Sachverhalt:
A.
B._ (Kläger, Beschwerdegegner) ist gelernter Rohrschlosser/Klempner und wurde von der A._ AG (Beklagte, Beschwerdeführerin) im Rahmen eines Personalverleihs ab dem 24. September 2007 für Arbeitseinsätze bei der C._ AG aufgeboten. Als Arbeitsort wurde V._ vereinbart, wo der Kläger auch seinen Wohnsitz nahm.
Ab 2013 wurde der Kläger von der C._ AG auf Baustellen schweizweit eingesetzt, wobei er ab Juli 2013 unter der Woche ein Zimmer in W._ bzw. X._ bezog. Ende 2014 wurde das Arbeitsverhältnis zwischen dem Kläger und der Beklagten infolge Erreichens des Rentenalters aufgelöst.
Der Kläger verlangt von der Beklagten einerseits den Ersatz der Mehrauslagen, die ihm von 2013 bis zur Beendigung des Arbeitsverhältnisses daraus entstanden sind, dass er von der C._ AG an anderen Arbeitsorten als V._ eingesetzt worden ist. Andererseits verlangt er für diese Periode auch die korrekte Entschädigung der Arbeitszeit, insbesondere unter Berücksichtigung der Fahrzeiten zu den jeweiligen Baustellen (Reisezeit) sowie der geleisteten Überstunden und Sonntagsarbeit.
B.
Mit Klage vom 29. September 2016 verlangte der Kläger beim Regionalgericht Bern-Mittelland, die Beklagte sei zur Zahlung von Fr. 63'663.30 nebst Zins zu verurteilen. Die Beklagte schloss in ihrer Klageantwort auf Abweisung der Klage und verkündete der C._ AG den Streit. Seitens der C._ AG erfolgte innert Frist keine Reaktion zur Streitverkündung. Anlässlich der Fortsetzungsverhandlung vom 15. September 2017 schlossen die Parteien eine "Vereinbarung betreffend Arbeitsrecht". Darin ersuchten sie das Regionalgericht namentlich, die erforderlichen Unterlagen bei der C._ AG zu edieren. Im Schlussvortrag beantragte der Kläger, die Beklagte sei zur Zahlung von Fr. 56'720.07 nebst 5 % Zins ab dem 31. Dezember 2013 als mittlerer Fälligkeitstermin zu verurteilen.
Mit Entscheid vom 5. August 2019 verurteilte das Regionalgericht die Beklagte, dem Kläger einen Betrag von Fr. 22'557.05 brutto nebst Zins zu bezahlen, wobei sich dieser Betrag reduziere, soweit die Beklagte nachweise, dass sie die Sozialabzüge an die entsprechenden Stellen überwiesen habe (Disp.-Ziff. 1). Weiter verurteilte es die Beklagte, dem Kläger einen Betrag von Fr. 23'747.70 netto nebst Zins zu bezahlen (Disp.-Ziff. 2); soweit weitergehend wies es die Klage ab.
Eine dagegen gerichtete Berufung der Beklagten wies das Obergericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 7. Juli 2020 ab. Es erwog, das Regionalgericht habe zu Recht verneint, dass die Ansprüche des Klägers infolge Rechtsmissbrauchs verwirkt seien. Das Verhalten des Klägers erweise sich nicht als treuwidrig. Das Regionalgericht habe eine Verletzung von Treu und Glauben in zutreffender Beweiswürdigung verneint. Selbst bei Bejahung einer Verletzung von Treu und Glauben durch den Kläger würden keine besonderen Umstände vorliegen, die sein Verhalten als rechtsmissbräuchlich erscheinen liessen.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 9. September 2020 beantragt die Beschwerdeführerin, die Klage des Beschwerdegegners sei in Abänderung des Entscheids des Obergerichts abzuweisen. Eventualiter sei der Entscheid aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an dieses zurückzuweisen. Die Parteien haben unaufgefordert repliziert und dupliziert. Die Vorinstanz hat sich nicht vernehmen lassen.
Mit Präsidialverfügung vom 26. November 2020 wurde der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es prüft aber unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Beschwerdeschrift in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Unerlässlich ist, dass auf die Begründung des angefochtenen Urteils eingegangen und im Einzelnen dargetan wird, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegen soll (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
1.2. Die Begründung hat in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen. Die beschwerdeführende Partei darf eine allfällige Replik nicht dazu verwenden, ihre Beschwerde zu ergänzen oder zu verbessern. Zulässig sind nur Vorbringen, zu denen erst die Ausführungen in der Vernehmlassung eines anderen Verfahrensbeteiligten Anlass geben (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 21; <ref-ruling> E. 3.3.4 S. 47).
2.
2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f. mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5 S. 401). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (Art. 97 Abs. 1 BGG).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von Art. 106 Abs. 2 BGG (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
2.2. Soweit die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerde den Sachverhalt in freien Ausführungen aus ihrer Sicht schildert, genügt sie den obigen Anforderungen nicht. Darauf ist nicht einzugehen, massgebend ist der Sachverhalt, wie er von der Vorinstanz festgestellt worden ist.
3.
Zu beachten ist, dass das Bundesgericht in die Beweiswürdigung des Sachgerichts nur eingreift, wenn diese willkürlich ist. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern bloss, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1 S. 566; <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.; je mit Hinweisen). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1 S. 566; <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 362). Dies ist dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266 f.; <ref-ruling> E. 2b S. 88).
4.
Umstritten ist, ob die geltend gemachten Ansprüche des Beschwerdegegners infolge Rechtsmissbrauchs verwirkt sind. Die Beschwerdeführerin ist der Ansicht, der Beschwerdegegner habe seine Ansprüche auf Überstundenentschädigung (gemeint: jegliche Entschädigung von Arbeitszeit, die ihr nicht rapportiert wurde) und Auslagenersatz verwirkt, weil er die Schattenbuchhaltung der C._ AG mitgetragen, insbesondere wissentlich und willentlich wahrheitswidrige Angaben in den Tätigkeitsnachweisen gemacht, diese unterzeichnet und ihr unterbreitet habe.
4.1.
4.1.1. Die Vorinstanz erwog, die Geltendmachung von gesetzlich bzw. gesamtarbeitsvertraglich begründeten Forderungen sei für sich alleine nicht rechtsmissbräuchlich. Diese Ansprüche seien sodann im Bereich der zwingenden Bestimmungen unverzichtbar gemäss Art. 341 Abs. 1 OR. Für die Bejahung eines Rechtsmissbrauchs bei der Berufung auf zwingendes Recht müssten daher neben der Verletzung von Treu und Glauben zusätzlich besondere Umstände gegeben sein. Deren Vorliegen beschlage die Beweiswürdigung. Die Erstinstanz habe den Rechtsmissbrauch im Wesentlichen mit der Argumentation verneint, der Beschwerdeführerin würden durch die nachträgliche Rechtsausübung aufgrund der Möglichkeit der Schadloshaltung an der C._ AG keine Nachteile erwachsen. Zumindest sinngemäss habe sie auch eine Verletzung von Treu und Glauben verneint. Sie habe erwogen, zwischen der früheren Untätigkeit und der späteren Rechtsausübung sei kein Widerspruch erkennbar, da der Beschwerdegegner die Beschwerdeführerin auf die veränderte Arbeitssituation und die daraus resultierenden finanziellen Auswirkungen hingewiesen habe. Es sei auch kein widersprüchliches Verhalten darin zu erblicken, dass der Beschwerdegegner die Schattenbuchhaltung der C._ AG durch Ausstellenlassen falscher Tätigkeitsnachweise mitgetragen habe, bestünden doch für dieses Verhalten achtenswerte Gründe, indem er befürchtet habe, im Falle eines Aufbegehrens entlassen zu werden.
Zu prüfen sei somit vorab, ob überhaupt eine Verletzung von Treu und Glauben durch den Beschwerdegegner vorliege. Soweit dies zu verneinen sei, erübrige sich im Weiteren die Prüfung besonderer Umstände für die Begründung eines Rechtsmissbrauchs, da sich sein Verhalten diesfalls ohnehin nicht als rechtsmissbräuchlich erweise.
4.1.2. Dabei sei das erstinstanzliche Prüfungsergebnis betreffend die tatsächliche Kenntnis der Beschwerdeführerin über die Missstände in der Buchführung der C._ AG zu betrachten. Gegen Treu und Glauben verstosse derjenige, der mit der Geltendmachung von Rechtspositionen zuwarte und damit bei der Gegenpartei ein berechtigtes Vertrauen enttäusche. Für die Beurteilung der Treuwidrigkeit sei relevant, ob der Beschwerdegegner die Beschwerdeführerin über die Missstände bei der Buchführung der C._ AG informiert und somit ihr Vertrauen in die Rechtmässigkeit der Abrechnungen zerstört habe. Die Erstinstanz habe aus verschiedenen Gründen auf eine vorgängige, ein berechtigtes Vertrauen ausschliessende Kenntnis der Beschwerdeführerin über die veränderte Arbeitssituation geschlossen: Aus der Tatsache des Zugangs des Kündigungsschreibens der C._ AG vom 18. Dezember 2013, aus der Retournierung einer Rechnung durch die C._ AG am 5. März 2014 unter Bezugnahme auf ein Objekt mit Sonderregelung, aus der Codierung der Tätigkeitsnachweise mit unterschiedlichen Kostenstellenummern für verschiedene Baustellen und der Tatsache der per März 2013 erfolgten Lohnerhöhung, die sich in Ermangelung anderer Gründe einzig mit der Information über die auswärtigen Einsatzorte erklären lasse.
Sie habe - so die Vorinstanz zusammenfassend - keinen Anlass, auf das erstinstanzliche Beweisergebnis zurückzukommen, wonach die Beschwerdeführerin ab März 2013 um die auswärtigen Arbeitsorte und die damit verbundene Entschädigungsproblematik gewusst habe. Gestützt auf die im März 2013 unbestrittenermassen erfolgte Lohnerhöhung müsse zudem davon ausgegangen werden, dass der Beschwerdegegner vorgängig bei der Beschwerdeführerin wegen der veränderten Arbeitssituation vorstellig geworden sei, wobei offengelassen werden könne, wann, wo und wie das genau geschehen sei. Es gebe keine andere plausible Begründung für die Lohnerhöhung, welche die Beschwerdeführerin angeblich aus der eigenen Marge finanziert habe. Dafür spreche auch das an die Beschwerdeführerin gerichtete Schreiben gemäss KB 7b, welches ebenfalls vom März 2013 datiere und in welchem seitens des Beschwerdegegners auf die veränderten Arbeitsbedingungen Bezug genommen werde. Auch wenn nicht erstellt sei, dass das Schreiben der Beschwerdeführerin tatsächlich zugegangen sei, so sei es doch als Indiz für den Hintergrund der Lohnverhandlungen zu werten. Dass der Lohn auf Verlangen des Beschwerdegegners erhöht und es diesbezüglich zu Lohnverhandlungen mit der Beschwerdeführerin gekommen sei, halte auch D._ (Verwaltungsratspräsident der Beschwerdeführerin) für naheliegend.
Der Einwand der Beschwerdeführerin, wonach sie bei einer Information über die Schattenbuchhaltung sofort reagiert hätte, zumal eine solche auch nicht in ihrem Interesse gewesen sei, vermöge das erstinstanzliche Beweisergebnis nicht zu erschüttern. Zwar treffe es zu, dass ihr durch die unkorrekte Zeiterfassung Umsatz entgangen sei, sie also selbst ein Interesse an einer korrekten Abrechnung gehabt habe. Indes sei über die Interessenlage und die Kundenbeziehung zwischen der Beschwerdeführerin und der C._ AG nicht abschliessend Beweis geführt worden. Es wäre aber an der Beschwerdeführerin gewesen, die ihrer Interessenlage entsprechenden Sachverhalte zu substanziieren und zu beweisen. Ob es neben dem Beschwerdegegner noch andere an die C._ AG verliehene Arbeitnehmer gegeben habe, bleibe unklar. So könne es durchaus auch sein, dass im Einzelfall nachteilige Praktiken durch übergeordnete Interessen wieder aufgewogen worden seien.
4.1.3. Fraglich sei weiter, ob dem Beschwerdegegner eine Verletzung von Treu und Glauben vorgeworfen werden könne, indem sich seine nachträgliche Rechtsausübung trotz Mittragens der durch die C._ AG betriebenen Schattenwirtschaft während des Arbeitsverhältnisses als venire contra factum proprium erweise. Ein Verhalten sei dann nicht widersprüchlich bzw. mit der ursprünglichen Vorgehensweise vereinbar, wenn es auf achtenswerten Gründen beruhe. Die Erstinstanz habe beweiswürdigend festgehalten, die Gründe für das Mittragen der Schattenwirtschaft seien nachvollziehbar, da der Beschwerdegegner sich davor gefürchtet habe, entlassen und arbeitslos zu werden, wenn er aufbegehrt hätte. Die Vorinstanz erwog, sie habe keinen Anlass, von der erstinstanzlichen Beweiswürdigung abzuweichen: Der pauschale Verweis auf die Arbeitsmarktlage lasse die konkrete Situation des Beschwerdegegners völlig ausser Acht. Es handle sich um einen über 60-jährigen Arbeitnehmer, der bereits einmal arbeitslos geworden sei. Dass er sich aus diesem Grund - ob berechtigt oder nicht - vor einer weiteren Arbeitslosigkeit gefürchtet und mit der Einsatzfirma kooperiert habe, erscheine unabhängig von der herrschenden Arbeitsmarktlage als nachvollziehbar. Das gute Einvernehmen zur Beschwerdeführerin, auf das sich diese berufe, mache eine Intervention seitens des Beschwerdegegners nicht ohne Weiteres zumutbar.
4.2. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz verfalle in Willkür, wenn sie eine vorgängige, ein berechtigtes Vertrauen aussschliessende Kenntnis ihrerseits über die veränderte Arbeitssituation des Beschwerdegegners annehme.
4.2.1. Die Beschwerdeführerin macht hinsichtlich verschiedener von den Vorinstanzen berücksichtigter Sachverhaltselemente eine willkürliche Beweiswürdigung geltend. Dabei ist zu beachten, dass die Vorinstanz diese Elemente nicht isoliert, sondern im Sinne einer Gesamtbetrachtung berücksichtigt hat. Entscheidend ist somit nicht, ob jedes Sachverhaltselement für sich alleine zwingend für die Kenntnis der Beschwerdeführerin sprechen würde, sondern ob die Vorinstanz in einer Gesamtbetrachtung - ohne in Willkür zu verfallen - mit der Erstinstanz von der Kenntnis der Beschwerdeführerin ausgehen durfte.
4.2.2. Hinsichtlich der Retournierung einer Rechnung durch die C._ AG am 5. März 2014 unter Bezugnahme auf ein Objekt mit Sonderregelung moniert die Beschwerdeführerin, das Verleihverhältnis zwischen ihr und der C._ AG habe vom 24. September 2007 bis am Mittwoch 31. Dezember 2014 gedauert. Im Rahmen dieses langen Verleihverhältnisses habe die C._ AG ihr ein einziges Mal mitgeteilt, dass "auf diesem Objekt" eine Sonderregelung gelte. Aus diesem einmaligen Schreiben zu folgern, sie habe genügend Hinweise auf Missstände bezüglich des Verleihverhältnisses mit der C._ AG gehabt, komme einer einseitigen Beweiswürdigung gleich. Dem Schreiben sei entgegenzusetzen, dass es dem Beschwerdegegner ohne Weiteres möglich gewesen wäre, ihr mitzuteilen, dass die C._ AG ihn auf anderen Baustellen als in V._ einsetzt habe und ihm dadurch Kosten und Auslagen entstünden.
Die Rüge geht fehl. Die Beschwerdeführerin setzt sich nicht hinreichend mit den vorinstanzlichen Ausführungen auseinander, sondern übt appellatorische Kritik. Die Vorinstanz hat erwogen, die C._ AG habe die Rechnung retourniert und den Überzeitzuschlag von 25 % als falsch beanstandet und dabei ausdrücklich ausgeführt, auf dem fraglichen Objekt gelte eine Sonderregelung. Bei dieser Wortwahl (Objekt mit Sonderregelung) könne - so die Vorinstanz - unmöglich der Einsatzort V._ gemeint sein, wo der Beschwerdegegner über Jahre regulär beschäftigt gewesen sei. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz damit in Willkür verfallen wäre. Wenn die Beschwerdeführerin geltend macht, das Vertragsverhältnis habe über sieben Jahre gedauert, unterschlägt sie, dass der Beschwerdegegner von der C._ AG erst ab 2013 auf Baustellen schweizweit eingesetzt worden ist.
4.2.3. Hinsichtlich der Codierung der Tätigkeitsnachweise rügt die Beschwerdeführerin, die Vorinstanz übersehe, dass die in Frage stehende Nummer nicht von ihr, sondern von der C._ AG auf den Tätigkeitsnachweisen vermerkt werde. Etwas Gegenteiliges hätten die beiden Zeugen auch nicht zu Protokoll gegeben. Ihr vorwerfen zu wollen, sie habe anhand der Nummern auf den Tätigkeitsnachweisen um die sich ändernden Einsatzorte des Beschwerdegegners gewusst, gehe zu weit. Sie sei nicht dazu verpflichtet, die sich ändernden Nummern zu hinterfragen, zumal es einer Tatsache entspreche, dass gerade auf Grossbaustellen die einzelnen Bauetappen/Meilensteine bzw. einzelne Baustellenbereiche in unterschiedliche Nummern aufgeteilt würden. Auch sei nicht einzusehen und werde von der Vorinstanz auch nicht begründet, weshalb sie die Codierung der C._ AG auf den Tätigkeitsnachweisen hätte kennen sollen.
Auch diesbezüglich tut die Beschwerdeführerin keine willkürliche Beweiswürdigung dar. Es fehlt erneut an einer hinreichenden Auseinandersetzung mit den vorinstanzlichen Erwägungen.
Die Vorinstanz hat sich ausführlich mit den Tätigkeitsnachweisen auseinandergesetzt. Sie erwog, es habe kein Zweifel darüber bestehen können, dass die Baustellennummern auf den Tätigkeitsnachweisen des Beschwerdegegners sich stetig geändert hätten. Die Wahrnehmung einer solchen Änderung habe weder eine unzumutbare Aufmerksamkeit noch umfangreiche Nachforschungen erfordert, sondern sei aus den Eintragungen unter der Rubrik "Kostenstelle" klar ersichtlich gewesen. Die Tätigkeitsnachweise seien auf dem Formular der Beschwerdeführerin erfolgt und hätten die von ihr vorgegebene Rubrik "Kostenstelle" enthalten. Dass sie die Codierung der Kostenstelle nicht gekannt habe, erscheine unter diesen Umständen abwegig, zumal den Tätigkeitsnachweisen die Funktion zukomme, dem Verleiher die geleisteten Arbeiten des von ihm an den Einsatzbetrieb "ausgeliehenen" Arbeitnehmers offenzulegen. Daher sei davon auszugehen, dass dabei eine Codierung verwendet werde, die von Einsatzbetrieb und Verleiher gleichermassen verstanden werde.
Entgegen der Beschwerdeführerin ist nicht in erster Linie entscheidend, wer die in Frage stehenden Nummern auf den Tätigkeitsnachweisen vermerkt hat, sondern vielmehr die vorinstanzliche Feststellung, dass davon ausgegangen werden könne, dass eine Codierung verwendet werde, die von Einsatzbetrieb und Verleiher gleichermassen verstanden werde, da den Tätigkeitsnachweisen die Funktion zukomme, die geleistete Arbeit des "ausgeliehenen" Arbeitnehmers offenzulegen. Die Beschwerdeführerin belegt keine Willkür, wenn sie pauschal einwendet, ihr vorwerfen zu wollen, sie habe anhand der Nummern auf den Tätigkeitsnachweisen um die sich ändernden Einsatzorte des Beschwerdegegners gewusst (bzw. wissen können), gehe zu weit. Daran ändert - vor dem Hintergrund, dass die Vorinstanz davon ausgehen durfte, es werde eine Codierung verwendet, die von beiden Parteien verstanden werde - auch der Umstand nichts, dass im Allgemeinen auf Grossbaustellen teilweise auch die einzelnen Meilensteine oder einzelne Baustellenbereiche in unterschiedliche Nummern aufgeteilt werden mögen. Soweit die Beschwerdeführerin sinngemäss geltend macht, die Vorinstanz habe nicht Beweise gewürdigt, sondern ausschliesslich einen Erfahrungssatz angewendet, der sich aus der allgemeinen Lebenserfahrung ableite und daher für das Bundesgericht frei überprüfbar sei, geht ihre Rüge fehl. Die Vorinstanz hat - entgegen der Beschwerdeführerin - nicht ausschliesslich auf die allgemeine Lebenserfahrung abgestellt, sondern ist in ihrer Begründung vielmehr auch auf die konkreten Tätigkeitsnachweise des Beschwerdegegners eingegangen. Es besteht daher keine freie Überprüfungsbefugnis des Bundesgerichts (<ref-ruling> E. 2 S. 117 mit Hinweisen).
4.2.4. Die Beschwerdeführerin macht betreffend die Lohnerhöhung geltend, Tatsache sei, dass der Beschwerdegegner während des in Frage stehenden Zeitraums nie vorstellig geworden sei. Die gewährte Lohnerhöhung im März 2013 von Fr. 1.-- pro Stunde habe gemäss Aussage von D._ nicht in Zusammenhang mit einem sich abzeichnenden Wechsel des Einsatzortes gestanden. Es sei nicht einzusehen, weshalb es im Lichte dieser Aussage von D._ keine andere plausible Erklärung gebe, als dass die Lohnerhöhung wegen der veränderten Arbeitssituation erfolgt sei.
Die Vorinstanz hat betreffend die gewährte Lohnerhöhung erwogen, die Beschwerdeführerin begnüge sich mit einem pauschalen Verweis auf die Aussage von D._, wonach die Lohnerhöhung nicht im Zusammenhang mit einem Wechsel des Einsatzortes gestanden habe. Sie zeige aber nicht auf, inwiefern die Erstinstanz das vorhandene Beweismaterial unzutreffend gewürdigt habe. Diese habe massgebend darauf abgestützt, dass es keinen plausiblen anderen Grund für die Lohnerhöhung im März 2013 gebe, zumal der Stundenlohn des Beschwerdegegners zuvor über die Jahre konstant geblieben sei. Mit dieser Argumentation habe sie sich nicht auseinandergesetzt. Es sei nicht plausibel, dass ein Personalverleiher den Lohn ohne äusseren Anlass - auf blosses Verlangen des Arbeitnehmers - erhöhe, nachdem er vorher über Jahre einen gleichbleibenden Lohn ausgerichtet habe.
Die Beschwerdeführerin verweist auch vor Bundesgericht bloss pauschal auf die Aussagen von D._. Sie zeigt aber nicht hinreichend auf, dass sie vor der Vorinstanz dargelegt hätte, inwiefern die Erstinstanz die Beweise unzutreffend gewürdigt haben soll. Sie macht geltend, es sei nicht einzusehen, warum es keine anderen Gründe für die gewährte Lohnerhöhung hätte geben sollen, ohne aber darzulegen, was denn diese Gründe gewesen wären. Damit belegt sie keine Willkür. Die vorinstanzliche Feststellung ist im Übrigen im Zusammenhang mit dem an die Beschwerdeführerin gerichteten Schreiben gemäss KB 7b zu verstehen, welches gemäss Vorinstanz ebenfalls vom März 2013 datiere und in welchem seitens des Beschwerdegegners auf die veränderten Arbeitsbedingungen Bezug genommen werde. Auch wenn nicht erstellt sei, dass es der Beschwerdeführerin zugestellt worden sei, so die Vorinstanz, sei es als Indiz zu werten für den Hintergrund der Lohnverhandlungen (vgl. hiervor E. 4.1.2). Es ist nicht willkürlich, wenn die Vorinstanz die gewährte Lohnerhöhung zusammen mit KB 7b als entscheidendes Element berücksichtigt.
4.2.5. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz führe aus, es sei erstellt, dass die C._ AG ihr ein Schreiben vom 18. Dezember 2013 betreffend Kündigung des Verleihvertrages habe zukommen lassen, in dem sinngemäss stehe, der Beschwerdegegner werde ab April 2014 nicht mehr weiterbeschäftigt; weiter sei unbestritten, dass dieser - trotz des Kündigungsschreibens - über den April 2014 hinaus im Einsatzbetrieb der C._ AG tätig gewesen sei. Das erwähnte Schreiben sei vom Zeugen E._ (Verantwortlicher für Buchhaltung, Finanzen und Personal bei der C._ AG) anlässlich dessen Einvernahme zu den Akten gereicht worden. Das Schreiben sei zwar zu den Akten genommen worden, eine nähere inhaltliche Auseinandersetzung damit habe aber nicht stattgefunden. Die Aussage von D._, die C._ AG haben den Verleihvertrag im Dezember 2013 infolge veränderter Auftragslage gekündigt, sei keineswegs abwegig. Wenn es der C._ AG darum gegangen wäre, für den Beschwerdegegner keine Zuschläge bezahlen zu müssen, dann hätte sie für die Zeitspanne ab April 2014 bezüglich des Beschwerdegegners nicht einen identischen Verleihvertrag mit ihr geschlossen.
Die Vorinstanz geht in ihren Erwägungen nicht auf das Schreiben der C._ AG vom 18. Dezember 2013 ein. Sie führt einzig aus, die Erstinstanz habe aus verschiedenen Gründen auf eine vorgängige, ein berechtigtes Vertrauen ausschliessende Kenntnis der Beschwerdeführerin über die veränderte Arbeitssituation geschlossen: Aus der Tatsache des Zugangs des Kündigungsschreibens der C._ AG vom 18. Dezember 2013, aus der Retournierung einer Rechnung durch die C._ AG vom 5. März 2014 unter Bezungnahme auf ein Objekt mit Sonderregelung, aus der Codierung der Tätigkeitsnachweise mit unterschiedlichen Kostenstellennummern für verschiedene Baustellen und der Tatsache der per März 2013 erfolgten Lohnerhöhung (vgl. hiervor E. 4.1.2). Wenn die Vorinstanz dann die genannten Elemente abhandelt, auf das Schreiben der C._ AG vom 18. Dezember 2013 aber nicht weiter eingeht, ergibt sich daraus, dass sie diesem Element - entgegen der Erstinstanz - neben den anderen Elementen, auf die sie ausführlich eingeht, keine entscheidende Bedeutung zugemessen hat. Entgegen der Beschwerdeführerin liegt darin keine willkürliche Beweiswürdigung. Zudem ist auch nicht ersichtlich, was die Beschwerdeführerin für sich aus diesem Schreiben ableiten möchte.
4.2.6. Der Beschwerdeführerin gelingt es insgesamt nicht, die vorinstanzliche Beweiswürdigung hinsichtlich ihrer Kenntnis über die veränderte Arbeitssituation des Beschwerdegegners als willkürlich auszuweisen. Daran ändern im Übrigen auch ihre Ausführungen nichts, dass sie an der nicht korrekten Zeiterfassung kein Interesse gehabt habe, da ihr dadurch Umsatz entgangen sei. Es trifft zwar zu, dass sich die Interessenlage der Beschwerdeführerin, für den Fall, dass der Beschwerdegegner der einzige von ihr an die C._ AG verliehene Arbeitnehmer gewesen wäre, anders darstellen würde. Die Beschwerdeführerin zeigt in ihrer Beschwerde aber nicht mit Aktenverweis auf, dass sie dies vor den Vorinstanzen geltend gemacht hätte. Fehlte es diesbezüglich an substanziierten Behauptungen, war auch kein Beweisverfahren durchzuführen. Ihre Ausführungen zur erstinstanzlichen Beweisverfügung ändern daran nichts: Es ist nicht ersichtlich, weshalb sie aufgrund der erstinstanzlichen Beweisverfügung davon hätte dispensiert sein sollen, substanziierte Ausführungen zu ihrer Interessenlage und zur Kundenbeziehung mit der C._ AG zu machen, zumal sie in ihrer Beschwerde selbst (sinngemäss) geltend macht, der Frage, ob der Beschwerdegegner der einzige an die C._ AG verliehene Arbeitnehmer gewesen sei, komme eine entscheidende Bedeutung zu.
Die Vorinstanz durfte somit jedenfalls ohne Verletzung von Bundesrecht davon ausgehen, es fehle an einem berechtigten Vertrauen der Beschwerdeführerin.
4.2.7. Mit der vorinstanzlichen Erwägung, wonach die Gründe des Beschwerdegegners für das Mittragen der Schattenwirtschaft nachvollziehbar seien, da sich dieser vor einer Entlassung gefürchtet habe (vgl. hiervor E. 4.1.2), setzt sich die Beschwerdeführerin kaum auseinander. Sie macht in ihrer Beschwerde in appellatorischer Weise geltend, dem Beschwerdegegner sei die Rechtsausübung, d.h. das wahrheitsgetreue Rapportieren der Arbeitsstunden, zweifellos zumutbar gewesen und er hätte keine nachteiligen Konsequenzen zu befürchten gehabt. Damit genügt sie den Rügeanforderungen nicht. Im Übrigen sind die vorinstanzlichen Ausführungen zu der vom Beschwerdegegner befürchteten Arbeitslosigkeit durchaus nachvollziehbar.
4.3. Damit durfte die Vorinstanz ohne Verletzung von Bundesrecht davon ausgehen, dass sich das Verhalten des Beschwerdegegners nicht als treuwidrig erweist. Bei diesem Ergebnis muss nicht mehr auf die Eventualbegründung der Vorinstanz eingegangen werden, wonach selbst bei einer Verletzung von Treu und Glauben durch den Beschwerdegegner keine besonderen Umstände vorlägen, die sein Verhalten als rechtsmissbräuchlich erscheinen liessen, da die Beschwerdeführerin allfällige Nachteile einer wahrheitswidrigen Zeiterfassung selber zu verantworten habe, weil sie ihrer arbeitsrechtlichen Kontrollpflicht nicht nachgekommen sei. Im Übrigen wäre festzuhalten, dass Art. 2 Abs. 2 ZGB als korrigierender "Notbehelf" für die Fälle gilt, in denen formales Recht zu materiell krassem Unrecht führen würde, und Rechtsmissbrauch somit restriktiv anzunehmen ist (<ref-ruling> E. 4.2 S. 673 mit Hinweisen). Dies gilt erst Recht für die Bejahung von Rechtsmissbrauch wegen verspäteter Geltendmachung von Ansprüchen aus dem Arbeitsverhältnis, die im Sinne von Art. 341 Abs. 1 OR unverzichtbar sind (wie beispielsweise der erworbene Anspruch auf Abgeltung bereits geleisteter Überstunden; vgl. <ref-ruling> E. 2.4 S. 176 mit Hinweisen). Ansonsten würde dem Arbeitnehmer der mit der zwingenden Gesetzesbestimmung gewährte Schutz auf dem Weg über Art. 2 Abs. 2 ZGB wieder entzogen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 497, 618 E. 5.2 S. 622; <ref-ruling> E. 7b S. 344; je mit Hinweisen).
5.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ergebnis wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Januar 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Gross