Sachverhalt:
A.
A.a. Die Gemeinde U._, Alimenteninkassostelle, leitete am 6. Juli 2016 (Zahlungsbefehl Nr. xxx, Betreibungsamt Wohlen) die Betreibung gegen A._ für den Betrag von 57'586.-- nebst Zinsen zu 5 % seit 15. März 2003 sowie für Fr. 11'362.-- nebst Zinsen zu 5 % seit 1. Juli 2008 ein. Als Forderungsurkunde und Grund der Forderung wurden das Vaterschaftsurteil des Amtsgerichts Luzern-Land vom 21. Mai 1992 und die darin auferlegte Pflicht zu Unterhaltsbeiträgen zu Gunsten von B._, geboren 1991, sowie die (im Betrag näher bezeichnete) Bevorschussung der monatlichen Kinderalimente (für den Zeitraum vom 1. November 1998 bis zum 31. August 2007 sowie für die Zeit vom 1. Oktober 2007 bis zum 30. April 2009) angeführt. Gegen den Zahlungsbefehl erhob A._ Rechtsvorschlag.
A.b. Am 8. Februar 2017 verlangte die Gemeinde U._ beim Bezirksgericht Bremgarten die definitive Rechtsöffnung für die Betreibungsforderung und die Zahlungsbefehlskosten.
A.c. Im Rechtsöffnungsverfahren machte A._ geltend, dass sämtliche Unterhaltsbeiträge verjährt seien. Mit Entscheid vom 6. April 2017 verwarf das Bezirksgericht die Einrede und erteilte der Gemeinde U._ für den Betrag von 57'586.-- nebst Zinsen zu 5 % seit 15. März 2003 sowie für Fr. 11'362.-- nebst Zinsen zu 5 % seit 1. Juli 2008 die definitive Rechtsöffnung.
B.
Gegen den Rechtsöffnungsentscheid erhob A._ Beschwerde, welche das Obergericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 3. Juli 2017 abwies.
C.
Mit Eingabe vom 13. September 2017 hat A._ Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Der Beschwerdeführer verlangt die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheides. In der Sache beantragt er, das Gesuch der Gemeinde U._ (Beschwerdegegnerin) um definitive Rechtsöffnung in der von ihr eingeleiteten Betreibung abzuweisen. Eventualiter sei die definitive Rechtsöffnung lediglich im Umfang von Fr. 7'176.-- nebst Zinsen zu 5 % seit 1. Februar 2007 sowie Fr. 11'362.-- nebst Zinsen zu 5 % seit 1. Juli 2008 zu erteilen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist das Urteil des Obergerichts als kantonaler Rechtsmittelinstanz über die Rechtsöffnung, mithin ein Entscheid in einer Schuldbetreibungs- und Konkurssache. Die gesetzliche Streitwertgrenze ist erreicht. Die Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich zulässig (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 1 lit. b, Art. 75 BGG).
1.2. Mit der vorliegenden Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1). Die Missachtung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen (<ref-law>), wobei hier das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 1.2.2).
1.3. Das Bundesgericht wendet das Bundesrecht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
2.
Das Obergericht hat die Einrede des Beschwerdeführers, wonach die auf dem vollstreckbaren Entscheid beruhenden Unterhaltsforderungen verjährt seien, verworfen und die Hemmung des Verjährungslaufes gemäss <ref-law> bejaht. Da der Beschwerdeführer vom 30. Juli 1998 bis zum 31. März 2016 Wohnsitz in Italien hatte und in dieser Zeit über keine Arrestgegenstände verfügte, habe die Verjährungsfrist erst mit seiner Wohnsitznahme in der Schweiz am 1. April 2016 zu laufen begonnen. Bei Anhebung der Betreibung am 6. Juli 2016 seien die Forderungen nicht verjährt gewesen. Das Obergericht hat es abgelehnt, aus dem Entwurf des Bundesrates zum neuen Verjährungsrecht eine Vorwirkung abzuleiten. Den Vorwurf des Rechtsmissbrauchs, weil die Beschwerdegegnerin die Unterhaltsansprüche in Italien hätte geltend machen können, hat es zurückgewiesen.
3.
Anlass zur Beschwerde gibt das Gesuch um definitive Rechtsöffnung, mit welchem die Gläubigerin (als Gemeinwesen) ein schweizerisches Unterhaltsurteil als Vollstreckungstitel und die Belege über die Bevorschussung der Unterhaltsbeiträge eingereicht hat. Umstritten ist, ob die geltend gemachten Unterhaltsforderungen verjährt oder diese im Verjährungslauf gehemmt worden sind, wie das Obergericht angenommen hat und vom Beschwerdeführer als Rechtsverletzung gerügt wird.
3.1. Es ist unbestritten, dass die Beschwerdegegnerin die mit Urteil vom 21. Mai 1992 dem Beschwerdeführer auferlegten monatlichen Unterhaltsbeiträge bevorschusst, durch Subrogation Gläubigerstellung erlangt (<ref-law>) und die Legalzession liquide belegt hat (vgl. STAEHELIN, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Erg. 2017, ad N. 35 zu <ref-law>). Die Beschwerdegegnerin kann - wie die Vorinstanz erwogen hat - grundsätzlich die definitive Rechtsöffnung gemäss <ref-law> verlangen. Die Rechtsöffnung wird erteilt, wenn nicht der Beschwerdeführer als Betriebener die Verjährung anruft (<ref-law>). Der Beschwerdeführer beruft sich für die urteilsmässig festgelegten Unterhaltsleistungen auf die 5-jährige Verjährungsfrist gemäss <ref-law> (vgl. BERTI, Zürcher Kommentar, 2002, N. 29 zu <ref-law>) und macht geltend, dass die (im Jahre 2016) in Betreibung gesetzten Unterhaltsbeiträge (wovon der letzte Unterhaltsbeitrag per Mai 2014) verjährt seien.
3.2. Gemäss <ref-law> beginnt die Verjährung nicht und steht still, falls sie begonnen hat, solange eine Forderung nicht vor einem schweizerischen Gericht geltend gemacht werden kann.
3.2.1. Die Bestimmung gilt nicht nur im Erkenntnis-, sondern auch im Vollstreckungsverfahren: Der Verjährungsstillstand tritt ein im Fall, dass eine (bereits) in einem Urteil festgelegte Forderung in der Schweiz mangels Betreibungsdomizil nicht vollstreckt werden kann (u.a. BERTI, a.a.O., N. 21 zu <ref-law>, mit Hinweis u.a. auf SPIRO, Die Begrenzung privater Rechte [...], Bd. I, 1975, S. 156 Fn. 22; TERCIER/PICHONNNAZ, Le droit des obligations, 5. Aufl. 2012, Rz. 1574; KILLIAS/WIGET, in: Handkommentar zum Schweizerischen Privatrecht, 3. Aufl. 2016, N. 16 zu <ref-law>).
3.2.2. Es steht fest, dass der Beschwerdeführer vom 30. Juli 1998 bis zum 31. März 2016 Wohnsitz in Italien, mithin kein Betreibungsdomizil (<ref-law>) hatte. Dies wird in der Beschwerde nicht in Frage gestellt, ebenso wenig die Annahme der Vorinstanz, dass die Beschwerdegegnerin weder Anlass hatte noch in der Lage war, einen gültigen Arrest zu erlangen (vgl. <ref-ruling> E. 1.1, 2.2; Urteil 5A_303/2011 vom 27. September 2011 E. 4.3, BlSchK 2013 S. 60 f.; DÄPPEN, in: Kurzkommentar OR, 2014, N. 7 zu <ref-law>). Wenn das Obergericht den Schluss gezogen hat, dass die Verjährungsfrist für die vom Beschwerdeführer ab November 1998 geschuldeten Unterhaltsbeiträge erst mit dessen Wohnsitznahme in der Schweiz am 1. April 2016 zu laufen begonnen hat, ist dies nicht zu beanstanden.
3.2.3. Insoweit ist nicht ersichtlich, dass die Folgerung der Vorinstanz, wonach die Betreibungsforderungen (bei Anhebung der Betreibung) am 6. Juli 2016 nicht verjährt waren, eine Rechtsverletzung darstellen soll. Ob die Vorbringen des Beschwerdeführers geeignet sind, dieses Ergebnis zu ändern, ist im Folgenden zu prüfen.
3.3. Der Beschwerdeführer besteht darauf, dass bei der Anwendung von <ref-law> der bundesrätliche Entwurf für ein neues Verjährungsrecht massgebend sei.
3.3.1. Es trifft zu, dass mit der Reform des Verjährungsrechts die in <ref-law> enthaltene Beschränkung auf "schweizerische Gerichte" wegfallen soll. In Zukunft kann sich ein Gläubiger lediglich dann auf diesen Hinderungs- und Stillstandsgrund berufen, wenn ihm zur Geltendmachung seiner Forderung weder ein Gericht im Inland noch eines im Ausland zur Verfügung steht (Botschaft zur Änderung des Obligationenrechs [Verjährungsrecht] vom 29. November 2013, BBl 2014 235, Ziff. 2.1, S. 259; Entwurf -<ref-law>: "... vor keinem Gericht geltend gemacht werden kann"). Der Ständerat hat - nach erstem Widerstand und einigen Bedenken gegen die internationale Ausdehnung (AB 2015 S 1298 f.) - dem Beschluss des Nationalrates zur Änderung der Bestimmung gemäss dem bundesrätlichen Entwurf am 29. Mai 2018 zugestimmt (AB S vom 29. Mai 2018).
3.3.2. Entgegen der Meinung des Beschwerdeführers stellt der Wegfall der Beschränkung auf "schweizerische Gerichte" eine (mit Schlussabstimmung der beiden Räte vom 15. Juni 2018 zu Stande gekommene) Änderung der Rechtslage dar. Nichts anderes lässt sich der von ihm zitierten Lehrmeinung entnehmen (PICHONNAZ, in: Commentaire romand, Code des obligations I, 2. Aufl. 2012, N. 29 a.E. zu <ref-law>; vgl. SCHÖLL, Verjährungsstillstand infolge Unmöglichkeit der Rechtsverfolgung, in: Festschrift Schwander, 2011, S. 405). Der Beschwerdeführer versucht vergeblich eine Wirkung vor Inkrafttreten der Änderung von <ref-law> in dem Sinne abzuleiten, dass die Beschwerdegegnerin die Zwangsvollstreckung im Ausland bzw. in Italien ohne weiteres hätte anstrengen können, weshalb der Verjährungsstillstand nicht gelte. Das Argument geht fehl, weil die vom Beschwerdeführer beanspruchte Vorwirkung einer Gesetzesänderung aus Gründen der Rechtssicherheit unzulässig ist (vgl. <ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 3c).
3.4. Der Beschwerdeführer begründet den Ausschluss des Verjährungsstillstandes weiter mit dem Hinweis, dass die Beschwerdegegnerin die Unterhaltsforderungen durch internationale Amtshilfe gemäss dem einschlägigen New Yorker Übereinkommen geltend machen könne.
3.4.1. Die Durchsetzungshilfe unter dem New Yorker Übereinkommen vom 20. Juni 1956 über die Geltendmachung von Unterhaltsansprüchen im Ausland (SR 0.274.15) soll helfen, den Unterhaltsanspruch eines Berechtigten mit Hilfe der entsprechenden ausländischen Behörde geltend zu machen und dort zwangsweise durchzusetzen (RODRIGUEZ, Grenzüberschreitende Vollstreckung und Sicherung von Unterhaltstiteln, in: Berner Gedanken zum Recht, 2014, S. 138). Damit wird indes keine Betreibungszuständigkeit in der Schweiz geschaffen, und es kann nicht von einer grenzüberschreitenden Zwangsvollstreckung gesprochen werden. Dies spricht dagegen, die blosse Möglichkeit des Berechtigten, ein internationales Inkassohilfegesuch zu stellen, de lege lata als Ausschluss für den Verjährungsstillstand gemäss im Sinne von <ref-law> anzunehmen.
3.4.2. Der Beschwerdeführer übergeht sodann, dass das New Yorker Übereinkommen von 1956 nach dem Verständnis und der Praxis der meisten Vertragsstaaten nicht auf Unterhaltsforderungen anwendbar ist, welche das Gemeinwesen geltend macht (vgl. PELICHET, Obligations alimentaires, Note sur le fonctionnement [...], Doc. prél. Nr. 1 vom September 1995 ad [Haager] Übereinkommen vom 23. November 2007 über die internationale Geltendmachung der Unterhaltsansprüche von Kindern und anderen Familienangehörigen, Rz. 118, <www.hcch.net>; ARNET, Die Vollstreckbarkeit schweizerischer Kindesunterhaltsverträge auf staatsvertraglicher Basis, 2013, Rz. 333 ff., 361 ff.). Dieser Sichtweise folgt Italien (MANCINI, La convenzione internazionale di New York del 1956, in: Instrumenta/Numero speciale Premio Abate 2009, S. 25, <http://culturaprofessionale.interno.gov.it>); etwas anderes wird nicht dargelegt. Damit fällt ausser Betracht, mit Hinweis auf ein internationales Inkassohilfegesuch einen Ausschluss des Verjährungsstillstandes gemäss <ref-law> zu rechtfertigen.
3.5. Der Beschwerdeführer wirft der Beschwerdegegnerin schliesslich Rechtsmissbrauch vor. Er habe wegen des langen Zuwartens einen Verzicht der Beschwerdegegnerin auf die Geltendmachung der bevorschussten Unterhaltsforderungen annehmen dürfen, andernfalls hätte er längst einen Prozess zur Abänderung der Unterhaltspflicht angestrengt.
3.5.1. Entgegen der Meinung des Beschwerdeführers sind die Gründe, weshalb er für die Unterhaltsforderungen nicht behelligt worden ist, nicht weiter zu erörtern: Subjektive Gründe, weshalb die Beschwerdegegnerin die Unterhaltsforderungen nicht früher geltend machte, sind nicht ausschlaggebend; sie fallen nicht unter <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 2.1; DÄPPEN, a.a.O.). Seine Einrede, die eigentliche Vollstreckung der Unterhaltsforderung sei rechtsmissbräuchlich, ist ohnehin nicht vom Rechtsöffnungsrichter zu überprüfen (<ref-ruling> E. 3a a.E.; STAEHELIN, a.a.O., 2. Aufl. 2010, N. 17 zu <ref-law>); zutreffend verweist der Beschwerdeführer auf seinen allfälligen Anspruch auf Abänderung des Unterhaltsurteils.
3.5.2. Schliesslich ist nicht nachvollziehbar, wenn der Beschwerdeführer aus den gegen ihn eingeleiteten strafrechtlichen Schritten (Anzeige wegen Vernachlässigung der Unterhaltspflichten im Jahre 2006) ableiten will, dass während der Zeit des Verjährungsstillstandes das Interesse an der Durchsetzung ihrer Forderungen verloren gegangen und gewissermassen "derelinquiert" worden sei (vgl. <ref-ruling> E. 2.1). Der Schluss der Vorinstanz, die Berufung der Beschwerdegegnerin auf den Verjährungsstillstand sei nicht rechtsmissbräuchlich, ist nicht zu beanstanden.
3.6. Nach dem Dargelegten stellt die vom Obergericht bestätigte definitive Rechtsöffnung in der vorliegenden Betreibung keine Rechtsverletzung dar; der Verjährungsstillstand ist zu Recht bejaht worden. Es besteht kein Anlass, über den Eventualantrag zu befinden, welchem der Beschwerdeführer eine Verjährungsfrist von 10 Jahren zugrunde legt.
4.
Der Beschwerde ist kein Erfolg beschieden. Der Beschwerdeführer wird für das bundesgerichtliche Verfahren kostenpflichtig (<ref-law>). Der Gemeinde als Beschwerdegegnerin wird keine Parteientschädigung zugesprochen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 7).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Eine Parteientschädigung ist nicht zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juni 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Levante