Faits :
A.
A.a. A._, né en 1960, travaille depuis le 1er mai 2014 dans l'horlogerie comme assistant technique pour B._ SA. A ce titre, il est assuré contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). Le 28 mai 2017, il a chuté à deux reprises à vélo, se réceptionnant sur l'épaule droite. Une radiographie et une arthro-IRM (imagerie par résonance magnétique), réalisées le 20 juillet 2017, ont objectivé une déchirure transfixiante de la coiffe des rotateurs concernant la totalité du supra-épineux, une tendinopathie du sous-scapulaire sans déchirure, une tendinopathie fissuraire proximale du long chef du biceps, une discrète réduction volumique secondaire avec une minime infiltration graisseuse du muscle supra-épineux ainsi qu'un contexte de couverture acromiale accentuée, de modelé dégénératif pré-arthrosique gléno-huméral et d'arthrose acromio-claviculaire modérée. L'employeur a adressé à la CNA une déclaration d'accident-bagatelle le 24 juillet 2017. Le 23 juillet 2017, A._ a été victime d'une nouvelle chute à vélo, se blessant au visage, à l'épaule gauche et au thorax. Une déclaration d'accident a été adressée à la CNA le 28 juillet 2017. La CNA a pris en charge les deux cas. Le docteur C._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, a posé l'indication à une intervention chirurgicale au niveau de l'épaule droite, qui a été effectuée le 9 février 2018.
A.b. Par décision du 27 novembre 2017, la CNA a clos le cas avec effet au même jour et a mis fin aux prestations perçues jusqu'alors; elle a retenu que selon l'appréciation de son médecin d'arrondissement, le docteur D._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, du 17 novembre 2017, les troubles qui subsistaient à l'épaule droite n'étaient plus dus à l'accident du 28 mai 2017. Cette décision a été confirmée par décision sur opposition du 7 mai 2018.
B.
Par arrêt du 10 juin 2020, la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, a admis le recours formé par l'assuré contre cette décision et a annulé la décision sur opposition, qu'il a approuvée en tant qu'elle avait mis fin aux prestations d'assurance pour l'épaule droite avec effet au 27 novembre 2017. Elle a considéré que la déchirure transfixiante de la coiffe des rotateurs que présentait l'assuré constituait une lésion assimilée à un accident au sens de l'<ref-law> et que les rapports médicaux ne suffisaient pas pour établir que cette déchirure était attribuable à plus de 50 % à l'usure ou à la maladie.
C.
La CNA interjette un recours en matière de droit public contre cet arrêt en concluant à sa réforme dans le sens de la confirmation de sa décision sur opposition du 7 mai 2018.
A._ conclut au rejet du recours. La juridiction cantonale et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours est recevable contre les décisions finales, soit celles qui mettent fin à la procédure (<ref-law>), et contre les décisions partielles, soit celles qui statuent sur un objet dont le sort est indépendant de celui qui reste en cause (<ref-law>) ou qui mettent fin à la procédure à l'égard d'une partie des consorts (<ref-law>). Les décisions préjudicielles et incidentes autres que celles concernant la compétence ou les demandes de récusation (cf. <ref-law>) ne peuvent faire l'objet d'un recours que si elles peuvent causer un préjudice irréparable (<ref-law>) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (<ref-law>).
1.2. En règle générale, une décision de renvoi ne met pas fin à la procédure (<ref-ruling> consid. 4.2; arrêt 8C_819/2017 du 25 septembre 2018 consid. 1.2.1, non publié in <ref-ruling>, mais in SVR 2019 UV n° 13 p. 51) et n'est pas non plus de nature à causer un préjudice irréparable aux parties, le seul allongement de la durée de la procédure ou le seul fait que son coût s'en trouve augmenté n'étant pas considéré comme constitutif d'un tel dommage (<ref-ruling> consid. 5.2.1 et 5.2.2). Néanmoins, si l'arrêt de renvoi ne laisse aucune latitude de jugement à l'autorité administrative appelée à statuer (à nouveau), il est assimilé à une décision finale et peut, de ce fait, faire l'objet d'un recours en matière de droit public (<ref-ruling> consid. 1.2). Lorsque l'autorité administrative à laquelle la cause est renvoyée dispose de la qualité pour recourir au Tribunal fédéral, elle doit également pouvoir attaquer un arrêt de renvoi lui enjoignant de rendre une décision qu'elle juge contraire au droit; à défaut, elle subirait en effet un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law>, étant contrainte de rendre une décision qu'elle considère comme contraire au droit sans pouvoir ensuite la remettre en cause devant l'autorité de recours, respectivement devant le Tribunal fédéral (<ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 1.2).
1.3. En l'espèce, le jugement attaqué s'analyse comme une décision de renvoi qui, en tant qu'elle oblige la CNA à allouer les prestations d'assurance au-delà du 27 novembre 2017, ne laisse aucune latitude de jugement à l'assureur-accidents appelé à statuer à nouveau et doit donc être assimilée à une décision finale.
1.4. Pour le surplus, le recours est dirigé contre un arrêt rendu en matière de droit public (art. 82 ss. LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
Le litige porte sur le point de savoir si la cour cantonale était fondée à reconnaître le droit de l'intimé à des prestations de l'assurance-accidents (indemnité journalière et frais de traitement) pour l'épaule droite au-delà du 27 novembre 2017.
Si la décision qui fait l'objet d'un recours concerne l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction précédente (art. 97 al. 2 et art. 105 al. 3 LTF). Aussi, lorsque sont en jeu des prestations en espèces et en nature, comme c'est le cas en l'espèce, le Tribunal fédéral dispose-t-il d'un pouvoir d'examen étendu en ce qui concerne les faits communs aux deux types de prestations (arrêt 8C_657/2017 du 14 mai 2018 consid. 2.2 et les arrêts cités, in: SVR 2018 UV n° 39 p. 141).
3.
Dans la mesure où l'accident est survenu le 28 mai 2017, la loi sur l'assurance-accidents (LAA) dans sa teneur en vigueur dès le 1er janvier 2017 s'applique au cas d'espèce (cf. par. 1 des dispositions transitoires sur la modification de la LAA du 25 septembre 2015, RO 2016 4375, 4388).
4.
4.1. Les juges cantonaux ont considéré que la recourante pouvait admettre que l'évènement du 28 mai 2017 était constitutif d'un accident au sens de l'<ref-law>, dès lors que l'intimé avait chuté à vélo. Toutefois, la cour cantonale a estimé que cette qualification ne valait que pour la contusion de l'épaule droite mentionnée dans la déclaration d'accident-bagatelle du 24 juillet 2017. La recourante n'avait donc pas encore été renseignée sur une déchirure transfixiante de la coiffe des rotateurs droite concernant la totalité du supra-épineux, sinon de manière très lacunaire et imprécise par la description de l'état de fait de l'accident figurant dans la déclaration d'accident-bagatelle, où il était exposé que les premiers examens médicaux indiquaient une déchirure complète de ligament. Dès lors le courrier d'acceptation de prise en charge du 27 juillet 2017 ne valait pas admission d'un accident au sens de l'<ref-law> s'agissant de ladite déchirure. La cour cantonale a ensuite exposé que la question de savoir si, dans le cas particulier, la recourante devait admettre un accident au sens de l'<ref-law> concernant la déchirure de la coiffe des rotateurs pouvait rester indécise, dès lors que la prise en charge devait être admise selon l'<ref-law>. En effet, à la date du bilan d'imagerie du 20 juillet 2017, l'intimé souffrait d'une déchirure transfixiante de la coiffe des rotateurs à droite concernant la totalité du supra-épineux; il y avait dès lors présomption que l'on était en présence d'une lésion semblable aux conséquences d'un accident. Les rapports médicaux, notamment l'appréciation médicale du médecin d'arrondissement du 17 novembre 2017, ne permettaient pas d'établir, au degré de la vraisemblance prépondérante, que la déchirure de la coiffe des rotateurs, qui avait dû être réparée chirurgicalement, était attribuable à raison de plus de 50 % à l'usure ou à la maladie. Par conséquent, il ne se justifiait pas de mettre fin aux prestations d'assurance pour l'épaule droite au 27 novembre 2017.
4.2. La recourante reproche aux juges cantonaux d'avoir établi les faits de manière inexacte en constatant que seule la contusion de l'épaule droite mentionnée dans la déclaration d'accident-bagatelle du 24 juillet 2017 valait admission d'un accident au sens de l'<ref-law>. Partant, la cour cantonale aurait violé le droit fédéral en examinant le cas sous l'angle de l'<ref-law> et non pas de l'<ref-law>.
5.
5.1. En l'espèce, on est en présence, d'une part, d'un évènement accidentel selon l'<ref-law> en relation avec l'<ref-law>, soit la chute à vélo du 28 mai 2017. D'autre part, l'imagerie médicale réalisée le 20 juillet 2017 a objectivé (entre autres) une déchirure transfixiante de la coiffe des rotateurs. Cette lésion constitue une lésion assimilée à un accident au sens de l'<ref-law> (respectivement de l'<ref-law> dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2016; cf. <ref-ruling> consid. 7.3; <ref-ruling>). Dans un arrêt 8C_22/2019 du 24 septembre 2019 (publié aux <ref-ruling>), le Tribunal fédéral a examiné les répercussions de la modification législative relative aux lésions corporelles assimilées à un accident. Il s'est notamment penché sur la question de savoir quelle disposition était désormais applicable lorsque l'assureur-accidents avait admis l'existence d'un accident au sens de l'<ref-law> et que l'assuré souffrait d'une lésion corporelle au sens de l'<ref-law>. Le Tribunal fédéral a admis que dans cette hypothèse, l'assureur-accidents devait prendre en charge les suites de la lésion en cause sur la base de l'<ref-law>; en revanche, en l'absence d'un accident au sens juridique, le cas devait être examiné sous l'angle de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 9.1; résumé dans la RSAS 1/2020 p. 33 ss.; arrêt 8C_169/2019 du 10 mars 2020 consid. 5.2).
5.2. Il ne saurait être retenu en fait, comme l'a fait la cour cantonale, que seule la contusion de l'épaule droite mentionnée dans la déclaration d'accident-bagatelle du 24 juillet 2017 vaudrait admission d'un accident au sens de l'<ref-law> et que la description "très lacunaire et imprécise" de l'état de fait par l'intimé dans cette déclaration permettrait d'exclure que la déchirure de la coiffe des rotateurs soit examinée comme une suite éventuelle de l'accident du 28 mai 2017. En effet, cela reviendrait, comme l'observe à juste titre la recourante, à considérer qu'un assuré doit disposer de connaissances médicales précises lors de l'établissement de la déclaration de sinistre. La déclaration d'accident-bagatelle fait par ailleurs mention d'investigations médicales, notamment auprès du docteur C._. Après l'indication de l'intervention chirurgicale proposée par ce médecin, la recourante a, conformément à son devoir d'instruction (<ref-law>), recueilli les éléments médicaux nécessaires à l'examen de la situation. En outre, l'évocation d'une déchirure transfixiante de la coiffe des rotateurs ne saurait être considérée comme sortant du cadre de l'examen de l'accident du 28 mai 2017. Dès lors que la cour cantonale a admis - à l'instar de la recourante - que l'évènement du 28 mai 2017 (soit une chute à vélo) était constitutif d'un accident au sens de l'<ref-law>, la cause doit être examinée exclusivement sous l'angle de l'<ref-law>.
6.
Il convient ainsi d'examiner, au regard des principes exposés à l'<ref-ruling>, la question du lien de causalité entre les lésions constatées et l'accident du 28 mai 2017.
6.1. Aux termes de l'<ref-law>, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle.
6.1.1. En relation avec les art. 10 et 16 LAA, cette disposition implique, pour l'ouverture du droit aux prestations, l'existence d'un rapport de causalité naturelle et adéquate entre l'accident, d'une part, et le traitement médical et l'incapacité de travail de la personne assurée, d'autre part (arrêt 8C_726/2008 du 14 mai 2009 consid. 2.1). Dans le domaine de l'assurance-accidents obligatoire, cependant, en cas d'atteinte à la santé physique, la causalité adéquate se recoupe largement avec la causalité naturelle, de sorte qu'elle ne joue pratiquement pas de rôle (<ref-ruling>; <ref-ruling>; <ref-ruling> consid. 3a; <ref-ruling> consid. 5d/bb). Un rapport de causalité naturelle doit être admis lorsque le dommage ne se serait pas produit du tout ou ne serait pas survenu de la même manière sans l'événement assuré. Il n'est pas nécessaire que cet événement soit la cause unique, prépondérante ou immédiate de l'atteinte à la santé. Il suffit qu'associé éventuellement à d'autres facteurs, il ait provoqué l'atteinte à la santé, c'est-à-dire qu'il se présente comme la condition sine qua non de cette atteinte (<ref-ruling> consid. 1 et les références citées).
6.1.2. En vertu de l'<ref-law>, les prestations pour soins, les remboursements de frais ainsi que les indemnités journalières et les allocations pour impotent ne sont pas réduits lorsque l'atteinte à la santé n'est que partiellement imputable à l'accident. Lorsqu'un état maladif préexistant est aggravé ou, de manière générale, apparaît consécutivement à un accident, le devoir de l'assurance-accidents d'allouer des prestations cesse si l'accident ne constitue pas la cause naturelle (et adéquate) du dommage, soit lorsque ce dernier résulte exclusivement de causes étrangères à l'accident. Tel est le cas lorsque l'état de santé de l'intéressé est similaire à celui qui existait immédiatement avant l'accident (statu quo ante) ou à celui qui existerait même sans l'accident par suite d'un développement ordinaire (statu quo sine). A contrario, aussi longtemps que le statu quo sine vel ante n'est pas rétabli, l'assureur-accidents doit prendre à sa charge le traitement de l'état maladif préexistant, dans la mesure où il s'est manifesté à l'occasion de l'accident ou a été aggravé par ce dernier (<ref-ruling> consid. 5.1 et les arrêts cités). En principe, on examinera si l'atteinte à la santé est encore imputable à l'accident ou ne l'est plus (statu quo ante ou statu quo sine) sur le critère de la vraisemblance prépondérante, usuel en matière de preuve dans le domaine des assurances sociales, étant précisé que le fardeau de la preuve de la disparition du lien de causalité appartient à la partie qui invoque la suppression du droit, soit à l'assureur (<ref-ruling> consid. 5.1 et les arrêts cités).
6.1.3. Savoir si l'événement assuré et l'atteinte en question sont liés par un rapport de causalité naturelle est une question de fait que l'administration, ou le cas échéant le juge, examine en se fondant essentiellement sur des renseignements d'ordre médical, et qui doit être tranchée à la lumière de la règle du degré de vraisemblance prépondérante (<ref-ruling> consid. 1 et les références citées).
6.1.4. Lorsqu'un cas d'assurance est réglé sans avoir recours à une expertise externe, l'appréciation des preuves est soumise à des exigences sévères: s'il existe un doute même minime sur la fiabilité et la validité des constatations du médecin de l'assurance, il y a lieu de procéder à des investigations complémentaires (<ref-ruling> consid. 5.2; <ref-ruling> consid. 4.4). En effet, si la jurisprudence a reconnu la valeur probante des rapports médicaux des médecins-conseils, elle a souligné qu'ils n'avaient pas la même force probante qu'une expertise judiciaire ou une expertise mise en oeuvre par un assureur social dans une procédure selon l'<ref-law> (ATF <ref-ruling> consid. 4.4 et les références).
6.2.
6.2.1. En l'occurrence, le docteur D._, médecin d'arrondissement de la recourante, s'est référé dans son rapport du 17 novembre 2017 au déroulement de l'accident selon les déclarations de l'intimé dans le questionnaire signé le 16 octobre 2017 ainsi que lors de l'entretien téléphonique avec l'inspecteur accidents du 9 novembre 2017, à savoir une chute directe sur l'épaule droite. Il a exposé qu'un traumatisme avec choc direct de l'épaule n'était pas en mesure de provoquer une atteinte de la coiffe des rotateurs ou d'aggraver de manière déterminante une blessure préexistante de cette même coiffe des rotateurs (cf. arrêt 8C_446/2019 du 22 octobre 2019 consid. 5.2.2 et 5.2.3). De plus, le docteur D._ a considéré que l'imagerie réalisée le 20 juillet 2017 ne mettait pas en évidence des lésions structurelles objectivables dans la région de l'épaule droite, qui auraient été provoquées par l'accident du 28 mai 2017, mais des modifications dégénératives sans rapport avec l'accident. D'après ce praticien, un choc direct de l'épaule droite guérissait sans séquelles, de sorte que l'accident assuré ne déployait plus d'effets au jour de l'appréciation médicale; partant, l'opération destinée à soigner la coiffe des rotateurs de l'épaule droite, effectuée le 9 février 2018, n'était pas en lien de causalité avec l'évènement du 28 mai 2017.
6.2.2. Dans son appréciation chirurgicale du 23 juillet 2018, la doctoresse E._, spécialiste en chirurgie générale et traumatologie, médecin au sein de la Division de médecine des assurances de la recourante, a en outre démontré de manière circonstanciée que les atteintes de l'épaule droite objectivées chez l'intimé lors de l'arthro-IRM du 20 juillet 2017 étaient bien antérieures à l'accident du 28 mai 2017 et étaient dues à une usure ou maladie des différentes structures de l'épaule droite. Elle a ainsi estimé que les troubles de l'épaule droite n'étaient plus, au-delà du 27 novembre 2017, en lien de causalité avec l'accident du 28 mai 2017.
6.2.3. Les appréciations des médecins de la recourante ne sont mises en question par aucun rapport médical au dossier:
6.2.3.1. Ainsi, le rapport de radiographie et d'arthro-IRM du 20 juillet 2017 mentionne entre autres un contexte de couverture acromiale accentuée, de modelé dégénératif pré-arthrosique gléno-huméral et d'arthrose acromio-claviculaire modérée. Cependant, il est sans pertinence que ce rapport ne se prononce pas sur un lien causal entre ces troubles dégénératifs et la déchirure transfixiante de la coiffe des rotateurs (comme l'a relevé la cour cantonale), ni d'ailleurs entre l'accident et la lésion de la coiffe des rotateurs. En effet, cette imagerie se limite à objectiver d'éventuelles lésions.
6.2.3.2. Le docteur C._ a, à l'instar du médecin traitant, toujours considéré que l'origine de l'atteinte était accidentelle. Toutefois, dans son rapport du 23 janvier 2018, il ne s'est plus prononcé sur le caractère traumatique ou non, retenant que la lésion de la coiffe des rotateurs à droite avait été considérée comme une maladie dans la mesure où le patient avait pris du temps pour déclarer l'accident. Au surplus, le seul fait que des symptômes douloureux ne se sont manifestés qu'après la survenance d'un accident ne suffit pas à établir un rapport de causalité naturelle avec cet accident (raisonnement "post hoc, ergo propter hoc"; cf. <ref-ruling> consid. 2b/bb; RAMA 1999 n° U 341 p. 408 s., consid. 3b; arrêt 8C_117/2020 du 4 décembre 2020 consid. 3.1), de sorte que l'intimé ne peut rien déduire en sa faveur des constatations du docteur C._.
6.3. L'intimé n'avance aucun élément qui mènerait à un autre résultat. Pour autant qu'il conteste les constatations de la recourante et du médecin d'arrondissement concernant le déroulement de l'accident, il faut rappeler qu'il n'avait lui-même parlé que d'une chute directe sur l'épaule droite, sans signaler d'autres évènements particuliers. Le fait que, selon la littérature médicale qu'il cite, une lésion de la coiffe des rotateurs relève souvent d'une pratique sportive et soit une lésion fréquente chez les cyclistes ne change rien non plus à l'appréciation du cas d'espèce. Finalement, l'appréciation de la doctoresse E._ du 23 juillet 2018 n'est pas dénuée de toute force probante du seul fait que cette praticienne mentionne une ascension de la tête humérale qui n'est décrite dans aucun autre rapport médical. La doctoresse E._ se base (entre autres) sur sa propre analyse des imageries pour expliquer de manière détaillée que les atteintes de l'épaule droite objectivées chez l'intimé lors de l'arthro-IRM du 20 juillet 2017 sont bien antérieures à l'accident du 28 mai 2017 et sont dues à une usure/maladie des différentes structures de son épaule droite.
6.4. Vu ce qui précède, la cour cantonale a violé le droit fédéral en reconnaissant à l'intimé le droit aux prestations d'assurance au-delà du 27 novembre 2017, et particulièrement la prise en charge de l'intervention chirurgicale du 9 février 2018 en lien avec la coiffe des rotateurs.
7.
Il résulte de ce qui précède que le recours, fondé, doit être admis. L'intimé, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>). Bien qu'elle obtienne gain de cause, la recourante n'a pas droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. L'arrêt de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 10 juin 2020 est réformé en ce sens que la décision sur opposition de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents du 7 mai 2018 est confirmée.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 3 mai 2021
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Betschart