Erwägungen:
1.
Mit Eingabe vom 5. November 2018 reichte der Beschwerdeführer ein Schlichtungsgesuch beim Friedensrichteramt Opfikon-Glattbrugg ein. Am 26. November 2018 ersuchte er am Bezirksgericht Bülach um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Schlichtungsverfahren. Mit Urteil vom 16. Januar 2019 wies das Bezirksgericht das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab, aufgrund der Aussichtslosigkeit des Begehrens.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Dieses wies mit Urteil vom 29. März 2019 die Beschwerde ab.
Gegen das Urteil des Obergerichts erhob der Beschwerdeführer mit Eingabe vom 25. April 2019 Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Auf das Einholen von Vernehmlassungen zur Beschwerde wurde verzichtet.
2.
2.1. Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). Dafür muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89). Eine Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
2.3. Gemäss Art. 99 Abs. 1 BGG dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt, was in der Beschwerde näher darzulegen ist (<ref-ruling> E. 3). Tatsachen oder Beweismittel, die sich auf das vorinstanzliche Prozessthema beziehen, jedoch erst nach dem angefochtenen Entscheid eingetreten oder entstanden sind (sog. echte Noven), sind vor Bundesgericht unbeachtlich (<ref-ruling> E. 2.1 S. 344).
3.
3.1. Diesen Grundsatz verkennt der Beschwerdeführer, soweit er sich auf die Verfügung des Bezirksgerichts vom 9. April 2019 und damit auf tatsächliche Elemente stützt, die nach der Fällung des angefochtenen Entscheids vom 29. März 2019 entstanden sind. Diese echten Noven können im bundesgerichtlichen Verfahren nicht berücksichtigt werden.
3.2. Der Beschwerdeführer kritisiert sodann die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz, wobei die diesbezüglichen Ausführungen die Begründungsanforderungen an Sachverhaltsrügen offensichtlich nicht erfüllen (Erwägung 2.2), denn er zeigt nicht auf, dass er die entsprechenden rechtsrelevanten Tatsachen und tauglichen Beweismittel bereits bei der Vorinstanz prozesskonform eingebracht hätte.
3.3. Auch im Übrigen erfüllt die Eingabe des Beschwerdeführers die genannten Begründungsanforderung offensichtlich nicht. Er ruft darin zwar die Bestimmungen von Art. 11 OR, Art. 574 OR und Art. 545 Abs. 1 Ziff. 4 OR an. Er legt vor Bundesgericht aber bloss in frei gehaltenen Ausführungen seine Sicht der Dinge dar, ohne indessen auf die Erwägungen der Vorinstanz hinreichend konkret einzugehen, geschweige denn nachvollziehbar aufzuzeigen, inwiefern diese die genannten Bestimmungen verletzt haben soll.
3.4. Eventualiter begehrt der Beschwerdeführer vor Bundesgericht um eine Klageänderung, um seine Interessen "noch zu retten". Er verkennt dabei, dass neue Begehren vor Bundesgericht unzulässig sind (Art. 99 Abs. 2 BGG). Auch auf die Klageänderung kann nicht eingetreten werden.
4.
Auf die Beschwerde ist somit in Anwendung von Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG nicht einzutreten. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen, weil die Beschwerde als von vornherein aussichtslos erscheint (Art. 64 Abs. 1 BGG), wobei darüber unter den gegebenen Umständen nicht vorgängig separat entschieden werden musste (vgl. Urteil 4A_20/2011 vom 11. April 2011 E. 7.2.2). Dem Beschwerdegegner ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, und dem Bezirksgericht Bülach schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Mai 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger