Sachverhalt:
A.
Die 1993 geborene A._ schloss Ende Juni 2013 erfolgreich ihre Ausbildung zur Fachfrau Gesundheit mit Eidgenössischem Fähigkeitszeugnis (nachfolgend: FaGe) ab. Sie arbeitete als solche vom 1. Oktober 2013 bis zum 28. Februar 2015 mit einem Vollzeitpensum im Spital B._, Abteilung Mutter und Kind, und war deswegen bei der Luzerner Pensionskasse (nachfolgend: LUPK) für die berufliche Vorsorge versichert. Im Rahmen der Weiterbildung zur diplomierten Pflegefachfrau HF absolvierte sie ab dem 16. März 2015 ein Praktikum im Spital B._; eine Versicherung für die berufliche Vorsorge bestand dabei nicht. Das Praktikumsverhältnis wurde im Januar 2016 im gegenseitigen Einvernehmen aus gesundheitlichen Gründen auf den 14. Februar 2016 aufgelöst. Ab dem 15. Februar 2016 war A._ wiederum zu 100 % für ihre frühere Tätigkeit als FaGe angestellt und bei der LUPK versichert.
Im August 2016 meldete sich A._ unter Hinweis auf Beschwerden an der Wirbelsäule resp. am Bewegungsapparat bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Zug sprach der Versicherten mit Verfügungen vom 20. März und 10. April 2019 eine ganze Invalidenrente ab dem 1. Februar 2017 resp. eine Dreiviertelsrente ab dem 1. September 2017 zu. Diese reduzierte die IV-Stelle infolge einer Lohnerhöhung mit Verfügung vom 1. Juli 2020 auf eine halbe Rente ab dem 1. September 2020.
B.
Mit Klage vom 8. März 2020 liess A._ beantragen, die LUPK sei zu verpflichten, ihr eine Invalidenrente zu bezahlen, und zwar ab 1. Februar 2017 gestützt auf den Invaliditätsgrad von 100 %, ab 1. September 2017 gestützt auf den Invaliditätsgrad von 60 % und ab 1. Februar 2020 gestützt auf den Invaliditätsgrad von 57 %. Das Kantonsgericht Luzern wies die Klage mit Urteil vom 25. Mai 2021 ab.
C.
A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, unter Aufhebung des Urteils vom 25. Mai 2021 sei ihre Klage vom 8. März 2020 gutzuheissen und die LUPK zu verpflichten, die entsprechenden Leistungen zu erbringen.
Die LUPK lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1.
2.1.1. Nach den zutreffenden Erwägungen im angefochtenen Urteil werden Invalidenleistungen der obligatorischen beruflichen Vorsorge von derjenigen Vorsorgeeinrichtung geschuldet, bei welcher die ansprechende Person bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert war (Art. 23 lit. a BVG; <ref-ruling> E. 2.6). Dieser Grundsatz findet auch in der weitergehenden Vorsorge Anwendung, wenn - wie hier (vgl. Art. 38 des LUPK-Reglements vom 12. Dezember 2013 [SRL 135]) - Reglement oder Statuten resp. gesetzliche Grundlagen nichts anderes vorsehen (<ref-ruling> E. 3.2). Für die Bestimmung der Leistungszuständigkeit im Sinne von Art. 23 lit. a BVG ist - wie für die Eröffnung der Wartezeit nach <ref-law> - eine erhebliche und dauerhafte Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf oder Aufgabenbereich massgebend. Diese muss mindestens 20 % betragen (<ref-ruling> E. 4.4; SVR 2017 BVG Nr. 25 S. 113, 9C_518/2016 E. 2.1; Urteile 9C_181/2021 vom 10. Juni 2021 E. 2.1.1; 9C_347/2019 vom 22. August 2019 E. 2.2.1).
2.1.2. Ebenfalls korrekt führt die Vorinstanz aus, dass der Anspruch auf Invalidenleistungen aus beruflicher Vorsorge einen engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhang zwischen der während andauerndem Vorsorgeverhältnis (einschliesslich Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG) bestehender Arbeitsunfähigkeit und der allenfalls erst später eingetretenen Invalidität voraussetzt. Der sachliche Konnex ist gegeben, wenn der Gesundheitsschaden, welcher zur Arbeitsunfähigkeit geführt hat, im Wesentlichen derselbe ist, wie er der Erwerbsunfähigkeit zugrunde liegt. Die Annahme eines engen zeitlichen Zusammenhangs setzt voraus, dass die versicherte Person nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, nicht während längerer Zeit wieder arbeitsfähig war (<ref-ruling> E. 3.2 und 3.2.1). Eine Unterbrechung des zeitlichen Konnexes ist dann anzunehmen, wenn während mehr als dreier Monate eine Arbeitsfähigkeit von über 80 % in einer angepassten Erwerbstätigkeit gegeben ist (<ref-ruling>; Urteile 9C_181/2021 vom 10. Juni 2021 E. 2.1.2; 9C_100/2018 vom 21. Juni 2018 E. 2.2).
2.2. Vorinstanzliche Feststellungen zur Art des Gesundheitsschadens (Befund, Diagnose etc.) und zur Arbeitsfähigkeit, die Ergebnis einer Beweiswürdigung sind, sind für das Bundesgericht grundsätzlich bindend (vgl. vorangehende E. 1). Tatfrage ist auch jene nach dem Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat. Frei überprüfbare Rechtsfrage ist dagegen, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung darüber erfolgt und ob diese auf einer genügenden Beweislage beruht (Urteile 9C_181/2021 vom 10. Juni 2021 E. 2.2; 9C_100/2018 vom 21. Juni 2018 E. 2.3; je mit Hinweisen).
3.
Die IV-Stelle Zug setzte bei der Rentenzusprache den Beginn der Wartezeit nach <ref-law> auf den 4. Januar 2016 fest. Das kantonale Gericht hat eine diesbezügliche Bindung (vgl. dazu Urteil 9C_23/2019 vom 10. Mai 2019 E. 2.2 mit Hinweisen) verneint und die Leistungspflicht der Pensionskasse frei geprüft.
Es hat festgestellt, die Invalidität der Versicherten beruhe auf ihrem Rückenschaden. Nach einem im Oktober 2011 erlittenen Unfall mit Halswirbelsäulen-Distorsionstrauma habe die Versicherte vom 1. Oktober 2013 bis zum 28. Februar 2015 zu 100 % arbeiten können. Medizinisch relevante Beschwerden seien erst wieder beim (am 16. März 2015 aufgenommenen) Praktikum aufgetreten, als ärztlich eine Arbeitsunfähigkeit von 20 % vom 19. August bis zum 31. Oktober 2015 attestiert worden sei. Diese Einschränkung sei auf die Rückenbeschwerden zurückzuführen gewesen. Im November und Dezember 2015 habe die Versicherte lediglich - infolge der Operation eines eingewachsenen Zehennagels - zwei Fehltage aufgewiesen. Vom 4. bis zum 10. Januar 2016 habe sie wegen einer Grippe gefehlt und anschliessend (vom 13. Januar bis zum 14. Februar 2016) wegen einer Depression. Die Weiterbildung zur diplomierten Pflegefachfrau HF sei aber nicht aus psychischen Gründen, sondern wegen der Rückenschmerzen beendet worden. Der Hausarzt Dr. med. C._ habe am 2. Februar 2016 die Rückenbelastbarkeit mit Blick auf die Arbeitsaufnahme am 15. Februar 2016 für unklar gehalten und deswegen ein Konsilium bei Dr. med. D._ veranlasst. Schon am 19. Februar 2016 habe der Hausarzt eine Arbeitsunfähigkeit von 40 % ab dem 22. Februar 2016 attestiert. Seither sei keine Steigerung des Pensums (von 60 %) mehr möglich gewesen. Daraus lasse sich schliessen, dass die Versicherte bereits beim Stellenantritt am 15. Februar 2016 für die Tätigkeit als FaGe in der Säuglingsabteilung nur zu 60 % resp. zu weniger als 80 % arbeitsfähig gewesen sei. Die relevante Arbeitsunfähigkeit im Sinne von Art. 23 BVG sei somit zu einem Zeitpunkt eingetreten, als die Betroffene nicht vorsorgeversichert war. Folglich hat die Vorinstanz - ohne die Frage nach dem zeitlichen Konnex zwischen der im August 2015 eingetretenen Arbeitsunfähigkeit und der späteren Invalidität zu beantworten - eine Leistungspflicht der LUPK bereits im Grundsatz verneint.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin macht im Wesentlichen geltend, das kantonale Gericht habe Bundesrecht verletzt, indem es ohne zwischen den körperlichen Anforderungen ihrer Tätigkeiten zu differenzieren und ohne rechtsgenüglichen Nachweis den Eintritt der massgeblichen Arbeitsunfähigkeit auf einen Zeitpunkt vor dem 15. Februar 2016 festgelegt habe. Die im August 2015 eingetretene Arbeitsunfähigkeit habe sich einzig auf die Tätigkeit im Praktikum bezogen, die zumeist körperlich schwer und für sie letztlich ungeeignet gewesen sei. Sie habe zwar seit Jahren Rückenprobleme, indessen habe sie vor dem Praktikum bewusst eine körperlich leichte und somit ihrem Leiden angepasste Arbeit in der Neugeborenenabteilung mit uneingeschränkter Arbeitsfähigkeit ausgeübt. Am 15. Februar 2016 habe sie - immer noch mit diesbezüglich voller Arbeitsfähigkeit - die rückenschonende Tätigkeit wieder aufgenommen. Mit Blick darauf sei eine sinnfällige Auswirkung ihres Gesundheitsschadens auf die Arbeitsfähigkeit erst ab dem 22. Februar 2016 in Erscheinung getreten und medizinisch echtzeitlich nachgewiesen worden. Zudem sei die Einschränkung ab diesem Zeitpunkt zunächst wegen Hüft- resp. Beckenbeschwerden attestiert worden. Erst mit dem Bericht des Dr. med. D._ vom 9. April 2016 sei wegen des Rückenleidens eine Arbeitsunfähigkeit für die angepasste Tätigkeit ausgewiesen. Damit habe sie Anspruch auf Invalidenleistungen der LUPK.
4.2. Die Feststellungen des kantonalen Gerichts sind für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (vgl. vorangehende E. 1). Vorbehalten bleibt einzig die vorinstanzliche Schlussfolgerung betreffend den Eintritt der relevanten Arbeitsunfähigkeit, die näher zu betrachten ist.
4.3. Der Zeitpunkt des Eintritts der berufsvorsorgerechtlich relevanten Arbeitsunfähigkeit muss mit dem im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 5b mit Hinweisen) echtzeitlich nachgewiesen sein (Urteile 9C_52/2018 vom 21. Juni 2018 E. 3.2 und 9C_96/2008 vom 11. Juni 2008 E. 2.2, je mit Hinweisen). Der rechtsgenügliche Nachweis einer berufsvorsorgerechtlich relevanten Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen erfordert jedoch nicht zwingend eine echtzeitlich ärztlich attestierte Arbeitsunfähigkeit. Nachträgliche erwerbliche oder medizinische Annahmen und spekulative Überlegungen, wie etwa eine erst nach Jahren rückwirkend festgelegte medizinisch-theoretische Arbeitsunfähigkeit, reichen aber nicht aus (Urteil 9C_61/2014 vom 23. Juli 2014 E. 5.1 mit Hinweisen). Um der retrospektiven ärztlichen Attestierung der Arbeitsunfähigkeit zu folgen und auf ein echtzeitliches Arztzeugnis verzichten zu können, müssen die negativen Auswirkungen der Krankheit auf die Arbeitsfähigkeit vielmehr echtzeitlich dokumentiert sein (Urteile 9C_517/2020 vom 28. Januar 2021 E. 3.2; 9C_851/2014 vom 29. Juni 2015 E. 3.2 mit Hinweis, in: SZS 2015 S. 469).
4.4. Es steht fest, dass die Beschwerdeführerin an chronischen Rückenbeschwerden leidet und ihr deswegen vom 19. August 2015 befristet bis zum 31. Oktober 2015 eine Arbeitsunfähigkeit von 20 % attestiert wurde. Im Zusammenhang mit dem - hier mit Blick auf den sachlichen Konnex allein interessierenden - Rückenleiden ist für die Zeit vom 1. November 2015 bis (mindestens) zum 21. Februar 2016 weder eine echtzeitlich noch eine rückwirkend ärztlich attestierte Arbeitsunfähigkeit aktenkundig. Anders als die LUPK glauben machen will, enthält insbesondere das "Blitz-Arbeitszeugnis" des Hausarztes Dr. med. C._ vom 2. Februar 2016 keine solche Bescheinigung; vielmehr enthielt sich der Arzt ausdrücklich einer Einschätzung und verwies auf die Notwendigkeit einer Abklärung durch Dr. med. D._. Dieser "beliess" in seinem Bericht vom 9. April 2016 die vom Hausarzt erst am 19. Februar 2016 attestierte Einschränkung von 40 %.
Wohl führten die Rückenbeschwerden zur Beendigung des Praktikums resp. der Weiterbildung. Indessen ist zu berücksichtigen, dass der (seit dem 1. Oktober 2013 stets gleiche) Arbeitgeber die Leistungen seiner Mitarbeiterin kannte und diese trotz des (einvernehmlichen) Abbruchs der Weiterbildung ab dem 15. Februar 2016 wiederum zu 100 % als FaGe in der Abteilung Mutter und Kind anstellte. Daraus lässt sich schliessen, dass er von einer uneingeschränkten Leistungsfähigkeit für diese Tätigkeit ausging, zumal diesbezüglich auch kein Hinweis auf einen blossen Arbeitsversuch ersichtlich ist. Weiter leuchtet in diesem Zusammenhang auch ein, dass die Praktikumstätigkeit mit jugendlichen Patienten höhere Anforderungen an die Rückenbelastbarkeit stellt als die Arbeit mit Neugeborenen. Die bloss allgemein gehaltenen Ausführungen der LUPK zu den Berufsbildern der FaGe und der diplomierten Pflegefachfrau HF ändern daran nichts.
Dr. med. D._ betonte im Bericht vom 9. April 2016 u.a. die initial klare Belastungsabhängigkeit der Beschwerden und die vermehrte Belastung im Rahmen der Weiterbildung. Dennoch hinderte das Rückenleiden die Beschwerdeführerin nicht daran, die Praktikumstätigkeit ab Anfang November 2015 wieder im vollen Umfang auszuüben, bis sie im Januar 2016 wegen Grippe und Depression arbeitsunfähig wurde (vgl. vorangehende E. 3).
4.5. Das Vorliegen eines (chronischen) Gesundheitsschadens ist nicht mit einer Arbeitsunfähigkeit in angepasster Tätigkeit gleichzusetzen. Angesichts der konkret gegebenen Umstände ist davon auszugehen, dass bezüglich der Rückenbeschwerden ab Anfang November 2015 während mindestens dreier Monate für die weniger belastende Tätigkeit als FaGe eine Arbeitsfähigkeit von über 80 % bestand. Damit ist der zeitliche Zusammenhang zur im August 2015 eingetretenen Arbeitsunfähigkeit unterbrochen (vgl. vorangehende E. 2.1.2 in fine).
Für den Zeitraum vom 15. bis zum 22. Februar 2016 (Antritt der Stelle als FaGe bis zur neu attestierten Arbeitsunfähigkeit) verzeichnete weder der Arbeitgeber (Übersicht Absenzdaten vom 21. September 2016) noch die Krankentaggeldversicherung (Leistungszusammenstellung in den Akten der IV-Stelle) eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit. Die Vorinstanz hat einzig aus dem chronischen Charakter des Rückenleidens geschlossen, dass die (erneute) Arbeitsunfähigkeit zu einem unbestimmten Zeitpunkt vor dem 15. Februar 2016 eingetreten sei. Dieses Vorgehen ist spekulativ und entbehrt einer aktenmässigen Grundlage. Für den Eintritt der massgeblichen Arbeitsunfähigkeit ist auf den echtzeitlich attestierten Zeitpunkt abzustellen (vgl. vorangehende E. 4.3). Ob dies der 22. Februar 2016 (gemäss Hausarzt) oder der 9. April 2016 (gemäss Dr. med. D._) ist, ist nicht entscheidend.
4.6. Nach dem Gesagten ist die LUPK für die Invalidität der Beschwerdeführerin im Grundsatz leistungspflichtig. Damit besteht erstmals Anlass, die weiteren Voraussetzungen für die klageweise geltend gemachte Invalidenrente zu prüfen. Dazu ist die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen (vgl. Urteil 9C_111/2021 vom 11. August 2021 E. 4.3). Insoweit ist die Beschwerde begründet.
5.
Hinsichtlich der Prozesskosten gilt die Rückweisung der Sache zu neuem Entscheid praxisgemäss als volles Obsiegen (vgl. statt vieler: Urteil 9C_279/2019 vom 1. Juli 2019 E. 3 mit Hinweisen). Dementsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin hat Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und das Urteil des Kantonsgerichts Luzern vom 25. Mai 2021 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägung 4.6 an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. November 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Dormann