Sachverhalt:
A.
A._ ist Eigentümer eines landwirtschaftlichen Betriebs in Hefenhofen/TG, auf welchem er u.a. Pferde züchtete. Am Vormittag des 30. Juni 2015 fand auf dem Hof von A._ eine Begehung zwecks Kontrolle von zuvor verfügten Auflagen statt. An der Begehung nahmen neben A._, dessen Frau und dessen Anwalt auch ein Mediator mit tiermedizinischer Ausbildung, die Amtstierärztin des Kantons Thurgau sowie der Tierschutzbeauftragte des kantonalen Veterinäramtes teil. Anlässlich dieser Begehung wurde protokollarisch festgehalten, dass ein etwa halbjähriges Fohlen am linken Vorderfuss hochgradig lahme und sich nur auf drei Beinen vorwärts bewegen könne; A._ sei aufgefordert worden, das Tier noch gleichentags einem Tierarzt vorzustellen, der seinerseits dem Veterinäramt Bericht erstatten müsse.
Gleichentags, ebenfalls am 30. Juni 2015, ging beim Veterinäramt des Kantons Thurgau ein Schreiben ein, das von einem verletzten Fohlen berichtet, welches A._ von einer Alp in Davos abtransportiert habe.
Da beim Veterinäramt am 1. Juli 2015 kein Bericht über die verlangte tierärztliche Behandlung des betroffenen Fohlens einging, erliess das Veterinäramt gleichentags eine schriftliche Verfügung, mit welcher die Beschlagnahme des Fohlens und dessen tierärztliche Versorgung angeordnet wurde. Zwecks Eröffnung der Verfügung und anschliessender Überführung des Fohlens ins Tierspital Zürich begab sich die Amtstierärztin in Begleitung von zwei Kantonspolizisten und einem Ambulanzfahrzeug des Tierspitals Zürich umgehend auf den Hof von A._. Dieser verweigerte die Entgegennahme der schriftlichen Verfügung und wollte den Anweisungen zur Herausgabe des Fohlens auch nicht Folge leisten. Stattdessen erschoss er das betroffene Tier vor den Augen der Anwesenden und schlachtete es anschliessend.
B.
Mit Eingabe vom 6. Juli 2015 rekurrierte A._ gegen die obengenannte Verfügung vom 1. Juli 2015, welche in der Zwischenzeit seinem Rechtsvertreter zugegangen war. Mit Entscheid vom 27. Oktober 2015 wies das Departement für Inneres und Volkswirtschaft des Kantons Thurgau den Rekurs ab.
In der Folge beschwerte sich A._ erfolglos beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau: Dieses wies die Beschwerde mit Urteil vom 17. August 2016 ebenfalls ab.
C.
Mit Eingabe vom 28. Oktober 2016 führt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sowie subsidiäre Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht. Er beantragt im Wesentlichen die Aufhebung des angefochtenen Entscheids des Verwaltungsgerichts, eventualiter die Rückweisung der Angelegenheit an selbiges. Ebenso regt er die Sistierung des Verfahrens an, da "Vergleichsgespräche mit dem Ziel einer Gesamtlösung" geführt würden. Schliesslich ersucht A._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung.
Mit Verfügung vom 7. November 2016 sistierte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Verfahren bis zum 15. Dezember 2016. Aufgrund eines übereinstimmenden Ersuchens von A._ sowie des Vorstehers des kantonalen Departements für Inneres und Volkswirtschaft wurde die Sistierung mit Präsidialverfügung vom 20. Dezember 2016 bis zum 28. Februar 2017 erstreckt. Ebenfalls aufgrund eines gemeinsamen Ersuchens der Verfahrensbeteiligten erfolgte mit Präsidialverfügung vom 6. März 2017 schliesslich noch eine Verlängerung der Sistierung bis zum 17. März 2017. Nachdem der Beschwerdeführer dem Bundesgericht das Scheitern der Gespräche und der Einigungsbemühungen bekannt gegeben hatte, verfügte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts am 22. März 2017 die Fortführung des Verfahrens.
Das Departement für Inneres und Volkswirtschaft sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Mit Schreiben vom 16. Juni 2017 wurde dem Beschwerdeführer das Vernehmlassungsergebnis mitgeteilt. Innert der eingeräumten Frist erfolgte keine weitere (fakultative) Eingabe.
Mit verfahrensleitender Verfügung vom 26. September 2017 forderte der Instruktionsrichter des Bundesgerichts den Beschwerdeführer aufgrund von aktuellen Ereignissen (Beschlagnahme und Versteigerung sämtlicher Tiere des Beschwerdeführers) auf, zu erklären, ob er an der Beschwerde festhält und inwiefern er im vorliegenden Verfahren (noch) ein aktuelles Rechtsschutzinteresse erblickt. Mit Eingabe vom 11. Oktober 2017 erklärt der Beschwerdeführer, an der Beschwerde festhalten zu wollen und er macht Ausführungen zum aus seiner Sicht noch bestehenden Rechtsschutzinteresse.
Mit Verfügung vom 14. Dezember 2017 lehnte das Bundesgericht das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung mangels erstellter Bedürftigkeit ab. In der Folge leistete der Beschwerdeführer am 4. Januar 2018 den geforderten Kostenvorschuss. Am 19. Januar 2018 stellte er zudem ein Wiedererwägungsgesuch betreffend der Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Mit Schreiben vom 2. Februar 2018 liess er dem Bundesgericht weitere diesbezügliche Unterlagen zukommen.

Erwägungen:
1.
Angefochten wird ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid eines oberen Gerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a sowie Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG), ohne dass ein Ausschlussgrund gemäss <ref-law> gegeben ist. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist demnach grundsätzlich zulässig, was gleichzeitig die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ausschliesst (<ref-law>), weswegen auf letztere von vornherein nicht einzutreten ist.
Die Legitimation zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten setzt ihrerseits voraus, dass der Beschwerdeführer ein noch vorhandenes, schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (<ref-law>). Ob dies hier der Fall ist, erscheint sehr fraglich, zumal die mit der ursprünglich angefochtenen Verfügung angeordnete Beschlagnahme des Fohlens überhaupt nicht vollzogen werden konnte, nachdem der Beschwerdeführer dieses eigenmächtig an Ort und Stelle getötet hatte. Sein von ihm in diesem Zusammenhang angeführtes Interesse an der Beantwortung von abstrakten Rechtsfragen (vgl. S. 5 und S. 6 der Beschwerdeschrift) begründet jedenfalls kein hinreichendes Rechtsschutzinteresse. Wie es sich mit der Frage der Legitimation verhält, muss im vorliegenden Fall jedoch nicht abschliessend geklärt werden, zumal sich die Beschwerde in der Sache selbst als (offensichtlich) unbegründet erweist, wie die nachfolgenden Erwägungen zeigen.
2.
2.1. Die Beschlagnahmeverfügung des Veterinäramts vom 1. Juli 2015 stützte sich auf Art. 24 Abs 1 des Tierschutzgesetzes vom 16. Dezember 2005 (TSchG; SR 455). Diese Bestimmung lautet wie folgt:
"Wird festgestellt, dass Tiere vernachlässigt oder unter völlig ungeeigneten Bedingungen gehalten werden, so schreitet die zuständige Behörde unverzüglich ein. Sie kann die Tiere vorsorglich beschlagnahmen und auf Kosten der Halterin oder des Halters an einem geeigneten Ort unterbringen; wenn nötig lässt sie die Tiere verkaufen oder töten. Sie kann dafür die Hilfe der Polizeiorgane in Anspruch nehmen."
2.2. Der Beschwerdeführer rügt in der Hauptsache, dass aufgrund dieser Bestimmung keine Beschlagnahme hätte angeordnet werden dürfen: Zum einen setze der Wortlaut dieser Norm voraus, dass eine Vernachlässigung der Tiere bereits festgestellt wurde und nicht bloss ein entsprechender Verdacht bestehe. Zum anderen sei diese Massnahme auch unverhältnismässig gewesen; als mildere Massnahme wäre eine tierärztliche Untersuchung auf dem Hof oder aber die (kostengünstigere) sofortige Tötung des Tieres in Frage gekommen. Der Beschwerdeführer behauptet weiter, die Beschlagnahme habe gar nicht der Behandlung des Tieres sondern vielmehr dazu gedient, Beweise gegen ihn betreffend die vom Veterinäramt behauptete Tierschutzverletzung zu sichern.
2.3. Die Einwendungen des Beschwerdeführers überzeugen nicht oder gehen von vornherein ins Leere:
Der Beschwerdeführer räumt selber ein, dass das betroffene Fohlen verletzt war, und er bestreitet auch nicht, dass es deswegen von der Alpweide in Davos abtransportiert werden musste; er relativiert einzig das Ausmass der Verletzungen und behauptet, es habe sich um blosse Prellungen gehandelt. Ebenfalls bestreitet er nicht, dass die Verletzung des Tieres dem Veterinäramt bereits bei der gemeinsamen Hofbegehung am 30. Juni 2015 aufgefallen war. Somit wusste das Veterinäramt im Zeitpunkt seiner Verfügung sehr wohl bereits, dass das betroffene Fohlen verletzt war. Richtig ist, dass Ungewissheit über den Grad dieser Verletzung bestand. Dabei übersieht der Beschwerdeführer jedoch, dass die im Streit liegende Beschlagnahme und die anschliessend geplante Untersuchung und Behandlung des Fohlens im Tierspital Zürich es ermöglicht hätten, das Ausmass der Knöchelverletzung abzuklären. Anders als auf dem Hof des Beschwerdeführers wären im Tierspital Zürich auch die dafür notwendigen radiologischen Untersuchungsinstrumente vorhanden gewesen. Dass das Veterinäramt anlässlich der Begehung vom 30. Juni 2015 noch auf eine sofortige Beschlagnahme verzichtete, kann entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers nicht als widersprüchliches Verhalten angesehen werden; vielmehr erscheint es als nachvollziehbar, dass die Behörden - in Beachtung des Verhältnismässigkeitsprinzips - dem Beschwerdeführer vorher die Gelegenheit lassen wollten, selber die tierärztliche Versorgung seines Tieres zu organisieren. Da dies (unbestrittenermassen) unterblieb und das Veterinäramt zudem Kenntnis von der Mitteilung aus Davos erhielt, welche eine ernsthaftere Verletzung als möglich erscheinen liess, rechtfertigte sich am nächsten Tag unter dem Gesichtspunkt der Verhältnismässigkeit die vergleichsweise einschneidendere Beschlagnahme zwecks Sicherstellung der tierärztlichen Untersuchung und Behandlung. Dass der Beschwerdeführer die sofortige Tötung des Tieres im Vergleich zu einer tierärztlichen Untersuchung als mildere Massnahme betrachtet, weil sie weniger kostenintensiv sei, erscheint in Anbetracht der Stossrichtung des Tierschutzgesetzes, welches den Schutz der Würde und des Wohlergehens des Tieres bezweckt (<ref-law>), als sehr bedenklich. Jedenfalls kann dies lediglich seine subjektive Auffassung darstellen. Bei dieser Sachlage ist nicht zu erkennen, dass die streitbetroffene Beschlagnahmeverfügung andere Zwecke als die Sicherstellung des Tierwohls bezweckt hätte. Namentlich kann der Theorie des Beschwerdeführers nicht gefolgt werden, dass die Verfügung einzig der Beweissicherung gegen ihn gedient hätte.
2.4. Auch die weiteren Einwendungen des Beschwerdeführers dringen nicht durch:
So behauptet der Beschwerdeführer eine Verletzung von Art. 265 Abs. 2 lit. b der Schweizerischen Strafprozessordnung vom 5. Oktober 2007 (StPO; SR 312.0), wonach die beschuldigte Person bei der strafprozessualen Beschlagnahme keine Herausgabepflicht hat; die Vorinstanz habe die streitbetroffene verwaltungsrechtliche Beschlagnahme gemäss <ref-law> zu Unrecht über die Bestimmung von <ref-law> gestellt, was überdies auch das Verbot des Selbstbelastungszwangs ("nemo tenetur") verletze. Diese Ausführungen gehen indes ins Leere, zumal gemäss Aktenlage im Moment des Erlasses der Verfügung vom 1. Juli 2015 bzw. der mündlichen Eröffnung derselben durch die Amtstierärztin noch gar kein Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer in dieser Angelegenheit hängig war; eine Strafanzeige des Veterinäramtes gegen den Beschwerdeführer erfolgte erst, als der Beschwerdeführer das verletzte Fohlen bereits eigenmächtig getötet und die Erfüllung der verwaltungsrechtlichen Herausgabeverfügung bereits verunmöglicht hatte. Dementsprechend bezog sich die später ergangene strafprozessuale Beschlagnahmeverfügung auch nicht mehr auf das (lebende) Fohlen als solches, sondern nur noch auf die verletzte Gliedmasse des toten Tieres. Im Übrigen hat sich der Beschwerdeführer in der Folge der strafprozessualen Beschlagnahme widersetzt, ohne dass er deswegen ersichtliche Nachteile tragen musste.
Sofern der Beschwerdeführer im Weiteren beanstandet, dass keine Untersuchung der betroffenen Gliedmasse des Tieres stattgefunden habe, verhält er sich widersprüchlich und treuwidrig: Es ist unbestritten, dass zuerst das Veterinäramt und später auch die Staatsanwaltschaft am 1. Juli 2015 die Herausgabe der betroffenen Gliedmasse (Vorderfuss) verlangt haben, nachdem der Beschwerdeführer das Fohlen eigenmächtig erschossen hatte. Dieser Aufforderung widersetzte sich der Beschwerdeführer indes hartnäckig. Wenn er nun die Herausgabe offeriert, so stellt dies einen untauglichen Beweisantrag dar, zumal nicht mehr überprüft werden kann, ob die von ihm angeblich aufbewahrte Gliedmasse tatsächlich vom in Frage stehenden Fohlen oder aber von einem anderen Tier stammt. Die blosse diesbezügliche Behauptung des Beschwerdeführers genügt hierzu nicht. Demnach durfte die Vorinstanz den entsprechenden Antrag in antizipierter Beweiswürdigung ablehnen, ohne hierdurch das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers zu verletzen.
Sodann beanstandet der Beschwerdeführer mit Bezug auf das eingegangene Schreiben aus Davos, dass ihm das Veterinäramt den Namen des Meldeerstatters nicht mitgeteilt habe. Inwiefern dies vorliegend relevant sein sollte, ist jedoch unerfindlich, zumal der Beschwerdeführer den Inhalt der Meldung, nämlich das Abholen des verletzen Tieres auf der Weide in Davos überhaupt nicht bestreitet. Soweit der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang Ausführungen zum angeblich geringen Ausmass der Verletzung macht und die Befragung "des Alphirten Walter aus Südtirol" verlangt, übersieht er erneut, dass die Verfügung vom 1. Juli 2015 es gerade ermöglicht hätte, die Schwere der Verletzung abzuklären. Jedenfalls ist bezüglich dieser Vorbringen weder eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung noch eine Verletzung des rechtlichen Gehörs ersichtlich.
Sodann behauptet der Beschwerdeführer, die Vorinstanz habe den Sachverhalt auch insofern offensichtlich unrichtig festgestellt, als sie festhielt, er sei anlässlich der Hofbegehung vom 30. Juni 2015 zum Beizug eines Tierarztes verpflichtet worden. Richtig sei, dass ihm lediglich "empfohlen" worden sei, einen Tierarzt beizuziehen. Inwiefern sich dieser Umstand vorliegend als für den Ausgang des Verfahrens entscheidend erweisen sollte, ist nicht ersichtlich, weshalb es an den Voraussetzungen einer Sachverhaltsrüge von vornherein fehlt (<ref-law>). Ohnehin erscheint der Einwand aber auch nicht als plausibel, zumal der Beschwerdeführer selbst einräumt, der Mediator habe ihn darum gebeten, dass der Tierarzt ihn nach erfolgter Behandlung anrufen möge. Ein solches Vorgehen macht kaum Sinn, wenn der Beizug des Tierarztes bloss eine unverbindliche Empfehlung dargestellt hätte.
2.5. Abschliessend rügt der Beschwerdeführer, dass ihm das Verwaltungsgericht zu Unrecht die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im vorinstanzlichen Verfahren verweigert habe. Auch diese Rüge erweist sich jedoch als unbegründet. Die Vorinstanz begründete die Ablehung des entsprechenden Gesuchs sowohl mit der Aussichtslosigkeit des Verfahrens als auch mit der nicht erstellten Bedürftigkeit des Beschwerdeführers (E. 7 des angefochtenen Entscheids), wobei das eine wie das andere Begründungselement bereits für sich alleine der Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung entgegensteht (vgl. <ref-law>). Das Bundesgericht gelangte bei im Wesentlichen unveränderten Verhältnissen in seiner bereits erwähnten Verfügung vom 14. Dezember 2017 ebenfalls zum Schluss, dem Beschwerdeführer sei der Nachweis seiner Bedürftigkeit nicht geglückt. Hieraus ergibt sich, dass auch der gleich lautende Entscheid der Vorinstanz keine Verfassungsverletzung begründet.
3.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unbegründet und somit abzuweisen.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung wurde - wie ausgeführt - bereits mit Verfügung vom 14. Dezember 2017 mangels erstellter Bedürftigkeit abgewiesen. Die vom Beschwerdeführer daraufhin eingereichten Unterlagen geben keinen Anlass zu einer anderen Entscheidung. Namentlich stellen die höchst summarischen handschriftlichen Aufstellungen von Einnahmen und Ausgaben keine verlässlichen und nachprüfbaren Belege sondern vielmehr blosse Behauptungen des Beschwerdeführers dar. Weiter macht der Beschwerdeführer in seinem Wiedererwägungsgesuch geltend, dass er im Moment u.a. von Zuwendungen Dritter ("Solidaritätsfonds") lebe, ohne dass er die Höhe dieser Zuwendungen deklariert oder die Drittpersonen namentlich benennt (act. 28 S. 4). Auch für den Kostenvorschuss des vorliegenden Verfahrens, dessen Leistung ihm ohne Fristerstreckung möglich war, verweist er auf "freiwillige Spenden Dritter, die für die Gerichtskosten gesammelt haben", ohne dass er transparent macht, wer diese angeblichen Personen sind. Nebst der mithin undurchsichtigen Einkommenssituation verbleibt auch der Umstand, dass der Beschwerdeführer nach wie vor Liegenschaftseigentümer ist, auch wenn seine Grundstücke hypothekarisch belastet sind; wie hoch der (Netto-) Erlös ausfallen wird, zeigt sich letztlich erst bei einem Verkauf resp. bei einer Verwertung. Das Wiedererwägungsgesuch des Beschwerdeführers betreffend die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist somit abzuweisen.
Die Gerichtskosten sind folglich dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht zu entrichten (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Das Wiedererwägungsgesuch des Beschwerdeführers betreffend unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten in Höhe von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. März 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Fellmann