Sachverhalt:
A.
Mit Urteil des Strafgerichts Schwyz vom 8. Oktober 2013 wurde B._ wegen mehrfacher Vergewaltigung, begangen je einfach zum Nachteil von C._ und D._, sowie sexueller Nötigung und mehrfacher sexueller Belästigung zum Nachteil von C._ zu einer Freiheitsstrafe von 30 Monaten und einer Busse von Fr. 1'000.-- verurteilt. Mit Urteil vom 7. Oktober 2014 reduzierte das Kantonsgericht Schwyz das Strafmass auf 24 Monate Freiheitsstrafe. Eine dagegen erhobene Beschwerde hiess das Bundesgericht mit Urteil 6B_318/2015 vom 28. Oktober 2015 in Bezug auf den Schuldspruch wegen Vergewaltigung zum Nachteil von D._ gut, hob das Urteil des Kantonsgerichts Schwyz vom 7. Oktober 2014 auf und wies die Sache zu neuer Entscheidung an das Kantonsgericht Schwyz zurück.
C._ war vom 18. Juli 2011 bis 13. März 2012 Patientin von Dr. med. A._, in deren Praxis zu jener Zeit auch E._ als medizinische Praxisassistentin tätig war.
B.
Am 20./28. Juli 2016 ersuchte A._ das Gesundheitsdepartement des Kantons St. Gallen für sich und E._ um Entbindung vom Berufsgeheimnis in Bezug auf ihre Patientin C._, um im Rahmen eines allfälligen Revisionsverfahrens gegen die Verurteilung von B._ wegen Vergewaltigung aussagen zu dürfen. Der Gesundheitsrat des Kantons St. Gallen wies das Gesuch mit Verfügung vom 4. November 2016 ab. Einer dagegen gerichteten Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen war kein Erfolg beschieden (Zirkulationsentscheid vom 20. Februar 2018).
C.
Gegen den Zirkulationsentscheid des Verwaltungsgerichts vom 20. Februar 2018 gelangen A._ (Beschwerdeführerin 1) und B._ (Beschwerdeführer 2) mit gemeinsamer Eingabe vom 20. März 2018 an das Bundesgericht. Sie beantragen, den vorinstanzlichen Entscheid aufzuheben und A._ sowie ihre ehemalige Praxisassistentin E._ von der beruflichen Schweigepflicht im Hinblick auf ihre frühere Patientin C._ zu befreien. Eventualiter sei das Verfahren zum neuen Entscheid an das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die zur Stellungnahme eingeladene C._ und der Gesundheitsrat des Kantons St. Gallen liessen sich nicht vernehmen.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1 S. 116).
1.1. Frist- und grundsätzlich formgerecht angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher, verfahrensabschliessender Entscheid eines oberen Gerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, gegen den die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist (Art. 82 lit. a, Art. 83, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90, Art. 100 Abs. 1 BGG).
1.2. Nach Art. 89 Abs. 1 ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat.
1.2.1. Die Legitimation des Beschwerdeführers 2 im Sinne von <ref-law> liegt auf der Hand: Er war im vorinstanzlichen Verfahren als Beschwerdebeteiligter involviert und steht als Verurteilter, der gestützt auf die Aussagen der Beschwerdeführerin 1 und ihrer Praxisassistentin ein Revisionsverfahren anstreben will, in besonderer Nähe zur Streitsache. Die Vorinstanz hat das Gesuch um Befreiung von der beruflichen Schweigepflicht der Beschwerdeführerin 1 und ihrer Praxisassistentin abgewiesen. Damit verfügt der Beschwerdeführer 2 auch über ein aktuelles und praktisches, schutzwürdiges Interesse an der Behandlung der Beschwerde.
1.2.2. Anders verhält es sich mit der Beschwerdeführerin 1. Sie hat zwar ebenfalls am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und steht als Geheimnisträgerin mehr als jede beliebige Dritte in einer gewissen Nähe zur Streitsache. Allerdings ist nicht ersichtlich, inwieweit sie persönlich über ein schutzwürdiges Interesse an der Änderung des angefochtenen Entscheids verfügt. Ebensowenig sind Gründe erkennbar, aus denen ihr die Legitimation im bundesgerichtlichen Verfahren zur Wahrung der (Dritt-) Interessen des Beschwerdeführers 2 zukommen soll, zumal dieser selber in der Lage ist, sich gegen die verweigerte Entbindung vom Berufsgeheimnis zu wehren. Zu ihrer Beschwerdeberechtigung führt die Beschwerdeführerin 1 auch nichts Näheres aus, was im Rahmen der Begründungspflicht (<ref-law>) aber ungeachtet der von Amtes wegen vorgenommenen Prüfung der Eintretensvoraussetzungen (vgl. <ref-law>) unerlässlich ist, soweit die Legitimation wie hier nicht ohne weiteres ersichtlich ist (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 121; Urteil 9C_787/2017 vom 16. August 2018 E. 1). Soweit die Beschwerdeführerin 1 betreffend ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer 2 macht geltend, die Vorinstanz habe in Bezug auf die Befreiung der Beschwerdeführerin 1 und ihrer Praxisassistentin von der beruflichen Schweigepflicht eine unzutreffende Interessenabwägung vorgenommen und damit gegen <ref-law> und das Willkürverbot im Sinne von <ref-law> verstossen. Allerdings legt der Beschwerdeführer 2 nicht dar, inwieweit ihm das Willkürverbot einen weitergehenden Anspruch auf Befreiung vom Berufsgeheimnis als <ref-law> verleihen soll (zur qualifizierten Rügepflicht bei verfassungsmässigen Rechten vgl. <ref-law> sowie <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f.; Urteil 2C_582/2016 vom 22. Mai 2017 E. 2.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Seine Vorbringen zu <ref-law> finden im Rahmen der Rechtsanwendung von Amtes wegen (<ref-law>) bei der Überprüfung des angefochtenen Entscheids auf seine Vereinbarkeit mit einfachem Bundesrecht (<ref-law>) Berücksichtigung.
2.1. Personen, die einen universitären Medizinalberuf privatwirtschaftlich in eigener fachlicher Verantwortung ausüben, wahren gemäss Art. 40 lit. f des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2006 über die universitären Medizinalberufe (Medizinalberufegesetz, MedBG; SR 811.11) das Berufsgeheimnis nach Massgabe der einschlägigen Vorschriften. Das Berufsgeheimnis des Arztes dient der Verwirklichung des verfassungsmässigen Anspruchs auf Privatsphäre (vgl. Art. 35 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>, Art. 8 EMRK) und schützt die Geheimsphäre des Patienten. Darüber hinaus dient es der öffentlichen Gesundheit, indem es ermöglicht, dass sich der Patient ohne Vorbehalt dem Arzt anvertrauen kann und zweckmässig behandelt wird (vgl. Urteil 2C_37/2018 vom 15. August 2018 E. 6.2.3).
2.1.1. Materielle Bestimmungen über das Berufsgeheimnis enthält <ref-law> keine; er verweist aber auf andere einschlägige Vorschriften. Dazu zählt unter anderem <ref-law> (vgl. Urteile 2C_37/2018 vom 15. August 2018 E. 6.2.1; 2C_1035/2016 vom 20. Juli 2017 E. 4.2; 2C_215/2015 vom 16. Juni 2016 E. 3, nicht publ. in: <ref-ruling>). Nach <ref-law> werden Ärzte und ihre Hilfspersonen auf Antrag mit Freiheitsstrafe bis zu drei Jahren oder Geldstrafe bestraft, wenn sie ein Geheimnis offenbaren, das ihnen infolge ihres Berufs anvertraut worden ist oder das sie in dessen Ausübung wahrgenommen haben. Der Täter ist nicht strafbar, wenn er das Geheimnis auf Grund einer Einwilligung des Berechtigten oder einer auf Gesuch des Täters erteilten schriftlichen Bewilligung der vorgesetzten Behörde oder Aufsichtsbehörde offenbart hat (<ref-law>). Vorbehalten bleiben die eidgenössischen und kantonalen Bestimmungen über die Zeugnispflicht und über die Auskunftspflicht gegenüber einer Behörde (<ref-law>).
2.1.2. Gemäss <ref-law> ist eine Befreiung eines Geheimnisträgers von der Geheimnispflicht mit Bewilligung der zuständigen Behörde zulässig. Diese Bestimmung nennt selber keine Kriterien, nach denen die Bewilligung erteilt oder verweigert werden soll. Es ist dafür eine Rechtsgüter- und Interessenabwägung vorzunehmen, wobei die Entbindung nur zu bewilligen ist, wenn dies zur Wahrung überwiegender privater oder öffentlicher Interessen notwendig ist. Dabei vermag nur ein deutlich überwiegendes öffentliches oder privates Interesse die Befreiung vom Berufsgeheimnis zu rechtfertigen (vgl. Urteile 2C_37/2018 vom 15. August 2018 E. 6.4.2; 2C_1035/2016 vom 20. Juli 2017 E. 4.2.2; 2C_215/2015 vom 16. Juni 2016 E. 5.1, nicht publ. in: <ref-ruling>).
2.2. Mit seinen weitgehend oberflächlichen Ausführungen vermag der Beschwerdeführer 2 kein deutlich überwiegendes Interesse an der Befreiung der Beschwerdeführerin 1 und ihrer Praxisassistentin von der beruflichen Schweigepflicht darzutun.
2.2.1. Zunächst macht der Beschwerdeführer 2 nicht geltend, dass im Zusammenhang mit seiner Verurteilung wegen Vergewaltigung, sexueller Nötigung und mehrfacher sexueller Belästigung zum Nachteil der Beschwerdegegnerin bereits ein Revisionsverfahren hängig sei und die Beschwerdeführerin 1 oder ihre Praxisassistentin in diesem Rahmen zur Einvernahme als Zeuginnen vorgeladen worden seien. Dies wäre Ausdruck davon, dass das mit dem Revisionsverfahren befasste Gericht von der Rechtserheblichkeit ihrer Aussagen ausginge (vgl. <ref-law>), was immerhin ein konkretes, wenngleich nicht ohne weiteres deutlich überwiegendes Interesse des Beschwerdeführers 2 an der Befreiung der Beschwerdeführerin 1 und ihrer Praxisassistentin von der Schweigepflicht dokumentieren würde (vgl. Urteil 2C_1035/2016 vom 20. Juli 2017 E. 4.2.3; 2C_215/2015 vom 16. Juni 2016 E. 4.5 und E. 5.4, nicht publ. in: <ref-ruling>).
2.2.2. Demgegenüber stellt sich der Beschwerdeführer 2 im vorliegenden Fall auf den Standpunkt, dass die Aussagen der Beschwerdeführerin 1 und ihrer Praxisassistentin erst als Grundlage für die Einleitung eines Revisionsverfahrens dienen würden. Die Einvernahme der Praxisassistentin wurde allerdings bereits im ordentlichen Strafverfahren im Hinblick auf ihre Rolle bei der Erstattung der Strafanzeige beantragt und abgelehnt, was das Bundesgericht mit Urteil 6B_318/2015 vom 28. Oktober 2015 bestätigt hat (vgl. zit. Urteil, E. 3.2.1). Dabei geht aus E. 3.2 des Urteils 6B_318/2015 vom 28. Oktober 2015 hervor, dass das Kantonsgericht Schwyz auf die Einvernahme der Praxisassistentin in Kenntnis ihrer beruflichen Funktion und somit ihrer Verbindungen zur Beschwerdeführerin 1 verzichtete. Dass es sich bei den Kenntnissen der Beschwerdeführerin 1 und ihrer Praxisassistentin, für die der Beschwerdeführer 2 nun die Befreiung von der Schweigepflicht beantragt, gleichwohl um neue Tatsachen im Sinne von <ref-law> (i.V.m. <ref-law>) handelt, die die Einleitung eines Revisionsverfahrens erlauben, legt der Beschwerdeführer 2 vor diesem Hintergrund nicht überzeugend dar.
2.2.3. Hinzu kommt, dass der Beschwerdeführer 2 mit seinen pauschalen Vorbringen zu den Informationen, über welche die Beschwerdeführerin 1 und ihre Praxisassistentin gestützt auf das Patientenverhältnis zur Beschwerdegegnerin verfügen sollen, nicht hinreichend auf die Beweismittel und -würdigung Bezug nimmt, die zu seiner Verurteilung führten. Wohl hat er keine Kenntnis vom Inhalt der Aussagen, welche die Beschwerdeführerin 1 und ihre Praxisassistentin für den Fall ihrer Befreiung von der Schweigepflicht machen könnten. Er hätte aber jedenfalls in Auseinandersetzung mit dem Sachverhalt des zu revidierenden Urteils darzulegen, in welchen Punkten sich das (rechtskräftig) festgestellte Beweisergebnis seiner Auffassung nach gestützt auf Aussagen der Beschwerdeführerin 1 und ihrer Praxisassistentin entscheidend zu seinen Gunsten abändern liesse. So behauptet der Beschwerdeführer 2 zwar, dass es für alle Instanzen massgebend gewesen sei, dass die Beschwerdegegnerin und D._ keinen Kontakt gehabt hätten, was die Beschwerdeführerin 1 und ihre Praxisassistentin widerlegen könnten. Anhand der betreffenden Strafurteile zeigt er aber nicht konkret auf, inwieweit die Strafgerichte bei der Beweiswürdigung tatsächlich in entscheidender Weise auf den fehlenden Kontakt zwischen der Beschwerdegegnerin und D._ abstellten. Angesichts dessen ist ein deutlich überwiegendes Interesse an der Befreiung von der beruflichen Schweigepflicht weder dargetan noch ersichtlich.
3.
Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Die Beschwerdeführer tragen die Gerichtskosten (vgl. <ref-law>). Der Kanton St. Gallen, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (vgl. <ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist kein nennenswerter Aufwand entstanden; eine Parteientschädigung ist ihr nicht auszurichten (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen Abteilung II schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. März 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Fellmann