Faits :
A.
Par jugement du 4 septembre 2017, A._ a été reconnue coupable d'infanticide et condamnée à 24 mois de privation de liberté, sous déduction de la détention avant jugement, avec sursis pendant deux ans. Ce jugement se prononçait, en outre, sur la levée du séquestre sur divers objets, ainsi que sur les frais et indemnités.
B.
Saisie d'un appel du ministère public, par jugement du 9 octobre 2019, la Cour pénale I du Tribunal cantonal valaisan l'a rejeté et a confirmé le jugement de première instance. En bref, le jugement sur appel repose sur l'état de fait suivant.
B.a. A._ est née en 1982 à B._, où elle a vécu avec ses parents et sa soeur aînée. Elle a obtenu, après deux ans de formation, un certificat fédéral de capacité de vendeuse. En 2002, elle a rencontré C._, né en 1981. Le 12 août 2004, elle a donné naissance à l'enfant prénommé D._. C._ et A._ se sont mariés en 2007, à E._. Leur second fils, F._, est né en 2008. A la suite de difficultés conjugales, A._ est retournée vivre auprès de ses parents, à G._, avec ses deux fils. Dès le 1 er janvier 2011, elle y a trouvé du travail à temps partiel en tant qu'aide de cuisine dans une crèche. Elle a pris à bail un appartement de trois pièces et demie, dans le même bâtiment que celui de ses parents. Elle a, par la suite, été mise au bénéfice d'une rente AI à 100%.
B.b. Enceinte des oeuvres de son nouveau compagnon, H._, rencontré en 2012, elle n'a découvert sa grossesse que lorsque le travail s'est déclenché, alors qu'elle se trouvait dans son appartement, en présence de son fils cadet. Grâce à l'intervention de ses parents, elle a finalement accouché dans l'ambulance, donnant naissance à I._, en 2013. Après avoir décidé de la faire adopter, elle a révoqué son consentement en temps utile, de sorte que sa fille lui a été confiée. Le divorce des époux A._ et C._ a été prononcé le 9 décembre de la même année.
B.c. En raison d'une cécité brutale à l'oeil gauche, A._ a séjourné au service de neurologie de l'Hôpital de J._, du 1 er au 13 octobre 2015. Dans le cadre d'une série d'examens, un scanner du thorax a été effectué. Les médecins ont alors découvert que la patiente était enceinte d'un quatrième enfant, dont la naissance était prévue aux alentours du 10 décembre 2015. A._ a mal réagi à cette annonce et a caché la grossesse à ses proches, ainsi qu'au père de l'enfant, H._, dont elle redoutait la réaction. Lors de la consultation conjointe gynéco-obstétrique et pédiatrique du 18 novembre 2015, elle a exprimé le désir que l'enfant à naître soit confié à l'adoption. Le réseau ad hoc a été mis en place.
B.d. Selon les faits, repris sans modification par les autorités cantonales de l'acte d'accusation, dans la nuit du mardi 1 er décembre 2015, A._ a débuté son travail d'accouchement sur son canapé, à son domicile de K._. Elle s'est déplacée dans la salle de bain pour accoucher dans la baignoire, vers 4 heures. Après avoir accouché, elle a expulsé le placenta, coupé le cordon ombilical avec [des] ciseau[x], puis emmailloté le nouveau-né, qu'elle a placé à côté d'elle, sur son bras, lorsqu'elle s'est couchée sur son canapé-lit. Elle n'a pas regardé l'enfant, ne l'a pas caressé, ne lui a pas parlé et n'a eu aucun geste à son égard durant l'heure où elle est restée couchée avec lui. Sans le vouloir et alors qu'elle était à moitié endormie, elle l'a nourri durant une demi-heure, le nouveau-né venant de lui-même car il cherchait son sein. Vers 6 heures 30, A._ a déposé son nouveau-né sur le tapis de la salle de bain. Elle a pris un linge qu'elle a maintenu sur la tête de l'enfant de ses deux mains et l'a étouffé durant une demi-heure. Pendant qu'elle l'étouffait, elle sentait les battements du coeur du nouveau-né car en serrant le linge sur son visage, elle avait positionné son bras droit sur le coeur de l'enfant. Durant l'acte, celui-ci a gigoté quelque peu et poussé de petits cris.
A._ n'a jamais eu l'intention de garder ce bébé parce que ses trois premiers enfants lui suffisaient et qu'elle n'avait pas assez de place dans son appartement pour en garder un de plus. Elle a tué son benjamin afin que ses proches ignorent son existence, qu'il parte et que le problème se règle ainsi, par la mort.
Après lui avoir ôté la vie, A._ a déposé son corps dans une armoire à vêtements, dans la chambre à coucher de ses deux fils. Elle a levé ses trois enfants, leur a préparé le déjeuner avant qu'ils s'en aillent à l'école et à la crèche pour sa fille. Une fois seule, A._ a pris le corps du bébé mort et lui a parlé durant une demi-heure. Elle l'a placé ensuite dans un sac à poubelles, puis dans un coffre sur le balcon. Cela fait, elle s'est affairée dans la maison et a décoré le sapin de Noël. Elle a pris ensuite le repas de midi avec ses parents et son aîné. Vers 14 heures, elle a saisi le sac où se trouvait la dépouille de l'enfant et l'a déposé dans la poubelle de la maison. Puis, elle a jeté la poubelle avec le cadavre, le placenta et le cordon ombilical, dans un " molok ".
B.e. A la suite de ces événements, A._ ne s'est pas présentée au rendez-vous fixé le 9 décembre 2015 (terme théorique de la grossesse) avec une sage-femme ni n'a répondu aux appels téléphoniques de l'Hôpital de J._. Le jour-même, L._, sa mère, a été informée par une sage-femme que sa fille avait manqué un rendez-vous, que celle-ci était enceinte et que la grossesse était à son terme. L'intéressée a contacté sa fille pour lui conseiller de prendre contact avec l'Hôpital de J._. En regagnant son domicile, L._ a déclaré à sa fille, par le biais de l'interphone, qu'elle l'attendait chez elle. A._ s'est rendue au domicile de ses parents, avec I._, et a avoué à sa mère qu'elle avait accouché et qu'elle avait complètement paniqué; elle ne savait plus comment réagir. L._ a compris que sa fille s'était séparée du nouveau-né, sans que celle-ci ne le dise clairement.
B.f. Le 10 décembre 2015, A._ a contacté téléphoniquement l'Hôpital de J._ et a informé les professionnels qu'elle avait accouché. Son interlocuteur lui a dit qu'elle pouvait se présenter au service de périnatalité avec son bébé. Elle s'est rendue seule à l'Hôpital de J._ par les transports publics. Informés que cette dernière était venue seule, la sage-femme conseil M._ ainsi que le Dr N._, pédo-psychiatre, ont questionné A._ au sujet de la localisation de l'enfant. C'est à ce moment-là qu'elle a avoué et décrit ce qui s'était passé. Le spécialiste a expliqué qu'elle " semblait soulagée de pouvoir expliquer ce qu'elle avait fait " et qu'il avait "eu l'impression qu'elle avait accepté de venir vers [eux] pour cette raison ".
B.g. A._ a été placée à l'Hôpital de O._ sur un mode volontaire du 10 au 22 décembre 2015, puis maintenue dans cet établissement à des fins d'expertise du 23 décembre 2015 au 22 février 2016. Elle a ensuite regagné son domicile.
B.h. En cours d'instruction, le Dr P._, psychiatre et psychothérapeute FMH, a été mandaté afin de procéder à une expertise. Il a rendu son rapport le 12 février 2016 et s'est encore exprimé dans un complément du 8 avril 2016, puis en audience ainsi qu'en réponse à des questions écrites du procureur. Il a conclu, en substance, à l'existence de divers troubles de la personnalité dans un contexte associé à la puerpéralité, tout en excluant résolument toute influence de l'état puerpéral dans la commission des faits.
C.
Le Ministère public du canton du Valais forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement sur appel du 9 octobre 2019. Il conclut, avec suite de frais, principalement à sa réforme en ce sens que A._ soit condamnée à 10 ans de privation de liberté, sous déduction de la détention avant jugement, pour assassinat. A titre subsidiaire, il demande l'annulation du jugement querellé et le renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants.
Mise au bénéfice de l'assistance judiciaire, A._ a été invitée à déposer des observations sur le recours par l'entremise de Maître Jean-Claude Vocat, désigné conseil d'office pour la procédure fédérale. Elle a conclu à son rejet par acte du 19 décembre 2019. Cette écriture a été transmise au Ministère public valaisan à titre de renseignement. La cour cantonale a renoncé à répondre au recours.

Considérant en droit :
1.
Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir violé les art. 112, 116 CP et 189 CPP, ainsi que d'avoir apprécié arbitrairement (art. 9 Cst.) l'expertise judiciaire. Il soutient que, le juge n'ayant pas les connaissances nécessaires pour statuer sur l'absence, le début ou la fin de l'état puerpéral et ses effets, savoir si la mère se trouvait au moment de l'acte homicide sous l'influence de cet état constituerait une condition personnelle dont la réalisation devrait être établie par expertise. Soulignant que l'existence même de cet état, affirmée par l'expert, n'est pas contestée, le recourant reproche à la cour cantonale de s'être arbitrairement écartée des conclusions du psychiatre en retenant que l'acte homicide avait été commis " sous l'influence " de cet état, le médecin ayant exclu sans ambiguïté un tel effet. La cour cantonale aurait ainsi qualifié à tort l'acte d'infanticide, alors qu'il présenterait toutes les caractéristiques d'un assassinat.
2.
2.1. Dans le recours en matière pénale, le Tribunal fédéral est lié par les constatations de fait de la décision entreprise (<ref-law>), sous les réserves découlant des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, soit pour l'essentiel de l'arbitraire dans la constatation des faits (sur cette notion, v. <ref-ruling> consid. 3.4 p. 53 et les références citées; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 205). Le Tribunal fédéral n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce moyen est invoqué et motivé par le recourant (<ref-law>), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de manière claire et détaillée. Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 368 et les références citées).
Par ailleurs, selon la jurisprudence, le juge apprécie librement une expertise et n'est, dans la règle, pas lié par les conclusions de l'expert. Toutefois, il ne peut s'en écarter que lorsque des circonstances ou des indices importants et bien établis en ébranlent sérieusement la crédibilité; il est alors tenu de motiver sa décision de ne pas suivre le rapport d'expertise (<ref-ruling> consid. 4.3.1 p. 198 s.). Inversement, si les conclusions d'une expertise judiciaire apparaissent douteuses sur des points essentiels, le juge doit recueillir des preuves complémentaires pour tenter de dissiper ses doutes. A défaut, en se fondant sur une expertise non concluante, il pourrait commettre une appréciation arbitraire des preuves et violer l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.3.1 p. 199).
2.2. Conformément à l'<ref-law>, la mère qui aura tué son enfant pendant l'accouchement ou alors qu'elle se trouvait encore sous l'influence de l'état puerpéral sera punie d'une peine privative de liberté de trois ans au plus ou d'une peine pécuniaire. Cette forme privilégiée du meurtre constitue un délit spécial dont l'auteur ne peut être que la mère. Outre la réalisation des éléments constitutifs de l'homicide d'un enfant, cette qualification suppose que l'acte ait été commis durant l'accouchement ou dans un certain laps de temps après celui-ci. Par opposition, par exemple, à l'<ref-law> (meurtre sur demande de la victime), l'atténuation en cas d'infanticide porte sur la seule culpabilité de l'auteur et non sur l'illicéité de l'acte (MARTIN SCHUBARTH, Kommentar zum schweizerischen Strafrecht, Schweizerisches Strafgesetzbuch, Besonderer Teil, vol. I, 1982, no 17 ad <ref-law>; STEFAN DISCH, L'homicide intentionnel, 1999, p. 452). Ce privilège légal repose sur diverses considérations, tenant non seulement à l'état physiologique et psychologique résultant pour la mère de la parturition, notamment les douleurs et l'épuisement, mais aussi aux circonstances globales entourant la grossesse et l'accouchement, le fait notamment que l'enfant n'ait pas été désiré, respectivement que la mère, cas échéant jeune ou très jeune, sans soutien, ou encore en situation précaire, se trouve dans un état de détresse morale ou matérielle, en situation de déni de grossesse (LUTZ KRAUSKOPF, Die Kindestötung in Deutschland, Frankreich und der Schweiz, Hambourg 1971, p. 91 et le renvoi à p. 17; SCHUBARTH, op. cit., n os 13 et 15 ad <ref-law>; STRATENWERTH/JENNY/BOMMER, Schweizerisches Strafrecht, BT I, 7 e éd. 2010, § 1 no 69; HURTADO POZO/ILLÀNEZ, in Commentaire romand Code pénal II, 2017, n os 8 et 10 ad <ref-law>). Dans de telles circonstances, en présence d'un déni surtout, une relation suffisamment intime et intense entre la parturiente et l'enfant ne se crée pas de manière si immédiate que l'enfant soit prémuni de tout risque d'agression. En d'autres termes, et dans une autre perspective, l'enfant à peine devenu individu est plus exposé et vulnérable à de telles agressions non seulement en raison de sa fragilité intrinsèque mais aussi du développement insuffisant des facultés inhibitrices maternelles (SCHUBARTH, op. cit., no 14 ad <ref-law>; STRATENWERTH/JENNY/BOMMER, op. cit., § 1 no 68; TRECHSEL/GETH, in Schweizerisches Strafgesetzbuch Praxiskommentar, 3 e éd. 2018, no 1 ad <ref-law>; BERNARD CORBOZ, Les principales infractions, vol. I, 3 e éd. 2010, n os 8 ss ad <ref-law>; DISCH, op. cit., p. 452; ANDREAS DONATSCH, Strafrecht III, 11 e éd. 2018, p. 32 s.; SCHWARZENEGGER/GURT, in Basler Kommentar Strafrecht I, 4 e éd. 2018, no2 ad <ref-law>).
Le texte légal ne conditionne pas le bénéfice de l'atténuation à l'existence démontrée d'une perturbation psychique et/ou d'une situation pécuniaire ou sociale difficile (TRECHSEL/GETH, op. cit. no3 ad <ref-law>; CORBOZ, op. cit., no 12 ad <ref-law>). La preuve d'un ensemble de circonstances constituant une gêne si importante qu'elles pourraient expliquer jusqu'à un certain point l'acte, en constituer le mobile, autoriser un regard plus clément sur la culpabilité de la mère infanticide, n'a pas à être rapportée; du reste le mobile de l'acte demeure sans influence sur la qualification (KRAUSKOPF, op. cit., p. 95; STRATENWERTH/JENNY/BOMMER, op. cit., § 1 no 69; DISCH, op. cit., p. 457; HURTADO POZO/ILLÀNEZ, op. cit., no 8 ad <ref-law>; DONATSCH, op. cit., p. 32; SCHWARZENEGGER/GURT, op. cit., no2 ad <ref-law>). Par ailleurs, l'état puerpéral est présumé de manière irréfragable au moment de l'accouchement (KRAUSKOPF, op. cit., p. 94; SCHUBARTH, op. cit., no 16 ad <ref-law>; TRECHSEL/GETH, op. cit., no3 ad <ref-law>; DISCH, op. cit., p. 455; HURTADO POZO/ILLÀNEZ, op. cit., no 9 ad <ref-law>). Au-delà, la période durant laquelle cet état subsiste ne pouvant être déterminée de manière générale (SCHUBARTH, op. cit., no 16 ad <ref-law>; SCHWARZENEGGER/GURT, op. cit., no2 ad <ref-law>), il s'agit d'établir si la mère " se trouvait encore sous l'influence de l'état puerpéral ". C'est en principe le domaine de l'expertise (HURTADO POZO/ILLÀNEZ, op. cit., no 10 ad <ref-law>).
2.3. En l'espèce, il est constant que l'intimée a agi deux heures et demie environ après la fin de l'accouchement (v. supra consid. B.d), que la question de l'état puerpéral au moment de l'acte a fait l'objet d'une expertise et que l'expert en a confirmé l'existence. Le recourant reproche, en revanche, à la cour cantonale d'être tombée dans l'arbitraire en ne suivant pas l'expert, qui a nié que cet état ait influencé l'acte.
2.3.1. Si l'<ref-law> exige, pour qu'elle bénéficie de l'atténuation, que la mère qui a agi après la fin de l'accouchement se trouvât "encore sous l'influence de l'état puerpéral ", il ne s'agit, toutefois, pas d'établir qu'elle a été si perturbée psychiquement que l'état puerpéral a entraîné un état d'irresponsabilité, car l'<ref-law> suppose, quant aux éléments subjectifs de l'homicide, tout au moins le dol éventuel (CORBOZ, op. cit., no 13 ad <ref-law>; DONATSCH, op. cit., p. 33; HURTADO POZO/ILLIÀNEZ, op. cit., no 11 ad <ref-law>). Un état d'irresponsabilité particulier exorbitant des seules circonstances de l'enfantement doit, au contraire, être pris en compte au titre des règles générales sur la diminution de responsabilité (SCHUBARTH, op. cit., no 22 ad <ref-law>; TRECHSEL/GETH, op. cit., no 6 ad <ref-law>; DISCH, op. cit. p. 456), respectivement, l'absence d'intention conduire à l'application de l'<ref-law> (TRECHSEL/GETH, op. cit., no 4 ad <ref-law>). La loi présume de manière irréfragable la diminution de la responsabilité de la mère résultant de l'accouchement au moment de celui-ci et durant un certain temps après (SCHUBARTH, op. cit., no 12 ad <ref-law>; TRECHSEL/GETH, op. cit., no 1 ad <ref-law>). La preuve à rapporter porte dès lors sur la subsistance, lorsque la mère a agi après l'accouchement, de l'état physiologique particulier dont l'existence et l'influence étaient irréfragablement présumées durant le travail et jusqu'à la délivrance (SCHWARZENEGGER/GURT, op. cit., no2 ad <ref-law>; DISCH, op. cit., p. 455; HURTADO POZO/ILLÀNEZ, op. cit., no 10 ad <ref-law>). Dans sa conception juridique (v. supra consid. 2.2), cet état puerpéral n'exclut certes pas toute dimension psychique. Celle-ci procède, toutefois, essentiellement de composantes relatives aux conséquences naturelles de l'accouchement (épuisement et douleurs), dans un contexte spécifique mais non d'un état à proprement parler psychopathologique, psychiatrique (v. p. ex.: KRAUSKOPF, op. cit., p. 92). Aussi, la doctrine n'exige-t-elle pas que l'expertise mette en évidence, spécialement, l' influence de cet état sur le comportement de la mère.
Cette approche apparaît conforme à la loi. En effet, la distinction entre les deux moments considérés par le texte légal (l'accouchement puis quelques temps encore) ne repose pas sur l'idée d'une rupture brutale dans la situation de la mère au moment précis où prend fin l'accouchement mais d'un retour graduel à la normale ensuite de cet événement. La mention de ces deux temps dans le texte légal n'a ainsi pas vocation à les opposer, nonobstant leur coordination maladroite par la conjonction " ou ", mais n'a guère d'autre portée que de délimiter les champs d'application respectifs des art. 116 (infanticide) et 118 CP (interruption de grossesse), cependant que la fin de l'état puerpéral entraîne l'application des autres formes de l'homicide (SCHUBARTH, op. cit., no 8 ad <ref-law>; HURTADO POZO/ILLÀNEZ, op. cit., n os 9 et 10 ad <ref-law>). Les deux moments cités par la loi recouvrent, en réalité, un seul et même état (STRATENWERTH/JENNY/BOMMER, op. cit., § 1 no 67; DISCH, op. cit., p. 455). Comme l'indique l'adverbe " encore ", on s'interroge sur sa dissipation.
2.3.2. L'expert a conclu à l'existence d'un trouble anxieux dans le cadre d'une agoraphobie (F-40.00) et de phobie sociale (F-40.1), de réaction aiguë à un facteur de stress (F-3.0), de trouble type angoisse de séparation depuis l'enfance (F-93.0) et constitutif de la personnalité anxieuse/évitante (F-60.6) prémorbide, dans un contexte associé avec la puerpéralité (099.3). Il a qualifié ces troubles de maladies psychiatriques modérément sévères, qui n'avaient pas altéré la capacité de travailler de l'intéressée. Quant à la puerpéralité, il l'a définie comme la période qui s'étend de la gestation à peu après l'accouchement, relevant que " [d]ans les conditions usuelles, l'expulsion placentaire suit dans l'heure [et] le myomètre (partie musculeuse de l'utérus) involue en quelques jours grâce à divers processus enzymatiques, avec la dégradation des protéines accumulées ", ces étapes " constitu[ant] la puerpéralité ".
Ce spécialiste est cependant parvenu à la conclusion qu'il fallait exclure toute influence de l'état puerpéral sur la commission des faits parce que l'intimée ne présentait pas de manifestations symptomatiques particulières. Elle n'avait fait état d'aucune anxiété, ni de phobie ni de peur dans la narration des faits reprochés. Elle n'avait " pas davantage indiqué ou suggéré ni obnubilation, ni stupeur, ni conscience obscurcie, embrouillée "; " aucune de ses activités psychiques ne fut entravée, [et] ses synthèses mentales furent efficientes [et] rapides "; " l'activité perceptive n'avait pas été déficitaire [et] la perception du monde extérieur est demeurée claire [et] rapide ". L'expert n'a ainsi noté aucun indice en faveur d'un trouble comportemental lié à l'état puerpéral, c'est-à-dire ni psychose du post-partum, ni post-partum blues, ni réaction dépressive névrotique. Des facteurs de stress émotionnels étaient certes relevés depuis l'annonce de la grossesse, mais aucun indice ne permettait de conclure que l'un ou l'autre fût susceptible d'induire, produire, faciliter ou aggraver l'une de ces pathologies psychiques durant l'état de gestation.
Dans un complément du 8 avril 2016, l'expert a précisé que les recommandations nosographiques CIM-10 indiquaient que la conjonction d'une quelconque pathologie/maladie/atteinte à la santé, de nature somatique ou psychique, survenant durant la période de la gestation à peu après l'accouchement " [devait] nosographiquement " être cotée comme un " état associé à la puerpéralité [et] donner lieu au codage supplétif 099.3 ". C'est donc dans un souci de conformité avec ces recommandations internationales de codage qu'il avait repris dans son rapport la notion " associant la puerpéralité " avec ces diagnostics d'atteinte psychique. Il a ajouté qu'il ne s'agissait là en aucune manière et d'aucune façon d'établir un lien de subordination entre l'état puerpéral et l'expression de ces psychopathologies, que ce soit le premier qui induise ou affecte le second ou l'inverse. L'état puerpéral de la prévenue, " au sens biologique [et] psychique " n'avait " aucunement impacté sur ses troubles psychiatriques ni sur ses conduites au moment de la commission des faits reprochés ". En définitive, aux yeux de l'expert, il " n'y a[vait] eu aucune influence de ce contexte gestationnel sur l'expression psychopathologique ni dans la commission présumée de l'infraction reprochée "; " ce contexte gestationnel n'a[vait] pas impacté sur le niveau de la responsabilité de l'expertisée ".
Interrogé lors des débats d'appel, le psychiatre a encore apporté quelques éclaircissements sur le rapport initial et sur son complément. Selon lui et du point de vue médical uniquement, pour que l'influence de l'état puerpéral puisse être retenue, il fallait nécessairement constater l'existence de l'une des trois expressions psychopathologiques mentionnées dans son rapport, soit la psychose post-partum, le post-partum blues ou la réaction dépressive névrotique. Il a confirmé que, selon lui, toute influence de l'état puerpéral dans la décision fatale prise par la prévenue pouvait être exclue, précisant qu'il se référait à la notion médicale, voire biologique de l'état puerpéral, tout en rappelant que les trois syndromes (ou expressions psychopathologiques) ne se manifestent pas immédiatement après l'accouchement, mais quelques jours plus tard.
Enfin, dans ses réponses écrites aux questions posées par le procureur, il a encore confirmé l'existence de l'état puerpéral au moment des faits " parce que cela correspond à la réalité médicale obstétrique ", en rappelant que " [l]a puerpéralité correspond à la période qui s'étend de la gestation à peu après l'accouchement ". Sur l'influence de cet état dans la commission des faits reprochés, il a derechef exposé que " [l]es précisions du dossier judiciaire remis à l'étude [et] le recueil anamnestique [et] clinique de [son] examen a[vaient] permis d'exclure " la présence de l'une des " trois pathologies pouvant autoriser un lien entre la commission des faits reprochés [et] la survenue d'une psychopathologie liée à la puerpéralité ", soit la psychose précoce du post-partum, le syndrome du 3 ème jour ou post-partum blues ou encore les états dépressifs du post-partum. Interrogé sur un élément qui aurait joué un rôle déclencheur ou moteur de l'acte commis, le spécialiste a énoncé que " seule la réaction aiguë à un facteur de stress [...] p[ouvait] avoir joué un rôle dans la commission des faits reprochés ", relevant que cela restait " incertain " puisqu'il n'avait constaté, dans la description des faits [...], " aucun débordement émotionnel dans les actes ". Il n'estimait cependant pas que ce rôle " fût déclencheur ", rappelant que c'est " à la confrontation de son obligation de réveiller ses aînés que la prévenue alors a[vait] paniqué ". L'expert a encore précisé que " [l]a richesse des détails développés en § 2.1 exclu[ait] une confusion mentale ou un état dissociatif de la prévenue " et que " [t]out comportement (délictueux) ne relève pas d'une maladie psychiatrique [et] toute maladie psychiatrique ne relève pas d'un comportement délictueux ".
2.3.3. Il résulte de ce qui précède qu'au-delà de la mise en évidence d'un état puerpéral et d'éléments suggérant qu'il aurait pris fin au moment où l'intimée a agi, l'expert a surtout cherché à démontrer que l'état même de parturiente ne pourrait pas, à lui seul, être considéré d'un point de vue scientifique, médical, comme un facteur causal du passage à un acte homicide. Il a ainsi souligné l'importance, au plan médical, des " trois syndromes (ou expressions psychopathologiques) " que sont la psychose précoce du post-partum, le syndrome du 3 ème jour ou post-partum blues ou encore les états dépressifs du post-partum. Il a cependant aussi expliqué que ces syndromes ne " se manifestent pas immédiatement après l'accouchement, mais quelques jours plus tard ". Cela met en lumière l'écart existant entre la conception de l'état puerpéral qui sous-tend la norme pénale telle qu'elle a été conçue au tournant du XIX e siècle, et les connaissances médicales actuelles (v. sur l'histoire de cette disposition, issue de l'avant-projet de Code pénal de 1894: KRAUSKOPF, op. cit., p. 90; v. aussi DISCH, op. cit., p. 457 s.). En effet, l'éclairage médical apporté par l'expert, dont il n'y a pas lieu de remettre en cause le bien-fondé au plan scientifique, conduirait, même dans la phase de l'accouchement, à nier toute influence de l'état puerpéral en l'absence de manifestations psychopathologiques qui n'apparaissent, en règle générale, que plusieurs jours après la délivrance. Aussi, dût-on interpréter le texte légal à la lumière de cette approche, que la norme serait irrémédiablement vidée de toute portée. Par ailleurs, comme on l'a vu, la loi présume de manière irréfragable l'influence de cet état durant la phase de l'accouchement et, en l'espèce, l'intimée a tué son enfant à peine deux heures et demie après sa venue au monde. Interpréter la loi en ce sens que l'influence de l'état puerpéral serait présumée durant l'accouchement, mais que l'existence d'une véritable pathologie devrait être démontrée par expertise dès après la fin du travail, introduirait une rupture dans la manière dont la loi appréhende un processus naturel qui ne peut être que continu.
Une partie de la doctrine a souligné depuis longtemps que l'<ref-law>, empreint des conceptions de la fin du XIX e siècle et de la première moitié du XX e siècle, apparaissait dépassé tant au regard de l'évolution sociétale (v. DISCH, op. cit., p. 453; CORBOZ, op. cit., no 11 ad <ref-law>) que des connaissances médicales (SCHWARZENEGGER/ GURT, op. cit., no2 ad <ref-law>). Il a aussi été mis en évidence que ce privilège, notamment le maximum légal de la peine, pouvait apparaître choquant aux yeux de certains lorsque, par exemple, l'intention homicide de la mère se fait jour en cours de grossesse déjà (SCHWARZENEGGER/GURT, op. cit., n os 2 et 7 ad <ref-law>; v. aussi sur cette question, traitée de longue date en doctrine: SCHUBARTH, op. cit., no 29 ad <ref-law> et les références citées). Une telle situation suggère en effet plus un homicide prémédité qu'un comportement résultant de la seule conjonction, dans la période périnatale, de facteurs psychiques, physiques, sociaux et économiques. Mais cela demeure pourtant sans influence sur la qualification au regard de l'<ref-law>, qui prime toutes les autres formes d'homicide, l'assassinat notamment (KRAUSKOPF, op. cit., p. 94 s.; SCHUBARTH, op. cit., no 27 ad <ref-law>; TRECHSEL/GETH, op. cit. no3 ad <ref-law>; DISCH, op. cit., p. 466; HURTADO POZO/ILLÀNEZ, no 17 ad <ref-law>). Ces questions et les approches différentes opposant cantons et partis, notamment ceux pour lesquels la sanction de l'infanticide aurait dû demeurer compatible avec celle d'un crime, ont déjà été discutées à l'occasion de diverses révisions législatives et la mansuétude croissante dont on a progressivement fait preuve en matière d'infanticide depuis la fin du XIX e siècle résulte de choix du législateur, désireux de suivre l'évolution des moeurs et les progrès de la médecine (v. SCHUBARTH, op. cit., p. 127 s.; DISCH, op. cit., p. 457 s.). Il n'y a donc pas lieu de revenir sur ces choix par le biais d'une interprétation jurisprudentielle, qui viderait la norme telle qu'elle a été voulue par le législateur de toute portée ou qui introduirait, a minima, au mépris de toute cohérence, une solution de continuité à la fin de l'accouchement, dans un processus de normalisation qui ne peut être que graduel, ce que le texte légal exprime sans ambiguïté par la locution " alors qu'elle se trouvait encore sous l'influence de l'état puerpéral ".
2.3.4. Il résulte de ce qui précède que les conclusions de l'expert quant à l'absence d'influence de l'état puerpéral sur le comportement de l'intimée ne sont pas déterminantes pour l'application de l'<ref-law>. On ne saurait dès lors reprocher à la cour cantonale de n'avoir pas suivi l'expert sur ce point, qui ressortit à la seule application du droit fédéral et non à l'établissement des faits ou à l'appréciation des preuves.
Contrairement à ce que soutient le recourant dans la perspective de l'<ref-law>, cela ne doit conduire ni à compléter l'expertise ni à en ordonner une nouvelle. En effet, indépendamment de la question de l' influence, l'expert s'est exprimé sur le point de fait topique médical de savoir si l'état puerpéral était bien présent au moment de l'acte et le recourant ne soulève aucun grief en relation avec cet aspect du rapport, respectivement l'appréciation des preuves opérée à cet égard par la cour cantonale. Il s'ensuit que l'on ne saurait reprocher à cette dernière d'avoir retenu arbitrairement que l'état puerpéral était encore présent lorsque l'intimée a agi. Cette condition étant réalisée, l'application de l'<ref-law> est conforme au droit fédéral, ce qui exclut aussi l'<ref-law>.
3.
Pour le surplus, comme déjà devant la cour cantonale, le recourant ne critique pas spécifiquement, à titre subsidiaire, la peine infligée par la cour cantonale, qui a, quant à elle, renvoyé à la motivation du jugement de première instance, qu'elle a faite sienne (arrêt entrepris, consid. 7 et 8, p. 20). On peut, dès lors, se limiter, en renvoyant quant aux principes applicables aux <ref-ruling> et 134 IV 17 (consid. 2.1 et les références citées), à relever que les autorités cantonales n'ont pas abusé de leur pouvoir d'appréciation en taxant la culpabilité de l'intimée comme de gravité moyenne dans le cadre d'un infanticide et en arrêtant en conséquence la quotité de la sanction, qui n'excède pas le cadre légal. Elles ont notamment tenu compte d'une responsabilité pleine et entière, de l'intention manifestée, de l'importance du bien juridique lésé ainsi que du caractère particulièrement répréhensible de l'acte dans les circonstances d'espèce (les démarches en vue d'une adoption ayant été entreprises), sans ignorer, cependant, à décharge, que l'intimée, sortie de l'hôpital, s'était à nouveau retrouvée seule, livrée à elle-même et confrontée à son déni de grossesse. Les autorités cantonales ont aussi mentionné le mode d'exécution qui, par comparaison avec d'autres cas d'infanticides plus violents décrits par la cour cantonale, n'est pas apparu, aux yeux de cette dernière, comme révélateur d'un comportement " particulièrement brutal ". Au plan subjectif, l'intimée avait voulu faire taire définitivement son bébé qui pleurait afin de dissimuler son existence à ses trois autres enfants dormant à proximité et à toutes les autres personnes ignorant sa grossesse; cela apparaissait futile. Il a été mentionné que les troubles mentaux constatés, sans incidence sur la responsabilité, n'en constituaient pas moins des circonstances personnelles pertinentes sur le plan de la culpabilité, que l'intéressée bénéficiait, par ailleurs, d'une excellente réputation et que cette qualification s'appliquait aussi à son comportement tout au long de la procédure. Elle avait, enfin, manifesté une réelle prise de conscience et les mesures prises (stérilisation volontaire et suivi psychiatrique) autorisaient un pronostic favorable quant au sursis (<ref-law>). On ne discerne, dans ces considérations, aucune violation du droit fédéral qu'il s'imposerait de relever d'office (<ref-law>).
4.
Le recourant succombe. Il n'y a pas lieu de mettre des frais à sa charge (art. 66 al. 1 et 4 LTF). L'intimée obtient gain de cause. Elle peut prétendre des dépens à la charge du canton du Valais (<ref-law>), ce qui règle la question de l'indemnisation de son conseil d'office (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Il n'est pas prélevé de frais judiciaires.
3.
Le canton du Valais versera en main de Me Jean-Claude Vocat, conseil d'office de A._, la somme de 3000 fr. à titre de dépens pour la procédure fédérale.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du Valais, Cour pénale I.
Lausanne, le 5 mars 2020
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Vallat