Sachverhalt:
A.
A._ und B._ sind die unverheirateten, getrennt lebenden Eltern von C._ (geb. 2010). Seit der Trennung der Eltern im Sommer 2013 lebt C._ zusammen mit seiner Mutter, die allein die elterliche Sorge innehatte.
B.
B.a. Mit Schreiben vom 29. Juni 2015 beantragte B._ bei der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Stadt Luzern die Erteilung der gemeinsamen elterlichen Sorge. A._ wehrte sich dagegen und bestritt die Zuständigkeit der KESB Stadt Luzern. Das Kantonsgericht Luzern bestätigte die Zuständigkeit mit Urteil vom 1. September 2016.
B.b. In der Folge errichtete die KESB Stadt Luzern für C._ eine Besuchsrechtsbeistandschaft nach <ref-law>. Gleichzeitig regelte sie zum ersten Mal das Besuchsrecht zwischen Vater und Sohn. Die Besuche sollten bei der Fachstelle D._ begleitet durchgeführt und schrittweise ausgedehnt werden (Entscheid vom 31. Mai 2016). Ab November 2016 fanden nach einem längeren Kontaktunterbruch regelmässige begleitete Besuche statt.
B.c. Im Februar 2017 beantragte die Beiständin, C._ bezüglich der Kontakte zum Vater psychologisch zu begutachten und die Besuche während der Begutachtung begleitet durchzuführen. Die Kinder- und Jugendpsychiatrie E._ empfahl aufgrund der festgestellten Entwicklungsgefährdung eine Begutachtung der Situation. Am 16. Mai 2017 reichte B._ eine Gefährdungsmeldung bei der KESB Stadt Luzern ein. Mit Verfügung vom 18. Mai 2017 ordnete die KESB Stadt Luzern vorsorglich an, dass B._ C._ zweimal im Monat für rund vier Stunden in begleiteter Form bei der Fachstelle D._ treffen kann.
B.d. Am 30. April 2018 lag das psychologische Gutachten vor, am 5. Juli 2018 erging der Bericht der Beiständin über den Ablauf der begleiteten Besuchskontakte. Die Eltern nahmen dazu Stellung; A._ verlangte, ein neues Gutachten einzuholen.
B.e. Am 30. August 2018 hörte die KESB Stadt Luzern C._ zum Thema gemeinsame elterliche Sorge und Besuchsrecht an. Ein Gespräch mit den Eltern fand am 5. September 2018 statt.
B.f. Mit Entscheid vom 13. November 2018 stellte die KESB Stadt Luzern C._ unter die gemeinsame elterliche Sorge (Ziffer 1). Laut Ziffer 3 sollten die Besuche zweimal pro Monat für vier Stunden (bis Ende 2018), anschliessend für sechs Stunden (während sechs Monaten) begleitet bei der Fachstelle D._ stattfinden. Für die Zeit danach ordnete die KESB Stadt Luzern unbegleitete Wochenendbesuche alle zwei Wochen an, zuerst (während sechs Monaten) mit einer, dann mit zwei Übernachtungen. Dazu sollte (nach weiteren drei Monaten) ein Ferienrecht des Vaters treten. Ausserdem ordnete die KESB Stadt Luzern für C._ eine Beistandschaft nach <ref-law> an und übertrug der Beiständin nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB zusätzliche Aufgaben (Ziffer 6).
C.
C.a. A._ legte beim Kantonsgericht Luzern Beschwerde ein. Sie hielt an ihrer alleinigen elterlichen Sorge fest und bestand darauf, das Besuchsrecht weiterhin entsprechend der vorsorglichen Anordnung vom 18. Mai 2017 (Bst. B.c) nur begleitet durchzuführen. Ausserdem wehrte sie sich gegen die Errichtung der Beistandschaft nach <ref-law>.
C.b. Das Kantonsgericht hiess die Beschwerde teilweise gut. Es entschied, C._ unter der alleinigen elterlichen Sorge der Mutter zu belassen, und hob die Anordnungen über die zusätzlichen Aufgaben der Beiständin teilweise auf. Die Besuchsrechtsregelung (Bst. B.f) bestätigte es, wobei es die Staffelung zeitlich anpasste und dahingehend ergänzte, dass Besuche ausserhalb der Fachstelle D._ nur stattfinden, wenn B._ A._ und der KESB Stadt Luzern seine Adresse und Wohnverhältnisse bekannt gibt.
D.
Mit Beschwerde vom 29. November 2019 wendet sich A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, B._ (Beschwerdegegner) und C._ zweimal pro Monat ein begleitetes Besuchsrecht zuzugestehen, bis Ende Januar 2022 für vier, in den folgenden sechs Monaten für sechs Stunden. Anschliessend soll das Besuchsrecht "mit Übergabe bei der Fachstelle Betreuung" für die Dauer von sechs Monaten alle zwei Wochen von Samstag, 10.00 Uhr, bis Sonntag, 17.00 Uhr, stattfinden. Eventualiter beantragt die Beschwerdeführerin, die Angelegenheit zur Sachverhaltsergänzung und neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Gesuch, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen, wies das Bundesgericht mit Verfügung vom 4. Dezember 2019 ab. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht die Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, jedoch keinen Schriftenwechsel angeordnet.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin geurteilt hat (Art. 75 und 90 BGG). Der Streit dreht sich um die Regelung des persönlichen Verkehrs zwischen dem minderjährigen Kind und dem nicht obhutsberechtigten Elternteil. Das ist eine Zivilsache (<ref-law>) ohne Vermögenswert (Urteil 5A_111/2019 vom 9. Juli 2019 E. 1.1). Die Beschwerdeführerin ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Die rechtzeitig (<ref-law>) eingereichte Beschwerde ist zulässig.
2.
Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>) und urteilt mit freier Kognition. Soweit - wie im vorliegenden Streit um den persönlichen Verkehr (<ref-ruling> E. 3 S. 210 mit Hinweis) - die Überprüfung von Ermessensentscheiden (<ref-law>) in Frage steht, übt das Bundesgericht indes Zurückhaltung (<ref-ruling> E. 1 S 99; <ref-ruling> E. 4.2 S. 15; <ref-ruling> E. 2c/aa S. 162). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 88 ff. mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin muss auf den angefochtenen Entscheid eingehen und aufzeigen, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt; sie soll im Schriftsatz mit ihrer Kritik an den Erwägungen der Vorinstanz ansetzen, die sie als rechtsfehlerhaft erachtet (<ref-ruling> E. 1.2.2 S 286; <ref-ruling> E. 2 S. 116). Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht. Für Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt ausserdem das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286).
Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die Feststellungen der Vorinstanz zugrunde (<ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig (<ref-law>), das heisst willkürlich (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 1.5 S. 130 mit Hinweis), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1). In der Beschwerde ist auch darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22).
3.
Umstritten ist die Ausgestaltung des persönlichen Verkehrs zwischen dem Beschwerdegegner und dem gemeinsamen Sohn der Parteien.
3.1. Nach <ref-law> haben Eltern, denen die elterliche Sorge oder Obhut nicht zusteht, und das minderjährige Kind gegenseitig Anspruch auf angemessenen persönlichen Verkehr. Dabei handelt es sich um ein gegenseitiges Pflichtrecht, das in erster Linie den Interessen des Kindes dient (<ref-ruling> E. 4a S. 298; <ref-ruling> E. 3a S. 406 f.). Oberste Richtschnur für die Ausgestaltung des persönlichen Verkehrs ist das Kindeswohl (<ref-ruling> E. 5 S. 212; vgl. auch <ref-ruling> E. 5.4 S. 340). Das Gericht hat sich in erster Linie an den Bedürfnissen des Kindes zu orientieren; die Interessen der Eltern haben hinter dem vorrangig massgebenden Kindeswohl zurückzustehen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 587 f.). In diesem Sinn hat auch der persönliche Verkehr zum Zweck, die positive Entwicklung des Kindes zu gewährleisten und zu fördern. In der Entwicklung des Kindes sind seine Beziehungen zu beiden Elternteilen wichtig, da sie bei seiner Identitätsfindung eine entscheidende Rolle spielen können (<ref-ruling> E. 4 S. 211 f.; <ref-ruling> E. 3c S. 452).
3.2. Wird das Wohl des Kindes durch den persönlichen Verkehr gefährdet, üben die Eltern ihn pflichtwidrig aus, haben sie sich nicht ernsthaft um das Kind gekümmert oder liegen andere wichtige Gründe vor, so kann den Eltern das Recht auf persönlichen Verkehr verweigert oder entzogen werden (<ref-law>). Das Wohl des Kindes ist gefährdet, wenn seine ungestörte körperliche, seelische oder sittliche Entfaltung durch ein auch nur begrenztes Zusammensein mit dem nicht obhutsberechtigten Elternteil bedroht ist (BGE <ref-ruling> E. 3b S. 407). Als wichtige Gründe fallen etwa Vernachlässigung, physische Misshandlungen und übermässige psychische Belastungen des Kindes in Betracht (s. Urteil 5P.9/2005 vom 22. Februar 2005 E. 6.1). Können die negativen Auswirkungen durch eine besondere Ausgestaltung des Besuchsrechts begrenzt werden, so verbieten das Persönlichkeitsrecht des nicht obhutsberechtigten Elternteils, der Grundsatz der Verhältnismässigkeit (Art. 389 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>), aber auch der Sinn und Zweck des persönlichen Verkehrs dessen gänzliche Unterbindung (Urteil 5C.133/2003 vom 10. Juli 2003 E. 2.2 mit Hinweisen). Eine Möglichkeit, das Besuchsrecht besonders auszugestalten, besteht darin, die Besuche in Anwesenheit einer Drittperson durchzuführen. Dieses begleitete Besuchsrecht bezweckt, der Gefährdung des Kindes wirksam zu begegnen, Krisensituationen zu entschärfen und Ängste abzubauen sowie Hilfestellungen für eine Verbesserung der Beziehungen zum Kind und unter den Eltern zu vermitteln (Urteil 5A_728/2015 vom 25. August 2016 E. 2.2). Auch diese Massnahme setzt konkrete Anhaltspunkte für eine Gefährdung des Kindeswohls voraus. Dabei ist zu berücksichtigen, dass ein Besuch unter Aufsicht einer Begleitperson für die Beteiligten nicht denselben Wert hat wie ein unbegleiteter. Daher darf die Eingriffsschwelle beim begleiteten Besuchsrecht nicht tiefer angesetzt werden, als wenn es um die Verweigerung oder den Entzug des Rechts auf persönlichen Verkehr überhaupt ginge (BGE <ref-ruling> E. 3c S. 408). Auch das begleitete Besuchsrecht muss zur Erreichung des Ziels erforderlich sein und darf immer nur als mildeste Erfolg versprechende Massnahme angeordnet werden (Urteil 5A_932/2012 vom 5. März 2013 E. 5.1). Es ist mit dem Kindeswohl vereinbar, zunächst befristet ein begleitetes Besuchsrecht festzulegen, das danach in ein freies Besuchsrecht umgewandelt wird (Urteil 5A_505/2013 vom 20. August 2013 E. 6.3). Das begleitete Besuchsrecht stellt grundsätzlich eine Übergangslösung dar und scheidet aus, wenn von vornherein klar ist, dass die Besuche nicht binnen absehbarer Zeit ohne Begleitung werden ausgeübt werden können (Urteil 5A_728/2015 vom 25. August 2016 E. 2.2 mit Hinweisen).
3.3. Der Wille des Kindes ist eines von mehreren Kriterien beim Entscheid über den persönlichen Verkehr (Urteil 5A_875/2017 vom 6. November 2018 E. 3.3 mit Hinweisen, publ. in: FamPra.ch 2019 S. 243; vgl. auch Urteil 5A_463/2017 vom 10. Juli 2018 E. 4.5.5, nicht publiziert in: <ref-ruling>). Es steht nicht im Belieben des Kindes, ob es persönliche Kontakte zum nicht betreuenden Elternteil wünscht oder nicht; dies gilt namentlich dort, wo die ablehnende Haltung wesentlich durch die Einstellung des anderen Elternteils geprägt ist (<ref-ruling> E. 4a S. 298; Urteile 5A_522/2017 vom 22. November 2017 E. 4.6.3; 5A_459/2015 vom 13. August 2015 E. 6.2.2, in: Pra 2017 Nr. 19 S. 186; 5A_160/2011 vom 29. März 2011 E. 4, in: FamPra.ch 2011 S. 740). Bei der Berücksichtigung des Kindeswillens ist das Alter des Kindes bzw. dessen Fähigkeit zu autonomer Willensbildung zu berücksichtigen. Vom Vorliegen dieser Fähigkeit ist ungefähr ab dem 12. Altersjahr auszugehen (Urteile 5A_875/2017 vom 6. November 2018 E. 3.3, in: FamPra.ch 2019 S. 243; 5A_367/2015 vom 12. August 2015 E. 5.1.3, in: FamPra.ch 2015 S. 970; 5A_200/2015 vom 22. September 2015 E. 7.2.3.1, in: FamPra.ch 2016 S. 302; 5A_890/2014 vom 11. Februar 2015 E. 2.3.2). Lehnt das Kind den nicht betreuenden Elternteil ab, ist im Einzelfall zu prüfen, worin diese Haltung begründet liegt und ob die Ausübung des Besuchsrechts den Interessen des Kindes tatsächlich widerspricht (Urteil 5A_745/2015 vom 15. Juni 2016 E. 3.2.2.2). Nur wo das urteilsfähige Kind den Umgang mit einem Elternteil aufgrund seiner Erfahrungen mit dem persönlichen Verkehr kategorisch verweigert, ist dieser Umgang aus Gründen des Kindeswohls auszuschliessen, weil ein gegen den starken Widerstand erzwungener Besuchskontakt mit dem Zweck des Umgangsrechts im Allgemeinen ebenso unvereinbar ist wie mit dem Persönlichkeitsschutz des Kindes (<ref-ruling> E. 2b S. 221 f.; Urteile 5A_875/2017 vom 6. November 2018 E. 3.3, in: FamPra.ch 2019 S. 243; 5A_459/2015 vom 13. August 2015 E. 6.2.2, in: Pra 2017 Nr. 19 S. 186; 5C.250/2005 vom 3. Januar 2006 E. 3.2.1, in: FamPra.ch 2006 S. 751).
3.4. Gemäss <ref-law> (in Verbindung mit <ref-law>) wird das Kind durch die Kindesschutzbehörde oder durch eine beauftragte Drittperson in geeigneter Weise persönlich angehört, soweit nicht sein Alter oder andere wichtige Gründe dagegen sprechen. Die Anhörung des Kindes ist zum einen Ausfluss seiner Persönlichkeit und dient zum andern der Sachverhaltsfeststellung. Während bei älteren Kindern der persönlichkeitsrechtliche Aspekt im Vordergrund steht und das Kind ein eigenes Mitwirkungsrecht hat, ist die Anhörung bei kleineren Kindern im Sinne eines Beweismittels zu verstehen, weshalb die Eltern sie aufgrund ihrer Parteistellung als Beweismittel beantragen können (ausführlich dazu <ref-ruling> E. 1.1 S. 554). Die Anhörung findet jedoch grundsätzlich unabhängig von Anträgen, das heisst von Amtes wegen statt (Urteil 5A_809/2018 vom 18. Dezember 2019 E 3.3 mit Hinweisen). Dies ändert freilich nichts daran, dass die Anhörung kein Selbstzweck ist. Insbesondere ist von wiederholten Anhörungen abzusehen, wo dies für das Kind eine unzumutbare Belastung bedeuten würde und überdies keine neuen Erkenntnisse zu erwarten wären oder der erhoffte Nutzen in keinem vernünftigen Verhältnis zu der durch die erneute Befragung verursachten Belastung stünde (<ref-ruling> E. 4 S. 554 f.). Um eine solche Anhörung um der Anhörung willen zu vermeiden, besteht die beschriebene Pflicht, ein Kind von Amtes wegen anzuhören, in der Regel nur einmal im Verfahren, und zwar grundsätzlich nicht nur auf die einzelne Instanz gesehen, sondern einschliesslich des Instanzenzugs. Ein Verzicht auf eine erneute Anhörung setzt allerdings voraus, dass das Kind zu den entscheidrelevanten Punkten befragt worden und das Ergebnis der Anhörung noch aktuell ist (Urteil 5A_721/2018 vom 6. Juni 2019 E. 2.4.1 mit zahlreichen Hinweisen).
4.
4.1. Die Vorinstanz schildert, wie es dazu kam, dass die KESB Stadt Luzern am 18. Mai 2017 vorsorglich die Weiterführung der begleiteten Besuche anordnete. Laut den Berichten der Beschwerdeführerin, welche die Beiständin zitiere, habe C._ vor den Besuchskontakten häufig Kopf- und Bauchschmerzen geäussert und nach den ersten Kontakten begonnen, sich mit dem Gürtel einzuschnüren und die Lippen auseinanderzureissen; auch habe er sich gegenüber der Mutter aggressiv verhalten. Die Kinder- und Jugendpsychiatrie E._ habe eine emotionale Störung mit Trennungsangst im Kindesalter diagnostiziert und C._s Entwicklung als gefährdet erachtet (s. Sachverhalt Bst. B.c). Laut dem Gutachten vom 26. April 2018, das in der Folge eingeholt worden sei (s. Sachverhalt Bst. B.d), sei C._ entwicklungspsychologisch kaum auffällig und körperlich und psychisch altersangemessen entwickelt. Eine Gefährdung des Kindeswohls erkenne der Gutachter in der konflikthaften Situation und der weitgehend verunmöglichten Kommunikation zwischen den Eltern; das Kind erfahre direkt und indirekt die schlechte Stimmung und Voreingenommenheit der Eltern und werde von beiden Parteien, insbesondere von der Mutter, instrumentalisiert. Zwischen Vater und Sohn fehle verständlicherweise ein tiefgehendes Vertrauensverhältnis. Den gutachterlichen Interaktionsbeobachtungen zufolge seien sich die beiden freudig und respektvoll zugewandt. Der Beschwerdegegner verfüge über wenig Erziehungspraxis, zeige sich aber motiviert, engagiert und erziehungswillig. Insgesamt beurteile der Gutachter sowohl das von ihm als symbiotisch qualifizierte Beziehungsverhalten von C._ zur Mutter als auch den beschränkten Umgang mit dem Vater als negativ und entwicklungsgefährdend.
4.2. Dem angefochtenen Entscheid zufolge finden sich im Gutachten keine Hinweise darauf, dass C._s Wohl bei einem unbegleiteten Zusammensein mit seinem Vater konkret gefährdet ist oder das von der Beschwerdeführerin geschilderte gesundheitsgefährdende Verhalten des Kindes auf die Besuchskontakte zum Beschwerdegegner zurückzuführen wäre. Der Gutachter beurteile vielmehr den beschränkten Umgang als negativ und empfehle dessen sofortige Ausweitung. Laut dem Bericht der Beiständin vom 5. Juli 2018 habe C._ im vergangenen Jahr keine Verhaltensauffälligkeiten gezeigt. Die Betreuungspersonen der begleiteten Besuchstage hätten am 19. April 2018 und am 26. August 2019 berichtet, dass die Besuche mit dem Vater gut laufen würden, und eine Ausweitung der Kontakte bis hin zu vollen Besuchstagen befürwortet. Das Team der Fachstelle D._ habe den Eindruck erhalten, dass die Abschiede C._ und seinem Vater schwer fallen würden und der Wunsch nach längeren Besuchszeiten vorhanden sei. Darauf würdigt das Kantonsgericht zwei psychotherapeutische Abklärungsberichte vom 14. und 28. Januar 2018, welche die Beschwerdeführerin veranlasst und im kantonalen Rechtsmittelverfahren neu aufgelegt hat. Demnach habe C._ wiederholt und völlig selbständig erklärt, dass er unbegleiteten Vaterbesuchen erst nach Erreichen seines zwölften Lebensjahres zustimme. Dem Knaben trotzdem etwas aufzuzwingen, was er nicht wolle, könnte dem Psychotherapeuten zufolge pathologische Symptome fördern, da die Entfremdung zwischen C._ und seinem Vater auch nach zwei Jahren des begleiteten Umgangs unübersehbar und eine Beeinflussung seitens der Mutter nicht erkennbar sei. Sollten sich die Behörden über die geschilderten massiven Ängste des Kindes vor seinem Vater hinwegsetzen und das erstinstanzlich angeordnete unbegleitete Besuchsrecht umsetzen, sei mit schwerwiegenden Entwicklungsstörungen oder mit dem Abbruch der Beziehung zum Vater zu rechnen.
4.3. Gestützt auf die resümierten Feststellungen kommt das Kantonsgericht zum Schluss, im Rahmen der Abklärungen habe sich nicht erhärtet, dass das selbstschädigende Verhalten von C._ direkt mit dem Besuchskontakt zum Beschwerdegegner zusammenhängt, sondern gemäss dem von der Beschwerdeführerin aufgelegten Bericht seit den letzten Sommerferien und auch gemäss dem Schreiben der Beiständin vom 5. Juli 2018 abgeklungen sei. Aufgrund der seit über zwei Jahren mehr oder weniger regelmässig stattfindenden und gemäss Rückmeldungen positiv verlaufenden begleiteten Besuchskontakte sei zudem von einem Vertrauensaufbau und einer Vertiefung der Beziehung zwischen C._ und seinem Vater auszugehen und eine Weiterführung der begleiteten Besuchskontakte nicht länger haltbar, zumal eine solche Massnahme stets als Übergangslösung gedacht sei. Die Vorinstanz pflichtet dem Gutachter darin bei, dass zur Wahrung des Kindeswohls eine Ausweitung und Normalisierung des persönlichen Verkehrs geboten sei. Allfälligen Auseinandersetzungen der Eltern, die den bei C._ festgestellten Loyalitätskonflikt verschärfen könnten, beuge die erstinstanzliche Besuchsrechtsregelung vor, indem die Übergaben zumindest am Anfang so zu organisieren sind, dass die Eltern nicht aufeinandertreffen. Dem angefochtenen Entscheid zufolge überwiegen die positiven Aspekte regelmässiger Kontakte zum Vater und würde ein fehlender bzw. stark eingeschränkter Kontakt auf Dauer die stärkeren und schädlicheren psychischen Auswirkungen zeitigen.
Das Kantonsgericht stellt sodann klar, dass einem unbegleiteten Besuchsrecht auch der von C._ geäusserte Wille nicht entgegen stehe. Zum einen sei dieser Wille angesichts von C._s Alter zurückhaltend zu würdigen, zum anderen stehe die Regelung des persönlichen Verkehrs nicht im Belieben des Kindes. Entscheidend sei, dass C._ anlässlich seiner Anhörung vom 30. August 2018 selbst angegeben habe, die Kontakte mit dem Vater seien gut, er aber befürchte, dass der Vater nicht mehr so viel mit ihm spielen werde, wenn er ihn ausserhalb der Fachstelle D._ treffen würde, und er den Vater noch über ein Jahr in der Fachstelle D._ sehen wolle. Für das Kantonsgericht steht damit fest, dass C._s ablehnende Haltung nicht auf eigenen negativen Erfahrungen mit dem Vater beruht. Hingegen sei nicht auszuschliessen, dass die Beschwerdeführerin bewusst oder unbewusst Einfluss auf den von C._ geäusserten Willen nehme. Zufolge Zeitablaufs habe sich C._s Wunsch, seinen Vater bis zum Abschluss der dritten Primarschulklasse nur begleitet zu sehen, bereits verwirklicht. Zum Schluss ermahnt die Vorinstanz die Beschwerdeführerin, zu C._s Wohl eine gute Beziehung des Kindes zum Vater zu fördern und C._ entsprechend positiv auf Besuche vorzubereiten. Auch der Beschwerdegegner sei gehalten, die Begegnungen mit C._ kindgerecht zu gestalten und das neunjährige Kind nicht mit Themen seiner Talksendungen und Lebensberatung zu überfordern.
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin mag sich mit der schrittweisen Ausweitung des Besuchsrechts nicht abfinden. Sie rügt, dass das Obergericht den Sachverhalt unvollständig und damit willkürlich feststelle und das Gesetz nicht richtig anwende. Insbesondere missachte es die Rechte des Kindes, wie sie in Art. 12 des Übereinkommens über die Rechte des Kindes vom 20. November 1989 (SR 0.107) und in der Bundesverfassung verankert seien. Auch die Untersuchungsmaxime ist nach der Meinung der Beschwerdeführerin verletzt.
Die weitschweifigen Erörterungen im Schriftsatz der Beschwerdeführerin kreisen um den Vorwurf, dass C._ im kantonalen Verfahren nur ein einziges Mal angehört worden sei und sich das Kantonsgericht bei der Urteilsfindung über den von C._ geäusserten Wunsch hinwegsetze, den Beschwerdegegner weiterhin im Rahmen begleiteter Besuche zu sehen. In Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes entscheide das Kantonsgericht einfach aufgrund der Akten, anstatt sich selbst von C._s Willen zu überzeugen und den Kinderwillen in die Urteilsfindung einfliessen zu lassen. Die Beschwerdeführerin besteht darauf, dass der bald 10-jährige Knabe persönlich anzuhören oder ihm wenigstens gestützt auf <ref-law> ein Kinderanwalt zu bestellen gewesen wäre; darauf habe C._ Anspruch gehabt, nachdem die erste und einzige Anhörung im August 2018 stattfand und der Bub bereits mehr als ein Jahr älter war, als die Vorinstanz entschied. Der Annahme der Vorinstanz, dass C._ mit neuneinhalb Jahren "gleich denkt" wie ein Jahr zuvor, und ihre Weigerung, die aktuelle Situation festzustellen, tadelt die Beschwerdeführerin als willkürliche Beweiswürdigung und als Verletzung der dem Kind garantierten Rechte. Die Vorinstanz verkenne, dass C._ je länger je mehr panische Angst vor seinem Vater habe; dieser erniedrige das Kind, ziehe es ins Lächerliche und setze es psychisch unter Druck. Einen weiteren Verstoss gegen die Untersuchungsmaxime erachtet die Beschwerdeführerin als erwiesen, weil das Kantonsgericht im Jahr 2019 keine aktuellen Berichte bei der Beiständin eingeholt habe, obwohl ihr nicht alle nötigen Unterlagen bzw. Entscheidungsparameter zur Verfügung gestanden hätten. Wäre das Kantonsgericht dem Untersuchungsgrundsatz "vollständig nachgegangen" und hätte es C._ persönlich angehört oder ihm einen Kinderanwalt zur Seite gestellt, wäre es "ziemlich sicher zu einem anderen Schluss gekommen". Durch die Nichtausschöpfung ihrer Untersuchungspflicht sei die Vorinstanz "zu einem nicht zutreffenden Sachverhalt" gelangt.
5.2. Die Beschwerdeführerin gibt sich damit zufrieden, den Sachverhalt und die Rechtslage aus ihrer Sicht zu schildern, ohne auf die ausführlichen Erwägungen des angefochtenen Entscheids einzugehen.
Verfügt das Gericht über genügende Grundlagen für eine sachgerechte Entscheidung, so kann es unter der Herrschaft der Untersuchungsmaxime auf weitere Beweiserhebungen verzichten (<ref-ruling> E. 2.2.3 S. 735). Wer sich auf den Untersuchungsgrundsatz beruft bzw. eine Verletzung desselben geltend macht, muss daher zunächst aufzeigen, dass das Gericht den Sachverhalt unvollständig und damit willkürlich festgestellt hat. Ausserdem muss die Beschwerdeführerin diejenigen Tatsachen behaupten, die das Gericht festzustellen bzw. abzuklären unterlassen hat. Schliesslich obliegt es ihr darzutun, inwiefern die behaupteten Tatsachen für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sind (Urteil 5A_574/2012 vom 17. Dezember 2012 E. 2.2.1). Dies gelingt ihr schon deshalb nicht, weil sie als Fazit all ihrer Beanstandungen lediglich die vage Mutmassung äussert, dass das Kantonsgericht "möglicherweise" anders entschieden hätte, wenn es C._ persönlich angehört oder ihm eine Vertretung bestellt hätte. Allein damit ist keine Willkür in der Sachverhaltsfeststellung darzutun. Darüber hinaus trifft es nicht zu, dass das Kantonsgericht C._s Willen einfach übergeht. Das Kantonsgericht erläutert ausführlich, warum der Wille, den C._ äusserte, nicht den Ausschlag geben kann und was die Hintergründe für den geäusserten Wunsch des Kindes sind. Anstatt sich mit diesen Erwägungen auseinanderzusetzen, wiederholt die Beschwerdeführerin unablässig ihre Behauptungen, wonach der Knabe aufgrund der Begegnungen mit seinem Vater todunglücklich und verängstigt sei. Dabei beruft sie sich in erster Linie auf die psychotherapeutischen Abklärungsberichte, die sie im vorinstanzlichen Verfahren auflegte (vgl. E. 4.2). Zu den vorinstanzlichen Vorbehalten, wonach diesen Berichten keine konkreten Schilderungen aus der Erfahrungswelt des Kindes zugrunde liegen, äussert sie sich freilich nicht, noch hat sie eine Erklärung dafür parat, weshalb die Vorinstanz nicht auf die Beobachtungen der Fachstelle D._ abstellen durfte, denen zufolge die begleiteten Besuche problemlos funktionieren und der Wunsch nach längeren Besuchszeiten vorhanden ist. Einfach zu behaupten, die Vorinstanz setze sich über die Darstellungen in der Stellungnahme vom 21. September 2019 hinweg, was einer Gehörsverletzung und einer willkürlichen Beweiswürdigung gleichkomme, genügt nicht.
Soweit sich die Beschwerdeführerin daran stört, dass C._ im Verfahren vor dem Kantonsgericht nicht persönlich angehört wurde, übersieht die Beschwerdeführerin ausserdem, dass sich <ref-law>, der die Anhörung des Kindes regelt, an die Kindesschutzbehörde richtet und damit im Grunde genommen nur für das Verfahren vor dieser Behörde gilt (Urteil 5A_411/2014 vom 3. Februar 2015 E. 2.2). Gestützt auf welche Norm das Kantonsgericht C._ ohne weitere Voraussetzungen abermals persönlich hätte anhören müssen, ist der Beschwerde nicht zu entnehmen. Namentlich macht die Beschwerdeführerin auch nicht geltend, dass sich ein Anspruch auf mehrfache persönliche Anhörungen aus Art. 12 des erwähnten Übereinkommens über die Rechte des Kindes ergibt, diese Vorschrift mithin über die geschilderten Vorgaben der Rechtsprechung (s. E. 3.4) hinausgeht. Zwar argumentiert die Beschwerdeführerin, dass das Ergebnis der Anhörung vom 30. August 2018 nicht mehr aktuell gewesen sei, als die Vorinstanz am 22. Oktober 2019 ihr Urteil fällte, weil die kindliche Entwicklung im fraglichen Alter schnell fortschreite und C._ unterdessen keine gute Erfahrungen mit den Besuchskontakten gemacht habe. Auch damit ist nichts gewonnen. Die Beschwerdeführerin selbst erinnert daran, dem Kantonsgericht noch am 21. September 2019 eine Stellungnahme auf den Bericht der Fachstelle D._ eingereicht zu haben. Dass sie der Vorinstanz bei dieser Gelegenheit auch beantragt hätte, C._ angesichts der zwischenzeitlichen Entwicklung noch einmal persönlich anzuhören, behauptet die Beschwerdeführerin nicht. Sie will auch nicht erklären, weshalb die Kindesanhörung vom 30. August 2018 am 21. September 2019 noch als aktuell gelten konnte, einen Monat später dann aber überholt gewesen sein soll.
Unbegründet ist schliesslich die Befürchtung, dass das Kantonsgericht die Rechte des Kindes verletze, weil es für C._ keine Kindesvertretung bestellte. Die Kindesvertretung, wie sie von der Kindesschutzbehörde nach Massgabe von <ref-law> angeordnet werden kann, hat verschiedene Aspekte, denen je nach Alter des Kindes und Situation des Einzelfalles unterschiedliches Gewicht zukommt. Ein Teilgehalt, auf den es die Beschwerdeführerin offensichtlich abgesehen hat, besteht darin, dass die Vertretung den Willen des Kindes gegenüber dem Gericht zum Ausdruck bringt. Dieser Aspekt der Kindesvertretung kann nach der Rechtsprechung aber nur bei urteilsfähigen Kindern von Belang sein (<ref-ruling> E. 5.2.4 S. 165; Urteil 5A_400/2015 vom 25. Februar 2016 E. 2.3, nicht publ. in: <ref-ruling>). Im Einklang mit der Rechtsprechung, wonach Kinder erst mit ungefähr zwölf Jahren zu autonomer Willensbildung fähig sind (E. 3.3), erklärt die Vorinstanz, der von C._ geäusserte Wille sei zurückhaltend zu würdigen. Warum gerade C._ trotzdem schon vor seinem zehnten Altersjahr mit Bezug auf die Regelung des persönlichen Verkehrs urteilsfähig gewesen und in der Folge für die Bestellung eines Verfahrensbeistands im Sinne einer advokatorischen Interessenvertretung in Frage gekommen wäre, ist der Beschwerde nicht zu entnehmen. Auch der Hinweis auf das bundesgerichtliche Urteil 5A_666/2017 vom 27. September 2017 hilft der Beschwerdeführerin nicht weiter. Die dortigen Erwägungen, wonach im Sinn einer Richtlinie ab ungefähr elf bis zwölf Jahren von einer Willensbildungsfähigkeit auszugehen ist, beziehen sich auf den Ausschlussgrund nach Art. 13 Abs. 2 des Übereinkommens über die zivilrechtlichen Aspekte internationaler Kindesentführung vom 25. Oktober 1980 (SR 0.211.230.02), also auf die Frage, ob die Meinung des entführten Kindes, das sich der Rückgabe widersetzt, zu berücksichtigen ist (zit. Urteil E. 5). Damit hat der vorliegende Streit nichts zu tun.
6.
Nach alledem erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang unterliegt die Beschwerdeführerin. Sie hat deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen. Wie die vorigen Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Begehren als von vornherein aussichtslos gelten, womit es an einer materiellen Anspruchsvoraussetzung mangelt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. April 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn