Sachverhalt:
A.
A._, geboren 1968, arbeitete nach ihrer Einreise in die Schweiz im Jahr 1989 in verschiedenen Teilzeittätigkeiten, zuletzt als Mitarbeiterin der Stiftung B._ und für die C._. Am 4. April 2009 meldete sie sich bei der IV-Stelle Zürich wegen rheumatoider Arthritis, Darm- und Atembeschwerden zum Leistungsbezug an. Nachdem die IV-Stelle die medizinischen und erwerblichen Verhältnisse geprüft hatte, stellte sie der Versicherten gestützt auf das Gutachten der MEDAS Zentralschweiz, Luzern, vom 22. Februar 2012, wonach die Versicherte aus psychischen Gründen zu 40 % arbeitsunfähig war, und der Haushaltsabklärung vom 20. Juni 2013 eine Viertelsrente ab 1. Februar 2013 in Aussicht (Schreiben vom 14. August 2013). Gleichentags forderte die Verwaltung A._ auf, sich im Rahmen der Schadenminderungspflicht einer regelmässigen, psychiatrisch-psychotherapeutischen Behandlung zu unterziehen. Am 6. Dezember 2013 wiederholte die IV-Stelle ihre Aufforderung an A._, eine psychiatrisch-psychotherapeutische Behandlung aufzunehmen und führte weiter aus, sie werde erst nach Abschluss der Massnahme über einen Rentenanspruch entscheiden. Die Versicherte machte mit Schreiben vom 10. Dezember 2013 eine Verschlechterung des Gesundheitszustands geltend und nahm u. a. Stellung zur bisher erfolgten psychiatrisch-psychotherapeutischen Behandlung. Nach Einholung des Berichts des behandelnden Psychiaters Dr. med. univ. D._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, Dietikon, vom 1. Juli 2015 sowie des polydisziplinären Gutachtens des Medizinischen Zentrums E._ vom 12. April 2017, wonach eine ca. 50%-ige Arbeitsunfähigkeit vorliege, verneinte die Verwaltung mit Verfügung vom 27. Dezember 2017 einen Rentenanspruch mangels invalidenversicherungsrechtlich relevanter Gesundheitsschädigung.
B.
Die Beschwerde der A._ hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 30. Juli 2019 in Aufhebung der Verfügung vom 27. Dezember 2017 gut. Es stellte fest, dass die Versicherte ab 1. Februar 2013 Anspruch auf eine Viertelsrente und ab 1. Mai 2014 Anspruch auf eine halbe Rente habe.
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der vorinstanzliche Entscheid sei insoweit aufzuheben, als A._ ab 1. Mai 2014 mehr als eine Viertelsrente zugesprochen werde. Weiter sei der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Während die Versicherte Abweisung der Beschwerde beantragt, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>), die Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz nur, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Streitig ist einzig, ob das kantonale Gericht ab 1. Mai 2014 zu Recht die Viertelsrente auf eine halbe Rente erhöht hat. Unbestritten ist der vorinstanzlich festgestellte Anspruch der Beschwerdegegnerin auf eine Viertelsrente ab 1. Februar 2013 bei einem ermittelten Invaliditätsgrad von 43 %.
3.
Anhand einer Indikatorenprüfung nach <ref-ruling> gelangte das kantonale Gericht zum Schluss, der ärztlichen Einschätzung der psychisch bedingten Arbeitsunfähigkeit von 40 % ab Februar 2012 in einer leidensadaptierten Tätigkeit im MEDAS-Gutachten sowie der attestierten 50%-igen Arbeitsunfähigkeit in der zuletzt ausgeübten Tätigkeit als Mitarbeiterin der Stiftung B._ gemäss Expertise des Zentrums E._könne aus rechtlicher Sicht gefolgt werden. Danach bestehe bei der Beschwerdegegnerin In diagnostischer Hinsicht eine somatoforme anhaltende Schmerzstörung (ICD-10 F45.5) sowie eine kombinierte Persönlichkeitsstörung mit histrionischen und narzisstischen Anteilen (ICD-10 F60.4) im Rahmen des Verdachts auf eine artifizielle Störung (ICD-10 F68.1), respektive eine Agoraphobie mit Panikstörung. Allerdings gelte die 50%-ige Arbeitsunfähigkeit nicht erst ab dem Begutachtungszeitpunkt im Zentrum E._ (September 2016), sondern seit Beginn der Behandlung bei Dr. med. univ. D._ ab 1. Februar 2014, zumal dessen Bericht von der psychiatrischen Gutachterin des Zentrums E._ als in sich schlüssig bezeichnet worden sei.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin macht hiergegen geltend, die Gutachter des Zentrums E._ hätten erst ab dem Zeitpunkt ihrer Begutachtung im September 2016 eine 50%-ige Arbeitsunfähigkeit angenommen. Mangels eines Revisionsgrundes bestehe keine Grundlage, von diesen als beweiskräftig angesehenen gutachterlichen Darlegungen abzuweichen und von einer 50%-igen Arbeitsfähigkeit bereits ab Therapiebeginn bei Dr. med. univ. D._ auszugehen.
Zutreffend ist, dass die Experten explizit darauf hinwiesen, dass die Arbeitsfähigkeitsschätzung seit der aktuellen Untersuchung im September 2016 gelte. Wie bereits bei der Begutachtung durch die MEDAS Zentralschweiz festgestellt, bestehe ein ausgeprägtes selbstlimitierendes Verhalten, das von sämtlichen Untersuchern bemerkt worden sei. Aufgrund dieser Selbstlimitierung könnten die seither ärztlicherseits erhobenen Befunde nicht mit den aktuellen verglichen werden. Deshalb sei auch der tatsächliche Verlauf der Arbeitsunfähigkeit seit der letzten Begutachtung nicht bestimmbar. Vor diesem Hintergrund sind die Ausführungen der Beschwerdeführerin zwar nachvollziehbar. Die in diesem Kontext erfolgten Beweiswürdigungen und Tatsachenfeststellungen der Vorinstanz sind aber nicht offensichtlich unrichtig (unhaltbar, willkürlich; E. 1 hievor).
4.2. Stichhaltig ist indessen die Rüge, wonach die Vorinstanz im vorliegenden Kontext die rechtlichen Voraussetzungen einer Rentenerhöhung nach <ref-law> nicht beachtet hat. Mit der IV-Stelle liess das kantonale Gericht ausser Acht, dass bei einer rückwirkend zugesprochenen abgestuften oder befristeten Rente analog der Rentenrevision (<ref-law>; <ref-law>) vorzugehen ist (<ref-ruling> E. 6.1 S. 263; <ref-ruling> E. 2.2 S. 165). Dies weil noch vor Erlass der ersten Rentenverfügung eine anspruchsbeeinflussende Änderung eingetreten ist, die gleichzeitig mitzuberücksichtigen ist. Wird rückwirkend eine abgestufte oder befristete Rente zugesprochen, sind einerseits der Zeitpunkt des Rentenbeginns und anderseits der in Anwendung der Dreimonatsfrist von <ref-law> festzusetzende Zeitpunkt der Anspruchsänderung die massgebenden Vergleichszeitpunkte (Urteil 8C_458/2017 vom 6. August 2018 E. 2 mit Hinweisen). Die Verbesserung der Arbeitsfähigkeit aufgrund einer Angewöhnung oder Anpassung an die Behinderung kann auch ohne wesentliche Änderung des Gesundheitszustandes eine Rentenrevision rechtfertigen. Hingegen ist die lediglich unterschiedliche Beurteilung eines im Wesentlichen gleich gebliebenen Sachverhalts im revisionsrechtlichen Kontext unbeachtlich (<ref-ruling> E. 2.3 S. 10 f. mit Hinweisen).
4.3. Aus dem vorinstanzlichen Entscheid ist nicht ersichtlich, inwiefern die rechtlichen Voraussetzungen für eine rückwirkende Rentenerhöhung erfüllt sind. Der Verweis auf die Berichte des behandelnden Psychiaters vermögen nicht auszureichen, zumal die Vorinstanz auch in diesem Zusammenhang keine gesundheitliche Verschlechterung, sondern lediglich eine um 10 % erhöhte Arbeitsunfähigkeit feststellte. Wie in der Beschwerde korrekt angeführt wird, vermag eine zu einem Vorgutachten abweichend attestierte Arbeitsunfähigkeit noch keine Veränderung des Gesundheitszustands zu begründen. Eine Rentenrevision setzt eine wesentliche Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen voraus. Weder aus dem Gutachten des Zentrums E._ noch aus den Erwägungen der Vorinstanz lässt sich eine wesentliche gesundheitliche Veränderung erkennen. Indem die Vorinstanz von einem Revisionsgrund ausgegangen ist, ohne darzulegen, inwiefern eine Veränderung in den tatsächlichen Verhältnissen vorliegt, hat sie Bundesrecht verletzt.
5.
Die Beschwerde ist offensichtlich begründet, weshalb sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> erledigt wird. Mit Blick auf den durch die Beschwerde bestimmten Streitgegenstand und der Bindung des Bundesgerichts an die Parteibegehren (Art. 107 Abs. 1 BGG) bleibt es somit ohne Weiterungen beim Anspruch der Beschwerdegegnerin auf eine Viertelsrente.
6.
Das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde wird mit dem heutigen Urteil gegenstandslos.
7.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>).
Von einer Rückweisung an das kantonale Gericht zur Neuverlegung der Kosten im vorangegangenen Verfahren kann abgesehen werden, da es für die versicherte Person in Bezug auf den vorinstanzlichen Prozess - auch nach Korrektur der Rentenhöhe durch das Bundesgericht - bei einem Obsiegen bleibt (Zusprache einer unbefristeten Viertelsrente).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 30. Juli 2019 wird insoweit abgeändert, als die Beschwerdegegnerin ab 1. Mai 2014 weiterhin Anspruch auf eine Viertelsrente der Invalidenversicherung hat.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 5. März 2020
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Heine
Die Gerichtsschreiberin: Polla