Erwägungen:
1.
A._ reichte am 26. bzw. 27. April 2021 Strafanzeige gegen Oberrichterin B._ wegen "Unterdrückung von Beweisen, Begünstigung etc." ein. Er wirft der Angezeigten im Wesentlichen vor, dass sie die vom Anzeigeerstatter beim Obergericht angefochtene Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl vom 5. November 2019 mit Beschluss vom 10. Juni 2020 für rechtens erklärt habe, wodurch sie "seine Integrität missachtet und seine Hinweise bewusst pervertiert habe". Auf eine gegen den obergerichtlichen Beschluss vom 10. Juni 2020 erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht mit Urteil 6B_858/2020 vom 8. Oktober 2020 nicht ein.
2.
Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich beantragte der Geschäftsleitung des Kantonsrates Zürich mit Verfügung vom 30. Juni 2021 die Einleitung eines Ermächtigungsverfahrens. Die Geschäftsleitung des Kantonsrates Zürich erteilte mit Beschluss vom 8. Juli 2021 die Ermächtigung zur Strafverfolgung nicht und hob die Immunität von Oberrichterin B._ nicht auf. Die Geschäftsleitung führte zusammenfassend aus, dass ein strafrechtlich relevantes Verhalten nicht ersichtlich sei. Der durch den Anzeiger initiierte Strafprozess stelle klarerweise einen ungerechtfertigten Angriff auf die Amtstätigkeit der Oberrichterin dar.
3.
A._ führt mit Eingabe vom 6. August 2021 subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegen den Beschluss der Geschäftsleitung des Kantonsrates Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Nach <ref-law> ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide über die Verweigerung der Ermächtigung zur Strafverfolgung von Behördenmitgliedern oder von Bundespersonal. Nach der Rechtsprechung gilt der Ausschlussgrund von <ref-law> nur für die obersten kantonalen Vollziehungs- und Gerichtsbehörden. Da die Oberrichterin zu den obersten kantonalen Behörden zählt, erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als ausgeschlossen. Zulässig ist hingegen die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss <ref-law>. Beim strittigen Beschluss handelt es sich um einen anfechtbaren kantonal letztinstanzlichen Endentscheid. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann jedoch einzig die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, die vom Beschwerdeführer geltend gemacht und begründet werden, wobei hier die erhöhten Anforderungen von <ref-law> an die Begründung gelten (unter Einschluss von Willkür bei der Gesetzesanwendung sowie bei der Sachverhaltsfeststellung; vgl. Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 5.4; je mit Hinweis). Ausserdem muss die Begründung in der Beschwerde selbst enthalten sein, Verweise auf andere Rechtsschriften oder auf die Akten reichen nicht aus (<ref-ruling> E. 1.2.3; <ref-ruling> E. 2).
Der Beschwerdeführer setzt sich in seiner Beschwerde nicht mit der Begründung der Geschäftsleitung des Kantonsrates auseinander, die zur Verweigerung der Ermächtigung führte. Mit seinen Ausführungen vermag er nicht ansatzweise aufzuzeigen, inwiefern diese Begründung bzw. der angefochtene Beschluss selbst verfassungsmässige Rechte verletzen sollte. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
5.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und der Geschäftsleitung des Kantonsrates Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. August 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli