Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1966 geborene A._, Staatsangehöriger Nigerias, reiste am 29. August 1997 illegal in die Schweiz ein und stellte ein Asylgesuch. Anlässlich der Befragung durch das Bundesamt für Flüchtlinge (BFF; heute: Staatssekretariat für Migration SEM) gab er insbesondere an, er sei mit der 1967 geborenen G._ (geboren I._) verheiratet. Am 20. Mai 1998 reichte er dem BFF einen Todesschein für die Ehefrau ein, wonach diese am 16. Dezember 1995 verstorben sei.
Am 25. September 1998 heiratete A._ die Schweizerin E._ und zog sein Asylgesuch in der Folge zurück. Am 17. November 1998 wurde ihm im Rahmen des Familiennachzugs eine Aufenthaltsbewilligung und am 25. September 2003 die Niederlassungsbewilligung erteilt.
A.b. Am 3. Dezember 2010 heiratete A._ in Nigeria die nigerianische Staatsangehörige B._. Nach Angaben von A._ handle es sich um dieselbe Frau, welche angeblich am 16. Dezember 1995 verstorben sei. Aus dieser Beziehung sind die drei Söhne F._ (geb. 1992), C._ (geb. 2002) und D._ (geb. 2007) hervorgegangen. Eigenen Angaben zufolge hielten sich die Ehefrau und die Kinder vom 2. April bis 15. Mai 2015 mit einem Touristenvisum in der Schweiz auf.
A.c. Am 13. Juli 2016 ersuchte A._ um Nachzug der Familie. Mit Verfügung vom 16. Januar 2017 wies das Migrationsamt des Kantons Zürich (nachfolgend: Migrationsamt) das Familiennachzugsgesuch ab, da es verspätet erfolgt sei. Diese Verfügung erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
Am 17. April 2017 reisten die Ehefrau und die Kinder mit einem Touristenvisum in die Schweiz ein und stellten am 10. Mai 2017 Asylgesuche. Das SEM trat mit Entscheid vom 8. Juni 2017 auf diese nicht ein.
A.d. Am 14. Juni 2017 ersuchten die Ehefrau und die Kinder nochmals um Erteilung von Aufenthaltsbewilligungen im Kanton Zürich. Mit Verfügung vom 22. September 2017 wies das Migrationsamt die Gesuche wegen des verspäteten Familiennachzugs erneut ab. Die dagegen erhobenen Rechtsmittel blieben erfolglos (Rekursentscheid der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich vom 6. November 2017; Nichteintretensentscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 8. Januar 2018). In der Folge setzte ihnen das Migrationsamt eine Ausreisefrist bis zum 23. Februar 2018 an. Mit Verfügung vom 22. Februar 2018 lehnte das Migrationsamt ein Gesuch der Ehefrau und der Kinder um Erstreckung der Ausreisefrist ab und forderte sie auf, die Schweiz unverzüglich zu verlassen. Dagegen erhoben sie am 12. März 2018 Rekurs mit dem Antrag, die Verfügung vom 22. Februar 2018 sei dahingehend zu korrigieren, dass ihnen Aufenthaltsbewilligungen zu erteilen seien. Nachdem die Sicherheitsdirektion am 22. März 2018 darauf hingewiesen hatte, der Antrag liege ausserhalb des Prozessthemas, wurde der Rekurs am 4. April 2018 zurückgezogen und das Verfahren als erledigt abgeschrieben.
A.e. Am 23. März 2018 erklärte sich A._ bereit, die Schweiz zusammen mit seiner Familie zu verlassen. Auf Anfrage vom 3. April 2018 teilte das Migrationsamt mit, dass eine mögliche Schweizer Staatsbürgerschaft von A._ die Fristen für den Familiennachzug nicht neu auslösen würde. In der Folge informierte A._ das Migrationsamt mehrfach namentlich über Schwierigkeiten bei der Ausstellung des Passes für seine Ehefrau. Abklärungen des Migrationsamtes vom 30. Januar 2019 bei der nigerianischen Botschaft ergaben, dass der Ehefrau ein Ersatzreisedokument nach persönlicher Vorsprache ausgestellt werden könne.
