Faits :
A.
Dans le cadre de l'instruction d'une troisième demande de prestations de l'assurance-invalidité déposée le 7 octobre 2011, A._ a sollicité l'octroi de l'assistance juridique pour la procédure administrative, le 21 février 2019. Par décision du 16 mai 2019, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a rejeté la demande d'assistance juridique.
B.
A._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, en concluant à l'octroi de l'assistance juridique administrative sollicitée.
Par arrêt du 13 décembre 2019, la juridiction cantonale a constaté que l'assistance de M e Carré était nécessaire. Elle a admis le recours, annulé la décision du 16 mai 2019, et renvoyé la cause à l'office AI pour qu'il statue sur le droit à l'assistance juridique au regard des autres conditions posées à ce droit (indigence) et, cas échéant, désigne d'office M e Carré.
C.
Le 22 juillet 2021, l'office AI a statué sur le droit de l'assuré à ses prestations (rentes) par voie de décision. Le 9 septembre 2021, l'office AI a interjeté un recours en matière de droit public contre l'arrêt du 13 décembre 2019 dont il demande l'annulation, en concluant à la confirmation de sa décision du 16 mai 2019; il requiert également l'octroi de l'effet suspensif à son recours.
Le 21 octobre 2021, l'intimé a produit une copie du recours qu'il a formé le 14 septembre 2021 devant le Tribunal cantonal contre la décision du 22 juillet 2021, ainsi qu'une copie de l'ordonnance que celui-ci a rendue le 17 septembre 2021 et qui porte sur le versement d'une avance de frais pour la procédure cantonale (AI 329/21).

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 1).
2.
Le recours en matière de droit public (cf. <ref-law>) est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure (<ref-law>), ainsi que contre les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (<ref-law>).
Selon l'<ref-law>, les autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément ne peuvent faire l'objet d'un recours que si elles peuvent causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b). D'après l'<ref-law>, si le recours n'est pas recevable en vertu des al. 1 et 2 ou qu'il n'a pas été utilisé, les décisions préjudicielles et incidentes peuvent être attaquées par un recours contre la décision finale dans la mesure où elles influent sur le contenu de celle-ci.
3.
En l'espèce, la décision de l'office recourant du 22 juillet 2021 portant sur l'octroi de rentes a été attaquée par l'intimé et la cause AI 329/21 est pendante devant la juridiction cantonale de recours. Il s'ensuit que l'arrêt du 13 décembre 2019, qui constitue une décision incidente au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling>), ne pourra être déféré au Tribunal fédéral en vertu de l'<ref-law> que lorsque la décision finale sur le droit aux prestations AI aura été rendue (cf. arrêt 9C_838/2017 du 5 juin 2018 consid. 3 et la référence). Le recours du 9 septembre 2021 est donc prématuré et doit être déclaré irrecevable selon la procédure simplifiée de l'<ref-law>. La requête d'effet suspensif qui l'assortit n'a plus d'objet.
4.
Afin de sauvegarder ses droits, l'office recourant n'avait pas d'autre choix que de porter l'arrêt incident du 13 décembre 2019 devant le Tribunal fédéral dans les trente jours à compter de la notification de sa décision du 22 juillet 2021 (<ref-law>; <ref-ruling>). Comme la Cour de céans a été informée de la situation procédurale avant de débuter l'instruction de la cause et d'ordonner un échange d'écritures, il ne sera pas perçu de frais (<ref-law>). L'intimé a droit à des dépens réduits liés à la correspondance du 21 octobre 2021 (<ref-law>).

Par ces motifs, la Juge unique prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le recourant versera à l'intimé la somme de 400 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 28 octobre 2021
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Juge unique : Moser-Szeless
Le Greffier : Berthoud