Faits :
A.
Le 12 juin 2017, X._ SA et Y._ SA en liquidation, deux sociétés inscrites au registre du commerce de la République et canton de Neuchâtel et agissant par leur administrateur Z._, et ce dernier ont déposé auprès de la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal), une demande en réparation d'un dommage et d'un tort moral à l'encontre de la République et canton de Neuchâtel. Par décision du 27 septembre 2017, le Tribunal cantonal a rejeté la requête d'assistance judiciaire déposée à l'appui de cette demande. Le recours interjeté par les deux sociétés précitées et Z._ contre cette décision a été rejeté par le Tribunal fédéral le 29 mars 2018 (arrêt 2C_954/2017).
Le 12 avril 2018, le Tribunal cantonal a invité les sociétés demanderesses à verser une avance de frais de 63'000 fr. dans les 30 jours, sous menace d'irrecevabilité de leur demande. Le 22 juin 2018, les demanderesses ont sollicité le paiement échelonné mensuellement de l'avance de frais à hauteur de 300 fr. Le 27 juin 2018, le Tribunal cantonal les a invitées à verser 21'000 fr. jusqu'au 30 septembre 2018, 21'000 fr. jusqu'au 31 décembre 2018 et 21'000 fr. jusqu'au 31 mars 2019, avec l'avertissement que si lesdites sommes n'étaient pas payées dans les délais respectivement indiqués, la demande serait déclarée irrecevable, avec suite de frais. Par courrier du 27 septembre 2018, les demanderesses ont indiqué qu'elles ne disposaient pas des moyens leur permettant de verser les tranches arrêtées et ont réitéré leur demande visant un paiement mensuel de 300 fr. Le 28 septembre 2018, les demanderesses ont formulé la même requête et précisé avoir entamé le paiement de l'avance de frais par un versement de 300 fr. le 29 septembre 2018. Le 30 septembre 2018, elles ont sollicité la suspension de la procédure.
Par arrêt du 15 octobre 2018, le Tribunal cantonal, après avoir constaté que seuls 300 fr. avaient été versés, a déclaré la demande du 12 juin 2017 irrecevable faute de paiement dans les délais de l'intégralité de l'avance de frais demandée. A cette occasion, il a également déclaré sans objet la demande de suspension de la procédure du 30 septembre 2018.
B.
X._ SA, Y._ SA en liquidation et Z._ ont interjeté un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral à l'encontre de l'arrêt précité du 15 octobre 2018. Concernant X._ SA et Y._ SA en liquidation, ils demandent au Tribunal fédéral, sous suite des frais et dépens, d'annuler l'arrêt attaqué et, principalement, de déclarer l'action intentée devant le Tribunal cantonal recevable indépendamment du paiement de l'avance de frais. Subsidiairement, ils requièrent d'être autorisés à pouvoir s'acquitter de l'avance de frais à raison de 300 fr. par mois ou à dire de justice et qu'il soit ordonné au Tribunal cantonal d'entrer en matière sur l'action déposée, recevable indépendamment du paiement de l'avance de frais. Plus subsidiairement, ils demandent le renvoi de la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle décision sur la recevabilité au sens des considérants et plus subsidiairement encore, le renvoi de la cause au Tribunal cantonal afin qu'il fixe les modalités de paiement de l'avance de frais. Concernant Z._, ils demandent, sous suite des frais et dépens, principalement, qu'il soit ordonné au Tribunal cantonal d'entrer en matière sur l'action déposée par celui-ci et, subsidiairement, le renvoi de la cause au Tribunal cantonal pour décision sur la recevabilité au sens des considérants. Après avoir reçu une demande d'avance de frais du Tribunal fédéral, les recourants ont requis l'assistance judiciaire et déposé, à titre subsidiaire, une demande de reconsidération de l'ordonnance fixant l'avance de frais, en requérant que celle-ci soit fixée à un montant de 1'000 fr. au maximum ou à dire de justice, ainsi que la possibilité de payer par acomptes. Compte tenu de la requête d'assistance judiciaire, le Tribunal fédéral a provisoirement renoncé à exiger une avance de frais, en précisant qu'il serait statué ultérieurement sur l'octroi de l'assistance judiciaire.
Le Service juridique du Département de la justice, de la sécurité et de la culture de la République et canton de Neuchâtel a renoncé à se prononcer. Le Tribunal cantonal a conclu au rejet du recours dans la mesure où il était recevable. Les recourants ont répliqué.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public a été déposé en temps utile (<ref-law>) et en la forme prévue (<ref-law>) à l'encontre d'un arrêt final (<ref-law>) rendu par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>). En outre, X._ SA et Y._ SA en liquidation, qui ont succombé devant l'autorité précédente, ont qualité pour recourir (<ref-law>). La qualité pour recourir doit également être reconnue à Z._ qui se plaint d'un déni de justice formel (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 5; arrêt 2D_24/2017 du 14 mai 2018 consid. 2).
L'objet de la contestation est une décision finale d'irrecevabilité d'une demande en réparation pour défaut de paiement de l'avance de frais. Les décisions incidentes du Tribunal cantonal des 12 avril et 27 juin 2018 concernant ladite avance n'ont pas été attaquées. Toutefois, l'absence de recours contre de telles décisions n'empêche pas d'en contester ultérieurement le contenu dans un recours dirigé, comme en l'espèce, contre la décision finale; le recours immédiat selon l'<ref-law> est à cet égard facultatif (cf. BERNARD CORBOZ, in Commentaire de la LTF, 2014, n° 39 ad <ref-law>).
Il convient donc d'entrer en matière.
2.
Le litige porte sur le point de savoir si le Tribunal cantonal était en droit de refuser d'entrer en matière sur la demande en réparation du dommage déposée par X._ SA et Y._ SA en liquidation au motif qu'elles ne s'étaient pas acquittées de l'avance de frais requise dans les délais impartis. Il porte également sur l'éventuel déni de justice commis par l'autorité précédente en ne statuant pas sur la demande en réparation qui aurait été formée par Z._.
3.
3.1. Le recours en matière de droit public (<ref-law>) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Conformément à l'<ref-law>, il ne connaît toutefois de la violation des droits fondamentaux, ainsi que de celle de dispositions de droit cantonal et intercantonal, que si ce grief a été invoqué et motivé par la partie recourante, c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 368; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 41; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 234).
3.2. A cela s'ajoute que, sous réserve des cas visés à l'art. 95 let. c-e LTF, la violation du droit cantonal en tant que tel ne peut être invoquée devant le Tribunal fédéral. Il est néanmoins possible de faire valoir que son application consacre une violation du droit fédéral, comme la protection contre l'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou la garantie d'autres droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 6.1 p. 324; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 308). Le Tribunal fédéral n'examine cependant de tels moyens que s'ils sont formulés conformément aux exigences de motivation qualifiées prévues à l'<ref-law>.
4.
Les recourantes 1 et 2 se plaignent tout d'abord d'une violation du principe de la légalité et invoquent l'art. 127 Cst. Elles font valoir que l'avance de frais exigée et l'irrecevabilité découlant de l'absence de paiement de celle-ci ne reposent sur aucune base légale. En revanche, elles ne prétendent pas que les juges cantonaux auraient appliqué le droit cantonal de façon arbitraire, l'arrêt attaqué ne sera pas revu sous cet angle (cf. supra consid. 3).
4.1. Le principe de la légalité régit l'ensemble de l'activité de l'Etat (cf. art. 5 al. 1 Cst.). Il revêt une importance particulière en droit fiscal où il est érigé en droit constitutionnel indépendant à l'art. 127 al. 1 Cst. Cette norme - qui s'applique à toutes les contributions publiques, y compris aux contributions causales, tant fédérales que cantonales ou communales - prévoit en effet que les principes généraux régissant le régime fiscal, notamment la qualité de contribuable, l'objet de l'impôt et son mode de calcul, doivent être définis par la loi (cf. également l'art. 164 al. 1 let. d Cst.) (<ref-ruling> consid. 3.4 p. 461; <ref-ruling> consid. 4.5 p. 93; <ref-ruling> consid. 5.1.1 et 5.1.2; <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 186). Ce principe ne doit toutefois pas être vidé de sa substance ni appliqué avec une exagération telle qu'il entre en contradiction irréductible avec la réalité juridique et les exigences de la pratique (<ref-ruling> consid. 7.2 p. 140; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 354 et la jurisprudence citée). Le principe de la légalité interdit d'appliquer par analogie des normes fiscales à un état de fait voisin pour combler une lacune et parvenir à une imposition (cf. arrêts 2C_1133/2015 du 11 novembre 2016 consid. 3.2; 2C_939/2011 du 7 août 2012 consid. 4). Ce principe n'empêche toutefois pas qu'en présence non d'une lacune, mais d'un texte peu clair ou ambigu, celui-ci puisse être interprété conformément aux règles générales d'interprétation des textes de loi, notamment en se fondant sur des analogies (cf. arrêts 2C_1133/2015 du 11 novembre 2016 consid. 3.2; 2C_939/2011 du 7 août 2012 consid. 4 et les références citées).
4.2. De jurisprudence constante, les frais de justice sont des contributions causales qui trouvent leur fondement dans la sollicitation d'une prestation étatique et, partant, dépendent des coûts occasionnés par le service rendu (cf. <ref-ruling> consid. 4.3.1 p. 234; <ref-ruling> consid. 3.3.2 p. 108; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 404). Le principe de la perception de frais de justice, en tant que contributions causales, ainsi que ses aspects importants doivent être prévus dans une loi au sens formel du terme. Dans la mesure où il constitue non seulement une modalité particulière de paiement des frais judiciaires prévisibles de la procédure, mais avant tout une condition de recevabilité du recours, le principe du paiement de l'avance des frais judiciaires dans le délai imparti n'est pas une question secondaire dont le règlement peut être délégué au pouvoir exécutif ou à une autorité judiciaire. La possibilité de pouvoir demander une avance des frais judiciaires et la sanction attachée au non-paiement à temps de celle-ci doivent par conséquent également figurer dans une loi au sens formel du terme. A défaut, il y a atteinte au principe constitutionnel de la légalité (ATF <ref-ruling> consid. 3.4 p. 405 s.).
4.3. Dans la décision attaquée, le Tribunal cantonal a fondé l'avance de frais réclamée et les conséquences du non-paiement de celle-ci sur les art. 47 al. 5, 52 al. 2 et 60 al. 2 de la loi neuchâteloise du 27 juin 1979 sur la procédure et la juridiction administratives (LPJA; RS/NE 152.130), ainsi que sur le décret neuchâtelois du 6 novembre 2012 fixant le tarif des frais, des émoluments de chancellerie et des dépens en matière civile, pénale et administrative (TFrais; RS/NE 164.1). En particulier, il a basé le paiement d'une avance de frais, comme condition de recevabilité de l'action, sur l'art. 47 al. 5 LPJA (cf. arrêt attaqué p. 2).
4.4. La LPJA sur laquelle s'est fondée l'autorité précédente constitue indéniablement une loi au sens formel. La question de l'avance de frais y est réglée à l'art. 47 al. 5, qui figure dans le chapitre 4 intitulé: "La procédure de recours en général". Selon cette disposition, "l'autorité de recours perçoit du recourant une avance de frais équivalente aux frais de procédure présumés. Elle lui impartit pour le versement de cette avance un délai raisonnable en l'avertissant qu'à défaut, elle déclarera le recours irrecevable. En cas de motifs particuliers, elle peut renoncer à percevoir la totalité ou une partie de l'avance de frais, ou autoriser son versement par acomptes." L'action de droit administratif est réglée au chapitre 6 de la loi et comprend trois articles, à savoir les art. 58 à 60. Aucun de ces derniers ne traite des questions de frais de procédure ou d'avance de frais. L'art. 60 LPJA précise que "l'action est introduite par une requête indiquant les motifs, les conclusions et les moyens de preuve éventuels" (al. 1) et que, "pour le surplus, les dispositions des articles 51 à 56 sont applicables" (al. 2). Le chapitre 6 de la LPJA, consacré à l'action de droit administratif, ne renvoie donc pas à l'art. 47 LPJA. Le Tribunal cantonal le confirme dans ses observations au recours lorsqu'il indique que l'absence de renvoi de l'art. 60 al. 2 LPJA à l'art. 47 al. 5 LPJA constitue une lacune proprement dite.
Certes, l'art. 52 al. 2 LPJA, auquel renvoie l'art. 60 al. 2 LPJA, précise que le président de la cour concernée du Tribunal cantonal peut écarter un recours sans échange d'écriture ni débat, lorsque l'avance de frais n'est pas payée à temps. Cette disposition ne traite toutefois pas du principe du paiement d'une telle avance, lequel est, comme déjà mentionné, réglé à l'art. 47 al. 5 LPJA, mais uniquement de la compétence du président susmentionné de ne pas entrer en matière dans un tel cas, à savoir lorsque la loi prévoit qu'une avance de frais doit être versée. Le Tribunal cantonal ne prétend d'ailleurs pas que l'art. 52 al. 2 LPJA, en lien avec l'art. 60 al. 2 LPJA, constituerait une base légale propre à justifier l'exigence d'une avance de frais dans le présent cas.
En résumé, la LPJA ne contient pas de disposition prévoyant qu'une action de droit administratif est également soumise au paiement d'une avance de frais. A fortiori, elle ne contient pas non plus de dispositions qui seraient peu claires ou ambiguës sur ce point et qui nécessiteraient une interprétation particulière (cf. supra consid. 4.1).
4.5. L'argumentation de l'autorité précédente concernant l'existence d'une lacune proprement dite devant être comblée, au moyen d'une application par analogie de l'art. 47 al. 5 LPJA, doit être écartée (cf. observations au recours). Une lacune proprement dite suppose en effet que le législateur se soit abstenu de régler un point alors qu'il aurait dû le faire et qu'aucune solution ne se dégage du texte ou de l'interprétation de la loi (cf. <ref-ruling> consid. 4.3.1 p. 397 et les références citées). En l'occurrence, une solution praticable, n'entravant pas le bon fonctionnement de la justice, se dégage sans peine de la loi, puisqu'il découle de celle-ci qu'une avance de frais ne peut être perçue en cas d'action de droit administratif. Par ailleurs, une longue pratique ne saurait pallier à une absence de base légale au sens formel. Enfin, l'art. 47 LPJA portant sur les procédures de recours, on voit mal que l'on puisse exiger une avance de frais en se fondant sur un raisonnement par analogie pour les procédures d'action de droit administratif, alors que la loi elle-même ne prévoit pas que des frais peuvent être perçus pour ces dernières. A cet égard, il est rappelé que le principe de la légalité, qui revêt une importance particulière en droit fiscal, interdit d'appliquer par analogie une norme à un état de fait voisin pour combler une lacune et arriver à une imposition (cf. supra consid. 4.1).
Le TFrais ne traite quant à lui aucunement de la question de l'avance de frais. Dans l'arrêt querellé, il est fait référence à ce décret pour justifier le montant de l'avance réclamée. Le Tribunal cantonal ne prétend pas qu'une autre norme de droit cantonal justifierait l'avance de frais en cause. Enfin, l'autorité précédente ne peut pas tirer avantage de l'<ref-ruling>. Cette jurisprudence relativise en effet le principe de la légalité en matière de frais judiciaires, mais pour ce qui concerne le cadre tarifaire et non le principe de la perception de tels frais ou celui permettant de réclamer une avance de ceux-ci. De tels principes doivent être fixés par le législateur formel.
4.6. Il ressort de l'ensemble de ce qui précède qu'il n'existe pas de base légale permettant de demander une avance de frais en cas d'action de droit administratif. Le Tribunal cantonal ne pouvait partant pas exiger une telle avance, ni déclarer la demande de réparation irrecevable faute de paiement de celle-ci. Le grief des recourants sur ce point est ainsi bien fondé. Une telle conclusion permet déjà en soi d'admettre leur recours sans qu'il soit nécessaire d'examiner les autres griefs invoqués dans le recours, à l'exception du grief de déni de justice soulevé par le recourant 3.
5.
Le recourant 3 se plaint d'un déni de justice et invoque les art. 29 et 29a Cst. Il reproche au Tribunal cantonal de ne pas avoir statué sur sa demande en réparation du dommage qu'il allègue avoir déposé conjointement avec les recourantes 1 et 2.
5.1. Aux termes de l'art. 29 al. 1 Cst., toute personne a droit, dans une procédure judiciaire ou administrative, à ce que sa cause soit traitée équitablement et jugée dans un délai raisonnable. Il y a déni de justice formel lorsqu'une autorité n'applique pas ou applique d'une façon incorrecte une règle de procédure, de sorte qu'elle ferme l'accès à la justice au particulier qui, normalement, y aurait droit. L'autorité qui se refuse à statuer, ou ne le fait que partiellement, viole l'art. 29 al. 1 Cst. (cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 192 et les références citées).
Selon l'art. 29a Cst., toute personne a droit à ce que sa cause soit jugée par une autorité judiciaire. La Confédération et les cantons peuvent, par la loi, exclure l'accès au juge dans des cas exceptionnels. Cette norme constitutionnelle étend donc le contrôle judiciaire en principe à toutes les contestations juridiques. Il s'agit en particulier de contestations portant sur les droits et les obligations de personnes (physiques ou morales). La garantie ne s'oppose cependant pas aux conditions de recevabilité habituelles du recours ou de l'action (<ref-ruling> consid. 8.2 p. 350 s. et les références citées).
5.2. En l'occurrence, selon la demande en réparation du dommage et du tort moral du 12 juin 2017 dirigée contre l'Etat de Neuchâtel, Z._ "compar[ait] personnellement", cette demande étant faite "au nom de X._ SA (Demandeur 1) et Y._ SA en liquidation (Demandeur 2), ainsi qu'à titre personnel (Demandeur 3; ensemble les demandeurs) " (la version de cette demande, datée du 13 juin 2017, a sur ce plan la même teneur) (<ref-law>). Formellement, la demande de réparation en cause a donc également été déposée au nom et pour le compte du recourant 3. Un examen du contenu de cette demande sur le fond laisse toutefois penser le contraire (cf. arrêt 2C_954/2017 du 29 mars 2018 consid. 6.2). Cela étant, le caractère peu clair de la qualité de demandeur du recourant 3 ne dispensait pas l'autorité précédente de statuer sur sa demande.
Dans ses observations sur le recours, le Tribunal cantonal ne se prononce pas sur le grief de déni de justice en lien avec l'absence de traitement de la demande du recourant 3. Il n'indique pas non plus que l'avance de frais qu'il mentionnait vouloir requérir de celui-ci dans sa décision du 27 septembre 2017 aurait été exigée, ni qu'il prévoyait de poursuivre la procédure en réparation du dommage engagée par ce dernier. Dans ces circonstances, on ne peut pas exclure, comme le prétendent les recourants, qu'il avait renoncé à statuer formellement sur la demande en réparation du recourant 3. Il a dans cette mesure commis un déni de justice. Le recours doit également être admis sur ce point.
6.
Sur le vu de ce qui précède, le recours doit être admis, l'arrêt entrepris annulé et la cause renvoyée à l'instance précédente pour qu'elle examine les autres conditions de recevabilité de l'action en réparation déposée par les recourants, à savoir également par le recourant 3, et le cas échéant, entre en matière sur celle-ci. Il n'appartient en effet pas au Tribunal fédéral de se prononcer, comme première instance, sur les autres conditions de recevabilité de l'action en cause, ce d'autant plus que le présent litige concerne du droit cantonal, que le Tribunal fédéral n'examine que sous l'angle restreint de l'arbitraire (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 219).
7.
Les frais judiciaires sont mis à la charge de la République et canton de Neuchâtel qui succombe et dont l'intérêt patrimonial est en cause (<ref-law>). Les recourants, créanciers solidaires (<ref-law> par analogie), qui obtiennent gain de cause, avec l'assistance d'un avocat, ont droit à des dépens, à charge de la République et canton de Neuchâtel (art. 68 al. 1 et 2 LTF). La requête d'assistance judiciaire déposée par les recourants est sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée au Tribunal cantonal pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
La requête d'assistance judiciaire est sans objet.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 10'000 fr., sont mis à la charge de la République et canton de Neuchâtel.
4.
La République et canton de Neuchâtel versera aux recourants, créanciers solidaires, une indemnité de 10'500 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
5.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire des recourants, au Département de la justice, de la sécurité et de la culture et au Tribunal cantonal, Cour de droit public, de la République et canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 27 mai 2019
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : de Chambrier