Sachverhalt:
A.
A.a. Die Parteien sind die gesetzlichen Erben der am 4. April 2014 verstorbenen D._ (Erblasserin). Sie war die Mutter von A._ und Grossmutter von B._ und C._, ihrerseits Söhne der am 19. Juli 2013 (vor) verstorbenen Tochter der Erblasserin, E._, und deren Ehemann, des am 11. August 2011 (vor) verstorbenen F._.
A.b. A._ behauptet, E._ sel. habe der Erblasserin Fr. 150'000.-- geschuldet und F._ sel. aus einem Dienstbarkeitsvertrag Fr. 100'000.--.
A.c. Mit Schreiben vom 30. April 2014 liess die Erbschaftsbehörde U._, dem letzten Wohnsitz der Erblasserin, allen Erben eine Einladung zur amtlichen Inventaraufnahme zukommen. Diese fand am 5. August 2014 in Anwesenheit von A._ und dessen Ehefrau statt. Im von der Erbschaftsbehörde erstellten Inventar vom 6. August 2014 wurde ein Nettonachlass von Fr. 1'768.32 ausgewiesen; die (behaupteten) Guthaben blieben unerwähnt. Über die Behauptung von A._, er habe diese Darlehensforderungen anlässlich der Inventaraufnahme sehr wohl erwähnt, ihm sei aber behördlicherseits beschieden worden, dass diese den Nachlass nicht beträfen, weshalb sie auch nicht in das Inventar aufgenommen würden, wurde kein Beweis geführt.
A.d. Am 12. August 2014 hat A._ die ihm vorgelegte Zustimmungserklärung unterzeichnet. Darin erklärte er, " dass das Inventar alle ihm bekannten Vermögenswerte der Erblasserin enthält; dass er das Inventar als richtig anerkennt; dass die von der Kanzlei der Erbschaftsbehörde U._ erstellte Inventur richtig und für ihn im Sinne von <ref-law> rechtsverbindlich ist; dass er den Nachlass vorbehaltlos antritt; dass die im Vorbericht festgehaltenen Abmachungen von ihm als rechtsverbindlich anerkannt werden." B._ und C._ haben dem Inventar ebenfalls zugestimmt. In der Folge verzichteten die Parteien auf die amtliche Mitwirkung an der Erbteilung, schlossen aber auch keinen Erbteilungsvertrag ab. Am 29. September 2014 stellte die Erbschaftsbehörde U._ eine auf die Parteien lautende Erbenbescheinigung aus und nahm von der " Erledigung der Inventur und Vermögensaufstellung im Nachlass [D._] " formell Kenntnis.
A.e. Mit Schlichtungsbegehren vom 22. Dezember 2017 machte A._ das streitgegenständliche Erbteilungsverfahren rechtshängig. Er beantragte die Feststellung, dass der Nettonachlass der Erblasserin Fr. 251'283.20 betrage und verlangte die Erbteilung nach den (unbestrittenen) Erbquoten. Das Schlichtungsverfahren verlief fruchtlos; die Klagebewilligung wurde am 28. März 2018 ausgestellt. Gestützt darauf erhob A._ am 26. Juni 2018 Klage beim Kantonsgericht Schaffhausen. Mit Urteil vom 30. Dezember 2019 hiess dieses die Klage teilweise gut. Es stellte fest, dass sich der Nachlass aus dem Nettonachlassvermögen gemäss Inventar der Erbschaftsbehörde U._ von Fr. 1'768.31 sowie einer Darlehensforderung der Erbengemeinschaft gegen die Rechtsnachfolger der E._ von Fr. 150'000.--, jeweils zzgl. Zins, zusammensetze, und teilte den Nachlass nach Erbquoten.
B.
Dagegen erhob A._ am 3. Februar 2020 Berufung und B._ und C._ erhoben Anschlussberufung, mit welcher sie beantragten, den Nettonachlass mit Fr. 1'768.32 festzustellen und diesen Betrag gemäss den gesetzlichen Erbquoten zu teilen. Mit Entscheid vom 3. November 2020 wies das Obergericht des Kantons Schaffhausen die Berufung ab, hiess die Anschlussberufung hingegen gut, stellte fest, dass sich der Nettonachlass der Erblasserin auf die im amtlichen Inventar der Erbschaftsbehörde U._ festgestellten Fr. 1'768.32 belaufe, und teilte den Nachlass nach Erbquoten; alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten von A._.
C.
Mit Eingabe vom 10. Dezember 2020 gelangt A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht und wiederholt seine im kantonal oberinstanzlichen Verfahren gestellten Begehren. Ausserdem beantragt er eine Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen der kantonalen Verfahren.
In ihrer innert verlängerter Frist eingereichten Vernehmlassung vom 8. Juli 2021 beantragen B._ und C._ (Beschwerdegegner) die kostenfällige Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Sodann hat das Bundesgericht die kantonalen Akten eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Der angefochtene Entscheid betrifft eine Erbteilung und damit eine Zivilsache (<ref-law>) in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit, deren Streitwert den für die Beschwerde in Zivilsachen vorausgesetzten Mindestbetrag überschreitet (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1b/cc). Er lautet zum Nachteil des Beschwerdeführers (<ref-law>) und schliesst das Verfahren ab (<ref-law>). Auf die - im Weiteren rechtzeitig (<ref-law>) erhobene - Beschwerde kann eingetreten werden.
1.2. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Der in der Beschwerde erhobene Vorwurf, der Kanton Schaffhausen habe in Überschreitung der ihm in den Art. 553 Abs. 3 und <ref-law> eingeräumten Kompetenzen legiferiert, ist als Rüge der Verletzung von Bundesrecht im Sinn von Art. 95 Bst. a BGG zu qualifizieren (vgl. <ref-ruling> E. 11.2.2 in fine; <ref-ruling> E. 4.1).
2.
Streitig ist die Wirkung der von der Erbschaftsbehörde U._ erstellten Vermögensaufstellung sowie die Bedeutung der hierzu von allen Parteien abgegebenen Zustimmungserklärung.
2.1. Nach <ref-law> kann - im Sinn einer Sicherungsmassregel - die Aufnahme eines Inventars angeordnet werden, wenn ein minderjähriger Erbe unter Vormundschaft steht oder zu stellen ist (Abs. 1 Ziff. 1), ein Erbe dauernd und ohne Vertretung abwesend ist (Abs. 1 Ziff. 2), einer der Erben oder die Erwachsenenschutzbehörde es verlangt (Abs. 1 Ziff. 3) oder wenn ein volljähriger Erbe unter umfassender Beistandschaft steht oder unter sie zu stellen ist (Abs. 1 Ziff. 4). Die Aufnahme des Inventars erfolgt nach den Vorschriften des kantonalen Rechtes und ist in der Regel binnen zwei Monaten seit dem Tode des Erblassers durchzuführen (Abs. 2). Sodann kann die Aufnahme eines Inventars durch die kantonale Gesetzgebung für weitere Fälle vorgeschrieben werden (Abs. 3).
Die Aufnahme eines Inventars nach <ref-law> ist ein Akt der freiwilligen Gerichtsbarkeit (Urteile 5A_892/2011 vom 21. Juni 2012 E. 1, in: ZBGR 96/2015 S. 175; 5A_610/2013 vom 1. November 2013 E. 1.2). Das Inventar nach <ref-law> bezweckt nur die Sicherung des bei Eröffnung des Erbgangs vorhandenen Vermögens. Es erbringt im Sinn von <ref-law> Beweis dafür, dass die aufgeführten Vermögenswerte bei Eröffnung des Erbgangs in der im Inventar aufgeführten Weise vorhanden waren und gemäss den inventarisierten Angaben in diesem Zeitpunkt zum Nachlass gehörten (<ref-ruling> E. 1c). Hingegen dient das Inventar nicht der Berechnung der Erb- und Pflichtteile und kann deshalb auch nicht Grundlage für die Erbteilung bilden (<ref-ruling> E. 2). Entsprechend sieht das Bundesrecht für das Sicherungsinventar im Gegensatz zum öffentlichen Inventar nach <ref-law> keine Schätzung der Vermögenswerte vor (<ref-ruling> E. 4b/bb). Wird dennoch eine Schätzung vorgenommen, so ergeben sich daraus keinerlei zivilrechtliche Folgen; es steht dem kantonalen Gesetzgeber nicht zu, irgendwelche zivilrechtlichen Wirkungen an die Schätzung zu knüpfen (<ref-ruling> E. 1b).
2.2. Das Obergericht ist von der soeben dargestellten rechtlichen Qualifikation des Inventars nach <ref-law> ausgegangen. Hingegen erwog es zusammengefasst, der Kanton Schaffhausen habe von der ihm in <ref-law> eingeräumten Kompetenz Gebrauch gemacht und gestützt auf den zwar zwischenzeitlich aufgehobenen, aber im vorliegenden Fall übergangsrechtlich anwendbaren aArt. 73 Abs. 1 EGZGB (SHR 210.100) angeordnet, dass die Erbschaftsbehörde " in allen Fällen [...] über die Erbschaft ein amtliches Inventar aufzunehmen " hat. Weiter habe aArt. 84 Abs. 1 EGZGB gestützt auf <ref-law> statuiert, dass die Erbteilung unter Mitwirkung der Erbschaftsbehörde erfolge, falls die Erben nicht schriftlich darauf verzichteten.
Damit beanspruchten im vorliegenden Fall auch die §§ 18 ff. der zum Zeitpunkt des Todes der Erblasserin geltenden Erbschaftsverordnung vom 6. September 1977 (aEV; SHR 211.231) Geltung. Sofern innerhalb eines Monats nach Mitteilung des Inventars nicht sämtliche Erben auf die amtliche Mitwirkung verzichtet hatten, sei durch die Kanzlei der Erbschaftsbehörde ein Teilungsvertrag ausgearbeitet worden (§ 28 aEV). Das Inventar habe dabei Bestandteil des Teilungsvertrags gebildet (§ 30 Ziff. 3 aEV). Hatten die Erben auf die amtliche Mitwirkung bei der Teilung oder Zuweisung verzichtet, so sei das von den Erben unterzeichnete Originalinventar von der Erbschaftsbehörde zur Kenntnis genommen und auf der Kanzlei registriert und aufbewahrt worden (§ 23 aEV).
Die Zustimmungserklärung sei in erster Linie im Kontext der amtlichen Mitwirkung bei der Teilung im Sinn von aArt. 84 Abs. 1 EGZGB zu sehen, da das Inventar jeweils Bestandteil des von der Kanzlei der Erbschaftsbehörde im Zug ihrer amtlichen Mitwirkung auszuarbeitenden Teilungsvertrags bildete. Dass die Erben in der Folge auf die amtliche Mitwirkung verzichtet hätten, ändere an der Verbindlichkeit ihrer Zustimmungserklärungen nichts. Diese könnten nicht nur dann verbindlich sein, wenn die Behörde bei der Erbteilung amtlich mitwirkt. Vielmehr erstreckten sich die Zustimmungserklärungen gerade auch und unabhängig von der Mitwirkung einer Behörde ausdrücklich auf <ref-law>, womit sämtliche Parteien zum Ausdruck gebracht hätten, das Inventar rechtsverbindlich einem Teilungsvertrag im Sinn von <ref-law> zu Grunde legen zu wollen. Im Übrigen seien die vorliegend abgegebenen Zustimmungserklärungen an keinerlei Bedingungen geknüpft gewesen und keine Partei bringe vor, bei der Abgabe dieser Erklärung einem Willensmangel im Sinn von <ref-law> unterlegen zu sein. Die Parteien seien daher grundsätzlich an ihre Zustimmungserklärungen gebunden. Daran ändere die Natur des Inventars nichts: Dem hier interessierenden kantonalrechtlichen amtlichen Inventar im Sinn von <ref-law> komme nämlich im Unterschied zum bundeszivilrechtlichen Sicherungsinventar im Sinn von <ref-law> im Licht von <ref-law> materiell-rechtliche Wirkung zu. Gestützt auf den ermächtigenden Vorbehalt in <ref-law> liege hier eine kantonalrechtliche Ausdehnung des Inventars zu zivilrechtlichen Zwecken vor, um sich anlässlich der Teilung direkt darauf zu stützen.
2.3.
2.3.1. Nach dem Wortlaut von <ref-law> dürfen die Kantone vorschreiben, dass nebst den in Art. 553 Abs. 1 Ziff. 1 bis 4 ZGB aufgezählten Fallkonstellationen auch in anderen Fällen ein Inventar aufgenommen werden muss. <ref-law> gilt als sog. Kompetenznorm. Der Kanton Schaffhausen hat mit aArt. 73 Abs. 1 EGZGB von dieser Möglichkeit Gebrauch gemacht. Darin ordnete er an, dass die Erbschaftsbehörde "in allen Fällen" über die Erbschaft ein amtliches Inventar aufzunehmen hat. <ref-law> betrifft indes nur die Aufzeichnung des vom Erblasser hinterlassenen Vermögens, wie die Art. 551-559 ZGB die zur Sicherung des Erbganges zu treffenden Massnahmen ordnen (BGE 62 II 129 E. 2). Mehr als die Kompetenz vorzusehen, dass nebst den in <ref-law> aufgezählten Fallkonstellationen auch in anderen Fällen (im Kanton Schaffhausen: in allen Fällen) ein Sicherungsinventar aufzunehmen ist, räumt <ref-law> den Kantonen nicht ein. Entgegen der Auffassung des Obergerichts und der Beschwerdegegner kann daraus keine kantonale Kompetenz abgeleitet werden, das Inventar mit einer über das Bundesrecht hinausgehenden materiell-rechtlichen Wirkung auszustatten.
2.3.2. Die gegenteilige Lösung stünde sodann in einem unauflösbaren Widerspruch zu <ref-law>. <ref-law> gibt den Kantonen die Befugnis, eine amtliche Mitwirkung bei der Teilung einer Erbschaft ausser dem in Abs. 1 vorgesehenen Fall noch für weitere Fälle vorzuschreiben. Gestützt darauf kann der Behörde indes nur die Befugnis zur Einleitung von Teilungsverhandlungen und auch zur Aufstellung eines Teilungsvertragsentwurfes übertragen werden (<ref-ruling> E. 2b; 51 II 488 E. 2 S. 494).
Hingegen darf das kantonale Recht das im ZGB verankerte Recht der Erben, die Teilung selbständig durchzuführen, in keiner Weise einschränken. So darf das kantonale Recht namentlich nicht vorschreiben, dass jede Erbteilung unter der Aufsicht und Mitwirkung der Teilungsbehörde stattfinde (<ref-ruling> E. 3a). Ebenso unzulässig ist, die Verbindlichkeit eines von allen Erben angenommenen und unterzeichneten Teilungsvertrages von der Mitwirkung und Genehmigung durch die Teilungsbehörde abhängig zu machen (BGE 60 II 18 S. 22). Den Erben kann nicht verwehrt werden, ohne Anwesenheit eines Beamten zu verhandeln und einen Erbteilungsvertrag abzuschliessen (BGE 62 II 129 E. 1). In diesem Sinn ist § 30 aEV, wonach sich der Erbteilungsvertrag unter anderem aus dem Inventar zusammensetzt (Ziff. 3), nur in jenen Fällen anwendbar, in denen die Behörde bei der Erbteilung tatsächlich mitwirkt und gestützt auf § 28 aEV einen Erbteilungsvertrag ausarbeitet.
2.3.3. Die Parteien haben auf die Mitwirkung der Behörden bei der Erbteilung verzichtet. Sie haben sich nicht auf einen Erbteilungsvertrag (<ref-law>) geeinigt und stehen nunmehr in einem Erbteilungsprozess. Soweit der angefochtene Entscheid aus dem kantonalen Recht ableitet, die Zustimmungserklärung der Erben zum kantonalen Inventar sei nicht nur im Fall, wo die Behörde bei der Erbteilung amtlich mitwirkt, sondern auch im Fall parteiautonomer Erbteilung durch die Erben verbindlich, verletzt er Bundesrecht.
2.4. Zu prüfen ist jedoch, ob die Zustimmungserklärung des Beschwerdeführers vom 12. August 2014 von Bundesrechts wegen einen Einfluss auf die streitgegenständliche Erbteilung hat. Es geht hier vor allem um die Wirkung des in der Zustimmungserklärung enthaltenen Satzes " dass die von der Kanzlei der Erbschaftsbehörde U._ erstellte Inventur richtig und für ihn im Sinn von <ref-law> rechtsverbindlich ist ".
Dabei ist allerdings zu beachten, dass es sich bei der Zustimmungserklärung um einen von den Behörden vorgegebenen Formulartext handelt, der auf kantonalem Recht basiert, das sich insofern als bundesrechtswidrig herausgestellt hat (E. 2.3.3 oben), als es das Erbschaftsinventar mit einer materiell-rechtlichen Wirkung ausstattet und dieses für die Erbteilung für verbindlich erklärt. Soweit das Bundesrecht nicht aus anderen Gründen die Erstellung eines Inventars fordert (<ref-law>; vgl. Urteil 5P.37/2001 vom 23. Mai 2001 E. 8 zum aArt. 291 ZGB), kann die Zustimmungserklärung ausschliesslich im Rahmen des kantonalen Rechts, namentlich im Fall der behördlichen Mitwirkung bei der Erbteilung, Wirkung entfalten.
Auch sonst kann der streitgegenständlichen Zustimmungserklärung im Erbteilungsprozess keine Bedeutung zugemessen werden. Der Form des Erbteilungsvertrags genügte zwar, dass jeder Erbe ein Dokument unterschreibt (z.B. Erbteilung in Briefform: <ref-ruling> E. 3a). Indes bedürfte es zusätzlich des Austauschs der entsprechenden Willensäusserungen. Einen solchen hat das Obergericht indes nicht festgestellt, ebenso wenig, dass die Erbschaftsbehörde als Bote der erklärenden Erben gehandelt hat (vgl. <ref-law>).
Nachdem die Parteien auf die Mitwirkung der Erbschaftsbehörde verzichtet und sie entgegen der Auffassung der Beschwerdegegner gerade keinen Erbteilungsvertrag abgeschlossen haben, muss sich der Beschwerdeführer die fragliche Zustimmungserklärung im Erbteilungsprozess nicht entgegenhalten lassen.
3.
Gestützt auf die vorstehenden Ausführungen ist die Beschwerde begründet. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang werden die Beschwerdegegner gemeinsam kosten- (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG) und entschädigungspflichtig (Art. 68 Abs. 1 und 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 3. November 2020 wird aufgehoben und die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden den Beschwerdegegnern zu gleichen Teilen unter solidarischer Haftung auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegner haben den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren zu gleichen Teilen unter solidarischer Haftung mit insgesamt Fr. 8'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Juli 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: von Roten