Faits :
A.
A._, née en 2000, a débuté un baccalauréat universitaire en sciences pharmaceutiques auprès de la Faculté des sciences de l'Université de Genève en septembre 2019. Le 3 septembre 2019, elle a sollicité l'octroi d'une bourse d'études pour l'année de formation 2019/2020 auprès de l'Office des bourses d'études et d'apprentissage du canton de Vaud (ci-après: l'Office des bourses).
B.
Par décision du 13 avril 2020, l'Office des bourses a refusé d'octroyer la bourse d'études demandée par A._, car la capacité financière de la famille de l'intéressée couvrait entièrement ses besoins. A._ a élevé réclamation contre ce prononcé le 27 avril 2020. Par décision du 5 août 2020, l'Office des bourses a rejeté la réclamation. Le 28 août 2020, A._ a interjeté recours contre cette décision sur réclamation auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) qui, par arrêt du 7 janvier 2021, a rejeté le recours.
C.
Par acte du 13 janvier 2021, complété le 4 février 2021, A._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de dépens, outre l'assistance judiciaire, d'annuler l'arrêt du Tribunal cantonal du 7 janvier 2021 et de lui allouer une bourse d'études.
Le Tribunal cantonal renonce à se déterminer. L'Office des bourses conclut au rejet du recours.

Considérant en droit :
1.
1.1. L'art. 83 let. k LTF dispose que le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de subventions auxquelles la législation ne donne pas droit.
En l'occurrence, la recourante conteste la décision de l'Office des bourses du 13 avril 2020, confirmée en dernier lieu par le Tribunal cantonal le 7 janvier 2021, dans la mesure où ladite décision refuse de lui octroyer une bourse d'études pour son année de formation 2019/2020 auprès de la Faculté des sciences de l'Université de Genève. Or, l'art. 2 al. 2 de la loi vaudoise du 1er juillet 2014 sur l'aide aux études et à la formation professionnelle (LAEF/VD; BLV 416.11) prévoit que toute personne remplissant les conditions fixées par cette loi a droit au soutien financier de l'Etat si elle en fait la demande. Il en découle que la présente procédure concerne une subvention à laquelle la recourante peut prétendre avoir droit et qui, pour cette raison, ne tombe pas dans le champ d'application de l'art. 83 let. k LTF (cf. arrêt 2C_201/2018 du 15 octobre 2018 consid. 1.1 et les références).
1.2. Le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue par une autorité cantonale supérieure de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). Il a en outre été déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites par la loi (<ref-law>), par la destinataire de l'arrêt attaqué qui a qualité pour recourir au sens de l'<ref-law> (cf. arrêt 2C_1181/2014 du 19 janvier 2016 consid. 1.3).
2.
Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.4.3). Le recourant ne peut critiquer les constatations de fait ressortant de la décision attaquée que si celles-ci ont été effectuées en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 6). Conformément à l'<ref-law>, le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 6.3). Par ailleurs, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut en principe être présenté devant le Tribunal fédéral (<ref-law>).
3.
3.1. Dans l'arrêt entrepris, le Tribunal cantonal a en premier lieu présenté les bases légales applicables.
Dans le canton de Vaud, selon l'art. 51 al. 2 de la Constitution du canton de Vaud du 14 avril 2003 (RS 131.231), l'Etat met en place un système de bourses et d'autres aides à la formation. C'est la LAEF/VD qui règle l'octroi des aides financières aux personnes dont les ressources sont reconnues insuffisantes pour poursuivre une formation au-delà de la scolarité obligatoire (art. 1 LAEF/VD). L'art. 2 al. 3 LAEF/VD pose le principe selon lequel cette aide est subsidiaire à celle de la famille, de toute autre personne tenue légalement de pourvoir à l'entretien de la personne en formation, ainsi qu'aux prestations de tiers.
Conformément à l'art. 21 LAEF/VD, l'aide de l'Etat couvre les besoins du requérant, comprenant ses charges normales et ses frais de formation, dans la mesure où ils dépassent sa capacité financière et celle des autres personnes visées à l'art. 23 LAEF/VD (al. 1). Les besoins du requérant sont déterminés en fonction d'un budget établi pour l'année de formation considérée (al. 2). Le budget du requérant et, le cas échéant, des personnes visées à l'art. 23 al. 3 LAEF/VD, est séparé de celui des personnes visées à l'art. 23 al. 1 et 2 LAEF/VD. Lorsque les parents du requérant sont séparés ou divorcés, des budgets séparés propres à chaque cellule familiale sont établis, sous réserve de l'art. 24 al. 1 et 2 LAEF/VD (al. 3). La capacité financière est définie par la différence entre les charges normales et le revenu déterminant (al. 4). La loi vaudoise du 9 novembre 2010 sur l'harmonisation et la coordination de l'octroi des prestations sociales et d'aide à la formation et au logement cantonales vaudoises (LHPS/VD; BLV 850.03) est applicable en ce qui concerne la notion de revenu déterminant, la définition de l'unité économique de référence et la hiérarchisation des prestations sociales (al. 5). L'art. 22 LAEF/VD dispose pour sa part que le revenu déterminant comprend le revenu déterminant unifié, au sens de l'art. 6 LHPS/VD, auquel est ajoutée toute prestation financière accordée par un tiers ou une institution publique ou privée (al. 1). L'art. 7 LHPS/VD est également applicable à la fortune immobilière des parents de la personne en formation (al. 2). A teneur de l'art. 23 al. 1 LAEF/VD, l'unité économique de référence comprend, pour le calcul de l'aide financière, le requérant, ses parents et les autres enfants mineurs ou majeurs à charge de la famille, ainsi que toute autre personne tenue légalement de pourvoir à son entretien.
En application de l'art. 6 al. 1 LHPS/VD, le revenu déterminant unifié sert de base pour le calcul du droit à une prestation au sens de la LHPS/VD. L'art. 6 al. 2 let. a LHPS/VD prévoit que ce revenu est constitué du revenu net au sens de la loi sur les impôts directs cantonaux (LI/VD; BLV 642.11), majoré des montants affectés aux formes reconnues de prévoyance individuelle liée (3 e pilier a), des montants déduits fiscalement pour frais d'entretien d'immeubles et investissements destinés à économiser l'énergie et à ménager l'environnement, des pertes commerciales de l'activité indépendante, des pertes commerciales non compensées, des pertes sur participations commerciales qualifiées, ainsi que des montants affectés aux versements, cotisations et primes d'assurance-maladie ayant fait l'objet d'une déduction fiscale, puis diminué d'un forfait fixe pour frais d'entretien d'immeubles et investissements destinés à économiser l'énergie et à ménager l'environnement et d'un forfait fixe pour frais de maladie. Quant à l'art. 6 al. 2 let. b LHPS/VD, il dispose que le revenu déterminant est également constitué d'un quinzième du montant composé de la fortune nette au sens de la LI/VD, majorée de l'ensemble des dettes privées et d'exploitation, y compris celles garanties par gage immobilier. A teneur de l'art. 7 LHPS/VD, lorsqu'un membre de l'unité économique de référence est propriétaire d'un immeuble qui lui sert de demeure permanente, seule la valeur fiscale de l'immeuble supérieure à une franchise par unité économique fixée par le Conseil d'Etat entre en considération au titre de fortune au sens de l'art. 6 al. 2 let. b LHPS/VD.
Le Conseil d'Etat a ainsi arrêté l'art. 4 al. 3 du règlement vaudois d'application du 30 mai 2012 de la loi du 9 novembre 2010 sur l'harmonisation et la coordination de l'octroi des prestations sociales et d'aide à la formation et au logement cantonales vaudoises (RLHPS/VD; BLV 850.03.1), prévoyant qu'une franchise de 300'000 fr. s'applique sur la valeur fiscale d'un immeuble dont le requérant est propriétaire et qui lui sert de demeure permanente. Il a également précisé que, pour le calcul de la fortune déterminante, des franchises équivalentes aux seuils d'imposition au sens des art. 58 et 60 LI/VD sont déduites de la fortune. Les dettes ne sont pas déduites de la fortune (art. 4 al. 1 RLHPS/VD).
3.2. Le Tribunal cantonal a retenu que la recourante était âgée de 20 ans et vivait avec sa mère. Il a ensuite appliqué les dispositions légales présentées ci-dessus au cas d'espèce, procédant au calcul du revenu déterminant de la recourante et de sa mère et établissant en particulier ce que représentait un quinzième du montant de la fortune nette majorée des dettes (art. 6 al. 2 let. b LHPS/VD). Pour ce dernier point, l'autorité précédente a ainsi tenu compte de titres et autres placements d'un montant de 2'357 fr., ainsi que d'une fortune immobilière de 805'000 fr., dont elle a déduit 300'000 fr. (cf. art. 4 al. 3 RLHPS/VD), puis 56'000 fr. (cf. art. 4 al. 1 RLHPS/VD), obtenant ainsi une fortune nette de 451'357 fr., dont elle a retenu un quinzième, c'est-à-dire 30'090 fr., montant qu'elle a ajouté au revenu net de la mère, majoré des différents éléments cités à l'art. 6 al. 2 let. a LHPS/VD (revenu net de l'activité salariée: 14'675 fr.; 3e pilier a: 6'363 fr.; prestations du Bureau de recouvrement et d'avances sur pensions alimentaires: 3'600 fr.; subsides à l'assurance-maladie: 1'128 fr.). Le Tribunal cantonal a obtenu un montant total de 55'856 fr. ( recte : 56'666 fr.), duquel il a déduit 7'920 fr. d'allocations familiales et d'une pension alimentaire versée à la recourante, pour finalement obtenir un revenu de la mère de celle-ci de 47'936 fr. ( recte : 48'746 fr.). De ce montant, l'autorité précédente a déduit 23'641 fr. de charges normales forfaitaires (charges normales de base: 19'200 fr.; charges normales complémentaires: 3'850 fr.; charge fiscale: 591 fr.; cf. art. 29 LAEF/VD, 34 RLAEF/VD et annexe au RLAEF/VD), puis divisé le résultat obtenu par le nombre d'enfant en formation postobligatoire (en l'occurrence un seul) et arrêté la part contributive à 24'295 fr. ( recte : 25'105 fr.).
Quant à la recourante, le Tribunal cantonal a retenu un revenu déterminant de 10'680 fr. (subsides d'assurance-maladie: 2'760 fr.; allocations familiales: 2'760 fr. [recte: 4'320 fr.], pensions alimentaires: 4'320 fr. [recte: 3'600 fr.]) et des charges normales de 22'700 fr. (charges normales de base de 19'200 fr.; charges normales complémentaires: 3'500 fr.), charges auxquelles il a ajouté un montant de 5'435 fr. de frais de formation (frais d'études: 2'500 fr.; frais de transport: 1'035 fr; frais de repas: 1'900 fr.) pour obtenir un total de 28'135 fr.
Le Tribunal cantonal a conclu en comparant les ressources de la recourante d'un montant totale de 34'975 fr. (composées de 10'680 fr. de ressources de la recourante et de la part contributive de sa mère de 24'295 fr. [recte: 25'105 fr.]), avec ses besoins d'un montant total de 28'135 fr. et a considéré que la recourante ne pouvait pas prétendre à une bourse d'études.
3.3. La recourante invoque la violation de diverses dispositions de la LHPS/VD et du RLHPS/VD. Selon elle, le Tribunal cantonal a pris en compte des chiffres relatifs à l'année 2017 et pas à l'année 2019, alors que la situation financière de sa famille s'est gravement dégradée. Elle semble également contester le fait de ne pas pouvoir déduire les dettes de sa mère de la fortune de celle-ci. Fondée sur les chiffres qu'elle estime corrects, elle procède à un nouveau calcul du revenu déterminant. Elle conteste en outre la prise en compte du 3e pilier a de sa mère, en ce que celui-ce a été remis en nantissement, afin de permettre un amortissement indirect de la dette hypothécaire sur l'immeuble.
3.4. Le litige porte ainsi sur la correcte application du droit cantonal et en particulier sur le point de savoir si le Tribunal cantonal, en confirmant la décision sur réclamation de l'Office des bourses du 5 août 2020, a justement défini le revenu déterminant et les charges de la recourante pour refuser de lui octroyer une bourse d'études.
4.
4.1. Sauf dans les cas cités expressément à l'<ref-law>, le recours devant le Tribunal fédéral ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal en tant que tel. En revanche, il est possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine toutefois le moyen tiré de la violation d'une norme de rang constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise (<ref-law>).
Selon la jurisprudence, une décision est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable, pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 7.3 et les références).
4.2. En premier lieu, la recourante conteste un fait, c'est-à-dire les chiffres pris en compte par l'autorité précédente pour calculer son revenu déterminant. Selon elle, le Tribunal cantonal, et l'Office des bourses avant lui, se sont fondés sur des chiffres de 2017, alors que des chiffres de 2019 étaient disponibles et que la situation financière de la famille de la recourante s'était gravement péjorée entre ces deux années. On ne saurait toutefois admettre ce grief de constatation inexacte des faits. En premier lieu, force est en effet de relever que la motivation de la recourante ne saurait être considérée comme étant suffisante, en application de l'<ref-law> (cf. consid. 2 ci-dessus). En outre, même à admettre une motivation suffisante, il faudrait de toute façon relever que les chiffres retenus par l'autorité précédente ne l'ont pas été de manière arbitraire. Celle-ci s'est en effet fondée sur les montants figurant dans la décision sur réclamation de l'Office des bourses. Elle a reconnu que le montant du salaire net de la mère de la recourante, arrêté à 14'675 fr. ne ressortait pas du dossier, mais que le montant allégué par la recourante à ce titre, c'est-à-dire 8'707 fr. n'avait pas d'incidence sur l'issue du recours. Cette motivation, qui n'est pas véritablement contestée par la recourante, n'est en rien arbitraire, ce d'autant moins que le Tribunal cantonal explique de manière pleinement soutenable en quoi un revenu de 8'707 fr. serait déjà suffisant pour exclure le droit à une bourse. Devant le Tribunal fédéral, la recourante invoque un revenu net de l'activité lucrative de sa mère de 15'434 fr. Or, un tel montant, qui n'est au demeurant fondé sur aucun moyen de preuve, aurait de toute façon une incidence négative sur le calcul du droit à une bourse. On ne saurait dès lors en tenir compte. On mentionnera tout de même le montant de 2'357 fr. retenu par l'autorité précédente au titre de "titres et autres placements". Ce montant ne ressort aucunement de la décision de taxation 2019 de la mère de la recourante (seul un montant de 108 fr. y figure; cf. <ref-law>). La recourante conteste certes la prise en compte de cet élément de fortune. Toutefois force est de toute façon de constater que seul un quinzième en est retenu et que la différence de 149 fr. 90 (157 fr. 10 [2'357 fr. / 15] - 7 fr. 20 [108 fr. / 15]) n'a pas d'incidence sur le résultat de la présente cause, si bien que ce grief, même à supposer qu'il a effectivement été soulevé par la recourante, doit dans tous les cas être écarté.
4.3. Pour le surplus, et pour autant qu'on la comprenne, la recourante semble contester l'absence de déduction des dettes de la fortune de sa mère, ainsi que la prise en compte du montant de 3 e pilier a de celle-ci.
4.3.1. S'agissant en premier lieu de l'absence de déduction des dettes, prévue par l'art. 6 al. 2 let. b LHPS/VD (cf. également art. 4 al. 1 phr. 2 RLHPS), force est de constater que cette disposition est une disposition de droit cantonal dont la violation ne saurait être invoquée devant le Tribunal fédéral (cf. consid. 4.1 ci-dessus). Si, en revanche, le caractère arbitraire de cette disposition peut être soulevé, encore faut-il que la motivation du recours à ce propos remplisse les conditions de l'<ref-law>, ce qui n'est pas le cas en l'espèce. Quand bien même cela aurait été le cas, l'application de la disposition précitée n'aurait pas eu à être considérée comme étant arbitraire. En effet, si le Tribunal fédéral a déjà jugé arbitraire le fait de déterminer la fortune d'un membre de la famille d'un requérant d'une bourse d'études en prenant en compte la fortune brute, sans tenir compte des dettes (cf. arrêt 2C_1181/2014 du 19 janvier 2016 consid. 6.4), la présente cause diffère de celle déjà examinée en 2016. En l'espèce, l'art. 6 al. 2 let. b LHPS/VD prévoit certes la prise en compte de la fortune brute (c'est-à-dire la fortune nette selon la LI/VD, majorée de l'ensemble des dettes). Toutefois, pour fixer le revenu déterminant, seul un quinzième de cette fortune est retenu. On ne saurait par conséquent considérer la façon de déterminer la fortune dans le canton de Vaud, en application de l'art. 6 al. 2 let. b LHPS/VD, comme étant arbitraire, le fait de ne pas prendre en compte les éventuelles dettes ayant quinze fois moins d'incidence que dans le cas 2C_1181/2014 précité. Le système prévu par la LHPS/VD est d'autant moins arbitraire, par rapport à ce dernier arrêt, que l'art. 7 LHPS/VD permet encore une déduction lorsque l'immeuble en cause sert de demeure permanente et que l'art. 4 RLHPS/VD dispose qu'une franchise est déduite de la fortune.
4.3.2. Quant à la prise en compte du 3 e pilier a de la mère de la recourante, force est ici également de constater que c'est le droit cantonal qui l'impose (art. 6 al. 2 let. a LHPS/VD) et que celle-ci n'a pas contesté celui-là à suffisance. La recourante se limite en effet à faire son propre calcul du revenu déterminant, avec et sans prise en compte du montant versé par sa mère au 3e pilier a, sans aucunement expliquer en quoi elle conteste cette façon de procéder au calcul précité, ni démontrer en quoi cette façon de procéder serait arbitraire. On ne saurait dès lors examiner ce grief plus avant.
4.4. Pour le surplus, les éventuelles autres critiques de violation du droit constitutionnel contenues dans le mémoire de recours, faute d'être motivées conformément aux exigences de l'<ref-law> (cf. consid. 2 ci-dessus), doivent être écartées. Par conséquent, le recours est rejeté.
5.
Le recours étant d'emblée dénué de chances de succès, la demande d'assistance judiciaire est rejetée (<ref-law>). Succombant, la recourante doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué à la représentante de la recourante, à l'Office cantonal des bourses d'études et d'apprentissage et à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 16 juin 2021
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Tissot-Daguette