Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ (geb. 1969; Beschwerdeführer) und B.A._ (geb. 1963; Beschwerdegegnerin) sind die miteinander verheirateten Eltern von C.A._ (geb. 1998) und D.A._ (geb. 2003). Mit Eheschutzentscheid vom 10. Februar 2016 verpflichtete das Zivilgericht Basel-Landschaft West den Ehemann ab dem 1. Januar 2015 zur Zahlung von monatlichem Unterhalt von Fr. 5'300.-- an die Ehefrau und von je Fr. 1'370.-- (zzgl. Kinderzulagen) an die Kinder, ausmachend insgesamt Fr. 8'040.-- (zzgl. Kinderzulagen). Dieser Entscheid ist unangefochten in Rechtskraft erwachsen.
Am 2. Mai 2016 klagte A.A._ beim Bezirksgericht Kulm auf Scheidung der Ehe. Auf seinen Antrag hin reduzierte das Bezirksgericht am 18. August 2016 in Anpassung des Eheschutzentscheids die geschuldeten Unterhaltsbeiträge. Mit separatem Entscheid von demselben Datum wies das Bezirksgericht ausserdem die damalige Arbeitgeberin von A.A._ an, insgesamt Fr. 3'646.90 von dessen Lohnguthaben zugunsten der Ehefrau an deren Rechtsvertreter zu überweisen. Während die Schuldneranweisung unangefochten in Rechtskraft erwuchs, hob das Obergericht des Kantons Aargau den Entscheid betreffend die Anpassung der Unterhaltszahlungen am 3. Juli 2017 auf und wies das Gesuch um Abänderung des Eheschutzentscheids ab.
A.b. Auf Klage von B.A._ hin wies das Bezirksgericht mit Entscheid vom 6. April 2018 die jeweilige Arbeitgeberin des Ehemanns an, die der Ehefrau und der Tochter geschuldeten Unterhaltsbeiträge im Umfang von Fr. 998.50 (zzgl. Kinder- und/oder Ausbildungszulagen) jeweils monatlich von dessen Lohnguthaben abzuziehen und zugunsten der Ehefrau an deren Rechtsvertreter zu überweisen. In teilweiser Gutheissung der hiergegen von B.A._ erhobenen Berufung passte das Obergericht die Schuldneranweisung mit Entscheid vom 16. August 2018 insoweit an, als es diese auf die damalige Arbeitgeberin des Ehemanns bezog und auf den Höchstbetrag von monatlich Fr. 6'670.-- (zzgl. Kinder- und Ausbildungszulagen) festsetzte.
Am 12. Februar 2020 hiess das Bundesgericht die von beiden Ehegatten erhobenen Beschwerden gut, soweit es darauf eintrat, und wies die Sache in teilweiser Aufhebung des Urteils des Obergerichts an dieses zu neuer Entscheidung zurück (Urteil 5A_841/2018 und 5A_843/2018).
B.
Mit Entscheid vom 15. März 2021 (eröffnet am 24. März 2021) hiess das Obergericht die Berufung von B.A._ erneut teilweise gut, hob das Urteil des Bezirksgerichts teilweise auf und wies die jeweilige Arbeitgeberin bzw. den jeweiligen Drittschuldner von A.A._ an, folgende monatlichen Beträge von dessen Lohnguthaben bzw. Arbeitslosentaggeldern abzuziehen und zugunsten der Ehefrau an deren Rechtsvertreter zu überweisen (Dispositivziffer 1.1.1) :
- Fr. 2'404.-- vom 6. April 2018 bis zum 31. Mai 2018;
- Fr. 2'886.-- vom 1. Juni 2018 bis zum 31. Mai 2019;
- Fr. 2'460.-- vom 1. April 2019 bis zum 31. Dezember 2019;
- Fr. 2'451.-- vom 1. Januar 2020 bis zum 31. Juli 2020;
- Fr. 2'807.-- ab dem 14. August 2020.
Zusätzlich machte das Obergericht die E._ AG als aktuelle Arbeitgeberin von A.A._ darauf aufmerksam, dass sie ihre Zahlungspflicht im vorgenannten Umfang mit befreiender Wirkung nur erfüllt, wenn sie den entsprechenden Betrag direkt an die angegebene Zahladresse ausbezahlt (Dispositivziffer 1.1.2).
Im Übrigen wies das Obergericht die Berufung ab, soweit es darauf eintrat (Dispositivziffer 1.2), hiess das Gesuch von A.A._ um unentgeltliche Rechtspflege gut, bestellte dessen Anwältin als unentgeltliche Rechtsvertreterin (Dispositivziffer 2) und regelte die Kostenfolgen von beiden kantonalen Verfahren (Dispositivziffern 1.1.4, 1.1.5, 3 und 4).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen und eventuell subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 22. April 2014 gelangt A.A._ ans Bundesgericht. Er beantragt unter Kosten- und Entschädigungsfolge, es sei die Ziffer 1 des Entscheids des Obergerichts aufzuheben und sein Arbeitgeber, derzeit die E._ AG, anzuweisen, künftig ab Rechtskraft monatlich den Betrag von Fr. 1'053.45 an den Rechtsvertreter von B.A._ zu deren Gunsten zu bezahlen. Eventuell sei die Angelegenheit zur Neufestsetzung der künftigen Schuldneranweisung an das Obergericht zurückzuweisen. Ausserdem ersucht er für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Beiordnung seiner Rechtsvertreterin als amtliche Anwältin.
Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassungen eingeholt. Das Obergericht teilt am 26. April 2021 unaufgefordert mit, auf eine Vernehmlassung zu verzichten.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht (<ref-law>) über eine Schuldneranweisung nach <ref-law> entschieden hat. Dabei handelt es sich um eine privilegierte Zwangsvollstreckungsmassnahme sui generis, die in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.1; Urteil 5A_841/2018 und 5A_843/2018 vom 12. Februar 2020 E. 2.1). Der erforderliche Streitwert von Fr. 30'000.-- ist nach der unbestrittenen Feststellung der Vorinstanz erreicht (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit das zutreffende Rechtsmittel und die eventuell erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist unzulässig (<ref-law>). Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt, die er auch fristgerecht eingereicht hat (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 2 BGG). Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. In Streit steht die Vollstreckung von Beiträgen für Familienunterhalt gemäss dem (rechtskräftigen) Eheschutzentscheid vom 10. Februar 2016 (vorne Bst. A.a). Wie andere Massnahmen zum Schutz der Ehe gemäss <ref-law> ist auch die Anweisung an den Schuldner nach <ref-law> eine vorsorgliche Massnahme im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.1). Damit kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Auch eine Berichtigung und Ergänzung der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz solche Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Die rechtsuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 2.3).
1.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Inwiefern dies der Fall ist, ist in der Beschwerde dazulegen (vgl. Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Hiervon erfasst sind unechte Noven, also Tatsachen, die im bisherigen Verfahren bereits hätten vorgebracht werden können, aber nicht vorgebracht wurden. Echte Noven, d.h. Tatsachen, die erst entstanden sind, nachdem vor der Vorinstanz keine neuen Tatsachen und Beweismittel mehr vorgetragen werden konnten, sind im Verfahren vor Bundesgericht demgegenüber unbeachtlich (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.1.2).
Nicht weiter einzugehen ist damit auf die Ausführungen des Beschwerdeführers zu verschiedenen (angeblich) im Scheidungsverfahren eingetretenen Umständen (Teilentscheid, Teilvereinbarung), die im angefochtenen Urteil keinen Niederschlag gefunden haben, und bezüglich derer der Beschwerdeführer auch nicht darlegt, dass sie ins vorinstanzliche Verfahren eingeführt worden wären oder nicht hätten eingeführt werden können und weshalb ihre Berücksichtigung heute noch möglich sein sollte.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer beanstandet es als verfassungswidrig, dass das Obergericht die Schuldneranweisung rückwirkend ab dem 6. April 2018 und nicht nur für die Zukunft anpasste. Die fraglichen Mittel seien verbraucht und es sei nicht mehr möglich, für die Vergangenheit Lohnabzüge zu tätigen bzw. Beträge nachzuzahlen oder zu viel abgezogenen Lohn zu erstatten. Würden frühere Arbeitgeber des Beschwerdeführers oder die Arbeitslosenkasse zu Nachzahlungen verpflichtet, müsste der Beschwerdeführer diesen die Beträge erstatten. Dies wäre, da ihm beim ursprünglichen Vollzug der Anweisung nur das Existenzminimum belassen worden sei, mit einem unzulässigen Eingriff in dieses verbunden. Es liege in der Natur von Massnahmeentscheiden, dass es keine rückwirkende Korrektur von Unterhaltsbeiträgen gebe, sondern eine Neuregelung nur für die Zukunft Geltung erlange.
2.2. Die streitbetroffene Schuldneranweisung war bereits Gegenstand der Verfahren 5A_841/2018 und 5A_843/2018. In (teilweiser) Gutheissung der dort erhobenen Beschwerden wies das Bundesgericht die Sache zu neuer Entscheidung an das Obergericht zurück (Urteil 5A_841/2018 und 5A_843/2018 vom 12. Februar 2020 E. 6). Angefochten ist der erneute Entscheid der Vorinstanz (vorne Bst. B und C).
Nach einem Rückweisungsentscheid des Bundesgerichts sind sowohl dieses selbst als auch die kantonalen Instanzen an die rechtliche Beurteilung gebunden, mit der die Rückweisung begründet wurde. Wegen dieser Bindung der Gerichte ist es ihnen wie auch den Parteien - abgesehen von allenfalls zulässigen Noven - verwehrt, der Beurteilung des Rechtsstreits einen anderen als den bisherigen Sachverhalt zu unterstellen oder die Sache unter rechtlichen Gesichtspunkten zu prüfen, die im Rückweisungsentscheid abgelehnt oder überhaupt nicht in Erwägung gezogen worden waren. Wie weit die Gerichte und die Parteien an die erste Entscheidung gebunden sind, ergibt sich aus der Begründung der Rückweisung, die sowohl den Rahmen für die neuen Tatsachenfeststellungen als auch jenen für die neue rechtliche Begründung vorgibt (<ref-ruling> E. 5.3.3; <ref-ruling> E. 2; Urteil 5A_125/2020 vom 31. August 2020 E. 3.2).
2.3. In seinem früheren Entscheid hielt das Bundesgericht fest, dass das von der damals streitbetroffenen Anweisung erfasste Arbeitsverhältnis des Beschwerdeführers im Laufe des bundesgerichtlichen Verfahrens geendet habe. Dennoch sei nach wie vor ein Interesse an der Prüfung der Schuldneranweisung vorhanden. Jedenfalls sei deren Rechtmässigkeit zu beurteilen, zumal diese Frage in einem späteren (Rückabwicklungs-) Verfahren nicht mehr aufgeworfen werden könne (Urteil 5A_841/2018 und 5A_843/2018 vom 12. Februar 2020 E. 2.2.2). Hieraus schloss das Obergericht zu Recht, dass im vorliegenden Verfahren die strittige Anweisung für die gesamte Dauer ihrer Geltung zu überprüfen ist. Da über den Gegenstand des vorliegenden Verfahrens in zeitlicher Hinsicht bereits im Urteil vom 12. Februar 2020 entschieden wurde, kann der Beschwerdeführer diese Frage nicht mehr zum Thema des vorliegenden Verfahrens machen. Hierauf ist nicht weiter einzugehen. Zu prüfen bleibt allerdings der Vorwurf, das Obergericht habe auch für die Vergangenheit in das Existenzminimum des Beschwerdeführers eingegriffen (dazu hinten E. 4).
3.
3.1. Strittig ist weiter die Bestimmung des Einkommens des Beschwerdeführers ab dem 14. August 2020.
Dazu hält das Obergericht fest, es sei aktenkundig und unbestritten, dass der Beschwerdeführer bei der E._ AG als "Mitarbeiter Rental" angestellt sei und gemäss Arbeitsvertrag einen monatlichen Bruttolohn von Fr. 4'800.-- erziele. Nach der glaubhaften Darstellung der Beschwerdegegnerin habe der Beschwerdeführer in der Vergangenheit indes immer wieder an Filmprojekten mitgearbeitet und könne sein Bruder aufgrund seiner leitenden Position in der Arbeitgebergesellschaft Einfluss auf die Anstellungsbedingungen nehmen. Mit Blick auf das hängige Scheidungsverfahren spreche unter diesen Umständen eine gewisse Wahrscheinlichkeit dafür, dass das mit der E._ AG vereinbarte Einkommen nicht einer marktüblichen Entlöhnung entspreche. Glaubhaft sei sodann eine weiterbestehende Tätigkeit des Beschwerdeführers in verschiedenen Filmprojekten. Damit könne nicht von einer Reduktion des Einkommens des Beschwerdeführers ab August 2020 im Vergleich zu seinem vorhergehenden Erwerb ausgegangen werden. Die bis Juli 2020 bezogenen Taggelder der Arbeitslosenversicherung hätten auf einem versicherten Verdienst von Fr. 6'060.-- im Monat beruht. Dies ergebe unter Berücksichtigung der Sozialversicherungsabgaben ab 14. August 2020 einen Nettolohn von monatlich rund Fr. 5'150.--.
3.2. Der Beschwerdeführer erachtet dieses Vorgehen als willkürlich (<ref-law>). Das Obergericht gehe ab dem 14. August 2020 ohne Begründung von einem Verdienst aus, der vom Einkommen gemäss Arbeitsvertrag abweiche. Aus dem angefochtenen Urteil ergebe sich nicht, weshalb dieses Einkommen nicht glaubhaft sein soll, zumal es sich in demselben Segment bewege wie die zuvor ausgerichteten Taggelder der Arbeitslosenversicherung. Eine Auseinandersetzung mit dem effektiv erzielten Lohn finde nicht statt. Gleichzeitig sei es unzulässig, im Zusammenhang mit der Schuldneranweisung von einem hypothetischen Einkommen auszugehen, wie das Obergericht dies durch die Anrechnung eines höheren als des tatsächlich erzielten Verdienstes tue.
Entgegen dem Beschwerdeführer rechnete ihm das Obergericht kein hypothetisches Einkommen an. Vielmehr erachtete die Vorinstanz es als glaubhaft, dass dieser tatsächlich ein höheres Einkommen erzielt, als es im Arbeitsvertrag mit der E._ AG ausgewiesen ist. Unzutreffend ist sodann der Vorwurf, das Obergericht habe nicht begründet, weshalb es zu diesem Schluss gekommen ist. Vielmehr verwies das Gericht auf die Mitarbeit des Beschwerdeführers an verschiedenen Filmprojekten sowie auf die leitende Stellung seines Bruders in der Arbeitgebergesellschaft. Folglich muss das Obergericht sich nicht vorwerfen lassen, es habe sich nicht mit dem im Arbeitsvertrag ausgewiesenen Einkommen auseinandergesetzt. Damit ist freilich nichts darüber gesagt, ob die Überlegungen der Vorinstanz tatsächlich zutreffen (vgl. betreffend den Anspruch auf rechtliches Gehör <ref-ruling> E. 6.1). Mit dieser Frage setzt der Beschwerdeführer sich jedoch nicht hinreichend auseinander: In der Beschwerde findet sich dazu allein der Hinweis, der ausgewiesene Lohn bewege sich in derselben Höhe wie die früheren Arbeitslosentaggelder. Dies reicht nicht aus, um eine Verfassungsverletzung aufzuzeigen (vgl. vorne E. 1.2). Die Beschwerde erweist sich insoweit als unbegründet.
3.3. Weiter rügt der Beschwerdeführer die Berechnung des ihm angerechneten Einkommens von monatlich Fr. 5'150.-- als fehlerhaft. Das Obergericht habe auf einen versicherten Verdienst von Fr. 6'060.-- im Monat abgestellt und verschiedene (Sozialversicherungs-) Abzüge berücksichtigt. Unbeachtet geblieben sei, dass der Beschwerdeführer nur 80 % dieses Verdienstes ausbezahlt erhalten habe, was einem Bruttoeinkommen von Fr. 4'848.-- entspreche und ein Nettoeinkommen von rund Fr. 4'300.-- ergebe. Indem das Obergericht ihm 100 % des versicherten Verdienstes anrechne, stelle es den Sachverhalt offensichtlich unrichtig fest. Sodann könnten nicht in jedem Monat die vollen Taggelder berücksichtigt werden, da nicht jeder Monat gleich viele Abrechnungs- oder Arbeitstage aufweise. Nehme man den aktenkundigen Durchschnitt aller ausbezahlten Taggeldleistungen, gelange man zu einem monatlichen Einkommen von Fr. 4'482.70.
Der Beschwerdeführer missversteht den angefochtenen Entscheid: Zur Bestimmung des Einkommens, das der Beschwerdeführer im hier interessierenden Zeitraum tatsächlich erzielte, ging das Obergericht von dem für die Arbeitslosenversicherung im vorhergehenden Zeitabschnitt massgeblichen Lohn aus (sog. versicherter Verdienst; <ref-law> [SR 837.0]). Dies geschah mit der Überlegung, es sei zu keiner Verringerung gegenüber diesem Wert gekommen. Mit anderen Worten erachtete das Obergericht nicht die dem Beschwerdeführer ausbezahlten (tieferen) Taggelder (vgl. <ref-law>), sondern den diesen Taggeldern zugrunde liegenden versicherten Verdienst als massgebend. Entsprechend kann der angefochtene Entscheid auch nicht erfolgreich mit der Rüge in Frage gestellt werden, das Obergericht habe diese Taggelder falsch berechnet. Die Vorbringen des Beschwerdeführers gehen folglich ins Leere. Mit dem Vorgehen der Vorinstanz, mithin dem Abstellen auf den versicherten Verdienst als massgebenden Wert für die Einkommensberechnung, setzt der Beschwerdeführer sich sodann nicht auseinander (vgl. vorne E. 1.2). Damit ist die Beschwerde auch insoweit unbegründet.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer ist schliesslich der Ansicht, für die gesamte Anweisungsdauer werde sein Existenzminimum unzulässig tangiert.
Hierzu hielt das Obergericht fest, vorliegend könne ins Existenzminimum des Unterhaltsschuldners eingegriffen werden, wenn der Unterhaltsgläubiger zur Deckung seines eigenen Notbedarfs darauf angewiesen sei. Der Eingriff sei so zu bemessen, dass Schuldner und Gläubiger sich im gleichen Verhältnis einschränken müssten. Diese Grundsätze würden nicht nur bei der Einkommenspfändung und beim Arrest für Unterhaltsforderungen gelten, sondern auch im Anweisungsverfahren. In der Folge berechnete die Vorinstanz unter Berücksichtigung der Existenzminima beider Ehegatten die beim Beschwerdeführer für die massgebenden Zeitabschnitte jeweils pfändbare Quote.
4.2. Nach Dafürhalten des Beschwerdeführers liegt hierin per seein Eingriff in das "Recht auf Existenzsicherung" bzw. "Recht auf Wahrung des Existenzminimums" nach <ref-law>, mithin in das Recht auf Hilfe in Notlagen. Es gehe nicht an, dass die Vorinstanz bei der "Berechnung des Deltas für die Schuldneranweisung" eine Mankoteilung vornehme und so in sein Existenzminimum eingreife. Eine Aufteilung des Mankos der Ehefrau bzw. der Tochter unter den Parteien sei ausgeschlossen bzw. lediglich im Rahmen der Nichtberücksichtigung von Steuern zugelassen. Die Schuldneranweisung könne nicht oder nur bedingt ausgesprochen werden, soweit ansonsten unter Berücksichtigung des effektiven Einkommens des Beschwerdeführers in sein Existenzminimum eingegriffen werde, zumal keine der möglichen Ausnahmesituationen vorliege.
Zwar trifft zu, dass nach der zur Unterhaltsfestsetzung ergangenen Rechtsprechung der unterhaltspflichtigen Person für alle familienrechtlichen Unterhaltskategorien und in Abweichung vom Gleichbehandlungsgrundsatz stets das betreibungsrechtliche Existenzminimum zu belassen ist. Dies hat zur Folge, dass die unterhaltsberechtigte Person ein allfälliges Manko alleine zu tragen hat (<ref-ruling> E. 4.3 mit zahlreichen Hinweisen). Indes hat das Bundesgericht im Zusammenhang mit der Festlegung von Unterhaltsbeiträgen an den Ehegatten auch festgehalten, dass der Anspruch auf Hilfe in Notlagen einer Mankoteilung nicht entgegensteht. <ref-law> regelt nicht die familienrechtliche Unterhaltspflicht, sondern das Verhältnis zwischen hilfsbedürftigem Bürger und Staat. Zudem verhält sich die Art der Mankoteilung in Bezug auf <ref-law> insofern neutral, als durch eine Aufteilung zwar unter Umständen eine Hilfsbedürftigkeit bei der unterhaltsverpflichteten Person geschaffen, dafür aber die Hilfsbedürftigkeit bei der unterhaltsberechtigten Person im Gleichschritt verringert wird. Der Notbedarf der unterhaltspflichtigen Person ist aber nicht schützenswerter als jener der unterhaltsberechtigten Person, und die Hilfsbedürftigkeit der Familie bzw. die gesamthaften Fürsorgeleistungen bleiben unabhängig von der Verteilung des Mankos konstant (<ref-ruling> E. 5). Diese letzte Überlegung erheischt auch im Zusammenhang mit der Schuldneranweisung nach <ref-law> Geltung: Die Art der Mankoteilung verhält sich in Bezug auf <ref-law> unabhängig davon im aufgezeigten Sinne neutral, ob die Festlegung von Ehegattenunterhaltsbeiträgen in Frage steht oder deren Durchsetzung. Folglich beruft der Beschwerdeführer sich vergebens auf eine Verletzung von <ref-law> (vgl. auch Urteil 5A_814/2009 vom 31. März 2010 E. 2.4.5).
4.3. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz sodann vor, ihm "in willkürlicher Art und Weise (Verletzung von <ref-law>) eine Massnahme (Schuldneranweisung) auferlegt [zu haben], welche in sein verfassungsmässiges Recht auf Wahrung des Existenzminimums eingreift (<ref-law>) ".
Gegebenenfalls macht der Beschwerdeführer mit diesem Vorbringen im Zusammenhang mit dem (angeblichen) Eingriff in sein Existenzminimum und der Mankoteilung neben einer Verletzung des Rechts auf Hilfe in Notlagen eine willkürliche Rechtsanwendung geltend (vgl. zu dieser <ref-ruling> E. 3.1). Mit dem blossen Hinweis auf die "willkürliche Art und Weise" des vorinstanzlichen Vorgehens zeigt er jedoch nicht mit hinreichender Präzision auf, dass das Obergericht in Willkür verfallen wäre und das angefochtene Urteil an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 1.4.1; <ref-ruling> E. 2.2; betreffend eine Schuldneranweisung nach <ref-law> vgl. etwa Urteil 5A_578/2011 und 5A_594/2011 vom 11. Januar 2012 E. 3.1 und 3.2). Solches springt auch nicht geradezu in die Augen: Gemäss den auch hier beachtlichen (<ref-ruling> E. 5.5.2) vollstreckungsrechtlichen Grundsätzen kann (zeitlich begrenzt) in das Existenzminimum des Schuldners eingegriffen werden, wenn als betreibende Gläubiger Familienmitglieder des Schuldners auftreten, die ihn für Unterhaltsforderungen belangen und dies zur Deckung ihres Notbedarfs nötig ist (<ref-ruling> E. 3b; <ref-ruling> E. 2; vgl. weiter <ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 3.4.3). Der Beschwerdeführer verweist in anderem Kontext zwar nicht zu Unrecht darauf, dass die Vorinstanz der in dieser Rechtsprechung angesprochenen zeitlichen Beschränkung eines Eingriffs in das Existenzminimum keine Beachtung schenkt. Dies allein lässt den angefochtenen Entscheid aber nicht offensichtlich als willkürlich erscheinen. Zusätzlich beruft der Beschwerdeführer sich darauf, das Obergericht habe den bei der Beschwerdegegnerin und der Tochter vorhandenen Fehlbetrag unrichtig festgestellt. Soweit er sich aber nicht ohnehin auf unzulässige Noven stützt (vgl. vorne E. 1.3), erschöpfen sich seine diesbezüglichen Darlegungen in einer Wiedergabe seiner eigenen Ansichten und damit einer rein appellatorischen Kritik am angefochtenen Entscheid, was nicht ausreicht (vgl. vorne E. 1.2).
4.4. Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde auch mit Blick auf die Vorbringen zum Eingriff ins Existenzminimum des Beschwerdeführers unbegründet, sofern überhaupt darauf einzugehen ist.
5.
5.1. Zusammenfassend ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Unter diesen Umständen besteht kein Anlass, etwas an der Verlegung der Prozesskosten des Berufungsverfahrens zu ändern, welche der Beschwerdeführer einzig unter der Prämisse der Begründetheit seiner Beschwerde ans Bundesgericht in Frage stellt.
5.2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten grundsätzlich dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Parteientschädigung ist keine zu sprechen, da der obsiegenden Beschwerdegegnerin mangels Einholens einer Vernehmlassung keine entschädigungspflichtigen Kosten angefallen sind (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Indes ist das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gutzuheissen, da die entsprechenden Voraussetzungen erfüllt sind (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Die Gerichtskosten sind daher auf die Bundesgerichtskasse zu nehmen, dem Beschwerdeführer ist seine Vertreterin als unentgeltliche Rechtsbeiständin beizuordnen und diese ist aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen. Der Beschwerdeführer wird darauf hingewiesen, dass er der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn er dazu später in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren wird gutgeheissen und es wird ihm Rechtsanwältin Bernadette Gasche als unentgeltliche Rechtsvertreterin beigeordnet.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Rechtsanwältin Gasche wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 3'500.-- entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juni 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber