Sachverhalt:
A.
A._ (Kläger, Beschwerdeführer) war ab dem 1. September 2012 als technischer Kaufmann bei der B._ AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin) beschäftigt. Mit Schreiben vom 30. November 2015 kündigte die Beklagte den Arbeitsvertrag. Der Kläger behauptet, dass ihm nach der Beendigung des Arbeitsverhältnisses, aufgrund einer telefonischen Auskunft von C._, Verwaltungsratsmitglied der Beklagten, eine Anstellung bei einer Unternehmung in Abchasien entgangen sei.
B.
Am 28. März 2018 reichte er am Richteramt Dorneck-Thierstein Klage ein. Er beantragte zusammengefasst, die Beklagte sei aufgrund der ihm entgangenen Anstellung zu verpflichten, Fr. 15'000.-- Genugtuung und "nicht weniger" als Fr. 10'000.-- Schadenersatz zu leisten. Im Weiteren sei der Rechtsvorschlag in der von ihm eingeleiteten Betreibung zu beseitigen.
Am 18. Dezember 2018 wies das Amtsgericht die Klage ab. Die dagegen vom Beschwerdeführer erhobene Berufung wies das Obergericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 2. Juli 2019 ab.
C.
Gegen den Entscheid des Obergerichts erhob der Beschwerdeführer Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Er beantragte, das "Urteil des Beschwerdegegners" [recte: der Vorinstanz] sei aufzuheben und zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Mit Eingabe vom 14. Oktober 2019 ersuchte er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Auf das Einholen von Vernehmlassungen zur Beschwerde wurde verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid (<ref-law>) eines oberen kantonalen Gerichts, das in einer Zivilsache (<ref-law>) als Rechtsmittelinstanz entschieden (<ref-law>) und die Anträge des Beschwerdeführers abgewiesen hat (<ref-law>). Der Streitwert ist erreicht (<ref-law>) und die Beschwerdefrist (<ref-law>) ist eingehalten.
1.2. Die Beschwerde hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (<ref-law>). Da die Beschwerde an das Bundesgericht ein reformatorisches Rechtsmittel ist (<ref-law>), muss die rechtsuchende Partei grundsätzlich einen Antrag in der Sache stellen, das heisst angeben, welche Punkte des Entscheids sie anficht und welche Abänderungen sie beantragt. Dazu ist im Prinzip ein materieller Antrag erforderlich; ein Antrag auf blosse Aufhebung genügt nicht und macht die Beschwerde unzulässig (<ref-ruling> E. 1.3 S. 383; <ref-ruling> E. 3.1 S. 489 f.). Anträge auf Aufhebung und Rückweisung genügen ausnahmsweise dann, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung nicht selbst in der Sache entscheiden könnte (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.3 S. 383; <ref-ruling> E. 3.1).
1.3. Der Beschwerdeführer beantragt einzig, dass das vorinstanzliche Urteil aufzuheben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen sei. Einen materiellen Antrag stellt er nicht. Ebensowenig legt er in der Beschwerdebegründung dar, warum der blosse Rückweisungsantrag ausnahmsweise genügen sollte. Er macht aber unter anderem eine Verletzung seines rechtlichen Gehörs geltend, weil ihm in der erstinstanzlichen Hauptverhandlung zu wenig Zeit gewährt worden sei, sich mit der Duplik der Beschwerdegegnerin auseinanderzusetzen. Sodann beruft er sich darauf, dass die Vorinstanz in Verletzung von <ref-law> von ihm beantragte Zeugen nicht befragt habe.
Würde diesen Standpunkten des Beschwerdeführers gefolgt werden, könnte das Bundesgericht nicht reformatorisch entscheiden, sondern müsste die Sache an die Vorinstanz zurückweisen. Bei dieser Sachlage genügt der blosse Rückweisungsantrag des Beschwerdeführers.
1.4. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind und zu keinen Bemerkungen Anlass geben, ist unter Vorbehalt einer rechtsgenüglichen Begründung (<ref-law>; vgl. Erwägung 2) auf die Beschwerde einzutreten.
2.
Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
Macht die beschwerdeführende Partei eine Verletzung des Willkürverbots von <ref-law> geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich (<ref-ruling> E. 3 S. 352; <ref-ruling> E. 5.5). Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.2.5 S. 339). Dass die von Sachgerichten gezogenen Schlüsse nicht mit der eigenen Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmen, belegt keine Willkür (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Erforderlich ist zudem, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 2.1 S. 19 mit Hinweisen).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör nach <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK sowie eine Verletzung von <ref-law>. Vor der erstinstanzlichen Hauptverhandlung seien ihm vom Richter zehn Minuten eingeräumt worden, die schriftliche Duplik der Beschwerdegegnerin zu studieren. Die gewährte Zeitperiode sei für ihn als Laien nicht geeignet, die von einem Anwalt verfasste Duplikschrift zu lesen und anschliessend darauf zu reagieren. Er habe bereits in der Hauptverhandlung "ganz entschieden" gegen die Verhandlungsführung des Richters protestiert. Die Erstinstanz hätte richtigerweise die Verhandlung abbrechen und diese auf einen späteren Zeitpunkt verschieben müssen. Die Vorinstanz habe demnach die Verletzung seines Gehörsanspruchs zu Unrecht verneint.
3.2. Gemäss <ref-law> steht den Parteien das rechtliche Gehör zu. Der Anspruch auf rechtliches Gehör ist formeller Natur, womit seine Verletzung ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids führt (<ref-ruling> E. 1.4.1; <ref-ruling> E. 2.8.1; <ref-ruling> E. 2.2), wenn eine Heilung in oberer Instanz ausser Betracht fällt (zu den Voraussetzungen: BGE <ref-ruling> E. 2.8.1). Die Rechtsprechung des Bundesgerichts, wonach der Gehörsanspruch formeller Natur ist, darf indes nicht darüber hinwegtäuschen, dass auch die Wahrung des rechtlichen Gehörs keinen Selbstzweck darstellt. Wenn nicht ersichtlich ist, inwiefern die Verletzung des rechtlichen Gehörs einen Einfluss auf das Verfahren haben könnte, besteht kein Interesse an der Aufhebung des Entscheids (<ref-ruling> E. 1.4.1; Urteile 5A_561/2018 vom 14. Dezember 2018 E. 2.3; 4A_85/2018 vom 4. September 2018 E. 5; 4A_112/2018 vom 20. Juni 2018 E. 3.2).
Andernfalls besteht die Gefahr, dass die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz allein wegen der festgestellten Gehörsverletzung zu einem Leerlauf und einer unnötigen Verzögerung führt. Es wird deshalb für eine erfolgreiche Rüge der Verweigerung des rechtlichen Gehörs grundsätzlich vorausgesetzt, dass die beschwerdeführende Partei in der Begründung des Rechtsmittels angibt, welche Vorbringen sie in das kantonale Verfahren bei Gewährung des rechtlichen Gehörs eingeführt hätte und inwiefern diese hätten erheblich sein können (Urteile 5D_74/2019 vom 29. Mai 2019 E. 4.2; 5A_923/2018 vom 6. Mai 2019 E. 4.2.1; 5A_967/2018 vom 28. Januar 2019 E. 3.1.2; 5A_561/2018 vom 14. Dezember 2018 E. 2.3; 5A_699/2017 vom 24. Oktober 2017 E. 3.1.3; 4A_453/2016 vom 16. Februar 2017 E. 4.2.3; 4P.189/2002 vom 9. Dezember 2002 E. 3.2.3).
3.3. Der Beschwerdeführer begnügt sich pauschal geltend zu machen, dass sein Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt sei, da ihm die Erstinstanz vor der Hauptverhandlung zu wenig Zeit gewährt habe, sich mit der Duplikschrift der Beschwerdegegnerin auseinanderzusetzen. Er zeigt aber in der Beschwerde vor Bundesgericht nicht ansatzweise auf, welche Vorbringen er in das kantonale Verfahren eingeführt hätte, wenn ihm mehr Zeit gewährt worden wäre, sich mit der gegnerischen Eingabe zu befassen, und inwiefern diese Vorbringen hätten erheblich sein können. Auf seine Rüge einer Verletzung des rechtlichen Gehörs ist daher nicht einzutreten.
Inwiefern vorliegend die Bestimmung von <ref-law> verletzt wäre, legt der Beschwerdeführer nicht dar, zumindest nicht hinreichend (Erwägung 2), sodass auch darauf nicht einzutreten ist.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer rügt sodann eine Verletzung von <ref-law>, da die Vorinstanzen die von ihm beantragten Zeugen in antizipierter Beweiswürdigung nicht einvernommen haben.
4.2. Der Beweisführungsanspruch - der sich als Teilgehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör allgemein aus <ref-law> und für das Bundesprivatrecht besonders aus <ref-law> ergibt, sowie seit Inkrafttreten der ZPO auch in <ref-law> verankert ist - verschafft der beweispflichtigen Partei in allen bundesrechtlichen Zivilrechtsstreitigkeiten einen Anspruch darauf, für rechtserhebliche Vorbringen zum Beweis zugelassen zu werden, soweit entsprechende Anträge im kantonalen Verfahren form- und fristgerecht gestellt worden sind (<ref-ruling> E. 9.3.2 S. 332; <ref-ruling> E. 7.1). Diese Bestimmungen schreiben jedoch dem Gericht nicht vor, mit welchen Mitteln es den Sachverhalt abzuklären hat (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 291) und sie schliessen namentlich die antizipierte Beweiswürdigung nicht aus (<ref-ruling> E. 9.3.2 S. 332). Wenn ein Gericht darauf verzichtet, beantragte Beweise abzunehmen, weil es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde, ist der Beweisführungsanspruch nicht verletzt (<ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 5.3).
Der Beschwerdeführer rügt einzig eine Verletzung von <ref-law>. Inwiefern die antizipierte Beweiswürdigung aber willkürlich wäre, zeigt er nicht auf, zumindest nicht hinreichend (Erwägung 2). Die Rüge geht damit fehl.
5.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie überhaupt eingetreten werden kann.
6.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen, weil die Beschwerde als von vornherein aussichtslos erscheint (<ref-law>). Darüber musste unter den gegebenen Umständen nicht vorgängig separat entschieden werden (vgl. Urteil 4A_20/2011 vom 11. April 2011 E. 7.2.2).
7.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da ihr aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Oktober 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger