Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt erhob am 29. April 2020 beim Strafgericht Basel-Stadt Anklage gegen A._ wegen Landfriedensbruchs, mehrfacher qualifizierter Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte sowie Teilnahme an einer nicht bewilligten Versammlung, und zwar im Zusammenhang mit der Teilnahme A._s an einer unbewilligten Demonstration gegen die Kundgebung der Partei National Orientierter Schweizer (PNOS) vom 24. November 2018 beim Messeplatz Basel. Die Staatsanwaltschaft beantragte dabei eine bedingt vollziehbare Freiheitsstrafe von neun Monaten unter Ansetzung einer Probezeit von zwei Jahren sowie eine Busse in der Höhe von Fr. 300.--.
Ein Gesuch A._s bzw. seiner Anwältin um Gewährung der amtlichen Verteidigung vom 17. Juni 2020 wurde vom Strafgerichtspräsidenten Basel-Stadt am 18. Juni 2020 abgewiesen.
B.
Gegen diesen Entscheid gelangte A._ am 3. Juli 2020 an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Am 16. November 2020 wies dieses sein Rechtsmittel kostenpflichtig ab; zugleich bestellte es Advokatin Eva Schürmann zur amtlichen Verteidigerin im Beschwerdeverfahren vor dem Appellationsgericht und sprach ihr (unter Vorbehalt der Rückzahlungspflicht A._s gemäss <ref-law>) eine Entschädigung zu.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 10. Februar 2021 beantragt A._ beim Bundesgericht, den Entscheid des Appellationsgerichts aufzuheben und ihm die amtliche Verteidigung rückwirkend ab dem 17. Juni 2020 zu gewähren. Eventualiter sei die Sache zur Anordnung der amtlichen Verteidigung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem ersucht er um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung für das Verfahren vor Bundesgericht.
Der Strafgerichtspräsident verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das Appellationsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher, selbständig eröffneter Zwischenentscheid in einer Strafsache, der für den Beschwerdeführer einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann, da er die Abweisung des Gesuchs um Gewährung der amtlichen Verteidigung bestätigt. Dagegen steht die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht offen (vgl. Art. 78 Abs. 1, Art. 80 und Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG; <ref-ruling> E. 2.2 S. 205; <ref-ruling> E. 4 S. 338; je mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
1.2. <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
2.
2.1. Nach <ref-law> legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Abs. 1). Es kann diese Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Abs. 2). Von der beschwerdeführenden Person kann die Feststellung des Sachverhalts wiederum nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (<ref-law>) ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (vgl. <ref-law>). Eine entsprechende Rüge ist substantiiert vorzubringen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>), was in der Beschwerde näher darzulegen ist. Der vorinstanzliche Verfahrensausgang allein bildet noch keinen hinreichenden Anlass im Sinne von <ref-law> für die Zulässigkeit von unechten Noven, die bereits im kantonalen Verfahren ohne Weiteres hätten vorgebracht werden können (<ref-ruling> E. 1.2 S. 22 f.).
2.2.
2.2.1. In der Beschwerde wird sinngemäss geltend gemacht, die Vorinstanz habe in willkürlicher Weise angenommen, das Strafgericht werde einzig die Aussagen des Beschwerdeführers und vorhandene Videoaufzeichnungen zu würdigen haben. Nach Auffassung des Beschwerdeführers ist davon auszugehen, dass auch weitere Beweismittel, namentlich Polizeirapporte und Protokolle von Einvernahmen von Polizisten, heranzuziehen sein werden. Letzteres ergebe sich - so der Beschwerdeführer - daraus, dass für eine Verurteilung wegen Landfriedensbruchs sowie qualifizierter Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte eine gewaltbereite Masse notwendig sei und sich dem vorhandenen Videozusammenschnitt nicht entnehmen lasse, ob bereits im Zeitpunkt, in welchem der Beschwerdeführer seine Delikte verübt haben soll, aus dem Demonstrationszug heraus von einer aggressiven Grundstimmung mitgetragene Gewalttätigkeiten verübt wurden.
2.2.2. Die Vorinstanz führte im angefochtenen Entscheid aus, der Beschwerdeführer bestreite nicht, (mit den Händen) mehrere Schläge gegen den Schutzschild des betroffenen Polizisten ausgeführt zu haben. Nach Ansicht der Staatsanwaltschaft sei aus einer Videoaufzeichnung ersichtlich, dass der Beschwerdeführer - was dieser bestreite - dem Polizisten auch Fusstritte verpasst habe. Unter diesen Umständen werde das Strafgericht in tatsächlicher Hinsicht bloss die Aussagen des Beschwerdeführers und die Videoaufzeichnungen zu würdigen haben, zumal seitens des Instruktionsrichters gemäss Beweisverfügung für die Hauptverhandlung keine Zeugen aufgeboten worden seien (E. 3.3.2 des angefochtenen Entscheids).
2.2.3. Es ist nicht ersichtlich, dass die Vorinstanz den Sachverhalt willkürlich festgestellt bzw. die Beweise willkürlich gewürdigt hätte. Denn mit ihren hiervor erwähnten Ausführungen hat die Vorinstanz einzig erklärt, dass es aktuell über die Videoaufzeichnungen und allfällige Aussagen des Beschwerdeführers, welche gegen ihn verwendet werden können, hinaus kein belastendes Beweismaterial gibt, das vom Strafgericht zu würdigen ist und zu einer Verurteilung wegen der in der Anklageschrift aufgeführten Delikte führen könnte. Mit anderen Worten hat sie angenommen, dass kein Anlass zu einer entsprechenden Verurteilung besteht, wenn sich der Tatvorwurf im Rahmen der vom Strafgericht vorzunehmenden Beweiswürdigung nicht gestützt auf das vorhandene Videomaterial und die Aussagen des Beschwerdeführers erhärten lassen sollte. Der Beschwerdeführer legt nicht dar und es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz für diese Annahme unhaltbare Schlüsse aus den vorliegenden Beweisen gezogen oder in anderer Weise eine willkürliche Beweiswürdigung vorgenommen haben soll. Er nennt insbesondere keine Anhaltspunkte dafür, dass ohne eine Würdigung von Polizeirapporten und Protokollen von Einvernahmen von Polizisten im Rahmen der Beweiswürdigung durch das Strafgericht den Beschwerdeführer entlastenden Elementen nicht hinreichend Rechnung getragen werden kann. Bezeichnenderweise bestreitet der Beschwerdeführer im vorliegenden Verfahren namentlich nicht die an anderer Stelle des angefochtenen Entscheids vorgenommene vorinstanzliche Würdigung, wonach sich aus einem Rapport der Kantonspolizei vom 24. November 2018 und einem Einvernahmeprotokoll vom 4. Mai 2019 keine Hinweise auf einen gegen ihn gerichteten polizeilichen Gummiprismeneinsatz entnehmen lassen.
2.3. Der Beschwerdeführer beruft sich in tatsächlicher Hinsicht insbesondere auf ein Interview, das der Strafgerichtspräsident am 26. September 2020 der Zeitung X._ gegeben hat. Er macht geltend, aus den vorliegenden Videos gehe hervor, dass die Auseinandersetzung zwischen Demonstranten und der Polizei entgegen der Darstellung in diesem Interview nicht durch Demonstranten, sondern durch die Polizei ausgelöst worden sei. Ferner bringt er vor, die kantonalen Behörden würden zurzeit 40 den gleichen Sachverhalt betreffende Strafverfahren trotz Antrages auf Verfahrensvereinigung getrennt führen und die Staatsanwaltschaft sei in verschiedenen dieser Verfahren mit identischem Sachverhalt vor dem Strafgericht persönlich aufgetreten. Sodann macht er geltend, in den Strafverfahren "..." und "...", welche ebenfalls die Ereignisse vom 24. November 2018 (aber andere Beschuldigte) betreffen würden, sei die amtliche Verteidigung gewährt worden. Schliesslich erklärt er, er habe um eine Niederlassungsbewilligung ersucht und das entsprechende Gesuchsverfahren sei nach wie vor hängig.
Die genannten, vom Beschwerdeführer geltend gemachten Tatsachen wurden im angefochtenen Entscheid nicht erwähnt. Es ist auch nicht ersichtlich, dass diesbezüglich eine Sachverhaltsergänzung nach <ref-law> wegen unvollständiger Sachverhaltsfeststellung geboten wäre. Dies gilt auch, soweit der Beschwerdeführer neu eine Ungleichbehandlung im Vergleich zur Handhabung der amtlichen Verteidigung in den Verfahren "..." und "..." geltend macht, legt er doch insbesondere nicht substantiiert dar, dass sich die Beweislage und die sich stellenden Rechtsfragen in diesen Verfahren in gleicher oder zumindest ähnlicher Weise darstellen wie im ihn betreffenden Fall. Die erwähnten, vom Beschwerdeführer geltend gemachten Tatsachen sind unechte Noven im Sinne von <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 12; <ref-ruling> E. 3.3.1 und 3.3.2 S. 364 f.). Da der Beschwerdeführer nicht darlegt, dass erst der angefochtene Entscheid dazu Anlass gegeben haben soll, sich auf diese Tatsachen zu berufen, sind sie im Folgenden nicht zu berücksichtigen. Ob diese Tatsachen überhaupt am Ausgang des Verfahrens etwas ändern könnten, wenn sie in die Beurteilung mit einzubeziehen wären, kann hier deshalb dahingestellt bleiben.
2.4. Nach dem Gesagten ist im Folgenden allein vom Sachverhalt auszugehen, welchen die Vorinstanz festgestellt hat.
3.
3.1. In den Fällen der notwendigen Verteidigung (<ref-law>) ordnet die Verfahrensleitung eine amtliche Verteidigung an, wenn die beschuldigte Person trotz Aufforderung der Verfahrensleitung keine Wahlverteidigung bestimmt (Art. 132 Abs. 1 lit. a Ziff. 1 StPO) oder wenn der Wahlverteidigung das Mandat entzogen wurde oder sie es niedergelegt hat und die beschuldigte Person nicht innert Frist eine neue Wahlverteidigung bestimmt (Art. 132 Abs. 1 lit. a Ziff. 2 StPO). Ein Fall der notwendigen Verteidigung ist insbesondere gegeben, wenn die Untersuchungshaft (einschliesslich einer vorläufigen Festnahme) mehr als zehn Tage gedauert hat (<ref-law>), der beschuldigten Person eine Freiheitsstrafe von mehr als einem Jahr, eine freiheitsentziehende Massnahme oder eine Landesverweisung droht (<ref-law>), sie wegen ihres körperlichen oder geistigen Zustands oder aus anderen Gründen ihre Verfahrensinteressen nicht ausreichend wahren kann und die gesetzliche Vertretung dazu nicht in der Lage ist (<ref-law>) oder die Staatsanwaltschaft vor dem erstinstanzlichen Gericht oder dem Berufungsgericht persönlich auftritt (<ref-law>).
Über die Fälle der notwendigen Verteidigung hinaus wird eine amtliche Verteidigung angeordnet, wenn die beschuldigte Person nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und die Verteidigung zur Wahrung ihrer Interessen geboten ist (<ref-law>). Zur Wahrung der Interessen der beschuldigten Person ist die Verteidigung namentlich geboten, wenn es sich nicht um einen Bagatellfall handelt und der Straffall in tatsächlicher oder rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bietet, denen die beschuldigte Person allein nicht gewachsen wäre (<ref-law>). Ein Bagatellfall liegt jedenfalls dann nicht mehr vor, wenn eine Freiheitsstrafe von mehr als vier Monaten oder eine Geldstrafe von 120 Tagessätzen zu erwarten ist (<ref-law>).
3.2. Ein Fall der notwendigen Verteidigung (Art. 130 i.V.m. <ref-law>) wird in der Beschwerdeschrift nicht hinreichend dargetan: Weder droht dem Beschwerdeführer eine Freiheitsstrafe von mehr als einem Jahr oder eine freiheitsentziehende Massnahme, noch befand er sich während mehr als zehn Tagen in Untersuchungshaft. Auch macht er nicht geltend und ist zurzeit auch nicht damit zu rechnen (vgl. <ref-law>), dass die Staatsanwaltschaft in seinem Fall persönlich vor dem Strafgericht (oder dem Berufungsgericht) auftreten wird (zur Nichtberücksichtigung des angeblich in Parallelfällen erfolgten persönlichen Auftritts der Staatsanwaltschaft vor dem Strafgericht siehe vorne E. 2.3).
Nach einer in der Lehre vertretenen Auffassung soll zwar ein Grund für eine notwendige Verteidigung gemäss <ref-law> vorliegen, wenn die beschuldigte Person fremdsprachig ist und der Beizug von Übersetzern oder Dolmetschern zur effektiven Wahrnehmung ihrer Interessen nicht ausreicht (vgl. VIKTOR LIEBER, in: Andreas Donatsch et al. [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung StPO, 3. Aufl. 2020, N. 21 zu <ref-law>; NIKLAUS RUCKSTUHL, in: Marcel Alexander Niggli et al. [Hrsg.], Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, Jugendstrafprozessordnung, Art. 1-195 StPO, 2. Aufl. 2014, N. 32 zu <ref-law>; vgl. dazu auch <ref-ruling> E. 2.4.4 S. 170). Wie es sich damit verhält, braucht hier nicht abschliessend entschieden zu werden. Denn in der Beschwerde wird nicht geltend gemacht und es ist auch nicht ersichtlich, dass aufgrund der unbestrittenen Fremdsprachigkeit des Beschwerdeführers zur effektiven Wahrnehmung der Interessen des Beschuldigten eine notwendige Verteidigung erforderlich ist, obschon der Instruktionsrichter vorliegend den Beizug eines Dolmetschers angeordnet hat.
3.3. Was die amtliche Verteidigung im Sinne von <ref-law> betrifft, erfüllt der Beschwerdeführer unbestrittenermassen die Voraussetzung des Fehlens der erforderlichen Mittel. Die Vorinstanz hat sodann in bundesrechtskonformer Weise angenommen, dass vorliegend kein Bagatellfall im Sinne von <ref-law> gegeben ist, weil dem Beschwerdeführer angesichts des Strafantrages der Staatsanwaltschaft auf Verurteilung (namentlich) zu einer bedingt vollziehbaren Freiheitsstrafe von neun Monaten eine Freiheitsstrafe von mehr als vier Monaten droht.
Streitig und nachfolgend zu klären bleibt, ob bei der vorliegenden, keinen Bagatellfall bildenden Strafsache die amtliche Verteidigung zur Wahrung der Interessen des beschuldigten Beschwerdeführers geboten ist, weil der Fall im Sinne von <ref-law> in tatsächlicher oder rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bietet, denen der Beschwerdeführer allein nicht gewachsen wäre.
4.
4.1. <ref-law> nimmt die bundesgerichtliche Rechtsprechung zu <ref-law> und Art. 6 Abs. 3 lit. c EMRK auf, gemäss welcher je nach Schwere der Strafdrohung eine amtliche Verteidigung entweder grundsätzlich, nur bei besonderen tatsächlichen oder rechtlichen Schwierigkeiten, denen die betroffene Person nicht gewachsen wäre (sog. relativ schwerer Fall), oder aber nicht geboten war (vgl. <ref-ruling> E. 3.5 S. 174 mit Hinweisen; Urteile 1B_205/2019 vom 14. Juni 2019 E. 2.2; 1B_448/2012 vom 17. Oktober 2013 E. 2.2). Ob die Verteidigung nach <ref-law> zur Wahrung der Interessen der betroffenen Person geboten ist, kann rechtsprechungsgemäss nicht schematisch beurteilt werden; vielmehr sind die konkreten Umstände des Einzelfalls zu berücksichtigen. Allgemein gilt, dass die Anforderungen an die tatsächlichen und rechtlichen Schwierigkeiten umso geringer sind, je schwerwiegender der Eingriff in die Interessen der betroffenen Person ist (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 3.6 S. 174 f. mit Hinweisen). Droht zwar ein erheblicher, nicht aber ein besonders schwerer Eingriff, müssen zur relativen Schwere des Eingriffs besondere tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeiten hinzukommen, denen die betroffene Person - auf sich allein gestellt - nicht gewachsen wäre. Als besondere Schwierigkeiten, die eine amtliche Vertretung rechtfertigen können, fallen auch in der betroffenen Person liegende Gründe in Betracht, insbesondere deren Unfähigkeit, sich im Verfahren zurechtzufinden (<ref-ruling> E. 2.5.2 S. 233; <ref-ruling> E. 2c/bb S. 51 f.; 275 E. 3a S. 276; je mit Hinweisen; Urteile 1B_263/2013 vom 20. November 2013 E. 4.3; 1B_257/2013 vom 28. Oktober 2013 E. 2.1). Auch familiäre Interessenkonflikte, Sprachschwierigkeiten, mangelnde Schulbildung oder die Konfrontation mit anwaltlich vertretenen Gegenparteien bzw. Mitbeschuldigten können tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeiten begründen, welche, insgesamt betrachtet, für die sachliche Notwendigkeit einer amtlichen Verteidigung sprechen (<ref-ruling> E. 6.3-6.4 S. 38 f. mit Hinweisen; Urteile 1B_170/2013 vom 30. Mai 2013 E. 4.5; 1B_195/2012 vom 7. Mai 2012 E. 2.4).
4.2. Bei der Sanktion, die vorliegend dem Beschwerdeführer droht, handelt es sich um eine empfindliche Strafe, da aufgrund der Anklageschrift insbesondere mit einer in ihrer Dauer die Grenze zu einem Bagatellfall deutlich überschreitenden (wenn auch nur bedingt ausgesprochenen) Freiheitsstrafe zu rechnen ist. Die Schwelle für tatsächliche und rechtliche Schwierigkeiten, die eine amtliche Verteidigung erfordern, ist daher an sich verhältnismässig tief anzusetzen.
In tatsächlicher Hinsicht ist aber schon aufgrund der begrenzten Zahl an Beweismitteln mit belastendem Material davon auszugehen, dass der Fall für den Beschwerdeführer, wenn er auf sich allein gestellt wäre, keine besonderen Probleme aufwirft. In diesem Kontext fällt auch ins Gewicht, dass der Beschwerdeführer zumindest den Vorwurf, er habe mit den Händen mehrfach gegen den Schutzschild des betroffenen Polizisten geschlagen, nicht bestreitet. Es kommt hinzu, dass das vorhandene Videomaterial die Beweisführung für alle Verfahrensbeteiligten relativ einfach machen dürfte. Dass trotz der Videoaufzeichnungen - wie in der Beschwerde suggeriert wird - für die Verteidigung ein (dem Beschwerdeführer aufgrund fehlender Sprachkenntnisse unmögliches) Aktenstudium notwendig wäre, ist nicht ersichtlich. Zu berücksichtigen ist sodann, dass zwar drei verschiedene Delikte in Frage stehen, aber nur ein einziger Geschehensablauf zu würdigen sein wird, der sich auf die zeitlich begrenzten, gegen den Polizisten gerichteten Handlungen des Beschwerdeführers und ihren Kontext beschränkt.
Auch rechtlich stellt der vorliegende Straffall den Beschwerdeführer nicht vor Schwierigkeiten, denen er allein nicht gewachsen wäre. Die gesetzliche Umschreibung der in Frage stehenden Straftatbestände enthält zwar verschiedene unbestimmte Rechtsbegriffe, welche einer Konkretisierung bedürfen, so etwa die Begriffe der "öffentlichen Zusammenrottung", der "Gewalttätigkeiten" und der "vereinten Kräfte" beim Landfriedensbruch (vgl. <ref-law>) sowie den Begriff des "zusammengerotteten Haufens" beim Tatbestand der qualifizierten Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte im Sinne von <ref-law>. Indessen legt der im vorliegenden Verfahren anwaltlich vertretene Beschwerdeführer nicht genügend dar, dass trotz des für die Strafgerichte geltenden Grundsatzes "iura novit curia" (vgl. <ref-law>) und der vorhandenen Rechtsprechung zu einzelnen dieser unbestimmten Rechtsbegriffe sowie den damit verbundenen dogmatischen Problemen aufgrund von Besonderheiten des vorliegenden Falles eine amtliche Verteidigung notwendig ist, um zugunsten des Beschwerdeführers sprechenden Elementen bei der Gesetzesauslegung bzw. der Beantwortung der sich stellenden Rechtsfragen gebührendes Gewicht zu verschaffen (vgl. <ref-ruling> E. 1 zum Begriff der "öffentlichen Zusammenrottung" in <ref-law>; <ref-ruling> E. 2 sowie Urteil 6B_862/2017 vom 9. März 2018 E. 1.3.2 zum Begriff der "Gewalttätigkeiten" in dieser Bestimmung; vgl. ferner allgemein zum Kriterium der Schwierigkeiten in rechtlicher Hinsicht Urteil 1B_257/2013 vom 29. Oktober 2013 E. 2.1 mit Hinweisen).
Gegen die Notwendigkeit einer amtlichen Verteidigung spricht ferner, dass sich der Beschwerdeführer als Beschuldigter anscheinend bereits zu den Tatvorwürfen geäussert hat, er gemäss dem angefochtenen Entscheid seinerzeit durch einen amtlichen Verteidiger vertreten war und der damalige Verteidiger Gelegenheit hatte, bei der Staatsanwaltschaft Beweisanträge zu stellen. Nicht zuletzt steht im vorliegenden Strafverfahren dem Beschwerdeführer - soweit ersichtlich - kein anwaltlich vertretener Privatkläger gegenüber, so dass sich die Notwendigkeit einer amtlichen Vertretung auch nicht unter Berufung auf das Prinzip der Waffengleichheit begründen lässt, das aus dem Recht auf ein faires Verfahren (vgl. <ref-law>, <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK) abgeleitet wird (vgl. dazu Urteil 1B_224/2013 vom 27. August 2013 E. 2.3 mit Hinweisen). Mit Blick auf die Waffengleichheit im Verhältnis zum Staatsanwalt wäre dem Beschwerdeführer gemäss Art. 132 Abs. 1 i.V.m. <ref-law> (erst) dann ein amtlicher Verteidiger zu bestellen, wenn der Staatsanwalt vor dem erstinstanzlichen Gericht oder dem Berufungsgericht persönlich auftreten sollte (Urteil 1B_12/2019 vom 14. Mai 2019 E. 2.6). Damit ist vorliegend - wie gesehen - momentan nicht zu rechnen.
Was die Fremdsprachigkeit des Beschwerdeführers betrifft, ist - auch angesichts des hiervor Dargelegten - davon auszugehen, dass dieser mit der Bestellung eines Dolmetschers hinreichend Rechnung getragen wurde (vgl. dazu auch Urteil 1B_185/2015 vom 9. Juni 2015 E. 3.4 mit Hinweis). Sodann kann die Tatsache, dass der Beschwerdeführer (angeblich) ein bislang nicht in Strafangelegenheiten verwickelt gewesener juristischer Laie ist, aufgrund der erwähnten Umstände ebenfalls keinen Anspruch auf eine amtliche Verteidigung begründen.
5.
Die vom Beschwerdeführer erhobenen Rügen der Verletzung verschiedener Grundrechte (wie des Anspruchs auf rechtliches Gehör [<ref-law>]) sind, soweit sie nicht mit den vorstehenden Erwägungen implizit als nicht stichhaltig gewürdigt wurden (vgl. zu <ref-law> und Art. 6 Abs. 3 lit. c EMRK vorne E. 4), nicht in der erforderlichen Weise substantiiert (vgl. vorne E. 1.2).
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Der unterliegende und damit grundsätzlich kostenpflichtige (vgl. <ref-law>) Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Da er bedürftig ist und sein Begehren nicht als von vornherein aussichtslos erscheint, ist diesem Gesuch stattzugeben. Dementsprechend sind keine Kosten zu erheben und die Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers ist aus der Bundesgerichtskasse angemessen zu entschädigen (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird dem Beschwerdeführer Advokatin Eva Schürmann als unentgeltliche Rechtsbeiständin beigegeben.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Advokatin Eva Schürmann wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strafgerichtspräsidenten Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. April 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: König