Sachverhalt:
A.
Am 9. Juni 2020 setzte der Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt den Termin für die kantonale Volkswahl der am Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt neu zu besetzenden Richterpräsidien neu auf den 27. September 2020 fest, nachdem die ursprünglich bereits am 17. Mai 2020 vorgesehene Wahl aufgrund der COVID-19-Pandemie verschoben worden war. Der Regierungsrat wies darauf hin, dass die Aufforderung zur Einreichung von Wahlvorschlägen bereits im Kantonsblatt vom 7. Dezember 2019 publiziert worden sei und die Einreichungsfrist für Wahlvorschläge neu am Montag, 3. August 2020, ablaufe. Für die zu besetzende Stelle einer Präsidentin bzw. eines Präsidenten des Appellationsgerichts im 100%-Pensum für den Rest der Amtsperiode 2016-2021 gingen bei der Staatskanzlei des Kantons Basel-Stadt zwei Wahlvorschläge ein, nämlich für Marc Oser und für Bernhard Madörin. Nach der Publikation der eingegangenen Wahlvorschläge im Kantonsblatt am 15. August 2020 wurden die Wahlzettel für die Wahl einer Präsidentin bzw. eines Präsidenten des Appellationsgerichts im 100%-Pensum den Stimm- und Wahlberechtigten zugestellt.
B.
Am 1. September 2020 reichte Bernhard Madörin beim Regierungsrat und der Staatskanzlei eine Beschwerde wegen Verletzung der Wahlrechte durch den den Stimm- und Wahlberechtigten zugestellten Wahlzettel ein. Am 2. September 2020 reichte Bernhard Madörin beim Regierungsrat und der Staatskanzlei eine weitere Beschwerde wegen Verletzung der Wahlrechte durch einen ungültigen Wahlvorschlag für Marc Oser ein. Die Beschwerden vom 1. und 2. September 2020 wurden an das Appellationsgericht weitergeleitet und von der verfahrensleitenden Präsidentin vereinigt.
C.
Am 4. September 2020 mit Ergänzung vom 7. September 2020 hat Bernhard Madörin beim Bundesgericht eine Beschwerde wegen Verletzung der Wahlrechte durch einen ungültigen Wahlvorschlag für Marc Oser und durch die den Stimm- und Wahlberechtigten zugestellten Wahlunterlagen eingereicht (Verfahren 1C_465/2020). Bernhard Madörin beantragt, der Wahlvorschlag für Marc Oser sei als verfassungswidrig und gesetzeswidrig zu annullieren und dieser sei nicht zur Wahl zuzulassen. Er (Bernhard Madörin) sei in stiller Wahl als gewählt zu proklamieren. Eventualiter sei die Wahl mit gesetzeskonformen Wahlunterlagen neu anzusetzen. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt liess sich am 22. September 2020 vernehmen und beantragt, auf die Beschwerde an das Bundesgericht sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen.
D.
Am 27. September 2020 fand die kantonale Volkswahl einer Präsidentin bzw. eines Präsidenten des Appellationsgerichts im 100%-Pensum statt. Gewählt wurde Marc Oser mit 26'135 Stimmen bei einem absoluten Mehr von 23'730 Stimmen. Bernhard Madörin erhielt 14'849 Stimmen.
E.
Mit Urteil vom 27. November 2020 wies das Appellationsgericht die Beschwerden von Bernhard Madörin vom 1. und 2. September 2020 ab, soweit es darauf eintrat. Der Beschwerdeführer hat in der Sache weitere Eingaben eingereicht und dem Bundesgericht am 9. Dezember 2020 mitgeteilt, er erhebe eventualiter Beschwerde gegen das Urteil vom 27. November 2020 des Appellationsgerichts. Das Bundesgericht hat die Beschwerde vom 9. Dezember 2020 zu den Akten des Verfahrens 1C_465/2020 genommen und auf das Einholen weiterer Vernehmlassungen verzichtet.
F.
Am 23. Februar 2021 hat Bernhard Madörin gegen die Wahl von Marc Oser vom 27. September 2020 Beschwerde an das Bundesgericht erhoben (Verfahren 1C_111/2021). Er beantragt, er sei in stiller Wahl als gewählt zu proklamieren. Das Bundesgericht hat auf das Einholen von Vernehmlassungen verzichtet.

Erwägungen:
1.
Die Begehren des Beschwerdeführers in den Verfahren 1C_465/2020 und 1C_111/2021 betreffen die Wahl einer Präsidentin bzw. eines Präsidenten des Appellationsgerichts vom 27. September 2020. Es rechtfertigt sich, die beiden Verfahren zu vereinigen.
2.
Die Präsidentinnen bzw. Präsidenten des Appellationsgerichts werden im Kanton Basel-Stadt vom Volk gewählt (§ 44 der Verfassung des Kantons Basel-Stadt vom 23. März 2005 [KV/BS; SR 131.222.1] und § 20 Abs. 1 des Gerichtsorganisationsgesetzes vom 3. Juni 2015 [GOG/BS; SG 154.100]). Der Beschwerdeführer rügt im Zusammenhang mit der Volkswahl vom 27. September 2020 eine Verletzung der politischen Rechte der Stimmbürgerinnen und Stimmbürger. Als Rechtsmittel an das Bundesgericht in Frage kommt die Beschwerde in Stimmrechtssachen gemäss <ref-law>.
2.1. Der Beschwerdeführer hat gegen Handlungen des Regierungsrats zur Vorbereitung der Wahl vom 27. September 2020 Beschwerde direkt beim Bundesgericht erhoben.
Die Beschwerde in Stimmrechtssachen an das Bundesgericht ist in kantonalen Angelegenheiten zulässig gegen Akte letzter kantonaler Instanzen (<ref-law>). Gegen Vorbereitungshandlungen zu Volkswahlen steht im Kanton Basel-Stadt gemäss § 81 Abs. 1 lit. b des Wahlgesetzes vom 21. April 1994 (Wahlgesetz/BS, SG 132.100) ein kantonales Rechtsmittel zur Verfügung, welches der Beschwerdeführer auch ergriffen hat und vom Appellationsgericht gestützt auf § 12 des Gesetzes über die Verfassungs- und Verwaltungsrechtspflege vom 14. Juni 1928 (VRPG/BS; SG 270.100) i.V.m. § 42 des Organisationsgesetzes vom 22. April 1976 (OG/BS; SG 153.100) behandelt wurde. Soweit der Beschwerdeführer am 4. bzw. 7. September 2020 direkt ans Bundesgericht gelangte, ist auf seine Beschwerde folglich nicht einzutreten.
2.2. Gegen das Urteil des Appellationsgerichts vom 27. November 2020 steht die Beschwerde in Stimmrechtssachen an das Bundesgericht grundsätzlich offen (vgl. Art. 82 lit. c i.V.m. <ref-law>). Der Beschwerdeführer ist im Kanton Basel-Stadt stimm- und wahlberechtigt und damit gemäss <ref-law> zur Beschwerde legitimiert. Gegen Vorbereitungshandlungen von Wahlen gerichtete Beschwerden werden als gegen die Wahl gerichtet verstanden, wenn der Urnengang in der Zwischenzeit stattgefunden hat (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 285 mit Hinweisen). In diesem Sinne ist die Beschwerde vom 9. Dezember 2020 im Verfahren 1C_465/2020 als Beschwerde gegen das Urteil des Appellationsgerichts vom 27. November 2020 entgegenzunehmen. Da auch die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen grundsätzlich erfüllt sind, ist auf die Beschwerde des Beschwerdeführers vorbehältlich zulässiger und genügend begründeter Rügen (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 i.V.m. Art. 95 und Art. 97 Abs. 1 BGG) insoweit einzutreten.
Der Beschwerde im Verfahren 1C_111/2021 kommt nach dem Ausgeführten keine eigenständige Bedeutung zu, soweit der Beschwerdeführer seine im Verfahren 1C_465/2020 erhobenen Rügen und gestellten Anträge wiederholt. Konkrete neue rechtliche Rügen sind nicht zu erkennen und wären mangels Ausschöpfung des kantonalen Rechtsmittelwegs ohnehin nicht zu behandeln (vgl. E. 2.1 hiervor).
2.3. Die Begehren des Beschwerdeführers um vorsorgliche Massnahmen im Hinblick auf die Wahl vom 27. September 2020 sind mit der Durchführung der Wahl gegenstandslos geworden.
3.
Bei der Beschwerde in Stimmrechtssachen prüft das Bundesgericht nicht nur die Auslegung von Bundesrecht und von kantonalen verfassungsmässigen Rechten frei, sondern auch diejenige anderer kantonaler Vorschriften, welche den Inhalt des Stimm- und Wahlrechts normieren oder mit diesem in engem Zusammenhang stehen (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1 S. 224 mit Hinweis).
4.
Der Beschwerdeführer macht zunächst geltend, der Wahlvorschlag für Marc Oser sei nicht rechtsgültig unterzeichnet gewesen und damit ungültig.
4.1. Wahlvorschläge für eine Präsidentin oder einen Präsidenten des Appellationsgerichts müssen im Kanton Basel-Stadt von mindestens 30 Stimmberechtigten unterzeichnet werden (§ 36 Abs. 1 Wahlgesetz/BS i.V.m. § 20 Abs. 1 GOG/BS). Parteien oder Gruppierungen, welche bei der Wahl für die laufende Amtsdauer im Grossen Rat mindestens einen Sitz erzielten, werden im ganzen Kanton von der Unterzeichnungspflicht gemäss Abs. 1 befreit, wobei auf dem Wahlvorschlag zwei im Kanton Basel-Stadt stimmberechtigte Personen zu unterzeichnen haben, die den Wahlvorschlag gegenüber den Behörden vertreten (§ 36 Abs. 5 Wahlgesetz/BS). Jeder Wahlvorschlag muss eine geeignete Listenbezeichnung, verschiedene Angaben zum Vorgeschlagenen und der Unterzeichnenden und eine vom Vorgeschlagenen unterzeichnete Zustimmungserklärung zur Kandidatur enthalten (vgl. § 37 Abs. 1 Wahlgesetz/BS).
Wie dem vorinstanzlichen Urteil entnommen werden kann, wird politischen Parteien und Gruppierungen im Kanton-Basel Stadt bei der Wahl für eine Präsidentin oder einen Präsidenten des Appellationsgerichts praxisgemäss ermöglicht, ihre Unterstützung einer Kandidatur zum Ausdruck zu bringen. Dies geschieht mittels eines amtlichen Formulars der Staatskanzlei, auf welchem die unterzeichnenden Vertreterinnen und Vertreter von politischen Parteien und Gruppierungen - namentlich die Präsidentin oder der Präsident und die Geschäftsführerin oder der Geschäftsführer - ihr Einverständnis mit der Einreichung eines gemeinsamen Wahlvorschlags erklären können. Die politischen Parteien und Gruppierungen, welche eine Kandidatur auf diese Weise unterstützen, werden praxisgemäss auf dem Wahlzettel aufgeführt.
4.2. Der Beschwerdeführer bringt vor, § 36 Abs. 5 Wahlgesetz/BS sei verfassungswidrig. Gemäss den Ausführungen im vorinstanzlichen Entscheid trägt die Erleichterung gemäss § 36 Abs. 5 Wahlgesetz/BS dem Umstand Rechnung, dass im Grossen Rat vertretene Parteien einen genügend grossen Rückhalt unter den Stimmberechtigten hätten, was es rechtfertige, sie vom aus § 36 Abs. 1 Wahlgesetz/BS resultierenden Mehraufwand zu entlasten. Auf den Einwand des Beschwerdeführers, § 36 Abs. 5 Wahlgesetz/BS sei verfassungswidrig, ist nicht weiter einzugehen, zumal der Beschwerdeführer nicht einmal darlegt, gegen welche Bestimmung der kantonalen Verfassung oder der Bundesverfassung § 36 Abs. 5 Wahlgesetz/BS verstossen sollte (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>).
4.3. Der Wahlvorschlag im Sinne von § 36 Abs. 1 und Abs. 5 Wahlgesetz/BS für Marc Oser wurde am 19. Februar 2020 eingereicht und trug die Bezeichnung "Schweizerische Volkspartei Basel-Stadt". Er wurde von zwei im Kanton Basel-Stadt stimmberechtigten Personen unterzeichnet. Inwiefern dieser Wahlvorschlag gegen § 36 f. Wahlgesetz/BS verstossen haben oder sonst im Sinne von <ref-law> rechtswidrig gewesen sein sollte, wird vom Beschwerdeführer nicht dargelegt und ist nicht ersichtlich, weshalb darauf nicht weiter einzugehen ist.
4.4. Zum Wahlvorschlag für Marc Oser wurde am 30. Juli 2020 zusätzlich das amtliche Formular über die Erklärung eines gemeinsamen Wahlvorschlags eingereicht. Das Formular war unterzeichnet von zwei Vertretern der Schweizerischen Volkspartei Basel-Stadt und von je zwei Vertreterinnen bzw. Vertretern von fünf weiteren politischen Parteien.
Die Vorinstanz setzte sich im angefochtenen Urteil mit dem Einwand des Beschwerdeführers auseinander, wonach das amtliche Formular über die Erklärung eines gemeinsamen Wahlvorschlags untauglich sei und die Personen, welche das Formular zum Wahlvorschlag für Marc Oser für die verschiedenen politischen Parteien unterzeichnet hätten, teilweise nicht vertretungsberechtigt gewesen seien. Die Vorinstanz kam zum Schluss, dass die Erklärung eines gemeinsamen Wahlvorschlags rechtmässig zustande gekommen sei und sämtliche unterzeichnenden Personen berechtigt gewesen seien, für ihre Partei die entsprechende Erklärung abzugeben, zumal keine Hinweise auf das Fehlen der Befugnis zur Stellvertretung der unterzeichnenden Personen bestünden.
Der Beschwerdeführer bringt im bundesgerichtlichen Verfahren erneut vor, das amtliche Formular über die Erklärung eines gemeinsamen Wahlvorschlags sei untauglich und die Personen, welche das Formular zum Wahlvorschlag für Marc Oser für die verschiedenen politischen Parteien unterzeichnet hätten, seien teilweise nicht vertretungsberechtigt gewesen. Zu welchen Bestimmungen des kantonalen Rechts oder des Bundesrechts das eingereichte Formular bzw. die von je zwei Vertreterinnen oder Vertretern der politischen Parteien unterzeichnete Erklärung eines gemeinsamen Wahlvorschlags konkret im Widerspruch stehen sollte, wird vom Beschwerdeführer jedoch nicht dargelegt, weshalb auch darauf nicht weiter einzugehen ist (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>).
5.
Weiter kritisiert der Beschwerdeführer die den Stimm- und Wahlberechtigten zugesandten Wahlunterlagen, namentlich den Inhalt bzw. die Gestaltung des Wahlzettels (vgl. E. 5.1 hiernach) und das Fehlen einer Wahldokumentation (vgl. E. 5.2 hiernach).
5.1.
5.1.1. Nach § 17 Wahlgesetz/BS sind den Stimmberechtigten mit dem Stimmrechtsausweis die amtlichen Wahl- und Stimmzettel sowie die Abstimmungsunterlagen zuzustellen. Bei der Wahl der Präsidentinnen bzw. Präsidenten des Appellationsgerichts enthält der amtliche Wahlzettel gemäss § 66 Abs. 1 Wahlgesetz/BS die bereinigten Wahlvorschläge in der Reihenfolge der ihnen zugewiesenen Ordnungsnummern und mit ihren Bezeichnungen (lit. a), leere Linien in der Zahl der zu wählenden Kandidatinnen und Kandidaten (lit. b) und neben jedem Namen und jeder leeren Linie ein Feld zum Ankreuzen (lit. c).
Ist bei einer Majorzwahl nur ein Amt zu besetzen, so erhält gemäss § 2a Abs. 3 der Wahlverordnung vom 3. Januar 1995 (Wahlverordnung/BS; SG 132.110) jener Wahlvorschlag die Ordnungsnummer 1, auf dem die bisherige Amtsinhaberin oder der bisherige Amtsinhaber zur Wahl antritt. Ansonsten werden bei Majorzwahlen die Ordnungsnummern in der Reihenfolge der Stärke der Parteien und Gruppierungen im Grossen Rat, welche den Wahlvorschlag unterstützen, vergeben (§ 2a Abs. 2 Satz 1 Wahlverordnung/BS).
5.1.2. Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, die auf dem Wahlzettel vorgedruckten Kandidaten seien in der falschen Reihenfolge aufgeführt gewesen, nämlich Marc Oser an erster und er an zweiter Stelle. Weiter kritisiert er, dass die Parteien, welche die Kandidatur von Marc Oser unterstützten, auf dem Wahlzettel aufgeführt waren und die Reihenfolge der aufgeführten Parteien nicht korrekt sei. Schliesslich bringt er vor, die Zugehörigkeit von Marc Oser zur Schweizerischen Volkspartei hätte zwingend auf dem Wahlzettel vermerkt sein müssen. Der Beschwerdeführer rügt in diesem Zusammenhang (sinngemäss) eine Verletzung von § 66 Abs. 1 Wahlgesetz/BS. Diese Rüge ist offensichtlich unbegründet. Es kann insoweit auf die folgenden Erwägungen der Vorinstanz verwiesen werden, denen nichts beizufügen ist (vgl. <ref-law>) :
Zunächst ist festzuhalten, dass die Reihenfolge der Kandidaten bzw. die Zuweisung der Ordnungsnummer den Vorgaben von § 66 Wahlgesetz und § 2a Abs. 2 der Wahlverordnung entspricht, zumal... die "Erklärung eines gemeinsamen Wahlvorschlags" rechtmässig zustande gekommen ist und Marc Oser als einziger Kandidat von im Grossen Rat vertretenen Parteien Unterstützung erhielt. Die Nennung der unterstützenden Parteien bzw. deren Behandlung als Bezeichnungen im Sinne von § 66 Abs. 1 lit. a Wahlgesetz entspricht sodann der bisherigen Praxis und ist nicht zu beanstanden. Was die Reihenfolge der Auflistung der unterstützenden Parteien anbelangt, ist festzustellen, dass es an einschlägigen Vorgaben fehlt, weshalb der Staatskanzlei diesbezüglich eine gewisse Gestaltungsfreiheit zukommt. Da die Reihenfolge aufgrund der überschaubaren Anzahl von Parteien kaum Signalwirkung entfaltet, ist die fehlende Regelung nicht zu beanstanden und wird vom Beschwerdeführer auch nicht in Frage gestellt. Abgesehen davon lässt sich die gewählte Reihenfolge durchaus sachlich begründen, entspricht sie doch - entgegen den Behauptungen des Beschwerdeführers - exakt der Reihenfolge der Unterzeichnung von Formular 3 betreffend die "Erklärung eines gemeinsamen Wahlvorschlags". Schliesslich ist zu konstatieren, dass keine gesetzliche Pflicht besteht, die Parteizugehörigkeit der Kandidierenden auf dem Wahlzettel anzugeben. Wie die Beispiele der letzten Volkswahl von Richterinnen und Richtern aus dem Jahr 2011 zeigen, steht es den Kandidierenden frei, ihre Parteizugehörigkeit offenzulegen oder auf einen entsprechenden Hinweis zu verzichten...
5.1.3. In den Ausführungen des Beschwerdeführers, wonach die Angaben auf dem Wahlzettel irreführend gewesen seien und den Wählerwillen unrechtmässig beeinflusst hätten, könnte die Rüge der Verletzung des in <ref-law> verankerten Schutzes der freien Willensbildung und unverfälschten Stimmabgabe der Stimm- und Wahlberechtigten erblickt werden. Dazu ist zu bemerken, dass die Angaben auf dem Wahlzettel korrekt und für die Stimm- und Wahlberechtigten verständlich waren. Inwiefern Inhalt und Gestaltung des Wahlzettels die freie Willensbildung der Wählerinnen und Wähler konkret beeinträchtigt haben sollte, ist nicht ersichtlich und wird vom Beschwerdeführer auch nicht substanziiert dargetan. Die Information, welche Parteien die Kandidatur von Marc Oser unterstützten, dürfte für die Willensbildung der Wahlberechtigten durchaus von Interesse gewesen sein. Andererseits führte auch das Fehlen der Information über die Parteizugehörigkeit von Marc Oser nicht zu einer Beeinträchtigung der freien Willensbildung der Wählerinnen und Wähler. Soweit er seine Rüge der Verletzung von <ref-law> überhaupt in genügender Weise vorgebracht und begründet hat (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>), dringt der Beschwerdeführer damit nicht durch.
5.2. Der Beschwerdeführer kritisiert weiter, dass dem Wahlzettel, welcher den Wahlberechtigten zugesandt wurde, keine Wahldokumentation beigelegt wurde. Die Wahlberechtigten hätten nicht gewusst, welcher Richter für welche Wahlperiode zu wählen sei und wer mittels Ausfüllen des leeren Feldes auf dem Wahlzettel wählbar sei. Ohne entsprechende Angaben bzw. Angaben zu den Wählbarkeitsvoraussetzungen sei eine sachgerechte Wahl nicht möglich. Auch in diesen Ausführungen des Beschwerdeführers könnte die Rüge der Verletzung des in <ref-law> verankerten Schutzes der freien Willensbildung und unverfälschten Stimmabgabe der Stimm- und Wahlberechtigten erblickt werden.
Der umstrittene Wahlzettel bestand aus einem Faltblatt mit drei bedruckten Seiten, nämlich der Titelseite, einer einseitigen Wahlanleitung und dem abtrennbaren eigentlichen Wahlzettel. Dem Faltblatt war unmissverständlich zu entnehmen, dass es um die Wahl einer Präsidentin bzw. eines Präsidenten des Appellationsgerichts im Pensum von 100 % für den Rest der Amtsperiode 2016-2021 geht. Auf der Seite mit der Wahlanleitung wurde verständlich und korrekt erklärt, wie der Wahlzettel auszufüllen ist und was die gesetzlichen Wählbarkeitsvoraussetzungen sind. Namentlich wurde erklärt, dass die Wahlberechtigten auf dem Wahlzettel entweder einen vorgeschlagenen Kandidaten ankreuzen oder auf die leere Linie den Namen einer wählbaren Person einfügen und ankreuzen können. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass der Inhalt der Wahlanleitung verständlich und sachgerecht war.
Soweit es sich beim vom Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang vorgetragenen Sachverhalt nicht ohnehin um unzulässige Noven im Sinne von <ref-law> handelt, ereine entsprechende Rechtsverletzung bei der Vorinstanz überhaupt (rechtzeitig) vorgetragen hat (vgl. <ref-law> und E. 2.1 hiervor) und soweit er eine Verletzung von <ref-law> in seiner Beschwerde an das Bundesgericht überhaupt in genügender Weise vorgebracht und begründet hat (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>), dringt er mit seiner Beschwerde in diesem Punkt ebenfalls nicht durch.
6.
Schliesslich macht der Beschwerdeführer geltend, das Appellationsgericht habe die Wahl vom 27. September 2020 unzulässig beeinflusst, indem es vor der Wahl zwei Journalisten auf Anfrage hin unrechtmässig Einsicht in das Dispositiv eines Strafurteils gewährt habe, mit welchem er strafrechtlich verurteilt worden sei. Auch in diesen Ausführungen des Beschwerdeführers könnte die Rüge der Verletzung des in <ref-law> verankerten Schutzes der freien Willensbildung und unverfälschten Stimmabgabe der Stimm- und Wahlberechtigten erblickt werden.
Wie aus dem angefochtenen Urteil der Vorinstanz hervorgeht, stützte sich das Appellationsgericht für die Gewährung der Einsicht in das Dispositiv des erwähnten Strafurteils auf <ref-law>, wonach interessierte Personen bei Verzicht der Parteien auf eine öffentliche Urteilsverkündung Einsicht in die Urteile nehmen können. Praxisgemäss wird in nicht öffentlich verkündete Urteile zumindest bis zum Ablauf der Rechtsmittelfrist allen interessierten Personen in nicht anonymisierter Form Einsicht gewährt, während das Einsichtsrecht nach Ablauf der Rechtsmittelfrist nur noch eingeschränkt gilt (vgl. URS SAXER/SIMON TURNHEER, in: Basler Kommentar StPO, 2. Aufl., 2014, Art. 69 N 39).
Der Beschwerdeführer bringt vor, den beiden Journalisten sei die Einsicht in das Dispositiv des Strafurteils zu früh gewährt worden, da die Rechtsmittelfrist (vor der Ausfertigung und Eröffnung des begründeten Urteils) noch gar nicht begonnen habe. Wie die Vorinstanz indessen zurecht festgehalten hat, macht <ref-law> die Einsicht in nicht öffentlich verkündete Urteile nicht vom Beginn der Rechtsmittelfrist abhängig. Dass die vom Beschwerdeführer kritisierte Gewährung der Einsicht in das Dispositiv des gegen ihn gefällten Strafurteils unrechtmässig gewesen wäre, ist nicht zu erkennen. Damit ist von vornherein ausgeschlossen, dass das Appellationsgericht mit der Gewährung der Einsicht unzulässig Einfluss auf die vorliegend umstrittene Wahl genommen hat. Soweit der Beschwerdeführer seine Rüge der Verletzung von <ref-law> überhaupt in genügender Weise vorgebracht und begründet hat (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>), dringt er damit auch in diesem Punkt nicht durch.
7.
Nach dem Ausgeführten sind die Beschwerden abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 1C_465/2020 und 1C_111/2021 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt, dem Grossen Rat des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. März 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Mattle