Mit Verfügung des Gemeindeamtes der Direktion der Justiz und des Inneren des Kantons Zürich vom 12. Februar 2019 erhielt A._ das zürcherische Kantonsbürgerrecht sowie das Schweizer Bürgerrecht.
A.f. Am 19. März 2019 stellte die Familie einen weiteren Antrag um Prüfung des Familiennachzugs. Dieser wurde vom Migrationsamt mit Verfügung vom 29. März 2019 mit der Begründung abgewiesen, dass die Einbürgerung von A._ nichts an der Berechnung der Nachzugsfrist ändere. Es forderte die Ehefrau und die Kinder auf, die Schweiz unverzüglich zu verlassen. Die am 6. Juni 2019 erfolgte Ausreisekontrolle zeigte, dass die Familie weiterhin in Zürich wohnte. Abklärungen des Migrationsamtes ergaben, dass kein gültiger Pass für die Ehefrau vorliege, die nigerianische Botschaft dem SEM aber versichert habe, ein Laissez-passer für die freiwillige Ausreise auszustellen.
Mit Verfügung vom 30. Juli 2019 lehnte es das Migrationsamt ab, beim SEM die vorläufige Aufnahme der Ehefrau und der Kinder wegen der Unmöglichkeit der Wegweisung zu beantragen. Am 3. Oktober 2019 wurden die Ehefrau und die Kinder erneut aufgefordert, die Schweiz unverzüglich zu verlassen bzw. die nigerianische Botschaft um Ausstellung des Ersatzreisedokuments für die freiwillige Ausreise zu ersuchen.
B.
Am 25. September 2020 wurde ein Gesuch um Erteilung von Aufenthaltsbewilligungen für die Ehefrau und den jüngsten Sohn bzw. um Erteilung einer Niederlassungsbewilligung für den ältesten Sohn und eventualiter um vorläufige Aufnahme gestellt. Mit Verfügung vom 27. Oktober 2020 trat das Migrationsamt auf diese Gesuche mangels wesentlich veränderter Tatsachen nicht ein.
Den dagegen erhobenen Rekurs wies die Sicherheitsdirektion mit Entscheid vom 2. Februar 2021 ab, soweit er nicht gegenstandslos geworden war. Die Gegenstandslosigkeit betraf das Gesuch um prozeduralen Aufenthalt im Sinne einer vorsorglichen Massnahme bzw. eventualiter den Vollzug der Wegweisung superprovisorisch auszusetzen.
Eine dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, mit Urteil vom 16. Juni 2021 (zugestellt am 7. Juli 2021) ab.
C.
Mit Eingabe vom 7. September 2021 erheben A._ (nachfolgend: Beschwerdeführer 1), B._ (nachfolgend: Beschwerdeführerin 2), C._ (nachfolgend: Beschwerdeführer 3) und D._ (nachfolgend: Beschwerdeführer 4) sinngemäss Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Sie beantragen, das Urteil des Verwaltungsgericht vom 16. Juni 2021 sei aufzuheben und es sei den Beschwerdeführenden 2 bis 4 wiedererwägungsweise die Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Eventualiter sei die Sache zur Durchführung eines Wiedererwägungsverfahrens, zur vollständigen Sachverhaltsabklärung sowie zur Durchführung von Kindsanhörungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. In verfahrensrechtlicher Hinsicht ersuchen sie um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung sowie um Erteilung der aufschiebenden Wirkung.
Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei und verzichtet im Übrigen auf Vernehmlassung. Die Sicherheitsdirektion, Rekursabteilung, verzichtet ebenfalls auf Vernehmlassung.
Mit Verfügung vom 8. September 2021 hat das präsidierende Mitglied der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Der Beschwerdeführer 1 war im Zeitpunkt der Einreichung des hier zu beurteilenden (neuen) Familiennachzugsgesuchs vom 25. September 2020 bereits Schweizer Bürger. Es besteht somit gestützt auf Art. 42 Abs. 1 AIG (SR 142.20; bis zum 1. Januar 2019: AuG) sowie Art. 8 EMRK und Art. 13 Abs. 1 BV grundsätzlich ein Anspruch darauf, dass die Beschwerdeführer ihre familiären Beziehungen in der Schweiz leben können. Ob die erforderlichen Bewilligungsvoraussetzungen gegeben sind, ist praxisgemäss eine Frage der materiellen Prüfung; für das Eintreten genügt, dass - wie hier - ein potentieller Anspruch auf Familiennachzug in vertretbarer Weise dargetan wird (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.1).
1.2. Auf die im Übrigen frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde ist daher - vorbehältlich E. 1.3 hiernach - einzutreten (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 lit. b BGG).
1.3. Streitgegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet einzig die Frage, ob das Migrationsamt auf das von den Beschwerdeführern am 25. September 2020 gestellte Gesuch um Erteilung von Aufenthaltsbewilligungen an die Beschwerdeführer 2 und 4 bzw. einer Niederlassungsbewilligung an den Beschwerdeführer 3 zu Recht nicht eingetreten ist. Soweit die Beschwerdeführer auch beantragen, das Amt sei anzuweisen, ihnen wiedererwägungsweise die Aufenthaltsbewilligung zu erteilen, geht ihr Rechtsbegehren über den Streitgegenstand hinaus, weshalb auf die Beschwerde in diesem Punkt nicht einzutreten ist.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Bei der Prüfung wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 4.4.5) und verfügt es über volle Kognition (Art. 95 BGG; <ref-ruling> E. 2). Die Anwendung kantonalen Rechts prüft das Bundesgericht hingegen - abgesehen von den Fällen gemäss Art. 95 lit. c-e BGG - nur auf Bundesrechtsverletzungen, namentlich auf Willkür, hin (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem Recht gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.7.2; <ref-ruling> E. 2.2).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, sofern sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 105 Abs. 2 BGG), und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-ruling> E. 2.2).
3.
Die Beschwerdeführer werfen der Vorinstanz zunächst eine Verletzung von Art. 12 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (KRK; SR 0.107) vor, weil sie auf die Anhörung der Kinder (Beschwerdeführer 3 und 4) verzichtet habe.
3.1. Nach Art. 12 Abs. 1 KRK sichern die Vertragsstaaten dem Kind, das fähig ist, sich eine eigene Meinung zu bilden, das Recht zu, diese Meinung in allen das Kind berührenden Angelegenheiten frei zu äussern, und berücksichtigen die Meinung des Kindes angemessen und entsprechend seinem Alter und seiner Reife. Nach Abs. 2 wird dem Kind zu diesem Zweck insbesondere Gelegenheit gegeben, in allen das Kind berührenden Gerichts- oder Verwaltungsverfahren entweder unmittelbar oder durch einen Vertreter oder eine geeignete Stelle im Einklang mit den innerstaatlichen Verfahrensvorschriften gehört zu werden. Dieses Recht gilt grundsätzlich auch in fremdenpolizeilichen Verfahren, so namentlich wenn das Aufenthaltsrecht eines Kindes oder einer für es sorgenden Betreuungsperson in Frage steht (vgl. <ref-ruling> E. 3c; Urteil 2A.450/2006 vom 21. Dezember 2006 E. 4.1).
3.2. Art. 12 KRK stellt einen direkt anwendbaren Rechtssatz dar, dessen Verletzung beim Bundesgericht angefochten werden kann (<ref-ruling> E. 6.5 mit Hinweis). Wie sich aus dem Wortlaut von Art. 12 Abs. 2 KRK ergibt, ist allerdings eine persönliche Anhörung nicht in jedem Fall unerlässlich; wenn die Kinder durch ihre Eltern vertreten werden und beider Interessen gleichläufig sind, kann die Ansicht der Kinder auch ohne persönliche Anhörung durch ihre Eltern eingebracht werden, sofern der rechtserhebliche Sachverhalt auch ohne diese Anhörung rechtsgenüglich festgestellt werden kann (<ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 6.5 mit Hinweisen; Urteile 2C_488/2019 vom 4. Februar 2019 E. 3.2; 2C_234/2019 vom 14. Oktober 2019 E. 3.4).
3.3. Der Beschwerdeführer 3 war im Zeitpunkt des vorinstanzlichen Urteils bereits volljährig, sodass eine Anhörung gestützt auf Art. 12 KRK ausser Betracht fällt (vgl. Art. 1 KRK). In Frage kommt lediglich die Anhörung des Beschwerdeführers 4. Wie die Vorinstanz zu Recht erwägt, sind seine Interessen mit den Interessen seiner Eltern bzw. der Beschwerdeführer 1 und 2 gleichläufig. Zudem ist davon auszugehen, dass die Eltern seinen Standpunkt ins Verfahren einbringen konnten. Schliesslich bestehen keine Anhaltspunkte, dass der rechtserhebliche Sachverhalt ohne seine Anhörung nicht vollständig ermittelt werden konnte, sodass die Voraussetzungen für einen Verzicht auf die persönliche Anhörung des Kindes erfüllt sind.
4.
4.1. Eine kantonale Behörde muss sich mit einem Wiedererwägungsgesuch dann förmlich befassen und allenfalls auf eine rechtskräftige Verfügung zurückkommen, wenn das kantonale Recht dies vorsieht und die entsprechenden (gesetzlichen) Voraussetzungen erfüllt sind oder wenn dies unmittelbar die Grundsätze gemäss Art. 29 Abs. 1 und Abs. 2 BV verlangen: Danach besteht eine behördliche Pflicht, auf ein Gesuch um Wiedererwägung einzutreten, wenn die Umstände sich seit dem ersten Entscheid wesentlich verändert haben oder wenn die gesuchstellende Person erhebliche Tatsachen und Beweismittel dartut, die ihr im früheren Verfahren nicht bekannt waren oder die schon damals geltend zu machen für sie rechtlich oder tatsächlich unmöglich war oder keine Veranlassung bestand (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2b; Urteil 2C_885/2020 vom 1. Dezember 2020 E. 4.2.1).
4.2. Die Wiedererwägung von Verwaltungsentscheiden, die in Rechtskraft erwachsen sind, ist nicht beliebig zulässig. Sie darf namentlich nicht bloss dazu dienen, rechtskräftige Verwaltungsentscheide immer wieder infrage zu stellen oder die Fristen für die Ergreifung von Rechtsmitteln zu umgehen (<ref-ruling> E. 4.1). Dies gilt unabhängig davon, ob die Eingabe als Wiedererwägungsgesuch oder neues Gesuch bezeichnet wird (Urteile 2C_883/2018 vom 21. März 2019 E. 4.3; 2C_170/2018 vom 18. April 2018 E. 4.1 mit Hinweisen). Ob ein solches materiell zu behandeln ist, hängt davon ab, ob sich der Sachverhalt oder bei Dauersachverhalten auch die Rechtslage in einer Art geändert haben, dass ein anderes Ergebnis ernstlich in Betracht fällt. Es besteht nicht bereits dann ein Anspruch auf eine Neubeurteilung, wenn ein Wiedererwägungsgrund nur behauptet wird. Die betroffene Person hat vielmehr glaubhaft zu machen und mit geeigneten Beweismitteln zu belegen, welche tatsächlichen Verhältnisse sich seit dem ersten Entscheid derart verändert haben, dass es sich rechtfertigt, die Situation erneut zu überprüfen (BGE <ref-ruling> E. 2.2.1; Urteile 2C_885/2020 vom 1. Dezember 2020 E. 4.2.2; 2C_883/2018 vom 21. März 2019 E. 4.3; 2C_170/2018 vom 18. April 2018 E. 4.1).
4.3. Familiennachzugsgesuche, die - wie hier - nachträglich (d.h. nicht fristgerecht) gestellt werden, werden nur bewilligt, wenn wichtige familiäre Gründe dies gebieten (Art. 47 Abs. 4 AIG Satz 1). Wichtige familiäre Gründe im Sinne von Art. 47 Abs. 4 Satz 1 AIG liegen vor, wenn das Kindswohl nur durch einen Nachzug in die Schweiz sachgerecht gewahrt werden kann (Art. 75 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit [VZAE; SR 142.201]), beispielsweise wenn die weiterhin notwendige Betreuung der Kinder im Herkunftsland wegen des Todes oder der Krankheit der betreuenden Person nicht mehr gewährleistet ist und keine sinnvolle Alternative in der Heimat gefunden werden kann. An den Nachweis der fehlenden Betreuungsmöglichkeit im Heimatland stellt die Rechtsprechung umso höhere Anforderungen, je älter das nachzuziehende Kind ist und je grösser die Integrationsschwierigkeiten erscheinen, die es hier erwarten (vgl. Urteil 2C_1011/2019 vom 21. April 2020 E. 3.3.3 mit Hinweisen).
4.4. Im Folgenden ist zu prüfen, ob den Beschwerdeführern ein Anspruch auf eine neue Beurteilung ihrer Angelegenheit nach Art. 29 Abs. 1 und Abs. 2 BV zukommt oder ob die Vorinstanz den Nichteintretensentscheid des Migrationsamts vom 27. Oktober 2020 zu Recht bestätigt hat. Massgebend ist dabei, ob sich der Sachverhalt oder die Rechtslage seit Erlass der in Rechtskraft erwachsenen Verfügungen des Migrationsamtes vom 16. Januar 2017, 22. September 2017 und 29. März 2019 in einer Weise geändert haben, die eine materielle Beurteilung des hier zur Diskussion stehenden Gesuchs rechtfertigt.
5.
5.1. Die Beschwerdeführer bringen im Wesentlichen vor, insbesondere die Beschwerdeführer 3 und 4 seien in der Schweiz vollständig integriert. Eine Rückkehr nach Nigeria und das damit verbundene Herausreissen der Kinder aus ihrer vertrauten Umgebung und aus dem Familienbund würde das Kindeswohl erheblich beeinträchtigen. Auch bestünden in ihrem Heimatland keine Betreuungsalternativen. Unter Berufung auf zwei psychiatrische Gutachten vom 15. September 2020 und vom 1. März 2021 bringen sie zudem vor, der Gesundheitszustand des Beschwerdeführers 3 habe sich verschlechtert; es liege die Gefahr einer depressiven und suizidalen Dekompensation vor, was einen wichtigen Grund für einen Verbleib in der Schweiz darstelle.
5.2. Vorliegend ist erstellt, dass die Beschwerdeführer 2-4 im April 2017 mit einem Touristenvisum in die Schweiz eingereist sind, nachdem ihr Familiennachzusgesuch mit Verfügung vom 16. Januar 2017 rechtskräftig abgewiesen worden war. Seither halten sie sich, trotz Abweisung ihrer Asyl- und weiteren Gesuche um Erteilung von Aufenthaltsbewilligungen und obwohl sie wiederholt aufgefordert wurden, die Schweiz zu verlassen, ohne gültigen Aufenthaltstitel in der Schweiz auf (vgl. vorne, Sachverhalt Ac-Af). Durch ihre Einreise und ihren Verbleib beim Gatten bzw. Vater haben sie bezüglich ihrer Integration versucht, neue vollendete Tatsachen zu schaffen, auf welche sie sich im Nachhinein berufen. Vor diesem Hintergrund erscheint ihr Verhalten rechtsmissbräuchlich (vgl. auch Art. 51 Abs. 1 lit. a AIG). Damit können sie ihre angeblich fortgeschrittene Integration nicht in den Vordergrund stellen, um zu erwirken, dass auf ein neues Familiennachzugsgesuch eingetreten wird. Anders entscheiden hiesse, sich korrekt verhaltende, einreisewillige ausländische Staatsangehörige schlechter zu stellen als Personen, die sich über die bestehenden Zuwanderungsbestimmungen hinwegsetzen (vgl. Urteile 2C_676/2019 vom 28. November 2019 E. 4.2; 2C_977/2017 vom 6. Juni 2018 E. 4.3; 2C_363/2016 vom 25. August 2016 E. 3.1; vgl. auch E. 2.3 des angefochtenen Urteils). Folglich liegt in der von ihnen geltend gemachten Integration unter diesen Umständen kein neues entscheidwesentliches Element dar, welches eine Neubeurteilung im Rahmen eines Wiedererwägungsgesuchs bzw. eines neuen Familiennachzugsgesuchs rechtfertigen würde.
5.3. Sodann trifft es zu, wie die Beschwerdeführer vorbringen, dass eine erhebliche Verschlechterung des Gesundheitszustandes des Betroffenen eine wesentliche Änderung der Umstände darstellen kann, die es rechtfertigt, auf ein neuerliches Gesuch um Familiennachzug einzutreten (vgl. <ref-ruling> E. 4).
5.3.1. Dem von den Beschwerdeführern ins Recht gelegten Gutachten einer Fachärztin für Psychiatrie und Psychotherapie vom 15. September 2020 kann entnommen werden, dass der Beschwerdeführer 3 an einer Anpassungsstörung mit Ängsten und depressiven Symptomen bei schwerer psychosozialer Belastung in der Adoleszenz sowie an suizidalen Gedanken leidet. Gemäss der Gutachterin würden ihn seine drohende Wegweisung und sein illegaler Status sehr belasten; es sei zu befürchten, dass seine psychosoziale Entwicklung, Ausbildung und Berufsfindung darunter massiv leiden könnten und es zu schwerwiegenden psychischen Störungen und Selbstgefährdung kommen könne.
Zum selben Schluss kommt auch ein zweiter Facharzt in einem psychiatrischen Gutachten vom 1. März 2021. Danach sei es beim Beschwerdeführer 3 zu Verhaltensauffälligkeiten gekommen, nachdem es ihm aufgrund seines Aufenthaltsstatus nicht möglich gewesen sei, eine Ausbildung zu beginnen. Die unklare Aufenthaltssituation sei eine grosse Belastung für ihn; allein die Ankündigung der Wegweisung würde zu einer massiven Verschlechterung seines gesundheitlichen Zustandes führen und es sei damit zu rechnen, dass er weiter depressiv und auch suizidal dekompensieren werde.
5.3.2. Aufgrund der beiden im Wesentlichen übereinstimmenden psychiatrischen Gutachten ist folglich mit der Vorinstanz davon auszugehen, dass die gesundheitlichen Probleme des Beschwerdeführers 3 mit seinem Aufenthaltsstatus und der drohenden Wegweisung im Zusammenhang stehen (vgl. E. 2.3 des angefochtenen Urteils). Selbst wenn im Gesundheitszustand des Beschwerdeführers 3 eine Änderung der Umstände erblickt werden könnte, könnten die Beschwerdeführer daraus keinen Anspruch auf Neubeurteilung ihres Familiennachzugsgesuchs ableiten, zumal ein anderes Ergebnis nicht ernsthaft in Betracht fällt (vgl. E. 4.2 hiervor). Wie das Bundesgericht erwogen hat, begründet der Umstand, dass jemand depressiv ist und im Zusammenhang mit seiner Rückkehr zurzeit Selbstmordgedanken hegt, für sich allein keinen Anspruch auf einen weiteren Verbleib im Land. Die schweizerischen Behörden sind jedoch gehalten, im Rahmen der konkreten Rückkehrmassnahmen alles ihnen Zumutbare vorzukehren, um medizinisch bzw. betreuungsweise sicherzustellen, dass das Leben und die Gesundheit der Beschwerdeführerin 2 und ihrer Kinder nicht beeinträchtigt werden (<ref-ruling> E. 5.2.2). Zudem ist darauf hinzuweisen, dass die angeblich "unklare" Aufenthaltssituation des Beschwerdeführers 3 samt allenfalls daraus resultierender psychischer Belastung einzig darauf zurückzuführen ist, dass die Beschwerdeführer die klaren behördlichen Anweisungen missachtet haben (vgl. E. 5.2 hiervor).
Im Übrigen unterscheidet sich der hier zu beurteilende Sachverhalt von jenem, der <ref-ruling>, auf welchen sich die Beschwerdeführer berufen, zugrunde lag: Dort wurde eine wesentliche Änderung der Umstände darin erachtet, dass sich der Gesundheitszustand des in der Schweiz anwesenheitsberechtigten Ehegatten derart verschlechtert hatte, dass er kein selbständiges Leben mehr hätte führen können und deshalb auf die Unterstützung seiner Ehefrau angewiesen war, um deren Nachzug ersucht wurde (vgl. <ref-ruling> E. 4 und 7). Demgegenüber müsste der Beschwerdeführer 3 vorliegend die Schweiz zusammen mit seiner Mutter und seinem Bruder verlassen, die ihn - soweit nötig - unterstützen könnten.
5.4. Auch mit ihren weiteren Vorbringen vermögen die Beschwerdeführer keine wesentliche Änderung der Umstände darzutun, die ihnen einen Anspruch auf Neubeurteilung ihres Familiennachzugsgesuchs einräumen würde.
5.4.1. Wie die Vorinstanz zu Recht festhält, müssten die Beschwerdeführer 2-4 das Land gemeinsam verlassen, sodass die Beschwerdeführerin 2, die gemäss dem angefochtenen Urteil die Kinder vor ihrer Einreise in die Schweiz betreute (vgl. E. 2.3 des angefochtenen Urteil), weiterhin für sie sorgen könnte. Es ist somit nicht ersichtlich und wird auch nicht konkret dargetan, inwiefern eine wesentliche Änderung in Bezug auf die Betreuungsverhältnisse im Heimatland eingetreten sei. Eine solche Änderung kann insbesondere nicht darin erblickt werden, dass die Beschwerdeführerin 2 nach eigenen Angaben das Haus in Nigeria verkauft habe und das Geschäft, in welchem sie gearbeitet habe, nicht mehr existiere. Aus dem Umstand, dass die Beschwerdeführer eine gemeinsame Zukunft in der Schweiz geplant haben, obwohl sie damit hätten rechnen müssen, dass die Beschwerdeführer 2-4 die Schweiz verlassen müssten, können sie nach dem Gesagten nichts zu ihren Gunsten ableiten. Vor diesem Hintergrund bestand für die Vorinstanz - entgegen den Behauptungen der Beschwerdeführer - kein Anlass für weitere Abklärungen. Weitere neue Umstände, aus welchen insbesondere auf eine Gefährdung des Kindeswohls im Falle einer Rückkehr nach Nigeria geschlossen werden müsste, werden nicht konkret dargetan.
5.4.2. Soweit die Beschwerdeführer schliesslich vorbringen, der Beschwerdeführer 1, der im Jahr 2019 die Schweizer Staatsbürgerschaft erlangt habe, werde in Bezug auf den Familiennachzug im Vergleich zu EU-Angehörigen diskriminiert, ist festzuhalten, dass diese Ungleichbehandlung nach der Rechtsprechung hinzunehmen ist, solange der Bundesgesetzgeber selbst keine Korrektur vornimmt (vgl. <ref-ruling> E. 3.5.3; Urteile 2C_836/2019 vom 18. März 2020 E. 2.1; 2C_354/2011 vom 13. Juli 2012 E. 2.7.3). Daran ändert auch der Umstand nichts, dass derzeit eine parlamentarische Initiative hängig ist, welche die Beseitigung der Inländerdiskriminierung beim Familiennachzug bezweckt (Parlamentarische Initiative Nr. 19.464, "Beseitigung und Verhinderung von Inländerinnen- und Inländerdiskriminierung beim Familiennachzug", AB 2021 N 1149 ff.), zumal noch keine Änderung der Rechtslage erfolgt ist.
6.
6.1. Im Ergebnis liegen derzeit keine neuen erheblichen Umstände vor, die es rechtfertigen würden, auf das Familiennachzugsgesuch der Beschwerdeführer vom 25. September 2020 einzutreten.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und -verbeiständung kann nicht entsprochen werden, da das Rechtsmittel als von vornherein aussichtslos bezeichnet werden muss (Art. 64 Abs. 1 BGG).
6.2. Nach dem Unterliegerprinzip tragen die Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (Art. 66 Abs. 1 und Abs. 5 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Dezember 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Ivanov