Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 8. Mai 2020 respektive Einspracheentscheid vom 6. Juli 2020 verneinte die Ausgleichskasse Luzern den Anspruch von A._, wohnhaft im Kanton Zug, auf eine Erwerbsausfallentschädigung gemäss Verordnung über Massnahmen bei Erwerbsausfall im Zusammenhang mit dem Coronavirus vom 20. März 2020 (Covid-19; Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall; SR 830.31).
B.
Die hiergegen beim Kantonsgericht Luzern erhobene Beschwerde der Versicherten vom 23. Juli 2020 überwies das Gericht mangels örtlicher Zuständigkeit formlos an das Verwaltungsgericht des Kantons Zug. Dieses erachtete sich ebenfalls als örtlich unzuständig, weshalb es die Sache seinerseits am 18. September 2020 wieder an das Kantonsgericht Luzern zurückschickte. Mit Urteil vom 30. Oktober 2020 trat das Kantonsgericht Luzern auf die Beschwerde nicht ein.
C.
Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, die Beschwerde sei gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Es sei festzustellen, dass das Kantonsgericht Luzern für die Behandlung der von der Beschwerdegegnerin gegen den Einspracheentscheid vom 6. Juli 2020 erhobenen Beschwerde örtlich zuständig sei. Die Sache sei zur materiellen Beurteilung an das Kantonsgericht Luzern zurückzuweisen.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft in Bezug auf das vor- wie letztinstanzliche Verfahren die Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen; Urteil 9C_305/2017 vom 20. Februar 2018 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2018 KV Nr. 13 S. 76).
1.1. Das Bundesgericht hat die Beschwerdelegitimation des beschwerdeführenden BSV in kürzlich ergangenen Urteilen ohne Weiteres bejaht (Urteile 9C_752/2020 vom 9. März 2021 E. 2 und 9C_34/2021, 9C_35/2021 vom 30. März 2021 E. 2). Dies ist aus den nachfolgenden Gründen zu bestätigen.
1.2. Gemäss <ref-law> i.V.m. <ref-law> regelt der Bundesrat das Beschwerderecht der Durchführungsorgane der einzelnen Sozialversicherungen vor dem Bundesgericht. Der Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall ist keine Bestimmung zur Legitimation des BSV zu entnehmen. Zu prüfen ist, ob es sich dabei um eine Gesetzeslücke handelt, die vom Gericht zu füllen wäre.
1.3.
1.3.1. Eine echte Gesetzeslücke besteht, wenn sich eine Regelung als unvollständig erweist, weil sie jede Antwort auf die sich stellende Rechtsfrage schuldig bleibt. Hat der Gesetzgeber eine Rechtsfrage nicht übersehen, sondern stillschweigend - im negativen Sinn - mitentschieden (qualifiziertes Schweigen), bleibt kein Raum für richterliche Lückenfüllung. Ob das eine oder andere vorliegt, ist durch Auslegung zu eruieren. Ist ein lückenhaftes Gesetz zu ergänzen, gelten als Massstab die dem Gesetz selbst zugrunde liegenden Zielsetzungen und Werte (vgl. <ref-ruling> E. 3.5.1 ff. mit Hinweisen).
1.3.2. Ausgangspunkt der Gesetzesauslegung ist der Wortlaut der Bestimmung (grammatikalisches Element). Ist er klar, d.h. eindeutig und unmissverständlich, darf vom Wortlaut nur abgewichen werden, wenn ein triftiger Grund für die Annahme besteht, der Wortlaut ziele am "wahren Sinn" der Regelung vorbei. Anlass für eine solche Annahme können die Entstehungsgeschichte der Bestimmung (historisch), ihr Zweck (teleologisch) oder der Zusammenhang mit anderen Vorschriften (systematisch) geben, so namentlich, wenn die grammatikalische Auslegung zu einem Ergebnis führt, das der Gesetzgeber nicht gewollt haben kann (<ref-ruling> E. 4.1 mit Hinweis).
1.4. Wie bereits erwähnt (E. 1.2 hiervor), beantwortet die Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall die Frage nach der Beschwerdelegitimation (des BSV) nicht, da sie keine Bestimmung dazu enthält.
1.4.1. Ein allgemeiner Verweis auf das ATSG ist jedoch Art. 1 der Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall in Verbindung mit Art. 15 Abs. 3 lit. e und Abs. 5 des Bundesgesetzes über die gesetzlichen Grundlagen für Verordnungen des Bundesrates zur Bewältigung der Covid-19-Epidemie (Covid-19-Gesetz; SR 818.102; Bestimmung, die am 17. September 2020 in Kraft getreten ist [Art. 21 Abs. 3 Covid-19-Gesetz]) zu entnehmen. Demnach sind die Bestimmungen des ATSG auf die Entschädigungen gemäss der Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall anwendbar, soweit die Bestimmungen der Verordnung nicht ausdrücklich eine Abweichung vom ATSG vorsehen. Dieser Verweis ist jedoch nicht zielführend, verweist das Gesetz seinerseits doch auf die Verordnungsstufe (vgl. E. 1.2 hiervor).
1.4.2. Zur Rolle des BSV sieht Art. 10a Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall unter dem Titel "Aufsicht und Kontrolle" vor, das BSV überwacht die Durchführung der Verordnung. Die AHV-Ausgleichskassen sowie deren Beauftragte haben dem BSV und weiteren Aufsichtsbehörden die Auskünfte zu erteilen, die diese zur Erfüllung ihrer Aufgabe benötigen (Abs. 1). Die Eidgenössische Finanzkontrolle arbeitet mit dem BSV zusammen, um Risiken zu ermitteln und unrechtmässige Leistungsbezüge zu vermeiden. Sie kann die AHV-Ausgleichskassen gezielt kontrollieren und hat zu diesem Zweck Zugang zu den notwendigen Daten über den Covid-19-Erwerbsersatz (Abs. 2). Gemäss den Erläuterungen des BSV zur Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall (Chronologie der Erläuterungen, abrufbar unter: https://www.bsv. admin.ch/bsv/de/home/sozialversicherungen/eo-msv/grundlagen-und-gesetze/eo-corona.html [zuletzt besucht am 1. Juni 2021]) wird in Art. 10a Abs. 1 der Verordnung eine allgemeine Aufsichtskompetenz des BSV beschrieben. In Zusammenarbeit mit der Eidgenössischen Finanzkontrolle (Abs. 2 der Verordnung) soll der Rahmen für eine angemessene Kontrolle hinsichtlich unrechtmässiger Leistungsbezüge geschaffen werden (vgl. Ziff. 2 S. 5). Die hier beschriebene Funktion spricht für die Beschwerdelegitimation des BSV, bedingt eine wirksame Kontrolle der Durchführung der Verordnung doch auch die Kompetenz, gerichtliche Urteile anfechten zu können.
1.4.3. Keinen anderen Schluss lässt der Blick in die Materialien zum Covid-19-Gesetz zu:
Der Botschaft vom 12. August 2020 zum Covid-19-Gesetz ist explizit zu entnehmen, dass sich die Leistungen im Zusammenhang mit dem Erwerbsausfall (Art. 10 des Gesetzesentwurfs) in Bezug auf die Umsetzung und das Verfahren an das System beim Erwerbsersatz gemäss dem Bundesgesetz über den Erwerbsersatz für Dienstleistende, bei Mutterschaft und bei Vaterschaft vom 25. September 1952 (Erwerbsersatzgesetz, EOG; SR 834.1) anlehnen (BBl 2020 6612 Ziff. 3).
Entsprechendes ergibt sich auch in Würdigung der im Rahmen der parlamentarischen Beratungen und Diskussionen der parlamentarischen Kommissionen zum Covid-19-Gesetz abgegebenen Voten. Diese lassen - soweit ersichtlich - keine Zweifel daran, dass es bei der hier in Frage stehenden Erwerbsausfallentschädigung darum gehen soll, im System der Erwerbsersatzordnung gemäss EOG zu bleiben und lediglich den Kreis der Bezugsberechtigten vorübergehend auf von Covid-19 Betroffene zu erweitern (vgl. Votum Nantermod, AB 2020 N 1296, Votum Humbel, AB 2020 N 1765; Protokoll der Sitzung der nationalrätlichen Kommission für soziale Sicherheit und Gesundheit vom 27. August 2020, S. 34, 37 und Antrag Nr. 23 betreffend Art. 10 Abs. 2 lit. d des Gesetzesentwurfs). Man ist davon ausgegangen, dass hinsichtlich verfahrensrechtlicher Aspekte keine Lücken in den vom Covid-19-Gesetz geregelten Sachbereichen vorliegen (vgl. Protokoll der Sitzung der ständerätlichen Kommission für Rechtsfragen vom 3. September 2020, S. 11).
Das bestehende System der Erwerbsersatzordnung seinerseits sieht die Beschwerdelegitimation des BSV vor, indem <ref-law> unter anderem auf <ref-law> verweist. Gemäss <ref-law> sind das BSV und die beteiligten Ausgleichskassen beziehungsweise IV-Stellen berechtigt, gegen Entscheide der kantonalen Versicherungsgerichte beim Bundesgericht Beschwerde zu erheben.
1.4.4. Mit Blick auf das Dargelegte lehnen sich die Massnahmen im Zusammenhang mit der Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall klar an das bestehende System der Erwerbsersatzordnung nach EOG an. Dass das BSV in der Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall nicht explizit als beschwerdelegitimiert aufgeführt wird respektive kein Verweis im Sinne von <ref-law> erfolgt, stellt daher eine echte Gesetzeslücke (E. 1.3.1 hiervor) dar. Diese ist - analog der in der bestehenden Erwerbsersatzordnung enthaltenen Regelung (<ref-law> i.V.m. <ref-law>) - zu schliessen, indem das BSV vorliegend als beschwerdelegitimiert zu qualifizieren ist. Nachdem auch die übrigen Voraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Streitig ist, ob die Vorinstanz auf die im Zusammenhang mit der Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall erhobene Beschwerde der Beschwerdegegnerin vom 23. Juli 2020 zu Recht mangels örtlicher Zuständigkeit nicht eingetreten ist.
2.2. Die Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall verweist in Art. 1 in allgemeiner Weise auf das ATSG (vgl. E. 1.4.1 hiervor) und enthält selbst keine Bestimmung zur örtlichen Zuständigkeit der Gerichte im Rahmen kantonaler Beschwerdeverfahren. Nach Auffassung der Vorinstanz ist daher vorliegend <ref-law> anwendbar. Diese Bestimmung sieht als örtlich zuständig das Versicherungsgericht desjenigen Kantons vor, in dem die versicherte Person oder der Beschwerde führende Dritte zur Zeit der Beschwerdeerhebung Wohnsitz hat.
<ref-law> enthält dagegen für den Bereich des Erwerbsersatzes eine Abweichung von <ref-law>. Danach entscheidet über Beschwerden gegen Verfügungen und Einspracheentscheide kantonaler Ausgleichskassen das Versicherungsgericht am Ort der Ausgleichskasse. Der Beschwerdeführer will diese Regelung analog angewendet wissen.
3.
Zu klären ist die - vom Bundesgericht frei überprüfbare - Rechtsfrage hinsichtlich der Tragweite von Art. 1 Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall. Insbesondere stellt sich die Frage, ob sich der darin enthaltene Verweis auf das ATSG auch auf die örtliche Zuständigkeit der Gerichte im Rahmen kantonaler Beschwerdeverfahren bezieht. Dies ist nachfolgend mittels Auslegung (E. 1.3.2 hiervor) zu eruieren (vgl. <ref-ruling> E. 5 und 8 f.).
3.1. Ausgehend vom Wortlaut in der Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall würde die Frage nach der örtlichen Zuständigkeit mit dem Verweis von Art. 1 der Verordnung auf das ATSG und dem Fehlen einer Ausnahmebestimmung in der Verordnung beantwortet. Demnach wäre gemäss <ref-law> das Versicherungsgericht des Kantons Zug für die Behandlung der vorliegenden Streitsache zuständig, da die Beschwerdegegnerin im Zeitpunkt der Beschwerdeerhebung dort wohnte ("Le tribunal des assurances compétent est celui du canton de domicile de l'assuré ou d'une autre partie au moment du dépôt du recours."; "È competente il tribunale delle assicurazioni del Cantone dove l'assicurato o il terzo è domiciliato nel momento in cui interpone ricorso."). Es stellt sich jedoch die Frage, ob diese Lösung auch dem "wahren Sinn" der Regelung entspricht respektive ob davon auszugehen ist, dass der Verordnungsgeber dieses Ergebnis gewollt hat (vgl. E. 1.3.2 hiervor).
3.2. Im Vordergrund steht dabei das bereits unter dem Gesichtspunkt der Beschwerdelegitimation Dargelegte (E. 1.4.3 hiervor) : Mit der Entschädigung gemäss der Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall wollte der Verordnungsgeber kein neues System schaffen, sondern sich in Bezug auf Umsetzung und Verfahren an das bestehende System der Erwerbsersatzordnung gemäss EOG anlehnen. Dieser Umstand spricht klar für eine analoge Anwendung von <ref-law>.
Weiter sieht Art. 8 Abs. 3 Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall vor, dass die Festsetzung und Auszahlung der Entschädigung durch diejenige AHV-Ausgleichskasse erfolgt, die vor dem Entschädigungsanspruch für den Bezug der AHV-Beiträge zuständig war. Damit besteht hinsichtlich der Zuständigkeiten auch eine Anknüpfung an das System der Alters- und Hinterlassenenversicherung. Auch dort wird die örtliche Zuständigkeit der Gerichte im Rahmen kantonaler Beschwerdeverfahren abweichend von <ref-law> geregelt. So entscheidet über Beschwerden gegen Verfügungen und Einspracheentscheide kantonaler Ausgleichskassen gemäss <ref-law> - in Übereinstimmung mit <ref-law> - das Versicherungsgericht am Ort der Ausgleichskasse.
Mit Blick auf die in formeller und materieller Hinsicht bestehende Nähe zu den beiden Systemen des EOG und des AHVG, welche die örtliche Zuständigkeit beide gleich regeln (Versicherungsgericht am Ort der Ausgleichskasse), wäre es entgegen der Ansicht der Vorinstanz sehr wohl systemwidrig, bei den Massnahmen gemäss der Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall davon abzuweichen.
3.3. Insbesondere unter Berücksichtigung der klaren Absicht des Verordnungsgebers, im System des Erwerbsersatzes gemäss EOG zu verbleiben, aber auch der analog zum AHVG vorgesehenen Zuständigkeit der Ausgleichskassen und der damit bekundeten Nähe auch zu diesem System ist in einer Gesamtwürdigung darauf zu schliessen, dass sich der in Art. 1 Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall enthaltene Verweis auf das ATSG nicht auf die örtliche Zuständigkeit der Gerichte im Rahmen kantonaler Beschwerdeverfahrens bezieht. Vielmehr ist für Verfahren im Zusammenhang mit Entschädigungen gestützt auf die Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall - analog zu <ref-law> - das Versicherungsgericht am Ort der Ausgleichskasse als zuständig zu qualifizieren. Dies rechtfertigt sich im Übrigen auch mit Blick auf eine einheitliche kantonale Rechtsprechung. So ist es durchaus sinnvoll, dass Entscheide derselben Ausgleichskasse betreffend dieselben Versicherten jeweils vom gleichen kantonalen Gericht beurteilt werden.
Daran ändern die Ausführungen in den Erläuterungen des BSV (Chronologie der Erläuterungen, abrufbar unter: https://www.bsv.admin.ch/ bsv/de/home/sozialversicherungen/eo-msv/grundlagen-und-gesetze/ eo-corona.html [zuletzt besucht am 1. Juni 2021]) zu Art. 1 Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall, wonach mit dem Verweis auf das ATSG unter anderem das Einsprache- und Beschwerdeverfahren (und damit wohl auch die Frage nach der örtlichen Zuständigkeit) geregelt seien, nichts. So widerspiegelt dies offensichtlich nicht die Ansicht des beschwerdeführenden BSV, das von einem lückenhaften Gesetz ausgeht.
3.4. Für den vorliegenden Fall bedeutet das Gesagte, dass die Vorinstanz für die Behandlung der Beschwerde der Beschwerdegegnerin zuständig ist, da der angefochtene Einspracheentscheid vom 6. Juli 2020 von der Ausgleichskasse Luzern erlassen wurde (<ref-law> analog). Die Beschwerde ist begründet.
4.
Auf die Erhebung von Gerichtskosten zu Lasten der unterliegenden Beschwerdegegnerin wird umständehalber verzichtet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Kantonsgerichts Luzern vom 30. Oktober 2020 aufgehoben. Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie auf die Beschwerde der Beschwerdegegnerin eintrete.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Ausgleichskasse Luzern und dem Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Juni 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Nünlist