Sachverhalt:
A.
A._ wird mehrfacher Betrug, mehrfache Urkundenfälschung sowie eine Widerhandlung gegen das Arbeitslosenversicherungsgesetz vorgeworfen.
A.a. Als Geschäftsführer der Privatkreditvermittlerin B._ GmbH habe er daran mitgewirkt, bei der C._ AG am 13. Mai 2013 einen Privatkredit von Fr. 55'000.-- für sich selbst zu beantragen. Dieser sei am 21. Mai 2013 ausbezahlt worden, nachdem er wahrheitswidrig angegeben habe, bei der D._ AG fest angestellt zu sein und dort netto Fr. 5'237.95 zu verdienen. Tatsächlich sei er aber zum Zeitpunkt des Kreditantrags bereits gekündigt und freigestellt gewesen, ohne eine neue Stelle in Aussicht zu haben. Zudem habe er (über eine Drittperson) gefälschte Lohnabrechnungen und einen gefälschten Bankauszug eingereicht. Die Geschädigte habe der B._ GmbH eine Vermittlungsprovision von Fr. 3'345.10 bezahlt.
A.b. Weiter habe A._ zusammen mit weiteren Beschuldigten am 30. August 2013 bei der E._ AG für eine Kundin der B._ GmbH einen Privatkredit von Fr. 30'000.-- beantragt. Dieser sei, neben einer Vermittlungsprovision, im September 2013 ausbezahlt worden, nachdem, auch hier unter Vorlage einer falschen Lohnabrechnung, angegeben worden sei, die Kundin sei beim Spital F._ fest angestellt und verdiene dort monatlich Fr. 4'789.-- netto. Tatsächlich habe sie an einer anderen Stelle nur Fr. 2'500.-- verdient.
A.c. Sodann habe A._ am 21. November 2013 zusammen mit Mittätern über die B._ GmbH bei der G._ AG für eine weitere Kundin einen Privatkredit von Fr. 20'000.-- beantragt. Dieser sei, neben einer Vermittlungsprovision, im November 2013 ausbezahlt worden, nachdem, auch hier unter Vorlage falscher Lohnabrechnungen, angegeben worden sei, die Kundin sei beim Spital F._ fest angestellt und verdiene dort monatlich Fr. 5'411.15 netto. Tatsächlich sei sie im Geschäft des Ehemanns tätig gewesen und habe dort Fr. 1'500.-- verdient.
A.d. Schliesslich habe sich A._ der Widerhandlung gegen das Arbeitslosenversicherungsgesetz schuldig gemacht. Auf den 1. April 2014 habe er sich bei der öffentlichen Arbeitslosenkasse angemeldet. Obwohl er im Dezember 2014 von der H._ AG, für die er seit November 2014 tätig gewesen sei, eine Provision über Fr. 842.50 bezogen habe, habe er dies nicht deklariert, eine ungekürzte Entschädigung bezogen und sich erst auf Ende Dezember 2014 bei der Arbeitslosenversicherung abgemeldet.
B.
Das Präsidium des Bezirksgerichts Aarau sprach A._ von den Vorwürfen des mehrfachen Betrugs und der mehrfachen Urkundenfälschung frei, aber des Vergehens gegen das Bundesgesetz über die obligatorische Arbeitslosenversicherung und die Insolvenzentschädigung (Art. 105 AVIG) schuldig. Es belegte ihn mit einer bedingten Geldstrafe von 30 Tagessätzen (Probezeit: drei Jahre) und zu einer Busse von Fr. 500.-- (Urteil vom 16. Januar 2017).
C.
Die kantonale Staatsanwaltschaft erhob Berufung, A._ Anschlussberufung.
Das Obergericht des Kantons Aargau stellte eine Verletzung des Beschleunigungsgebots fest, hiess die Berufung der Staatsanwaltschaft teilweise gut, sprach A._ des mehrfachen Betrugs, der mehrfachen Urkundenfälschung und des Vergehens nach Art. 105 AVIG schuldig und belegte ihn mit einer bedingten Geldstrafe von 330 Tagessätzen bei einer Probezeit von drei Jahren sowie mit einer Busse von Fr. 4'000.-- (Urteil vom 26. Juli 2019).
D.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Urteils. Die Vorinstanz sei zu Unrecht auf die Berufung der Staatsanwaltschaft eingetreten. Eventuell sei er von den Vorwürfen des mehrfachen Betrugs, der mehrfachen Urkundenfälschung und des Vergehens nach Art. 105 AVIG freizusprechen. Subeventuell sei die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.

Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer macht geltend, im vorinstanzlichen Verfahren habe es an einer Sachurteilsvoraussetzung gefehlt. Die Staatsanwaltschaft habe zwar in ihrer Berufungserklärung (Art. 399 Abs. 3 StPO), nicht aber, nach Anordnung des schriftlichen Verfahrens (Art. 406 StPO), in der Berufungsbegründung Anträge gestellt. Der Staatsanwaltschaft sei Frist gesetzt worden, um ihre Berufungsanträge "abschliessend zu stellen" und zu begründen. Ihre Berufungsbegründung enthalte jedoch keine Anträge. Ebenso wenig werde auf in der Berufungserklärung gestellte Anträge verwiesen. Daher hätte die Vorinstanz auf das Rechtsmittel nicht eintreten dürfen, sondern dieses im Sinn von Art. 407 Abs. 1 lit. b in Verbindung mit Art. 385 Abs. 1 StPO als zurückgezogen betrachten müssen. Nach Art. 399 Abs. 3 und 4 StPO müsse sich die Begründung zudem auf alle in der Berufungserklärung angefochtenen Punkte beziehen; die Berufungsklägerin habe sich jedoch nicht zum Strafpunkt geäussert. Auch beim Fehlen einer schriftlichen Begründung gelte die Berufung als zurückgezogen.
Das schriftliche Berufungsverfahren war unzulässig (unten E. 3.2). In der Sache wird daher eine mündliche Berufungsverhandlung durchzuführen sein. Kommen somit die für diese Verfahrensform geltenden Vorschriften zum Tragen, entfallen die im schriftlichen Verfahren geltenden Anforderungen. Die diesbezügliche Rüge ist gegenstandslos.
2.
Weiter rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung des Anklagegrundsatzes (Art. 9 Abs. 1 StPO; <ref-ruling> E. 3.4.1 S. 142).
2.1. Die erste Instanz ging von einer Verletzung des Anklageprinzips aus und sprach den Beschwerdeführer von den Tatvorwürfen des mehrfachen Betrugs und der mehrfachen Urkundenfälschung frei. Sie begründete dies u.a. damit, die angeklagten Sachverhalte würden in der Anklageschrift jeweils einleitend unter dem Titel "Tatzeit" auf ein genaues Datum beschränkt. Aufgrund der Fixierungsfunktion der Anklageschrift dürfe das Gericht nur die dort umschriebenen Lebensvorgänge berücksichtigen. Dies gelte auch hinsichtlich der Handlungen des Beschuldigten an den konkret genannten Daten. Nach Lage der Beweise sei davon auszugehen, dass zu den mit der Anklage fixierten Tatzeitpunkten keine gefälschten, zur Täuschung im Sinn des Betrugstatbestands verwendeten Urkunden vorgelegen seien.
Die Vorinstanz erwägt, zwar gebe die Anklage für jeden der drei vorgeworfenen, im Wesentlichen gleichartigen Betrugsfälle ein bestimmtes Datum als Tatzeit an. Neben dem angegebenen Datum mache die Anklage indessen zusätzliche Angaben zum relevanten Zeitraum. Die genannte "Tatzeit" beziehe sich auf das Datum des jeweiligen Kreditantrags. Zusätzlich werde der jeweilige Zeitpunkt der Kreditauszahlung, also des Schadenseintritts, genannt. Die drei jeweils einige Monate auseinanderliegenden Sachverhalte seien zeitlich klar eingegrenzt.
Der Beschwerdeführer wendet ein, entgegen der Anklage seien die gefälschten Unterlagen nicht zusammen mit dem Kreditantrag eingereicht worden. D ie erstinstanzliche Beweiswürdigung zum ersten Sachverhalt habe ergeben, dass am in der Anklageschrift genannten Datum (13. Mai 2013) lediglich der Kreditantrag eingereicht worden sei. Darauf sei der Kreditvertrag abgeschlossen worden. Erst nachträglich, anlässlich der Kreditauszahlung und ohne sein Wissen, seien gefälschte Dokumente abgegeben worden. Mithin gehe es nicht um eine unbedeutende Ungenauigkeit in der Zeitangabe, sondern darum, dass die Anklage von einem anderen rechtserheblichen Sachverhalt als demjenigen ausgehe, der sich tatsächlich zugetragen habe. In den weiteren angeklagten Fällen verhalte es sich ähnlich. Wenn die Vorinstanz den angeklagten Sachverhalt ausdehne und von der - in der Anklage fixierten - Vorgabe abweiche, die gefälschten Unterlagen seien zusammen (d.h. gleichzeitig) mit dem jeweiligen Antrag eingereicht worden, so sei eine wirksame Verteidigung unmöglich gewesen. Denn so gehe es weniger um eine blosse zeitliche Einordnung des Geschehens als um eine für die rechtliche Qualifizierung bedeutsame Chronologie: Für das Tatbestandsmerkmal der Arglist sei es erheblich, ob gefälschte Urkunden vor oder nach dem Vertragsschluss verwendet worden seien. Die Anklage habe die beiden Handlungen ausdrücklich auf den gleichen Tag datiert und als Handlungseinheit fixiert.
2.2. Der Anklagegrundsatz lässt zu, dass der im gerichtlichen Verfahren ermittelte Sachverhalt von der Darstellung in der Anklageschrift abweicht, hier was den zeitlichen Ablauf betrifft. Die Fixierung des Anklagesachverhalts geht nicht weiter als es für eine verlässliche Eingrenzung des Verhandlungsgegenstands und eine wirksame Verteidigung erforderlich ist (vgl. <ref-ruling> E. 3.4.1 S. 142). Hier ist die der Schilderung der vorgeworfenen Handlungen vorangestellte Datumsangabe als zeitlicher Anker für die betreffende Tateinheit zu verstehen, ohne Anspruch darauf, abschliessend zu sein. Wie die Vorinstanz zudem richtig hervorhebt, wird jeweils nicht nur das Datum des Kreditantrags genannt, sondern auch die Kreditauszahlung zeitlich zugeordnet. Selbst wenn gefälschte Unterlagen erst danach eingereicht worden sein sollten, änderte dies - für den Beschwerdeführer ohne Weiteres erkennbar - nichts am sachlichen Zusammenhang mit den anderen im betreffenden Anklagepunkt vorgeworfenen Handlungen. Zu Recht hat die Vorinstanz daher die geltend gemachte Verletzung des Anklagegrundsatzes verworfen.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer beanstandet die vorinstanzliche Würdigung der Aussagen von befragten Personen resp. deren Glaubwürdigkeit als bundesrechtswidrig. Er bringt vor, es gehe nicht an, dass eine obere Instanz die Aussagen von Personen, von denen sie sich keinen persönlichen Eindruck bilden konnte, im schriftlichen Verfahren abweichend von der ersten Instanz würdige, soweit diese selbst persönliche Befragungen durchgeführt habe.
3.2. Das Berufungsverfahren ist grundsätzlich mündlich. Es kann nur ausnahmsweise schriftlich durchgeführt werden, wenn die in Art. 406 StPO abschliessend umschriebenen, von Amtes wegen zu prüfenden Voraussetzungen gegeben sind (zur amtlichen Publ. vorgesehenes Urteil 6B_973/2019 vom 28. Oktober 2020 E. 2.2.2 und 2.2.3; <ref-ruling> E. 1.1 S. 292). Die Vorinstanz beurteilt die Glaubhaftigkeit der aktenkundigen Aussagen (angefochtenes Urteil S. 16 ff.) und würdigt weitere Beweise im schriftlichen Verfahren. Auf diese Verfahrensart darf das Gericht aber (unter Vorbehalt von Art. 406 Abs. 2 StPO) nicht zurückgreifen, wenn Sachverhaltsfragen zu beurteilen sind (vgl. Art. 406 Abs. 1 lit. a StPO). Sofern keine der Voraussetzungen nach Art. 406 Abs. 1 StPO erfüllt ist, ist das schriftliche Berufungsverfahren mit dem Einverständnis der Parteien möglich, wenn die Voraussetzungen von Art. 406 Abs. 2 lit. a und b StPO kumulativerfüllt sind, d.h. ein einzelrichterliches Urteil angefochten und die Anwesenheit der beschuldigten Person nicht erforderlich ist (erwähntes Urteil 6B_973/2019 E. 2.2.2).
Die Anwesenheit der beschuldigten Person ist per seerforderlich, wenn die Rechtsmittelinstanz den Sachverhalt grundlegend anders würdigt als die erste Instanz und die beschuldigte Person gestützt auf die entsprechenden Sachverhaltsfeststellungen (BGE <ref-ruling> E. 1.3 S. 293) schuldig spricht (erwähntes Urteil 6B_973/2019 E. 3). Ein solcher Fall ist hier offenkundig gegeben, nachdem die Vorinstanz die erstinstanzlichen Freisprüche betreffend mehrfachen Betrug und mehrfache Urkundenfälschung u.a. anhand einer eigenen Würdigung der Aussagen Dritter mit Schuldsprüchen ersetzt.
3.3. Die Sache ist an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie die Berufungssache in einem mündlichen Verfahren (Art. 405 StPO) behandle.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seiner Teilnahmerechte nach Art. 147 Abs. 1 StPO. Als die Staatsanwaltschaft seine Befragung sowie diejenige weiterer Personen an die Kantonspolizei delegiert habe, habe sie ausdrücklich darauf hingewiesen, dass ihm und seinen Mitbeschuldigten (mit Ausnahme einer einzelnen Befragung) Teilnahmerechte einzuräumen seien (vgl. Art. 312 Abs. 2 StPO). Das sei aber nicht geschehen. Damit scheide ein Verzicht auf die Teilnahmerechte aus. Soweit Einvernahmen angekündigt worden seien, hätten sein Rechtsvertreter oder er selbst stets daran teilgenommen. Die erste Instanz habe die Unverwertbarkeit der Protokolle, die die in seiner Abwesenheit stattgefundenen Einvernahmen betreffen, von Amtes wegen berücksichtigen dürfen, zumal Verletzungen von Teilnahmerechten im Vorverfahren ohnehin nicht angefochten werden könnten.
Die Vorinstanz hält fest, von der Verletzung von Parteirechten im Sinn von Art. 147 StPO sei erstmals im erstinstanzlichen Urteil die Rede gewesen. Bis dahin sei keine entsprechende Rüge erhoben worden. Daher dürfe davon ausgegangen werden, dass die Wahrnehmung der Parteirechte vor allen delegierten Einvernahmen angeboten worden sei, der Beschwerdeführer also auf die Teilnahme verzichtet habe (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 402 f.), soweit er nicht anwesend oder vertreten gewesen sei. Nachträgliche Beanstandungen seien nicht zu hören. Die betreffenden Beweismittel seien durchaus zur Urteilsfindung heranzuziehen. Selbst wenn im Übrigen davon auszugehen wäre, dem Beschwerdeführer sei die Teilnahme jeweils vorenthalten worden, müsse beachtet werden, dass erst mit Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 4. Mai 2015 eine Strafuntersuchung gegen ihn angehoben worden sei. Die vorangegangenen Untersuchungshandlungen hätten einzig den Mitbeschuldigten gegolten. Die Teilnahmerechte des Beschwerdeführers hätten also ohnehin nur für gewisse andere Einvernahmen bestehen können.
4.2. Im Rahmen des aufgrund der Rückweisung fortzusetzenden Verfahrens (oben E. 3) werden im Vorverfahren durchgeführte Befragungen zu wiederholen sein. Zudem erhebt das Berufungsgericht ordnungsgemäss erhobene Beweise erneut, sofern die unmittelbare Kenntnis des Beweismittels für die Urteilsfällung notwendig erscheint (Art. 343 Abs. 3 in Verbindung mit Art. 405 Abs. 1 StPO), hier im Hinblick auf die Frage, wie glaubwürdig die ihn belastenden Personen und wie glaubhaft deren Aussagen sind. Eine unmittelbare Abnahme des Beweismittels ist namentlich notwendig, wenn es den Ausgang des Verfahrens beeinflussen kann (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 290; <ref-ruling> E. 4.4.1 f. S. 199 f.). Dass die Würdigung der betreffenden Aussagen in diesem Sinn relevant ist, ergibt sich schon aus den vorinstanzlichen Erwägungen zur Glaubwürdigkeit der Aussagen (angefochtenes Urteil E. 3 S. 18 ff.) sowie zum für den Betrugstatbestand erheblichen Sachverhalt (E. 4 S. 21 ff.).
Zum andern wird die Vorinstanz prüfen, inwieweit allenfalls Aussagen im Vorverfahren in Verletzung von Art. 147 StPO erhoben wurden. Solange der Beschwerdeführer noch nicht als Beschuldigter, sondern als Privatkläger befragt wurde, kann er sich nicht auf diese Garantie berufen. Sodann ist danach zu unterscheiden, ob ihm als Beschuldigtem im Verhältnis zu Mitbeschuldigten Teilnahmerechte zustanden oder ob er in einem getrennten, eigenen Verfahren lediglich ein (dem Verzicht zugängliches) Konfrontationsrecht (Art. 6 Ziff. 3 lit. d EMRK) beanspruchen konnte. Im Fall einer Unverwertbarkeit wird die Vorinstanz mittels eigener Befragungen auch eine Beweisergänzung vornehmen können (Art. 389 Abs. 2 StPO), wobei dann allerdings nur diese neu erhobenen Aussagen berücksichtigt werden dürfen.
5.
Da ein mündliches Berufungsverfahren mit entsprechenden Beweiserhebungen durchzuführen sein wird, erübrigt es sich, schon an dieser Stelle auf die weiteren Vorbringen des Beschwerdeführers betreffend die Beweiswürdigung und die Beurteilung der in diesem Zusammenhang vorgeworfenen Tatbestände einzugehen.
6.
6.1. Gegen die vorinstanzliche Verurteilung wegen unrechtmässigen Erwirkens von Arbeitslosenleistungen (Art. 105 AVIG) wendet der Beschwerdeführer ein, er habe nicht erwartet, dass schon im ersten Monat nach Antritt der neuen Stelle Provisionen infolge vermittelter Versicherungsvertragsabschlüsse anfallen und an ihn ausbezahlt würden. Es fehle am Vorsatz; Fahrlässigkeit sei hier nicht strafbar.
6.2. Bezüglich der Schuldsprüche wegen Betrugs und Urkundenfälschung ist es geboten, ein mündliches Verfahren durchzuführen (oben E. 3). Den Schuldvorwurf wegen eines Vergehens nach Art. 105 AVIG hat die Vorinstanz im gleichen Verfahren behandelt. Die Streitsache wird daher insgesamt zur Durchführung einer mündlichen Hauptverhandlung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Demzufolge ist auf die Beschwerde gegen den Schuldspruch betreffend Art. 105 AVIG an dieser Stelle nicht einzutreten. Im Rahmen des aufgrund der Rückweisung fortzusetzenden Verfahrens wird sich die Vorinstanz mit den Vorbringen des Beschwerdeführers auseinandersetzen.
7.
Ebenso wenig sind die Rügen betreffend die Strafzumessung an die Hand zu nehmen. Die betreffenden Punkte sind gegebenenfalls im mündlichen Verfahren vor Vorinstanz zu behandeln.
8.
8.1. Soweit die Beschwerde gutzuheissen und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen ist, präjudiziert dieser Entscheid die Beurteilung in der Sache nicht. Mit Blick auf das Beschleunigungsgebot (Art. 29 Abs. 1 BV) wird daher auf die Einholung von Vernehmlassungen verzichtet (vgl. Urteil 6B_151/2019 vom 17. April 2019 E. 5).
8.2. Ausgangsgemäss gehen die Gerichtskosten teilweise zu Lasten des Beschwerdeführers, nicht aber zu Lasten des Kantons (Art. 66 Abs. 1und 4BGG). Der Kanton Aargau hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, soweit auf sie einzutreten ist. Das Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 26. Juli 2019 wird aufgehoben und die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Der Beschwerdeführer trägt die Gerichtskosten im Umfang von Fr. 1'000.--.
3.
Der Kanton Aargau hat den Beschwerdeführer mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Strafgericht, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Februar 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Jacquemoud-Rossari
Der Gerichtsschreiber: Traub