Erwägungen:
1.
1.1. A._ (nachfolgend: der Steuerpflichtige) erhob im Zusammenhang mit den Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Zürich sowie der direkten Bundessteuer, Steuerperiode 2018, eine Beschwerde an das Steuerrekursgericht des Kantons Zürich. Mit Entscheid vom 12. Juni 2020 trat dieses auf die Sache nicht ein, da der Gerichtskostenvorschuss innerhalb der angesetzten Frist nicht geleistet worden sei.
1.2. Dagegen gelangte der Steuerpflichtige an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Mit Verfügung vom 18. Juni 2020 im Verfahren SB.2020.00054 / SB.2020.00055 forderte das Verwaltungsgericht den Steuerpflichtigen auf, innerhalb von 20 Tagen seit Zustellung der Verfügung einen Gerichtskostenvorschuss von insgesamt Fr. 1'140.-- zu erbringen, ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten werde. Das Verwaltungsgericht erwog, ob der Steuerpflichtige für das verwaltungsgerichtliche Verfahren ein Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege stelle, sei fraglich. Sein (etwaiges) Begehren erscheine ohnehin als aussichtslos, und die Prozessarmut sei nicht nachgewiesen. Mit Blick auf die offenen Kosten bei den Gerichtsbehörden des Kantons Zürich sei ein Kostenvorschuss zu erheben.
1.3. Mit Eingabe vom 24. Juni 2020 (Poststempel: 25. Juni 2020) unterbreitet der Steuerpflichtige dem Bundesgericht sinngemäss Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. In der kurzen Begründung streift er hauptsächlich Teilaspekte seiner Eingabe an das Steuerrekursgericht, wobei er unterstreicht, die seinerzeitige Gerichtskostenverfügung sei ihm nicht zugestellt worden. Er beruft sich auf das Gebot des Verhaltens nach Treu und Glauben bzw. auf das Rechtsmissbrauchsverbot. Nicht restlos klar wird, ob er (auch) für das bundesgerichtliche Verfahren um das Recht zur unentgeltlichen Rechtspflege (Verfahren und anwaltliche Verbeiständung) ersucht.
1.4. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (<ref-law> [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen, namentlich von einem Schriftenwechsel (<ref-law>), abgesehen.
2.
2.1. Zwischenentscheide, mit denen die unentgeltliche Rechtspflege verweigert wird, entfalten einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law>, sofern sie die gesuchstellende Person zur Leistung eines Kostenvorschusses auffordern und ihr androhen, bei Säumnis auf das Rechtsmittel nicht einzutreten (zum Ganzen <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 802; Urteil 2C_274/2020 vom 14. Mai 2020 E. 2.1). Dies ist hier der Fall. Der Zwischenentscheid ist selbständig anfechtbar.
2.2. Rechtsschriften an das Bundesgericht haben den Antrag, eine Begründung und die Beweismittel zu enthalten. Die Begründung hat sich auf den Streitgegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens zu beziehen. Dieser kann vor Bundesgericht, verglichen mit dem vorinstanzlichen Verfahren, zwar eingeschränkt (minus), nicht aber ausgeweitet (plus) oder geändert (aliud) werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 22). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, dass und inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 92). Die Verletzung von verfassungsmässigen Individualrechten (einschliesslich der Grundrechte) und des rein kantonalen und kommunalen Rechts prüft das Bundesgericht in jedem Fall nur, soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit gemäss Art. 106 Abs. 2). In der Beschwerde ist daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, dass und inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 305 f.). Bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid ist nicht zu hören und führt zum Nichteintreten auf die Eingabe (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 92).
2.3. Die angefochtene Verfügung beruht auf § 16 Abs. 1 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes (des Kantons Zürich) vom 24. Mai 1959 (VRG/ZH; LS 175.2), mithin auf nicht harmonisiertem kantonalem Recht, weshalb die qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit herrscht. Der Steuerpflichtige hätte folglich klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen gehabt, dass und inwiefern die Vorinstanz mit der Auferlegung eines Gerichtskostenvorschusses gegen seine verfassungsmässigen Individualrechte verstossen haben soll. Selbst unter Berücksichtigung dessen, dass eine Laienbeschwerde vorliegt, weswegen die formellen Anforderungen praxisgemäss niedriger angesetzt werden (Urteil 2D_22/2020 vom 16. Juni 2020 E. 2.4), unterbleibt indes jede auch nur beiläufige Auseinandersetzung mit der Verfassungsfrage. Soweit der Steuerpflichtige Ausführungen zum Verfahren vor dem Steuerrekursgericht (insbesondere zur Wahrung der Frist) macht (vorne E. 1.3), liegt dies von vornherein ausserhalb des Streitgegenstandes und ist dies nicht zu hören (vorne E. 2.2).
2.4. Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung, weshalb darauf mit einzelrichterlichem Entscheid des Abteilungspräsidenten als Instruktionsrichter nicht einzutreten ist (<ref-law>).
3.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der unterliegenden Partei aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Mit Blick auf die besonderen Umstände kann von einer Kostenverlegung abgesehen werden (<ref-law>). Dadurch würde das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege, sollte ein solches (auch) für das bundesgerichtliche Verfahren gestellt worden sein, gegenstandslos (<ref-ruling> E. 5 S. 126). Die anwaltliche Verbeiständung, um die der Steuerpflichtige möglicherweise ersucht, ist nicht geboten (<ref-ruling> E. 2.1 S. 301). Dem Kanton Zürich, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Für das bundesgerichtliche Verfahren werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juni 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher