Sachverhalt:
A.
Der im Jahr 1963 geborene A._ ist Staatsangehöriger der Demokratischen Republik Kongo. Er reiste am 17. September 1987 in die Schweiz ein und stellte gleichentags ein Asylgesuch. Nachdem dieses am 11. März 1988 abgewiesen worden war, erhob er gegen den Entscheid Beschwerde. Während des hängigen Beschwerdeverfahrens heiratete A._ am 4. November 1989 eine Schweizer Bürgerin. In der Folge erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung und zog die Beschwerde gegen den Asylentscheid zurück. Am 15. September 1993 wurde die Ehe geschieden. Die Aufenthaltsbewilligung wurde A._ zuletzt bis am 3. November 2018 verlängert. A._ ist Vater von Zwillingen mit Jahrgang 1976 und drei weiteren Kindern mit den Jahrgängen 1983, 1993 und 1996.
Seit dem 1. April 2000 wird A._ von der öffentlichen Fürsorge unterstützt. Die insgesamt bezogenen Unterstützungsleistungen beliefen sich per 11. Februar 2020 auf Fr. 619'122.20. Am 16. April 2015 verwarnte ihn das Migrationsamt des Kantons Zürich wegen des Sozialhilfebezugs und stellte ihm die Nichtverlängerung oder den Widerruf seiner Aufenthaltsbewilligung in Aussicht, falls er weiterhin von der Sozialhilfe unterstützt werden müsse. Am 2. Februar 2016 und 9. Januar 2018 wies das Migrationsamt A._ erneut auf die möglichen Folgen des Sozialhilfebezugs hin.
B.
Am 25. Oktober 2018 stellte A._ ein Gesuch um Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung. Das Migrationsamt wies dieses am 2. Juli 2019 ab und wies A._ an, die Schweiz bis am 2. Oktober 2019 zu verlassen. Den dagegen von A._ erhobenen Rekurs wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich mit Rekursentscheid vom 23. April 2020 ab. Sie setzte A._ eine neue Ausreisefrist bis am 23. Juli 2020. Ebenso blieb die von A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich eingereichte Beschwerde ohne Erfolg (Urteil vom 11. November 2020).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 11. Januar 2021 gelangt A._ an das Bundesgericht. Er beantragt mit Ausnahme der gewährten unentgeltlichen Prozessführung und des bestellten unentgeltlichen Rechtsbeistands die Aufhebung des Urteils vom 11. November 2020. Das Verfahren sei zwecks rechtsgenüglicher Sachverhaltsfeststellung und Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventuell sei das Migrationsamt anzuweisen, die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. In prozessualer Hinsicht sei ihm die unentgeltliche Prozessführung zu bewilligen, auf die Erhebung eines Kostenvorschusses zu verzichten und ihm in der Person von Rechtsanwalt Urs Ebnöther ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen.
Mit Verfügung vom 12. Januar 2021 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Die Vorinstanz beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werde. Die Sicherheitsdirektion verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das Migrationsamt und das Staatssekretariat für Migration hat sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
Die frist- (<ref-law>) und formgerecht (<ref-law>) eingereichte Eingabe betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>) und richtet sich gegen das kantonal letztinstanzliche (<ref-law>), verfahrensabschliessende (<ref-law>) Urteil eines oberen Gerichts (<ref-law>). Der Beschwerdeführer ist bereits im kantonalen Verfahren als Partei beteiligt gewesen und dort mit seinen Anträgen nicht durchgedrungen. Ausserdem ist er durch das angefochtene Urteil in seinen schutzwürdigen Interessen besonders berührt. Er ist somit zur Erhebung des Rechtsmittels legitimiert (<ref-law>). Das Rechtsmittel ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig, da der Beschwerdeführer, der sich seit 33 Jahren in der Schweiz aufhält, in vertretbarer Weise geltend macht, die Nichtverlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung verletze sein Anspruch auf Achtung des Privatlebens (<ref-law> i.V.m. Art. 8 EMRK; vgl. <ref-law>; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.9). Ob die Voraussetzungen für die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung vorliegen, ist indes nicht Gegenstand der Eintretensfrage, sondern der materiellen Beurteilung (vgl. <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.1). Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist einzutreten.
2.
Mit der Beschwerde kann namentlich die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), wobei es - unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>) - grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen prüft, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.5; <ref-ruling> E. 1.4.1). Der Verletzung von Grundrechten geht das Bundesgericht nur nach, falls eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2; <ref-ruling> E. 2.2). Diese qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit nach <ref-law> verlangt, dass in der Beschwerde klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt wird, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.4.2).
Seinem Urteil legt das Bundesgericht den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Der festgestellte Sachverhalt kann nur erfolgreich gerügt sowie berichtigt oder ergänzt werden, wenn er offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.6; <ref-ruling> E. 1.3.1). Rügt die beschwerdeführende Partei eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung, haben ihre Vorbringen den Anforderungen von <ref-law> zu genügen (vgl. <ref-ruling> E. 9.2.3.6; <ref-ruling> E. 1.4.3).
3.
Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen im bundesgerichtlichen Verfahren nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Nur weil die Vorinstanz nicht der rechtlichen Auffassung der beschwerdeführenden Person gefolgt ist, gibt das angefochtene Urteil noch keinen Anlass, neue Beweismittel zuzulassen. Dazu müsste die Vorinstanz materielles Recht derart angewendet haben, dass bestimmte Sachumstände neu und erstmals - durch das vorinstanzliche Urteil vom 11. November 2020 - rechtserheblich würden (vgl. Urteil 2C_582/2020 vom 10. Dezember 2020 E. 3). Echte Noven sind dagegen in jedem Fall unzulässig. Folglich bleiben Tatsachen und Beweismittel unberücksichtigt, die erst nach dem angefochtenen Urteil entstanden sind und somit nicht durch dieses veranlasst worden sein können (vgl. <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2.1).
In der vorliegenden Angelegenheit ging es bei sämtlichen Vorinstanzen um die Frage, ob der Beschwerdeführer aufgrund seines Sozialhilfebezugs den Widerrufsgrund gemäss Art. 62 Abs. 1 lit. e des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer und über die Integration (Ausländer- und Integrationsgesetz, AIG; SR 142.20; bis 31. Dezember 2018: Bundesgesetz über die Ausländerinnen und Ausländer, AuG) erfüllt und ob die Nichtverlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung verhältnismässig ist. Da die Vorinstanzen die durch das Migrationsamt verfügte Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung basierend auf demselben Rechtstitel geschützt haben, sind keine Sachumstände neu und erstmals rechtserheblich geworden. Der vom Beschwerdeführer bereits während des Jahres 2020 verwendete neue Lebenslauf, mit dem er seine Tätigkeit im Zeitraum zwischen 2009 und 2015 modifiziert hat und angibt, sich während dieser Zeit beruflich neu orientiert zu haben, kann deshalb nicht berücksichtigt werden.
4.
Der Beschwerdeführer macht eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz geltend und rügt eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör.
4.1. Nach <ref-law> haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Dieses Recht ist formeller Natur. Seine Verletzung führt ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels zur Gutheissung der Beschwerde sowie zur Aufhebung des angefochtenen Urteils (vgl. <ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 2.2). Deshalb ist die Rüge vorweg zu behandeln.
4.1.1. Das rechtliche Gehör dient einerseits der Sachaufklärung. Andererseits stellt es ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheids dar, welcher in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Dazu gehört insbesondere das Recht der betroffenen Person, sich vor Fällung eines solchen Entscheids zur Sache zu äussern, erhebliche Beweise beizubringen, Einsicht in die Akten zu nehmen und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen. Wie weit dieses Recht geht, lässt sich nicht generell, sondern nur unter Würdigung der konkreten Umstände beurteilen. Massgebend ist, ob es der betroffenen Person ermöglicht worden ist, ihren Standpunkt wirksam zur Geltung zu bringen (vgl. <ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 2b).
4.1.2. Der Beschwerdeführer macht neben der Rüge der Gehörsverletzung ebenso geltend, die Vorinstanz habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt. Insoweit der Anspruch auf rechtliches Gehör der Sachaufklärung dient, können im Folgenden zugleich auch die Sachverhaltsrügen des Beschwerdeführers beurteilt werden.
4.2. Nach Auffassung des Beschwerdeführers stützt sich die Vorinstanz zwar auf einen aktenkundigen, aber falschen Lebenslauf. Darin habe er angegeben, von 2009 bis 2015 Inhaber und Betreiber einer Boutique in der Demokratischen Republik Kongo gewesen zu sein. Er bringt vor, dass die Vorinstanz damit von einem grundlegend anderen Sachverhalt ausgehe, als dies noch im Verfahren vor dem Migrationsamt und der Sicherheitsdirektion der Fall gewesen sei. Zum Zeitpunkt der Verfügung des Migrationsamts am 2. Juli 2019 habe sich der fehlerhafte Lebenslauf bereits in den Akten befunden. Dennoch sei das Migrationsamt, so der Beschwerdeführer, übereinstimmend mit den sonstigen im Recht liegenden Akten und seinen Darstellungen davon ausgegangen, dass er einmal im Jahr 2003 und einmal sowie letztmals im Jahr 2015 in der Demokratischen Republik Kongo gewesen sei. Auch die Sicherheitsdirektion habe in ihrem Entscheid vom 23. April 2020 eine lange Abwesenheit des Beschwerdeführers von seinem Heimatland festgestellt. Von der angeblichen Erwerbstätigkeit in der Demokratischen Republik Kongo im Zeitraum zwischen 2009 und 2015 sei keine Rede gewesen.
Zwar habe er, so der Beschwerdeführer weiter, in dem bei der Kantonspolizei Zürich im Rahmen einer Einvernahme beigelegten Lebenslauf zu seiner bisherigen beruflichen Tätigkeit in der Schweiz tatsächlich angegeben, in den Jahren 2009 bis 2015 Inhaber und Betreiber einer Boutique in der Demokratischen Republik Kongo gewesen zu sein. Diese Angabe entspreche indes nicht der Wahrheit. Wie er im bisherigen Verfahren konstant vorgebracht habe, sei er während dieser Zeit krankheitsbedingt arbeitsunfähig gewesen. Ihm sei anlässlich eines Bewerbungskurses im Jahr 2018 mitgeteilt worden, bei der Stellensuche sei eine derartige Lücke im Lebenslauf hinderlich. Deshalb habe er die angebliche, in der Demokratischen Republik Kongo ausgeübte Tätigkeit als Erklärung dafür erfunden.
4.3. Soweit der Beschwerdeführer eine offensichtlich fehlerhafte Sachverhaltsfeststellung rügt und vorbringt, dass die erwähnte Boutique nicht bestanden und er keine entsprechende Tätigkeit ausgeübt habe, macht er negative Tatsachen geltend. Dafür kann naturgemäss nicht der volle Beweis erbracht werden. Deshalb ist zu prüfen, ob sich der Beschwerdeführer mit überwiegender Wahrscheinlichkeit während des besagten Zeitraums in der Schweiz aufgehalten hat (vgl. <ref-ruling> E. 4.1.2; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 6.3).
Ausser aus dem Lebenslauf ergeben sich aus den Akten keinerlei Hinweise, die für den Bestand der Boutique oder die Tätigkeit des Beschwerdeführers in der Demokratischen Republik Kongo sprächen. Namentlich enthalten die Akten keine Reiseunterlagen. Demgegenüber belegen zahlreiche Dokumente, dass sich der Beschwerdeführer im Zeitraum zwischen 2009 und 2015 in der Schweiz aufhielt. Beispielsweise wurden die Aufenthaltsbewilligungen des Beschwerdeführers auf Gesuch hin jährlich verlängert. Die entsprechenden Gesuche reichte der Beschwerdeführer jeweils in U._ ein. Am 18. Oktober 2014 wurde schriftlich vermerkt, dass der Beschwerdeführer persönlich am Schalter vorgesprochen habe. Gemäss einem Polizeirapport vom 15. Juni 2010 der Kantonspolizei Zürich reiste der Beschwerdeführer von Genf nach Zürich und verlor dabei seinen Ausländerausweis. Sodann liegen mehrere Schreiben im Recht, die an den Beschwerdeführer adressiert sind, welche ihm während des gesamten infrage stehenden Zeitraums an derselben Adresse zugestellt werden konnten. Aufgrund dieser aktenkundigen Tatsachen ist davon auszugehen, dass sich der Beschwerdeführer im fraglichen Zeitraum mit überwiegender Wahrscheinlichkeit in der Schweiz aufgehalten hat.
4.4. Trotz sich widersprechender Indizien stellt die Vorinstanz für die Annahme, der Beschwerdeführer habe während sechs Jahren im Kongo eine Boutique betrieben, lediglich auf den Lebenslauf ab. Die angebliche Erwerbstätigkeit in der Demokratischen Republik Kongo und dieser Bezug des Beschwerdeführers zu seinem Heimatland sind - in Abweichung von der Beurteilung des Migrationsamts und der Sicherheitsdirektion - überdies zentrale Sachverhaltselemente der vorinstanzlichen Verschuldens- und Verhältnismässigkeitsprüfung (vgl. E. 4.5 S. 10 und E. 4.7.2 S. 15 des angefochtenen Urteils).
Angesichts der zahlreichen Anhaltspunkte, die während des fraglichen Zeitraums mit überwiegender Wahrscheinlichkeit für einen Aufenthalt des Beschwerdeführers in der Schweiz sprechen, hätte die Vorinstanz jedenfalls nicht ausschliesslich auf den Lebenslauf abstellen dürfen. Vielmehr hätte sich die Vorinstanz im Lichte des Anspruchs auf rechtliches Gehör zumindest zu den Indizien äussern müssen, die den Angaben im Lebenslauf widersprechen. Indem die Vorinstanz für ihre Sachverhaltsfeststellung in Abweichung vom Migrationsamt und von der Sicherheitsdirektion ohne entsprechende Begründung in entscheidrelevanter Weise bloss auf den Lebenslauf abgestellte, verletzte sie den Anspruch des Beschwerdeführer auf rechtliches Gehör. Die formelle Natur dieser Rechtsverletzungen hat zur Folge, dass das angefochtene Urteil aufzuheben ist.
5.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde als begründet, weshalb sie gutzuheissen ist. Das Urteil vom 11. November 2020 ist aufzuheben. Die Angelegenheit ist zur rechtsgenüglichen Sachverhaltsfeststellung und neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Damit erübrigt sich eine Beurteilung der weiteren Rügen des Beschwerdeführers.
Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer hat einen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>). Damit wird das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 11. November 2020 wird aufgehoben.
2.
Die Angelegenheit wird zur rechtsgenüglichen Sachverhaltsfeststellung und Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Der Kanton Zürich hat dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- zu entrichten.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. August 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Zollinger