Erwägungen:
1.
Das Bezirksgericht Dielsdorf sprach den Beschwerdeführer am 25. November 2015 des vorsätzlichen Fahrens in qualifiziert fahrunfähigem Zustand schuldig und bestrafte ihn mit einer Freiheitsstrafe von 6 Monaten. Als Folge einer Anschlussberufung der Staatsanwaltschaft verurteilte das Obergericht des Kantons Zürich den Beschwerdeführer mit Urteil vom 15. August 2016 zu einer unbedingten Freiheitsstrafe von 8 Monaten. Es bestätigte zudem den Widerruf der teilbedingten Strafe gemäss Strafbefehl der Staatsanwaltschaft 3 Sursee vom 23. Januar 2013. Eine dagegen gerichtete Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil vom 25. April 2017 ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 6B_1137/2016).
Am 21. Juni 2017 forderte das Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich den Beschwerdeführer zum Strafantritt per 27. November 2017 im Normalregime auf, sofern er nicht innert (mit Schreiben vom 20. Juli 2017 bis 7. August 2017 erstreckter) Frist ein Gesuch um Strafverbüssung in Form der Halbgefangenschaft einreiche und belege, dass er mit einem Pensum von mindestens 50 % arbeitstätig sei. Die Verfügung vom 21. Juni 2017 erwuchs unangefochten in Rechtskraft. Am 14. November 2017 ersuchte der Beschwerdeführer das Amt für Justizvollzug um Aufschub des Strafantritts bis zum rechtskräftigen Abschluss des gegen ihn hängigen Verfahrens wegen Betrugs und Urkundenfälschung vor dem Wirtschaftsstrafgericht des Kantons Bern sowie eventualiter um Verbüssung der Strafe in Halbgefangenschaft im Berner Jura, subeventualiter in Winterthur. Das Amt für Justizvollzug wies die Gesuche am 22. November 2017 ab. Einen dagegen gerichteten Rekurs wies die Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich am 9. Februar 2018 ab. Sie lud den Beschwerdeführer neu auf den 23. April 2018 in den Strafvollzug (Normalvollzug) vor. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich wies eine dagegen gerichtete Beschwerde am 19. April 2018 ab. Es lud den Beschwerdeführer neu auf den 7. Mai 2018 in den Strafvollzug vor.
Der Beschwerdeführer führt dagegen Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, der Strafantritt sei auf unbestimmte Zeit zu verschieben und es sei ihm die Strafverbüssung in Form der Halbgefangenschaft zu gewähren. Er stellte zudem ein Gesuch um aufschiebende Wirkung, welches der Präsident der Strafrechtlichen Abteilung mit Verfügung vom 7. Mai 2018 abwies.
2.
aArt. 77b Satz 1 StGB, in der bis am 31. Dezember 2017 geltenden Fassung, sah vor, dass eine Freiheitsstrafe von sechs Monaten bis zu einem Jahr in der Form der Halbgefangenschaft vollzogen wird, wenn nicht zu erwarten ist, dass der Gefangene flieht oder weitere Straftaten begeht. Die Zulassung zur Halbgefangenschaft setzte nach der zu aArt. 77b Satz 1 StGB ergangenen Rechtsprechung voraus, dass die verurteilte Person einer Arbeit nachgeht oder in Ausbildung ist (Urteile 6B_806/2017 vom 9. August 2017 E. 1.2; 6B_813/2016 vom 25. Januar 2017 E. 2.2.2 mit Hinweis). Die inzwischen aufgehobene Bestimmung von § 39 Abs. 1 lit. c der Justizvollzugsverordnung des Kantons Zürich vom 6. Dezember 2006 (JVV/ZH; LS 331.1) verlangte vor dem 1. Januar 2018 für die Bewilligung der Halbgefangenschaft einen Beschäftigungsgrad von mindestens 50 %.
Nach der seit dem 1. Januar 2018 geltenden Fassung von Art. 77b Abs. 1 StGB kann eine Freiheitsstrafe von nicht mehr als 12 Monaten auf Gesuch des Verurteilten hin in der Form der Halbgefangenschaft vollzogen werden, wenn nicht zu erwarten ist, dass der Verurteilte flieht oder weitere Straftaten begeht und der Verurteilte einer geregelten Arbeit, Ausbildung oder Beschäftigung von mindestens 20 Stunden pro Woche nachgeht.
Mit Bundesrecht vereinbar ist es, die Halbgefangenschaft davon abhängig zu machen, dass die verurteilte Person kooperiert und Art und Umfang ihrer Arbeitstätigkeit sowie ihre Arbeitszeiten so gut wie möglich darlegt (Urteil 6B_813/2016 vom 25. Januar 2017 E. 2.2.2).
3.
Der Beschwerdeführer brachte in seinem Rekurs an die Direktion der Justiz und des Innern und in seiner Beschwerde an die Vorinstanz vor, er habe den Pferdehof in A._ nicht mehr weiterführen können und sei während langer Zeit arbeitslos gewesen. Nun versuche er, sich eine Selbstständigkeit als Bereiter aufzubauen. Er verwies hierzu auf seine Internetseite sowie seine Visitenkarte. Vor der Vorinstanz machte er zudem geltend, er sei als Reitlehrer tätig.
Der Beschwerdeführer legt zwar dar, er sei als Reitlehrer tätig und versuche, sich eine Existenz als selbstständiger Bereiter aufzubauen. Dass es sich dabei um eine geregelte Tätigkeit mit einem gewissen Mindestpensum handelt, kann seinen Ausführungen jedoch nicht entnommen werden. Ebenso wenig behauptet er, er halte selber Pferde, für deren Pflege und Wohlergehen er verantwortlich sei. Er betont vielmehr selber, dass sich seine Tätigkeit erst im Aufbau befinde und dass er den früher von ihm betriebenen Pferdehof aufgeben musste. Nicht zu beanstanden ist, wenn die Vorinstanz unter diesen Umständen davon ausgeht, die Voraussetzungen für die Halbgefangenschaft seien nicht erfüllt.
4.
Der Beschwerdeführer beantragt, der Strafantritt sei auf unbestimmte Zeit aufzuschieben, da ihm eine weitere Freiheitsstrafe von 42 Monaten drohen könnte, welche zusammen mit der Freiheitsstrafe von 8 Monaten zu verbüssen sei. Es verstosse gegen das Verhältnismässigkeitsprinzip, wenn er nach Verbüssung der Freiheitsstrafe von 8 Monaten nach einigen Monaten erneut den Vollzug einer Freiheitsstrafe antreten müsse, da damit der Aufbau seiner Selbstständigkeit verhindert würde. Mit dem Vollzug der hier zur Debatte stehenden Freiheitsstrafe sei daher bis zum Abschluss des Berufungsverfahrens gegen die vom Wirtschaftsstrafgericht des Kantons Bern ausgesprochene Freiheitsstrafe von 42 Monaten bzw. bis zum rechtskräftigen Abschluss dieses Verfahrens zuzuwarten.
5.
Der Vollzug von Strafen und somit auch der hier fragliche Strafantritt richten sich nach kantonalem Recht (Art. 372 Abs. 1 StGB, Art. 439 Abs. 1 und 2 StPO).
Nach § 48 Abs. 3 JVV/ZH kann das Amt für Justizvollzug auf Gesuch der verurteilten Person den Strafantritt auf einen späteren Termin verschieben, wenn dadurch erhebliche Gesundheitsrisiken oder andere erhebliche, nicht wiedergutzumachende Nachteile vermieden werden und weder der Vollzug der Strafe in Frage gestellt noch erhöhte Risiken für Dritte entstehen.
Das öffentliche Interesse am Vollzug rechtskräftig verhängter Strafen und der Gleichheitssatz schränken den Ermessensspielraum der Vollzugsbehörde hinsichtlich einer Verschiebung des Strafvollzugs nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung erheblich ein. Der Strafvollzug bedeutet für den Betroffenen immer ein Übel, das vom einen besser, vom andern weniger gut ertragen wird. Eine Verschiebung des Vollzugs einer rechtskräftigen Strafe auf unbestimmte Zeit kommt nur ausnahmsweise infrage. Dafür wird verlangt, dass mit beträchtlicher Wahrscheinlichkeit damit zu rechnen ist, der Strafvollzug gefährde das Leben oder die Gesundheit des Verurteilten (<ref-ruling> E. 2b und c S. 71 f.; Urteile 6B_580/2017 vom 21. August 2017 E. 2.2.1; 6B_336/2017 vom 27. März 2017 E. 1.2; je mit Hinweisen).
6.
Ein Anspruch darauf, dass Gerichte bzw. Behörden mit dem Vollzug einer rechtskräftigen Strafe zuwarten, bis über ein anderes noch hängiges Strafverfahren entschieden wird, besteht nicht (vgl. bereits Verfügung 6B_467/2018 vom 7. Mai 2018). Der Beschwerdeführer behauptet sodann nicht, durch den beantragten Strafaufschub könnten erhebliche Gesundheitsrisiken oder andere erhebliche, nicht wiedergutzumachende Nachteile im Sinne von § 48 Abs. 3 JVV/ZH vermieden werden. Seine Beschwerde erweist sich daher auch bezüglich der beantragten Verschiebung des Strafantrittstermins als unbegründet.
7.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sein sinngemässes Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, weil die Beschwerde von vornherein aussichtslos war (vgl. Art. 64 Abs. 1 BGG). Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist mit herabgesetzten Gerichtskosten Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, Einzelrichterin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Mai 2018
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Unseld