Sachverhalt:
A.
A._ gelangte am 1. Februar 2019 an das Bezirksgericht Bülach als untere kantonale Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen und verlangte die Aufhebung von vier Betreibungen (Betreibungen Nr. xxx, Nr. yyy, Nr. zzz und Nr. www des Betreibungsamtes Embrachertal, eingeleitet im Jahr 2007) zufolge Nichtigkeit sowie die Löschung von deren Einträgen in den Registern.
Mit Beschluss vom 25. Februar 2019 wies das Bezirksgericht Bülach das Begehren ab, soweit es darauf eintrat.
B.
B.a. Hiergegen erhob A._ am 18. März 2019 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen. Er verlangte die Aufhebung des angefochtenen Entscheides, die Rückweisung der Sache an das Bezirksgericht mit der Anweisung, auf die Beschwerde einzutreten und ihm die Gelegenheit einzuräumen, die Nichtigkeit der Betreibungen zufolge Urteilsunfähigkeit zu begründen und die nötigen Beweismittel vorzulegen.
Die obere Aufsichtsbehörde wies die Beschwerde mit Urteil vom 5. April 2019 ab.
B.b. Die dagegen erhobene Beschwerde in Zivilsachen hiess das Bundesgericht mit Urteil 5A_358/2019 vom 7. Oktober 2019 gut, hob das angefochtene Urteil auf und wies die Sache zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an das Obergericht zurück.
In der Folge hiess das Obergericht mit Urteil vom 8. November 2019 die Beschwerde gut, hob den Beschluss des Bezirksgerichtes Bülach vom 25. Februar 2019 auf und wies die Sache seinerseits im Sinne der Erwägungen zur neuen Entscheidung an das Bezirksgericht zurück.
B.c. Mit Beschluss vom 9. April 2020 wies das Bezirksgericht Bülach die Beschwerde ab.
Dagegen erhob A._ mit Eingabe vom 30. April 2020 erneut Beschwerde beim Obergericht. Er beantragte, der angefochtene Beschluss sei aufzuheben und wiederholte seine ursprünglichen reformatorischen Anträge.
Mit Urteil vom 19. Juni 2020 wies das Obergericht die Beschwerde ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 6. Juli 2020 ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils unter Wiederholung seiner reformatorischen Anträge (Aufhebung der genannten Betreibungen zufolge Nichtigkeit und Löschung der entsprechenden Registereinträge); eventuell sei die Sache zur erneuten Entscheidung an das Obergericht zurückzuweisen.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Entscheide kantonaler Aufsichtsbehörden in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen unabhängig eines Streitwertes der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 2 lit. c BGG). Die Beschwerde ist fristgerecht erhoben worden (<ref-law>) und unter Vorbehalt hinreichender Begründung zulässig.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 380). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen, wobei hier das (strenge) Rügeprinzip gilt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.4 S. 368).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling>E. 1.3.1 S. 17 f. mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling>E. 2 S. 117). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling>E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling>E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling>E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling>E. 1.3.1 S. 18).
Zu beachten ist, dass das Bundesgericht in die Beweiswürdigung des Sachgerichts nur eingreift, wenn diese willkürlich ist. Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling>E. 4.1 S. 566; <ref-ruling>E. 2.1 S. 18 f.; je mit Hinweisen). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling>E. 4.1 S. 566; <ref-ruling>E. 4.2.1 S. 362). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (<ref-ruling>E. 2.2 S. 246).
3.
Der Beschwerdeführer macht eine willkürliche Beweiswürdigung im Zusammenhang mit der vorinstanzlichen Beurteilung seiner Urteilsfähigkeit im Moment der Zustellung der Zahlungsbefehle geltend.
3.1.
3.1.1. Urteilsfähig ist gemäss <ref-law> jede Person, der nicht wegen ihres Kindesalters, infolge geistiger Behinderung, psychischer Störung, Rausch oder ähnlicher Zustände die Fähigkeit mangelt, vernunftgemäss zu handeln. Urteilsfähigkeit ist relativ: Sie ist nicht abstrakt zu beurteilen, sondern konkret bezogen auf eine bestimmte Handlung im Zeitpunkt ihrer Vornahme unter Berücksichtigung ihrer Rechtsnatur und Wichtigkeit (<ref-ruling> E. 6.1.1 S. 271; <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 239).
3.1.2. Wer nicht urteilsfähig ist, vermag unter Vorbehalt der gesetzlichen Ausnahmen durch seine Handlungen keine rechtliche Wirkung herbeizuführen (<ref-law>). Die Rechtsfolge der Unwirksamkeit einer streitigen Handlung knüpft an die Voraussetzungen der Urteilsunfähigkeit als rechtshindernde Tatsachen. Die Fähigkeit Volljähriger, vernunftgemäss zu handeln, ist der Normalfall, von dem der Gesetzgeber zum Schutz von Vertrauen und Verkehrssicherheit ohne jeden weiteren Beweis ausgeht. Wer sich für die Unwirksamkeit einer Handlung auf die Urteilsunfähigkeit beruft, hat demnach einen der in <ref-law> umschriebenen Schwächezustände und die daraus folgende Beeinträchtigung der Fähigkeit vernunftgemässen Handelns zu beweisen (Hauptbeweis; <ref-ruling> E. 6.1.2 S. 271 f.).
3.1.3. Befand sich aber eine Person ihrer allgemeinen Verfassung nach zum Zeitpunkt der streitigen Handlung nachweislich in einem dauernden Schwächezustand gemäss <ref-law>, der nach allgemeiner Lebenserfahrung im Normalfall vernunftgemässes Handeln ausschliesst, dann wird vermutet, dass sie mit Bezug auf die streitige Handlung unfähig war, vernunftgemäss zu handeln. Diese tatsächliche Vermutung betrifft namentlich Personen, die sich zur Zeit der Handlung in einem dauernden Zustand alters- und krankheitsbedingten geistigen Abbaus befinden (<ref-ruling> E. 6.1.3 S. 272).
3.1.4. Die Feststellungen über den geistigen Zustand einer Person und über die Art und die Tragweite möglicher störender Einwirkungen auf das Denkvermögen sowie die Feststellung, ob und inwieweit eine bestimmte Person die Folgen ihres Handelns beurteilen und Versuchen der Beeinflussung durch Dritte ihren eigenen Willen entgegensetzen konnte, betreffen Tatfragen, die das Sachgericht für das Bundesgericht - von ausnahmsweise zulässigen Sachverhaltsrügen abgesehen (<ref-law>) - verbindlich beantwortet (<ref-law>). Die Schlüsse, die das Sachgericht aus diesen Feststellungen mit Bezug auf die Fähigkeit, vernunftgemäss zu handeln, zieht, prüft das Bundesgericht als Rechtsfrage hingegen frei (<ref-ruling> E. 6.2.1 S. 272 f.).
3.2. Der Beschwerdeführer führt vor Bundesgericht aus (Beschwerde, S. 5 - 7), die Vorinstanz habe zwar zutreffend erwogen, dass ein dauernder und umfassender Schwächezustand die Vermutung der Urteilsfähigkeit gemäss <ref-law> aufhebe, sei aber in der Folge zu Unrecht zum Schluss gelangt, dass bei ihm kein solcher Zustand vorliege.
Aus der Aktenstelle im Kurzaustrittsbericht der psychiatrischen Klinik B._ vom 29. Januar 2019, aus der hervorgehe, dass der Beschwerdeführer vor einer fürsorgerischen Unterbringung "lange Zeit stabil" gewesen sei, könnten keine Schlüsse zugunsten seiner Urteilsfähigkeit gezogen werden. Der betreffende Kurzaustrittsbericht belege einzig, dass der Beschwerdeführer im Januar 2019 infolge seiner psychischen Erkrankung hospitalisiert gewesen sei und sich in der Zeit davor nicht fremd- oder selbstgefährdend verhalten habe. Für die im vorliegenden Verfahren zu beurteilende Frage sei diese Aktenstelle jedoch nicht beweistauglich. Damit erweise sich die Beweiswürdigung als offensichtlich unhaltbar.
Weiter habe der Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren medizinische Unterlagen aus dem relevanten Zeitraum eingereicht, die unter anderem beschrieben, dass bei ihm seit dem Jahr 2003 optische und akustische Halluzinationen aufträten und er dauerhaft in seinen wahnhaften Erlebnissen gefangen und innerlich mit diesen befasst sei. Eine Konzentration nach aussen sei kaum möglich und im Jahr 2008 sei keinerlei Besserung aufgetreten. Die Vorinstanz habe in diesem Zusammenhang ausgeführt, dass die dazu eingereichten Berichte den Beweis der Urteilsunfähigkeit deshalb nicht zu erbringen vermöchten, weil die Symptome und die Auswirkungen beim Beschwerdeführer "nur in allgemeiner Weise bzw. mit Blick auf die Arbeitsfähigkeit" beschrieben würden. Dies treffe nicht zu. Die Symptome und Auswirkungen würden konkret beschrieben und beschränkten sich nicht auf die Beurteilung der Arbeitsfähigkeit. Die für den massgeblichen Zeitraum im Recht liegenden Belege über das Vorhandensein von optischen und akustischen Halluzinationen, wahnhaften Erlebnissen, eingeschränkter Auffassungsgabe, Gedächtnisstörung, gestörtem Realitätsbezug etc. brächten konkrete und schlüssige Hinweise für die Beurteilung der Urteilsfähigkeit. Eine Person, bei welcher die beschriebenen Symptome auftreten, sei nicht mehr in der Lage, vernunftgemäss zu handeln. Deshalb brächten die eingereichten Belege den Nachweis, dass beim Beschwerdeführer die Urteilsfähigkeit im fraglichen Zeitraum aufgehoben gewesen sei. Die anderslautende Schlussfolgerung der Vorinstanz sei angesichts der vorhandenen Belege offensichtlich unhaltbar und stehe in klarem Widerspruch mit der tatsächlichen Situation. Konkret könne ausgeschlossen werden, dass der Beschwerdeführer bei Vornahme der gegen ihn gerichteten Betreibungshandlungen im Stande gewesen sei, deren Bedeutung zu erfassen und sich über seine Rechte zu informieren. Der Beschwerdeführer sei somit im massgeblichen Zeitraum nicht betreibungsfähig gewesen; die Beweiswürdigung der Vorinstanz erweise sich als willkürlich.
3.3. Die Vorbringen des Beschwerdeführers gehen fehl:
So durfte die Vorinstanz ohne Verletzung von Bundesrecht von der Vermutung der Urteilsfähigkeit ausgehen - diese brauchte im kantonalen Verfahren also gerade nicht positiv bewiesen zu werden. Beweisthema war vielmehr das Gegenteil, also die Abwesenheit der Urteilsfähigkeit. Dies übersieht der Beschwerdeführer, wenn er dem Kurzaustrittsbericht der psychiatrischen Klinik B._ jegliche Beweistauglichkeit für das Vorhandensein der Urteilsfähigkeit absprechen will; darum ging es im vorinstanzlichen Verfahren nicht.
Mit seinen Verweisen auf die zahlreichen medizinischen Unterlagen, die als Beweismittel im kantonalen Verfahren eingereicht worden sind, übt der Beschwerdeführer sodann rein appellatorische Kritik an der vorinstanzlichen Beweiswürdigung, ohne auch nur im Ansatz eigentliche Willkür aufzuzeigen. Darauf ist nicht einzugehen.
Willkür liegt aber auch nicht vor: Die Vorinstanz hat in ihrer Erwägung 3.2 zutreffend auf die erstinstanzliche Würdigung verwiesen, wonach sich aus dem Bericht des Rechtsmedizinischen Instituts aus dem Jahre 2006 - und damit im für den vorliegenden Fall relevanten Zeitpunkt - unzweifelhaft ergebe, dass sich bei der ärztlichen Untersuchung durch eine fachlich bestens ausgewiesene Klinik keine Anhaltspunkte für eine Einschränkung seiner Urteilsfähigkeit ergeben hätten. Dagegen vermag der Beschwerdeführer auch vor Bundesgericht nichts vorzubringen.
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Ausgangsgemäss sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Betreibungsamt Embrachertal und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. September 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss