Faits :
A.
Par jugement du 16 avril 2019, le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de La Côte a reconnu A._ coupable de gestion déloyale aggravée, de faux dans les titres et d'infraction à la loi fédérale sur la surveillance des marchés financiers (LFINMA; RS 956.1) et l'a condamné à une peine privative de liberté de vingt mois avec sursis pendant deux ans. Il a reconnu B._ coupable de gestion déloyale aggravée, de faux dans les titres et d'infraction à la LFINMA et l'a condamné à une peine privative de liberté de douze mois avec sursis pendant deux ans. Il a reconnu D._ coupable de gestion déloyale aggravée, l'a condamné à une peine pécuniaire de 180 jours-amende, le montant du jour-amende étant fixé à 100 fr., avec sursis pendant deux ans,et l'a reconnu débiteur de l'Etat de Vaud d'un montant de 30'000 fr. à titre de créance compensatrice. Enfin, il a reconnu E._ coupable de faux dans les titres et l'a condamnée à une peine pécuniaire de 90 jours-amende, le montant du jour-amende étant fixé à 100 fr., avec sursis pendant deux ans.
B.
Par jugement du 14 juillet 2020, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois a rejeté les appels formés par A._ et B._ et admis partiellement celui de D._. Elle a réformé le jugement attaqué en ce sens qu'elle a réduit la peine pécuniaire infligée à D._ à 120 jours-amende, le montant du jour-amende étant maintenu à 100 fr., qu'elle a pris acte de la convention passée aux débats d'appel entre D._ et C._ SA relative à la restitution des actions à C._ SA et a renoncé à prononcer une créance compensatrice à l'encontre de D._.
En résumé, les condamnations de A._ et de B._ reposent sur les faits suivants.
B.a. Le contexte
La société C._ SA, société d'assurance spécialisée dans les garanties de loyer, a été fondée à fin 2008. D'emblée actionnaire significatif de la nouvelle entité au travers de sa société F._ Participations, G._ a pris le contrôle de C._ SA en fin d'année 2010. Quand bien même, sur un plan formel, l'actionnariat de celle-ci a varié au fil des réorganisations du groupe financier dominé par G._, celui-ci en a conservé le contrôle jusqu'à son suicide survenu à U._ en 2014.
Engagé en tant que directeur général de C._ SA par contrat daté du 5 janvier 2009, A._ a exercé ses fonctions jusqu'au 30 septembre 2015. A ce titre, il a véritablement constitué la compagnie, dont il était le seul employé au départ, établissant notamment le plan d'exploitation qui devait déboucher, quelques mois plus tard, sur l'agrément de l'autorité fédérale de surveillance des marchés financiers (FINMA). Le développement commercial de la société a été lancé en automne 2009.
Pour assurer sa conduite, C._ SA disposait tout d'abord des ressources de son conseil d'administration, lequel se réunissait quatre à cinq fois l'an. B._, qui occupait des fonctions importantes dans le groupe de G._, en a tout d'abord pris la présidence, avant que celle-ci ne soit dévolue à G._ lui-même, dès 2012. A._ siégeait au conseil d'administration en tant qu'administrateur délégué et dit conseil était encore complété, notamment, par D._, qui y a pris part de mai 2011 à décembre 2014.
C._ SA était liée au groupe financier que G._ avait constitué avec H._. A la suite du suicide de G._ et de la débâcle du groupe financier H._, elle s'est retrouvée dans une situation financière très délicate, dans la mesure où une partie substantielle de ses actifs était composée de valeurs mobilières émises par ledit groupe. Sous la menace d'un retrait de son agrément, C._ SA a dû, dans l'urgence, trouver de l'argent frais et un nouvel actionnaire de référence. Les relations entre le nouveau propriétaire de C._ SA et A._ se sont dégradées dès le début de l'année 2015, et l'intéressé a été remercié dans le courant du mois de juin 2015. Par courrier du 29 avril 2016, C._ SA a déposé une plainte pénale contre A._ pour abus de confiance, gestion déloyale et faux dans les titres.
B.b. Les nantissements
Le 20 avril 2009, A._ et B._ ont signé, au nom de C._ SA, un acte de nantissement (P. 62/1), par lequel cette société acceptait de gager les avoirs déposés par elle auprès de la Banque Privée I._ SA sous numéro de compte xxx en faveur du compte n° yyy détenu dans la même banque par la société J._ Compagnie Financière, anciennement F._ Capital, société liée à G._, respectivement à son groupe financier. A l'occasion de la débâcle du groupe financier H._, I._ SA a fait valoir les droits que lui conférait dit acte et a débité en conséquence le compte n° xxx d'un montant de 18'175 euros.
Le 25 août 2010, A._ et B._ ont signé, au nom de C._ SA, un acte de nantissement (P. 5/17), par lequel cette société acceptait de gager les avoirs déposés par elle auprès de K._ Ltd sous numéro de compte zzz en faveur des comptes détenus dans la même banque par les sociétés F._ Capital et F._ Holding, sociétés dominées par G._. A l'occasion de la débâcle du groupe financier H._, K._ Ltd a fait valoir les droits que lui conférait dit acte et a débité en conséquence le compte n° zzz de l'intégralité de son solde, à savoir un montant de 1'774'271 francs.
B.c. Les états financiers et les déclarations d'intégralité
A._ et B._ n'ont pas fait figurer dans les états financiers de C._ SA des années 2011 à 2013 les engagements pris par celle-ci sur ses comptes détenus auprès de I._ SA et de K._ Ltd. Les bilans des exercices concernés, ainsi faussés, ont été transmis à la société d'audit agréée par la FINMA, en substance L._ SA, puis à l'autorité de surveillance elle-même.
Le 26 avril 2012, A._ et B._ ont signé une déclaration d'intégralité, portant sur les comptes annuels 2011, dans laquelle ils certifiaient notamment qu'aucun actif de la société n'avait été nanti et que tous les engagements avaient été enregistrés dans lesdits comptes.
Le 18 avril 2013, ils ont signé une déclaration d'intégralité concernant les comptes annuels 2012, dans laquelle ils certifiaient notamment qu'aucun actif de la société n'avait été nanti et que tous les engagements avaient été enregistrés dans les comptes annuels 2012. Sous chiffre 14, dite déclaration contenait le paragraphe suivant : «La Société est effectivement l'ayant droit de tous ses actifs et aucun actif n'a été nanti. En l'absence de confirmation bancaire directe de K._ Ltd à L._, nous vous confirmons que les dépôts de C._ SA auprès de K._ Ltd qui totalisent environ CHF 2.8 millions sont libres de tout gage (aucun acte de nantissement signé) et qu'ils sont librement disponibles sans aucune restriction» (P. 49, ch. 15).
Le 29 avril 2014, A._ a signé une déclaration d'intégralité concernant les comptes annuels 2013, dans laquelle il certifiait notamment qu'aucun actif de la société n'avait été nanti et que tous les engagements avaient été enregistrés dans les comptes annuels 2011 (P. 5/15 p. ss, ch. 15 et 16).
Par courrier du 30 mai 2014, A._ a transmis à la FINMA le rapport SST 2014 concernant C._ SA. Ce document ne faisait pas état des garanties émises sur les avoirs détenus par cette société auprès de I._ SA et de K._ Ltd.
B.d. La distribution gratuite d'actions de C._ SA
Par décision circulaire du 28 avril 2014, signée par G._, A._, B._ et D._, le conseil d'administration de C._ SA a décidé la distribution à titre gratuit, à un certain nombre de cadres principalement, de 41'500 actions propres de la société. En application de la clé de répartition retenue, A._ s'est vu attribuer 34'500 actions et D._ 3'000. B._ n'en a, pour sa part, pas reçues. Ces titres avaient été précédemment acquis sur le marché pour un montant supérieur à 400'000 francs.
Au 31 décembre 2013, les comptes de la compagnie faisaient état d'une perte reportée de 7'863'609 fr., consécutive à une longue suite d'exercices déficitaires de 2009 à 2012. De surcroît, C._ SA devait régulièrement faire face à des problèmes de trésorerie et peinait notamment à respecter de manière constante les exigences légales relatives à la fortune liée.
C.
Contre le jugement cantonal du 14 juillet 2020, B._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral (6B_1352/2020). Il conclut, principalement, à la réforme du jugement attaqué en ce sens qu'il est libéré de toute poursuite pénale ainsi que de toute infraction aux <ref-law>, 251 CP et 45 LFINMA. A titre subsidiaire, il requiert que le jugement attaqué soit annulé et que la cause soit renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants à intervenir. En outre, il sollicite l'octroi de l'effet suspensif.
A._ dépose également un recours en matière pénale contre le jugement cantonal du 14 juillet 2020 (6B_1348/2020). Il conclut à l'annulation du jugement attaqué en ce que celui-ci rejette son appel, constate qu'il s'est rendu coupable de gestion déloyale et le condamne à une peine privative de liberté de 20 mois, avec sursis pendant deux ans. Il demande, principalement, le renvoi devant l'instance cantonale pour nouvelle décision et, à titre subsidiaire, la réforme du jugement attaqué par une réduction appropriée de la peine prononcée à son égard. En outre, il requiert l'octroi de l'effet suspensif.
Par ordonnances du 10 décembre 2020, la Cour de droit pénal du Tribunal fédéral a rejeté les requêtes d'effet suspensif de B._ et de A._.

Considérant en droit :
1.
Les deux recours en matière pénale au Tribunal fédéral sont dirigés contre la même décision. Ils concernent le même complexe de faits. Il y a donc lieu de joindre les causes et de les traiter dans un seul arrêt (<ref-law> et <ref-law>).
1. Recours de B._ (recourant 1)
2.
Le recourant 1 conteste l'état de fait cantonal, qu'il qualifie de manifestement inexact sur plusieurs points.
2.1. Le Tribunal fédéral n'est pas une autorité d'appel, auprès de laquelle les faits pourraient être rediscutés librement. Il est lié par les constatations de fait de la décision entreprise (<ref-law>), à moins que celles-ci n'aient été établies en violation du droit ou de manière manifestement inexacte au sens des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, à savoir pour l'essentiel de façon arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. Une décision n'est pas arbitraire du seul fait qu'elle apparaît discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable et cela non seulement dans sa motivation, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 155 s.; <ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 244). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il n'y a arbitraire que lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables. Le Tribunal fédéral n'entre ainsi pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 156; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 368 et les références citées).
La présomption d'innocence, garantie par les <ref-law>, 32 al. 1 Cst., 14 par. 2 Pacte ONU II et 6 par. 2 CEDH, ainsi que son corollaire, le principe "in dubio pro reo ", concernent tant le fardeau de la preuve que l'appréciation des preuves au sens large (<ref-ruling> consid. 2.2.3.1 p. 348 s.; <ref-ruling> consid. 2a p. 40 s.). En tant que règle sur le fardeau de la preuve, elle signifie, au stade du jugement, que le fardeau de la preuve incombe à l'accusation et que le doute doit profiter au prévenu. Comme règle d'appréciation des preuves (sur la portée et le sens précis de la règle sous cet angle, cf. <ref-ruling> consid. 2.2.3.3 p. 351 s.), la présomption d'innocence signifie que le juge ne doit pas se déclarer convaincu de l'existence d'un fait défavorable à l'accusé si, d'un point de vue objectif, il existe des doutes quant à l'existence de ce fait. Il importe peu qu'il subsiste des doutes seulement abstraits et théoriques, qui sont toujours possibles, une certitude absolue ne pouvant être exigée. Il doit s'agir de doutes sérieux et irréductibles, c'est-à-dire de doutes qui s'imposent à l'esprit en fonction de la situation objective. Lorsque, comme en l'espèce, l'appréciation des preuves et la constatation des faits sont critiquées en référence au principe "in dubio pro reo ", celui-ci n'a pas de portée plus large que l'interdiction de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 155 s. et les références citées).
2.2. Le recourant 1 reproche à la cour cantonale d'avoir retenu, de manière arbitraire, qu'il ressortait sans aucune contestation possible du rapport d'expertise que les signatures apposées sur l'acte de nantissement en faveur de I._ SA étaient bien de la main de A._ et de B._ (jugement attaqué p. 44).
La cour cantonale a retenu que le recourant 1 avait signé l'acte de nantissement du 20 avril 2009, en se fondant sur le rapport d'expertise établi par le Dr M._ le 20 septembre 2017 (pièce 136/1). Dans son argumentation, le recourant 1 fait valoir que l'expert se serait borner à indiquer " soutenir très fortement " la proposition selon laquelle les signatures apposées aux noms des recourants 1 et 2 sur les actes de nantissement étaient bien de leur main (pièce 136/1, p. 17). En outre, selon le recourant 1, les conclusions de l'expertise permettent d'exclure un simple scannage ou photocopie, mais non que les signatures aient été apposées par tampon. Le recourant 1 observe enfin qu'il a toujours assumé ses responsabilités et admis sans problème avoir signé la modification du contrat de travail de A._ et avoir pris part à la décision d'attribution des actions propres de C._ SA.
Selon la jurisprudence, le juge apprécie en principe librement une expertise et n'est pas lié par les conclusions de l'expert. Toutefois, il ne peut s'en écarter que lorsque des circonstances ou des indices importants et bien établis en ébranlent sérieusement la crédibilité; il est alors tenu de motiver sa décision de ne pas suivre le rapport d'expertise (<ref-ruling> consid.. 2.1.3; <ref-ruling> consid. 6.1; <ref-ruling> consid. 4.3.1 p. 198 s.; arrêt 6B_798/2020 du 16 septembre 2020 consid. 3.1.1). En l'espèce, les conclusions de l'expertise sont claires. Le rapport " soutient très fortement " que la signature litigieuse est celle du recourant 1. Il précise en outre qu'il s'agissait de signature originale, ce qui exclut tout moyen de reproduction de la signature, tel que le scannage ou la photocopie. En retenant sur la base de cette expertise que le recourant 1 est le signataire de l'acte de nantissement, la cour cantonale n'est donc pas tombée dans l'arbitraire. Lorsque le recourant 1 soutient que la signature a peut-être été apposée par un tampon, il se borne à évoquer une simple hypothèse, qui ne repose sur aucun élément; purement appellatoire, cette argumentation est irrecevable.
2.3. Le recourant 1 conteste également avoir signé l'acte de nantissement en faveur de K._ Ltd.
Il relève que les documents originaux ne figurent pas au dossier et qu'aucun expert en graphologie ne s'est prononcé sur ces documents, de sorte que la cour cantonale n'aurait pas dû conclure qu'il avait signé le document litigieux. Il cite le témoignage de N._ (jugement de première instance p. 20), selon lequel G._ aurait disposé de signatures scannées des membres du conseil d'administration de C._ SA. Il ressortirait également du dossier que G._ avait l'habitude d'utiliser la signature du recourant 1 fréquemment (jugement de première instance p. 13). Le recourant 1se réfère également au témoin O._, qui a déclaré que cela ne l'étonnerait pas que G._ ait pu imiter la signature du recourant 1 (jugement de première instance p. 26). Il mentionne quatre contrats de prêt que G._ aurait signé seul auprès de K._ Ltd. Enfin, il se réfère au témoignage de P._, employée de K._ Ltd, qui a indiqué qu'au sein de K._ Ltd, on n'avait jamais vu d'autres personnes que G._ dans le cadre du nantissement, alors qu'en théorie, pour la signature de tels documents, les personnes qui étaient autorisées à signer pour la société devaient être présentes.
La cour cantonale a relevé qu'une simple superposition des huit signatures de chacun des recourants permettait de remarquer qu'elles apparaissaient toutes différentes. Elle a ajouté que le recourant 1 n'avait pas eu de réaction particulière lorsque l'existence du nantissement avait refait surface, notamment lorsque la banque K._ Ltd avait adressé directement à C._ SA des confirmations bancaires mentionnant expressément que le compte était entièrement nanti (jugement attaqué p. 46). En outre, le recourant 1 avait adressé le 5 août 2011 un courriel au recourant 2, lui demandant de faire établir une attestation en anglais à la demande de F._ Asset Management V._ pour confirmer qu'ils avaient le pouvoir pour C._ SA de nantir des dépôts monétaires (jugement attaqué p. 47). Compte tenu de l'ensemble de ces éléments, la cour cantonale n'a pas versé dans l'arbitraire en retenant que le recourant 1 avait également signé l'acte de nantissement auprès de K._ Ltd. Lorsque le recourant 1 soutient que la signature aurait été scannée par G._, son argumentation doit être déclarée irrecevable, dans la mesure où elle repose sur de simples hypothèses et qu'elle est partant purement appellatoire.
2.4. En relation avec la déclaration d'intégralité, le recourant 1 reproche à la cour cantonale d'avoir versé dans l'arbitraire en retenant qu'il a agi pour dissiper les doutes de L._ (jugement attaqué p. 72).
