Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1987 geborene A._ war ab 1. August 2014 bei der Einwohnergemeinde U._ als Primarlehrerin angestellt. Eine am 31. Januar 2017 ausgesprochene Kündigung des Arbeitsverhältnisses widerrief die Einwohnergemeinde mit Schreiben vom 24. Februar 2017, woraufhin das von A._ zwischenzeitlich angestrengte Beschwerdeverfahren beim Regierungsrat als gegenstandslos abgeschrieben wurde (Verfügung des Finanzdepartements vom 30. Mai 2017).
A.b. Am 25. April 2018 kündigte die Einwohnergemeinde unter Hinweis auf die "Vorkommnisse der letzten Jahre" erneut das Arbeitsverhältnis per 31. Juli 2018. A._ reichte daraufhin beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn eine Klage ein wegen missbräuchlicher Kündigung. Am 27. August 2018 schlossen die Parteien anlässlich der Verhandlung vor dem Verwaltungsgericht "auf Empfehlung des Gerichts und ohne Anerkennung einer Rechtspflicht zwecks Beendigung des Streits" einen Vergleich, der unter anderem vorsah, dass die Einwohnergemeinde U._ A._ gestützt auf § 52 Abs. 1 des Gesamtarbeitsvertrages (GAV; BGS 126.3) einen Betrag von Fr. 45'000.- netto bezahlt und dass das Arbeitsverhältnis zwischen den Parteien per 30. September 2018 endet. In der Folge wurde das Klageverfahren mit Entscheid vom 4. September 2018 abgeschrieben.
A.c. Mit Schreiben vom 20. September 2018 bediente A._ die Einwohnergemeinde mit Arztzeugnissen, welche ihr eine Arbeitsunfähigkeit von 100 % ab 1. August 2018 attestierten. Gleichzeitig forderte sie die Einwohnergemeinde zur Lohnfortzahlung ab 1. Oktober 2018 auf. Mit weiteren Schreiben und Arztzeugnissen verlieh sie ihrer Forderung Nachdruck. Die Einwohnergemeinde verweigerte indessen weitere Zahlungen mit Verweis auf den Vergleich vom 27. August 2018.
B.
Am 23. August 2019 reichte A._ beim Verwaltungsgericht eine Klage ein betreffend "Forderung aus Arbeitsvertrag: Lohnfortzahlung bei Krankheit". Sie beantragte, die Einwohnergemeinde sei zu verpflichten, ihr ab 1. Oktober 2018 gemäss § 174 Abs. 1 lit. b GAV Lohnfortzahlung zu leisten. Die Einwohnergemeinde sei zu verpflichten, ihr für den Zeitraum vom 1. Oktober 2018 bis 31. Juli 2019 die aufgelaufene Lohnfortzahlung von Fr. 64'191.50 brutto resp. Fr. 55'685.50 netto, zuzüglich Zins zu 5 % "seit wann rechtens" zu bezahlen. Die Syna Arbeitslosenkasse trat dem Verfahren auf der Seite der Klägerin als Nebenintervenientin bei und stellte ihrerseits ein Leistungsbegehren. Mit Entscheid vom 5. Dezember 2019 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn die Klage ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Einwohnergemeinde sei zu verurteilen, ihr für den Zeitraum vom 1. Oktober 2018 bis 31. Juli 2017 Lohnfortzahlung im Umfang von Fr. 64'191.50 brutto resp. Fr. 55'685.50 netto, zuzüglich Zins zu 5 % "seit wann rechtens", zu bezahlen. Eventualiter sei festzustellen, dass die Einwohnergemeinde ihr ab 1. Oktober 2018 Lohnfortzahlung schulde und die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Syna Arbeitslosenkasse beantragt in verfahrensrechtlicher Hinsicht, sie sei als Nebenintervenientin zuzulassen. Materiellrechtlich stellt sie keine Anträge.
Die Einwohnergemeinde U._ schliesst in ihrer Vernehmlassung auf Abweisung der Beschwerde.
Mit Eingabe vom 29. April 2020 (Postaufgabe) erneuert A._ ihre Rechtsbegehren. Die Einwohnergemeinde hält in ihrer Eingabe vom 19. Mai 2020 (Postaufgabe) ebenfalls an ihrem Antrag fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Die Anwendung des kantonalen Rechts als solchem bildet - abgesehen von den hier nicht gegebenen Fällen gemäss Art. 95 lit. c-e BGG - nicht Beschwerdegrund. Überprüft werden kann insoweit nur, ob der angefochtene Entscheid auf willkürlicher Gesetzesanwendung beruht oder ob das Gesetz oder seine Anwendung sonstwie gegen übergeordnetes Recht verstossen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 60; vgl. auch 138 I 225 E. 3.1 und 3.2 S. 227 f., je mit Hinweisen).
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten, insbesondere der hier geltend gemachten Verletzung des Willkürverbots sowie des Anspruchs auf rechtliches Gehör, gilt eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; zum Ganzen: <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.3. Macht die Beschwerde führende Partei eine Verletzung des Willkürverbots von Art. 9 BV geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich. Sie hat vielmehr anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern dieser offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 1.3 S. 60; <ref-ruling> E. 3 S. 352). Nach der bundesgerichtlichen Praxis liegt Willkür vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwider läuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 3.2.5; <ref-ruling> E. 7.1 S. 51 und 305 E. 4.3 S. 319; <ref-ruling> E. 5.1 S. 22; <ref-ruling> E. 7; je mit Hinweisen).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht Bundesrecht verletzte, indem es einen Lohnfortzahlungsanspruch der Beschwerdeführerin ab 1. Oktober 2018 verneinte.
3.
3.1. Die Vorinstanz erwog, die am 25. April 2018 seitens der Einwohnergemeinde ausgesprochene Kündigung sei nicht fristgerecht und in Verletzung von Verfahrensvorschriften erfolgt. Eine Weiterbeschäftigung sei auch für die Beschwerdeführerin nicht mehr vorstellbar gewesen. Vor diesem Hintergrund sei am 27. August 2018 ein gerichtlicher Vergleich geschlossen worden, in welchem namentlich festgestellt worden sei, dass das Arbeitsverhältnis zwischen den Parteien per 30. September 2018 ende und die Einwohnergemeinde der Beschwerdeführerin somit noch den Lohn für den Monat September 2018 bezahle. Es sei zu bedenken, dass die ordentliche Kündigung bei Lehrkräften grundsätzlich nur auf Ende eines Schuljahres, d.h. per 31. Juli, möglich sei (vgl. § 339 Abs. 1 GAV i.V.m. § 3 Abs. 1 Vollzugsverordnung zum Volksschulgesetz [BGS 413.121.1) und die Kündigungsfrist vier Monate betrage (vgl. § 339 Abs. 3 lit. b GAV). Mit Blick darauf werde deutlich, dass im vorliegenden Fall mittels Vergleichs eine einvernehmliche, individuelle Lösung ausserhalb des Gesetzes zustande gekommen sei. Die Vorinstanz stellte weiter fest, die Parteien hätten sich im Vergleich auch über die anderen strittigen Punkte der Auflösung des Arbeitsverhältnisses im Sinne eines Gesamtpakets geeinigt. Damit stehe fest, dass das Arbeitsverhältnis im gegenseitigen Einvernehmen per 30. September 2018 definitiv aufgelöst worden sei. Dessen sei sich die bereits damals anwaltlich vertretene Beschwerdeführerin bei der Unterzeichnung des Vergleichs bewusst gewesen. Da somit keine Kündigung vorliege, so das kantonale Gericht weiter, könne sich die Beschwerdeführerin auch nicht auf den Kündigungsschutz resp. auf die gesetzliche Sperrfrist (§ 44 GAV) berufen. Weil die Lohnfortzahlungspflicht gemäss Wortlaut von § 174 Abs. 2 GAV am Ende des Arbeitsverhältnisses erlösche, bestehe für die von der Beschwerdeführerin geforderte Lohnfortzahlung für 12 Monate ab Oktober 2018 keine gesetzliche Grundlage. Mit dem Vergleich sei eine angemessene Lösung für beide Parteien gefunden worden. Er sei ausdrücklich "zwecks Beendigung des Streits" geschlossen worden. Darauf sei die Beschwerdeführerin zu behaften. Die Vorinstanz kam zusammenfassend zum Schluss, dass weder eine Kündigung zur Unzeit gemäss § 44 GAV noch eine Lohnfortzahlungspflicht der Einwohnergemeinde gemäss § 174 GAV bestehe.
3.2. Die Beschwerdeführerin rügt eine willkürliche Feststellung des Sachverhalts und eine willkürliche Anwendung von kantonalem Recht. Sie macht im Wesentlichen geltend, das Anstellungsverhältnis sei nicht durch gerichtlichen Vergleich, sondern durch Kündigung beendet worden. Der Vergleich vom 27. August 2018 betreffe einzig die Höhe der "Pönale" wegen missbräuchlicher Kündigung. Da sie in laufender Kündigungsfrist erkrankt sei, habe sie Anspruch auf Lohnfortzahlung. Im Übrigen müsste die Annahme eines Aufhebungsvertrags mit einschneidendem Verzicht ihrerseits auf den Kündigungsschutz ohne entsprechende Gegenleistung der Arbeitgeberin als Gesetzesumgehung angesehen werden.
4.
Mit ihren Vorbringen vermag die Beschwerdeführerin weder eine willkürliche Feststellung des Sachverhalts noch eine willkürliche Anwendung von kantonalem Recht aufzuzeigen. Die Vorinstanz hat vielmehr in Würdigung der gesamten Umstände überzeugend dargelegt, dass sich die Parteien mittels Vergleichs auch über das definitive Ende des Anstellungsverhältnisses geeinigt hatten. Soweit die Beschwerdeführerin vorbringt, sie habe die Kündigung vom 25. April 2018 nicht angefochten, und diese sei demnach auch nicht Gegenstand des Vergleichs gewesen, ist ihr Folgendes entgegenzuhalten: Gemäss den Erwägungen der Vorinstanz hätte eine ordentliche Kündigung bei Lehrkräften erst per 31. Juli 2019 erfolgen können (vgl. E. 3.1 hiervor). Die Beschwerdeführerin ging im Zeitpunkt des Vergleichs ebenfalls davon aus, dass die Kündigung erst auf 31. Juli 2019 ihre Wirkung entfalten würde. Gemäss ihren Ausführungen in ihrer Klage vom 23. August 2019 verzichtete sie aber darauf, eine Weiterbeschäftigung bis zu diesem Zeitpunkt zu verlangen. Im Vergleich vom 27. August 2018 vereinbarten die Parteien sodann, dass das Arbeitsverhältnis zwischen den Parteien per 30. September 2018 ende und die Gemeinde noch den Lohn für diesen Monat bezahle. Daraus hat die Vorinstanz willkürfrei geschlossen, dass die Parteien das Ende des Arbeitsverhältnisses abweichend vom Gesetz einvernehmlich bestimmten. Hinzu kommt, dass die Beschwerdeführerin selber angibt, sie sei im Zeitpunkt des Vergleichs bereits arbeitsunfähig gewesen. Ihr Einwand, wonach der 30. September 2018 als Endtermin des Arbeitsverhältnisses allein deshalb in den Vergleich aufgenommen worden sei, weil die Beschwerdegegnerin bei der Kündigung vom 25. April 2018 die viermonatige Kündigungsfrist sowie die mehrtägige Arbeitsunfähigkeit im Mai nicht berücksichtigt habe, verfängt somit nicht. Es leuchtet im Weiteren nicht ein, weshalb das Ende des Arbeitsverhältnisses in den Vergleich aufgenommen worden sein sollte, wenn sich die Parteien einzig über die "Pönale" in Bezug auf die im Raum stehende missbräuchliche Kündigung hätten einigen wollen. Ferner bestätigt die Beschwerdeführerin selber, sie sei an einer Weiterbeschäftigung nicht interessiert gewesen, was ebenfalls dafür spricht, dass sich die Parteien über das definitive Ende des Arbeitsverhältnisses geeinigt hatten.
Wenn das kantonale Gericht somit in Würdigung der dargelegten Umstände zum Schluss gelangte, dass sich die Parteien mittels Vergleichs auch über die definitive Auflösung des Arbeitsverhältnisses per 30. September 2018 geeinigt hatten, was zur Folge habe, dass sich die Beschwerdeführerin nicht auf den Kündigungsschutz resp. die Sperrfrist von § 44 GAV berufen könne, erscheint dies nicht willkürlich, zumal der Vergleich ausdrücklich "zwecks Beendigung des Streits" geschlossen wurde. Im Weiteren wird in der Beschwerde nicht rechtsgenüglich dargetan (vgl. E. 1.3 hiervor), inwiefern die Vorinstanz in Willkür verfallen sein soll, indem sie trotz der bereits ausgesprochenen ordentlichen Kündigung durch die Beschwerdegegnerin von der grundsätzlichen Zulässigkeit eines Vergleichs auch in Bezug auf die Beendigung des Arbeitsverhältnisses per 30. September 2018 ausging. Daran vermag insbesondere auch die behauptete Gestaltungswirkung der Kündigung nichts zu ändern, zumal sich diese privatrechtliche Sicht jedenfalls nicht ohne Weiteres auf die Kündigung eines Dienstverhältnisses mittels Verwaltungsverfügung übertragen lässt (<ref-ruling> E. 4.7 S. 16).
5.
5.1. Das kantonale Gericht stellte im Weiteren fest, die Beschwerdeführerin habe mit dem Abschluss des Vergleichs vom 27. August 2018 auf den Teil ihres Lohnanspruches verzichtet, der ihr bis zur Vertragsauflösung auf den nächsten gesetzlich möglichen Termin am 31. Juli 2019 zugestanden wäre. Zu bedenken sei indessen, dass sie von der Beschwerdegegnerin eine Entschädigung von Fr. 45'000.- netto erhalten habe, was etwas mehr als acht Netto-Monatslöhnen entspreche. Gesetzlich sei bei missbräuchlicher Kündigung eine Entschädigung von mindestens sechs Monatslöhnen und höchstens einem Jahreslohn vorgesehen (§ 52 Abs. 1 GAV). Damit bewege sich die Entschädigung im mittleren Rahmen. Die Vorinstanz kam zum Schluss, dass mit dem gerichtlichen Vergleich eine angemessene Lösung für beide Parteien gefunden worden sei. Es gehe nicht an, die einvernehmlich geregelte Auflösung des Arbeitsverhältnisses ein Jahr nach Vergleichsabschluss nicht mehr gelten lassen und mit einem um mehrere Wochen rückwirkenden Arztzeugnis eine Lohnfortzahlungspflicht der Beschwerdegegnerin begründen zu wollen.
5.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, es fehle vorliegend an einer Konzession von Seiten der Arbeitgeberin resp. eine Entschädigung für den Verzicht der Arbeitnehmerin auf den Kündigungsschutz in Form der Sperrfristwirkung bestehend aus Verlängerung der Kündigungsfrist und auf die Lohnfortzahlung für diesen Fall. Bei der Entschädigung nach § 52 GAV handle es sich jedenfalls nicht um ein Entgegenkommen der Beschwerdegegnerin, sondern um eine "Pönale" wegen missbräuchlicher Kündigung. Eine Aufhebungsvereinbarung wäre demnach gemäss Lehre und Rechtsprechung als ungültige Gesetzesumgehung anzusehen. Indem die Vorinstanz den kantonalen Bestimmungen über den Kündigungsschutz resp. über die Sperrfrist und die Lohnfortzahlungspflicht die Anwendung versage, handle sie willkürlich.
5.3. Die Beschwerdeführerin beruft sich hierbei auf die zivilrechtliche Rechtsprechung zur Gültigkeit von Aufhebungsvereinbarungen im Lichte von Art. 341 Abs. 1 OR. Danach müssen beide Parteien Konzessionen machen, damit es sich um einen echten Vergleich handelt, mit gegenseitigem Nachgeben, der nicht nur dem Arbeitgeber Vorteile bringt (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 61). Die Beschwerdeführerin legt indessen nicht dar, weshalb diese Praxis vorliegend - wo die Anwendung von kantonalem Recht zur Diskussion steht - einschlägig sein soll. Soweit sie in ihrer Replik geltend macht, die erwähnte Rechtsprechung sei auch im öffentlich-rechtlichen Arbeitsverhältnis anwendbar, genügt sie damit der Begründungspflicht nicht (vgl. E. 1.2 hiervor). Vor allem aber hat die Vorinstanz willkürfrei festgestellt, dass es sich beim Vergleich vom 27. August 2018 um eine angemessene Lösung für beide Parteien handle. Es ist zwar nicht von der Hand zu weisen, dass der Vergleich erhebliche Zugeständnisse seitens der Beschwerdeführerin beinhaltet. Auf der anderen Seite ist aber auch zu berücksichtigen, dass die Beschwerdeführerin offenbar ebenfalls grosses Interesse an einer Auflösung des Arbeitsverhältnisses per 30. September 2018 hatte. Entsprechend wollte sie vor Gericht einzig noch eine Entschädigung wegen missbräuchlicher Kündigung erstreiten. Während des Klageverfahrens kam es zum erwähnten Vergleich. Danach bezahlt die Einwohnergemeinde der Beschwerdeführerin gestützt auf § 52 Abs. 1 GAV einen Betrag von Fr. 45'000.- netto, was nach den verbindlichen (vgl. E. 1.2 hiervor) Feststellungen der Vorinstanz etwas mehr als acht Nettomonatslöhnen entspricht. Wenn das kantonale Gericht diesen Betrag bei der Prüfung der Angemessenheit des Vergleichs berücksichtigte, so erscheint dies nicht willkürlich. Denn entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin wurde die Frage der Missbräuchlichkeit der Kündigung vom Gericht aufgrund des zwischen den Parteien abgeschlossenen Vergleichs - ungeachtet des darin enthaltenen Hinweises auf § 52 Abs. 1 GAV - gar nicht beurteilt.
6.
6.1. Da sich die Beschwerdeführerin nach dem Gesagten nicht auf eine Sperrfrist berufen kann, und die Lohnfortzahlungspflicht gemäss Wortlaut von § 174 Abs. 2 GAV am Ende des Anstellungsverhältnisses erlöscht, ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz eine Lohnfortzahlungspflicht der Beschwerdegegnerin ab 1. Oktober 2018 verneinte. Darin kann jedenfalls keine willkürliche Anwendung von kantonalem Recht erblickt werden.
6.2. Unter dem Gesichtspunkt der Willkür (Urteile 8C_75/2019 vom 17. Mai 2019 E. 6.4.2; 8C_585/2016 vom 31. Oktober 2016 E. 4.2) ist ferner nicht ersichtlich, inwieweit das kantonale Gericht im Rahmen der Anwendung kantonalen Rechts Art. 5 Abs. 3 BV verletzt haben könnte.
7.
Zusammenfassend ist die Beschwerde unbegründet und abzuweisen.
8.
Das Verfahren ist kostenpflichtig. Die unterliegende Beschwerdeführerin hat die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Was die Syna Arbeitslosenkasse anbelangt, fällt sie zwar als andere (oder übrige) Beteiligte im Sinne von Art. 102 Abs. 1 BGG in Betracht; da sie sich indessen im vorliegenden Verfahren nicht wie eine Partei verhalten hat, sind ihr keine Kosten aufzuerlegen (vgl. Urteil 2C_64+65/2013 vom 26. September 2014 E. 4.2.2). Die Einwohnergemeinde U._ hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da sie im Rahmen ihres amtlichen Wirkungskreises tätig war (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Syna Arbeitslosenkasse und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. Juni 2020
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Wüest