Sachverhalt:
A.
Am 28. Oktober 2020 erstattete A._ bei der Staatsanwaltschaft Limmat-Albis Strafanzeige gegen diejenige Pflegerin, die ihm am 26. Oktober 2020 im Gefängnis Limmattal unerlaubt Blut entnommen habe. Die Staatsanwaltschaft leitete die Akten via die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich zum Entscheid über die Ermächtigung zur Durchführung eines Strafverfahrens an das Obergericht des Kantons Zürich weiter. Es sei zu prüfen, ob eine (strafbare) fahrlässige Körperverletzung oder eine (straflose) fahrlässige Tätlichkeit vorliege.
Das Obergericht gab den Verfahrensbeteiligten Gelegenheit zur Stellungnahme. B._, die die Blutentnahme durchgeführt hatte, legte dar, den Gefängnisinsassen werde eine Routineuntersuchung und eine Kontrolle des Vitamin-D-Werts angeboten. Sie habe am 26. Oktober 2020 Dienst gehabt und in der Agenda des Gesundheitsdiensts gesehen, dass eine Blutentnahme für "A._" vorgesehen sei. Ein Vorname sei nicht angegeben gewesen. Sie sei in die Zelle von A._ gegangen und habe ihn gebeten, zur Blutentnahme ins Zimmer des Gesundheitsdiensts mitzukommen. Dieser habe erwidert, er habe sich nicht zur Kontrolle angemeldet, ob er denn der Richtige sei? Als sie darauf mit einem Ja geantwortet habe, sei er umstandslos mit ihr mitgegangen. Es sei keinerlei Zwang ausgeübt worden.
Mit Beschluss vom 16. Juli 2021 trat das Obergericht auf das Gesuch der Staatsanwaltschaft bezüglich des Tatbestands der Tätlichkeit nicht ein. Nur Verbrechen und Vergehen könnten nach <ref-law> von einer Ermächtigung abhängig gemacht werden. Bei der Tätlichkeit handle es sich jedoch um eine Übertretung (Art. 126 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Bezüglich des Tatbestands der (fahrlässigen) Körperverletzung werde die Ermächtigung zur Strafverfolgung nicht erteilt. B._ habe geltend gemacht, der Heilungsprozess der Blutentnahme habe wenige Sekunden gedauert und es sei zu keiner Beeinträchtigung des Wohlempfindens von A._ gekommen. Letzterer habe diese Darstellung nicht bestritten. Es gebe somit keine Anzeichen für eine Körperverletzung im Sinne von <ref-law>.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 2. August beantragt A._, der Beschluss des Obergerichts sei aufzuheben und die Ermächtigung zur Strafverfolgung zu erteilen.
Die Beschwerdegegnerin, die Oberstaatsanwaltschaft und das Obergericht haben auf eine Stellungnahme verzichtet, während sich die Staatsanwaltschaft nicht hat vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
Die Ermächtigung zur Strafverfolgung stellt eine Prozessvoraussetzung für das Strafverfahren dar, wird jedoch in einem davon getrennten Verwaltungsverfahren erteilt. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist deshalb das zutreffende Rechtsmittel (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen).
Angefochten ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, der das Verfahren abschliesst (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Eine Ausnahme von der Zulässigkeit der Beschwerde nach <ref-law> besteht nicht. Lit. e dieser Bestimmung, wonach Entscheide über die Verweigerung der Ermächtigung zur Strafverfolgung von Behördenmitgliedern oder von Bundespersonal von der Beschwerdemöglichkeit ausgenommen sind, ist nur auf die obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden anwendbar, denn nur bei diesen dürfen politische Gesichtspunkte in den Entscheid einfliessen (<ref-ruling> E. 1.3.2 mit Hinweis). Die Beschwerdegegnerin fällt nicht in diese Kategorie.
Der Beschwerdeführer hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen. Er ist vom behaupteten Straftatbestand der einfachen Körperverletzung gemäss <ref-law> potenziell direkt betroffen. Somit ist er nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt.
2.
2.1. Nach <ref-law> sind die Strafbehörden verpflichtet, im Rahmen ihrer Zuständigkeit ein Verfahren einzuleiten und durchzuführen, wenn ihnen Straftaten oder auf Straftaten hinweisende Verdachtsgründe bekannt werden. Gemäss <ref-law> können die Kantone allerdings vorsehen, dass die Strafverfolgung der Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen von der Ermächtigung einer nicht richterlichen oder richterlichen Behörde abhängt. Die kantonalgesetzliche Grundlage für das Ermächtigungsverfahren ist § 148 des Gesetzes des Kantons Zürich vom 10. Mai 2010 über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess (GOG; LS 211.1).
2.2. Das Ermächtigungserfordernis soll namentlich dem Zweck dienen, Behördenmitglieder und Beamte vor mutwilliger Strafverfolgung zu schützen und damit das reibungslose Funktionieren staatlicher Organe sicherzustellen. Ein Strafverfahren soll erst durchgeführt werden können, wenn die zuständige Behörde vorher ihre Zustimmung erteilt hat. Der förmliche Entscheid über die Eröffnung oder die Nichtanhandnahme obliegt kraft ausdrücklicher bundesrechtlicher Regelung der Staatsanwaltschaft (Art. 309 und 310 StPO; <ref-ruling> E. 2.3).
2.3. Im Ermächtigungsverfahren dürfen - ausser bei obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden - nur strafrechtliche Gesichtspunkte berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 2.4 mit Hinweis). Allerdings begründet nicht jeder behördliche Fehler die Pflicht zur Ermächtigungserteilung. Erforderlich ist vielmehr ein Mindestmass an Hinweisen auf ein strafrechtlich relevantes Verhalten; ein solches muss in minimaler Weise glaubhaft erscheinen. In Zweifelsfällen ist die Ermächtigung zu erteilen; es gilt der Grundsatz "in dubio pro duriore". Ist zum Zeitpunkt des Ermächtigungsentscheids die Sach- oder Rechtslage nicht von vornherein klar, darf die zuständige Behörde die Ermächtigung zur Strafverfolgung nicht mit der Begründung verweigern, es fehle an einem hinreichenden Tatverdacht (zum Ganzen: Urteil 1C_395/2018 vom 21. Mai 2019 E. 2 mit Hinweisen).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, es bestehe ein enger Zusammenhang zum gegen ihn geführten Strafverfahren. Er befürchte, dass die Behörden oder Drittpersonen seine Blutprobe missbrauchen werden. Niemand dürfe ohne ärztliche Anordnung oder versehentlich bei einem Gefängnisinsassen eine Blutprobe nehmen. Als Reaktion auf seine Ablehnung habe ihm die Beschwerdegegnerin gedroht, man werde ihm gegebenenfalls mit Polizeigewalt das Blut abnehmen. Er habe keine andere Wahl gehabt als zu gehorchen. Das Obergericht hätte sich somit auch mit den Tatbeständen der Drohung, der Nötigung, des Diebstahls bzw. "DNA-Klaus" auseinandersetzen müssen.
3.2. Nach <ref-law> macht sich der einfachen Körperverletzung schuldig, wer vorsätzlich einen Menschen in anderer als schwerer Weise an Körper oder Gesundheit schädigt. Bei Blutergüssen, Schürfungen, Kratzwunden oder Prellungen ist die Abgrenzung der einfachen Körperverletzung zum Tatbestand der Tätlichkeiten gemäss <ref-law> begrifflich nur schwer möglich (<ref-ruling> E. 1.3 mit Hinweisen). Entscheidendes Gewicht kommt dem Mass des verursachten Schmerzes zu. Auch wenn vom Eingriff keine äusseren Spuren bleiben, genügt das Zufügen erheblicher Schmerzen als Schädigung im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 5c mit Hinweisen). Das Bundesgericht räumt dem Sachgericht in dieser Hinsicht einen Ermessensspielraum ein, da die Feststellung der Tatsachen und die Auslegung der unbestimmten Rechtsbegriffe eng miteinander verflochten sind (<ref-ruling> E. 1.3 mit Hinweisen).
3.3. Das Obergericht hat festgehalten, dass die Blutstillung nach der Blutentnahme nur wenige Sekunden gedauert habe und es keine Anzeichen auf Komplikationen oder Beschwerden gebe. Der Beschwerdeführer bestreitet dies nicht. Er macht weder geltend, dass der Einstich Spuren zurückgelassen oder auch nur ein geringes Unwohlbefinden verursacht hätte. Das Obergericht durfte deshalb ohne Bundesrecht zu verletzen davon ausgehen, dass die Blutentnahme nicht den Schweregrad einer Körperverletzung erreichte (s. zum Vergleich auch Urteil 1B_77/2014 vom 17. März 2014 E. 2.1, wo es um zwei Kratzer und eine oberflächliche Schnittwunde von 6 mm Länge ging, wobei die Haut auf 3 mm ganz durchtrennt war).
3.4. In seiner Strafanzeige machte der Beschwerdeführer nicht geltend, dass die Beschwerdegegnerin ihm mit Polizeigewalt gedroht habe. Die Behauptung ist neu und deshalb nach <ref-law> im Verfahren vor Bundesgericht unzulässig. Das Obergericht hatte deshalb keinerlei Anlass, sich mit dem Tatbestand der Nötigung gemäss Art. 181 (der die Androhung ernstlicher Nachteile umfasst) auseinanderzusetzen (<ref-law>). Dasselbe gilt für den Tatbestand des Diebstahls (<ref-law>), da der Beschwerdeführer nichts vorbringt, was auf eine Bereicherungsabsicht schliessen liesse.
4.
Die Beschwerde ist aus diesen Gründen abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung. Da sich die Beschwerde als aussichtslos erwiesen hat, ist das Gesuch abzuweisen (<ref-law>). Auf die Erhebung von Gerichtskosten ist umständehalber dennoch zu verzichten (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat sich nicht vernehmen lassen. Eine Parteientschädigung ist ihr deshalb nicht zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Limmattal/ Albis, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Oktober 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Dold