Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich führt eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen des Verdachts des gewerbsmässigen Betrugs, eventuell der mehrfachen qualifizierten Veruntreuung, der mehrfachen qualifizierten ungetreuen Geschäftsbesorgung und der mehrfachen Urkundenfälschung. Sie wirft ihm Folgendes vor: Er habe Vermögen von rund 130 wohlhabenden türkischen Staatsangehörigen bei einer Bank verwaltet. Dabei habe er in mehreren Fällen Kundenvermögen veruntreut und verspekuliert. Die dadurch entstandenen Finanzlöcher habe er mit Vermögenswerten anderer Kunden ausgeglichen. Der Deliktsbetrag belaufe sich auf mindestens 60 Millionen USD. Konkret habe er mittels gefälschter Kundenunterschriften Offshore-Gesellschaften gegründet und für diese bei Schweizer Banken ebenfalls mit gefälschten Kundenunterschriften Konten eröffnet. Von den Konten der geschädigten Kunden bei der Bank, bei der er tätig gewesen sei, habe er grosse Vermögenswerte ohne geschäftliche Grundlage auf Konten von ihm kontrollierter Gesellschaften bzw. ins Ausland verschoben. Um die bei einzelnen Kunden durch die nicht genehmigten Finanzspekulationen entstandenen Negativsaldi und Verluste auszugleichen, habe er Überweisungen zwischen Kundenkonten vorgenommen. Die betroffenen Kunden habe er jahrelang mit gefälschten Auszügen über den tatsächlichen Stand ihrer Konten getäuscht.
B.
Am 18. Februar 2020 nahm die Polizei A._ fest. Am 21. Februar 2020 versetzte ihn das Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich in Untersuchungshaft. Diese verlängerte es mehrmals, unter anderem mit Verfügung vom 20. November 2020. Die von A._ gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich (III. Strafkammer) am 23. Dezember 2020 ab. Dagegen reichte A._ Beschwerde beim Bundesgericht ein. Mit Urteil vom 23. Februar 2021 (1B_44/2021) wies dieses die Beschwerde ab.
C.
Am 19. November 2021 verlängerte das Zwangsmassnahmengericht die Untersuchungshaft ein weiteres Mal; dies bis zum 19. Mai 2022.
Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht am 16. Dezember 2021 ab. Es bejahte nebst dem unbestrittenen dringenden Tatverdacht Flucht- und Kollusionsgefahr. Die Dauer der Haft beurteilte es als verhältnismässig und ihre Verlängerung um 6 Monate als zulässig. Taugliche Ersatzmassnahmen, welche die Flucht- und Kollusionsgefahr hinreichend bannen könnten, seien nicht ersichtlich.
D.
A._, der amtlich verteidigt wird, führt mit von ihm persönlich verfasster Eingabe Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, den Beschluss des Obergerichts aufzuheben. Er sei, eventualiter unter Anordnung geeigneter Ersatzmassnahmen, aus der Untersuchungshaft zu entlassen. Subeventualiter sei die Untersuchungshaft lediglich um 3 Monate zu verlängern.
E.
Das Obergericht hat auf Gegenbemerkungen verzichtet. Die Staatsanwaltschaft hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen. A._ hat dazu Stellung genommen.

Erwägungen:
1.
Gegen den angefochtenen Entscheid ist gemäss <ref-law> die Beschwerde in Strafsachen gegeben. Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist somit nach <ref-law> zulässig. Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt. Der angefochtene Entscheid stellt einen Zwischenentscheid dar, der dem Beschwerdeführer einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> verursachen kann. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen sind ebenfalls erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe ihren Entscheid ungenügend begründet und damit seinen Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt.
Der Einwand geht fehl. Die Vorinstanz begründet hinreichend, weshalb sie die Untersuchungshaft weiterhin als zulässig ansieht. Sie musste sich nach der Rechtsprechung nicht mit jedem tatsächlichen und rechtlichen Vorbringen des Beschwerdeführers im Einzelnen auseinandersetzen. Wenn sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte beschränkt hat, ist das nicht zu beanstanden (<ref-ruling> E. 5.1 mit Hinweisen). Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt nicht vor.
3.
Gemäss <ref-law> ist Untersuchungshaft unter anderem dann zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist und ernsthaft zu befürchten ist, dass sie (a) sich durch Flucht dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion entzieht oder (b) Personen beeinflusst oder auf Beweismittel einwirkt, um so die Wahrheitsfindung zu beeinträchtigen.
Den Beschwerdeführer belasten zahlreiche Umstände. Er ist nach seinen eigenen Angaben zu hundert Prozent geständig. Der dringende Tatverdacht ist somit klar gegeben.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, es fehle an der Fluchtgefahr.
4.2. Ob Fluchtgefahr besteht, ist nach der Rechtsprechung aufgrund einer Gesamtwürdigung aller wesentlichen Umstände zu beurteilen. Zu berücksichtigen sind insbesondere der Charakter des Beschuldigten, seine moralische Integrität, seine finanziellen Mittel, seine Verbindungen zur Schweiz, seine Beziehungen zum Ausland und die Höhe der ihm drohenden Strafe. Die Umstände müssen die Flucht nicht nur als möglich, sondern als wahrscheinlich erscheinen lassen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 507 mit Hinweisen).
4.3. Das Bundesgericht bejahte die Fluchtgefahr im Urteil 1B_44/2021 vom 23. Februar 2021. Dabei stützte es sich im Wesentlichen auf folgende Gesichtspunkte:
Dem Beschwerdeführer droht, wovon er selber ausgeht, eine langjährige Freiheitsstrafe. Dies stellt einen erheblichen Fluchtanreiz dar. Hinzu kommen die mit dem Strafverfahren verbundenen Kosten und hohen Zivilforderungen. Da er nicht nachvollziehbar darlegt, wie er diese begleichen könnte, besteht für ihn auch insoweit ein grosser Anreiz, sich seiner Verantwortung durch Flucht zu entziehen (E. 3.4).
Der Beschwerdeführer ist schweizerisch-türkischer Doppelbürger. Seine Mutter lebt in der Türkei. Sein volljähriger Sohn und seine heute 16-jährige Tochter, sein Bruder sowie seine Ehefrau halten sich in der Schweiz auf. Die Ehefrau will sich allerdings von ihm scheiden lassen oder die Scheidung hat bereits im Ausland stattgefunden, wurde aber in der Schweiz nicht gemeldet. Der Beschwerdeführer geht jedenfalls selbst nicht vom Weiterbestand der Ehe aus. Hingegen steht er in einer neuen, wenn auch offenbar noch nicht gefestigten Beziehung zu einer anderen Frau, die er vermutlich von seiner Geschäftstätigkeit in Dubai kennt. In einem Brief vom Februar 2020 an diese Frau ("Geständnisbrief") stellt er nach Verbüssung der ihm drohenden Freiheitsstrafe eine gemeinsame Zukunft in Aussicht, auch wenn er zu erkennen gibt, dass die Beziehung durch die Strafverfolgung möglicherweise bedroht ist. Insgesamt pflegt der Beschwerdeführer somit zwar enge Kontakte zur Schweiz. Er hat aber ein neues Leben angedacht und könnte insbesondere in die Türkei ausreisen. Denkbar wäre überdies eine Ausreise nach Dubai. Dort weilt nicht nur die Adressatin des "Geständnisbriefs", sondern es gibt auch Indizien, wonach er vor Ort über Grundeigentum verfügt. Im Übrigen hat er nicht zuletzt aufgrund seiner beruflichen Tätigkeit grosse Erfahrung im Reisen (E. 3.5).
Angesichts der dem Beschwerdeführer vorgeworfenen Straftaten ist die Möglichkeit ernsthaft in Betracht zu ziehen, dass er im Ausland über finanzielle Ressourcen verfügt. Er hat Vermögenswerte seiner Klienten ins Ausland transferiert und es ist nicht auszuschliessen, dass verstecktes Vermögen vorhanden oder es ihm möglich ist, auf Aktiven zuzugreifen, die bei den Offshore-Gesellschaften angelegt sind, an denen er beteiligt ist. Einzelne Transaktionen sind möglicherweise nicht einmal schriftlich oder elektronisch belegt. Überdies gibt es Anhaltspunkte für Investitionen in bzw. Beteiligungen an Immobilien in London, Istanbul, Deutschland und Dubai. Angesichts dessen und mit Blick auf die einschlägigen Fachkenntnisse des Beschwerdeführers kann nicht ausgeschlossen werden, dass er sich finanziell abgesichert hat bzw. über Ressourcen im Ausland verfügt, auch wenn er behauptet, sein Vermögen für die Rückzahlung der Verluste aufgebraucht zu haben (E. 3.6).
Der Beschwerdeführer ging vor seiner Verhaftung davon aus, es verbleibe ihm noch eine gewisse Zeit, bis die mutmasslichen Straftaten "innert sechs Monaten" bzw. "bis Juni" mit grosser Wahrscheinlichkeit herauskommen würden. Zudem führte er im erwähnten "Geständnisbrief" aus, mit dem Erlös des Verkaufs eines Hauses in der Türkei das Bekanntwerden der fragwürdigen Transaktionen aufschieben zu können. Zwar ging er dabei auch davon aus, allenfalls eine Freiheitsstrafe verbüssen zu müssen. Daraus lässt sich aber nicht ableiten, dass er die strafrechtlichen Konsequenzen seines Verhaltens vollständig erfasst hätte. Überdies verblieb ihm die ausdrückliche Hoffnung, den Schaden noch verringern zu können und er ging jedenfalls davon aus, dass es noch einige Zeit dauern würde, bis seine Handlungen strafrechtliche Folgen zeitigen würden. Er konnte daher immer noch planen, sich dem Zugriff der Strafverfolgung später zu entziehen, zumal er damals nicht zu wissen vermochte, in welchem Umfang seine deliktischen Handlungen bekannt werden würden. Das Verhalten des Beschwerdeführers vor seiner Verhaftung widerlegt daher die Fluchtgefahr nicht (E. 3.7).
4.4. Diese Erwägungen haben nach wie vor ihre Gültigkeit. Dies gilt insbesondere, was die ernsthafte Möglichkeit betrifft, dass der Beschwerdeführer noch über finanzielle Ressourcen verfügt, die ihm eine Flucht erleichtern würden.
Selbst der amtliche Verteidiger räumte mit Stellungnahme vom 19. November 2020 (Rz. 7) an das Zwangsmassnahmengericht sodann ausdrücklich ein, der Beschwerdeführer habe im "Geständnisbrief" die Möglichkeit angesprochen, mit dessen Adressatin ein neues Leben in Dubai aufzubauen, also nicht - wie der Beschwerdeführer nun geltend macht - in der Schweiz.
Zu berücksichtigen ist ausserdem, dass das Bundesgericht im Urteil vom 23. Februar 2021 noch von einem Deliktsbetrag von insgesamt ca. 32 Millionen USD ausging (E. 2.3). Inzwischen wirft die Staatsanwaltschaft dem Beschwerdeführer vor, einen Schaden von insgesamt mindestens 60 Millionen USD verursacht zu haben. Dem Beschwerdeführer droht daher eine längere Freiheitsstrafe als im Urteil vom 23. Februar 2021 angenommen, was den Fluchtanreiz zusätzlich erhöht.
4.5. In Anbetracht dessen durfte die Vorinstanz die Fluchtgefahr weiterhin bejahen. Ihr Entscheid verletzt insoweit kein Bundesrecht.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, es bestehe keine Kollusionsgefahr.
5.2. Die Untersuchungshaft wegen Kollusionsgefahr soll verhindern, dass die beschuldigte Person die Freiheit dazu missbrauchen würde, die wahrheitsgetreue Abklärung des Sachverhalts zu vereiteln oder zu gefährden. Die theoretische Möglichkeit, dass der Angeschuldigte in Freiheit kolludieren könnte, genügt nicht, um die Fortsetzung der Haft unter diesem Titel zu rechtfertigen. Es müssen vielmehr konkrete Indizien für die Annahme von Verdunkelungsgefahr sprechen. Das Vorliegen des Haftgrundes ist nach Massgabe der Umstände des jeweiligen Einzelfalles zu prüfen. Konkrete Anhaltspunkte für Kollusionsgefahr können sich namentlich ergeben aus dem bisherigen Verhalten des Beschuldigten im Strafprozess, aus seinen persönlichen Merkmalen, aus seiner Stellung und seinen Tatbeiträgen im Rahmen des untersuchten Sachverhaltes sowie aus den persönlichen Beziehungen zwischen ihm und den ihn belastenden Personen. Bei der Frage, ob im konkreten Fall eine massgebliche Beeinträchtigung des Strafverfahrens wegen Verdunkelung droht, ist auch der Art und Bedeutung der von Beeinflussung bedrohten Aussagen bzw. Beweismittel, der Schwere der untersuchten Straftaten sowie dem Stand des Verfahrens Rechnung zu tragen (<ref-ruling> E. 4.2 S. 127 f.; <ref-ruling> E. 3.2 S. 23 f. mit Hinweisen).
5.3. Es geht hier um eine komplexe und aufwändige Strafuntersuchung mit internationalen Bezügen. Die Staatsanwaltschaft konnte die Geldflüsse noch nicht genügend klären, insbesondere weil ausländische Staaten nicht im erhofften Umfang Rechtshilfe leisteten.
Wie dargelegt, bestehen Indizien dafür, dass der Beschwerdeführer im Ausland noch über beträchtliche Vermögenswerte verfügt. Bei einer Freilassung bestünde die ernstliche Gefahr, dass er diese Vermögenswerte dem Zugriff der Strafbehörden endgültig entziehen würde. Dies gilt umso mehr, als bei einem Mithäftling ein vom Beschwerdeführer verfasster Brief (Kassiber) an seinen Bruder sichergestellt werden konnte, den der Beschwerdeführer nicht über die Gefängnispost versenden, sondern an der Staatsanwaltschaft vorbei aus dem Gefängnis schleusen wollte. In diesem Brief erteilte der Beschwerdeführer seinem Bruder Anweisungen unter anderem dazu, wie mit Vermögen zu verfahren sei, das die vorliegende Strafuntersuchung bzw. darin verwickelte Personen betrifft. Zudem forderte er den Bruder auf, seine Sekretärin im Hinblick auf entlastende Aussagen zu "motivieren" und ihr monatlich Geldzahlungen zukommen zu lassen. Dieser Kassiber spricht stark für Kollusionsgefahr.
Aus einem Brief des Beschwerdeführers vom Januar 2019 an eine Geschädigte ergibt sich überdies, dass er sich einschüchternder Methoden bediente. Mit diesem Brief, in dem sich der Beschwerdeführer unstreitig als Freund seiner selbst ausgab, sollte die Geschädigte offensichtlich davon abgehalten werden, Nachforschungen anzustellen und rechtliche Schritte gegen ihn einzuleiten. Auch dies deutet auf Kollusionsgefahr hin.
Es geht um Vermögensdelinquenz grossen Ausmasses. Entsprechend besteht an der Wahrheitsfindung und damit der kollusionsfreien Ermittlung des Sachverhalts eine erhöhtes öffentliches Interesse.
Würdigt man dies gesamthaft, verletzt es ebenso wenig Bundesrecht, wenn die Vorinstanz Kollusionsgefahr annimmt.
6.
Der Beschwerdeführer macht geltend, mildere Ersatzmassnahmen anstelle der Untersuchungshaft gemäss <ref-law> reichten aus. Er nennt insoweit eine Schriftensperre, eine Meldepflicht und eine elektronische Überwachung ("Electronic Monitoring"). Diese Massnahmen kommen in Betracht zur Minderung von Fluchtgefahr, nicht dagegen Kollusionsgefahr. Dass Ersatzmassnahmen bestünden, welche die Kollusionsgefahr wirksam bannen könnten, legt der Beschwerdeführer nicht dar und ist nicht ersichtlich.
7.
Der Beschwerdeführer beantragt, die Haftverlängerung auf 3 Monate zu beschränken. Er begründet den Antrag jedoch nicht, wozu er verpflichtet gewesen wäre (Art. 42 Abs. 1 f. BGG). Auf die Beschwerde dürfte daher in diesem Punkt nicht einzutreten sein. Wie es sich damit verhält, kann jedoch dahingestellt bleiben.
Gemäss <ref-law> wird die Verlängerung der Untersuchungshaft jeweils für längstens 3 Monate, in Ausnahmefällen für längstens 6 Monate bewilligt. Nach der Rechtsprechung kann ein Ausnahmefall angenommen werden, wenn zum Vornherein ersichtlich ist, dass der Haftgrund auch nach mehr als 3 Monaten noch gegeben sein wird und die Strafuntersuchung zudem innert 3 Monaten nicht abgeschlossen werden kann (<ref-ruling> E. 2.5).
Diese Voraussetzungen sind hier erfüllt. Es kann ohne Weiteres davon ausgegangen werden, dass jedenfalls Fluchtgefahr auch nach mehr als 3 Monaten noch gegeben sein wird. Der Abschluss der Strafuntersuchung innert 3 Monaten (gerechnet ab der Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts vom 19. November 2021) erscheint sodann angesichts der Komplexität und des Umfangs des Falles nicht realistisch. Wenn die Vorinstanz die Verlängerung der Untersuchungshaft um 6 Monate als zulässig angesehen hat, ist das deshalb nicht zu beanstanden. Dass die Staatsanwaltschaft die Strafuntersuchung ungenügend vorantreibe, ist im Übrigen nicht erkennbar.
8.
Die Beschwerde ist daher abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Unter den gegebenen Umständen rechtfertigt es sich, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nach <ref-law> ist damit hinfällig.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich, dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, und Rechtsanwalt B._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Februar 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Härri