Die Präsidentin zieht in Erwägung:
1.
Das Appellationsgericht des Kantons Basel Stadt verurteilte den Beschwerdeführer am 3. September 2020 wegen mehrfacher ungetreuer Geschäftsbesorgung mit Bereichungsabsicht und weiterer Delikte zu einer Geldstrafe mit bedingtem Strafvollzug unter Auferlegung einer Probezeit von 2 Jahren (abzüglich der bereits abgelaufenen Probezeit vom 30. Oktober 2017 bis zum 15. November 2018). Dagegen erhob der Beschwerdeführer Beschwerde in Strafsachen. Das Beschwerdeverfahren ist beim Bundesgericht unter der Verfahrensnummer 6B_1208/2020 hängig.
Am 19. Oktober 2021 stellte der Beschwerdeführer beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt den Antrag auf gerichtliche Feststellung des Ablaufs der zweijährigen Bewährungsfrist und Mitteilung an das Bundesgericht.
Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt hielt in seiner Verfügung vom 20. Oktober 2021 fest, Anfragen zum Stand des bundesgerichtlichen Verfahrens seien an das Bundesgericht zu richten. Für die Behandlung von anderen Feststellungsbegehren fehle jegliche Grundlage, weshalb die Anträge abzuweisen seien.
Der Beschwerdeführer wendet sich mit Beschwerde an das Bundesgericht und beantragt, die Verfügung vom 20. Oktober 2021 aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Vorinstanz sei anzuweisen, den Ablauf/Verlauf der Bewährungsfrist festzustellen.
2.
Der erhobenen Beschwerde in Strafsachen fehlt es nicht nur an einem der bundesgerichtlichen Rechtsüberprüfung zugänglichen anfechtbaren Entscheid (vgl. <ref-law>), sondern es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz das/die Feststellungsbegehren zu Unrecht abgewiesen haben könnte. Die Frage, ob die Probezeit für die bedingt aufgeschobene Geldstrafe bereits vollumfänglich abgelaufen ist und ob der allfällige Ablauf der Probezeit die Einstellung des Verfahrens bewirkt, hat der Beschwerdeführer dem Bundesgericht bereits mit Beschwerde unterbreitet und wird im Verfahren 6B_1208/2020 zu beurteilen sein. Auf die vorliegende Beschwerde in Strafsachen ist im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
3.
Auf eine Kostenauflage kann ausnahmsweise verzichtet werden (<ref-law>). Die mit der Beschwerde gestellten Verfahrensanträge werden mit dem vorliegenden Entscheid gegenstandslos.

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. November 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Jacquemoud-Rossari
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill