Faits :
A.
A.a. A.A._, née le [...] 1971 à U._, et B.A._, né le [...] 1957 à T._, tous deux de nationalité suisse, ont contracté mariage le 18 février 1997 à Y._. Par acte notarié conclu le 1er décembre 1997 à X._, les époux ont soumis leur union au régime de la séparation de biens.
Le couple a deux enfants : C._, né le [...] 1999, et D._, née le [...] 2002.
A.b. Les époux ont connu d'importantes difficultés conjugales depuis 2012, époque à laquelle A.A._ a été affectée par la disparition violente de sa mère, puis par de graves problèmes de santé de son père.
A la suite d'une violente dispute entre époux en septembre 2014, A.A._ a été admise pendant trois jours dans un centre psychiatrique des Hôpitaux Universitaires Genevois. Ces circonstances l'ont décidée à quitter le domicile conjugal sans intention d'y revenir et à couper temporairement tout contact avec ses enfants. Ceux-ci se sont ensuite opposés à rencontrer leur mère lorsque celle-ci a manifesté l'intention de les revoir.
A.c. La séparation des parties a dans un premier temps été réglée par une décision de mesures protectrices de l'union conjugale rendue par le Tribunal de première instance le 16 avril 2015, décision partiellement annulée et réformée par arrêt de la Cour de justice du 8 avril 2016. Il ressort notamment de cette procédure que A.A._ était astreinte à contribuer à l'entretien de chacun de ses enfants à hauteur de 150 fr. par mois, la garde de ceux-ci étant confiée à leur père.
A.d. La situation financière de l'époux se présente ainsi :
A.d.a. Gérant de profession, B.A._ a exploité durant plusieurs années à X._ un restaurant à l'enseigne E._, au travers de la société F._ SA dont il est l'unique actionnaire. Les revenus qu'il tirait de cette activité ne sont pas connus. Dans le cadre de la procédure de mesures protectrices de l'union conjugale (supra let. A.c), il a été retenu que B.A._ n'avait pas tiré de revenus de son restaurant depuis 2009.
Atteint dans sa santé, B.A._ a indiqué avoir vendu son fonds de commerce après la séparation des parties. Il n'a produit aucun document relatif à cette transaction, bien qu'y ayant été invité.
Depuis le 3 février 2015, B.A._ est aidé financièrement par l'Hospice général, à hauteur de 2'347 fr. 80 par mois.
Des certificats médicaux indiquent qu'il est en incapacité de travail pour cause de maladie depuis le mois de février 2016 et qu'il était encore incapable de travailler à 100 % au mois de juin 2018.
A.d.b. Le montant de ses charges mensuelles s'élève à 3'405 fr. (montant arrondi).
B.A._ a par ailleurs fait l'objet de différentes poursuites. Au 4 décembre 2018, le total des actes de défaut de biens délivrés contre lui s'élevait à 25'868 fr. 70 et des poursuites étaient encore en cours pour un montant total de 7'154 fr. 05.
A.d.c. B.A._ était propriétaire de différents biens immobiliers (une maison en Haute-Savoie et un appartement, voire également une ferme, à T._). Il prétend néanmoins les avoirs cédé pour régler une dette (à savoir: la maison en France) et pour subvenir à ses besoins (à savoir: l'appartement), voire n'en avoir jamais été propriétaire (à savoir: la ferme). Ses allégations sont contestées par A.A._.
A.d.d. En raison de son statut d'indépendant, B.A._ n'a jamais été affilié à une institution de prévoyance professionnelle durant le mariage. Il ne s'est constitué aucune prévoyance individuelle.
A.e. La situation financière de A.A._ est la suivante :
A.e.a. Titulaire d'un diplôme de chimie et de technologie des matériaux délivré le 7 juin 1994 par l'Université de Z._, elle n'a cependant jamais travaillé dans ce domaine.
A.A._ soutient néanmoins avoir travaillé dans le restaurant de son époux de 1996 à 2013, circonstance sur laquelle elle se fonde actuellement pour réclamer le versement d'une indemnité équitable au sens de l'<ref-law>. Cette prétention est cependant contestée.
Dès le 1er juillet 2014, A.A._ a travaillé en tant que caissière vendeuse auprès de G._ SA pour un revenu mensuel net de 3'441 fr. Elle a occupé ce poste jusqu'à la faillite de la société en juillet 2017.
De juillet à décembre 2017, A.A._ a perçu des indemnités de chômage d'un montant mensuel de 3'067 fr., puis des indemnités journalières en cas de maladie de 2'932 fr. 65 en moyenne par mois de janvier à mai 2018. Son incapacité de travail pour cause de maladie s'est étendue jusqu'au 31 janvier 2019 au moins.
Depuis le 1er février 2019, A.A._ est assistée par l'Hospice général, qui lui alloue des prestations d'aide financière à hauteur de 1'498 fr. 50 par mois. Elle a déposé une demande de prestations auprès de l'Office de l'assurance-invalidité le 3 décembre 2018.
A.e.b. Les charges mensuelles de A.A._ se chiffrent à 2'490 fr. (montant arrondi).
Elle soutient en outre devoir s'acquitter chaque mois d'acomptes provisionnels d'impôts (234 fr.), de remboursements de cotisations AVS (102 fr.) et de remboursement de l'assistance juridique (100 fr.).
A.e.c. Au 1er janvier 2017, son compte de prévoyance professionnelle faisait état d'un montant de 6'122 fr. 72.
A.f. Les enfants C._ et D._vivent auprès de leur père. Outre leur entretien de base et une part du loyer de leur père, leurs besoins mensuels ont été arrêtés à 600 fr., respectivement 500 fr., allocations familiales déduites.
B.
B.a. B.A._ a formé une demande unilatérale en divorce le 29 mars 2017, concluant notamment à ce que A.A._ soit astreinte à lui verser un montant de 800 fr. par mois et par enfant à titre de contribution à leur entretien, au partage par moitié des avoirs de prévoyance professionnelle des époux et à ce qu'il soit constaté que leur régime matrimonial était liquidé.
A.A._ a entre autres conclu à ce qu'il lui soit donné acte de son engagement à verser un montant de 150 fr. par mois et par enfant à titre de contribution d'entretien, à ce que B.A._ soit condamné à lui verser 470'000 fr. à titre d'indemnité équitable et à ce qu'il soit dit qu'il n'y avait pas lieu de procéder au partage des avoirs de prévoyance professionnelle des époux.
Seuls sont actuellement encore litigieux le montant de la contribution d'entretien des enfants, le partage de la prévoyance professionnelle ainsi que l'indemnité équitable réclamée par l'épouse.
Par jugement du 8 octobre 2018, le Tribunal a notamment prononcé le divorce des époux; dit que l'entretien convenable de D._ s'élevait à 491 fr. par mois après déduction des allocations familiales; astreint A.A._ à contribuer à l'entretien de D._ à raison de 150 fr. par mois jusqu'à la majorité de l'enfant, voire au-delà en cas d'études ou de formation sérieuses et régulières, et à celui de C._ à hauteur de 200 fr. par mois jusqu'à l'achèvement de ses études ou de sa formation sérieuses et régulières; ordonné le partage par moitié des avoirs de prévoyance professionnelle acquis au cours du mariage; ordonné en conséquence à la Fondation institution supplétive LPP de transférer un montant de 3'061 fr. 36 par le débit du compte de libre passage de A.A._ sur un compte de libre passage à ouvrir par B.A._ et débouté les parties de toutes autres conclusions.
B.b. L'une et l'autre partie ont fait appel du jugement.
Par arrêt du 16 avril 2019, la Cour de justice a notamment réformé la décision entreprise en ce sens que l'entretien mensuel de D._ s'élevait à 500 fr., allocations familiales non comprises, et astreint A.A._ à verser à son fils C._ une contribution d'entretien de 150 fr. par mois. Le jugement a été confirmé pour le surplus.
C.
Agissant le 31 mai 2019 par la voie du recours en matière civile au Tribunal fédéral, A.A._ (ci-après: la recourante) conclut principalement à ce que B.A._ (ci-après: l'intimé) soit contraint de lui verser la somme de 470'000 fr. à titre d'indemnité équitable, à ce qu'il soit dit et jugé qu'il n'y a pas lieu de procéder au partage de ses avoirs de prévoyance professionnelle et à ce qu'elle soit dispensée de verser une quelconque contribution d'entretien à ses enfants; subsidiairement, elle réclame le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants.
La recourante sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Invités à se déterminer, l'intimé conclut au rejet du recours, sous bénéfice de l'assistance judiciaire, tandis que la cour cantonale se réfère aux considérants de son arrêt. La recourante n'a pas fait usage de son droit de réplique.

Considérant en droit :
1.
La décision entreprise est une décision finale (<ref-law>), rendue en matière civile (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance, statuant sur recours (<ref-law>). Dès lors que la question de l'autorité parentale sur l'enfant D._ n'est plus litigieuse, il faut admettre que la cause est de nature exclusivement pécuniaire et que la valeur litigieuse de 30'000 fr. est atteinte (art. 74 al. 1 let. b, 51 al. 1 let. a et 51 al. 4 LTF). La recourante, qui a qualité pour recourir (<ref-law>), a agi à temps (<ref-law>).
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés (<ref-ruling> consid. 2.4 et les références). Le recourant doit par conséquent discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (<ref-ruling> consid. 1.7.1, III 364 consid. 2.4 et la référence). Il doit exister un lien entre la motivation du recours et la décision attaquée; le recourant doit se déterminer par rapport aux considérants de l'arrêt entrepris (<ref-ruling> consid. 2.1; arrêt 5A_256/2015 du 13 août 2015 consid. 1.2). Le Tribunal fédéral ne connaît par ailleurs de la violation de droits fondamentaux que si un tel grief a été expressément invoqué et motivé de façon claire et détaillée par le recourant ("principe d'allégation", <ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.1, III 364 consid. 2.4).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si ceux-ci ont été constatés de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 6.7; <ref-ruling> consid. 2.2 et la référence), doit satisfaire au principe d'allégation susmentionné (<ref-law>; cf. supra consid. 2.1). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (<ref-ruling> consid. 1.3.1 et la référence).
3.
La recourante reproche avant tout à l'autorité cantonale d'avoir nié son droit au versement une indemnité équitable au sens de l'<ref-law>, exigeant à ce titre la somme de 470'000 fr.
3.1. Il convient d'abord de déterminer si la recourante est en droit de réclamer une telle indemnité.
3.1.1.
3.1.1.1. Aux termes de l'<ref-law>, lorsqu'un époux a collaboré à la profession ou à l'entreprise de son conjoint dans une mesure notablement supérieure à ce qu'exige sa contribution à l'entretien de la famille, il a droit à une indemnité équitable.
Cette disposition s'insère dans le cadre des normes générales sur l'entretien de la famille, en vertu desquelles, du fait de leur devoir général d'assistance (<ref-law>), mari et femme contribuent chacun selon ses facultés à l'entretien convenable de la famille (<ref-law>). Selon leur accord, cette contribution peut consister dans l'aide qu'un époux prête à son conjoint dans sa profession ou son entreprise (<ref-law>). Exercée dans ce cadre, l'aide apportée au conjoint ne donne droit à aucune rémunération, sous réserve du droit éventuel à un montant libre à disposition au sens de l'<ref-law>. En revanche, lorsqu'en l'absence de tout contrat de travail (<ref-law>), l'aide fournie par l'un des époux dans l'entreprise de son conjoint dépasse ce que le devoir général d'assistance permet normalement d'exiger de lui, l'équité commande que cette collaboration accrue fasse l'objet d'une compensation pécuniaire au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 6a; arrêt 5A_642/2011 du 14 mars 2012 consid. 4.2.1 et les références).
Seule une collaboration notablement supérieure à ce qu'exige la contribution à l'entretien de la famille donne le droit à une indemnité. A défaut d'accord entre les époux sur la répartition des tâches, la mesure de leur coopération doit s'apprécier selon les circonstances objectives existantes au moment où celle-ci a été apportée, sans égard au fait que l'époux bénéficiaire était ou non conscient que l'aide de son conjoint dépassait les devoirs imposés par le droit matrimonial. Il importe de prendre en compte dans chaque cas la nature et l'ampleur de la collaboration professionnelle et de la mettre en rapport avec les autres prestations fournies comme contribution ordinaire aux charges du mariage (<ref-ruling> consid. 6a; arrêt 5A_642/2011 précité consid. 4.2.1 et les références).
Les éléments à mettre en balance pour qualifier une contribution de "notablement supérieure à ce qu'exige la contribution à l'entretien de la famille " sont en particulier la durée, l'importance et la régularité du travail fourni, ainsi que les autres tâches accomplies par l'époux collaborant. Une collaboration doit notamment être considérée comme notablement supérieure lorsque la participation de l'époux collaborant équivaut quasiment aux services d'un employé salarié (<ref-ruling> consid. 6C; arrêt 5A_642/2011 précité consid. 4.2.1 et les références doctrinales).
3.1.1.2. Le juge statue en équité en se fondant sur les particularités importantes de l'espèce (<ref-law>). La nature et la mesure de la participation de l'un des conjoints à l'activité professionnelle de l'autre ressortit au domaine des faits; savoir si cette collaboration est notablement supérieure aux obligations découlant des devoirs généraux du mariage est en revanche une question de droit, que le Tribunal fédéral revoit librement. Il s'impose toutefois une certaine retenue, compte tenu du pouvoir d'appréciation laissé au juge cantonal en la matière (<ref-ruling> consid. 6a p. 282 s.; arrêt 5A_642/2011 précité consid. 4.2.2 et les références).
3.1.2. La cour cantonale a retenu que les ex-époux étaient séparés de biens et qu'il était établi que, durant la vie commune, la recourante avait dans une certaine mesure participé à l'exploitation du restaurant géré par son mari. L'autorité cantonale a néanmoins considéré que les éléments versés à la procédure ne suffisaient pas à retenir que l'activité exercée par la recourante aurait notablement excédé sa contribution exigible à l'entretien de la famille: les témoignages recueillis en première instance ne permettaient pas de vérifier que l'intéressée aurait alors déployé une activité proche de celle d'un salarié; si un salaire annuel de 24'666 fr. avait certes été déclaré aux autorités pour l'activité déployée entre mai 1998 à 1999, il n'apparaissait pas certain que cette démarche eût témoigné d'une activité effective et qu'elle eût eu d'autre but que de permettre à la recourante de percevoir des allocations maternité, comme le soutenait l'intimé; l'utilisation du terme « administratrice » par l'ex-époux pour qualifier le rôle de la recourante n'était enfin nullement déterminant. En l'absence d'autres éléments, la cour cantonale a considéré que la participation de la recourante à l'exploitation du restaurant géré par l'intimé était relativement modeste et compatible avec une contribution ordinaire à l'entretien de la famille, étant d'ailleurs observé que le restaurant avait constitué la seule source de revenu des époux pendant les premières années du mariage.
3.1.3. L'essentiel de l'argumentation de la recourante s'épuise en de simples généralités: admettant qu'il n'était pas possible d'établir l'exact quotité de son travail au sein du restaurant, la recourante se contente d'affirmer, sans le démontrer, qu'il n'y aurait pourtant " aucun doute " qu'elle avait contribué à améliorer de manière significative la situation économique du ménage, que son travail aurait permis d'économiser un ou plusieurs salariés et de financer différents biens immobiliers à l'étranger. La recourante s'appuie également sur le rôle d'" administratrice " que lui attribuait son ex-époux pour fonder l'importance de son investissement, sans toutefois contester que la référence à ce terme pouvait simplement signifier son accès à la caisse et à la comptabilité de l'établissement. De caractère essentiellement appellatoire, les critiques de la recourante sont en conséquence manifestement insuffisantes à démontrer que la cour cantonale aurait outrepassé le pouvoir d'appréciation qui est le sien dans la détermination de son droit à une indemnité équitable.
3.2. Les conclusions qui précèdent rendent superflu l'examen des critiques que la recourante adresse à l'encontre de la motivation subsidiaire développée par la cour cantonale quant aux bénéfices qu'aurait entraîné sa participation en faveur de l'intimé et aux capacités financières actuelles de celui-ci. Ces questions relèvent en effet de la détermination du montant de l'indemnité, dont le droit vient d'être dénié.
4.
La recourante reproche ensuite à l'autorité cantonale d'avoir ordonné le partage de ses avoirs de prévoyance professionnelle. Elle soutient qu'il convenait d'y renoncer eu égard à la situation financière des parties.
