Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1974) ist mexikanischer Staatsangehöriger. Er stellte am 14. Juni 2018 bei der Schweizer Botschaft in Mexiko ein Gesuch um Erteilung einer Einreise- und Aufenthaltsbewilligung zu Ausbildungszwecken, weil er plane, am Jazzcampus der Musik-Akademie Basel und der Fachhochschule Nordwestschweiz einen zweijährigen Masterstudiengang zu absolvieren. In der Folge reiste er ohne Visum in die Schweiz ein und hält sich seitdem in Basel auf. Sein Gesuch wies das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt mit Verfügung vom 17. September 2018 ab. Die dagegen erhobenen Rechtsmittel wiesen das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt am 11. März 2021 und das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 4. Juli 2021 ab.
1.2. Mit Eingabe vom 13. September 2021 beantragt A._ dem Bundesgericht, ihm sei eine Einreise- und Aufenthaltsbewilligung zu Ausbildungszwecken zu erteilen. Weiter sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen bzw. ihm zu gestatten, das Verfahren in der Schweiz abzuwarten. Es sei ihm eine Kopie der Akten zukommen zu lassen, damit er seine Eingabe ergänzen könne; zudem sei ihm das Replikrecht zu gewähren.
2.
Weil sich die Beschwerde als offensichtlich unzulässig erweist, hat das Bundesgericht auf Instruktionsmassnahmen verzichtet. Damit kann dem Beschwerdeführer mangels Beizug der Akten keine Akteneinsicht gewährt werden; er hat sich diesbezüglich an die kantonalen Behörden zu halten, wobei anzufügen ist, dass ihn die Einsicht in die Akten von vornherein nicht dazu berechtigt hätte, die Beschwerde nach Ablauf der Frist zu ergänzen. Mangels Einholung von Stellungnahmen fällt auch das Replikrecht dahin. Zudem wird mit dem vorliegenden Entscheid in der Sache das Gesuch um aufschiebende Wirkung bzw. vorsorgliche Massnahmen gegenstandslos.
3.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Im vorliegenden Fall geht es um eine Aufenthaltsbewilligung für eine Aus- oder Weiterbildung nach Art. 27 Abs. 1 AIG (SR 142.20). Dabei handelt es sich um eine Ermessensbewilligung, auf die kein Rechtsanspruch besteht. Folglich steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht zur Verfügung.
4.
Mangels zulässiger Rügen (Art. 116 BGG) kann die Beschwerde auch nicht als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen werden. Aufgrund des fehlenden Bewilligungsanspruchs kann der Beschwerdeführer keine Willkürrügen erheben, die im Ergebnis auf die Überprüfung des Sachentscheids abzielen (vgl. <ref-ruling> E. 2). Soweit er eine Diskriminierung aufgrund seines Alters nach Art. 8 Abs. 2 BV rügt, fehlt es zudem an einer sachbezogenen Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Urteil, wonach es sachlich gerechtfertigt sei, die für Ausländer zur Verfügung stehenden beschränkten Studienplätze in erster Linie an jüngere Personen zu vergeben, die länger von der Ausbildung profitieren können (vgl. E. 3.2.2 des angefochtenen Urteils).
5.
Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unzulässig. Darauf ist im vereinfachten Verfahren durch den Einzelrichter nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG). Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Dreiergericht, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. September 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Businger