Faits :
A.
Par jugement du 30 janvier 2019, le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de la Broye et du Nord vaudois a condamné X._ pour pornographie (art. 197 al. 1, 4 et 5 CP), a révoqué la libération conditionnelle qui lui avait été accordée le 20 décembre 2016 et lui a infligé une peine privative de liberté d'ensemble de 20 mois. Il a en outre instauré, en faveur du prénommé, un traitement institutionnel des troubles mentaux.
B.
Par jugement du 22 mai 2019, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté l'appel formé par X._ contre ce jugement et a confirmé celui-ci.
La cour cantonale a retenu les faits suivants.
B.a. X._ est né en 1956. Il a connu des problèmes d'alcoolisme au cours de son existence et bénéficie d'une curatelle de représentation et de gestion sans limitation de l'exercice des droits civils.
Son casier judiciaire fait état d'une condamnation, en 2015, pour pornographie et obtention de pornographie dure, ainsi que d'une condamnation, en 2016, pour pornographie dure. A l'occasion de cette dernière condamnation, le prénommé a été soumis à un traitement psychothérapeutique ambulatoire.
B.b. Dans le cadre de la première procédure pénale, X._ a été soumis à une expertise psychiatrique. Dans un rapport du 2 juin 2014, les expertes ont diagnostiqué un trouble de la personnalité immature, un trouble de la préférence sexuelle - soit une pédophilie - et un syndrome de dépendance à l'alcool. Elles ont conclu à une légère diminution de la responsabilité de l'intéressé ainsi qu'à l'existence d'un risque de récidive élevé. Les expertes ont préconisé la mise en oeuvre d'un traitement psychiatrique ambulatoire.
B.c. Le 18 février 2014, X._ a volontairement débuté un suivi spécialisé auprès du Service de médecine et psychiatrie pénitentiaires de l'hôpital A._.
Par décision du 20 décembre 2016, le Juge d'application des peines a libéré conditionnellement le prénommé, en subordonnant notamment cette libération à l'obligation, pour l'intéressé, de maintenir sa collaboration à la thérapie dans le cadre du traitement ambulatoire instauré en 2016.
B.d. A B._, entre le 29 décembre 2016 et le 25 janvier 2018, X._ a régulièrement consulté des sites Internet pour visionner des images et films contenant des scènes d'actes d'ordre sexuel avec des mineurs. Il a également téléchargé, stocké et mis à disposition d'autres utilisateurs des images et vidéos de cette nature. Le prénommé a en outre rédigé des textes décrivant des actes d'ordre sexuel avec des garçons mineurs et a réalisé des dessins figurant des actes de cette nature entre mineurs.
B.e. Une actualisation de l'expertise psychiatrique de 2014 a été diligentée. Dans leur rapport du 14 novembre 2018, les expertes ont posé le diagnostic de trouble de la personnalité immature, de trouble de la préférence sexuelle - soit une pédophilie - et de syndrome de dépendance à l'alcool. Elles ont indiqué que l'évaluation de la personnalité psycho-affective de X._ restait globalement la même qu'en 2014, que sa responsabilité était toujours légèrement diminuée et que le risque de récidive demeurait élevé. Selon elles, le prénommé tirait bénéfice de son traitement psychothérapeutique, qui l'aidait à apaiser ses pensées et pulsions sexuelles obsédantes. Les expertes ont préconisé la poursuite du traitement psychiatrique sous forme ambulatoire, en précisant qu'un traitement institutionnel n'apporterait pas de meilleures chances de succès et pourrait même se révéler délétère s'il devait entraîner une rupture du suivi avec le thérapeute actuel de X._.
C.
X._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 22 mai 2019, en concluant, avec suite de frais et dépens, principalement à sa réforme en ce sens qu'une mesure de traitement ambulatoire est instaurée à la place de la mesure thérapeutique institutionnelle. Subsidiairement, il conclut à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.

Considérant en droit :
1.
Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir apprécié les preuves et établi les faits de manière arbitraire ainsi que d'avoir prononcé, en sa faveur, une mesure thérapeutique institutionnelle.
1.1. Aux termes de l'<ref-law>, pour ordonner une des mesures prévues aux art. 59 à 61, 63 et 64 CP ou en cas de changement de sanction au sens de l'<ref-law>, le juge se fonde sur une expertise. Celle-ci se détermine sur la nécessité et les chances de succès d'un traitement (let. a); sur la vraisemblance que l'auteur commette d'autres infractions et sur la nature de celles-ci (let. b); sur les possibilités de faire exécuter la mesure (let. c). Dans ce cadre, l'expert devra se prononcer, en particulier, sur la forme du traitement et la mesure qui lui semble la plus appropriée (cf. sous l'ancien droit : <ref-ruling> consid. 3b p. 128; plus récemment arrêt 6B_39/2018 du 5 juillet 2018 consid. 1.1.2). Il incombe cependant au juge de déterminer si une mesure doit être ordonnée et, cas échéant, laquelle. En effet, ce n'est pas à l'expert, mais bien au juge qu'il appartient de résoudre les questions juridiques qui se posent, dans le complexe de faits faisant l'objet de l'expertise (arrêt 6B_157/2019 du 11 mars 2019 consid. 1.3.1; 6B_1167/2018 du 23 janvier 2019 consid. 4.1 et les références citées). Le juge apprécie en principe librement une expertise et n'est pas lié par les conclusions de l'expert. Toutefois, il ne peut s'en écarter que lorsque des circonstances ou des indices importants et bien établis en ébranlent sérieusement la crédibilité. Il est alors tenu de motiver sa décision de ne pas suivre le rapport d'expertise. Inversement, si les conclusions d'une expertise judiciaire apparaissent douteuses sur des points essentiels, le juge doit recueillir des preuves complémentaires pour tenter de dissiper ses doutes. A défaut, en se fondant sur une expertise non concluante, il pourrait commettre une appréciation arbitraire des preuves et violer l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 53 et les références citées).
Selon l'<ref-law>, lorsque l'auteur souffre d'un grave trouble mental, le juge peut ordonner un traitement institutionnel si l'auteur a commis un crime ou un délit en relation avec ce trouble (let. a) et s'il est à prévoir que cette mesure le détournera de nouvelles infractions en relation avec ce trouble (let. b). Cette dernière condition est réalisée lorsque, au moment de la décision, il est suffisamment vraisemblable qu'un traitement institutionnel entraînera dans les cinq ans de sa durée normale une réduction nette du risque de récidive (<ref-ruling> consid. 3.2.4 p. 9; <ref-ruling> consid. 3.4.1 p. 321 s.).
Aux termes de l'<ref-law>, lorsque l'auteur souffre d'un grave trouble mental, est toxico-dépendant ou souffre d'une autre addiction, le juge peut ordonner un traitement ambulatoire au lieu d'un traitement institutionnel, si l'auteur a commis un acte punissable en relation avec son état (let. a) et s'il est à prévoir que ce traitement le détournera de nouvelles infractions en relation avec son état (let. b).
1.2. La cour cantonale a exposé que, selon l'expertise réalisée en 2014, un premier comportement du recourant concernant de la pornographie infantile avait été décelé et dénoncé dès 2012. Celui-ci avait commis de nouveaux actes en cours d'enquête. Le recourant n'estimait alors pas avoir causé du tort aux enfants et avait été incapable de saisir la gravité de ses agissements. Il avait par ailleurs admis, au cours d'une audience en 2013, qu'il téléchargeait des fichiers pédopornographiques depuis une quinzaine d'années et en visionnait quotidiennement. Le recourant avait ainsi été condamné une première fois, le 10 juin 2015, à une peine privative de liberté de 11 mois avec sursis. Entre mai 2015 et son arrestation le 22 septembre 2015, l'intéressé avait derechef téléchargé ou mis à disposition sur Internet plusieurs milliers de fichiers figurant des actes d'ordre sexuel commis entre ou sur des enfants mineurs âgés de moins de 16 ans. Il avait donc été condamné une deuxième fois, le 30 juin 2016, à une peine privative de liberté ferme de 12 mois. Libéré conditionnellement le 29 décembre 2016, le recourant s'était procuré, le jour-même, un ordinateur afin de réitérer ses agissements illicites. Dans leur rapport du 18 novembre 2018, les expertes avaient indiqué que le recourant avait tissé un excellent lien thérapeutique avec son psychiatre et que ce dernier avait confirmé que l'intéressé progressait, que son investissement était sincère et que des changements s'opéraient durant les séances. Les expertes avaient cependant relevé que le recourant minimisait ou niait les infractions reprochées, qu'il ne se sentait pas coupable, qu'il projetait constamment la responsabilité de ses agissements sur autrui et avait tendance à se présenter comme la victime des événements. Le recourant avait décrit à quel point il était encore envahi par ses pulsions sexuelles, se disait constamment dans une excitation sensorielle sexuelle presque hallucinatoire, obsédante et compulsive, ou admettait qu'il avait de la peine à ériger des barrières contre ses tendances pédophiles pour y renoncer complètement. Les expertes avaient donc indiqué que le recourant tirait un bénéfice de son traitement psychothérapeutique mais que celui-ci serait de longue haleine pour espérer, peut-être, une atténuation significative de l'affection.
Pour l'autorité précédente, le traitement suivi depuis février 2014 avait échoué. Le recourant avait systématiquement récidivé. Il persistait à se présenter en victime ainsi qu'à nier ou minimiser la gravité de ses actes. L'une des expertes avait d'ailleurs précisé, durant les débats de première instance, que le risque de récidive resterait probablement élevé "ces prochaines années" et que l'on devait s'attendre à ce que le recourant consulte des images pédopornographiques malgré le suivi ambulatoire. Ainsi, un traitement ambulatoire n'était pas apte à détourner le recourant de la commission de nouvelles infractions. Une mesure thérapeutique institutionnelle pouvait seule permettre de soigner l'intéressé tout en préservant la société du danger qu'il pouvait représenter. Le traitement n'était pas voué à l'échec, puisqu'il ressortait de l'expertise que le recourant tirait bénéfice de sa thérapie.
1.3. On peut tout d'abord relever qu'on ignore, à la lecture du jugement attaqué, ce qu'il est advenu de la mesure de traitement ambulatoire qui avait été instaurée en faveur du recourant par jugement du 30 juin 2016. Il n'apparaît pas que cette mesure aurait été levée préalablement au jugement de l'intéressé par le tribunal de première instance, de sorte que la cour cantonale semble avoir implicitement fait application de l'<ref-law> pour en ordonner la levée (cf. à cet égard l'arrêt 6B_104/2017 du 10 mars 2017 consid. 2.3). Quoi qu'il en soit, dès lors que le recourant ne formule aucun grief sur ce point, il n'y a pas lieu d'examiner plus avant cette problématique.
1.4. Contrairement à ce que prétend le recourant, la cour cantonale ne s'est pas écartée des constatations scientifiques faites par les expertes, concernant par exemple le diagnostic, le traitement approprié ou le risque de récidive, mais a décidé de ne pas suivre leurs recommandations s'agissant du choix de la mesure, ce qui - sur le principe - n'est pas critiquable (cf. consid. 1.2 supra).
S'agissant du choix de la mesure, il convient tout d'abord de relever qu'un traitement ambulatoire au sens de l'<ref-law> ne pouvait être envisagé compte tenu de l'expertise réalisée en 2018. En effet, les expertes ont indiqué qu'un travail thérapeutique "de longue haleine" serait nécessaire pour espérer atténuer le risque de récidive et que ledit risque demeurait, pour l'heure, élevé, malgré le suivi dont bénéficiait le recourant. Au cours des débats de première instance, l'une des expertes a même déclaré que l'on devait s'attendre, à l'avenir, à voir le recourant consulter des représentations pédopornographiques malgré le suivi ambulatoire dont il bénéficiait. Ainsi, il n'était pas à prévoir que le traitement ambulatoire détournerait l'intéressé de la commission de nouvelles infractions en relation avec son état, comme l'exige l'<ref-law>. A cet égard, on peut d'ailleurs rappeler que, contrairement à ce que suggère le recourant, tant son état mental que l'impact de la mesure sur le risque de commission d'autres infractions s'avèrent déterminants (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 447). Il n'était donc aucunement contraire au droit fédéral de considérer que le risque de récidive immédiat présenté par le recourant excluait de poursuivre, respectivement d'instaurer, une simple mesure ambulatoire.
Il convient d'examiner si, indépendamment de ce qui précède, les conditions permettant l'instauration d'une mesure à titre de l'<ref-law> étaient remplies.
1.5. Contrairement à ce que suggère le recourant, il n'appartenait pas aux expertes de décider quelle mesure devait être prononcée. Celles-ci ont certes recommandé l'exécution d'une mesure ambulatoire, tout en déconseillant l'instauration d'un traitement thérapeutique institutionnel. Il apparaît toutefois, à la lecture de l'expertise, que les expertes ont exclusivement justifié cette recommandation par l'efficacité du traitement - en indiquant qu'un suivi du recourant par son thérapeute actuel serait le plus bénéfique -, sans tenir compte des impératifs de sécurité publique, puisque les intéressées ont expressément admis que la mesure préconisée ne permettrait pas d'éviter la commission de nouvelles infractions.
Par ailleurs, les expertes n'ont aucunement indiqué qu'une mesure à titre de l'<ref-law> ne pourrait être exécutée avec succès. Leurs réserves concernant une telle mesure provenaient de la crainte de voir le recourant privé de son thérapeute actuel. Or - outre que la cour cantonale n'a pas exclu la poursuite d'un tel suivi auprès de ce thérapeute mais l'a au contraire encouragée -, il ne ressort pas de l'expertise psychiatrique qu'une éventuelle rupture du lien thérapeutique existant entre le recourant et son psychiatre compromettrait, à terme, les chances de succès d'un traitement, quand bien même celui-ci serait - à tout le moins dans un premier temps - moins efficace en raison de la nécessité de s'accoutumer à un nouveau thérapeute. Les expertes n'ont d'ailleurs aucunement indiqué qu'une mesure thérapeutique institutionnelle serait inefficace, mais qu'il n'existerait "pas de meilleures chances de succès et de réussite pour la gestion des pulsions" du recourant qu'avec une mesure ambulatoire (cf. jugement du 30 janvier 2019, p. 4).
On peut, de surcroît, relever que la privation de liberté inhérente à l'exécution d'une mesure thérapeutique institutionnelle n'apparaît pas de nature à compromettre le succès du traitement, puisque les expertes ont par ailleurs estimé qu'une mesure à titre de l'<ref-law> ne serait pas entravée par l'éventuelle exécution simultanée d'une peine privative de liberté. On peine au demeurant à comprendre pourquoi, cas échéant, il aurait été plus aisé de poursuivre le traitement du recourant avec son psychiatre actuel dans le cadre d'une peine privative de liberté que dans celui d'une mesure thérapeutique institutionnelle, toutes deux pouvant parfois être exécutées dans les mêmes établissements.
1.6. Le recourant prétend encore que l'instauration d'une mesure thérapeutique institutionnelle violerait l'<ref-law>.
Son argumentation repose sur la prémisse selon laquelle tant une mesure thérapeutique institutionnelle qu'un traitement ambulatoire pouvaient être envisagés. Les conditions au prononcé d'une mesure à titre de l'<ref-law> ne sont toutefois pas remplies en l'espèce (cf. consid. 1.4 supra).
1.7. Enfin, dans la mesure où l'argumentation du recourant portant sur l'absence de risque de le voir s'en prendre physiquement à des enfants puisse être comprise comme une référence au principe de proportionnalité découlant de l'<ref-law> (cf. à cet égard l'arrêt 6B_823/2018 du 12 septembre 2018 consid. 2.1 et les références citées), il convient d'admettre que la mesure instaurée se révèle conforme à cette disposition, compte tenu du bien juridiquement protégé menacé - soit l'intégrité sexuelle - et du risque de récidive élevé. Si un risque d'agression sexuelle d'enfants n'a pas été jugé élevé, la perspective de voir l'intéressé consulter massivement et mettre sur Internet des fichiers pédoporngraphiques justifie l'atteinte aux droits de sa personnalité résultant d'une mesure à titre de l'<ref-law>.
1.8. Au vu de ce qui précède, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en instaurant une mesure thérapeutique institutionnelle en faveur du recourant. Le grief doit être rejeté.
2.
Le recours doit être rejeté. Comme le recourant est dans le besoin et que ses conclusions ne paraissaient pas d'emblée vouées à l'échec, sa demande d'assistance judiciaire doit être admise (<ref-law>). Par conséquent, il y a lieu de le dispenser des frais judiciaires et d'allouer une indemnité à son mandataire, désigné comme avocat d'office (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est admise. Me Alexandre Curchod est désigné comme conseil d'office et une indemnité de 3'000 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 10 septembre 2019
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Graa