Faits :
A.
A._, né en 1968, souffre d'affections psychiques (troubles psychotiques, syndrome de Diogène). Il bénéficie d'une rente entière de l'assurance-invalidité depuis le 1 er octobre 1996. Le 6 août 2015, il a déposé une demande d'allocation pour impotent. L'assuré a complété sa demande, le 10 décembre 2015, en indiquant qu'il avait présenté une telle requête en janvier 2003 déjà et qu'il attendait depuis cette époque.
Par décision du 16 juin 2016, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) lui a accordé une allocation pour impotent de degré faible à partir du 1 er août 2014.
B.
A._ a déféré cette décision à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales. Par jugement du 19 octobre 2017, la juridiction cantonale a rejeté le recours.
C.
Dans deux mémoires de recours séparés, A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut principalement au versement d'une allocation pour impotent de degré moyen depuis 2000 ou 2002, subsidiairement au renvoi de la cause à l'instance précédente pour complément d'instruction et nouvelle décision. Postérieurement à l'échéance du délai de recours, A._ a encore déposé spontanément d'autres écritures.

Considérant en droit :
1.
1.1. Les pièces produites par le recourant les 3 janvier et 26 mars 2018 ont été établies après la notification du jugement cantonal, voire postérieurement à l'échéance du délai de recours; elles portent sur l'état de l'appartement dans lequel il vit. Quelle que soit la pertinence de leur contenu, de tels moyens de preuve nouveaux (vrais nova) sont d'emblée inadmissibles et ne sont pas visés par l'<ref-law> (cf. par ex. arrêt 9C_280/2015 du 6 juin 2016 consid. 4.3.2).
Les 4 février et 11 mars 2018, le recourant a envoyé au Tribunal fédéral un document qu'il avait établi plusieurs mois avant le prononcé du jugement attaqué. Il est également irrecevable puisque le recourant aurait pu produire cette pièce devant l'instance précédente (<ref-law>).
1.2. Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il fonde par ailleurs son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération.
2. A titre liminaire, le recourant reproche à la Présidente de la Chambre des assurances sociales, Karine Steck, de ne pas s'être récusée. Le principe de la bonne foi (art. 5 al. 3 Cst.) oblige celui qui constate un prétendu vice de procédure à le signaler immédiatement, à un moment où il pourrait encore être corrigé, et lui interdit d'attendre, en restant passif, afin de pouvoir s'en prévaloir ultérieurement devant l'autorité de recours (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 496; <ref-ruling> consid. 5f p. 38 et les références; arrêt 6B_9/2011 du 10 janvier 2011 consid. 2).
En l'occurrence, il ne ressort pas du jugement entrepris que le recourant aurait demandé, en instance cantonale, la récusation de la juge prénommée au motif qu'elle ne présentait pas les garanties d'impartialité requises. Vu les pièces du dossier cantonal, il paraît au contraire que le grief de prévention a été invoqué pour la première fois après la notification du jugement attaqué du 19 octobre 2017, soit dans le courriel du 27 octobre 2017 que le recourant a envoyé à la Présidente de la Chambre des assurances sociales. Le recourant n'avait ainsi pas, par l'intermédiaire de son conseil, fait état de cette requête lors de l'audience de comparution personnelle des parties du 15 juin 2017, présidée par la Juge Karine Steck. Par ailleurs, dans le délai de recours, il ne présente aucune pièce démontrant qu'il aurait déposé une demande de récusation à l'encontre de la Présidente. Devant le Tribunal fédéral, le recourant ne se prévaut d'aucun motif l'ayant empêché de soulever le grief de prévention devant les autorités cantonales. S'il considérait que la magistrate ne présentait pas toutes les garanties d'indépendance requises, le principe de la bonne foi lui commandait de réagir immédiatement en ce sens. Il ne pouvait s'en abstenir et attendre l'issue de la procédure pour se plaindre dans un recours ultérieur, d'atteintes à son droit de bénéficier d'un procès équitable au sens des art. 30 al. 1 Cst. et 6 ch. 1 CEDH. Le grief est irrecevable.
3.
Le litige porte sur le degré de l'impotence du recourant, ainsi que sur le début du droit au versement de l'allocation pour impotent.
Le jugement entrepris expose de manière complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs à la notion d'impotence et à son évaluation (<ref-law>, 42 LAI, 37 et 38 RAI); il suffit d'y renvoyer. On ajoutera que le début du versement de l'allocation est régi par l'<ref-law>, selon lequel si un assuré ayant droit à une allocation pour impotent, à des mesures médicales ou à des moyens auxiliaires présente sa demande plus de douze mois après la naissance de ce droit, la prestation, en dérogation à l'art. 24, al. 1, LPGA, n'est allouée que pour les douze mois précédant le dépôt de la demande.
4.
4.1. Se fondant en particulier sur les avis du docteur B._, spécialiste en neurologie (rapport du 7 juillet 2016) et de la doctoresse C._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (rapports des 20 janvier et 1er juillet 2016), les premiers juges ont constaté que le recourant ne subit aucune impotence fonctionnelle pour accomplir les actes ordinaires de la vie. Il doit néanmoins être incité à effectuer les gestes de la vie quotidienne - dont les six actes ordinaires - et être assisté pour ne pas s'isoler du monde extérieur, ce qui justifie la nécessité d'un accompagnement durable pour faire face aux nécessités de la vie. Dans cette mesure, les juges ont admis qu'on ne saurait prendre en compte une nouvelle fois le besoin qu'a le recourant de se voir rappeler d'accomplir les actes concernés ("se vêtir / se dévêtir", "manger", "soins du corps", "aller aux toilettes", "se déplacer"), en lui reconnaissant un besoin d'aide pour chacune desdites actions, dont il est établi qu'il possède les facultés physiques pour les accomplir lui-même. Les juges cantonaux ont relevé que la doctoresse C._ avait confirmé l'absence d'infirmité motrice et attesté que le recourant est en mesure de vivre seul mais qu'il aurait besoin d'une présence discrète et fiable pour "rendre plus fluides et moins menaçantes les relations avec le monde extérieur et entretenir son intérieur". Dans ces conditions, la juridiction cantonale a admis que l'intimé avait accordé à juste titre une allocation pour impotence faible.
4.2. Le recourant soutient que le taux de l'allocation pour impotent résulte d'une constatation manifestement inexacte des faits pertinents (<ref-law>) et d'une violation du droit (<ref-law>). Relevant que ses médecins ont attesté qu'il est incapable d'accomplir quatre actes ordinaires de la vie sans l'aide d'autrui (rapport de la doctoresse D._, spécialiste en endocrinologie, diabétologie et médecine interne, du 27 avril 2016, et du docteur E._, du 7 septembre 2016), respectivement trois actes (doctoresse F._, spécialiste en médecine interne et maladies allergiques, du 5 septembre 2016), il fait grief à la juridiction cantonale d'avoir sélectionné arbitrairement les avis médicaux et de s'être appuyée uniquement sur les rapports des docteurs B._ et C._.
Par ailleurs, le recourant reproche aux premiers juges d'avoir mal appliqué la jurisprudence (cf. arrêt 9C_432/2012 du 31 août 2012, cité dans le jugement attaqué), car s'il est fonctionnellement en mesure d'accomplir les actes ordinaires de la vie, les affections psychiques dont il souffre (notamment les troubles psychotiques et le syndrome de Diogène) paralysent sa volonté et l'empêchent de les effectuer, au même titre que s'il avait une incapacité fonctionnelle ou une infirmité motrice physique.
Enfin, le recourant se plaint de l'absence d'enquête à domicile destinée à confirmer les incapacités fonctionnelles par des observations. Il soutient que les conclusions de l'intimé sont fondées à tort uniquement sur la base des rapports médicaux et de ses appels téléphoniques.
4.3.
4.3.1. L'enquête à domicile constitue un moyen de preuve approprié pour connaître l'étendue des empêchements dans la vie quotidienne qui sont causés par une affection psychique. Lorsque les conclusions de l'enquête ne coïncident pas avec les constatations médicales de ces empêchements, on accorde en règle générale plus de poids à ces dernières (arrêt 9C_497/2014 du 2 avril 2015 consid. 4.1.1 et les références).
Dans le cas d'espèce, la doctoresse C._ s'est rendue dans l'appartement de son patient. A la suite de sa visite, elle a attesté que le recourant est en mesure de vivre seul, mais qu'en raison de sa psychopathologie, il aurait besoin de présences discrètes et fiables qui participent à rendre plus fluides et moins menaçantes les relations avec le monde extérieur et à entretenir son intérieur (rapport du 20 janvier 2016). Les conclusions de la doctoresse C._ étaient claires et se référaient à la situation concrète de l'assuré dans son appartement. L'intimé disposait ainsi des informations dont il avait besoin pour statuer sur la demande. Compte tenu des pathologies psychiatriques dont souffre l'assuré, et dont les conséquences sur les actes ordinaires de la vie et l'accompagnement durable ont été décrites de manière détaillée par le médecin prénommé, l'administration pouvait se dispenser, dans ces circonstances particulières, d'envoyer un enquêteur au domicile du recourant et élaborer le rapport y relatif avec les informations de la psychiatre, confirmées lors d'un entretien téléphonique. La juridiction n'a pas violé le droit en reconnaissant pleine valeur probante au rapport d'enquête ainsi établi.
4.3.2. En ce qui concerne la capacité d'accomplir les actes ordinaires de la vie, la Chambre des assurances sociales a apparemment examiné tous les rapports médicaux versés au dossier, puisqu'elle cite "d'autres médecins" concluant à un besoin d'aide. Elle s'est fondée en particulier sur l'avis du docteur B._ qui a mieux détaillé ces actes ordinaires que ses confrères D._, E._ et F._, mettant en évidence le fait que le recourant éprouve des difficultés momentanées pour tenir son ménage (rapport du 7 juillet 2016). Quoi qu'en dise le recourant, les avis médicaux versés au dossier ne font état d'aucune paralysie de sa volonté qui l'empêcherait d'effectuer les actes ordinaires de la vie. Certes, la doctoresse D._ a mis en évidence des tremblements des membres et des mains (cf. rapport du 27 avril 2016), tandis que le docteur B._ (cf. rapport précité) a relevé des tremblements des mains. Les deux médecins mettent cependant l'accent sur les troubles psychiques de l'assuré qui l'empêcheraient d'accomplir les actes qu'ils mentionnent. Or leurs affirmations peu étayées sont contredites par les indications de la psychiatre traitant. La doctoresse C._ a ainsi précisé que le recourant peut sortir de son appartement, se déplacer notamment chez ses médecins, ne cuisine pas mais fait des courses, sans retenir aucun empêchement pour les actes de se nourrir, se vêtir, et faire sa toilette. Les certificats médicaux invoqués par le recourant ne sont dès lors pas suffisants pour retenir une impotence fonctionnelle sur le plan psychique, seules des difficultés momentanées apparaissant convaincantes (cf. rapport du docteur B._ du 7 juillet 2016, selon lequel il existe "une difficulté à boutonner sa chemise, à ne pas pouvoir faire momentanément sa toilette ni prendre une douche").
En conséquent, les constatations de la juridiction cantonale selon lesquelles l'état de santé du recourant ne l'empêche pas d'accomplir les actes ordinaires de la vie mais nécessite des prestations d'aide permettant de vivre de manière indépendante et lui rappelant ponctuellement d'accomplir les gestes de la vie quotidienne et éviter de s'isoler du monde extérieur.
Dès lors que seul le critère de l'accompagnement durable pour faire face aux nécessités de la vie (art. 37 al. 3 let. e, 38 RAI) est réalisé, singulièrement pour tenir le ménage (ch. 8050 de la Circulaire sur l'invalidité et l'impotence dans l'assurance-invalidité [CIIAI]), cela justifie l'octroi de l'allocation pour impotence faible qui lui a été accordée. Sur ce point, le recours est infondé.
5.
5.1. En première instance, le recourant a soutenu qu'il avait déposé sa demande d'allocation pour impotent le 22 janvier 2001 et qu'il l'avait renouvelée le 17 mars 2003. Les premiers juges ont constaté que le dossier ne contenait aucune trace de telles demandes. Examinant les documents produits par le recourant et divers modèles de formulaires de l'AI, ils ont constaté que la demande datée de l'année 2001 ne portait pas le logo de la Confédération suisse, alors que celui-ci était présent sur tous les formulaires produits par le recourant et ayant eu cours entre 2001 et 2006, qu'il n'existait jusqu'en décembre 2004 pas de formulaire spécifique à l'AI mais un seul formulaire commun pour l'AI et l'AVS, que ce n'est qu'à partir de l'année 2007 qu'a été demandé le numéro de téléphone mobile présent sur l'exemplaire fourni par le recourant, que la demande de 2001 semblait avoir été faite sur un formulaire correspondant à ceux ayant eu cours depuis 2007, que le formulaire daté de 2001 ne semblait pas correspondre à un document original car les deux premières questions n'étaient pas alignées avec le reste du texte, que le timbre humide de l'office AI n'avait pas été apposé sur les lignes du texte (comme si elles avaient été effacées), que le recourant n'avait pas pu télécharger à l'époque les documents comme il l'avait indiqué car cette possibilité n'était apparue qu'en 2007, et que le numéro de formulaire manquait en pied de page sur les deux demandes, notamment.
Compte tenu de ces incohérences et malgré la présence d'un timbre humide de l'office AI apposé sur ces demandes de 2001 et 2003, les juges cantonaux ont considéré que leur authenticité était douteuse. Le recourant avait donc échoué à démontrer qu'il aurait fait valoir ses droits à cette époque, si bien qu'ils ont retenu la date du 6 août 2015 comme étant celle du dépôt initial de la demande d'allocation pour impotent. Pour le surplus, ils ont fait savoir à l'intimé qu'il lui appartiendra de saisir la justice pénale s'il le juge nécessaire.
5.2. Le recourant se plaint d'une constatation inexacte voire arbitraire des faits, ce qui a abouti à une violation des <ref-law>. Il soutient que la juridiction cantonale a mal apprécié ses preuves relatives aux dépôts de deux demandes d'allocation pour impotent, en 2001 et en 2003, de sorte que la date du 6 août 2015 a été retenue à tort comme étant celle du dépôt initial. En vertu de l'<ref-law>, l'allocation pour impotent devrait ainsi lui être versée depuis l'année 2000, voire en 2002, et non seulement depuis le 1er août 2014.
En particulier, le recourant allègue que les documents qu'il a produits auraient tout de même pu exister en 2001 ou en 2003. De plus, les juges cantonaux auraient admis à tort que la falsification du timbre humide apposé sur les demandes n'était pas impossible.
5.3. Les critiques du recourant portant sur l'instruction de la cause, l'appréciation et l'administration des preuves sont vagues et dénuées de toute pertinence. Il n'aborde et ne discute pas les nombreuses contradictions mises en évidence par la juridiction cantonale, singulièrement le fait que les formulaires qu'il soutient avoir utilisés en 2001 et 2003 n'existaient pas à cette époque. Quant au timbre humide de l'office intimé apposé sur les documents en cause, le recourant n'expose pas non plus en quoi les constatations du tribunal cantonal seraient erronées dans la mesure où cette autorité a laissé entendre qu'il s'agirait d'un montage. Son argumentation portant sur une éventuelle disparition de tels timbres humides, à l'époque des faits, est dénuée de pertinence. C'est en vain que le recourant se prévaut ensuite de ses troubles psychiques qui expliqueraient qu'il ne s'était pas enquis de ses prétendues demandes de 2001 et 2003, puisqu'il ressort du dossier qu'il a eu des contacts entre 2002 et 2015 avec l'intimé (voir par ex. le questionnaire relatif à la révision de la rente, auquel il a répondu le 30 octobre 2006).
En conséquent, le recourant n'a pas démontré en quoi l'appréciation et l'administration des preuves auraient procédé d'une violation du droit (cf. art. 61 let. c LPGA) et n'a pas rendu vraisemblable l'authenticité des documents qu'il a produits. C'est donc à bon droit que les premiers juges ont tranché le litige en constatant que le dépôt initial de la demande était intervenu le 6 août 2015. Sur ce point aussi, le recours est infondé.
6.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais de la procédure (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 20 avril 2018
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
Le Greffier : Berthoud