Sachverhalt:
A.
Die Gemeinde Beggingen war während Jahrzehnten in die zwei Jagdreviere "Nord" und "Süd" eingeteilt. Die Verpachtung erfolgte jeweils an zwei verschiedene Jagdgesellschaften (Jagdgesellschaft Beggingen-Nord und Jagdgesellschaft Beggingen-Süd).
Am 25. Februar 2016 stellte die Jagdgesellschaft Beggingen-Süd dem Gemeinderat Beggingen im Hinblick auf die Neuvergabe der Pachtreviere für die Periode 2017-2025 den Antrag, es sei ein bisher zum Revier Beggingen-Nord gehörendes Teilgebiet neu dem Revier Beggingen-Süd zuzuschlagen und das Verfahren nach § 3 Abs. 3 des Gesetzes des Kantons Schaffhausen vom 15. Juni 1992 über die Jagd und den Schutz wildlebender Säugetiere und Vögel (Kantonales Jagdgesetz, JagdG; SHR 922.100) einzuleiten. Die genannte Bestimmung sieht vor, dass die Gemeinden und die Jagdgesellschaften der beteiligten Reviere verpflichtet sind, auf Verhandlungen einzutreten, soweit eine Jagdgesellschaft eine Gebietsabtretung oder einen Gebietsaustausch zur Erzielung einer verbesserten Reviereinteilung unter jagdlichen, wildbiologischen oder ökologischen Gesichtspunkten verlangt.
Am 3. Mai 2016 beschloss die Gemeinde Beggingen, die beiden Jagdreviere zusammenzulegen. Mit Beschluss vom 17. Januar 2017 vergab sie das zusammengelegte Jagdrevier der Jagdgesellschaft Beggingen-Süd.
B.
B.a. Dagegen erhob die Jagdgesellschaft Beggingen-Nord am 27. Januar 2017 Rekurs an den Regierungsrat des Kantons Schaffhausen mit dem Antrag, die Beschlüsse vom 3. Mai 2016 und 17. Januar 2017 aufzuheben.
Mit Beschluss vom 14. Juli 2017 hiess der Regierungsrat den Rekurs gut, hob die angefochtenen Beschlüsse der Gemeinde Beggingen vom 3. Mai 2016 (betreffend Revierzusammenlegung) und vom 17. Januar 2017 (betreffend Jagdpachtvergabe) auf und wies die Sache an die Gemeinde Beggingen zum neuen Entscheid über die Reviereinteilung und Jagdpachtvergabe zurück.
B.b. Gegen den Entscheid des Regierungsrats vom 14. Juli 2017 erhoben die Gemeinde Beggingen und die Jagdgesellschaft Beggingen-Süd eine Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Obergericht des Kantons Schaffhausen. Dieses hiess die Beschwerde gut, hob den Beschluss des Regierungsrats vom 14. Juli 2017 auf und wies die Sache an diesen zurück, damit er über die Rechtmässigkeit der Jagdpachtvergabe und die Kosten- und Entschädigungsfolgen in seinem Verfahren neu entscheide.
C.
Gegen den Entscheid des Obergerichts vom 25. Mai 2018 gelangt die Jagdgesellschaft Beggingen-Nord (bestehend aus den Beschwerdeführern 1-5; gemeinsam auch: Beschwerdeführer) mit Beschwerde vom 2. Juli 2018 an das Bundesgericht. Sie beantragt, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und festzustellen, dass der Entscheid des Gemeinderates Beggingen vom 3. Mai 2016 (betreffend Revierzusammenlegung) nichtig sei. Eventualiter sei dieser Entscheid aufzuheben. In einem weiteren Eventualantrag beantragt die Jagdgesellschaft Beggingen-Nord die Aufhebung des Entscheids vom 25. Mai 2018 und die Rückweisung zur neuen Entscheidung an das Obergericht, den Regierungsrat oder die erste Instanz "im Sinne von Ziff. 6 der Begründung".
Die Jagdgesellschaft Beggingen-Süd (bestehend aus den Beschwerdegegnern 1-5; gemeinsam auch: Beschwerdegegner) beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit auf sie einzutreten ist, und die Bestätigung des Entscheids des Obergerichts vom 25. Mai 2018. Die Gemeinde Beggingen beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht und der Regierungsrat des Kantons Schaffhausen verzichten je auf eine Stellungnahme.
Die Jagdgesellschaft Beggingen-Nord lässt sich mit Eingabe vom 25. September 2018 zu den Stellungnahmen vernehmen. Die Jagdgesellschaft Beggingen-Süd dupliziert darauf mit Eingabe vom 16. Oktober 2018, zu der die Jagdgesellschaft Beggingen-Nord nicht mehr Stellung nimmt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1 S. 116).
1.1. Frist- und - unter Vorbehalt einer in allen Teilen rechtsgenüglichen Begründung - formgerecht angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid eines oberen Gerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, gegen den die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist (vgl. Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2, Art. 82 lit. a, Art. 83, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 100 Abs. 1 BGG).
1.2. Streitgegenstand im vorinstanzlichen Verfahren bildete der Beschluss der Gemeinde Beggingen vom 3. Mai 2016, mit dem die Jagdreviere Beggingen-Nord und Beggingen-Süd zusammengelegt wurden. Das Obergericht gelangte im Unterschied zur unteren Instanz zur Auffassung, dass für den Beschluss vom 3. Mai 2016 keine Nichtigkeitsgründe vorliegen und der Rekurs vom 27. Januar 2017 zu spät erfolgte, sodass der Beschluss in Rechtskraft erwachsen sei. In Bezug auf die Rechtsbeständigkeit des Beschlusses vom 3. Mai 2016 bringt das angefochtene Urteil das Verfahren zum Abschluss; in diesem Umfang liegt ein Endentscheid im Sinne von <ref-law> vor, gegen den die Beschwerde an das Bundesgericht zulässig ist (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 341 f.).
1.2.1. Die Beschwerdeführer beantragen die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Feststellung, dass der Beschluss vom 3. Mai 2016 über die Revierzusammenlegung nichtig sei, eventualiter sei der angefochtene Entscheid, mit dem die Revierzusammenlegung bestätigt worden sei, aufzuheben. Mit diesen Anträgen bewegen sich die Beschwerdeführer im Rahmen des Streitgegenstands; ihre diesbezüglichen Anträge sind im bundesgerichtlichen Verfahren zulässig (vgl. <ref-law>).
1.2.2. Nicht einzutreten ist demgegenüber auf den Antrag der Beschwerdeführer, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache an das Obergericht oder eine untere Instanz zurückzuweisen mit der Anweisung, die Rechtmässigkeit der Revierzusammenlegung gemäss Beschluss der Gemeinde Beggingen vom 3. Mai 2016 sei akzessorisch im Zusammenhang mit dem Beschluss vom 17. Januar 2017 über die Reviervergabe zu überprüfen. Letzterer bildet in der Sache nicht Gegenstand des angefochtenen Urteils. Es liegt insoweit auch kein im bundesgerichtlichen Verfahren anfechtbarer Entscheid einer oberen, kantonalen Gerichtsinstanz vor (vgl. Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90-93 BGG). Auf das Rechtsmittel kann in diesem Umfang nicht eingetreten werden.
1.3. Nach <ref-law> ist namentlich zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. c). Die Beschwerdegegner machen geltend, dass sich die Beschwerdeführer erst im Hinblick auf die Bewerbung für das gesamte Jagdrevier Beggingen am 5. Dezember 2016 in der heutigen Zusammensetzung konstituiert hätten, nicht hingegen, dass das vorinstanzliche Verfahren von anderen Personen als jenen bestritten worden sei, die nun mit Beschwerde an das Bundesgericht gelangen. Derartiges ist auch nicht ersichtlich. Die Beschwerdeführer sind daher im Sinne von <ref-law> formell beschwert. Sie sind auch materiell beschwert, da sie mit ihren Anträgen im vorinstanzlichen Verfahren unterlegen sind und über ein aktuelles und praktisches Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids verfügen. Unter dem Vorbehalt des bereits Dargelegten (vgl. E. 1.2.2 hiervor) ist auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonalen verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 95 lit. ac BGG). Die Anwendung des übrigen kantonalen Rechts prüft das Bundesgericht mit Ausnahme der hier nicht einschlägigen Fälle von <ref-law> nicht als solche, sondern nur auf ihre Vereinbarkeit mit den in Art. 95 lit. a-c BGG genannten Rechtsquellen hin (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 372 mit Hinweisen).
2.2. Im bundesgerichtlichen Verfahren gilt der Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen (<ref-law>), doch behandelt das Bundesgericht im Rahmen der allgemeinen Begründungspflicht (<ref-law>) nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel des angefochtenen Entscheids nicht offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254; Urteil 2C_582/2016 vom 22. Mai 2017 E. 2.1 [nicht publ. in: <ref-ruling>]). Nicht von Amtes wegen, sondern nur auf präzise vorgebrachte und begründete Rügen hin prüft das Bundesgericht die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem Recht (qualifizierte Rügepflicht gemäss <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f.; Urteil 2C_582/2016 vom 22. Mai 2017 E. 2.1 [nicht publ. in: <ref-ruling>]).
3.
Die Beschwerdeführer machen eine Verletzung des Willkürverbots, ihres rechtlichen Gehörs und allgemeiner Verfahrensgarantien geltend. Ihrer Auffassung nach erweist sich der Beschluss über die Revierzusammenlegung als nichtig, eventualiter sei er aufzuheben. Dabei berufen sie sich auf Bestimmungen der Bundesverfassung (Art. 9 und Art. 29 Abs. 1 und Abs. 2 BV) und des Kantonalen Jagdgesetzes.
3.1. Die Beschwerdeführer erblicken eine Verletzung des Willkürverbots im Umstand, dass die Vorinstanz den Beschluss der Gemeinde Beggingen, die Jagdreviere Beggingen-Süd und Beggingen-Nord zu vereinigen, nicht als nichtig erachtete, obwohl die Jagdgesellschaft Beggingen-Süd nur die Umteilung eines Teilgebiets verlangt, die Gemeinde Beggingen das Verfahren nach Art. 3 Abs. 3 JagdG nicht eingeleitet und keine Jagdgesellschaft die Zusammenlegung beider Jagdreviere beantragt habe.
3.1.1. Fehlerhafte Verwaltungsakte sind nichtig, wenn der ihnen anhaftende Mangel besonders schwer ist, wenn dieser Mangel offensichtlich oder zumindest leicht erkennbar ist und zudem die Rechtssicherheit durch die Annahme der Nichtigkeit nicht ernsthaft gefährdet wird (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 503 f.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 275; mit Hinweisen). Soweit der gerügte Mangel eines Verwaltungsakts von der fehlerhaften Anwendung kantonalen Rechts herrühren soll, gilt es zu beachten, dass die bundesgerichtliche Kognition nach Massgabe von <ref-law> beschränkt ist. Im Vordergrund der bundesgerichtlichen Prüfungsbefugnis steht dabei das Willkürverbot im Sinne von <ref-law>. Eine willkürliche Rechtsanwendung liegt demnach vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid nicht auf, wenn bloss die Begründung, nicht aber das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung als die getroffene ebenfalls vertretbar oder sogar zutreffender erscheint, begründet dabei für sich noch keine Willkür (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 380; <ref-ruling> E. 5 S. 280 f.; je mit Hinweisen).
3.1.2. Die Vorinstanz legt im angefochtenen Entscheid dar, dass die Jagdpacht eines Reviers nach dem kantonalen Recht mit Ablauf von acht Jahren erlischt (vgl. Art. 6 Abs. 1 i.V.m. Art. 13 Abs. 1 JagdG) und kein Anspruch auf Wiederverpachtung besteht (vgl. Art. 10 Abs. 3 JagdG). Weiter zeigt sie auf, dass das Gebiet einer Gemeinde in der Regel ein Jagdrevier bildet (vgl. Art. 3 Abs. 1 JagdG), es den Gemeinden nach Art. 3 Abs. 2 JagdG aber gestattet ist, ihr Gebiet in mehrere Reviere einzuteilen oder mit dem Gebiet benachbarter Gemeinden ganz oder teilweise zusammenzulegen oder einzelne Teile zur Abrundung der Reviere mit solchen benachbarter Gemeinden auszutauschen. Sodann sieht Art. 3 Abs. 3 Satz 1 JagdG vor, dass die Jagdgesellschaften der beteiligten Reviere und die Gemeinden verpflichtet sind, auf Verhandlungen einzutreten, wenn eine Jagdgesellschaft oder eine Reviergemeinde eine Gebietsabtretung oder einen Gebietsaustausch zur Erzielung einer verbesserten Reviereinteilung unter jagdlichen, wildbiologischen oder ökologischen Gesichtspunkten verlangt. Kommt eine freiwillige Vereinbarung innert sechs Monaten nicht zustande, gelten die bisherigen Revier- oder Gemeindegrenzen (Art. 3 Abs. 3 Satz 2 JG).
3.1.3. Unter Berücksichtigung dieser Rechtslage erwägt die Vorinstanz, dass Art. 3 Abs. 3 JagdG Verhandlungen zur Änderung von Revieren im Hinblick auf eine Neuverpachtung nach dem Wortlaut zwar nicht ausschliesst, es aber sinnvoll erscheint, wenn eine Gemeinde mit Blick auf eine neue Pachtperiode frei prüfen kann, ob eine andere Reviereinteilung geboten ist. Ob Art. 3 Abs. 3 JagdG auch bei Neuverpachtungen wie der hier in Frage stehenden anwendbar sei, könne letztlich aber offen bleiben, weil mit Blick auf die unklare Anwendbarkeit von Art. 3 Abs. 3 JagdG auf Neuverpachtungen jedenfalls kein offensichtlicher oder leicht erkennbarer Mangel vorliege, welcher zur Nichtigkeit des Beschlusses der Gemeinde Beggingen vom 3. Mai 2016 führt.
3.1.4. Die Auffassung der Vorinstanz, wonach der Beschluss der Gemeinde Beggingen vom 3. Mai 2016 im Lichte des kantonalen Jagdgesetzes jedenfalls keinen leicht erkennbaren Mangel aufweist, hält vor Bundesrecht stand. Die Beschwerdeführer vermögen mit ihren über weite Strecken appellatorischen Ausführungen zu den kantonalen Rechtsgrundlagen nicht darzutun, dass eine Zusammenführung der beiden auf dem Gebiet der Gemeinde Beggingen gelegenen Jagdreviere auf den Zeitpunkt der Neuverpachtung hin geradezu zwingend das Einverständnis der beteiligten Jagdgesellschaften erfordert hätte. Das gilt umso mehr, als die Beschwerdegegner in nachvollziehbarer Weise und unter Verweisung auf den Wortlaut, die gesetzliche Systematik und die Entstehungsgeschichte darlegen, dass Art. 3 Abs. 3 JagdG im Verfahren der Neuverpachtung nach Ablauf der ordentlichen Pachtdauer nicht zur Anwendung gelangt. Damit liegt keine leicht erkennbare Mangelhaftigkeit des Beschlusses der Gemeinde Beggingen vom 3. Mai 2016 vor. Entsprechend erübrigt sich auch die Prüfung der weiteren Voraussetzungen der Nichtigkeit (vgl. E. 3.1.1 hiervor).
3.2. Nachdem sie die Nichtigkeit des Beschlusses vom 3. Mai 2016 verneint, gelangt die Vorinstanz weiter zum Schluss, dass der am 27. Januar 2017 an den Regierungsrat erhobene Rekurs verspätet erfolgte. In diesem Punkt setzen sich die Beschwerdeführer mit dem angefochtenen Entscheid nicht in einer Weise auseinander, die den Begründungsanforderungen im bundesgerichtlichen Verfahren genügt (vgl. E. 2.2 hiervor). Der blosse Hinweis auf eine fehlende Rechtsmittelbelehrung (vgl. Beschwerde S. 8) im Beschluss vom 3. Mai 2016 lässt den Entscheid des Obergerichts jedenfalls nicht als widerrechtlich erscheinen. Den Parteien eines Verfahrens darf zwar aus einer fehlenden oder fehlerhaften behördlichen Rechtsmittelbelehrung kein Nachteil erwachsen, sie sind aber gehalten, sich innert nützlicher Frist nach den in Frage kommenden Rechtsmitteln zu erkundigen, wenn sie einen als solchen erkennbaren Entscheid einer Behörde nicht gegen sich gelten lassen wollen (vgl. <ref-ruling> E. 8.3 S. 53 f.; <ref-ruling> E. 3.3 S. 134; Urteil 2C_244/2007 vom 10. Oktober 2007 E. 2.5; je mit Hinweisen). Die Beschwerdeführer machen nun nicht geltend, zeitnah entsprechende Schritte unternommen zu haben, nachdem sie mit Schreiben vom 7. Juni 2016 über den Beschluss vom 3. Mai 2016 informiert wurden. Vielmehr haben sie sich nach unwidersprochener Darstellung der Beschwerdegegner am 5. Dezember 2016 vorbehaltlos um das zusammengelegte Jagdrevier beworben. Angesichts dessen ist die Auffassung der Vorinstanz, wonach der Rekurs vom 27. Januar 2017 verspätet erhoben wurde, nachdem ihnen der Beschluss über die Revierzusammenlegung spätestens mit Schreiben vom 7. Juni 2016 bekannt gemacht worden war, aus bundesrechtlicher Sicht nicht zu beanstanden. Die weiteren Vorbringen der Beschwerdeführerin, die sich inhaltlich gegen den Beschluss vom 3. Mai 2016 richten, sind bei dieser Ausgangslage nicht weiter zu behandeln.
4.
Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie einzutreten ist. Die Beschwerdeführer werden bei diesem Verfahrensausgang kostenpflichtig (vgl. <ref-law>). Sie schulden den Beschwerdegegnern eine Parteientschädigung, nicht hingegen der Gemeinde Beggingen, die in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegt (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführer haben den Beschwerdegegnern eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Februar 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Fellmann