Sachverhalt:
A.
A.a. Die am 27. Juni 1922 geborene A.B._, deutsch-ungarische Doppelbürgerin, wohnt in Ungarn und hat zwei Töchter, A.C._ und A.D._. Seit 28. Februar 2009 ist sie verwitwet. Die Schweizerische Ausgleichskasse (SAK) richtet ihr seit 1. März 2009 eine Altersrente aus (Verfügung vom 29. April 2009).
A.b. Mit Urteil des Amtsgerichts X._ (HU) vom 5. Juli 2017 wurde A.B._ "wegen teilweise beschränkter Geschäftsfähigkeit" unter "Pflegschaft" bzw. "Betreuung" gestellt, dies unter anderem hinsichtlich der "Verfügung über das Einkommen aus Altersversorgung (Rente) ". Als "Pflegerin" bzw. "Betreuerin" wurde ihre Tochter A.C._ eingesetzt. Mit Beschluss des Regierungsamtes des Komitats V._, Bezirksamt X._, vom 17. Juli 2018 wurde A.C._ abgesetzt und als neue "Betreuerin" bzw. "Beistandsperson" A.A._ bestellt. Es handelt sich dabei um die Enkelin von A.B._ bzw. die Tochter von A.D._.
A.c. Als Rechtsvertreter der A.B._ verlangte Advokat Philipp Simonius von der SAK die Herausgabe der Kontoauszüge und der vollständigen Korrespondenz mit der früheren Beiständin A.C._. Die SAK lehnte ab, wobei sie sich auf den Standpunkt stellte, sie könne nur der neuen Beiständin Auskunft geben; eine Vertretung sei nicht statthaft (Schreiben vom 11. Oktober 2018). Dies akzeptierte der Rechtsvertreter nicht; er reichte (neben einer weiteren Kopie der bereits vorgelegten Vollmacht von A.B._) zusätzlich Kopien der Vollmachten von A.A._ und A.D._ ein. Eine Einigung kam nicht zustande. Mit Verfügung vom 6. Juni 2019 wies die SAK das (sinngemässe) Akteneinsichtsgesuch ab mit der Begründung, sie könne ausschliesslich der Beiständin A.A._ Auskunft erteilen. Daran hielt sie auf Einsprache hin fest; die Beiständin A.A._ habe ihre Funktionen (auch gegenüber der SAK) persönlich wahrzunehmen und die Mandatierung eines Rechtsanwaltes sei ausgeschlossen (Einspracheentscheid vom 13. Juni 2019).
B.
B.a. Beschwerdeweise liessen A.B._ und A.A._ beim Bundesverwaltungsgericht Beschwerde erheben und die Aufhebung der Verfügung beantragen. Es sei festzustellen, dass die SAK gegenüber ihnen und ihrem Rechtsvertreter vollumfänglich rechenschafts- und auskunftspflichtig bezüglich der Rente der A.B._ und der erfolgten Auszahlungen sei. Die SAK sei zu verurteilen, ihnen und ihrem Rechtsvertreter sämtliche Kontoauszüge (inkl. die Angaben der Zahlstelle für die Jahre 2013 bis 2018) und die vollständige Korrespondenz mit dem früheren und mittlerweile abgesetzten Vormund A.C._ herauszugeben. Eventualiter sei der Fall an die SAK zur Neubeurteilung zurückzuweisen.
B.b. Mit instruktionsrichterlicher Verfügung vom 6. September 2019 wurden A.B._ und A.A._ eingeladen, bis 30. September 2019 eine Zustimmungserklärung der Regierungsstelle Komitat V._, Bezirksamt X._, zur Führung des Verfahrens einzureichen, ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten werde. Der Rechtsvertreter machte geltend, die vorhandenen Belege würden ausreichen, um die Berechtigung zur Prozessführung zu bestätigen. Der Instruktionsrichter hielt an der Notwendigkeit der einverlangten Zustimmungserklärung fest und forderte den Rechtsvertreter überdies auf, eine von A.A._ für das Beschwerdeverfahren erteilte Vollmacht samt Belegen zur Echtheitsprüfung der Unterschrift auf der Vollmacht beizubringen (Verfügung vom 20. Dezember 2019). Die für die Einreichung der Unterlagen angesetzte Frist wurde auf Gesuch hin wiederholt erstreckt. Am 2. Juni 2020 wurde die einverlangte Vollmacht (einschliesslich Beilagen) zu den Akten gegeben. Nachdem der Rechtsvertreter betreffend die Zustimmungserklärung unter anderem auf die wegen der Coronakrise geschlossenen Ämter in Ungarn verwiesen hatte, wurde das Verfahren mit Zwischenverfügung vom 9. Juni 2020 bis auf Weiteres sistiert. Anlässlich der Wiederaufnahme des Verfahrens am 1. September 2020 wurde eine neue Frist zur Beibringung der Zustimmungserklärung angesetzt, welche auf Gesuch hin erneut erstreckt wurde. Ein weiteres Begehren um Fristverlängerung hiess der Instruktionsrichter am 1. Dezember 2020 gut, wobei er gleichzeitig darauf hinwies, dass eine Fristerstreckung künftig nur noch gewährt werde bei eingehender Gesuchsbegründung sowie Darlegung und Nachweis der bisher unternommenen Schritte (Korrespondenz) gegenüber der Regierungsstelle Komitat V._, Bezirksamt X._. Auf eine weitere Eingabe vom 11. Januar 2021, in welcher der Rechtsvertreter wiederum auf die bisherigen Bemühungen des ungarischen Korrespondenzanwaltes hinwies und darauf, dass sich die Prozessführungsberechtigung aus den ungarischen Entscheiden selbst ergebe, wurde die Frist zur Einholung der Zustimmungserklärung letztmals und ausserordentlicherweise bis 15. März 2021 erstreckt (Verfügung vom 13. Januar 2021). Weiter wurde verfügt, dass die Zustimmungserklärung bis zur erstreckten Frist einzureichen oder eingehend zu begründen sowie nachzuweisen sei, dass es trotz sämtlichen unternommenen Schritten gegenüber der zuständigen Regierungsstelle nicht gelungen sei, die verlangte Zustimmungserklärung zu erhalten. Im Unterlassungsfall oder bei ungenügendem Nachweis oder Nichterteilung der behördlichen Zustimmung werde auf die Beschwerde mangels Prozessvorausssetzungen nicht eingetreten. Mit Eingabe vom 15. März 2021 beantragte der Rechtsvertreter, auf die Beschwerde sei einzutreten und sie sei gutzuheissen. Dabei verwies er auf seine Eingabe vom 11. Januar 2021 sowie das Affidavit des ungarischen Korrespondenzanwaltes vom 12. März 2021 und eine weitere E-Mail desselben vom 8. März 2021.
B.c. Mit Urteil vom 21. Juni 2021 trat das Bundesverwaltungsgericht auf die Beschwerde androhungsgemäss nicht ein.
C.
A.B._ und A.A._ reichen Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde ein mit dem (innert Frist ergänzten) Rechtsbegehren, es sei festzustellen, dass sie aktivlegitimiert und die Prozessvoraussetzungen erfüllt seien. Dabei sei festzustellen, dass keine Einwilligung der ungarischen (Aufsichts-) Behörde zur Führung des vorliegenden Prozesses notwendig sei. Das Urteil vom 21. Juni 2021 sei aufzuheben und die Sache an das Bundesverwaltungsgericht zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Dieses sei zu verpflichten, auf das Verfahren einzutreten.
Die SAK lässt auf Nichteintreten und eventualiter auf Beschwerdeabweisung schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
A.B._ und A.A._ nahmen in einer weiteren Eingabe vom 7. Dezember 2021 Stellung.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein das Verfahren abschliessender Entscheid (<ref-law>) des Bundesverwaltungsgerichts (<ref-law>) in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>), ohne dass eine der in <ref-law> aufgezählten Ausnahmen vorliegt. Damit steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich offen.
1.2. Die Beschwerdeführerinnen haben ihre Eingabe entgegen der Rechtsmittelbelehrung im angefochtenen Urteil als Beschwerde in Zivilsachen (und subsidiäre Verfassungsbeschwerde) bezeichnet. Diese unzutreffende Bezeichnung schadet ihnen indessen nicht. Ihre Eingabe ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegenzunehmen (vgl. Urteil 5A_88/2017 vom 25. September 2017 E. 1.1, nicht publiziert in: <ref-ruling>).
1.3. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist nicht einzutreten (<ref-law>).
2.
Das Bundesverwaltungsgericht trat auf die Beschwerde der Beiständin A.A._ (Beschwerdeführerin 1) und der durch die Beiständin vertretenen A.B._ (Beschwerdeführerin 2) androhungsgemäss nicht ein mit der Begründung, die beiden Beschwerdeführerinnen hätten die erforderliche Zustimmung der ungarischen Erwachsenenschutzbehörde zur Führung des Prozesses innert der angesetzten und mehrmals erstreckten Frist nicht eingereicht und damit ihre Prozessfähigkeit nicht nachgewiesen.
Die Beschwerdeführerinnen haben ein rechtlich geschütztes Interesse an der Klärung der Frage ihrer Prozessfähigkeit im vorinstanzlichen Verfahren. Mit Bezug auf die Frage ihrer Prozessfähigkeit haben sie vor Bundesgericht als prozessfähig zu gelten (vgl. <ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 5; Urteil 5A_101/2014 vom 6. März 2014 E. 1.2).
3.
3.1. Bei der Prozessfähigkeit als verfahrensrechtlichem Pendant zur Handlungsfähigkeit handelt es sich um eine von Amtes wegen zu prüfende Eintretensvoraussetzung (<ref-ruling> E. 2a). Dazu gehört auch die behördliche Zustimmungserklärung, welche der Beistand oder die Beiständin nach dem schweizerischen Recht für die Prozessführung in Vertretung der betroffenen Person benötigt (<ref-law>; YVO BIDERBOST, in: FamKomm, Erwachsenenschutz, 2013, Rz. 35 zu <ref-law>). Indessen trifft die Beschwerdeführenden eine Substantiierungslast; sie tragen die Beweislast dafür, dass die Prozessvoraussetzungen erfüllt sind (FRITZ GYGI, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2. Aufl. 1983, S. 73 f.; <ref-ruling> E. 6.1; <ref-ruling> E. 4.3).
3.2. In internationalen Sachverhalten wie dem vorliegenden folgt die Prozessfähigkeit der internationalprivatrechtlichen Anknüpfung (ROLAND FANKHAUSER, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 6. Aufl. 2018, N. 52 zu <ref-law>). Die Beschränkung der Handlungsfähigkeit durch erwachsenenschutzrechtliche Massnahmen richtet sich nach dem gemäss <ref-law> anwendbaren Recht, welche Bestimmung auf das Haager Übereinkommen über den internationalen Schutz von Erwachsenen vom 13. Januar 2000 (Erwachsenenschutzübereinkommen, HEsÜ; SR 0.211.232.1) verweist (MARKUS MÜLLER-CHEN, in: Zürcher Kommentar zum IPRG, Band I, 3. Aufl. 2018, N. 20 zu <ref-law>). Damit findet das HEsÜ auch Anwendung gegenüber Staaten, die - wie Ungarn - nicht zu den Vertragsstaaten desselben gehören (zum Verweis von <ref-law>, siehe auch: DANIEL FÜLLEMANN, Das internationale Privat- und Zivilprozessrecht des Erwachsenenschutzes, Diss. 2008, S. 272 ff. Rz. 416 ff.). Massnahmen, die in einem Nichtvertragsstaat ergangen sind, werden anerkannt, wenn sie im Staat des gewöhnlichen Aufenthalts des Erwachsenen ergangen sind oder dort anerkannt werden (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>).
4.
4.1. Das Bundesverwaltungsgericht erwog, die in Ungarn angeordnete Beistandschaft werde in der Schweiz anerkannt. Die Bedingungen, unter welchen sie hier durchgeführt werde, richteten sich nach der gegenüber Nichtvertragsstaaten wie Ungarn analog anwendbaren Bestimmung des Art. 14 HEsÜ, womit das schweizerische Recht zur Anwendung gelange, sofern es eine Verschärfung vorsehe. Dies sei hinsichtlich der Vertretungsbeistandschaft (Art. 394 f. ZGB), wie sie hier vorliege, der Fall, denn bei dieser erfordere die Prozessführung die Zustimmung der Erwachsenenschutzbehörde (<ref-law>). Gleiches gelte im Übrigen nach dem ungarischen Entscheid vom 17. April 2018, welcher für Rechtserklärungen der in der Handlungsfähigkeit teilweise eingeschränkten Person (Beschwerdeführerin 2) und ihres Betreuers (Beschwerdeführerin 1) betreffend den Unterhalt (wozu auch die Altersrente gehöre) die Zustimmung der Betreuungsbehörde vorsehe. Es werde darin zwar nicht erläutert, was als Rechtserklärung zu gelten habe; auf jeden Fall sei aber die Beschwerdeerhebung an sich als rechtliche Erklärung im Sinne des Entscheids zu verstehen. Damit sei für die Prozessführung, welche in Vertretung der Beschwerdeführerin 2 erfolge und auf der Vertretungskompetenz der Beschwerdeführerin 1 beruhe, sowohl nach schweizerischem als auch nach ungarischem Recht die Zustimmung der zuständigen ungarischen Erwachsenenschutzbehörde erforderlich. Selbst wenn die Beschwerdeführerin 1 den Prozess (zusätzlich) in eigenem Namen und einzig gestützt auf ihre amtliche Stellung als Beiständin führen sollte (wobei sie zu ihrer diesbezüglichen Beschwerdelegitimation keine expliziten Aussagen mache), wäre zumindest aufgrund des ungarischen Entscheides ebenfalls vom Zustimmungserfordernis der ungarischen Betreuungsbehörde auszugehen. Innert der vom Instruktionsrichter angesetzten und bis 15. März 2021 letztmals erstreckten Frist hätten die Beschwerdeführerinnen weder die angeforderte Zustimmungserklärung noch die verlangten Nachweise der gegenüber der zuständigen ungarischen Behörde unternommenen Schritte eingereicht; es sei lediglich die Korrespondenz zwischen dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerinnen, seinem ungarischen Kontaktanwalt und seiner Klientin A.D._ beigebracht worden. Auf diese Weise hätten die Beschwerdeführerinnen die ihnen zumutbare Mitwirkung nicht geleistet. Da mithin eine Prozessvoraussetzung nicht nachgewiesen sei, könne auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
4.2. Die Beschwerdeführerinnen machen geltend, die Frage nach der Prozessfähigkeit sei entgegen dem angefochtenen Urteil nicht gestützt auf Art. 14 HEsÜ zu beantworten, sondern gestützt auf Art. 15 Abs. 1 HEsÜ, womit das ungarische Recht Anwendung finde. Dieses sehe keine Mitwirkung einer Behörde für die Prozessführung vor. Eine solche sei auch nach dem ungarischen Entscheid vom 17. Juli 2018 nicht erforderlich.
4.2.1. Die beiden Normen Art. 14 und Art. 15 HEsÜ stehen im Kapitel III des Übereinkommens, das gemäss Art. 18 HEsÜ auch Anwendung findet, wenn das darin bestimmte Recht das eines Nichtvertragsstaates ist (zur analogen Anwendung: FÜLLEMANN, a.a.O., S. 156 ff. Rz. 249 ff. und S. 303 Rz. 473). Davon abweichend stellt der Wortlaut des Art. 14 HEsÜ (vgl. dazu E. 4.2.2) zwar klar, dass die Norm nur Anwendung findet, wenn sowohl der Durchführungs- als auch der Anordnungsstaat Vertragsstaaten sind; jedoch ist die Bestimmung im autonomen schweizerischen internationalen Privatrecht analog anwendbar (FÜLLEMANN, a.a.O., S. 162 Rz. 257 in fine).
4.2.2. Gemäss Art. 14 HEsÜ bestimmt bei Durchführung einer in einem Vertragsstaat getroffenen Massnahme in einem anderen Vertragsstaat das Recht dieses anderen Staates die Bedingungen, unter denen sie durchgeführt wird. Nach Art. 15 Abs. 1 HEsÜ werden das Bestehen, der Umfang, die Änderung und die Beendigung der von einem Erwachsenen entweder durch eine Vereinbarung oder ein einseitiges Rechtsgeschäft eingeräumten Vertretungsmacht, die ausgeübt werden soll, wenn dieser Erwachsene nicht in der Lage ist, seine Interessen zu schützen, vom Recht des Staates bestimmt, in dem der Erwachsene im Zeitpunkt der Vereinbarung oder des Rechtsgeschäfts seinen gewöhnlichen Aufenthalt hatte (es sei denn, eines der in Absatz 2 genannten Rechte wurde ausdrücklich schriftlich bezeichnet).
4.2.3. Bei der mit Beschluss des Regierungsamtes des Komitats V._, Bezirksamt X._, am 17. Juli 2018 über die Beschwerdeführerin 2 angeordneten Beistandschaft handelt es sich nicht um eine rechtsgeschäftlich - durch einseitiges Rechtsgeschäft oder im Rahmen eines Vertretungsvertrages - eingeräumte Vertretungsmacht, wie sie die in der Beschwerde angerufene Norm des Art. 15 HeSÜ allein zum Gegenstand hat (vgl. dazu FÜLLEMANN, a.a.O., S. 162 ff. Rz. 258 ff.). Vielmehr geht es bei der errichteten Beistandschaft um eine behördlich angeordnete Schutzmassnahme im Sinne von Art. 14 HEsÜ (vgl. dazu auch FÜLLEMANN, a.a.O., S. 51 Rz. 72, S. 150 Rz. 238 und S. 156 ff. Rz. 249 ff.). Damit ist im hier interessierenden Zusammenhang nicht Art. 15 Abs. 1 HEsÜ einschlägig, sondern die Bestimmung des Art. 14 HEsÜ, wie die Vorinstanz zutreffend erkannt hat.
4.2.4. Ebenso ist dem Bundesverwaltungsgericht beizupflichten, dass bei dieser Rechtslage auf die im Ausland angeordnete Beistandsbestellung, die in der Schweiz durchgeführt werden soll, die gegenüber dem Anordnungsstaat verschärften Durchführungsbedingungen des schweizerischen Rechts Anwendung finden, womit insbesondere die Genehmigungserfordernisse durch die Erwachsenenschutzbehörde gelten (Rapport explicatif/explanatory Report von Paul Lagarde zum HEsÜ, Rz. 94, abrufbar auf der Website der Haager Konferenz, www.hcch.net; DANIEL FÜLLEMANN, a.a.O., S. 156 ff. Rz. 249 ff., S.161 Rz. 256 und S. 303 Rz. 473). Der in der Beschwerde erhobene Einwand, gemäss ungarischem Recht sei keine Mitwirkung einer Behörde für die Prozessführung notwendig, ist damit nicht von Belang. Einer Grundlage entbehren schliesslich - wegen fehlender Massgeblichkeit des ungarischen Rechts - auch die beschwerdeführerischen Rügen, die Vorinstanz habe sich mit der Rechtslage in Ungarn, insbesondere auch mit dem Affidavit des Korrespondenzanwaltes vom 12. März 2021, nicht auseinandergesetzt und damit das Willkürverbot (<ref-law>) und den Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt.
4.3. Es steht fest und ist unbestritten, dass die Beschwerdeführerinnen dem Bundesverwaltungsgericht die erforderliche Zustimmungserklärung der ungarischen Behörden nie vorgelegt haben. Sie machten zwar sinngemäss geltend, dass die von ihnen in diesem Zusammenhang geforderte Mitwirkung unzumutbar sei, weil ungarische Behörden keine derartigen Erklärungen ausstellen würden. Indessen haben sie zum von der Vorinstanz dafür geforderten Nachweis lediglich auf entsprechende Stellungnahmen des ungarischen Korrespondenzanwaltes verwiesen, die konkret bei den Behörden unternommenen Schritte aber trotz ausdrücklicher instruktionsrichterlicher Aufforderung dazu nicht dokumentiert. Dass die Vorinstanz bei dieser Sachlage zum Ergebnis gelangte, die geforderte und zumutbare Mitwirkung zum Nachweis der Prozessfähigkeit als Prozessvoraussetzung (vgl. E. 3.1 hiervor) sei nicht geleistet, gibt zu keinen Beanstandungen Anlass. Es ist nicht überspitzt formalistisch (<ref-law>; dazu <ref-ruling> E. 4.2.1), dass die Vorinstanz mangels erstellter Prozessfähigkeit der durch die Beschwerdeführerin 1 vertretenen Beschwerdeführerin 2 auf die diesbezügliche Beschwerde androhungsgemäss nicht eintrat. Bei dieser Sachlage ist die beim Bundesgericht von der durch die Beschwerdeführerin 1 vertretenen Beschwerdeführerin 2 erhobene Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
4.4. Auch nicht ansatzweise setzt sich die Beschwerdeschrift sodann mit der vorinstanzlichen Erwägung auseinander, welche die Prozessführung der Beschwerdeführerin 1 aus eigenem Recht betrifft, zu welcher im Übrigen bereits das Bundesverwaltungsgericht explizite Ausführungen vermisste. Diesbezüglich fehlt der letztinstanzlichen Beschwerde eine rechtsgenügliche Begründung (vgl. <ref-law>), so dass darauf bereits aus diesem Grund nicht einzutreten ist.
5.
Die Gerichtskosten werden den unterliegenden Beschwerdeführerinnen auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden den Beschwerdeführerinnen auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. März 2022
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann