Fatti:
A.
Il cittadino italiano A._ è giunto in Svizzera nel luglio 2010 e ha ottenuto un permesso di dimora UE/AELS valido fino al 27 luglio 2015 per svolgere un'attività lucrativa dipendente nel nostro Paese (direttore della succursale di X._ (TI) della neocostituita B._ LTD con sede principale nel Regno Unito, società attiva nel [...]).
Al suo arrivo, aveva indicato di alloggiare a Y._ (TI), presso l'abitazione di C._, amministratrice della società, usufruendo di una camera con servizio per una pigione di fr. 300.-- mensili.
B.
Con decisione del 26 luglio 2016, la Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino ha respinto la domanda con cui A._ chiedeva il rilascio di un permesso di domicilio, revocandogli nel contempo anche il permesso di dimora.
Nel seguito, la correttezza di tale provvedimento è stata confermata sia dal Consiglio di Stato (28 febbraio 2018), che dal Tribunale cantonale amministrativo (19 novembre 2019). Al pari della Sezione della popolazione, anch'essi hanno infatti concluso che il "centro degli interessi" di A._ non fosse nel nostro Paese, bensì in Italia.
C.
Con ricorso del 12 dicembre 2019, A._ ha impugnato il giudizio della Corte cantonale davanti al Tribunale federale, chiedendo: in via principale, che la decisione della Sezione della popolazione sia annullata e che gli sia rilasciato un permesso di domicilio; in via subordinata, che la decisione della Sezione della popolazione sia annullata e che gli sia concesso il rinnovo del permesso di dimora.
Il Tribunale cantonale amministrativo si è riconfermato nelle motivazioni e nelle conclusioni della propria sentenza e ad essa ha fatto rinvio anche la Sezione della popolazione. Il Consiglio di Stato si è invece rimesso al giudizio di questa Corte. Con decreto presidenziale del 16 dicembre 2019, è stato concesso l'effetto sospensivo al ricorso.

Diritto:
1.
Giusta l'art. 83 lett. c n. 2 LTF, il ricorso in materia di diritto pubblico è inammissibile contro le decisioni in materia di diritto degli stranieri concernenti permessi o autorizzazioni al cui ottenimento né il diritto federale né il diritto internazionale conferiscono un diritto.
1.1. Il rilascio del permesso di domicilio domandato dal ricorrente in via principale è stato negato con riferimento all'<ref-law>, che ha solo carattere potestativo. Ora, siccome quest'ultimo - patrocinato da un legale - non si esprime in merito a nessun'altra norma che gli conferirebbe un diritto al permesso richiesto, in merito a tale oggetto la via del ricorso ordinario risulta pertanto preclusa (sentenza 2C_1070/2019 del 26 dicembre 2019 consid. 3). Nel contempo, e sempre in specifica relazione al diniego del permesso di domicilio, il ricorso non contiene nemmeno delle critiche conformi all'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.2 pag. 246), di modo che in tale contesto è esclusa pure la via del ricorso sussidiario in materia costituzionale (sentenza 2C_1070/2019 del 26 dicembre 2019 consid. 3). Non motivata, la conclusione formulata in via principale, volta all'ottenimento di un permesso di domicilio, è quindi inammissibile.
1.2. Circa la richiesta del rinnovo del permesso di dimora la clausola d'eccezione di cui all'art. 83 lett. c n. 2 LTF non trova per contro applicazione. Quale cittadino italiano egli può infatti richiamarsi al diritto di vivere nel nostro Paese per svolgere un'attività economica che gli viene garantito dall'accordo del 21 giugno 1999 tra la Confederazione svizzera, da una parte, e la Comunità europea e i suoi Stati membri, dall'altra, sulla libera circolazione delle persone (ALC; RS 0.142.112.681; sentenza 2C_758/2019 del 14 aprile 2020 consid. 1.1). Il gravame relativo all'autorizzazione di dimora è stato presentato nei termini (<ref-law>) contro una decisione finale di un tribunale superiore (art. 86 cpv. 1 lett. d e 2; <ref-law>) e da persona legittimata in tal senso (<ref-law>) di modo che, su tale oggetto, la via del ricorso ordinario è aperta.
1.3. In ragione dell'effetto devolutivo dei gravami sin qui interposti, l'insorgente è però legittimato a formulare conclusioni riguardanti solo l'annullamento o la riforma della sentenza del Tribunale cantonale amministrativo. Per quanto (direttamente) volte all'annullamento della decisione di prima istanza le sue conclusioni sono di conseguenza inammissibili (sentenza 2C_101/2019 del 18 febbraio 2019 consid. 1.2). Tuttavia, nella misura in cui dal testo del ricorso si comprende che, in riforma del giudizio impugnato, l'insorgente chiede il rinnovo del suo permesso di dimora, l'errata formulazione delle conclusioni non comporta per lui nessun pregiudizio.
2.
2.1. Il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto federale (<ref-law>); nondimeno, tenuto conto dell'onere di allegazione e motivazione posto dalla legge (art. 42 cpv. 1 e 2 LTF) si confronta di regola solo con le censure sollevate. Esigenze più severe valgono poi riguardo alla lesione di diritti fondamentali, che vanno motivate con precisione (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4.2 pag. 254).
Per quanto riguarda i fatti, esso fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento svolto dall'autorità inferiore (<ref-law>). Può scostarsene se è stato eseguito violando il diritto ai sensi dell'<ref-law> o in modo manifestamente inesatto, ovvero arbitrario. L'eliminazione del vizio deve inoltre poter influire in maniera determinante sull'esito della causa (<ref-law>).
2.2. Come indicato anche nel seguito, le critiche formulate nel ricorso rispettano i requisiti di motivazione esposti soltanto in parte. Nella misura in cui sono stati disattesi, il gravame sfugge di conseguenza a un esame di merito. Stessa conclusione vale nella misura in cui le censure presentate non sono rivolte direttamente contro il giudizio impugnato, bensì contro le decisioni delle istanze precedenti (<ref-ruling> consid. 1.4 pag. 144; sentenze 2D_44/2019 del 14 aprile 2020 consid. 1.3 e 2C_1037/2016 del 24 agosto 2017 consid. 2.3).
Infine, date non sono nemmeno le condizioni per addurre nuove prove. L'<ref-law>, richiamato nell'impugnativa, giustifica infatti la produzione di prove divenute pertinenti solo a seguito delle argomentazioni addotte (per la prima volta) nel giudizio querelato; così però non è nel caso che ci occupa, in quanto la questione del "centro degli interessi", in relazione alla quale il ricorrente vorrebbe produrre il plico di documenti di cui al doc. C, era già oggetto di esame davanti al Governo cantonale (<ref-ruling> consid. 3 pag. 395).
3.
Nell'impugnativa, l'insorgente formula anche censure di natura formale, che occorre esaminare in via prioritaria (<ref-ruling> consid. 2.2 pag. 197). In questo contesto, rimprovera alla Corte cantonale: da un lato, una carente motivazione della sentenza querelata; d'altro lato, il rigetto della censura con cui veniva fatta valere davanti ai Giudici ticinesi una carente motivazione del giudizio del Consiglio di Stato.
3.1. Il diritto di essere sentiti ancorato nell'<ref-law> comprende più aspetti. Tra questi, quello ad una motivazione sufficiente. Esso non impone tuttavia di esporre e discutere tutti i fatti, i mezzi di prova e le censure formulati; basta che dalla decisione impugnata emergano i motivi su cui l'autorità fonda il suo ragionamento (<ref-ruling> consid. 5.1 pag. 237; <ref-ruling> consid. 5.2 pag. 236; sentenza 2C_256/2018 del 14 settembre 2020 consid. 4.1).
Il diritto ad una motivazione risulta violato soltanto quando l'autorità omette di pronunciarsi su censure di una certa pertinenza o di prendere in considerazione allegazioni e argomenti importanti per la decisione da prendere (<ref-ruling> consid. 2b pag. 102 seg.; <ref-ruling> consid. 2a pag. 441).
3.2. Ora, in entrambi i casi la critica del ricorrente è semplicemente abbozzata, ragione per la quale il rispetto dell'<ref-law> è per lo meno dubbio (precedente consid. 2.1). Sia come sia, la violazione dell'<ref-law> non risulta data.
3.2.1. In effetti, e come è stato appena indicato, quando la motivazione contenuta nel giudizio impugnato permette di comprendere le ragioni che hanno condotto un'istanza di ricorso a confermare la decisione dell'autorità inferiore le condizioni minime di cui all'<ref-law> - che possono essere concretizzate in norme di diritto cantonale, qui non invocate (<ref-ruling> consid. 2.2. pag. 281 seg.) - sono di principio rispettate.
Il fatto che il contribuente non condivida le argomentazioni delle istanze precedenti è una questione che riguarda il merito, non il diritto a una motivazione sufficiente (sentenze 2C_256/2018 del 14 settembre 2020 consid. 4.2; 2C_513/2015 del 13 dicembre 2015 consid. 3.2 e 2C_1066/2013 del 27 maggio 2014 consid. 3.2).
3.2.2. In particolare, l'<ref-law> è rispettato pure per quanto attiene i motivi che portano il ricorrente a soggiornare spesso all'estero invece che nel Cantone Ticino.
Dal considerando 5.2 della querelata sentenza, nel quale viene osservato che "non permette di giungere a conclusione a lui più favorevole la sua doglianza, secondo cui l'Autorità non avrebbe tenuto conto delle ragioni che lo portano spesso all'estero" - ben si comprende infatti che la Corte cantonale ha preso in considerazione anche tale aspetto, benché a questi motivi non abbia poi dato importanza.
4.
4.1. Nel merito, riferendosi agli art. 4 ALC e 2 par. 1 allegato I ALC in relazione con l'art. 23 dell'ordinanza del 22 maggio 2002 sull'introduzione della libera circolazione delle persone (OLCP; RS 142.203), la Corte cantonale rimprovera al ricorrente di avere fin dall'inizio disatteso la condizione essenziale per cui aveva ottenuto un permesso di dimora nel nostro Paese, ovvero di risiedervi per svolgere un'attività lucrativa dipendente.
Essa trae tale conclusione dopo aver constatato: da un lato, come egli abbia indicato di essere assente dal territorio elvetico tra i 200 e i 250 giorni sull'arco di un anno; d'altro lato, che in Ticino risiede in una camera messa a disposizione dall'amministratrice unica della società per cui lavora, da lui stesso considerata alla stregua di una stanza d'albergo.
Sempre in questo contesto aggiunge quindi: che vista la durata delle sue assenze all'estero, a esito più favorevole all'insorgente non porta nemmeno sottolineare che le autorità migratorie non avrebbero considerato le ragioni che lo portano fuori dai confini elvetici, segnatamente in Italia; che in Italia risiedono pure i suoi figli, con cui mantiene assidui contatti; che, sempre in Italia, il ricorrente è proprietario di due appartamenti. Infine, la Corte cantonale rileva che le sue conclusioni non possono essere sovvertite neppure considerando che, in concomitanza con l'inoltro del ricorso al Consiglio di Stato, il ricorrente ha preso in locazione un appartamento a Z._ (TI) e che in Ticino ha costituito una ditta individuale, attiva nel ramo della consulenza per produzioni televisive e cinematografiche.
4.2. In parallelo, e sulla base delle medesime considerazioni di fatto di cui si è appena riferito, i Giudici ticinesi ritengono che dati siano anche gli estremi per il riconoscimento della decadenza del permesso (art. 6 par. 5 allegato I ALC e dall'<ref-law>).
A loro avviso, vi sarebbero infatti elementi sufficienti e convergenti per ritenere che il ricorrente faccia da sempre riferimento al suo alloggio - che si riduce a una semplice stanza - soltanto in modo limitato, per motivi di comodità e in concomitanza con specifici impegni, ma che il "centro dei suoi interessi" non si trovi nel nostro Paese, bensì in Italia, dove è proprietario di due abitazioni e mantiene assidui contatti coi figli.
5.
5.1. In base ai fatti che risultano dal giudizio impugnato, la presenza del ricorrente in Svizzera viene considerata fin dall'inizio come di mero "comodo" (giudizio impugnato, consid. 5.3). Di conseguenza, il caso non va affrontato nell'ottica di una possibile decadenza del permesso - come fatto dal Consiglio di Stato e dal Tribunale amministrativo -, poiché simili fattispecie si avverano solo se le condizioni per il rilascio erano date e vengono successivamente a mancare - in particolare, a causa di una partenza all'estero - non se viene sostenuto che esse farebbero da sempre difetto (<ref-law>, di principio applicabile anche in relazione a permessi UE/AELS; sentenza 2C_52/2014 del 23 ottobre 2014 consid. 3.2, con riferimento agli art. 6 par. 5, 12 par. 5 e 24 par. 6 allegato I ALC).
D'altra parte, quando si è pronunciata la Sezione della popolazione (26 luglio 2016), il termine di controllo stabilito al momento del rilascio del permesso era oramai trascorso (27 luglio 2015), di modo che la questione da porsi non era nemmeno quella di una revoca, come fatto dalla Sezione della popolazione, bensì quella a sapere se sussisteva un diritto al rinnovo del permesso di dimora di cui il ricorrente, cittadino italiano, sin lì beneficiava (<ref-ruling> consid. 2.2 pag. 332 seg. relativo al termine di controllo e alla procedura di rinnovo di un permesso UE/AELS; per maggiori dettagli in proposito, cfr. il successivo consid. 6).
5.2. In via abbondanziale e pro futuro, va ad ogni modo osservato che l'aspetto del "centro degli interessi" di una persona, cui fanno ampio riferimento le autorità ticinesi, ha in realtà una portata circoscritta, segnatamente alle procedure di decadenza, e che anche in quel contesto non costituisce affatto il criterio principale sul quale basarsi (<ref-law>; al riguardo, cfr. la recente <ref-ruling> consid. 2 pag. 324 segg.). Come osservato in precedenza, il caso che ci occupa non concerne tuttavia una fattispecie di decadenza, bensì quella di un rinnovo del permesso di dimora UE/AELS e come tale va quindi trattato.
6.
6.1. Giusta l'art. 4 ALC, il diritto di soggiorno e di accesso a un'attività economica (dipendente o indipendente) è garantito fatte salve le disposizioni dell'articolo 10 e conformemente all'allegato I. Per l'art. 2 cpv. 1 allegato I, i cittadini di una parte contraente hanno diritto di soggiornare e di esercitare un'attività economica nel territorio dell'altra parte contraente conformemente ai capi II-IV dell'allegato I.
Chi richiede un permesso in tal senso deve avere la volontà di stabilirsi sul territorio di una delle parti contraenti per esercitarvi un'attività lavorativa reale ed effettiva (sentenze 2C_251/2019 del 9 settembre 2019 consid. 5.1 rispettivamente 2C_439/2018 del 7 maggio 2019 consid. 4.1 seg. [relative ai lavoratori autonomi] e 2C_348/2018 del 10 marzo 2019 consid. 4.2 [relativa ai lavoratori dipendenti]).
6.2. Un diritto di soggiorno UE/AELS sul territorio di un'altra parte contraente è certificato dal rilascio da parte delle autorità competenti di una carta di soggiorno (art. 2 allegato I ALC).
La natura delle autorizzazioni UE/AELS alle quali un cittadino di uno Stato dell'Unione europea può avere diritto in virtù dell'ALC non ha carattere costitutivo, ma dichiarativo (<ref-ruling> consid. 2.2. pag. 332; <ref-ruling> consid. 4 pag. 58). Ciò vuol dire che quando le condizioni previste dall'accordo sulla libera circolazione delle persone per la concessione di una determinata autorizzazione UE/AELS sono date, e non sussistono motivi di ordine pubblico per un diniego (art. 5 allegato I ALC), il documento richiesto va concesso; in effetti, il permesso non fonda il diritto al soggiorno, limitandosi ad attestarlo (<ref-ruling> consid. 4.4; <ref-ruling> consid. 2. e 3 pag. 331 segg.).
6.3. Anche in relazione all'applicazione dell'accordo sulla libera circolazione delle persone sono tuttavia riservati i casi di abuso di diritto, in presenza del quale il permesso può essere negato, non rinnovato o revocato (art. 23 dell'ordinanza sull'introduzione della libera circolazione delle persone del 22 maggio 2002 [OLCP; RS 142.203]; sentenze 2C_472/2019 del 9 agosto 2019 consid. 5; 2C_968/2017 del 15 ottobre 2018 consid. 3 e 2C_71/2016 del 14 novembre 2016 consid. 3.4).
Per giurisprudenza costante, simili fattispecie vanno però ammesse con ritegno. Come indicato dalla Corte di giustizia dell'Unione europea (CGUE) e in consonanza con il diritto interno, è infatti necessario che vi siano una serie di circostanze oggettive dalle quali risulta che, malgrado un rispetto formale delle condizioni previste dall'accordo sulla libera circolazione delle persone, l'obiettivo perseguito attraverso la concessione di un determinato permesso non viene raggiunto, poiché la persona che vi si richiama mira in realtà a tutt'altro (<ref-ruling> consid. 2.1 pag. 395; <ref-ruling> consid. 3.2.3 pag. 186; <ref-ruling> consid. 9 seg. pag. 129 segg.; sentenze 2C_688/2017 del 29 ottobre 2018 consid. 4.4; 2C_292/2017 dell'8 marzo 2018 consid. 4.2; 2C_71/2016 del 14 novembre 2016 consid. 3.4; 2C_128/2015 del 25 agosto 2015 consid. 3.3; 2C_1144/2012 del 13 maggio 2013 consid. 4.2, con riferimenti anche alla prassi della CGUE).
7.
7.1. La procedura di rinnovo di un permesso UE/AELS serve per verificare il rispetto delle condizioni previste dall'accordo sulla libera circolazione delle persone, precisare il tipo di soggiorno o adattare il permesso a cambiamenti eventualmente intervenuti (<ref-ruling> consid. 2.2 pag. 332 seg. con ulteriori rinvii).
Per la fattispecie concreta, ciò significa in particolare esaminare se il ricorrente rientri ancora tra i lavoratori dipendenti, come era il caso al momento del suo arrivo in Svizzera e del primo rilascio del permesso di dimora, oppure sotto un'altra categoria, quale ad esempio quella dei lavoratori indipendenti (come sembra risultare da alcuni atti componenti l'incarto, in cui viene fatto rinvio alla registrazione, a suo nome, di una ditta individuale attiva nell'ambito delle consulenze per produzioni televisive, cinematografiche e servizi accessori nel settore).
Il rilascio di un permesso di soggiorno UE/AELS presuppone infatti che chi lo domanda ricada in una delle costellazioni previste dall'accordo (<ref-ruling> consid. 2 pag. 344), mentre, se così non è, il permesso può essere negato, come previsto anche dall'<ref-law>.
7.2. Ora, menzionando la domanda del rinnovo del permesso di dimora, che il ricorrente aveva ottenuto per svolgere un'attività lucrativa dipendente nel Cantone Ticino, la Corte cantonale non esamina il rispetto delle condizioni previste in merito dall'ALC (art. 4 in relazione con l'art. 6 segg. allegato I ALC); nel contempo, neppure si esprime su altre costellazioni previste dall'accordo medesimo (diritto di soggiorno per svolgere un'attività lucrativa a titolo indipendente o altro).
Sposando in sostanza l'impostazione data alla causa dalle autorità migratorie, si concentra infatti solo sulla questione a sapere se il ricorrente abbia o meno il proprio "centro degli interessi" in Svizzera, ovvero una condizione che riguarda semmai i casi di decadenza, qui non in discussione (precedente consid. 5).
7.3. Tenuto conto del fatto che la presenza del ricorrente in Svizzera è ritenuta fin dall'inizio come di mero "comodo" (giudizio impugnato, consid. 5.3), va infine aggiunto che una ragione per applicare alla fattispecie l'<ref-law> e negare il rinnovo del permesso, non può essere ravvisata neanche in un eventuale abuso di diritto, poiché - in base agli accertamenti che risultano dalla querelata sentenza, che vincolano il Tribunale federale (<ref-law>) - gli estremi per riconoscere una simile fattispecie, che va di principio dimostrata dalle autorità migratorie (sentenze 2C_362/2010 del 21 settembre 2010 consid. 2.2; 2C_268/2008 del 23 settembre 2008 consid. 3.2; 2C_173/2008 del 28 luglio 2008 consid. 3.2 e 3.6), non sono dati. In effetti:
(a) che il ricorrente sia assente dal territorio elvetico tra 200 e 250 giorni all'anno non è di per sé determinante se, come da lui sostenuto, tali assenze sono dovute proprio al lavoro che svolge e per il quale ha ottenuto permesso (produzioni e coordinazioni televisive in relazione ad eventi - segnatamente sportivi - in tutto il mondo);
(b) come risulta già dal querelato giudizio (consid. 5.2 in fine), l'insorgente non vive da tempo più in una camera ammobiliata, come era prima il caso, bensì in un appartamento, di modo che il rinvio a quella situazione di alloggio - oramai superata - non si giustifica più;
(c) gli immobili che egli possiede in Italia non sono oggetto di nessun accertamento specifico, né riguardo all'ubicazione rispetto al Cantone Ticino, né all'uso che ne viene fatto (direttamente dall'insorgente, da parte dei familiari o di terzi ai quali potrebbero essere locati, ecc.);
(d) infine, anche riguardo ai quattro figli, che vivono in Italia, le indicazioni fornite dalle autorità cantonali sono superficiali (poiché danno conto solo di visite regolari da parte del padre, senza riferire del fatto che tre di loro sarebbero già maggiorenni, che il più piccolo vive con l'ex-compagna non lontano dal Cantone Ticino, ecc.), di modo che nemmeno esse risultano adatte ad attestare che la richiesta di rinnovo del permesso di soggiorno mirerebbe in realtà a obiettivi diversi da quello di poter beneficiare della libera circolazione a fini lavorativi (precedente consid. 6.3 e i riferimenti alla giurisprudenza ivi indicati).
7.4. Per quanto precede, l'incarto va rinviato alle autorità migratorie ticinesi, affinché chiariscano quale tipo di permesso UE/ALES entri oggi effettivamente in discussione, verifichino il rispetto delle condizioni previste dall'ALC per il suo rilascio rispettivamente rinnovo e pronuncino una nuova decisione in merito.
8.
8.1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è accolto e la sentenza impugnata annullata. La causa è rinviata alla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino, per nuovo esame della fattispecie, nel senso dei considerandi.
8.2. Per giurisprudenza, il rinvio dell'incarto all'istanza inferiore per procedere a complementi istruttori con esito aperto comporta che chi ricorre sia considerato vincente (sentenza 2C_127/2019 del 15 novembre 2019 consid. 5). Soccombente, lo Stato del Cantone Ticino è dispensato dal pagamento di spese giudiziarie (<ref-law>); deve però corrispondere al ricorrente, patrocinato da un avvocato, un'indennità per ripetibili per la sede federale (art. 68 cpv. 1 e 2 LTF). Ritenuto che le conclusioni principali sono risultate inammissibili (precedete consid. 1.1) e il ricorrente è vincente soltanto per quanto attiene alle conclusioni subordinate, tale indennità va tuttavia ridotta (sentenza 2C_772/2019 del 4 febbraio 2020 consid. 5).
8.3. Da parte sua, il Tribunale amministrativo ticinese dovrà nuovamente esprimersi sulle spese e sulle ripetibili della sede cantonale (art. 68 cpv. 5 e art. 107 cpv. 2 LTF; sentenze 2C_600/2014 del 27 ottobre 2015 consid. 7 e 2C_173/2011 del 24 giugno 2011 consid. 6.2).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è accolto. La sentenza del 12 novembre 2019 del Tribunale amministrativo del Cantone Ticino è annullata e la causa rinviata alla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino per nuovo esame della fattispecie, nel senso dei considerandi.
2.
Non vengono prelevate spese.
3.
Lo Stato del Cantone Ticino verserà al ricorrente un'indennità di fr. 1'500.-- per ripetibili della sede federale.
4.
La causa è nel contempo rinviata al Tribunale cantonale amministrativo per nuova decisione su spese e ripetibili per la sede cantonale.
5.
Comunicazione al patrocinatore del ricorrente, alla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino, nonché alla Segreteria di Stato della migrazione.