Sachverhalt:
A.
Am 27. April 2021 ersuchte das Justizministerium Nordrhein-Westfalen die Schweiz um Auslieferung des deutschen Staatsangehörigen A._ zwecks Verfolgung der ihm vorgeworfenen Straftaten (Betrug). Am 25. Mai 2021 erliess das Bundesamt für Justiz einen Auslieferungshaftbefehl gegen A._. Dieser wurde am 1. Juni 2021 verhaftet. Anlässlich seiner Einvernahme vom 2. Juni 2021 widersetzte er sich einer vereinfachten Auslieferung an Deutschland.
Mit Schreiben vom 14. Juni 2021 beantragte A._ beim Bundesamt für Justiz seine Haftentlassung. Dieses wies das Gesuch am 17. Juni 2021 ab. Am 30. Juni 2021 nahm A._ Stellung zum Auslieferungsersuchen der deutschen Behörden und ersuchte erneut um Haftentlassung. Mit Auslieferungsentscheid vom 8. Juli 2021 bewilligte das Bundesamt für Justiz die Auslieferung von A._ und wies dessen Haftentlassungsgesuch vom 30. Juni 2021 ab. Gegen den Auslieferungsentscheid vom 8. Juli 2021 erhob A._ am 9. August 2021 Beschwerde bei der Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts. Dieses wies die Beschwerde am 18. November 2021 ab (RR.2021.165). Einen Tag zuvor hatte die Beschwerdekammer bereits die Beschwerde gegen das von A._ am 14. Oktober 2021 beim Bundesamt für Justiz erneut gestellte und von Letzterem abgelehnte Haftentlassungsgesuch abgewiesen (RH.2021.15).
B.
Während des laufenden Auslieferungsverfahrens reichte A._ am 6. August 2021 beim Staatssekretariat für Migration ein Asylgesuch ein. Dieses wies das Gesuch mit Entscheid vom 27. Oktober 2021 ab. Dagegen erhob A._ Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht, welches die Beschwerde am 11. November 2021 abwies. Mit Eingabe vom 10. Dezember 2021 (Eingang am 16. Dezember 2021) ersuchte A._ vor Bundesgericht um Erstreckung der 30-tägigen Begründungsfrist gegen das bundesverwaltungsgerichtliche Urteil.
C.
Gegen die Entscheide des Bundesstrafgerichts vom 17. und vom 18. November 2021 gelangte A._ mit Beschwerde vom 29. November 2021 an das Bundesgericht (1C_737/2021). Er beantragt, die beiden Entscheide des Bundesstrafgerichts vom 17. und 18. November 2021 sowie die angefochtenen Verfügungen des Bundesamts für Justiz seien vollständig aufzuheben und es sei das Auslieferungsgesuch des Justizministeriums Nordrhein-Westfalen vom 27. April 2021 abzuweisen sowie ihn unverzüglich aus der Auslieferungshaft zu entlassen (akzessorisches Haftentlassungsgesuch). Eventualiter sei die Angelegenheit zur ergänzenden Beweiserhebung und Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
D.
Es wurden keine Stellungnahmen der mitbeteiligten Behörden eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer, der ausgeliefert werden soll, hat um Asyl ersucht. Gemäss dem am 1. April 2011 in Kraft getretenen Bundesgesetz vom 1. Oktober 2010 über die Koordination des Asyl- und des Auslieferungsverfahrens (Koordinationsgesetz; AS 2011 925 ff.) müssen die beiden Verfahren koordiniert werden. Das Koordinationsgesetz bezweckt die Behebung der Probleme, die bei parallelen Auslieferungs- und Asylverfahren auftraten. Diese Verfahren werden nunmehr auf der Stufe des Bundesgerichts zusammengeführt. Das gewährleistet eine widerspruchsfreie Rechtsprechung unter Beachtung des Gebots des Non-Refoulement (näher dazu <ref-ruling> E. 1.2.1 mit Hinweisen). Die beiden Verfahren 1C_737/2021 (Auslieferungsverfahren) und 1C_767/2021 (Asylverfahren) sind daher zu vereinigen. Es rechtfertigt sich folglich, die Beschwerden in einem einzigen Urteil zu erledigen.
1.2. Nach <ref-law> ist die Beschwerde innert 30 Tagen nach Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des angefochtenen Entscheids beim Bundesgericht einzureichen. Diese gesetzliche Frist ist nicht erstreckbar (<ref-law>). Das angefochtene Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 11. November 2021 ist beim Beschwerdeführer nach dessen eigenen Angaben am 15. November 2021 eingegangen. Die Beschwerdefrist begann somit am 16. November 2021 zu laufen und endete am Montag, dem 15. Dezember 2021. Das Schreiben des Beschwerdeführers, datierend vom 10. Dezember 2021, mit welchem er um Verlängerung der Begründungsfrist für seine Beschwerde ersuchte, ging beim Bundesgericht erst am 16. Dezember 2021 ein. Gemäss Stempel der Post wurde es am 15. Dezember 2021 und somit am letzten Tag der Beschwerdefrist aufgegeben. Eine Erstreckung der gesetzlichen 30-tägigen Begründungsfrist kann indes praxisgemäss nicht bewilligt werden (vgl. Art. 47 Abs. 1 und <ref-law>). Auf die Beschwerde im Verfahren 1C_767/2021 ist demnach wegen fehlender Begründung (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nicht einzutreten.
1.3. Gegen einen Entscheid auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unter den in <ref-law> genannten Voraussetzungen zulässig. Im vorliegenden Fall geht es um eine Auslieferung und damit um ein Sachgebiet, bei dem die Beschwerde nach <ref-law> insoweit möglich ist. Weiter ist erforderlich, dass es sich um einen besonders bedeutenden Fall handelt.
Ein besonders bedeutender Fall liegt insbesondere vor, wenn Gründe für die Annahme bestehen, dass elementare Verfahrensgrundsätze verletzt worden sind oder das Verfahren im Ausland schwere Mängel aufweist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 mit Hinweisen). <ref-law> bezweckt die wirksame Begrenzung des Zugangs zum Bundesgericht im Bereich der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen. Ein besonders bedeutender Fall ist deshalb mit Zurückhaltung anzunehmen. Dem Bundesgericht steht insofern ein weiter Ermessensspielraum zu (<ref-ruling> E. 1.2 mit Hinweisen).
Ein besonders bedeutender Fall kann auch bei einer Auslieferung nur ausnahmsweise angenommen werden. In der Regel stellen sich insoweit keine Rechtsfragen, die der Klärung durch das Bundesgericht bedürfen, und kommt den Fällen auch sonst wie keine besondere Tragweite zu (<ref-ruling> E. 1.3.4).
1.4. Gemäss <ref-law> ist in der Begründung der Rechtsschrift in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass ein besonders bedeutender Fall nach <ref-law> vorliegt, so ist auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist (<ref-ruling> E. 1.5 mit Hinweisen).
1.5. Nach <ref-law> entscheidet die Abteilung in Dreierbesetzung über Nichteintreten auf Beschwerden, bei denen kein besonders bedeutender Fall vorliegt (Abs. 1). Der Entscheid wird summarisch begründet und es kann ganz oder teilweise auf den angefochtenen Entscheid verwiesen werden (Abs. 3).
2.
2.1. Die Vorinstanz hat sich ausführlich mit den Einwänden des Beschwerdeführers auseinandergesetzt. Darauf kann verwiesen werden (<ref-law>). Der Entscheid lässt keine Bundesrechtsverletzung erkennen. Das gilt insbesondere, soweit die Vorinstanz die Voraussetzung des Grundsatzes der beidseitigen Strafbarkeit als erfüllt angesehen hat (vgl. E. 3.6 des Urteils RR.2021.165). Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, namentlich ihm würden von den deutschen Behörden Fiskaldelikte vorgeworfen, welche keine für die Auslieferung ausreichenden Straftatbestände darstellen würden, ist unbehelflich. Wie die Vorinstanz erwog, wird ihm Betrug vorgeworfen, da er aus eigenem Antrieb den Staat arglistig getäuscht habe, um das fiskalische Rückerstattungssystem der deutschen Umsatzsteuer planmässig auszunutzen (vgl. E. 3.6.2 des Urteils RR.2021.165). Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist die beidseitige Strafbarkeit damit ausreichend geklärt bzw. dargelegt.
2.2. Ebenso unbegründet sind die Rügen des Beschwerdeführers im Zusammenhang mit einem angeblich mangelhaften Verfahren in Deutschland. Er behauptet einzig, das Auslieferungsersuchen erfolge aus reiner Schikane der deutschen Behörden und er gehe davon aus, dass es sich um eine persönliche Angelegenheit handle. Damit zeigt er aber nicht auf, worin die angeblich schweren Mängel liegen sollen. Dies ist, wie die Vorinstanz zu Recht festhielt (vgl. E. 4 des Urteils RR.2021.165), auch nicht ersichtlich.
2.3. Weiter steht das Vorbringen des Beschwerdeführers einer Auslieferung nicht entgegen, er sei an Krebs erkrankt und müsse innerhalb von drei Monaten operiert werden. Wie die Vorinstanz zu Recht erwog (vgl. E. 5 des Urteils RR.2021.165), sehen die anwendbaren Staatsverträge und das IRSG (SR 351.1) keine Möglichkeit vor, eine Auslieferung aus gesundheitlichen Gründen zu verweigern. Im Gegensatz zu gewissen anderen Staaten, haben weder die Schweiz noch Deutschland einen entsprechenden Vorbehalt zum Europäischen Auslieferungsübereinkommen vom 13. Dezember 1957 (EAUe; SR 0.353.1) angebracht (vgl. ROBERT ZIMMERMANN, La coopération judiciaire internationale en matière pénale, 5. Aufl. 2019, Rz. 699 S. 773). Nach ständiger Rechtsprechung kann daher ein Auslieferungsgesuch nicht wegen des schlechten Gesundheitszustands der verfolgten Person abgelehnt werden. Es ist Sache des ersuchenden Staates, dafür zu sorgen, dass der Auszuliefernde eine angemessene medizinische Behandlung bekommt und seinem Gesundheitszustand entsprechend untergebracht oder allenfalls, mangels Hafterstehungsfähigkeit, aus der Haft entlassen wird (vgl. Urteile 1C_455/2021 vom 8. September 2021 E. 2.3; 1C_366/2021 vom 29. Juni 2021 E. 2.2; je mit Hinweisen). Diesbezüglich ist denn auch keine Verletzung des rechtlichen Gehörs durch die Vorinstanz erkennbar.
Die Befürchtung des Beschwerdeführers, er erhalte bei einer Auslieferung nach Deutschland nicht die erforderliche medizinische Hilfe, ist unbegründet. Dass Deutschland eine angemessene medizinische Behandlung tatsächlich nicht garantieren könnte, macht er nicht geltend und ist auch nicht ersichtlich. Ausserordentliche Umstände, aufgrund welcher der Gesundheitszustand einer Auslieferung ausnahmsweise entgegenstehen würde (insbes. ein Verstoss gegen Art. 3 EMRK), sind hier demnach offensichtlich nicht gegeben (vgl. Urteil des EGMR A.S. gegen Schweiz vom 30. Juni 2015, Beschwerde-Nr. 39350/13, §§ 31-34). Der Gesundheitszustand des Beschwerdeführers bildet folglich kein Auslieferungshindernis.
2.4. Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, das Auslieferungsersuchen müsse auch aufgrund der fehlenden Verhältnismässigkeit abgewiesen werden. Der diesbezügliche Verweis auf seine Ausführungen in der Beschwerde an die Vorinstanz genügt den Begründungsanforderungen von vornherein nicht (vgl. <ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 4; je mit Hinweisen). Darauf ist nicht weiter einzugehen. Dasselbe gilt für die erneut gerügte angebliche Gehörsverletzung durch die Vorinstanz. Eine solche ist ohnehin nicht ersichtlich. Die Vorinstanz hat sich ausführlich zur Verhältnismässigkeit geäussert (vgl. E. 7 des Urteils RR.2021.165).
2.5. Inwiefern aus einem anderen Grund ein besonders bedeutender Fall gegeben wäre, legt der Beschwerdeführer nicht dar und ist auch nicht ersichtlich. Der Angelegenheit kommt keine aussergewöhnliche Tragweite zu. Für das Bundesgericht besteht deshalb kein Anlass, die Sache an die Hand zu nehmen.
3.
Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerden nicht einzutreten.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege kann wegen Aussichtslosigkeit nicht bewilligt werden (<ref-law>). Unter den gegebenen Umständen erscheint es indessen gerechtfertigt, dem Beschwerdeführer keine Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die bundesgerichtlichen Verfahren 1C_737/2021 und 1C_767/2021 werden vereinigt.
2.
Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Es werden keine Kosten erhoben.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Justiz, Fachbereich Auslieferung, dem Staatssekretariat für Migration, dem Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung IV, dem Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement, dem Eidgenössischen Datenschutz- und Öffentlichkeitsbeauftragten und dem Migrationsamt des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Dezember 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier