Sachverhalt:
A.
A.a. C._ äusserte sich im Sommer 2015 auf Facebook zur Veranstaltung "Veganmania Schweiz 2015" und zur Teilnahme des Vereins B._, der von A._ präsidiert wird, an der Veranstaltung.
A.b. Am 13. August 2015 postete C._, was folgt:
"Ich bin in Winterthur wohnhaft, Veganerin und arbeite auch viel an politischen Themen.
Nun findet in Winterthur bald die von Swissveg veranstaltete Veganmania Schweiz 2015 statt. Grundsätzlich bin ich für Events dieser Art, die den Vegetarismus gesellschaftsfähig machen, insbesondere auch, weil ich die Reduktion von tierischen Nahrungsmitteln als einen wesentlichen Beitrag zum Erhalt der Ressourcen, dem Ökosystem der Erde und der Reduktion von Leid ansehe.
Die 'vegane Szene' hat allerdings bereits einen teilweise seltsamen Ruf. Mit dem Zulassen von Sekten als auch Menschen mit einer öffentlich klar antisemitischen und Ausländer-feindlichen Haltung an der #Veganmania verschärfen wir das Problem und positionieren uns als Nazi- und Sektenfreundlich.
Ich kann mich von derlei Haltungen nur klar distanzieren.
Glaubensfragen und Rassistische Haltungen gehören NICHT an die Veganmania!"
Der Post löste mehrere Wortmeldungen aus.
A.c. Auf die Frage von D._ gab C._ folgende Antwort:
"Im Artikel unten findest Du entsprechendes. Die Sekte 'E._' kenne ich übrigens aus eigener Erfahrung - Verein B._-Präsident A._ kenne ich nicht persönlich, aber über ihn findet sich im www einiges."
Angefügt ist der Link "http://indyvegan.org/swissweg-toleranz-fuer.../".
A.d. Die mit der Antwort von C._ verlinkte Online-Publikation "Swissveg - Toleranz für Antisemitismus und Sekten unter dem V-Label" befasst sich auch mit der Teilnahme des Vereins B._ an der Veranstaltung "Veganmania Schweiz 2015". Unter anderem heisst es darin Folgendes:
"Zum Verein B._
In unserem Artikel 'Verein B._ - Antisemitismus mit Tradition' berichteten wir über die Antisemitismus-Vorwürfe gegen den Verein und gegen dessen Präsidenten A._. Unser Artikel enthält eine umfassende Dokumentation der antisemitischen Inhalte, die der mehrfach wegen antisemitischer Äusserungen vorbestrafte Verein B._-Präsident A._ über die Vereinsmedien des Vereins B._ verbreitete. Ebenso haben wir die Solidarisierung des Vereinspräsidenten A._ mit Holocaust-Leugnern und das Bewerben neonazistischer Medien über die Vereinswebsite dokumentiert. [...]
Gesponserte Toleranz gegenüber Antisemitismus
-..] Auch Coop steht also hinter der Beteiligung des Vereins B._, und sieht das Sponsoring einer Veranstaltung, an der eine antisemitische Organisation teilnimmt, offenbar als unproblematisch. [...]"
Die Online-Publikation, die in gedruckter Fassung 14 A4-Seiten umfasst, beinhaltet weitere gleichlautende oder ähnliche Vorwürfe gegen den Verein B._ und dessen Präsidenten.
A.e. In die Diskussion griff F._ ein, der sich für den Verein B._ stark machte und fragte, warum denn Coop als Hauptsponsor für die Veganmania in Ordnung gehe. C._ gab folgende Antwort:
"Coop produziert Fleisch. Ich weiss. Und das ist Scheisse. Aber er propagiert keinen Hass. [...]"
Nach einer weiteren Wortmeldung schloss C._, sie gehe an keine Veranstaltung, bei der "HASS-Propagierende" eingeladen seien.
B.
B.a. Mit Schlichtungsgesuch vom 22. März 2016 hoben der Verein B._ (Kläger 1) und A._ (Kläger 2) gegen C._ (Beklagte) einen Zivilprozess wegen Verletzung in der Persönlichkeit an. Gemäss ihrer Klage vom 19. Mai 2016 stellten sie folgende Rechtsbegehren:
"1. Die Beklagte sei unter Androhung der Bestrafung mit Busse nach <ref-law> zu verpflichten, auf ihrer Facebookseite die folgenden Äusserungen innert 10 Tagen nach Eintritt der Rechtskraft zu löschen:
Der Kläger 2 sei ein Mensch mit einer klar antisemitischen Haltung und ein Nazi und der Kläger 1 würde Hass propagieren, er sei ein Hass-Propagierender.
1.1 Eventualiter sei festzustellen, dass die Beklagte mit diesen Behauptungen die Persönlichkeit der Kläger widerrechtlich verletzt hat.
2. Die Beklagte sei unter Androhung der Bestrafung mit Busse nach <ref-law> zu verpflichten, auf ihrer Facebookseite die Verlinkung zu folgenden Äusserungen von Indyvegan innert 10 Tagen nach Eintritt der Rechtskraft zu löschen:
Der Kläger 2 sei mehrfach wegen antisemitischen Äusserungen vorbestraft sowie ein Antisemit und der Kläger 1 sei eine antisemitische Organisation sowie ein neonazistischer Tierschutzverein.
2.1 Eventualiter sei festzustellen, dass die Beklagte mit der Weiterverbreitung dieser Behauptungen die Persönlichkeit der Kläger widerrechtlich verletzt hat.
3. Der Beklagten sei unter Androhung der Bestrafung mit Busse nach <ref-law> zu verbieten, die Äusserungen gemäss Ziffer 1 und 2 wörtlich oder sinngemäss zu wiederholen oder auf Seiten mit solchen Äusserungen zu verlinken.
4. Die Beklagte sei unter Androhung der Bestrafung mit Busse nach <ref-law> zu verpflichten, das Urteilsdispositiv innert 10 Tagen nach Rechtskraft auf ihrer Facebook-Seite an oberster Stelle zu veröffentlichen und es während 30 Tagen an oberster Stelle zu halten.
5. Für den Fall, dass die Beklagte den Begehren gemäss Ziffern 1 oder 2 oder 4 nicht nachkommt, werden die Kläger ermächtigt, das Urteil auf Kosten der Beklagten im Tages-Anzeiger und im Winterthurer Landboten zu veröffentlichen."
B.b. Die Beklagte schloss auf Abweisung der Klage.
B.c. Das Bezirksgericht Münchwilen hiess die Klagebegehren-Ziff. 1 und 2 auf Löschung, das Klagebegehren-Ziff. 3 auf Unterlassung und das Klagebegehren-Ziff. 4 auf Veröffentlichung unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten der Beklagten gut (Entscheid vom 21. Juni 2017).
C.
C.a. Die Beklagte erhob am 18. September 2017 Berufung mit dem Antrag, die Klage abzuweisen. Die Kläger schlossen auf Abweisung der Berufung. Es folgten Replik und Duplik.
C.b. Die Kläger erhoben am 6. November 2017 Anschlussberufung und erneuerten ihr Klagebegehren-Ziff. 2.1 insoweit, als in Ergänzung des bezirksgerichtlichen Entscheids festzustellen sei, dass die Beklagte mit der Weiterverbreitung des zwischenzeitlich gelöschten Vorwurfs, der Kläger 2 als Präsident des Klägers 1 sei "mehrfach" wegen antisemitischen Äusserungen vorbestraft, die Persönlichkeit der Kläger widerrechtlich verletzt hat. Die Beklagte stellte den Antrag, die Anschlussberufung abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Es folgten Replik und Duplik.
C.c. Das Obergericht des Kantons Thurgau erkannte die Berufung von C._ teilweise als begründet, die Anschlussberufung von A._ als begründet und die Anschlussberufung des Vereins B._ als unbegründet (Dispositiv-Ziff. 1). Es entschied neu wie folgt:
"2. a) Die Beseitigungsklage von A._ wird teilweise geschützt.
b) C._ wird unter Androhung der Bestrafung mit Busse nach <ref-law> verpflichtet, auf ihrer Facebook-Seite folgende Äusserung innert 10 Tagen nach Eintritt der Rechtskraft dieses Entscheids zu löschen:
-..als auch Menschen mit einer öffentlich klar antisemitischen und ausländerfeindlichen Haltung...'... '...Nazi- und...'.
c) C._ wird unter Androhung der Bestrafung mit Busse nach <ref-law> verpflichtet, auf ihrer Facebook-Seite die Verlinkung zur Äusserung von Indyvegan, A._ sei ein Antisemit, innert 10 Tagen nach Rechtskraft zu löschen.
d) Im Übrigen wird die Beseitigungsklage von A._ abgewiesen.
e) Die eventuelle Feststellungsklage von A._ wird geschützt, und es wird festgestellt, dass C._ mit der Weiterverbreitung der Behauptung, A._ sei mehrfach wegen antisemitischen Äusserungen vorbestraft, die Persönlichkeit A._s widerrechtlich verletzt hat.
3. a) Die Beseitigungsklage des Vereins B._ wird teilweise geschützt.
b) C._ wird unter Androhung der Bestrafung mit Busse nach <ref-law> verpflichtet, auf ihrer Facebook-Seite die folgende Äusserung innert 10 Tagen nach Eintritt der Rechtskraft dieses Entscheids zu löschen:
'Aber er propagiert keinen Hass'. Sowie 'ich geh an keine Veranstaltung, bei der HASS-Propagierende eingeladen sind.'
c) C._ wird unter Androhung der Bestrafung mit Busse nach <ref-law> verpflichtet, auf ihrer Facebook-Seite die Verlinkung zur Äusserung von Indyvegan, der Verein B._ sei eine antisemitische Organisation sowie ein neonazistischer Tierschutzverein, innert 10 Tagen nach Eintritt der Rechtskraft dieses Entscheids zu löschen.
d) Im Übrigen wird die Beseitigungsklage abgewiesen.
4. a) Die Unterlassungsklage von A._ wird teilweise geschützt.
b) C._ wird unter Androhung der Bestrafung mit Busse nach <ref-law> untersagt, die Äusserungen gemäss vorstehender Ziff. 2 wörtlich oder sinngemäss zu wiederholen oder Links auf Internetseiten mit solchen Äusserungen zu setzen.
c) Im Übrigen wird die Unterlassungsklage abgewiesen.
5. a) Die Unterlassungsklage des Vereins B._ wird teilweise geschützt.
b) C._ wird unter Androhung der Bestrafung mit Busse nach <ref-law> untersagt, die Äusserungen gemäss vorstehender Ziff. 3 wörtlich oder sinngemäss zu wiederholen oder Links auf Internetseiten mit solchen Äusserungen zu setz[t]en.
c) Im Übrigen wird die Unterlassungsklage abgewiesen.
6. a) Das Publikationsbegehren von A._ wird teilweise geschützt.
b) C._ wird unter Androhung der Bestrafung mit Busse nach <ref-law> verpflichtet, die vorstehenden Ziff. 2 und 4 des Urteilsdispositivs innert 10 Tagen nach Eintritt der Rechtskraft auf ihrer Facebook-Seite an oberste r Stelle zu veröffentlichen und sie während 30 Tagen an oberster Stelle zu halten.
c) Im Übrigen wird die Klage abgewiesen.
7. a) Das Publikationsbegehren des Vereins B._ wird teilweise geschützt.
b) C._ wird unter Androhung der Bestrafung mit Busse nach <ref-law> verpflichtet, die vorstehenden Ziff. 3 und 5 des Urteilsdispositivs innert 10 Tagen nach Eintritt der Rechtskraft auf ihrer Facebook-Seite an oberste r Stelle zu veröffentlichen und sie während 30 Tagen an oberster Stelle zu halten.
c) Im Übrigen wird die Klage abgewiesen."
Das Obergericht hielt den Wortlaut von <ref-law> fest (Dispositiv-Ziff. 8) und verteilte die Prozesskosten nach dem Ausgang des Verfahrens (Dispositiv-Ziff. 9 des Entscheids vom 28. Juni 2018).
D.
Mit Eingabe vom 17. September 2018 beantragen der Verein B._ (Kläger 1 und Beschwerdeführer 1) und A._ (Kläger 2 und Beschwerdeführer 2) dem Bundesgericht, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und die Berufung von C._ (Beklagte und Beschwerdegegnerin) abzuweisen. Es sind die kantonalen Akten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
E.
C._ hat gegen den obergerichtlichen Entscheid ihrerseits Beschwerde eingelegt (Verfahren 5A_801/2018).

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid betrifft die (teilweise) Abweisung von Unterlassungs-, Beseitigungs-, Feststellungs- und Berichtigungsbegehren zum Schutz der Persönlichkeit (Art. 28 und Art. 28a Abs. 1 und 2 ZGB) mangels Aktivlegitimation und damit insgesamt eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 403; <ref-ruling> E. 1a S. 483). Er ist kantonal letzt- und oberinstanzlich (<ref-law>), lautet zum Nachteil beider Beschwerdeführer (<ref-law>) und schliesst das kantonale Verfahren ab (<ref-law>). Die - im Weiteren rechtzeitig erhobene (<ref-law>) - Beschwerde erweist sich als zulässig. Die Beschwerdeführer beantragen, die Berufung der Beschwerdegegnerin abzuweisen und damit statt der bloss teilweisen eine vollumfängliche Gutheissung ihrer Klage wie vor Bezirksgericht. Ihr Rechtsbegehren genügt den formellen Anforderungen (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 479).
2.
Die Beschwerden der Beschwerdeführer (5A_773/2018) und der Beschwerdegegnerin (5A_801/2018) richten sich gegen denselben kantonalen Entscheid gestützt auf den gleichen Sachverhalt. Sie betreffen indessen verschiedene Rechtsfragen. Während die Beschwerdegegnerin als Beklagte - nebst Verfahrensmängeln - eine unrichtige Beurteilung des Tatbestands gemäss <ref-law> geltend macht, wenden sich die Beschwerdeführer als Kläger einzig gegen die (teilweise) Verneinung ihrer Aktivlegitimation zu den Klagen gemäss <ref-law>. Ihre Beschwerde betrifft damit eine materiell-rechtliche Voraussetzung des eingeklagten Anspruchs (<ref-ruling> E. 5 S. 26), dessen Gutheissung wiederum die Beschwerdegegnerin anficht. Mit Blick auf die Beschwerdegegenstände rechtfertigt sich eine Vereinigung der Verfahren nicht (vgl. <ref-law> i.V.m. <ref-law>).
3.
Auf Bestreitung der Beschwerdegegnerin hin (E. 8a S. 17) hat das Obergericht geprüft, wer zu den verschiedenen Klagen wegen Persönlichkeitsverletzung aktivlegitimiert ist. Es hat angenommen, jede Person sei aktivlegitimiert, die sich in ihrer Persönlichkeit verletzt fühle. Auch juristische Personen könnten, in den Grenzen von <ref-law>, den Persönlichkeitsschutz für sich in Anspruch nehmen. Nicht aktivlegitimiert seien (natürliche oder juristische) Personen, die durch eine Persönlichkeitsverletzung lediglich indirekt tangiert würden; beispielsweise könne sich der öffentlich-rechtliche Spitalträger nicht gegen die Veröffentlichung eines persönlichkeitsverletzenden Zeitungsartikels klageweise zur Wehr setzen, der sich gegen die Behandlungsmethode eines angestellten Arztes richte (E. 8b S. 17 f. des angefochtenen Entscheids).
Zwecks Prüfung der Aktivlegitimation hat das Obergericht die erhobenen Rechtsbegehren analysiert mit dem Ergebnis, dass die Begehren-Ziff. 1 und 2 als Beseitigungsklagen, die dazugehörigen Eventualbegehren-Ziff. 1.1 und 2.1 als Feststellungsklagen, das Begehren-Ziff. 3 als Unterlassungsklage und das Begehren-Ziff. 4 als Publikationsbegehren zu qualifizieren seien. Allerdings träten mit A._ und dem Verein B._ zwei Kläger auf, die zusammen diese vier Klagen erhöben. Weder vor der Friedensrichterin noch in der Klageschrift seien die vier Klagen ganz oder teilweise auf einen der beiden Kläger bezogen worden. Die von A._ und vom Verein B._ erhobenen (zwei) Beseitigungsklagen bezögen sich auf je zwei unterschiedliche Äusserungen von C._, wovon die eine Aussage nur A._ (er sei ein Mensch mit einer klar antisemitischen Haltung und ein Nazi; er sei mehrfach wegen antisemitischen Äusserungen vorbestraft sowie ein Antisemit) und die andere nur den Verein B._ (er würde Hass propagieren; er sei ein "Hass-Propagierender", eine antisemitische Organisation sowie ein neonazistischer Tierschutzverein) betreffe. Eine objektive Klagenhäufung liege vor, wenn ein Kläger gegen denselben Beklagten gleichzeitig mehrere Ansprüche stelle; hier seien sogar zwei Kläger mit einer objektiven Klagenhäufung festzustellen (E. 8c/aa S. 18 des angefochtenen Entscheids).
A._ und der Verein B._ - so hat das Obergericht weiter dafürgehalten - seien nur bezüglich der sie betreffenden Äusserungen betroffen. Damit sei A._ nicht (direkt) von den Äusserungen betroffen, wonach der Verein B._ Hass propagiere, ein Hasspropagierender, eine antisemitische Organisation sowie ein neonazistischer Tierschutzverein sei. Beim Verein B._ sei die Situation umgekehrt: Der Verein sei nicht (direkt) von den Äusserungen betroffen, wonach A._ ein Mensch mit einer klar antisemitischen Haltung und ein Nazi sowie mehrfach wegen antisemitischen Äusserungen vorbestraft bzw. ein Antisemit sei. A._ sei zwar Präsident des Vereins B._, dennoch handle es sich bei der Person von A._ und dem Verein um zwei unterschiedliche Rechtssubjekte. Der Verein B._ als Verein mit eigener Rechtspersönlichkeit könne und müsse eine allfällige Verletzung seiner Persönlichkeit in eigenem Namen geltend machen. Trotz seiner Organstellung sei A._ somit nicht legitimiert, eine Verletzung der Persönlichkeitsrechte des von ihm präsidierten Vereins in eigenem Namen geltend zu machen. Dass der Verein B._ im Sinn von <ref-law> in eigenem Namen auf Verletzung der Persönlichkeit seines Präsidenten und Vereinsmitglieds A._ habe klagen wollen, behaupte der Verein B._ nicht, und er mache die Voraussetzungen dazu auch nicht substantiiert geltend (E. 8c/bb S. 18 f.). Somit sei für A._ und den Verein B._ die Aktivlegitimation nur zum Teil gegeben. Weil die Aktivlegitimation die materielle Begründetheit des eingeklagten Anspruchs beschlage, müssten dort, wo sie fehle, die Klagen abgewiesen werden (E. 8c/cc S. 19 des angefochtenen Entscheids).
4.
Die Beschwerdeführer wenden dagegen ein, sie seien im Rahmen des kantonalen Instanzenzugs als einfache Streitgenossen vor Gericht aufgetreten und hätten die vier erhobenen Klagen sowohl explizit als auch implizit auf einen von ihnen bezogen. Das ergebe sich zum einen bereits aus der Formulierung der jeweiligen Anträge. Zum anderen werde die Differenzierung ersichtlich, wenn man ihre Eingaben an das Bezirksgericht sowie an das Obergericht studiere. Dementsprechend rechtfertige es sich nicht, sie mangels Präzisierung der Anträge als teilweise unterlegen zu erachten und ihnen aus diesem Grund die Verfahrenskosten teilweise aufzuerlegen. Eventualiter seien sie aufgrund der Tatsache, dass ihr beider Ruf deckungsgleich sei, sofern der Beschwerdeführer 2 in seiner Funktion als Präsident und "Stimme" des Beschwerdeführers 1 handle, auch dann als aktivlegitimiert zu betrachten, wenn nur einer der beiden explizit in seiner Persönlichkeit verletzt werde (S. 15 Rz. 21 der Beschwerdeschrift).
Im Einzelnen bemängeln die Beschwerdeführer, dass aus prozessualer Sicht nicht nur eine "doppelte" objektive Klagenhäufung vorliege. Vielmehr sei gleichzeitig eine subjektive Klagenhäufung gegeben, zumal die Vorinstanz verschiedene Klagen zweier Parteien zu beurteilen gehabt habe, die auch getrennt hätten behandelt werden können. Die einfache Streitgenossenschaft setze voraus, dass jeder Streitgenosse eigene Anträge stelle und diese individuell substantiiere. Ergo mache jeder an der subjektiven Klagenhäufung Beteiligte einen eigenen Anspruch geltend, der vom Gericht unabhängig von den Anträgen der Streitgenossen beurteilt werden müsse. Nichtsdestotrotz würden im Fall der gemeinsamen Vertretung der Streitgenossen aus prozessökonomischen Gründen die Rechtsschriften nur einmal geschrieben. Folglich könne es in Fällen, in denen zwischen den verschiedenen Ansprüchen der Streitgenossen ein derart enger Zusammenhang bestehe wie in casu, zu gewissen Überschneidungen in der Formulierung der Rechtsbegehren sowie in der Begründung kommen. Die Zulässigkeit der Streitgenossenschaft gründe jedoch gerade auf einem gewissen Konnex der Ansprüche, weshalb das Obergericht aus der Verknüpfung ihrer Anträge nicht hätte ableiten dürfen, dass ihre Rechtsbegehren nicht genügend differenziert formuliert worden seien. Stattdessen hätte dem Obergericht bei der Analyse ihres Rechtsbegehrens auffallen müssen, dass in den jeweiligen Anträgen sehr wohl zwischen dem Beschwerdeführer 1 und dem Beschwerdeführer 2 unterschieden worden sei (S. 6 ff. Rz. 10). Die Beschwerdeführer verdeutlichen anhand der einzelnen Begehren, dass jeder von ihnen explizit eigene Anträge gestellt habe und das Obergericht die jeweiligen Anträge differenziert, bezogen auf den einzelnen Beschwerdeführer habe beurteilen können. Ergo erhelle nicht, woraus das Obergericht ableite, beide Beschwerdeführer seien von allen in den Anträgen erwähnten Äusserungen in ihrem Persönlichkeitsrecht betroffen. Wenn die Beschwerdeführer Leistungsklagen in Form einer einfachen Streitgenossenschaft erhoben hätten und das Rechtsbegehren gelautet hätte, es sei die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, dem Beschwerdeführer 1 Fr. 1'000.-- und dem Beschwerdeführer 2 Fr. 2'000.-- zu bezahlen, so wäre das Obergericht wohl kaum auf die Idee gekommen, der Beschwerdeführer 1 wolle auch an der Leistung des Beschwerdeführers 2 teilhaben und erachte sich diesbezüglich als aktivlegitimiert. Daran ändere nichts, dass in den Eventualanträgen sowie im Unterlassungs- und Publikationsantrag nicht explizit zwischen den Beschwerdeführern differenziert worden sei, bezögen sich diese Anträge doch allesamt auf die Ziff. 1 und 2 der Rechtsbegehren, in denen die inkriminierten Behauptungen auf einen der beiden Beschwerdeführer bezogen worden seien (S. 8 f. Rz. 11 und 12). Unter der Annahme, dass das Obergericht nicht ihre Aktivlegitimation verneint habe, sondern auf ihre Begehren wegen fehlender Bestimmtheit nicht habe eintreten wollen, befassen sich die Beschwerdeführer weiter mit der Auslegung ihrer Rechtsbegehren anhand ihrer Vorbringen im kantonalen Verfahren (S. 9 ff. Rz. 13-17 der Beschwerdeschrift).
Im Sinn einer Eventualbegründung machen die Beschwerdeführer geltend, der Beschwerdeführer 2 trete seit der Gründung des Beschwerdeführers 1 als dessen Präsident und Aushängeschild in der Öffentlichkeit auf. Die beiden würden in der Öffentlichkeit sowie in der schweizerischen Bevölkerung gleichgesetzt. Dies werde auch aus den ihnen gegenüber in der erwähnten Hetzkampagne getätigten Äusserungen ersichtlich, in der der Beschwerdeführer 1 als "antisemitische Organisation" und der Beschwerdeführer 2 als "Antisemit" verunglimpft worden seien. Dem Beschwerdeführer 1 würden damit als juristischer Person die gleichen Vorwürfe gemacht wie dem Beschwerdeführer 2 als natürlicher Person, sofern letzterer in der Funktion als Präsident und Aushängeschild des Beschwerdeführers 1 handle. Vor diesem Hintergrund erhelle, dass die Beschwerdeführer rein formaljuristisch betrachtet zwar zwei Personen im Sinn des Personenrechts seien. Indes werde aufgrund der deckungsgleichen Vorwürfe klar, dass davon beide unmittelbar und gleichermassen betroffen seien. Aufgrund von Durchgriffsgedanken rechtfertige es sich, von einer rein formellen Betrachtung Abstand zu nehmen und die Beschwerdeführer punkto Aktivlegitimation betreffend Persönlichkeitsschutz einander gleichzusetzen. Ihre Sphären überschnitten sich vollumfänglich, solange der Beschwerdeführer 2 in seiner Funktion als Präsident und Sprachrohr des Beschwerdeführers 1 handle (S. 13 ff. Rz. 18-20 der Beschwerdeschrift).
5.
Als aktivlegitimiert zu den Klagen gemäss <ref-law> gilt, wer Träger des Persönlichkeitsrechts ist, dessen Verletzung er behauptet (<ref-law>). Vorausgesetzt ist eine persönlich und direkt treffende Verletzung. Bloss mittelbare Verletzungen oder deren indirekte Folgen begründen keine Aktivlegitimation (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 537; Urteil 5A_641/2011 vom 23. Februar 2012 E. 5.1). Die Aktivlegitimation fehlt deshalb dem einzelnen Mitglied einer (religiösen) Bewegung, deren Persönlichkeit angegriffen wird (Urteil 5A_328/2008 vom 26. November 2008 E. 7.2, in: sic! 2009 S. 257). Nicht aktivlegitimiert ist die im Spitalwesen tätige öffentlich-rechtliche Anstalt zur Klage gegen eine Presseäusserung, die die Behandlungsmethoden eines angestellten Chefarztes betrifft, auch wenn sie als Arbeitgeberin die Persönlichkeit ihres Arbeitnehmers zu achten und zu schützen hat (zit. Urteil 5A_641/2011 E. 5.2.4). Nicht zu begründen vermochte schliesslich die SSR, Società svizzera di radiotelevisione, ihre Aktivlegitimation mit dem Vorbringen, dass die eingeklagte Presseäusserung ihrem allgemeinem Sinn nach ihre Berufsehre anzugreifen bezwecke, war doch das darin beanstandete Eigenschaftswort "meschino" auf ihre Journalisten, namentlich auf den genannten R.M. bezogen (Urteil 5A_100/2015 vom 29. Oktober 2015 E. 5.3.2, in: sic! 2016 S. 270 f.).
6.
6.1. Dass die Aktivlegitimation die Geltendmachung einer direkt und persönlich treffenden Persönlichkeitsverletzung voraussetzt, stellen die Beschwerdeführer nicht in Abrede. Sie wenden im Eventualstandpunkt ein, sie seien aufgrund ihrer Verbundenheit immer beide in ihrer Persönlichkeit betroffen, wenn auch nur einer von ihnen angegriffen werde. Die Verbundenheit soll sich daraus ergeben, dass der Beschwerdeführer 2 seit der Gründung des Beschwerdeführers 1 dessen Präsident und Sprachrohr sei (E. 4 oben).
6.2. Ihren Einwand können die Beschwerdeführer nicht mit der Rechtsfigur des Durchgriffs begründen. Denn der Beschwerdeführer 2 als natürliche und der Beschwerdeführer 1 als juristische Person müssen sich die von ihnen gewählte Organisationsform entgegenhalten lassen und können sich nicht auf ein Fehlen ihrer Selbstständigkeit je als natürliche und juristische Person berufen (<ref-ruling> E. 8.3.3 S. 548).
6.3.
6.3.1. Der Einwand ist auch aus der Sicht des Persönlichkeitsschutzes unberechtigt. Zu den Voraussetzungen der Persönlichkeitsverletzung zählt, dass der Betroffene aufgrund der Verletzungshandlung - beispielsweise der Ausführungen in einem persönlichen Brief - individualisiert werden kann und dass - namentlich bei Darstellungen in Massenmedien - auch andere Personen erkennen können, um wen es sich handelt (Urteil 5A_888/2011 vom 20. Juni 2012 E. 9.4, eine Widerklage der Beschwerdeführer betreffend).
6.3.2. Die Frage der Erkennbarkeit hat sich im vorliegenden Fall ohne Weiteres beantworten lassen, wie die Rechtsbegehren der Beschwerdeführer belegen. Sie gliedern je für den Beschwerdeführer 1 und für den Beschwerdeführer 2 auf, welche Äusserungen der Beschwerdegegnerin welchen Beschwerdeführer in seiner Persönlichkeit verletzen (Bst. B.a oben: Klagebegehren-Ziff. 1 Abs. 2 und Klagebegehren-Ziff. 2 Abs. 2). Inhaltlich erfüllen die Klagebegehren damit das Bestimmtheitsgebot, wie es auch das Obergericht anerkannt hat (vgl. zu diesem Erfordernis: zit. Urteil 5A_888/2011 E. 8.3, betreffend die Beschwerdeführer; Urteil 5A_658/2014 vom 6. Mai 2015 E. 3.3; z.B. für Schutzmassnahmen nach <ref-law>: <ref-ruling> E. 4.4.1 S. 263).
6.3.3. Dass hier zwei Personen erkennbar von einer Persönlichkeitsverletzung betroffen sind, ändert nichts an der Aktivlegitimation. Jede von ihnen kann das Gericht anrufen, aber nicht die eine für die andere Person (E. 5 oben). Allerdings können zwei Verletzte, von denen ein jeder zum Schutz seiner Persönlichkeit das Gericht anrufen will, unter den Voraussetzungen des Prozessrechts in einfacher Streitgenossenschaft gemeinsam klagen (PIERRE TERCIER, Le nouveau droit de la personnalité, 1984, S. 112 Rz. 801; RICHARD FRANK, Persönlichkeitsschutz heute, 1983, S. 115 Rz. 275a und S. 213 Rz. 542; für einen Anwendungsfall: zit. Urteil 5A_641/2011 E. 4.3, in: sic! 2012 S. 446).
7.
7.1. Die Aktivlegitimation der Beschwerdeführer hat das Obergericht nicht wegen fehlender Bestimmtheit der Rechtsbegehren (E. 6.3.2 oben), sondern deswegen teilweise verneint, weil die beiden Beschwerdeführer gemeinsam auf Verurteilung der Beschwerdegegnerin geklagt und als einfache Streitgenossen nicht je für sich eigene Rechtsbegehren gestellt haben (E. 3 oben). Die Beschwerdeführer wenden dagegen ein unrichtiges Verständnis ihrer Klagebegehren ein (E. 4 oben).
7.2. Im Prozess abgegebene Erklärungen der Parteien sind gleich den privatrechtlichen Willenserklärungen dem erkennbaren Sinn gemäss auszulegen, wobei nicht nur der Wortlaut, sondern alle Umstände zu berücksichtigen sind, unter denen die Erklärung abgegeben wurde (<ref-ruling> E. 2.2.6 S. 38; <ref-ruling> E. 2c/aa S. 59, mit Hinweis auf GULDENER, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 3. Aufl. 1979, S. 262 Ziffer VI). Klagebegehren sind im Lichte der Begründung auszulegen (<ref-ruling> E. 4.2-4.4 S. 618 ff. und E. 6.2 S. 622). Überspitzt formalistisch wäre es, eine Partei auf der unglücklichen Formulierung oder beim unbestimmten Wortlaut ihres Rechtsbegehrens zu behaften, wenn sich dessen Sinn unter Berücksichtigung der Klagebegründung, der Umstände des zu beurteilenden Falls oder der Rechtsnatur der betreffenden Klage ohne Weiteres ermitteln lässt (Urteile 5P.35/2005 vom 4. Mai 2005 E. 1.1, in: SZZP 2005 S. 376 f.; 5A_753/2018 vom 21. Januar 2019 E. 3.1).
7.3.
7.3.1. Obwohl sie die Äusserungen der Beschwerdegegnerin je dem Beschwerdeführer 1 oder dem Beschwerdeführer 2 eindeutig zugeordnet haben, sind die Beschwerdeführer in ihrer Klage nicht selbstständig aufgetreten und vorgegangen. Sie haben vielmehr begehrt, die Beschwerdegegnerin sei ihnen gegenüber zur Löschung und zur Unterlassung der entsprechenden Äusserungen zu verpflichten (Klagebegehren-Ziff. 1-3). Ihre Eventualklagebegehren Ziff. 1.1 und Ziff. 2.1 auf Feststellung verdeutlichen, dass es unausgeschieden um "die Persönlichkeit der Kläger" geht, die die Beschwerdegegnerin widerrechtlich verletzt hat. Desgleichen haben sich die Beschwerdeführer auch gemeinsam zur Veröffentlichung des Urteils ermächtigen lassen wollen (Klagebegehren-Ziff. 5). Dasselbe Bild zeigt ihre Anschlussberufung, die sie gemeinsam erhoben haben, obwohl ihr Antrag einzig persönlichkeitsverletzende Äusserungen der Beschwerdegegnerin gegen den Beschwerdeführer 2 betrifft, die aber wiederum "die Persönlichkeit der Kläger" widerrechtlich verletzt haben.
7.3.2. Derartiges gemeinschaftliches Prozessieren kann nicht mit der sog. aktiven einfachen Streitgenossenschaft (<ref-law>) gerechtfertigt werden, die die Beschwerdeführer gebildet haben. Denn jeder einfache Streitgenosse führt den Prozess grundsätzlich unabhängig vom anderen (<ref-law>; vgl. zum Begriff: <ref-ruling> E. 3.2.2 S. 526) und macht unabhängig vom anderen eigenständige Ansprüche geltend (Urteil 4A_23/2018 vom 8. Februar 2019 E. 2.1). Auch wenn die einfachen Streitgenossen einen gemeinsamen Vertreter bezeichnen (<ref-law>) und eine gemeinsame Rechtsschrift einreichen, ist trotz Streitgenossenschaft in der Klage für jeden Streitgenossen ein eigenes Rechtsbegehren abzugeben (PETER RUGGLE, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 31 zu <ref-law>; so bereits im Grundsatz für das frühere kantonale Recht: Urteil 4A_492/2008 vom 12. März 2009 E. 2.1; MARIE-FRANÇOISE SCHAAD, La consorité en procédure civile, 1993, S. 235; CRISTINA VON HOLZEN, Die Streitgenossenschaft im schweizerischen Zivilprozess, 2006, S. 232).
Die Beschwerdeführer veranschaulichen das Erfordernis mit ihrem Beispiel, die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten, dem Beschwerdeführer 1 Fr. 1'000.-- und dem Beschwerdeführer 2 Fr. 2'000.-- zu bezahlen, haben es in ihrer Klage aber nicht erfüllt. Im Sinn ihres Beispiels sagen sie zwar, wem die Beschwerdegegnerin welchen Betrag schuldet, unterscheiden aber nicht, gegenüber welchem der beiden Beschwerdeführer sie zur Zahlung zu verpflichten ist, und treten vielmehr wie Solidargläubiger auf.
Eine "Solidargläubigerschaft" der Beschwerdeführer gegenüber der Beschwerdegegnerin besteht hier nicht (E. 6 oben). Gleichwohl lauten die Klagebegehren dahin gehend, die Beschwerdegegnerin sei ihnen gemeinsam gegenüber zu verpflichten, bestimmte Äusserungen je gegen den Beschwerdeführer 1 und gegen den Beschwerdeführer 2 zu löschen, nicht mehr weiterzuverbreiten und zu veröffentlichen, und es sei festzustellen, dass die Beschwerdegegnerin mit diesen Äusserungen die Persönlichkeit der Beschwerdeführer und nicht je die Persönlichkeit des Beschwerdeführers 1 und des Beschwerdeführers 2 widerrechtlich verletzt habe.
7.3.3. In Anbetracht der unmissverständlich und bestimmt formulierten Klagebegehren der persönlich prozesserfahrenen und anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer hat für eine vom klaren Wortlaut abweichende Auslegung unter den Umständen des vorliegenden Falls kein Raum bestanden. Ausgehen durfte das Obergericht zugunsten der Beschwerdeführer immerhin davon, dass sie je für sich als einfache Streitgenossen gegen die Beschwerdegegnerin haben klagen wollen und ihre Klagen deshalb nicht formell unzulässig waren. Eingeklagt haben die Beschwerdeführer dabei je Persönlichkeitsverletzungen, die sie direkt und persönlich treffen, und je Persönlichkeitsverletzungen, die sie nicht oder höchstens mittelbar treffen. Mit Bezug auf letztere Persönlichkeitsverletzungen durfte das Obergericht die Aktivlegitimation der Beschwerdeführer ohne Verletzung von Bundesrecht je verneinen. Die Klagen der Beschwerdeführer konnten folglich nur teilweise geschützt werden.
8.
Aus den dargelegten Gründen muss die Beschwerde abgewiesen werden. Die Beschwerdeführer werden damit kosten-, nicht hingegen entschädigungspflichtig, da die Beschwerdegegnerin zur Vernehmlassung nicht eingeladen wurde (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 5A_773/2018 und 5A_801/2018 werden nicht vereinigt.
2.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. April 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: von Roten