Sachverhalt:
A.
A.a. A._, spanischer Staatsangehöriger, und B._, thailänische Staatsangehörige, sind die verheirateten Eltern des Sohnes C._ (geb. 2009). Sie leben seit dem 1. Dezember 2016 getrennt.
A.b. Mit gerichtlich genehmigter Trennungsvereinbarung vom 5. April 2017 übertrugen die Ehegatten die elterliche Sorge über den Sohn der Mutter und räumten dem Vater ein Besuchsrecht ein. Gleichzeitig wurde A._ ab dem 1. Juni 2017 für die Dauer des Getrenntlebens zur Bezahlung von Unterhaltsbeiträgen verpflichtet, und zwar in der Höhe von monatlich Fr. 5'081.80 exkl. Kinderzulagen (Fr. 1'441.80 Barunterhalt und Fr. 3'640.-- Betreuungsunterhalt) für den Sohn und von monatlich Fr. 1'256.30 für die Ehefrau. Dazu kam ein Anspruch auf Beteiligungen an einem allfälligen künftigen (Netto-) Bonus.
A.c. Seit dem 4. Januar 2019 ist das Scheidungsverfahren vor dem Kantonsgericht Zug rechtshängig.
A.d. Mit Eingabe vom 30. Januar 2020 stellte A._ beim Kantonsgericht Zug ein Gesuch um Abänderung der geltenden Unterhaltsregelung sowie um Auskunfterteilung gestützt auf <ref-law>. Zur Begründung führte er im Wesentlichen aus, die der gerichtlich genehmigten Vereinbarung vom 5. April 2017 zugrunde liegenden finanziellen Verhältnisse der Parteien hätten sich inzwischen erheblich und dauerhaft verändert. Namentlich sei sein Arbeitsverhältnis per Ende Februar 2020 aufgelöst worden und habe er noch keine neue Stelle gefunden. Ab März 2020 werde er lediglich eine Arbeitslosenentschädigung beziehen. Auf der anderen Seite habe die Ehefrau am 15. April 2019 neu eine Stelle mit einem 50%-Pensum angetreten.
A.e. Mit Entscheid vom 24. November 2020 verpflichtete die Einzelrichterin am Kantonsgericht beide Ehegatten zur Edition diverser Unterlagen; im Übrigen wies sie das Gesuch um Abänderung von Eheschutzmassnahmen ab. Die Gerichtskosten von Fr. 4'500.-- auferlegte sie A._.
A.f. Mit Eingabe vom 5. Dezember 2020 wandte sich A._ ans Obergericht des Kantons Zug. Mit Urteil vom 14. Juli 2021 (eröffnet am 19. Juli 2021) wies dieses die Berufung ab, soweit es auf diese eintrat. Gleichzeitig wurde A._ die unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Obergericht gewährt.
B.
Am 13. August 2021 (Postaufgabe) gelangt A._ (Beschwerdeführer) mit den folgenden Anträgen ans Bundesgericht:
"I. Änderung der bestehenden Unterhaltspflicht auf der Grundlage des Einkommens de[s] Berufungskläger[s].
II. Änderung der bestehenden Unterhaltspflicht auf der Grundlage des Einkommens [der] Gesuchsgegnerin.
III. Noven aufgrund des mit [der] Gesuchsgegnerin zusammenlebenden Lebenspartners.
IV. Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege."
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin (<ref-law>) vorsorglich für die Dauer des Scheidungsverfahrens über die Abänderung von Ehegatten- und Kindesunterhaltsbeiträgen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>) und damit eine vermögensrechtliche Zivilsache nach <ref-law> entschieden hat (Urteile 5A_263/2020 vom 6. Juli 2020 E. 1.1; 5A_899/2019 vom 17. Juni 2020 E. 1.1). Der erforderliche Streitwert von Fr. 30'000.-- ist gemäss der unbestritten gebliebenen Feststellung der Vorinstanz erreicht (Art. 74 Abs. 1 Bst. b, Art. 51 Abs. 1 Bst. a und Abs. 4 BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Die Beschwerde in Zivilsachen ist ein reformatorisches Rechtsmittel (<ref-law>). Daher muss auch das Rechtsbegehren grundsätzlich reformatorisch gestellt werden. Die beschwerdeführende Partei darf sich nicht darauf beschränken, einen rein kassatorischen Antrag zu stellen. Rechtsbegehren, die eine Geldsumme zum Gegenstand haben, sind ausserdem zu beziffern. Hiervon ausgenommen ist der Fall, dass das Bundesgericht ohnehin nicht reformatorisch entscheiden könnte, etwa weil es an den nötigen Sachverhaltsfeststellungen fehlt (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.3). Zur Auslegung der Begehren ist die Beschwerdebegründung beizuziehen (BGE <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 6.2).
2.2. Der Beschwerdeführer stellt keine bezifferten Rechtsbegehren. Auch der über 30-seitigen Beschwerdebegründung lässt sich nicht entnehmen, auf welche Höhe das Bundesgericht den Ehegatten- und den Kindesunterhalt nach den Vorstellungen des Beschwerdeführers reduzieren soll bzw. ob er überhaupt noch gewillt ist, Unterhalt zu leisten. Daran ändert auch nichts, dass der Beschwerdeführer geltend macht, mangels Kenntnis der finanziellen Verhältnisse der Beschwerdegegnerin gar nicht in der Lage zu sein, sein Rechtsbegehren zu beziffern. Der Beschwerdeführer übersieht, dass das Gericht in Kinderbelangen den Sachverhalt von Amtes wegen erforscht (<ref-law>). Um vor Bundesgericht Erfolg zu haben, müsste der Beschwerdeführer darlegen, dass die Vorinstanz den Sachverhalt willkürlich festgestellt hat, um anschliessend eine willkürliche Handhabung der Untersuchungsmaxime zu rügen. Der blosse Hinweis auf ein nicht näher spezifiziertes Editionsbegehren genügt dafür nicht.
Daran ändert auch nichts, dass der Beschwerdeführer den Prozess vor Bundesgericht - wie bereits jenen vor dem Obergericht - ohne anwaltliche Unterstützung führt und der deutschen Sprache nur bedingt mächtig ist (vgl. Urteil 5A_275/2021 vom 30. September 2021 E. 4.3).
Ohne Belang ist schliesslich, dass der Beschwerdeführer die praktisch gleichlautenden Rechtsbegehren bereits vor der Vorinstanz gestellt hat und diese trotz bereits damals fehlender Bezifferung der Anträge auf die Berufung eingetreten ist. Die Eintretensvoraussetzungen im Berufungsverfahren und im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren sind in unterschiedlichen Gesetzen geregelt. Auf das Berufungsverfahren findet die Schweizerische Zivilprozessordnung Anwendung, auf das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren das Bundesgerichtsgesetz. Dies bringt es mit sich, dass das Bundesgericht die Anforderungen an die Bezifferung der Anträge strenger handhaben kann, als die Vorinstanz dies getan hat, welche die beruflich und menschlich schwierige Situation des Beschwerdeführers erkannte und deshalb die Eintretensvoraussetzungen mit betonter Grosszügigkeit handhabte.
3.
Nach dem Gesagten kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. Damit wird der Beschwerdeführer grundsätzlich kostenpflichtig (<ref-law>). Den besonderen Umständen des Falles wegen wird auf das Erheben von Gerichtskosten aber verzichtet. Weitere entschädigungspflichtige Kosten sind dem Beschwerdeführer nicht entstanden. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin, die nicht zur Vernehmlassung eingeladen worden ist, sind keine entschädigungspflichtigen Kosten entstanden. Entsprechend ist sie auch nicht zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zug, II. Zivilabteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Dezember 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber