Sachverhalt:
A.
Die Einwohnergemeinde Bern schrieb am 22. Juli 2015 den Auftrag für ein öffentliches Veloverleihsystem in der Stadt Bern im offenen Verfahren aus. Der Auftrag umfasst die Planung, Finanzierung und den Aufbau eines Veloverleihsystems in der Stadt Bern sowie dessen Betrieb während fünf Jahren durch einen Gesamtdienstleister. Das Veloverleihsystem soll stationsgebunden sein und gewisse Nutzungszahlen nicht unterschreiten. Für die Benützung der Velos kann der Gesamtdienstleister ein Gebührenmodell vorsehen. Den Preis für den Auftrag schätzte die Einwohnergemeinde Bern auf Fr. 800'000.-- pro Jahr. Innert Frist gingen zwei Angebote zu einem Preis von Fr. 0.-- ein. Am 27. Januar 2016 erteilte die Einwohnergemeinde Bern der PubliBike AG den Zuschlag, deren Angebot mit 3.854 Punkten die beste Bewertung erhielt. Mit 3.587 Punkten erreichte die Intermobility SA den zweiten Platz.
B.
Die Intermobility SA gelangte gegen den Zuschlag an das Regierungsstatthalteramt Bern-Mittelland, das ihr Rechtsmittel mit Entscheid vom 25. April 2016 abwies. Eine dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Urteil vom 20. September 2016 ebenfalls ab.
C.
Mit Eingabe vom 26. Oktober 2016 erhebt die Intermobility SA Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht. Sie verlangt die Aufhebung des Urteils vom 20. September 2016 und die Rückweisung der Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz.
Die Einwohnergemeinde Bern beantragt, auf die Rechtsmittel nicht einzutreten. Eventualiter seien die Rechtsmittel abzuweisen, soweit darauf eingetreten wird. Das Verwaltungsgericht schliesst seinerseits auf Abweisung der Rechtsmittel, soweit auf sie eingetreten werden kann. Die PubliBike AG (fortan: Zuschlagsempfängerin) stellt keine formellen Anträge, vertritt aber den Standpunkt, dass auf die Rechtsmittel nicht eingetreten werden kann. Die Wettbewerbskommission (WEKO) und das Regierungstatthalteramt Bern-Mittelland haben auf eine Stellungnahme verzichtet. Mit Eingabe vom 23. Januar 2017 reicht die Intermobility SA eine Replik zu den Vernehmlassungen ein.
Der Abteilungspräsident hat das Gesuch der Intermobility SA (fortan: Beschwerdeführerin) um Gewährung der aufschiebenden Wirkung mit Verfügung vom 17. November 2016 abgewiesen.
D.
Mit Eingabe vom 3. Mai 2017 teilt die Einwohnergemeinde Bern mit, dass sie mit der Zuschlagsempfängerin den Vertrag über den ausgeschriebenen Auftrag abgeschlossen hat.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1 S. 116).
1.1. Die form- (<ref-law>) sowie fristgerecht (<ref-law> [i.V.m. <ref-law>]) eingereichte Beschwerde richtet sich gegen den kantonal letztinstanzlichen, verfahrensabschliessenden (<ref-law> [i.V.m. <ref-law>]) Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 20. September 2016 in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG [i.V.m. <ref-law>]).
1.2. Die Beschwerdeführerin stellt einen kassatorischen Antrag auf Rückweisung der Angelegenheit an das Verwaltungsgericht. Soweit das Bundesgericht reformatorisch entscheiden kann, darf sich die beschwerdeführende Partei wegen der reformatorischen Natur der Rechtsmittel grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu beantragen; sie muss vielmehr einen Antrag in der Sache stellen (vgl. <ref-law> [i.V.m. <ref-law>]; <ref-ruling> E. 3.1 S. 489; Urteil 2C_853 / 2C_934/2014 vom 29. September 2015 E. 1.3 [nicht publ. in: <ref-ruling>]). Rechtsbegehren sind jedoch nach Treu und Glauben unter Berücksichtigung der Beschwerdebegründung auszulegen (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 414 f.; <ref-ruling> E. 2b S. 109; Urteil 2C_853 / 2C_934/2014 vom 29. September 2015 E. 1.3 [nicht publ. in: <ref-ruling>]). Die Beschwerdeführerin erhebt neben formellen Rügen, bei deren Begründetheit das Bundesgericht nicht reformatorisch entscheiden könnte, auch Rügen materieller Natur. Die entsprechenden Ausführungen in der Beschwerde sind in Verbindung mit den gestellten Anträgen nach Treu und Glauben so zu verstehen, dass die Beschwerdeführerin die Erteilung des Zuschlags an sie selbst verlangt, falls die Beschwerde aus materiellen Gründen gutgeheissen wird. Bei dieser Ausgangslage liegt im Hinblick auf sämtliche Vorbringen der Beschwerdeführerin ein zulässiges Rechtsbegehren vor.
1.3. Auf dem Gebiet der öffentlichen Beschaffungen ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur zulässig, wenn der geschätzte Wert des zu vergebenden Auftrags den massgeblichen Schwellenwert erreicht und sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 83 lit. f Ziff. 1 und 2 BGG). Die beiden Voraussetzungen müssen kumulativ erfüllt sein (<ref-ruling> E. 1.2 S. 20 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 398). Von einer Frage mit grundsätzlicher Bedeutung ist auszugehen, wenn der Entscheid einer Rechtsfrage für die Praxis wegleitend sein kann und sie von ihrem Gewicht her nach höchstrichterlicher Klärung ruft (<ref-ruling> E. 1.2 S. 20 f.; <ref-ruling> E. 1.1 S. 146 f.). Für den ausgeschriebenen Auftrag gingen zwei Angebote zu einem Preis von jeweils Fr. 0.-- ein. Die Frage, ob ein Entscheid auf dem Gebiet der öffentlichen Beschaffungen im Sinne von <ref-law> vorliegt, bedarf angesichts dessen der näheren Betrachtung.
1.3.1. Das Bundesgerichtsgesetz führt nicht näher aus, was unter einer öffentlichen Beschaffung im Sinne von <ref-law> zu verstehen ist. Von einem beschaffungsrechtlichen Entscheid im Sinne der genannten Bestimmung ist aber jedenfalls dann auszugehen, wenn er gestützt auf einschlägige submissionsrechtliche Erlasse erging oder hätte ergehen sollen (vgl. Urteil 2C_1014/2015 vom 21. Juli 2016 E. 2.2.4). Eine Definition des Begriffs "öffentliche Beschaffung" ist aber auch den vergaberechtlichen Erlassen fremd (vgl. <ref-ruling> E. 6b S. 212; Urteil 2C_198/2012 vom 16. Oktober 2012 E. 5.1.1; MARTIN BEYELER, Der Geltungsanspruch des Vergaberechts, 2012, S. 269 Rz. 605) : Gemäss Art. I Ziff. 1 des Übereinkommens vom 15. April 1994 über das öffentliche Beschaffungswesen (SR 0.632.231.422; nachfolgend: GPA) findet das Übereinkommen auf alle Gesetze, Vorschriften, Verfahren und Praktiken betreffend die öffentliche Beschaffung Anwendung. Immerhin deutet das GPA auf ein eher weites Verständnis des Begriffs "öffentliche Beschaffung" hin. Das Bundesgesetz vom 6. Oktober 1995 über den Binnenmarkt (Binnenmarktgesetz, BGBM; SR 943.02) bestimmt seinerseits in Art. 5 lediglich, dass sich öffentliche Beschaffungen durch Kantone, Gemeinden und andere Träger kantonaler oder kommunaler Aufgaben nach kantonalem oder interkantonalem Recht richten (Abs. 1) und sie dabei die vom Bund eingegangenen staatsvertraglichen Verpflichtungen berücksichtigen (Abs. 2). Der Anwendungsbereich der Interkantonalen Vereinbarung über das öffentliche Beschaffungswesen vom 25. November 1994 (mit Änderungen vom 15. März 2001 [IVöB; BSG 731.2-1]), die auch der Kanton Bern unterzeichnet hat (vgl. Art. 1 des Gesetzes des Kantons Bern vom 11. Juni 2002 über das öffentliche Beschaffungswesen [ÖBG; BSG 731.2]), setzt unter anderem voraus, dass ein öffentlicher Auftrag erteilt werden soll (vgl. Art. 6 IVöB). Was unter einem öffentlichen Auftrag zu verstehen ist, umreisst die Interkantonale Vereinbarung nicht.
1.3.2. Nach Lehre und Rechtsprechung ist für öffentliche Beschaffungen kennzeichnend, dass der Staat als Nachfrager Waren oder Dienstleistungen gegen eine Gegenleistung bestellt, um damit seine Aufgaben wahrzunehmen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 117; <ref-ruling> E. 6b S. 212 f.; Urteil 2C_198/2012 vom 16. Oktober 2012 E. 5.1.2; je mit Hinweisen). Demgegenüber ist der blosse Umstand, dass der Staat einem Privaten erlaubt, eine bestimmte Tätigkeit auszuüben, keine öffentliche Beschaffung, weil der Staat dabei nicht eine Tätigkeit veranlasst oder ein Gut beschafft, sondern bloss eine private Tätigkeit hoheitlich ordnet oder reguliert (vgl. <ref-ruling> E. 6b S. 212 f.; Urteil 2C_198/2012 vom 16. Oktober 2012 E. 5.1.3). Dasselbe gilt grundsätzlich auch, wenn der Staat lediglich eine Sondernutzungskonzession für die Benützung von öffentlichem Grund erteilt, weil der Staat damit nicht etwas beschafft, sondern im Gegenteil dem Privaten ein Recht einräumt und dafür (in der Regel) eine Gegenleistung erhält (<ref-ruling> E. 6 S. 126; <ref-ruling> E. 6b S. 212 f.; Urteil 2C_198/2012 vom 16. Oktober 2012 E. 5.1.3). Anders verhält es sich nach der Rechtsprechung, wenn mit der Erteilung der Konzession untrennbar Gegenleistungen von gewisser Bedeutung verbunden sind, die normalerweise Gegenstand einer öffentlichen Beschaffung bilden (vgl. <ref-ruling> E. 4.4 S. 56; Urteil 2C_198/2012 vom 16. Oktober 2012 E. 5.1.3, mit Hinweisen). Die Verleihung einer Konzession schliesst die Anwendbarkeit des öffentlichen Beschaffungsrechts folglich nicht aus. Ist die Erteilung einer Sondernutzungskonzession in ein Gesamtgeschäft eingebettet, kann sich in Würdigung sämtlicher Umstände des Geschäfts ergeben, dass es insgesamt als öffentliche Beschaffung zu qualifizieren ist (vgl. BEYELER, a.a.O., S. 402 Rz. 819; ETIENNE POLTIER, Droit des marchés publics, 2014, S. 117 Rz. 188). Als naheliegend erweist sich dieser Schluss insbesondere dann, wenn bei der Erteilung der Sondernutzungskonzession nicht ein regulativer Zweck (Ordnung der Nutzung öffentlichen Grundes) im Vordergrund steht, sondern die Übertragung eines (geldwerten) Rechts zur Erfüllung öffentlicher Aufgaben (vgl. BEYELER, a.a.O., S. 415 Rz. 830).
1.3.3. Im vorliegenden Fall hat die Einwohnergemeinde Bern den Aufbau und Betrieb eines Veloverleihsystems ausgeschrieben, das der Öffentlichkeit zur Verfügung stehen soll. Das Veloverleihsystem dient der Umsetzung des Reglements der Stadt Bern vom 13. Juni 1999 über die Förderung des Fuss- und Veloverkehrs (RFFV; SSSB 761.4). Das Reglement bezweckt eine Umlagerung des motorisierten Individualverkehrs auf den Langsamverkehr (Art. 1 und Art. 2 Abs. 1 RFFV; angefochtenes Urteil E. 1.2.1). Inhalt und Umfang der zu erbringenden Leistung im Rahmen des Veloverleihsystems sind detailliert vorgegeben. Es bestehen enge Vorgaben betreffend die Anzahl, Dichte und Verteilung der Stationen sowie die Anzahl und Verfügbarkeit der Velos, das Tarifsystem und die zu erreichende Nutzungsintensität. Die Finanzierung soll über Benützungsgebühren, Sponsorengelder und einen Deckungsbeitrag der Einwohnergemeinde Bern erfolgen. Mit dem Auftrag zur Bewirtschaftung des Veloverleihsystems erteilt die Einwohnergemeinde Bern dem Betreiber sodann das exklusive Recht zur Inanspruchnahme von (Sonder-) Nutzungsrechten am öffentlichen Boden. Zudem erbringt sie weitere Dienstleistungen gegenüber dem Betreiber des Veloverleihsystems (z.B. Realisierung der Standorte).
1.3.4. Mit Blick auf den Auftrag des kommunalen Gesetzgebers zur Umlagerung des motorisierten Individualverkehrs auf den Langsamverkehr kann der Betrieb eines Veloverleihsystems als öffentliche Aufgabe betrachtet werden. Wird damit ein privater Dienstleister betraut, erscheint dies jedenfalls als öffentlicher Auftrag im Sinne von Art. 6 Abs. 3 IVöB (vgl. <ref-ruling> E. 5.2.2 S. 58; Urteil 2C_1014/2015 vom 21. Juli 2016 E. 2.2). Daran ändert nichts, dass dem ausgewählten Betreiber zur Erfüllung seiner Aufgabe die Sondernutzung von öffentlichem Grund eingeräumt wird. Angesichts der klaren Vorgaben für den Betrieb des Veloverleihsystems wird deutlich, dass dabei nicht ein regulativer Zweck im Vordergrund steht. Der Einwohnergemeinde Bern geht es um die Erbringung einer spezifischen Dienstleistung im öffentlichen Interesse. Sie übernimmt dabei nicht vorrangig eine Ordnungsfunktion für die Nutzung des öffentlichen Grundes für beliebige, allenfalls im privaten Interesse stehende Zwecke. Obwohl mit dem Auftrag zum Betrieb eines Veloverleihsystems notwendigerweise verknüpft, erscheint die Erteilung von Sondernutzungsrechten an öffentlichem Grund im Gesamtgefüge des Geschäfts nur als eines von zahlreichen Anliegen, die mit der Ausschreibung verfolgt werden.
1.3.5. Sodann gelangt die Vorinstanz mit überzeugender Begründung zur Auffassung, dass es sich beim Auftrag zum Betrieb des Veloverleihsystems um einen Dienstleistungsauftrag gegen Entgelt handelt, obschon das Veloverleihsystem von beiden Anbieterinnen zu einem Preis von Fr. 0.-- offeriert wurde: Die Erfüllung einer öffentlichen Aufgabe kann vom Gemeinwesen auch in anderer Form als durch Geldzahlung abgegolten werden (vgl. <ref-ruling> E. 5.2.2 S. 58; Art. II Ziff. 2 GPA; PETER GALLI/ANDRÉ MOSER/ELISABETH LANG/ MARC STEINER, Praxis des öffentlichen Beschaffungsrechts, 3. Aufl. 2013, S. 75 Rz. 179 f.; MARTIN BEYELER, a.a.O., S. 335 f. Rz. 726 f. und S. 339 Rz. 730; ETIENNE POLTIER, a.a.O., S. 91 Rz. 153). Wie die Vorinstanz zutreffend ausführt, stellen die Erteilung von Sondernutzungsrechten an öffentlichem Grund und die weiteren Dienstleistungen der Einwohnergemeinde Bern zugunsten des ausgewählten Anbieters geldwerte Leistungen und damit ein Entgelt dar (vgl. angefochtenes Urteil, E. 1.2.2). Ausserdem wird dem Anbieter das Recht eingeräumt, für die Benützung der Velos von seinen Kunden eine Entschädigung zu verlangen (vgl. BEYELER, a.a.O., S. 418 Rz. 833). Erbringt das Gemeinwesen das Entgelt wie im vorliegenden Fall für die Erfüllung einer öffentlichen Aufgabe durch einen kommerziell motivierten Privaten, ist auch unter diesem Gesichtspunkt von einem öffentlichen Auftrag im Sinne von Art. 6 IVöB auszugehen. Da es sich bei der Einwohnergemeinde Bern zudem um eine öffentliche Auftraggeberin im Sinne von Art. 8 IVöB handelt und eine Ausnahme nach Art. 10 IVöB nicht gegeben ist, fällt die Erteilung des Auftrags zum Betrieb eines Veloverleihsystems in den Anwendungsbereich der Interkantonalen Vereinbarung. Damit hat der angefochtene Entscheid einen beschaffungsrechtlichen Vorgang im Sinne von <ref-law> zum Gegenstand.
1.3.6. Die Beschwerdeführerin unterbreitet dem Bundesgericht drei Fragen, denen ihrer Ansicht nach grundsätzliche Bedeutung im Sinne von <ref-law> zukommt. Mit der ersten Frage will die Beschwerdeführerin beantwortet wissen, ob "ein Mitbewerber unter Beachtung des Grundsatzes der wirtschaftlichen Nachhaltigkeit den Zuschlag für eine Lieferung und/oder Dienstleistung erhalten [kann], welche als solche nicht existieren und somit noch nirgends im Einsatz stehen". Dass Auftraggeber, die dem öffentlichen Beschaffungsrecht unterstehen, teilweise spezifische Bedürfnisse aufweisen, die nach Art oder Ausmass nicht mit bereits erpropten Leistungen befriedigt werden können, liegt auf der Hand. Wie es sich mit der wirtschaftlichen Nachhaltigkeit von solchen Leistungen verhält, mag alsdann bei der Angebotsbewertung eine Rolle spielen, entzieht sich aber einer generellen Festlegung. Die erste Frage stellt folglich keine Grundsatzfrage im Sinne von <ref-law> dar, zu deren Beantwortung das Bundesgericht berufen ist (vgl. E. 1.3 hiervor).
1.3.7. Weiter misst die Beschwerdeführerin der Frage grundsätzliche Bedeutung zu, ob "Unternehmensreferenzen unabhängig von den effektiven Kompetenzen der sich wesentlich ändernden Unternehmensform und -struktur dem jeweiligen Unternehmen erhalten [bleiben] und, falls ja, wie lange". Unternehmensreferenzen geben Auskunft über den Anbieter selber, während Personenreferenzen Aussagen über die bei einem Anbieter tätigen Personen treffen. Die Referenzen können unterschiedlichste Aspekte des Anbieters oder der angebotenen Leistung betreffen (vgl. CLAUDIA SCHNEIDER HEUSI, Referenzen, Labels, Zertifikate, in: Jean-Baptiste Zufferey/Martin Beyeler/ Stefan Scherler [Hrsg.], Aktuelles Vergaberecht 2016, S. 395 Rz. 6). Auch diese Frage der Beschwerdeführerin entzieht sich einer Antwort mit wegleitendem Charakter für die beschaffungsrechtliche Praxis. Ob eine Vergabestelle die Unternehmensreferenzen eines Anbieters akzeptieren kann und wie sie zu bewerten sind, hängt wesentlich von deren konkretem Inhalt, dem Zeitablauf und den seither eingetretenen Veränderungen aufseiten des Anbieters ab. Eine Grundsatzfrage im Sinne von <ref-law> liegt nicht vor.
1.3.8. Schliesslich unterbreitet die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht die Frage, ob "die Ausstandsregeln des bernischen Gemeindegesetzes abschliessend aufgeführt und im Verfahren um die Vergabe öffentlicher Aufträge der Einwohnergemeinde Bern anwendbar" sind. Damit zielt sie auf das Verhältnis zwischen den Ausstandsvorschriften nach dem Gesetz des Kantons Bern vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege (Verwaltungsrechtspflegegesetz, VRPG; BSG 155.21) und jenen für Gemeindebehörden nach dem Gemeindegesetz des Kantons Bern vom 16. März 1998 (GG; BSG 170.11), wobei letztere mildere Vorgaben enthalten, was die Beschwerdeführerin selber auch geltend macht. Sie verkennt allerdings, dass die Vorinstanz eine Ausstandspflicht nach dem strengeren Massstab des Verwaltungsrechtspflegegesetzes geprüft und verneint hat (vgl. angefochtenes Urteil, E. 2). Selbst wenn das mildere Gemeindegesetz zur Anwendung käme, würde dies am Ergebnis also nichts ändern. Im konkreten Fall ist die aufgeworfene Frage folglich von vornherein nicht entscheiderheblich, was aber Voraussetzung wäre, damit ihr grundsätzliche Bedeutung im Sinne von <ref-law> zukommt (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 118).
1.4. Im Ergebnis liegt keine Frage von grundsätzlicher Bedeutung vor, sodass auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht einzutreten ist (<ref-law>).
1.5. Zu prüfen bleiben die Voraussetzungen der subsidiären Verfassungsbeschwerde (<ref-law>).
1.5.1. Zur Verfassungsbeschwerde ist nach <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Letzteres ist im Bereich des öffentlichen Vergabewesens der Fall, wenn die Beschwerdeführerin als unterlegene Bewerberin eine reelle Chance hat, im Falle der Gutheissung ihres Rechtsmittels den Zuschlag zu erhalten (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 27, mit zahlreichen Hinweisen). Die Voraussetzung der Teilnahme am vorinstanzlichen Verfahren ist hier offensichtlich erfüllt. Hingegen bedarf die Frage des rechtlich geschützten Interesses einer näheren Betrachtung.
1.5.2. Gemäss Mitteilung der Einwohnergemeinde Bern vom 3. Mai 2017 hat sie mittlerweile den Vertrag mit der erstplatzierten Anbieterin abgeschlossen. Dabei handelt es sich im Verhältnis zum bisherigen Verfahrensstand um eine neue Tatsache. Neue Tatsachen können nicht vorbehaltlos in das bundesgerichtliche Verfahren eingeführt werden (<ref-law>). Betreffen sie Umstände, die zur Gegenstandslosigkeit des Verfahrens führen können, sind sie allerdings auch noch vor Bundesgericht zulässig (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 616). So verhält es sich hier: Nachdem der Vertrag mit der erstplatzierten Anbieterin während des bundesgerichtlichen Verfahrens abgeschlossen wurde, ist der Antrag auf Aufhebung und Erteilung des Zuschlags an die zweitplatzierte Beschwerdeführerin nicht mehr zulässig. Auf das Rechtsmittel kann insoweit nicht eingetreten werden (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 317; <ref-ruling> E. 3.3 S. 90; Urteil 2C_384/2016 vom 6. März 2017 E. 1.3.1 [nicht publ. in: <ref-ruling>]). Hingegen ist nach <ref-law> weiterhin zu prüfen, ob der Zuschlag rechtswidrig erteilt wurde. Eine entsprechende Feststellung erlaubt es der zweitplatzierten Beschwerdeführerin, die eine reelle Chance auf den Zuschlag hatte, gegebenenfalls Schadenersatz geltend zu machen. Daraus ergibt sich ein rechtlich geschütztes Interesse im Sinne von <ref-law> (vgl. <ref-law>, Art. 18 Abs. 2 IVöB; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 317; <ref-ruling> E. 3.3 S. 90; Urteil 2C_384/2016 vom 6. März 2017 E. 1.3.1 [nicht publ. in: <ref-ruling>]). Folgenlos bleibt, dass die Beschwerdeführerin nach Abschluss des Vertrags nicht ausdrücklich ein Feststellungsbegehren gestellt hat. Ein Rechtsbegehren auf Aufhebung des Zuschlags kann nach Abschluss des Vertrags in ein Feststellungsbegehren umgedeutet werden, auch wenn ein solcher Antrag nicht ausdrücklich gestellt wurde (vgl. Urteile 2C_384/2016 vom 6. März 2017 E. 1.3.3 [nicht publ. in: <ref-ruling>]; 2C_346/2013 vom 20. Januar 2014 E. 1.4.2).
1.5.3. Nach dem Dargelegten ist die Beschwerdeführerin zur Verfassungsbeschwerde berechtigt (<ref-law>). Unter Vorbehalt der erwähnten Einschränkung (vgl. E. 1.5.2 hiervor) ist auf das Rechtsmittel einzutreten.
2.
Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Ausgeschlossen ist damit die Rüge der Missachtung von einfachem Gesetzes- und Konkordatsrecht. Ebenfalls nicht selbständig gerügt werden kann die Verletzung des den Submissionserlassen zugrunde liegenden Transparenzgebotes und des beschaffungsrechtlichen Diskriminierungsverbotes. Diesen Grundsätzen kommt nicht der Rang selbständiger Verfassungsgarantien zu (vgl. Urteile 2D_58/2013 vom 24. September 2014 E. 2.1 [nicht publ. in: <ref-ruling>]; 2C_1196/2013 vom 21. Februar 2014 E. 1.5; 2C_85/2007 vom 1. Oktober 2007 E. 3.1). Hingegen ist die Rüge einer willkürlichen Anwendung der massgebenden Submissionsgesetzgebung zulässig, da die Anbieter im öffentlichen Beschaffungsrecht ein rechtlich geschütztes Interesse an der Einhaltung der entsprechenden Gesetzgebung haben (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 95 f.; Urteile 2C_665/2015 vom 26. Januar 2016 E. 2.3; 2C_1196/2013 vom 21. Februar 2014 E. 1.5). Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten prüft das Bundesgericht, soweit eine entsprechende Rüge präzise vorgebracht und begründet worden ist (sog. Rügeprinzip; Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Seinem Urteil legt das Bundesgericht den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
3.
Die Beschwerdeführerin erhebt verschiedene formelle Rügen, die vorab zu beurteilen sind.
3.1. Zunächst macht die Beschwerdeführerin geltend, die Vergabebehörde habe Ausstandsvorschriften verletzt. Sie bezieht sich damit auf drei Personen, die zur Bewertung der Offerten beigezogen wurden und bringt vor, dass ein Anschein der Befangenheit bestehe. Nach eigenen Angaben der Beschwerdeführerin hat sie in einem ähnlichen Vergabeverfahren an denselben Experten heftige Kritik geübt. Daraufhin sei ihr Angebot für das hier umstrittene Veloverleihsystem schlechter bewertet worden, was auf deren Befangenheit hindeute. Weiter führt die Beschwerdeführerin aus, dass zwischen einem Mitglied des Bewertungsgremiums und dem Geschäftsführer einer Schwestergesellschaft der Zuschlagsempfängerin enge persönliche Beziehungen bestehen sollen. Nach Auffassung der Beschwerdeführerin hätte dies zur Aufhebung des Zuschlagsentscheids führen müssen.
3.1.1. In Verfahren vor Gerichts- und Verwaltungsinstanzen hat jede Person den Anspruch auf gleiche und gerechte Behandlung (<ref-law>). In Verfahren vor nichtgerichtlichen Behörden - wie hier der Einwohnergemeinde Bern - umfasst <ref-law> zugleich das Gebot der Unbefangenheit. Es bildet einen Teilgehalt des Anspruchs auf ein faires Verfahren (<ref-ruling> E. 5.2 S. 329; <ref-ruling> E. 2.2 S. 342 ff.; <ref-ruling> E. 3c S. 130). Ein Submissionsverfahren kann den ihm zugedachten Zweck - Gewährleistung einer diskriminierungsfreien, transparenten und auf Marktöffnung sowie wirtschaftliche Verwendung öffentlicher Mittel ausgerichteten Beschaffungspraxis - nur erfüllen, wenn auch die Zusammensetzung der Behörde, die über den Zuschlag entscheidet, diesem Ziel Rechnung trägt (vgl. Urteil 2P.152/2002 vom 12. Dezember 2002 E. 2). Der Anspruch auf Unparteilichkeit der Verwaltungsbehörde bringt mit sich, dass kein befangenes Behördenmitglied am Entscheid mitwirken darf (Urteile 2C_308/2015 vom 7. Juli 2015 E. 2.2; 1C_388/2009 vom 17. Februar 2010 E. 4.1). In Analogie zu <ref-law> verpflichtet <ref-law> eine Amtsperson zum Ausstand, wenn Umstände vorliegen, die nach objektiven Gesichtspunkten geeignet sind, den Anschein der Befangenheit zu erwecken (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 125; <ref-ruling> E. 2.2 S. 3 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 229). Unter die Ausstandspflicht fallen in persönlicher Hinsicht auch Privatpersonen, soweit sie von der Vergabebehörde als Hilfspersonen beigezogen werden und am Entscheid in irgendeiner Form, z.B. bei der Angebotsbewertung, mitwirken (CHRISTOPH JÄGER, Die Vorbefassung des Anbieters im öffentlichen Beschaffungsrecht, 2009, S. 60 und 64 f.).
3.1.2. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin liegen keine Anhaltspunkte vor, die nach objektiver Betrachtung auf eine Befangenheit von Mitgliedern des Bewertungsgremiums hindeuten. Die Äusserung heftiger Kritik an deren Arbeit im Rahmen eines anderen Vergabeverfahrens vermag für sich allein den Anschein der Befangenheit nicht zu begründen. Massgeblich ist in derartigen Fällen die Reaktion der Betroffenen (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 22; Urteile 1B_130/2017 vom 15. Juni 2017 E. 2.5; 6B_20/2013 vom 3. Juni 2013 E. 2.2). Diesbezüglich behauptet die Beschwerdeführerin zwar, dass ihr Angebot im vorliegenden Verfahren als Folge ihrer Kritik schlechter bewertet worden sei. Im Rahmen ihrer Begründungspflicht (vgl. E. 2 hiervor) weist sie aber nicht konkret nach, dass ihr Angebot hier abweichend beurteilt worden ist, obwohl im anderen Beschaffungsverfahren vergleichbare Anforderungen gestellt wurden, weshalb sich weitere Ausführungen hierzu erübrigen. Weiter hat die Vorinstanz festgestellt, dass sich die von der Beschwerdeführerin monierte Beziehung zwischen einem Mitglied des Bewertungsgremiums und dem Geschäftsführer einer Schwestergesellschaft der Zuschlagsempfängerin in Kontakten im Rahmen des Vereins A._ erschöpft. Wie die Vorinstanz zutreffend erkannt hat, ergibt sich daraus noch kein Näheverhältnis, das objektiv den Anschein der Befangenheit zu wecken vermag (vgl. Urteile 1B_537/2012 vom 28. September 2012 E. 3.3; 4D_8/2011 vom 27. April 2011 E. 5.5). Weitere Anhaltspunkte, die ernsthaft auf eine grosse Beziehungsnähe schliessen liessen, macht die Beschwerdeführerin nicht namhaft. Insbesondere führt die theoretische Möglichkeit, dass das Mitglied des Bewertungsgremiums in der Zukunft geschäftliche Beziehungen zu Schwestergesellschaften der Zuschlagsempfängerin unterhalten könnte, nicht ohne Weiteres zur Ausstandspflicht. Die Rüge einer Verletzung von Ausstandsvorschriften erweist sich vor diesem Hintergrund als unbegründet.
3.2. Die Beschwerdeführerin macht weiter in verschiedener Hinsicht eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör geltend (<ref-law>). Eine Verletzung ihres Gehörsanspruchs erblickt sie darin, dass die Vorinstanz nicht auf sämtliche ihrer Argumente eingegangen ist. Zudem beanstandet sie, dass die Vorinstanz auf die Abnahme von beantragten Beweisen verzichtet habe, was zu willkürlichen Sachverhaltsfeststellungen geführt habe.
3.2.1. Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör fliesst als Teilgehalt die Pflicht der Behörde, die Vorbringen der Betroffenen tatsächlich zu hören, zu prüfen und in der Entscheidfindung zu berücksichtigen. Ausserdem hat die Behörde ihren Entscheid zu begründen, wobei sie wenigstens kurz die wesentlichen Überlegungen nennen muss, von denen sie sich hat leiten lassen. Nicht erforderlich ist, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Die Behörde kann sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Gleichzeitig muss die Begründung aber so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen die Überlegungen, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sie sich stützt, wenigstens kurz im Entscheid genannt werden (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 145; <ref-ruling> E. 5.1 S. 237 f.; <ref-ruling> E. 5.2 S. 236).
3.2.2. Weiter räumt der Anspruch auf rechtliches Gehör den Betroffenen das Recht ein, erhebliche Beweise beizubringen, mit solchen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise mitzuwirken. Diesem Mitwirkungsrecht entspricht die Pflicht der Behörden, die Argumente und Verfahrensanträge der Parteien entgegenzunehmen und zu prüfen, sowie die ihr rechtzeitig und formrichtig angebotenen Beweismittel abzunehmen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 127, mit Hinweisen; Urteil 2C_109/2015 vom 1. September 2015 E. 4.1). Keine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt vor, wenn ein Gericht auf die Abnahme beantragter Beweismittel verzichtet, weil es auf Grund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (BGE <ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f.; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 3 S. 157, mit Hinweisen).
3.2.3. Soweit sich die Rüge der Beschwerdeführerin nicht ohnehin in appellatorischer Kritik erschöpft, erweist sie sich als unbegründet: Mit dem Vorbringen der Beschwerdeführerin, wonach die Zuschlagsempfängerin das Eignungskriterium EK01 (Aufbau und Betrieb eines öffentlichen Veloverleihsystems) nicht erfülle, hat sich die Vorinstanz entgegen der Ausführungen der Beschwerdeführerin eingehend auseinandergesetzt (vgl. angefochtenes Urteil, E. 4). Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs ist auch nicht darin zu erblicken, dass die Vorinstanz auf die Abnahme von Beweisen in Bezug auf die personelle Zusammensetzung und die interne Organisation der Zuschlagsempfängerin verzichtete. Nach der willkürfreien Auslegung der Vorinstanz handelt es sich beim Eignungskriterium EK01 um eine Unternehmensreferenz, in deren Rahmen Erfahrungsnachweise unabhängig davon berücksichtigt werden können, ob bei der Anbieterin auf personeller oder organisatorischer Ebene gewisse Veränderungen eingetreten sind (vgl. angefochtenes Urteil, E. 4.3 und 4.1 hiernach). Folglich brauchte die Vorinstanz über die heutige Zusammensetzung und Organisation der Zuschlagsempfängerin nicht im Detail Beweise zu erheben.
3.2.4. Aus dem angefochtenen Entscheid geht weiter hervor, dass die Einwände der Beschwerdeführerin in Bezug auf die Bewertung des Zuschlagskriteriums ZK2.4 (Betriebskonzept) geprüft und verworfen wurden. Keine Verletzung des rechtlichen Gehörs stellt der Umstand dar, dass sich die Vorinstanz dabei nicht ausdrücklich auf den Inhalt gewisser Beilagen bezog, welche die Beschwerdeführerin mit der Beschwerde eingereicht hatte (vgl. angefochtenes Urteil, E. 6.5). Auch mit dem Argument, die Vorinstanz habe im Rahmen der Zuschlagskriterien ZK2.4 (Betriebskonzept) und ZK4.1 (Wirtschaftliche Risikostabilität) unberücksichtigt gelassen, dass das System der Zuschlagsempfängerin noch gar nicht existiere, dringt die Beschwerdeführerin nicht durch. Namentlich versäumt sie es aufzuzeigen, wieso dieser Aspekt entgegen der Vorinstanz im Rahmen dieser beiden Zuschlagskriterien hätte bewertet werden müssen (vgl. angefochtenes Urteil, E. 6.5 und 6.11). An der Sache vorbei geht sodann der Einwand, die Vorinstanz habe die notorische Tatsache unberücksichtigt gelassen, dass B._ als Partner der Beschwerdeführerin über substanzielle Eigenmittel zur Bewerbung des Veloverleihsystems verfüge. Die Vorinstanz hat die Bewertung der Beschwerdeführerin im Zuschlagskriterium ZK4.3 (Marketing und Kommunikation) wegen der mangelnden Qualität des Marketingkonzepts für rechtsfehlerfrei erachtet und nicht wegen fehlender Eigenmittel von B._ (vgl. angefochtenes Urteil, E. 6.13).
3.3. Im Ergebnis erweisen sich die Rügen formeller Natur als unbegründet.
4.
4.1. In materieller Hinsicht macht die Beschwerdeführerin geltend, die Zuschlagsempfängerin erfülle das Eignungskriterium EK01 (Aufbau und Betrieb eines öffentlichen Veloverleihsystems) nicht und hätte vom Verfahren ausgeschlossen werden müssen. Die Zuschlagsempfängerin bzw. die von ihr beschäftigten Personen würden über keinerlei Erfahrung im Aufbau von Veloverleihsystemen (mehr) verfügen. Es stehe mit den Tatsachen im Widerspruch, wenn die Eignung der Beschwerdeführerin gleichwohl bejaht werde.
4.1.1. Eignungskriterien sollen sicherstellen, dass nur jene Bieter im Verfahren eine Chance haben, die mit hinreichender Wahrscheinlichkeit den konkreten Auftrag gehörig erfüllen können (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 181 ff.). Sie sind aufgrund ihrer Formulierung in der Ausschreibung so auszulegen und anzuwenden, wie sie von den Anbietern in guten Treuen verstanden werden konnten und mussten. Auf den subjektiven Willen der Vergabestelle bzw. der dort tätigen Personen kommt es nicht an. Bei der Formulierung und Anwendung der Eignungskriterien verfügt die Vergabestelle über einen grossen Beurteilungsspielraum, den die gerichtlichen Beschwerdeinstanzen im Rahmen der Sachverhalts- und Rechtskontrolle nicht unter dem Titel der Auslegung einschränken dürfen (vgl. Art. 16 Abs. 1 und 2 IVöB; <ref-ruling> E. 7.1 S. 35 f. mit Hinweisen). Von mehreren möglichen Auslegungen hat die gerichtliche Beschwerdeinstanz nicht die ihr zweckmässig scheinende auszuwählen, sondern die Grenzen des rechtlich Zulässigen abzustecken (<ref-ruling> E. 7.1 S. 36). Soweit kein anderes verfassungsmässiges Recht geltend gemacht wird, prüft das Bundesgericht die Auslegung eines Eignungskriteriums im Verfahren der subsidiären Verfassungsbeschwerde auf Willkür hin (vgl. E. 2 hiervor).
4.1.2. Gemäss der Ausschreibung mussten die Anbieter zum Nachweis ihrer Eignung dokumentieren, dass sie, ein Subunternehmen oder mindestens eines der Unternehmen der Trägerschaft einer allfällig neu zu gründenden Organisation über "Erfahrung in Aufbau und Betrieb eines öffentlichen Veloverleihsystems mit Selbstausleihe" verfügen, das "in den letzten 3 Jahren in Betrieb steht oder stand" (Eignungskriterium EK01). Die Vorinstanz erwog, dass im Rahmen des Eignungskriteriums EK01 eine Unternehmensreferenz erbracht werden musste, die an das Unternehmen gebunden ist, das den Referenzauftrag ausgeführt hat. Die entsprechende Referenz bleibe auch noch nach einem Weggang von Schlüsselpersonen erhalten. Die Zuschlagsempfängerin verweise zum Nachweis ihrer Eignung auf fünf in Betrieb stehende Veloverleihsysteme, wovon sie eines in der heutigen Rechtsform als Aktiengesellschaft realisiert habe. Die übrigen vier seien früher realisiert worden, als sie noch als Gesellschaft mit beschränkter Haftung konstituiert war. Weiter erwog die Vorinstanz, dass im Jahr 2011, als die heutige Eigentümerin 100 % der Anteile an der Zuschlagsempfängerin erwarb, sämtliche Mitarbeitenden mitsamt dem Geschäftsführer in ihren angestammten Funktionen verblieben.
4.1.3. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin sind Auslegung und Anwendung des Eignungskriteriums EK01 durch die Vorinstanz nicht zu beanstanden. Der Wortlaut der Ausschreibung kann jedenfalls ohne Zwang so verstanden werden, dass die Anbieter eine unternehmens- und nicht eine personenbezogene Referenz beibringen mussten und der Eignungsnachweis auch dann erbracht ist, wenn Schlüsselpersonen und weiteres Personal das Unternehmen im Verlauf der Zeit verlassen haben sollten. Eine solche Auslegung des Kriteriums ist auch sachlich vertretbar, da grundsätzlich davon ausgegangen werden kann, dass innerhalb eines Unternehmens ein Wissenstransfer stattfindet, der bei Personalabgängen keinen definitiven Verlust von Kompetenzen nach sich zieht. Im konkreten Fall kommt hinzu, dass ein Wechsel der Eigentumsverhältnisse an der Zuschlagsempfängerin im Jahr 2011 keine abrupten Veränderungen aufseiten der Belegschaft mit sich brachte. Folglich hatte die Vergabebehörde keinen Anlass zur Vermutung, dass mit dem Wandel der Besitzstruktur ein Kompetenzverlust einher ging, der die Eignung der Zuschlagsempfängerin in Frage stellen könnte. Bei dieser Ausgangslage durfte die Vorinstanz willkürfrei davon ausgehen, dass die Beschaffungsstelle ihren Beurteilungsspielraum bei der Auslegung und Anwendung des Eignungskriteriums EK01 nicht überschritten hat. Damit ist auch der von der Beschwerdeführerin mit angerufene "Grundsatz der Gleichheit" nicht verletzt, zumal es im Rahmen der Beurteilung von Eignungskriterien nicht um die Bewertung einer allenfalls besseren Eignung einer Anbieterin geht (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 181 f.; <ref-ruling> E. 5 S. 293 ff.).
4.2. Die Beschwerdeführerin rügt schliesslich eine Verletzung des "Grundsatzes der Gleichbehandlung" im Zusammenhang mit der Bewertung des Zuschlagskriteriums ZK4.3 (Marketing und Kommunikation). Die Vergabebehörde habe ausser Acht gelassen, dass ihre französischsprachigen Mitarbeiter die Offerte auf Deutsch verfassen mussten. Nach den Erwägungen der Vorinstanz, mit denen sich die Beschwerdeführerin nicht substanziiert auseinandersetzt, waren es indes inhaltliche und nicht sprachliche Unzulänglichkeiten ihrer Offerte, die bei der Bewertung des Zuschlagskriteriums berücksichtigt wurden. Auch mit dieser Rüge dringt die Beschwerdeführerin nicht durch.
5.
Im Ergebnis ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht einzutreten. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Nach dem Unterliegerprinzip wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Da die Einwohnergemeinde Bern in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegt und die Zuschlagsempfängerin keinen nennenswerten Aufwand hatte, sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 1 und BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 8'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Regierungsstatthalteramt Bern-Mittelland, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und der Wettbewerbskommission schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. März 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Fellmann