Sachverhalt:
A.
A.a. Die Schweizerin A.A._ (geb. 1970) lernte während eines Ferienaufenthalts den Ägypter B._ (geb. 1979) kennen. Die Heirat folgte 2010 in der Schweiz, der gemeinsame Sohn C.A._ wurde 2010 geboren. Das Kind leidet an Trisomie 21 und einem Herzfehler (Vorhofseptumdefekt), dem allerdings kein Krankheitswert zukommt.
A.b. Kurz nach der Geburt des Kindes kam es zwischen den Ehegatten zu Auseinandersetzungen, die zur Trennung führten. A.A._ informierte die zuständige Behörde über die neue Situation, woraufhin diese die Aufenthaltsbewilligung von B._ widerrief und ihn aus der Schweiz wegwies (vgl. Urteile 2C_538/2012 vom 5. Juni 2012 und 2C_125/2014 vom 12. Februar 2014). Da B._ das Land nicht verliess, wurde er am 27. November 2012 in Ausschaffungshaft genommen, wogegen er sich erfolglos beschwerte (vgl. Urteile 2C_57/2013 vom 20. Februar 2013; 2C_276/2013 vom 28. März 2013; 2C_779/2013 vom 3. Oktober 2013). Am 5. Februar 2014 wurde B._ aus der Haft entlassen, ohne dass die Wegweisung hatte vollzogen werden können. Seither hält er sich ohne Aufenthaltstitel in der Schweiz auf.
Das auf Anzeige der Ehefrau hin gegen B._ wegen Drohung, Missbrauchs einer Fernmeldeanlage sowie Ungehorsams gegen eine amtliche Verfügung geführte Strafverfahren endete mit einem Freispruch. Schuldig gesprochen wurde B._ allerdings wegen rechtswidrigen Aufenthalts in der Schweiz.
A.c. Am 9. Dezember 2010 ersuchte B._ das Bezirksgericht Prättigau/Davos um Erlass von Massnahmen zum Schutz der ehelichen Gemeinschaft. Das Gericht bestätigte die Aufhebung des gemeinsamen Haushalts per 23. November 2010, stellte den Sohn unter die alleinige Obhut der Mutter und erliess bezüglich des Geburtseintrags des Kindes eine Datensperre nach Art. 46 Abs. 1 der Zivilstandsverordnung vom 28. April 2004 (ZStV; SR 211.112.2). Ausserdem wies es die eheliche Wohnung A.A._ zu und räumte B._ ein begleitetes Besuchsrecht von zwei Tagen im Monat unter Auflage der vorgängigen Hinterlegung des Reisepasses ein. Die von B._ hiergegen eingereichte Berufung blieb erfolglos.
A.d. Mit Verfügungen vom 24. August 2011 und 1. Juni 2012 sistierte das Bezirksgericht (zuerst superprovisorisch) das Besuchsrecht von B._ und verbot ihm unter Androhung von Straffolgen, sich Ehefrau und Sohn näher als 500 m anzunähern oder sich in einem Umkreis von 500 m vom Wohnort von Frau und Sohn aufzuhalten. Nachdem das Kantonsgericht von Graubünden die Sache auf Berufung von B._ hin zur Ergänzung der Beweise an das Bezirksgericht zurückgewiesen hatte, räumte dieses ihm - er befand sich zu diesem Zeitpunkt in Ausschaffungshaft (vgl. Bst. A.b. hiervor) - mit Entscheid vom 12./18. Februar 2013 ein begleitetes Besuchsrecht von zwei Tagen im Monat ein. Das Annäherungsverbot gegenüber dem Sohn hob es auf; das Verbot, sich dem Wohnort der Ehefrau zu nähern, erhielt es aufrecht. Das Kantonsgericht hiess die von A.A._ hiergegen erhobene Berufung mit Urteil vom 3. Februar 2014 teilweise gut, wobei es die Sistierung des Besuchsrechts von B._ bis zu dessen Entlassung aus der Ausschaffungshaft weiterführte und diesem für die Zeit danach ein begleitetes Besuchsrecht von zwei Tagen im Monat unter Auflage der Hinterlegung des Reisepasses einräumte. Für die Organisation und Überwachung des Besuchsrechts errichtete es eine Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 2 ZGB. Die Bemühungen der am 11. September 2014 ernannten Beiständin zur Herstellung eines Kontakts zwischen Vater und Sohn scheiterten allerdings, weil B._ erklärte, über keinen Reisepass zu verfügen, und die Mutter einem Kontakt ohne Hinterlegung des Passes nicht zustimmte.
A.e. Am 18. Dezember 2012 klagte A.A._ auf Scheidung der Ehe. Mit Verfügung vom 7. Januar 2013 stellte das Bezirksgericht fest, dass der Scheidungsgrund nach Art. 114 ZGB gegeben sei und am 4. Juni 2013 ernannte es Silvia Däppen zur Kindesvertreterin nach Art. 299 ZPO.
Mit Entscheid vom 4. September 2014 schied das Bezirksgericht die Ehe und übertrug soweit hier interessierend die alleinige elterliche Sorge und Obhut über den Sohn an A.A._. Von der Regelung des persönlichen Verkehrs zwischen Vater und Sohn sah es ebenso ab wie von der Errichtung einer Beistandschaft. Sodann untersagte es B._, sich in dem bereits früher verfügten Umfang dem Sohn oder dessen Wohnort anzunähern. Die Datensperre bezüglich des Geburtseintrags des Sohns erhielt es aufrecht.
B.
In teilweiser Gutheissung der von B._ hiergegen eingereichten Berufung hob das Kantonsgericht den Entscheid des Bezirksgerichts mit Urteil vom 27. Oktober 2015 (den Parteien eröffnet am 18. bzw. 19. Dezember 2017) teilweise auf (Dispositivziffer 1) und räumte dem Vater das Recht ein, den persönlichen Kontakt zu seinem Sohn im Rahmen eines begleiteten Besuchsrechts von zwei Tagen im Monat zu pflegen (Dispositivziffer 2). Die Beistandschaft behielt es zwecks Organisation und Überwachung des Besuchsrechts bei (Dispositivziffer 3). Das gegen den Vater verfügte Annäherungsverbot hielt das Gericht ausserhalb der Besuchskontakte aufrecht (Dispositivziffer 4). Die Kosten der kantonalen Verfahren auferlegte es den Parteien - diesen gewährte es die unentgeltliche Rechtspflege - je zur Hälfte, die Parteikosten schlug es wett (Dispositivziffern 6 und 7).
C.
B._ gelangt am 1. Februar 2018 mit Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht und stellt die folgenden Anträge (Verfahren 5A_111/2018) :
"1. In Ergänzung zu Ziffer 1 des angefochtenen Entscheids, mit welchem die Ziffern 4, 5, 9, 12, 13 des erstinstanzlichen Urteils teilweise aufgehoben wurden, sei auch Ziffer 2 des erstinstanzlichen Urteils aufzuheben und das Sorgerecht über das gemeinsame Kind der Parteien [...] den Parteien gemeinsam zuzuweisen.
2. Ziffer 2 des angefochtenen Entscheids sei teilweise aufzuheben, indem dem Beschwerdeführer das Recht einzuräumen sei, seinen Sohn [...] mit Wirkung ab 7. November 2018, jedes zweite Wochenende von Freitag 18.00 Uhr bis Sonntag 18.00 Uhr sowie jährlich für drei Wochen Ferien zu sich auf Besuch zu nehmen.
3. Ziffer 4 des angefochtenen Entscheids sei aufzuheben und es sei von jeglichem über das Besuchsrecht hinausgehende[n] Kontaktverbot abzusehen."
Ausserdem ersucht B._ um Gewährung des Rechts auf unentgeltliche Rechtspflege.
Ebenfalls am 1. Februar 2018 erhebt auch A.A._ Beschwerde in Zivilsachen (Verfahren 5A_103/2018). Sie beantragt die Aufhebung der Ziffern 1, 2, 6 und 7 des Urteils vom 27. Oktober 2015 und eventuell die Rückweisung der Sache an das Kantonsgericht zur Ergänzung des Sachverhalts. Ausserdem beantragt sie, es sei dem Sohn eine Kindesvertretung nach Art. 299 ZPO zu bestellen. Mit Eingabe vom 19. Februar 2018 ersucht auch A.A._ um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Kantonsgericht verzichtet am 19. Juli 2018 auf eine Stellungnahme und beantragt unter Hinweis auf das angefochtene Urteil die Abweisung der Beschwerden. Mit Eingaben vom 13. August und vom 6. September 2018 beantragen die Parteien die Abweisung der Beschwerde der jeweiligen Gegenpartei und ersuchen um Erteilung des Rechts auf unentgeltliche Rechtspflege. A.A._ stellt ausserdem auch im Verfahren 5A_111/2018 Antrag auf Ernennung einer Kindesvertretung. Die Kindesvertreterin schliesst am 24. September 2018 auf Gutheissung der Beschwerde im Verfahren 5A_103/2018 und auf Abweisung derjenigen im Verfahren 5A_111/2018. Am 6. Oktober 2018 hat A.A._ unaufgefordert eine weitere Stellungnahme eingereicht und den zusätzlichen Antrag gestellt, die Gerichts- und Parteikosten dem Rechtsvertreter von B._ aufzuerlegen. Die verschiedenen Stellungnahmen sind den Beteiligten zwecks Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnisnahme zugestellt worden.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten der kantonalen Verfahren eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerden richten sich gegen einen Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht (Art. 75 BGG) über nicht vermögensrechtliche Folgen einer Ehescheidung (elterliche Sorge, persönlicher Verkehr, Beistandschaft, Annäherungsverbot) und damit Zivilsachen nach Art. 72 Abs. 1 BGG ohne Streitwert entschieden hat. Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Die Parteien sind nach Art. 76 Abs. 1 BGG beschwerdeberechtigt und haben die Beschwerden fristgerecht erhoben (Art. 46 Abs. 1 Bst. c und Art. 100 Abs. 1 BGG). Auf diese ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. Die Beschwerden richten sich gegen dasselbe Urteil, betreffen dieselben Parteien und Verhältnisse und es liegt ihnen der nämliche Sachverhalt zugrunde. Es rechtfertigt sich daher, die beiden Verfahren 5A_103/2018 und 5A_111/2018 zu vereinen und in einem einzigen Urteil zu erledigen (Art. 71 BGG i.V.m. Art. 24 BZP [SR 273]; vgl. <ref-ruling> E. 1.2 a.E.; <ref-ruling> E. 1). Basierend auf der bisherigen Parteirollenverteilung wird nachfolgend B._ als Beschwerdeführer und A.A._ als Beschwerdegegnerin bezeichnet.
1.3. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG). In der Beschwerdebegründung ist daher in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid rechtswidrig sein soll. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken; die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2, 115 E. 2).
Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (vgl. Art. 105 Abs. 1 BGG). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich, oder würden auf einer anderen Bundesrechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG (z.B. Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV oder Art. 8 ZGB) beruhen. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (vgl. Art. 97 Abs. 1 und 105 Abs. 2 BGG). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach Art. 106 Abs. 2 BGG. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 1.3.1, 317 E. 5.4; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266).
1.4. Die Beschwerdegegnerin beantragt, es sei dem Sohn für das bundesgerichtliche Verfahren ein Prozessbeistand nach Art. 299 ZPO einzusetzen. Sie verkennt, dass die ZPO sich nur an die kantonalen Gerichte richtet (Art. 1 ZPO) und im bundesgerichtlichen Verfahren keine Anwendung findet. Gestützt auf Art. 299 ZPO kann im Verfahren vor dem Bundesgericht daher keine Kindesvertretung bestellt werden. Auch das in diesem Verfahren anwendbare Bundesgerichtsgesetz bietet hierzu keine Grundlage (Urteil 5A_426/2017 vom 16. Februar 2018 E. 1). Die Bezeichnung einer Kindesvertretung ist indes nicht notwendig, da die im kantonalen Verfahren ernannte Vertreterin ihr Amt soweit notwendig auch vor Bundesgericht ausüben kann und sie entsprechend zu entschädigen ist (Urteil 5A_529/2014 vom 18. Februar 2015 E. 8.3). Anlass, wie vom Beschwerdeführer beantragt einen anderen Kindesvertreter zu ernennen, besteht nach dem Ausgeführten ebenso wenig. Zumal der Beschwerdeführer sein Gesuch allein mit dem pauschalen Hinweis darauf begründet, die Vertreterin übernehme zu sehr die Sichtweise der Mutter.
2.
Der Beschwerdeführer rügt die Übertragung der alleinigen elterlichen Sorge auf die Kindsmutter als bundesrechtswidrig.
2.1. Die Kinder stehen, solange sie minderjährig sind, unter der gemeinsamen elterlichen Sorge von Vater und Mutter (Art. 296 Abs. 2 ZGB). In einem Scheidungs- oder Eheschutzverfahren überträgt das Gericht einem Elternteil die alleinige Sorge, wenn dies zur Wahrung des Kindeswohls nötig ist (Art. 298 Abs. 1 ZGB). Nach der gesetzlichen Konzeption ist damit die gemeinsame elterliche Sorge der Regelfall, von dem nur ausnahmsweise zur Wahrung des Kindeswohls abgewichen werden darf. Eine Alleinzuteilung des Sorgerechts rechtfertigt sich insbesondere, wenn ein schwerwiegender elterlicher Dauerkonflikt oder eine anhaltende Kommunikationsunfähigkeit vorliegt, sich der Mangel negativ auf das Kindeswohl auswirkt und die Alleinzuteilung des Sorgerechts eine Verbesserung der Situation erwarten lässt (<ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 4.6). Auch ohne Vorliegen eines Elternkonfliktes ist die gemeinsame elterliche Sorge nach der Rechtsprechung dort zu verweigern, wo ein Elternteil keinen informationellen und physischen Zugang zum Kind hat. Dies hat seinen Grund darin, dass nur in gemeinsamer Verantwortung grundlegende Entscheide für ein Kind treffen kann, wer dessen Bedürfnisse kennt. Der Elternteil, der über keinen Zugang zum Kind verfügt, kann nicht im Kindeswohl entscheiden, auch nicht in gemeinsamer Sorge (<ref-ruling>97 [Regeste]; Urteil 5A_214/2017 vom 14. Dezember 2017 E. 4.3).
2.2. Der Beschwerdeführer anerkennt, dass er seinen Sohn seit dessen Geburt nicht mehr gesehen hat, und dass sich die Eltern "letztmals vor 7 1/2 Jahren über C.A._ und ihre Auffassungen über die Erziehung ausgetauscht" haben. Unbestritten hatten die Eltern ausserhalb der Gerichtsverfahren keinen Kontakt miteinander, hatte der Beschwerdeführer keine Möglichkeit zur Kontaktaufnahme mit dem Sohn und versuchte er auch nicht, den Kontakt zu erzwingen. Damit ergibt sich das Bild eines Vaters, der seit Jahren über keinerlei Zugang zum Kind und über keine Informationen über dieses verfügt. Dies bestätigen auch die Kindsmutter und die Kindesvertreterin. Mit Blick auf das Ausgeführte ist es damit nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz vom Grundsatz der gemeinsamen elterlichen Sorge abgewichen ist. Ob ein Elternkonflikt besteht ist dabei nicht entscheidend. Folglich geht es an der Sache vorbei, wenn der Beschwerdeführer unter Hinweis auf den fehlenden Kontakt zwischen den Eltern das Vorliegen eines solchen Konflikts bestreitet. Da Massstab für die Zuteilung des Sorgerechts allein das Kindeswohl ist, spielt weiter keine Rolle, welcher Elternteil das Fehlen des Kontakts zwischen Vater und Sohn zu vertreten hat (vgl. Urteil 5A_412/2015 vom 26. November 2015 E. 8.2). Anders als der Beschwerdeführer meint, bleibt ebenfalls unerheblich, ob er sich in der Schweiz zurecht findet und ob er grundsätzlich in der Lage wäre, die elterliche Sorge auszuüben.
Damit konnte das Kantonsgericht ohne Bundesrechtsverletzung das alleinige Sorgerecht auf die Kindsmutter übertragen und erweist sich die Beschwerde im Verfahren 5A_111/2018 insoweit als unbegründet.
3.
Strittig ist weiter der persönliche Verkehr zwischen Vater und Sohn.
3.1. Die Beschwerdegegnerin macht diesbezüglich eine fehlerhafte Feststellung des Sachverhalts durch das Kantonsgericht geltend. Dieses habe aufgrund der Akten sowie von Stellungnahmen der Kindesvertreterin und der Beiständin Anlass gehabt, gutachterlich abklären zu lassen, ob der Sohn durch das begleitete Besuchsrecht des Vaters gefährdet werde. Indem es dies unterlassen habe, habe es den Untersuchungsgrundsatz und damit auch Art. 274 Abs. 2 ZGB verletzt.
In Kinderbelangen gelten unabhängig von der Art des Verfahrens die Untersuchungs- und die Offizialmaxime (Art. 296 Abs. 1 und 3 ZPO). Erstere schreibt dem Gericht vor, den Sachverhalt von Amtes wegen zu erforschen. Die Untersuchungspflicht des Gerichts reicht so weit und dauert so lange, bis über die Tatsachen, die für die Beurteilung des streitigen Anspruchs erforderlich sind, hinreichend Klarheit besteht. Verfügt das Gericht über genügend Grundlagen für eine sachgerechte Entscheidung, kann es auf weitere Beweiserhebungen verzichten (<ref-ruling> E. 2.2.3). Diesfalls braucht es auch zu Fragen des persönlichen Verkehrs kein (weiteres) Gutachten einzuholen (Urteil 5A_505/2013 vom 20. August 2013 E. 5.3, in: FamPra.ch 2013 S. 1045). Wer eine Verletzung der Untersuchungsmaxime geltend macht, muss daher zunächst aufzeigen, dass das Gericht den Sachverhalt willkürlich festgestellt hat (zum Ganzen Urteile 5A_121/2018 vom 23. Mai 2018 E. 7.2; 5A_468/2017 vom 18. Dezember 2017 E. 6.1; 5A_724/2015 vom 2. Juni 2016 E. 4.5, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: FamPra.ch 2016 S. 1079). Diesen Rüge- und Begründungsvoraussetzungen kommt die Beschwerdegegnerin nicht nach, womit auf die Beschwerde insoweit nicht einzutreten ist. Da die Sachverhaltserhebung des Kantonsgerichts nicht zu beanstanden ist, erweist sich auch die in diesem Zusammenhang erhobene Rüge der Verletzung von Art. 274 Abs. 2 ZGB als unbegründet.
3.2. Die Beschwerdegegnerin ist auch ansonsten der Ansicht, das Besuchsrecht des Vaters gefährde das Wohl des Sohnes und Verstosse daher gegen Bundesrecht.
3.2.1. Gemäss Art. 273 Abs. 1 ZGB haben Eltern, denen die elterliche Sorge oder Obhut nicht zusteht, und das minderjährige Kind gegenseitig Anspruch auf angemessenen persönlichen Verkehr. Dabei handelt es sich um ein gegenseitiges Pflichtrecht, das in erster Linie dem Interesse des Kindes dient (<ref-ruling> E. 4a; <ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 3b/aa). Oberste Richtschnur für die Ausgestaltung des persönlichen Verkehrs ist das Kindeswohl, das anhand der Umstände des konkreten Einzelfalles zu beurteilen ist. In diesem Sinn hat der persönliche Verkehr den Zweck, die positive Entwicklung des Kindes zu gewährleisten und zu fördern. Hierbei sind die Beziehungen zu beiden Elternteilen wichtig, da sie bei der Identitätsfindung des Kindes eine entscheidende Rolle spielen können (<ref-ruling> E. 5; <ref-ruling> E. 3b; Urteil 5A_968/2016 vom 14. Juni 2017 E. 4.1). Wird das Wohl des Kindes durch den persönlichen Verkehr gefährdet, üben die Eltern ihn pflichtwidrig aus, haben sie sich nicht ernsthaft um das Kind gekümmert oder liegen andere wichtige Gründe vor, so kann ihnen das Recht auf persönlichen Verkehr verweigert oder entzogen werden (Art. 274 Abs. 2 ZGB). Das Wohl des Kindes ist gefährdet, wenn dessen ungestörte körperliche, seelische oder sittliche Entfaltung durch ein auch nur begrenztes Zusammensein mit dem nicht obhutsberechtigten Elternteil bedroht ist (BGE <ref-ruling> E. 3b; Urteil 5A_497/2017 vom 7. Juni 2018 E. 4.2). Das Besuchsrecht wird nach richterlichem Ermessen festgesetzt (Art. 4 ZGB; <ref-ruling> E. 3). Bei der Prüfung solcher Ermessensentscheide übt das Bundesgericht eine gewisse Zurückhaltung (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3.2.5; <ref-ruling> E. 11.2).
3.2.2. Die Beschwerdegegnerin führt vorab aus, der Beschwerdeführer habe sich im Strafvollzug selbst verletzt ("geritzt"), was mit Blick auf das Kindeswohl einen Risikofaktor darstelle. Mit dieser Darstellung weicht sie von dem durch das Kantonsgericht festgestellten Sachverhalt ab, ohne diesen als offensichtlich unrichtig oder sonst bundesrechtswidrig zu rügen. Hierauf ist nicht weiter einzugehen (vgl. vorne E. 1.3). Weiter verweist die Beschwerdegegnerin auf den kurz nach der Geburt des Sohnes ausgebrochenen Streit zwischen den Eltern, darauf, dass der Beschwerdeführer sie "alleine in der Schweiz" gelassen habe, auf sein "Fehlverhalten gegenüber sämtlichen involvierten Amts- und Rechtspflegepersonen" sowie auf die fehlenden Aufenthaltserlaubnis (vgl. dazu vorne Bst. A.b). Soweit die Beschwerdegegnerin nicht auch insoweit unzulässig von den verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz abweicht, erschliesst sich aus dieser Darstellung der Beziehung der Eltern untereinander und der allgemeinen Lebenssituation des Beschwerdeführers nicht, inwieweit das begleitete Besuchsrecht das Wohl des Kindes gefährden könnte. Dies wird von der Beschwerdegegnerin auch nicht weiter ausgeführt. Schon gar keine Rede kann davon sein, es lägen "auf Seiten des Kindeswohls mehrere bekannte Risikofaktoren vor, die die Wahrscheinlichkeit einer Kindeswohlgefährdung [...] exponentiell erhöht." Keine Rolle spielt weiter, dass die Beschwerdegegnerin "allein und alleinerziehend" ist und der Beschwerdeführer sich bisher nicht um das Kind kümmern konnte, was unbestritten ist. Für die Frage des persönlichen Verkehrs zwischen Vater und Sohn ebenso unerheblich ist die Erziehungsfähigkeit der Kindsmutter. Der in diesem Zusammenhang gestellte Antrag des Beschwerdeführers auf Abklärung von deren Erziehungsfähigkeit wird deshalb abgewiesen.
3.2.3. Die Beschwerdegegnerin führt weiter aus, der Sohn gehe offen auf fremde Personen zu, was ihn beim Aufbau persönlicher Beziehungen zum Vater verletzlich mache. Wie bereits vor Kantonsgericht legt sie indes nicht dar, weshalb hierin eine Gefahr für das Kind liegen sollte. Eine Kindeswohlgefährdung sieht die Beschwerdegegnerin sodann im Zusammenhang mit dem Gesundheitszustand des Sohns. Eine Kontaktaufnahme zwischen Vater und Sohn dürfe nur in Begleitung einer mit Trisomie 21 erfahrenen Person erfolgen. Hiervon geht freilich auch die Vorinstanz aus, welche die Begleitung des Besuchsrechts gerade anordnete, um eine angemessene Begleitung und Unterstützung des Kindes zu ermöglichen. Damit wird auch den von der Kindesvertreterin - diese sieht ein begleitetes Besuchsrecht grundsätzlich als "möglich" an - geäusserten Bedenken Rechnung getragen. Im Übrigen bestehen ohnehin keine Anzeichen, dass der Beschwerdeführer - eigenen unbestritten gebliebenen Aussagen zufolge ein ausgebildeter Physiotherapeut - nicht in der Lage sein könnte, mit der Beeinträchtigung seines Sohnes umzugehen. Soweit auf sie einzutreten ist, erweist sich die Beschwerde im Verfahren 5A_103/2018 damit als unbegründet.
3.3. Der Beschwerdeführer beanstandet, dass die Vorinstanz ihm auf unbestimmte Zeit nur ein begleitetes Besuchs- und kein Ferienrecht zugestanden hat. Es sei unbestritten, dass von ihm keine Gefahr für das Kind ausgehe. Er spreche Deutsch und habe sich in die hiesigen Verhältnisse integriert. Sein Aufenthaltsstatus werde sich demnächst ändern und in absehbarer Zeit werde er über eine für Besuche geeignete Wohnung und Infrastruktur verfügen. Daher sei ihm nach einer Eingewöhnungsphase ab dem 8. Altersjahr des Kindes ein normales, gerichtsübliches Besuchs- und Ferienrecht einzuräumen.
3.3.1. Im Rahmen einer Ehescheidung ist grundsätzlich eine auf Dauer ausgelegte Regelung des persönlichen Verkehrs zwischen dem nicht betreuenden Elternteil und dem Kind zu treffen, auch wenn diese im Bedarfsfall später abgeändert werden muss (<ref-ruling> E. 2.2.2; Urteil 5A_482/2007 vom 17. Dezember 2007 E. 5.2.2, in: FamPra.ch 2008 S. 424). Dabei ist für die Ausgestaltung des persönlichen Verkehrs das anhand der Umstände des konkreten Falls bestimmte Kindeswohl oberste Richtschnur (vgl. E. 3.2.1 hiervor). Zu berücksichtigen sind auch die Verhältnisse beim besuchsberechtigten Elternteil, namentlich die Wohnverhältnisse (SCHWENZER/COTTIER, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch II, 5. Aufl. 2014, N. 10 zu Art. 273 ZGB; CYRIL HEGNAUER, Berner Kommentar, 1997, N. 65 ff. zu Art. 273 ZGB). Anerkannt ist ebenfalls, dass für das Kind die Beziehung zu beiden Elternteilen von eminenter Bedeutung ist. Es gilt eine Stigmatisierung des nicht obhutsberechtigten Elternteils in den Augen des Kindes zu verhindern und zu versuchen, eine Normalisierung der Beziehungen herbeizuführen (<ref-ruling> E. 5; Urteil 5A_459/2015 vom 13. August 2015 E. 6.2.2, in: Pra 2017 Nr. 19 S. 186). Unter Umständen kann es angezeigt sein, dort anfänglich (und damit grundsätzlich vorübergehend; dazu Urteile 5A_334/2018 vom 7. August 2018 E. 3.1; 5A_618/2017 vom 2. Februar 2018 E. 4.2) ein bloss begleitetes Besuchsrecht vorzusehen, wo eine behutsame Wiederannäherung zwischen dem nicht obhutsberechtigten Elternteil und dem Kind sichergestellt werden soll, bevor es dann zu einer Lockerung (Aufhebung der Begleitung) und Ausdehnung (in zeitlicher Hinsicht) hin zu einem gerichtsüblichen Besuchsrecht kommt (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.2; Urteil 5A_505/2013 vom 20. August 2013 E. 6.3, in: FamPra.ch 2013 S. 1045).
3.3.2. Damit ist es möglich, bereits im Scheidungsurteil eine spätere Ausweitung des vorerst begleiteten Besuchsrechts vorzusehen, wie der Beschwerdeführer dies vorliegend beantragt. Für diese Lösung spricht, dass das Kantonsgericht das begleitete Besuchsrecht auch (d.h. nebst der gesundheitlichen Problematik; E. 3.2.3 hiervor) anordnete, weil es an einer Vater-Sohn-Beziehung derzeit vollständig fehle. Im Falle der erfolgreichen Durchführung der begleiteten Besuche wird sich dieser Mangel mit der Zeit ausgleichen, womit eine Ausdehnung des Besuchsrechts nach einer Übergangsphase ins Auge zu fassen ist. Nach Einschätzung des Kantonsgerichts besteht denn auch nicht mehr die Gefahr, dass der Beschwerdeführer den Sohn in seine Heimat entführen könnte. Indessen verfügt der Beschwerdeführer, was er nicht bestreitet und worauf auch die Beschwerdegegnerin und die Kindesvertreterin verweisen, derzeit weder über einen geregelten Aufenthaltsstatus noch einen festen Wohnort. Zwar macht er geltend, er sei im Begriff, seine Verhältnisse zu regeln und er werde in absehbarer Zeit über eine geeignete Wohnung und eine feste Infrastruktur verfügen. Abgesehen davon, dass diese echten Noven im bundesgerichtlichen Verfahren nicht beachtlich sind (vgl. <ref-ruling> E. 3.1.2; <ref-ruling> E. 2.1), ist zum jetzigen Zeitpunkt indessen nicht absehbar, ob die vom Beschwerdeführer erhoffte Entwicklung eintreten wird, zumal er in seinen Ausführungen sehr vage bleibt. Damit fehlt es auf nicht absehbare Zeit an den tatsächlichen Voraussetzungen für die Ausübung des (für die Zeit nach dem 7. November 2018) beantragten Besuchs- und Ferienrechts (vgl. Rechtsbegehren, Ziffer 2: "das Recht einzuräumen sei, seinen Sohn [...] zu sich auf Besuch zu nehmen"). Unter diesen Umständen ist es mit Blick auf das Ermessen der Vorinstanz nicht zu beanstanden, dass diese davon abgesehen hat, bereits heute eine spätere Anpassung des Besuchsrechts vorzusehen. Um diese kann der Beschwerdeführer sich bemühen, sobald sich seine Verhältnisse stabilisiert haben. Die Beschwerde im Verfahren 5A_111/2018 erweist sich damit insoweit als unbegründet.
4.
Der Beschwerdeführer wendet sich schliesslich gegen das ihm auferlegte Verbot, sich dem Sohn und dessen Wohnort anzunähern.
4.1. Das Kantonsgericht erwägt, das Verbot lasse sich nicht auf Art. 28b ZGB stützen, da eine Persönlichkeitsverletzung weder erfolgt noch zu befürchten sei. Das Annäherungsverbot könne aber als Kindesschutzmassnahme zum Schutz des Sohnes davor verfügt werden, dem Beschwerdeführer unvorbereitet ausserhalb des von der Beiständin vorgegebenen Rahmens zu begegnen, womit der Sohn - er leidet an Trisomie 21 - überfordert wäre. Auch erlaube es Art. 274 Abs. 2 ZGB, das Besuchsrecht zum Schutz des Kindes mit Auflagen zu verknüpfen. Das Verbot trage zur Beruhigung der Situation bei und stelle sicher, dass die Kontakte zwischen Vater und Sohn im begleiteten Rahmen erfolgen und nicht eigenmächtig von Ersterem erzwungen würden. Die mit dem Kontaktverbot verbundene Einschränkung der persönlichen Freiheit des Beschwerdeführers halte sich sodann in Grenzen, da dieser sich zumeist in U._ oder V._ aufhalte. Das Verbot gelte selbstredend nur ausserhalb der begleiteten Besuchskontakte. Auch die Beschwerdegegnerin und die Kindesvertreterin sind der Ansicht, dass der Beschwerdeführer in seiner persönlichen Freiheit bzw. Bewegungsfreiheit nicht bzw. nur marginal beeinträchtigt sei. Letztere betont ausserdem, die Interessen des Kindes an der Aufrechterhaltung des Kontaktverbots seien gewichtiger als diejenigen des Beschwerdeführers an dessen Aufhebung.
4.2. Was der Beschwerdeführer vorbringt, vermag den angefochtenen Entscheid nicht als rechtsfehlerhaft erscheinen zu lassen:
4.2.1. An der Sache vorbei zielt vorab sein Einwand, das Annäherungsverbot stehe in diametralem Widerspruch zu dem ihm zugestandenen Besuchsrecht. Wie das Kantonsgericht richtig festhält, gilt das Annäherungsverbot nur ausserhalb der Besuchskontakte, sodass sich insoweit kein Konflikt ergibt.
4.2.2. Der Beschwerdeführer rügt sodann, das Verbot sei unverhältnismässig und unnötig. Von ihm gehe für das Kind keine Gefahr aus und insbesondere bestehe keine Entführungsgefahr. Auch seien keine Anzeichen vorhanden, dass der Beschwerdeführer sein Besuchsrecht eigenmächtig wahrnehmen oder sich nicht an dessen zeitliche Begrenzung halten könnte. Damit bestehe keine Gefahr einer unvorbereiteten Begegnung.
Jede Kindesschutzmassnahme setzt eine Gefährdung des Kindeswohls voraus und muss verhältnismässig sein (Art. 307 Abs. 1 ZGB; <ref-ruling> E. 2.1; Urteile 5A_765/2016 vom 18. Juli 2017 E. 3.1, in: FamPra.ch 2017 S. 1142; 5A_656/2016 vom 14. März 2017 E. 4). Dasselbe gilt für Massnahmen im Zusammenhang mit dem Besuchsrecht (Art. 273 Abs. 2 und Art. 274 Abs. 2 ZGB; vorne E. 3.2.1 und die dortigen Hinweise). Der Beschwerdeführer beanstandet die tatsächliche Feststellung des Kantonsgerichts nicht (vgl. Art. 106 Abs. 2 BGG), wonach der Sohn durch eine Begegnung ausserhalb der von der Beiständin vorbereiteten Besuchskontakte überfordert wäre. Das Kantonsgericht konnte daher zum Schluss gelangen, es sei zum Schutz des Kindes notwendig, die Gefahr derartiger Begegnungen auszuschliessen. Zwar weist der Beschwerdeführer darauf hin, dass sein bisheriges Verhalten die Wahrscheinlichkeit derartiger Begegnungen nicht als allzu hoch erscheinen lässt (vgl. vorne E. 2.2). Dennoch ist mit Blick auf das dem Kantonsgericht im Einzelfall zukommende Ermessen (vgl. vorne E. 3.2.1; Urteil 5A_765/2016 vom 18. Juli 2017 E. 3.4, in: FamPra.ch 2017 S. 1142) nicht zu beanstanden, wenn es angesichts des bisherigen Verfahrensverlaufs und des wenig einsichtigen Verhaltens der Parteien zum Schluss gelangte, die Gefahr von Begegnungen ausserhalb der Besuchskontakte könne nicht gänzlich ausgeschlossen werden. Die verfügte Massnahme kann daher nicht als unnötig bezeichnet werden. Das Annäherungsverbot erweist sich sodann auch insgesamt als verhältnismässig, da unbestritten geblieben ist, dass der Beschwerdeführer sich zumeist in U._ oder V._ aufhält, durch das für den Wohnort des Kindes im Kanton Graubünden verfügte Annäherungsverbot daher kaum beeinträchtigt wird.
4.2.3. Wie der Beschwerdeführer richtig ausführt, ist im vorliegenden Zusammenhang unerheblich, ob die Beschwerdegegnerin den Kontakt zu ihm aufrechterhalten will. Hierauf ist daher nicht weiter einzugehen. Ebenfalls unerheblich bleibt, ob ein Annäherungsverbot auch gestützt auf Art. 28b ZGB verfügt werden könnte. Selbst wenn die kantonalen Instanzen die verfügte Massnahme ursprünglich auf diese Bestimmung gestützt haben sollten, steht dies sodann dem Erlass der Massnahme aus Überlegungen des Kindesschutzes nicht entgegen.
4.3. Damit ist das angefochtene Urteil auch mit Blick auf das Annäherungsverbot nicht zu beanstanden und die Beschwerde im Verfahren 5A_111/2018 erweist sich auch insoweit als unbegründet. Unerheblich bleiben die persönlichen Wahrnehmungen des Rechtsvertreters des Beschwerdeführers, weshalb nicht zu klären ist, ob es sich bei diesen um unzulässige Noven (vgl. Art. 99 BGG) handelt, wie die Beschwerdegegnerin dies geltend macht.
5.
5.1. Zusammenfassend ist die Beschwerde im Verfahren 5A_103/2018 abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Die Beschwerde im Verfahren 5A_111/2018 ist abzuweisen.
5.2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und sind die Parteikosten wettzuschlagen (Art. 68 Abs. 1 BGG). Anlass, die Kosten gestützt auf Art. 66 Abs. 3 BGG abweichend zu verlegen, wie die Beschwerdegegnerin dies beantragt, besteht nicht.
Beide Parteien ersuchen für das bundesgerichtliche Verfahren allerdings um unentgeltliche Rechtspflege und Beiordnung ihrer Anwälte als unentgeltliche Rechtsvertreter. Die diesbezüglichen Voraussetzungen sind erfüllt (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Beide Parteien sind aktenkundig mittellos und ihre Beschwerden können nicht als geradezu aussichtslos qualifiziert werden. Ausserdem erscheint eine anwaltliche Vertretung zur Wahrung ihrer Rechte als notwendig. Damit sind die Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege gutzuheissen und die Gerichtskosten sowie die Entschädigung der unentgeltlichen Rechtsvertreter und der Kindesvertreterin sind auf die Bundesgerichtskasse zu nehmen. Die Parteien werden darauf hingewiesen, dass sie dieser Ersatz zu leisten haben, falls sie dazu später in der Lage sind (Art. 64 Abs. 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 5A_103/2018 und 5A_111/2018 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde im Verfahren 5A_103/2018 wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
3.
Die Beschwerde im Verfahren 5A_111/2018 wird abgewiesen.
4.
4.1. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen und es wird ihm Rechtsanwalt Guido Ranzi als unentgeltlicher Rechtsvertreter beigeordnet.
4.2. Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen und es wird ihr Rechtsanwalt Peter Portmann als unentgeltlicher Rechtsvertreter beigeordnet.
5.
5.1. Die Gerichtskosten von Fr. 4'500.--, beinhaltend die Kosten der Kindesvertreterin von Fr. 1'500.--, werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt, indessen vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
5.2. Die Kindesvertreterin wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'500.-- entschädigt.
6.
6.1. Die Parteikosten werden wettgeschlagen.
6.2. Rechtsanwalt Ranzi wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 3'000.-- entschädigt.
6.3. Rechtsanwalt Portmann wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 3'000.-- entschädigt.
7.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht von Graubünden, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. November 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber