Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ (geb. 2000) leidet seit seiner Geburt an einer tetraplegischen Cerabralparese und einer globalen psychomotorischen Entwicklungsretardierung. Seine Eltern, B.A._ und C.A._, haben für ihn mit der Haftpflichtversicherung der D._ AG unter mehreren Titeln (Erwerbsausfall; Haushaltsschaden; Betreuung, Pflege und Präsenzaufwand; künftige Heimkosten; Genugtuung; Schadenszinsen) eine Entschädigung von insgesamt Fr. 2'300'000.-- (exkl. Anwaltskosten und Genugtuung an die Eltern) ausgehandelt. Nach Abzug zweier Akonto-Zahlungen leistete die Versicherung eine Schlusszahlung von Fr. 2'180'000.--. Am 25. Oktober 2012 wurde für A.A._ im Zusammenhang mit einem von seinen Eltern geplanten Kauf einer Liegenschaft in U._ eine Vertretungsbeistandschaft gemäss Art. 306 Abs. 2 und aArt. 392 Ziff. 2 ZGB errichtet. Diese Beistandschaft wurde mit Entscheid der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Basel-Stadt (KESB) vom 17. März 2016 gestützt auf <ref-law> um die Verwaltung des Kindesvermögens erweitert. Nachdem die Beiständin die Demission von ihrem Amt erklärt hatte, setzte die KESB am 22. Dezember 2016 Dr. iur. E._ als Beiständin ein. Mit Entscheid vom 21. Dezember 2017 hat das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt eine gegen die Erweiterung der Beistandschaft vom 17. März 2016 gerichtete Beschwerde abgewiesen (VGE VD.2016.93); nicht Streitgegenstand war die Person der Beiständin.
A.b. Im Hinblick auf die baldige Volljährigkeit von A.A._ beantragte die Beiständin die Errichtung einer erwachsenenschutzrechtlichen Massnahme. Mit Entscheid vom 9. März 2018 beschloss die KESB, für A.A._ gestützt auf Art. 394 Abs. 1 i.V.m. <ref-law> per 12. März 2018 eine Vertretungsbeistandschaft mit Vermögensverwaltung zu errichten. Gleichzeitig wurde ihm gestützt auf <ref-law> der Zugriff auf das Sparkonto bei der Bank F._ entzogen, auf welchem die Entschädigungsgelder liegen. Wiederum wurde Dr. iur. E._ als Beiständin eingesetzt.
B.
Gegen die Einsetzung von Dr. iur. E._ als Beiständin erhoben A.A._ und seine Eltern Beschwerde beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Sie beantragten, die Eltern seien als Beistände einzusetzen. Ebenso wehrten sie sich gegen die Sperrung des Zugriffs auf das Sparkonto bei der Bank F._. Das Appellationsgericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 27. Juni 2018 ab.
C.
Mit Eingabe vom 24. Juli 2018 gelangen A.A._, B.A._ und C.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Sie beantragen, gestützt auf <ref-law> seien die Eltern als Beistände einzusetzen; eventualiter sei das Verfahren zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten sowie jene des Verfahrens VGE VD.2016.93 ediert, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der kantonal letztinstanzliche Entscheid betreffend erwachsenenschutzrechtliche Massnahmen; die Beschwerde in Zivilsachen steht offen (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG).
1.2. In rechtlicher Hinsicht sind im ordentlichen Beschwerdeverfahren alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig und das Bundesgericht wendet in diesem Bereich das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder das Rechtsmittel mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 3.2.3; <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 2.4; je mit Hinweisen).
1.3. Dabei ist das Bundesgericht grundsätzlich an den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt gebunden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur beanstandet werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Hierfür wie auch für behauptete Verfassungsverletzungen gilt das Rügeprinzip (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.4.2 f.; je mit Hinweisen).
2.
Die Beschwerdeführer rügen eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, indem keiner von ihnen im Verfahren je persönlich angehört worden sei. Es bleibt indes unklar, ob sie eine Verletzung des Äusserungsrechts rügen (dazu E. 2.1) oder ob sie Willkür in der Sachverhaltsfeststellung geltend machen (dazu E. 2.2).
2.1. Das Äusserungsrecht begründet den Anspruch einer Partei, sich vor Erlass eines in ihre Rechtsstellung eingreifenden Entscheides zu äussern, und zwar zu allem, was in den Akten liegt und damit Grundlage des Entscheides sein könnte, d.h. sowohl zu allen Tat- als auch zu allen Rechtsfragen. Das Äusserungsrecht begründet aber keinen abstrakten Anspruch der Partei, sich persönlich äussern zu dürfen. Ebenso wenig begründet das Äusserungsrecht einen abstrakten Anspruch der Partei, sich mündlich zu äussern; es genügt, wenn die Partei schriftlich Stellung nehmen kann (<ref-ruling> E. 3.2.2 mit Hinweisen). Vorliegend waren die Beschwerdeführer in jedem Stadium des Verfahrens anwaltlich vertreten und haben sich zu allem schriftlich äussern können; Gegenteiliges wird nicht behauptet. Damit wurde der Anspruch der Beschwerdeführer, sich im Verfahren zu äussern, nicht verletzt.
2.2.
2.2.1. Die Beschwerdeführer werfen dem Appellationsgericht vor, ohne persönliche Anhörung des Sohnes, auch nicht von der KESB, und damit auf einer ungenügenden tatsächlichen Grundlage auf dessen Urteilsunfähigkeit geschlossen zu haben. Zu Unrecht habe das Appellationsgericht daher den ausdrücklichen Wunsch des Sohnes, seine Eltern für die Vermögensverwaltung einzusetzen, unberücksichtigt gelassen und dadurch die Anwendung von <ref-law> vereitelt.
2.2.2. Wie die nachfolgenden Erwägungen zeigen (E. 3), durfte das Appellationsgericht die Eltern als nicht für die Vermögensverwaltungsbeistandschaft geeignet erachten. Damit hätte das Appellationsgericht kein Bundesrecht verletzt, wenn es bei angenommener Urteilsfähigkeit dem Wunsch des Sohnes nicht gefolgt wäre (<ref-law>). Mit anderen Worten hätte eine allfällige Behebung des behaupteten Mangels für den Ausgang des Verfahrens keine Bedeutung. Die Sachverhaltsrüge erweist sich als unzulässig (E. 1.3) und es erübrigt sich eine weitergehende Auseinandersetzung mit den in diesem Zusammenhang aufgeworfenen Fragen.
2.3. Lediglich der guten Ordnung halber sei noch Folgendes erwähnt: Die Instruktionsrichterin des Appellationsgerichts hat die Parteien mit Verfügung vom 16. Mai 2018 darüber informiert, dass sie beabsichtige, den Entscheid auf schriftlichem Wege herbeizuführen. Dagegen haben die Beschwerdeführer keinen Einwand erhoben, und zwar obwohl sie in ihrer Beschwerde eine Verletzung des rechtlichen Gehörs geltend gemacht hatten. Ein Verhalten nach Treu und Glauben hätte es erfordert, die Durchführung einer Verhandlung verbunden mit einer Anhörung der Parteien zu verlangen. Das haben die Beschwerdeführer nicht getan. Mit anderen Worten haben sie auf eine persönliche Anhörung verzichtet und die diesbezüglichen Einwendungen verwirkt.
3.
3.1. Die Erwachsenenschutzbehörde ernennt als Beistand oder Beiständin eine natürliche Person, die für die vorgesehenen Aufgaben persönlich und fachlich geeignet ist, die dafür erforderliche Zeit einsetzen kann und die Aufgaben selber wahrnimmt (<ref-law>). Schlägt die betroffene Person eine Vertrauensperson als Beistand oder Beiständin vor, so entspricht die Erwachsenenschutzbehörde ihrem Wunsch, wenn die vorgeschlagene Person für die Beistandschaft geeignet und zu deren Übernahme bereit ist (<ref-law>). Sie berücksichtigt, soweit tunlich, Wünsche der Angehörigen oder anderer nahestehender Personen (<ref-law>). Für die in Anwendung von <ref-law> vorgeschlagenen Personen sind auch die Kriterien nach <ref-law> massgebend (vgl. <ref-ruling> E. 4). Die behördlichen Massnahmen des Erwachsenenschutzes haben das Wohl und den Schutz hilfsbedürftiger Personen sicherzustellen (<ref-law>). Der Beistand muss sich deshalb bei der Erfüllung seiner Aufgaben ausschliesslich von den Interessen der verbeiständeten Person leiten lassen (<ref-law>). Von vornherein nicht infrage kommen Personen, deren Interessen denjenigen der betroffenen Person widersprechen (<ref-law>). <ref-law> erfasst nicht nur die konkrete, sondern auch die abstrakte bzw. theoretische Gefahr einer Interessenkollision (<ref-ruling> E. 4; bestätigt in <ref-ruling> E. 4 und der seitherigen Rechtsprechung). Ein effektiver Schutz der verbeiständeten Person ist in der Tat nur dann gewährleistet, wenn die blosse Möglichkeit, dass die Interessen der verbeiständeten Person gefährdet sein könnten, die Vertretungsmacht des Beistands im Umfang des Interessenkonfliktes entfallen lässt (<ref-law>; Reusser, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch, 6. Aufl. 2018, N. 14 zu <ref-law>). In diesem Sinne kann es auch nicht auf die persönlichen Qualitäten bzw. die Integrität und Vertrauenswürdigkeit des Beistandes ankommen (<ref-ruling> E. 4c; Affolter-Fringeli/Vogel, Berner Kommentar, 2016, N. 37 zu <ref-law>; Reusser, a.a.O., mit Hinweisen; Schnyder/Murer, Berner Kommentar, 1984, N. 84 zu <ref-law>). Ausserdem beschlägt <ref-law> nicht nur Fälle, in denen die Interessen des Verbeiständeten denen des Beistandes unmittelbar widersprechen (direkte Interessenkollision), sondern auch solche, in denen der Verbeiständete in Geschäftsbeziehungen mit einem Dritten tritt oder steht, dem der Beistand derart eng verbunden ist, dass die erforderliche Objektivität bei der Wahrung der Interessen der verbeiständeten Person als beeinträchtigt erscheint (indirekte Interessenkollision; vgl. Urteil 5A_743/2009 vom 4. März 2010 E. 2.2).
Die Wahl der Beistandsperson hängt damit stark von den Umständen des Einzelfalls ab, weshalb der Behörde bei ihrem Entscheid ein grosses Ermessen zukommt (<ref-law>; Urteil 5A_310/2016 vom 3. März 2017 E. 5.1 mit Hinweisen). Das Bundesgericht auferlegt sich bei der Prüfung von solchen Ermessensentscheiden Zurückhaltung. Es schreitet nur ein, wenn die Behörde von dem ihr zustehenden Ermessen falschen Gebrauch gemacht hat. Das ist namentlich der Fall, wenn sie grundlos von in Rechtsprechung und Lehre anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie Umstände nicht in Betracht gezogen hat, die hätten beachtet werden müssen. Das Bundesgericht greift ausserdem in Ermessensentscheide ein, die sich im Ergebnis als offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 3.2.5; <ref-ruling> E. 1; je mit Hinweisen).
3.2. Mit Bezug auf die Eignung der Eltern als Beistände erwog das Appellationsgericht, die Vergangenheit habe gezeigt, dass die Eltern mit der Verwaltung des Vermögens des Sohnes überfordert seien. Diesbezüglich könne vollumfänglich auf die Erwägungen des Entscheids des Appellationsgerichts vom 21. Dezember 2017 (VGE VD.2016.93) verwiesen werden. Dort sei das Gericht zum Schluss gekommen, dass die Bemühungen der Eltern, das Vermögen des Sohnes selbst zu verwalten, gescheitert seien. Die Eltern könnten daher nicht als für eine Beistandschaft geeignet angesehen werden.
Dem Urteil vom 21. Dezember 2017 lassen sich folgende Erwägungen entnehmen: Zunächst sei die Verwaltung der von der Versicherung ausbezahlten Summe den Eltern belassen worden. Erst als die Eltern unter Beizug eines Beraters eine Wohn- und Geschäftsliegenschaft in U._ erwerben und mittels eines Darlehens des Sohnes finanzieren wollten, sei am 25. Oktober 2012 wegen Interessenkollision eine Beistandschaft gemäss <ref-law> errichtet worden. In der Folge hätten die Eltern aus Rentabilitätsgründen selber auf den Kauf der Liegenschaft in U._ verzichtet. Ein Jahr später habe sich ein neuer Rechtsvertreter der Eltern bei der KESB gemeldet und erklärt, die Eltern empfänden die Auflagen der eingesetzten Beiständin als derart einschränkend, dass sie beschlossen hätten, das Kapital im Interesse einer gesicherten Zukunft des Sohnes und seiner Familie in ihrer früheren Heimat anzulegen. Eine inzwischen neu eingesetzte, Türkisch sprechende Beiständin habe in einer Besprechungsnotiz festgehalten, dass die Eltern nicht verstünden, dass das ausbezahlte Kapital nicht der ganzen Familie gehöre. Es habe mehrere Wechsel, Entlassungen und Wiederbeauftragungen von Personen gegeben, welche die Eltern in der Frage der Geldanlage privat berieten. Von einem Liegenschaftskauf in der Türkei sei wieder Abstand genommen worden. Auch bei der Person der Beiständin habe es einen erneuten Wechsel gegeben. Ein weiterer Versuch der Eltern, eine Liegenschaft zu kaufen, sei an der Kurzfristigkeit der Kaufofferte gescheitert. Die KESB habe Abklärungen zur Finanzierungs- und Kaufsmöglichkeit einer Renditeliegenschaft getätigt, wobei die Eltern die Vorstellung vertreten hätten, dass die ganze Familie in der Liegenschaft leben könnte. Parallel dazu hätten auch Berechnungen über den Anteil stattgefunden, der den Eltern als Entschädigung für ihre Betreuungs- und Pflegeleistungen aus dem ausbezahlten Kapital hätte ausgerichtet werden sollen. Je konkreter die Abklärungen, desto komplexer habe sich der Wunsch der Eltern erwiesen, selber eine Liegenschaft mittels Darlehen oder mit der ihnen ausbezahlten Entschädigung zu erwerben. Im Jahr 2016 seien die Diskussionen zwischen der Beiständin und der KESB einerseits und den Eltern und deren Berater andererseits über die Möglichkeit und die konkrete Abwicklung eines Liegenschaftskaufs fortgeführt worden. Die Beiständin und die KESB hätten ihrerseits Fachberatung beigezogen, als die Eltern ihnen immer wieder neue Kaufobjekte unterbreiteten resp. unterbreiten liessen. Auch die Meinungen der Fachleute zu den Kaufobjekten seien kontrovers ausgefallen. Eine Gesamtsicht der Besprechungsnotizen, Eingaben und Korrespondenzen führe zum Schluss, dass es im Rahmen einer Vermögensverwaltung durch die Eltern nicht möglich gewesen sei, innert der kurzen Frist, die im heutigen Immobilienmarkt für den Kauf einer Liegenschaft zur Verfügung stehe, die nötige Einwilligung der KESB für eine Vermögensanlage einzuholen. Es habe immer wieder an der zeitnahen Beschaffung der nötigen Informationen bezüglich der Rentabilität des Objektes und der Finanzierbarkeit, welche die KESB zur Klärung der kindesschutzrechtlichen Aspekte benötige, gefehlt. Bereits Ende 2015 habe die abklärende Mitarbeiterin der KESB empfohlen, für die Beistandschaft eine Fachperson in Finanzfragen einzusetzen. Die nach Ausscheiden der letzten amtlichen Beiständin eingesetzte private Beiständin sei eine in Finanzfragen erfahrene Anwältin, die für diese Aufgabe geeignet sei. Dem Einwand der Eltern, mit einer Erweiterung der Massnahme würde den Eltern seitens der Behörden Misstrauen entgegengebracht, sei entgegenzuhalten, dass sich die Empfehlung der Vermögensverwaltung des Kindesvermögens durch eine Expertin aufgrund der sich bei der Verwaltung eines so grossen Vermögens stellenden komplexen Probleme ohne Weiteres sachlich begründen lasse. Im Übrigen sei anlässlich einer Besprechung im Dezember 2015 festgehalten worden, der Vater "bemühe sich seit Jahren im Rahmen seiner Möglichkeiten" um eine Verbesserung der Anlagestrategie. Das Vermögen habe seit der Auszahlung keinerlei Rendite erzielt; vielmehr müssten Negativzinsen bezahlt werden, und in den letzten Jahren habe das Kindesvermögen um fast Fr. 400'000.-- abgenommen. Damit sei das Kindesvermögen im Sinne von <ref-law> gefährdet und dieses könne nur mit der Errichtung einer Vermögensverwaltungsbeistandschaft angemessen geschützt und verwaltet werden. Andere Massnahmen, welche zielführend wären, seien nicht ersichtlich oder bereits eingesetzt worden, ohne dass damit der Vermögensgefährdung hätte entgegengewirkt werden können.
Diesbezüglich führt das Appellationsgericht aus, die Beschwerde enthalte keine neuen Argumente, welche zu begründen vermöchten, weshalb die Eltern heute besser als damals in der Lage sein sollten, das Kindesvermögen zu verwalten. Im Gegenteil dokumentierten sie mit ihrer Weigerung, Belege an die KESB einzureichen, einmal mehr wenig Kooperationsbereitschaft. Kooperationsbereitschaft und -fähigkeit seien jedoch auch bei der Verwaltung von Vermögen der fraglichen Grössenordnung unabdingbare Grundvoraussetzungen. Mit der KESB sei deshalb festzuhalten, dass die Eltern als Beistände zur Vermögensverwaltung ihres Sohnes nicht geeignet seien. Soweit die Beschwerdeführer verlangten, die Eltern seien mit Auflagen betreffend Anlagekriterien, Rechenschaft etc. zu belegen, würde dies zu einer Vermögensverwaltung durch die KESB führen. Das sei aber nicht deren Aufgabe, sondern die einer Beistandsperson. Ferner hätten die Eltern seit Jahren den Wunsch, mit dem Vermögen ihres Sohnes eine Liegenschaft zu erwerben. Da sie mit der Übertragung der Vermögensverwaltung auf eine Fachperson nach wie vor nicht einverstanden seien, erscheine das Vermögen des Sohnes gefährdet. Um zu verhindern, dass die Eltern oder allfällige unbefugte Dritte auf das Vermögen des Sohnes zugreifen können, erscheine es gerechtfertigt und notwendig, ihnen den Zugriff auf das Konto zu entziehen. Somit seien auch die Voraussetzungen für eine Zugriffsbeschränkung auf das Konto des Sohnes erfüllt.
3.3. Die Beschwerdeführer wenden zunächst ein, die Behauptung, wonach die Vergangenheit gezeigt habe, dass die Eltern mit der Verwaltung des Vermögens ihres Sohnes überfordert seien, sei in jeder Hinsicht eine willkürliche Unterstellung, die durch nichts belegt werde. Im Urteil vom 21. Dezember 2017, auf welches das Appellationsgericht verweise, finde sich ebenfalls kein Hinweis auf eine schlechte Verwaltung. Es sei eine Unterstellung, wenn behauptet werde, die Eltern hätten in U._ eine Liegenschaft kaufen wollen. Richtig sei vielmehr, dass sie sich überlegt hätten, ob ein solcher Liegenschaftskauf interessant sein könnte, weswegen sie sich an die KESB gewandt hätten. Schliesslich hätten sie aus Rentabilitätsgründen selber auf den Kauf der Liegenschaft verzichtet, was beweise, dass sie sorgfältig mit Geld umgehen könnten. Bestritten werde ferner die Feststellung, dass die Eltern nicht verstünden, dass das ausbezahlte Kapital nicht der ganzen Familie gehöre. Diese Notiz sei von einer Mitarbeiterin der früheren Beiständin geschrieben worden, sei einseitig und gebe nicht eine Willensäusserung der Beschwerdeführer wieder. Selbst wenn diese Aussage zutreffen würde, sei dies kein Beweis für eine schlechte Verwaltung des Vermögens. Die Eltern wüssten, dass das Vermögen ihres Sohnes separat zu verwalten sei und nicht mit dem Familienvermögen vermischt werden dürfe. Es werde damit letztlich behauptet, weil die Eltern den Wunsch hätten, mit dem Vermögen ihres Sohnes eine Liegenschaft zu erwerben, seien sie nicht in der Lage, als Beistände zu wirken. Dies sei in jeder Hinsicht willkürlich, denn es sei die damalige amtliche Beiständin gewesen, welche die Eltern geradezu eingeladen habe, einen Liegenschaftskauf in Betracht zu ziehen. Diesem Rat seien sie gefolgt und auch der vom Appellationsgericht beauftragte Experte habe bestätigt, dass der Kauf einer Liegenschaft als Anlagestrategie sehr geeignet sei. Nur aufgrund der sehr langen Verfahrensabläufe bei der früheren amtlichen Beistandschaft habe das Projekt nicht realisiert werden können. Nie hätten die Eltern beabsichtigt, zu Lasten ihres Sohnes und gegen irgendwelche Auflagen der KESB eine Liegenschaft zu erwerben. Indem die Eltern dem Appellationsgericht ein Schreiben der G._ Treuhand vorgelegt hätten, wonach diese die Jahresrechnung erstellen würde, hätten sie dargelegt, dass sie sehr wohl wüssten, dass das Vermögen nicht ihnen gehöre. Die Eltern hätten auch Kenntnis davon, dass die Verwendung des Kindesvermögens zu eigenen Zwecken zivil- und strafrechtlich relevant sei. Ferner komme hinzu, dass vermutlich eine Bank mit der Vermögensverwaltung beauftragt werden müsse, was die Beiständin ebenfalls tun dürfte. Die Feststellung des Appellationsgerichts, wonach die von den Eltern beantragten Auflagen und Weisungen im Ergebnis zu einer Vermögensverwaltung durch die KESB führen würden, sei in jeder Hinsicht willkürlich. Eine Weisung zu mündelsicherer Anlage habe mit einer Verwaltung durch die KESB nichts zu tun.
Mit Bezug auf den Entzug des Zugriffs auf das Konto des Sohnes wenden die Beschwerdeführer ein, damit würden die Eltern unter einen Generalverdacht gestellt, und zwar Eltern, die mit ihrem Sohn zusammenleben und ihn pflegen. Diese Unterstellung sei willkürlich. Nie hätten die Eltern unberechtigt auf das Vermögen zugegriffen oder dies versucht. Die Eltern hätten vielmehr während 16 Jahren, d.h. bis zum Entscheid der KESB vom 17. März 2016, den Tatbeweis erbracht, dass sie keine Veruntreuung vornähmen.
3.4.
3.4.1. Vorab sei betont, dass weder die kantonalen Instanzen noch das Bundesgericht die ausserordentliche Tragik der Familie verkennen oder auf irgendeine Weise zu bagatellisieren suchen. Ebenso wenig haben die Vorinstanzen Zweifel daran geäussert, dass die Eltern nur das Beste für ihren Sohn anstreben, und stellen sie schon gar nicht - was die Beschwerdeführer dem Appellationsgericht zu Unrecht vorhalten - unter einen Generalverdacht. Schliesslich trifft auch der Vorwurf der Beschwerdeführer nicht zu, die Vorinstanz werfe den Eltern unrechtmässiges Verhalten vor; im Raum steht einzig eine unerklärt gebliebene Vermögensverminderung von rund Fr. 400'000.--.
3.4.2. Sodann legen die Beschwerdeführer den angefochtenen Entscheid falsch aus, wenn sie meinen, das Appellationsgericht mache den Eltern zum Vorwurf, eine Investition in eine Renditeliegenschaft in Erwägung gezogen zu haben. Der Vorhalt geht vielmehr dahin, dass die Eltern ohne Unterstützung einer qualifizierten Person offensichtlich nicht in der Lage seien, zeitgerecht die für einen Genehmigungsbeschluss der KESB erforderlichen Informationen und Unterlagen zu beschaffen.
3.5. Massgebend ist vorliegend, ob die Interessen der Eltern jenen des Sohnes zumindest potentiell widersprechen (E. 3.1 oben). Damit zielen sämtliche Einwendungen der Beschwerdeführer, seien sie tatsächlicher oder rechtlicher Art, an der Sache vorbei.
3.5.1. Aus den Akten des vorinstanzlichen Verfahrens ergibt sich, dass die Eltern eine Entschädigung für ihre bisher geleisteten Pflege- und Betreuungsleistungen fordern; diese soll aus dem Vermögen des Kindes bezahlt werden. Die Beiständin anerkennt diese Forderung dem Grundsatze nach; sie hat einen Betrag von Fr. 244'643.-- ermittelt. Die Eltern erachten diesen Betrag als zu tief. Noch während der Hängigkeit des vorinstanzlichen Verfahrens einigten sich die Beiständin und die Eltern auf eine sofort zu leistende Teilzahlung von Fr. 100'000.--. In dieser Beziehung ist die Interessenkollision zwischen Eltern und Sohn offensichtlich.
3.5.2. Ebenso offensichtlich haben Eltern und Sohn gegenläufige Interessen, wenn sich die Eltern vom Sohn ein Darlehen geben lassen wollen, und zwar umso mehr als die Eltern angesichts ihrer eigenen wirtschaftlichen Lage offensichtlich nicht in der Lage sind bzw. jemals sein werden, das Darlehen zu erstatten. Eine Interessenkollision liegt auch dann vor, wenn die Eltern zwar ein Haus für den Sohn kaufen wollen, gleichzeitig aber beabsichtigen, selber darin zu wohnen.
3.5.3. Allein aufgrund der hiervor dargelegten Interessengegensätze sind die Eltern nicht geeignet, die Vermögensverwaltung für den Sohn zu übernehmen. Daran ändert auch der Umstand nichts, dass für die Geschäfte, von denen bisher die Rede war, in jedem Fall die Zustimmung der Erwachsenenschutzbehörde erforderlich ist (Erwerb von Grundstücken bzw. Liegenschaften: <ref-law>; Gewährung von erheblichen Darlehen: <ref-law>; Verträge zwischen dem Beistand und der betroffenen Person [hier im Zusammenhang mit der Entschädigung der Eltern für erbrachte Pflegeleistungen]: <ref-law>).
3.6. Bei diesem Ergebnis erscheint auch die Sperrung des Zugangs zum Konto des Sohnes bei der Bank F._ gerechtfertigt. Der Umstand, dass die Eltern in den ersten 16 Lebensjahren des Sohnes dessen Vermögen nicht veruntreut und auch sonst nie unberechtigt darauf zugegriffen haben sollen, ist angesichts der soeben dargelegten Rechtslage nicht entscheidend.
Immerhin sei an dieser Stelle noch folgendes erwähnt: Nach <ref-law> stellt der Beistand der betroffenen Person aus deren Vermögen angemessene Beträge zur freien Verfügung. Die eingesetzte Beiständin wird daher prüfen, ob gegebenenfalls ein weiteres Bankkonto zu eröffnen ist, darauf regelmässig angemessene Beträge zu überweisen und diese dem Sohn zur freien Verfügung zu überlassen sind (Urteil 5A_540/2013 vom 3. Dezember 2013 E. 5.2, nicht publ. in: <ref-ruling>).
3.7. Nach dem Ausgeführten hat das Kantonsgericht das ihm zustehende Ermessen nicht bundesrechtswidrig ausgeübt, indem es die Eltern nicht als Beistände für ihren volljährigen Sohn eingesetzt und den Zugriff auf das Sparkonto gesperrt hat. Im Übrigen tragen die Beschwerdeführer nichts gegen die Eignung der eingesetzten Beiständin vor, so dass sich weitere Ausführungen dazu erübrigen.
4.
Insgesamt erweist sich die Beschwerde als unbegründet; sie ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens werden die Beschwerdeführer kostenpflichtig; die Gerichtskosten werden ihnen zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung auferlegt (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. April 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Gutzwiller