Sachverhalt:
A.
Am 24. September 2018 genehmigte der Einwohnerrat der Stadt Aarau einen Investitionskredit über Fr. 393'000.-- für Hochwasserschutzmassnahmen in der Vorderen Vorstadt. Der Beschluss wurde am Freitag, 28. September 2018, im kantonalen Amtsblatt veröffentlicht. Am 5. Oktober 2018 erhob Stephan Müller Stimmrechtsbeschwerde und verlangte, die Referendumsfrist sei neu anzusetzen. Die Publikation des Beschlusses an einem Freitag bewirke, dass die gesetzliche Referendumsfrist von 30 Tagen unzulässigerweise verkürzt werde, da erst am Montag, nach Hinterlegung der Unterschriftenliste, mit dem Sammeln von Unterschriften begonnen werden könne.
Das kantonale Departement Volkswirtschaft und Inneres (DVI) wies die Beschwerde am 19. November 2018 ab und auferlegte Stephan Müller die Verfahrenskosten.
Am 23. November 2018 wurde im kantonalen Amtsblatt die Feststellung des Stadtrats veröffentlicht, dass kein Referendum zustande gekommen sei. Unter anderem wurde Folgendes festgehalten:
Am 29. Oktober 2018 ist bei der Stadtkanzlei fristgerecht 1 Unterschriftenliste eingegangen.
Stimmberechtigte am 1. Oktober 2018 14'217
- erforderliche Unterschriften (1/10) 1'422
- eingereichte gültige Unterschriften 1
- ungültige Unterschriften 0
Am 26. November 2018 erhob Stephan Müller Verwaltungsgerichtsbeschwerde und beantragte zur Hauptsache, der Entscheid des DVI sei aufzuheben und eine neue Referendumsfrist anzusetzen. Mit Urteil vom 1. Mai 2019 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau die Beschwerde ab und auferlegte Stephan Müller die Verfahrenskosten.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht beantragt Stephan Müller, das Urteil des Verwaltungsgerichts und in Bezug auf die Kosten auch der Entscheid des DVI seien aufzuheben. Es sei anzuordnen, dass die Referendumsfrist nicht am Samstag oder Sonntag zu laufen beginnen dürfe. Je nach Ausgang dieser akzessorischen Normenkontrolle solle das Referendum betreffend Hochwasserschutz nochmals ausgeschrieben werden. Eventualiter sei die Sache ans Verwaltungsgericht zurückzuweisen.
Das DVI hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Das Verwaltungsgericht und die Einwohnergemeinde Aarau beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Beschwerdeführer und die Einwohnergemeinde Aarau haben sich erneut vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 23. April 2019 verletze seine politischen Rechte. Insofern ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten in der Form der Stimmrechtsbeschwerde gemäss <ref-law> das zutreffende Rechtsmittel. Das angefochtene Urteil ist kantonal letztinstanzlich und entspricht den Anforderungen von <ref-law>. Es wurde dem Beschwerdeführer am 23. Mai 2019 zugestellt. Die Beschwerde wurde am 24. Juni 2019 - dem letzten Tag der Beschwerdefrist und damit rechtzeitig - der Schweizerischen Post aufgegeben (Art. 44 f. und <ref-law>).
1.2. Der Beschwerdeführer ist in Aarau stimmberechtigt und damit gemäss <ref-law> zur Beschwerde legitimiert. Der Stadtrat ist zwar der Auffassung, an der Beurteilung der Beschwerde bestehe kein aktuelles Interesse mehr, weil die amtlichen Meldungen der Stadt im kantonalen Amtsblatt neuerdings am Donnerstag veröffentlicht würden. Dass dadurch das Rechtsschutzinteresse entfällt, ist jedoch unzutreffend (vgl. zu dieser Voraussetzung Urteil 1C_161/2007 vom 18. Februar 2008 E. 1.2 mit Hinweisen). Falls dem Beschwerdeführer unzulässigerweise die Frist zur Sammlung von Unterschriften für ein Referendum gegen den Beschluss des Einwohnerrats vom 24. September 2018 verkürzt worden sein sollte, vermöchte daran eine spätere Änderung der Publikationspraxis offensichtlich nichts zu ändern.
1.3. Unzulässig ist der beschwerdeführerische Antrag, auch den Entscheid des DVI teilweise aufzuheben. Dieser ist durch das Urteil des Verwaltungsgerichts ersetzt worden (Devolutiveffekt) und gilt als inhaltlich mitangefochten (<ref-ruling> E. 2.5 S. 415 mit Hinweis). Auf die Kritik des Beschwerdeführers ist deshalb im Folgenden nur insoweit einzugehen, als sie sich gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts richtet.
1.4. Im Rahmen der Beschwerde in Stimmrechtssachen prüft das Bundesgericht nicht nur die Auslegung von Bundesrecht und kantonalem Verfassungsrecht frei, sondern auch diejenige anderer kantonaler Vorschriften, welche den Inhalt des Stimm- und Wahlrechts normieren oder mit diesem in engem Zusammenhang stehen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1 S. 224 mit Hinweis).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, das Verwaltungsgericht sei befangen. Es habe ihm die Verfahrenskosten wegen früherer Verfahren auferlegt und fälschlicherweise behauptet, dass er in der Vergangenheit schon oft und zum weit überwiegenden Teil unbegründet Stimmrechtsbeschwerde erhoben habe. Weiter habe es auf ein von ihm erwirktes Bundesgerichtsurteil hingewiesen (<ref-ruling>), obwohl jener Fall völlig anders gelagert gewesen sei. Schliesslich habe es ihn verächtlich als "selbsternannten Wächter der Demokratie" bezeichnet.
2.2. Nach <ref-law> hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Die Garantie wird verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit begründen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 242 mit Hinweisen).
2.3. Der Umstand, dass das Verwaltungsgericht dem Beschwerdeführer wegen mutwilliger bzw. trölerischer Beschwerdeführung die Verfahrenskosten auferlegte, begründet für sich allein keinen Anschein der Befangenheit. Dasselbe gilt für die angeführte Begründung, selbst wenn sich diese als unzutreffend erweisen sollte (vgl. dazu auch E. 4 hiernach). Problematischer erscheint es dagegen auf den ersten Blick, wenn das Verwaltungsgericht den Beschwerdeführer als "selbsternannten Wächter der Demokratie" bezeichnet, da darin durchaus ein ironisch verkleideter persönlicher Vorwurf gesehen werden konnte. Diese Formulierung ist allerdings im Kontext zu betrachten. Thema der betreffenden Ausführungen war die Frage, ob die Beschwerde als mutwillig oder trölerisch bezeichnet werden kann. Ihre Bejahung ist zwangsläufig mit einer abwertenden Qualifizierung des Prozessverhaltens des Betroffenen verbunden. Hinzu kommt, dass das Verwaltungsgericht erklärend ausführte, der Beschwerdeführer würde mit seiner Beschwerde ausschliesslich persönliche Ziele verfolgen, indem er abstrakte Rechtsfragen durch die Justiz beantwortet haben wolle und damit als Nebeneffekt insbesondere den geordneten Ablauf von Prozessen der politischen Meinungsbildung erschwere oder gar verhindere. Diese Begründung ist sachlich. Sie scheint auch nicht völlig aus der Luft gegriffen, da der Beschwerdeführer offenbar tatsächlich nicht ernsthaft versuchte, die notwendigen Unterschriften für das Referendum zu sammeln. Vor diesem Hintergrund begründet die Bezeichnung "selbsternannter Wächter der Demokratie" nicht den Anschein der Befangenheit, auch wenn sie vom Beschwerdeführer als Vorwurf aufgefasst werden konnte. <ref-law> erweist sich deshalb als nicht verletzt.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Publikation des Beschlusses des Einwohnerrats an einem Freitag habe die von § 58 Abs. 1 des Gesetzes des Kantons Aargau vom 19. Dezember 1978 über die Einwohnergemeinden (Gemeindegesetz, GG; SAR 171.100) vorgesehene Frist verkürzt. Gemäss dieser Bestimmung kann das Referendum von einem Zehntel der Stimmberechtigten innert 30 Tagen, von der Veröffentlichung an gerechnet, ergriffen werden. Der Beschwerdeführer begründet seine Auffassung damit, dass gemäss § 62e des Gesetzes des Kantons Aargau vom 10. März 1992 über die politischen Rechte (GPR; SAR 131.100) vor Beginn der Unterschriftensammlung für ein Referendumsbegehren die Unterschriftenliste bei der Gemeindekanzlei zu hinterlegen ist. Das bedeute, dass die Referendumsfrist bereits am Samstag zu laufen beginne, die Unterschriftenliste aber erst am Montag, wenn die Schalter der Verwaltung wieder geöffnet seien, hinterlegt werden könne. Dadurch stünden die ersten beiden Tage der Referendumsfrist (Samstag und Sonntag) für das Sammeln für Unterschriften nicht zur Verfügung.
3.2. Das Verwaltungsgericht legte dar, es sei davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer als ehemaliges Mitglied des Einwohnerrats der Stadt Aarau von der betreffenden Einwohnerratssitzung gewusst habe und zwar bereits vor der am 28. September 2019 erfolgten Publikation des Beschlusses vom 24. September 2018 im kantonalen Amtsblatt. Die Aargauer Zeitung habe zudem schon am 25. September über diesen berichtet und die Stadt habe ihn am 26. September auf ihrer Website und einen Tag später im Landanzeiger publiziert. Unter diesen Umständen habe vom Beschwerdeführer aber ohne Weiteres erwartet werden können, dass er bereits am 28. September während den Bürozeiten eine Unterschriftenliste hinterlege.
3.3. Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass es ihm am 28. September 2018 möglich gewesen wäre, die Unterschriftenliste zu hinterlegen. Er hält zudem fest, dass die Rechtsauffassung des Verwaltungsgerichts das Problem der Hinterlegung des Unterschriftenbogens effektiv löse und spricht von einem ausserordentlich positiven Resultat seiner Beschwerde. Allerdings kritisiert er, dass das Verwaltungsgericht nicht angebe, wieviele Tage früher die Unterschriftenliste hinterlegt werden dürfe. Zudem gibt er zu bedenken, dass die Bestimmung des 10 %-Quorums bei vorgängiger Hinterlegung nicht in die Referendumsfrist falle.
3.4. Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, die abstrakte Frage zu klären, ob bereits vor der Publikation eines referendumspflichtigen Beschlusses eine Unterschriftenliste hinterlegt werden dürfte. Im vorliegenden Fall ist einzig und allein relevant, ob das Stimmrecht des Beschwerdeführers verletzt wurde. Räumt selbst er ein, dass er zwischen der Publikation des Beschlusses am Freitagmorgen und dem Ende der Öffnungszeiten der Verwaltung die Möglichkeit gehabt hätte, die Unterschriftenliste zu hinterlegen, stellt sich einzig noch die Frage, ob ein solches Vorgehen mit den gesetzlichen Anforderungen an die Bestimmung des 10 %-Quorums vereinbar ist.
3.5. Massgebend ist nach § 62d GPR für die Berechnung der erforderlichen Unterschriftenzahl die Zahl der Stimmberechtigten am Tag der Hinterlegung des Initiativ- oder Referendumsbegehrens bei der Gemeindekanzlei. Das Verwaltungsgericht hielt dazu fest, der Gesetzgeber habe mit dieser Regelung dafür gesorgt, dass die Ermittlung des Quorums stets in die Referendumsfrist bzw. auf den Tag vor ihrem Beginn falle. Er habe in Kauf genommen, dass es unterschiedlich hoch sein könne, je nachdem, wann die Unterschriftenliste hinterlegt werde.
3.6. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Anzahl der Stimmberechtigten variiere mehr, als man gemeinhin meine. Allerdings übersieht er, dass es bei einer am Wochenende geschlossenen Verwaltung keinen Unterschied macht, ob die Anzahl der Stimmberechtigten am Freitag (und damit einen Tag vor Beginn der Referendumsfrist) oder am darauffolgenden Samstag oder Sonntag eruiert wird, da unter diesen Umständen am Wochenende keine Zu- oder Abgänge bei den Stimmberechtigten verzeichnet werden. Selbst wenn seine Auffassung zuträfe, dass das Quorum zwingend innerhalb der Referendumsfrist festgelegt werden müsste, wofür im Übrigen dem Gesetz keine Anhaltspunkte zu entnehmen sind, ist der angefochtene Entscheid aus diesem Grund nicht zu beanstanden.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer beanstandet schliesslich, dass ihm im kantonalen Verfahren die Verfahrenskosten auferlegt wurden. Das Verwaltungsgericht stützte sein Urteil in dieser Hinsicht auf § 72 Abs. 1 GPR, wonach bei Verfahren über Stimmrechtsbeschwerden zwar weder Verfahrenskosten erhoben noch Parteientschädigungen zugesprochen werden, von der Kostenbefreiung jedoch mutwillige und trölerische Beschwerden ausgenommen sind. Das Bundesgericht prüft die Auslegung dieser kantonalen Bestimmung, die weder den Inhalt des Stimm- und Wahlrechts normiert noch mit diesem in engem Zusammenhang steht, lediglich unter dem Gesichtswinkel der Willkür (Urteil 1C_302/2019 vom 1. November 2019 E. 4).
4.2. Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht; zudem ist erforderlich, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 4.2 S. 516 mit Hinweisen).
4.3. Das Verwaltungsgericht legte dar, der Beschwerdeführer habe in der Vergangenheit schon oft und zum weit überwiegenden Teil unbegründet Stimmrechtsbeschwerden erhoben. Das allein vermöge eine Kostenauflage nicht zu rechtfertigen. Hier falle indessen in Betracht, dass der Beschwerdeführer bereits am 13. Dezember 2013 ein höchstrichterliches Urteil zur 30-Tage-Frist von § 58 Abs. 1 GG erwirkt habe (<ref-ruling>). Indem er diese Frist erneut zum Gegenstand einer Beschwerde mache, ohne gleichzeitig ernsthaft ein Referendum zu ergreifen, zeige er klar, dass es ihm nicht um die ungehinderte Ausübung politischer Rechte im konkreten Fall gehe und er damit zur Wahrung allgemeiner Interessen öffentliche Funktionen ausübe. Vielmehr verfolge er ausschliesslich persönliche Ziele als "selbsternannter Wächter der Demokratie", indem er abstrakte Rechtsfragen durch die Justiz beantwortet haben wolle und damit als Nebeneffekt insbesondere den geordneten Ablauf von Prozessen politischer Meinungsbildung, dem die Stimmrechtsbeschwerde gerade diene, erschwere oder gar verhindere. Die Beschwerde erweise sich daher als mutwillig.
4.4. Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, er habe im kantonalen Verfahren eigentlich teilweise obsiegt, da er eine akzessorische Normenkontrolle beantragt habe und sowohl das DVI als auch das Verwaltungsgericht eine solche vorgenommen hätten. Diese Auffassung ist unzutreffend. Verfahrensgegenstand war sowohl vor dem DVI als auch dem Verwaltungsgericht einzig die Frage, ob durch die Publikation des dem Referendum unterstehenden Beschlusses des Einwohnerrats an einem Freitag das Stimmrecht des Beschwerdeführers verletzt worden war, was beide Vorinstanzen verneinten. Dass sie zur Begründung das Gesetz in einer Weise auslegten, die der Beschwerdeführer ausdrücklich begrüsst, kommt nicht einer teilweisen Gutheissung der Beschwerde gleich.
4.5. Weiter bringt der Beschwerdeführer vor, es sei falsch zu behaupten, er habe in der Vergangenheit schon oft und zum überwiegenden Teil unbegründet Stimmrechtsbeschwerden erhoben. Zum Beleg nennt er drei Verfahren vor Bundesgericht, in denen er obsiegte. Zum erwähnten <ref-ruling> hält er fest, es sei dabei nicht um dasselbe gegangen. Im vorliegenden Verfahren wolle er eine andere Frage geklärt haben. Hinsichtlich des Vorwurfs, es handle sich dabei um eine "abstrakte Rechtsfrage", entgegnet er, dass das Verwaltungsgericht auf seine Beschwerde gar nicht hätte eintreten dürfen, wenn es tatsächlich dieser Auffassung sei. Dies habe es jedoch getan und damit implizit ein aktuelles praktisches Interesse bejaht. Somit entfalle auch dieser Grund, ihm Kosten aufzuerlegen.
4.6. Das Verwaltungsgericht hält den vom Beschwerdeführer aufgezählten Verfahren eine Reihe weiterer entgegen, in denen er unterlegen sei. Wie es sich damit im Einzelnen verhält, kann offenbleiben, ebenso, inwiefern <ref-ruling> für die hier zu beantwortende Frage von Bedeutung ist. Immerhin ist darauf hinzuweisen, dass es gemäss jenem Urteil mit Blick auf die kollektive Seite des Referendumsrechts zulässig ist vorauszusetzen, dass potenzielle Ergreifer des Referendums über eine gewisse Organisation verfügen, die ihnen ein möglichst frühzeitiges Lancieren einer Unterschriftensammlung und damit ein optimales Ausnutzen der Frist ermöglicht (a.a.O., E. 4.2.2 S. 66 mit Hinweisen). Massgebend erscheint hier jedoch vor allem, dass es dem Beschwerdeführer gemäss seinen eigenen Ausführungen im Grunde nicht um das Referendum gegen den Beschluss des Einwohnerrats vom 24. September 2018 geht, sondern um die Klärung des Vorgehens bei der Hinterlegung der Unterschriftenliste mit Blick auf künftige Referenden. Dieser Umstand findet ebenfalls darin Ausdruck, dass er sich auch nicht im Ansatz um die Sammlung von Unterschriften bemühte, sondern lediglich pro forma einen einzigen Unterschriftenbogen mit einer einzigen Unterschrift einreichte (vgl. auch a.a.O., E. 4.4 S. 67). Wenn das Verwaltungsgericht unter diesen Voraussetzungen die Beschwerde als mutwillig erachtete, erscheint dies jedenfalls nicht als geradezu willkürlich.
5.
Die Beschwerde ist aus diesen Erwägungen abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung für das bundesgerichtliche Verfahren. Gemäss <ref-law> befreit das Bundesgericht eine Partei, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, auf Antrag von der Bezahlung der Gerichtskosten, sofern ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Dass der Beschwerdeführer nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, ist erstellt (vgl. das ebenfalls den Beschwerdeführer betreffende Urteil 1C_319/2019 vom 1. November 2019 E. 5). Zudem kann die Beschwerde auch nicht als geradezu aussichtslos bezeichnet werden, obgleich es sich insofern um einen Grenzfall handelt.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung wird gutgeheissen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Einwohnergemeinde Aarau, dem Departement Volkswirtschaft und Inneres des Kantons Aargau und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 2. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Dezember 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Dold