Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1952) ist niederländischer Staatsangehöriger. Er ersuchte das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt im Hinblick auf eine berufliche Tätigkeit bei der Theatergenossenschaft Basel um eine Aufenthaltsbewilligung, welche mit Verfügung vom 7. August 2015 verweigert wurde. Dagegen gelangte A._ mit Rekurs vom 18. August 2015 an das kantonale Justiz- und Sicherheitsdepartement, das das Rechtsmittel mit Entscheid vom 31. Mai 2016 abwies. Den von A._ dagegen eingereichten Rekurs überwies der Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt an das kantonale Appellationsgericht. Mit Verfügung vom 11. April 2018 wies der Gerichtspräsident ein Gesuch von A._ um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zufolge offensichtlicher Aussichtslosigkeit des Rekurses ab.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 14. Mai 2018 beantragt A._ unter anderem, die Verfügung des Appellationsgerichts vom 11. April 2018 sei aufzuheben, und die Vorinstanz sei anzuweisen, ihm für das bei ihr hängige Gerichtsverfahren die unentgeltliche Rechtspflege mit Advokat Guido Ehrler als Rechtsbeistand zu gewähren. Er bringt vor, die angefochtene Verfügung enthalte keine Begründung, was gegen die Begründungspflicht verstosse (<ref-law>).
Das Migrationsamt, das Justiz- und Sicherheitsdepartement sowie die Vorinstanz beantragen die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein Zwischenentscheid über die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung in einem gerichtlichen Verfahren betreffend eine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA. Der Entscheid wurde von einer letzten kantonalen Gerichtsinstanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts erlassen (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 86 Abs. 2 BGG). Bei Zwischenentscheiden richtet sich der Rechtsweg nach jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382). Der Beschwerdeführer beruft sich als niederländischer Staatsangehöriger, der in der Schweiz gearbeitet habe, auf einen Anspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung gestützt auf Art. 2 bzw. Art. 4 Anhang I FZA (SR 0.142.112.681). Damit steht <ref-law> einer Zulässigkeit der Beschwerde nicht entgegen.
Angefochten ist ein selbstständig eröffneter Zwischenentscheid, mit dem die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im kantonalen gerichtlichen Verfahren verweigert wurde. Ein solcher Zwischenentscheid, der dazu führt, dass der Beschwerdeführer seine Interessen vor Gericht ohne den Beistand eines Anwalts wahrnehmen muss, kann praxisgemäss einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131; Urteile 2C_143/2008 vom 10. März 2008 E. 2; 8C_480/2016 vom 17. November 2016 E. 1.5, je mit Hinweisen). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, erweist sich die Beschwerde als zulässig.
2.
Der Beschwerdeführer macht geltend, der vorinstanzliche Zwischenentscheid genüge dem Anspruch auf eine genügende Begründung als Teilgehalt des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) nicht.
2.1. Nach <ref-law> müssen Entscheide, die der Beschwerde an das Bundesgericht unterliegen, die massgebenden Gründe tatsächlicher und rechtlicher Art, insbesondere die Angabe der angewendeten Gesetzesbestimmungen enthalten. Aus dem Entscheid muss klar hervorgehen, von welchem festgestellten Sachverhalt die Vorinstanz ausgegangen ist und welche rechtlichen Überlegungen sie angestellt hat (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 245 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 84; <ref-ruling> E. 8.2 S. 153). Die Begründungspflicht dient dazu, den Parteien die für den Entscheid massgebenden Umstände zur Kenntnis zu bringen, damit sie sich ein Bild über die Tragweite machen, ihn auf seine Richtigkeit hin überprüfen und gegebenenfalls sachgemäss anfechten können (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 245 f.; Urteil 8C_258/2014 vom 15. Dezember 2014 E. 5.2 mit Hinweis). Zu diesem Zweck sind wenigstens kurz all jene rechtlichen Überlegungen aufzuführen, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die sich sein Urteil stützt (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 236; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; Urteil 2C_272/2016 vom 28. April 2016 E. 2.2). Insoweit stellt <ref-law> für das Verfahren vor der letzten kantonalen Instanz eine Konkretisierung des verfassungsmässigen Anspruchs auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> dar (vgl. Urteile 2C_1045/2017 vom 19. Februar 2018 E. 3.2; 8C_258/2014 vom 15. Dezember 2014 E. 5.2). Eine korrekte nachvollziehbare Begründung ist ausserdem von erheblicher Bedeutung im Hinblick auf die unterschiedlichen Prüfungsbefugnisse des Bundesgerichts bei Sachverhalts- und Rechtsfragen (Art. 95 und 97, 98 BGG). Insbesondere die Notwendigkeit, den massgeblichen Sachverhalt im angefochtenen Entscheid darzustellen, ergibt sich aus der Bindung des Bundesgerichts an die diesbezüglichen Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>; Urteil 5A_466/2014 vom 22. Juli 2014 E. 2.2).
2.2. Der angefochtene Entscheid enthält ausser dem Hinweis auf die Aussichtslosigkeit des Rekurses keine Angabe der massgebenden Gründe tatsächlicher und rechtlicher Art für die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Ebensowenig erwähnt er die angewendeten Gesetzesbestimmungen. In seiner Stellungnahme zur Beschwerde führt der Präsident des Appellationsgerichts aus, dem Beschwerdeführer habe die offensichtliche Aussichtslosigkeit seines Standpunkts bewusst sein müssen, nachdem das kantonale Verwaltungsgericht mit Urteil vom 6. September 2016 festgestellt habe, dass kein Arbeitsvertrag bestanden hatte, und das Bühnenschiedsgericht am 13. Oktober 2017 zur selben Auffassung gelangt sei. Diese Ausführungen geben wie die angefochtene Verfügung keine Auskunft über die angewendeten Gesetzesbestimmungen und die massgebenden Gründe tatsächlicher und rechtlicher Art zur Beurteilung des Gesuchs durch den Gerichtspräsidenten. Sie sind denn auch nicht geeignet, die Anforderungen von <ref-law> nachträglich zu erfüllen.
2.3. Genügt ein Entscheid den gesetzlichen Anforderungen gemäss <ref-law> nicht, so kann das Bundesgericht ihn an die kantonale Instanz zur Verbesserung zurückweisen oder aufheben (<ref-law>). Hingegen steht es ihm nicht zu, sich an die Stelle der Vorinstanz zu setzen, die ihrer Aufgabe nicht nachgekommen ist (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 246; Urteile 8C_204/2018 vom 27. April 2018 E. 3.1; 5D_10/2014 vom 25. März 2014 E. 2.1).
Da die angefochtene Verfügung nach den Ausführungen in E. 2.2 hiervor den Begründungsanforderungen von <ref-law> nicht genügt, ist sie aufzuheben (vgl. BERNARD CORBOZ, in: Bernard Corboz/Alain Wurzburger/ Pierre Ferrari/Jean-Maurice Frésard/Florence Aubry Girardin, Commentaire de la LTF, 2. Aufl. 2014, N. 60 zu <ref-law> mit Hinweisen). Die Vorinstanz wird aufgefordert, einen den gesetzlichen Anforderungen genügenden Entscheid zu fällen.
3.
Aufgrund seines Obsiegens steht dem Beschwerdeführer zu Lasten des Kantons Basel-Stadt eine Parteientschädigung zu (<ref-law>). Gerichtskosten werden keine erhoben (<ref-law>).
Bei diesem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens werden das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung und um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und die Verfügung des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 11. April 2018 wird aufgehoben, soweit darin das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung abgewiesen wurde. Die Sache wird zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an das Appellationsgericht zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Basel-Stadt hat dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 1'500.- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt, dem Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Präsident, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Oktober 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Straub