Sachverhalt:
A.
Mit Urteil vom 3. Oktober 2017 erteilte das Bezirksgericht Hinwil der B._ AG in der gegen A._ eingeleiteten Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Rüti provisorische Rechtsöffnung für Fr. 119'558.75, für die Betreibungskosten von Fr. 203.30 sowie für die Kosten und Entschädigungen. Die Spruchgebühr wurde auf Fr. 500.-- festgesetzt und A._ wurde verpflichtet, der B._ AG eine Parteientschädigung von Fr. 50.-- zu bezahlen.
B.
A._ erhob mit Eingabe vom 22. Dezember 2017 beim Obergericht des Kantons Zürich gegen die Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen im bezirksgerichtlichen Urteil Beschwerde. Mit Verfügung vom 17. Januar 2018 setzte das Obergericht A._ eine Frist von zehn Tagen ab Zustellung an, um für die Gerichtskosten des Beschwerdeverfahrens einen Kostenvorschuss von Fr. 225.-- zu bezahlen, worauf A._ ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege stellte. Mit Beschluss vom 7. März 2018 wies das Obergericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab und setzte A._ die Frist zur Leistung des Vorschusses neu an.
C.
A._ ist mit Eingabe vom 13. April 2018 an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Beschlusses und die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das zweitinstanzliche Verfahren. Zudem beantragt er auch für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege (inklusive unentgeltlichem Rechtsbeistand) und ersucht um aufschiebende Wirkung.
Mit Präsidialverfügung vom 20. April 2018 ist der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, in der Sache hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den obergerichtlichen Beschluss, mit dem die unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Beschwerdeverfahren verweigert worden ist. Dass kein Entscheid der letzten kantonalen Instanz als Rechtsmittelinstanz (Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG) vorliegt, schadet nicht (<ref-ruling> E. 2.1 und 2.2). Beim angefochtenen Beschluss handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law>. Gegen einen solchen Zwischenentscheid ist die Beschwerde - abgesehen von dem hier nicht gegebenen Ausnahmefall gemäss <ref-law> - nur zulässig, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>).
1.2. Die Voraussetzung von <ref-law> ist bei Zwischenentscheiden über die unentgeltliche Prozessführung erfüllt, wenn sie den Gesuchsteller - wie hier - zur Leistung eines Kostenvorschusses auffordern und ihm androhen, bei Säumnis auf die Klage oder das Rechtsmittel nicht einzutreten (Urteile 8C_769/2017 vom 7. Mai 2018 E. 8.3.2; 4A_664/2015 vom 19. Mai 2016 E. 1.2; 4A_151/2013 vom 3. Juni 2013 E. 4.2; <ref-ruling> E. 2b). Die unentgeltliche Rechtsverbeiständung verweigernde Zwischenentscheide können einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken, wenn sie zur Folge haben, dass der Gesuchsteller am weiteren Verfahren ohne anwaltliche Vertretung teilnehmen muss (<ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 1.1; zit. Urteile 4A_664/2015 E. 1.2 und 4A_151/2013 E. 4.2).
1.3. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg vor Bundesgericht jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.2). In der Hauptsache geht es um eine Schuldbetreibungs- und Konkurssache (<ref-law>) vermögensrechtlicher Natur. Die Vorinstanz hat den Streitwert mit Fr. 550.-- beziffert, was zutreffend ist, nachdem im vorinstanzlichen Verfahren lediglich noch die im bezirksgerichtlichen Rechtsöffnungsentscheid festgelegten Kosten- und Entschädigungsfolgen strittig sind (<ref-law>). Der von der Vorinstanz angegebene Streitwert (<ref-law>) wird vom Beschwerdeführer denn auch nicht bestritten. Da der gemäss <ref-law> notwendige Streitwert von Fr. 30'000.-- somit als nicht erreicht zu betrachten ist und keine Ausnahme gemäss <ref-law> vorliegt, steht die Beschwerde in Zivilsachen nicht offen.
2.
Demnach ist die Beschwerde als subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne von <ref-law> entgegenzunehmen.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Diesen Vorwurf prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.5). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.4).
3.
Der Beschwerdeführer rügt, die Abweisung seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege verletze verfassungsmässige Rechte (<ref-law>; <ref-law>).
3.1. Das Obergericht hat erwogen, der Beschwerdeführer habe die ihm angesetzte zehntägige Frist, um dem Gericht die aufgelisteten Unterlagen zwecks Dokumentation seiner Einkommens- und Vermögensverhältnisse einzureichen, unbenutzt verstreichen lassen. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege sei damit ohne Weiteres zufolge Verletzung der Mitwirkungspflicht abzuweisen, zumal die bisherigen Ausführungen des Beschwerdeführers und bislang eingereichten bzw. aktenkundigen dürftigen Unterlagen die angebliche Mittellosigkeit des Beschwerdeführers nicht hinreichend glaubhaft darzulegen vermöchten.
3.2. Der Beschwerdeführer beschränkt sich darauf, zu behaupten, seine finanziellen Verhältnisse mit der Einreichung von Zinsabschlüssen der C._ AG sowie einer handschriftlichen Aufstellung über seine Einnahmen und Ausgaben des Jahres 2017 hinreichend ("in optima forma") dargelegt zu haben. Ausserdem macht er geltend, seit 20 Jahren auf dem Existenzminimum zu leben. Zu der von der Vorinstanz festgestellten Verletzung der Mitwirkungsobliegenheit bzw. zur explizit angesetzten Nachfrist und zu den Gründen, die ihn dazu bewogen haben, der Aufforderung zur Einreichung weiterer Unterlagen nicht nachzukommen, äussert er sich nicht. Mit seinen pauschalen Behauptungen vermag der Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen, dass und inwiefern die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege verfassungswidrig sein könnte (Art. 117 i.V.m. <ref-law>).
4.
Damit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Da der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt worden ist, hat die Vorinstanz dem Beschwerdeführer eine neue Frist zur Leistung des Kostenvorschusses anzusetzen.
5.
Bei diesem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war seine Beschwerde von Anfang an aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (einschliesslich Rechtsvertretung) für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (einschliesslich Rechtsvertretung) wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Juli 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss