Faits :
A.
A.a. Le 18 janvier 2018, A._ a déposé plainte contre son voisin X._. Il lui reprochait de l'avoir agressé, accompagné d'une personne inconnue, le 14 décembre 2017, dans le couloir menant aux caves de l'immeuble dans lequel le plaignant vivait à B._, en lui donnant des coups sur la tête avec un objet non identifié, ce qui lui a occasionné des saignements au crâne et à l'arcade sourcilière ainsi qu'une brève perte de connaissance. Lorsqu'il avait repris ses esprits, les individus avaient disparu.
Le plaignant a expliqué avoir tenté dans un premier temps de cacher l'existence de l'agression à son épouse, prétextant être tombé. Cependant, après que cette dernière a aperçu des tâches de sang dans la cave le 11 janvier 2018, il lui a expliqué qu'il avait été victime d'une agression et que ce sang était bien le sien. Son épouse a pris peur et a alors appelé la police.
A.b. Le constat médical réalisé le 14 janvier 2018, produit par le plaignant à l'appui de sa plainte, avait mis en évidence plusieurs croûtes au niveau de l'hémicrâne gauche, une cicatrice de plaie d'environ 1 cm sous l'arcade sourcilière gauche ainsi qu'une légère tuméfaction de la partie gauche de la lèvre supérieure. Le médecin avait constaté que l'image radiologique était compatible avec les coups décrits par son patient.
A.c. Entendu par la police, X._ a contesté avoir participé à l'agression, déclarant qu'il n'avait rien à dire sur les faits qui lui étaient reprochés, qu'il n'avait pas frappé le plaignant et que le jour en question, il n'était pas allé à la cave car " il n'avait pas que ça à faire ". Il a affirmé que le plaignant, qui passait son temps à le surveiller depuis sa fenêtre, était jaloux de lui, certainement en raison du fait que sa compagne bénéficiait d'un " macaron handicapé " pour sa voiture et que le couple possédait deux véhicules.
Lors de son audition par la police, le plaignant a pour sa part indiqué que, trois mois avant l'agression dénoncée, alors qu'il discutait avec une voisine, X._ était arrivé et l'avait agrippé par le col de sa veste, sans le frapper.
A.d. Par ordonnance du 21 mars 2018, le Ministère public de la République et canton de Genève a refusé d'entrer en matière sur la plainte. Les frais de procédure ont été laissés à la charge de l'Etat.
B.
Par arrêt du 4 juillet 2018, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève a rejeté le recours formé par A._ contre l'ordonnance du 21 mars 2018. Les frais de la procédure de recours, fixés à 800 fr., ont été mis à la charge de A._.
C.
Contre cet arrêt, A._ forme un recours en matière pénale ainsi qu'un recours constitutionnel subsidiaire. Il conclut, avec suite de frais et dépens, principalement à l'annulation de l'arrêt entrepris et à l'ouverture d'une instruction pénale pour les faits dénoncés, l'instruction étant confiée à un autre procureur que celui qui a rendu l'ordonnance du 21 mars 2018. Subsidiairement, il conclut à ce que les frais de procédure mis à sa charge par la cour cantonale soient réduits à un montant de 100 francs.
Invités à se déterminer, la cour cantonale et le ministère public ont conclu au rejet du recours, se référant aux considérants de l'arrêt attaqué.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le recourant intitule son acte " recours en matière pénale et recours constitutionnel subsidiaire ". L'arrêt attaqué, qui est final, a été rendu dans une cause de droit pénal. Il peut donc faire l'objet d'un recours en matière pénale (<ref-law>), qui permet notamment de se plaindre de toute violation du droit fédéral, y compris des droits constitutionnels (<ref-law>). Par conséquent, le recours constitutionnel subsidiaire est exclu (<ref-law> a contrario).
1.2. Il ne sera par ailleurs pas entré en matière sur la requête du recourant visant à ce que l'affaire soit confiée à un autre procureur, les procédures de récusation ne faisant pas l'objet de la présente procédure.
2.
Selon l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 5 LTF, la partie plaignante qui a participé à la procédure de dernière instance cantonale est habilitée à recourir au Tribunal fédéral si la décision attaquée peut avoir des effets sur le jugement de ses prétentions civiles. Constituent de telles prétentions celles qui sont fondées sur le droit civil et doivent en conséquence être déduites ordinairement devant les tribunaux civils. Il s'agit principalement des prétentions en réparation du dommage et du tort moral au sens des <ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 4). En vertu de l'<ref-law>, il incombe au recourant d'alléguer les faits qu'il considère comme propres à fonder sa qualité pour recourir. Lorsque le recours est dirigé contre une décision de non-entrée en matière ou de classement de l'action pénale, la partie plaignante n'a pas nécessairement déjà pris des conclusions civiles. Quand bien même la partie plaignante aurait déjà déclaré des conclusions civiles (cf. <ref-law>), il n'en reste pas moins que le procureur qui refuse d'entrer en matière ou prononce un classement n'a pas à statuer sur l'aspect civil (cf. <ref-law>). Dans tous les cas, il incombe par conséquent à la partie plaignante d'expliquer dans son mémoire au Tribunal fédéral quelles prétentions civiles elle entend faire valoir contre l'intimé. Comme il n'appartient pas à la partie plaignante de se substituer au ministère public ou d'assouvir une soif de vengeance, la jurisprudence entend se montrer restrictive et stricte, de sorte que le Tribunal fédéral n'entre en matière que s'il ressort de façon suffisamment précise de la motivation du recours que les conditions précitées sont réalisées, à moins que l'on puisse le déduire directement et sans ambiguïté compte tenu notamment de la nature de l'infraction alléguée (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 4 et les arrêts cités).
Dans son mémoire, le recourant prétend à l'obtention d'un montant de 10'000 fr. à titre de tort moral ainsi qu'au remboursement d'importants frais médicaux, qu'il ne chiffre toutefois pas. Il allègue qu'ensuite de l'agression dont il avait été victime, les médecins ont découvert l'existence d'un hématome sous-dural, qui entraînait notamment une vision trouble à l'oeil gauche ainsi que des douleurs persistantes à la nuque. Il explique avoir subi dès lors, suivant les conseils de ses médecins, une opération neurochirurgicale, qui a nécessité cinq jours d'hospitalisation et qui a eu pour conséquence, outre l'apparition d'une cicatrice disgracieuse sur son crâne dégarni, de nombreux risques d'effets secondaires neurologiques.
Vu la nature alléguée des lésions subies et l'infraction dénoncée (<ref-law>), ces explications suffisent au stade de la recevabilité pour reconnaître au recourant, en particulier sous l'angle du tort moral, la qualité pour recourir au sens de l'art. 81 al. 1 let. b ch. 5 LTF (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 4). Il y a donc lieu d'entrer en matière.
3.
Le recourant conteste que les conditions d'une non-entrée en matière au sens de l'<ref-law> soient réunies en l'espèce.
3.1. Conformément à l'<ref-law>, le ministère public rend immédiatement une ordonnance de non-entrée en matière s'il ressort de la dénonciation ou du rapport de police que les éléments constitutifs de l'infraction ou les conditions à l'ouverture de l'action pénale ne sont manifestement pas réunis. Selon la jurisprudence, cette disposition doit être appliquée conformément à l'adage " in dubio pro duriore " (arrêt 6B_1456/2017 du 14 mai 2018 consid. 4.1 et les références citées). Celui-ci découle du principe de la légalité (art. 5 al. 1 Cst. et 2 al. 1 CPP en relation avec les art. 309 al. 1, 319 al. 1 et 324 CPP; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 91) et signifie qu'en principe, un classement ou une non-entrée en matière ne peuvent être prononcés par le ministère public que lorsqu'il apparaît clairement que les faits ne sont pas punissables ou que les conditions à la poursuite pénale ne sont pas remplies. Le ministère public et l'autorité de recours disposent, dans ce cadre, d'un pouvoir d'appréciation que le Tribunal fédéral revoit avec retenue. La procédure doit se poursuivre lorsqu'une condamnation apparaît plus vraisemblable qu'un acquittement ou lorsque les probabilités d'acquittement et de condamnation apparaissent équivalentes, en particulier en présence d'une infraction grave. En effet, en cas de doute s'agissant de la situation factuelle ou juridique, ce n'est pas à l'autorité d'instruction ou d'accusation mais au juge matériellement compétent qu'il appartient de se prononcer (<ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 243; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 91 et les références citées).
Dans les procédures où l'accusation repose essentiellement sur les déclarations de la victime, auxquelles s'opposent celles du prévenu et lorsqu'il n'est pas possible d'estimer que certaines dépositions sont plus crédibles que d'autres, le principe " in dubio pro duriore " impose en règle générale, au stade de la clôture de l'instruction, que le prévenu soit mis en accusation (<ref-ruling> consid. 2.2.2 p. 243 et les arrêts cités; arrêts 6B_193/2018 du 3 juillet 2018 consid. 2.1; 6B_1177/2017 du 16 avril 2018 consid. 2.1). En amont, une telle configuration exclut aussi, en principe, une décision de non-entrée en matière. Cela vaut en particulier lorsqu'il s'agit de délits commis typiquement " entre quatre yeux " pour lesquels il n'existe souvent aucune preuve objective. Il peut toutefois être renoncé à une mise en accusation lorsque la partie plaignante fait des dépositions contradictoires, rendant ses accusations moins crédibles ou encore lorsqu'une condamnation apparaît au vu de l'ensemble des circonstances a priori improbable pour d'autres motifs (<ref-ruling> consid. 2.2.2 p. 243; arrêt 6B_874/2017 du 18 avril 2018 consid. 5.1). Suivant les circonstances, les mêmes motifs peuvent aussi permettre, en particulier si la crédibilité de la partie plaignante est d'emblée remise en question par des éléments manifestement probants, de rendre une décision de non-entrée en matière (arrêt 6B_179/2018 du 27 juillet 2018 consid. 3.1).
3.2. La cour cantonale a relevé que les intéressés avaient fourni des versions contradictoires concernant les faits objets de la plainte pénale. A cet égard, elle a indiqué ne pas voir d'éléments permettant d'établir la réalité des faits avancés par le plaignant et de privilégier une version plutôt qu'une autre. Du reste, aucun acte d'instruction n'apparaissait à même de déterminer si une agression avait bien eu lieu et, si tel était le cas, quels en étaient les auteurs.
Cela étant, la cour cantonale n'a pas constaté que le recourant aurait fait des déclarations contradictoires qui le rendait moins crédible que X._, ou encore que des éléments probants permettaient de dénier d'entrée de cause toute crédibilité à ses accusations. Il ressort en outre de l'arrêt entrepris que le recourant a produit à l'appui de sa plainte des rapports médicaux attestant de lésions au crâne et au visage susceptibles d'avoir été causées par une agression dont il aurait été victime. A cela s'ajoute le fait que les intéressés ont admis qu'ils avaient déjà rencontré un litige, pour des motifs qui demeurent toutefois peu clairs. Une altercation, au cours de laquelle le dénoncé aurait empoigné le recourant, se serait ainsi produite en présence d'une voisine, qui a été identifiée, mais qui n'a pas été interrogée. Enfin, le recourant a fait état de traces de sang qui auraient été découvertes par son épouse dans le couloir menant à sa cave.
Il en découle que les circonstances du cas d'espèce justifiaient d'instruire la situation de fait et, dans ce cadre, d'examiner la crédibilité des déclarations des intéressés. Compte tenu de la jurisprudence précitée, les conditions d'une non-entrée en matière n'étaient pas réunies. La cour cantonale a en effet violé le principe " in dubio pro duriore ". Le recours doit être admis et la cause renvoyée à l'autorité précédente afin qu'elle ordonne l'ouverture d'une instruction.
4.
Le recourant obtient gain de cause. Il peut prétendre à une indemnité de dépens, à la charge du canton de Genève (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Il n'est pas perçu de frais judiciaires.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le canton de Genève versera au recourant une indemnité de 3000 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre pénale de recours.
Lausanne, le 28 septembre 2018
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Tinguely