Sachverhalt:
A.
Die Visana AG, die sana24 AG, die vivacare AG und die Visana Services AG (nachfolgend: Versicherer) führen die obligatorische Krankenpflegeversicherung durch. Im Hinblick auf eine retrospektive Wirtschaftlichkeits- und Kodierprüfung im stationären Bereich für das Jahr 2014 reichten sie am 14. September 2016 (gemeinsam) eine Stufenklage gegen die Klinik A._ AG (nachfolgend: Klinik) ein. Dabei beantragten sie insbesondere, die Klinik sei zu verpflichten, bestimmte Unterlagen (Pflegedokumentationen und/oder Standarddokumente betreffend namentlich aufgeführte Patienten) herauszugeben, und den nach Auskunftserteilung zu bestimmenden Betrag nebst Zins zu 5 % zurückzuerstatten. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau als Schiedsgericht nach <ref-law> forderte die Parteien auf, je einen Schiedsrichter zu bezeichnen. Dementsprechend wurden mit Verfügung vom 17. Mai 2018 B._ (als Vertretung der Versicherer) und Prof. Dr. C._ (als Vertretung der Klinik) als Schiedsrichter eingesetzt.
B.
Das kantonale Schiedsgericht wies das daraufhin von der Klinik gestellte Ablehnungsbegehren ab und bestätigte B._ als Schiedsrichter (Verfügung vom 23. August 2019).
C.
Die Klinik lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, die Verfügung vom 23. August 2019 sei aufzuheben, das Ausstandsgesuch betreffend B._ sei gutzuheissen, und das vorsitzende Mitglied des Schiedsgerichts sei anzuweisen, (eventuell nach Einholung eines neuen Vorschlags der Versicherer) einen Schiedsrichter zu ernennen; eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Versicherer schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die Klinik lässt eine weitere Eingabe einreichen. Am 26. Februar 2020 teilt das kantonale Schiedsgericht mit, dass B._ seinen Rücktritt als Schiedsrichter erklärt habe. Mit einer weiteren Eingabe beantragen die Versicherer eine Parteientschädigung entsprechend dem mutmasslichen Verfahrensausgang.

Erwägungen:
1.
1.1. Gemäss <ref-law> ist zur Beschwerde berechtigt, wer durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat. Erforderlich ist grundsätzlich ein persönliches aktuelles praktisches Interesse an der Beschwerdeführung, welches im Zeitpunkt der Urteilsfällung noch vorhanden sein muss. Fehlt ein solches bei Beschwerdeeinreichung, ist auf die Eingabe nicht einzutreten. Fällt es nach Beschwerdeerhebung dahin, wird die Sache wegen Gegenstandslosigkeit abgeschrieben, wofür die Instruktionsrichterin zuständig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 208; Urteil 2C_697/2018 vom 1. März 2019 E. 2.1).
1.2. Wird ein Rechtsstreit gegenstandslos oder fällt er mangels rechtlichen Interesses dahin, so erklärt ihn die Instruktionsrichterin (allenfalls nach Vernehmlassung der Parteien) ohne weitere Parteiverhandlung als erledigt und entscheidet mit summarischer Begründung über die Prozesskosten auf Grund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes (Art. 72 des Bundesgesetzes vom 4. Dezember 1947 über den Bundeszivilprozess [BZP; SR 273] i.V.m. <ref-law>). Dabei geht es nicht darum, die Prozessaussichten im Einzelnen zu prüfen, und dadurch weitere Umtriebe zu verursachen; vielmehr muss es bei einer knappen Beurteilung der Aktenlage sein Bewenden haben. Auf dem Weg über den Kostenentscheid soll nicht ein materielles Urteil gefällt werden (<ref-ruling> E. 8.2 S. 568).
Lässt sich der mutmassliche Ausgang eines Verfahrens im konkreten Fall nicht ohne Weiteres feststellen, ist auf allgemeine zivilprozessrechtliche Kriterien abzustellen. Danach wird in erster Linie jene Partei entschädigungs- und kostenpflichtig, welche das gegenstandslos gewordene Verfahren veranlasst hat, oder bei der Gründe eingetreten sind, die zur Gegenstandslosigkeit des Verfahrens geführt haben (Urteile 8C_123/2019 vom 10. Mai 2019; 2C_697/2018 vom 1. März 2019 E. 2.2).
2.
2.1. Angefochten ist ein selbstständig eröffneter, direkt anfechtbarer Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren (vgl. <ref-law>). Angesichts des Rücktritts des B._ als Schiedsrichter ist das vorliegende Verfahren als gegenstandslos abzuschreiben. Es bleibt über die Prozesskosten zu befinden.
2.2. Nach <ref-law> bezeichnet der Kanton ein Schiedsgericht. Es setzt sich zusammen aus einer neutralen Person, die den Vorsitz innehat, und aus je einer Vertretung der Versicherer und der betroffenen Leistungserbringer in gleicher Zahl (Abs. 4 erster und zweiter Satz). Der Kanton regelt das Verfahren (Abs. 5 erster Teilsatz). Diese Ordnung mit paritätischer Besetzung unter Vorsitz einer neutralen Person ist gleichsam Wesensmerkmal des Schiedsgerichts (Urteil 9C_149/2007 vom 4. Juni 2007 E. 2.2.2).
<ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK geben den Parteien im Sinne einer konventions- und verfassungsrechtlichen Minimalgarantie Anspruch darauf, dass das Schiedsgericht die Streitsache unabhängig und unparteiisch ohne Einwirken sachfremder Umstände entscheidet. Solche Umstände können im Verhalten eines Mitglieds des Spruchkörpers und jeder Person, welche die Entscheidfindung beeinflussen kann oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Massgebend ist nicht das subjektive Empfinden einer Partei. Umgekehrt genügt es, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit der betreffenden Gerichtsperson erwecken. Mit andern Worten muss gewährleistet sein, dass der Prozess aus Sicht aller Beteiligter als offen erscheint.
Das Gebot der Unparteilichkeit gilt für die vorsitzende Person und die übrigen Schiedsrichter in gleichem Masse. Diese haben deshalb in Ausstand zu treten, wenn sie mit einer Partei in einer Weise verbunden sind, welche die Besorgnis der Befangenheit begründet (Urteil 9C_28/2017 vom 15. Mai 2017 E. 1.1 mit zahlreichen Hinweisen).
2.3. Die Beschwerdeführerin macht im Wesentlichen geltend, B._ sei Funktionsträger der tarifsuisse ag. In dieser Position sei er verantwortlich für Wirtschaftlichkeitsprüfungen bei Leistungserbringern im Auftrag von Krankenversicherungen. Die tarifsuisse ag sei eine Tochtergesellschaft des Branchenverbandes santésuisse; sie erbringe Dienstleistungen für Krankenversicherungen und vertrete die Beschwerdegegnerinnen 1-3 dauernd in Tarifverhandlungen und Tariffestsetzungsverfahren. Sie habe somit eigene Interessen am Ausgang des Klageverfahrens. Zudem sei D._ nicht nur Verwaltungsrätin der tarifsuisse ag, sondern gleichzeitig bei einer der Beschwerdegegnerinnen eine wichtige Funktionsträgerin. Damit sei B._ in seiner beruflichen Position direkt von den Beschwerdegegnerinnen 1-3 abhängig. Diese qualifizierte Nähe wecke objektiv Zweifel an seiner Unparteilichkeit; der Anschein der Befangenheit als Schiedsrichter sei begründet.
Die Beschwerdegegnerinnen stellen (direkte) Eigeninteressen des B._ und seiner Arbeitgeberin in Abrede. Dass diese mit ihnen geschäfliche Beziehungen pflege, sei im Rahmen der paritätischen Besetzung eines Schiedsgerichts üblich, und eine gewisse Nähe der Schiedsrichter zu den jeweiligen Parteien des Klageverfahrens sei systemimmanent. Zudem seien die Vorbringen betreffend E._ neu und im Sinne von <ref-law> unzulässig.
2.4. Zwar trifft zu, dass für die Vertretungen der Parteien im Schiedsgericht weniger strenge Anforderungen an die Unabhängigkeit als für andere Richter gelten. Indessen ist der Anschein der Befangenheit nicht schon deshalb ausgeschlossen, weil der umstrittene Schiedsrichter keine Funktion bei einer klagenden Krankenversicherung innehat (vgl. das von der Vorinstanz zitierte Urteil 9C_132/2008 vom 20. Juni 2008 E. 4.2). Vielmehr ist die konkrete Konstellation an den allgemeinen Grundsätzen zur Unparteilichkeit (vgl. E. 2.2) zu messen. Anders als im Urteil 9C_132/2008 geht es hier nicht um die Tätigkeit des Schiedsrichters als Vertrauensarzt einer Krankenversicherung (vgl. E. 2.3). Die Tatsachen, die sich aus dem Handelsregister ergeben, gelten als gerichtsnotorisch und dürfen vom Bundesgericht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 4.1 S. 89 f.; vgl. auch JOHANNA DORMANN, in: Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 53 zu <ref-law>). Die Sachlage im vorliegenden Fall enthält somit gewichtige Anhaltspunkte, die eher für die Annahme eines Ausstandsgrundes sprechen.
Dazu kommt Folgendes: Der umstrittene Schiedsrichter, der seinen Rücktritt "nicht zuletzt" auch mit der "immer wiederkehrenden Befangenheitsthematik" begründete, wurde auf Vorschlag der Beschwerdegegnerinnen ernannt und ihrem Antrag entsprechend bestätigt. Auch wenn die Beschwerdeführerin das vorliegende Verfahren veranlasst hat, ist der Grund für dessen Gegenstandslosigkeit den Beschwerdegegnerinnen anzulasten (vgl. E. 1.2). Die summarische Würdigung der gesamten Umstände rechtfertigt es, den Beschwerdegegnerinnen die Prozesskosten unter solidarischer Haftung (<ref-law>) aufzuerlegen.
2.5. Die Beschwerdegegnerinnen haben reduzierte Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach verfügt die Einzelrichterin:
1.
Die Beschwerde wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1000.- werden den Beschwerdegegnerinnen unter solidarischer Haftung auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerinnen haben die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren unter solidarischer Haftung mit insgesamt Fr. 6000.- zu entschädigen.
4.
Diese Verfügung wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau, Schiedsgericht in Sozialversicherungssachen, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. März 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Einzelrichterin: Glanzmann
Die Gerichtsschreiberin: Dormann