Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1966) stammt aus Sri Lanka. Er reiste am 22. August 1985 in die Schweiz ein und stellte hier erfolglos ein Asylgesuch; der mit dem negativen Asylentscheid verbundenen Wegweisungsanordnung leistete er keine Folge. Im Jahr 1989 heiratete er eine Schweizer Staatsangehörige; daraufhin wurde ihm zunächst eine Aufenthaltsbewilligung, ab 1998 sodann eine Niederlassungsbewilligung erteilt. Nach der Scheidung seiner ersten Ehe heiratete er am 21. Oktober 2006 seine Landsfrau B._ (geb. 1968), welche am 23. August 2007 im Rahmen des Familiennachzugs in die Schweiz einreiste und hier eine zuletzt bis zum 6. November 2015 verlängerte Aufenthaltsbewilligung erhielt. Am x.xx 2008 kam der gemeinsame Sohn Tharanihan zur Welt, der - wie sein Vater - die Niederlassungsbewilligung erhielt.
B.
B.a. Mit Verfügung vom 26. Februar 2016 widerrief die Einwohnergemeinde Bern (Einwohnerdienste, Migration und Fremdenpolizei, nachfolgend: die Einwohnergemeinde) die Niederlassungsbewilligungen von A._ und C._; ferner verweigerte sie die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von B._ und wies die Familie aus der Schweiz weg. Am 31. Januar 2017 hiess die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern (nachfolgend: die Polizei- und Militärdirektion) eine gegen diese Anordnung erhobene Beschwerde insoweit gut, als sie den Widerruf der Niederlassungsbewilligung von C._ und dessen Wegweisung aus der Schweiz aufhob; im Übrigen wies sie die Beschwerde ab, soweit sie darauf eintrat. Auf die gegen den Entscheid der Polizei- und Militärdirektion erhobene Beschwerde trat das Verwaltungsgericht des Kantons Bern (nachfolgend: das Verwaltungsgericht) am 5. September 2017 infolge Rechtsmittelverzichts bzw. wegen Nichteinhaltens der Beschwerdefrist nicht ein. Eine gegen diesen Nichteintretensentscheid gerichtete Beschwerde wurde vom Bundesgericht mit Urteil 2C_865/2017 vom 22. März 2019 abgewiesen.
B.b. Am 6. August 2019 stellten A._ und B._ Antrag auf Erteilung von Härtefallbewilligungen. Auf das Gesuch trat die Einwohnergemeinde mit Entscheid vom 12. August 2019 nicht ein, was von der Polizei- und Militärdirektion mit Entscheid vom 11. Dezember 2019 bestätigt wurde. Der Entscheid erwuchs unangefochten in Rechtskraft. Eine zunächst auf den 15. Mai 2020 angesetzte und sodann bis am 11. Juni 2020 verlängerte Ausreisefrist liessen A._ und B._ ungenutzt verstreichen.
B.c. Am 12. Juni 2020 gelangte die Familie erneut an die Einwohnergemeinde und ersuchte für A._ und B._ unter anderem um vorläufige Aufnahme sowie um Erteilung von Aufenthaltsbewilligungen im Rahmen des (umgekehrten) Familiennachzugs. Auf das Gesuch trat die Einwohnergemeinde mit Verfügung vom 3. Juli 2020 nicht ein. Die Sicherheitsdirektion des Kantons Bern (vormals: die Polizei- und Militärdirektion; nachfolgend: die Sicherheitsdirektion) wies die dagegen erhobene Beschwerde am 23. November 2020 ab, soweit sie darauf eintrat, und setzte eine neue Ausreisefrist bis 23. Januar 2021. Der Entscheid der Sicherheitsdirektion erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
B.d. Mit Eingabe vom 18. Januar 2021 stellte die Familie ein Gesuch um Verlängerung der Ausreisefrist bis Ende Juli 2021, mindestens aber um drei Monate, was von der Einwohnergemeinde am 20. Januar 2021 formlos abgelehnt wurde. Am 25. Januar 2021 ersuchte die Familie um Erlass einer anfechtbaren Verfügung; ferner stellten A._, B._ und C._ weitere Anträge (Anpassung des verweigerten Aufenthaltsrechts an veränderte Verhältnisse, Gesuch um Familiennachzug, eventualiter Erteilung einer Härtefallbewilligung, subeventualiter Anordnung der vorläufigen Aufnahme). Mit Verfügung vom 24. März 2021 trat die Einwohnergemeinde auf dieses Gesuch nicht ein. Die Sicherheitsdirektion wies die gegen diese Nichteintretensverfügung erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 12. Mai 2021 ab, soweit sie darauf eintrat. Daraufhin gelangten A._, B._ und C._ an das Verwaltungsgericht. Dieses wies die Beschwerde mit Urteil vom 29. September 2021 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Eingabe vom 3. November 2021 erheben A._, B._ und C._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht. Sie ersuchen darum, die Migrationsbehörden unter Aufhebung des angefochtenen Urteils anzuweisen, das Gesuch um Familiennachzug gestützt auf einen nachträglich veränderten Sachverhalt materiell zu behandeln. Prozessual ersuchen sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Beiordnung eines amtlichen Rechtsbeistands in Person ihrer Rechtsvertreterin; ferner beantragen sie, ihrer Beschwerde die aufschiebende Wirkung beizulegen.
Das Bundesgericht hat auf Instruktionsmassnahmen verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Die von den Beschwerdeführern vorliegend gesondert aufgeworfene Frage der Zulässigkeit bzw. Zumutbarkeit des Wegweisungsvollzugs nach Sri Lanka (vgl. S. 5 ff. des angefochtenen Urteils) bildete nicht Gegenstand des angefochtenen Urteils. Die Beschwerdeführer machen nicht geltend, dass die Vorinstanz diesbezüglich zu Unrecht auf eine Prüfung verzichtet hätte. Die von den Beschwerdeführern aufgeworfene Frage sprengt mithin den durch das angefochtene Urteil abgesteckten Streitgegenstand des vorliegenden Verfahrens. Weder unter dem Titel der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten noch unter dem Titel der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann sie zum Gegenstand einer bundesgerichtlichen Prüfung gemacht werden.
1.2. Anders als noch vor der Vorinstanz (vgl. E. 4 des angefochtenen Entscheids) wehren sich die Beschwerdeführer vorliegend nicht mehr gegen die von der Einwohnergemeinde angeordnete Ausreisefrist (<ref-law>). In Frage steht mithin im Prinzip nur noch, ob auf ihr Familiennachzugsgesuch einzutreten sei. Da der Beschwerdeführer 3 über die Niederlassungsbewilligung verfügt (vgl. Bst. B.a hiervor), ist zumindest nicht ausgeschlossen, dass ein Aufenthaltsanspruch der Beschwerdeführer 1 und 2 aus Art. 8 Ziff. 1 EMRK abgeleitet werden kann (sog. umgekehrter Familiennachzug; vgl. Urteile 2C_313/2021 vom 19. Oktober 2021 E. 1.3; 2C_663/2020 vom 2. März 2021 E. 1). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist damit in dieser Hinsicht zulässig (<ref-law>, <ref-law> e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde der hierzu legitimierten Beschwerdeführer ist insoweit einzutreten. Für die subsidiäre Verfassungsbeschwere bleibt kein Raum (<ref-law> e contrario).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Parteien (<ref-law>) prüft es jedoch nur die vorgebrachten Rügen, sofern rechtliche Mängel nicht geradezu ins Auge springen (<ref-ruling> E. 2).
2.2. Seinem Urteil legt das Bundesgericht den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, die Feststellungen der Vorinstanz seien offensichtlich unrichtig oder beruhten auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (<ref-law>). Offensichtlich unrichtig ist die Feststellung des Sachverhalts, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 4.1.2). Eine entsprechende Rüge ist hinreichend zu substanziieren (<ref-law>).
3.
Strittig ist vorliegend, ob die Beschwerdeführer Anspruch auf materielle Prüfung ihres Nachzugsgesuchs haben, oder ob die Einwohnergemeinde auf das (neuerliche) Gesuch um Erteilung von Aufenthaltsbewilligungen zu Recht nicht eingetreten ist.
3.1. Die frühere Aufenthaltsberechtigung der Beschwerdeführer 1 und 2 wurde mit dem Urteil 2C_865/2017 vom 22. März 2019 rechtskräftig (<ref-law>) beendet. Seit diesem Urteil haben die Beschwerdeführer 1 und 2 kein Aufenthaltsrecht mehr in der Schweiz. Beim nun gestellten Wiedererwägungsgesuch geht es nicht um ein Wiederaufleben der früheren Bewilligungen; ersucht wird vielmehr um neue Bewilligungen, was voraussetzt, dass im Zeitpunkt ihrer Erteilung die dannzumal geltenden Bewilligungsvoraussetzungen erfüllt sind (Urteile 2C_572/2020 vom 22. Oktober 2020 E. 1.3; 2C_1000/2019 vom 8. Mai 2020 E. 3.2).
3.2. Ist eine früher bestehende Bewilligung widerrufen bzw. nicht verlängert worden, so kann zwar grundsätzlich jederzeit ein Gesuch um eine neue Bewilligung gestellt werden. Ein neues Gesuch darf aber nicht dazu dienen, rechtskräftige Entscheide immer wieder infrage zu stellen. Die Verwaltungsbehörde ist von Verfassungs wegen nur verpflichtet, auf ein neues Gesuch einzutreten, wenn die Umstände sich seit dem ersten Entscheid wesentlich geändert haben oder der Gesuchsteller erhebliche Tatsachen und Beweismittel namhaft macht, die ihm im früheren Verfahren nicht bekannt waren oder die schon damals geltend zu machen für ihn rechtlich oder tatsächlich unmöglich war oder keine Veranlassung bestand (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2b). Eine wesentliche Änderung der rechtserheblichen Sachumstände und damit ein Anspruch auf Neubefassung besteht nur, falls die geltend gemachten Veränderungen geeignet sind, zu einem anderen Resultat zu führen; gestützt auf die neuen Elemente muss für die betroffene Person ein günstigeres Ergebnis ernsthaft in Betracht fallen (<ref-ruling> E. 2.2.1; Urteil 2C_977/2017 vom 6. Juni 2018 E. 3). Ausgangspunkt für die Beurteilung, ob sich die Umstände verändert haben, ist der Zeitpunkt des letztinstanzlichen kantonalen Entscheids (vgl. Urteile 2C_663/2020 vom 2. März 2021 E. 3.4; 2C_572/2020 vom 22. Oktober 2020 E. 3.2; 2C_883/2018 vom 21. März 2019 E. 4.5).
3.3. Wer einer rechtskräftigen Ausreiseanordnung nicht nachkommt, sondern im Lande verbleibt und einfach ein neues Gesuch stellt, kann nur ausnahmsweise einen Anspruch auf Neubeurteilung geltend machen (vgl. Urteil 2C_13/2020 vom 8. Mai 2020 E. 5.3.2). Neue Sachumstände, die sich nur dadurch ergeben haben, dass der Betroffene einer rechtskräftigen Wegweisung nicht Folge geleistet hat, haben entsprechend reduziertes Gewicht als neue anspruchsbegründende Tatsachen (vgl. Urteile 2C_572/2020 vom 22. Oktober 2020 E. 4.1.2; 2C_910/2018 vom 23. Oktober 2019 E. 5.3; 2C_790/2017 vom 12. Januar 2018 E. 2.4; 2C_117/2012 vom 11. Juni 2012 E. 4.5.3), namentlich auch eine blosse verstärkte Integration infolge des unrechtmässigen Verbleibens im Lande (vgl. 2C_862/2018 vom 15. Januar 2019 E. 3.3; 2C_977/2017 vom 6. Juni 2018 E. 4.4) oder eine Intensivierung familiärer Beziehungen, die sich nur dadurch ergeben hat, dass der Betroffene der rechtskräftigen Wegweisungsanordnung nicht nachgekommen ist (vgl. 2C_1081/2014 vom 19. Februar 2016 E. 2.3.2). Denn andernfalls würde derjenige, der sich über rechtskräftige Entscheide hinwegsetzt, bevorzugt gegenüber denjenigen, die sich daran halten, was rechtsstaatlich nicht angeht (vgl. Urteile 2C_663/2020 vom 2. März 2021 E. 3.6; 2C_862/2018 vom 15. Januar 2019 E. 3.3; 2C_969/2017 vom 2. Juli 2018 E. 3.5).
3.4. Die Vorinstanz kam zum Schluss, dass die von den Beschwerdeführern vorgebrachten Sachumstände (Erreichen des 12. Lebensjahrs des Beschwerdeführers 3 am 4. September 2020, Einleitung eines IV-Verfahrens des Beschwerdeführers 1 am 8. Mai 2020, angebliche Vollzugshindernisse aufgrund abschlägig beurteilter Asylgesuche des Beschwerdeführers 1, Teilzeiterwerbstätigkeit der Beschwerdeführerin 2) bereits im Beschwerdeentscheid der Sicherheitsdirektion vom 23. November 2020 geprüft worden seien oder von den Beschwerdeführern damals ins Verfahren hätten eingebracht werden müssen. Folglich seien die Voraussetzungen für eine materielle Prüfung des Familiennachzugsgesuchs vorliegend nicht gegeben; da auch keine Revisionsgründe vorliegen würden, sei nicht zu beanstanden, dass die Sicherheitsdirektion den Nichteintretensentscheid der Einwohnerdienste bestätigt habe (vgl. E. 3.3 des angefochtenen Urteils).
3.5. Was die Beschwerdeführer gegen die vorinstanzliche Würdigung (vgl. E. 3.4 hiervor) einwenden, überzeugt nicht.
3.5.1. Soweit sich die Beschwerdeführer auf Art. 2, Art. 3, Art. 9, Art. 10 und Art. 37 lit. a UN-KRK bzw. Art. 8 EMRK berufen, verkennen sie den Gegenstand des vorliegenden Verfahrens. Zu prüfen ist vorliegend die Rechtmässigkeit des von der Vorinstanz bestätigten Nichteintretensentscheids. Entscheidend ist insoweit mit Blick auf <ref-law>, ob eine wesentliche Änderung der Sachlage anzunehmen ist (vgl. E. 3.2 hiervor).
3.5.2. Zeitlicher Referenzpunkt der Prüfung einer wesentlichen Änderung der Sachlage bildet entgegen den Ausführungen der Beschwerdeführer (vgl. S. 3 ihrer Eingabe) nicht der Beschwerdeentscheid der Polizei- und Militärdirektion vom 31. Januar 2017, sondern der Beschwerdentscheid der Sicherheitsdirektion vom 23. November 2020 (vgl. Bst. B.c hiervor) : Die Beschwerdeführer haben darauf verzichtet, die abschlägigen Entscheide der Polizei- und Militärdirektion vom 12. August 2019 bzw. der Sicherheitsdirektion vom 23. November 2020 anzufechten. In den jeweiligen Verfahren ist jeweils geprüft worden, ob eine wesentliche Änderung der Sachlage vorliegt; die Frage ist für den Zeitraum bis zum 12. August 2019 bzw. bis zum 23. November 2020 verbindlich verneint worden. Im vorliegenden Verfahren besteht kein Raum dafür, diese rechtskräftigen Entscheide in Frage zu stellen, zumal keinerlei Revisionsgründe angerufen werden.
3.5.3. Wie die Vorinstanz zutreffend erwogen hat, hatten die Sachumstände, die vorliegend angerufen werden, zum hier massgeblichen Zeitpunkt (vgl. E. 3.5.1 hiervor) bereits Bestand. Dies wird von den Beschwerdeführern auch nicht substanziiert bestritten. Ohne wesentliche Änderung der Sachlage seit dem 23. November 2020 waren die kantonalen Vorinstanzen aber entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer nicht verpflichtet, eine neue Interessenabwägung vorzunehmen. Soweit man die Sache materiell betrachten wollte, ist im Übrigen darauf hinzuweisen, dass sämtliche Umstände, die im vorliegenden Verfahren angerufen werden, nur deshalb eintreten konnten, weil sich die Beschwerdeführer 1 und 2 rechtskräftigen Wegweisungsanordnungen beharrlich widersetzten; solchen Umständen kann zum vornherein nur beschränktes Gewicht zukommen (vgl. E. 3.3 hiervor).
4.
Die Beschwerde erweist sich aufgrund vorstehender Erwägungen als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist (vgl. E. 1.1 und 1.2 hiervor).
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens (vgl. E. 4 hiervor) werden die Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Ihre Beschwerde muss als aussichtslos qualifiziert werden. Entsprechend kann den Gesuchen um unentgeltliche Rechtspflege und amtliche Verbeiständung nicht entsprochen werden (vgl. <ref-law>). Das Gesuch der Beschwerdeführer, ihrer Beschwerde die aufschiebende Wirkung beizulegen, ist mit vorliegendem Urteil hinfällig geworden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
3.
Die Gesuche um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und amtlichen Verbeiständung werden abgewiesen.
4.
Die Verfahrenskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, der Sicherheitsdirektion des Kantons Bern (SID), dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. November 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner