Sachverhalt:
A.
A.a. Am 1. Dezember 2017 reichte A._ gegen die Stiftung B._ und gegen C._ beim Bezirksgericht Zürich eine Klage wegen Verletzung der Persönlichkeit ein. Diesem Verfahren war eine Kollokationsstreitigkeit vor dem Bezirksgericht Zürich und ein Begehren um Kraftloserklärung von Schuldbriefen vor dem Bezirksgericht Kreuzlingen vorausgegangen. A._ ist der Ansicht, dass ihm in beiden Fällen strafbare Handlungen vorgeworfen werden.
A.b. Nachdem das Bezirksgericht auf die Klage am 26. Februar 2018 nicht eingetreten war, gelangte A._ mit Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich, welches seine Klage mit Urteil vom 3. Mai 2018 abwies, soweit es darauf eintrat. Das Bundesgericht hiess die von A._ erhobene Beschwerde in Zivilsachen teilweise gut und hob das obergerichtliche Urteil auf, soweit die Klage abgewiesen wurde. Es gelangte zum Ergebnis, dass das Obergericht die Anträge von A._ nicht selber habe beurteilen dürfen, sondern diesbezüglich gestützt auf Art. 318 Abs. 1 lit. c Ziff. 1 ZPO an das Bezirksgericht hätte zurückweisen müssen. Die Sache wurde zur Beurteilung der Anträge an das Bezirksgericht zurückgewiesen (Urteil 5A_424/2018 vom 3. Dezember 2018).
A.c. Mit Beschluss vom 14. März 2019 setzte das Bezirksgericht A._ Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses, worauf dieser ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege stellte. Das Bezirksgericht wies das Gesuch am 24. April 2019 ab und setzte A._ eine neue Frist zur Leistung des Kostenvorschusses. Nachdem das Obergericht diesen Beschluss auf Beschwerde von A._ aufgehoben hatte, entschied das Bezirksgericht am 3. Oktober 2019 erneut. Es wies das Gesuch von A._ um unentgeltliche Rechtspflege wiederum ab und setzte ihm Frist zur Leistung des Kostenvorschusses.
A.d. Das Obergericht wies die Beschwerde von A._ gegen den Beschluss des Bezirksgerichts am 13. November 2019 ab, soweit darauf einzutreten war. Zudem wies es dessen Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab.
B.
A._ ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 22. November 2019 an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und Beschlusses sowie die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das kantonale Verfahren.
Sein Gesuch um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung zur Leistung des Kostenvorschusses an das Bezirksgericht ist am 26. November 2019 gutgeheissen worden.
Der Beschwerdeführer stellt für das bundesgerichtliche Verfahren ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
Es sind die kantonalen Akten, indes keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, mit welchem dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Verfahren verweigert wurde. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der praxisgemäss einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1). Dort steht eine Persönlichkeitsverletzung und damit eine Zivilsache in Streit (<ref-law>; Urteil 5A_712/2017 vom 30. Januar 2018 E. 1.2), die in der Regel keinen Streitwert aufweist (Urteil 5A_652/2018 vom 12. Dezember 2018 E. 1.2.1). Damit ist die Beschwerde in Zivilsachen gegeben. Der Beschwerdeführer ist von der Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege besonders berührt und daher zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>).
1.2. Mit der vorliegenden Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der Entscheid Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen, wobei hier das Rügeprinzip gilt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.4). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel sind nur zulässig, soweit der vorinstanzliche Entscheid dazu Anlass gibt (<ref-law>), was in der Beschwerde darzulegen ist (<ref-ruling> E. 3).
2.
Die Vorinstanz gibt die erstinstanzliche Begründung für die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege ausführlich wieder und stellt dann fest, dass sich der Beschwerdeführer nur punktuell damit auseinandersetze. Ihrer Ansicht nach beschränke sich der Beschwerdeführer weitgehend auf die Wiedergabe von bisher Gesagtem, womit er seiner Begründungspflicht nicht nachkomme. Seine Beanstandungen am erstinstanzlichen Entscheid seien nicht zielführend. Der Beschwerdeführer könne nicht glaubhaft machen, dass seine Prozesschancen die Verlustgefahren übersteigen. Damit sei das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu Recht abgewiesen worden.
3.
Der Beschwerdeführer erachtet seine Klage wegen Verletzung der Persönlichkeit in verschiedener Hinsicht als nicht aussichtslos. Er wirft der Vorinstanz eine Verletzung der Begründungspflicht bei der Beurteilung seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege vor.
3.1. Nach <ref-law> hat eine Person Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (lit. a) und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtlos erscheint (lit. b). Mit dieser Bestimmung wird der verfassungsmässige Anspruch nach <ref-law> auf Gesetzesstufe konkretisiert (<ref-ruling> E. 4.1). Der Zugang zum Gericht wird der bedürftigen Partei nur für Rechtsansprüche gewährt, deren Erfolgsaussichten aufgrund summarischer Beurteilung mindestens nur wenig geringer sind als die Verlustgefahren (<ref-ruling> E. 3.4).
3.2. Der vorliegende Fall steht in Zusammenhang mit einem Verfahren vor dem Bezirksgericht Zürich (FV110277) und einem solchen vor dem Bezirksgericht Kreuzlingen (Z2.2009.161). Mit Urteil vom 2. April 2012 entschied das Einzelgericht für SchKG-Klagen am Bezirksgericht Zürich, dass eine Forderung der Stiftung B._ von Fr. 1'994'722.20 im Konkurs über den Beschwerdeführer in der 3. Klasse zu kollozieren sei. Der Beschwerdeführer habe fünf Schuldbriefe widerrechtlich kraftlos erklären lassen und damit gegen <ref-law> verstossen und sich widerrechtlich verhalten. Demnach hafte er nach <ref-law> für den entstandenen Schaden. Mit Entscheid vom 19. Januar 2011 wies das Bezirksgericht Kreuzlingen ein Gesuch des Beschwerdeführers um Kraftloserklärung von zwei Schuldbriefen ab, da diese nicht wie behauptet unauffindbar seien, sondern sich im Besitz des Nachlasses von B._ befinden.
3.3. Der Beschwerdeführer stellt im Hauptverfahren verschiedene Anträge. So will er unter anderem seine Straflosigkeit hinsichtlich der Kraftloserklärung der fünf Schuldbriefe festgestellt haben. Zudem bringt er vor, die Beschwerdegegner hätten sich mit ihren Äusserungen im Verfahren um die Kraftloserklärung der zwei Schuldbriefe strafbar gemacht. Gestützt darauf macht er die Verletzung seiner Persönlichkeit geltend.
3.4. Soweit der Beschwerdeführer vor Bundesgericht auf das vorangegangene Verfahren Bezug nimmt (Urteil 5A_424/2018 vom 3. Dezember 2018) und dabei betont, dass seine Beschwerde gutgeheissen und die Sache zur Beurteilung seiner Anträge in der Sache an das Bezirksgericht zurückgewiesen wurde, erweist sich sein Hinweis nicht als hilfreich. Das Bundesgericht hat in diesem Verfahren einzig entschieden, dass nicht die Vorinstanz, sondern das Bezirksgericht über die verschiedenen Anträge der Klage zu entscheiden habe. Hinsichtlich der Prozessaussichten kommt diesem Urteil keine Bedeutung zu.
3.5. Die Vorinstanz hat nach Ansicht des Beschwerdeführers die entscheidenden Beweismitteln ausser Acht gelassen. Er verweist insbesondere auf eine Reihe von Darlehens- und Pfandverträgen mit Privaten und der Bank F._ sowie verschiedene Zahlungen. Damit habe er entgegen der Darstellung der Vorinstanz nicht bloss pauschale Hinweise gemacht, sondern den Sachverhalt, auf dem die Persönlichkeitsverletzung beruhe, konkret geschildert. Zudem habe das Bezirksgericht seine Anträge nach der Rückweisung durch das Bundesgericht nicht neu beurteilt, sondern seinen bisherigen Entscheid bloss übernommen; dieses Vorgehen habe die Vorinstanz als zulässig beurteilt. Der Beschwerdeführer sieht bei der Beurteilung der Prozessaussichten sein rechtliches Gehör verletzt.
3.5.1. Der Anspruch auf rechtliches Gehör nach <ref-law> verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in seiner Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Sie muss sich allerdings nicht mit sämtlichen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzten und jedes Vorbringen ausdrücklich widerlegen. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich die betroffene Partei über dessen Tragweite Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache anfechten kann (<ref-ruling> E. 6.1; <ref-ruling> E. 4.1).
3.5.2. Die Vorinstanz hat dem Beschwerdeführer in Erinnerung gerufen, dass er aufgrund von <ref-law> für seine Vorbringen beweispflichtig sei. Dessen Vorwurf, die Beklagten hätten im Kollokationsprozess vor Bezirksgericht Zürich bewusst falsche Tatsachen oder solche, die seine Persönlichkeit verletzt haben, vorgebracht, hat sie zurückgewiesen. Es gehe einzig um die Würdigung des geschilderten Verhaltens der Beklagten, mit dem sich die Erstinstanz bereits in einem vorangegangenen Verfahren einlässlich befasst hatte. Daran ändere auch der (neue) Hinweis auf die Strafbarkeit dieses Verhaltens nichts. Auch aus den vorgelegten Darlehens- und Pfandverträgen liesse sich keine widerrechtliche Persönlichkeitsverletzung ableiten. Hinsichtlich des Verfahrens vor Bezirksgericht Kreuzlingen betonte die Vorinstanz, das sich aus den eingereichten Belegen und Vorbringen keine Anzeichen für eine Persönlichkeitsverletzung ergeben. Insbesondere bestünden keine Hinweise, dass der Beschwerdeführer wie ein Verbrecher im letzten Moment gestoppt worden sei.
3.5.3. Aus der vorinstanzlichen Begründung geht in genügender Weise hervor, weshalb die Anträge des Beschwerdeführers in der Hauptsache kaum Chancen haben werden. Daran ändern dessen Vorbringen im bundesgerichtlichen Verfahren nichts, zumal er damit teils fast wörtlich seine Ausführungen im kantonalen Verfahren bloss wiedergibt, statt sich mit den Argumenten der Vorinstanz auseinander zu setzen. Offenbar meint der Beschwerdeführer, dass seine Vorbringen von der Vorinstanz alle materiell hätten beurteilt werden müssen. Dies ist mit Blick auf das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gerade nicht der Fall. Die Vorinstanz hatte aufgrund der Darlegungen des Beschwerdeführers nur zu prüfen, ob er seine Prozesschancen glaubhaft machen kann. Dies liegt in seiner Verantwortung und muss mit aller Sorgfalt erfolgen. Kommt eine Prozesspartei dieser Obliegenheit nicht nach, so löst dies keine gerichtliche Fragepflicht nach <ref-law> aus, wie der Beschwerdeführer offenbar meint (GEHRI, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 14 zu Art. 56). Der Vorinstanz erwächst daher kein Vorwurf, weil sie den Beschwerdeführer nicht angehalten hat, seine teils schwer verständlichen Vorbringen zu verbessern und zu ergänzen.
3.6. Nach dem Gesagten kann der Vorinstanz nicht vorgeworfen werden, sie habe die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege für das Hauptverfahren nicht genügend begründet und damit das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers verletzt. Zur Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Verfahren findet sich in der Beschwerde keine Begründung, womit auf den entsprechenden Antrag des Beschwerdeführers nicht einzutreten ist. Soweit sie den gesetzlichen Begründungsanforderungen überhaupt genügt, ist die Beschwerde abzuweisen.
4.
Der Beschwerde ist kein Erfolg beschieden. Da der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt worden ist, wird dem Beschwerdeführer eine neue Frist (gemäss Dispositiv-Ziff. 2 des angefochtenen Urteils) zur Leistung des Kostenvorschusses an das Bezirksgericht angesetzt. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist infolge Aussichtslosigkeit der Anträge abzuweisen (<ref-law>). Ausgangsgemäss werden die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Dem Beschwerdeführer wird eine Frist von zehn Tagen ab Zustellung des vorliegenden Urteils angesetzt, um für die Gerichtskosten des erstinstanzlichen Verfahrens bei der Bezirksgerichtskasse Zürich (Postcheckkonto...) einen Vorschuss von Fr. 5'170.-- zu leisten.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Oktober 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Levante