Erwägungen:
1.
1.1. Mit Beschluss vom 15. März 2021 setzte der Bundesrat den Termin für die Volksabstimmung unter anderem über das Bundesgesetz über die gesetzlichen Grundlagen für Verordnungen des Bundesrates zur Bewältigung der Covid-19-Epidemie (Covid-19-Gesetz) (im Folgenden: "Covid-19-Gesetz") fest (BBl 2021 639). Mit den Abstimmungsunterlagen erhielten die Stimmberechtigten die Erläuterungen des Bundesrates (sog. Abstimmungserläuterungen oder Bundesbüchlein), die auch auf der Internetseite der Bundeskanzlei aufgeschaltet sind ( https://www.admin.ch/gov/de/start/dokumentation/abstimmungen/20210613/covid-19-gesetz.html; besucht am 14. Juli 2021). Die Gesetzesvorlage wurde in der Abstimmung vom 13. Juni 2021 gemäss dem von der Bundeskanzlei publizierten provisorischen amtlichen Ergebnis mit einer Mehrheit von insgesamt 1'936'313 Ja-Stimmen (60.21%) zu 1'279'802 Nein-Stimmen (39.79%) angenommen ( https://www.bk.admin.ch/ch/d/pore/va/20210613/can643.html; besucht am 14. Juli 2021). Im Kanton St. Gallen betrug der Anteil an Ja-Stimmen 51.10%, wohingegen in der Stadt St. Gallen der gleiche Anteil 65.68% erreichte.
1.2. Am 16. Juni 2021 erhob This Bürge bei der Regierung des Kantons St. Gallen Beschwerde gegen die Abstimmung mit dem Antrag, das Ergebnis der Stadt St. Gallen manuell nachzuzählen, da das Resultat in der Stadt St. Gallen im Vergleich zu anderen Gemeinden "grotesk" ausgefallen sei, was auf mögliche Unregelmässigkeiten hinweisen könnte. Mit Beschluss vom 22. Juni 2021 wies die Regierung die Beschwerde ab.
1.3. Dagegen führt This Bürge Stimmrechtsbeschwerde beim Bundesgericht mit dem Antrag, die Kantonsregierung St. Gallen anzuweisen, das Abstimmungsergebnis der Stadt St. Gallen unter Teilnahme des Beschwerdeführers sowie des Stadtweibels manuell nachzuzählen. Der Kanton St. Gallen überwies dem Bundesgericht die Unterlagen, ohne sich zur Sache zu äussern. Die Bundeskanzlei schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. This Bürge ersuchte am 20. Juli 2021 um Befreiung von der Kostenpflicht, ohne sich nochmals zur Sache zu äussern.
2.
2.1. Gegen Entscheide der Kantonsregierungen wegen Unregelmässigkeiten bei einer eidgenössischen Volksabstimmung steht grundsätzlich die Beschwerde wegen Verletzung politischer Rechte an das Bundesgericht offen (vgl. <ref-law> i.V.m. Art. 82 lit. c sowie Art. 88 Abs. 1 lit. b BGG).
2.2. Das Bundesgericht prüft nur solche Rügen, die sich an den Streitgegenstand halten und in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (vgl. <ref-law>). Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene Kritik ohne Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3 mit Hinweisen). Die vorliegende Beschwerdeschrift genügt diesen Anforderungen nicht. Der Beschwerdeführer macht keine konkreten Unregelmässigkeiten geltend, sondern stellt bloss die Behauptung auf, die unterschiedlichen Stimmverhältnisse in der Stadt St. Gallen einerseits und in anderen Gemeinden des Kantons St. Gallen andererseits seien ein Indiz für Unregelmässigkeiten. Worin eine Verletzung des Stimmrechts bzw. von Bundesrecht (vgl. <ref-law>) liegen sollte, legt der Beschwerdeführer nicht ausreichend und nachvollziehbar dar.
2.3. Selbst wenn die Beschwerde zulässig wäre, erwiese sie sich als inhaltlich unbegründet. Nach <ref-law> ist die Verwendung von technischen Hilfsmitteln bei der Auszählung der Stimmen unter bestimmten, hier erfüllten Voraussetzungen zulässig. Wird ein Ergebnis angefochten, sind grundsätzlich substanziierte Hinweise auf Unregelmässigkeiten vorzutragen, damit eine Nachzählung erforderlich ist (vgl. <ref-law> sowie BBl 2013 9217, 9256). Geringere Anforderungen gelten allenfalls bei knappen Ergebnissen (vgl. <ref-ruling> E. 5.4). Im vorliegenden Fall sind die Resultate deutlich und es gibt keine substanziierten Hinweise auf Unregelmässigkeiten. Vielmehr sind Stimmunterschiede zwischen dem ländlichen und städtischen Raum nicht ungewöhnlich, und sie traten gerade bei der fraglichen Abstimmung in der Deutschschweiz verbreitet auf.
3.
Auf die Beschwerde ist demnach nicht einzutreten. Von der Erhebung von Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren kann abgesehen werden (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Bundeskanzlei und der Regierung des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. August 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Uebersax