Faits :
A.
A.a. B.A._, né en 1968, et A.A._, née en 1981, se sont mariés le 26 juillet 2009. Trois enfants sont issus de cette union: C._, née en 2007, D._, née en 2010, et E._, née en 2013.
A.b. Par requête de mesures protectrices de l'union conjugale déposée le 13 juin 2013 devant le Tribunal de première instance du canton de Genève (ci-après: Tribunal), l'épouse a préalablement requis l'allocation d'une provisio ad litem de 8'000 fr., augmentée à 10'000 fr. à l'issue de la procédure. A titre principal, elle a en définitive conclu, notamment, à l'attribution en sa faveur de la jouissance exclusive du domicile conjugal et de la voiture familiale, à l'octroi de la garde des enfants, sous réserve du droit de visite du père, et au versement de contributions d'entretien d'un montant mensuel de 3'000 fr. pour chaque enfant et de 15'500 fr. pour elle-même.
B.
B.a. Par jugement du 13 août 2019, le Tribunal a, entre autres points, attribué à l'épouse la jouissance exclusive du domicile conjugal, du mobilier le garnissant et de la voiture familiale. Il a en outre accordé la garde des enfants à la mère et réglementé le droit de visite du père. Celui-ci a été condamné à verser mensuellement, dès le 13 juin 2018, des contributions à l'entretien des enfants d'un montant de 1'300 fr. puis, dès l'âge de 10 ans, de 1'600 fr. chacun, et, en faveur de l'épouse, de 6'580 fr. puis, dès l'entrée en force du chiffre du dispositif du jugement prévoyant l'attribution du véhicule familial à celle-ci, de 6'850 fr., lesdites contributions étant dues sous déduction de la somme de 55'814 fr. 65 déjà versée à ce titre au 30 juin 2019. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., ont été mis à la charge des parties à raison d'une moitié chacune et aucun dépens n'a été alloué.
B.b. Par actes déposés le 30 août 2019, chacun des époux a appelé de ce jugement. Par arrêt du 4 février 2020, communiqué le 4 mars suivant, la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: Cour de justice) a réformé le jugement entrepris concernant la réglementation du droit de visite et les montants des contributions d'entretien, qui ont été fixées à 1'500 fr. pour l'aînée des enfants, 1'300 fr. puis, dès le 1er mai 2020, 1'500 fr. pour la seconde, 1'100 fr. pour la cadette et 6'500 fr. pour l'épouse, ces montants étant dus sous déduction de la somme de 65'953 fr. 15 déjà versée à ce titre au 21 octobre 2019. Le jugement entrepris a été confirmé pour le surplus. Les frais judiciaires de la procédure d'appel, arrêtés à 3'000 fr., ont été mis pour moitié à la charge de chacune des parties. Il n'a pas été alloué de dépens d'appel.
C.
Par acte posté le 6 avril 2020, l'épouse exerce un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 4 février 2020. Elle conclut à ce que le mari soit condamné à lui verser une provisio ad litem de 8'000 fr. pour la procédure de première instance et de 6'000 fr. pour la procédure d'appel, soit 14'000 fr. au total. Subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour qu'elle statue dans le sens des considérants.
La recourante sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'intimé propose principalement l'irrecevabilité du recours, subsidiairement son rejet.
La recourante a répliqué le 20 juillet 2020 et l'intimé dupliqué le 3 août 2020.
L'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt.

Considérant en droit :
1.
Déposé en temps utile (<ref-law>) et dans la forme légale (<ref-law>), le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4) rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans une affaire matrimoniale (<ref-law>) de nature pécuniaire. La recourante a en outre qualité pour recourir (<ref-law>).
Contrairement à ce que prescrit l'art. 112 al. 1 let. d LTF, la décision entreprise ne mentionne pas la valeur litigieuse. La recourante considère pour sa part que celle, minimale, de 30'000 fr. (<ref-law>) requise pour le recours en matière civile n'est pas atteinte, en sorte que seul le recours constitutionnel subsidiaire serait ouvert. Ce faisant, elle perd de vue que la valeur litigieuse est déterminée par les conclusions encore contestées devant la dernière instance cantonale (<ref-law>; arrêts 5A_590/2019 du 13 février 2020 consid. 1; 5A_539/2019 du 14 novembre 2019 consid. 1 et les références; 4A_111/2019 du 23 juillet 2019 consid. 1.1). Or, en l'espèce, tant les contributions d'entretien que la provisio ad litem étaient litigieuses devant la Cour de justice. Les conclusions y relatives atteignaient donc une valeur suffisante (cf. art. 51 al. 1 let. a, 51 al. 4 et 74 al. 1 let. b LTF). La voie du recours en matière civile est dès lors ouverte. Celle, subsidiaire, du recours constitutionnel ne peut donc pas être empruntée (<ref-law>), et le recours formé à ce titre est irrecevable. Ceci dit, l'intitulé erroné d'un recours ne nuit pas à son auteur (<ref-ruling> consid. 1.2). Encore faut-il qu'il soit possible de convertir le recours dans son ensemble; en effet, une conversion est exclue si certains griefs relèvent de la voie de droit choisie alors que d'autres devaient être soulevés dans un autre recours (cf. <ref-ruling> consid. 6). Les violations de droit constitutionnel qui sont en l'occurrence dénoncées dans le recours irrecevable peuvent aussi l'être dans le recours en matière civile, étant précisé que ces deux recours connaissent une limitation identique des griefs pouvant être invoqués contre une décision de mesures protectrices de l'union conjugale (cf. infra consid. 2.1; arrêts 5A_590/2019 du 13 février 2020 consid. 1; 5A_478/2017 du 7 juin 2018 consid. 1.1); lesdits griefs sont donc recevables dans la mesure où ils satisfont aux exigences de motivation posées à l'<ref-law>.
2.
2.1. Comme la décision attaquée porte sur des mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 5, 585 consid. 3.3), la partie recourante ne peut dénoncer que la violation de droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés par le recourant ("principe d'allégation"; <ref-law>), c'est-à-dire s'ils ont été expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.4). En particulier, une décision ne peut être qualifiée d'arbitraire (art. 9 Cst.) que si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité (<ref-ruling> consid. 7.3; <ref-ruling> consid. 4.1); il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 7.1, 170 consid. 7.3; <ref-ruling> consid. 4.3).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Dans l'hypothèse d'un recours soumis à l'<ref-law>, le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait que s'il démontre la violation de droits constitutionnels, conformément au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il n'y a arbitraire que lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 1.1 et la référence). Le recourant ne peut pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; il doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.4.3). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 2.3 et les références).
2.3. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>). Cette exception, dont il appartient au recourant de démontrer que les conditions sont remplies, vise les faits qui sont rendus pertinents pour la première fois par la décision attaquée, par exemple concernant le déroulement de la procédure devant l'instance précédente afin d'en contester la régularité, ou encore des faits postérieurs à l'arrêt attaqué permettant d'établir la recevabilité du recours (arrêt 5A_904/2015 du 29 septembre 2016 consid. 2.3, non publié in <ref-ruling>). En dehors de ces cas, les nova ne sont pas admissibles, qu'il s'agisse de faits ou moyens de preuve survenus postérieurement à la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 1.2 et les références), ou d'éléments que les parties ont négligé de présenter aux autorités cantonales (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 4.4.3).
Dans la mesure où ils sont fournis à l'appui de sa demande d'assistance judiciaire, les documents produits par la recourante sont recevables. En revanche, en tant qu'elles ont trait au fond du litige, lesdites pièces - qu'elles soient postérieures à l'arrêt querellé ou antérieures à celui-ci, sans que les conditions d'une exception de l'<ref-law> soient remplies - sont irrecevables.
3.
La recourante se plaint d'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'application de l'<ref-law> en tant que la Cour de justice a rejeté sa requête de provisio ad litem.
3.1. La cour cantonale a considéré que le refus du Tribunal d'allouer une provision à l'épouse pour ses frais de première instance au motif qu'elle ne se justifiait plus, la procédure étant arrivée à son terme, devait être confirmé. Se fondant en particulier sur l'arrêt 5A_777/2014 du 4 mars 2015, l'autorité précédente a estimé qu'à ce stade, il n'y avait plus lieu de statuer sur l'octroi d'une telle avance mais uniquement, dans l'hypothèse où une provisio ad litem aurait été allouée au cours de la procédure, de trancher la question de son éventuelle restitution dans le cadre de la répartition des frais judiciaires et des dépens. Au demeurant, comme l'avait relevé à juste titre le premier juge, l'épouse disposait, à l'époque de l'introduction de la procédure de mesures protectrices de l'union conjugale, d'avoirs bancaires qui s'élevaient encore à 38'461 fr. au 1er février 2019, de sorte qu'elle avait manifestement les moyens financiers d'assumer ses frais de procédure de première instance.
Pour les mêmes motifs, la requête de provisio ad litem relative à la procédure d'appel devait également être rejetée. Dans la mesure où cette procédure était arrivée à son terme par le prononcé de l'arrêt attaqué, il ne se justifiait plus de statuer sur l'octroi d'une telle provision. L'appelante avait pu faire valoir ses droits et sauvegarder ses intérêts, sans qu'une avance en ce sens ne lui soit allouée. La prise en charge des coûts générés par la procédure d'appel relevait désormais du règlement des frais au sens des <ref-law>, question qui serait examinée au terme dudit arrêt.
3.2. Comme il a été dit dans une précédente affaire, la conclusion en paiement d'une provisio ad litem formée dans le cadre d'une requête de mesure protectrices de l'union conjugale ne peut être déclarée sans objet, respectivement rejetée, du seul fait que la procédure est arrivée à son terme. Lorsque, comme ici, des frais de procédure ont été mis à la charge de la partie qui a sollicité la provisio ad litemet que les dépens ont été compensés, une telle solution apparaît arbitraire; en effet, savoir si celle-ci dispose des moyens suffisants pour assumer lesdits frais est une question qui continue de se poser au moment où la décision finale est rendue (arrêt 5A_590/2019 du 13 février 2020 consid. 3.5; cf. aussi arrêt 5A_164/2019 du 20 mai 2020 consid. 6.3, destiné à la publication).
L'autorité cantonale est dès lors tombée dans l'arbitraire en considérant que, la procédure étant arrivée à son terme, il ne se justifiait plus de statuer sur l'octroi d'une provisio ad litem.
3.2.1. S'agissant toutefois de la procédure de première instance, il résulte de l'état de fait de l'arrêt attaqué que les frais judiciaires, "arrêtés à 2'000 fr. et compensés avec l'avance de frais versée" par l'épouse, ont été mis à la charge des parties à raison d'une moitié chacune. Il appert ainsi que la recourante a été en mesure de payer ladite avance, dont le versement n'avait pas été suspendu. Reste la question des dépens, que le Tribunal a compensés. La Cour de justice a cependant constaté qu'au moment de l'introduction de la procédure, l'épouse disposait encore d'avoirs bancaires s'élevant à 38'461 fr. au 1er février 2019, de sorte qu'elle avait manifestement les moyens financiers d'assumer ses frais de première instance, motivation subsidiaire que la recourante ne critique pas, et qui suffit dès lors à sceller la question (<ref-law>; ATF <ref-ruling> consid. 2.4 i.f.; <ref-ruling> consid. 4.1.4). En tant qu'il porte sur le refus de lui octroyer une provisio ad litem pour la procédure de première instance, le grief, autant que recevable, se révèle donc infondé.
3.2.2. Il n'en va pas de même concernant la requête de provisio ad litem pour la procédure d'appel. A cet égard, l'autorité cantonale s'est en effet bornée à débouter la recourante au motif qu'elle avait pu faire valoir ses droits et sauvegarder ses intérêts sans qu'une telle avance ne lui soit allouée. L'arrêt attaqué retient de surcroît qu'au 30 août 2019, date de l'introduction de son appel, l'épouse ne disposait plus que de 704 fr. 60 sur son compte et que le même jour, elle avait contracté un prêt de 2'700 fr. auprès d'un ami afin de s'acquitter de ses honoraires d'avocat. Dès lors que l'arrêt entrepris la condamne à verser la somme de 1'500 fr. à titre de frais judiciaires et ne lui alloue aucuns dépens, il apparaît ainsi arbitraire dans son résultat (cf. arrêt 5A_590/2019 précité consid. 3.5).
Le recours doit par conséquent être admis sur ce point et la cause retournée à l'autorité précédente pour qu'elle examine si les conditions prévalant à l'octroi d'une provisio ad litem pour la procédure d'appel sont réunies et, le cas échéant, qu'elle en fixe le montant.
4.
En conclusion, le recours doit être partiellement admis, dans la mesure où il est recevable, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour qu'elle statue à nouveau dans le sens de ce qui précède (cf. supra consid. 3.2.2). Les frais judiciaires seront dès lors répartis par moitié entre les parties (<ref-law>) et les dépens compensés (art. 68 al. 1 et 2 LTF). La situation financière de la recourante et le sort du recours justifient que l'assistance judiciaire lui soit accordée en tant qu'elle n'est pas devenue sans objet (art. 64 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis dans la mesure où il est recevable, l'arrêt attaqué est annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
La requête d'assistance judiciaire de la recourante est admise dans la mesure où elle n'est pas sans objet et Me Thomas Barth, avocat à Genève, lui est désigné comme conseil d'office pour la procédure fédérale.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis par moitié à la charge des parties, la part incombant à la recourante étant provisoirement supportée par la Caisse du Tribunal fédéral.
4.
Les dépens sont compensés.
5.
La Caisse du Tribunal fédéral versera à la recourante une indemnité de 1'500 fr. à titre d'honoraires d'avocat d'office.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 14 août 2020
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant : La Greffière :
Escher Mairot