Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1967) und B._ (geb. 1965) haben sich in Deutschland scheiden lassen. Mit Eingabe vom 30. Dezember 2020 beantragte A._ dem Bezirksgericht Zürich sinngemäss die Vollstreckbarerklärung der vom deutschen Gericht genehmigten Vereinbarung vom 8. September 2015 und die entsprechende Anweisung der Pensionskasse von B._ zur Überweisung des Betrags von Fr. 56'286.34 auf ihr Freizügigkeitskonto, unter hälftiger Aufteilung der Gerichtskosten und Wettschlagung der Parteientschädigungen. Das Bezirksgericht hiess die Begehren gut, erklärte die gerichtlich genehmigte Vereinbarung der Parteien für vollstreckbar und verfügte die beantragte Anweisung. Das gestellte Begehren um unentgeltliche Rechtspflege hiess es in Bezug auf die Gerichtskosten gut; auf das Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung trat es hingegen nicht ein.
B.
Hiergegen gelangte A._ mit Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Auch für das Verfahren vor Obergericht ersuchte sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Beiordnung von Rechtsanwalt Dr. Andreas Edelmann als unentgeltlichen Rechtsbeistand. Mit Entscheid vom 16. Juli 2021 trat das Obergericht auf das Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung für das erstinstanzliche Verfahren ein, wies dieses jedoch ab. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung für das Beschwerdeverfahren wies es ab.
C.
Mit Eingabe vom 14. September 2021 erhebt A._ (Beschwerdeführerin) Beschwerde am Bundesgericht. Sie beantragt, es sei der Entscheid vom 16. Juli 2021 aufzuheben, ihr für das erstinstanzliche Verfahren Rechtsanwalt Dr. Andreas Edelmann als unentgeltlicher Rechtsbeistand zuzuweisen und für das Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren (unter Zuweisung des unterzeichneten Rechtsanwalts als unentgeltlicher Rechtsbeistand). Auch vor Bundesgericht beantragt sie die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Rechtsverbeiständung.
Mit Eingaben vom 18. März 2022 bzw. 23. März 2022 verzichteten sowohl das Bezirksgericht als auch das Obergericht auf Vernehmlassung.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die kantonalen Akten eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) betreffend die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege für das erstinstanzliche sowie das vorinstanzliche Verfahren. In Bezug auf den Entscheid betreffend die unentgeltliche Rechtspflege für das vorinstanzliche Beschwerdeverfahren bleibt unerheblich, dass die Vorinstanz nicht auf Rechtsmittel hin, sondern als einzige kantonale Instanz entschieden hat, da sie ihren Entscheid im Rahmen eines Beschwerdeverfahrens erlassen hat (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 mit Hinweis).
1.2. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2). Für Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt ausserdem das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik nicht eintritt (<ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 2.2).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann einzig vorgebracht werden, sie seien offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweis), oder sie würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) beruhen. Ausserdem muss in der Beschwerde aufgezeigt werden, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweis). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 4.1). Auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 4.1.2; <ref-ruling> E. 5.4, 249 E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.3; je mit Hinweisen).
Soweit die Beschwerdeführerin den Sachverhalt abweichend von den Feststellungen im angefochtenen Entscheid schildert, ohne Sachverhaltsrügen zu erheben, ist darauf nicht weiter einzugehen. Es bleibt bei dem von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt.
2.
Die Beschwerdeführerin richtet sich zunächst gegen die Abweisung ihres Gesuchs um unentgeltliche Rechtsverbeiständung für das erstinstanzliche Verfahren.
2.1. Die Vorinstanz erwog, die Beschwerdeführerin habe im erstinstanzlichen Verfahren obsiegt. Eine Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistands durch den Kanton gemäss <ref-law> könne nur erfolgen, wenn die vertretene Partei (ganz oder teilweise) unterliege oder obsiege und die Parteientschädigung bei der Gegenpartei nicht oder voraussichtlich nicht einbringlich sei. Der Begriff des Unterliegens bzw. Obsiegens im Sinne von <ref-law> decke sich nur dann nicht mit dem Ergebnis der materiellen Anspruchsprüfung, wenn die Prozesskosten gestützt auf <ref-law> nach Ermessen oder gestützt auf <ref-law> aufgrund einer nicht missbräuchlich vereinbarten Kostenverteilung auferlegt würden. Ein unentgeltlicher Rechtsvertreter sei also auch dann aus der Staatskasse zu entschädigen, wenn die von ihm vertretene Partei obsiege, ihr aber aus den erwähnten Gründen (Anwendung von Art. 107 bzw. 109 Abs. 1 ZPO) keine Parteientschädigung zulasten der Gegenpartei zugesprochen werde. Diese Konstellationen seien nicht gegeben: Vorliegend liege ein Verzicht auf eine Parteientschädigung vor, der aufgrund der anwendbaren Dispositionsmaxime zu beachten sei. Der Beschwerdeführerin sei also nicht aus Billigkeitsüberlegungen keine Parteientschädigung zugesprochen worden. Es liege überdies kein übereinstimmender Antrag betreffend die Verteilung der Prozesskosten vor, weswegen ein Vorgehen nach <ref-law> nicht angezeigt sei. Damit bestünde gemäss <ref-law> keine gesetzliche Grundlage für eine Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistands durch den Kanton. Abweichend von der Beurteilung der Erstinstanz könne der Beschwerdeführerin jedoch nicht das Rechtsschutzinteresse an der Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes abgesprochen werden. Mit dem Verzicht auf die Parteientschädigung und damit auf Mittel, welche explizit zur Abgeltung ihrer Anwaltskosten vorgesehen gewesen wären, handle sie letztlich - unter Berücksichtigung des Grundsatzes der Subsidiarität der unentgeltlichen Rechtspflege - analog zu <ref-law> rechtsmissbräuchlich. Mangels Antrag sei von einer Parteientschädigung abzusehen. Da die Beschwerdeführerin in rechtsmissbräuchlicher Weise auf Mittel zur Prozessfinanzierung verzichtet habe, sei ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung für das erstinstanzliche Verfahren abzuweisen.
2.2. Die Beschwerdeführerin wendet dagegen zunächst ein, es sei falsch, dass sie im Verfahren vor der Erstinstanz obsiegt habe. Die Begriffe des Obsiegens bzw. Unterliegens stammten aus <ref-law>. Nach ständiger Rechtsprechung gelte als Unterliegen, wenn ein Gericht einen Entscheid fällt, welcher von den Anträgen der entsprechenden Partei abweicht. Vorliegend hätten sich jedoch beide Parteien im Vorfeld des an die Erstinstanz gestellten Antrags auf einen übereinstimmenden Antrag geeinigt und die Beschwerdeführerin habe diesen gemeinsamen Antrag der Erstinstanz zur Genehmigung eingereicht. Der geschiedene Ehemann habe sich im Verfahren vor der Erstinstanz nicht nochmals geäussert und damit auch keinen abweichenden Antrag gestellt. Die Erstinstanz habe die Vereinbarung beider Parteien schliesslich zum Urteil erhoben. Es könne bei dieser Konstellation von vornherein nicht von einem Unterliegen des geschiedenen Ehemannes bzw. einem Obsiegen der Beschwerdeführerin gesprochen werden.
2.3.
2.3.1. Die Einwendungen der Beschwerdeführerin erschöpfen sich grösstenteils in appellatorischer Kritik am vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt, was den Begründungsanforderungen gemäss <ref-law> nicht genügt. Damit bleibt es bei den vorinstanzlichen Feststellungen, wonach einzig die Beschwerdeführerin mit einem Antrag an das Gericht gelangte und die bei der Erstinstanz eingereichte, im Scheidungsverfahren erzielte Einigung hinsichtlich der Kosten des Verfahrens betreffend Anerkennung und Vollstreckbarerklärung nicht der von der Beschwerdeführerin beantragten Verteilung der Prozesskosten im erstinstanzlichen Verfahren entspricht.
2.3.2. Das Verfahren der Vollstreckbarerklärung nach <ref-law> ist ein kontradiktorisches Verfahren (Urteil 5A_385/2016 vom 29. November 2016, E. 4.3, siehe <ref-law>) und die Beschwerdeführerin ist mit ihren Anträgen vollständig durchgedrungen. Der geschiedene Ehemann hat keinen Antrag gestellt (E. 2.3.1). Es ist daher nicht bundesrechtswidrig, wenn die Vorinstanz ein Vorgehen nach <ref-law> (Verteilung bei Vergleich) ausschliesst und vom Obsiegen der Beschwerdeführerin ausgeht.
2.4. Auch der Einwand der Beschwerdeführerin, ein freiwillig erfolgter Verzicht auf eine Parteientschädigung könne nur vorliegen, wenn ein Anspruch auf Ersatz der Parteikosten überhaupt bestanden hätte, was nicht der Fall sei, weil der geschiedene Ehemann nicht im Sinne von <ref-law> als unterliegend gelten könne, verfängt nicht: Ein gemeinsamer Antrag der Parteien lag nicht vor, einzig die Beschwerdeführerin stellte erstinstanzlich einen Antrag (E. 2.3.1). Der geschiedene Ehemann war im kontradiktorischen Verfahren Gegenpartei, daran ändert auch nichts, dass er zum Antrag der Beschwerdeführerin nicht Stellung nahm. Der Beschwerdeführerin stand damit mindestens potenziell ein Anspruch auf Parteientschädigung gemäss Art. 106-108 ZPO zu.
2.5. Mit ihrem Verzicht auf diesen potenziellen Anspruch handelt sie, wie dies die Vorinstanz zutreffend ausgeführt hat, analog <ref-law> rechtsmissbräuchlich, da sie gleichzeitig eine Entschädigung ihres Anwalts über die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands zu Lasten der Staatskasse bewirken wollte (vgl. MARTIN H. STERCHI, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. I, 2012, N. 7 zu <ref-law>). Dies ist mit dem Grundsatz der Subsidiarität der unentgeltlichen Rechtspflege nicht zu vereinbaren. Daran vermag auch der Einwand der Beschwerdeführerin, sie sei zum Zeitpunkt, in dem sie den Antrag auf Wettschlagung der Parteikosten gestellt habe, der Auffassung gewesen, auch der geschiedene Ehemann würde einen Antrag auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege stellen, nichts zu ändern. Dies gilt umso mehr, als die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege nicht von der Bezahlung der Parteientschädigung an die Gegenpartei befreit und eine (angemessene, nicht volle) Entschädigung durch den Kanton erst bei Zahlungsunfähigkeit der kostenpflichtigen Gegenpartei erfolgt (<ref-law>). Auch die Ausführungen der Beschwerdeführerin, die vorliegende Konstellation sei mit jener einer auf gemeinsames Begehren ausgesprochenen Ehescheidung mit Genehmigung einer vollständigen Scheidungskonvention über die Nebenfolgen vergleichbar und das Gericht wende in diesen Fällen regelmässig <ref-law> an, halbiere die Gerichtskosten und schlage die Parteikosten wett, vermögen an diesem Schluss nichts zu ändern. Die Beschwerdeführerin allein hat den entsprechenden Antrag gestellt, eine Vereinbarung im Sinne ihres Antrags lag gerade nicht vor (E. 2.3.1). Wenn auch das Vorgehen der Erstinstanz, die Gerichtskosten entsprechend dem Antrag der Beschwerdeführerin zu halbieren und ihr diesbezüglich die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, die unentgeltliche Verbeiständung aber abzulehnen, inkonsequent erscheinen mag, ändert dies nichts. Das Vorgehen der Vorinstanz erweist sich als bundesrechtskonform.
3.
Angefochten ist auch der Entscheid, mit dem die Vorinstanz der Beschwerdeführerin die unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Beschwerdeverfahren versagt hat.
3.1. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung der aus <ref-law> fliessenden Begründungspflicht, da sich die Begründung darauf beschränke, auf die vorstehend gemachten Ausführungen zu verweisen. In der Sache rügt sie eine Verletzung von <ref-law> bzw. von <ref-law>. Die Beschwerdeführung sei, entgegen den vorinstanzlichen Ausführungen, nicht aussichtslos gewesen. Dafür spreche bereits der Umstand, dass die Vorinstanz die bei ihr eingereichte Beschwerde im Ergebnis zwar abgewiesen, den vorinstanzlichen materiellen Entscheid aber aufgehoben und einen neuen Entscheid mit anderer Begründung (Rechtsmissbräuchlichkeit) gefällt habe. Auch habe die Erstinstanz sich nicht damit auseinandergesetzt, ob der geschiedene Ehemann als unterliegend qualifiziert werden könne. Gerade diese Fragen seien allerdings ausschlaggebend dafür, ob der an die Beschwerdeführerin gerichtete Vorwurf eines Verzichts auf eine ihr zustehende Parteientschädigung berechtigt sei. Die Beschwerde vor der Vorinstanz sei daher keineswegs aussichtslos, sondern begründet gewesen.
3.2. Inwiefern der blosse Verweis auf die Abweisung der diesbezüglichen Beschwerde eine <ref-law> genügende Begründung für die Aussichtslosigkeit der Beschwerde sein könnte (siehe immerhin Urteil 5A_961/2018 vom 15. Mai 2019 E. 6), muss nicht vertieft werden. Angesichts der Tatsache, dass die Vorinstanz auf Beschwerde hin den erstinstanzlichen Entscheid aufgehoben und einen neuen Entscheid (Abweisung statt Nichteintreten) mit teilweise anderer Begründung gefällt hat und die Erstinstanz nicht vollständig konsequent vorgegangen ist (E. 2.5), kann nicht von einer von Anfang an bestehenden Aussichtslosigkeit im Sinne der Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 9.1) ausgegangen werden. Auch von der Notwendigkeit einer anwaltlichen Vertretung ist im Zusammenhang mit der Beschwerde und der Auseinandersetzung mit den rechtlichen Bestimmungen zur Kostenregelung auszugehen. Indem die Vorinstanz von der Aussichtslosigkeit der Beschwerde ausging, hat sie <ref-law> bzw. <ref-law> verletzt.
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde teilweise begründet. Der Beschwerdeführerin ist die unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Beschwerdeverfahren zu gewähren. Die Angelegenheit wird zur Festsetzung des Honorars von Rechtsanwalt Dr. Andreas Edelmann für das kantonale Beschwerdeverfahren an die Vorinstanz zurückgewiesen.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens rechtfertigt es sich, der Beschwerdeführerin die Hälfte der Gerichtskosten aufzuerlegen, mithin Fr. 1'000.--; dem Gemeinwesen werden in der Regel keine Gerichtskosten auferlegt (<ref-law>). Indes hat der Kanton Zürich die Beschwerdeführerin im Umfang ihres Obsiegens zu entschädigen, wobei die Entschädigung an Rechtsanwalt Dr. Andreas Edelmann auszuzahlen ist; dem Kanton Zürich selbst steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>). Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege ist gutzuheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist. Ihr ist Rechtsanwalt Dr. Andreas Edelmann als unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen und dieser ist aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen. Die Beschwerdeführerin wird darauf hingewiesen, dass sie der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie dazu später in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und das Urteil RV210007-O/U des Obergerichts des Kantons Zürich vom 16. Juli 2021 dahingehend aufgehoben, dass der Beschwerdeführerin für das kantonale Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtspflege erteilt wird. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Sache wird zur Bestimmung des Honorars von Rechtsanwalt Dr. Andreas Edelmann für das kantonale Beschwerdeverfahren an das Obergericht zurückgewiesen.
3.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist und es wird ihr Rechtsanwalt Dr. Andreas Edelmann als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigeordnet.
4.
Der Beschwerdeführerin werden Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- auferlegt, einstweilen indessen auf die Bundesgerichtskasse genommen.
5.
Der Kanton Zürich hat Dr. Andreas Edelmann für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
6.
Rechtsanwalt Dr. Andreas Edelmann wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'000.-- entschädigt.
7.
Dieses Urteil wird den Parteien mitgeteilt.
Lausanne, 3. Mai 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Lang