Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Klägerin, Beschwerdeführerin) ist die Witwe von C._. Im Konkurs ihres Ehemannes wurde ihr gemäss Art. 260 SchKG die Forderung (zur Fortsetzung des Prozesses) abgetreten, die ihrem Ehemann im Konkurs über den Nachlass von Rechtsanwalt D._ gemäss Art. 260 SchKG abgetreten worden war. Es handelt sich um eine Forderung von Rechtsanwalt D._ bzw. dessen Konkursmasse gegen die B._ AG als Berufshaftpflichtversicherung (Berufshaftpflichtversicherung, Beklagte, Beschwerdegegnerin).
A.b. C._ wurde im Februar 2009 von E._ beim Bezirksgericht U._ auf Bezahlung von insgesamt Fr. 205'000.-- verklagt. Er beauftragte Rechtsanwalt D._ mit der Wahrung seiner Interessen. Dieser reichte keine Klageantwort ein. Er hatte mehrmals um Fristverlängerungen ersucht, die alle gewährt wurden. Am 11. Mai 2009 stellte er schliesslich wegen eines gesundheitlichen Notfalls ein Gesuch um Gewährung einer zweitägigen Notfrist. Nachdem er auch diese Notfrist verstreichen liess, setzte ihm das Bezirksgericht U._ am 26. Mai 2009 eine peremptorische Frist nach der damaligen kantonalen Prozessordnung, die ebenfalls nicht eingehalten wurde.
Das Bezirksgericht U._ hiess die Klage am 3. August 2009 vollumfänglich gut und verpflichtete C._ zur Zahlung von Fr. 205'000.-- (davon Fr. 115'000.-- in WIR-Geld) nebst Zins an den Kläger.
Mit Beschluss vom 15. März 2010 wies das Bezirksgericht U._ ein von C._ eingereichtes Gesuch um Wiederherstellung der Frist zur Erstattung der Klageantwort ab. Aus den Erwägungen dieses Entscheids ergibt sich, dass Rechtsanwalt D._ am 12. Mai 2009, vom 18.-28. Mai, vom 3.-11. Juni und vom 9.-10. Juli 2009 krankheitshalber hospitalisiert war, wobei ihm sowohl die Verfügung vom 26. Mai 2009 wie das Urteil vom 3. August 2009 zugestellt werden konnten. Rechtsmittel gegen die Verweigerung der Fristwiederherstellung an das Obergericht des Kantons Zürich, das Bundesgericht und den Europäischen Gerichtshof für Menschenrechte blieben erfolglos.
B.
B.a. Am 4. September 2013 gelangte der Ehemann der Klägerin unter Beilage der Klagebewilligung mit einer Teilklage über eine Forderung von Fr. 49'423.35 an das Bezirksgericht V._. Er beanspruchte von der Berufshaftpflicht-Versicherung des mittlerweile verstorbenen Rechtsanwalts D._ im Wesentlichen den Ersatz der Anwalts- und Gerichtskosten im Zusammenhang mit den Verfahren betreffend Fristwiederherstellung, mit der Abtretung der Massarechte und der vorprozessualen Vorbereitung der Klage, der Rechtsanwalt D._ sel. bzw. dessen Nachlassmasse als "Befreiungsanspruch" zustehe. Am 6. Oktober 2015 übernahm die Klägerin anstelle ihres Ehemanns den Prozess.
Das Bezirksgericht V._ wies die Klage mit Urteil vom 11. Mai 2018 ab. Das Bezirksgericht ging davon aus, der versicherte Anspruch des Anwalts bestehe darin, dass ihn der Versicherer von berechtigten Schadenersatzforderungen befreie, indem er diese begleiche (sog. Befreiungsanspruch). Dies setze einerseits voraus, dass ein Schaden entstanden sei, für den der Anwalt hafte, anderseits aber auch, dass dafür Versicherungsdeckung bestehe. Wenn die Versicherung nach Art. 33 VVG grundsätzlich die gesamte versicherte Gefahr trage, so seien Deckungsausschlüsse durch klare vertragliche Beschränkungen zulässig; eine gesetzliche Haftungsbefreiung bzw. -reduktion sei überdies bei Absicht oder grober Fahrlässigkeit vorgesehen (Art. 14 VVG). Das Bezirksgericht begründete sodann, dass die gesetzliche Pflicht des Anwalts zum Abschluss einer Berufshaftpflicht-Versicherung (Art. 12 lit. f BGFA) angesichts deren Ausgestaltung der Ausschluss-Klausel in Ziff. 2 Abs. 10 der Allgemeinen Versicherungsbedingungen (AVB) nicht entgegensteht, wonach nur der genau bestimmte Schadensfall nicht gedeckt wird, dessen Eintritt vom Versicherungsnehmer mit hoher Wahrscheinlichkeit zu erwarten war. Das Bezirksgericht gelangte zum Schluss, der Anwalt habe mit hoher Wahrscheinlichkeit einen Schaden erwarten müssen, nachdem er trotz der Krankheit seinen Bürobetrieb nicht so organisierte, dass Fristen während seiner Abwesenheit gewahrt werden konnten bzw. nachdem er nicht mindestens seinen Mandanten über seinen Gesundheitszustand informierte, so dass dieser einen anderen Rechtsvertreter hätte bestellen können.
B.b. Mit Urteil vom 12. April 2019 wies das Obergericht des Kantons Zürich die Berufung der Klägerin ab und bestätigte das Urteil des Bezirksgerichts V._ vom 11. Mai 2018. Das Obergericht bestätigte insbesondere, dass die gesetzliche Pflicht zum Abschluss einer Berufshaftpflichtversicherung von Anwälten nicht so ausgestaltet ist, dass ein versicherungsrechtlicher Schutz des rechtssuchenden Publikums in allen Fällen gewährleistet ist. Eine Verletzung von Art. 12 lit. f BGFA verneinte das Gericht insbesondere auch in der Erwägung, dass die Ausschluss-Klausel der Beklagten nicht sämtliche Fälle von Fristversäumnissen umfasst. Das Argument der Klägerin, der Deckungsausschluss der Beklagten für Fristversäumnisse stehe in Widerspruch mit deren Werbung im Internet, erachtete es zudem als verspätet. Das Obergericht verwarf auch das Argument der Klägerin, die erste Instanz hätte ohne Kenntnis der eigentlichen Police (die nicht bei den Akten liege) nicht entscheiden dürfen, sondern aufgrund ihrer Fragepflicht die Police bei der Beklagten einfordern müssen. Schliesslich verwarf das Obergericht die Rügen der Verweigerung des rechtlichen Gehörs betreffend die angebliche Urteilsunfähigkeit des Rechtsanwalts in der Erwägung, es sei nicht klar, inwiefern diese den Ausgang des Verfahrens beeinflussen könnte; falls eine Ausnahmesituation dem Anwalt die Wahrung der objektiv gebotenen Sorgfalt nicht erlaube, müsse er geeignete organisatorische Massnahmen treffen, um die Wahrung der Interessen seiner Klienten zu gewährleisten.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen stellt die Klägerin die Rechtsbegehren, es sei das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich aufzuheben und die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, ihr im Sinne eines Teilklageanspruchs unter Vorbehalt einer Nachklage den Betrag von Fr. 49'423.35 zuzüglich Zins von 5 % seit dem 21. Dezember 2012 zu bezahlen; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht des Kantons Zürich zurückzuweisen. Ausserdem verlangt sie als Verfahrensanträge die Gewährung der aufschiebenden Wirkung, den Beizug von Akten, die Edition der auf Rechtsanwalt D._ lautenden Berufshaftpflicht-Police sowie die unentgeltliche Rechtspflege mitsamt Verbeiständung.
Die kantonalen Akten wurden beigezogen. Vernehmlassungen zur Sache wurden nicht eingeholt.
D.
Nachdem die Gegenpartei zum Gesuch um aufschiebende Wirkung keine Stellungnahme eingereicht und die Vorinstanz auf Vernehmlassung verzichtet hat, wurde die aufschiebende Wirkung mit Verfügung vom 20. Juni 2019 gewä hrt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde betrifft eine Zivilsache (Art. 72 BGG), sie richtet sich gegen den Endentscheid eines oberen kantonalen Gerichts, das als Rechtsmittelinstanz entschieden hat (Art. 75 Abs. 2 BGG), die Beschwerdeführerin ist mit ihrer Forderung unterlegen (Art. 76 BGG), der Streitwert ist erreicht (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) und die Frist ist gewahrt (Art. 100 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 lit. a BGG). Insoweit ist die Beschwerde zulässig. Die "vorsorglich" ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist damit ausgeschlossen. Es ist darauf nicht einzutreten. Da die Beschwerde nur gegen kantonal letztinstanzliche Entscheide zulässig ist, ist auf die Beschwerdeanträge auch insoweit nicht einzutreten, als sie sich gegen das erstinstanzliche Urteil richten.
2.
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Immerhin prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.4 S. 400).
Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2BGG, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die Beschwerde führende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2; 115 E. 2 S. 116). Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen, und der blosse Verweis auf Ausführungen in andern Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 1.2.3; <ref-ruling> E. 3.2 S. 400 mit Hinweisen). Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist. Dafür ist erforderlich, dass die angeblich verletzten Grundrechte in der Beschwerde genannt sowie klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids aufgezeigt wird, inwiefern diese verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.7.2; <ref-ruling> E. 2.2).
Die Beschwerdeführerin führt als "Anfechtungsgründe" eine Reihe von Verfassungs- und Gesetzesbestimmungen sowie allgemein anerkannte Rechtsprinzipien auf, die durch den angefochtenen Entscheid verletzt sein sollen. Der Beschwerde ist keinerlei Begründung zu entnehmen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die angeführten Normen verstossen soll (Art. 42 Abs. 2 BGG), erst recht fehlt jede Begründung für die angebliche Verletzung verfassungsmässiger Rechte (Art. 106 Abs. 2 BGG). Es ist darauf nicht einzutreten.
3.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den Lebenssachverhalt, der dem Streitgegenstand zugrunde liegt, als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Verweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Die Voraussetzungen für eine Sachverhaltsberichtigung sind klar und substanziert aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen).
3.1. Die Beschwerdeführerin beantragt den Beizug der Akten früherer Verfahren. Sie begründet nicht, inwiefern diese für den Ausgang des vorliegenden Verfahrens entscheiderheblich sein könnten und äussert sich diesbezüglich auch zu den Voraussetzungen von Art. 99 BGG nicht. Dass es "im Interesse einer objektiven Rechtsfindung" Sinn mache, von diesen Verfahren Kenntnis zu nehmen, vermag die fehlende Begründung nicht zu ersetzen. Es ist darauf nicht einzutreten.
3.2. Die Beschwerdeführerin beantragt, es sei die Beschwerdegegnerin aufzufordern, die auf Rechtsanwalt D._ sel. lautende Berufshaftpflicht-Police für Anwälte, Police-Nr. xxx, zu edieren. Sie verkennt grundsätzlich, dass das Bundesgericht nicht den gesamten Streitfall neu aufrollen kann, den zu beurteilenden Lebenssachverhalt nicht selbst würdigt und damit grundsätzlich auch keine neuen Beweise erhebt, sondern an den von der Vorinstanz verbindlich festgestellten Sachverhalt unter Vorbehalt offensichtlicher Mängel gebunden ist (vgl. Art. 97, Art. 99 und Art. 105 BGG). Der Verfahrensantrag ist unzulässig.
3.3. Die Beschwerdeführerin stellt den Verfahrensablauf aus ihrer Sicht kritisch dar. Sie kritisiert, ihre Klage sei im Ergebnis "mit rein formellen Argumenten" abgewiesen worden und hält allgemein dafür, es spreche "die natürliche Vermutung" für die Leistungspflicht der Versicherung; sie vermutet unter Hinweis auf die Police einer anderen Versicherung, es sei auf die Einrede der Grobfahrlässigkeit verzichtet worden. Als "Quintessenz" führt sie an, es gelte als Erstes Klarheit zu schaffen bezüglich der tatsächlichen Police und deren wahrem Inhalt. Die Feststellungen der "Erst- und Vorinstanz", dass entsprechende Beweisanträge unterblieben (kein Editionsantrag) bzw. verspätet (Werbung) erfolgt seien, sei aktenwidrig und unzutreffend, worauf zurückzukommen sei. Damit sind die Rügeanforderungen nicht erfüllt. Es ist darauf nicht einzutreten.
4.
Die Beschwerdeführerin rügt unter dem Titel "Deckungsausschluss bei Fristversäumnis" im Ergebnis, dass die Versicherungs-Police Nr. xxx nicht beigezogen wurde.
4.1. Die Vorinstanz hat festgestellt, dass die (anwaltlich vertretene) Klägerin selbst mit der Klageschrift die AVB zur Police Nr. xxx eingereicht und diese als Versicherungspolice bezeichnet hat. Die Klägerin erwähnte danach in der Klageschrift ausdrücklich den "Deckungsausschluss in Ziff. 2-10 der vorliegenden Police" und meinte damit den in den AVB in Ziff. 2 Abs. 10 enthaltenen Deckungsausschluss. Die Klägerin zeigte nach den Feststellungen der Vorinstanz in der Berufung nicht auf, dass sie sich vor dem Bezirksgericht erstens auf das Fehlen der eigentlichen Versicherungspolice berufen und einen entsprechenden Editionsantrag gestellt hätte und dass sie zweitens geltend gemacht hätte, die Police enthalte den Deckungsausschluss nicht. Die Vorinstanz fügte sodann an, es sei ohnehin nicht notwendig, dass die Police selbst auch die AVB enthalte, es genüge der Hinweis darauf, dass diese dem Versicherungsnehmer übergeben worden seien. Da die Klägerin selbst von der Geltung der von ihr eingereichten AVB ausgegangen sei, sei eine Verletzung der richterlichen Fragepflicht im Sinne von Art. 56 ZPO nicht ersichtlich.
4.2. Was die Beschwerdeführerin gegen die Feststellungen der Vorinstanz zum Prozessachverhalt vorbringt, ist kaum nachvollziehbar und vermag jedenfalls Willkür nicht auszuweisen. Der Behauptung, das Verhalten der Parteien sei unklar, unbestimmt und teilweise widersprüchlich gewesen, so dass sich eine Befragung aufgedrängt hätte, lässt sich nicht entnehmen, inwiefern dies aufgrund der verbindlichen Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz der Fall gewesen sein sollte. Dass die Beschwerdeführerin die Edition "Schadenbehandlungsunterlagen" verlangte, umfasst die Edition der Versicherungspolice ebenso wenig wie die Behauptung, das Verpassen einer Frist sei versicherungsmässig gedeckt. Schliesslich erkennt die Beschwerdeführerin selbst, dass ihr Dokument zum Werbeauftritt von der Vorinstanz als verspätet eingereicht unbeachtet blieb; inwiefern angeblich erst der erstinstanzliche Entscheid Anlass zur Einreichung gegeben haben könnte, wie sie geltend gemacht haben will, wird in der Beschwerde nicht begründet. Und dass sich die Beschwerdeführerin in ihrer Klage selbst auf die AVB berufen hat, bestreitet sie nicht - es ist in der Beschwerde nicht dargetan, inwiefern die Vorinstanz überspitzt formalistisch geurteilt hätte mit der Feststellung, dass sich die Beschwerdeführerin auf diesen Teil der "Police" berief.
4.3. Die Vorbringen in der Beschwerde erschöpfen sich weitgehend in appellatorischer Kritik. Die anwaltlich vertretene Beschwerdeführerin beanstandet undifferenziert Tatsachenfeststellungen und rechtliche Erörterung des angefochtenen Entscheids, ohne dass sie sich einerseits mit der Argumentation der Vorinstanz auseinandersetzen oder anderseits die Tatsachenfeststellungen als willkürlich rügen würde.
4.4. Die Vorbringen der Beschwerde genügen weitgehend den Anforderungen nicht, welche an die Begründung einer Beschwerde an das Bundesgericht zu stellen sind. Sie vermögen offensichtlich keine Rechtsverletzung auszuweisen.
5.
In der Beschwerde wird schliesslich beanstandet, dass die Vorinstanz den Deckungsausschluss von Ziff. 2 Abs. 10 AVB auf den vorliegenden Fall zur Anwendung brachte, wonach die Haftpflicht für Schäden ausgenommen wird, deren Eintritt der Versicherungsnehmer mit hoher Wahrscheinlichkeit erwarten musste.
5.1. Die Vorinstanz hat mit dem Bezirksgericht geschlossen, dass die Haftpflicht auch für Schäden aus Fristversäumnis ausgeschlossen werden kann, die mit hoher Wahrscheinlichkeit zu erwarten sind. Dies treffe insbesondere auf die in der Lehre mehrfach angeführte vergleichbare Fallkonstellation zu, in welcher der Anwalt seinen Bürobetrieb während der Ferien schliesst, ohne Massnahmen zu treffen, damit in seiner Abwesenheit die Post besorgt und Fristen gewahrt werden. Sie hat die Rüge der Verweigerung des rechtlichen Gehörs in Bezug auf die Urteilsfähigkeit von Rechtsanwalt D._ verworfen und den Schluss bestätigt, dass dieser im Wissen um seine gesundheitliche Beeinträchtigung und die damit verbundenen Spitalaufenthalte keine organisatorischen Massnahmen traf, damit auch in seiner Abwesenheit die laufenden Fristen gewahrt würden.
5.2. Die Beschwerdeführerin setzt sich auch hier mit diesen Erwägungen nicht auseinander, wenn sie davon ausgeht, die Vorinstanz habe angenommen, es seien generell Fristversäumnisse mit hoher Wahrscheinlichkeit zu erwarten. Insoweit sie als willkürlich rügt, es seien keine Beweise darüber abgenommen worden, dass der Rechtsanwalt Massnahmen zur Fristwahrung getroffen hätte, behauptet sie nicht einmal, sie habe entsprechende Beweisanträge gestellt. Nach den Feststellungen der Vorinstanz hat sie Beweise nur zur angeblichen krankheitsbedingten Urteilsunfähigkeit des Anwalts beantragt. Von einer Verletzung des Rechts auf Beweis (Art. 152 ZPO) oder des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV und Art. 53 Abs. 1 ZPO) kann keine Rede sein. Schliesslich hat die Vorinstanz die Forderung ausdrücklich zufolge des vertraglichen Deckungsausschlusses abgewiesen und nicht - wie die Beschwerdeführerin anzunehmen scheint - gestützt auf Art. 14 VVG. Die Ausführungen in der Beschwerde gehen auch hier an der Sache vorbei.
6.
Die Beschwerde in Zivilsachen erfüllt die formellen Anforderungen grösstenteils nicht. Soweit auf die Beschwerde überhaupt eingetreten werden kann, ist sie abzuweisen. Da die Begehren - so wie sie innert gesetzlicher Frist begründet sind - von vornherein aussichtslos sind, fehlen auch die Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (Art. 64 BGG). Die unterliegende Beschwerdeführerin hat die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Da keine Beschwerdeantwort eingeholt wurde und sich die Beschwerdegegnerin zur aufschiebenden Wirkung nicht vernehmen liess, sind ihr keine Kosten erwachsen, so dass keine Parteientschädigung zuzusprechen ist (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. September 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Hug