Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1956 geborene A._ war seit September 2014 bei der Basler Versicherung AG angestellt und damit bei der Vorsorgestiftung der Basler Versicherung AG berufsvorsorgeversichert. Mit Aufhebungsvereinbarung vom 15. Juni 2016 wurde das Arbeitsverhältnis auf 31. Dezember 2016 aufgelöst.
A.b. Im Oktober 2017 meldete sich A._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an unter Hinweis auf eine seit 20. Dezember 2016 bestehende gesundheitliche Beeinträchtigung in Form eines Burnouts (Arbeitsunfähigkeit von 100 % ab 20. Dezember 2016, 80 % ab 1. Juli 2017 und 60 % ab 1. August 2017).
A.c. Am 27. Juni 2019 beantragte A._ bei der Vorsorgestiftung der Basler Versicherung AG die Ausrichtung (vorzeitiger) Altersleistungen. Mit Schreiben vom 28. Juni 2019 bestätigte diese die vorzeitige Pensionierung mit Wirkung auf 1. Januar 2017. Sie richtete ihm die Altersrente rückwirkend ab diesem Zeitpunkt aus.
A.d. Mit Verfügung vom 22. Oktober 2019 sprach die IV-Stelle des Kantons Basel-Landschaft A._ ab 1. April 2018 eine Viertels- und vom 1. August 2018 bis 31. März 2019 (Befristung wegen Vorbezugs der Altersrente der AHV mit Wirkung ab 1. April 2019) eine halbe Invalidenrente zu (Invaliditätsgrad von 43 bzw. 53 %).
A.e. Im Februar 2020 machte A._ gegenüber der Vorsorgestiftung der Basler Versicherung AG geltend, er habe Anspruch auf eine Invalidenrente. Diese lehnte ab mit der Begründung, sie richte ihm bereits eine Altersrente aus, was korrekt sei. Der Vorsorgefall Alter habe sich schon am 1. Januar 2017 verwirklicht; daran ändere nichts, dass der Versicherte sich erst nach Eintritt des Vorsorgefalles Invalidität für die vorzeitige Pensionierung entschieden habe.
B.
Klageweise beantragte A._ am 25. März 2020, die Vorsorgestiftung der Basler Versicherung AG sei zu verpflichten, ihm anstelle der bisher geleisteten Altersrente rückwirkend vom 1. April bis 31. Juli 2018 eine Viertels- und ab 1. August 2018 eine halbe Invalidenrente aus beruflicher Vorsorge auszurichten, abzüglich der bereits bezahlten Altersrenten und zuzüglich eines Verzugszinses in der Höhe des BVG-Mindestzinses seit Klageeinleitung. Mit Entscheid vom 22. September 2020 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt die Klage ab.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, der Entscheid vom 22. September 2020 sei aufzuheben. Er erneuert das im kantonalen Verfahren gestellte Rechtsbegehren.
Die Vorsorgestiftung der Basler Versicherung AG schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob der Beschwerdeführer Anspruch auf die von ihm geltend gemachte Invalidenrente hat oder ob ihm eine Altersrente zufolge vorzeitiger Pensionierung zusteht, wie dies die Vorinstanz und die Beschwerdegegnerin für richtig halten.
3.
3.1. Anspruch auf Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge haben Personen, die im Sinne der Invalidenversicherung zu mindestens 40 Prozent invalid sind und bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert waren (Art. 23 lit. a BVG). Für den Beginn des Anspruchs gelten sinngemäss die Bestimmungen des IVG (Art. 26 Abs. 1 BVG). Gemäss Art. 18 Ziff. 1 des hier anwendbaren (vgl. Art. 48 Ziff. 2 Vorsorgereglement 2018) Vorsorgereglements 2013 (Stand am 1. Januar 2017) haben Anspruch auf Invalidenleistungen Mitglieder, denen eine Invalidenrente der IV zugesprochen wird und die bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, bei der Vorsorgestiftung der Basler Versicherung AG versichert waren (Satz 1). Der Anspruch entsteht analog Art. 29 Abs. 1 IVG frühestens nach Ablauf von sechs Monaten seit der IV-Anmeldung (Satz 2).
3.2. Im Bereich der obligatorischen beruflichen Vorsorge fällt der Eintritt des Vorsorgefalls Invalidität mit der Entstehung des Anspruchs auf eine Rente der Invalidenversicherung zusammen (<ref-ruling> E. 2.6 S. 17 f.; Hürzeler/Brühwiler, Obligatorische berufliche Vorsorge, in: Soziale Sicherheit, SBVR Bd. XIV, 3. Aufl. 2016, S. 2120 N. 150). Gleiches gilt für die weitergehende Vorsorge, sofern das Reglement nichts Abweichendes vorsieht (<ref-ruling> E. 4.4 S. 103; <ref-ruling> E. 4.3.3-4.4 S. 423 f.). Dabei schliesst der Umstand, dass ein definitiver Entscheid über den Anspruch auf eine Invalidenrente noch aussteht und deshalb (noch) keine Rente bezogen wird, den Eintritt des Vorsorgefalls im entscheidenden Zeitpunkt nicht aus (<ref-ruling> E. 4.4 S. 103).
4.
4.1. Anspruch auf Altersleistungen haben Männer, die das 65. Altersjahr, und Frauen, die das 64. Altersjahr zurückgelegt haben (Art. 13 Abs. 1 BVG). Die reglementarischen Bestimmungen der Vorsorgeeinrichtung können abweichend davon vorsehen, dass der Anspruch auf Altersleistungen mit der Beendigung der Erwerbstätigkeit entsteht (Art. 13 Abs. 2 Satz 1 BVG). Gemäss Art. 11 Vorsorgereglement 2013 (damit übereinstimmend Art. 11 Vorsorgereglement 2018) entsteht der Anspruch auf eine Altersrente bei Mitgliedern, die das 65. Altersjahr (Rentenalter) vollendet haben, und bei Mitgliedern die das 58. Altersjahr vollendet haben und die vorzeitig in Pension gehen (wobei für diese Kategorie in Klammer auf Art. 27 Ziff. 5 des Vorsorgereglements verwiesen wird).
4.2. Wird das Arbeitsverhältnis in einem Alter aufgelöst, in dem der Versicherte nach den reglementarischen Bestimmungen bereits Anspruch auf eine vorzeitige Altersleistung hat, sind zwei Fälle zu unterscheiden: Macht das Reglement die Ausrichtung von Leistungen im Sinne einer vorzeitigen Pensionierung von einer Willenserklärung des Versicherten abhängig, tritt der Vorsorgefall Alter (unter Ausschluss des Anspruchs auf eine Austrittsleistung) nur ein, wenn der Versicherte seine Ansprüche geltend macht (<ref-ruling> E. 5.2.1 S. 233 f. mit Hinweis auf Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts B 38/00 vom 24. Juni 2002; Urteil 9C_792/2019 vom 27. November 2020 E. 3.1). Sieht das Reglement hingegen nichts Entsprechendes vor, löste nach früherer Rechtsprechung bereits die Beendigung des Arbeitsverhältnisses zwischen dem frühestmöglichen Rentenbeginn und dem vollendeten 65. Altersjahr automatisch den Anspruch auf Altersleistungen und damit den Eintritt des Vorsorgefalles Alter aus (dies selbst unabhängig von der Absicht des Versicherten, einer anderen Erwerbstätigkeit nachzugehen; <ref-ruling> E. 5.2.1 f. S. 233 f. mit Hinweis auf <ref-ruling>). Dass in diesem zweiten Fall eine versicherte Person unter Umständen vorzeitig pensioniert wurde, obwohl sie das gar nicht wollte, korrigierte der Gesetzgeber mit Einführung der auf 1. Januar 2010 in Kraft getretenen Bestimmung des Art. 2 Abs. 1bis FZG (SR 831.42), indem er den Versicherten, welche die Erwerbstätigkeit diesfalls weiterführen oder arbeitslos gemeldet sind, die Möglichkeit einräumte, stattdessen eine Austrittsleistung zu beanspruchen (vgl. dazu Thomas Flückiger, in: Schneider/Geiser/Gächter [Hrsg.], BVG und FZG, 2. Aufl. 2019, N. 26 zu Art. 13 BVG; Hürzeler/Brühwiler, a.a.O., S. 2109 N. 122).
5.
Was den Vorsorgefall Invalidität anbelangt, ging die Vorinstanz zutreffend davon aus, dass der Beschwerdeführer ab 1. April 2018 (analog zur Rentenberechtigung in der Invalidenversicherung) Anspruch auf eine Invalidenrente der beruflichen Vorsorge hätte, so dass der Vorsorgefall Invalidität zu diesem Zeitpunkt eingetreten wäre. Dies gilt ungeachtet des Umstandes, dass der rentenzusprechende Entscheid der IV-Stelle erst am 22. Oktober 2019 erging und mithin erst ab diesem Zeitpunkt Gewissheit über den Anspruch bestand (vgl. E. 3.2 in fine). In der letztinstanzlichen Beschwerde wird thematisiert, aber letztlich als nicht entscheidrelevant offen gelassen, dass der Anspruch auf eine Invalidenrente allenfalls bei rechtzeitiger Anmeldung bereits am 1. Dezember 2017 entstanden und der Vorsorgefall mithin bereits zu diesem Zeitpunkt eingetreten sein könnte. Weiterungen zu diesem hypothetischen Sachverhalt erübrigen sich. Massgebend bleibt, dass der Anspruch auf eine Invalidenrente der beruflichen Vorsorge frühestens sechs Monate nach der (hier im Oktober 2017 erfolgten) Anmeldung zum Rentenbezug bei der Invalidenversicherung entstehen konnte (vgl. dazu <ref-ruling>; Art. 18 Ziff. 1 Satz 2 Vorsorgereglement 2013), hier mithin am 1. April 2018. Der Vorsorgefall Invalidität gilt damit als am 1. April 2018 eingetreten.
6.
6.1. Im Zusammenhang mit dem Vorsorgefall Alter steht fest, dass der Beschwerdeführer bei Auflösung des Arbeitsverhältnisses am 31. Dezember 2016 (Aufhebungsvereinbarung vom 15. Juni 2016) 60 Jahre alt war, womit er das für eine vorzeitige Pensionierung vorausgesetzte Mindestalter von 58 Jahren (Art. 11 Vorsorgereglement 2013) erreicht hatte, und dass er am 27. Juni 2019 bei der Beschwerdegegnerin die Ausrichtung von Altersleistungen zufolge vorzeitiger Pensionierung verlangte.
6.2. Die Vorinstanz erwog, die Beendigung des Arbeitsverhältnisses zwischen dem 58. und dem 65. Altersjahr löse nach den reglementarischen Bestimmungen der Beschwerdegegnerin (Art. 11 Vorsorgereglement 2013) automatisch den Anspruch auf Altersleistungen und damit den Eintritt des Vorsorgefalles Alter aus; vorbehalten bleibe die in Art. 27 Ziff. 5 Vorsorgereglement 2013 vorgesehene Möglichkeit, stattdessen die Ausrichtung einer Freizügigkeitsleistung zu verlangen. Der Beschwerdeführer habe im Schreiben vom 27. Juni 2019 die Ausrichtung von Altersleistungen verlangt und sich damit für die vorzeitige Pensionierung (unter Ausschluss der Ausrichtung der Freizügigkeitsleistung) entschieden. Da der Leistungsbeginn nach Art. 11 Vorsorgereglement 2013 automatisch im Zeitpunkt der Auflösung des Arbeitsverhältnisses erfolge und selbst nicht von einer Willenserklärung abhänge, sei der Vorsorgefall Alter bei Leistungsbeginn, d.h. am 31. Dezember 2016 (gemeint wohl: am 1. Januar 2017), eingetreten; sein Eintritt sei unabhängig davon, wann die Leistung verlangt oder anerkannt worden sei. Der Vorsorgefall Alter habe sich damit vor dem Vorsorgefall Invalidität verwirklicht und die Beschwerdegegnerin trage deshalb betreffend Invalidität keine Leistungspflicht.
6.3. Wie der Beschwerdeführer und die ihm insoweit zustimmende Beschwerdegegnerin zu Recht vorbringen, halten die vorinstanzlichen Erwägungen insoweit nicht stand, als davon ausgegangen wird, dass die Beendigung des Arbeitsverhältnisses nach dem 58. Altersjahr den Anspruch auf Altersleistungen automatisch auslöse: Art. 11 Vorsorgereglement 2013 macht den Anspruch auf vorzeitige Altersleistungen nicht nur vom Erreichen der Altersgrenze abhängig, sondern verlangt zusätzlich, dass das Mitglied vorzeitig in Pension geht, wobei an dieser Stelle auf Art. 27 Ziff. 5 Vorsorgereglement 2013 verwiesen wird. Nach letzterer Bestimmung kann der Versicherte bei einem Austritt nach vollendetem 58. Altersjahr zwischen der Ausrichtung einer Freizügigkeitsleistung und der vorzeitigen Altersleistung wählen (vgl. auch Art. 2 Abs. 1bis FZG). Entgegen dem angefochtenen Entscheid erfolgt die Ausrichtung einer Altersrente (zufolge vorzeitiger Pensionierung) damit nach den reglementarischen Bestimmungen nicht automatisch, sondern erfordert eine entsprechende Willenserklärung des Versicherten.
6.4. Kontrovers diskutieren die Parteien nun aber die Frage, wann der Vorsorgefall Alter eintritt, wenn der Versicherte von der Möglichkeit, die Ausrichtung einer vorzeitigen Altersrente zu verlangen, tatsächlich Gebrauch macht, wie dies der Beschwerdeführer am 27. Juni 2019 getan hat. Der Beschwerdeführer argumentiert, solange keine entsprechende Willensäusserung erfolgt sei, könne der Anspruch auf eine Altersrente nicht entstehen und der Vorsorgefall Alter nicht eintreten. Demgegenüber vertritt die Beschwerdegegnerin den Standpunkt, der Vorsorgefall Alter trete rückwirkend im Zeitpunkt der Anspruchsentstehung ein.
6.5. Die Willenserklärung des Beschwerdeführers vom 27. Juni 2019 wurde von den Parteien übereinstimmend als Antrag auf eine vorzeitige Pensionierung mit Wirkung auf 1. Januar 2017 verstanden. Ob ein derartiger vorzeitiger Altersrücktritt bzw. Vorbezug der Altersrente in der beruflichen Vorsorge - anders als in der AHV (Art. 67 Abs. 1bis AHVV) - zulässig ist, liess das Bundesgericht bis anhin offen (Urteil 9C_96/2013 vom 15. Juli 2013 E. 2.2, in: SVR 2014 BVG Nr. 5 S. 15; Thomas Flückiger, a.a.O., N. 27 zu Art. 13 BVG). Die Frage braucht auch hier nicht entschieden zu werden. Denn massgebend ist allein, dass der Vorsorgefall Invalidität bereits eingetreten war, als der Beschwerdeführer am 27. Juni 2019 die Ausrichtung vorzeitiger Altersleistungen beantragte. Die entsprechende (reglementarisch vorgesehene) Willenserklärung vom 27. Juni 2019 konnte den Anspruch auf vorzeitige Altersleistungen und den Vorsorgefall Alter (im Sinne einer vorzeitigen Pensionierung) nicht mehr auslösen, weil sie erst nach Eintritt des Vorsorgefalles Invalidität (1. April 2018) erfolgte. Mit Eintritt des Vorsorgefalles Invalidität entfiel für den Versicherten die Möglichkeit, eine vorzeitige Altersrente zu verlangen, denn die beiden Vorsorgefälle schliessen sich gegenseitig aus (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 232; Hürzeler/Brühwiler, a.a.O., S. 2110 N. 125). Dies gilt selbst dann, wenn - wie hier - der Versicherte die dafür erforderliche Willenserklärung noch vor der rentenzusprechenden Verfügung der IV-Stelle abgibt, weil der Vorsorgefall Invalidität unabhängig davon mit der Entstehung des Anspruchs auf Invalidenleistungen eintritt (vgl. <ref-ruling> E. 4.4 S. 103).
6.6. Zusammenfassend ergibt sich, dass dem Beschwerdeführer anstelle der bisher ausgerichteten Altersrente zufolge vorzeitiger Pensionierung eine Invalidenrente zusteht (mit Anspruchsbeginn am 1. April 2018; vgl. dazu E. 5). Die Beschwerdegegnerin wird deren Höhe noch festzusetzen haben. Die bereits ausgerichteten Altersrentenbetreffnisse sind davon in Abzug zu bringen. Des Weitern schuldet die Beschwerdegegnerin dem Beschwerdeführer einen Verzugszins seit Klageeinreichung, entsprechend seinem Rechtsbegehren in der Höhe des BVG-Mindestzinssatzes (Art. 107 Abs. 1 BGG; vgl. Art. 31 Ziff. 3 Reglement 2013; dazu auch <ref-ruling> E. 4.2 S. 21).
7.
Die unterliegende Beschwerdegegnerin trägt die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG) und hat dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zu entrichten (Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts Basel-Stadt vom 22. September 2020 aufgehoben. Die Klage vom 25. März 2020 wird insoweit gutgeheissen, als die Beschwerdegegnerin verpflichtet wird, dem Beschwerdeführer anstelle der bisher geleisteten vorzeitigen Altersrente rückwirkend ab 1. April 2018 eine Invalidenrente auszurichten, deren Höhe die Beschwerdegegnerin noch festzusetzen hat, abzüglich der bereits ausbezahlten Altersrentenbetreffnisse und zuzüglich Verzugszins in der Höhe des BVG-Mindestzinssatzes auf den verfallenen Invalidenrentenbetreffnissen ab Klageeinreichung.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. März 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann