Sachverhalt:
A.
Die Kreisschulbehörde B._ stellte die 1979 geborene A._ auf Beginn des Schuljahres 2018/19 als Primarlehrerin mit einem 60%igen Arbeitspensum ein (Verfügung vom 5. Juli 2018). Innerhalb der bis 31. Dezember 2018 dauernden Probezeit kündigte die Kreisschulbehörde das Arbeitsverhältnis auf den 21. Dezember 2018 (Verfügung vom 10. Dezember 2018). Begründet wurde dies mit der nicht tragfähigen Zusammenarbeit, insbesondere zwischen A._ und ihrem Stellenpartner (Kündigungsschreiben vom 28. November [richtig wohl 3. Dezember] 2018). Den dagegen erhobenen Rekurs wies die Bildungsdirektion des Kantons Zürich mit Entscheid vom 19. Juni 2020 ab.
B.
Die hiergegen eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 24. März 2021 ab.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils sei die Stadt Zürich zu verpflichten, ihr Fr. 17'488.50 nebst Zins zu 5 % seit 3. Januar 2019 zu bezahlen.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten eingeholt. Es wurde kein Schriftenwechsel durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG) und betrifft ein öffentlich-rechtliches Arbeitsverhältnis, d.h. eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von <ref-law>. Der Streitwert beträgt gemäss den unbestrittenen Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>) rund Fr. 19'400.-. Es handelt sich um eine vermögensrechtliche Streitigkeit, weshalb der Ausschlussgrund von <ref-law> nicht gegeben ist. Die Streitwertgrenze von Fr. 15'000.- (Art. 51 Abs. 1 lit. a, Art. 85 Abs. 1 lit. b BGG) ist erreicht. Auf die Beschwerde kann eingetreten werden.
2.
2.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Offensichtlich unrichtig bedeutet dabei willkürlich (<ref-ruling> E.2; <ref-ruling> E. 1.2.2).
2.2. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Für die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem sowie kommunalem Recht gilt demgegenüber eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>). Das Bundesgericht untersucht nicht von sich aus, ob das angefochtene kantonale Urteil die Grundrechte oder kantonales und kommunales Recht verletzt, sondern prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Da keine gesetzliche Ausnahme besteht (Art. 95 lit. c-e BGG), ist die Prüfungsbefugnis des Bundesgerichts gegenüber kantonalem Recht auf die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, insbesondere auf Willkür, beschränkt (<ref-law>; vgl. zum Willkürverbot <ref-ruling> E. 2.2 mit Hinweisen).
3.
3.1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz eine Rechtsverletzung beging, indem sie die Rechtmässigkeit der Kündigung des Arbeitsverhältnisses gemäss Verfügung vom 10. Dezember 2018 bestätigte.
3.2. Die hier massgebenden rechtlichen Grundlagen werden im angefochtenen Urteil einlässlich dargelegt. Es sind dies im Wesentlichen das Lehrpersonalgesetz des Kantons Zürich vom 10. Mai 1999 (LPG; LS 412.31) und die Lehrpersonalverordnung des Kantons Zürich vom 19. Juli 2000 [LPVO; LS 412.311]). Hinsichtlich des Arbeitsverhältnisses finden die für das übrige Staatspersonal anwendbaren Bestimmungen ergänzend Anwendung (vgl. § 2 LPG), mithin insbesondere das kantonale Personalgesetz vom 27. September 1998 (PG; LS 177.10), die Personalverordnung des Kantons Zürich vom 16. Dezember 1998 (PV; LS 177.11) sowie die Vollzugsverordnung zum Personalgesetz vom 19. Mai 1999 (VVO; LS 177.111). Darauf wird verwiesen.
Hervorzuheben ist, dass die Kündigung durch den Kanton nach § 18 Abs. 2 PG nicht missbräuchlich nach den Bestimmungen des Obligationenrechts (OR) sein darf und einen sachlich zureichenden Grund voraussetzt. Nach § 16 Abs. 1 lit. a VVO besteht ein sachlich zureichender Grund namentlich dann, wenn mangelhafte Leistungen oder unbefriedigendes Verhalten vorliegen. Soweit hier <ref-law> als rechtliche Beurteilungsgrundlage herangezogen wird, ist festzuhalten, dass die Regelung des OR als ergänzendes kantonales Recht zur Anwendung gelangt, dies mit den bereits dargelegten kognitionsrechtlichen Regeln (vorstehende E. 2.2; vgl. Urteil 8C_242/2020 vom 9. September 2020 E. 3.3).
4.
Die Vorinstanz erwog, die fachlichen Fähigkeiten der Beschwerdeführerin seien unbestritten und die entsprechenden Erwartungen an sie habe sie stets erfüllt. Aus verschiedenen Sitzungsprotokollen und E-Mails ergebe sich aber, dass die Zusammenarbeit zwischen der Beschwerdeführerin und ihrem Stellenpartner von Anfang an gestört gewesen sei und nie richtig funktioniert habe. Entsprechende Beobachtungen habe der Schulleiter der Beschwerdeführerin bereits anlässlich eines Probezeit-Zwischengesprächs am 19. September 2018 mitgeteilt. Diese Kritik habe sie jedoch als unzutreffend und grundlos bezeichnet. Sowohl die Beschwerdeführerin als auch ihr Stellenpartner hätten, so die Vorinstanz weiter, an einem weiteren Gespräch vom 25. Oktober 2018 ausgesagt, dass ihnen die Zusammenarbeit nicht gefalle und sie belaste, wobei nach Ansicht der ersteren das Protokoll den Inhalt dieses Gesprächs nur unzureichend wiedergebe, was sie dem Schulleiter am 3. November 2018 mitgeteilt habe. Das Arbeitsverhältnis sei nicht gekündigt worden, weil die Beschwerdeführerin auf die Einhaltung einer - mithin zwischen den Parteien nicht übereinstimmend aufgefassten - Vereinbarung über das Arbeitspensum gepocht habe. Vielmehr sei die Zusammenarbeit der beiden Stelleninhaber als nicht zukunftsfähig eingeschätzt worden. Ein treuewidriges Verhalten seitens der Beschwerdegegnerin sei nicht zu erkennen, ebenso wenig eine ihr vorgeworfene "Kultur der Einschüchterung". Die bereits zu Beginn der Probezeit bestehenden Probleme und Schwierigkeiten in der Zusammenarbeit zwischen der Beschwerdeführerin und ihrem Stellenpartner seien geeignet gewesen, die zukünftige Funktionsfähigkeit dieser Stellenpartnerschaft anzuzweifeln und die Entstehung eines Vertrauensverhältnisses zwischen diesen beiden sowie zwischen der Beschwerdeführerin und dem Schulleiter zu verhindern. Ein Verschulden der Beschwerdeführerin sei hierzu nicht vorausgesetzt. Der Entschluss der Beschwerdegegnerin, das Arbeitsverhältnis noch während der Probezeit zu beenden, sei zulässig und entspreche dem Zweck der Probezeit, weshalb die Kündigung rechtmässig sei.
5.
5.1. Die im vorliegenden Fall anwendbaren Vorschriften (vorstehende E. 3.2) sehen keine Entlassungsgründe für die Probezeit vor, weshalb es der entlassenden Behörde grundsätzlich freisteht, auf die Fortsetzung des Dienstes während dieser Zeit zu verzichten (Urteil 8C_419/2017 vom 6. April 2018 E. 5.3.2 mit Hinweisen). Soweit die Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang auf <ref-ruling> verweist, ist zu beachten, dass die Missbrauchsbestimmungen mit Blick auf den Zweck der Probezeit gegenüber einem Arbeitsverhältnis mit ordentlicher Kündigungsfrist nur einschränkend zur Anwendung gelangen, worauf die Vorinstanz bereits hinwies (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 7.1). Nach der Rechtsprechung soll die Probezeit die Parteien in die Lage versetzen, sich auf die Begründung eines auf Dauer angelegten Arbeitsverhältnisses vorzubereiten, indem sie Gelegenheit erhalten, ihr Vertrauensverhältnis zu erproben, festzustellen, ob sie zueinander passen und zu reflektieren, bevor sie sich für einen längeren Zeitraum binden. Entspricht das eingegangene Vertragsverhältnis nicht ihren Erwartungen, müssen die Parteien es schnell beenden können (vgl. im Privatrecht: <ref-ruling> E. 3 und 129 III 124 E. 3.1, im öffentlichen Personalrecht: Urteile 8C_419/2017 vom 16. April 2018 E. 5.3.2 und 8C_518/2011 vom 18. April 2012 E. 6.1). Die Probezeit dient also dazu, die Persönlichkeit des Mitarbeiters und seine Eignung für eine bestimmte Position zu beurteilen. Bei einer Kündigung während der Probezeit genügt die Unmöglichkeit, ein für die Erfüllung der übertragenen Aufgaben notwendiges Vertrauensverhältnis aufzubauen als sachlicher Kündigungsgrund (vgl. die Urteile 8C_310/2017 vom 14. Mai 2018 E. 6.3, 8C_467/2013 vom 21. November 2013 E. 3.2 und 8C_649/2012 vom 14. Dezember 2012 E. 8.2, je mit Hinweisen). Vor Ablauf der Probezeit können beide Parteien mithin nicht darauf vertrauen, das Arbeitsverhältnis werde langfristig Bestand haben. Eine langfristige Planung ist in dieser Zeit nicht im gleichen Masse möglich wie nach Ablauf der Probefrist (Urteil 8C_649/2012 vom 14. Dezember 2012 E. 8.2 mit Hinweis auf Urteil 4A_11/2011 vom 16. Mai 2011 E. 1.3).
5.2.
5.2.1. Nach den Feststellungen der Vorinstanz gab es vom Schulleiter wahrgenommene Probleme hinsichtlich einer tragfähigen Zusammenarbeit zwischen der Beschwerdeführerin und ihrem Stellenpartner, mit dem sie sich den Unterricht einer Klasse teilte. Ein Vertrauensverhältnis konnte - gemäss vorinstanzlichem Urteil - weder zwischen den zwei betroffenen Lehrpersonen noch mit der Schulleitung aufgebaut werden, was denn auch von der Beschwerdeführerin nicht grundsätzlich in Abrede gestellt wird. Diese behauptet erneut, die Unzufriedenheit der Beschwerdegegnerin gründete ausschliesslich darauf, dass sie sich donnerstags und freitags ihrem Studium gewidmet habe und der Schule nicht zur Verfügung gestanden sei. Dass sie auf die Einhaltung dieser zwischen ihr und der Beschwerdegegnerin getroffenen Vereinbarung bestanden habe, sei auch der einzige Grund für die Beschwerden seitens ihres Stellenpartners gewesen.
5.2.2. Wohl wurde im Protokoll des Probezeit-Zwischengesprächs vom 19. September 2018 unter Buchstabe "D" angemerkt: "Wie beim Einstellungsgespräch abgemacht, ist A._ jeweils donnerstags und freitags für die Schule nicht verfügbar, da sie diese Zeit für ihr Studium benötigt". Eine schriftliche Vereinbarung hierüber findet sich aber nicht bei den Akten, weshalb die entsprechende Feststellung der Vorinstanz nicht aktenwidrig ist, wie die Beschwerdeführerin behauptet. Die Vorinstanz stellte fest, es bestünden unterschiedliche Ansichten bezüglich des genauen Inhalts dieser Abmachung. Die Beschwerdeführerin meine, von jeglicher Arbeitsleistung an diesen Tagen befreit gewesen zu sein, und die Beschwerdegegnerin vertrete die Auffassung, die Abmachung habe sich auf den Präsenzunterricht beschränkt; Elterngespräche, Arbeitszeit für Korrektur- und Vorbereitungsarbeiten für den Unterricht sowie Absprachen mit der zweiten Klassenlehrperson hätten gegebenenfalls auf unterrichtsfreie Wochentage gelegt werden müssen. Die Beschwerdegegnerin bekräftigte denn auch in ihrer vorinstanzlichen Beschwerdeantwort, wie beschwerdeweise im vorliegenden Verfahren zitiert: "Eine Vereinbarung, welche jegliche Arbeitsleistung für die Schule ausserhalb der betreffenden Unterrichtstage zum vornherein ausgeschlossen hätte, bestand zu keinem Zeitpunkt". Diese Formulierung lässt - entgegen den Einwänden der Beschwerdeführerin - willkürfrei und ohne Verletzung des rechtlichen Gehörs die vorinstanzliche Beurteilung zu, es habe eine unterschiedliche Auffassung über den Inhalt der Vereinbarung bestanden. Fehl geht damit auch die Rüge, die Vorinstanz habe diese Vereinbarung ebenso ignoriert wie die Rechtsprechung zum Vorliegen einer missbräuchlichen Kündigung, wenn der Arbeitnehmer auf die Einhaltung einer zwischen ihm und dem Arbeitgeber getroffenen Vereinbarung bestehe. Wie die Vorinstanz nicht offensichtlich unrichtig feststellte, war nicht das Pochen auf die Vereinbarung (in der von der Beschwerdeführerin verstandenen Weise) tatsächliches Kündigungsmotiv, weshalb die Rüge einer missbräuchlichen Kündigung fehl geht. Denn die Missbräuchlichkeit einer Kündigung setzt einen Kausalzusammenhang zwischen dem verpönten Motiv und der Kündigung voraus. Es ist mithin erforderlich, dass der als missbräuchlich angefochtene Kündigungsgrund bei der Entscheidung des Arbeitgebers, das Arbeitsverhältnis aufzulösen, eine entscheidende Rolle gespielt hat (siehe <ref-ruling> E. 2a). Einen Kausalzusammenhang zwischen dem behaupteten Kündigungsgrund und der Kündigung durfte die Vorinstanz verneinen, ohne in Willkür zu verfallen oder sonstwie Bundesrecht zu verletzen. Vielmehr stellte sie für das Bundesgericht verbindlich fest, die Absprachen zwischen der Beschwerdeführerin und dem Stellenpartner funktionierten nicht und ihre Erwartungen seien sehr unterschiedlich gewesen. Mithin habe die "Chemie" zwischen den im Jobsharing tätigen Lehrpersonen nicht gestimmt. Diese der Beschwerdeführerin bereits im Probeverhältnis-Zwischengespräch am 19. September 2018 seitens der Schulleitung mitgeteilte Kritik sei von ihr als unzutreffend und grundlos bezeichnet worden.
Auch und gerade wegen dieser Umstände durfte die Vorinstanz zum Schluss gelangen, dass, wie sich aus verschiedenen E-Mails und Protokollen ergebe, die Zusammenarbeit zwischen der Beschwerdeführerin und dem Stellenpartner von Anfang an gestört gewesen sei und nie richtig funktioniert habe, womit auch die Kündigung begründet worden sei. Nichts anderes ergibt sich aus dem angerufenen Protokoll des Mitarbeitergesprächs vom 25. Oktober 2018, welches die Vorinstanz ebenfalls nicht ausser Acht liess, wie die Beschwerdeführerin moniert. Vielmehr legte die Vorinstanz dar, dass der Stellenpartner dargelegt habe, bei den Absprachen "spüre er den Widerwillen" der Beschwerdeführerin; beide hätten ausgesagt, ihnen gefalle die Zusammenarbeit nicht bzw. belaste sie. In Bezug auf das Probezeit-Zwischengespräch vom 19. September 2018 wies die Vorinstanz auf die darin festgehaltenen Abstimmungsprobleme und Schwierigkeiten in der Zusammenarbeit mit der zweiten Lehrperson hin. Inwiefern diese Darlegungen willkürlich im Sinne von <ref-law> oder gehörsverletzend nach <ref-law> sein sollen, ist gestützt auf die Vorbringen in der Beschwerde hierzu nicht ersichtlich. Die Vorinstanz ging in nicht zu beanstandender Weise von einem sachlichen Kündigungsgrund aus, indem sie ausführte, die in die Probezeit nachwirkende Abschlussfreiheit räume der Beschwerdegegnerin die Möglichkeit ein, das Dienstverhältnis aufzulösen, um eine Lehrperson zu suchen, die besser mit dem Stellenpartner zusammenarbeiten könne und sich optimaler ins bestehende Team integriere (vgl. Gesprächsprotokoll vom 31. Oktober 2018).
5.2.3. Es braucht somit für die Zulässigkeit der Kündigung nicht geprüft zu werden, ob resp. inwiefern die Beschwerdeführerin ein Verschulden an diesen Unstimmigkeiten trifft. Die weiteren zahlreichen Einwendungen in der Beschwerde sind grösstenteils bereits im vorinstanzlichen Verfahren vorgebracht und im angefochtenen Urteil überzeugend entkräftet worden. Damit setzt sich die Beschwerdeführerin kaum auseinander, sondern beschränkt sich im Wesentlichen darauf, wiederum ihre Sicht der Dinge darzulegen. Dies reicht nicht aus, um den Vorwurf der Willkür zu begründen.
5.3. Die Beschwerdeführerin vermag zusammenfassend nicht aufzuzeigen, inwiefern die rechtlichen Überlegungen der Vorinstanz zur Gültigkeit der während der Probezeit ausgesprochenen Kündigung willkürlich (<ref-ruling> E. 7.3.1; <ref-ruling> E. 8.1) oder anderweitig verfassungswidrig sein sollen. Es ist insbesondere weder dargetan noch ersichtlich, dass das kantonale Gericht damit einhergehend eine offensichtlich unrichtige Feststellung getroffen oder kantonales Recht u.a. in Gestalt des beizuziehenden OR (vgl. § 18 Abs. 2 PG) willkürlich angewendet hätte. Soweit die Beschwerdeführerin die Missbräuchlichkeit der Kündigung mit einer Verletzung der Fürsorgepflicht durch die Arbeitgeberin begründet, vermag dies nichts zu ändern. Mit Blick auf die Feststellungen im angefochtenen Urteil verneinte die Vorinstanz bundesrechtskonform, dass sich die Arbeitgeberin nicht hinreichend um eine Lösung der bestehenden Probleme bemüht oder eine Einschüchterungskultur geherrscht hätte. Damit schloss die Vorinstanz das Vorliegen einer rechtsmissbräuchlichen Kündigung und folglich einen Anspruch auf eine daraus resultierende Entschädigung auch unter diesem Aspekt willkürfrei aus. Bei diesem Ergebnis braucht auf die Darlegungen in der Beschwerde zur Berechnung der Forderung nicht eingegangen zu werden. Damit hat es beim vorinstanzlichen Urteil sein Bewenden.
6.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und der Bildungsdirektion des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. Juni 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Polla