Erwägungen:
1.
1.1. Im Zusammenhang mit einer Anhaltung am Flughafen Zürich-Kloten erstattete A._ Strafanzeige gegen vier Mitglieder der Kantonspolizei Zürich. Das Obergericht des Kantons Zürich verweigerte am 22. Februar 2021 die Ermächtigung zu deren Strafverfolgung. Der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts trat am 7. April 2021 auf die von A._ hiergegen eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (1C_154/2021) nicht ein, da die Eingabe den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht genügte (Art. 42 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.6; <ref-ruling> E. 1.1).
1.2. Mit Eingabe vom 6. Juli 2021 gelangt A._ erneut an das Bundesgericht, wobei er wiederum beantragt, verschiedene Personen strafrechtlich zu verfolgen. Er fordert zudem Schadenersatz "von der Schweiz" in Höhe von drei Millionen Franken; das Urteil vom 7. April 2021 sei "hundertprozentig falsch und kriminell".
2.
2.1. Das Bundesgericht ist keine allgemeine Aufsichtsbehörde und kann nur im Rahmen der im Bundesgerichtsgesetz (BGG; SR 173.110) vorgesehenen Verfahren tätig werden. Soweit der Beschwerdeführer (erneut) darum ersucht, Strafverfahren gegen verschiedene Personen einzuleiten, ist das Bundesgericht unzuständig.
2.2. Soweit sich die Eingabe bezüglich eines Staatshaftungsanspruchs gegen den Kanton Zürich richtet, mangelt es offensichtlich an einem zulässigen Anfechtungsobjekt. Das Bundesgericht beurteilt nicht als erste Instanz Staatshaftungsklagen von Privaten gegen einen Kanton. Solche Begehren sind zuerst bei der zuständigen kantonalen Behörde einzureichen (vgl. die Urteile 2C_274/2021 vom 13. April 2021 E. 2.1 und 2E_2/2015 vom 22. Mai 2015 E. 1). Erst der letztinstanzliche kantonale Entscheid über das Haftungsbegehren kann beim Bundesgericht angefochten werden (Art. 82 lit. a, Art. 85 Abs. 1 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG). Nach § 22 Abs. 1 lit. a des Haftungsgesetzes des Kantons Zürich vom 14. September 1969 sind Begehren auf Feststellung, Schadenersatz und Genugtuung bei Ansprüchen gegen den Kanton für das Vorverfahren beim Regierungsrat einzureichen; die Eingabe des Klägers ist, soweit er eine Staatshaftung des Kantons Zürich geltend machen will, zur gesetzlichen Folgegebung an diesen zu überweisen.
2.3. Schliesslich ist das Bundesgericht auch nicht zuständig, soweit sich die Klage gegen die Schweizerische Eidgenossenschaft richtet: Zwar beurteilt es auf Klage hin als einzige Instanz Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung aus der Amtstätigkeit von Personen im Sinne von Art. 1 Abs. 1 lit. a-c bis des Bundesgesetzes vom 14. März 1958 über die Verantwortlichkeit des Bundes sowie seiner Behördenmitglieder und Beamten [Verantwortlichkeitsgesetz; VG; SR 170.32], worunter u.a. auch die Mitglieder der Eidgenössischen Gerichte fallen (vgl. Art. 1 Abs. 1 lit. c VG i.V.m. Art. 120 Abs. 1 lit. c BGG). Die Klage gegen den Bund kann aber erst erhoben werden, wenn die zuständige Behörde zum Anspruch innert dreier Monate seit seiner Geltendmachung nicht oder ablehnend Stellung genommen hat (sog. Vorverfahren; vgl. Art. 10 Abs. 2 VG). Folglich muss das Entschädigungsbegehren zuerst beim Eidgenössischen Finanzdepartement eingereicht werden. Die Eingabe ist, soweit diese die Staatshaftung des Bundes betrifft, zur gesetzlichen Folgegebung an das Departement weiterzuleiten.
3.
Zusammengefasst ergibt sich, dass das Bundesgericht (zurzeit noch) unzuständig ist, die Haftungsansprüche des Klägers zu beurteilen. Es ist auf die Eingabe durch den Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG). Diese ist in Bezug auf Ansprüche gegen den Kanton Zürich an dessen Regierungsrat und in Bezug auf die Ansprüche gegen die Schweizerische Eidgenossenschaft an das Eidgenössische Finanzdepartement weiterzuleiten. Es rechtfertigt sich, für das vorliegende Verfahren keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG) und keine Entschädigungen zuzusprechen (Art. 68 BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Eingabe vom 6. Juli 2021 wird nicht eingetreten. Die Eingabe wird an den Regierungsrat des Kantons Zürich (Haftung des Kantons) und an das Eidgenössische Finanzdepartement (Haftung der Eidgenossenschaft) weitergeleitet.
2.
Es werden keine Kosten erhoben und keine Entschädigungen zugesprochen.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Regierungsrat des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. August 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar