Erwägungen:
1.
A.A._ und B.A._ (Beschwerdeführer) reichten am 20. Oktober 2021 beim Bezirksgericht Weinfelden eine "Feststellungs- und Rückforderungsklage gestützt auf Art. 85a f. SchKG" im Zusammenhang mit einer Forderung aus Mietvertrag ein. Sie beantragten, es sei ihnen die unentgeltliche Prozessführung samt Beizug eines unentgeltlichen Rechtsvertreters zu gewähren.
Mit Eingabe vom 24. Januar 2022 erhoben die Beschwerdeführer am Obergericht des Kantons Thurgau Aufsichtsbeschwerde gegen das Bezirksgericht Weinfelden wegen Rechtsverzögerung. Sie beantragten, das Bezirksgericht sei anzuweisen, ihnen die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und einen unentgeltlichen Rechtsvertreter zu bestellen.
Mit Entscheid vom 10. Februar 2022 wies das Obergericht die Beschwerde ab. Das Obergericht kam zusammengefasst zum Ergebnis, die Einschätzung des Bezirksgerichts, wonach die finanziellen Verhältnisse der Beschwerdeführer noch nicht dargelegt worden seien, sei zutreffend. Dem Bezirksgericht sei unter diesen Umständen bis anhin gar nicht möglich gewesen, über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu entscheiden. Es liege damit keine Rechtsverzögerung vor und das Bezirksgericht habe unter den gegebenen Umständen mit dem (definitiven) Entscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zuwarten dürfen.
Gegen den Entscheid des Obergerichts erheben die Beschwerdeführer Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Sie beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und zur Neubeurteilung [an das Obergericht] zurückzuweisen.
Auf das Einholen von Vernehmlassungen zur Beschwerde wurde verzichtet.
2.
2.1. Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). Dafür muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89). Eine Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen).
Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
3.
Die Beschwerdeführer ergänzen unter dem Titel "Sachverhalt" in ihrer Beschwerdeschrift den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt, wobei die diesbezüglichen Ausführungen die Begründungsanforderungen an Sachverhaltsrügen offensichtlich nicht erfüllen (Erwägung 2.2). Das Gleiche gilt, wenn sie pauschal behaupten, dass die Feststellungen der Vorinstanz "nicht stimmten", ohne aber hinreichend darzulegen, inwiefern die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung offensichtlich unrichtig wäre.
4.
Auch im Übrigen erfüllt die Eingabe der Beschwerdeführer die oben genannten Begründungsanforderungen offensichtlich nicht: Sie rügen zwar eine Verletzung von Art. 8, 9, 12 und 29 BV sowie Art. 6 Abs. 1 EMRK und einer Vielzahl von Bestimmungen der Zivilprozessordnung. Sie bezeichnen den Entscheid der Vorinstanz sodann als nicht nachvollziehbar, widersprüchlich und willkürlich. Sie setzen sich aber offensichtlich nicht hinreichend mit den Erwägungen der Vorinstanz auseinander, geschweige denn zeigen sie nachvollziehbar auf, inwiefern im vorliegenden Fall eine Rechtsverzögerung vorliegen oder welche Rechte die Vorinstanz mit ihrem Entscheid inwiefern verletzt haben soll, als diese zum Schluss kam, dass unter den vorliegenden Umständen keine Rechtsverzögerung vorliegt.
Auf die Beschwerde ist somit mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (<ref-law>).
5.
Das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung wird mit dem Entscheid in der Sache selbst gegenstandslos, zumal die Beschwerdeführer eine Begründung für das Gesuch um aufschiebende Wirkung schuldig blieben.
6.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen, weil die Beschwerde als von vornherein aussichtslos erscheint (<ref-law>). Darüber musste unter den gegebenen Umständen nicht vorgängig separat entschieden werden (vgl. Urteil 4A_20/2011 vom 11. April 2011 E. 7.2.2).
7.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten gemäss Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG in solidarischer Haftbarkeit den Beschwerdeführern aufzuerlegen. Dem Beschwerdegegner ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. April 2022
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger