Sachverhalt:
A.
A.a. Am 19. September 1991 erteilte der Gesundheitsrat des Kantons St. Gallen A._ zunächst eine örtlich und zeitlich befristete sowie am 19. September 1996 eine für den ganzen Kanton gültige, unbefristete Ausnahmebewilligung zur selbstständigen Berufsausübung als Zahnarzt. Am 31. Januar 2012 eröffnete das Gesundheitsdepartement des Kantons St. Gallen ein Disziplinarverfahren gegen A._. In der Folge wurde ihm die Berufsausübungsbewilligung entzogen. Nach einem für ihn günstigen Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 24. August 2017 erteilte das Gesundheitsdepartement A._ am 6. November 2017 wieder die Berufsausübungsbewilligung.
Während der Hängigkeit des Disziplinarverfahrens erteilten der damalige Generalsekretär des Gesundheitsdepartements des Kantons St. Gallen, B._, und der damalige Leiter des Rechtsdienstes des Gesundheitsdepartements, C._, im Juni/Juli sowie im November 2012 dem Medienunternehmen Obersee Nachrichten AG Auskünfte über A._. B._ und C._ traten in der Folge altersbedingt in den Ruhestand. Am 1. Dezember 2015 erhob A._ bei der Anklagekammer des Kantons St. Gallen Strafanzeige gegen die beiden früheren Kantonsangestellten wegen mutmasslicher Verletzung des Amtsgeheimnisses.
A.b. Am 21. Dezember 2015 ersuchte der Rechtsvertreter von C._ im Ermächtigungs- und Strafverfahren das Gesundheitsdepartement um Kostengutsprache für die Anwalts- und Prozesskosten sowie um Einsicht in sämtliche Akten der Verfahren betreffend A._, soweit diese für die Wahrung der Rechte im hängigen Strafverfahren vor der Anklagekammer erforderlich seien.
Am 7. Januar 2016 nahm C._ in den Räumen des Gesundheitsdepartements Einsicht in die Akten, liess einige Kopien daraus anfertigen und leitete diese seinem Rechtsvertreter weiter. In einer E-Mail vom 11. Januar 2016 stellte das Gesundheitsdepartement die E-Mail-Korrespondenz zwischen C._ und den Obersee Nachrichten AG vom November 2012 zusammen. Mit E-Mail vom 19. Januar 2016 ersuchte der Rechtsvertreter von C._ das Gesundheitsdepartement bzw. den inzwischen neuen Leiter des departementalen Rechtsdienstes, D._, um Zusendung bestimmter Aktenstücke und Ermächtigung zur Weitergabe an die Anklagekammer. Am 21. Januar 2016 stellte ihm das Gesundheitsdepartement die Akten zu.
A.c. Mit E-Mail vom 25. Januar 2016 ersuchte C._ um Entbindung vom Amtsgeheimnis im gegen ihn hängigen Ermächtigungs- und Strafverfahren. Am gleichen Tag beantragte auch D._ bei der Vorsteherin des Gesundheitsdepartements die Entbindung vom Amtsgeheimnis. Mit schriftlicher Verfügung vom 26. Januar 2016 erteilte die Vorsteherin des Gesundheitsdepartements die "Entbindung vom Amtsgeheimnis gegenüber" dem ehemaligen Leiter des Rechtsdienstes, C._, "in Sachen Disziplinarverfahren gegen A._". Dieser erhob in der Folge auch Strafanzeige gegen den neuen Leiter des Rechtsdienstes, D._, wegen mutmasslicher Verletzung des Amtsgeheimnisses. Am 30. März 2016 erteilte die Anklagekammer des Kantons St. Gallen die Ermächtigung zur Eröffnung von Strafverfahren gegen B._ und C._ und am 22. Juni 2017 gegen D._.
B.
Am 10. Juni 2016 erhob A._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen gegen die Verfügung der Vorsteherin des Gesundheitsdepartements vom 26. Januar 2016, mit der diese C._ vom Amtsgeheimnis entband. Er beantragte, es sei festzustellen, dass die Entbindung nichtig sei, eventuell sei diese aufzuheben, und das Gesundheitsdepartement sei anzuweisen, die sofortige Rückgabe der herausgegebenen Verfahrensakten sowie der erstellten Kopien zu veranlassen; subeventuell sei die Ermächtigung auf Akten aus dem fraglichen Zeitraum vom 1. Juni bis zum 15. November 2012 zu beschränken und deren Herausgabe an nicht am Strafverfahren beteiligte Dritte zu verbieten. Mit Entscheid vom 18. April 2018 trat das Verwaltungsgericht auf die Beschwerde nicht ein. Im Wesentlichen führt es zur Begründung aus, es liege keine anfechtbare Verfügung vor und die Entbindung vom Amtsgeheimnis sei gar nicht erforderlich gewesen, da das Gesetz dieselbe Rechtslage schon vorsehe. Der nachmalige Leiter des Rechtsdienstes sei befugt gewesen, seinem Amtsvorgänger, der auch nach Antritt des Ruhestandes ans Amtsgeheimnis gebunden sei, die im Zusammenhang mit dem Strafverfahren ergangenen Akten auszuhändigen. Überdies sei A._ nicht zur Beschwerde legitimiert.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 24. Mai 2018 stellt A._ die folgenden Anträge in der Sache:
"1. Hauptantrag : Es sei der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 18. April 2018... aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
2. Eventualantrag : Es sei festzustellen, dass die Verfügung des Gesundheitsdepartementes des Kantons St. Gallen vom 26. Januar 2016 im Verfahren betreffend Entbindung von D._ vom Amtsgeheimnis gegenüber C._ und Ermächtigung von D._ zur Herausgabe der Verfahrensakten des Disziplinarverfahrens gegen... A._... an C._... nichtig ist.
Das Gesundheitsdepartement des Kantons St. Gallen sei anzuweisen, die sofortige Rückgabe der von D._ an C._ herausgegebenen Verfahrensakten betreffend das Disziplinarverfahren gegen... A._..., einschliesslich zwischenzeitlich davon erstellter Kopien, zu veranlassen.
..."
A._ beruft sich im Wesentlichen auf eine willkürliche Anwendung der einschlägigen kantonalen Bestimmungen durch das Verwaltungsgericht.
Das Gesundheitsdepartement ersucht darum, den Entscheid des Verwaltungsgerichts zu schützen und damit sinngemäss um Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht schliesst unter Verweis auf seinen Entscheid ausdrücklich auf Abweisung der Beschwerde. A._ äusserte sich am 22. Oktober 2018 nochmals zur Sache.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid im Zusammenhang mit der Entbindung eines Staatsangestellten vom Amtsgeheimnis. Dabei handelt es sich um eine öffentlich-rechtliche Materie. Grundsätzlich steht daher die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen (vgl. <ref-law>).
1.2. Streitgegenstand vor Bundesgericht kann nur sein, worüber die Vorinstanz kantonal letztinstanzlich entschieden hat (vgl. <ref-law>). Hier bildet der Nichteintretensentscheid des Verwaltungsgerichts im Zusammenhang mit einer Beschwerde gegen die Erklärung der Vorsteherin des Gesundheitsdepartements über die Entbindung des ehemaligen Leiters des departementalen Rechtsdienstes vom Amtsgeheimnis im ihn betreffenden Ermächtigungs- und Strafverfahren den Streitgegenstand.
1.3. Der Beschwerdeführer war am vorinstanzlichen Verfahren beteiligt und ist als Beschwerdeführer vor dem Verwaltungsgericht sowie als direkter Adressat des angefochtenen Entscheids zur Beschwerde ans Bundesgericht legitimiert (vgl. <ref-law>).
1.4. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere, von hier nicht interessierenden weiteren Möglichkeiten abgesehen, die Verletzung von Bundesrecht unter Einschluss des Bundesverfassungsrechts gerügt werden (<ref-law>). Soweit die Vorinstanz kantonales Recht anzuwenden hatte, kann im Wesentlichen geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verstosse gegen Bundesrecht bzw. gegen die verfassungsmässigen Rechte und Grundsätze. Das Bundesgericht prüft kantonales Recht somit nur auf Bundesrechtsverletzung, namentlich Willkür, hin (<ref-ruling> E. 2 S. 149 f.).
1.5. Zu prüfen ist hier nur, ob die Vorinstanz gemessen an den vom Beschwerdeführer erhobenen Rügen (vgl. <ref-law>) zu Recht auf die bei ihr erhobene Beschwerde nicht eingetreten ist. Ein Entscheid in der Sache ist nicht zu fällen; wäre die Beschwerde gutzuheissen, wäre die Streitsache an das Verwaltungsgericht zur weiteren Behandlung zurückzuweisen. Eine Ausnahme könnte einzig gelten, falls die Nichtigkeit der Entbindungserklärung festzustellen wäre, wie das der Beschwerdeführer ebenfalls geltend macht.
1.6. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Sachverhaltsrügen erhebt der Beschwerdeführer im vorliegenden Verfahren nicht, weshalb die tatsächlichen Feststellungen des Verwaltungsgerichts für das Bundesgericht verbindlich sind.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt, der angefochtene Entscheid sei willkürlich im Sinne von <ref-law>. Gemäss der ständigen Praxis des Bundesgerichts ist ein Entscheid willkürlich, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 7.3 S. 174 f. mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.; 167 E. 2.1 S. 168; <ref-ruling> E. 2.4 S. 5; <ref-ruling> E. 4.1 S. 133; je mit Hinweisen). Da der angefochtene Entscheid nur aufzuheben ist, wenn er auch im Ergebnis und nicht bloss in der Begründung gegen die Verfassung verstösst, hat das Bundesgericht die Möglichkeit, die Motive des umstrittenen Entscheids zu ersetzen. Davon ist nur Gebrauch zu machen, wenn der massgebliche Sachverhalt aus den Akten hinreichend ersichtlich ist und die rechtliche Situation als klar erscheint und wenn die letzte kantonale Instanz die substituierte Begründung nicht ausdrücklich abgelehnt hat (vgl. <ref-ruling> E. 4.4 S. 248; Urteil des Bundesgerichts 1P.188/2005 vom 14. Juli 2005 E. 5.2; je mit Hinweisen).
2.2. Das Verwaltungsgericht trat aus zwei Gründen auf die bei ihm erhobene Beschwerde nicht ein: Erstens ging es mit umfassender Begründung davon aus, es liege kein anfechtbarer Entscheid vor, weil die Entbindungserklärung der Departementsvorsteherin nur die ohnehin geltende Rechtslage bestätigt habe; zweitens sprach es dem Beschwerdeführer mit lediglich kurzen Ausführungen die Legitimation zur Beschwerdeerhebung ab. Hält nur einer der beiden Entscheidgründe vor dem Willkürverbot stand, ist der angefochtene Entscheid nicht zu beanstanden.
2.3. Nach <ref-law> können die Kantone vorsehen, dass die Strafverfolgung der Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen von der Ermächtigung einer nicht richterlichen Behörde abhängt. Diese Bestimmung bietet den Kantonen die Möglichkeit, die Strafverfolgung sämtlicher Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden von einer Ermächtigung abhängig zu machen. Das gilt nicht zuletzt für den Straftatbestand der Amtsgeheimnisverletzung nach <ref-law> (vgl. die Urteile des Bundesgerichts 1C_344/2012 vom 31. Oktober 2012 und 1C_313/2012 vom 9. November 2012 E. 4). Zu den Vollziehungsbehörden zählen alle Organisationen, die öffentliche Aufgaben wahrnehmen (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 275). Gemäss Art. 17 Abs. 2 lit. b des Einführungsgesetzes zur Schweizerischen Straf- und Jugendstrafprozessordnung vom 3. August 2010 des Kantons St. Gallen (EG-StPO; sGS 962.1) entscheidet die Anklagekammer des Kantons St. Gallen über die Ermächtigung zur Eröffnung des Strafverfahrens unter anderem gegen Mitarbeitende des Kantons wegen Verbrechen und Vergehen, die deren Amtsführung betreffen. Gemäss Art. 31 des Personalgesetzes vom 25. Januar 2011 des Kantons St. Gallen (sGS 143.1) gewährt der Kanton rechtliche Unterstützung, wenn ein Mitarbeiter im Zusammenhang mit der Aufgabenerfüllung auf dem Rechtsweg belangt wird und die Beschreitung des Rechtsweges zur Wahrung seiner Rechte als angemessen erscheint. Dazu kann insbesondere eine Rechtsvertretung bestellt werden (vgl. Art. 13 der Personalverordnung vom 13. Dezember 2011 des Kantons St. Gallen; sGS 143.11). Nach Art. 59bis Abs. 1 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons St. Gallen vom 16. Mai 1965 (VRP; sGS 951.1) in der hier unbestrittenermassen anwendbaren Fassung vom 25. Januar 2011 beurteilt das Verwaltungsgericht, abgesehen von hier nicht interessierenden anderen Anfechtungsobjekten und Ausnahmen, Beschwerden gegen Verfügungen und Entscheide der Departemente. Gemäss Art. 64 in Verbindung mit Art. 45 Abs. 1 VRP ist zur Erhebung einer Beschwerde an das Verwaltungsgericht berechtigt, wer an der Änderung oder Aufhebung des angefochtenen Entscheids ein eigenes schutzwürdiges Interesse dartut.
2.4. Die strittige Erklärung der Departementschefin über die Entbindung des ehemaligen Leiters des Rechtsdienstes des Gesundheitsamts vom Amtsgeheimnis bezieht sich vom Wortlaut her auf ein Disziplinarverfahren; sie erging aber im Zusammenhang mit dem gegen ihn gerichteten Ermächtigungs- und Strafverfahren wegen Verletzung des Amtsgeheimnisses nach <ref-law>. Dies wird von keiner Seite bestritten. Das Verfahren befand sich damals noch im Anfangsstadium; genau genommen ging es erst um die Frage der Bestellung eines Rechtsvertreters für den ehemaligen Dienstleiter zu Lasten des Kantons gemäss Art. 13 der Personalverordnung. Die Entbindung vom Amtsgeheimnis bezweckte, ihm die Möglichkeit zu verschaffen, im Bestellungs-, Ermächtigungs- und Strafverfahren Informationen zu verwenden, für die an sich das Amtsgeheimnis gilt. Nach Art. 37 EG-StPO (e contrario) bedürfen allerdings unter anderem Mitarbeitende des Kantons für die Herausgabe amtlicher Akten und für die Erteilung von Auskünften über Tatsachen, die dem Amtsgeheimnis unterstehen, keiner Zustimmung der vorgesetzten Behörde, wenn sich die Untersuchung gegen sie selbst richtet. Kommt es zum Strafverfahren, steht dem Beschuldigten ohnehin das Recht zu, sich zu den Vorwürfen umfassend zu äussern (vgl. <ref-law>).
2.5. Die kantonalen Behörden stehen auf dem Standpunkt, das Entbindungsschreiben der Departementsvorsteherin habe lediglich die Rechtslage bestätigt, die ohnehin von Gesetzes wegen gelte und keine darüber hinaus reichenden Rechte und Pflichten begründet. Es handle sich daher nicht um eine Verfügung, die vom Beschwerdeführer angefochten werden könne. Diese Gesetzesauslegung erscheint zugeschnitten auf diejenigen Informationen, die Vorgänge betreffen, die während der Amtszeit des früheren Leiters des Rechtsdienstes stattgefunden haben. Für diese Informationen ändert sich die Rechtslage hinsichtlich des Ermächtigungsverfahrens wie auch des Amtsgeheimnisses selbst nach dem Ausscheiden aus dem Staatsdienst nicht (vgl. <ref-law>; Art. 67 Abs. 2 des kantonalen Personalgesetzes; RIEDO/FIOLKA, in: Niggli/Heer/Wiprächtiger, Schweizerische Strafprozessordnung, Basler Kommentar, 2. Aufl., 2014, N. 90 zu <ref-law>; NIKLAUS OBERHOLZER, in: Niggli/Wiprächtiger, Strafrecht II, Basler Kommentar, 4. Aufl., 2019, N. 6 zu <ref-law>; <ref-ruling> E. 1b und 2a S. 76 f.). Immerhin ist fraglich, ob es sich insofern nicht zumindest um eine Feststellungsverfügung handelt. So oder so erscheint die Rechtslage heikel, soweit es allenfalls um zusätzliche Informationen geht, welche die Zeit nach dem Ausscheiden aus dem Staatsdienst betreffen. Dazu stellt sich die Frage, ob der frühere Dienstleiter insofern überhaupt noch dem Amtsgeheimnis unterliegt und davon entbunden werden kann. Ob er bei der Einsichtnahme in die Akten des Departements tatsächlich Kenntnis über solche Informationen aus der Zeit nach seiner Amtstätigkeit erhielt, ist nicht abgeklärt. Wie es sich damit verhält, kann jedoch offenbleiben, denn die hier strittige Entbindungserklärung ist so oder so nicht mit denjenigen Rechtswirkungen verbunden, wie sie der Beschwerdeführer behauptet.
2.6. Mit der Entbindung vom Amtsgeheimnis erlaubt die zuständige hierarchisch übergeordnete Behörde der untergeordneten Behörde bzw. einem Mitarbeiter einer solchen Behörde, vom Amtsgeheimnis abzuweichen und sich damit nicht einem Strafverfahren wegen Amtsgeheimnisverletzung nach <ref-law> oder einem entsprechenden Disziplinarverfahren auszusetzen (vgl. auch zum gegengleichen Zeugnisverweigerungsrecht <ref-law>). Die Entbindung beseitigt die Rechtswidrigkeit der an sich untersagten Weitergabe eines Geheimnisses und stellt insofern einen strafrechtlichen Rechtfertigungsgrund dar (vgl. OBERHOLZER, a.a.O., N. 12 ff. zu <ref-law>). Sie bezieht sich in der Regel auf einen bestimmten bzw. bestimmbaren Sachzusammenhang. Die Entbindung vom Amtsgeheimnis zeitigt primär eine verwaltungsinterne Wirkung, wenn auch mit strafrechtlichen Auswirkungen. Das muss jedenfalls dann gelten, wenn es einzig darum geht, die Wahrnehmung der Partei- und Verteidigungsrechte in einem Ermächtigungs- oder Strafverfahren zu gewährleisten. Drittpersonen sind diesfalls nicht berechtigt, ein Entbindungsgesuch zu stellen (<ref-ruling> E. 2c S. 77), und im umgekehrten Sinne auch nicht befugt, dagegen Einspruch zu erheben. Ihre allfälligen Rechte im Ermächtigungs- und Strafverfahren bleiben davon unberührt.
2.7. Im vorliegenden Fall bestätigte die Vorsteherin des Gesundheitsdepartements, dass der frühere Leiter des departementalen Rechtsdienstes im gegen ihn laufenden Verfahren wegen des Vorwurfs einer Amtsgeheimnisverletzung vom Amtsgeheimnis entbunden sei. Die entsprechende Rechtswirkung beschränkte sich grundsätzlich auf das Verhältnis zwischen dem Gesundheitsdepartement und dem betroffenen ehemaligen Dienstleiter und diente dazu, ihm die tatsächlichen Grundlagen für die Wahrnehmung seiner Rechte im Ermächtigungs- und Strafverfahren zu verschaffen. Der Beschwerdeführer war von der Entbindungserklärung grundsätzlich nicht berührt. Diese äusserte sich auch nicht konkret dazu, welche Informationen vom Amtsgeheimnis ausgenommen wurden, sondern bestätigte einzig, dass der frühere Dienstleiter sich im Ermächtigungs- und Strafverfahren auf Informationen und Akten berufen durfte bzw. weiterhin darf, für die ansonsten das Amtsgeheimnis gilt. Die Entbindungserklärung der Vorsteherin des Departements ist in diesem Sinne zu unterscheiden vom Zugangs- und Aushändigungsentscheid des nachmaligen Leiters des Rechtsdienstes bzw. vom entsprechenden Vorgang. Erst damit wurde dem Amtsvorgänger Zugang zu eventuell massgeblichen Informationen und Akten gewährt. Das gilt namentlich für solche, bei denen fraglich ist, ob dafür das Amtsgeheimnis gilt, insbesondere weil sie nicht aus der Zeit seiner Amtstätigkeit stammen, bzw. an deren Vertraulichkeit der Beschwerdeführer allenfalls ein Interesse haben könnte. Bei der Gewährung des Zugangs zu den entsprechenden Informationen handelt es sich aber um einen separaten Folgevorgang, der nicht über die Anfechtung der verwaltungsinternen Entbindungserklärung in Frage gestellt werden kann. Über den Ausgleich der Interessen des potentiell beschuldigten Rechtsdienstleiters und der Ermächtigungs- und Strafverfolgungsbehörden auf Vollständigkeit der massgeblichen Akten sowie des Beschwerdeführers auf allenfalls berechtigte Vertraulichkeit ist erst in demjenigen Stadium des Ermächtigungs- und Strafverfahrens zu befinden, in dem konkret über den Zugang zu Informationen entschieden wird. War der Beschwerdeführer somit von der Entbindungserklärung nicht berührt, verfügte er selbst dann nicht über ein schutzwürdiges Interesse an deren Aufhebung oder Abänderung, wenn ihr Verfügungscharakter zukommen sollte. Das Verwaltungsgericht durfte ihm daher willkürfrei die Legitimation an der Beschwerdeführung absprechen, ohne dass es auf die Rechtsnatur der Entbindungserklärung ankommt.
2.8. Überdies wäre ein allfälliges Interesse nicht mehr aktuell gewesen, soweit der Zugang zu den Akten bereits gewährt worden war. Zwar erging der Zugangsentscheid, soweit bekannt, nicht als anfechtbare Verfügung, und der Beschwerdeführer wurde darüber auch nicht informiert. Vielmehr handelte es sich um einen oder mehrere Realakt (e) durch Gewährung des örtlichen Zugangs zu den Akten bzw. durch Übermittlung entsprechender Unterlagen, ohne dass der Beschwerdeführer daran beteiligt wurde. Verfügt der ehemalige Rechtsdienstleiter nunmehr bereits über die fraglichen Informationen und Unterlagen, hat der Beschwerdeführer kein aktuelles Interesse mehr an der Zugangsverweigerung. Die Vorinstanz durfte ihm insoweit die Beschwerdeberechtigung auch aus diesem Grund willkürfrei absprechen. Ein aktuelles Interesse könnte jedoch allenfalls für die Herausgabe der strittigen Unterlagen bestehen. Allenfalls könnte der Beschwerdeführer bei derjenigen Behörde, die heute über die entsprechende Verfahrenshoheit verfügt, die Rückabwicklung verlangen, wie er es im Eventualantrag formuliert hat. Über die Erfolgsaussichten eines solchen Begehrens ist hier nicht zu befinden. Soweit bekannt, gibt es keinen erstinstanzlichen Herausgabeentscheid, der beim Verwaltungsgericht hätte angefochten werden können. Das ist aber nicht entscheidend. Da sich die Beschwerde an das Verwaltungsgericht einzig gegen die Entbindungserklärung richtete, bildet im vorliegenden Verfahren so oder so nur diese den Streitgegenstand vor den Gerichtsinstanzen (vgl. vorne E. 1.2). Das Verwaltungsgericht konnte daher auf die Frage, ob und gegebenenfalls in welchem Umfang dem Beschwerdeführer ein Herausgabeanspruch zusteht, mangels Streitgegenstands gar nicht eintreten. Auch insofern ist der angefochtene Entscheid nicht unhaltbar. Im Übrigen ist es dem Bundesgericht aus dem gleichen Grund ebenfalls verwehrt, über das vor ihm im Eventualantrag erneut gestellte Herausgabebegehren zu entscheiden.
2.9. Der angefochtene Entscheid hält demnach im Ergebnis vor dem Willkürverbot stand, auch wenn die Begründung modifiziert bzw. ergänzt werden muss. Da der insoweit massgebliche Sachverhalt aus den Akten hinreichend ersichtlich ist, die rechtliche Situation klar erscheint und das Verwaltungsgericht die entsprechend substituierte Begründung nicht ausdrücklich abgelehnt hat, steht einer Anpassung der Entscheidbegründung in diesem Sinne nichts im Weg.
3.
3.1. Damit braucht an sich nicht geprüft zu werden, ob auch die Hauptbegründung der Vorinstanz, dass die Entbindungserklärung der Departementsvorsteherin eine reine Bestätigung der Rechtslage und damit keine für sich beim Verwaltungsgericht anfechtbare Verfügung darstelle, mit dem Bundesrecht vereinbar wäre. Da der Beschwerdeführer insofern allerdings Nichtigkeit geltend macht, rechtfertigt es sich, wenigstens insoweit auf seinen Vorhalt einzugehen (vgl. vorne E. 1.5). Der Beschwerdeführer begründet die Nichtigkeit im Wesentlichen damit, er sei nicht angehört worden, bevor die Departementsvorsteherin die Entbindungserklärung verfasst und geäussert habe.
3.2. Nach der Rechtsprechung können besonders schwere und offensichtliche Verfahrensmängel die Nichtigkeit eines Entscheides begründen. Das gilt insbesondere bei funktioneller oder sachlicher Unzuständigkeit einer Behörde (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 495 mit Hinweisen). Eine Gehörsverweigerung führt in aller Regel aber lediglich zur Anfechtbarkeit und nicht zur Nichtigkeit eines Entscheides, was insbesondere gilt, wenn die betroffene Person ihre Parteirechte anderweitig geltend machen kann (vgl. das Urteil des Bundesgerichts 1C_402/2016 vom 31. Januar 2018 E. 9.3).
3.3. Es erscheint fraglich, ob der Beschwerdeführer über ein schutzwürdiges Interesse an der Feststellung der Nichtigkeit der hier einzig den Streitgegenstand bildenden Äusserung der Departementschefin über die Entbindung vom Amtsgeheimnis verfügt. Soweit es sich dabei um einen verwaltungsinternen Akt handelt und der Beschwerdeführer dadurch nicht berührt ist, reichen seine Interessen grundsätzlich nicht für die Feststellung einer entsprechenden Nichtigkeit aus. Wie es sich damit verhält, kann jedoch dahingestellt bleiben. War der Beschwerdeführer von der Entbindungserklärung nicht betroffen, musste er dazu auch nicht vorweg zwingend angehört werden. Seine Rechte unter Einschluss des Anhörungsrechts muss er im Zusammenhang mit allfälligen konkreten Akteneinsichts- und -herausgabeverfahren durchsetzen. Soweit er bisher nicht ins Verfahren einbezogen worden ist, muss er sich um entsprechende Rechtsschutzverfahren bemühen. Es ist daher nicht ersichtlich, weshalb bereits die davon unabhängige Entbindungserklärung an einem besonders schweren und offensichtlichen Mangel leiden sollte. Keine entscheidende Rolle spielt in diesem Zusammenhang erneut, ob die fragliche Äusserung der Departementsvorsteherin überhaupt erforderlich war. Sie erging jedenfalls unabhängig von ihrer Rechtsnatur durch die funktionell und sachlich zuständige Stelle, und es ist dem Beschwerdeführer nicht verunmöglicht, seine Rechte anderweitig wahrzunehmen. Demnach ist nicht von der Nichtigkeit der Entbindungserklärung auszugehen.
4.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Gesundheitsdepartement des Kantons St. Gallen und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung II, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Juli 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Uebersax