Erwägungen:
1.
Der 1974 geborene kubanische Staatsangehörige A._ reiste am 5. April 2003 in die Schweiz ein und heiratete am 22. August 2003 eine Schweizer Bürgerin, worauf er eine Aufenthaltsbewilligung erhielt, die auch nach der Trennung (Ende 2007) und der Scheidung (9. Dezember 2008) verlängert wurde. Mehrere Gesuche um Erteilung der Niederlassungsbewilligung wurden abgewiesen, u.a. wegen unzureichender Deutschkenntnisse sowie offener Betreibungen.
Seit November 2013 bezog A._ Sozialhilfe. Das Migrationsamt des Kantons Zürich verwarnte ihn deswegen am 28. September 2016; da er sich auch in der Folge nicht von der Sozialhilfe ablöste, lehnte das Migrationsamt am 9. Februar 2018 eine Verlängerung der am 21. August 2017 abgelaufenen Aufenthaltsbewilligung ab und verfügte die Wegweisung. Der Rekurs an die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich blieb erfolglos, und mit Urteil vom 5. Dezember 2018 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die gegen den Rekursentscheid vom 17. August 2018 erhobene Beschwerde ab.
Mit Rechtsschrift vom 15. Januar 2019 erhebt A._ beim Bundesgericht Beschwerde gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts mit den Anträgen, dieses Urteil sowie die ihm zugrunde liegenden Entscheide der Sicherheitsdirektion und des Migrationsamtes seien aufzuheben; das Migrationsamt sei anzuweisen, seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern; eventuell sei die kantonale Behörde anzuweisen, ihm eine Aufenthaltsbewilligung gestützt auf <ref-law> zu erteilen und dem SEM zur Zustimmung zu unterbreiten; eventuell sei die kantonale Behörde zu beauftragen, für ihn die vorläufige Aufnahme bei den zuständigen Bundesbehörden zu beantragen.
Der Beschwerdeführer ist der Auflage, den angefochtenen Entscheid nachzureichen, am 30. Januar 2019 fristgerecht nachgekommen.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten. In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze. Die Beschwerde führende Partei muss in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form plausibel darlegen, inwiefern die Vorinstanz welche Rechte bzw. Rechtsnormen verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen). Besonderes gilt hinsichtlich der Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz. Diese sind für das Bundesgericht verbindlich, es sei denn, die Partei zeige auf, dass sie qualifiziert falsch oder in Verletzung von Verfahrensvorschriften getroffen worden sind; entsprechende Mängel sind spezifisch geltend zu machen und zu begründen (vgl. Art. 105 Abs. 1 und Art. 97 Abs. 1 BGG; dazu <ref-ruling> E. 2 S. 117, 264 E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62 mit Hinweisen), sofern sie nicht ins Auge springen (vgl. <ref-law>).
2.2. Das Verwaltungsgericht anerkennt, dass der Beschwerdeführer einen (bedingten) nachehelichen Aufenthaltsanspruch nach <ref-law> hat und sich angesichts der langen Dauer der Landesanwesenheit im Hinblick auf die Bewilligungsverlängerung auf Art. 8 EMRK (Recht auf Achtung des Privatlebens) berufen kann. Es stützt die Bewilligungsverweigerung auf <ref-law> in Verbindung mit dem Widerrufsgrund von <ref-law>. Die diesbezüglich massgeblichen Kriterien gibt es in E. 3.1.2 wieder. Es stellt fest, dass der Widerrufsgrund angesichts der bisher fünf Jahre dauernden erheblichen Sozialhilfeabhängigkeit (Grössenordnung über Fr. 125'000.--) erfüllt sei, wobei es darlegt, warum diese Situation vom Beschwerdeführer selbstverschuldet sei und aufgrund der gesamten Umstände nicht mit einer baldigen Loslösung von der Fürsorge zu rechnen sei (E. 3.2.2). Dem hieraus resultierenden öffentlichen Fernhalteinteresse stellt es die privaten Interessen des Beschwerdeführers an einem weiteren Verbleib in der Schweiz gegenüber (E. 3.2.3) und kommt zum Schluss, dass die Bewilligungsverweigerung auch unter Berücksichtigung von dessen persönlichen Verhältnissen verhältnismässig sei, namentlich eine blosse Verwarnung (<ref-law>) nicht erfolgversprechend erscheine (E. 3.2.4). Schliesslich erkennt es, dass angesichts der bereits vorgenommenen umfassenden Interessenabwägung kein Raum für die Prüfung eines persönlichen Härtefalles im Sinne von <ref-law> oder für eine ermessensweise Bewilligungserteilung bestehe und mangels ersichtlicher Vollzugshindernisse im Sinne von <ref-law> keine Veranlassung bestehe, beim SEM um vorläufige Aufnahme des Beschwerdeführers zu ersuchen (E. 4).
Der Beschwerdeführer schreibt Folgendes: "Ich befinde mich seit 15 Jahren in der Schweiz. Auch wenn ich hier keine Familie habe, habe ich doch enge Bindungen zu diesem Land aufgebaut, Ich habe einen grossen Freundes- und Bekanntenkreis. Ich bin in vier Sportvereinen aktiv.... Ich spreche gut Deutsch und verstehe auch Schweizerdeutsch.... Die Schweiz ist zu meiner Heimat geworden. Den Bezug zu meinem Heimatland habe ich nach dieser langen Zeit verloren. Ich berufe mich auf das in Art. 8 EMRK und <ref-law> garantierte Recht auf Achtung des Privatlebens. - Zwei Situationen haben sich geändert, die erste Arbeit seit dem ersten November im Restaurant.... und die zweite, seit dem 12. Dezember habe ich die Sozialhilfe losgelassen...."
Beim vom 8. Januar 2019 datierten Arbeitsvertrag handelt es sich ebenso wie bei der Bestätigung des zuständigen Sozialzentrums der Stadt Zürich vom 12. Dezember über die Ablösung von der Sozialhilfe um grundsätzlich unzulässige Noven (<ref-law>). Sodann widersprechen die Ausführungen des Beschwerdeführers über die engen Beziehungen zur Schweiz sowie über den verlorenen Bezug zu seiner Heimat den Sachverhaltsfeststellungen des Verwaltungsgerichts (E. 3.2.3.1 und E. 3.2.3.2), ohne dass deren qualifizierte Unrichtigkeit dargetan würde (vorne E. 2.1). Im Übrigen lässt der Beschwerdeführer jegliche Auseinandersetzung mit den einschlägigen Erwägungen des Verwaltungsgerichts vermissen. Auch mit den (unzulässigen) Noven liesse sich nicht aufzeigen, inwiefern das Verwaltungsgericht rechtsfehlerhaft entschieden habe. Ohnehin wäre die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten in Bezug auf eine anspruchslose Härtefallbewilligung nach <ref-law> unzulässig (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 348 e contrario). Die Unzulässigkeit des Rechtsmittels in Bezug auf die vorläufige Aufnahme ergibt sich aus <ref-law>.
2.3. Die Beschwerde enthält, soweit sie zulässig wäre, offensichtlich keine hinreichende Begründung (<ref-law>). Es ist darauf mit Entscheid des Abteilungspräsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
2.4. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, da die Beschwerde aussichtslos erschien (vgl. <ref-law>).
Damit sind die Gerichtskosten (<ref-law>) dem Beschwerdeführer als unterliegende Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Januar 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Feller