Faits :
A.a. Par mandat de répression du 30 octobre 2017, la Commune de Chalais (VS) a infligé à A._ une amende de 2000 fr. pour contravention à la loi cantonale sur les constructions (cf. art. 54 al. 1 let. a aLC/VS, dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2017).
La Commune a retenu que A._ avait réalisé sans autorisation des travaux à l'intérieur de la maison d'habitation, sise sur la parcelle n° xxx du cadastre de Chalais, dont elle était propriétaire, séparant de fait la maison en deux appartements distincts.
A.b. La réclamation adressée par A._ à l'autorité communale a été rejetée le 7 décembre 2017.
B.
Par arrêt du 28 décembre 2018, la Cour de droit public du Tribunal cantonal valaisan a admis l'appel formé par A._, qui a été acquittée de l'accusation de contravention à l'art. 54 al. 1 let. a aLC/VS.
C.
Contre cet arrêt, la Commune de Chalais forme un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. Elle conclut, avec suite de frais et dépens, principalement à la réforme de l'arrêt en ce sens que le mandat de répression du 30 octobre 2017 est confirmé. Subsidiairement, elle conclut à l'annulation de l'arrêt et au renvoi du dossier à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
D.
Invitée à se déterminer, la cour cantonale a présenté des observations, en concluant implicitement à l'irrecevabilité du recours. A._ a conclu pour sa part, avec suite de frais et dépens, au rejet du recours.
La Commune de Chalais et A._ ont par la suite persisté dans leurs conclusions respectives.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 397; <ref-ruling> consid. 1 p. 116).
2.
Le recours en matière pénale est ouvert contre les décisions rendues en matière pénale (art. 78 al. 1 LTF). Cette notion comprend toutes les décisions fondées sur le droit pénal matériel ou sur le droit de procédure pénale. Est en principe susceptible d'un recours en matière pénale toute décision relative à la poursuite ou au jugement d'une infraction fondée sur le droit fédéral ou cantonal (Message du 28 février 2001 concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale, FF 2001 4000 ss, ch. 4.1.3.2).
En l'espèce, l'objet du recours est exclusivement une amende fondée sur une disposition pénale de droit cantonal. Le recours en matière pénale est donc ouvert et non celui en matière de droit public, ne s'agissant pas d'une procédure d'amende administrative (cf. arrêts 6B_591/2017 du 22 mai 2017 consid. 2; 6B_707/2013 du 2 décembre 2014 consid. 2; 6B_942/2013 du 27 mars 2014; 6B_15/2012 du 13 avril 2012 consid. 1.1; 6B_721/2010 du 7 février 2011 consid. 1.1.2). La recourante devait donc agir par la voie du recours en matière pénale et non par celle du recours en matière de droit public.
En soi, cette dénomination inexacte ne porte pas préjudice à la recourante, pour autant que les conditions de recevabilité du recours en matière pénale soient réunies.
3.
Aux termes de l'art. 81 al. 1 LTF, a qualité pour former un recours en matière pénale quiconque (let. a) a pris part à la procédure devant l'autorité précédente ou a été privé de la possibilité de le faire et, cumulativement, (let. b) a un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée, soit en particulier l'accusateur public (ch. 3).
3.1.
3.1.1. L'intérêt juridique exigé par l'art. 81 al. 1 let. b LTF constitue la condition matérielle de la qualité pour recourir. Un intérêt général ou de fait ne suffit pas, l'intéressé devant au surplus être personnellement touché par la décision (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 124).
L'accusateur public, visé par l'art. 81 al. 1 let. b ch. 3 LTF, est la personne ou l'autorité qui, en vertu du droit cantonal, est chargée, en qualité de partie, de défendre l'intérêt public devant le juge pénal cantonal de dernière instance. Lorsque le droit cantonal institue un procureur général ou un ministère public compétent pour la poursuite de toutes les infractions commises sur l'ensemble du territoire cantonal, il est considéré comme seul accusateur public du canton habilité à interjeter un recours au Tribunal fédéral (cf. <ref-ruling> consid. 1.5.2 p. 199). Cela vaut aussi lorsque le droit cantonal charge en plus d'autres autorités de défendre l'intérêt public devant le juge pénal cantonal de dernière instance, que ce soit dans des causes relatives à des matières particulières ou à une partie du territoire cantonal. Même dans les cas où ces autorités ont agi seules en dernière instance cantonale, elles ne peuvent pas recourir auprès du Tribunal fédéral (cf. <ref-ruling> consid. 1 et les références citées; arrêt 6B_707/2013 du 2 décembre 2014 consid. 3.1.2). En définitive, savoir quelle autorité au sein d'un canton constitue l'accusateur public est une question qui doit se résoudre à l'aune de la LTF. Ainsi, lorsqu'il existe un ministère public compétent pour la poursuite de toutes les infractions sur l'ensemble du territoire, seule cette autorité aura la qualité pour recourir au Tribunal fédéral. En revanche, savoir qui, au sein de ce ministère public, a la compétence de le représenter est une question d'organisation judiciaire, soit une question qui relève du droit cantonal (cf. art. 14 CPP; <ref-ruling> consid. 1.5.2 p. 200).
Dans le canton du Valais, il a été institué pour l'ensemble du canton un ministère public indépendant dans l'application du droit (cf. art. 23 al. 1 de la loi d'organisation judiciaire [LOJ/VS; RS/VS 173.1]), auquel la fonction d'accusateur public a été expressément réservée (cf. art. 6 ss de la loi d'application du code de procédure pénale suisse [LACPP/VS; RS/VS 312.0]; arrêt 6B_447/2017 du 30 août 2017 consid. 2.2.2).
3.1.2. Aux termes de la loi cantonale valaisanne du 8 février 1996 sur les constructions (aLC/VS), dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2017, la police des constructions incombait à l'autorité compétente en matière d'autorisation de construire (cf. art. 49 al. 1 aLC/VS), soit en l'occurrence la commune, par son conseil municipal, s'agissant de projets situés dans les zones à bâtir (cf. art. 2 al. 1 ch. 1 aLC/VS). La Commission cantonale des constructions était pour sa part compétente pour les projets situés hors zones à bâtir (cf. art. 2 al. 1 ch. 2 aLC/VS) ainsi que pour les projets dont la commune était requérante ou partie (cf. art. 2 al. 2 aLC/VS). Ces règles de compétence ne paraissent pas avoir été modifiées par la loi du 15 décembre 2016 sur les constructions (RS/VS 705.1), en vigueur depuis le 1er janvier 2018.
S'agissant des sanctions pénales susceptibles d'être prononcées par l'autorité compétente en matière de police des constructions, l'art. 54 al. 1 aLC/VS, de même que l'actuel art. 61 al. 1 LC/VS, répriment d'une amende de 1'000 à 100'000 fr. celui qui, en tant que responsable (notamment le propriétaire), exécute ou fait exécuter des travaux sans autorisation (let. a).
3.1.3. En l'espèce, la recourante a agi en tant qu'autorité compétente pour prononcer l'amende visée à l'art. 54 al. 1 aLC/VS, objet du recours. C'est ainsi en qualité " d'autorité attaquée " qu'elle a participé à la procédure d'appel, ce qui ressort expressément de l'arrêt entrepris (cf. page de garde, p. 1). Aucun élément ne permet de retenir qu'elle aurait participé aux instances cantonales à un autre titre, en particulier en qualité d'accusateur public (cf. arrêt 6B_707/2013 du 2 décembre 2014 consid. 3.1.2). Sa qualité pour recourir ne saurait dès lors être fondée sur l'art. 81 al. 1 ch. 3 LTF.
3.2. La recourante ne saurait par ailleurs se prévaloir d'une violation de son autonomie communale (cf. art. 50 al. 1 Cst.) pour justifier sa légitimation à recourir. Contrairement à ce que prévoit l'art. 89 al. 2 let. c CPP pour le recours en matière de droit public, l'invocation d'une violation de l'autonomie communale ne fonde pas en tant que telle la qualité pour former un recours en matière pénale (cf. arrêt 6B_721/2010 du 7 février 2011 consid. 1.2.4). Pour le surplus, la recourante n'est pas personnellement touchée par la décision, dans la mesure où celle-ci ne fait qu'entraver l'exécution de tâches publiques, en l'occurrence la police des constructions, et le prononcé d'amendes aux contrevenants, sans qu'elle ne puisse faire valoir d'intérêt financier propre à la modification de la décision (cf. en ce sens, arrêt 6B_721/2010 précité consid. 1.2.4).
3.3. Faute de qualité pour recourir, le présent recours, traité comme un recours en matière pénale, doit être déclaré irrecevable.
4.
Il convient de statuer sans frais (art. 66 al. 4 LTF). L'intimée, qui a été invitée à se déterminer, a droit à des dépens, à la charge de la recourante (art. 68 al. 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
La recourante versera à l'intimée une indemnité de 3'000 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour de droit public.
Lausanne, le 28 juin 2019
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Tinguely