Faits :
A.
Dès 2003, X._ (ci-après: le demandeur), violoniste, altiste et chef d'orchestre de renommée internationale a été engagé comme directeur artistique et soliste/chef d'orchestre, par l'Association Y._, à U._ (ci-après: l'association ou la défenderesse), et chargé notamment de la programmation du festival de.....
Après avoir été reconduit dans ses fonctions en 2008 pour quatre ans, il s'est vu proposer en 2010 un contrat d'un an, qu'il a refusé.
Une nouvelle proposition d'une durée de cinq ans lui a été faite et un contrat du 15 mars 2011 a été signé pour cette durée, soit du 1 er octobre 2011 au 30 septembre 2016.
A la suite de divergences survenues entre les parties, son contrat a été résilié avec effet immédiat par l'association le 10 septembre 2012.
B.
Le 17 janvier 2013, X._ a ouvert action contre l'association par requête de conciliation adressée au juge de commune de U._, puis a déposé sa demande en justice devant le juge de district de U._ le 18 mars 2013, concluant notamment au paiement de 400'000 fr. (4 x 50'000 fr. comme directeur artistique + 4 x 4 x 12'500 fr. pour les concerts comme soliste/chef d'orchestre) avec intérêts, sous déduction de la rémunération pour deux concerts qu'il a pu donner à l'étranger pendant l'été 2014, soit 11'979,90 USD.
Par jugement du 27 février 2015, puis par arrêt de la Cour civile II du tribunal cantonal du canton du Valais, cette prétention du demandeur a été rejetée.
Par arrêt de renvoi du 11 juin 2018 (arrêt 4A_129/2017), dont les motifs seront exposés dans les considérants de droit, le Tribunal fédéral a admis le recours du demandeur et, sur cette prétention, a renvoyé la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Statuant après renvoi le 18 avril 2019, la cour cantonale a partiellement admis l'appel du demandeur et condamné la défenderesse à verser à celui-ci, à ce titre, le montant de 138'590 fr. avec intérêts à 5% l'an à compter de dates différentes pour les différents montants admis. Dans son dispositif, elle a repris également tous les montants déjà entrés en force, de sorte que le montant total à payer auquel la défenderesse est condamnée s'élève à 167'402 fr. avec des intérêts à différents taux sur différents montants.
C.
Contre ce nouvel arrêt, la défenderesse a interjeté un recours en matière civile au Tribunal fédéral, concluant à sa réforme en ce sens que " la demande est rejetée ", par quoi il faut entendre, vu les motifs de son recours, qu'elle ne remet en cause que le montant de 138'590 fr. avec intérêts. Elle invoque la violation des art. 402 al. 2 et 398 al. 2 CO, ainsi que de l'<ref-law> en relation avec l'<ref-law> et l'<ref-law>.
S'en rapportant à justice quant à la recevabilité du recours, le demandeur intimé conclut à son rejet et à la confirmation de l'arrêt attaqué. Outre sa détermination sur les griefs du recours, il reprend son propre grief tiré de la tardiveté de la résiliation, question que la cour cantonale a laissée ouverte, à quoi la recourante répond que le mandat peut être révoqué à n'importe quel moment et qu'on ne saurait lui reprocher d'avoir renvoyé le règlement de la situation à la fin du festival 2012.
Les parties ont encore déposé chacune des observations.
La cour cantonale se réfère aux considérants de son arrêt.

Considérant en droit :
1.
1.1. Interjeté en temps utile (<ref-law>), par la partie défenderesse qui a succombé dans ses conclusions libératoires devant l'autorité précédente, contre une décision prise sur appel par le tribunal supérieur du canton (<ref-law>) statuant après arrêt de renvoi du Tribunal fédéral, dans une cause de nature civile (<ref-law>) et pécuniaire, dont la valeur litigieuse est supérieure à 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et al. 4, art. 74 al. 1 let. b LTF), le présent recours en matière civile est ouvert aux mêmes conditions que sous l'empire de l'ancien art. 66 OJ (arrêts 4A_555/2015 du 18 mars 2016 consid. 1.1; 9C_522/2007 du 17 juin 2008 consid. 3.1; 4A_71/2007 du 19 octobre 2007 consid. 2.2).
1.2. Dans sa réponse, l'intimé a évoqué, au conditionnel, que " le.... festival aurait été transféré à la Fondation.... Violon Musique ". Dans sa réplique, la recourante confirme sa propre existence.
2.
Le principe de l'autorité de l'arrêt de renvoi du Tribunal fédéral - que prévoyait expressément l'art. 66 al. 1aOJ - est un principe juridique qui demeure applicable sous la LTF (<ref-ruling> consid. 2 et les arrêts cités; arrêt 5A_139/2013 du 31 juillet 2013 consid. 3.1, non publié à l'<ref-ruling>). En vertu de ce principe, l'autorité cantonale à laquelle une affaire est renvoyée est tenue de fonder sa nouvelle décision sur les considérants de droit de l'arrêt du Tribunal fédéral; sa cognition est limitée par les motifs de l'arrêt de renvoi, en ce sens qu'elle est liée par ce qui a déjà été tranché définitivement par le Tribunal fédéral ainsi que par les constatations de fait qui n'ont pas été critiquées devant lui (<ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 5.2).
3.
Après avoir considéré que la question de la résiliation anticipée du contrat du 15 mars 2011 conclu pour une durée de 5 ans - dans ses deux volets (volet " directeur artistique " et volet " soliste/chef d'orchestre ") puisqu'il s'agit d'un contrat mixte - doit être examinée à l'aune de l'<ref-law> - puisque le centre de gravité est le volet directeur artistique, lequel est soumis aux règles du mandat -, le Tribunal fédéral a renvoyé la cause à la cour cantonale pour qu'elle examine, respectivement réexamine les conséquences de cette résiliation sous l'angle de l'<ref-law>, lequel dispose que la partie qui révoque ou répudie le contrat en temps inopportun doit indemniser l'autre du dommage qu'elle lui cause.
La cour cantonale devait ainsi examiner la question de l'existence de motifs sérieux de résiliation anticipée du contrat du 15 mars 2011 et, dans la négative, réexaminer la fixation du montant du dommage subi par l'intéressé.
4.
La question de l'existence de motifs sérieux de résiliation anticipée avait été laissée ouverte dans le précédent arrêt de la cour cantonale. Elle l'a désormais tranchée.
4.1. Dans son arrêt de renvoi, le Tribunal fédéral avait exposé que, selon la jurisprudence, il y a résiliation en temps inopportun lorsqu'elle intervient sans motif sérieux, c'est-à-dire si l'on ne discerne pas de circonstances qui soient de nature, d'un point de vue objectif, à rendre insupportable la continuation du contrat, en particulier à rompre le rapport de confiance avec le cocontractant (cf. <ref-ruling> consid. 5.2; arrêts 4A_601/2015 du 19 avril 2016 consid. 1.2.1; 4A_36/2013 du 4 juin 2013 consid. 2.5). Si la résiliation est fondée sur un juste motif, elle n'oblige pas à réparation (arrêt 4A_237/2008 du 29 juillet 2008 consid. 3.2 et les arrêts cités).
4.2. Statuant après renvoi, la cour cantonale a conclu que la défenderesse n'a pas prouvé l'existence de justes motifs après avoir examiné, dans un paragraphe de plus de deux pages, plusieurs éléments de fait. Pour leur intelligibilité, il s'impose de les regrouper en cinq motifs, qui peuvent être résumés comme suit: 1° le demandeur ne s'est pas engagé à accorder à la défenderesse l'exclusivité de ses services, de sorte qu'il ne saurait avoir violé ses obligations contractuelles et, partant, avoir rompu le rapport de confiance avec la défenderesse; 2° il n'est pas établi que l'engagement du demandeur au festival de xxxx ait nui à l'attractivité de la défenderesse ou ait même terni son image, la baisse de fréquentation ne pouvant être déduite de ce nouvel engagement; la continuation du contrat n'avait donc pas été rendue insupportable; 3° un conflit d'intérêts ou des intérêts divergents ne résultent ni du prétendu risque de confusion entre les deux manifestations - qui demeure théorique -, ni d'une diminution de son originalité vu les concerts similaires organisés précédemment à U._ et à V._, ni de l'accusation - non démontrée - que le demandeur aurait fait prévaloir les intérêts du festival de xxxx; au contraire, avant même l'engagement du demandeur par le festival de xxxx, des discussions avaient eu lieu en vue d'un rapprochement, voire d'un partenariat entre les deux festivals et la proposition de créer des synergies dans un esprit de complémentarité et de réduction des coûts n'a pas été écartée par la défenderesse; 4° à supposer que les déclarations publiques (interview radiophonique et discours inaugural du festival de....) du demandeur dans le sens d'un rapprochement ou d'une fusion - alors que l'association était d'un autre avis - puissent être considérées comme une violation contractuelle, celle-ci n'apparaît pas comme d'une gravité suffisante pour détruire le rapport de confiance, notamment puisqu'il n'est pas prouvé qu'elles aient causé un quelconque dommage à la défenderesse et que celle-ci avait elle-même envisagé un rapprochement, voire un partenariat; 5° enfin, l'allégation selon laquelle le demandeur aurait manqué à ses obligations contractuelles en ne formulant pas de propositions de programmation en vue de l'édition 2013 du festival de la défenderesse n'a pas été établie.
4.3. Au terme de six pages et demie de " motivation ", la recourante fait uniquement valoir que la cour cantonale aurait violé l'<ref-law>, en résumé, en retenant, comme cela résulte plus clairement de l'articulation de sa réplique, que le demandeur n'était pas lié contractuellement par une clause d'exclusivité et qu'il n'y avait pas de conflits d'intérêts (entre les deux festivals).
Or, toute l'argumentation qu'elle présente repose en réalité, sous couvert de violation du droit, sur une critique de l'appréciation des preuves et des faits retenus par la cour cantonale, sans aucune démonstration d'un quelconque arbitraire, sans même que soient mentionnés les <ref-law> et 9 Cst. ou même simplement l'arbitraire. Ainsi, lorsqu'elle soutient que, même si le contrat du 15 mars 2011 ne contenait pas de clause d'exclusivité, il était de facto interdit à l'intéressé de développer des activités similaires avec le festival de xxxx qui se déroulait à quelques kilomètres durant la même période, que les déductions tirées du fait que d'autres contrats qui contiennent une telle clause sont erronées puisque le demandeur devait éviter tout conflit d'intérêts et qu'il connaissait la politique de la défenderesse sur ce point, évoquée notamment lors de la séance du 30 mai 2012, la recourante ne remet nullement en cause l'application de l'<ref-law>, mais s'en prend de manière appellatoire, et sans aucune démonstration d'un arbitraire, aux faits sur lesquels la cour cantonale s'est fondée. Par ailleurs, elle procède de même sur tous les autres points, nos 2 à 5, en prenant simplement le contre-pied de l'appréciation de la cour cantonale.
La question de savoir si un directeur artistique peut négocier et s'engager, en secret, auprès d'un autre festival et appeler à la fusion des deux festivals, contrairement à la volonté de sa mandante qui a finalement renoncé à un rapprochement ou un partenariat, ou si ce comportement rendrait insupportable la continuation du mandat et justifierait sa résiliation avec effet immédiat, est une question théorique, déconnectée des faits concrets de l'espèce, que le Tribunal fédéral n'a pas à examiner.
Au vu de ce qui précède, il est superflu d'examiner le grief que l'intimé tire de la tardiveté de la résiliation de son contrat.
5.
En ce qui concerne la question du dommage, le Tribunal fédéral a, par arrêt de renvoi, annulé la décision cantonale qui avait nié la prétention de 400'000 fr. que le demandeur avait fondée sur l'<ref-law> (intérêt positif) et a renvoyé la cause à la cour cantonale.
5.1. Dans son arrêt de renvoi, le Tribunal fédéral a tout d'abord admis le principe du droit du demandeur à l'indemnisation de son intérêt négatif, au vu des faits qu'il a constatés. Il n'a renvoyé la cause à la cour cantonale que pour qu'elle replace le demandeur dans la situation qui aurait été la sienne s'il n'avait pas conclu le contrat du 15 mars 2011, en tenant compte des éléments figurant au dossier, autrement dit pour le calcul du dommage.
5.2. Dans le même arrêt, le Tribunal fédéral a également décidé que l'estimation de ce dommage (intérêt négatif) devait se faire sur la base de l'<ref-law>.
5.2.1.
5.2.1.1. A cet égard, le Tribunal fédéral a d'ores et déjà constaté en fait qu'il résulte des déclarations des témoins A._ et de la manager d'artistes B._, ainsi que des attestations écrites fournies par deux managers d'artistes, que les grandes lignes du programme sont établies deux à trois ans à l'avance et qu'en général les interprètes sont contactés, pour l'orchestre symphonique de Berlin, deux à trois ans à l'avance, mais en général douze à dix-huit mois à l'avance (A._) ou entre l'automne et l'hiver de l'année précédant le festival qui a lieu en août-septembre (B._).
Pour le festival de.... le demandeur a déclaré qu'il établissait les contacts avec les artistes un à deux ans à l'avance et trois ans pour les plus connus. Pour lui-même, il a indiqué qu'il lui avait été impossible de trouver des engagements durant la première année après la résiliation, que c'était difficile pour la seconde et la troisième et qu'il donnera ses premiers concerts en 2017. A cela, la défenderesse n'objecte rien; elle se limite à invoquer l'existence d'un motif sérieux de résiliation - question qui a été laissée ouverte par la cour cantonale -, à affirmer que l'intéressé n'aurait eu aucune peine à trouver des engagements et à insister sur le droit inconditionnel de résilier un mandat, ainsi que sur l'impossibilité d'obtenir la réparation du gain manqué sur la base de l'<ref-law>.
5.2.1.2. La cause a donc été renvoyée à la cour cantonale pour qu'elle apprécie, sur la base des faits ainsi établis, le temps nécessaire au demandeur pour négocier de nouveaux engagements et qu'elle calcule son dommage en partant de rémunérations similaires à celles figurant dans son contrat du 15 mars 2011. Cette méthode de calcul (ou d'estimation), qui vise à déterminer le dommage négatif, tient compte de l'impossibilité pour le demandeur d'apporter la preuve stricte de la rémunération qu'il aurait pu réaliser en concluant d'autres contrats.
Selon le Tribunal fédéral, la question de savoir si la nouvelle charge de directeur artistique du festival de xxxx devait être déduite du montant du dommage dépendrait de la question de savoir si le demandeur avait garanti l'exclusivité de son activité au festival de.... (<ref-law>).
En d'autres termes, vu l'autorité de l'arrêt de renvoi du Tribunal fédéral (cf. supra consid. 2), il ne restait à la cour cantonale plus que de fixer, par appréciation des témoignages et de l'interrogatoire du demandeur sus-mentionnés, le temps qui était nécessaire à celui-ci pour retrouver des engagements, soit entre trois ans (demandeur) et 18 mois (A._) ou moins de 12 mois (B._). Pour obtenir le montant de l'indemnisation due, la cour cantonale devait ensuite prendre en compte la rémunération dont le demandeur bénéficiait selon le contrat. Elle ne pouvait en déduire les engagements obtenus qu'au titre de l'<ref-law>.
5.2.2. Dans la mesure où la recourante soutient que le demandeur n'aurait pas fourni les éléments de fait propres à prouver son dommage au sens de l'<ref-law>, qu'il " a failli à son obligation et n'a introduit en cause aucun élément pertinent qui permette de déterminer son dommage éventuel ", elle méconnaît l'autorité de la chose jugée de l'arrêt de renvoi puisqu'elle revient sur des points qui y ont été définitivement tranchés.
5.3. Dans son nouvel arrêt, la cour cantonale s'en est correctement tenue aux termes de l'arrêt de renvoi du Tribunal fédéral.
5.3.1. Pour l'activité de soliste/chef d'orchestre, elle a fixé à deux ans le temps nécessaire, pour un artiste de la notoriété du demandeur, pour retrouver des engagements, de sorte que son manque à gagner devait être estimé pour les années 2013 et 2014. Elle a estimé, sur la base des concerts que le demandeur a pu donner, les périodes et donc le nombre de concerts pour lesquels il n'a pas pu retrouver d'engagements et l'a multiplié par la rémunération prévue par le contrat du 15 mars 2011 (12'500 fr. par concert).
Pour l'année 2013, elle a considéré que le demandeur avait pu se produire au festival de xxxx et que, selon son estimation, compte tenu des 15 concerts qu'il avait donnés à l'étranger, le demandeur n'avait eu un manque à gagner que pour deux concerts, soit 25'000 fr. (2 x 12'500 fr.).
Pour l'année 2014, la cour cantonale a également arrêté le manque à gagner pour deux concerts (2 x 12'500 fr.), dont elle a déduit le montant arrondi de 11'410 fr. effectivement perçu pour deux concerts en Afrique du Sud que le demandeur a pu obtenir en mars et avril 2014, soit un dommage de 13'590 fr.
5.3.2. La recourante taxe d'arbitraire la durée d'en principe deux ans nécessaire à un soliste/chef d'orchestre de la notoriété du demandeur pour retrouver des engagements. Elle y oppose les témoignages de A._ et B._ sus-mentionnés, fait une comparaison avec un autre artiste de renommée internationale et relève que le demandeur a pu obtenir des engagements à bref délai en 2014; elle lui reproche de n'avoir pas fait preuve de plus de diligence dans ses démarches. Ce faisant, elle ne démontre pas que l'appréciation de la cour cantonale - qui se situe dans la fourchette admise par l'arrêt de renvoi - serait insoutenable, ce d'autant que la cour a déduit tous les concerts que le demandeur a pu donner au festival de xxxx.
Lorsqu'elle critique le montant de 12'500 fr. par concert, la recourante méconnaît que ce montant a été fixé définitivement par l'arrêt de renvoi.
Lorsque, pour l'année 2013, elle critique le nombre de deux concerts - pour violation des <ref-law>, 8 CC et 9 Cst. -, car il y aurait plus de 10 jours entre chaque concert, elle s'en prend en réalité à l'estimation par appréciation des preuves de la cour cantonale, qui n'a parlé que de quelques jours entre les concerts et estimé le nombre de concerts, qui n'ont pu être retrouvés, à deux, ce qui correspond aux concerts que le demandeur aurait pu donner au festival de Sion 2013 entre le 18 et le 21 août. Sa critique purement appellatoire est irrecevable. Quant à ses griefs de violation de l'<ref-law> et de l'<ref-law>, ils sont sans objet.
Il en va de même de sa critique pour les deux concerts retenus pour 2014: si le demandeur a pu obtenir à plus bref délai ces deux concerts, il a manifestement dû accepter une rémunération inférieure à celle qu'il aurait pu percevoir s'il n'avait pas été licencié.
Lorsqu'elle affirme que, pour ces deux années, la cour cantonale aurait tenu compte de l'intérêt positif au contrat, la recourante méconnaît que, dans son arrêt de renvoi, le Tribunal fédéral a jugé que le demandeur n'a certes pas droit à être indemnisé de l'intérêt qu'il avait à la poursuite du contrat (intérêt positif), soit à 400'000 fr. (4 x 100'000 fr.), mais que lorsque le mandat a été conclu pour une certaine durée et qu'il est établi que la partie dont le contrat est résilié a pris des dispositions pour exécuter ce mandat et, par là, a renoncé à d'autres sources de revenus, ces éléments sont constitutifs de son intérêt négatif.
5.4. Pour l'activité de directeur artistique, la cour cantonale s'est également conformée à l'arrêt de renvoi.
5.4.1. Elle a considéré qu'elle ne pouvait exclure qu'en 2013 et 2014, le demandeur ait pu exercer une telle fonction en lieu et place de celle pour le festival de Sion et en parallèle à celle du festival de xxxx, aucune clause d'exclusivité ne l'en empêchant. Elle a donc considéré que, pour se consacrer à son engagement de directeur artistique en faveur de la défenderesse, le demandeur avait renoncé à une rétribution de 100'000 fr. (2 x 50'000 fr.).
5.4.2. En tant qu'elle soutient qu'il est arbitraire d'admettre que le demandeur aurait pu, souhaité ou voulu exercer une autre activité de directeur artistique en lieu et place de celle pour le festival de Sion, qu'il s'agit d'une hypothèse, la recourante fait mine d'ignorer que le demandeur a refusé le renouvellement de son contrat pour un an et n'a accepté que la nouvelle proposition de cinq ans. Ce faisant, elle ne démontre pas en quoi l'appréciation des preuves de la cour cantonale serait arbitraire. Pour le surplus, ses allégations en vrac de violation des <ref-law>, 42 al. 2 CO, 404 al. 2 CO et 9 Cst., dans la mesure où elles ne reposent pas sur une méconnaissance de l'autorité de l'arrêt de renvoi, ne sont pas motivées.
Dès lors qu'il n'a pas été retenu que la cour cantonale aurait admis arbitrairement que les parties n'étaient pas liées par une clause d'exclusivité, le grief tiré de l'<ref-law> et de l'obligation de déduire le gain perçu en tant que directeur artistique du festival de xxxx repose sur une prémisse non constatée et, partant, est irrecevable.
6.
Il est vrai que le dispositif de l'arrêt attaqué reprend les montants à payer auxquels la défenderesse avait été condamnée et qui étaient entrés en force, et ce manifestement, comme c'est la pratique, pour en faciliter l'exécution volontaire ou l'exécution forcée. Il n'est pas établi que la cour cantonale aurait eu connaissance du paiement des montants en question en temps utile, de sorte qu'on ne saurait lui reprocher d'avoir violé le droit fédéral et annuler son arrêt pour ce motif. A ce stade, un éventuel litige à ce propos devrait être résolu par le juge de la mainlevée définitive (<ref-law>).
On relèvera toutefois que, dans sa réponse au recours, l'intimé ne conteste pas avoir déjà perçu les montants de 25'000 fr. et 3'812 fr. et qu'il n'entend pas percevoir ces montants à double.
7.
Il résulte des considérations qui précèdent que le recours en matière civile doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Les frais et dépens de la procédure fédérale sont mis à la charge de la recourante, qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 a. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 5'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à l'intimé une indemnité de 6'500 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour civile II.
Lausanne, le 9 mars 2020
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
Le Greffier : Piaget