Sachverhalt:
A.
A.a. Am 22. Mai 2007 verneinte die IV-Stelle des Kantons Zürich erstmals einen Rentenanspruch der 1973 geborenen A._. Die gegen eine zweite abweisende Verfügung vom 6. September 2012 gerichtete Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 27. März 2014 gut und wies die Sache zur ergänzenden Abklärung und anschliessender Neuverfügung an die Verwaltung zurück.
A.b. Die IV-Stelle veranlasste beim Medizinischen Zentrum Römerhof, Zürich (nachfolgend: MZR), eine polydisziplinäre Abklärung (Expertise vom 31. August 2015) und lehnte das Leistungsbegehren mit Verfügung vom 24. Mai 2016 ab (bestätigt mit rechtskräftigem Urteil vom 18. Januar 2017).
A.c. Nachdem A._ erneut um Invalidenleistungen ersucht hatte, holte die IV-Stelle bei der Academy of Swiss Insurance Medicine (nachfolgend: asim), Universitätsspital Basel, ein polydisziplinäres Verlaufsgutachten vom 12. Dezember 2017 ein und hielt an der Leistungsabweisung fest (Verfügung vom 21. August 2018).
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde der A._ wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 29. November 2019 ab.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, in Aufhebung des angefochtenen Entscheides sei ihr mindestens eine halbe Invalidenrente auszurichten. Eventualiter sei die Sache zu weiteren Abklärungen an die Beschwerdegegnerin zurückzuweisen.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestimmungen und Grundsätze zur Invalidität und Erwerbsunfähigkeit (Art. 7 f. ATSG) sowie betreffend den Rentenanspruch bzw. dessen Umfang (Art. 28 Abs. 1 und 2 IVG) korrekt dargelegt. Richtig sind insbesondere die Ausführungen über die bei der Neuanmeldung analog anwendbaren Revisionsregeln (Art. 87 Abs. 2 und 3 IVV sowie <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3 S. 10 f.; <ref-ruling> E. 3 S. 132; <ref-ruling> E. 3a S. 198) und den relevanten Vergleichszeitpunkt (<ref-ruling> E. 5 S. 110 ff.). Darauf wird verwiesen.
3.
3.1. Streitig und zu prüfen ist einzig, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hat, indem sie eine Veränderung des rechtserheblichen Sachverhalts seit der Leistungsabweisung vom 24. Mai 2016 verneinte.
Nicht im Streit liegt demgegenüber, dass das polydisziplinäre asim-Gutachten vom 12. Dezember 2017 als massgebliche Beweisgrundlage herangezogen werden kann, nachdem das kantonale Gericht die entsprechenden Beweisanforderungen zu Recht als erfüllt angesehen hat (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352), was von keiner Seite in Abrede gestellt wird.
3.2. Die Vorinstanz hat die Ausführungen der asim-Experten übernommen, wonach die Beschwerdeführerin vom 11. bis 30. Juni 2016 aufgrund einer schweren depressiven Episode (rezidivierende depressive Störung, gegenwärtig schwere Episode ohne psychotische Symptome [ICD-10 F33.2]; vgl. Bericht der Psychiatrie B._ vom 26. Juli 2016) stationär psychiatrisch hospitalisiert gewesen sei. Nach Angaben des Medizinischen Zentrums C._ vom 6. Juni 2017 sei die Diagnose einer damals schweren depressiven Episode gegeben, ohne dass explizit zur Arbeitsfähigkeit Stellung bezogen worden wäre. Es sei somit davon auszugehen, dass sich der psychiatrische Gesundheitszustand seit der Verfügung vom 24. Mai 2016 zunächst verschlechtert und (wohl) bis spätestens zum Begutachtungszeitpunkt bei der asim (September 2017) eine volle Arbeitsunfähigkeit aus psychiatrischer Sicht vorgelegen habe. Ab dann präsentiere sich der Gesundheitszustand der Beschwerdeführerin gleich wie im Gutachten des MZR vom 31. August 2015.
4.
4.1. Soweit die Vorinstanz daraus gefolgert hat, eine relevante Veränderung sei auszuschliessen, weil in den zu vergleichenden Verfügungszeitpunkten am 24. Mai 2016 und 21. August 2018 ein identischer psychischer Gesundheitszustand vorgelegen habe, greift dies zu kurz. Denn massgeblich ist allein, ob im gesamten Vergleichszeitraumeine anspruchserhebliche Tatsachenänderung eingetreten ist oder nicht (statt vieler: Urteile 9C_852/2018 vom 5. März 2019 E. 3 und 9C_414/2016 vom 7. Dezember 2016 E. 3). Diesbezüglich hat das kantonale Gericht ausser Acht gelassen, dass die Beschwerdeführerin vom 11. bis 30. Juni 2016 aufgrund einer akuten Selbstgefährdung im Rahmen einer Fürsorgerischen Unterbringung (nachfolgend: FU) hospitalisiert werden musste, da sie glaubhafte Suizidpläne mit Medikamenten geäussert hatte (vgl. Medizinisches Zentrum C._-Bericht vom 6. Juni 2017, S. 1). Dies wurde aus fachärztlicher Sicht von Dr. med. D._, Psychiatrie B._, welcher die Beschwerdeführerin während der FU behandelte, denn auch explizit bestätigt (Bericht vom 26. Juli 2016). Sind demgegenüber im Zeitpunkt der letzten Leistungsabweisung höchstens vage Suizidpläne aktenkundig (vgl. MZR-Gutachten, S. 52), was zur Diagnose einer lediglich mittelgradig ausgeprägten depressiven Störung und einer Arbeitsunfähigkeit von 50 % führte (vgl. MZR-Gutachten, S. 78 f.), so liegt offenkundig ein neues tatsächliches Element vor, das nach der letzten abweisenden Rentenverfügung vom 24. Mai 2016 eingetreten ist (Veränderung im Schweregrad der depressiven Störung). Diese von den asim-Gutachtern beweiskräftig festgestellte gesundheitliche Verschlechterung betrifft einen Zeitraum von deutlich über einem Jahr, nämlich vom 6. Juni 2016 bis im September 2017 (E. 3.2 vorne). Sie ist folglich zu berücksichtigen (vgl. <ref-law>). Von einer bloss vorübergehenden und daher ausser Betracht fallenden psychischen Verschlechterung, worauf das kantonale Gericht hinaus will, kann keine Rede sein.
4.2. Die vorinstanzliche Feststellung, eine relevante Veränderung in den tatsächlichen Verhältnissen seit der letzten Rentenverneinung sei nicht ausgewiesen, verletzt nach dem Gesagten Bundesrecht (E. 1). Seit <ref-ruling> und 418 darf ein invalidisierender Gesundheitsschaden bei einer (rezidivierenden) mittelgradigen depressiven Episode, wie sie von der medizinisch-psychiatrischen asim-Sachverständigen Dr. med. E._ diagnostiziert wurde, nicht mehr allein mit der Begründung verneint werden, es bestünden noch zumutbare Therapieoptionen (so noch der vorinstanzliche Entscheid vom 18. Januar 2017). Vielmehr stellen Verlauf und Ausgang von Therapien - wie auch die im asim-Gutachten festgestellten Inkonsistenzen - wichtige Schweregradindikatoren dar (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.1.2 und 4.4 S. 299 f. und 303 ff.). Diese sind im Rahmen eines strukturierten Beweisverfahrens gesamthaft zu prüfen. Gestützt darauf ist zu klären, ob die Einschätzung einer 50%igen Arbeitsunfähigkeit ab dem Zeitpunkt der asim-Begutachtung normorientiert erfolgte oder umgekehrt ein triftiger Grund vorliegt, dass davon abgewichen werden müsste (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 367 f.). Dazu hat sich das kantonale Gericht bisher nicht geäussert. Die Sache ist somit an dieses zurückzuweisen.
5.
Eine Rückweisung zu erneutem Entscheid mit offenem Ausgang gilt als Obsiegen, unabhängig davon, ob sie beantragt und ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder im Eventualantrag gestellt wird (<ref-ruling> E. 11.1 S. 312). Die Gerichtskosten werden der unterliegenden Beschwerdegegnerin auferlegt (<ref-law>). Ausserdem hat sie der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 29. November 2019 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, III. Kammer, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. Juni 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Der Gerichtsschreiber: Grünenfelder