Erwägungen:
1.
1.1. A._ (nachfolgend: der Steuerpflichtige) hat heute steuerrechtlichen Wohnsitz in U._/ZG. Zu den Steuerperioden 2010 bis 2015, wie im Übrigen auch schon zur Steuerperiode 2009 (Urteil 2C_195/2018 vom 2. März 2018), ging der Kanton Luzern davon aus, dass der steuerrechtliche Wohnsitz in V._/LU liege. Da der Steuerpflichtige die Steuererklärungen zu den Steuerperioden 2010 bis 2015 trotz Mahnung nicht einreichte, schritt die Dienststelle Steuern des Kantons Luzern (KSTV/LU) hinsichtlich der Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Luzern und der direkten Bundessteuer zur Veranlagung nach pflichtgemässem Ermessen (Veranlagungsverfügungen vom 12. Juni 2017). Der Steuerpflichtige erhob in allen zwölf Fällen Einsprache. Mit Einspracheentscheiden vom 30. November 2017 trat die KSTV/LU, Steuerkommission, darauf mangels erbrachten Unrichtigkeitsnachweises nicht ein.
1.2.
1.2.1. Der Steuerpflichtige focht die Einspracheentscheide beim Kantonsgericht des Kantons Luzern an. Mit einzelrichterlicher Verfügung vom 2. Juli 2018 wies das Kantonsgericht in den Verfahren 7W 18 9 bis 7W 18 20 das Gesuch um Wiedereinsetzung in den früheren Stand ab und trat es auf die Rechtsmittel nicht ein, da der Kostenvorschuss nicht rechtzeitig geleistet worden war. Der Versand der Verfügung vom 2. Juli 2018 erfolgte mit eingeschriebener Briefpost und als "A-Post Plus". Gemäss "Track & Trace" wurden die Abholungseinladung und der als "A-Post Plus" versandte Brief am 3. Juli 2018 ins Postfach des Steuerpflichtigen in U._/ZG gelegt. Nach unbenutztem Ablauf der Abholfrist gelangte der Einschreibebrief zurück an das Kantonsgericht, welches am 16. Juli 2018 mit A-Post einen weiteren Zustellversuch unternahm. Die Schweizerische Post retournierte auch dieses Schreiben, nun mit dem Hinweis "Briefkasten/Postfach wird nicht mehr geleert".
1.2.2. Am 23. August 2018 erreichte das Kantonsgericht ein Schreiben des Steuerpflichtigen (datiert: "Im August 2018"), das den Titel "Adressänderung/Fristverlängerung" trug. Darin gab der Steuerpflichtige den Umzug innerhalb von U._/ZG (von der B._ 8 an die C._-Strasse 16) bekannt und ersuchte er um nochmaligen Versand der "in den letzten Wochen eventuell erfolgten" Zustellungen. Infolge längerer Abwesenheiten sei es denkbar, dass ihm nicht alles zugestellt worden sei bzw. habe zugestellt werden können. Am 24. Oktober 2018 machte der Steuerpflichtige in einem weiteren Schreiben an das Kantonsgericht geltend, die Veranlagungsverfügungen zu den Steuerperioden 2009 bis 2015 seien "falsch" und müssten "aufgehoben werden". Das Kantonsgericht antwortete am 30. Oktober 2018, die kantonsgerichtlichen Verfahren 7W 18 9 bis 7W 18 20 seien abgeschlossen. Eine etwaige Beschwerde wäre an das Bundesgericht zu richten. Der Steuerpflichtige entgegnete am 8. November 2018, die Verfügung vom 2. Juli 2018 sei ihm "völlig unbekannt", eine solche sei ihm nie zugestellt worden. Die "allenfalls vorhandenen Fristen" seien wieder herzustellen.
1.3.
1.3.1. Das Kantonsgericht überwies das Schreiben vom 8. November 2018 "zur Prüfung der Anhandnahme als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten" an das Bundesgericht. Die II. öffentlich-rechtliche Abteilung ersuchte den Steuerpflichtigen am 14. November 2018 um Aufschluss, ob er tatsächlich beschwerdewillig sei, da dies aus der Eingabe vom 8. November 2018 nicht eindeutig hervorgehe und unklar bleibe, was überhaupt angefochten werden soll. Der Steuerpflichtige wiederholte am 26. November 2018, dass ihm eine Verfügung vom 2. Juli 2018 nie zugegangen sei. Das Kantonsgericht habe ihm diese angebliche Verfügung auch nachträglich nicht zugänglich gemacht, obwohl er darum ersucht habe. Das Bundesgericht werde ersucht, das Kantonsgericht zur Bekanntgabe der Verfügung zu verpflichten und die darin angesetzten Fristen wieder herzustellen.
1.3.2. Nach einem weiteren Schreiben des Steuerpflichtigen vom 10. Dezember 2018 liess das Bundesgericht dem Steuerpflichtigen die streitbetroffene Verfügung vom 2. Juli 2018 zukommen. Dieser reichte am 10. Januar 2019 (Poststempel) erneut eine Eingabe ein, worin er die Zustellung der Verfügung vom 2. Juli 2018 weiterhin bestreitet und sich hauptsächlich in der Sache selbst äussert. Er stellt eine grössere Zahl von Anträgen und ersucht namentlich auch um die Aufhebung der Verfügung vom 2. Juli 2018. Schliesslich reichte er am 16. Januar 2019 zusätzliche Dokumente nach, die verdeutlichen sollen, dass die Veranlagungsverfügungen des Kantons Luzern zu den Steuerperioden 2009 bis 2015 inhaltlich unzutreffend seien.
1.4. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (<ref-law> [SR 173.110]) hat die Akten des kantonalen Verfahrens beigezogen, von weiteren Instruktionsmassnahmen - namentlich von einem Schriftenwechsel (<ref-law>) - aber abgesehen.
2.
2.1. Im vorliegenden Verfahren kann - entgegen der Vielzahl von Anträgen - einzig die kantonsgerichtliche Verfügung vom 2. Juli 2018 streitig und zu prüfen sein (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 22). Diese betrifft die Veranlagung der Steuerperioden 2010 bis 2015.
2.2.
2.2.1. Vorab ist zu prüfen, ob die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, soweit eine solche mit Blick auf Art. 42 Abs. 1 und 2 in Verbindung mit Abs. 106 Abs. 2 BGG überhaupt als gegeben erachtet werden könnte, fristgerecht erfolgt sei. Die Beschwerde ist innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung beim Bundesgericht einzureichen (<ref-law>). Dabei handelt es sich um eine Sachurteilsvoraussetzung. Das Bundesgericht prüft die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law> [SR 173.110]) und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 186; <ref-ruling> E. 1 S. 282).
2.2.2. Bei Briefpost, die entweder als Einschreibebrief oder im Verfahren "A-Post Plus" ("Courrier A Plus", "Posta A Plus") versandt wurde, besteht eine natürliche Vermutung für die ordnungsgemässe Zustellung der Abholungseinladung bzw. des mit "A-Post Plus" versandten Briefes (im Briefkasten oder im Postfach; <ref-ruling> E. 2.2 S. 601). In beiden Fällen wird mit dem "Track & Trace"-Auszug nicht direkt bewiesen, dass die Sendung tatsächlich in den Empfangsbereich des Empfängers gelangt ist, sondern bloss, dass die Post in ihrem Erfassungssystem einen entsprechenden Eintrag vorgenommen hat. Im Sinne eines Indizes lässt sich aus diesem Eintrag darauf schliessen, dass die Sendung in den Briefkasten oder in das Postfach des Adressaten gelegt wurde (<ref-ruling> E. 2.2 S. 601; ausführlich Urteil 2C_16/2019 vom 10. Januar 2019 E. 3.2.2).
2.2.3. Eine fehlerhafte Postzustellung ist nicht zu vermuten, sondern nur anzunehmen, wenn sie aufgrund der Umstände plausibel erscheint. Auf die Darstellung des Adressaten, dass eine fehlerhafte Postzustellung vorliege, ist abzustellen, wenn seine Darlegung der Umstände nachvollziehbar ist und einer gewissen Wahrscheinlichkeit entspricht, wobei sein guter Glaube zu vermuten ist (<ref-ruling> E. 2.4.1 S. 604). Rein hypothetische Überlegungen des Empfängers reichen nicht aus. Die nie auszuschliessende Möglichkeit von Zustellfehlern genügt für sich allein nicht, um die Vermutung umzustossen. Vielmehr müssen konkrete Anzeichen für einen Fehler vorhanden sein (<ref-ruling> E. 2.3 S. 204 f.; auch dazu Urteil 2C_16/2019 vom 10. Januar 2019 E. 3.2.2).
2.3.
2.3.1. Da eine Eintretensvoraussetzung zu beurteilen ist, ist neben den sich stellenden Rechtsfragen auch der für das Eintreten massgebende Sachverhalt frei und von Amtes wegen zu prüfen. Die rechtserheblichen Elemente können einerseits dem angefochtenen Entscheid, anderseits den vom Bundesgericht beigezogenen vorinstanzlichen Akten entnommen werden. Einer Aktennotiz vom 19. September 2018, die von der kantonsgerichtlichen Gerichtsschreiberin erstellt wurde, lässt sich entnehmen, dass die streitbetroffene Verfügung vom 2. Juli 2018 einerseits als Einschreibebrief, anderseits im Verfahren "A-Post Plus" versandt worden sei. Aus der elektronischen Sendungsverfolgung "Track & Trace" der Schweizerischen Post ergibt sich sodann, dass sowohl die Abholungseinladung als auch der als "A-Post Plus" versandte Brief am 3. Juli 2018 ins Postfach des Steuerpflichtigen in U._/ZG gelegt wurden. Der Eintrag im elektronischen Erfassungssystem schafft nach dem Gesagten ein Indiz dafür, dass die Sendungen tatsächlich in das Postfach gelegt wurden (vorne E. 2.2.2). Auf den Einwand des Adressaten, es liege eine fehlerhafte Zustellung vor, ist abzustellen, soweit die geschilderten Umstände nachvollziehbar sind und einer gewissen Wahrscheinlichkeit entsprechen (vorne E. 2.2.3).
2.3.2. Die Kritik des Steuerpflichtigen bleibt aber an der Oberfläche. Zur Erfassung der Sendungen in der elektronischen Sendungsverfolgung "Track & Trace" und zur Ablage der beiden Schriftstücke (Abholungseinladung und Brief) im Postfach äussert er sich nur in allgemeiner Weise. So macht er hauptsächlich geltend, aufgrund seines Umzugs sei es zu unregelmässigen Postzustellungen gekommen, ohne dies näher auszuführen und zu belegen. Die Beanstandungen des Steuerpflichtigen vermögen nicht zu überzeugen, zumal nicht auf der Hand liegt, inwiefern der dorfinterne Umzug zu einer Beeinträchtigung der Postfachzustellung führen könnte.
2.3.3. Aktenkundig ist zudem, dass das Postfach - zumindest während einiger Zeit - nicht geleert wurde, wie sich im Zusammenhang mit der weiteren erfolglosen Zustellung vom 16. Juli 2018 zeigte. Ob dies die Folge längerer Reisen (am 23. August 2018 beim Kantonsgericht eingetroffenes Schreiben des Steuerpflichtigen, datiert "im August 2018") ist, und ob auch die vermutungsweise abgelegten Schriftstücke nicht abgeholt wurden, kann offenbleiben. So oder anders durfte die Vorinstanz ihre Verfügung vom 2. Juli 2018 an das bisherige Domizil adressieren, gab der Steuerpflichtige die Adressänderung doch erst "im August 2018" bekannt.
2.3.4. Was den Versand im Verfahren "A-Post Plus" betrifft, ist der Fristenlauf mit der vermutungsweise erfolgten Ablage im Postfach unmittelbar ausgelöst worden. Dies geschah nach dem Gesagten am 3. Juli 2018, während der Fristenlauf im Fall des Einschreibebriefs erst sieben Tage später einsetzte (Zustellungsfiktion gemäss <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1 S. 432; zum Ganzen zuletzt etwa Urteil 2C_1020/2018 vom 3. Dezember 2018 E. 3.2.1). Die eingeschrieben versandte Verfügung vom 2. Juli 2018 gilt damit als am 10. Juli 2018 eröffnet. Die Frist gemäss <ref-law> begann folglich, wenn zugunsten des Steuerpflichtigen auf den Einschreibebrief abgestellt wird, am 11. Juli 2018 zu laufen und endete, unter Berücksichtigung des Fristenstillstandes (<ref-law>), am 10. September 2018.
2.3.5. Der Steuerpflichtige ersuchte das Kantonsgericht am 23. August 2018 (Posteingang) um nochmalige Zustellung. Das Verfahrensrecht des Kantons Luzern sieht keine derartige Neuzustellung vor, weshalb das Kantonsgericht darauf nicht einzutreten hatte. Dem Schreiben kann kein Beschwerdewille entnommen werden. Es vermochte die Frist von vornherein nicht zu wahren (<ref-law>). Ob davon auszugehen ist, dass die Eingaben vom 24. Oktober 2018 bzw. 8. November 2018 als Beschwerde zu würdigen seien, muss nicht weiter geprüft werden. So oder anders war die Beschwerdefrist längst verstrichen.
2.4. Damit fragt sich einzig noch, ob dem Gesuch um Wiedereinsetzung in den früheren Stand zu entsprechen sei. Die Frist könnte wiederhergestellt werden, wenn hinreichende Gründe vorlägen, die den Steuerpflichtigen unverschuldet vom rechtzeitigen Wahren der Frist abgehalten hätten, das Gesuch innerhalb von 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses gestellt und die Beschwerde nachgeholt worden wäre (<ref-law>; dazu etwa Urteil 2C_251/2018 vom 16. März 2018 E. 2.2). Derartige Gründe bringt der Steuerpflichtige nicht vor, zumal ein Schriftstück, das formell als Beschwerde gelten könnte, erst am 10. Januar 2019 eingereicht wurde. Die Frist von 30 Tagen war auch insofern längst verstrichen. Unbeachtlich bleibt damit auch die Eingabe vom 16. Januar 2019.
2.5. Sowohl auf die Beschwerde als auch auf das Gesuch um Wiedereinsetzung in den früheren Stand ist mangels Wahrung der jeweiligen Frist nicht einzutreten. Dies hat mit einzelrichterlichem Entscheid des Abteilungspräsidenten im vereinfachten Verfahren (<ref-law>) zu geschehen.
3.
Nach dem Unterliegerprinzip (<ref-law>) trägt der Steuerpflichtige die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens. Dem Kanton Luzern, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Entschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde und das Fristwiederherstellungsgesuch betreffend die direkte Bundessteuer, Steuerperioden 2010 bis 2015, wird nicht eingetreten.
2.
Auf die Beschwerde und das Fristwiederherstellungsgesuch betreffend die Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Luzern, Steuerperioden 2010 bis 2015, wird nicht eingetreten.
3.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Januar 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher