Erwägungen:
1.
Am 5. März 2019 reichte die B._ S.A. (Beschwerdegegnerin) beim Bezirksgericht Zürich eine Klage ein, mit der sie verlangte, A._ (Beschwerdeführer) sei zu verurteilen, ihr Fr. 11'363.05 nebst Zins zu bezahlen. Mit Urteil vom 6. August 2019 hiess das Bezirksgericht die Klage gut.
A._ focht dieses Urteil mit Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich an. Dieses trat mit Beschluss vom 20. September 2019 auf die Berufung mangels hinreichender Begründung nicht ein.
In der Folge hat A._ das Bundesgericht zunächst "um Aufschiebung wegen Krankheit" gebeten, sodann (rechtzeitig) mit Eingabe vom 23. Oktober 2019 (Postaufgabe am 24. Oktober 2019) Beschwerde gegen den Beschluss des Obergerichts vom 20. September 2019 erhoben und schliesslich sinngemäss um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
2.1. Da der Streitwert nach der Feststellung der Vorinstanz den Mindestbetrag von <ref-law> nicht erreicht, steht die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen (siehe <ref-law>).
Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>).
Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). Dafür muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89). Eine Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>).
2.2. Der Beschwerdeführer erhebt keine hinreichend begründete Verfassungsrüge, sondern verweist auf einen "Darlehensvertrag mit Koppelungsvereinbarung" und nennt einige vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellungen, die "nicht der Wahrheit" entsprächen. Die Beschwerde genügt damit den erwähnten Anforderungen offensichtlich nicht, weshalb im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht auf sie einzutreten ist.
3.
Ausnahmsweise werden keine Gerichtskosten erhoben (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG), womit das Gesuch des Beschwerdeführers um Befreiung von diesen Kosten gegenstandslos wird.

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. November 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Stähle