Faits :
A.
C._, né en 2017, est le fils de B._ et de A._.
Les parents, qui ne sont pas mariés, ont signé le 17 mai 2017 une déclaration concernant l'autorité parentale conjointe. Le père a reconnu son fils avant sa naissance.
Suite à la séparation de ses parents le 2 juillet 2020, C._ est resté avec sa mère dans l'appartement familial sis avenue U._ à W._ tandis que son père est allé vivre chez sa propre mère, domiciliée rue V._, à W._ également.
B.
B.a. Le 14 septembre 2020, A._ a déposé au greffe du Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant du canton de Genève (ci-après: le tribunal de protection) une requête en fixation du droit de garde, assortie de mesures superprovisionnelles et provisionnelles, par laquelle il sollicitait l'instauration d'une garde alternée sur son fils.
Le tribunal a rejeté la requête de mesures superprovisionnelles le 15 septembre 2020.
B._ a conclu au rejet de la requête de mesures provisionnelles; sur le fond, elle a sollicité notamment l'attribution en sa faveur de l'autorité parentale et de la garde exclusive de l'enfant, réservant au père un large droit de visite.
Le Service d'évaluation et d'accompagnement de la séparation parentale (SEASP) a établi un rapport le 27 novembre 2020, préavisant favorablement la garde alternée.
Par ordonnance du 10 décembre 2020, le tribunal de protection a notamment maintenu l'autorité parentale conjointe sur l'enfant (ch. 1), accordé dans un premier temps au père un droit de visite élargi en faveur de son fils (ch. 2), puis instauré une garde alternée au plus tard d'ici la fin mai 2021 (ch. 3), le domicile légal de l'enfant étant alors chez sa mère (ch. 4). Une curatelle d'organisation et de surveillance du droit de visite était par ailleurs instaurée (ch. 5) et acte était pris de l'accord des parents d'entreprendre une thérapie familiale et de coparentalité (ch. 7).
B.b. Statuant le 25 octobre 2021 sur le recours formé par B._, la Chambre de surveillance de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la cour cantonale ou la Chambre de surveillance) a annulé le ch. 3 du dispositif de l'ordonnance rendue par le tribunal et, cela fait, a attribué la garde de l'enfant à sa mère, confirmant le ch. 2 de dite ordonnance avec la précision que le droit de visite qui y est fixé l'est de manière régulière et sans limite de temps. L'ordonnance a été confirmée pour le surplus et les parties déboutées de toutes autres conclusions.
C.
Agissant le 29 novembre 2021 par la voie du recours en matière civile au Tribunal fédéral, A._ (ci-après: le recourant) conclut à l'annulation de la décision cantonale et à l'instauration d'une garde alternée sur son fils.
Il sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Des déterminations n'ont pas été demandées.

Considérant en droit :
1.
Les conditions du recours en matière civile sont ici réalisées (art. 72 al. 1 [cf. notamment: arrêts 5A_401/2021 du 3 mars 2022 consid. 1 et les références; 5A_22/2016 du 2 septembre 2016 consid. 1], art. 75 al. 1 et 2, art. 76 al. 1 let. a et b, art. 90 et art. 100 al. 1 LTF), étant précisé que l'affaire n'est pas de nature pécuniaire.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'<ref-law>, il n'examine en principe que les griefs soulevés (<ref-ruling> consid. 2.4). Le recourant doit par conséquent discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi l'autorité précédente a méconnu le droit (<ref-ruling> consid. 1.7.1; <ref-ruling> consid. 2.4).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si ceux-ci ont été constatés de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 6.7; <ref-ruling> consid. 2.2 et la référence), doit satisfaire au principe d'allégation (<ref-law>). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (<ref-ruling> consid. 1.1).
3.
Le recourant se plaint exclusivement de la violation de l'<ref-law>.
3.1. Selon l'<ref-law>, lorsque l'autorité parentale est exercée conjointement entre les parents, l'autorité de protection de l'enfant examine, selon le bien de l'enfant, la possibilité de la garde alternée, si le père, la mère ou l'enfant le demande.
3.1.1. La garde alternée est la situation dans laquelle les parents exercent en commun l'autorité parentale, mais se partagent la garde de l'enfant d'une façon alternée pour des périodes plus ou moins égales, pouvant être fixées en jours ou en semaines, voire en mois (arrêts 5A_401/2021 du 3 mars 2022 consid. 3.1.1; 5A_345/2020 du 30 avril 2021 consid. 5.1; 5A_793/2020 du 24 février 2021 consid. 5.1.1 et les références; cf. aussi <ref-ruling> consid. 3.2). Bien que l'autorité parentale conjointe soit désormais la règle et qu'elle comprenne le droit de déterminer le lieu de résidence de l'enfant (art. 296 al. 2 et 301a al. 1 CC; <ref-ruling> consid. 3.1 et 3.5 et les références citées), elle n'implique pas nécessairement l'instauration d'une garde alternée. Invitée à statuer à cet égard, l'autorité compétente doit néanmoins examiner, nonobstant et indépendamment de l'accord des parents quant à une garde alternée, si celle-ci est possible et compatible avec le bien de l'enfant (<ref-ruling> consid. 4.2, 617 consid. 3.2.3). Le bien de l'enfant constitue en effet la règle fondamentale en matière d'attribution des droits parentaux (<ref-ruling> consid. 5.5.3; <ref-ruling> consid. 5.4), les intérêts des parents devant être relégués au second plan (<ref-ruling> consid. 3.2.3 et les références; arrêt 5A_67/2021 du 31 août 2021 consid. 3.1.1).
3.1.2. L'autorité compétente doit évaluer, sur la base de la situation de fait actuelle ainsi que de celle qui prévalait avant la séparation des parties, si l'instauration d'une garde alternée est effectivement à même de préserver le bien de l'enfant. A cette fin, elle doit en premier lieu examiner si chacun des parents dispose de capacités éducatives, lesquelles doivent être données chez chacun des parents pour pouvoir envisager l'instauration d'une garde alternée, ainsi que l'existence d'une bonne capacité et volonté des parents de communiquer et coopérer compte tenu des mesures organisationnelles et de la transmission régulière d'informations que nécessite ce mode de garde. A cet égard, on ne saurait déduire une incapacité à coopérer entre les parents du seul refus d'instaurer la garde alternée. En revanche, un conflit marqué et persistant entre les parents portant sur des questions liées à l'enfant laisse présager des difficultés futures de collaboration et aura en principe pour conséquence d'exposer de manière récurrente l'enfant à une situation conflictuelle, ce qui pourrait apparaître contraire à son intérêt (<ref-ruling> consid. 3.2.3; arrêts 5A_401/2021 du 3 mars 2022 consid. 3.1.2; 5A_67/2021 précité consid. 3.1.3; 5A_682/2020 du 21 juin 2021 consid. 2.1; 5A_793/2020 précité consid. 5.1.2 et les autres références).
Si les parents disposent tous deux de capacités éducatives, le juge doit dans un deuxième temps évaluer les autres critères d'appréciation pertinents pour l'attribution de la garde à l'un des parents. Au nombre des critères essentiels pour cet examen, entrent en ligne de compte la situation géographique et la distance séparant les logements des deux parents, la capacité et la volonté de chaque parent de favoriser les contacts entre l'autre parent et l'enfant, la stabilité que peut apporter à l'enfant le maintien de la situation antérieure, en ce sens notamment qu'une garde alternée sera instaurée plus facilement lorsque les deux parents s'occupaient de l'enfant en alternance déjà avant la séparation, la possibilité pour chaque parent de s'occuper personnellement de l'enfant, l'âge de ce dernier et son appartenance à une fratrie ou à un cercle social. Les critères d'appréciation précités sont interdépendants et leur importance varie en fonction du cas d'espèce (<ref-ruling> consid. 3.2.3; parmi plusieurs: arrêts 5A_401/2021 précité loc. cit.; 5A_67/2021 précité loc. cit.; 5A_682/2020 précité loc. cit.).
Si le juge arrive à la conclusion qu'une garde alternée n'est pas dans l'intérêt de l'enfant, il devra alors déterminer auquel des deux parents il attribue la garde en tenant compte, pour l'essentiel, des mêmes critères d'évaluation et en appréciant, en sus, la capacité de chaque parent à favoriser les contacts entre l'enfant et l'autre parent (<ref-ruling> consid. 3.2.4; arrêt 5A_34/2017 du 4 mai 2017 consid. 5.1).
3.1.3. Pour apprécier les critères d'attribution des droits parentaux, le juge du fait, qui connaît le mieux les parties et le milieu dans lequel vit l'enfant, dispose d'un large pouvoir d'appréciation (<ref-ruling> consid. 3.2.5 et les références; arrêts 5A_401/2021 précité consid. 3.1.3; 5A_67/2021 précité consid. 2.2). Le Tribunal n'interviendra que si la décision s'écarte sans motif des principes établis par la doctrine et la jurisprudence, lorsque le juge s'est fondé sur des faits qui ne devaient jouer aucun rôle pour la solution du cas d'espèce, ou lorsque, au contraire, il n'a pas tenu compte de circonstances qui auraient impérativement dû être prises en considération (<ref-ruling> consid. 3.2.5 et les références).
3.2. La cour cantonale ne peut se voir ici reprocher aucun excès d'appréciation.
3.2.1. Reconnaissant que le recourant s'était beaucoup occupé de son fils durant la vie commune, la Chambre de surveillance a souligné que, depuis la séparation de ses parents, l'enfant vivait désormais chez sa mère, laquelle travaillait certes à temps plein mais avait mis en place une structure adéquate pour le prendre en charge lorsqu'elle ne pouvait s'en occuper personnellement. Le recourant s'était pour sa part installé chez sa mère, où les conditions de vie de l'enfant n'étaient pas connues, faute pour le SPMi d'avoir enquêté à ce sujet. Contrairement toutefois à ce que soutient le recourant, cette dernière circonstance n'a pas été jugée décisive par la cour cantonale (cf. infra consid. 3.2.2). Les critiques que l'intéressé développe en vue de démontrer que les conditions de vie de son fils seraient parfaitement adéquates chez sa grand-mère paternelle sont ainsi dénuées de pertinence. Le recourant occulte par ailleurs que, si la situation factuelle antérieure à la séparation doit certes être prise en considération pour déterminer le mode de garde, celle prévalant depuis lors doit l'être également. Or il ne conteste pas que l'enfant se trouve chez sa mère depuis la séparation survenue en 2020, ni ne prétend que la structure que l'intimée a actuellement mise en place ne serait pas adéquate.
3.2.2. Quoi qu'il en soit, c'est en réalité la situation actuelle du recourant qui a été jugée déterminante par la cour cantonale pour refuser en l'état d'instaurer une garde alternée. La Chambre de surveillance a en effet relevé que le recourant se trouvait dans une situation de logement provisoire, qu'il était sans ressources et en recherche d'emploi: sa situation n'était ainsi pas stabilisée, si bien qu'à défaut de connaître ses conditions de vie futures, l'instauration d'une garde alternée n'apparaissait pas opportune et pour le moins prématurée. Dans ce contexte, la cour cantonale a également relevé qu'il n'était pas souhaitable que la grand-mère paternelle fût mise à contribution pour élever son petit-fils, en raison des différents l'opposant à l'intimée. Le recourant se méprend manifestement sur la portée de cette dernière remarque, laquelle n'implique aucunement de priver sa propre mère de toute relation avec son petit-fils, mais d'éviter une large interférence de l'intéressée dans son éducation, ses différends avec l'intimée étant sur ce point incontestés. Au surplus, les critiques qu'il élève au sujet de sa situation sont parfaitement inefficaces: l'on saisit mal en effet son reproche lié à l'absence d'examen de ses possibilités de réinsertion professionnelle, formulé en référence à la jurisprudence relative à la fixation de l'entretien entre époux. Il est en revanche manifeste que les incertitudes liées à ses futurs emploi et logement rendent difficile une appréciation de leur compatibilité avec l'instauration d'une garde alternée.
3.2.3. En sus des particularités liées à la situation du recourant, la cour cantonale s'est référée à l'important conflit qui opposait les parties. Celui-ci ne permettait pas non plus de se déclarer actuellement en faveur du prononcé de la garde partagée, vu le jeune âge de l'enfant; l'autorité cantonale a néanmoins réservé l'évolution de la situation au regard des efforts que les parties avaient entrepris d'effectuer (thérapie familiale et de coparentalité). Contrairement à ce que paraît soutenir le recourant, la référence au conflit parental ne met nullement en doute sa volonté de collaborer en vue de le résoudre ou, à tout le moins l'atténuer. Cette volonté, de même que celle de l'intimée, a d'ailleurs été relevée par la Chambre de surveillance en vue d'une possible évolution de la situation. Il n'en demeure pas moins que, si cette volonté existe de part et d'autre, elle est actuellement insuffisante à surmonter le conflit existant entre les parties. L'on ne saurait en conséquence reprocher à la cour cantonale d'avoir pris en considération cet élément, parmi d'autres, pour refuser en l'état la requête du recourant.
3.3. Le recourant ne critique nullement les compétences parentales de l'intimée, ni le fait que celle-ci offre les garanties de stabilité que nécessite la prise en charge d'un jeune enfant. A défaut de critiques idoines de ces éléments factuels (consid. 2.2 supra), décider de confier la garde de l'enfant à sa mère n'apparaît pas critiquable.
4.
Le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité. La requête d'assistance judiciaire du recourant est rejetée, dès lors que ses conclusions étaient d'emblée vouées à l'échec (<ref-law>). Les frais judiciaires sont ainsi mis à sa charge (<ref-law>). Aucune indemnité de dépens n'est accordée à l'intimée, qui n'a pas été invitée à se déterminer.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre de surveillance, aux Service de protection des mineurs et au Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant du canton de Genève.
Lausanne, le 12 avril 2022
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : de Poret Bortolaso