Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1988) ist ukrainischer Staatsangehöriger. Am 8. Dezember 2013 reiste er in die Schweiz ein, um an der Universität Freiburg ein Doktorat in Theologie zu absolvieren. Am 15. April 2014 wurde ihm zu diesem Zweck vom Amt für Bevölkerung und Migration des Kantons Freiburg eine Aufenthaltsbewilligung erteilt, die zuletzt bis am 31. Dezember 2020 verlängert wurde.
B.
Ein Gesuch A._ um neuerliche Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung vom 14. Oktober 2020 wurde vom Amt für Bevölkerung und Migration des Kantons Freiburg mit Verfügung vom 25. Februar 2021 abgewiesen.
Diese Verfügung wurde vom Kantonsgericht Freiburg mit Urteil vom 27. Mai 2021 bestätigt; ein Gesuch A._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wurde in dem Urteil abgewiesen und es wurden ihm Verfahrenskosten von Fr. 800.-- auferlegt.
C.
Am 17. August 2021 reichte A._ beim Kantonsgericht Freiburg eine Einsprache ein, mit welcher er im Hauptpunkt erneut beantragte, ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu erteilen. Eventualiter seien die Gerichtskosten auf Fr. 50.--, subeventualiter auf Fr. 100.-- festzusetzen.
Mit Schreiben vom 26. August 2021 überwies das Kantonsgericht Freiburg die Eingabe A._ vom 17. August 2021 bezüglich der unentgeltlichen Rechtspflege zuständigkeitshalber an das Bundesgericht; das Einspracheverfahren bezüglich der Reduktion der Verfahrenskosten (Art. 148 des Gesetzes des Kantons Freiburg vom 23. Mai 1991 über die Verwaltungsrechtspflege [VRG/FR; SGF 150.1]) sistierte es gleichzeitig.
Das Bundesgericht hat auf Instruktionsmassnahmen verzichtet.

Erwägungen:
1.
Das Urteil des Kantonsgerichts Freiburg vom 27. Mai 2021 dreht sich in der Sache um ausländerrechtliche Bewilligungen, auf die kein Anspruch besteht (<ref-law>, <ref-law>). Entsprechend steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten dagegen nicht zur Verfügung (<ref-law>). Die "Einsprache" vom 17. August 2021 kann jedoch als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegen genommen werden (<ref-law>; vgl. Urteil 2C_138/2019 vom 17. Mai 2019 E. 1.2).
2.
2.1. Die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Verfahren vor dem Kantonsgericht Freiburg richtet sich nach Art. 142 Abs. 1 und 2 VRG/FR. Die Bestimmung deckt sich inhaltlich im Wesentlichen mit der verfassungsrechtlichen Minimalgarantie von <ref-law>. Neben der fehlenden Aussichtslosigkeit der Beschwerdebegehren ist demnach vorausgesetzt, dass die gesuchstellende Partei nicht über genügend Mittel verfügt, um die Prozesskosten ohne Beschränkung des notwendigen Lebensunterhalts für sich oder die Familie zu bestreiten (vgl. die Formulierung in Art. 142 Abs. 1 VRG; vgl. zum Begriff der Mittellosigkeit nach <ref-law> Urteil 2C_367/2020 vom 7. Oktober 2020 E. 3.1).
2.2. Die Vorinstanz erwog, aus einem aktenkundigen aktuellen Kontoauszug des Beschwerdeführers gehe hervor, dass er ein Vermögen von rund Fr. 23'000.-- aufweise. Der Beschwerdeführer verfüge somit über genügend liquide Mittel, um selbst für die Kosten des Verfahrens vor dem Kantonsgericht aufzukommen. Damit fehle es an einer kumulativen Voraussetzung zur Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
2.3. Was der Beschwerdeführer hiergegen einwendet, überzeugt nicht: Es ist nicht ersichtlich, inwiefern die vorinstanzlich auferlegten Verfahrenskosten von Fr. 800.-- es dem Beschwerdeführer verunmöglichen würden, seinen Grundbedarf zu bestreiten. Dass der Beschwerdeführer die ihm zur Verfügung stehenden Mittel von Fr. 23'000.-- lieber für sein Studium verwenden würde, ist nachvollziehbar. Allerdings hat er sich aus eigener Initiative dazu entschlossen, das Rechtsmittel an die Vorinstanz zu ergreifen. Die dadurch entstandenen Kosten hat er angesichts seines Unterliegens grundsätzlich selber zu tragen. Soweit der Beschwerdeführer vorbringt, dass er die angesprochenen Geldmittel benötige, um ein Gesuch um Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung stellen zu können, ist darauf hinzuweisen, dass dem Beschwerdeführer eine solche Aufenthaltsbewilligung mit dem angefochtenen Urteil gerade verweigert wurde. Es ist nicht nachvollziehbar, auf welcher Grundlage er ein weiteres Gesuch um Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung stellen könnte, das die betreffenden Mittel voraussetzen würde. Eine Verletzung von <ref-law> ist nicht ersichtlich.
2.4. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde erweist sich damit als unbegründet und ist abzuweisen.
3.
Bei diesem Verfahrensausgang (vgl. E. 2.4 hiervor) würde der Beschwerdeführer an sich kostenpflichtig; auf die Erhebung von Verfahrenskosten kann jedoch angesichts der Umstände verzichtet werden (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Verfahrenskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Freiburg, I. Verwaltungsgerichtshof, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. September 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner