Sachverhalt:
A.
A.a. A._, geboren 1971, arbeitete seit dem 1. Januar 2007 bei der Solothurner Spitäler AG (im Folgenden: Anstellungsbehörde), zunächst als Oberärztin und später als leitende Ärztin Kardiologie. Am 30. Oktober 2018 verfügte die Anstellungsbehörde, dass A._ per sofort bis auf Weiteres von der Arbeit freigestellt sei. In der Verfügung wurde weiter festgehalten, dass die Freistellung ohne Entzug des Lohnes erfolge, allerdings unter Einstellung der Honorarzahlungen. Einer allfälligen Beschwerde wurde die aufschiebende Wirkung entzogen. Begründet wurde die Verfügung unter anderem damit, dass sich die Zusammenarbeit zwischen A._ und ihrem Vorgesetzten resp. den Mitarbeitenden in den letzten Jahren zunehmend schwieriger gestaltet habe. Zudem bestünden verschiedene Unregelmässigkeiten bei den Honorarabrechnungen, sodass sich diesbezüglich eine Überprüfung aufdränge; eine Revision durch eine externe Gesellschaft sei veranlasst worden. Mit Schreiben vom 31. Oktober 2018 wurde A._ das rechtliche Gehör gewährt, wovon diese mit Eingabe vom 16. November 2018 Gebrauch machte. Mit Schreiben vom 18. Januar 2019 kündigte A._ das Arbeitsverhältnis per 31. Juli 2019.
A.b. Gegen die Verfügung vom 30. Oktober 2018 erhob A._ Beschwerde beim Regierungsrat des Kantons Solothurn mit dem Antrag, die Freistellungsverfügung sei aufzuheben. Zudem ersuchte sie um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung. Weiter beantragte sie, die Anstellungsbehörde sei anzuweisen, ihr die fälligen Honorare entsprechend ihren Leistungen auszubezahlen. Ferner sei der Anstellungsbehörde vorsorglich zu verbieten, eine Revision der Honorarabrechnungen durchführen zu lassen, bevor der Beschwerdeführerin nicht sämtliche für die Untersuchung relevanten Akten offengelegt worden seien. Mit Beschluss vom 15. Januar 2019 wies der Regierungsrat die Beschwerde und die damit gestellten Verfahrensanträge vollumfänglich ab.
B.
Dagegen führte A._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn, wobei sie im Wesentlichen ihre vor der Vorinstanz gestellten Anträge erneuerte. Das Verwaltungsgericht führte am 6. Mai 2019 eine Instruktionsverhandlung durch, anlässlich welcher die Parteien beantragten, das Verfahren bis zum 12. Juli 2019 zu sistieren, um in Vergleichshandlungen über die finanziellen Aspekte der Auflösung des Arbeitsverhältnisses treten zu können. Nachdem diese Verhandlungen gescheitert waren, nahm das Gericht das Verfahren wieder auf. Mit Entscheid vom 21. August 2019 schrieb es das Verfahren aufgrund der zwischenzeitlich erfolgten Beendigung des Arbeitsverhältnisses wegen Gegenstandslosigkeit ab (Dispositiv-Ziffer 1). Es auferlegte A._ die Kosten des Verfahrens von Fr. 1000.- (Dispositiv-Ziffer 2) und verfügte, dass die Parteikosten wettgeschlagen würden (Dispositiv-Ziffer 3).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiärer Verfassungsbeschwerde beantragt A._, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Vorinstanz anzuweisen, zu entscheiden, ob die Freistellung und die Einstellung der Honorarzahlungen rechtmässig erfolgt sei. Eventualiter sei die Vorinstanz unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids anzuweisen, begründet über die Verteilung der Prozesskosten zu entscheiden. Subeventualiter seien die Ziffern 2 und 3 des Dispositivs des angefochtenen Entscheids aufzuheben und die Vorinstanz sei anzuweisen, begründet über die Verteilung der Prozesskosten zu entscheiden.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten eingeholt. Es wird kein Schriftenwechsel durchgeführt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1 S. 44 mit Hinweisen).
1.2.
1.2.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) ist, gleich wie die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG), zulässig gegen Endentscheide (Art. 90 i.V.m. Art. 117 BGG), Teilentscheide (Art. 91 i.V.m. Art. 117 BGG), selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide über die Zuständigkeit und den Ausstand (Art. 92 i.V.m. Art. 117 BGG) sowie gegen andere selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. a und b i.V.m. Art. 117 BGG).
1.2.2.
1.2.2.1. Mit Verfügung vom 30. Oktober 2018 wurde die Beschwerdeführerin per sofort bis auf Weiteres von der Arbeit freigestellt. Weiter wurde festgehalten, dass die Freistellung ohne Entzug des Lohnes erfolge, allerdings unter Einstellung der Honorarzahlungen. Im Begründungsteil führte die Anstellungsbehörde aus, dass die Freistellung in einem ersten Schritt solange andauern werde, bis die Abklärungen in Bezug auf die festgestellten Unregelmässigkeiten bei den Honorarabrechnungen abgeschlossen sein würden. Gestützt auf die Abklärungsergebnisse werde darüber entschieden, ob und allenfalls welche personalrechtlichen Konsequenzen daraus zu ziehen seien. Während der Dauer der Freistellung werde der Lohn weiterhin ausgerichtet. Da aber Zweifel bestünden, ob die Honorare bis anhin vollständig korrekt abgerechnet worden seien, werde vorerst auf eine weitere Auszahlung von Honoraren verzichtet. Allenfalls stehe auch eine Rückforderung im Raum. Sobald die Abklärungsergebnisse der externen Revisionsstelle vorlägen, erfolge der Entscheid über die weitere Ausrichtung von Honorarzahlungen. Wie die Anstellungsbehörde in ihrer Vernehmlassung an den Regierungsrat ergänzte, diente die Freistellung der Sicherung der ungestörten Durchführung der eingeleiteten internen Untersuchung (vgl. dazu auch Urteil 8C_12/2012 vom 30. Mai 2012 E. 3.3 mit Hinweisen). Damit sei nichts endgültig geregelt oder vorbestimmt.
1.2.2.2. Die Freistellung ist in § 24 des Gesetzes des Kantons Solothurn über das Staatspersonal vom 27. September 1992 (StPG; BGS 126.1) und in § 51 des Gesamtarbeitsvertrages (GAV; BGS 126.3) geregelt. Gemäss dem wörtlich übereinstimmenden Absatz 1 kann die Anstellungsbehörde Angestellte jederzeit freistellen, wenn gewichtige öffentliche oder betriebliche Interessen oder eine Administrativuntersuchung dies erfordern. Die Anstellungsbehörde entscheidet über die Weiterausrichtung, die Kürzung oder den Entzug der Besoldung (§ 24 Abs. 2 StPG) resp. des Lohnes (§ 51 Abs. 2 GAV). Über eine Nachzahlung wird spätestens mit dem Entscheid über die Fortsetzung oder die Kündigung des Dienstverhältnisses entschieden (§ 24 Abs. 3 StPG; § 51 Abs. 4 GAV).
1.2.2.3. Bei der Freistellung handelt es sich um eine vorsorgliche Massnahme, die darauf gerichtet ist, Missstände in der Verwaltung auszuschliessen, wenn die Lage eine sofortige Lösung erfordert. Da sie sich auf eine Würdigung des Sachverhalts aufgrund eines Prima-facie-Beweises stützt, präjudiziert die vorsorgliche Einstellung den Ausgang eines allfälligen Verfahrens betreffend Entlassung aus gerechtfertigten Gründen nicht. Obwohl sie vor oder während eines solchen Verfahrens angeordnet werden kann, besitzt sie keinen selbstständigen Charakter und stellt an und für sich eine Etappe im Rahmen eines Entlassungsverfahrens dar. Zwar hat die Beschwerdeführerin das Anstellungsverhältnis per 31. Juli 2019 von sich aus gekündigt. Der in Aussicht gestellte Entscheid der Anstellungsbehörde über die Ausrichtung der Honorarzahlungen (vgl. E. 1.2.2.1 hiervor) steht aber noch aus. Insoweit handelt es sich bei der Freistellungsverfügung vom 30. Oktober 2018 um einen Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG (vgl. Urteile 8D_6/2018 vom 4. Oktober 2018 E. 1.2.2; 8C_12/2012 vom 30. Mai 2012 E. 3.3 mit Hinweisen; 8C_635/2010 vom 9. Dezember 2010 E. 3.3; 8C_321/2009 vom 9. September 2009 E. 1.4.2 mit Hinweis, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in RtiD 2010 I S. 145). Der angefochtene Entscheid schliesst das Verfahren vor dem angerufenen Gericht zwar ab. Dies reicht indessen nicht aus, um ihn als Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG zu qualifizieren; eine solche Qualifikation würde zusätzlich voraussetzen, dass der Entscheid auch das Verfahren vor der ersten Instanz abschliesst (vgl. Urteil 8C_35/2018 vom 27. April 2018 E. 3). Dies ist vorliegend aber gerade nicht der Fall.
1.2.2.4. Die Eintretensvoraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG sollen das Bundesgericht entlasten. Es soll sich möglichst nur einmal mit einer Sache befassen müssen und diese hierbei insgesamt beurteilen können. Deshalb sind Ausnahmen von diesem Grundsatz restriktiv zu handhaben, zumal die Parteien keiner Rechte verlustig gehen, wenn der Zwischenentscheid prinzipiell noch zusammen mit dem Endentscheid anfechtbar ist (vgl. Art. 93 Abs. 3 BGG; <ref-ruling> E. 3.6 S. 326; Urteil 8C_724/2014 E. 5.1). Bei dem nicht wieder gutzumachenden Nachteil nach Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG muss es sich um einen solchen rechtlicher Natur handeln. Das setzt voraus, dass er sich auch mit einem späteren günstigen Endentscheid nicht oder nicht gänzlich beseitigen lässt (<ref-ruling> E. 1.2 S. 81; <ref-ruling> E. 3.6 S. 326; <ref-ruling> E. 1 S. 115; <ref-ruling> E. 3.2 S. 607; <ref-ruling> E. 1.2 S. 47, 333 E. 1.3.1 S. 335; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 382). Nach der Rechtsprechung obliegt es der Beschwerdeführerin darzutun, dass eine der beiden Voraussetzungen nach Art. 93 Abs. 1 BGG erfüllt ist (<ref-ruling> E. 1.1 S. 328 f.; <ref-ruling> E. 1.2 in fine S. 429), es sei denn, deren Vorliegen springe geradezu in die Augen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 81; <ref-ruling> E. 2.4.2 S. 633), was hier nicht zutrifft. Die Beschwerdeführerin legt - in der unrichtigen Annahme, es liege ein Endentscheid vor - mit keinem Wort dar, inwiefern ihr durch die Freistellungsverfügung vom 30. Oktober 2018 resp. den diese bestätigenden Beschluss des Regierungsrates vom 15. Januar 2019 ein nicht wieder gutzumachender Nachteil drohen soll. Im Übrigen wird sie den Entscheid über die Rechtmässigkeit der Freistellung und der Einstellung der Honorarzahlungen wie auch die im angefochtenen Entscheid enthaltene Kostenregelung gestützt auf Art. 93 Abs. 3 BGG zusammen mit dem Endentscheid vor Bundesgericht anfechten können (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 365 f.; Urteil 8C_300/2018 vom 16. November 2018 E. 4.4). Sollten die Parteien in der Sache eine abschliessende Regelung finden, ohne das kantonale Gericht deswegen nochmals anrufen zu müssen, könnte direkt im Anschluss an diese Parteivereinbarung die Kostenregelung des hier angefochtenen Entscheids innert der Beschwerdefrist von Art. 100 BGG beim Bundesgericht angefochten werden (vgl. Urteil 8C_109/2019 vom 25. September 2019 E. 1.1). Schliesslich würde die Gutheissung der Beschwerde offensichtlich nicht direkt zu einem Endurteil in der Sache gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG führen.
1.3. Auf die Beschwerde ist demnach nicht einzutreten.
2.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 12. November 2019
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Wüest