Erwägungen:
1.
1.1. A._ befindet sich als Tatverdächtige im Zusammenhang mit der Tötung eines siebenjährigen Kindes in Untersuchungshaft. Sie wurde auf Wunsch der Gefängnisleitung von Dr. med. B._ am 27. März 2019 untersucht.
1.2. Am 5. September 2019 ersuchte Dr. med. B._, sie vom Berufsgeheimnis den Strafbehörden des Kantons Basel-Stadt gegenüber zu befreien. Das Gesundheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt entsprach dem Gesuch am 23. September 2019 mit der Einschränkung, dass sie Auskünfte nur insoweit geben dürfe, als dies sachdienlich und unbedingt notwendig sei.
1.3. A._ gelangte hiergegen erfolglos an das Appellationsgericht (als Verwaltungsgericht) des Kantons Basel-Stadt. Sie focht dessen Urteil vom 4. November 2019 am 5. Dezember 2019 (Eingang am 9. Dezember 2019) beim Bundesverwaltungsgericht an, welches ihre Beschwerde am 10. Dezember 2019 zuständigkeitshalber an das Bundesgericht weiter leitete. A._ beantragt in ihrer Eingabe, das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt aufzuheben.
2.
2.1.
Ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über die Entbindung vom Berufsgeheimnis kann mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht angefochten werden (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 257 f.; Urteil 2C_215/2015 vom 16. Juni 2016 E. 1.1). Da die Beschwerdeführerin die Eingabe beim Bundesverwaltungsgericht rechtzeitig eingereicht hat, gilt die Beschwerdefrist auch für das bundesgerichtliche Verfahren als gewahrt (Art. 48 Abs. 3 BGG).
2.2. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben die Rechtsschriften an das Bundesgericht die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt schweizerisches Recht (Art. 95 BGG) verletzt. Die Begründung hat sachbezogen zu sein; die Beschwerde führende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen oder Rechtsgrundsätze die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen). Beruht der angefochtene Entscheid auf kantonalem Recht (vorliegend auf kantonalem Gesundheitsrecht), kann weitgehend bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, namentlich Willkür, bei dessen Anwendung gerügt werden; entsprechende Vorbringen sind gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG qualifiziert geltend zu machen und vertieft zu begründen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 41 mit Hinweisen; Urteil 2C_163/2018 vom 23. Februar 2018 E. 2.1).
2.3. Die Eingabe der Beschwerdeführerin genügt diesen Voraussetzungen nicht: Sie legt nicht sach- bzw. verfassungsbezogen dar, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzen würde: Sie weist zwar darauf hin, dass Art. 321 StGB die strafrechtlichen Folgen der Verletzung des Berufsgeheimnisses regle und nicht die Befreiung vom Berufsgeheimnis. Sie übersieht dabei jedoch, dass die umstrittene Ermächtigung im angefochtenen Entscheid gestützt auf § 26 Abs. 1 des Gesundheitsgesetzes des Kantons Basel-Stadt vom 21. September 2011 (GesG, SG 300.100) erteilt wurde; gestützt hierauf darf Dr. med. B._ den kantonalen Strafvollzugsbehörden im von der Gesundheitsdirektion bewilligten Rahmen straffrei Auskunft erteilen (Art. 321 Abs. 2 StGB). Dass und inwiefern die Vorinstanz den entscheidenden § 26 Abs. 1 des Gesundheitsgesetzes willkürlich angewendet haben soll, legt die Beschwerdeführerin nicht dar. Die Annahme, dass prognostisch im Laufe des weiteren Strafverfahrens von einer erneuten Zunahme der "Wahndynamik" auszugehen sei, worüber die Straf- und Vollzugsbehörden im Hinblick auf den Schutz von Drittpersonen und von der Beschwerdeführerin selber, zu informieren seien, stellt die Beschwerdeführerin nicht infrage.
2.4.
2.4.1. Da die Eingabe offensichtlich keine rechtsgenügende Begründung enthält, ist darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Die Beschwerdefrist ist inzwischen abgelaufen und die Eingabe kann deshalb nicht mehr verbessert werden (vgl. Art. 47 Abs. 1 BGG).
2.4.2. Es wird davon abgesehen, für das vorliegende Verfahren Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten sowie dem Appellationsgericht - als Verwaltungsgericht - des Kantons Basel-Stadt, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Dezember 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar