Sachverhalt:
A.
Am 27. August 2013 (bzw. 31. Oktober 2018) ersuchte die indische Steuerverwaltung (Ministry of Finance; MoF) die Eidgenössische Steuerverwaltung (ESTV) gestützt auf Art. 26 des Abkommens vom 2. November 1994 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und der Republik Indien zur Vermeidung der Doppelbesteuerung auf dem Gebiet der Steuern vom Einkommen (DBA CH-IN; SR 0.672.942.31; anwendbar ist hier die Fassung gemäss Änderungsprotokoll vom 30. August 2010 [Protokoll 2010 zum DBA CH-IN, AS 2011 4617]) um die amtshilfeweise Übermittlung verschiedener näher bezeichneter Informationen zu A.A._ und B.A._. Das Amtshilfeersuchen steht im Zusammenhang mit Kontenbeziehungen, die A.A._ und B.A._ zur Bank C._ SA unterhalten sollen; es bezweckt die Festsetzung der Einkommenssteuern für die Steuerjahre 2011 und 2012.
B.
Mit Schlussverfügungen vom 20. August 2019 erklärte die ESTV, der indischen Steuerverwaltung für die Zeit zwischen dem 1. April 2011 und dem 31. März 2012 die anbegehrte Amtshilfe leisten zu wollen; zur Übermittlung vorgesehen waren namentlich Dokumente zu Konten, die indirekt von zwei Trusts gehalten wurden, für die A.A._ und B.A._ bei der Bank als "beneficiaries" verzeichnet waren.
Das Bundesverwaltungsgericht vereinigte die von A.A._ und B.A._ gegen die Schlussverfügungen erhobenen Beschwerden mit Urteil vom 27. Oktober 2020 (Dispositivziffer 1). Inhaltlich hiess es die Beschwerden teilweise gut und wies die ESTV im Sinne der Erwägungen an, dem indischen Ministry of Finance (nur) insoweit Amtshilfe zu leisten, als bekannt zu geben sei, um welche Art von Trusts es sich beim "D._" und beim "E._" handle, dass A.A._ und B.A._ als "Beneficiaries" dieser Trusts aufgeführt seien und dass sie im gesuchsbetroffenen Zeitraum keine Ausschüttungen von diesen Trusts erhalten hätten; im Übrigen wies es die Beschwerde ab (Dispositivziffer 2). Weiter hielt das Bundesverwaltungsgericht die ESTV an, das indische Ministry of Finance darauf hinzuweisen, dass die im Rahmen des vorliegenden Amtshilfeverfahrens zu übermittelnden Informationen nur gemäss Art. 26 Abs. 2 DBA CH-IN in Verfahren betreffend A.A._ und B.A._ verwendet werden dürften (Dispositivziffer 3).
C.
C.a. Die ESTV ficht das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 27. Oktober 2020 mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 9. November 2020 beim Bundesgericht an. Sie beantragt die Aufhebung von Dispositivziffer 2 des Urteils, soweit damit die Beschwerde vom 19. September 2019 gutgeheissen worden sei; die Schlussverfügungen vom 20. August 2019 seien mit Ausnahme der (bundesverwaltungsgerichtlichen) Anweisung auf Präzisierung (Dispositivziffer 3 des angefochtenen Urteils) zu bestätigen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Bundesverwaltungsgericht zurückzuweisen.
C.b. A.A._ und B.A._ beantragen, auf die Beschwerde der ESTV sei nicht einzutreten, eventualiter sei die Beschwerde abzuweisen, subeventualiter sei das Verfahren zur Neubeurteilung an die ESTV zurückzuweisen, subsubeventualiter seien die "Client Profiles (xxx, yyy und zzz) vor Übermittlung der Informationen an das Ministry of Finance auszusondern.
Prozessual wird um Vereinigung des vorliegenden Verfahrens mit dem Beschwerdeverfahren 2C_929/2020 ersucht. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf inhaltliche Stellungnahme.
C.c. Die ESTV hält mit Replik vom 23. Dezember 2020 an ihren Beschwerdeanträgen fest. Von einer vom Bundesgericht am 4. Januar 2021 angesetzten Frist zur Einreichung einer weiteren Stellungnahme machen A.A._ und B.A._ keinen Gebrauch.
D.
Mit Urteil 2C_929/2020 vom 20. November 2020 ist das Bundesgericht auf eine von A.A._ und B.A._ gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 27. Oktober 2020 erhobene Beschwerde nicht eingetreten.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (vgl. <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1).
1.1. Die frist- (<ref-law>) und formgerecht (<ref-law>) eingereichte Beschwerde der ESTV betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>) auf dem Gebiet der internationalen Amtshilfe in Steuersachen (<ref-law>; <ref-law>) und richtet sich gegen ein verfahrensabschliessendes (<ref-law>) Urteil des Bundesverwaltungsgerichts (<ref-law>). Die ESTV ist zur Erhebung des Rechtsmittels legitimiert (<ref-law>; vgl. Urteile 2C_703/2020 vom 15. März 2021 E. 1.1; 2C_1174/2014 vom 24. September 2015 E. 1.3, nicht publ. in: <ref-ruling>).
1.2. <ref-law> sieht vor, dass die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht gegen Entscheide auf dem Gebiet der internationalen Amtshilfe mit Ausnahme der Amtshilfe in Steuersachen unzulässig ist. Gegen einen Entscheid auf dem Gebiet der internationalen Amtshilfe in Steuersachen ist die Beschwerde gemäss <ref-law> zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt oder wenn es sich aus anderen Gründen um einen besonders bedeutenden Fall im Sinne von <ref-law> handelt. Die beschwerdeführende Partei hat in der Begründung darzulegen, warum die jeweilige Voraussetzung erfüllt ist, es sei denn, dies treffe ganz offensichtlich zu (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.2.1; <ref-ruling> E. 3).
1.2.1. Die ESTV wirft vorliegend die Frage auf, "ob und in welchem Umfang die Übermittlung von Bankinformationen im Zusammenhang mit einer betroffenen Person in Anwendung von Art. 26 DBA CH-IN zulässig ist, wenn eine Gesellschaft für einen Trust Inhaberin der Kontobeziehung ist und die amtshilfebetroffene Person Beneficiary des Trusts ist".
Nach Auffassung der ESTV kommt dieser Frage grundsätzlicher Charakter zu, weil sie vom Bundesgericht nie geklärt worden sei und ihre Beantwortung durch das Bundesgericht für die Praxis wegleitend sein könne. Bei der ESTV würden häufig Auskunftsersuchen eingereicht, die Konstellationen wie die hier vorliegende zum Gegenstand hätten. Derzeit seien insbesondere im indischen Kontext verschiedene gleichartige Fälle pendent. Sodann laufe das angefochtene Urteil der ständigen bundesgerichtlichen Rechtsprechung zuwider, wonach es nicht Aufgabe des ersuchten Staates sei, über eine Plausibilitätsprüfung hinausgehend die Rechtmässigkeit des im Ausland durchgeführten Steuerverfahrens zu prüfen oder etwaige verfahrensrechtliche Hindernisse zu berücksichtigen, die nach dem nationalen Recht des ersuchenden Staates die Verwendung der erhaltenen Informationen verhindern würden; das Bundesverwaltungsgericht verkenne namentlich, dass es im Rahmen eines Amtshilfeverfahrens nicht Aufgabe des ersuchten Staates sei, eine Qualifikation von Trusts vorzunehmen und über mögliche steuerrechtliche Folgen einer solchen Qualifikation zu befinden. Schliesslich führe das angefochtene Urteil zu Unsicherheit, weil es in Widerspruch stehe zu anderen Urteilen. Namentlich sei im Urteil des BVGer A-2872/2015 vom 4. März 2016 festgehalten worden, dass die Form eines Trusts und das Verhältnis der betroffenen Personen zu diesem Trust nicht durch den ersuchten Staat zu analysieren seien, sondern durch den ersuchenden Staat; das daraufhin angerufene Bundesgericht habe diese Konzeption in seinem Nichteintretensentscheid vom 2C_274/2016 vom 7. April 2016 bestätigt. Insofern widerspreche das angefochtene Urteil auch bundesgerichtlicher Rechtsprechung, womit per se eine Grundsatzfrage vorliege.
1.2.2. Die Beschwerdegegner halten dem entgegen, die von der ESTV für sich in Anspruch genommene Rechtsprechung sei mittlerweile überholt. Im Urteil A-4153/2017 vom 11. Oktober 2018 habe das Bundesverwaltungsgericht zur Prüfung der Frage, ob der Beschwerdeführer am konkret in Frage stehenden Trust wirtschaftlich berechtigt sei, eine minutiöse Analyse vorgenommen; das Bundesgericht habe in seinem Nichteintretensentscheid 2C_955/2018 vom 2. November 2018 sodann bestätigt, dass auch eine derart minutiöse Analyse mit der Vorgabe einer reinen Plausibilitätskontrolle zu vereinbaren sei. Damit liege im angefochtenen Urteil kein Widerspruch zu früher ergangenen Entscheiden begründet.
1.2.3. Den Beschwerdegegnern kann nicht gefolgt werden. Im Urteil 2C_274/2016 vom 7. April 2016 hat das Bundesgericht ausdrücklich festgehalten, dass die Rechtsnatur eines Trusts eine materielle Frage ist, die einer Prüfung durch die ersuchte Behörde im Rahmen eines Amtshilfeverfahrens im Grundsatz nicht zugänglich sei (a.a.O., E. 4.3: "L'analyse des caractéristiques juridiques du Trust constitue une question de fond qui devra être tranchée par les autorités française et qui n'a pas à être traitée par les autorités suisses dans le contexte de l'assistance administrative."). Von dieser Rechtsprechung weicht die Vorinstanz im angefochtenen Urteil ab. Allein schon deshalb liegt eine Frage von grundsätzlicher Bedeutung vor (vgl. Urteile 2C_716/2020 vom 18. Mai 2021 E. 1.2.1; 2C_712/2019 vom 1. September 2019 E. 2.1, m.w.H.). In dem von den Beschwerdegegnern angeführten Urteil 2C_955/2018 vom 2. November 2018 hat das Bundesgericht im Übrigen lediglich auf seine konstante Rechtsprechung bezüglich der Voraussetzung der voraussichtlichen Erheblichkeit der anbegehrten Informationen Bezug genommen (vgl. statt vieler <ref-ruling> E. 1.1.2; <ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 2.1.1) und diese inhaltlich bestätigt (vgl. Urteil 2C_955/2018 vom 2. November 2018 E. 5.1.1). Insofern kann nicht die Rede davon sein, dass das Bundesgericht irgendeine Praxisänderung des Bundesverwaltungsgerichts bestätigt hätte. Mit der ESTV ist demnach davon auszugehen, dass vorliegend eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung zur Debatte steht.
1.3. Damit sind sämtliche Eintretensvoraussetzungen erfüllt. Auf die Beschwerde der ESTV ist einzutreten.
2.
Nachdem das Bundesgericht im Beschwerdeverfahren 2C_929/2020 einen Nichteintretensentscheid erlassen hat, fällt eine Vereinigung des vorliegenden Verfahrens mit jenem Verfahren ausser Betracht. Der entsprechende Antrag der Beschwerdegegner ist als gegenstandslos geworden abzuschreiben.
3.
Mit der Beschwerde kann namentlich die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), wobei es - unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>) - grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen prüft, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.5; <ref-ruling> E. 1.4.1).
4.
Zu beurteilen ist vorliegend die Konstellation, dass ein ausländischer Staat um Amtshilfe bezüglich einer natürlichen Personen ersucht, die "Beneficiary" eines Trusts ist, für den eine Gesellschaft ("underlying company") bei einer schweizerischen Bank ein Konto hält. Umstritten und zu klären ist in diesem Zusammenhang insbesondere die Rechtsfrage, ob und in welchem Umfang Bankinformationen, die sich auf dieses Konto beziehen, voraussichtlich erheblich sein können.
4.1. Nach Art. 26 Ziff. 1 DBA CH-IN tauschen die zuständigen Behörden der Vertragsstaaten die Informationen aus, die zur Durchführung des Abkommens oder zur Anwendung oder Durchsetzung des innerstaatlichen Rechts betreffend die unter das Abkommen fallenden Steuern voraussichtlich erheblich sind, soweit die diesem Recht entsprechende Besteuerung nicht dem Abkommen widerspricht. Die Bezugnahme auf Informationen, die voraussichtlich erheblich sind, bezweckt nach Ziff. 10 lit. d des Protokolls zum DBA CH-IN einen möglichst weit gehenden Informationsaustausch in Steuerbelangen, ohne es den Vertragsstaaten zu erlauben, "fishing expeditions" zu betreiben oder Informationen anzufordern, deren Erheblichkeit hinsichtlich der Steuerbelange einer steuerpflichtigen Person unwahrscheinlich ist (vgl. auch <ref-ruling> E. 6.1.1; <ref-ruling> E. 3.3.1; <ref-ruling> E. 2.1.1; <ref-ruling> E. 4.4.3; Urteil 2C_542/2018 vom 10. März 2021 E. 4.1.1).
4.2. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist die hier vorrangig interessierende Voraussetzung der voraussichtlichen Erheblichkeit erfüllt, wenn im Zeitpunkt der Gesuchstellung eine vernünftige Möglichkeit besteht, dass sich die angefragten Angaben als erheblich erweisen werden für die Besteuerung bezüglich welcher Amtshilfe verlangt wird (vgl. <ref-ruling> E. 6.1.1; <ref-ruling> E. 3.3.1; <ref-ruling> E. 2.1.1; <ref-ruling> E. 4.4.3; spezifisch zum sog. Spezialitätsprinzip Urteil 2C_750/2020 vom 25. März 2021 E. 8.1, m.w.H.). Dem "voraussichtlich" kommt eine doppelte Bedeutung zu: Der ersuchende Staat muss die Erheblichkeit voraussehen und im Amtshilfeersuchen geltend machen und der ersuchte Staat muss nur solche Unterlagen übermitteln, die voraussichtlich erheblich sind (vgl. Urteil 2C_616/2018 vom 9. Juli 2019 E. 3.2). Die ersuchte Steuerbehörde hat nicht zu entscheiden, ob der im Amtshilfegesuch dargestellte Sachverhalt gänzlich der Realität entspricht, sondern muss nur überprüfen, ob die ersuchten Informationen einen Bezug zu diesem Sachverhalt haben; Auskünfte können nur verweigert werden (vgl. auch <ref-law>), wenn ein Zusammenhang zwischen den verlangten Angaben und der Untersuchung wenig wahrscheinlich erscheint, denn in der Regel kann nur der ersuchende Staat abschliessend feststellen, ob eine Information erheblich ist. Die Rolle der Behörden des ersuchten Staates beschränkt sich mithin im Wesentlichen auf die Prüfung der Plausibilität des Ersuchens; zu prüfen hat er nur, ob die anbegehrten Dokumente einen Konnex zu dem im Ersuchen umschrieben Sachverhalt aufweisen und ob sie im Rahmen des ausländischen Steuerverfahrens potenziell Verwendung finden können (vgl. Urteil 2C_703/2020 vom 15. März 2021 E. 4.2.2, m.w.H.).
4.3. Ob eine über das Amtshilfeverfahren erlangte Information im ausländischen Steuerverfahren tatsächlich von Bedeutung ist, hängt im Wesentlichen vom Steuer (verfahrens) recht des ersuchenden Staates ab. Dies bedeutet freilich nach ständiger bundesgerichtlicher Rechtsprechung nicht, dass sich der ersuchte Staat im Rahmen des Amtshilfeverfahrens zum internen (Verfahrens) recht des ersuchenden Staates zu äussern hätte. Für die voraussichtliche Erheblichkeit reicht vielmehr aus, dass die ersuchten Informationen für eine Verwendung im ausländischen Verfahren als potenziell geeignet erscheinen (vgl. <ref-ruling> E. 4.3; Urteile 2C_232/2020 vom 19. Januar 2021 E. 3.4; 2C_1162/2016 vom 4. Oktober 2017 E. 6.3; 2C_241/2016 vom 7. April 2017 E. 5.4). Soweit das nationale Verfahrensrecht des ersuchenden Staates einer Verwertung der im Amtshilfeverfahren ersuchten Informationen entgegensteht, hat die betroffene Person dies im Prinzip vor den Behörden des ersuchenden Staates geltend zu machen (<ref-ruling> E. 4.6; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.6 und 3.7; Urteil 2C_241/2016 vom 7. April 2017 E. 5.4). Anders liegen die Dinge nur dann, wenn Gründe für die Annahme bestehen, dass im ausländischen Verfahren elementare Verfahrensgrundsätze verletzt werden könnten bzw. anderweitig schwere Mängel bestünden (vgl. Urteil 2C_241/2016 vom 7. April 2017 E. 5.4 in fine; vgl. für einen Anwendungsfall Urteil 2C_750/2020 vom 25. März 2021).
4.4. Die Vorinstanz erwog, in einer Konstellation wie der vorliegenden komme es für die Frage der voraussichtlichen Erheblichkeit von Bankinformationen darauf an, ob ein widerruflicher (revocable) Trust vorliege, bei dem der Settlor den Zugriff auf das Trustvermögen behalte, oder ob man es mit einem unwiderruflichen (irrevocable) Trust zu tun habe. Im Falle eines "irrevocable" Trust sei weiter zu unterscheiden zwischen nicht-diskretionären Trusts ("irrevocable fixed interest Trust") und diskretionären Trusts ("irrevocable discretionary Trust"). Beim diskretionären Trust könnten die Begünstigten vom Trustee - anders als beim irrevocable fixed interest Trust - keinen festen Anspruch auf Zahlung oder Kapitalanteile des Trusts geltend machen. Der Trustee habe völlige Freiheit in der Wahl der Personen und der Höhe seiner Ausschüttungen, obwohl die Ausschüttungen in der Regel an einen (vor) bestimmten Personenkreis erfolgten. Die Begünstigten hätten also nur eine Erwartung, eine Art zukünftiges und ungewisses Interesse, das sich durch die Ausübung der dem Trustee übertragenen Befugnisse manifestiere. Darüber hinaus hätten sie keinen Anspruch auf das Trustvermögen oder einen Anspruch auf Zuteilung von Trustvermögen gegenüber dem Trustee. Demnach liege bei der Errichtung eines unwiderruflichen diskretionären Trusts noch keine direkte Bereicherung der Begünstigen vor (E. 2.8 des angefochtenen Urteils); zu einer solchen Bereicherung komme es erst bei einer allfälligen Ausschüttung (E. 3.7.3 des angefochtenen Urteils).
Im vorliegenden Fall anerkenne die ESTV ausdrücklich, dass es sich beim "E._" und beim "D._" um unwiderrufliche diskretionäre Trusts handle (E. 3.7.2 des angefochtenen Urteils). Ausschüttungen an die Beschwerdegegner seien nicht ersichtlich (E. 3.7.3 des angefochtenen Urteils). Voraussichtlich erheblich (und dem indischen Ministry of Finance mitzuteilen) sei damit nur, welche Art von Trust vorliege (irrevocable discretionary Trust; Information 1), der Namen der Beschwerdegegner als Beneficiaries der fraglichen Trusts (Information 2) sowie die Feststellung, dass in der fraglichen Zeit keine Ausschüttungen an die Beschwerdegegner erfolgt seien (Information 3). Inwiefern weitere bzw. die restlichen zur Übermittlung vorgesehenen Bankinformationen als "voraussichtlich erheblich" für die im Ersuchen geschilderte Einkommensveranlagung der Beschwerdegegner sein könnten, erschliesse sich dem Bundesverwaltungsgericht jedoch nicht.
4.5. Wie die ESTV zutreffend vorbringt, ist die Würdigung der Vorinstanz mit der Rechtsprechung des Bundesgerichts nicht zu vereinbaren.
4.5.1. Auszugehen ist vorliegend von der Darstellung des indischen Ministry of Finance, wonach eine wirtschaftliche Verbindung zwischen den Beschwerdegegnern und Konten bei der Bank C._ SA bestehe (vgl. Bst. A hiervor). Die Unterlagen, welche die ESTV dem indischen Ministry of Finance herausgeben möchte, beziehen sich auf Konti, für welche die Beschwerdegegner bei der Bank C._ SA als wirtschaftliche Berechtigte verzeichnet sind. Der Umstand, dass die betreffenden Konti von der "underlying company" zweier Trusts gehalten werden, womit es sich bei den betreffenden Unterlagen im Prinzip um Informationen über Dritte handelt, steht einer Übermittlung im Rahmen des vorliegenden Amtshilfeverfahrens vor diesem Hintergrund nicht entgegen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4 und 4.3; Urteil 2C_287/2019 und 2C_288/2019 vom 13. Juli 2020 E. 4.1 und 5.3). Hinzuweisen ist, dass der "E._" und der "D._" sich am vorliegenden Verfahren nicht beteiligt haben und die Beschwerdegegner nicht dazu legitimiert sind, deren Interessen durchzusetzen (vgl. Urteil 2C_1037/2019 vom 27. August 2020 E. 6.2, nicht publ. in: <ref-ruling>).
4.5.2. Soweit die Vorinstanz die Qualifikation des "E._" und des "D._" als "irrevocable discretionary trusts" (vgl. E. 4.4 hiervor) auf die schweizerische Rechtsordnung beziehen sollte, was aufgrund ihres Hinweises auf eine Publikation zum Umgang mit Trusts in der schweizerischen Rechtsordnung (vgl. GUILLAUME GRISEL, Le trust en Suisse, 2020) naheliegt, zielt ihre Qualifikation ins Leere, zumal für die Frage der (steuerrechtlichen) Behandlung dieser Trusts in Indien nicht schweizerisches, sondern indisches Recht anzuwenden sein wird. Sollte die Vorinstanz hingegen davon ausgehen, dass es sich bei den vorliegend interessierenden Trusts auch nach indischem Recht um "irrevocable discretionary Trusts" handelt und dass das Vermögen der Trusts den Beschwerdegegnern steuerlich nicht direkt zugerechnet werden kann, solange keine Ausschüttungen erfolgt sind, nimmt sie eine inhaltliche Würdigung vor, die alleine den indischen Behörden zusteht (vgl. <ref-ruling> E. 4.3; Urteile 2C_141/2018 vom 24. Juli 2020 E. 7.7.1; 2C_616/2018 vom 9. Juli 2019 E. 3.6.2; 2C_274/2016 vom 7. April 2016 E. 4.3). Aus demselben Grund kann der Vorinstanz auch nicht gefolgt werden, wenn sie darlegt, dass "nachweislich keine (einkommenssteuerrelevanten) Ausschüttungen" an die Beschwerdegegner vorgenommen worden seien (vgl. E. 3.7.4 des angefochtenen Urteils); auch die Frage der einkommenssteuerrechtlichen Relevanz beurteilt sich alleine nach indischem Recht. Soweit im Übrigen die Qualifikation der Truststrukturen einer Überprüfung durch das Bundesverwaltungsgericht überhaupt zugänglich gewesen wäre, wäre dies eine Rechtsfrage gewesen, der die Vorinstanz ungeachtet der (vermeintlichen) Zustimmung der ESTV (vgl. Beschwerde, Rz. 28 ff.) von Amtes wegen hätte nachgehen müssen.
4.5.3. Weiter ist darauf hinzuweisen, dass es den Rahmen einer Plausibilitätsprüfung (vgl. E. 4.2 hiervor) klarerweise sprengen würde, wenn von der ESTV als ersuchter Behörde verlangt würde, dass sie in Konstellationen wie der vorliegenden mit Blick auf die voraussichtliche Erheblichkeit der ersuchten Informationen für das ausländische Steuerverfahren prüfen müsste, wie Trusts in der Rechtsordnung des ersuchenden Staates steuerrechtlich behandelt werden (vgl. Urteil 2C_936/2020 vom 28. Dezember 2021 E. 5.5.3). Dasselbe gilt für die Frage, wie und bei wem Mittelzuflüsse und Mittelabflüsse eines von einem Trust (indirekt) gehaltenen Kontos steuerrechtlich zu erfassen sind. Würde die ESTV als ersuchte Behörde derartige Fragen abklären, würde sie dem Steuerverfahren im ersuchenden Staat vorgreifen, was mit dem Zweck des Amtshilfeverfahrens nicht zu vereinbaren wäre (vgl. auch Urteil 2C_823/2020 vom 13. Oktober 2020 E. 4.2). Entgegen den Ausführungen der Beschwerdegegner im vorliegenden Verfahren war die ESTV vor diesem Hintergrund nicht gehalten, die "trust deed" des "E._" und des "D._" zu edieren, um deren Rechtsnatur näher abzuklären.
4.5.4. In der Lehre wird vereinzelt die Position vertreten, es sei nicht gänzlich ausgeschlossen, dass in einem Amtshilfeverfahren unter Hinweis auf Bestimmungen des Rechts des ersuchenden Staates auf die fehlende voraussichtliche Erheblichkeit einverlangter Informationen geschlossen wird (vgl. ANDREA OPEL, in: Zweifel/Beusch/Oesterhelt [Hrsg.], Amtshilfe, 2020, § 3 N. 126 [Beispiel der Verjährung]). Wie es sich damit verhält, kann vorliegend offen bleiben. In einer Konstellation wie der vorliegenden, in welcher zu diesem Zweck eingehende materielle Abklärungen zum indischen Recht vorzunehmen wären (vgl. E. 4.5.2 hiervor) und insofern der Rahmen einer Plausibilitätsprüfung klarerweise gesprengt würde (vgl. E. 4.5.3 hiervor), fällt dies nämlich klarerweise ausser Betracht. Auch ist es nicht Sache der ESTV, sich mit der Rechtsprechung des indischen Supreme Courts auseinanderzusetzen bzw. dessen Erwägungen zu interpretieren. Insofern ist nicht von Belang, dass dieses Gericht nach Darstellung der Beschwerdegegner entschieden hat, dass unwiderrufliche diskretionäre Trusts ihren Begünstigten einkommenssteuerrechtlich nicht anzurechnen seien, solange keine Auszahlungen an sie erfolgt seien. Sollte sich die Rechtslage in Indien wirklich so gestalten wie von den Beschwerdegegnern vorgebracht, und würde es sich beim "D._" und beim "E._" tatsächlich (und auch aus Sicht der indischen Behörden) um "irrevocable discretionary trusts" handeln, wäre dem von den indischen Steuerbehörden Rechnung zu tragen.
4.6. Mit der ESTV ist demnach davon auszugehen, dass grundsätzlich sämtliche von der Bank C._ AG edierten Dokumente (und insbesondere auch die Portfolio- und Account-Statements) voraussichtlich erheblich sind. Wie es sich diesbezüglich mit den "Client Profiles" verhält, ist nachfolgend noch aufzugreifen (vgl. E. 5.2 hiernach).
5.
Die Beschwerdegegner tragen verschiedene Argumente vor, die einer Amtshilfeleistung im vorliegenden Fall generell und daher auch der Übermittlung der (von der vorliegenden Beschwerde erfassten) Bankdokumente entgegenstehen sollen.
5.1. Zunächst bringen die Beschwerdegegner vor, dass das indische Ministry of Finance in seinen Amtshilfeersuchen offensichtlich nicht um Informationen zu Konten ersucht, welche indirekt von Trusts gehalten würden, deren Begünstigte die Beschwerdegegner seien. Die Ersuchen hätten sich vielmehr auf Konten bezogen, für welche die Beschwerdegegner entweder als Kontoinhaber, wirtschaftlich Begünstigte oder Zeichnungsberechtigte auftreten würden.
Das Amtshilfeersuchen des indischen Ministry of Finance zielte gemäss den Feststellungen der Vorinstanz darauf ab, den Verdacht abzuklären, dass die Beschwerdegegner bei der Bank C._ SA ein (von einem "Well-Wisher") eröffnetes Konto hielten. Im Schreiben vom 31. Oktober 2018 wies das Ministry of Finance überdies ausdrücklich darauf hin, dass vom Ersuchen auch der Fall erfasst sei, dass die Beschwerdegegner "beneficial owners" von Konten bei der Bank C._ SA seien (vgl. Bst. C des angefochtenen Urteils). Bei der Bank C._ SA sind die Beschwerdegegner als Beneficiaries des "E._" und des "D._" verzeichnet (vgl. E. 3.7.4 des angefochtenen Urteils). Die Fragen der wirtschaftlichen Berechtigung bzw. der steuerrechtlichen Zurechnung der auf den Bank C._ SA-Konten deponierten Vermögen und der einkommenssteuerrechtlichen Relevanz allfälliger Ausschüttungen von diesen Konten sind Gegenstand des indischen Steuerverfahrens und hier nicht näher zu prüfen (vgl. E. 4.5.3 hiervor). Vor diesem Hintergrund sind die hier interessierenden Konten vom Amtshilfeersuchen des indischen Ministry of Finance klarerweise erfasst.
5.2. Sodann bringen die Beschwerdegegner vor, dass die Client Profiles xxx, yyy und zzz auszusondern seien. Die darin wiedergegebenen Informationen seien mehrheitlich vergangenheitsbezogen und gäben lediglich Erwartungen über allfällig zukünftige Eingänge wieder. Die Client Profiles liessen folglich keine Rückschlüsse auf die Einkommens- und Vermögensverhältnisse der betroffenen Personen zu; ihnen mangle es an der voraussichtlichen Erheblichkeit.
Mit der Frage der voraussichtlichen Erheblichkeit von "Client Profiles" (ebenfalls der Bank C._ SA) hat sich das Bundesgericht in einem kürzlich ergangenen Urteil auseinandergesetzt (vgl. Urteil 2C_703/2020 vom 15. März 2021). Dabei hat es erwogen, dass die "Client Profiles" Rückschlüsse auf die Verhältnisse und Beziehungen zwischen den wirtschaftlich berechtigten Personen zulassen würden. Diese Informationen seien als Bestandteil der Abklärungen zur wirtschaftlichen Berechtigung im Rahmen der Bankkontoeröffnung durch die Bank für sämtliche Steuerjahre ab 2011 relevant (a.a.O., E. 7.4.3). Dasselbe gilt auch für den vorliegenden Fall. Den "Client Profiles" kommt damit entgegen der Auffassung der Beschwerdegegner voraussichtliche Erheblichkeit zu.
5.3. Sodann bringen die Beschwerdegegner vor, dass die vorliegenden Amtshilfeersuchen gegen den völkerrechtlichen Grundsatz von Treu und Glauben verstiessen. Das vorliegende Amtshilfeersuchen beruhe auf gestohlenen Daten. Wie aus einer internen Notiz der ESTV hervorgehe, habe Indien vor diesem Hintergrund unter anderem für den vorliegenden Fall die Zusicherung abgegeben, erst nach der geplanten Revision von <ref-law> wieder ein Amtshilfeersuchen zu stellen. Diese Revision sei nie erfolgt.
Die von den Beschwerdegegnern aufgeworfene Frage beschäftigte das Bundesgericht in einem kürzlich entschiedenen Verfahren (vgl. Urteil 2C_141/2018 vom 24. Juli 2020). Das Bundesgericht erwog dabei, "[que] l'Inde n'a pas, contrairement à la France, formulé d'engagement exprès qu'elle s'abstiendrait de formuler une demande d'assistance sur la base de renseignements obtenus par des actes punissables en regard du droit Suisse" (a.a.O., E. 6.2.3); folgerichtig verneinte das Bundesgericht damit das Vorliegen eines treuwidrigen Verhaltens Indiens in einer Konstellation wie der vorliegenden. Da nicht ersichtlich ist, inwiefern aus der von den Beschwerdeführern angerufenen internen ESTV-Notiz Zusicherungen Indiens abgeleitet werden könnten, die sich nicht auch aus den im oben erwähnten Urteil bereits berücksichtigten gemeinsamen Erklärungen des indischen Revenue Secretary und des damaligen schweizerischen Staatssekretärs für internationale Finanzfragen vom 15. Oktober 2014 und vom 15. Juni 2016 ergeben, erweist sich der Einwand der Beschwerdegegner als unbegründet.
6.
Mit der ESTV - und in Beantwortung der eingangs aufgeworfenen Rechtsfrage (vgl. E. 4 hiervor) - ist nach dem oben Ausgeführten davon auszugehen, dass sämtliche von der Bank C._ AG edierten Bankdokumente (insbesondere die Portfolio- und Account-Statements sowie die "Client Profiles") voraussichtlich erheblich sind. Die von den Beschwerdegegnern gegen die Amtshilfeleistung angeführten Argumente erweisen sich als unbegründet.
Die Beschwerde ESTV ist daher antragsgemäss gutzuheissen. Dispositivziffer 2 des angefochtenen Urteils ist aufzuheben, soweit darin die Amtshilfeleistung an das indische Ministry of Finance eingeschränkt worden ist. Die Schlussverfügungen der ESTV vom 20. August 2019 sind zu bestätigen.
Zur Neuverlegung der vorinstanzlichen Kosten- und Entschädigungsfolgen ist die Angelegenheit ferner an die Vorinstanz zurückzuweisen (<ref-law>).
7.
Bei diesem Verfahrensausgang (vgl. E. 6 hiervor) sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens den Beschwerdegegnern aufzuerlegen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Dispositivziffer 2 des angefochtenen Urteils wird aufgehoben, soweit darin die Amtshilfeleistung an das indische Ministry of Finance eingeschränkt worden ist. Die Schlussverfügungen der ESTV vom 20. August 2019 werden bestätigt.
2.
Die Angelegenheit wird zur Neuverlegung der bundesverwaltungsgerichtlichen Kosten- und Entschädigungsfolgen an das Bundesverwaltungsgericht zurückgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdegegnern auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, mitgeteilt.
Lausanne, 28. Dezember 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner