Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat führte eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen diversen Vermögensdelikten. Am 26. November 2019 wurde er vom Zwangsmassnahmengericht des Bezirkes Zürich (ZMG) in Untersuchungshaft versetzt. Ein Haftentlassungsgesuch des Beschuldigten wies das ZMG am 15. Januar 2020 rechtskräftig ab. Die Staatsanwaltschaft erhob am 12. Februar 2020 Anklage beim Bezirksgericht Zürich wegen mehrfachen versuchten Diebstahls und Hausfriedensbruchs; sie beantragte gegen den Beschuldigten die Ausfällung einer unbedingten Freiheitsstrafe von 15 Monaten und seine Landesverweisung für die Dauer von fünf Jahren.
B.
Am 10. Dezember 2019 verurteilte das Bezirksgericht Bülach den Beschuldigten wegen weiteren einschlägigen Delikten separat zu einer unbedingten Freiheitsstrafe von 16 Monaten (unter Anrechnung von 407 Tagen bereits erstandener strafprozessualer Haft), einer Busse von Fr. 2'500.-- und einer Landesverweisung für die Dauer von acht Jahren. Gegen dieses erstinstanzliche Strafurteil hat er Berufung angemeldet.
C.
Am 20. Februar 2020 wies das ZMG ein weiteres Haftentlassungsgesuch des Beschuldigten ab. Gleichzeitig versetzte es ihn in Sicherheitshaft (<ref-law>). Eine vom Beschuldigten dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, mit Beschluss vom 24. März 2020 ab.
D.
Gegen den Haftbeschwerdeentscheid des Obergerichtes gelangte der Beschuldigte mit Beschwerde vom 9. April (Posteingang: 14. April) 2020 an das Bundesgericht. Er beantragt neben der Aufhebung des angefochtenen Beschlusses seine unverzügliche Haftentlassung, eventualiter unter Anordnung von Ersatzmassnahmen; subeventualiter sei die Haftsache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Obergericht hat am 15. April 2020 auf eine Vernehmlassung ausdrücklich verzichtet, während von der Staatsanwaltschaft innert (der auf den 22. April 2020 angesetzten) Frist keine Stellungnahme einging. Am 28. April 2020 reichte der Beschwerdeführer unaufgefordert eine weitere Eingabe ein.

Erwägungen:
1.
Gegenstand des angefochtenen Entscheides ist ein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid betreffend Abweisung eines Haftentlassungsgesuches und Anordnung von Sicherheitshaft nach vorbestehender Untersuchungshaft (<ref-law> i.V.m. Art. 228 und <ref-law>). Auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen von <ref-law> sind erfüllt.
2.
Der Beschwerdeführer bestreitet vor Bundesgericht den in der Anklageschrift dargelegten dringenden Tatverdacht von Verbrechen und Vergehen (Art. 221 Abs. 1 Ingress StPO) nicht. Er wendet sich jedoch gegen die Annahme des besonderen Haftgrundes der Fluchtgefahr (<ref-law>). Im Eventualstandpunkt macht er geltend, das Obergericht habe jedenfalls Bundesrecht verletzt, indem es nicht (wenigstens) mildere Ersatzmassnahmen anstelle von Haft angeordnet habe. In diesem Zusammenhang rügt der Beschwerdeführer auch eine Verletzung der richterlichen Begründungspflicht.
2.1. Die Annahme von Fluchtgefahr als besonderer Haftgrund setzt ernsthafte Anhaltspunkte dafür voraus, dass die beschuldigte Person sich dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion durch Flucht entziehen könnte (<ref-law>). Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichtes darf die Schwere der drohenden Sanktion zwar als ein Indiz für Fluchtgefahr gewertet werden. Sie genügt jedoch für sich allein nicht, um einen Haftgrund zu bejahen. Vielmehr müssen die konkreten Umstände des betreffenden Falles, insbesondere die gesamten Lebensverhältnisse der beschuldigten Person, in Betracht gezogen werden (<ref-ruling> E. 2.2 S. 507; <ref-ruling> E. 4.3 S. 167; <ref-ruling> E. 3a S. 62; je mit Hinweisen). So ist es zulässig, ihre familiären und sozialen Bindungen, ihre berufliche Situation und Schulden sowie Kontakte ins Ausland und Ähnliches mitzuberücksichtigen, ebenso besondere persönliche Merkmale (wie z.B. eine Tendenz zu überstürzten Aktionen, ausgeprägte kriminelle Energie usw.), die auf eine Fluchtneigung schliessen lassen könnten. Auch bei einer befürchteten Ausreise in ein Land, das die beschuldigte Person grundsätzlich an die Schweiz ausliefern bzw. stellvertretend verfolgen könnte, fiele die Annahme von Fluchtgefahr nicht dahin (<ref-ruling> E. 2.2 S. 507; <ref-ruling> E. 3d S. 36 f.; 268 E. 2e S. 271-273).
Die Wahrscheinlichkeit einer Flucht nimmt in der Regel mit zunehmender Verfahrens- bzw. Haftdauer graduell ab, da sich auch die Länge des allenfalls noch zu absolvierenden Strafvollzugs mit der bereits geleisteten prozessualen Haft, die auf die mutmassliche Freiheitsstrafe anzurechnen wäre (vgl. <ref-law>), kontinuierlich verringert (BGE <ref-ruling> E. 4.3 S. 167 mit Hinweis). Anklageerhebungen oder gerichtliche Verurteilungen können allerdings, je nach den Umständen des Einzelfalls, im Verlaufe des Verfahrens auch neue Fluchtanreize auslösen (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 507; <ref-ruling> E. 4.1 S. 165).
2.2. Strafprozessuale Haft darf nur als "ultima ratio" angeordnet oder aufrechterhalten werden. Wo sie durch weniger einschneidende Massnahmen ersetzt werden kann, muss von ihrer Anordnung oder Fortdauer abgesehen und an ihrer Stelle eine solche Ersatzmassnahme verfügt werden (Art. 212 Abs. 2 lit. c i.V.m. Art. 237 f. StPO; vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 509 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 370; <ref-ruling> E. 2.2 S. 78). Zwar können mildere Ersatzmassnahmen für Haft geeignet sein, einer gewissen (niederschwelligen) Fluchtneigung ausreichend Rechnung zu tragen. Bei ausgeprägter Fluchtgefahr erweisen sie sich nach der einschlägigen Praxis des Bundesgerichtes jedoch regelmässig als nicht ausreichend. So vermag eine blosse Pass- und Schriftensperre oder die Verpflichtung, sich regelmässig bei der Polizei zu melden, eine erhebliche Fluchtneigung oft nicht ausreichend zu bannen (<ref-ruling> E. 3.2-3.3 S. 510-512; Urteile 1B_55/2020 vom 21. Februar 2020 E. 2.3; 1B_443/2016 vom 12. Dezember 2016 E. 2.3; je mit Hinweisen).
2.3. Bei Beschwerden, die gestützt auf das Recht der persönlichen Freiheit (Art. 10 Abs. 2, Art. 31 BV) wegen strafprozessualer Haft erhoben werden, prüft das Bundesgericht im Hinblick auf die Schwere des Eingriffes die Auslegung und Anwendung der StPO frei. <ref-law> gelangt bei strafprozessualen Zwangsmassnahmen nicht zur Anwendung (<ref-ruling> E. 2.1 S. 334 mit Hinweisen). Soweit jedoch reine Sachverhaltsfragen und damit Fragen der Beweiswürdigung zu beurteilen sind, greift das Bundesgericht nur ein, wenn die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.3 S. 319; 330 E. 2.1 S. 334; je mit Hinweis).
2.4. Der Beschwerdeführer rügt, die von den kantonalen Instanzen genannten Anhaltspunkte für eine angebliche Fluchtgefahr seien "rein theoretischer Natur".
2.5. Das Obergericht erwägt im angefochtenen Entscheid Folgendes: Der 39 Jahre alte Beschwerdeführer stamme ursprünglich aus Sri Lanka. Er sei in der Schweiz "nicht integriert" und verfüge hier über "keine intensiveren sozialen Kontakte". Er habe Fr. 100'000.-- Schulden und gehe keiner Arbeit nach. Er sei IV-Rentner und werde zudem vom Sozialdienst unterstützt. Seine Behauptung, sein Gesundheitszustand bzw. sein "Krankheitsbild" verunmögliche eine Flucht ins Ausland, erscheine nicht ausreichend belegt. Ausserdem sei zu berücksichtigen, dass er auch im Inland "untertauchen" könnte. Es drohten ihm sodann empfindliche Freiheitsstrafen und die Landesverweisung. In einem separaten Strafverfahren habe ihn das Bezirksgericht Bülach am 10. Dezember 2019 bereits (erstinstanzlich) zu einer unbedingten Freiheitsstrafe von 16 Monaten (unter Anrechnung von 407 Tagen erstandener strafprozessualer Haft), einer Busse von Fr. 2'500.-- und einer Landesverweisung für die Dauer von acht Jahren verurteilt. In der vorliegenden vor dem Bezirksgericht Zürich anhängigen Strafsache habe die Staatsanwaltschaft (in ihrer Anklageschrift vom 12. Februar 2020) eine weitere unbedingte Freiheitsstrafe von 15 Monaten und eine Landesverweisung für fünf Jahre beantragt.
Zwar sei der Einwand des Beschwerdeführers mitzuberücksichtigen, er habe sich in früheren Verfahren stets zur Verfügung gehalten und sei bisher weder untergetaucht noch geflüchtet. Anderseits habe sich die Situation unterdessen geändert. Nicht nur sei er am 10. Dezember 2019 zu einer unbedingten Freiheitsstrafe und einer Landesverweisung für die Dauer von acht Jahren gerichtlich verurteilt worden. Aufgrund der im Februar 2020 zusätzlich erfolgten Anklage habe sich für ihn auch noch das Risiko eines weiteren empfindlichen Strafvollzuges und des Vollzuges einer mehrjährigen Landesverweisung weiter konkretisiert. Insofern hätten die Fluchtanreize eher zugenommen. Hinzu komme, dass der Beschwerdeführer am 10. Februar 2020 gegenüber einem Aufseher im Haftvollzug tätlich geworden sei, indem er diesem ein Glas mit heissem Wasser ins Gesicht geschüttet habe. Schon vor diesem Vorfall habe er Aufsichtspersonen bespuckt und mit Gegenständen nach ihnen geworfen. Daraus lasse sich nach Ansicht der Vorinstanz auf eine gewisse "Aggravationstendenz" schliessen. Insgesamt bestünden derzeit erhebliche Anzeichen für eine mögliche Flucht (vgl. angefochtener Entscheid, E. II/5.3-5.4, S. 10-11).
2.6. Was der Beschwerdeführer dagegen einwendet, lässt die Annahme von konkreten Anhaltspunkten für eine mögliche Flucht, worunter auch ein vorübergehendes "Untertauchen" in der Schweiz fallen könnte, nicht als bundesrechtswidrig erscheinen. Dies gilt namentlich für seine Vorbringen, er sei vorübergehend "immer wieder aus der Haft entlassen" worden und zum Vornherein gar nicht fähig, "eine Flucht oder ein Untertauchen zu organisieren und auszuführen", oder er sei vor ca. 20 Jahren in seinem Heimatland gefoltert worden. Zwar macht er insbesondere noch geltend, er sei verbeiständeter IV-Rentner und wolle auf die Sozialversicherungs- und Sozialhilfeleistungen der Schweiz auf keinen Fall verzichten. Inwiefern er seinen IV-Rentenanspruch "bei einer Flucht selbstverständlich verlieren" würde, legt er jedoch nicht nachvollziehbar dar.
Die kantonalen Strafbehörden haben kein Bundesrecht verletzt, indem sie die dem Beschwerdeführer (nach einer weiteren Anklageerhebung) drohende empfindliche Freiheitsstrafe, die drohende rechtskräftige Verurteilung in einem separaten Berufungsverfahren, die möglichen ausländerrechtlichen Zwangsmassnahmen im Hinblick auf eine allfällige Landesverweisung und weitere konkrete Gesichtspunkte (schwache soziale Integration in der Schweiz, Schulden, konkrete Anzeichen für sprunghaft-aggressive Verhaltensweisen im Haftvollzug usw.) im derzeitigen Verfahrensstadium als insgesamt erhebliche Anhaltspunkte für Fluchtgefahr eingestuft haben. In diesem Zusammenhang sind auch keine willkürlichen Tatsachenfeststellungen der Vorinstanz ersichtlich. Insbesondere wird in der Beschwerdeschrift nicht dargetan, inwiefern die Bezugnahmen der Vorinstanz auf die Haftvollzugsakten offensichtlich unrichtig oder aktenwidrig wären.
2.7. Zur im Eventualstandpunkt beantragten Haftentlassung gegen Ersatzmassnahmen bringt der Beschwerdeführer vor, er werde sich an entsprechende Gebote und Verbote halten. Er habe denn auch "bereits regelmässigen Behördenkontakt". Damit könne bei ihm "ohne Weiteres davon ausgegangen werden, dass eine Meldepflicht befolgt würde".
Nach der Praxis des Bundesgerichtes vermag eine blosse Pass- und Schriftensperre oder die Verpflichtung, sich regelmässig bei der Polizei zu melden, eine erhebliche Fluchtgefahr in der Regel nicht ausreichend zu bannen (<ref-ruling> E. 3.2-3.3 S. 510-512; Urteile 1B_125/2020 vom 26. März 2020 E. 3.7; 1B_55/2020 vom 21. Februar 2020 E. 2.3; je mit Hinweisen). Die Vorinstanz hat erwogen, es seien im vorliegenden Fall "keine tauglichen Ersatzmassnahmen erkennbar". Der Beschwerdeführer weise bereits "unzählige Vorstrafen" auf. Laut Anklage habe er selbst während laufenden Strafuntersuchungen noch weiter delinquiert. Im Haftvollzug habe er sich unkooperativ und tendenziell gewaltbereit gezeigt. Damit habe er nicht den Eindruck erweckt, dass er sich derzeit an Abmachungen oder gesetzliche Regeln halten werde (angefochtener Entscheid, E. II/8.3, S. 16).
Dass die kantonalen Haftgerichte hier blosse Ersatzmassnahmen für Haft im gegenwärtigen Verfahrensstadium als nicht ausreichend beurteilen, um der dargelegten erheblichen Fluchtgefahr wirksam zu begegnen, hält angesichts der erwähnten Umstände vor dem Bundesrecht stand.
2.8. Beiläufig rügt der Beschwerdeführer auch noch eine Verletzung der richterlichen Begründungspflicht bzw. des rechtlichen Gehörs (<ref-law>).
Die prozessuale Rüge erweist sich ebenfalls als unbegründet. Der Vorwurf, die Vorinstanz habe sich mit der finanziellen Situation des Beschwerdeführers bzw. seinem IV-Rentenanspruch "in keiner Weise auseinandergesetzt" und diese Aspekte "vollkommen ausser Acht gelassen", findet im angefochtenen Entscheid keine Stütze (vgl. dazu oben, E. 2.5). Diesem lassen sich die wesentlichen Argumente entnehmen, weshalb das Obergericht den Haftgrund der Fluchtgefahr bejahte und blosse Ersatzmassnahmen für Sicherheitshaft als derzeit nicht ausreichend einstufte (vgl. oben, E. 2.5 und 2.7). Die Vorinstanz brauchte sich dabei von Verfassungs wegen nicht mit sämtlichen Vorbringen des Beschwerdeführers ausdrücklich und im einzelnen auseinanderzusetzen. Er legt auch nicht dar, inwiefern die Begründung des Haftbeschwerdeentscheides es ihm verunmöglicht hätte, den Rechtsweg ans Bundesgericht wirksam zu beschreiten. Ebenso wenig lässt der Umstand, dass die Vorinstanz seiner Argumentation materiell nicht gefolgt ist, eine Verletzung des rechtlichen Gehörs erkennen.
3.
Die Beschwerde ist als unbegründet abzuweisen.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Da die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind (und insbesondere die finanzielle Bedürftigkeit des amtlich verteidigten Beschwerdeführers ausreichend glaubhaft gemacht wird), ist das Gesuch zu bewilligen (<ref-law>). Die "Proformarechnung" seiner Rechtsvertreterin basiert auf dem anwaltlichen Tarif für Parteientschädigungen. Da dem Beschwerdeführer keine Parteientschädigung (<ref-law>) zugesprochen, sondern die unentgeltliche Rechtsverbeiständung (<ref-law>) bewilligt wird, ist das Honorar der amtlichen Rechtsvertreterin nach den diesbezüglichen gesetzlichen Bestimmungen zu bemessen (Art. 10 und 12 i.V.m. Art. 6 des Reglementes vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht, SR 173.110.210.3).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen:
2.1. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2. Rechtsanwältin Meret Lotter wird zur unentgeltlichen Rechtsvertreterin ernannt und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'500.-- (pauschal, inkl. MWST) entschädigt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Mai 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Forster