Sachverhalt:
A.
A.a. Am 8. November 2018 ersuchte die Schweizerische Eidgenossenschaft, vertreten durch das kantonale Steueramt Zürich, das Bezirksgericht Zürich in der Betreibung Nr. XXX des Betreibungsamtes Zürich 7 (Arrest Nr. YYY), um Gewährung der definitiven Rechtsöffnung für die Beträge von Fr. 28'957'183.85 plus Zins zu 3 % seit 1. März 2016 und von Fr. 9'970'770.80 plus Zins zu 3 % seit 13. März 2016 sowie Arrest- und Betreibungskosten. Das Gesuch stützte sich auf die rechtskräftigen Veranlagungsverfügungen des kantonalen Steueramtes Zürich für die direkte Bundessteuer der Jahre 2010 bis 2013 vom 26. Januar 2016 sowie auf die rechtskräftige Nachsteuerverfügung des kantonalen Steueramtes Zürich für die direkte Bundessteuer 2005 bis 2009 vom 27. Januar 2016.
A.b. Mit Urteil vom 26. November 2018 entschied das Einzelgericht Audienz über das Rechtsöffnungsbegehren. Zwar anerkannte es, dass die eingereichten Verfügungen definitive Rechtsöffnungstitel im Sinne von <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> darstellen. Indes sei die Schweizerische Eidgenossenschaft nicht befugt, die direkten Bundessteuern einzufordern. Da es ihr an der Aktivlegitimation fehle, werde das Rechtsöffnungsbegehren abgewiesen.
B.
B.a. Die Schweizerische Eidgenossenschaft, vertreten durch das kantonale Steueramt Zürich, erhob gegen das erstinstanzliche Urteil Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich. Sie beantragte die Gutheissung des Rechtsöffnungsgesuchs. Das Verfahren wurde vorerst im Einverständnis beider Parteien zur Führung von Bezugsgesprächen für sechs Monate sistiert. Am 24. Juni 2019 gaben die Anwälte ihre Mandatierung durch das kantonale Steueramt als Rechtsvertreter der Schweizerischen Eidgenossenschaft bekannt und reichten die Vollmacht vom 19. Juni 2019 ein. Mit Verfügung vom 4. Juli 2019 wurde die Sistierung aufgehoben und das Verfahren auf Ersuchen beider Parteien weitergeführt.
B.b. Daraufhin verwehrte sich A._ gegen die seiner Meinung nach rechtswidrige Mandatierung der Anwälte der Schweizerischen Eidgenossenschaft. Er machte mutmassliche Verstösse gegen das Steuergeheimnis, gegen die Submissionsregeln und einen Interessenkonflikt aufgrund früherer Mandate geltend. Zudem gelangte er mit einer Anzeige an die Aufsichtskommission über die Rechtsanwälte. Konkret beantragte A._ dem Obergericht, den Anwälten der Schweizerischen Eidgenossenschaft die Vertretung im vorliegenden Verfahren zu verbieten bzw. diese von Amtes wegen aufzufordern, ihr Mandat unverzüglich niederzulegen. Mit Verfügung vom 23. September 2019 wies das Obergericht dieses Gesuch ab.
C.
A._ ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 28. Oktober 2019 an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung der obergerichtlichen Verfügung und die Anweisung an das Obergericht, die Anwälte der Schweizerischen Eidgenossenschaft (Beschwerdegegnerin) zur Mandatsniederlegung zu verpflichten. Eventualiter sei die angefochtene Verfügung aufzuheben und die Anwälte der Beschwerdegegnerin vom Bundesgericht zur Mandatsniederlegung zu verpflichten.
Mit Verfügung vom 22. November 2019 wurde das Gesuch um Anordnung vorsorglicher Massnahmen (Sistierung des kantonalen Verfahrens RT 180218-O) abgewiesen.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, indes keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 und <ref-ruling> E. 2.1).
1.2. Die angefochtene Verfügung betrifft ein Beschwerdeverfahren, in dem eine letzte kantonale Instanz über ein Rechtsöffnungsgesuch mit einem Streitwert über Fr. 30'000.-- zu befinden hat. Damit ist die Beschwerde in Zivilsachen von der Sache her gegeben (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 1 lit. b und Art. 75 Abs. 1 BGG).
1.3. Die Vorinstanz hat das Gesuch des Beschwerdeführers, den Anwälten der Beschwerdegegnerin die Vertretung zu verbieten, abgelehnt. Bei diesem verfahrensleitenden Entscheid handelt es sich um einen selbständig eröffneten Vor- oder Zwischenentscheid, der nur unter den Voraussetzungen von Art. 92 und 93 BGG angefochten werden kann. Vorliegend kommt einzig die Variante nach <ref-law> in Betracht. Demnach ist die Beschwerde nur zulässig, wenn der Zwischenentscheid einen nicht wieder gut zu machenden Nachteil bewirken kann. Ein solcher Nachteil muss rechtlicher Natur und auch durch einen für den Beschwerdeführer günstigen Endentscheid nicht oder nicht vollständig behebbar sein. Dass dem Beschwerdeführer ein tatsächlicher oder rein wirtschaftlicher Nachteil drohen könnte, genügt für die Anfechtung des Zwischenentscheides noch nicht (<ref-ruling> E. 1.3 und <ref-ruling> E. 1.2).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer betont, dass die Beschwerdegegnerin durch die Mandatierung von Anwälten aus einer Kanzlei, die vormals für ihn tätig gewesen war, über Kenntnisse seiner persönlichen Situation und von finanziellen Strukturen verfügte, die das vorliegende Verfahren in für ihn ungünstiger Weise beeinflussen könnten. Damit drohe ihm ganz konkret ein Nachteil, der nicht wieder gut zu machen sei.
2.2. Zu entscheiden ist im vorinstanzlichen Verfahren einzig, ob die Beschwerdegegnerin aufgrund der Veranlagungs- und Nachsteuerverfügungen des kantonalen Steueramtes die definitive Rechtsöffnung für die in Betreibung gesetzten Steuerschulden verlangen kann. Dass die entsprechenden Verfügungen grundsätzlich einen definitiven Rechtsöffnungstitel darstellen und im Rechtsöffnungsverfahren nicht materiell überprüft werden können, ist nicht strittig (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2). Ob die Beschwerdegegnerin die im vorliegenden Verfahren tätigen Anwälte mit der Interessenwahrung beauftragen durfte, spielt für die Beantwortung der im Zentrum stehenden Rechtsfrage nach der Aktivlegitimation keine Rolle, welche selbst bei einem für den Beschwerdeführer günstigen Endentscheid zu einem nicht oder nicht vollständig behebbaren Nachteil führen würde (E. 1.3). Damit droht dem Beschwerdeführer kein Rechtsnachteil, wenn das Bundesgericht die im vorliegenden Fall angefochtene Verfügung nicht prüft. Daran ändert auch der Hinweis des Beschwerdeführers, dass der Vermeidung von Interessenkollisionen für die Rechtspflege eine grosse Bedeutung zukomme, nichts. Auf die Beschwerde ist somit nicht einzutreten.
3.
Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin steht für ihre Stellungnahme zum Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen keine Parteientschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 10'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Eine Parteientschädigung ist nicht zu leisten.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. August 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied : Der Gerichtsschreiber:
Escher Levante