Faits :
A.
A.a. C._ est né en 2013 de la relation hors mariage entre A._, née en 1975 et B._, né en 1984.
Par ordonnance du 26 juin 2014, le Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant du canton de Genève a désigné Elena Natali, titulaire de mandats au Service de protection des mineurs (ci-après: SPMi), comme curatrice de l'enfant en vue d'établir sa filiation paternelle et de faire valoir sa créance alimentaire.
L'enfant a été reconnu par son père le 26 janvier 2015.
A.b. Le 7 janvier 2016, l'enfant, représenté par sa curatrice, a déposé auprès du Tribunal de première instance du canton de Genève (ci-après: Tribunal) une requête de conciliation à l'encontre de son père afin d'obtenir le versement d'une contribution d'entretien.
Une audience de conciliation a eu lieu le 6 avril 2016. A teneur du procès-verbal de celle-ci, étaient présents Carole Revelo, avocate-stagiaire au SPMi, excusant Elena Natali, B._ et le mandataire de celui-ci.
Lors de cette audience, le père a fait valoir que l'enfant n'était pas valablement représenté au motif que sa curatrice ne comparaissait pas en personne.
Aucun accord n'ayant pu être trouvé durant l'audience de conciliation, le Tribunal a délivré une autorisation de procéder à l'issue de celle-ci.
A.c. Le 8 avril 2016, l'enfant, représenté par sa curatrice, a déposé auprès du Tribunal une demande d'aliments fondée sur l'<ref-law>. Il concluait à ce que le père soit condamné à lui verser mensuellement, allocations familiales et indexation en sus, une contribution d'entretien, échelonnée en fonction de son âge, de l'année précédant le dépôt de la demande jusqu'à sa majorité, voire au-delà en cas d'apprentissage ou d'études sérieuses et suivies.
Le défendeur a conclu à l'irrecevabilité de la demande formée par l'enfant au motif que celui-ci avait fait défaut à l'audience de conciliation, dès lors que sa curatrice ne s'y était pas présentée personnellement. Subsidiairement, il a requis le déboutement du demandeur.
Le 1er septembre 2016, le père a parallèlement déposé auprès du Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant une requête en fixation du droit de garde et de visite sur son fils. Cette procédure a été jointe à l'action alimentaire après que cette autorité se fut dessaisie du dossier pour raison de compétence. Compte tenu de cette jonction, la mère de l'enfant a été admise en qualité de demanderesse dans la procédure pendante devant le Tribunal.
B.
Par jugement du 20 juin 2018, le Tribunal a, entre autres points, condamné le père à verser mensuellement, indexation et allocations non comprises, une contribution d'entretien échelonnée selon l'âge de l'enfant, du 1er janvier 2015 jusqu'à la majorité, voire au-delà mais jusqu'à 25 ans au plus en cas de formation ou d'études régulièrement suivies.
Statuant par arrêt du 12 mars 2019, communiqué le 22 suivant, sur l'appel formé par le défendeur, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: Cour de justice) a partiellement annulé le jugement entrepris et, statuant à nouveau, a notamment déclaré la demande en aliments irrecevable.
C.
Par acte posté le 9 mai 2019, l'enfant, représenté par sa curatrice, exerce un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 12 mars 2019. Il conclut à ce que la demande en aliments soit déclarée recevable et à ce que le jugement de première instance soit confirmé, subsidiairement annulé, la cause étant alors renvoyée à la Cour de justice, voire au Tribunal, pour nouvelle décision au sens des considérants (cause 5A_386/2019).
Agissant le même jour, la mère forme également un recours en matière civile contre cet arrêt. Elle conclut à son annulation, à ce qu'il soit dit que la demande en aliments formée par l'enfant est recevable et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision (cause 5A_385/2019).
La recourante sollicite par ailleurs l'octroi de l'assistance judiciaire.
Des déterminations n'ont pas été requises.

Considérant en droit :
1.
Les deux recours sont dirigés contre la même décision, concernent le même complexe de faits et soulèvent des questions juridiques analogues; dans ces conditions, il se justifie de les joindre et de statuer à leur sujet par un seul arrêt (<ref-law>, applicable vu le renvoi de l'<ref-law>).
2.
2.1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1). En l'espèce, on peut se demander si la mère a qualité pour former un recours en matière civile, singulièrement si elle a un intérêt digne de protection à l'annulation ou la modification de la décision entreprise, dès lors que l'enfant a d'ores et déjà fait valoir ses droits en intentant une action alimentaire en son nom propre. En tant que la recourante a participé à la procédure devant l'autorité précédente et que celle-ci a déclaré ses écritures recevables, ainsi qu'au vu de l'issue de la cause, la question peut rester ouverte.
2.2. Interjetés en temps utile (art. 46 al. 1 let. a et 100 al. 1 LTF) et dans la forme prévue par la loi (<ref-law>), contre une décision finale (<ref-law>) rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans une affaire civile (<ref-law>) de nature pécuniaire dont la valeur litigieuse requise est atteinte (art. 74 al. 1 let. b, 51 al. 1 let. a et al. 4 LTF), les recours en matière civile sont en principe recevables. Par conséquent, le recours constitutionnel subsidiaire interjeté simultanément par l'enfant ne l'est pas (<ref-law>).
2.3. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.4 et les références). La partie recourante doit par conséquent discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer spécifiquement en quoi elle estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (<ref-ruling> consid. 1.7.1; <ref-ruling> consid. 2.4; <ref-ruling> consid. 2). Le Tribunal fédéral ne connaît en outre de la violation des droits fondamentaux que si un tel grief a été expressément invoqué et motivé de façon claire et détaillée par le recourant ("principe d'allégation", <ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.4).
2.4. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été constatés de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influencer le sort de la cause (<ref-law>). La partie recourante qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte (<ref-law>), c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 1.2), doit satisfaire au principe d'allégation susmentionné (<ref-law>; cf. supra consid. 2.3). Elle ne saurait dès lors se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; elle doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.4.3). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 10.1).
Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>). Cette exception, dont il appartient au recourant de démontrer que les conditions sont remplies, vise les faits qui sont rendus pertinents pour la première fois par la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 1.2 et la référence; arrêt 5A_904/2015 du 29 septembre 2016 consid. 2.3 non publié in <ref-ruling>). En dehors de ces cas, les nova ne sont pas admissibles, qu'il s'agisse de faits ou moyens de preuve survenus postérieurement à la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 5.2.4; <ref-ruling> consid. 1.2 et les références) ou d'éléments que les parties ont négligé de présenter aux autorités cantonales (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 4.4.3).
Le mémoire de la recourante contient une partie intitulée "En fait" comportant cinquante allégués et faisant référence à un certain nombre de pièces nouvelles. Dès lors qu'elle n'expose pas en quoi leur production serait admissible au regard de l'<ref-law>, elles sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 3.1.2; <ref-ruling> consid. 3). En tant que les éléments de fait exposés par la recourante divergent de ceux constatés dans la décision entreprise et qu'ils ne sont pas discutés sous l'angle de l'arbitraire dans l'établissement des faits ou l'appréciation des preuves, ils ne seront pas non plus pris en compte (<ref-law>).
3.
Invoquant les art. 9 Cst. et 97 LTF, la recourante se plaint d'arbitraire dans l'établissement des faits. Elle reproche à la cour cantonale d'avoir omis de relever que l'intimé avait déjà invoqué l'invalidité de l'autorisation de procéder dans le cadre d'une précédente procédure de récusation, sans que la Cour de justice ne constate alors l'irrecevabilité de la demande. Ce point était pourtant capital car il commandait à l'autorité cantonale, saisie une seconde fois de cette problématique, de statuer selon les exigences de la bonne foi et de considérer que ladite invalidité avait été corrigée.
3.1. En matière de constatation des faits et d'appréciation des preuves, le Tribunal fédéral n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'une preuve propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a effectué des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 7.1; <ref-ruling> consid. 2.3 et les références); encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 in fine LTF).
3.2. En tant que la recourante prétend que l'intimé avait déjà fait valoir précédemment l'invalidité de l'autorisation de procéder devant l'autorité cantonale, ses allégations ne résultent pas de la copie de l'arrêt de la Cour de justice du 13 juillet 2017 auquel elle se réfère, seul le recto des pages de celui-ci ayant été produit. Quoi qu'il en soit, il ne peut être reproché à l'autorité cantonale d'avoir arbitrairement passé cette circonstance sous silence, dès lors que la procédure dont le sort a été définitivement scellé par l'arrêt susmentionné portait exclusivement sur la récusation de la juge de première instance. Contrairement à ce que soutient la recourante, la validité de l'autorisation de procéder n'avait pas à être examinée dans cette procédure incidente. On ne saurait par conséquent faire grief à l'autorité cantonale d'avoir établi les faits de façon arbitrairement lacunaire, ni du reste considérer que l'invalidité dont se serait prévalue le défendeur aurait été "implicitement corrigée" par l'arrêt du 13 juillet 2017.
4.
Les recourants reprochent à la cour cantonale d'avoir à plusieurs titres violé le droit fédéral, en particulier les <ref-law> et 400 CC, en considérant que le demandeur n'était pas valablement représenté à l'audience de conciliation. Ils se plaignent en particulier de formalisme excessif dans l'interprétation et l'application de ces dispositions ainsi que de violations du principe de la bonne foi.
4.1.
4.1.1. Selon l'<ref-law>, les dispositions de la procédure devant l'autorité de protection de l'adulte sont applicables par analogie à la protection de l'enfant. Cette disposition, qui concerne d'ailleurs la procédure devant l'autorité de protection, vise donc les <ref-law>. L'<ref-law>, relatif aux conditions de nomination du curateur par l'autorité de protection de l'adulte, n'est par conséquent pas applicable ici.
4.1.2. La présente demande d'aliments est soumise à la procédure simplifiée (<ref-law>). Sous réserve des exceptions prévues par les art. 198 et 199 CPC, non réalisées en l'espèce, l'action doit être ouverte par une requête de conciliation (<ref-law>); celle-ci crée aussi la litispendance (<ref-law>).
L'<ref-law> impose aux parties de comparaître "en personne" à l'audience de conciliation. Les personnes physiques qui n'ont pas l'exercice des droits civils, respectivement la capacité d'ester en justice au sens de l'<ref-law>, les mineurs notamment, doivent comparaître à l'audience de conciliation par l'intermédiaire de leur représentant légal (<ref-law>; FRANÇOIS BOHNET, in Commentaire romand CPC, 2e éd., 2019, n° 3 ad <ref-law>; CHRISTINE MÖHLER, in ZPO Kommentar, 2e éd., 2015, no 2 ad <ref-law>; cf. KARIN FISCHER, Vom Friedensrichteramt zur Schlichtungsbehörde, thèse Zurich 2008, p. 45). La représentation n'est autorisée que dans des cas exceptionnels (art. 204 al. 3 let. a à c CPC), usuellement admis en droit de procédure (Message du Conseil fédéral relatif au code procédure civile suisse [CPC], FF 2006 6841, 6939 s. ch. 5.13; cf. aussi <ref-ruling> consid. 4.3).
L'<ref-law> dispose qu'en cas de défaut du demandeur, la requête est considérée comme retirée; la procédure devient sans objet et l'affaire est rayée du rôle (<ref-ruling> consid. 2.4). La partie qui envoie un représentant sans réaliser les prévisions de l'<ref-law> fait défaut (arrêt 4C_1/2013 du 25 juin 2013 consid. 4.3).
Lorsque la tentative de conciliation n'aboutit pas, l'autorité de conciliation consigne l'échec au procès-verbal et délivre l'autorisation de procéder (<ref-law>). L'existence d'une autorisation de procéder valable est une condition de recevabilité de la demande (<ref-ruling> consid. 3.2.1; <ref-ruling> consid. 5; <ref-ruling> consid. 2.1).
L'autorisation de procéder n'est pas une décision, de sorte qu'elle ne peut faire l'objet ni d'un recours, ni d'un appel; la validité de cet acte doit être examinée d'office par le tribunal devant lequel l'action doit être portée (ATF <ref-ruling> consid. 2.1 et 2.3). Ce tribunal pourra par exemple être amené à constater qu'une partie n'a pas comparu personnellement à l'audience de conciliation, que l'autorité de conciliation a méconnu cette situation et délivré une autorisation de procéder non valable, et qu'en conséquence, une des conditions de recevabilité de la demande fait défaut (<ref-ruling> consid. 5).
4.1.3. Il y a formalisme excessif, constitutif d'un déni de justice formel prohibé par l'art. 29 al. 1 Cst., lorsque la stricte application des règles de procédure ne se justifie par aucun intérêt digne de protection, devient une fin en soi et complique de manière insoutenable la réalisation du droit matériel ou entrave de manière inadmissible l'accès aux tribunaux (<ref-ruling> consid. 4.2.1; <ref-ruling> consid. 1.3.2; <ref-ruling> consid. 2.4.2; <ref-ruling> consid. 2.1). En tant que l'interdiction du formalisme excessif sanctionne un comportement répréhensible de l'autorité dans ses relations avec le justiciable, elle poursuit le même but que le principe de la bonne foi (art. 5 al. 3 et 9 Cst.). A cet égard, elle commande à l'autorité d'éviter de sanctionner par l'irrecevabilité les vices de procédure aisément reconnaissables qui auraient pu être redressés à temps, lorsque celle-ci pouvait s'en rendre compte assez tôt et les signaler utilement au plaideur (<ref-ruling> consid. 3a et les références; arrêt 5A_741/2016 du 6 décembre 2016 consid. 6.1.1). Si l'autorité a méconnu cette obligation, elle doit tolérer que l'acte concerné soit régularisé, éventuellement hors délai (ATF <ref-ruling> consid. 2.4.3; arrêt 5A_694/2019 du 24 février 2020 consid. 4.1). A certaines conditions, la garantie du principe de la bonne foi confère au justiciable le droit d'exiger de l'autorité qu'elle se conforme aux promesses ou assurances qu'elle lui a faites et ne trompe pas la confiance qu'il a légitimement placée dans celles-ci (<ref-ruling> consid. 3.6.2; <ref-ruling> consid. 6.2; <ref-ruling> consid. 3.6.2 et la jurisprudence citée; arrêt 2D_42/2019 du 25 mars 2020 consid. 5.1).
4.2. En l'espèce, l'autorité cantonale a considéré que l'enfant mineur devait comparaître à l'audience de conciliation par l'intermédiaire de son représentant légal, soit en l'occurrence sa curatrice, voire sa mère. Dès lors qu'il était établi que ni l'une ni l'autre n'était présente à cette audience, l'enfant n'avait pas comparu personnellement, la représentation d'un mineur par une personne autre que son représentant légal ne constituant pas une forme de comparution personnelle. La représentation en audience de conciliation d'un mineur par un avocat, respectivement un avocat-stagiaire, n'était admissible que pour autant que l'un des motifs de dispense mentionnés à l'<ref-law> fût réalisé, une comparution personnelle des parties étant essentielle pour la réussite du processus de conciliation. Or la pratique constante du SPMi invoquée par la curatrice pour expliquer son absence à l'audience de conciliation, à savoir que les curateurs de sa section juridique se font représenter aux audiences par des avocats-stagiaires, ne constituait pas un motif de dispense au sens de cette disposition. De plus, s'il était admis qu'un curateur pût recourir à un auxiliaire pour l'exécution de certaines tâches, l'usage de cette prérogative était toutefois exclu lorsqu'une exécution personnelle du mandat était obligatoire, ce qui était manifestement le cas lorsqu'une comparution personnelle était exigée. Par ailleurs, il ne pouvait être reproché au défendeur de faire preuve de mauvaise foi en se prévalant de l'irrecevabilité de la demande au motif que l'enfant n'était pas valablement représenté à l'audience de conciliation, cette question étant une condition de recevabilité devant faire l'objet d'un examen d'office. Le défendeur avait en outre invoqué ce vice de procédure de manière constante, tant à l'audience de conciliation que dans ses écritures de première instance et d'appel. Qu'il ait néanmoins accepté de tenter une conciliation ne portait pas à conséquence dans la mesure où il ne disposait, à ce stade de la procédure, d'aucun moyen de droit pour faire reconnaître le bien-fondé de sa position, l'autorisation de procéder ne pouvant faire l'objet d'un recours. La demande en aliments formée par l'enfant devait en conséquence être déclarée irrecevable, étant précisé que cela ne signifiait pas nécessairement que l'instance prenne fin, une application par analogie de l'<ref-law> semblant être admise par la doctrine.
4.3. Comme exposé plus haut (cf. supra consid. 4.1.2), l'<ref-law> pose le principe de la comparution personnelle des parties à l'audience de conciliation, ce qui suppose leur présence, sauf dans des cas clairement circonscrits à l'<ref-law>. Cette disposition règle exhaustivement les cas où une personne peut se faire représenter à l'audience de conciliation; lors des débats parlementaires, le Conseil des États a discuté d'une question rédactionnelle uniquement (BO CE 2007 523); le Conseil national a adopté la disposition sans discussion (BO CN 2008 956); la volonté du législateur fédéral ne prête donc pas à interprétation (arrêt 4C_1/2013 précité consid. 4.3). Le but de la comparution personnelle est d'amener à une discussion les personnes qui sont en conflit et qui peuvent disposer elle-même de l'objet du litige (<ref-ruling> consid. 4.3). Lorsque l'autorité de protection nomme un curateur chargé de représenter l'enfant pour faire valoir sa créance alimentaire (<ref-law>), ledit curateur acquiert un pouvoir de représentation concurrent à celui des titulaires de l'autorité parentale, laquelle peut être limitée en conséquence (PHILIPPE MEIER, in Commentaire romand, CC I, 2010, n° 39 ad <ref-law>). Du fait de son pouvoir légal de représentation, le curateur a qualité pour agir au nom du représenté (arrêt 5P.425/2000 du 23 janvier 2001 consid. 3), ce qui entraîne son droit de disposer du litige (cf. arrêt 1P.646/2002 du 9 avril 2003 consid. 3.1). Le demandeur prétend dès lors à tort que l'exigence de comparution personnelle perdrait en l'occurrence tout son sens au motif qu'on ne saurait exiger d'un mineur qu'il comparaisse en personne. A l'instar de ce qui vaut pour une personne morale (cf. <ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 4.3), la représentation de l'enfant mineur par un avocat ne peut entrer en considération en tant que forme de comparution personnelle. Celui qui représente l'enfant doit pouvoir agir valablement et inconditionnellement; il doit ainsi être autorisé à signer l'accord résultant de la conciliation (pour les personnes morales, cf. <ref-ruling> consid. 4.4). Le représentant légal ou, le cas échéant, le curateur au sens de l'<ref-law>, ne peut être dispensé de comparaître personnellement qu'aux conditions de l'<ref-law>.
Dès lors qu'il n'est pas contesté que la curatrice de l'enfant était excusée et représentée à l'audience de conciliation par une avocate-stagiaire, sans qu'un motif de dispense selon l'<ref-law> soit réalisé, force est de constater que le demandeur a en l'occurrence fait défaut. Dans la mesure où les recourants soutiennent que l'avocate-stagiaire connaissait le dossier et qu'elle était tout autant capable que la curatrice de mener une véritable discussion avec la partie adverse, leurs allégations ne ressortent pas de l'arrêt entrepris, sans qu'ils ne se plaignent d'arbitraire à ce sujet (<ref-law>); il en va de même de l'affirmation selon laquelle ces personnes seraient deux "professionnelles interchangeables" travaillant ensemble au sein du même service étatique sur un dossier déterminé, et agiraient comme une unité. Quoi qu'il en soit, ces arguments ne sont pas propres à mettre en évidence une application éventuellement incorrecte de l'<ref-law>. Comme la curatrice a été nommément désignée pour représenter l'enfant aux fins de faire valoir sa créance alimentaire, elle seule avait en principe qualité pour agir au nom du représenté et, partant, pouvait disposer de l'objet du litige. En l'espèce, il n'est de toute façon pas établi que l'avocate-stagiaire déléguée pour la remplacer à l'audience de conciliation ait eu le pouvoir de conclure une transaction, ce que les recourants ne prétendent d'ailleurs pas. Dans ces conditions, ils se plaignent à tort de formalisme excessif au sens de l'art. 29 al. 1 Cst.
4.4. On ne voit pas non plus en quoi l'autorité cantonale aurait violé le principe de la bonne foi. A cet égard, le demandeur soutient que la délivrance d'une autorisation de procéder pouvait légitimement laisser penser que le processus de conciliation avait été respecté et que la procédure au fond pouvait être valablement introduite; ce d'autant plus que l'autorité de conciliation n'avait pas pris en compte l'objection soulevée par la partie adverse relative à la représentation du mineur par l'avocate-stagiaire, d'une part, et que cette pratique du SPMi avait été acceptée par les tribunaux depuis plus de six ans, d'autre part. La demanderesse prétend en outre que la Cour de justice aurait dû considérer ce prétendu vice formel comme réparé à ce stade très avancé de la procédure, dès lors qu'elle n'avait pas estimé cette question pertinente dans le cadre de la procédure de récusation intentée par le défendeur.
La délivrance d'une autorisation de procéder ne saurait cependant constituer une assurance ou un renseignement erroné de l'autorité, ou encore un comportement propre à tromper le justiciable. Si cette autorisation ne peut faire l'objet d'un recours ni d'un appel, il n'en demeure pas moins que sa validité, en plus d'être examinée d'office, peut être contestée dans la procédure au fond (cf. supra consid. 4.1.2), ce qui a précisément été le cas en l'espèce. Dans la mesure où le recourant fait valoir que le justiciable qui, de bonne foi, s'est fié à une indication erronée de l'autorité ne doit en subir aucun préjudice, lequel résulterait du fait qu'il ne serait pas certain que l'application extensive de l'<ref-law> suggérée par la Cour de justice soit conforme au droit, son grief tombe dès lors à faux. Il n'y a ainsi pas lieu d'examiner si un tel préjudice serait réalisé.
Quant à l'existence d'une éventuelle pratique du SPMi selon laquelle les curateurs se feraient représenter en audience de conciliation par des avocats-stagiaires, il ne résulte pas de l'arrêt entrepris qu'elle serait établie, de sorte qu'il n'y a pas lieu d'examiner cette question plus avant. Dans la mesure où le recourant affirme qu'on "peut se demander" si l'arrêt attaqué ne constitue pas un revirement de jurisprudence, il se fonde également sur des faits - la prétendue pratique interne dudit service - dont l'arrêt entrepris ne constate pas qu'ils seraient démontrés, si bien que ces allégations ne peuvent pas non plus être prises en considération. Contrairement à ce que laisse entendre la recourante, la présente situation ne s'apparente pas davantage à celle où l'autorité cantonale doit signaler au plaideur que celui-ci s'apprête à commettre un vice de procédure, aisément reconnaissable et réparable à temps. On ne discerne ainsi aucune violation du principe de la bonne foi.
5.
Les recourants soutiennent aussi que l'intimé commettrait un abus de droit en soulevant l'irrecevabilité de la demande.
5.1. L'abus de droit consiste à utiliser une institution juridique à des fins étrangères au but même de la disposition légale qui la consacre, de telle sorte que l'écart entre le droit exercé et l'intérêt qu'il est censé protéger soit manifeste (<ref-ruling> consid. 4.2.3; <ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 3.2.4; <ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 3.3.1; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 74).
5.2. Il résulte des constatations de l'arrêt entrepris que le défendeur a immédiatement invoqué le défaut de comparution personnelle du demandeur et qu'il a contesté la validité de l'autorisation de procéder de manière constante, tant à l'audience de conciliation que dans ses écritures de première instance et d'appel, de sorte qu'il n'a pas agi contrairement aux règles de la bonne foi (ATF <ref-ruling> consid. 2.3). Comme l'a relevé à juste titre la cour cantonale, qu'il ait néanmoins accepté de tenter une conciliation ne portait pas à conséquence dans la mesure où il ne disposait, à ce stade de la procédure, d'aucun moyen de droit pour faire reconnaître le bien-fondé de sa position, l'autorisation de procéder ne pouvant faire l'objet d'un recours. Le grief apparaît ainsi infondé.
6.
Le recourant se plaint également d'une violation de l'art. 3 de la Convention relative aux droits de l'enfant (CDE; RS 0.107).
L'application - en tous points conforme au droit fédéral - de l'<ref-law> par la cour cantonale ne saurait être considérée comme contraire à l'intérêt supérieur de l'enfant consacré par la norme dont se prévaut le recourant. Quant à l'argument selon lequel cet intérêt pèserait plus lourd que l'application correcte du droit, il n'apparaît pas non plus fondé. L'art. 3 § 1 CDE ne fonde aucune prétention directe et la partie recourante ne peut donc pas l'invoquer pour lui-même (sur l'absence de "prétention directe" résultant de cette disposition, dans le domaine du droit des étrangers, cf. <ref-ruling> consid. 5.2; cf. MARINA EUDES, La convention sur les droits de l'enfant, texte emblématique reconnaissant l'intérêt de l'enfant [...], in La Revue des droits de l'homme 3/2013, p. 5, qui relève que la CDE n'oblige pas les organes de l'État à favoriser, dans toutes les situations, l'intérêt de l'enfant au détriment d'autres intérêts). Le recourant ne peut dès lors rien tirer de cette disposition qui n'empêche pas les autorités de privilégier d'autres intérêts, en particulier des intérêts publics (<ref-ruling> consid. 5.5.2; <ref-ruling> consid. 8.2; Message du Conseil fédéral du 29 juin 1994 sur l'adhésion de la Suisse à la Convention de 1989 relative aux droits de l'enfant, FF 1994 V 13; STEPHAN WOLF, Die UNO-Konvention über die Rechte des Kindes und ihre Umsetzung in das schweizerischen Kindesrecht, in ZBJV 134/1998 p. 118 s.).
7.
Invoquant les art. 29 Cst. et 6 CEDH, la recourante se plaint encore de la violation du principe de célérité.
7.1. L'art. 29 al. 1 Cst. consacre notamment le principe de la célérité ou, en d'autres termes, prohibe le retard injustifié à statuer. L'autorité viole cette garantie constitutionnelle lorsqu'elle ne rend pas la décision qu'il lui incombe de prendre dans le délai prescrit par la loi ou dans un délai que la nature de l'affaire ainsi que toutes les autres circonstances font apparaître comme raisonnable (<ref-ruling> consid. 7.1; <ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 4.4; <ref-ruling> consid. 5.2 et les références). L'art. 6 CEDH n'offre à cet égard pas de protection plus étendue que la garantie constitutionnelle (ATF <ref-ruling> consid. 5.1).
7.2. La recourante reproche à la Cour de justice d'avoir déclaré la demande irrecevable après trois ans de procédure, en raison d'un vice formel qu'elle aurait pourtant dû constater d'office "en examinant le dossier en juillet 2017". L'enfant serait ainsi contraint d'initier une nouvelle procédure qui, compte tenu des "efforts considérables déployés par l'intimé pour se soustraire à son obligation d'entretien" et de "l'inertie des autorités et juridictions genevoises" dans cette affaire, risque de durer encore deux à trois ans, ce qui empêcherait le mineur de jouir d'un meilleur train de vie "dans les années charnières de son développement".
En tant que l'autorité cantonale a définitivement statué sur le recours dont elle était saisie, le grief n'a en principe plus d'objet. La recourante ne peut en effet se prévaloir d'aucun intérêt actuel et pratique à faire constater un éventuel retard à statuer, étant précisé que la nature formelle de la garantie invoquée ne saurait pallier cette absence d'intérêt (<ref-ruling> consid. 4a; arrêt 8D_7/2019 du 13 février 2020 consid. 2.1). Dès lors que l'arrêt entrepris, en tant qu'il déclare la demande en aliments irrecevable, échappe à toute critique, la célérité de la procédure ne peut en outre être invoquée dans le but de contourner les règles applicables en la matière, lesquelles n'ont pas été violées par l'autorité cantonale. La recourante ne saurait en particulier se prévaloir du fait que l'invalidité de l'autorisation de procéder aurait dû être constatée d'office lors de l'examen de la demande de récusation déposée par l'intimé, la Cour de justice ayant considéré avec raison que cette question n'était pas pertinente dans le cadre de cette procédure incidente (cf. supra consid. 3).
8.
En conclusion, les recours en matière civile doivent être rejetés, dans la mesure de leur recevabilité, tandis que le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable. Vu cette issue, prévisible, de la procédure, la requête d'assistance judiciaire de la recourante ne peut être agréée (<ref-law>). Le recourant, d'une part, et la recourante, d'autre part, prendront à leur charge les frais judiciaires afférents à leurs recours respectifs (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'octroyer de dépens, des observations n'ayant pas été requises (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 5A_385/2019 et 5A_386/2019 sont jointes.
2.
Le recours en matière civile interjeté par A._ (5A_385/2019) est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
3.
Le recours constitutionnel subsidiaire interjeté par C._ (5A_386/2019) est irrecevable.
4.
Le recours en matière civile interjeté par C._ (5A_386/2019) est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
5.
La requête d'assistance judiciaire de A._ est rejetée.
6.
Les frais judiciaires afférents au recours 5A_385/2019, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de A._.
7.
Les frais judiciaires afférents au recours 5A_386/2019, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de C._.
8.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 8 mai 2020
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Mairot