Faits :
A.
A.a. A._, née en 1963, travaillait comme femme de ménage dans un hôtel. Elle a été licenciée pour faute grave le 27 septembre 2011. Elle a déposé une première demande de prestations auprès de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) le 14 mai 2012. Elle arguait souffrir des séquelles incapacitantes de différents troubles somatiques.
L'office AI a requis l'avis des médecins traitants. Le docteur B._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, a fait état d'une algodystrophie du membre supérieur droit, d'un syndrome épaule-main et d'un syndrome lombovertébral totalement incapacitants depuis le 25 octobre 2011 (rapport du 14 juin 2012). Le docteur C._, spécialiste en médecine interne générale, a attesté l'existence de discopathies L3-5 et d'une arthrose postérieure L5-S1 (rapport du 26 juin 2012) stables engendrant une incapacité totale de travail depuis le 25 octobre 2011 (rapport du 29 octobre 2012). La doctoresse D._, spécialiste en médecine interne générale et rhumatologie, a évoqué des lombosciatalgies gauches chroniques, des douleurs à l'épaule droite en relation avec une tendinopathie de la coiffe des rotateurs et éventuellement un certain degré de capsulite rétractile ainsi qu'un syndrome douloureux chronique prohibant l'exercice de l'activité habituelle mais autorisant probablement la pratique d'une activité légère (rapport du 1 er mars 2013).
L'administration a en outre diligenté une expertise qui, compte tenu de l'absence de suivi psychiatrique, devait porter uniquement sur l'aspect rhumatologique du cas. Le docteur E._, spécialiste en médecine interne générale et rhumatologie, a été mandaté à cet effet. Il a considéré que des douleurs à l'épaule droite sur rupture intra-substantielle du supra-épineux et des lombalgies chroniques sur obésité et manque d'activité physique empêchaient la pratique du métier de femme de ménage depuis le mois d'octobre 2011 mais autorisaient la reprise d'une activité adaptée depuis le mois d'avril 2013. Il a également relevé l'absence de plaintes d'ordre psychologique ou de troubles de la lignée somatoforme (rapport du 31 mars 2014).
Se fondant sur le rapport d'expertise du docteur E._, l'office AI a reconnu le droit de l'assurée à une rente entière d'invalidité pour la période limitée allant du 1 er novembre 2012 au 30 juin 2013 (décision du 25 septembre 2014). La décision n'a pas été contestée.
A.b. Ayant repris contact avec l'administration par le truchement du docteur F._, médecin traitant, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur (rapport du 6 mai 2015), A._ a été invitée à déposer une nouvelle demande de prestations. Elle s'est exécutée le 10 juin 2015, invoquant les séquelles d'un accident survenu en 2010.
Considérant que l'assurée n'avait pas rendu plausible la modification notable de son état de santé, l'office AI a d'abord envisagé de refuser d'entrer en matière sur sa nouvelle demande de prestations (projet de décision du 16 octobre 2015). Il est toutefois revenu sur son intention dès lors que la doctoresse G._, médecin traitant, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, avait attesté un état psychologique fortement dégradé après une intervention neurochirurgicale (rapport du 5 novembre 2015) et le docteur F._ une capsulite rétractile sans amélioration envisageable. Invitée à préciser son avis, la doctoresse G._ a indiqué que sa patiente souffrait d'un trouble dépressif récurrent, épisode sévère avec symptômes psychotiques, observé en juillet 2015 mais en rémission partielle depuis l'automne 2015, ainsi que d'un trouble mixte de la personnalité avec prédominance de traits évitants et histrioniques. Elle a ajouté que les symptômes persistants mais de gravité fluctuante étaient apparus en 2010 selon l'anamnèse. Elle en a déduit une incapacité totale de travail comme femme de ménage et éventuellement une capacité résiduelle de travail de 20 % dans une activité adaptée (rapport du 4 février 2016). Le Service de neurochirurgie de l'Hôpital H._ a indiqué avoir pratiqué une craniotomie pour excision d'un méningiome le 11 septembre 2015 (rapport du 12 février 2016). Le docteur F._ a confirmé l'existence d'une capsulite rétractile totalement incapacitante depuis le 2 avril 2015 (rapport du 5 février 2016).
L'administration a également confié la mise en oeuvre d'une expertise pluridisciplinaire à la Clinique romande de réadaptation (CRR). Les experts ont diagnostiqué une tendinopathie chronique de l'épaule droite, des lombalgies chroniques sur troubles dégénératifs du rachis, une gonarthrose fémorotibiale droite, un état de stress post-traumatique depuis l'âge de quinze ans, une altération de la personnalité après une expérience de catastrophe (état de stress post-traumatique chronique) décompensée depuis 2011, ainsi qu'un trouble de l'humeur non spécifié (évolution dépressive réactionnelle sévère), un trouble somatoforme non spécifié et une majoration des symptômes physiques pour des raisons psychologiques depuis 2011. Ils en ont déduit, sur le plan somatique, une capacité résiduelle de travail nulle depuis l'automne 2011 dans l'activité habituelle puis de 70 % dès le 1 er avril 2013 dans une activité adaptée et, sur le plan psychique, une incapacité totale de travail depuis le mois d'octobre 2011 (rapport du 17 juillet 2018). Sur demande de l'office AI, le docteur I._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie rattaché à la CRR, a précisé que l'état psychique attesté était stable depuis 2011 (rapport complémentaire du 28 septembre 2018). Le docteur J._ du Service médical régional de l'administration (SMR) a inféré du rapport d'expertise que l'état de santé de l'intéressée ne s'était pas modifié de façon notable depuis la décision du 25 septembre 2014 (avis du 14 novembre 2018).
Sur la base de l'avis du SMR, l'office AI a rejeté la nouvelle demande de prestations (décision du 18 janvier 2019).
B.
Saisie d'un recours de A._ contre cette décision, la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève l'a admis. Elle a annulé la décision du 18 janvier 2019 et reconnu le droit de l'assurée à une rente entière d'invalidité dès le 1 er novembre 2012 sans limitation dans le temps (jugement du 25 septembre 2019).
C.
L'office AI interjette un recours en matière de droit public à l'encontre de ce jugement. Il en requiert l'annulation et conclut à la confirmation de sa décision du 18 janvier 2019 telle qu'il a proposé de la modifier durant l'instance précédente (reconnaissance du droit à une rente entière d'invalidité dès le 1 er juillet 2016).
A._ conclut au rejet du recours. Elle sollicite aussi l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
Saisi d'un recours en matière de droit public (<ref-law>), le Tribunal fédéral exerce un pouvoir d'examen limité. Il applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par cette dernière (<ref-law>) mais peut les rectifier et les compléter d'office si des lacunes et des erreurs manifestes apparaissent d'emblée (<ref-law>). En principe, il n'examine que les griefs motivés (<ref-law>), en particulier s'ils portent sur la violation des droits fondamentaux (<ref-law>). Il ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Le recourant peut critiquer la constatation des faits qui ont une incidence sur le sort du litige seulement s'ils ont été établis en violation du droit ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>) c'est-à-dire arbitraire. En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, si elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision ou lorsqu'elle tire des constatations insoutenables des éléments recueillis (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62).
2.
Le litige s'inscrit en l'espèce dans le cadre de la nouvelle demande de prestations déposée le 10 juin 2015. Il s'agit en particulier de déterminer si les différentes affections psychiques diagnostiquées par les médecins traitants et les experts de la CRR doivent être qualifiées de faits nouveaux justifiant une révision procédurale au sens de l'<ref-law> et l'octroi d'une rente entière d'invalidité à partir du 1 er novembre 2012, comme le soutiennent le tribunal cantonal et l'intimée, ou si elles constituent une modification significative de la situation médicale survenue après l'entrée en force de la décision du 25 septembre 2014 justifiant une révision au sens de l'<ref-law> (applicable par analogie aux nouvelles demandes de prestations [cf. art. 87 al. 2 et 3 RAI]), et l'octroi d'une rente entière d'invalidité à compter du 1 er juillet 2016, comme l'office recourant l'a admis durant l'instance cantonale et le défend dans son recours céans.
3.
L'acte attaqué expose les normes et la jurisprudence nécessaires à la résolution du litige, plus particulièrement celles relatives aux révisions procédurales (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 5b p. 358), aux nouvelles demandes de prestations (<ref-law> en lien avec les art. 87 al. 2 et 3 RAI; ATF134 V 131 consid. 3 p. 132 s.; <ref-ruling> consid. 5 p. 110 ss; <ref-ruling> consid. 3.5 p. 349 ss; <ref-ruling>), au rôle des médecins (<ref-ruling> consid. 4 p. 261 s.), ainsi qu'à l'appréciation des preuves, à la valeur probante des rapports médicaux (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 232 s.; <ref-ruling> consid. 3 p. 352 s.) et au degré de vraisemblance auquel les faits doivent être établis (<ref-ruling> consid. 5b p. 360 s.). Il suffit d'y renvoyer.
4.
La juridiction cantonale s'est en l'occurrence attachée à déterminer si la décision du 25 septembre 2014, qui était entrée en force de chose décidée, pouvait être révisée. Elle a constaté que l'administration avait admis l'aggravation de l'état de santé psychique et retenu une incapacité totale de travail depuis le mois de juillet 2015, tandis que l'assurée soutenait que cette détérioration était intervenue en 2011 déjà conformément aux conclusions du docteur I._. Elle a considéré que le rapport de ce dernier avait été établi dans le respect des règles applicables en la matière, que ses conclusions quant à la survenance de l'incapacité de travail due aux troubles psychiques n'étaient pas valablement mises en doute par les constatations du docteur E._ ni par celles d'autres praticiens qui s'étaient exprimés durant l'instruction de la première demande de prestations mais qu'elles étaient au contraire corroborées par l'avis de la doctoresse G._. Elle a par conséquent reconnu une pleine valeur probante au rapport du docteur I._. Elle en a déduit que l'intimée n'avait découvert qu'en 2015 qu'elle souffrait d'affections psychiques depuis 2011. Elle a considéré que cette découverte constituait un fait nouveau important qui ne pouvait être invoqué auparavant dans la mesure où il était inconnu de l'assurée malgré sa diligence. Elle a conclu que l'intimée avait droit à une rente entière d'invalidité dès le 1 er novembre 2012 sans limitation dans le temps.
5.
5.1. L'office recourant reproche substantiellement aux premiers juges d'avoir procédé à une appréciation arbitraire des preuves et violé le droit fédéral en suivant les conclusions du docteur I._ sur le début de l'incapacité de travail, en écartant certains éléments médicaux pertinents de leur appréciation et en retenant que l'atteinte à la santé psychiatrique constituait un fait nouveau important susceptible de justifier une révision procédurale au sens de l'<ref-law>.
L'administration prétend en particulier que les considérations ayant amené le tribunal cantonal à reconnaître une pleine valeur probante au rapport d'expertise et à en suivre les conclusions sur le début de l'incapacité de travail sont arbitraires dès lors que l'expert n'a fourni aucun élément médical objectif permettant de déterminer la gravité de l'atteinte ainsi que les limitations fonctionnelles qui en découlaient pour la période antérieure à 2015, les déclarations subjectives de l'assurée étant insuffisantes à cet égard. Elle soutient en outre qu'une analyse des documents médicaux antérieurs à la décision du 25 septembre 2014 démontre que les situations de 2011 et 2015 n'étaient pas superposables, aucun symptôme psychique n'ayant été décelé durant la période antérieure. Elle considère que, compte tenu de l'importance et de la gravité de la symptomatologie que supposent un état de stress post-traumatique et une modification durable de la personnalité après une expérience de catastrophe, cette symptomatologie ne pouvait pas avoir totalement échappé aux médecins somaticiens qui étaient intervenus durant l'instruction de la première demande de prestations. Elle estime également que l'origine de l'intimée ainsi que son niveau d'éducation ne sauraient justifier l'ignorance de troubles psychiques supposés existants, d'autant moins que les médecins qui s'étaient exprimés à l'époque de la première demande avaient constaté la cohérence des plaintes et avaient expressément exclu l'existence de certaines pathologies psychiques ou leur caractère incapacitant. Elle déduit de ce qui précède que l'incapacité totale de travail attestée depuis 2011 par le docteur I._ est en contradiction totale avec les constatations cliniques ressortant du dossier médical. Elle ajoute que les difficultés de l'intimée à s'exprimer en français avaient été palliées par la présence de traducteurs lors des expertises ou de la fille de l'assurée assurant la traduction lors de certains examens cliniques. Elle conteste que les seules déclarations de l'intimée à l'expert concernant son état de santé psychique antérieur à la décision du 25 septembre 2014 ou les constatations médicales faites postérieurement à cette décision puissent compenser l'absence d'examen clinique et justifier la fixation du début de l'incapacité de travail en 2011. Elle relève à cet égard que les docteurs F._ et G._ ont signalé l'apparition de la symptomatologie psychique ou du moins son importante dégradation postérieurement à l'intervention neurochirurgicale du 11 septembre 2015 et qu'aucun élément médical ne permettait de retenir une incapacité totale de travail depuis 2011. Elle considère que ni l'expert psychiatre ni la juridiction cantonale n'ont motivé les raisons qui les ont conduits à faire remonter l'incapacité totale de travail à cette époque, de sorte que cet élément factuel ne pouvait être considéré comme établi au degré de la vraisemblance prépondérante. Elle soutient dès lors que les diagnostics psychiatriques dont le docteur I._ et les premiers juges ont inféré une incapacité totale de travail depuis 2011 ne constituent pas un fait nouveau important justifiant une révision procédurale au sens de l'<ref-law> mais une nouvelle appréciation de la situation faite a posteriori.
5.2. Comme l'ont indiqué le tribunal cantonal dans son jugement et l'administration dans son recours, des faits nouveaux - c'est-à-dire des faits qui se sont produits jusqu'au moment où des allégations de faits étaient encore recevables dans la procédure principale mais qui n'étaient pas connus du requérant malgré toute sa diligence - peuvent justifier la révision procédurale d'une décision au sens de l'<ref-law>. Les documents médicaux destinés à prouver ces faits ne doivent pas donner une appréciation différente de la situation prévalant au moment de la décision entreprise mais démontrer que les bases de ladite décision comportaient des défauts objectifs. Une appréciation initiale inexacte doit donc être la conséquence de l'ignorance ou de l'absence de preuve de faits essentiels pour la décision (cf. <ref-ruling> consid. 5b p. 358).
En l'occurrence, comme le relève l'office recourant, le docteur F._ a évoqué l'existence probable d'une dépression pour la première fois le 6 mai 2015 et la doctoresse G._ des symptômes psychiques pour le première fois le 5 novembre 2015. Cette dernière a alors précisé que l'état psychologique s'était dégradé de façon importante après une intervention neurochirurgicale. Sur demande de l'administration, elle a indiqué que sa patiente souffrait d'un trouble dépressif récurrent, épisode actuel sévère avec symptômes psychotiques, constaté en juillet 2015 mais en rémission partielle depuis l'automne 2015, et d'un trouble mixte de la personnalité, avec prédominance des traits évitants et histrioniques. Elle a daté l'apparition des symptômes (persistants mais de gravité fluctuante) en 2010 en se fondant uniquement sur l'anamnèse. Le docteur I._ a quant à lui établi son rapport le 28 juin 2018. Il a diagnostiqué un état de stress post-traumatique depuis l'âge de quinze ans, une altération de la personnalité après une expérience de catastrophe décompensée depuis 2011, ainsi qu'un trouble de l'humeur non spécifié, un trouble somatoforme non spécifié et une majoration des symptômes physiques pour des raisons psychologique depuis 2011. Il a fixé l'incapacité totale de travail au mois d'octobre 2011. Il a déduit cette date également de l'anamnèse et l'a liée au licenciement survenu le 27 septembre 2011 ainsi qu'à la perte corrélative du rôle de soutien financier pour la famille élargie. Ces considérations sont ainsi le résultat d'une appréciation fondée essentiellement sur les déclarations - subjectives - de l'assurée. Elles sont certes motivées de façon circonstanciée. Elles ne sont cependant pas entièrement concordantes entre elles. En effet, la doctoresse G._ a lié la dégradation de l'état psychique (dont les symptômes auraient été présents avec une gravité fluctuante depuis 2010) à la craniotomie pour excision d'un carcinome pratiquée le 11 septembre 2015 et a constaté sa rémission partielle déjà en automne 2015 tandis que le docteur I._ a lié la survenance de l'incapacité de travail pour raisons psychiatriques à la perte de l'emploi qui, contrairement à ce qu'il semblait accroire sur la base des plaintes de l'intimée, n'était pas due à une atteinte à la santé mais à la commission d'une faute grave. Ces motivations divergentes tendent déjà à démontrer que le psychiatre traitant et l'expert psychiatre ont apprécié différemment la même situation.
A cela s'ajoute que les médecins qui se sont prononcés durant l'instruction de la première demande de prestations n'ont décelé aucun problème d'ordre psychiatrique. Il s'agissait certes de spécialiste en chirurgie orthopédique, en médecine interne générale ou en rhumatologie. Néanmoins, étant donné une certaine discordance entre les plaintes exclusivement somatiques et le résultat des examens cliniques, tous ou presque ont envisagé l'hypothèse de troubles douloureux de la lignée somatoforme. Ainsi, la doctoresse D._ a admis l'existence d'un syndrome douloureux chronique mais en a exclu le caractère incapacitant. Le docteur E._ a expressément nié la présence d'un tel trouble. Or, dans la mesure où une symptomatologie dépressive accompagne généralement l'évolution d'un trouble somatoforme, il paraît pour le moins peu vraisemblable qu'un épisode dépressif sévère ou une évolution dépressive réactionnelle sévère ainsi que d'autres pathologies, qui présupposent une symptomatologie importante et grave comme le relève l'administration, aient pu totalement échapper à des spécialistes de la médecine, experts ou médecins traitants. On ne voit en outre pas en quoi les difficultés linguistiques de l'assurée, son origine ou son niveau d'éducation l'auraient empêchée de se plaindre de manifestations symptomatiques dont elle pouvait certes ignorer la nature mais en tout cas pas l'existence ou l'intensité.
Dans ces circonstances, comme le soutient l'office recourant, la juridiction cantonale ne pouvait pas considérer comme établi au degré de la vraisemblable prépondérante que l'incapacité de travail due aux troubles psychiques était survenue en 2011 sans faire preuve d'arbitraire ni en déduire un fait nouveau justifiant une révision procédurale sans violer le droit fédéral. Il apparaît effectivement que l'appréciation du docteur I._ sur le début de l'incapacité de travail - sur laquelle se sont fondés les premiers juges - est une appréciation - a posteriori - différente de la situation prévalant durant l'instruction de la première demande de prestations et ne saurait constituer un moyen de preuve mettant en évidence des faits nouveaux essentiels ignorés à l'époque de la décision du 25 septembre 2014. Il convient dès lors d'annuler le jugement entrepris et de réformer la décision du 18 janvier 2019, selon les conclusions prises par l'administration en première instance, en ce sens qu'est reconnu le droit de l'assurée à une rente entière d'invalidité à partir du 1 er juillet 2016 en raison d'une modification notable de la situation médicale.
6.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge de l'intimée (<ref-law>). Elle a cependant déposé une demande d'assistance judiciaire. Dès lors que la condition de l'indigence est remplie (art. 64 al. 1 et 2 LTF), l'assistance judiciaire lui est accordée. L'assurée est toutefois rendue attentive au fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal fédéral si elle retrouve ultérieurement une situation financière lui permettant de le faire (<ref-law>). L'office recourant n'a pas droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. Le jugement du 25 septembre 2019 de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, est annulé et la décision du 18 janvier 2019 de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève est réformée en ce sens que l'intimée a droit à une rente entière de l'assurance-invalidité à partir du 1er juillet 2016.
2.
L'assistance judiciaire est accordée et M e Chevalier est désignée comme avocate d'office de l'intimée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimée. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal fédéral.
4.
Une indemnité de 2800 fr. est allouée à l'avocate de l'intimée à titre d'honoraires à payer par la caisse du Tribunal fédéral.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 13 mai 2020
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Cretton