Sachverhalt:
A.
Gegen A._ sowie zwei Mitbeschuldigte war beim Bezirksgericht Zürich, 9. Abteilung, ein Strafverfahren wegen Mordes etc. hängig. Im Lauf des Strafverfahrens stellte A._, insbesondere nach Ablehnung von Beweisanträgen, drei Ausstandsgesuche gegen den Vorsitzenden, Bezirksrichter B._, welche vom Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, entweder infolge Rückzugs als erledigt abgeschrieben oder abgewiesen wurden.
Am 28. Januar 2020 stellte A._ erneut ein Ausstandsgesuch gegen B._, welches das Bezirksgericht Zürich samt dessen Stellungnahme an das Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, überwies.
Auch ein weiteres Ausstandsgesuch von A._ gegen B._ vom 10. Februar 2020 überwies das Bezirksgericht Zürich samt Stellungnahme des Letzteren an das Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer.
Das Obergericht vereinigte die beiden Verfahren mit Beschluss vom 5. März 2020 und wies das Ausstandsgesuch gegen Bezirksrichter B._ ab.
B.
Gegen den obergerichtlichen Beschluss gelangt A._ mit Eingabe vom 7. Mai 2020 an das Bundesgericht und beantragt dessen Aufhebung sowie die Gutheissung des gegen B._ (Vorsitzender) gestellten Ausstandsgesuchs vom 28. Januar 2020. Eventualiter sei die Sache zur neuen Beurteilung und Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. In prozessualer Hinsicht beantragt der Beschwerdeführer die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege, den Beizug der Vorakten und die Anordnung eines zweiten Schriftenwechsels.
Das Obergericht des Kantons Zürich sowie das Bezirksgericht Zürich verzichteten auf eine Vernehmlassung. Das Obergericht übermittelte dem Bundesgericht die Vorakten.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Beschluss handelt es sich um einen selbständig mit Beschwerde in Strafsachen beim Bundesgericht anfechtbaren kantonal letztinstanzlichen Zwischenentscheid über den Ausstand eines Mitglieds des erstinstanzlichen Gerichts (vgl. Art. 78 Abs. 1, Art. 80 und Art. 92 BGG). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und verfügt über ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung bzw. Änderung des angefochtenen Beschlusses. Er ist daher zur Beschwerdeerhebung legitimiert (vgl. <ref-law>). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
1.2. Dem angefochtenen Beschluss liegen die Ausstandsgesuche des Beschwerdeführers vom 28. Januar 2020 und 10. Februar 2020 zu Grunde. Die Beschwerde bezieht sich allerdings lediglich auf das Gesuch vom 28. Januar 2020 bzw. die diesbezüglichen Erwägungen der Vorinstanz, womit der Streitgegenstand des vorliegenden Verfahrens darauf beschränkt ist. Nicht Streitgegenstand bilden demgegenüber die Ausstandsgesuche vom 4. April 2019, 30. Juli 2019 und 22. Januar 2020, weshalb auf die entsprechenden Ausführungen des Beschwerdeführers nicht einzugehen ist, zumal er keine gesamthafte Beurteilung verlangt.
2.
Unter Bezugnahme auf zwei Vorfälle, welche sich am 22. und 23. Januar 2020 im Gerichtssaal ereignet haben sollen, macht der Beschwerdeführer geltend, der Vorsitzende sei ihm sowie seinen beiden Rechtsvertretern gegenüber voreingenommen.
2.1. <ref-law> zählt verschiedene Gründe auf, die zum Ausstand von in einer Strafbehörde tätigen Personen führen. Gemäss <ref-law> trifft dies namentlich aus anderen (als den in lit. a-e der gleichen Bestimmung genannten) Gründen zu, insbesondere wenn die in der Strafverfolgung tätige Person wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand befangen sein könnte. <ref-law> konkretisiert die Verfassungsbestimmung von <ref-law> sowie Art. 6 EMRK. Danach hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. <ref-law> soll zu der für einen korrekten und fairen Prozess erforderlichen Offenheit des Verfahrens im Einzelfall beitragen und damit ein gerechtes Urteil ermöglichen. Die Garantie des verfassungsmässigen Richters wird verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Richters oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein (<ref-ruling> E. 4.2.2 S. 736 f. mit Hinweisen). Bei der Anwendung von <ref-law> ist entscheidend, ob bei objektiver Betrachtungsweise der Ausgang des Verfahrens noch als offen erscheint. Wird der Ausstandsgrund aus materiellen oder prozessualen Rechtsfehlern abgeleitet, so sind diese nur wesentlich, wenn sie besonders krass sind und wiederholt auftreten, sodass sie einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkommen und sich einseitig zulasten einer der Prozessparteien auswirken; andernfalls begründen sie keinen hinreichenden Anschein der Befangenheit (zum Ganzen etwa Urteil 1B_106/2019 vom 10. Mai 2019 E. 4.1). Gegen beanstandete Verfahrenshandlungen sind ansonsten primär die zur Verfügung stehenden Rechtsmittel auszuschöpfen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 75 mit Hinweisen).
2.2.
2.2.1. In Bezug auf den Vorfall vom 22. Januar 2020 führt der Beschwerdeführer Folgendes aus: Als sich sein Rechtsvertreter nach der Abweisung der Beweisanträge durch das Gericht erhoben habe, um das Ausstandsbegehren zu stellen und zu begründen, habe ihn der Vorsitzende unterbrochen und ihm die Begründung des Antrags verweigert. Ohne Kenntnis des konkreten Anlasses des Gesuchs und ohne Rücksprache mit den anderen Richtern habe der Vorsitzende festgehalten, die Mitglieder des Gerichts seien nicht befangen. Die Notizen zur Gesuchsbegründung seien zu den Akten genommen und die Befragung sei fortgesetzt worden. Dieses Vorgehen sei ein krasser Verstoss gegen den Anspruch auf rechtliches Gehör und das Recht auf ein faires Verfahren. Gleichzeitig habe sich in diesem Verhalten des Vorsitzenden dessen Befangenheit manifestiert.
2.2.2. Dem angefochtenen Beschluss der Vorinstanz ist diesbezüglich zu entnehmen, der Vorsitzende habe anlässlich der Hauptverhandlung erläutert, dass die Rechtsvertreter des Beschwerdeführers bereits "angedroht" hätten, ein Ausstandsgesuch zu stellen, sollten deren Anträge abgewiesen werden. Das Gericht habe also gewusst, dass ein Ausstandsgesuch gestellt werden würde. Dessen Begründung sei aus Zeitgründen - das Verlesen des 47-seitigen Ausstandsgesuchs hätte gemäss Angabe des Rechtsvertreters rund 45 Minuten in Anspruch genommen - zu den Akten genommen worden. Am nächsten Verhandlungstag habe der Vorsitzende erklärt, dass er sowie die beiden anderen Bezirksrichter das Gesuch gelesen hätten und sich nach wie vor nicht befangen fühlen würden. Er werde das Gesuch samt ihrer Stellungnahmen dem Obergericht zustellen.
2.2.3. Die Vorinstanz folgert zu Recht, dass sich aus diesem Vorgehen des Vorsitzenden kein Anschein von Befangenheit ergibt. Gemäss den unbestritten gebliebenen Ausführungen der Vorinstanz und den Vorbringen des Beschwerdeführers wusste der Vorsitzende bereits im Voraus, dass der Beschwerdeführer im Fall der Abweisung seiner Anträge ein Ausstandsgesuch stellen würde; entsprechend hätten er sowie die beiden anderen Bezirksrichter sich darauf vorbereitet. Auch aus dem Verhandlungsprotokoll geht hervor, dass der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers, nachdem er sein Ausstandsgesuch gestellt hatte, erklärte, das Gericht habe sicher damit gerechnet, dass er den Ausstand des Gerichts verlangen werde, was der Vorsitzende bejaht habe (Protokoll, S. 44).
Der Beschwerdeführer rügt in diesem Zusammenhang eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör und ein faires Verfahren. Selbst wenn vom Vorliegen solcher Verletzungen ausgegangen würde, kann von einer schweren Amtspflichtverletzung im oben genannten Sinn (vgl. E. 2.1) keine Rede sein, konnte de r Beschwerdeführer sein Ausstandsgesuch anlässlich der Hauptverhandlung doch mündlich stellen und die schriftliche Begründung zu den Akten geben und hat sich der Vorsitzende tags darauf dazu geäussert und eine Stellungnahme dazu verfasst, die er in der Folge an die zuständige Instanz weitergeleitet hat. Der Vorsitzende war ausserdem gar nicht dazu befugt, selber über das Ausstandsgesuch zu entscheiden.
2.3.
2.3.1. Hinsichtlich des Vorfalls vom 23. Januar 2020 bringt der Beschwerdeführer vor, am Vormittag sei es in der Verhandlungspause vor dem Gerichtssaal "zu einer kleinen Rempelei" zwischen seinem Vater und einem Mitbeschuldigten gekommen. Zurück im Gerichtssaal habe die Rechtsvertreterin dieses Mitbeschuldigten den Vorsitzenden auf das aus ihrer Sicht Vorgefallene hingewiesen und verlangt, den Vater aus dem Gerichtssaal zu weisen. Was sich in der Folge abgespielt habe, sei "an Boshaftigkeit von einem Richter" kaum zu überbieten. Der Vorsitzende habe bewusst und gezielt ein Spektakel inszeniert, choreografiert, um seinen Vater und seine Ehefrau - seine wichtigsten Bezugspersonen im familiären Umfeld - blosszustellen. Nachdem der Vorsitzende seinen Vater aufgerufen habe, habe er eine Art Konfrontationseinvernahme durchgeführt, zur Unterhaltung und teilweiser Belustigung des ihm genehmen Publikums und zum blanken Entsetzen der beschwerdeführerischen Familie. Auch die darauf folgende Befragung des Mitbeschuldigten sei suggestiv, eindringlich und unfair gewesen. Gestützt auf völlig unbewiesene und willkürliche Annahmen, auf reines Hörensagen habe der Vorsitzende den Vater aus dem Gerichtssaal gewiesen und die Ehefrau verwarnt. Dies sei eine unverhohlene Machtdemonstration des Vorsitzenden gewesen, welcher ein eigentliches Exempel an der Familie bzw. den beiden ihm am nächsten stehenden Bezugspersonen statuiert habe. Der Vorsitzende habe eine Pressehatz inszeniert, indem er den Konflikt erst in den Gerichtssaal getragen und dann auf dieser Plattform in die Welt hinaus posaunt habe. Es habe sich um eine Kulmination der über mehrere Monate hinweg immer offener gezeigten Abneigung, ja feindseligen Haltung des Vorsitzenden ihm und seinen Rechtsvertretern gegenüber gehandelt.
2.3.2. Die Vorinstanz erwog, das Argument, wonach der Vorsitzende bewusst eine Inszenierung vorgenommen habe, um den Beschwerdeführer respektive seine Familie blosszustellen, stelle eine blosse Behauptung respektive Unterstellung dar. Hierfür lägen keinerlei Anhaltspunkte vor. Entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers handle es sich hinsichtlich der Verwarnung seiner Ehefrau nicht um eine willkürliche Annahme. Der Vorsitzende habe auf die Äusserungen der amtlichen Rechtsvertreterin des Mitbeschuldigten abgestellt, wonach die Ehefrau des Beschwerdeführers die beiden Mitbeschuldigten mit Schimpfwörtern bedacht habe. Zwar treffe es zu, dass die Ehefrau zum Vorwurf nicht befragt worden sei, jedoch vermöge dieser Umstand angesichts des vorangegangenen "Tumults" im Zuge der Befragung des Vaters sowie der Aussage durch die Rechtsvertreterin keinen Anschein von Befangenheit zu begründen, zumal der Vorsitzende ausgeführt habe, dass die Verwarnung für die anderen Anwesenden ebenso gelte. Das gewählte Vorgehen des Vorsitzenden vermöge keinen Anschein der Befangenheit zu begründen.
2.3.3. Diese Erwägungen der Vorinstanz sind nicht zu beanstanden. Der Beschwerdeführer vermag mit seinen spekulativ anmutenden Vorbringen nichts daran zu ändern, zumal er sich mit den vorinstanzlichen Ausführungen nicht auseinandersetzt, sondern über 15 Seiten hinweg wörtlich seine Stellungnahme an die Vorinstanz wiedergibt. Insbesondere gibt es keine Anhaltspunkte dafür, dass es sich um eine bedachte und abgesprochene Inszenierung gehandelt hätte, dass der Vorsitzende den Vorfall aufgebauscht oder den Vater und die Ehefrau des Beschwerdeführers bewusst attackiert und gezielt blossgestellt und gestützt auf verfälschte, ungeprüfte Behauptungen sitzungspolizeiliche Massnahmen ausgesprochen haben soll. Vielmehr geht für den Zeitraum nach der Verhandlungspause aus dem Verhandlungsprotokoll hervor, dass die Rechtsvertreterin des Mitbeschuldigten den Vorfall dem Gericht geschildert und um Gewährung des rechtlichen Gehörs ersucht hat. Die Ehefrau des Beschwerdeführers habe zudem die beiden Mitbeschuldigten beschimpft, weshalb diese Personen allenfalls aus dem Gerichtssaal zu weisen seien. In der Folge hat der Vorsitzende den Vater aufgerufen und ihn sowie den Mitbeschuldigten befragt, worauf es im Gerichtssaal laut geworden sei. Der Vorsitzende hat den Vater anschliessend aus dem Gerichtssaal gewiesen und die Ehefrau sowie die anderen Anwesenden verwarnt (Protokoll, S. 62 ff.). Eine schwere Amtspflichtverletzung im oben genannten Sinn (vgl. E. 2.1) bzw. ein Anschein von Befangenheit ergibt sich aus diesem Vorgehen des Vorsitzenden nicht. Daran ändert nichts, dass der Vorsitzende den Vater des Beschwerdeführers gemäss dessen Ausführungen gefragt haben soll: "Chönd Sie überhaupt dütsch?", und er der Ehefrau des Beschwerdeführers vor der sitzungspolizeilichen Verwarnung das rechtliche Gehör nicht gewährt hat. Inwiefern die Tonaufnahme, welche gemäss den Vorbringen des Beschwerdeführers die Stimmungslage im Gerichtssaal bestens wiedergeben soll, zu einem anderen Ergebnis führen könnte, ist nicht ersichtlich. Der entsprechende Antrag des Beschwerdeführers ist daher abzuweisen. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, das Protokoll gebe das Geschehen verfälscht wieder, ist mit der Vorinstanz festzuhalten, dass ihm der Weg des Protokollberichtigungsbegehrens gemäss <ref-law> offen gestanden wäre.
Der Beschwerdeführer bemängelt weiter, die Vorinstanz habe die Schlagzeilen und Berichterstattung der Presse gar nicht erst zur Kenntnis genommen, im Entscheid finde keine ernsthafte Auseinandersetzung damit statt. Jedoch hat die Berichterstattung der Presse mit der vorliegend streitgegenständlichen Ausstandsfrage nichts zu tun. Es ist daher nicht zu beanstanden und bedeutet keine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör, wenn im vorinstanzlichen Beschluss diesbezüglich keine Auseinandersetzung stattgefunden hat.
Dass die Vorinstanz ihrer Begründungspflicht nicht nachgekommen wäre oder gegen den Anspruch auf ein faires Verfahren verstossen hätte, ist nach dem Gesagten ebenfalls zu verneinen. Mit Blick auf den Umfang der Beschwerde kann denn auch nicht gesagt werden, dass der Beschwerdeführer nicht in der Lage gewesen sei, sich über die Tragweite des Beschlusses Rechenschaft zu geben und ihn sachgerecht anzufechten. Das beschwerdeführerische Vorbringen, durch die Verweigerung der Herausgabe des Tonträgers habe der Vorsitzende das Ausstandsbegehren "weitgehend obstruiert und in einem gewissen Sinne manipuliert", ist nicht nachvollziehbar.
2.4. Nach dem Ausgeführten ist beim Vorsitzenden der Anschein der Befangenheit im Sinne von <ref-law> zu verneinen.
3.
Die Beschwerde erweist sich somit als unbegründet und ist abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens würde der Beschwerdeführer an sich kostenpflichtig (<ref-law>). Er stellt indes ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege, welches gutzuheissen ist, da die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
2.1. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2. Rechtsanwalt Dr. Bruno Steiner wird zum unentgeltlichen Rechtsbeistand ernannt und für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- aus der Bundesgerichtskasse entschädigt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bezirksgericht Zürich, 9. Abteilung, und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Oktober 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Die Gerichtsschreiberin: Dambeck