Sachverhalt:
A.
Mit Entscheid vom 16. Mai 2018 wies der Einzelrichter des Bezirksgerichts Luzern in der gegen B._ angestrengten Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Luzern das Rechtsöffnungsgesuch von A._ ab, soweit er darauf eintrat.
B.
Mit Eingabe vom 13. Juni 2018 (Postaufgabe) reichte A._ beim Kantonsgericht Luzern ein Gesuch um Fristerstreckung für die Einreichung einer Beschwerde gegen den Rechtsöffnungsentscheid vom 16. Mai 2018 ein. Mit Schreiben vom 14. Juni 2018 teilte der Abteilungspräsident A._ mit, dass dem Fristerstreckungsgesuch nicht entsprochen werden könne, da es sich bei der Beschwerdefrist nach <ref-law> um eine gesetzliche Frist handle, die durch den Richter nicht erstreckt werden könne.
Mit Beschwerde vom 22. Juni 2018 (Postaufgabe) an das Kantonsgericht verlangte A._ im Wesentlichen, es sei auf die Beschwerde einzutreten; eventuell das separate Gesuch um Wiederherstellung der Beschwerdefrist gemäss <ref-law> gutzuheissen. In der Sache beantragte sie die Erteilung der Rechtsöffnung. Mit Entscheid vom 5. Juli 2018 trat das Kantonsgericht auf die Beschwerde nicht ein und auferlegte A._ die Gerichtskosten in der Höhe von Fr. 300.--.
C.
Mit Eingabe vom 14. September 2018 (Postaufgabe) ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin beantragt, es sei das Urteil des Kantonsgerichts aufzuheben und die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer Schuldbetreibungs- und Konkurssache (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 75 und Art. 90 BGG). Der Streitwert beträgt Fr. 7'972.-- und liegt damit unter der gesetzlichen Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- (<ref-law>).
1.2. Ist die Streitwertgrenze nicht erreicht, bleibt zu prüfen, ob sich - wie die Beschwerdeführerin geltend macht - eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von <ref-law> stellt und die Beschwerde in Zivilsachen aus diesem Grund zulässig ist. Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung liegt vor, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.1; je mit Hinweisen).
Im vorliegenden Fall macht die Beschwerdeführerin geltend, dass das Bezirksgericht ihr den Rechtsöffnungsentscheid nicht per Einschreiben hätte zustellen dürfen. Sie ist der Auffassung, sie habe davon ausgehen dürfen, dass Gerichtsentscheide grundsätzlich als Gerichtsurkunde versandt werden. Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung ist in diesem Zusammenhang indes weder dargetan noch ersichtlich, sieht <ref-law> doch explizit vor, dass die Zustellung von Vorladungen, Verfügungen und Entscheiden durch eingeschriebene Postsendung oder auf andere Weise gegen Empfangsbestätigung erfolgt.
1.3. Da die Beschwerdeführerin keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung aufwirft und da der Streitwert nicht erreicht wird, steht die Beschwerde in Zivilsachen nicht offen und ist nur die subsidiäre Verfassungsbeschwerde möglich, soweit deren Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind (<ref-law>). Der Rückweisungsantrag der Beschwerdeführerin genügt den formellen Anforderungen, da die Vorinstanz die Beschwerde materiell nicht beurteilt hat, und das Bundesgericht im Falle der Gutheissung der Beschwerde nicht reformatorisch entscheiden könnte.
1.4. Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 in Verbindung mit <ref-law>). Dies bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.2; je mit weiteren Hinweisen).
2.
In sachverhaltlicher Hinsicht steht fest, dass der erstinstanzliche Rechtsöffnungsentscheid am 18. Mai 2018 eingeschrieben an die Parteien versandt wurde. Der Gesuchstellerin (heutige Beschwerdeführerin) wurde der eingeschriebene Brief am 22. Mai 2018 zur Abholung mit einer Abholungsfrist bis 29. Mai 2018 gemeldet. Am 29. Mai 2018 erteilte die Gesuchstellerin der Post einen Auftrag, die Aufbewahrungsfrist bis 19. Juni 2018 zu verlängern. Der Rechtsöffnungsentscheid wurde der Gesuchstellerin schliesslich am 12. Juni 2018 am Schalter zugestellt.
Die Vorinstanz hat dazu unter Hinweis auf <ref-law> erwogen, dass die Zustellung des erstinstanzlichen Rechtsöffnungsentscheids gesetzeskonform durch eingeschriebene Postsendung erfolgt und eine Zustellung als Gerichtsurkunde nicht vorgeschrieben gewesen sei. Da die Gesuchstellerin mit der Zustellung einer gerichtlichen Sendung habe rechnen müssen, greife die Zustellfiktion von <ref-law>. Die gemäss Art. 251 lit. a i.V.m. <ref-law> geltende zehntägige Beschwerdefrist gegen den erstinstanzlichen Rechtsöffnungsentscheid habe folglich am 8. Juni 2018 geendet.
Es treffe zwar zu, dass bei der Zustellung als Gerichtsurkunde eine Verlängerung der Abholfrist über die Maximaldauer von sieben Tagen nicht möglich sei, doch entschuldige dies die Gesuchstellerin nicht. Zum einen gebe die blosse Unkenntnis von Rechtsregeln - hier die Unkenntnis, dass Gerichtsentscheide rechtmässig mit eingeschriebenem Brief zugestellt werden können bzw. nicht innert sieben Tagen abgeholte eingeschriebene Postsendungen als zugestellt gelten - keinen Anlass für eine Wiederherstellung. Zum anderen habe die Gesuchstellerin durch die Einleitung des Rechtsöffnungsverfahrens ein Prozessrechtsverhältnis begründet, mit der Folge, dass sie dafür zu sorgen hatte, dass ihr Vorladungen, Verfügungen und Entscheide zugestellt werden können. Die Gesuchstellerin hätte nicht einfach die Abholfrist verlängern dürfen, ohne sich vorher nach dem Absender des avisierten Schriftstücks zu erkundigen. Vorliegend habe die Gesuchstellerin nicht glaubhaft gemacht, dass sie kein oder nur ein leichtes Verschulden an der Säumnis treffe. Das Gesuch um Wiederherstellung der Beschwerdefrist im Sinne von <ref-law> sei deshalb abzuweisen. Folglich könne auf die Beschwerde infolge Verspätung nicht mehr eingetreten werden.
3.
Die Beschwerdeführerin besteht darauf, dass gerichtliche Entscheide als Gerichtsurkunde zugestellt werden müssen. Es ist indes weder dargetan noch erkennbar, inwiefern die Rechtsauffassung der Vorinstanz, wonach <ref-law> die Zusendung gerichtlicher Sendungen per Einschreiben zulässt, verfassungswidrig sein könnte. Im Übrigen entspricht es der bundesgerichtlichen Rechtsprechung, dass die siebentägige Frist von <ref-law> unabhängig davon gilt, wie lange eine Sendung gemäss den Abmachungen einer Partei mit der Post abgeholt werden kann (siehe <ref-ruling> E. 3.1; Urteil 5A_677/2013 vom 6. Dezember 2013 E. 2.1).
Hinsichtlich der Wiederherstellung der verpassten Beschwerdefrist nach <ref-law> wiederholt die Beschwerdeführerin lediglich ihren Standpunkt, wonach das Wiederherstellungsgesuch gutzuheissen gewesen wäre. Sie zeigt jedoch nicht auf, inwiefern die Vorinstanz mit ihrer gegenteiligen Beurteilung <ref-law> willkürlich angewendet haben soll (<ref-law>; vgl. zum Begriff <ref-ruling> E. 4.3). Insofern enthält die Beschwerde keine hinreichend begründete Verfassungsrüge.
4.
Aus den dargelegten Gründen ist der Beschwerde kein Erfolg beschieden. Wie die vorstehenden Erwägungen aufzeigen, muss die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos betrachtet werden. Damit mangelt es an einer materiellen Voraussetzung für die unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen. Der Beschwerdegegnerin sind mangels Einholens einer Vernehmlassung keine entschädigungspflichtigen Kosten entstanden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Mai 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss