Sachverhalt:
A.
A._ war ab dem 1. August 2018 als Schulsozialarbeiter mit einem Pensum von 40 % an der Primarschule X._ und mit einem Pensum von 20 % an den Bezirksschulen Y._ in der Mittelpunktschule X._ tätig. Am 14. Dezember 2018 fand zwischen ihm, der Rektorin der Bezirksschulen, der Schulleiterin der Gemeinde sowie dem Mentor von A._ ein Gespräch statt. Dabei wurde vereinbart, dass sich A._ künftig an verschiedene, konkret formulierte Punkte zu halten habe. Es wurde eine Bewährungsfrist von drei Monaten festgelegt. Anlässlich eines zweiten Gesprächs am 28. Januar 2019 wurde sinngemäss festgehalten, dass die vereinbarten Ziele nicht erreicht worden seien und eine weitere Zusammenarbeit nicht mehr möglich sei. Mit Arztzeugnis vom 29. Januar 2019 wurde A._ ab 29. Januar 2019 eine 100%ige Arbeitsunfähigkeit attestiert. Ab 16. März 2019 war er noch zu 40-50 % krankgeschrieben. Ab 27. Mai 2019 bestand wiederum eine 100%ige Arbeitsunfähigkeit. Mit Schreiben vom 7. März 2019 räumte der Gemeinderat X._ A._ das rechtliche Gehör zur in Aussicht gestellten Kündigung des Arbeitsverhältnisses ein. Gleichentags räumte auch der Bezirksrat Y._ A._ das rechtliche Gehör zur vorgesehenen Kündigung ein. Dieser machte davon mit Eingabe vom 18. März 2019 Gebrauch. Mit Beschlüssen vom 8. April 2019 und vom 12. April 2019 kündigten der Gemeinderat X._ und der Bezirksrat Y._ das Arbeitsverhältnis mit A._ per Ende Mai 2019. Mit Schreiben vom 19. Juni 2019 liess A._ beim Gemeinderat X._ und beim Bezirksrat Y._ die Ausrichtung einer Entschädigung sowie gewisse Anpassungen des Arbeitszeugnisses beantragen. Die beiden Behörden wiesen die finanziellen Forderungen ab und stimmten der Ergänzung des Arbeitszeugnisses in gewissen Punkten zu.
B.
Klageweise liess A._ beantragen, die Gemeinde X._ sei zu verpflichten, ihm den offenen Lohn von Fr. 2876.50 brutto zuzüglich Zins zu 5 % seit 1. Juli 2019 zu bezahlen. Zudem sei sie zu verpflichten, ihm als Entschädigung/Abfindung Fr. 7965.75 zuzüglich Zins zu 5 % seit 1. Juli 2019 zu bezahlen. Weiter verlangte er eine Anpassung des Arbeitszeugnisses dahingehend, dass das Arbeitsverhältnis per 30. Juni 2019 geendet habe und dass dieses Datum als Ausstellungsdatum angegeben werde.
Mit einer weiteren Klage liess A._ beantragen, der Bezirk Y._ sei zu verpflichten, ihm den offenen Lohn von Fr. 1366.95 brutto zuzüglich Zins zu 5 % seit 1. Juli 2019 zu bezahlen. Zudem sei er zu verpflichten, ihm als Entschädigung/Abfindung Fr. 3785.40 zuzüglich Zins zu 5 % seit 1. Juli 2019 zu bezahlen. Weiter verlangte A._ eine Anpassung des Arbeitszeugnisses dahingehend, dass das Arbeitsverhältnis per 30. Juni 2019 geendet habe und dass dieses Datum als Ausstellungsdatum angegeben werde.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz vereinigte die beiden Verfahren und wies die Klagen mit Entscheid vom 26. März 2020 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erneuert A._ die im kantonalen Verfahren gestellten Anträge. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Gemeinde X._ und der Bezirk Y._ verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts betrifft ein öffentlich-rechtliches Arbeitsverhältnis, d.h. eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit (<ref-law>). Aufgrund der geltend gemachten Entschädigungsansprüche handelt es sich um eine vermögensrechtliche Angelegenheit, und es liegt kein Ausschlussgrund vor (<ref-law>). Die verlangte Entschädigung gegenüber der Gemeinde X._ und dem Bezirk Y._ übersteigt nach erfolgter Verfahrensvereinigung vor Vorinstanz insgesamt die Streitwertgrenze von Fr. 15'000.- (Art. 51 Abs. 1 lit. a, Art. 85 Abs. 1 lit. b BGG; MICHEL HEINZMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 23 zu <ref-law> mit Hinweisen). Die Beschwerde ist somit grundsätzlich zulässig. Der Beschwerdeführer ist als Adressat des angefochtenen Entscheids besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung (<ref-law>).
2.
2.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Die Anwendung des kantonalen Rechts als solchem bildet - abgesehen von den hier nicht gegebenen Fällen gemäss Art. 95 lit. c-e BGG - nicht Beschwerdegrund. Überprüft werden kann insoweit nur, ob der angefochtene Entscheid auf willkürlicher Gesetzesanwendung beruht oder ob das Gesetz oder seine Anwendung sonstwie gegen übergeordnetes Recht verstossen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 60; vgl. auch 138 I 225 E. 3.1 und 3.2 S. 227 f., je mit Hinweisen).
2.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten, insbesondere der hier geltend gemachten Verletzung des Willkürverbots gilt eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; zum Ganzen: <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.3. Macht die Beschwerde führende Partei eine Verletzung des Willkürverbots von <ref-law> geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich. Sie hat vielmehr anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern dieser offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 1.3 S. 60; <ref-ruling> E. 3 S. 352). Nach der bundesgerichtlichen Praxis liegt Willkür vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwider läuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 3.2.5; <ref-ruling> E. 7.1 S. 51 und 305 E. 4.3 S. 319; <ref-ruling> E. 5.1 S. 22; <ref-ruling> E. 7; je mit Hinweisen).
3.
3.1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hat, indem sie einen Lohnanspruch des Beschwerdeführers für den Monat Juni 2019 sowie einen Anspruch auf eine Abfindung und Entschädigung im Sinne von § 21g des Personal- und Besoldungsgesetzes des Kantons Schwyz vom 26. Juni 1991 (Personalgesetz, PG; SRSZ 145.110) verneinte.
3.2. Der angefochtene Entscheid stützt sich namentlich auf die Bestimmungen des PG, mithin auf kantonales Recht. Soweit § 6 Abs. 2 PG die Bestimmungen des Obligationenrechts ergänzend anwendbar erklärt, wenn die kantonale Personalgesetzgebung keine eigene Regelung enthält, wird das Privatrecht kraft Verweisung zum öffentlichen Recht des betreffenden Gemeinwesens. Es ist nach dessen Regeln anzuwenden und auszulegen. Die übernommenen Normen des Obligationenrechts gelten diesfalls nicht als Bundesprivatrecht, sondern als subsidiäres kantonales Recht, dies mit den bereits dargelegten kognitionsrechtlichen Folgen (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 322 und E. 2.1 hiervor).
Die Vorinstanz hat die entsprechenden Bestimmungen zutreffend dargelegt. Darauf kann verwiesen werden.
4.
4.1. Das kantonale Gericht stellte hinsichtlich des geltend gemachten Lohnanspruchs für den Monat Juni 2019 fest, das Arbeitsverhältnis sei von der Gemeinde X._ am 8. April 2019 und vom Bezirk Y._ am 12. April 2019 - jeweils unter Einhaltung einer einmonatigen Kündigungsfirst gemäss § 10 Abs. 1 lit. a PG - per Ende Mai 2019 gekündigt worden. Ab dem 29. Januar 2019 bis zum 9. Mai 2019 sei dem Beschwerdeführer durchgehend eine teilweise oder volle krankheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit attestiert worden, wobei keine Diagnose angegeben worden sei. Eine vollständige Arbeitsunfähigkeit habe zudem wieder ab dem 27. Mai 2019 bestanden. Die Vorinstanz erwog, die 30-tägige Sperrfrist sei bereits am 28. Februar 2019 abgelaufen. Die am 8. resp. am 12. April 2019 ausgesprochenen Kündigungen seien somit nach Ablauf der Sperrfrist ergangen und folglich gültig. Weiter habe mit dem Eintritt einer erneuten vollen Arbeitsunfähigkeit ab dem 27. Mai 2019 keine neue Sperrfrist zu laufen begonnen, welche die Verlängerung des Arbeitsverhältnisses hätte bewirken können. Die Forderung des Beschwerdeführers nach Lohnzahlungen für den Monat Juni 2019 sei demgemäss abzuweisen. Entsprechend seien auch die Datierung des Arbeitszeugnisses und das darin angegebene Datum der Beendigung des Arbeitsverhältnisses nicht abzuändern.
4.2. Hinsichtlich der streitigen Abfindung und Entschädigung erwog das kantonale Gericht, dem Beschwerdeführer sei nach dem Gespräch vom 28. Januar 2019 die Kündigung in Aussicht gestellt worden. Demnach sei die vom 14. Dezember 2018 bis Mitte März 2019 laufende Bewährungsfrist vorzeitig abgebrochen worden, auch wenn die Kündigung formell erst nach Ablauf der Bewährungsfrist ausgesprochen worden sei. Die Vorinstanz prüfte sodann, ob die vorzeitige Beendigung der Bewährungsfrist unter den gegebenen Umständen zulässig war. Sie kam zum Schluss, dass das wiederholte Versäumnis der Meldung eines selbstgefährdenden Schülers an die Schulleitung eine schwere Verletzung des Vertrauensverhältnisses sei und in Anbetracht der Vorgeschichte eine grobe Pflichtverletzung darstelle. Dies rechtfertige im konkreten Fall den vorzeitigen Abbruch der Bewährungsfrist. Folglich könne daraus kein Anspruch auf die Ausrichtung einer Abfindung und Entschädigung im Sinne von § 21g PG abgeleitet werden. Ausserdem bestehe damit ein sachlich zureichender Grund im Sinne von § 21a PG für die Kündigung des Arbeitsverhältnisses. Eine missbräuchliche Kündigung liege somit nicht vor. Entsprechend entfalle auch ein Entschädigungsanspruch wegen Kündigung ohne sachlichen Grund.
5.
Der Beschwerdeführer rügt eine willkürliche Feststellung des Sachverhalts sowie eine willkürliche Anwendung von kantonalem Recht.
5.1.
5.1.1. Zunächst macht er geltend, das PG enthalte keine explizite Regelung betreffend die Kumulation von Sperrfristen, weshalb die Bestimmungen des OR ergänzend zur Anwendung kämen. Gemäss gefestigter Lehrmeinung und Rechtsprechung zu <ref-law> löse jeder auf einem neuen Grund beruhende Verhinderungsfall nach <ref-law> eine neue, eigene Sperrfrist aus. Die Vorinstanz habe ihre Lösung unklar begründet. Soweit sie davon ausgegangen sein sollte, eine neue (unabhängige) Krankheit löse keine neue Sperrfrist aus, habe sie demnach gegen das Willkürverbot verstossen. Soweit sie davon ausgegangen sein sollte, es liege gar kein neuer (unabhängiger) Krankheitsfall vor, weshalb auch keine neue Sperrfrist zu laufen beginne, so sei sie auch damit in Willkür verfallen. Er habe bereits im vorinstanzlichen Verfahren dargelegt, dass es sich bei der Krankheit (Beschwerden im Bereich der Lendenwirbelsäule) ab dem 27. Mai 2019 um eine neue Krankheit gehandelt habe, die in keinem Zusammenhang zur vorherigen (psychischen) Krankheit gestanden habe. Er habe dafür auch entsprechende Beweise offeriert.
5.1.2. Vorliegend ist unbestritten, dass im Zeitpunkt der Kündigungen vom 8. und 12. April 2019 (per Ende Mai 2019) eine erste Sperrfrist wegen der krankheitsbedingen Arbeitsunfähigkeit ab 29. Januar 2019 bereits abgelaufen war. Es stellt sich aber die Frage, ob mit der ärztlich bescheinigten Arbeitsunfähigkeit ab 27. Mai 2019 eine neue Sperrfrist zu laufen begonnen hat.
5.1.3. Der zeitliche Kündigungsschutz ist in § 21b PG geregelt. Danach darf die Anstellungsbehörde nach Ablauf der Probezeit das Arbeitsverhältnis im Falle unverschuldeter ganzer oder teilweiser Arbeitsunfähigkeit wegen Krankheit oder Unfall während 30 Tagen im ersten Dienstjahr und während 180 Tagen ab dem zweiten Dienstjahr nicht kündigen (Abs. 1 lit. c). Ist die Kündigung vor Beginn einer Sperrfrist erfolgt, aber die Kündigungsfrist bis zum Beginn der Sperrfrist noch nicht abgelaufen, so wird die Kündigungsfrist bis zum Ablauf der Sperrfrist unterbrochen (Abs. 2). Diese Regelung entspricht weitgehend derjenigen in <ref-law>. Gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung zu <ref-law> löst jeder neue Grund für eine Arbeitsverhinderung im Sinne von <ref-law> - sei er gleichartig oder verschiedenartig - eine eigenständige Sperrfrist aus, also auch jede neue Krankheit oder jeder neue Unfall (<ref-ruling> E. 2b/aa S. 476 f.; <ref-ruling> E. 3d S. 127; vgl. auch Urteil 8C_826/2015 vom 21. September 2016 E. 3.3.1; PORTMANN/RUDOLPH, Basler Kommentar, Obligationenrecht, Band I, 7. Aufl. 2020, N. 9 zu <ref-law>). Krankheiten oder Unfälle sind neu, wenn sie zu früheren Krankheiten oder Unfällen in keinem Zusammenhang stehen (BGE <ref-ruling> E. 3d S. 127).
5.1.4. Das kantonale Gericht verneinte einen Anwendungsfall von § 21 Abs. 2 PG (richtig: § 21b Abs. 2 PG), da die Kündigung nicht vor Beginn einer Sperrfrist, sondern vielmehr nach deren Ablauf erfolgt sei. Mit dem Eintritt einer erneuten vollen Arbeitsunfähigkeit ab dem 27. Mai 2019 habe keine neue Sperrfrist zu laufen begonnen. Die Kündigung sei zu diesem Zeitpunkt bereits rechtsgültig ausgesprochen gewesen und weder das PG noch das OR sähen eine Verlängerung des Arbeitsverhältnisses bei rechtmässiger Kündigung nach Ablauf der Sperrfrist vor, wenn der Angestellte nach Ablauf der Sperrfrist wieder arbeitsunfähig werde.
Aus diesen Ausführungen erhellt, dass die Vorinstanz § 21b PG dahingehend auslegt, dass eine Kumulation von Sperrfristen nicht möglich ist, unabhängig davon, ob eine erneute Arbeitsverhinderung auf einen neuen Grund zurückzuführen ist oder ob es sich dabei um einen Rückfall handelt.
5.1.5. Es mag zwar zutreffen, dass - wie der Beschwerdeführer vorbringt - im Anwendungsbereich des Bundesprivatrechts eine neue Krankheit rechtsprechungsgemäss eine neue Sperrfrist auslöst (vgl. E. 5.1.3 hiervor). Vorliegend stellt sich aber die Frage, ob die Vorinstanz bei der Anwendung von kantonalem Recht in Willkür verfallen ist. Der Beschwerdeführer hat selber erkannt, dass das PG keine Bestimmung enthält, wonach jede neue unverschuldete Arbeitsunfähigkeit eine neue Sperrfrist auslöst. Insoweit erscheint die Auslegung der Vorinstanz vertretbar. § 21b Abs. 2 PG entspricht sodann im Wesentlichen <ref-law>, sodass nicht ersichtlich ist, inwiefern hier das OR subsidiär als kantonales Recht zur Anwendung gelangen soll (vgl. § 6 Abs. 2 PG) und was der Beschwerdeführer daraus zu seinen Gunsten ableiten könnte. Allein im Umstand, dass das kantonale Gericht die Rechtsprechung zu <ref-law> nicht berücksichtigt hat, liegt entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ebenfalls noch keine Willkür. Denn die Anwendung des Bundesprivatrechts als ergänzendes kantonales Recht verpflichtet den Verwaltungsrichter grundsätzlich nicht, die betreffenden Normen gleich wie im Privatrecht auszulegen; er kann den Besonderheiten des öffentlichen Rechts Rechnung tragen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 60; <ref-ruling> E. 6.1 S. 238; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.3. S. 322 sowie Urteil 8C_823/2018 vom 10. April 2019 E. 5.5). Dass der kantonale Gesetzgeber entsprechend der zivilrechtlichen Rechtsprechung eine Kumulation von Sperrfristen vorsehen wollte, legt der Beschwerdeführer nicht dar. Wie bereits vermerkt (E. 2.3 hiervor), hebt das Bundesgericht einen angefochtenen Entscheid zudem nur dann wegen willkürlicher Anwendung des kantonalen Rechts auf, wenn nicht nur die Begründung des Entscheids, sondern auch dessen Ergebnis unhaltbar erscheint. Der Beschwerdeführer zeigt jedoch nicht auf, inwiefern der angefochtene Entscheid im Ergebnis offensichtlich unhaltbar ist, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 4.3 S. 380 mit Hinweisen).
5.1.6. Wenn die Vorinstanz die Forderung des Beschwerdeführers nach Lohnzahlungen für den Monat Juni 2019 und eine entsprechende Anpassung des Arbeitszeugnisses abgewiesen hat, so ist dies nach dem Gesagten nicht zu beanstanden.
5.2.
5.2.1. Weiter bringt der Beschwerdeführer vor, die Bewährungsfrist hätte nicht vorzeitig abgebrochen werden dürfen. Es habe keine Meldepflicht bestanden, da bei der betreffenden Schülerin gar keine Selbstgefährdung vorgelegen habe. Selbst wenn aber auch in denjenigen Fällen eine Meldepflicht bestünde, bei denen keine Selbstgefährdung vorliege, würde ein entsprechender Verstoss klarerweise nicht einen vorzeitigen Abbruch der Bewährungsfrist rechtfertigen. Ausserdem sei während der Bewährungsfrist einzig eine fristlose Kündigung möglich, nicht aber eine ordentliche Kündigung. Obwohl eine Kündigung - unter Berücksichtigung der 30-tägigen Sperrfrist - bereits Ende Februar 2019 möglich gewesen wäre, hätten die Beschwerdegegnerinnen mit der Kündigung zugewartet. Damit hätten sie sein Verhalten genehmigt. Eine schwere Pflichtverletzung könne jedenfalls nicht vorliegen und es fehle damit an einem sachlichen Grund für die Kündigung.
5.2.2. Bevor einem Mitarbeiter nach Ablauf der Probezeit gekündigt werden kann, der nicht geeignet ist, seine Aufgabe zu erfüllen oder dessen Leistung und Verhalten nicht befriedigen, sind ihm die Beanstandungen durch eine Mitarbeiterbeurteilung vorzuhalten und ist ihm eine Bewährungsfrist von mindestens drei Monaten anzusetzen (§ 21 Abs. 3 PG). § 21f PG regelt die Folgen einer unzulässigen Kündigung oder Auflösung: Ist eine Kündigung missbräuchlich nach den Bestimmungen des Obligationenrechts, ist eine Kündigung ohne sachlich zureichenden Grund nach § 21a Abs. 2 PG oder in Missachtung der Verfahrensvorschriften nach § 21 PG ausgesprochen worden oder ist eine fristlose Entlassung nach § 21c PG ohne wichtigen Grund erfolgt, entstehen finanzielle Ansprüche nach § 21g PG, sofern der betroffene Mitarbeiter nicht wiedereingestellt wird. Hingegen kann in diesen Fällen kein Anspruch auf die Fortführung des Arbeitsverhältnisses abgeleitet werden (Abs. 2). Gemäss § 21g Abs. 2 PG entspricht die Abfindung höchstens dem letzten Jahreslohn und wird vom Regierungsrat nach den Umständen des Einzelfalles festgesetzt. Berücksichtigt werden das Alter, die Dienstjahre und die persönlichen Verhältnisse des Mitarbeiters sowie der Grund, der zur Beendigung des Arbeitsverhältnisses geführt hat. Ist eine Kündigung missbräuchlich nach den Bestimmungen des Obligationenrechts, ist eine Kündigung ohne sachlich zureichenden Grund nach § 21a Abs. 2 oder in Missachtung der Verfahrensvorschriften nach § 21 ausgesprochen worden oder ist eine fristlose Entlassung nach § 21c ohne wichtigen Grund erfolgt, hat der betroffene Mitarbeiter Anspruch auf eine Abfindung nach Abs. 2 und auf eine zusätzliche Entschädigung, die höchstens dem letzten halben Jahreslohn entspricht (Abs. 3).
5.2.3. Die Vorinstanz erwog, eine ordentliche Kündigung während der Bewährungsfrist sei nur ausnahmsweise möglich, nämlich dann, wenn feststehe, dass diese ihren Zweck nicht erfüllen könne. Das sei etwa der Fall, wenn die Voraussetzungen für eine fristlose Entlassung gegeben seien, die Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses also nicht mehr zumutbar sei. Der Zweck der Bewährungsfrist lasse sich zudem dann nicht erreichen, wenn es sich als offenkundig herausstelle, dass der Mitarbeiter auch mit angemessenen Förderungsmassnahmen nicht in der Lage sein werde, sein Verhalten zu verbessern oder wenn der betroffene Mitarbeiter eine Änderung seines Verhaltens verweigere resp. wenn er zu verstehen gebe, dass er das ihm vorgeworfene Verhalten als korrekt erachte und er deshalb nicht gewillt sei, dies zu ändern. Das kantonale Gericht hält demnach einen vorzeitigen Abbruch der Bewährungsfrist nicht nur bei Vorliegen der Voraussetzungen einer fristlosen Entlassung für zulässig. Inwiefern diese Beurteilung gegen das Willkürverbot verstossen soll, vermag der Beschwerdeführer nicht substanziiert darzutun.
5.2.4. Das kantonale Gericht stellte sodann fest, der Beschwerdeführer sei mit Vereinbarung vom 14. Dezember 2018 unter anderem aufgefordert worden, gegenüber der Schulleitung die Melde- und Auskunftspflicht einzuhalten. Anlässlich des Gesprächs vom 28. Januar 2019 seien dem Beschwerdeführer im Wesentlichen sodann drei Punkte vorgeworfen worden: 1. illoyales Verhalten gegenüber der Schulleitung, 2. ungenügende Vernetzung und 3. Meldepflichtverletzung in Bezug auf zwei suizidgefährdete Schüler (resp. Fehleinschätzung der Suizidgefährdung). Die Vorinstanz hielt dazu fest, dass die beiden ersten Punkte nicht weiter konkretisiert worden seien und letztlich einzig noch der Vorwurf verbleibe, der Beschwerdeführer habe - nachdem er bereits in einem früheren Fall einen Schüler mit geäusserten Suizidabsichten der Schulleitung nicht gemeldet habe - ein Video einer Schülerin, die sich darin über Suizidabsichten äussere, der Schulleitung nicht weitergegeben und eigenmächtig entschieden, es liege keine Suizidgefährdung vor. Sie kam zum Schluss, dass der Beschwerdeführer damit seine Pflichten verletzt habe. Soweit der Beschwerdeführer geltend mache, es könne ihm keine Fehleinschätzung nachgewiesen werden, ändere dies nichts an der Meldepflichtverletzung. Denn solche Äusserungen seien Alarmsignale für eine akute Suizidgefährdung und immer ernst zu nehmen. Die Schule müsse darauf vertrauen können, dass die Lehrkräfte und die weiteren für sie tätigen Fachpersonen dem Anspruch von Kindern und Jugendlichen auf besonderen Schutz ihrer Unversehrtheit Nachachtung schenken würden und entsprechend bei besonderen Gefahren die Schulleitung informiert werde, damit die erforderlichen Massnahmen ergriffen werden könnten. In der Gemeinde X._ und im Bezirk Y._ bestehe ein Schulsozialarbeitsmodell, in welchem der Schulleitung Vorgesetztenfunktion gegenüber dem Schulsozialarbeiter zukomme. Der Beschwerdeführer habe sich trotz des Gesprächs vom 14. Dezember 2018 und der dabei getroffenen Vereinbarung nicht davon abhalten lassen, die selbe Pflichtverletzung ein weiteres Mal zu begehen. Für die Schulleitungen von Bezirk und Gemeinde sei deshalb zu Recht kein weiteres Abwarten der Bewährungsfrist in Frage gekommen.
Die Vorinstanz hat demnach unter Berücksichtigung der konkreten Umstände nachvollziehbar dargelegt, weshalb der vorzeitige Abbruch der Bewährungsfrist vorliegend (ausnahmsweise) gerechtfertigt war und ein Anspruch auf Abfindung und Entschädigung im Sinne von § 21g in Verbindung mit § 21 Abs. 3 PG entfällt. Eine willkürliche Anwendung von kantonalem Recht ist somit nicht ersichtlich. Desgleichen hat die Vorinstanz willkürfrei erwogen, dass das Vertrauensverhältnis zwischen der Schulleitung und dem Beschwerdeführer aufgrund dessen wiederholten pflichtwidrigen Unterlassungen nachvollziehbar gestört sei und eine Weiterbeschäftigung unter diesen Umständen dem öffentlichen Interesse, insbesondere demjenigen einer gut funktionierenden Schule, widersprechen würde. Folglich ist auch nicht zu beanstanden, dass sie einen Entschädigungsanspruch des Beschwerdeführers wegen Kündigung ohne sachlichen Grund (§§ 21f Abs. 2 und 21g Abs. 3 PG) verneint hat.
5.2.5. Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, erschöpft sich im Wesentlichen in appellatorischer Kritik am angefochtenen Entscheid. Soweit er erneut geltend macht, er habe keine Fehleinschätzung der Selbstgefährdung der betreffenden Schülerin vorgenommen, vermag er damit nach dem Gesagten nicht durchzudringen. Wie die Vorinstanz willkürfrei darlegte, wäre der Beschwerdeführer nach einer ersten Unterlassung einer Meldung betreffend Suizidabsichten eines Schülers und der in der Folge getroffenen Vereinbarung verpflichtet gewesen, einen weiteren vergleichbaren Vorfall der Schulleitung unverzüglich zu melden. Fehl geht auch der Einwand, die Behörden hätten mit der Kündigung zu lange zugewartet und damit sein Verhalten gleichsam genehmigt, ist doch der Zeitablauf einerseits auf die erste Sperrfrist und andererseits auf die Einhaltung des Kündigungsverfahrens mit Gewährung des rechtlichen Gehörs (vgl. § 21 Abs. 1 PG) zurückzuführen.
5.2.6. Nach dem Gesagten ist nicht zu beanstanden, dass das kantonale Gericht einen Anspruch des Beschwerdeführers auf Abfindung und Entschädigung wegen Verletzung von Verfahrensvorschriften oder fehlendem sachlichen Grund für die Kündigung verneint hat.
6.
Zusammenfassend ist die Beschwerde unbegründet und abzuweisen.
7.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. August 2020
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Wüest