Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.
Das Bundesgericht trat am 12. Mai 2020 auf eine Beschwerde der Ehefrau des Gesuchstellers mangels hinreichender Begründung nicht ein. Soweit der Gesuchsteller im eigenen Namen Beschwerde erhoben hatte, trat das Bundesgericht mangels Beschwerdelegitimation nicht ein (Urteil 6B_340/2020).
Der Gesuchsteller ersucht am 16. Mai 2020 um Revision des bundesgerichtlichen Urteils vom 12. Mai 2020 verbunden mit einer "Dienstaufsichtsbeschwerde" gegen den Präsidenten der Strafrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts.
2.
Die Revisionsgründe sind in den Art. 121, 122 und 123 BGG abschliessend aufgezählt. Soweit sich der Gesuchsteller sinngemäss auf den Revisionsgrund gemäss <ref-law> beruft, ist festzuhalten, dass im Verfahren 6B_340/2020 kein Ausstandsbegehren gestellt wurde. Der Gesuchsteller zeigt in seiner Eingabe zudem nicht auf, inwiefern ein Ausstandsgrund gegen den Präsidenten der Strafrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vorliegen sollte, zumal die Mitwirkung in früheren Verfahren des Bundesgerichts für sich allein keinen Ausstandsgrund bildet (<ref-law>). Das nicht nachvollziehbare Ausstandsbegehren erweist sich als unzulässig, weshalb darauf ohne Ausstandsverfahren nach <ref-law> unter Mitwirkung der abgelehnten Gerichtsperson nicht einzutreten wäre. Inwiefern das bundesgerichtliche Urteil 6B_340/2020 vom 12. Mai 2020 am sinngemäss geltend gemachten Revisionsgrund von <ref-law> oder an einem anderen Revisionsgrund leiden sollte, ergibt sich aus den Ausführungen des Gesuchstellers nicht. Kritik an der rechtlichen Behandlung der damaligen Beschwerde ist im Revisionsverfahren im Übrigen nicht zulässig. Auf das Revisionsgesuch ist damit nicht einzutreten. Die mit dem Gesuch um Revision verbundene "Dienstaufsichtsbeschwerde" gegen den am Urteil 6B_340/2020 mitwirkenden Präsidenten der Strafrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts ändert daran nichts. Das BGG sieht ein solches Rechtsmittel nicht vor (so schon Urteile 6F_4/2016 vom 16. August 2016, 4F_1/2016 vom 29. März 2016 und 8F_4/2016 vom 11. März 2016).
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Gesuchsteller die Gerichtskosten (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen. Der finanziellen Lage des Gesuchstellers ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).
4.
Das Bundesgericht behält sich vor, weitere offensichtlich unzulässige Revisionsgesuche in dieser Sache ohne förmliche Behandlung abzulegen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Juli 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill