. Mit Schreiben vom 14. Juni 2021 (Poststempel: 15. Juni 2021) gelangte der Steuerpflichtige an Präsidentin F._ und Oberrichter B._. Darin bezog er sich auf die gewonnenen Erkenntnisse über den Eintrag in der Datenbank der POGEV und erhob er "nochmals Einsprache" gegen die "Einsitznahme" der Vizepräsidentin, dies "wegen Befangenheit". Er machte geltend, er werde seit Jahren in der Datenbank als Gefährder geführt. Die Vizepräsidentin C._ teile die Auffassung, die zum Eintrag geführt habe, obwohl sie ihn gar nicht kenne. Die Vizepräsidentin habe "mittels übler Nachrede mitgeholfen", dass er sich in dieser Datenbank befinde, und dennoch befinde sie sich im Spruchkörper, der über seinen Rekurs zu befinden habe.
E.c. Das Obergericht des Kantons Schaffhausens beantwortete das Ausstandsgesuch mit Schreiben vom 17. Juni 2021 dahingehend, dass der vorgebrachte Ausstandsgrund als nach Abschluss des Verfahrens entdeckt gelte. Da die Beschwerdefrist ans Bundesgericht noch nicht verstrichen sei, sei der Ausstandsgrund grundsätzlich mit Beschwerde an das Bundesgericht geltend zu machen. Das Obergericht berief sich dabei auf das Urteil 2C_455/2020 vom 2. Dezember 2020, mittlerweile publiziert in: <ref-ruling>.
F.
F.a. Mit Eingabe vom 16. Juli 2021 erhebt der Steuerpflichtige beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Auch er beruft sich auf <ref-ruling>. Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und der Rekurs vom 28. Mai 2019 sei gutzuheissen (Antrag 1). Eventualiter sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zur erneuten Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen (Antrag 2). Die Vorinstanz sei dabei anzuweisen, über den Rekurs vom 28. Mai 2019 ohne Beizug von Vizepräsidentin C._ zu entscheiden (Antrag 3). Vizepräsidentin C._ sei rückwirkend ab dem 17. Juni 2019 in den Ausstand zu versetzen (Antrag 4).
F.b. Die Begründung des Steuerpflichtigen geht dahin, dass Vizepräsidentin C._, wie aus dem Protokollauszug vom 17. Juni 2019 hervorgehe, die Meinung der Staatsanwaltschaft teile, wonach er sehr gewaltbereit sei und an einem Alkoholproblem leide. Unklar sei, so der Steuerpflichtige, ob die Vizepräsidentin sich auch den weiteren Einschätzungen der Staatsanwaltschaft - Ablehnung staatlicher Autorität, massivst drohend und gewaltbereites Auftreten - anschliesse. Im Zweifel müsse angenommen werden, dass die Vizepräsidenten in allen Teilen gleicher Meinung wie die Staatsanwaltschaft sei. Die Eintragung in der Datenbank trage das Datum vom 17. Juni 2019. Wenig zuvor, am 28. Mai 2019, habe er seinen Rekurs eingereicht. Die nahe zeitliche Abfolge wecke den Verdacht, dass die Vizepräsidentin eine "äusserst negative Meinung" über ihn gewonnen habe, bevor es zur Beurteilung der Hauptsache gekommen sei. Die Vizepräsidentin hätte, so der Steuerpflichtige abschliessend, am streitbetroffenen Verfahren nicht mitwirken dürfen.
G.
Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (<ref-law> [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen, insbesondere von einem Schriftenwechsel (<ref-law>), abgesehen.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 und Art. 100 Abs. 1 BGG in Verbindung mit Art. 73 StHG [SR 642.14]) sind unter Vorbehalt des Nachfolgenden gegeben. Wie es sich mit der Qualifikation des angefochtenen Entscheids und insbesondere der Legitimation verhält, bleibt detailliert zu prüfen (hinten E. 2).
1.2. Das Bundesgericht wendet das Bundesgesetzesrecht von Amtes wegen an (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.2) und prüft es mit uneingeschränkter (voller) Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1).
2.
2.1. Das Bundesgericht soll sich der Konzeption nach nur einmal mit derselben Angelegenheit befassen müssen und diese dabei abschliessend beurteilen können (<ref-ruling> E. 1.2). Die Beschwerde ist daher grundsätzlich nur zulässig gegen Entscheide, die das Verfahren ganz oder teilweise abschliessen (End- oder Teilentscheide gemäss Art. 90 und 91 BGG). Gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist die Beschwerde nur unter den Voraussetzungen von Art. 92 Abs. 1 bzw. <ref-law> zulässig.
2.2.
2.2.1. Der Steuerpflichtige bezweckt mit seiner Beschwerde einzig die Versetzung von Vizepräsidentin C._ in den Ausstand; die Hauptsache erfährt in seiner Eingabe keine Behandlung. Was den angefochtenen Entscheid betrifft, so lässt sich diesem zum Ausstand von Vizepräsidentin C._ nichts entnehmen. Die Vorinstanz hatte sich dazu auch gar nicht zu äussern, war der Ausstandspunkt zu diesem Zeitpunkt doch rechtskräftig geklärt. Das (erste) Ausstandsgesuch vom 28. Oktober 2020 hatte das Obergericht am 6. November 2020 einzelrichterlich abgewiesen, worauf es unangefochten in Rechtskraft erwuchs (Sachverhalt, lit. C.a). Insofern durfte Vizepräsidentin C._ am Entscheid in der Hauptsache mitwirken.
2.2.2. Der angefochtene Entscheid erging dann am 11. Juni 2021, wobei das Obergericht die Beschwerde teilweise guthiess, soweit darauf einzutreten war und die Sache an die Vorinstanz zurückwies (Sachverhalt, lit. D). Das Schreiben der Arbeitsgruppe Bedrohungsmanagement (POGEV) trägt das Datum vom 14. Juni 2021 (Sachverhalt, lit. E.a). Es entstand also nach der obergerichtlichen Entscheidfindung. Der Steuerpflichtige gelangte am folgenden Tag an das Obergericht (Sachverhalt, lit. E.b), das dem Steuerpflichtigen unter Hinweis auf <ref-ruling> beschied, der Ausstandsgrund sei, da die Beschwerdefrist noch laufe, mit Beschwerde an das Bundesgericht zu rügen (Sachverhalt, lit. E.c). Dieser Auskunft ist der Steuerpflichtige, nunmehr anwaltlich vertreten, nachgekommen (Sachverhalt, lit. F.a).
2.2.3. Die Vorinstanz hat, wie dargelegt, über das (zweite) Ausstandsgesuch vom 14. Juni 2021 nicht entschieden (bzw. gar nicht darüber entscheiden können), sondern den Steuerpflichtigen auf den Beschwerdeweg an das Bundesgericht verwiesen. Dem Bundesgericht liegt damit kein Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> vor, der selbständig anfechtbar wäre. Angefochten ist vielmehr ein Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law>. Unter den gegebenen Voraussetzungen ist dieser weder unter dem Aspekt des nicht wieder gutzumachenden Nachteils (lit. a; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.3) noch der Abkürzung des Verfahrens (lit. b; <ref-ruling> E. 2.2) selbständig anfechtbar.
2.2.4. Es fragt sich, ob aus dem Urteil 2C_455/2020 vom 2. Dezember 2020, nunmehr publiziert in <ref-ruling>, etwas anderes hervorgehe. Diesem Leitentscheid zufolge kann ein Ausstandsgrund erstmals in der Beschwerde vor Bundesgericht geltend gemacht werden, wenn er erst nach der Fällung des letztinstanzlichen kantonalen Urteils, aber vor Ablauf der Beschwerdefrist beim Bundesgericht entdeckt wird (so schon <ref-ruling> E. 3.4, der den Bereich des Zivilrechts betroffen hatte). Dasselbe treffe auf das kantonale öffentliche Recht zu, falls die Sache eine Beurteilung unter dem Gesichtspunkt von <ref-law> erlaube. Denn unter diesen Vorzeichen sei die bundesgerichtliche Kognition nicht beschränkt, sodass die Verkürzung des Instanzenzugs unschädlich sei (<ref-ruling> E. 3 und 4).
2.2.5. Die Vorinstanz und mit ihr der Steuerpflichtige erachten die vorliegende Beschwerde als zulässig, weil dies, wie sie annehmen, aus der jüngsten bundesgerichtlichen Rechtsprechung hervorgehe (<ref-ruling>). Im damaligen Urteil verhielt es sich derart, dass das Kantonsgericht des Kantons Basel-Landschaft am 18. Dezember 2019 in öffentlicher Beratung zur Abweisung einer von der Einwohnergemeinde Liestal/BL erhobenen Beschwerde gelangt war. Am 16. Januar 2020 bemerkte die Einwohnergemeinde, dass ein Unvereinbarkeitsgrund vorlag, der zum Ausstand eines mitwirkenden Kantonsrichters hätte führen müssen. Am 21. Januar 2020 ersuchte sie das Kantonsgericht um Feststellung der Nichtigkeit. Das Kantonsgericht trat auf das Gesuch am 27. Januar 2020 nicht ein, was es damit begründete, dass in der Sache einstweilen noch gar kein (schriftliches) Urteil ergangen sei. Dagegen gelangte die Einwohnergemeinde an das Bundesgericht, das feststellte, es liege ein atypischer Zwischenentscheid vor. Weder sei <ref-law> gegeben noch lägen die Voraussetzungen von <ref-law> vor, weshalb auf die Beschwerde nicht einzutreten sei (Urteil 2C_179/2020 vom 26. Februar 2020). In der Folge erging am 5. Mai 2020 die schriftliche Begründung des am 18. Dezember 2019 verkündeten Dispositivs. Dagegen erhob die Einwohnergemeinde am 29. Mai 2020 Beschwerde an das Bundesgericht. Sie beantragte, es sei die Nichtigkeit des angefochtenen Entscheids festzustellen, eventualiter sei das angefochtene Urteil aufzuheben und in der Sache zu entscheiden. Mit Urteil 2C_455/2020 vom 2. Dezember 2020 bzw. nunmehr <ref-ruling> trat das Bundesgericht auf die Beschwerde ein und hiess es diese - hier verkürzend dargestellt - gut, da die Mitwirkung von Kantonsrichter X._ gegen <ref-law> verstosse.
2.2.6. Die damalige Verfahrenslage ist mit dem vorliegenden Fall nicht vergleichbar: Das Kantonsgericht des Kantons Basel-Landschaft hatte die Beschwerde der Einwohnergemeinde abgewiesen und damit einen Endentscheid im Sinne von <ref-law> herbeigeführt. Da der Ausstandsgrund alsdann erst nach der Eröffnung der schriftlichen Urteilsbegründung entdeckt wurde, standen grundsätzlich zwei Verfahrenswege offen. Zum einen hätte die Einwohnergemeinde Beschwerde ans Bundesgericht erheben, gleichzeitig bei der Vorinstanz ein Revisionsgesuch und beim Bundesgericht ein Sistierungsgesuch stellen können (<ref-ruling> E. 4.1). Zum anderen war es der Einwohnergemeinde möglich, den Ausstandsgrund unmittelbar im bundesgerichtlichen Verfahren zu rügen. Die Beschwerdefrist lief noch. Zudem konnte das Bundesgericht, das in der Ausstandssache erstinstanzlich entschied, mit voller Kognition urteilen (<ref-ruling> E. 4.2).
2.2.7. Im vorliegenden Fall ist kein Endentscheid ergangen, hat das Obergericht des Kantons Schaffhausen die Sache doch mit offenem Verfahrensausgang an die Bewertungsbehörde zurückgewiesen. Vor allem aber besteht zurzeit gar keine Notwendigkeit, dass das Bundesgericht im Ausstandspunkt entscheidet: Wird die Bewertungsbehörde, an welche die Sache zurückgewiesen wurde, in einem Sinne neu veranlagen, die den Erwartungen des Steuerpflichtigen entspricht, ist die Sache damit erledigt. Sollte die neue Verfügung dem Steuerpflichtigen nicht genehm sein, wird es ihm frei stehen, dagegen an das Obergericht zu gelangen und gleichzeitig ein Gesuch um Ausstand von Vizepräsidentin C._ zu stellen. Der Entscheid über den Ausstand könnte dann beim Bundesgericht angefochten werden. Mit Blick auf diese verfahrensrechtliche Einordnung fehlt dem Steuerpflichtigen im gegenwärtigen Zeitpunkt ein aktuelles Rechtsschutzinteresse im Sinne von Art. 89 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law>. Er ist zur vorliegenden Beschwerde nicht legitimiert.
2.3. Im Ergebnis zeigt sich, dass der Sichtweise, welche die Vorinstanz und der Steuerpflichtige hinsichtlich der selbständigen Anfechtbarkeit vertreten, nicht zu folgen ist. Auf die Sache ist nicht einzutreten.
3.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens grundsätzlich dem Steuerpflichtigen aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Mit Blick auf die besonderen Umstände kann von einer Kostenverlegung abgesehen werden (<ref-law>). Dem Kanton Schaffhausen, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Für das bundesgerichtliche Verfahren werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. August 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher