Erwägungen:
1.
A._ erstattete am 5. Juni 2019 Strafanzeige wegen "Amtsmissbrauch, entzogenes Freiheit und Sicherheit, entzogene Recht auf ein faires Verfahren, entzogene Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens, entzogen Recht Anwaltliche Vertretung und Alle Weitere gesetzwürdige Handlungen Freiheit Entzuges bei Auslieferung". Die Strafanzeige steht im Zusammenhang mit seiner am 11. März 2010 erfolgten Auslieferung nach Österreich.
Die Staatsanwaltschaft See/Oberland überwies die Akten mit Verfügung vom 11. Juni 2019 dem Obergericht des Kantons Zürich zum Entscheid über die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich erteilte mit Beschluss vom 31. Juli 2019 der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung zur Strafverfolgung nicht. Zur Begründung führte sie zusammenfassend aus, dass keinerlei Anhaltspunkte für ein strafbares Verhalten von Behördenmitgliedern oder Beamte des Kantons Zürich ersichtlich seien. Die rund neun Jahre nach der Auslieferung erhobenen Vorwürfe seien haltlos.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 4. September 2019 (Postaufgabe 5. September 2019) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Da der angefochtene Beschluss der Beschwerde nicht vollständig beilag, forderte ihn das Bundesgericht mit Verfügung vom 17. September 2019 auf, eine vollständige Fassung des angefochtenen Beschlusses noch nachzureichen. A._ kam dieser Aufforderung innert Frist nach und reichte mit Eingabe vom 26. September 2019 noch eine Beschwerdeergänzung ein. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Der Beschwerdeführer ersucht um Erstreckung der Beschwerdefrist, damit er noch eine Beschwerdeergänzung nachreichen könne. Die Beschwerdefrist kann als eine gesetzliche Frist nicht erstreckt werden (Art. 47 Abs. 1 BGG). Dem Gesuch kann somit nicht entsprochen werden.
Der angefochtene Beschluss ist dem Beschwerdeführer am 7. August 2019 zugestellt worden. Somit ist die Beschwerdeergänzung vom 26. September 2019 nach Ablauf der 30-tägigen Beschwerdefrist gemäss Art. 100 Abs. 1 BGG eingereicht worden. Sie ist daher für das vorliegende Verfahren unbeachtlich.
4.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
In ihrer Begründung verneinte die III. Strafkammer das Vorliegen von Anhaltspunkten für ein strafbares Verhalten. Mit diesen Ausführungen setzt sich der Beschwerdeführer nicht im Einzelnen auseinander und vermag nicht aufzuzeigen, dass die Ermächtigung rechtswidrig verweigert worden wäre. Aus seiner Beschwerde ergibt sich nicht nachvollziehbar, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer bzw. deren Beschluss selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
5.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft See/Oberland, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Oktober 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli