Erwägungen:
1.
Mit Beschluss vom 11. Juli 2018 trat das Arbeitsgericht Zürich auf eine Klage von A._ (Beschwerdeführerin) gegen die Stiftung B._ (Beschwerdegegnerin) nicht ein, nachdem A._ den ihr auferlegten Kostenvorschuss auch innert Nachfrist nicht geleistet hatte. Die von A._ erhobene Berufung wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Beschluss und Urteil vom 21. Dezember 2018 ab, soweit es darauf eintrat, unter Bestätigung des angefochtenen Beschlusses. Ferner wies das Obergericht das Gesuch von A._ um unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren ab.
A._ hat mit Eingabe vom 28. Januar 2019 Beschwerde gegen diesen Entscheid des Obergerichts erhoben und um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). Dafür muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89). Eine Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
3.
Die Beschwerde verfehlt über weite Strecken die eben dargestellten Begründungsanforderungen, da darin auf die ausführliche Entscheidbegründung der Vorinstanz nicht hinreichend eingegangen wird. Ausserdem weicht die Beschwerdeführerin wiederholt von der Sachverhaltsfestellung im angefochtenen Entscheid ab, ohne aufzuzeigen, inwiefern diese offensichtlich unrichtig sein oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen soll.
Soweit die Beschwerde eine hinreichende Begründung enthält, erweist sie sich als offensichtlich unbegründet. So ist es insbesondere nicht bundesrechtswidrig, wenn das Obergericht erwog, in der Eingabe der Beschwerdeführerin vom 15. Juli 2018 sei weder ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege noch ein solches um Wiedererwägung der Entscheide vom 7. September 2017 und vom 4. Juni 2018 gestellt worden. Entgegen der Beschwerdeführerin ist nicht erkennbar, dass ein solches Gesuch im Antrag, "[d]ie Gerichtskosten seien in Folge der Abtretung der Klägerin abzunehmen", enthalten gewesen wäre. Im Übrigen wird auf die Erwägungen im angefochtenen Entscheid verwiesen (Art. 109 Abs. 3 BGG).
4.
Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann.
Dem Gesuch der Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren kann nicht entsprochen werden, da die Beschwerde aussichtslos ist (siehe Art. 64 Abs. 1 BGG). Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten gemäss Art. 66 Abs. 1 BGG der Beschwerdeführerin aufzuerlegen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Februar 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz