Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 14. Mai 2013 verneinte die IV-Stelle des Kantons Zürich einen Rentenanspruch der 1970 geborenen A._ mangels eines invalidisierenden Gesundheitsschadens. Auf Beschwerde der Versicherten hin bestätigte das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 29. August 2014 die Rentenablehnung, insbesondere gestützt auf die polydisziplinäre Expertise des Zentrums für Medizinische Begutachtung, Basel (ZMB), vom 31. Januar 2013.
Im November 2015 ersuchte A._ erneut um Zusprechung einer Invalidenrente. Die IV-Stelle antwortete mit Schreiben vom 19. November 2015, für ein Eintreten auf die Neuanmeldung müsse glaubhaft gemacht werden, dass sich die tatsächlichen Verhältnisse seit Erlass der letzten Verfügung wesentlich verändert hätten. Die Versicherte wurde deshalb aufgefordert, bis spätestens am 31. Dezember 2015 entsprechende aktuelle Beweismittel nachzureichen (z.B. ärztliche Bestätigung, Spitalbericht usw.; blosse Arbeitsunfähigkeitsbestätigungen genügten nicht), ansonsten auf das Rentengesuch nicht eingetreten werde. Daraufhin reichte A._ innert Frist einen Austrittsbericht der Klinik B._ vom 15. Juli 2015 ein, wo sie sich wegen einer foraminalen Stenose einer Wirbelsäulenoperation (ventrale Diskektomie und Fusion HWK 6/7) hatte unterziehen müssen. In der Folge wurden der Verwaltung von derselben Klinik stammende Sprechstundenberichte vom 12. Februar und 10. März 2016 sowie ein ärztliches Zeugnis vom 8. März 2016 zugestellt. Mit Verfügung vom 8. April 2016 trat die IV-Stelle auf das neuerliche Rentenbegehren nicht ein, weil A._ keine massgebliche Tatsachenänderung glaubhaft gemacht habe.
B.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die hiegegen eingereichte Beschwerde mit Entscheid vom 27. November 2017 ab.
C.
A._ lässt Beschwerde ans Bundesgericht führen mit dem sinngemässen Antrag, die IV-Stelle sei zu verpflichten, auf die Neuanmeldung einzutreten und weitere Abklärungen vorzunehmen. Überdies lässt sie um unentgeltliche Rechtspflege ersuchen.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde ans Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen (u.a.) Bundesrecht verletzt (<ref-law>), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, <ref-law>). Hingegen hat eine freie Überprüfung des vorinstanzlichen Entscheids in tatsächlicher Hinsicht zu unterbleiben. Ebenso entfällt eine Prüfung der Ermessensbetätigung nach den Grundsätzen zur Angemessenheitskontrolle.
2.
Das kantonale Gericht hat die Verordnungsbestimmungen und von der Rechtsprechung entwickelten Grundsätze über das Erfordernis des Glaubhaftmachens einer anspruchsrelevanten Erhöhung des Invaliditätsgrades als Voraussetzung für die umfassende Prüfung einer neuen Anmeldung durch die Organe der Invalidenversicherung zutreffend dargelegt (Art. 87 Abs. 3 in Verbindung mit Abs. 2 IVV [SR 831.201]; <ref-ruling> und 71; <ref-ruling>; SVR 2016 IV Nr. 57 S. 188, 9C_367/2016 E. 2 mit Hinweisen). Darauf wird verwiesen.
Bei der Glaubhaftmachung einer Tatsachenänderung im relevanten Vergleichszeitraum als Beweismass geht es um eine frei überprüfbare Rechtsfrage. Ob der erforderliche Beweisgrad erreicht ist, stellt dagegen eine Tatfrage dar. Diesbezügliche Feststellungen des kantonalen Versicherungsgerichts sind somit für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (vgl. E. 1 hievor; SVR 2016 IV Nr. 57 S. 188, 9C_367/2016 E. 2.2 mit Hinweisen).
3.
Prozessthema bildet die Frage, ob die IV-Stelle nach der seinerzeitigen Verneinung eines Rentenanspruchs (Verfügung vom 14. Mai 2013, bestätigt mit vorinstanzlichem Entscheid vom 29. August 2014) auf die im November 2015 eingereichte Neuanmeldung mit Verfügung vom 8. April 2016 zu Recht nicht eingetreten ist.
3.1. Seinen früheren ablehnenden Entscheid vom 29. August 2014 hatte das kantonale Gericht in erster Linie auf das polydisziplinäre ZMB-Gutachten vom 31. Januar 2013 gestützt. In dieser internistischen, orthopädischen, neurologischen, psychiatrischen und neuropsychologischen Expertise wurden u.a. eine anhaltende somtaforme Schmerzstörung, eine - gegenwärtig remittierte - rezidivierende depressvie Störung und der Verdacht auf eine hyperkynetische Störung (DD: Persönlichkeitsakzentuierung) diagnostiziert. Die Beschwerdeführerin klagte damals gegenüber den Gutachtern über konstant vorhandene, belastungs- und positionsabhängig verstärkte Nackenschmerzen mit Ausstrahlung in beide Schultern und den Hinterkopf. Überdies beschrieb sie eine intermittierende Schmerzausstrahlung in die Innenseite des linken Armes bis zum kleinen Finger, verbunden mit einer dort vorhandenen dauernden Taubheit.
3.2. Dem im Rahmen des Neuanmeldungsverfahrens eingereichten Austrittsbericht der Klinik B._ vom 15. Juli 2015 lässt sich entnehmen, dass sich die Beschwerdeführerin am 9. Juli 2015 der eingangs erwähnten Operation an der Halswirbelsäule (HWS) unterziehen musste. Die Ärzte attestierten einen unkomplizierten postoperativen Verlauf mit regelrechter Mobilisation unter physiotherapeutischer Anleitung und entliessen die Versicherte in gutem Allgemeinzustand und mit reizlosen Wundverhältnissen nach Hause. Während mit Bezug auf die Rotation der Halswirbelsäule keine Beschränkung vorgesehen war, galt eine solche für die Inklination und Reklination während vier Wochen im Umfange von 50 %. Ebenso lange durfte die Beschwerdeführerin keine Gewichte über 5 kg heben. Im Sprechstundenbericht der genannten Klinik vom 12. Februar 2016 wurde als Konsultationsgrund die Verlaufskontrolle nach einem am 4. Dezember 2015 erlittenen Sturz angegeben, bei welchem sich die Versicherte eine Kontusion der Lendenwirbelsäule (LWS) zugezogen habe. Aktuell störe die Patientin der tiefe lumbale Schmerz; die gesamte untere LWS-Muskulatur sei verspannt. Radiologisch fanden sich keine Hinweise auf eine Fraktur oder ossäre Läsion (dennoch machte die Versicherte im Verwaltungsverfahren wie auch in der vorinstanzlichen Beschwerde "einen Steissbeinbruch und einen Impressionstrümmerbruch am 5. Lendenwirbel" geltend). Was die Halswirbelsäule anbelangt, klagte die Versicherte über postoperativ noch deutlich vorhandene nuchale muskuläre Schmerzen, welche sich nach einer Infiltration nur temporär gebessert hätten. Selten würden die mittleren drei Finger der linken Hand einschlafen. Die Klinikärzte fanden eine freie symmetrische Beweglichkeit der gesamten HWS mit endständiger Schmerzangabe. Kraft und Sensorik beider oberer Extremitäten seien unauffällig. Insgesamt beschreibe die Beschwerdeführerin eine im Alltag schmerzkompensierte Situation. Im Sprechstundenbericht vom 10. März 2018 äusserten sich die Ärzte zusätzlich zu einer Magnetresonanz-Tomographie (MRI) der Lendenwirbelsäule. Dieses bildgebende Verfahren zeigte eine leichte multisegmentale Discusprotrusion. Es lag weder eine Spinalkanalstenose noch eine Neurokompression vor. In den Segmenten L4/5 sowie L5/6 fand sich eine Spondylarthrose. Weil die Spezialärzte keine morphologisch wesentlich veränderten Facettengelenke identifizieren konnten, empfahlen sie der Versicherten im LWS-Bereich keine Infiltration. Hinsichtlich der unverändert andauernden Nackenschmerzen ohne persistierende Radikulopathie verordneten sie hingegen nach derjenigen vom 30. November 2015 eine weitere Facettengelenksinfiltration (C5/6 beidseits).
3.3. Die Vorinstanz hält in Übereinstimmung mit den beiden Stellungnahmen des Regionalen ärztlichen Dienstes (RAD) vom 16. Januar und 5. April 2016 fest, dass weder mit den angeführten Sprechstundenberichten noch mit dem Austrittsbericht der Klinik B._ eine Verschlechterung des Gesundheitszustands mit anhaltender Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit glaubhaft gemacht worden sei. Bereits der ursprünglichen Ablehnungsverfügung hätten in somatischer Hinsicht leichtgradige degenerative Veränderungen im Sinne von Chondrosen der zervikalen Bandscheiben mit einer leichten Protrusion bei C5/6 und ein Schmerzsyndrom im Nacken-/Schulterbereich zugrunde gelegen, die keine Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit gezeitigt hätten. Nackenschmerzen seien demnach schon vor der operativen Behebung der foraminalen Stenose im Bereich C6/7 vorhanden gewesen, ohne dass ihnen eine IV-rechtlich bedeutsame Auswirkung beigemessen worden sei. Die Operation vom 9. Juli 2015 habe nur eine vorübergehende Arbeitsunfähigkeit bewirkt. Der postoperative Verlauf habe sich problemlos gestaltet; lediglich für vier Wochen sei eine Bewegungseinschränkung attestiert worden. Betreffend die nach wie vor geklagten HWS-Beschwerden sei damit keine objektiv anhaltende Verschlechterung glaubhaft gemacht worden. Dasselbe gelte hinsichtlich der geltend gemachten Beschwerden im LWS-Bereich. Diesbezüglich verwies das kantonale Gericht auf die hievor zitierten Beurteilungen von MRI und Röntgenbilder durch die Klinikärzte im Rahmen der Sprechstunden. Eine anhaltende, sich auf den Invaliditätsgrad auswirkende Verschlechterung des Gesundheitszustands sei somit auch mit Bezug auf die Lendenwirbelsäule nicht glaubhaft dargetan. Die Bescheinigung einer - nicht näher begründeten - vollständigen Arbeitsunfähigkeit vom 6. Februar bis 31. März 2016 durch die Klinik B._ (Ärztliches Zeugnis vom 8. März 2016) ergebe sich nicht aus den von ihr beschriebenen Befunden.
3.4. Vorstehende Sachverhaltswürdigung des kantonalen Gerichts ist für das Bundesgericht verbindlich (vgl. E. 1 und 2 hievor). Die Beschwerdeführerin macht denn auch nirgends eine willkürliche Beweiswürdigung durch die Vorinstanz geltend, wie sie im Übrigen aufgrund des strengen Rügeprinzips (<ref-law>) klar und detailliert aufzuzeigen gewesen wäre (<ref-ruling> E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen). Mit der blossen Erläuterung der eigenen Sicht der Dinge lässt sich jedenfalls keine Willkür dartun. Ebenso wenig kann daraus eine Verletzung von Art. 87 Abs. 3 in Verbindung mit Abs. 2 IVV oder des in diesem Zusammenhang zu beachtenden herabgesetzten Beweismasses (<ref-ruling> E. 5.2 S. 67, 71 E. 2.2 S. 72; SVR 2016 IV Nr. 57 S. 188, 9C_367/2016 E. 2.2 mit Hinweis) abgeleitet werden. Letzterem wurde von der Vorinstanz vollauf Rechnung getragen. Soweit die Beschwerdeführerin eine Verletzung von <ref-law> geltend macht, übersieht sie, dass im Verfahren der Neuanmeldung nach Art. 87 Abs. 2 und 3 IVV der Untersuchungsgrundsatz (<ref-ruling> E. 4.1.1 S. 377; <ref-ruling> E. 1.4 S. 200) insofern nicht spielt, als die versicherte Person in Bezug auf das Vorliegen einer glaubhaften Änderung der tatsächlichen Verhältnisse seit der letzten rechtskräftigen Leistungsverweigerung eine Beweisführungslast trifft (SVR 2016 IV Nr. 57 S. 188, 9C_367/2016 E. 2.3 mit Hinweis). Wenn die Versicherte überdies weitere Sprechstundenberichte der Klinik B._ vom 2. Juni und 30. August 2016 sowie ein Arbeitsunfähigkeits-Zeugnis vom 19. April 2016 berücksichtigt haben will, verkennt sie, dass nach Erlass der streitigen Nichteintretensverfügung vom 8. April 2016 datierende Beweismittel, die eine anspruchsbegründende oder -erhöhende Tatsache glaubhaft machen sollen, stets im Wege einer neuen Anmeldung oder eines neuen Revisionsgesuchs vorzubringen sind. Dies gilt unabhängig davon, ob die im anschliessenden erstinstanzlichen Beschwerdeverfahren aufgelegten Beweismittel allenfalls Rückschlüsse hinsichtlich des neuanmeldungsrechtlich relevanten Zeitraums zuliessen (<ref-ruling> E. 5 S. 66; Urteil I 734/05 vom 8. März 2006 E. 3.2).
Gelang der Beschwerdeführerin nach dem Gesagten die Glaubhaftmachung einer anspruchsrelevanten Erhöhung des Invaliditätsgrades bis zur Verfügung vom 8. April 2016 nicht, muss es mit dem vorinstanzlich bestätigten Nichteintreten sein Bewenden haben.
4.
Die Gerichtskosten werden der Beschwerdeführerin als unterliegender Partei auferlegt (<ref-law>).
Ihrem Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege (im Sinne unentgeltlicher Prozessführung und Verbeiständung) kann nicht entsprochen werden, weil die hiefür erforderliche Voraussetzung der Bedürftigkeit nicht erfüllt ist (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 171; <ref-ruling> E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372, je mit Hinweisen). Den zu berücksichtigenden Ausgaben von Fr. 2'716.- pro Monat (Grundbetrag für alleinstehende Personen in Haushaltsgemeinschaft von Fr. 1'100.-; diesbezüglicher prozessualer Bedürftigkeitszuschlag von Fr. 275.- [25 %; vgl. SVR 2010 IV Nr. 10 S. 31, 9C_13/2009 E. 8.3]; geltend gemachte Auslagen von Fr. 1'341.-) stehen zwar bloss von der Beschwerdeführerin angeführte Einkünfte von insgesamt Fr. 2'886.- gegenüber. Ein monatlicher Einnahmenüberschuss von Fr. 170.- reicht für sich allein betrachtet nicht aus, um die anfallenden Gerichts- und Anwaltskosten innert nützlicher Frist zu begleichen. Entgegen den Ausführungen in der Beschwerdeschrift sind jedoch die Ersparnisse der Beschwerdeführerin keineswegs aufgebraucht. Noch weniger trifft die Behauptung des Rechtsvertreters zu, wonach sich "ein riesiger Schuldenberg aufgetürmt" habe. Vielmehr belief sich das steuerbare Vermögen im massgebenden Zeitpunkt der Gesuchseinreichung (Urteil 9C_84/2011 vom 24. Mai 2011 E. 2.2) auf Fr. 68'458.- (Steuererklärung für das Jahr 2017), wovon Fr. 52'185.- auf leicht realisierbare Guthaben gegenüber verschiedenen Banken entfielen (Privat- und Sparkonti). Die gesamte wirtschaftliche Situation erlaubt demnach der Beschwerdeführerin, die Gerichts- und Rechtsvertretungskosten aus eigenen Mitteln zu bestreiten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Februar 2019
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Der Gerichtsschreiber: Attinger