Sachverhalt:
A.
Am 27. September 2019 traf die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich im Zusammenhang mit einer Strafanzeige von B._ gegen A._ eine Nichtanhandnahmeverfügung. Aufgrund einer weiteren Strafanzeige von B._ führt dieselbe Staatsanwaltschaft jedoch eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen Verleumdung und weiterer mutmasslicher Straftaten. In der Folge erstattete A._ Strafanzeige gegen B._ wegen falscher Anschuldigung. Diese beiden Verfahren sind bei der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich noch hängig.
B.
B.a. Am 9. Dezember 2019 stellte A._ bei der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich ein Ausstandsgesuch gegen die die Untersuchung leitende Staatsanwältin Christine Braunschweig im gegen ihn als Beschuldigten geführten Untersuchungsverfahren A-1/2019/10037026. Mit Eingaben vom 12. und 30. März 2020 sowie vom 4. April 2020 reichte A._ in gleicher Sache weitere Ausstandsgesuche ein. Am 17. April 2020 übermittelte die Staatsanwältin die Ausstandsgesuche zuständigkeitshalber dem Obergericht des Kantons Zürich mit dem Antrag auf Abweisung. Mit Verfügung und Beschluss UA200014 vom 28. Juli 2020 wies das Obergericht das Ausstandsgesuch ab, soweit es darauf eintrat.
B.b. Dagegen erhob A._ am 7. August 2020 Beschwerde in Strafsachen beim Bundesgericht mit den Anträgen, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und den Ausstand von Staatsanwältin Christine Braunschweig anzuordnen. Überdies ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Bundesgericht eröffnete daraufhin das bundesgerichtliche Verfahren 1B_409/2020. Christine Braunschweig, in eigenem Namen sowie in demjenigen der Staatsanwaltschaft II, sowie das Obergericht verzichteten auf eine Stellungnahme. A._ äusserte sich in weiteren Eingaben wiederholt zur Sache.
C.
C.a. Am 1. Mai 2020 stellte A._ bei der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich ein weiteres Ausstandsgesuch gegen die die Untersuchung leitende Staatsanwältin Christine Braunschweig im von ihm als Anzeiger ausgelösten Untersuchungsverfahren A-1/2019/10037816. Am 18. Mai 2020 übermittelte die Staatsanwältin das Ausstandsgesuch zuständigkeitshalber dem Obergericht des Kantons Zürich mit dem Antrag auf Abweisung. Mit Verfügung und Beschluss UA200016 vom 28. Juli 2020 wies das Obergericht das Ausstandsgesuch ab.
C.b. Dagegen erhob A._ am 7. August 2020 Beschwerde in Strafsachen beim Bundesgericht mit den Anträgen, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und den Ausstand von Staatsanwältin Christine Braunschweig anzuordnen. Überdies ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Bundesgericht eröffnete daraufhin das bundesgerichtliche Verfahren 1B_395/2020. Christine Braunschweig, in eigenem Namen sowie in demjenigen der Staatsanwaltschaft II, sowie das Obergericht verzichteten auf eine Stellungnahme. A._ äusserte sich in weiteren Eingaben wiederholt zur Sache.
D.
A._ reichte dem Bundesgericht in den hängigen Strafverfahren noch verschiedene weitere Beschwerden ein (Verfahren 1B_403/2020, 1B_413/2020, 1B_439/2020, 1B_613/2020). Am 3. November 2020 stellte er ein Gesuch um Zustellung sämtlicher Akten der damals hängigen Verfahren zur Einsicht. Nachdem die vom Präsidenten der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts eingesetzte Instruktionsrichterin den übrigen Verfahrensbeteiligten Gelegenheit gegeben hatte, sich dazu zu äussern, wies sie am 26. November 2020 die verlangte Aktenzustellung ab, erteilte aber Akteneinsicht am Bundesgericht innert einer angesetzten Frist. A._ nahm diese Möglichkeit in der Folge nicht wahr. Hingegen beantragte er mit Eingabe vom 27. November 2020 in den vorliegenden bundesgerichtlichen Verfahren 1B_395/2020 und 1B_409/2020 sowie in den weiteren Verfahren 1B_403/2020, 1B_413/2020 und 1B_439/2020 den Ausstand der Instruktionsrichterin. Mit Urteil 1B_611/2020 vom 4. Dezember 2020 wies das Bundesgericht dieses Ausstandsgesuch ab. Mit einem weiteren Urteil 1F_37/2020 vom 21. Dezember 2020 wies es ebenfalls ein dagegen von A._ eingereichtes Revisionsgesuch ab.

Erwägungen:
1.
Die beiden Beschwerden stehen in engem inhaltlichem Zusammenhang und verfügen über die gleichen Verfahrensbeteiligten sowie über denselben Streitgegenstand der Ausstandspflicht der in beiden Verfahren identischen Staatsanwältin. Weitere Ausstandsentscheide wurden nicht vor Bundesgericht getragen. Es rechtfertigt sich daher, die bundesgerichtlichen Verfahren 1B_395/2020 und 1B_409/2020 zu vereinigen.
2.
2.1. Bei den angefochtenen, als Verfügungen und Beschlüsse bezeichneten Entscheiden handelt es sich um kantonal letztinstanzliche, selbstständig anfechtbare Zwischenentscheide über den Ausstand im Rahmen der jeweiligen Strafverfahren. Dagegen steht jeweils die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht offen (vgl. Art. 78 ff. bzw. <ref-law>).
2.2. Der Beschwerdeführer macht nachträglich geltend, die Beschwerdegegnerin sei inzwischen in den Ausstand getreten. Damit werden die bundesgerichtlichen Verfahren jedoch nicht gegenstandslos. Streitgegenstand bildet vielmehr die Frage, ob die angefochtenen Entscheide im Zeitpunkt, als sie ergangen sind, rechtmässig waren, was Auswirkungen auf die bis dahin und allenfalls auch in der Folge bis zur Ausstandserklärung ergangenen Untersuchungshandlungen zeitigen kann. Gegenstandslos geworden ist hingegen der Antrag, es sei der Ausstand der Staatsanwältin zu verfügen.
2.3. Der Beschwerdeführer war als Gesuchsteller am vorinstanzlichen Verfahren beteiligt und ist als solcher sowie als Adressat der angefochtenen Entscheide zur Beschwerde legitimiert (vgl. <ref-law>).
2.4. Mit der Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Dessen Einhaltung überprüft das Bundesgericht von Amtes wegen (vgl. <ref-law>) und mit freier Kognition.
3.
Die als Petitionen bezeichneten Eingaben des Beschwerdeführers werden als Stellungnahmen im Schriftenwechsel entgegengenommen.
4.
Nach <ref-law> prüft das Bundesgericht nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Es ist allerdings weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. 3 S. 415). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind (<ref-ruling> E. 2.5 S. 314). Der Beschwerdeführer ist seiner Rüge- und Substanziierungspflicht nur teilweise ausreichend nachgekommen, weshalb auf seine Beschwerden auch nur im nachfolgenden Umfang einzutreten ist.
5.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz auf Antrag hin oder von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 97 Abs. 1 und 105 Abs. 2 BGG). Neue Tatsachen dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Massgebliche Mängel bei den Sachverhaltsfeststellungen des Obergerichts sind nicht ersichtlich und werden vom Beschwerdeführer nicht ausreichend dargetan. Soweit er sich auf neue Umstände beruft, sind diese nicht zu berücksichtigen, da sie nicht auf den angefochtenen Entscheid zurückgehen.
6.
Im vorinstanzlichen Entscheid UA200016, der im bundesgerichtlichen Verfahren 1B_395/2020 angefochten ist, ging das Obergericht davon aus, dass der Beschwerdeführer sein Ausstandsgesuch verspätet eingereicht hätte, prüfte dieses jedoch trotzdem in der Sache. Folgerichtig wies es das Ausstandsgesuch ab, soweit es darauf eintrat. Der Beschwerdeführer beanstandet, sein Gesuch hätte nicht als verspätet beurteilt werden dürfen, legt aber nicht dar, inwiefern ihm dadurch überhaupt ein Nachteil entstanden sein sollte, nachdem das Obergericht darüber materiell entschieden hat. Darauf ist daher nicht einzutreten.
7.
7.1. Die Ausstandsgründe für die in einer Strafbehörde tätigen Justizpersonen sind in <ref-law> geregelt. Diese Bestimmung konkretisiert Art. 6 Ziff. 1 EMRK sowie Art. 29 Abs. 1 und Art. 30 Abs. 1 BV. Zu den Strafbehörden gehören neben den Gerichten (<ref-law>) die Strafverfolgungsbehörden, darunter die Organe der Staatsanwaltschaft (<ref-law>). Von den in Art. 56 lit. a-e StPO geregelten besonderen Ausstandsgründen abgesehen (persönliches Interesse an der Strafsache, Vorbefassung in anderer Stellung, persönliche Beziehung zu Parteien usw.), tritt ein Staatsanwalt oder eine Staatsanwältin in den Ausstand, wenn diese Justizperson "aus anderen Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand, befangen sein könnte" (<ref-law>).
7.2. Befangenheit einer staatsanwaltlichen Untersuchungsleiterin oder eines Untersuchungsleiters ist nach der Praxis des Bundesgerichtes nicht leichthin anzunehmen. Zu bejahen ist sie, wenn nach objektiver Betrachtung besonders krasse oder ungewöhnlich häufige Fehlleistungen der Untersuchungsleitung vorliegen, welche bei gesamthafter Würdigung eine schwere Verletzung der Amtspflichten darstellen und sich einseitig zulasten einer der Prozessparteien auswirken (<ref-ruling> E. 3.2 S. 74 f.; <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 180; <ref-ruling> E. 2.3 S. 146; <ref-ruling> E. 3e S. 124; <ref-ruling> E. 3b S. 404; <ref-ruling> E. 3b/bb S. 158; Urteil 1B_375/2017 vom 7. Februar 2018 E. 2; je mit Hinweisen). Diesbezüglich sind primär die zur Verfügung stehenden Rechtsmittel gegen beanstandete Verfahrenshandlungen auszuschöpfen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 75; <ref-ruling> E. 3b/bb S. 158 f.; je mit Hinweisen).
7.3. Auch voreilige präjudizielle Äusserungen der Untersuchungsleitung können in begründeten Einzelfällen geeignet sein, objektive Zweifel an ihrer Unparteilichkeit zu begründen. Dies kann zum Beispiel zutreffen, wenn die Untersuchungsleitung nicht gewillt erscheint, ihren unzulässigen, vom zuständigen Verfahrensgericht gerügten Standpunkt zu ändern (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.4 S. 146 f.). Sodann können sich Verfahrenssituationen ergeben, in denen die Staatsanwaltschaft bereits vor Abschluss der Strafuntersuchung in rechtlicher oder tatsächlicher Hinsicht zum Gegenstand der Untersuchung Stellung nimmt und dabei unter Umständen auch ihre aufgrund des jeweiligen Verfahrensstandes vorläufig gebildete Meinung offenlegt. Dabei darf und muss aber, sofern nicht besondere gegenteilige Anzeichen vorhanden sind, vorausgesetzt werden, dass die Untersuchungsleitung in der Lage ist, ihre vorläufige Beurteilung des Prozessstoffes entsprechend dem jeweils neusten Stand des Verfahrens ständig zu überprüfen und bei Vorliegen neuer Tatsachen und Argumente auch zu revidieren. Ein solches Vorgehen vermag in der Regel keine Parteilichkeit oder Befangenheit objektiv zu begründen. "Ungeschickte Äusserungen" eines Staatsanwaltes kommen als Ausstandsgrund nur in Frage, wenn es sich dabei um eine schwere Verfehlung gegenüber der betroffenen Partei handelt (BGE <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 180; <ref-ruling> E. 2d S. 200; <ref-ruling> E. 6 S. 21 f.; je mit Hinweisen; zum Ganzen Urteil des Bundesgerichts 1B_535/2018 vom 16. April 2019 E. 3).
8.
8.1. Die beiden bundesgerichtlichen Verfahren sind nicht nur formell zu vereinigen, sondern sind auch in der Sache gemeinsam zu beurteilen, da der Beschwerdeführer gleichgelagerte Argumente für die von ihm geltend gemachte Bundesrechtsverletzung im Zusammenhang mit der Ausstandsfrage geltend macht. Ob die Staatsanwältin in den Ausstand zu treten hat, richtet sich denn auch in beiden Verfahren nach den gleichen Rechtsgrundsätzen und ist integral zu prüfen. Hätte sie im einen Verfahren in den Ausstand zu treten, so träfe das in der vorliegenden Konstellation zwangsläufig auch im anderen zu. Es erübrigt sich daher, das Vorliegen von Ausstandsgründen getrennt nach Verfahren zu prüfen, sondern es ist eine einheitliche und integrale Beurteilung vorzunehmen.
8.2. Nach <ref-law> tritt eine in einer Strafbehörde tätige Person in den Ausstand, wenn sie in einer anderen Stellung, insbesondere als Mitglied einer Behörde, in der gleichen Sache tätig war. Das Obergericht verneinte, dass die Staatsanwältin in diesem Sinne vorbefasst sei, weil sie im Zusammenhang mit einer anderen gegen den Beschwerdeführer gerichteten Anzeige seines Gegenparts in den strafrechtlichen Verfahren eine Nichtanhandnahmeverfügung getroffen hatte. Dies ist nicht zu beanstanden. Weder handelte es sich um die gleiche Sache noch hatte die Gesuchsgegnerin eine andere Stellung inne. Überdies war die Nichtanhandnahme für den Beschwerdeführer von Vorteil und wurde er dadurch nicht belastet.
8.3. Der Beschwerdeführer wehrt sich gegen die ihm zugewiesene amtliche Verteidigung bzw. gegen den ihm dabei zugeteilten Anwalt. In diesem Zusammenhang will er die Grundlage für den Anschein von Befangenheit auf Seiten der Staatsanwältin erkennen. Der Verteidiger habe seine Interessen nicht korrekt wahrgenommen und arbeite mit der Staatsanwältin zusammen. Das belege deren Voreingenommenheit bzw. feindliche Haltung ihm gegenüber. Was der Beschwerdeführer seinem Verteidiger genau vorhält, lässt sich allerdings nur dem angefochtenen Entscheid entnehmen und wird aufgrund der Eingaben des Beschwerdeführers nicht klar. Damit erweist sich diese Rüge als mangelhaft substanziiert. So oder so sind die entsprechenden vorinstanzlichen Erwägungen jedoch nachvollziehbar. Danach wurde dem Beschwerdeführer nicht bloss eine amtliche, sondern eine solche in Form der notwendigen Verteidigung zugewiesen (Art. 130 i.V.m. <ref-law>). Diese kann auch gegen den Willen des Beschuldigten angeordnet werden. Dass es zwischen der Verteidigung und der Staatsanwaltschaft zu Kontakten kommen kann, in denen unter anderem der Verfahrensverlauf zur Debatte steht, ist nicht unüblich und nicht an sich zu beanstanden. Sodann ist es auch sachgerecht und unerlässlich, der amtlichen Vertretung prozessuale Entscheide und Unterlagen zuzustellen, andernfalls die Verteidigung ihre Aufgabe nicht wahrnehmen könnte. Wie das Bundesgericht bereits im Zusammenhang mit dem vor ihm eingereichten Ausstandsgesuch gegen die bundesrichterliche Instruktionsrichterin festgehalten hat, liegt darin kein Hinweis auf Befangenheit, wenn Verfahrensakten bzw. Entscheide dem amtlichen Verteidiger mitgeteilt werden, solange dieser nicht formell von seinem Mandat wieder entbunden ist.
8.4. Der Beschwerdeführer macht verschiedene Verfahrensmängel geltend. So verknüpfe die Staatsanwältin die verschiedenen Verfahren in unzulässiger Weise. Insbesondere mache sie das vom Beschwerdeführer mit Anzeige eingeleitete Verfahren vom Ausgang des anderen Verfahrens abhängig, das gegen ihn geführt werde. Da die Nichtanhandnahmeverfügung vom 27. September 2019 rechtskräftig geworden sei, gebe es jedoch nichts mehr abzuwarten. Hingegen läuft immer noch eine andere Untersuchung gegen den Beschwerdeführer aufgrund einer weiteren Strafanzeige seines Gegenparts. Inwiefern aus einer parallelen Behandlung der gegenseitigen Anzeigen die Voreingenommenheit der Staatsanwältin abzuleiten wäre, ist nicht erkennbar. Der Beschwerdeführer rügt weiter, er sei bisher noch nicht einvernommen worden und habe sich in den Untersuchungen noch nicht äussern können. Im Rahmen ihres Antrags auf Entsiegelung von in der Strafuntersuchung sichergestellten elektronischen Datenträgern habe die Staatsanwältin einen provisorischen Anklagevorwurf erhoben, was ihre Voreingenommenheit belege. Indessen setzt eine Entsiegelung als Zwangsmassnahme einen hinreichenden Tatverdacht voraus (vgl. Art. 248 i.V.m. <ref-law>), der auch ausreichend belegt werden muss. Aus der Begründung eines solchen Tatverdachts lässt sich keine Befangenheit ableiten. Dass die Staatsanwältin mit der Anhörung des Beschwerdeführers zuwartet, bis erste, insbesondere die sichergestellten, Beweismittel ausgewertet werden können, ist ebenfalls nicht zu beanstanden. Überdies trägt der Beschwerdeführer mit seinen unzähligen Eingaben und den erhobenen Rechtsmitteln selbst zur Verfahrensverlängerung bei. Soweit er dabei Parteirechte wahrnimmt, steht ihm das zwar zu; er kann daraus aber keinen Vorwurf gegenüber der Staatsanwältin ableiten.
8.5. Schliesslich wirft der Beschwerdeführer der Staatsanwältin vor, ihn im Gespräch mit herabwürdigenden oder stigmatisierenden Begriffen bezeichnet zu haben. Das Obergericht beurteilte dies jedoch als nicht belegt. Der Beschwerdeführer vermag nicht darzutun, dass die entsprechenden Tatsachenfeststellungen offensichtlich unrichtig wären (vgl. E. 5).
8.6. Was der Beschwerdeführer sonst noch an Argumenten für eine Ausstandspflicht der Staatsanwältin vorträgt, ist entweder nicht ausreichend substanziiert oder von vornherein nicht geeignet, den Ausstand zu begründen. Besonders krasse oder wiederholte Fehlleistungen der Staatsanwältin sind bis zum hier massgeblichen Zeitpunkt vom 28. Juli 2020, als die angefochtenen Entscheide ergingen, nicht ersichtlich. Insbesondere vermögen die allgemeinen Ausführungen des Beschwerdeführers zu den Menschenrechten keine Verletzung derselben zu belegen. Die angefochtenen Entscheide verstossen demnach nicht gegen Bundesrecht unter Einschluss der Grund- und Menschenrechte.
9.
Die Beschwerden erweisen sich als unbegründet und sind abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann und sie nicht gegenstandslos geworden sind.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig. Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen (vgl. <ref-law>). Es ist bereits fraglich, ob er seine Bedürftigkeit, trotz einer eingereichten Steuerveranlagung für das Jahr 2019, zureichend belegt hat. So oder so erscheinen seine Rechtsbegehren jedoch als von vornherein aussichtslos. Damit sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen, wobei insbesondere auf den am Bundesgericht konkret für die Bearbeitung des vorliegenden Urteils angefallenen Aufwand abzustellen ist und den angeblich angespannten finanziellen Verhältnissen des Beschwerdeführers bei der Festlegung der Gerichtsgebühr Rechnung getragen werden kann (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die bundesgerichtlichen Verfahren 1B_395/2020 und 1B_409/2020 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist und sie nicht gegenstandslos geworden sind.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird in beiden Verfahren abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich (Besondere Untersuchungen), dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, und C._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Januar 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Uebersax