Sachverhalt:
A.
Am 21. November 2016 verurteilte das Strafgericht Basel-Stadt B._, C._ und D._ wegen verschiedener Delikte zu Freiheitsstrafen. Zudem sprach es den Privatklägern Schadenersatz aus eingezogenen Vermögenswerten der F._ AG und der G._ AG zu.
Am 16. Februar 2018 erhob die A._ AG, die per 16. März 2017 die F._ AG und die G._ AG+ absorbiert hatte, Beschwerde ans Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Sie machte zum einen eine Rechtsverzögerung geltend, weil das schriftlich begründete Urteil des Strafgerichts noch immer nicht vorlag. Zum andern rügte sie vorsorglich eine formelle Rechtsverweigerung, weil einer der am Urteil vom 21. November 2016 beteiligten Richter mittlerweile aus dem Amt geschieden sei und deshalb an der Urteilsbegründung nicht mehr werde mitwirken können.
Mit Entscheid vom 20. Juni 2018 hiess das Appellationsgericht die Beschwerde teilweise gut und stellte fest, dass das Strafgericht eine Rechtsverzögerung begangen habe. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Zur Begründung führte es aus, die A._ AG habe an der Behandlung ihrer Beschwerde bezüglich Rechtsverzögerung und Rechtsverweigerung weiterhin ein schutzwürdiges Interesse, obwohl das schriftlich begründete Urteil des Strafgerichts in der Zwischenzeit, d.h. am 17. April 2018, zugestellt worden sei. Die Dauer von 510 Tagen für die Ausfertigung des begründeten Urteils sei unter den konkreten Umständen zu lang und stelle eine Rechtsverzögerung dar. Da gegen das Urteil Berufung erklärt worden sei, werde das Berufungsgericht zu entscheiden haben, inwiefern es diesen Umstand berücksichtige. Hingegen sei die Beschwerde in Bezug auf das Ausscheiden eines Richters abzuweisen, da es insofern nur auf die Urteilsfällung ankomme und der betreffende Richter damals noch im Amt gewesen sei. Soweit in zwei nach der Replik eingereichten Eingaben vom 5. und 18. April 2018 noch anderweitig Kritik geübt werde, sei darauf wegen Verspätung nicht einzutreten.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht vom 13. September 2018 beantragt die A._ AG im Wesentlichen, der Entscheid des Appellationsgerichts sei insoweit aufzuheben, als darin die Beschwerde abgewiesen oder nicht darauf eingetreten worden sei. Zudem sei das Urteil des Strafgerichts vom 21. November 2016 aufzuheben und das Strafgericht anzuweisen, das Verfahren in ordnungsgemässer, gesetzeskonformer Zusammensetzung zu wiederholen und ein neues Urteil in der Sache zu fällen. Eventualiter sei die Sache ans Appellationsgericht zurückzuweisen.
Das Appellationsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Strafgericht und E._ haben Stellung genommen, ohne einen förmlichen Antrag zu stellen. Die weiteren Verfahrensbeteiligten haben sich nicht vernehmen lassen. Die Beschwerdeführerin hat eine Replik eingereicht.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid in einer Strafsache (Art. 78 Abs. 1 und Art. 80 BGG). Gemäss <ref-law> ist gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide über die Zuständigkeit und über Ausstandsbegehren die Beschwerde zulässig. Der Begriff des Ausstands im Sinne dieser Bestimmung ist weit zu verstehen. Darunter fallen auch andere Zwischenentscheide über die Zusammensetzung der entscheidenden Behörde. Es handelt sich dabei um gerichtsorganisatorische Fragen, die endgültig entschieden werden sollen, bevor das Verfahren fortgesetzt wird (Urteil 1B_517/2017 vom 13. März 2018 E. 1 mit Hinweis, nicht publ. in <ref-ruling>). Auf die Frage, inwiefern dies auch im vorliegenden Fall zutrifft, wo das Strafgericht das Urteil in der Sache bereits gefällt hat, ist weiter unten einzugehen. Die Beschwerdeführerin ist im Übrigen gemäss <ref-law> zur Beschwerde befugt. Auf ihr Rechtsmittel ist somit grundsätzlich einzutreten.
2.
2.1. Im Zeitpunkt der Zustellung der Urteilsbegründung des Strafgerichts war einer der Richter zufolge Wohnsitzwechsels bereits aus dem Amt geschieden. Die Beschwerdeführerin erblickt darin eine Verletzung von <ref-law>, Art. 6 Ziff. 1 EMRK sowie von Art. 351 Abs. 3 i.V.m. <ref-law>. Es sei nicht gewährleistet, dass die schriftliche Urteilsbegründung mit dem übereinstimme, was das Strafgericht im November 2016 im Rahmen der internen Urteilsberatungen erwogen habe. Dafür sei die Mitwirkung von sämtlichen Richtern notwendig. Dasselbe ergebe sich aus einer systematischen Auslegung der anwendbaren Bestimmungen der StPO. Diese sehe zudem vor, dass "das Gericht", womit das gesetzmässig zusammengesetzte Gericht gemeint sei, die Entscheide eröffne (<ref-law>).
2.2. Das Appellationsgericht hält fest, das Strafgericht habe sein Urteil am 21. November 2016 in ordnungsgemässer Besetzung mit drei Richtern gefällt. Massgebend sei einzig dieser Zeitpunkt. Nach der Eröffnung sei das Gericht an sein Urteil gebunden. Bei der Redaktion der Urteilsbegründung wirkten die nebenamtlichen Richter praxisgemäss nicht mehr mit.
2.3. Es stellt sich die Frage, ob die Beschwerdeführerin ihre Rüge nicht im Rahmen ihrer Berufung gegen das Urteil des Strafgerichts statt mit StPO-Beschwerde hätte vorbringen sollen (vgl. <ref-law>). Dafür spricht, dass im Zeitpunkt der Beschwerde an das Appellationsgericht das Urteil des Strafgerichts bereits gefällt, wenn auch noch nicht begründet worden war und dass die Beschwerde in dieser Hinsicht quasi vorsorglich und einzig im Hinblick auf die Urteilsbegründung erfolgte. Die Frage kann jedoch offenbleiben, da sich die Rüge jedenfalls als unbegründet erweist.
2.4. Nach <ref-law> hat jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch auf ein durch Gesetz geschaffenes, zuständiges, unabhängiges und unparteiisches Gericht. Massgebend ist in erster Linie, dass das Gericht im Zeitpunkt der Urteilsfällung ordnungsgemäss besetzt ist (Urteil 5A_523/2014 vom 13. Januar 2015 E. 2.2; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.1 S. 144 f.; je mit Hinweisen). Das Bundesgericht hat in seiner Rechtsprechung ausdrücklich fesgehalten, es sei danach zu unterscheiden, ob ein Richter vor der Urteilsfällung oder aber danach, jedoch noch vor der Urteilseröffnung aus dem Amt geschieden sei (Urteil 1C_235/2008 vom 13. Mai 2009 E. 3.2.1 mit Hinweis). Bereits daraus geht hervor, dass es nicht generell unzulässig ist, das Urteil zu einem Zeitpunkt zu begründen bzw. zuzustellen, zu welchem ein Richter des Spruchkörpers bereits nicht mehr im Amt ist. Dass solches nur unter der Bedingung der Genehmigung der Urteilsbegründung durch den betroffenen Richter möglich ist, wie die Beschwerdeführerin annimmt, trifft nicht zu.
2.5. Im Urteil Cerovsek und Bozicnik gegen Slowenien hatte der EGMR einen Fall zu beurteilen, in dem zwei Einzelrichter die von einer anderen, in der Zwischenzeit in den Ruhestand getretenen Einzelrichterin gefällten Strafurteile gestützt auf die Akten mit einer Begründung versehen hatten. Art. 6 Abs. 1 EMRK erwies sich als verletzt, weil die Einzelrichterin ihr Urteil nicht nur auf die Akten, sondern auch auf ihre direkten Wahrnehmungen im Hauptverfahren gestützt hatte, jedoch weder eine mündliche Urteilsbegründung abgegeben noch irgendwelche anderen Anweisungen für die schriftliche Urteilsbegründung zurückgelassen hatte. Vor diesem Hintergrund waren die am Hauptverfahren unbeteiligten Richter nicht in der Lage, eine authentische Begründung zu redigieren (Urteil Cerovsek und Bozicnik gegen Slowenien vom 7. März 2017, Nr. 68939/12, Ziff. 38-48).
2.6. Vorliegend verhält es sich anders. Der verfahrensleitende Gerichtspräsident, der zusammen mit dem Gerichtsschreiber das begründete Urteil unterschrieb, war unbestrittenermassen an der Hauptverhandlung anwesend gewesen und damit in der Lage, die dort gemachten Wahrnehmungen direkt in die schriftliche Begründung einfliessen zu lassen.
2.7. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin lässt sich schliesslich auch nicht der StPO entnehmen, dass die schriftliche Urteilsbegründung von sämtlichen Richtern genehmigt werden müsste. Wenn <ref-law> festhält, dass "das Gericht" das Urteil begründet, so ist dafür ebenso wenig die Mitwirkung des gesamten Spruchkörpers erforderlich wie für die Zustellung des Urteils, welche gemäss derselben Bestimmung ebenfalls vom "Gericht" zu besorgen ist. Weiter ist auch darauf hinzuweisen, dass die StPO in Art. 335 Abs. 2 vorbehältlich des Verzichts der Parteien die Wiederholung der gesamten Hauptverhandlung verlangt, wenn während der Hauptverhandlung eine Richterin oder ein Richter ausfällt, für das nachfolgende Verfahren - welches auch die Redaktion der schriftlichen Urteilsbegründung umfasst - jedoch keine entsprechende Vorschrift enthält.
2.8. Zusammenfassend ergibt sich, dass das nach Urteilsfällung, jedoch noch vor Zustellung der schriftlichen Urteilsbegründung erfolgte Ausscheiden eines Richters unter den gegebenen Umständen nicht gegen Bundes- und Völkerrecht verstiess. Die betreffende Kritik der Beschwerdeführerin ist unbegründet.
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, es sei zudem fragwürdig, ob der betreffende Richter seinen Wohnsitz im Urteilszeitpunkt noch im Kanton Basel-Stadt hatte und damit das gesetzliche Wohnsitzerfordernis erfüllte. In diesem Zusammenhang rügt sie eine willkürliche Feststellung des Sachverhalts. Das Appellationsgericht habe es zu Unrecht als "unstreitig" bezeichnet, dass der Richter per 28. Februar 2017 aus dem Amt geschieden sei. Zum einen habe sie selbst sich nie zum Wohnsitz des Richters am Tag der Urteilsfällung geäussert, zum andern habe sich auch das erstinstanzliche Gericht nicht damit befasst. Da die Frage des Wohnsitzes im Urteilszeitpunkt erst durch das angefochtene Urteil rechtserheblich geworden sei, dürften nach <ref-law> auch neue Tatsachen und Beweismittel vorgebracht werden.
3.2. Haben sich weder die Beschwerdeführerin noch das Strafgericht im bisherigen Verfahren zum Wohnsitz des betreffenden Richters im Urteilszeitpunkt geäussert, so ist es nicht zu beanstanden, wenn das Appellationsgericht es als unstreitig bezeichnete, dass dieser damals noch im Amt war (<ref-law>). Dass die Frage erst durch den angefochtenen Entscheid rechtlich erheblich geworden sein soll, trifft nicht zu. Die im bundesgerichtlichen Verfahren erstmals vorgebrachten Tatsachen und Beweismittel, mit denen das Datum des Wohnsitzwechsels in Frage gestellt werden soll, sind deshalb unzulässig (<ref-law>). Wollte die Beschwerdeführerin im Übrigen mit ihren Ausführungen kritisieren, dass das Strafgericht bereits im Zeitpunkt der Urteilsfällung nicht mehr bundesrechtskonform besetzt gewesen sei, hätte sie dies nach Treu und Glauben schon im vorinstanzlichen Verfahren vorbringen müssen (vgl. Urteil 2C_128/2016 vom 7. April 2017 E. 3 mit Hinweis). Die Beschwerde ist somit in diesem Punkt unbegründet, soweit überhaupt darauf einzutreten ist.
4.
4.1. Schliesslich macht die Beschwerdeführerin geltend, im Verfahren vor dem Strafgericht sei der Spruchkörper in Verletzung von Bundesrecht zusammengesetzt worden. Das Bundesgericht habe in einem Urteil vom 20. März 2018 festgestellt, dass das Organisationsreglement vom 16. Dezember 2016 des Strafgerichts des Kantons Basel-Stadt verfassungs- und konventionswidrig sei (Urteil 1C_187/2017 vom 20. März 2018, in: ZBl 119/2018 S. 343). Auf das hier in Frage stehende Verfahren vor dem Strafgericht sei zwar das Organisationsreglement in einer früheren Fassung zur Anwendung gelangt, doch habe sich am Mechanismus der Spruchkörperbesetzung nichts geändert. Indem das Appellationsgericht auf ihre Rüge nicht eingetreten sei, obwohl sie sie sofort nach Publikation des erwähnten Bundesgerichtsurteils vorgebracht habe, habe es den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt und zudem Recht verletzt.
4.2. Ausstandsgründe und Organmängel anderer Art sind nach der Rechtsprechung gestützt auf den Grundsatz von Treu und Glauben (<ref-law>) so früh wie möglich, d.h. nach deren Kenntnis bei erster Gelegenheit, geltend zu machen. Dies gilt auch, soweit eine Verletzung von Art. 6 EMRK gerügt wird (<ref-ruling> E. 4.3 S. 69; <ref-ruling> E. 4.3 S. 496; Urteil 1B_513/2017 vom 5. März 2018 E. 3; je mit Hinweisen). Indem die Beschwerdeführerin nach Bekanntgabe der Zusammensetzung des Spruchkörpers im Verfahren vor dem Strafgericht nicht sogleich reagierte, sondern die Verfassungs- und Konventionswidrigkeit erst viele Monate später vor dem Appellationsgericht geltend machte, handelte sie somit entgegen Treu und Glauben. Ihr Vorbringen war verspätet, weshalb das Appellationsgericht darauf nicht eintreten durfte, ohne Bundesrecht zu verletzen.
5.
Die Beschwerde ist aus diesen Erwägungen abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Es ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt, Abteilung Wirtschaftsdelikte, B._, C._, D._, E._ und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. November 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Dold