Faits :
A.
A._, titulaire d'une rente de l'assurance-invalidité puis de l'assurance-vieillesse et survivants, bénéficie de prestations complémentaires depuis le 1er février 1996. Lors d'une révision périodique, le Service genevois des prestations complémentaires (SPC) a découvert dans la base de données de l'Office cantonal de la population et des migrations (OCPM) que le fils de l'assurée était domicilié à la même adresse qu'elle depuis le 1er juin 2015. Dès lors, tenant compte d'un loyer diminué de moitié, il a recalculé le droit aux prestations à partir du 1er décembre 2017 et requis de l'intéressée la restitution de 13'380 fr. versés à tort du 1er juin 2015 au 30 novembre 2017 (décision du 10 novembre 2017). Par demande du 2 février 2018, A._ a notamment sollicité la reconsidération de la décision du 10 novembre 2017 et la remise de l'obligation de restituer les 13'380 francs. Elle a fait valoir qu'elle ignorait la domiciliation de son fils à son adresse et que celui-ci n'avait que brièvement séjourné auprès d'elle pour lui apporter son soutien pendant une période de maladie. Le SPC a refusé d'entrer en matière sur la demande de reconsidération (décision du 10 avril 2018) ainsi que de remettre l'obligation de restituer et de réexaminer le droit aux prestations (décisions du 12 juillet 2018). Durant la procédure d'opposition, l'assurée a produit un échange de courriers avec l'OCPM concernant la fin de la domiciliation de son fils. Au terme de cette procédure, le SPC a confirmé le refus de remettre l'obligation de restituer (décision sur opposition du 10 janvier 2019). Par décision du même jour, le SPC a partiellement admis la demande de réexamen du droit aux prestations dans le sens où il ne tiendrait plus compte d'une cohabitation de la mère et du fils dès le 1er août 2018.
B.
A._ a déféré les deux décisions sur opposition à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales. Elle a été auditionnée le 20 juin 2019 et a déposé des photocopies du passeport de son fils.
Statuant par un seul arrêt du 24 juin 2020, le tribunal cantonal a rejeté les recours.
C.
Agissant par la voie d'un recours en matière de droit public, l'assurée requiert l'annulation de l'arrêt cantonal ainsi que des décisions du 10 janvier 2019. En ce qui concerne la remise de l'obligation de restituer (procédure enregistrée sous le numéro de cause 9C_580/2020), elle conclut au renvoi de la cause au SPC afin qu'il remette l'obligation de restituer les 13'380 francs. Elle sollicite aussi l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Le SPC conclut au rejet du recours tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. L'intéressée s'est exprimée sur la réponse du SPC.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public (au sens des <ref-law>) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par cette dernière (<ref-law>). Cependant, il peut rectifier les faits ou les compléter d'office s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Le recourant ne peut critiquer les faits que s'ils ont été constatés de façon manifestement inexacte ou contraire au droit et si la correction d'un tel vice peut influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
2.
Le litige porte sur la remise de l'obligation de la recourante de restituer une partie des prestations complémentaires perçues entre les 1er juin 2015 et 30 novembre 2017 (13'380 fr.), en particulier sur la condition de la bonne foi prévue à l'<ref-law>.
3.
L'acte attaqué expose les normes et la jurisprudence indispensables à la résolution du litige, singulièrement celles relatives à la restitution de prestations indûment touchées (<ref-law>; art. 4 et 5 OPGA) et à la condition de la bonne foi en lien avec le devoir d'annoncer (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4; <ref-ruling> consid. 3d). Il cite également les dispositions légales et les principes jurisprudentiels concernant la maxime inquisitoire (art. 43 et 61 let. c LPGA), le devoir des parties de collaborer à l'établissement des faits (<ref-ruling> consid. 2), le fardeau de la preuve (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 3b), le degré de vraisemblance auquel les faits doivent être établis en matière d'assurances sociales (<ref-ruling> consid. 5b) et l'appréciation anticipée des preuves (<ref-ruling> consid. 6.3.1). Il suffit donc d'y renvoyer.
4.
La juridiction cantonale a entériné le rejet de la demande de remise de l'obligation de restituer, au motif que la condition de la bonne foi n'était en l'occurrence pas remplie. Elle a constaté que le fils de l'assurée avait informé l'OCPM qu'il était domicilié chez sa mère depuis le mois de juin 2015 tandis que la recourante avait omis d'annoncer leur cohabitation au service intimé. En substance, elle a considéré que cette omission constituait une violation de l'obligation d'annoncer toute modification de la situation personnelle et que les explications, ainsi que les pièces afférentes au domicile du fils ou à sa présence épisodique en Suisse ne permettaient pas d'aboutir à une conclusion différente.
5.
L'assurée conteste avoir cohabité avec son fils à quelque moment que ce soit depuis le 1er juin 2015. Elle explique que celui-ci était retourné vivre à l'étranger en 2011 et que, depuis cette époque, il n'était revenu en Suisse qu'épisodiquement pour de brefs séjours pendant lesquels il logeait principalement chez son amie. Elle admet que son fils s'était domicilié chez elle, pour son courrier, mais soutient en particulier que les photocopies du passeport déposées en première instance démontrent l'absence de cohabitation. Elle fait aussi grief aux premiers juges de s'être livrés à des investigations sur Facebook pour déterminer le domicile de son fils, sans lui avoir donné la possibilité de se prononcer sur le procédé. Elle reproche également aux autorités précédentes d'avoir contrevenu à la maxime inquisitoire en refusant un transport sur place afin de vérifier que son fils ne possédait pas d'affaires dans son appartement ou que ce logement était impropre à une cohabitation, ainsi qu'elle l'avait proposé à plusieurs reprises. Elle conteste dès lors avoir violé son obligation d'annoncer une cohabitation, dont elle n'aurait du reste pas été dûment informée, dans la mesure où son fils n'avait jamais partagé son logement. Elle infère de ce qui précède un droit à obtenir la remise de l'obligation de restituer les 13'380 francs.
6.
6.1. L'assurée ne saurait d'abord arguer n'avoir jamais été informée de son obligation d'annoncer des changements éventuels survenus dans sa situation personnelle. En effet, comme l'a relevé le tribunal cantonal, le service intimé lui a adressé chaque année un courrier contenant des informations concernant non seulement son droit aux prestations complémentaires mais aussi ses obligations, dont faisait notamment partie celle d'annoncer toute cohabitation avec des tiers. Ces courriers figurent dans le dossier produit par l'administration en instance cantonale. Ils contiennent certes beaucoup d'informations. La recourante ne peut toutefois invoquer l'ignorance de son devoir, au motif que son attention n'aurait pas été expressément attirée sur le point particulier de la cohabitation avec des tiers, ni son inaptitude à comprendre des documents administratifs complexes et mal structurés. Dès lors que chaque courrier contenait - en caractère gras - la mention "Communication importante", elle pouvait et devait à tout le moins demander des explications complémentaires au service intimé en cas d'incertitude.
6.2. Comme l'a ensuite rappelé la juridiction cantonale, pour que soit réalisée une violation de l'obligation d'annoncer, il suffit d'un comportement fautif. Si les faits qui ont mené à l'obligation de restituer (violation de l'obligation d'annoncer ou de renseigner) sont l'expression d'un comportement dolosif ou d'une négligence grave, la bonne foi en tant que condition de la remise de l'obligation de restituer est d'emblée exclue. En revanche, l'assuré peut invoquer sa bonne foi lorsque l'acte ou l'omission fautifs constituent seulement une violation légère de l'obligation d'annoncer ou de renseigner. Le fait que, comme le soutient la recourante, son fils vivrait à l'étranger depuis 2011 et ne reviendrait en Suisse qu'épisodiquement pour de brefs séjours durant lesquels il logerait principalement chez des amis pourrait donc justifier de retenir seulement une violation légère de l'obligation d'annoncer la cohabitation. En effet, les faits tels que décrits établiraient que la mère et le fils ne partageaient pas le même logement, malgré ce que laissait supposer l'inscription contraire figurant dans les registres de l'OCPM. L'assurée aurait dès lors été excusable de ne pas avoir annoncé une "cohabitation" qui n'avait pas d'incidence sur le calcul des prestations complémentaires. Cependant, les pièces produites par la recourante ne permettent pas de rendre vraisemblables ses allégations. La lettre du fils (du 12 août 2018) indiquant à l'OCPM qu'il avait séjourné chez sa mère en 2015 mais ne plus y résider depuis fin 2015 ne contient effectivement que des affirmations. Or celles-ci sont d'une part contradictoires avec les déclarations faites par l'assurée à l'occasion de son audition du 20 juin 2019 (selon lesquelles son fils n'avait jamais habité chez elle). D'autre part, elle ne peuvent être corroborées par les photocopies de son passeport. Conformément à ce qu'ont retenu les premiers juges, ces photocopies ne permettent assurément pas d'exclure une cohabitation déterminante du point de vue du droit aux prestations complémentaires. En effet, il est tout au plus possible de déduire de l'enchevêtrement de tampons en grande partie illisibles que le fils de la recourante a plusieurs fois quitté la Suisse ou l'étranger ou est arrivé en Suisse ou à l'étranger sans que l'on puisse établir un lien certain entre les dates (pour autant qu'elles soient déchiffrables) de départ et d'arrivée ni la durée des séjours dans les deux pays mentionnés.
Dans ces circonstances, il n'était pas arbitraire de la part du tribunal cantonal de retenir une cohabitation déterminante au regard du droit aux prestations complémentaires justifiant une obligation d'annoncer dont la violation était suffisamment grave pour exclure la bonne foi de l'assurée dans le cadre de l'obligation de restituer.
6.3. On ajoutera finalement que l'invocation d'une violation de son droit d'être entendue (en relation avec l'arbitraire) du fait que la juridiction cantonale s'était livrée à des investigations sur Facebook pour déterminer le domicile de son fils, ou de la maxime inquisitoire, en lien avec le fait que tant les premiers juges que le service intimé n'avaient pas donné suite à son offre de transport sur place, n'est d'aucune utilité à la recourante. Peu importe en l'occurrence la pertinence des données reprises sur Facebook dans la mesure où les autres éléments disponibles suffisaient déjà pour emporter la conviction des juges cantonaux. Peu importe également que les autorités compétentes n'aient pas procédé à une enquête au domicile de l'assurée pour vérifier notamment si la taille de l'appartement était propre à une cohabitation dès lors que, dans ses déclarations à l'OCPM, le fils de la recourante a admis y avoir résidé. De surcroît, un juge peut renoncer à l'administration de certaines preuves offertes, notamment lorsqu'elles ne sont pas décisives pour la solution du litige (cf. ATF 104 I 285 consid. 6.3.1).
6.4. Entièrement mal fondé, le recours doit donc être rejeté.
7.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont à la charge de l'assurée (<ref-law>). Elle a toutefois déposé une demande d'assistance judiciaire. Dès lors que les conditions en sont réalisées (art. 64 al. 1 et 2 LTF), l'assistance judiciaire lui est accordée. La recourante est cependant rendue attentive au fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal fédéral si elle retrouve ultérieurement une situation financière lui permettant de le faire (<ref-law>). Le service intimé n'a pas droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
L'assistance judiciaire est accordée et Me Philippe Pasquier est désigné comme avocat d'office de la recourante.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1200 fr., sont mis à la charge de la recourante. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la Caisse du Tribunal fédéral.
4.
Une indemnité de 2800 fr. est allouée à l'avocat de la recourante à titre d'honoraires à payer par la Caisse du Tribunal fédéral.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 6 septembre 2021
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Stadelmann
Le Greffier : Cretton