Sachverhalt:
A.
B._ (Beschwerdegegnerin) verlangte mit Klage vom 6. Dezember 2011 vor dem Bezirksgericht Zürich, die A._ AG (Beschwerdeführerin) sei in Folge zweier Verkehrs- beziehungsweise Auffahrunfälle vom 2. Juni 2005 und vom 6. Juni 2008 als Versicherer des Unfallverursachers zur Zahlung von Schadenersatz und Genugtuung (beziffert in Rechts- und Eventualbegehren) zu verurteilen.
Mit Urteil vom 15. August 2019 verurteilte das Bezirksgericht die A._ AG, B._ Fr. 558'113.50 nebst Schadenszinsen bis Rechnungstag von Fr. 91'154.-- zu bezahlen. Es erkannte unter anderem, dass B._ als Folge der Unfälle in ihrer Arbeitsfähigkeit und der Haushaltsführung beeinträchtigt gewesen sei.
Dagegen gelangte die A._ AG mit Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich. Dieses wies die Berufung mit Urteil vom 17. Oktober 2019 ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Die A._ AG verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen die Abweisung der Klage. Eventualiter sei das Urteil des Obergerichts aufzuheben und dieses anzuweisen, das Beweisverfahren "zu vervollständigen". Ausserdem sei der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Das Obergericht verzichtete auf Vernehmlassung. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Beschwerdeführerin replizierte.
Mit Präsidialverfügung vom 12. Dezember 2019 wurde das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Obergerichts ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer Vorinstanz im Sinne von <ref-law>. Weiter erreicht der Streitwert den nach <ref-law> geltenden Mindestbetrag von Fr. 30'000.--. Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit grundsätzlich zulässig.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden.
Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90).
2.3. Soweit die Parteien die vorinstanzliche Beweiswürdigung kritisieren, ist zu beachten, dass das Bundesgericht in diese nur eingreift, wenn sie willkürlich ist. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern bloss, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 4.2.1). Dies ist dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 4.2). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (BGE <ref-ruling> E. 2.2). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266 f.; <ref-ruling> E. 2b).
3.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör und verweist auf <ref-law> sowie auf Art. 53 Abs. 1 und Art. 187 Abs. 4 ZPO.
3.1. In ihrer Berufungsschrift verwies die Beschwerdeführerin einleitend auf ihren ersten vor Bezirksgericht eingereichten, "ausführlichen und detaillierten Schlussvortrag". Sie bemerkte dazu, es sei fraglich, ob das Bezirksgericht diesen überhaupt gelesen habe, da es in seinem Urteil mit keinem Wort darauf eingehe.
3.2. Das Obergericht erwog, es sei anzunehmen, die Beschwerdeführerin mache mit dieser Rüge eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör geltend. Da sie aber nicht angebe, welche ihrer Ausführungen die Vorinstanz nicht beachtet habe, sei auf diese allgemeine Kritik nicht weiter einzugehen.
3.3. Die Beschwerdeführerin moniert in ihrer Beschwerde an das Bundesgericht, sie habe vor Obergericht "nicht bloss" auf den Schlussvortrag verwiesen, sondern ihn "als ergänzende Berufungsbegründung der Berufungsschrift" beigefügt. Er habe "somit integrierender Bestandteil der Berufungsbegründung" gebildet. Dieses Vorgehen sei angebracht gewesen, weil das Bezirksgericht nur sehr "oberflächlich, rudimentär und selektiv" auf ihre Argumentation eingegangen sei. In der Folge legt sie dar, welche Erkenntnisse aus diesem ersten Schlussvortrag zu ziehen seien, und verweist am Rande auch auf den zweiten (erstinstanzlichen) Schlussvortrag, dem ebenfalls "keine Beachtung" geschenkt worden sei.
3.4. Die Kritik der Beschwerdeführerin geht an der Sache vorbei. Der massgeblichen Erwägung der Obergerichts liegt nämlich der Gedanke zugrunde, dass es zur Geltendmachung einer Gehörsverletzung nicht genügt, global auf eine - angeblich zu Unrecht unbeachtet gebliebene - Beilage zu verweisen, ohne darzutun, was die Beilage beinhaltet und welche der darin vorgebrachten Ausführungen übergangen worden sein sollen (siehe auch Urteile 4A_112/2018 vom 20. Juni 2018 E. 3.3; 4A_465/2008 vom 28. November 2008 E. 2.2). Dass die Beschwerdeführerin dies vor Bundesgericht nachholt, genügt nicht.
3.5. Am Schluss ihrer beim Bundesgericht eingereichten Beschwerdeschrift wiederholt die Beschwerdeführerin in Rz. 13 ihre Rüge in anderem Zusammenhang:
3.5.1. In den vorinstanzlichen Verfahren war strittig, ob der Prüfung des Grads der Arbeits (un) fähigkeit der Beschwerdegegnerin eine Validentätigkeit als "Konzertpianistin" oder als "Eventpianistin" zugrunde zu legen ist. Das Bezirksgericht behandelte diese Frage einerseits unter dem Titel "Körperverletzung", andererseits im Rahmen der "Schadensermittlung". Die Beschwerdeführerin kritisierte vor Obergericht, ein medizinisches Gutachten des Universitätsspitals Zürich sei zu Unrecht von einer Validentätigkeit als "Konzertpianistin" ausgegangen.
Das Obergericht erwog zusammengefasst, das Bezirksgericht habe sich ausführlich zu dieser Thematik geäussert. Die Beschwerdeführerin habe mit ihrer in der Berufung erhobenen Kritik nicht aufgezeigt, inwiefern die Auffassung des Bezirksgerichts unrichtig sein soll, sondern dessen Erwägungen einzig ihre anderslautende Meinung gegenübergestellt. Auch ihre Rüge, das Bezirksgericht sei nicht auf ihre Argumentation eingegangen, sei nicht hinreichend begründet, da sie konkret hätte darlegen müssen, welche Vorbringen zu Unrecht nicht berücksichtigt worden seien.
3.5.2. Die Beschwerdeführerin moniert erneut eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör, verweist aber wiederum einzig auf ihren - angeblich unberücksichtigt gebliebenen - Schlussvortrag, den sie "als Begründung der Berufung beigefügt" habe. In diesem Schlussvortrag habe sie dargelegt, weshalb dem Gutachten des Universitätsspitals Zürich nicht gefolgt werden könne. Diese Rüge verfängt aus den bereits dargelegten Gründen (Erwägung 3.4) nicht: Das Obergericht hat zu Recht erkannt, dass die Beschwerdeführerin zur Begründung der von ihr behaupteten Gehörsverletzung hätte dartun müssen, mit welchen konkreten Vorbringen sie vor Bezirksgericht nicht gehört worden sei. Dass sie dies getan hätte, zeigt die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht nicht auf. Sie beschränkt sich vielmehr auf Ausführungen zur Frage, weshalb bei der Beurteilung der Arbeitsunfähigkeit von einer Validentätigkeit als "Eventpianistin" hätte ausgegangen werden müssen.
4.
Sodann macht die Beschwerdeführerin geltend, die Vorinstanzen hätten gegen den Verhandlungsgrundsatz (<ref-law>) verstossen.
4.1. Im Einzelnen bringt sie vor, die Vorinstanzen seien davon ausgegangen, dass die Beschwerdegegnerin bei den Auffahrunfällen Distorsionen der Halswirbelsäule erlitten habe. Die Beschwerdegegnerin habe indes einzig "Auffahrunfälle und daraus resultierende Gesundheitsbeeinträchtigungen" geltend gemacht, nicht aber das Vorliegen von Distorsionen der Halswirbelsäule behauptet. Folglich hätten die Vorinstanzen ihre Urteile auf einen Sachverhalt gestützt, der von der Beschwerdegegnerin nicht vorgetragen worden sei.
4.2. Das Obergericht hielt dazu fest, es sei nicht massgebend, ob die Beschwerdegegnerin ihre gesundheitlichen Beeinträchtigungen als "Distorsionen der Halswirbelsäule" bezeichnet habe. Entscheidend sei vielmehr die Be- respektive Umschreibung der gesundheitlichen Beeinträchtigungen und Beschwerden beziehungsweise der geistigen sowie körperlichen Symptome und Einschränkungen. Die Beschwerdeführerin selbst stelle nicht in Abrede, dass die Beschwerdegegnerin gesundheitliche Beschwerden beschrieben habe, die Folge der Unfälle seien. Die Beschwerdegegnerin bringt ihrerseits in ihrer Beschwerdeantwort an das Bundesgericht vor, sie habe in Rz. 51, 54 und 55 ihrer Klageschrift und in Rz. 108, 271, 272, 282 und 284 ihrer Replikschrift ausdrücklich "Schleudertraumas und HWS-Distorsionen, resp. Beschleunigungstraumas, bzw. 'Missmatch' bei multisegmentaler Funktionsstörung der zervikalen Bewegungssegmente, resp. der zervikalen Facettengelenke, Autounfälle mit zervikocephalen Akzelerations-/Dezelerationstraumas" geltend gemacht.
4.3. Vor Bundesgericht verweist die Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang erneut auf ihren ersten Schlussvortrag, der "integrierender Bestandteil" der Berufung gewesen sei und in dem sie dargelegt habe, dass die Beschwerdegegnerin keine Distorsionen der Halswirbelsäule behauptet habe. In der Replik führt sie zudem aus, dass die Beschwerdegegnerin an den von dieser zitierten Stelle in Klage- und Replikschrift "nicht eine eigene prozessuale Darstellung", sondern ärztliche "Diagnosen und Beurteilungen" wiedergegeben habe.
4.4.
4.4.1. In Verfahren, die wie das vorliegende vom Verhandlungsgrundsatz beherrscht sind, tragen die Parteien die Verantwortung für die Beschaffung des Tatsachenstoffs. Sie haben alle Tatbestandselemente der materiellrechtlichen Normen zu behaupten, die den von ihnen anbegehrten Anspruch begründen (siehe <ref-law>). Der Behauptungslast ist Genüge getan, wenn die Parteien in ihrem Tatsachenvortrag in allgemeiner Weise sämtliche Tatsachen benennen, welche unter die ihren Antrag stützenden Normen zu subsumieren sind. Ein solchermassen vollständiger Tatsachenvortrag wird als schlüssig bezeichnet, da er bei Unterstellung, er sei wahr, den Schluss auf die anbegehrte Rechtsfolge zulässt. Dabei bestimmt sich nach den einschlägigen bundesrechtlichen Normen, welche Tatsachen für einen schlüssigen Vortrag zu behaupten sind (<ref-ruling> E. 5.2.1.1; <ref-ruling> E. 2b S. 368; Urteil 4A_441/2019 vom 9. Dezember 2019 E. 2.1; je mit Hinweisen).
Eine Tatsachenbehauptung braucht dabei nicht alle Einzelheiten zu enthalten; es genügt, wenn die Tatsachen, die unter die das Begehren stützenden Normen zu subsumieren sind, in einer den Gewohnheiten des Lebens entsprechenden Weise in ihren wesentlichen Zügen oder Umrissen behauptet werden (<ref-ruling> E. 3.4.2 S. 328). Was offensichtlich in anderen, ausdrücklich vorgebrachten Parteibehauptungen enthalten ist, muss nicht explizit behauptet werden (sog. implizite bzw. mitbehauptete Tatsachen: <ref-ruling> E. 5.3.2 S. 526; Urteile 4A_243/2018 vom 17. Dezember 2018 E. 4.2.1; 4A_625/2015 vom 29. Juni 2016 E. 4.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; je mit Hinweisen).
4.4.2. Nach der (verbindlichen) Feststellung der Vorinstanz hat die Beschwerdegegnerin im erstinstanzlichen Verfahren jedenfalls durch die Unfälle verursachte gesundheitliche Beschwerden beschrieben. Weshalb dies für die vollständige Subsumtion unter die entsprechenden haftpflichtbegründenden Rechtsnormen nicht genügen soll, sondern darüber hinaus für einen schlüssigen Tatsachenvortrag die ausdrückliche Behauptung von "Distorsionen der Halswirbelsäule" erforderlich gewesen wäre, legt die Beschwerdeführerin nicht dar. Dies ist vor dem Hintergrund der auf Art. 46 und Art. 47 OR gestützten Zusprechung von Schadenersatz und Genugtuung auch nicht ersichtlich.
Auch soweit die Beschwerdeführerin - darüber hinaus - geltend machen möchte, die Vorinstanzen hätten zu Unrecht aus nicht behaupteten, wenn auch beweismässig erstellten Tatsachen weitere Rechtsfolgen abgeleitet, und damit auf die Problematik "überschiessender Beweisergebnisse" zielt (dazu im Einzelnen Urteil 4A_195/2014 vom 27. November 2014 E. 7.2, nicht publ. in: <ref-ruling>), geht sie fehl. Das Bezirksgericht schloss gestützt auf eine Würdigung der Beweise - namentlich der ärztlichen Gutachten - auf Distorsionen der Halswirbelsäule. In der Beweiswürdigung ist das Gericht frei (vgl. <ref-law>). Zur Begründung einer Verletzung der Verhandlungsmaxime genügt es in diesem Zusammenhang nicht, dass eine im Rahmen der Würdigung der Beweise berücksichtigte Einzeltatsache nicht explizit behauptet wurde. Die Frage, ob das Gericht aus den Akten ersichtliche Tatsachen trotz fehlender Behauptung berücksichtigen darf, würde sich nämlich auch hier nur stellen, wenn die Beschwerdegegnerin die für die Subsumtion unter die Bestimmungen des materiellen Rechts massgebenden Umstände, die das Gericht durch die Beweismittel als erwiesen ansah, nicht in einer den Gewohnheiten des Lebens entsprechenden Weise in ihren wesentlichen Zügen oder Umrissen behauptet und nach Massgabe der Bestreitung substanziiert hätte, oder wenn sich die Prozessparteien für die massgebenden Umstände nicht rechtsgenüglich auf die von der Vorinstanz herangezogenen Beweismittel berufen hätten (vgl. Urteil 4A_195/2014 vom 27. November 2014 E. 7.3.4, nicht publ. in: <ref-ruling>). Dass dies der Fall wäre, tut die Beschwerdeführerin nicht rechtsgenüglich dar.
5.
Weiter sieht die Beschwerdeführerin ihr Recht auf Beweis (<ref-law>) verletzt. Sie trägt vor, die Vorinstanzen hätten es in willkürlicher Weise unterlassen, das von ihr beantragte biomechanische Gutachten in Auftrag zu geben.
5.1. Der Beweisführungsanspruch nach <ref-law>, <ref-law> beziehungsweise <ref-law> verschafft zwar der beweispflichtigen Partei in allen bundesrechtlichen Zivilrechtsstreitigkeiten einen Anspruch darauf, für rechtserhebliche Vorbringen zum Beweis zugelassen zu werden, soweit entsprechende Anträge im kantonalen Verfahren form- und fristgerecht gestellt worden sind (vgl. <ref-ruling> E. 9.3.2 S. 332; <ref-ruling> E. 7.1; je mit Hinweisen). Diese Bestimmungen schreiben jedoch dem Gericht nicht vor, mit welchen Mitteln es den Sachverhalt abzuklären hat (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 291 mit Hinweis), und sie schliessen namentlich die antizipierte Beweiswürdigung nicht aus. Wenn ein Gericht darauf verzichtet, beantragte Beweise abzunehmen, weil es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde, ist der Beweisführungsanspruch nicht verletzt (<ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen).
Das Bundesgericht ordnet die antizipierte Beweiswürdigung, soweit seine Kognition betreffend, der Sachverhaltsfeststellung respektive Beweiswürdigung zu und greift in diese entsprechend nur ein, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 376 mit Hinweis; vorstehende Erwägung 2.3).
5.2. Das Bezirksgericht lehnte die Abnahme eines biomechanischen Gutachtens ab, weil es zur Beurteilung der im Streit liegenden Langzeitfolgen nicht tauge. Das Obergericht erwog unter anderem, die Beschwerdeführerin habe selbst eingeräumt, dass Distorsionen der Halswirbelsäule auch dann vorliegen könnten, wenn diese biomechanisch nicht erklärbar seien. Es rechtfertige sich daher, von einem biomechanischen Gutachten abzusehen.
Diesen Schluss weist die Beschwerdeführerin nicht als willkürlich aus: Sie verweist zunächst auf eine erstinstanzlich eingereichte Eingabe vom 9. Oktober 2017, worin sie dargelegt habe, weshalb ein biomechanisches Gutachten "für eine vollständige Sachverhaltsabklärung und eine überzeugende Beweiswürdigung unverzichtbar" sei. Indes haben die Parteien ihre Argumente vor Bundesgericht in ihren Rechtsschriften vorzubringen. Es genügt nicht, auf im kantonalen Verfahren vorgebrachte Beanstandungen zu verweisen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2; Urteil 4A_501/2013 vom 31. März 2014 E. 1; vorstehende Erwägung 2.1). Die Verweisung auf eine vor Bezirksgerichteingegebene Rechtsschrift ist daher von vornherein nicht geeignet, Willkür in der obergerichtlichen Begründung aufzuzeigen. Die Eingabe vom 9. Oktober 2017 geht denn auch inhaltlich an der Argumentation des Obergerichts vorbei.
Im Übrigen "bekräftigt" die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht, dass ein biomechanisches Gutachten "unverzichtbar" sei "bei prozessualen Streitigkeiten über die Frage, ob HWS-Distorsionen bei Auffahrunfällen im Harmlosigkeitsbereich der Geschwindigkeitsänderung anzunehmen" seien. Mit diesen Ausführungen legt die Beschwerdeführerin in allgemeiner Weise dar, welche Bedeutung sie dem strittigen Gutachten beimisst. Inwiefern es offensichtlich unhaltbar sein soll, wenn die Vorinstanz von der Abnahme dieses Beweismittels absah - mit der Begründung, selbst bei biomechanischer Nichterklärbarkeit könnten Distorsionen der Halswirbelsäule vorliegen -, ist damit nicht dargetan.
6.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (siehe Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 8'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 9'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Februar 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Stähle