Faits :
A.
A._ fait l'objet d'une enquête pénale pour complicité de traite d'êtres humains, complicité d'usure, complicité d'infraction à la loi fédérale du 16 décembre 2006 sur les étrangers et l'intégration (LEI; RS 142.20; nouvelle dénomination de la loi fédérale sur les étrangers [aLEtr], entrée en vigueur au 1er janvier 2019 [RO 2018 3171; 2017 6521]) et complicité d'infractions aux législations en matière d'assurances sociales. Il lui est reproché d'avoir, dès 1997, prêté assistance à ses employeurs - également prévenus - dans l'organisation et la mise sur pied d'un système leur permettant d'employer, dans leur villa à Genève, des travailleurs dépourvus d'autorisation de séjour, engagés et salariés aux conditions prévalant dans un pays d'Asie (salaires plus de dix fois inférieurs aux minimums légaux, horaires trop importants, défaut de paiement des cotisations sociales). Le prévenu A._ aurait notamment facilité, par la délivrance d'attestations signées de sa main établissant que ces personnes n'auraient pas été des employés de la famille, l'octroi d'autorisations de séjour françaises, destinées à permettre leur séjour à Genève en cas de contrôle inopiné.
Par ordonnances du 5 juillet 2018, le Ministère public de la République et canton de Genève a ordonné le séquestre, auprès des établissements bancaires B._ SA, C._, D._ et E._, de toute relation dont l'un ou l'autre des prévenus était ou aurait été titulaire, ayant droit ou fondé de procuration; il était précisé que les titulaires des relations bancaires pouvaient être informés des mesures ordonnées.
Le 11 juillet suivant - ayant "tout juste pris connaissance de l'ordonnance de séquestre probatoire" -, le conseil de A._ a requis la mise sous scellés de toute documentation en lien avec son mandant qui serait transmise par la banque B._ AG et/ou B._ (Suisse) SA.
Par lettre du 27 juillet 2018 - adressée aux conseils des parties -, le Ministère public les a informées avoir "ordonné des séquestres bancaires le 5 juillet 2018 auprès des banques C._, E._, B._, F._ et de D._". Accusant réception de ce courrier le 2 août suivant, le mandataire de A._ a requis la mise sous scellés des déclarations fiscales, ainsi que des extraits de poursuites et faillite relatives à son mandant.
Ce même jour, le Ministère public a demandé au Tribunal des mesures de contrainte (Tmc) "la levée des scellés sur les pièces transmises par E._, relatives aux comptes dont A._ [était] titulaire".
Par requête du 13 août 2018, le mandataire de A._ a notamment sollicité la mise sous scellés de la documentation bancaire à recevoir ou transmise par la banque E._. L'avocat a précisé que Me G._ avait mis à sa "disposition le dossier de la procédure", "un coursier de l'Étude [étant] allé le chercher vendredi soir", soit le 10 août 2018; le conseil de A._ avait ainsi "pu parcourir ces dossiers ce matin", à savoir le 13 août 2018.
Le procès-verbal du 13 août 2018 inventoriant les pièces reçues du Ministère public relatives à l'ensemble des prévenus a été transmis dans une version caviardée à A._, afin que celui-ci ne prenne connaissance que de la liste des pièces le concernant, soit les pièces bancaires reçues de la société E._ et de B._ SA.
Le 10 [recte 20] août 2018, A._ a formé, par l'intermédiaire de son conseil, recours contre l'ordonnance de séquestre du 5 juillet 2018 concernant la banque E._. Il a notamment fait valoir que "cette ordonnance n'a[vait] pas été notifiée par le Ministère public à M. A._. Le soussigné en a[vait] pris connaissance le 10 août 2018, alors qu'il consultait le dossier relatif à la présente procédure". Au jour de l'arrêt attaqué, cette procédure était encore pendante.
Par courrier du 7 septembre 2018 adressé au mandataire de A._, le Ministère public a fait valoir que la requête de mise sous scellés du 13 août 2018 était manifestement tardive. Il a également reconnu la commission d'une erreur s'agissant de la documentation ciblée par sa requête de levée des scellés; il en découlait que le Tmc était prié de restituer les pièces de B._ SA concernant A._ à cet établissement et que le séquestre portant sur la relation xxx était levé. Le Ministère public a en revanche confirmé le maintien de cette mesure s'agissant de la banque E._ et "par conséquent la demande de levée de scellés sur les pièces E._, quand bien même, à [son] sens, cette levée de scellés [était] sans objet puisqu'aucune demande de scellés n'a[vait] été formée par [A._] avant celle du 13 août 2018, manifestement tardive". Un courrier daté du même jour et contenant des éléments similaires a été adressé au Tmc.
Le 10 septembre 2018, A._ a conclu au rejet de la demande de levée des scellés et a requis qu'ordre soit donné au Ministère public de retirer du dossier la lettre d'accompagnement de la banque C._ ayant été versée au dossier (yyy), respectivement d'enjoindre toute partie qui en disposerait à faire de même. A._ s'est notamment prévalu de l'absence de soupçons suffisants, du défaut de pertinence de sa documentation bancaire pour l'établissement de la vérité et de la violation du principe de proportionnalité. Le 24 octobre suivant, le Ministère public a persisté dans les termes de sa demande du 2 août 2018 et s'est déterminé sur les arguments soulevés par A._. Ce dernier a encore déposé des observations le 24 octobre et le 29 novembre 2018; dans les premières, il a en particulier soutenu n'avoir eu connaissance du séquestre des documents bancaires que le 13 août 2018.
B.
Le 7 mars 2019, le Tmc a constaté, en relation avec les pièces relatives à A._ remises par la banque E._ en exécution de l'ordonnance de séquestre du 5 juillet 2018, que la demande de mise sous scellés du susmentionné du 13 août 2018 était tardive, que ces pièces n'étaient pas placées sous scellés et que la demande de levée de scellés du Ministère public du 2 août 2018 était sans objet (ch. 1); leur transmission au bénéficiaire autorisé qui sera identifié une fois connue l'issue de la procédure de recours visant l'ordonnance de séquestre du 5 juillet 2018, a été ordonnée (ch. 2); ces pièces restaient en mains du tribunal jusqu'à droit jugé dans la procédure de recours visant l'ordonnance de séquestre du 5 juillet 2018 et jusqu'à décision définitive et exécutoire dans la cause de levée des scellés (ch. 3).
Le Tmc a ensuite relevé, en relation avec les pièces relatives à A._ remises par B._ en exécution de l'ordonnance de séquestre du 5 juillet 2018, qu'aucune demande de levée de scellés n'avait été formée par le Ministère public (ch. 4) et a ordonné leur restitution à son détenteur, soit B._ (ch. 5); ces pièces restaient en mains du tribunal jusqu'à décision définitive et exécutoire dans la cause de levée des scellés (ch. 6).
Le Tmc a enfin déclaré irrecevables les conclusions prises par A._ en lien avec le retrait du dossier du courrier sous référence yyy (ch. 7).
C.
Par acte du 10 avril 2019, A._ forme un recours en matière pénale contre cet arrêt, concluant à son annulation en tant qu'il constate, en relation avec les pièces le concernant remises par la banque E._ en exécution de l'ordonnance de séquestre du 5 juillet 2018, que sa demande de mise sous scellés du 13 août 2018 est tardive, que les documents en cause ne sont donc pas placés sous scellés et que la demande de levée du Ministère public est ainsi sans objet. Le recourant sollicite en conséquence le renvoi de la cause à l'autorité précédente. A titre de mesures super-provisionnelles et provisionnelles, il demande également l'octroi de l'effet suspensif au recours.
L'autorité précédente a renoncé à déposer des déterminations. Quant au Ministère public, il a conclu au rejet du recours en se référant à la décision attaquée.
Le 16 juillet 2019, le recourant a requis l'anonymisation de l'exemplaire qui sera mis à la disposition du public en application de l'<ref-law>.

Considérant en droit :
1.
Conformément à l'art. 393 al. 1 let. c CPP, un recours n'est ouvert contre les décisions du Tmc que dans les cas prévus par ledit code. Aux termes de l'<ref-law>, cette juridiction statue définitivement sur la demande de levée des scellés au stade de la procédure préliminaire. Le code ne prévoit pas de recours cantonal contre les autres décisions rendues par le Tmc dans le cadre de la procédure de levée des scellés. La voie du recours en matière pénale au Tribunal fédéral est ainsi en principe directement ouverte contre de tels prononcés (art. 80 al. 2 in fine LTF; <ref-ruling> consid. 1 p. 465).
Ne mettant pas un terme à la procédure pénale, la décision attaquée est de nature incidente. Elle est toutefois susceptible de causer un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law>. En effet, dès lors que la demande de mise sous scellés a été déclarée tardive, les pièces concernées par celle-ci seront définitivement versées au dossier pénal, ce qui pourrait porter atteinte au secret bancaire invoqué (arrêt 1B_273/2015 du 21 janvier 2016 consid. 1.3).
Le 12 mars 2019, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève a levé le séquestre portant sur le compte du recourant détenu auprès de la société E._. Le recourant conserve cependant un intérêt juridiquement protégé à l'examen de son recours contre l'ordonnance attaquée (art. 81 al. 1 let. a et b LTF). En effet, l'arrêt précité concerne la levée du séquestre portant sur les avoirs détenus sur le compte E._ du recourant, mais n'ordonne pas la restitution de la documentation y relative; cette conclusion s'impose au regard des conclusions prises dans le mémoire de recours du 20 août 2018 ("annuler l'ordonnance rendue le 5 juin [recte juillet] 2018 [...] en tant qu'elle ordonne le séquestre conservatoire de tous les avoirs en compte [du recourant] auprès de E._ et/ou E._ [...], placements et safe compris, à concurrence de CHF 5'000'000.-"), ainsi que de la motivation retenue par la cour cantonale (absence d'avantage confiscable en tant que produit de l'infraction ou à titre de garantie d'une créance compensatrice [cf. consid. 2.4]).
Pour le surplus, le recours a été déposé en temps utile (<ref-law>) et les conclusions prises - tendant au renvoi de la cause afin qu'il soit entré en matière sur la demande de levée des scellés, respectivement sur les motifs avancés par le recourant pour s'y opposer - sont recevables (<ref-law>). Partant, il y a lieu d'entrer en matière.
2.
Le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir considéré que sa demande de mise sous scellés du 13 août 2018 était tardive. Il se prévaut à cet égard d'un établissement arbitraire des faits, de violations de l'<ref-law>, ainsi que de formalisme excessif.
2.1. Il y a formalisme excessif, constitutif d'un déni de justice formel prohibé par l'art. 29 al. 1 Cst., lorsque la stricte application des règles de procédure ne se justifie par aucun intérêt digne de protection, devient une fin en soi et complique de manière insoutenable la réalisation du droit matériel ou entrave de manière inadmissible l'accès aux tribunaux (<ref-ruling> consid. 1.3.2 p. 304 s.).
2.2. Selon la jurisprudence, une demande de mise sous scellés doit être déposée immédiatement dès la connaissance d'un motif de mise sous scellés (<ref-ruling> consid. 4c/aa p. 156; arrêt 1B_487/2018 du 6 février 2019 consid. 2.4). Une demande déposée plusieurs semaines ou mois après la mesure de saisie provisoire d'objets et/ou des documents est généralement tardive. En revanche, la requête formée une semaine plus tard peut, le cas échéant, avoir été déposée en temps utile. En tout état de cause, cette appréciation dépend avant tout des circonstances du cas d'espèce (arrêt 1B_85/2019 du 8 août 2019 consid. 4.2 et les arrêts cités).
2.3. En l'occurrence, la question de savoir si l'invocation d'un secret suffit en soi pour que l'autorité de poursuite en déduise que toutes les pièces qui pourraient être concernées par cette protection devraient dès lors être placées sous scellés peut rester indécise. Il en va de même de savoir à partir de quel moment le recourant ou son mandataire a su que son compte auprès de la banque E._ avait aussi fait l'objet d'une mesure de saisie.
Certes, la demande de mise sous scellés du 11 juillet 2018 du recourant ne concernait expressément que les pièces de B._ SA. Le Ministère public a pourtant, parallèlement à sa demande de levée des scellés du 2 août 2018, transmis immédiatement au Tmc - autorité compétente en matière de levée des scellés - tant la documentation remise par la banque susmentionnée que celle reçue de la banque E._. Le Procureur a de plus conclu formellement à la levée de la mesure de protection des documents relatifs à la seconde banque. Au regard de ces circonstances très particulières, il y a lieu de retenir que les pièces de la banque E._ ont été placées de facto sous scellés par le Ministère public. Vu le procès-verbal du 13 août 2018 du Tmc - établi a priori antérieurement à la réception de la demande du recourant de mise sous scellés des documents de la banque E._ -, il apparaît que cette autorité considérait également que ces pièces bénéficiaient de cette protection. Peu importe dès lors de savoir si le Ministère public a procédé par erreur, ce que son courrier électronique du 16 août 2018 - au demeurant ultérieur à la requête de mise sous scellés du 13 août 2018 - semble laisser sous-entendre. Eu égard notamment au principe de bonne foi, il appartient en effet aux autorités de prendre acte des conséquences de leurs actions, y compris lorsque celles-ci sont peut-être lacunaires et/ou erronées (cf. en l'espèce les conclusions prises et les pièces transmises).
Partant, en considérant que les pièces remises par la banque E._ n'avaient pas été placées sous scellés vu la tardiveté de la requête du 13 août 2018, le Tmc viole l'interdiction du formalisme excessif et ce grief doit être admis.
3.
Quant à la requête tendant à l'anonymisation des publications et du rubrum en lien avec cette affaire, il convient de souligner que, selon l'<ref-law>, les arrêts sont en principe publiés électroniquement sur le site du Tribunal fédéral sous une forme anonyme, de sorte que la mesure demandée par le recourant sur ce point découle déjà de la loi et est ainsi sans objet.
En ce qui concerne la mise à disposition du dispositif des arrêts qui n'ont pas été prononcés en séance publique, l'<ref-law> - complété par l'art. 60 du règlement du 20 novembre 2006 sur le Tribunal fédéral (RTF; RS 173.110.131) - prévoit que leur rubrum et leur dispositif sont mis à la disposition du public pendant trente jours ouvrables à compter de leur notification au siège du Tribunal fédéral, avec les noms des parties pour autant que la loi n'exige pas qu'ils soient rendus anonymes. Cette disposition, qui concrétise le principe du prononcé public du jugement, revêt un intérêt public important (<ref-ruling> consid. 8.2 p. 108). En l'espèce, le recourant ne se prévaut d'aucune règle légale imposant que le dispositif soit porté de manière anonyme à la disposition du public.
D'autres exceptions ne peuvent être admises que de manière très restrictive, lorsque le dispositif non anonymisé serait de nature à porter une atteinte particulièrement grave au droit de la personnalité (arrêt 2C_443/2019 du 23 mai 2019 consid. 6.2). Il appartient à celui demandant l'anonymisation de justifier et de motiver sa requête (arrêt 2C_799/2017 du 18 septembre 2018 consid. 7.2). A cet égard, le recourant ne s'oppose pas à la publication de son nom en raison de motifs personnels, mais dans le but de protéger les intérêts de ses employeurs; le recourant ne souhaite en effet pas que l'exercice de ses droits procéduraux les exposent davantage, ce que la divulgation de son nom engendrerait. Certes, tout risque d'identification de ses employeurs - notamment par le biais de recherches Internet - ne peut être d'emblée exclu; cela vaut en particulier lorsque l'affaire a été médiatisée. Cela étant et vu notamment le statut des personnes concernées (prévenus), l'éventuelle atteinte - inhérente au système de la publication - que constitue une possible identification ne saurait suffire pour obtenir l'anonymisation du rubrum. Partant, cette requête peut être rejetée.
4.
Il s'ensuit que le recours est admis. L'ordonnance attaquée est annulée dans la mesure où elle constate en relation avec les pièces concernant le recourant remises par la banque E._ en exécution de l'ordonnance de séquestre du 5 juillet 2018 que la demande de mise sous scellés du 13 août 2018 était tardive, que ces pièces n'ont pas été placées sous scellés et que la demande de levée de cette mesure du 2 août 2018 était sans objet. Leur transmission à d'éventuels tiers est refusée, les pièces devant en l'état rester en mains du Tmc. La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle entre en matière sur la requête de levée des scellés du 2 août 2018.
La requête tendant à une mise à disposition anonymisée de l'ensemble des publications, rubrum y compris, en lien avec l'affaire est rejetée, dans la mesure où elle n'est pas sans objet.
Le recourant, qui obtient gain de cause sur la question principale, a droit à des dépens à la charge de la République et canton de Genève (<ref-law>). Il n'y a pas lieu de percevoir de frais judiciaires (<ref-law>). La requête d'effet suspensif est sans objet, dans la mesure d'ailleurs où celui-ci aurait existé au moment de son dépôt (cf. le dispositif du Tmc et ad 11 et 12 du mémoire de recours).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. L'ordonnance du 7 mars 2018 du Tribunal des mesures de contrainte de la République et canton de Genève est annulée dans la mesure où elle constate en relation avec les pièces concernant le recourant remises par la banque E._ en exécution de l'ordonnance de séquestre du 5 juillet 2018 que la demande de mise sous scellés du 13 août 2018 était tardive, que ces pièces n'ont pas été placées sous scellés et que la demande de levée de cette mesure du 2 août 2018 était sans objet. Les pièces en cause restent en l'état en mains du Tribunal des mesures contrainte à qui la cause est renvoyée pour qu'il procède au sens des considérants.
2.
La requête tendant à une mise à disposition anonymisée de l'ensemble des publications, rubrum y compris, en lien avec l'affaire est rejetée, dans la mesure où elle n'est pas sans objet.
3.
Une indemnité de dépens, fixées à 2'500 fr., est allouée au recourant à la charge de la République et canton de Genève.
4.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
5.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Ministère public de la République et canton de Genève et au Tribunal des mesures de contrainte de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 17 septembre 2019
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Chaix
La Greffière : Kropf