Erwägungen:
1.
1.1. Die aus Afghanistan stammenden A.A._ und B._ sowie ihre drei mittlerweile volljährigen und zwei noch minderjährigen Kinder sind am 10. Oktober 2003 vorläufig aufgenommen und dem Kanton Zürich zugewiesen worden. Die drei volljährigen und inzwischen eingebürgerten Kinder ersuchten am 12. Februar 2020 für die restliche Familie um einen Kantonswechsel in den Kanton St. Gallen. Dieser widersetzte sich dem Gesuch, worauf das Staatssekretariat für Migration am 14. Juli 2020 den Kantonswechsel ablehnte.
1.2. Die Betroffenen gelangten hiergegen an das Bundesverwaltungsgericht. Mit Zwischenverfügung vom 9. Oktober 2020 wies der Instruktionsrichter das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab. Er forderte die Beschwerdeführenden auf, bis zum 9. November einen Kostenvorschuss von Fr. 800.-- zu leisten, andernfalls - ohne Ansetzung einer Nachfrist - auf die Beschwerde nicht eingetreten werde.
1.3. Die Familie A._-B._ beantragt vor Bundesgericht, die Zwischenverfügung des Bundesverwaltungsgerichts aufzuheben und ihnen im hängigen Verfahren die unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung zu gewähren; allenfalls sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Es wurden weder Akten noch Vernehmlassungen eingeholt.
2.
2.1. Nach <ref-law> ist die Beschwerde in öffentlichen Angelegenheiten gegen den Kantonswechsel ausgeschlossen. Die entsprechende Regelung schliesst nicht nur die Beschwerde gegen materielle Entscheide aus, sondern gegen alle Entscheide im betroffenen Bereich wie verfahrensleitende Verfügungen, Kostenentscheide usw. (Grundsatz der Einheit des Verfahrens; vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 503; <ref-ruling> E. 1.3 S. 195; <ref-ruling> E. 3 S. 144; <ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.; Urteile 2C_308/2020 vom 1. Mai 2020 E. 2.1 und 2C_140/2010 vom 17. Juni 2010 E. 2.3; THOMAS HÄBERLI, in: Niggli/ Uebersax/Wiprächtiger/Kneubühler [Hrsg.], BK Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 9 zu <ref-law>; HANSJÖRG SEILER, in: Seiler/von Werdt/Güngerich/Oberholzer [Hrsg.], Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2. Aufl. 2015, N. 7 zu <ref-law>; FLORENCE AUBRY GIRADIN, in: Corboz et al. [Hrsg.], Commentaire de la LTF, 2. Auflage 2014, N. 62 und 65a zu <ref-law>).
2.2. Die vorliegende Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist dementsprechend offensichtlich unzulässig. Die Eingabe kann nicht als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegen genommen werden, da diese nur gegen kantonalen Akte offen steht (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist durch den Präsidenten als Instruktionsrichter im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist wegen Aussichtslosigkeit der vorliegenden Eingabe abzuweisen (vgl. <ref-law>). Es kann jedoch darauf verzichtet werden, für das vorliegende Verfahren Kosten zu erheben (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung VI, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. November 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar