Sachverhalt:
A.
Mit Beschluss des Gemeinderats vom 30. November 2016 wurde die Bau- und Zonenordnung der Stadt Zürich vom 23. Oktober 1991 teilweise revidiert. Die Baudirektion des Kantons Zürich genehmigte die Teilrevision (im Folgenden: BZO 2016) mit hier nicht interessierenden Ausnahmen am 5. Juli 2017. Mit der BZO 2016 wurde neu die Kernzone Platte festgelegt, zu der unter anderem die Parzellen Nrn. FL92 (Plattenstrasse 50) und FL93 (Plattenstrasse 52) gehören. Die Parzellen befinden sich im Eigentum der Stiftung A._ und dienen (ganz oder teilweise) dem Betrieb der Schule. Haus und Garten auf der Parzelle Nr. FL93 sind in den Inventaren der Schutzobjekte von kommunaler Bedeutung aufgeführt.
Ein vor Erlass der BZO 2016 ausgearbeitetes Bauprojekt für den Neubau eines Schulhauses auf der Parzelle Nr. FL92 (unter Beanspruchung eines Teils des Nachbargrundstücks Nr. FL93) war im Rechtsmittelverfahren gescheitert, weil die Voraussetzungen für einen Dispens vom vorgeschriebenen minimalen Wohnanteil nicht gegeben waren. In der BZO 2016 wurde der Wohnanteil für beide Parzellen auf 0 % herabgesetzt. Dagegen und gegen die ebenfalls in der BZO 2016 vorgesehenen Baubereiche erhoben einerseits E._, F._ und G._ (Miteigentümer der Parzelle Nr. FL89 an der) und anderseits B._ und C._, H._, D._ sowie I._ (Miteigentümer der Parzelle Nr. FL2109 an der) Rekurs an das Baurekursgericht des Kantons Zürich. Mit Entscheid vom 18. Mai 2018 vereinigte das Baurekursgericht die beiden Rekurse und wies sie ab. Nachdem das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich eine dagegen erhobene Beschwerde teilweise gutgeheissen hatte, wies das erneut mit der Sache befasste Baurekursgericht die Rekurse mit Entscheid vom 4. September 2020 abermals ab. In der Folge gelangten die genannten Personen nochmals ans Verwaltungsgericht. Dieses hiess ihr Rechtsmittel mit Urteil vom 29. Juli 2021 teilweise gut und hob Dispositiv-Ziffer I des Entscheids des Baurekursgerichts sowie den Beschluss des Gemeinderats der Stadt Zürich vom 30. November 2016 und den Genehmigungsentscheid der Baudirektion insoweit auf, als damit ein rückwärtiger Baubereich in der zweiten Bautiefe auf den Parzellen Nrn. FL92 und FL93 festgelegt worden war. Es wies die Sache zur Prüfung und erneuten Entscheidung im Sinn der Erwägungen an den Gemeinderat zurück. Zudem setzte es die Kosten- und Entschädigungsfolgen für das vorangegangene Verfahren gemäss Dispositiv-Ziffer II und III des Entscheids des Baurekursgerichts neu fest. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht vom 16. September 2021 beantragt die Stiftung A._ im Wesentlichen, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei insoweit aufzuheben, als damit die Beschwerde teilweise gutgeheissen worden war (Verfahren 1C_554/2021).
Das Verwaltungsgericht und die Beschwerdegegner beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Baudirektion schliesst auf Gutheissung der Beschwerde, ebenso der Gemeinderat. Die Beschwerdeführerin und die Beschwerdegegner haben sich ein weiteres Mal vernehmen lassen.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht vom 17. September 2021 beantragt Rechtsanwalt Simon Schaltegger im Namen von B._, C._, D._ sowie E._, F._ und G._, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei insoweit aufzuheben, als damit die Beschwerde in Bezug auf die Herabsetzung des Wohnanteils (von den bestehenden 90 % auf 0 %) auf der Parzelle Nr. 92 abgewiesen worden sei. Die Sache sei zur Belassung des Wohnanteils von 90 % an die Vorinstanz bzw. die Stadt Zürich zurückzuweisen. Zudem seien die Kosten- und Entschädigungsfolgen im kantonalen Verfahren neu zu regeln. Eventualiter sei die Sache zur weiteren Sachverhaltsfeststellung und neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz oder das Baurekursgericht zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht und die Beschwerdegegnerin beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Gemeinderat schliesst auf Abweisung der Beschwerde, ebenso die Baudirektion. Die Beschwerdeführer und die Beschwerdegegnerin haben sich ein weiteres Mal vernehmen lassen.
Mit Präsidialverfügung vom 13. Oktober 2021 hat das Bundesgericht der Beschwerde aufschiebende Wirkung gegeben. Mit Verfügung vom 11. Februar 2022 forderte es zudem Rechtsanwalt Schaltegger auf, bis am 22. Februar 2022 eine Vollmacht für D._, E._, F._ und G._ einzureichen, ansonsten die Rechtsschrift unbeachtet bleibe. Die per Gerichtsurkunde versandte Verfügung wurde von der Post mit dem Vermerk "Nicht abgeholt" retourniert.

Erwägungen:
1.
Die beiden Beschwerden richten sich gegen denselben Entscheid des Verwaltungsgerichts. Sie hängen inhaltlich eng zusammen. Es rechtfertigt sich, die Verfahren zu vereinigen und die Sache in einem einzigen Urteil zu behandeln.
2.
2.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Die Beschwerdeführer haben am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen (<ref-law>). Sie sind durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und haben ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (Art. 89 Abs. 1 lit. b und c BGG). Bei der Beschwerdeführerin des Verfahrens 1C_554/2021 trifft dies zu, weil sie Eigentümerin der von den umstrittenen planerischen Festsetzungen betroffenen Parzelle ist, bei den Beschwerdeführern des Verfahrens 1C_558/2021, weil sie Miteigentümer von direkt angrenzenden Parzellen sind und deshalb von der mit der Festsetzung des Wohnanteils auf 0 % einhergehenden Möglichkeit einer immissionsreicheren Nutzung betroffen sind.
2.2. Rechtsanwalt Schaltegger hat trotz Aufforderung keine Vollmacht für D._, E._, F._ und G._ eingereicht. In Bezug auf diese Personen ist auf die Beschwerde nicht einzutreten (<ref-law>).
2.3. Das Verwaltungsgericht hiess die bei ihm erhobene Beschwerde hinsichtlich der Festsetzung des Baubereichs teilweise gut und wies die Sache zur Prüfung und neuen Entscheidung an den Gemeinderat zurück. Hinsichtlich der Herabsetzung des Wohnanteils wies es die Beschwerde dagegen ab. Die beiden entsprechenden Begehren sind unabhängig voneinander. In Bezug auf das erstgenannte liegt ein Zwischenentscheid gemäss <ref-law> vor, da dem Gemeinderat ein eigener Entscheidungsspielraum verbleibt, in Bezug auf das zweitgenannte dagegen ein Teilentscheid gemäss <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 4.2; Urteil 1C_355/2008 vom 28. Januar 2009 E. 1.2; mit Hinweisen).
2.4. Während ein Teilentscheid nach <ref-law> vor dem Bundesgericht anfechtbar ist, trifft dies bei einem Zwischenentscheid nach <ref-law> nur zu, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b).
2.5. Die Eintretensvoraussetzungen von <ref-law> sollen das Bundesgericht entlasten; es soll sich möglichst nur einmal mit einer Sache befassen (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 366; <ref-ruling> E. 1.3.2; je mit Hinweisen). Ist die Beschwerde gegen einen Zwischenentscheid gemäss <ref-law> nicht zulässig oder wurde von ihr kein Gebrauch gemacht, bleibt der Zwischenentscheid im Rahmen einer Beschwerde gegen den Endentscheid anfechtbar, soweit er sich auf dessen Inhalt auswirkt (<ref-law>). Nach der Rechtsprechung obliegt es der beschwerdeführenden Partei darzutun, inwiefern die Anforderungen nach <ref-law> erfüllt sind, soweit deren Vorliegen nicht offensichtlich ist (<ref-ruling> E. 1.2 mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin des Verfahrens 1C_554/2021 beruft sich nicht auf <ref-law> und es ist auch nicht offensichtlich, dass der angefochtene Rückweisungsentscheid für sie einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil zur Folge haben kann. Vielmehr ist sie der Auffassung, die Voraussetzungen von <ref-law> seien erfüllt. Dies trifft jedoch nicht zu. Diese Bestimmung verlangt, dass sich ein bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen lässt. Unter die Ersparnis eines bedeutenden Aufwands an Zeit oder Kosten fallen nicht die üblichen Aufwendungen für eine Fortsetzung des Verfahrens. Erfasst wird ausschliesslich der Aufwand für ein Beweisverfahren. Erforderlich ist, dass dieser deutlich überdurchschnittlich erscheint (Urteil 1C_655/2020 vom 3. November 2021 E. 2.3; vgl. auch Urteil 1C_460/2009 vom 22. Januar 2020 E. 2.4; je mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin beruft sich in dieser Hinsicht auf die Dauer, die das weitere Verfahren haben würde. Ob ihre Vermutungen diesbezüglich realistisch sind, ist fraglich, da der Gemeinderat einzig eine erneute Interessenabwägung im Sinne der Erwägungen des verwaltungsgerichtlichen Urteils vorzunehmen hat. Jedenfalls ist nicht erkennbar, dass mit einer Gutheissung der Beschwerde ein bedeutender Aufwand für ein weitläufiges Beweisverfahren erspart würde.
2.6. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde im Verfahren 1C_558/2021 ist mit dem erwähnten Vorbehalt (E. 2.2 hiervor) grundsätzlich einzutreten, auf die Beschwerde im Verfahren 1C_554/2021 dagegen nicht.
3.
3.1. Die Beschwerdeführer des Verfahrens 1C_558/2021 wehren sich gegen die Herabsetzung des Mindestwohnanteils von 90 % auf 0 % auf der Parzelle Nr. FL92. Sie rügen in diesem Zusammenhang eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>), eine unrichtige Feststellung des Sachverhalts (<ref-law>) und eine willkürliche Interessenabwägung (Art. 1 und 3 RPG, <ref-law>).
3.2. Die Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör leiten sie daraus ab, dass das Verwaltungsgericht in E. 6.3.2 des angefochtenen Entscheids ihr privates Interesse verneint habe.
Das Verwaltungsgericht legte in der von den Beschwerdeführern zitierten Erwägung seines Urteils dar, dass sich die Empfindlichkeitsstufe der Liegenschaften der Beschwerdeführer nicht ändere, weshalb ihr entgegenstehendes, privates Interesse nicht ins Gewicht falle. Die Einhaltung der lärmschutzrechtlichen Grenzwerte könne erst anhand eines konkreten Bauprojekts geprüft werden; grundsätzlich erscheine es aber nicht ausgeschlossen, dass ein Schulbetrieb diese einhalten könnte. Inwiefern darüber hinaus die Wohnhygiene unter der Herabsetzung des Mindestwohnanteils leide, würden die Beschwerdeführenden nicht ausführen, weshalb nicht weiter darauf einzugehen sei.
Diese Ausführungen genügen der Begründungspflicht. Es reicht aus, dass die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid die für sie wesentlichen Überlegungen aufgeführt hat. Die Beschwerdeführer waren gestützt darauf ohne Weiteres in der Lage, den Entscheid sachgerecht anzufechten (vgl. <ref-ruling> E. 5.2).
3.3. Weiter rügen die Beschwerdeführer die Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
Zunächst kritisieren die Beschwerdeführer die Feststellung des Verwaltungsgerichts, die Wohnnutzung sei nicht für ein isoliertes Grundstück, sondern für einen nicht unwesentlichen Teil eines Gebiets entlang der Zürichbergstrasse und der Plattenstrasse auf 0 % herabgesetzt worden, womit sich die fragliche Festlegung in ein Gebiet mit (rechtskräftig festgesetzten) Mindestwohnraumanteilen von 0 % eingliedere. Abgesehen davon, dass sie nicht darlegen, inwiefern die Behebung des angeblichen Fehlers bei dieser Feststellung für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>), erweist sich die Kritik auch inhaltlich als unbegründet: Auf dem Zonenplan ist erkennbar, dass die Festsetzung des Mindestwohnanteils von 0 % neben den beiden Parzellen der Beschwerdegegnerin noch mehrere weitere, damit zusammenhängende Parzellen erfasst. Insoweit kann willkürfrei von einem "nicht unwesentlichen Teil eines Gebiets" gesprochen werden. Eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts liegt insofern nicht vor.
Weiter rügen die Beschwerdeführer an mehreren Stellen ihrer Beschwerde eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung bzw. eine "willkürlich unterlassene Sachverhaltswahrnehmung", ohne dass aus ihren Ausführungen hervorgehen würde, welcher Zusammenhang mit der Sachverhaltsfeststellung bestehen soll. Inhaltlich bezieht sich die betreffende Kritik zumindest teilweise auf die Interessenabwägung und somit auf eine Rechts-, nicht eine Sachverhaltsfrage. Darauf ist im Folgenden einzugehen.
Die Kritik an der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung ist somit unbegründet, soweit darauf überhaupt einzutreten ist.
3.4. Hinsichtlich der Kritik an der vorinstanzlichen Interessenabwägung ist zu beachten, dass die verschiedenen Planungsziele und Planungsgrundsätze gemäss Art. 1 und 3 RPG Entscheidungskriterien und Zielvorgaben bilden, die keine absolute Geltung beanspruchen, sondern im Rahmen der Interessenabwägung gegen andere, möglicherweise widersprechende Planungsgrundsätze und anderswo gesetzlich fixierte Zielvorschriften abgewogen werden müssen. Ob die Interessen vollständig erfasst worden sind, ist eine Rechtsfrage. Die relative Gewichtung der potenziell widerstreitenden Interessen ist jedoch weitgehend eine Ermessensfrage, in die das Bundesgericht nur eingreifen kann, wenn das Planungsermessen willkürlich ausgeübt worden ist. Das Bundesgericht auferlegt sich insbesondere Zurückhaltung, soweit die Beurteilung von einer Würdigung der örtlichen Verhältnisse abhängt, wie namentlich bei der Überprüfung von Raumplänen (Art. 2 Abs. 3 RPG; zum Ganzen: <ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 3a und 5a; Urteil 1C_270/2019 vom 27. Februar 2020 E. 3.2; je mit Hinweisen).
3.5. Das Verwaltungsgericht legte dar, solange die Nutzungsvorschriften andere Nutzungen als Wohnnutzungen zuliessen, erscheine die Herabsetzung des Wohnanteils nicht grundsätzlich ausgeschlossen, es sei denn, das Gebiet eigne sich überhaupt nicht für solche anderen Nutzungen. Letzteres sei vorliegend allerdings nicht ersichtlich, befänden sich doch im selben Quartier die Kantonsschule Rämibühl, weitere Gebäude der am Verfahren beteiligten Privatschule sowie diverse Gewerbeliegenschaften im Bereich Freiestrasse und Zürichbergstrasse. Der Gemeinderat führe den Fortbestand und die planerische Sicherung einer zeitgemässen Weiterentwicklung der Privatschule als (öffentliches) Interesse an der Herabsetzung des Wohnanteils an. Dies sei nicht zu beanstanden. Zudem dürften und müssten auch die privaten Interessen der Grundeigentümerin mitberücksichtigt werden, da die Festlegung eines Mindestwohnanteils in ihre Interessen eingreife. Das entgegenstehende private Interesse der Beschwerdeführer falle dagegen nicht ins Gewicht, da sich die Empfindlichkeitsstufe ihrer Liegenschaften nicht ändere. Weiter sei zutreffend, dass der kantonale Richtplan eine Wohnraumrückführung in den ans Hochschulgebiet angrenzenden Quartieren, wozu auch das Gebiet Platte zähle, als Ziel vorschreibe. Er beziehe sich dabei aber auf durch die universitären Institutionen zweckentfremdeten Wohnraum. Zwar scheine nicht ausgeschlossen, dieses Ziel auch im vorliegenden Zusammenhang zu berücksichtigen, es komme ihm allerdings wenig Gewicht zu. Weiter sei darauf hinzuweisen, dass nicht ein konkretes Projekt zur Diskussion stehe. Ob ein Sondernutzungsplan erforderlich sei und ob die Privatschule der Beschwerdegegnerin in der Kernzone zonenkonform wäre, müsse deshalb nicht beantwortet werden. Für das Nutzungsplanungsverfahren sei ausreichend, dass eine Privatschule, wie sie der Gemeinderat planerisch absichern möchte, in der Kernzone nicht grundsätzlich ausgeschlossen sei und die damit zu erreichende planerische Festlegung nicht als geradezu unzweckmässig erscheine. Kernzonen wiesen häufig eine Zentrumsfunktion auf und dienten regelmässig öffentlichen Bauten, Wohnbauten sowie mässig störenden Gewerbe- und Dienstleistungsbetrieben. Da davon auszugehen sei, dass insbesondere Schulhausplätze, Schulsportanlagen und Kinderspielplätze sowie Kindertagesstätten in einer Wohnzone eine zonenkonforme Nutzung darstellen könnten, sei nicht ersichtlich, inwiefern eine Privatschule in einer Kernzone grundsätzlich nicht zonenkonform sein sollte. Gleich verhalte es sich mit der Erschliessung. Diese erscheine jedenfalls nicht als geradezu ausgeschlossen, was auf der Stufe der Rahmennutzungsplanung ausreiche.
3.6. Insoweit als die Beschwerdeführer rügen, das Verwaltungsgericht habe das Interesse an der Wohnraumrückgewinnung zu wenig stark gewichtet, die privaten, wirtschaftlichen Interessen der Beschwerdegegnerin dagegen zu stark, ist keine Willkür erkennbar. Es handelt sich dabei um eine typische Frage des Planungsermessens, die nach dem Ausgeführten nicht vom Bundesgericht zu beantworten ist. Der unter pauschalem Hinweis auf Art. 1 und 3 RPG erhobene Vorwurf, das Verwaltungsgericht habe eine Interessenabwägung in willkürlicher Weise verweigert, erscheint angesichts der oben wiedergegebenen Begründung des angefochtenen Entscheids zudem als haltlos. Die Beschwerdeführer legen denn auch nicht konkret dar, mit welchen Zielen (Art. 1 RPG) oder Planungsgrundsätzen (Art. 3 RPG) der angefochtene Entscheid unvereinbar sein sollte. Das Verwaltungsgericht hat weiter richtigerweise hervorgehoben, dass nicht ein konkretes Bauprojekt zur Diskussion steht, weshalb auf die von den Beschwerdeführern aufgeworfenen Fragen der Zonenkonformität einer Privatschule, deren "Betriebscharakters" und der Erschliessung nicht weiter einzugehen ist. Dass ein Bauprojekt ohne Wohnnutzung am betreffenden Ort von vornherein ausgeschlossen wäre, ist nicht erkennbar. Der Hinweis der Beschwerdeführer, gemäss Art. 41 BZO seien nur nicht störende Betriebe zugelassen, geht an der Sache vorbei, denn nach dieser Bestimmung betrifft die Einschränkung nur Gebiete mit einem Wohnanteil von 90 %, während bei einem Wohnanteil von weniger als 90 % auch mässig störende Gewerbe- und Dienstleistungsbetriebe zugelassen sind (Abs. 1 und 2). Weiter sind auch die vorinstanzlichen Ausführungen zur Vereinbarkeit mit dem kantonalen Richtplan überzeugend. Die Beschwerdeführer kritisieren insofern, eine Schule sei an diesem Standort klar ausgeschlossen, weil "bar jeglicher richtplanerischer Grundlage" und "nutzungsplanerisch nicht vorgesehen"; sie setzen sich mit den betreffenden vorinstanzlichen Erwägungen jedoch nicht substanziiert auseinander (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG).
4.
Auf die Beschwerde im Verfahren 1C_554/2021 ist somit nicht einzutreten, während die Beschwerde im Verfahren 1C_558/2021 abzuweisen ist, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten den im jeweiligen Verfahren unterliegenden Beschwerdeführern aufzuerlegen (<ref-law>). Rechtsanwalt Schaltegger hat teilweise ohne Vollmacht prozessiert und damit unnötige Kosten verursacht, die ihm selbst aufzuerlegen sind (<ref-law>; vgl. Urteil 6B_184/2016 vom 7. Juli 2016 E. 6 mit Hinweis). Die Parteikosten werden wettgeschlagen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 1C_554/2021 und 1C_558/2021 werden vereinigt.
2.
Auf die Beschwerde im Verfahren 1C_554/2021 wird nicht eingetreten. Die Beschwerde im Verfahren 1C_558/2021 wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten im Verfahren 1C_554/2021 von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt. Die Gerichtskosten im Verfahren 1C_558/2021 von insgesamt Fr. 6'000.-- werden im Betrag von Fr. 5'000.-- den Beschwerdeführern B._ und C._ sowie im Betrag von Fr. 1'000.-- Rechtsanwalt Simon Schaltegger auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Gemeinderat der Stadt Zürich, der Baudirektion und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. März 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Dold