Faits :
A.
A._ et B._ sont les parents de C._, né en 2006. Leur divorce a été prononcé le 14 mars 2012 par le Tribunal civil de l'arrondissent du Lac (ci-après: le Tribunal). L'autorité parentale et la garde de l'enfant ont été attribuées à sa mère et un droit de visite a été fixé en faveur de son père, qui a au surplus été astreint à contribuer à l'entretien de C._ par le versement de 800 fr. par mois.
B.
B.a. Par demande du 29 juillet 2013, B._ a requis la suspension de la pension, pour le motif qu'il était sans emploi ni revenu. Les parties ont par la suite pris diverses conclusions, notamment à propos de l'autorité parentale ainsi que de la garde de l'enfant.
Une audience s'est tenue devant le Tribunal le 4 janvier 2016. Celui-ci a ordonné l'établissement d'un rapport circonstancié sur la situation de l'enfant par le Service de l'enfance et de la jeunesse (SEJ). Dans son rapport du 16 mars 2016, le SEJ a notamment relevé que les deux parents s'impliquaient énormément dans l'éducation de leur enfant mais que leur conflit était toujours si important qu'il entravait une communication satisfaisante. Il a relevé qu'une garde alternée pourrait constituer une bonne solution, mais s'est inquiété, outre des difficultés de dialogue récurrentes entre les parents, de la pénibilité liée au fait que les domiciles des parents étaient relativement éloignés. Il a insisté sur la nécessité d'un planning clairement établi.
B.b. Par décision du 3 juillet 2017, le Tribunal a modifié le jugement de divorce, notamment en ce sens que l'autorité parentale est attribuée conjointement aux deux parents et qu'une garde alternée est mise en place à compter du 1er juillet 2017. S'agissant de la contribution d'entretien due par le père, le Tribunal a jugé qu'elle était suspendue du 1er mars au 31 août 2013, puis fixée à 800 fr. par mois pour la période du 1er septembre 2013 au 31 décembre 2016, puis à 500 fr. par mois du 1er janvier au 30 juin 2017, et enfin supprimée à compter du 1er juillet 2017.
La mère a fait appel de cette décision. Elle ne s'est pas opposée à la mise en place de l'autorité parentale conjointe mais a notamment sollicité la garde exclusive de l'enfant. Elle a demandé la mise en place d'une expertise psychiatrique visant à établir si l'avis de l'enfant reflète réellement son souhait et si la garde alternée est en définitive compatible avec le bien de l'enfant. Elle a aussi remis en cause la garde alternée décidée par les premiers juges, sollicitant que le père produise son planning de travail de novembre 2016 à août 2017 afin de vérifier s'il était suffisamment disponible pour s'occuper convenablement de son fils.
B.c. Statuant sur mesures superprovisionnelles le 29 mars 2018 suite à l'intervention du SEJ, le Juge de paix de l'arrondissement de la Sarine a placé C._ à la Fondation Transit pour une durée de trois mois. Il a relevé que l'enfant tenait un discours très inquiétant, avec des remarques morbides.
Le 3 avril 2018, le Président de la Ie Cour d'appel civil de l'Etat de Fribourg (ci-après : le Président) a suspendu la procédure d'appel jusqu'à droit connu sur la procédure de protection de l'enfant menée par la Justice de paix. Le placement a été confirmé par ordonnance de mesures provisionnelles du 31 juillet 2018. Le recours formé par la mère contre cette décision a été rejeté le 9 octobre 2018. Le 10 octobre 2018, la procédure d'appel a été reprise et une curatelle de représentation a été ordonnée en faveur de C._.
La Fondation Transit a déposé un rapport le 16 octobre 2018.
B.d. Par décision de mesures superprovisionnelles du 25 octobre 2018, le Président a confié la garde de l'enfant à son père.
Une audience de mesures provisionnelles s'est tenue le 5 décembre 2018.
Par décision de mesures provisionnelles du 23 janvier 2019, le Président a attribué la garde de l'enfant à son père et réglé le droit de visite de sa mère, celle-ci étant au surplus astreinte à contribuer à l'entretien de son fils par le versement de 430 fr. par mois, allocations familiales en sus.
B.e. Le Président a entendu l'enfant, à sa demande, le 22 mai 2019.
B.f. Par arrêt du 18 octobre 2019, la Ie Cour d'appel civil du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg a réformé la décision du 3 juillet 2017. Elle a attribué au père l'autorité parentale exclusive et le droit de déterminer le lieu de résidence de C._. Un droit de visite a été réservé à la mère, ce droit devant s'exercer, à défaut d'entente, un week-end sur deux du vendredi soir à 18 heures au dimanche soir à 18 heures, ainsi que deux semaines durant les vacances d'été, une semaine durant les vacances de Noël et une semaine durant celles de Pâques. La mère a en outre été condamnée à contribuer à l'entretien de l'enfant par le versement de 430 fr. par mois, éventuelles allocations familiales en sus, à compter du 1er novembre 2018, les frais extraordinaires, au sens de l'<ref-law>, devant être supportés par moitié par chacun des parents.
C.
Par acte du 21 novembre 2019, A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre cette décision. Elle conclut principalement à ce que l'autorité parentale soit attribuée conjointement aux parents, à ce que le lieu de résidence de C._ soit fixé à son domicile, à ce qu'un droit de visite soit réservé au père - à raison d'un week-end sur deux, du vendredi à 18 heures au dimanche à 18 heures, ainsi que la moitié des vacances d'été, une semaine à Pâques et une semaine à Noël -, et à ce qu'il soit condamné à contribuer à l'entretien de l'enfant par le versement de 800 fr. à compter de l'entrée en force de l'arrêt qui sera rendu par le Tribunal fédéral, la pension de 800 fr. demeurant due par le père entre le 1er août 2013 et le 31 juillet 2018; elle prend aussi des conclusions sur les frais et dépens de la procédure d'appel. Subsidiairement, la recourante demande l'annulation de l'arrêt cantonal et le renvoi de la cause à la juridiction précédente pour nouvelle décision s'agissant de l'attribution de l'autorité parentale, du droit de déterminer le lieu de résidence, de la fixation du droit de visite et de la répartition des frais de la procédure d'appel, et la réforme de l'arrêt querellé en ce sens que du 1er août 2013 au 31 juillet 2018, la pension en faveur de C._, à savoir 800 fr. par mois, est due. Plus subsidiairement, elle conclut à l'annulation de l'arrêt entrepris et sa réforme, en ce sens que la pension mensuelle pour C._ est due du 1er août 2013 au 31 juillet 2018, et prend des conclusions sur les frais et dépens de la procédure d'appel. Elle requiert enfin l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
D.
La recourante a requis l'effet suspensif en ce qui concerne les frais et dépens de la procédure d'appel. Cette requête a été admise par ordonnance présidentielle du 6 décembre 2019.
E.
Invité à se déterminer, B._ conclut au rejet du recours et sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. La cour cantonale ne formule pas d'observations.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>), prise par un tribunal cantonal supérieur statuant sur recours (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans une affaire civile (<ref-law>) de nature non pécuniaire dans son ensemble (parmi plusieurs, cf. arrêt 5A_26/2019 du 6 juin 2019 consid. 1). Il a été interjeté en temps utile (<ref-law>) et en la forme prévue par la loi (<ref-law>), par une partie qui a pris part à la procédure devant l'autorité précédente (<ref-law>) et a un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (<ref-law>).
1.2. Les courriers produits par l'intimé, datés du 13 décembre 2019 ainsi que des 1eret 13 février 2020, sont d'emblée irrecevables puisqu'ils sont postérieurs à l'arrêt attaqué (<ref-ruling> consid. 3.1.2).
1.3. Les faits et moyens de preuve nouveaux sont prohibés (<ref-law>); il n'y a exception à cette règle que lorsque c'est la décision de l'autorité précédente qui, pour la première fois, a rendu pertinents ces faits ou moyens de preuve, ce qu'il appartient au recourant de démontrer (<ref-ruling> consid. 3). Il en découle que les extraits WhatsApp produits par l'intimé, sans qu'il n'expose pour quels motifs ils seraient admissibles, sont irrecevables. De même, il ne saurait être tenu compte des faits nouveaux évoqués par les parties, qui ne ressortiraient pas de l'arrêt querellé sans qu'un grief précis quant au caractère arbitraire de leur omission ne soit soulevé.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés (<ref-ruling> consid. 2.4 et les références). Le recourant doit par conséquent discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (<ref-ruling> consid. 1.7.1; <ref-ruling> consid. 2.4 et la référence). Le Tribunal fédéral ne connaît par ailleurs de la violation de droits fondamentaux que si un tel grief a été expressément invoqué et motivé de façon claire et détaillée par le recourant (" principe d'allégation ", <ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.4).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si ceux-ci ont été constatés de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.2 et la référence), doit satisfaire au principe d'allégation susmentionné (<ref-law>; cf. supra consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1.1). Le recourant ne peut se limiter à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; il doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.4.3). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (<ref-ruling> consid. 1.3.1 et la référence).
3.
Se plaignant de la violation de son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.) - grief d'ordre formel qu'il convient d'examiner en premier lieu (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 390) -, la recourante fait grief à l'autorité cantonale de n'avoir jamais pris position sur les réquisitions de preuve qu'elle avait formulées dans le cadre de la procédure d'appel.
3.1. Elle expose avoir demandé - tout d'abord lors de la séance du 5 décembre 2018 devant l'autorité cantonale (cf. p. 8 du p-v de cette séance), puis une nouvelle fois dans ses déterminations du 25 février 2019 (p. 2 et 3 dudit document) - la production du planning horaire de son ex-époux pour les années 2018 et 2019, ainsi que la mise en oeuvre d'une expertise afin d'évaluer la capacité éducative de chacun des parents et de déterminer le meilleur choix de garde pour C._. Elle soutient que ces réquisitions de preuve étaient de nature à influencer l'issue du litige, puisqu'elles concernaient des critères d'appréciation déterminants pour l'attribution de l'autorité parentale et de la garde, ainsi que pour décider du lieu de résidence de l'enfant.
S'agissant plus précisément des plannings horaires de son ex-mari (dont elle précise que le planning 2018 a finalement été spontanément produit par celui-ci), ils permettraient notamment de déterminer si celui-ci, qui travaille de nuit, est en mesure de prendre soin personnellement de l'enfant, ce qui constituerait un des critères essentiels d'appréciation s'agissant de l'attribution des droits parentaux. S'agissant de l'expertise, la recourante précise avoir relevé que cette mesure était le moyen idoine pour évaluer la capacité éducative des parents - prémisse pour se voir attribuer la garde -, dès lors que le rapport établi le 15 octobre 2018 par la Fondation Transit, où l'enfant avait été placé temporairement, était incomplet, cette institution n'ayant pas pu observer les relations entre la mère et l'enfant de manière non supervisée, de sorte qu'elle ne pouvait ni confirmer, ni infirmer sa capacité actuelle de préserver son fils du conflit.
3.2. Le droit d'être entendu, tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., comprend le droit de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à des offres de preuves pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou à tout le moins de s'exprimer sur son résultat, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 7.2.2.1; <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 2.2). Lorsque des prétentions du droit civil fédéral sont en jeu, le droit à la preuve déduit du droit d'être entendu est rattaché plus spécifiquement à l'<ref-law> (arrêts 5A_113/2018 du 12 septembre 2018 consid. 4.2.1.1, non publié in <ref-ruling>; 4A_487/2016 du 1er février 2017 consid. 2.2). Ni l'art. 29 al. 2 Cst., ni l'<ref-law> n'excluent une appréciation anticipée des preuves (<ref-ruling> consid. 4.3.1; arrêt 5A_113/2018 précité consid. 4.2.1.1). Le juge peut ainsi refuser une mesure probatoire lorsque celle-ci ne serait pas de nature à modifier le résultat des preuves déjà administrées, qu'il tient pour acquis. Un tel refus ne peut être remis en cause devant le Tribunal fédéral qu'en invoquant l'arbitraire (art. 9 Cst.; <ref-ruling> consid. 4.3.2; arrêts 5A_368/2018 du 25 avril 2019 consid. 7.2; 5A_388/2018 du 3 avril 2019 consid. 4.1).
3.3. En l'occurrence, l'autorité cantonale ne s'est nullement prononcée sur les réquisitions de preuve que l'ex-épouse a effectivement formulées une première fois lors de la séance du 5 décembre 2018 et une seconde fois dans ses déterminations du 25 février 2019 L'arrêt querellé ne fait aucune mention de ces offres de preuve, et il n'apparaît pas que la juridiction précédente aurait rendu une ordonnance de preuves à leur propos (<ref-law>; cf. à ce sujet arrêt 5A_503/2017 du 14 mai 2018 consid. 3.2). En outre, ni la cour cantonale, ni l'intimé ne soutiennent que tel serait le cas, celui-ci faisant en réalité valoir des arguments pour démontrer que l'autorité d'appel disposait de suffisamment d'informations pour prendre sa décision, partant, que ces réquisitions de preuve - qui relèveraient manifestement de l'abus de droit - devaient de toute manière être rejetées. Pour le surplus, dans le cadre du seul examen du respect du droit d'être entendu, la Cour de céans ne saurait d'emblée exclure le caractère pertinent des offres de preuves litigieuses pour établir les faits nécessaires à l'attribution des droits parentaux, dans un cas où, comme ici, la cour cantonale a prononcé l'autorité parentale exclusive et attribué la garde au père, réformant ainsi la décision de l'autorité de première instance qui prévoyait l'autorité parentale conjointe et la garde alternée.
En définitive, en omettant de se prononcer sur les réquisitions de l'ex-épouse, la cour cantonale a violé son droit d'être entendue. La cause doit ainsi lui être renvoyée pour qu'elle y remédie, en particulier en examinant si les réquisitions de preuve litigieuses ont été présentées en temps utile, si elles sont propres à établir des éléments de fait pertinents et, le cas échéant, si elles sont de nature à modifier le résultat des preuves déjà administrées.
4.
La recourante s'en prend à la décision entreprise, en tant qu'elle suspend le versement par le père de la contribution d'entretien pour C._ pour le mois d'août 2013. A cet égard, elle se plaint d'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'établissement des faits, de violation de l'<ref-law> et d'une violation de son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.), sous l'angle du droit à une décision motivée.
4.1. Il ressort de l'arrêt entrepris que pour le mois d'août 2013, le versement par B._ de la contribution d'entretien pour son fils C._, d'un montant de 800 fr. allocations familiales non comprises, est suspendu. L'autorité cantonale a relevé à cet égard que contrairement à ce qu'avait retenu le Tribunal, la modification des contributions d'entretien ne pouvait pas intervenir pour une période antérieure à la demande, le père n'ayant conclu à une suspension des pensions que dès le 1er août 2013. A l'instar du Tribunal, la juridiction d'appel a considéré que jusqu'à fin août 2013, le père avait démontré avoir entrepris toutes les démarches possibles pour retrouver un emploi, de sorte qu'aucun revenu hypothétique ne pouvait lui être imputé pour le mois d'août 2013 et que la pension n'était ainsi pas due pour ce mois-ci.
4.2. La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu consacré par l'art. 29 al. 2 Cst. l'obligation pour le juge de motiver ses décisions. L'autorité n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais elle peut au contraire se limiter à ceux qui, sans arbitraire, lui paraissent pertinents (parmi plusieurs: ATF <ref-ruling> consid. 5.2; <ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 4.1). Savoir si la motivation présentée est convaincante est une question distincte de celle du droit à une décision motivée. Dès lors que l'on peut discerner les motifs qui ont guidé le juge, le droit à une décision motivée est respecté (arrêt 4A_344/2018 du 27 février 2019 consid. 2.3.1; cf. <ref-ruling> consid. 2c). Une autorité judiciaire ne commet un déni de justice formel prohibé par l'art. 29 al. 2 Cst. que si elle omet de se prononcer sur des griefs qui présentent une certaine pertinence ou de prendre en considération des allégués et arguments importants pour la décision à rendre (ATF <ref-ruling> consid. 5.2; <ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 3.2.1).
4.3. La recourante expose qu'ainsi qu'elle l'avait démontré à l'aide de son courrier au Tribunal civil du Lac du 26 mai 2017 ainsi que de ses annexes, le Service de l'action sociale a assumé l'entretien de C._ par le versement d'une avance mensuelle de 400 fr. pour la période du 1er avril 2013 au 31 mai 2017. En omettant de constater ce fait pertinent, la cour cantonale aurait établi les faits de manière manifestement inexacte, omettant de surcroît de se prononcer sur l'argument qu'elle avait développé dans son appel sur ce point (n° 10 s. p. 9 s. de l'appel du 21 septembre 2017), à savoir qu'une suspension de la pension due par le père pour le mois d'août 2013 constituerait une violation de l'<ref-law>, à tout le moins à hauteur des 400 fr. correspondant à l'avance consentie par le Service de l'action sociale. En effet, selon la jurisprudence (<ref-ruling>), le débirentier qui agit en réduction ou en suppression de sa dette d'entretien devrait poursuivre simultanément l'enfant (respectivement son représentant) et la collectivité publique qui en fait l'avance, ce qui n'a pas été fait en l'occurrence.
4.4. Au préalable, il sied de relever que l'<ref-law> constitue une disposition qui ne peut être invoquée comme telle (cf. arrêt 5A_1001/2019 du 21 février 2020 consid. 3.2 et les références). Pour le surplus, il faut admettre avec la recourante que la cour cantonale a omis de statuer sur le grief qu'elle avait soulevé en appel en lien avec l'<ref-law> et l'<ref-ruling>, grief dont le caractère pertinent ne saurait d'emblée être nié (cf. supra consid. 4.2), violant ainsi son droit d'être entendue. De même, la juridiction précédente a omis d'établir les faits nécessaires pour statuer sur cette question, en particulier, d'apprécier les pièces produites, en première instance déjà, par l'ex-épouse s'agissant des avances consenties par le Service de l'action sociale. La cause doit ainsi lui être renvoyée pour qu'elle pallie ces manquements.
5.
L'arrêt attaqué devant être annulé pour ces motifs d'ordre formel, il n'est pas nécessaire d'examiner les autres griefs de la recourante.
6.
En définitive, le recours doit être admis, aux frais de l'intimé (<ref-law>), qui versera en outre une indemnité de dépens à la recourante (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Dans la mesure où elle n'est pas sans objet, la demande d'assistance judiciaire de la recourante est admise (<ref-law>). La demande d'assistance judiciaire de l'intimé est admise (<ref-law>). Les frais judiciaires lui incombant seront donc provisoirement supportés par la Caisse du Tribunal fédéral (<ref-law>); l'octroi de l'assistance judiciaire ne dispense cependant pas l'intimé du paiement de dépens (<ref-ruling> consid. 2c; arrêt 5C.5/2005 du 23 juin 2005 consid. 4, non publié in <ref-ruling>). Il y a toutefois lieu de considérer que la recourante ne sera pas en mesure de recouvrer les dépens, compte tenu de la situation financière de l'intimé. L'avocat de la recourante sera dès lors également directement indemnisé par la Caisse du Tribunal fédéral. Les parties sont rendues attentives au fait qu'elles sont tenues de rembourser ultérieurement la Caisse du Tribunal fédéral si elles sont en mesure de le faire (<ref-law>). La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour instruction et nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
La requête d'assistance judiciaire de l'intimé est admise et Me Jean-Christophe Oberson lui est désigné comme avocat d'office.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge de l'intimé. Ils sont provisoirement supportés par la Caisse du Tribunal fédéral.
4.
Dans la mesure où elle n'est pas sans objet, la requête d'assistance judiciaire de la recourante est admise et Me Telmo Vicente lui est désigné comme avocat d'office.
5.
Une indemnité de 2'500 fr., à verser à la recourante à titre de dépens, est mise à la charge de l'intimé. La Caisse du Tribunal fédéral indemnise provisoirement le conseil de la recourante; une indemnité de 2'000 fr. lui est allouée à titre d'honoraires d'avocat d'office.
6.
Une indemnité de 2'000 fr., supportée par la Caisse du Tribunal fédéral, est allouée à Me Jean-Christophe Oberson à titre d'honoraires d'avocat d'office.
7.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Ie Cour d'appel civil du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg, à C._, par l'intermédiaire de son curateur Me Jérôme Magnin, et au Service de protection de l'enfance et de la jeunesse de Fribourg.
Lausanne, le 29 avril 2020
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Dolivo