Faits :
A.
A._, né en 2000, ressortissant suisse domicilié dans le canton de Genève, souffre de troubles complexes et sévères des apprentissages. Depuis la rentrée scolaire 2009, il a bénéficié d'un enseignement spécialisé dont les coûts, ainsi que ceux relatifs au transport, ont été assumés par le canton de Genève.
Le 25 juillet 2015, la mère de A._ s'est établie avec son fils en France voisine auprès de son conjoint français (qui n'est pas le père de A._) qu'elle a épousé le même jour. Celui-ci exerce une activité lucrative à Genève, contrairement à la mère de A._. Ce déménagement n'a pas été annoncé au Département de l'instruction publique, de la formation et de la jeunesse de la République et canton de Genève (ci-après: le Département de l'instruction publique).
En été 2016, lors du contrôle du dossier de l'adolescent qui avait terminé sa scolarité obligatoire, ledit département a constaté le départ de celui-ci pour la France. Après un échange de courriers avec la mère de l'intéressé, cette autorité a mis fin, par décisions du 21 février 2017, à la prise en charge de l'écolage externe, ainsi qu'à celle des frais de transport avec effet au 30 juin 2015 pour le motif que l'enfant n'était plus domicilié dans le canton de Genève. A._ n'a plus eu accès au centre de formation genevois depuis la rentrée 2016.
La mère de A._ étant revenue s'établir à Genève avec son fils en date du 28 février 2017, le Département de l'instruction publique a, depuis cette date, à nouveau assumé les coûts liés à la scolarité spécialisée et aux frais de transport.
B.
Par arrêt du 7 août 2018, la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) a rejeté le recours de A._ représenté par sa mère. Elle a en substance retenu qu'entre le 25 juillet 2015 et le 27 février 2017, celui-ci ne remplissait plus la condition légale du domicile posée par la disposition topique cantonale pour l'octroi de mesures spécialisées. Le critère du domicile ne violait pas le principe d'interdiction de discrimination de l'Accord du 21 juin 1999 entre la Confédération suisse, d'une part, et la Communauté européenne et ses Etats membres, d'autre part, sur la libre circulation des personnes (ci-après: ALCP ou l'Accord sur la libre circulation; RS 0.142.112.681).
C.
Par la voie du recours en matière de droit public, A._, agissant par sa mère, demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, outre de lui accorder l'assistance judiciaire, de constater que le fait de soumettre l'accès à des mesures de réadaptation à la condition du lieu de résidence pour les membres de la famille de travailleurs frontaliers constitue une discrimination indirecte en raison de la nationalité au sens de l'<ref-law>, d'annuler les décisions du Département de l'instruction publique du 21 février 2017 et d'ordonner à cette autorité de lui reconnaître le droit à la prestation d'écolage externe et des transports pour l'année 2015-2016; subsidiairement, d'ordonner audit département de suspendre sa prise de décision jusqu'à droit jugé sur le recours contre la décision de l'Office de l'assurance-invalidité pour les assurés à l'étranger du 24 janvier 2017 actuellement pendant devant le Tribunal administratif fédéral.
Le Département de l'instruction publique conclut au rejet du recours. La Cour de justice persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours en matière de droit public, déposé en temps utile (<ref-law>) et en la forme prévue (<ref-law>) à l'encontre d'un arrêt final (<ref-law>) rendu, dans une cause de droit public (<ref-law>), par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF) par l'intéressé, mineur représenté par sa mère (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.1.2 p. 57), qui a la qualité pour recourir (<ref-law>), est recevable.
1.2. Toutefois, la conclusion tendant à l'annulation des décisions du 21 février 2017 du Département de l'instruction publique est irrecevable. En effet, en raison de l'effet dévolutif complet du recours auprès de la Cour de justice (art. 67 et 69 de la loi genevoise du 12 septembre 1985 sur la procédure administrative [LPA; RS/GE E 5 10]), l'arrêt de cette autorité se substitue aux prononcés antérieurs (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 543).
Il en va de même de la conclusion en constatation dans laquelle le recourant demande au tribunal de céans de constater que le fait de soumettre l'accès à des mesures de réadaptation à la condition du lieu de résidence pour les membres de la famille de travailleurs frontaliers constitue une discrimination indirecte en raison de la nationalité: une décision formatrice pouvant être rendue, il n'existe pas d'intérêt digne de protection à la constatation requise qui a un caractère subsidiaire (<ref-ruling> consid. 1.7 p. 123, 126 II 300 consid. 2c p. 303).
2.
Le litige concerne la prise en charge de l'enseignement spécialisé, ainsi que celle des frais de transport, dont le recourant a bénéficié pour l'année scolaire 2015-2016, sachant que le 25 juillet 2015 celui-ci est parti s'établir en France avec sa mère.
3.
Le recourant ne se plaint pas d'une violation de la loi genevoise du 17 septembre 2015 sur l'instruction publique (ci-après: LIP ou loi sur l'instruction publique; RS/GE C 1 10), en vigueur depuis le 1er janvier 2016, ou de l'ancienne loi genevoise du 14 novembre 2008 sur l'intégration des enfants et des jeunes à besoins éducatifs particuliers ou handicapés (aLIJBEP), en vigueur jusqu'au 31 décembre 2015 (art. 148 LIP). Il considère en revanche que celle-ci viole les <ref-law> et 9 par. 2 Annexe I ALCP, en tant qu'elle pose comme condition pour avoir droit aux mesures de pédagogie spécialisée dispensées dans le canton de Genève d'y être domicilié (cf. art. 30 LIP).
3.1. L'intéressé, de nationalité suisse, ayant résidé en France avec sa mère auprès de son beau-père, un ressortissant français travaillant en Suisse, entre dans le champ d'application personnel de l'Accord sur la libre circulation (<ref-ruling> consid. 11 p. 247), étant précisé que l'art. 3 par. 2 let. a Annexe I ALCP ("Sont considérés comme membres de la famille, quelle que soit leur nationalité [le] conjoint [du travailleur salarié] et leurs descendants de moins de 21 ans ou à charge") doit être compris comme englobant les beaux-enfants (<ref-ruling> consid. 3 et 4 p. 70).
3.2. Selon l'<ref-law>, les ressortissants d'une partie contractante qui séjournent légalement sur le territoire d'une autre partie contractante ne sont pas, dans l'application et conformément aux dispositions des annexes I, II et III de cet accord, discriminés en raison de leur nationalité. Cette règle prohibe non seulement les discriminations ostensibles fondées sur la nationalité (discriminations directes), mais encore toutes formes dissimulées de discrimination qui, par application d'autres critères de distinction, aboutissent en fait au même résultat (discriminations indirectes). A moins qu'elle ne soit objectivement justifiée et proportionnée à l'objectif poursuivi, une disposition de droit national doit être considérée comme indirectement discriminatoire dès lors qu'elle est susceptible, par sa nature même, d'affecter davantage les ressortissants d'autres Etats parties que les ressortissants nationaux et qu'elle risque, par conséquent, de défavoriser plus particulièrement les premiers. Il en est ainsi d'une condition qui peut être plus facilement remplie par les travailleurs nationaux que par les travailleurs migrants (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p.; arrêt du Tribunal fédéral 9C_807/2014 du 9 septembre 2015 consid. 3.3).
L'<ref-law> formule ce même principe en faveur des travailleurs salariés. Elle prévoit que le travailleur salarié et les membres de sa famille visés à l'art. 3 de cette annexe bénéficient sur le territoire d'une autre partie contractante des mêmes avantages fiscaux et sociaux que les travailleurs salariés nationaux et les membres de leur famille.
Le principe de non-discrimination de l'<ref-law> correspondant à l'art. 12 Traité sur le fonctionnement de l'Union européenne (depuis le 1er décembre 2009: art. 18 dudit traité) et celui de l'<ref-law> à l'art. 7 du Règlement (CEE) n° 1612/68 du Conseil, du 15 octobre 1968, relatif à la libre circulation des travailleurs à l'intérieur de la Communauté ([JO L 257 du 19 octobre 1968] remplacé par le règlement (UE) n ° 492/2011 du Parlement européen et du Conseil du 5 avril 2011), il convient de tenir compte de la jurisprudence pertinente de la Cour de justice des communautés européennes antérieure au 21 juin 1999 (<ref-law>), sous réserve des cautèles prévues par l'<ref-law>.
3.3. En ce qui concerne le droit national, la loi sur l'instruction publique dispose que de la naissance à l'âge de 20 ans révolus, les enfants et les jeunes qui ont leur domicile dans le canton ont droit à des prestations de pédagogie spécialisée s'il est établi qu'ils sont entravés dans leurs possibilités de développement et de formation au point qu'ils ne pourront pas ou ne peuvent plus suivre l'enseignement régulier sans soutien spécifique, ou lorsqu'un autre besoin éducatif particulier a été constaté (art. 30 LIP). La condition du domicile était également présente à l'art. 3 aLIJBEP.
Le principe de gratuité prévaut dans le domaine de la pédagogie spécialisée (art. 32 al. 1 LIP). Les transports nécessaires et les frais correspondants sont pris en charge pour les enfants et les jeunes qui, du fait de leur handicap, ne peuvent se déplacer par leurs propres moyens entre leur domicile et l'établissement scolaire et/ou le lieu de thérapie (art. 33 al. 2 LIP).
3.4. A moins qu'elle ne soit objectivement justifiée et proportionnée à l'objectif poursuivi, une disposition de droit national doit être considérée comme indirectement discriminatoire dès lors qu'elle est susceptible, par sa nature même, d'affecter davantage les ressortissants d'autres Etats membres que les ressortissants nationaux et qu'elle risque, par conséquent, de défavoriser plus particulièrement les premiers (arrêt de la Cour de justice des Communautés européennes (CJCE) actuellement la Cour de justice de l'Union européenne (CJUE) du 12 février 1974, 152/73, Sotgiu, Rec. 1974 p. 153 point 11). Une condition de résidence posée par une loi nationale peut, comme l'avance le recourant, constituer une discrimination indirecte: elle est effectivement à même d'être plus facilement remplie par les ressortissants nationaux que par les ressortissants d'autres Etats membres dont la résidence est située, en règle générale, dans un second Etat (arrêt de la CJUE du 13 avril 2010, C-73/08, Nicolas Bressol et Cécile Chaverot c/ Gouvernement de la Communauté française, point 44 ss).
4.
4.1. Le sort des frais découlant de l'enseignement spécialisé dépend d'un éventuel droit à cet enseignement. Ce n'est que si le recourant jouit d'un droit à cet égard qu'il pourra exiger la prise en charge des dépenses en résultant, compte tenu du principe de gratuité de l'art. 32 al. 1 LIP.
Aux termes de l'<ref-law>, les membres de la famille d'une personne ressortissant d'une partie contractante ayant un droit de séjour ont le droit de s'installer avec elle. Ce droit général comprend plusieurs facettes, qui correspondent pour l'essentiel aux droits accordés aux personnes qui jouissent elles-mêmes de la libre circulation, dont le droit à l'enseignement (ALVARO BORGHI, La libre circulation des personnes entre la Suisse et l'UE, 2010, n° 439, p. 207). Or, selon l'<ref-law>, qui est calqué sur l'art. 12 du règlement (CEE) n° 1612/68 (actuellement, art. 10 du règlement [UE] n ° 492/2011), les enfants d'un ressortissant d'une partie contractante qui exerce ou non, ou qui a exercé une activité économique sur le territoire de l'autre partie contractante sont admis aux cours d'enseignement général, d'apprentissage et de formation professionnelle dans les mêmes conditions que les ressortissants de l'Etat d'accueil, si ces enfants résident sur son territoire. Les mesures d'enseignement pour enfants handicapés sont aussi visées par cette disposition, le principe de l'égalité de traitement y étant énoncé s'étendant à toute forme d'enseignement, que celui-ci soit de nature professionnelle ou relève de l'éducation générale. Il concerne donc aussi la scolarisation des enfants handicapés (<ref-ruling> consid. 7.2 p. 194). Il ressort de ce qui précède que la condition de la résidence est prévue par l'Accord sur la libre circulation lui-même. Si l'art. 3 par. 6 de l'Annexe I à l'ALCP établit bien un principe de non-discrimination relatif à l'admission aux cours d'enseignement général, d'apprentissage et de formation professionnelle, celui-ci concerne les Suisses domiciliés dans un Etat membre et les ressortissants des Etats membres domiciliésen Suisse: ces personnes ont droit aux mesures de formation spécialisée aux mêmes conditions que les nationaux. La Cour de justice des Communautés européennes a d'ailleurs jugé que l'enfant d'un travailleur migrant, qui peut se réclamer de l'art. 12 du règlement n° 1612/68, doit être admis aux cours d'enseignement général, d'apprentissage et de formation professionnelle dans les mêmes conditions que les ressortissants du pays d'accueil, si cet enfant réside sur son territoire (cf. <ref-ruling> consid. 7.2 p. 194 qui citent les arrêts de la CJCE du 13 novembre 1990, di Leo et Land Berlin, C-308/89, Rec. p. I-4185, et du 15 mars 1989, Echternach et Moritz c/ Ministre néerlandais de l'Enseignement et des Sciences, affaires jointes 389/87 et 390/87, Rec. p. 723). Ainsi, en tant qu'il prévoit une condition de domicile, l'<ref-law> constitue en quelque sorte une réserve par rapport au principe général de non-discrimination de l'<ref-law>, qui lui-même ne s'applique au demeurant qu'aux personnes qui séjournent légalement sur le territoire de l'Etat concerné, ce qui n'est pas le cas en l'espèce.
Ceci s'explique par le but de l'<ref-law> qui est l'intégration de la famille du travailleur dans l'Etat membre d'accueil (cf., pour l'art. 12 du règlement n° 1612/68, arrêt de la CJCE du 17 septembre 2002, Baumbast, C-413/99, Rec. p. I-7091, points 50 à 53). En effet, l'intégration de la famille dans le milieu du pays d'accueil présuppose, dans le cas de l'enfant handicapé d'un travailleur étranger, que cet enfant puisse bénéficier, dans les mêmes conditions que ses homologues nationaux, des avantages prévus par la législation du pays d'accueil dont les mesures éducatives spécialisées prévues (<ref-ruling> consid. 7.2 p. 194; arrêt de la CJCE du 11 avril 1973, 76-72, Michel S. et Fonds National de reclassement social des handicapés, points 13 à 16). Or, en l'espèce, le recourant était domicilié en France durant la période concernée. Le but recherché de l'intégration voulait, en conséquence, que celui-ci bénéficie de l'enseignement spécialisé de ce pays et pas en Suisse.
L'<ref-ruling>, relatif à des prestations en matière d'assurance invalidité, va dans ce sens, puisque le Tribunal fédéral des assurances a jugé qu'en application de l'<ref-law> l'enfant mineur de parents français (dont l'un au moins travaillait en Suisse) résidant en Suisse avait droit aux mesures de formation scolaire spéciale aux mêmes conditions qu'un mineur de nationalité suisse (c'est-à-dire sans égard à l'absence de réalisation de la condition d'assurance qui s'appliquait aux seuls ressortissants étrangers).
4.2. Il sied d'ajouter ici qu'il n'y a, dans ce cadre, pas de discrimination par rapport aux nationaux. En effet, un élève domicilié dans un autre canton que Genève, y compris un enfant de nationalité suisse, ne pourrait pas non plus bénéficier de l'enseignement spécialisé de ce canton. L'art. 58 LIP prévoit, en effet, que les élèves sont scolarisés dans l'établissement correspondant au secteur de recrutement du lieu du domicile ou, à défaut, du lieu de résidence. Le principe de la scolarisation au lieu de domicile ou de résidence est d'ailleurs prévu par les législations cantonales, tous cantons confondus. Pour la Suisse romande, tel est le cas de l'art. 56 al. 1 et 63 al. 1 de la loi vaudoise du 7 juin 2011 sur l'enseignement obligatoire (LEO; RS/VD 400.02), selon lequel tout enfant en âge de fréquenter l'école obligatoire est inscrit dans l'établissement du lieu de domicile ou de résidence de ses parents, quels que soient ses besoins en matière de formation et d'éducation (cf. également art. 4 al. 1 de la loi vaudoise du 25 mai 1977 sur l'enseignement spécialisé [LES; RS/VD 417.31]); de l'art. 9 de la loi jurassienne du 20 décembre 1990 sur l'école obligatoire (RS/JU 410.11), selon lequel les élèves fréquentent l'école du cercle scolaire de leur lieu de résidence habituelle (cf. art. 37 de cette loi qui traite des institutions spécialisées); de l'art. 13 de la loi fribourgeoise du 9 septembre 2014 sur la scolarité obligatoire (loi scolaire, LS; RS/FR 411.0.1), selon lequel les élèves fréquentent l'école du cercle scolaire de leur domicile ou de leur résidence habituelle reconnue par la Direction (cf. également la loi fribourgeoise du 11 octobre 2017 sur la pédagogie spécialisé [LPS; RS/FR 411.5.1]), de l'art. 25 al. 1 de la loi neuchâteloise du 28 mars 1984 sur l'organisation scolaire (LOS; RS/NE 410.10), selon lequel les élèves fréquentent l'école du cercle scolaire de la commune qu'ils habitent (cf. art. 32 LOS relatif à l'enseignement spécialisé) et de l'art. 28 de la loi valaisanne du 15 septembre 2013 sur l'enseignement primaire (LEP; RS/VS 411.0), selon lequel les élèves fréquentent l'école de leur commune de domicile, respectivement de leur région (écoles intercommunales) (cf. également la loi valaisanne du 12 mai 2016 sur l'enseignement spécialisé [LES; RS/VS 411.3]). De la sorte, les législations cantonales imposent aussi la condition du domicile ou de la résidence aux enfants des nationaux. Les ressortissants suisses domiciliés dans leur pays ne bénéficient donc pas non plus d'un droit de choisir une école dans un autre canton, ou même dans une autre commune, que celle de leur domicile ou résidence. Il sied de mentionner ici que, même lorsqu'un enfant fréquente une école dans un autre canton que celui de son domicile, les frais y relatifs sont supportés par celui-ci.
Il est encore relevé que ce principe est également prévu à l'art. 1 de la convention intercantonale du 20 mai 2005 réglant la fréquentation d'une école située dans un canton autre que celui de domicile (RS/VD 400.955) qui dispose que les élèves des classes enfantines, des établissements de la scolarité obligatoire, des écoles de maturité gymnasiale, des écoles de culture générale, des écoles de commerce à plein temps, ainsi que ceux qui suivent une formation complémentaire permettant l'accès au niveau tertiaire (passerelles, par exemple) fréquentent en principe les écoles ou établissements de leur canton de domicile. Il existe même une convention intercantonale du 7 décembre 1907 concernant le changement de domicile des élèves (C-CDE; RS/VD 400.95) prévoyant que les cantons se communiquent les changements de domicile de chaque élève astreint à la fréquentation de l'école primaire ou secondaire et de l'école de perfectionnement ou cours complémentaires (art. 1).
4.3. Au regard de ce qui précède, l'art. 30 LIP ne viole pas les <ref-law> et 9 par. 2 Annexe I ALCP, en tant qu'il pose comme condition pour avoir droit aux prestations de pédagogie spécialisée, et partant à la gratuité de celles-ci, d'être domicilié dans le canton de Genève.
5.
Il découle de ce qui précède que le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
La partie qui succombe supporte les frais judiciaires (<ref-law>). Le recourant a demandé d'en être dispensé. L'assistance judiciaire est subordonnée à la double condition que le requérant ne dispose pas de ressources suffisantes et que ses conclusions ne paraissent pas vouées à l'échec (<ref-law>). Selon la jurisprudence, un procès est dénué de chances de succès lorsque les perspectives de le gagner sont notablement plus faibles que les risques de le perdre et qu'elles ne peuvent donc guère être considérées comme sérieuses. Il faut se demander si un justiciable raisonnable disposant des ressources nécessaires engagerait ou non un tel procès; en effet, une partie ne doit pas pouvoir intenter un procès dont elle ne supporte pas le coût alors qu'elle renoncerait à agir si elle devait en assumer les frais (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 397; <ref-ruling> consid. 5 p. 616). Au regard de ces principes, on ne saurait considérer que le présent recours paraissait d'emblée dépourvu de chances de succès, compte tenu, d'une part, du fait que l'application de l'Accord sur la libre circulation est relativement complexe et, d'autre part, que la question juridique en cause n'avait jamais été tranchée. La seconde condition pour être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire, à savoir l'indigence, est également remplie, la mère du recourant touchant des prestations complémentaires. L'assistance judiciaire pour les frais est donc accordée au recourant.
Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire, limitée aux frais judiciaires, est admise.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué au représentant du recourant, au Département de l'instruction publique, de la culture et du sport, soit pour lui l'Office de l'enfance et de la jeunesse, Secrétariat à la pédagogie spécialisée, et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative, 2ème section, ainsi qu'au Département fédéral de la défense, de la protection de la population et des sports (DDPS).
Lausanne, le 11 juin 2019
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Jolidon