4.1.
4.1.1. L'arrêt entrepris a été rendu le 16 avril 2019, soit après l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2017, de la novelle du 19 juin 2015 portant notamment modification des <ref-law> (RO 2016 2313), en sorte qu'en vertu de l'<ref-law>, le nouveau droit du traitement de la prévoyance professionnelle en cas de divorce s'applique au cas d'espèce (arrêt 5A_153/2019 du 3 septembre 2019 consid. 6.3.1 et la référence).
L'<ref-law> règle les conditions auxquelles le juge ou les époux peuvent déroger au principe du partage par moitié des avoirs de prévoyance professionnelle prévu à l'<ref-law>. Selon l'<ref-law>, le juge attribue moins de la moitié de la prestation de sortie au conjoint créancier ou n'en attribue aucune pour de justes motifs. Tel est en particulier le cas quand le partage par moitié s'avère inéquitable - et non plus manifestement inéquitable, ceci afin de laisser une plus grande marge d'interprétation au juge - en raison de la liquidation du régime matrimonial ou de la situation économique des époux après le divorce (ch. 1) ou des besoins de prévoyance de chacun des époux, compte tenu notamment de leur différence d'âge (ch. 2). Il s'agit néanmoins de préciser qu'une différence entre les situations économiques respectives des conjoints ou dans leur capacité de gain ne suffit pas, tout comme le seul fait que le partage engendre une inégalité entre les époux, voire la maintienne; ce qu'il convient d'éviter est que le partage produise une situation d'iniquité, laquelle ne doit pas nécessairement être manifeste (cf. LEUBA/UDRY, Partage du 2e pilier: premières expériences, in Entretien de l'enfant et prévoyance professionnelle, 9e symposium en droit de la famille 2017, 2018, p. 15; Message du Conseil fédéral du 29 mai 2013 concernant la révision du code civil suisse [Partage de la prévoyance professionnelle en cas de divorce], in FF 2013 p. 4341 ss, p. 4371).
4.1.2. L'autorité cantonale peut renoncer à procéder à des mesures d'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de forger sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient l'amener à modifier son opinion (<ref-ruling> consid. 6.3.1; <ref-ruling> consid. 2.2).
4.2. La cour cantonale a relevé que seule la recourante avait exercé une activité salariée durant le mariage et disposait d'un modeste avoir de prévoyance professionnelle, à savoir 6'123 fr. Son ex-époux, qui avait exploité un restaurant à titre indépendant, ne s'était constitué aucune prévoyance professionnelle facultative. S'il avait certes vendu son commerce après la séparation des parties, tout en se refusant de produire un quelconque document attestant du bénéfice qu'il avait pu en retirer, l'appréciation des circonstances factuelles entourant la situation financière de l'intéressé depuis lors permettait d'écarter que cet éventuel bénéfice pût lui assurer une forme de prévoyance; il fallait bien plutôt en conclure que la vente litigieuse lui avait seulement permis de subvenir à son entretien ainsi qu'à celui de ses enfants. Le même raisonnement s'appliquait aux biens que l'intimé détiendrait à l'étranger, faute de tout élément permettant d'en chiffrer la valeur et de retenir ainsi que sa situation économique serait notablement plus favorable que celle de son ex-épouse. Dans ces conditions, rien ne justifiait de s'écarter du partage par moitié des avoirs de prévoyance professionnelle de l'ex-épouse.
4.3. L'essentiel de l'argumentation de la recourante consiste à reprocher à la cour cantonale d'avoir arbitrairement apprécié la situation financière de son ex-conjoint en ne tirant aucune conséquence de l'absence de toute preuve quant au bénéfice retiré par l'intéressé de la vente de son fonds de commerce, de même que de celles de l'appartement dont il était propriétaire à T._ et de la maison dont il était propriétaire en Haute-Savoie, preuve qui lui incombait pourtant en vertu de son devoir de collaboration et dès lors qu'il avait été invité par le premier juge à en faire la démonstration. Elle en conclut que son ex-époux aurait toujours occulté ses biens aux autorités suisses et vivrait de l'aide de l'État et du contribuable grâce à cette astuce malhonnête. Ces affirmations ne suffisent pas cependant à faire apparaître arbitraire l'appréciation anticipée des preuves à laquelle a procédé la cour cantonale: renonçant à instruire la question des éventuels gains obtenus suite aux réalisations précitées, la cour cantonale a jugé que le défaut de preuve de ceux-ci n'était pas déterminant au regard de la situation financière précaire de l'intimé et de ses enfants, situation que l'intimée se garde pourtant de contester.
5.
La recourante reproche enfin à la cour cantonale de l'avoir astreint au versement d'une contribution d'entretien en faveur de ses enfants en lui imputant un revenu hypothétique.
5.1. Lorsque le juge entend tenir compte d'un revenu hypothétique, il doit examiner successivement deux conditions. Tout d'abord, il doit examiner s'il peut être raisonnablement exigé de la personne concernée qu'elle exerce une activité lucrative ou augmente celle-ci, eu égard, notamment, à sa formation, à son âge et à son état de santé; il s'agit d'une question de droit. Ensuite, il doit examiner si la personne a la possibilité effective d'exercer l'activité ainsi déterminée et quel revenu elle peut en obtenir, compte tenu des circonstances subjectives susmentionnées, ainsi que du marché du travail; il s'agit là d'une question de fait (<ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 4.2.2.2). Pour arrêter le montant du salaire, le juge peut éventuellement se baser sur l'enquête suisse sur la structure des salaires, réalisée par l'Office fédéral de la statistique, ou sur d'autres sources comme les conventions collectives de travail (<ref-ruling> consid. 3.2). La perception d'une rente invalidité peut également être retenue sous l'angle d'un revenu hypothétique; il faut cependant que le droit à l'obtenir soit établi ou, à tout le moins hautement vraisemblable (arrêts 5A_51/2007 du 24 octobre 2007 consid. 4.3.2; 5A_757/2013 du 14 juillet 2014 consid. 3.2; 5A_836/2015 du 8 avril 2016 consid. 5.2).
5.2. La cour cantonale a retenu que la recourante, âgée de 48 ans, dépendait actuellement de l'aide sociale et était incapable de travailler pour cause de maladie. L'issue de sa demande de prestations auprès de l'assurance-invalidité était inconnue à ce jour. Reconnaissant qu'elle ne pouvait occuper un poste qualifié dans le domaine de ses études, où elle ne disposait d'aucune expérience, l'autorité cantonale a néanmoins jugé que, si l'intéressée devait recouvrer sa capacité de travailler, elle pourrait retrouver un emploi de caissière ou un poste analogue non qualifié lui procurant un salaire de 3'000 fr. nets par mois environ; si elle devait être reconnue totalement ou partiellement invalide, des rentes d'invalidité pour elle et ses enfants devraient remplacer en tout ou partie ce salaire, qui correspondait au montant des indemnités journalières qu'elle avait précédemment reçues suite à la perte de son emploi en 2017. Compte tenu de ses charges, la recourante pouvait contribuer à l'entretien de ses deux enfants à hauteur de 150 fr. par mois chacun, montant qui correspondait d'ailleurs à celui qu'elle proposait devant le juge de première instance.
5.3. La recourante ne cerne pas réellement la motivation cantonale, si ce n'est pour souligner qu'elle est actuellement incapable de travailler et ce, indépendamment de sa volonté; elle ne serait dès lors pas en mesure de percevoir le salaire arrêté par la cour cantonale. S'étonnant que la recourante n'ait pas entrepris antérieurement des démarches en vue de la perception d'une rente AI, l'intimé estime pour sa part que c'est à raison que la cour cantonale lui a imputé un salaire hypothétique, lequel serait cas échéant remplacé par une rente invalidité.
5.4.
5.4.1. L'on ignore ici la nature de l'atteinte à la santé dont souffre la recourante, celle-là ne ressortant pas des faits établis par la cour cantonale. Il apparaît néanmoins que l'intéressée est incapable de travailler pour cause de maladie depuis le mois de janvier 2018 (cf. let. A.e.a supra) et qu'elle a déposé fin 2018 une demande de rente AI. Ces circonstances permettent de déduire que son atteinte à la santé n'est pas de nature passagère, étant précisé que toute incapacité de travail, même médicalement attestée, ne donne pas encore droit à une rente d'assurance invalidité.
Pour imputer un revenu hypothétique à la recourante, la cour cantonale s'est ici fondée sur deux alternatives: d'une part, l'éventuelle amélioration de son état de santé, circonstance lui permettant d'occuper un poste non qualifié et de lui imputer un revenu mensuel de 3'000 fr. par mois; d'autre part, l'obtention d'une rente AI, laquelle constituerait un revenu permettant à l'intéressée d'assurer le versement d'une contribution d'entretien à ses enfants. Ces deux éventualités ne trouvent cependant pas d'appui dans les faits tels qu'ils ressortent de l'arrêt entrepris: aucun élément factuel ne permet en effet de retenir le caractère prévisible de l'obtention une rente AI ou l'amélioration de l'état de santé de la recourante dans un futur proche; il est en revanche établi que celle-ci est incapable de travailler, à tout le moins depuis le mois de janvier 2018. Dans ces conditions, il n'était pas justifié de lui imputer un revenu hypothétique de 3'000 fr. par mois.
5.4.2. Dès lors que le montant que la recourante perçoit de l'Hospice général s'élève à 1'498 fr. 50 par mois et que ses charges se chiffrent mensuellement à plus de 2'000 fr., il faut conclure que celle-ci ne peut actuellement manifestement pas contribuer à l'entretien de ses enfants sans entamer son minimum vital, lequel nécessite d'être préservé (<ref-ruling> consid. 41; <ref-ruling> consid. 4.3 et les références).
6.
En conclusion, le recours est partiellement admis dans la mesure où il est recevable et l'arrêt attaqué réformé au sens des considérants. La cause sera renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure cantonale (<ref-law>). Compte tenu de l'issue du recours, les frais judiciaires sont mis pour 2/3 fr. à la charge de la recourante et pour 1/3 fr. à la charge de l'intimé (<ref-law>). Les demandes d'assistance judiciaire respectives des parties sont admises, compte tenu de leurs ressources restreintes et du fait que leurs conclusions n'étaient pas toutes d'emblée vouées à l'échec (<ref-law>). Les frais judiciaires seront donc provisoirement supportés par la Caisse du Tribunal fédéral (<ref-law>). En principe, l'octroi de l'assistance judiciaire ne dispense pas la partie qui en bénéficie de verser des dépens à celle qui l'emporte (<ref-ruling> consid. 2c, avec la jurisprudence citée). En l'espèce, vu l'indigence des deux parties, on ne saurait toutefois exiger de l'intimé, qui a obtenu gain de cause dans une plus grande proportion que la recourante, qu'il recherche préalablement (en vain) la recourante avant de s'adresser à la Caisse du Tribunal de céans, de sorte qu'il est justifié de prévoir d'emblée la rétribution des avocats des parties. Celles-ci sont toutefois rendues attentives au fait qu'elles devront rembourser la Caisse du Tribunal fédéral, si elles retrouvent ultérieurement une situation financière leur permettant de le faire (<ref-law>). Il appartiendra à l'autorité cantonale de statuer à nouveau sur les frais et dépens de la procédure cantonale (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis et l'arrêt cantonal réformé en ce sens qu'aucune contribution d'entretien en faveur des enfants n'est mise à la charge de la recourante. Pour le surplus, le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire de la recourante est admise et Me Liza Sant'Ana Lima lui est désignée comme avocate d'office.
3.
La requête d'assistance judiciaire de l'intimé est admise et Me Thomas Barth lui est désigné comme avocat d'office.
4.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis pour 1'000 fr. à la charge de la recourante et pour 500 fr. à la charge de l'intimé; ils sont provisoirement supportés par la Caisse du Tribunal fédéral.
5.
La Caisse du Tribunal fédéral versera à l'avocate d'office de la recourante une indemnité de 1'500 fr. à titre d'honoraires.
6.
La Caisse du Tribunal fédéral versera à l'avocat d'office de l'intimé une indemnité de 1'500 fr. à titre d'honoraires.
7.
La cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure cantonale.
8.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre civile.
Lausanne, le 23 juin 2020
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : de Poret Bortolaso