Erwägungen:
1.
1.1. Am 21. Juni 2018 ersuchte A._ das Finanzdepartement des Kantons Solothurn um Erlass der Staatssteuer für die Steuerperiode 2016 im Betrag von Fr. 3'865.90. Sie begründete ihr Gesuch mit finanziellen Schwierigkeiten, namentlich infolge ihrer Arbeitslosigkeit. Mit Verfügung vom 8. August 2018 wies das Finanzdepartement das Gesuch ab, weil A._ über private Schulden verfüge und ein Erlass nur bei einer Gesamtsanierung möglich sei. Den dagegen erhobenen Rekurs wies das Kantonale Steuergericht Solothurn am 19. November 2018 ab.
1.2. Am 17. Dezember 2018 reichte A._ dem Bundesgericht das Urteil des Steuergerichts und weitere Unterlagen ein. Mit Schreiben vom 19. Dezember 2018 wurde sie auf die formellen Anforderungen an eine Beschwerde hingewiesen. Am 18. Januar 2019 reichte sie eine Beschwerdeschrift nach und beantragte, es sei ihr der Steuererlass zu gewähren. Der Abteilungspräsident hat weder die vorinstanzlichen Akten beigezogen noch andere Instruktionsmassnahmen verfügt.
2.
2.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unzulässig gegen Entscheide über die Stundung oder den Erlass von Abgaben; in Abweichung davon ist die Beschwerde zulässig gegen Entscheide über den Erlass der direkten Bundessteuer oder der kantonalen oder kommunalen Einkommens- und Gewinnsteuer, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt oder es sich aus anderen Gründen um einen besonders bedeutenden Fall handelt (<ref-law>).
Nachdem in der Eingabe vom 18. Januar 2019 weder behauptet wird noch ersichtlich ist, dass die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss <ref-law> ausnahmsweise zulässig wäre, ist die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen.
2.2. Bei der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>), was bedeutet, dass die Beschwerde der qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit zu genügen hat (Art. 117 in Verbindung mit <ref-law>). In der Beschwerde ist daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, dass und inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 372). Auf bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid geht das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 6.3 S. 375).
2.3. Die Beschwerdeführerin bringt vor, dass sie infolge ihrer Erkrankung arbeitslos geworden sei, ihre Rechnungen nicht bezahlen und kein Geld für die Bezahlung der Steuern beiseite legen könne. Sie habe von ihrer Mutter nur deshalb Geld geliehen, um ihre Steuern bezahlen zu können, weshalb das Argument fehl gehe, dem Steuererlass stünden ihre Schulden entgegen. Sie habe für die Steuerperioden 2016/2017 zu viel vorausbezahlt und es sei ihr nicht möglich, weitere Vorauszahlungen zu leisten.
2.4. Das Steuerrecht des Kantons Solothurn kennt keinen Rechtsanspruch auf Steuererlass; § 182 Abs. 1 des Gesetzes (des Kantons Solothurn) vom 1. Dezember 1985 über die Staats- und Gemeindesteuern (StG/SO; BGS 614.11) ist weder anspruchsverleihend noch individualschützend ausgestaltet. Dies schliesst die blosse Willkürrüge im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde von vornherein aus. Es müssen daher andere verfassungsmässige Individualrechte als verletzt angerufen werden (Urteil 2D_50/2017 vom 20. Dezember 2017 E. 3.3 mit Hinweisen).
Auch unter Berücksichtigung, dass die Beschwerdeführerin eine Laienbeschwerde eingereicht hat und die formellen Hürden daher praxisgemäss niedriger anzusetzen sind (Urteil 2D_42/2017 vom 28. November 2017 E. 2.4), lässt sich der Eingabe nicht ansatzweise entnehmen, welches verfassungsmässige Individualrecht durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sein soll. Die Beschwerdeführerin rügt lediglich die Verletzung von § 182 Abs. 1 StG/SO und damit eine willkürliche Anwendung des kantonalen Rechts, was, wie erwähnt, nicht zulässig ist. Damit fehlt es offensichtlich an einer hinreichenden Begründung, weshalb auf die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
3.
Nach dem Unterliegerprinzip (<ref-law>) wären die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens grundsätzlich der Beschwerdeführerin aufzuerlegen. Angesichts der besonderen Umstände rechtfertigt es sich indes, vom Erheben der Gerichtskosten abzusehen (<ref-law>). Dem Kanton Solothurn, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Entschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Für das bundesgerichtliche Verfahren werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Kantonalen Steuergericht Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Februar 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Businger