Sachverhalt:
A.
Im Rahmen des zwischen A.A._ (Ehemann) und B.A._ (Ehefrau) hängigen Eheschutzverfahrens verpflichtete das Bezirksgericht Einsiedeln den Ehemann mit Verfügung vom 17. Oktober 2018unter anderem zur Bezahlung von zeitlich gestaffelten Bar- und Betreuungsunterhaltsbeiträgen für die beiden Kinder C.A._ und D.A._ rückwirkend resp. im Voraus (Dispositivziffer 6). Das Bezirksgericht ging dabei von einem durchschnittlichen Monatseinkommen der Ehefrau von Fr. 500.-- für die Monate Juli und August 2017 bzw. von Fr. 220.-- seit September 2017 aus. Dem Ehemann wurde ein Einkommen von Fr. 283'980.-- pro Jahr resp. Fr. 23'665.-- pro Monat angerechnet (Dispositivziffer 7). Die Entscheidgebühren für die Verfahren ZES 2017 081 sowie ZES 2017 160 wurden auf Fr. 4'000.-- bzw. Fr. 500.-- festgesetzt und dem Ehemann auferlegt (Dispositivziffern 10 und 12). Der Ehemann wurde verpflichtet, die Ehefrau wie folgt zu entschädigen: Für das Verfahren ZES 2017 081 (Eheschutzverfahren) mit Fr. 5'850.-- (inkl. MwSt und Auslagen); für das Verfahren ZES 2017 160 (superprovisorische Massnahmen) mit Fr. 1'800.-- (inkl. MwSt und Auslagen; Dispositivziffer 13).
B.
Gegen diesen Eheschutzentscheid reichte der Ehemann beim Kantonsgericht Schwyz Berufung ein. In seiner Eingabe verlangte er unter anderem die Aufhebung des Eheschutzurteils vom 17. Oktober 2018 hinsichtlich der Dispositivziffern 6, 7, 10, 12 und 13. In der Sache beantragte er, davon abzusehen, ihn zur Bezahlung von Unterhaltsbeiträgen zu verpflichten, und forderte seinerseits Unterhaltsbeiträge für die Kinder. Weiter beantragte er, die Gerichtskosten der beiden erstinstanzlichen Verfahren (s. Bst. A.) der Ehefrau aufzuerlegen. Schliesslich verlangte der Ehemann, seiner Berufung bezüglich der Dispositivziffern 6, 7, 10, 12 und 13 der erstinstanzlichen Verfügung die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Mit Verfügung vom 28. Dezember 2018 wies das Kantonsgericht Schwyz das Begehren des Ehemannes um aufschiebende Wirkung bzw. sein Gesuch um Aufschub der Vollstreckung ab.
C.
Mit Beschwerde vom 18. Januar 2019 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, den Zwischenentscheid vom 28. Dezember 2018 aufzuheben und der Berufung bezüglich Dispositivziffern 6, 7, 10, 12 und 13 der Verfügung des Bezirksgerichts vom 17. Oktober 2018 die aufschiebende Wirkung (bzw. der Aufschub der Vollstreckung) zu erteilen (Ziff. 1.1). Eventualiter sei der Berufung bezüglich Dispositivziffern 6 und 7 der Verfügung des Bezirksgerichts vom 17. Oktober 2018 für die (rückwirkenden) Unterhaltsbeiträge der Zeitperiode vom 1. Juli 2017 bis 31. Dezember 2018 die aufschiebende Wirkung (bzw. den Aufschub der Vollstreckbarkeit) vollständig zu erteilen und für die Zeitperiode ab dem 1. Januar 2019 für die Unterhaltsbeiträge, welche die Höhe von Fr. 3'200.-- monatlich übersteigen (Ziff. 1.2).
Eventualiter beantragt der Beschwerdeführer ferner, den Zwischenentscheid des Kantonsgerichts vom 28. Dezember 2018 (ZK2 2018 82) aufzuheben und an die Vorinstanz zur Vervollständigung des Sachverhalts, eventuell zur Durchführung eines Beweisverfahrens betreffend Einkommen/Schulden des Beschwerdeführers, und zu neuer Entscheidung im Sinn von Ziff. 1.1. und 1.2. hievor zurückzuweisen.
In prozessualer Hinsicht ersucht der Beschwerdeführer darum, seiner Beschwerde an das Bundesgericht die aufschiebende Wirkung zu gewähren. Das Bundesgericht wies das Gesuch mit Verfügung vom 11. Februar 2019 ab.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Zwischenentscheid über die Frage des Aufschubes der Vollstreckbarkeit der mit erstinstanzlichem Eheschutzentscheid festgesetzten Unterhaltsbeiträge. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382; <ref-ruling> E. 2.2 S. 647). Bei dieser handelt es sich um eine Zivilsache mit einem Fr. 30'000.-- übersteigendem Streitwert (Art. 72 Abs. 1 und Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit unter Vorbehalt der nachfolgenden Einschränkungen auch gegen den Zwischenentscheid zulässig.
Gegen einen Zwischenentscheid steht die Beschwerde in Zivilsachen - abgesehen vom hier nicht gegebenen Fall von Art. 93 Abs. 1 Bst. b BGG - nur offen, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG). Ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinn von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG muss rechtlicher Natur sein und setzt voraus, dass er auch durch einen günstigen Endentscheid nicht mehr behoben werden könnte (<ref-ruling> E. 2.2 S. 801). Ausschlaggebend ist also, wie sich der Zwischenentscheid auf die Hauptsache auswirkt (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 383). Eine rein tatsächliche oder wirtschaftliche Erschwernis reicht in der Regel nicht, doch genügt die blosse Möglichkeit eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils rechtlicher Natur (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 317; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 382). Der blosse Umstand, zu einer Geldleistung verpflichtet zu werden, stellt grundsätzlich keinen rechtlichen Nachteil im beschriebenen Sinn dar (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 335; <ref-ruling> E. 1.2 S. 640). Entsprechend begründet auch bei Unterhaltszahlungen das Inkassorisiko einer allfälligen Rückforderung nur einen tatsächlichen und keinen rechtlichen Nachteil (Urteile 5A_601/2014 vom 8. Januar 2015 E. 1; 5A_954/2012 vom 30. Januar 2013 E. 4). Soweit nicht offenkundig ist, dass der Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könnte, hat der Betroffene in seiner Eingabe darzutun, inwiefern er einem solchen ausgesetzt ist und die Voraussetzungen der Zulässigkeit seiner Beschwerde erfüllt sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 81; <ref-ruling> E. 1.2 S. 47; <ref-ruling> E. 1.3 S. 525).
1.2.
1.2.1. In seiner weitschweifigen Eingabe (Haupt- und Eventualbegehren; s. Sachverhalt Bst. B) weist der Beschwerdeführer einleitend zwar in abstrakter Weise auf das Erfordernis eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils im Sinn von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG hin. Er versäumt es in der Folge aber, einen solchen dazutun. Insbesondere behauptet er nicht, dass er mit der Bezahlung der Unterhaltsbeiträge in ernsthafte finanzielle Schwierigkeiten geriete bzw. sein betreibungsrechtliches Existenzminimum nicht mehr gedeckt wäre, was allenfalls ein Grund für die Gewährung der aufschiebenden Wirkung wäre (vgl. Urteile 5A_598/2017 vom 5. Dezember 2017 E. 1.2; 5A_661/2015 vom 2. Dezember 2015 E. 1.2; 5A_708/2013 vom 14. Mai 2014 E. 1.1; 5A_111/2010 vom 12. Januar 2011 E. 2.1). Entsprechende Einwände erhebt der Beschwerdeführer einzig im Zusammenhang mit dem Gesuch, seiner Beschwerde an das Bundesgericht gemäss <ref-law> die aufschiebende Wirkung zu erteilen, nicht aber mit Bezug auf die Zulässigkeit der Beschwerde an das Bundesgericht gemäss Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG.
Indes beruft sich der Beschwerdeführer auf die Gefahr, dass er die (allenfalls) zuviel bezahlten Unterhaltsbeiträge bei abgeändertem zweitinstanzlichen Entscheid nicht mehr eintreiben könnte, weshalb ihm ein nicht leicht wieder gutzumachender Nachteil entstehe. Er argumentiert, dass die von der Fürsorgebehörde unterstützte Beschwerdegegnerin nicht in der Lage sei, allenfalls zuviel bezahlte Unterhaltsbeiträge und/oder Entscheidgebühren zurückzuzahlen. Auch sei es nicht möglich, diese allfälligen Rückerstattungsforderungen mit künftigen Beiträgen an den "persönlichen Unterhalt" der Beschwerdegegnerin zu verrechnen, weil eine Verrechnung in das Existenzminimum der Beschwerdegegnerin eingreifen würde, was unzulässig wäre. Sodann sei die Verrechnung auch in güterrechtlicher Hinsicht ausgeschlossen, da die Parteien unter dem Güterstand der Gütertrennung lebten. Damit behauptet der Beschwerdeführer aber keinen rechtlichen, sondern lediglich einen wirtschaftlichen Nachteil (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 335; <ref-ruling> E. 1.2 S. 640; Urteile 5A_601/2014 vom 8. Januar 2015 E. 1; 5A_954/2012 vom 30. Januar 2013 E. 4; s. E. 1.1), was nicht genügt. Daran ändert auch das Urteil 5A_661/2015 vom 2. Dezember 2015 E. 1, auf welches sich der Beschwerdeführer beruft, nichts. Soweit aus diesem - und allenfalls weiteren Urteilen (s. Urteile 5A_598/2017 vom 5. Dezember 2017 E. 1.2 m.w.H.; 5A_708/2013 vom 14. Mai 2014 E. 1.1) - andere als die hievor dargelegten Grundsätze herausgelesen werden könnten, ist dies auf missverständliche Formulierungen zurückzuführen (s. dazu unmissverständlich: <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 335; <ref-ruling> E. 1.2 S. 640), welche unbeachtlich sind.
1.2.2. Mit seinen Vorbringen verkennt der Beschwerdeführer überdies, dass seine Beschwerde vor Bundesgericht nur dann zulässig ist, wenn der angefochtene Entscheid einen Nachteil bewirken könnte, der überhaupt nicht wieder gutzumachen ist (E. 1.1). Dass der behauptete Nachteil nicht leicht wiedergutzumachen ist (s. <ref-law>), genügt nach dem klaren Wortlaut von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG nicht (Urteil 5A_858/2017 vom 6. April 2018 E. 2.3). Vielmehr haben sich die Vorbringen konkret und substanziiert damit auseinanderzusetzen, inwiefern die blosse Möglichkeit eines überhaupt nicht wieder gutzumachenden Nachteils besteht. Diesen Substanziierungsanforderungen ist nicht Genüge getan, wenn der Beschwerdeführer den Begriff leicht in seiner Eingabe an einer Stelle in Klammern ("nicht [leicht] wieder gutzumachender Nachteil") aufführt. Vielmehr belegt der Beschwerdeführer damit, dass er die Voraussetzungen nach <ref-law> und 93 Abs. 1 Bst. a BGG gleichsetzt, was nicht geht.
Da auch nicht offenkundig ist, dass der Zwischenentscheid einen (überhaupt) nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könnte, scheitert die Beschwerde bereits an den Zulässigkeitsvoraussetzungen gemäss Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG. Damit erübrigen sich weitere Ausführungen in der Sache. Nur der Vollständigkeit halber sei schliesslich noch auf Folgendes hingewiesen: Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, der erstinstanzliche Unterhaltsentscheid sei offensichtlich unrichtig und tatsachenwidrig, weil das Bezirksgericht den Kindern unter dem Titel Betreuungsunterhalt Beiträge an die Säule 3a der Beschwerdegegnerin zugesprochen hat, stellt er primär den Eheschutzentscheid der ersten Instanz in Frage; zulässiges Anfechtungsobjekt ist aber einzig der vorinstanzliche Zwischenentscheid (<ref-law>; s. Urteil 5A_130/2016 vom 30. Januar 2017 E. 2).
2.
Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Bei diesem Verfahrensausgang hat der Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Schwyz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Mai 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Nyffeler