Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1992) reiste im Alter von sieben Jahren in die Schweiz ein und absolvierte in Basel das Gymnasium. Mit der deutschen Sprache und den hiesigen Verhältnissen ist er gut vertraut. Vom 1. August 2014 bis 31. Juli 2015 war er an der Universität Basel im Bachelorstudiengang für pharmazeutische Wissenschaften immatrikuliert. Mit E-Mail vom 31. Mai 2017 ersuchte er erneut um Zulassung zum Bachelorstudium für pharmazeutische Wissenschaften.
B.
Die Universität Basel verweigerte A._ mit Verfügung vom 23. August 2017 die Zulassung zum Studium.
Die Rekurskommission der Universität Basel wies einen dagegen erhobenen Rekurs von A._ mit Entscheid vom 19. Juni 2018 ab. Sie gelangte zum Schluss, dass A._ in der Schweiz nicht strafrechtlich verurteilt worden sei, aber gleichwohl eine ernsthafte Gefahr für die innere und äussere Sicherheit der Schweiz darstelle. Die Studierenden-Ordnung der Universität Basel vom 28. September 2011 sehe in Verbindung mit den Zulassungsrichtlinien für das akademische Jahr 2017/2018 vor, dass in solchen Fällen die Zulassung zum Studium verweigert werden könne.
Gegen den Rekursentscheid vom 19. Juni 2018 gelangte A._ an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Dessen Präsident wies das Gesuch von A._ um unentgeltliche Verbeiständung mit Verfügung vom 30. Juli 2018 ab (Dispositiv-Ziff. 5).
C.
Gegen die Verfügung vom 30. Juli 2018 gelangt A._ mit Beschwerde vom 30. August 2018 an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung von Dispositiv-Ziff. 5 und die Rückweisung der Sache zum neuen Entscheid an die Vorinstanz. Eventualiter sei ihm die unentgeltliche Verbeiständung im vorinstanzlichen Verfahren direkt zu erteilen. Weiter ersucht er auch im bundesgerichtlichen Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege.
Der Präsident des Appellationsgerichts beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Universität Basel liess sich nicht vernehmen. Zur Vernehmlassung des Appellationsgerichts reicht A._ am 26. November 2018 eine Stellungnahme ein.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1 S. 116).
1.1. Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens folgt der Rechtsweg vor dem Bundesgericht dem in der Sache betroffenen Rechtsverhältnis (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 427 f.; <ref-ruling> E. 1.1 S. 503; <ref-ruling> E. 1.2 S. 269; <ref-ruling> E. 1.3 S. 195). Hier betrifft das vorinstanzliche Verfahren die Zulassung zum Studium an der Universität Basel. Die Angelegenheit ist öffentlich-rechtlicher Natur.
1.2. Gegen einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid eines oberen Gerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig, soweit keine Ausnahme im Sinne von <ref-law> greift (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG).
1.2.1. Nicht offen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide auf dem Gebiet der inneren oder äusseren Sicherheit des Landes, soweit nicht das Völkerrecht einen Anspruch auf gerichtliche Beurteilung einräumt (vgl. <ref-law>). Allerdings wird nicht jeder Entscheid, der mittelbar von Bedeutung für die Sicherheit des Landes ist, von <ref-law> erfasst (vgl. HANSJÖRG SEILER, in: Stämpflis Handkommentar, Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2. Aufl. 2015, N. 13 zu <ref-law>). Die Ausnahmebestimmung von <ref-law> ist eng auszulegen; sie bezieht sich namentlich auf klassische Regierungsakte ("actes de gouvernement"; vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 373; <ref-ruling> E. 1 S. 345; Urteile 2C_127/2010 vom 15. Juli 2011 E. 1.1.3 [nicht publ. in: <ref-ruling>]; 1C_370/2013 vom 14. Oktober 2013 E. 1.1).
1.2.2. Die Wahrung der inneren und äusseren Sicherheit des Landes stellt keine gesetzliche Aufgabe dar, die originär der Universität Basel obliegt. Daran ändert nichts, dass sie im Rahmen ihres Verwaltungshandelns gegebenenfalls auch Sicherheitsaspekte zu berücksichtigen hat. Angesichts dessen ist fraglich, ob Entscheide der Universität Basel überhaupt unter die Ausnahmebestimmung von <ref-law> fallen können (vgl. auch Urteil 2C_127/2010 vom 15. Juli 2011 E. 1.1.4 [nicht publ. in: <ref-ruling>]). Die Frage bedarf hier allerdings keiner vertieften Prüfung, weil die Universität Basel die Nichtzulassung zum Studium ohnehin wegen einer Beeinträchtigung und Gefährdung ihrer eigenen Interessen verfügte. Diese mögen sich hier teilweise mit Sicherheitsinteressen des gesamten Landes überlagern, was den angefochtenen Entscheid für sich aber wie gezeigt nicht unter die Ausnahmebestimmung gemäss <ref-law> fallen lässt.
1.2.3. Ebensowenig liegt ein Entscheid über das Ergebnis von Prüfungen und anderen Fähigkeitsbewertungen im Sinne von Art. 83 lit. t BGG vor. Diesen Ausschlussgrund erfüllen allein Entscheide über Prüfungsergebnisse sowie die Bewertung der intellektuellen oder physischen Eignung und Fähigkeiten von Kandidierenden (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 44; Urteil 2C_1004/2017 vom 29. Mai 2018 E. 1.1; je mit Hinweisen). Solche Gesichtspunkte sind nicht Gegenstand des angefochtenen Entscheids. Unter dem Blickwinkel von <ref-law> erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als zulässig.
1.3. Die selbständig eröffnete Verfügung vom 30. Juli 2018 bringt das vorinstanzliche Verfahren in der Sache weder ganz noch teilweise zum Abschluss (vgl. Art. 90 und Art. 91 BGG). Sie betrifft weder die Zuständigkeit noch den Ausstand (vgl. <ref-law>), sodass sie als Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> zu qualifizieren ist. Eine Gutheissung der Beschwerde würde in der Sache keinen Endentscheid herbeiführen (<ref-law>). Daher ist die Beschwerde an das Bundesgericht gemäss <ref-law> nur unter der Bedingung zulässig, dass der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann. Das ist bei der Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung im vorinstanzlichen Verfahren regelmässig der Fall (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 131; Urteile 4D_67/2017 vom 22. November 2017 E. 1.1; 2C_683/2014 vom 24. Oktober 2014 E. 2.2). Die Beschwerde gegen den Zwischenentscheid vom 30. Juli 2018 ist daher zulässig (vgl. <ref-law>).
1.4. Der Beschwerdeführer verlangt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz (Antrag Ziff. 1 und Ziff. 2 Satz 1). Insoweit lässt er die reformatorische Natur der Rechtsmittel an das Bundesgericht ausser Acht, die nach sich zieht, dass die beschwerdeführende Partei grundsätzlich einen Antrag in der Sache stellen muss, soweit nicht nur die Beseitigung einer belastenden Anordnung im Streit steht (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1 S. 489; Urteile 2C_994/2016 vom 9. März 2018 E. 1.2 [nicht publ. in: <ref-ruling>]; 2C_858/2017 vom 15. März 2018 E. 1.2). Allerdings ergibt sich im Zusammenhang mit Antrag Ziff. 2 Satz 2, dass der Beschwerdeführer neben der Aufhebung von Dispositiv-Ziff. 5 des angefochtenen Entscheids direkt die Bewilligung der unentgeltlichen Verbeiständung im vorinstanzlichen Verfahren durch das Bundesgericht verlangt (Antrag Ziff. 1 und Ziff. 2 Satz 2). Damit liegt ein zulässiges Rechtsbegehren vor.
1.5. Nach <ref-law> ist zur Beschwerde berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat. Angesichts des weiterhin hängigen vorinstanzlichen Verfahrens hat der Beschwerdeführer ein aktuelles und schutzwürdiges Interesse an der Bewilligung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters. Dass der Beschwerdeführer ursprünglich die Zulassung zum Studium für das mittlerweile abgelaufene akademische Jahr 2017/2018 beantragte, ist im Rahmen des Eintretens im bundesgerichtlichen Verfahren nicht von Bedeutung, zumal sich die vom Beschwerdeführer aufgeworfene Frage auch für ein späteres akademisches Jahr stellen kann, er kaum je mit einer rechtzeitigen Überprüfung im Einzelfall rechnen könnte und ein hinreichendes Interesse an einer gerichtlichen Klärung der Angelegenheit besteht (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 143 mit Hinweisen).
1.6. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass (vgl. Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2 [Begründung] und <ref-law> [Frist]). Unter Vorbehalt der vorstehenden E. 1.4 ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines verfassungsmässigen Anspruchs auf unentgeltliche Verbeiständung.
2.1. Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und deren Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand (<ref-law>). Nach Auffassung der Vorinstanz sind die Voraussetzungen für die Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege im Sinne von <ref-law> erfüllt. Aus diesem Grund hat sie den Beschwerdeführer von der Pflicht zur Leistung eines Kostenvorschusses befreit (Dispositiv-Ziff. 4 der Verfügung vom 30. Juli 2018). Der vorinstanzliche Entscheid wurde in diesem Punkt nicht angefochten. Hingegen ist im bundesgerichtlichen Verfahren umstritten, ob der Beschwerdeführer einen Anspruch auf Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsbeistands im Sinne von <ref-law> hat.
2.2. Ob die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands verfassungsmässig geboten ist, beurteilt sich nach den konkreten Umständen des Einzelfalls. Massgebende Gesichtspunkte sind dabei die Bedeutung der in Frage stehenden Rechtspositionen, die Schwere des drohenden Eingriffs sowie die sich im Verfahren stellenden rechtlichen und tatsächlichen Schwierigkeiten. Beachtung zu schenken ist in diesem Rahmen auch den Besonderheiten der anwendbaren Verfahrensbestimmungen, den juristischen Kenntnissen der betroffenen Person oder ihres Vertreters sowie ob die Gegenpartei ihrerseits anwaltlich vertreten ist. Je stärker ein Verfahren in ihre grundlegenden Rechtspositionen einzugreifen droht, desto eher hat die mittellose Person unabhängig von sich stellenden tatsächlichen oder rechtlichen Schwierigkeiten einen Anspruch auf Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 2.2 S. 182; <ref-ruling> E. 4b S. 35 f.; Urteile 8C_395/2014 vom 19. Mai 2015 E. 7.1 [nicht publ. in: <ref-ruling>]; 2D_73/2015 vom 30. Juni 2016 E. 6.1).
2.3. Nach der Praxis des Bundesgerichts ist die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters grundsätzlich geboten, wenn das in Frage stehende Verfahren besonders stark in die Rechtsposition der betroffenen Person einzugreifen droht. Sind ihre Interessen nicht besonders stark, aber immerhin in schwerwiegender Weise betroffen, muss die Angelegenheit zudem Schwierigkeiten in tatsächlicher oder rechtlicher Hinsicht aufweisen, denen die betroffene Person auf sich alleine gestellt nicht gewachsen wäre, damit ein Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung besteht (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 182; Urteile 8C_395/2014 vom 19. Mai 2015 E. 7.1 [nicht publ. in: <ref-ruling>]; 2D_73/2015 vom 30. Juni 2016 E. 6.1). Für die Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsvertreters können die Kantone im Rahmen des kantonalen Rechts mildere, nicht aber strengere Anforderungen stellen (vgl. Art. 29 Abs. 3 i.V.m. <ref-law>).
2.4. Nach dem angefochtenen Entscheid liegt kein besonders starker Eingriff in Rechtspositionen des Beschwerdeführers vor, sodass ein verfassungsmässiger Anspruch auf unentgeltliche Rechtsvertretung nur bei besonderen tatsächlichen oder rechtlichen Schwierigkeiten besteht. In ihrer Vernehmlassung an das Bundesgericht vertritt die Vorinstanz in Übereinstimmung mit dem Beschwerdeführer den Standpunkt, dass der Beschwerdeführer in seinen Interessen immerhin in schwerwiegender Weise betroffen ist.
2.4.1. An der Universität Basel war der Beschwerdeführer lediglich während des akademischen Jahres 2014/2015 für pharmazeutische Wissenschaften immatrikuliert. Anschliessend war er während zweier akademischer Jahre nicht eingeschrieben. Dass er von vornherein konkrete Pläne gehabt hätte, sich nach diesem Unterbruch wieder für das Studium der pharmazeutischen Wissenschaften zu immatrikulieren und entsprechende Dispositionen getroffen hätte, legt der Beschwerdeführer im Einzelnen nicht dar. Der Beschwerdeführer benennt des Weiteren keine konkreten Rechtspositionen, die ihm einen individualrechtlichen Anspruch auf Zugang zum Studium der pharmazeutischen Wissenschaften verschaffen würden. Solche sind auch nicht ohne Weiteres ersichtlich, zumal <ref-law> nach seinem Wortlaut lediglich den Grundschulunterricht garantiert und nach der Rechtsprechung keinen Anspruch auf Zulassung zu einem spezifischen Studiengang verleiht (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 158 ff.; <ref-ruling> E. 3c S. 176; Urteil 2C_277/2012 vom 11. Mai 2012 E. 7).
2.4.2. Vor diesem Hintergrund liegt es nicht auf der Hand, dass die Interessen des Beschwerdeführers durch die Verweigerung einer erneuten Zulassung zum Studium der pharmazeutischen Wissenschaften im akademischen Jahr 2017/2018 im Sinne von <ref-law> in schwerwiegender Weise betroffen sind. Zu beachten ist allerdings, dass die Universität Basel die Verfügung vom 23. August 2017 und den Entscheid der Rekurskommission vom 19. Juni 2018 zur Hauptsache nicht damit begründet, dass es eine Gefahrenlage zu vermeiden gilt, die sich spezifisch aus der Zulassung des Beschwerdeführers zum Studium der pharmazeutischen Wissenschaften ergibt. Vielmehr ist nach Massgabe der Begründung ihrer Entscheide davon auszugehen, dass die Universität Basel dem Beschwerdeführer die Zulassung nicht nur zum Studium der pharmazeutischen Wissenschaften, sondern zu sämtlichen Studiengängen verweigern will. Bei dieser Ausgangslage ist der Beschwerdeführer, der das Gymnasium im Hinblick auf ein universitäres Studium absolviert hat, schwerwiegend in seinen Interessen betroffen.
2.5. Zu prüfen bleibt, ob die Angelegenheit tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeiten aufweist, die eine Vertretung durch einen unentgeltlichen Rechtsbeistand erforderlich machen. Entgegen der Auffassung der Vorinstanz ist das hier der Fall.
2.5.1. Es mag zwar zutreffen, dass es sich beim Beschwerdeführer um einen gebildeten jungen Mann handelt, der mit der Sprache und den hiesigen Verhältnissen bestens vertraut ist. Dabei handelt es sich allerdings nur um einen Aspekt zur Beurteilung, ob sich die Inanspruchnahme eines unentgeltlichen Rechtsvertreters im Sinne von <ref-law> als erforderlich erweist (vgl. E. 2.2 hiervor).
2.5.2. Im vorliegenden Fall fällt entscheidend ins Gewicht, dass sich die Verweigerung der Studienzulassung auf zwei verschiedene Erlasse der Universität Basel stützt, deren Verhältnis zueinander nicht restlos klar ist, und sich die Tragweite der zur Anwendung gebrachten Bestimmungen jedenfalls im Falle des Beschwerdeführers nicht unmittelbar aus dem Wortlaut ergibt. Des Weiteren ist zu berücksichtigen, dass die Universität Basel im Hinblick auf das Gefährdungspotential des Beschwerdeführers auf verschiedene Indizien aus anderen Verfahren und Drittquellen abstellt. Sie begründet die Verweigerung der Zulassung zum Studium letztlich mit dem abstrakten Tatbestand der "ernsthafte[n] Gefahr für die innere und äussere Sicherheit" (vgl. Entscheid der Rekurskommission vom 19. Juni 2018 S. 8 Ziff. 18; <ref-law>). Dies alles mag der Natur der Sache geschuldet sein, sie lässt die Vertretung des Beschwerdeführers durch einen Rechtsbeistand zur Wahrung seiner Rechte aber im Sinne von <ref-law> notwendig erscheinen. Die Beschwerde ist in diesem Punkt gutzu-heissen.
2.6. Bei diesem Verfahrensausgang erübrigt es sich, weiter auf die Rüge einer Verletzung der Begründungspflicht als Teilgehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) einzugehen.
3.
Nach dem Dargelegten hat die Vorinstanz dem Beschwerdeführer die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters zu Unrecht verweigert. Die Beschwerde ist gutzuheissen und der angefochtene Entscheid in diesem Punkt aufzuheben. Antragsgemäss ist Dr. iur. Yves Waldmann als unentgeltlicher Rechtsbeistand des Beschwerdeführers für das vorinstanzliche Verfahren zu bestellen. Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Gerichtskosten zu erheben (vgl. <ref-law>). Der Kanton Basel-Stadt hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung auszurichten (vgl. <ref-law>). Das Gesuch um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren wird damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Dispositiv-Ziff. 5 der angefochtenen Verfügung vom 30. Juli 2018 wird aufgehoben und Dr. iur. Yves Waldmann wird als unentgeltlicher Rechtsbeistand des Beschwerdeführers im vorinstanzlichen Verfahren bestellt.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Basel-Stadt hat Dr. iur. Yves Waldmann für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Januar 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Fellmann