Erwägungen:
1.
A._ erstattete am 12. Mai 2018 Strafanzeige gegen drei Richter am Kreisgericht Wil, einen Staatsanwalt beim Untersuchungsamt Gossau und gegen einen Rechtsanwalt. Hintergrund der Anzeige bildet zum einen ein Verfahren vor dem Kreisgericht Wil zwischen dem Anzeiger und der B._ AG, welche durch den angezeigten Rechtsanwalt vertreten wird. Zum anderen führt der angezeigte Staatsanwalt ein Strafverfahren gegen A._ wegen mehrfacher versuchter Nötigung und mehrfacher falscher Anschuldigung. Das Untersuchungsamt Gossau ersuchte am 22. Mai 2018 die Anklagekammer der Kantons St. Gallen um Durchführung eines Ermächtigungsverfahrens. Mit Entscheid vom 7. Juni 2018 erteilte die Anklagekammer keine Ermächtigung zur Eröffnung von Strafverfahren. Zur Begründung führte sie zusammenfassend aus, dass sie in Bezug auf den angezeigten Rechtsanwalt nicht zuständig sei, da es sich bei ihm weder um ein Behördenmitglied noch um einen Mitarbeitenden des Kantons oder der Gemeinde handle. Die Staatsanwaltschaft werde insoweit gesondert entscheiden. Bezüglich der drei angezeigten Richter und des Staatsanwaltes enthalte die Strafanzeige weder einen genügend substantiierten Sachverhalt noch ergebe sich aus den eingereichten Unterlagen ein entsprechender Anfangsverdacht für strafbare Handlungen.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 25. Juli 2018 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer vermag mit der Darstellung seiner Sicht der Dinge nicht aufzuzeigen, dass die Anklagekammer Recht im Sinne von <ref-law> verletzt hätte, als sie die Ermächtigung zur Eröffnung von Strafverfahren nicht erteilte. Aus seinen Ausführungen ergibt sich nicht nachvollziehbar, welches konkrete Verhalten der Angezeigten überhaupt einen strafrechtlichen Bezug haben könnte. Somit ergibt sich aus der Beschwerde nicht, inwiefern die Anklagekammer in rechts- bzw. verfassungswidriger Weise einen Anfangsverdacht für strafbare Handlungen verneint haben sollte. Der Beschwerdeführer legt nicht ansatzweise dar, inwiefern die Begründung der Anklagekammer bzw. deren Entscheid selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (<ref-law>). Indessen ist davon abzusehen, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Untersuchungsamt Gossau, und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. August 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli