Fatti:
A.
A seguito di una denuncia presentata da B._ nei confronti di A._, il 9 febbraio 2017 il Ministero pubblico del Cantone Ticino ha aperto un procedimento penale per i reati di coazione sessuale, di atti sessuali con persone incapaci di discernimento o inette a resistere e di sfruttamento dello stato di bisogno.
Dopo una serie di atti che non occorre qui evocare, con atto di accusa dell'11 agosto 2017 la Procuratrice pubblica (PP) Margherita Lanzillo ha in particolare promosso l'accusa nei confronti di A._ per il reato di ripetuta coazione sessuale commessa ai danni di B._.
B.
Con sentenza del 6 dicembre 2017, la Corte delle assise criminali ha prosciolto A._ da tutte le imputazioni. Contro il giudizio di proscioglimento la PP Lanzillo ha adito la Corte di appello e di revisione penale (CARP) che, con sentenza dell'11 novembre 2019, ne ha respinto l'appello. La PP Lanzillo ha in seguito impugnato la sentenza della CARP con un ricorso in materia penale del 27 dicembre 2019 al Tribunale federale, dichiarato inammissibile da questa Corte con sentenza 6B_1471/2019 dell'8 giugno 2020.
C.
Frattanto, il 4 maggio 2017, A._ ha presentato una denuncia penale nei confronti di B._ per il titolo di denuncia mendace (<ref-law>). Con decisione del 14 maggio 2020 la PP Lanzillo ha decretato il non luogo a procedere.
D.
Con sentenza del 30 novembre 2020, la Corte dei reclami penali del Tribunale d'appello (CRP) ha respinto un reclamo di A._ contro il decreto di non luogo a procedere. La Corte cantonale ha confermato la decisione della PP, ritenendo che il presupposto soggettivo del reato di denuncia mendace non fosse adempiuto.
E.
A._ impugna questa sentenza con un ricorso in materia penale del 18 gennaio 2021 al Tribunale federale, chiedendo in via principale di accertare un diniego di giustizia da parte della Corte cantonale, di annullare la decisione impugnata e di rinviare gli atti alla CRP per un nuovo giudizio nel senso dei considerandi. In via subordinata, chiede di annullare la sentenza impugnata e il decreto di non luogo a procedere e di rinviare gli atti al Ministero pubblico, affinché apra l'istruzione penale nei confronti di B._. Il ricorrente postula inoltre il riconoscimento di un importo di fr. 21'917.30 a titolo di risarcimento integrale delle spese legali della procedura in sede cantonale e di quella in sede federale.
F.
La Corte cantonale si rimette al giudizio del Tribunale federale. La PP e l'opponente chiedono di respingere il ricorso.

Diritto:
1.
1.1. La decisione impugnata conferma il decreto di non luogo a procedere e pone quindi fine al procedimento penale. Si tratta di una decisione finale pronunciata in materia penale da un'autorità cantonale di ultima istanza, contro la quale è di principio ammissibile il ricorso in materia penale (art. 78 cpv. 1, 80 cpv. 1 e 90 LTF). Il ricorso è tempestivo (art. 100 cpv. 1 in relazione con l'art. 46 cpv. 1 lett. c LTF).
1.2. Secondo l'<ref-law>, ha diritto di ricorrere in materia penale chi ha partecipato al procedimento dinanzi all'autorità inferiore o è stato privato della possibilità di farlo (lett. a), e ha un interesse giuridicamente protetto all'annullamento o alla modifica della decisione impugnata (lett. b), segnatamente l'accusatore privato, se la decisione impugnata può influire sul giudizio delle sue pretese civili (art. 81 cpv. 1 lett. b n. 5 LTF). Indipendentemente dalla legittimazione nel merito, il ricorrente è in ogni caso abilitato, quale parte nella procedura, a censurare la violazione di garanzie procedurali che il diritto gli conferisce in tale veste e la cui disattenzione equivale a un diniego di giustizia formale (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 2). In questa evenienza, l'interesse giuridicamente protetto all'annullamento della decisione impugnata richiesto dall'<ref-law> non si fonda su aspetti di merito, bensì sul diritto di partecipare alla procedura (<ref-ruling> consid. 1.3).
A prescindere dalla questione delle eventuali pretese civili del ricorrente quale accusatore privato, egli è in concreto legittimato, quale parte nella procedura di reclamo dinanzi alla CRP, a fare valere che la Corte cantonale avrebbe violato il suo diritto di essere sentito omettendo di statuire sulla censura relativa alla mancata imparzialità della PP Lanzillo sollevata con il reclamo.
2.
2.1. Il ricorrente sostiene che la Corte cantonale avrebbe violato il suo diritto di essere sentito, siccome non si è pronunciata sulla censura concernente la mancata imparzialità ed indipendenza della PP Lanzillo. Rileva di avere invocato nel reclamo una violazione degli art. 6 seg. CPP e 6 CEDU, adducendo che la PP Lanzillo non avrebbe potuto pronunciarsi sulla denuncia da lui sporta per il reato di denuncia mendace (<ref-law>) dal momento ch'ella già conduceva il procedimento penale nei suoi confronti per reati contro l'integrità sessuale e lo riteneva colpevole dei fatti addebitatigli.
2.2. Il diritto di essere sentito (<ref-law>, <ref-law>) comprende l'obbligo per il giudice di motivare le sue decisioni (<ref-ruling> consid. 2.2; sentenza 6B_1016/2021 del 18 ottobre 2021 consid. 2.2). Questa garanzia esige che l'autorità si confronti con le censure sollevate e le esamini seriamente, dando atto di questo esame nella motivazione della sua decisione (<ref-ruling> consid. 2.2.3; <ref-ruling> consid. 4.3). La motivazione è sufficiente quando gli interessati possono afferrare la portata della decisione e, se del caso, impugnarla con cognizione di causa, permettendo altresì all'istanza di ricorso di esaminarne la fondatezza. L'autorità deve quindi almeno succintamente esporre le argomentazioni su cui si è fondata; non occorre che esamini espressamente ogni allegazione in fatto e in diritto sollevata, potendosi limitare ai punti rilevanti per il giudizio (<ref-ruling> consid. 2.2.7; <ref-ruling> consid. 2.2.3; <ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 1.3.1 e rinvii).
2.3. Nel reclamo alla CRP, il ricorrente ha sollevato una censura con la quale ha fatto valere che la PP Lanzillo difettava della necessaria indipendenza ed imparzialità per condurre l'inchiesta nei confronti di B._ in relazione all'ipotesi di denuncia mendace, avendo già promosso l'accusa contro il ricorrente stesso ed essendo quindi parte in tale procedimento penale. La sentenza impugnata non si esprime tuttavia su tale censura, che concerneva un aspetto rilevante per l'esito del giudizio. Al riguardo, il Tribunale federale ha avuto modo di rilevare che nella fase dell'istruzione, il Procuratore pubblico non ha ancora la qualità di parte ai sensi dell'art. 104 cpv. 1 lett. c CPP (DTF <ref-ruling>78 consid. 3.2.2). Competente per la direzione del procedimento penale (<ref-law>), con il suo comportamento e le sue dichiarazioni, il magistrato inquirente non deve lasciare presumere che la sua valutazione in merito alla colpevolezza dell'imputato sia già definitivamente stabilita (art. 6 e 10 CPP; cfr. sentenza 1B_430/2015 del 5 gennaio 2016 consid. 3.2). In particolare, quando, come in concreto, lo stesso Procuratore pubblico ha precedentemente istruito una prima causa concernente fatti strettamente connessi con quelli oggetto del secondo procedimento, la situazione può rivelarsi delicata sotto il profilo della garanzia di imparzialità. Occorre che l'esito del successivo giudizio non appaia predeterminato, bensì che rimanga aperto riguardo all'accertamento dei fatti e alla risoluzione delle questioni giuridiche in discussione (sentenze 1B_282/2008 del 16 gennaio 2009 consid. 2.4. e 2.5; 1B_430/2015, citata, consid. 3.2 e 3.4). Con la censura sollevata nel reclamo, il ricorrente ha sostanzialmente invocato un motivo di ricusazione della PP Lanzillo, la quale aveva precedente istruito il procedimento penale nei suoi confronti ed aveva promosso l'accusa contro di lui. La stessa PP ha in seguito statuito sulla denuncia del ricorrente relativa all'asserita mendacità delle dichiarazioni dell'opponente, alla base dell'avvio del primo procedimento penale. La CRP, di principio competente quale giurisdizione di reclamo per statuire sulle domande di ricusazione concernenti il pubblico ministero (cfr. <ref-law>), avrebbe quindi dovuto esaminare e pronunciarsi sulla censura in questione. Omettendo di farlo, ha di conseguenza violato il diritto di essere sentito del ricorrente.
3.
3.1. Ne segue che il ricorso deve essere accolto e la sentenza impugnata deve essere annullata. La causa è pertanto rinviata alla Corte cantonale, affinché esamini la suddetta censura e statuisca nuovamente sul gravame.
3.2. Le spese giudiziarie e le ripetibili sono poste parzialmente a carico dell'opponente, soccombente (art. 66 cpv. 1 e <ref-law>). Non possono per contro essere accollate spese giudiziarie allo Stato del Cantone Ticino (<ref-law>). Esso è tuttavia tenuto a versare al ricorrente, vincente, una parte delle ripetibili della sede federale (<ref-law>). Il ricorrente espone a questo titolo un importo di fr. 8'213.-- per l'allestimento dell'allegato di ricorso al Tribunale federale, indicando una rimunerazione oraria di fr. 640.-- per il patrocinio da parte di due legali. Si tratta tuttavia di un onere eccessivo per la procedura in questa sede, ritenuto ch'essi avevano già patrocinato il ricorrente nel procedimento penale promosso nei suoi confronti e conoscevano quindi bene la fattispecie. Inoltre, la censura formale trattata nel presente giudizio era determinante e sufficiente per statuire sulla causa e non necessitava l'intervento di due patrocinatori. Non si giustifica pertanto di scostarsi dalla prassi di questa Corte, che riconosce di massima in casi analoghi un'indennità di fr. 3'000.--. Essa è posta in parti uguali a carico dell'opponente e dello Stato del Cantone Ticino (art. 68 cpv. 1 e 2 LTF).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è accolto. La sentenza emanata il 30 novembre 2020 dalla Corte dei reclami penali del Tribunale d'appello del Cantone Ticino è annullata. La causa le è rinviata per una nuova decisione nel senso dei considerandi.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 1'500.-- sono poste a carico dell'opponente, che rifonderà al ricorrente un'indennità di fr. 1'500.-- a titolo di ripetibili della sede federale.
3.
Lo Stato del Cantone Ticino rifonderà al ricorrente un'indennità di fr. 1'500.-- a titolo di ripetibili della sede federale.
4.
Comunicazione ai patrocinatori delle parti, al Ministero pubblico e alla Corte dei reclami penali del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.