Sachverhalt:
A.
A._, geboren 1960, arbeitete seit 1. April 2011 für B._, Gartenbau und Allround, und war in dieser Eigenschaft bei der AXA Versicherungen AG (nachfolgend: AXA oder Beschwerdegegnerin) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen und Berufskrankheiten versichert. Laut der am 20. Juni 2017 erstellten Schadenmeldung UVG verrenkte er sich am 29. Mai 2017 beim Aufheben einer Kiste mit Platten den Arm, wobei er plötzlich Schmerzen in der linken Schulter verspürte. Daraufhin begab er sich gleichentags zur Untersuchung ins Spital C._. Die dabei festgestellte Rotatorenmanschettenläsion links wurde am 28. Juni 2017 im Spital D._ operativ saniert. Per Ende Januar 2018 verlor er seine Arbeitsstelle. Die AXA übernahm die Heilbehandlung und richtete ein Taggeld aus. Mit Verfügung vom 9. August 2018, bestätigt durch Einspracheentscheid vom 18. April 2019, verneinte die AXA in Bezug auf den angemeldeten Vorfall vom 29. Mai 2017 eine Leistungspflicht und verzichtete auf eine Rückforderung der zu Unrecht erbrachten Leistungen.
B.
Die hiegegen erhobene Beschwerde des A._ wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ab (Entscheid vom 21. August 2020).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, der angefochtene Gerichts- und der Einspracheentscheid seien aufzuheben und die AXA sei zu verpflichten, für die Folgen des Unfalles vom 29. Mai 2017 die gesetzlichen Leistungen (Taggeld und Heilbehandlung) auszurichten. Zudem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung.
Während die AXA auf Beschwerdeabweisung schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit (BAG) auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1 S. 236 mit Hinweisen).
1.2. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
Streitig ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie die von der AXA am 9. August 2018 verfügte und mit Einspracheentscheid vom 18. April 2019 bestätigte Ablehnung einer Leistungspflicht hinsichtlich der nach dem Vorfall vom 29. Mai 2017 geklagten Beschwerden in der linken Schulter schützte. Im Gegensatz zur Beschwerdegegnerin und zum kantonalen Gericht macht der Beschwerdeführer sowohl ein Unfallereignis im Sinne von <ref-law> als auch eine unfallähnliche Körperschädigung im Sinne von <ref-law> geltend.
3.
3.1. Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze zum Unfallbegriff (<ref-law>) und zu dem für die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers (<ref-law>) vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen Unfall und Gesundheitsschaden (<ref-ruling> E. 1 S. 438; <ref-ruling> E. 2.1 S. 111 f.; <ref-ruling> E. 3.1 f. S. 181) zutreffend dargelegt. Richtig sind auch die Ausführungen zum Anspruch auf die zweckmässige Behandlung von Unfallfolgen und auf Taggeldleistungen (Art. 10 Abs. 1 und Art. 16 Abs. 1 UVG), zum Beweiswert und zur Beweiswürdigung medizinischer Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 126 f.; <ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352 ff., je mit Hinweisen), insbesondere bei versicherungsinternen Stellungnahmen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 229; <ref-ruling> E. 4.4 S. 469 f.; <ref-ruling> E. 3b/ee S. 353 f.; <ref-ruling> E. 1d S. 162), sowie zum massgebenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 5.1 S. 56). Darauf wird verwiesen.
3.2. Hervorzuheben ist die Rechtsprechung zur Neuregelung der unfallähnlichen Körperschädigung in der am 1. Januar 2017 in Kraft getretenen Bestimmung von <ref-law>. Das Bundesgericht hat sich dazu jüngst in <ref-ruling> geäussert, namentlich zu den diesbezüglichen Anspruchsvoraussetzungen auch im Vergleich zur Leistungspflicht des Versicherers aus Unfall. Danach sind die Tatbestände des Unfalls nach <ref-law> und der Listenverletzung nach dessen Abs. 2 unabhängig und einzeln zu prüfen (E. 8.5 S. 69). Was die letztere betrifft, bedarf es, anders als unter dem bis anhin geltenden aArt. 9 Abs. 2 UVV, keines unfallähnlichen sinnfälligen Ereignisses oder einer allgemein gesteigerten Gefahrenlage mehr im Sinne der damaligen Rechtsprechung. Vielmehr führt seit der Gesetzesänderung bereits die Tatsache, dass eine in Art. 6 Abs. 2 lit. a-h UVG genannte Körperschädigung vorliegt, zur Vermutung, es handle sich hierbei um eine leistungspflichtige unfallähnliche Körperschädigung. Es besteht indessen die Möglichkeit des leistungsausschliessenden Gegenbeweises. Dafür ist es notwendig, die vom Unfallversicherer zu übernehmende unfallähnliche Körperschädigung von der vorwiegend (E. 8.2.2.1 S. 64) abnützungs- und erkrankungsbedingten Ursache einer Listenverletzung (mit Leistungspflicht des Krankenversicherers) abzugrenzen. Insoweit bleibt daher, so das Bundesgericht weiter, die Frage nach einem initialen erinnerlichen und benennbaren Ereignis (gerade auch wegen der Bedeutung der zeitlichen Anknüpfung) auch nach der UVG-Revision relevant (E. 8.6 S. 69; Urteil 8C_382/2020 vom 3. Dezember 2020 E. 3.2).
4.
4.1. Das kantonale Gericht hat nach eingehender und bundesrechtskonformer Beweiswürdigung in tatsächlicher Hinsicht festgestellt, der Beschwerdeführer habe am 29. Mai 2017 beim planmässigen Heben einer schweren Kartonschachtel mit Keramik-Platten sofort einen starken Schmerz in der linken Schulter verspürt. Es zog dabei die unterschiedlichen aktenkundigen Beschreibungen des Vorfalles in Betracht und stellte schliesslich auf die Beschreibung des die AXA beratenden Facharztes FMH für Chirurgie Dr. med. E._ ab, welcher den Beschwerdeführer am 7. Mai 2018 untersuchte. Dr. med. E._ beschrieb in seinem Bericht detailliert, wie ihm der Beschwerdeführer im Untersuchungszimmer den Bewegungsablauf noch einmal anschaulich vorgeführt habe. Aufgrund dieses Bewegungsablaufes schloss die Vorinstanz besondere Vorkommnisse und einen ungewöhnlichen äusseren Faktor aus, weshalb sie mit der Beschwerdegegnerin einen Unfall im Sinne von <ref-law> verneinte.
4.2. Was der Beschwerdeführer zunächst gegen die Verneinung eines Unfalles im Rechtssinne vorbringt, überzeugt nicht.
4.2.1. Das kantonale Gericht berücksichtigte die mangelhaften Deutschkenntnisse des Beschwerdeführers bei der Beweiswürdigung insbesondere auch mit Blick auf dessen Angaben auf dem Fragebogen vom 19. September 2017. Die Exploration durch Dr. med. E._ erfolgte unter Mitwirkung einer Dolmetscherin. Soweit der Hausarzt Dr. med. F._ mit Bericht vom 9. Oktober 2017 und der behandelnde Orthopäde Dr. med. G._ am 20. Juni 2017 von einem ausserplanmässigen "Rutschen" bzw. "Aus-der-Hand-Fallen" der schweren Keramikbox ausgingen, steht diese Schilderung des Bewegungsablaufs im Widerspruch zu den Angaben des Beschwerdeführers anlässlich der Exploration vom 7. Mai 2018. Bei der Beweiswürdigung ist der Erfahrungstatsache Rechnung zu tragen, dass behandelnde Haus- und Fachärzte (SVR 2017 IV Nr. 7 S. 19, 9C_793/2015 E. 4.1; 2016 IV Nr. 41 S. 131, 8C_676/2015 E. 6.2; 2008 IV Nr. 15 S. 43, I 514/06 E. 2.1) mitunter im Hinblick auf ihre Vertrauensstellung im Zweifelsfall eher zu Gunsten ihrer Patienten aussagen (BGE <ref-ruling> E. 4.5 S. 470; <ref-ruling> E. 3b/cc S. 353; Urteil 8C_527/2020 vom 2. November 2020 E. 4.2 mit Hinweis).
4.2.2. Auch der Kurzbericht vom 29. Mai 2017 des Spitals C._ zur notfallmässigen Erstbehandlung noch am Tag des geltend gemachten Vorfalles lässt entgegen dem Beschwerdeführer weder auf ein Unfallereignis im Sinne von <ref-law> noch auf einen unmittelbar operativ behandlungsbedürftigen Gesundheitsschaden schliessen. Vielmehr deutet das am 29. Mai 2017 - vorerst ohne MRT-Untersuchung - empfohlene Prozedere (fünftägige Ruhigstellung im Orthogilet) jedenfalls nicht auf ein klares traumatisches Geschehen mit notfallmässiger invasiver Behandlungsbedürftigkeit hin.
4.2.3. Nach dem Gesagten hat das kantonale Gericht mit der AXA und entgegen dem Beschwerdeführer einen Unfall im Sinne von <ref-law> mangels eines ungewöhnlichen äusseren Faktors zu Recht verneint.
4.3. Wie vom Beschwerdeführer zutreffend erkannt, prüfte die Vorinstanz in der Folge zu Recht, ob die als Listenverletzung im Sinne von <ref-law> in Frage kommenden Schäden an der linken Schulter nicht vorwiegend auf Abnützung oder Erkrankung zurückzuführen seien.
4.3.1. Wie dargelegt (E. 4.2.1) gingen die Dres. med. G._ und F._ davon aus, die vom Beschwerdeführer gehobene schwere Schachtel sei abgerutscht und von ihm mit der linken Hand respektive dem linken Arm aufgefangen worden. Statt dessen hat das kantonale Gericht nach bundesrechtskonformer Würdigung der Aktenlage zutreffend festgestellt, ausser dem plötzlichen Verspüren eines starken Schmerzes in der linken Schulter sei beim planmässigen Heben der schweren Kartonschachtel mit Keramikfliesen nichts Aussergewöhnliches passiert (vgl. auch E. 4.2 hievor). Zu Recht verweist der Beschwerdeführer darauf, dass das erinnerliche und benennbare Ereignis praxisgemäss auch nach der Revision von <ref-law> (vgl. dazu E. 3.2 hievor) bedeutsam bleibt. Denn ist als initiales Ereignis nur ein solches von ganz untergeordneter oder harmloser Art zu erheben, vereinfacht dies zwangsläufig in aller Regel den Entlastungsbeweis (<ref-ruling> E. 8.6 S. 69 f.).
4.3.2. Ist vom Bewegungsablauf auszugehen, den das kantonale Gericht mit der AXA als massgebend erkannt hat, vereinfacht dies hier den Entlastungsbeweis. Der Beschwerdeführer beruft sich insbesondere auf die Stellungnahme des Dr. med. G._ vom 28. August 2018. Daraus ergäben sich mehr als nur geringe Zweifel an der Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit der Einschätzung des Dr. med. E._ und der Aktenbeurteilung des die AXA beratenden Orthopäden Dr. med. H._. Deren Beurteilungen seien schon deshalb nicht überzeugend, weil sie von einem unzutreffenden Bewegungsablauf ausgingen. Diese Argumentation ist unbegründet. Denn nicht die Dres. med. H._ und E._, sondern der behandelnde Orthopäde Dr. med. G._ ging - abweichend von der vorinstanzlich bestätigten Sachverhaltsfeststellung der AXA - von einem unzutreffenden Hergang des Ereignisses vom 29. Mai 2017 aus. Dementsprechend hielt Dr. med. G._ die intraoperativ festgestellte SLAP-Läsion für eine typische Traumafolge des ihm vom Beschwerdeführer geschilderten Ereignisses (Entgleiten eines gehobenen schweren Gegenstandes mit Auffangen desselbigen). Je nach Rotationsbewegung und Position des Armes könne es bei diesem Mechanismus unter Umständen sehr wohl zu einer Luxation der Bizepssehne und dadurch zu einem Traumamechanismus in Bezug auf den Subscapularis im Sinne einer Scherbewegung kommen. Abschliessend hielt jedoch auch Dr. med. G._ fest, dass gewisse degenerative Veränderungen bei diesem Patienten als Schwerarbeiter mit Jahrgang 1960 normal seien.
4.3.3. Dr. med. H._ würdigte die intraoperativ erhobenen Befunde ausgehend vom massgebenden Bewegungsablauf, wie ihn der Beschwerdeführer anlässlich der Exploration des Dr. med. E._ am 7. Mai 2018 im Beisein einer Dolmetscherin vordemonstriert hatte (vgl. E. 4.1 hievor). Dabei gelangte Dr. med. H._ zur Überzeugung, der Schadensmechanismus spreche klar gegen eine frische traumatische Schädigung. Das Crescendo-Muster der Schmerzausstrahlungen in den Arm sei stets ein Hinweis auf eine Heilungsstörung, während bei einer traumatischen Schädigung ein Descrescendo-Muster zu erwarten sei. Dr. med. H._ legte in seiner Aktenbeurteilung vom 25. März 2019 schlüssig dar, die aktenkundigen muskulären Atrophien und Ansätze zu Verfettungen sprächen klar für eine zumindest moderate chronische Vorschädigung der linken Schulter. Für eine frische Rotatorenmanschettenruptur brauche es laut versicherungsmedizinischer Literatur das Element der Luxation, Verrenkung oder heftigen exzentrischen Belastung mit Rotationskomponente. Bei derartigen Traumatisierungen seien Begleitverletzungen obligat zu erwarten. Dazu gehöre das Knochenödem (Bone Bruise). Eine degenerative Vorschädigung sei aufgrund der intraoperativ erhobenen Befunde überwiegend wahrscheinlich. Auch Dr. med. E._ vertrat in seinem Bericht vom 27. Juli 2018 die Auffassung, die Rotatorenmanschettenläsion sei vorwiegend degenerativ bedingt. Bereits in seinem Bericht vom 7. Mai 2018 führte er aus, die Rissmorphologie müsse zum Unfallmechanismus passen. Der vom Beschwerdeführer demonstrierte Vorgang sei nicht geeignet, eine Rotatorenmanschette zu zerreissen. Dr. med. H._ zeigte schlüssig auf, dass die Begleitverletzungen nicht mit einer frischen traumatischen Schädigung zu vereinbaren seien, welche durch den geltend gemachten Bewegungsablauf hätte verursacht werden können. Auch SLAP-Läsionen seien in der Regel degenerativer Natur. Schon mit dem SNNOUT-Test des fehlenden Bone Bruise (Knochenödem) gelinge der Nachweis eines klinisch relevanten Vorschadens an den Sehnen der linken Schulter. Dr. med. H._ schloss, bei den objektivierbaren Befunden an der linken Schulter handle es sich überwiegend wahrscheinlich um chronische Sehnenschädigungen.
4.3.4. Der Beschwerdeführer vermag nicht darzulegen, aus welchen gegenteiligen medizinischen Einschätzungen sich zumindest geringe Zweifel an den Beurteilungen der Dres. med. E._ und H._ ergeben würden. Insbesondere die Auffassungen des behandelnden Orthopäden Dr. med. G._ und des Hausarztes beruhen ausschlaggebend auf einem als ursächlich anerkannten Bewegungsablauf, welcher nicht der massgebenden Sachverhaltsfeststellung gemäss Präsentation des Beschwerdeführers vom 7. Mai 2018 gegenüber Dr. med. E._ entspricht (vgl. E. 4.2.1 u. 4.3.1 hievor). Die vorinstanzliche Beweiswürdigung ist nicht als bundesrechtswidrig zu beanstanden.
4.3.5. Hat das kantonale Gericht zu Recht auf den Bericht des Dr. med. E._ und die Aktenbeurteilung des Dr. med. H._ abgestellt, ist nicht zu beanstanden, dass es den Entlastungsbeweis anerkannte, wonach die Rotatorenmanschettenläsion in der linken Schulter vorwiegend auf Abnützung oder Erkrankung zurückzuführen ist. Liegt folglich auch keine anspruchsbegründende unfallähnliche Körperschädigung vor, hat die Vorinstanz mit der AXA mangels eines Unfalles im Rechtssinne (E. 4.2.3) hinsichtlich der nach dem Vorfall vom 29. Mai 2017 geklagten linksseitigen Schulterbeschwerden zutreffend einen Anspruch auf Unfallversicherungsleistungen verneint.
4.4. Die beschwerdeweise hiegegen erhobenen Einwände sind unbegründet, weshalb es beim angefochtenen Entscheid sein Bewenden hat.
5.
Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Beschwerdeführer auferlegt (<ref-law>). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) kann entsprochen werden, da die Bedürftigkeit ausgewiesen ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Vertretung durch einen Rechtsanwalt geboten war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwältin Tania Teixeira wird als unentgeltliche Anwältin bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Der Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. Januar 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Hochuli