Sachverhalt:
A.
Der 1968 geborene A._ bezieht seit dem 1. November 1990 Ergänzungsleistungen zur ganzen Rente der Invalidenversicherung. Im Rahmen einer im Jahr 2019 eingeleiteten periodischen Überprüfung der wirtschaftlichen Verhältnisse stellte die Ausgleichskasse des Kantons Thurgau fest, dass bisher die Erbschaften aus dem Tod des Vaters 1988 sowie der Mutter am........ 2019 und bei den Wohnverhältnissen der Zuzug des Bruders am 1. Mai 2017 nicht berücksichtigt worden waren. Die Verwaltung berechnete deswegen den Ergänzungsleistungsanspruch mit Verfügung vom 6. Dezember 2019 ab 1. Januar 2015 neu und forderte von A._ Fr. 10'717.- zurück. Daran hielt die Ausgleichskasse im Einspracheentscheid vom 28. Mai 2020 fest.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 24. Februar 2021 teilweise gut. Es hob den angefochtenen Einspracheentscheid auf und wies die Sache an die Ausgleichskasse zurück, damit diese den Rückforderungsanspruch vom 1. Mai 2017 bis 31. Dezember 2019 unter Ausschluss des Anteils an der unverteilten Erbschaft des Vaters des Versicherten neu festlege. Ferner stellte das kantonale Gericht fest, dass weder ein Nachzahlungs- noch ein Rückforderungsanspruch vom 1. Januar 2015 bis 30. April 2017 bestehe. Im Übrigen wies die Vorinstanz die Beschwerde ab.
C.
Die Ausgleichskasse führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und ihr Einspracheentscheid vom 28. Mai 2020 sei zu bestätigen.
A._ beantragt, der kantonalgerichtliche Entscheid sei zu bestätigen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Der vorinstanzliche Entscheid ist betreffend die Ergänzungsleistung vom 1. Januar 2015 bis 30. April 2017 abschliessend und als Teilentscheid im Sinne von <ref-law> anfechtbar. Soweit die Vorinstanz die Angelegenheit für die darauf folgende Periode vom 1. Mai 2017 bis 31. Dezember 2019 an die Verwaltung zurückwies, liegt ein Zwischenentscheid vor (SVR 2012 EL Nr. 3 S. 7, 9C_166/2011 E. 1.2). Dagegen ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur zulässig, wenn der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>), oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG). Vorliegend liegt ein nicht wieder gutzumachender Nachteil bei der Ausgleichskasse vor, da der Rückweisungsentscheid hinsichtlich der Berücksichtigung der Erbschaft aus dem Tod des Vaters materiellrechtliche Anordnungen beinhaltet, welche den Beurteilungsspielraum der Verwaltung wesentlich einschränken, ohne dass diese eine ihres Erachtens rechtswidrige neue Verfügung selber anfechten könnte (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweisen). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>) und kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und <ref-law>; zum Ganzen vgl. <ref-ruling> E. 4).
3.
3.1. Die Vorinstanz stellte fest, es sei im Sinne von <ref-law> zweifellos unrichtig gewesen, dass die unverteilte Erbschaft (betreffend den Tod des Vaters) nicht berücksichtigt worden sei. Die Erbschaft sei der Ausgleichskasse (spätestens) am 20. Oktober 2015 mitgeteilt worden. Es liege somit keine Verletzung der Meldepflicht vor und der Ergänzungsleistungsanspruch dürfe nicht rückwirkend, sondern erst für die Zukunft (ab Januar 2020) neu beurteilt werden (Art. 25 Abs. 2 lit. d ELV). Deshalb bestehe kein unrechtmässiger Bezug und kein Rückforderungsanspruch.
3.2. Die Ausgleichskasse bringt dagegen zusammengefasst vor, unrechtmässige Leistungen seien nach <ref-law> unabhängig von einer Meldepflichtverletzung zurückzuerstatten. Art. 25 Abs. 2 lit. d ELV komme bei einer anfänglichen Unrichtigkeit der Leistungszusprache nicht zur Anwendung.
3.3. Der Versicherte führt aus, es wirke befremdend, wenn das Fehlverhalten der Verwaltung ihm angelastet werde. In den Steuererklärungen sei bei der unverteilten Erbschaft das Haus und die Nutzniessung der Mutter erwähnt gewesen.
4.
4.1. Nach <ref-law>, der auch im Bereich der Ergänzungsleistungen gilt (Art. 1 Abs. 1 ELG [SR 831.30]), sind unrechtmässig bezogene Leistungen zurückzuerstatten (Abs. 1 Satz 1).
4.2. Gemäss Art. 25 Abs. 1 lit. d ELV (SR 831.301) ist die jährliche Ergänzungsleistung bei der periodischen Überprüfung zu erhöhen, herabzusetzen oder aufzuheben, wenn eine Änderung der vom ELG anerkannten Ausgaben und anrechenbaren Einnahmen sowie des Vermögens festgestellt wird; macht die Änderung weniger als 120 Franken im Jahr aus, so kann auf eine Anpassung verzichtet werden.
In diesem Fall ist die jährliche Ergänzungsleistung auf den Beginn des Monats, in dem die Änderung gemeldet wurde, frühestens aber des Monats, in dem diese eingetreten ist, und spätestens auf den Beginn des Monats, der auf die neue Verfügung folgt, neu zu verfügen. Vorbehalten bleibt die Rückforderung bei Verletzung der Meldepflicht (Art. 25 Abs. 2 lit. d ELV).
5.
5.1. Die Unrechtmässigkeit einer bereits bezogenen Leistung kann sich aus verschiedenen Gründen ergeben (UELI KIESER, Kommentar zum ATSG, 4. Aufl. 2020, N. 27 zu <ref-law>). Wenn und solange ein Leistungsbezug auf einer rechtskräftigen Leistungszusprache beruht, ist er rechtmässig. Die Unrechtmässigkeit ergibt sich in solchen Fällen erst, wenn die Leistungszusprache rückwirkend (aufgrund ursprünglicher Unrichtigkeit) in Wiedererwägung resp. prozessuale Revision (Art. 53 Abs. 1 und 2 ATSG) gezogen oder aber (wegen nachträglicher Unrichtigkeit) angepasst (<ref-law>) wird (JOHANNA DORMANN, in: Basler Kommentar, Allgemeiner Teil des Sozialversicherungsrechts, 2020, N. 18 zu <ref-law>; vgl. Urteil 9C_747/2018 vom 12. März 2019 E. 3.1). Die Wiedererwägung, prozessuale Revision oder Anpassung eines rechtskräftigen Entscheids folgen in Bezug auf Zulässigkeit und die zeitliche Wirkung (ex tunc, ex nunc) unterschiedlichen Regeln (vgl. JOHANNA DORMANN, a.a.O., N. 20 zu <ref-law>). Es ist jeweils zu prüfen, welchen Sachverhalt eine Bestimmung regelt.
5.2. Wie die Vorinstanz zutreffend festhielt, stellt die Nichtberücksichtigung der unverteilten Erbschaft eine zweifellos unrichtige Rechtsanwendung im Sinne der Wiedererwägung nach <ref-law> dar (Urteil 9C_567/2016 vom 3. Januar 2017 E. 3.2.1). Art. 25 ELV hat hingegen - auch wenn diese Bestimmung zur Konkretisierung herangezogen wurde, wann eine Korrektur von erheblicher Bedeutung ist (Urteil 9C_321/2013 vom 19. September 2013 E. 4.4) - die Revision der Ergänzungsleistungen im Sinne der Anpassung an geänderte Verhältnisse zum Gegenstand (<ref-ruling> E. 3b; <ref-ruling> E. 2c; UELI KIESER, a.a.O., N. 97 zu <ref-law>; RALPH JÖHL, SZS 2019, S. 357; URS MÜLLER, Rechtsprechung des Bundesgerichts zum ELG, 3. Aufl. 2015, N. 21 zu <ref-law>; CARIGIET/KOCH, Ergänzungsleistungen zur AHV/IV, 2. Aufl. 2009, S. 68). Im Bereich der Ergänzungsleistungen gibt es somit keine eigene Regelung, welche eine Rückwirkung der Wiedererwägung ausschliesst oder an besondere Bedingungen knüpft (vgl. SVR 1998 EL Nr. 9 S. 21, P 66/94 E. 6a in fine).
5.3. Zur Rückerstattung nach Art. 27 aELV i.V.m. Art. 47 aAHVG, welche mit der Einführung des ATSG keine materielle Änderung der Rechtslage erfuhr (Urteile 9C_4/2011 vom 30. März 2011 E. 3.1; <ref-ruling> E. 5), stellte das Eidgenössische Versicherungsgericht im Urteil P 66/94 vom 10. Dezember 1997 E. 6a (in: SVR 1998 EL Nr. 9 S. 21) unter Bezug auf <ref-ruling> E. 2d und e fest, dass - gleich wie bei einer prozessualen Revision - im Falle eines wiedererwägungsweisen Zurückkommens auf eine zu Unrecht ausgerichtete Ergänzungsleistung die Korrektur einer ursprünglich unrichtigen Rechtsanwendung ebenfalls im Hinblick auf die Wiederherstellung des rechtmässigen Zustandes erfolge. Die Rückerstattung (von Ergänzungsleistungen) habe (daher) unabhängig von einem allfälligen Verschulden, insbesondere unabhängig von einer Meldepflichtverletzung des Leistungsempfängers oder seines Vertreters zu erfolgen (vgl. weiter [implizit oder explizit] in diesem Sinne: Urteile 9C_567/2016 vom 3. Januar 2017 E. 3.2.1 mit Hinweis auf das Urteil P 50/97 vom 3. März 1999 E. 3b; 9C_695/2015 vom 9. August 2016 E. 3; 9C_999/2009 vom 7. Juni 2010 E. 1.2 mit Hinweis; P 59/02 vom 28. August 2003 E. 5.1; P 13/01 vom 25. Februar 2002 E. 3). Soweit im Urteil 9C_321/2013 vom 19. September 2013 E. 2.1.2 [recte: 2.3.2] unter Hinweis auf die Rechtsprechung aus dem Bereich der Invalidenversicherung, die eine besondere normative Regelung kennt (<ref-ruling> E. 2; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.2.1), etwas anderes festgehalten wurde, kann darauf nicht abgestellt werden.
5.4. Nach dem Gesagten besteht im Bereich der Ergänzungsleistungen weder eine normative Regelung noch eine gefestigte Rechtsprechung, die bei einer Wiedererwägung eine Rückwirkung ausschliesst oder an besondere Bedingungen knüpft (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1). Die Vorinstanz verletzte daher Bundesrecht, indem sie die wiedererwägungsweise rückwirkende Neuverfügung durch die Verwaltung per 1. Januar 2015, mit der Begründung ablehnte, es liege keine Meldepflichtverletzung vor.
6.
6.1. Wie das kantonale Gericht zutreffend darlegte, unterliegt die Rückerstattung einer einjährigen relativen und fünfjährigen absoluten Verwirkungsfrist (<ref-law>; in der bis zum 31. Dezember 2020 gültigen Fassung). Korrekt sind auch die vorinstanzlichen Ausführungen zum Beginn des Fristenlaufs, im Moment in welchem der Verwaltung ein Fehler unterlaufen ist (<ref-ruling> E. 2). Darauf wird verwiesen.
6.2. Nachdem das kantonale Gericht eine rückwirkende Herabsetzung der Ergänzungsleistungen mangels Verletzung der Meldepflicht zum Vornherein verneint hatte, befasste es sich mit den Verwirkungsfristen nicht konkret und stellte einzig fest, der Versicherte habe der Ausgleichskasse die unverteilte Erbschaft spätestens am 20. Oktober 2015 mitgeteilt. Die Beschwerdeführerin führt ergänzend dazu aus, die einjährige relative Verwirkungsfrist sei eingehalten, nachdem sie (die Verwaltung) ihren Fehler im Rahmen der periodischen Überprüfung im August 2019 entdeckt und mit der Verfügung vom 6. Dezember 2019 korrigiert habe.
6.3. In Ergänzung des vorinstanzlich festgestellten Sachverhalts (<ref-law>) ist festzuhalten, dass der Versicherte bzw. seine damalige Vertreterin die unverteilte Erbschaft resp. das (Mit-) Eigentum an der Liegenschaft zunächst nicht angegeben haben. Der Versicherte verneinte verschiedentlich - teilweise ausdrücklich -, dass er Grundeigentum oder eine unverteilte Erbschaft habe (vgl. Formulare/Eingaben des Versicherten vom 22. November 1989, 17. Dezember 1990, 17. November 1997, 19. Mai 2003, 30. Juli 2007, 20. Juli 2009, 23. August 2011 2011, 29. August 2013). Gegenteiliges konnte den in den Akten liegenden Steuerunterlagen nicht entnommen werden. Bis zum 20. Oktober 2015 erschloss sich dieses Vermögen der Verwaltung somit nicht. Alsdann hat die Ausgleichskasse übersehen, dass ihr mit am 20. Oktober 2015 ausgefülltem Formular mitgeteilt wurde, dass der Versicherte ein Haus besitzt. Durch diesen ersten Fehler der Verwaltung wurde die einjährige Verwirkungsfrist aber, wie die Beschwerdeführerin zutreffend vorbringt, noch nicht ausgelöst, sondern erst durch die spätere periodische Überprüfung aufgrund der Angaben des Versicherten vom 2. August 2019 (<ref-ruling> E. 2.2). Mit Blick darauf hat die Verwaltung die Verwirkungsfristen mit der Verfügung vom 6. Dezember 2019 gewahrt, mit der sie über die Ergänzungsleistungen rückwirkend per 1. Januar 2015 neu verfügte. Auch unter diesem Aspekt ist die von der Ausgleichskasse verfügte Rückerstattung somit rechtmässig.
7.
Der geforderte Rückerstattungsbetrag ist nicht (mehr) umstritten und gibt keinen Anlass zu Weiterungen. Die Beschwerde ist daher gutzuheissen. Entgegen dem vorinstanzlichen Entscheid ist der Einspracheentscheid der Ausgleichskasse vom 28. Mai 2020 nicht nur teilweise, sondern vollumfänglich zu bestätigen.
8.
Der unterliegende Beschwerdegegner hat die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Die obsiegende Beschwerdeführerin hat als mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betraute Organisation keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 24. Februar 2021 wird aufgehoben und der Einspracheentscheid der Ausgleichskasse des Kantons Thurgau vom 28. Mai 2020 bestätigt.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 1. Juli 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Möckli