Sachverhalt:
A.
A._ befindet sich im vorzeitigen Vollzug einer 7 1⁄2-jährigen Freiheitsstrafe wegen sexueller Handlungen mit Kindern, Pornografie, Vergehen gegen das Betäubungsmittelgesetz (BetmG; SR 812.121) durch Abgabe von Betäubungsmitteln an Minderjährige, alles mehrfach begangen, sowie wegen Übertretung des BetmG durch Konsum. Parallel dazu wurde eine ambulante Behandlung nach <ref-law> angeordnet.
Ein Ersuchen um Verlegung in eine offene Vollzugsanstalt wiesen das Amt für Justizvollzug und auf Beschwerde hin das Departement des Innern des Kantons Solothurn (DDI) ab. Gegen den Beschwerdeentscheid vom 24. Januar 2022 erhob A._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und ersuchte für das Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Diesen Antrag wies das Verwaltungsgericht mit Verfügung vom 7. Februar 2022 ab. Es setzte A._ erneut Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses an, dies unter Androhung, dass bei nicht fristgerechter Bezahlung auf das Rechtsmittel nicht eingetreten werde.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen beantragt A._ dem Bundesgericht die Aufhebung der angefochtenen Verfügung. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerdeschrift muss einen Antrag in der Sache enthalten (<ref-law>). Aufhebungsanträge oder Anträge auf Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur neuen Entscheidung allein genügen grundsätzlich nicht. Vorliegend ergibt sich aus der Begründung der Beschwerde, die zur Auslegung von Rechtsbegehren beigezogen werden kann, jedoch zweifelsfrei, dass der Beschwerdeführer die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das vorinstanzliche Verfahren anstrebt. Damit ist den Anforderungen von <ref-law> Genüge getan (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 1.3; Urteil 6B_42/2021 vom 8. Juli 2021 E. 2.1; je mit Hinweisen).
1.2. Bei der angefochtenen Verfügung handelt es sich um einen "anderen Vor- und Zwischenentscheid" im Sinne von <ref-law>. Gegen solche Entscheide ist die Beschwerde an das Bundesgericht nur zulässig, wenn sie einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur bewirken können. Zwischenentscheide, mit denen die unentgeltliche Rechtspflege verweigert wird, haben in der Regel einen solchen nicht wiedergutzumachenden Nachteil zur Folge (<ref-ruling> E. 4 mit Hinweisen). Dies gilt jedenfalls dann, wenn die Verweigerung unter Aufforderung zur Bezahlung eines Kostenvorschusses erfolgt und bei Nichtbezahlung eine gerichtliche Überprüfung der Sache unterbleiben würde (siehe zum Ganzen Urteile 6B_457/2020 vom 20. Juli 2020 E. 1; 6B_818/2019 vom 4. November 2019 E. 1.1; 6B_186/2018 vom 13. März 2018 E. 1). Diese Voraussetzungen sind vorliegend erfüllt, sodass auf die Beschwerde im Grundsatz einzutreten ist.
1.3. Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens sind Zwischenentscheide mit dem in der Hauptsache zulässigen Rechtsmittel anzufechten (<ref-ruling> E. 1.1; Urteile 6B_186/2018 vom 13. März 2018 E. 1; 6B_457/2017 vom 15. Mai 2017 E. 1; je mit Hinweisen). In der Hauptsache geht es um die Nichtgewährung von Vollzugsöffnungen, mithin um den Vollzug von Strafen und Massnahmen, wogegen die Beschwerde in Strafsachen zulässig ist (vgl. <ref-law>).
1.4. Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit sich der Beschwerdeführer zur Sache selbst, zur Rechtmässigkeit der (rechtskräftig angeordneten) ambulanten Massnahme oder zu sonstigen diversen Vorkommnissen im Vollzug äussert, da diese vorliegend nicht Verfahrensgegenstand sind.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer bringt im Wesentlichen vor, er habe im Vollzugsverhalten, im Alltag und in den Gesprächen mit Bezugspersonen Fortschritte erzielt. Er halte sich sehr gut an die bestehenden Regeln und Abläufe im Vollzugsalltag und habe bewiesen, dass er sich den Anordnungen der Behörden unterordnen könne. Seine Sichtweise werde vom Vollzugsbericht der Justizvollzugsanstalt (JVA) B._ bestätigt. Die Hälfte seiner (noch nicht rechtskräftigen) Strafe habe er vor über einem halben Jahr verbüsst und bis zum Zweidrittel-Termin verblieben noch sieben Monate. Ausserdem befinde er sich in einer willkürlich angeordneten ambulanten Massnahme. Angesichts dessen sei der potenzielle Eingriff in seine Rechte stark und die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen. Der Vorinstanz sei - insbesondere unter Berücksichtigung der Haftsituation - Rechtswegbehinderung vorzuwerfen. Ihre Kurzbegründung enthalte ausserdem keine konkreten Feststellungen und Ausführungen zu den Anspruchsvoraussetzungen und Erfolgsaussichten, weshalb sie anzuweisen sei, sich mit all seinen Argumenten, Tatsachen und Lebensumständen auseinanderzusetzen.
2.2. Der angefochtenen Verfügung ist zu entnehmen, dass die Beschwerde nach vorläufiger summarischer Prüfung als aussichtslos beurteilt worden ist. Der Beschwerdeführer erfülle die Voraussetzungen für Vollzugslockerungen nicht. Es bestehe ein hohes Delinquenzrisiko für schwerwiegende Sexualdelikte. Der Beschwerdeführer werde als dissozial, dominant und kaltblütig eingestuft. Tiefgründige Auseinandersetzungen mit den Delikten hätten bisher nicht stattgefunden.
2.3.
2.3.1. Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Gemäss § 76 Abs. 1 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes des Kantons Solothurn vom 15. November 1970 (VRG/SO; BGS 124.11) kann eine Partei, die nicht über die erforderlichen Mittel für die Prozessführung verfügt, die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege verlangen, wenn der Prozess nicht als aussichtslos oder mutwillig erscheint. Wenn dies zur Wahrung der Rechte notwendig ist, kann sie die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands verlangen. Der Wortlaut der kantonalen Bestimmung ist, soweit vorliegend interessierend, mit demjenigen der Bundesverfassung gleichlautend. Der Beschwerdeführer macht denn auch nicht geltend, dass ihm das kantonale Recht weitergehende Ansprüche einräumt als die in <ref-law> verankerte Minimalgarantie.
2.3.2. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sind Begehren als aussichtslos anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 9.1; je mit Hinweisen; Urteil 6B_186/2018 vom 13. März 2018 E. 2.3.2). Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich die Gewinnchancen und die Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entscheiden würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Wie es sich damit verhält, prüft das Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht mit freier Kognition. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich nach den Verhältnissen zur Zeit, in denen das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt wird, namentlich aufgrund der bis dahin vorliegenden Akten (BGE <ref-ruling> E. 9.1 mit Hinweisen; Urteil 6B_457/2017 vom 15. Mai 2017 E. 2.3).
2.4. Die Vorinstanz begründet die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege mit der Aussichtslosigkeit der Beschwerde, wobei sie sich in ihrem Entscheid mit einer "Kurzbegründung" begnügt. Der Beschwerdeführer erblickt darin sinngemäss eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Dieser Einwand geht fehl: Die aus dem verfassungsmässigen Anspruch auf rechtliches Gehör fliessende Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen, verlangt nicht, dass diese sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr genügt es, wenn der Entscheid gegebenenfalls sachgerecht angefochten werden kann. Die Begründung muss kurz die wesentlichen Überlegungen nennen, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die es seinen Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 2.2.7; <ref-ruling> E. 5.2; <ref-ruling> E. 4.3.2; <ref-ruling> E. 1.2.1; je mit Hinweisen). Auch wenn sie knapp gehalten ist, genügt die vorinstanzliche Entscheidbegründung diesen Anforderungen. Sie nennt kurz die wesentlichen Gründe, aus denen der Beschwerdeführer nach Ansicht der Vorinstanz die Voraussetzungen für die begehrten Vollzugslockerungen nicht erfüllt. Es ist mit hinreichender Deutlichkeit klar, weshalb die Vorinstanz das Rechtsmittel als aussichtslos erachtet.
Anzumerken bleibt, dass die Vorinstanz den Entscheid in der Sache im Grunde genommen bereits vorwegnimmt. Insofern ist nicht erkennbar, weshalb sie nicht sogleich in der Sache entschieden hat (vgl. Urteile 6B_186/2018 vom 13. März 2018 E. 2.4; 6B_457/2017 vom 15. Mai 2017 E. 2.4). Da der Beschwerdeführer dies nicht beanstandet, ist darauf jedoch nicht weiter einzugehen.
2.5. Die Schlussfolgerung der Vorinstanz ist auch inhaltlich nicht zu beanstanden. Gemäss <ref-law> wird der Gefangene in eine geschlossene Strafanstalt oder in eine geschlossene Abteilung einer offenen Strafanstalt eingewiesen, wenn die Gefahr besteht, dass er flieht, oder zu erwarten ist, dass er weitere Straftaten begeht. Die Vorinstanz erachtet das zweitgenannte Kriterium als erfüllt; beim Beschwerdeführer bestehe ein hohes Risiko für schwere Sexualdelikte. Hierbei handelt es sich um eine Sachverhaltsfeststellung, die das Bundesgericht nur auf Willkür überprüft (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 1 BGG). Willkür im Sinne von <ref-law> liegt vor, wenn die vorinstanzliche Beweiswürdigung schlechterdings unhaltbar ist, d.h. wenn die Behörde in ihrem Entscheid von Tatsachen ausgeht, die mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen oder auf einem offenkundigen Fehler beruhen (<ref-ruling> E. 4.1.2; <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.3.1; je mit Hinweisen).
Mit dem Verweis auf seine angeblichen Fortschritte im Vollzugsalltag vermag der Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen, dass sich sein Rückfallrisiko entgegen den vorinstanzlichen Feststellungen auf ein vertretbares Mass gesenkt hätte. Auch der vergleichsweise schwere Eingriff in seine Freiheitsrechte, den der geschlossene Vollzug mit sich bringt, vermag für sich allein die Voraussetzungen für die Gewährung unentgeltlicher Rechtspflege nicht zu erfüllen. Soweit die Beschwerde den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG, die insbesondere eine Auseinandersetzung mit den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz voraussetzen (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2), überhaupt zu genügen vermag, erweist sie sich nach dem Gesagten als unbegründet.
3.
Demnach ist die Beschwerde im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen, soweit auf sie einzutreten ist. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird in Anwendung von <ref-law> ebenfalls abgewiesen, weil die Rechtsbegehren von Vornherein aussichtslos erschienen. Dem Beschwerdeführer werden angesichts seiner finanziellen Lage reduzierte Gerichtskosten auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. März 2022
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Jacquemoud-Rossari
Die Gerichtsschreiberin: Lustenberger