Sachverhalt:
A.
Die A._ GmbH Rothrist (Klägerin, Beschwerdeführerin) wurde in den Jahren 2016 und 2017 von der B._ AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin) auf diversen Baustellen als Subunternehmerin für Gipser- und Trockenbauarbeiten eingesetzt. Die Werkverträge wurden mit einer Ausnahme mündlich abgeschlossen.
Im vorliegenden Verfahren geht es nur um eine dieser Baustellen. Die Klägerin stellte der Beklagten für Gipser-Arbeiten auf einer Wohnüberbauung an verschiedenen Daten Rechnung über Fr. 33'592.30 (16. Mai 2017), Fr. 16'000.-- (7. Juni 2017), Fr. 16'000.-- (3. Juli 2017), Fr. 16'000.-- (3. Juli 2017), Fr. 16'000.-- (17. Juli 2017) und Fr. 30'084.-- (28. August 2018). Die Beklagte zahlte der Klägerin drei Mal Fr. 16'000.--, worauf die Klägerin die Beklagte am 20. Dezember 2017 über Fr. 65'592.30 nebst Zins betrieb. Die Beklagte erhob Rechts vorschlag.
B.
Mit Anerkennungsklage vom 17. Oktober 2018 beantragte die Klägerin beim Handelsgericht des Kantons Aargau, die Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin den in Betreibung gesetzten Betrag von insgesamt Fr. 65'592.30 nebst Zins zu 5 % seit 6. Januar 2018 zu bezahlen, und es sei der Rechtsvorschlag in diesem Umfang zu beseitigen.
B.a. Nach dem ersten Schriftenwechsel lud der Vizepräsident des Handelsgerichts am 1. Februar 2019 zu einer Instruktionsverhandlung "mit informeller Parteibefragung und Vermittlungsgespräch" vor und erliess eine erste Beweisverfügung. Am 11. März 2019 fand die Instruktionsverhandlung statt, und die Parteien beantragten die Sistierung des Verfahrens zwecks aussergerichtlicher Vergleichsgespräche. Die Sistierung wurde zwei Mal bis zum 12. Juni 2019 verlängert. Nachdem die aussergerichtlichen Vergleichsgespräche gescheitert waren, wurde der Klägerin am 13. Juni 2019 Frist zur Einreichung einer schriftlichen Replik angesetzt. In ihrer Replik vom 16. August 2019 reduzierte die Klägerin die Klage um Fr. 892.30 auf Fr. 64'700.-- nebst Zins seit 6. Januar 2018. Am 19. September 2019 erstattete die Beklagte die Duplik.
B.b. Mit Verfügung vom 9. Oktober 2019 erklärte der Vizepräsident, die rechtlichen und tatsächlichen Verhältnisse seien hinlänglich abgeklärt und die Streitsache werde "an das Handelsgericht überwiesen". Er gab die Besetzung des Spruchkörpers bekannt und setzte den Parteien Frist zur Mitteilung, ob sie auf eine Hauptverhandlung verzichten. Binnen gleicher Frist konnten "die Parteien dem Gericht die Einreichung schriftlicher Schlussvorträge beantragen".
B.c. Die Beklagte antwortete am 15. Oktober 2019, dass sie " auf die Durchführung einer Hauptverhandlung im Sinne von <ref-law> verzichtet " und dass sie "e ntsprechend - unter Vorbehalt eines gleichlautenden Antrags der Klägerin - im Sinne von <ref-law> auf einen mündlichen Schluss vortrag verzichtet und beantragt, in diesem Verfahren schriftliche Parteivorträge einzureichen".
Die Klägerin entgegnete am 17. Oktober 2019, "dass an der Durchführung einer mündlichen Hauptverhandlung festgehalten wird". Sodann setzte sie hinzu: "Im Einklang mit den Anträgen der Beklagten stimmt die Klägerin indes dem Verzicht auf mündliche Schlussvorträge nach Beendigung des Beweisverfahrens zu und es wird daher höflich beantragt, in diesem Verfahren schriftliche Schlussvorträgen [recte: Schlussvorträge] (Art. 233 [recte: 232] Abs. 2 ZPO) einreichen zu können."
B.d. Mit Verfügung vom 18. Oktober 2019 erwog der Vizepräsident, die Beklagte und die Klägerin hätten mitgeteilt, dass sie auf die Durchführung der Hauptverhandlung verzichten und stattdessen beantragen würden, schriftliche Parteivorträge einzureichen. Der Vizepräsident setzte den Parteien Frist bis zum 31. Oktober 2019, "um schriftliche Schlussvorträge, in welcher [sic] zum Beweisergebnis und zum Rechtlichen Stellung genommen werden kann, einzureichen". Zudem erliess er eine neue Beweisverfügung, worin er als Beweismittel die eingereichten Urkunden zuliess und weitere Beweisvorkehren vorbehielt.
Mit Schreiben vom 22. Oktober 2019 reagierte der Rechtsvertreter der Klägerin auf die Verfügung vom 18. Oktober 2019. Er nahm Bezug auf sein Schreiben vom 17. Oktober 2019 und ersuchte um Erlass einer neuen Verfügung, "da ich namens der Klägerin an der Durchführung einer schriftlichen [recte: mündlichen] Hauptverhandlung festgehalten habe". Eventualiter sei "eine neue Frist für die Einreichung der schriftlichen Schlussvorträge zu setzen ".
B.e. Mit Verfügung vom 23. Oktober 2019 wies der Vizepräsident den Antrag der Klägerin auf Erlass einer neuen Verfügung ab. Er erwog, in seiner Verfügung vom 9. Oktober 2019 habe er erklärt, die rechtlichen und tatsächlichen Verhältnisse seien hinlänglich abgeklärt. Er habe den Parteien Frist gesetzt zur Mitteilung, ob sie auf eine Hauptverhandlung verzichten oder schriftliche Schlussvorträge einreichen möchten. Nicht zur Auswahl habe die Variante gestanden, wonach eine mündliche Hauptverhandlung durchgeführt werde und danach zusätzlich schriftliche Schlussvorträge abgegeben werden könnten. Eine solche Variante hätte prozessual auch keinen Sinn gemacht. Der anwaltlich vertretenen Klägerin hätte klar sein müssen, dass auf Partei- und Zeugenbefragungen verzichtet werde. Die Eingabe der Klägerin vom 17. Oktober 2019 sei missverständlich: Zunächst halte sie an der Durchführung einer mündlichen Hauptverhandlung fest. Sodann erkläre sie mit Verweis auf die Anträge der Beklagten den Verzicht auf mündliche Schlussvorträge nach Beendigung des Beweisverfahrens und beantrage die Einreichung schriftlicher Schlussvorträge. Da die Variante einer mündlichen Hauptverhandlung und zusätzlichen schriftlichen Schlussvorträgen nicht zur Auswahl gestanden habe, könne die Erklärung der Klägerin nach Treu und Glauben nur so verstanden werden, dass diese mit dem Antrag der Beklagten einverstanden sei, anstelle einer mündlichen Hauptverhandlung schriftliche Schlussvorträge einzureichen.
B.f. Mit Eingaben je vom 31. Oktober 2019 reichten die Parteien ihre Schlussvorträge ein, die der jeweiligen Gegenseite zugestellt wurden.
B.g. Am 27. November 2019 wies das Handelsgericht die Klage ab, soweit sie "nicht zufolge Klagerückzug im Umfang von Fr. 892.30 abgeschrieben wird". Die Gerichtskosten von Fr. 5'360.-- auferlegte es der Klägerin und verpflichtete diese, der Beklagten eine Parteientschädigung von Fr. 9'611.40 zu bezahlen.
C.
Die Klägerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Handelsgerichts sei aufzuheben und die Sache an dieses zurückzu weisen.
Die Beklagte beantragt, die Beschwerde sei kostenfällig zu Lasten der Beschwerdeführerin, eventuell zu Lasten der Staatskasse abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne.
Das Handelsgericht verweist auf seine Erwägungen im angefochtenen Urteil betreffend den Verzicht auf die Durchführung einer Hauptverhandlung sowie die Würdigung der Werklohnforderung der Klägerin und verzichtet im Übrigen auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde betrifft eine Zivilsache (<ref-law>), sie richtet sich gegen den Endentscheid (<ref-law>) eines oberen kantonalen Gerichts, das als Fachgericht in handelsrechtlichen Streitigkeiten entschieden hat (<ref-law>). Es besteht kein Streitwerterfordernis (<ref-law>). Die Beschwerdefrist ist gewahrt (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>).
1.2. Die Beschwerde hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (<ref-law>). Da die Beschwerde an das Bundesgericht ein reformatorisches Rechtsmittel ist (<ref-law>), darf sich die beschwerdeführende Partei grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu beantragen, sondern muss einen Antrag in der Sache stellen. Grundsätzlich ist ein materieller Antrag erforderlich; Anträge auf Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung oder blosse Aufhebungsanträge genügen nicht und machen die Beschwerde unzulässig. Ein blosser Rückweisungsantrag reicht ausnahmsweise aus, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung in der Sache nicht selbst entscheiden könnte, weil die erforderlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz fehlen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 490 f. mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin beantragt, das Urteil der Vorinstanz sei aufzuheben und " die Sache im Sinne der nachfolgenden Erwägungen zur er neuten Beurteilung unter Gewährung des rechtlichen Gehörs und der Garantie auf ein öffentliches Verfahren" an die Vorinstanz zurückzuweisen. Einen Antrag in der Sache stellt sie nicht und gibt nicht an, inwiefern das Dispositiv des angefochtenen Urteils zu ändern wäre. Auch aus ihrer Beschwerdebegründung ergibt sich nicht ohne weiteres, welchen materiellen Antrag sie stellen möchte. Sie rügt jedoch eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Das Bundesgericht könnte, sollte es die Rechtsauffassung der Beschwerdeführerin in diesem Punkt teilen, nicht selbst entscheiden, sondern müsste die Sache zur Behebung des behaupteten Verfahrensmangels an die Vorinstanz zurückweisen. Daher genügt der Rückweisungsantrag der Beschwerdeführerin. Auf die Beschwerde ist - unter Vorbehalt einer genügenden Begründung (vgl. sogleich Erwägung 2) - einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Mit Blick auf die allgemeinen Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie ein erstinstanzliches Gericht alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen). Unerlässlich ist im Hinblick auf <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegen soll.
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vorinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f. mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117, 264 E. 2.3 S. 266). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorin stanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die genannten Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin beanstandet, dass die Vorinstanz keine mündliche Hauptverhandlung durchgeführt hat. Sie rügt eine Verletzung von Art. 6 Abs. 1 EMRK, Art. 14 Abs. 1 des Internationalen Paktes über bürgerliche und politische Rechte (UNO-Pakt II; SR 0.103.2), Art. 29 Abs. 2 und Art. 30 Abs. 3 BV sowie von Art. 54, Art. 228 und <ref-law>.
3.2. Die Vorinstanz erwog, die Beschwerdeführerin habe auf die Durchführung einer mündlichen Hauptverhandlung verzichtet. Sie habe im Einklang mit den Anträgen der Beschwerdegegnerin dem Verzicht auf mündliche Schlussvorträge zugestimmt und das Gericht um die Möglichkeit zur Einreichung schriftlicher Schlussvorträge ersucht. Die unklar formulierte Eingabe der anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin sei nach Treu und Glauben sowie unter Berücksichtigung des Verfahrensstands auszulegen. Der Beschwerdeführerin sei mitgeteilt worden, die tatsächlichen Verhältnisse seien hinlänglich abgeklärt, weshalb es auch nicht zu weiteren Beweisabnahmen habe kommen können. Vor diesem Hintergrund habe die Erklärung der Beschwerdeführerin nur so verstanden werden können, dass sie auf eine mündliche Verhandlung verzichte und die Einreichung schriftlicher Schlussvorträge beantrage. Es widerspreche der Praxis der Vorinstanz, mündliche Hauptverhandlungen ohne mündliche Schlussvorträge durchzuführen, da dies das Verfahren nur unnötig verzögere und dem Beschleunigungsgebot zuwiderlaufe. Diese Variante habe der Beschwerdeführerin daher nicht zur Auswahl gestanden.
3.3. Nach <ref-law> haben die Parteien Anspruch auf eine mündliche Hauptverhandlung. <ref-law> gibt ihnen aber die Möglichkeit, gemeinsam auf die Durchführung einer solchen zu verzichten.
Der Verzicht auf eine Hauptverhandlung setzt nach <ref-law> voraus, dass ihn beide Parteien erklären. Das Gesetz schreibt keine bestimmte Form vor; die Erklärung kann auch mündlich erfolgen. Auch eine ausdrückliche Äusserung verlangt das Gesetz nicht; ein konkludenter Verzicht ist denkbar. Allerdings ist zu beachten, dass die mündliche Hauptverhandlung der Wahrung grundrechtlicher Verfahrensgarantien dient. Zu erwähnen ist der Anspruch auf rechtliches Gehör und der Grundsatz der Öffentlichkeit des Verfahrens. Daher darf nicht leichthin von einem Verzicht ausgegangen werden (<ref-ruling> E. 3.2 S. 454 mit zahlreichen Hinweisen).
Die Parteien können auf die vollständige mündliche Hauptverhandlung verzichten. Denkbar ist aber auch ein Verzicht auf einen der drei Teilabschnitte, also ein Verzicht nur auf die Parteivorträge (<ref-law>), die Beweisabnahme (<ref-law>) oder die Schlussvorträge (<ref-law>). Dabei darf ein pauschal erklärter Verzicht nicht ohne weiteres als Gesamtverzicht gewertet werden (Urteil 4A_47/2015 vom 2. Juni 2015 E. 3.2 mit zahlreichen Hinweisen).
3.4. Die Rüge der Beschwerdeführerin erweist sich als begründet.
Die Vorinstanz durfte nicht annehmen, die Beschwerdeführerin habe auf die mündliche Hauptverhandlung verzichtet. Ganz im Gegenteil hatte der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin am 17. Oktober 2019 auf die Anfrage des Vizepräsidenten vom 9. Oktober 2019 geantwortet, "dass an der Durchführung einer mündlichen Hauptverhandlung festgehalten wird".
Die Beschwerdeführerin hatte lediglich "auf mündliche Schlussvorträge nach Beendigung des Beweisverfahrens" verzichtet. In diesem Sinne beantragte sie, "schriftliche Schlussvorträgen [recte: Schlussvorträge] (Art. 233 [recte: 232] Abs. 2 ZPO) einreiche n zu können ". Es steht ausser Zweifel, dass sie damit den Schlussvortrag nach Abschluss der Beweisabnahme gemäss <ref-law> meinte. Der Verweis auf " <ref-law> " erfolgte offensichtlich versehentlich, zumal es diese Bestimmung überhaupt nicht gibt.
Nachdem der Vizepräsident am 18. Oktober 2019 verfügt hatte, die Parteien hätten auf die Durchführung der Hauptverhandlung verzichtet, opponierte der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin am 22. Oktober 2019 postwendend. Auch in dieser Eingabe unterlief ihm ein Fehler, indem er mitteilte, er habe am 17. Oktober 2019 " an der Durchführung einer schriftlichen Hauptverhandlung festgehalten ". Allerdings handelt es sich auch hier um einen offensichtlichen Verschreiber, da er in seinem Schreiben vom 17. Oktober 2019, auf welches Bezug genommen wurde, wörtlich " an der Durchführung einer mündlichen Haupt verhandlung festgehalten" hatte.
3.5. Nicht stichhaltig ist der Einwand der Beschwerdegegnerin, bei der Verfügung vom 23. Oktober 2019 handle es sich um eine Zwischenverfügung gemäss <ref-law>, die von den Parteien innert 30 Tagen beim Bundesgericht hätte angefochten werden müssen. Nach <ref-law> ist die Beschwerde gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide über die Zuständigkeit und über Ausstandsbegehren zulässig. Diese Entscheide können später nicht mehr angefochten werden (<ref-law>). Die Verfügung vom 23. Oktober 2019 betraf aber weder die Zuständigkeit noch ein Ausstandsbegehren, so dass <ref-law> nicht zur Anwendung gelangt. Aus dem Grundsatz von Treu und Glauben und dem Verbot des Rechtsmissbrauchs leitet die Rechtsprechung allerdings ab, es sei nicht zulässig, formelle Rügen, die in einem früheren Prozessstadium hätten geltend gemacht werden können, bei ungünstigem Ausgang noch später vorzubringen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 216; <ref-ruling> E. 2.2 S. 336). Diesbezüglich kann der Beschwerdeführerin aber kein Vorwurf gemacht werden. Sie hat auf die Verfügung vom 18. Oktober 2019 am 22. Oktober 2019 reagiert. Die daraufhin ergangene Verfügung vom 23. Oktober 2019 hat sie in ihrem Schlussvortrag mit dem Hinweis bemängelt, sie habe Anspruch auf die Durchführung einer mündlichen Hauptverhandlung.
3.6. Nach dem Gesagten ist die Sache zur Durchführung einer Hauptverhandlung und neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Auf die weitere Rüge der Beschwerdeführerin, wonach die Vorinstanz eine unzulässige antizipierte Beweiswürdigung vorgenommen habe, ist bei diesem Ausgang nicht mehr einzugehen.
4.
Die Beschwerde ist gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist, und das angefochtene Urteil ist aufzuheben. Die Beschwerdegegnerin wird kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Handelsgerichts des Kantons Aargau, 2. Kammer, vom 27. November 2019, wird aufgehoben. Die Sache wird zur Durchführung einer Hauptverhandlung und neuer Beurteilung an das Handelsgericht zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'500.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 4'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Aargau, 2. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Juni 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Luczak