Sachverhalt:
A.
A._ (Mieter, Beschwerdeführer) und die Gemeinde B._ (Vermieterin, Beschwerdegegnerin) schlossen am 11. Mai 2018 per 15. Juni 2018 einen bis zum 30. Juni 2019 befristeten Mietvertrag über eine 2,5-Zimmerwohnung in B._. Der monatliche Mietzins wurde auf Fr. 950.-- festgelegt, zuzüglich Fr. 150.-- Anzahlung pro Monat für die Nebenkosten.
B.
Am 24. April 2019 gelangte der Mieter an die Schlichtungsbehörde Miete und Pacht des Kantons Luzern. Er beantragte einen neuen unbefristeten Mietvertrag, eventualiter die Erstreckung des Mietverhältnisses. Die Schlichtungsbehörde unterbreitete einen Urteilsvorschlag, der eine Erstreckung des Mietverhältnisses bis zum 31. Januar 2020 vorsah. Dies lehnte der Mieter ab, worauf ihm die Klagebewilligung erteilt wurde.
B.a. In der Folge beantragte der Mieter beim Bezirksgericht Hochdorf, das Mietverhältnis sei bis zum 28. Februar 2021 zu erstrecken.
Mit Urteil vom 6. Dezember 2019 erstreckte das Bezirksgericht Hochdorf das Mietverhältnis letztmals bis zum 31. März 2020. Es auferlegte dem Mieter die Gerichtskosten, welche im Sinne der ihm gewährten unentgeltlichen Rechtspflege einstweilen zu Lasten des Kantons gingen.
B.b. Dagegen erhob der Mieter Berufung beim Kantonsgericht des Kantons Luzern und beantragte, gleich behandelt zu werden wie ein anderer Sozialhilfebezüger im Wohnungstrakt. Nachträglich beantragte er die Erstreckung des Mietverhältnisses bis zu seiner Pensionierung mit 65 Jahren.
Am 12. Februar 2020 wies das Kantonsgericht die Berufung ab, soweit es darauf eintrat. Soweit der Beschwerdeführer eine längere Erstreckung beantrage als bis zum 28. Februar 2021, handle es sich um eine unzulässige Klageänderung (<ref-law>). Insoweit trat das Kantonsgericht auf die Berufung nicht ein. Die Voraussetzungen für eine Erstreckung sah es nicht als gegeben an. Das Gesuch des Mieters um unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren wies es ab. Es auferlegte dem Mieter die Kosten für beide kantonalen Instanzen. Die Kosten des bezirksgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'500.-- nahm es im Sinne der dem Mieter gewährten unentgeltlichen Rechtspflege einstweilen auf die Staatskasse. Die Kosten des Berufungsverfahrens von Fr. 100.-- forderte es vom Mieter ein. Parteientschädigungen sprach es keine zu.
C.
Der Mieter beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde, das Urteil des Kantonsgerichts sei aufzuheben und das Mietverhältnis bis zum 28. Februar 2021 zu erstrecken. Eventualiter sei die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts und Neubeurteilung an das Bezirksgericht zurückzuweisen, subeventualiter an das Kantonsgericht. Das Kantonsgericht und das Bezirksgericht seien anzuweisen, dem Mieter die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu bewilligen. Gleichzeitig ersucht der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung und um Gewährung der aufschiebenden Wirkung. Obwohl nur zum Gesuch um aufschiebende Wirkung Vernehmlassungen eingeholt wurden, beantragt die Vermieterin in ihrer Stellungnahme die Abweisung der Beschwerde. Dem Gesuch um aufschiebende Wirkung wurde am 29. April 2020 entsprochen. Vernehmlassungen in der Sache wurden nicht eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 143 mit Hinweisen).
1.1. In mietrechtlichen Fällen ist die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich nur zulässig, wenn der massgebende Streitwert mehr als Fr. 15'000.-- beträgt (<ref-law>). Der Beschwerdeführer macht geltend der Streitwert vor der Vorinstanz habe sich auf Fr. 22'000.-- belaufen, weshalb die Beschwerde in Zivilsachen zulässig sei. Auch die Vorinstanz beziffert im Rahmen ihrer Streitwertangabe für die Rechtsmittelbelehrung (<ref-law>) den nach <ref-law> massgebenden Streitwert mit Fr. 22'000.--. Dazu verweist sie auf ihre E. 3. In dieser Erwägung äussert sie sich indessen nicht explizit zur Frage des Streitwerts, sondern behandelt die vom Beschwerdeführer erhobene Berufung. Im Rahmen der Prüfung der Zulässigkeit der Berufung in E. 1.1 hält die Vorinstanz dagegen fest, aufgrund des Streitwerts von Fr. 22'000.-- (20 x Fr. 1'100.--) sei die Berufung gegen den erstinstanzlichen Entscheid zulässig (<ref-law>). Zur Berechnung verweist sie auf den Entscheid des Bezirksgerichts, das den Streitwert mit Blick auf den Klageantrag an der Hauptverhandlung aufgrund des Bruttomietzinses für die Dauer der beantragten Erstreckung auf diesen Betrag festgesetzt hatte. Vor diesem Hintergrund und angesichts der Tatsache, dass die Vorinstanz die Voraussetzungen für eine Klageänderung (<ref-law>) nicht als gegeben ansah (vgl. Sachverhalt B.b hiervor), ist die Streitwertangabe nicht nachvollziehbar. Nach <ref-law> bestimmt sich der Streitwert bei Beschwerden gegen Endentscheide nach den Begehren, die vor der Vorinstanz streitig geblieben waren. Erstinstanzlich wurden dem Beschwerdeführer aber 9 der von ihm beantragten 20 Monate Erstreckung gewährt. Dass die Beschwerdegegnerin ihrerseits die gewährte Erstreckung angefochten hätte, ist nicht festgestellt. Damit war vor der Vorinstanz nur die Differenz streitig geblieben, womit die Streitwertangabe unzutreffend wäre und die Streitwertgrenze nicht erreicht würde. Die Frage braucht indessen nicht vertieft zu werden. Selbst wenn man zu Gunsten des Beschwerdeführers annimmt, die erforderliche Streitwertgrenze werde überschritten (womit auf die gleichzeitig erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach <ref-law> nicht einzutreten ist), erweist sich die Beschwerde als offensichtlich unbegründet, wie nachfolgend zu zeigen sein wird.
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Mit Blick auf die Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind; es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f., 115 E. 2 S. 116).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f. mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117, 264 E. 2.3 S. 266). Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
1.4. Diese Grundsätze verkennt der Beschwerdeführer, wenn er unter dem Titel "Tatsächliches" den Hintergrund des Rechtsstreits und den Ablauf des Verfahrens aus eigener Sicht schildert, ohne substanziierte Rügen vorzutragen. Darauf ist nicht einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer erneuert im bundesgerichtlichen Verfahren seinen Antrag, das Mietverhältnis sei bis zum 28. Februar 2021 zu erstrecken.
2.1. Gemäss <ref-law> kann der Mieter die Erstreckung eines befristeten oder unbefristeten Mietverhältnisses verlangen, wenn die Beendigung der Miete für ihn oder seine Familie eine Härte zur Folge hätte, die durch die Interessen des Vermieters nicht zu rechtfertigen wäre. Nach <ref-law> kann das Mietverhältnis für Wohnräume um höchstens vier Jahre erstreckt werden. Bei der Interessenabwägung berücksichtigt die zuständige Behörde gemäss <ref-law> insbesondere die Umstände des Vertragsschlusses und den Inhalt des Vertrags (lit. a), die Dauer des Mietverhältnisses (lit. b), die persönlichen, familiären und wirtschaftlichen Verhältnisse der Parteien und deren Verhalten (lit. c), einen allfälligen Eigenbedarf des Vermieters für sich, nahe Verwandte oder Verschwägerte sowie die Dringlichkeit dieses Bedarfs (lit. d) und überdies die Verhältnisse auf dem örtlichen Markt für Wohn- und Geschäftsräume (lit. e). Dabei ist der Zweck der Erstreckungsbestimmungen zu beachten, der darin besteht, die Folgen der Vertragsauflösung für die Mietpartei zu mildern, indem ihr mehr Zeit für die mit der Auflösung des Mietverhältnisses erforderliche Neuorientierung gelassen wird (<ref-ruling> E. 5.3.1 S. 344 mit Hinweisen). Nach der Rechtsprechung sind Suchbemühungen bereits im ersten Erstreckungsverfahren zu berücksichtigen (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 448 mit Hinweisen). <ref-law> regelt nicht, wie die aufgestellten Kriterien zu gewichten sind. Letztlich kann für den Entscheid nur massgebend sein, welche Interessen im Ergebnis der gesamthaften Gewichtung inwieweit überwiegen (Urteile 4A_477/2016 vom 27. September E. 3.2; 4A_420/2009 vom 11. Juni 2010 E. 3.2.1).
Bei der Festlegung der Art und Dauer der gewährten Erstreckung steht dem Gericht innerhalb des gesetzlichen Rahmens ein weiter Ermessensspielraum zu (<ref-ruling> E. 4b S. 230). Derartige Ermessensentscheide überprüft das Bundesgericht mit Zurückhaltung und greift nur ein, wenn die Vorinstanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgegangen ist, wenn sie Tatsachen berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt Umstände ausser Betracht gelassen hat, die hätten beachtet werden müssen. Es greift ausserdem in Ermessensentscheide ein, wenn sich diese als offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 5.3.2 S. 345; <ref-ruling> E. 2 S. 123 f.; je mit Hinweisen).
2.2. Die Vorinstanz erwog, der Beschwerdeführer berufe sich zur Begründung eines Härtefalls auf seine Sozialhilfebedürftigkeit. Diese habe aber bereits beim Abschluss des befristeten Mietvertrags bestanden. Zudem habe er sich in keiner Weise um eine Ersatzlösung bemüht. Trotz fehlender Härtegründe, trotz fehlender Bemühungen um eine Anschlusslösung und trotz unproblematischer Situation auf dem Wohnungsmarkt habe die Erstinstanz das Mietverhältnis bis zum 31. März 2020 erstreckt. Sie habe dies mit der Situation des Beschwerdeführers begründet. Auf diese Weise habe sie ihm genügend Zeit für die Wohnungssuche geben wollen. Dass die Erstinstanz keine weitere Erstreckung gewährte, sei nicht zu beanstanden.
2.3. Was der Beschwerdeführer gegen das angefochtene Urteil vorbringt, verfängt nicht, zumal das Bundesgericht nur mit Zurückhaltung in Ermessensentscheide eingreift.
Es kann keine Rede davon sein, dass die Vorinstanz die Anforderungen an den Nachweis eines Härtefalls massiv überspannt hätte. Für das Alter des Beschwerdeführers gilt dasselbe wie für seine Sozialhilfebedürftigkeit. Beides war beim Abschluss des befristeten Mietvertrags bekannt.
Nicht näher einzugehen ist auf das Vorbringen des Beschwerdeführers, wonach die Beschwerdegegnerin im vorliegenden Fall gemäss <ref-law> an die Grundrechte gebunden sei. Denn er legt nicht rechtsgenüglich dar, dass die Beschwerdegegnerin ein Grundrecht verletzt haben könnte. Jedenfalls übersieht der Beschwerdeführer, dass die Beschwerdegegnerin als Gemeinde ein berechtigtes Interesse hat, ihre Sozialwohnungen befristet zu vermieten, um vorübergehende Wohnlösungen für Bedürftige zu garantieren.
Schliesslich übergeht der Beschwerdeführer, dass die Erstinstanz das Mietverhältnis vom 30. Juni 2019 bis zum 31. März 2020 erstreckte. Vor diesem Hintergrund durfte die Vorinstanz ohne weiteres zu Lasten des Beschwerdeführers würdigen, dass er sich nie um eine Ersatzlösung bemühte.
2.4. Die Vorinstanz verletzte kein Bundesrecht, indem sie das erstinstanzliche Urteil schützte und dem Beschwerdeführer keine zusätzliche Erstreckung des befristeten Mietverhältnisses erteilte.
3.
Der Beschwerdeführer beanstandet, im erstinstanzlichen Verfahren sei kein unentgeltlicher Rechtsbeistand gewährt und im Berufungsverfahren die unentgeltliche Rechtspflege gänzlich verweigert worden.
3.1. Nach <ref-law> hat eine Person Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (lit. a) und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (lit. b). Sofern es zur Wahrung der Rechte notwendig ist, umfasst die unentgeltliche Rechtspflege die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands (<ref-law>).
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sind Begehren als aussichtslos anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie zumindest vorläufig nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten, wobei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgebend sind (BGE 142III 138 E. 5.1 S. 139 f. mit Hinweisen).
3.2. Der Beschwerdeführer rügt, dass ihm die Erstinstanz nur die unentgeltliche Rechtspflege bewilligte, aber keinen unentgeltlichen Rechtsbeistand zur Seite stellte. Er habe im erstinstanzlichen Verfahren ein Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung eingereicht, worauf im Vorfeld der Verhandlung nicht eingegangen worden sei. Er beanstandet, auf seine diesbezüglichen Vorbringen in der Berufungsbegründung sei die Vorinstanz nicht eingegangen. Es trifft zu, dass die Vorinstanz sich zu diesem Vorbringen nicht explizit äusserte. Der Beschwerdeführer erblickt darin eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör.
Gemäss <ref-law> haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Dieser ist formeller Natur und seine Verletzung führt daher ungeachtet der Erfolgsaussichten der Beschwerde in der Sache selbst grundsätzlich zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids (<ref-ruling> E. 2.2 S. 197 mit Hinweis). Der Anspruch auf rechtliches Gehör ist jedoch kein Selbstzweck. Ist nicht ersichtlich, inwiefern die Verletzung des rechtlichen Gehörs einen Einfluss auf das Verfahren haben könnte, besteht kein Interesse an der Aufhebung des Entscheids (Urteile 4A_141/2016 vom 26. Mai 2016 E. 1.2; 4A_554/2012 vom 21. März 2013 E. 4.1.2; 4A_153/2009 vom 1. Mai 2009 E. 4.1).
Bei den Begehren des Beschwerdeführers waren die Gewinnaussichten offensichtlich beträchtlich geringer einzustufen als die Verlustgefahren. Wie die Vorinstanz zutreffend ausführte, konnte sich der Beschwerdeführer nicht ernstlich beschweren über den Entscheid der Erstinstanz. Diese gewährte ihm eine Erstreckung des befristeten Mietverhältnisses bis zum 31. März 2020, obwohl keine Härtegründe vorlagen. Ganz im Gegenteil war unbestritten, dass sich der Beschwerdeführer nie um eine Anschlusslösung bemühte, obwohl er von Anfang an um die Befristung wusste und der örtliche Wohnungsmarkt unproblematisch erschien.
Die Vorinstanz wies daher sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Berufungsverfahren zu Recht ab. Was das erstinstanzliche Verfahren betrifft, begründete die Vorinstanz zwar nicht explizit, weshalb der Beschwerdeführer keinen Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung hatte. Doch erschliesst sich aus dem vorinstanzlichen Urteil ohne Weiteres, dass die Anträge des Beschwerdeführers von allem Anfang an augenscheinlich aussichtslos waren. Darum wäre die Erstinstanz überhaupt nicht verpflichtet gewesen, ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, geschweige denn einen unentgeltlichen Rechtsbeistand.
3.3. Die Vorinstanz verletzte die Bestimmungen zur unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung nicht. Auch eine Verletzung der gerichtlichen Fragepflicht (<ref-law>) ist nicht auszumachen. Zudem kann keine Rede davon sein, dass der Beschwerdeführer gemäss <ref-law> offensichtlich nicht imstande gewesen wäre, den Prozess selbst zu führen.
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen, weil die Beschwerde als von vornherein aussichtslos erscheint (<ref-law>). Darüber musste unter den gegebenen Umständen nicht vorgängig separat entschieden werden (vgl. Urteile 4A_429/2019 vom 13. November 2019 E. 6; 4A_20/2011 vom 11. April 2011 E. 7.2.2).
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Der anwaltlich nicht vertretenen Beschwerdegegnerin, die sich nur zur aufschiebenden Wirkung zu äussern hatte, ist keine Parteientschädigung für das bundesgerichtliche Verfahren zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Mai 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Luczak