Sachverhalt:
A.
A.a. Die A._ AG (Beschwerdeführerin, Beklagte) und die B._ AG (Beschwerdegegnerin, Klägerin) verband eine mehrjährige Zusammenarbeit. Dabei stellte die Klägerin, handelnd durch ihren Geschäftsführer C._, der Beklagten, genauer gesagt ihren Zweigniederlassungen, für einzelne Arbeitseinsätze Gerüstbauer zur Verfügung und erhielt dafür eine Vergütung. Im Zeitraum von Mai bis September 2017 war D._, Leiter der Zweigniederlassung U._, erste Ansprechperson für die Klägerin. Er war verantwortlich für das operative Geschäft und die Planung der Arbeitseinsätze. Bei Bedarf zog er dafür zusätzliches Personal von der Klägerin bei. Vereinzelte Aufträge erhielt die Klägerin auch vom Leiter der Zweigniederlassung V._, E._. Verantwortlich für die kaufmännische Leitung bei der Beklagten war in dieser Zeit der Delegierte des Verwaltungsrats F._.
A.b. Für die Planung und Organisation der Aufträge führte D._ ein Wochenprogramm, auf dem er die Baustellen und die zu erledigende Arbeit für die Folgewoche aufzeichnete. Anhand dessen erstellte er das jeweilige Tagesprogramm. Benötigte er zusätzliche Gerüstbauer, kontaktierte er meist relativ kurzfristig C._, der ihm bei entsprechender Verfügbarkeit Gerüstbauer zur Verfügung stellte. Den Tagesablauf eines solchen Einsatzes (Einfinden im Lager der Beklagten um spätestens 7 Uhr, Arbeit auf den einzelnen Baustellen von 7 bis 17 Uhr, mit einer halben Stunde Pause um 9 Uhr sowie einer Mittagspause von 12 bis 13 Uhr, um 17 Uhr Rückkehr ins Lager) haben die als Zeugen befragten Gerüstbauer übereinstimmend bestätigt. Nicht ganz klar ist, ob die Arbeitszeit am Freitag auch neun oder nur achteinhalb Stunden betrug. Manche Gerüstbauer gaben zudem an, an einzelnen Tagen länger oder weniger lang gearbeitet zu haben. Die geleistete Arbeitszeit haben die Gerüstbauer teilweise an C._ rapportiert. Gemäss dessen Angaben waren diese Arbeitsrapporte meist aber nicht sehr zuverlässig, weshalb er keine solchen mehr verlangt habe.
Nach dem jeweiligen Einsatz der Gerüstbauer der Klägerin notierte sich D._ - nach Datum und Baustelle geordnet - die von ihnen geleisteten Stunden. Auch C._ führte Buch über die verrichteten Stunden. Als Grundlage hierfür dienten die fixen Arbeitszeiten. Zwischen D._ und C._ kam es zu regelmässigen Treffen, wo die Auflistungen gemeinsam bereinigt wurden. Zusätzlich erstellte D._ (vereinzelt auch E._) als "Arbeitsvergabe an Akkordanten " betitelte Dokumente (nachfolgend: Arbeitsvergaben). Darauf wurden das Datum, die konkrete Baustelle, das Ausmass (montierte und demontierte Gerüste) und der Einheitspreis, teilweise die geleisteten Stunden sowie immer die der Klägerin zustehende Pauschalvergütung aufgeführt. Darin spiegelten sich jedoch nicht die exakten Ausmasse, sondern die geleisteten Stunden wieder, was auch die Klägerin einräumt. Die als Ausmasse aufgeführten Einheiten wurden mit anderen Worten nie tatsächlich vermessen, sondern anhand der zwischen D._ und C._ abgeglichenen Stunden geschätzt. Dies hat D._ bestätigt. Anhand dessen wurde die der Klägerin auszurichtende Pauschalvergütung bestimmt, wobei der Berechnung ein Stundenansatz von Fr. 50.-- zugrunde gelegt wurde. Diese Pauschalvergütung stellte die Klägerin der Beklagten in Rechnung. Ab dem 3. August 2017 legte sie ihren Rechnungen teilweise auch Arbeitsrapporte mit der Anzahl der geleisteten Stunden bei.
A.c. Der Hintergrund dieses Prozederes liegt in der internen Unternehmenspolitik der Beklagten, Drittunternehmen grundsätzlich nur als Akkordanten, die Arbeiten im Ausmass ausführen, beizuziehen. Diesbezüglich hatte der frühere Geschäftsführer der Beklagten Tabellen erstellt, auf der für bestimmte Quadrat- bzw. Laufmeter Gerüstmontage oder Demontage Einheitspreise aufgeführt waren. Akkordarbeiten (d.h. Arbeiten nach Ausmass) sollten nach dieser Tabelle verrechnet werden. Fest steht, dass gewisse Mitarbeiter der Beklagten, vorab D._ aber auch E._, sich über diese Weisung hinwegsetzten, indem sie für die Berechnung der Vergütung der Klägerin einen Stundenansatz von Fr. 50.-- zur Anwendung brachten und gestützt darauf einen Pauschalbetrag festlegten. Die Arbeitsvergaben, auf denen Ausmasse notiert wurden, scheinen folglich nur dem Zweck gedient zu haben, unternehmensintern den Anschein zu erwecken, man rechne weisungsgemäss nach der erwähnten Tabelle und nach Ausmass ab. D._ begründete dieses Vorgehen damit, dass - insbesondere bei kleinen Arbeiten oder wenn Mitarbeiter der Klägerin mit eigenen Leuten zusammen eine Gruppe gebildet hätten - das Ausscheiden der geleisteten Arbeit nicht praktikabel gewesen sei.
A.d. Die Rechnungen der Klägerin von Mai bis September 2017 im Umfang von Fr. 188'227.80 blieben unbezahlt.
B.
Mit Klage vom 10. April 2018 beantragte die Klägerin beim Handelsgericht des Kantons Bern, die Beklagte sei kostenfällig zu verpflichten, ihr 57 Einzelbeträge aus bestimmten Rechnungen aus dem Jahr 2017 nebst Zins zu bezahlen. Die Forderung setzte sich zusammen aus einem Betrag von Fr. 106'022.-- nebst 5 % Zins seit dem 16. Oktober 2017 und einem Betrag von Fr. 82'205.80 nebst 5 % Zins seit dem 14. November 2017. Zudem beantragte sie, es sei in der von ihr erhobenen Betreibung Nr. xxx der von der Beklagten erhobene Rechtsvorschlag aufzuheben. In ihrer Replik ergänzte sie ihre Klage um ein Eventualbegehren; sie forderte, die Beklagte sei zu verpflichten, ihr die durch ihre Dienstleistungserbringung eingetretene ungerechtfertigte Bereicherung im Umfang von Fr. 161'638.-- nebst Zins zu 5 % seit 14. November 2017 zu bezahlen.
Mit Urteil vom 3. Februar 2020 hiess das Handelsgericht die Klage teilweise gut. Es verurteilte die Beklagte, der Klägerin Fr. 108'340.25 nebst Zins zu 5 % ab dem 14. November 2017 zu bezahlen, soweit weitergehend wies es die Klage ab. Zudem beseitigte es in diesem Umfang den von der Beklagten erhobenen Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. xxx. Es erwog, zwischen den Parteien sei kein gültiger Vertrag zustande gekommen, da die von der Klägerin betriebene Arbeitsvermittlung verboten sei. Es bejahte sodann eine ungerechtfertigte Bereicherung der Beklagten. Da die Bereicherung ziffernmässig nicht genau nachweisbar sei, schätzte es die Bereicherung in analoger Anwendung von Art. 42 Abs. 2 OR.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, es sei der Entscheid des Handelsgerichts vom 3. Februar 2020 kostenfällig aufzuheben und die Klage vollumfänglich abzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt die Beschwerde vollumfänglich abzuweisen. Das Handelsgericht hat auf Vernehmlassung verzichtet. Die Beschwerdeführerin hat unaufgefordert repliziert.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Handelsgerichts ist ein Endentscheid (Art. 90 BGG) einer einzigen kantonalen Instanz im Sinne von Art. 75 Abs. 2 lit. b BGG. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in Zivilsachen offen, gemäss Art. 74 Abs. 2 lit. b BGG unabhängig vom Streitwert (<ref-ruling> E. 1.2 S. 69 f.).
2.
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es prüft aber unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Beschwerdeschrift in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Unerlässlich ist, dass auf die Begründung des angefochtenen Urteils eingegangen und im Einzelnen dargetan wird, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegen soll (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
3.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f. mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5 S. 401). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (Art. 97 Abs. 1 BGG).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von Art. 106 Abs. 2 BGG (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
4.
Umstritten ist, ob vorliegend die Voraussetzungen für eine Schätzung der Bereicherung in analoger Anwendung von Art. 42 Abs. 2 OR erfüllt sind.
4.1.
4.1.1. Die Vorinstanz hat einen vertraglichen Anspruch der Beschwerdegegnerin verneint.
Sie hielt fest, der Beschwerdegegnerin gelinge der Nachweis einer Vereinbarung über einen Stundenansatz von Fr. 50.-- nicht. Die angebliche Vereinbarung mit F._ könne nicht als erstellt gelten. Eine klare Vereinbarung über das Abrechnungsprozedere, insbesondere über einen Stundenansatz von Fr. 50.-- und die Umlegung von Stundenaufwand in Ausmasse und/oder eine Pauschale liege im Ergebnis nicht vor. Fest stehe hingegen, dass D._ und C._ vereinbart hätten, nach Stunden abzurechnen und die Arbeitsvergaben allein dazu gedient hätten, diese Tatsache und die Nichteinhaltung der internen Weisung zu verschleiern. Ebenfalls stehe fest, dass in der Zeit von Mai bis September 2017 auf verschiedenen Baustellen der Beschwerdeführerin Gerüstbauer im Einsatz gewesen seien, welche von der Beschwerdegegnerin zur Verfügung gestellt worden seien. Wie sich im Laufe des Verfahrens gezeigt habe, seien diese jedoch nicht bei der Beschwerdegegnerin selbst, sondern bei der G._ AG) angestellt gewesen. C._ sei sowohl einziger Verwaltungsrat der Beschwerdegegnerin als auch der G._ AG. Die Beschwerdegegnerin habe somit Personal eines anderen - ihr jedoch nahestehenden - Unternehmens vermittelt.
Sie erwog, bei der zwischen den Parteien gelebten Geschäftsbeziehung habe es sich trotz anderer Bezeichnung um einen Personalverleih gehandelt. Die Beschwerdegegnerin habe als Verleiherin im Sinne von Art. 12 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 1989 über die Arbeitsvermittlung und den Personalverleih (Arbeitsvermittlungsgesetz, AVG; SR 823.11) agiert. Dabei habe sie jedoch nicht ihre eigenen Angestellten entsandt, sondern diejenigen der G._ AG. Sie habe damit einen Weiterverleih von Arbeitnehmern betrieben. Während die G._ AG über eine entsprechende Verleihbewilligung verfüge, sei dies bei der Beschwerdegegnerin nicht der Fall. Auch existiere zwischen der G._ AG und der Beschwerdeführerin kein Verleihvertrag. Die von der Beschwerdegegnerin betriebene Arbeitsvermittlung sei folglich verboten. Der Weiterverleihvertrag, der zwischen den Parteien bestehe, sei somit nichtig (Art. 22 Abs. 5 AVG). Demzufolge würden sich die Parteien in einem vertragslosen Zustand befinden. Ein allfälliger Anspruch der Beschwerdegegnerin sei nach den Regeln der ungerechtfertigten Bereicherung zu prüfen.
4.1.2. Die Vorinstanz äusserte sich zusätzlich zur Frage der Vertretung der Beschwerdeführerin durch die Leiter ihrer Zweigniederlassungen, D._ und E._.
Sie erwog, selbst bei Zulässigkeit des Personalverleihvertrags würde sich die Frage stellen, ob sich die Beschwerdeführerin das Verhalten ihrer Vertreter D._ und E._ entgegenhalten lassen müsste. Zu prüfen sei, ob die beiden trotz entgegenstehender Weisung (vgl. hiervor Sachverhalt lit. A.c) die Beschwerdeführerin gültig hätten vertreten und verpflichten können.
Der Beschwerdegegnerin fehle es am guten Glauben dafür, dass die doch eigenartige Abrechnungsmethode, mit der agiert worden sei, von der Beschwerdeführerin autorisiert worden sei. Sie hätte weitere Erkundigungen anstellen müssen, habe es aber stattdessen an der nötigen Aufmerksamkeit fehlen lassen und könne sich daher nicht auf ihren guten Glauben berufen. Sie hätte sich aufgrund der Diskrepanz zwischen Fakten und Beurkundung fragen müssen, wie diese Ausmasse bestimmt würden, wenn man lediglich Stunden dokumentiere. Sie habe aber selber eingeräumt, sie kenne die von ihren Mitarbeitern erbrachten Ausmasse nicht, da sich diese aus dem Gesamtarbeitsvolumen nicht ausscheiden liessen. Weiter hätte sie sich fragen müssen, warum das Bescheinigte nicht dem tatsächlich Vereinbarten entsprochen habe, wobei dafür ein vernünftiger Grund - ausser die Vertuschung der tatsächlichen Verhältnisse - nicht ersichtlich sei. Ergänzend könne das Argument der Beschwerdeführerin aufgegriffen werden, wonach die Beschwerdegegnerin ihre Klage von Anfang an auf vereinbarte Stunden aufgebaut hätte, wenn sie nichts zu verbergen gehabt hätte.
4.1.3. Die Vorinstanz bejahte sodann eine ungerechtfertigte Bereicherung der Beschwerdeführerin und sah die Voraussetzungen für eine Schätzung dieser Bereicherung (Art. 42 Abs. 2 OR analog) als erfüllt an.
4.1.3.1. Sie erwog, aus den Aussagen der befragten Gerüstbauer ergebe sich, dass die von der Beschwerdegegnerin vermittelten Gerüstbauer im streitigen Zeitraum auf den Baustellen der Beschwerdeführerin tätig gewesen seien und für diese Gerüstbauarbeiten verrichtet hätten. Die Bereicherung bemesse sich nach dem Verkehrs- oder Marktwert der realisierten Gerüstbauarbeiten. Entscheidend sei, wie viel die Beschwerdeführerin auf dem Markt für die gleichen Arbeiten durchschnittlich bezahlt hätte. Zwischen den Parteien habe faktisch ein Personalverleih stattgefunden (vgl. hiervor E. 4.1.1). Die Beschwerdegegnerin habe nicht ein bestimmtes Arbeitsergebnis geschuldet, sondern sie habe Gerüstbauer für einen bestimmten Zeitraum zur Verfügung stellen sollen. Ihre Leistung berechne sich daher anhand der von diesen geleisteten Stunden.
4.1.3.2. Das Total der aufgewendeten Stunden werde von der Beschwerdegegnerin mit dem Verweis auf die Abrechnungen der G._ AG, die Zeugenaussagen der beteiligten Gerüstbauer sowie die Auflistung von D._ in der Klageantwortbeilage 3 grundsätzlich genügend substanziiert. Der Beweis sei für die Beschwerdegegnerin aufgrund der tatsächlichen Begebenheiten aber mit gewissen Schwierigkeiten verbunden.
Das Prozedere (gemeint: die Abrechnung), wie es in Wirklichkeit gehandhabt worden sei, sei nirgends schriftlich festgehalten worden, sondern habe auf mündlichen Absprachen beruht. So hätten sich C._ und D._ mündlich über den Umfang der von der Beschwerdegegnerin geleisteten Arbeit verständigt. Ihr Übereinkommen habe sich in den Arbeitsvergaben niedergeschlagen, insbesondere in der dort festgehaltenen Pauschalvergütung. Die Verwendung von beidseits unterzeichneten Arbeitsrapporten sei somit für beide Seiten entbehrlich gewesen. Die von C._ erstellten Notizen über den Arbeitsaufwand seien mangels Gegenzeichnung nichts weiter als eine Zahl auf einem Papier und damit eine Behauptung, die zum Beweis nicht ausreichen würde. Umgekehrt sei ihre Einreichnung zum Beweis der geleisteten Stunden nicht zwingend erforderlich, sondern hätte einzig zusätzliche Anhaltspunkte dafür geliefert. Entscheidend sei, dass sich C._ und D._ über den erbrachten Arbeitsaufwand geeinigt hätten.
Zwar sei die Beschwerdegegnerin im Hinblick auf die interne Weisung der Beschwerdeführerin als bösgläubig zu erachten (vgl. hiervor E. 4.1.2). Die Annahme der Bösgläubigkeit rühre aber daher, dass sie nähere Erkundigungen zu dem doch ungewöhnlichen Abrechnungsprozedere hätte vornehmen sollen. Dies habe sie nicht getan, da ihr einzig wichtig gewesen sei, für ihre Arbeit mit einem Stundensatz von Fr. 50.-- vergütet zu werden. Dieser Betrag sei ebenfalls in die auf den Arbeitsvergaben notierten Pauschalbeträgen eingeflossen. Trotz ihrer Bösgläubigkeit habe die Beschwerdegegnerin somit im Vertrauen auf einen bestehenden Vertrag, der sich dann aber als ungültig herausgestellt habe, Leistungen erbracht. Dabei habe sie darauf vertraut, dass die ihr auf den Arbeitsvergaben zugesprochenen Pauschalen eine hinreichende Grundlage für ihren Vergütungsanspruch darstellen würden. Eine genauere Dokumentation ihrer Leistungen habe sie nicht für notwendig gehalten. Die Bereicherung sei daher ziffernmässig nicht genau nachweisbar, weshalb die Beschwerdegegnerin von der Beweiserleichterung nach Art. 42 Abs. 2 OR analog profitieren könne und die Bereicherung zu schätzen sei. Wie es die allgemeinen Beweislastregeln vorsehen würden, habe sie aber die Folgen einer unklaren Sachlage zu tragen. Bestünden an einem Sachverhaltselement Zweifel, würden sich diese zu ihren Lasten auswirken.
4.1.4. Die Vorinstanz legte sodann das Total der geleisteten Stunden für die Kalenderwochen 20-28 sowie 30 gestützt auf die Notizen von D._ (Klageantwortbeilage 3) und für die Kalenderwochen 19, 29 und 31-36 gestützt auf die Rechnung der G._ AG fest. Dies, weil der Beschwerdegegnerin, welche behaupte, nur Angestellte der G._ AG an die Beschwerdeführerin entsandt zu haben, für die einzelnen Kalenderwochen nicht mehr Stunden zugesprochen werden könnten, als die G._ AG ihr in Rechnung gestellt habe. Daraus errechnete die Vorinstanz (abzüglich gewisser weiteren Korrekturen) ein Total von 2'958.5 Stunden. Anschliessend ermittelte sie den durchschnittlichen Stundensatz, welcher die G._ AG der Beschwerdegegnerin in Rechnung gestellt und von dieser bezahlt erhalten habe. Gestützt darauf erwog sie, es sei mit einem durchschnittlichen Stundenlohn von Fr. 36.62 zu operieren. Daraus berechnete sie einen Anspruch der Beschwerdegegnerin im Umfang von Fr. 108'340.25.
4.2. Die Beschwerdeführerin wendet sich nicht grundsätzlich gegen eine analoge Anwendung von Art. 42 Abs. 2 OR auf die Schätzung einer ungerechtfertigten Bereicherung. Sie rügt vielmehr, die Vorinstanz habe die Voraussetzungen für eine Schätzung der Bereicherung nach Art. 42 Abs. 2 OR bundesrechtswidrig bejaht.
4.2.1. Art. 42 Abs. 2 OR sieht für den nicht ziffernmässig nachweisbaren Schaden eine Beweiserleichterung vor, was voraussetzt, dass ein strikter Beweis nach der Natur der Sache nicht möglich oder nicht zumutbar ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 381; <ref-ruling> E. 5.1 S. 363 f.; <ref-ruling> E. 2b/aa S. 276 f.). Selbst wenn diese Voraussetzung erfüllt ist, erlaubt Art. 42 Abs. 2 OR dem Geschädigten nicht, ohne nähere Angaben Forderungen in beliebiger Höhe zu stellen. Vielmehr sind auch im Rahmen dieser Norm - soweit möglich und zumutbar - alle Umstände zu behaupten, die Indizien für den Bestand eines Schadens darstellen und die Schätzung des Umfangs des Schadens erlauben (<ref-ruling> E. 2.3 S. 160; <ref-ruling> E. 8.2.5.2 S. 323; <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 416; <ref-ruling> E. 5.1 S. 363 f.). Die Substanziierungsobliegenheit gilt unvermindert auch für den Fall, in dem zwar die Existenz eines Schadens, nicht aber dessen Umfang sicher ist (Urteile 4A_481/2012 vom 14. Dezember 2012 E. 4; 4A_154/2009 vom 8. September 2009 E. 6). Liefert die geschädigte Person nicht alle im Hinblick auf die Schätzung des Schadens notwendigen Angaben, ist eine der Voraussetzungen von Art. 42 Abs. 2 OR nicht gegeben und die Beweiserleichterung kommt nicht zum Zuge (vgl. Urteile 4A_125/2017 vom 20. November 2017 E. 6.2.5, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_97/2017 vom 4. Oktober 2017 E. 4.1.3; je mit Hinweisen).
4.2.2. Es ist eine Rechtsfrage, ob das Gericht zu Recht von der Regel von Art. 42 Abs. 2 OR Gebrauch gemacht hat (Urteil 4A_38/2008 vom 21. April 2008 E. 4.2), während die gestützt auf Art. 42 Abs. 2 OR vorgenommene Schadensschätzung eine Tatfrage betrifft (vgl. Urteil 4A_481/2009 vom 26. Januar 2010 E. 4.2.1; vgl. zum Ganzen auch BGE <ref-ruling> E. 5.1 S. 364; <ref-ruling> E. 8a S. 389).
Diese Unterscheidung übergeht die Beschwerdegegnerin, wenn sie in ihrer Beschwerdeantwort ausführt, die von der Beschwerdeführerin vorgetragenen Rügen würden allesamt Sachverhaltsfragen betreffen, welche das Bundesgericht nur mit eingeschränkter Kognition prüfen könne. Die Frage, ob die Voraussetzungen einer (analogen) Anwendung von Art. 42 Abs. 2 OR erfüllt waren, prüft das Bundesgericht als Rechtsfrage frei.
4.2.3. Die Beschwerdeführerin rügt, wer behaupte, er habe auf Stundenbasis abgerechnet, müsse die geleisteten Stunden auch beweisen können. Ein buchführungspflichtiges Unternehmen, wie die Beschwerdegegnerin eines sei, habe eine Dokumentationspflicht und Aufwand und Ertrag hätten in nachvollziehbarer Weise in die Buchhaltung und die Bilanz Eingang zu finden. Sie könne sich nicht einfach darauf berufen, sie habe keine Dokumente darüber, wer, wann, wo gearbeitet habe. Diese Informationen seien die Grundlage jeder Stundenabrechnung. Es wäre deshalb an der Beschwerdegegnerin gelegen, über angeblich geleistete Stunden genau Buch zu führen, wenn sie der Ansicht gewesen sei, sie dürfe nach Stunden abrechnen. Die Beschwerdegegnerin habe wiederholt geltend gemacht, sie unterstehe dem allgemein verbindlichen GAV Gerüstbau (vgl. gegenwärtig Bundesratsbeschluss über die Allgemeinverbindlicherklärung des Gesamtarbeitsvertrages für den schweizerischen Gerüstbau vom 4. Mai 2020). Nach dessen Art. 8 Abs. 4 sei die Beschwerdegegnerin verpflichtet, für jeden Arbeitnehmer detaillierte Arbeitskontrollen zu führen (Art. 8 Abs. 4 GAV Gerüstbau). Ob diese Kontrollen bei ihr direkt oder bei der G._ AG - bei der C._ auch Verwaltungsrat gewesen sei - geführt worden seien, sei unerheblich. Die Beschwerdegegnerin hätte diese Informationen, so sie diese nicht bereits gehabt hätte, einholen und einreichen müssen.
Art. 42 Abs. 2 OR hat Ausnahmecharakter und ist deshalb restriktiv anzuwenden (<ref-ruling> E. 4.4.2 S. 471 mit Hinweisen). Art. 42 Abs. 2 OR ist insbesondere auch nicht anwendbar, wenn der konkrete Schadensnachweis zwar unmöglich ist, diese Unmöglichkeit aber in den Verantwortungsbereich des Beweispflichtigen fällt (<ref-ruling> E. 4.2 S. 312 [nicht gehörig geführte Buchhaltung]; Urteil 4D_108/2008 vom 29. Oktober 2008 E. 3 [Nichtaufbewahrung eines Beweismittels]).
Die Beschwerdegegnerin macht geltend, die Unmöglichkeit des direkten Beweises des Schadens (bzw. der Bereicherung) falle vorliegend selbstredend nicht in ihre Verantwortung. Aus ihrer Buchhaltung würden sich die unter den Rechtsbegehren 1 bis 57 aufgeführten und allesamt vor der Vorinstanz edierten, offenen Rechnungen ergeben. Zudem habe sie auch die Honorarnoten der G._ AG ediert, aus denen sich die Rechnungsforderung der Drittpartei ergebe, welche ihr Gerüstarbeiter ausgeliehen habe, womit eine gehörig geführte Buchhaltung vorliege. Betreffend Arbeitszeiterfassung führt die Beschwerdegegnerin in ihrer Beschwerdeantwort aus, die Beschwerdeführerin lasse nun aktenwidrig behaupten, dass C._ auch als Verwaltungsrat der G._ AG die geleisteten Stunden nicht notiert habe. Das sei gerade nicht der Fall, da sonst die G._ AG die von den Temporär-Mitarbeitern geleisteten Stunden gegenüber ihr gar nicht in Rechnung hätte stellen können.
Die Vorinstanz hielt fest, die geleistete Arbeitszeit hätten die Gerüstbauer teilweise an C._ rapportiert, so etwa per Telefon, WhatsApp oder mittels Einreichung von Notizen oder Rapporten. Gemäss Angaben von C._ seien diese Arbeitsrapporte aber meist nicht sehr zuverlässig gewesen, weshalb er keine solche mehr verlangt habe. Daraus ergibt sich, dass eine Erfassung der geleisteten Arbeitszeiten durch die Beschwerdegegnerin ungenau und nur teilweise erfolgte. Die Beschwerdegegnerin hat denn auch unbestritten keine Arbeitsrapporte eingereicht. Sie führt in ihrer Beschwerdeantwort dazu aus, was die Beschwerdeführerin ihr nun vorwerfe, sei, dass sie mit der Replik nicht eine eigene Stundenauflistung eingereicht habe, über welche sie gemäss eigener Deklaration in der Klageschrift nicht verfüge, sondern hinsichtlich der relevanten Stunden als Beweis auf die Klageantwortbeilage 3 der Beschwerdeführerin verwiesen habe. Sie habe, nachdem die Beschwerdeführerin selbst mit der Klageantwortbeilage 3 in Vorleistung gegangen sei, darauf verzichtet, da sie davon ausgegangen sei, die Beschwerdeführerin könne die Auflistung ihres eigenen Geschäftsführers und Niederlassungsleiters D._ schwerlich zurückweisen und es mache deshalb wenig Sinn, die analogen Auflistungen von C._ nochmals einzureichen.
Die Anwendung von Art. 42 Abs. 2 OR setzt - wie erwähnt - voraus, dass ein strikter Beweis nach der Natur der Sache nicht möglich oder nicht zumutbar ist und diese Unmöglichkeit nicht in den Verantwortungsbereich des Beweispflichtigen fällt. Hätte die Beschwerdegegnerin die von den Gerüstbauern geleisteten Stunden aber selbst (gemäss GAV Gerüstbau) erfasst bzw. von der G._ AG entsprechende Arbeitsrapporte einverlangt und eingereicht, wäre es ihr zusammen mit der offerierten Befragung der Gerüstbauer, der Rechnungen der G._ AG sowie der Klageantwortbeilage 3 möglich gewesen, die geleisteten Stunden hinreichend zu substanziieren und zu beweisen. Ein strikter Beweis wäre somit möglich und zumutbar gewesen.
Der Hinweis der Beschwerdegegnerin, dass sie darauf verzichtet habe, weitere Belege einzureichen, da die Beschwerdeführerin mit der Klageantwortbeilage 3 in Vorleistung gegangen sei, überzeugt nicht. Aus der Klageantwortbeilage 3 ergibt sich nicht, welcher Gerüstbauer wann, wo, wieviele Stunden gearbeitet hat. Die von der Beschwerdegegnerin eingereichten Rechnungen der G._ AG nehmen zwar explizit Bezug auf Rapporte, solche Rapporte hat die Beschwerdegegnerin aber unbestrittenermassen nicht eingereicht. Die Beschwerdegegnerin legt aber nicht dar und es ist auch nicht ersichtlich, weshalb sie diese Rapporte nicht über C._ von der G._ AG hätte erhältlich machen können. Bezeichnenderweise führt die Beschwerdegegnerin in ihrer Beschwerdeantwort jedenfalls selber aus, die G._ AG habe die von den Temporär-Mitarbeitern geleisteten Stunden erfasst. Im Übrigen hielt auch die Vorinstanz fest, die in der Klageantwortbeilage 3 enthaltene Auflistung von D._ spiegle den Stundenaufwand nicht exakt wieder. Sie sah darin lediglich eine plausible und verlässliche Grundlage für eine Schätzung nach Art. 42 Abs. 2 OR analog. Ebenso überzeugt nicht, wenn die Vorinstanz zum Schluss kommt, C._ hätte seine Notizen nicht einreichen müssen, zumal sie selber ausführt, diese hätten zusätzliche Anhaltspunkte für die geleisteten Stunden geliefert.
Substanziiert der Beweispflichtige nicht alles, was substanziiert werden könnte bzw. fällt die Unmöglichkeit eines strikten Beweises in seinen Verantwortungsbereich, bleibt für eine Anwendung von Art. 42 Abs. 2 OR kein Raum. Die Vorinstanz hat vorliegend somit Bundesrecht verletzt, indem sie die Bereicherung dennoch gestützt auf Art. 42 Abs. 2 OR analog geschätzt hat.
4.2.4. Im Übrigen führt die Beschwerdeführerin zu Recht aus, es sei widersprüchlich, wenn die Vorinstanz einerseits festhalte, die Beschwerdegegnerin sei an irgendwelche Absprachen zwischen C._ und D._ nicht gebunden, weil C._ und damit die Beschwerdegegnerin als bösgläubig anzusehen sei (vgl. hiervor E. 4.1.2), um sodann auszuführen, die Beschwerdegegnerin habe im Vertrauen auf einen bestehenden Vertrag Leistungen erbracht und darauf vertraut, dass die ihr auf den Arbeitsvergaben zugesprochenen Pauschalen eine hinreichende Grundlage für ihren Vergütungsanspruch darstellen würden, womit sie eine genauere Dokumentation ihrer Leistungen für nicht notwendig gehalten habe.
4.3. Bei diesem Ergebnis erübrigt sich eine Prüfung, ob die von der Vorinstanz gestützt auf Art. 42 Abs. 2 OR analog vorgenommene Schätzung der Bereicherung als solche willkürlich ist.
5.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Die Klage ist vollumfänglich abzuweisen. Dem Verfahrensausgang entsprechend wird die Beschwerdegegnerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Die Vorinstanz wird die Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens neu zu regeln haben (Art. 67 und Art. 68 Abs. 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Handelsgerichts des Kantons Bern vom 3. Februar 2020 wird aufgehoben und die Klage der Beschwerdegegnerin wird vollumfänglich abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zu neuer Entscheidung über die Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an das Handelsgericht des Kantons Bern zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. September 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Gross