Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1951 geborene, ab Januar 2015 eine Witwenrente der AHV beziehende A._ stellte am 16. Dezember 2014 einen Antrag auf Ausrichtung von Zusatzleistungen, welchem das Amt für Sozialbeiträge des Kantons Basel-Stadt (nachfolgend: ASB) mit Verfügung vom 6. Januar 2015 entsprach (Ergänzungsleistungen nach Bundesrecht [EL], Beihilfe nach kantonalem Recht). Am 5. Dezember 2016 teilte das ASB A._ verfügungsweise mit, infolge Wohnsitznahme im Kanton Jura würden die Leistungen auf Ende 2016 eingestellt. Daran wurde auf Einsprache hin festgehalten (Einspracheentscheid vom 7. Februar 2017).
A.b. Mit Verfügung vom 15. Januar 2015 hatte die Caisse de compensation du canton du Jura eine Leistungspflicht ihrerseits mangels örtlicher Zuständigkeit rechtskräftig abgelehnt.
B.
Die gegen den Einspracheentscheid des ASB vom 7. Februar 2017 erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit der Feststellung ab, dass A._ nicht im Kanton Basel-Stadt wohnhaft sei (Entscheid vom 22. August 2017).
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, in Gutheissung ihrer Rechtsvorkehr sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben. Ferner sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung, Verbeiständung) zu gewähren. Der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin reicht mit Eingabe vom 27. November 2017 eine Honorarnote ein.
Das ASB, die Caisse de compensation du canton du Jura und das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Streitgegenstand bildet der Anspruch der Beschwerdeführerin auf Zusatzleistungen zu ihrer AHV-Rente (EL, Beihilfe nach kantonalem Recht). Gemäss § 17 Abs. 1 des Gesetzes vom 15. November 1989 über die Krankenversicherung im Kanton Basel-Stadt (GKV/BS; SR 834.400) haben u.a. obligatorisch Krankenpflegeversicherte mit Wohnsitz im Kanton Basel-Stadt Anspruch auf Prämienbeiträge, wenn sie in bescheidenen wirtschaftlichen Verhältnissen leben. Diese Bestimmung verleiht somit einen Anspruch auf entsprechende kantonale Beihilfe.
1.2. Die II. sozialrechtliche Abteilung ist zuständig für Beschwerden betreffend die jährliche Ergänzungsleistung nach Art. 9 ff. ELG resp. auf Vergütung der Krankheits- und Behinderungskosten nach Art. 14 ff. ELG (<ref-law> sowie Art. 35 lit. f des Reglements für das Bundesgericht vom 20. November 2006 [BGerR; SR 173.110.131]). Nach <ref-law> fällt die kantonale Sozialversicherung zwar in die Zuständigkeit der I. sozialrechtlichen Abteilung. Es ist indessen aus prozessökonomischen Gründen sinnvoll, dass die II. Abteilung auch über die Beschwerde entscheidet, soweit sie Ergänzungsleistungen nach kantonalem Recht betrifft (Urteil 9C_710/2017 vom 13. Dezember 2017 E. 1 mit Hinweis, in: SVR 2018 EL Nr. 12 S. 30).
2.
2.1. Die Beschwerde ist nicht kassatorischer, sondern reformatorischer Natur. Daher darf sich die beschwerdeführende Partei grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu beantragen, sondern es ist in der Beschwerdeschrift ein präziser Antrag zur Sache zu stellen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 489 f.; Urteil 9C_104/2007 vom 20. August 2007 E. 10.2, in: SVR 2008 BVG Nr. 18 S. 69). Das Begehren umschreibt den Umfang des Rechtsstreits und sollte so formuliert werden, dass es bei Gutheissung zum Urteil erhoben werden kann. Ein blosser Aufhebungsantrag genügt nach dem Gesagten (von hier nicht interessierenden Ausnahmen abgesehen) grundsätzlich nicht. Bei der Beurteilung, ob ein genügender Antrag vorliegt, stellt das Gericht indessen nicht nur auf die förmlich gestellten Anträge ab; das Begehren kann sich vielmehr auch aus der Begründung ergeben (vgl. Urteile 8C_309/2011 vom 31. Mai 2011 E. 1.2 und 8C_253/2007 vom 23. Januar 2008 E. 1 mit Hinweis).
2.2. Aus der Beschwerdebegründung geht vorliegend hervor, dass sinngemäss um Ausrichtung von Zusatzleistungen zur AHV-Rente über Ende 2016 hinaus ersucht wird. Auf die Beschwerde kann daher eingetreten werden.
3.
3.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
3.2. Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 44). Eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung weist damit die Tragweite von Willkür auf (<ref-ruling> E. 8.1 S. 153). Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erschiene (Urteil 9C_570/2007 vom 5. März 2008 E. 4.2). Eine Sachverhaltsfeststellung ist etwa dann offensichtlich unrichtig, wenn das kantonale Gericht den Sinn und die Tragweite eines Beweismittels offensichtlich falsch eingeschätzt, ohne sachlichen Grund ein wichtiges und für den Ausgang des Verfahrens entscheidendes Beweismittel nicht beachtet oder aus den abgenommenen Beweisen unhaltbare Schlüsse gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.1 S. 9; Urteil 9C_805/2016 vom 21. Juni 2017 E. 1.3 mit Hinweisen).
4.
4.1. Zu beurteilen ist der Anspruch der Beschwerdeführerin auf Zusatzleistungen für den Zeitraum ab 2017, wobei sich die Verfahrensbeteiligten insbesondere in Bezug auf die Wohnsitzfrage uneinig sind.
4.2. Hinsichtlich der massgeblichen Rechtsgrundlagen ist mit dem kantonalen Gericht darauf hinzuweisen, dass Anknüpfungspunkt für die örtliche Zuständigkeit zur Prüfung der Anspruchsberechtigung sowie die Berechnung und Auszahlung der Ergänzungsleistungen der Wohnsitz und der gewöhnliche Aufenthalt ist (Art. 4 Abs. 1 i.V.m. Art. 21 Abs. 1 Satz 1 ELG, <ref-law> und <ref-law>; § 17 Abs. 1 Satz 1 GKV/BS). Der zivilrechtliche Wohnsitz einer Person befindet sich an dem Ort, wo sie sich mit der Absicht dauernden Verbleibens aufhält (<ref-law>) und den sie sich zum Mittelpunkt ihrer Lebensinteressen gemacht hat (<ref-ruling> E. 1 S. 238 f.; <ref-ruling> E. 3 S. 102). Für die Begründung des Wohnsitzes müssen somit zwei Merkmale erfüllt sein: Ein objektives äusseres, der Aufenthalt, sowie ein subjektives inneres, die Absicht dauernden Verbleibens. Nach der Rechtsprechung kommt es nicht auf den inneren Willen, sondern darauf an, auf welche Absicht die erkennbaren Umstände objektiv schliessen lassen (<ref-ruling> E. 1 S. 238 f.; <ref-ruling> E. 2a S. 77 f.). Der Wohnsitz bleibt an diesem Ort bestehen, solange nicht anderswo ein neuer begründet wird (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 258; <ref-ruling> E. 3.1 S. 312 mit Hinweisen; Urteile 9C_600/2017 vom 9. August 2018 E. 2.2 mit Hinweisen und 9C_388/2013 vom 10. Dezember 2013 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2014 EL Nr. 7 S. 17).
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin macht zunächst geltend, es habe sich in Bezug auf ihren Leistungsanspruch weder der Sachverhalt nachträglich erheblich im Sinne von <ref-law> verändert, noch bestehe hinsichtlich der Verfügung des Beschwerdegegners vom 6. Januar 2015, mit welcher ihr vorbehaltlos Leistungen zugesprochen worden seien, ein Wiedererwägungsgrund nach <ref-law>. Da folglich kein Rückkommenstitel gegeben sei, habe es bei den bisherigen Leistungen zu bleiben.
5.2. Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung beantwortet sich die Frage, ob ab 2017 weiterhin Leistungen auszurichten sind, unabhängig von der ersten leistungszusprechenden EL-Verfügung des Beschwerdegegners vom 6. Januar 2015. Mag es auch zutreffen, dass das ASB anlässlich der seinerzeitigen materiellen Prüfung des EL-Gesuchs implizit seine diesbezügliche Zuständigkeit bejaht hat, kann daraus für den hier zu beurteilenden Leistungsanspruch dennoch keine präjudizielle Wirkung abgeleitet werden. Auf Grund der formell-gesetzlichen Ausgestaltung der Ergänzungsleistung als einer auf das Kalenderjahr bezogenen Versicherung (Art. 3 Abs. 1 lit. a ELG) kann eine Verfügung darüber in zeitlicher Hinsicht von Vornherein nur für ein Kalenderjahr Rechtsbeständigkeit entfalten (<ref-ruling> E. 1.3 S. 257 f.; <ref-ruling>).
6.
6.1. Weiter rügt die Beschwerdeführerin, das kantonale Gericht sei in Verletzung von <ref-law> davon ausgegangen, dass sich ihr Wohnsitz nicht in Basel, sondern auf Grund des Einstellplatzes des Wohnwagens im Kanton Jura befinde.
6.2. Die Vorinstanz fällte ihren Entscheid gestützt auf die Aktenlage sowie die Angaben der Beschwerdeführerin im Rahmen der Hauptverhandlung. Sie erwog dabei insbesondere, es könne davon ausgegangen werden, dass die Beschwerdeführerin Beziehungen zu verschiedenen Orten in der Schweiz pflege. Als fahrende Schaustellerin - wie sie sich selbst bezeichne - sei sie in der ganzen Schweiz unterwegs. Wenn sie sich nicht auf Reisen befände, halte sie sich grossmehrheitlich in den Kantonen Jura (B._) und Basel-Stadt auf. Auf Grund der teilweise mehrdeutigen Angaben der Beschwerdeführerin und der anlässlich der Hauptverhandlung als Auskunftsperson befragten Vermieterin der Wohnung der Beschwerdeführerin in Basel habe jedoch nicht eindeutig geklärt werden können, ob sich die Beschwerdeführerin während der "messefreien" Zeiten häufiger in Basel oder in B._ aufhalte. Letztlich hänge die Wohnsitzfrage aber nicht allein von der Anzahl Übernachtungen ab. Entscheidend sei vielmehr, welchen Ort die Beschwerdeführerin zu ihrem Lebensmittelpunkt gemacht habe. Deutlich geworden sei, dass sich das Leben der Beschwerdeführerin schwergewichtig im Wohnwagen abspiele und dies ihren tatsächlichen Lebensmittelpunkt darstelle. Fest stehe ferner, dass ihr Wohnwagen im Winter während drei bis vier Monaten und im Sommer etwa während eines Monats in B._ stehe. Dort befänden sich auch die Lager der Beschwerdeführerin und ihres Sohnes, wo sie ihr Material aufbewahrten. Die Beschwerdeführerin mache zwar geltend, während der Ruhezeit mehrere Tage pro Woche in ihrer Mietwohnung in Basel zu verbringen, da sie hier insbesondere ihre Einkäufe erledige. Gleichzeitige habe sie aber auch betont, sie schlafe am besten in B._ in ihrem Wohnwagen, da ihr die Ruhe an diesem Ort gut tue. Daraus könne geschlossen werden - so das kantonale Gericht im Weiteren -, dass die Beschwerdeführerin sich um ihrer selbst Willen in B._ aufhalte, gerade um dort zu leben und zu sein, wo sich ihr Wohnwagen befinde. Die Tatsache, dass die Beschwerdeführerin für ihren Standplatz in B._ Mietzins zahle und über einen Strom- und Wasser- sowie einen Festnetzanschluss verfüge, deute ebenfalls darauf hin, dass sie B._ zum Mittelpunkt ihrer Lebensinteressen auserkoren habe. Für diesen Schluss sprächen zudem frühere Äusserungen der Beschwerdeführerin und ihres verstorbenen Ehemannes gegenüber dem Beschwerdegegner. Unabhängig davon, ob die Beschwerdeführerin als "fahrende Schaustellerin" oder als "Fahrende" zu betrachten sei, seien es exakt ihre Lebensumstände, auf welche die in Rz. 1420.01 der Wegleitung des BSV über die Ergänzungsleistungen zur AHV und IV (WEL) enthaltene Regelung, wonach sich der Wohnsitz Fahrender an ihrem Winterstandort befinde, abziele. Die Würdigung der konkreten Umstände und die WEL führten damit vorliegend zum selben Ergebnis: Der im Rahmen des EL-Rechts massgebliche Wohnsitz der Beschwerdeführerin sei an ihrem Winterstandort in B._ zu verorten. Aus der Tatsache, dass sie ihre Schriften in Basel hinterlegt habe und dort an der Strasse C._ angemeldet sei, könne die Beschwerdeführerin angesichts der gesamten Gegebenheiten nichts zu Gunsten ihres Standpunkts ableiten. Die Behörden des Kantons Basel-Stadt seien daher nicht zur Festsetzung und Auszahlung von Ergänzungsleistungen zuständig.
6.3. In der Beschwerde werden gegen diese - für das Bundesgericht grundsätzlich verbindliche (vgl. E. 3 hiervor) - Würdigung des Sachverhalts verschiedene Einwände vorgebracht:
6.3.1. Zum einen beanstandet die Beschwerdeführerin ihre Einstufung als "Fahrende" im Sinne von Ziff. 1420.01 WEL. Dem ist insofern beizupflichten, als sie nicht einer nicht-sesshaften ethnischen Minderheit wie etwa den Roma angehört, sondern sich selber als fahrende Schaustellerin bezeichnet. Dies ändert jedoch - mit dem kantonalen Gericht - nichts daran, dass sich ihr Lebensrhythmus nach den von ihr besuchten Messen und Schauen ("Tourneen") richtet und ihr zu Hause und Lebensmittelpunkt somit ihr Wohnwagen darstellt. Darüber hinaus hält sie sich nach eigener Aussage auch während der messefreien Zeiten, wenn sich ihr Wohnwagen auf dem Abstellplatz im Kanton Jura befindet, auf Grund der ruhigen Lage teilweise dort auf. Entgegen ihrer letztinstanzlichen Darstellung handelt es sich dabei demnach nicht um einen blossen "Parkplatz" für ihren Wohnwagen bzw. Lagerort für ihr Material. Dass die Vorinstanz die Beschwerdeführerin nach Massgabe von Ziff. 1420.01 WEL als im Kanton Jura wohnhaft eingestuft hat, lässt sich vor diesem Hintergrund jedenfalls nicht als offensichtlich unrichtig qualifizieren, zumal die Beschwerdeführerin B._ anlässlich der Hauptverhandlung selber ausdrücklich als ihren Winterlagerplatz benannt hat.
6.3.2. Kein anderes Ergebnis herbeizuführen vermag die Beschwerdeführerin sodann mit ihrem Argument, es sei ihr aus rein organisatorischen Gründen nicht möglich gewesen, ihren Wohnwagen im Kanton Basel-Stadt und damit in der Nähe ihrer Mietwohnung zu platzieren. Namentlich sei der einzige Ort im Kanton Basel-Stadt, an welchem es gestattet sei, Wohnwagen abzustellen, "eigentlichen" Fahrenden im Sinne eines klassischen Winterquartiers vorbehalten. Sie verkennt dabei, dass es einzig Aufgabe von Beschwerdegegner und kantonalem Gericht war, festzustellen, wo sich mit Blick auf die Wohnsitzfrage der von aussen erkennbare Mittelpunkt ihrer Lebensbeziehungen befindet. Nicht entscheidend ist dabei der innere Wille der betroffenen Person, hier also der angebliche Wunsch der Beschwerdeführerin nach einem Abstellplatz für ihren Wohnwagen im Kanton Basel-Stadt, solange nicht äussere Umstände diesen objektiv manifestieren (E. 4.2 hiervor).
6.3.3. Entgegen deren Vorbringen verfügt die Beschwerdeführerin ferner auch nicht nur ausschliesslich in Basel über soziale Kontakte. So hilft sie beispielsweise gemäss eigenen Angaben oft der Vermieterin des - ihr auf Lebenszeit zur Verfügung gestellten - Abstellplatzes in B._, Frau D._, die ebenfalls Schaustellerin ist. Zudem hat auch ihr Sohn sein Lager im selben jurassischen Hangar, in dem die Beschwerdeführerin ihr Material aufbewahrt. Im Weiteren bezeichnete sie anlässlich der vorinstanzlichen Hauptverhandlung ausdrücklich "Fr. E._" als ihre Kollegin in B._.
6.3.4. Wie schliesslich bereits im angefochtenen Entscheid einlässlich dargelegt wurde, ist für die Wohnsitzfrage nicht (allein) massgebend, dass die Beschwerdeführerin in Basel angemeldet ist und ihre Schriften hinterlegt hat (BGE <ref-ruling> E. 3.3 S. 313; <ref-ruling> E. 2c S. 241).
6.4. Die in der Beschwerde erhobenen Einwendungen vermögen nach dem Gesagten allesamt keine willkürliche, Bundesrecht verletzende vorinstanzliche Beweiswürdigung zu begründen. Sie sind nicht geeignet, die entscheidwesentlichen Sachverhaltsdarstellungen des kantonalen Gerichts als offensichtlich unrichtig, d.h. unhaltbar, willkürlich (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234), oder in anderer Weise rechtswidrig erscheinen zu lassen (vgl. E. 3 hiervor).
7.
7.1. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten grundsätzlich der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG) kann jedoch entsprochen werden. Sie hat der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>).
7.2. Der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin macht mit Kostennote vom 27. November 2017 ein Honorar von Fr. 2'649.95 sowie Auslagen und Ersatz der Mehrwertsteuer in der Höhe von Fr. 231.75, insgesamt also Fr. 2'881.70 geltend.
7.2.1. Nach <ref-law> und Art. 10 des Reglements über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht vom 31. März 2006 (SR 173.110.210.3) hat der amtlich bestellte Anwalt Anspruch auf eine angemessene Entschädigung aus der Bundesgerichtskasse, soweit der Aufwand für die Vertretung nicht aus einer zugesprochenen Parteientschädigung gedeckt werden kann. Gemäss <ref-law> und Art. 2 Abs. 1 des Entschädigungsreglements umfasst die Parteientschädigung die Anwaltskosten und die notwendigen Auslagen für die Prozessführung, wobei sich die Anwaltskosten aus dem Anwaltshonorar und dem Auslagenersatz zusammensetzen. Praxisgemäss wird für einen Normalfall Fr. 2'800.- zugesprochen, Auslagen und Mehrwertsteuer inbegriffen. Das Abstellen auf die den jeweiligen Zeitaufwand detailliert ausweisende Honorarnote eines Rechtsvertreters erscheint aber grundsätzlich als sachgerecht (Art. 12 Abs. 2 Entschädigungsreglement; u.a. Urteile 8C_617/2017 vom 12. Januar 2018 E. 5.2 und 9C_184/2016 vom 27. Mai 2016 E. 6.2, je mit weiteren Hinweisen).
7.2.2. Der in der Kostennote geltend gemachte Betrag von insgesamt Fr. 2'881.70 übersteigt den Normalansatz nur minimal und ist als angemessen zu qualifizieren. Die Entschädigung kann deshalb in dieser Höhe festgesetzt werden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Advokat Patrick Frey wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'881.70 ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Caisse de compensation du canton du Jura, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 31. August 2018
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Fleischanderl