Faits :
A.
A.a. A._, née en 1968 et sans formation professionnelle, a travaillé comme ouvrière dans la construction métallique dès septembre 2007. Incapable de travailler entre décembre 2014 et décembre 2015 en raison de douleurs lombaires, elle a, le 18 mai 2015, déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité auprès de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg (ci-après: l'office AI). Par décision du 7 avril 2016, l'office AI a nié le droit de l'intéressée à une rente d'invalidité.
A.b. Indiquant être en incapacité (totale) de travail à compter du 12 février 2017, l'assurée a, le 31 juillet 2017, déposé une seconde demande de prestations auprès de l'office AI. Entre autres mesures d'instruction, celui-ci a confié une expertise orthopédique au docteur B._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur. Dans son rapport du 8 janvier 2019, complété le 17 mars 2020, ce médecin a conclu que la capacité de travail de l'assurée était nulle dans l'activité habituelle, mais entière dans une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles depuis le 6 janvier 2018.
Par décision du 24 mars 2020, l'office AI a, sur la base des conclusions du docteur B._, rejeté la demande, motif pris que le degré d'invalidité (13 %) était insuffisant pour ouvrir le droit à une rente d'invalidité.
B.
Saisi d'un recours contre la décision de l'office AI, le Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales, l'a rejeté par arrêt du 27 mai 2021.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre cet arrêt, en concluant à sa réforme en ce sens qu'une rente entière d'invalidité lui soit octroyée dès le 1er février 2018. A titre subsidiaire, elle conclut à l'annulation de l'arrêt et au renvoi de la cause à l'office AI, plus subsidiairement à la cour cantonale, en vue de la mise en oeuvre d'une expertise pluridisciplinaire.
L'office AI ne s'est pas déterminé sur l'issue du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se prononcer.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le Tribunal fédéral, qui est un juge du droit, fonde son raisonnement juridique sur les faits retenus par l'autorité précédente (<ref-law>), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-law>). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente, il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> seraient réalisées et la correction du vice susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>); à défaut, un état de fait divergent de celui de la décision attaquée ne peut pas être pris en compte (<ref-ruling> consid. 2 précité; <ref-ruling> consid. 5.2.2).
1.2. Les constatations de l'autorité cantonale de recours sur l'atteinte à la santé, la capacité de travail de la personne assurée et l'exigibilité - pour autant qu'elles ne soient pas fondées sur l'expérience générale de la vie - relèvent d'une question de fait et peuvent donc être contrôlées par le Tribunal fédéral uniquement sous l'angle restreint de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.4; <ref-ruling> consid. 3.4.2.3; <ref-ruling> consid. 3.2). L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier, ou lorsque l'autorité ne tient pas compte, sans raison sérieuse, d'un élément propre à modifier la décision, se trompe sur le sens et la portée de celui-ci ou, se fondant sur les éléments recueillis, en tire des conclusions insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.3).
2.
Le litige porte sur le droit de la recourante à une rente d'invalidité. L'arrêt entrepris expose de manière complète les dispositions légales (dans leur teneur applicable en l'espèce, en vigueur jusqu'au 31 décembre 2021 [avant la modification de la LAI du 19 juin 2020; RO 2021 705]) et la jurisprudence relatives notamment à la notion d'invalidité (<ref-law> en relation avec l'<ref-law>), à son évaluation d'après la méthode ordinaire de comparaison des revenus (<ref-law> et <ref-law>; <ref-ruling>; <ref-ruling> consid. 3b et 5), ainsi qu'à la valeur probante des rapports médicaux (<ref-ruling> consid. 3; cf. aussi <ref-ruling> consid. 2.2.2). Il suffit d'y renvoyer.
On rappellera, s'agissant de la valeur probante des rapports médicaux, que selon la jurisprudence, le tribunal peut accorder une pleine valeur probante à une expertise mise en oeuvre dans le cadre d'une procédure administrative au sens de l'<ref-law>, aussi longtemps qu'aucun indice concret ne permet de douter de son bien-fondé (<ref-ruling> consid. 4.4; <ref-ruling> consid. 3b/bb). En effet, au vu de la divergence consacrée par la jurisprudence entre un mandat thérapeutique et un mandat d'expertise (<ref-ruling> consid. 4), on ne saurait remettre en cause une expertise ordonnée par l'administration ou le juge et procéder à de nouvelles investigations du seul fait qu'un ou plusieurs médecins traitants ont une opinion distincte de celle exprimée par les experts. Il n'en va différemment que si ces médecins traitants font état d'éléments objectivement vérifiables ayant été ignorés dans le cadre de l'expertise et qui sont suffisamment pertinents pour remettre en cause les conclusions de l'expertise (arrêt 8C_755/2020 du 19 avril 2021 consid. 3.2 et les références).
3.
La juridiction cantonale a tout d'abord retenu que l'intimé n'avait pas, à juste titre, ordonné d'expertise portant sur les troubles psychiques et les douleurs cervicales de la recourante. Elle a en particulier relevé que si l'expert avait bien évoqué, dans son rapport, une réévaluation de la capacité de travail après réception du dossier médical relatif à une pathologie cervicale annoncée par la recourante, une extension de l'expertise en ce sens avait été suggérée par la recourante elle-même. Par ailleurs, l'IRM (Imagerie par Résonance Magnétique) du rachis cervical réalisée le 28 avril 2020 était postérieure à la décision du 24 mars 2020 et il n'y avait donc pas lieu d'en tenir compte. Au demeurant, cet examen n'avait pas révélé une véritable hernie discale, mais une discopathie C6-C7 débutante pour laquelle seule une recommandation de contrôle dans cinq ou six mois avait été donnée.
Les juges cantonaux ont ensuite constaté que la recourante avait été opérée une première fois le 20 septembre 2017 en raison d'une discopathie L5-S1 et d'une arthrose facettaire L4-L5 et L5-S1. L'intervention s'était déroulée sans complication mais des douleurs lombaires étaient réapparues quatre mois plus tard. Dans son rapport d'expertise du 8 janvier 2019, le docteur B._ avait conclu que la recourante était en mesure d'accomplir, dès le 6 janvier 2018 et à plein temps, une activité adaptée respectant les limitations fonctionnelles modérées du rachis de classe 2. Le 21 mars 2019, la recourante avait subi une nouvelle intervention chirurgicale, effectuée par le docteur C._, spécialiste en neurochirurgie, lequel avait ensuite constaté une malfusion du segment L5-S1 et proposé une troisième opération en vue de faciliter l'ossification. Dans son rapport complémentaire du 17 mars 2020, le docteur B._, maintenant ses conclusions, avait exclu tout nouveau diagnostic (en particulier une malfusion L5-S1) ayant une incidence de longue durée sur la capacité de travail. Selon l'instance précédente, l'expertise orthopédique était probante et ses conclusions s'avéraient convaincantes. Les rapports médicaux produits après la décision du 24 mars 2020, attestant une incapacité totale de travail et faisant notamment état d'une malfusion L5-S1 et d'une troisième opération le 22 mai 2020 (à nouveau effectuée par le docteur C._), n'avaient en principe pas à être pris en compte; en tous les cas, ils ne remettaient pas en question les conclusions de l'expert, dès lors qu'ils étaient essentiellement basés sur les douleurs ressenties par la recourante, laquelle était très plaintive selon le docteur B._. En outre, celui-ci avait relevé de manière convaincante que le docteur C._ n'avait pas mentionné l'existence de la malfusion L5-S1 dans son rapport opératoire de mars 2019. Au final, la cour cantonale a considéré que l'intimé s'était fondé à raison sur l'expertise orthopédique pour retenir une pleine capacité de travail dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles de la recourante.
4.
4.1. Se plaignant d'une violation du droit et d'un établissement manifestement inexact des faits, la recourante soutient que des éléments objectivement vérifiables de nature clinique et diagnostique remettent sérieusement en cause les conclusions du docteur B._. Sur la base de résultats d'imagerie et de ses propres observations faites lors de l'opération du 22 mai 2020, le docteur C._ aurait en effet indiqué dans plusieurs rapports que les douleurs lombaires de la recourante étaient dues à une malfusion des vertèbres L5-S1, et non à un syndrome de surcharge mécanique des deux articulations sacro-iliaques, comme soutenu par le docteur B._. Selon le docteur C._, cette malfusion aurait engendré une incapacité totale de travail dans une activité adaptée pour les périodes antérieure et postérieure à la décision du 24 mars 2020. La recourante reproche en outre à la juridiction cantonale d'avoir ignoré le motif de l'intervention du 21 mars 2019, qui aurait visé à remplacer et poser de nouvelles vis au niveau de la vertèbre L3 et non pas à évaluer la malfusion des vertèbres L5-S1, et de ne pas avoir tenu compte de l'opération du 22 mai 2020, au cours de laquelle le docteur C._ aurait constaté à rachis ouvert la malfusion en question, consécutive à la première intervention de septembre 2017. Par ailleurs, le docteur B._ n'aurait pas tenu compte de l'ensemble des pièces médicales au dossier, dès lors qu'il n'aurait pas eu connaissance des rapports postérieurs au 20 novembre 2019 qui faisaient état d'une malfusion L5-S1. Ses conclusions reposeraient donc sur des observations incomplètes; il aurait du reste lui-même reconnu que son expertise était incomplète et aurait recommandé une réévaluation de la capacité de travail en fonction de la pathologie cervicale. La recourante reproche encore aux juges cantonaux de ne pas avoir pris en considération les avis médicaux selon lesquels elle souffrait de douleurs cervicales (discopathie C6-C7), qui seraient apparues avant la décision du 24 mars 2020. Dans ces conditions, le tribunal cantonal aurait dû retenir une incapacité totale de travail dans toute activité professionnelle en raison des douleurs invalidantes causées par la malfusion L5-S1 et les cervicalgies, ou à tout le moins ordonner une nouvelle expertise pluridisciplinaire.
4.2.
4.2.1. Dans son rapport du 8 janvier 2019, le docteur B._ a posé les diagnostics suivants ayant une influence de longue durée sur la capacité de travail: "Status post syndrome lombo-radiculaire irritatif L5 gauche le 31 mars 2015; status post discopathie L5-S1 grade IV selon Pfirmann avec arthrose facettaire L4-L5 et L5-S1 au 3 juillet 2015; status post dénervation facettaire de hauteur et date inconnues; status post discopathie L5-S1 et arthrose facettaire L4-L5 et L5-S1; status post décompression L5-S1 par abord foraminal droit, discectomie L5-S1 et cage TLIF par la droite, spondylodèse L4-S1 avec correction de la scoliose et Cesasorb le 20 septembre 2017". Il a indiqué que les douleurs de la recourante ne l'empêchaient pas d'exercer à temps plein une activité adaptée aux limitations fonctionnelles qu'il a mentionnées. Dans son rapport complémentaire du 17 mars 2020, il a exclu tout nouveau diagnostic ainsi que toute nouvelle limitation fonctionnelle, après avoir notamment écarté une malfusion L5-S1 au motif qu'une telle affection aurait dû être mise en évidence lors de l'opération du 21 mars 2019 et que les douleurs n'auraient pas dû disparaître après cette intervention jusqu'au sixième mois postopératoire, comme tel avait été le cas.
4.2.2. Dans plusieurs avis émis entre septembre 2019 et novembre 2020, le docteur C._, qui a opéré la recourante les 21 mars 2019 et 22 mai 2020, a pour sa part fait état d'une douleur intensive chronique dans le bas du dos, qu'il a attribuée à une malfusion L5-S1 apparue ensuite de l'opération du 20 septembre 2017. Il a précisé qu'un SPECT-CT (Single Photon Emission Computed Tomography) réalisé en septembre 2018 - confirmé par un examen du même type en septembre 2019 - avait révélé un premier soupçon de malfusion. Selon le docteur C._, ce trouble avait été à l'origine de la troisième opération du 22 mai 2020, qui consistait en une révision L5-S1 par voie antérieure rétropéritonale en vue de favoriser l'ossification du segment concerné. Dans un dernier avis du 16 novembre 2020, ce médecin a indiqué que l'état de santé de la recourante ne s'était pas amélioré ensuite de cette intervention, le processus de guérison du segment L5-S1 pouvant cependant encore durer une année; la recourante n'était pas en mesure de travailler et ne pouvait pas soulever de charges même légères. Le docteur C._ ne s'est toutefois pas prononcé de façon précise sur les limitations fonctionnelles de la recourante et sur sa capacité de travail dans une activité adaptée, au motif qu'il convenait d'attendre l'évolution de son état de santé ensuite de la dernière intervention chirurgicale.
4.2.3. Ainsi, en désaccord avec l'expert, le docteur C._ a posé un diagnostic (malfusion L5-S1) auquel il attribue les douleurs lombaires invalidantes de la recourante, sur la base de résultats d'imagerie et de ses propres observations lors de l'opération du 22 mai 2020. Il a par ailleurs expliqué pourquoi il ne pouvait pas partager le point de vue du docteur B._ sur l'absence de malfusion L5-S1 en fonction des gestes opératoires du 21 mars 2019 puisque ce que l'expert avait indiqué n'était pas techniquement réaliste compte tenu de la situation qu'il avait alors contrôlée. Comme soutenu par la recourante, l'instance précédente était tenue de prendre en considération l'ensemble des avis de ce médecin, dès lors que le juge des assurances sociales doit prendre en compte les faits survenus postérieurement à la décision attaquée dans la mesure où ils sont étroitement liés à l'objet du litige et de nature à influencer l'appréciation au moment où la décision attaquée a été rendue; en particulier, même s'il a été rendu postérieurement à la date déterminante, un rapport médical doit être pris en considération s'il a trait à la situation antérieure à cette date (<ref-ruling> consid. 4; arrêts 8C_239/2020 du 19 avril 2021 consid. 7.2.1; 9C_269/2018 du 25 juillet 2018 consid. 4.2 et les références). Or en l'espèce, le docteur C._ a exposé que la malfusion était consécutive à l'intervention du 20 septembre 2017 et qu'elle pouvait être suspectée à partir du SPECT-CT de septembre 2018, soit avant la décision du 24 mars 2020.
Il convient encore de relever que lorsque le docteur B._ a rédigé son rapport complémentaire le 17 mars 2020, l'opération du 22 mai 2020 n'avait pas encore eu lieu, de sorte que son expertise n'inclut pas cette opération ni ses suites médicales. Par ailleurs, les motifs avancés par l'expert pour exclure une malfusion L5-S1 sont contestés par le docteur C._ sans qu'il soit possible de départager leur avis sur l'existence de cette atteinte. Pour expliquer pourquoi il n'avait pas constaté et traité la malfusion L5-S1 lors de l'intervention du 21 mars 2019, le docteur C._ a exposé dans un avis du 2 juin 2020 que cette opération avait porté sur le segment L3-L4 et non sur les vertèbres L5-S1, l'échange de la cage PEEK-PLIF ayant été envisagé pour une intervention ultérieure. Dans un avis du 21 mai 2020, le docteur D._, médecin traitant de la recourante, a pour sa part contesté que les douleurs avaient disparu après l'opération du 21 mars 2019 pour réapparaître six mois plus tard, précisant avoir prescrit des médicaments à la recourante ensuite de cette intervention pour qu'elle puisse dormir. On ajoutera que le docteur B._ a, dans son rapport du 8 janvier 2019, proposé une réévaluation de la capacité de travail après réception du dossier chirurgical et d'imagerie de la pathologie cervicale dont se plaignait la recourante.
4.3. Dans ces circonstances, des indices concrets mettaient en doute les conclusions de l'expertise et de son complément, en particulier s'agissant de l'existence ou non d'une malfusion L5-S1 et de ses conséquences sur la capacité de travail de la recourante. Au vu des avis divergents de l'expert et du chirurgien-traitant quant aux troubles somatiques à l'origine des douleurs invalidantes de la recourante, la juridiction cantonale a versé dans l'arbitraire en suivant les conclusions du docteur B._ quant aux diagnostics retenus et à la capacité de travail sans étendre l'instruction sur les questions médicales restées litigieuses. Il s'impose donc de lui renvoyer la cause pour qu'elle mette en oeuvre une expertise permettant de départager les points de vue médicaux et de se prononcer sur la pathologie lombaire (voire cervicale) de la recourante et ses effets sur la capacité de travail.
5.
Il s'ensuit que le recours doit être partiellement admis et l'arrêt cantonal annulé. La cause est renvoyée au tribunal cantonal pour instruction complémentaire, puis nouvelle décision sur le droit de la recourante à une rente d'invalidité.
6.
L'intimé, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>) ainsi que l'indemnité de dépens à laquelle a droit la recourante (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis. L'arrêt du Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales, du 27 mai 2021 est annulé. La cause est renvoyée à ce tribunal pour instruction complémentaire et nouvelle décision. Le recours est rejeté pour le surplus.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3.
L'intimé versera à la recourante la somme de 2800 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 16 mars 2022
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Ourny