Erwägungen:
1.
Verfahren 1C_513/2018
Das Appellationsgericht Basel-Stadt wies mit Verfügung vom 27. Juni 2018 ein Gesuch von A._ um Erlass der Kosten des verwaltungsgerichtlichen Verfahrens betreffend Entscheid des Amts für Sozialbeiträge vom 31. Oktober 2016 ab. Mit Eingabe vom 18. August 2018 ersuchte A._ erneut um Erlass dieser Verfahrenskosten. Das Appellationsgericht Basel-Stadt trat mit Verfügung vom 21. August 2018 auf das Kostenerlassgesuch nicht ein und wies die eventualiter beantragte Stundung der Kostenforderung oder Anordnung eines Mahnstopps ab (Verfahren VD.2016.234). Zur Begründung führt das Appellationsgericht zusammenfassend aus, dass auf ein zweites Kostenerlassgesuch nur einzutreten sei, wenn sich die Umstände seit dem ersten Entscheid wesentlich geändert hätten oder wenn der Gesuchsteller erhebliche Tatsachen oder Beweismittel anführe, die ihm im früheren Verfahren nicht bekannt gewesen waren oder die schon damals geltend zu machen für ihn rechtlich oder tatsächlich unmöglich gewesen sei. Diese Voraussetzungen seien nicht gegeben. Mangels glaubhafter Angaben des Gesuchstellers zu seinen finanziellen Verhältnissen sei auch eine Stundung der Kostenforderung oder ein Mahnstopp ausgeschlossen.
2.
Verfahren 1C_515/2018
Das Appellationsgericht Basel-Stadt wies mit Verfügung vom 27. Juni 2018 ein Gesuch von A._ um Erlass der Kosten des verwaltungsgerichtlichen Verfahrens betreffend Entscheid des Amts für Sozialbeiträge vom 2. November 2016 ab. Mit Eingabe vom 18. August 2018 ersuchte A._ erneut um Erlass dieser Verfahrenskosten. Das Appellationsgericht Basel-Stadt trat mit Verfügung vom 21. August 2018 mit der gleichen Begründung wie im Verfahren VD.2016.234 auf das Kostenerlassgesuch nicht ein und wies die eventualiter beantragte Stundung der Kostenforderung oder Anordnung eines Mahnstopps ab (Verfahren VD.2016.236).
3.
A._ führt mit Eingabe vom 25. September 2018 (Postaufgabe 28. September 2018) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen die beiden Verfügungen VD.2016.234 und VD.2016.236 des Appellationsgerichts Basel-Stadt vom 21. August 2018. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Angesichts des engen Sachzusammenhangs rechtfertigt es sich, die Verfahren 1C_513/2018 und 1C_515/2018 zu vereinigen.
5.
Streitgegenstand ist vorliegend das Nichteintreten auf die Kostenerlassgesuche vom 18. August 2018 bzw. die Abweisung der beantragten Stundung der Kostenforderungen oder Anordnung eines Mahnstopps. Soweit der Beschwerdeführer Anträge stellt, die ausserhalb des Streitgegenstandes liegen, kann von vornherein auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
6.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit seinen weitschweifigen und nicht sachbezogenen Ausführungen überhaupt nicht mit der Begründung des Appellationsgerichts auseinander, die zum Nichteintreten auf die beiden Kostenerlassgesuche vom 18. August 2018 und zur Abweisung der Stundung bzw. Anordnung eines Mahnstopps führte. Der Beschwerdeführer vermag nicht ansatzweise aufzuzeigen, inwiefern die Begründung des Appellationsgerichts bzw. dessen Verfügung selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
7.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem sinngemäss gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (<ref-law>). Das Bundesgericht hat den Beschwerdeführer mit Urteilen vom 6. September 2018 (Verfahren 1B_383/2018), 22. August 2018 (Verfahren 1B_389/2018) und 21. August 2018 (Verfahren 1B_387/2018) darauf aufmerksam gemacht, dass inskünftig ähnliche Eingaben Kostenfolgen nach sich ziehen werden. Somit sind die Kosten dem Ausgang des Verfahrens entsprechend dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Die Verfahren 1C_513/2018 und 1C_515/2018 werden vereinigt.
2.
Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Sozialbeiträge des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Oktober 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli