Sachverhalt:
A.
Am 27. September 2019 traf die Staatsanwaltschaft II (Cyberkriminalität) des Kantons Zürich im Zusammenhang mit einer Strafanzeige von B._ gegen A._ eine Nichtanhandnahmeverfügung. Aufgrund einer weiteren Strafanzeige von B._ führt dieselbe Staatsanwaltschaft jedoch eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen Verleumdung und weiterer mutmasslicher Straftaten. In der Folge erstattete A._ Strafanzeige gegen B._ wegen falscher Anschuldigung. Diese beiden Verfahren sind bei der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich noch hängig.
Im Rahmen der gegen A._ geführten Untersuchungen wurden am 3. Dezember 2019 bei einer Hausdurchsuchung an seinem Wohnort verschiedene elektronische Datenträger sichergestellt (ein Laptop Dell Inspiron mit Ladekabel, eine externe Festplatte San Disk 480 GB, zwei USB-Sticks Intenso 128 GB, ein Mobiltelefon iPhone, ein Notebook Sony Vaio mit Ladegerät). A._ verlangte die Siegelung der sichergestellten Datenträger.
B.
Am 6. Dezember 2019 beantragte die Staatsanwaltschaft beim Bezirksgericht Zürich, Zwangsmassnahmengericht, die Entsiegelung und Durchsuchung der sichergestellten Datenträger. Mit Urteil vom 11. August 2020 hiess das Zwangsmassnahmengericht das Entsiegelungsgesuch gut und gab die fraglichen elektronischen Datenträger nach Eintritt der Rechtskraft des Entsiegelungsentscheids der Staatsanwaltschaft zur Durchsuchung und weiteren Verwendung in der laufenden Strafuntersuchung frei.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht beantragt A._, das Urteil des Zwangsmassnahmengerichts aufzuheben und den Antrag auf Entsiegelung abzuweisen. Überdies ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. Die Staatsanwaltschaft II sowie das Zwangsmassnahmengericht verzichteten auf eine Stellungnahme. A._ äusserte sich in weiteren Eingaben wiederholt zur Sache.
D.
A._ reichte dem Bundesgericht in den hängigen Strafverfahren noch verschiedene weitere Beschwerden ein (Verfahren 1B_395/2020, 1B_409/2020, 1B_413/2020, 1B_613/2020). In allen bundesgerichtlichen Verfahren ist er nicht anwaltlich vertreten. Am 3. November 2020 stellte er ein Gesuch um Zustellung sämtlicher Akten der damals hängigen Verfahren zur Einsicht. Nachdem die vom Präsidenten der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts eingesetzte Instruktionsrichterin den übrigen Verfahrensbeteiligten Gelegenheit gegeben hatte, sich dazu zu äussern, wies sie am 26. November 2020 die verlangte Aktenzustellung ab, erteilte aber Akteneinsicht am Bundesgericht innert einer angesetzten Frist. A._ nahm diese Möglichkeit in der Folge nicht wahr. Hingegen beantragte er mit Eingabe vom 27. November 2020 im vorliegenden bundesgerichtlichen Verfahren 1B_439/2020 sowie in den weiteren Verfahren 1B_395/2020, 1B_403/2020, 1B_409/2020 und 1B_413/2020 den Ausstand der Instruktionsrichterin. Mit Urteil 1B_611/2020 vom 4. Dezember 2020 wies das Bundesgericht dieses Ausstandsgesuch ab. Mit einem weiteren Urteil 1F_37/2020 vom 21. Dezember 2020 wies es ebenfalls ein dagegen von A._ eingereichtes Revisionsgesuch ab.

Erwägungen:
1.
1.1.
Gegen das angefochtene Urteil steht gemäss <ref-law> die Beschwerde in Strafsachen offen. Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist nach Art. 248 Abs. 3 lit. a i.V.m. <ref-law> und <ref-law> zulässig. Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt. Soweit er rechtlich geschützte Geheimnisinteressen hinreichend substanziiert anruft, kann ihm das angefochtene Urteil einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> verursachen (<ref-ruling> E. 1 S. 465; Urteil 1B_85/2019 vom 8. August 2019 E. 2 mit Hinweisen).
1.2. Mit der Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Dessen Einhaltung überprüft das Bundesgericht von Amtes wegen (vgl. <ref-law>) und mit freier Kognition.
2.
Die als Petitionen bezeichneten Eingaben des Beschwerdeführers werden als Stellungnahmen im Schriftenwechsel entgegengenommen.
3.
Nach <ref-law> prüft das Bundesgericht nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Es ist allerdings weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. 3 S. 415). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind (<ref-ruling> E. 2.5 S. 314). Im Folgenden ist daher auf die Beschwerde nur soweit einzugehen, als der Beschwerdeführer den angefochtenen Entscheid zureichend beanstandet.
4.
Soweit der Beschwerdeführer rügt, dass ihm eine amtliche Verteidigung zugeordnet wurde, ist er im vorliegenden Verfahren nicht zu hören. Diese amtliche Verteidigung wurde korrekt bestellt (vgl. dazu auch das parallele bundesgerichtliche Verfahren 1B_413/2020) und die vom amtlichen Verteidiger vorgenommenen Prozesshandlungen sind dem Beschwerdeführer zuzurechnen.
5.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz auf Antrag hin oder von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 97 Abs. 1 und 105 Abs. 2 BGG). Auch die unvollständige Feststellung des massgeblichen Sachverhalts ist offensichtlich unrichtig (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 373; <ref-ruling> E. 3.4.2 S. 295 f.). Neue Tatsachen dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
6.
Der Beschwerdeführer rügt einen Verstoss gegen seinen Anspruch auf rechtliches Gehör, weil seine Eingaben an das Zwangsmassnahmengericht im angefochtenen Urteil nicht erwähnt worden seien. Überdies sei er bisher auch nicht zur Sache einvernommen worden. Der Gehörsanspruch nach <ref-law> umfasst die Pflicht der Behörden, die Vorbringen der Parteien tatsächlich zu hören, ernsthaft zu prüfen und in ihrer Entscheidfindung angemessen zu berücksichtigen. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass die betroffene Person den Entscheid sachgerecht anfechten kann. Sie muss die wesentlichen Überlegungen enthalten, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sie ihren Entscheid stützt. Nicht erforderlich ist, dass sich die Vorinstanz in ihrer Begründung mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt (<ref-ruling> E. 9.2 S. 65; <ref-ruling> E. 3.2 S. 270 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer wurde vor der Vorinstanz im Wesentlichen durch seinen amtlichen Verteidiger vertreten. Das Zwangsmassnahmengericht ist auf die vorgetragenen Argumente ausreichend eingegangen und sein Urteil konnte sachgerecht angefochten werden. Der Beschwerdeführer legt selbst nicht nachvollziehbar und zureichend dar, welche zusätzlichen Argumente denn nicht behandelt worden wären. Es erwies sich daher nicht als erforderlich, die selbst verfassten Eingaben des Beschwerdeführers noch ausdrücklich zu erwähnen bzw. darauf einzugehen. Überdies liegt es in der Natur der Sache, dass ein Tatverdächtiger nicht bereits vor der Sicherstellung möglicher Beweismittel dazu angehört wird. Im vorliegenden Fall ist sodann ebenfalls nicht zu beanstanden, dass die Staatsanwaltschaft mit der Anhörung des Beschwerdeführers zu den gegen ihn erhobenen Vorwürfen zuwartet, bis erste, insbesondere die sichergestellten, Beweismittel ausgewertet werden können.
7.
7.1. Nach <ref-law> dürfen unter anderem Datenträger und Anlagen zur Verarbeitung und Speicherung von Informationen durchsucht werden, wenn zu vermuten ist, dass sich darin Informationen befinden, die der Beschlagnahme unterliegen. Bei Einwänden des Inhabers oder der Inhaberin wegen möglicher Beschlagnahmeverbote sind die sichergestellten Datenträger bzw. Informationsspeicher zu versiegeln. Es obliegt diesfalls der Strafbehörde, innert 20 Tagen ein Entsiegelungsgesuch bei der zuständigen Behörde zu stellen, bei der es sich im Vorverfahren um das Zwangsmassnahmengericht handelt (<ref-law>). Wie bei anderen Zwangsmassnahmen bildet unter anderem ein hinreichender Tatverdacht Voraussetzung der Sicherstellung und in der Folge der Entsiegelung (<ref-law>). Sie müssen auch mit Blick auf die Bedeutung der in Frage stehenden Straftat verhältnismässig sein (vgl. <ref-law> und <ref-law>). Bei der Sicherstellung von Objekten und Vermögenswerten im Strafverfahren muss jedoch der Nachweis strafbarer Handlungen noch nicht vorliegen. Es muss immerhin aufgrund einer vorläufigen Einschätzung von einer gewissen Wahrscheinlichkeit der Strafhandlungen, der Massgeblichkeit der fraglichen Unterlagen und Objekte sowie der rechtlichen Bedeutung derselben ausgegangen werden können; gleichzeitig darf es dabei für die Zulässigkeit der Sicherstellung oder Entsiegelung auch sein Bewenden haben (vgl. etwas das Urteil des Bundesgerichts 1B_353/2020 vom 18. August 2020 E. 4).
7.2. In ihrem Antrag auf Entsiegelung und Durchsuchung vom 6. Dezember 2019 legte die Staatsanwaltschaft die damals bekannten tatsächlichen Umstände eingehend dar und führte aus, weshalb sie den Beschwerdeführer aufgrund von dessen angespanntem Verhältnis zu seinem Gegenpart und Opfer der mutmasslichen Verleumdungen und von weiteren möglichen Straftaten durch beim Opfer eingegangene E-Mails als Täter verdächtigt. Das Zwangsmassnahmengericht stützte sich auf diese Zusammenhänge und begründete konkret, woraus die feindselige Haltung des Beschwerdeführers gegenüber seinem Gegenpart erkennbar ist, dass es ihm möglich war, die fraglichen E-Mails zu verfassen und dass nicht ersichtlich sei, inwiefern jemand anderes an der Verbreitung der fraglichen E-Mails ein Interesse hätte haben können. Der Beschwerdeführer wendet hauptsächlich ein, darauf seien keine Namen und keine ihm zuweisbare E-Mail-Adresse ersichtlich. Das genügt jedoch nicht, um die Vorhalte zu entkräften, sondern belegt einzig, dass der Verfasser der E-Mails eine entsprechende Vorsicht walten liess. Wie die Staatsanwaltschaft ausreichend dargetan hat, bestehen genügende Anhaltspunkte für einen hinreichenden Verdacht, dass der Beschwerdeführer Verfasser der fraglichen E-Mails ist. Ebenso wenig steht in Frage, dass diese geeignet sind, einen ausreichenden Verdacht für eine mögliche Straftat zu begründen. Mit den sichergestellten Datenträgern hätte der Beschwerdeführer die E-Mails auch versenden können. Genau das soll durch die Auswertung der Datenträger untersucht werden. Ein hinreichender Tatverdacht ist demnach genauso erstellt wie die Beweistauglichkeit der Datenträger. Schliesslich ist die Entsiegelung als solche auch nicht unverhältnismässig.
8.
8.1. Der Beschwerdeführer behauptet, auf den sichergestellten Datenträgern befänden sich Geschäftsgeheimnisse und Anwaltskorrespondenz. Diese Argumentation ist neu und wurde vor dem Zwangsmassnahmengericht nicht vorgetragen. Dies trifft auch auf die Eingabe des amtlichen Verteidigers vom 11. Februar 2020 zu, in der sich dieser auf das Argument fokussierte, die Hausdurchsuchung und dabei erfolgte Sicherstellung der Datenträger seien unrechtmässig erfolgt, weshalb sie nicht ausgewertet werden dürften, was die Vorinstanz als unzutreffend beurteilte. Diese Rüge erhebt der Beschwerdeführer vor Bundesgericht freilich nicht mehr.
8.2. Soweit der Beschwerdeführer neu geltend macht, Geschäftsgeheimnisse seien gefährdet, unterlässt er jegliche Hinweise, diese Behauptung zu unterlegen, und tut er nicht dar, weshalb er das nicht schon früher vorgebracht hat. Dieses Argument erscheint daher treuwidrig und verspätet (vgl. <ref-law>). Das Zwangsmassnahmengericht musste auch nicht von Amtes wegen davon ausgehen, auf den privaten Datenträgern, die am Wohnort des Beschwerdeführers vorgefunden wurden, befänden sich Geschäftsgeheimnisse. Falls dies so wäre, würde es sich im Übrigen um nach <ref-law> unzulässige neue Tatsachen handeln.
8.3. Heikler erweist sich die Frage der Anwaltskorrespondenz. Nach <ref-law> dürfen Unterlagen aus dem Verkehr der beschuldigten Person mit ihrer Verteidigung nicht beschlagnahmt und gemäss <ref-law> von den Strafbehörden weder eingesehen noch verwendet werden. Die Anwaltskorrespondenz steht damit unter besonderem Schutz und ist gegebenenfalls vor der Entsiegelung auszusondern (vgl. das Urteil des Bundesgerichts 1B_275/2019 vom 12. August 2019 E. 3), was grundsätzlich von Amtes wegen zu beachten ist. Es muss allerdings auch erkennbar sein, dass sich auf allfälligen sichergestellten Datenträgern Anwaltskorrespondenz befinden könnte. Bei wie im vorliegenden Fall am Wohnort des Beschuldigten aufgefundenen privaten Datenträgern erscheint dies an sich nicht von vorneherein ausgeschlossen. Indessen fand die Hausdurchsuchung am 3. Dezember 2019 statt und die amtliche Verteidigung wurde erst am 9. Dezember 2019 angeordnet. Der Verteidiger machte vor dem Zwangsmassnahmengericht ja gerade geltend, die Sicherstellung sei nicht zulässig gewesen, da der Beschwerdeführer damals noch gar nicht amtlich verteidigt gewesen sei. Bei dieser Ausgangslage erscheint es unwahrscheinlich, dass zwischen dem Beschwerdeführer und seinem amtlichen Verteidiger bereits vor dem 9. Dezember 2019 ein Kontakt bestand, der auf den am 3. Dezember 2019 sichergestellten Datenträgern Spuren hinterlassen hätte. Es kann im Übrigen davon ausgegangen werden, dass der Verteidiger oder der Beschwerdeführer selbst in einer der unzähligen Eingaben andernfalls einen solchen Zusammenhang erkannt und beim Zwangsmassnahmengericht geltend gemacht hätten. Im Übrigen bleibt der Beschwerdeführer auch bei seiner entsprechenden Argumentation vor dem Bundesgericht sehr allgemein und gibt keine ausreichenden Hinweise, die seinen Standpunkt als wahrscheinlich erscheinen lassen. Auch insofern erweist sich seine Rüge daher als verspätet und inhaltlich unbegründet.
8.4. Was der Beschwerdeführer sonst noch an Argumenten vorträgt, ist von vornherein nicht geeignet, eine Bundesrechtswidrigkeit zu belegen. Dass es inzwischen auf Seiten der Staatsanwaltschaft und Oberstaatsanwaltschaft zu Ausstandserklärungen gekommen ist, wie der Beschwerdeführer geltend macht, führt nicht zur Rechtswidrigkeit des hier strittigen Entscheids, der einzig aufgrund der damaligen Ausgangslage zu prüfen ist. Der angefochtene Entscheid verstösst nicht gegen Bundesrecht unter Einschluss der Grund- und Menschenrechte.
9.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig. Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen (vgl. <ref-law>). Es ist bereits fraglich, ob er seine Bedürftigkeit, trotz einer eingereichten Steuerveranlagung für das Jahr 2019, zureichend belegt hat. So oder so erscheinen seine Rechtsbegehren jedoch als von vornherein aussichtslos. Damit sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen, wobei insbesondere auf den am Bundesgericht konkret für die Bearbeitung des vorliegenden Urteils angefallenen Aufwand abzustellen ist und den angeblich angespannten finanziellen Verhältnissen des Beschwerdeführers bei der Festlegung der Gerichtsgebühr Rechnung getragen werden kann (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich (Cyberkriminalität) und dem Bezirksgericht Zürich, Zwangsmassnahmengericht, sowie C._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Januar 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Uebersax