Sachverhalt:
A.
A._ stellte am 13. Juni 2019 ein Ausstandsgesuch gegen den Sachverständigen B._ wegen Befangenheit. Dieser habe anlässlich eines Explorationsgesprächs im Untersuchungsgefängis X._ zu A._ gesagt, er sei "angepisst", ihn hier zu sehen. B._ hielt in seiner Stellungnahme vom 17. Juni 2019 fest, er betrachte sich deswegen nicht als befangen. Gleichentags verfügte die Instruktionsrichterin des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt die Abweisung des Ablehnungsantrags und entschied, vorbehältlich eines anderslautenden Entscheids des erkennenden Gerichts auf erneuten Antrag, dass B._ als Sachverständiger für die Erstellung einer ergänzenden Stellungnahme eingesetzt bleibe. Der an der Verhandlung vom 9. Juli 2019 wiederholte Antrag auf Ausstand des Sachverständigen wies das Appellationsgericht ab, was es A._ auf dessen Antrag am 9. Juli 2019 schriftlich eröffnete.
B.
Mit Eingabe vom 20. Oktober 2019 führt A._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Er beantragt, es sei die Befangenheit und damit der Ausstand von B._ festzustellen.
Das Appellationsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung und beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Staatsanwaltschaft stellt den Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei diese abzuweisen. Zur Begründung führt sie aus, der Entscheid bewirke keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil. Das Verfahren sei ohnehin ausgestellt und es sei ein neues Gutachten durch einen Psychiater in Auftrag gegeben worden, da eine Verwahrung ernsthaft zu prüfen sei. Der Beschwerdeführer habe folglich die Gewähr, dass ein neuer Sachverständiger die Sachlage komplett neu prüfen und begutachten werde und zudem könne er das Urteil des Appellationsgerichts auch später noch anfechten und die angeblich fehlende Unabhängigkeit des Sachverständigen geltend machen. Der Beschwerdeführer verzichtet auf eine erneute Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein selbständig eröffneter Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren. Dagegen ist, entgegen der Auffassung der Staatsanwaltschaft, die Beschwerde selbst dann zulässig, wenn der Zwischenentscheid keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken sollte (vgl. <ref-law>). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass, weshalb auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten ist.
2.
2.1. Gemäss <ref-law> ziehen Staatsanwaltschaft und Gerichte eine oder mehrere sachverständige Personen bei, wenn sie nicht über die besonderen Kenntnisse und Fähigkeiten verfügen, die zur Feststellung oder Beurteilung eines Sachverhalts erforderlich sind. Die Anforderungen an die sachverständige Person sowie die bei deren Ernennung und bei der Erstellung des Gutachtens zu beachtenden Vorschriften sind in <ref-law> geregelt. Gemäss <ref-law> lässt die Verfahrensleitung das Gutachten von Amtes wegen oder auf Antrag einer Partei durch die gleiche sachverständige Person ergänzen oder verbessern, wenn das Gutachten unvollständig oder unklar ist (lit. a) oder Zweifel an der Richtigkeit des Gutachtens bestehen (lit. c).
2.2. Für Sachverständige gelten die Ausstandsgründe nach <ref-law> (<ref-law>). Danach tritt eine in einer Strafbehörde tätige Person unter anderem in den Ausstand, wenn sie aus anderen Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand, befangen sein könnte (lit. f). Will eine Partei den Ausstand einer in einer Strafbehörde tätigen Person verlangen, so hat sie der Verfahrensleitung ohne Verzug ein entsprechendes Gesuch zu stellen, sobald sie vom Ausstandsgrund Kenntnis hat; die den Ausstand begründenden Tatsachen sind glaubhaft zu machen (<ref-law>). Schon gestützt auf <ref-law>, Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 14 Ziff. 1 UNO-Pakt II hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter entschieden wird. Diese Verfahrensgarantie wird nach der Rechtsprechung sinngemäss auf das Erfordernis der Unabhängigkeit und Unparteilichkeit von Sachverständigen übertragen (<ref-ruling> E. 2.3.2 S. 262; Urteil 1B_141/2017 vom 10. Oktober 2017 E. 4.2; je mit Hinweisen), wobei sich die grundrechtlichen Anforderungen bei administrativ bestellten forensischen Hilfspersonen formell nach <ref-law> richten. Hinsichtlich der Unparteilichkeit und Unbefangenheit kommt <ref-law> indessen ein mit <ref-law> weitgehend übereinstimmender Gehalt zu (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 180; Urteil 1B_141/2017 vom 10. Oktober 2017 E. 4.2; je mit Hinweisen).
2.3. Ein Ausstandsgrund im Sinne von <ref-law> wird nach der Rechtsprechung angenommen, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit des Sachverständigen begründen. Dies wird bei Umständen bejaht, die geeignet sind, Misstrauen in dessen Unparteilichkeit zu erwecken. Solche Umstände können in einem bestimmten Verhalten des Experten oder in gewissen äusseren Gegebenheiten (funktioneller und organisatorischer Natur) liegen. Bei der Beurteilung entsprechender Gegebenheiten ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in sachlich-objektivierter Weise begründet erscheinen. Es genügt allerdings, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit erwecken; für den Ausstand wird nicht verlangt, dass der Sachverständige tatsächlich befangen ist (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 37-39; Urteil 1B_141/2017 vom 10. Oktober 2017 E. 4.3; je mit Hinweisen).
3.
3.1. Die Vorinstanz erwog, es liege keine Befangenheit des Beschwerdegegners vor. Die vom Beschwerdeführer monierte Bemerkung des "angepisst seins" sei nicht geeignet, Misstrauen gegenüber der Unparteilichkeit des Beschwerdegegners zu begründen. Dessen Aussage, die er im Übrigen nicht leugne, sei in der Dynamik des Gesprächs zu sehen. Der joviale Versuch, in der angespannten Situation mit dem Beschwerdeführer in Kontakt zu treten, sei zwar zugegebenermassen etwas gar salopp ausgefallen, aber sicherlich nicht demütigend oder abwertend gemeint gewesen.
Dasselbe gelte für die bemängelte Äusserung in der schriftlichen Stellungnahme des Beschwerdegegners, wonach das Verhalten des Beschwerdeführers als manipulativer Versuch zu werten sei, ihn aus dem Verfahren herauszuhalten. Es sei Teil der Aufgabe eines Sachverständigen, die gegen ihn erhobenen Vorwürfe aus fachlicher Sicht einzuordnen und dies in seiner Stellungnahme auch zu benennen. Daraus lasse sich aber, objektiv betrachtet, kein berechtigtes Misstrauen hinsichtlich der Frage ableiten, ob der Beschwerdegegner noch in der Lage sei, den Beschwerdeführer unvoreingenommen zu beurteilen.
3.2. Der Beschwerdeführer macht demgegenüber geltend, es treffe nicht zu, dass die bemängelte Äusserung aus der Dynamik des Gesprächs heraus entstanden sei. Dies seien vielmehr die ersten Worte des Beschwerdegegners gewesen, noch bevor er selbst etwas gesagt habe. Dem Beschwerdegegner sei es ausschliesslich um Provokation und (unterschwellige) Abwertung und Demütigung gegangen. So sei auch der vom Beschwerdegegner in seiner Stellungnahme geäusserte Vorwurf der Manipulation "ungeheuerlich und absolut ungeeignet, adäquat auf die Vorwürfe zu reagieren". Wenn dann noch sein Verhalten vor Gericht gewertet werde (das "Schlechtreden" des Psychotherapeuten, die verbalen Angriffe gegen ihn und seinen Verteidiger), schliesse sich der Kreis der Befangenheit. Selbst wenn vom Sachverhalt ausgegangen würde, wie ihn der Beschwerdegegner vorgebracht habe, sei der Ausdruck des "angepisst zu sein" für einen Gutachter im Rahmen eines Explorationsgesprächs ein "No-Go". Wer sich so verhalte, habe nicht den notwendigen sachlichen Abstand, sei distanzlos und könne nicht mehr als unvoreingenommener Gutachter gelten.
3.3. Diese Ausführungen des Beschwerdeführers überzeugen indes nicht. Wie die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid erwog, bestreitet der Beschwerdegegner die umstrittene Aussage im Rahmen des geplanten Explorationsgesprächs nicht. Er gibt vielmehr zu, im Versuch einer "Aufnahme der Stimmung des Moments" die Bemerkung gemacht zu haben. Hinweise, er habe den Beschwerdeführer damit provozieren bzw. demütigen und abwerten wollen, sind jedoch keine erkennbar. Der Vorinstanz ist beizupflichten, dass dieser Versuch des Beschwerdegegners "etwas gar salopp" und ungeschickt ausgefallen ist. Wenn sie diesbezüglich aber den Umstand in die Beurteilung miteinbezog, wonach die Aussage in der Dynamik der angespannten Situation entstanden sei, sind ihre Ausführungen im Gesamtzusammenhang nachvollziehbar und nicht zu beanstanden. Gemäss den vorinstanzlichen Feststellungen ist namentlich zu berücksichtigen, dass bei der Eskalation der Unterhaltung auch unglückliche, nicht vom Beschwerdegegner verschuldete Umstände im Vorfeld des Gesprächs eine Rolle gespielt haben dürften. So wurde das Explorationsgespräch dem Beschwerdeführer nicht angekündigt, obschon der Beschwerdegegner darum gebeten hatte, weil er um das Bedürfnis des Beschwerdeführers auf Vorbereitung eines solchen Termins wusste. Weiter sollte die Untersuchung frühmorgens stattfinden, wobei der Beschwerdeführer angeblich nicht einmal mehr seinen Kaffee habe fertig trinken können, weshalb er bereits gereizt gewesen sei. Wenn sich der Beschwerdegegner in der Folge aufgrund der vorherrschenden gereizten Stimmung zur Bemerkung hat hinreissen lassen, er sei auch "angepisst", ist dies zwar unschön und lässt die grundsätzlich von einem Sachverständigen zu erwartenden guten Umgangsformen vermissen, hingegen ist sein Verhalten nicht völlig unverständlich. Die kritisierbare Äusserung des Beschwerdegegners wiegt jedenfalls bei gesamthafter Würdigung nicht so schwer, dass sie geeignet wäre, objektiv begründetes Misstrauen in seine Unvoreingenommenheit zu wecken (vgl. Urteil 1C_413/2012 vom 14. Juni 2013 E. 5.5, wonach der Vorwurf der Querulanz im konkreten Fall nicht zur Annahme einer Geringschätzung genügte). Daran vermag auch das gegenteilige, subjektive Empfinden des Beschwerdeführers nichts ändern.
Ebenfalls unbehelflich ist sodann der Einwand des Beschwerdeführers, dass der Beschwerdegegner in seiner Stellungnahme ausgeführt habe, sein Verhalten sei als manipulativ zu werten. Wie die Vorinstanz zu Recht festhielt, ist es Aufgabe eines Sachverständigen, das Verhalten des von ihm zu Untersuchenden zu analysieren und fachlich einzuordnen. Daraus kann indessen kein Misstrauen in die Unparteilichkeit des Sachverständigen abgeleitet werden. Schliesslich vermag der Beschwerdeführer mit dem nicht näher spezifizierten Einwand, der Beschwerdegegner habe sich auch gegenüber den übrigen Prozessbeteiligten "inadäquat" verhalten, ebenfalls keine ausstandsbegründende Voreingenommenheit darzutun.
Zusammenfassend sind keine hinreichend konkreten Hinweise ersichtlich, die darauf hindeuten würden, dass der Beschwerdegegner befangen sein könnte. Die Auffassung der Vorinstanz, es liege kein Ausstandsgrund vor, hält nach dem Gesagten vor Bundesrecht stand.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens würde der Beschwerdeführer an sich kostenpflichtig (<ref-law>). Er stellt indessen ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung, welches gutzuheissen ist, da die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung wird gutgeheissen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Januar 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier