Faits :
A.
A._, ressortissante ukrainienne née en 1997, a séjourné une première fois en Suisse du 20 août 2010 au 7 avril 2011. Revenue dans ce pays le 24 août 2012, elle y réside depuis lors au bénéfice d'une autorisation de séjour (permis B).
Le 7 février 2017, A._ a déposé une demande de naturalisation facilitée fondée sur l'art. 31a de la loi fédérale du 29 septembre 1952 sur l'acquisition et la perte de la nationalité suisse (aLN; RO 1952 1115).
B.
Le 12 janvier 2018, le Secrétariat d'Etat aux migrations (ci-après: le SEM) a informé A._ qu'elle ne remplissait pas les conditions pour déposer une telle demande, dès lors que sa mère, B._, avait déposé sa demande de naturalisation facilitée au sens de l'art. 27a aLN le 21 septembre 2015, alors qu'elle-même était majeure.
Dans ses observations du 29 janvier 2018, A._ a contesté la position du SEM, en alléguant que l'art. 31a aLN ne définissait pas l'âge de l'enfant d'une personne naturalisée. Se fondant sur le Message du 21 novembre 2001 concernant le droit de la nationalité des jeunes étrangers et révision de la loi sur la nationalité (FF 2002 1815), elle a rappelé qu'elle avait 18 ans, un mois et trois jours lorsque sa mère a déposé, le 21 septembre 2015, sa demande de naturalisation facilitée et qu'il serait choquant que sa demande ne soit pas jugée recevable eu égard aux conditions générales posées par l'art. 31a aLN. Le 5 mars 2018, le SEM a informé A._ que ses observations du 29 janvier 2018 ne l'amenaient pas à modifier sa position et lui a donné la possibilité de retirer sa demande de naturalisation facilitée. Dans les observations qu'elle a adressées au SEM le 19 mars 2018, A._ a requis le prononcé d'une décision formelle sur sa requête ainsi que l'octroi de l'assistance judiciaire devant le SEM.
Par décision du 15 juin 2018, le SEM a rejeté la demande de naturalisation facilitée de A._, ainsi que sa demande d'assistance judiciaire. Dans la motivation de sa décision, le SEM a relevé que, selon l'art. 33 aLN, les enfants mineurs étaient en règle générale inclus dans la demande de naturalisation facilitée de leur (s) parent (s) et a soutenu que l'art. 31 aLN visait à permettre à des enfants mineurs qui n'avaient pas été inclus dans la demande de naturalisation de leurs parents, alors qu'ils auraient pu l'être, d'obtenir la même nationalité que celle du parent avec lequel ils auraient pu être naturalisés. Le SEM en a conclu que la requérante ne pouvait ainsi pas bénéficier de l'art. 31 aLN, dès lors qu'elle était déjà majeure au moment du dépôt de la demande de naturalisation facilitée de sa mère.
C.
Le 9 juillet 2018, A._ a recouru auprès du Tribunal administratif fédéral contre cette décision, en concluant à son annulation et à l'octroi de la naturalisation facilitée, ainsi qu'à l'annulation de la décision du SEM lui refusant l'assistance judiciaire. Elle a par ailleurs conclu à ce qu'un montant de 300 francs lui soit alloué à titre de " réparation de l'atteinte à la joie de vivre (tort moral) " ainsi qu'au paiement d'un montant de 6'750 francs, correspondant aux 45 heures de travail que son beau-père aurait consacrées à la rédaction de son recours. Elle a enfin demandé au Tribunal administratif fédéral qu'il statue " sans frais ni dépens " à sa charge, requête qui a été considérée comme une demande d'assistance judiciaire partielle.
D.
Par décision du 10 août 2018, le Tribunal administratif fédéral a mis A._ au bénéfice de l'assistance judiciaire partielle et l'a dispensée des frais de la procédure.
Par arrêt du 13 août 2019, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours. Il a en substance jugé que l'art. 31a aLN n'était applicable qu'aux enfants étrangers encore mineurs lors du dépôt de la demande de naturalisation de l'un de leurs parents et que la recourante, âgée de plus de 18 ans lors du dépôt de la demande de naturalisation facilitée de sa mère, ne pouvait dès lors pas prétendre à la naturalisation facilitée en application de cette disposition légale. Le Tribunal a également jugé que c'était à bon droit que le SEM avait refusé à la recourante l'attribution d'un avocat d'office pour la procédure de première instance devant lui.
E.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 13 août 2019, d'ordonner au SEM de lui octroyer la nationalité suisse selon l'art. 31a aLN, ainsi que de " satisfaire " ses trois demandes de constatation des faits au Tribunal administratif fédéral selon l'art. 12 de la loi fédérale du 20 décembre 1968 sur la procédure administrative (PA; RS 172.021) et ses cinq demandes de constatation des faits au Tribunal administratif fédéral selon l'<ref-law> et de transmission de l'affaire selon l'<ref-law>. Elle demande également au Tribunal fédéral de " traiter [ses] deux demandes de dédommagement " et conclut à l'annulation de la décision du Tribunal administratif fédéral en tant que cette juridiction lui refuse toute indemnité de dépens pour la procédure de recours devant elle. Elle sollicite enfin le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Invités à se déterminer, le SEM a conclu au rejet du recours, tout en soulignant que le recours ne contenait aucun élément propre à remettre en cause l'arrêt du 13 août 2019, tandis que le Tribunal administratif fédéral a renoncé à prendre position sur le recours.

Considérant en droit :
1.
1.1. Dirigé contre la décision du Tribunal administratif fédéral qui confirme le refus de la naturalisation facilitée accordée à la recourante, le recours est recevable comme recours en matière de droit public (art. 82 let. a et 86 al. 1 let. a LTF). Le motif d'exclusion de l'<ref-law> n'entre pas en ligne de compte, dès lors qu'il s'agit en l'espèce de naturalisation facilitée et non pas de naturalisation ordinaire. Pour le surplus, la recourante a la qualité pour recourir au sens de l'<ref-law>.
1.2. La recourante conclut notamment à l'annulation de l'arrêt attaqué (conclusion 1) et de la décision du SEM (conclusion 2), ainsi qu'à ce que le SEM lui octroie la nationalité suisse (conclusion 3). Conformément à l'<ref-law>, le recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral est notamment recevable contre les décisions du Tribunal administratif fédéral. Les conclusions de la recourante tendant à ce que le Tribunal fédéral annule la décision du SEM et ordonne à celui-ci de lui octroyer la naturalisation facilitée sont dès lors irrecevables, en raison de l'effet dévolutif complet du recours déposé auprès du Tribunal administratif fédéral (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 543; arrêts 2C_186/2010 du 18 janvier 2011 consid. 3.4 non publié in <ref-ruling> et 2C_428/2019 du 20 août 2019 consid. 1.3).
S'agissant de la conclusion de la recourante en annulation de l'arrêt attaqué, selon la jurisprudence, dans la mesure où le recours en matière de droit public est une voie de réforme, le recourant ne peut en principe se borner à demander l'annulation de la décision attaquée, mais il doit prendre des conclusions sur le fond du litige (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 317; arrêt 2C_342/2019 du 11 octobre 2019 consid. 3 et les arrêts cités). La manière de faire de la recourante n'est donc en principe pas admissible. Les motifs du recours permettent cependant de comprendre que la recourante souhaite que la naturalisation facilitée lui soit octroyée. Le recours est donc recevable sur ce point.
1.3. Pour le surplus, force est de constater que la conclusion de la recourante tendant à ce que le Tribunal fédéral " traite [ses] deux demandes de dédommagement " (conclusion 6) est irrecevable dans la mesure où le Tribunal fédéral ne saurait connaître en instance unique d'une demande en dédommagement de ses prétentions (cf. <ref-law> a contrario et <ref-law> qui vise des actions contre les membres du Conseil fédéral et le chancelier de la Confédération, les membres et les suppléants des tribunaux de la Confédération et les membres de l'Autorité de surveillance du Ministère public de la Confédération). Enfin, en ce qui concerne la dernière conclusion de la recourante, soit celle tendant à l'annulation de l'arrêt du Tribunal administratif fédéral en tant qu'il lui refuse toute indemnité de dépens pour la procédure de recours devant lui (conclusion 7), même s'il s'agit d'une conclusion en annulation (cf. supra consid. 1.2), en l'interprétant à la lumière des motifs de recours comme l'exige la jurisprudence (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 317), on comprend que la recourante souhaite que l'autorité précédente lui octroie une indemnité de dépens qu'elle chiffre à 8'850 francs, de sorte que la conclusion est recevable.
Il convient donc, dans cette mesure, d'entrer en matière sur le recours.
2.
La recourante se plaint d'une violation de l'art. 31a aLN. Elle soutient que cette disposition légale est " absolument claire " et que le Tribunal administratif fédéral a procédé à une interprétation erronée de celle-ci en jugeant qu'elle était applicable seulement aux enfants qui étaient encore mineurs au moment du dépôt de la demande de naturalisation de leur parent. Elle invoque notamment le fait que la condition relative à la minorité de l'enfant au moment du dépôt de la demande de naturalisation de ses parents n'existait pas en droit suisse avant son apparition à l'art. 24 de la loi fédérale sur la nationalité suisse du 20 juin 2014.
2.1. Le 20 juin 2014, le Parlement fédéral a adopté la loi fédérale sur la nationalité suisse (LN; RS 141.0). Entrée en vigueur le 1 er janvier 2018 (RO 2016 2574), celle-ci abroge la loi fédérale du 29 septembre 1952 sur l'acquisition et la perte de la nationalité suisse (aLN) (art. 49 LN). La nouvelle loi ne déploie pas d'effets rétroactifs (art. 50 LN) : l'acquisition et la perte de la nationalité suisse sont régies par le droit en vigueur au moment où le fait déterminant s'est produit (art. 50 al. 1 LN); les demandes déposées avant l'entrée en vigueur de la loi du 20 juin 2014 sont traitées conformément aux dispositions de l'ancien droit jusqu'à ce qu'une décision soit rendue (al. 2) (cf. arrêt 1C_454/2017 du 16 mai 2018 consid. 2; voir également Message du Conseil fédéral du 4 mars 2011 concernant la révision totale de la loi fédérale sur l'acquisition et la perte de la nationalité suisse, in FF 2011 2678; CÉLINE GUTZWILLER, Droit de la nationalité suisse, acquisition, perte et perspectives, 2016, n. 3 p. 100).
2.2. En l'occurrence, la demande de naturalisation facilitée de la recourante a été déposée le 7 février 2017, soit avant l'entrée en vigueur de la nouvelle loi, de sorte que c'est l'ancienne loi qui est applicable. Aux termes de l'art. 31a aLN, l'enfant étranger qui n'a pas été compris dans la naturalisation de l'un de ses parents peut former une demande de naturalisation facilitée avant son 22ème anniversaire, s'il a résidé au total cinq ans en Suisse, dont l'année précédant le dépôt de la demande. Le Tribunal administratif fédéral a jugé que cette disposition devait être mise en relation avec l'art. 33 aLN, aux termes duquel les enfants mineurs du requérant sont compris, en règle générale, dans sa naturalisation ou sa réintégration. Elle devait également être mise en relation avec l'art. 34 al. 1 aLN, selon lequel la demande de naturalisation ou de réintégration de mineurs est faite par le représentant légal, l'art. 35 aLN précisant au surplus qu'au sens de la loi, la majorité et la minorité sont celles du droit suisse (<ref-law>). Le Tribunal administratif fédéral s'est également référé à l'art. 24 LN, intitulé " Enfant d'une personne naturalisée " qui, selon le Message du Conseil fédéral concernant la révision totale de la loi fédérale sur l'acquisition et la perte de la nationalité du 4 mars 2011, " reprend la réglementation de l'actuel art. 31a aLN, sans modification matérielle " (FF 2011 2639, p. 2670). Or, l'art. 24 LN prévoit expressément que " l'enfant étranger qui est mineur lorsque l'un de ses parents a déposé une demande de naturalisation et n'a pas été compris dans la naturalisation peut former une demande de naturalisation facilitée avant d'avoir atteint l'âge de 22 ans révolus s'il a séjourné cinq ans en Suisse, dont l'année ayant précédé le dépôt de la demande. " Le Tribunal administratif fédéral pouvait donc en déduire que le législateur voulait conserver à l'art. 24 LN les mêmes conditions d'accès à la naturalisation pour les enfants mineurs de parents naturalisés que celles précédemment en vigueur à l'art. 31a aLN (cf. arrêt attaqué, consid. 6.2.2, p. 10). Il s'ensuit que l'application de l'art. 31a aLN supposait déjà - à l'instar de l'art. 24 LN - que les enfants étrangers étaient encore mineurs au moment du dépôt de la demande de naturalisation de leurs parents, même si le texte de l'art. 31a aLN ne le précisait pas expressément. En effet, dans le cas contraire, le Message aurait mentionné qu'une modification avait été introduite avec l'adoption du nouvel art. 24 LN, soit l'introduction de la condition relative à la minorité de l'enfant au moment du dépôt de la demande, et aurait précisé les raisons d'une telle modification, ce qui n'est pas le cas.
Le Tribunal administratif fédéral s'est également référé au Manuel sur la nationalité du SEM pour les demandes jusqu'au 31.12.2017, (disponible sur le site https://www.sem.admin.ch, consulté le 31 octobre 2019), qui précise expressément que l'enfant doit avoir été mineur au moment du dépôt de la demande de naturalisation du parent (Manuel sur la nationalité, par. 2.4.2.2.8., p. 49; cf. également le Manuel sur la nationalité pour les demandes dès le 1.1.2018, § 631/1, qui dispose clairement, par rapport à l'art. 24 LN, que " lors du dépôt de la demande de naturalisation du parent, l'enfant étranger devait être impérativement mineur "). Le Tribunal administratif fédéral a ainsi jugé que c'était à bon droit que le SEM avait considéré que l'art. 31a aLN n'était applicable qu'aux enfants étrangers encore mineurs lors du dépôt de la demande de naturalisation de l'un de leurs parents et que la recourante, âgée de plus de 18 ans lors de la demande de naturalisation de sa mère, ne pouvait pas prétendre à la naturalisation facilitée, en application de l'art. 31a aLN.
2.3. La recourante reproche à l'autorité précédente de s'être fondée sur le Message du Conseil fédéral concernant la révision totale de la loi fédérale sur l'acquisition et la perte de la nationalité suisse du 4 mars 2011 et sur le Manuel sur la nationalité du SEM, dans lequel la condition relative à la minorité de l'enfant a été concrétisée. Elle soutient que le fait de fonder l'art. 31a aLN sur ce Message conduit à une " incohérence " dans l'application de cette disposition légale: l'art. 31a aLN aurait été appliqué sans la condition relative à la minorité de l'enfant pour les demandes de naturalisation facilitée faites du 1 er janvier 2006 jusqu'au 3 mars 2011 minimum (avant l'adoption du Message du Conseil fédéral du 4 mars 2011) et avec la condition relative à la minorité de l'enfant pour les demandes de naturalisation facilitée faites après le 4 mars 2011 (date d'adoption du Message du Conseil fédéral) jusqu'au 1 er janvier 2018 (date d'entrée en vigueur de la nouvelle loi fédérale sur la nationalité suisse).
La critique de la recourante est infondée. En effet, comme on l'a vu (cf. supra consid. 2.2), dans son raisonnement, l'instance précédente a d'abord procédé à une interprétation systématique de l'art. 31 aLN en le mettant en relation avec d'autres dispositions légales de l'aLN (cf. arrêt attaqué, consid. 6.2). Ainsi, la recourante ne saurait être suivie lorsqu'elle soutient que le Message du Conseil fédéral du 4 mars 2011 est " la seule référence à la condition contestée " (mémoire de recours, p. 13). En effet, ce n'est que dans un deuxième temps que le Tribunal administratif fédéral s'est référé au Message du Conseil fédéral du 4 mars 2011. Contrairement à ce que semble penser la recourante, rien ne laisse supposer que la conclusion que le Tribunal administratif fédéral en a tirée - à savoir que la condition relative à la minorité de l'enfant faisait déjà partie des conditions d'application de l'art. 31 aLN - n'est pas valable pour toute demande fondée sur cette disposition, dès son entrée en vigueur et indépendamment du fait que ladite demande ait été déposée avant ou après le Message du Conseil fédéral du 4 mars 2011. Les griefs de la recourante sont rejetés.
2.4. En définitive, l'analyse juridique du Tribunal administratif fédéral est convaincante et ne prête pas le flanc à la critique. En effet, dès lors qu'en principe les enfants mineurs sont compris dans la naturalisation de leurs parents (art. 33 aLN et 30 LN), les art. 34 aLN et 24 LN constituent un correctif lorsque tel n'a pas pu être le cas, par exemple parce qu'ils vivaient à l'étranger (cf. GUTZWILLER, op. cit., p. 68). Ainsi, pour corriger ces cas particuliers, ces dispositions leur permettent de bénéficier de la naturalisation facilitée, pour autant qu'ils aient été mineurs lors du dépôt de la demande et qu'ils remplissent les autres conditions (cf. arrêt 1C_330/2010 du 4 octobre 2010 consid. 2; GUTZWILLER, op. cit., p. 68 et CESLA AMARELLE, in Code annoté de droit des migrations, vol. V: Loi sur la nationalité [LN], 2014, n° 4 ad art. 31a LN).
2.5. Il découle de ce qui précède que le Tribunal administratif fédéral n'a pas violé le droit fédéral en confirmant le refus de la naturalisation facilitée à la recourante.
3.
La recourante se plaint d'une violation de l'<ref-law>. Elle reproche au Tribunal administratif fédéral d'avoir ignoré les " contestations " et les " faits légaux incontestables " qu'elle a " évoqués " dans son recours du 9 juillet 2018 (mémoire de recours, p. 7, 13 et 15).
Aux termes de l'<ref-law>, avant de prendre la décision, l'autorité apprécie tous les allégués importants qu'une partie a avancés en temps utile.
En l'occurrence, force est de constater que les " preuves " présentées par la recourante dans son recours à l'instance précédente et que celle-ci n'aurait pas " considérées " (cf. mémoire de recours, p. 13) ainsi que les " faits légaux incontestables " qui, selon la recourante, n'auraient pas été considérés par l'instance précédente en violation de l'<ref-law> (cf. mémoire de recours, p. 15) sont en réalité des arguments et appréciations juridiques qui, de l'avis de la recourante, auraient dû conduire l'instance précédente à admettre sa demande de naturalisation facilitée. Or, contrairement à ce que semble croire la recourante, l'autorité de recours n'est pas liée par les motifs invoqués par les parties (<ref-law>; arrêt 1C_121/2018 du 8 mai 2019 consid. 2.1). Il découle de ce qui précède que le Tribunal administratif fédéral n'a pas refusé de prendre en considération des allégués en violation de l'<ref-law>. Le grief de la recourante est rejeté.
4.
Selon la recourante, le Tribunal administratif fédéral a ignoré ses demandes de constatation de fait selon l'<ref-law>, de sorte qu'il a violé cette disposition.
4.1. Aux termes de l'<ref-law>, l'autorité constate les faits d'office et procède s'il y a lieu à l'administration de preuves. Selon la jurisprudence, l'autorité peut renoncer à procéder à des mesures d'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de forger sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient l'amener à modifier son opinion (<ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 299 et les références citées; sur la notion d'arbitraire, cf. <ref-ruling> consid. 5.1 p. 17). Le principe inquisitoire est en outre complété par l'obligation faite aux parties de collaborer à la constatation des faits (<ref-law>). La maxime inquisitoire ne dispense dès lors pas les parties d'une collaboration active à la procédure et d'étayer leurs propres thèses. Il leur incombe ainsi de renseigner le juge sur les faits de la cause et de lui indiquer les moyens de preuve disponibles (arrêt 1C_454/2017 du 16 mai 2018 consid. 4.1; KRAUSKOPF P./EMMENEGGER K./BABEY F., in Praxiskommentar zum Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren, 2ème éd. 2016, n. 51 ss ad <ref-law>).
4.2. En l'occurrence, les demandes " de constatation des faits " de la recourante à l'autorité précédente sont en réalité des arguments ou conclusions juridiques présentés par la recourante dans son recours contre la décision du SEM, qui, selon elle, auraient dû être " constatés " par l'instance précédente. On ne voit ainsi pas en quoi le Tribunal administratif fédéral aurait violé le principe de la maxime inquisitoire en n'entrant pas en matière sur certaines de ses conclusions. En effet, la maxime inquisitoire impose aux autorités compétentes le devoir de définir les faits pertinents et de ne tenir pour existants que ceux qui sont dûment prouvés (cf. <ref-ruling> consid. 5.4 p. 511; arrêt 2C_856/2017 du 13 mai 2019 consid. 3.1.1). Cette maxime ne les oblige pas à entrer en matière sur les conclusions de nature juridique déposées devant elles (arrêt 2C_856/2017 du 13 mai 2019 consid. 3.1.1).
Pour le surplus, la recourante ne critique pas l'administration des preuves en tant que telle, mais l'appréciation juridique des faits retenus, ce qui relève de l'application du droit. Or, cette question a été examinée ci-dessus (cf. supra consid. 2), de sorte que le grief peut être rejeté.
5.
La recourante reproche au Tribunal administratif fédéral un déni de justice au sens des <ref-law> et 94 LTF.
5.1. Sous le titre " Déni de justice et retard injustifié ", les <ref-law> et 94 LTF, dont le texte est quasi identique, énoncent ce qui suit: " Le recours est recevable si, sans en avoir le droit, la juridiction saisie s'abstient de rendre une décision sujette à recours ou tarde à le faire. "
5.2. Selon la jurisprudence et la doctrine relatives à ces deux dispositions, un recours pour déni de justice suppose que l'intéressé ait non seulement requis de l'autorité compétente une décision, mais qu'il ait également un droit à se voir notifier une telle décision; de plus, cette décision doit être sujette à recours devant la juridiction appelée à statuer sur le déni de justice formel (arrêts 4A_314/2017 du 28 mai 2018 consid. 2.4.2.1; 5A_393/2012 du 13 août 2012 consid. 1.2; ATAF D-4253/2013 du 15 août 2013 p. 3, attendus 1-4; BERNARD CORBOZ, in Commentaire de la LTF, 2 ème éd. 2014, n° 11 ad <ref-law>). En revanche, dire si la juridiction ou l'autorité inférieure s'est abstenue sans raison valable de rendre la décision requise ou a par trop tardé à le faire est un problème qui relève du fondement du recours et n'affecte donc pas la compétence de la juridiction saisie de celui-ci, laquelle, si elle n'entre pas dans les vues du recourant, devra rejeter le recours, et non pas le déclarer irrecevable (CORBOZ, op. cit., n° 15 ad <ref-law>).
5.3. En l'espèce, dans la mesure où la recourante invoque une violation des <ref-law> et 94 LTF par rapport au fait que le Tribunal administratif fédéral n'aurait pas " constaté " un certain nombre d'éléments qu'elle lui avait demandés de constater dans son recours, son grief est irrecevable. Il s'agit notamment de demandes de la recourante tendant à ce que le Tribunal administratif fédéral constate le " fait " que des " faux " figuraient, selon elle, dans le Manuel sur la nationalité, dans la décision du SEM du 15 juin 2018 et dans le Message du Conseil fédéral du 4 mars 2011 (mémoire de recours, p. 16 ab initio), ainsi que de demandes à l'instance précédente de constater trois violations de l'art. 251 du Code pénal suisse (mémoire de recours, p. 16) et de constater un excès ou un abus du pouvoir d'appréciation du SEM (mémoire de recours, p. 19 ab initio). En effet, selon la jurisprudence, les <ref-law> et 94 LTF ne visent que la passivité pure et simple d'une autorité, à savoir l'absence de toute décision ou le retard à statuer dont se serait rendue coupable l'autorité saisie (cf. arrêts 5A_661/2016 du 2 juin 2017 consid. 2 non publié in <ref-ruling> et 1B_140/2015 du 29 avril 2015 consid. 2).
Or, on ne voit pas - et la recourante ne l'expose pas - en quoi l'autorité précédente aurait refusé, expressément ou tacitement, de rendre une décision sujette à recours, ou aurait tardé à le faire au sens des <ref-law> et 94 LTF (cf. arrêt 5A_661/2016 précité consid. 2). En l'occurrence, le 9 juillet 2018, la recourante a contesté devant l'instance précédente le refus du SEM de lui octroyer la naturalisation facilitée. Après avoir notamment examiné les critiques de la recourante et analysé le raisonnement du SEM, le Tribunal administratif fédéral a rendu son arrêt le 13 août 2019, soit un an plus tard, rejetant le recours de la recourante. Or, contrairement à ce que semble penser la recourante, il n'y a pas de déni de justice si l'autorité saisie a statué sur ce qui était demandé, mais dans un sens qui déplaît au recourant. En effet, en pareil cas, il n'y a en principe plus de place pour un déni de justice ou un retard à statuer (arrêts 1B_502/2018 du 12 novembre 2018 consid. 7; 1B_140/2015 du 29 avril 2015 consid. 2 et la référence citée). Le grief de la recourante est donc irrecevable.
6.
La recourante se plaint d'une violation de l'<ref-law>. Elle réitère ses demandes de dédommagement pour " éliminer " les conséquences des actes illicites commis par le SEM au sens de l'<ref-law> notamment relatives à quatre violations de l'art. 251 du Code pénal (cf. mémoire de recours, p. 16 s. et 21) ainsi qu'au refus du SEM de lui accorder l'assistance judiciaire gratuite (cf. mémoire de recours, p. 18 s.).
Aux termes de l'<ref-law> intitulé " Décision relative à des actes matériels ", toute personne qui a un intérêt digne de protection peut exiger que l'autorité compétente pour des actes fondés sur le droit public fédéral et touchant à des droits ou des obligations: a. s'abstienne d'actes illicites, cesse de les accomplir ou les révoque; b. élimine les conséquences d'actes illicites; c. constate l'illicéité de tels actes. L'al. 2 précise que l'autorité statue par décision. L'application de l'<ref-law> suppose, d'une part et comme l'évoque la note marginale, l'existence d'un acte matériel au sens large, même si le texte ne parle que d' "actes ", (cf. <ref-ruling> consid. 4.1 et 7 p. 235 et 238; ALAIN WURZBURGER, Commentaire de la LTF, 2 ème éd. 2014, n. 58 ss. ad <ref-law>; THIERRY LARGEY, Le contrôle juridictionnel des actes matériels: Considérations à l'aune des développements récents de la jurisprudence, PJA 2019 p. 67-77) et, d'autre part, que cet acte soit illicite et touche des droits et obligations (cf. THIERRY TANQUEREL, Manuel de droit administratif, 2018, n. 698 p. 252). Sur le plan subjectif, le requérant doit faire valoir un intérêt digne de protection (cf. <ref-ruling> consid. 4.1 et 4.2 p. 324; RDAF 2015 I p. 300, 302). Or, dans le présent cas, l'on n'est pas en présence d'un acte matériel, de sorte que l'une des conditions d'application de l'<ref-law> faisait défaut. Le Tribunal administratif fédéral n'avait dès lors pas l'obligation de rendre une décision en application de l'<ref-law>. Le grief de la recourante est irrecevable.
7.
La recourante reproche à l'instance précédente d'avoir confirmé le refus de l'octroi de l'assistance judiciaire, prononcé dans la décision du SEM du 15 juin 2018. Elle se plaint également du refus de l'instance précédente de lui octroyer l'assistance judiciaire, soit en l'occurrence de lui verser un montant de 8'850 francs correspondant aux heures de travail que son père a consacrées à la rédaction de son recours contre la décision du SEM et à la rédaction de ses déterminations du 1 er octobre 2018 par rapport à la réponse du SEM.
7.1. D'après l'art. 29 al. 3 Cst., toute personne qui ne dispose pas de ressources suffisantes a droit, à moins que sa cause ne paraisse dépourvue de toute chance de succès, à l'assistance judiciaire gratuite. Elle a en outre droit à l'assistance gratuite d'un défenseur, dans la mesure où la sauvegarde de ses droits le requiert. Cette disposition confère au justiciable une garantie minimale, dont le Tribunal fédéral examine librement le respect (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 136; arrêts 2C_165/2019 du 14 février 2019 consid. 5.1 et 2C_1056/2015 du 20 janvier 2016 consid. 4.1). Ce principe est concrétisé à l'art. 65 al. 1 et 2 PA, qui est applicable à la procédure devant le Tribunal administratif fédéral en vertu de l'art. 37 de la loi fédérale du 17 juin 2005 sur le Tribunal administratif fédéral (LTAF; arrêts 2C_165/2019 du 14 février 2019 consid. 5.1 et 2C_448/2017 du 24 octobre 2017 consid. 4.1). Aux termes de l'<ref-law>, un avocat d'office peut être désigné si la sauvegarde des droits de la partie concernée le requiert. Le Tribunal fédéral revoit librement l'application de l'<ref-law>.
7.2. Selon la jurisprudence, il se justifie en principe de désigner un avocat d'office à la personne indigente lorsque la situation juridique de celle-ci est susceptible d'être affectée de manière particulièrement grave (<ref-ruling> consid. 2.1, p. 301; arrêt 1C_215/2018 du 22 mai 2018 consid. 5). Lorsque, sans être d'une portée aussi capitale, la procédure en question met sérieusement en cause les intérêts de l'intéressé, il faut en outre que l'affaire présente des difficultés en fait et en droit que le requérant ou son représentant légal ne peuvent surmonter seuls (<ref-ruling> consid. 2.1, p. 301; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 182 et les arrêts cités; arrêts 1C_215/2018 du 22 mai 2018 consid. 5; 2D_73/2015 du 30 juin 2016 consid. 6.1 et 1D_1/2013 du 7 mai 2013 consid. 5.2). Le point décisif est toujours de savoir si la désignation d'un avocat d'office est objectivement nécessaire dans le cas d'espèce. A cet égard, il faut tenir compte des circonstances concrètes de l'affaire, de la complexité des questions de fait et de droit, des particularités que présentent les règles de procédure applicables, des connaissances juridiques du requérant ou de son représentant, du fait que la partie adverse est assistée d'un avocat et de la portée qu'a pour le requérant la décision à prendre, avec une certaine réserve lorsque sont en cause principalement ses intérêts financiers (cf. arrêts 1C_215/2018 du 22 mai 2018 consid. 5; 2D_73/2015 du 30 juin 2016 consid. 6.1; 1D_1/2013 du 7 mai 2013 consid. 5.2 et 1D_6/2010 du 10 septembre 2010 consid. 3.1).
7.3. En l'espèce, le Tribunal administratif fédéral a confirmé le refus par le SEM d'attribuer à la recourante un avocat d'office pour la procédure de première instance devant lui, refus justifié par le fait que la cause ne présentait pas une difficulté nécessitant l'intervention d'un mandataire professionnel, ce qui était d'ailleurs confirmé par les prises de position circonstanciées que la recourante avait versées au dossier. Le Tribunal administratif fédéral a également relevé que les connaissances linguistiques et le niveau de formation de la recourante apparaissaient suffisants pour lui permettre de défendre de manière adéquate ses intérêts, dans la mesure où la procédure de naturalisation portait essentiellement sur des éléments factuels (cf. arrêt attaqué, p. 13).
La recourante ne s'en prend pas à cette appréciation mais se contente de soutenir que, dans la mesure où le Tribunal administratif fédéral lui a accordé l'assistance judiciaire partielle, la décision du SEM lui refusant l'assistance judiciaire " est un cas d'excès ou d'abus du pouvoir d'appréciation " (mémoire de recours, p. 18). Cette argumentation ne saurait être suivie. La décision contestée du SEM portait ainsi sur la question de savoir si la désignation d'un avocat d'office était nécessaire pour la procédure de première instance devant lui, en application de la la jurisprudence précitée (supra consid. 7.2). La conclusion du Tribunal administratif fédéral sur ce point n'est pas critiquable. En effet, dans la mesure où l'une des conditions pour désigner un avocat d'office à la recourante - à savoir que la sauvegarde de ses droits le requiert (cf. BERNARD CORBOZ, Commentaire de la LTF, 2014, p. 512-536, p. 528, n. 51 ss.) - n'était pas réalisée en l'espèce, le SEM n'avait pas à examiner la condition relative à l'absence de ressources suffisantes. Dans sa décision du 10 août 2018, le Tribunal administratif fédéral a mis la recourante au bénéfice de l'assistance judiciaire partielle, la dispensant ainsi des frais de recours. Sa décision se fonde sur l'<ref-law>, qui prévoit que " la partie qui ne dispose pas de ressources suffisantes et dont les conclusions ne paraissent pas d'emblée vouées à l'échec est, à sa demande, dispensée par l'autorité de recours, son président ou le juge instructeur de payer les frais de procédure. " Or, en se fondant sur les informations et pièces produites par la recourante pour établir sa situation financière, le Tribunal administratif fédéral a considéré qu'il y avait lieu d'admettre que celle-ci était actuellement dépourvue de ressources suffisantes au sens de l'<ref-law>. Au surplus, le Tribunal administratif fédéral a estimé, après un examen prima facie du dossier, que les conclusions du recours n'étaient pas d'emblée vouées à l'échec. Ainsi, les deux décisions auxquelles se réfère la recourante (la décision du SEM lui refusant l'assistance d'un mandataire professionnel et la décision du Tribunal administratif fédéral la dispensant des frais de la procédure de recours) ont été prises par des autorités différentes à des stades différents de la procédure et elles se fondent sur des dispositions légales différentes. Il s'ensuit que c'est en vain que la recourante conteste le refus du SEM de lui désigner un avocat d'office pour la procédure de première instance devant lui en se fondant sur la décision du Tribunal administratif fédéral, laquelle est intervenue plus tard dans la procédure et portait uniquement sur la dispense des frais de la procédure de recours. Le grief de la recourante est rejeté.
7.4. S'agissant de la procédure devant l'instance précédente, le Tribunal administratif fédéral n'a pas perçu de frais, conformément à sa décision incidente du 10 août 2018, par laquelle il avait mis la recourante au bénéfice de l'assistance judiciaire partielle. En revanche, dans la mesure où elle n'a pas obtenu gain de cause, le Tribunal administratif fédéral ne lui a pas alloué de dépens, conformément à l'<ref-law> a contrario, qui prévoit que " l'autorité de recours peut allouer, d'office ou sur requête, à la partie ayant entièrement ou partiellement gain de cause une indemnité pour les frais indispensables et relativement élevés qui lui ont été occasionnés. " Ce raisonnement ne prête pas le flanc à la critique et la recourante ne développe aucune argumentation conforme aux exigences de motivation de l'<ref-law> qui permettrait de le remettre en cause. Son grief est donc irrecevable.
8.
La recourante reproche enfin au Tribunal administratif fédéral de s'être déclaré incompétent par rapport à ses deux demandes de dédommagement, sans toutefois transmettre l'affaire à l'autorité compétente conformément à l'<ref-law>.
8.1. L'<ref-law> prévoit que l'autorité qui se tient pour incompétente transmet sans délai l'affaire à l'autorité compétente. Cette obligation doit être respectée par les autorités administratives fédérales énumérées à l'art. 1 er al. 2 PA, dont fait partie le Tribunal administratif fédéral (let. c bis). Selon l'<ref-law>, lorsque la partie s'adresse en temps utile à une autorité incompétente, le délai est réputé observé. Le principe, selon lequel les délais sont considérés comme respectés si une partie dépose un acte - y compris une action en dommages-intérêts - en temps voulu auprès d'une autorité incompétente, a été reconnu par le Tribunal fédéral comme principe général valant pour tous les domaines du droit (<ref-ruling> consid. 3.5 p. 641 s.; arrêts 2C_824/2014 du 22 mai 2015 consid. 6.2 et 6B_1093/2015 du 28 juillet 2016 consid. 1.2). Ce principe permet d'éviter tout formalisme excessif et concrétise celui de l'interdiction du déni de justice (<ref-ruling> consid. 3.5 p. 641 s.; arrêts 2C_824/2014 du 22 mai 2015 consid. 6.2 et 6B_1093/2015 du 28 juillet 2016 consid. 1.2).
D'après l'art. 10 al. 1 de la loi fédérale sur la responsabilité de la Confédération, des membres de ses autorités et de ses fonctionnaires (Loi sur la responsabilité, LRCF; RS 170.32), " l'autorité compétente statue sur les réclamations de la Confédération qui sont contestées ou sur celles qui sont dirigées contre elle. La procédure de recours est régie par les dispositions générales de la procédure fédérale. " L'art. 2 al. 1 de l'Ordonnance relative à la loi sur la responsabilité du 30 décembre 1958 (OLRCF; RS 170.321) prévoit que c'est le Département fédéral des finances qui est compétent, au sens de l'art. 10, al. 1 de la loi sur la responsabilité, pour statuer sur les réclamations. Ce n'est donc que contre la décision de l'autorité compétente qu'un recours peut être formé auprès du Tribunal administratif fédéral (art. 2 al. 3 OLRCF; art. 31, 33 et 32 a contrario de la loi fédérale du 17 juin 2005 sur le Tribunal administratif fédéral (LTAF; RS 173.32), puis ensuite, si la valeur litigieuse atteint au moins 30'000 francs ou si la contestation soulève une question juridique de principe, auprès du Tribunal fédéral sous la forme d'un recours en matière de droit public (art. 82, 85 al. 1 let. a et al. 2, 86 al. 1 let. a LTF; cf. THIERRY TANQUEREL, La responsabilité de l'Etat selon le modèle de la LRCF, in Manuel de droit administratif, 2018, n. 1674).
8.2. En l'espèce, le Tribunal administratif fédéral a jugé que les conclusions de la recourante tendant à l'octroi d'une indemnité pour tort moral en " raison des atteintes à la joie de vivre " que celle-ci aurait endurées dans le cadre de sa procédure de naturalisation facilitée étaient irrecevables, dans la mesure où elles allaient au-delà de l'objet de la contestation, lequel est défini par la décision attaquée (cf. <ref-ruling> consid. 5.2.1 p. 426), soit en l'occurrence le refus de la naturalisation facilitée de la recourante. Il a ensuite souligné qu'une éventuelle action en responsabilité de la Confédération, des membres de ses autorités et de ses fonctionnaires relevait en principe de la compétence du Département fédéral des finances. Il a enfin rappelé à la recourante qu'une telle action supposait l'existence d'un acte illicite, condition qu'il appartenait à celle-ci de prendre en considération avant d'envisager l'ouverture d'une telle action contre le SEM.
8.3. C'est à bon droit que le Tribunal administratif fédéral s'est déclaré incompétent pour statuer sur la demande de dommages-intérêts de la recourante, dans la mesure où celle-ci relève de la compétence du Département fédéral des finances. En revanche, conformément à l'<ref-law> et indépendamment des chances de succès d'une telle action, il aurait dû transmettre l'affaire au Département fédéral des finances, ce qu'il n'a pas fait. En raison de la violation de l'obligation de transmission, il convient donc de renvoyer la cause à l'instance inférieure pour qu'elle transmette l'affaire conformément à l'<ref-law>. Il sied de relever que le délai de prescription d'un an à compter du jour où la recourante a eu connaissance du dommage allégué - prévu à l'<ref-law> - devra a priori être considéré comme respecté, dans la mesure où la recourante s'est apparemment adressée au Tribunal administratif fédéral en temps utile conformément à l'<ref-law>.
Le recours se révèle ainsi bien fondé sur ce point.
9.
Devant le Tribunal fédéral, la représentation par le biais d'un avocat n'est pas obligatoire en matière de droit public (<ref-law> a contrario; cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 522; <ref-ruling> consid. 8.3 p. 215; arrêts 2C_1043/2013 du 11 juin 2014 consid. 3 et 9C_485/2016 du 21 mars 2017 consid. 3.1). Aussi, si une partie a recouru aux services d'un mandataire qui n'est pas avocat, il est possible de lui allouer une indemnité en vertu de l'art. 9 du règlement du 31 mars 2006 sur les dépens alloués à la partie adverse et sur l'indemnité pour la représentation d'office dans les causes portées devant le Tribunal fédéral (RS 173.110.210.3) à la condition que ce mandataire soit autorisé à représenter la partie en justice et que la qualité de son travail le justifie (cf. BERNARD CORBOZ, in Commentaire de la LTF, 2 ème éd., 2014, n° 17 ad art. 68). Le droit fédéral ne définit pas ce qu'il faut entendre par mandataire ou représentant qualifié. Selon la jurisprudence, peuvent agir comme représentants dans les matières relevant du droit public, des fiduciaires, des syndicats, des associations caritatives, des médecins ou des spécialistes divers (cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 11 s.; arrêt 8C_546/2018 du 9 octobre 2018 consid. 5.1; voir aussi FLORENCE AUBRY GIRARDIN, in Commentaire de la LTF, 2 ème éd., 2014, n° 12 ad <ref-law> et les références jurisprudentielles citées). Selon la doctrine, si la partie a procédé elle-même et s'est faite assister d'un mandataire non autorisé à représenter la partie en justice, il n'en est normalement pas tenu compte et aucune indemnité n'est allouée; exceptionnellement, le tribunal peut allouer une indemnité réduite si le mandataire a une formation appropriée et que sa prestation était adaptée aux circonstances (CORBOZ, op. cit., n° 17 ad art. 68).
En l'espèce, la recourante conclut à l'octroi de dépens qu'elle chiffre à 5'550 francs et qui correspondent à 37 heures de travail que son beau-père, docteur en sciences, aurait consacrées à la rédaction de son recours au Tribunal fédéral. Il ne ressort pas de l'arrêt attaqué que son beau-père - décrit comme un docteur en sciences - serait un représentant " qualifié " au sens de la jurisprudence et de la doctrine précitées, dans la mesure où il ne dispose pas de la formation appropriée. En outre, il n'est pas établi - et la recourante ne l'allègue pas - qu'elle aurait rémunéré son beau-père pour la rédaction du présent recours. Dans ces circonstances, la recourante ne saurait prétendre à des dépens.
10.
Il découle de ce qui précède que le recours en matière de droit public doit être partiellement admis dans la mesure où il est recevable et la cause renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle transmette l'affaire conformément à l'<ref-law> (cf. consid. 8). Pour le surplus, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
La recourante, qui succombe partiellement, devrait supporter une partie des frais judiciaires (<ref-law>). Compte tenu néanmoins de la situation de l'intéressée, qui est indigente et qui agit seule, le présent arrêt sera exceptionnellement rendu sans frais (art. 66 al. 1, 2 ème phrase LTF). Il n'est pas alloué de dépens à la recourante, qui a agi seule, sans l'aide d'un mandataire professionnel et qui n'obtient que très partiellement gain de cause (cf. supra consid. 9; cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 4 p. 136; arrêt 2C_740/2018 du 18 juin 2019 consid. 8). En raison de l'admission partielle de son recours, la requête d'assistance judiciaire présentée par la recourante est en partie sans objet et, pour le surplus, doit être rejetée, faute de chances de succès (<ref-law>; cf. arrêt 1B_440/2017 du 8 mars 2018 consid. 6).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis dans la mesure où il est recevable et la cause est renvoyée au Tribunal administratif fédéral pour qu'il procède au sens des considérants. Pour le surplus, le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Il n'est pas alloué de dépens.
4.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée dans la mesure où elle n'est pas sans objet.
5.
Le présent arrêt est communiqué à la recourante, au Secrétariat d'Etat aux migrations et au Tribunal administratif fédéral, Cour VI.
Lausanne, le 5 décembre 2019
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Chaix
La Greffière : Thalmann