Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1970) ist Staatsangehöriger der Demokratischen Republik Kongo. Das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt widerrief am 9. Juni 2020 seine Niederlassungsbewilligung wegen seiner massiven Verschuldung und wies ihn aus der Schweiz und dem Schengenraum weg. Diese Verfügung erwuchs in Rechtskraft. Am 2. Februar 2021 stellte A._ ein Wiedererwägungsgesuch; das Migrationsamt wies das Gesuch am 18. März 2021 ab. Den dagegen erhobenen Rekurs wies das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt am 6. Mai 2021 ab. In der Folge gelangte A._ an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Dieses wies mit Zwischenverfügung vom 4. Juni 2021 sein Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung bzw. um Gewährung eines prozeduralen Aufenthaltsrechts sowie sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab und setzte ihm Frist bis 9. Juli 2021, um einen Kostenvorschuss von Fr. 1'200.-- zu leisten.
1.2. Mit Beschwerde vom 5. Juli 2021 beantragt A._ dem Bundesgericht hauptsächlich, ihm sei im vorinstanzlichen Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen. Zudem sei dem Rekurs die aufschiebende Wirkung zu erteilen bzw. ihm zu gestatten, das Verfahren in der Schweiz abzuwarten. Das Bundesgericht hat keine Instruktionsmassnahmen verfügt.
2.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerde zulässigerweise auf Französisch verfasst (Art. 42 Abs. 1 BGG); das Verfahren vor Bundesgericht wird jedoch in der Sprache des angefochtenen Entscheids und damit auf Deutsch geführt (Art. 54 Abs. 1 BGG).
3.
3.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften unter anderem die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in der Begründung in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Art. 95 ff. BGG nennen dabei die zulässigen Rügegründe. Die Begründung muss sich aus der Rechtsschrift selber ergeben; pauschale Verweise auf frühere Eingaben sind nicht zulässig (<ref-ruling> E. 3.2).
3.2. Soweit die Vorinstanz das Gesuch um aufschiebende Wirkung bzw. prozeduralen Aufenthalt des Beschwerdeführers abgewiesen hat, handelt es sich um einen Entscheid über vorsorgliche Massnahmen, weshalb nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann (Art. 98 BGG). Die Beschwerde hat deshalb einer qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit zu genügen (Art. 106 Abs. 2 BGG); in ihr ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, dass und inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 2.1). Auf bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid geht das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 6.3).
3.3. Die Vorinstanz hat sowohl das Gesuch um aufschiebende Wirkung bzw. prozeduralen Aufenthalt als auch das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen, weil sie den Rekurs bei provisorischer und summarischer Beurteilung als eindeutig aussichtslos qualifiziert (vgl. E. 2.4.4 und E. 3 des angefochtenen Urteils). Dabei hat sie erwogen, dass sich der Beschwerdeführer in seiner Rekursbegründung überhaupt nicht mit dem angefochtenen Entscheid auseinandersetze, weshalb auf den Rekurs mutmasslich nicht einzutreten sei (vgl. E. 2.4.1 des angefochtenen Urteils). Im Übrigen wäre der Rekurs mutmasslich abzuweisen. Der Umstand alleine, dass der Beschwerdeführer nach dem Bewilligungswiderruf eine Schuldenberatungsstelle aufgesucht habe, lasse den Widerrufsgrund von Art. 63 Abs. 1 lit. b AIG (SR 142.20) nicht dahinfallen (vgl. E. 2.4.2 des angefochtenen Urteils). Soweit der Beschwerdeführer die rechtskäftige Widerrufsverfügung kritisiere, mache er weder eine nachträgliche Änderung des Sachverhalts noch neue Tatsachen oder Beweismittel geltend. Er hätte diese Rügen im damaligen Verfahren vorbringen können und müssen (vgl. E. 2.4.3 des angefochtenen Urteils).
3.4. Mit diesen Erwägungen setzt sich die Beschwerde nicht auseinander. Der Beschwerdeführer bringt pauschal vor, sein Rekurs sei genügend begründet gewesen. Sodann liege eine nachträgliche Änderung des rechtserheblichen Sachverhalts vor; er berufe sich in dieser Hinsicht auf Art. 8 EMRK. Er begründet aber weder, worin die behauptete Sachverhaltsänderung liegen soll, noch inwieweit er nach Art. 8 EMRK einen Rechtsanspruch auf Wiederzulassung besitzt. Der pauschale Verweis auf seine vorinstanzlichen Eingaben genügt dabei nicht (vgl. vorne E. 3.1). Unzutreffend ist sodann der Vorwurf, die Vorinstanz habe im Hinblick auf den prozeduralen Aufenthalt die auf dem Spiel stehenden Interessen nicht berücksichtigt; wird das Wiedererwägungsverfahren als aussichtslos qualifiziert, fällt die Interessensabwägung offenkundig zu Ungunsten des Gesuchstellers aus. Der Beschwerde mangelt es offensichtlich an einer hinreichenden Begründung; darauf ist im vereinfachten Verfahren durch den Einzelrichter nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
4.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sollte er sinngemäss auch im bundesgerichtlichen Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege ersucht haben, wäre das Gesuch wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG e contrario).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht Basel-Stadt, Präsident, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Juli 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Businger