Faits :
A.
X._, ainsi que son mari et ses deux enfants, ont habité durant plusieurs années à Neuchâtel dans un appartement acquis par l'intéressée en 2002. En août 2013, la famille a déménagé dans un appartement locatif situé à Y._, dans le canton de Fribourg, commune où X._ a déposé ses papiers. Après que celle-ci, en 2013, a renoncé à conclure un contrat d'entreprise sur un immeuble situé dans cette même commune fribourgeoise en raison d'importantes divergences relatives à la construction, elle y a acquis une maison le 11 mai 2015. Elle a vendu l'appartement de Neuchâtel le 29 janvier 2016.
B.
Par décision du 19 octobre 2016, confirmée par décision sur réclamation du 30 juin 2017, le Service des contributions de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Service des contributions) a arrêté l'impôt cantonal sur les gains immobiliers à 66'792 francs. Il a en particulier exclu l'imposition différée du gain immobilier réalisé lors de l'aliénation de l'immeuble neuchâtelois. Le 5 avril 2018, la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté un recours formé par la contribuable contre la décision sur réclamation.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande en substance au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du 5 avril 2018 du Tribunal cantonal et de différer l'imposition du gain immobilier réalisé sur la vente du 29 janvier 2016; subsidiairement de renvoyer la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Le Tribunal cantonal et le Service des contributions concluent au rejet du recours. L'Administration fédérale des contributions conclut quant à elle au rejet du recours, dans la mesure de sa recevabilité. Dans des observations finales, X._ a confirmé ses conclusions.

Considérant en droit :
1.
Interjeté en temps utile (<ref-law>) et dans les formes requises (<ref-law>), contre une décision finale (<ref-law>) prise dans une cause de droit public (<ref-law>) par une autorité judiciaire cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), par la destinataire de cette décision qui a qualité pour recourir (<ref-law>), le recours en matière de droit public, qui ne tombe sous aucune des exceptions de l'<ref-law>, est en principe recevable. L'art. 73 al. 1 de la loi du 14 décembre 1990 sur l'harmonisation des impôts directs des cantons et des communes (LHID; RS 642.14) confirme du reste l'existence de cette voie pour l'impôt sur les gains immobiliers qui est une matière harmonisée au titre 2 chapitre 3 LHID (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 188 s.).
2.
2.1. Sauf dans les cas cités expressément à l'<ref-law>, le recours devant le Tribunal fédéral ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal (ou communal) en tant que tel. En revanche, il est possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal ou communal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine toutefois le moyen tiré de la violation d'une norme de rang constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise (<ref-law>).
2.2. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.4.3 p. 156). Le recourant ne peut critiquer les constatations de fait ressortant de la décision attaquée que si celles-ci ont été effectuées en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 6 p. 358). Conformément à l'<ref-law>, le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. Les faits et les critiques invoqués de manière appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 6.3 p. 375). Par ailleurs, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut en principe être présenté devant le Tribunal fédéral (<ref-law>).
3.
La recourante se plaint d'une violation de l'art. 12 al. 3 let. e LHID, ainsi que des art. 58 al. 1 let. e de la loi neuchâteloise du 21 mars 2000 sur les contributions directes (LCdir/NE; RSN 361.0) et 33 du règlement général neuchâtelois d'application de la loi sur les contributions directes du 1 er novembre 2000 (RELCdir/NE; RSN 631.01). Elle invoque en outre l'arbitraire dans l'application des dispositions qui précèdent. Elle estime en bref être en droit de prétendre au différé de l'imposition du gain immobilier réalisé lors de la vente de son appartement neuchâtelois le 29 janvier 2016. Selon elle, c'est à tort que le Tribunal cantonal a considéré que sa famille s'était constitué un nouveau domicile dans le canton de Fribourg en août 2012 déjà, lors du déménagement dans l'appartement locatif, et pas seulement lors de l'acquisition de la maison, en mai 2015. En tout état de cause, elle considère que la jurisprudence permet une imposition différée du gain immobilier, même lorsque la constitution d'un nouveau domicile intervient préalablement à l'aliénation du bien constituant auparavant l'habitation principale.
3.1. Aux termes de l'<ref-law>, l'impôt sur les gains immobiliers a pour objet les gains réalisés lors de l'aliénation de tout ou partie d'un immeuble faisant partie de la fortune privée du contribuable à condition que le produit de l'aliénation soit supérieur aux dépenses d'investissement (prix d'acquisition ou autre valeur s'y substituant, impenses). L'imposition est différée notamment en cas d'aliénation de l'habitation (maison ou appartement) ayant durablement et exclusivement servi au propre usage de l'aliénateur, dans la mesure où le produit ainsi obtenu est affecté, dans un délai approprié, à l'acquisition ou à la construction en Suisse d'une habitation servant au même usage (art. 12 al. 3 let. e LHID). L'art. 58 al. 1 let. e LCdir/NE reprend mot pour mot l'art. 12 al. 3 let. e LHID et son application est donc examinée avec une pleine cognition par le Tribunal fédéral, notamment en relation avec la notion d'"habitation ayant durablement et exclusivement servi au propre usage de l'aliénateur" (cf. <ref-ruling> consid. 2.2.4 p. 211; <ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 108 s.). En revanche, la notion de "délai approprié" est laissée à la libre appréciation des cantons, l'examen du Tribunal fédéral à ce propos se limitant ainsi à l'arbitraire (cf. <ref-ruling> consid. 2.2.5 p. 211; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 107). Dans le canton de Neuchâtel, l'art. 33 RELCdir/NE dispose que le remplacement en franchise d'impôt d'un actif immobilisé nécessaire à l'exploitation, de l'habitation principale du contribuable ou d'un immeuble agricole ou sylvicole doit intervenir au plus tard dans un délai de deux ans à compter de la réalisation de l'ancien actif (al. 1). Exceptionnellement l'acquisition du nouvel actif peut précéder la réalisation de l'ancien actif (al. 2).
Selon la jurisprudence du Tribunal fédéral, qui se fonde sur une interprétation historique de l'art. 12 al. 3 let. e LHID, la notion d'habitation ayant durablement et exclusivement servi au propre usage de l'aliénateur doit être définie de façon restrictive et doit être comprise comme faisant référence au domicile principal du contribuable, à l'exclusion des résidences secondaires (<ref-ruling> consid. 2.2.4 p. 211; <ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 109; arrêt 2C_569/2016 du 10 février 2017 consid. 4.1). Cette notion se détermine en fonction d'un ensemble de circonstances objectives et reconnaissables extérieurement attestant de l'utilisation personnelle d'un particulier d'un lieu donné (cf. arrêt 2C_569/2016 du 10 février 2017 consid. 4.2.1 et les références citées). En outre, la jurisprudence admet que, lors de son aliénation, l'habitation ne doit plus forcément servir à l'usage propre de l'aliénateur (ATF <ref-ruling> consid. 6.1 p. 108; arrêt 2C_569/2016 du 10 février 2017 consid. 4.2.1). Ainsi, le fait que l'aliénateur ait quitté son appartement avant la vente ne constitue pas en soi un obstacle à l'admission d'une imposition différée. Il convient toutefois de s'interroger sur le laps de temps admissible entre le moment où l'aliénateur quitte son habitation et celui où il la vend. Ce point doit notamment être examiné au regard de la condition du "délai approprié" dans lequel le réinvestissement doit avoir lieu (ATF <ref-ruling> consid. 6.2 p. 108; arrêt 2C_569/2016 du 10 février 2017 consid. 4.2.1). Cette condition a pour objectif d'éviter que l'aliénateur conserve la propriété de son bien dans le but de profiter des opportunités du marché, plutôt que de chercher à remplacer un bien par un autre (arrêt 2C_569/2016 du 10 février 2017 consid. 4.2.1 et les références citées). Or, l'exigence du délai approprié ne saurait être contournée en gardant quelques années une maison que le contribuable n'habite plus, sans même chercher à la vendre durant ce laps de temps. Sur la base de ces considérations, le Tribunal fédéral a retenu qu'un délai de sept ans entre le moment où le contribuable quitte son habitation et celui où il la vend n'était pas admissible (ATF <ref-ruling> consid. 6.4 p. 110). Il en va de même du contribuable ayant loué son habitation pendant plus de deux ans avant de l'aliéner (arrêt 2C_215/2008 du 21 août 2008 consid. 4.3).
3.2. En l'occurrence, la recourante et sa famille ont quitté leur appartement de Neuchâtel en août 2013 pour s'installer dans un immeuble locatif situé dans le canton de Fribourg. Il n'est pas contesté que, jusqu'à cette date, la recourante, son mari et leur deux enfants avaient leur domicile principal à Neuchâtel, dans cet appartement acquis en 2002. Selon les faits retenus par l'autorité précédente et qui lient le Tribunal fédéral (<ref-law>; cf. consid. 2.2 ci-dessus), depuis ce déménagement, la famille n'a plus résidé dans l'appartement neuchâtelois. Elle est d'ailleurs assujettie de manière illimitée dans le canton de Fribourg, où ses membres y ont déposé leurs papiers. De plus, l'époux de la recourante exerce son activité lucrative dans ce canton et les deux enfants y sont scolarisés. Dans ces conditions, on doit admettre avec le Tribunal cantonal que le domicile de la recourante se trouve à Y._ depuis août 2013. Le fait qu'elle ait continué à entreposer certains meubles dans l'appartement neuchâtelois n'y change rien, le lieu où la famille réside avec l'intention de s'y établir durablement, respectivement où se situe le centre de ses intérêts étant sans conteste dans le canton de Fribourg depuis 2013. Dès cette date, on ne saurait donc retenir un usage propre durable et exclusif de l'appartement de Neuchâtel. Le Tribunal cantonal n'a ainsi pas violé le droit fédéral, ni l'art. 58 al. 1 let. e LCdir/NE, en retenant que le changement de domicile principal de la famille de la recourante n'était pas intervenu en 2015 lors de l'acquisition de la maison à Y._, mais bien dès le déménagement dans l'immeuble locatif en 2013.
Au moment de sa vente en janvier 2016, l'appartement de Neuchâtel ne constituait plus le domicile principal de la recourante. Entre le déplacement du domicile à Fribourg en 2013 et la vente précitée en 2016, la recourante et sa famille ont donc habité un immeuble locatif durant plus de deux ans. Or, rien n'indique que la recourante ait cherché à vendre son bien neuchâtelois durant cette période. Au contraire, elle affirme l'avoir utilisé pour y entreposer certains éléments de mobilier. Dans ces conditions, et en rappelant que la cognition du Tribunal fédéral est limitée quant à la question du délai intervenant entre le départ de l'habitation et sa vente (cf. consid. 3.1 ci-dessus), il n'est pas arbitraire de retenir que le délai raisonnable prévu par l'art. 12 al. 3 let. e LHID et transcrit dans le droit cantonal à l'art. 33 RELCdir/NE pour permettre le remplacement en franchise d'impôt d'un actif immobilisé n'a pas été respecté. Cela est d'autant plus soutenable que le droit cantonal ne prévoit qu'exceptionnellement l'acquisition du nouvel actif préalablement à la réalisation de l'ancien actif (art. 33 al. 2 RELCdir/NE). C'est en outre également sans arbitraire que le Tribunal cantonal a écarté les circonstances personnelles avancées par la recourante. Celle-ci a en effet fait valoir l'échec de l'acquisition d'un autre bien dans le canton de Fribourg en 2013. Toutefois, à la suite de cet échec, et alors qu'elle habitait dans l'appartement locatif, il lui aurait tout à fait été possible de procéder à la vente de l'immeuble neuchâtelois, quitte à chercher un endroit approprié pour y entreposer le mobilier qui s'y trouvait. C'est ainsi de manière pleinement soutenable que le Tribunal cantonal a considéré que le délai raisonnable n'avait pas été respecté par la recourante entre le départ de son domicile neuchâtelois et la vente de celui-ci. Il convient en conséquence d'écarter le grief d'application arbitraire du droit cantonal et de confirmer l'arrêt entrepris.
4.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours. Succombant, la recourante doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Service des contributions et à la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, ainsi qu'à l'Administration fédérale des contributions.
Lausanne, le 20 septembre 2018
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Zünd
Le Greffier : Tissot-Daguette