Sachverhalt:
A.
A.a. C._ (geb. 1968) und A._ (geb. 1968; Beschwerdeführer) heirateten im Oktober 1995. Sie sind die Eltern der beiden Töchter D._ (geb. 1997) und B._ (geb. 2002). Mit Urteil vom 8. Dezember 2014 schied das Richteramt Olten-Gösgen die Ehe. Die elterliche Sorge über die beiden Töchter beliess es bei beiden Elternteilen, die (faktische) Obhut übertrug es der Kindsmutter. Eine bereits im Eheschutzverfahren errichtete Erziehungsbeistandschaft führte das Richteramt fort. Beistand war G._.
A.b. Am 24. Juni 2016 verstarb C._. In der Folge eröffnete die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Olten-Gösgen (KESB) ein Kindesschutzverfahren betreffend die Obhut über B._ und allfällige weitere Massnahmen. Am 19. September 2016 ernannte die KESB für B._ in der Person von Rechtsanwältin Cornelia Dippon eine Verfahrensbeiständin. Mit Entscheid vom 22. Februar 2017 entzog die KESB A._ das Aufenthaltsbestimmungsrecht über B._ und brachte diese bei E._ unter, dem letzten Lebenspartner der verstorbenen Kindsmutter, bei dem die beiden Töchter leben. Des Weiteren entliess die KESB den bisherigen Beistand aus seinem Amt, setzte H._ als neue Beiständin ein und legte deren Aufgaben fest. Ausserdem entzog sie A._ die Befugnis zur Verwaltung des Vermögens und Einkommens von B._ und zu deren Vertretung in administrativen Angelegenheiten und im Rechtsverkehr.
B.
Hiergegen erhob A._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Im Wesentlichen beantragte er die Aufhebung des Entscheids der KESB sowie der Beistandschaft über B._. Mit Urteil vom 17. Mai 2017 (eröffnet am 19. Mai 2017) wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ebenso ab, wie das gleichzeitig gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Ausserdem wies es A._ an, die finanziellen Angelegenheiten der Tochter an die Beiständin zu übertragen.
C.
Mit Beschwerde vom 19. Juni 2017 ist A._ mit den folgenden Anträgen in der Sache an das Bundesgericht gelangt:
"1. Das Urteil der Vorinstanz vom 17. Mai 2017 sei vollumfänglich aufzuheben.
2. Eventualiter sei die Sache zur Durchführung einer öffentlichen mündlichen Verhandlung mit Anhörung des Beschwerdeführers und der betroffenen Person an die Vorinstanz zurück zu weisen.
3. Eventualiter sei die Sache zur Einholung eines Gutachtens über die Zumutbarkeit des Umzugs von B._ zum Beschwerdeführer an die Vorinstanz zurück zu weisen.
4. Eventualiter sei die Sache zur Aufhebung allenfalls Neuregelung der Beistandschaft an die Vorinstanz zurück zu weisen.
5. Eventualiter sei die Sache zur Anordnung einer Mediation/systematische[n] Familientherapie an die Vorinstanz zurück zu weisen.
6. Dem Beschwerdeführer sei die vollumfängliche unentgeltliche Rechtspflege unter Beiordnung der unterzeichnenden Rechtsanwältin als unentgeltliche Rechtsvertreterin im Verfahren vor dem Verwaltungsgericht wie auch im Verfahren vor dem Bundesgericht zu gewähren."
Mit Vernehmlassung vom 19. März 2018 hat die KESB den Antrag gestellt, die Beschwerde sei abzuweisen. Das Verwaltungsgericht hat am 26. März 2018 auf Abweisung der Beschwerde geschlossen, soweit darauf einzutreten sei. B._ hat am 5. April 2018 beantragt, soweit auf die Beschwerde eingetreten werden könne, seien deren Ziffern 1 bis 5 abzuweisen. Die Ziffer 6 sei in das Ermessen des Gerichts zu legen. A._ hat hierzu am 24. April 2018 unaufgefordert Stellung genommen und dabei an seinen Anträgen festgehalten. Diese Eingabe ist den weiteren Verfahrensbeteiligten zur Kenntnisnahme zugestellt worden. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.
Die Angelegenheit ist an der Sitzung der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 10. Juli 2018 öffentlich beraten und das Urteil anschliessend an die Beratung und die Abstimmung mündlich eröffnet worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht über den Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts, die Beistandschaft und weitere Kindesschutzmassnahmen entschieden hat (Art. 75 und 90 BGG). Dabei handelt es sich um öffentlich-rechtliche Angelegenheiten in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG) ohne Streitwert. Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt, die er auch fristgerecht erhoben hat (<ref-law>). Auf sie ist unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen einzutreten.
1.2. Gemäss <ref-law> haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten. In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken. Die beschwerdeführende Person hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2, 115 E. 2).
Zur Beistandschaft führt der Beschwerdeführer aus, die Beiständin habe die Aufgabe, die Umsetzung des Kontaktrechts zu begleiten und bei Schwierigkeiten einzugreifen. Bisher habe sie sich aber nur um die Finanzen gekümmert und dem Beschwerdeführer "Hiobsbotschaften" überbracht. Von einer Hilfestellung oder einer vermittelnden Funktion könne keine Rede sein. Deswegen sei die Beistandschaft neu zu regeln. Ausserdem sei die aktuelle Beiständin für den Beschwerdeführer "nicht tragbar". Damit ist der Beschwerde zwar zu entnehmen, dass der Beschwerdeführer mit der Führung der Beistandschaft und der Person der Beiständin nicht einverstanden ist. Es finden sich aber keine Ausführungen dazu, weshalb die Ernennung von H._ zur neuen Beiständin und die Ausgestaltung von deren Aufgaben - dies allein ist Gegenstand des vorliegenden Verfahrens (vgl. <ref-ruling> E. 4.4.2; <ref-ruling> E. 5, 457 E. 4.2) - bundesrechtswidrig sein sollten. Die Beschwerde genügt damit den Begründungsanforderungen nicht und es ist insoweit nicht darauf einzutreten.
Den Anforderungen von <ref-law> vermag die Beschwerde im Zusammenhang mit dem Antrag auf Durchführung einer Mediation bzw. systematischen Familientherapie ebenfalls nicht zu genügen. Auch diesbezüglich rügt der Beschwerdeführer keine Bundesrechtswidrigkeit und führt einzig aus, es sei "nicht einzusehen, weshalb ein urteilsfähiges 15-jähriges Kind nicht dazu verpflichtet werden kann, [sich] zwecks Familienzusammenführung" einer entsprechenden Massnahme zu unterziehen. Zusätzliche Ausführungen finden sich zwar in der Eingabe vom 24. April 2018. Diese sind indessen nicht fristgerecht erfolgt (<ref-law>).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich, oder würden auf einer anderen Bundesrechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. Verletzung von <ref-law> oder <ref-law>) beruhen. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (vgl. Art. 97 Abs. 1 und 105 Abs. 2 BGG). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 1.3.1, 317 E. 5.4; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266).
Der Beschwerdeführer stellt unter dem Titel "Sachverhalt" sehr ausführlich dar, was sich seiner Ansicht nach im vorliegenden Fall zugetragen hat. Insbesondere geht er im Einzelnen auf das Verhältnis zu seiner Tochter und den bisherigen Lauf des Verfahrens ein. Er beschränkt sich allerdings darauf, seine Sicht der Dinge darzulegen und sie den Feststellungen des Verwaltungsgerichts gegenüberzustellen, ohne diesem eine willkürliche oder sonst wie Bundesrecht verletzende Sachverhaltsfeststellung vorzuwerfen. Auf die Beschwerde ist insoweit nicht einzutreten und die in diesem Zusammenhang gestellten Beweisanträge werden abgewiesen. Soweit der Beschwerdeführer andernorts dagegen eine willkürliche Feststellung des Sachverhalts durch das Verwaltungsgericht geltend macht, ist darauf an gegebener Stelle einzugehen.
1.4. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Hiervon erfasst sind unechte Noven, also Tatsachen, die im bisherigen Verfahren bereits hätten vorgebracht werden können, aber nicht vorgebracht wurden. Echte Noven, also Tatsachen, die erst nach dem angefochtenen Entscheid entstanden sind, sind im Verfahren vor Bundesgericht demgegenüber grundsätzlich unbeachtlich (<ref-ruling> E. 3.1.2; <ref-ruling> E. 2.1).
Die Verfahrensbeteiligten verweisen in ihren verschiedenen Eingaben auf die "aktuelle Situation" bzw. neue Umstände, welche nach dem angefochtenen Entscheid eingetreten sind. So auf den Umzug des Beschwerdeführers von U._ nach V._ und den Abbruch des Kontakts zwischen Vater und Tochter. Der Beschwerdeführer hat dazu zudem weitere Unterlagen eingereicht. Hierbei handelt es sich um echte Noven, die im bundesgerichtlichen Verfahren unbeachtlich sind.
Ebenfalls nicht weiter beachtlich sind die vom Verwaltungsgericht - ihm kommt keine Parteistellung zu (HANSJÖRG SEILER, in: Seiler et al. [Hrsg.]: Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2. Aufl. 2015, N. 9 zu <ref-law> mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 3.3) - eingereichten Unterlagen.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer macht eine Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK geltend, weil das Verwaltungsgericht keine öffentliche Verhandlung durchgeführt habe.
Wie sich dem angefochtenen Urteil entnehmen lässt und nicht bestritten ist, hat der Beschwerdeführer bereits im verwaltungsgerichtlichen Verfahren eine öffentliche Verhandlung beantragt. Das Verwaltungsgericht wies diesen Antrag ab und führte einzig eine nicht öffentliche Instruktionsverhandlung durch. Dem vorinstanzlichen Urteil lässt sich sodann nicht entnehmen, dass bereits vor der KESB eine öffentliche Verhandlung stattgefunden hätte. Damit stellt sich die Frage von vornherein nicht, ob der Konventionsgarantie durch eine solche Verhandlung bereits Rechnung getragen wurde.
2.2. Mit dem aus Art. 6 Ziff. 1 EMRK fliessenden Anspruch auf eine (publikums-) öffentliche Verhandlung setzte sich das Bundesgericht im Zusammenhang mit Kindesschutzmassnahmen bereits im Entscheid <ref-ruling> in grundsätzlicher Hinsicht auseinander. Der Entscheid betraf einen altrechtlichen Obhutsentzug - dieser entspricht dem hier strittigen Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts (<ref-ruling> E. 4.1, 617 E. 3.2.2) - und die Fremdplatzierung von drei Kindern. Dabei hielt das Bundesgericht fest, die Pflicht, eine öffentliche Verhandlung durchzuführen, gelte nicht absolut. Zunächst könnten die Parteien - explizit oder stillschweigend - auf eine solche Verhandlung verzichten. Wie in jenem Fall trifft dies vorliegend jedoch nicht zu. Sodann seien Ausnahmen zulässig, wobei sich eine Reihe von Gründen, aus welchen keine öffentliche Verhandlung durchgeführt werden muss, bereits aus dem Wortlaut von Art. 6 Ziff. 1 EMRK ergebe. Familienrechtliche Angelegenheiten, in denen sich Familienmitglieder, jedenfalls aber Private gegenüberstünden, würden grundsätzlich in die Ausnahmekategorie des "Schutzes des Privatlebens der Prozessparteien" fallen (mit Hinweis auf das Urteil B und P gegen Vereinigtes Königreich Nr. 36337/97 und 35974/97 vom 24. April 2001 § 38). Stehe demgegenüber eine familienrechtliche Angelegenheit im weiteren Sinne in Streit, in welcher sich nicht Private gegenüberstünden, sondern der Staat und ein Privater, wie dies bei einem Obhutsentzug und der Fremdplatzierung eines Kindes der Fall sei, könne die Öffentlichkeit nicht pauschal unter dem Hinweis auf den "Schutz des Privatlebens" ausgeschlossen werden; der Ausschluss bedürfe einer besonderen Begründung (mit Hinweis auf das Urteil Moser gegen Österreich Nr. 12643/02 vom 21. September 2006 § 97; zum Ganzen <ref-ruling> E. 3.1.1).
2.3. Ausgehend von diesem Entscheid bejahte das Verwaltungsgericht vorliegend einen über den Schutz des Privatlebens hinausgehenden besonderen Grund, der es rechtfertige, die Öffentlichkeit vom Verfahren auszuschliessen: Es seien die Interessen einer besonders verletzlichen Jugendlichen zu berücksichtigen, die erst kürzlich ihre Mutter verloren habe und sich in einem belastenden Loyalitätskonflikt zwischen den Interessen ihres Vaters und ihrem eigenen Interesse am Verbleib am bisherigen Wohnort befinde. Wie die Verfahrensbeiständin ausführe, belaste das Verfahren B._ stark und es sei "in keinem Fall in [deren] Sinn [...], wenn ihre Geschichte an die Öffentlichkeit gezogen würde". Der Schutz des Privatlebens und die Interessen der Jugendlichen seien daher höher zu gewichten als die Interessen des Beschwerdeführers an der Kontrolle des Verfahrens durch die Öffentlichkeit. Auch die KESB verweist auf die Verletzlichkeit von B._. Das Kind sei bereits durch den Tod der Mutter schwer getroffen und solle nun nicht öffentlich gegen den Kindsvater auftreten müssen, um die bisherige Wohnsituation beibehalten zu können. Ausserdem bringt die KESB vor, dass sich im Verfahren "materiell" B._ und ihr Vater und damit zwei Privatpersonen gegenüberstehen würden. Letzteres macht auch B._ geltend. Sie weist ausserdem darauf hin, der Beschwerdeführer habe nicht dargetan, dass "die Öffentlichkeit der Verhandlung am Ablauf oder gar am Urteil des Verwaltungsgerichts etwas geändert hätte". Dies sei denn auch nicht der Fall.
2.4. Der Beschwerdeführer verweist demgegenüber auf die Bedeutung öffentlicher Verfahren im Bereich des Kindesschutzes. "Kindes- und Erwachsenenschutzbehörden [würden sich] gerne hinter dem Amtsgeheimnis verstecken und [nicht] zu ihren familienfeindlichen Entscheiden [...] stehen wollen". Gerade bei strittigen Entscheiden sei sicherzustellen, dass keine "Geheimjustiz stattfind[e]" und der Anspruch auf ein faires Verfahren eingehalten werde. Richtig sei, dass der Ausschluss der Öffentlichkeit einer besonderen Begründung bedürfe. An einer solchen fehle es: Die Tochter sei ein altersgerecht entwickeltes und intelligentes Mädchen. Sie sei in ihrer Gesundheit nicht beeinträchtigt und zeige keine Verhaltensauffälligkeiten. Auch allfällige Belastungen der Tochter durch das Verfahren seien nicht vor dem Hintergrund des Kindeswillens zu sehen, sondern unter dem Aspekt, ob aus gesundheitlichen Gründen ein Anspruch auf Schutz der Privatsphäre vor der Öffentlichkeit bestehe, was nicht der Fall sei. In Kindesschutzverfahren spielten Loyalitätskonflikte sodann immer eine Rolle, sodass die Öffentlichkeit nicht ausgeschlossen werden könne, weil ein solcher Konflikt bestehe. Ansonsten sei in keinem Fall mehr eine öffentliche Verhandlung durchzuführen. Die Tochter befinde sich zudem einzig in einem Konflikt zwischen den Interessen des Vaters und denjenigen der Schwester, die den "Kampf ihrer verstorbenen Mutter gegen den Beschwerdeführer fortsetz[e]". Auch der Verlust der Mutter begründe keine besondere Schutzwürdigkeit von B._. Ein solch trauriger Schicksalsschlag könne von Jugendlichen, "die in der Regel starke Lebensgeister" hätten, überwunden werden.
2.5. Nicht zu überzeugen vermag die Einschätzung der KESB und von B._, wonach eine familienrechtliche Angelegenheit vorliege, in der sich zwei Familienmitglieder gegenüberstehen: Zwar ist insoweit eine besondere Situation gegeben, als zu entscheiden ist, ob B._ künftig bei ihrem Vater leben wird oder weiterhin im Umfeld der verstorbenen Mutter. Diese Konstellation gleicht einem Streit zwischen den Eltern um die Betreuung eines Kindes. Ausserdem entspricht die strittige Massnahme den Wünschen der Tochter, womit auch ein Konflikt zwischen den Interessen des Kindes und denjenigen des Vaters gegeben ist. Dennoch steht formal der Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts und die Unterbringung des Kindes nach <ref-law> und damit eine (hoheitliche) Kindesschutzmassnahme in Streit (vgl. dazu hinten E. 4.1-4.3). Die strittige Massnahme hat denn auch zur Folge, dass das Recht, über den Aufenthalt des Kindes zu bestimmen, auf die Behörde übergeht (zum alten Recht aber nach wie vor massgebend: <ref-ruling> E. 4a; Urteile 5A_736/2014 vom 8. Januar 2015 E. 2.2; vgl. weiter Urteile 5A_550/2016 vom 3. Februar 2017 E. 4.2; 5A_402/2016 vom 16. Januar 2017 E. 3; AFFOLTER-FRINGELI/VOGEL, Berner Kommentar, 2016, N. 13 zu Art. 310/314b ZGB mit Hinweisen). Zudem traf die KESB auch Massnahmen im Zusammenhang mit der Beistandschaft. Diese sind zwar nicht mehr zu beurteilen (vorne E. 1.2), unterstreichen aber den hoheitlichen Charakter der vorliegenden Angelegenheit. Damit steht eine familienrechtliche Angelegenheit im weiteren Sinn in Streit und es ist eine besondere Begründung notwendig, damit auf eine öffentliche Verhandlung verzichtet werden kann. Die Öffentlichkeit kann nicht pauschal mit Hinweis auf den "Schutz des Privatlebens" ausgeschlossen werden.
2.6. Ob ein solch besonderer Grund gegeben ist, beurteilt sich, wie immer beim Entscheid über das Absehen von der Durchführung einer öffentlichen Verhandlung, aufgrund der konkreten Umstände des Einzelfalls (vgl. Urteile Ramos Nunes de Carvalho e SA gegen Portugal Nr. 55391/13, 57728/13 und 74041/13 § 93; Nikolova und Vandova gegen Bulgarien Nr. 20688/04 § 68; Diennet gegen Frankreich Nr. 18160/91 vom 26. September 1995 § 34; WILLIAM A. SCHABAS, The European Convention on Human Rights, A Commentary, 2015, S. 288). Bei der im Rahmen dieses Entscheids vorzunehmenden Gewichtung und Abwägung der massgebenden Umstände (ausführlich: GRABENWARTER/PABEL, Europäische Menschenrechtskonvention, 6. Aufl. 2016, § 24 Rz. 89 ff. S. 522 f., mit Hinweis auf das Urteil Campbell und Fell gegen Vereinigtes Königreich Nr. 7819/77 und 7878/77 vom 28. Juni 1984 § 87; FRANK MEYER, in: Karpenstein/Mayer [Hrsg.], EMRK, 2. Aufl. 2015, N. 68 zu Art. 6 EMRK) steht dem Sachgericht ein gewisser Beurteilungsspielraum zu. Das Bundesgericht überprüft dessen Entscheid daher nur mit Zurückhaltung (vgl. <ref-ruling> E. 5.3.2). Vor diesem Hintergrund ist der angefochtene Entscheid nicht zu beanstanden:
Der für B._ unstrittig einschneidende Tod ihrer Mutter liegt noch nicht lange zurück. Damit ist die Einschätzung der Vorinstanz nicht zu beanstanden, wonach das Kind eines besonderen Schutzes bedarf und ihm die mit einer öffentlichen Verhandlung verbundenen Belastungen zu ersparen sind. Zumal das vorliegende Verfahren durch das Versterben von C._ veranlasst wurde, mit diesem also in einem unmittelbaren Zusammenhang steht, und damit mit einer besonders hohen Belastung des Kindes verbunden ist. Dies vermag der Beschwerdeführer mit dem pauschalen Hinweis auf die "in der Regel starken Lebensgeister" von Jugendlichen von vornherein nicht in Frage zu stellen. Entgegen dem Beschwerdeführer ist sodann zu berücksichtigen, dass B._ sich den einander widersprechenden Interessen ihrer engsten Angehörigen ausgesetzt sieht und sie selbst sich den Wünschen des Vaters widersetzt. Die sich hieraus ergebende Spannungslage erhöht die für das Kind mit einer öffentlichen Verhandlung verbundenen Belastungen nochmals. Das für den Ausschluss der Öffentlichkeit sprechende Interesse der betroffenen Jugendlichen ist in Art. 6 Ziff. 1 EMRK sodann explizit als ein den Ausschluss einer öffentlichen Verhandlung rechtfertigendes Interesse anerkannt (vgl. etwa Urteil B und P gegen Vereinigtes Königreich Nr. 36337/97 und 35974/97 vom 24. April 2001 § 38). Unter diesen Umständen kommt entgegen dem Beschwerdeführer der unbestrittenen Tatsache, dass B._ gesundheitlich nicht beeinträchtigt ist, es sich bei ihr vielmehr um eine "sympathische, intelligente, vernünftige und reife Jugendliche" handelt, keine entscheidende Bedeutung zu.
Der Beschwerdeführer verweist demgegenüber zwar grundsätzlich zu Recht auf das in Art. 6 Ziff. 1 EMRK zum Ausdruck kommende Prinzip der Justizöffentlichkeit und namentlich auf die damit verbundene Absage an jede Form einer der öffentlichen Kontrolle entzogenen Geheimjustiz (vgl. dazu Urteile Malofeyeva gegen Russland, Nr. 36673/04 vom 30. Mai 2013 § 105; Kharbrova gegen Russland Nr. 18498/04 vom 2. Oktober 2012 § 48; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweisen). Diesem Prinzip kommt grundsätzlich zwar zentrale Bedeutung zu. Der Beschwerdeführer legt indessen nicht dar, weshalb es vorliegend entscheidendes Gewicht hätte. Ganz im Gegenteil: Zwar ist eine hoheitlich auftretende Behörde an dem Verfahren beteiligt. Dennoch steht eine familienrechtliche Angelegenheit (im weiteren Sinne) in Streit und obliegt der Behörde die Wahrung des Kindeswohls (vgl. <ref-law>). Damit kommt dem Grundsatz der Justizöffentlichkeit und namentlich dem Aspekt der Kontrolle der Justiz eine andere Bedeutung zu, als dies etwa in einem Strafverfahren der Fall ist, das gänzlich andere Ziele verfolgt (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3; jüngst Urteil 1B_87/2018 vom 9. Mai 2018 E. 3.2; allgemein zur Funktion des Strafrechts vgl. GÜNTER STRATENWERTH, Schweizerisches Strafrecht, Allgemeiner Teil I: Die Straftat, 4. Aufl. 2011, § 2 S. 31 ff.). Der Grundsatz der Justizöffentlichkeit vermag damit die Interessen von B._ an einem Ausschluss der Öffentlichkeit nicht zu überwiegen.
2.7. Nach dem Ausgeführten hat das Verwaltungsgericht den ihm zukommenden Beurteilungsspielraum nicht überschritten und ist es nicht zu beanstanden, dass es auf die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung verzichtete. Die Beschwerde erweist sich insoweit als unbegründet.
Damit ist auch von vornherein nicht zu beanstanden, dass das Verwaltungsgericht den Beschwerdeführer und die Tochter nicht im Rahmen einer derartigen Verhandlung persönlich anhörte, wie Ersterer dies für den Fall der Rückweisung der Sache an die Vorinstanz beantragt (vgl. Rechtsbegehren, Ziffer 2).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer bringt weiter vor, der Instruktionsrichter des vorinstanzlichen Verfahrens sowie die Gerichtsschreiberin hätten in den Ausstand treten müssen und macht auch in diesem Zusammenhang eine Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK sowie von <ref-law> geltend. Er begründet dies mit dem bisherigen Verhalten des Instruktionsrichters, namentlich mit dessen Auftreten an der Instruktionsverhandlung vom 20. April 2017. Der Instruktionsrichter habe ihn zum Rückzug der Beschwerde gedrängt und damit den Anschein der Befangenheit begründet.
3.2. Die bundesrechtlichen Bestimmungen über das Verfahren vor den Kindesschutzbehörden und der gerichtlichen Beschwerdeinstanz (Art. 314 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) regeln den Ausstand von Gerichtsmitgliedern nicht (Urteil 5A_462/2016 vom 1. September 2016 E. 2.1). Einschlägig sind die Bestimmungen der Zivilprozessordnung, soweit die Kantone nichts anderes bestimmen (vgl. <ref-law>). Im Kanton Solothurn finden die §§ 92 f. des Gesetzes vom 13. März 1977 über die Gerichtsorganisation (GO/SO; BGS 125.12) Anwendung (vgl. § 145 Abs. 1 des Gesetzes vom 4. April 1954 über die Einführung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [EG ZGB/SO; BGS 211.1] und § 8 des Gesetzes vom 15. November 1970 über den Rechtsschutz in Verwaltungssachen [Verwaltungsrechtspflegegesetz, VRG/SO; BGS 124.11]).
Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG gerügt werden. Ausserhalb der Teilbereiche von Art. 95 Bst. c-e BGG kann mit Bezug auf kantonales Recht nur geltend gemacht werden, dessen Anwendung verletze Bundesrecht; im Vordergrund steht dabei die Verletzung verfassungsmässiger Rechte (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2). Der Beschwerdeführer sieht die Mindestgarantie der EMRK und der BV zum Anspruch auf Beurteilung seiner Sache durch ein unbefangenes Gericht als verletzt an. Nachfolgend ist zu prüfen, ob der angefochtene Entscheid diese Mindestgarantie einhält. Die Bestimmungen der EMRK und der BV besitzen insoweit dieselbe Tragweite (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.2), was vorliegend nicht in Frage gestellt wird.
3.3. Die Garantie des verfassungsmässigen Gerichts wird bereits verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Voreingenommenheit und Befangenheit in diesem Sinn liegen nach der Rechtsprechung vor, wenn im Einzelfall anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände Gegebenheiten aufscheinen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit eines Gerichtsmitglieds zu erwecken. Dabei ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Voreingenommenheit hervorrufen. Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass das Gerichtsmitglied tatsächlich befangen ist (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1.2).
Ein Ausstandsgrund ist unverzüglich geltend zu machen, mithin bei erster Gelegenheit nach dessen Kenntnisnahme. Ansonsten verwirkt das Recht auf seine Anrufung. Es würde gegen Treu und Glauben verstossen, Einwendungen dieser Art erst im Rechtsmittelverfahren vorzubringen, wenn der Mangel schon vorher hätte geltend gemacht werden können (<ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 3.2.1).
3.4. Obgleich der Beschwerdeführer den Ausstand sowohl des Instruktionsrichters als auch der Gerichtsschreiberin verlangt, führt er einzig aus, weshalb beim Richter der Anschein der Befangenheit bestehe. Zu der Gerichtsschreiberin äussert er sich nicht. Damit genügt die Beschwerde insoweit den Begründungsanforderungen nicht (vgl. <ref-law> und dazu <ref-ruling> E. 1.3 sowie vorne E. 1.3). Die angebliche Befangenheit des Instruktionsrichters begründet der Beschwerdeführer mit dessen Verhalten während des Verfahrens, namentlich an der Instruktionsverhandlung vom 20. April 2017. Er soll dem Beschwerdeführer den Beschwerderückzug nahe gelegt und erheblichen Druck auf diesen ausgeübt haben. Weshalb der Beschwerdeführer dies erst vor Bundesgericht vorbringt und er den Ausstand des Instruktionsrichters nicht umgehend beantragt hat, führt er nicht aus. Ein Grund für dieses Zuwarten ist auch nicht offensichtlich: Gelegenheit zum Vorbringen des Ausstandsgrundes hätte der Beschwerdeführer bereits an der Instruktionsverhandlung vom 20. April 2017 gehabt. Ein Ablehnungsbegehren hätte er auch in den darauf folgenden Tagen schriftlich stellen können. Nachdem der Beschwerdeführer dies nicht getan hat, hat er das Recht zur Anrufung des Ablehnungsgrundes verwirkt. Die Beschwerde erweist sich insoweit als unbegründet, soweit auf sie einzutreten ist.
4.
4.1. In der Sache strittig ist der Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts über B._ und deren Unterbringung bei E._. Die Vorinstanz stützte sich in ihrem Entscheid neben <ref-law> massgeblich auf Abs. 3 dieser Bestimmung, was der Beschwerdeführer kritisiert. Einschlägig sei allein <ref-law>. So oder anders sei die getroffene Massnahme aber nicht rechtmässig. Damit sind vorab die gesetzlichen Grundlagen zu klären und ist nachfolgend zu prüfen, ob diese korrekt angewandt worden sind.
Gemäss <ref-law> trifft die Kindesschutzbehörde die geeigneten Massnahmen zum Schutz des Kindes, wenn dessen Wohl gefährdet ist und die Eltern nicht von sich aus für Abhilfe sorgen oder sie dazu ausserstande sind. Kann der Gefährdung des Kindes nicht anders begegnet werden, so hat die Kindesschutzbehörde es den Eltern oder, wenn es sich bei Dritten befindet, diesen wegzunehmen und in angemessener Weise unterzubringen (<ref-law>). Hat ein Kind längere Zeit bei Pflegeeltern gelebt, so kann die Kindesschutzbehörde den Eltern seine Rücknahme untersagen, wenn diese die Entwicklung des Kindes ernstlich zu gefährden droht (<ref-law>).
4.2. Bei Scheidung der Ehe zwischen C._ und dem Beschwerdeführer am 8. Dezember 2014 - für die Regelung des Kindesverhältnisses war die auf den 1. Juli 2014 in Kraft getretene Fassung des Gesetzes (AS 2014 357 ff.) massgebend (vgl. <ref-law>) - beliess das Gericht die elterliche Sorge bei beiden Elternteilen (vgl. Art. 296 Abs. 2 und Art. 298 Abs. 1 ZGB). Die faktische Obhut über die Tochter, d.h. deren tägliche Betreuung, Pflege und laufende Erziehung (vgl. <ref-ruling> E. 4.1), übertrug es der Mutter (vgl. "Urteils-Meldung" des Richteramtes Olten-Gösgen vom 9. Januar 2015). Das Recht, über den Aufenthaltsort des Kindes zu bestimmen, verblieb als Teil der elterlichen Sorge (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 4) damit bei beiden Elternteilen und steht dem Beschwerdeführer seit dem Tod der Mutter alleine zu (vgl. <ref-law>; Urteil 5A_684/2014 vom 3. Dezember 2014 E. 2.1, in: FamPra.ch 2015 S. 239). Wie das Verwaltungsgericht richtig erkennt, stellt sich unter diesen Umständen die Frage nach dem Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts, wenn die heutige Wohnsituation von B._ erhalten und verhindert werden soll, dass der Beschwerdeführer die Tochter zu sich nimmt. Betroffen ist damit der Regelungsgehalt von <ref-law> (vgl. dazu Urteil 5A_402/2016 vom 16. Januar 2017 E. 3; AFFOLTER-FRINGELI/VOGEL, a. a.O., N. 11 ff. zu Art. 310/314b ZGB).
Zutreffend erkennt das Verwaltungsgericht weiter, dass der Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts nach <ref-law> nicht nur dann möglich ist, wenn ein Kind entsprechend dem Gesetzeswortlaut den sorgeberechtigten Eltern weggenommen und neu untergebracht werden soll, sondern auch dann, wenn der Entzug verhindern soll, dass eine bestehende Pflegelösung rückgängig gemacht wird (vgl. Urteil 5A_550/2016 vom 3. Februar 2017 E. 3.3 mit Hinweis auf PETER BREITSCHMID, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 5. Aufl. 2014, N. 3 zu <ref-law>). Mit Blick auf das Kindeswohl, dessen Wahrung sämtliche Kindesschutzmassnahmen bezwecken (<ref-law>; Urteil 5A_65/2017 vom 24. Mai 2017 E. 3.5), spielt dabei keine Rolle, wie die aufrechtzuerhaltende Betreuungssituation entstanden ist. Erfasst wird folglich auch der vorliegende Fall, in dem nach dem Tode des betreuenden Elternteils sichergestellt werden soll, dass das Kind in seinem bisherigen Umfeld bleibt und nicht zum überlebenden Elternteil zurückkehrt. Das Verwaltungsgericht erwägt sodann zu Recht, dass die für den Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts vorausgesetzte Gefährdung des Kindeswohls in diesen Fällen nicht an der bestehenden Situation zu messen ist, die aufrechterhalten werden soll. Vielmehr ist zu prüfen, ob das Wohl des Kindes durch die neu in Aussicht genommene Betreuungsregelung gefährdet würde. Hierbei sind, da die Beendigung der früheren Betreuungslösung in Frage steht, die Kriterien von <ref-law> zu beachten (Urteil 5A_550/2016 vom 3. Februar 2017 E. 4.2; in der vorliegenden Situation die Anwendung von <ref-law> bejahend auch AFFOLTER-FRINGELI/VOGEL, a.a.O., N. 7 zu <ref-law>; CYRIL HEGNAUER, Elterliche Sorge bei Tod eines geschiedenen Elters, <ref-law>, in: Zeitschrift für Vormundschaftswesen, ZVW, 55/2000, S. 57 ff., 59).
4.3. Damit ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz über den Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts des Beschwerdeführers unter Anwendung der Kriterien von <ref-law> entschieden hat. Fraglich bleibt, ob der Umzug von B._ zum Beschwerdeführer die Entwicklung des Kindes ernstlich zu gefährden droht, wie es diese Bestimmung voraussetzt.
Hierbei ist nach der Rechtsprechung entscheidend, ob die seelische Verbindung zwischen dem betroffenen Elternteil und dem Kind intakt ist und ob dessen Erziehungsfähigkeit und Verantwortungsbewusstsein eine Übertragung der faktischen Obhut unter Beachtung des Kindeswohls rechtfertigen. Es gilt, den Anspruch des Elternteils auf persönliche Betreuung gegen das Interesse des Kindes an einer stabilen Beziehung und geeigneter Förderung abzuwägen (<ref-ruling> E. 5 und 6; Urteil 5A_980/2015 vom 26. Januar 2016 E. 2.1 mit zahlreichen Hinweisen). In die Abwägung einzubeziehen sind namentlich auch der Wunsch des betroffenen Kindes, dessen Alter sowie die bisherige Dauer der bestehenden Pflegelösung (Urteil 5A_88/2015 vom 5. Juni 2015 E. 4.3.2, in: FamPra.ch 2015 S. 992). Unerheblich ist, auf welchen Ursachen die Gefährdung des Kindes im Falle seiner Rückplatzierung beruht. Sie kann in den Anlagen oder in einem Fehlverhalten des Kindes oder des Elternteils oder auch in der weiteren Umgebung gründen. Desgleichen spielt keine Rolle, ob den Elternteil ein Verschulden trifft (Urteil 5A_88/2015 vom 5. Juni 2015 E. 4.3.1 mit Hinweis, in: FamPra.ch 2015 S. 992). Bei der Beurteilung der Situation steht dem Sachgericht ein Ermessen im Sinne von <ref-law> zu, welches das Bundesgericht nur mit Zurückhaltung überprüft (vgl. statt vieler Urteil 5A_707/2017 vom 22. Februar 2018 E. 5.1; zum Prüfungsmassstab vgl. <ref-ruling> E. 5.3.2).
4.4. Das Verwaltungsgericht billigt dem Beschwerdeführer zu, ein guter Vater und imstande zu sein, die Tochter zu betreuen. Die 15-jährige und insoweit urteilsfähige B._ wolle aber ihre Wohnsituation beibehalten und nicht zum Vater ziehen. Dies gelte es zu respektieren: Werde ein Kind entgegen seinem ausdrücklich und konstant geäusserten Willen aus einer seinem Wohl entsprechenden Betreuungssituation gerissen und zum anderen Elternteil umplatziert, verstosse dies nicht nur gegen sein Persönlichkeitsrecht, sondern auch gegen das Kindeswohl, welches im Mittelpunkt stehe. Der Ort der Unterbringung könne zwar nicht in jedem Fall vom Willen des Kindes abhängig gemacht werden. B._ sei durch den Tod der Mutter aber massiv belastet. In dieser Situation müsse alles dafür getan werden, um ihr Stabilität und ein ihren Bedürfnissen entsprechendes Umfeld zu garantieren. Nur so könne sie den grossen Schmerz verarbeiten und sich altersentsprechend entwickeln. Diese Stabilität sei in ihrem derzeitigen Umfeld gegeben, wo das Kind mit seinen engsten Bezugspersonen zusammen wohne. Nicht zumutbar sei B._ insbesondere die Trennung von ihrer älteren Schwester, welche ebenfalls bei E._ wohne und zu der sie seit dem Tod der Mutter eine enge Beziehung entwickelt habe. Durch den Umzug würde B._ ausserdem noch stärker in einen Loyalitätskonflikt geraten, da die Schwester den Kontakt zum Vater verweigere. Die Rückkehr zum Beschwerdeführer gefährde daher das Kindeswohl. Ohnehin lasse der Beschwerdeführer bei der Erziehung seiner Tochter das nötige Feingefühl vermissen, weil er ihre Bedürfnisse nicht respektiere, vielmehr seine eigenen Wünsche in den Mittelpunkt stelle. Auch die KESB verweist auf das Alter und den klaren Willen des Kindes, nicht beim Vater leben zu wollen.
B._ betont die starke Bindung zu ihrem derzeitigen Umfeld. Dort sei ihre Familie, die biologische Abstammung vom Beschwerdeführer sei subsidiär. Sie wolle sich keinesfalls beim Vater aufhalten, zu dem sie ein gestörtes Verhältnis habe. Weder sei die Beziehung gut noch werde sie gelebt. Bereits die Trennung und Scheidung der Eltern sei traumatisierend gewesen, der Vater sei gegen die Mutter und den Bruder gewalttätig geworden und habe die Schwester laufend "beschuldigt". Heute torpediere der Vater ihren Willen und erkläre ihr Umfeld zum Feind. Sie fühle sich unverstanden, übergangen, fremdbestimmt und nicht ernst genommen. Zwar möchte sie den Vater nicht verletzen, zu ihm ziehen aber auch nicht.
4.5. Der Beschwerdeführer vermag die Überlegungen des Verwaltungsgerichts nicht in Frage zu stellen:
4.5.1. Als offensichtlich unhaltbar rügt der Beschwerdeführer die Darstellung der Beziehung zwischen B._ und E._ durch die Vorinstanz. Dieser habe erst seit Dezember 2016 mit der verstorbenen Kindsmutter und den Töchtern in einer Wohnung gelebt. Von einer langjährigen Beziehung könne keine Rede sein. Auch könne E._ sich nicht durchsetzen und B._ habe nirgends ausgesagt, dieser sei eine Vaterfigur. Der Anhörung vom 20. Oktober 2016 sei vielmehr zu entnehmen, dass das Kind die Schwester und die Grosseltern als Hauptbezugsperson sehe. An anderer Stelle führt der Beschwerdeführer aus, nach dem Tod der Mutter sei er als Vater die Hauptbezugsperson der Tochter.
Aus der auch vom Beschwerdeführer zitierten Anhörung wie aus seiner Stellungnahme vor Bundesgericht ergibt sich, dass für das Kind vorab das bestehende Beziehungssystem von Bedeutung ist, zu dem neben der Schwester und den Grosseltern mütterlicherseits auch E._ zählt. Zwar gab B._ zu Protokoll, ihre Hauptbezugsperson sei ihre Schwester und hat sie E._ erst an dritter Stelle genannt. Dies lässt aber die Feststellung des Verwaltungsgerichts, die engsten Bezugspersonen, zu denen auch E._ zählt, befänden sich in dem derzeitigen Umfeld des Kindes, nicht als willkürlich erscheinen. Zumal auch das Verwaltungsgericht auf die enge Bindung des Kindes zu seiner Schwester hinweist. Aktenwidrig ist demgegenüber die Behauptung, der Beschwerdeführer sei die engste Bezugsperson seiner Tochter. Unklar bleibt, was der Beschwerdeführer aus der weiteren Rüge ableiten will, die Fremdplatzierung sei nur "vordergründig" bei E._ erfolgt. Soweit er damit auf die engere Beziehung zwischen den beiden Schwestern hinweist, ist ihm entgegenzuhalten, dass auch die ältere Tochter bei E._ lebt. Die Platzierung von B._ bei diesem ist daher folgerichtig. Unerheblich bleibt sodann der Hinweis des Beschwerdeführers, dass E._ erst seit Dezember 2016 "offiziell" in der Wohnung der verstorbenen Kindsmutter lebe. Dies allein besagt nichts über die Qualität des Verhältnisses zwischen E._ und B._, zumal die Beziehung zwischen Ersterem und der Kindsmutter unstrittig länger angedauert hat.
Keine ausreichende Sachverhaltsrüge (vgl. vorne E. 1.3) erhebt der Beschwerdeführer sodann, soweit er ausführt, er habe "grosse und berechtigte Zweifel" daran, dass die derzeitige Situation eine stabile Lebenssituation für seine Tochter sei. Insoweit äussert er blosse Vermutungen zu den bestehenden Verhältnissen ohne mit der nötigen Klarheit darzulegen, weshalb die Darstellung der Vorinstanz offensichtlich unhaltbar sein soll.
4.5.2. Unbestritten ist, dass der Vater grundsätzlich erziehungsfähig und in der Lage wäre, seine Tochter zu betreuen. Wie ausgeführt, ist dies allein für den Entscheid über den Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts aber nicht entscheidend. Der Beschwerdeführer vermag daher aus dem Umstand, "dass [bei ihm] keine derart gravierende Schwäche vorliegt, die den Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts [nach <ref-law>] erforderlich machen würde", nichts Entscheidendes zu seinen Gunsten abzuleiten. Dass das Verwaltungsgericht die Erziehungsfähigkeit des Vaters überhaupt nicht in seinen Entscheid einbezogen hätte, wird sodann nicht geltend gemacht.
4.5.3. Mit Blick auf die Interessen des Kindes an der Beibehaltung der derzeitigen Situation bringt der Beschwerdeführer vor, mit einem Aufenthaltswechsel seien für B._ keine allzu grossen Umstellungen verbunden. Er habe bis zur Trennung mit der Kindsmutter im Jahre 2010 mit dem Kind zusammen gelebt und es habe auch seither regelmässige Besuchs- und Ferienkontakte gegeben. Ausserdem wohne er in der Nähe des heutigen Aufenthaltsorts der Tochter, sodass diese bei einem Umzug nicht aus ihrer bekannten Umgebung gerissen werde und sie ihre sozialen Kontakte weiterhin pflegen könne.
Damit vermag der Beschwerdeführer die Ermessensausübung durch das Verwaltungsgericht nicht als rechtsfehlerhaft erscheinen zu lassen: Vorab kommt einem dauernden Zusammenleben eine gänzlich andere Qualität zu als (gelegentlichen) Kontakten im Rahmen von Besuchen oder Ferienaufenthalten. Auch wenn der Kontakt zwischen dem Beschwerdeführer und der Tochter nach der Trennung der Kindseltern nicht abgerissen ist, vermag Ersterer daher nichts Entscheidendes aus der Ausübung des Besuchs- und Ferienrechts abzuleiten. Der Beschwerdeführer selbst führt sodann aus, dass das jüngste Zusammenleben mit der Tochter im Zeitpunkt des vorinstanzlichen Entscheids bereits sieben Jahre zurücklag. Inwiefern der Umzug zum Vater für das Kind hierdurch erleichtert werden sollte, ist nicht ersichtlich. Unzweifelhaft stellt der Wegzug aus der bisherigen Wohnsituation für das Kind sodann einen starken Einschnitt in den Lebensumständen dar. Dieser vermöchte zwar dadurch etwas abgemildert werden, dass mit ihm nicht der Kontaktabbruch zu den bisherigen Bezugspersonen verbunden wäre und B._ auch örtlich nicht entwurzelt würde, womit etwa kein Schulwechsel nötig wäre. Dies lässt es aber nicht als bundesrechtswidrig erscheinen, wenn die Vorinstanz davon ausgeht, dass ein Umzug die Verhältnisse destabilisieren würde.
4.5.4. Unbehelflich bleibt weiter der Einwand des Beschwerdeführers, es gereiche B._ und allen Beteiligten zum Nachteil, wenn die ältere Tochter, D._, die Mutterrolle übernehme und "den Kampf der verstorbenen Mutter gegen den Beschwerdeführer" fortsetze. Dem angefochtenen Urteil lässt sich zwar entnehmen, dass die ältere Tochter den Beschwerdeführer ablehnt und den Kontakt zu diesem abgebrochen hat. Auch befindet sich B._ deswegen in einem gewissen Loyalitätskonflikt. Hieraus ergeben sich indes keine Anhaltspunkte auf eine Gefährdung von B._ im bestehenden Umfeld. Auch kann daraus nicht geschlossen werden, dass sie nicht in der Lage wäre, ihren Willen bezüglich des Lebens mit dem Vater autonom zu bilden (vgl. dazu <ref-ruling> E. 5.1; Urteile 5A_666/2017 vom 27. September 2017 E. 5, in: FamPra.ch 2018 S. 249; 5A_149/2017 vom 19. April 2017 E. 5.1, in: SZIER 2017 S. 233). Die Vorbringen des Beschwerdeführers sind sodann nicht geeignet, die diesbezüglichen tatsächlichen Feststellungen des Verwaltungsgerichts als offensichtlich unhaltbar erscheinen zu lassen (vgl. vorne E. 1.3). Unbestritten ist die vom Verwaltungsgericht in Aussicht genommene Lösung sodann für den Beschwerdeführer weniger vorteilhaft, als wenn er die Tochter selbst betreuen könnte. Dies ist aber Folge des Entzugs des Aufenthaltsbestimmungsrechts und trägt zu der hier vorzunehmenden Interessenabwägung nichts bei.
4.5.5. Der Beschwerdeführer kritisiert sodann, dass das Verwaltungsgericht sehr stark auf den Wunsch der Tochter abgestellt hat, die bisherige Betreuungslösung beizubehalten. Die von der Vorinstanz insoweit zitierte Rechtsprechung sei nicht einschlägig.
Wie dargelegt ist es vorab im Grundsatz nicht zu beanstanden, dass das Verwaltungsgericht auch den Willen des Kindes in seine Überlegungen einbezogen hat. Ebenfalls wurde bereits festgehalten, dass die im Zeitpunkt des vorinstanzlichen Urteils 15-jährige B._ in der Lage ist, sich zur Frage ihres Aufenthalts einen eigenen Willen zu bilden. Dieser Wille darf zwar nicht mit dem Kindeswohl gleichgesetzt werden (vgl. Urteil 5A_266/2017 vom 29. November 2017 E. 7.1). Auch können Kinder nicht in Eigenregie bestimmen, ob und zu welchen Bedingungen sie Umgang mit einem (nicht sorge- oder obhutsberechtigten) Elternteil haben (vgl. Urteil 5A_656/2016 vom 14. März 2017 E. 4 mit Hinweis). Nach einer zum Recht auf persönlichen Verkehr ergangenen Rechtsprechung ist aber mit fortschreitendem Alter des Kindes zunehmend dessen geäussertem Willen Rechnung zu tragen und ist es zu respektieren, wenn ein fast volljähriges Kind den Verkehr mit einem Elternteil ablehnt (vgl. <ref-ruling> E. 2b; Urteile 5A_745/2015 und 5A_755/2015 vom 15. Juni 2016 E. 3.2.2.2; 5A_528/2015 vom 21. Januar 2016 E. 5.1). Angesichts der Ähnlichkeit der zu beurteilenden Situationen ist es nicht bundesrechtswidrig, dass das Verwaltungsgericht vorliegend auf diese Rechtsprechung abgestellt hat. Es durfte damit den Willen von B._ berücksichtigen und diesem in seinem Entscheid ein grosses Gewicht beimessen.
4.5.6. Der Beschwerdeführer bringt ausserdem vor, dass er zu seiner Tochter trotz der schwierigen Umstände eine gelebte und gute Beziehung habe, an der er stets gearbeitet und für die er immer gekämpft habe. In diesem Zusammenhang verweist er unter Hinweis auf PETER BREITSCHMID, a.a.O., N. 25 zu <ref-law>, darauf, dass <ref-law> "nicht angerufen werden [könne], wenn die Voraussetzungen zur Erteilung der Aufenthaltsbestimmungsbefugnis beim leiblichen Elternteil vorliegen und sich die Eltern während der Fremdplatzierung um den Aufbau bzw. die Fortführung der persönlichen Beziehung zum Kind bemüht haben".
Der Beschwerdeführer geht in seinen Ausführungen davon aus, dass ihm das Aufenthaltsbestimmungsrecht belassen werden kann ("wenn die Voraussetzungen zur Erteilung der Aufenthaltsbestimmungsbefugnis [...] vorliegen"). Ob dies der Fall ist, gilt es aber erst gerade zu entscheiden. Sein Einwand geht damit von vornherein an der Sache vorbei. Ohnehin will <ref-law> nach der Rechtsprechung, auf die auch PETER BREITSCHMID sich an der angegebenen Stelle bezieht, einzig verhindern, dass ein fremdplatziertes Kind, das längere Zeit am Pflegeort gelebt hat und dort verwurzelt ist, unversehens von diesem weggenommen und so in seiner seelisch-geistigen und körperlichen Entwicklung ernsthaft gefährdet wird. Diese Bestimmung könne nicht gegen die ernste Absicht der Eltern, die sich trotz der Fremdplatzierung um den Aufbau und die Pflege einer persönlichen Beziehung zu ihrem Kind bemüht haben, angerufen werden, das Kind "eines Tages" wieder selbst zu betreuen und erziehen (<ref-ruling> E. 5; vgl. auch Urteil 5A_88/2015 vom 5. Juni 2015 E. 4.3.1, in: FamPra.ch 2015 S. 992). Folglich räumt die Rechtsprechung den sich sorgenden Eltern nicht einen unbedingten Anspruch auf sofortige Rückübertragung des Aufenthaltsbestimmungsrechts ein, wie der Beschwerdeführer dies offenbar meint. Vielmehr stellt sie sicher, dass das Kind keinen sein Wohl gefährdenden Betreuungswechsel über sich ergehen lassen muss, selbst wenn die Eltern die Betreuung grundsätzlich wieder übernehmen könnten. Der Beschwerdeführer vermag aus seinem Vorbringen somit nichts zu der Frage abzuleiten, ob ihm das Aufenthaltsbestimmungsrecht zu Recht entzogen wurde.
4.5.7. Der Beschwerdeführer verwehrt sich weiter gegen den Vorwurf, seine eigenen Wünsche in den Mittelpunkt zu stellen und das nötige Feingefühl bei der Erziehung der Tochter vermissen zu lassen. Nicht er habe das vorliegende Verfahren in Gang gesetzt, sondern die KESB; und dies, obgleich keine Gefährdungsmeldung vorgelegen habe und die Behörde die Angelegenheit der Familie und dem Beistand hätte überlassen können.
Wie ausgeführt sind mit Blick auf den Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts die Ursachen der Kindeswohlgefährdung unerheblich, die zum behördlichen Eingriff führen. Auf ein Verschulden der Beteiligten kommt es nicht an. Mithin spielt keine Rolle, ob der Beschwerdeführer den bestehenden Zustand geschaffen oder begünstigt hat. Entscheidend ist einzig, ob die Eingriffsvoraussetzungen vorliegen. Die Vorbringen des Beschwerdeführers gehen daher an der Sache vorbei. Ebenfalls nicht zu beanstanden ist es sodann, dass die Kindesschutzbehörde ein Verfahren einleitete, nachdem sie Kenntnis von den massgebenden Umständen erlangt hat. Nicht ersichtlich und auch nicht hinreichend präzise geltend gemacht ist weiter, welche milderen Massnahmen als der Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts hätten ergriffen werden können, um den Verbleib von B._ bei E._ effektiv sicherzustellen.
4.5.8. Nach Ansicht des Beschwerdeführers hätte die Vorinstanz schliesslich ein Gutachten über die Zumutbarkeit des Umzugs von B._ einholen müssen. Indessen rügt er weder, dass das Verwaltungsgericht einen entsprechenden Beweisantrag missachtet oder zu Unrecht abgewiesen hätte (vgl. vorne E. 1.3), noch führt er aus oder begründet er auch nur ansatzweise, dass der entsprechende Antrag erstmals vor Bundesgericht gestellt werden könnte (vgl. vorne E. 1.4). Hierauf ist nicht einzugehen.
4.6. Zusammenfassend ist der Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts des Beschwerdeführers ebenso wenig zu beanstanden wie die Unterbringung von B._ bei E._.
Damit ist die Beschwerde auch insoweit unbegründet, als sie sich gegen den Entzug der Befugnis zur Verwaltung des Vermögens und Einkommens von B._ richtet. In seinen diesbezüglichen Ausführungen geht der Beschwerdeführer davon aus, dass B._ künftig bei ihm lebt, was wie dargelegt nicht der Fall sein wird. Seiner Argumentation ist damit die Grundlage entzogen.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer rügt im Zusammenhang mit der Abweisung seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege im vorinstanzlichen Verfahren weiter eine Verletzung von <ref-law>.
Auch das Recht auf unentgeltliche Rechtspflege im Verfahren vor den Kindesschutzbehörden ist nicht im ZGB geregelt (vgl. Urteil 5A_550/2016 vom 3. Februar 2017 E. 6.2). Massgebend ist § 76 VRG/SO (vgl. § 145 Abs. 1 EG ZGB/SO), dessen Anwendung das Bundesgericht nur auf die Verletzung von Bundesrecht, insbesondere verfassungsmässiger Rechte, und auf entsprechende Rüge hin prüft (vgl. zum Ganzen vorne E. 3.2). Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege ergibt sich indessen auch aus <ref-law>. Da nicht geltend gemacht ist, dass das kantonale Recht hierüber hinausgehen würde, ist die Beschwerde unter dem Blickwinkel der Verfassungsbestimmung zu beurteilen. Entsprechend prüft das Bundesgericht frei, ob der strittige Anspruch verletzt worden ist (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 2.1).
5.2. Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Eine Person ist bedürftig, wenn sie nicht in der Lage ist, für die Prozesskosten aufzukommen, ohne das für ihren Unterhalt und denjenigen ihrer Familie notwendige Existenzminimum zu schmälern. Bei der Prüfung der Bedürftigkeit ist die gesamte finanzielle Lage der gesuchstellenden Person im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuches zu berücksichtigen. Die gesuchstellende Person muss ihre Einkünfte, ihre Vermögenslage und ihre finanziellen Verpflichtungen vollständig angeben und soweit möglich belegen. Die Gesamtheit der tatsächlichen finanziellen Mittel einerseits und sämtliche finanziellen Verpflichtungen andererseits sind gegeneinander abzuwägen. Das Bundesgericht prüft wie gesagt frei, ob die Kriterien zur Bestimmung der Bedürftigkeit im Hinblick auf die Verfassungsbestimmung zutreffend angewendet worden sind; es überprüft jedoch die tatsächlichen Feststellungen der kantonalen Behörde nur auf Willkür hin (vgl. vorne E. 1.3; vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 5.1).
5.3. Nach Darlegung der finanziellen Lage des Beschwerdeführers kommt die Vorinstanz zum Schluss, dass dieser von dem Entgelt nicht leben könne, das er sich durch das Unternehmen seines Vaters - bei diesem ist er angestellt - ausbezahlen lasse. Seine Ausführungen machten deutlich, dass er zusätzlich über Einkommen oder Vermögen verfügen müsse, welches er aber nicht offenlege. Anders sei nicht zu erklären, dass er ohne Anhäufung von Schulden den Mietzins einer grossen Wohnung, die Sanierung einer Liegenschaft sowie seinen Unterhalt und teilweise denjenigen seiner Töchter finanzieren könne. Mangels Offenlegung seiner gesamten finanziellen Situation vermöge er seine Bedürftigkeit daher nicht nachzuweisen.
Der Beschwerdeführer bestreitet demgegenüber, seine finanziellen Verhältnisse nicht vollständig offengelegt zu haben. Die Erstinstanz habe ihm das Recht auf unentgeltliche Rechtspflege gewährt. Seither hätten sich seine finanziellen Verhältnisse nicht verändert. Tatsächlich könne er mit seinem bescheidenen Einkommen seinen Bedarf nicht decken und sei deshalb auf ein Darlehen seines Arbeitgebers angewiesen, das zwischenzeitlich habe erhöht werden müssen. Das Darlehen sei in der Steuererklärung ausgewiesen und von den Steuerbehörden akzeptiert. Es treffe daher nicht zu, dass er keine Schulden habe anhäufen müssen, um seinen Lebensunterhalt zu finanzieren. Die auf seiner Liegenschaft lastende Hypothek könne er sodann nicht mehr erhöhen. Von der Bank habe er aber einen Aufschub für die Bezahlung der Hypothekarzinsen erhalten.
5.4. Die um unentgeltliche Rechtspflege nachsuchende Person hat ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse darzulegen und sich zur Sache sowie über ihre Beweismittel zu äussern. Es trifft sie eine umfassende Mitwirkungsobliegenheit, deren Verletzung die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege zur Folge hat (vgl. E. 5.2 hiervor; <ref-ruling> E. 4a; <ref-ruling> E. 3a; Urteile 2C_4/2018 vom 21. Februar 2018 E. 2.3; 5A_75/2017 vom 19. Januar 2018 E. 4.1; 5A_761/2014 vom 26. Februar 2014 E. 3.2). Massgebend sind die Verhältnisse im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung (<ref-ruling> E. 5.1).
Das Verwaltungsgericht hat nicht übersehen, dass der Beschwerdeführer in dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege neben der auf seiner Liegenschaft lastenden Hypothek Schulden bei seiner Arbeitgeberin ausgewiesen hat. Auf das entsprechende Darlehen hat es in seinem Entscheid ausdrücklich verwiesen.Dennoch kam es in Würdigung sämtlicher Umstände des Einzelfalls zum Schluss, der Beschwerdeführer habe seine finanziellen Verhältnisse in Verletzung seiner Mitwirkungspflicht nicht hinreichend ausgewiesen. In seiner hiergegen gerichteten Kritik geht der Beschwerdeführer von einem gegenüber dem angefochtenen Urteil ergänzten Sachverhalt aus (insbesondere Erhöhung der Darlehensssumme). Die zum Nachweis dieser Umstände vor Bundesgericht eingereichten Beweismittel sind allerdings nicht zu berücksichtigen:Soweit es sich nicht um grundsätzlich unbeachtliche echte Noven handelt, zeigt der Beschwerdeführer nicht auf, weshalb er die fraglichen Unterlagen erst im bundesgerichtlichen Verfahren erstmals sollte in den Prozess einführen können (vgl. dazu vorne E. 1.4). Dies gilt namentlich für die Steuererklärung 2015, den Darlehensvertrag vom 1. Februar 2017 sowie den Entscheid der KESB vom 7. Juni 2017 betreffend Pflegevertrag. Unter diesen Umständen vermag der Beschwerdeführer die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz nicht als offensichtlich unhaltbar erscheinen zu lassen (vgl. dazu vorne E. 1.3). Ausgehend von dem durch das Verwaltungsgericht willkürfrei festgestellten Sachverhalt ist die vom Beschwerdeführer erhobene Kritik nicht geeignet, dessenÜberlegungenals verfassungswidrig erscheinen zu lassen. Damit durfte die Vorinstanz die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers verneinen und dessen Gesuch abweisen. Die Beschwerde erweist sich auch diesbezüglich als unbegründet.
6.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Anspruch auf eine Parteientschädigung hat er nicht (<ref-law>) und er hat die Kosten der Kindesvertreterin zu übernehmen (vgl. dazu Urteile 5A_557/2017 vom 16. Februar 2018 E. 6.2, in: FamPra.ch 2018 S. 605; 5A_529/2014 vom 18. Februar 2015 E. 8.3). Allerdings hat der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege ersucht. Dieses Gesuch ist gutzu heissen, nachdem der Beschwerdeführer vor Bundesgericht seine Bedürftigkeit hinreichend dargelegt hat, womit er von der Bezahlung der ihm auferlegten Kosten zu befreien und ihm seine Anwältin als unentgeltliche Rechtsvertreterin beizuordnen ist (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Der Beschwerdeführer wird darauf hingewiesen, dass er der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn er dazu später in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen und es wird ihm Rechtsanwältin Therese Hintermann als unentgeltliche Rechtsvertreterin beigeordnet.
3.
3.1. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- (einschliesslich der Kosten der Kindesvertreterin) werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
3.2. Die Kindesvertreterin wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'500.-- entschädigt.
4.
Rechtsanwältin Hintermann wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 3'000.-- entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Olten-Gösgen, B._, E._ und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Juli 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber