Sachverhalt:
A.
Die Ehegatten B.A._ und A.A._ mit Wohnsitz in U._ unterzeichneten am 30. Januar 2001 ein Formular mit folgender Überschrift:
" Verpflichtung / Pflegekind
(Gestützt auf Art. 6 Abs. 4 der Verordnung des Bundesrates vom 19.10.1977 über die Aufnahme von Pflegekindern) "
Sie verpflichteten sich darin als Pflegeeltern, für sämtliche Kosten des Unterhalts und für alle öffentlich-rechtlichen Ansprüche, die sich aus dem Aufenthalt des Kindes C._, geboren 1997, aus Marokko, während der Anwesenheit in der Schweiz entstehen, voll und ganz aufzukommen, und zwar ohne Rücksicht auf die Dauer und die spätere Entwicklung des Pflegeverhältnisses.
B.
B.a. Die Stadt Rheinfelden (Beschwerdeführerin) zahlte die im kantonalen Recht vorgesehenen Beiträge von insgesamt Fr. 10'100.-- für Aufenthalte des Kindes C._ in einem Internat und in einem Heim während der Zeit von August bis Dezember 2013. Sie stellte die Beiträge den Ehegatten A.A._ und B.A._ (Beschwerdegegner) in Rechnung, die sich indessen weigerten, die Kosten zu übernehmen.
B.b. Die Beschwerdeführerin ersuchte am 18. März 2015 das Departement Bildung, Kultur und Sport des Kantons Aargau (BKS) darum, die Rückerstattung der Beiträge zu verfügen. Mit Entscheid vom 25. September 2015 wies das BKS das Gesuch ab.
B.c. Die Beschwerdeführerin gelangte dagegen an den Regierungsrat des Kantons Aargau, der die Beschwerdegegner mit Beschluss vom 27. April 2016 verpflichtete, der Beschwerdeführerin die Beiträge über Fr. 10'100.-- zu erstatten.
B.d. Das von den Beschwerdegegnern angerufene Verwaltungsgericht des Kantons Aargau hob den Regierungsratsbeschluss auf und entschied, dass über Ansprüche der Beschwerdeführerin gegen die Beschwerdegegner auf dem Klageweg zu befinden sei (Urteil vom 3. November 2016, veröffentlicht in: Aargauische Gerichts- und Verwaltungsentscheide, AGVE 2016 Nr. 50 S. 317 ff.).
B.e. Am 8. Dezember 2016 beantragte die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, die Beschwerdegegner zu verpflichten, ihr den Betrag von Fr. 10'100.-- zu erstatten. Die II. zivilrechtliche Abteilung bezeichnete die Beschwerde in Zivilsachen und nicht die erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als das richtige Bundesrechtsmittel, trat darauf aber nicht ein, weil der für die Beschwerde in Zivilsachen vorausgesetzte Streitwert nicht erreicht wurde und sich auch keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellte und weil die Legitimation zur subsidiären Verfassungsbeschwerde zweifelhaft blieb und die Beschwerdeführerin ihr Beschwerderecht zu begründen unterlassen hatte (Urteil 5A_956/2016 vom 19. Juni 2017).
C.
C.a. Am 14. März 2019 klagte die Beschwerdeführerin vor dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau gegen die Beschwerdegegner auf Zahlung von Fr. 99'866.95 an erbrachten Leistungen für das Kind C._. Die Beschwerdegegner schlossen auf Nichteintreten mangels Zuständigkeit, eventualiter auf Abweisung der Klage.
C.b. Zur Frage der Zuständigkeit führte das Verwaltungsgericht einen Meinungsaustausch mit dem Bezirksgericht Rheinfelden durch, das seine Zuständigkeit als Zivilgericht nicht ohne Weiteres bejahte und eine vollständige Übernahme des Verfahrens ablehnte. Die Parteien wurden zum Ergebnis des Meinungsaustausches angehört.
C.c. Mit Urteil vom 1. Juli 2020 trat das Verwaltungsgericht auf die Klage nicht ein. Es forderte die Beschwerdeführerin auf, innert dreissig Tage schriftlich mitzuteilen, ob die Streitsache an das Bezirksgericht Rheinfelden überwiesen werden solle.
D.
Mit Eingabe vom 10. September 2020 stellt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht den Antrag, das Urteil vom 1. Juli 2020 aufzuheben und die Sache an das Verwaltungsgericht zu neuem Entscheid zurückzuweisen. Es sind die kantonalen Akten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil betrifft eine Geldforderung aus einer Vereinbarung, die ihre Rechtsgrundlage in der Verordnung über die Aufnahme von Pflegekindern (Pflegekinderverordnung, PAVO) vom 19. Oktober 1977 (SR 211.222.338) und damit im zivilrechtlichen Kindesschutz (Art. 307 ff., insbesondere <ref-law>) findet. Es geht um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG) vermögensrechtlicher Natur, deren Streitwert mit Fr. 99'866.95 den gesetzlichen Mindestbetrag von Fr. 30'000.-- übersteigt (<ref-law>). Zulässiges Bundesrechtsmittel ist folglich die Beschwerde in Zivilsachen (Urteil 5A_956/2016 vom 19. Juni 2017 E. 1.1). Das Urteil des Verwaltungsgerichts, auf die Klage mangels Zuständigkeit nicht einzutreten, kann unabhängig davon angefochten werden, ob es als verfahrensabschliessender Entscheid (<ref-law>) oder als selbständig eröffneter Entscheid über die Zuständigkeit (<ref-law>) erfasst wird (<ref-ruling> E. 2.2 S. 172).
1.2.
1.2.1. Mit der Marginalie "Vorinstanzen" bestimmt <ref-law>, dass die Beschwerde in Zivilsachen gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen zulässig ist (Abs. 1) und dass die Kantone als letzte kantonale Instanzen obere Gerichte einsetzen (Abs. 2 Satz 1), die als Rechtsmittelinstanzen entscheiden (Abs. 2 Satz 2 erster Teil) mit Ausnahme der Fälle, in denen ein Bundesgesetz eine einzige kantonale Instanz vorsieht, ein Fachgericht für handelsrechtliche Streitigkeiten als einzige kantonale Instanz entscheidet oder eine Klage mit einem Streitwert von mindestens 100 000 Franken mit Zustimmung aller Parteien direkt beim oberen Gericht eingereicht wurde (Satz 2 zweiter Teil lit. a-c).
Die in <ref-law> vorgesehene Übergangsfrist zur Anpassung des kantonalen Verfahrens an <ref-law> ist längstens abgelaufen. Die Eintretensvoraussetzung gilt für Endentscheide, aber auch - von hier nicht zutreffenden, auf das kantonale Rechtsmittelverfahren bezogenen Ausnahmen - für selbständig eröffnete Zwischenentscheide (<ref-ruling> E. 2.2 S. 426; <ref-ruling> E. 1.1 S. 42; <ref-ruling> E. 1.2 S. 144).
Das Verwaltungsgericht hat als oberes kantonales Gericht, aber nicht als Rechtsmittelinstanz, sondern als einzige kantonale Instanz entschieden. Von den Ausnahmetatbeständen fällt ausschliesslich in Betracht, dass ein Bundesgesetz eine einzige kantonale Instanz vorsieht (<ref-law>). Zu prüfen ist, ob Bundesrecht hier dem kantonalen Recht vorschreibt oder gestattet, eine einzige Instanz vorzusehen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 800, 2 E. 1.2.2 S. 5).
1.2.2. Eine entsprechende Bestimmung findet sich weder im Kindesschutzrecht allgemein noch in der Pflegekinderverordnung im Besonderen. Die schriftliche Verpflichtung der Pflegeeltern gemäss <ref-law> (Abs. 4 in der früheren Fassung [AS 1989 54] und Abs. 3 in der geltenden Fassung) bezweckt, den familienrechtlichen Unterhaltsanspruch gemäss <ref-law>, der dem ausländischen Adoptivpflegekind nicht zusteht, dem Umfang nach zu ersetzen (vgl. Kreisschreiben des Bundesrats an die Aufsichtsbehörden über das Pflegekinderwesen und die Adoptionsvermittlung, BBl. 1989 I 3, S. 11 Ziff. 114.5). Zur Behördenorganisation sagt die PAVO in diesem Punkt nichts. Sie verweist lediglich darauf, dass Verfügungen, welche die Kindesschutzbehörde gestützt auf diese Verordnung erlässt, der Beschwerde an das zuständige Gericht (<ref-law>) unterliegen (<ref-law>). Als zuständiges Gericht aber entscheiden - je nach kantonaler Organisation - Zivil- oder Verwaltungsgerichte als Rechtsmittelinstanzen. Die Schweizerische Zivilprozessordnung (ZPO, SR 272) ihrerseits sieht im hier fraglichen Bereich ebenso wenig eine einzige kantonale Instanz vor (<ref-law>), soweit sie hier anwendbar sein könnte (vgl. <ref-law>).
1.2.3. Die streitige erst- und letztinstanzliche Zuständigkeit des kantonalen Verwaltungsgerichts könnte ihre Rechtsgrundlage folglich einzig im kantonalen Recht finden (z.B. die Vorbehalte in <ref-law>, <ref-law> u.a.m.), das der Regelung im Bundesrechtspflegegesetz indessen von vornherein nicht derogieren kann (<ref-ruling> E. 4 und 5 S. 185 ff.; <ref-ruling> E. 3a S. 143; <ref-ruling> E. 3.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.6 S. 255).
1.3. Insgesamt ist die Beschwerde in Zivilsachen unzulässig, da das kantonale Verwaltungsgericht erstinstanzlich und nicht auf Rechtsmittel hin entschieden hat und sich dafür auf keine Ausnahmebestimmung stützen kann. Eine Entgegennahme der Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde fällt ausser Betracht, da <ref-law> auch diesbezüglich gilt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 240; <ref-ruling> E. 4.1 S. 190; <ref-ruling> E. 1.2 S. 143).
2.
Der Kanton Aargau ist somit verpflichtet, ein kantonales Rechtsmittel zur Verfügung zu stellen, um den Anforderungen des BGG gerecht zu werden. Nach der Praxis des Bundesgerichts gehen die Akten in einem Fall wie dem vorliegenden zur weiteren Behandlung an das Verwaltungsgericht zurück. Zwar ist der Kanton und nicht das Gericht selbst verpflichtet, ein Rechtsmittel zu schaffen. Praktisch lässt sich das aber, soweit bereits das Verwaltungsgericht als Erstinstanz geurteilt hat, nicht anders handhaben, als dass das Verwaltungsgericht in anderer Besetzung die Rechtsmitteleingabe beurteilt und einen zweitinstanzlichen Entscheid fällt (BGE <ref-ruling> E. 1.6 S. 255 f.; Urteile 5A_1007/2018 vom 26. Juni 2019 E. 3 und 5A_930/2016 vom 17. Januar 2017 E. 3, beide den Kanton Aargau betreffend; 5A_697/2016 vom 25. November 2016 E. 2.4; vgl. ERRASS, in: Basler Kommentar, 3. Aufl. 2018, N. 30 ff. zu <ref-law>; VON WERDT/GÜNGERICH, in: Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2015, N. 5 zu <ref-law>; SEILER, in: Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2015, N. 12 zu <ref-law>; FERRARI, in: Commentaire de la LTF, 2. Aufl. 2014, N. 14 zu <ref-law>).
3.
Praxisgemäss werden keine Gerichtskosten erhoben und sind allfällige Parteikosten im Rahmen des zweitinstanzlichen kantonalen Entscheides zu liquidieren (zit. Urteile 5A_1007/2018 E. 5.1; 5A_930/2016 E. 4; 5A_697/2016 E. 3).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird mangels funktioneller Zuständigkeit nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde vom 10. September 2020 wird im Sinn der Erwägungen an das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau zur weiteren Behandlung und Entscheidfindung überwiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. März 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: von Roten