Faits :
A.
A la suite d'un premier refus de prestations de l'assurance-invalidité (décision de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud [ci-après: l'office AI] du 13 novembre 2019, confirmée par arrêt de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud du 14 août 2020), A._, née en 1976, a déposé une nouvelle demande de prestations, au mois de janvier 2021. L'office AI a refusé d'entrer en matière par décision du 25 juin 2021. En bref, il a considéré que l'assurée n'avait pas rendu plausible une aggravation de son état de santé.
B.
Statuant le 14 septembre 2021 sur le recours formé par l'assurée, le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, l'a rejeté.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre cet arrêt dont elle demande l'annulation, ainsi que celle de la décision du 25 juin 2021. Elle conclut principalement à ce qu'ordre soit donné à l'office AI d'instruire la cause, l'aggravation de son état de santé étant rendue plausible. Subsidiairement, elle requiert le renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouveau jugement au sens des considérants. L'assurée sollicite également l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure cantonale.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law>, et statue par ailleurs sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Le recourant qui entend s'en écarter doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut pas être pris en considération.
2.
2.1. Le litige porte sur le point de savoir si la juridiction cantonale était fondée à confirmer le refus de l'office intimé d'entrer en matière sur la nouvelle demande déposée par l'assurée en janvier 2021. Il s'agit plus particulièrement d'examiner si la recourante a rendu plausible une modification de son état de santé susceptible d'influencer ses droits depuis la dernière décision entrée en force reposant sur un examen matériel du droit à la rente (décision du 13 novembre 2019, confirmée par arrêt de la Cour cantonale des assurances sociales du 14 août 2020).
2.2. A la suite des premiers juges, on rappellera qu'en vertu de l'art. 87 al. 2 et 3 RAI, lorsque la rente a été refusée parce que le taux d'invalidité était insuffisant, la nouvelle demande ne peut être examinée que si l'assuré rend plausible que son invalidité s'est modifiée de manière à influencer ses droits. Cette exigence doit permettre à l'administration qui a précédemment rendu une décision de refus de prestations entrée en force d'écarter sans plus ample examen de nouvelles demandes dans lesquelles l'assuré se borne à répéter les mêmes arguments, sans alléguer une modification des faits déterminants (<ref-ruling> consid. 5.2 et 5.3; <ref-ruling> consid. 5.2.3; <ref-ruling> consid. 4b et les références). Lorsqu'elle est saisie d'une nouvelle demande, l'administration doit commencer par examiner si les allégations de l'assuré sont, d'une manière générale, plausibles. Si tel n'est pas le cas, l'affaire est liquidée d'entrée de cause et sans autres investigations par un refus d'entrer en matière (ATF <ref-ruling> consid. 3a).
3.
3.1. Dans un premier grief, d'ordre formel, la recourante reproche à la juridiction cantonale d'avoir violé son droit d'être entendue et fait preuve de formalisme excessif, en ce qu'elle a refusé de suspendre la procédure jusqu'à droit connu sur le résultat d'examens médicaux complémentaires et rejeté des offres de preuve qu'elle avait requises dans les formes et les délais, à savoir, d'une part, la production d'un rapport d'évaluation neuropsychologique et, d'autre part, la mise en oeuvre d'une expertise médicale pluridisciplinaire.
3.2. L'argumentation de la recourante est mal fondée. La jurisprudence relative à une nouvelle demande de prestations de l'assurance-invalidité, dûment rappelée dans l'arrêt entrepris, requiert en effet que celle-ci présente des éléments suffisants pour rendre plausible une aggravation de l'état de santé (cf. art. 87 al. 2 et 3 RAI), étant précisé que le principe inquisitoire, selon lequel les faits pertinents de la cause doivent être constatés d'office par l'autorité (<ref-law>), ne s'applique pas, dans cette mesure, à une telle procédure et que la juridiction de première instance est tenue d'examiner le bien-fondé de la décision de non-entrée en matière de l'office AI en fonction uniquement des documents produits jusqu'à la date de celle-ci (ATF <ref-ruling> consid. 5.2.5; arrêt 9C_627/2020 du 17 novembre 2020 consid. 4.2). A cet égard, c'est en vain que la recourante affirme que l'office intimé l'aurait clairement empêchée, dans le cadre de la procédure administrative, de produire des pièces complémentaires permettant de rendre plausible une aggravation de son état de santé. A la lecture des observations qu'elle a formulées le 10 juin 2021 contre le projet de décision du 18 mars 2021, par lequel l'office intimé l'informait qu'il envisageait de ne pas entrer en matière sur sa nouvelle demande de prestations, on constate en effet que l'assurée avait indiqué qu'elle considérait avoir rendu plausible une aggravation notable de son état de santé, en se référant aux avis médicaux qu'elle avait produits, sans indiquer qu'elle souhaitait apporter des informations médicales complémentaires.
4.
4.1. La recourante reproche ensuite à la juridiction cantonale d'avoir établi les faits et apprécié les preuves de manière arbitraire pour admettre que les pièces qu'elle avait déposées en procédure administrative avec la nouvelle demande de prestations ne rendaient pas plausible une aggravation de son état de santé depuis la dernière décision reposant sur un examen matériel de son droit à des prestations de l'assurance-invalidité.
4.2. En ce que l'assurée se contente d'indiquer que les rapports médicaux qu'elle a versés au dossier à l'appui de sa nouvelle demande "font clairement écho d'une évolution défavorable de la maladie avec une répercussion importante sur la capacité de gain", elle ne fait pas état d'éléments concrets et objectifs susceptibles de remettre en cause l'appréciation qu'ont faite les premiers juges des pièces médicales versées à la procédure administrative, ni de motifs susceptibles d'en établir le caractère arbitraire. Pour le surplus, en ce qu'elle se réfère à un rapport d'examen psychologique du 18 octobre 2021 et à un rapport d'évaluation neuropsychologique du 26 octobre 2021 produits en instance fédérale, l'assurée méconnaît qu'aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté au Tribunal fédéral à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
4.3. En conséquence de ce qui précède, en niant que la recourante eût rendu plausible une aggravation de son état de santé susceptible d'influencer ses droits, la juridiction cantonale n'a ni établi les faits de manière inexacte ou arbitraire, ni violé le droit fédéral. Il n'y a dès lors pas lieu de s'écarter des considérations des premiers juges.
5.
La recourante s'en prend finalement au rejet, par la juridiction de première instance, de sa requête d'assistance judiciaire pour le motif que son recours était manifestement mal fondé. Dans la mesure où l'assurée n'explique pas, ne fût-ce que brièvement, en quoi la juridiction cantonale aurait violé le droit cantonal de procédure qu'elle invoque (art. 18 al. 1 de la loi vaudoise du 28 octobre 2008 sur la procédure administrative [LPA/VD; RSV 173.36]), son grief ne remplit pas les exigences de motivation accrues posées à l'<ref-law>. Le recours n'est dès lors pas recevable sur ce point. La seule référence à son recours en instance fédérale ne suffit au demeurant pas, vu l'issue du litige, à considérer que les conditions de l'art. 61 let. f LPGA étaient réalisées en procédure cantonale.
6.
Manifestement mal fondé, le recours doit être rejeté selon la procédure simplifiée de l'<ref-law>.
7.
Vu l'issue de la procédure, les frais judiciaires y afférents sont mis à la charge de la recourante (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 2 février 2022
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
La Greffière : Perrenoud