Faits:
A.
Le Ministère public de la République et canton de Genève a ouvert une instruction à l'encontre de A._ pour escroquerie et tentative d'escroquerie. Ce dernier est soupçonné d'avoir, entre le 16 août 2014 et le 14 mai 2018 de concert avec diverses personnes, astucieusement induit en erreur ou tenté d'induire en erreur les assurances B._ Assurances, C._ Assurances, D._ et E._ SA dans le but d'obtenir des prestations indues de celles-ci d'un montant total d'environ 50'000.- fr. Il lui est en particulier reproché d'avoir mis en scène au moins vingt-deux accidents de la circulation routière et procédé à de fausses déclarations de sinistre. Les assurances précitées ont déposé plainte.
B.
Par ordonnance du 3 mai 2021, le Ministère public a refusé de retirer certaines pièces du dossier conformément à la requête du prévenu du 21 février 2021.
Par arrêt du 5 août 2021, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève a déclaré irrecevable le recours formé par A._ contre l'ordonnance du 3 mai 2021 précitée.
C.
Par acte du 6 septembre 2021, A._ forme un recours en matière pénale par lequel il demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt attaqué, de déclarer recevable son recours contre l'ordonnance de retrait de pièces du dossier du Ministère public du 3 mai 2021 et de renvoyer la cause à la Chambre pénale de recours afin qu'elle "tranche sur le fond [ledit] recours". Subsidiairement, il conclut à l'annulation de l'arrêt entrepris et à la constatation de l'inexploitabilité de plusieurs moyens de preuves. Il requiert l'assistance judiciaire.
Invités à se déterminer sur le recours, la cour cantonale se réfère à ses considérants tandis que le Ministère public conclut au rejet du recours.
D.
Par ordonnance du 27 septembre 2021, le Juge présidant de la I re Cour de droit public du Tribunal fédéral a rejeté la requête de mesures provisionnelles du recourant.

Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office (art. 29 al. 1 LTF) et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 2).
1.1. Le recours est dirigé contre une décision d'irrecevabilité prise en dernière instance cantonale (art. 80 al. 1 LTF) dans le cadre d'une procédure pénale. Le recours en matière pénale, au sens de l'art. 78 al. 1 LTF, est donc en principe ouvert.
1.2. Indépendamment de la nature de la décision, l'auteur d'un recours déclaré irrecevable en dernière instance cantonale a qualité, au sens de l'art. 81 LTF, pour contester ce prononcé. Lorsqu'un recours porte sur la question de l'existence même d'un recours cantonal, ce qui est le cas en l'espèce, le recours auprès du Tribunal fédéral est en principe recevable indépendamment de l'exigence d'un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 1.1; arrêt 1B_362/2021 du 6 septembre 2021 consid. 1.2). Seule la question de la recevabilité du recours peut cependant être portée devant le Tribunal fédéral (cf. arrêts 1B_362/2021 du 6 septembre 2021 consid. 1.2; 1B_396/2020 du 19 janvier 2021 consid. 2.2, destiné à la publication), ce qui rend en l'occurrence irrecevables les conclusions subsidiaires prises par le recourant visant à la réforme de l'arrêt attaqué.
1.3. Pour le surplus, le recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) contre une décision rendue par une autorité statuant en tant que dernière instance cantonale (art. 80 al. 1 LTF).
1.4. Partant, il y a lieu d'entrer en matière dans la mesure précitée.
2.
Le recourant se plaint d'une violation de l'art. 382 al. 1 CPP. Selon lui, l'instance inférieure se serait à tort fondée sur la jurisprudence fédérale relative à l'art. 93 LTF afin de déclarer irrecevable son recours. Il soutient que le Code de procédure pénal ne conditionnerait pas la recevabilité du recours au sens des art. 393 ss CPP à l'existence d'un préjudice irréparable, mais uniquement à celle d'un intérêt juridiquement protégé.
2.1. L'art. 393 al. 1 let. a CPP précise que le recours est recevable contre les décisions et les actes de procédure de la police, du ministère public et des autorités pénales compétentes en matière de contraventions. Le recours est en revanche irrecevable lorsque le ministère public ou l'autorité pénale compétente en matière de contraventions rejette une réquisition de preuves qui peut être réitérée sans préjudice juridique devant le tribunal de première instance (art. 394 let. b CPP; <ref-ruling> consid. 2.5).
Il découle ainsi de la systématique légale que, sauf exceptions prévues expressément par la loi, toutes les décisions de procédure, qu'elles émanent du ministère public, de la police ou des autorités compétentes en matière de contraventions, sont susceptibles de recours (<ref-ruling> consid. 2.3.1; arrêts 1B_415/2018 du 19 septembre 2018 consid. 3; 1B_312/2016 du 10 novembre 2016 consid. 2.1). Le législateur a eu en vue de soumettre de manière générale à recours " tout acte de procédure [...], y compris toute abstention ou toute omission " (Message du Conseil fédéral du 21 décembre 2005 relatif à l'unification du droit de la procédure pénale, FF 2006 1057, ch. 2.9.2, p. 1296). En d'autres termes, la méthode législative n'est plus celle d'un catalogue énumérant les décisions sujettes à recours, à l'instar de ce que prévoyaient plusieurs anciens codes de procédure cantonaux, mais consiste à appliquer un principe (universalité des recours), puis à le limiter par des exceptions exhaustivement prévues dans la loi (<ref-ruling> consid. 2.3.1 et les références citées; arrêt 1B_141/2021 du 21 juin 2021 consid. 2.1).
2.2. Aux termes de l'art. 382 al. 1 CPP, toute partie qui a un intérêt juridiquement protégé à l'annulation ou à la modification d'une décision a qualité pour recourir contre celle-ci. Il existe un intérêt juridiquement protégé lorsque le recourant est touché directement et immédiatement dans ses droits propres, ce qui n'est pas le cas lorsqu'il est touché par un simple effet réflexe.
L'intérêt juridiquement protégé se distingue de l'intérêt digne de protection, qui n'est pas nécessairement un intérêt juridique, mais peut être un intérêt de fait. Un simple intérêt de fait ne suffit pas à conférer la qualité pour recourir au regard de l'art. 382 al. 1 CPP. Une partie qui n'est pas concrètement lésée par la décision ne possède donc pas la qualité pour recourir et son recours est irrecevable (<ref-ruling> consid. 2.3.1). Le recourant doit ainsi établir que la décision attaquée viole une règle de droit qui a pour but de protéger ses intérêts et qu'il peut en conséquence en déduire un droit subjectif. La violation d'un intérêt relevant d'un autre sujet de droit est insuffisante pour créer la qualité pour agir (<ref-ruling> consid. 3. 1; arrêt 1B_187/2021 du 18 mai 2021 consid. 3.1).
2.3. En l'occurrence et en se référant à la jurisprudence du Tribunal fédéral relative à l'art. 93 LTF (cf. notamment <ref-ruling> consid. 1.3.1), la cour cantonale a considéré que, en renonçant à ordonner la destruction immédiate des preuves viciées en dehors des cas visés aux art. 271 al. 3, 277 al. 1 et 289 al. 6 CPP, le législateur fédéral avait exclu de vider les litiges relatifs aux preuves illégales avant le renvoi en justice du prévenu, cette question pouvant être à nouveau soulevée jusqu'à la clôture définitive de la procédure. Selon elle, il en irait de même quant aux preuves inexploitables, car le prévenu renvoyé en jugement pourrait soulever une question préjudicielle aux débats au sujet des moyens de preuve qu'il tiendrait pour illégaux (art. 339 al. 2 let. d CPP).
L'instance inférieure a ainsi estimé, que, pendant l'instruction préparatoire, le prévenu n'avait pas d'intérêt juridiquement protégé au sens de l'art. 382 al. 1 CPP à obtenir le retrait immédiat du dossier de ses déclarations à la police lorsque le recours ne porte pas sur une violation de l'art. 140 CPP. C'est pourquoi, elle a jugé irrecevable le recours déposé par le recourant.
2.4. Le Tribunal fédéral a déjà eu l'occasion de se pencher sur cette question. Il a précisé que l'autorité de dernière instance cantonale qui n'entrait pas en matière sur un recours au sens des art. 393 ss CPP contre le refus par le Ministère public de retirer un moyen de preuve prétendument inexploitable, faute de préjudice irréparable ou d'intérêt juridiquement protégé, contrevenait au droit fédéral (cf. <ref-ruling> consid. 2; voir également arrêts 1B_549/2019 du 10 mars 2020 consid. 2.4; 1B_304/2018 du 13 novembre 2018 consid. 2.3). Cette solution est admise par la doctrine (Wolfgang Wohlers, in Kommentar Schulthess zur Schweizerischen Strafprozessordnung, Art. 1-195, 3e éd. 2020, n° 49 ad art. 141 CPP; Jérôme Bénédict, in Commentaire romand, Code de procédure pénale suisse, 2e éd. 2019, n° 55 ss ad art. 141 CPP; Bernhard Sträuli, in Commentaire romand, Code de procédure pénale suisse, 2e éd. 2019, n° 15 ad art. 393 CPP; Sabine Gless, in Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2e éd. 2014, n° 118 ad art. 141 CPP; Patrick Guidon, in Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2e éd. 2014, n° 10 ad art. 393 CPP; Yvan Jeanneret/André Kuhn, Précis de procédure pénale, 2e éd. 2018, n° 9015 ss).
2.4.1. Certes, comme le précise l'autorité inférieure, le juge du fond est compétent pour se prononcer sur l'exploitabilité des moyens de preuves recueillis et cette question pourrait ainsi lui être soumise à nouveau dans certains cas. Toutefois, cette compétence ne permet pas de restreindre celle de l'autorité de recours (cf. <ref-ruling> consid. 2.5). En effet, lors de l'adoption du Code de procédure pénale, le législateur a souhaité renforcer les droits de la défense pour compenser les pouvoirs octroyés à l'autorité de poursuite pénale: à cette fin, il a notamment introduit le principe de l'universalité du recours dont le corollaire est le principe du double degré de juridiction cantonale (cf. Message du 21 décembre 2005 relatif à l'unification du droit de la procédure pénale, FF 2006 1081 ch. 1.5.2.3; <ref-ruling> consid. 2.4; Bernhard Sträuli, op. cit., n° 14 ad art. 393 CPP). C'est pourquoi, sauf exceptions prévues expressément par la loi, toutes les décisions de procédure, qu'elles émanent du ministère public, de la police ou des autorités compétentes en matière de contraventions, doivent être susceptibles de recours (cf. <ref-ruling> consid. 2.3.1; arrêts 1B_415/2018 du 19 septembre 2018 consid. 3; 1B_312/2016 du 10 novembre 2016 consid. 2.1). Le législateur n'a prévu que deux cas d'irrecevabilité: lorsque l'appel est recevable et lorsque le ministère public ou l'autorité pénale compétente en matière de contraventions rejette une réquisition de preuves qui peut être réitérée sans préjudice juridique devant le tribunal de première instance (cf. art. 394 let. a et b CPP; <ref-ruling> consid. 2.5). Les ordonnances du ministère public de refus de retirer du dossier des moyens de preuves prétendument inexploitables ne font pas partie des exceptions souhaitées par le législateur (cf. <ref-ruling> consid. 2.5; Bettina Alexandra Tanner, Das Teilnahmerecht der Privatklägerschaft nach Art. 147 StPO und seine Grenze, 2018, p. 164). Or, rien n'indique que le législateur aurait souhaité le contraire (cf. <ref-ruling> consid. 2.8). Partant, l'autorité de recours cantonale est compétente, durant la procédure préliminaire, pour trancher des litiges relatifs à l'exploitabilité des moyens de preuves (cf. <ref-ruling> consid. 2.8).
Niklaus Oberholzer ne remet pas en question ce principe, mais s'intéresse plutôt au pouvoir d'examen que doit exercer l'autorité de recours dans ce contexte: il soutient qu'il appartient au juge du fond et pas à la direction de la procédure ni à l'autorité de recours de se prononcer sur l'exploitabilité d'un moyen de preuves, à moins que l'inexploitabilité de la preuve litigieuse ne s'impose d'emblée: selon lui, la solution contraire empêcherait le juge du fond d'exercer son pouvoir d'appréciation sur ces preuves (Niklaus Oberholzer, Grundzüge des Strafprozessrechts, 4e éd. 2020, n° 1116 et 1118). Toutefois, comme exposé ci-dessus, l'interprétation de l'art. 393 al. 1 CPP ne met en avant aucun élément qui permettrait de restreindre la compétence de l'autorité de recours de se prononcer sur l'exploitabilité litigieuse de moyens de preuves durant la procédure préliminaire en fonction de l'état actuel de l'enquête (cf. <ref-ruling> consid. 2.8; Bettina Alexandra Tanner, op. cit., p. 166; Linda Bläsi, Der Zeitpunkt der Bestellung der notwendigen Verteidigung, 2019, p. 237 ss). En outre, rien n'indique, comme le soutient la cour cantonale, que l'examen auquel doit procéder l'autorité de recours serait limité aux seules violations de l'art. 140 CPP.
2.4.2. Un certain degré de retenue peut toutefois être approprié selon les circonstances, notamment lorsque le litige porte sur des preuves relativement inexploitables au sens de l'art. 141 al. 2 CPP: dans ce cas, il peut s'avérer nécessaire de réserver cette question au juge du fond qui pourra l'examiner à la lumière de l'ensemble des preuves, et ce, en particulier s'il convient de procéder à une pesée des intérêts et que le caractère inexploitable du moyen de preuve litigieux ne s'impose pas d'emblée, (cf. <ref-ruling> consid. 2.7; contra, Bettina Alexandra Tanner, op. cit., p. 166; Linda Bläsi, op. cit., p. 237 ss). Quoiqu'il en soit, cette retenue ne signifie pas encore que l'autorité de recours peut déclarer irrecevable un recours à ce sujet, mais seulement qu'elle peut, selon les circonstances et de manière motivée, le rejeter après avoir examiné le fond.
2.4.3. Pour le surplus, la jurisprudence fédérale citée par la cour cantonale se rapporte à l'art. 93 LTF qui soumet l'admission d'un recours devant le Tribunal fédéral contre des décisions préjudicielles à l'existence d'un préjudice irréparable; cet article a pour but de décharger le Tribunal fédéral en faisant en sorte que, dans la mesure du possible, celui-ci soit amené à trancher l'ensemble du litige dans une seule décision (cf. <ref-ruling> consid. 2.6; <ref-ruling> consid. 1.1). Toutefois, le Code de procédure pénal ne soumet pas l'admission d'un recours cantonal au sens des art. 393 ss CPP à l'existence d'un tel préjudice, mais uniquement à celle d'un intérêt juridiquement protégé (cf. <ref-ruling> consid. 2; arrêts 1B_594/2019 du 10 mars 2020 consid. 2.4; 1B_399/2018 du 23 janvier 2019 consid. 2.1; 1B_304/2018 du 13 novembre 2018 consid. 2.3).
Or le prévenu a un intérêt juridiquement protégé général au retrait des moyens de preuves prétendument inexploitables du dossier. Il a également un intérêt au retrait rapide de ces preuves: celui-ci peut en effet avoir des conséquences décisives sur les décisions que peut prendre la direction de la procédure et qui doivent être fondées sur des soupçons suffisants, notamment en matière de mesures de contraintes ou encore de mise en accusation (cf. <ref-ruling> consid. 2.9; Wolfgang Wohlers, op. cit., n° 49 ad Art. 141 CPP; Alexandre Guisan, La violation du droit de participer, PJA 2019 p. 346).
En l'occurrence, le recourant, qui est prévenu d'escroquerie et de tentative d'escroquerie, a un intérêt juridiquement protégé selon l'art. 382 al. 1 CPP au retrait des moyens de preuves prétendument inexploitables. La cour cantonale ne saurait ainsi se référer aux développements juridiques du Tribunal fédéral relatifs à l'art. 93 LTF afin de déclarer irrecevable, faute de préjudice irréparable ou d'intérêt juridiquement protégé, son recours contre l'ordonnance du Ministère public.
2.5. Au vu de ce qui précède, en déclarant irrecevable le recours déposé par le recourant contre l'ordonnance de refus de retrait de pièces du dossier du Ministère public du 3 mai 2021, l'autorité inférieure a violé le droit fédéral.
3.
Par conséquent, le recours doit être admis. L'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle examine, au fond, le recours cantonal formé le 14 mai 2021 contre l'ordonnance de refus de retrait de pièces du dossier du Ministère public du 3 mai 2021.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires (art. 66 al. 4 LTF). Le recourant, assisté par un mandataire professionnel, a droit à des dépens à la charge de la République et canton de Genève (art. 68 al. 1 LTF). La requête d'assistance judiciaire est par conséquent sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. L'arrêt du 5 août 2021 de la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève est annulé et la cause est renvoyée à cette autorité pour qu'elle procède au sens des considérants.
2.
La requête d'assistance judiciaire est sans objet.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Une indemnité de dépens, fixée à 2'500 fr., est allouée au mandataire du recourant à la charge de la République et canton de Genève.
5.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Ministère public de la République et canton de Genève et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre pénale de recours.
Lausanne, le 26 novembre 2021
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Kneubühler
La Greffière : Nasel