Erwägungen:
1.
Die 1985 geborene A.A._, Staatsangehörige der Dominikanischen Republik, heiratete am 19. Juni 2012 in ihrer Heimat einen im Kanton Luzern niedergelassenen Landsmann. Am 11. Mai 2013 wurden ihr sowie ihrem 2009 geborenen Sohn B.A._ im Rahmen des Familiennachzugs Aufenthaltsbewilligungen erteilt. Die Ehe mit dem niedergelassenen Landsmann wurde am 2. September 2015 geschieden. Das Amt für Migration des Kantons Luzern lehnte mit Verfügung vom 3. Juni 2016 eine Verlängerung der Aufenthaltsbewilligungen ab und ordnete die Wegweisung an. Die Verfügung wurde rechtskräftig. Am 6. Dezember 2016 gebar A.A._ die Tochter C.A._. Die Vaterschaft des 1971 geborenen Sergio Esposito wurde in der Folge nachgewiesen; der Vater ist nicht, wie von der Mutter zunächst behauptet, Schweizer Bürger, sondern italienischer Staatsangehöriger. A.A._ hatte schon am 19. Dezember 2016 ein neues Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung gestellt. Nach Wiederaufnahme des wegen des laufenden Vaterschaftsanerkennungsverfahrens zunächst sistierten Bewilligungsverfahrens lehnte das Amt für Migration des Kantons Luzern die Erteilung von Aufenthaltsbewilligungen an die Betroffene und ihre Kinder ab und verfügte deren Wegweisung. Auf die gegen die entsprechende Verfügung vom 27. September 2017 erhobene Verwaltungsbeschwerde trat das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern mit Entscheid vom 18. Juli 2018 nicht ein und setzte eine neue Ausreisefrist an. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wies es wegen Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels ab; es auferlegte A.A._ die amtlichen Kosten von Fr. 400.--
Die gegen diesen Departementsentscheid erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde wies das Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, mit Urteil vom 9. Januar 2019 ab, soweit darauf einzutreten war.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 25. Februar 2019 beantragt A.A._ für sich und ihre Kinder hauptsächlich die Rückweisung des Falles an die Vorinstanz zwecks Abklärung und Vervollständigung des Sachverhalts und "Absicherung aller rechtlicher Interessen der Beschwerdeführer" und "Gutheissung einer unabhängigen, unentgeltlichen Rechtspflege (für die Beschwerdeführer) während des gesamten Verfahrens, um ihre rechtlichen Ansprüche zu gewähren und ein faires, neutrales Verfahren gewährleisten zu können."
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
Mit dem vorliegenden instanzabschliessenden Urteil wird das (im Hinblick auf die mit dem angefochtenen Urteil verbundene Ausreiseverpflichtung gestellte) Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten. Die Begründung muss sachbezogen sein. Die Beschwerde führende Partei muss bezogen und beschränkt auf den Verfahrensgegenstand in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form darlegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen). Beruht der angefochtene Entscheid auf kantonalem Recht, kann weitgehend bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, namentlich Willkür, bei dessen Anwendung gerügt werden; entsprechende Rügen bedürfen gemäss <ref-law> besonderer Geltendmachung und Begründung (<ref-ruling> E. 1.3 S. 41 mit Hinweisen).
2.2. Beim Kantonsgericht war ein Nichteintretensentscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements angefochten. Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens konnte damit ausschliesslich die Frage sein, ob das Departement Recht dadurch verletzte, dass es auf die bei ihm erhobene Verwaltungsbeschwerde nicht eintrat. Zu dieser (auf der Hand liegenden) Beschränkung des Prozessstoffes vor der Vorinstanz und zu der entsprechenden Begründung (E. 3.3) äussern sich die Beschwerdeführer nicht. Inwiefern alsdann das Kantonsgericht mit seinen Erwägungen zu den Anforderungen an die Begründung der Rechtsschrift an seine Vorinstanz und bei der Anwendung des hierfür einschlägigen kantonalen Verfahrensrechts (E. 4.1 und 4.2) schweizerisches Recht verletzt habe, lässt sich der Eingabe vom 25. Februar 2019 auch nicht ansatzweise entnehmen.
Die Beschwerdeführer, die für das "gesamte Verfahren" unentgeltliche Rechtspflege beanspruchen wollen und damit implizit die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege durch das Kantonsgericht beanstanden, zeigen nicht auf, inwiefern dessen Einschätzung der dortigen Verwaltungsgerichtsbeschwerde als aussichtlos rechtsverletzend, namentlich nicht mit <ref-law> vereinbar wäre. Soweit sich der Formulierung ihres Antrags betreffend unentgeltliche Rechtspflege sinngemäss der Vorwurf entnehmen lässt, es habe grundsätzlich an einem fairen, für sie wirksamen Verfahren gefehlt, ist auf die nicht bestrittene Darstellung im angefochtenen Urteil zu verweisen (E. 4.2 erster Absatz), woraus sich ergibt, dass sie im untauglich geführten Verwaltungsbeschwerdeverfahren, das zu einem Nichteintreten führte, anwaltlich vertreten waren.
2.3. Die Beschwerde enthält in keinerlei Hinsicht eine hinreichende Begründung (<ref-law>). Es ist darauf mit Entscheid des Abteilungspräsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
2.4. Da die vorliegende Beschwerde aussichtslos erschien, ist auch das für das bundesgerichtliche Verfahren gestellte Gesuch um unent-geltliche Rechtspflege abzuweisen (<ref-law>).
Damit sind die Gerichtskosten (<ref-law>) entsprechend dem Verfahrensausgang der Beschwerdeführerin 1 (für sich und ihre Kinder) aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin 1 auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Februar 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Feller