Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1993 geborene A._ arbeitete seit dem 1. April 2016 in einem 50 %-Pensum als Versicherungsberater im Aussendienst der B._ AG. In dieser Eigenschaft war er bei der Helsana Unfall AG obligatorisch gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen sowie Berufskrankheiten versichert. Daneben war er zudem bei der Z._ AG als Teilzeit-Eishockey-Trainer und Ausbildner sowie Spieler der 1. Mannschaft des Vereins X._ tätig (vgl. Arbeitsvertrag und Spielervertrag, je vom 19. Februar 2016). Mit Vereinbarung vom 13. März 2017 zwischen der Z._ AG und dem Verein X._ wurde der bisherige Zusammenarbeitsvertrag zwischen den beiden Parteien aufgelöst und der Verein X._ verpflichtet, nebst anderen Verträgen auch den "Zusatzarbeitsvertrag" zum Spielervertrag von A._ per 1. Mai 2017 zu übernehmen. In der Folge übertrug der Verein X._ einen Teil seines operativen Geschäfts auf die neu gegründete Y._ GmbH; vgl. Zusammenarbeitsvertrag vom 24. April 2017). Auf entsprechendes Gesuch hin wurde die Y._ GmbH von der Ersatzkasse UVG mit Verfügung vom 13. Juni 2017 per 26. Juni 2017 der ÖKK Kranken- und Unfallversicherungen AG (im Folgenden: ÖKK) zugewiesen. Diese Verfügung erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
A.b. Am 13. August 2017 zog sich A._ bei einem Sturz während eines Eishockeyspiels eine traumatische Schulterluxation links zu, welche zu einer längeren Arbeitsunfähigkeit führte (vgl. Unfallmeldung vom 18. August 2017). Nachdem die ÖKK zunächst Versicherungsleistungen erbracht hatte, verneinte sie nach weiteren Abklärungen mit Verfügung vom 9. April 2018 ihre Leistungspflicht, da im Zusammenhang mit der Tätigkeit als Eishockeyspieler kein Arbeitsverhältnis und damit kein Unfallversicherungsschutz bestehe. Die von A._ und der Helsana Unfall AG dagegen erhobenen Einsprachen wies die ÖKK mit Einspracheentscheid vom 30. November 2018 ab. Mit Verfügungen vom 12. Dezember 2018 forderte die ÖKK zudem die bereits erbrachten Leistungen von der Helsana Unfall AG zurück. Diese bestritt die Forderung mit Schreiben vom 20. Dezember 2018.
A.c. Am 24. April 2018 ersuchte A._ die Ersatzkasse UVG um Zusprache von Leistungen der Unfallversicherung im Zusammenhang mit dem Unfall vom 13. August 2017. Nach entsprechenden Abklärungen lehnte diese mit Verfügung vom 21. November 2018 ihre Zuständigkeit ebenfalls ab, was sie mit Einspracheentscheid vom 18. April 2019 bestätigte.
B.
Sowohl gegen den Einspracheentscheid der ÖKK vom 30. November 2018 als auch gegen denjenigen der Ersatzkasse UVG vom 18. April 2019 erhob A._ Beschwerde. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich vereinigte die beiden Verfahren (Verfügung vom 4. Oktober 2019) und lud die Y._ GmbH sowie den Verein X._ zum Prozess bei. Mit Entscheid vom 29. Juni 2020 wies es die Beschwerde gegen den Einspracheentscheid der Ersatzkasse UVG ab (Dispositiv Ziffer 1). Die Beschwerde gegen den Einspracheentscheid der ÖKK hiess es dagegen gut; es stellte fest, dass die ÖKK für die Folgen des Unfalls vom 13. August 2017 leistungspflichtig sei (Dispositiv Ziffer 2).
C.
C.a. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, es sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Ersatzkasse UVG zu verpflichten, ihm die gesetzlichen Leistungen auszurichten. Insbesondere seien die Heilkosten und das Taggeld im Zusammenhang mit dem Unfall vom 13. August 2017 zu erbringen. Eventualiter sei der angefochtene Entscheid zu bestätigen (Verfahren 8C_538/2020).
Die ÖKK beantragt, es sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und festzustellen, dass sie für die Folgen des Unfalls vom 13. August 2017 nicht leistungspflichtig sei.
Die Ersatzkasse UVG schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
Mit Eingabe vom 22. Dezember 2020 äussert sich A._ erneut zur Sache.
C.b. Auch die ÖKK führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt, es sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und festzustellen, dass sie für die Folgen des Unfalls vom 13. August 2017 nicht leistungspflichtig sei (Verfahren 8C_564/2020).
A._ wiederholt in seiner Vernehmlassung die in seiner Beschwerde im Verfahren 8C_538/2020 gestellten Anträge.
Die Ersatzkasse UVG schliesst wiederum auf Abweisung der Beschwerde.
Der Verein X._ und die Y._ GmbH sowie das Bundesamt für Gesundheit (BAG) verzichten in beiden Verfahren auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Da den beiden Beschwerden derselbe Sachverhalt zu Grunde liegt, sich die gleichen Rechtsfragen stellen und die Rechtsmittel den nämlichen vorinstanzlichen Entscheid betreffen, rechtfertigt es sich, die beiden Verfahren zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu erledigen (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1).
2.
Das Bundesgericht prüft für das vor- und das letztinstanzliche Verfahren von Amtes wegen, ob die Prozessvoraussetzungen erfüllt sind (<ref-ruling> E. 2.1). Gestützt auf <ref-law> ist die beschwerdeführende Partei indes gehalten, die Erfüllung der Eintretensvoraussetzungen darzutun, wenn diese nicht offensichtlich gegeben sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 mit weiteren Hinweisen). Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben, wenn das kantonale Versicherungsgericht in der Sache entschieden hat, obschon es an einer Eintretensvoraussetzung fehlte (<ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 2 Ingress; Urteil 8C_515/2016 vom 22. Juni 2017 E. 2.1).
2.1. Die Legitimation zur Anfechtung einer Verfügung bzw. eines Einspracheentscheids durch Beschwerde an das kantonale Gericht richtet sich nach <ref-law>. Gemäss dieser Bestimmung ist zur Beschwerde berechtigt, wer durch die angefochtene Verfügung oder den Einspracheentscheid berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an deren Aufhebung oder Änderung hat. Der Begriff des schutzwürdigen Interesses für das Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht (<ref-law>) ist gleich auszulegen wie derjenige nach <ref-law> für das Verfahren der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vor dem Bundesgericht (BGE <ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen). Das schutzwürdige Interesse muss nicht nur bei der Beschwerdeeinreichung, sondern auch noch im Zeitpunkt der Urteilsfällung aktuell und praktisch sein. Fällt es im Laufe des Verfahrens dahin, wird die Sache als erledigt erklärt; fehlte es schon bei der Beschwerdeeinreichung, ist auf die Eingabe nicht einzutreten. Nach der Rechtsprechung ist ausnahmsweise auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses zu verzichten, wenn sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen deren grundsätzlicher Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen).
2.2. A._ bringt vor, durch die Beschwerde der ÖKK riskiere er, dass sowohl die ÖKK als auch die Ersatzkasse UVG von einer Leistungspflicht rechtskräftig entbunden würden. Deshalb sei er gezwungen, Beschwerde zu erheben, um die Möglichkeit für eine Zuständigkeit beider Versicherer offenzuhalten. Die ÖKK hält dem in ihrer Vernehmlassung entgegen, die Helsana Unfall AG, welche ebenfalls Adressatin des Einspracheentscheids der ÖKK vom 30. November 2018 gewesen sei, habe diesen Entscheid nicht angefochten. Sie habe damit implizit ihre Zuständigkeit als Unfallversicherer bestätigt. Folglich habe A._ kein schutzwürdiges Interesse am Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht. In ihrer Beschwerde macht die ÖKK zudem geltend, sie habe bereits im vorinstanzlichen Verfahren auf die fehlende Beschwer von A._ hingewiesen. Indem die Vorinstanz auf dieses Argument nicht eingegangen sei, habe sie den Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt.
2.3.
2.3.1. Es trifft zu, dass sich die Vorinstanz nicht zu den Eintretensvoraussetzungen geäussert hat, obschon sowohl die ÖKK als auch die Beigeladenen (Verein X._ und Y._ GmbH) ein schutzwürdiges Interesse des A._ bestritten und eine Leistungspflicht der Helsana Unfall AG geltend gemacht hatten. Auch den Verfahrensantrag der Ersatzkasse UVG auf Beiladung der Helsana Unfall AG zum Verfahren liess die Vorinstanz unbehandelt. Es ist aber von einem heilbaren Mangel auszugehen und es kann aus prozessökonomischen Gründen von Weiterungen abgesehen werden. Denn die Vorinstanz ist zu Recht auf die Beschwerde von A._ gegen den Einspracheentscheid der ÖKK eingetreten, zumal für ihn bereits mit Blick auf die bei Nichtberufsunfällen theoretisch bestehende Möglichkeit der Leistungskürzung wegen Grobfahrlässigkeit oder bei Wagnissen (vgl. Art. 37 Abs. 2 und Art. 39 UVG sowie Art. 49 f. UVV) ein schutzwürdiges Interesse besteht, dass das Ereignis vom 13. August 2017 als Berufsunfall (<ref-law>) und nicht als Nichtberufsunfall (<ref-law>) qualifiziert wird. Ausserdem ist vorliegend - wie noch zu zeigen sein wird - von einem Berufsunfall auszugehen, sodass eine Leistungspflicht der Helsana Unfall AG wegen eines Nichtberufsunfalls ausscheidet.
2.3.2. Was die Beschwerdelegitimation von A._ vor Bundesgericht betrifft, so ist zunächst festzuhalten, dass es für ihn - wie er selber ausführt - nicht relevant ist, ob die ÖKK oder die Ersatzkasse UVG die Leistungen gemäss UVG erbringt. Die Vorinstanz hat seine Beschwerde gegen den Einspracheentscheid der ÖKK vom 30. November 2018 gutgeheissen und die Leistungspflicht der ÖKK für die Folgen des Unfalls vom 13. August 2017 bejaht. Ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids (vgl. <ref-law>) im dem Sinne, dass anstelle der ÖKK die Ersatzkasse UVG für zuständig erklärt wird, ist somit nicht ersichtlich. Hinzu kommt, dass es A._ bei gegebener Konstellation unbenommen ist, in seiner Vernehmlassung zur Beschwerde der ÖKK auch diejenigen Punkte zu thematisieren, bezüglich welcher er vor der Vorinstanz unterlegen ist (vgl. <ref-ruling> E. 2.2). Mit anderen Worten kann er den Eventualantrag stellen, für den Fall der Gutheissung der Beschwerde der ÖKK sei die Zuständigkeit der Ersatzkasse UVG, welche im Verfahren 8C_564/2020 ebenfalls Partei ist, zu bejahen, was er denn auch getan hat. Auf die Beschwerde des A._ im Verfahren 8C_538/2020 ist deshalb nicht einzutreten.
3.
3.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5; <ref-ruling> E. 1.4). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist insbesondere nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1).
3.2. Richtet sich die Beschwerde gegen einen Entscheid über die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung, so kann jede unrichtige oder unvollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gerügt werden und das Bundesgericht ist nicht an den vorinstanzlichen Entscheid gebunden (Art. 97 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>). Bildet hingegen - wie vorliegend - einzig die Frage der Versicherungsdeckung Gegenstand des angefochtenen Entscheids, handelt es sich nicht um eine Streitigkeit über die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen und die Ausnahmebestimmungen von Art. 97 Abs. 2 i.V.m. <ref-law> kommen nicht zur Anwendung (<ref-ruling> E. 1.2.2; Urteil 8C_114/2020 vom 3. Juni 2020 E. 2.2, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2020 UV Nr. 39 S. 155). Das Bundesgericht kann somit die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen nur im Rahmen von Art. 105 Abs. 1 und 2 (in Verbindung mit Art. 97 Abs. 1) BGG überprüfen und legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>), wie etwa der Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes nach <ref-law>, und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
4.
4.1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie die ÖKK verpflichtete, Leistungen für die Folgen des Unfalls vom 13. August 2017 nach UVG zu erbringen. Dabei steht die Frage im Zentrum, ob A._ als Arbeitnehmer der Y._ GmbH zu betrachten ist.
4.2. Das kantonale Gericht hat die zur Beurteilung des Streitgegenstandes zu berücksichtigenden Rechtsgrundlagen zutreffend dargestellt. Danach sind gemäss <ref-law> die in der Schweiz beschäftigten Arbeitnehmer, einschliesslich der Heimarbeiter, Lehrlinge, Praktikanten, Volontäre sowie der in Lehr- oder Invalidenwerkstätten tätigen Personen, obligatorisch versichert. <ref-law> sieht vor, dass als Arbeitnehmer nach Art. 1a Abs. 1 des Gesetzes gilt, wer eine unselbstständige Erwerbstätigkeit im Sinne der Bundesgesetzgebung über die Alters- und Hinterlassenenversicherung (AHV) ausübt.
4.3. Weiter hat die Vorinstanz die Rechtsprechung richtig zitiert, wonach als Arbeitnehmer gilt, wer, ohne ein eigenes wirtschaftliches Risiko tragen zu müssen, zum Zwecke eines Erwerbs oder einer Ausbildung dauernd oder vorübergehend für einen Arbeitgeber tätig ist, dem er mehr oder weniger untergeordnet ist. Dies betrifft somit vor allem Personen, die einen Arbeitsvertrag im Sinne der <ref-law> haben oder die einem öffentlich-rechtlichen Anstellungsverhältnis unterstehen. Allerdings stellt das Vorliegen eines Arbeitsvertrages keine Voraussetzung für die Anerkennung der Arbeitnehmereigenschaft im Sinne von <ref-law> dar. Diese ist daher jeweils unter Würdigung der gesamten Umstände des Einzelfalles zu beurteilen. Dabei ist zu beachten, dass das UVG im Interesse eines umfassenden Versicherungsschutzes auch Personen einschliesst, deren Tätigkeit mangels Erwerbsabsicht nicht als Arbeitnehmertätigkeit einzustufen wäre, wie beispielsweise Volontär- oder Praktikantenverhältnisse, bei welchen der für ein eigentliches Arbeitsverhältnis typische Lohn in der Regel weder vereinbart noch üblich ist. Wo die unselbstständige Tätigkeit ihrer Natur nach nicht auf die Erzielung eines Einkommens, sondern auf Ausbildung gerichtet ist, kann eine Lohnabrede somit kein ausschlaggebendes Kriterium für oder gegen den Unfallversicherungsschutz sein. Von der obligatorischen Unfallversicherung werden somit auch Tätigkeiten erfasst, die die Begriffsmerkmale des Arbeitnehmers nicht vollumfänglich erfüllen. Der Begriff des Arbeitnehmers gemäss <ref-law> ist damit weiter als im Arbeitsvertragsrecht (<ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweisen, unter anderem auf <ref-ruling> E. 2.1; vgl. auch LAURA MANZ/MILENA MOSER in: Basler Kommentar, Unfallversicherungsgesetz, 2019, Rz. 5 und 8 zu <ref-law>).
4.4. Da sich der streitbetroffene Unfall am 13. August 2017 ereignet hat, gelangt vorliegend das seit 1. Januar 2017 geltende Recht zur Anwendung (vgl. Abs. 1 der Übergangsbestimmungen zur Änderung des UVG vom 25. September 2015, AS 2016 4375, 4387).
5.
5.1. Die Vorinstanz stellte fest, gemäss Arbeitsvertrag zwischen A._ und der Z._ AG vom 19. Februar 2016 sei Ersterer mit Wirkung ab 1. Mai 2016 als Teilzeit-Eishockey-Trainer und Ausbildner sowie Spieler der 1. Mannschaft des Vereins X._ bei der Z._ AG beschäftigt gewesen (Ziff. 1.1 und 1.2 des Arbeitsvertrags). Ziffer 17.1 habe A._ ausdrücklich verpflichtet, neben seiner Trainertätigkeit, welche im Arbeitsvertrag geregelt worden sei, auch als Spieler (50 Spiele pro Saison) dem Verein zur Verfügung zu stehen und vollständige Trainings zu absolvieren. Sowohl für die Tätigkeit als Trainer als auch für die Spielertätigkeit sei eine Konkurrenzklausel festgehalten (Ziff. 6.1) und der Spielervertrag sei als integrierender Bestandteil des Arbeitsvertrags bezeichnet worden (Ziff. 6.3). Ausserdem sei ein vertraglicher Lohn von monatlich Fr. 1500.- brutto (abzüglich Versicherungsprämien) vereinbart worden (Ziff. 4.1 und 4.2). Im Spielervertrag zwischen dem Verein X._ und A._ vom 19. Februar 2016 sei Letzterer mit Wirkung ab 1. Mai 2016 bis mindestens 30. April 2017 als Spieler der 1. Vereinsmannschaft (1. Liga-Team) verpflichtet worden. Die Präambel halte fest, dass der Spielervertrag ganz oder teilweise ausgegliedert werden könne. Weiter bestehe die vertragliche Verpflichtung, einen festzusetzenden Jahresbeitrag zu bezahlen (Ziff. 2.12). Demgegenüber habe sich der Verein verpflichtet, A._ eine pauschale Materialentschädigung in Höhe von Fr. 1000.- sowie eine Prämie von Fr. 40.- pro Sieg auszurichten (Ziff. 3), wobei der Jahresbeitrag direkt von den persönlichen Entschädigungen in Abzug gebracht werde (Ziff. 2.12). Sowohl der Arbeits- als auch der Spielervertrag seien am 23. Dezember 2016 bis zum 30. April 2018 verlängert worden. Weiter stellte das kantonale Gericht fest, mit Vereinbarung vom 13. März 2017 zwischen dem Verein X._ und der Z._ AG sei namentlich der "Zusatzarbeitsvertrag zum Spielervertrag" von A._ mit Wirkung ab 1. Mai 2017 von der Z._ AG auf den Verein übergegangen. Dieser habe in der Folge einen Teil der operativen Vereinsgeschäfte, namentlich die Abwicklung von Trainerverträgen, Spielerverträgen mit geldwerten Leistungen sowie von Versicherungen auf die Y._ GmbH übertragen (Ziff. 1 des Zusammenarbeitsvertrags zwischen dem Verein und der Y._ GmbH). Die Y._ GmbH sei vertraglich ausdrücklich verpflichtet worden, die zu versichernden Personen, insbesondere Trainer im Voll- und Teilzeitpensum sowie Spieler der 1. Liga, welche zusätzlich als Trainer amtieren würden, den entsprechenden Versicherungsträgern zu melden und die notwendigen Versicherungen abzuschliessen.
Wie die Vorinstanz weiter ausführte, seien seit Mai 2017 AHV-pflichtige Lohnzahlungen (monatlich Fr. 1468.85 netto) seitens der Y._ GmbH an A._ erfolgt. Die Gesellschaft habe aber lediglich Fr. 500.- als Lohn deklariert; die übrigen Fr. 1000.- habe sie als Spesen bezeichnet (vgl. Kontoauszug vom 18. Dezember 2017). Gemäss Auszug aus dem Individuellen Konto (IK) vom 30. August 2018 seien im Jahr 2016 bis und mit April 2017 über die Z._ AG Fr. 12'000.- (Jahr 2016) resp. Fr. 1779.- (Jahr 2017) abgerechnet worden. Von Mai bis Dezember 2017 seien die Lohnzahlungen (Fr. 3100.-) sodann über die Y._ GmbH abgerechnet worden.
Ferner stellte das kantonale Gericht fest, die Y._ GmbH sei per 26. Juni 2017 von der Ersatzkasse UVG der ÖKK zugewiesen worden. Daraufhin habe Letztere eine Police für die Betriebsart "Eishockeyverein" offeriert. Nachdem die Verantwortlichen der Y._ GmbH moniert hätten, es seien lediglich die Trainer zu versichern, sei mit Wirkung ab 26. Juni 2017 ausschliesslich für die haupt- und nebenberuflichen Trainer ein Unfallversicherungsvertrag abgeschlossen worden.
5.2. Die Vorinstanz erwog sodann, der Arbeitsvertrag vom 19. Februar 2016 bilde zusammen mit dem Spielervertrag gleichen Datums ein Vertragskonglomerat, wobei die Trainertätigkeit zwingend mit der Spielertätigkeit verbunden gewesen sei. Die Verpflichtung des Trainers, als Spieler tätig zu sein, habe Teil des Trainervertrages (Ziff. 17.1 des Arbeitsvertrages) gebildet, welcher unbestrittenermassen als Arbeitsvertrag zu qualifizieren sei. Aus der für Eishockey-Spieler offiziell geführten Liste "Elite Prospects" ergebe sich zudem, dass A._ 2017/2018 nicht als Trainer, sondern ausschliesslich als Spieler eingesetzt worden sei. Insoweit sei davon auszugehen, dass der Monatslohn von Fr. 1500.- Entgelt für die Tätigkeit als Trainer und Spieler gewesen sei. Aufgrund der in Ziffer 6.1 festgehaltenen Konkurrenzklausel habe A._ ferner in einem gewissen Abhängigkeits- und Unterordnungsverhältnis zur Y._ GmbH gestanden. Diese sei ab 1. Mai 2017 jedenfalls faktisch als (alleinige) abrechnungspflichtige Arbeitgeberin gegenüber den Sozialversicherungen aufgetreten; der Verein selber habe von 2016 bis 2018 keine Lohnbeiträge mit den Sozialversicherungen abgerechnet. Aufgrund all dieser Umstände kam das kantonale Gericht zum Schluss, dass für die Arbeitgebereigenschaft ab dem 1. Mai 2017 sozialversicherungsrechtlich bei der Y._ GmbH und nicht beim Verein (im Sinne von <ref-law>) anzuknüpfen sei. Da die Versicherungsunterstellung innerhalb des als Arbeitsverhältnis qualifizierten Vertrages nicht auf einzelne Tätigkeiten beschränkt werden könne, hätte auch die Spielertätigkeit unter den Versicherungsschutz der ÖKK gestellt werden müssen. Beim Ereignis vom 13. August 2017 handle es sich somit um einen Betriebsunfall, für den die zugewiesene ÖKK einzustehen habe.
6.
6.1. Es steht fest, dass die Y._ GmbH von der Ersatzkasse UVG mit Verfügung vom 13. Juni 2017 per 26. Juni 2017 der ÖKK zugewiesen wurde (vgl. <ref-law> i.V.m. <ref-law>). Unbestritten ist zudem, dass der Verein X._ keinen Vertrag mit einem Unfallversicherer abgeschlossen hat (vgl. <ref-law>) und dass sich A._ am 13. August 2017 anlässlich eines Eishockeyspiels als Spieler der 1. Mannschaft des Vereins X._ an der linken Schulter verletzte. Umstritten ist hingegen, ob A._ als Arbeitnehmer im Sinne von <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> zu qualifizieren ist und bejahendenfalls, wer - der Verein oder die Y._ GmbH - als Arbeitgeber zu betrachten ist.
6.2. Die ÖKK macht geltend, die Vorinstanz habe Bundesrecht verletzt, indem sie von einem Arbeitsverhältnis zwischen A._ und der Y._ GmbH ausgegangen sei. Dem schliesst sich A._ in seiner Vernehmlassung an. Die Ersatzkasse UVG bringt dagegen vor, das kantonale Gericht habe richtig erkannt, dass A._ bei der Y._ GmbH angestellt gewesen sei. Ihre Abklärungen hätten nämlich ergeben, dass die Y._ GmbH AHV-pflichtige Löhne an ihre Arbeitnehmer ausgerichtet habe und zwar unabhängig davon, ob diese als Spieler, als Trainer oder in beiden Funktionen tätig gewesen seien.
7.
7.1. Die Vorinstanz hat zunächst richtig erkannt, dass es sich beim Trainer- und Spielervertrag um einen zusammengehörigen Arbeitsvertrag handelt. Dies ergibt sich klar aus den vom kantonalen Gericht angeführten Verpflichtungen gemäss Arbeitsvertrag zwischen A._ und der Z._ AG vom 19. Februar 2016 (vgl. E. 5.1 hiervor). Darin wurde A._ unter anderem ausdrücklich verpflichtet, neben seiner Trainertätigkeit, welche im Arbeitsvertrag geregelt worden sei, dem Verein auch als Spieler (50 Spiele pro Saison) zur Verfügung zu stehen und vollständige Trainings zu absolvieren. Es wurde zudem festgehalten, dass die Spielertätigkeit resp. der Spielervertrag zwischen A._ und dem Verein X._ integrierenden Bestandteil des vorliegenden Arbeitsvertrages bilden würden (vgl. Ziff. 6.3 des Arbeitsvertrags). Schliesslich wurde ein Gehalt von monatlich Fr. 1500.- vereinbart, wobei nicht zwischen der Trainer- und der Spielertätigkeit unterschieden wurde. Im Spielervertrag wurde ausserdem nebst der Materialentschädigung auch eine Siegprämie von Fr. 40.- vereinbart. Soweit die ÖKK vorbringt, die Tätigkeit als Eishockeyspieler sei unentgeltlich gewesen, da er dafür gemäss Spielervertrag lediglich eine Materialentschädigung von maximal Fr. 1000.- erhalten habe, kann ihr demnach nicht gefolgt werden. Abgesehen davon hat die Vorinstanz festgestellt, dass A._ in der Saison 2017/2018 nicht als Trainer eingesetzt worden sei (vgl. E. 5.2 hiervor). Dass diese Sachverhaltsfeststellung offensichtlich unrichtig sein soll, vermag die ÖKK nicht darzutun. Ob es sich bei einem Teil des Gehalts von Fr. 1500.- um eine Unkostenentschädigung handelt oder ob der gesamte Betrag als massgebener Lohn im Sinne der AHV-Gesetzgebung zu betrachten ist (vgl. E. 5.1 hiervor), kann für die hier streitigen Belange offenbleiben, da A._ so oder anders - und zwar auch in Bezug auf seine zusammen mit der Trainertätigkeit entlöhnten Spielertätigkeit - als Arbeitnehmer im Sinne von <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> zu qualifizieren ist. Die Vorinstanz ist demnach zu Recht von einem Berufsunfall (<ref-law>) ausgegangen.
7.2. Es stellt sich sodann die Frage, wer als Arbeitgeber von A._ zu betrachten ist. Nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz ging der "Zusatzarbeitsvertrag zum Spielervertrag" von A._ aufgrund der Vereinbarung vom 13. März 2017 zwischen dem Verein X._ und der Z._ AG mit Wirkung ab 1. Mai 2017 von der Z._ AG auf den Verein über. Diesbezüglich scheinen sich die Parteien einig zu sein. Bis zu diesem Zeitpunkt war die Z._ AG Arbeitgeberin von A._. Entsprechend rechnete sie bis Ende April 2017 auch Sozialversicherungsbeiträge mit der zuständigen Ausgleichskasse ab (vgl. E. 5.1 hiervor). Umstritten ist aber, wer ab 1. Mai 2017 als Arbeitgeberin zu betrachten ist. Gemäss den vorinstanzlichen Erwägungen kommt ab diesem Zeitpunkt der Y._ GmbH die Arbeitgebereigenschaft zu. Die Vorinstanz begründete dies im Wesentlichen damit, dass die GmbH gegenüber den Sozialversicherungen faktisch als alleinige abrechnungspflichtige Arbeitgeberin aufgetreten sei (vgl. E. 5.2 hiervor).
7.3. Als Arbeitgeber gilt nach der Definition von <ref-law>, wer Arbeitnehmerinnen und Arbeitnehmer beschäftigt (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Als Arbeitnehmerinnen und Arbeitnehmer gelten gemäss <ref-law> Personen, die in unselbstständiger Stellung Arbeit leisten und dafür massgebenden Lohn nach dem jeweiligen Einzelgesetz beziehen. Da der massgebende Lohn Grundlage für die Beiträge und Leistungen der jeweiligen Sozialversicherungsgesetze bildet, ist Arbeitgeber im Sinne dieser Bestimmung, wer den Lohn bezahlt und entsprechend zur Leistung von Sozialversicherungsabgaben verpflichtet ist (<ref-ruling> E. 2.2.2.; vgl. auch <ref-law>). Dies bedeutet allerdings nicht, dass als beitragspflichtiger Arbeitgeber auch zu betrachten ist, wer den Lohn im Auftrag einer Drittperson auszahlt. Als Arbeitgeber gilt in solchen Fällen vielmehr derjenige, der die Arbeitnehmenden tatsächlich beschäftigt und entlohnt (UELI KIESER, ATSG-Kommentar, 4. Aufl. 2020, N. 7 zu <ref-law>).
7.4. Fest steht, dass die Y._ GmbH A._ einen AHV-pflichtigen Lohn ausrichtete (vgl. E. 5.1 hiervor) und sie mit der zuständigen Ausgleichskasse die Sozialversicherungsbeiträge abrechnete. Auf den Lohnabrechnungen von A._ erschien ihr Name und nicht derjenige des Vereins. Die Unfallmeldung erfolgte ebenfalls über die Y._ GmbH als Arbeitgeberin. Sodann trat die Y._ GmbH auch gegenüber der Ersatzkasse UVG als Arbeitgeberin auf: Sie ersuchte um Zuweisung eines Unfallversicherers. Mit Verfügung vom 13. Juni 2017 wies ihr die Ersatzkasse UVG die ÖKK zu. Letztere liess die Zuweisungsverfügung unangefochten in Rechtskraft erwachsen und offerierte der Y._ GmbH in der Folge eine Police für die Betriebsart "Eishockeyverein" (mit AHV-unterstellten Wettkampfsportlern). Erst auf den Einwand der Verantwortlichen der Y._ GmbH hin wurde eine Police für haupt- und nebenberufliche Trainer offeriert und abgeschlossen. Daraus erhellt, dass auch die ÖKK die Y._ GmbH anfänglich als Arbeitgeberin betrachtete. Entsprechend erbrachte sie für die Folgen des Unfalls vom 13. August 2017 zunächst auch die gesetzlichen Leistungen. Im Weiteren ist nicht erstellt, dass A._ vor seinem Unfall die Arbeitgebereigenschaft der Y._ GmbH je in Zweifel gezogen hätte. Für die Arbeitgebereigenschaft der Y._ GmbH spricht schliesslich auch der Umstand, dass diese als Nachfolgegesellschaft der Z._ AG gegründet wurde (vgl. Präambel des Zusammenarbeitsvertrags zwischen dem Verein X._ und der Y._ GmbH vom 24. April 2017). Dies legt jedenfalls den Schluss nahe, dass eine Übertragung des ursprünglich zwischen A._ und der Z._ AG abgeschlossenen Arbeitsvertrags auf die Y._ GmbH als Nachfolgegesellschaft auch tatsächlich beabsichtigt war. In Ziff. 16.6 des ursprünglich zwischen A._ und der Z._ AG vereinbarten Arbeitsvertrages erklärte sich ersterer im Übrigen ausdrücklich damit einverstanden, dass der Vertrag auf eine andere Gesellschaft übertragen werden könne. Damit ist vorliegend nach dem Gesagten von einer Vertragsübernahme durch die Y._ GmbH auszugehen (vgl. zu den Begriffen "cession d'un contrat" resp. "transfert de contrat" Urteil 4A_508/2016 vom 16. Juni 2017 E. 6.1).
7.5. Bei diesen Gegebenheiten erscheint es nicht bundesrechtswidrig, dass die Vorinstanz für die Arbeitgebereigenschaft ab dem 1. Mai 2017 sozialversicherungsrechtlich bei der Y._ GmbH und nicht beim Verein X._ anknüpfte. Mithin hat die Vorinstanz zu Recht erkannt, dass die Y._ GmbH verpflichtet gewesen wäre, nebst der Trainertätigkeit auch die Spielertätigkeit über die ihr zugewiesene ÖKK zu versichern. Bei diesem Ergebnis ist die ÖKK für die Folgen des Unfalls vom 13. August 2017 zuständig (vgl. <ref-law>). Die Beschwerde der ÖKK ist unbegründet und abzuweisen. Damit hat es beim angefochtenen Entscheid sein Bewenden.
8.
Die Gerichtskosten sind A._ und der ÖKK je zur Hälfte aufzuerlegen (<ref-law>). Ersterer hat infolge Abweisung der von der ÖKK erhobenen Beschwerde in jenem Verfahren Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 8C_538/2020 und 8C_564/2020 werden vereinigt.
2.
Auf die Beschwerde von A._ im Verfahren 8C_538/2020 wird nicht eingetreten.
3.
Die Beschwerde der ÖKK im Verfahren 8C_564/2020 wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1600.- werden den Beschwerdeführern je zur Hälfte auferlegt.
5.
Die ÖKK hat A._ im Verfahren 8C_538/2020 mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verein X._, der Y._ GmbH, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 30. April 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Wüest