Erwägungen:
1.
Am 11. April 2019 ging beim Obergericht des Kantons Zürich ein mit "Beschwerde" überschriebener Schriftsatz ein. Darin erklärte die Kollektivgesellschaft A._ KIG (Beschwerdeführerin) Beschwerde gegen eine Verfügung des Bezirksgerichts Zürich vom 9. April 2019 im Verfahren FV190029. Die angefochtene Verfügung wurde allerdings weder beigelegt noch inhaltlich näher bezeichnet. Zudem stellte die Kollektivgesellschaft A._ KIG ein Ablehnungsbegehren gegen eine Richterin des Bezirksgerichts. Mit Beschluss vom 25. April 2019 trat das Obergericht auf die Beschwerde nicht ein.
Die A._ KIG hat mit Eingabe an das Bundesgericht vom 27. Mai 2019 erklärt, den Beschluss des Obergerichts mit Beschwerde anzufechten, und um Erteilung der aufschiebenden Wirkung ersucht. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Da der Streitwert nach der Feststellung der Vorinstanz den Mindestbetrag nach Art. 74 Abs. 1 BGG nicht erreicht, steht die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen (siehe Art. 113 BGG).
Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG).
Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). Dafür muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89). Eine Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG in Verbindung mit Art. 117 BGG).
3.
In der Eingabe vom 27. Mai 2019 werden keine Verfassungsrügen erhoben. Die Beschwerde enthält somit offensichtlich keine hinreichende Begründung, weshalb im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG nicht auf sie einzutreten ist.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten gemäss Art. 66 Abs. 1 BGG der Beschwerdeführerin aufzuerlegen.

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 200.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Juli 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz