Sachverhalt:
A.
Die B._ AG (Beauftragte, Klägerin, Beschwerdegegnerin) vertrat in einem von der Staatsanwaltschaft U._ im Dezember 2012 eingeleiteten Strafverfahren A._ (Auftraggeber, Beklagter, Beschwerdeführer). Nachdem der Auftraggeber mit Urteil des Strafgerichts U._ vom 19. Dezember 2014 wegen Betrugs zu einer bedingten Freiheitsstrafe von 15 Monaten verurteilt worden war, entzog er der Beauftragten am 2. Juni 2015 das Mandat. Daraufhin verlangte diese vom Auftraggeber die Zahlung von Fr. 94'252.75 aus Honorar. Dem kam der Auftraggeber nicht nach.
B.
Am 12. September 2016 reichte die Beauftragte beim erstinstanzlichen Gericht U._ Klage ein und beantragte, der Beklagte sei zu verpflichten, ihr Fr. 94'252.75 nebst Zins zu bezahlen. In der Replik reduzierte die Klägerin ihre Forderung auf Fr. 91'637.50. Mit Urteil vom 29. November 2017 verpflichtete das erstinstanzliche Gericht den Beklagten, der Klägerin Fr. 91'637.50 nebst Zins zu bezahlen.
Die Vorinstanz wies mit Entscheid vom 11. Dezember 2018 die vom Beklagten erhobene Berufung ab. A m Entscheid wirkten mit: D._, E._ und F._ sowie der Gerichtsschreiber G._. Der Entscheid wurde auf dem Zirkulationsweg gefällt.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 9. Januar 2019 beantragt der Beklagte dem Bundesgericht, das Urteil der Vorinstanz vom 11. Dezember 2018 sei gestützt auf <ref-law> i.V.m. <ref-law> kostenfällig aufzuheben und es sei das Verfahren zu wiederholen mit einem ordnungsgemäss besetzten Gericht. Er beantragt den Ausstand der Richterin F._ (nachfolgend: die Richterin).
Mit ergänzter Beschwerde vom 11. Januar 2019 verlangt er zudem, das Urteil der Vorinstanz sei kostenfällig aufzuheben und die Klage abzuweisen. Dieses Beschwerdeverfahren (gemeint: die Beschwerde in der Sache) sei zu sistieren bis zur rechtskräftigen Erledigung der Beschwerde hinsichtlich des Ausstandsbegehrens gegen die Richterin bzw. bis - im Falle der Gutheissung dieser Beschwerde - ein neues Urteil der Vorinstanz ergangen sei. Für den Fall, dass ein allfälliges neues Urteil der Vorinstanz genau gleich lauten und gleich begründet würde, gelte die Beschwerde vom 11. Januar 2019 auch als Beschwerde gegen diesen neuen Entscheid.
Am 16. Januar 2019 verfügte das präsidierende Mitglied der I. zivilrechtlichen Abteilung diesbezüglich im Wesentlichen, die Eingabe vom 11. Januar 2019 werde als Ergänzung der Beschwerde vom 9. Januar 2019 entgegengenommen und im Verfahren 4A_17/2019 behandelt. Die Instruktion dieses Verfahrens werde nicht auf einzelne Rügen beschränkt und das Verfahren werde nicht teilweise sistiert. Entsprechend wurde der Schriftenwechsel durchgeführt. Zudem wurde der Beschwerdeführer darauf aufmerksam gemacht, dass die Eingabe vom 11. Januar 2019 nicht als Beschwerde gegen einen allfälligen genau gleich lautenden und begründeten künftigen Entscheid der Vorinstanz entgegengenommen werden könne. Es sei weder zulässig, sozusagen auf Vorrat eine Beschwerde gegen einen künftigen Entscheid zu erheben, noch eine bedingte Beschwerde für den Fall einzureichen, dass ein bestimmter Entscheid ergehe (vgl. zur grundsätzlichen Unzulässigkeit einer bedingten Beschwerdeerhebung: <ref-ruling> E. 2.5 S. 335 f.).
Die Beschwerdegegnerin beantragt die kostenfällige Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz beantragt - gestützt auf die gleichzeitig übermittelte Stellungnahme der Richterin - die Abweisung des Ausstandsgesuchs. In der Sache verzichtet sie auf eine Vernehmlassung. Der Beschwerdeführer hat unaufgefordert repliziert.

Erwägungen:
1.
Wird ein Ablehnungsgrund gegen einen bei einem kantonalen Entscheid mitwirkenden Richter erst nach Abschluss des Verfahrens entdeckt, kann dies mit Beschwerde in Zivilsachen gerügt werden (<ref-ruling> E. 3.1.1 S. 122 f.; Urteil 4A_62/2014 vom 20. Mai 2014 E. 1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Das Urteil der Vorinstanz wurde auf dem Zirkulationsweg gefällt, was den Parteien mit Verfügung vom 3. Juli 2018 mitgeteilt wurde, ohne dass dabei die personelle Zusammensetzung des Spruchkörpers genannt wurde. Der Beschwerdeführer kann somit mit der Beschwerde in Zivilsachen die Befangenheit der Richterin rügen.
2.
Nach <ref-law> können neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt. Dabei kann es sich namentlich um Tatsachen und Beweismittel handeln, die sich auf das vorinstanzliche Verfahren beziehen, etwa eine behauptete Unregelmässigkeit in der Zusammensetzung des vorinstanzlichen Spruchkörpers (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123; zit. Urteil 4A_62/2014 E. 1.4, nicht publ. in: <ref-ruling>; je mit Hinweisen).
3.
Das Ausstandsgesuch richtet sich gegen eine nebenamtliche Richterin der Vorinstanz, die beim angefochtenen Entscheid mitgewirkt hat.
3.1. Der Beschwerdeführer beruft sich einerseits darauf, dass die besagte Richterin die Tochter des dienstältesten Präsidenten der Erstinstanz sei. Es erstaune, dass sie in der gleichen Stadt (und im gleichen Gerichtsgebäude) Zivilfälle in zweiter Instanz mitbeurteile. Aus Sicht einer ordnungsgemässen Justiz sei zu erwarten, dass die Richterin keine Zivilsachen beurteile; es gehe nicht darum, ob ihr Vater konkret am (angefochtenen) erstinstanzlichen Entscheid mitgewirkt habe. Denn es sei nicht auszuschliessen, dass er in einer anderen Streitsache über ähnliches oder gleiches zu richten habe (oder dies bereits getan habe) und so direkt oder indirekt die zweite Instanz beeinflusse.
Weiter verweist der Beschwerdeführer darauf, dass die Richterin am xxx. November 2017 - also rund ein Jahr vor Bekanntgabe des angefochtenen Urteils - den Preis yyy für ihre Dissertation erhalten habe, der von der Beschwerdegegnerin gestiftet worden sei. Aus öffentlichen Quellen sei nicht ersichtlich, wie hoch der Preis dotiert sei, doch dürften es zwischen Fr. 2'000.-- und Fr. 5'000.-- sein. Die Richterin habe Auskunft zur Höhe des Preises zu erteilen. In der Replik ergänzte er, gemäss einer zwischenzeitlich eingeholten Auskunft der Universität sei der Preis mit Fr. 5'000.-- dotiert.
Schliesslich beruft sich der Beschwerdeführer darauf, dass die Richterin am 28. September 2018 zusammen mit Rechtsanwalt H._ an einer Tagung der Universität Y._ aufgetreten sei. Bei Rechtsanwalt H._ handle es sich um denjenigen Partner, der seinerzeit bei der Beschwerdegegnerin als fallführender Anwalt das Mandat betreut habe, um das es bei der streitgegenständlichen Honorarforderung gehe.
3.2. Die Beschwerdegegnerin wendet ein, wenn gemäss BGE 133 I E. 6.4.1 und 6.4.2 (gemeint wohl: 133 I 1) ein Mitglied eines Gerichts am gleichen Gericht gleichzeitig als Anwalt auftreten könne, ohne dass dies Befangenheit begründe, könne auch keine Befangenheit bestehen, wenn die Tochter eines Gerichtspräsidenten der unteren Instanz als Richterin an der oberen Instanz wirke. Die Richterin weist in ihrer Vernehmlassung zusätzlich darauf hin, dass sie immer in den Ausstand trete in einer Sache, mit der ihr Vater befasst war.
Hinsichtlich des Preises betont die Beschwerdegegnerin, die Evaluation der Preisträger erfolge ausschliesslich durch die Juristische Fakultät, ihre Zusage zum Sponsoring beruhe auf einer jederzeit widerrufbaren mündlichen Zusage und sie habe keinen Anspruch auf irgendeine Gegenleistung. Eine - zumal direkte - wirtschaftliche oder sonstwie geartete Beziehung zwischen ihr und der Richterin bestehe bei dieser Sachlage nicht. Der Entscheid sei zudem mehr als ein Jahr nach der Preisverleihung gefällt worden. Es könne nicht angehen, dass eine Richterin auf unbestimmte Zeit oder gar lebenslänglich von der Behandlung von Fällen ausgeschlossen werde, in welche die Beschwerdegegnerin involviert gewesen sei. Die Richterin weist in ihrer Vernehmlassung ebenfalls auf die Unabhängigkeit der Fakultät und den Zeitraum zwischen Preisverleihung und Urteilsfällung hin und ergänzt, es sei nicht singulär, dass grössere Anwaltskanzleien als finanzielle Förderer mit ihrer Alma Mater verbunden seien. Für sie sei der Preis nicht aus monetären Gründen, sondern wegen der damit ausgedrückten Anerkennung von Bedeutung im Hinblick auf ihren weiteren beruflichen Werdegang.
Die Beschwerdegegnerin weist schliesslich darauf hin, der Beschwerdeführer habe zu Recht nicht behauptet, die Richterin und Rechtsanwalt H._ hätten wiederholt an gleichen Veranstaltungen referiert und dies hätte zu einer engen persönlichen Beziehung geführt, was die Richterin bestätigt.
4.
4.1. Nach <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch darauf, dass ihre Streitsache von einem unbefangenen, unvoreingenommenen und unparteiischen Richter beurteilt wird. Es soll garantiert werden, dass keine sachfremden Umstände, die ausserhalb des Prozesses liegen, in sachwidriger Weise zugunsten oder zulasten einer Partei auf das gerichtliche Urteil einwirken. <ref-law> soll zu der für einen korrekten und fairen Prozess erforderlichen Offenheit des Verfahrens im Einzelfall beitragen und damit ein gerechtes Urteil ermöglichen (<ref-ruling> E. 4.3 S. 162; <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 736; <ref-ruling> E. 4.1 S. 221 f.; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 124, 433 E. 2.1.2 S. 435 f.).
Die Garantie des verfassungsmässigen Richters wird verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Voreingenommenheit und Befangenheit in diesem Sinne werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn im Einzelfall anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände Gegebenheiten aufscheinen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Dabei ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit hervorrufen. Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist (<ref-ruling> E. 4.3 S. 162; <ref-ruling> E. 3.1.1 S. 536; <ref-ruling> E. 4.1 S. 222; <ref-ruling> E. 2.1.2 S. 436; je mit Hinweisen).
4.2. Der Beschwerdeführer beruft sich auf keinen der spezifischen Ausstandsgründe gemäss Art. 47 Abs. 1 lit. a-e ZPO, sondern (sinngemäss) auf eine Befangenheit " aus anderen Gründen " im Sinn von <ref-law>.
4.2.1. Dass das blosse Auftreten als Referenten an der gleichen Weiterbildungsveranstaltung Befangenheit begründen könnte, ist ohne weiteres zu verneinen.
4.2.2. Das Bundesgericht hatte verschiedentlich die Unabhängigkeit eines nebenamtlichen Richters zu beurteilen, der gleichzeitig vor dem betreffenden Gericht als Anwalt auftrat. In einem neueren als dem von der Beschwerdegegnerin zitierten <ref-ruling> hat es bestätigt, dass diese Tatsache allein keine Befangenheit begründe. Vielmehr müssten über die äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur hinaus Umstände vorliegen, die den Anschein der Befangenheit zu begründen vermöchten. Immerhin hielt es fest, es wäre grundsätzlich zu begrüssen, wenn ein Richter vor dem Gericht, dem er ersatzweise angehöre, nicht als Parteivertreter auftrete (<ref-ruling> E. 5.2-5.4). Vorliegend geht es allerdings nicht genau um diese Konstellation, sondern um eine geltend gemachte Befangenheit der oberinstanzlichen Richterin im Hinblick auf eine mögliche "Rücksichtnahme" auf die untere Instanz aus persönlichen Gründen. Unter Hinweis auf die soeben zitierten Entscheide hat das Bundesgericht allerdings auch entschieden, es sei nicht verfassungswidrig, wenn ein Ersatzrichter einer oberen Gerichtsbehörde über ein Rechtsmittel gegen einen Entscheid einer unteren Gerichtsbehörde befinde, der er selber als ordentliches Mitglied angehöre. Dass ein Richter einen Entscheid zu überprüfen habe, an dessen Fällung Personen mitgewirkt hätten, mit denen er zusammen in derselben (erstinstanzlichen) Kollegialbehörde als Richter tätig sei, vermöge für sich allein noch nicht den Anschein der Befangenheit zu bewirken. Die blosse Kollegialität unter Behördenmitgliedern habe auch in diesem Zusammenhang keine Ausstandspflicht zur Folge. Mit Blick auf das Vertrauen in die Justiz möge es allerdings wünschenswert erscheinen, dass eine Gerichtsperson, die bei mehreren einander im Instanzenzug über- respektive untergeordneten rechtsprechenden Behörden tätig sei, nicht an einem Rechtsmittelverfahren gegen eine Entscheidung ihrer eigenen Behörde mitwirke (Urteil 4A_388/2014 vom 24. September 2014 E. 3.3). In einer Kommentierung dieses Entscheids sowie von <ref-ruling> wurde deren Stossrichtung begrüsst, jedoch kritisiert, das Bundesgericht habe die Rechtsanwendung zu überprüfen und nicht zu sagen, was wünschenswert sei; das Bundesgericht wage offenbar (noch) nicht, sich in dieser Frage in die kantonale Organisationshoheit einzumischen (CHRISTOPH LEUENBERGER, Die Rechtsprechung des Bundesgerichts zum Zivilprozessrecht im Jahr 2014, ZBJV 152/2016 S. 515 f.; derselbe, Die Rechtsprechung des Bundesgerichts zum Zivilprozessrecht im Jahr 2013, ZBJV 3/2015 S. 242 f.). Darauf muss hier nicht weiter eingegangen und auch nicht beurteilt werden, inwieweit eine vergleichbare Konstellation vorliegt, wenn die nebenamtliche Richterin der oberen Instanz nicht selber Mitglied der unteren Instanz ist, deren Entscheid angefochten ist, sondern ihr Vater. Denn das Ausstandsgesuch ist aus den nachfolgenden Gründen gutzuheissen.
