Faits :
A.
A.a. En 2011, B._ (ci-après: l'assuré), conseiller indépendant en environnement intérieur de bâtiments, a souscrit auprès de A._ SA (ci-après: l'assureur ou la compagnie d'assurance) une assurance contre le risque de perte de gain en cas de maladie et d'accident, soumise à la loi fédérale sur le contrat d'assurance (LCA; RS 221.229.1). En cas de maladie, la police prévoit le droit à des indemnités journalières correspondant à 100% de la " somme de salaire fixe " (48'000 fr. par an) pendant " 730 jours par cas sous déduction du délai d'attente ", celui-ci étant de 30 jours.
Les conditions générales d'assurance (ci-après: CGA) auxquelles renvoie la police énoncent notamment ce qui suit:
"12 En cas d'incapacité de travail complète de l'assuré médicalement attestée, nous versons l'indemnité journalière convenue dans le contrat.
13 En cas d'incapacité de travail partielle d'au moins 25%, l'indemnité journalière est versée proportionnellement au degré de cette incapacité de travail.
(...)
16 On entend par incapacité de travail l'inaptitude partielle ou totale de l'assuré à fournir le travail que l'on peut raisonnablement attendre de lui dans sa profession actuelle ou son domaine de tâches, cela en raison d'une atteinte à sa santé physique ou psychique....
(...)
26 Si l'assuré perçoit pour la maladie une prestation des assurances d'état ou d'entreprises ou encore de tiers responsables, nous complétons ces prestations à la fin du délai d'attente jusqu'à concurrence de l'indemnité journalière assurée....
(...)
28 Si le droit à une rente découlant d'une assurance d'état ou d'entreprise n'est pas encore établi, A._ peut avancer à bien plaire l'indemnité journalière assurée. Dans ce cas, A._ exige le remboursement des prestations versées en trop à compter de la date du début du droit à la rente. Elle est libre de réclamer le montant dû soit auprès de l'assuré lui-même soit auprès de l'assureur débiteur de la rente. L'avance éventuelle est accordée sous la réserve expresse d'un remboursement à la date du versement des arriérés de rentes dus. Le remboursement porte sur un montant correspondant à la rente due au cours de la même période. L'assuré cède à A._ ses droits pécuniaires à l'encontre des autres assureurs jusqu'à concurrence du montant des avances versées. "
A.b. Le 21 juillet 2014, l'assuré a informé la compagnie d'assurance qu'il était totalement incapable de travailler depuis le 1 er juillet 2014 en raison d'une maladie. Le 29 juillet 2014, il a subi une intervention chirurgicale en vue de l'ablation d'une tumeur nerveuse bénigne en dehors de la moelle épinière.
A partir du 31 juillet 2014, soit à l'échéance du délai d'attente de trente jours, l'assureur a versé à l'assuré des indemnités journalières de 131 fr. 50 (48'000 fr. / 365 jours).
Le 12 novembre 2014, l'assuré a déposé une demande de prestations d'assurance-invalidité (AI) auprès de l'Office cantonal AI valaisan (OAI).
Par la suite, plusieurs médecins se sont prononcés sur l'état de santé de l'assuré et sa capacité de travail.
Le 21 janvier 2016, la compagnie d'assurance, se référant à deux projets de décisions de l'OAI refusant l'octroi d'une rente en faveur de l'assuré, a indiqué qu'elle cesserait le paiement des indemnités journalières à partir du 1 er février 2016.
Par lettre du 5 février 2016, l'assuré a vainement réclamé le maintien du versement des indemnités journalières.
Le 2 juin 2016, l'assuré a indiqué à la compagnie d'assurance qu'il remplissait les conditions prévues pour prétendre à des indemnités journalières puisque, selon le rapport établi par le Prof. C._, il était incapable d'exercer son activité habituelle.
L'assureur lui a répondu, par pli du 17 juin 2016, qu'il partageait l'avis du Prof. C._ quant au fait que l'activité habituelle n'était plus exigible. Cependant, il estimait que l'assuré était pleinement capable d'exercer une activité légère et adaptée.
B.
Le 19 juillet 2016, l'assuré a assigné la compagnie d'assurance devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Valais en paiement de la somme de 23'670 fr., avec intérêts à 5% l'an dès le 1 er mai 2016 (date moyenne), montant correspondant aux indemnités journalières dues pour la période du 1 er février au 29 juillet 2016 (180 jours x 131 fr. 50).
La défenderesse a conclu au rejet de la demande.
Les parties ont déposé des plaidoiries écrites en date du 23 mai 2017 (défenderesse) et du 8 juin 2017 (demandeur).
L'instruction a été clôturée par ordonnance du 9 juin 2017.
Le 26 juillet 2017, l'Office AI pour les assurés résidant à l'étranger (OAIE), qui avait repris la gestion du dossier AI compte tenu du nouveau domicile à l'étranger de l'assuré, a octroyé au demandeur une demi-rente d'invalidité d'un montant mensuel de 912 fr. à compter du 1 er juillet 2015.
Après avoir sollicité et obtenu de l'OAIE la production du dossier AI, la cour cantonale a procédé à la réouverture de l'instruction et a fixé aux parties un délai pour se déterminer sur le contenu dudit dossier.
Le 5 octobre 2018, le demandeur a réduit ses conclusions à 18'198 fr., intérêts en sus, pour tenir compte des prestations AI perçues entre le 1 er février 2016 et le 31 juillet 2016 (23'670 - 5'472 [6 x 912]). La défenderesse ne s'est pas déterminée dans le délai imparti.
Par jugement du 10 juillet 2019, la cour cantonale a partiellement admis la demande et condamné la défenderesse à verser au demandeur la somme de 11'814 fr., avec intérêts à 5% l'an dès le 1 er mai 2016. Elle a fixé l'indemnité pour les dépens à 1'800 fr. dans la mesure où le demandeur avait partiellement obtenu gain de cause.
C.
Le 9 septembre 2019, la compagnie d'assurance (la recourante) a saisi le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile dans lequel elle conclut à la réforme du jugement cantonal en ce sens qu'elle ne doit aucun montant au demandeur (cause 4A_427/2019).
L'assuré (le recourant) a également formé un recours en matière civile, à l'issue duquel il demande au Tribunal fédéral, en substance, d'annuler le jugement du 10 juillet 2019, de faire droit aux conclusions qu'il avait soumises aux juges précédents et de condamner l'assureur à lui verser une indemnité de 3'000 fr. pour les dépens de la procédure cantonale (cause 4A_435/2019).
Chacun des recourants a proposé, dans sa réponse, le rejet des conclusions de son adverse partie.
Pour sa part, la cour cantonale a indiqué renoncer à déposer une réponse au recours du demandeur. Invitée à se déterminer sur l'autre recours, elle n'a pas répondu.
Par ordonnance du 9 octobre 2019, la Présidente de la cour de céans a fait droit à la requête d'effet suspensif de la recourante.

Considérant en droit :
1.
Les deux recours sont dirigés contre le même jugement, reposent sur le même complexe de faits et opposent les mêmes parties; dans ces circonstances, il y a lieu, par économie de procédure, de joindre les deux causes et de statuer à leur sujet par un seul arrêt (<ref-law>, applicable par analogie en raison du renvoi de l'<ref-law>).
2.
Les deux recours visent une décision finale (<ref-law>) rendue en matière civile (<ref-law>) par une cour cantonale statuant en instance cantonale unique au sens de l'<ref-law> et de l'<ref-law>, de sorte que la voie du recours en matière civile est ouverte sans égard à la valeur litigieuse (<ref-law>). Déposés dans le délai (art. 46 al. 1 let. b et 100 al. 1 LTF) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi, ils sont recevables au regard de ces dispositions.
3.
3.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes ou découlent d'une violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). "Manifestement inexactes" signifie ici "arbitraires" (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 253; <ref-ruling>, précité, consid. 2 p. 117; <ref-ruling> consid. 1.5). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266 et les références). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18 et les références); les critiques dites appellatoires, tendant simplement à une nouvelle appréciation des preuves, sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254; voir aussi <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 253; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 266; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62).
3.2. Le recours en matière civile peut être exercé pour violation du droit fédéral (<ref-law>), y compris le droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 247; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 313). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, sauf en cas d'erreurs juridiques manifestes. Il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.3). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, il n'examine la violation d'un droit constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de façon détaillée (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling>, précité, consid. 1.3; <ref-ruling> consid. 1.4 in fine).
4.
Dans le jugement attaqué, la cour cantonale, en procédant à l'interprétation des art. 12 et 13 CGA, a constaté que le contrat d'assurance prévoit le versement d'indemnités journalières en faveur de l'assuré même lorsque celui-ci ne subit aucune perte effective sur le plan économique, puisque le montant de l'indemnité journalière varie exclusivement en fonction du degré d'incapacité de travail de l'assuré. Elle en a conclu qu'il s'agissait d'une assurance de sommes.
Après avoir écarté les moyens soulevés par la défenderesse, tirés de l'obligation de réduire le dommage et de l'enrichissement illégitime, les juges cantonaux ont considéré que l'assuré était totalement incapable d'exercer son activité habituelle d'indépendant. A cet égard, ils ont souligné que la défenderesse avait elle-même reconnu que l'assuré n'était plus apte à poursuivre son activité habituelle. Dans la mesure où elle n'avait pas formellement sommé l'assuré de reprendre une activité adaptée dans un délai approprié, la défenderesse ne pouvait pas interrompre le versement des indemnités journalières. Le demandeur avait dès lors droit, après le délai d'attente de 30 jours, à 730 indemnités journalières de 131 fr. 50 chacune. L'assuré ayant déjà perçu 550 indemnités journalières entre le 31 juillet 2014 et le 31 janvier 2016, le montant encore dû s'élevait à 23'670 fr. (180 [730 - 550] x 131 fr. 50). Toutefois, la cour cantonale a estimé qu'il y avait lieu, selon les art. 26 ss CGA, d'imputer sur ledit montant les demi-rentes d'invalidité versées à l'assuré, non pas à partir du 1 er février 2016 comme le réclamait le demandeur, mais dès juillet 2015 - date du début du droit à la demi-rente d'invalidité - et ce jusqu'au 30 juillet 2016, date d'échéance du droit aux indemnités journalières. Le demandeur avait ainsi droit à 11'814 fr. (23'670 - 11'856 fr. [13 x 912 fr.]).
5.
5.1. Dénonçant pêle-mêle la violation des art. 243 et 247 CPC, de l'art. 9 Cst. ainsi que de plusieurs clauses contenues dans les conditions générales d'assurance, la recourante soutient que le jugement attaqué lui imposerait de verser des indemnités journalières durant 761 jours. Elle fait valoir que le délai d'attente convenu de 30 jours doit être déduit de la durée de versement des indemnités journalières. A l'en croire, le droit aux indemnités journalières aurait pris fin le 29 juin 2016.
Semblable argumentation tombe à faux. Force est d'emblée de relever que la recourante a admis, sans la moindre réserve, l'allégué 5 de la demande du 19 juillet 2016 qui a la teneur suivante: " En cas de maladie, le contrat d'assurance prévoit une couverture de 100% du salaire convenu durant 730 jours, à l'expiration d'un délai d'attente de 30 jours. " Partant, c'est à bon droit que la cour cantonale a calculé la durée de 730 jours à compter du 31 juillet 2014. Ensuite, s'il faut admettre avec la recourante que le jugement attaqué mentionne, à tort, que le droit aux indemnités journalières a pris fin le 30 juillet 2016, il n'en demeure pas moins que le calcul relatif au nombre d'indemnités journalières encore dues est lui exact. En effet, la cour cantonale a retenu à juste titre que le demandeur avait encore droit à 180 indemnités journalières de 131 fr. 50 chacune, soit un montant total de 23'670 fr., puisqu'il en avait déjà perçu 550. Aussi, l'indication erronée de la date d'échéance du droit aux indemnités journalières (30 juillet 2016 au lieu du 29 juillet 2016) n'a-t-elle eu aucune incidence sur le résultat, correct, auquel ont abouti les juges cantonaux.
5.2. La recourante fait encore valoir que l'autorité cantonale aurait violé l'art. 26 CGA en considérant qu'elle devait des indemnités journalières entières du 1 er février 2016 au 30 juillet 2016, sous déduction de la demi-rente d'invalidité. A l'en croire, l'indemnité journalière due s'élèverait en réalité à 65 fr. 75 (131 fr. 50 / 2).
Ce grief ne résiste pas à l'examen. En l'espèce, l'autorité cantonale a retenu que le droit à une indemnité journalière ne suppose pas que l'assuré subisse une perte effective sur le plan économique, dès l'instant où un montant journalier forfaitaire est prévu en fonction du seul degré de l'incapacité de travail de l'assuré, celle-ci étant définie comme l'impossibilité d'exercer sa profession actuelle (art. 12, 13 et 16 CGA). Il s'agit dès lors d'une assurance de sommes. La cour cantonale a constaté que l'assuré présentait une incapacité totale d'exercer son activité habituelle. Cette constatation de fait, que la recourante ne taxe pas d'arbitraire dans son mémoire, lie le Tribunal fédéral. Aussi, est-ce à juste titre que l'autorité cantonale a considéré que l'assuré pouvait prétendre à des indemnités journalières entières soit de 131 fr. 50 chacune.
5.3. Sur le vu de ce qui précède, le recours de la compagnie d'assurance ne peut être que rejeté.
6.
En annexe à son mémoire, le recourant a produit une pièce datée du 12 juillet 2019. Il s'agit d'une pièce nouvelle et, partant, irrecevable à ce stade de la procédure (<ref-law>).
6.1. Dénonçant notamment un établissement manifestement inexact des faits et la violation des art. 55, 57 et 58 CPC, le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir imputé les demi-rentes d'invalidité dues pour la période du 1 er juillet 2015 au 31 janvier 2016 sur le montant des indemnités journalières dues pour la période du 1 er février 2016 au 31 juillet 2016.
6.2. Dans le cas d'une assurance de personnes conçue comme une assurance de sommes, l'assuré peut cumuler les prétentions en versement des indemnités journalières prévues par le contrat d'assurance avec d'autres prétentions en raison du même événement dommageable; la prestation de l'assureur de sommes est due indépendamment du point de savoir si l'ayant droit reçoit des prestations de la part d'autres assureurs ou d'un tiers responsable; la surindemnisation de l'ayant droit est possible et, conformément à l'<ref-law>, les droits que l'ayant droit aurait contre des tiers en raison du sinistre ne passent pas à l'assureur. Les prestations versées par un assureur social ne peuvent pas être imputées sur les allocations journalières dues par l'assureur privé à moins, évidemment, que les conditions générales d'assurance ne prévoient une telle imputation (<ref-ruling> consid. 3.2.5).
6.3. En l'espèce, l'art. 28 CGA prévoit certes la possibilité pour l'assureur d'exiger le remboursement des indemnités journalières versées à l'assuré lorsque celui-ci a aussi perçu des prestations d'un assureur social. Cependant, à teneur de ladite clause, le " remboursement porte sur un montant correspondant à la rente due au cours de la même période. " Or, dans sa demande en paiement, le recourant a réclamé le paiement des indemnités journalières dues pour la période comprise entre le 1 er février 2016 et le 29 juillet 2016. Aussi est-ce à tort que la cour cantonale a tenu compte des demi-rentes d'invalidité se rapportant à la période comprise entre le 1 er juillet 2015 et le 31 janvier 2016.
Au surplus, lorsqu'elle a été invitée à se déterminer sur le contenu du dossier AI de l'assuré, la compagnie d'assurance n'a jamais déclaré compenser les montants dus avec la prétention en remboursement des demi-rentes d'invalidité perçues par l'assuré entre le 1 er juillet 2015 et le 31 janvier 2016, ni a fortiori chiffré sa créance compensante. Dans ces conditions, la cour cantonale a erré en déduisant du montant dû au recourant les rentes d'invalidité relatives à la période comprise entre le 1 er juillet 2015 et le 31 janvier 2016.
7.
En conclusion, le recours déposé par B._ doit être admis et le jugement attaqué réformé en ce sens que A._ SA est condamnée à payer au recourant la somme de 18'198 fr., avec intérêts à 5% l'an dès le 1 er mai 2016, ce montant correspondant aux indemnités journalières dues entre le 1 er février 2016 et le 29 juillet 2016 (23'670 [180 jours x 131 fr. 50]), sous déduction des demi-rentes d'invalidité versées au cours de cette même période (5'472 fr. [6 x 912 fr.]).
8.
Les frais judiciaires relatifs au recours de la compagnie d'assurance seront mis à sa charge, à titre de partie qui succombe (<ref-law>); l'assureur versera également des dépens à l'assuré (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Les frais judiciaires relatifs au recours de l'assuré seront mis à la charge de la compagnie d'assurance qui succombe (<ref-law>) et qui versera en outre des dépens à l'assuré (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
La cause sera renvoyée à la cour cantonale afin qu'elle statue à nouveau sur la seule question des dépens de la procédure cantonale, étant précisé qu'il n'est pas perçu de frais judiciaires dans la procédure au fond au niveau cantonal conformément à l'art. 114 let. e CPC.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 4A_427/2019 et 4A_435/2019 sont jointes.
2.
Le recours formé par A._ SA est rejeté.
3.
Le recours interjeté par B._ est admis. Le jugement attaqué est réformé en ce sens que A._ SA est condamnée à payer au recourant la somme de 18'198 fr., avec intérêts à 5% l'an dès le 1 er mai 2016.
4.
Les frais judiciaires relatifs au recours 4A_427/2019, arrêtés à 2'000 fr., ainsi que ceux relatifs au recours 4A_435/2019, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de A._ SA.
5.
A._ SA versera à B._ la somme de 3'500 fr. à titre de dépens.
6.
La cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure cantonale.
7.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 28 janvier 2020
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
Le Greffier : O. Carruzzo