In Erwägung,
dass der Beschwerdeführer gegen das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 25. März 2020 mit Eingabe vom 11. Mai 2020 Beschwerde erhoben hat;
dass der Beschwerdeführer den ihm auferlegten Kostenvorschuss auch innerhalb der mit Verfügung vom 9. Juni 2020angesetzten Nachfrist nicht geleistet hat, weshalb gestützt auf <ref-law> auf die Beschwerde nicht einzutreten ist (<ref-law>);
dass die Gerichtskosten dem Verfahrensausgang entsprechend dem Beschwerdeführer aufzuerlegen sind (<ref-law>);
dass der Beschwerdegegnerin keine Parteientschädigung zuzusprechen ist, da ihr durch das bundesgerichtliche Verfahren kein Aufwand erwachsen ist (<ref-law>);

erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Juli 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Widmer