Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt führt eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen des Verdachts auf Nötigung, Landfriedensbruch, Hausfriedensbruch, Sachbeschädigung und Diensterschwerung. A._ wird vorgeworfen, anlässlich der Klima-Aktionstage ("Collective Climate Justice"-Tage) am 8. Juli 2019 kurz nach 06.00 Uhr morgens zusammen mit anderen Personen das UBS-Gebäude bei der St. Alban-Anlage in Basel umstellt zu haben. A._ sowie Mitbeteiligte hätten dabei rund um die Liegenschaft mit Kohlestücken Parolen angebracht, Überwachungskameras abgeklebt und teilweise mit Holzbarrikaden und Kohlehaufen die Eingänge blockiert. Während diverse Aktivisten und Aktivistinnen nach einer Abmahnung durch die Kantonspolizei Basel-Stadt zwischen 14.00 Uhr und 14.05 Uhr das Areal verlassen hätten, seien A._ und weitere Personen trotz der Aufforderung, die Örtlichkeiten zu verlassen, an Ort und Stelle verblieben, weshalb sie in der Folge durch die Polizei weggetragen und vorläufig inhaftiert worden seien. In diesem Zusammenhang erliess die Staatsanwaltschaft am 8. Juli 2019 einen Befehl für die erkennungsdienstliche Erfassung sowie eine nicht invasive Probenahme von A._ und ordnete am 9. Juli 2019 die Erstellung ihres DNA-Profils an. Dagegen erhob A._ am 16. Juli 2019 Beschwerde beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Dieses hiess die Beschwerde mit Entscheid vom 20. März 2020 teilweise gut, hob die Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 9. Juli 2019 auf und wies diese an, das DNA-Profil von A._ zu löschen. Bezüglich der Verfügung vom 8. Juli 2019 (erkennungsdienstliche Erfassung und Abnahme eines Wangenschleimhautabstrichs) wies es die Beschwerde hingegen ab.
B.
Mit Eingabe vom 4. Juni 2020 führt A._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht (Verfahren 1B_287/2020). Sie beantragt, das Urteil der Vorinstanz vom 20. März 2020 sei aufzuheben. Sodann sei der Befehl zur erkennungsdienstlichen Erfassung hinsichtlich der Fingerabdrücke vollumfänglich aufzuheben, eventualiter sei dessen Rechtswidrigkeit festzustellen. Eventualiter sei das Urteil der Vorinstanz vom 20. März 2020 aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zur Aufhebung des Befehls zur erkennungsdienstlichen Erfassung hinsichtlich der Fingerabdrücke zurückzuweisen. Weiter seien die abgenommenen Fingerabdrücke umgehend zu vernichten und allfällige, bereits erfolgte Einträge in entsprechenden daktyloskopischen Datenbanken umgehend zu löschen.
Die Staatsanwaltschaft stellt den Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Das Appellationsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung und beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdeführerin verzichtet auf weitere Bemerkungen.
C.
Die Staatsanwaltschaft führt ihrerseits mit Eingabe vom 5. Juni 2020 ebenfalls Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht (Verfahren 1B_293/2020). Sie beantragt, der Entscheid des Appellationsgerichts vom 20. März 2020 sei aufzuheben, soweit er in teilweiser Gutheissung der Beschwerde ihre Verfügung vom 9. Juli 2019 aufhebe und sie anweise, das DNA-Profil von A._ zu löschen. Es sei festzustellen, dass die Verfügung zur Erstellung eines DNA-Profils rechtens sei. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdeführerin beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Das Appellationsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung und beantragt die Abweisung der Beschwerde.
Dem Gesuch der Staatsanwaltschaft im Verfahren 1B_293/2020, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen, entsprach das Bundesgericht mit Präsidialverfügung vom 30. Juni 2020.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerden 1B_287/2020 und 1B_293/2020 richten sich gegen denselben Entscheid des Appellationsgerichts und werfen die gleichen Rechtsfragen auf. Es rechtfertigt sich daher, die Verfahren zu vereinigen.
1.2. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Einzelrichterentscheid in einer strafrechtlichen Angelegenheit, gegen den die Beschwerde in Strafsachen grundsätzlich offensteht (Art. 78 Abs. 1 und Art. 80 BGG). Die strittigen Zwangsmassnahmen dienen nicht der Aufklärung der Straftaten, deren die Beschwerdeführerin im laufenden Strafverfahren verdächtigt wird. Vielmehr sind sie mit Blick auf allfällige andere - bereits begangene oder künftige - Delikte angeordnet worden. Ihnen kommt somit eine über das Strafverfahren hinausgehende eigenständige Bedeutung zu. Der vorinstanzliche Entscheid ist deshalb praxisgemäss, entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin, nicht als Zwischenentscheid, sondern als Endentscheid zu behandeln, der nach <ref-law> anfechtbar ist (vgl. Urteile 1B_17/2019 vom 24. April 2019 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>; 1B_111/2015 vom 20. August 2015 E. 2.4; 1B_57/2013 vom 2. Juli 2013 E. 1.5; je mit Hinweisen).
1.2.1. Die Beschwerdeführerin hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und hat als Adressatin der Zwangsmassnahmenanordnungen ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids. Damit ist sie nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Da auch die übrigen Eintretensvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf ihre Beschwerde im Verfahren 1B_287/2020 einzutreten.
1.2.2. Gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 BGG ist die Staatsanwaltschaft grundsätzlich zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt. Diese Bestimmung allein verleiht der Staatsanwaltschaft indes nicht das rechtlich geschützte Interesse, welches zur Beschwerdeerhebung vorausgesetzt ist (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 123 f. mit Hinweisen). Vorliegend ist fraglich, inwiefern das rechtlich geschützte Interesse der Staatsanwaltschaft, welches sich aus dem staatlichen Strafanspruch ableitet, tangiert und sie überhaupt zur Beschwerde im Verfahren 1B_293/2020 berechtigt ist (vgl. Urteil 1B_526/2020 vom 4. Februar 2021 E. 1 mit Hinweisen). Die Frage braucht jedoch nicht weiter geprüft zu werden, da sich die Erstellung des DNA-Profils ohnehin als untauglich bzw. unverhältnismässig erweist (vgl. E. 3 f. hiernach).
1.2.3. Besteht eine für den ganzen Kanton zuständige Oberstaatsanwaltschaft oder eine vergleichbare Behörde, die innerhalb des Kantons für die Strafverfolgung aller Straftaten im ganzen Kantonsgebiet zuständig ist und für eine einheitliche Rechtsanwendung zu sorgen hat, ist diese allein zur Beschwerde in Strafsachen legitimiert (<ref-ruling> E. 1.5.2 S. 199 f.; Urteil 6B_1360/2019 vom 20. November 2020 E. 1; je mit Hinweisen). Der Kanton Basel-Stadt kennt keine Oberstaatsanwaltschaft. Die Staatsanwaltschaft wird vom Ersten Staatsanwalt geleitet (§ 95 Abs. 1 des Gesetzes vom 3. Juni 2015 betreffend die Organisation der Gerichte und der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt [Gerichtsorganisationsgesetz, GOG/BS; SG 154.100]). Die Erste Staatsanwältin oder der Erste Staatsanwalt, die Leitenden Staatsanwältinnen und Staatsanwälte und die Leitende Jugendanwältin oder der Leitende Jugendanwalt bilden die Geschäftsleitung der Staatsanwaltschaft (§ 95 Abs. 4 GOG/BS). Mit der Geschäftsleitung verfügt der Kanton Basel-Stadt über ein Leitungsorgan, das für die einheitliche Rechtsanwendung zu sorgen hat. Demzufolge sind nur die der Geschäftsleitung angehörenden Leitungspersonen, nicht aber auch die übrigen Staatsanwälte zur Beschwerde in Strafsachen legitimiert (Urteil 6B_1360/2019 vom 20. November 2020 E. 1 mit Hinweis). Auf die vom Ersten Staatsanwalt des Kantons Basel-Stadt und Mitglied der Geschäftsleitung (mit-) erhobene Beschwerde kann somit grundsätzlich eingetreten werden, unter Vorbehalt der Erwägungen E. 1.2.2 und 1.3.
1.3. Hingegen ist auf die Beschwerde nicht einzutreten, soweit die Staatsanwaltschaft eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung geltend macht. Sie begründet diesbezüglich nicht in substanziierter Weise, inwiefern die Vorinstanz den Sachverhalt offensichtlich unrichtig bzw. im Sinne von <ref-law> rechtsverletzend festgestellt haben sollte (vgl. Art. 97 Abs. 1 i.V.m. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG). Aus diesem Grund ist vom von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt auszugehen (vgl. Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Soweit die Staatsanwaltschaft eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung in der vorinstanzlichen Feststellung erblicken will, die DNA-Analyse diene nicht der Aufklärung des rechtserheblichen Sachverhalts, handelt es sich im Übrigen um eine Rechtsfrage (vgl. E. 3.1 hiernach). Die übrigen Eintretensvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
2.
2.1. Zur Aufklärung eines Verbrechens oder eines Vergehens kann von der beschuldigten Person eine Probe genommen und ein DNA-Profil erstellt werden (<ref-law>). Ein solches Vorgehen ist nicht nur möglich zur Aufklärung bereits begangener und den Strafverfolgungsbehörden bekannter Delikte, deren die beschuldigte Person verdächtigt wird. Wie aus <ref-law> in Verbindung mit Art. 1 Abs. 2 lit. a DNA-Profil-Gesetz vom 20. Juni 2003 (SR 363) klarer hervorgeht, soll die Erstellung eines DNA-Profils vielmehr auch erlauben, Täter von Delikten zu identifizieren, die den Strafverfolgungsbehörden noch unbekannt sind. Dabei kann es sich um vergangene oder künftige Delikte handeln. Das DNA-Profil kann so Irrtümer bei der Identifikation einer Person und die Verdächtigung Unschuldiger verhindern. Es kann auch präventiv wirken und damit zum Schutz Dritter beitragen. Auch hinsichtlich derartiger Straftaten bildet <ref-law> eine gesetzliche Grundlage für die DNA-Probenahme und -Profilerstellung (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 3.3 S. 265 ff. mit Hinweisen). <ref-law> ermöglicht aber nicht bei jedem hinreichenden Tatverdacht die routinemässige (invasive) Entnahme von DNA-Proben, geschweige denn deren generelle Analyse (vgl. <ref-ruling> E. 3.4 S. 267; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 91 f.; je mit Hinweisen).
Das zur DNA-Probenahme und -Profilerstellung Ausgeführte gilt gleichermassen für die erkennungsdienstliche Erfassung gemäss <ref-law>, mit dem Unterschied, dass diese auch für Übertretungen angeordnet werden kann (Urteil 1B_336/2019 vom 3. Dezember 2019 E. 3.3 mit Hinweisen). <ref-law> erlaubt indessen ebensowenig wie <ref-law> eine routinemässige erkennungsdienstliche Erfassung (vgl. BGE <ref-ruling> E. 1.3 S. 90 f.; Urteil 6B_236/2020 vom 27. August 2020 E. 2.5 mit Hinweis).
2.2. Erkennungsdienstliche Massnahmen und die Aufbewahrung der Daten können das Recht auf persönliche Freiheit bzw. körperliche Integrität (<ref-law>) und auf informationelle Selbstbestimmung berühren (<ref-law> und Art. 8 EMRK; <ref-ruling> E. 3.4 S. 267; <ref-ruling> E. 5.1 S. 101; <ref-ruling> E. 3.2 S. 268; je mit Hinweisen). Die Rechtsprechung geht bei der heutigen Rechtslage von einem leichten Grundrechtseingriff sowohl in die körperliche Integrität als auch in die informationelle Selbstbestimmung aus (vgl. <ref-ruling> E. 3.4 S. 267; <ref-ruling> E. 2.1 S. 133; <ref-ruling> E. 3.3 S. 269 f.; je mit Hinweisen; vgl. aber die Kritik dazu im konnexen Verfahren 1B_285/2020 vom 22. April 2021 E. 2.3 f.).
2.3. Einschränkungen von Grundrechten bedürfen nicht nur einer gesetzlichen Grundlage (<ref-law>), sondern müssen auch durch ein öffentliches Interesse gerechtfertigt und verhältnismässig sein (Art. 36 Abs. 2 und 3 BV). Dies wird in <ref-law> präzisiert (vgl. für DNA-Analysen: <ref-ruling> E. 3.4 S. 267; Urteil 1B_242/ 2020 vom 2. September 2020 E. 3.2, in: Pra 2020 113 1085). Danach können Zwangsmassnahmen nur ergriffen werden, wenn ein hinreichender Tatverdacht vorliegt (lit. b), die damit angestrebten Ziele nicht durch mildere Massnahmen erreicht werden können (lit. c) und die Bedeutung der Straftat die Zwangsmassnahme rechtfertigt (lit. d).
3.
3.1. Die Vorinstanz erwog, die Erstellung eines DNA-Profils sei für die Sachverhaltsabklärung vorliegend nicht tauglich, da die Anwesenheit der Beschwerdeführerin beim UBS-Gebäude aufgrund ihrer Anhaltung "in flagranti" erstellt sei. Was die Staatsanwaltschaft dagegen einwendet, nämlich, dass mittels dem DNA-Profil unter Umständen gemeinsam mit weiteren Beweismitteln wie Foto- oder Filmaufnahmen überprüft werden könnte, an welchen konkreten Aktionen die Beschwerdeführerin beteiligt gewesen sei und ob sie dabei eine anführende Rolle gehabt habe, überzeugt nicht. Der Vorinstanz ist in diesem Zusammenhang zuzustimmen, dass nicht ersichtlich ist, inwiefern es einen Erkenntnisgewinn bedeuten würde, wenn auf den ausgewerteten Atemmasken etc. die DNA-Spur der Beschwerdeführerin gefunden würde. Da gemäss den vorinstanzlichen Feststellungen keine DNA auf beschädigten Gegenständen sichergestellt wurde, kann die DNA-Analyse auch nicht der Zurechnung individueller Tatbeiträge dienen. Entgegen der Auffassung der Staatsanwaltschaft war die DNA-Profilerstellung in Bezug auf die Anlasstat daher von vornherein untauglich.
3.2. Dasselbe gilt auch für die erkennungsdienstliche Erfassung. Die Beschwerdeführerin bringt zu Recht vor, die von ihr abgenommenen Fingerabdrücke seien vorliegend nicht zur Eruierung allfälliger individueller Tatbeiträge geeignet, da auf den beschädigten Gegenständen auch keine Fingerabdrücke gesichert worden seien. Ein Spurenabgleich hinsichtlich der Anlasstat sei deshalb gar nicht möglich. Soweit aus den Akten ersichtlich, wurden tatsächlich keine Fingerabdrücke gesichert. Eine routinemässige Abnahme der Fingerabdrücke ist jedoch unzulässig (vgl. E. 2.1 hiervor). Die allgemein gehaltene gegenteilige Argumentation der Vorinstanz überzeugt jedenfalls nicht. Es ist unbehelflich, wenn sie ausführt, die Polizei habe ausschliesslich die 37 Teilnehmenden erkennungsdienstlich behandelt, die nach zweimaliger Aufforderung das Privatgelände der UBS AG nicht verlassen hätten, weshalb die Polizei habe davon ausgehen dürfen, dass es sich bei den Verbleibenden um den "renitenten Kern" handle.
Die Vorinstanz erwog indes weiter, die Beschwerdeführerin habe keinen Personalausweis auf sich getragen, sodass ihre Identität vor Ort nicht habe überprüft werden können. Der Befehl zur erkennungsdienstlichen Erfassung habe daher auch dazu gedient, ihre Identität verlässlich festzustellen, weshalb er verhältnismässig sei. Es trifft zwar zu, dass die Beschwerdeführerin bei ihrer Festnahme am 8. Juli 2019 keinen Personalausweis mit sich geführt hat. Sie hat jedoch ihren Namen bekannt gegeben, wodurch ihre Identität überprüft werden konnte. Das vorinstanzliche Argument überzeugt folglich nicht.
3.3. Nebst der Abnahme der Fingerabdrücke wurde die Beschwerdeführerin im Rahmen der erkennungsdienstlichen Erfassung auch fotografiert. Dagegen bringt sie keine Rügen vor. Aus diesem Grund erübrigt sich eine Prüfung, ob die nach der Anhaltung gemachten Fotos zur Aufklärung der von der Beschwerdeführerin nicht bestrittenen Anlasstat tatsächlich notwendig waren.
4.
Da die Beschwerdeführerin unbestrittenermassen an der Demonstration anlässlich der Klima-Aktionstage teilgenommen hat und die angeordneten Zwangsmassnahmen nicht zur Aufklärung der laufenden Strafuntersuchung beitragen können, ist deren Zulässigkeit somit im Hinblick auf allfällige weitere Delikte zu prüfen.
4.1. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist die Erstellung eines DNA-Profils, das nicht der Aufklärung der Anlass dazu gebenden Straftaten eines laufenden Strafverfahrens dient, nur dann verhältnismässig, wenn erhebliche und konkrete Anhaltspunkte dafür bestehen, dass der Beschuldigte in andere - auch künftige - Delikte verwickelt sein könnte. Dabei muss es sich allerdings um Delikte von einer gewissen Schwere handeln. Zu berücksichtigen ist auch, ob der Beschuldigte vorbestraft ist; trifft dies nicht zu, schliesst das die Erstellung eines DNA-Profils jedoch nicht aus, sondern es fliesst als eines von vielen Kriterien in die Gesamtabwägung ein und ist entsprechend zu gewichten (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 3.4 S. 267 mit Hinweisen).
4.2. Die Vorinstanz erwog, es fehle vorliegend an solchen erheblichen und konkreten Anhaltspunkten, dass die nicht vorbestrafte Beschwerdeführerin in andere - auch künftige - Delikte von einer gewissen Schwere verwickelt sein könnte. Daran ändere auch nichts, dass sie sich auch nach mehrmaliger Aufforderung durch die Polizei nicht von den Örtlichkeiten entfernt habe und zudem eigens für die Teilnahme an den zur Diskussion stehenden Ereignissen aus dem grenznahen Ausland nach Basel gereist sei. Die Verfügung betreffend DNA-Analyse erweise sich daher als rechtswidrig.
4.3. Dagegen wendet sich die Staatsanwaltschaft. Sie ist der Auffassung, es bestünden genügend erhebliche und konkrete Anhaltspunkte, auch wenn die Beschwerdeführerin nicht vorbestraft sei. Entscheidend sei, dass diese die Anlasstat aus Überzeugung begangen habe. Solange die Banken nicht auf die Forderungen der Klimaaktivisten reagieren würden, seien daher zweifellos weitere Aktionen zu befürchten. Bei Delikten, die aus Überzeugung bzw. einer Lebensanschauung begangen würden, bestehe eine hohe Wahrscheinlichkeit, dass wieder delinquiert werde.
4.4. Dieser Argumentation kann nicht gefolgt werden. Die Beschwerdeführerin hat sich friedlich für ein ihr wichtiges Anliegen eingesetzt. Dass sie sich möglicherweise auch weiterhin mittels öffentlich wirksamen Aktionen für den Klimaschutz einsetzen wird, bedeutet deswegen nicht, dass erhebliche und konkrete Anhaltspunkte bestehen, sie könnte weitere Delikte von einer gewissen Schwere begehen. Der von der Staatsanwaltschaft angeführte "erhebliche Verdacht", wonach die Beschwerdeführerin "nicht klein beigeben werde", solange die angestrebten Ziele nicht erreicht würden und sie auch künftig in Delikte verwickelt sein werde, lässt sich einzig aus dem Motiv bzw. der Lebensanschauung der Beschwerdeführerin jedenfalls nicht erhärten. Andere erhebliche und konkrete Anhaltspunkte, weshalb die nicht vorbestrafte Beschwerdeführerin zu rechtswidrigen Handlungen von einer gewissen Schwere greifen könnte, statt friedlich zu demonstrieren, zeigt die Staatsanwaltschaft nicht auf. Der Beschwerdeführerin kann jedenfalls nicht zum Nachteil reichen, dass sie aus Überzeugung an der Kundgebung der "Climate Justice" teilgenommen hat, weil sie deren Ideen und Zielsetzungen teile. Daraus lässt sich zwar das Engagement der Beschwerdeführerin gegen den Klimawandel ableiten, nicht aber erhebliche und konkrete Anhaltspunkte, wonach sie auch künftig in Delikte von einer gewissen Schwere involviert sein wird. Ebenso hat die Vorinstanz zutreffend festgehalten, dass sich auch aus dem Umstand, dass die Beschwerdeführerin aus dem grenznahen Ausland nach Basel an die Demonstration gereist sei, keine erhöhte Wahrscheinlichkeit einer erneuten Straffälligkeit ableiten lasse. Schliesslich ist ohnehin fraglich, ob es sich bei den am 8. Juli 2019 angeblich begangenen Delikten überhaupt um solche von einer gewissen Schwere handelt, weshalb davon auszugehen wäre, dass ebenfalls weitere Delikte von einer gewissen Schwere drohen. Da es vorliegend aber bereits an erheblichen und konkreten Anhaltspunkten für Delikte im Allgemeinen mangelt, braucht die Frage nicht weiter vertieft zu werden (vgl. aber die Ausführungen im konnexen Urteil 1B_285/2020 vom 22. April 2021 E. 4.3).
Sodann ist festzuhalten, dass sich die Zwangsmassnahmen - selbst wenn erhebliche und konkrete Anhaltspunkte anzunehmen wären und die drohenden Delikte die erforderliche Deliktsschwere erreichen würden - jedenfalls nicht als verhältnismässig erweisen würden. Diesbezüglich kann auf E. 4.4 f. des konnexen Urteils 1B_285/2020 vom 22. April 2021 verwiesen werden, wo grundsätzlich derselbe Sachverhalt zu beurteilen war, mit der Ausnahme, dass der dortige Beschwerdeführer vorbestraft war.
5.
5.1. Demnach erweist sich die Beschwerde im Verfahren 1B_287/2020 als begründet und ist gutzuheissen. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben, soweit die erkennungsdienstliche Erfassung hinsichtlich der Fingerabdrücke als zulässig erachtet wurde. Die Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 8. Juli 2019, mit welcher die erkennungsdienstliche Erfassung hinsichtlich der Fingerabdrücke angeordnet wurde, ist aufzuheben.
Aus den Akten ergeben sich keine Hinweise darauf, dass die abgenommenen Fingerabdrücke im automatisierten Fingerabdruck-Identifikations-System (AFIS) gespeichert wurden. Aufgrund der gesetzlichen Bestimmungen ist indes davon auszugehen, dass ein solcher Eintrag erfolgte. Gemäss Art. 7 der Verordnung vom 6. Dezember 2013 über die Bearbeitung biometrischer erkennungsdienstlicher Daten (SR 361.3) wird jeder erkennungsdienstlichen Erfassung einer Person eine einmalige Prozesskontrollnummer (PCN) zugewiesen (Abs. 2). Von den biometrischen erkennungsdienstlichen Daten werden alle für den Abgleich erforderlichen Daten gespeichert (Abs. 3). Art. 8 Abs. 1 der Verordnung hält sodann fest, dass die biometrisch erkennungsdienstlichen Daten nach erfolgtem Abgleich in das AFIS aufgenommen werden.
Demzufolge sind die abgenommenen Fingerabdrücke zu vernichten und der Eintrag in der Fingerabdruck-Datenbank (AFIS) ist zu löschen.
5.2. Die Beschwerde im Verfahren 1B_293/2020 erweist sich demgegenüber als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Die Sache wird zur Neuverlegung der vorinstanzlichen Kosten an die Vorinstanz zurückgewiesen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Der Kanton Basel-Stadt hat dem Vertreter der Beschwerdeführerin eine Entschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 f. BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nach <ref-law> ist damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 1B_287/2020 und 1B_293/2020 werden vereinigt.
2.
2.1. Die Beschwerde im Verfahren 1B_287/2020 wird gutgeheissen.
2.2. Das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 20. März 2020 wird aufgehoben, soweit es die erkennungsdienstliche Erfassung hinsichtlich der Fingerabdrücke als zulässig erachtete. Die Verfügung der Staatsanwaltschaft Basel-Stadt vom 8. Juli 2019, mit welcher die erkennungsdienstliche Erfassung hinsichtlich der Fingerabdrücke angeordnet wurde, wird aufgehoben. Die abgenommenen Fingerabdrücke sind zu vernichten und der Eintrag in der Fingerabdruck-Datenbank (AFIS) ist zu löschen.
2.3. Die Beschwerde im Verfahren 1B_293/2020 wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Sache wird zur Neuverlegung der vorinstanzlichen Kosten an das Appellationsgericht zurückgewiesen.
4.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
5.
Der Kanton Basel-Stadt hat den Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin, Advokat Dr. Andreas Noll, mit Fr. 2'500.-- z u entschädigen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. April 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier