Der Präsident zieht in Erwägung:
1.
Das Strafgericht des Kantons Basel-Stadt verurteilte X._ am 27. Januar 2011 u.a. wegen mehrfacher qualifizierter Brandstiftung, mehrfacher versuchter qualifizierter Brandstiftung und mehrfacher Drohung zu einer Freiheitsstrafe von vier Jahren. Es schob den Vollzug der Freiheitsstrafe zugunsten einer stationären therapeutischen Massnahme auf, welche am 12. Januar 2016 in Anwendung von <ref-law> um fünf Jahre verlängert wurde.
Am 22. November 2016 verfügte das Amt für Justizvollzug die Aufhebung der stationären therapeutischen Massnahme wegen Aussichtslosigkeit per 5. Dezember 2016. Die Verfügung erwuchs in Rechtskraft. Den am 1. Dezember 2016 gestellten Antrag auf Verwahrung hiess das Strafgericht am 12. September 2017 gut. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt hob die Anordnung auf Verwahrung am 11. September 2018 auf und ordnete über X._ für die Dauer von drei Jahren eine stationäre psychiatrische Behandlung gemäss Art. 59 Abs. 1 und 3 StGB an.
Mit Beschwerde in Strafsachen beantragt das Amt für Justizvollzug, es sei der Entscheid des Appellationsgerichts vom 11. September 2018 aufzuheben und X._ zu verwahren. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
2.
2.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob und inwieweit auf ein Rechtsmittel eingetreten werden kann.
2.2. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid, gegen den die Beschwerde in Strafsachen offen steht (Art. 78, Art. 80 Abs. 1 BGG).
2.3. Der Beschwerdeführer führt zur Frage der Beschwerdelegitimation unter Verweis auf das kantonale Recht aus, er sei im vorliegenden Verfahren betreffend nachträgliche Entscheide nach <ref-law> Partei mit vollen Parteirechten und habe den Antrag auf Verwahrung sowohl vor dem Strafgericht als auch vor dem Appellationsgericht vertreten (vgl. § 38 Abs. 2 EG StPO/BS i.V.m § 3 Abs. 1 lit. d bis Strafvollzugsgesetz BS). Die Staatsanwaltschaft habe auf eine Teilnahme am Verfahren verzichtet. Die Parteirechte nach § 38 Abs. 3 EG StPO/BS hätten somit ausschliesslich ihm zugestanden. Sei ihm der Rechtsmittelweg im kantonalen Verfahren offen gestanden, könne vor Bundesgericht nichts anderes gelten. Er sei daher zur Beschwerde nach Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 3 BGG berechtigt.
2.4. Zur Beschwerde in Strafsachen ist berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (Art. 81 Abs. 1 lit. a und b BGG). Der Staatsanwaltschaft steht das Beschwerderecht in Strafsachen nach Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 BGG grundsätzlich ohne Einschränkung zu (<ref-ruling> E. 1.5 S. 198 ff.; <ref-ruling> E. 2 S. 200; <ref-ruling> E. 1.4 S. 39 ff. mit Hinweisen). Die kantonalen Vollzugsbehörden sind von der Beschwerde demgegenüber ausgeschlossen (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 53; <ref-ruling> E. 1.1 f. S. 123 ff.). Die Interessen "tangierter Behörden" sind von der Staatsanwaltschaft zu wahren (Urteile 6B_1203/2017 vom 1. November 2017 E. 2 mit Hinweis und 6B_664/2013 vom 16. Dezember 2013 E. 1.2; siehe zum Ganzen zur Publikation vorgesehenes Urteil 6B_691/2018 vom 19. Dezember 2018 E. 1.2).
Daraus folgt, dass der Beschwerdeführer zur Erhebung der Beschwerde in Strafsachen nicht berechtigt ist. Dass er im kantonalen Verfahren Partei mit vollen Parteirechten war, er den Antrag auf Verwahrung vor den kantonalen Gerichtsinstanzen vertreten hat, die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt auf eine Verfahrensteilnahme verzichtete und die Parteirechte deshalb ausschliesslich ihm zustanden, ist für die Frage der Beschwerdelegitimation im bundesgerichtlichen Verfahren nicht erheblich. Die Ausgestaltung des kantonalen Rechts räumt kantonal legitimierten Behörden keine Befugnis ein, Strafrechtsbeschwerde nach <ref-law> zu führen. Art. 38 EG StPO/BS gilt mit andern Worten nur für die Rechtsmittel auf kantonaler Ebene. Dass die Staatsanwaltschaft auf eine Teilnahme am kantonalen Verfahren verzichtete, führt folglich nur dazu, dass die Parteirechte im kantonalen Verfahren ausschliesslich dem Beschwerdeführer zustanden (vgl. <ref-law>/BS), hat aber nicht zur Folge, dass dieser deshalb gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 BGG zur Beschwerde in Strafsachen befugt wäre.
3.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten. Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist keine Entschädigung zuzusprechen, da ihr im bundesgerichtlichen Verfahren keine Umtriebe entstanden sind.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, und der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Januar 2019
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill