Erwägungen:
1.
Das Staatssekretariat für Migration (SEM) verhängte am 10. August 2017 gegen den am 24. April 1967 geborenen rumänischen Staatsangehörigen A._ ein Einreiseverbot. Nachdem dieser dagegen Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht erhoben hatte, hob das SEM die Fernhaltemassnahme mit Verfügung vom 16. Mai 2018 mit sofortiger Wirkung wiedererwägungsweise auf. Das Bundesverwaltungsgericht schrieb das Beschwerdeverfahren am 4. Juni 2018 als gegenstandslos geworden ab, verzichtete auf die Erhebung von Kosten und verpflichtete das SEM, dem anwaltlich vertretenen A._ eine Parteientschädigung von Fr. 1'500.-- zu bezahlen. Dieser legte besagten Abschreibungsentscheid am 8. Juni 2018 dem Bundesgericht vor, versehen mit dem Vermerk, dagegen Beschwerde (Einspruch) zu erheben. Mit Schreiben vom 11. Juni 2018 wurde er über die Voraussetzungen und (mit der Eingabe vom 8. Juni 2018 offensichtlich nicht erfüllten) Formerfordernisse einer Beschwerde gegen den Abschreibungsentscheid und die Möglichkeit, innert der noch laufenden Beschwerdefrist eine taugliche Rechtsschrift nachzureichen, belehrt. Das Schreiben konnte an der von ihm angegebenen Zustellungs-Adresse (Anwaltsbüro, das ihn im vorinstanzlichen Verfahren vertreten hatte) nicht zugestellt werden. Eine weitere Rechtsschrift ging innert Beschwerdefrist nicht ein.
Das Bundesgericht trat mit Urteil 2C_508/2018 vom 10. Juli 2018 (Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach <ref-law>) auf die Beschwerde nicht ein. Der Einzelrichter hielt fest, dass es im Sinne von <ref-law> offensichtlich an einer hinreichenden Beschwerdebegründung fehle; dass das Informationsschreiben über die Modalitäten gültiger Beschwerdeführung an der (einzigen) vom Betroffenen angegebenen Adresse nicht habe eröffnet werden könne, sei unerheblich, da die Pflicht zur formgerechten Beschwerdeführung innert der Beschwerdefrist von Gesetzes wegen bestehe, unabhängig davon, ob die Bemühungen der Behörde, die Partei rechtzeitig über diesbezügliche Mängel zu informieren, erfolgreich seien. Das Urteil konnte, wie bereits das vorausgehende Informationsschreiben vom 11. Juni 2018, nicht zugestellt werden.
Mit Schreiben vom 11. August 2019 erkundigte sich A._ nach dem Stand des Verfahrens. Im Auftrag des Abteilungspräsidenten informierte die Bundesgerichtskanzlei ihn mit Schreiben vom 20. August 2019 darüber, dass das Bundesgericht über seine seinerzeit erhobene Beschwerde am 10. Juli 2018 entschieden habe, dass es aber an der von ihm angegebenen Adresse nicht habe zugestellt werden können; eine Ausfertigung des Urteils werde beigelegt. Weiter wurde darauf hingewiesen, dass Entscheidungen des Bundesgerichts gemäss <ref-law> am Tag der Ausfällung in Rechtskraft erwachsen und mit keinem ordentlichen Rechtsmittel mehr angefochten werden können.
2.
Offenbar erhielt A._ nach seiner Eingabe vom 11. August 2019, aber noch vor Zustellung der bundesgerichtlichen Sendung vom 20. August 2019, Kenntnis vom Urteil 2C_508/2018 vom 10. Juli 2018. Denn mit vom 15. August 2019 datiertem Schreiben (Postaufgabe 18. August 2019) nimmt er Bezug auf das Urteil, wobei er feststellt, dass dies auch aus seiner Sicht die richtige Entscheidung sei. Dennoch bittet er, "unter dem Eindruck (s) einer neuen Erkenntnisse und Beweisstücke, die nur zum Teil in seinem Besitz (seien) ", das Bundesgericht darum, "das Verfahren neu zu eröffnen." Gestützt auf diese Eingabe ist das vorliegende Revisions-Verfahren 2F_20/2019 eröffnet worden.
3.
Wie bereits im Schreiben vom 20. August 2019 festgehalten, erwachsen gemäss <ref-law> Entscheidungen des Bundesgerichts mit der Ausfällung in Rechtskraft. Es gibt dagegen kein ordentliches Rechtsmittel, und auch eine Wiederaufnahme ("neue Eröffnung") ist vom Gesetz nicht vorgesehen. Hingegen kann die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts verlangt werden, wenn einer der vom Gesetz (Art. 121 - 123 BGG) abschliessend aufgezählten Revisionsgründe geltend gemacht wird. Dabei muss sich der Revisionsgrund auf den Gegenstand des fraglichen bundesgerichtlichen Urteils beziehen; handelt es sich dabei um einen Nichteintretensentscheid, haben sich allfällige Revisionsgründe ausschliesslich auf die das Nichteintreten begründenden Erwägungen zu beziehen.
Das Bundesgericht ist auf die seinerzeitige Beschwerde mit der Begründung nicht eingetreten, dass sie keine den gesetzlichen Anforderungen genügende Begründung enthielt, wobei es ausdrücklich festhielt, dass die gescheiterte Zustellung des - vor Ablauf der Beschwerdefrist - auf die Eintretensvoraussetzungen hinweisenden Informationsschreibens irrelevant sei. Zu dieser rechtlichen Würdigung, die sich als solche mit einem Revisionsgesuch nicht anfechten lässt, enthalten die Vorbringen des Gesuchstellers nichts, was sich unter einen der gesetzlichen Revisionsgründe subsumieren liesse.
Da das Vorliegen eines Revisionsgrundes nicht dargetan wird (<ref-law>), ist das Revisionsgesuch unzulässig. Es ist darauf, ohne Schriftenwechsel oder andere Instruktionsmassnahmen (vgl. <ref-law> e contrario) nicht einzutreten.
4.
Die Gerichtskosten (<ref-law>) sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Gesuchsteller aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung VI, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. August 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Feller