Faits :
A.
X._, ressortissant turc né en 1976, est entré en Suisse sans autorisation au mois de mars 2002 et a fait l'objet, le 24 octobre 2002, d'une décision de renvoi immédiat. Le 12 mars 2007, il s'est marié avec Y._, ressortissante suisse, et a de ce fait été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour. Y._ a donné naissance, en 2008, à A._ et, en 2009, à B._. Le père des deux filles n'est pas X._. Celui-ci a deux enfants issus d'une précédente union qui vivent en Turquie.
Le 5 mars 2012, X._ a été mis au bénéfice d'une autorisation d'établissement. Le 27 août 2012, il a annoncé son départ pour le canton de Fribourg. Ce départ a par la suite été annulé. Par jugement du 13 mars 2014, le Tribunal régional du Littoral et du Val-de-Travers a prononcé le divorce de X._ et Y._.
Le 20 mai 2014, le Service des migrations du canton de Neuchâtel (ci-après: le Service cantonal) a notamment demandé à X._ d'expliquer les circonstances de la dissolution de son mariage. Dans un premier courrier du 30 juin 2014, X._ a indiqué s'être séparé en juin 2012 à la demande de son ex-épouse. Dans un second courrier du 15 septembre 2015, l'intéressé a modifié ses déclarations, exposant avoir fait ménage commun avec Y._ de 2004 jusqu'à leur mariage, s'être séparé d'elle au mois de juillet 2007 à sa demande, avoir alors quitté le domicile conjugal et ne jamais y être retourné.
B.
Par décision du 19 mai 2016, le Service cantonal a révoqué l'autorisation d'établissement de X._ et lui a imparti un délai au 30 juin 2016 pour quitter la Suisse. Cette décision a fait l'objet d'un recours de l'intéressé auprès du Département de l'économie et de l'action sociale de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Département cantonal), qui l'a rejeté par décision du 24 mai 2017.
Par arrêt du 13 février 2018, la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours formé par X._ contre la décision du 24 mai 2017. En substance, le Tribunal cantonal a retenu que la dissimulation par X._ de sa séparation aux autorités justifiait la révocation de l'autorisation d'établissement, laquelle respectait en outre le principe de proportionnalité.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais, principalement d'annuler l'arrêt du 13 février 2018 et de lui accorder une autorisation de séjour et, subsidiairement, de renvoyer la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il sollicite en outre l'effet suspensif.
Par ordonnance du 22 mars 2018, le Président de la II e Cour de droit public du Tribunal fédéral admis la demande d'effet suspensif.
Le Service cantonal, le Département cantonal et le Tribunal cantonal ont transmis leur dossier. Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.

Considérant en droit :
1.
1.1. Selon l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Il est recevable contre les décisions relatives, comme en l'espèce, à la révocation d'une autorisation d'établissement parce qu'il existe en principe un droit au maintien de cette autorisation (<ref-ruling> consid. 1.2.1 p. 4). La présente cause ne tombe ainsi pas sous le coup de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, ni d'aucune autre clause d'irrecevabilité figurant à l'<ref-law>. Partant, la voie du recours en matière de droit public est ouverte.
1.2. Pour le surplus, le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>), rendue par un tribunal cantonal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). Il a été déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites (<ref-law>), par le destinataire de l'acte attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification, si bien qu'il faut lui reconnaître la qualité pour recourir (<ref-law>). Il convient donc d'entrer en matière.
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'<ref-law>. Il conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>), hormis dans les cas prévus à l'<ref-law>. Selon l'<ref-law>, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (cf. <ref-ruling> consid. 6 p. 358; <ref-ruling> consid. 1.6 p. 377). La partie recourante doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (cf. <ref-law>).
2.2. En l'occurrence, le recourant se plaint de ce que le Tribunal cantonal a constaté les faits de manière manifestement inexacte en considérant qu'il aurait intentionnellement fait de fausses déclarations et dissimulé des faits essentiels durant la procédure d'autorisation de séjour, puis d'établissement. Dans la mesure où son grief se confond en l'espèce avec celui tiré de la violation de l'art. 63 al. 1 let. a LEtr (RS 142.20) en lien avec l'art. 62 let. a LEtr (dans la teneur de l'art. 63 al. 1 let. a LEtr en vigueur au moment de la révocation de l'autorisation, art. 62 al. 1 let. a LEtr depuis le 1er janvier 2018 [RO 2016 1249]), il sera traité dans ce contexte (cf. infra consid. 4).
3.
Le litige porte sur le point de savoir si c'est à bon droit que le Tribunal cantonal a confirmé la révocation de l'autorisation d'établissement du recourant.
4.
Le recourant conteste la réalisation du motif de révocation de l'art. 62 let. a LEtr, retenu par les autorités de première instance et confirmé par le Tribunal cantonal.
4.1. D'après l'art. 63 al. 1 let. a et 2 LEtr en relation avec l'art. 62 let. a LEtr auquel il renvoie, l'autorité compétente peut révoquer une autorisation d'établissement d'un étranger qui, comme en l'espèce, séjourne en Suisse depuis moins de quinze ans, lorsque ce dernier ou son représentant légal a fait de fausses déclarations ou a dissimulé des faits essentiels durant la procédure d'autorisation. Ainsi, lorsque l'autorité pose des questions à l'étranger, celui-ci doit y répondre conformément à la vérité. Les fausses déclarations qui portent sur des éléments déterminants pour l'octroi de l'autorisation de séjour ou d'établissement conduisent à la révocation de celle-ci. Il ne doit toutefois pas être établi que l'autorisation aurait avec certitude été refusée si l'autorité avait obtenu une information correcte. Quant à la dissimulation de faits essentiels, il faut, au même titre que pour les fausses déclarations, que l'étranger ait la volonté de tromper l'autorité. Cela est notamment le cas lorsqu'il cherche à provoquer, respectivement à maintenir, une fausse apparence sur un fait essentiel (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 266 et les arrêts cités). L'étranger est tenu de collaborer à la constatation des faits et en particulier de fournir des indications exactes et complètes sur les éléments déterminants pour la réglementation du séjour (cf. art. 90 al. 1 let. a LEtr); il doit en particulier indiquer si la communauté conjugale sur laquelle son droit de séjour repose n'est plus effectivement vécue (arrêts 2C_176/2018 du 11 septembre 2018 consid. 3.1; 2C_148/2015 du 21 août 2015 consid. 5.1; 2C_726/2011 du 20 août 2012 consid. 3.1.1; 2C_299/2012 du 6 août 2012 consid. 4.1; 2C_15/2011 du 31 mai 2011 consid. 4.2.1).
4.2. En l'espèce, il résulte de l'arrêt attaqué que le recourant et son ex-épouse ont cessé de faire ménage commun en juillet 2007, soit quelque quatre mois seulement après la célébration du mariage en mars 2007, et qu'ils n'ont plus jamais repris la vie conjugale par la suite. A teneur de l'arrêt entrepris, le recourant a non seulement tu ce fait aux autorités, mais également menti à ce propos. Ainsi, selon les faits retenus par l'autorité précédente, le recourant a indiqué, dans un premier formulaire de demande de prolongation de son autorisation (10 mars 2008), être marié, sans répondre à la question de savoir s'il vivait en domicile commun ou séparé de son épouse; dans les trois formulaires suivants (26 février 2009, 4 mars 2011 et 3 février 2012), il a expressément signalé faire ménage commun avec son épouse, étant précisé que c'est sur la base du dernier formulaire qu'il s'est vu octroyer une autorisation d'établissement. Le recourant ne conteste pas ces constatations de fait qui, dès lors qu'elles n'apparaissent pas manifestement inexactes ou contraires au droit, lient le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 et 2 LTF; cf. supra consid. 2.1).
En vertu de l'art. 42 al. 1 LEtr, vivre en ménage commun est une condition à l'octroi d'une autorisation de séjour au conjoint d'un ressortissant suisse et permet sa prolongation. Il n'est fait exception à l'exigence du ménage commun que lorsque la communauté conjugale est maintenue et que des raisons majeures justifiant l'existence de domiciles séparés peuvent être invoquées (cf. art. 49 LEtr). Le recourant ne fait pas valoir que ces conditions, cumulatives (cf. <ref-ruling> consid. 4.4.1 et 4.4.2 p. 349 s.), auraient été réunies en l'espèce. Au demeurant, si elles l'avaient été, le recourant n'aurait eu aucune raison de mentir aux autorités en indiquant qu'il continuait à faire ménage commun avec son épouse. Il s'ensuit que, ainsi que l'a retenu le Tribunal cantonal, le recourant a dissimulé un fait essentiel, respectivement a fait de fausses déclarations au sens de l'art. 62 let. a LEtr en taisant, puis mentant, au sujet de la vie commune avec son épouse dans les formulaires relatifs à son titre de séjour (cf. arrêt 2C_176/2018 du 11 septembre 2018 consid. 3.2).
4.3. Le recourant conteste avoir trompé intentionnellement les autorités et/ou su que les faits dissimulés étaient déterminants pour l'octroi de son autorisation. Il souligne qu'il ne s'est pas marié dans le but d'obtenir une autorisation de séjour, ce que ses trois ans de vie commune avec sa compagne avant le mariage démontreraient, qu'il pensait sincèrement que sa séparation était provisoire et qu'il était fondé à penser de bonne foi que cette séparation n'avait pas d'impact sur son droit à résider en Suisse, puisqu'il était au bénéfice d'un emploi stable, maîtrisait le français et n'avait pas commis d'infractions.
4.4. Déterminer ce qu'une personne a su, envisagé, voulu ou accepté relève des constatations de faits, que le Tribunal fédéral ne revoit que sous l'angle de l'arbitraire (cf. <ref-ruling> consid. 8.4.1 p. 84; cf. supra consid. 2.1).
En l'occurrence, le recourant se contente de prétendre que le Tribunal cantonal a, à tort, retenu l'existence d'un comportement intentionnellement trompeur en présentant sa propre version des faits s'agissant de sa séparation. Ses explications ne permettent toutefois pas de comprendre pour quel motif il aurait indiqué aux autorités vivre en ménage commun, alors que tel n'était plus le cas, si cela n'était pas dans le but de préserver son autorisation de séjour et s'il était aussi convaincu qu'il le prétend que ladite séparation n'avait de toute façon pas d'influence sur son droit de séjour. Au reste, le recourant ne saurait valablement prétendre qu'il pensait encore à une séparation provisoire en 2012 lorsqu'il a rempli le formulaire en vue de l'obtention de son autorisation d'établissement, alors qu'il vivait séparé depuis pratiquement cinq ans de son ex-épouse, qui avait eu entre-temps, en 2008 et 2009, deux enfants avec un autre homme. Compte tenu de ce qui précède, la conclusion du Tribunal cantonal selon laquelle le recourant a intentionnellement fait de fausses déclarations au sujet d'éléments essentiels pour le renouvellement de son autorisation de séjour n'apparaît pas arbitraire.
4.5. En définitive, les juges précédents n'ont pas violé le droit fédéral en retenant que l'autorisation d'établissement du recourant pouvait être révoquée en application de l'art. 63 al. 1 let. a LEtr en lien avec l'art. 62 let. a LEtr. Le grief du recourant en ce sens ne peut qu'être rejeté.
5.
Le recourant s'en prend à la proportionnalité de la mesure (art. 96 LEtr). Il fait en particulier valoir la durée de son séjour en Suisse, sa bonne intégration (emploi, absence de recours à l'aide sociale, bonne maîtrise du français) et les difficultés qu'il rencontrerait s'il devait retourner en Turquie.
5.1. La révocation d'une autorisation d'établissement ne se justifie que si la pesée globale des intérêts à effectuer fait apparaître la mesure comme proportionnée (cf. <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 19). Lors de l'examen de la proportionnalité, il y a lieu de prendre en considération la gravité de l'éventuelle faute commise par l'étranger, la durée de son séjour en Suisse, son degré d'intégration, ainsi que le préjudice que l'intéressé et sa famille auraient à subir du fait de la mesure et les liens qu'il entretient encore avec son pays d'origine (<ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 19; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 148 s.; <ref-ruling> consid. 4.3 et 4.4 p. 381 s.; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 185).
5.2. En l'occurrence, le recourant séjourne certes légalement en Suisse depuis 2007, mais ce séjour assez long doit être relativisé, ainsi que l'a relevé à juste titre le Tribunal cantonal et quoi qu'en pense l'intéressé, dès lors qu'il a été rendu possible par de fausses déclarations lors du renouvellement des titres de séjour (cf. arrêt 2C_176/2018 du 11 septembre 2018 consid. 5.2).
Du point de vue de l'intégration, le Tribunal cantonal a relevé que le recourant avait une bonne maîtrise du français, qu'il était au bénéfice d'un contrat de travail et n'avait jamais dépendu de l'aide sociale, mais avait de nombreuses dettes ouvertes (environ 30'000 fr. au 18 avril 2016). Le recourant reproche à cet égard au Tribunal cantonal de ne pas avoir examiné la cause de ses dettes, ainsi que leur évolution depuis avril 2016. Il est vrai que la prise en considération des dettes dans l'analyse de l'intégration d'un étranger suppose un examen circonstancié (cf. arrêt 2C_352/2014 du 18 mars 2015 consid. 4.3 et 4.5 à propos des dettes dans l'évaluation de l'intégration au sens de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr). Cela étant, en l'espèce, le recourant se contente de se plaindre de l'examen superficiel du Tribunal cantonal, mais ne prend pour sa part pas la peine d'indiquer concrètement l'évolution de ses dettes, contrairement à son devoir de motivation (cf. <ref-law>; cf. supra consid. 2). En outre, ce point n'est pas décisif pour l'issue du litige. Le recourant cherche en effet à démontrer une meilleure intégration que celle retenue par le Tribunal cantonal, mais une bonne intégration ne pèse de toute façon qu'un faible poids dans la balance des intérêts à effectuer en l'espèce, puisque le recourant a pu s'intégrer à la faveur de titres de séjour obtenus en trompant les autorités (cf. arrêt 2C_234/2017 du 11 septembre 2017 consid. 7.1).
En ce qui concerne les liens du recourant avec la Suisse et la Turquie, le Tribunal cantonal a relevé que le recourant ne se prévalait d'aucune attache particulièrement intense avec la Suisse, alors que ses parents, ses soeurs et ses deux enfants vivaient en Turquie. Le recourant prétend que le premier constat est inexact, car sa soeur, dont il serait très proche, résiderait à Neuchâtel. Le Tribunal fédéral ne peut pas prendre en compte cette allégation (<ref-law>). L'arrêt entrepris ne fait en effet pas mention de liens familiaux du recourant en Suisse et l'intéressé ne démontre pas qu'il aurait invoqué de tels liens et que les précédents juges les auraient arbitrairement ignorés (cf. <ref-law>; cf. supra consid. 2). Au demeurant, même s'il était constaté que la soeur du recourant vit en Suisse et qu'il en est proche, ce seul lien ne suffirait pas à retenir que le recourant dispose d'attaches si fortes en Suisse qu'elles seraient susceptibles d'exclure un retour dans son pays d'origine, où vivent plusieurs membres de sa famille, dont ses deux enfants issus d'un précédent mariage.
Rien dans l'arrêt entrepris n'indique enfin que la réintégration du recourant dans son pays d'origine serait insurmontable. En effet, à teneur de l'arrêt attaqué, le recourant, qui est venu en Suisse à l'âge de 26 ans, a grandi, passé son adolescence ainsi que sa vie de jeune adulte dans son pays d'origine et il n'a jamais cessé de s'y rendre. Ces circonstances, couplées à la présence de plusieurs membres de sa famille, faciliteront sa réinsertion, ainsi que l'a retenu le Tribunal cantonal. Le recourant fait certes valoir qu'un retour dans son pays d'origine lui ferait courir des risques importants pour sa sécurité, d'une part, et qu'il lui serait impossible de trouver un emploi dans son domaine, la restauration, d'autre part. Ces affirmations reposent toutefois sur des considérations toutes générales et abstraites au sujet de la situation politique et économique en Turquie. Ces généralités ne permettent pas de conclure que, pour le recourant en particulier, la réintégration serait particulièrement difficile et ne remettent ainsi pas en cause la pesée des intérêts effectuée par les précédents juges (cf. arrêt 2C_364/2017 du 25 juillet 2017 consid. 7.2 et 8).
5.3. Compte tenu de l'ensemble de ces circonstances, l'autorité précédente n'a pas violé, contrairement à ce que soutient le recourant, le principe de proportionnalité en confirmant la révocation de l'autorisation d'établissement.
6.
Le recourant se prévaut, au cas où la révocation de son autorisation d'établissement serait confirmée, d'un droit à l'octroi d'une autorisation de séjour pour raisons personnelles majeures (art. 50 al. 1 let. b LEtr) et reproche au Tribunal cantonal de ne pas avoir examiné cette question.
6.1. S'il existe des motifs de révocation au sens de l'art. 62 LEtr (62 al. 1 LEtr désormais), le droit du conjoint à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité après la dissolution de la famille en application de l'art. 50 LEtr s'éteint (cf. art. 51 al. 2 let. b LEtr; cf. arrêts 2C_656/2017 du 23 janvier 2018 consid. 5; 2C_234/2017 du 11 septembre 2017 consid. 6.3).
6.2. En l'espèce, le motif de révocation de l'art. 62 let. a LEtr est réalisé, de sorte que le recourant ne peut pas se prévaloir de l'art. 50 LEtr pour obtenir le droit de poursuivre son séjour en Suisse (cf. arrêt 2C_234/2017 du 11 septembre 2017 consid. 6.3). Le Tribunal cantonal n'avait donc pas à examiner, contrairement à ce que prétend le recourant, s'il existait des raisons personnelles majeures au sens de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr (cf. arrêt 2C_234/2017 du 11 septembre 2017 consid. 6.3). A cet égard, la jurisprudence citée par le recourant, qui réserve, dans certaines circonstances particulières, l'application de l'art. 50 al. 1 LEtr en cas de révocation de l'autorisation d'établissement fondée sur l'art. 62 let. a LEtr (arrêt 2C_682/2012 du 7 février 2013 consid. 6.1; cf. aussi arrêts 2C_176/2018 du 11 septembre 2018 consid. 4.1; 2C_748/2014 du 12 janvier 2015 consid. 3), ne saurait entrer en ligne de compte en l'espèce. En effet, le recourant s'est séparé de son épouse presque immédiatement après le mariage, qui n'a donc pratiquement eu aucune consistance, et il a tu cette séparation aux autorités déjà dans les formulaires relatifs à la prolongation de son autorisation de séjour.
7.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours. Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>). Il ne sera pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Service des migrations, au Département de l'économie et de l'action sociale et au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, ainsi qu'au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 7 novembre 2018
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Kleber