Sachverhalt:
A.
A._ ist die Mutter der drei Kinder B._ (geb. 2005), C._ (geb. 2011) und D._ (geb. 2013).
Mit Eingabe vom 23. Oktober 2018 beantragte E._ vom Sozialzentrum F._ die Anordnung einer Beistandschaft für die Kinder sowie die verdeckte vorläufige Platzierung nach <ref-law>. Nachdem am 29. Oktober 2018 eine weitere Gefährdungsmeldung der Kreisschulpflege V._ erfolgt war, entzog die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde der Stadt U._ (nachfolgend KESB) superprovisorisch A._ das Aufenthaltsbestimmungsrecht über die Kinder und platzierte diese an einem der Behörde bekannten Ort. Gleichzeitig ordnete die KESB für die drei Kinder eine Beistandschaft gemäss Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB an und stellte ihnen für das laufende Verfahren eine Kindesvertreterin nach <ref-law> zur Seite.
B.
Diese superprovisorischen Anordnungen wurden mit Beschlüssen vom 5. November 2018 schriftlich festgehalten und nach Anhörung von A._ und der Kindesvertreterin am 30. November 2018 bestätigt. Die KESB bestellte eine Beiständin und wies einen Antrag ab, mit dem A._ die Platzierung der Kinder bei ihrer Schwester bzw. die Bestellung ihrer Schwester als Beiständin verlangte. Für A._ ordnete die KESB ein begleitetes Besuchsrecht an. Schliesslich wurde mit Beschluss vom 1. November 2018 auch die bereits superprovisorisch angeordnete Verfahrensbeistandschaft bestätigt.
Einer Beschwerde von A._ beim Bezirksrat war zuerst kein Erfolg beschieden; es wurde ihr jedoch die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt. Auf Beschwerde von A._ hin wies das Obergericht die Sache an den Bezirksrat zurück.
Der Bezirksrat entschied am 21. November 2018, auf den Antrag von A._, die Verfahrensvertretung aufzuheben, nicht einzutreten, weil es sich dabei bloss um eine verfahrensleitende Verfügung gehandelt habe. In der Sache wurden aber unter Anderem in teilweiser Gutheissung der Beschwerde die Dispositiv-Ziffern 1 und 6 der Beschlüsse der KESB (betreffend Aufenthaltsbestimmungs- und Besuchsrecht) sowie die Anordnung einer Begutachtung aufgehoben. Auf eine Entscheidgebühr wurde verzichtet und es wurden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
A._ erhob gegen den Beschluss des Bezirksrates Beschwerde beim Obergericht. Sie verlangte zum einen sinngemäss, es sei auf ihr Begehren bezüglich der Prozessvertretung der Kinder einzutreten und deren Anordnung aufzuheben. Zum andern sei ihr eine Prozessentschädigung in der Höhe von CHF 25'638.65 zuzusprechen. Mit Beschluss und Urteil des Obergerichts vom 22. Januar 2020 wies dieses sowohl die Beschwerde wie auch das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab, erhob indessen keine Verfahrenskosten. Es hielt zudem fest, dass die KESB bezüglich der Verfahrensbeistandschaft noch ein Endurteil zu fällen habe.
C.
Gegen dieses Urteil gelangt A._ mit Beschwerde vom 26. Februar 2020 an das Bundesgericht. Sie verlangt im Wesentlichen wie bereits vor der Vorinstanz die Aufhebung der Verfahrensbeistandschaft und die Zusprechung einer Parteientschädigung. Zudem stellt sie ein Begehren um unentgeltliche Rechtspflege im Verfahren vor Bundesgericht.
Das Bundesgericht hat keine Vernehmlassungen eingeholt, jedoch die kantonalen Akten beigezogen.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht überprüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1).
Das angefochtene Urteil betrifft eine Kindesschutzmassnahme (Art. 308, Art. 310 und <ref-law>) und damit eine Angelegenheit, die streitwertunabhängig der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG; <ref-ruling> E. 2.1). Nachdem die Beschwerdeführerin bereits vor Bezirksrat die Aufhebung der eigentlichen Kindesschutzmassnahme, nämlich den Entzug ihres Rechts, den Aufenthaltsort der Kinder zu bestimmen, erwirkt hatte, waren allerdings nur noch die Anordnung der Verfahrensbeistandschaft und die Parteientschädigung im kantonalen Verfahren streitig.
Die Regelung der Parteikosten kann als Teil des Sachentscheids ungeachtet der Höhe der Parteientschädigung mit dem gleichen Rechtsmittel wie der Sachentscheid an das Bundesgericht weitergezogen werden (Urteil 5A_356/2014 vom 14. August 2014 E. 1.1, nicht veröffentlicht in <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 1.2). Das bedeutet aber umgekehrt auch, dass die Kosten nur insoweit und nur mit dem Rechtsmittel beim Bundesgericht angefochten werden können, wie dies auch auf den Sachentscheid zutrifft, in dessen Zusammenhang der angefochtene Kostenentscheid ergangen ist. Der Anfechtung des Kostenentscheids beim Bundesgericht kann allerdings nicht der Umstand entgegenstehen, dass die Beschwerdeführerin vor letzter kanto-naler Instanz in der Sache obsiegt hat und damit mangels Beschwer in der Sache selbst keine Beschwerde ans Bundesgericht ergreifen kann. Eine nur auf die Kosten bezogene Beschwerde ist unter der vorgenannten Voraussetzung vielmehr zulässig; die Beschwer liegt in den Kosten (vgl. bezüglich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten: <ref-ruling> E. 1.1, E. 1.2; Urteile 2C_445/2009 vom 23. Februar 2010 E. 1; 8C_695/2011 vom 29. Mai 2012 E. 1.2; 2C_172/2016 vom 16. August 2016; 9C_254/2018 vom 6. Dezember 2018; LAURENT MERZ, in: Niggli/Übersax/Wiprächtiger/Kneubühler (Hrsg.), Basler Kommentar BGG, 3. Aufl. 2018, N. 72 zu <ref-law>). Damit ist vorliegend zu prüfen, ob die Beschwerde in Zivilsachen in der Sache selbst gegeben gewesen wäre.
1.2. Da Gegenstand des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens der Entscheid der letzten kantonalen Instanz ist, entscheidet sich die Zulässigkeit der Beschwerde in Zivilsachen danach, was vor der letzten kantonalen Instanz noch streitig war (bezüglich Streitwert: MICHEL HEINZMANN, in: Niggli/Übersax/Wiprächtiger/Kneubühler (Hrsg.), Basler Kommentar BGG, 3. Aufl. 2018, N. 16 zu <ref-law>). Nachdem die Beschwerdeführerin bereits vor Bezirksrat die Aufhebung der eigentlichen Kindesschutzmassnahme erwirkt hatte, nämlich den Entzug ihres Rechts, den Aufenthaltsort der Kinder zu bestimmen, war nun allerdings schon bei der Vorinstanz nur noch die Anordnung der Verfahrensbeistandschaft und die Parteientschädigung im kantonalen Verfahren streitig. Es ist damit zu prüfen, ob die vor Obergericht streitigen Fragen der Beschwerde in Zivilsachen unterliegen oder nicht.
1.2.1. Soweit es um die Prozessbeistandschaft nach <ref-law> geht, ist der Bezirksrat als erste gerichtliche Beschwerdeinstanz auf die Beschwerde nicht eingetreten, weil es sich bloss um eine prozessleitende Verfügung der KESB gehandelt hat und diesbezüglich das Endurteil noch aussteht. Das Obergericht hat die dagegen gerichtete Beschwerde abgewiesen. Angefochten ist damit ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid (<ref-law>), mit dem das Nichteintreten der ersten Rechtsmittelinstanz auf eine Beschwerde gegen eine erstinstanzliche prozessuale Anordnung in einem Kindesschutzverfahren geschützt wurde. In der Begrifflichkeit des BGG handelt es sich um einen Vor- oder Zwischenentscheid (<ref-law>). An dieser Qualifikation ändert sich dadurch nichts, dass die Vorinstanz die Beschwerde gegen den Entscheid des Bezirksrates in dieser Frage behandelt und abgewiesen hat. Damit wird nur der Streit um die erstinstanzliche Zwischenverfügung beendet, nicht aber das Hauptverfahren (Urteil 4A_542/2009 vom 27. April 2010 E. 3 mit Hinweisen). Das Obergericht hat ausdrücklich festgehalten, dass der Endentscheid der KESB in diesem Punkt noch ausstehe (angefochtenes Urteil, S. 6, E. 4.2).
Selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide, zu denen auch verfahrensleitende Entscheide gehören (MARC THOMMEN/ROBERTO FAGA, in: Niggli/Übersax/Wiprächtiger/Kneubühler (Hrsg.), Basler Kommentar BGG, 3. Aufl. 2018, N. 4c zu <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 204 f.), können vor Bundesgericht nur unter den Voraussetzungen von Art. 92 und 93 BGG angefochten werden. Vorliegend kommt einzig die Variante gemäss Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG in Betracht, d.h. die Beschwerde ist zulässig, wenn der Zwischenentscheid einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-ruling> E. 1.2 und E. 1.2.1). Inwiefern diese Voraussetzung vorliegend gegeben sein soll, legt die Beschwerdeführerin in keiner Weise dar. Insoweit kann folglich auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
1.2.2. Es bleibt somit als möglicher Gegenstand für eine Beschwerde in Zivilsachen nur die Regelung der Parteientschädigung im Verfahren vor Bezirksrat und der KESB durch die Vorinstanz. War vor der Vorinstanz nur die Kostenfrage streitig, bemisst sich die Zulässigkeit der Beschwerde in Zivilsachen sehr wohl nach dem Streitwert. Entsprechend sind die streitigen Kosten massgebend (MICHEL HEINZMANN, a.a.O., N. 18 zu <ref-law>; Urteile 5A_197/2017 vom 21. Juli 2017 E. 1.2; 5A_517/2015 vom 7. Dezember 2015 E. 1). Diese liegen unter CHF 30'000.-, so dass die Beschwerde in Zivilsachen nicht gegeben ist (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG).
1.3. Ist in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit die Beschwerde in Zivilsachen mangels Erreichens des notwendigen Streitwertes nicht gegeben, kommt die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss <ref-law> zum Zuge. Wie bei der Beschwerde in Zivilsachen ist auch die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nur gegen Entscheide einer letzten kantonalen Instanz zulässig (Art. 75 in Verbindung mit <ref-law>), die - soweit es um die Verweigerung einer Parteientschädigung geht - zu Lasten der Beschwerdeführerin lauten (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1b). Auf die Beschwerde ist insoweit folglich grundsätzlich einzutreten. Soweit sich allerdings die Beschwerdeführerin gegen die für die Kinder eingesetzte Verfahrensvertreterin wehrt (Beschwerdeschrift, Ziff. IV/6, S. 10 f.), kann nicht eingetreten werden, weil - wie das Obergericht ausdrücklich festhält (vgl. hierzu vorstehend E. 1.2.1) - hier noch ein Endentscheid aussteht.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann allerdings nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Dabei gilt das Rügeprinzip; das Bundesgericht prüft den angefochtenen Entscheid nur insofern, als die Verletzung eines bestimmten verfassungsmässigen Rechts vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 in Verbindung mit <ref-law>; vgl. sogleich in E. 2 zweiter Abschnitt). Die Beschwerdeführerin rügt vorliegend eine Verletzung des rechtlichen Gehörs in verschiedenen Punkten (<ref-law>), Willkür (<ref-law>), die Verletzung der Rechte auf Familie, bzw. auf Achtung des Privat- und Familienlebens (<ref-law> und Art. 8 EMRK), auf persönliche Freiheit, bzw. auf Freiheit und Sicherheit (<ref-law> und Art. 5 EMRK) und die Verletzung des verfassungsmässigen Grundsatzes der Verhältnismässigkeit (<ref-law>). Diese Rügen sind zulässig, so dass auf die Beschwerde als subsidiäre Verfassungsbeschwerde grundsätzlich einzutreten ist.
2.
Nachdem bezüglich der vorsorglichen Anordnung der Prozessvertretung der Kinder auf die Beschwerde nicht eingetreten werden kann, geht es vorliegend ausschliesslich um die Frage, ob die Verweigerung einer Parteientschädigung im kantonalen Verfahren die genannten verfassungsmässigen Rechte verletzt hat oder nicht. Insofern ist es nur von beschränkter Bedeutung, ob die von der KESB angeordneten und anschliessend vom Bezirksrat aufgehobenen Kindesschutzmassnahmen Verfassungsrechte der Beschwerdeführerin verletzt haben.
Wie die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerde richtig ausführt, hat der Gesetzgeber die Regelung der Parteientschädigung im Verfahren vor gerichtlicher Beschwerdeinstanz im Kindes- und Erwachsenenschutz den Kantonen überlassen. Regelt der Kanton die Kosten nicht, gelangen die Bestimmungen der Zivilprozessordnung sinngemäss zur Anwendung (<ref-law>), wobei diese dann allerdings nicht Bundesrecht sondern subsidiäres kantonales Recht darstellen (<ref-ruling> E. 4.2; <ref-ruling> E. 2.3). Das Bundesgericht kann die Verletzung der entsprechenden Bestimmungen folglich nur unter der eingeschränkten Kognition der Verfassungsmässigkeit prüfen (<ref-ruling> E. 2.3). Dabei gilt das Rügeprinzip nach <ref-law> (Urteile 5A_724/2015 vom 2. Juni 2016 E. 2.2, nicht publiziert in: <ref-ruling>; 5A_95/2020 vom 19. Februar 2020 E. 2.1 mit Hinweisen).
Die Vorinstanz hatte festgestellt, dass im Kanton keine Bestimmung bestehe, welche im Sinne von <ref-law> die Entschädigungspflicht einer Behörde ausschlösse, es gebe aber auch keine ausdrückliche gesetzliche Grundlage für die Zahlung einer Parteientschädigung. Nach der Rechtsprechung des Obergerichts des Kantons könne eine Behörde zur Zahlung einer Parteientschädigung nur verpflichtet werden, wenn eine unterlegene Gegenpartei fehle, der Behörde materiell Parteistellung zukomme und sich ihr Entscheid als qualifiziert unrichtig erweise (angefochtenes Urteil, S. 8 f., E. 6; zur Regelung im Kanton vgl. auch <ref-ruling>). Das Obergericht hat den Entscheid des Bezirksrates, keine Entschädigung zuzusprechen, sodann geschützt, weil die Verfügungen der KESB sich zwar als falsch, aber nicht als qualifiziert falsch erwiesen hätten.
2.1.
2.1.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, ihr sei in verschiedenen Punkten das rechtliche Gehör verweigert worden. Namentlich habe die Vorinstanz nicht beurteilt, ob die von einem einzelnen Behördenmitglied erlassenen Verfügungen betreffend die Anordnung von Gutachten qualifiziert falsch gewesen seien. Der Vorwurf einer Verweigerung des rechtlichen Gehörs, weil die kantonale Instanz zu einem Vorbringen nicht Stellung genommen hat, setzt voraus, dass die Beschwerdeführerin darlegt, dass sie den entsprechenden Sachverhalt im kantonalen Verfahren tatsächlich vorgebracht hat. Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, die kantonalen Akten danach zu durchforsten, was die Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren vorgetragen hat. Entsprechende Angaben unterlässt die Beschwerdeführerin vorliegend, so dass auf diese Rüge nicht einzutreten ist. Zudem legt sie selber dar, dass der Bezirksrat diesbezüglich ausgeführt habe, ob der Entscheid über die Begutachtungen an ein einzelnes Behördenmitglied delegiert worden sei, erweise sich auf Grund des Entscheides der Gesamtbehörde als fraglich, könne aber mit Blick auf die Aufhebung dieses Entscheides offenbleiben. Mit der vom Bezirksrat angedeuteten Möglichkeit, dass die Delegation im nachfolgenden Behördenentscheid gelegen habe, setzt sich die Beschwerdeführerin nicht qualifiziert auseinander. Auch insofern kann auf diese Rüge nicht eingetreten werden.
2.1.2. Ebenfalls eine Gehörsverletzung macht die Beschwerdeführerin geltend, weil sich das Obergericht nicht mit der Frage der Anordnung der Edition des Verlaufsprotokolls der Stiftung Buchweid befasst habe. Dabei verkennt sie, dass das Obergericht sehr wohl insofern auf die Bedeutung dieses Verlaufsberichts eingegangen ist, als es festgestellt hat, dass der Obhutsentzug nicht nur wegen der vermuteten Verwahrlosung der Kinder, sondern auch wegen der Nichtbeschulung des ältesten Kindes und der mangelnden Kooperation der Beschwerdeführerin mit der Behörde erfolgt war. Bezüglich dieser letzten Gründe für den Obhutsentzug vermag aber der Verlaufsbericht nichts auszusagen, so dass er sich für die Frage, ob der Entzug nicht nur falsch, sondern qualifiziert falsch war, als nicht entscheidend erweist. Diese Schlussfolgerung auch noch ausdrücklich im angefochtenen Entscheid festzuhalten, war nicht notwendig, um die Begründung zu verstehen. Der Vorwurf der Gehörsverletzung erweist sich folglich als nicht begründet. Ob ein Anspruch auf Einsicht in diesen Bericht auf Grund des Datenschutzrechts oder eines allenfalls geltenden Öffentlichkeitsprinzips im kantonalen Recht besteht, braucht hier nicht beurteilt zu werden, da sich die vorliegende Beschwerde nur auf das Kindesschutzverfahren bezieht.
2.1.3. Schliesslich sieht die Beschwerdeführerin eine Gehörsverletzung im Umstand, dass die Vorinstanz ihr die unentgeltliche Rechtsverbeiständung infolge Aussichtslosigkeit verweigert habe, ohne die Aussichtslosigkeit weiter zu begründen. Es ist der Beschwerdeführerin zuzugestehen, dass kurze Ausführungen zu diesem Punkt zu erwarten gewesen wären. Eine gewisse Begründung für die Aussichtslosigkeit ergibt sich aber bei der Lektüre des gesamten Entscheides. Das Obergericht legt dar, dass nach seiner Ansicht in keiner Weise auch nur ansatzweise stichhaltige Argumente gegen den Entscheid des Bezirksrates vorgetragen worden sind, insofern lässt sich dem angefochtenen Entscheid auch in diesem Punkt eine Begründung entnehmen, so dass keine Gehörsverletzung vorliegt.
2.2. Im Weiteren wirft die Beschwerdeführerin der Vorinstanz eine willkürliche Anwendung der Bestimmungen über die Parteientschädigung im Kindesschutzverfahren vor, weil das Obergericht zur Beurteilung, ob der Entscheid der KESB qualifiziert falsch sei oder nur falsch, auf den Zeitpunkt der Heimplatzierung und nicht des Entscheides der KESB abgestellt habe.
Das trifft indessen nicht zu. Wie im angefochtenen Urteil mit aller Deutlichkeit festgehalten wird, war nicht ausschliesslich die mutmassliche Verwahrlosung der Kinder, sondern ebenso die Frage der Einschulung und der über Jahre dauernden mangelnden Zusammenarbeit der Beschwerdeführerin mit den Behörden Grund für den Obhutsentzug (angefochtenes Urteil, E. 7.3, S. 10). Dass auch diese Problemkreise mit dem Eintritt in das Heim sofort geklärt gewesen wären, behauptet nicht einmal die Beschwerdeführerin. Sie legt in keiner Weise dar, warum diese Probleme zum Zeitpunkt des Behördenentscheides bereits so klar als nicht bestehend ausgeräumt gewesen wären, dass der Entscheid der KESB sich nicht nur als falsch, sondern als vollständig unhaltbar erweisen würde.
Nach ständiger Rechtsprechung des Bundesgerichts liegt aber Willkür in der Rechtsanwendung nur vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.1 S. 168; <ref-ruling> E. 4.3 S. 319; je mit Hinweis). Insofern kann auch vorliegend nicht von Willkür gesprochen werden.
2.3. Die weiteren Rügen bezüglich der Verletzung von Grundrechten (<ref-law> und Art. 8 EMRK; <ref-law> und Art. 5 EMRK; <ref-law>) beziehen sich insofern nicht auf das Urteil des Obergerichts, sondern auf die Anordnung der KESB, als die Beschwerdeführerin diese Vorwürfe gegen die Anordnungen der KESB erhebt, die anschliessend vom Bezirksrat aufgehoben worden sind. Damit will die Beschwerdeführerin darlegen, dass der Entscheid der KESB nicht nur falsch, sondern qualifiziert falsch war. Dass die Beschlüsse der KESB falsch waren, ist aber unbestritten. Deshalb sind sie ja auch vom Bezirksrat aufgehoben worden. Dass ein ungerechtfertigter Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts des sorgeberechtigten Elternteils Grundrechte verletzt, liegt auf der Hand. Daraus lässt sich indessen noch nicht schliessen, dass der aufgehobene Entscheid der KESB auch qualifiziert falsch war. Schon gar nicht zu sehen ist, warum der Entscheid des Obergerichts, der ausschliesslich eine Entschädigung verweigerte, weil das Obergericht die Entscheide der KESB zwar als falsch, nicht aber als qualifiziert falsch ansah, die genannten Grundrechte verletzen soll. Diesbezüglich fehlt es in der Beschwerdeschrift an jeglichen Ausführungen. Entsprechend ist auf diese Rügen nicht einzutreten.
3.
Die Beschwerde ist somit als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen und abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann. Die Beschwerdeführerin hat ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt. Sie hat indessen in keiner Weise ihre Prozessbedürftigkeit nachgewiesen. Das Gesuch ist folglich abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in Zivilsachen wird als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen.
2.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde der Stadt U._, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, B._, C._, und D._, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Juli 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann