Faits :
A.
A.a. Le 6 octobre 2020, A._, résident français, a été arrêté au motif qu'il était soupçonné d'avoir participé à un important trafic de stupéfiants, de dimension internationale, portant à tout le moins sur 422 kg de haschich. Le prénommé a été entendu par des agents de police en présence de Me B._, avocat de permanence. Il a souhaité que ce conseil puisse contacter son père pour l'informer de sa détention provisoire; il n'avait pas en tête le numéro de ce dernier, qui était toutefois enregistré dans le répertoire de l'un des trois téléphones portables saisis. La police l'a invité à reformuler cette demande devant le Procureur.
Par missive du 6 octobre 2020, Me B._ a informé le Ministère public qu'il assurait "la défense d'office" du prévenu, avec élection de domicile en son étude.
Au terme d'une audience appointée le 7 octobre 2020 - lors de laquelle Me B._, indisponible, était représenté par un confrère -, le Procureur a informé A._ (prévenu notamment d'infraction grave à la loi sur les stupéfiants) que le but de l'instruction interdisait que ses proches soient informés de son arrestation et a ajouté ne pas connaître, au demeurant, le numéro de téléphone du père de l'intéressé. Il a requis et obtenu du Tribunal des mesures de contrainte le placement du prévenu en détention provisoire.
A.b. Le 9 octobre 2020, le Ministère public a rendu un mandat d'actes d'enquête aux termes duquel il invitait la police à procéder à l'extraction et à l'analyse de données contenues dans les trois téléphones portables saisis; ce mandat valait ordonnance de perquisition et de séquestre. Il a été notifié "à A._, soit pour lui Me B._", son défenseur.
A.c. Par courriel du 9 octobre 2020, Me B._ a remercié le Procureur pour la confiance témoignée par l'octroi du mandat d'office et a demandé d'en informer la prison de Champ-Dollon; il a, par ailleurs, requis la transmission des pièces essentielles du dossier, respectivement l'autorisation de contacter le père de son mandant pour l'informer de l'arrestation de ce dernier. En réponse, le Procureur a acquiescé, ajoutant que le prévenu pouvait écrire à son père pour l'informer de sa détention.
A.d. Par courriel désigné comme urgent du 14 octobre 2020, Me B._ a informé le Ministère public du fait qu'il se rendrait ce jour-là, à 15h45, à la prison, pour s'entretenir avec A._. Dès lors que l'établissement exigeait la présentation d'une ordonnance de nomination d'office pour lui permettre de voir son mandant et qu'un tel document ne figurait pas au nombre des pièces qui lui avaient été remises, il invitait le Procureur à adresser directement à l'institution une copie de cette ordonnance ou un "n'empêche pour le parloir de ce jour".
Par courriel responsif du même jour, envoyé à 16h56, le Ministère public a octroyé un "n'empêche" pour "un parloir de ce jour".
B.
Le 15 octobre 2020, A._ a formé recours auprès de la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) pour déni de justice et retard injustifié du Ministère public. A titre de "mesures superprovisionnelles urgentes", il a demandé qu'il soit ordonné immédiatement à la prison de Champ-Dollon d'autoriser toutes les visites de Me B._ (conclusion n° 1) et de lui transmettre directement tout courrier provenant de son conseil (conclusion n° 2), mais encore que le Ministère public lui transfère sans délai les coordonnées téléphoniques de son père, figurant dans le répertoire de l'un de ses téléphones mobiles saisis (conclusion n° 3). A._ a également conclu à ce qu'il soit constaté que le Ministère public a violé, d'une part, "la loyauté et la célérité attendue[s]" en ne répondant pas immédiatement à ses demandes, respectivement aux requêtes de son avocat (conclusion n° 4), ainsi que, d'autre part, "ses droits" en ne lui permettant pas de contacter immédiatement un proche pour l'informer de son arrestation (conclusion n° 5), mais encore ses "droits fondamentaux" en ne lui désignant pas immédiatement un avocat d'office (conclusion n° 6) et en l'empêchant de rencontrer Me B._ sur son lieu de détention (conclusion n° 7). A titre principal, A._ a conclu à ce qu'il soit ordonné au Ministère public de désigner, sans délai et rétroactivement, Me B._ en qualité d'avocat d'office (conclusion n° 8) et à ce qu'il lui soit octroyé une indemnité de 700 fr. pour avoir été privé de ses droits fondamentaux depuis sept jours (conclusion n° 9), ainsi qu'une indemnité de 1'300 fr. pour son défenseur, laquelle devra englober, aussi bien le temps et l'énergie perdus à Champ-Dollon par son avocat (conclusion n° 10, première partie), que la rédaction du présent recours (conclusion n° 10, seconde partie).
En substance, A._ reprochait au Ministère public de tarder à désigner Me B._ en qualité d'avocat d'office (<ref-law>) ainsi que de l'empêcher de communiquer, tant avec son père qu'avec son défenseur. Ce faisant, l'autorité précédente avait violé, et continuait de violer, ses droits essentiels. La constatation desdites violations, respectivement l'octroi d'indemnisations de ce chef, étaient donc justifiées.
C.
Le 16 octobre 2020, A._ a formé recours auprès de la Cour de justice contre le mandat d'actes d'enquête rendu le 9 du même mois (cf. let. A.b ci-dessus). Il prétendait, en substance, que le Ministère public ne pouvait pas notifier un tel mandat à l'adresse de Me B._, puisqu'il ne l'avait pas encore nommé avocat d'office. Ledit mandat devait, partant, être annulé.
D.
Parallèlement à la procédure de recours, Me B._ s'est plaint, dans un courriel adressé au Procureur le 16 octobre 2020, d'avoir dû inutilement "poiroter" à Champ-Dollon, le 14 précédent.
Ce magistrat lui a immédiatement répondu que le message électronique du 14 octobre 2020 avait été adressé à 14h23 au Ministère public (pour un parloir du jour même à 15h45) et que le Procureur qui le remplaçait ce jour y avait donné suite dès la fin de son audience. Il joignait à sa missive une ordonnance, datée du 15 octobre 2020, désignant Me B._ en qualité d'avocat d'office du prévenu, avec effet au 7 octobre précédent.
Me B._ a confirmé ultérieurement que le Procureur lui avait transmis le 27 octobre 2020 les coordonnées téléphoniques du père de son mandant.
E.
Par arrêt du 13 janvier 2021, la Cour de justice a joint les recours des 15 et 16 octobre 2020 et les a rejetés dans la mesure de leur recevabilité et où ils conservaient encore un objet. Elle a considéré que le Procureur avait donné suite aux demandes de A._, puisqu'il avait nommé d'office Me B._ à la défense de ses intérêts et qu'il lui avait procuré les coordonnées téléphoniques de son père, de sorte que le recours déposé pour déni de justice était sans objet sur ces aspects. Quant aux conclusions en constatation de la violation, par le Ministère public, des droits du prévenu, la Cour de justice a considéré que les violations invoquées par A._ - soit le fait d'avoir vu décaler de quelques jours la visite de son avocat, respectivement d'avoir dû attendre trois semaines environ avant de pouvoir disposer des coordonnées téléphoniques de son père - ne présentaient manifestement pas une gravité suffisante pour justifier le prononcé d'une constatation immédiate, au sens de la jurisprudence; le cas échéant, ces prétendues violations pourraient être réparées (par exemple au moyen d'une indemnisation) dans le cadre de la décision mettant un terme définitif à la procédure. Le recours était, dès lors, irrecevable sur ces points. Enfin, A._ n'avait pas d'intérêt actuel à la constatation d'une violation du principe de célérité, le Procureur ayant donné suite aux deux requêtes litigieuses (nomination de Me B._ en qualité d'avocat d'office et transmission de coordonnées téléphoniques); à titre superfétatoire, le recours, à supposer qu'il eût été recevable, aurait dû être rejeté: il n'y avait aucune violation du principe de célérité. Quant aux conclusions en indemnisation, du chef des violations dénoncées, elles étaient irrecevables puisqu'elles n'avaient pas été soumises à une autorité de première instance avant d'être portées devant la cour cantonale. Enfin, la Cour de justice a considéré que le Ministère public avait à juste titre notifié le mandat d'enquête litigieux à Me B._ qui assurait la défense des intérêts du recourant.
F.
Agissant par la voie du recours en matière pénale, A._ demande au Tribunal fédéral principalement d'annuler l'arrêt du 13 janvier 2021 (conclusion n° 3), de retourner le dossier à la Chambre pénale de recours pour nouvel examen au sens des considérants (conclusion n° 4) et de " constater que les frais de la procédure CPR, mis à charge du recourant, indigent et détenu, par CHF 1'600.-, s'agissant d'une décision sur recours de 11 pages par CHF 1'515.- (sic!), sont disproportionnés et inéquitables en regard de la complexité de la cause et de la situation de la recourante (sic!) " (conclusion n° 5). Le recourant demande enfin l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure devant le Tribunal fédéral (conclusions n os 1, 6 et 7).
La Cour de justice se réfère aux considérants de son arrêt et n'a pas d'observations à formuler. Le Ministère public conclut au rejet du recours, se référant entièrement aux considérants de l'arrêt attaqué.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui sont déposés devant lui.
1.1. L'arrêt attaqué a été rendu par une autorité statuant en tant que dernière instance cantonale (<ref-law>) dans le cadre d'une procédure pénale. Le recours en matière pénale est en principe ouvert (<ref-law>).
1.2. Cet arrêt - qui rejette, dans la mesure de leur recevabilité et où ils conservent encore un objet, les recours déposés par le prévenu - ne met pas fin à la procédure pénale en cours et revêt un caractère incident. Il ne porte ni sur la compétence, ni sur une demande de récusation au sens de l'<ref-law> et ne peut donc en principe faire l'objet d'un recours en matière pénale qu'aux conditions de l'<ref-law>, l'hypothèse prévue à l'<ref-law> n'entrant pas en considération dans le cas d'espèce. En matière pénale, le préjudice irréparable au sens de la disposition susmentionnée se rapporte à un dommage de nature juridique qui ne puisse pas être réparé ultérieurement par un jugement final ou une autre décision favorable au recourant (<ref-ruling> consid. 1.3.1). Il incombe au recourant de démontrer l'existence d'un tel préjudice lorsque celui-ci n'est pas d'emblée évident (<ref-ruling> consid. 2.3).
1.3. En l'occurrence, le recourant a méconnu la nature incidente de la décision entreprise et ne s'exprime donc pas, comme il lui appartenait pourtant de le faire, sur la recevabilité de son recours au regard de l'<ref-law>, en particulier sur la question du préjudice irréparable. Le recourant n'explique pas, et on ne voit pas d'emblée, en quoi la décision attaquée aurait concrètement compromis l'exercice des droits de la défense, étant en particulier relevé que Me B._ a assisté le recourant lors de son audition par la police le 6 octobre 2020 et que lors de l'audience du 7 octobre 2020 celui-ci était assisté par un confrère, Me B._ n'étant pas disponible. La décision attaquée n'a par ailleurs pas eu pour effet de prolonger la détention provisoire du recourant. Le recourant ne conteste par ailleurs pas que le Ministère public a rendu une ordonnance de nomination d'avocat d'office et qu'il a transmis les coordonnées téléphoniques litigieuses.
Par ailleurs, il n'est pas manifeste que l'arrêt attaqué soit de nature à différer le jugement final au-delà de ce qui est raisonnable en violation du principe de célérité; un risque sérieux de violation de ce principe, c'est-à-dire du droit de tout justiciable à ce que sa cause soit jugée dans un délai raisonnable, aurait en effet été susceptible de justifier une entrée en matière selon la jurisprudence (cf. <ref-ruling> consid. 1.4; <ref-ruling> consid. 6). Il sied en outre de relever que le fait que le Ministère public a formellement rendu son ordonnance de nomination d'avocat d'office le 15 octobre 2020, soit environ sept jours après l'ouverture de l'instruction pénale à l'encontre du recourant, ne constitue pas en l'espèce, en l'absence d'une urgence particulière, une violation du principe de célérité, l'avocat ayant déjà pu intervenir auparavant.
Le recourant ne démontre pas non plus en quoi le fait de déclarer irrecevable la requête d'indemnité du chef des violations alléguées constituerait un préjudice irréparable, lequel n'est du reste pas d'emblée évident. Au demeurant, l'argumentation sur le fond développée par le recourant sur ce point ne remplit pas les exigences de motivation de l'<ref-law>: il se contente en effet d'affirmer de manière appellatoire, et sans référence à aucune disposition ou principe juridique, que la cour cantonale est la première autorité qui doit statuer sur les violations dénoncées et les indemnités sollicitées y relatives.
S'agissant enfin des conclusions en constatation de la violation des droits du prévenu par le Ministère public, il sied de constater que lesdites violations - le fait d'avoir dû décaler de quelques jours la visite de son avocat, respectivement d'avoir dû attendre environ trois semaines avant de pouvoir disposer des coordonnées téléphoniques de son père - ne présentent manifestement pas une gravité suffisante justifiant une constatation immédiate au sens de la jurisprudence (cf. <ref-ruling> consid. 3.4.2).
1.4. Dans ces conditions, l'arrêt attaqué ne saurait faire l'objet d'un recours immédiat auprès du Tribunal fédéral.
Au demeurant, il sied de relever que, dans son argumentation sur le fond, le recourant - qui est pourtant assisté d'un avocat - ne se réfère à aucune disposition juridique - à l'exception d'une simple mention de l'<ref-law> -, ni à aucune jurisprudence en particulier celle développée au sujet des conclusions constatatoires, et qu'il développe une argumentation essentiellement appellatoire.
Cela étant, il peut d'emblée être constaté que, sur le fond, c'est à bon droit que la cour cantonale a, dans son arrêt du 13 janvier 2021, considéré que le recours pour déni de justice formé le 9 octobre 2020 par le recourant était devenu sans objet dès lors que le Ministère public avait dans l'intervalle nommé Me B._ en qualité de défenseur d'office par ordonnance du 15 octobre 2020 et lui avait transmis les coordonnées téléphoniques de son père en date du 27 octobre 2020. En effet, selon la jurisprudence, dès que l'autorité a statué, le justiciable perd en principe tout intérêt juridique à faire constater un éventuel retard à statuer (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 2.1; arrêts 2C_1069/2019 du 14 avril 2020 consid. 5.1-5.2; 2C_1014/2013 du 22 août 2014 consid. 7.1).
2.
Le recours doit ainsi être déclaré irrecevable. Les conclusions du recours étant vouées à l'échec, il y a lieu de rejeter la demande d'assistance judiciaire (<ref-law>). Toutefois, compte tenu de la situation financière du recourant qui n'apparaît pas favorable, le présent arrêt sera rendu sans frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires, ni alloué de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Ministère public de la République et canton de Genève et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre pénale de recours.
Lausanne, le 29 avril 2021
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Chaix
La Greffière : Arn