Faits :
A.
A._, ressortissant nicaraguayen né en 1985, s'est marié avec une ressortissante suisse dans son pays d'origine le 14 janvier 2013. Au bénéfice d'une autorisation de séjour au titre du regroupement familial, il a rejoint sa femme en Suisse le 15 février 2014. Le divorce du couple a été prononcé le 26 avril 2016. Aucun enfant n'est issu de cette union.
A._ est père de deux garçons, nés en 2007 et 2012 d'une précédente relation. Il a la garde sur l'aîné depuis juin 2017, celui-ci étant venu rejoindre son père en Suisse le 17 juillet 2017. Le 16 mai 2018, l'intéressé a demandé l'octroi d'une autorisation de séjour pour son fils. Le 18 février 2019, il a demandé qu'une autorisation d'établissement lui soit octroyée à titre anticipé.
B.
Dans une décision du 19 août 2019, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service de la population), après avoir entendu A._ et son ancienne épouse, a refusé de prolonger l'autorisation de séjour de l'intéressé et d'octroyer une telle autorisation en faveur du fils de celui-ci. A._ et son fils ont contesté ce prononcé le 19 septembre 2019 auprès de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal). Par arrêt du 6 août 2020, le Tribunal cantonal a rejeté le recours.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, outre l'effet suspensif et l'assistance judiciaire, d'annuler l'arrêt du Tribunal cantonal du 6 août 2020 et la décision du Service de la population du 19 août 2019, de prolonger son autorisation de séjour et d'octroyer une autorisation de séjour à son fils; subsidiairement de renvoyer la cause à l'autorité précédente ou au Service de la population pour instruction complémentaire et nouvelle décision dans le sens des considérants.
Par ordonnance du 16 septembre 2020, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a admis la requête d'effet suspensif.
Le Tribunal cantonal, le Service de la population et le Secrétariat d'Etat aux migrations renoncent tous trois à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
Le recourant fait valoir un droit à la prolongation de son autorisation de séjour sur la base de l'art. 50 al. 1 let. b LEI (RS 142.20). L'art. 50 LEI confère, à certaines conditions, un droit à la poursuite du séjour notamment au conjoint d'un ressortissant suisse après la dissolution de la famille. Comme il n'est pas d'emblée exclu que les conditions de cette disposition soient remplies en l'espèce, le recours échappe à la clause d'irrecevabilité de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF. La voie du recours en matière de droit public est donc ouverte concernant le recourant, étant par ailleurs précisé que celui-ci ne conteste pas la décision entreprise en tant qu'elle confirme le refus d'octroi d'une autorisation d'établissement à titre anticipé.
1.2. S'agissant du fils du recourant, celui-ci prend des conclusions à son propos, mais ne motive en rien son recours sur ce point. Il ne mentionne d'ailleurs pas non plus son fils comme partie sur la page de garde de son recours. Pour cette raison déjà, la conclusion relative à cet enfant doit être déclarée irrecevable. Au demeurant, même en cas d'obtention d'une autorisation de séjour, le recourant ne bénéficierait pas d'un droit au regroupement familial (l'art. 44 LEI étant de nature potestative; cf. arrêt 2C_668/2018 du 28 février 2020 consid. 2), si bien qu'en l'absence d'invocation de dispositions constitutionnelles ou conventionnelles (cf. <ref-law>), il convient de toute façon de déclarer la conclusion relative au fils du recourant irrecevable.
1.3. Pour le surplus, l'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>), rendue par une autorité cantonale supérieure de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>). Le recours ayant de surcroît été déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes requises (<ref-law>), par le recourant qui est atteint par la décision entreprise et a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification, de sorte qu'il faut lui reconnaître la qualité pour recourir (<ref-law>), il est partant recevable, sous réserve de ce qui suit.
1.4. Dans la mesure où le recourant demande l'annulation de la décision du Service de la population du 19 août 2019, sa conclusion est irrecevable en raison de l'effet dévolutif complet du recours auprès du Tribunal cantonal (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 543).
2.
