Faits :
A.
A.a. En août 2007, la société C._ SA, sous-bailleresse, a conclu avec B._, avocat, deux contrats de sous-location portant notamment sur seize bureaux situés à Genève, en contrepartie de loyers mensuels d'environ 18'145 fr. au total.
Le 8 janvier 2008, B._ et A._, également avocat, ont signé une convention, à teneur de laquelle notamment, ils s'associaient à des fins de partage de frais, le nom de l'étude étant "B._ & A._ Avocats". Selon la convention, le premier sous-louait au second quatre des bureaux précités, dont certains étaient équipés. A._ versait à son associé une participation forfaitaire mensuelle, laquelle couvrait, entre autres prestations, ladite sous-location. Dans un addendum signé ultérieurement, les intéressés ont qualifié cette convention de société simple. D'autres associés ont ensuite rejoint l'étude.
Courant 2010, les relations entre les membres de cette étude se sont dégradées. Chacun s'est progressivement installé dans d'autres locaux. A._ a quitté les lieux le 3 décembre 2010. B._ a pris à bail, auprès de particuliers, de nouveaux bureaux le 1er novembre 2010. Ce dernier et C._ SA ont, d'un commun accord, mis un terme aux deux contrats de sous-location.
A.b. Les avocats précités se sont opposés durant de nombreuses années sur les modalités financières de la liquidation de leur association. Un tribunal arbitral a finalement été constitué.
B._ a initié une procédure d'arbitrage contre A._, aux fins d'obtenir le paiement de la somme de 40'330 fr. environ à titre de participation aux charges de l'étude.
Dans le cadre de la procédure d'arbitrage, A._ a déposé, en 2018, auprès de ce tribunal, une demande de reddition de comptes (<ref-law>), sollicitant la production, par B._, entre autres documents "du bail; des baux et tous les avenants; courriers y relatifs pour les locaux occupés par l'étude".
Par ordonnance du 2 mars 2018, l'arbitre, Me D._, a rejeté cette requête considérant que B._ avait d'ores et déjà produit l'ensemble des baux et avenants qu'il affirmait être en sa possession, respectivement que les autres prétentions du requérant étaient trop imprécises pour être accueillies.
B._ exposait avoir résilié le contrat de société simple avec effet au 31 décembre 2010, raison pour laquelle son ancien associé aurait dû s'acquitter, entre autres prestations, du forfait mensuel convenu jusqu'à cette date, ce qu'il n'avait pas fait. Il soulignait n'avoir "jamais reçu la moindre indemnité quelconque de C._ SA, lorsqu'il avait quitté les locaux en janvier 2011, en particulier (...) pour avoir abattu une cloison, remis une cuisinette et posé quelques rayonnages", travaux également financés par A._.
Par sentence finale du 30 août 2018, le tribunal arbitral a notamment condamné A._ à verser à B._ 34'330 fr. environ avec intérêts ainsi que les frais d'arbitrage. Cette sentence indiquait, entre autres, que rien ne permettait de douter de l'affirmation de B._ selon laquelle C._ SA ne lui avait versé aucune indemnité - susceptible d'être partiellement restituée à A._ - en contrepartie des travaux effectués dans les locaux. Le dernier nommé a vainement contesté cette décision auprès du Tribunal fédéral (arrêt 4A_539/2018 du 27 mars 2019).
Sur réquisition de B._, A._ s'est vu notifier, le 15 octobre 2018, un commandement de payer la somme de 58'944 fr. 25 plus intérêts, fondée sur la sentence arbitrale.
A.c. Fin 2019, B._ a déposé une demande en paiement, devant un autre arbitre, contre une ancienne associée de l'étude "B._ & A._ Avocats", actuellement associée à A._. Pour étayer sa requête, il a notamment produit un accord passé entre C._ SA et lui-même le 20 octobre 2010. A teneur de cet accord, qui consiste dans une lettre adressée par C._ SA à "Me B._, B._ & A._ Avocats" contresignée par le prénommé: les obligations de loyers de B._ à l'égard de C._ SA prenaient fin le 31 décembre 2010; aucune somme n'était réclamée au sous-locataire pour les "15 jours de janvier 2011"; C._ SA prenait en charge le loyer des nouveaux bureaux de B._ pour les mois de novembre et décembre 2010, à savoir 20'800 fr. au total; C._ SA procéderait au calcul de la valeur résiduelle de l'alarme installée à l'étage de l'étude et rembourserait le prénommé le montant idoine.
Dans une sentence arbitrale rendue le 27 avril 2020, B._ a été débouté de sa demande en paiement. L'arbitre a considéré que la convention liant les parties avait été conclue entre l'avocate défenderesse et l'étude "B._ & A._ Avocats", composée des deux prénommés, de sorte que B._ ne pouvait agir seul pour demander le paiement de créances - en particulier celles afférentes à la sous-location d'un bureau - dont l'étude semblait toujours être titulaire.
B.
B.a. Fin 2019, A._ a déposé plainte pénale contre B._ au motif que ce dernier aurait porté atteinte à son honneur (art. 173, 174 et 177 CP) dans le cadre de la procédure judiciaire de recouvrement qui les avait opposés à la suite du prononcé de la première sentence arbitrale. Cette dénonciation a été référencée sous le numéro P/xxxxx/2019.
B.b. Le 13 mars 2020, A._ a déposé une seconde plainte pénale contre B._, dans une missive où il se référait à la procédure P/xxxxx/2019.
En substance, il y exposait avoir récemment appris, par l'intermédiaire de son actuelle associée, partie défenderesse à la procédure arbitrale ouverte en 2019, l'existence de l'accord du 20 octobre 2010. Selon lui, la cause du versement des 20'800 fr. ne pouvait être celle stipulée dans ce document; il était insolite qu'un bailleur offre à son locataire deux mois de loyers. C._ SA et B._ avaient bien plutôt cherché à "habiller quelque chose qui, autrement, aurait dû lui revenir également et figurer dans les comptes de la société simple". Cette somme pouvait, éventuellement, constituer une indemnité pour la plus-value résultant des travaux faits dans les locaux, qu'il avait partiellement financés. Or, B._ n'avait jamais évoqué l'existence de ladite somme dans la procédure menée par Me D._, y compris à l'occasion de la demande de reddition de compte. Il avait également tu la compensation financière versée pour l'installation de l'alarme. Par ailleurs, il résultait de cet accord que le prénommé et lui-même avaient tous deux fondé de nouvelles études le 3 décembre 2010 au plus tard, jour où il avait personnellement quitté les locaux, de sorte que l'arbitre avait été induit en erreur s'agissant de la date de fin de leur association. En celant l'existence de l'accord du 20 octobre 2010, B._ avait astucieusement trompé Me D._, respectivement lui-même, sur les points précités.
A._ sollicitait que des perquisitions soient effectuées dans les locaux de C._ SA, B._ et Me D._ afin de déterminer si l'accord litigieux était susceptible d'être qualifié de faux intellectuel, si l'arbitre avait été trompé ou s'il y avait pu y avoir connivence entre ce dernier et le mis en cause, ce qui expliquerait pourquoi l'arbitre avait autant de fois cru B._ sur parole.
Cette dénonciation a été référencée sous le numéro P/yyyy/2020, sans que A._ soit informé de cette nouvelle cotation.
B.c. Le 16 avril 2020, A._ exposait au ministère public - dans une missive où il se référait à la procédure P/xxxxx/2019 ainsi qu'à son pli du 13 mars précédent - avoir formé une demande en révision de la sentence arbitrale du 30 août 2018, acte qu'il versait au dossier.
Le 8 mai 2020, A._ a informé le ministère public - dans une lettre où il se référait à la procédure P/xxxxx/2019 ainsi qu'à ses courriers des 13 mars et 16 avril précédents - de l'existence de la sentence arbitrale du 27 avril 2020, qu'il versait au dossier. D'après lui, il résultait de cette décision que B._ devait lui rendre compte, en sa qualité d'associé à la société simple, de l'accord passé le 20 octobre 2010 avec C._ SA, bailleur des locaux de l'étude "B._ & A._ Avocats"; cet accord avait d'ailleurs été envoyé à l'étude et non à l'adresse personnelle de B._. Une telle omission contrevenait à l'<ref-law>.
Dans cette même missive, A._ imputait à B._ une autre infraction à l'<ref-law>, commise contre leur ancienne associée commune, lors de la procédure arbitrale ayant abouti à la sentence du 27 avril 2020.
Il lui reprochait en outre d'avoir tenté de faire passer en force, au stade de la poursuite, une créance frappée de l'interdiction de l'anatocisme, acte susceptible d'être réprimé par l'<ref-law>.
C.
C.a. Par ordonnance du 4 mai 2020, le ministère public genevois a refusé d'entrer en matière sur les atteintes à l'honneur objets de la procédure P/xxxxx/2019. Saisie d'un recours de A._, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice du canton de Genève a confirmé cette décision le 29 juillet 2020.
C.b. Par ordonnance du 27 mai 2020, le ministère public genevois a refusé d'entrer en matière sur la plainte déposée le 13 mars 2020 par A._ contre B._. Relevant que le premier reprochait en substance au second d'avoir dissimulé le document du 20 octobre 2010, le ministère public a considéré que les conditions de l'<ref-law> n'étaient pas réunies. Rien ne justifiait de s'écarter des termes clairs de l'accord litigieux, selon lesquels l'indemnité de 20'800 fr. se rapportait aux loyers de la nouvelle étude de B._. Dans la mesure où les perquisitions sollicitées semblaient impropres à apporter des éléments inédits et probants et où aucune autre infraction pénale n'apparaissait réalisée, le prononcé d'une non-entrée en matière s'imposait.
D.
Par arrêt du 12 janvier 2021, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice genevoise a rejeté le recours formé par A._ contre l'ordonnance de non-entrée en matière du 27 mai 2020, dans la mesure de sa recevabilité.
En substance, elle a déclaré le recours irrecevable en tant qu'il portait sur d'éventuels actes de gestion déloyale (<ref-law>) perpétrés à l'encontre de son actuelle associée, faute de qualité pour agir (art. 115 et 382 CPP). Il en allait de même s'agissant de l'infraction à l'<ref-law>, invoquée pour la première fois devant la cour cantonale le 8 décembre 2020, à savoir près de 6 mois après avoir formé son recours cantonal. Pour le surplus, elle a rejeté le recours, considérant que les conditions des art. 146 et 158 CP n'étaient pas réunies.
E.
A._ recourt en matière pénale au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal du 12 janvier 2021. A titre préalable, il demande à ce que la Ière Cour de droit civil suspende l'instruction de la cause 4A_71/2021 (recours en matière civile contre la décision de la Chambre civile d'appel et de révision de la Cour de justice genevoise du 8 décembre 2020 rejetant la requête de révision de la sentence arbitrale) et à ce que la Cour de droit pénal sursoie à statuer sur sa qualité pour recourir dans la présente procédure jusqu'à suspension effective de la cause civile. Principalement, il conclut, avec suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt cantonal et à ce que le ministère public soit enjoint d'ouvrir une instruction dans le cadre de la procédure P/yyyy/2020. Subsidiairement, il conclut à l'annulation de l'arrêt et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Le 24 février 2021, la demande préalable de A._ a été déclarée sans objet, dès lors que la Ière Cour de droit civil avait déjà statué sur sa requête de suspension par ordonnance du 19 février 2021, dans la cause 4A_71/2021.
F.
Par acte expédié le 3 juin 2021, A._ a requis la suspension de la présente cause jusqu'à droit connu sur la demande de restitution de délai (<ref-law>), accompagnée d'un mémoire complémentaire de recours, qu'il entendait déposer devant la Cour de droit pénal.
Se fondant sur l'ordonnance du 9 juin 2021 par laquelle la IIe Cour de droit civil - saisie d'un recours en matière civile contre une décision rendue dans la procédure de poursuite (cause 5A_207/2021) - a rejeté la même requête de suspension, A._ a renoncé à présenter une demande de restitution de délai, par acte du 21 juin 2021.
Dans cette même écriture, intitulée "requête en mesures probatoires (art. 6 par. 1 cum 13 CEDH cum <ref-law>) ", A._ a requis en substance que la Présidente de la Cour de justice genevoise et chacun (e) des magistrats signataires des décisions des causes C/xxxx/2019 (cf. 5A_207/2021), C/yyyy/2020 (cf. 4A_71/2021) et P/yyyy/2020 soient invités notamment à donner des précisions sur les compositions et dates de rédaction et notification de ces décisions, et sur les échanges de courriers à ce propos. Dans un courrier du 25 juin 2021, A._ a signalé des erreurs de plume contenues dans sa requête.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office (<ref-law>) et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 2).
2.
A l'appui de sa requête de mesures probatoires, le recourant expose en substance avoir découvert que des échanges de courriers qu'il a eus avec la Cour de justice genevoise à la suite de l'arrêt 4A_81/2020 (recte: 5A_81/2020) du 13 novembre 2020, au sujet de la composition de la cour cantonale dans les affaires civiles qui l'opposent à l'intimé, ne figuraient pas dans les dossiers cantonaux soumis au Tribunal fédéral. Il en déduit un parti pris et une absence d'indépendance de la part de la cour cantonale, en se prévalant des art. 6 par. 1 et 13 CEDH. Or, la motivation d'un acte de recours doit être entièrement contenue dans l'acte lui-même et ne saurait être complétée ultérieurement (cf. arrêts 6B_609/2021 du 19 juillet 2021 consid. 2.4; 6B_510/2020 du 15 septembre 2020 consid. 2.2). En outre, la découverte sur laquelle il fonde sa requête est postérieure à la décision entreprise. Or, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
En tout état, des mesures probatoires devant le Tribunal fédéral (<ref-law>) ne sont qu'exceptionnellement ordonnées dans une procédure de recours (<ref-ruling> consid. 2), dès lors que le Tribunal fédéral statue et conduit en principe son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Le recourant, qui se fonde principalement sur des échanges de courriers dans les causes civiles et formule de pures hypothèses s'agissant de la composition de la cour cantonale, échoue à démontrer que des circonstances exceptionnelles seraient réunies en l'espèce.
Aussi, il n'y a pas lieu d'y donner suite.
3.
Le recourant considère que la cour cantonale lui a dénié à tort la qualité pour recourir s'agissant des actes dénoncés de gestion déloyale perpétrés à l'encontre de son associée. En tant que le recours porte sur l'irrecevabilité de son recours cantonal pour défaut de qualité pour recourir, il est recevable (cf. arrêt 6B_931/2020 du 22 mars 2021 consid. 2).
3.1. A teneur de l'<ref-law>, toute partie qui a un intérêt juridiquement protégé à l'annulation ou à la modification d'une décision a qualité pour recourir contre celle-ci. L'<ref-law> précise que la qualité de partie est reconnue à la partie plaignante. On entend par partie plaignante le lésé qui déclare expressément vouloir participer à la procédure pénale comme demandeur au pénal ou au civil (<ref-law>). Le lésé est celui dont les droits ont été touchés directement par une infraction (<ref-law>). En règle générale, seul peut se prévaloir d'une atteinte directe le titulaire du bien juridique protégé par la disposition pénale qui a été enfreinte (<ref-ruling> consid. 2.3.1; <ref-ruling> consid. 3.1). Lorsque la norme protège un bien juridique individuel, la qualité de lésé appartient au titulaire de ce bien (ATF <ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 3.1).
Pour être directement touché, le lésé doit subir une atteinte en rapport de causalité directe avec l'infraction poursuivie, ce qui exclut les dommages par ricochet (arrêts 6B_103/2021 du 26 avril 2021 consid. 1.1; 6B_1014/2020 du 10 février 2021 consid. 3.2).
3.2. Le recourant se contente d'alléguer que l'intimé lui a causé un dommage direct en abusant de son pouvoir de représentation dans une procédure dirigée contre son associée, au motif que cette dernière a dû consacrer un temps considérable à sa défense plutôt qu'au développement des affaires de l'étude qu'elle forme avec lui. En cela, le recourant ne fait pas valoir de dommage direct résultant de l'infraction qu'il dénonce, dont il n'est pas lésé. C'est donc à juste titre que la cour cantonale a dénié sa qualité pour recourir s'agissant de l'infraction alléguée de gestion déloyale, commise au préjudice de son associée.
4.
Faute de toute argumentation dirigée contre la motivation cantonale relative au grief déduit de la violation de l'<ref-law> (extorsion), invoqué tardivement devant la cour cantonale (arrêt entrepris consid. 1.1.3; mémoire de recours ch. 2.2), le recours est irrecevable sur ce point (cf. <ref-law>).
5.
Le recourant reproche notamment à la cour cantonale d'avoir confirmé le refus d'entrer en matière sur sa plainte portant sur les différents actes d'escroquerie, escroquerie au procès, et gestion déloyale qu'il impute à l'intimé.
5.1. Selon l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 5 LTF, la partie plaignante qui a participé à la procédure de dernière instance cantonale est habilitée à recourir au Tribunal fédéral si la décision attaquée peut avoir des effets sur le jugement de ses prétentions civiles. Constituent de telles prétentions celles qui sont fondées sur le droit civil et doivent en conséquence être déduites ordinairement devant les tribunaux civils. Il s'agit principalement des prétentions en réparation du dommage et du tort moral au sens des <ref-law> (ATF <ref-ruling> consid. 1.1). En vertu de l'<ref-law>, il incombe à la partie recourante d'alléguer les faits qu'elle considère comme propres à fonder sa qualité pour recourir. Lorsque le recours est dirigé contre une décision de non-entrée en matière ou de classement de l'action pénale, la partie plaignante n'a pas nécessairement déjà pris des conclusions civiles. Quand bien même la partie plaignante aurait déjà déclaré des conclusions civiles (cf. <ref-law>), il n'en reste pas moins que le procureur qui refuse d'entrer en matière ou prononce un classement n'a pas à statuer sur l'aspect civil (cf. <ref-law>). Dans tous les cas, il incombe par conséquent à la partie plaignante d'expliquer dans son mémoire au Tribunal fédéral quelles prétentions civiles elle entend faire valoir contre l'intimé. Comme il n'appartient pas à la partie plaignante de se substituer au ministère public ou d'assouvir une soif de vengeance, la jurisprudence entend se montrer restrictive et stricte, de sorte que le Tribunal fédéral n'entre en matière que s'il ressort de façon suffisamment précise de la motivation du recours que les conditions précitées sont réalisées, à moins que l'on puisse le déduire directement et sans ambiguïté compte tenu notamment de la nature de l'infraction alléguée (ATF <ref-ruling> consid. 1.1).
Lorsque la partie plaignante se plaint d'infractions distinctes, elle doit mentionner, par rapport à chacune d'elles, en quoi consiste son dommage (arrêts 6B_752/2020 du 8 juin 2021 consid. 1.1; 6B_199/2020 du 9 avril 2020 consid. 1.1 et les références citées).
5.2. Contrairement à ce que prétend le recourant, la recevabilité du recours en matière pénale ne peut être admise, sans autre examen, chaque fois qu'une infraction contre le patrimoine est en cause, conformément à la jurisprudence précitée. Pour le surplus, le recourant se contente de rappeler l'historique des faits qu'il dénonce et considère, de manière générale, que les infractions dont il se plaint lui ont causé un dommage. Il évoque notamment des actes d'escroquerie, d'escroquerie au procès dont l'arbitre aurait été la dupe, de gestion déloyale, de faux dans les titres et d'extorsion. Or, il omet de distinguer précisément les infractions dont il se plaint et ne chiffre ni n'étaye le dommage qui résulterait directement de chacune d'elles. Il s'ensuit que les conditions de l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 5 LTF ne sont pas remplies en l'espèce. Le recourant n'a dès lors pas qualité pour recourir sur le fond de la cause. Il en résulte qu'il n'y a pas lieu d'entrer en matière sur les griefs que le recourant soulève en lien avec l'adage in dubio pro duriore ou avec l'administration des preuves susceptibles d'établir les infractions qu'il dénonce.
6.
L'hypothèse visée à l'art. 81 al. 1 let. b ch. 6 LTF n'entre pas en considération, le recourant ne soulevant aucun grief relatif à son droit de porter plainte.
7.
Indépendamment des conditions posées par l'<ref-law>, la partie plaignante est habilitée à se plaindre d'une violation de ses droits de partie équivalant à un déni de justice formel, sans toutefois pouvoir faire valoir par ce biais, même indirectement, des moyens qui ne peuvent être séparés du fond (ATF <ref-ruling> consid. 1.1). Elle ne peut ni critiquer l'appréciation des preuves ni faire valoir que la motivation n'est pas correcte d'un point de vue matériel (<ref-ruling> consid. 1.4 et les références citées; arrêt 6B_1425/2019 du 9 juin 2020 consid. 1.3).
7.1. Selon le recourant, le ministère public a commis un déni de justice formel en omettant d'une part de se prononcer sur ses courriers des 16 avril et 8 mai 2020, lesquels ne figuraient pas au dossier, et, d'autre part, en refusant de statuer sur l'infraction de gestion déloyale qui y était alléguée. Il reproche à la cour cantonale d'avoir, à son tour, commis un déni de justice formel en ne traitant pas son grief de déni de justice et violé son droit d'être entendu en ne motivant pas sa décision sur ce point. Il se plaint du fait que la cour cantonale a réparé les vices dénoncés en instance de recours, plutôt que d'annuler l'ordonnance de non-entrée en matière et de renvoyer la cause au ministère public pour nouvelle instruction.
7.2.
7.2.1. Une autorité commet un déni de justice formel et viole l'art. 29 al. 1 Cst. lorsqu'elle n'entre pas en matière dans une cause qui lui est soumise dans les formes et délais prescrits, alors qu'elle devrait s'en saisir (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.3). Elle viole en revanche le droit d'être entendu découlant de l'art. 29 al. 2 Cst. lorsqu'elle ne respecte pas son obligation de motiver ses décisions afin que le justiciable puisse les comprendre et exercer ses droits de recours à bon escient. Pour satisfaire à cette exigence, il suffit que l'autorité mentionne au moins brièvement les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé sa décision. Elle n'a pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à ceux qui, sans arbitraire, peuvent être tenus pour pertinents (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 3.2). La motivation peut d'ailleurs être implicite et résulter des différents considérants de la décision (<ref-ruling> consid. 3.2.1). Une autorité se rend coupable d'une violation du droit d'être entendu si elle omet de se prononcer sur des griefs qui présentent une certaine pertinence ou de prendre en considération des allégués et arguments importants pour la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 3.2.1; <ref-ruling> consid. 5.2).
7.2.2. Selon la jurisprudence, le ministère public peut procéder à certaines vérifications avant de refuser d'entrer en matière. Il peut demander des compléments d'enquête à la police, non seulement lorsqu'il s'agit de compléter un précédent rapport au sens de l'<ref-law>, mais aussi lorsque la dénonciation elle-même apparaît insuffisante (<ref-law>). Il ressort également de l'<ref-law> que le ministère public peut procéder à ses propres constatations. Cela comprend le droit de consulter les fichiers, dossiers et renseignements disponibles. Il en va de même lorsque le ministère public demande à la personne mise en cause une simple prise de position (arrêts 6B_290/2020 du 17 juillet 2020 consid. 2.2; 6B_810/2019 du 22 juillet 2019 consid. 2.1; 6B_239/2019 du 24 avril 2019 consid. 2.1).
Avant l'ouverture d'une instruction, le droit de participer à l'administration des preuves ne s'applique en principe pas (<ref-law> a contrario; cf. <ref-ruling> consid. 3.3.2 i.f.; <ref-ruling> consid. 1.2.2), et ce y compris en cas d'investigations policières diligentées à titre de complément d'enquête requis par le ministère public en vertu de l'<ref-law> (arrêts 6B_1007/2020 du 13 avril 2021 consid. 2.3; 6B_290/2020 précité consid. 2.2 et les références citées). En outre, avant de rendre une ordonnance de non-entrée en matière, le ministère public n'a pas à informer les parties ni n'a l'obligation de leur fixer un délai pour présenter d'éventuelles réquisitions de preuve, l'<ref-law> n'étant pas applicable dans ce cas. Le droit d'être entendu des parties est en effet assuré, le cas échéant, dans le cadre de la procédure de recours contre l'ordonnance de non-entrée en matière (cf. art. 310 al. 2, 322 al. 2 et 393 ss CPP). Cette procédure permet aux parties de faire valoir tous leurs griefs - formels et matériels - auprès d'une autorité disposant d'une pleine cognition en fait et en droit (cf. art. 391 al. 1 et 393 al. 2 CPP; arrêts 6B_1014/2020 du 10 février 2021 consid. 2.1.2; 6B_290/2020 précité consid. 2.2 et les références citées).
7.3. La cour cantonale a constaté que la procédure P/yyyy/2020 ne comportait pas les courriers du recourant des 16 avril et 8 mai 2020, ni la sentence arbitrale du 27 avril 2020 qu'il avait annexée. Elle a admis que le procureur avait omis de statuer sur l'infraction alléguée de gestion déloyale (<ref-law>), à défaut pour la lettre du 8 mai 2020 qui contenait cette allégation, de figurer à la procédure alors qu'elle aurait dû y être insérée au vu de sa teneur. Elle a toutefois considéré avoir pu réparer ce vice, dès lors que le recourant avait produit les documents en question dans le cadre du recours, que le procureur s'était prononcé à cet égard et que le premier a ensuite eu l'occasion d'y répliquer. Examinant les conditions de réalisation de l'infraction à l'<ref-law>, elle a considéré qu'elles n'étaient pas réunies en l'espèce.
7.4. Afin d'examiner les griefs formels du recourant, il convient de déterminer leur portée. Le recourant affirme que le refus de statuer concerne tant l'infraction d'escroquerie que de gestion déloyale, sans toutefois distinguer les comportements imputés à l'intimé qui relèveraient de l'une ou de l'autre infraction. Tout au plus ressort-il de l'arrêt entrepris et des écritures du recourant qu'en taisant l'existence de l'accord du 20 octobre 2010, l'intimé aurait trompé astucieusement l'arbitre D._, d'une part, et lui-même d'autre part (cf. <ref-law>). Par ce même comportement, l'intimé aurait violé son devoir de reddition de compte et se serait rendu coupable de gestion déloyale (<ref-law>). Le recourant déclare que "les deux infractions visées ont l'accord du 20 octobre 2010 comme dénominateur commun, et la même question: le prévenu devait-il rendre compte de cet accord dans la procédure arbitrale, lors notamment de la demande en reddition de compte du mois de février 2018?" (mémoire de recours ch. 1.3.3 p. 12).
Or, le ministère public a rendu son ordonnance de non-entrée en matière en se fondant sur l'accord litigieux du 20 octobre 2010 (preuve déterminante de l'aveu du recourant) et sur les déterminations de l'intimé sur ce point. Dans sa décision, il a estimé que l'accord n'avait pas la portée que lui prêtait le recourant et a considéré qu'aucune infraction pénale n'apparaissait réalisée à cet égard. Cela étant, le ministère public n'a pas commis de déni de justice, au seul motif qu'il n'aurait pas expressément examiné la cause sous l'angle de la qualification juridique de la gestion déloyale, alors même qu'il a constaté que le comportement dénoncé ne relevait d'aucune infraction pénale (cf. supra let. C.b). C'est en vain que le recourant prétend que le ministère public n'a pas répondu à ses courriers des 13 mars, 16 avril et 8 mai 2020 (les deux derniers ne figurant pas au dossier), ne l'a pas informé de la cotation de la procédure, et ne lui a pas donné l'opportunité de se prononcer sur les déterminations et pièces déposées par l'intimé. En effet, conformément à la jurisprudence précitée, le droit de participer à l'administration des preuves (<ref-law>) ne s'applique pas à ce stade et le ministère public n'était pas tenu de l'informer de la suite de la procédure avant de prononcer la non-entrée en matière.
Contrairement à ce que prétend le recourant, la cour cantonale a admis que le ministère public n'avait pas expressément examiné les conditions de réalisation de la gestion déloyale et n'avait pas pris en compte certains documents versés à la procédure. Disposant d'une pleine cognition en fait et en droit, la cour cantonale a examiné les agissements dénoncés, tant sous l'angle de l'escroquerie, que de l'escroquerie au procès et de la gestion déloyale, ce en tenant compte de l'ensemble des documents produits par le recourant. Elle a motivé en détail pour quelle raison elle estimait que les conditions de réalisation de ces infractions n'étaient pas réunies. Aussi, la décision entreprise ne prête pas le flanc à la critique sous l'angle du droit d'être entendu, respectivement du déni de justice.
Pour le surplus, le recourant ne fait valoir aucune garantie constitutionnelle ou conventionnelle.
8.
En conclusion, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Le recourant qui succombe devra supporter les frais judiciaires (<ref-law>). La demande de restitution de délai est devenue sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
La requête de mesures probatoires est rejetée dans la mesure où elle est recevable.
2.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre pénale de recours.
Lausanne, le 11 août 2021
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Denys
La Greffière : Klinke