Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Verfügung vom 15. Januar 2014 genehmigte das Amt für Jugend und Berufsberatung des Kantons Zürich (nachfolgend: AJB) ein Konzept des Vereins A._ vom November 2013 zur Führung eines Kinder- und Jugendheims und erteilte dem Verein eine bis 31. Dezember 2017 befristete Bewilligung für den Betrieb der Einrichtung «xxx». Am 5. Dezember 2017 lehnte es ein Gesuch des Vereins um Erneuerung und Erweiterung der Betriebsbewilligung ab.
A.b. Die Bildungsdirektion des Kantons Zürich hiess einen dagegen gerichteten Rekurs mit Verfügung vom 17. Dezember 2018 teilweise gut und wies die Sache zur Neubeurteilung an das AJB zurück. Zudem ordnete sie an, dass der Verein den Betrieb während des Bewilligungsverfahrens mit Auflagen weiterführen dürfe.
A.c. Mit Verfügung vom 17. Dezember 2019 lehnte das AJB das Gesuch des Vereins um Verlängerung bzw. Erweiterung der Betriebsbewilligung erneut ab und wies den Verein an, per sofort keine neuen Minderjährigen zur Betreuung mehr aufzunehmen, das gesamte Betreuungsangebot für Minderjährige bis spätestens Ende Februar 2020 einzustellen und die einweisenden Stellen hierüber bis zum 31. Dezember 2019 schriftlich in Kenntnis zu setzen. Dem AJB sei innert derselben Frist eine Kopie der Orientierungsschreiben sowie eine Liste sämtlicher betreuter Minderjähriger zuzustellen.
A.d. Dagegen erhob der Verein am 28. Dezember 2019 Rekurs bei der Bildungsdirektion und ersuchte vorsorglich darum, ihm für die Dauer des Rekursverfahrens den Weiterbetrieb der Einrichtung zu erlauben. Ausserdem begehrte der Verein die vollständige Akteneinsicht, eventuell unter Schwärzung des Namens des Anzeigers. Mit Zwischenverfügung vom 7. Februar 2020 wies die Bildungsdirektion das Gesuch um Erlass der begehrten vorsorglichen Massnahmen ab und setzte die Termine für die Einstellung des Betreuungsangebots und die Mitteilungen neu auf den 31. März 2020 bzw. 29. Februar 2020 an. Das AJB wurde angewiesen, dem Verein die Akten vollständig zugänglich zu machen, wobei der Name des Anzeigers zu schwärzen sei.
A.e. Am 19. Februar 2020 erhob der Verein Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und beantragte neben umfassender Akteneinsicht sinngemäss, dass ihm im Rahmen einer vorsorglichen Massnahme die Weiterführung der Einrichtung zu gestatten sei. Das Verwaltungsgericht trat auf das Rechtsmittel mit Urteil vom 25. März 2020 nicht ein, soweit sich dieses gegen die Beschränkung des Akteneinsichtsrechts richtete, und wies es im Übrigen ab.
A.f. Mit Verfügung vom 30. Dezember 2020 wies die Bildungsdirektion den Rekurs vom 28. Dezember 2019 in der Sache ab und stellte fest, dass der Verein über keine Betriebsbewilligung verfügt. Der Verein wurde angewiesen, sein Angebot per 31. März 2021 einzustellen, soweit eine Betriebsbewilligung erforderlich ist, entsprechende Mitteilungen zu verschicken (mit Kopie an das AJB) und die Internetseiten des Vereins entsprechend anzupassen. Einer allfälligen Beschwerde wurde die aufschiebende Wirkung entzogen.
B.
Am 25. Februar 2021 reichte der Verein beim Verwaltungsgericht Zürich Beschwerde ein. Mit Urteil vom 18. März 2021 (eröffnet am 29. März 2021) wies das Verwaltungsgericht das Rechtsmittel ab.
C.
Mit Beschwerde vom 13. April 2021 gelangt der Verein (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht und beantragt die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts vom 18. März 2021 und die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung an das AJB (Beschwerdegegner), eventualiter an das Bildungsdepartement und subeventualiter an das Verwaltungsgericht. Subsubeventaliter sei B._, eventualiter dem Verein, die Heimbewilligung durch das Bundesgericht zu erteilen. Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten des Beschwerdegegners.
Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Entscheid über die Verweigerung der Betriebsbewilligung für ein Jugendheim gemäss Art. 13 ff. der Verordnung vom 19. Oktober 1977 über die Aufnahme von Pflegekindern (Pflegekinderverordnung, PAVO; SR 211.222.338). Der auf dem Gebiet des Kindesschutzes (vgl. <ref-law>, insbesondere <ref-law>) ergangene Entscheid unterliegt der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG; vgl. Urteil 5A_732/2020 vom 22. März 2021 E. 1.1). Der Entscheid betrifft eine nicht vermögensrechtliche Angelegenheit (Urteile 5A_904/2011 vom 14. Mai 2012 E. 1.1; 5A_705/2010 vom 14. März 2011 E. 1.1), wurde vom Verwaltungsgericht als letzter kantonaler Instanz erlassen und schliesst das Verfahren ab (Art. 75 und Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt, die er auch fristgerecht erhoben hat (<ref-law>). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen zulässig.
Der Beschwerdeführer hat seine Beschwerde entgegen der Rechtsmittelbelehrung des angefochtenen Entscheids als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bezeichnet. Diese unzutreffende Bezeichnung des Rechtsmittels schadet dem Beschwerdeführer indes nicht. Die Beschwerde ist als Beschwerde in Zivilsachen entgegenzunehmen (vgl. Urteil 5A_88/2017 vom 25. September 2017 E. 1.1, nicht publiziert in: <ref-ruling>).
1.2.
1.2.1. Entscheidet die letzte kantonale Instanz - wie hier (E. 1.1 hiervor) - entsprechend dem Grundsatz von <ref-law> als Rechtsmittelinstanz, so ist die Ausschöpfung des Instanzenzugs unerlässliche Voraussetzung für die Zulässigkeit der Beschwerde an das Bundesgericht (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 mit Hinweisen). Letztinstanzlichkeit gemäss <ref-law> bedeutet, dass der kantonale Instanzenzug nicht nur formell durchlaufen, sondern auch materiell ausgeschöpft werden soll (<ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen; Urteil 4A_32/2018 vom 11. Juli 2018 E. 5.2.1). Die rechtsuchende Partei darf die ihr bekannten rechtserheblichen Einwände der Vorinstanz nicht vorenthalten, um sie erst nach dem Ergehen eines ungünstigen Entscheides im anschliessenden Rechtsmittelverfahren zu erheben. Sie muss sich in der Beschwerde an das Bundesgericht mit den Erwägungen der letzten kantonalen Instanz zu Rügen auseinandersetzen, die sie bereits vor dieser letzten kantonalen Instanz erhoben hat (<ref-ruling> E. 3.3.4 mit Hinweisen).
1.2.2. Die Vorinstanz verweigerte die Erneuerung der streitbetroffenen Betriebsbewilligung, weil der Beschwerdeführer die korrekt durchgeführte Aufsicht über das von ihm geführte Jugendheim wiederholt in unzulässiger Weise erschwert und letztlich verunmöglicht habe. Damit sei auch eine wirksame Überprüfung der Bewilligungsvoraussetzungen nicht möglich, insbesondere der seit Jahren beanstandeten ungenügenden Betreuungsverhältnisse bzw. der Förderung der Jugendlichen durch den Verein. Dagegen bringt der Beschwerdeführer vor, dass die Aufsichtsbesuche nach den einschlägigen bundes- und kantonalrechlichen Bestimmungen nicht auf die C._ AG hätten übertragen werden dürfen. Auch hätten die Besuche gemäss Auftrag zu zweit (D._ und E._) durchgeführt werden müssen und nicht durch D._ alleine, die zudem nicht ausreichend qualifiziert sei. Auf ihre Beurteilung dürfe daher nicht abgestellt werden.
Wie sich E. 5.3.4 des angefochtenen Urteils entnehmen lässt, hat der Beschwerdeführer diese Rügen zwar (teilweise) im erstinstanzlichen Verfahren, nicht jedoch in der Beschwerde an das Verwaltungsgericht erhoben. Entsprechend ging die Vorinstanz nicht vertieft darauf ein. Hierauf ist nicht einzutreten (zum Erfordernis der materiellen Erschöpfung des Instanzenzugs bei der Anwendung von Bundesgesetzesrecht vgl. Urteil 5A_980/2018 vom 5. Juni 2019 E. 1.3; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.3.4). Mit Blick auf <ref-law> bleibt es dagegen unerheblich, ob der Beschwerdeführer die fraglichen Vorbringen, wie er geltend macht, vor Verwaltungsgericht nicht widerrufen hat und ob die Vorinstanz das Recht von Amtes wegen anzuwenden hatte. Einzugehen ist in diesem Zusammenhang allein auf den Vorwurf, das Vorgehen der Behörde verletze § 6 der Verordnung (des Kantons Zürich) über die Jugendheime vom 4. Oktober 1962 (LS 852.21). Nur in Bezug auf diese Bestimmung ist der kantonale Instanzenzug (auch materiell) erschöpft, weil nur sie in der Beschwerde an das Verwaltungsgericht Erwähnung findet (Akten Verwaltungsgericht VB.2021.74 Nr. 2 S. 30).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber grundsätzlich nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden. Es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweis). In der Begründung ist deshalb in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht (<ref-ruling> E. 1.2.2; <ref-ruling> E. 2; Urteil 5A_963/2014 vom 9. November 2015 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>).
2.2. Die Verletzung von Grundrechten (namentlich die Anwendung der Bundesverfassung, der EMRK oder anderer Staatsverträge mit Grundrechtscharakter) und von kantonalem und interkantonalem Recht prüft das Bundesgericht nur, insofern eine solche Rüge in der Beschwerde vorgetragen und begründet worden ist (<ref-law>). Wo das Bundesgericht die Rechtsanwendung nur auf Rüge hin prüft, erfordern das Gesetz und die Praxis klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3). Der Beschwerdeführer hat die angeblich verletzte Norm zu nennen und den Inhalt der verletzten Norm bzw. die daraus fliessenden Ansprüche zu beschreiben. Sodann hat er aufzuzeigen, weshalb im konkreten Fall dieses Recht bzw. der Anspruch verletzt worden sein soll. Schliesslich muss der Beschwerdeführer erklären, inwiefern die richtige Anwendung der als verletzt gerügten Norm zu einem anderen Ergebnis geführt hätte (Urteile 5A_85/2021 vom 26. März 2021 E. 6.2; 5A_733/2019 vom 28. Oktober 2019 E. 3.3; je mit Hinweisen).
Nicht zu hören ist deshalb die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs im Zusammenhang mit der Akteneinsicht: Insoweit rügt der Beschwerdeführer, das Verwaltungsgericht habe ihm den Zugang zu den Verfahrensakten verwehrt bzw. ihm diesen nur gegen Bezahlung eines "indefiniten Betrags" für die Schwärzung bestimmter Aktenstellen zugestehen wollen. Hierin liege eine Gehörsverletzung. Mit diesen Ausführungen geht der Beschwerdeführer in keiner Weise auf die Tragweite des Akteneinsichtsrechts und die Möglichkeit von dessen Einschränkung ein (vgl. <ref-ruling> E. 3.1.1; <ref-ruling> E. 4.4; <ref-ruling> E. 2b). Die Beschwerde erweist sich damit als unzureichend begründet. Ohnehin hat der Beschwerdeführer seinen eigenen Ausführungen nach im vorinstanzlichen Verfahren "einstweilen" auf die Akteneinsicht verzichtet. Mit Blick auf den Grundsatz von Treu und Glauben und das Verbot des Rechtsmissbrauchs erschiene es daher fraglich, ob der Beschwerdeführer sich vor Bundesgericht noch auf eine (angebliche) Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör berufen könnte (vgl. <ref-ruling> E. 5a; Urteil 2C_118/2017 vom 18. August 2017 E. 3.2).
2.3. Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (<ref-law>). Diesbezüglich kann nur vorgebracht werden, diese Feststellungen seien offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich, oder würden auf einer anderen Bundesrechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. Verletzung von <ref-law> oder <ref-law>) beruhen. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Das Bundesgericht prüft daher nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substantiierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (<ref-ruling> E. 5.4 mit Hinweisen; S. 249 E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.3).
Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde nach dem Ausgeführten insoweit, als der Beschwerdeführer unter den Titel "Sachverhalt" die tatsächlichen Feststellungen des Verwaltungsgerichts ergänzt, ohne diesem eine qualifiziert fehlerhafte Sachverhaltsfeststellung vorzuwerfen. Auch weitergehend ist auf die Rüge, der Sachverhalt sei nur ungenügend abgeklärt worden, nicht einzugehen. Der Beschwerdeführer setzt sich nur unzureichend mit der Begründung des Verwaltungsgerichts auseinander und legt insbesondere nicht dar, warum ihm keine Verletzung seiner Mitwirkungspflicht vorgeworfen werden kann. In allgemeiner Weise ist der Beschwerdeführer sodann daran zu erinnern, dass das Bundesgerichts selbst grundsätzlich keine Beweise abnimmt (Urteil 5A_732/2019 vom 4. Mai 2020 E. 2.1) und neue Tatsachen und Beweismittel grundsätzlich nicht vorgebracht werden dürfen (<ref-law>). Die vor Bundesgericht gestellten Beweisanträge werden daher abgewiesen.
3.
3.1. In der Sache ist vorliegend einzig der Vorwurf der (qualifiziert) falschen Anwendung von § 6 der Verordnung über die Jugendheime zu prüfen (vorne E. 1.2.2). Abgesehen von den hier nicht einschlägigen Ausnahmen von Art. 95 Bst. c-e BGG ist die fehlerhafte Anwendung des kantonalen Rechts kein Beschwerdegrund vor Bundesgericht. Vielmehr kann auch hinsichtlich des kantonalen Rechts nur gerügt werden, dessen Anwendung führe zu einer Rechtsverletzung nach Art. 95 Bst. a oder b BGG, namentlich einem Verstoss gegen das Willkürverbot oder einer Verletzung anderer verfassungsmässiger Rechte (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 1.2).
In diesem Zusammenhang bringt der Beschwerdeführer vor, nach der fraglichen Verordnungsbestimmung könne das AJB mit Zustimmung der Bildungsdirektion die unmittelbare Aufsicht an Behörden und Amtsstellen von Gemeinden übertragen und sich Bericht erstatten lassen. Eine solche Zustimmung existiere in Bezug auf die C._ AG nicht. § 6 der Verordnung statuiere im Übrigen einzig ein Tätigwerden einer staatlichen Behörde. Mit der Delegation der Aufsichtsbesuche an eine juristische Person des Privatrechts, deren Ergebnisse vom AJB einfach übernommen und Entscheiden zugrunde gelegt würden, gehe eine Kompetenzverschiebung zur Bewilligungserteilung einher. Diese Rechtsanwendung sei willkürlich.
3.2. In Bezug auf die Rüge der fehlenden Zustimmung des Bildungsdepartements ist der kantonale Instanzenzug wie in E. 1.2 hiervor ausgeführt nicht ausgeschöpft, weshalb darauf nicht einzugehen ist. Fraglich ist vielmehr einzig, ob die Delegation von Aufsichtsbesuchen an eine juristische Person des Privatrechts eine willkürliche Anwendung von § 6 der Verordnung über die Jugendheime) darstellt (zum Begriff der Willkür in der Rechtsanwendung vgl. <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 4.3; je mit Hinweis). Dies vermag der Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen:
Fragen der Delegation staatlicher Aufgaben an Private können nicht unabhängig von den jeweils anwendbaren formell-gesetzlichen Grundlagen beurteilt werden. Wie vorstehend in E. 1.2.2 dargelegt, stellt der Beschwerdeführer die Anwendung insbesondere der massgebenden bundesrechtlichen Bestimmungen (<ref-law>; Art. 15 f. PAVO) indes nicht hinreichend in Frage und ist diese vorliegend nicht zu prüfen. Mit dem Vorbringen allein, das Vorgehen der Behörde zeitige unhaltbaren Folgen (Delegation der Aufsicht an eine Privatperson) vermag der Beschwerdeführer sodann nicht mit der hinreichenden Genauigkeit eine geradezu willkürliche Anwendung der Verordnungsbestimmung aufzuzeigen (vgl. auch vorne E. 2.2).
4.
Zusammenfassend ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Kosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Da keine Vernehmlassungen eingeholt wurden, ist er nicht entschädigungspflichtig (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird als Beschwerde in Zivilsachen entgegengenommen und abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. September 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber