Sachverhalt:
A.
A._ wurde im Strafbefehl vom 21. September 2018 vorgeworfen, sie habe beim Obergericht Solothurn am 25. Juli 2018 im Rahmen eines Strafverfahrens eine Beschwerde eingereicht und darin den ebenfalls am Verfahren beteiligten B._ als geisteskrank und behindert beschimpft. Dafür wurde A._ mit einer bedingten Geldstrafe von 20 Tagessätzen zu Fr. 30.-- bestraft. A._ erhob Einsprache gegen den Strafbefehl.
Der Gerichtspräsident von Bucheggberg-Wasseramt sprach A._ am 6. September 2019 der Beschimpfung schuldig und bestrafte sie mit einer bedingten Geldstrafe von 10 Tagessätzen zu Fr. 30.--.
B.
Das Obergericht Solothurn sprach A._ am 15. April 2020 auf Berufung hin mangels subjektiven Tatbestands vom Vorwurf der Beschimpfung frei. Es auferlegte ihr die Kosten des erstinstanzlichen Verfahrens und verzichtete darauf, ihr eine Entschädigung zuzusprechen.
C.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen. Sie beantragt, das Urteil des Obergerichts vom 15. April 2020 sei aufzuheben. Das Bundesgericht habe über das Entschädigungsgesuch selbst zu entscheiden oder die Sache an das Obergericht zurückzuweisen. Mit separater Eingabe ersucht A._ sinngemäss um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerdeführerin wendet sich gegen die Auflage der erstinstanzlichen Verfahrenskosten. Sie macht geltend, gemäss Art. 169 StPO und Art. 31 Abs. 2 BV habe sie das Recht, die Aussage zu verweigern. Die Vorinstanz begründe die Auferlegung der Kosten unter anderem auch mit dem Umstand, dass sie die Aussage verweigert habe. Damit verletze sie Bundesrecht. Die Kostenauflage verstosse ferner gegen die Unschuldsvermutung (Art. 6 Ziff. 2 EMRK) und gegen "§ 32 Abs. 1 StPO" (gemeint wohl: Art. 32 Abs. 1 BV). Weiter müsse berücksichtigt werden, dass die Anzeigeerstattung mutwillig erfolgt sei, habe B._ doch von Anfang an gewusst, dass die Beschwerdeführerin die Beschwerde nicht selbst verfasst habe. Dies habe er bereits am 14. Juni 2018 deutlich zum Ausdruck gebracht. Obwohl bekannt gewesen sei, dass die Beschwerdeführerin die Beschwerdeeingabe nicht selbst verfasst habe, seien weder B._ noch der Partner der Beschwerdeführerin (C._) als Zeugen einvernommen worden. Die Strafverfolgungsbehörden hätten somit den Sachverhalt nicht hinreichend abgeklärt, weshalb die Kosten vollumfänglich vom Staat zu tragen seien.
1.2. Die Vorinstanz erwägt, die Beschwerdeführerin habe trotz Freispruchs die erstinstanzlichen Verfahrenskosten zu tragen, da sie an der Einleitung des Strafverfahrens ein zivilrechtliches Verschulden treffe. Die Beschwerdeführerin habe die von ihrem Partner verfasste Beschwerde unterzeichnet, ohne sich um dessen Inhalt zu kümmern. Die Beschwerde habe Ausdrücke enthalten, die die Persönlichkeitsrechte ihres Vermieters B._ verletzt hätten (Art. 28 ZGB). Die Beschwerdeführerin habe sich in der Voruntersuchung nicht vernehmen lassen, sodass die Behörden keinen Anlass gehabt hätten, an ihrer Täterschaft zu zweifeln. Auch vor erster Instanz habe sie die Aussage zur Sache verweigert. Die Beschwerdeführerin habe ein Schriftstück in den Rechtsverkehr eingebracht, dessen wirklicher Aussteller nicht mit dem erkennbaren übereingestimmt habe und mit ihrer Unterschrift habe sie den Eindruck erweckt, die geistige Urheberin des Beschwerdeschreibens zu sein. Aufgrund dessen habe sie es selbst zu verantworten, dass gegen sie ein Strafverfahren wegen Beschimpfung geführt worden sei. Deshalb habe sie die Kosten des erstinstanzlichen Verfahrens zu tragen.
1.3. Gemäss Art. 426 Abs. 2 StPO können der beschuldigten Person bei Einstellung des Verfahrens die Verfahrenskosten ganz oder teilweise auferlegt werden, wenn sie rechtswidrig und schuldhaft die Einleitung des Verfahrens bewirkt oder dessen Durchführung erschwert hat. Das Verhalten einer beschuldigten Person ist widerrechtlich, wenn es klar gegen Normen der Rechtsordnung verstösst, die sie direkt oder indirekt zu einem bestimmten Tun oder Unterlassen verpflichten (vgl. Art. 41 Abs. 1 OR). Vorausgesetzt sind regelmässig qualifiziert rechtswidrige, rechtsgenüglich nachgewiesene Verstösse. Die Verfahrenskosten müssen mit dem zivilrechtlich vorwerfbaren Verhalten in einem adäquat-kausalen Zusammenhang stehen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 205; Urteil 6B_290/2018 vom 19. Februar 2019 E. 3.1; je mit Hinweisen).
Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts verstösst eine Kostenauflage bei Freispruch oder Einstellung des Verfahrens gegen die Unschuldsvermutung (Art. 10 Abs. 1 StPO, Art. 32 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 2 EMRK), wenn der beschuldigten Person in der Begründung des Kostenentscheids direkt oder indirekt vorgeworfen wird, es treffe sie ein strafrechtliches Verschulden. Damit käme die Kostenauflage einer Verdachtsstrafe gleich. Dagegen ist es mit Verfassung und Konvention vereinbar, einer nicht verurteilten beschuldigten Person die Kosten zu überbinden, wenn sie in zivilrechtlich vorwerfbarer Weise, d.h. im Sinne einer analogen Anwendung der sich aus Art. 41 OR ergebenden Grundsätze, eine geschriebene oder ungeschriebene Verhaltensnorm, die sich aus der Gesamtheit der schweizerischen Rechtsordnung ergeben kann, klar verletzt und dadurch das Strafverfahren veranlasst oder dessen Durchführung erschwert hat. In tatsächlicher Hinsicht darf sich die Kostenauflage nur auf unbestrittene oder bereits klar nachgewiesene Umstände stützen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 204 f.; <ref-ruling> E. 3b S. 155; <ref-ruling> E. 1b S. 334; <ref-ruling> E. 2a S. 373 f.; Urteil 6B_1334/2018 vom 20. Mai 2019 E. 1.1.2; je mit Hinweisen).
Eine solche Kostenauflage kann sich auch auf Art. 28 ZGB stützen. Nach dieser Bestimmung kann derjenige, der in seiner Persönlichkeit widerrechtlich verletzt wird, zu seinem Schutz gegen jeden, der an der Verletzung mitwirkt, das Gericht anrufen (Abs. 1). Widerrechtlich ist eine Verletzung, wenn sie nicht durch Einwilligung des Verletzten, durch ein überwiegendes privates oder öffentliches Interesse oder durch Gesetz gerechtfertigt ist (Abs. 2). Vom Gesetzeswortlaut her ist jede Persönlichkeitsverletzung widerrechtlich, wenn kein Rechtfertigungsgrund besteht. Praxisgemäss ist in zwei Schritten zu prüfen, ob (1.) eine Persönlichkeitsverletzung und (2.) ein Rechtfertigungsgrund vorliegt (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 412 f.; Urteil 6B_1172/2016 vom 29. August 2017 E. 1.3; je mit Hinweisen). Die Persönlichkeitsrechte werden durch Angriffe auf die physische und die psychische Integrität verletzt. Darunter fällt auch ein Verhalten, das andere terrorisiert und verängstigt und diese in ihrem seelischen Wohlbefinden gefährdet bzw. erheblich stört. Allerdings kann nicht jede noch so geringfügige Beeinträchtigung der Persönlichkeit als rechtlich relevante Verletzung verstanden werden. Die Verletzung muss eine gewisse Intensität erreichen. Auf die subjektive Empfindlichkeit des Betroffenen kommt es dabei nicht an. Für die Beurteilung der Schwere des Eingriffs ist ein objektiver Massstab anzulegen (Urteile 6B_552/2017 vom 18. Januar 2018 E. 1.2; 6B_414/2016 vom 29. Juli 2016 E. 2.4.1; 6B_1130/2014 vom 8. Juni 2015 E. 3.1; 6B_990/2013 vom 10. Juni 2014 E. 1.2).
Das Bundesgericht prüft frei, ob der Kostenentscheid direkt oder indirekt den Vorwurf strafrechtlicher Schuld enthält und ob die beschuldigte Person in zivilrechtlich vorwerfbarer Weise gegen geschriebene oder ungeschriebene Verhaltensnormen klar verstossen und dadurch das Strafverfahren veranlasst hat (Urteile 6B_1334/2018 vom 20. Mai 2019 E. 1.1.2; 6B_398/2018 vom 21. August 2018 E. 2.1; je mit Hinweisen). Lediglich unter Willkürgesichtspunkten prüft es hingegen die diesbezüglichen Sachverhaltsfeststellungen (vgl. Art. 97 Abs. 1 BGG). Die Rüge der Willkür muss in der Beschwerde explizit vorgebracht und substanziiert begründet werden. Auf ungenügend begründete Rügen oder rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.3 S. 30; <ref-ruling> E. 1.1 S. 156; je mit Hinweisen).
1.4. Soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, die Unschuldsvermutung sei verletzt, ist fraglich, ob die Beschwerde den Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) genügt. Eine Verletzung der Unschuldsvermutung ist aber ohnehin nicht ersichtlich. Jedenfalls wirft die Vorinstanz der Beschwerdeführerin kein strafrechtliches Verschulden vor. Vielmehr ist die Vorinstanz der Ansicht, die Beschwerdeführerin habe sich zivilrechtlich verantwortlich gemacht, indem sie ein Schriftstück in den Rechtsverkehr einbrachte, welches gegen Art. 28 ZGB verstossende Verbalinjurien enthielt. Das Bundesgericht hat es in früheren Entscheiden als zulässig erachtet, der beschuldigten Person, die vom Vorwurf eines Ehrverletzungsdelikts freigesprochen wurde, die Kosten wegen eines Verstosses gegen Art. 28 ZGB aufzuerlegen (vgl. Urteil 6B_1172/2016 vom 29. August 2017 E. 1.6 mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung des Zeugnisverweigerungsrechts nach Art. 169 StPO. Grundsätzlich kann sich die Beschwerdeführerin nicht auf die genannte Bestimmung berufen, da sie im vorliegenden Strafverfahren nicht Zeugin, sondern Beschuldigte war. Die in einem Strafverfahren beschuldigte Person kann die Aussage aber ebenfalls verweigern und muss sich insbesondere nicht selbst belasten (Art. 113 Abs. 1 StPO). Die Rüge der Beschwerdeführerin ist in diesem Sinne umzudeuten. Problematisch ist der vorinstanzliche Entscheid, soweit die Kostenauflage darin teilweise mit der Aussageverweigerung der Beschwerdeführerin begründet wird. Das Aussageverweigerungsrecht bezieht sich sowohl auf belastende als auch auf entlastende Aussagen (VIKTOR LIEBER, in: Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung [StPO], 2. Aufl. 2014, N. 15 zu Art. 113 StPO), denn häufig stellt sich erst im Nachhinein heraus, ob eine Aussage belastend oder entlastend ist (LIEBER, a.a.O., N. 2 zu Art. 113 StPO). Insofern darf der Beschwerdeführerin weder direkt noch indirekt zum Vorwurf gemacht werden, sich nicht geäussert zu haben. Im Ergebnis ist die Auferlegung der Verfahrenskosten aber nicht bundesrechtswidrig. Gemäss der vorinstanzlichen Sachverhaltsdarstellung hatte C._ die Beschwerdeeingabe für die Beschwerdeführerin verfasst. Die Beschwerdeführerin unterzeichnete die Eingabe, ohne deren Inhalt zu kennen. Mit ihrer Unterschrift hat die Beschwerdeführerin nach aussen hin kundgetan, dass das Verurkundete als ihre eigene Erklärung gelten solle. Sie erweckte mit ihrer Unterschrift zumindest den Anschein, dass der Inhalt der Beschwerdeeingabe als ihre eigene Erklärung gelten solle (vgl. hierzu PETER JÄGGI, in: Zürcher Kommentar, 3. Aufl. 1973, N. 20 zu Art. 13 OR). Insofern ist unwesentlich, wer die Eingabe tatsächlich verfasst hat, denn diese war aufgrund der Unterzeichnung grundsätzlich der Beschwerdeführerin zuzurechnen und die Behörden mussten nicht davon ausgehen, dass die Beschwerdeeingabe bzw. deren Inhalt nicht dem Willen der Beschwerdeführerin entsprach. Inwiefern die Staatsanwaltschaft Anzeichen dafür gehabt haben könnte, dass die Beschwerdeführerin die Beschwerdeeingabe nicht selbst verfasst und auch nicht verstanden hat, konkretisiert die Beschwerdeführerin nicht hinreichend. Sie führt lediglich aus, B._ habe bereits am 14. Juni 2018 gewusst, dass die Beschwerdeführerin die Beschwerdeeingabe nicht verfasst haben könne. Weitere Ausführungen hierzu macht sie nicht. Sie legt ihrer Beschwerde aber eine Einvernahme von B._ vom 14. Juni 2018 bei. Darin bezeichnete B._ C._ als Initiator der "Machenschaften". Daraus kann aber entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin ebenfalls nicht abgeleitet werden, dass B._ oder den Behörden bekannt war, dass die Beschwerdeführerin die Beschwerde weder verfasst noch verstanden hatte. Die Beschwerdeführerin reicht verschiedene weitere Unterlagen ein. Sie legt aber nicht dar, inwiefern die Unterlagen vorliegend von Bedeutung sein könnten. Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, die eingereichten Beilagen oder die kantonalen Akten auf Aktenstücke zu durchsuchen, mit denen sich die Behauptungen der beschwerdeführenden Partei untermauern lassen. Somit ist auch darauf nicht weiter einzugehen.
Im Übrigen stellen die Ausführungen der Beschwerdeführerin blosse Behauptungen dar. Den Behörden kann nicht vorgeworfen werden, die Untersuchung nicht korrekt geführt zu haben, weil sie nicht jeden erdenklichen Beweis erhoben und Zeugen befragt haben. Weitere Einwände gegen die Kostenauflage bringt die Beschwerdeführerin nicht vor. Somit kann festgehalten werden, dass die Vorinstanz im Ergebnis kein Bundesrecht verletzt, indem sie die Kosten des erstinstanzlichen Verfahrens der Beschwerdeführerin auferlegt.
2.
Die Vorinstanz verzichtete auf die Zusprechung einer Entschädigung mit der Begründung, die Beschwerdeführerin habe die beantragte Entschädigung nicht substanziiert, weshalb auf den Antrag nicht einzutreten sei. Die Beschwerdeführerin führt vor Bundesgericht aus, es sei offensichtlich, dass in einem mehrmonatigen Gerichtsverfahren Kosten anfielen. Diese seien gemäss dem gängigen Stundenansatz abzugelten. Auch damit ist in keiner Weise dargetan, inwiefern der Beschwerdeführerin ersatzfähige Aufwendungen entstanden sein sollten. Mangels hinreichender Begründung kann darauf nicht eingetreten werden.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Beschwerdeführerin wird kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist infolge Aussichtslosigkeit abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG e contrario). Ihren angespannten finanziellen Verhältnissen ist mit reduzierten Gerichtskosten Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. September 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Schär