Erwägungen:
1.
A._ (geb. 1975) stammt aus Serbien. Er hatte die Schweiz bis zum 31. Oktober 2015 zu verlassen, nachdem das Migrationsamt des Kantons Solothurn seine Aufenthaltsbewilligung am 11. Juli 2014 nicht verlängert hatte (vgl. das Urteil 2C_1109/2014 vom 20. Juli 2015). Er verblieb in der Folge dennoch bei seiner Gattin und seinen Kindern (geb. 1997 bzw. 2002) im Land. Mit Verfügung vom 30. Juli 2021 wies das Migrationsamt des Kantons Solothurn ein Härtefallgesuch von A._ ab. Die hiergegen eingereichte Beschwerde blieb ohne Erfolg. A._ beantragt vor Bundesgericht, das entsprechende Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 9. Dezember 2021 aufzuheben und sein "Wiedererwägungsgesuch/Härtefallgesuch" gutzuheissen. Es wurden keine Instruktionsmassnahmen getroffen.
2.
2.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>). Der Beschwerdeführer macht geltend, es liege bei ihm ein persönlicher Härtefall vor (<ref-law>). Dabei geht es um eine Ermessensbewilligung, auf deren Erteilung kein Anspruch besteht, weshalb gegen einen solchen Entscheid die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen ist (vgl. das Urteil 2C_483/2014 vom 26. Mai 2014 E. 2.4 mit Hinweisen). Ein entsprechender Anspruch ergibt sich weder aus dem Willkürverbot, dem Rechtsgleichheitsgebot noch dem Verhältnismässigkeitsprinzip (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 6.2). Diesbezüglich sind (im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde) ausschliesslich Rügen bezüglich verfahrensrechtlicher Punkte zulässig, deren Verletzung einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommt und die das Gericht von der Bewilligungsfrage getrennt beurteilen kann ("Star"-Praxis; <ref-ruling> E. 2). Solche werden vom Beschwerdeführer nicht vorgebracht.
2.2. Im Übrigen wiederholt der Beschwerdeführer lediglich seine Darlegungen im kantonalen Verfahren, ohne sich mit den Ausführungen im angefochtenen Entscheid sachbezogen auseinanderzusetzen und plausibel aufzuzeigen, inwiefern der angefochtene Entscheid Rechte oder Rechtsnormen verletzt (vgl. <ref-ruling> E. 2). Dies genügt für das bundesgerichtliche Verfahren nicht. In Bezug auf die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten - und insbesondere von <ref-law> (Willkür) - gilt eine qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.2). Es genügt deshalb nicht - wie dies der Beschwerdeführer tut - den angefochtenen Entscheid lediglich als willkürlich zu bezeichnen, ohne in vertiefter Auseinandersetzung mit der Begründung im angefochtenen Entscheid darzulegen, inwiefern dies der Fall sein soll.
3.
3.1. Auf die Beschwerde ist durch die Abteilungspräsidentin im Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG nicht einzutreten.
3.2. Der Beschwerdeführer hat die Kosten für das vorliegende Verfahren zu tragen (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auf-erlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Staatssekretariat für Migration mitgeteilt.
Lausanne, 13. Januar 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar