Faits :
A.
Le 22 janvier 2019, A._ a sollicité l'assistance judiciaire pour ouvrir action en divorce. Cette requête a été rejetée le 20 février 2019 par le Vice-président du Tribunal civil du canton de Genève; par décision du 24 mai suivant, le Vice-président de la Cour de justice du canton de Genève a confirmé ce refus.
B.
B.a. Par jugement du 30 août 2019, le Tribunal de première instance du canton de Genève a prononcé le divorce des époux A._ et B._, maintenu l'autorité parentale conjointe sur les enfants, attribué la garde de ceux-ci à la mère et condamné le père au versement d'une contribution à leur entretien, après lui avoir imputé un revenu hypothétique de 15'000 fr. par mois.
B.b. Le 3 octobre 2019, A._ a demandé le bénéfice de l'assistance judiciaire pour appeler de ce jugement.
Statuant le 15 janvier 2020, la Présidente du Tribunal civil du canton de Genève a rejeté la requête; le 11 mars suivant, le Vice-président de la Cour de justice du canton de Genève a rejeté le recours du requérant contre cette décision.
C.
Par écriture (non signée) expédiée le 28 mai 2020, A._ interjette un recours au Tribunal fédéral selon l'" <ref-law> " contre la décision du 11 mars 2020; sur le fond, il conclut à l'octroi de l'assistance judiciaire dans la procédure de divorce.
Des observations n'ont pas été requises.
D.
Par ordonnance présidentielle du 5 juin 2020, la requête du recourant tendant à la prolongation du délai de recours pour remettre des pièces complémentaires a été rejetée; en outre, un délai au 16 juin 2020 lui a été imparti pour remédier au défaut de signature manuscrite.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours a été interjeté en temps utile (<ref-law>) contre une décision incidente pouvant causer un préjudice irréparable (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.1) rendue sur recours par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1 et 2 LTF). Comme l'indique la décision entreprise, la valeur litigieuse atteint 30'000 fr., de sorte que le recours est également recevable de ce chef (<ref-law>). Le recourant, qui a participé à la procédure devant l'autorité précédente et possède un intérêt digne de protection à l'annulation ou la modification de la décision attaquée, a qualité pour recourir (<ref-law>). Enfin, l'intéressé a signé son mémoire dans le délai qui lui a été imparti à cette fin (<ref-law>).
La décision incidente attaquée ayant été prise dans une procédure de divorce (<ref-law>), le recours en matière civile (<ref-ruling> consid. 1.1) - et non le recours en matière pénale, comme l'affirme le recourant en se référant aux " art. 78 al. 2 let. a et 81 LTF " - est ainsi recevable sous l'angle des dispositions précitées.
1.2. Le recours est rédigé d'une manière inutilement prolixe et souvent incompréhensible, avec de nombreuses références à des dispositions de procédure pénale (art. 6 § 3 let. c CEDH; 14 § 3 let. d Pacte ONU II; 32 al. 2 Cst.; 131, 132 et 385 CPP); en outre, il comporte une longue énumération de normes constitutionnelles prétendument violées, mais accompagnée de formules toutes générales ou de larges extraits de la jurisprudence du Tribunal fédéral. Manifestement appellatoire, il est dès lors irrecevable dans cette mesure (<ref-ruling> consid. 1.3.1 et les arrêts cités). En l'espèce, la Cour de céans n'examinera donc que les griefs intelligibles et motivés conformément aux prescriptions légales (art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF; sur ce point: <ref-ruling> consid. 2.4 et les arrêts cités).
2.
2.1. L'autorité précédente a d'abord donné raison au recourant sur trois points: C'est à tort que le premier juge a tenu pour établis - sans autre analyse - les éléments de revenus résultant du jugement de divorce, alors que le recourant a requis l'assistance judiciaire pour la procédure d'appel aux fins de critiquer précisément ces points; ledit magistrat ne pouvait pas non plus imputer à l'intéressé un " revenu hypothétique ", car il ne s'agit pas là d'un montant effectivement perçu; enfin, ce n'est pas lui-même, mais un tiers, qui a pris l'engagement de prester une sûreté réelle ou personnelle de 323'359 fr. 75, en garantie de la promesse de vente concernant une villa.
Le magistrat précédent a néanmoins confirmé l'appréciation du juge de première instance. Il appartenait au recourant de rendre son indigence vraisemblable au moment du dépôt de sa requête ( i.e. octobre 2019), même si cet état avait été admis en 2016 lors d'une procédure pénale ouverte à Genève et en août 2018 lors d'une procédure de mainlevée dans le canton de Vaud; à cette fin, la production d'arriérés de primes d'assurance-maladie et de pensions alimentaires ainsi qu'un extrait du registre des poursuites ne suffisent pas, car ces pièces renseignent sur les dettes, et non les revenus. A cet égard, malgré les interpellations du Greffe de l'Assistance judiciaire des 6 novembre et 4 décembre 2019, le recourant n'a pas fourni de renseignements au sujet de ses moyens de subsistance. En se bornant à affirmer d'une manière toute générale qu'il bénéficiait de l'aide d'un tiers, il n'a pas précisé quand, pour quels montants, ni à quel (s) titre (s), il en avait bénéficié, ni produit la moindre pièce sur ce point, alors qu'il a déclaré dans sa requête d'assistance judiciaire être redevable d'une somme de 1'550'000 fr. à titre de prêt; en outre, il a reconnu avoir perçu en espèces 100'000 fr. à la suite de la vente du capital social de sa société à responsabilité limitée et n'a pas démontré que ladite somme aurait été dépensée. Enfin, il n'a pas expliqué avec quels moyens il assumait son entretien courant, d'autant qu'il n'émarge pas à l'assistance publique et n'a pas requis de subsides pour ses primes d'assurance-maladie. Cela étant, il faut admettre que l'intéressé n'a pas rendu son indigence vraisemblable, ce qui justifie le rejet de sa requête.
2.2. Le juge précédent a correctement rappelé les principes juridiques applicables à l'examen de l'indigence (<ref-law>); on peut se borner à y renvoyer (<ref-law>).
2.3. Le recourant se plaint d'une violation de son droit d'être entendu; il reproche à l'autorité précédente d'avoir motivé a posteriori sa décision, car l'argumentation que celle-ci a substituée à celle du premier juge lui a " supprimé une voie de recours ", dès lors qu'il a été empêché de se déterminer à ce sujet.
Ce grief est infondé. La juridiction de recours applique le droit d'office et peut substituer ses motifs à ceux du premier juge (HOHL, Procédure civile, vol. II, 2010, n° 2267). Certes, elle doit respecter le droit d'être entendu lorsqu'elle envisage de se fonder sur un argument non évoqué devant le juge précédent, et dont aucune des parties ne s'est prévalu ni ne pouvait supputer la pertinence (<ref-ruling> consid. 3.1, avec les arrêts cités). Cette hypothèse n'est cependant pas réalisée dans le cas présent, où la seule question litigieuse dans la procédure cantonale a toujours été l'indigence - non démontrée - du recourant, qui ne saurait ainsi prétendre avoir été " surpris " par les motifs du juge cantonal. Au demeurant, la substitution de motifs a été effectuée en faveur - et non pas au détriment - de l'intéressé, le magistrat précédent étant parvenu au même résultat que le premier juge quant à la violation du devoir de collaborer (<ref-law>; cf. sur cette incombance: WUFFLI/FUHRER, Handbuch unentgeltliche Rechtspflege im Zivilprozess, 2019, nos 788 ss et les nombreuses citations).
2.4. La décision attaquée ne prête pas le flanc à la critique. Comme l'a rappelé à maintes reprises le Tribunal fédéral, il appartient à la partie qui sollicite l'assistance judiciaire d'exposer de " manière complète " ses revenus, sa situation de fortune et ses charges (par exemple: <ref-ruling> consid. 5.1; arrêt 5A_565/2011 du 14 février 2012 consid. 3.3 et les arrêts cités, in : RtiD 2012 II 865). Or, le recourant affirme qu'il ne dispose " d'aucune ressource financière ", respectivement qu'il est " sans la moindre ressource ", mais il ne critique pas le motif du juge cantonal pris de l'absence de toute précision sur ses moyens de subsistance et la couverture de ses charges courantes; il ne réfute pas davantage le motif relatif à la vente de sa société et à l'encaissement de son produit ( i.e. 100'000 fr.). Le moyen déduit d'une violation de l'<ref-law> est dès lors mal fondé, dans la mesure où il est recevable.
3.
Manifestement infondé dans la mesure où il est recevable, le recours doit être rejeté (<ref-law>). Les conclusions du recourant étaient dénuées de chances de succès, ce qui entraîne le rejet de sa requête d'assistance judiciaire (<ref-law>) et sa condamnation aux frais de la procédure fédérale (<ref-law>). Le présent arrêt rend sans objet la requête d'effet suspensif.
Le recourant - dont la façon de procéder lui a déjà valu des amendes disciplinaires (causes 5A_997/2019 et 5A_507-508/2019) - est avisé que d'ultérieures écritures dans la présente affaire, en particulier des demandes abusives de révision ( cf. <ref-law>), seront classées sans suite.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, à la Présidente du Tribunal civil du canton de Genève et au Vice-président de la Cour de justice du canton de Genève (Assistance judiciaire).
Lausanne, le 5 août 2020
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant : Le Greffier :
Escher Braconi