Sachverhalt:
A.
Mit Ersuchen vom 26. Oktober 2018 (übermittelt mit Note vom 6. November 2018 der serbischen Botschaft) beantragte das Justizministerium der Republik Serbien bei den Schweizer Behörden die Auslieferung von A._ zum Zwecke der Strafvollstreckung. Der Verfolgte, ein in der Schweiz wohnhafter deutscher Staatsangehöriger, war gemäss Urteilen vom 5. Dezember 2016 des Strafgerichts in Petrovac na Mlavi bzw. vom 1. August 2018 des Obergerichtes in Pozarevac wegen eines schweren Verkehrsdeliktes ("Verstoss gegen die Sicherheit des öffentlichen Verkehrs") zu einer Freiheitsstrafe von einem Jahr und zehn Monaten rechtskräftig verurteilt worden.
B.
Gestützt auf den Auslieferungshaftbefehl vom 16. Januar 2019 des Bundesamtes für Justiz (BJ) wurde der Verfolgte am 22. Januar 2019 verhaftet und in Auslieferungshaft versetzt. Anlässlich seiner Einvernahme vom 23. Januar 2019 erklärte er, mit einer Auslieferung an Serbien nicht einverstanden zu sein. Mit Schreiben vom 12. Februar 2019 erkundigte sich der Verfolgte beim BJ, ob ein förmliches Gesuch der serbischen Behörden um Übernahme der Strafvollstreckung durch die Schweiz eingegangen sei. Am 13. Februar 2019 verfügte das BJ die Auslieferung des Verfolgten an Serbien.
C.
Eine vom Verfolgten gegen den Auslieferungsentscheid erhobene Beschwerde wies das Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, mit Entscheid vom 9. April 2019 ab. Die Beschwerdekammer erwog, zwar habe das Obergericht in Pozarevac in seinem Urteil vom 1. August 2018 festgestellt, dass die Voraussetzungen für die Einreichung eines Antrags auf Übernahme der Vollstreckung des Urteils durch die Schweiz erfüllt seien. Es gehe jedoch aus dem serbischen Urteil und den Rechtshilfeakten des BJ nicht hervor, "ob und von welcher Amtsstelle ein solcher Antrag an die Schweiz gerichtet" worden sei. "Jedenfalls" sei "den vorliegenden Akten ein ausdrückliches Ersuchen der serbischen Behörden" um Übernahme der Strafvollstreckung "bis dato nicht zu entnehmen". Das Vorbringen des Verfolgten, ein solches Ersuchen stehe unmittelbar in Aussicht, stelle weder ein Auslieferungshindernis dar, noch einen Grund, um das Auslieferungsverfahren (wie vom Verfolgten beantragt) vorläufig zu sistieren.
D.
Am 10. April 2019 ging das förmliche Gesuch vom 8./25. März 2019 der serbischen Behörden um Übernahme der Strafvollstreckung durch die Schweiz beim BJ ein. Auf Ersuchen des Verfolgten hin stellte ihm das BJ am 18. April 2019 eine Kopie des Übernahmegesuches zu.
E.
Gegen den Entscheid des Bundesstrafgerichtes vom 9. April 2019 gelangte der Verfolgte mit Beschwerde vom 22. April 2019 an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides, die Abweisung des Auslieferungsersuchens sowie seine Entlassung aus der Auslieferungshaft.
Die Vorinstanz hat am 29. April 2019 auf eine Vernehmlassung ausdrücklich verzichtet. Das BJ beantragt mit Stellungnahme vom 1. Mai 2019 die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschwerdeführer replizierte innert (einmalig) erstreckter Frist am 28. Mai 2019 (Posteingang).

Erwägungen:
1.
Zu prüfen ist zunächst, ob die Sachurteilsvoraussetzung des besonders bedeutenden Rechtshilfefalles erfüllt ist.
1.1. Auch gegen Auslieferungsentscheide ist die Beschwerde nur zulässig, wenn ein besonders bedeutender Fall gegeben ist (<ref-law>). Ein solcher liegt insbesondere vor, wenn Gründe für die Annahme bestehen, dass elementare Verfahrensgrundsätze verletzt worden sind oder das Verfahren im Ausland schwere Mängel aufweist (<ref-law>).
Wie sich aus dem Wort "insbesondere" ergibt, enthält <ref-law> eine nicht abschliessende, nur beispielhafte Aufzählung von möglichen besonders bedeutenden Fällen. Darunter fallen nicht nur Beschwerdesachen, die Rechtsfragen von grundsätzlicher Tragweite aufwerfen, sondern überdies auch solche, die aus anderen Gründen besonders bedeutsam sind (<ref-ruling> E. 1.3 S. 254; <ref-ruling> E. 1.2 S. 22; <ref-ruling> E. 1.2 S. 218; vgl. Donatsch/Heimgartner/Meyer/Simonek, Internationale Rechtshilfe, 2. Aufl., Zürich 2015, S. 155-157; Marc Forster, in: Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, Art. 84 N. 29-32d; Seiler/von Werdt/Güngerich/Oberholzer, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl., Bern 2015, Art. 84 N. 14; Spühler/Aemisegger/Dolge/Vock, Praxiskommentar BGG, 2. Aufl., Zürich 2013, Art. 84 N. 9).
1.2. <ref-law> bezweckt die wirksame Begrenzung des Zugangs zum Bundesgericht im Bereich der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen. Bei der Beantwortung der Frage, ob ein besonders bedeutender Fall gegeben ist, steht dem Bundesgericht ein weiter Ermessensspielraum zu (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 160; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.4 S. 128 f.; 131 E. 2-3 S. 131 f.; je mit Hinweisen).
Auch bei Auslieferungsentscheiden kann ein besonders bedeutender Fall nur ausnahmsweise angenommen werden. In der Regel stellen sich namentlich keine wichtigen bzw. erstmals zu beurteilenden Rechtsfragen, die einer Klärung durch das Bundesgericht bedürften (<ref-ruling> E. 1.3 S. 254; <ref-ruling> E. 1.2 S. 22; <ref-ruling> E. 1.3.4 S. 161; vgl. Forster, a.a.O., Art. 84 N. 29-32d; Alain Wurzburger, in: Commentaire de la LTF, 2. Aufl., Bern 2014, Art. 84 N. 8). Im zur amtlichen Publikation bestimmten Urteil 1C_393/2018 vom 14. Dezember 2018 hat das Bundesgericht entschieden, dass auch die drohende Verletzung elementarer Verfahrensgrundsätze im schweizerischen Rechtshilfeverfahren einen besonders bedeutenden Fall (<ref-law>) begründen kann; insofern sind die übereinstimmenden Gesetzestexte in deutscher und italienischer Sprache massgebend (Urteil 1C_393/2018 E. 1.3). Das blosse Vorbringen des Verfolgten, die Behörden hätten sein rechtliches Gehör oder andere elementare Verfahrensgrundsätze verletzt, liesse allerdings auch einen Auslieferungsfall noch nicht als besonders bedeutend erscheinen. Vielmehr müssen dafür ernsthafte Anhaltspunkte objektiv vorliegen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 129; Urteile 1C_48/2019 vom 19. Februar 2019 E. 1.2; 1C_146/2018 vom 26. April 2018 E. 1.2; vgl. Forster, a.a.O., Art. 84 N. 31).
1.3. Der Beschwerdeführer macht geltend, es liege ein besonders bedeutender Auslieferungsfall im Sinne von <ref-law> vor, da sich Rechtsfragen von grundsätzlicher Tragweite stellten. Er reicht (als zulässiges Novum, vgl. <ref-law>) ein Gesuch der serbischen Behörden vom 8./25. März 2019 um Übernahme der Strafvollstreckung durch die Schweiz ein. Dieses habe er vom Bundesamt für Justiz am 18. April 2019 erhalten. Ausserdem macht er geltend, dass er mit seiner Ehefrau und drei Kindern (im Alter von 8, 4 und 2 Jahren) in Bülach wohne und arbeite. Der dem Rechtshilferecht zugrunde liegende Resozialisierungsgedanke gebiete es im vorliegenden Fall, dass die Strafe, wie von Serbien ausdrücklich beantragt, in der Schweiz vollstreckt werde. Darüber hinaus wäre es seiner Familie auch nicht zumutbar, ihn in Serbien regelmässig im Gefängnis zu besuchen. Er rügt insbesondere eine Verletzung von Art. 8 EMRK und <ref-law>.
Wie sich aus den nachfolgenden Erwägungen ergibt, stellen sich im vorliegenden Fall Rechtsfragen von grundsätzlicher Tragweite zum Gesuch um Übernahme der Strafvollstreckung durch die Schweiz, zum Grundsatz der Resozialisierung und zum grundrechtlichen Anspruch des Beschwerdeführers auf Familienleben. Ausserdem bestehen Anhaltspunkte für eine Verletzung von elementaren Verfahrensrechten durch die Vorinstanzen. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Die Beurteilung von Auslieferungsersuchen der Republik Serbien an die Schweiz richtet sich primär nach dem Europäischen Auslieferungsübereinkommen vom 13. Dezember 1957 (EAUe, SR 0.353.1) und den vier Zusatzprotokollen zum EAUe vom 15. Oktober 1975, 17. März 1978, 10. November 2010 bzw. 20. September 2012 (SR 0.353.11-14), denen beide Staaten beigetreten sind. Soweit die genannten multilateralen Staatsverträge bestimmte Fragen nicht abschliessend regeln, ist das schweizerische Landesrecht anwendbar, namentlich das Bundesgesetz über internationale Rechtshilfe in Strafsachen vom 20. März 1981 (IRSG, SR 351.1) und die dazugehörende Verordnung vom 24. Februar 1982 (IRSV, SR 351.11; vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 339 mit Hinweisen).
2.2. Neben den auslieferungsrechtlichen Bestimmungen des EAUe (und seiner vier Zusatzprotokolle) sind für Serbien und die Schweiz auch noch das Europäische Übereinkommen vom 21. März 1983 über die Überstellung verurteilter Personen (SR 0.343) und das Zusatzprotokoll vom 18. Dezember 1997 (SR 0.343.1) zu diesem Übereinkommen in Kraft (s.a. <ref-law>). Artikel 2 dieses Zusatzprotokolls bestimmt Folgendes:
Versucht ein Staatsangehöriger einer Vertragspartei, gegen den im Hoheitsgebiet einer anderen Vertragspartei als Bestandteil eines rechtskräftigen Urteils eine Sanktion verhängt wurde, sich der Vollstreckung oder weiteren Vollstreckung der Sanktion im Urteilsstaat zu entziehen, indem er in das Hoheitsgebiet der ersteren Vertragspartei flieht, bevor er die Sanktion verbüsst hat, so kann der Urteilsstaat die andere Vertragspartei ersuchen, die Vollstreckung der Sanktion zu übernehmen (Ziff. 1). Auf Ersuchen des Urteilsstaats kann der Vollstreckungsstaat vor Eingang der Unterlagen zum Ersuchen oder vor der Entscheidung über das Ersuchen die verurteilte Person festnehmen oder auf andere Weise sicherstellen, dass sie in seinem Hoheitsgebiet bleibt, bis eine Entscheidung über das Ersuchen ergangen ist (Ziff. 2 Satz 1). Die Zustimmung der verurteilten Person ist für die Übertragung der Vollstreckung der Sanktion nicht erforderlich (Ziff. 3).
2.3. Gemäss Artikel 37 IRSG kann die Auslieferung abgelehnt werden, wenn die Schweiz die Verfolgung der Tat oder die Vollstreckung des ausländischen Strafentscheides übernehmen kann und dies im Hinblick auf die soziale Wiedereingliederung des Verfolgten angezeigt erscheint (Abs. 1). Auch wird die Auslieferung abgelehnt, wenn dem Ersuchen ein Abwesenheitsurteil zugrunde liegt und im vorausgegangenen Verfahren nicht die Mindestrechte der Verteidigung gewahrt worden sind, die anerkanntermassen jedem einer strafbaren Handlung Beschuldigten zustehen; ausgenommen sind Fälle, in denen der ersuchende Staat eine als ausreichend erachtete Zusicherung gibt, dem Verfolgten das Recht auf ein neues Gerichtsverfahren zu gewährleisten, in dem die Rechte der Verteidigung gewahrt werden (Abs. 2).
2.4. Die Vollstreckung von ausländischen Strafurteilen (Übernahme der Strafvollstreckung durch die Schweiz) ist in den Artikeln 94-99 und 103-108 IRSG geregelt:
Rechtskräftige und vollstreckbare Strafentscheide eines andern Staates können gemäss Artikel 94 Absatz 1 IRSG auf dessen Ersuchen hin vollstreckt werden, wenn der Verurteilte in der Schweiz seinen gewöhnlichen Aufenthalt hat oder sich hier wegen einer schweren Tat verantworten muss (lit. a), Gegenstand der Verurteilung eine im Ausland verübte Handlung ist, die, wenn entsprechend in der Schweiz begangen, hier strafbar wäre (lit. b), und die Vollstreckung in der Schweiz insbesondere aus einem der Gründe nach Artikel 85 Absätze 1 und 2 IRSG angezeigt oder wenn sie im ersuchenden Staat ausgeschlossen erscheint (lit. c). Die Strafvollstreckung gegenüber einem Ausländer, der seinen gewöhnlichen Aufenthalt in der Schweiz hat, kann insbesondere dann übernommen werden, wenn seine Auslieferung sich nicht rechtfertigen lässt und die Übernahme der Verfolgung im Hinblick auf seine persönlichen Verhältnisse und seine soziale Wiedereingliederung angezeigt erscheint (Art. 85 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>). Im Ausland verhängte Sanktionen werden vollzogen, soweit sie das Höchstmass der im schweizerischen Recht für eine entsprechende Tat vorgesehenen Strafe nicht übersteigen. Sanktionen, die unter dem schweizerischen Strafrahmen bleiben, dürfen vollzogen werden (<ref-law>).
Das Bundesamt für Justiz (BJ) entscheidet nach Rücksprache mit der Vollzugsbehörde über die Annahme des Ersuchens um Übernahme der Strafvollstreckung. Nimmt es dieses an, so übermittelt es die Akten und seinen Antrag der Vollzugsbehörde und verständigt den ersuchenden Staat (Art. 104 Abs. 1 Sätze 1-2 i.V.m. <ref-law>). Anschliessend leitet das BJ das richterliche Exequaturverfahren ein (Art. 105 f. IRSG; vgl. <ref-ruling> E. 1.2-1.4 S. 46-48). Das BJ kann die Übernahme der Strafvollstreckung ablehnen, wenn wichtige Gründe ihr entgegenstehen oder die Bedeutung der Tat sie nicht rechtfertigt (Art. 91 Abs. 4 i.V.m. <ref-law>).
Die stellvertretende Strafverfolgung (Übernahme des ausländischen Strafverfahrens) durch die Schweiz ist in den Artikeln 85-87 und 90-93 IRSG geregelt.
2.5. Artikel 13 Absatz 1 BV gewährleistet jeder Person einen grundrechtlichen Anspruch auf Achtung ihres Privat- und Familienlebens. Auch Artikel 8 EMRK schützt einen solchen menschenrechtlichen Anspruch (Ziff. 1). Eine Behörde darf in die Ausübung dieses Rechts nur eingreifen, soweit der Eingriff gesetzlich vorgesehen und in einer demokratischen Gesellschaft notwendig ist für die nationale oder öffentliche Sicherheit, für das wirtschaftliche Wohl des Landes, zur Aufrechterhaltung der Ordnung, zur Verhütung von Straftaten, zum Schutz der Gesundheit oder der Moral oder zum Schutz der Rechte und Freiheiten anderer (Ziff. 2).
2.6. Gemäss der Praxis des Bundesgerichtes verschafft Artikel 8 EMRK dem Verfolgten zwar keinen Anspruch auf "Aburteilung" in einem Staat, der die besseren Resozialisierungsmöglichkeiten bietet; Artikel 37 Absatz 1 IRSG finde insofern auf Auslieferungen nach dem EAUe grundsätzlich "keine Anwendung" (<ref-ruling> E. 3.1 S. 102, E. 3.3.-3.5 S. 104 f.; <ref-ruling> E. 3 S. 486-488). Die Nichtanwendung von Artikel 37 IRSG setzt allerdings auch nach dieser Rechtsprechung voraus, dass der zunächst um Auslieferung ersuchende Staat kein - nachträgliches bzw. konkurrierendes - Gesuch um Übernahme der Strafverfolgung bzw. Strafvollstreckung durch die Schweiz gestellt hat (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 102; Urteil 1A.225/2003 vom 25. November 2003 E. 4).
2.7. Macht ein von einem Auslieferungsersuchen Betroffener geltend, der drohende Strafvollzug im ersuchenden Staat verletze seinen grundrechtlichen Anspruch auf Gefängnisbesuche durch seine engsten Familienangehörigen, so hat der Rechtshilferichter nach der einschlägigen Praxis des Bundesgerichtes eine sorgfältige Rechtsgüterabwägung vorzunehmen:
Dabei ist einerseits der persönlichen Situation und Interessenlage des Verfolgten und seiner Angehörigen im konkreten Einzelfall Rechnung zu tragen, und anderseits dem völkerrechtlichen Anspruch des ersuchenden Staates auf Auslieferung bzw. internationale Rechtshilfe beim Vollzug seiner rechtskräftigen Strafurteile (<ref-ruling> E. 2d S. 284; <ref-ruling> E. 3d S. 128; <ref-ruling> E. 3b/cc S. 215 f.; Urteil 1A.225/2003 vom 25. November 2003 E. 4). Der Rechtshilferichter hat dabei insbesondere der Schwere des Tatvorwurfes Rechnung zu tragen, welcher Grundlage des Auslieferungsersuchens bildet (BGE <ref-ruling> E. 3d S. 128; Urteil 1A.225/2003 E. 4). Zu berücksichtigen ist auch, ob der Verfolgte in sein Heimatland oder in ein ersuchendes Drittland ausgeliefert werden soll, und wie weit entfernt sich das Untersuchungs- bzw. Vollzugsgefängnis vom Aufenthaltsort der engsten Familienangehörigen des Verfolgten befindet (vgl. Urteile 1A.265/2003 vom 29. Januar 2004 E. 3.2; 1A.225/2003 E. 4).
Falls der ursprünglich um Auslieferung ersuchende Staat ein nachträgliches Gesuch um Übernahme der Strafvollstreckung durch die Schweiz gestellt hat, ist den Gesichtspunkten von Artikel 37 Absatz 1 IRSG bzw. Artikel 2 des (für die Schweiz seit dem 1. Oktober 2004 anwendbaren) Zusatzprotokolls zum Europäischen Überstellungsübereinkommen (SR 0.343.1) ausreichend Rechnung zu tragen (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 102; Urteil 1A.225/2003 vom 25. November 2003 E. 4). In Ausnahmefällen kann der grundrechtliche Schutz des Familienlebens sogar ohne förmliches Gesuch um Strafübernahme die Abweisung des Auslieferungsersuchens und die stellvertretende Strafvollstreckung in der Schweiz gebieten (vgl. BGE <ref-ruling>, nicht amtl. publizierte E. 3e und E. 4). Liegt ein Gesuch um Übernahme der Strafvollstreckung vor, ist nach den Artikeln 94-99 und 103 f. IRSG vorzugehen (<ref-ruling> E. 1.2-1.4 S. 46-48).
2.8. Der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte (EGMR) hat mehrfach entschieden, dass die faktische Verunmöglichung von Gefangenenbesuchen naher Familienangehöriger zu einer Verletzung von Artikel 8 EMRK führen kann (vgl. Urteile des EGMR vom 9. Dezember 2013 i.S. Varnas gegen Litauen, Nr. 42615/06, Ziff. 107 ff.; vom 29. August 2012 i.S. Epners-Gefners gegen Lettland, Nr. 37862/02; vom 4. Dezember 2007 i.S. Dickson gegen Grossbritannien, Nr. 44362/04, Ziff. 74 = NJW 2009 S. 971; vom 29. April 2003 i.S. Aliev gegen Ukraine, Nr. 41220/98, Ziff. 188; und vom 28. September 2000 i.S. Messina gegen Italien, Recueil CourEDH 2000-X, S. 29, Ziff. 61; zu dieser Praxis s.a. Jochen A. Frowein, in: Frowein/Peukert, EMRK-Kommentar, 3. Aufl., Kehl u.a. 2009, Art. 8 N. 41; Juliane Pätzold, in: Karpenstein/Mayer, EMRK-Kommentar, 2. Aufl., München 2015, Art. 8 N. 11, 55; Wildhaber/Breitenmoser, in: Pabel/Schmahl, Internationaler Kommentar EMRK, Köln 1992-2019, Art. 8 N. 72, 138, 317, 320 f., 409-427). Geprüft werden nach der Praxis des EGMR die jeweiligen konkreten Verhältnisse des Einzelfalles (vgl. Wildhaber/Breitenmoser, a.a.O., Rz. 412, 416 ff.).
Auch das Bundesgericht betont in seiner Rechtsprechung (zu <ref-law> und Art. 8 EMRK) die hohe Bedeutung des grundrechtlichen Anspruches von Gefangenen auf ausreichende Kontakte mit ihren engsten Angehörigen (vgl. <ref-ruling> E. 3-4 S. 244 ff.; 437 E. 4 S. 446-448; je mit Hinweisen). Der betreffende grundrechtliche Schutz gilt grundsätzlich auch für auslieferungsrechtlich Verfolgte und im Rahmen der Anwendbarkeit des EAUe (<ref-ruling> E. 3.5 S. 105; <ref-ruling> E. 2d S. 284; je mit Hinweisen; vgl. Robert Zimmermann, La coopération judiciaire internationale en matière pénale, 5. Aufl., Bern 2019, Rz. 219). So hat das Bundesgericht in einem Fall eines deutschen Ersuchens die Auslieferung zur Vollstreckung einer Reststrafe von 473 Tagen wegen Hehlerei verweigert. Der Verfolgte war Vater von zwei in der Schweiz lebenden minderjährigen Kindern; seine Lebensgefährtin war mit einem dritten Kind schwanger und gesundheitlich stark angeschlagen. Anstelle einer Auslieferung verfügte das Bundesgericht dort - ausnahmsweise sogar ohne förmliches deutsches Gesuch um Strafübernahme - die stellvertretende Strafvollstreckung in der Schweiz (vgl. BGE <ref-ruling>, nicht amtl. publizierte E. 3e und E. 4; s.a. <ref-ruling> E. 3.5 S. 105; Stefan Heimgartner, Auslieferungsrecht, Diss. ZH 2002, S. 161).
2.9. Der in Artikel 29 Absatz 2 BV grundrechtlich verankerte Anspruch auf rechtliches Gehör wird im schweizerischen Auslieferungsverfahren durch die Artikel 52 und 55 Absatz 1 IRSG sowie Artikel 26 ff. VwVG (i.V.m. <ref-law>) konkretisiert (s.a. Art. 80b und Art. 105 Abs. 1 IRSG; zur amtlichen Publikation bestimmtes Bundesgerichtsurteil 1C_393/2018 vom 14. Dezember 2018, E. 3.1 mit Hinweis; vgl. Dangubic/Keshelava, in: Basler Kommentar Internationales Strafrecht, 2015, <ref-law> N. 4; Knodel/Glenck, ebenda, <ref-law> N. 1, 3 und 5 f.; Zimmermann, a.a.O., Rz. 472, 487). Die mit der Rechtshilfesache befasste Behörde hört die Parteien an, bevor sie entscheidet (<ref-law>). Die Behörde würdigt, bevor sie verfügt, alle erheblichen und rechtzeitigen Vorbringen der Parteien (<ref-law>). Auslieferungs- und diesbezügliche Beschwerdeentscheide sind schriftlich zu eröffnen (<ref-law> i.V.m. Art. 12 Abs. 1 und Art. 55 Abs. 1 und Abs. 3 IRSG; s.a. Art. 104 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 1 IRSG). Die Entscheide sind zu begründen und mit einer Rechtsmittelbelehrung zu versehen (<ref-law> und <ref-law> i.V.m. Art. 12 Abs. 1 und Art. 27 Abs. 5 IRSG; vgl. Dangubic/Keshelava, a.a.O., <ref-law> N. 4; Stefan Heimgartner, in: Basler Kommentar Internationales Strafrecht, 2015, <ref-law> N. 11; Zimmermann, a.a.O., Rz. 486 f.). Auf eine schriftliche Begründung kann die verfügende Behörde nur verzichten, wenn sie den Begehren der Parteien voll entspricht und keine Partei eine Begründung verlangt (<ref-law>).
2.10. Bei Rechtshilfeentscheiden, die besonders stark in die Rechtsstellung der Betroffenen eingreifen, ist grundsätzlich ein vertiefte Auseinandersetzung mit den Parteivorbringen erforderlich (zur amtl. Publ. bestimmtes Urteil 1C_393/2018 vom 14. Dezember 2018, E. 3.1 mit Hinweisen). Auslieferungen, besonders an einen Staat, bei dem es sich nicht um das Heimatland des Verfolgten handelt, bewirken in der Regel einen schweren Eingriff in dessen Grundrechte (vgl. zur betreffenden Praxis des Bundesgerichtes und des EGMR oben, E. 2.7-2.8).
Der Anspruch auf rechtliches Gehör verlangt schon von Verfassungs wegen (<ref-law>), dass die Rechtshilfebehörde die Vorbringen der Parteien auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt; daraus folgt insbesondere die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid ausreichend und nachvollziehbar zu begründen (zur amtl. Publ. bestimmtes Urteil 1C_393/2018, E. 3.1 mit Hinweisen; vgl. Zimmermann, a.a.O., Rz. 486 f.). Darüber hinaus muss der relevante Sachverhalt von der verantwortlichen Rechtshilfebehörde in der Weise ausreichend abgeklärt werden, dass der zuständige Richter prüfen kann, ob die Auslieferungsvoraussetzungen bzw. die Voraussetzungen einer (damit konkurrierenden) Übernahme der Strafvollstreckung erfüllt sind (vgl. Art. 52-55 und Art. 94-99 i.V.m. Art. 103 f. IRSG; s.a. Heimgartner, BSK IStrR, <ref-law> N. 10-12).
3.
3.1. In Anbetracht der Tragweite des streitigen Auslieferungsentscheides für den Beschwerdeführer erscheint der angefochtene Entscheid auffallend knapp begründet. Die materiellen Erwägungen zur Übernahme der Strafvollstreckung durch die Schweiz und zum grundrechtlichen Anspruch des Verfolgten auf Familienleben umfassen anderthalb Seiten (angefochtener Entscheid, E. 4 S. 4 f.). Inhaltlich vermögen sie wenig zu überzeugen. Materiell setzt sich der angefochtene Entscheid nur kursorisch mit der Frage auseinander, inwiefern die einschlägigen Rechtsprechungen des Bundesgerichtes und des EGMR (insbesondere zum grundrechtlichen Anspruch auf Familienleben) in Fällen wie dem vorliegenden eine Auslieferung in ein Drittland als zulässig erscheinen liessen. Auch in prozessualer Hinsicht widerspricht das Vorgehen der Vorinstanzen den oben dargelegten Verfahrensnormen des Rechtshilferechts. Im angefochtenen Entscheid wird einerseits ausdrücklich festgestellt, dass das serbische Obergericht in seinem Urteil vom 1. August 2018 "die Voraussetzungen für die Einreichung eines Antrags auf Vollstreckung" des Urteils "in der Schweiz als erfüllt erachtet" habe (angefochtener Entscheid, E. 4.2 S. 4 f.). Anderseits hielt es die Beschwerdekammer weder für nötig, beim Bundesamt für Justiz (BJ) eine Stellungnahme zum erwarteten serbischen Gesuch um Übernahme der Strafvollstreckung einzuholen, noch selber geeignete Abklärungen zu treffen.
Ein entsprechendes Vorgehen hätte sich im vorliegenden heiklen Auslieferungsfall umso mehr aufgedrängt, als der Beschwerdeführer sich mit Schreiben vom 12. Februar 2019 - am Vortag des Auslieferungsentscheides des BJ - noch ausdrücklich beim BJ erkundigt hatte, ob das in Aussicht gestellte förmliche Ersuchen der serbischen Behörden um Übernahme der Strafvollstreckung durch die Schweiz bereits eingegangen sei, und das Übernahmegesuch vom 8./25. März 2019 am 10. April 2019 - einen Tag nach dem Entscheid der Beschwerdekammer - beim BJ eintraf.
Mit Schreiben vom 12. April 2019 ersuchte das BJ das serbische Justizministerium um ergänzende Informationen betreffend das Übernahmegesuch. Das BJ bat insbesondere "um Mitteilung, ob die serbischen Behörden weiterhin am Auslieferungsersuchen (...) festhalten oder beabsichtigen, dieses zurückzuziehen, bzw. der Auffassung sind, dass dieses damit gegenstandslos geworden ist". Auf entsprechenden Antrag des Beschwerdeführers hin stellte ihm das BJ die betreffenden Akten am 18. April 2019 zu.
3.2. Der angefochtene Entscheid hält vor dem Bundesrecht nicht stand. Es drängen sich tatsächliche und rechtliche Abklärungen zur Frage auf, ob dem Auslieferungsersuchen angesichts des - unmissverständlich formulierten - förmlichen Gesuches der serbischen Behörden um Übernahme der Strafvollstreckung durch die Schweiz überhaupt noch Folge zu leisten ist. Das BJ hat unterdessen entsprechende Abklärungen eingeleitet und wird in der vorliegenden Konstellation neu über das Auslieferungsersuchen bzw. das konkurrierende Gesuch um Übernahme der Strafvollstreckung zu entscheiden haben (Art. 37 Abs. 1, Art. 55 Abs. 1, Art. 94-99 und Art. 103 f. IRSG; vgl. <ref-ruling> E. 1.2-1.4 S. 46-48). Dabei wird es insbesondere den Vorbringen Rechnung zu tragen haben, dass der Beschwerdeführer deutscher Staatsangehöriger ist und mit seiner Ehefrau und drei Kindern in der Schweiz wohne und arbeite. Angesichts des Beschleunigungsgebotes in Auslieferungshaftsachen (vgl. Art. 17a Abs. 1 und Art. 47-51 IRSG) drängt sich dabei ein zügiges Vorgehen des BJ auf.
Insofern ist Beschwerde teilweise gutzuheissen und die Sache zur Neubeurteilung (im Sinne der obigen Erwägungen) an das BJ zurückzuweisen.
3.3. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen. Die Rüge, die Schweizer Justizbehörden seien gar nicht zuständig, über das serbische Auslieferungsersuchen (und das Übernahmegesuch) zu entscheiden, weil der Beschwerdeführer deutscher Staatsangehöriger sei, erweist sich als offensichtlich unbegründet. Weder dem EAUe noch dem IRSG liesse sich entnehmen, dass ersuchte Vertragsstaaten auf ihrem Hoheitsgebiet nicht befugt wären, verfolgte Staatsangehörige von Drittstaaten an den ersuchenden Staat auszuliefern (vgl. Art. 1 EAUe, <ref-law>). Abzuweisen ist auch das (akzessorische) Haftentlassungsgesuch. Die gesetzlichen Auslieferungshaftgründe (vgl. Art. 47 Abs. 1-2 und Art. 50 Abs. 3-4 IRSG; s.a. Art. 2 Ziff. 2 des Zusatzprotokolls zum Europäischen Überstellungsübereinkommen) erscheinen derzeit erfüllt und werden in der Beschwerdeschrift auch nicht substanziiert bestritten.
4.
Die Beschwerde ist teilweise gutzuheissen, der angefochtene Entscheid der Beschwerdekammer und der Auslieferungsentscheid vom 13. Februar 2019 des BJ sind aufzuheben, und die Rechtshilfesache ist zur Neubeurteilung im Sinne der obigen Erwägungen an das BJ zurückzuweisen.
Es sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Dem anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer ist ausserdem eine (reduzierte) Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>). Diese deckt, soweit der Beschwerdeführer mit seinen Rechtsbegehren unterliegt, auch die (subsidiär beantragte) unentgeltliche Rechtsverbeiständung und das Verfahren vor der Vorinstanz (<ref-law>) angemessen ab.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, der Entscheid vom 9. April 2019 des Bundesstrafgerichtes, Beschwerdekammer, und der Auslieferungsentscheid vom 13. Februar 2019 des Bundesamtes für Justiz werden aufgehoben, und die Sache wird zur Neubeurteilung an das Bundesamt für Justiz zurückgewiesen.
2.
Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Die Schweizerische Eidgenossenschaft (Kasse des Bundesamtes für Justiz) hat dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.-- (pauschal inkl. MWST) zu entrichten.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Juni 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Forster