Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich führt eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen Urkundenfälschung, evtl. Urkundenunterdrückung. Mit Verfügung vom 3. Mai 2017 liess sie (bei der zuständigen E-Mail-Providerin) E-Mail-Nachrichten auf zwei E-Mail-Accounts des Beschuldigten und seiner Sekretärin B._ edieren. Am 4. Mai 2017 liess die Staatsanwaltschaft zudem eine Hausdurchsuchung in der Anwaltskanzlei des Beschuldigten durchführen. Durchsucht wurden die Büros des Beschuldigten und seiner Sekretärin, die diesen beiden Personen zugänglichen Kanzleiräumlichkeiten und der Serverraum. In der Folge beantragten der Beschuldigte, die genannte Sekretärin sowie zwei ebenfalls in der betroffenen Kanzlei tätige Rechtsanwälte die Siegelung der gemäss Editionsverfügung herausgegebenen E-Mails und der anlässlich der Hausdurchsuchung sichergestellten Aufzeichnungen und Unterlagen.
B.
Am 24. Mai 2017 beantragte die Staatsanwaltschaft beim kantonalen Zwangsmassnahmengericht (ZMG) die Entsiegelung aller Aufzeichnungen und Unterlagen.
C.
Am 26. Mai 2017 stellten auch die liechtensteinischen Firmen E._ und F._ je ein Siegelungsbegehren für die am 4. Mai 2017 sichergestellten (und bereits versiegelten) Aufzeichnungen und Unterlagen.
D.
Am 9. Juni 2017 ergänzte die Staatsanwaltschaft ihr Entsiegelungsgesuch an das ZMG, indem sie auch hinsichtlich der zwei oben genannten Firmen die Entsiegelung der fraglichen Aufzeichnungen und Unterlagen beantragte.
E.
Mit Verfügung vom 24. August 2017 wies das Bezirksgericht Zürich, Zwangsmassnahmengericht, das Entsiegelungsgesuch ab.
F.
Gegen die Verfügung des ZMG gelangte die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich mit Beschwerde vom 15. September (Posteingang: 20. September) 2017 an das Bundesgericht. Sie beantragt im Hauptstandpunkt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Rückweisung der Entsiegelungssache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz.
Das ZMG hat am 22. September (Posteingang: 28. September) 2017 auf eine Stellungnahme ausdrücklich verzichtet. Die zwei mitbetroffenen Firmen beantragen mit Vernehmlassung vom 9. Oktober 2017, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Innert je zweimal erstreckten Fristen haben die übrigen Verfahrensbeteiligten sich wie folgt vernehmen lassen: Der Beschuldigte, seine Sekretärin und einer der zwei mitbetroffenen Anwälte (Beschwerdegegner 3) beantragen je mit Eingaben vom 6. bzw. 10. November 2017 die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Der andere mitbetroffene Anwalt hat innert der ihm zweimal (letztmals bis 15. November 2017) erstreckten Frist keine Stellungnahme eingereicht.
Am 24. November 2017 bewilligte das Bundesgericht das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde. Innert der auf 12. Dezember 2017 angesetzten (fakultativen) Frist sind keine weiteren Stellungnahmen eingetroffen.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid des ZMG betreffend die (Nicht-) Entsiegelung von sichergestellten Aufzeichnungen und Unterlagen im Vorverfahren (<ref-law> i.V.m. Art. 248 Abs. 3 und Art. 380 StPO). Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich ist zur Beschwerde in Strafsachen legitimiert (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 BGG i.V.m. <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.5.2 S. 200). Dies gilt auch für Beschwerden gegen die Ablehnung von Entsiegelungsgesuchen im Vorverfahren (vgl. nicht amtl. publ. E. 1.4 von <ref-ruling> mit Hinweisen; E. 1 von <ref-ruling>). Die Oberstaatsanwaltschaft legt dar, dass ihr bei der Aufklärung eines Verbrechens oder Vergehens ein empfindlicher Beweisverlust drohe. Damit ist auch das Erfordernis des nicht wieder gutzumachenden Rechtsnachteils (<ref-law>) grundsätzlich erfüllt (vgl. <ref-ruling> E. 1.1-1.2 S. 291 f. mit Hinweisen; nicht amtl. publ. E. 2.1 von <ref-ruling>; E. 2 von <ref-ruling>; E. 1 von <ref-ruling>; E. 1.3 von <ref-ruling>; E. 1 des zur amtlichen Publikation bestimmten Urteils 1B_394/2017 vom 17. Januar 2018).
2.
Die Oberstaatsanwaltschaft rügt eine Verletzung von <ref-law>. Die Vorinstanz habe die Deliktskonnexität bzw. die Untersuchungsrelevanz der versiegelten Aufzeichnungen und Unterlagen zu Unrecht verneint.
Am 4. Mai 2015 sei über das Mailkonto der Sekretärin des Beschuldigten eine E-Mail an einen Empfänger im Fürstentum Liechtenstein versendet worden. In der Rubrik "Kopie an" (CC) sei die Mailadresse einer weiteren Person vermerkt. Absender der E-Mail sei (gemäss Signatur) der Beschuldigte gewesen. Der direkte Empfänger in Liechtenstein habe gleichentags per E-Mail geantwortet und das in der E-Mail des Beschuldigten formulierte Angebot, einem schweizerischen Verein beizutreten, zu deren Mitgliedern auch der Beschuldigte und die im CC genannte Person gehörten, förmlich akzeptiert.
Der genannte Verein mit Sitz bei der Anwaltskanzlei des Beschuldigten habe am 1. März 2017 in einem Zivilprozess vor dem Liechtensteinischen Fürstlichen Landgericht eine ausgedruckte E-Mail des oben erwähnten Empfängers eingereicht. Der Verein sei dabei durch den Beschuldigten und dessen Sohn vertreten gewesen. Das vom Verein im Zivilprozess eingebrachte Beweisdokument sei mit der am 4. Mai 2015 vom Empfänger versendeten (und am 26. April 2017 durch die Zürcher Kantonspolizei forensisch sichergestellten) Antwort-Mail inhaltlich praktisch identisch. Der einzige Unterschied betreffe die Personen, welche (laut Mailaustausch zwischen dem Beschuldigten und dem Empfänger) bereits Mitglieder des Vereins gewesen seien. In dem vom Verein in den Zivilprozess eingebrachten Beweisdokument werde (neben der im CC erwähnten Person und dem Beschuldigten) zusätzlich eine weitere Person genannt.
Da die forensisch sichergestellte Antwort-Mail vom 4. Mai 2015 nach deren Empfang - gemäss einer Datenanalyse des Dienstes Digitale Forensik der Zürcher Kantonspolizei - nicht mehr verändert worden sei, ergebe sich der Verdacht, dass das in den Zivilprozess eingebrachte Beweisdokument (an einem Zeitpunkt zwischen dem 4. Mai 2015 und dem 1. März 2017) inhaltlich verfälscht worden sei.
Tatverdächtig sei der Beschuldigte. Dieser habe am 4. Mai 2015 (über das Mailkonto seiner Sekretärin) die ursprüngliche E-Mail an den Empfänger verfasst. Sodann bestünden Anhaltspunkte, dass er das in den Zivilprozess eingebrachte Dokument ausgedruckt habe, zumal in dessen Titelzeile sein Name vermerkt sei und er das Dokument auch als Vertreter des Vereins beim Liechtensteinischen Fürstlichen Landgericht habe einreichen lassen. Zudem habe der Beschuldigte "ein substantielles Interesse am Inhalt der verdachtsweise verfälschten E-Mail" gehabt. Er und seine Sekretärin seien bei der Hausdurchsuchung bzw. bei den Befragungen vom 4. Mai 2017 mit diesem Verdacht konfrontiert worden, worauf sie die Aussagen verweigert hätten.
Die Ansicht der Vorinstanz, wonach die gesiegelten Aufzeichnungen und Unterlagen nicht untersuchungsrelevant seien, sei unzutreffend. Die untersuchungsleitende Staatsanwaltschaft habe die Deliktskonnexität bereits vorinstanzlich (in ihren Entsiegelungsgesuchen vom 24. Mai bzw. 9. Juni 2017 sowie in ihrer Replik vom 19. Juli 2017) dargelegt. Sowohl bei der Edition als auch bei der Hausdurchsuchung und provisorischen Sicherstellung habe sie darauf geachtet, dass ausschliesslich Beweismittel erhoben würden, die sich als unmittelbar relevant erweisen könnten. Die Mailkonten des Beschuldigten und seiner Sekretärin seien nur für den relevanten Deliktszeitraum (1. Mai 2015 bis 1. März 2017) von Beweiserhebungen betroffen. Die Sachkonnexität zwischen der untersuchten Straftat und den Sicherstellungen sei offensichtlich. Die untersuchungsgegenständliche E-Mail vom 4. Mai 2015 (aus einem liechtensteinischen Mail-Account) sei an das betroffene Mailkonto der Sekretärin des Beschuldigten versendet worden. Die E-Mail aus dem liechtensteinischen Konto sei (laut Titelzeile des Ausdruckes) aus dem betroffenen Mailkonto des Beschuldigten ausgedruckt worden. Zu untersuchen sei insbesondere, ob und wann die fragliche E-Mail vom Konto der Sekretärin an das Konto des Beschuldigten weitergeleitet wurde. Von Interesse seien auch die betreffenden Begleit-Mails sowie ebenfalls gesiegelte Aufzeichnungen und Unterlagen im Zusammenhang mit dem genannten Verein, der im Zivilprozess das mutmasslich verfälschte Beweisdokument habe einreichen lassen. Der Sachverhalt sei weder in objektiver noch in subjektiver Hinsicht ausreichend erstellt, zumal der Beschuldigte nicht geständig sei und er und seine Sekretärin die Aussagen verweigert hätten. Bei einer Verweigerung der beantragten Entsiegelung drohe daher ein empfindlicher Beweisverlust.
3.
Im angefochtenen Entscheid wird Folgendes erwogen:
Es bestehe der hinreichende Tatverdacht einer Straftat. Die Staatsanwaltschaft habe den Tatverdacht detailliert und nachvollziehbar dargelegt, während die Entsiegelungs-Gesuchsgegnerinnen und -Gegner, darunter der Beschuldigte, die Verdachtsgründe "weitgehend unkommentiert" gelassen hätten.
Unter dem Titel "Deliktskonnex und Verhältnismässigkeit" erwägt das Zwangsmassnahmengericht (ZMG), die Staatsanwaltschaft kenne den Inhalt der gesiegelten Aufzeichnungen und Unterlagen "definitionsgemäss nicht"; daher sei es ihr auch "nicht möglich, einen konkreten Zusammenhang zwischen dem Tatverdacht und den einzelnen sichergestellten Aufzeichnungen oder Gegenständen aufzuzeigen". Unter dem Gesichtspunkt der Untersuchungsrelevanz genüge es, wenn im Entsiegelungsgesuch "die Vermutung" begründet werde, dass sich "unter den versiegelten Aufzeichnungen und Datenträgern solche befänden, welche für das Strafverfahren relevant seien".
Im Rahmen der Prüfung der Verhältnismässigkeit sei auch der Schwere der untersuchten Delikte Rechnung zu tragen. Ebenso müsse das ZMG der Staatsanwaltschaft bei der Anordnung und Durchführung von Zwangsmassnahmen einen Ermessensspielraum zugestehen. Die Kantonspolizei habe sowohl das mutmasslich gefälschte Dokument als auch die ursprüngliche Version der betreffenden E-Mail sichergestellt. Damit sei "zumindest der äussere Sachverhalt bereits erstellt". Da nach Ansicht des ZMG alle "essentiellen Beweismittel" erhoben seien, erweise sich die beantragte Entsiegelung und Durchsuchung "unter dem Gesichtspunkt der Verhältnismässigkeit" als unzulässig. Zusammenfassend sei "zu vermuten", dass die noch gesiegelten Aufzeichnungen und Unterlagen "grundsätzlich nicht geeignet" seien, den untersuchten Sachverhalt "weiter zu klären". Es fehle insofern an der Untersuchungsrelevanz bzw. an einem ausreichenden "Deliktskonnex".
4.
4.1. Aufzeichnungen und Gegenstände, die nach Angaben der Inhaberin oder des Inhabers wegen eines Aussage- oder Zeugnisverweigerungsrechts oder aus anderen Gründen nicht durchsucht oder beschlagnahmt werden dürfen, sind zu versiegeln und dürfen von den Strafbehörden weder eingesehen noch verwendet werden (<ref-law>). Stellt die Staatsanwaltschaft im Vorverfahren ein Entsiegelungsgesuch, hat das ZMG im Entsiegelungsverfahren zu prüfen, ob schutzwürdige Geheimnisinteressen oder andere gesetzliche Entsiegelungshindernisse einer Durchsuchung entgegenstehen (Art. 248 Abs. 2-4 StPO; vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 81; zur amtlichen Publikation bestimmtes Urteil 1B_394/2017 vom 17. Januar 2018 E. 2.2).
4.2. Im Rahmen der zulässigen Untersuchungsmassnahmen klären die Strafbehörden von Amtes wegen alle für die Beurteilung der untersuchten Tat und der beschuldigten Person bedeutsamen Tatsachen ab (<ref-law>). Über Tatsachen, die unerheblich, offenkundig, der Strafbehörde bekannt oder bereits rechtsgenügend erwiesen sind, wird nicht Beweis geführt (<ref-law>). Strafprozessuale Zwangsmassnahmen setzen voraus, dass der damit verbundene Eingriff in die Grundrechte verhältnismässig ist. Sie können nur ergriffen werden, wenn die damit angestrebten Ziele nicht durch mildere Massnahmen erreicht werden können und die Bedeutung der untersuchten Straftat die Zwangsmassnahme rechtfertigt (<ref-law>). Entsiegelungen und Durchsuchungen, welche in die Grundrechte nicht beschuldigter Personen eingreifen, sind besonders zurückhaltend einzusetzen (<ref-law>). Die zu entsiegelnden Objekte müssen untersuchungsrelevant sein. Macht deren Inhaberin oder Inhaber fehlende Beweisrelevanz geltend, hat sie oder er zu substanziieren, inwiefern die fraglichen Aufzeichnungen und Gegenstände zur Aufklärung der untersuchten Straftat offensichtlich untauglich sind (<ref-ruling> E. 7.1 S. 209-211; <ref-ruling> E. 4.3 S. 81, E. 5.6 S. 87; <ref-ruling> E. 7.1 S. 229; je mit Hinweisen). Da die Staatsanwaltschaft (im Gegensatz zu den Inhaberinnen oder Inhabern) den Inhalt der einzelnen gesiegelten Aufzeichnungen und Gegenstände regelmässig noch nicht im Detail kennen kann, genügt es, wenn sie im Entsiegelungsgesuch aufzeigt, dass sich darunter mutmasslich solche befinden, die für das Strafverfahren relevant sind (Urteil 1B_314/2013 vom 9. Januar 2014 E. 2.2; vgl. Andreas Keller, in: Zürcher Kommentar StPO, 2. Aufl. 2014, Art. 248 N. 40; Niklaus Schmid/Daniel Jositsch, Praxiskommentar StPO, 3. Aufl., Zürich 2018, Art. 248 N. 7; Olivier Thormann/Beat Brechbühl, in: Basler Kommentar StPO, 2. Aufl. 2014, Art. 248 N. 26).
4.3. Wie die Vorinstanz zutreffend erwägt, wird der Tatverdacht eines Verbrechens oder Vergehens (<ref-law> i.V.m. <ref-law>) durch die bereits erhobenen und durchsuchten Beweismittel hinreichend begründet. Das Bejahen eines für Zwangsmassnahmen hinreichenden Tatverdachtes bedeutet allerdings noch nicht, dass zur Abklärung der Verdachtsgründe zum Vornherein nicht auf weitere untersuchungsrelevante Beweismittel (etwa im Rahmen einer Entsiegelung) zurückgegriffen werden dürfte (vgl. Art. 6 Abs. 1 und Art. 139 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>). Die Beweiskraft zulässiger Beweismittel hat nicht das Zwangsmassnahmengericht im Vorverfahren abschliessend zu beurteilen, sondern die den Endentscheid fällende Strafbehörde. Das Gleiche gilt grundsätzlich auch für Fragen der Beweisverwertung (vgl. <ref-ruling> E. 7.6 S. 285; 387 E. 4.4 S. 394 f.; <ref-ruling> E. 9.8 S. 227; <ref-ruling> E. 1 S. 291 f.).
4.4. Weder die Vorinstanz noch die privaten Beschwerdegegner und -gegnerinnen legen nachvollziehbar dar, inwiefern die gesiegelten Unterlagen und Aufzeichnungen - offensichtlich und allesamt - nicht untersuchungsrelevant wären. Dass zumindest Teile davon eine enge Sachkonnexität aufweisen, wurde von den Strafverfolgungsbehörden (im Entsiegelungsverfahren und in der Beschwerdeschrift) schlüssig dargelegt. Die Staatsanwaltschaft erwartet aufgrund dieser Beweismittel insbesondere sachdienliche Erkenntnisse darüber, wer die E-Mail vom 4. Mai 2015 (aus dem liechtensteinischen Mailkonto) wann erhalten und weitergeleitet hat, wer diesbezüglich was angeordnet hat, und wer die E-Mail auf welche Weise verfälscht und (vermutlich zu Beweiszwecken im Zivilprozess) ausgedruckt hat. Dabei wird gegebenenfalls auch entlastenden Beweisergebnissen (z.B. gutgläubiger Empfang einer bereits abgeänderten E-Mail durch den Beschuldigten, allfälliger "Hacker-Angriff", Täterschaft von Dritten usw.) Rechnung zu tragen sein (vgl. <ref-law>).
Die pauschale Verneinung der Untersuchungsrelevanz für alle gesiegelten Beweismittel erscheint demgegenüber sachlich nur schwer nachvollziehbar und bundesrechtswidrig; sie würde im Übrigen eine empfindliche Beeinträchtigung der Wahrheitsfindung bei der Abklärung eines Verbrechens oder Vergehens nach sich ziehen. Angesichts der Aussageverweigerungen ist auch das Subsidiaritätserfordernis der Zwangsmassnahmen erfüllt. Von den streitigen Untersuchungshandlungen direkt betroffen sind primär der Beschuldigte und seine Sekretärin, weshalb auch Art. 197 Abs. 2 oder Art. 264 Abs. 1 lit. d StPO nicht für ein Abweichen von der dargelegten Lehre und Praxis zur Untersuchungsrelevanz sprechen.
Daran vermögen auch die beschwerdegegnerischen Einwände nichts zu ändern. Dies gilt namentlich für die Vorbringen, die Staatsanwaltschaft lege nicht dar, welche konkreten Aufzeichnungen und Unterlagen untersuchungsrelevant seien, neben den E-Mails zwischen dem Beschuldigten und seiner Sekretärin (zwischen dem 1. Mai 2015 und 1. März 2017) seien weitere Unterlagen erhoben worden, es lägen alle für einen Verfahrensabschluss notwendigen Beweismittel bereits vor, und auch das Anwaltsgeheimnis bzw. Geschäftsgeheimnisse stünden der Entsiegelung entgegen.
4.5. Nach dem Gesagten hält der angefochtene Entscheid vor dem Bundesrecht nicht stand.
Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und die Entsiegelungssache an die Vorinstanz (zur verfahrens- und materiellrechtlichen Neubeurteilung) zurückzuweisen. Prozessrechtlich wird vom ZMG insbesondere die Parteilegitimation bzw. Siegelungsberechtigung der verschiedenen Entsiegelungs-Gesuchsgegner und -Gegnerinnen zu prüfen sein.
5.
Die Beschwerde ist gutzuheissen, der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Entsiegelungssache an die Vorinstanz zurückzuweisen zur (verfahrens- und materiellrechtlichen) Neubeurteilung.
Die Gerichtskosten sind den unterliegenden Parteien gemeinsam aufzuerlegen, nämlich (zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung) den privaten Beschwerdegegnern 1 und 3 sowie den privaten Beschwerdegegnerinnen 2, 5 und 6 (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, die Verfügung des Bezirksgerichts Zürich, Zwangsmassnahmengericht, vom 24. August 2017 aufgehoben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den privaten Beschwerdegegnern 1 und 3 sowie den privaten Beschwerdegegnerinnen 2, 5 und 6 gemeinsam auferlegt, je zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bezirksgericht Zürich, Zwangsmassnahmengericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. März 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Forster