Sachverhalt:
A.
Der 1975 geborene A._ arbeitete seit 1. Januar 2015 beim Verein B._ als Küchenchef und war dadurch bei der SWICA Gesundheitsorganisation (nachfolgend SWICA) obligatorisch unfallversichert. Am 25. Mai 2015 zog er sich bei einem Treppensturz eine komplexe Bandverletzung am linken Sprunggelenk zu. Am 4. Juni 2015, 13. September 2016 sowie 11. Mai und 13. Dezember 2017 wurde er am linken Fuss operiert. Die SWICA kam für die Heilbehandlung und das Taggeld auf. Sie holte ein polydisziplinäres Gutachten der Swiss Medical Assessment- and Business-Centers AG (SMAB), Bern, vom 17. September 2018 mit ergänzender Stellungnahme vom 30. November 2018 ein. Mit Verfügung vom 6. Dezember 2018 stellte sie ihre Leistungen per 31. Oktober 2018 ein und verneinte den Rentenanspruch, da der Invaliditätsgrad bloss 9 % betrage. Sie sprach A._ eine Integritätsentschädigung bei einer Integritätseinbusse von 10 % zu. Hieran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 10. Januar 2020 fest.
B.
Die hiergegen von A._ erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 17. Juni 2020 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei die SWICA zu verpflichten, ihm aufgrund des Unfalls vom 25. Mai 2015 die gesetzlichen Leistungen auszurichten, insbesondere über das Einstellungsdatum vom 31. Oktober 2018 hinaus Taggelder und Heilungskosten. Eventuell sei die Vorinstanz - subeventuell die SWICA - zu verpflichten, ergänzende medizinische Abklärungen zu tätigen und anschliessend neu über seine Leistungsansprüche zu entscheiden. Es sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
2.1. Streitig ist, ob die vorinstanzliche Bestätigung des Fallabschlusses per 31. Oktober 2018 mit Einstellung von Heilbehandlung und Taggeld sowie Prüfung der Ansprüche auf Invalidenrente und Integritätsentschädigung (vgl. auch E. 3 hiernach) bundesrechtskonform ist.
2.2. Umstritten ist in diesem Rahmen, ob durch die von Prof. Dr. med. C._, Chefarzt, Spital D._, in den Berichten vom 12. Oktober 2018 und 23. Januar 2019 vorgeschlagene Fussoperation eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes zu erwarten war. Die vorinstanzliche Verneinung des Anspruchs auf eine Invalidenrente und die Bestätigung einer Integritätsentschädigung von 10 % sind unbestritten.
3.
Die Vorinstanz hat die rechtlichen Grundlagen und die Rechtsprechung betreffend die Voraussetzungen des Fallabschlusses mit gleichzeitiger Beurteilung des Anspruchs auf Invalidenrente und Integritätsentschädigung (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 201, 134 V 109 E. 4 S. 113) und den Beweiswert von Arztberichten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232, 125 V 351 E. 3a S. 352) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen.
Zu betonen ist Folgendes: Ob aufgrund der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung mit einer namhaften Besserung des Gesundheitszustandes gerechnet werden kann, bestimmt sich insbesondere nach Massgabe der zu erwartenden Steigerung oder Wiederherstellung der Arbeitsfähigkeit, soweit diese unfallbedingt beeinträchtigt ist. Die Verwendung des Begriffs "namhaft" in <ref-law> verdeutlicht demnach, dass die durch weitere (zweckmässige) Heilbehandlung im Sinne von <ref-law> erhoffte Besserung ins Gewicht fallen muss (<ref-ruling> E. 4.3 S. 115). Eine weit entfernte Möglichkeit eines positiven Resultats einer Fortsetzung der ärztlichen Behandlung verleiht keinen Anspruch auf deren Durchführung. In diesem Zusammenhang muss der Gesundheitszustand der versicherten Person prognostisch und nicht aufgrund retrospektiver Feststellungen beurteilt werden. Grundlage für die Beurteilung dieser Rechtsfrage bilden in erster Linie die ärztlichen Auskünfte zu den therapeutischen Möglichkeiten und der Krankheitsentwicklung, die in der Regel unter dem Begriff Prognose erfasst werden (SVR 2020 UV Nr. 24 S. 95, 8C_614/2019 E. 5.2; Urteil 8C_371/2020 vom 7. September 2020 E. 4.1).
4.
Die Vorinstanz erwog im Wesentlichen, das polydisziplinäre (orthopädisch-traumatologische, neurologische und psychiatrische) SMAB-Gutachten vom 17. September 2018 sei beweiswertig. Gestützt darauf sei der Beschwerdeführer in körperlich leichten bis mittelschweren Tätigkeiten, die er sitzend ausüben könne, zu 80 % arbeitsfähig. Eine Wiedereingliederung in einer entsprechenden Tätigkeit sei sofort möglich. In der Stellungnahme der SMAB vom 30. November 2018 sei ausgeführt worden, ein weiterer chirurgischer Eingriff berge die Gefahr einer erneuten Narbenbildung. Die bisherigen Eingriffe hätten keinen positiven Effekt gezeigt. Die von Prof. Dr. med. C._ vorgeschlagene Operation sei medizinisch nicht notwendig. Weiter erwog die Vorinstanz, seinen Berichten vom 12. Oktober 2018 und 23. Januar 2019 sei lediglich zu entnehmen, dass er eine weitere Operation aufgrund des Leidensdrucks des Beschwerdeführers als indiziert erachte, nicht aber eine Einschätzung der Prognose einer solchen Behandlung. Im Sprechstundenbericht vom 12. Juli 2017 habe er zwei Monate postoperativ festgehalten, chirurgischerseits könne dem Beschwerdeführer derzeit kein operativer Eingriff mehr angeboten werden, der zu einer Beschwerdebesserung führen könnte. Somit sei - so die Vorinstanz weiter - nicht auszuschliessen, dass die von Prof. Dr. med. C._ vorgeschlagene Operation durchaus das Risiko beinhalte, nicht die gewünschte Beschwerdebesserung herbeizuführen. Damit sei offen, ob durch die Operation die Arbeitsfähigkeit prospektiv betrachtet gesteigert werden könne. Zusammenfassend stünden keine medizinischen Massnahmen mehr zur Diskussion, von denen eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes und damit eine Steigerung der Arbeitsfähigkeit erwartet werden könne. Weitere Abklärungen erübrigten sich. Damit sei die Einstellung der vorübergehenden Leistungen auf den 31. Oktober 2018 mit anschliessender Rentenprüfung korrekt.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer macht im Wesentlichen geltend, die Vorinstanz habe richtig festgestellt, dass laut der Einschätzung des Prof. Dr. med. C._ der Verdacht auf eine intraneurale Neurombildung und narbige Kompression der R. calcaneus und R. lateralis des N. tibialis bestehe. Soweit in der SMAB-Stellungnahme vom 30. November 2018 ausgeführt worden sei, die Diagnose eines intraneuralen Neuroms lasse sich mit keiner Methode objektivieren, sei dies nicht nachvollziehbar begründet. Die SMAB-Gutachter hätten sich eingehend mit dieser Diagnose befassen und aufzeigen müssen, weshalb diese Problematik nicht mehr angegangen werden könne. Prof. Dr. med. C._ erachte den operativen Eingriff zur Schmerzlinderung als indiziert. Dies impliziere, dass er prognostisch von einer Verbesserung der invalidisierenden Schmerzproblematik im Umfang von 20 % ausgehe. Im Widerspruch hierzu stehe ohne ausreichende Begründung die SMAB-Stellungnahme vom 30. November 2018. Tatsächlich hätten aber auch die SMAB-Gutachter den Erfolg eines weiteren operativen Eingriffs nicht von vornherein ausgeschlossen. Sie hätten grösste Zweifel und seien bezüglich der Erfolgsaussichten der empfohlenen Operation unsicher. Ihr Verweis auf die Erfolglosigkeit der bisherigen Eingriffe sei eine unzulässige "Post hoc ergo propter hoc"-Argumentation. Wenn die Vorinstanz davon ausgehe, Prof. Dr. med. C._ habe sich nur zur Indikation, nicht aber zur Prognose der Operation geäussert, hätte sie diese Frage aufgrund des Untersuchungsgrundsatzes nach <ref-law> medizinisch prüfen lassen müssen. Die Erfolgsaussichten der Operation seien "offen", weil die widersprüchlichen ärztlichen Angaben nicht ausreichend geklärt worden seien.
5.2. In den Berichten vom 12. Oktober 2018 und 23. Januar 2019 interpretierte Prof. Dr. med. C._ die Leiden des Beschwerdeführers im Rahmen von intraneuralen Neuromen. Die Berufung des Beschwerdeführers hierauf ist indessen unbehelflich. Denn die Neurome wurden von Prof. Dr. med. C._ - wie die SMAB-Gutachter am 30. November 2018 und die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid richtig dargetan haben - bloss als Verdachtsdiagnosen gestellt, womit sie nicht mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit erstellt sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 56; Urteile 8C_539/2020 vom 3. November 2020 E. 6.2.1 und 9C_81/2019 vom 11. November 2019 E. 3.3.2, je mit Hinweisen). Nicht gefolgt werden kann dem bloss pauschalen Argument des Prof. Dr. med. C._, im Rahmen der Operation vom 13. Dezember 2017 hätten sich histologisch eindeutig Narbenneurome gezeigt. Denn weder hat er dies konkret belegt noch ergibt sich solches aus den Akten, insbesondere auch nicht aus dem Operationsbericht vom 13. Dezember 2017 oder dem entsprechenden Austrittsbericht des Spitals D._ vom 15. Dezember 2017 (vgl. auch Urteil 8C_658/2020 vom 14. Januar 2021 E. 6.2.1). Nach dem Gesagten ist ein intraneurales Neurom beweismässig nicht hinreichend belegt und bildet folglich keine rechtsgenügliche Grundlage, um eine Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit nachzuweisen. Folglich kann nicht davon ausgegangen werden, dass die von Prof. Dr. med. C._ vorgeschlagene Operation eine Steigerung der Arbeitsfähigkeit hätte erwarten lassen (vgl. E. 3 hiervor).
5.3. Auch das Argument des Beschwerdeführers, die SMAB-Gutachter hätten bloss eine unzulässige "Post hoc ergo propter hoc"-Argumentation vorgenommen, zielt ins Leere (hierzu vgl. " <ref-ruling> E. 2b/bb S. 341 f.; SVR 2016 UV Nr. 18 S. 55, 8C_331/2015 E. 2.2.3.1). Denn sie legten dar, dass ein weiterer chirurgischer Eingriff die Gefahr einer erneuten Narbenbildung berge. Hiergegen bringt der Beschwerdeführer keine stichhaltigen Einwände vor. Aus dem Umstand, dass die SMAB-Gutachter am 30. November 2018 zudem festhielten, die Erfolgsaussichten der geplanten Operation seien zweifelhaft, kann der Beschwerdeführer ebenfalls nichts zu seinen Gunsten ableiten. Im Gegenteil spricht eine zweifelhafte Prognose gegen eine zu erwartende namhafte Besserung (vgl. Urteil 8C_173/2016 vom 17. Mai 2016 E. 3.2).
5.4. Insgesamt vermag der Beschwerdeführer die Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit des SMAB-Gutachtens vom 17. September/30. November 2018 nicht in Frage zu stellen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4 S. 470). Wenn die Vorinstanz gestützt hierauf zum Schluss kam, dass von weiteren medizinischen Massnahmen keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes bzw. Steigerung der Arbeitsfähigkeit zu erwarten sei, ist dies nicht bundesrechtswidrig. Somit bestätigte sie den Fallabschluss per 31. Oktober 2018 zu Recht.
Da von weiteren medizinischen Abklärungen keine entscheidrelevanten Resultate zu erwarten waren, durfte die Vorinstanz davon absehen. Diese antizipierte Beweiswürdigung ist nicht willkürlich. Sie verstösst weder gegen die Untersuchungsmaxime noch gegen den Grundsatz der freien Beweiswürdigung (<ref-law>) oder gegen den Anspruch auf rechtliches Gehör bzw. auf Beweisabnahme (<ref-law>; <ref-ruling> E. 6.5 S. 368 f.; Urteil 8C_658/2020 vom 14. Januar 2021 E. 7).
6.
Der unterliegende Versicherte trägt die Gerichtskosten (<ref-law>). Die unentgeltliche Rechtspflege kann ihm gewährt werden (<ref-law>). Er hat der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn er später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen und Rechtsanwalt Jan Herrmann wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. Februar 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Jancar