Sachverhalt:
A.
A.a. Die Schweizerische Ausgleichskasse (SAK) richtet der 1936 geborenen, in ihrem Heimatland Slowenien wohnhaften A._ seit April 1998 eine AHV-Altersrente aus. Bis im Mai 2006 wurde die Rente durch die SAK in Schweizer Franken ausbezahlt, danach in Euro. Auf Beschwerde hin erkannte das Bundesgericht letztinstanzlich, dass die Rentenzahlung in Euro erst ab Januar 2007 begründet gewesen sei, weswegen es die SAK verpflichtete, A._ den sich daraus ergebenden Differenzbetrag von Fr. 140.- nachzuzahlen (Urteil 9C_777/2010 vom 15. Juni 2011, publiziert in: <ref-ruling>). Auf ein von der Versicherten eingereichtes Gesuch um Revision des Urteils trat das Bundesgericht nicht ein (Urteil 9F_2/2013 vom 23. Mai 2013).
A.b. Mit Verfügung vom 21. Oktober 2011 (bestätigt mit Einspracheentscheid vom 6. Februar 2012) teilte die SAK A._ mit, sie werde den Betrag von Fr. 140.- zuzüglich Zins (Total Fr. 176.-) auf ihr Konto bei der Banka C._ überweisen. Eine dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht ab (Urteil C-1449/2012 vom 13. Dezember 2012), und das Bundesgericht trat auf die bei ihm eingereichte Beschwerde nicht ein (Urteil 9C_130/2013 vom 23. Mai 2013).
A.c. Am 16. Dezember 2013 liess A._ beim Eidgenössischen Finanzdepartement (EFD) eine Aufsichtsbeschwerde im Zusammenhang mit der Auszahlung der AHV-Altersrente in Euro statt in Schweizer Franken sowie eine Verantwortlichkeitsklage gegen Mitarbeitende der SAK und der PostFinance erheben. Das EFD, in dessen Zuständigkeitsbereich nur die (von ihm als unbegründet abgewiesene) Aufsichtsbeschwerde fiel, überwies die Verantwortlichkeitsklage der dafür zuständigen SAK. Diese erliess am 19. August 2015 eine Zwischenverfügung, in welcher sie die Verfahrensanträge betreffend vorsorgliche Massnahmen, unentgeltliche Prozessführung und Akteneinsicht ablehnte. In einer weiteren Verfügung vom selben Tag wies sie auch das Schadenersatz- und Genugtuungsbegehren ab.
A._ liess dagegen Beschwerde erheben und zahlreiche Anträge stellen. Mit Entscheid C-5908/2015 vom 18. März 2019 wies das Bundesverwaltungsgericht die (das Schadenersatz- und Genugtuungsbegehren betreffende) Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Dispositiv Ziffer 2). Auf die Rechtsverzögerungs- bzw. Rechtsverweigerungsbeschwerde und das Ausstandsbegehren trat es nicht ein (Ziffern 3 und 4). Die Anträge auf Vereinigung mit dem Beschwerdeverfahren C-3682/2016 und auf Durchführung einer öffentlichen Parteiverhandlung bzw. einer öffentlichen Urteilsberatung wies es ab (Ziffern 5 und 7), ebenso den Antrag auf Einsicht in die Akten des <ref-ruling> zugrunde liegenden Verfahrens, soweit es darauf eintrat (Ziffer 6). Das von der Versicherten gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im Sinne der Befreiung von den Verfahrenskosten schrieb es mangels Kostenauferlegung als gegenstandslos ab (Ziffer 8), und ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung wies es ab (Ziffer 9).
B.
Auf die dagegen erhobene Beschwerde und auf das in diesem Zusammenhang gestellte Ausstandsbegehren (soweit nicht gegenstandslos) trat das Bundesgericht mit Urteil 9C_297/2019 vom 16. Juli 2019 nicht ein.
C.
A._ lässt die Revision des Urteils 9C_297/2019 beantragen und folgende Rechtsbegehren stellen:
"1. Es sei die Nichtigkeit des Bundesgerichtsurteils 9C_297/2019 infolge sachlicher, funktioneller wie auch funktionaler Unzuständigkeit festzustellen und vollumfänglich aufzuheben.
2. Es sei die Nichtigkeit des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts vom 18.3.2019 (C-5908/2015) infolge sachlicher, funktioneller wie auch funktionaler Unzuständigkeit festzustellen und vollumfänglich aufzuheben. Ebenso das Urteil vom 13. Dezember 2012 (C-1449/2012).
3. Es sei die Nichtigkeit der Zwischenverfügung und der Verfügung der SAK vom 19. August 2015 aufgrund ihrer sachlichen, funktionellen wie auch funktionalen Unzuständigkeit infolge unterlassener Klärung der gemäss <ref-law> notwendigen Kompetenzkonflikte festzustellen.
Ebenso sei ihre Unzuständigkeit bezüglich Magistratspersonen im Sinne von Art. 10 Abs. 2 VG i.V.m. Art. 1 Abs. 1 lit. b und c VG bzw. Art. 3 Abs. 1 und 2 der Verordnung zum VG festzustellen und das EFD anzuweisen, ein sowohl in verfahrens- wie materiellrechtlicher Hinsicht korrektes Verfahren einzuleiten.
4. Es sei der Entscheid wegen verfassungs- und gesetzeswidriger Zusammensetzung des Bundesgerichts (<ref-law>, Art. 21, 22 und 24 BGG) infolge eines schweren unheilbaren formellen Mangels (Paraphe anstelle der Unterschrift der Gerichtsperson Keel Baumann [Art. 47 Abs. 2 BgerR]) für nichtig zu befinden und aufzuheben.
5. Es sei der Entscheid infolge Abstützens auf eine nicht bestehende gesetzliche Grundlage ("<ref-law>", siehe Erw. 4.6 in fine) für nichtig zu befinden und aufzuheben.
6. Es seien die SAK und das EFD anzuweisen, ihre Verfahren zu sistieren bis einschlägige Prüfbefunde, allfällige Beanstandungen oder Weisungen der EFK gemäss Art. 12 EFG bzw. bis rechtskräftige Verfügungen gemäss <ref-law> vorliegen.
7. Es sei festzustellen, dass auf die Beschwerde aufgrund der nachfolgend bezeichneten und begründeten Revisionsgründe (Art. 121 lit. a, b, c und d; Art. 123 Abs. 1, <ref-law>) zu Unrecht nicht eingetreten wurde (Ziff. 3 des Dispositivs).
Danach sei gemäss <ref-law> neu zu entscheiden und den gesuchstellerischen Anträgen vollumfänglich zu entsprechen. Eventualiter sei die Sache zur Neubegründung und/oder zur neuen Abklärung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
8. Es sei festzustellen, dass auf das Ausstandsbegehren aufgrund der nachfolgend bezeichneten und begründeten Revisionsgründe (<ref-law>) zu Unrecht nicht eingetreten wurde (Ziff. 1 des Dispositivs). Dem Ausstandsbegehren sei folglich vollumfänglich zu entsprechen und die Sache sei durch verfassungskonforme, unabhängige, unvoreingenommene und unparteiische Gerichtspersonen neu zu entscheiden.
Eventualiter sei die Sache zur Neubegründung und/oder zur neuen Prüfung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Eventualiter sei die Sache zur Neubegründung und/oder zur neuen Prüfung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
9. Es sei festzustellen, dass der gesuchstellerische Antrag Ziff. 17 "Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten der Beschwerdegegnerin" im Sinne von <ref-law> unbeurteilt geblieben ist.
10. Als vorsorgliche Massnahme im Sinne von <ref-law> sei die Gesuchsgegnerin umgehend anzuweisen, das nächste Monatsbetreffnis in Schweizerfranken zu leisten. Eventualiter seien weitere vorsorgliche Massnahmen von Amtes wegen zu verfügen.
11. Es sollen die Gerichtspersonen Parrino, Pfiffner, Glanzmann, Moser-Szeless und Keel Baumann wegen Befangenheit in den Ausstand treten.
Eventualiter seien sie zur Auskunft über deren Verhältnisse in geschäftlicher, privater, freundschaftlicher und verwandtschaftlicher Art zu Personen der Gesuchsgegnerin und zu den Gerichtspersonen der Vorinstanz anzuhalten. Insbesondere Frau Keel Baumann zu Frau Madeleine Keel. Die Gesuchstellerin sei davon in Kenntnis zu setzen.
12. Es sei der Vollzug des angefochtenen Entscheids im Sinne von <ref-law> aufzuschieben und dem neuen Entscheid sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
13. Es sei das Verfahren gemäss <ref-law> i.V.m. <ref-law> zu sistieren bis die Vorinstanz über das dort eingereichte Revisionsbegehren entschieden hat.
14. Es seien praxisgemäss die Akten der vom Bundesgericht sub Buchtstaben A und B aufgeführten Entscheide beizuziehen und der Gesuchstellerin das Einsichts- und Äusserungsrecht zu gewähren.
15. Es sei der Gesuchstellerin die unentgeltliche Rechtspflege sowie ein unentgeltlicher Rechtsvertreter in der Person von RA Dr. E._ zu bestellen.
Eventualiter sei auf die Erhebung von Kosten zu verzichten.
Subeventualiter seien diese aufgrund des Verhaltens der Gesuchsgegnerin, ihr zu überbinden.
16. Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten der Gesuchsgegnerin."
Mit Verfügung vom 8. Oktober 2019 weist das Bundesgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab. Die Gesuchstellerin lässt deren Aufhebung beantragen und erneuert die Anträge betreffend unentgeltliche Rechtspflege und den Ausstand von Gerichtspersonen. Sodann reicht sie eine weitere Eingabe ein.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob die Eintretensvoraussetzungen gegeben sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 99; <ref-ruling> E. 1 S. 186).
1.2.
1.2.1. Die Gesuchstellerin ersucht für dieses Verfahren um Ausstand aller am Urteil 9C_297/2019 und an der Verfügung vom 8. Oktober 2019 beteiligten Gerichtspersonen.
Die am Bundesgericht tätigen Gerichtspersonen (Richter und Gerichtsschreiber) treten von Amtes wegen in den Ausstand, wenn einer der in Art. 34 Abs. 1 lit. a-e BGG genannten Gründe erfüllt ist. Gemäss <ref-law> bildet die Mitwirkung in einem früheren bundesgerichtlichen Verfahren für sich allein keinen Ausstandsgrund. Nach der Rechtsprechung erweist sich zudem ein Ausstandsbegehren, welches allein damit begründet wird, dass Gerichtsmitglieder an einem Entscheid mitgewirkt haben, der für die das Ausstandsbegehren stellende Partei negativ ausgefallen ist, als untauglich und unzulässig. Es kann darauf unter Mitwirkung der abgelehnten Gerichtspersonen nicht eingetreten werden (<ref-ruling> E. 4.2.2 S. 464; Urteile 9C_121/2018 vom 3. Mai 2018 E. 1; 2C_853/2017 vom 13. Dezember 2017 E. 2.1 [publ. in: StE 2018 B 97.41 Nr. 30]). Verlangt eine Partei den Ausstand, so hat sie gemäss <ref-law> die begründenden Tatsachen glaubhaft zu machen.
1.2.2. Zwar unterstellt die Gesuchstellerin bestimmten Gerichtspersonen mit Blick auf "nachweislich erstellte Haftung und Verantwortlichkeit" ein persönliches Interesse oder andere Gründe im Sinne von Art. 34 Abs. 1 lit. a resp. e BGG. Indessen benennt sie kein konkretes Schadenersatzverfahren gegen die betroffenen Gerichtspersonen und ein solches ist auch nicht bekannt. Sodann begründet die Gesuchstellerin das Ausstandsbegehren mit der Mitwirkung der betroffenen Personen an früheren Verfahren und Entscheiden. Aus deren behaupteter Fehlerhaftigkeit lässt sich - anders als die Gesuchstellerin glauben machen will - weder ein persönliches Interesse noch eine Befangenheit der beteiligten Gerichtspersonen ableiten. Weiter wird mit dem blossen Hinweis auf (teilweise) übereinstimmende Familiennamen (vgl. Antrag Ziff. 11) keine ausstandsbegründende familiäre Beziehung zwischen den Gerichtsschreiberinnen, die an den Entscheiden C-5908/2015 des Bundesverwaltungsgerichts und 9C_297/2019 des Bundesgerichts beteiligt waren, glaubhaft gemacht. Schliesslich wird vorgebracht, ein Bundesrichter habe am (dem Urteil 9C_777/2010 vom 15. Juni 2011 zugrunde liegenden) Entscheid C-2623/2008 des Bundesverwaltungsgerichts mitgewirkt (vgl. Sachverhalt lit. A.a). Damit allein wird nicht eine Vorbefassung mit der gleichen Sache (vgl. <ref-law>) geltend gemacht. Im genannten Entscheid ging es denn auch um die Rentenauszahlungsmodalitäten, während das vorliegende Revisionsverfahren (wie das Urteil 9C_297/2019) Schadenersatz und Genugtuung im Rahmen der Staatshaftung und damit eine andere Angelegenheit betrifft.
Soweit das Ausstandsbegehren nicht ohnehin angesichts der konkreten Gerichtsbesetzung gegenstandslos wird, ist darauf (unter Mitwirkung der betroffenen Personen) nicht einzutreten, da die Beschwerdeführerin keine zulässigen Ausstandsgründe anruft. Demnach besteht auch kein Anlass, auf die Verfügung vom 8. Oktober 2019 zurückzukommen.
1.3. Auch unter Berücksichtigung des am 18. November 2019 eingereichten ärztlichen Zeugnisses besteht kein Anlass für die Einräumung einer Frist zur Verbesserung resp. Ergänzung der Beschwerdebegründung (vgl. Art. 42 Abs. 6 resp. <ref-law>) oder für eine Fristwiederherstellung (vgl. <ref-law>; Urteil 9F_16/2019 vom 27. August 2019 E. 2.2).
Ein Grund für die beantragte Sistierung des Verfahrens, den Beizug weiterer Akten und eine diesbezügliche Gewährung des Einsichts- und Äusserungsrechts ist ebenfalls nicht ersichtlich.
1.4. Gegenstand der Revision bildet einzig das Urteil des Bundesgerichts 9C_297/2019 vom 16. Juli 2019 (vgl. Ingress zu <ref-law>). Mit der Revision kann dessen Aufhebung und ein neuer Entscheid verlangt werden (<ref-law>), weshalb die blossen Feststellungsbegehren in diesem Zusammenhang unzulässig sind (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 259; Urteil 9C_725/2018 vom 6. März 2019 E. 3.1).
Soweit die Anträge der Gesuchstellerin andere Instanzen betreffen, fehlt es insbesondere an einem zulässigen Anfechtungsobjekt und eigenständigen Feststellungsinteresse; darauf ist nicht einzutreten.
1.5. Die mit Eingabe vom 16. Oktober 2019 eingereichte "Kopie" einer Seite 13, welche die Fortsetzung des abrupt auf Seite 12 endenden Revisionsgesuchs vom 16. September 2015 zu sein scheint, ist in Bezug auf Revisionsgründe nach <ref-law>, nicht aber hinsichtlich jener von <ref-law> verspätet (vgl. <ref-law>).
2.
2.1. Von Nichtigkeit (vgl. <ref-ruling> E. 11.2 S. 260; <ref-ruling> E. 3.1 S. 27; Urteil 9C_923/2015 vom 9. Mai 2016 E. 4.1.2) des Urteils 9C_297/2019 kann keine Rede sein. Das - von der Gesuchstellerin selber angerufene - Bundesgericht war für dessen Erlass zuständig, und eine (behauptete) falsche Besetzung des Spruchkörpers hat keine Nichtigkeit, sondern Revidierbarkeit (vgl. <ref-law>) zur Folge. Sodann trägt das Urteil - entgegen der Darstellung der Gesuchstellerin - die Unterschrift der daran beteiligten Gerichtsschreiberin. Dass im genannten Urteil hinsichtlich des qualifizierten Rügeerfordernisses für eine subsidiäre Verfassungsbeschwerde auf den (nicht existierenden) Abs. 3 statt auf Abs. 2 von <ref-law> verwiesen wurde, stellt offensichtlich einen blossen Schreibfehler und keinen groben inhaltlichen Mangel dar, zumal die Gesuchstellerin selber für "im Resultat richtig" hält, dass das Bundesgericht nicht auf ihre Beschwerde eintrat.
2.2. Urteile des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (<ref-law>). Eine nochmalige Überprüfung der zugrunde liegenden Streitsache ist grundsätzlich ausgeschlossen. Das Gericht kann auf seine Urteile nur zurückkommen, wenn einer der in <ref-law> abschliessend aufgeführten Revisionsgründe vorliegt. Ein solcher Revisionsgrund ist ausdrücklich geltend zu machen, wobei es nicht genügt, dessen Vorliegen zu behaupten. Der geltend gemachte Revisionsgrund ist im Revisionsgesuch unter Angabe der Beweismittel anzugeben und es ist aufzuzeigen, weshalb er gegeben sein und inwiefern deswegen das Dispositiv des früheren Urteils abgeändert werden soll (Urteil 9F_7/2017 vom 3. August 2017 E. 2.1 mit Hinweis).
2.3. Nach <ref-law> kann die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts verlangt werden, wenn (a) die Vorschriften über die Besetzung des Gerichts oder über den Ausstand verletzt worden sind; (b) das Gericht einer Partei mehr oder, ohne dass das Gesetz es erlaubt, anderes zugesprochen hat, als sie selbst verlangt hat, oder weniger als die Gegenpartei anerkannt hat; (c) einzelne Anträge unbeurteilt geblieben sind; oder (d) das Gericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat. Weiter kann Revision verlangt werden, wenn ein Strafverfahren ergeben hat, dass durch ein Verbrechen oder Vergehen zum Nachteil der Partei auf den Entscheid eingewirkt wurde; die Verurteilung durch das Strafgericht ist nicht erforderlich. Ist das Strafverfahren nicht durchführbar, so kann der Beweis auf andere Weise erbracht werden (<ref-law>). Die Revision kann zudem u.a. in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten verlangt werden, wenn die ersuchende Partei nachträglich erhebliche Tatsachen erfährt oder entscheidende Beweismittel auffindet, die sie im früheren Verfahren nicht beibringen konnte, unter Ausschluss der Tatsachen und Beweismittel, die erst nach dem Entscheid entstanden sind (<ref-law>).
2.4. Im Urteil 9C_297/2019 vom 16. Juli 2019 trat das Bundesgericht auf das gestellte Ausstandsbegehren nicht ein, weil keine zulässigen Ausstandsgründe (Art. 34 Abs. 1 lit. a-e BGG) angerufen worden waren. Auf die Anträge, die nicht Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens bildeten, trat es nicht ein, weil neue Begehren vor Bundesgericht unzulässig sind (<ref-law>). Schliesslich trat es auch auf die Begehren um Schadenersatz und Genugtuung sowie die damit im Zusammenhang stehenden Anträge mangels Erreichens der Streitwertgrenze bzw. mangels Vorliegens einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung nicht ein (vgl. <ref-law>).
2.5.
2.5.1. Was den Revisionsgrund von <ref-law> anbelangt, so wird auf die Ausführungen in obenstehender E. 1.2 und in E. 2 des Urteils 9C_297/2019 verwiesen. Die Voraussetzungen für eine Fünferbesetzung (vgl. <ref-law>) im Urteil 9C_297/2019 waren offensichtlich nicht gegeben. Die Zweite sozialrechtliche Abteilung ist auch für die Beurteilung von Haftpflichtfragen zuständig, wenn sie - wie im Fall 9C_297/2019 - das Rechtsgebiet der Alters- und Sozialversicherung betreffen (Art. 35 lit. a des Reglements vom 20. November 2006 für das Bundesgericht [BGerR; SR 173.110.131]; vgl. auch Art. 29 Abs. 2 und Art. 30 Abs. 1 lit. c BGerR, jeweiliger Ingress e contrario).
2.5.2. Entgegen der Behauptung der Gesuchstellerin ist auch der Revisionsgrund von <ref-law> nicht gegeben. Dass die Gesuchsgegnerin - abweichend von ihrer Verfügung vom 19. August 2015 - einen Schadenersatz- oder Genugtuungsanspruch anerkannt haben soll, ist denn auch nicht ersichtlich.
2.5.3. Tritt das Bundesgericht auf einen Antrag nicht ein, kann er nicht als unbeurteilt im Sinne von <ref-law> gelten. Im Urteil 9C_297/2019 trat das Bundesgericht auf die - den Genugtuungsantrag umfassende - Beschwerde nicht ein. Sodann kann angesichts des Ausgangs des Verfahrens 9C_297/2019, des Verzichts auf die Erhebung von Gerichtskosten und der Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Verbeiständung nicht von unbeurteilt gebliebenen Entschädigungsfolgen gesprochen werden.
2.5.4. Dass die Gesuchstellerin die rechtlichen Auffassungen des Bundesgerichts - insbesondere auch jene zum Streitwert - nicht teilt resp. für falsch hält, bedeutet nicht, dass dieses bestimmte Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat (vgl. <ref-law>).
2.5.5. Die Gesuchstellerin benennt keinen konkreten Anhaltspunkt, geschweige denn einen Beweis für ein strafrechtlich relevantes Verhalten einer bestimmten Person (vgl. <ref-law>). Vielmehr erwähnt sie in diesem Zusammenhang eine Nichteintretensverfügung der Staatsanwaltschaft F._ und erfolglose Anfragen betreffend Wiederanhandnahme bzw. Neubeurteilung.
2.5.6. Dass die Gesuchstellerin nachträglich erhebliche Tatsachen erfahren oder entscheidende Beweismittel aufgefunden haben soll (<ref-law>), macht sie nicht geltend. Solches ergibt sich auch nicht aus ihren Schreiben an die SAK vom 6. und 26. August 2019.
2.6. Zusammengefasst liegt mit Blick auf das Urteil 9C_297/2019 kein Revisionsgrund im Sinn von Art. 121 oder 123 BGG vor. Das Revisionsgesuch, soweit zulässig, ist abzuweisen.
3.
Mit dem heutigen Urteil werden die Anträge betreffend aufschiebende Wirkung und (andere) vorsorgliche Massnahmen gegenstandslos.
4.
Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Es besteht kein Anlass, der Gesuchsgegnerin die Gerichtskosten oder eine Parteientschädigung aufzuerlegen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Ausstandsbegehren wird nicht eingetreten, soweit es nicht gegenstandslos ist.
2.
Die weiteren prozessualen Anträge werden abgewiesen, soweit sie nicht gegenstandslos sind.
3.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Gesuchstellerin auferlegt.
5.
Es besteht kein Anspruch auf Parteientschädigung.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. Januar 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Meyer
Die Gerichtsschreiberin: Dormann