Faits :
A.
A._, née en 1980, originaire de République dominicaine, est arrivée en Italie en 2004. Elle bénéficie d'une autorisation de séjour dans ce pays. Mère de deux filles, elle a entamé en 2011 une relation avec B._, ressortissant italien, avec qui elle a eu une troisième fille, C._, née en 2014. Cette dernière a été reconnue par son père. Celui-ci est venu s'installer en Suisse, le 7 juillet 2014, avant que A._ ne le rejoigne le 15 août 2015 avec leur fille.
Le 14 novembre 2015, à la suite d'épisodes de violence entre A._ et B._, ayant du reste conduit à la séparation du couple, C._ a dû être placée dans un établissement hospitalier et, par la suite, dans une famille d'accueil. Par décision du 27 avril 2017, l'Autorité de protection de l'enfant et de l'adulte du Jura bernois a levé cette mesure de placement et attribué la garde de l'enfant à son père (cf. <ref-law>). C._ a obtenu une autorisation de séjour en Suisse au titre du regroupement familial valable jusqu'au 1 er août 2021.
De décembre 2015 au 19 janvier 2019, A._ a reçu des prestations de l'aide sociale à hauteur de 78'167 fr. 75.
B.
Dans l'intervalle, A._ s'est annoncée auprès du contrôle des habitants de la commune municipale de D._ le 15 février 2016. Elle a déposé simultanément une demande d'autorisation de séjour.
Par décision du 7 décembre 2018, le Service des migrations de l'Office de la population et des migrations (aujourd'hui : Office de la population) du canton de Berne (ci-après : le Service cantonal) a rejeté la demande d'autorisation de séjour de A._. Celle-ci a déposé un recours contre cette décision auprès de la Direction de la police et des affaires militaires (aujourd'hui : Direction de la sécurité) du canton de Berne (ci-après : la Direction cantonale), qui l'a rejeté en date du 1er mai 2019.
Par arrêt du 3 décembre 2019, le Tribunal administratif du canton de Berne (ci-après : le Tribunal administratif) a rejeté le recours successif déposé par A._ contre la décision de la Direction cantonale précitée, impartissant à l'intéressée un délai au 16 janvier 2020 pour quitter la Suisse.
C.
A._ (ci-après : la recourante) dépose un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. Outre l'octroi de l'effet suspensif et le bénéfice de l'assistance judiciaire, elle demande l'annulation de l'arrêt du Tribunal administratif du 16 janvier 2020.
Le Président de la Cour de céans a octroyé l'effet suspensif au recours par ordonnance du 22 janvier 2020.
Le Tribunal administratif a formulé quelques observations sur le recours, se référant au surplus au jugement attaqué. La Direction de la sécurité du canton de Berne s'est également déterminée sur le recours dont elle conclut au rejet. Le Service cantonal et le Secrétariat d'Etat aux migrations ont pour leur part renoncé à se prononcer sur le recours.

Considérant en droit :
1.
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit, sous l'angle de la recevabilité, qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et que, partant, la voie du recours en matière de droit public soit ouverte. La question de savoir si les conditions d'un tel droit sont effectivement réunies relève du fond (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 179, 497 consid. 3.3 p. 500 s.).
En l'occurrence, la recourante prétend de manière plausible avoir droit à une autorisation de séjour en application de l'art. 8 CEDH, lequel protège sa relation avec sa fille mineure, titulaire d'une autorisation de séjour au titre du regroupement familial et jouissant, a priori, d'un droit de présence assuré en Suisse. Ce motif étant effectivement de nature à lui conférer un droit potentiel à l'obtention d'une autorisation de séjour, le recours échappe au motif d'irrecevabilité prévu à l'art. 83 let. c ch. 2 LTF (cf. <ref-ruling> consid. 3.3 p. 501; arrêt 2C_318/2013 du 5 septembre 2013 consid. 1.1).
1.2. Dans ses écritures, la recourante conclut uniquement à l'annulation de l'arrêt attaqué. Une telle conclusion purement cassatoire n'est en principe pas suffisante (<ref-law>). Dès lors que l'on comprend cependant, à la lecture du mémoire, qu'en demandant l'annulation de l'arrêt entrepris, la recourante, non représentée par un avocat, conclut en réalité implicitement à l'octroi d'une autorisation de séjour, il convient de ne pas se montrer trop formaliste (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 317). De même ne peut-on reprocher à l'intéressée d'avoir rédigé son recours en allemand, même s'il est dirigé contre un arrêt en français. Les mémoires au Tribunal fédéral peuvent être rédigés dans n'importe quelle langue officielle (cf. <ref-law>), la langue de la procédure demeurant toutefois celle de l'arrêt attaqué (cf. <ref-law>). Il s'ensuit que le recours est recevable sous l'angle de la forme.
1.3. Au surplus, le recours a été déposé en temps utile compte tenu des féries de fin d'année (art. 100 al. 1 en lien avec art. 46 al. 1 let. c LTF) par la destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (<ref-law>). Dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue par une autorité cantonale supérieure de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>), il est donc recevable.
2.
Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral et du droit international (art. 95 let. a et b et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'<ref-law>. Il y procède en se fondant sur les faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte - c'est-à-dire arbitrairement (<ref-ruling> consid. 7.1 p. 398) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). D'une manière générale, la correction du vice doit en outre être susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 in fine LTF). Au demeurant, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
En l'espèce, la recourante allègue, dans son mémoire, certains éléments et circonstances propres à sa cause qui n'ont pas été retenus par l'autorité précédente, en se plaignant d'une constatation inexacte de l'état de fait (" unrichtig[e] Sachverhaltsfeststellungen"). Il n'y a pas lieu d'entrer en matière sur ce grief formulé de manière appellatoire, ni sur les pièces censées l'étayer produites par la recourante, dès lors que celle-ci ne démontre pas en quoi l'autorité précédente n'en aurait pas arbitrairement tenu compte. Le Tribunal fédéral est dès lors fondé à vérifier l'application du droit sur la seule base des faits retenus dans le jugement attaqué.
3.
Le présent litige a trait au refus du Service cantonal, confirmé par le Tribunal administratif, d'octroyer une autorisation de séjour initiale à la recourante, afin que celle-ci puisse résider à proximité sa fille, qui est de nationalité italienne, mais qui vit en Suisse auprès de son père et bénéficie d'une autorisation de séjour. Il est à cet égard d'emblée précisé que l'intéressée, qui n'a pas la garde de son enfant et qui dépend de l'aide sociale depuis son arrivée dans le pays, ne peut se prévaloir d'aucun droit potentiel à séjourner en Suisse tiré de l'ALCP (RS 0.142.112.681), en particulier de l'art. 24 par. 1 et 2 de l'Annexe I de cet accord, ainsi que l'a considéré à juste titre le Tribunal administratif (cf. notamment <ref-ruling> consid. 4.1 p. 117). Elle ne peut pas davantage tirer de droit en vertu de la législation interne (arrêt 2C_95/2018 du 7 août 2018 consid. 7.2).
4.
La recourante invoque uniquement une violation de l'art. 8 CEDH, reprochant en particulier au Tribunal cantonal de ne pas avoir suffisamment tenu compte de l'intérêt de son enfant à ce qu'elle puisse demeurer en Suisse.
4.1. L'art. 8 CEDH, qui garantit le respect de la vie privée et familiale, ne confère en principe pas un droit à séjourner dans un Etat déterminé. Toutefois le fait de refuser un droit de séjour à un étranger dont la famille se trouve en Suisse peut entraver sa vie familiale et porter une atteinte disproportionnée au droit garanti par cette disposition. S'agissant d'un parent qui n'a pas la garde sur son enfant et qui ne peut de toute manière entretenir une relation familiale avec celui-ci que de façon limitée, la jurisprudence retient qu'il ne doit pas forcément être habilité à résider durablement en Suisse, ce même si son enfant jouit, comme en l'espèce, d'un droit de présence assuré dans le pays en lien avec son autre parent. Sous l'angle du droit à une vie familiale (cf. art. 8 par. 1 CEDH et 13 al. 1 Cst.), il suffit en règle générale que le parent vivant à l'étranger exerce son droit de visite dans le cadre de séjours brefs, au besoin en aménageant ses modalités quant à la fréquence et à la durée ou par le biais de moyens de communication modernes (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 96 s. et les références). Un droit plus étendu ne peut en revanche exister qu'en présence 1) de relations étroites et effectives avec l'enfant d'un point de vue affectif et 2) d'un point de vue économique, 3) de l'impossibilité pratique à maintenir la relation en raison de la distance qui sépare le pays de résidence de l'enfant du pays d'origine de son parent et 4) d'un comportement exempt de reproche. Ces exigences doivent être appréciées ensemble et faire l'objet d'une pesée des intérêts globale. Dans le cadre de l'examen de la proportionnalité de la mesure (cf. art. 8 par. 2 CEDH), il faut aussi tenir compte de l'intérêt fondamental de l'enfant (art. 3 de la Convention relative aux droits de l'enfant [CDE; RS 0.107]) à pouvoir grandir en jouissant d'un contact étroit avec ses deux parents (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 97 s. et les références).
4.2. Le lien affectif particulièrement fort est tenu pour établi lorsque les contacts personnels sont effectivement exercés dans le cadre d'un droit de visite usuel selon les standards d'aujourd'hui (il s'agit d'un droit de visite d'un week-end toutes les deux semaines et durant la moitié des vacances); seuls importent les liens personnels, c'est-à-dire l'existence effective de liens familiaux particulièrement forts d'un point de vue affectif et non pas seulement les décisions judiciaires ou les conventions entre parents se répartissant l'autorité parentale et la garde des enfants communs ou encore l'introduction de l'autorité parentale conjointe en cas de divorce résultant de la modification du code civil entrée en vigueur le 1er juillet 2014. A noter que lorsque l'étranger qui entend se prévaloir de l'art. 8 CEDH sous l'angle de sa vie familiale réside en Suisse sans disposer au préalable d'un titre de séjour, un droit de visite usuel ne suffit pas à admettre l'existence d'un lien affectif particulièrement fort au sens exigé par la jurisprudence; il faut dans ce cas établir des relations personnelles d'une intensité particulière avec l'enfant (cf. <ref-ruling> consid. 5.2.1 p. 98 s.; <ref-ruling> consid. 2.5 p. 321 s.).
Le lien économique est pour sa part particulièrement fort lorsque l'étranger verse effectivement à l'enfant des prestations financières dans la mesure décidée par les instances judiciaires civiles, étant précisé que la contribution à l'entretien peut également avoir lieu en nature, en particulier en cas de garde alternée. Le Tribunal fédéral a toutefois admis qu'il convenait de distinguer la situation dans laquelle l'étranger ne contribuait pas à l'entretien de l'enfant faute d'avoir été autorisé à travailler de celle dans laquelle il ne faisait aucun effort pour trouver un emploi (<ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 99).
Les exigences relatives à l'étendue de la relation que l'étranger doit entretenir avec son enfant d'un point de vue affectif et économique doivent rester dans l'ordre du possible et du raisonnable (<ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 99 et les références citées).
4.3. En l'occurrence, la recourante requiert l'octroi d'une autorisation de séjour, afin de résider à proximité de sa fille de six ans dont elle n'a pas la garde. Il ressort en effet des constatations de l'autorité précédente, qui lient le Tribunal de céans (cf. <ref-law>), que le droit de garde sur cette enfant lui a été retiré fin 2015, peu après son arrivée en Suisse, après un épisode de violences avec le père, dont la recourante s'est séparée à l'époque. Initialement placée en établissement, l'enfant vit désormais chez ce dernier, ressortissant italien, qui en a la garde exclusive et qui réside et travaille actuellement en Suisse. D'après l'arrêt attaqué, la recourante jouit ainsi d'un simple droit de visite sur sa fille. Bien qu'il se soit quelque peu élargi au fil du temps, compte tenu de l'évolution positive de la relation entre la recourante et sa fille, il s'inscrit toujours dans un cadre réduit, consistant actuellement en un week-end sur deux, ainsi qu'en un après-midi par semaine, incluant la nuit qui suit. A cela s'ajoute que, selon l'arrêt attaqué, après la mesure de placement, en 2016, la recourante a continué à faire preuve d'égoïsme et à négliger les besoins de son enfant, ce de manière préjudiciable au développement de celle-ci. On peut ainsi considérer, comme le Tribunal administratif, que l'intéressée n'entretient pas une relation personnelle d'une intensité particulière avec sa fille, même si leur lien affectif évolue positivement. Le simple fait qu'elle se soit occupée de l'enfant durant les deux premières années de sa vie et qu'elle ait conservé l'autorité parentale conjointe sur celle-ci, malgré le retrait du droit de garde, ne démontre pas le contraire, quoi que la recourante affirme dans ses écritures. Celle-ci semble au contraire perdre complètement de vue que le retrait du droit de garde intervenu en 2015 résultait du comportement inapproprié qu'elle adoptait alors envers son enfant. Notons que la situation se distingue ici de la celle à la base de l'arrêt 2C_497/2014, où le Tribunal fédéral a admis le maintien d'un lien fort entre une mère et sa fille, malgré un retrait du droit de garde, au motif que cette mesure ne découlait pas d'un mauvais traitement de l'enfant, mais uniquement de la situation précaire de la mère sur le plan du droit des étrangers (cf. arrêt 2C_497/2014 du 26 octobre 2015 consid. 6.2).
4.4. Il ressort ensuite de l'arrêt attaqué que la recourante, qui dépend de l'aide sociale depuis qu'elle s'est séparée du père de sa fille, n'a jamais été en mesure de verser une quelconque prestation financière à cette dernière, après en avoir perdu la garde. D'après le Tribunal administratif, l'intéressée, qui émarge à l'aide sociale, n'a par ailleurs jamais entrepris de véritable démarche pour subvenir elle-même à ses propres besoins et à ceux de sa fille, s'étant limitée à produire en 2019 une promesse d'engagement à temps partiel au stade du recours cantonal. L'autorité précédente a enfin constaté, d'une manière qui lie la Cour de céans (cf. <ref-law>), que la recourante n'était pas venue en Suisse dans l'intention d'y exercer une activité lucrative; elle a d'ailleurs déclaré dans sa demande d'autorisation de séjour vouloir demeurer en Suisse en tant que « maman d'une enfant placée par l'Autorité de protection de l'enfant et de l'adulte », sans faire état d'une quelconque volonté de trouver un emploi. On peut ainsi retenir, à l'instar de l'arrêt attaqué, que la recourante cherche à obtenir avant tout un droit de séjour en Suisse fondé sur le regroupement familial inversé, plutôt qu'une autorisation de séjour lui permettant à terme de pourvoir aux besoins de sa fille sans recours à l'aide sociale. Elle ne peut ainsi guère se prévaloir d'un lien particulièrement fort avec sa fille sur un plan économique.
4.5. Enfin, la possibilité pour la recourante, qui résidait auparavant dans le Piémont (cf. <ref-law>), d'entretenir des contacts réguliers avec sa fille n'apparaît pas théorique compte tenu de la proximité géographique entre l'Italie du Nord et la Suisse, contrairement à ce qu'elle prétend dans ses écritures. Il est vrai que le droit de visite dont elle bénéficie actuellement sur sa fille devra probablement être adapté et que son exercice se verra vraisemblablement compliqué au regard des obstacles pratiques et financiers qui devraient se présenter dans un premier temps. Il n'en demeure pas moins qu'il peut être attendu de l'intéressée qu'elle surmonte ces derniers, notamment en trouvant un travail en Italie à moyen terme, où elle a déjà vécu onze ans et dont elle parle la langue, ce d'autant plus qu'elle est relativement jeune, n'a la garde d'aucun enfant, ainsi que l'a relevé l'autorité précédente. Dès lors que la recourante peut continuer à entretenir des liens avec sa fille, l'intérêt évident de celle-ci à rester en contact avec sa mère n'est pas atteint de manière disproportionné. Il ressort au demeurant du dossier qu'après être venue en Suisse, la recourante a réussi à rencontrer une fois par mois ses autres filles restées en Italie (cf. <ref-law>).
4.6. Sur le seul vu de ce qui précède, il n'est pas nécessaire de se demander si la recourante peut se prévaloir d'un comportement irréprochable, comme elle le prétend, malgré sa dépendance complète à l'aide sociale, en dépit des problèmes d'alcoolisme relevés dans l'arrêt attaqué, de même qu'au regard des différents épisodes de violences conjugales jalonnant sa vie de couple, dont sa fille a finalement pâti, mais dont l'intéressée n'était pas forcément exclusivement responsable (sur la question notamment cf. ATF <ref-ruling> consid. 3.3 p. 325; aussi <ref-ruling> consid. 5.2.4 p. 100). En raison de l'absence de liens affectif et économique particulièrement forts avec sa fille et compte tenu de la proximité entre l'Italie du Nord et la Suisse, le Tribunal administratif pouvait de toute manière refuser une autorisation de séjour en Suisse au titre de regroupement familial sans violer l'art. 8 CEDH.
5.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours. Celui-ci étant d'emblée dépourvu de chances de succès, la demande d'assistance judiciaire est rejetée (<ref-law>). Par conséquent, les frais judiciaires seront mis à la charge de la recourante, mais ils seront fixés en tenant compte de sa situation financière précaire (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué à la recourante, à l'Office de la population du canton de Berne, à la Direction de la sécurité du canton de Berne, au Tribunal administratif du canton de Berne et au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 14 mai 2020
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Jeannerat