Il fait valoir que la secrétaire de G._ a envoyé un mail le 24 avril 2012 au réviseur et que c'est ce mail qui avait pour but de dissiper les doutes du réviseur (cf. P. 56/6 et 56/11). Il en conclut qu'il est insoutenable de retenir qu'il a voulu tromper la société de révision. Selon le recourant 1, en l'absence de réalisation de l'élément subjectif, l'infraction de gestion déloyale ne serait pas réalisée. D'après lui, la connaissance qu'avait le réviseur de l'existence des nantissements excluait également toute infraction de faux dans les titres; en effet, selon lui, l'omission de mentionner les nantissements dans la déclaration d'intégralité aurait dû être corrigée par le réviseur. Enfin, de l'avis du recourant 1, l'infraction à l'<ref-law> n'était pas réalisée non plus, dans la mesure où la déclaration d'intégralité n'avait pas été adressée directement par le recourant 1 à la FINMA, mais était destinée au réviseur L._, qui avait connaissance de l'existence des nantissements.
La cour cantonale a retenu que le recourant 1 avait connaissance des nantissements opérés auprès de la I._ SA et de K._ Ltd et savait que ceux-ci devaient être mentionnés dans l'annexe au bilan et figurer dans les états financiers de C._ SA (jugement attaqué p. 71). En omettant de les mentionner dans les déclarations d'intégralité destinées à l'organe de révision (<ref-law>), le recourant 1 avait ainsi créé intentionnellement des documents contraires à la réalité et faussé le bilan et les états financiers de la société intimée. La cour cantonale a ajouté qu'on ne pouvait pas retenir que les réviseurs n'étaient pas au courant de ces engagements puisqu'ils avaient reçu des documents mentionnant un " pledge ", mais qu'il n'en demeurait pas moins que le recourant 1 avait agi pour dissiper les doutes qu'avait la société d'audit L._. Les déclarations d'intégralité ont servi aux recourants 1 et 2 à asseoir leur position auprès de la société de révision (jugement attaqué p. 72). Le recourant 1 n'explique pas en quoi ces constatations seraient arbitraires ni en quoi elles influenceraient l'issue du jugement. Insuffisamment motivée, l'argumentation du recourant 1 est irrecevable.
En établissant des déclarations d'intégralité contraires à la réalité, le recourant 1 a également donné de fausses informations à une société d'audit, et s'est rendu coupable de violation de l'<ref-law>. Le fait que le document litigieux n'a pas été remis directement à la FINMA, mais à la société d'audit, n'y change rien, dans la mesure où cette dernière hypothèse est expressément couverte par l'<ref-law>. Les griefs du recourant 1 en lien avec cette dernière disposition sont infondés.
Enfin, les griefs liés à l'<ref-law> sont également infondés, dans la mesure où le recourant n'a pas été condamné pour gestion déloyale en relation avec les fausses déclarations d'intégralité.
2.5. En relation avec la distribution gratuite des actions de C._ SA, le recourant 1 relève que le chiffre d'affaires de C._ SA était en constante augmentation, passant de 1'510'037 fr. en 2011 à 4'791'943 fr. en 2014 et que le montant de 400'000 fr. dépensé pour l'achat des actions ne correspondait qu'à 10 % du chiffre d'affaires de la société, respectivement 3 % des actifs. Il reproche à la cour cantonale d'avoir écarté arbitrairement ces éléments en déclarant que cela n'était " pas déterminant dans la mesure où cette dépense sans autre contrepartie a contribué à l'appauvrissement de la société " (cf. jugement attaqué p. 30). Il critique également la cour cantonale lorsqu'elle constate que c'est en vain que le recourant 1 plaide que le dessein d'enrichissement illégitime et, a fortiori, que l'intention feraient défaut. Selon le recourant 1, la cour cantonale aurait retenu, sans aucune motivation, qu'il avait agi par dessein d'enrichissement illégitime. Il dénonce une violation de son droit d'être entendu (absence de motivation).
La distribution gratuite d'actions de la société C._ SA aux administrateurs et aux collaborateurs ne constitue pas en soi une infraction. Pour que l'infraction de gestion déloyale soit réalisée, il faut que la distribution gratuite d'actions soit contraire aux intérêts de la société. Au titre de la responsabilité qui lui incombe en matière de finances (<ref-law>), le conseil d'administration doit, lorsque apparaissent des pertes ou des problèmes de liquidités, se préoccuper de l'équilibre financier de la société (PETER BÖCKLI, Schweizer Aktienrecht, 4ème éd. 2009, n° 341, p. 1683), ce qui implique le devoir de prendre les mesures nécessaires en vue d'équilibrer les comptes, au besoin en réduisant les charges de l'entreprise, la masse salariale en particulier (cf. arrêts 6B_310/2014 du 23 novembre 2015 consid. 3.9.1; 6S.348/2006 du 29 décembre 2006 consid. 10.3.1).
Selon l'état de fait cantonal, non contesté sur ces points par le recourant 1, les comptes de la compagnie faisaient état, au 31 décembre 2013, d'une perte reportée de 7'863'609 fr., consécutive à une longue suite d'exercices déficitaires de 2009 à 2012 (jugement attaqué p. 34, 55); en outre, la société devait faire face à des problèmes de liquidités récurrents (jugement attaqué p. 55), ayant notamment dû consentir un prêt de 400'000 fr. à un taux de 10 % au mois de septembre 2013. Au vu de ces éléments, il ne peut être que constaté que la situation financière de la société intimée était mauvaise. A cet égard, l'augmentation du chiffre d'affaires ne signifiait pas que la société faisait du bénéfice et, donc, que sa situation financière était favorable. Dans ces conditions, une rémunération complémentaire de certains administrateurs et autres collaborateurs, sous la forme de distribution gratuite d'actions, allait à l'encontre des intérêts de la société intimée. En effet, la distribution gratuite d'actions, pour un montant de 400'000 fr., ne pouvait que contribuer à l'appauvrir (jugement attaqué p. 65), même si le montant de 400'000 fr. correspondait à 10 % du chiffre d'affaires de C._ SA et à moins de 3 % de ses actifs pour l'année 2013 (jugement attaqué p. 54). Si le recourant 1 ne s'est pas octroyé d'actions, il a néanmoins agi dans le dessein d'enrichir des tiers, et notamment le recourant 2.
Au vu de ce qui précède, la cour cantonale n'a pas versé dans l'arbitraire en retenant que l'augmentation du chiffre d'affaires et le fait que le montant de 400'000 fr. dépensé pour l'achat des actions corresponde à environ 10 % du chiffre d'affaires de la société intimée ou à 3 % de ses actifs n'était pas déterminant (jugement attaqué p. 56). Pour le surplus, la cour cantonale a motivé de manière suffisante l'intention et le dessein d'enrichissement illégitime. En effet, au vu de la mauvaise situation financière de la société intimée, le recourant 1 ne pouvait que se rendre compte que la distribution gratuite d'actions, notamment au recourant 2, contribuerait à appauvrir la société intimée et allait donc à l'encontre de ses intérêts. Les griefs soulevés sont donc infondés.
3.
Se plaignant de la violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst et art. 6 CEDH) et de la violation des art. 6, 139 al. 2 et 389 al. 2 et 3 CPP, le recourant 1 reproche à la cour cantonale d'avoir rejeté ses réquisitions de preuve.
3.1. Le droit d'être entendu, garanti à l'art. 29 al. 2 Cst., comprend notamment celui de produire ou de faire administrer des preuves, à condition qu'elles soient pertinentes et de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 7.2.2.1 p. 103; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 72; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 222; <ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 299 et les références citées). Le droit d'être entendu n'empêche pas le juge de mettre un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de se forger une conviction et que, procédant de manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, il a la certitude qu'elles ne pourraient pas l'amener à modifier son opinion. Le refus d'instruire ne viole ainsi le droit d'être entendu des parties que si l'appréciation anticipée de la pertinence du moyen de preuve offert, à laquelle le juge a procédé, est entachée d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 3.1.3 p. 435; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 64; <ref-ruling> consid. 5.3 p. 236).
Selon l'<ref-law>, la procédure de recours se fonde sur les preuves administrées pendant la procédure préliminaire et la procédure de première instance. L'<ref-law> règle les preuves complémentaires. Ainsi, la juridiction de recours administre, d'office ou à la demande d'une partie, les preuves complémentaires nécessaires au traitement du recours. Le droit d'être entendu, consacré par l'<ref-law>, garantit aux parties le droit de déposer des propositions relatives aux moyens de preuves (al. 1 let. e). Conformément à l'<ref-law>, il n'y a pas lieu d'administrer des preuves sur des faits non pertinents, notoires, connus de l'autorité ou déjà suffisamment prouvés. Cette disposition codifie, pour la procédure pénale, la règle jurisprudentielle déduite de l'art. 29 al. 2 Cst. en matière d'appréciation anticipée des preuves (arrêts 6B_289/2020 du 1er décembre 2020 consid. 4.1; 6B_259/2020 du 17 août 2020 consid. 1.2; 6B_397/2020 du 24 juillet 2020 consid. 1.1 et les références citées).
3.2. Le recourant 1 fait grief à la cour cantonale d'avoir rejeté à tort ses réquisitions de preuve figurant dans sa déclaration d'appel, qu'il avait déjà formées en vain en première instance. Il avait requis la production par C._ SA de tout document en relation avec la procédure V._ initiée par l'intimée à l'encontre de K._ Ltd, à savoir d'une copie des actions civiles déposées devant les autorités judiciaires V._ en relation, notamment, avec le nantissement du compte n° zzz, d'un document certifiant l'état de la procédure et de tout procès-verbal d'audition dans dite procédure. Ses réquisitions tendaient également à la production de la convention conclue par C._ SA avec I._ SA en relation avec le compte n° xxx en couverture du compte n° yyy et de tout document en relation avec cet accord.
Le recourant 1 soutient que les preuves requises devaient permettre d'établir le dommage réel, mais aussi et surtout d'élucider la question de savoir si les actes de nantissement qu'on lui reprochait d'avoir signés étaient juridiquement valables et s'ils permettaient véritablement aux banques concernées d'agir comme elles l'ont fait. Évoquant une lettre de stipulation du 26 août 2010, il soutient que l'acte de nantissement qu'on lui reproche d'avoir signé n'est pas à l'origine du prélèvement opéré par K._ Ltd sur le compte bancaire ouvert au nom de C._ SA, mais que la banque K._ Ltd aurait fait valoir ses droits sur la base d'un autre fondement. Selon le recourant 1, les pièces requises devaient permettre de déterminer si les actes de nantissement litigieux engageaient valablement C._ SA ou encore s'ils constituaient une seconde garantie; la portée réelle des nantissements serait, d'après lui, déterminante, car si K._ Ltd et I._ SA ont exercé leurs droits sur le nantissement, alors que les droits n'existaient précisément pas, le lien de causalité entre le comportement reproché au recourant (signature des actes de nantissement) et le dommage (passager) occasionné à la société intimée ne serait à l'évidence pas donné. Enfin, le recourant 1 observe que les termes de l'accord conclu entre C._ SA et I._ SA, par laquelle cette dernière a renoncé à la moitié de la somme prétendument due au titre de garantie sont également pertinents pour l'issue de la cause.
3.3. La cour cantonale a retenu que " ces deux banques ont effectivement débité les comptes de C._ SA, seul élément déterminant en l'espèce " et que "sur cette base, à savoir sur les actes signés par A._ et B._, C._ SA a subi un dommage. L'éventualité que la partie plaignante puisse un jour en récupérer tout ou partie après une longue procédure est ainsi sans pertinence pour juger de la commission d'actes de gestion déloyale à l'encontre de C._ SA par les prévenus " (jugement attaqué, consid. 4.2 p. 38 et 39).
3.4. La cour cantonale a retenu qu' "à l'occasion de la débâcle du groupe financier H._, K._ Ltd a fait valoir les droits que lui conférait l'acte de nantissement et a débité en conséquence le compte n° zzz de l'intégralité de son solde, à savoir un montant de 1'774'271 fr. (jugement attaqué consid. 3.2 p. 31). I._ SA a également fait valoir les droits que lui conférait l'acte de nantissement et a débité en conséquence le compte n° xxx d'un montant de 18'176 euros (jugement attaqué consid. 3.1 p. 31). Le dommage subi par C._ SA est donc bien concret, dès lors que I._ SA a débité le compte de la société de 18'175 euros et K._ Ltd, de 1'774'271 francs. Ces deux banques ont prélevé les montants litigieux en se fondant sur l'acte de nantissement litigieux, de sorte qu'il y a bien un lien de causalité entre le comportement reproché au recourant 1 (signature des actes de nantissement) et le dommage (passager) occasionné à la société intimée. Sur le plan subjectif, la cour cantonale a retenu qu'en signant l'acte de nantissement litigieux, le recourant 1 ne pouvait pas ignorer le risque qu'il faisait courir à C._ SA, dont il connaissait la situation financière.
Dans la mesure où le recourant 1 fait valoir que le prélèvement effectué par K._ Ltd aurait un autre fondement (mémoire n° 54) et qu'il évoque une " lettre de stipulation " du 26 août 2016 (mémoire no. 68), son argumentation est insuffisamment motivée et donc irrecevable. Pour le surplus, le fait que les nantissements pourraient s'avérer finalement nuls et que C._ SA pourrait récupérer tout ou partie des montants prélevés n'est pas déterminant, puisqu'un dommage temporaire suffit (<ref-ruling> consid. 3d p. 22). Enfin, sur le plan de la fixation de la peine, ce qui est déterminant, c'est le dommage tel qu'il a été envisagé et accepté par l'auteur, à savoir en l'occurrence le montant des avoirs mis en nantissement (cf. LOÏC PAREIN, La fixation de la peine, de l'homme coupable à l'homme capable, 2010, p. 137).
3.5. Au vu de ce qui précède, les preuves requises par le recourant 1 n'étaient pas nécessaires pour le traitement du recours. La cour cantonale n'a donc pas violé l'<ref-law> en rejetant les réquisitions de preuve. Le grief soulevé doit être rejeté.
4.
En définitive, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Le recourant 1 qui succombe supporte les frais judiciaires (<ref-law>).
2. Recours de A._ (recourant 2)
5.
Le recourant 2 se plaint également du rejet de ses réquisitions de preuve tendant à la production par la société intimée de (1) l'accord conclu par celle-ci avec I._ SA en lien avec le nantissement du compte n° xxx en couverture du compte n° yyy et de tout document afférent et (2) des écritures de la société intimée dans la procédure intentée en V._ contre K._ Ltd concernant le nantissement du compte n° zzz, et de tout procès-verbal d'audition éventuel.
5.1. Les principes en matière de réquisitions de preuve ont été développés sous le considérant 3.1 ci-dessous.
5.2. La cour cantonale a estimé que la production des pièces requises par le recourant 2 n'aurait pas été utile au traitement de l'appel, dès lors que la quantification de l'éventuel dommage allégué par la plaignante n'aurait pas d'influence sur le sort de la procédure (jugement attaqué p. 37). Elle ne discernait pas en quoi une éventuelle responsabilité des banques aurait une quelconque influence sur la qualification juridique des actes reprochés au recourant (jugement attaqué p. 37). En outre, le geste commercial qu'aurait concédé la I._ SA en ne réclamant qu'une partie de la somme nantie ne changerait rien à la qualification juridique des actes reprochés au recourant, pas plus que le fait que K._ Ltd n'aurait pas respecté la loi V._ en exerçant ses droits sur le nantissement (jugement attaqué p. 38). La cour cantonale a ajouté que la nullité subséquente de ces nantissements ne changerait rien au dommage subi par la C._ SA (jugement attaqué p. 39).
Le raisonnement de la cour cantonale ne peut qu'être suivi. Comme vu ci-dessus, la signature des actes de nantissement litigieux sont à l'origine des prélèvements de 18'175 euros par I._ SA et de 1'774'271 fr. par K._ Ltd. Le recourant 2 devait, pour le surplus, s'attendre à ce que les banques concernées activent ces nantissements si les conditions en étaient réalisées. Les actes de nantissement sont donc bien la cause des prélèvements précités. Le fait que, finalement, le dommage subi s'avère moins élevé qu'initialement (à la suite de l'accord conclu par la société intimée et I._ SA ou de l'action ouverte en V._ contre K._ Ltd) est sans pertinence, dans la mesure où un dommage temporaire suffit (<ref-ruling> consid. 3.1). Sur le plan de la fixation de la peine et de l'appréciation de la culpabilité, il y a lieu de tenir compte non du dommage finalement réalisé, mais de l'objectif poursuivi par l'auteur (cf. consid. 3.4 ci-dessus).
Au vu de ce qui précède, les preuves requises par le recourant 2 ne sont pas pertinentes, de sorte que c'est à juste titre que la cour cantonale a rejeté leur demande de production. Les griefs soulevés par le recourant 2 sont donc infondé.
6.
En définitive, le recours doit être rejeté. Le recourant 2 qui succombe supporte les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 6B_1348/2020 et 6B_1352/2020 sont jointes.
2.
Le recours formé par B._ (6B_1352/2020) est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge de B._.
4.
Le recours formé par A._ (6B_1348/2020) est rejeté.
5.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge de A._.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 1er avril 2021
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Jacquemoud-Rossari
La Greffière : Kistler Vianin