Erwägungen:
1.
Das Stadtrichteramt Zürich bestrafte B._ mit Strafbefehl vom 10. Januar 2022 wegen Tätlichkeiten zum Nachteil von A._ mit einer Busse. A._ erhob dagegen beim Stadtrichteramt Einsprache. Er machte sinngemäss geltend, dass B._ nicht nur wegen einer mit Busse geahndeten Übertretung, sondern wegen eines mit einer schwereren Strafdrohung versehenen Delikts zu bestrafen sei. Damit focht er die mit dem Strafbefehl ebenfalls ergangene implizite Einstellung des Verfahrens wegen "Angriffs" etc. an. Das Stadtrichteramt überwies am 2. Februar 2022 die Einsprache an die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich, um sie gegebenenfalls als Beschwerde zu behandeln.
2.
Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich forderte A._ mit Verfügung vom 16. Februar 2022 auf, innert 30 Tagen, von der Mitteilung dieser Verfügung an gerechnet, zur Deckung der allfällig ihn treffenden Prozesskosten eine Prozesskaution im Sinne von <ref-law> von Fr. 1'200.-- zu leisten, ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten werde.
3.
A._ führt mit Eingabe vom 8. März 2022 (Postaufgabe 11. März 2022) Beschwerde in Strafsachen gegen die Verfügung der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 16. Februar 2022. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1, 65 E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer beanstandet eine Verletzung seines Anspruchs auf unentgeltliche Rechtspflege. Er macht indessen nicht geltend, dass er im Beschwerdeverfahren vor dem Obergericht ein solches Gesuch gestellt hätte. Weshalb sein Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege gleichwohl verletzt worden sein sollte, ist weder ersichtlich noch legt er dies dar. Aus seinen im Übrigen sachfremden Ausführungen ergibt sich nicht ansatzweise, inwiefern die Verfügung der III. Strafkammer rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
5.
Angesichts der offensichtlichen Aussichtslosigkeit der vorliegenden Beschwerde kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (<ref-law>). Auf eine Kostenauflage ist ausnahmsweise zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. März 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Jametti
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli