Sachverhalt:
A.
A._ erhob mit Eingabe vom 11. September 2017 Klage gegen die IV-Stellen der Kantone Graubünden und Solothurn mit dem Antrag, es seien seine Leistungen gemäss Liste und eingereichter Rechnung nach dem Zahnarzttarif gemäss Tarifvertrag zwischen der Schweizerischen Zahnärzte-Gesellschaft (SSO) und der Medizinaltarif-Kommission UVG (MTK) sowie der Militär- und Invalidenversicherung (MTK/MV/IV) zu entschädigen, zuzüglich Verzugszins ab Einreichung der Klage. Das Schiedsgericht in Sozialversicherungsstreitigkeiten des Kantons Zürich verfügte am 15. Juni 2018 die Trennung der Klagen unter Fortsetzung des Verfahrens gegen die IV-Stelle des Kantons Solothurn und unter Sistierung des Verfahrens gegen die IV-Stelle des Kantons Graubünden. Anlässlich der am 28. November 2018 durchgeführten Sühneverhandlung schlossen die Parteien keinen Vergleich, weshalb das Verfahren fortgesetzt wurde.
B.
Das Schiedsgericht in Sozialversicherungsstreitigkeiten wies die Klage mit Urteil vom 11. Dezember 2020 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, es sei das vorinstanzliche Urteil aufzuheben und die IV-Stelle des Kantons Solothurn zu verpflichten, ihm eine Vergütung von Fr. 9507.85 nebst 5 % Verzugszins seit 11. September 2017 zu entrichten.
Das kantonale Gericht, die IV-Stelle des Kantons Solothurn sowie das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) schliessen auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Indes prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (vgl. <ref-law>), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1).
1.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Tatsachen, welche erstmals vor Bundesgericht erwähnt werden, die sich aber aus den kantonalen Verfahrensakten ergeben, sind nicht neu. Der vorinstanzliche Verfahrensausgang allein bildet noch keinen hinreichenden Anlass für die Zulässigkeit von unechten Noven, die bereits im kantonalen Verfahren ohne Weiteres hätten vorgebracht werden können (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.1; Urteil 1C_392/2020 vom 20. Mai 2021 E. 1.5). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Voraussetzungen für eine nachträgliche Einreichung von Tatsachen und Beweismitteln erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 3 mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer reichte mit der Beschwerde ein Schreiben der Zentralstelle für Medizinaltarife UVG an die Klinik B._ vom 13. März 2013 ein. Aus diesem geht hervor, dass für die Klinik B._ seit 1. Juli 2013 im IV-Bereich der Tarifvertrag SwissDRG gilt. Ob es sich bei dieser Eingabe um ein unzulässiges unechtes Novum handelt, kann offengelassen werden. Diese Tatsache ergibt sich auch aus der Vernehmlassung des BSV, das unechte Noven vorbringen kann, weil es nicht am kantonalen Verfahren beteiligt war (vgl. Urteil 2C_50/2017 vom 22. August 2018 E. 3.2.2 und 3.2.3).
2.
2.1. Streitig und zu prüfen ist, ob das Schiedsgericht in Sozialversicherungsstreitigkeiten Bundesrecht verletzte, indem es für die Festsetzung des Honorars für die vom Beschwerdeführer zur Behandlung eines Geburtsgebrechens im stationären Rahmen vom 16. bis 19. Juli 2014 erbrachten Leistungen nicht den zwischen der SSO und der MTK/MV/IV abgeschlossenen Tarifvertrag (nachfolgend: SSO-Tarifvertrag), sondern den zwischen der MTK/MV/IV und der Klinik B._ abgeschlossenen Tarifvertrag SwissDRG (Swiss Diagnosis Related Groups) als anwendbar erachtete.
2.2. In tatsächlicher Hinsicht steht dabei fest, dass der Beschwerdeführer die hier strittige Behandlung vom 16. bis 19. Juli 2014 (Operation vom 16. Juli 2014) in der Klinik B._ vornahm. Dafür stellte er direkt der IV-Stelle Solothurn Rechnung, wobei er zunächst einen Gesamtbetrag von Fr. 17'054.05 verlangte und später davon den ihm von der Klinik ausgerichteten Betrag von Fr. 7546.10 in Abzug brachte. Aus den Akten ergibt sich zudem, dass die Klinik der IV-Stelle für die stationäre Behandlung vom 16. bis 19. Juli 2014 einen Betrag von Fr. 19'858.20 in Rechnung stellte (SwissDRG Tarifziffer D04Z [Bignathe Osteotomie und komplexe Eingriffe am Kiefer]), welchen die IV-Stelle vergütete.
3.
3.1. Gemäss <ref-law> haben Versicherte bis zum 20. Altersjahr Anspruch auf die zur Behandlung von Geburtsgebrechen notwendigen medizinischen Massnahmen. Als medizinische Massnahmen, die für die Behandlung eines Geburtsgebrechens notwendig sind, gelten nach Art. 2 Abs. 3 GgV sämtliche Vorkehren, die nach bewährter Erkenntnis der medizinischen Wissenschaft angezeigt sind und den therapeutischen Erfolg in einfacher und zweckmässiger Weise anstreben. Die medizinischen Massnahmen umfassen gemäss <ref-law> die Behandlung, die vom Arzt selbst oder auf seine Anordnung durch medizinische Hilfspersonen in Anstalts- oder Hauspflege vorgenommen wird, mit Ausnahme von logopädischen und psychomotorischen Therapien (lit. a) sowie die Abgabe der vom Arzt verordneten Arzneien (lit. b). Erfolgt die ärztliche Behandlung in einer Kranken- oder Kuranstalt, so hat der Versicherte überdies Anspruch auf Unterkunft und Verpflegung in der allgemeinen Abteilung (Abs. 2).
3.2. Im UV/MV/IV-Tarifwesen gilt der Grundsatz, dass die Leistungserbringer mit den Versicherern Tarifverträge abschliessen, wobei weitgehend Tarifautonomie herrscht. Die drei eidgenössischen Sozialversicherer schliessen in der Regel gemeinsam die Verträge mit den Spitälern ab (http://www.mtk-ctm.ch > Über uns > MTK, abgerufen am 23.09.2021). Was die Grundsätze der Tarifierung betrifft, so enthält das Gesetz dazu anders als das KVG keine Regelung. Grund und Folge dieses Fehlens von gesetzlichen Tarifierungsgrundsätzen ist, dass für die vertragliche Preisfindung im IVG die Tarifautonomie als Leitmotiv gilt, sodass Raum für eine wettbewerbliche Preisbildung basierend auf dem Prinzip von Angebot und Nachfrage besteht (MICHAEL WALDNER, Die Abgeltung stationärer medizinischer Leistungen von Spitälern in der IV, SZS 2015, S. 235 ff., insb. S. 239).
3.3. Im Bereich der Invalidenversicherung steht nach <ref-law> der versicherten Person die Wahl frei unter den medizinischen Hilfspersonen, den Anstalten und Werkstätten sowie den Betrieben des allgemeinen Arbeitsmarktes, die Eingliederungsmassnahmen durchführen, und den Abgabestellen für Hilfsmittel, wenn sie den kantonalen Vorschriften und den Anforderungen der Versicherung genügen (Abs. 1). Nach <ref-law> ist der Bundesrat befugt, mit der Ärzteschaft, den Berufsverbänden der Medizinalpersonen und der medizinischen Hilfspersonen sowie den Anstalten und Werkstätten, die Eingliederungsmassnahmen durchführen, Verträge zu schliessen, um die Zusammenarbeit zu regeln und die Tarife festzulegen, wobei er die Zuständigkeit gemäss <ref-law> an das BSV delegiert hat. Die von der IV gewährten medizinischen Massnahmen sind Naturalleistungen. Die Gewährung solcher Massnahmen begründet in der Regel ein Auftragsverhältnis zwischen Versicherung und Ausführungsorganen (Arzt und Spital; MEYER/REICHMUTH, Rechtsprechung des Bundesgerichts zum IVG, 3. Aufl. 2014, N 1 zu <ref-law>).
3.4. Dem gestützt auf <ref-law> abgeschlossenen Vertrag kommt die Funktion eines Rahmenvertrags zu (MICHAEL WALDNER, a.a.O., S. 238). Aufgrund dieser Eigenschaft kommt mit dem Abschluss eines Tarif- und Zusammenarbeitsvertrags im Sinne von <ref-law> noch kein Auftragsverhältnis zwischen Leistungserbringer und IV zustande. Vielmehr bedarf es in jedem Einzelfall einer gesonderten Auftragserteilung an das Spital. Dieses Vertragsverhältnis beinhaltet einen unechten Vertrag zugunsten eines Dritten (Versicherter; <ref-law>) in der Form eines Auftrags im Sinne der <ref-law> sowie einen allenfalls damit verbundenen Innominatkontrakt für Unterkunft, Verpflegung und Pflege (vgl. dazu und zum Folgenden: Urteil I 296/06 vom 1. Dezember 2006 E. 3.1; MICHAEL WALDNER, a.a.O., S. 241 f.). Er kommt in der Praxis dadurch zustande, dass der Leistungserbringer mit einer Kopie der dem Versicherten zugestellten Mitteilung der (faktischen) Leistungszusprechung über die Auftragserteilung in Kenntnis gesetzt wird und den Auftrag konkludent annimmt, indem er im Sinne der zugesprochenen Eingliederungsmassnahme tätig wird. Das Vertragsverhältnis zwischen der IV und dem Spital wird in der Folge durch den Inhalt des konkreten Auftrags der IV-Stelle sowie ergänzend durch die Bestimmungen des Rahmenvertrags im Sinne von <ref-law> bestimmt. Während die konkrete Auftragserteilung insbesondere den Inhalt und Umfang der bestellten Leistungen definiert, regelt der Rahmenvertrag insbesondere die Tarifierung und den Tarifschutz (MICHAEL WALDNER, a.a.O., S. 241 f.).
3.5. Zwischen der SSO und den Versicherern gemäss Bundesgesetz über die Unfallversicherung (vertreten durch die MTK), dem (ehemaligen) Bundesamt für Militärversicherung (BAMV) und der Invalidenversicherung wurde im Mai 2000 ein Tarifvertrag abgeschlossen (SSO-Tarifvertrag), welcher jenen vom November 1993 ersetzte (Art. 18.3) und rückwirkend auf den 1. Januar 2000 in Kraft trat (Art. 18.1 SSO-Tarifvertrag). Dieser findet Anwendung für die Behandlung der im Sinne des UVG versicherten Personen, von Versicherten des BAMV und der IV durch Zahnärzte, die der SSO angeschlossen sind oder die den Beitritt zu diesem Vertrag erklärt haben (Art. 1). Dieser Vertrag wurde durch den Tarifvertrag für zahnärztliche Leistungen zwischen der SSO und den Versicherern gemäss UVG (vertreten durch die MTK), der Militär- und der Invalidenversicherung (vertreten durch das BSV) vom 3. Mai 2017 ersetzt, welcher per 1. Januar 2018 in Kraft trat. Gemäss den Übergangsbestimmungen in Ziff. 24 gilt für Leistungen nach UVG, MVG und IVG, die bis zum 31. Dezember 2017 erbracht wurden, der Vertrag vom Mai 2000. Für Leistungen, die ab dem Inkrafttreten des neuen Vertrags erbracht werden, gelten dessen Bestimmungen. Da der Beschwerdeführer seine Leistungen im Juli 2014 erbrachte, ist im vorliegend zu beurteilenden Fall der Tarifvertrag vom Mai 2000 massgebend.
3.6. Gemäss Art. 6.1 SSO-Tarifvertrag hat der Zahnarzt der zuständigen Stelle der Versicherer gemäss UVG, IVG und MVG vor Aufnahme der Behandlung einen nach Tarifziffern detaillierten Kostenvoranschlag einzureichen. Dem Kostenvoranschlag soll eine wirtschaftliche und zweckmässige Behandlung zugrunde gelegt werden. Für die auf ihre Kosten vorzunehmende Behandlung leistet der Versicherer so rasch als möglich Gutsprache. Bei Arbeiten, für die keine Gutsprache erteilt worden ist, besteht keine Zahlungspflicht, es sei denn, es habe sich um unaufschiebbare Massnahmen gehandelt (Art. 6.2). Ist die definitive Versorgung erst in einem späteren Zeitpunkt möglich, so ist dies zu begründen. Zu gegebener Zeit muss ein neuer Kostenvoranschlag eingereicht werden (Art. 6.3). Gestützt auf Art. 7.1 gelten für die Behandlung von Versicherten der Invalidenversicherung die einschlägigen gesetzlichen Bestimmungen und die dazu gehörenden Weisungen des BSV. Das BSV wird vor dem Erlass wichtiger Weisungen, die sich auf die Tätigkeit unter diesem Vertrag auswirken, die SSO zur Vernehmlassung einladen. Nach Art. 7.2 übernimmt die IV bei ambulanten Behandlungen sowie Aufenthalt in einer allgemeinen Abteilung eines Spitals die vollen Kosten der verfügten Massnahmen gemäss geltendem Tarif mit befreiender Wirkung für den Versicherten. Die Honorierung der zahnärztlichen Leistungen erfolgt gemäss dem zugehörigen separaten Tarif. Dieser ist integrierender Bestandteil des vorliegenden Vertrags (Art. 8.1). Gestützt auf Art. 18.1 ist der Vertrag unter Einhaltung einer Kündigungsfrist von 12 Monaten je auf Ende eines Quartals, d.h. auf den 31. März, 30. Juni, 30. September oder den 31. Dezember kündbar.
3.7. In der Krankenversicherung wurden mit der Einführung der Tarifstruktur von SwissDRG per 1. Januar 2012 im Bereich der Akutsomatik die gesetzlichen Vorgaben (vgl. <ref-law>) zu den leistungsbezogenen Fallpauschalen umgesetzt. Bei SwissDRG handelt es sich um ein Patientenklassifikationssystem, das Patientinnen und Patienten anhand von medizinischen und weiteren Kriterien (z.B. Haupt- und Nebendiagnosen, Behandlungen, Aufenthaltsdauer usw.) in möglichst homogene Gruppen (sog. Fallgruppen) einteilt. Jeder Fallgruppe wird ein empirisch ermitteltes, relatives Kostengewicht zugeordnet, das den durchschnittlichen Behandlungsaufwand der betreffenden Fallgruppe beschreibt. Die Kostengewichte wurden auf der Grundlage der Fallkostendaten ausgewählter Spitäler ermittelt und werden in der Regel jährlich anhand von aktualisierten Daten neu berechnet. Die Entschädigung eines Spitals für einen stationären Aufenthalt zur Behandlung einer akutsomatischen Krankheit erfolgt durch die Multiplikation des betreffenden Kostengewichts mit der für das Spital anwendbaren Baserate. Wie hoch die Baserate in Franken ist, legt nicht die SwissDRG fest, sondern ist Gegenstand von Vereinbarungen zwischen den Tarifpartnern (<ref-law>; BEATRICE GROSS HAWK, Leistungserbringer und Tarife in verschiedenen Sozialversicherungszweigen, in: Recht der Sozialen Sicherheit, 2014, Rz. 34.60, S. 1227; GEBHARD EUGSTER, Die obligatorische Krankenpflegeversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, 3. Aufl. 2016, Rz.1018 ff., S. 712 ff.; IV-Rundschreiben Nr. 316 vom 2. Oktober 2012).
3.8. Auch die Invalidenversicherung wollte in den akutsomatischen Spitälern - auf tarifvertraglicher Basis - flächendeckend die Vergütung mittels SwissDRG-Fallpauschalen einführen. Die Verhandlungen über einen Rahmenvertrag mit "H+ Die Spitäler der Schweiz" scheiterten aber Ende 2011, so dass es in der Folge eine "heterogene Situation bei den Spitaltarifen" gab. Mit einigen Belegarztspitälern konnte die Invalidenversicherung Zusammenarbeits- und Tarifverträge abschliessen und vereinbaren, dass die stationär erbrachten Leistungen nach dem SwissDRG-System abzugelten seien. Bei anderen Spitälern liefen die alten Spitalverträge provisorisch weiter (vgl. IV-Rundschreiben Nr. 311 vom 12. März 2012). Somit hat die IV das aufgrund von <ref-law> entwickelte SwissDRG-System auf vertraglicher Basis mittels Zusammenarbeits- und Tarifverträgen mit Spitälern übernommen (zuhanden der Schweizerischen Zahnärzte-Gesellschaft SSO erstattetes Gutachten von Dr. iur. Gebhard Eugster vom 30. Januar 2014 betreffend Anwendbarkeit des SSO-Zahnarzttarifs in der Invalidenversicherung [IV] auf stationär erbrachte zahnärztliche Behandlungen durch Belegzahnärztinnen und Belegzahnärzte in Belegarztspitälern nach Einführung des SwissDRG-Abrechnungssystems, nachfolgend: Gutachten Eugster, S. 12 und S. 20). In der Klinik B._ wurde die Abrechnung nach SwissDRG-Fallpauschalen für den Bereich IV - wie auch für die UV und die MV - per 1. Juli 2013 eingeführt.
3.9. Der Entscheid der IV, das SwissDRG-System einzuführen, hat die bisherige Geschäfts- und Rechtsbeziehung zwischen Belegarztspitälern und Belegärzten grundlegend verändert. Die Belegarztspitäler haben sich mit der tarifvertraglich vereinbarten Anwendung des SwissDRG-Systems gegenüber den Versicherern verpflichtet, stationäre Behandlungen von IV-Patienten mittels der Vollkostenpauschalen der SwissDRG zu fakturieren und in Zukunft als Leistungserbringer auch für die stationär erbrachten ärztlichen Leistungen verantwortlich zu sein. Sie gaben damit das bisherige Geschäftsmodell der Zusammenarbeit mit den Belegärzten auf, in welchem die Belegärzte gegenüber den Versicherern selbstständige Leistungserbringer, Tarifpartner und Rechnungssteller waren (Gutachten Eugster, S. 15). Wo somit ein solcher Spitalvertrag besteht, ist im stationären Bereich nicht mehr der Beleg (zahn) arzt Auftragnehmer, sondern das Spital (Gutachten Eugster, S. 20). Die SwissDRG-Fallpauschalen sind Vollkostenpauschalen. Sie umfassen die Kosten von sämtlichen im und vom Spital erbrachten medizinischen und nichtmedizinischen Leistungen des stationären Behandlungsfalls (Gutachten Eugster, S. 19). Bei Vereinbarung von SwissDRG-Pauschalen werden die betreffenden Rechnungen von der IV direkt dem jeweiligen Spital vergütet, in welchem die Leistung erbracht wird. Spital und Belegarzt haben sich bilateral über die Höhe des Arzthonorars beziehungsweise die Aufteilung der SwissDRG-Pauschale zu verständigen.
4.
4.1. Die Vorinstanz erwog im Wesentlichen, die Invalidenversicherung vergüte stationäre Leistungen wie im KVG mittels Vollkostenpauschalen. Wo ein solcher Spitalvertrag bestehe, seien Belegzahnärzte im stationären Bereich nicht mehr Auftragnehmer der Versicherer. Auftragnehmer der Invalidenversicherung sei nunmehr ausschliesslich das Spital. Die Invalidenversicherung habe damit die bisher für sie tätigen Belegzahnärzte mit den neu abgeschlossenen Spitalverträgen als Leistungserbringer und Auftragnehmer für stationäre Leistungen in Belegarztspitälern ausgeschlossen. Der faktische Ausschluss der Belegzahnärzte als Auftragnehmer für stationäre Leistungen in Belegarztspitälern sei grundsätzlich ohne schriftliche Kündigung des SSO-Zahnarzttarif-Vertrags zulässig, denn die Invalidenversicherung habe sich mit dessen Abschluss nicht verpflichtet, (einzig) den angeschlossenen Zahnärzten IV-Patienten zur Behandlung zuzuweisen. Auch ergebe die freie Wahl des Leistungserbringers gemäss <ref-law> keinen Anspruch auf freie Arztwahl im Spital im Falle einer stationären Behandlung. Vielmehr stehe es in der Gestaltungsfreiheit der Invalidenversicherung, diesbezüglich ausschliesslich mit Heilanstalten statt mit Belegzahnärzten als Leistungserbringer zusammenzuarbeiten. Ebenso wenig bestehe ein verfassungsrechtlicher Anspruch der Ärzte oder Zahnärzte, von der Invalidenversicherung Behandlungsaufträge zu erhalten. Der Beschwerdeführer könne auch durch den Verweis auf die von der Beschwerdegegnerin am 26. Oktober 2006 erteilte Kostengutsprache nichts zu seinen Gunsten ableiten.
4.2. Weiter erwog die Vorinstanz, die Invalidenversicherung sei nach den Regeln von Treu und Glauben (<ref-law>) verpflichtet gewesen, die Einführung der SwissDRG-Fallpauschalen der SSO als Partnerin des Tarifvertrags unmissverständlich und rechtzeitig anzukündigen. Das Prinzip des Vertrauensschutzes könne insbesondere dann angerufen werden, wenn eine Praxis- oder Rechtsänderung eintrete, ohne dass die Möglichkeit der Anpassung oder Mitwirkung an der Gestaltung der neuen Rechtslage bestanden habe. Die Rechtswirkung des Vertrauensschutzes bestehe diesfalls in einer angemessenen Übergangsregelung bzw. angemessenen Übergangsfrist. Für die Bestimmung einer solchen Übergangsfrist könne man sich vorliegend an die Kündigungsfrist von einem Jahr gemäss dem SSO-Tarifvertrag halten. Die neue Abrechnungsmethode sei per 1. Januar 2012 eingeführt worden, so dass bis Ende Dezember 2012 Vertrauensschutz bestanden habe. Der Beschwerdeführer habe die im vorliegenden Verfahren massgebende Operation am 16. Juli 2014 durchgeführt. Nach Einführung der SwissDRG Anfang 2012 seien ihm damit zweieinhalb Jahre und somit genügend Zeit verblieben, um mit der Klinik B._ zu klären, wie seine zahnärztlichen Kosten im Falle einer stationären Behandlung abgerechnet würden. Eine solche Klärung sei den Zahnärzten im SSO Internum Nr. 1/2012 auch empfohlen worden. Ob der Beschwerdeführer diesbezügliche Abklärungen getätigt habe, könne vorliegend offenbleiben, da es jedenfalls nicht der Beschwerdegegnerin angelastet werden könne, falls er dies unterlassen haben sollte.
4.3. Der Beschwerdeführer macht insbesondere geltend, durch die Einführung des SwissDRG-Systems sei der SSO-Tarifvertrag nicht aufgehoben worden. Dieser sei zwischen der IV und der SSO abgeschlossen worden. Der nicht gekündigte Vertrag könne keinesfalls durch einen Vertrag zwischen der IV und einem Spital aufgehoben oder sonst wie verändert werden. Die Vorinstanz übergehe den Grundsatz, dass Verträge zu halten seien. Das SwissDRG-System sei auf die hier interessierende Behandlung nicht anwendbar. Vielmehr werde die Vergütung nach wie vor durch den SSO-Tarifvertrag geregelt. Es wäre Aufgabe der IV gewesen, den bestehenden und hier massgebenden SSO-Tarifvertrag zu kündigen. Zwischen der Klinik B._ und der IV sei, wie seine Abklärungen nunmehr ergeben hätten, mit Wirkung ab 1. Juli 2013 ein Vertrag abgeschlossen worden, der das SwissDRG-System eingeführt habe. An diesem Vertrag sei er nicht beteiligt gewesen. Dieser sei ihm bislang auch nicht bekannt gewesen. Erst während der Beschwerdefrist habe er auf Anfrage hin erfahren, dass der Vertrag per 1. Juli 2013 in Kraft gesetzt worden sei. Die Beschwerdegegnerin habe mit Mitteilung vom 26. Oktober 2006 eine einheitliche Kostengutsprache für die Zeit bis 31. Mai 2017 erteilt. Die entsprechende Mitteilung sei auf die einzelnen Durchführungsstellen bezogen, weshalb die Beschwerdegegnerin die Durchführungsstellen über die neue Abrechnungsmodalitäten zuvor ausdrücklich hätte informieren müssen, was sie nicht getan habe. Der durch die Kostengutsprache begründete Vertrauensschutz habe damit ohnehin bis zum Abschluss der interessierenden Behandlung massgebend sein müssen.
5.
5.1. Dem Beschwerdeführer ist darin beizupflichten, dass die IV bei der Einführung des SwissDRG-Systems mit den Spitälern den SSO-Tarifvertrag nicht gekündigt hat, weshalb dieser grundsätzlich nach wie vor gilt und auch einzuhalten ist (pacta sunt servanda). Daraus kann er aber für den hier zu beurteilenden Fall nichts zu seinen Gunsten ableiten, wie sich aus dem Folgenden ergibt.
5.1.1. Vorab ist festzuhalten, dass der Beschwerdeführer der IV-Stelle vor Durchführung der Operation am 16. Juli 2014 keinen Kostenvoranschlag gemäss Art. 6.1 des SSO-Tarifvertrags (vgl. E. 3.6 hiervor) eingereicht hat. Eine gestützt auf einen detaillierten Kostenvoranschlag ergangene Kostengutsprache fehlt demnach, weshalb nach Art. 6.2 des SSO-Tarifvertrags grundsätzlich keine Zahlungspflicht besteht. Wie die Vorinstanz zutreffend festhielt, vermag der Beschwerdeführer entgegen seinen Vorbringen auch aus der von der Beschwerdegegnerin am 26. Oktober 2006 erteilten Kostengutsprache für medizinische Massnahmen nichts zu seinen Gunsten abzuleiten. Zum einen basiert diese nicht auf einem detaillierten Kostenvoranschlag des Beschwerdeführers, weshalb nicht von einem eigentlichen Behandlungsauftrag mit implizit eingeschlossenen Honorarzusagen gesprochen werden kann. Zum anderen lag die Kostengutsprache im Zeitpunkt der streitigen Behandlungen bereits mehr als sieben Jahre zurück, sodass der Beschwerdeführer gehalten gewesen wäre, der IV-Stelle einen neuen Kostenvoranschlag einzureichen (vgl. Art. 6.3 des SSO-Tarifvertrags). Sodann wurde in jener Kostengutsprache lediglich erwähnt, dass die Vergütung nach IV-Tarif erfolge, ohne diesen zu bezeichnen.
Der Beschwerdeführer wies in seiner Klagebegründung vor dem kantonalen Schiedsgericht darauf hin, es sei im Bereich der IV nicht üblich gewesen, einen den Anforderungen von Art. 6.1 des SSO-Tarifvertrags entsprechenden Kostenvoranschlag einzureichen, was die Beschwerdegegnerin indessen in Abrede stellte. Vorliegend muss darüber - mit Blick auf das Nachfolgende - nicht abschliessend befunden werden.
5.1.2. Die vorliegend streitigen Leistungen des Beschwerdeführers fanden im Rahmen einer stationären Behandlung in der Klinik B._ statt. Seit 1. Juli 2013 besteht zwischen dieser und der MTK/MV/IV ein SwissDRG-Tarifvertrag, mit welchem Fallpauschalen eingeführt wurden (vgl. E. 3.9 hiervor). Diese Vollkostenpauschalen umfassen sowohl die ärztlichen als auch die zahnärztlichen Leistungen. Dass die Invalidenversicherung nicht befugt gewesen wäre, einen solchen Vertrag abzuschliessen, wird von keiner Seite geltend gemacht und davon ist mit Blick auf <ref-law> auch nicht auszugehen. Sodann besteht kein Anlass zu bezweifeln, dass zwischen der Klinik und der Invalidenversicherung ein Auftragsverhältnis in Bezug auf die für die versicherte Person konkret angeordneten medizinischen Massnahmen bestand (vgl. E. 3.4 hiervor). So nahm die Klinik die Patientin auf und stellte der Invalidenversicherung nach Abschluss der Behandlung die Fallpauschale gemäss SwissDRG in Rechnung, welche diese dann auch beglich (vgl. E. 2.2 hiervor). Die Vorinstanz hat demnach zu Recht erkannt, dass hinsichtlich der streitigen stationären Behandlung in der Klinik B._ allein die Klinik als Auftragnehmerin und Leistungserbringerin gilt und nicht der Beschwerdeführer, der die streitigen Behandlungen als Belegzahnarzt ausführte (vgl. E. 3.8 und 4.1 hiervor). Mit anderen Worten gab die Klinik mit der Einführung des SwissDRG-Systems das bisherige Geschäftsmodell der Zusammenarbeit mit den Belegärzten auf, in welchem diese gegenüber den Versicherern selbstständige Leistungserbringer, Tarifpartner und Rechnungssteller waren (vgl. E. 3.9 hiervor).
5.1.3. Die IV hat ihrerseits durch den Abschluss eines SwissDRG-Tarifvertrags mit einer Klinik den Anwendungsbereich des SSO-Tarifvertrags faktisch auf ambulante zahnärztliche Behandlungen beschränkt. Dies ist insoweit zulässig, als sich die Invalidenversicherung - wie die Vorinstanz richtig erkannt hat - mit Abschluss des SSO-Tarifvertrags nicht verpflichtet hat, ausschliesslich den angeschlossenen Zahnärzten IV-Patienten zur Behandlung zuzuweisen. Mit anderen Worten kann der Beschwerdeführer aus dem SSO-Tarifvertrag keinen Behandlungsanspruch ableiten. Da sich aus der freien Wahl des Leistungserbringers gemäss <ref-law> zudem kein Anspruch auf freie Arztwahl im Spital im Falle einer stationären Behandlung ableiten lässt, steht es in der Gestaltungsfreiheit der IV, auf den Miteinbezug von Belegärzten oder Belegzahnärzten als Leistungserbringer zu verzichten und für stationäre Behandlungen ausschliesslich mit Heilanstalten zusammenzuarbeiten. Das hat die IV-Stelle vorliegend getan, indem sie in Beachtung des Naturalleistungsprinzips die Klinik B._ mit der Behandlung der versicherten Person beauftragte (vgl. E. 5.1.2 hiervor).
5.1.4. Anzufügen bleibt, dass kein verfassungsrechtlicher Anspruch der Ärzte und Zahnärzte besteht, von der Invalidenversicherung Behandlungsaufträge zu erhalten (vgl. <ref-ruling> E. 3.9.2; <ref-ruling> E. 4.4.1; <ref-ruling> E. 4.5). Der Beschwerdeführer beruft sich denn auch zu Recht nicht auf die Wirtschaftsfreiheit (<ref-law>). Eine Nichtzulassung als Leistungserbringer im Rahmen von stationären Behandlungen schliesst nur den Anspruch aus, zu Lasten der Versicherung abrechnen zu können, nicht aber das Recht auf gewerbliche Betätigung, wie die Vorinstanz richtig erkannte (vgl. auch <ref-ruling> E. 3.9.2; <ref-ruling> E. 2.5.2). Somit können Ärzte und Zahnärzte weiterhin in einem Spital, in welchem nach SwissDRG-Pauschalen abgerechnet wird, Behandlungen durchführen. Nur sind sie in einem solchen Fall nicht mehr Leistungserbringer resp. Auftragnehmer und das Honorar für die erbrachten Leistungen richtet sich nach diesen Pauschalen bzw. nach der mit dem Spital getroffenen Vereinbarung (vgl. Gutachten Eugster, S. 21).
5.1.5. Soweit der Beschwerdeführer vorbringt, er habe nichts vom SwissDRG-Tarifvertrag zwischen der Invalidenversicherung und der Klinik B._ gewusst, so erscheint dies nicht glaubhaft. Wie das BSV in seiner Vernehmlassung zutreffend ausführt, war der Systemwechsel mit der Einführung von SwissDRG eine grundlegende Änderung in der Tarifstruktur, welche Jahre der Vorbereitung und Planung sowie der aktiven Mitarbeit aller Tarifpartner nach sich zog. Über diesen Systemwechsel im Bereich des KVG informierte die SSO ihre Mitglieder, wie die Vorinstanz zutreffend feststellte. So habe der Vorstand der SSO in seinem Mitteilungsblatt SSO Internum N° 1/2012 unter dem Titel "Fallpauschalen/DRG - auch Zahnärzte betroffen!" darauf hingewiesen, dass ab 1. Januar 2012 im stationären Bereich diagnosebezogene Fallpauschalen (DRG) gelten würden. Davon würden, was einige überraschen möge, auch zahnärztliche Leistungen betroffen sein. Behandle ein Zahnarzt einen Spitalpatienten (für den die Fallpauschale gelte), so müsse der Behandler mit dem Spital (dem ja die Versicherung die Pauschale vergüte) vorab klären, wie die zahnärztlichen Kosten abgerechnet würden. Demnach ist davon auszugehen, dass alle Mitglieder der SSO und somit auch der Beschwerdeführer vom bevorstehenden Systemwechsel der anwendbaren Tarife im stationären Bereich im Bereich des KVG Kenntnis hatten.
Doch auch über den Systemwechsel in der Klinik B._ im IV-Bereich musste der Beschwerdeführer im Bild sein. Die Änderung betraf nicht nur unmittelbar seine persönliche Interessensphäre als Beleg (zahn) arzt, sondern auch die strategischen Aspekte der Klinik. In diesem Zusammenhang ist zu betonen, dass der Beschwerdeführer seit 1993 ununterbrochen auch als Verwaltungsrat der Klinik B._ AG amtet (vgl. Vernehmlassung BSV; Website der Klinik B._ > Klinik > Organisation, abgerufen am 23.09.2021, Handelsregistereintrag abrufbar auf https://zh.chregister.ch/cr-portal/auszug/auszug; zur Notorietät öffentlich zugänglicher Eintragungen im Handelsregister: Urteile 4A_739/2011 vom 3. April 2012 E. 1.3; 4A_645/2011 vom 27. Januar 2012 E. 3.4.2; wobei notorische Tatsachen weder behauptet noch bewiesen werden müssen und auch keine Anhörung erforderlich ist: vgl. <ref-ruling> E. 4.1 mit Hinweisen; Urteil 1C_582/2018 vom 23. Dezember 2019 E. 2.3). Die Einführung der Abrechnung nach SwissDRG-Pauschalen war für die Finanzkontrolle und die Finanzplanung der Klinik zweifellos von grosser Bedeutung (zu den unübertragbaren Aufgaben des Verwaltungsrates mit Bezug auf die Finanzen vgl. <ref-law>). Infolgedessen musste dem Beschwerdeführer auch bewusst sein, dass bei bestehendem SwissDRG-Tarifvertrag für die stationär durchgeführten Behandlungen nicht er, sondern das Spital Leistungserbringer resp. Durchführungsstelle war. Vor diesem Hintergrund wäre er gehalten gewesen, vor Durchführung der stationären Behandlungen mit der Klinik B._ sein Honorar zu vereinbaren. Zumindest aber hätte er sich bei der Klinik oder der IV nach dem geltenden Tarif erkundigen müssen.
5.2. Aus dem Gesagten folgt, dass es nicht Bundesrecht verletzt, wenn die Vorinstanz von der Massgeblichkeit des SwissDRG-Systems ausging.
5.3. Für die von der Vorinstanz aus dem Grundsatz von Treu und Glauben (<ref-law>) abgeleitete Übergangsfrist (vgl. E. 4.2 hiervor) und die Frage, ob es damit sein Bewenden hat, bleibt im hier zu beurteilenden Fall im Übrigen kein Raum: Nach dem Gesagten (vgl. E. 5.1.5 hiervor) ist davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer vom geltenden SwissDRG-Tarifvertrag in der Klinik B._ auch im IV-Bereich Kenntnis hatte. Dennoch hat er die Behandlung in der Klinik vorbehaltlos und ohne vorgängige Rücksprache mit der IV (insbesondere ohne Vorlage eines Kostenvoranschlags) durchgeführt. Es war ihm bekannt, dass er aufgrund des neuen Vertrags selber nicht mehr als Vertragspartner der IV agieren konnte. Wenn er trotz dieser Umstände (be) handelte, wie wenn sich nichts geändert hätte, tat er dies wider besseres Wissen. Insoweit kann sich der Beschwerdeführer nicht auf den Grundsatz von Treu und Glauben berufen.
6.
Zusammenfassend verletzte die Vorinstanz kein Bundesrecht, indem sie für die Festsetzung des Honorars des Beschwerdeführers für die von ihm im stationären Rahmen erbrachten Leistungen nicht den SSO-Tarifvertrag, sondern die in der Klinik B._ geltenden SwissDRG-Pauschalen als massgeblich erachtete. Die Beschwerde ist somit abzuweisen.
7.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Schiedsgericht in Sozialversicherungsstreitigkeiten des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 13. Oktober 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Wüest