Sachverhalt:
A.
Nachdem ein erstes Leistungsbegehren abgewiesen worden war (Mitteilung vom 27. Februar 2012), meldete sich die 1971 geborene A._ im Dezember 2013 erneut bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen und durchgeführtem Vorbescheidverfahren verneinte die IV-Stelle des Kantons St. Gallen mit Verfügung vom 10. Februar 2017 den Anspruch auf eine Invalidenrente (Invaliditätsgrad: 36 %).
B.
Die hiergegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 16. September 2019 gut. Es sprach der Versicherten eine Viertelsrente ab 1. Juni 2014 zu und wies die Sache zur Festsetzung der Rentenbeträge an die IV-Stelle zurück.
C.
C.a. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Verfügung vom 9. Dezember 2016 (richtig: 10. Februar 2017) sei zu bestätigen. Weiter sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
C.b. Mit Beschwerdeantwort vom 14. November 2019 stellt die Beschwerdegegnerin folgende Rechtsbegehren:
"1. Die Beschwerde sei abzuweisen.
2. Eventualiter sei die Angelegenheit im Sinne der nachfolgenden Begründung zur weiteren Abklärung an die IV-Stelle zurückzuweisen und es sei die IV-Stelle anzuweisen insbesondere
a. eine Ergänzung des asim-Gutachtens einzuholen, wonach sich die Gutachter ausdrücklich erläuternd zur Frage der effektiven Arbeitsfähigkeit der Beschwerdegegnerin bei angepasster Tätigkeit zu äussern haben,
b. eine nochmalige Auskunft des Regionalen ärztlichen Dienstes über dessen aktuelle Einschätzung der effektiven Arbeitsfähigkeit der Beschwerdegegnerin bei angepasster Tätigkeit einzuholen und
c. einen neuen Betätigungsvergleich für die Haushaltstätigkeit unter Befragung und Miteinbezug der Mutter und der Familie der Beschwerdegegnerin durchzuführen."

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die (weiteren) Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1.1 S. 208 mit Hinweisen).
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin weist zu Recht darauf hin, dass Rückweisungsentscheide ausnahmsweise unter dem Titel von <ref-law> anfechtbar sind. Dies trifft dann zu, wenn der erstinstanzlichen Verwaltungsbehörde kein Entscheidungsspielraum mehr verbleibt, sondern die Rückweisung allein der (rechnerischen) Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 285 mit Hinweis auf Urteil 9C_684/2007 vom 27. Dezember 2007 E. 1.1, publiziert in: SVR 2008 IV Nr. 39 S. 131; vgl. auch Urteile 9C_73/2017 vom 14. März 2018 E. 1; 9C_597/2017 vom 4. Dezember 2017 E. 1; 8C_793/2016 vom 15. September 2017 E. 1). Eine solche Konstellation liegt hier vor, weshalb auf die Beschwerde einzutreten ist.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Bei teilerwerbstätigen Versicherten ist die Invaliditätsbemessung nach der gemischten Methode vorzunehmen. Es wird zunächst der Anteil der Erwerbstätigkeit und derjenige der Tätigkeit im Aufgabenbereich (so unter anderem im Haushalt) bestimmt, wobei sich die Frage, in welchem Ausmass die versicherte Person ohne gesundheitliche Beeinträchtigung erwerbstätig wäre, mit Rücksicht auf die gesamten Umstände, so die persönlichen, familiären, sozialen und erwerblichen Verhältnisse, beurteilt. Die Invalidität bestimmt sich in der Folge dadurch, dass im Erwerbsbereich ein Einkommens- und im Aufgabenbereich ein Betätigungsvergleich vorgenommen wird, wobei sich die Gesamtinvalidität aus der Addierung der in beiden Bereichen ermittelten und gewichteten Teilinvaliditäten ergibt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3 S. 394 ff., E. 3.3 S. 395 f.; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.1.3 S. 338).
2.2. Im erwerblichen Bereich wurde bei Anwendung der gemischten Methode als Valideneinkommen praxisgemäss berücksichtigt, was die versicherte Person im Gesundheitsfall aus ihrer Teilerwerbstätigkeit erzielen würde (<ref-ruling> E. 2b S. 150; Urteile 8C_741/2014 vom 11. März 2015 E. 5.1.1; 8C_807/2012 vom 21. Februar 2013 E. 5.1.4; I 654/05 vom 22. November 2006 E. 8.2; I 132/06 vom 5. September 2006 E. 4.2.1; UELI KIESER, Gemischte Methode - ein Blick auf die bisherige Rechtsprechung, HAVE 4/2016 S. 471 ff., S. 474). Seit dem 1. Januar 2018 bestimmt <ref-law>, dass sich die Berechnung des Invaliditätsgrades in Bezug auf die Erwerbstätigkeit bei Teilerwerbstätigen, die sich zusätzlich im Aufgabenbereich nach <ref-law> betätigen, nach <ref-law> richtet, wobei das Erwerbseinkommen, das die versicherte Person durch die Teilerwerbstätigkeit erzielen könnte, wenn sie nicht invalid geworden wäre, auf eine Vollerwerbstätigkeit hochgerechnet wird.
3.
Die Vorinstanz ist in medizinischer Hinsicht dem asim-Gutachten vom 7. Dezember 2015 gefolgt und hat (bezogen auf ein Vollzeitpensum) eine Arbeitsfähigkeit von 60 % in leidensangepasster Tätigkeit festgestellt. Sie hat die Beschwerdegegnerin als Teilerwerbstätige qualifiziert und auf eine Aufteilung zwischen Haushalt und Erwerbstätigkeit von 60 zu 40 % geschlossen. Den Invaliditätsgrad hat das kantonale Gericht nach der gemischten Methode in Anwendung der am 1. Januar 2018 in Kraft getretenen Regeln von Art. 27bis IVV ermittelt. Durch die Gegenüberstellung eines (auf ein Vollzeitpensum hochgerechneten) Valideneinkommens von Fr. 77'108.- und eines Invalideneinkommens von Fr. 29'048.- hat es im Erwerbsbereich einen Invaliditätsgrad von 62 % berechnet. Im Aufgabenbereich ist es gestützt auf den Abklärungsbericht vom 23. Dezember 2014 von einer Einschränkung von 39 % ausgegangen. Unter Addierung der beiden gewichteten Invaliditätsgrade hat die Vorinstanz einen Invaliditätsgrad von insgesamt 48 % ermittelt (25 % [62 % x 0.4] + 23 % [39 % x 0.6]) und den Anspruch der Beschwerdegegnerin auf eine Viertelsrente ab 1. Juni 2014 bejaht.
4.
4.1. Die IV-Stelle beanstandet im Wesentlichen die (rückwirkende) Anwendung von <ref-law>.
4.2. Nach ständiger Rechtsprechung kann die Invaliditätsbemessung mittels der gemischten Methode nach dem neuen Berechnungsmodell gemäss Art. 27bis Abs. 2 bis 4 IVV in der Fassung vom 1. Dezember 2017 erst ab dem Zeitpunkt des Inkrafttretens dieser Bestimmung am 1. Januar 2018 erfolgen (Urteile 9C_883/2018 vom 13. Juni 2019 E. 3.3; 8C_865/2018 vom 17. April 2019 E. 4.3; 8C_820/2018 vom 17. April 2019 E. 3.3; 8C_145/2018 vom 8. August 2018 E. 6.2; 8C_793/2017 vom 8. Mai 2018 E. 7.1; 8C_462/2017 vom 30. Januar 2018 E. 5.3; 9C_553/2017 vom 18. Dezember 2017 E. 5 und 6.2, je mit Hinweisen). Damit besteht für den hier interessierenden Zeitraum vom 1. Juni 2014 (potenzieller Rentenbeginn, E. 3) bis 10. Februar 2017 (Erlass der angefochtenen Verfügung) kein Raum für die Berücksichtigung eines auf eine Vollerwerbstätigkeit hochgerechneten Valideneinkommens.
Gründe, aufgrund welcher von dieser Praxis abzuweichen wäre (<ref-ruling> E. 4.5 S. 541 mit Hinweisen), sind weder mit Blick auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid (vorinstanzliche Erwägungen 3.2 f. S. 14 ff.) noch in der Beschwerdeantwort vom 14. November 2019 ersichtlich. So geht es insbesondere um die einheitliche und rechtsgleiche Behandlung von Versicherten, bei denen der Zeitpunkt des potenziellen Rentenbeginns vor dem 1. Januar 2018 liegt. Eine solche Gleichbehandlung wäre nicht gewährleistet, wenn Betroffene, deren Anspruch vor Inkrafttreten der neuen Regelung abgewiesen worden war, sich gemäss Abs. 2 der Übergangsbestimmungen zur Änderung vom 1. Dezember 2017 neu zum Leistungsbezug anmelden müssten, während Leistungsansprecher, deren Verfahren betreffend Rentenzusprache am 1. Januar 2018 noch hängig war, direkt in den Genuss der neuen Regelung kämen.
Mit der Anwendung von <ref-law> verletzt der vorinstanzliche Entscheid Bundesrecht. Es bleibt somit bei einem Valideneinkommen von Fr. 30'843.-, weshalb die Rüge der IV-Stelle, es hätte kein Abzug seitens des Invalideneinkommens (10 %) erfolgen sollen, gegenstandslos ist (vgl. E. 5.1).
5.
5.1. Das kantonale Gericht ist im Rahmen der Ermittlung des Invalideneinkommens von einer Arbeitsfähigkeit von 60 % in leidensangepasster Tätigkeit ausgegangen und hat einen Abzug vom Tabellenlohn (<ref-ruling> E. 5.2 S. 301 mit Hinweisen) in der Höhe von 10 % gewährt. Dadurch resultiert im Erwerbsbereich ein Invaliditätsgrad von 6 % respektive (gewichtet) 2 %.
5.2. Die Beschwerdegegnerin bestreitet die festgestellte Arbeitsfähigkeit, verlangt einen Abzug von 25 % und beantragt weitere Abklärungen im Haushaltsbereich. Alle diese Punkte, insbesondere die vorinstanzlich festgestellte Arbeitsfähigkeit, beschlagen Tatsachen- und Ermessensfragen und sind beschwerdeweise von keiner Seite angefochten worden, weshalb sie für das Bundesgericht verbindlich bleiben, gibt es doch keine Anschlussbeschwerde (<ref-ruling> E. 10.2 S. 73; <ref-ruling> E. 2.1 S. 110; <ref-ruling> E. 2.5 S. 335 f.; Urteil 9C_756/2009 vom 8. Februar 2010 E. 4.1; ferner JOHANNA DORMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 2 zu <ref-law>). Hierauf ist nicht weiter einzugehen.
6.
Die Beschwerde ist offensichtlich begründet (<ref-law>).
7.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
8.
Das Verfahren ist kostenpflichtig. Die Gerichtskosten und eine allfällige Parteientschädigung trägt grundsätzlich die unterliegende Partei (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG). Der Grundsatz, wonach unnötige Kosten zu bezahlen hat, wer sie verursacht (Art. 66 Abs. 3 und Art. 68 Abs. 4 BGG), gestattet es aber, die Gerichts- und Parteikosten ausnahmsweise dem kantonalen Gericht bzw. dem Gemeinwesen, dem es angehört, aufzuerlegen. Dies ist vorliegend gerechtfertigt, weil die Vorinstanz systematisch die hier anwendbare Rechtsprechung des Bundesgerichts missachtet (E. 4) und die Verwaltung damit zur Beschwerdeerhebung zwingt, was nicht der Versicherten angelastet werden kann (vgl. Urteile 8C_503/2019 vom 19. Dezember 2019 E. 4.1 f. und 9C_883/2018 vom 13. Juni 2019 E. 6).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen, Abteilung II, vom 16. September 2019 wird aufgehoben und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons St. Gallen vom 10. Februar 2017 bestätigt.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Kanton St. Gallen auferlegt.
3.
Der Kanton St. Gallen hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mir Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung II, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. Januar 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Nünlist