Faits :
A.
A.a. A._, née en 1982, et B._, né en 1982, sont les parents de C._, né en 2014.
A.b. Par décision du 5 octobre 2017, la Justice de paix du district de Lausanne (ci-après: justice de paix) a notamment attribué à A._ et à B._ l'autorité parentale conjointe sur l'enfant C._, les a enjoints à poursuivre le suivi thérapeutique relatif à leur coparentalité auprès de J._, tant que la Dresse D._ l'estimerait utile, et a invité cette dernière à l'informer en cas d'interruption unilatérale par l'un ou l'autre des parents sans son accord, a fixé le droit de visite du père sur son fils les semaines paires du mercredi à 17h au vendredi matin, les semaines impaires du mercredi à 17h au dimanche à 18h30 et durant cinq semaines de vacances par année, a institué une curatelle de surveillance des relations personnelles au sens de l'<ref-law> en faveur de C._, a nommé en qualité de curatrice E._, assistante sociale auprès du Service de protection de la jeunesse (ci-après: SPJ), et a dit que la mesure de curatelle serait caduque une année après son institution, dès la décision définitive et exécutoire, sous réserve d'une demande de prolongation du SPJ.
B.
B.a. Par requête du 25 avril 2019, A._ a conclu à la modification des modalités du droit de visite de B._ et a formé plusieurs griefs à l'encontre du SPJ. Elle s'est notamment plainte que E._ n'exécutait pas la décision du 5 octobre 2017, qu'elle adoptait des comportements déplacés et qu'il existait une différence de traitement, en sa défaveur, de la part du SPJ. S'agissant des vacances et du droit de visite du père, elle a fait valoir qu'ils n'étaient pas établis sur des bases claires et que le planning des vacances n'était pas équitable.
B.b. Dans son rapport du 31 mai 2019, le SPJ a conclu que les modalités actuelles de la garde de C._ étaient néfastes pour son développement et a proposé de confier provisoirement le " droit de déterminer le lieu de résidence " à B._, l'enfant devant pouvoir vivre auprès de son père toute la semaine afin de lui apporter davantage de stabilité émotionnelle. Il a relevé qu'il y avait lieu d'ouvrir une enquête en limitation de l'autorité parentale et d'ordonner une expertise pédopsychiatrique, étant donné que la problématique psychique était au coeur de la souffrance de l'enfant et que la thérapie de coparentalité n'évoluait guère.
B.c. Par ordonnance de mesures provisionnelles du 25 juin 2019, le juge de paix a notamment ouvert une enquête en limitation de l'autorité parentale de A._ et B._ sur l'enfant (II), a confié un mandat d'évaluation au SPJ (III), a ordonné une expertise pédopsychiatrique à l'endroit de l'enfant (IV), a provisoirement institué une curatelle d'assistance éducative au sens de l'<ref-law> en faveur de l'enfant (V), a provisoirement nommé E._, assistante sociale pour la protection des mineurs au sein du SPJ, en qualité de curatrice (VI), et a fixé sa mission (VII), a invité la curatrice à remettre annuellement un rapport sur son activité et sur l'évolution de la situation de l'enfant (VIII), a attribué à B._ la garde de fait de l'enfant à titre provisoire et de manière exclusive (IX), et a dit que A._ exercerait un droit de visite, également à titre provisoire, à raison d'un week-end sur deux, du vendredi soir à 18h au dimanche soir à 18h, la moitié des vacances scolaires, moyennant un préavis donné trois mois à l'avance, ainsi qu'alternativement à Noël ou Nouvel An, Pâques ou l'Ascension et Pentecôte ou le Jeûne fédéral, à charge pour elle d'aller chercher l'enfant là où il se trouve et de l'y ramener (X).
B.d. Par acte du 25 juillet 2019, A._ a interjeté un recours contre l'ordonnance précitée, en concluant principalement à la suppression des chiffres IX et X de son dispositif et au maintien de la garde de fait de l'enfant C._ auprès d'elle.
A l'appui de son recours, elle a produit un bordereau de cinq pièces et a requis la production de trois pièces relatives à la participation des parents à divers rendez-vous et séances concernant l'enfant. Elle a en outre sollicité le bénéfice de l'assistance judiciaire.
B.e. Par ordonnance du 29 juillet 2019, le Président de la Chambre des curatelles du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté la requête d'effet suspensif assortissant le recours.
B.f. Par requête de mesures superprovisionnelles et provisionnelles du 16 août 2019, A._ a conclu à ce que la nullité de l'inscription de C._ auprès de la crèche de F._ et de l'Etablissement primaire de G._ soit constatée, subsidiairement à ce que cette inscription soit annulée, à ce que l'enfant soit maintenu à la crèche " H._ " ainsi qu'à l'Etablissement scolaire de I._ et à ce qu'il reste officiellement domicilié au chemin..., jusqu'à droit connu sur la procédure de recours et la procédure au fond pendantes devant la Justice de paix du district de Lausanne.
B.g. Par arrêt du 21 août 2019, la Chambre des curatelles du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté le recours, confirmé l'ordonnance entreprise et rejeté la requête de mesures superprovisionnelles et provisionnelles dans la mesure de sa recevabilité. Elle a par ailleurs rejeté la requête d'assistance judiciaire et mis les frais judiciaires de deuxième " instruction ", arrêtés à 800 fr., à la charge de la recourante.
C.
Par acte posté le 23 septembre 2019, A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 21 août 2019. Elle conclut à sa réforme en ce sens que les points IX et X de l'ordonnance de première instance sont supprimés, que la garde de l'enfant C._ est maintenue auprès d'elle, que sa requête d'assistance judiciaire est admise, et que les frais judiciaires de deuxième " instruction " sont mis à la charge de l'intimé, ce dernier étant son débiteur de la somme de 1'432 fr. 95 à titre de dépens de deuxième instance. Pour le surplus, elle sollicite d'être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Des déterminations n'ont pas été requises.

Considérant en droit :
1.
Déposé en temps utile (<ref-law>) et dans la forme légale (<ref-law>), le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans une affaire civile (<ref-law>; arrêt 5A_943/2016 du 1er juin 2017 consid. 1 et la référence) de nature non pécuniaire. La recourante a participé à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt digne de protection à la modification ou l'annulation de la décision entreprise (art. 76 al. 1 let. a et b LTF). Le recours est donc en principe recevable.
2.
2.1. Comme la décision entreprise porte sur des mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law>, la partie recourante ne peut dénoncer que la violation de droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés par le recourant (<ref-law>), c'est-à-dire expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (" principe d'allégation "; <ref-ruling> consid. 1.2.2; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.4). Partant, le recourant ne peut se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en procédure d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition, notamment en se contentant d'opposer sa thèse à celle de l'autorité précédente; les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF <ref-ruling> consid. 2.4). Par ailleurs, le grief doit être développé dans le recours même, un renvoi à d'autres écritures ou à des pièces n'étant pas admissible (<ref-ruling> consid. 3.2). Il doit exister un lien entre la motivation du recours et la décision attaquée. Le recourant doit se déterminer par rapport aux considérants de l'arrêt entrepris; il ne peut se contenter de reprendre presque mot pour mot l'argumentation formée devant l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 2.1 et 2.3).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Dans l'hypothèse d'un recours soumis à l'<ref-law>, le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que s'il démontre la violation de droits constitutionnels, conformément au principe d'allégation susmentionné (cf. supra, consid. 2.1). Le recourant ne peut se limiter à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; il doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.4.3). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 2.3 et les références).
3.
Sous des angles qui se recoupent partiellement, la recourante se plaint d'arbitraire dans la constatation des faits et l'appréciation des preuves ainsi que dans l'application des art. 298d et 445 al. 1 CC. Sur le fond, elle soutient en substance que le changement de garde n'apparaît pas comme une mesure propre à préserver l'enfant dans son développement ou à le protéger et qu'il avait fortement compromis le besoin de stabilité de celui-ci.
3.1.
3.1.1. A la requête de l'un des parents ou de l'enfant ou encore d'office, l'autorité de protection de l'enfant modifie l'attribution de l'autorité parentale lorsque des faits nouveaux importants le commandent pour le bien de l'enfant (<ref-law>). Elle peut aussi se limiter à statuer sur la garde de l'enfant, les relations personnelles ou la participation de chaque parent à sa prise en charge (<ref-law>). Toute modification dans l'attribution de l'autorité parentale ou de la garde suppose ainsi que la nouvelle réglementation soit requise dans l'intérêt de l'enfant en raison de la survenance de faits nouveaux essentiels. En d'autres termes, une nouvelle réglementation ne dépend pas seulement de l'existence de circonstances nouvelles importantes; elle doit aussi être commandée par le bien de l'enfant (arrêt 5A_406/2018 du 26 juillet 2018 consid. 3.1 et les références).
La règle fondamentale pour attribuer la garde est le bien de l'enfant, les intérêts des parents devant être relégués au second plan (<ref-ruling> consid. 3.2.3). Au nombre des critères essentiels, entrent en ligne de compte les relations personnelles entre parents et enfant, les capacités éducatives respectives des parents, leur aptitude à prendre soin de l'enfant personnellement, à s'en occuper, ainsi qu'à favoriser les contacts avec l'autre parent, l'âge de l'enfant et son appartenance à une fratrie ou à un cercle social ainsi que le souhait exprimé par ce dernier s'agissant de sa propre prise en charge; il faut choisir la solution qui, au regard des données de l'espèce, est la mieux à même d'assurer à l'enfant la stabilité des relations nécessaires à un développement harmonieux des points de vue affectif, psychique, moral et intellectuel. Lorsque le père et la mère offrent des conditions équivalentes, la préférence doit être donnée, dans l'attribution d'un enfant en âge de scolarité ou qui est sur le point de l'être, à celui des parents qui s'avère le plus disponible pour l'avoir durablement sous sa propre garde, s'occuper de lui et l'élever personnellement alors qu'il faudra davantage tenir compte de l'appartenance à un cercle social déterminé s'agissant d'un adolescent (<ref-ruling> consid. 3.2.3-3.2.4; <ref-ruling> consid. 5.3; <ref-ruling> consid. 4a; arrêt 5A_382/2019 du 9 décembre 2019 consid. 4.2.1 et l'autre référence).
Pour trancher la question du sort des enfants, le juge peut notamment avoir recours aux services de protection de l'enfance ou de la jeunesse pour demander un rapport sur la situation familiale, une enquête sociale pouvant avoir son utilité en cas de situation conflictuelle et de doute sur la solution adéquate pour les enfants (<ref-ruling> consid. 3.2.3; arrêt 5A_512/2017 du 22 décembre 2017 consid. 3.4.1 et les références). Le juge peut toutefois s'écarter des conclusions d'un rapport établi par un tel service à des conditions moins strictes que celles applicables lorsqu'il s'agit d'une expertise judiciaire (arrêts 5A_382/2019 précité consid. 4.2.2; 5A_373/2018 du 8 avril 2019 consid. 3.2.6; 5A_794/2017 du 7 février 2018 consid. 4.1; 5A_512/2017 précité consid. 3.4.3 in fine).
3.1.2. Lorsque l'autorité de protection de l'enfant est compétente pour modifier l'attribution de l'autorité parentale, de la garde, des relations personnelles ou de la participation de chaque parent à la prise en charge de l'enfant (<ref-law>), la procédure est réglée par les <ref-law>. En effet, ces dispositions ne visent pas uniquement les mesures de protection de l'enfant au sens strict, mais aussi les mesures de protection de l'enfant au sens large. Par renvoi de l'<ref-law>, l'<ref-law> permet ainsi à l'autorité de protection de l'enfant de prendre toutes les mesures provisionnelles nécessaires pendant la durée de la procédure (arrêts 5A_293/2019 du 29 août 2019 consid. 5.2.1; 5A_46/2017 du 19 juin 2017 consid. 4.2.2 et les références).
Le prononcé de mesures provisionnelles suppose qu'il y ait urgence à statuer et qu'une mesure soit nécessaire pour sauvegarder des intérêts menacés. L'autorité dispose d'un large pouvoir d'appréciation quant au point de savoir s'il y a lieu d'ordonner des mesures provisionnelles. Conformément au principe de la proportionnalité, qui est inhérent au but d'une mesure provisoire, les mesures provisionnelles doivent être adaptées aux circonstances de l'espèce: il s'agit de préférer la mesure qui préserve au mieux les intérêts des parties et donc, entre plusieurs solutions possibles, de choisir la moins incisive (arrêts 5A_293/2019 précité; 5A_46/2017 précité; 5A_943/2016 du 1er juin 2017 consid. 6.2.1 in fine).
3.2. En l'espèce, la cour cantonale a tout d'abord jugé qu'il n'y avait pas lieu de donner suite aux mesures d'instruction sollicitées par la recourante, respectivement à sa réquisition de production de pièces en mains de tiers concernant notamment sa participation à diverses séances. Après une appréciation anticipée, il apparaissait en effet que, même si les moyens proposés devaient permettre d'établir les faits allégués par la recourante, ceux-ci ne seraient pas de nature à modifier l'appréciation effectuée par le premier juge sur la base des éléments au dossier de première instance.
Les juges cantonaux ont ensuite constaté que le rapport du SPJ du 31 mai 2019 faisait notamment état du comportement inquiétant de l'enfant, de son agressivité, de sa fragilité psychique particulièrement préoccupante et d'une grave mise en danger de son développement. Il ressortait par ailleurs du rapport que les demandes et revendications de la mère n'étaient pas du tout en lien avec les besoins de l'enfant et que le père était en mesure d'apporter à celui-ci davantage de stabilité émotionnelle. Au demeurant, et alors que la recourante relevait l'impact négatif sur l'enfant du manque de communication parentale, elle avait suspendu la thérapie de coparentalité auprès de la Dresse D._ au mois de novembre 2018. Elle ne s'était en outre pas rendue à plusieurs rendez-vous fixés avec divers intervenants et faisait preuve d'un manque d'investissement dans la prise en charge psychologique de l'enfant, alors que le père était quant à lui décrit comme collaborant. Peu importait d'ailleurs que la recourante eût pris, précipitamment, à la lecture du rapport du SPJ du 31 mai 2019, divers rendez-vous médicaux. Les constatations effectuées par le SPJ étaient claires et surtout alarmantes, dès lors notamment qu'il était fait état d'une grave mise en danger du développement de l'enfant. Dans ces circonstances, et considérant que le bien de l'enfant doit primer, c'était à bon droit que le premier juge avait donné suite à la proposition du SPJ. Par ailleurs et dès lors que l'enfant semblait avoir grandement besoin d'une stabilité émotionnelle, il était essentiel de ne pas changer sans cesse ses repères. Durant la durée de l'enquête, il se justifiait ainsi d'autant plus de le maintenir chez son père, auprès duquel il vivait depuis le 20 juillet 2019.
3.3. La recourante ne prétend pas que le comportement inquiétant de l'enfant, son agressivité, sa fragilité psychique particulièrement préoccupante ainsi que la grave mise en danger de son développement ne constitueraient pas des circonstances nouvelles au sens de la jurisprudence susrappelée. Il convient donc uniquement d'examiner s'il était dans l'intérêt de l'enfant d'ordonner sur mesures provisionnelles le changement de garde préconisé par le SPJ.
S'il est vrai que le juge peut s'écarter d'un rapport d'évaluation sociale à des conditions moins strictes que celles valant pour une expertise psychiatrique du groupe familial, il convient néanmoins qu'il existe des motifs pour ce faire. Or en l'occurrence, hormis affirmer péremptoirement que le transfert de la garde au père a été préavisé par le SPJ en réaction aux critiques qu'elle avait formulées à son endroit, la recourante ne met en évidence aucun élément qui ferait apparaître comme insoutenable le fait d'avoir suivi les recommandations formulées dans le rapport litigieux.
S'agissant de l'urgence à statuer, la recourante ne remet pas valablement en cause le caractère alarmant de la situation constaté par la cour cantonale sur la base dudit rapport. Elle se borne en effet à affirmer que ses compétences parentales n'ont jamais été mises en doute et que le comportement psychologique de son fils ne lui est pas imputable, aucun professionnel n'ayant relevé qu'elle mettrait elle- même directement en danger son développement. Or, sans que cela soit contesté, il résulte du rapport du SPJ que l'état psychique de l'enfant s'est progressivement dégradé depuis la reddition du rapport de l'Unité évaluation et missions spécifiques (UEMS) de juillet 2017 et qu'il le mettait aujourd'hui gravement en danger. C'est donc sans arbitraire que la cour cantonale a confirmé l'urgence de la mesure. Quant à sa proportionnalité, la recourante est d'avis que les mesures déjà mises en oeuvre - suivi psychiatrique de l'enfant, curatelle d'assistance éducative, travail de coparentalité - sont suffisantes et qu'il convenait d'attendre leur résultat. Or, ce faisant, la recourante ne fait qu'opposer sa propre vision à celle de la cour cantonale, ce qui est insuffisant au regard des exigences de motivation susrappelées (cf. supra consid. 2.1). En tant qu'elle reproche en outre à la cour cantonale de ne pas avoir exposé en quoi le transfert de la garde au père serait de nature à mieux préserver les intérêts de l'enfant ni en quoi ce dernier serait plus à même qu'elle d'apporter à l'enfant une stabilité émotionnelle, elle omet que la cour cantonale a non seulement constaté que l'intimé est décrit comme collaborant dans la prise en charge psychologique de l'enfant mais a aussi jugé qu'au regard du critère de la stabilité, il apparaissait justifié de maintenir l'enfant chez lui dès lors qu'il y vit depuis le 20 juillet 2019. Les considérations de la recourante en lien avec son investissement dans la thérapie de coparentalité, qui n'aurait été suspendue qu'en novembre et décembre 2018, et le suivi psychiatrique de l'enfant, dont plusieurs rendez-vous auraient déjà été fixés avant l'audience de première instance, apparaissent dès lors sans portée et laissent intacte l'appréciation anticipée des preuves à laquelle a procédé la cour cantonale. Il n'y a en effet rien d'insoutenable à considérer que le maintien d'un enfant dans son milieu scolaire ainsi que dans son lieu de vie désormais usuel contribue à lui apporter une certaine stabilité, en soi conforme à son intérêt. La cour cantonale avait déjà retenu ce dernier motif dans sa décision refusant l'effet suspensif. La recourante n'a pas recouru contre cette décision et a préféré requérir, deux semaines après son prononcé, des mesures superprovisionnelles et provisionnelles en lien avec le lieu de scolarisation de l'enfant. Or, comme l'a retenu la cour cantonale sans arbitraire, la scolarisation de l'enfant près du domicile du parent gardien - même à titre provisoire - s'inscrit dans la charge d'encadrement quotidien assumée par ce dernier. Dès lors que la décision d'attribuer la garde au père n'avait pas été suspendue, le changement du lieu de scolarisation était inévitable et la recourante ne saurait à ce stade s'en prévaloir pour soutenir que le changement de garde porterait atteinte au besoin de stabilité de l'enfant.
Infondée, la critique de la recourante doit être rejetée dans la mesure de sa recevabilité.
4.
La recourante s'en prend encore au refus de la cour cantonale de lui accorder le bénéfice de l'assistance judiciaire. Elle n'établit toutefois pas d'une manière conforme aux exigences de l'<ref-law> en quoi l'<ref-law> aurait été appliqué de manière arbitraire ou l'art. 29 al. 3 Cst. - qu'elle ne mentionne même pas - violé. Elle se contente en effet d'affirmer que sa " capacité éducative " n'avait jamais été remise en cause et qu'elle avait un droit légitime de recourir contre une décision injustifiée comme le démontraient les arguments développés dans le présent recours.
5.
En définitive, le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Le recours au Tribunal fédéral n'offrait pas davantage de chances de succès que le recours cantonal, en sorte que la recourante n'a pas droit à l'assistance judiciaire dans l'instance fédérale (<ref-law>). Dès lors qu'elle succombe, elle supportera les frais de la procédure (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimé, qui n'a pas été invité à répondre (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre des curatelles du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 13 février 2020
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Hildbrand