Sachverhalt:
A.
Am 20. August 2019 reichte die B._ AG gegen A._ ein Schlichtungsgesuch ein und verlangte die Bezahlung verschiedener Geldbeträge in Millionenhöhe. Sie machte unter anderem geltend, ihm einen Betrag von Fr. 600'000.-- als Darlehen überwiesen zu haben und forderte dessen Rückzahlung. A._ erstattete am 28. August 2019 Strafanzeige gegen den Verwaltungsratspräsidenten der B._ AG, C._, und/oder ein anderes Organ dieser Unternehmung wegen Verdachts auf Urkundenfälschung. Er wirft C._ resp. der unbekannten Täterschaft vor, auf einem undatierten Vertrag mit der Bezeichnung "KK/Darlehensvertrag" seine Unterschrift gefälscht zu haben. Gemäss diesem Vertrag gewährt die B._ AG A._ ein Darlehen über Fr. 600'000.-- zwecks Finanzierung eines Eigenheims. Laut Strafanzeige diene der gefälschte Vertrag dazu, eine nicht bestehende Forderung gegen A._ durchzusetzen.
B.
Mit Verfügung vom 22. Oktober 2019 nahm die Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich die Strafuntersuchung nicht an die Hand. Eine gegen die Nichtanhandnahme erhobene Beschwerde von A._ wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 11. Mai 2020 ab.
C.
A._ erhebt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 11. Mai 2020 sowie die Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich vom 22. Oktober 2019 seien aufzuheben. Die Staatsanwaltschaft sei anzuweisen, eine Strafuntersuchung zu eröffnen und durchzuführen.
Die kantonalen Akten wurden eingeholt.

Erwägungen:
1.
Kantonal letztinstanzlicher Entscheid im Sinne von <ref-law> und damit Anfechtungsobjekt im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren ist einzig der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 11. Mai 2020. Soweit die Aufhebung der Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft beantragt oder diese inhaltlich angefochten wird, kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden (vgl. Urteil 6B_585/2019 vom 25. Oktober 2019 E. 1.2 mit Hinweis).
2.
2.1. Die Privatklägerschaft ist zur Beschwerde in Strafsachen nur berechtigt, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG).
2.1.1. Als Privatklägerschaft gilt die geschädigte Person, die ausdrücklich erklärt, sich als Straf- oder Zivilklägerin am Strafverfahren zu beteiligen (<ref-law>). Geschädigt ist, wer durch die Straftat in seinen Rechten unmittelbar verletzt worden (<ref-law>), das heisst wer Träger des durch die verletzte Strafnorm geschützten oder zumindest mitgeschützten Rechtsguts ist (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 3.2; je mit Hinweisen).
2.1.2. Richtet sich die Beschwerde gegen die Einstellung oder Nichtanhandnahme eines Verfahrens, hat die Privatklägerschaft nicht notwendigerweise bereits vor den kantonalen Behörden eine Zivilforderung geltend gemacht. Die Privatklägerschaft muss vor Bundesgericht daher darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderung auswirken kann. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen nicht, kann darauf nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderungen es geht (<ref-ruling> E. 1.1; Urteil 6B_1282/2020 vom 8. Juli 2021 E. 1.1; je mit Hinweisen).
2.1.3. Urkundendelikte schützen in erster Linie die Allgemeinheit. Geschütztes Rechtsgut ist das besondere Vertrauen, das im Rechtsverkehr einer Urkunde als Beweismittel entgegengebracht wird. Daneben können auch private Interessen unmittelbar verletzt werden, falls die Urkundenfälschung auf die Benachteiligung einer bestimmten Person abzielt (BGE <ref-ruling> E. 3.3.3 mit Hinweis). Dies ist namentlich der Fall, wenn das Urkundendelikt auf die Verfolgung eines weitergehenden, wirtschaftlichen Zwecks abzielt und insofern als blosse Vorbereitungshandlung eines schädigenden Vermögensdelikts erscheint. Dabei schützt der Tatbestand regelmässig nur diejenigen Teilnehmer am Rechtsverkehr, denen gegenüber die falsche oder unwahre Urkunde gebraucht wird oder gebraucht werden soll, und die gestützt hierauf nachteilige rechtserhebliche Entscheidungen treffen könnten (Urteile 6B_970/2020 vom 23. September 2020 E. 3.5.2; 6B_297/2018 vom 6. September 2018 E. 4.4.1; je mit Hinweisen).
2.2. Zur Beschwerdelegitimation führt der Beschwerdeführer aus, er habe sich bereits in der Strafanzeige umfassend als Privatkläger konstituiert. Unter der Annahme, dass der Vorwurf der Fälschung seiner Unterschrift zutreffe, würde der Darlehensvertrag in einem Zivilverfahren zur Begründung einer nicht existierenden Forderung gegen ihn eingesetzt. Unter diesen Umständen würde er zur Bezahlung einer nicht bestehenden Forderung verpflichtet und dadurch in seinen Rechten unmittelbar geschädigt. Ausserdem hätte er Anspruch auf Schadenersatz und/oder Genugtuung aus Unkosten eines Verfahrens, das durch die Verwendung einer gefälschten Urkunde initiiert worden wäre (insbesondere Anwaltskosten).
2.3. Ob diese Ausführungen ausreichen, um dem Beschwerdeführer, dessen Strafanzeige in erster Linie Teil der Verteidigungsstrategie in einem Zivilprozess ist, eine Beschwerdeberechtigung zuzuerkennen, scheint zumindest fraglich (vgl. Urteil 6B_968/2018 vom 8. April 2019 E. 1.2.1 mit Hinweisen, wonach das Strafverfahren nicht als Vehikel zur Durchsetzung zivilrechtlicher Ansprüche missbraucht werden darf und es sich bei im Zivilprozess anfallenden Prozesskosten nicht um unmittelbare Folgekosten der behaupteten Urkundenfälschung handelt). Die Konstituierung als Privatkläger allein reicht zur Begründung der Beschwerdelegitimation vor Bundesgericht jedenfalls nicht aus. Die Frage der Legitimation kann aber offenbleiben, da die Beschwerde, wie aus den nachfolgenden Erwägungen hervorgeht, ohnehin unbegründet ist.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer bestreitet, mit der B._ AG einen Darlehensvertrag abgeschlossen zu haben und bezeichnet das Dokument "KK/Darlehensvertrag" als Totalfälschung. Er erachtet es als auffällig, dass dieser Vertrag nicht datiert sei, seine Unterschrift kaum erkennbar sei und kein Original vorliege. Aus den Akten gehe zudem nicht hervor, dass sich die Staatsanwaltschaft hinreichend um die Beschaffung des Originals bemüht habe, weshalb die Beweismittelerhebung unvollständig sei. Zu den einzelnen Überweisungen bringt der Beschwerdeführer vor, aus einer SMS-Konversation zwischen ihm und C._ vom Februar 2017 sei ersichtlich, dass dieser ihm Fr. 100'000.-- als "Aufmerksamkeit" habe zukommen lassen für seine Arbeit bei "D._". Dies spreche deutlich gegen ein Darlehen. Die Überweisung von Fr. 500'000.-- basiere sodann auf einem Optionsvertrag zwischen ihm und der B._ AG vom 28. Februar 2017. Insbesondere stimme der Zeitpunkt der Überweisung mit der vertraglich vereinbarten Zahlungsfrist überein. Das aktenkundige Schreiben der B._ AG an die E._ vom 28. Juli 2017, in dem die Transaktionen als Darlehen ausgewiesen würden, sei nichts anderes als eine Parteibehauptung. Deren Würdigung müsse einem Gericht überlassen oder zumindest im Rahmen einer vertieften Strafuntersuchung vorgenommen werden. Insgesamt liege keine Situation vor, in der es offensichtlich an objektiven Beweisen fehle.
3.2. Die Vorinstanz erwägt, bei der streitigen Frage nach dem Rechtsgrund der beiden Zahlungen handle es sich um eine rein zivilrechtliche Streitigkeit, die im hängigen Zivilverfahren zu klären sei. Aus strafrechtlicher Sicht sei einzig relevant, ob Hinweise auf eine Fälschung des als "KK/Darlehensvertrag" bezeichneten Vertrags vorlägen. Dies sei zu verneinen. Vielmehr sei aktenkundig, dass die Existenz eines Darlehensvertrags bereits vor Einleitung des Schlichtungsverfahrens behauptet worden sei, was gegen eine Fälschung spreche. So werde der Darlehensvertrag bereits im Schreiben der B._ AG an die E._ vom 28. Juli 2017 erwähnt und bei der Überweisung von Fr. 500'000.-- sei als Zahlungsgrund das Stichwort "Darlehen" vermerkt worden. Die Vorbringen des Beschwerdeführers, wonach es sich bei den Überweisungen um eine Schenkung resp. die Erfüllung eines Optionsvertrags handle, beträfen einzig die zivilrechtliche Auslegung der jeweiligen Parteiwillen resp. der Verträge.
3.3. Die Staatsanwaltschaft eröffnet eine Untersuchung, wenn sich etwa aus einer Strafanzeige ein hinreichender Tatverdacht ergibt (<ref-law>). Die zur Eröffnung einer Strafuntersuchung erforderlichen tatsächlichen Hinweise auf eine strafbare Handlung müssen erheblich und konkreter Natur sein. Blosse Gerüchte oder Vermutungen genügen nicht. Der Anfangsverdacht soll eine plausible Tatsachengrundlage haben, aus der sich die konkrete Möglichkeit ergibt, dass eine Straftat begangen worden ist (Urteile 6B_472/2020 vom 13. Juli 2021 E. 2.2.1; 6B_553/2019 vom 6. November 2019 E. 3.1; je mit Hinweisen).
Dagegen verfügt die Staatsanwaltschaft die Nichtanhandnahme, sobald aufgrund der Strafanzeige oder des Polizeirapports feststeht, dass die fraglichen Straftatbestände oder die Prozessvoraussetzungen eindeutig nicht erfüllt sind (<ref-law>). Ob die Behörde ein Strafverfahren durch Nichtanhandnahme erledigen kann, beurteilt sich nach dem aus dem strafprozessualen Legalitätsprinzip abgeleiteten Grundsatz "in dubio pro duriore". Danach darf die Nichtanhandnahme nur in sachverhaltsmässig und rechtlich klaren Fällen ergehen (<ref-ruling> E. 2.3.2; <ref-ruling> E. 4.1.1; Urteil 6B_472/2020 vom 13. Juli 2021 E. 2.2.3 mit Hinweisen). Die Strafverfolgungsbehörde und die Beschwerdeinstanz verfügen in diesem Rahmen über einen gewissen Ermessensspielraum, in den das Bundesgericht nur mit Zurückhaltung eingreift (Urteile 6B_472/2020 vom 13. Juli 2021 E. 2.2.3; 6B_810/2020 vom 14. September 2020 E. 2.1; je mit Hinweisen). Es prüft im Rahmen einer Beschwerde gegen die Nichtanhandnahme nicht wie beispielsweise bei einem Schuldspruch, ob die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen willkürlich sind (<ref-law>), sondern nur, ob die Vorinstanz willkürlich von einer "klaren Beweislage" ausgegangen ist oder gewisse Tatsachen willkürlich für "klar erstellt" angenommen hat. Dies ist der Fall, wenn offensichtlich nicht gesagt werden kann, es liege ein klarer Sachverhalt vor, bzw. wenn ein solcher Schluss schlechterdings unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 2.3.2; Urteil 6B_1282/2020 vom 8. Juli 2021 E. 3). Die Willkürrüge muss in der Beschwerde explizit vorgebracht und substanziiert begründet werden. Auf ungenügend begründete Rügen oder bloss allgemein gehaltene appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 4.1.2; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 4.2; je mit Hinweisen).
3.4. Die Ausführungen des Beschwerdeführers beschränken sich zu einem grossen Teil auf eine Wiederholung seiner bereits im kantonalen Verfahren vorgetragenen Argumente. Soweit er mit seiner Kritik überhaupt an den Erwägungen der Vorinstanz ansetzt und damit der Begründungspflicht nach <ref-law> nachkommt (vgl. dazu Urteile 6B_71/2021 vom 28. Juli 2021 E. 1.2; 6B_100/2021 vom 11. Februar 2021 E. 1.3.2; je mit Hinweis), ist festzuhalten was folgt:
Zunächst will der Beschwerdeführer mit der Vorlage einer SMS-Konversation mit C._ vom 3. Februar 2017 belegen, dass die erhaltene Zahlung von Fr. 100'000.-- nicht durch einen Darlehensvertrag begründet ist. Den fraglichen Zahlungseingang hat er am 6. Februar bei sich verbucht. Wie er selber vorbringt und aus den aktenkundigen Kurznachrichten hervorgeht, erkundigte er sich aber bereits am 3. Februar 2017 nach Erhalt eines Zahlungsbelegs nach dem Grund der entsprechenden Überweisung. Deren Höhe geht aus der eingereichten SMS-Konversation nicht hervor. Es ist nicht ersichtlich und wird vom Beschwerdeführer auch nicht ausgeführt, inwiefern diese SMS vom 3. Februar, die auf eine bereits getätigte Überweisung in unbekannter Höhe Bezug nimmt, etwas zum Grund einer erst am 6. Februar 2017 vorgenommenen Überweisung über Fr. 100'000.-- aussagen sollte.
Weiter mag zwar ein Optionsvertrag existieren, der sich im Betrag von Fr. 500'000.- und der Kaufoptionsfrist mit der vom Beschwerdeführer erhaltenen zweiten Zahlung in Übereinstimmung bringen lässt. Es ist jedoch nicht schlechterdings unhaltbar, wenn die Vorinstanz darin kein hinreichendes Indiz für eine Fälschung des Darlehensvertrags erblickt. Sie stützt sich dabei auf den Umstand, dass die B._ AG gegenüber ihrer Bank bereits am 28. Juli 2017 erklärt hatte, mit dem Beschwerdeführer eine Darlehensverbindung zu unterhalten, wobei die Überweisung von Fr. 500'000.-- in deren Rahmen erfolgt sei, sowie auf den bei der Überweisung vermerkten Zahlungszweck "Darlehen". Der Beschwerdeführer bringt, wie bereits im kantonalen Verfahren, einzig vor, diesen Vermerk nicht bemerkt zu haben und nicht in die Kommunikation zwischen der B._ AG und der E._ involviert gewesen zu sein, weshalb er den vermittelten Informationen auch nicht zugestimmt habe. Dies reicht mit Blick auf <ref-law> nicht aus, um Willkür in den zwar knappen, aber nachvollziehbaren Erwägungen der Vorinstanz zu begründen. In Anbetracht der Indizien, die den Verdacht des Beschwerdeführers entkräften, brauchte die Vorinstanz seinem Einwand, der offenbar nur in Kopie vorliegende Darlehensvertrag sei nicht datiert und seine Unterschrift nur schwer erkennbar, im Übrigen nicht weiter nachzugehen. Zumindest die fehlende Datierung und das Fehlen des Originals können zwar tendenziell als ungewöhnlich erachtet werden, begründen aber keinen hinreichenden Anfangsverdacht auf eine Fälschung der Unterschrift. Ebenfalls fehl geht der Vorwurf, die Staatsanwaltschaft habe die Beweise unvollständig erhoben und <ref-law> verletzt. Dem angefochtenen Beschluss ist zu entnehmen, dass die Staatsanwaltschaft Akten aus einem anderen Verfahren beigezogen hat und bei der B._ AG eine Hausdurchsuchung stattfand. Die Ermittlungsansätze, mit denen versucht wurde, das Original des Darlehensvertrags ausfindig zu machen, können somit als genügend bezeichnet werden.
Zusammenfassend verletzt die Vorinstanz kein Bundesrecht, wenn sie zum Schluss gelangt, es lägen keine hinreichenden Anhaltspunkte für eine Straftat vor, den Beschwerdeführer zur Durchsetzung seines Anliegens auf das hängige Zivilverfahren verweist und die Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft schützt.
4.
Vorbehaltlich hinreichender Auseinandersetzung mit den Erwägungen im angefochtenen Beschluss erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. August 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Jacquemoud-Rossari
Die Gerichtsschreiberin: Lustenberger