Faits :
A.
A.a. A._, ressortissant camerounais né en 1983, est entré en Suisse en 2007 et y a déposé une demande d'asile, laquelle a été définitivement rejetée le 10 mai 2011. Depuis le 5 mars 2013, il réside en France, apparemment sans titre de séjour durable.
A.b. A._ est le père d'un enfant, né en 2016 d'une relation avec une citoyenne suisse domiciliée dans le canton de Berne. L'intéressé, qui a reconnu son fils, ne dispose ni de l'autorité parentale ni de la garde sur celui-ci, lequel vit auprès de sa mère depuis sa naissance. Aucune convention relative au droit de visite et à l'obligation d'entretien de A._ envers son fils n'a été conclue.
A.c. Sur le plan professionnel et financier, A._ ne dispose pas d'un revenu régulier et est principalement soutenu par des prestations en nature fournies par la communauté "Emmaüs" dans laquelle il vit. Il verse régulièrement à la mère de son fils un montant mensuel de 50.- euros.
A.d. Par ordonnance pénale du 25 avril 2008, A._ a été condamné à une peine pécuniaire de 20 jours-amende avec sursis et à une amende de 200 fr. pour violence ou menace contre les autorités.
B.
B.a. Le 25 juillet 2016, A._ a déposé auprès de l'Ambassade de Suisse à Paris une demande de visa en vue du regroupement familial avec son fils. Par décision du 18 juillet 2017, le Service des migrations de l'Office de la population et des migrations du canton de Berne (ci-après: le Service cantonal), à qui le dossier avait été transmis par l'intermédiaire du Secrétariat d'Etat aux migrations (ci-après: le SEM), a rejeté la demande formée par A._.
Le 28 août 2017, l'intéressé a recouru auprès de la Direction de la police et des affaires militaires du canton de Berne (ci-après: la Direction) contre la décision du Service cantonal. Le 29 mars 2018, la Direction a confirmé la décision entreprise.
B.b. Le 26 avril 2018, A._ a interjeté recours contre la décision de la Direction auprès du Tribunal administratif du canton de Berne (ci-après: le Tribunal administratif). Par jugement du 15 juin 2018, cette autorité a déclaré le recours irrecevable, faute de paiement de l'avance de frais dans le délai imparti. Le 3 août 2018, à la suite d'un recours déposé par l'intéressé devant le Tribunal fédéral et transmis par cette autorité au Tribunal administratif comme requête en restitution de délai, celui-ci a annulé son jugement d'irrecevabilité du 15 juin 2018 et ordonné la reprise de la procédure de recours.
Par jugement du 1er mars 2019, le Tribunal administratif a rejeté le recours déposé par A._ le 26 avril 2018. Les juges cantonaux ont considéré, en substance, que l'intéressé ne pouvait pas invoquer la relation avec son fils pour en déduire un droit de séjour en Suisse.
C.
Par acte de recours intitulé "recours droit public", A._, qui comparaît en personne, demande en substance au Tribunal fédéral d'annuler le jugement du Tribunal administratif du 1er mars 2019 et de lui octroyer une autorisation de séjour en Suisse.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 116).
1.1. Le recourant a déclaré former un "recours droit public". Cette désignation imprécise ne saurait lui nuire, à condition que le recours remplisse les exigences légales de la voie de droit qui lui est ouverte (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 370; arrêt 1B_428/2018 du 7 novembre 2018 consid. 1.1).
1.2. Selon l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions relatives à une autorisation de droit des étrangers à laquelle ni le droit fédéral, ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit, sous l'angle de la recevabilité, qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et que, partant, la voie du recours en matière de droit public soit ouverte (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 332).
Le recourant se prévaut de ses liens étroits avec son fils, citoyen suisse né en 2016. Cette relation est potentiellement de nature à lui conférer un droit à l'obtention d'une autorisation de séjour en Suisse sous l'angle du droit au respect de sa vie familiale (art. 8 CEDH et 13 Cst.). Le recours échappe donc au motif d'irrecevabilité prévu à l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, étant précisé que le point de savoir si l'intéressé remplit les conditions pour obtenir l'autorisation requise relève du fond et non de la recevabilité (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 179). La voie du recours en matière de droit public est ainsi ouverte.
1.3. Pour le surplus, le jugement attaqué est une décision finale (art. 90 LTF), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). Le recours a en outre été interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 LTF) par le destinataire du jugement entrepris qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification, de sorte qu'il faut lui reconnaître la qualité pour recourir (art. 89 al. 1 LTF). Le recours est donc recevable comme recours en matière de droit public.
1.4. Dans la mesure où elles ne ressortiraient pas du dossier cantonal, les pièces accompagnant le recours ne peuvent être prises en considération (art. 99 al. 1 LTF).
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), alors qu'il n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant, conformément au principe d'allégation (art. 106 al. 2 LTF). Dans ce cas, l'acte de recours doit contenir un exposé succinct des droits fondamentaux violés et préciser en quoi consiste la violation (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 41; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 232).
2.2. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Selon l'art. 97 al. 1 LTF, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-ruling> consid. 6 p. 358; <ref-ruling> consid. 1.6 p. 377 s.). Conformément à l'art. 106 al. 2 LTF, la partie recourante doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; arrêt 2C_793/2018 du 13 mars 2019 consid. 2).
Dans la mesure où le recourant présente une argumentation appellatoire, en complétant ou en modifiant librement l'état de fait retenu dans le jugement entrepris, sans invoquer ni l'arbitraire, ni une constatation manifestement inexacte des faits, le Tribunal fédéral ne peut pas en tenir compte. Il statuera donc sur la base des faits tels qu'ils ressortent du jugement attaqué.
3.
Le recourant invoque pêle-mêle diverses dispositions constitutionnelles (art. 9, 11 et 14 Cst.) et conventionnelles (art. 13 et 14 CEDH), sans expliquer clairement en quoi ces normes auraient été violées. Faute de répondre aux exigences de motivation accrues de l'art. 106 al. 2 LTF (cf. supra consid. 2.1), ces griefs n'ont pas à être traités.
4.
Le recourant se réfère également à l'art. 1 al. 2 let. f de la loi fédérale du 22 juin 1979 sur l'aménagement du territoire (LAT; RS 700), qui n'est pas pertinent en l'espèce. Il n'y a donc pas lieu de l'examiner.
5.
L'intéressé se prévaut d'une violation du principe d'égalité de traitement (art. 8 Cst.). Dans la mesure où l'on peut comprendre son argumentation, il semble soutenir que, par rapport à un parent étranger vivant auprès de son fils en Suisse, il aurait été traité "plus sévèrement et différemment" en raison du fait qu'il vivait en France.
La critique est infondée et doit être écartée. Le recourant, qui réside en France, ne se trouve pas dans la même situation qu'une personne domiciliée en Suisse, ce qui exclut une violation de l'égalité de traitement sous cet angle (cf. <ref-ruling> consid. 5.1 p. 367 s.; arrêt 2C_827/2018 du 21 mars 2019 consid. 6.1).
6.
L'intéressé invoque une violation des art. 8 CEDH et 13 Cst., sous l'angle du "lien affectif" qu'il entretient avec son fils, citoyen suisse.
6.1. L'art. 8 CEDH (dont la portée est identique à celle de l'art. 13 Cst., cf. <ref-ruling> consid. 8.3.2 p. 350; arrêt 2C_507/2018 du 29 octobre 2018 consid. 4.1) ne confère en principe pas un droit à séjourner dans un Etat déterminé. Le fait de refuser un droit de séjour à un étranger dont la famille se trouve en Suisse peut toutefois entraver sa vie familiale et porter ainsi atteinte au droit au respect de la vie familiale garanti par cette disposition (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 98; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 146 s.).
6.2. Selon la jurisprudence rendue par le Tribunal fédéral dans des cas où l'intéressé n'avait ni l'autorité parentale ni la garde de l'enfant, il n'est en principe pas nécessaire que, dans le but d'entretenir une relation familiale avec son enfant garantie par l'art. 8 CEDH, le parent étranger soit habilité à résider durablement dans le même pays. Sous l'angle du droit à une vie familiale, il suffit en règle générale que le parent vivant à l'étranger exerce son droit de visite dans le cadre de séjours de courte durée, au besoin en aménageant les modalités de celui-ci quant à la fréquence et à la durée (cf. <ref-ruling> consid. 5.3 p. 28; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 319). Le droit de visite d'un parent sur son enfant peut en effet être organisé de manière à être compatible avec des séjours dans des pays différents (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 97; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 147). Selon la jurisprudence constante du Tribunal fédéral, un droit plus étendu ne peut le cas échéant exister qu'en présence de liens familiaux particulièrement forts d'un point de vue affectif et économique, lorsque cette relation ne pourrait pratiquement pas être maintenue en raison de la distance qui sépare le pays de résidence de l'enfant du pays d'origine de son parent, et que l'étranger a fait preuve en Suisse d'un comportement irréprochable (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 97).
Ces exigences doivent être appréciées ensemble et faire l'objet d'une pesée des intérêts globale (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 97 et les références citées). Dans le cadre de l'examen de la proportionnalité de la mesure (cf. art. 8 par. 2 CEDH), il faut aussi tenir compte de l'intérêt fondamental de l'enfant (art. 3 de la Convention du 20 novembre 1989 relative aux droits de l'enfant [CDE; RS 0.107]) à pouvoir grandir en jouissant d'un contact étroit avec ses deux parents (<ref-ruling> consid. 5.5.1 p. 29; arrêt 2C_633/2018 du 13 février 2019 consid. 7.1).
6.2.1. Concernant le critère des liens affectifs, il convient de distinguer entre deux cas de figure. Dans l'hypothèse où la personne étrangère possédait déjà une autorisation de séjour en Suisse en raison d'une communauté conjugale (entre-temps dissoute) avec une personne de nationalité suisse ou titulaire d'une autorisation d'établissement, l'exigence du lien affectif particulièrement fort (cf. consid. 6.2 ci-dessus) doit être considérée comme remplie lorsque les contacts personnels sont exercés dans le cadre d'un droit de visite usuel selon les standards d'aujourd'hui (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 96 s.; arrêt 2C_665/2017 du 9 janvier 2018 consid. 4.2.1 et les nombreuses références citées). En revanche, lorsque l'étranger qui entend se prévaloir de l'art. 8 CEDH sous l'angle de sa vie familiale ne disposait au préalable d'aucun droit de séjour en Suisse, un droit de visite usuel ne suffit pas pour admettre l'existence d'un lien affectif particulièrement fort au sens exigé par la jurisprudence; il faut dans ce cas établir des relations personnelles d'une intensité particulière avec l'enfant en question (arrêt 2C_665/2017 du 9 janvier 2018 consid. 4.2.1; cf. aussi <ref-ruling> consid. 5.2.1 p. 98 s.).
6.2.2. Quant aux liens économiques, ils supposent que l'étranger verse une contribution financière pour l'entretien de l'enfant. Cette contribution peut également avoir lieu en nature, en particulier en cas de garde alternée (<ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 99). Le Tribunal fédéral a toutefois admis qu'il convient de distinguer la situation dans laquelle l'étranger ne contribue pas à l'entretien de l'enfant faute d'avoir été autorisé à travailler de celle dans laquelle il ne fait aucun effort pour trouver un emploi. Les exigences relatives à l'étendue de la relation que l'étranger doit entretenir avec son enfant d'un point de vue affectif et économique doivent rester dans l'ordre du possible et du raisonnable (<ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 99; arrêt 2C_665/2017 du 9 janvier 2018 consid. 4.2.2 et les références citées).
6.2.3. La possibilité d'exercer le droit de visite depuis le pays d'origine ou de résidence du parent étranger, pour éviter qu'il ne s'agisse que d'une possibilité théorique, doit être examinée concrètement et tenir compte des circonstances du cas d'espèce (à ce sujet, voir <ref-ruling> consid. 5.2.3 p. 99).
6.2.4. Enfin, concernant la condition du "comportement irréprochable", celle-ci n'est pas remplie lorsqu'il existe, à l'encontre de l'étranger, des motifs d'éloignement, en particulier si on peut lui reprocher un comportement répréhensible sur le plan pénal ou en regard de la législation sur les étrangers, étant précisé que l'appréciation émise par l'autorité de police des étrangers peut s'avérer plus rigoureuse que celle de l'autorité pénale (<ref-ruling> consid. 5.2.4 p. 100 et les références citées). La jurisprudence a en outre relativisé cette condition dans des situations spécifiques, non réalisées en l'espèce, notamment lorsque le séjour de l'enfant de nationalité suisse serait mis en cause (<ref-ruling> consid. 5.2.4 p. 100; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 148) ou lorsque seule une atteinte de peu d'importance à l'ordre public est reprochée à l'intéressé tandis qu'un lien affectif et économique particulièrement fort avec l'enfant est établi (<ref-ruling> consid. 5.2.4 p. 100; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 150 s.).
6.3.
6.3.1. En l'espèce, s'agissant des relations personnelles entre le recourant et son enfant, il ressort des constatations du Tribunal administratif que les intéressés n'ont jamais vécu ensemble et que le recourant a rencontré son fils en 2016 "pour quelques jours", ainsi qu'en été 2017 et au printemps 2018 "à raison de quelques semaines" (jugement attaqué, p. 10). Dans ces conditions, c'est à bon droit que l'autorité précédente a considéré que l'intéressé ne pouvait pas se prévaloir d'un lien affectif particulièrement fort (cf. supra consid. 6.2.1) avec son fils. A ce sujet, il y a encore lieu de relever que les raisons avancées par le recourant pour expliquer ce fait (impossibilité de se rendre légalement en Suisse, manque de moyens financiers, inaction de l'autorité compétente en matière de protection de l'enfant et de l'adulte, etc.) ne sont pas déterminantes, puisque seul le caractère effectif des liens entre l'enfant et le parent l'est (arrêt 2C_289/2017 du 4 décembre 2017 consid. 5.2.1; cf. <ref-ruling> consid. 5.5.4 p. 32).
6.3.2. Concernant le critère du lien économique, il ressort du jugement entrepris que l'intéressé verse spontanément et régulièrement à la mère de son fils un montant mensuel de 50.- euros pour l'entretien de l'enfant et que, au vu des "conditions de vie du recourant", une telle somme représente "vraisemblablement le maximum de ce qu'il est en mesure de verser", un "réel effort" pouvant être mis à son actif sur ce plan (jugement attaqué, p. 10). Dans ces circonstances, compte tenu du fait que les exigences relatives à la condition du "lien économique" doivent rester dans l'ordre du possible et du raisonnable (cf. supra consid. 6.2.2), cette condition doit en l'occurrence être considérée comme réalisée.
6.3.3. Au vu de la proximité géographique entre la France et la Suisse, la possibilité pour le recourant, qui réside en Touraine, d'entretenir des contacts réguliers avec son fils n'apparaît pas uniquement théorique (cf. supra consid. 6.2.3). Selon les constatations cantonales, de tels contacts ont du reste lieu.
6.3.4. Enfin, pour ce qui est de l'exigence du "comportement irréprochable" (cf. supra consid. 6.2.4), l'intéressé, qui a été condamné en 2008 à une peine pécuniaire de 20 jours-amende avec sursis et à une amende de 200 fr. pour violence ou menace contre les autorités, ne saurait se prévaloir d'un tel comportement.
6.4. Compte tenu de l'ensemble des circonstances, en particulier de l'absence d'un lien affectif particulièrement fort entre le recourant et son fils, de la proximité entre la France et la Suisse, ainsi que du comportement de l'intéressé dans ce pays, le Tribunal administratif n'a pas violé les art. 8 CEDH et 13 Cst. en considérant que celui-ci ne pouvait pas prétendre à un titre de séjour en Suisse en invoquant la protection de sa vie familiale.
7.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours.
Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires, qui seront fixés en tenant compte de sa situation (cf. art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (cf. art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Service des migrations de l'Office de la population et des migrations du canton de Berne, à la Direction de la police et des affaires militaires du canton de Berne, au Tribunal administratif du canton de Berne, Cour des affaires de langue française, ainsi qu'au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 16 mai 2019
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Ermotti