Sachverhalt:
A.
Am 17. September 2017 ereignete sich in einer Tiefgarage in Kriens (Kanton Luzern) eine Auseinandersetzung zwischen mehreren Personen. Dabei erlitt der Sicherheitsangestellte B._ schwere Stichverletzungen an der rechten Seite des Brustkorbs. A._, der ebenfalls eine Schnittverletzung erlitt, wurde als mutmasslicher Täter beschuldigt. Am Vorfall beteiligt war ein weiterer Sicherheitsangestellter namens C._.
Die Staatsanwaltschaft Emmen (Kanton Luzern) eröffnete einerseits eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen versuchter vorsätzlicher Tötung bzw. schwerer Körperverletzung zum Nachteil von B._. Anderseits eröffnete sie gestützt auf einen Strafantrag von A._ eine Untersuchung gegen Unbekannt wegen einfacher Körperverletzung; dieses Verfahren wurde in der Folge auf B._ und C._ ausgedehnt.
In der Folge übernahm die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt das gegen A._ geführte Strafverfahren. Am 23. August 2018 erhob sie beim Strafgericht Basel-Stadt gegen ihn Anklage, unter anderem wegen versuchter vorsätzlicher Tötung zum Nachteil von B._. Auf Beschwerde von A._ berechtigte und verpflichtete das Bundesstrafgericht am 13. September 2018 den Kanton Basel-Stadt, die gegen Unbekannt, B._ und C._ vorgeworfenen strafbaren Handlungen zu verfolgen und zu beurteilen. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schrieb daraufhin am 17. Dezember 2018 die Beschwerde von A._ gegen die von der Staatsanwaltschaft verfügte Verweigerung der Vereinigung der beiden Strafverfahren als gegenstandslos ab. Die hiergegen erhobene Beschwerde in Strafsachen wies das Bundesgericht mit Urteil 1B_40/2019 vom 4. März 2019 ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Die Staatsanwaltschaft ermittelt im Strafverfahren gegen B._, C._ und weitere Personen, das sie vom Kanton Luzern übernommen hat, wegen Raufhandels zum Nachteil von A._ und einer Drittperson. A._ nimmt an diesem Verfahren als Privatkläger teil. Am 19. Februar 2019 lehnte die Staatsanwaltschaft seinen Antrag auf Ausweitung dieses Verfahrens auf den Straftatbestand eines versuchten Tötungsdelikts ab.
Am 4. März 2019 focht A._ die abschlägige Verfügung der Staatsanwaltschaft mit strafrechtlicher Beschwerde beim Appellationsgericht an. In diesem Rahmen ersuchte er um amtliche Verteidigung. Die Präsidentin des Appellationsgerichts nahm dieses Gesuch als Antrag auf unentgeltliche Rechtspflege entgegen. Mit Verfügung vom 6. März 2019 setzte sie ihm aber Frist bis zum 29. März 2019 zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 1'500.--. In der Begründung verneinte sie seine Hablosigkeit, weil er als beschuldigte Person sowohl amtlich als auch zusätzlich privat verteidigt werde.
Am 10. März 2019 stellte A._ beim Appellationsgericht nochmals ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Dabei teilte er mit, dass der Wahlverteidiger sein Mandat am 9. März 2019 niedergelegt habe. Am 21. März 2019 verfügte das Appellationsgericht, Präsidentin, dass die Frist zur Leistung des Kostenvorschusses ausgesetzt wurde.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 26. März 2019 beantragt A._ die Aufhebung der Verfügung vom 6. März 2019 und die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Verfahren vor Appellationsgericht. In prozessualer Hinsicht wird um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren ersucht.
Das Appellationsgericht stellt den Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten. Dies wird hauptsächlich mit der Verfügung vom 21. März 2019 begründet. Zusätzlich weist das Appellationsgericht darauf hin, dass mit Präsidialverfügung vom 3. April 2019 die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege erneut abgelehnt worden und eine neue Frist zur Leistung des Kostenvorschusses angesetzt worden ist. Die Staatsanwaltschaft hat sich nicht vernehmen lassen.
In der Replik vom 14. Mai 2019 hält der Beschwerdeführer an seinen Begehren fest.

Erwägungen:
1.
Anfechtungsobjekt im vorliegenden Verfahren bildet nur die Verfügung vom 6. März 2019. Es handelt sich um einen Zwischenentscheid, der das Strafverfahren nicht abschliesst. Im Dispositiv dieses Entscheids wurde dem Beschwerdeführer als Privatkläger ein Kostenvorschuss für das Rechtsmittelverfahren auferlegt und Frist zu dessen Leistung angesetzt. Der Entscheidbegründung lässt sich allerdings entnehmen, dass in diesem Rahmen auch eine unentgeltliche Rechtsverbeiständung abgelehnt wird.
Der angefochtene Entscheid ist geeignet, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zu bewirken. Gegen ihn steht grundsätzlich die Beschwerde in Strafsachen offen (vgl. Art. 78 Abs. 1, Art. 80 Abs. 1 sowie Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG). Der Beschwerdeführer ist zur Rüge, es sei ihm im kantonalen Verfahren zu Unrecht die unentgeltliche Prozessführung verweigert worden, nach <ref-law> unabhängig von seiner Legitimation in der Sache befugt (vgl. <ref-ruling> E. 1.9 S. 40; Urteil 1B_446/2018 vom 14. November 2018 E. 1.1 mit weiteren Hinweisen).
Am 21. März 2019 hat die Vorinstanz die Frist zur Leistung des Kostenvorschusses ausgesetzt. Am 3. April 2019 hat sie die diesbezügliche Frist neu festgesetzt und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege förmlich abgewiesen. Fraglich ist, inwieweit der Beschwerdeführer angesichts dieser nachfolgenden prozessleitenden Entscheide noch ein schutzwürdiges Interesse an der beim Bundesgericht erhobenen Beschwerde besitzt. Diese Frage kann offenbleiben. Denn die Beschwerde erweist sich in der Sache als unbegründet, wie im Folgenden darzulegen ist. Dabei kommt es auch nicht darauf an, inwiefern es sich bei den in der Beschwerde vorgebrachten Sachumständen, die sich nach dem angefochtenen Entscheid ereignet haben, um unbeachtliche Noven (vgl. dazu allgemein <ref-ruling> E. 1.2 S. 22 f. mit Hinweisen) handelt. Aus diesen Vorbringen vermag der Beschwerdeführer ohnehin nichts für seinen Standpunkt abzuleiten.
2.
2.1. Gemäss <ref-law> kann die Verfahrensleitung der Rechtsmittelinstanz die Privatklägerschaft verpflichten, innert einer Frist für allfällige Kosten und Entschädigungen Sicherheit zu leisten. <ref-law> bleibt vorbehalten (Abs. 1). Wird die Sicherheit nicht fristgerecht geleistet, so tritt die Rechtsmittelinstanz auf das Rechtsmittel nicht ein (Abs. 2). Nach <ref-law> gewährt die Verfahrensleitung der Privatklägerschaft für die Durchsetzung ihrer Zivilansprüche ganz oder teilweise die unentgeltliche Rechtspflege, wenn die Privatklägerschaft nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (Abs. 1 lit. a) und die Zivilklage nicht aussichtslos erscheint (Abs. 1 lit. b).
2.2. Jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, hat Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand (<ref-law>). <ref-law> bezweckt, jedem Betroffenen ohne Rücksicht auf seine finanzielle Situation tatsächlichen Zugang zum Gerichtsverfahren zu vermitteln und die effektive Wahrung seiner Rechte zu ermöglichen (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 355). <ref-law> konkretisiert die Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für die Privatklägerschaft im Strafprozess (vgl. Urteil 1B_310/2017 vom 26. Oktober 2017 E. 2.4.1 mit Hinweis).
Bedürftigkeit im Sinne von <ref-law> bzw. <ref-law> setzt voraus, dass die betroffene Person nicht in der Lage ist, für die durch ein Verfahren verursachten Kosten aufzukommen, ohne Mittel zu beanspruchen, die zur Deckung des Grundbedarfs für sie und ihre Familie erforderlich sind. Die prozessuale Bedürftigkeit beurteilt sich nach der gesamten wirtschaftlichen Situation des Rechtsuchenden im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs. Zu berücksichtigen sind dabei auch Mittel unterstützungspflichtiger Personen, wie von Eltern mündiger Kinder oder von Ehegatten. Die Pflicht des Staats, der bedürftigen Partei die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, geht der Beistands- und Beitragspflicht aus Familienrecht nach (vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 205; Urteil 1B_389/2015 vom 7. Januar 2016 E. 5.3 mit weiteren Hinweisen).
2.3. Der Beschwerdeführer hat glaubhaft gemacht, dass er von seinen eigenen Einkommens- und Vermögensverhältnissen her mittellos ist. Im angefochtenen Entscheid wird indessen als wesentlich angesehen, dass er im verknüpften Strafverfahren als beschuldigte Person neben dem amtlichen Verteidiger zusätzlich über einen Privatverteidiger verfügt. Die Vorinstanz hält ihm vor, Zugang zu privaten Geldquellen zu haben. Deswegen verneint sie die Bedürftigkeit in dem bei ihr anhängig gemachten Rechtsmittelverfahren.
Der Beschwerdeführer stellt nicht in Abrede, dass er im Moment der Gesuchstellung privat verteidigt gewesen ist. Wie der Wahlverteidiger in seinem vom Beschwerdeführer eingereichten Schreiben betreffend Niederlegung des Mandats darlegt, ist sein bisheriger anwaltlicher Aufwand vom Bruder des Beschwerdeführers vergütet worden. Er beende das Mandat, weil sein Einsatz als Wahlverteidiger angesichts der Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege kontraproduktiv zu werden drohe.
2.4. Es ist nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz annimmt, dass der Beschwerdeführer Zugang zu genügend Geldquellen von Dritten für die Verfahrens- und Parteikosten im fraglichen Rechtsmittelverfahren besitzt. Daran ändert auch die Mandatsniederlegung des Wahlverteidigers nichts Wesentliches. Es liegt auf der Hand, dass dieser damit die Chancen des beschwerdeführerischen Antrags auf unentgeltliche Rechtspflege erhöhen wollte; dem kann jedoch kein Erfolg beschieden sein. Der Beschwerdeführer als Privatkläger hat keinen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege für ein vom amtlichen Rechtsbeistand eingeleitetes Rechtsmittelverfahren, wenn er hierbei gleichzeitig auf den von Familienangehörigen finanzierten Rechtsanwalt hätte zurückgreifen können. Weiter ist zu berücksichtigen, dass der von der Vorinstanz eingeforderte Kostenvorschuss von Fr. 1'500.-- finanziell offensichtlich in einem untergeordneten Verhältnis zu den Kosten für die anwaltlich verfasste, über 50 Seiten umfassende Beschwerdeschrift an die Vorinstanz steht. Insgesamt ist davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer die finanzielle Hilfe aus dem familiären Umfeld weiterhin, insbesondere auch für dieses Verfahren, in Anspruch nehmen kann. Demzufolge ist es nicht rechtsverletzend, wenn die Vorinstanz insoweit die Prozessarmut des Beschwerdeführers verneint hat.
2.5. Die angefochtene Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege umfasst nur das fragliche Rechtsmittelverfahren, das der Beschwerdeführer ausschliesslich zur Durchsetzung der Zivilansprüche führt. Es ist deshalb unbehelflich, wenn er geltend macht, sein Gesuch sei nach den Voraussetzungen der amtlichen Verteidigung für eine beschuldigte Person zu überprüfen.
3.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Diese erweist sich als von vornherein aussichtslos, weshalb das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren abzuweisen ist (<ref-law>). Im vorliegenden Fall rechtfertigt es sich, davon abzusehen, für das bundesgerichtliche Verfahren Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht Basel-Stadt, Präsidentin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Juni 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Kessler Coendet