Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1962 geborene A._ war seit 18. Mai 2015 bei der B._ als Einschaler angestellt und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (Suva) obligatorisch unfallversichert. Am 10. Juni 2015 stürzte er bei Haushaltsarbeiten auf einer Treppe. Die im Kantonsspital C._ am 27. November 2015 erfolgte MRI-Untersuchung der Schulter rechts und Arthrographie ergab Folgendes: Transmuraler Riss der Supraspinatussehne im dorsalen Anteil bei ventral durchgehenden Fasern bei muzinöser Degeneration; konsekutiv pathologische Füllung der Bursa subacromialis/subdeltoidea; intratendinöser Riss der Infraspinatussehne, hier nah des footprints, Geröllzysten im Humeruskopf subchondral; SLAP II-Läsion; hyperartrophe AC-Gelenksarthrose. Die Suva kam für die Heilbehandlung und das Taggeld auf. Am 24. Februar 2016 erfolgte in der Klinik D._ eine Schulteroperation rechts. Am 2. Juni 2017 teilte die Suva A._ mit, laut den ärztlichen Unterlagen sei eine weitere Behandlung nicht mehr nötig. Seit 29. Mai 2017 sei er wieder zu 100 % arbeitsfähig, weshalb sie die Leistungen einstelle.
A.b. Seit 17. September 2018 war A._ als Schaler bei der E._ AG, angestellt. Am 24. Oktober 2018 meldete er der Suva einen Rückfall betreffend die Schulter rechts vom 5. Oktober 2018. Mit Verfügung vom 22. Oktober 2019 verneinte die Suva eine Leistungspflicht für die Schulterbeschwerden rechts, da kein sicherer oder wahrscheinlicher Kausalzusammenhang zum Unfall vom 10. Juni 2015 bestehe. Hieran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 21. April 2020 fest.
B.
Hiergegen erhob A._ beim Obergericht des Kantons Uri Beschwerde. Am 20. Mai 2020 wurde er im Kantonsspital C._ erneut an der rechten Schulter operiert, wobei eine symptomatische AC-Gelenksarthrose Schulter rechts, Status nach Refixation Supraspinatussehne 2015, diagnostiziert wurden. Mit Entscheid vom 19. Februar 2021 wies das angerufene Gericht die Beschwerde ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei die Sache an die Suva zu zusätzlichen Sachverhaltsabklärungen (Begutachtung) und neuem Entscheid (Ausrichtung der gesetzlichen Leistungen, Taggelder) zurückzuweisen.
Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
Streitig ist, ob die vorinstanzlich bestätigte Verneinung eines Leistungsanspruchs des Beschwerdeführers bundesrechtskonform ist.
Die Vorinstanz hat die rechtlichen Grundlagen und die Rechtsprechung betreffend den für die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem Gesundheitsschaden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1), namentlich auch bei Rückfällen und Spätfolgen als besonderen revisionsrechtliche Tatbeständen (<ref-law>; <ref-ruling>, 140 V 65, 127 V 456 E. 4b, 118 V 293 E. 2c), richtig dargelegt. Gleiches gilt bezüglich der Rechtsprechung zum massgebenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 5.1) sowie zum Beweiswert ärztlicher Unterlagen (<ref-ruling> E. 4.4, 134 V 231 E. 5.1, 125 V 351 E. 3a und E. 3b/ee). Darauf wird verwiesen.
3.
Die Vorinstanz erwog im Wesentlichen, die von der Suva im kantonalen Verfahren eingereichten Stellungnahmen des Dr. med. F._, Facharzt für Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates, Suva Versicherungsmedizin, vom 15. Juli und 15. Oktober 2020 seien beweiswertig. Bezüglich der AC-Gelenksarthrose habe er schlüssig aufgezeigt, dass sie sich über Jahre ausgebildet habe und im konkreten Fall eher auf die schweren körperlichen Arbeiten als auf den Unfall vom 9. Juni 2015 zurückzuführen sei. Dies werde auch von den vom Beschwerdeführer angerufenen Arztpersonen nicht in Abrede gestellt. Die ursprüngliche, unfallbedingt beschädigte und entzündete Bursa subacromialis sei laut Dr. med. F._ bei der Operation vom 24. Februar 2016 entfernt worden. Hiervon sei auch Dr. med. G._, Fachärztin für Chirurgie FMH, im Bericht vom 20. Mai 2020 ausgegangen. Die ursprüngliche, unfallbedingt beschädigte Bursa subacromialis habe somit nicht mehr existiert. Laut Dr. med. F._ habe bei Behandlungsabschluss in der Klinik D._ am 25. April 2017 eine neu gebildete Bursa subacromialis vorgelegen, die aber reizfrei und nicht entzündet gewesen sei. Diese Neubildung habe auch Dr. med. G._ im Bericht vom 20. Mai 2020 bestätigt. Sie habe nämlich ausgeführt, der Schleimbeutel hätte sich - auch wenn er entfernt worden wäre - wieder neu gebildet. Mit Dr. med. F._ sei weiter davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer von Frühsommer 2017 bis Oktober 2018 keine nennenswerten Schulterbeschwerden gehabt habe, da er nicht in Behandlung gewesen sei und als Einschaler gearbeitet habe. Die Schädigungen im Zusammenhang mit dem Unfall vom 9. (richtig 10.) Juni 2015 seien im Frühsommer 2017 mithin ausgeheilt gewesen. Gemäss Dr. med. F._ sei es im Oktober 2018 aufgrund starker körperlicher Arbeit des Beschwerdeführers auf dem Bau zur entzündlichen Veränderung der neu gebildeten Bursa subacromialis und Reizung des arthrotisch vorgeschädigten AC-Gelenks gekommen. Dass die narbigen Veränderungen respektive die Entzündung der Bursa subacromialis als Auswirkung eines unfallbedingten Residualzustands oder sonst als unfallkausal zu beurteilen wären, sei aufgrund der schlüssigen Einschätzung des Dr. med. F._, an der keine auch nur geringen Zweifel bestünden, zu verneinen. Somit habe die Suva eine Leitungspflicht für die Schulterbeschwerden mangels eines natürlichen Kausalzusammenhangs zum Unfall vom 10. Juni 2015 zu Recht verneint.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer beruft sich auf die von ihm vorinstanzlich aufgelegten Berichte der Dr. med. G._ vom 20. Mai 2020 und 7. August 2020 sowie des PD Dr. med. H._, Radiologie FMH, I._ Klinik J._, vom 20. Mai 2020 und 25. Juni 2020 (Datum der Einreichung). Er bringt vor, die Vorinstanz habe sich mit diesen Berichten nicht auseinandergesetzt und nicht erklärt, weshalb die darin gezogenen Schlüsse nicht zuträfen. Sie habe deshalb seinen Anspruch auf rechtliches Gehört verletzt.
4.2. Aus den Erwägungen im angefochtenen Entscheid wird klar, dass die Vorinstanz die Stellungnahmen des Dr. med. F._ vom 15. Juli und 15. Oktober 2020 als schlüssig und nachvollziehbar begründet qualifizierte, wobei sich dieser Arzt mit den vorinstanzlich aufgelegten Berichten befasst hatte. Der Beschwerdeführer konnte den Entscheid somit sachgerecht anfechten. Die Begründung der Vorinstanz kann daher unter verfassungsrechtlichen Gesichtspunkten als genügend erachtet werden, weshalb entgegen dem Beschwerdeführer keine Verletzung der Begründungspflicht nach <ref-law> vorliegt (vgl. <ref-ruling> E. 9.2; Urteil 8C_690/2020 vom 23. März 2021 E. 4).
5.
5.1. Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, aus den in E. 4.1 hiervor angeführten Berichten gehe hervor, dass durch die Operation vom 24. Februar 2016 seine rechte Schulter strukturell verändert worden sei und daraus postoperativ ausgedehnte Verwachsungen resultiert hätten. Diese seien mindestens teilkausal bezüglich der geklagten Schulterbeschwerden bzw. der sich bildenden Bursitis subacromialis/subdeltoidea. Die Vorinstanz habe willkürlich auf die Berichte der Suva-Ärzte abgestellt und damit gegen den Untersuchungsgrundsatz verstossen.
5.2. Diese Einwände sind nicht stichhaltig. Zu deren Begründung zitiert der Beschwerdeführer nämlich über mehrere Seiten hinweg lediglich aus den in E. 4.1 hiervor angeführten Arztberichten, ohne sich mit den eingehenden und überzeugenden Erwägungen des angefochtenen Entscheids sachbezüglich und substanziiert auseinanderzusetzen (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2; vgl. auch Urteil 8C_9/2021 vom 1. März 2021 E. 4.3). Unbehelflich ist in diesem Lichte auch sein bloss pauschales Vorbringen, die von ihm angerufenen Fachspezialisten hätten sich mit der Problematik viel eingehender auseinandergesetzt und entgegen dem Suva-Arzt klar auf Unfallkausalität geschlossen, weshalb dessen Einschätzung nicht massgebend sein und keinen Vorzug geniessen könne. Insgesamt vermag der Beschwerdeführer keine Bundesrechtswidrigkeit des angefochtenen Entscheids aufzuzeigen.
6.
Da von weiteren medizinischen Abklärungen keine entscheidrelevanten Resultate zu erwarten waren, durfte die Vorinstanz davon absehen. Diese antizipierte Beweiswürdigung ist nicht zu beanstanden. Sie verstösst weder gegen die Untersuchungsmaxime noch gegen den Grundsatz der freien Beweiswürdigung (<ref-law>) oder gegen den Anspruch auf rechtliches Gehör bzw. auf Beweisabnahme (<ref-law>; <ref-ruling> E. 6.5 S. 368 f.; Urteil 8C_739/2020 vom 17. Februar 2021 E. 5.4).
7.
Der unterliegende Beschwerdeführer trägt die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Uri, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 1. Juni 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Jancar