Sachverhalt:
A.
Die Konsumenteninfo AG ist Herausgeberin unter anderem der Zeitschriften "saldo" und "K-Tipp". Mit E-Mail vom 18. September 2019 an das Bezirksgericht Dietikon und auf präsidiale Aufforderung hin mit Schreiben vom 1. November 2019 bat eine Mitarbeiterin der Redaktion dieser Zeitschriften darum, Fotoaufnahmen in den leeren Gerichtssälen des Bezirksgerichts Dietikon machen zu dürfen. Der Präsident des Bezirksgerichts Dietikon wies das Anliegen am 6. bzw. 11. November 2019 ab. Mit als Aufsichtsbeschwerde bezeichneter Eingabe vom 18. November 2019 gelangte die Konsumenteninfo AG an die Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich. Mit Beschluss vom 9. Dezember 2019 wies die Verwaltungskommission die Aufsichtsbeschwerde ab. Sie erwog dazu, im Rahmen der Behandlung einer Aufsichtsbeschwerde prüfe sie nicht die materielle Richtigkeit des angefochtenen Entscheids, sondern einzig, ob sich die Auffassung der Vorinstanz, hier des Bezirksgerichts Dietikon bzw. von dessen Präsidium, als offensichtlich haltlos oder mutwillig bzw. qualifiziert falsch erweise.
B.
Dagegen führte die Konsumenteninfo AG Rekurs bei der Rekurskommission des Obergerichts des Kantons Zürich. Mit Urteil vom 30. April 2020 wies diese den Rekurs ab. Zur Begründung hielt sie im Wesentlichen fest, im Rahmen einer Aufsichtsbeschwerde sei lediglich zu prüfen, ob das Präsidium des Bezirksgerichts eine Amtspflichtverletzung begangen habe. Dasselbe gelte für die Kognition im Rekursverfahren. Die strittige Anordnung sei jedoch nicht offensichtlich unhaltbar und stelle keine Amtspflichtverletzung dar. Ob allenfalls ein anderes Rechtsmittel zur Verfügung gestanden hätte und an wen dieses zu richten gewesen wäre, sei nicht zu entscheiden.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht beantragt die Konsumenteninfo AG in der Sache, das Urteil der Rekurskommission des Obergerichts aufzuheben und das Bezirksgericht anzuweisen, ihr die einmalige Durchführung von Fotoaufnahmen in den Gerichtssälen nach telefonischer Voranmeldung zu gestatten oder die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Rekurskommission zurückzuweisen. Zur Begründung beruft sie sich auf die Medien- und Informationsfreiheit (Art. 16 Abs. 3 und Art. 17 BV; Art. 10 EMRK), jeweils in Verbindung mit <ref-law>, sowie auf den Anspruch auf öffentliche Verhandlung nach <ref-law> und schliesslich auf das Willkürverbot gemäss <ref-law>.
Das Bezirksgericht reichte keine Vernehmlassung ein. Die Rekurskommission des Obergerichts verzichtete auf eine Stellungnahme und stellte dem Bundesgericht die Verfahrensakten sowie den Beschluss der Verwaltungskommission vom 9. Dezember 2019 zu. Weitere Eingaben gingen beim Bundesgericht nicht ein.

Erwägungen:
1.
1.1. Nach ständiger Rechtsprechung kann der Entscheid einer Behörde, auf eine Aufsichtsbeschwerde nicht einzutreten, sie abzuweisen oder ihr keine Folge zu geben, nicht mit Beschwerde angefochten werden. Dem Aufsichtsmassnahmen ablehnenden Beschluss fehlt der Verfügungscharakter, da er keinen Akt darstellt, der ein Verhältnis zwischen der Verwaltung und einem Bürger verbindlich regelt. Die Aufsichtsbeschwerde räumt nach allgemeinem Verständnis keinen Anspruch auf justizmässige Beurteilung und keine prozessualen Parteirechte ein und gilt deshalb nicht als eigentliches Rechtsmittel, sondern bloss als Rechtsbehelf (vgl. Urteil des Bundesgerichts 5A_961/2014 vom 19. Januar 2015 E. 1 mit Verweis auf <ref-ruling> E. 2.3 S. 283; <ref-ruling> E. 2.1 S. 174 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 471 f. und weitere Urteile; vgl. KIENER U.A., Öffentliches Verfahrensrecht, 2. Aufl., 2015, Rz. 2041 ff.; RHINOW U.A., Öffentliches Prozessrecht, 3. Aufl., 2014, Rz. 659 ff.).
1.2. Im vorliegenden Zusammenhang sieht der Kanton Zürich gemäss der Auslegung des kantonalen Rechts im angefochtenen Urteil einen Rekurs gegen den Aufsichtsentscheid vor, was vor der Vorinstanz mit Blick auf einem dem Entscheid angehängten Minderheitsantrag offenbar nicht unumstritten war. Darüber ist hier nicht zu entscheiden. Selbst wenn der Person, die durch ihre Anzeige einen Aufsichtsbeschluss erwirkt hat, ein Rekursrecht zukommt, bedeutet das nicht, dass von einem eigentlichen Rechtsmittelverfahren auszugehen ist. Es bleibt erstinstanzlich bei einem Aufsichtsentscheid, der im Rekursverfahren durch die übergeordnete kantonale Instanz auch als Aufsichtsentscheid zu überprüfen ist, den Streitgegenstand aber nicht zu einem solchen eines vollwertigen Rechtsmittels mutieren lässt, wovon die Beschwerdeführerin auszugehen scheint. Es bleibt daher dabei, dass das Bundesgericht in der Sache nicht auf eine bei ihm erhobene Beschwerde gegen den Rekursentscheid im Zusammenhang mit einer Aufsichtsbeschwerde eintreten kann, da es dem Anzeigeerstatter insoweit noch immer an der erforderlichen Parteistellung und Legitimation (vgl. <ref-law>) fehlt. Eine Beschwerde ans Bundesgericht könnte eventuell einzig hinsichtlich der nach kantonalem Recht allenfalls eingeräumten prozessualen Rechte im Rekursverfahren in Frage kommen. Wie es sich damit verhält, kann hier jedoch offenbleiben.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, die von den Beschwerdeführern geltend gemacht und begründet werden (vgl. <ref-law>). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten, soweit die Verletzung von Grundrechten (unter Einschluss des Willkürverbots) gerügt wird (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin erhebt einzig materielle Rügen. Sie macht ausschliesslich die Verletzung verschiedener Grundrechte in der Sache geltend. Darauf ist, wie dargelegt (vorne E. 1.2), nicht einzutreten. Dass die Vorinstanz gegen die prozessualen Rechte der Beschwerdeführerin im Rekursverfahren verstossen haben sollte, behauptet diese nicht. Damit das überhaupt vom Bundesgericht zu prüfen wäre, sofern formelle Rügen zulässig wären, müsste aber zumindest eine ausreichende entsprechende Begründung vorliegen. Da eine solche fehlt, ist der angefochtene Entscheid auch nicht auf mögliche prozessuale Mängel im Rekursverfahren hin zu kontrollieren.
2.2. Die Beschwerdeführerin macht insbesondere nicht rechtsgenüglich geltend, ihre ursprüngliche Aufsichtsbeschwerde hätte vom Obergericht als eigentliche Beschwerde mit voller Kognition entgegengenommen und behandelt werden müssen. Sie hat sich dabei entgegenhalten zu lassen, ihre erste Eingabe an das Obergericht bzw. dessen Verwaltungskommission selbst als Aufsichtsbeschwerde bezeichnet zu haben und vor der Rekurskommission des Obergerichts ebenfalls von der Aufsichtsnatur des Rechtsstreits ausgegangen zu sein. Dies trifft im Übrigen auch noch für den beschwerdeführerischen Standpunkt vor dem Bundesgericht zu. Da die Beschwerdeführerin vor allen Instanzen anwaltlich vertreten war, können ihr insofern auch nicht allenfalls fehlende Rechtskenntnisse zugute gehalten werden.
3.
Die Beschwerde erweist sich als unzulässig, weshalb darauf nicht eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang wird die unterliegende Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Bezirksgericht Dietikon, Präsidium, und dem Obergericht des Kantons Zürich, Rekurskommission, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juni 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Uebersax