Erwägungen:
1.
1.1. Der deutsche Staatsangehörige A._ (geb. 1955) lebt seit dem 1. März 2017 in U._, wo er eine Kurzaufenthaltsbewilligung EU/EFTA erhielt, bis Ende September 2017 arbeitete und ab dem 9. Oktober 2017 beim RAV registriert war. Das Amt für Migration und Zivilrecht (AFM; nachfolgend: Migrationsamt) lehnte am 10. Oktober 2019 die Verlängerung der Kurzaufenthaltsbewilligung EU/EFTA zur Ausübung einer selbständigen Erwerbstätigkeit ab und erteilte ihm eine letztmalige Kurzaufenthaltsbewilligung bis zum 28. Februar 2020 zur Stellensuche. Am 3. Februar 2020 reichte A._ erneut ein Gesuch um Verlängerung der bestehenden Kurzaufenthaltsbewilligung zur Stellensuche und ein Gesuch um Bewilligung für die Aufnahme einer selbständigen Erwerbstätigkeit ein. Am 7. August 2020 teilte das Migrationsamt A._ mit, sein Aufenthaltsrecht sei gesetzlich erloschen.
1.2. Am 10. September 2020 erging die Verfügung des Migrationsamtes betreffend Erlöschen des Aufenthaltsrechts, Verweigerung der Verlängerung der Kurzaufenthaltsbewilligung und Verweigerung der Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung als selbständig Erwerbender. Dagegen erhob A._ "Widerspruch" beim Migrationsamt, welches die Eingabe als Beschwerde an das Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit (nachfolgend: Departement) weiterleitete. Dieses wies die Beschwerde mit Departementsverfügung vom 17. März 2021 ab.
A._ ersuchte das Migrationsamt um eine erneute Zustellung der Departementsverfügung vom 17. März 2021, weil er die Sendung nach eigenen Angaben nicht erhalten habe. In der Folge verwies ihn das Departement am 15. Juni 2021 auf den "Track & Trace"-Auszug der Post, wonach die Zustellung am 18. März 2021 erfolgt sei und teilte ihm mit, die erneute Zustellung der Verfügung löse keine neue Rechtsmittelfrist aus. Eine E-Mail-Eingabe von A._ vom 26. Juni 2021 an das Departement und das Migrationsamt, mit welcher er um Erstreckung der Rechtsmittelfrist ersuchte, wurde zuständigkeitshalber an das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden weitergeleitet. Mit Schreiben vom 30. Juni 2021 klärte der Instruktionsrichter A._ über die Möglichkeit der Wiederherstellung der Frist auf und gewährte ihm eine Frist von zehn Tagen zur präzisen Darlegung mit Nachweisen, weshalb die Frist wiederhergestellt werden müsse.
Mit Urteil des Einzelrichters vom 28. Oktober 2021 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 1. Kammer, das Gesuch um Wiederherstellung der Frist ab und trat auf die Beschwerde nicht ein.
1.3. Mit Eingabe vom 14. Dezember 2021 erhebt A._ "Einspruch" gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 19. November [recte: 28. Oktober] 2021 an das Bundesgericht und beantragt sinngemäss die Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist für das vorinstanzliche Verfahren.
Mit Schreiben vom 20. Dezember 2021 wurde A._ darauf aufmerksam gemacht, dass seine Beschwerde den Begründungsanforderungen an eine Eingabe an das Bundesgericht nicht genügen dürfte; er habe aber noch bis zum Ablauf der Beschwerdefrist Gelegenheit, seine Eingabe zu verbessern. In der Folge reichte er eine weitere vom 25. Dezember 2021 datierte Eingabe ein.
2.
2.1. Nach <ref-law> (Bundesgerichtsgesetz; SR 173.110) haben die Rechtsschriften an das Bundesgericht die Begehren, deren Begründung mit Angabe der Beweismittel und die Unterschrift zu enthalten. In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Die beschwerdeführende Partei muss in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Urteils massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form plausibel darlegen, inwiefern die Vorinstanz Rechte oder Rechtsnormen verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2, mit weiteren Hinweisen). Beruht der angefochtene Entscheid auf kantonalem Recht (vorliegend auf kantonalem Verfahrensrecht), kann weitgehend bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, namentlich Willkür, bei dessen Anwendung gerügt werden; entsprechende Rügen bedürfen gemäss <ref-law> besonderer Geltendmachung und Begründung (<ref-ruling> E. 1.3, mit Hinweisen).
2.2. Die vorliegende Eingabe genügt diesen Anforderungen nicht: Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens kann nur die Frage bilden, ob die Vorinstanz - unter Abweisung des Gesuchs um Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist - auf die Beschwerde gegen die Departementsverfügung vom 17. März 2021 zu Recht nicht eingetreten ist. Die Vorinstanz hat die Voraussetzungen dargelegt, unter welchen Rechtsmittelfristen gemäss dem kantonalen Recht wiederhergestellt werden können. Sie hat ausgeführt, Gesuche um Fristwiederherstellung seien zu begründen und spätestens innert zehn Tagen nach Wegfall des unverschuldeten Hindernisses einzureichen. Vorliegend sei das Gesuch um Fristwiederherstellung indessen verspätet eingereicht worden. Sodann hat das Verwaltungsgericht festgehalten, dass das Gesuch ohnehin hätte abgewiesen werden müssen. So hat es mit eingehender Begründung - unter Hinweis auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung in Bezug auf A-Post-Plus-Sendungen - ausgeführt, bei solchen Zustellungen bestehe die Vermutung, dass sie ordnungsgemäss erfolgt seien. Zwar würden allfällige Fehler bei der Postzustellung auch bei dieser Zustellungsart nicht ausserhalb jeder Wahrscheinlichkeit liegen; eine fehlerhafte Postzustellung sei allerdings nicht zu vermuten, sondern nur anzunehmen, wenn sie aufgrund der Umstände plausibel erscheine (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.4.1 S. 604). Der Beschwerdeführer habe indessen nicht darlegen können, weshalb ihm die Verfügung unverschuldet nicht zugestellt worden sei.
2.3. Mit diesen Erwägungen setzt sich der Beschwerdeführer in seinen Eingaben vom 14. und 25. Dezember 2021 nicht sachbezogen auseinander. Stattdessen beschränkt er sich darauf, zu behaupten, er habe die Departementsverfügung vom 17. März 2021 nicht erhalten, was sich aber naturgemäss nicht beweisen lasse. Im Übrigen erschöpfen sich seine Ausführungen in Vermutungen über mögliche Fehler bei der Postzustellung sowie in allgemeiner Kritik am "Track & Trace"- System. Dies genügt nach dem Gesagten den Anforderungen an die Beschwerdebegründung nicht (vgl. E. 2.1 hiervor). Damit entspricht seine Beschwerde den gesetzlichen Vorgaben von Art. 42 Abs. 1 und 2 und 106 Abs. 2 BGG nicht. Auch seine Beschwerdeverbesserung enthält keine rechtsgenügliche Argumentation.
2.4. Da die Eingabe in der vorliegenden Form somit offensichtlich keine sachbezogene Begründung enthält, ist durch die Präsidentin als Instruktionsrichterin im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> darauf nicht einzutreten.
3.
Dem Verfahrensausgang entsprechend hat der Beschwerdeführer die Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren zu tragen (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 1. Kammer, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Januar 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Die Gerichtsschreiberin: D. Ivanov