Sachverhalt:
A.
Der Grosse Rat des Kantons Basel-Sadt bewilligte am 9. Januar 2019 für die Realisierung des Neubaus für das Naturhistorische Museum Basel und das Staatsarchiv Basel-Stadt sowie die damit verbundenen Umzugskosten einen Gesamtbetrag von 214'061'000 Franken und beschloss die entsprechenden baurechtlichen Massnahmen. Dagegen wurde das Referendum ergriffen. Am 19. Mai 2019 stimmten die Stimmberechtigten des Kantons Basel-Stadt bei einer Beteiligung von 55,49 % mit 34'064 Ja-Stimmen, ausmachend 60,33 %, gegen 22'396 Nein-Stimmen, ausmachend 39,67 %, dem Grossratsbeschluss zu. Das Abstimmungsergebnis wurde am 22. Mai 2019 im Kantonsblatt Basel-Stadt publiziert.
Mit Eingabe vom 23. Mai 2019 erhob Georges-Philippe Ramseyer Abstimmungsbeschwerde beim Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt mit dem Antrag, die Abstimmung zu wiederholen. Mit Präsidialentscheid vom 4. Juli 2019 trat der Regierungsrat darauf im Wesentlichen wegen verspäteter Beschwerdeeinreichung nicht ein.
B.
Dagegen erhob Georges-Philippe Ramseyer am 9. Juli 2019 Beschwerde beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Er machte sinngemäss geltend, die Regierungspräsidentin habe mit dem Präsidialentscheid über seine Beschwerde über eine Streitsache entschieden, die ihr eigenes Departement und damit sie selbst persönlich betreffe, was nicht zulässig sei. Weiter habe er seine Beschwerde nicht verspätet eingereicht und die Volksabstimmung leide an massgeblichen Unregelmässigkeiten, die sich in ihrem Vorfeld ergeben hätten. Mit Urteil vom 16. Oktober 2019 wies das Dreiergericht am Appellationsgericht als Verwaltungsgericht die Beschwerde ab.
C.
Gegen dieses Urteil führt Georges-Philippe Ramseyer mit Eingabe vom 24. November 2019 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, ohne einen ausdrücklichen Antrag zu stellen. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt (für den Regierungsrat) und das Appellationsgericht schliessen ohne weitere inhaltliche Ausführungen auf Abweisung der Beschwerde. Weitere Eingaben gingen beim Bundesgericht nicht ein.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid betreffend eine kantonale Volksabstimmung, gegen den grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als Stimmrechtsbeschwerde offensteht (vgl. Art. 82 lit. c, Art. 88 Abs. 1 lit. a sowie Abs. 2 und Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer ist im Kanton Basel-Stadt stimmberechtigt und damit nach <ref-law> zur Beschwerde befugt.
2.
2.1. Nach <ref-law> haben Rechtsschriften an das Bundesgericht unter anderem einen Antrag und eine Begründung zu enthalten. Gemäss <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Der Beschwerdeführer muss sich wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzen. Rein appellatorische Kritik ohne Bezug zum angefochtenen Entscheid genügt nicht. Zwar wendet das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Das setzt aber voraus, dass auf die Beschwerde überhaupt eingetreten werden kann, diese also wenigstens die Begründungsanforderungen von <ref-law> erfüllt. Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht grundsätzlich nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 176; <ref-ruling> E. 1.6 S. 130; <ref-ruling> E. 1.4 S. 254 f.).
2.2. Die Beschwerdeschrift enthält kein ausdrückliches Rechtsbegehren. Es kann ihr jedoch entnommen werden, dass der Beschwerdeführer sinngemäss die Aufhebung des angefochtenen Urteils und die Wiederholung der Volksabstimmung vom 19. Mai 2019 beantragt, was mit Blick auf <ref-law> knapp genügt. Die Beschwerdebegründung ist allerdings teilweise appellatorischer Natur; insbesondere setzt sie sich nur zum Teil mit dem angefochtenen Entscheid auseinander. Der Beschwerdeführer nennt keine Rechtsnormen, die verletzt worden sein sollten. Das gilt namentlich für seine Behauptung, die Regierungspräsidentin hätte den Entscheid über die beim Regierungsrat eingereichte Beschwerde nicht fällen dürfen. Insoweit befasst sich der Beschwerdeführer überdies nicht ausreichend mit der Argumentation der Vorinstanz, sondern wiederholt lediglich seinen schon vor dem Appellationsgericht vertretenen Standpunkt. Der Beschwerdeführer legt insbesondere nicht rechtsgenüglich dar, weshalb es rechtswidrig und nicht bloss allenfalls politisch heikel sein sollte, wenn die Regierungspräsidentin über eine Stimmrechtsbeschwerde entscheidet, die ein Geschäft ihres eigenen Departements betrifft. Darauf ist daher nicht einzutreten. Der Beschwerdeführer nennt auch im Zusammenhang mit seinem Vorbringen, der angefochtene Entscheid verstosse gegen die politischen Rechte, die angeblich verletzten Rechtsnormen nicht. Soweit insofern erkennbar ist, dass er sich ungenannt auf die Abstimmungsfreiheit nach <ref-law> beruft, kann jedoch im nachfolgenden Umfang auf seine Beschwerde eingetreten werden. Dem Bundesgericht kommt in diesem Zusammenhang freie Überprüfungsbefugnis zu.
3.
3.1. Die in <ref-law> als Grundrecht verankerte Abstimmungsfreiheit gibt den Stimmberechtigten Anspruch darauf, dass kein Abstimmungsergebnis anerkannt wird, das nicht den freien Willen der Stimmberechtigten zuverlässig und unverfälscht zum Ausdruck bringt. Es soll garantiert werden, dass jeder Stimmberechtigte seinen Entscheid gestützt auf einen möglichst freien und umfassenden Prozess der Meinungsbildung treffen und entsprechend mit seiner Stimme zum Ausdruck bringen kann. Die Abstimmungsfreiheit gewährleistet die für den demokratischen Prozess und die Legitimität direktdemokratischer Entscheidungen erforderliche Offenheit der Auseinandersetzung (<ref-ruling> E. 6.2 S. 13 f.; <ref-ruling> E. 6.2 S. 82; <ref-ruling> E. 2 S. 293; je mit Hinweisen).
3.2. Bei Sachabstimmungen im eigenen Gemeinwesen kommt den Behörden eine gewisse Beratungsfunktion zu. Diese nehmen sie mit der Redaktion der Abstimmungserläuterungen, aber auch in anderer Form wahr. Nach der Rechtsprechung sind behördliche Abstimmungserläuterungen, in denen eine Vorlage erklärt wird, unter dem Gesichtswinkel der Abstimmungsfreiheit zulässig. Die Behörde ist dabei nicht zur Neutralität verpflichtet und darf eine Abstimmungsempfehlung abgeben. In Einzelfällen ergibt sich aus <ref-law> sogar eine Pflicht der Behörden zur Information. Solche Informationen im Vorfeld einer Abstimmung unterliegen freilich den Geboten der Sachlichkeit, der Transparenz und der Verhältnismässigkeit. Behördliche Informationen zu eigenen Vorlagen müssen geeignet sein, zur offenen Meinungsbildung beizutragen, und dürfen nicht in dominanter und unverhältnismässiger Art im Sinne eigentlicher Propaganda eine freie Willensbildung der Stimmberechtigten erschweren oder geradezu verunmöglichen (vgl. <ref-ruling> E. 5.2.1 S. 9 f.; <ref-ruling> E. 4.4 S. 82 f.; <ref-ruling> E. 5.1 S. 342; je mit Hinweisen).
3.3. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts sind Mängel hinsichtlich von Vorbereitungshandlungen allerdings bereits im Vorfeld von Abstimmungen sofort und vor Durchführung der Abstimmung zu rügen. Diese Praxis bezweckt, dass Mängel möglichst noch vor der Abstimmung behoben werden können, womit sich eine längere Phase der Unsicherheit vermeiden lässt und der Urnengang nicht wiederholt zu werden braucht. Unterlässt dies der Stimmberechtigte, so verwirkt er im Grundsatz das Recht zur Anfechtung der Abstimmung. Es wäre mit dem Prinzip von Treu und Glauben nicht vereinbar, wenn ein Mangel vorerst widerspruchslos hingenommen wird und hinterher die Abstimmung, soweit deren Ergebnis nicht den Erwartungen entspricht, wegen eben dieses Mangels angefochten würde (BGE <ref-ruling> E. 4.4 S. 341, mit Hinweisen).
3.4. Selbst wenn Mängel rechtzeitig gerügt werden und vor einer Abstimmung oder bei deren Durchführung festzustellen sind, ist die Abstimmung nach der Rechtsprechung nur dann aufzuheben, wenn die behaupteten Unregelmässigkeiten erheblich sind und das Ergebnis beeinflusst haben können. Die Beschwerdeführer müssen in einem solchen Fall zwar nicht nachweisen, dass sich der Mangel auf das Ergebnis der Abstimmung entscheidend ausgewirkt hat. Es genügt, dass nach dem festgestellten Sachverhalt eine derartige Auswirkung im Bereich des Möglichen liegt. Erscheint allerdings die Möglichkeit, dass die Abstimmung ohne den Mangel anders ausgefallen wäre, nach den gesamten Umständen als derart gering, dass sie nicht mehr ernsthaft in Betracht fällt, so kann von der Aufhebung der Abstimmung abgesehen werden (<ref-ruling> E. 4.2 S. 5, mit Hinweisen).
3.5. Der Beschwerdeführer macht geltend, es sei ihm unzumutbar gewesen, sofort nach Entdeckung der vermeintlichen Unregelmässigkeiten zu handeln, wie das die Vorinstanz von ihm erwarte. Überdies sei er nicht Jurist, kenne die entsprechende Rechtslage nicht und sei darüber von der Leiterin der Staatskanzlei auch nicht informiert worden, obwohl er sich an der Einreichung des Referendums beteiligt habe. Von den im Grossen Rat diskutierten möglichen Unregelmässigkeiten habe er ohnehin erst später erfahren. Mit dem Appellationsgericht ist dem Beschwerdeführer jedoch entgegenzuhalten, dass er sich unverzüglich gegen die Abfassung des Abstimmungsbüchleins hätte wenden müssen, soweit er mit dessen Inhalt nicht einverstanden war. Das trifft an sich auf alle Stimmberechtigten zu. Es muss hier umso mehr gelten, als der Beschwerdeführer selbst massgeblich am Zustandekommen des Referendums beteiligt war und sich daher intensiv mit der Abstimmungsvorlage und dem entsprechenden Verfahren befasste. Aus den gleichen Gründen ist auch die Erwägung der Vorinstanz nicht zu beanstanden, dass es dem Beschwerdeführer als interessiertem Stimmbürger nach Treu und Glauben zumutbar gewesen wäre, von der einschlägigen Grossratsdebatte zur Abstimmung Kenntnis zu nehmen und sofort und noch vor der Durchführung der Abstimmung seine Einwände wegen der angeblichen Unregelmässigkeiten zu erheben. Schliesslich legt der Beschwerdeführer nicht ausreichend dar, aufgrund von welchem Rechtsgrundsatz die Staatsschreiberin von Amtes wegen verpflichtet gewesen wäre, ihn über die weiteren Umstände zu informieren, ohne dass er sie darum angefragt hatte. Soweit das Appellationsgericht in diesen genannten Zusammenhängen von einer verspäteten Erhebung der gegen die Abstimmung gerichteten Einwände ausgeht, verstösst der angefochtene Entscheid mithin nicht gegen <ref-law>.
3.6. Im Übrigen sieht der Beschwerdeführer die behaupteten Unregelmässigkeiten insbesondere in den Abstimmungserläuterungen, die keine ausreichenden Argumente gegen den Neubau des Staatsarchivs enthalten hätten, in einem mehrere Jahre zurückliegenden öffentlichen Blog des Staatsarchivs zu dessen Neubau, in der Einsetzung eines Zivildienstleistenden für das Pro-Komitee sowie in der angeblichen Zurückhaltung bzw. erst nachträglichen Veröffentlichung einer Betriebsanalyse des Historischen Museums. Einzelne Punkte mögen dabei fragwürdig erscheinen, ohne dass dies hier vertieft geprüft werden muss. Die Abstimmung führte nämlich zu einem klaren Ergebnis. Dieses fiel mit einem Ja-Stimmen-Anteil von 60,33 % (34'064:22'396) sehr deutlich aus. Die Vorinstanz hielt dazu ergänzend fest, der Beschwerdeführer beziehe sich unter anderem selbst auf Mängel, von denen er erst nach dem Abstimmungswochenende aufgrund eigener Recherchen erfahren haben will. Dass ihn dies als speziell interessierten Stimmbürger, der selbst erheblich zur Ergreifung des Referendums beigetragen hatte, nicht davor befreite, seine Einwände schon früher zu erheben, wurde bereits dargelegt. Es lässt mit dem Appellationsgericht darüber hinaus darauf schliessen, dass die behaupteten Unregelmässigkeiten nicht besonders auffällig und kaum in grossem Umfang für die Willensbildung des Stimmvolks verantwortlich und damit ernsthaft geeignet waren, den Ausgang der Abstimmung zu beeinflussen. Bei einer Stimmendifferenz von 11'668 hätte es 5'835 Abstimmende oder einen Stimmenanteil von mehr als 10,33 % gebraucht, die anders entschieden hätten. Der vorliegende Fall ist entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers auch nicht mit der Abstimmung über den Kantonswechsel des Laufentals vom 11. September 1983 vergleichbar. Bei einer doch deutlich kleineren Stimmendifferenz (56,67:43,33 %) stand damals eine politisch schwerwiegendere Sachfrage zur Diskussion. Vor allem aber unterscheiden sich die beiden Konstellationen dadurch, dass damals der Kanton Bern als übergeordnetes Gemeinwesen eine massive Einflussnahme auf die Stimmberechtigten des Amtsbezirks Laufen ausübte (vgl. <ref-ruling> und 114 Ia 427), während hier lediglich Unregelmässigkeiten innerhalb desselben Gemeinwesens behauptet werden. Das Bundesgericht ging damals aufgrund der besonderen Umstände trotz der als "relativ gross" erkannten Stimmendifferenz von 13,34 % von einem möglichen anderen Ausgang der Abstimmung aus (vgl. <ref-ruling> E. 7b S. 447). Hier beträgt die Stimmendifferenz 20,66 % und es handelt sich, wenn überhaupt, um deutlich geringfügigere Unregelmässigkeiten ohne vergleichbare besondere Umstände. Ob massgebliche Mängel vorliegen, kann demnach offenbleiben, da aufgrund des deutlichen Ausgangs der Abstimmung so oder so von deren Aufhebung abzusehen wäre, wie die Vorinstanz zutreffend erkannt hat.
4.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Mai 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Uebersax