Dans un grief formel qu'il convient de traiter en premier lieu (<ref-ruling> consid. 3 p. 563; arrêt 2C_1016/2018 du 5 juin 2019 consid. 3.1), le recourant estime que le Tribunal cantonal a violé son droit d'être entendu.
2.1. Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. comprend notamment le droit pour l'intéressé de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique, d'avoir accès au dossier, de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou à tout le moins de s'exprimer sur son résultat, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 7.2.2.1 p. 103 et les références). L'autorité peut cependant renoncer à procéder à des mesures d'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient l'amener à modifier son opinion (<ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 299 et les références).
2.2. Le recourant est d'avis qu'en refusant de donner suite à ses offres de preuve, le Tribunal cantonal a violé son droit d'être entendu. Devant l'autorité précédente, il a en effet demandé son audition, ainsi que celle de son ancienne épouse, deux moyens de preuve qui ont été écartés par le Tribunal cantonal, celui-ci ayant estimé être suffisamment renseigné sur la base du dossier de la cause.
2.3. En premier lieu, dans la mesure où le recourant invoque une violation de son droit d'être entendu par le fait que l'autorité précédente ne l'a pas auditionné, il méconnaît que les garanties minimales en matière de droit d'être entendu découlant de l'art. 29 al. 2 Cst. ne comprennent en principe pas le droit d'être entendu oralement (<ref-ruling> consid. 9.6.1 p. 76 et les références). Le droit cantonal peut certes, selon les cas, offrir une protection plus étendue aux justiciables (cf. <ref-ruling> consid. 2.4.2.1 p. 95 s. a contrario; arrêt 2C_747/2019 du 19 novembre 2019 consid. 3.2). Le recourant ne fait toutefois pas valoir que cela serait le cas en l'espèce. Le refus du Tribunal cantonal d'auditionner le recourant ne viole donc pas l'art. 29 al. 2 Cst.
En outre, en tant que le recourant estime que le Tribunal cantonal aurait dû auditionner son ancienne épouse, force est de constater que celui-ci a expressément expliqué pourquoi ce témoignage n'était pas nécessaire pour statuer sur le litige pendant devant lui. Il a ainsi procédé à une appréciation anticipée du moyen de preuve proposé et c'est donc bien plus d'un établissement inexact des faits dont le recourant devait se plaindre, ce qu'il a d'ailleurs fait.
2.4. Le grief de violation du droit d'être entendu doit par conséquent être écarté.
3.
Le recourant invoque un établissement inexact des faits en relation avec les deux moyens de preuve précités, écartés par le Tribunal cantonal.
3.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.4.3 p. 156). Le recourant ne peut critiquer les constatations de fait ressortant de la décision attaquée que si celles-ci ont été effectuées en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 6 p. 358). Conformément à l'<ref-law>, le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 6.3 p. 375). Par ailleurs, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut en principe être présenté devant le Tribunal fédéral (<ref-law>).
3.2. En l'occurrence, le recourant estime que le Tribunal cantonal aurait dû prendre en compte ses déclarations et celles de son ancienne épouse quant au risque qu'il encourait en cas de retour dans son pays d'origine. On comprend ainsi que le recourant se plaint de l'arbitraire dans l'appréciation anticipée des moyens de preuve qu'il avait proposés au Tribunal cantonal, en l'occurrence son audition et le témoignage de son ancienne épouse. Selon lui, ces éléments étaient nécessaires pour que l'autorité précédente puisse se prononcer sur l'existence de raisons personnelles majeures, cette autorité ne pouvant pas renoncer à ces moyens de preuve et simultanément considérer que le recourant "n'apportait aucun élément qui permettrait d'étayer sa version des faits".
3.3. En l'occurrence, force est en tout premier lieu de relever que, tel que l'a également mentionné le Tribunal cantonal, le fait de ne pas avoir entendu oralement le recourant dans le cadre d'une audience d'instruction n'empêchait nullement celui-ci d'exposer ses griefs devant l'autorité précédente, qui plus est par l'intermédiaire de son conseil, dans ses différentes écritures. Cette appréciation anticipée de l'audition personnelle du recourant n'est aucunement emprunte d'arbitraire.
Quant à l'audition de l'ancienne épouse du recourant, le Tribunal cantonal a jugé que celle-ci n'était pas nécessaire, dans la mesure où il était suffisamment renseigné, sur la base des éléments au dossier, pour statuer sur la cause. Une telle appréciation de ce moyen de preuve n'est pas non plus arbitraire. Il faut en effet constater que le témoin en question avait d'ores et déjà été entendu personnellement par le Service de la population, ce qui rendait superflu une seconde audition. Le fait que le Tribunal cantonal ait jugé que le recourant n'apportait aucun élément permettant d'étayer sa version des faits n'est par ailleurs aucunement incompatible avec l'appréciation anticipée des moyens de preuve effectuée. Le recourant avait en effet la possibilité, avec ses diverses déterminations, de produire des moyens de preuve aptes à fonder ses déclarations, ce qu'il n'a pas fait.
3.4. Dans ces conditions, il convient d'écarter le grief d'établissement inexact des faits. Le Tribunal fédéral examinera donc la correcte application du droit sur la seule base des faits retenus par le Tribunal cantonal.
4.
Le recourant se plaint en définitive uniquement de violation de l'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEI.
4.1. Le recourant étant divorcé d'une ressortissante suisse, avec qui l'union conjugale n'a pas duré trois ans, c'est à juste titre qu'il n'invoque ni une violation de l'art. 42 LEI, qui prévoit que le conjoint d'un ressortissant suisse a droit à l'octroi et la prolongation d'une autorisation de séjour à condition de vivre en ménage commun avec lui, ni une violation de l'art. 50 al. 1 let. a LEI, qui dispose pour sa part qu'après dissolution de la famille, le droit du conjoint subsiste lorsque l'union conjugale a duré au moins trois ans et les critères d'intégration sont remplis.
4.2. L'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEI permet au conjoint étranger de demeurer en Suisse après la dissolution de l'union conjugale, lorsque la poursuite de son séjour s'impose pour des raisons personnelles majeures. Les raisons personnelles majeures, visées à l'al. 1 let. b, sont notamment données lorsque le conjoint est victime de violence conjugale, que le mariage a été conclu en violation de la libre volonté d'un des époux ou que la réintégration sociale dans le pays de provenance semble fortement compromise (art. 50 al. 2 LEI). L'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEI vise à régler les situations qui échappent aux dispositions de l'art. 50 al. 1 let. a LEI, soit parce que le séjour en Suisse durant le mariage n'a pas duré trois ans ou parce que l'intégration n'est pas suffisamment accomplie ou encore parce que ces deux aspects font défaut mais que - eu égard à l'ensemble des circonstances - l'étranger se trouve dans un cas de rigueur après la dissolution de la famille. A cet égard, c'est la situation personnelle de l'intéressé qui est décisive et non l'intérêt public que revêt une politique migratoire restrictive. Il s'agit par conséquent uniquement de décider du contenu de la notion juridique indéterminée "raisons personnelles majeures" et de l'appliquer au cas d'espèce, en gardant à l'esprit que l'art. 50 al. 1 let. b LEI confère un droit à la poursuite du séjour en Suisse (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 395; arrêt 2C_112/2020 du 9 juin 2020 consid. 4.1 et les références).
S'agissant de la réintégration sociale dans le pays de provenance, la question n'est pas de savoir s'il est plus facile pour la personne concernée de vivre en Suisse, mais uniquement d'examiner si, en cas de retour dans le pays d'origine, les conditions de la réintégration sociale, au regard de la situation personnelle, professionnelle et familiale de l'étranger, seraient gravement compromises (cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 232; arrêt 2C_112/2020 du 9 juin 2020 consid. 5.1). Le simple fait que l'étranger doit retrouver des conditions de vie qui sont usuelles dans son pays de provenance, ne constitue pas une raison personnelle majeure au sens de l'art. 50 LEI, même si ces conditions de vie sont moins avantageuses que celles dont cette personne bénéficie en Suisse (arrêt 2C_112/2020 du 9 juin 2020 consid. 5.1 et les références). La jurisprudence considère en outre que les obstacles à l'exécution du renvoi peuvent, dans certaines circonstances, également fonder une raison personnelle majeure au sens de l'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEI (cf. <ref-ruling> consid. 3.3.2 p. 352; arrêt 2C_213/2019 du 20 septembre 2019 consid. 5.1.2 et les références). Cependant, comme l'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEI vise les cas de rigueur qui surviennent à la suite de la dissolution de la famille, en relation avec l'autorisation de séjour découlant du mariage, la prise en considération des éventuels obstacles à l'exécution du renvoi n'est possible que pour autant que ceux-ci présentent un certain lien de continuité ou de causalité avec l'union entre-temps dissoute (cf. arrêt 2C_982/2018 du 4 janvier 2019 consid. 3.3.1 et les références).
4.3. En l'occurrence, le recourant limite sa contestation à l'existence d'une réintégration sociale fortement compromise dans son pays de provenance. Dans la mesure où les faits ressortant de l'arrêt entrepris ne laissent aucunement douter de l'absence de violences conjugales ou de mariage conclut en violation de la libre volonté de l'un des époux, l'examen de la cause peut effectivement se limiter à la seule question de la réintégration sociale. A ce propos, le recourant a quitté le Nicaragua pour venir s'installer en Suisse auprès de son épouse. Pour cette raison les éventuels obstacles à l'exécution du renvoi doivent être pris en compte (arrêt 2C_982/2018 du 4 janvier 2019 consid. 3.3.1 et les références).
Le Tribunal cantonal a retenu, de manière à lier le Tribunal fédéral, que le recourant, qui est jeune et en bonne santé, a vécu durant 29 ans dans son pays d'origine, dans lequel vivent encore plusieurs membres de sa famille proche, notamment ses parents et l'un de ses enfants. Compte tenu de ces éléments, on peut conclure avec l'autorité précédente que, même si le retour au Nicaragua ne sera pas exempt de difficultés, une réintégration dans ce pays ne paraît pas d'emblée insurmontable.
Quant aux obstacles à l'exécution du renvoi, le Tribunal cantonal a certes mentionné à tort que les arguments du recourant à ce propos relevaient de la procédure d'asile (cf. consid. 4.2 ci-dessus). Il a néanmoins expliqué que les risques de représailles de la part des autorités nicaraguayennes pour avoir posté sur un réseau social des messages contestataires à l'encontre du gouvernement à la suite de violences perpétrées en avril 2018 à l'encontre d'étudiants qui manifestaient dans la rue, allégués par le recourant, n'avaient pas été suffisamment établis par celui-ci. Le recourant n'a en effet apporté aucun moyen de preuve permettant de fonder ses affirmations. Comme on l'a vu précédemment (cf. consid. 3.3 ci-dessus), son audition et le témoignage de son ancienne épouse ont été écartés sans arbitraire par l'autorité précédente. On rappellera ici que l'ancienne épouse a de toute façon été entendue durant la procédure, mais que le simple fait qu'elle ait mentionné devant le Service de la population qu'il serait dangereux pour le recourant de rentrer dans son pays, au vu de la situation politique actuelle, ne permet pas d'établir à suffisance l'existence d'éventuels risques de représailles. Le recourant a d'ailleurs lui-même reconnu ne pas pouvoir apporter la preuve des menaces alléguées.
Dans ces conditions, les faits établis par l'autorité précédente et présentés ci-avant ne font pas apparaître que la réintégration du recourant dans son pays d'origine serait fortement compromise pour d'autres motifs. C'est donc sans violer le droit fédéral que le Tribunal cantonal a nié en l'espèce l'existence de raisons personnelles majeures au sens de l'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEI et confirmé le refus du Service cantonal de renouveler l'autorisation de séjour du recourant.
5.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours, dans la mesure où celui-ci est recevable. Le recours étant d'emblée dénué de chances de succès, la demande d'assistance judiciaire est rejetée (cf. <ref-law>). Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (cf. <ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué à la mandataire du recourant, au Service de la population et à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud, ainsi qu'au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 23 novembre 2020
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Tissot-Daguette