Erwägungen:
1.
1.1. Die Eheleute A.A._ (geb. 1955) und B.A._ (geb. 1952) haben steuerrechtlichen Wohnsitz in U._/TG. Der Ehemann war in den hier interessierenden Jahren 2004 bis 2010 selbständig erwerbend und betätigte sich in der Automobil-Branche (Einzelfirma "A.X._"). Im Jahr 2008 brachte er sein Unternehmen bei der Eidgenössischen Steuerverwaltung (ESTV), Hauptabteilung Mehrwertsteuer, rückwirkend per 1. Januar 2003, zur Anmeldung. Als Geschäftstätigkeit nannte er (lediglich) Autoreparaturen und Occasionshandel. Im Jahr 2011 unterzog die ESTV die Einzelunternehmung einer Mehrwertsteuerkontrolle. Dabei zeigte sich, dass der Steuerpflichtige in insgesamt vier Sparten tätig war, nämlich Autoreparaturen und Occasionshandel, so wie deklariert, darüber hinaus aber auch Taxibetrieb und Schulbusbetrieb. Zu den beiden letzten Sparten fand die ESTV keine oder nur unvollständige Unterlagen vor.
1.2. Hinsichtlich der Sparte Taxibetriebermittelte die ESTV einen Mischansatz von Fr. 3.40 pro Kilometer (enthaltend auch Nachtfahrten, Abholfahrten sowie Wartezeit). Ausgehend davon, dass es sich bei der Hälfte der Fahrten um Leerfahrten (Rückweg, Abholweg, Arbeitsweg etc.) handelt, halbierte sie diesen Wert. Alsdann multiplizierte sie die im Jahresdurchschnitt zurückgelegten Kilometer (38'257 km) mit dem hälftigen Kilometeransatz, was zu einem Umsatz von Fr. 65'037.-- führte. Zur Festlegung der durchschnittlichen Jahresleistung zog sie die Prüfberichte des Strassenverkehrsamts des Kantons Thurgau bei, denen sie die geschäftlich gefahrenen Kilometer des als Taxifahrzeug gemeldeten Volkswagen yyy (TG xxx) entnahm. In der Annahme, dass eine durchschnittliche Einsatzstrecke 20 km betrage, schloss die ESTV, es müssten pro Jahr 1'912 Einzelfahrten absolviert worden sein. Dies war insoweit von Bedeutung, als zum Kilometerumsatz die Grundtaxe zuzurechnen war (Fr. 4.- x 1'912 Fahrten = Fr. 7'648.--). Dies führte zu einem Jahresumsatz in der Sparte Taxibetrieb von Fr. 72'685.--. In einem weiteren Schritt plausibilisierte die ESTV die Kalkulation anhand des Konkurrenzbetriebs in U._/TG. Der Quervergleich zeigte, dass dieser Taxibetrieb nur geringfügig höhere Tarife anwendet. In der Sparte Schulbusbetrieb konnte die ESTV sich auf die Angaben der Sprachheilschule stützen, in deren Auftrag der Steuerpflichtige die Leistungen erbracht hatte.
1.3. Mit Einschätzungsmitteilungen vom 31. Mai 2011 forderte die ESTV vom Steuerpflichtigen noch nicht entrichtete Mehrwertsteuern von Fr. 27'971.-- (Steuerperioden vom ersten Semester 2004 bis und mit dem zweiten Semester 2006) sowie Fr. 42'699.-- (Steuerperioden vom ersten Semester 2007 bis und mit dem zweiten Semester 2009). Die Einsprache an die ESTV (Entscheid vom 9. November 2012) und die Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht (Entscheid A- 6564/2012 vom 12. September 2013) blieben erfolglos. Mit Urteil 2C_970/2013 / 2C_971/2013 vom 12. November 2013 trat das Bundesgericht auf die Beschwerde des Steuerpflichtigen mangels Vorliegens einer hinreichenden Begründung nicht ein.
1.4. Am 11. März 2014 leitete die Steuerverwaltung des Kantons Thurgau (KSTV/TG) gegenüber dem Steuerpflichtigen ein Nachsteuerverfahren betreffend die Steuerperioden 2004 bis 2011 ein. Die KSTV/TG forderte den Steuerpflichtigen auf, die bislang nicht deklarierten Umsätze aus dem Schulbusbetrieb, wozu bislang keinerlei Deklaration vorlag, zu bezeichnen und die nur unvollständig deklarierten Umsätze aus dem Taxibetrieb abschliessend zu ergänzen. Der Steuerpflichtige blieb untätig, worauf die KSTV/TG, gestützt auf die Erhebungen der ESTV, am 10. September 2014 zur Veranlagung nach pflichtgemässem Ermessen der Nachsteuerbetreffnisse schritt. Die KSTV/TG rechnete - jeweils für die Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Thurgau als auch die direkte Bundessteuer - folgende Einkünfte aus selbständiger Erwerbstätigkeit auf: Fr. 44'481.-- (2004), Fr. 51'768.-- (2005), Fr. 51'321.-- (2006), Fr. 75'597.-- (2007), Fr. 72'565.-- (2008), Fr. 71'087.-- (2009) und Fr. 71'534.-- (2010), insgesamt rund Fr. 440'000.-- für die Sparten Taxibetrieb und Schulbusbetrieb. Die Einsprachen an die KSTV/TG (Einspracheentscheide vom 12. November 2014) und die Rechtsmittel an die Steuerrekurskommission des Kantons (Rekursentscheide vom 16. Dezember 2016) führten zur Abweisung.
1.5. Die Eheleute gelangten am 16. Januar 2017 an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Mit Entscheiden VG.2017.8/E / VG.2017.9/E wies dieses die Beschwerden ab. Es erwog, die KSTV/TG habe die nur unvollständig verbuchten Umsätze aus dem Taxibetrieb ergänzt, indem es sich auf das detailliert gehaltene und nachvollziehbare Ergebnis der ESTV gestützt habe (vorne E. 1.2). Die Methodik der ESTV sei "insgesamt vernünftig und zweckmässig". Die auch nicht ansatzweise deklarierten Umsätze aus dem Schulbusbetrieb hätten aufgrund der Auskunft der Sprachheilschule lückenlos rekonstruiert werden können. Der Steuerpflichtige sei daher auf den Unrichtigkeitsnachweis verwiesen (angefochtener Entscheid E. 2.3.2 und 2.3.3). Auch wenn das Fahrzeug teils für Schülertransporte verwendet worden sei, unterstehe es dennoch der Fahrtschreiberpflicht (angefochtener Entscheid E. 3.1). Zu den Tagesaufzeichnungen für die Jahre 2004 und 2005 erwägt das Verwaltungsgericht, in diesem (späten) Verfahrensstadium seien diese nicht mehr zu berücksichtigen, nachdem die Unterlagen - entgegen den Behauptungen des Steuerpflichtigen - im Veranlagungsverfahren nicht vorgebracht worden seien. In Würdigung dieser inhaltlich mangelhaften Aufzeichnungen sei ohnehin festzustellen, dass diese den Anforderungen an einen bargeldintensiven Betrieb in keiner Weise genügten (angefochtener Entscheid E. 3.2). Die Unterlagen liessen immerhin den Schluss zu, dass der Steuerpflichtige eher mehr als die von der ESTV erhobenen 1'912 Fahrten ausgeführt habe (vorne E. 1.2; angefochtener Entscheid E. 3.3). Was schliesslich den Fahrzeugaufwand (angeblich 12,3 %), den Personalaufwand (angeblich 33,4%) und den übrigen Aufwand (1 %) betreffe, sei entgegen den Erklärungen des Steuerpflichtigen davon auszugehen, dass diese Positionen bereits verbucht worden seien (E. 3.4).
1.6. Der Steuerpflichtige erhebt mit zwei Eingaben vom 13. November 2017 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt, von der Erhebung der Nachsteuern sei abzusehen und die Gewinnungskosten seien zum Abzug zuzulassen.
1.7. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter hat die Vorakten beigezogen, von weiteren Instruktionsmassnahmen aber abgesehen (<ref-law> [SR 173.110]). Mit Blick auf die offensichtliche Unbegründetheit der Beschwerden kann die Angelegenheit im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden.
I. Prozessuales
2.
2.1. Die beiden gleichlautenden Beschwerden betreffen die Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Thurgau und die direkte Bundessteuer, Steuerperioden 2004 bis 2010. Die Vorinstanz hat zu den beiden Steuerarten je ein Verfahren geführt. Die aufgeworfenen Rechtsfragen im Zusammenhang mit der Veranlagung nach pflichtgemässem Ermessen sind in beiden Fällen gleichermassen zu beantworten. Es rechtfertigt sich daher, die Verfahren zu vereinigen und die Beschwerden in einem einzigen Urteil zu erledigen (vgl. <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> [SR 273]; <ref-ruling> E. 1.2 S. 296).
2.2. Die Sachurteilsvoraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten liegen vor (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90, Art. 100 Abs. 1 BGG in Verbindung mit <ref-law> [SR 642.11] und Art. 73 Abs. 2 StHG [SR 642.14]). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.3. Das Bundesgericht prüft das Bundesrecht, wozu auch das Recht der direkten Bundessteuer (<ref-law>) und das harmonisierte Recht von Kantonen und Gemeinden (<ref-law>) zählt, von Amtes wegen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.5 S. 157) und mit uneingeschränkter (voller) Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 236). Abweichend davon untersucht es die angebliche Verletzung verfassungsmässiger Individualrechte (unter Einschluss der Grundrechte) sowie von rein kantonalem Recht nur, falls eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (<ref-law>; qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit; <ref-ruling> E. 1.7.2 S. 106). In der Beschwerde ist daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids aufzuzeigen, inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 372). Auf bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid geht das Bundesgericht insofern nicht ein (<ref-ruling> E. 6.3 S. 375).
2.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.3 S. 156). Zu den tatsächlichen Feststellungen zählt auch die Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 6.3 S. 375).
II. Direkte Bundessteuer
3.
3.1. Hat die steuerpflichtige Person trotz Mahnung ihre Verfahrenspflichten nicht erfüllt oder können die Steuerfaktoren mangels zuverlässiger Unterlagen nicht einwandfrei ermittelt werden, so nimmt die Veranlagungsbehörde die Veranlagung nach pflichtgemässem Ermessen vor (<ref-law>). Ist die Veranlagungsperiode bereits rechtskräftig veranlagt, gilt dasselbe im Nachsteuerverfahren (<ref-law>). Die steuerpflichtige Person kann eine Veranlagungsverfügung, die aufgrund pflichtgemässen Ermessens ergangen ist, einzig mit der Begründung anfechten, die Veranlagung sei offensichtlich unrichtig (<ref-law>). Prozessual bedeutet dies, dass es zur Umkehr der Beweislast kommt (so ausdrücklich <ref-law>).
3.2. Der Unrichtigkeitsnachweis ist umfassend anzutreten (Urteil 2C_36/2017 vom 30. Januar 2017 E. 2.2.1 mit Hinweis, in: ASA 85 S. 600). Die steuerpflichtige Person kann hierzu entweder weitere Beweismittel nachreichen, wodurch die Untersuchungspflicht der kantonalen Behörden wieder auflebt oder aber aufzeigen, dass die angefochtene Veranlagungsverfügung offensichtlich übersetzt ist. Dies bedingt indes grobe methodische oder rechnerische Fehler (Urteil 2C_90/2017 vom 16. Oktober 2017 E. 2.1). Dieselben Anforderungen herrschen im kantonalen Beschwerdeverfahren (MARTIN ZWEIFEL/SILVIA HUNZIKER, in: Martin Zweifel/Michael Beusch [Hrsg.], Kommentar DBG, 3. Aufl. 2017, N. 54 zu <ref-law>). Das Bundesgericht prüft das Ergebnis einer Bewertung oder Schätzung nur zurückhaltend, das heisst auf offensichtliche Fehler und Irrtümer hin. Es obliegt der steuerpflichtigen Person, die Unrichtigkeit der Schätzung zu beweisen. Erhebt die steuerpflichtige Person Beschwerde, kann sie sich vor Bundesgericht nicht darauf beschränken, die Kalkulationsgrundlagen der Ermessensbetätigung allgemein zu kritisieren; sie muss vielmehr nachweisen, dass die von der Steuerverwaltung vorgenommene Schätzung offensichtlich unrichtig ist (ausführlich zur Kognition Urteil 2C_311/2015 vom 23. Mai 2016 E. 2.2 mit Hinweisen, in: ASA 85 S. 59).
3.3. Der Steuerpflichtige macht eingangs geltend, entgegen der vorinstanzlichen Sichtweise habe er die Umsätze aus den Sparten Taxibetrieb und Schulbusbetrieb vollständig deklariert. Die bei der Thurgauischen Sprachheilschule eingeholten Erkundigungen (hinsichtlich der fakturierten Leistungen aus dem Schulbusbetrieb) hätten in Wahrheit nur der Umsatzabstimmung gedient. Dies überzeugt aber nicht: Selbst wenn der Steuerpflichtige insoweit der qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit (Art. 105 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law>; vorne E. 2.3 und 2.4) genügt hätte, was mit Blick auf die rein appellatorische Darlegungen nicht der Fall ist, wäre ihm nicht zuzustimmen. Denn die Berechnungsgrundlagen (Formular "Nachweis Steuerpflicht des Inhabers der Einzelfirma..."), die sich in den vorinstanzlichen Akten finden und vom Bundesgericht beigezogen werden können (<ref-law>), sprechen eine andere Sprache. So zeigt sich, dass der Steuerpflichtige in den Jahren 2004 bis 2010, was die Sparten Taxibetrieb und Schulbusbetrieb betrifft, Umsätze von rund Fr. 514'000.-- verbuchte. Dies entspricht zwar grob den von der ESTV erhobenen Umsätzen aus dem Taxibetrieb (Fr. 504'000.--), wozu aber noch die Leistungen aus dem Schulbusbetrieb kommen (rund Fr. 449'000.--). ESTV und KSTV/TG gehen je von Umsätzen von Fr. 952'500.-- (pflichtgemäss geschätzt) bzw. Fr. 513'800.-- (verbucht) aus. Die Verbuchungsquote erreicht mithin rund 54 Prozent. Die Behauptung, in beiden Sparten seien sämtliche Umsätze verbucht worden, entbehrt damit der Grundlage.
3.4.
3.4.1. In einem zweiten Punkt trägt der Steuerpflichtige vor, entgegen der vorinstanzlichen Sichtweise habe keine durchgängige Pflicht zur Verwendung eines Fahrtschreibers bestanden. Er habe die Touren nicht alleine bewältigen können und daher auf Personal zurückgreifen müssen. Die Pflicht, einen Fahrtschreiber zu verwenden, finde auf Fahrten, die durch das Personal absolviert werden, keine Anwendung. Dies ergebe sich aus der Verordnung vom 6. Mai 1981 über die Arbeits- und Ruhezeit der berufsmässigen Führer von leichten Personentransportfahrzeugen und schweren Personenwagen (ARV 2; SR 822.222).
3.4.2. Die Vorinstanz hat eingeräumt, dass Transporte für Behinderte und Schüler dieser Verordnung nicht unterstehen (Art. 4 Abs. 1 lit. c ARV 2); sie geht aber davon aus, dass bei gemischter Verwendung (Schülertransporte und Taxifahrten) die Fahrtschreiber auch während der nicht-ARV-pflichtigen Fahrten benützt werden müssten. Diese Frage ist nicht rechtserheblich: Denn gemäss Feststellung der Vorinstanz (E. 2.3.2 der angefochtenen Entscheide) beruht die Umsatzermittlung für die Schultransporte auf den entsprechenden Kundenrechnungen. Unabhängig davon, ob die Fahrtschreiber hätten benützt werden müssen oder nicht, hat der Steuerpflichtige nicht dargelegt, dass und inwiefern diese auf den Kunderechnungen beruhende Umsatzermittlung für die Schülertransporte offensichtlich unrichtig wäre.
3.5. Es scheint unbestritten zu sein, dass die Veranlagungsakten der Steuerperioden 2004 bis 2010 auf ungeklärte Weise verschwunden, also unauffindbar sind. Der Steuerpflichtige macht sinngemäss geltend, die Tagesaufzeichnungen zu den Jahren 2004 bis 2005 hätten bereits der Veranlagungsbehörde vorgelegen, weshalb es sich im vorinstanzlichen Verfahren um keine unzulässigen Noven gehandelt habe. Hierzu hatte die Vorinstanz festgehalten, wenn die Tagesaufzeichnungen 2004/2005 tatsächlich schon im Veranlagungsverfahren greifbar gewesen wären, hätte sich im Taxibetrieb keine Unterbesteuerung einstellen können. Dies überzeugt und bedarf keiner weiteren Erörterung, denn die Unterbesteuerung ist offensichtlich (Formular "Nachweis Steuerpflicht des Inhabers der Einzelfirma..."; vorne E. 3.3). Die weiteren Rügen (Verletzung des rechtlichen Gehörs, unrichtige Sachverhaltsfeststellung, namentlich hinsichtlich des Volkswagens yyy und der angeblichen Doppelberücksichtigung) sind verfassungsrechtlicher Natur und stehen wiederum unter dem Vorbehalt von Art. 105 Abs. 1 bzw. <ref-law>. Die knappen, rein appellatorischen Ausführungen genügen diesen Anforderungen nicht.
3.6.
3.6.1. Alsdann verweist der Steuerpflichtige auf die Abrechnungsmethode der Saldosteuersätze, die er für die Zwecke der Mehrwertsteuer a0nwendete (<ref-law> [SR 641.20]). Er bringt in diesem Zusammenhang sinngemäss vor, die ESTV habe bei ihrer Nachbelastung lediglich die betreffenden Saldosteuersätze, nicht aber den Normalsatz angewendet, weil der Umsatz ansonsten zu hoch ausgefallen wäre. Die von der ESTV herangezogene Methodik ergibt sich wiederum aus den Berechnungsgrundlagen (Formular "Nachweis Steuerpflicht des Inhabers der Einzelfirma..."; vorne E. 3.3). Dabei erhellt, dass die ESTV in einer ersten Phase die unverbuchten Umsätze aus dem Taxibetrieb ermittelte (insgesamt rund Fr. 440'000.--), um dann in einer zweiten Phase die Saldosteuersätze mit den Gesamtumsätzen zu multiplizieren.
3.6.2. Vor diesem Hintergrund kann es nicht ernstlich beanstandet werden, dass die KSTV/TG auf die in der ersten Phase erhobenen Umsätze zurückgriff und die verbuchten Aufwände heranzog. Die Methodik hebt sich dadurch deutlich von jener ab, die unlängst zu einer Klarstellung des Verhältnisses von Mehrwertsteuer und Gewinn- bzw. Einkommenssteuer Anlass gab (Urteil 2C_90/2017 / 2C_91/2017 vom 16. Oktober 2017, in: ASA 86 S. 418). Der Steuerpflichtige bringt vor Bundesgericht nicht hinreichend substanziert vor, die Aufwände seien unvollständig verbucht. Um den Unrichtigkeitsnachweis anzutreten, reicht es nicht aus, auf angebliche Kostenfaktoren und Kostenstrukturen (Fahrzeugaufwand 12,3 %, Personalaufwand 33,4 %, übriger Aufwand 1 %) hinzuweisen, ohne jede nachvollziehbare Begründung zu liefern. Mit andern Worten ist die Vorinstanz willkürfrei und bundesrechtskonform davon ausgegangen, ertragsseitig sei ein Ermessenszuschlag vorzunehmen, während aufwandseitig keine Korrektur am Platz sei.
3.7. Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet, weshalb sie abzuweisen ist.
III. Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Thurgau
4.
Art. 46 Abs. 3 und Art. 53 Abs. 1 StHG entsprechen in allen Teilen Art. 130 Abs. 2 und Art. 151 DBG. Der kantonale Gesetzgeber hat das Harmonisierungsrecht in § 162 Abs. 1 und § 204 ff. des Gesetzes (des Kantons Thurgau) vom 14. September 1992 über die Staats- und Gemeindesteuern (StG/TG; RB 640.1) überführt. Es kann daher in allen Teilen auf das Gesagte verwiesen werden. Die Beschwerde ist auch im kantonalen Punkt unbegründet und abzuweisen.
IV. Kosten und Entschädigung
5.
Nach dem Unterliegerprinzip (<ref-law>) sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Steuerpflichtigen aufzuerlegen. Dem Kanton Thurgau, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Entschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_973/2017 und 2C_974/2017 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde im Verfahren 2C_974/2017 (direkte Bundessteuer, Steuerperioden 2004 bis 2010, Nachsteuer) wird abgewiesen.
3.
Die Beschwerde im Verfahren 2C_973/2017 (Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Thurgau, Steuerperioden 2004 bis 2010, Nachsteuer) wird abgewiesen.
4.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 3'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Januar 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher