Erwägungen:
1.
Der Stadtrat Aarau legte vom 3. März bis 3. April 2017 das Baugesuch der Gesellschaft B._ für den Umbau und die Erneuerung mitsamt dem neuen Treppenhauspavillon beim Parkhaus Kasinopark öffentlich auf. Dagegen erhob u.a. A._ Einwendungen. Der Stadtrat Aarau erteilte am 21. August 2017 die Baubewilligung und trat auf die Einwendungen von A._ nicht ein. Eine dagegen von A._ erhobene Verwaltungsbeschwerde wies das Departement Bau, Verkehr und Umwelt des Kantons Aargau mit Entscheid vom 31. Oktober 2017 ab. A._ erhob am 1. Dezember 2017 Verwaltungsgerichtsbeschwerde gegen den Departementsentscheid. Mit Eingabe vom 6. Dezember 2017 ersuchte die Gesellschaft B._ um Erteilung der vorzeitigen Baufreigabe nach § 65 Abs. 2 BauG. Das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau wies mit Teilentscheid vom 13. Dezember 2017 die Beschwerde ab, soweit damit beantragt wird, "die Baubewilligung sei an den Stadtrat, eventualiter an den Regierungsrat zurückzuweisen". Über die weiteren Anträge (unentgeltliche Rechtspflege betreffend verwaltungsgerichtliche Verfahrenskosten, Höhe der vorinstanzlichen Verfahrenskosten) werde zur gegebener Zeit separat entschieden. Zur Begründung führte das Verwaltungsgericht zusammenfassend aus, dass die Beschwerde in der Hauptsache offenkundig unbegründet und ohne Einholung von Beschwerdeantworten in einem Teilentscheid abzuweisen sei. Anders als bei der beantragten Rückweisung der Baubewilligung erweise sich die Beschwerde im Kostenpunkt nicht als offensichtlich unzulässig oder unbegründet und sei den Parteien zur allfälligen Beschwerdeantwort zuzustellen. Mit dem Teilentscheid werde das Gesuch um vorzeitige Baufreigabe hinfällig. Es genüge somit, dem Beschwerdeführer das Gesuch zusammen mit dem Teilentscheid zur Kenntnisnahme zuzustellen.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 1. Februar 2018 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Teilentscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 13. Dezember 2017. Er macht einzig eine Verletzung des Replikrechts (<ref-law>) geltend, da ihm das Gesuch um vorzeitige Baufreigabe nur zur Kenntnisnahme und nicht zur Stellungnahme zugestellt worden ist. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
Die Gesellschaft B._ ersuchte mit Eingabe vom 6. Februar 2018 - wie im verwaltungsgerichtlichen Beschwerdeverfahren - um vorzeitige Baufreigabe bzw. um Verweigerung der aufschiebenden Wirkung. Das Bundesgericht gab dem Beschwerdeführer mit Verfügung vom 7. Februar 2018 Gelegenheit, sich hierzu bis zum 19. Februar 2018 zu äussern. Fristgerecht nahm der Beschwerdeführer dazu mit Eingabe vom 19. Februar 2018 Stellung.
3.
Eine Beschwerde an das Bundesgericht ist zu begründen (<ref-law>). Bei Verfassungsrügen wie der geltend gemachten Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) besteht eine qualifizierte Rügepflicht. Die Rüge muss in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen).
Das Verwaltungsgericht hat über das Gesuch um vorzeitige Baufreigabe vom 6. Dezember 2017 nicht materiell befunden, sondern das Gesuch aufgrund des gefällten Teilentscheids in der Hauptsache als hinfällig und damit als gegenstandslos erklärt. Weshalb es nun aufgrund des Anspruchs auf rechtliches Gehör gleichwohl verpflichtet gewesen sein sollte, dem Beschwerdeführer hiezu eine Gelegenheit zur Einreichung einer allfälligen Stellungnahme einzuräumen, legt der Beschwerdeführer nicht ansatzweise dar. Die Beschwerde genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
Das Verwaltungsgericht hat über das Gesuch um vorzeitige Baufreigabe vom 6. Dezember 2017 nicht materiell befunden, sondern das Gesuch aufgrund des gefällten Teilentscheids in der Hauptsache als hinfällig und damit als gegenstandslos erklärt. Weshalb es nun aufgrund des Anspruchs auf rechtliches Gehör gleichwohl verpflichtet gewesen sein sollte, dem Beschwerdeführer hiezu eine Gelegenheit zur Einreichung einer allfälligen Stellungnahme einzuräumen, legt der Beschwerdeführer nicht ansatzweise dar. Die Beschwerde genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4. Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege unter Beiordnung eines Rechtsbeistandes nicht zu entsprechen (<ref-law>). Indessen ist davon abzusehen, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben (<ref-law>).
Mit dem vorliegenden Entscheid wird das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Stadtrat Aarau, dem Departement Bau, Verkehr und Umwelt des Kantons Aargau, und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Februar 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli