Sachverhalt:
A.
A.a. Das Amtsgericht Bucheggberg-Wasseramt sprach A._ mit Urteil vom 24. Januar 2018 der qualifizierten einfachen Körperverletzung, der Tätlichkeiten, des versuchten Diebstahls, der Sachbeschädigung, der Drohung, des Hausfriedensbruchs, der Fälschung von Ausweisen, der Hinderung einer Amtshandlung, des Führens eines nicht betriebssicheren Motorfahrzeugs, des Fahrens ohne Berechtigung und des rechtswidrigen Aufenthalts schuldig. Es bestrafte ihn mit einer Freiheitsstrafe von 15 Monaten, einer Geldstrafe von 10 Tagessätzen zu Fr. 10.-- und mit einer Busse von Fr. 500.--. Das Amtsgericht widerrief den mit Entscheid der Staatsanwaltschaft des Kantons Bern vom 2. Oktober 2012 gewährten bedingten Vollzug für eine Geldstrafe von 180 Tagessätzen zu Fr. 70.--. Den mit Entscheid der Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn vom 27. Juni 2013 gewährten bedingten Vollzug für eine Geldstrafe von 50 Tagessätzen zu Fr. 60.-- widerrief es hingegen nicht, verlängerte aber die Probezeit um ein Jahr.
A.b. Soweit das amtsgerichtliche Urteil nicht bereits in Rechtskraft erwachsen war, bestätigte das Obergericht des Kantons Solothurn am 28. Februar 2020 die Schuldsprüche betreffend Tätlichkeiten (begangen am 23. November 2015) und Drohung (begangen am 5. Juni 2015). Vom Vorwurf der qualifizierten einfachen Körperverletzung sprach es A._ jedoch frei. Das Obergericht bestrafte ihn ebenfalls mit einer Freiheitsstrafe von 15 Monaten und einer Geldstrafe von 10 Tagessätzen zu Fr. 10.--, reduzierte aber die Busse auf Fr. 200.--.
Den Schuldsprüchen betreffend Tätlichkeiten und Drohung liegt folgender Sachverhalt zugrunde:
A._ hielt am 5. Juni 2015 seiner damaligen Lebenspartnerin, B._, in der ehemaligen gemeinsamen Wohnung ein Küchenmesser an die linke Halsseite und verletzte sie in der Folge damit. Dabei drückte er sie mit dem linken Unterarm gegen die Wand. B._ erlitt eine oberflächliche Schnittverletzung an der linken Wange. Durch dieses Vorgehen versetzte er sie in Angst und Schrecken. Weiter verpasste A._ ihr am 23. November 2015 drei Ohrfeigen und riss sie an den Haaren. B._ stürzte zu Boden und schürfte sich das Knie auf.
B.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt im Wesentlichen, er sei vom Vorwurf der Tätlichkeiten und demjenigen der Drohung freizusprechen. Die Angelegenheit sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Er ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz nehme eine willkürliche Beweiswürdigung vor und verletze den Grundsatz "in dubio pro reo". Er macht zusammengefasst geltend, die vorinstanzliche Feststellung, wonach er seiner damaligen Lebensgefährtin eine Schnittwunde beigebracht habe, sei willkürlich. Zudem bestünden alleine gestützt auf deren Aussageverhalten schlechterdings nicht zu unterdrückende Zweifel, dass sich der Sachverhalt nicht entsprechend ihren Darlegungen zugetragen haben könne. Von einer detaillierten Aussage von B._ könne bereits angesichts der kurzen Dauer der beiden Einvernahmen keine Rede sein und schon gar nicht, dass sie Ausführungen gemacht habe, die ihn entlasten würden. Seine Schilderung des Vorfalls vom 23. November 2015 sei ohne Weiteres mit den Aussagen seiner ehemaligen Ehefrau in Einklang zu bringen (Beschwerde S. 3 ff.).
1.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann vor Bundesgericht nur gerügt werden, wenn sie willkürlich im Sinne von <ref-law> ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Offensichtlich unrichtig im Sinne von <ref-law> ist die Sachverhaltsfeststellung, wenn sie willkürlich ist. Willkür liegt nach ständiger Rechtsprechung nur vor, wenn die vorinstanzliche Beweiswürdigung schlechterdings unhaltbar ist, d.h. wenn die Behörde in ihrem Entscheid von Tatsachen ausgeht, die mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen oder auf einem offenkundigen Fehler beruhen. Dass eine andere Lösung ebenfalls möglich erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 91 f.; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 244; je mit Hinweisen). Die Rüge der Verletzung von Grundrechten (einschliesslich Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung) muss in der Beschwerde anhand des angefochtenen Entscheids präzise vorgebracht und substanziiert begründet werden, anderenfalls darauf nicht eingetreten wird (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 503; <ref-ruling> E. 2.5 S. 210; <ref-ruling> E. 1.5 S. 144; je mit Hinweisen).
Dem Grundsatz "in dubio pro reo" kommt in seiner Funktion als Beweiswürdigungsregel im Verfahren vor dem Bundesgericht keine über das Willkürverbot von <ref-law> hinausgehende Bedeutung zu (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 92; <ref-ruling> E. 1.1 S. 156; je mit Hinweisen).
1.3. Der angefochtene Entscheid verletzt kein Bundesrecht. Die Vorinstanz begründet einlässlich und nachvollziehbar, weshalb sie zum Schluss gelangt, bei beiden Vorfällen könne auf die glaubhaften Aussagen der Geschädigten abgestellt werden, weshalb der Sachverhalt gemäss Anklageschrift ohne Zweifel als erstellt gelte (Urteil S. 25 ff. E. 3 und S. 28 ff. E. 4). Diese Schlussfolgerung ist nicht zu beanstanden. Was der Beschwerdeführer gegen die tatsächlichen Feststellungen und die Beweiswürdigung der Vorinstanz vorbringt, beschränkt sich auf eine unzulässige appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid, auf die das Bundesgericht nicht eintritt. Dieses greift auf Beschwerde hin nur in die Beweiswürdigung ein, wenn die Vorinstanz offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht, erhebliche Beweise übersieht oder solche willkürlich ausser Acht lässt (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 362; je mit Hinweis). Mithin hätte der Beschwerdeführer darlegen müssen, inwiefern die Feststellungen der Vorinstanz offensichtlich unhaltbar sind oder mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen und die vorhandenen Beweise andere Schlussfolgerungen geradezu aufdrängen. Diesen Anforderungen genügt seine Beschwerde grösstenteils nicht. Zur Hauptsache beschränkt sich der Beschwerdeführer darauf, seinen Standpunkt zu erörtern und die Argumente vorzutragen, die seiner Meinung nach zu Zweifeln hinsichtlich der Glaubhaftigkeit der Aussagen der Geschädigten führen sollen. Insgesamt ist eine Verletzung des Willkürverbots bzw. eine falsche Anwendung des Grundsatzes "in dubio pro reo" weder ausreichend dargetan noch erkennbar. Die Vorbringen des Beschwerdeführers erweisen sich als unbegründet, soweit sie den Begründungsanforderungen überhaupt genügen.
2.
Den Antrag betreffend die Strafzumessung und die Kosten- sowie Entschädigungsfolgen begründet der Beschwerdeführer einzig mit dem von ihm beantragten Verfahrensausgang (Beschwerde S. 2 und S. 9). Da es bei der vorinstanzlichen Verurteilung bleibt, ist darauf nicht einzugehen.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer wird ausgangsgemäss kostenpflichtig (<ref-law>). Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist in Anwendung von <ref-law> wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist mit reduzierten Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Dezember 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Pasquini