Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich führt eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen Gefährdung des Lebens und weiterer Delikte. A._ wurde am 27. Juli 2021 in Haft genommen. Am 16. Dezember 2021 stellte er ein Haftentlassungsgesuch. Mit Verfügung vom 21. Dezember 2021 hiess das Bezirksgericht Zürich als Zwangsmassnahmengericht das Haftentlassungsgesuch gut, wobei es im Sinne einer Ersatzmassnahme anordnete, es werde A._ untersagt, mit der potenziell geschädigten Person Kontakt aufzunehmen oder durch Drittpersonen aufnehmen zu lassen.
Mit Beschluss vom 10. Januar 2022 hiess das Obergericht des Kantons Zürich eine von der Staatsanwaltschaft gegen die Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts vom 21. Dezember 2021 erhobene Beschwerde gut. Das Obergericht erkannte auf Kollusionsgefahr im Sinne von <ref-law> und bejahte die weiteren Voraussetzungen für eine Fortführung der Untersuchungshaft. Es hob die Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts auf und verlängerte die Untersuchungshaft von A._ bis zum 21. März 2022.
Eine von A._ gegen den Beschluss des Obergerichts vom 10. Januar 2022 erhobene Beschwerde hiess das Bundesgericht am 3. Februar 2022 teilweise gut (Urteil 1B_24/2022). Das Bundesgericht verneinte eine ausgeprägte Kollusionsgefahr, welche die Fortsetzung der Untersuchungshaft des Beschwerdeführers rechtfertigen würde. Es hob den angefochtenen Beschluss auf und wies die Sache zur unverzüglichen Prüfung der weiteren von der Staatsanwaltschaft geltend gemachten Haftgründe an das Obergericht zurück. Den Antrag des Beschwerdeführers, es sei die Entlassung aus der Untersuchungshaft anzuordnen, wies das Bundesgericht ab.
B.
Mit Beschluss vom 16. Februar 2022 hiess das Obergericht die Beschwerde der Staatsanwaltschaft gegen die Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts vom 21. Dezember 2021 erneut gut. Das Obergericht erkannte diesmal auf Wiederholungsgefahr im Sinne von <ref-law> und bejahte wiederum die weiteren Voraussetzungen für eine Fortführung der Untersuchungshaft. Es hob die Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts auf und verlängerte die Untersuchungshaft von A._ bis zum 21. März 2022.
C.
Gegen den Beschluss des Obergerichts vom 16. Februar 2022 hat A._ am 18. Februar 2022 Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht erhoben. Er beantragt, der angefochtene Beschluss sei aufzuheben und er unter Bestätigung der vom Zwangsmassnahmengericht angeordneten Ersatzmassnahme aus der Haft zu entlassen. Ausserdem sei festzustellen, dass die Vorinstanz Art. 5 Ziff. 4 EMRK und das Beschleunigungsgebot in Haftsachen verletzt habe. Die Staatsanwaltschaft und die Vorinstanz haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit dem angefochtenen Entscheid hat die Vorinstanz ein Haftentlassungsgesuch im Sinne von <ref-law> als letzte kantonale Instanz abgewiesen. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht offen (vgl. Art. 78 Abs. 1, Art. 80 Abs. 1 und 2 und <ref-law>). Der Beschwerdeführer befindet sich soweit ersichtlich nach wie vor in Haft. Er ist deshalb nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde in Strafsachen einzutreten.
1.2. Der angefochtene Beschluss betrifft eine Zwangsmassnahme im Sinne von <ref-law>. Die Auslegung und die Anwendung der in der StPO geregelten Voraussetzungen für Grundrechtsbeschränkungen prüft das Bundesgericht mit freier Kognition (<ref-law>). Die nach <ref-law> vorgeschriebene Beschränkung der Rügegründe ist auf strafprozessuale Zwangsmassnahmen nicht anwendbar (<ref-ruling> E. 2.4 mit Hinweisen).
2.
Zwangsmassnahmen können im Strafverfahren ergriffen werden, wenn sie gesetzlich vorgesehen sind, ein hinreichender Tatverdacht vorliegt und sie verhältnismässig sind (<ref-law>). Untersuchungshaft ist nur zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist und ausserdem ein besonderer Haftgrund im Sinne von <ref-law> vorliegt. Als besondere Haftgründe nennt <ref-law> Fluchtgefahr (lit. a), Kollusionsgefahr (lit. b) oder Wiederholungsgefahr (lit. c). Weiter ist Untersuchungshaft zulässig, wenn ernsthaft zu befürchten ist, eine Person werde ihre Drohung, ein schweres Verbrechen auszuführen, wahr machen (<ref-law>). Das zuständige Gericht ordnet an Stelle der Untersuchungshaft eine oder mehrere mildere Massnahmen an, wenn sie den gleichen Zweck wie die Haft erfüllen (<ref-law>). Als Ersatzmassnahme in Frage kommt unter anderem ein Kontaktverbot (<ref-law>). Als freiheitsentziehende Zwangsmassnahme ist die Untersuchungshaft aufzuheben, sobald ihre Voraussetzungen nicht mehr erfüllt sind, die von der StPO vorgesehene oder von einem Gericht bewilligte Dauer abgelaufen ist oder Ersatzmassnahmen zum gleichen Ziel führen (<ref-law>). Untersuchungs- und Sicherheitshaft dürfen nicht länger dauern als die zu erwartende Freiheitsstrafe (<ref-law>).
3.
Die Staatsanwaltschaft wirft dem Beschwerdeführer vor, er habe am 27. Juli 2021 seinen damaligen Nachbarn vor dessen Wohnung abgefangen und ihn in die Wohnung gestossen. Der Beschwerdeführer sei dem Nachbarn in dessen Wohnung gefolgt. Er habe dem auf dem Rücken liegenden Nachbarn die Hände um den Hals gelegt und mit den Daumen zugedrückt. Ausserdem habe er den Nachbarn beschimpft und bedroht. Als Folge des Würgens habe der Nachbar das Bewusstsein verloren. Die Vorinstanz bejahte im angefochtenen Beschluss einen dringenden Tatverdacht in Bezug auf den Tatbestand der Gefährdung des Lebens und weitere Delikte. Der Beschwerdeführer bestreitet das Vorliegen eines dringenden Tatverdachts in seiner Beschwerde an das Bundesgericht nicht. Die Vorinstanz erachtete im angefochtenen Beschluss sodann den besonderen Haftgrund der Wiederholungsgefahr und die Verhältnismässigkeit der Untersuchungshaft als gegeben.
4.
Der Beschwerdeführer bestreitet das Vorliegen von Wiederholungsgefahr. Er rügt eine Verletzung von <ref-law>.
4.1. Der Haftgrund der Wiederholungsgefahr setzt gemäss <ref-law> voraus, dass ernsthaft zu befürchten ist, die beschuldigte Person gefährde durch schwere Verbrechen oder Vergehen die Sicherheit anderer erheblich, nachdem sie bereits früher gleichartige Straftaten verübt hat. Nach der Rechtsprechung kann die Anordnung von Untersuchungshaft wegen Wiederholungsgefahr dem Verfahrensziel der Beschleunigung dienen, indem verhindert wird, dass sich der Strafprozess durch immer neue Delikte kompliziert und in die Länge zieht. Auch die Wahrung des Interesses an der Verhütung weiterer schwerwiegender Delikte ist nicht verfassungs- und grundrechtswidrig. Vielmehr anerkennt Art. 5 Ziff. 1 lit. c EMRK ausdrücklich die Notwendigkeit, Beschuldigte an der Begehung strafbarer Handlungen zu hindern, somit Spezialprävention, als Haftgrund (<ref-ruling> E. 2.2 mit Hinweis). <ref-law> ist dahin auszulegen, dass Verbrechen oder schwere Vergehen drohen müssen (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.3.1 und E. 2.6 mit Hinweisen). Der Haftgrund der Wiederholungsgefahr ist restriktiv zu handhaben und setzt eine ungünstige Rückfallprognose voraus (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.9 f.).
4.2. Erforderlich ist, dass die beschuldigte Person bereits früher gleichartige Vortaten verübt hat. Bei den in <ref-law> verlangten Vortaten muss es sich um Verbrechen oder schwere Vergehen gegen gleiche oder gleichartige Rechtsgüter gehandelt haben, wie sie im hängigen Untersuchungsverfahren massgeblich sind. Die Einstufung eines Vergehens als schwer setzt voraus, dass abstrakt eine Freiheitsstrafe angedroht ist. Bei der Beurteilung der Tatschwere sind zudem namentlich das betroffene Rechtsgut und der Kontext einzubeziehen (<ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 2.6). Die früher begangenen Straftaten können sich aus rechtskräftig abgeschlossenen Strafverfahren ergeben. Sie können jedoch auch Gegenstand eines noch hängigen Strafverfahrens bilden, in dem sich die Frage der Untersuchungs- und Sicherheitshaft stellt, sofern mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit feststeht, dass die beschuldigte Person solche Straftaten begangen hat. Der Nachweis, dass die beschuldigte Person eine Straftat verübt hat, gilt bei einem glaubhaften Geständnis oder einer erdrückenden Beweislage als erbracht (<ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 2.3.1 mit Hinweis). Erweisen sich die Risiken als untragbar hoch (sogenannte "qualifizierte Wiederholungsgefahr"), kann vom Vortatenerfordernis sogar vollständig abgesehen werden. Aufgrund einer systematisch-teleologischen Auslegung von <ref-law> ist das Bundesgericht zum Schluss gekommen, es habe nicht in der Absicht des Gesetzgebers gelegen, mögliche Opfer von schweren Gewaltdelikten einem derart hohen Rückfallrisiko auszusetzen (BGE <ref-ruling> E. 2.3.1; <ref-ruling> E. 3 f.).
4.3. Der Beschwerdeführer weist zwar Vorstrafen wegen Hinderung einer Amtshandlung, Vergehen gegen das Waffengesetz und mehrfacher Verstösse gegen das Betäubungsmittelgesetz auf. Es handelt sich hierbei jedoch nicht um Verbrechen oder schwere Vergehen gegen gleiche oder gleichartige Rechtsgüter, wie sie im hängigen Untersuchungsverfahren wegen Gefährdung des Lebens bzw. versuchter schwerer Körperverletzung und weiterer Delikte massgeblich sind.
Die Vorinstanz bejaht das Vortatenerfordernis unter Hinweis auf das noch hängige Strafverfahren und kommt zum Schluss, bei den dem Beschwerdeführer vorgeworfenen Straftaten sei die Beweislage so erdrückend, dass der Nachweis, wonach der Beschwerdeführer die Straftaten verübt habe, erbracht sei. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe in diesem Zusammenhang den entscheidwesentlichen Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt (vgl. Art. 97 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Es stehe sodann nicht mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit fest, dass er die ihm im laufenden Strafverfahren vorgeworfene Tat verübt habe, zumal von einer erdrückenden Beweislage nicht gesprochen werden könne.
Ob sich das Vortatenerfordernis vorliegend - wie die Vorinstanz annimmt und der Beschwerdeführer bestreitet - aus den dem Beschwerdeführer im laufenden Strafverfahren vorgeworfenen Taten ergibt, kann mit Blick auf die nachfolgenden Überlegungen offen bleiben, ohne dass auf die entsprechenden tatsächlichen und rechtlichen Einwände des Beschwerdeführers weiter einzugehen ist.
4.4. Der Beschwerdeführer wurde im Rahmen der Strafuntersuchung psychiatrisch begutachtet. Im ausführlichen Gutachten vom 10. Dezember 2021 attestierte ihm die Gutachterin eine schwerwiegende Persönlichkeitsveränderung, die im Rahmen einer komplexen posttraumatischen Belastungsstörung bzw. durch das genuine Vorliegen einer dissozialen Persönlichkeitsstörung zu erklären sei. Zudem diagnostizierte die Gutachterin eine Alkoholabhängigkeit und schädlichen Gebrauch von Kokain. In Bezug auf die Kriminalprognose beschrieb sie eine ungünstige Entwicklung in den letzten Jahren, insbesondere seit 2005. Zur Rückfallgefahr führte die Gutachterin in einer Zusammenfassung der ausführlichen Untersuchungsergebnisse Folgendes aus:
"Herrn A. fehlt es an ausreichender Akzeptanz der Behandlungsnotwendigkeit im Hinblick auf eine regelmässige therapeutische Anbindung, eine dauerhafte regelkonforme Einnahme impulskontrollmodulierender Medikamente und Abstinenz. Der Kontakt war tatzeitnah von erheblichen Anspannungen und tendenzieller Aggressivität geprägt. Überdies zeigt sich trotz institutioneller Unterstützung eine langjährige Vorgeschichte mit destruktiven und insbesondere auch delinquenten Verhaltensweisen.
Die für den allfälligen Tatzeitpunkt gestellten und unmittelbar deliktrelevanten psychischen Störungen bestehen ausserdem fort. Insofern zeigt Herr A. zahlreiche Risikomerkmale für die Begehung weiterer und auch schwerwiegender Delikte, weshalb bei ausbleibender Behandlung mit einem hohen Risiko für Delikte ähnlich der Anlassdelikte (insbesondere Verstösse gegen das BetmG, Fremdaggressivität gegenüber Dritten), aber auch mit Gewaltanwendungen bei subjektiver Bedrohung zu rechnen ist.
Sollten sich die Lebensumstände des Exploranden weiter aggravieren (Obdachlosigkeit, Steigerung des Konsumverhaltens), so ist mit einer steigenden Deliktkadenz zu rechnen."
Der Beschwerdeführer bringt in seiner Beschwerde an das Bundesgericht nichts vor, was die gutachterlichen Prognosen bezüglich Rückfallgefahr in Frage stellen würde. Mit Blick auf die Erkenntnisse des Gutachtens erscheint das Risiko, dass er im Falle einer Haftentlassung schwere, die Sicherheit anderer erheblich gefährdende Gewalttaten verüben könnte, untragbar hoch. Daran ändern die Einwände des Beschwerdeführers, wonach er trotz langjähriger psychischer Erkrankung noch nie wegen eines Gewaltdelikts verurteilt worden sei und keine hinreichenden Anhaltspunkte für eine Aggravation der Lebensumstände vorlägen, nichts. Es ist von qualifizierter Wiederholungsgefahr im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung auszugehen und vom Vortatenerfordernis abzusehen.
4.5. Die Einschätzung der Vorinstanz, wonach der besondere Haftgrund der Wiederholungsgefahr zu bejahen ist, ist im Ergebnis nicht zu beanstanden. Der Beschwerdeführer dringt mit der Rüge, der angefochtene Beschluss verletze <ref-law>, nicht durch.
5.
Der Beschwerdeführer bringt weiter vor, die Vorinstanz habe sich im angefochtenen Beschluss nicht an den Rückweisungsentscheid des Bundesgerichts vom 3. Februar 2022 gehalten, indem sie nur Wiederholungsgefahr als besonderen Haftgrund und nicht auch die weiteren, von der Staatsanwaltschaft geltend gemachten Haftgründe geprüft habe. Das Vorgehen der Vorinstanz ziele darauf ab, dass er selbst im Falle einer erneuten Beschwerdegutheissung wieder nicht aus der Haft entlassen werden solle. Mit ihrem Vorgehen verletze die Vorinstanz den Grundsatz von Treu und Glauben und das Verbot des Rechtsmissbrauchs im Sinne von Art. 3 Abs. 2 lit. a und b StPO. Ausserdem habe die Vorinstanz mit dem angefochtenen Beschluss gegen das Beschleunigungsgebot in Haftsachen gemäss Art. 5 Ziff. 3 bzw. Ziff. 4 EMRK, <ref-law> und <ref-law> verstossen.
5.1. Jede Person hat in Verfahren vor Gerichts- und Verwaltungsinstanzen Anspruch auf gleiche und gerechte Behandlung sowie auf Beurteilung innert angemessener Frist (<ref-law>). Haftsachen müssen gestützt auf Art. 31 Abs. 3-4 BV, Art. 5 Ziff. 3-4 EMRK und <ref-law> mit besonderer Beschleunigung behandelt werden. Bei der Beurteilung, ob das besondere Beschleunigungsgebot in Haftsachen verletzt wurde, sind die konkreten Umstände des Einzelfalles massgeblich.
5.2. Das Bundesgericht hat bereits im den Beschwerdeführer betreffenden Urteil 1B_24/2022 vom 3. Februar 2022 festgehalten, es könne sich in Fällen, in welchen die Staatsanwaltschaft mehrere besondere Haftgründe bejaht, mit Blick auf die Prozessökonomie und den Beschleunigungsgrundsatz in Haftsachen aufdrängen, dass die kantonalen Instanzen sich auch zu den übrigen gegebenenfalls in Frage kommenden Haftgründen äussern (a.a.O., E. 5). Dass die Vorinstanz im vorliegend angefochtenen Beschluss vom 16. Februar 2022 davon abgesehen hat, neben dem besonderen Haftgrund der Wiederholungsgefahr auch noch Flucht- und Ausführungsgefahr zu prüfen, bleibt für den Beschwerdeführer jedoch ohne Konsequenzen, da er mit der Rüge, die Vorinstanz habe zu Unrecht Wiederholungsgefahr bejaht, nicht durchdringt (vgl. E. 4 hiervor).
5.3. Der Entscheid über das Haftentlassungsgesuch des Beschwerdeführers vom 16. Dezember 2021 wird mit der Ausfällung des vorliegenden Entscheids rechtskräftig (vgl. <ref-law>). Dem Beschwerdeführer ist darin zuzustimmen, dass die gesamte Verfahrensdauer mit Blick auf das Beschleunigungsgebot in Haftsachen nicht ganz unproblematisch ist. Dass die Vorinstanz in ihrem vom Bundesgericht aufgehobenen Beschluss vom 10. Januar 2022 nicht alle von der Staatsanwaltschaft geltend gemachten Haftgründe geprüft hat, hat zwar zur Verlängerung der gesamten Verfahrensdauer beigetragen und ist zu kritisieren. Die lange Verfahrensdauer ist allerdings in erster Linie eine Folge der Verfahrensordnung und des Umstands, dass die zuständigen Behörden das Vorliegen der Haftvoraussetzungen teilweise unterschiedlich beurteilt haben. Dies ist hinzunehmen und kann nicht der Vorinstanz angelastet werden. Mit Blick auf die gesamten Umstände rechtfertigt es sich nicht, im Dispositiv eine Verletzung des Beschleunigungsgebots in Haftsachen durch die Vorinstanz förmlich festzustellen.
5.4. Ein geradezu treuwidriges bzw. rechtsmissbräuchliches Verhalten der Vorinstanz ist im erwähnten Zusammenhang ungeachtet der Formulierung des Dispositivs des bundesgerichtlichen Urteils vom 3. Februar 2022 ohnehin nicht zu erkennen. Mit der entsprechenden Rüge dringt der Beschwerdeführer ebenfalls nicht durch.
6.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens würde der Beschwerdeführer an sich kostenpflichtig. Er beantragt jedoch unentgeltliche Rechtspflege inklusive Verbeiständung. Dem Gesuch kann entsprochen werden, zumal der Beschwerdeführer glaubhaft dargelegt hat, dass er im Sinne von <ref-law> bedürftig ist und auch die weiteren Voraussetzungen von Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG erfüllt sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen:
2.1. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2. Rechtsanwalt Oliver Grundmann wird zum unentgeltlichen Rechtsbeistand ernannt und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'500.-- entschädigt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. März 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Mattle