Sachverhalt:
A.
Mit Beschluss vom 14. September 2016 setzte der Stadtrat von Zürich das Strassenbauprojekt "Kasernenstrasse, Abschnitt Lagerstrasse bis Gessnerallee" fest, welches die Neugestaltung des Strassenraums und die Änderung der Parkplatzanordnung im fraglichen Gebiet beinhaltet. Gleichzeitig wies er eine gegen das Projekt eingegangene Einsprache des Verkehrs-Clubs der Schweiz (VCS), Sektion Zürich (im Folgenden: VCS-Zürich), ab. Dieser hatte insbesondere geltend gemacht, das Projekt weise Mängel für die Fussgänger auf und schaffe eine äusserst gefährliche Situation für Velofahrende.
B.
Der VCS-Zürich rekurrierte dagegen beim Baurekursgericht des Kantons Zürich. Dieses trat am 10. Februar 2017 auf das Rechtsmittel nicht ein. Die dagegen erhobene Beschwerde des VCS-Zürich wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich am 24. August 2017 ab.
C.
Dagegen hat der VCS-Zürich am 17. Oktober 2017 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht erhoben. Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache zu materieller Behandlung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
D.
Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Der Stadtrat Zürich hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
E.
Mit Verfügung vom 16. November 2017 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
Gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid des Verwaltungsgerichts steht grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht offen (Art. 82 lit. a, 86 Abs. 1 lit. d und 90 BGG). Der VCS-Zürich ist zur Beschwerde gegen die Nichtanerkennung seiner Legitimation im kantonalen Verfahren befugt (<ref-law>). Auf die rechtzeitig erhobene Beschwerde (<ref-law>) ist daher einzutreten.
Streitgegenstand ist einzig, ob das Verwaltungsgericht den Nichteintretensentscheid des Baurekursgerichts zu Recht bestätigt hat.
2.
<ref-law> definiert Mindestanforderungen an das kantonale Verfahren. Wer zur Beschwerde ans Bundesgericht berechtigt ist, muss sich am Verfahren vor allen kantonalen Vorinstanzen als Partei beteiligen können (Abs. 1). Die Kantone dürfen die Beschwerdebefugnis somit nicht enger umschreiben. In öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beurteilt sich die Legitimation zur Beschwerde ans Bundesgericht nach <ref-law>. Mithin ist zu untersuchen, ob das Verwaltungsgericht die (bundesrechtlichen) Mindestanforderungen von Art. 111 Abs. 1 i.V.m. <ref-law> beachtet hat. Das Bundesgericht prüft diese Frage mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 3 S. 329; <ref-ruling> E. 2.1.1 S. 164).
<ref-law> setzt für das Beschwerderecht voraus, dass der Beschwerdeführer über eine spezifische Beziehungsnähe zur Streitsache verfügt (lit. b) und einen praktischen Nutzen aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids zieht (lit. c). Nach ständiger Rechtsprechung kann ein als juristische Person konstituierter Verband mit Beschwerde in eigenem Namen die Interessen seiner Mitglieder geltend machen, wenn er statutenmässig zur Wahrung dieser Interessen beauftragt ist und die Mehrheit oder doch eine Grosszahl seiner Mitglieder zur Beschwerde befugt wäre (sogenannte egoistische Verbandsbeschwerde; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 84 mit Hinweisen).
3.
Das Verwaltungsgericht ging davon aus, die Zwecksetzung des VCS-Zürich sei einzig auf die Wahrnehmung öffentlicher bzw. ideeller Interessen ausgerichtet. Dass er darüber hinaus auch die "egoistische" Aufgabe hätte, die persönlichen Interessen seiner Mitglieder wahrzunehmen, könne den Statuten nicht entnommen werden. Anders als etwa beim Touring-Club Schweiz (TCS) umfasse der in Art. 2 Abs. 1 seiner Statuten formulierte Vereinszweck gerade nicht die "Wahrung der Rechte und Interessen seiner Mitglieder im Strassenverkehr" (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 542).
Nichts anderes ergebe sich aus der nicht abschliessenden Aufzählung von Inhalten möglicher Aktionen und Vorstösse zur Förderung des Verbandszwecks im Kanton in den Statuten. Die darin aufgeführten Beispiele erinnerten an die Projektierungsgrundsätze gemäss § 14 des Zürcher Strassengesetzes vom 27. September 1981 (StrG, LS 722.1), d.h. es gehe nicht um den Schutz der individuellen Interessen seiner Mitglieder, sondern um die Förderung der Sicherheit und Gesundheit aller Verkehrsteilnehmenden, insbesondere der schwächeren, sowie generell den Schutz von Natur, Umwelt und Kulturgütern im Kanton. Dass das Wirken des Beschwerdeführers u.U. auch einzelnen seiner Mitglieder persönliche Vorteile verschaffen könne (z.B. die Erstellung eines neuen Rad- oder Fusswegs in einem bestimmten Quartier), vermöge an dieser Einschätzung nichts zu ändern.
4.
Der Beschwerdeführer bestätigt, dass er ein ideeller Umweltverband sei, dessen Zwecksetzung auf die Wahrnehmung öffentlicher bzw. ideeller Interessen ausgerichtet sei. Dies schliesse jedoch nicht aus, dass er zusätzlich auch persönliche Interessen seiner Mitglieder wahren könne, soweit diese mit den ideellen Zielen übereinstimmten. Seine Mitglieder - darunter viele velofahrende Arbeitspendler - unterstützten aus Überzeugung die ideellen Ziele des VCS; gleichzeitig und zusätzlich verfolgten sie aber auch ihre ureigenen, persönlichen Interessen und zögen einen konkreten Nutzen daraus. Als schwächere und gefährdete Verkehrsteilnehmende seien sie auf Massnahmen zur Begünstigung des Velo- und Fussverkehrs in ihrem Umfeld angewiesen. Dementsprechend habe der Stadtrat Zürich bisher den VCS-Zürich in sämtlichen Verfahren zugelassen, in denen eine grössere Anzahl seiner Mitglieder betroffen sein könnten.
Zur Klarstellung habe der VCS-Zürich seine Statuten am 16. Mai 2017 angepasst und in Art. 2 Abs. 2 ausdrücklich festgehalten, dass die Sektion die Interessen und Rechte ihrer Mitglieder im Rahmen ihres Zwecks (gemäss Abs. 1) wahre, insbesondere in Verfahren vor Behörden und Gerichten. Damit sei jedoch keine inhaltliche Änderung oder Neuerung verbunden gewesen; vielmehr sei dies schon vorher so praktiziert worden.
Der Beschwerdeführer verweist auf das Urteil 1C_434/2010 vom 9. März 2011, das die Legitimation des Schweizerischen Hängegleiter Verbands (SHV) zur egoistischen Verbandsbeschwerde bejahte, weil dem Verbandszweck ("die Förderung und Erhaltung des umweltfreundlichen Hängegleitersportes in jeglicher Form") die Wahrung der gleichgerichteten individuellen Interessen seiner Mitglieder als Gleitschirm- oder Deltapiloten immanent sei. Genauso wahrten die vom VCS-Zürich vertretenen öffentlichen Interessen gleichzeitig die individuellen Interessen seiner Mitglieder, in ihrem Umfeld und auf ihren Arbeits- und Freizeitwegen ungefährdet zu Fuss und mit dem Velo verkehren zu können.
5.
Für das vorliegende Verfahren sind die Statuten des VCS-Zürich vom 1. Juni 2010 massgeblich, die im Zeitpunkt des Nichteintretensentscheids des Baurekursgerichts galten. Diese lauteten:
Art. 2 Zweck
1. Zweck der Sektion Zürich ist die Förderung der Ziele des Zentralverbandes gemäss Art. 2 der Zentralstatuten im Gebiet des Kantons Zürich durch politische, publizistische, rechtliche und andere wirksame Aktionen und Vorstösse im Bereich des Verkehrs, insbesondere für
- die sparsame Verwendung von Energie, Raum und Rohstoffen,
- eine minimale Umweltbelastung, vor allem durch Lärm, Erschütterungen, Schmutz- und Schadstoffe,
- die Vermeidung von unnötigem Verkehrsaufkommen,
- eine optimale Sicherheit und Gesundheit für alle Verkehrsteilnehmerinnen und -teilnehmer, namentlich für Kinder, ältere Leute und Behinderte,
- die Begünstigung von Verkehrsmitteln mit optimalem Wirkungsgrad,
- die Förderung verkehrsarmer Raumordnungs- und Siedlungsstrukturen,
- den Schutz der Natur und der Kulturgüter gegen Beeinträchtigungen durch Verkehr.
2. Die Sektion Zürich strebt die aktive Mitarbeit möglichst vieler Mitglieder an. Sie bemüht sich auch, durch kundennahe Vermittlung von Dienstleistungen das Verhältnis zu den Mitgliedern möglichst persönlich zu gestalten.
3. (...)
In den Statuten des Zentralverbands vom 27. Juni 2015 heisst es:
Art. 2 Zweck
1. Der Verkehrs-Club der Schweiz ist ein Verkehrs- und Umweltverband mit gemeinnützigem Charakter. Sein Ziel ist ein menschen-, umwelt- und klimagerechtes Verkehrswesen, insbesondere nach folgenden Grundsätzen:
- [...] [ entspricht Art. 2 Abs. 1 der Statuten des VCS-Zürich]
2. Der Verein bietet seinen Mitgliedern Dienstleistungen und Produkte an.
3. Die verkehrspolitischen, verbandspolitischen und kommerziellen Aktivitäten müssen mit den Bestimmungen des Zweckartikels übereinstimmen.
6.
Wie oben (E. 2) dargelegt wurde, muss die Wahrung der Interessen der Mitglieder zu den statutarischen Aufgaben des Verbands gehören. Wer keine eigenen, sondern nur allgemeine oder öffentliche Interessen geltend machen kann, ist nicht befugt, Beschwerde zu führen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 542 mit Hinweisen). Dementsprechend sprach das Bundesgericht einem Quartierverein die Legitimation zur Anfechtung von Verkehrsmassnahmen ab, weil der Vereinszweck bloss "die Wahrung und Förderung der öffentlichen Interessen im Quartier, insbesondere auch in Bau- und Verkehrsfragen", nicht aber die Wahrung der privaten Interessen der Mitglieder erfasste (<ref-ruling> E. 1a S. 429). In <ref-ruling> E. 2.6.4 S. 47 verneinte das Bundesgericht die Legitimation des Vereins Oxyromandie gegen Tabakwerbung im Fernsehen. Es führte aus, der Verein vertrete nach seinen Statuten allgemeine Interessen in Zusammenhang mit der öffentlichen Gesundheit und sei nicht auf die Wahrung der persönlichen Interessen seiner Mitglieder ausgerichtet.
Allerdings werden keine hohen Anforderungen an die Formulierung in den Statuten gestellt. Nicht erforderlich ist insbesondere, dass ausdrücklich die Beschwerdeführung im Interesse der Mitglieder als Zweck erwähnt wird (WALTER KÄLIN, Das Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde, 2. Aufl., Bern 1994, S. 269; ISABELLE HÄNER, Die Beteiligten im Verwaltungsverfahren und Verwaltungsprozess, Zürich 2000, Rz. 788 S. 366). Es genügen allgemeinere Formulierungen wie die Wahrung der Interessen der Anwohner (<ref-ruling> E. 1b S. 471) oder die Förderung der wirtschaftlichen Interessen der Mitglieder eines Berufsverbands (<ref-ruling> E. 2 S. 33 und 180 E. 1b S. 182 f.). Zum Teil wurde bereits der Zweck der Förderung einer bestimmten Sportart dahin ausgelegt, dass dieser Zweck auch die Wahrung der gleichgerichteten Interessen der dem Verband angehörenden Vereine und Einzelpersonen umfasse (so insbesondere der vom Beschwerdeführer zitierte Entscheid 1C_434/2010 vom 9. März 2011 E. 3 betreffend SVH; vgl. in diesem Sinne bereits <ref-ruling> E. 1b S. 73).
Vorliegend wird die Wahrung der Interessen der Mitglieder im Strassenverkehr nicht ausdrücklich in den Statuten genannt. Für die Annahme des Beschwerdeführers, wonach dieser Zweck implizit mitumfasst werde, spricht der Umstand, dass die erwähnten Allgemeininteressen - insbesondere das Interesse an einer optimalen Sicherheit und Gesundheit für alle Verkehrsteilnehmerinnen und -teilnehmer - sich mit den Individualinteressen der Mitglieder auf Schutz ihrer körperlichen Unversehrtheit im Strassenverkehr decken können. Hinzu kommt, dass die egoistische Verbandsbeschwerde eine "rechtliche Aktion" im Bereich des Verkehrs darstellt (im Sinne von Art. 2 Abs. 1 der Statuten), mit der auch den angestrebten Allgemeininteressen zum Durchbruch verholfen werden kann.
Dem lässt sich entgegenhalten, dass Art. 2 Abs. 1 der Statuten den VCS-Zürich ausdrücklich verpflichtet, sich für "alle Verkehrsteilnehmerinnen und -teilnehmer" einzusetzen, unabhängig davon, ob sie Mitglied sind oder nicht. Die Mitglieder werden in den Statuten nur im Zusammenhang mit Mitarbeit und Dienstleistungen bzw. Produkten erwähnt.
Der VCS bzw. seine Zürcher Sektion sind gemeinnützige Umweltschutzverbände, die im Anwendungsbereich von <ref-law> bzw. nach Massgabe des kantonalen Rechts zur ideellen Verbandsbeschwerde legitimiert sind. Wollen sie sich darüber hinaus in bestimmten Bereichen auch mittels egoistischer Verbandsbeschwerde, im Interesse von Individualinteressen betätigen, kann von ihnen verlangt werden, dass sie dies in ihren Statuten ausdrücklich festhalten, was zwischenzeitlich (durch die Statutenrevision 2017) auch geschehen ist.
Unter diesen Umständen kann dem Verwaltungsgericht keine Verletzung von <ref-law> vorgeworfen werden. Erst recht liegt kein überspitzter Formalismus oder Willkür vor.
7.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der VCS kostenpflichtig und es sind keine Parteientschädigungen zuzusprechen (Art. 66 und 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Stadtrat von Zürich und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. März 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Die Gerichtsschreiberin: Gerber