Sachverhalt:
A.
Rechtsanwalt A._ und sein Mandant B._ erstatteten am 31. Mai 2016 respektive am 6. Juni 2016 Strafanzeige gegen Rechtsanwalt X._ und Y._ wegen falscher Anschuldigung bzw. übler Nachrede. Diese hätten ihnen im Rahmen eines laufenden Zivilprozesses unterstellt, dem Gericht eine gefälschte Urkunde eingereicht zu haben. Daraufhin machte die Gerichtspräsidentin Mitteilung an die Staatsanwaltschaft wegen des Verdachts des versuchten Prozessbetrugs sowie der Urkundenfälschung. Die Staatsanwaltschaft erliess diesbezüglich am 27. Mai 2016 eine Nichtanhandnahmeverfügung. Die Verfügung blieb unangefochten. Am 20. Dezember 2016 nahm die Regionale Staatsanwaltschaft Bern-Mittelland auch das Verfahren gegen X._ und Y._ wegen falscher Anschuldigung und übler Nachrede nicht an die Hand.
B.
A._ und B._ erhoben Beschwerde gegen die Nichtanhandnahme des Strafverfahrens gegen X._ und Y._. Das Obergericht des Kantons Bern wies die Beschwerde am 10. April 2017 ab.
C.
A._ und B._ führen Beschwerde in Strafsachen. Sie beantragen, der Beschluss des Obergerichts vom 11. April 2017 (recte 10. April 2017) sei aufzuheben. Die Staatsanwaltschaft sei anzuweisen, das Strafverfahren an die Hand zu nehmen und X._ und Y._ seien angemessen zu bestrafen. Weiter habe die Staatsanwaltschaft über die Zivilforderungen zu befinden. Die Kosten des Beschwerdeverfahrens seien X._ und Y._, allenfalls dem Staat, aufzuerlegen und es sei ihnen eine Parteientschädigung von Fr. 4'307.65 zuzusprechen. Eventualiter sei die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner stellen A._ und B._ den verfahrensrechtlichen Antrag, es seien im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren der Europäische Anwaltsverband (FBE) respektive der Conseil des barreaux européens (CCBE) beizuladen.
Mit Eingaben vom 2. und 3. November 2017 ersuchen A._ und B._ um vorgängige Bekanntgabe der Zusammensetzung des Gerichts, welches sie wegen Verstosses gegen Art. 6 EMRK bei der Spruchkörperbildung insgesamt ablehnen.

Erwägungen:
1.
1.1. Zur Begründung des Verfahrensantrags wird ausgeführt, der Beschwerdeführer 1 werde in seiner Berufsausübung behindert und benachteiligt. Er habe in den letzten sechs Monaten einige gegen ihn und seine Klienten ergangene Urteile verschiedener Gerichtsinstanzen beobachtet. Da es, wie vorliegend, zu zahlreichen Ungereimtheiten gekommen sei, werde die Beiladung der FBE respektive des CCBE beantragt.
1.2. Beschwerdegegenstand ist der vorinstanzliche Entscheid (<ref-law>). Eine Berufsausübungsbehinderung des Beschwerdeführers 1 war nicht Verfahrensgegenstand im vorinstanzlichen Verfahren. Bereits deshalb ist auf den Antrag nicht einzutreten. Die Beiladung der FBE sowie des CCBE ist für das bundesgerichtliche Verfahren auch nicht vorgesehen (vgl. Urteil 4A_327/2017 vom 31. August 2017 E. 2). Ferner ist der Beschwerdeführer 2 zur Geltendmachung von Rechtspositionen seines Rechtsvertreters nicht legitimiert. In der Beschwerde wird zudem auch nicht dargelegt, inwiefern der Beschwerdeführer 1 benachteiligt oder an der Ausübung seiner Rechte gehindert worden sein soll. Er konnte in der Beschwerdeschrift dem Bundesgericht seinen Rechtsstandpunkt ungehindert darlegen. Es sind keine Rechtsgründe für eine Beiladung der FBE respektive des CCBE ersichtlich. Auf den Verfahrensantrag ist nicht einzutreten.
2.
Mit Eingaben vom 2. und 3. November 2017 stellten die Beschwerdeführer sinngemäss ein Ausstandsgesuch im bundesgerichtlichen Verfahren. Sie rügen den Anspruch auf ein auf Gesetz beruhendes Gericht gemäss Art. 6 EMRK als verletzt. Die Besetzung des Spruchkörpers des Bundesgerichts im Einzelfall beruhe nicht auf einem gesetzlichen Geschäftsverteilungsplan, sondern liege im Ermessen des Abteilungspräsidenten. Die in <ref-law> i.V.m. Art. 16 Abs. 3 und Art. 40 des Reglements über das Bundesgericht vom 20. November 2006 (BGerR; SR 173.110.131) für die Gerichtsbesetzung vorgesehenen Kriterien böten keine Gewähr dafür, dass der Spruchkörper gegen Einflussnahme von Aussen hinreichend geschützt sei. Sie lehnten daher das Gericht in seiner jetzigen Besetzung ab.
Das Gesuch der Beschwerdeführer ist abzuweisen. Diesbezüglich kann vollumfänglich auf die ausführliche Begründung im Urteil 6B_1356/2016 vom 5. Januar 2018 E. 2 (zur Publikation vorgesehen) verwiesen werden. Das Bundesgericht gelangte zum Schluss, der Ermessensspielraum des Abteilungspräsidenten bei der Fallzuteilung sei mit Art. 30. Abs. 1 BV und Art. 6 EMRK vereinbar.
Die Beschwerdeführer, welche nicht darlegen, aus welchem Grund sie einen der fünf ordentlichen Richter der Strafrechtlichen Abteilung ablehnen würden, stellten ferner das Gesuch, es sei ihnen die konkrete Zusammensetzung des Spruchkörpers vorab mitzuteilen. Diesbezüglich ist auf die konstante Rechtsprechung des Bundesgericht zu verweisen. Wie dieses wiederholt ausgeführt hat, erlässt es vor der Behandlung von Beschwerden keine "Richterzuteilungsentscheide" und ist es dazu weder verfassungs- noch konventionsrechtlich oder gesetzlich verpflichtet (vgl. dazu Urteil 6B_1356/2016 vom 5. Januar 2018 E. 2.3.3 mit Hinweisen, zur Publikation vorgesehen). Auch dieses Gesuch ist demnach abzuweisen; ohnehin ist es mit dem vorliegenden Entscheid gegenstandslos geworden.
3.
3.1. Zur Beschwerde in Strafsachen ist nach <ref-law> berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG hat die Privatklägerschaft ein rechtlich geschütztes Interesse, wenn sich der angefochtene Entscheid auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann. In erster Linie geht es um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung gemäss <ref-law>, die üblicherweise vor den Zivilgerichten geltend gemacht werden müssen. Richtet sich die Beschwerde gegen die Einstellung oder Nichtanhandnahme eines Verfahrens, hat die Privatklägerschaft nicht notwendigerweise bereits vor den kantonalen Behörden Zivilansprüche geltend gemacht. Selbst wenn sie bereits adhäsionsweise privatrechtliche Ansprüche geltend gemacht hat, werden in der Einstellungs- bzw. Nichtanhandnahmeverfügung keine Zivilklagen behandelt (Art. 320 Abs. 3 i.V.m. <ref-law>). In jedem Fall muss die Privatklägerschaft im Verfahren vor Bundesgericht darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderung auswirken kann. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen nicht, kann darauf nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderung es geht (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen).
3.2. Der Tatbestand der üblen Nachrede schützt Individualgüter, insbesondere die Ehre. Demgegenüber schützt <ref-law> (falsche Anschuldigung) in erster Linie die Zuverlässigkeit der Rechtspflege. Darüber hinaus schützt die Bestimmung aber auch die Persönlichkeitsrechte von zu Unrecht angeschuldigten Personen mit Bezug auf deren Ehre, Freiheit, Privatsphäre, Vermögen usw. (vgl. <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen; Urteile 6B_243/2015 vom 12. Juni 2015 E. 2.1 und 2.4; 6B_1105/2013 vom 18. Juli 2014 E. 1.2 mit Hinweisen). Die widerrechtliche Verletzung der Persönlichkeit kann einen Anspruch auf Genugtuung und damit einen Zivilanspruch im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG begründen. Gemäss <ref-law> ist eine Genugtuung allerdings nur geschuldet, sofern die Schwere der Verletzung es rechtfertigt. Der Eingriff muss aussergewöhnlich schwer sein und in seinen Auswirkungen das Mass einer Aufregung oder einer alltäglichen Sorge klar übersteigen. Leichte Persönlichkeitsverletzungen, wie beispielsweise unbedeutende Ehrverletzungen, rechtfertigen keine finanzielle Genugtuung. Inwiefern die Persönlichkeitsverletzung objektiv und subjektiv schwer wiegt, ist in der Beschwerde an das Bundesgericht darzulegen (<ref-ruling> E. 4.4; Urteil 6B_495/2017 vom 26. Juli 2017 E. 1.2; je mit Hinweisen).
3.3. Die Beschwerdeführer machen geltend, die Beschwerdegegner 2 und 3 hätten ihnen vorgeworfen, in einem Zivilverfahren eine gefälschte Urkunde als Beweismittel ins Recht gelegt zu haben. Die daraufhin erfolgte Strafanzeige des Zivilgerichts habe die Staatsanwaltschaft nicht an die Hand genommen, womit die Behauptung der Beschwerdegegner 2 und 3 widerlegt sei. Der Vorwurf, eine Straftat begangen zu haben, sei grundsätzlich ehrverletzend. Dies allein rechtfertige die Zusprechung einer Genugtuung. Der Vorwurf der Verwendung einer angeblich gefälschten Urkunde sei nicht geringfügig; gegenüber einem Rechtsanwalt wiege ein solcher Vorwurf besonders schwer. Die genannte Äusserung bzw. das Anschwärzen durch die Beschwerdegegner 2 und 3 falle auch unter den Anwendungsbereich von Art. 3 Abs. 1 lit. a des Bundesgesetzes vom 19. Dezember 1986 gegen den unlauteren Wettbewerb (UWG; SR 241). Die Beschwerdeführer beabsichtigten, gestützt auf <ref-law> i.V.m. <ref-law> sowie <ref-law> und <ref-law> eine Genugtuung geltend zu machen.
3.4. Den Beschwerdeführern ist die "strenge" Rechtsprechung von <ref-ruling> bekannt (vgl. Beschwerde S. 4). Die Beschwerdeschrift genügt den bundesrechtlichen Begründungsanforderungen nach konstanter Rechtsprechung (vgl. E. 3.1) nicht. Statt die Legitimation tat-sächlich zu begründen, äussern sich die Beschwerdeführer zunächst zur Selbstverständlichkeit, dass aus Ehrverletzungen prinzipiell Zivilforderungen abgeleitet werden können. Dass das behauptete Ehrverletzungsdelikt objektiv und subjektiv derart schwer wiegen soll, dass daraus eine Genugtuungsforderung resultieren würde, ist damit allerdings weder dargetan noch offensichtlich (vgl. Urteile 6B_1130/2016 vom 27. April 2017 E. 1.2; 6B_973/2016 vom 7. März 2017 E. 2.3).
Gleiches gilt, soweit sich der Beschwerdeführer 1 für die Legitimation im bundesgerichtlichen Verfahren auf das UWG beruft. <ref-law> verweist auf die Bestimmungen des OR, weshalb die genannten Begründungsanforderungen auch hier gelten. Der Beschwerdeführer 1 führt diesbezüglich zwar immerhin aus, die Behauptung, ein gefälschtes Dokument eingereicht zu haben, sei für einen Anwalt besonders gravierend und widerrechtlich im Sinne von <ref-law>. Auch damit ist allerdings nicht konkret dargetan, inwiefern die Äusserungen der Beschwerdegegner 2 und 3 im Zivilprozess beim Beschwerdeführer 1 subjektiv zu einer derart schweren Betroffenheit geführt haben sollten, dass die Zusprechung einer Genugtuung gerechtfertigt wäre. Die Beschwerde genügt auch in diesem Punkt den Begründungsanforderungen nicht.
3.5. Die Beschwerdeführer argumentieren weiter, eine rechtskräftige Einstellungsverfügung könnte sich auf die Zivilforderungen auswirken, da sie im Zivilprozess als Indiz gewertet würde. Weiter könnte sich die Einstellung auf die Verjährungsfristen von <ref-law> respektive des UWG auswirken. Es bestehe zurzeit keine Rechtssicherheit, ob die Erklärung im Strafverfahren gemäss <ref-law> zur Unterbrechung der Verjährung im Sinne von <ref-law> ausreiche. Es sei daher zu befürchten, dass sie bei Einstellung des Strafverfahrens die Zivilansprüche aufgrund der kurzen Verjährungsfristen nicht mehr durchsetzen könnten. Sie hätten rechtsgenüglich dargetan, inwiefern sich der Entscheid auf die Zivilansprüche, vor allem in Bezug auf die Verjährung, auswirken könne. Nach dem Wortlaut des Gesetzes sei es nicht zwingend erforderlich, dass sich der Entscheid tatsächlich auf die Zivilansprüche auswirke, die Möglichkeit hierfür reiche aus.
Sollte der Erklärung gemäss Art. 123 i.V.m. <ref-law>, wie von den Beschwerdeführern geltend gemacht, keine verjährungsunterbrechende Wirkung zukommen, wirkte sich die Verfahrenseinstellung auch nicht auf die Verjährung aus. Mit oder ohne Einstellung wäre der Anspruch verjährt. Im Übrigen kann auf die Ausführungen im Urteil 6B_559/2017 vom 29. September 2017 E. 3.4 f. mit Hinweisen verwiesen werden. Im Strafverfahren ist der tatsächliche, unmittelbare (<ref-law>) adhäsionsweise Anspruch zu begründen. Jedenfalls können die Zivilansprüche nicht hinsichtlich eines allfällig auf dem Zivilweg durchzusetzenden Anspruchs begründet werden. Blosse faktische Nachteile sowie mittelbare Schädigungen begründen keine Geschädigtenstellung.
4.
4.1. Unbekümmert um die Legitimation in der Sache selbst kann der Privatkläger die Verletzung von Verfahrensrechten geltend machen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt. Zulässig sind Rügen formeller Natur, die von der Prüfung der Sache getrennt werden können. Nicht zu hören sind Rügen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen. Ein in der Sache nicht legitimierter Beschwerdeführer kann deshalb weder die Beweiswürdigung kritisieren, noch kann er geltend machen, die Begründung sei materiell unzutreffend. Er kann hingegen vorbringen, auf ein Rechtsmittel sei zu Unrecht nicht eingetreten worden, er sei nicht angehört worden, er habe keine Gelegenheit erhalten, Beweisanträge zu stellen, oder er habe keine Einsicht in die Akten nehmen können ("Star-Praxis"; <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.4; Urteile 6B_827/2014 vom 1. Februar 2016 E. 1.1, nicht publiziert in: <ref-ruling>; 6B_316/2015 vom 19. Oktober 2015 E. 1.1, nicht publiziert in: <ref-ruling>; je mit Hinweisen).
4.2. Die Beschwerdeführer machen geltend, sie hätten ein Ausstandsgesuch gegen Oberrichter Trenkel gestellt. Dieser sei ausgewechselt worden und schlussendlich nicht Teil des Spruchkörpers gewesen. Am 11. April 2017 sei auf das Ausstandsgesuch nicht eingetreten und dieses als gegenstandslos abgeschrieben worden. Dieses Vorgehen verstosse gegen <ref-law> und Art. 6 EMRK. Die Beschwerdeführer verweisen auf die in Zusammenhang mit den genannten Bestimmungen ergangene bundesgerichtliche Rechtsprechung, wonach die Zusammensetzung des Spruchkörpers im Verlauf des Verfahrens lediglich abgeändert werden kann, wenn dies auf sachlichen Gründen beruht und begründet wird (Urteil 1B_311/2016 vom 10. Oktober 2016 E. 2.2 ff.).
4.3. Es ist zutreffend, dass Oberrichter Trenkel mit Verfügung vom 30. Januar 2017 das Beschwerdeverfahren eröffnete und die Gegenpartei über die Eröffnung informierte. Mit Verfügung vom 4. April 2017 wurde die Zusammensetzung des Gerichts bekanntgegeben, wobei Oberrichter Trenkel nicht Teil des Spruchkörpers war. Nachdem die Beschwerdeführer selber den Ausstand von Oberrichter Trenkel verlangt hatten, ist es geradezu absurd, zu beanstanden, dieser sei nicht Teil des Spruchkörpers gewesen und die Gründe für die Änderung des Spruchkörpers seien nicht dargelegt worden. Da die Vorinstanz dem Antrag der Beschwerdeführer entsprach, ist weder eine Gehörsverletzung noch eine anderweitige Verletzung von Bundesrecht ersichtlich.
5.
Die Beschwerdeführer sind in der Sache nicht zur Beschwerde legitimiert. Soweit sie eine willkürliche Beweiswürdigung, die Verletzung des Grundsatzes "in dubio pro duriore" oder die Abweisung des Antrags auf Einholung eines Sachverständigengutachtens, verbunden mit der Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs, rügen, würde die Beurteilung der Beschwerde auf eine materielle Prüfung des angefochtenen Entscheids hinauslaufen. Darauf kann vorliegend nicht eingegangen werden.
6.
Die Anträge betreffend Zivilforderungen, Neuverteilung der kantonalen Verfahrenskosten sowie Zusprechung einer Parteientschädigung für das vorinstanzliche Verfahren begründen die Beschwerdeführer nicht bzw. lediglich mit der Gutheissung der Beschwerde. Es bleibt jedoch beim vorinstanzlichen Entscheid, weshalb auf die Anträge nicht einzutreten ist.
7.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Die Gerichtskosten sind den Beschwerdeführern je zur Hälfte unter solidarischer Haftung aufzuerlegen (<ref-law>). Den Beschwerdegegnern 2 und 3 ist keine Entschädigung zuzusprechen, da sie im bundesgerichtlichen Verfahren nicht zur Vernehmlassung aufgefordert wurden und ihnen somit keine Umtriebe entstanden sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Gesuche in Bezug auf das bundesgerichtliche Verfahren werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern je zur Hälfte unter solidarischer Haftung auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Januar 2018
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Schär