Der Präsident zieht in Erwägung:
1.
Der Beschwerdeführer erstattete am 24. Juli 2019 Strafanzeige gegen einen Zahnarzt wegen gewerbsmässigen Betrugs. Dieser soll zusammengefasst eine obere und untere Zahnprothese für Fr. 4'826.80 unter Verwendung von veraltetem und zudem überteuertem Material angefertigt haben. Zudem seien dem Beschwerdeführer keine Pflegehinweise gegeben worden. Der Aufforderung, die Prothese nachzurüsten, sei der Zahnarzt sodann nicht nachgekommen. Am 16. Oktober 2019 nahm die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat eine Strafuntersuchung nicht an die Hand. Eine dagegen gerichtete Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich am 17. April 2020 ab, soweit es darauf eintrat.
Der Beschwerdeführer wendet sich an das Bundesgericht.
2.
Für die Entgegennahme und Behandlung von Strafanzeigen ist das Bundesgericht nicht zuständig.
3.
Anfechtungsobjekt des bundesgerichtlichen Verfahrens ist allein der kantonal letztinstanzliche Entscheid (<ref-law>). Von vornherein nicht eingetreten werden kann daher auf die Beschwerde, soweit der Beschwerdeführer die Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft inhaltlich kritisiert und die Verfahrensführung der fallführenden Staatsanwältin unter Hinweis auch auf andere Verfahren beanstandet, ohne indessen einen hinreichend konkreten Bezug auf das vorinstanzliche Verfahrensdossier und den angefochtenen Beschluss herzustellen.
4.
In einer Beschwerde an das Bundesgericht ist unter Bezugnahme auf den angefochtenen Entscheid darzulegen, inwieweit dieser nach Meinung des Beschwerdeführers gegen das Recht verstossen soll (<ref-law>). Für die Rüge der Verletzung von Grundrechten bestehen qualifizierte Begründungsanforderungen (<ref-law>).
Der Privatklägerschaft wird ein rechtlich geschütztes Interesse an der Beschwerde zuerkannt, wenn sich der angefochtene Entscheid auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Sie hat im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren darzulegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderungen auswirken kann, sofern dies, etwa aufgrund der Natur der untersuchten Straftat, nicht ohne Weiteres aus den Akten ersichtlich ist (<ref-ruling> E. 1.3.1, 219 E. 2.4; je mit Hinweisen). Das Bundesgericht stellt an die Begründung strenge Anforderungen (<ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen).
5.
Die Beschwerde genügt den Begründungsanforderungen nicht. Der Beschwerdeführer äussert sich nicht zur Beschwerdelegitimation als Privatkläger. Insbesondere zeigt er nicht auf, inwiefern sich der angefochtene Entscheid auf die Beurteilung seiner Zivilansprüche auswirken kann. Er setzt sich auch nicht substanziiert mit den ausführlichen Erwägungen im angefochtenen Beschluss auseinander. Stattdessen legt er in einem teils ungebührlich vorgetragenen Rundumschlag gegen die Vorinstanz und die Staatsanwaltschaft dar, von welchem Sachverhalt aus seiner Sicht richtigerweise auszugehen wäre und welche rechtlichen Konsequenzen sich daraus ergeben müssten. Seinen Ausführungen lässt sich entnehmen, dass er die Erfüllung des Auftrags bzw. des Werkvertrags durch den von ihm beschuldigten Zahnarzt als unzureichend und mangelhaft erachtet. Indessen ergibt sich daraus nichts, was auf ein strafbares Verhalten des Zahnarztes hindeuten würde. Wie die Vorinstanz richtig erkennt, erhebt der Beschwerdeführer insbesondere zivilrechtliche, d.h. auftrags- bzw. werkvertragsrechtliche Vorwürfe, welche nicht über das Strafrecht geltend zu machen sind. Inwiefern ihm Recht verweigert, Verfahrensverletzungen begangen und das Strafverfahren zu Unrecht nicht an die Hand genommen worden sein soll, zeigt der Beschwerdeführer nicht in einer den formellen Anforderungen genügenden Weise auf. Aus der Beschwerde ergibt sich mithin nicht, dass und inwiefern die Vorinstanz mit ihrem Beschluss Recht im Sinne von <ref-law> verletzt haben könnte. Auf die Beschwerde ist mangels tauglicher Begründung im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
6.
Ausgangsgemäss sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, weil die Rechtsbegehren von vornherein aussichtslos erschienen (vgl. <ref-law>). Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist durch eine herabgesetzte Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Juni 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill