Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft See/Oberland des Kantons Zürich führt eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen Verdachts auf Verletzung des Geheim- oder Privatbereichs durch Aufnahmegeräte. Die Untersuchung steht im Zusammenhang mit der Observation eines ehemaligen Kadermitarbeiters der Firma H._, an der A._ zusammen mit weiteren Personen mutmasslich beteiligt war. A._ wurde am frühen Morgen des 18. September 2019 bei sich zuhause verhaftet, im Verlauf des Morgens polizeilich einvernommen und am Nachmittag wieder aus der Haft entlassen. Im Zusammenhang mit der Verhaftung stellte die Kantonspolizei Zürich sein Mobiltelefon sicher.
Am 12. Dezember 2019 erstattete A._ bei der Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis Strafanzeige gegen die an seiner Verhaftung und der Sicherstellung des Mobiltelefons beteiligten Kantonspolizisten wegen Sachentziehung und Amtsmissbrauchs sowie Urkundenfälschung im Amt. Mit Verfügung vom 12. März 2020 überwies die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat die Strafanzeige samt dazugehörigen Akten zum Entscheid über die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung an das Obergericht des Kantons Zürich. Dieses erteilte mit Beschluss vom 30. Juni 2020 die Ermächtigung hinsichtlich der Vorwürfe der Sachentziehung und des Amtsmissbrauchs, nicht aber bezüglich des Vorwurfs der Urkundenfälschung im Amt und des zusätzlich geprüften Tatbestands des Hausfriedensbruchs.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 31. Juli 2020 an das Bundesgericht beantragt A._, den Beschluss des Obergerichts aufzuheben, soweit er den Vorwurf der Urkundenfälschung im Amt betreffe, und die Ermächtigung zur Strafverfolgung gegen die vier beteiligten Kantonspolizisten auch insofern zu erteilen. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen.
Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und das Obergericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die betroffenen Kantonspolizisten haben sich nicht geäussert. A._ hat keine weitere Stellungnahme eingereicht.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit dem angefochtenen Entscheid hat die zuständige Vorinstanz in Bezug auf den Vorwurf der Urkundenfälschung im Amt die Erteilung der Ermächtigung verweigert, die es nach dem Recht des Kantons Zürich für die Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen die Beschwerdegegner braucht (vgl. <ref-law> i.V.m. § 148 des Gesetzes vom 10. Mai 2010 über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess des Kantons Zürich [GOG/ ZH; OS 211.1]). Der Beschluss kann als kantonal letztinstanzlicher Endentscheid grundsätzlich mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden. Die Strafanzeige betrifft nicht Mitglieder der obersten kantonalen Vollziehungs- und Gerichtsbehörden, weshalb der Ausschlussgrund von <ref-law> nicht zur Anwendung kommt (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG; <ref-ruling> E. 1.3.1 f. S. 272 f.).
1.2.
1.2.1. Gemäss <ref-law> ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wer am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat. Das Rechtsschutzinteresse muss aktuell und praktisch sein (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 143 mit Hinweisen). Die beschwerdeführende Partei muss aus dem beantragten Verfahrensausgang einen praktischen Nutzen dergestalt ziehen, dass ihre tatsächliche oder rechtliche Situation beeinflusst werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 6.2 S. 312 mit Hinweis).
Gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung liegt in der Möglichkeit, bei erfolgreicher Beschwerdeführung an der Strafuntersuchung teilzunehmen und Parteirechte auszuüben, ein praktischer Nutzen der genannten Art. Eine Strafanzeige erstattende Person ist deshalb zur Beschwerde gegen einen Entscheid legitimiert, mit dem die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung ganz oder teilweise verweigert wird, soweit sie hinsichtlich der fraglichen beanzeigten Straftaten als geschädigte Person im Sinne von <ref-law> gilt. Insoweit könnte sie sich bei einer Gutheissung der Beschwerde in der erwähnten Weise an der Strafuntersuchung beteiligen (zum Ganzen: Urteile 1C_3/2017 vom 14. März 2017 E. 1.2.2 f.; 1C_270/2016 vom 16. Februar 2017 E. 1.2.1 ff.; 1C_344/2012 vom 31. Oktober 2012 E. 2.1 ff.).
1.2.2. Urkundendelikte und damit auch der vom Beschwerdeführer angerufene Straftatbestand der Urkundenfälschung im Amt (<ref-law>) schützen in erster Linie öffentliche Interessen (<ref-ruling> E. 3.3.3 S. 159 mit Hinweis; <ref-ruling> E. 3d S. 222; <ref-ruling> E. 2b S. 117). Daneben können aber auch private Interessen unmittelbar verletzt werden, falls die Urkundenfälschung auf die Benachteiligung einer bestimmten Person abzielt (<ref-ruling> E. 3.3.3 S. 159 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2b S. 346 f.; vgl. auch BGE <ref-ruling> E. 3d S. 222).
Der Beschwerdeführer erhebt vor Bundesgericht (nur) noch den Vorwurf, der Beschwerdegegner 3 habe in der Sicherstellungsliste - in Absprache mit den oder mit einzelnen weiteren Beschwerdegegnern oder auf deren Anregung - vorsätzlich falsche Angaben zur Sicherstellung seines Mobiltelefons gemacht. Insbesondere habe er festgehalten, das Gerät sei "ab Person" sichergestellt worden. Mit dieser Falschbeurkundung werde die Beschaffung des Mobiltelefons in Vertuschung der wahren Gegebenheiten als rechtmässig ausgewiesen, was die Verwertung des Geräts als Beweismittel ermögliche, zumindest aber einen relevanten Beitrag dazu leiste. Dadurch werde er direkt und unmittelbar in seiner strafprozessualen Rechtsposition beeinträchtigt, habe er doch gestützt auf <ref-law> einen Rechtsanspruch, dass unrechtmässig erhobene Beweismittel nicht verwertet würden resp. im Einzelfall vorab eine Interessenabwägung zu erfolgen habe.
Die vom Beschwerdeführer vor Bundesgericht noch geltend gemachte Falschbeurkundung im Amt soll demnach auf eine Beeinträchtigung seiner Verteidigungsrechte und damit auf eine Benachteiligung seiner Person abgezielt haben. Grundsätzlich kann er im Rahmen der Eintretensprüfung daher als geschädigte Person betrachtet werden und ist er zur Beschwerde legitimiert.
1.3. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde kann grundsätzlich eingetreten werden.
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, welche die beschwerdeführende Person vorbringt und begründet (vgl. <ref-law>). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten namentlich, soweit die Verletzung von Grundrechten gerügt wird (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil weiter den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, deren Sachverhaltsfeststellung sei offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62), oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (Art. 42 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>).
3.
3.1. Das Ermächtigungserfordernis dient namentlich dem Zweck, Behördenmitglieder und Staatsbedienstete vor mutwilliger Strafverfolgung zu schützen und damit das reibungslose Funktionieren staatlicher Organe sicherzustellen. Ein Strafverfahren soll erst durchgeführt werden können, wenn die zuständige Behörde vorher ihre Zustimmung erteilt hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 277). Beim Entscheid über die Erteilung der Ermächtigung dürfen - ausser bei obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden - nur strafrechtliche Gesichtspunkte berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 2.4 S. 277 f.). Nicht jeder behördliche Fehler begründet dabei die Pflicht zur Ermächtigungserteilung. Erforderlich ist vielmehr ein Mindestmass an Hinweisen auf ein strafrechtlich relevantes Verhalten; ein solches muss in minimaler Weise glaubhaft erscheinen (Urteile 1C_395/2018 vom 21. Mai 2019 E. 2; 1C_57/2018 vom 19. November 2018 E. 2.2; 1C_584/2017 vom 1. Juni 2018 E. 2). In Zweifelsfällen ist die Ermächtigung zu erteilen; es gilt der Grundsatz "in dubio pro duriore". Ist zum Zeitpunkt des Ermächtigungsentscheids die Sach- oder Rechtslage nicht von vornherein klar, darf die zuständige Behörde die Ermächtigung zur Strafverfolgung nicht mit der Begründung verweigern, es mangle an einem hinreichenden Tatverdacht (Urteile 1C_329/2020 vom 1. Dezember 2020 E. 3.1; 1C_395/2018 vom 21. Mai 2019 E. 2; 1C_584/2017 vom 1. Juni 2018 E. 2).
3.2. Aus dem angefochtenen Entscheid, den Akten und den Vorbringen des Beschwerdeführers geht hervor, dass dieser am 18. September 2019 um 6 Uhr morgens von den Beschwerdegegnern 1, 2 und 4 bei sich zuhause verhaftet wurde. Anschliessend wurde er in die Polizeikaserne in Zürich verbracht und erkennungsdienstlich behandelt. Bei dieser Gelegenheit erstellte der Beschwerdegegner 2 ein Effektenverzeichnis, das neben weiteren Gegenständen auch das Mobiltelefon des Beschwerdeführers aufführte. Gemäss dessen Darstellung wurde dieses anlässlich der Verhaftung von einem der beteiligten Polizisten ohne seine Zustimmung behändigt und zusammen mit den weiteren im Verzeichnis aufgelisteten Gegenständen in einen Plastikbeutel gepackt. Das Effektenverzeichnis wurde um 07:04 Uhr ausgedruckt und vom Beschwerdegegner 2 sowie vom Beschwerdeführer unterzeichnet, die damit seine Richtigkeit und Vollständigkeit bescheinigten. Gemäss eigenen Angaben wurde der Beschwerdeführer nach der erkennungsdienstlichen Behandlung in eine Zelle des Polizeigefängnisses verbracht; er hielt sich mit Ausnahme des Transports zum Polizeiposten Rathaus in Zürich jeweils in verschiedenen Abstandszellen auf. Ab 10:33 Uhr wurde er auf diesem Polizeiposten vom Polizisten F._ einvernommen. In der Folge erstellte der Beschwerdegegner 3 eine Sicherstellungsliste. Darin hielt er (u.a.) fest, das Mobiltelefon des Beschwerdeführers sei am 18. September 2019 um 10 Uhr auf dem Polizeiposten Rathaus durch F._ ab Person sichergestellt worden.
3.3. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid unter Verweis auf den Verhaftsrapport des Beschwerdegegners 2 ausgeführt, der Beschwerdegegner 3 habe die Effekten mit dem beigelegten Effektenverzeichnis zur weiteren Sachbearbeitung erhalten. Er habe in der Sicherstellungsliste damit lediglich festgehalten, dass das Mobiltelefon sichergestellt worden sei - dies offenkundig aus den Effekten des Beschwerdeführers und nicht auf dem Polizeiposten direkt ab dem Körper, da dies ja gerade im Effektenverzeichnis bereits festgehalten worden sei. Die Aufführung des Mobiltelefons in der Sicherstellungsliste habe sodann dem Vorgehen gemäss Ziff. 2.2 des Dienstbefehls "Effektenabnahme, Effektenkontrolle und Leibesvisitation" (DB 6.1.5 vom 15. April 2015) der Kantonspolizei Zürich entsprochen. Bei der Angabe "ab Person" habe es sich offenkundig um eine Ungenauigkeit gehandelt, die jedoch nach dem Gesagten nachvollziehbar sei, zumal sich der Beschwerdegegner 3 beim Verfassen der Sicherstellungsliste auf das Effektenverzeichnis gestützt habe und anlässlich der Vorführung des Beschwerdeführers nicht anwesend gewesen sei. Dass der Beschwerdegegner 3 absichtlich "ab Person" aufgeführt habe, um dies im Rahmen des weiteren Verfahrens gegen den Beschwerdeführer zu verwenden, erscheine lebensfremd. Ein Anfangsverdacht auf Urkundenfälschung im Amt bestehe gegen den Beschwerdegegner 3 hinsichtlich des erwähnten Eintrags in der Sicherstellungsliste somit nicht. Ein solcher Verdacht bestehe auch nicht gegen die übrigen Beschwerdegegner. Diesbezüglich könne daher keine Ermächtigung zur Strafverfolgung erteilt werden.
3.4. Der Beschwerdeführer bringt vor, mit Ausnahme des Datums seien sämtliche Angaben in der Sicherstellungsliste, mit denen die Sicherstellung seines Mobiltelefons spezifiziert würden, falsch. Dass die Vorinstanz dennoch von einer "Ungenauigkeit" ausgegangen sei, könne nur als willkürlich qualifiziert werden. Der von ihr erwähnte Dienstbefehl ändere daran nichts, zumal sich der Beschwerdegegner 3 bei der Erstellung der Sicherstellungsliste offenkundig nicht an die entsprechenden Vorgaben gehalten habe. Vielmehr ergebe sich aus den darin enthaltenen Angaben zu den am selben Morgen sichergestellten Mobiltelefonen des Mitbeschuldigten G._, dass der Beschwerdegegner 3 die Liste im Verständnis erstellt habe, Ort, Zeit und Umstände der erstmalig erfolgten Behändigung von Beweismitteln festzuhalten. Aufgrund der Stunden früher erfolgten Festnahme und der Zuführung des Beschwerdeführers aus dem Polizeigefängnis resp. diversen Abstandszellen sei für den Beschwerdegegner 3 klar gewesen, dass ihm das Mobiltelefon nicht auf dem Polizeiposten Rathaus abgenommen worden sei. Dass er dies in der Sicherstellungsliste - abweichend von den Einträgen betreffend den Mitbeschuldigten G._ - dennoch so aufgeführt habe, begründe zumindest den ganz erheblichen Verdacht, dass die Falscheinträge absichtlich erfolgt seien. Dieser Verdacht werde dadurch gestützt, dass der Beschwerdegegner 3 durchaus ein nachvollziehbares Motiv gehabt habe. Da das Mobiltelefon ohne Hausdurchsuchungsbefehl und ohne seine Einwilligung und damit unrechtmässig aus seiner Wohnung mitgenommen worden sei - was ohne Weiteres geeignet gewesen sei, das gesamte Strafverfahren gegen ihn mangels Verwertbarkeit von möglicherweise zentralen Beweisen in Luft aufzulösen - liege nahe, dass durch den unwahren Eintrag dieser Fauxpas habe vertuscht werden sollen.
3.5. Dem Beschwerdeführer ist zuzugestehen, dass der erwähnte Eintrag in der Sicherstellungsliste Fragen aufwirft. Bei wörtlicher Interpretation legt er nahe, das Mobiltelefon sei am 18. September 2019 zur angegebenen Zeit (10 Uhr) am angegebenen Ort (Polizeiposten Rathaus) vom angegebenen Polizisten (F._) ab der Person des Beschwerdeführers sichergestellt worden. Dies steht jedoch in klarem Widerspruch dazu, dass der Beschwerdeführer bereits Stunden zuvor verhaftet und das Effektenverzeichnis schon um 07:04 Uhr ausgedruckt wurde, er mithin spätestens ab letzterem Zeitpunkt nicht mehr über sein Telefon verfügt haben dürfte. Die Vorinstanz hat den Eintrag denn auch, wie ausgeführt, nicht im wörtlichen Sinn verstanden. Vielmehr ist sie - teilweise implizit - davon ausgegangen, der Beschwerdegegner 3 habe mit der Angabe "ab Person" zum Ausdruck gebracht, dass das Mobiltelefon aus den Effekten (bzw. den in der Effektenliste aufgeführten Gegenständen) sichergestellt worden sei, und habe zur Spezifikation dieses Vorgangs auf den (ungefähren) Zeitpunkt und den Ort der polizeilichen Einvernahme des Beschwerdeführers sowie die Person des einvernehmenden Polizisten abgestellt.
Es ist nicht ersichtlich, dass diese Beurteilung der Vorinstanz oder deren Einschätzung, bei der Angabe "ab Person" (statt z.B. "aus den Effekten") habe es sich um eine unter den gegebenen Umständen nachvollziehbare Ungenauigkeit gehandelt, offensichtlich unrichtig wäre. Solches ergibt sich insbesondere nicht aus den Angaben in der gleichen Sicherstellungsliste betreffend die beiden Mobiltelefone des Mitbeschuldigten G._. Im Effektenverzeichnis, das im Zusammenhang mit dessen Verhaftung erstellt wurde und bei den Akten liegt, sind die beiden Mobiltelefone nicht aufgeführt. Sie waren daher offensichtlich nicht aus dessen Effekten sichergestellt worden. Dies war dem Beschwerdegegner 3 bewusst, da er an der Verhaftung des Mitbeschuldigten beteiligt war. Die Angaben in der Sicherstellungsliste beziehen sich daher vielmehr auf die tatsächliche Behändigung der beiden Telefone in der Wohnung des Mitbeschuldigten G._ bei dessen Verhaftung. Dies ist der Grund, weshalb sich die Angaben in der Sicherstellungsliste für das Mobiltelefon des Beschwerdeführers von denjenigen betreffend die Mobiltelefone des Mitbeschuldigten G._ unterscheiden; die entsprechenden Einträge sprechen somit nicht gegen die Beurteilung der Vorinstanz.
Dasselbe gilt für das vom Beschwerdeführer für die angebliche Falschbeurkundung geltend gemachte Motiv. Wäre es dem Beschwerdegegner 3 wirklich darum gegangen, einen allfälligen Rechtsverstoss bei der Behändigung des Mobiltelefons des Beschwerdeführers zu verschleiern, hätte er dies kaum mit einem Eintrag getan, der bei wörtlicher Interpretation in klarem Widerspruch zu den tatsächlichen Gegebenheiten steht und dem Beschwerdeführer auffallen würde. Sodann liegt es zwar nicht auf der Hand, dass Ziff. 2.2 des erwähnten Dienstbefehls "Effektenabnahme, Effektenkontrolle und Leibesvisitation" einen Eintrag in der Sicherstellungsliste vorsehen würde, wie ihn der Beschwerdegegner 3 verfasst hat. Dass ein solcher Eintrag damit klar nicht vereinbar wäre, ist jedoch nicht ersichtlich. Auch aus den übrigen Vorbringen des Beschwerdeführers ergibt sich nichts, was die Feststellung der Vorinstanz betreffend das vom Beschwerdegegner 3 mit dem genannten Eintrag Bezweckte und zum Ausdruck Gebrachte als offensichtlich unrichtig bzw. willkürlich erscheinen liesse.
Gestützt auf die entsprechende, für das Bundesgericht somit verbindliche (vgl. vorne E. 2) Feststellung durfte die Vorinstanz ein Mindestmass an Hinweisen im Sinne der Rechtsprechung dafür verneinen, dass sich der Beschwerdegegner 3 mit dem fraglichen Eintrag in der Sicherstellungsliste einer Falschbeurkundung im Amt schuldig gemacht haben könnte. Dasselbe gilt bereits aus diesem Grund auch für eine Teilnahme der übrigen Beschwerdegegner oder einzelner davon an einem solchen Delikt. Hinsichtlich einer derartigen Teilnahme macht der Beschwerdeführer im Übrigen zwar unter Verweis auf die erwähnte Verschleierungsabsicht als angebliches Tatmotiv und die "allgemeine Lebenserfahrung" geltend, sie dränge sich geradezu auf; konkrete Hinweise dafür nennt er jedoch keine. Dass die Vorinstanz in Bezug auf den genannten Eintrag in der Sicherstellungsliste die Ermächtigung zur Strafverfolgung gegen die Beschwerdegegner wegen angeblicher Urkundenfälschung im Amt verweigert hat, verstösst somit nicht gegen Bundesrecht. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet.
4.
Demnach ist die Beschwerde abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren kostenpflichtig (<ref-law>). Die Beschwerdegegner haben sich im Verfahren vor Bundesgericht nicht geäussert. Es sind somit keine Parteientschädigungen auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. März 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Baur