Sachverhalt:
A.
Die Eheleute A. und B. C._, beide kosovarische Staatsangehörige, ersuchten mit Eingabe vom 7. Dezember 2007 um Erteilung des Bürgerrechts. Das erste Gespräch zwischen ihnen und dem Gemeinderat Uttwil fand am 29. Juni 2010 statt. Am 3. Mai 2011 erteilte das Bundesamt für Migration den Eheleuten die eidgenössische Einbürgerungsbewilligung. Nach einem zweiten Abklärungsgespräch vom 21. Mai 2013 unterbreitete der Gemeinderat das Einbürgerungsgesuch der Gemeindeversammlung. Er beantragte dessen Ablehnung mit der Begründung, die Deutschkenntnisse und die soziale Integration seien ungenügend. Am 12. November 2013 lehnte die Gemeindeversammlung das Einbürgerungsgesuch ab.
B.
Das Departement für Justiz und Sicherheit (DJS) des Kantons Thurgau wies den Rekurs gegen den kommunalen Entscheid am 31. März 2014 ab. Diesen Rekursentscheid schützte das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau am 3. Dezember 2014. Das Bundesgericht hiess hingegen mit Urteil 1D_1/2015 vom 1. Juli 2015 die hiergegen gerichtete subsidiäre Verfassungsbeschwerde gut, soweit es darauf eintrat, und wies die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurück. Es erwog, die Vorinstanz habe eine ausreichende Rechts- und Sachverhaltsprüfung unterlassen und dadurch gegen das Verbot der formellen Rechtsverweigerung und den Anspruch auf rechtliches Gehör verstossen. In der Folge hob das Verwaltungsgericht am 10. Februar 2016 die unterinstanzlichen Entscheide vom 12. November 2013 und vom 31. März 2014 auf und wies die Angelegenheit an die Gemeinde zu weiteren Sachverhaltsabklärungen zurück.
C.
Nach Vornahme der Abklärungen teilte der Gemeinderat Uttwil A. und B. C._ am 13. März 2018 mit, der Gemeinderat habe beschlossen, bei der Gemeindeversammlung erneut die Ablehnung des Einbürgerungsgesuchs zu beantragen. Sie würden nicht über eine ausreichende Existenzgrundlage verfügen. Das Gesuch werde der Gemeindeversammlung nur unterbreitet, wenn die Gesuchsteller dies bis Ende März 2018 schriftlich verlangen würden. Ansonsten wäre das Verfahren beendet.
D.
Die Gesuchsteller reichten am 15. März 2018 eine Rechtsverzögerungsbeschwerde mit Antrag auf Ersatzvornahme beim DJS ein. Dieses nahm die Eingabe als Aufsichtsbeschwerde entgegen und wies sie ab, soweit es darauf eintrat.
Hiergegen führten die Gesuchsteller Beschwerde an das Verwaltungsgericht. Das Verwaltungsgericht trat auf die Beschwerde insoweit ein, als darin Rechtsverweigerung bzw. Rechtsverzögerung geltend gemacht wurde. In diesen Punkten wies es die Beschwerde mit Entscheid vom 12. September 2018 ab. Im Hinblick auf die aufsichtsrechtlichen Rügen gegen die Gemeinde erachtete das Verwaltungsgericht den Regierungsrat des Kantons Thurgau als zuständig. Deshalb entschied es gleichzeitig, die Sache sei insoweit nach Rechtskraft seines Entscheids zuständigkeitshalber an den Regierungsrat zu überweisen.
E.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 29. Oktober 2018 beantragen die Beschwerdeführer die Aufhebung des angefochtenen verwaltungsgerichtlichen Entscheids. Ausserdem sei ihnen das Gemeindebürgerrecht zu erteilen; eventualiter sei die Sache an das DJS, subeventualiter an die Gemeinde zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Ein weiterer Beschwerdepunkt bezieht sich auf die Höhe der vorinstanzlichen Gerichtskosten.
Der Gemeinderat Uttwil ersucht um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das DJS und das Verwaltungsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Sinne von <ref-law> ist gemäss <ref-law> gegen Entscheide über die ordentliche Einbürgerung ausgeschlossen. Dieser Ausnahmegrund kommt auch bei der Beschwerde gegen einen Zwischenentscheid im Verfahren der ordentlichen Einbürgerung zur Anwendung (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 und 1.2 S. 269; Urteil 1D_10/2011 vom 14. November 2011 E. 1.1 und 1.4). Im Grundsatz steht vorliegend nur die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss <ref-law> offen. Auf die eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist folglich nicht einzutreten. Das Rechtsmittel kann indessen als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen werden, wenn die Voraussetzungen dafür erfüllt sind.
1.2. Ausgangspunkt des Beschwerdeverfahrens bildet die Mitteilung des Gemeinderats vom 13. März 2018 über die Weiterführung des Verfahrens. Es handelt sich um einen Zwischenentscheid, gegen welchen die Beschwerde grundsätzlich nur unter den Voraussetzungen von Art. 93 i.V.m. <ref-law> zulässig ist. Das Bundesgericht verzichtet allerdings bei Beschwerden wegen formeller Rechtsverweigerung und wegen Rechtsverzögerung grundsätzlich auf das Erfordernis eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils im Sinne von <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 129; Urteile 1D_10/2011 vom 14. November 2011 E. 1.4; 8C_581/2014 vom 16. März 2015 E. 5.2). Art. 93 i.V.m. <ref-law> schliessen die Zulässigkeit der Beschwerde in dieser Hinsicht nicht aus. Im Übrigen kann die in einem Zwischenentscheid enthaltene Kostenregelung im Rahmen einer Beschwerde über den Hauptpunkt ebenfalls direkt an das Bundesgericht weitergezogen werden, wenn der Rechtsweg im Hauptpunkt offensteht (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 333 f.).
1.3. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann nach <ref-law> die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden. Zur Beschwerde ist gemäss <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b).
Die Beschwerdeführer haben am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen. Nach der Rechtsprechung können sie sich als Partei im Einbürgerungsverfahren auf die Verletzung bundesverfassungsrechtlicher Verfahrensgarantien berufen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt (<ref-ruling> E. 3.5 S. 103; <ref-ruling> E. 1.2 S. 308). Das trifft auf die Rüge eines Verstosses gegen das Verbot der Rechtsverweigerung und der Rechtsverzögerung (<ref-law>) und gegen den Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) zu. Den in diesem Zusammenhang zusätzlich erhobenen Willkürrügen kommt keine eigenständige Bedeutung zu. Auch das abgaberechtliche Äquivalenzprinzip bildet einen zulässigen Beschwerdegrund bei der subsidiären Verfassungsbeschwerde.
Der Gemeinderat zieht in der Vernehmlassung an das Bundesgericht ein aktuelles Rechtsschutzinteresse der Beschwerdeführer hinsichtlich ihres Hauptpunkts in Zweifel. Dieser Einwand ist unbehelflich. Der Gemeinderat macht nicht substanziiert geltend, dass das Einbürgerungsgesuch inzwischen der Gemeindeversammlung vorgelegt und darüber Beschluss gefasst worden wäre. Es ist richtig, dass ihnen mit dem Schreiben des Gemeinderats vom 13. März 2018 die Möglichkeit eingeräumt wurde, die Vorlage des Gesuchs an die Gemeindeversammlung zu verlangen. Gleichzeitig wurde ihnen mitgeteilt, dass das Verfahren bei unbenutztem Fristablauf beendet sei. Die Beschwerdeführer besitzen ein aktuelles Rechtsschutzinteresse an der Überprüfung der fraglichen Verfahrensführung.
1.4. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft jedoch unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.5 S. 144). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten, soweit die Verletzung von Grundrechten gerügt wird. Dies prüft das Bundesgericht grundsätzlich nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 176 mit Hinweisen). Ob die Beschwerdeführer das Begründungsgebot hinreichend beachten, wird im jeweiligen Sachzusammenhang zu prüfen sein.
1.5. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
2.
2.1. Gemäss Art. 50 Abs. 2 des Bundesgesetzes über das Schweizer Bürgerrecht (BüG; SR 141.0) ist im vorliegenden Fall noch das Bundesgesetz über Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts vom 29. September 1952 (aBüG; AS 1952 1087; Zugriff auf die einschlägige konsolidierte Fassung über SR 141.0) anwendbar.
2.2. Für die ordentliche Einbürgerung muss der Gesuchsteller die gesetzlichen Wohnsitzerfordernisse erfüllen (vgl. Art. 15 aBüG), die hier nicht strittig sind. Überdies ist gemäss Art. 14 aBüG vor Erteilung der Bewilligung zu prüfen, ob der Bewerber zur Einbürgerung geeignet ist, insbesondere ob er in die schweizerischen Verhältnisse eingegliedert ist (lit. a), mit den schweizerischen Lebensgewohnheiten, Sitten und Gebräuchen vertraut ist (lit. b), die schweizerische Rechtsordnung beachtet (lit. c) und die innere oder äussere Sicherheit der Schweiz nicht gefährdet (lit. d). Die Kantone sind in der Ausgestaltung der Einbürgerungsvoraussetzungen insoweit frei, als sie hinsichtlich der Wohnsitzerfordernisse oder der Eignung Konkretisierungen des bundesgesetzlich vorgeschriebenen Rahmens vornehmen können (<ref-ruling> E. 6.3 S. 173 mit Hinweis).
2.3. § 31 des Gesetzes vom 6. Dezember 2017 über das Kantons- und Gemeindebürgerrecht des Kantons Thurgau (KBüG; RB 141.1) sieht ebenfalls vor, dass die bei Inkrafttreten des Gesetzes hängigen Gesuche nach den Bestimmungen des bisherigen Rechtes behandelt werden. Gemäss § 2 Abs. 1 des entsprechend anwendbaren, früheren kantonalen Gesetzes vom 14. August 1991 über das Kantons- und Gemeindebürgerrecht (aKBüG; Zugriff auf die einschlägige konsolidierte Fassung über RB 141.1) bildet das Gemeindebürgerrecht die Voraussetzung für den Erwerb des Kantonsbürgerrechts. Nach § 6 Abs. 1 KBüG setzt die Aufnahme eines Ausländers in das Bürgerrecht voraus, dass der Bewerber hiezu geeignet ist. Vor der Erteilung des Bürgerrechtes ist durch die zuständige Gemeindebehörde gemäss § 6 Abs. 2 aKBüG insbesondere zu prüfen, ob der Bewerber in die örtlichen, kantonalen und schweizerischen Verhältnisse eingegliedert ist (Ziff. 1), mit den Lebensgewohnheiten, Sitten und Gebräuchen des Landes vertraut ist (Ziff. 2), die Rechtsordnung beachtet und die innere und äussere Sicherheit der Schweiz nicht gefährdet (Ziff. 3) sowie über eine ausreichende Existenzgrundlage verfügt (Ziff. 4). Das Gesuch um Einbürgerung kann von jedem Ehegatten selbständig gestellt werden (§ 7 Abs. 1 aKBüG). Zum Verfahren bestimmt § 6 der übergangsrechtlich anwendbaren Ausführungsverordnung des Regierungsrats vom 8. Dezember 1992 (aKBüV; Zugriff auf die einschlägige konsolidierte Fassung über RB 141.11), dass die Gemeindebehörde es dem Bewerber unter Angabe der Gründe mitteilt, wenn sie beschliesst, die Ablehnung des Gesuchs zu beantragen (Abs. 1). In diesem Fall ist das Gesuch dem zur Einbürgerung zuständigen Gemeindeorgan nur zu unterbreiten, wenn der Bewerber dies ausdrücklich verlangt (Abs. 2).
2.4. Das Verwaltungsgericht hat die Gemeinde im Entscheid vom 10. Februar 2016 zu weiteren Sachverhaltsabklärungen und anschliessend zu neuem Entscheid in der Sache verpflichtet. Gemäss den Erwägungen dieses Entscheids betreffen die gebotenen Abklärungen die Deutschkenntnisse der Beschwerdeführer, ihre soziale Integration und das Vorliegen einer ausreichenden wirtschaftlichen Existenzgrundlage bei Einstellung der Invalidenrente an den gesuchstellenden Ehemann. Dabei wurden die Beschwerdeführer an ihre Mitwirkungspflicht erinnert, indem darauf hingewiesen wurde, dass sie gegenüber der Gemeinde detaillierte Angaben zu machen hätten, welche diese auch überprüfen könne. Im Streit liegt, ob das daraufhin durchgeführte Verfahren der Gemeinde mit dem Verbot der Rechtsverweigerung und der Rechtsverzögerung vereinbar ist.
3.
Vorweg werfen die Beschwerdeführer der Vorinstanz indessen als Gehörsverletzung vor, den Sachverhalt - namentlich zu den Gründen für die eingetretenen Verfahrensverzögerungen - nicht ausreichend abgeklärt zu haben. Auch seien verschiedene ihrer Vorbringen im angefochtenen Entscheid nicht berücksichtigt worden.
Der Anspruch auf rechtliches Gehör verlangt von der Behörde, dass sie die Vorbringen der Betroffenen tatsächlich hört, ernsthaft prüft und in ihrer Entscheidfindung angemessen berücksichtigt. Die Begründung muss zumindest kurz die wesentlichen Überlegungen nennen, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die es seinen Entscheid stützt. Nicht erforderlich ist, dass sich die Begründung mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 145; <ref-ruling> E. 6.2 S. 274; je mit Hinweisen).
Den Ausführungen der Vorinstanz ist in nachvollziehbarer Weise zu entnehmen, weshalb sie nicht vom Vorliegen einer Rechtsverweigerung oder Rechtsverzögerung ausgeht. Dabei hat die Vorinstanz die Vorbringen der Beschwerdeführer genügend berücksichtigt. Auch der entscheidwesentliche Sachverhalt wurde ausreichend festgestellt. Weder hat die Vorinstanz in diesem Zusammenhang unbelegte Vermutungen angestellt noch hat sie in unkritischer Weise Ansichten der vorgelagerten Instanzen übernommen. Die Entscheidbegründung versetzte die Beschwerdeführer in die Lage, den Entscheid sachgerecht anzufechten. Auch im Übrigen enthält dessen Begründung die wesentlichen Überlegungen, von denen die Vorinstanz sich leiten liess und auf die sie ihren Entscheid stützt. Sodann konnte die Vorinstanz auf Grund der Verfahrensakten ihre Überzeugung bilden und ohne Willkür annehmen, weitere Abklärungen würden daran nichts ändern (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 9.2 S. 65; <ref-ruling> E.3.3 S. 64; je mit Hinweisen). Der Vorwurf der Gehörsverletzung dringt demzufolge nicht durch.
4.
4.1. Eine formelle Rechtsverweigerung im Sinn von <ref-law> liegt vor, wenn eine Behörde auf eine Eingabe fälschlicherweise nicht eintritt oder eine solche ausdrücklich bzw. stillschweigend nicht an die Hand nimmt und behandelt, obwohl sie dazu verpflichtet wäre. Das Gleiche gilt, wenn einzelne Anträge oder Teile davon nicht behandelt werden (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 192; <ref-ruling> E. 2.1 S. 9; <ref-ruling> E. 3b S. 194). Eine Rechtsverweigerung kann auch darin liegen, dass sich eine Behörde mit rechtsgenügend vorgebrachten Rügen der rechtsuchenden Partei gar nicht auseinandersetzt, wobei sich in einem solchen Fall das Verbot der Rechtsverweigerung mit dem Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> berührt (vgl. Urteil 2C_608/2017 vom 24. August 2017 E. 5.2). Ob eine solche formelle Rechtsverweigerung vorliegt, prüft das Bundesgericht mit freier Kognition (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.1 S. 9 f. mit Hinweisen).
4.2. Die Mitteilung des Gemeinderats vom 13. März 2018 an die Beschwerdeführer, wonach ihr Gesuch der Gemeindeversammlung nicht vorgelegt werde, wenn sie nicht innert angesetzter Frist daran festhalten würden, stützte sich auf § 6 aKBüV. Die Rügen der Beschwerdeführer sind nicht geeignet, eine unrichtige Anwendung dieser Vorschrift darzutun. Die Beschwerdeführer behaupten zusätzlich, die fragliche Norm widerspreche übergeordnetem Recht und dürfe deshalb nicht angewendet werden. Dabei beschränken sie sich in appellatorischer Weise darauf, die Tragweite dieser Vorschrift auf ein Verfahrenshindernis für Einbürgerungswillige zu reduzieren. Sie bringen aber keine substanziierten Verfassungsrügen im Hinblick auf die von ihnen angestrebte akzessorische Normenkontrolle vor. Es genügt in dieser Hinsicht auch nicht, die Pflicht der Vorinstanz zur Rechtsanwendung von Amtes wegen ins Feld zu führen. Die Vereinbarkeit von § 6 aKBüV mit dem übergeordneten Recht kann somit vorliegend nicht überprüft werden (oben E. 1.4).
4.3. Die Beschwerdeführer setzen die Rüge der formellen Rechtsverweigerung in Bezug zum Kriterium der ausreichenden Existenzgrundlage gemäss § 6 Abs. 2 Ziff. 4 aKBüG. Sie behaupten, einen Anspruch auf einen positiven Antrag des Gemeinderats an die Gemeindeversammlung zu ihrem Gesuch zu besitzen. Ein Sozialhilfebezug wegen Behinderung dürfe kein Hinderungsgrund für die Einbürgerung sein. Entsprechend ihrer Argumentation hätte § 6 aKBüV in ihrem Fall nicht angewendet werden dürfen. Der Gemeinderat hat die erfolgten Sozialhilfebezüge jedoch in Zusammenhang mit der Feststellung des Verwaltungsgerichts im Entscheid vom 10. Februar 2016 gewürdigt, wonach der gesuchstellende Ehemann in einer adaptierten Tätigkeit wieder voll arbeitsfähig sei. Mit anderen Worten rechtfertigt der Gemeinderat seine abschlägige Gesuchsbeurteilung dahingehend, dass die Folgen des erlittenen Unfalls beim gesuchstellenden Ehemann einer wirtschaftlichen Selbsterhaltungsfähigkeit nicht entgegenstehen sollen. Das Diskriminierungsverbot (<ref-law>) schliesst es nicht von vornherein aus, eine wirtschaftliche Selbsterhaltungsfähigkeit auch bei Personen mit körperlichen bzw. gesundheitlichen Einschränkungen als Einbürgerungsvoraussetzung zu verlangen, erfordert aber eine qualifizierte Rechtfertigung (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 53 f.). Beim gegebenen Stadium des Einbürgerungsverfahrens ist einer materiellen Beurteilung über die Tragweite des Kriteriums der Existenzgrundlage und die diesbezüglich nötige Entscheidbegründung nicht vorzugreifen. Immerhin ist dem Gemeinderat zugute zu halten, dass er ernsthafte Gründe für sein Vorgehen angeführt hat. Wenn der Gemeinderat das Gesuch deswegen nicht in unterstützendem Sinne an die Gemeindeversammlung weitergeleitet, sondern § 6 aKBüV zur Anwendung gebracht hat, hat er keine formelle Rechtsverweigerung begangen. Den Beschwerdeführern ist mit der nach dieser Bestimmung verlangten Erklärung über die Fortsetzung ihres Gesuchsverfahrens der Weg zu einem anfechtbaren Entscheid in der Sache nicht versperrt worden. Die diesbezüglichen Rügen der Beschwerdeführer gehen fehl.
5.
5.1. Nach dem Verbot der Rechtsverzögerung bzw. dem Beschleunigungsgebot (<ref-law>) sind die Gemeinden verpflichtet, die bei ihnen hängigen Einbürgerungsverfahren ohne unnötige Verzögerungen zum Abschluss zu bringen (<ref-ruling> E. 4.4. S. 277). Die Angemessenheit der Dauer bestimmt sich nicht absolut. Sie ist im Einzelfall unter Berücksichtigung der gesamten Umstände einer Angelegenheit wie Umfang und Bedeutung des Verfahrens, das Verhalten der betroffenen Privaten und der Behörden, die Bedeutung für die Betroffenen sowie die für die Sache spezifischen Entscheidungsabläufe zu berücksichtigen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 489 mit Hinweisen).
5.2. Beiläufig beanstanden die Beschwerdeführer zwar, dass ihr Gesuch seit Dezember 2007 hängig ist. Substanziierte Rügen zum Verzögerungsverbot erheben sie aber nur zum kommunalen Verfahren seit dem verwaltungsgerichtlichen Entscheid vom 10. Februar 2016. Soweit sich die Beschwerde gegen frühere Verfahrensabschnitte richten sollte, kann darauf nicht eingetreten werden (vgl. oben E. 1.4).
5.3. Nach den Feststellungen der Vorinstanz orientierte die Gemeinde die Beschwerdeführer am 31. Mai 2016 über das Vorgehen. Da sich in der Folge zeigte, dass Unklarheiten im Zusammenhang mit dem geforderten Sprachniveau bestanden, nahm der Gemeinderat am 18. Juli 2017 die dafür nötige Präzisierung vor. Die Nachweise über die bestandenen Deutschprüfungen wurden am 11. November 2017 eingereicht. Mit Bezug auf die soziale Integration gaben die Beschwerdeführer rund 100 Referenzen an und bestanden darauf, dass diese ausgewertet werden müssten. Unterlagen zu den finanziellen Verhältnissen wurden der Gemeinde erst nach wiederholter Mahnung eingereicht. So stellten die Beschwerdeführer dem Gemeinderat erst am 21. Februar 2018 eine Bestätigung des kommunalen Sozialamts über Sozialhilfebezüge zu. Diese Aufstellung erstreckt sich zeitlich nur bis zum Jahr 2016; darin fehlen Angaben zur Zeit danach. Diesem äusseren Verfahrensablauf widersprechen die Beschwerdeführer nicht substanziiert. Sie rügen jedoch, es seien laufend neue und sinnlose Dokumente gesammelt worden, um einen Vorwand für die Nichteinbürgerung zu finden und das Verfahren zu verschleppen.
5.4. Vom Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 10. Februar 2016 bis zur Mitteilung des Gemeinderats vom 15. März 2018 verstrichen rund zwei Jahre.
Entgegen der Meinung der Beschwerdeführer sind die von der Gemeinde verlangten Auskünfte als sachlich nötig anzusehen. Dies gilt namentlich für die Abklärungen zur wirtschaftlichen Existenzgrundlage: Eine schlüssige Übersicht über die finanziellen Verhältnisse ist erforderlich, selbst wenn allenfalls geringere Anforderungen an die wirtschaftliche Selbsterhaltungsfähigkeit beim gesuchstellenden Ehemann zu stellen wären (vgl. dazu oben E. 4.3). Hinzu kommt, dass sich bei ihm die Ausgangslage seit dem Wegfall der Invalidenrente erheblich verändert hat und daher eine neue eingehende Abklärung bei beiden Beschwerdeführern angezeigt ist. Die Mitwirkungspflicht der Beschwerdeführer im Rahmen ihres Gesuchs rechtfertigt es auch, dass der Gemeinderat die Bescheinigung des Sozialamts über Sozialhilfebezüge von ihnen verlangt und diese nicht direkt bei dieser kommunalen Amtsstelle eingeholt hat. Obwohl die entsprechende Bescheinigung vom 20. Februar 2018 keine Angaben zur Zeit nach 2016 enthält, hat der Gemeinderat am 15. März 2018 den Beschwerdeführern seine Position zum Einbürgerungsgesuch mitgeteilt. Dieser Zwischenschritt erfolgte innert angemessener Frist nach Eingang dieser Auskünfte.
Insgesamt weist die Angelegenheit einen mittleren Umfang und eine ebensolche Komplexität auf. Die einzelnen Verfahrensphasen und Entscheidschritte bei den betreffenden Abklärungen lassen keine aussergewöhnlichen Längen erkennen. Den Beschwerdeführern steht es zu, die vom Gemeinderat gestellten Fragen zu ihren Verhältnissen zu hinterfragen und dagegen Einwände zu erheben. Sie haben insoweit aber auch sich ergebende Verfahrensverzögerungen hinzunehmen. Wie dargelegt, waren die finanziellen Verhältnisse der Beschwerdeführer ohne Auskünfte über die Sozialhilfebezüge nicht genügend erstellt. Der Gemeinderat war deshalb nicht verpflichtet, seinen Antrag zum Einbürgerungsgesuch bereits nach Vorliegen des Nachweises über die bestandenen Deutschprüfungen im November 2017 zu fassen. Die diesbezüglichen Vorwürfe der Beschwerdeführer sind nicht stichhaltig.
5.5. Zusammengefasst ist der Vorwurf der Rechtsverzögerung abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Es besteht derzeit kein Anlass, die Durchführung des erstinstanzlichen Einbürgerungsverfahrens ersatzweise dem übergeordneten DJS zu übertragen. Umso weniger kann dem Antrag auf Erteilung des Bürgerrechts durch das Bundesgericht entsprochen werden.
Im Hinblick auf das kommunale Verfahren ist anzumerken, dass die Beschwerdeführer bisher keine Anhaltspunkte geliefert haben, wonach sie von ihrem Gesuch Abstand nehmen würden. Selbst wenn sie die vom Gemeinderat im März 2018 angesetzte Frist nicht wahrgenommen und mithin keine Erklärung zur Vorlage ihres Gesuchs an die Gemeindeversammlung abgegeben hätten, dürfte dies nicht zur Abschreibung des Einbürgerungsverfahrens führen. Es stände auch im Widerspruch zu den verfassungsmässigen Verfahrensrechten der Beschwerdeführer, wenn die Behandlung ihres Gesuchs bis zum Ausgang des vom Verwaltungsgericht vorbehaltenen, aufsichtsrechtlichen Verfahrens aufgeschoben würde. Hingegen liefe es diesen Verfassungsrechten nicht zuwider, wenn der Gemeinderat den Beschwerdeführern nochmals eine kurze Frist zur Äusserung vor der Weiterleitung des Gesuchs an die Gemeindeversammlung ansetzt.
6.
Mit einer letzten Rüge wird geltend gemacht, die Verfahrensgebühr der Vorinstanz von Fr. 2'000.-- sei übersetzt und missachte das Äquivalenzprinzip.
Das Äquivalenzprinzip konkretisiert das Verhältnismässigkeitsprinzip (<ref-law>) und das Willkürverbot (<ref-law>) für den Bereich der Kausalabgaben. Die kantonalen Gerichte verfügen bei der Festsetzung von Gerichtsgebühren über einen grossen Ermessensspielraum, der jedoch überschritten wird, wenn in Verletzung des Äquivalenzprinzips ein offensichtliches Missverhältnis zwischen der Gebühr und dem objektiven Wert der bezogenen Leistung besteht (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.2 S. 108 f.; zur Publikation vorgesehenes Urteil 1C_358/2017 vom 5. September 2018 E. 5.2.4).
Der vorinstanzliche Entscheid umfasst rund 15 Seiten. Die sachgerechte Behandlung der Beschwerde erforderte einen nicht unerheblichen Arbeitsaufwand des Gerichts. Der umstrittene Betrag von Fr. 2'000.-- bewegt sich in einem vertretbaren Rahmen. Es ist richtig, dass die Rechtsmittelbelehrung im unterinstanzlichen Departementsentscheid nicht auf die Gabelung des Rechtswegs bei einer Anfechtung hingewiesen hat. Dies gebietet indessen keine Reduktion der vorinstanzlichen Gerichtsgebühr, zumal die Beschwerdeführer keinen Rechtsverstoss bei jener Rechtsmittelbelehrung dartun. Die gegen die Gebührenhöhe gerichtete Verfassungsrüge erweist sich als unbegründet.
7.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten den unterliegenden Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
4.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Politischen Gemeinde Uttwil, dem Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. April 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Kessler Coendet