Sachverhalt:
A.
C.A._ (geb. 2009) ist der gemeinsame Sohn von A.A._ (Mutter) und B._ (Vater). Er wohnt bei seiner Mutter, unter deren Alleinsorge er auch steht. A.A._ und B._ waren nie miteinander verheiratet. Sie streiten sich über den persönlichen Verkehr.
B.
Am 2. November 2016 entschied das Familiengericht E._ über den persönlichen Verkehr des Vaters und wies sein Begehren auf gemeinsame elterliche Sorge ab. Im vorliegend noch streitigen Punkt des Besuchsrechts urteilte das Gericht unter anderem Folgendes:
1. 1.1.
In Abänderung der vorsorglichen Massnahmen gemäss Beschluss des Familiengerichts E._ vom 25. Februar 2015 wird der Vater berechtigt erklärt, C.A._ jeweils in den ungeraden Kalenderwochen von Freitagabend, 18.00 Uhr, bis Sonntagabend, 18.00 Uhr, auf eigene Kosten zu oder mit sich auf Besuch zu nehmen.
1.2.
Der Vater wird weiter berechtigt erklärt, mit C.A._ jährlich auf eigene Kosten drei Wochen Ferien zu verbringen, wobei er die Ferien drei Monate im Voraus anzukündigen hat.
1.3.
Der Vater wird zudem berechtigt erklärt, C.A._ auf eigene Kosten in geraden Jahren an Ostern (Freitagmorgen bis Montagabend), am 24. Dezember (Heiligabend) und am 31. Dezember/1. Januar (Silvester/Neujahr) und in ungeraden Jahren an Pfingsten (Freitagabend bis Montagabend) und am 25./26. Dezember (Weihnachten) auf eigene Kosten zu sich oder mit sich auf Besuch zu nehmen.
Eine gegen diesen Entscheid geführte Beschwerde von A.A._ hiess das Obergericht des Kantons Aargau am 13. Oktober 2017 bezüglich der Kostenfestsetzung gut. Indessen bestätigte es den erstinstanzlichen Entscheid bezüglich der Besuchsrechtsregelung.
C.
A.A._ gelangt mit Beschwerde in Zivilsachen gegen den obergerichtlichen Entscheid ans Bundesgericht und verlangt, es seien die Dispositivziffern 1.1 bis 1.3 des Entscheides des Familiengerichts E._ durch folgende Bestimmungen zu ersetzen:
1.1.
Der Vater sei berechtigt zu erklären, C.A._ in den ungeraden Kalenderwochen von Samstagmorgen, 9.00 Uhr, bis Sonntagabend, 18.00 Uhr, auf eigene Kosten zu oder mit sich auf Besuch zu nehmen.
1.2.
Bei einem problemlosen Verlauf des Besuchsrechts während mindestens sechs Monaten ab Rechtskraft des Urteils sei der Vater durch Ermessensentscheid der eingesetzten Beiständin, Frau D._, berechtigt zu erklären, mit C.A._ jährlich auf eigene Kosten zwei Wochen Ferien zu verbringen, wobei er die Ferien drei Monate im Voraus anzukündigen und mit der Mutter abzusprechen hat.
Eventualiter sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem beantragt A.A._, ihrer Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung hat es mit Verfügung vom 20. November 2017 abgewiesen.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts, den dieses als Rechtsmittelinstanz gefällt hat (Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG) und der das Verfahren abschliesst (<ref-law>). Gegenstand des Verfahrens ist eine Kindesschutzmassnahme und damit ein öffentlich-rechtlicher Entscheid, der in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG; <ref-ruling> E. 2.1). Die Beschwerdeführerin war Partei im kantonalen Verfahren; sie ist in der Sache grösstenteils unterlegen und hat damit ein schützenswertes Interesse an der Aufhebung und Änderung des angefochtenen Entscheids (Art. 76 Abs. 1 Bst. a und b BGG). Die Beschwerde ist rechtzeitig erfolgt (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Sie ist grundsätzlich zulässig. Auf formelle Einzelfragen wird im Sachzusammenhang zurückzukommen sein.
1.2. Aufgrund der gestellten Begehren (<ref-law>) könnte der Eindruck entstehen, die Beschwerdeführerin fechte den Entscheid des Familiengerichts vom 2. November 2016 an, was unzulässig ist (vgl. <ref-ruling> E. 4.4.2 mit Hinweis). Indes ergibt sich aus der Beschwerdebegründung, dass sich die Beschwerde gegen den Entscheid des Obergerichts vom 13. Oktober 2017 richtet. Die Rechtsbegehren sind deshalb in diesem Sinne auszulegen (vgl. <ref-ruling> E. 6.2 mit Hinweisen).
2.
2.1. Zulässig sind rechtliche Vorbringen im Sinn von Art. 95 f. BGG. Das Bundesgericht befasst sich indes grundsätzlich nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.4 mit Hinweisen). Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten prüft es nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; Rügeprinzip). Es prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Verfassungsrügen (<ref-ruling> E. 2.4).
2.2. Das Bundesgericht ist an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (<ref-law>). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann einzig vorgebracht werden, sie seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweis), oder sie würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen. In der Beschwerde muss aufgezeigt werden, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweis). Für die Rüge der offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung gilt das Rügeprinzip (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweis). Auf rein appellatorische Kritik tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.4 mit Hinweis).
Die in der Beschwerdeschrift am von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt angebrachte Kritik genügt diesen Anforderungen nicht, sodass darauf nicht einzutreten ist.
2.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
Die mit der Beschwerde beigebrachten echten Noven sind als solche von vornherein unzulässig (<ref-ruling> E. 3.1.2 mit Hinweis). Mit Bezug auf die unechten Noven zeigt die Beschwerdeführerin nicht auf, inwiefern die Voraussetzungen von <ref-law> erfüllt sein sollen, sodass diese ebenfalls unberücksichtigt zu bleiben haben (<ref-ruling> E. 3).
3.
Streitig ist vorliegend ausschliesslich die Regelung des Besuchsrechts. Während die Mutter vorerst dem Vater nur ein beschränktes Besuchsrecht zugestehen und dieses erst etwas erweitern will, wenn sich bei der Ausübung des beschränkten Besuchsrechts keinerlei Anstände ergeben haben, haben das Familiengericht als Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) und anschliessend das Obergericht dem Vater ein Besuchsrecht im üblichen Rahmen eingeräumt.
4.
In erster Linie macht die Beschwerdeführerin geltend, die kantonalen Instanzen hätten ihr das rechtliche Gehör verweigert.
4.1. Gemäss <ref-law> haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör und dabei insbesondere auf Äusserung zur Sache vor Fällung des Entscheids, auf Abnahme ihrer erheblichen, rechtzeitig und formrichtig angebotenen Beweise und auf Mitwirkung an der Erhebung von Beweisen oder zumindest auf Stellungnahme zum Beweisergebnis (<ref-ruling> E. 3.2 mit Hinweisen).
Ein weiterer Teilaspekt des Anspruchs auf rechtliches Gehör ist die Pflicht der Gerichtsbehörde, ihren Entscheid gehörig zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt (<ref-ruling> E. 4.3.2 mit Hinweisen). Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken (<ref-ruling> E. 9.2 mit Hinweisen).
4.2. Soweit die Beschwerdeführerin nur in allgemeiner Weise eine Verletzung ihres rechtlichen Gehörs behauptet, ist darauf mangels Substanziierung nicht einzutreten. Was ihren Vorwurf anbelangt, sie habe erst nach dem Familiengerichtsentscheid Einsicht in den Zwischenbericht erhalten, so erhebt sie diesen erstmals vor Bundesgericht, sodass darauf wegen fehlender Letztinstanzlichkeit (<ref-law>) ebenfalls nicht einzutreten ist (<ref-ruling> E. 1.1). Schliesslich ist nicht nachvollziehbar, inwiefern der Umstand, dass der Beschwerdegegner von den Sachverständigen nur einmal, die Beschwerdeführerin jedoch dreimal befragt worden ist, eine Verletzung ihres rechtlichen Gehörs darstellen soll. Damit könnte eher der Beschwerdegegner eine Verletzung seines rechtlichen Gehörs begründen. Mit Bezug auf den sinngemäss vorgetragenen Vorwurf, die Vorinstanz habe ihre Begründungspflicht verletzt, verkennt die Beschwerdeführerin zudem, dass Erstere im Rahmen der Entscheidbegründung nicht dazu verpflichtet ist, auf jedes einzelne Parteivorbringen einzugehen. Für die Begründung der Abweisung einer Beschwerde darf die kantonale Beschwerdeinstanz auch auf die erstinstanzlichen Erwägungen verweisen bzw. diese als bekannt voraussetzen. Zu beachten ist zudem, dass es vorliegend um die Anordnung eines gerichtsüblichen Besuchsrechts geht. Um ein solches festzusetzen, bedarf es keiner erschöpfenden Begründung. Demgegenüber wäre ausführlich zu begründen, weshalb ein solches Besuchsrecht in der Art eingeschränkt werden sollte, wie es die Beschwerdeführerin verlangt. Die Rüge ist folglich unbegründet.
5.
Sodann rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung der Untersuchungsmaxime.
5.1. Wie sie richtig festhält, gelten bezüglich der Kinderbelange grundsätzlich der Untersuchungsgrundsatz und die Offizialmaxime. Dies ergibt sich aus <ref-law>, welcher dem Wortlaut nach zwar nur das Verfahren vor der KESB regelt, aber infolge des Devolutiveffekts der Beschwerde auch im kantonalen Beschwerdeverfahren gilt (Urteil 5A_327/2013 vom 17. Juli 2013 E. 3.1). Das Bundesgericht kann somit im Beschwerdeverfahren nach <ref-law> mit voller Kognition prüfen, ob die kantonalen Instanzen diese bundesrechtlichen Vorgaben eingehalten haben.
5.2. Der für Verfahren über den persönlichen Verkehr geltende uneingeschränkte Untersuchungsgrundsatz bedeutet, dass alle zur Klärung des entscheidrelevanten Sachverhaltes erforderlichen Abklärungen und Beweiserhebungen von Amtes wegen vorzunehmen sind. Das verpflichtet aber die Behörde nicht zu endlosen Beweiserhebungen und Abklärungen. Zum einen kann es immer nur um die Abklärung des für den Ausgang des Verfahrens wesentlichen Sachverhalts gehen. Soweit ein bestimmter Sachverhalt für das Urteil nicht entscheidend ist, kann er offenbleiben, auch wenn die eine oder andere Partei in anderem Zusammenhang ein Interesse an der Klärung haben könnte. Weitere Erhebungen sind auch dann nicht notwendig, wenn ein bestimmter Sachverhalt bereits feststeht. Die Untersuchungsmaxime schliesst eine vorweggenommene Beweiswürdigung nicht aus. Verfügt das Gericht über genügende Grundlagen für eine sachgerechte Entscheidung, kann es auf weitere Beweiserhebungen verzichten (<ref-ruling> E. 2.2.3; Urteil 5A_505/2013 vom 20. August 2013 E. 5.2.1; je mit Hinweisen).
5.3. Die Beschwerdeführerin sieht die Untersuchungsmaxime dadurch verletzt, dass die kantonalen Instanzen keine weiteren Gutachten eingeholt bzw. die Gutachter nicht mit weiteren Abklärungen beauftragt haben. Worin allerdings diese weiteren Abklärungen hätten bestehen sollen, erläutert sie nicht. Dass die Fronten zwischen den Eltern verhärtet sind und ein Konflikt auf Elternebene besteht, ist offensichtlich. Das zeigt schon die vorliegende Beschwerde. Inwiefern hier weitere Abklärungen, wie sie die Beschwerdeführerin fordert, hätten sachdienlich sein und was sie hätten zu Tage fördern können, ist jedoch nicht dargelegt und auch nicht ersichtlich.
Soweit die Beschwerdeführerin weitere Abklärungen bezüglich der Ausbildung und der beruflichen Tätigkeit des Vaters verlangt, verkennt sie, dass diese irrelevant für den Umfang des Besuchsrechts sind. Das gilt auch bezüglich der Frage, wie der Vater die Gesundheit des Kindes einschätzt. Es ist nicht ersichtlich, welche Bedeutung diese Behauptungen für die Frage haben sollten, ob das Kind pro Besuchswochenende ein- oder zweimal beim Vater übernachten, zwei oder drei Wochen Ferien mit ihm verbringen und der persönliche Kontakt auch Besuche an den Festtagen einschliessen soll.
Die kantonalen Instanzen haben somit weder den Untersuchungsgrundsatz noch die Offizialmaxime verletzt und die Beschwerde erweist sich insoweit als unbegründet.
6.
Schliesslich macht die Beschwerdeführerin geltend, der angefochtene Entscheid verletze das Kindeswohl.
6.1. Auch wenn das Besuchsrecht den Eltern um ihrer Persönlichkeit willen zusteht (<ref-ruling> E. 2.4.1 mit Hinweisen), dient es in erster Linie dem Interesse des Kindes. Bei der Festsetzung des Besuchsrechtes geht es nicht darum, einen gerechten Interessenausgleich zwischen den Eltern zu finden, sondern den elterlichen Kontakt mit dem Kind in dessen Interesse zu regeln (<ref-ruling> E. 3b; Urteil 5A_830/2010 vom 30. März 2011 E. 5.2; je mit Hinweisen). Der persönliche Kontakt ist somit am Kindeswohl auszurichten.
6.2. Die kantonalen Instanzen sind diesem Gebot gefolgt. Sie haben dem vom Kind ausgesprochenen Wunsch entsprechend, mehr Kontakte zum Vater zu haben, die bisherigen Einschränkungen aufgehoben und ein dem Alter des Kindes und den konkreten Gegebenheiten angemessenes Besuchsrecht angeordnet. Mit Blick auf den bestehenden Elternkonflikt ist es unumgänglich, eine möglichst genaue und damit etwas starre Regelung vorzusehen. Mit einer Erweiterung des Besuchsrechts sind die kantonalen Instanzen auch den Empfehlungen der Gutachter gefolgt. Dass sie diese nicht im Einzelnen genau übernommen haben, lässt sich ohne Weiteres rechtfertigen. Zum einen ist mit dem sich über mehrere Instanzen hinziehenden Verfahren wiederum einiges an wichtiger Zeit verstrichen, in der dem Kind ein angemessener Kontakt zum Vater verwehrt blieb. Zum anderen binden die Empfehlungen der Sachverständigen die Fachbehörde nicht und diese kann ohne Weiteres in Würdigung der gesamten Umstände von ihnen abweichen, namentlich wenn sie damit in deren Zielrichtung bleibt.
Was die Beschwerdeführerin dagegen vorbringt, vermag nicht zu überzeugen. Soweit sie auf den Elternkonflikt verweist und ausführen lässt, ein solches Besuchsrecht setze die "aktive Mitarbeit der Mutter voraus", diese wehre sich aber "mit Händen und Füssen dagegen", so verkennt sie, dass ein derartiges Verhalten der Mutter nicht gegen das Besuchsrecht spricht, sondern eher an ihrer Erziehungsfähigkeit Zweifel aufkommen lassen kann. Dem Kindeswohl entspricht es vielmehr, möglichst rasch zu einem normalen Besuchsrecht zu gelangen und dem Kind die Kontakte und Beziehungen zum Vater nicht länger vorzuenthalten.
Der Vorwurf gegenüber den kantonalen Instanzen, das Kindeswohl missachtet zu haben, erweist sich damit als unbegründet. Die Beschwerde ist auch in diesem Punkt abzuweisen.
7.
Aus den dargelegten Gründen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Hingegen schuldet sie keine Parteientschädigung, weil dem Beschwerdegegner kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden ist (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, Frau D._, Kindes- und Erwachsenenschutzdienst E._, und dem Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. August 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Gutzwiller