Faits :
A.
A.A._, née en décembre 1960, et B.A._, né en février 1960, tous deux de nationalité britannique, se sont mariés le 23 février 1989 à Brighton (Grande-Bretagne). Quatre enfants sont issus de cette union: C._, née en juillet 1991, D._, née en mars 1993, E._, née en février 2000, et F._, né en juin 2002. Hormis C._, les enfants vivent avec leur mère. La famille s'est installée à U._ en 2003, lorsque l'épouse a obtenu une chaire en littérature à l'Université de Genève.
Les conjoints vivent séparés depuis novembre 2015, date à laquelle le mari a définitivement quitté le domicile conjugal pour s'installer à V._.
B.
B.a. Le 11 avril 2016, l'épouse a sollicité le prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale. Par jugement du 1er septembre 2017, le Tribunal de première instance du canton de Genève (ci-après: Tribunal) a, notamment, attribué à la mère la garde des enfants E._ et F._ (ch. 3 du dispositif), ordonné l'instauration d'une curatelle d'assistance éducative en faveur de F._ (ch. 4), réservé au père un droit de visite sur E._ et F._ qui s'exercerait librement, d'entente entre lui et les deux adolescents (ch. 5), et condamné l'épouse à verser au mari, dès le prononcé du jugement et jusqu'en novembre 2017, la somme de 1'000 fr. par mois au titre de contribution à son entretien (ch. 6).
B.b. Chacune des parties a appelé de ce jugement. Par arrêt du 28 mai 2018, communiqué le 8 juin suivant, la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: Cour de justice) a annulé les chiffres 5 et 6 du dispositif du jugement de première instance. Statuant à nouveau, elle a réservé au père un droit de visite sur l'enfant mineur F._, qui s'exercerait, sauf accord contraire entre les parties et leurs fils, un week-end sur deux, du vendredi soir au dimanche soir et pendant la moitié des vacances scolaires. La contribution d'entretien en faveur du mari a en outre été supprimée.
C.
Les conjoints exercent l'un et l'autre un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 28 mai 2018.
Par acte posté le 11 juillet 2018, l'épouse conclut, principalement, à ce que l'intimé soit condamné à lui verser, avec effet rétroactif au 1er novembre 2015, des contributions mensuelles en faveur des enfants s'élevant, pour E._, à 1'400 fr. 15 jusqu'à sa majorité, puis à 1'700 fr. jusqu'à la fin de ses études et, pour F._, à 1'506 fr. 55 jusqu'à sa majorité, puis à 1'700 fr. jusqu'à la fin de ses études, indexation en sus. Subsidiairement, elle sollicite l'annulation de l'arrêt attaqué ainsi que le renvoi de la cause à l'autorité cantonale. Plus subsidiairement, elle requiert d'être acheminée à prouver par toutes voies de droit utiles les faits allégués à l'appui de son écriture.
Le mari, par mémoire posté le 13 juillet 2018, conclut principalement à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour qu'elle statue dans le sens des considérants. Subsidiairement, il demande le versement d'une contribution à son entretien d'un montant de 4'000 fr. par mois dès le 1er janvier 2016.
Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Des observations n'ont pas été requises.

Considérant en droit :
1.
Les deux recours sont dirigés contre la même décision, reposent sur le même complexe de faits et soulèvent des questions juridiques analogues; dans ces conditions, il se justifie de les joindre et de statuer à leur sujet par un seul arrêt (art. 24 PCF, applicable vu le renvoi de l'art. 71 LTF).
2.
2.1. Déposés en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans la forme légale (art. 42 al. 1 LTF), les recours sont dirigés contre une décision finale (art. 90 LTF; <ref-ruling> consid. 4) rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans une affaire civile (art. 72 al. 1 LTF; <ref-ruling> consid. 2) de nature pécuniaire, dont la valeur litigieuse requise est atteinte (art. 51 al. 1 let. a, 51 al. 4 et 74 al. 1 let. b LTF). Les recourants ont participé à la procédure devant l'autorité précédente et ont un intérêt digne de protection à la modification ou l'annulation de la décision entreprise (art. 76 al. 1 let. a et b LTF). Les recours sont donc en principe recevables.
2.2. Dès lors que les mesures protectrices de l'union conjugale sont considérées comme des mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF, seule peut être dénoncée la violation de droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 5, 585 consid. 3.3). Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés par le recourant ("principe d'allégation"; art. 106 al. 2 LTF), c'est-à-dire s'ils ont été expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.4). En particulier, une décision ne peut être qualifiée d'arbitraire (art. 9 Cst.) que si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 4.1 et les références). Partant, le recourant ne peut se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en procédure d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition, notamment en se contentant d'opposer sa thèse à celle de l'autorité précédente; les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF <ref-ruling> consid. 2.4).
2.3. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Dans l'hypothèse d'un recours soumis à l'art. 98 LTF, le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt attaqué que s'il démontre la violation de droits constitutionnels, conformément au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.2). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il n'y a arbitraire que lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 1.1 et la référence). Le recourant ne peut se limiter à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; il doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.4.3). Par ailleurs, le recourant doit développer son argumentation dans le recours même, un renvoi à d'autres écritures ou à des pièces n'étant pas admissible (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 3.2 et les références). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (art. 106 al. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 2.3 et les références).
En tant que les recourants s'écartent des faits retenus par la cour cantonale, les complètent ou les modifient, sans soulever de grief à ce sujet ou sans démontrer en quoi ces faits auraient été arbitrairement constatés ou omis, leurs allégations sont par conséquent irrecevables. Il en va de même dans la mesure où le recourant prie le Tribunal fédéral de se rapporter à l'état de fait qu'il a présenté dans ses écritures d'appel. Il n'y a pas non plus lieu de donner suite à la requête de la recourante tendant à ce que la Cour de céans se rapporte à l'état de fait qu'elle a présenté dans son mémoire d'appel du 14 septembre 2017 ainsi qu'aux faits exposés devant les premiers juges, dans la mesure où, ce faisant, elle renvoie également de manière irrecevable à d'autres écritures.
2.4. Conformément à l'art. 99 al. 1 LTF, les faits et preuves nouveaux sont en principe irrecevables, même lorsque la maxime inquisitoire est applicable (arrêt 5A_227/2017 du 26 juillet 2017 consid. 2.1 et la jurisprudence citée); les vrais nova sont, quant à eux, exclus d'emblée (<ref-ruling> consid. 1.2 et les références).
Est ainsi irrecevable le chef de conclusions de la recourante tendant à lui permettre de prouver par toutes voies de droit utiles les faits énoncés dans son recours, dès lors que l'intéressée n'explicite pas plus avant les faits et moyens nouveaux exceptionnellement admissibles et les motifs justifiant cette exception (arrêt 5A_258/2018 du 20 août 2018 consid. 1.2 et la jurisprudence citée). Le recourant produit pour sa part des pièces concernant ses recherches d'emploi du 30 août 2016 au 12 mars 2018, dont il n'apparaît pas qu'elles auraient été présentées en appel. Le recourant ne le soutient d'ailleurs pas. L'arrêt attaqué constate au demeurant qu'il n'a produit qu'une lettre de candidature à l'appui de ses dires selon lesquels il cherchait activement un emploi. Or le recourant n'expose nullement en quoi les conditions de l'art. 99 al. 1 LTF seraient réunies. En particulier, il ne démontre pas que les faits et preuves dont il entend se prévaloir sont devenus indispensables à la suite de l'arrêt entrepris. En effet, la question de l'imputation d'un revenu hypothétique au mari était déjà litigieuse en appel, le Tribunal ayant d'ailleurs retenu qu'il était en mesure de réaliser, dès novembre 2017, un revenu mensuel net de 2'300 fr. par mois lui permettant de couvrir ses charges (<ref-ruling> consid. 5.2.4; <ref-ruling> consid. 2.1). Ces pièces ne peuvent donc être prises en considération.
I. Sur le recours de A.A._ (cause 5A_584/2018)
3.
Selon la recourante, la Cour de justice aurait fait preuve d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et la constatation des faits.
3.1. La recourante fait d'abord valoir que l'arrêt attaqué indique certes que son fils présente un trouble du spectre autistique, mais sans mentionner que ce handicap constitue une charge très importante pour elle en termes de soins et d'éducation. Se référant aux pièces 39 et 42 qu'elle a produites en appel, elle expose avoir établi que la prise en charge de cet enfant nécessite, en raison de son handicap, un investissement très important en temps et sur le plan émotionnel, ce dont l'autorité cantonale n'aurait pas tenu compte dans la détermination de l'ampleur de l'entretien en nature qu'elle seule lui fournit. En ignorant ses allégations en ce sens, de même que les pièces qui en attestaient, la Cour de justice aurait en outre violé son droit d'être entendue sous l'aspect du droit à une décision motivée (art. 29 al. 2 Cst.). Les juges précédents auraient en outre méconnu le fait que l'intimé a versé en 2016 et 2017 plus de 40'000 fr. à ses filles majeures, essentiellement à l'aînée, tout en indiquant qu'il n'avait pas d'argent. Enfin, la cour cantonale aurait également omis de prendre en considération que durant la vie commune, l'entretien des enfants, en nature et en espèces, était assumé par les deux époux.
3.2. S'agissant de la charge supplémentaire engendrée par le trouble du spectre autistique (syndrome d'Asperger) présenté par le fils des parties, l'autorité cantonale ne peut se voir reprocher d'avoir arbitrairement établi les faits ni enfreint le droit d'être entendu. La seule constatation de ce trouble psychique implique en effet que les soins et l'éducation de l'enfant concerné représentent pour le parent gardien une charge particulièrement importante, et ce tant émotionnellement qu'en terme de temps consacré. L'arrêt attaqué ne manque d'ailleurs pas de constater que, selon un rapport d'évaluation du Service de protection des mineurs du 27 octobre 2016, le fils des parties souffrait de dépression, d'un retrait social et d'une dépendance aux jeux vidéo, qu'il avait été hospitalisé dans une clinique, ce qui l'avait empêché de poursuivre normalement sa scolarité depuis 2013, et qu'un suivi thérapeutique à la clinique était encore en cours. Sous couvert de ce grief, la recourante reproche en réalité à l'autorité cantonale d'avoir mésestimé l'ampleur de l'entretien en nature qu'elle fournit à l'enfant. Cette question, qui relève de l'application du droit, sera examinée plus loin (cf. infra consid. 4).
Pour autant qu'elles soient suffisamment motivées (art. 106 al. 2 LTF), les autres critiques formulées par la recourante ne sont pas non plus fondées. En tant qu'elle soutient que l'intimé a versé plus de 40'000 fr. à ses filles majeures en 2016 et 2017, son allégation n'est aucunement étayée, ni par conséquent établie, de sorte qu'il ne peut en être tenu compte. Quoi qu'il en soit, elle n'apparaît pas déterminante. Par ailleurs, dans la mesure où elle prétend - en se référant au jugement de première instance, qui n'aurait pas été contesté à cet égard - que durant la vie commune, l'entretien des enfants, en nature et en espèces, était assumé par les deux époux, cette allégation n'apparaît pas décisive (cf. infra consid. 4). Il en va de même lorsqu'elle affirme que depuis l'automne 2017, le fils des parties n'a pu se rendre qu'à environ trois reprises chez son père à V._, car il a très peur de prendre seul le train et que l'intimé ne vient plus le chercher à U._.
4.
Dans un second moyen, la recourante reproche à l'autorité cantonale d'avoir violé de manière insoutenable les art. 4, 276, 276a et 285 al. 1 CC, de même que l'art. 29 al. 2 Cst. (droit à une décision motivée), en dispensant l'intimé de verser des contributions en faveur des enfants alors qu'elle-même, qui en détient la garde, assure déjà entièrement leur entretien en nature.
4.1. Selon l'art. 276 al. 1 CC, l'entretien est assuré par les soins, l'éducation et des prestations pécuniaires. L'entretien peut donc être fourni en espèces ou en nature, sans qu'il y ait de hiérarchie entre les deux (AESCHLIMANN/SCHWEIGHAUSER, FamKommentar Scheidung, vol. I, 3e éd. 2017, n° 8 Allg. Bem. zu Art. 276-293 ZGB). La contribution d'entretien en faveur de l'enfant doit être arrêtée conformément aux principes dégagés de l'art. 285 al. 1 CC, aux termes duquel la contribution d'entretien doit correspondre aux besoins de l'enfant ainsi qu'à la situation et aux ressources des père et mère. La teneur de cet alinéa, soit les critères permettant de déterminer l'étendue de la contribution d'entretien, correspond pour l'essentiel au droit en vigueur jusqu'au 31 décembre 2016, étant précisé que la garde ne sert plus de critère de répartition des prestations d'entretien entre les parents. La contribution d'entretien sera calculée en fonction de toutes les prestations fournies par chaque parent, qu'il ait ou non la garde. Les critères à prendre en compte pour calculer la contribution d'entretien s'appuient toujours sur les besoins de l'enfant et sur la situation et les ressources de ses père et mère (arrêt 5A_764/2017 du 7 mars 2018 consid. 4.1.3 et les références).
4.2. L'arrêt attaqué constate que l'épouse perçoit mensuellement un salaire net (arrondi) de 15'235 fr. pour des charges s'élevant, depuis 2018, à 7'715 fr., de sorte qu'elle bénéficie d'un solde de 7'520 fr. (7'880 fr. en 2016 et 7'840 fr. en 2017). Le mari devant se voir imputer, dès janvier 2016, un revenu hypothétique d'un montant de 5'100 fr. par mois et ses charges mensuelles étant de 2'940 fr., il dispose pour sa part d'un solde de 2'160 fr. Considérant que le budget mensuel de l'épouse présentait ainsi un disponible de plus de trois fois supérieur à celui du mari, l'autorité cantonale a estimé que, même si celle-ci contribuait déjà à l'entretien des enfants par les soins et l'éducation qu'elle leur prodiguait au quotidien, il apparaissait équitable de lui faire supporter l'intégralité de leur coût d'entretien. C'était donc à juste titre que le Tribunal n'avait pas condamné le père à verser des contributions en leur faveur.
4.3. La recourante ne démontre pas que l'autorité cantonale serait, ce faisant, tombée dans l'arbitraire. Pour déterminer la contribution d'entretien due en vertu de l'art. 285 al. 1 CC par chacun des parents séparés, il sied de répartir les besoins non couverts des enfants entre les père et mère en fonction de leur capacité contributive respective. Comme sous l'ancien droit (SCHWEIGHAUSER, FamKommentar Scheidung, vol. I, 3e éd. 2017, n° 42 ss ad art. 285 CC), le fait qu'un parent apporte déjà une part de l'entretien en nature doit être pris en considération. La fourniture de prestations en nature reste un critère essentiel dans la détermination de l'entretien de l'enfant, en particulier lorsqu'il s'agit de savoir qui doit supporter son entretien en espèces (AESCHLIMANN/SCHWEIGHAUSER, op. cit., n° 10 Allg. Bem. zu Art. 276-293 ZGB). Selon la jurisprudence, celui des parents dont la capacité financière est supérieure est tenu, suivant les circonstances, de contribuer à l'entier du besoin en argent si l'autre remplit son obligation essentiellement en nature (<ref-ruling> consid. 3a/cc; arrêts 5A_819/2016 du 21 février 2017 consid. 9.3.2.1; 5A_134/2016 du 18 juillet 2016 consid. 3; 5A_462/2010 du 24 octobre 2011 consid. 4.2, non publié in <ref-ruling>); mais il est aussi admis que si la capacité financière de l'un des parents est sensiblement plus importante que celle de l'autre, il n'est pas critiquable de laisser à celui qui est économiquement mieux placé la charge d'entretenir les enfants par des prestations pécuniaires, en sus des soins et de l'éducation (notamment: arrêts 5A_119/2017 du 30 août 2017 consid. 7.1; 5A_96/2017 du 20 juillet 2017 consid. 4.1; 5A_85/2017 du 19 juin 2017 consid. 6.1; 5A_134/2016 du 18 juillet 2016 consid. 3; 5A_386/2012 du 23 juillet 2012 consid. 4.2.1; 5A_462/2010 du 24 octobre 2011 consid. 4.2, non publié in <ref-ruling>; cf. aussi arrêt 5C.125/1994 du 12 septembre 1994 consid. 5, non publié in <ref-ruling>, et les auteurs cités; pour le nouveau droit: SCHWEIGHAUSER, op. cit., n° 45 ad art. 285 CC).
En conformité avec cette jurisprudence, l'autorité cantonale n'a donc pas fait preuve d'arbitraire en dispensant le père de supporter une partie des coûts financiers des enfants bien qu'il ne leur prodigue aucun soin en nature, sous réserve des moments où il exerce son droit aux relations personnelles. La Cour de justice a retenu que l'épouse bénéficiait d'un salaire mensuel net de 15'235 fr. et a imputé au mari un revenu hypothétique de 5'100 fr. La comparaison de ces chiffres, de même que celle des soldes disponibles des parties (soit 7'520 fr. pour l'épouse contre 2'160 fr. pour le mari), démontre que la capacité contributive de l'intimé est nettement plus faible que celle de la recourante. Sous l'angle de l'arbitraire, il est dès lors admissible de laisser les enfants à la charge exclusive de la mère et de ne mettre aucune contribution d'entretien à la charge du père. Compte tenu de la disproportion entre les capacités financières des parties, il n'est à cet égard pas déterminant que leur fils, en raison de son syndrome d'Asperger, nécessite des soins particulièrement importants. Par ailleurs, bien que son argumentation soit brève, l'autorité cantonale ne saurait se voir reprocher d'avoir rendu une décision insuffisamment motivée (sur cette notion: <ref-ruling> consid. 9.1; <ref-ruling> consid. 5.1). Enfin, dans la mesure où la recourante reproche au premier juge d'avoir appliqué la méthode du minimum vital, son grief est irrecevable, tant au regard de l'art. 75 al. 1 que de l'art. 106 al. 2 LTF.
II. Sur le recours de B.A._ (cause 5A_597/2018)
5.
Le recourant affirme que la Cour de justice a fait preuve d'arbitraire dans l'établissement des faits et l'application du droit fédéral, en particulier de l'art. 176 CC, en estimant que la situation financière de la famille ne permettait pas d'assumer les charges de deux ménages distincts, lui imposant pour cette raison de rechercher une activité lucrative. Il invoque en outre à cet égard la violation de l'art. 8 Cst.
5.1.
5.1.1. Même lorsqu'on ne peut plus sérieusement compter sur la reprise de la vie commune, ce que le juge du fait doit constater, l'art. 163 CC demeure la cause de l'obligation d'entretien réciproque des époux en mesures protectrices de l'union conjugale. Aux termes de cette disposition, mari et femme contribuent, chacun selon ses facultés, à l'entretien convenable de la famille (al. 1); ils conviennent de la façon dont chacun apporte sa contribution [...] (al. 2); ce faisant, ils tiennent compte des besoins de l'union conjugale et de leur situation personnelle (al. 3). Pour fixer la contribution d'entretien, selon l'art. 176 al. 1 ch. 1 CC, le juge doit partir de la convention, expresse ou tacite, que les époux ont conclue au sujet de la répartition des tâches et des ressources entre eux. Il doit ensuite prendre en considération qu'en cas de suspension de la vie commune (art. 175 s. CC), le but de l'art. 163 CC, soit l'entretien convenable de la famille, impose à chacun des époux le devoir de participer, selon ses facultés, aux frais supplémentaires qu'engendre la vie séparée. Il se peut donc que, suite à cet examen, le juge doive modifier la convention conclue pour la vie commune, pour l'adapter à ces faits nouveaux. C'est dans ce sens qu'il y a lieu de comprendre la jurisprudence consacrée dans l'<ref-ruling>, qui admet que le juge doit prendre en considération, dans le cadre de l'art. 163 CC, les critères applicables à l'entretien après le divorce (art. 125 CC) pour statuer sur la contribution d'entretien et, en particulier, sur la question de la reprise ou de l'augmentation de l'activité lucrative d'un époux. Ainsi, le juge doit examiner si, et dans quelle mesure, au vu de ces faits nouveaux, on peut attendre de l'époux désormais déchargé de son obligation de tenir le ménage antérieur, en raison de la suspension de la vie commune, qu'il investisse d'une autre manière sa force de travail ainsi libérée et reprenne ou étende son activité lucrative. En effet, dans une telle situation, la reprise de la vie commune, et donc le maintien de la répartition antérieure des tâches, ne sont ni recherchés ni vraisemblables; le but de l'indépendance financière des époux, notamment de celui qui jusqu'ici n'exerçait pas d'activité lucrative, ou seulement à temps partiel, gagne en importance. Cela vaut tant en matière de mesures protectrices de l'union conjugale, lorsqu'il est établi en fait qu'on ne peut plus sérieusement compter sur une reprise de la vie commune, qu'en matière de mesures provisionnelles durant la procédure de divorce, la rupture définitive du lien conjugal étant à ce stade très vraisemblable. En revanche, ni le juge des mesures protectrices de l'union conjugale, ni celui des mesures provisionnelles ne doit trancher, même sous l'angle de la vraisemblance, les questions de fond, objet du procès en divorce, en particulier celle de savoir si le mariage a influencé concrètement la situation financière du conjoint (<ref-ruling> consid. 3.1; arrêt 5A_24/2018 du 21 septembre 2018 consid. 5.1.1).
5.1.2. Lorsqu'il entend tenir compte d'un revenu hypothétique, le juge doit examiner successivement deux conditions. Tout d'abord, il doit juger si l'on peut raisonnablement exiger du conjoint concerné qu'il exerce une activité lucrative eu égard, notamment, à sa formation, à son âge et à son état de santé: ce faisant, il tranche une question de droit. Le juge doit ensuite examiner si cette personne a la possibilité effective d'exercer l'activité ainsi déterminée et quel revenu elle peut en obtenir, compte tenu des circonstances subjectives susmentionnées ainsi que du marché du travail; il s'agit là d'une question de fait (<ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 4.2.2.2; <ref-ruling> consid. 4c/bb).
Si le juge entend exiger d'une partie la prise ou la reprise d'une activité lucrative, ou encore l'extension de celle-ci, il doit généralement lui accorder un délai approprié pour s'adapter à sa nouvelle situation; ce délai doit être fixé en fonction des circonstances du cas particulier (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 5; arrêts 5A_101/2018 du 9 août 2018 consid. 3.3; 5A_267/2018 du 5 juillet 2018 consid. 5.1.2; 5A_1043/2017 du 31 mai 2018 consid. 3.2).
5.2. L'arrêt entrepris constate que, selon le Tribunal, le mari était en mesure de réaliser un revenu mensuel net de 2'300 fr. lui permettant de couvrir ses charges dès le mois de novembre 2017. Quand bien même avait-il mis fin à son activité indépendante pour des raisons inexpliquées peu avant la séparation des parties, un délai de deux ans depuis la rupture paraissait approprié pour lui permettre de se réinsérer dans la vie active.
La Cour de justice a pour sa part retenu que l'activité indépendante du mari, débutée en 2002, lui avait permis de réaliser un revenu mensuel net de 370 fr. en 2008, 5'300 fr. en 2009, 2'300 fr. en 2010, 200 fr. en 2011, 1'500 fr. en 2012, 800 fr. en 2013 et 300 fr. en 2014. Au regard des montants perçus, cette activité paraissait certes accessoire. Il n'en demeurait pas moins qu'elle avait permis au mari - titulaire d'un doctorat en science (physique, mathématiques et astrophysique) et en philosophie - de ne pas rester totalement éloigné du monde du travail et d'être actif dans les relations avec la clientèle, les analyses de marché, la communication, le développement commercial, les négociations et les ventes. Il avait en outre pu développer des compétences notamment en matière de stratégie Internet et de sécurité des données. Bien que le contraire fût indiqué sur son compte LinkedIn, il avait cessé son activité indépendante dès le début de l'année 2015 sans en donner les raisons, en particulier sans alléguer que cette interruption aurait été justifiée par les besoins de la famille - étant au demeurant relevé que le cadet des enfants était alors âgé de 13 ans - ou que cela résultait d'un accord entre les époux.
Compte tenu de la présence de deux enfants mineurs au moment de la séparation et de l'augmentation des coûts liés à l'existence de deux ménages séparés, les juges précédents ont estimé que le mari ne pouvait pas librement choisir de renoncer à toute activité lucrative. Il n'avait du reste pas démontré avoir entrepris des démarches sérieuses en vue de trouver un emploi, que ce soit depuis la cessation de son activité indépendante ou depuis la séparation des parties intervenue en novembre 2015. Le fait qu'il se soit inscrit à l'Office cantonal de l'emploi de Zurich en octobre 2016 n'était pas déterminant, étant au demeurant relevé qu'il ne percevait aucune indemnité journalière de chômage.
Le mari, qui n'avait allégué aucun problème de santé, était âgé de 57 ans, de sorte qu'il pouvait s'avérer plus difficile pour lui de retrouver un emploi qu'avant la cinquantaine. Toutefois, en dépit de son âge, il avait été engagé au mois d'octobre 2017 en qualité de "senior IT architekt" au sein d'une société anonyme, pour un salaire mensuel brut de 5'000 fr. Bien que son contrat ait été résilié durant le temps d'essai, il apparaissait en mesure, malgré son absence alléguée du marché de l'emploi, de retrouver une activité rémunérée à temps complet dans son domaine de formation, étant relevé que sa mauvaise maîtrise de la langue allemande ne semblait pas y faire obstacle. Il ressortait du calculateur individuel de salaires 2014 de la Confédération ("salarium") que le revenu mensuel médian dans le canton de Zurich pour une activité à plein temps (40h/semaine), de type architecte IT (spécialiste des technologies de l'information et des communications), sans fonction de cadre et sans années de service, pour un homme âgé de 57 ans, titulaire d'un permis B ou C, s'élevait à plus de 12'000 fr. bruts. Cela étant, un tel revenu ne paraissait pas réaliste au regard du dernier salaire qui avait été offert au mari. Il convenait donc de retenir que, compte tenu de sa formation et de son expérience, il était en mesure de prétendre à un salaire mensuel brut de l'ordre de 6'000 fr., soit environ 5'100 fr. nets, notamment pour une activité similaire à celle qui avait fait l'objet de son contrat de travail en octobre 2017. Dès lors qu'il avait volontairement renoncé à tout revenu et n'avait pas démontré avoir entrepris tout son possible pour satisfaire à ses obligations familiales, il y avait lieu de retenir qu'il aurait pu réaliser un tel revenu depuis le mois de janvier 2016 déjà.
5.3.
5.3.1. Le recourant soulève le grief de violation du principe d'égalité de traitement de l'art. 8 Cst. D'emblée, il convient de relever que, ce faisant, il perd de vue que cette garantie constitutionnelle s'adresse à l'État et ne produit pas d'effet horizontal direct sur les relations entre personnes privées (<ref-ruling> consid. 2b et les références; arrêt 5D_59/2018 du 31 août 2018 consid. 3 et la jurisprudence citée), de sorte qu'il ne peut s'en prévaloir à l'appui d'un recours dirigé contre une décision rendue dans une affaire opposant deux particuliers (arrêt 5D_59/2018 précité et les références).
5.3.2. Se plaignant d'établissement manifestement inexact des faits, le recourant fait valoir que l'autorité précédente n'a inexplicablement pas pris en compte certains éléments, qu'il énumère. En substance, il expose que depuis l'arrivée de la famille à U._, c'est l'intimée qui a essentiellement subvenu à l'entretien de la famille au moyen de ses revenus, alors qu'il s'est occupé du ménage et des soins à consacrer aux enfants, comme le rendrait vraisemblable le caractère accessoire de ses propres revenus. Les faibles montants retenus à ce titre par l'arrêt attaqué démontreraient en outre que la petite activité professionnelle qu'il a développée en marge de la tenue du ménage a cessé bien avant 2015. Il serait aussi vraisemblable que son investissement dans les tâches liées à la famille se soit fait au détriment de sa carrière professionnelle.
Comme il a été rappelé plus haut, l'entretien convenable de la famille impose à chacun des époux de participer aux frais supplémentaires induits par deux ménages séparés, de sorte que la convention conclue par les conjoints pour la vie commune peut devoir être modifiée après leur séparation. Quand bien même la répartition des tâches entre les parties aurait été telle que le prétend le recourant, on ne saurait donc reprocher à l'autorité cantonale d'avoir examiné si un revenu hypothétique pouvait être imputé au mari, la reprise de la vie commune n'étant pas vraisemblable (cf. supra consid. 5.1.1). Partant, contrairement à ce que prétend le recourant, les faits qu'il reproche aux juges précédents d'avoir omis de prendre en considération ne sont pas décisifs. Au reste, le recourant ne démontre pas que l'état de fait serait arbitrairement lacunaire sur ce point.
5.3.3. Toujours sous l'angle de l'établissement des faits, le recourant conteste en outre l'opinion de l'autorité cantonale selon laquelle il aurait diminué volontairement son activité professionnelle peu avant la séparation. Il soutient que cette constatation est contredite par ses revenus mensuels, qui ne s'élevaient qu'à 800 fr. en 2013 et à 300 fr. en 2014 pour être par la suite nuls. En tout état, l'activité professionnelle totalement marginale qu'il déployait était déjà minime depuis 2012. Elle n'avait selon lui pas diminué en raison de la séparation, mais de l'attention qu'il devait vouer aux enfants et, en particulier, au fils des parties, dont l'état de santé se péjorait. La cour cantonale aurait également retenu à tort que son activité très accessoire lui avait permis de ne pas rester totalement éloigné du monde du travail et d'être actif dans certains domaines. Il n'aurait au demeurant jamais exercé sur le marché du travail les compétences figurant sur son profil LinkedIn. Les juges précédents auraient par ailleurs omis de retenir que son dernier emploi a été exercé uniquement pendant trois semaines et que l'employeur a constaté que ses compétences étaient trop éloignées des besoins du marché, raison pour laquelle il avait été licencié. Enfin, l'autorité précédente n'aurait arbitrairement pas tenu compte des centaines d'offres d'emploi qu'il a effectuées depuis 2016, sur le marché helvétique ou européen.
De nature purement appellatoire, ces allégations ne permettent pas de démontrer que l'autorité cantonale aurait fait preuve d'arbitraire (art. 106 al. 2 LTF). Quant aux offres d'emploi auxquelles le recourant se réfère, présentées pour la première fois devant le Tribunal fédéral, elles ne peuvent être prises en considération (cf. supra consid. 2.4). Le moyen est ainsi entièrement irrecevable.
5.3.4. Se référant aux art. 125, 159 al. 2 et 3, 163 al. 3 et 176 al. 1 ch. 1 CC, le recourant prétend encore que la décision attaquée est arbitraire dans son résultat dès lors qu'elle ne tient pas compte de l'organisation de la vie familiale qui prévalait durant la vie commune, à savoir de son rôle de père au foyer. Les conditions qui permettraient de lui imputer un revenu hypothétique ne seraient en outre pas remplies.
Par cette argumentation, de nature largement appellatoire, le recourant se borne à substituer sa propre appréciation de la situation à celle effectuée par l'autorité cantonale, en s'écartant de surcroît des faits constatés dans l'arrêt entrepris. Tel est le cas lorsqu'il affirme que le revenu confortable de l'intimée permettrait amplement d'assumer les charges de deux ménages distincts, de sorte qu'il aurait droit à une contribution d'entretien lui assurant son train de vie antérieur. Il en va de même dans la mesure où il prétend que les époux étaient convenus depuis leur arrivée en Suisse qu'il s'occuperait du foyer et des enfants, tandis que l'intimée contribuerait à l'entretien de la famille par son activité professionnelle. De toute manière, il convient de rappeler que lorsqu'on ne peut plus sérieusement compter sur une reprise de la vie commune, le juge peut devoir modifier l'accord conclu par les conjoints pour l'adapter aux nouvelles circonstances de vie, le maintien de la répartition antérieure des tâches n'étant alors ni recherché, ni vraisemblable. L'argument pris du revenu confortable de l'intimée, qui lui permettrait de faire face aux charges de deux ménages séparés, n'est pas non plus fondé, le but de l'art. 163 CC, soit l'entretien convenable de la famille, imposant à chacun des époux de participer aux frais supplémentaires qu'engendre la vie séparée (cf. supra consid. 5.1.1).
Les critiques du recourant ne permettent pas non plus de considérer que la cour cantonale serait tombée dans l'arbitraire en estimant que les conditions permettant de lui imputer un revenu hypothétique étaient remplies. S'agissant en particulier de son âge (56 ans au moment de la séparation) et du fait qu'il est passé, selon lui, d'une activité lucrative très marginale à une absence totale d'activité professionnelle, il se contente de faire valoir son opinion. Ce faisant, il n'établit pas qu'il était insoutenable de considérer qu'en dépit de son âge, il avait été engagé par une société au mois d'octobre 2017 et que, bien que son contrat ait été résilié durant le temps d'essai, il apparaissait en mesure, malgré son absence alléguée du marché de l'emploi, de retrouver une activité rémunérée à temps complet dans son domaine de formation. Quoi qu'il en soit, le recourant ne démontre pas qu'il aurait renoncé, d'entente avec l'intimée, à exercer une activité lucrative durant le mariage, de sorte que son âge n'apparaît pas décisif (cf. arrêts 5A_187/2016 du 30 mai 2017 consid. 2.2.2; 5A_358/2016 du 1er mai 2017 consid. 5.3.3; 5A_750/2011 du 5 décembre 2011 consid. 5 publié in FamPra.ch 2012 p. 431).
Quant à l'affirmation selon laquelle il n'aurait pas la possibilité effective d'exercer une activité lucrative, elle n'apparaît pas établie. Dans la mesure où il soutient, en se référant à des pièces, qu'il a répondu en vain à une centaine d'offres d'emploi, il fait valoir des faits et des moyens de preuves nouveaux (art. 99 LTF), partant irrecevables dans le présent recours (cf. supra consid. 2.4). De même, en tant qu'il prétend que sa formation serait complètement obsolète et qu'il a été tenu à l'écart du marché du travail durant plusieurs années, ses allégations, qui ne ressortent pas, voire qui s'écartent de l'état de fait de l'autorité cantonale, ne peuvent être prises en considération.
Autant qu'il est suffisamment motivé (art. 106 al. 2 LTF), le moyen se révèle ainsi infondé.
5.4. Subsidiairement, le recourant reproche à la Cour de justice de lui avoir imputé un revenu hypothétique dès janvier 2016 déjà, soit sans lui accorder de temps pour s'insérer sur le marché du travail.
5.4.1. L'autorité cantonale a considéré que le mari avait volontairement renoncé à tout revenu et n'avait pas démontré avoir entrepris tout son possible pour satisfaire à ses obligations familiales. Les juges précédents ont donc retenu qu'il aurait été en mesure, mais qu'il avait omis, de réaliser un revenu hypothétique depuis le mois de janvier 2016. Selon eux, l'imputation d'un revenu hypothétique supérieur à celui obtenu durant la vie commune se justifiait par le fait que le mari n'aurait pas pu se contenter de ses revenus accessoires après la séparation, puisqu'il n'avait aucun enfant à charge et que chacun des époux est tenu de contribuer, selon ses facultés, aux frais supplémentaires engendrés par l'existence parallèle de deux ménages.
5.4.2. Pour autant que sa critique soit suffisamment motivée, le recourant ne démontre pas que cette opinion serait insoutenable. Il se contente en effet d'exposer, en premier lieu, qu'il est inscrit au chômage depuis octobre 2016, qu'il doit justifier des recherches d'emploi qu'il effectue et qu'il n'a obtenu qu'une réponse positive qui s'est soldée par un échec, ayant été licencié au motif que ses compétences ne correspondaient pas aux besoins de l'entreprise: essentiellement appellatoires, ces allégations ne suffisent pas à établir que la constatation de l'autorité cantonale, selon laquelle il n'a pas tout entrepris pour satisfaire à ses obligations familiales, serait arbitraire. Au demeurant, s'il fait valoir que pour être considéré comme demandeur d'emploi, il doit justifier mensuellement de ses recherches pour trouver du travail, la cour cantonale constate cependant qu'il ne perçoit aucune indemnité de chômage. Dans la mesure où il soutient que les faibles revenus qu'il réalisait en tant qu'indépendant ne permettent aucunement de considérer qu'il avait un pied dans le marché de l'emploi, ses allégations sont également largement appellatoires. Le recourant prétend en outre que s'il n'a plus exercé d'activité accessoire depuis 2015, c'est aussi en raison de la situation préoccupante de son fils, qui ne va plus à l'école depuis plusieurs années et qui a été hospitalisé durant de nombreuses semaines. Il conteste ainsi avoir volontairement renoncé à tout revenu, dès lors qu'il s'occupait principalement de cet enfant, dont la santé était à cette époque mise en péril. Par cette argumentation, une nouvelle fois en grande partie appellatoire, le recourant ne s'en prend pas à la motivation des juges précédents, qui ont estimé qu'après la séparation, il n'avait plus d'enfant à charge, de sorte qu'il ne pouvait se contenter de ses revenus accessoires. Quand bien même seraient-elles avérées, ses affirmations ne sont donc pas décisives. Dans la mesure où il entend de surcroît "rappeler" que l'intimée avait été absente à de nombreuses reprises durant l'année 2015, qu'elle avait alors compté sur sa présence pour s'occuper des enfants et qu'il n'avait pas été question qu'il parte du domicile familial avant le retour de celle-ci en janvier 2016, raison pour laquelle il ne pouvait être exigé de lui qu'il retrouve une activité lucrative dès cette date, le recourant se fonde, de manière irrecevable, sur des faits qui ne ressortent pas des constatations de l'arrêt attaqué, de sorte qu'ils ne peuvent être pris en compte. Enfin, contrairement à ce que semble croire le recourant, l'impact décisif que le mariage aurait eu sur sa situation professionnelle et financière - question qu'il n'appartient pas au juge des mesures protectrices d'examiner (cf. supra consid. 5.1.1 in fine) - ne lui donnerait de toute façon pas automatiquement droit à une contribution d'entretien (arrêt 5A_172/2018 du 23 août 2018 consid. 3.2.1 et la jurisprudence citée).
6.
Sur le vu de ce qui précède, les recours apparaissent mal fondés et ne peuvent dès lors qu'être rejetés, dans la mesure où ils sont recevables. Comme son recours était d'emblée dénué de chance de succès, la requête d'assistance judiciaire du mari ne saurait être agréée (art. 64 LTF). Les frais des deux procédures fédérales seront dès lors supportés par les recourants à parts égales (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens, des réponses n'ayant pas été requises.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 5A_584/2018 et 5A_597/2018 sont jointes.
2.
Les recours sont rejetés dans la mesure où ils sont recevables.
3.
La requête d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
4.
Les frais judiciaires, arrêtés à 4'000 fr. pour les deux procédures, sont mis par moitié à la charge de chacun des recourants.
5.
Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 10 octobre 2018
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : von Werdt
La Greffière : Mairot