Ritenuto in fatto e considerando in diritto:
1.
1.1. Con petizione 10 marzo 2020 A._ ha chiesto, segnatamente, di condannare la Società svizzera di radiotelevisione, succursale RSI Radiotelevisione svizzera di lingua italiana, a pagarle la somma di fr. 162'000.-- (oltre accessori) a titolo di risarcimento dei danni risultanti dalla messa in onda di un servizio che la riguardava.
Mediante decisione 30 giugno 2020 il Pretore del Distretto di Lugano ha respinto l'istanza di gratuito patrocinio di A._ per assenza di probabilità di esito favorevole della causa e, in accoglimento di un'istanza della controparte, ha ordinato a A._ di prestare una cauzione per spese ripetibili di fr. 9'700.--.
1.2. Con sentenza 8 gennaio 2021 la III Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino ha respinto il reclamo presentato da A._ (precisando che la capacità di essere parte compete a quest'ultima e non alla ditta individuale di cui ella è titolare) sia nella misura in cui era rivolto contro la decisione di diniego del gratuito patrocinio sia nella misura in cui era rivolto contro la decisione di prestazione di una cauzione.
Secondo la Corte cantonale è a ragione che il Pretore ha ritenuto, sulla base di un esame sommario operato in funzione delle circostanze date al momento in cui la richiesta di gratuito patrocinio era stata presentata, la causa sprovvista di probabilità di esito favorevole (v. <ref-law> [RS 272]) : risultano infatti insufficienti sia le allegazioni della petizione (atteso che A._ non ha sostanziato né le poste di danno né il rapporto di causalità naturale e adeguato tra il preteso atto illecito e il danno, e nemmeno la colpa e l'illiceità dell'agire della controparte) sia le relative prove (dato che la documentazione prodotta da A._ sulla sua situazione economica nulla dimostra in merito all'entità del preteso danno patrimoniale).
L'autorità cantonale ha inoltre confermato che i presupposti per ordinare la prestazione di una cauzione erano adempiuti (v. <ref-law>) : la stessa A._ ha affermato di essere priva di mezzi economici ed ella non ha contestato l'argomento pretorile secondo cui è ancora debitrice dell'importo di fr. 2'800.-- assegnato alla controparte a titolo di ripetibili in una precedente sentenza cresciuta in giudicato.
La Corte cantonale ha infine respinto la richiesta di gratuito patrocinio di A._ per la procedura di reclamo.
2.
Con ricorso 17 febbraio 2021 A._ ha impugnato tale sentenza cantonale dinanzi al Tribunale federale, chiedendo, previo conferimento dell'effetto sospensivo al rimedio, di riformarla nel senso di essere posta al beneficio del gratuito patrocinio (per la procedura di prima istanza e, perlomeno implicitamente, per quella di seconda istanza) e di essere esonerata dal pagamento di una cauzione. La ricorrente ha anche chiesto l'assistenza giudiziaria per la sede federale (con la designazione di un patrocinatore d'ufficio).
Non sono state chieste determinazioni, ma è stato richiamato l'incarto cantonale.
3.
3.1. L'atto ricorsuale al Tribunale federale deve contenere i motivi (<ref-law>). Nei motivi il ricorrente deve spiegare in modo conciso, confrontandosi con i considerandi della sentenza impugnata (<ref-ruling> consid. 1.2.2; <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 2.1), perché quest'ultima leda il diritto (<ref-law>). Per le violazioni di diritti fondamentali e di disposizioni di diritto cantonale e intercantonale le esigenze di motivazione sono più severe: il ricorrente deve indicare i diritti ritenuti lesi e spiegare, con un'argomentazione puntuale e precisa attinente alla sentenza impugnata, in cosa consista la violazione (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2.2; <ref-ruling> consid. 2.2).
Il ricorso deve trarre spunto dalla motivazione della decisione impugnata: il ricorrente non può limitarsi a riproporre i punti di vista già difesi nella procedura cantonale, bensì deve sviluppare la propria critica partendo dai considerandi dell'autorità precedente. Il rimando ad altri allegati o agli atti non è sufficiente (<ref-ruling> consid. 2). Inammissibile è pure riproporre parola per parola la medesima motivazione sottoposta all'autorità inferiore (DTF <ref-ruling> consid. 2.3).
3.2. La ricorrente lamenta, in particolare, un accertamento arbitrario dei fatti e la violazione degli art. 55, 117, 118, 221 e 229 CPC e art. 5, 6, 7, 8, 9, 29, 29a, 30 e 49 Cost. In gran parte del suo lungo ricorso (65 pagine), ella si limita tuttavia a inammissibilmente riprodurre alla lettera la motivazione già contenuta nel reclamo (fatta eccezione per qualche adattamento redazionale e la soppressione di alcune frasi) oppure a discutere questioni estranee al presente procedimento. La ricorrente, d'altronde, non si confronta seriamente con gli argomenti sviluppati nella sentenza impugnata (v. supra consid. 1.2) nemmeno nel resto del suo gravame: ella si limita infatti a richiamare la giurisprudenza di questo Tribunale e ad affermare in modo generico e apodittico di essere sprovvista dei mezzi necessari e di avere presentato con la petizione i fatti e le prove a sostegno della sua pretesa risarcitoria (o di potere comunque presentarli anche più tardi in corso di procedura), e di avere così diritto all'esenzione dagli anticipi, dalle cauzioni e dalle spese processuali e alla designazione di un patrocinatore d'ufficio (v. art. 117 e 118 cpv. 1 lett. a-c CPC). In tali condizioni, il rimedio non soddisfa le esigenze degli art. 42 cpv. 2 e 106 cpv. 2 LTF.
4.
Da quanto precede risulta che il ricorso, manifestamente non motivato in modo sufficiente, può essere deciso nella procedura semplificata dell'<ref-law>. Con l'evasione del ricorso, l'istanza di concedere effetto sospensivo allo stesso diventa priva di oggetto.
La domanda di assistenza giudiziaria per la procedura federale (con la designazione di un patrocinatore d'ufficio) va respinta, indipendentemente dalla pretesa indigenza della ricorrente, facendo difetto il requisito delle possibilità di esito favorevole dell'impugnativa (art. 64 cpv. 1 e 3 LTF). Le spese giudiziarie sono pertanto poste a suo carico (<ref-law>). Non si giustifica assegnare spese ripetibili (<ref-law>).

Per questi motivi, la Giudice presidente pronuncia:
1.
Il ricorso è inammissibile.
2.
La domanda di assistenza giudiziaria della ricorrente è respinta.
3.
Le spese giudiziarie di fr. 500.-- sono poste a carico della ricorrente.
4.
Comunicazione alle parti e alla III Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.