Faits :
A.
A.a. B._ (ci-après : le demandeur) a travaillé dès l'année 2000 en qualité d'enseignant auprès de l'école de commerce A._ SA (ci-après : la défenderesse).
Le demandeur a été engagé par la défenderesse sur la base de contrats à durée déterminée. D'abord conclus par trimestre pour les années 2000 à 2012, ces contrats ont par la suite porté sur une année académique complète, soit du 1er septembre au 31 juillet. Tous les contrats signés par les parties sauf deux prévoyaient une rémunération à l'heure ainsi qu'une indemnité de 13.04% pour les vacances.
A.b.
Différents reproches ont été formulés à l'endroit du demandeur par la défenderesse au cours des rapports de travail. Ceux-ci portaient sur l'utilisation et la vente par le demandeur d'un recueil de textes publié par lui-même à certains étudiants malgré l'interdiction de la défenderesse, la tenue d'un langage inadéquat durant ses cours, la consommation d'alcool dans le cadre de son travail, un certain laxisme dans la surveillance des étudiants lors d'une session d'examen ainsi qu'un comportement jugé ambigu sur le plan du racisme et du sexisme vis-à-vis de certains étudiants.
Par courrier électronique du 1er mai 2014, un employé de la défenderesse a signifié au demandeur que la défenderesse avait pris la décision de mettre fin à leur collaboration à compter du semestre suivant. Il a précisé que les cours que donnait le demandeur seraient confiés à d'autres professeurs, qu'un module lui serait toutefois attribué pour le mois de septembre 2014. En guise de motifs de licenciement, la défenderesse s'est fondée sur la vente par le demandeur de son recueil de textes malgré l'interdiction lui ayant été faite et les avertissements lui ayant été donnés, pareil comportement ayant causé de l'avis de la défenderesse la rupture du lien de confiance qui unissait les parties.
Au cours du mois de septembre 2014, le demandeur a dispensé un cours d'un module du Master of Business Administration (MBA). À partir du mois d'octobre, plus aucun cours ne lui a été confié.
Par courrier du 6 octobre 2014, le demandeur a fait part à la défenderesse de son opposition à la résiliation des rapports de travail faute de respect des exigences de forme stipulées à l'art. 3.6 de la convention collective de travail conclue entre l'Association M._ - dont la défenderesse est membre - et l'Association N._. Par courrier recommandé du 21 novembre 2014, la défenderesse a répondu ne pas pouvoir entrer en matière concernant la poursuite de son activité, lui reprochant la tardiveté de son opposition.
B.
B.a. Par demande du 7 mars 2016, le demandeur a conclu à ce que la défenderesse soit condamnée à lui verser les sommes de 38'000 fr., sous déduction des charges sociales et avec intérêts à 5% l'an dès le 1er mars 2015, 29'731.20 fr., sous déduction des charges sociales et avec intérêts à 5% l'an dès le 1er janvier 2013, et de 22'800 fr., avec intérêts à 5% l'an dès le 21 novembre 2014, et à ce qu'ordre soit fait à la défenderesse de fournir au demandeur toute information utile quant à la couverture LPP conclue.
Par jugement du 27 février 2018, le Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne a partiellement admis la demande.
B.b. Par acte du 3 septembre 2018, la défenderesse a interjeté appel contre le jugement précité, concluant à sa réforme en ce sens que les conclusions de la demande du 7 mars 2016 soient rejetées.
Par arrêt du 7 mars 2019, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a partiellement admis l'appel. Comme le Tribunal d'arrondissement, elle a jugé que les contrats successifs conclus par les parties devaient être requalifiés en un seul et unique contrat de durée indéterminée. Elle a estimé, en revanche, que la résiliation n'avait pas produit ses effets à la fin de l'année académique, soit à la fin du mois de juillet 2015, mais à la fin du premier trimestre civil de l'année 2015, soit au 31 mars 2015, et réduit la somme à verser au demandeur à titre de salaire en conséquence.
C.
Les deux parties ont formé un recours en matière civil au Tribunal fédéral en vue de l'annulation de l'arrêt du 7 mars 2019. Elles concluent toutes les deux, principalement, à la réforme de cet arrêt et, subsidiairement, au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Chacune des parties a conclu au rejet du recours de l'autre partie. L'autorité précédente a renoncé à se déterminer sur les deux recours, se référant aux considérants de son arrêt du 7 mars 2019.
La défenderesse a déposé une réplique de manière spontanée.

Considérant en droit :
1.
1.1. Les deux recours étant dirigés contre le même arrêt, il est opportun de joindre les procédures.
1.2.
L'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>) rendue en matière civile (<ref-law>) par un tribunal supérieur désigné comme autorité cantonale de dernière instance, lequel a statué sur recours (<ref-law>). La cause atteint la valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. requise pour les affaires pécuniaires de droit du travail (<ref-law>). Déposés par les deux parties ayant partiellement succombé dans leurs conclusions et qui ont donc qualité pour recourir (<ref-law>), dans le délai (art. 45 al. 1 et art. 100 al. 1 LTF) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi, les deux recours sont recevables sur le principe, sous réserve de l'examen des griefs particuliers.
2.
2.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes ou découlent d'une violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). «Manifestement inexactes» signifie ici «arbitraires» (<ref-ruling> consid. 2 p. 117; <ref-ruling> consid. 1.5). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation évoqué ci-dessus (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266 et les références). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit ainsi expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18 et les références). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18).
2.2. L'appréciation des preuves est entachée d'arbitraire lorsque le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans raisons objectives de tenir compte des preuves pertinentes ou a effectué, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables. L'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait concevable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266; <ref-ruling> consid. 4.2).
2.3. Au vu de ce qui précède, la cour de céans ne peut prendre en considération les nombreuses allégations factuelles contenues au début du recours de la défenderesse dans la mesure où celles-ci s'écartent de l'état de faits établi par l'autorité précédente. Tel est le cas, en particulier, des allégations ayant trait aux prétendus manquements du demandeur n'ayant pas été constatés par le Tribunal cantonal. Il sied de rappeler à ce titre que l'autorité précédente a expressément rejeté les accusations de la défenderesse selon lesquelles le demandeur aurait consommé de l'alcool dans le cadre de son travail, aurait eu un comportement sexiste et raciste et aurait fait preuve de laxisme s'agissant de la surveillance d'examens. Aussi, le deuxième grief de la défenderesse, ayant pour objet les développements de l'autorité précédente quant au caractère abusif de la résiliation du contrat par la défenderesse, est irrecevable, celui-ci reposant en grande partie sur les prétendus manquements susmentionnés.
3.
La défenderesse soulève deux autres griefs dans son recours.
3.1.
3.1.1. La défenderesse estime tout d'abord que les relations de travail entre les parties se sont terminées en juillet 2014, à l'exception du module donné par le demandeur en septembre 2014. Elle juge que c'est à tort que l'autorité précédente a qualifié le contrat liant les parties de contrat à durée indéterminée. Selon elle, la nature de l'activité de la défenderesse, une école de commerce proposant des cours s'étendant sur une durée limitée (trimestre, semestre, année académique), justifie la conclusion successive de contrats à durée déterminée entre les parties. Elle soutient que l'opposition du demandeur à son licenciement était à cet égard dénué de pertinence en raison de sa tardiveté. Elle ajoute que même si l'on devait admettre qu'un contrat à durée indéterminée liait les parties, le prétendu vice de forme de la résiliation étant sans incidence, le demandeur ayant indéniablement reçu, compris et accepté le contenu du courrier électronique du 1er mai 2014.
3.1.2. Si le droit suisse autorise en principe les parties à passer un nouveau contrat de durée déterminée à la suite d'un contrat de durée déterminée, l'<ref-law>, qui prohibe la fraude à la loi, s'oppose à la conclusion de «contrats en chaîne» (« Kettenverträge ») dont la durée déterminée ne se justifie par aucun motif objectif et qui ont pour but d'éluder l'application des dispositions sur la protection contre les congés ou d'empêcher la naissance de prétentions juridiques dépendant d'une durée minimale des rapports de travail (<ref-ruling> consid. 6.2). À titre d'exemples de motifs objectifs pour la conclusion successive de contrats à durée déterminée, le Tribunal fédéral a notamment mentionné l'engagement d'artistes, de sportifs professionnels ou d'enseignants donnant des cours par semestre ou année académique (arrêt 2P.26/2007 du 28 juin 2007 consid. 3.7, dans lequel le Tribunal fédéral avait rejeté le recours d'un enseignant ayant conclu de multiples contrats successifs sur une durée comparable à celle des rapports de travail entre le demandeur et la défenderesse, son pouvoir de cognition étant néanmoins restreint à l'arbitraire).
3.1.3. S'il est vrai que l'activité d'enseignant peut justifier la conclusion de contrats successifs à durée déterminée, l'examen des circonstances de l'espèce permet d'affirmer qu'il n'existait aucune raison objective justifiant le recours à pareil procédé. Selon les constatations de l'autorité précédente, qui lient le Tribunal fédéral (cf. supra, consid. 2.1), le demandeur a enseigné au sein de l'école depuis l'an 2000 sans interruption et était dès lors " stabilisé " dans cet emploi. Il s'agissait en l'espèce d'une relation de travail stable portant sur une durée d'environ 14 ans. La situation du demandeur se distinguait ainsi de celle d'un professeur invité par une université à donner un cours sur un semestre ou une année académique sans que l'on sache si le cours en question continuerait à être donné par le professeur en question à l'avenir. Le demandeur, enseignant les mêmes matières dans des conditions identiques ou similaires sur une longue période, se trouvait au contraire de facto dans une relation de travail à durée indéterminée avec la défenderesse. C'est ainsi à juste titre que l'autorité précédente a retenu que rien ne pouvait motiver en l'espèce la conclusion successive de multiples contrats en chaîne si ce n'est la volonté d'éluder l'application des dispositions légales relatives au contrat à durée indéterminée.
S'agissant du vice de forme, le Tribunal cantonal s'est référé à l'art. 3.6 de la convention collective de travail qui prévoit que le congé doit être signifié en la forme écrite et acheminé par courrier recommandé ou contre reçu. Le courrier électronique du 1er mai 2014 par lequel la défenderesse a signifié au demandeur la fin des rapports de travail ne répond manifestement pas à ces exigences. Le fait que le demandeur ne s'y soit pas opposé immédiatement n'y change rien. Le grief de la défenderesse tombe à faux.
3.2.
3.2.1. L'ultime grief de la défenderesse a trait à l'indemnité réclamée par le demandeur à titre de son droit aux vacances. La défenderesse estime que les conditions nécessaires à l'inclusion du droit aux vacances de l'employé dans le salaire versé pour les périodes travaillées sont remplies en l'espèce, soulignant que l'activité du demandeur était bel et bien irrégulière. Si elle admet que les fiches de salaire ne comprenait pas la mention de l'indemnité relative aux vacances, elle soutient que pareille exigence visant à la protection du personnel non qualifié n'était pas de mise pour un professeur d'université en économie n'ayant " pas besoin qu'on lui fasse un dessin pour comprendre le système de l'inclusion de l'indemnité des vacances dans le salaire ". Elle dénonce à cet égard la mauvaise foi du demandeur, ce dernier étant parfaitement conscient du système en place. S'agissant du taux à retenir, elle pointe une contradiction dans le raisonnement de l'autorité précédente à vouloir retenir le taux contractuel de 13.04% alors même qu'elle dénie toute validité à l'accord des parties ayant pour objet l'inclusion de l'indemnité de vacances dans le salaire. Sur le plan procédural, la défenderesse cite un courrier envoyé par son conseil à l'autorité précédente le 9 décembre 2018 dans lequel l'audition du demandeur afin de l'interroger sur l'identité de l'auteur d'une attestation de gain intermédiaire. L'autorité précédente ayant renoncé à ordonner cette audition, il convient de l'avis du recourant de lui " renvoyer la cause pour instruire ce point ".
3.2.2. L'autorité précédente s'est penchée sur les conditions selon lesquelles une indemnité pécuniaire pouvait être versée au travailleur en remplacement des vacances. Citant la jurisprudence du Tribunal fédéral (cf. <ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 3.3), elle a notamment rappelé que la part du salaire destinée à l'indemnisation des vacances devait ressortir clairement et expressément du contrat de travail, lorsque celui-ci a été conclu par écrit, ainsi que des décomptes périodiques de salaire. Si elle ne conteste pas que les décomptes de salaire du demandeur ne mentionnent pas la part du salaire destinée à l'indemnisation des vacances, la défenderesse estime que cette condition ne saurait trouver application en l'espèce en raison du haut niveau de qualification du demandeur. À tort. S'agissant des conditions devant nécessairement être remplies afin que l'indemnité de vacances puisse exceptionnellement être incluse dans le salaire total, la jurisprudence du Tribunal fédéral n'effectue pas de distinction entre différentes catégories de travailleurs, distinction dont on notera qu'elle serait préjudiciable à la sécurité du droit. L'exigence susmentionnée s'appliquant à tout employé et non seulement à ceux ayant un faible niveau de qualification, elle bénéficie également au demandeur. S'il est vrai que la jurisprudence a parfois évoqué qu'il n'était pas exclu que l'employeur puisse se libérer en prouvant que le travailleur connaissait le mode de calcul de l'indemnité de vacances (<ref-ruling> consid. 4b), force est de constater que la défenderesse se borne à déplorer la prétendue " mauvaise foi complète " du demandeur à ce sujet. Son grief est mal fondé.
3.2.3. S'agissant du taux retenu par l'autorité précédente, la défenderesse méconnaît que la nullité d'une clause contractuelle n'entraîne, en règle générale, pas la nullité d'autres éléments de l'accord des parties (<ref-law>). En l'occurrence, rien ne permet d'établir que celles-ci n'auraient pas convenu d'un taux de 13.04% si elles avaient eu connaissance de la nullité de leur accord portant sur le remplacement du salaire afférent aux vacances par le salaire courant. La défenderesse ne s'emploie d'ailleurs pas à le démontrer, se contentant d'affirmer qu'il est " certain que la partie employeur n'a jamais voulu rétribuer les vacances au taux de 13.04% en plus du salaire contractuel convenu ". Ainsi, elle ne peut être suivie sur ce point.
3.2.4. Sur le plan procédural enfin, la défenderesse reproche à l'autorité précédente de ne pas avoir ordonné de mesure d'instruction sur un point précis. Elle méconnaît que pareil refus ne peut être remis en cause devant le Tribunal fédéral qu'en invoquant l'arbitraire (art. 9 Cst.) de manière claire et détaillée (<ref-law>). La défenderesse n'alléguant pas en quoi la décision du Tribunal cantonal serait entachée d'arbitraire sur ce point, son grief est irrecevable.
4.
Le demandeur s'en prend quant à lui, dans trois griefs distincts, à l'arrêt entrepris en ce qu'il retient que la résiliation par la défenderesse du contrat de travail a produit ses effets au 31 mars 2015.
4.1.
Le premier grief du demandeur porte sur les conséquences juridiques de la requalification des contrats à durée déterminée successifs en contrat à durée indéterminée. Arguant que rien ne justifie de faire abstraction du terme convenu par les parties, le demandeur estime qu'en cas de contrats en chaîne requalifiés en contrat à durée indéterminée, la résiliation ne saurait intervenir avant l'échéance prévue dans le dernier contrat successif. Les parties ayant, dès la rentrée académique de 2012, conclu des contrats pour une année académique, soit du 1er septembre au 31 juillet, et la défenderesse n'ayant valablement résilié le contrat que le 21 novembre 2014, il est d'avis que la fin des rapports de travail ne pouvait pas intervenir avant le 31 juillet 2015. En retenant une autre date, soit le 31 mars 2015, l'autorité précédente aurait violé les <ref-law> et 335c al. 2 CO. Le demandeur se plaint à ce titre, dans un deuxième grief, d'une violation des art. 18 et 20 al. 2 CO. Il estime que l'autorité précédente aurait du établir la volonté hypothétique des parties en ce sens qu'elles auraient convenu d'un unique terme annuel au 31 juillet de chaque année si elles avaient su que leur relation contractuelle serait requalifiée en contrat à durée indéterminée. Il parvient à la même conclusion, dans un ultime grief, " à la lumière d'un raisonnement fondé sur l'<ref-law> ". Il soutient que les parties avaient la volonté de s'engager pour une année académique complète et qu'un terme de résiliation annuel unique avait dès lors été convenu. En interprétant de manière erronée le contrat, l'autorité précédente aurait violé les art. 18 et 335c al. 2 CO.
4.2. Le demandeur évoque l'opinion doctrinale, déjà citée par le Tribunal fédéral (arrêt 4A_216/2007 du 13 septembre 2007, consid. 1.3), selon laquelle en cas de «contrats en chaîne», la résiliation ne peut en principe pas intervenir avant l'échéance prévue dans le dernier contrat successif (cf. sur ce point également <ref-ruling> consid. 1c). Même si cette opinion devait être suivie, encore faudrait-il qu'un contrat ayant pour terme le 31 juillet 2015 ait été conclu par les parties. Or, ceci ne ressort pas de l'arrêt entrepris. Le dernier contrat à durée déterminée expressément mentionné dans la décision de l'autorité précédente se rapporte à l'année académique 2013/2014. Le 1er mai 2014, la défenderesse a signifié par courrier électronique au demandeur sa décision de mettre un terme à leur collaboration, à l'exception d'un module devant être dispensé en septembre 2014, à compter du semestre suivant.
4.3. Le demandeur, qui souhaiterait voir la fin des rapports de travail fixée au 31 juillet 2015, fonde son raisonnement sur, d'une part, la volonté hypothétique des parties si elles avaient su que leur relation contractuelle serait requalifiée en contrat à durée indéterminée et, d'autre part, l'interprétation de leur volonté objective dégagée selon le principe de la confiance. Il allègue que la volonté - réelle ou hypothétique - des parties étaient de s'engager pour des années académiques complètes, sans parvenir toutefois à le démontrer. En particulier, le fait que les parties ont conclu, à partir de 2012, des contrats ayant pour terme la fin de l'année académique, ne signifie ni qu'elles ont prévu une durée minimale des rapports de travail pour l'année académique 2014/2015, ni qu'elles l'auraient fait si elles avaient conclu un contrat à durée indéterminée en lieu et place des contrats successifs.
Le demandeur, qui estime que la volonté réelle des parties ne peut être déterminée en l'espèce et que le juge doit recourir à l'interprétation normative, fait totalement abstraction du courrier électronique du 1er mai 2014 dans lequel la défenderesse exprime son souhait de mettre un terme aux rapports de travail avec le demandeur et de ne plus lui confier de cours à partir du semestre d'automne 2014, à l'exception d'un seul module devant être dispensé en septembre. Si, comme les autorités cantonales l'ont retenu, ce courrier électronique n'était pas susceptible de résilier le contrat de travail en raison d'un vice de forme, il indique sans ambiguïté que la défenderesse n'avait pas la volonté de s'engager contractuellement jusqu'au 31 juillet 2015. S'agissant de la volonté hypothétique des parties, pour le cas où elles n'auraient pas conclu de contrats en chaîne constitutifs d'une fraude à la loi, tout porte à croire qu'elles auraient conclu un contrat à durée indéterminée sans prévoir de terme de résiliation. À ce titre, le raisonnement du Tribunal cantonal, qui se réfère à la convention collective de travail selon laquelle la dénonciation d'un contrat de travail intervient - sauf disposition contraire par écrit - trois mois à l'avance au minimum pour la fin d'un trimestre ou d'un semestre civil, est convaincant. La résiliation des rapports de travail du 21 novembre 2014 a donc produit ses effets à la fin du premier trimestre civil de l'année 2015, soit le 31 mars 2015.
Enfin, le demandeur ne peut être suivi lorsqu'il se fonde sur la règle " in dubio contra stipulatorem ", l'arrêt entrepris ne contenant pas d'informations quant à l'identité du rédacteur des contrats de travail (cf. supra, consid. 2.1).
5.
En conclusion, les deux recours en matière civile doivent être rejetés. Chacune des parties supportera les frais et dépens de son propre recours (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 4A_215/2019 et 4A_217/2019 sont jointes.
2.
Les recours sont rejetés.
3.
Les frais judiciaires afférents au recours du demandeur (cause 4A_217/2019), arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de celui-ci.
4.
Les frais judiciaires afférents au recours de la défenderesse (cause 4A_215/2019), arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge de celle-ci.
5.
La défenderesse versera au demandeur le montant de 1'000 fr. à titre de dépens (après compensation).
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour d'appel civile.
Lausanne, le 7 octobre 2019
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
Le Greffier : Curchod