Faits :
A.
A._, né en 1961, a travaillé en tant que déménageur. En 2004, il a été victime d'une chute dans les escaliers dont les suites ont été prises en charge par l'assureur-accidents. De son côté, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) a rejeté la demande de prestations présentée par l'assuré le 20 décembre 2005, compte tenu d'un taux d'invalidité de 7,5 % (décision du 18 août 2008).
Le 22 mai 2013, l'assuré a déposé une nouvelle demande de prestations que l'office AI a rejetée par décision du 26 novembre 2015. Par jugement du 29 novembre 2016, la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, a admis partiellement le recours dirigé contre cette décision et renvoyé la cause à l'office AI pour instruction complémentaire. L'administration a confié un mandat d'expertise au docteur B._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Dans son rapport du 21 juillet 2017, le médecin a diagnostiqué une dysthymie (F34.1), avec répercussion sur la capacité de travail. Sans répercussion sur celle-ci, il a posé les diagnostics de trouble douloureux somatoforme persistant sans indices de gravité jurisprudentiels remplis (diagnostic peu probable), versus des facteurs psychologiques ou comportementaux associés à des troubles ou des maladies classées ailleurs sans indices de gravité jurisprudentiels remplis (diagnostic peu probable) (F54), ainsi que des traits de personnalité anxieuse et narcissique, actuellement non décompensés (Z73.1). Pour le docteur B._, la capacité de travail de l'assuré était entière avec une baisse de rendement de 30 % d'un point de vue psychiatrique dans toute activité adaptée au status somatique. Dans un avis du 18 septembre 2017, la doctoresse C._, médecin au Service médical régional Suisse romande (ci-après: SMR), a indiqué que la capacité de travail était nulle dans l'activité de déménageur depuis 2004 mais entière dans une activité adaptée. Se fondant sur les conclusions du SMR, l'office AI a rejeté la demande par décision du 6 novembre 2017.
B.
A._ a déféré cette décision à la Chambre des assurances sociales. Par jugement du 25 juin 2019, le tribunal cantonal a admis partiellement le recours, annulé la décision du 6 novembre 2017 et mis l'assuré au bénéfice d'un quart de rente d'invalidité à compter du 1 er décembre 2013.
C.
L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant à la confirmation de sa décision du 6 novembre 2017.
A._ conclut au rejet du recours. Il sollicite l'octroi de l'assistance judiciaire. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
Saisi d'un recours en matière de droit public (<ref-law>), le Tribunal fédéral exerce un pouvoir d'examen limité. Il applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par cette dernière (<ref-law>) mais peut les rectifier et les compléter d'office si des lacunes et des erreurs manifestes apparaissent d'emblée (<ref-law>). En principe, il n'examine que les griefs motivés (<ref-law>), en particulier s'ils portent sur la violation des droits fondamentaux (<ref-law>). Il ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Le recourant peut critiquer la constatation des faits qui ont une incidence sur le sort du litige seulement s'ils ont été établis en violation du droit ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>), c'est-à-dire arbitraire. En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, si elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision ou lorsqu'elle tire des constatations insoutenables des éléments recueillis (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62).
2.
Compte tenu des conclusions et motifs du recours, il s'agit d'examiner si la juridiction cantonale s'est à juste titre fondée sur l'expertise du docteur B._ pour constater que l'assuré présentait une capacité de travail entière dans une activité adaptée, mais avec un rendement diminué de 30 %, et en déduire le droit à un quart de rente de l'assurance-invalidité.
Le jugement attaqué expose les règles relatives à la notion d'invalidité (art. 7 et 8 al. 1 LPGA en relation avec l'<ref-law>) et à son évaluation (<ref-law> et <ref-law>), à la valeur probante des rapports médicaux (<ref-ruling> consid. 3 p. 352; voir aussi <ref-ruling> consid. 5.1 p. 232), à la libre appréciation des preuves (art. 61 let. c LPGA), ainsi qu'à celles qui se rapportent aux nouvelles demandes de prestations au sens de l'<ref-law>. En ce qui concerne l'évaluation du caractère invalidant des affections psychosomatiques et des affections psychiques, on ajoutera que l'appréciation de la capacité de travail par un médecin psychiatre est soumise à un contrôle (libre) des organes chargés de l'application du droit à la lumière de l'<ref-ruling> (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 367), dont les principes ont ultérieurement été étendus à l'ensemble des troubles psychiques ou psychosomatiques (cf. <ref-ruling> et 418; <ref-ruling>; arrêt 9C_618/2019 du 16 mars 2020 consid. 7.1).
3.
3.1. Se fondant sur les conclusions du docteur B._, la juridiction cantonale a admis que la capacité de travail de l'intimé était entière avec une baisse de rendement de 30 % d'un point de vue psychiatrique dans toute activité somatique, au motif que le rapport d'expertise de l'expert a pleine force probante. A l'inverse, à défaut de satisfaire à ces conditions, l'avis du SMR ne s'est pas vu reconnaître de valeur probante, notamment parce que la doctoresse C._ n'avait pas expliqué les raisons pour lesquelles elle n'avait pas fait cas de la baisse de rendement de 30 % attestée par l'expert.
3.2. L'office recourant se prévaut d'une appréciation arbitraire des preuves en tant que le tribunal cantonal a suivi les conclusions de l'expertise du 21 juillet 2017. En particulier, il soutient que la baisse de rendement de 30 % retenue par l'expert B._ n'est fondée sur aucun élément objectif, car il n'existe pas de limitation fonctionnelle justifiant une telle diminution de rendement dans une activité adaptée. Le recourant reproche notamment aux premiers juges de n'avoir pas motivé leur point de vue sur la base des faits de la cause, et de n'avoir pas procédé à une approche critique des conclusions de l'expertise, alléguant que celles-ci ne sont pas motivées. Il ajoute qu'une lecture attentive de l'expertise à l'aune des indicateurs standard développés par la jurisprudence leur aurait permis de constater que la diminution de rendement de 30 % n'est justifiée par aucune circonstance de nature médicale.
3.3. Selon l'intimé, le recourant conteste les conclusions de l'expert afin d'y substituer sa propre appréciation. Il est d'avis que ce dernier a justifié la baisse de rendement de 30 % lorsqu'il a retenu des limitations fonctionnelles psychiatriques peu significatives cliniquement, dans le sens de douleurs avec une base organique partielle, des troubles de la concentration subjectifs, une fatigue subjective sans ralentissement psychomoteur, une thymie discrètement abaissée depuis des années en fonction des douleurs, sans anhédonie, sans aboulie, un isolement social partiel mais pas total et une intolérance à la frustration. Par ailleurs, l'intimé précise que l'avis du recourant, exprimé devant le tribunal cantonal, selon lequel la dysthymie ne peut pas être considérée comme une atteinte invalidante, ne tient pas compte de la jurisprudence récente (cf. <ref-ruling> consid. 8.1 p. 429; arrêt 9C_146/2015 du 19 janvier 2016 consid. 3.2 et les références).
4.
4.1. Selon la jurisprudence, une dysthymie (F34.1) est susceptible d'entraîner une diminution de la capacité de travail lorsqu'elle se présente avec d'autres affections, à l'instar d'un grave trouble de la personnalité (cf. arrêts <ref-ruling> et 9C_146/2015, précités). Pour en évaluer les éventuels effets limitatifs, ces atteintes doivent en principe faire l'objet d'une procédure probatoire structurée selon l'<ref-ruling>. En l'espèce, la juridiction cantonale a tranché le litige en se fondant sur l'avis de l'expert au seul motif qu'il avait valeur probante, sans toutefois appliquer ladite procédure probatoire. Il convient de pallier ce manquement et d'apprécier la situation médicale à l'aune des éléments déterminants, qui ressortent de manière suffisante du rapport d'expertise du docteur B._ et sur lesquels les parties ont eu l'occasion de s'exprimer au cours de la procédure.
4.2. A l'issue de son examen, le docteur B._ a retenu que seule la dysthymie avait des répercussions sur la capacité de travail de l'intimé, un éventuel trouble somatoforme douloureux persistant n'ayant aucune répercussion sur ce plan, alors qu'aucun épisode dépressif récurrent moyen ou sévère ne pouvait être diagnostiqué. L'expert n'a pas non plus retenu l'existence de graves troubles de la personnalité (ou d'autres affections psychiques) accompagnant la dysthymie; il a uniquement mentionné des traits de la personnalité narcissique ainsi que des traits de la personnalité anxieuse, et exclu la présence d'un trouble psychotique. Alors que l'expert a d'une part conclu à l'absence de limitations fonctionnelles psychiatriques significatives, il a d'autre part considéré qu'une baisse de rendement de 30 % devait être retenue "dans le sens de douleurs avec une base organique partielle, des troubles de la concentration subjectifs, une fatigue subjective sans ralentissement psychomoteur, une thymie discrètement abaissée depuis des années en fonction des douleurs, sans anhédonie, sans aboulie, un isolement social partiel mais pas total et une intolérance à la frustration".
En dehors du fait qu'il paraît contradictoire d'admettre à la fois l'absence de limitations fonctionnelles psychiatriques significatives et tout de même une baisse de rendement de 30 %, cette restriction de la capacité de travail de l'assuré ne convainc pas à la lumière des indicateurs déterminants. On constate en premier lieu que les limitations décrites par l'expert sont empreintes de subjectivité et ne résultent pas d'observations cliniques du médecin; celui-ci a indiqué n'avoir pas constaté de troubles de la concentration au cours des entretiens et fait état d'une thymie abaissée mais à la limite de la norme. Il n'a pas non plus noté de manifestations de douleurs malgré l'allégation de celles-ci. Ensuite, l'expert a fait état de bonnes capacités et ressources personnelles de l'assuré, compte tenu des activités quotidiennes et ménagères effectuées par ce dernier qui gérait normalement ses affaires, conduisait sa voiture, bricolait ou partait en vacances. Sur le plan de la cohérence, on ne saurait donc retenir une limitation uniforme du niveau d'activité dans tous les domaines comparables de la vie. Sur le plan de la réadaptation, le médecin a indiqué que la coopération de l'assuré semblait quasi nulle dans un contexte de bénéfice primaire et secondaire ainsi que d'autolimitations. Quant aux options thérapeutiques, il a mentionné l'utilité d'un suivi psychiatrique hebdomadaire ciblant les autolimitations primaires et secondaires. On retiendra également que la dysthymie n'est accompagnée d'aucune atteinte à la santé présentant une certaine gravité. Compte tenu de ces éléments, l'appréciation médicale de l'incapacité de travail ne saurait être suivie, l'expert n'ayant en définitive pas justifié de manière convaincante la diminution du rendement de 30 % (cf. <ref-ruling> consid. 4.3 p. 367). Dans la mesure où le jugement attaqué en tient néanmoins compte dans l'évaluation de l'invalidité, il n'est pas conforme au droit.
Compte tenu de la capacité de travail entière dans une activité adaptée, appliquée au calcul du degré d'invalidité effectué par la juridiction cantonale (non contesté par les parties), le taux d'invalidité est largement inférieur au seuil de 40 %.
4.3. Il s'ensuit que le recours est bien fondé, la décision administrative du 6 novembre 2017 pouvant être confirmée en son résultat.
5.
5.1. Vu l'issue de la procédure, l'intimé doit supporter les frais y afférents (<ref-law>). Il a cependant déposé une demande d'assistance judiciaire visant à la dispense des frais judiciaires et à la désignation d'un avocat d'office. Dès lors que les conditions d'octroi en sont réalisées (art. 64 al. 1 et 2 LTF), l'assistance judiciaire lui est accordée. L'intimé est toutefois rendu attentif au fait qu'il devra rembourser la Caisse du Tribunal fédéral, s'il retrouve ultérieurement une situation financière lui permettant de le faire (<ref-law>).
5.2. L'intimé, qui succombe, n'a pas droit à des dépens (<ref-law>). Son avocat a produit une note d'honoraires et de frais détaillée de 3338 fr. 70, TVA comprise; cette note fait état de 7 3/4 heures de travail, sur la base d'une rémunération horaire de 400 fr., TVA non comprise. Les honoraires de l'avocat d'office doivent être fixés en application de l'<ref-law> et des art. 10 et 12 du Règlement sur les dépens alloués à la partie adverse et sur l'indemnité pour la représentation d'office dans les causes portées devant le Tribunal fédéral, du 31 mars 2006 (RS 173.110.210.3); sa note sera en conséquence réduite (art. 10, 2e phrase, du règlement précité) à concurrence du forfait usuel de 2800 fr., TVA comprise.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. Le jugement de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 25 juin 2019, est annulé et la décision de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève du 6 novembre 2017 est confirmée.
2.
L'assistance judiciaire est accordée pour la procédure fédérale et Maître Andres Perez est désigné comme avocat d'office de l'intimé.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimé. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la Caisse du Tribunal fédéral.
4.
Une indemnité de 2800 fr. est allouée à l'avocat de l'intimé à titre d'honoraires à payer par la Caisse du Tribunal fédéral.
5.
La cause est renvoyée à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure cantonale.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 3 juin 2020
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Berthoud