4.2.3. Es steht ausser Diskussion, dass die Beschwerdegegnerin keinen irgendwie gearteten Einfluss auf die Auswahl der auszuzeichnenden Absolventin hatte. Das ist jedoch nicht entscheidend. Es ist sodann auch ohne weiteres nachvollziehbar, wenn die Richterin ausführt, der Preis habe für sie in erster Linie nicht monetären Wert, sondern sei von Bedeutung als Anerkennung ihrer akademischen Leistungen und für ihren weiteren beruflichen Werdegang. Der Preis hat in diesem Sinn einen Anerkennungswert. Grundsätzlich ist ein höher dotierter Preis gewichtiger und bedeutsamer als ein tief dotierter und insofern hat dessen Höhe auch einen Einfluss auf den Anerkennungswert. Auch wenn es sich beim Preis um einen solchen der Universität Y._ handelt, ist dessen Sponsorin von Bedeutung, zumal Sponsoring häufig erst solche Preise ermöglicht. Entsprechend wurde auch vorliegend in der Verleihungsurkunde ausdrücklich darauf hingewiesen, dass der Preis von der Beschwerdegegnerin gestiftet worden sei. Aus der Sicht eines Aussenstehenden kann daher der Eindruck erweckt werden, eine solchermassen ausgezeichnete Absolventin könnte sich gegenüber einem Sponsor irgendwie zu Dank verpflichtet fühlen, jedenfalls diesem gegenüber eine positive Grundhaltung einnehmen. Vorliegend kann zudem die Art der Streitsache nicht ausser Acht gelassen werden. Es geht um eine eigene Forderung der Beschwerdegegnerin, und zwar um eine Honorarforderung. Der Beschwerdeführer bestreitet, dass diese im Hinblick auf das Geleistete angemessen ist und wirft der Beschwerdegegnerin sinngemäss vor, unnötigen Mehraufwand verrechnet zu haben. Der Streitgegenstand betrifft damit nicht nur das Bestehen oder Nichtbestehen einer Forderung, sondern enthält einen über das rein Monetäre hinausgehenden Aspekt. Der Beschwerdegegnerin ist schliesslich ohne weiteres zuzugestehen, dass eine Richterin nicht wegen eines von der Beschwerdegegnerin gestifteten Preises "auf unbestimmte Zeit oder gar lebenslänglich von der Behandlung von Fällen ausgeschlossen" werden kann, in welche die Beschwerdegegnerin "involviert" sei. Mit dem Zeitverlauf verflacht sich die Bedeutung des Anerkennungswerts eines Preises. Vorliegend wurde der Preis aber am xxx. November 2017 verliehen und der angefochtene Entscheid am 11. Dezember 2018 gefällt. Er erging im Zirkulationsverfahren und aus den Akten ist nicht ersichtlich, wann der Spruchkörper bestellt wurde. Jedenfalls wurde am 3. Juli 2018 mitgeteilt, dass keine mündliche Verhandlung vorgesehen sei. Angesichts dieser zeitlichen Nähe kann nicht von "unbestimmte Zeit" oder "lebenslänglich" gesprochen werden. Im Übrigen ging es - wie dargelegt - auch nicht um irgendeine "Involvierung" der Beschwerdegegnerin, z.B. lediglich als Rechtsvertreter einer Partei.
4.2.4. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass bei objektiver Betrachtung Umstände vorliegen, die den Anschein der Befangenheit erwecken. Das angefochtene Urteil ist aus diesem Grund aufzuheben und die Sache zu neuer Entscheidung, durch einen verfassungs- und gesetzmässig zusammengesetzten Spruchkörper, an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerde in der Sache (ergänzte Beschwerde vom 11. Januar 2019) wird damit gegenstandslos.
5.
Die Beschwerdegegnerin hat beantragt, die Beschwerde sei (auch) hinsichtlich des geltend gemachten Ausstands abzuweisen. Sie gilt daher als unterliegende Partei und wird entsprechend kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG; vgl. zit. Urteil 4A_62/2014 Sachverhalt C und E. 6, nicht publ. in: <ref-ruling>; Urteil 4A_425/2012 vom 26. Februar 2013 E. 4.2, nicht publ. in: <ref-ruling>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das angefochtene Urteil wird aufgehoben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und der Vorinstanz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. September 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Niquille
Der Gerichtsschreiber: Gross