Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1965; Staatsangehöriger von Deutschland) und B._ (geb. 1981; Staatsangehörige von Nigeria) heirateten im November 2004 in Zürich. Sie sind die Eltern von C._ (geb. 2006). Die Ehe wurde mit Beschluss des Amtsgerichts Waldshut-Tiengen (Deutschland) vom 21. Dezember 2012 geschieden. Die Kinderbelange wurden mangels Zuständigkeit nicht geregelt.
B.
B.a. In Ergänzung des ausländischen Scheidungsurteils entschied das Bezirksgericht Zürich mit Urteil vom 13. Dezember 2016, C._ unter die alleinige elterliche Sorge der Mutter zu stellen. Das Bezirksgericht regelte den persönlichen Verkehr des Vaters mit seiner Tochter und ordnete ausserdem an, die mit Entscheid vom 12. Juni 2008 eingesetzte Beistandschaft für C._ weiterzuführen.
B.b. Auf Berufung von A._ hin hob das Obergericht des Kantons Zürich das bezirksgerichtliche Urteil auf (Urteil vom 5. April 2017). Es wies die Sache zwecks Ergänzung des Verfahrens und neuer Entscheidung an das Bezirksgericht zurück. Dieses sollte prüfen, wie sich ein Vorfall häuslicher Gewalt vom 21. November 2016 auf die Erziehungsfähigkeit bzw. elterliche Sorge der Mutter auswirkt.
B.c. In seinem neuen Urteil vom 28. September 2018 traf das Bezirksgericht die folgenden Anordnungen:
"1. Das Kind C._, geboren am 26. November 2006, wird unter die elterliche Sorge der Klägerin gestellt.
2. Der Beklagte wird für berechtigt erklärt, einmal wöchentlich für eine halbe Stunde mit C._ zu skypen oder sonst telefonisch in Kontakt zu treten.
3. Sobald das Kontaktrecht gemäss Dispositiv Ziff. 2 regelmässig (d.h. mindestens ununterbrochen 8 Wochen lang) stattgefunden hat, wird der Beklagte für berechtigt erklärt, die Tochter C._ jeden ersten Samstag im Monat von 10:00 Uhr bis 16:00 Uhr in Zürich zu besuchen.
Der Beklagte wird verpflichtet, C._ jeweils eine Woche vor den Besuchsterminen gemäss Ziff. 3 Abs. 1 sein Erscheinen per SMS zu bestätigen. Bleibt die Bestätigung aus, entfällt der Besuchstermin.
4. Die mit Entscheid vom 12. Juni 2008 eingesetzte Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB für C._ wird aufgehoben.
5. Der Antrag auf psychologische bzw. psychiatrische Begutachtung der Klägerin wird abgewiesen.
6. Der Antrag auf Beizug der ungefilterten KESB Akten wird abgewiesen.
7. Der Antrag auf Platzierung eines Sozialarbeiters in der Wohnung der Klägerin wird abgewiesen.
8. Es wird keine weitere Kinderanhörung von C._ durchgeführt.
9. Ab Rechtskraft des Scheidungsurteils ist der Beklagte infolge finanzieller Leistungsunfähigkeit nicht mehr verpflichtet, Kinderunterhaltsbeiträge zu bezahlen.
10. Der gebührende Unterhalt von C._ ist ab Rechtskraft des Scheidungsurteils wie folgt nicht gedeckt:
- Barunterhalt für C.:_ Fr. 907.95 monatlich;
ab 1.9.2018: Fr. 953.95 monatlich
- Betreuungsunterhalt: Fr. 30.00 monatlich;
ab 1.9.2018: Fr. 36.00 monatlich
11. Der Beklagte wird verpflichtet, die Klägerin über eine allfällige Aufnahme einer Erwerbstätigkeit in Kenntnis zu setzen.
12. Vom Rückzug des Antrages auf Herausgabe des Smartphones wird Vormerk genommen.
13. Der Antrag des Beklagten, es sei ein Obergutachten anzuordnen, wird abgewiesen."
B.d. Mit Urteil vom 28. Dezember 2018 wies das Obergericht die gegen dieses Urteil gerichtete Berufung von A._ ab, soweit es darauf eintrat, und bestätigte das Urteil des Bezirksgerichts. Die Gerichtskosten für das Berufungsverfahren von Fr. 2'000.-- wurden A._ auferlegt; Parteientschädigungen wurden keine zugesprochen.
C.
C.a. Mit Beschwerde vom 4. Februar 2019 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 28. Dezember 2018 und das Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 28. September 2018 aufzuheben. C._ sei unter seine alleinige elterliche Sorge zu stellen; für B._ (Beschwerdegegnerin) sei ein begleitetes Besuchsrecht jedes zweite Wochenende festzulegen. Die Beschwerdegegnerin sei "psychologisch/psychiatrisch" begutachten zu lassen und es seien die "ungefilterten Originalakten" der KESB Zürich einzuholen und den Parteien zur Kenntnis zu bringen. Für den Fall, dass das Sorgerecht oder die Obhut der Beschwerdegegnerin zugesprochen werden sollte, beantragt der Beschwerdeführer, in der Wohnung der Beschwerdegegnerin einen Sozialarbeiter zu platzieren. Ferner sei das Obergericht des Kantons Zürich "hilfsweise vorsorglich" anzuweisen, die Mitteilung an das Personenmeldeamt der Stadt Zürich vom 28. Dezember 2018, wonach der Entscheid des Bezirksgerichts in Bezug auf die alleinige elterliche Sorge der Beschwerdegegnerin rechtskräftig sei, unverzüglich zurückzunehmen und insofern zu korrigieren, dass weiterhin beide Elternteile sorgeberechtigt sind.
C.b. Das Bundesgericht wies das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung und um die besagte Anweisung an das Obergericht ab (Verfügung vom 5. Februar 2019).
C.c. Dazu eingeladen, sich zur Beschwerde zu äussern, beantragt die Beschwerdegegnerin, die Beschwerde abzuweisen (Eingabe vom 2. Oktober 2019). Ausserdem ersucht sie für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Das Obergericht verzichtete auf eine Vernehmlassung (Schreiben vom 12. September 2019). Die Eingaben wurden dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin (<ref-law>) über die Ergänzung eines ausländischen Scheidungsurteils entschieden hat. Wie vor der letzten kantonalen Instanz dreht sich der Streit vor Bundesgericht um die elterliche Sorge und die Regelung des persönlichen Verkehrs, mithin um eine Zivilsache (<ref-law>) nicht vermögensrechtlicher Natur. Die rechtzeitig (<ref-law>) eingereichte Beschwerde ist grundsätzlich zulässig.
1.2. Gegenstand des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens ist einzig das Urteil der letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), im vorliegenden Fall also das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 28. Dezember 2018. Soweit der Beschwerdeführer die Aufhebung des Urteils des Bezirksgerichts Zürich vom 28. September 2018 verlangt, ist darauf nicht einzutreten.
1.3. Zur Beschwerde in Zivilsachen ist nur berechtigt, wer durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG). Ein solches Interesse ist nicht auszumachen, soweit sich der Beschwerdeführer darüber beschwert, dass die Vorinstanz in ihrem Urteil keine korrekte Begründung dafür liefert, weshalb er seiner Tochter keinen Unterhalt schuldet.
1.4. Gemäss <ref-law> sind die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren zu begründen. In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>). Weshalb für den Fall, dass das Sorgerecht oder die Obhut der Beschwerdegegnerin zugesprochen wird, in der Wohnung der Beschwerdegegnerin ein Sozialarbeiter zu platzieren ist, begründet der Beschwerdeführer nicht. Auf den fraglichen (Eventual-) Antrag ist deshalb nicht einzutreten.
2.
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich ist oder auf einer Rechtsverletzung nach <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend ist (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 117). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3 S. 41; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266). Unverständliche und übermässig weitschweifige Rechtsschriften können zur Änderung an den Beschwerdeführer zurückgewiesen werden (<ref-law>).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer stört sich an der vorinstanzlichen Feststellung, wonach die Prozessgeschichte im erstinstanzlichen Entscheid ausführlich wiedergegeben sei. Er beteuert, die "tatsächliche" Prozessgeschichte in seiner Berufungsschrift dargelegt zu haben, und wirft dem Obergericht vor, auf diese Ausführungen und Rügen nicht einzugehen. Damit seien seine Ansprüche auf rechtliches Gehör, auf Schutz vor Willkür, auf ein faires Verfahren und auf eine wirksame Beschwerde gemäss Art. 9 und 29 Abs. 1 und 2 BV sowie Art. 6 und 13 EMRK verletzt. Der Vorwurf ist unbegründet. Der angefochtene Entscheid äussert sich in Erwägung II/4.1 f. eingehend zur Rüge, dass der erstinstanzliche Entscheid die Prozessgeschichte fehlerhaft wiedergebe. Der Beschwerdeführer setzt sich damit nicht auseinander.
3.2. Als "willkürlich falsch" tadelt der Beschwerdeführer auch die Erkenntnis des Obergerichts, wonach das Bezirksgericht die Verhältnisse bei der Beschwerdegegnerin, wie sie vor dem 1. Dezember 2015 herrschten, nicht gänzlich ausgeblendet hat. Das Bezirksgericht habe ausdrücklich erklärt, dass nur die Situation der Parteien seit der Einigungsverhandlung vom 1. Dezember 2015 zu berücksichtigen sei. Entgegen der Meinung der Vorinstanz könne auch nicht dahingestellt bleiben, warum er, der Beschwerdeführer, am 1. Dezember 2015 der Besuchsregelung letztlich zustimmte. Das Bezirksgericht habe ja gerade erkannt, dass es sich wegen der angeblichen Einigung der Parteien und dem Versuch, diese Einigung mit gutem Willen umzusetzen, rechtfertige, die Situation erst seit dem 1. Dezember 2015 zu berücksichtigen. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seiner Rechte aus Art. 9 und 29 Abs. 1 BV sowie Art. 6 EMRK. Die Rügen gehen fehl. Für den Ausgang des hiesigen Verfahrens ist nicht von Belang, welche Umstände das Bezirksgericht aus welchen Gründen (angeblich) unberücksichtigt liess. Zur Beurteilung steht der Sachverhalt, den das Obergericht selbst feststellt und seiner Beurteilung zugrunde legt. Dass die Vorinstanz selbst die Situation vor dem 1. Dezember 2015 ausser Acht gelassen hätte, behauptet der Beschwerdeführer nicht.
4.
4.1. Unter Hinweis auf verschiedene Erwägungen des angefochtenen Entscheids wirft der Beschwerdeführer der Vorinstanz vor, das Urteil des Bezirksgerichts zu rechtfertigen, ohne sich mit seinen Rügen hinsichtlich der Zuweisung der elterlichen Sorge auseinanderzusetzen. Stattdessen beschränke sie sich auf die Aufzählung von Allgemeinplätzen. Einen Bezug zum konkreten Fall gebe es nicht. Die Vorinstanz halte nur fest, dass es C._ laut Gutachten, Abklärungsbericht und Einlassungen der Beschwerdegegnerin gut gehe und sie sich normal entwickle. Tatsächlich seien das Gutachten und der Abklärungsbericht diesbezüglich wertlos und die Aussagen der Beschwerdegegnerin ohnehin völlig belanglos, da diese ständig die Unwahrheit sage, wie es ihr gerade nütze. Zusätzlich zur Verletzung der bereits erwähnten Normen (s. E. 3.1 und 3.2) will der Beschwerdeführer eine Verletzung seines Rechts auf Achtung seines Familienlebens (<ref-law> und Art. 8 EMRK) ausgemacht haben.
4.2. Soweit der Beschwerdeführer der Vorinstanz (sinngemäss) vorwerfen will, dass sie den Sachverhalt lückenhaft oder willkürlich feststelle, vermag er nichts auszurichten. Der Beschwerdeführer begnügt sich damit, seine Sicht der Dinge zu schildern und am angefochtenen Entscheid appellatorische Kritik zu üben. Darauf ist nicht einzutreten (E. 2). Dasselbe gilt für den Hinweis des Beschwerdeführers, wonach er bereits mit Schriftsatz vom 13. Mai 2013 an das Bezirksgericht Zürich die Wiederaufnahme des damals schon seit langem eingeleiteten Verfahrens über die Ergänzung des ausländischen Scheidungsurteils beantragt habe. Allein zu behaupten, dass die Gerichte von eigenen Verfehlungen und von denjenigen der "sonst involvierten" Behörden (KESB Zürich und Bezirksrat Zürich) ablenken wollten, genügt nicht. Um erfolgreich zu sein, müsste der Beschwerdeführer dartun, weshalb das angefochtene Urteil anders ausgefallen wäre, wären die behaupteten Fehler nicht passiert.
5.
In rechtlicher Hinsicht dreht sich der Streit um die Frage, wem die elterliche Sorge über C._ zustehen soll.
5.1. Das Obergericht erinnert daran, dass das Bezirksgericht die Voraussetzungen für eine Übertragung der elterlichen Sorge auf einen Elternteil als erfüllt erachtete. Dem erstinstanzlichen Entscheid zufolge sei die elterliche Beziehung aufgrund des Dauerkonfliktes derart verfahren, dass die Parteien überhaupt nicht mehr kommunizieren könnten. Laut Bezirksgericht sei deshalb nicht davon auszugehen, dass sie sich über die wesentlichen Fragen der Erziehung einigen könnten, zumal sie bereits wegen der Ausübung des Besuchsrechts im Dauerkonflikt stünden. Das Obergericht findet, der Beschwerdeführer stelle dies in der Berufung zu Recht nicht in Frage. Er beanstande denn auch nicht die Zuweisung der alleinigen elterlichen Sorge "für sich genommen", sondern vielmehr, dass die Zuweisung an die Beschwerdegegnerin und nicht an ihn erfolgte.
In der Folge legt die Vorinstanz dar, weshalb unter Berücksichtigung der Erhebungen des Bezirksgerichts und namentlich gestützt auf den Abklärungsbericht des Sozialzentrums U._ vom 8. März 2017 und das gerichtliche Obhuts- und Erziehungsfähigkeitsgutachten von Dr. med. D._, vom 25. Mai 2018 davon auszugehen sei, dass die Beschwerdegegnerin trotz der unbestrittenen Vorfälle häuslicher Gewalt in ihrer Sorge für C._ und deren Halbgeschwister nicht eingeschränkt ist. Seit dem letzten Vorfall häuslicher Gewalt hätten sich die Wohnbedingungen der Familie verbessert und seien für sie unterstützende Massnahmen getroffen worden. Als wesentlich erweise sich sodann der Umstand, dass C._ seit der Trennung der Eltern bei der Beschwerdegegnerin und in der neuen Familie lebe und sie sich hier sowohl schulisch als auch hinsichtlich weiterer Kompetenzen gut habe entwickeln können. Dem angefochtenen Entscheid zufolge sind die Kontinuität der Verhältnisse sowie der Verbleib im lokalen Umfeld für die Fortentwicklung wesentlich. Müsse - wie im vorliegenden Fall - im Rahmen der Ergänzung des Scheidungsurteils hinsichtlich der Kinderbelange eine Alleinzuweisung der elterlichen Sorge erfolgen, so komme eben diesen Faktoren entscheidende Bedeutung zu und dies unabhängig davon, ob die Erziehungsfähigkeit auch auf Seiten des Beschwerdeführers gegeben ist. Im Übrigen weist das Obergericht darauf hin, dass der Beschwerdeführer seiner Begründungspflicht nicht genüge, wenn er bloss geltend mache, das Bezirksgericht habe mit seinem Urteil Grundrechte bzw. verfassungsmässige Rechte verletzt. Zuletzt stellt das Obergericht klar, dass sich mit der Zuweisung der elterlichen Sorge an die Beschwerdegegnerin eine Regelung der Obhut erübrigt und nur noch der persönliche Verkehr zwischen dem nicht sorgeberechtigten Elternteil und dem Kind zu regeln bleibt.
5.2. Der Beschwerdeführer hält fest, dass er die Alleinsorge für sich beantragt habe, weil die Beschwerdegegnerin C._s Wohl dauerhaft gefährde und verletze. Darin stecke "ganz offensichtlich" nicht der Antrag, die elterliche Sorge in jedem Fall einem Elternteil allein zuzuweisen. Die gemeinsame elterliche Sorge sei der alleinigen Sorge der Beschwerdegegnerin "absolut vorzuziehen". Die "unsinnige" Feststellung des Obergerichts, wonach er die Zuweisung der alleinigen Sorge für sich genommen nicht beanstande, habe nur den Zweck, die Auseinandersetzung mit der Frage der gemeinsamen Sorge, die sogar gesetzlich vorgesehen sei, "einfach zu umgehen". Dies soll "keinen Schutz finden". Das Obergericht hätte sich mit der Frage beschäftigen müssen, warum hier nicht die gemeinsame Sorge festgelegt wurde. Wenn ihm schon nicht die alleinige elterliche Sorge zugewiesen werde, gebe es "absolut" keinen Grund, ihm die elterliche Sorge komplett zu entziehen. Der Beschwerdeführer beteuert, dass er sich im Gegensatz zur Beschwerdegegnerin nie etwas habe zuschulden kommen lassen, was C._ betreffe. Stattdessen sei er Garant für C._s positive und altersgemässe Entwicklung gewesen, solange er regelmässig mit ihr zusammen gewesen sei und Kontakt zu ihr gehabt habe. Vehement widerspricht der Beschwerdeführer der (im angefochtenen Entscheid wiedergegebenen) Einschätzung des Bezirksgerichts, wonach die Situation derart verfahren sei, dass die gemeinsame elterliche Sorge nicht dem Kindeswohl entspreche. Schon in seiner Berufungsschrift habe er konkret ausgeführt, warum ihm die elterliche Sorge in keinem Fall entzogen werden dürfe. Klar sei, dass die Ausübung des Sorgerechts durch ihn das Kindeswohl nicht gefährde. Im Gegenteil seien die letzten Jahre der Nachweis, dass die faktische Hinderung der Ausübung seines Sorgerechts das Kindeswohl schädige. Der Beschwerdeführer besteht darauf, dass der Entzug der elterlichen Sorge also überhaupt nichts Positives bewirken, sondern im Gegenteil seinen möglichen positiven Einfluss auf C._s Entwicklung zusätzlich erschweren würde. Dem Obergericht wirft er vor, sich mit dieser Rüge in keiner Weise auseinanderzusetzen und stattdessen einfach festzustellen, dass er die Zuweisung der Alleinsorge nicht beanstandet habe.
5.3. Die Beschwerdegegnerin schliesst sich der Beurteilung der Vorinstanz an und betont, dass bereits das Bezirksgericht einen Dauerkonflikt festgestellt habe, der einer gemeinsamen elterlichen Sorge im Wege stehe.
5.4. Gemäss <ref-law> stehen die Kinder, solange sie minderjährig sind, unter der gemeinsamen elterlichen Sorge von Vater und Mutter. In einem Scheidungs- oder Eheschutzverfahren überträgt das Gericht einem Elternteil die alleinige Sorge, wenn dies zur Wahrung des Kindeswohls nötig ist (<ref-law>). Nach der gesetzlichen Konzeption ist die gemeinsame elterliche Sorge der Regelfall, von dem nur in eng begrenzten Ausnahmefällen zur Wahrung des Kindeswohls abgewichen werden darf. Nach der Rechtsprechung kann ein Ausnahmegrund insbesondere ein schwerwiegender elterlicher Dauerkonflikt oder eine anhaltende Kommunikationsunfähigkeit sein. Auch in solchen Fällen kommt eine Alleinzuteilung des elterlichen Sorgerechts nur in Frage, wenn sich die zwischen den Eltern bestehenden Probleme auf die Kinderbelange als Ganzes beziehen und das Kindeswohl konkret beeinträchtigen. Erforderlich ist die konkrete Feststellung, in welcher Hinsicht das Kindeswohl beeinträchtigt ist. Schliesslich ist eine Abweichung vom Grundsatz der gemeinsamen elterlichen Sorge nur dort am Platz, wo Aussicht darauf besteht, mit der Zuteilung der Sorge an einen Elternteil allein eine Entlastung der Situation herbeizuführen (<ref-ruling> E. 3.3 S. 5 f.; <ref-ruling> E. 4.6 f.; vgl. auch das Urteil 5A_81/2016 vom 2. Mai 2016 E. 5 mit vielen Hinweisen auf die bisherige Rechtsprechung). Damit ist zwangsläufig eine Prognose darüber verbunden, wie sich das Verhältnis zwischen den Eltern entwickeln wird. Dieser Wahrscheinlichkeitsaussage über die künftige Entwicklung müssen konkrete Anhaltspunkte zugrunde liegen, die aktenmässig erstellt sind. Mit anderen Worten muss aufgrund einer tatsachenbasierten Sachverhaltsprognose geprüft werden, ob das gemeinsame Sorgerecht eine erhebliche Beeinträchtigung des Kindeswohls befürchten lässt. Damit trägt die Rechtsprechung dem Willen des Gesetzgebers Rechnung, wonach die Alleinsorge nicht schon dort ausgesprochen werden darf, wo sie dem Kindeswohl am besten gerecht würde (Urteil 5A_903/2016 vom 17. Mai 2017 E. 4.1 mit Hinweisen).
Auch ohne Vorliegen eines Elternkonfliktes ist die gemeinsame elterliche Sorge nach der Rechtsprechung dort zu verweigern, wo ein Elternteil weder Zugang zu aktuellen Informationen über das Kind noch persönlichen Kontakt zum Kind hat. Denn seine Verantwortung für das Kind kann nur sinnvoll wahrnehmen, wer dessen Bedürfnisse kennt. Ein Elternteil, der dauerhaft über keinen irgendwie gearteten Zugang zum Kind verfügt, kann keine Entscheidungen zum Wohl des Kindes treffen, auch nicht in gemeinsamer Sorge (<ref-ruling>97 E. 3.5 S. 199; Urteil 5A_214/2017 vom 14. Dezember 2017 E. 4.3). Allein die geographische Distanz zwischen den Eltern ist freilich noch kein Grund zur Annahme, dass eine gemeinsame Ausübung des Sorgerechts nicht in Frage kommt und im Sinne einer Ausnahme vom Grundsatz einem Elternteil die Alleinsorge zuzuweisen wäre (<ref-ruling> E. 3 S 63).
Bei alledem gilt es zu beachten, dass das Gericht im Streit um Kinderbelange in familienrechtlichen Angelegenheiten den Sachverhalt von Amtes wegen erforscht und ohne Bindung an die Parteianträge entscheidet (Art. 296 Abs. 1 und 3 ZPO). Entsprechend hat das Gericht im Streit um die elterliche Sorge von Amtes wegen zu prüfen, ob die gemeinsame Ausübung des Sorgerechts beibehalten werden kann, und zwar auch dann, wenn die Eltern je für sich die alleinige elterliche Sorge beantragen (BGE a.a.O.). Dass die Streitparteien in einem Scheidungsprozess bezüglich der elterlichen Sorge gegenteilige Rechtsbegehren stellen bzw. in erster Linie die alleinige elterliche Sorge für sich beantragen, kann in einem kontradiktorischen Gerichtsverfahren kaum überraschen und ist daher für sich allein genommen auch noch kein Grund, von einer Beibehaltung der gemeinsamen elterlichen Sorge abzusehen (Urteil 5A_412/2015 vom 26. November 2015 E. 7.2).
5.5. Im Lichte der geschilderten Vorgaben erweckt der angefochtene Entscheid in der Tat Bedenken. Dass der Beschwerdeführer die erstinstanzlichen Erwägungen zum elterlichen Konflikt nicht in Frage stellte, sich gegen eine Zuteilung der Alleinsorge an die Beschwerdegegnerin wehrte und in seinen Berufungsanträgen die Alleinsorge für sich verlangte, entband das Obergericht nicht von der Pflicht, von Amtes wegen zu prüfen, ob die gemeinsame elterliche Sorge auch nach der Scheidung der Parteien als gesetzlich vorgesehene Lösung für den Regelfall beizubehalten ist. Der Offizialgrundsatz (<ref-law>) gilt auch im Berufungsverfahren (<ref-ruling> E. 4.5.2 S. 620 mit Hinweisen). Nachdem die Parteien die elterliche Sorge bis anhin immer gemeinsam ausübten und das gemeinsame Sorgerecht von Gesetzes wegen gilt, durfte die Vorinstanz dem Beschwerdeführer nicht vorhalten, keinen förmlichen Antrag auf Beibehaltung der gemeinsamen elterlichen Sorge gestellt zu haben. Soweit das Obergericht schon wegen des prozessualen Verhaltens des Beschwerdeführers nur noch darüber befinden will, ob die Alleinsorge der Mutter oder dem Vater zuzuweisen ist, erweist sich der angefochtene Entscheid als rechtsfehlerhaft.
Anstatt zu prüfen, ob die Voraussetzungen für die Aufhebung der gemeinsamen elterlichen Sorge entsprechend den Vorgaben der Rechtsprechung gegeben sind, gibt sich das Obergericht mit den erstinstanzlichen Erkenntnissen zufrieden, wonach die Parteien dauerhaft zerstritten sind und nicht mehr miteinander kommunizieren können. Weder im Urteil des Ober- noch in demjenigen des Bezirksgerichts finden sich jedoch irgendwelche Feststellungen, die den Schluss zuliessen, dass sich der Elternkonflikt und die Kommunikationsunfähigkeit der Eltern in der Vergangenheit negativ auf C._s Wohl ausgewirkt hätten oder diesen Effekt in der Zukunft haben könnten. Daran ändert auch die geographische Distanz zwischen den Eltern nichts, welche die Situation laut Bezirksgericht "zusätzlich erschwert". Ebenso wenig ist dem angefochtenen Entscheid zu entnehmen, dass von einer alleinigen elterlichen Sorge - wem auch immer diese zuzuweisen wäre - eine Verbesserung der Situation zu erwarten wäre. Allein die Prognose, dass sich die Eltern angesichts ihrer "verfahrenen Beziehung" über die wesentlichen Fragen der Erziehung voraussichtlich nicht werden einigen können, genügt nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung gerade nicht, um vom gesetzlichen Regelfall der gemeinsamen Ausübung des Sorgerechts abzuweichen. Die Art und Weise, wie die Vorinstanz dem Beschwerdeführer die elterliche Sorge entzieht, verletzt das Bundesrecht. Entgegen dem, was die kantonalen Instanzen anzunehmen scheinen, lautet die Frage in einem Streit wie dem vorliegenden nicht, ob die gemeinsame elterliche Sorge dem Kindeswohl entspricht. Wie <ref-law> ausdrücklich vorgibt, ist vielmehr zu prüfen, ob es zur Wahrung des Kindeswohls nötig ist, einem Elternteil die alleinige elterliche Sorge zu übertragen. Mit dieser Frage wird sich das Obergericht in einem neuen Entscheid befassen müssen.
Zwar zeichnet der angefochtene Entscheid ein durchwegs positives Bild von C._s gegenwärtiger Situation und von ihrem Befinden; die Vorinstanz kommt zum Schluss, dass eine "aktuelle Gefährdung des Wohls von C._ nicht erkennbar sei". Die fraglichen Erwägungen beziehen sich indessen auf C._s gegenwärtige Familien- und Betreuungssituation und beantworten die vom Obergericht aufgeworfene Frage, ob sich das Kind bei der Mutter oder beim Vater am besten entfalten kann. Sie können die von der Rechtsprechung geforderte tatsachenbasierte Sachverhaltsprognose, ob das gemeinsame Sorgerecht eine erhebliche Beeinträchtigung des Kindeswohls befürchten lässt, nicht ersetzen. Dasselbe gilt für den (sinngemässen) Schluss des Obergerichts, dass nur eine Alleinzuteilung der elterlichen Sorge die Kontinuität der Verhältnisse gewährleisten kann, wie sie für die Fortentwicklung wesentlich sei. Mit dieser Überlegung (und auch mit seinen diesbezüglichen theoretischen Erörterungen) bringt das Obergericht auf unzulässige Weise Kriterien ins Spiel, die nicht die Regelung des elterlichen Sorgerechts, sondern die Regelung der elterlichen Betreuungsanteile bzw. der elterlichen Obhut betreffen. Auch in dieser Hinsicht vermag der angefochtene Entscheid nicht zu überzeugen.
6.
Mit der Rückweisung der Streitsache an die Vorinstanz ist wiederum offen, ob es überhaupt zu einer Ausnahme vom Grundsatz der gemeinsamen elterlichen Sorge kommt. Entsprechend braucht sich das Bundesgericht nicht zur Beschwerde zu äussern, soweit der Beschwerdeführer damit die Übertragung der alleinigen elterlichen Sorge an die Beschwerdegegnerin beanstandet und das elterliche Sorgerecht (und auch die Obhut über Celina) für sich allein beansprucht. Dasselbe gilt für die Kritik, die der Beschwerdeführer an der vorinstanzlichen Regelung des persönlichen Verkehrs übt.
7.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde als begründet, soweit das Obergericht die alleinige elterliche Sorge der Beschwerdegegnerin überträgt, ohne zu prüfen, ob eine Abweichung vom Regelfall der gemeinsamen elterlichen Sorge zur Wahrung des Kindeswohls überhaupt nötig ist. Die Beschwerde ist deshalb teilweise gutzuheissen und die Sache zu neuer Entscheidung an das Obergericht zurückzuweisen. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens rechtfertigt es sich, die Gerichtskosten den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen (<ref-law>). Soweit aussergerichtliche Kosten entstanden sind, hat jede Partei ihre eigenen Aufwendungen für das bundesgerichtliche Verfahren selbst zu tragen (<ref-law>). Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren kann gutgeheissen werden (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, vom 28. Dezember 2018 wird aufgehoben. Die Sache wird im Sinne der Erwägungen zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und der Beschwerdegegnerin wird Rechtsanwalt David Wehrli als Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt. Der Anteil der Beschwerdegegnerin von Fr. 1'500.-- wird vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
5.
Rechtsanwalt David Wehrli wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, sowie dem Personenmeldeamt der Stadt Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. März 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn