Ritenuto in fatto e considerando in diritto:
1.
In parziale accoglimento della domanda di assunzione di prove a titolo cautelare inoltrata dalla B._ Ltd nei confronti di A._, il Pretore del distretto di Lugano ha ordinato alla C._ AG di produrre i conti annuali della società per le chiusure 2017 e 2018 e gli estratti conto di tutte le sue relazioni bancarie e postali dell'anno 2018.
2.
Con sentenza 15 marzo 2021 la III Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino ha dichiarato inammissibile il reclamo presentato da A._. La Corte cantonale ha ritenuto che, giusta l'<ref-law>, il reclamo sarebbe unicamente stato ammissibile qualora vi fosse un rischio di un pregiudizio difficilmente riparabile. Ha poi considerato che l'esistenza di tale rischio non era evidente e che il convenuto nemmeno lo ha accennato.
3.
Con ricorso 16 aprile 2021 A._ postula, previo conferimento dell'effetto sospensivo al gravame, l'annullamento del giudizio cantonale. Per quanto qui interessa, con riferimento alla ricevibilità del rimedio esperito, afferma che la sentenza cantonale è una decisione finale e che anche qualora fosse invece ritenuta una decisione incidentale vi sarebbe un grave pregiudizio irreparabile "consistente nell'obbligo, per la terza parte - si badi, la datrice di lavoro del ricorrente - a produrre documentazione contabile e bancaria riservata, di cui la parte richiedente - concorrente della stessa obbligata - verrebbe a conoscenza senza averne diritto".
La B._ Ltd si oppone al conferimento dell'effetto sospensivo e propone, con risposta 7 maggio 2021, di dichiarare il gravame inammissibile o, in via subordinata, di respingerlo.
4.
Giusta l'<ref-law> ha diritto di interporre ricorso in materia civile chi ha partecipato al procedimento dinanzi all'autorità inferiore o è stato privato della possibilità di farlo (lett. a) ed è particolarmente toccato dalla decisione impugnata e ha un interesse degno di protezione all'annullamento o alla modifica della stessa (lett. b). Il ricorrente deve avere un interesse personale e, se il diritto al ricorso non è evidente, deve dimostrare che i predetti presupposti sono dati (sentenza 4A_560/2018 del 16 novembre 2018 consid. 2.1).
In concreto la partecipazione del ricorrente alla procedura innanzi all'autorità inferiore è pacifica. Non è per contro ravvisabile alcun suo interesse personale (degno di protezione) all'annullamento o alla modifica della decisione impugnata. Il contestato obbligo di produrre documentazione contabile e bancaria non è infatti stato pronunciato nei suoi confronti, ma - come indicato nel gravame - in quelli della società anonima per cui lavora. Nell'impugnativa non viene neppure abbozzato un qualsiasi motivo da cui emerge che il ricorrente potrebbe avere un interesse personale degno di protezione ad impedire la trasmissione all'opponente di tale documentazione. Ne segue che i presupposti per interporre un ricorso in materia civile non sono in concreto adempiuti. Nemmeno il fatto di proporre in subordine l'accoglimento dell'impugnativa quale ricorso sussidiario in materia costituzionale, soccorre il ricorrente. Il diritto di ricorso per tale rimedio soggiace infatti a condizioni più restrittive rispetto a quelle del ricorso in materia civile, poiché giusta l'<ref-law> non basta un interesse degno di protezione, ma è necessario un interesse legittimo (ein rechtlich geschütztes Interesse; un intérêt juridique).
5.
Da quanto precede discende che il ricorso si rivela inammissibile. Con l'evasione del gravame la domanda di effetto sospensivo è divenuta caduca. Le spese giudiziarie e le ripetibili seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 LTF).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è inammissibile.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 1'000.-- sono poste a carico del ricorrente.
3.
Il ricorrente verserà all'opponente la somma di fr. 2'500.-- a titolo di ripetibili per la procedura innanzi al Tribunale federale.
4.
Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla III Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.