Sachverhalt:
A.
Der Verein Paritätischer Vollzug, Weiterbildung und Sozialfonds für den Personalverleih (Kläger; Beschwerdeführer) ist das paritätische Vollzugsorgan im Sinne von <ref-law> des Gesamtarbeitsvertrags für den Personalverleih (nachfolgend: GAV Personalverleih). Er verlangte von der A._ ag (Beklagte, Beschwerdegegnerin), die im Personalverleih tätig ist und als Aussenseiterin dem allgemeinverbindlich erklärten GAV Personalverleih untersteht, gestützt auf diesen die darin vorgesehenen Beiträge für die Jahre 2013 bis Mitte 2017 sowie die erste Akontozahlung für das Jahr 2018.
A.a. Der GAV-Personalverleih wurde vom Bundesrat erstmals 2012 allgemeinverbindlich erklärt. Die Allgemeinverbindlicherklärung wurde seit 2012 mehrmals verlängert, letztmals bis zum 31. Dezember 2020 (vgl. Bundesratsbeschluss über die Allgemeinverbindlicherklärung des Gesamtarbeitsvertrages für den Personalverleih vom 12. Dezember 2018; BBl 2018 7775). Damit ist die hier streitige Periode abgedeckt. Danach erfolgte mit Bundesratsbeschluss vom 15. Februar 2021 eine Wiederinkraftsetzung per 1. März 2021 (BBl 2021 263) und mit Beschluss vom 25. Mai 2021 eine Verlängerung bis 31. Dezember 2023 (BBl 2021 1337).
A.b. Art. 7 Abs. 4 des GAV Personalverleih bestimmt, dass zu dessen Finanzierung von den Arbeitnehmenden und den Arbeitgebern zusammen Berufsbeiträge von 1,0 Lohnprozent erhoben werden. Dabei beträgt der Arbeitgeberanteil 0,3 %, der Anteil der Arbeitnehmenden 0,7 %. Mit den Beiträgen werden gemäss GAV der Vollzug des GAV, die berufliche Weiterbildung sowie ein Sozialfonds zur Unterstützung der kollektiven Krankentaggeldversicherung finanziert. Der Einfachheit halber werden auch die Beiträge der Arbeitnehmer jeweils von den Arbeitgebern bezogen (die Arbeitgeber berücksichtigen die entsprechenden Beiträge bereits bei der Lohnabrechnung).
B.
Der Kläger forderte von der Beklagten vor dem Handelsgericht des Kantons Zürich Fr. 241'273.98 nebst Zins. Zudem verlangte er die definitive Rechtsöffnung in der von ihm eingeleiteten Betreibung. Mit Beschluss und Urteil vom 10. Dezember 2020 schrieb das Handelsgericht das Verfahren zufolge teilweiser Klageanerkennung im Umfang von Fr. 48'254.80 nebst Zins ab (Beschluss). Im Übrigen (Urteil) wies es die Klage ab. Es kam zum Schluss, der Kläger habe es unterlassen, die für die Prüfung der Beitragshöhe nötigen Tatsachenbehauptungen aufzustellen. Daher könne nicht beurteilt werden, ob die Beitragshöhe im GAV gesetzeskonform sei. Im nicht anerkannten Umfang sei die Klage abzuweisen.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Kläger dem Bundesgericht im Wesentlichen, das Urteil des Handelsgerichts aufzuheben und die Beklagte zu verpflichten, ihm Fr. 193'019.18 nebst Zins zu bezahlen und ihm definitive Rechtsöffnung zu erteilen. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf kostenfällige Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten und diese nicht gegenstandslos geworden sei. Das Handelsgericht hat auf Vernehmlassung verzichtet. Die Parteien haben unaufgefordert eine Beschwerdereplik und -duplik eingereicht.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind, prüft es aber mit Blick auf die Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen. Es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese nicht mehr vorgetragen werden. Eine eingehende Auseinandersetzung mit der Begründung des angefochtenen Urteils ist unerlässlich (<ref-ruling> E. 2, 115 E. 2).
2.
Die Vorinstanz hielt fest, der Beschwerdeführer habe sich im kantonalen Verfahren auf den Standpunkt gestellt, die Höhe der Forderung sei nicht mehr zu prüfen, weil sowohl der Bundesrat als auch das Staatssekretariat für Wirtschaft SECO sich mit der Höhe der bezogenen Beiträge befasst und nichts gegen die Höhe eingewendet hätten. Es sei Sache der Beschwerdegegnerin nachzuweisen, dass die Beiträge übermässig seien. Demgegenüber bringe die Beschwerdegegnerin eine Vielzahl von Gründen vor, die ihrer Ansicht nach zur (teilweisen) Klageabweisung führten. Die Beiträge seien unverhältnismässig und verstiessen gegen das Kostendeckungs- und Äquivalenzprinzip, die Koalitions- und Vereinsfreiheit, die "persönliche Dispositionsfreiheit" sowie das Legalitätsprinzip.
2.1. Die Vorinstanz erkannte, nach Art. 3 Abs. 2 lit. b des Bundesgesetzes vom 28. September 1956 über die Allgemeinverbindlicherklärung von Gesamtarbeitsverträgen (AVEG; SR 221.215.311) dürften Bestimmungen über Kontrollen, Kautionen und Konventionalstrafen nur allgemeinverbindlich erklärt werden, wenn die Kontrollkostenbeiträge der am Gesamtarbeitsvertrag nicht beteiligten Arbeitgeber und Arbeitnehmer die Anteile nicht überstiegen, die sich bei einer gleichmässigen Verteilung der tatsächlichen Kosten auf alle Arbeitgeber einerseits und auf alle Arbeitnehmer anderseits ergäben. Nach der Praxis des Bundesrates zur Allgemeinverbindlicherklärung werde die Höhe der Beiträge insbesondere durch zwei Kriterien begrenzt: Die effektive Verwendung der Gelder und die Höhe der Mitgliederbeiträge für Gewerkschaften und Arbeitgeberverbände. Ausgeschlossen sei die Allgemeinverbindlicherklärung von Bestimmungen, welche die Aussenseiter zur Leistung von Beiträgen verpflichten, die höher, gleich hoch oder nur wenig tiefer seien als die Mitgliederbeiträge. Vollzugskostenbeiträge seien zweckgebunden, und die Vertragsparteien dürften sich mit diesen nicht bereichern. Allfällige Überschüsse aus Kontrollkostenbeiträgen seien in erster Linie für allgemeine Zwecke des betreffenden Wirtschaftszweiges zu verwenden.
2.2. Nicht zu den Vollzugskosten zählten die Kosten der beruflichen Weiterbildung sowie die Einzahlungen in den Sozialfonds zur Subventionierung der Krankentaggeldversicherung. Das AVEG regele diese Beiträge nicht ausdrücklich. Auch für diese Beiträge gelte ein Bereicherungsverbot der Vertragsparteien sowie das Gleichbehandlungsgebot, d.h. keine Schlechterstellung der Aussenseiter im Vergleich zu den Mitgliedern. Alle Beiträge müssten für die vorgesehenen Verwendungszwecke effektiv laufend gebraucht werden. Eine Vermögensbildung, die über normale Reserven hinausgehe, sei nicht zulässig.
2.3. Damit ein Anspruch gegen den Aussenseiter bejaht werden könne, müssten die gesetzlichen Vorgaben an eine allgemeinverbindlich erklärte GAV-Bestimmung nicht bloss im Zeitpunkt des Entscheides über die Allgemeinverbindlicherklärung erfüllt sein, sondern im Sinne von Dauervoraussetzungen auch im Zeitpunkt der Entstehung des Anspruchs. Die Angemessenheit der später tatsächlich fälligen Beiträge lasse sich im Zeitpunkt der Allgemeinverbindlicherklärung noch nicht abschliessend beurteilen. Die Gesetzeskonformität der Beiträge sei eine Voraussetzung des klägerischen Anspruchs.
2.4. Die Vorinstanz kam zum Schluss, die Beschwerdegegnerin habe ihre Einwände gegen die Forderung des Beschwerdeführers ausreichend klar behauptet. Auch wenn einzelne ihrer Ausführungen unzutreffend seien und teilweise auf einem falschen Verständnis des Instruments der Allgemeinverbindlicherklärung gründeten, habe sie ihr Hauptanliegen, wonach insbesondere die Höhe der Beiträge nicht den gesetzlichen Anforderungen entspreche, genügend schlüssig behauptet. Dass sie dabei nicht mit konkreten Zahlen operiere, schade ihr nicht.
2.5. Die Vorinstanz erkannte, angesichts der erhobenen Einwände habe der Beschwerdeführer seine Ein- und Ausgaben aus den Beiträgen und die mit den Beiträgen tatsächlich verfolgten Verwendungszwecke darzulegen, um seine Forderung nachvollziehbar zu begründen, sowie entsprechende Beweismittel anzubieten. Der Beschwerdeführer habe die rechtserheblichen Tatsachen seiner Klage aber nicht substanziiert dargelegt, sondern sich mit dem Hinweis begnügt, der Bundesrat habe ausreichend geprüft, ob die Höhe der Beiträge den gesetzlichen Vorgaben entspreche, und das SECO überprüfe die Einhaltung der gesetzlichen Vorschriften, weshalb anzunehmen sei, die Forderung sei gesetzeskonform. Dies genügt nach Auffassung der Vorinstanz nicht. Die zulässigen Zwecke, die eine Beitragspflicht der Aussenseiter begründen könnten, seien begrenzt. Darum sei der mit den Einnahmen aus Aussenseiterbeiträgen tatsächlich verfolgte Zweck bedeutsam für die Frage, ob die Beiträge geschuldet seien. Der Beschwerdeführer hätte sich auch deshalb veranlasst sehen sollen, sich mit der Höhe der Beiträge auseinanderzusetzen, weil das SECO ihn namentlich hinsichtlich des Verwendungszwecks sowie der Höhe der Beiträge bereits gerügt habe. Wenn der Beschwerdeführer in seiner Eingabe vom 2. September 2019 nach Aktenschluss erstmals (unvollständiges) Zahlenmaterial präsentiere, helfe das nicht weiter (zumal Zahlen nur für das Jahr 2018 eingereicht worden seien, für welches er ohnehin einzig den Akontobetrag für die erste Jahreshälfte eingeklagt habe). Aus den dargelegten Zahlen lasse sich nichts Entscheidrelevantes entnehmen, weshalb auch offenbleiben könne, ob die Eingabe novenrechtlich rechtzeitig erfolgt sei.
3.
Der Beschwerdeführer macht geltend, die Beschwerdegegnerin verweigere seit jeher die Zahlung der Vollzugskostenbeiträge. Er habe deshalb ein erstes Gerichtsverfahren betreffend die Beiträge für das Kalenderjahr 2012 eingeleitet. Mit Urteil des Bundesgerichts 4A_408/2017 vom 31. Januar 2018habe dieses die Pflicht zur Zahlung der eingeklagten Forderung im Betrage von Fr. 45'642.20 nebst Zinsen und Kosten bestätigt.
3.1. In der Klageantwort habe sich die Beschwerdegegnerin mit der Behauptung gewehrt, bei den eingeklagten Vollzugskostenbeiträgen handle es sich um eine Abgabe, die wie Kausalabgaben oder (staatliche) Gebühren zu behandeln seien. Das Kostendeckungs- und Äquivalenzprinzip sei einzuhalten, welches hier verletzt sei. Zudem habe die Beschwerdegegnerin die Auffassung vertreten, die Missachtung des Kostendeckungs- und Äquivalenzprinzips habe sie nicht zu beweisen. Diesen pauschalen Behauptungen ohne jegliche Hinweise auf Gesetz, Rechtsprechung oder Literatur (insbes. in Bezug auf das Argument, wonach die Rechtsgrundlagen des öffentlichen Abgaberechts zu beachten seien) sei der Beschwerdeführer in der Replik entgegengetreten. Im Anschluss daran habe die Beschwerdegegnerin in ihrer Duplik erstmalig auf <ref-ruling> ff. verwiesen und sich damit neu darauf berufen, das Kostendeckungs- und Äquivalenzprinzip gelte nicht gestützt auf eine (analoge) Anwendbarkeit der Grundsätze aus dem Abgaberecht, sondern sei auch direkt für das GAV-Recht zu beachten. Aufgrund dieser neuen und von der Replik abweichenden Behauptungen habe sich der Beschwerdeführer zu einer nachträglichen Eingabe veranlasst gesehen. Darin sei er vor allem auf diese (neue) Thematik eingegangen, habe dazu detailliert Stellung genommen und die nötigen Belege eingereicht und kommentiert. Weitere Beweise, sollte das Gericht dies für nötig befinden, habe er angeboten sowie den Antrag auf Erstellung eines Gutachtens gestellt. Die Ausführungen der Beschwerdegegnerin in der Duplik seien kausal für die in der nachträglichen Eingabe gemachten Ausführungen mit den darin eingebrachten unechten Noven gewesen. Die in der Duplik eingebrachten neuen Argumente und Behauptungen der Beschwerdegegnerin seien für den Beschwerdeführer nicht vorhersehbar gewesen, weshalb es ihm auch nicht zuzumuten gewesen sei, bereits in der Replik auf solche (zukünftigen) Argumente einzugehen und entsprechende Beweismittel einzureichen. Damit sei eine Unzumutbarkeit im Sinne von <ref-law> vorgelegen.
3.2. Der Beschwerdeführer beruft sich darauf, die Beschwerdegegnerin habe nicht gerügt, die Verwendung der Mittel sei auf nicht gesetzmässige Art erfolgt. Sie habe lediglich die Höhe der durch sie zu bezahlenden Beiträge beanstandet, und dies in allen Fällen verbunden mit einer entsprechenden Begründung, nämlich:
- Verstoss gegen das Steuerharmonisierungsgesetz
- Verstoss gegen das Äquivalenz- und Kostendeckungsprinzip
- Verstoss gegen die Vereins- und Koalitionsfreiheit
- Verletzung der wirtschaftlichen bzw. persönlichen Freiheit
- Zu hohe Beiträge im Vergleich zu anderen Gesamtarbeitsverträgen
- Zu hohe Rückvergütung im Umfang von 80 %
- Zu hohe Beiträge im Verhältnis zu den Leistungen (Kontrollkosten, Weiterbildung etc.), die der Beschwerdeführer in Bezug auf die Beschwerdegegnerin tatsächlich erbracht habe.
Die Vorinstanz habe Art. 55 und Art. 150 ZPO sowie <ref-law> verletzt, wenn sie die Vielzahl von spezifisch begründeten Einwänden der Beschwerdegegnerin zu einem allgemeinen, nicht näher substanziierten Einwand ("Beiträge sind zu hoch") uminterpretiere. Die gesetzmässige Mittelverwendung sei nicht streitig gewesen, weshalb darüber nicht Beweis abzunehmen sei. Ausführungen zur Beitragshöhe seien unter der Thematik des Vergleiches mit anderen GAV sowie in der nachträglichen Eingabe und dort insbesondere unter der Thematik des (angeblich verletzten) Äquivalenz- und Kostendeckungsprinzips erfolgt und zudem im Rahmen des Plädoyers anlässlich der Hauptverhandlung. Darin sei Bezug genommen worden auf die Höhe der Einnahmen und der angeblich zu hohen Reserven, und es sei auf die entsprechende Weisung des SECO sowie die relevanten Anspruchsgrundlagen aus dem Obligationenrecht (<ref-law>) und dem AVEG verwiesen worden. Mit der nachträglichen Eingabe sei der Jahresbericht für das Jahr 2018 eingereicht worden, mit dem Hinweis, dass daraus klar und deutlich hervorgehe, wie die eingenommenen Vollzugskostenbeiträge verwendet worden seien. Dies verbunden mit einem kurzen Hinweis auf die Beiträge und Berichte aus den einzelnen Bereichen (Weiterbildung, S. 9 f.; Betriebsrechnung S. 18 und 25, etc.). Insbesondere aus kläg. act. 37 [= kant. act. 31/37] S. 18 sei explizit ersichtlich, zu welchem Zweck die Einnahmen des Beschwerdeführers in den einzelnen Bereichen verwendet worden seien, und zwar nicht nur für das Jahr 2018, sondern auch das Vorjahr (2017).
3.3. Auf diese Beweismittel und Ausführungen sei die Vorinstanz mit keinem Wort eingegangen. Stattdessen habe sie festgestellt, aus den dargelegten Zahlen lasse sich nichts Entscheidrelevantes entnehmen. Die Ein- und Ausgaben seien schlichtweg unbekannt. Diese Feststellungen seien offensichtlich falsch. Und selbst wenn sie zutreffen würden, läge eine Verletzung von Art. 55 und 56 ZPO vor, da das Gericht seine Fragepflicht (<ref-law>) nicht wahrgenommen habe. Hätte die Vorinstanz im Anschluss an den zweiten Schriftenwechsel zu diesem, für den Beschwerdeführer nicht vorhersehbaren, weil nicht bestrittenen, Punkt nachgehakt, wäre ohne weiteres eine ausführliche Stellungnahme erfolgt. Ein Nachfragen hätte der Beschwerdeführer umso mehr erwarten dürfen, als er in der nachträglichen Eingabe ausdrücklich erklärt habe, entsprechende Nachweise würden umgehend nachgereicht, sollte das Gericht die Meinung vertreten, die Höhe der Vollzugs- und Weiterbildungsbeiträge sei zu überprüfen.
4.
In <ref-ruling> war zu beurteilen, ob die allgemeinverbindlich erklärte Pflicht des Arbeitgebers zur Entrichtung von Vorsorgebeiträgen an eine Stiftung auf genügenden gesetzlichen Grundlagen beruhe. In diesem Zusammenhang hielt das Bundesgericht fest, die Bemessung der Beiträge werde in generell-abstrakter Weise im allgemeinverbindlich erklärten Gesamtarbeitsvertrag festgelegt. Dass die Beiträge wesentlich höher als die entsprechenden Kosten oder als der Wert des entsprechenden Sondervorteils sein sollten, sei nicht ersichtlich und werde auch nicht geltend gemacht. Aufgrund dieser Gegebenheiten sei in Bezug auf die Höhe der Beiträge von der Wahrung des Kostendeckungs- und Äquivalenzprinzips auszugehen. Auch daher rechtfertige sich der Verzicht auf eine Regelung der Grundzüge der Bemessung in einem formellen Gesetz (<ref-ruling> E. 3.5.2). Diesen Entscheid thematisiert der Beschwerdeführer im Zusammenhang mit der Zulässigkeit seiner Noveneingabe, mit dessen Inhalt setzt er sich aber nicht vertieft auseinander. Darauf (und auf die vor der Vorinstanz umstrittene Frage, inwieweit das Kostendeckungs- und Äquivalenzprinzip zur Anwendung kommt) ist folglich nicht weiter einzugehen (vgl. E. 1 hiervor). Zu prüfen ist vielmehr die Frage der rechtsgenüglichen Behauptung und Bestreitung in Bezug auf den Verwendungszweck.
4.1. Nach <ref-law> haben unter der Geltung der Verhandlungsmaxime die Parteien dem Gericht die Tatsachen darzulegen, auf die sie ihre Begehren stützen, und die Beweismittel anzugeben. Eine Tatsachenbehauptung hat nicht alle Einzelheiten zu enthalten. Es genügt, wenn die Tatsachen, die unter die das Begehren stützenden Normen zu subsumieren sind, in einer den Gewohnheiten des Lebens entsprechenden Weise in ihren wesentlichen Zügen oder Umrissen behauptet werden. Immerhin muss die Tatsachenbehauptung so konkret formuliert sein, dass ein substanziiertes Bestreiten möglich ist oder der Gegenbeweis angetreten werden kann (<ref-ruling> E. 3.4.2; Urteil des Bundesgerichts 4A_36/2021 vom 1. November 2021 E. 5.1.1; je mit Hinweis).
4.1.1. Behauptungen sind hinreichend, wenn sie unter der Annahme, sie seien bewiesen, einen Sachverhalt ergeben, den das Gericht den entsprechenden Gesetzesnormen zuordnen und gestützt darauf die Forderung zusprechen kann (<ref-ruling> E. 8.2 mit Hinweis). Ein solchermassen vollständiger Tatsachenvortrag wird als schlüssig bezeichnet, da er bei Unterstellung, er sei wahr, den Schluss auf die anbegehrte Rechtsfolge zulässt (zit. Urteil 4A_36/2021 E. 5.1.1 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 2b).
4.1.2. Die Behauptungs- und Substanziierungslast zwingt die damit belastete Partei nicht, sämtliche möglichen Einwände der Gegenpartei vorweg zu entkräften (Urteile des Bundesgerichts 4A_533/2019 vom 22. April 2020 E. 4.4.1; 4A_591/2012 vom 20. Februar 2013 E. 3.2 mit Hinweisen). Nur soweit der Prozessgegner den schlüssigen Tatsachenvortrag der behauptungsbelasteten Partei bestreitet, greift eine über die Behauptungslast hinausgehende Substanziierungslast. Die Vorbringen sind diesfalls nicht nur in den Grundzügen, sondern in Einzeltatsachen zergliedert so umfassend und klar darzulegen, dass darüber Beweis abgenommen oder dagegen der Gegenbeweis angetreten werden kann (<ref-ruling> E. 5.2.1.1; <ref-ruling> E. 2b mit Hinweisen).
4.1.3. Bestreitungen sind so konkret zu halten, dass sich bestimmen lässt, welche einzelnen Behauptungen des Klägers damit bestritten werden; die Bestreitung muss ihrem Zweck entsprechend so konkret sein, dass die Gegenpartei weiss, welche einzelne Tatsachenbehauptung sie beweisen muss (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.6 mit Hinweisen).
4.1.4. Das Erfordernis der Behauptung und der Bestreitung dient der Eingrenzung des Beweisthemas (vgl. HANS PETER WALTER, in: Berner Kommentar, 2012, N. 182 und 191 zu <ref-law>), da grundsätzlich nur über bestrittene Behauptungen Beweis geführt werden muss (<ref-law>; FABIENNE HOHL, Procédure civile, Bd. I, 2. Aufl. 2016, S. 210 Rz. 1277), und schafft andererseits die Voraussetzungen für eine sachgerechte Beweisführung und den Subsumtionsvorgang in der Rechtsfindung (vgl. WALTER, a.a.O., N. 202 zu <ref-law>; HOHL, a.a.O., S. 208 Rz. 1264 und S. 211 f. Rz. 1281; und zum Ganzen: Urteile des Bundesgerichts 4A_446/2020 vom 8. März 2021 E. 2.3; 4A_106/2020 vom 8. Juli 2020 E. 2.3.2). Die Obliegenheit zur Substanziierung ist dem Beweisverfahren vorgelagert und hat dieses gleichsam zu ermöglichen. Das Beweisverfahren darf nicht dazu dienen, fehlende Behauptungen zu ersetzen (<ref-ruling> E. 2.1; zit. Urteil 4A_446/2020 E. 2.3 mit Hinweisen).
4.2. Die Behauptungs- und Bestreitungslast betrifft Tatsachen (<ref-law>), nicht die rechtliche Begründung. Zwar kann massgebend sein, unter welchem Gesichtspunkt eine Partei eine Tatsachenbehauptung bestreitet (vgl. Urteile des Bundesgerichts 4A_605/2019 vom 27. Mai 2020 E. 4.2.2; 4A_9/2018 vom 31. Oktober 2018 E. 3.1 ff.) und insoweit kann auch der Begründung einer Bestreitung Bedeutung zukommen. Davon abgesehen wendet das Gericht das Recht aber von Amtes wegen an (<ref-law>).
4.2.1. Nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung besteht kein verfassungsrechtlicher Anspruch der Parteien, zur rechtlichen Würdigung der durch sie in den Prozess eingeführten Tatsachen noch besonders angehört zu werden. Ebenso wenig folgt aus dem Gehörsanspruch, dass die Parteien vorgängig auf den für den Entscheid wesentlichen Sachverhalt hinzuweisen wären (<ref-ruling> E. 5; <ref-ruling> E. 4c). Daran ändert zumindest bei anwaltlich vertretenen Parteien grundsätzlich auch die Fragepflicht nichts, hat sich das Gericht doch selbst im Anwendungsbereich von <ref-law>, gemäss dessen Abs. 1 eine verstärkte Fragepflicht gilt, bei anwaltlich vertretenen Parteien grundsätzlich Zurückhaltung aufzuerlegen (<ref-ruling> E. 2.3.1 mit Hinweisen). Eine Ausnahme besteht namentlich dann, wenn ein Gericht seinen Entscheid mit einem Rechtsgrund zu begründen beabsichtigt, auf den sich die beteiligten Parteien nicht berufen haben und mit dessen Erheblichkeit sie vernünftigerweise nicht rechnen mussten (<ref-ruling> E. 5 S. 39; <ref-ruling> E. 2c/aa; <ref-ruling> E. 3c).
4.2.2. Ist die behauptungsbelastete Partei der Auffassung, eine von der Gegenpartei bestrittene Tatsache sei rechtlich nicht relevant, kann sie zwar darauf verzichten, ihren Tatsachenvortrag insoweit zu substanziieren. Sie läuft aber Gefahr, dass ihr Tatsachenvortrag als nicht hinreichend substanziiert angesehen wird, sofern das Gericht die Tatsache für rechtlich bedeutsam erachtet.
4.3. Der Beschwerdeführer müsste demnach darlegen, dass seine Vorbringen für die von der Bestreitung erfassten Gesichtspunkte genügend sind. Dass die Gegenpartei die rechtliche Begründung ändert, spielt demgegenüber keine Rolle, ausser der Beschwerdeführer hätte vor deren Anrufung durch die Beschwerdegegnerin mit der Erheblichkeit der neu angerufenen rechtlichen Begründung vernünftigerweise nicht rechnen müssen. Nur diesfalls hätten erst die neuen rechtlichen Ausführungen der Gegenpartei Anlass zur weiteren Substanziierung gegeben. Der Beschwerdeführer behauptet zwar, die in der Duplik eingebrachten Argumente und Behauptungen seien für ihn nicht vorhersehbar gewesen. Dem kann aber nicht gefolgt werden:
4.3.1. Der Beschwerdeführer verkennt einerseits, dass von ihm nicht verlangt wurde, auf die rechtlichen Vorbringen zur Begründung der Anwendbarkeit des Kostendeckungs- und des Äquivalenzprinzips einzugehen, sondern die tatsächlichen Grundlagen zu liefern, damit beurteilt werden kann, ob er diese Prinzipien verletzt.
4.3.2. Andererseits erklärt der Beschwerdeführer nicht, inwiefern die in <ref-ruling> publizierte Rechtsprechung für ihn überraschend hätte sein können, zumal er anwaltlich vertreten war und ein Rechtsanwalt, der berufsmässig Parteien vor schweizerischen Gerichten vertritt, die in der Amtlichen Sammlung veröffentlichten Entscheide des Bundesgerichts (BGE) zu kennen hat (Urteil des Bundesgerichts 4A_322/2020 vom 7. Juli 2020; vgl. <ref-ruling> E. 3.2.3.3).
4.3.3. Vor diesem Hintergrund kann der Beschwerdeführer nichts daraus ableiten, auf welche Rechtsgrundlage die Beschwerdegegnerin die Anwendung das Kostendeckungs- und Äquivalenzprinzip abstützte. Neue Vorbringen wären allenfalls zulässig in Bezug auf Tatsachen, die sich gegen die Anwendbarkeit der neuen Rechtsgrundlage richten (beispielsweise ein Umstand, der nichts mit dem Kostendeckungs- und Äquivalenzprinzip zu tun hat, aus dem sich aber ergibt, dass <ref-ruling> nicht einschlägig ist).
4.4. Davon abgesehen müsste der Beschwerdeführer aber im Einzelnen darlegen, inwiefern es für die Frage eines Verstosses gegen das Äquivalenz- und Kostendeckungsprinzipes sowie die anderen Aspekte, unter denen die Beschwerdegegnerin die Höhe der Mittel beanstandet hat, unnötig ist, Ausführungen zur rechtmässigen Verwendung der Mittel zu machen. Dies zeigt er mit seinen Vorbringen nicht rechtsgenüglich auf. Die Rüge, die Vorinstanz habe überhöhte Substanziierungsanforderungen gestellt, verfängt daher nicht.
4.5. Damit erweisen sich die Ausführungen des Beschwerdeführers in seiner nachträglichen Eingabe als verspätet. Zudem genügt nicht, dass die mit der Eingabe eingereichten Dokumente allenfalls relevante Angaben enthalten. Dies müsste sich vielmehr aus den Behauptungen des Beschwerdeführers in der Eingabe selbst ergeben, da das Gericht nicht gehalten ist, die Akten danach zu durchforsten, ob sich etwas daraus zu Gunsten der Partei, die sich darauf beruft, ableiten lässt (vgl. die zu <ref-law> ergangenen Urteile des Bundesgerichts 4A_19/2021 vom 6. April 2021 E. 5.1; 4A_497/2008 vom 10. Februar 2009 E. 4.2 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>). Der Beschwerdeführer zeigt nicht rechtsgenüglich auf, wo er in seiner Rechtsschrift ausgeführt haben will, aus kläg. act. 37 S. 18 sei nicht nur für das Jahr 2018, sondern auch das Vorjahr 2017 explizit ersichtlich, zu welchem Zweck die Einnahmen in den einzelnen Bereichen verwendet worden seien. Damit ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz die Ausführungen des Beschwerdeführers als nicht hinreichend substanziiert und nachgewiesen erachtete.
5.
Die Vorinstanz hielt fest, aufgrund der Parteibehauptungen sei unklar, ob und inwiefern die Beschwerdegegnerin die Arbeitnehmerbeiträge für die streitrelevanten Jahre von den Löhnen abgezogen und abgeliefert habe. Entsprechend könne nicht geprüft werden, ob es rechtsmissbräuchlich sei, Arbeitnehmerbeiträge abzuziehen, diese nicht weiterzuleiten, und gleichzeitig jahrelang passiv abzuwarten, ob sich die Gegenseite um das Inkasso der Beiträge bemühe. Offenzulassen sei endlich auch, ob allenfalls abgezogene, aber nicht weitergeleitete Arbeitnehmerbeiträge den Arbeitnehmern oder dem Beschwerdeführer zustünden.
5.1. Der Beschwerdeführer rügt, die Beschwerdegegnerin habe zu keinem Zeitpunkt bestritten, dass sie die entsprechenden Lohnabzüge vorgenommen habe. Im Rahmen der Rechtsanwendung von Amtes wegen (<ref-law>) hätte daher das Gericht nicht nur die Frage beantworten müssen, ob sich die Beschwerdegegnerin rechtsmissbräuchlich verhalte, was zweifellos zu bejahen sei, sondern es hätte sich insbesondere die Frage aufgedrängt, ob die Beschwerdegegnerin überhaupt aktivlegitimiert sei, die Höhe der Arbeitnehmerbeiträge gestützt auf <ref-law> infrage zu stellen. Die Beschwerdegegnerin sei zwar Aussenseiterin, allerdings nur als Arbeitgeberin, die nicht dem vertragsschliessenden Arbeitgeberverband angehöre. Sie sei es nicht als Arbeitnehmerin und habe auch nirgends geltend gemacht, sie sei von ihren Arbeitnehmerinnen und Arbeitnehmern (von denen überdies nicht bekannt sei, ob sie Aussenseiter seien oder nicht) zur Anfechtung des AVE-Beschlusses des Bundesrats ermächtigt worden. Die Kritik an der Höhe der Beiträge durch die Beschwerdegegnerin könne sich demzufolge nur auf die von ihr selbst aufzubringenden 0.3 Lohnprozent beziehen. Davon habe sie zwei Drittel (20 % der Gesamtforderungen) anerkannt, denn sie könne auch nur über ihren eigenen Beitragsanteil per Anerkennung verfügen. Stehe aufgrund der Akten fest, dass 70 % der eingeklagten Forderung aus vom Lohn abgezogenen Arbeitnehmerbeiträgen bestünden, die die Beschwerdegegnerin bereits vereinnahmt habe, so bestehe für diesen Teil der Forderung für sie kein Recht, die Rechtmässigkeit gestützt auf <ref-law> infrage zu stellen, womit die Klage in diesem Umfang in jedem Fall gutzuheissen sei.
5.2. Die Rüge des Beschwerdeführers ist nicht stichhaltig und in sich selbst nicht schlüssig.
5.2.1. Der Beschwerdeführer hat den gesamten Betrag von der Beschwerdegegnerin eingeklagt, ohne deren Arbeitnehmer am Prozess zu beteiligen. Er nimmt gegenwärtig in sich unvereinbare (und damit widersprüchliche und missbräuchliche; vgl. <ref-ruling> E. 3.4, 666 E. 4.2; <ref-ruling> E. 2.2) Standpunkte ein, wenn er seine Klage für den gesamten Betrag allein gegen die Beschwerdegegnerin richtet und ihr gleichzeitig das Recht absprechen will, in Bezug auf die Arbeitnehmerbeiträge die Klage anzuerkennen oder zu bestreiten.
5.2.2. Es wäre die Beschwerdegegnerin, die sich gegenwärtig unvereinbar und damit widersprüchlich und rechtsmissbräuchlich (vgl. <ref-ruling> E. 3.4, 666 E. 4.2; <ref-ruling> E. 2.2) verhielte, wenn sie den geschuldeten Beitrag zwar für sich selbst, nicht aber für ihre Arbeitnehmerinnen und Arbeitnehmer wegen Verletzung des Kostendeckungs- und des Äquivalenzprinzips bestreiten würde. Wenn der Beschwerdeführer seine Forderung in Bezug auf eine Verletzung des Kostendeckungs- und des Äquivalenzprinzips nicht hinreichend substanziiert, dann gilt dies sowohl für die Arbeitnehmer- als auch die Arbeitgeberbeiträge. Müsste der Beschwerdeführer im Prozess seine bestrittenen Ansprüche auf die Beiträge der Arbeitnehmer nicht substanziieren, wäre es dem Gericht gar nicht möglich zu entscheiden, in welchem Umfang sie ihm zustehen.
5.2.3. Zwar wäre denkbar, dass sich auch die Beschwerdegegnerin rechtsmissbräuchlich verhält. Dies wäre namentlich der Fall, wenn sie die Arbeitnehmerbeiträge nicht an die Arbeitnehmenden zurückerstattet, nachdem feststeht, dass sie nicht dem Beschwerdeführer abzuliefern sind. Daraus kann der Beschwerdeführer aber nichts zu seinen Gunsten ableiten, der ja Bezahlung an sich selbst verlangt. Er kann aber keine Beiträge verlangen, die bestritten wurden und die er nicht hinreichend substanziiert hat. Sollte die Beschwerdegegnerin Arbeitnehmerbeiträge, die defintiv nicht geschuldet sind, nicht zurückerstatten, sondern für sich selbst verwenden, würde sie zwar ihre Pflichten verletzen, aber nicht gegenüber dem Beschwerdeführer sondern gegenüber den Arbeitnehmenden, indem sie ihr anvertrautes Vermögen veruntreuen würde. Daraus kann der Beschwerdeführer nichts zu seinen Gunsten ableiten. Er hat es im Prozess in der Hand, den ihm zustehenden Anspruch zugesprochen zu erhalten, indem er ihn im Bestreitungsfalle rechtsgenüglich substanziiert.
6.
Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe die beantragte definitive Rechtsöffnung nicht gewährt. Es fehle jegliche Begründung, weshalb das Begehren um Rechtsöffnung abgewiesen werde. Die Klage sei im Teilbetrag von Fr. 48'254.80 nebst Zins geschützt worden. Die Beschwerdegegnerin habe die beantragte Rechtsöffnung gar nicht bestritten.
6.1. Die Rüge erscheint grundsätzlich begründet. Zwar schrieb die Vorinstanz das Verfahren zufolge teilweiser Klageanerkennung im Umfang von Fr. 48'254.80 nebst Zins ab. Die Klageanerkennung allein lässt das Rechtsschutzinteresse an der beantragten Rechtsöffnung aber nicht entfallen - nur bei Nachweis der erfolgten Zahlung würde das Verfahren auch insoweit gegenstandslos. Eine Begründung, weshalb dem Rechtsöffnungsbegehren im Umfang der Klageanerkennung nicht stattgegeben wurde, findet sich im angefochtenen Entscheid nicht. Insoweit beanstandet ihn der Beschwerdeführer zu Recht.
6.2. Die Beschwerdegegnerin macht aber geltend, sie habe den Betrag von Fr. 64'282.20, der gemäss dem zuständigen Betreibungsamt dem vor Vorinstanz anerkannten Teil der eingeklagten Forderung samt aufgelaufenem Verzugszins entspreche, am Tag der Aufgabe ihrer Beschwerdeantwort an das Betreibungsamt überwiesen. Damit sei das Begehren gegenstandslos geworden.
6.3. In seiner Beschwerdereplik bestreitet der Beschwerdeführer die Ausführungen der Beschwerdegegnerin. Korrekt sei, dass die im erstinstanzlichen Verfahren anerkannte Forderung nach Einreichung der Beschwerde, nach neuerlicher Betreibung und nach Einleitung des Gesuches um definitive Rechtsöffnung bezahlt worden sei. Die definitive Rechtsöffnung gemäss Ziff. 1 lit. b des Rechtsbegehrens sei aber nicht nur im Umfang des (inzwischen bezahlten) anerkannten Betrages zu gewähren, sondern im gesamten Umfang, in dem das Bundesgericht die eingeklagte Forderung schützen werde.
6.4. Zur Beschwerde in Zivilsachen ist nach <ref-law> nur berechtigt, wer durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat. Verlangt wird, dass die beschwerdeführende Partei einen praktischen Nutzen aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids zieht. Das schutzwürdige Interesse besteht im praktischen Nutzen, den die Gutheissung des Rechtsmittels der beschwerdeführenden Partei bringen würde, indem ihr ein wirtschaftlicher, ideeller oder materieller Nachteil durch den angefochtenen Entscheid erspart bliebe. Das Interesse muss aktuell sein, was heisst, dass es noch im Zeitpunkt bestehen muss, in dem der bundesgerichtliche Entscheid ergeht. Fällt das schutzwürdige Interesse im Laufe des Verfahrens dahin, ist der Rechtsstreit als erledigt abzuschreiben (<ref-law> [SR 273] i.V.m. <ref-law>); fehlte es schon bei der Beschwerdeeinreichung, ist auf die Eingabe nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen).
6.5. Der Beschwerdeführer bestreitet vor Bundesgericht nicht, dass er inzwischen den von der Beschwerdegegnerin anerkannten Betrag erhalten hat. Welchen praktischen Nutzen er insoweit aus einer Gutheissung der Beschwerde in Bezug auf die Rechtsöffnung ziehen könnte, legt er nicht dar. Insoweit genügt die Beschwerde den Begründungsanforderungen nicht. Das Interesse an einer Rechtsöffnung im Umfang, in dem das Bundesgericht die eingeklagte Forderung schützt, auf das sich der Beschwerdeführer beruft, wird nur praktisch und aktuell, falls das Bundesgericht die Forderung in einem über den anerkannten und bereits bezahlten Betrag hinausgehenden Umfang schützen sollte. Dies ist nicht der Fall. In Bezug auf den anerkannten Betrag bestand mithin zwar bei Einreichung der Beschwerde ein aktuelles praktisches Interesse. Es ist indessen mit der Bezahlung während laufendem Verfahren dahingefallen. Insoweit ist der Rechtsstreit als erledigt abzuschreiben (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
7.
Damit bleibt es im Ergebnis beim angefochtenen Entscheid. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist und die Streitsache nicht als gegenstandslos abgeschrieben wird. In Bezug auf die fehlende Rechtsöffnung bestand zwar Anlass, die Beschwerde zu erheben. Im Vergleich zum vor Bundesgericht insgesamt streitigen Betrag kommt diesem Punkt aber eine derart untergeordnete Bedeutung zu (die Klageanerkennung wird im angefochtenen Entscheid festgehalten, so dass der Beschwerdeführer lediglich gestützt darauf erneut eine Durchsetzung verlangen musste), dass es sich dennoch rechtfertigt, ihm sämtliche Gerichtskosten aufzuerlegen und der Beschwerdegegnerin eine volle Parteientschädigung zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
In Bezug auf das Rechtsöffnungsbegehren im Umfang der teilweisen Klageanerkennung von Fr. 48'254.80 nebst Zins wird der Rechtsstreit als erledigt abgeschrieben. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Dezember 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Luczak