Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 18. Juni 2018 verweigerte das Migrationsamt Solothurn A.A._, brasilianische Staatsangehörige, die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung und wies sie aus der Schweiz weg. Die Ausreisefrist wurde auf den 30. September 2018 festgesetzt und die Verfügung erwuchs in Rechtskraft.
A.A._ hat drei Töchter (Jahrgang 2001, 2002 und 2007) und zwei Söhne (Jahrgang 2009 und 2013). Die beiden älteren Töchter sind bereits volljährig, während ihr für die jüngste Tochter B.A._ das Aufenthaltsbestimmungsrecht entzogen wurde. Die Tochter lebt im Kinderheim und mittlerweile wurde A.A._ ebenfalls die elterliche Sorge entzogen. Ihre beiden Söhne (C._ und D.A._) haben Wohnsitz im Kinderheim und die elterliche Sorge wurde entsprechend beschränkt.
B.
A.A._ ist per 31. Dezember 2018 aus dem Einwohnerregister der Gemeinde Olten abgemeldet worden. Am 13. August 2019 wurde sie bei der Ausübung der Prostitution einer Personenkontrolle unterzogen. Nach der erneuten Anmeldung in Olten wurde A.A._ ab dem 1. September 2019 von der Sozialhilfe unterstützt. Ab ca. März 2020 hatte das Sozialamt keine Kenntnis mehr vom Aufenthaltsort von A.A._. Am 26. Juli 2020 wurde sie angehalten und zwecks Verbüssung einer Ersatzfreiheitsstrafe aufgrund offener Bussen (Strafbefehle wegen Diebstahl sowie unzulässiger Ausübung der Prostitution) bis am 2. September 2020 ins Untersuchungsgefängnis Solothurn überführt. Am 10. August 2020 stellte sie unter dem Namen E._ eine Aufenthaltsgesuch für nichterwerbstätige Drittstaatsangehörige. Auf dieses Gesuch trat das Migrationsamt Solothurn mit Verfügung vom 3. September 2020 nicht ein.
Bereits am 20. August 2020 ersuchte das Migrationsamt Solothurn das Staatssekretariat für Migration (SEM) um Rückkehrunterstützung sowie Hilfe bei der Papierbeschaffung. A.A._ wurde bei der Botschaft des Heimatlandes (Brasilien) vorgestellt und die Botschaft sicherte die Ausstellung eines Laissez-Passer zu. Mit ihrer Zustimmung wurde für den 5. September 2020 ein Rückflug nach Sao Paulo sowie auf ihr Ersuchen ein Anschlussflug nach Belo Horizonte gebucht.
C.
In der Folge genehmigte mit Verfügung vom 4. September 2020 das Haftgericht die vom Migrationsamt Solothurn namens des Departements des Innern mit Verfügung vom 2. September 2020 gegen A.A._ angeordnete Ausschaffungshaft vom 3. September 2020 bis 2. Dezember 2020 und sie wurde vom Strafvollzug in die Administrativhaft überführt. Der für den 5. September 2020 gebuchte Rückflug wurde annulliert, nachdem A.A._ mit Eingabe vom 4. September 2020 beim SEM ein Asylgesuch eingereicht hatte. Aus diesem Grund ersuchte sie gleichentags das Migrationsamt Solothurn mittels eines superprovisorischen Gesuchs um umgehende Aussetzung des Wegweisungsvollzugs.
D.
Gegen die Verfügung des Haftgerichts vom 4. September 2020 gelangte A.A._ mit Beschwerde vom 7. September 2020 an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und beantragte, das Urteil des Haftgerichts vom 4. September 2020 sei aufzuheben und sie sei unverzüglich aus der Administrativhaft zu entlassen.
Mit Verfügung vom 8. September 2020 genehmigte das Haftgericht die vom Migrationsamt Solothurn namens des Departement des Innern mit Verfügung vom 7. September 2020 angeordnete Vorbereitungshaft vom 4. September 2020 bis am 3. Dezember 2020, welche anstelle der vorherigen Ausschaffungshaft trat. Der Antrag der Rechtsvertretung um Einsetzung als unentgeltlicher Rechtsbeistand wurde abgewiesen. Dagegen gelangte A.A._ mit Beschwerde vom 15. September 2020 erneut an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und beantragte, das Urteil des Haftgerichts vom 8. September 2020 sei aufzuheben und sie sei unverzüglich aus der Administrativhaft zu entlassen. Mit Schreiben vom gleichen Tag teilte A.A._ mit, dass sie an der Beschwerde betreffend der Bestätigung der Administrativhaft vom 7. September 2020 trotz geänderter Haftart festhalte und sie die neue Beschwerdeschrift hinsichtlich der Bestätigung der Vorbereitungshaft eingereicht habe. Somit bestand je eine Beschwerde gegen die Anordnung der Ausschaffungshaft vom 4. September 2020 und eine gegen die Anordnung der Vorbereitungshaft vom 8. September 2020.
Mit Urteil vom 29. September 2020 schrieb das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn die Beschwerde vom 7. September 2020 gegen die Anordnung der Ausschaffungshaft als gegenstandslos ab. Die Beschwerde vom 15. September 2020 gegen die Anordnung der Vorbereitungshaft sowie das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wies es ebenfalls ab.
In der Folge wurde A.A._ am 5. Oktober 2020 ins Flughafengefängnis Zürich überstellt.
E.
A.A._ gelangt mit Beschwerde vom 8. Oktober 2020 in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht und beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 29. September 2020 sei aufzuheben. Sie sei unverzüglich aus der Administrativhaft zu entlassen und die Haft im Untersuchungsgefängnis in Solothurn vom 7. September 2020 bis am 6. Oktober 2020, sowie die bis heute andauernde Haft im Flughafengefängnis Zürich sei als unrechtmässig zu qualifizieren. Eventualiter sei eine mildere Massnahme nach <ref-law> anzuordnen. Subeventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Mit Verfügung vom 12. Oktober 2020 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung (unverzügliche Haftentlassung) abgewiesen. Auf die Erhebung eines Kostenvorschusses wurde einstweilen verzichtet.
Das Verwaltungsgericht sowie das Migrationsamt Solothurn beantragen die kostenfällige respektive vollumfängliche Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das SEM stellt keinen Antrag in der Sache und äussert sich nur zum hängigen Asylverfahren von A.A._. Das Haftgericht wiederum verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den kantonal letztinstanzlichen Entscheid über eine ausländerrechtliche Zwangsmassnahme ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht zulässig (Art. 82 i.V.m. Art. 86 Abs. 1 lit. d und <ref-law>; Urteile 2C_65/2020 vom 18. Februar 2020 E. 1; 2C_263/2019 vom 27. Juni 2019). Weil mit der Anordnung ausländerrechtlicher Administrativhaft ein schwerer Eingriff in die persönliche Freiheit verbunden ist, kommt dem entsprechenden Freiheitsentzug eigenständige Bedeutung zu; die Haft erscheint nicht als bloss untergeordnete Vollzugsmassnahme zur Wegweisung, weshalb der Ausschlussgrund von <ref-law> der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht entgegensteht (<ref-ruling> E. 1.1.3 S. 139 f.; <ref-ruling> E. 5.5 S. 101 f.; Urteil 2C_65/2020 vom 18. Februar 2020 E. 1). Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde (Art. 42 und Art. 100 Abs. 1 BGG) der hierzu legitimierten Beschwerdeführerin (<ref-law>) ist daher einzutreten. Die mangelhafte Bezeichnung des Rechtsmittels - sie ist bloss mit Beschwerde tituliert - schadet der Beschwerdeführerin nicht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 370 mit Hinweis).
1.2. Hinsichtlich des Begehrens betreffend der Qualifikation der Haft vom 7. September 2020 bis 6. Oktober 2020 im Untersuchungsgefängnis als unrechtmässig fehlt es prinzipiell am schutzwürdigen Interesse an der Beurteilung (<ref-law>), welches nicht nur bei der Beschwerdeeinreichung, sondern auch noch im Zeitpunkt des Urteil aktuell und praktisch sein muss.
1.2.1. Das Bundesgericht tritt aber ausnahmsweise - unter Verzicht auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses - auf eine Beschwerde dennoch ein, wenn sich die aufgeworfene Frage unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen kann, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung der Rechtsfrage wegen ihrer grundsätzlichen Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 143; <ref-ruling> E. 1.1 S. 208). In Fällen, in denen durch die EMRK geschützte Ansprüche zur Diskussion stehen (Art. 5 EMRK bzw. <ref-law>), tritt das Bundesgericht regelmässig auf Feststellungsanträge ein, auch wenn kein unmittelbares aktuelles praktisches Interesse mehr an der Beurteilung der Rechtmässigkeit des Haftregimes besteht (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 143; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 208 f.); es tut dies auch im Hinblick darauf, dass die Rügen einer Verletzung der EMRK zuerst landesintern durch das Bundesgericht beurteilt werden sollen, bevor sie allenfalls Gegenstand eines Verfahrens vor dem Europäischen Gerichtshof für Menschenrechte (EGMR) bilden (Urteil 2C_447/2019 vom 31. März 2020 E. 1.2, nicht publ. in <ref-ruling> mit Hinweisen).
1.2.2. Für die fragliche Rüge ist vom Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses abzusehen. Die aufgeworfene Frage nach den zulässigen Festhaltungsbedingungen von administrativ inhaftierten Drittstaatsangehörigen ist im Hinblick auf die Schwere des damit verbundenen Eingriffs in verfassungsmässig geschützte Positionen (Art. 10 Abs. 2 [Persönliche Freiheit] und Art. 31 [Freiheitsentzug] BV) von grundlegender Bedeutung; ihre Beantwortung liegt im öffentlichen Interesse, wobei das Bundesgericht die Problematik im Einzelfall kaum je rechtzeitig überprüfen könnte (Urteil 2C_447/2019 vom 31. März 2020 E. 1.2, nicht publ. in <ref-ruling> mit Hinweisen). Somit ist auch diese Rüge zulässig.
1.2.3. Soweit die Beschwerdeführerin beantragt, die noch andauernde Haft sei als unrechtmässig zu qualifizieren, ist dieses Begehren unter Beizug der Beschwerdebegründung so zu verstehen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 135 f.), dass es als Begründung für den Antrag zur sofortigen Entlassung aus der Administrativhaft dient, auf welches ohne Weiteres einzutreten ist.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht (<ref-law>), nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f. mit Hinweis). Die Verletzung von Grundrechten untersucht das Bundesgericht in jedem Fall nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3 S. 415; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232). Im Rahmen der Rechtsanwendung von Amtes wegen ist das Bundesgericht weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (Motivsubstitution; vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 415).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann diesen bloss berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensrechte ermittelt worden ist (<ref-law>). Die beschwerdeführende Person muss rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern der festgestellte Sachverhalt bzw. die beanstandete Beweiswürdigung klar und eindeutig mangelhaft, mit anderen Worten willkürlich, erscheint (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.3). Zur Sachverhaltsfeststellung gehört auch die auf Indizien gestützte Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 2.3 S. 265 ff.). Rügt die beschwerdeführende Partei eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung, haben ihre Vorbringen den Anforderungen von <ref-law> zu genügen (<ref-ruling> E. 90.2.3.6 S. 96; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen im bundesgerichtlichen Verfahren nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>, vgl. <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123 mit Hinweisen).
3.
Die Vorinstanz hat im angefochtenen Urteil in tatsächlicher Hinsicht festgestellt, dass bei der Beschwerdeführerin eine Untertauchensgefahr besteht, was diese sinngemäss als offensichtlich falsch in Abrede stellt.
3.1. Die Beschwerdeführerin führt aus, dass sie sich das ganze Verfahren über kooperativ gezeigt habe und wegen ihrer engen Beziehung zu ihren drei minderjährigen Kindern sich ohnehin nicht den behördlichen Massnahmen entziehen würde. Allerdings hat in der Vergangenheit auch die Beziehung zu ihren Kindern - ungeachtet deren Intensität und Qualität - sie nicht davon abgehalten, mehrmals unterzutauchen, wie dies die Vorinstanz zutreffend ausführt.
3.2. Jedoch hat sich mit der Stellung des Asylgesuchs und den mittlerweile nicht nur psychischen, sondern auch akuten physischen gesundheitlichen Problemen der Beschwerdeführerin die Situation geändert. Das neue Asylverfahren gibt der Beschwerdeführerin eine Perspektive, um in der Schweiz verbleiben zu können. Es ist kaum davon auszugehen, dass sie sich während der Hängigkeit dieses Verfahrens erneut dem Zugriff der Behörden entziehen wird. Dafür spricht auch der Umstand, dass sie gemäss Akten (<ref-law>) im Nachgang zur während der Haft erfolgten operativen Behandlung einer tuberkulösen Lymphadenitis supraklavikulär links während sechs Monaten auf eine medikamentöse Nachbehandlung angewiesen ist und damit ein weiterer starker Anreiz vorhanden ist, nicht unterzutauchen. Aufgrund dieser Entwicklungen ist die Feststellung der Vorinstanz, wonach bei der Beschwerdeführer weiterhin und in unveränderter Weise eine Untertauchensgefahr bestehe, offensichtlich unrichtig.
4.
4.1. Nach <ref-law> (SR 142.20) kann die zuständige kantonale Behörde einen Ausländer ohne Kurzaufenthalts-, Aufenthalts- oder Niederlassungsbewilligung während der Vorbereitung des Entscheides über die Aufenthaltsbewilligung zur Sicherstellung der Durchführung des Wegweisungsverfahrens für höchstens sechs Monate in Haft nehmen (sog. Vorbereitungshaft), wenn die ausländische Person sich rechtswidrig in der Schweiz aufhält und ein Asylgesuch einreicht, mit dem sie offensichtlich bezweckt, den drohenden Vollzug einer Wegweisung zu vermeiden. Ein solcher Zweck ist zu vermuten, wenn eine frühere Einreichung des Asylgesuchs möglich und zumutbar war und wenn das Gesuch in einem engen zeitlichen Zusammenhang mit einer Verhaftung oder dem Erlass einer Wegweisungsverfügung eingereicht wird.
4.2. Die Beschwerdeführerin hält sich seit mehreren Jahren in der Schweiz auf. Am 18. Juni 2018 wurde sie weggewiesen; die Ausreisefrist ist am 30. September 2018 abgelaufen. Seither hält sie sich illegal in der Schweiz auf. Sie hätte somit seit mehr als zwei Jahren Gelegenheit gehabt, ein Asylgesuch einzureichen, was sie aber nicht getan hat. Am 26. Juli 2020 wurde sie angehalten und zum Vollzug einer offenen Ersatzfreiheitsstrafe bis am 2. September 2020 ins Gefängnis eingewiesen. Auch zu diesem Zeitpunkt ersuchte sie nicht um Asyl, sondern stellte unter dem Namen E._ ein Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung. Erst als das Migrationsamt des Kantons Solothurn mit Verfügung vom 3. September 2020 auf das Gesuch nicht eintrat und die Ausschaffungshaft anordnete, stellte sie am 4. September 2020 ein Asylgesuch. Insgesamt steht das Asylgesuch in engem Zusammenhang mit einer Verhaftung und es wäre der Beschwerdeführerin während zwei Jahren möglich sowie zumutbar gewesen dieses früher zu stellen.
4.3. Die Vermutung nach <ref-law> lässt sich aber umstossen, wenn das Asylgesuch nicht bloss gestellt wird, um die drohende Ausschaffung zu vereiteln, sondern effektiver Schutz gesucht wird (ANDREAS ZÜND, in: Spescha et al. [Hrsg.], Kommentar Migrationsrecht, 5. Aufl. 2019, N. 10 zu <ref-law>).
4.3.1. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin, wonach das Asylgesuch im dazugehörigen Verfahren ausführlich behandelt werde und es nicht angehe, dass die Vorinstanz in pauschaler Weise eine solche Annahme treffe, ohne nach den Gründen des Asylgesuchs zu fragen, vermögen die Vermutung nicht umzustossen. Insbesondere legt die Beschwerdeführerin nicht dar, aus welchen Gründen sie solange mit der Stellung des Asylgesuchs zugewartet hat.
4.3.2. Die Ausführungen des SEM in seiner Stellungnahme lassen hingegen daran zweifeln, ob das Asylgesuch tatsächlich nur die Vermeidung der Ausschaffung bezweckt. Das SEM stellt sich auf den Standpunkt, dass a prima vista und auf Basis der ihm vorliegenden Akten nicht feststehe, ob es mit überwiegender Sicherheit einen negativen Asylentscheid verfügen und die Wegweisung nach Brasilien anordnen werde. Insbesondere bestünden ernstzunehmende Zweifel, ob eine Wegweisung der Beschwerdeführerin bei einem negativen Asylentscheid zumutbar sei. Das SEM hält denn auch explizit fest, es dränge sich ebenfalls nicht auf, dass das vorliegende Asylgesuch offensichtlich missbräuchlich eingereicht worden sei.
4.3.3. Es spricht Einiges dafür, dass dadurch die Vermutung von <ref-law> bereits widerlegt ist und damit das Bestehen eines Haftgrundes verneint werden kann. Die Frage muss vorliegend aber nicht abschliessend beantwortet werden. Angesichts der vom SEM angesprochenen familiären und medizinischen Situation der Beschwerdeführerin als Mutter dreier minderjähriger Kinder und der angepassten Einschätzung der Untertauchensgefahr erweist sich die angeordnete Haft ohnehin als unverhältnismässig, wie aufzuzeigen ist.
5.
5.1. Die Vorbereitungshaft muss verhältnismässig und zweckbezogen auf die Sicherung des Wegweisungsverfahrens ausgerichtet sein; es muss jeweils aufgrund sämtlicher Umstände geklärt werden, ob sie (noch) geeignet bzw. erforderlich erscheint und nicht gegen das Übermassverbot, d.h. das sachgerechte und zumutbare Verhältnis von Mittel und Zweck, verstösst (zur Ausschaffungshaft: <ref-ruling> E. 5.1 S. 5 und unpublizierte E. 7; <ref-ruling> E. 4 S. 440 ff.; Urteil 2C_263/2019 vom 27. Juni 2019 E. 4.1; zur Durchsetzungshaft: <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 97; <ref-ruling> E. 2.2 S. 100; Urteil 2C_65/2020 vom 18. Februar 2020). Eine Massnahme ist unverhältnismässig, wenn das Ziel mit einem weniger schweren Grundrechtseingriff erreicht werden kann (<ref-ruling> E. 7.4.3.1 S. 346 mit Hinweisen).
5.2. Die angeordnete Haft ist geeignet, um den Vollzug der Wegweisung sicherzustellen. Die Beschwerdeführerin bestreitet hingegen insbesondere die Erforderlichkeit der Massnahme.
5.2.1. Die Erforderlichkeit eines Eingriffs in die Grundrechte fehlt, wenn eine aus Sicht des Bürgers weniger einschneidende Anordnung das angestrebte Ziel ebenso erreicht (<ref-ruling> E. 3.3 S. 181). Entscheidend ist der Eignungsnachweis der Massnahmealternative. Eine mildere Massnahme fällt als ungeeignet ausser Betracht, wenn sie eine geringere Zwecktauglichkeit als die ursprünglich ins Auge gefasste Vorkehrung aufweist, d.h. nicht den erwünschten Erfolg zeitigt (<ref-ruling> E. 5.3 S. 27; <ref-ruling> E. 10.2 S. 46).
5.2.2. Die Beschwerdeführerin bringt vor, dass aufgrund der fehlenden Untertauchensgefahr die Anordnung der Haft nicht die mildeste Massnahme sei, die getroffen werden könne, sondern es würden sich weniger einschneidende Alternativen, wie z.B. die Zuweisung eines Aufenthaltsortes, aufdrängen, welche genauso gut geeignet seien, den Wegweisungsvollzug sicherzustellen. Ohnehin habe sich die Vorinstanz damit begnügt, das Bestehen milderer Massnahmen in einem Satz zu verneinen. Sie sei damit ihrer Pflicht, einzelfallbezogen auf mildere Mittel einzugehen und eine Verwerfung eingehend zu begründen, nicht in ausreichender Weise nachgekommen, wie dies die bundesgerichtliche Rechtsprechung gebiete. Sie verweist dazu auf das Urteil 2C_466/2018 vom 21. Juni 2018 E. 5.2.1 f.
5.2.3. Insgesamt hat die Vorinstanz ihren Fokus zu Unrecht sehr stark auf das (weitere) Bestehen der Untertauchensgefahr gelegt (vgl. E. 4), sie ist jedoch nicht ausführlich darauf eingegangen, ob nicht auch mildere Massnahmen als die Haft ebenso wirksam sicherstellen könnten, dass sich die Beschwerdeführerin für den Wegweisungsvollzug zur Verfügung halten wird (vgl. Urteil 2C_871/2012 vom 28. Januar 2013 E. 5). Im Rahmen der Kontrolle der Verhältnismässigkeit muss das Haftgericht die Möglichkeit milderer Massnahmen tatsächlich prüfen und jeweils bezogen auf den Einzelfall darlegen, weshalb diese nicht genügen, um den Wegweisungsvollzug auch ohne Haft sicherstellen zu können (vgl. Urteil 2C_1063/2019 vom 17. Januar 2020 E. 5.3.1). Als mildere Massnahme sieht beispielsweise <ref-law> vor, dass die zuständige Behörde die ausländische Person nach der Eröffnung der Wegweisungsverfügung - statt zu inhaftieren - verpflichten kann, sich regelmässig bei einer Behörde zu melden (vgl. das Urteil 2C_263/2019 vom 27. Juni 2019 E. 4.3.1). Denkbar ist auch eine Eingrenzung auf ein bestimmtes Gebiet, falls - wie hier - ein rechtskräftiger Wegweisungsentscheid vorliegt, dessen Vollzug noch nicht möglich ist (vgl. <ref-law>).
5.2.4. Die Vorinstanz hat die soeben erwähnten gesetzlich vorgesehenen milderen Massnahmen in ihrem Entscheid genannt, auch wenn sie nicht auf alle im Einzelnen eingegangen ist. Sie nahm jedoch in unzutreffender Weise eine weiterhin akute Untertauchensgefahr an, weshalb ihr im vorliegenden Einzelfall eine Eingrenzung, selbst verbunden mit einer Pflicht, sich regelmässig bei einer Behörde zu melden, weniger zwecktauglich als die Vorbereitungshaft erschien. In ihrer Vernehmlassung weist sie nochmals darauf hin, dass sie den Vorschlag der Beschwerdeführerin (betreutes Wohnen mit Eingrenzung/Meldepflicht) als nicht ausreichend erachtet, um die Wegweisung sicherzustellen. Es kann nicht gesagt werden, die Vorinstanz habe sich zu wenig mit den milderen Alternativen auseinandergesetzt. Allerdings bestehen hinsichtlich der Untertauchensgefahr, die nicht mehr als dringend betrachtet werden kann, mit der Eingrenzung oder einer Meldepflicht weniger einschneidende Massnahmen zur Verfügung, welche die Durchführung des Wegweisungsverfahrens ebenso gut sicherstellen können wie die vorinstanzlich angeordnete Vorbereitungshaft, die sich deshalb als nicht erforderlich erweist.
5.3. Im Weiteren trägt der Entscheid der spezifischen Situation der Beschwerdeführerin nicht ausreichend Rechnung (<ref-law>). Die Verhältnismässigkeit der Haftanordnung setzt ebenfalls eine Abwägung zwischen öffentlichen und privaten Interessen voraus (vgl. Urteile 2C_65/2020 vom 18. Februar 2020 E. 3.3; 2C_791/2008 vom 25. November 2008 E. 2.5; EGMR-Urteil vom 2. Dezember 2010 Jusic gegen die Schweiz [Nr. 4691/06], §§ 68 ff. zur Anordnung der Inhaftierung "auf die gesetzlich vorgeschriebene Weise"). Mit anderen Worten, die angeordnete Haft muss der Beschwerdeführerin zumutbar sein. Eine geeignete und erforderliche Massnahme ist dennoch unverhältnismässig, wenn der damit verbundene Eingriff in die Rechtsstellung der betroffenen Person im Vergleich zu den angestrebten öffentlichen Interessen unvertretbar schwer wiegt (<ref-ruling> E. 5.3.1 S. 294; <ref-ruling> E. 5.6.3 S. 412; <ref-ruling> E. 8.1 S. 186).
5.3.1. Die Beschwerdeführerin befindet sich seit Jahren in der Schweiz und hat fünf Kinder, wovon drei minderjährig sind. Auch wenn sie nur noch über eingeschränkte Sorgerechte für die minderjährigen Kinder verfügt, hat sie dennoch eine Beziehung zu diesen, was auch die Vorinstanz nicht in Abrede gestellt hat. Die Anordnung der Vorbereitungshaft trifft die Beschwerdeführerin schon aus diesem Grund hart. Erschwerend kommen ihre gesundheitlichen Probleme hinzu. Den Akten kann ergänzend entnommen werden (<ref-law>), dass es sich bei den psychischen Problemen der Beschwerdeführerin um eine Depression handelt. Weiter ergibt sich aus den Akten, dass ebenfalls erhebliche physische Gesundheitsprobleme bestehen. So wurde bei der Beschwerdeführerin während der Haft bei zwei ambulanten Untersuchungen am 11. und 14. September 2020 in der Klinik Bürgerspital Solothurn eine tuberkulöse Lymphadenitis supraklavikulär links diagnostiziert (vgl. hiervor E. 3.2). Für die operative Behandlung dieser Erkrankung befand sich die Beschwerdeführerin vom 17. - 30. September 2020 stationär im Inselspital in Bern, wobei eine medikamentöse Nachbehandlung während sechs Monaten notwendig ist.
5.3.2. Das öffentliche Interesse an der Administrativhaft ist weiter zu relativieren, weil die Beschwerdeführerin, soweit bekannt, nur Straftaten von untergeordnetem Gewicht begangen hat und von ihr keine unmittelbare Gefahr für die Öffentlichkeit ausgeht (vgl. Urteil 2C_1063/2019 vom 17. Januar 2020 E. 6.2). Aufgrund der Beziehung zu ihren minderjährigen Kindern und ihren schweren psychischen und physischen Gesundheitsproblemen hat sie hingegen ausserordentlich gewichtige persönliche Interessen, welche vorwiegend das öffentliche Interesse überwiegen. Der Vollzug ihrer Wegweisung kann mit weniger einschneidenden Massnahmen in angemessener Weise gewährleistet werden. Die Haft - als ultima ratio - ist ihr unter diesen Umständen nicht zumutbar.
5.4. Zwar ist die Untertauchensgefahr nicht mehr dringend, da sich die Beschwerdeführerin in der Vergangenheit jedoch wiederholt den Behörden entzogen hat, erscheint eine Meldepflicht als bundesrechtskonform, um die Präsenz der Beschwerdeführerin sicherstellen zu können. Sollte die Beschwerdeführerin in einer betreuten Wohngruppe in der Nähe ihrer Kinder, wie von ihr in Aussicht gestellt, untergebracht werden können, würde dies die Wirksamkeit der Massnahme noch verstärken. Eine solche Pflicht kann ihr auch zugemutet werden, zumal sie sich während des laufenden Asylverfahrens ohnehin den Behörden zur Verfügung halten muss (<ref-law>; SR 142.31).
6.
Ebenfalls beanstandet die Beschwerdeführerin ein unzulässiges Haftregime im Untersuchungsgefängnis Solothurn für die Dauer vom 7. September 2020 bis zum 6. Oktober 2020, welches ihr nicht zumutbar gewesen sei.
6.1. Gemäss <ref-law> hat die ausländerrechtliche Festhaltung - wie von Art. 16 Abs. 1 Satz 1 der einzubeziehenden Richtlinie 2008/115/EG (Rückführungsrichtline) als Regel vorausgesetzt - in einer speziellen, nur zu diesem Zweck vorgesehenen Vollzugsanstalt zu erfolgen (Ausschaffungsgefängnis). Sie kann bloss dann - in Ausnahmefällen - in ordentlichen Haftanstalten vollzogen werden, sofern ein administrativ anderweitig nicht bewältigbarer wichtiger Grund für dieses Vorgehen vorliegt sowie die Trennung von den anderen Häftlingen durch eine eigenständige Abteilung sichergestellt bleibt (<ref-ruling> E. 4-6 S. 208 ff.). Es muss sich folglich um absolute Einzelfälle handeln, wie z.B. im soeben genannten Urteil als der Ausschaffungsflug bereit gestellt wurde und ein reibungsfreier Ablauf der Ausschaffung aufgrund der entfernten Lage der speziellen Einrichtung andernfalls nicht möglich gewesen wäre (<ref-ruling> E. 7 S. 215 f.).
Der Grund für die ausnahmsweise getrennte Unterbringung in einer separaten Abteilung eines normalen Gefängnisses und nicht in einer speziellen Einrichtung ist überdies in der Haftverfügung sachgerecht zu begründen, damit der Haftrichter die angegebenen Gründe im Hinblick auf die Zulässigkeit der Haft und der nach Art. 16 der Rückführungsrichtlinie erforderlichen Haftbedingungen überprüfen kann (vgl. <ref-law>).
6.2. Gemäss dem von der Beschwerdeführerin angeführten Bericht der NATIONALEN KOMMISSION ZUR VERHÜTUNG VON FOLTER (NKVF) an den Regierungsrat des Kantons Solothurn betreffend den Besuch der NKVF vom 3. und 4. Februar 2015 im Untersuchungsgefängnis Solothurn verfügt dieses zwar über eine separate Abteilung, es erscheint jedoch für den Vollzug der ausländerrechtlichen Administrativhaft aufgrund der baulich beschränkten Voraussetzungen und den mangelnden Bewegungsmöglichkeiten als ungeeignet (Rz. 17 und 31). Eine Person in Administrativhaft darf somit nur in begründeten Ausnahmefällen von äusserst beschränkter Zeitdauer im Untersuchungsgefängnis Solothurn untergebracht werden, weil in diesem die gemäss <ref-law> und <ref-ruling> geltenden Voraussetzungen an eine Spezialhaftanstalt nicht gewährleistet sind.
6.2.1. Wie die Verfügung des Haftgerichts vom 8. September 2020 in E. 6 erläutert, befand sich die Beschwerdeführerin bis am 2. September 2020 im Strafvollzug im Untersuchungsgefängnis und wurde angesichts der Haftverhandlungen vom 4. September 2020 noch nicht ins Bässlergut, der im Kanton Solothurn für den Vollzug der Administrativhaft spezifisch vorgesehenen Haftanstalt, verlegt. Nach der Einreichung des Asylgesuchs und der Anordnung von Vorbereitungshaft stand am 8. September 2020 eine erneute Haftverhandlung an, weshalb sich die Verlegung nochmals verzögerte. Somit befand sich die Beschwerdeführerin vom 3. bis zum 4. September 2020, an welchem die Befragung stattgefunden hat, im - für eine Administrativhaft prinzipiell unzulässigen - Untersuchungsgefängnis Solothurn.
Ob sie sich dort auch bis zur zweiten Befragung am 8. September 2020 befunden hat oder in die Haftanstalt Bässlergut überführt wurde, erschliesst sich aus dem angefochtenen Urteil nicht: Die Vorinstanz begnügt sich mit der Sachverhaltsfeststellung, solange sich die Beschwerdeführerin nicht im Untersuchungsgefängnis Solothurn befunden habe, "sei sie im Bässlergut gewesen". Die Angaben der Beschwerdeführerin dazu sind ebenfalls widersprüchlich. Sie behauptet, sie sei mehr als einen Monat im Untersuchungsgefängnis Solothurn gewesen. Dies kann jedoch nicht zutreffen, da sie sich gemäss ihrer eigenen Darstellung in der Beschwerdeschrift sowie gemäss den eingereichten Unterlagen während des Zeitraums vom 17. - 30. September 2020 im Inselspital in Bern für eine stationäre Behandlung ihrer gesundheitlichen Probleme aufhielt.
6.2.2. Gemäss Akten (<ref-law>; pag. 792 Vernehmlassung des Migrationsamts an das Verwaltungsgericht) ist davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerin nicht nur von der ersten bis zur zweiten Befragung am 8. September 2020 (mit Ausnahme der beiden ambulanten Behandlungen in der Klinik Bürgerspital Solothurn am 11. und 14. September 2020), sondern auch noch daran anschliessend bis am 17. September 2020 im Untersuchungsgefängnis Solothurn untergebracht war und erst dann ins Inselspital Bern verlegt wurde. Am 30. September 2020 erfolgte der Rücktransport ins Untersuchungsgefängnis Solothurn und von dort wurde sie schliesslich am 5. Oktober 2020 ins Flughafengefängnis Zürich überführt (pag. 827, Transportauftrag Polizei Kanton Solothurn).
6.2.3. Es erübrigt sich die Sache zur präziseren Abklärung respektive Überprüfung des Sachverhalts in dieser Hinsicht nochmals an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die exakte Dauer des Aufenthalts der Beschwerdeführerin im Untersuchungsgefängnis Solothurn braucht vorliegend nicht mehr festgestellt zu werden, weil es als ohnehin erstellt gelten kann, dass ein erheblicher Teil des Aufenthaltes ohne spezifische Begründung in einer allgemeinen Haftanstalt anstelle einer Spezialanstalt erfolgte (vgl. eingangs, E. 6.1) und als solches wie von ihr beantragt als unrechtmässig zu qualifizieren ist:
Angesichts der vielen bestehenden Unklarheiten betreffend den Aufenthalt der Beschwerdeführerin ist jedenfalls die Vorgabe, wonach die wichtigen Gründe und die konkreten Abklärungen bezüglich der Unterbringung der ausreisepflichtigen Person in einer separaten Abteilung eines normalen Gefängnisses nachvollziehbar darzutun und zu belegen sind, durch die zuständigen Behörden nicht beachtetet worden (vgl. <ref-ruling> E. 8 S. 216 f.).
Auch eine zulässige Ausnahmesituation ist nicht zu erkennen; bloss weil es gelegen kommt und weniger aufwändig ist, für die Befragung der betroffenen Person durch das Haftgericht am nächsten Tag auf einen zusätzlichen Transport zu verzichten, kann nicht vom Erfordernis der Spezialhaftanstalt abgesehen werden. Dasselbe gilt, wenn von der Unterbringung in einer geeigneten Anstalt abgesehen wird, weil in Bälde eine erneute Befragung durch das Haftgericht ansteht. Ebenso ausser Frage steht, dass es unzulässig ist, eine Person in einem Untersuchungsgefängnis zu belassen, bis notwendige medizinische Abklärungen und Massnahmen getätigt werden können.
6.2.4. Es ist somit festzustellen, dass die Unterbringung der Beschwerdeführerin im Untersuchungsgefängnis Solothurn aufgrund der Dauer, mangels wichtiger Gründe und wegen einer nicht ausreichenden Begründung für den Aufenthalt in einer für die Administrativhaft nicht geeigneten Anstalt unrechtmässig war.
6.3. Mittlerweile befindet sich die Beschwerdeführerin gemäss Akten seit dem 5. Oktober 2020 im Flughafengefängnis Zürich, was die Vorinstanz in ihrer Vernehmlassung bestätigt. Dieses verfügt über eine eigene Abteilung für Administrativhaft und die Nationale Kommission zur Verhütung von Folter hatte bei ihrem letzten Besuch keine gravierenden Beanstandungen (Bericht der NATIONALEN KOMMISSION ZUR VERHÜTUNG VON FOLTER an den Regierungsrat des Kantons Zürich betreffend den Besuch der Nationalen Kommission zur Verhütung von Folter vom 14. April 2016 in der Abteilung für ausländerrechtliche Administrativhaft im Flughafengefängnis Zürich). Die Haft in dieser Anstalt ist nur insofern als unrechtmässig zu qualifizieren, als die Vorbereitungshaft als Ganzes im vorliegenden Fall nicht verhältnismässig ist.
7.
Schliesslich bringt die Beschwerdeführerin vor, ihr Asylverfahren dauere zu lang. Dadurch sei <ref-law> verletzt, welcher vorsehe, dass die zuständige Behörde ohne Verzug über die Aufenthaltsberechtigung entscheide. Ist eine Vorbereitungshaft angeordnet, sind Asylgesuche prioritär zu behandeln und unnötige Verzögerungen beim materiellen Entscheid führen zur Haftentlassung. Folglich dürfte die Haft nur in besonderen Ausnahmesituationen bis zur gesetzlichen Maximaldauer von sechs Monaten zulässig sein (ANDREAS ZÜND, in: Spescha et al. [Hrsg.], Kommentar Migrationsrecht, 5. Aufl. 2019, N. 13 zu <ref-law>).
Zum Zeitpunkt als das vorinstanzliche Urteil ausgefällt wurde, war das Asylgesuch erst knapp seit einem Monat hängig. Weitere substantiierte Hinweise bringt die Beschwerdeführerin jedoch nicht vor und es ist auch sonst nicht ersichtlich, aus welchen Gründen unter diesen Umständen bereits ein Verstoss gegen das Beschleunigungsgebot vorliegen sollte. Es kann in dieser Hinsicht folglich keine Rechtsverletzung festgestellt werden.
8.
8.1. Die Beschwerde ist demnach gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Die Beschwerdeführerin ist unverzüglich aus der Vorbereitungshaft zu entlassen.
8.2. Diesem Verfahrensausgang entsprechend sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG); der Kanton Solothurn hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (<ref-law>), wobei die Entschädigung der Rechtsvertreterin auszurichten ist. Dementsprechend werden die Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren gegenstandslos.
8.3. Der Beschwerdeführerin wurden für das kantonale Verfahren keine Kosten auferlegt. Eine Neuregelung der Kostenfolgen des kantonalen Verfahrens erübrigt sich deshalb. Neu zu befinden hat die Vorinstanz hingegen über die Entschädigung der Rechtsvertreterin.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 29. September 2020 wird aufgehoben.
2.
Die Beschwerdeführerin ist unverzüglich aus der Vorbereitungshaft zu entlassen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Der Kanton Solothurn hat der Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.-- zu bezahlen.
5.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird als gegenstandslos abgeschrieben.
6.
Zur Neuverlegung der Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens wird die Sache an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn zurückgewiesen.
7.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Oktober 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Mösching