Sachverhalt:
A.
A.B._ und B.B._ sind die Eltern von C.B._ (geb. 2015). Sie trennten sich Ende März 2017. Seither führen sie einen Rechtsstreit um die Obhut, das Besuchsrecht und den Kinderunterhalt. Mit Verfügung vom 5. Januar 2018 unterstellte das Einzelgericht des Bezirks Meilen C.B._ vorsorglich für die Dauer des Verfahrens der alternierenden Obhut der Eltern und regelte deren Betreuungs- und Ferienanteile. Bei der Umsetzung der getroffenen Regelung kam es immer wieder zu Auseinandersetzungen zwischen den Eltern. Diese mündeten wiederholt in gegenseitigen Anzeigeerstattungen und Strafuntersuchungen.
Unter anderen erstattete B.B._ am 1. November 2018 gegen A.B._ Strafanzeige wegen Entziehens von Minderjährigen. A.B._ soll die Tochter C.B._ nicht zum vereinbarten Termin am 31. Oktober 2018 übergeben, sondern mit ihr ohne sein Einverständnis in die USA verreist sein (Dossier 1). Sodann erstattete er am 23. Dezember 2018 gegen A.B._ Anzeige wegen falscher Anschuldigung, Verleumdung und Irreführung der Rechtspflege. Dieser Strafanzeige ging eine Strafanzeige von A.B._ gegen B.B._ vom 19. Dezember 2018 wegen Tätlichkeiten zum Nachteil von C.B._ voraus (Dossier 3). Eine weitere Strafanzeige gegen A.B._ erstattete B.B._ am 28. Juni 2019. Erneut erhob er den Vorwurf der Irreführung der Rechtspflege. A.B._ soll gegenüber den Gerichten im Kontext der Unterhaltsfrage über ihre berufliche Tätigkeit falsche Angaben gemacht haben (Dossier 4).
B.
Mit Verfügung vom 29. April 2020 stellte die Staatsanwaltschaft See/Oberland die gegen A.B._ aufgrund dieser drei Strafanzeigen geführten Strafuntersuchungen ein, nahm die Kosten der Strafuntersuchung auf die Staatskasse, sprach A.B._ indessen weder eine Entschädigung noch eine Genugtuung zu. Die von A.B._ gegen die Verweigerung einer Entschädigung erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 4. März 2021 ab.
C.
A.B._ führt Beschwerde in Strafsachen und beantragt, die Verfügung [recte: der Beschluss] vom 4. März 2021 sei vollumfänglich aufzuheben und ihr eine Entschädigung von Fr. 5'172.85 zuzusprechen. Eventualiter sei die Sache zur Festsetzung der Entschädigung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Obergericht und die Oberstaatsanwaltschaft verzichten auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Entscheide über Ansprüche auf Entschädigung und Genugtuung gemäss <ref-law> sind Entscheide in Strafsachen im Sinne von <ref-law>, gegen welche die Beschwerde in Strafsachen zulässig ist (<ref-ruling> E. 1).
2.
Die Beschwerdeführerin rügt vorab eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>, <ref-law>). Sie macht geltend, die Vorinstanz habe sich mit mehreren von ihr in der Beschwerde gegen die Verweigerung der Entschädigung vorgebrachten Argumenten nicht auseinandergesetzt und die Beschwerde teils mit einer Begründung abgewiesen, welche in der Einstellungsverfügung nicht vorgebracht worden sei. Sie zeigt indessen nicht auf, mit welchen Argumenten sich die Vorinstanz nicht auseinandergesetzt haben soll oder weshalb die Vorinstanz die Entschädigung nicht mit einer (teils) anderen Begründung als die Staatsanwaltschaft hätte abweisen dürfen. Damit genügt sie den von <ref-law> geforderten Begründungsanforderungen nicht. Es ist darauf nicht weiter einzugehen.
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin wendet sich gegen die Verweigerung einer Entschädigung nach <ref-law>.
3.2. Wird die beschuldigte Person ganz oder teilweise freigesprochen oder wird das Verfahren gegen sie eingestellt, so hat sie Anspruch auf Entschädigung ihrer Aufwendungen für die angemessene Ausübung ihrer Verfahrensrechte (<ref-law>). Zu den Aufwendungen im Sinne der vorgenannten Gesetzesbestimmung zählen in erster Linie die Kosten der frei gewählten Verteidigung, wenn der Beistand angesichts der tatsächlichen oder rechtlichen Komplexität des Falls und die Höhe des geltend gemachten Aufwands gerechtfertigt waren (vgl. Botschaft vom 21. Dezember 2005 zur Vereinheitlichung des Strafprozessrechts, BBl 2006 1329 Ziff. 2.10.3.1). Der Beizug eines Verteidigers kann sich als angemessen erweisen, auch wenn er nicht als geradezu geboten erscheint (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.3.3). Einer beschuldigten Person wird in der Regel der Beizug eines Anwalts zugebilligt, wenn dem Deliktsvorwurf eine bestimmte Schwere zukommt. Deshalb wird bei Verbrechen und Vergehen nur in Ausnahmefällen schon der Beizug eines Anwalts an sich als nicht angemessene Ausübung der Verfahrensrechte bezeichnet werden können (BGE <ref-ruling> E. 2.3.5). Zu beachten ist, dass es im Rahmen von <ref-law> um die Verteidigung einer vom Staat zu Unrecht beschuldigten und gegen ihren Willen in ein Strafverfahren einbezogenen Person geht. Das materielle Strafrecht und das Strafprozessrecht sind zudem komplex und stellen insbesondere für Personen, die das Prozessieren nicht gewohnt sind, eine Belastung und eine grosse Herausforderung dar. Wer sich selbst verteidigt, dürfte deshalb prinzipiell schlechter gestellt sein. Dies gilt grundsätzlich unabhängig von der Schwere des Deliktsvorwurfs. Auch bei blossen Übertretungen darf deshalb nicht generell davon ausgegangen werden, dass die beschuldigte Person ihre Verteidigungskosten als Ausfluss einer Art von Sozialpflichtigkeit selbst zu tragen hat. Beim Entscheid über die Angemessenheit des Beizugs eines Verteidigers sind neben der Schwere des Tatvorwurfs und der tatsächlichen und rechtlichen Komplexität des Falls insbesondere auch die Dauer des Verfahrens und dessen Auswirkungen auf die persönlichen und beruflichen Verhältnisse der beschuldigten Person zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.3.5; Urteile 6B_936/2019 vom 20. Mai 2020 E. 8.3.1; 6B_701/2018 vom 5. November 2018 E. 2; 6B_188/2018 vom 23. Juli 2018 E. 2.3). Massgebend für die Beurteilung der Angemessenheit des Beizugs eines Verteidigers sind die Umstände, die im Zeitpunkt der Mandatierung bekannt waren. Wie lange das Verfahren dauerte oder mit welcher Hartnäckigkeit es von der Staatsanwaltschaft weiterverfolgt wurde, kann keine Rolle spielen (Urteil 6B_800/2015 vom 6. April 2016 E. 2.6).
3.3. Obwohl die Vorinstanz den gegen die Beschwerdeführerin erhobenen Vorwürfen eine gewisse Schwere zugesteht, erachtet sie den Beizug eines Anwalts nach Prüfung der konkreten Umstände als nicht angemessen. Sie erwägt, in der Strafuntersuchung gemäss Dossier 1 habe nur eine vorgängige polizeiliche Befragung der Beschwerdeführerin als beschuldigte Person stattgefunden. In den Strafuntersuchungen gemäss Dossier 3 und 4 sei gar keine polizeiliche Befragung durchgeführt worden. Die Polizei habe auch nicht anderweitig gegen die Beschwerdeführerin ermittelt. Die Staatsanwaltschaft habe ebenfalls keine sachliche Notwendigkeit für weitergehende Untersuchungshandlungen gesehen, stattdessen habe sie die Beschwerdeführerin und B.B._ auf den 30. Oktober 2019 je als beschuldigte Person zu einer Vergleichsverhandlung und bei Nichteinigung zu einer Konfrontationseinvernahme vorgeladen. Für die Beschwerdeführerin erkennbar habe dies gezeigt, dass die Staatsanwaltschaft von Beginn weg bestrebt gewesen sei, eine befriedigende Lösung für beide Parteien herbeizuführen. Nach Ansicht der Vorinstanz habe die Beschwerdeführerin sodann in diversen Strafanzeigen und sonstigen Eingaben gezeigt, dass sie persönlich fähig sei, sich für ihre Belange rund um die Tochter C.B._ bei den Strafbehörden einzusetzen. Der Beizug eines Verteidigers für das Vergleichsgespräch erscheine daher eindeutig als nicht geboten. Auch für die anschliessende Konfrontationseinvernahme verneint die Vorinstanz die Angemessenheit des Beizugs eines Anwalts. Es sei bei den einzelnen Tatvorwürfen um einfache, überschaubare Sachverhalte gegangen. Der Beschwerdeführerin habe aufgrund der anhaltenden Auseinandersetzung bei der Umsetzung der vorsorglichen Massnahmen hinlänglich bekannt sein müssen, um was es in der staatsanwaltschaftlichen Einvernahme vom 30. Oktober 2019 gehen würde. Aus dem Protokoll sei ersichtlich, dass sie der Situation gewachsen gewesen sei, indem sie auf die Vorhalte adäquat und sachdienlich zu reagieren vermocht habe.
3.4. Die Beschwerdeführerin wendet ein, es sei nicht ersichtlich, weshalb der Beizug eines Anwalts für die erste Einvernahme in der Regel nicht angemessen sein soll. Es sei nicht zulässig, einen Anspruch auf einen Anwalt der ersten Stunde zu gewähren, dessen Bemühungen aber nicht zu entschädigen. Sodann sei die Anzahl der Einvernahmen und Beweiserhebungen für sich allein kein geeignetes Kriterium zur Beurteilung der Angemessenheit des Beizugs eines Verteidigers. Weiter wirft sie der Vorinstanz vor, im Zusammenhang mit den Vergleichsgesprächen die Gebotenheit statt die Angemessenheit des Beizugs eines Verteidigers geprüft zu haben. Die Angemessenheit des Beizugs eines Verteidigers werde von der Vorinstanz zu Recht nicht in Zweifel gezogen. Der Beizug eines Rechtsbeistands sei vorliegend aber nicht nur angemessen, sondern auch geboten gewesen. Ihr sei vor den Vergleichsgesprächen keine Akteneinsicht gewährt worden, weshalb sie sich nicht ausreichend auf die Vergleichsgespräche habe vorbereiten können. Auch sei es nicht möglich gewesen, abzuschätzen, ob sie ihre Interessen auch ohne Rechtsbeistand effektiv wahren könne. Vor diesem Hintergrund sei der Beizug eines Verteidigers geboten gewesen. In rechtlicher Hinsicht hätten sich sodann in Dossier 1 Fragen gestellt, welche für einen Laien von einer erheblichen Komplexität seien und sich auch mit einer genauen Lektüre des Gesetzestexts nicht klären liessen. Auch die ihr vorgeworfenen Rechtspflegedelikte seien sowohl in tatsächlicher wie auch in rechtlicher Hinsicht für einen Laien schwer zu beurteilen. Der Beizug eines Verteidigers sei auch für die staatsanwaltschaftliche Einvernahme geboten gewesen. Unzutreffend sei sodann, dass es sich bei den einzelnen Tatvorwürfen um einfache, überschaubare Sachverhalte gehandelt habe. Es könne bereits angesichts der Vielzahl der Tatvorwürfe und der miteinander zusammenhängenden Verfahren (Gegenanzeigen etc.) nicht von einem überschaubaren Sachverhalt gesprochen werden. Die Vorinstanz habe überdies die Auswirkungen des Strafverfahrens auf ihre persönlichen Verhältnisse nicht berücksichtigt. Der Ausgang des Strafverfahrens habe direkte Auswirkungen auf das Zivilverfahren betreffend elterliche Sorge und Obhut der Tochter C.B._.
3.5. Bei polizeilichen Einvernahmen hat die beschuldigte Person nach <ref-law> das Recht, dass ihre Verteidigung anwesend sein kann (sog. Anwalt der ersten Stunde). Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin lässt sich aus diesem Recht auf Beizug eines Anwalts erster Stunde indessen nicht ein genereller Anspruch auf staatliche Entschädigung der beigezogenen Verteidigung ableiten. Der Anspruch auf dessen Entschädigung richtet sich ausschliesslich nach <ref-law> und setzt neben einem Freispruch oder der Einstellung des Verfahrens die Angemessenheit des Beizugs des Anwalts bereits bei der Mandatierung voraus (vgl. E. 3.2).
Die Beschwerde erweist sich im Übrigen als begründet. In einer ex post-Beurteilung der einzelnen Verfahrenshandlungen verneint die Vorinstanz die Angemessenheit des Beizugs eines Rechtsbeistands und untersucht nicht für den Zeitpunkt der Mandatierung die Angemessenheit des Beizugs. Für die Beurteilung der Angemessenheit des Beizugs des Verteidigers ist vorliegend indessen auf die Verhältnisse im Zeitpunkt vor der ersten polizeilichen Einvernahme bezüglich der ersten Strafanzeige abzustellen. In diesem Zeitpunkt sah sich die Beschwerdeführerin mit dem Vorwurf des Entziehens von Minderjährigen (<ref-law>) konfrontiert, einem Vergehen und damit einem Vorwurf von einer gewissen Schwere. Mit dem Vorwurf des Entziehens von Minderjährigen geht regelmässig ein Elternkonflikt einher, so auch vorliegend, welcher die Abklärung des Sachverhalts anspruchsvoll macht und für die emotionale Befindlichkeit der involvierten Beteiligten belastend sein kann. Hinzu kommt, dass der Tatbestand des Entziehens von Minderjährigen in rechtlicher Hinsicht für einen Laien nur schwer fassbar und allein mit der Lektüre des Gesetzestextes für diesen nicht erkennbar ist, unter welchen Voraussetzungen der Tatbestand erfüllt ist. Die Verhältnisse waren denn auch weder in tatsächlicher noch rechtlicher Hinsicht derart klar, dass der Vorwurf nach der ersten polizeilichen Einvernahme nicht weiterverfolgt wurde. Im Gegenteil eröffnete die Staatsanwaltschaft gestützt auf den Polizeirapport in der Folge eine Strafuntersuchung, die erst nach einer gescheiterten Vergleichsverhandlung mit anschliessender Konfrontationseinvernahme nach mehr als eineinhalb Jahren eingestellt wurde. Zu berücksichtigen ist auch, dass der Vorwurf des Entziehens von Minderjährigen in der vorliegenden Konstellation für die Beschwerdeführerin nachteilige Auswirkungen auf das parallel laufende Zivilverfahren betreffend Obhut und Betreuung der Tochter C.B._ hätte zeitigen können, wird einem Elternteil doch in der Regel bei fehlender Absprachefähigkeit hinsichtlich Besuchs- und Betreuungsregelung die Erziehungsfähigkeit abgesprochen oder diese zumindest als herabgesetzt beurteilt. Es erweist sich daher als angemessen, wenn die Beschwerdeführerin für das gegen sie eingeleitete Strafverfahren betreffend Entziehen von Minderjährigen einen Rechtsbeistand beigezogen hat, selbst wenn der Beizug für die erste polizeiliche Einvernahme ex post betrachtet allenfalls nicht geboten gewesen wäre.
Gleich verhält es sich mit den weiteren gegen die Beschwerdeführerin erhobenen Vorwürfen der falschen Anschuldigung, der Verleumdung und der Irreführung der Rechtspflege. Bei diesen Tatbeständen handelt es sich um Vergehen und Verbrechen. Sie weisen daher ebenfalls eine gewisse Schwere auf. Angesichts der Vielzahl der gegenseitigen Strafanzeigen und des Elternkonflikts mit gegenseitigen Beschuldigungen kann auch hinsichtlich der einzelnen Vorwürfe nicht mehr von einfachen, überschaubaren Verhältnissen gesprochen werden. Aus dem Umstand, dass sich die Beschwerdeführerin für ihre und die Belange der Tochter C.B._ bei verschiedenen Behörden einzusetzen weiss, kann sodann nicht abgeleitet werden, sie bedürfe in einem Strafverfahren keiner anwaltlichen Unterstützung. Aus dem weiteren Umstand, dass die Beschwerdeführerin in der Konfrontationseinvernahme in der Lage war, sachgerechte Antworten zu geben, darf ebenso wenig geschlossen werden, der Beizug eines Anwalts sei nicht angemessen gewesen, kann es doch gerade am Beizug des Anwalts liegen, dass sachgerechte Antworten überhaupt erst möglich waren. Angesichts der Schwere der ihr gegenüber erhobenen Vorwürfe, der mit den Vorwürfen einhergehenden Konfliktsituation sowie der möglichen Auswirkungen der Vorwürfe auf das Zivilverfahren betreffend Obhut und Betreuung von C.B._ war der Beizug eines Anwalts für sämtliche Vorwürfe angemessen, selbst wenn möglicherweise die Anwesenheit eines Verteidigers für einzelne Verfahrenshandlungen nicht erforderlich gewesen wäre. Die Vorinstanz verletzt Bundesrecht, indem sie von einer Entschädigung für die Anwaltskosten der Beschwerdeführerin absieht.
3.6. Bei der Anwendung von <ref-law> ist weiter zu prüfen, ob der konkrete Arbeitsaufwand des Verteidigers gerechtfertigt war. Die Vorinstanz hat diese Frage noch nicht beurteilt. Die Sache ist somit an die Vorinstanz zur Prüfung der Angemessenheit der Höhe der von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Entschädigung zurückzuweisen.
4.
Die Beschwerde ist gutzuheissen, der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Es sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Zürich hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 4. März 2021 wird aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Zürich hat der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Februar 2022
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Schär