Sachverhalt:
A.
A._ (Beklagter, Beschwerdeführer) verletzte sich am 2. März 2012 bei einem Skiunfall in der Umgebung von U._. Er stürzte auf die linke Hüfte. Der Beklagte wurde zunächst mit Hilfe zur Mittelstation und dann von seiner Ehefrau mit dem Auto zur ärztlichen Untersuchung an den Standort V._ der B._ AG (Klägerin, Beschwerdegegnerin) gebracht. Dort wurde ein Bruch des linken Oberschenkels diagnostiziert, der von der Klägerin am selben Tag operativ versorgt wurde. Nach einem stationären Aufenthalt von vier Tagen konnte der Beklagte die Klinik am 6. März 2012 in gutem Allgemeinzustand wieder verlassen.
B.
Am 1. März 2017 erhob die Klägerin beim Regionalgericht Oberland Klage gegen den Beklagten. Sie beantragte, der Beklagte sei zu verpflichten, ihr den Betrag von Fr. 28'652.-- zu bezahlen, zuzüglich Verzugszinsen von 5 % seit dem 16. November 2012.
Nachdem der Beklagte eine Unzuständigkeitseinrede erhob, beschränkte die zuständige Gerichtspräsidentin des Regionalgerichts mit Verfügung vom 27. Juli 2017 das Verfahren auf die Frage der örtlichen und sachlichen Zuständigkeit. Mit Zwischenentscheid vom 19. Oktober 2017 bejahte sie die örtliche und sachliche Zuständigkeit des angerufenen Regionalgerichts und entschied, dass auf die Klage eingetreten und die Gerichts- und Parteikosten zur Hauptsache geschlagen werden.
Dagegen erhob der Beklagte Berufung an das Obergericht des Kantons Bern. Das Obergericht erwog im Entscheid vom 27. April 2018, dass die Frage der örtlichen Zuständigkeit vor Obergericht nicht mehr umstritten sei und im Berufungsverfahren einzig über die Frage der nach wie vor bestrittenen sachlichen Zuständigkeit zu befinden sei. Für die Frage der sachlichen Zuständigkeit sei im vorliegenden Fall entscheidend, ob das Rechtsverhältnis zwischen den Parteien als privat- oder öffentlichrechtlich eingestuft werde. Mangels positivrechtlicher Regelung im Gesetz sei dafür auf die von Lehre und Rechtsprechung entwickelten allgemeinen Abgrenzungsmethoden, namentlich die Funktions-, Interessens-, Subordinations- und Modaltheorie abzustellen. Das Obergericht kam zusammengefasst zum Schluss, dass sämtliche Abgrenzungskriterien für das Vorliegen eines privatrechtlichen Rechtsverhältnisses sprechen würden, weshalb die Erstinstanz ihre sachliche Zuständigkeit zu Recht bejaht habe. Entsprechend wies das Obergericht die Berufung ab und bestätigte den Entscheid des Regionalgerichts.
C.
Gegen den Entscheid des Obergerichts erhob der Beschwerdeführer Beschwerde in öffentlich rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht und beantragte, der Entscheid des Obergerichts sei aufzuheben und auf die Klage der Beschwerdegegnerin sei nicht einzutreten. Die Beschwerdegegnerin habe dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 4'500.-- und für das kantonale Verfahren eine Entschädigung von Fr. 18'320.80 zu bezahlen. Eventualiter sei die Sache bezüglich der Entschädigungsfolgen an das Obergericht zurückzuweisen.
Auf das Einholen von Vernehmlassungen zur Beschwerde wurde verzichtet.

Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer hat seine Beschwerdeschrift zulässigerweise auf Französisch verfasst (<ref-law>). Das Verfahren vor Bundesgericht wird aber usanzgemäss in der Sprache des angefochtenen Entscheids und damit auf Deutsch geführt (<ref-law>).
2.
Der Beschwerdeführer reichte seine Eingabe gegen den Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern als Beschwerde in öffentlichrechtlichen Angelegenheiten ein. Die kantonalen Instanzen gingen demgegenüber davon aus, es liege eine streitige Zivilsache i.S.v. <ref-law> vor. Ist wie vorliegend umstritten, ob die kantonale Vorinstanz die Streitigkeit zu Recht als zivilrechtliche behandelt hat, prüft das Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen, ob diese Qualifikation rechtmässig ist (<ref-ruling> E. 1.1.1 S. 485; Urteil 4A_305/2017 vom 18. Januar 2018 E. 1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>).
Ob die Beschwerde in Zivilsachen auch offen steht, wenn der Streitwert wie vorliegend nicht erreicht ist oder die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen wäre, braucht nicht beurteilt zu werden. Denn selbst wenn auf die Eingabe als Beschwerde in Zivilsachen eingetreten würde, wäre sie aus den nachfolgenden Erwägungen jedenfalls unbegründet, soweit auf sie einzutreten wäre.
3.
3.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.3.1). Soweit die Beschwerdeschrift diesen Begründungsanforderungen nicht genügt, so ist darauf nicht einzutreten (BGE <ref-ruling> E. 1.3.1).
Diese Anforderungen verkennt der Beschwerdeführer, soweit er bloss behauptet, dass die Pflege einer verunfallten Person durch <ref-law> geschützt sei bzw. sich die Nothilfe aus <ref-law> ergebe, ohne rechtsgenüglich darzulegen, inwiefern der Entscheid der Vorinstanz diese Verfassungsbestimmung verletzen würde.
Sodann kommt der Beschwerdeführer den Rügeanforderungen nicht nach, wenn er der Vorinstanz im Zusammenhang mit der Anwendung der Sanktionentheorie zur Abgrenzung zwischen Privatrecht und öffentlichem Recht bloss vorwirft, dass die Begründung der Vorinstanz unkorrekt und "est en effet une pure tautologie", ohne hinreichend darzulegen, inwiefern die Vorinstanz diesbezüglich Bundesrecht verletzt hätte. Gleiches gilt, wenn er pauschal erklärt, dass die vorinstanzliche Begründung zur Subordinationstheorie und Interessenstheorie unkorrekt sei, ohne rechtsgenüglich darzulegen, inwiefern die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hätte.
3.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
4.
4.1. Vor der Vorinstanz machte der Beschwerdeführer geltend, die in Art. 49 Abs. 2 des Spitalversorgungsgesetzes vom 13. Juni 2013 des Kantons Bern (SpVG/BE; BSG 812.11) enthaltene Pflicht der Listenspitäler, ohne Rücksicht auf das Leistungsmandat, das ihnen von Kanton Bern zugewiesen worden sei, Nothilfe zu leisten, zeige, dass es um die Erfüllung einer öffentlich Aufgabe gehe.
Die Vorinstanz teilte diese Auffassung nicht. Sie erwog, zunächst sei festzuhalten, dass der vom Beschwerdeführer angerufene Art. 49 SpVG/BE im Zeitpunkt von dessen ärztlicher Behandlung noch nicht in Kraft gewesen sei. Der damals geltende Art. 17 SpVG/BE sei weniger weit gegangen, indem einzig festgehalten worden sei, dass die Leistungserbringer im Rahmen der bestellten Leistungen Personen mit Wohnsitz im Kanton Bern unabhängig von Alter, Geschlecht, Herkunft oder Versicherungsstatus aufzunehmen hätten. Aber selbst die im heute geltenden Art. 49 SpVG/BE verankerte Nothilfepflicht deckte den vorliegenden Sachverhalt nicht ab. Denn wie dem Vortrag des Regierungsrates an den Grossen Rat des Kantons Bern zum Spitalversorgungsgesetz zu entnehmen sei, umfasse die Nothilfe die Bergung und Leistung "lebensrettender Massnahmen". Die Notfallmedizin als Teilgebiet der Medizin diene "zur Erkennung, Behandlung und Beseitigung von akuten lebensbedrohenden Zuständen/Situationen". Eine solche lebensbedrohliche Situation sei jedoch gestützt auf den festgestellten Sachverhalt nicht vorgelegen. Der Beschwerdeführer sei nach dem Skiunfall mit Hilfe zur Mittelstation gebracht und von seiner Gattin mit dem Auto zum Spital gefahren worden, wobei sein Allgemeinzustand gut gewesen sei.
Damit könne auch offen bleiben, ob das Leisten von Nothilfe durch ein Spital generell eine öffentliche Aufgabe darstelle. Denn jedenfalls in der vorliegenden Konstellation, in welcher der Beschwerdeführer zwar über den Notfall im örtlichen Sinne, d.h. ohne vorgängige Überweisung und Terminvereinbarung, aber nicht im Sinne einer Nothilfe im fraglichen Spital behandelt worden sei, könne in dessen ärztlicher Behandlung keine Erfüllung öffentlicher Aufgaben erblickt werden. Der Beschwerdeführer sei als Tourist in der Schweiz gewesen, habe als solcher nicht der obligatorischen Krankenpflegeversicherung unterstanden und habe folglich auch keine entsprechenden Prämien bezahlt. Vor diesem Hintergrund habe das Spital für dessen medizinische Behandlung auch keine öffentlichen Gelder bekommen und habe das volle Kostenrisiko getragen. Medizinische Gründe für eine Notoperation hätten - soweit ersichtlich - nicht vorgelegen und der Gesundheitszustand des Beschwerdeführers hätte es ihm erlaubt, ein anderes Spital aufzusuchen oder zwecks weiterer medizinischer Behandlungen in sein Heimatland zurückzukehren. Diese konkreten Umstände würden gegen die Wahrnehmung einer öffentlichen Aufgabe sprechen, weshalb die Funktionstheorie in Richtung privatrechtliches Verhältnis weise.
4.2. Dagegen bringt der Beschwerdeführer vor, die Beschwerdegegnerin habe vor der Erstinstanz vorgebracht, dass sie als öffentliche Leistungserbringerin den Beschwerdeführer "als Notfall" ("en urgence") habe behandeln müssen. Die Vorinstanz habe dies willkürlich nicht festgestellt. Indem sie diese unbestrittene Tatsache nicht dem Urteil zugrunde gelegt habe, habe sie sodann die Verhandlungsmaxime verletzt. Wenn die Beschwerdegegnerin ihre Vorbringen vor der Vorinstanz relativiere, handle es sich um unzulässige Noven nach <ref-law>. Die Vorinstanz habe <ref-law> willkürlich angewandt. Es sei im Weiteren willkürlich anzunehmen, dass es sich bei der Behandlung des Beschwerdeführers nicht um einen Fall handle, der eine Versorgung durch die "soins médicaux urgents" gefordert habe, weil sein Leben nicht gefährdet gewesen sei. Es sei absurd, davon auszugehen, dass eine verunfallte Person mit grosser Fraktur, die nicht mehr fähig sei, sich alleine fortzubewegen, keine "soins médicaux urgents" benötige. Auch wenn das Leben nicht in Gefahr sei, würde ein Notfall vorliegen. Bei seiner Situation habe es sich um einen Notfall bzw. um eine Nothilfe im Sinne von Art. 49 Abs. 2 SpVG/BE gehandelt, womit eine öffentliche Aufgabe vorliege. Man könne schliesslich nicht zwischen einem Notfall im "örtlichen Sinne" und einem Notfall im "medizinischen" Sinne unterscheiden, denn entweder liege ein Notfall vor oder nicht.
4.3. Die Vorinstanz legte die kantonale Bestimmung von Art. 49 Abs. 2 SpVG/BE aus, wonach die Listenspitäler verpflichtet seien, "Nothilfe zu leisten" (im französischen Wortlaut: "sont tenus de prodiguer les premiers secours"). Sie kam dabei zum Schluss, dass die Nothilfe nach dieser Bestimmung nur die Bergung und Leistung lebensrettender Massnahmen umfasse bzw. die Notfallmedizin zur "Erkennung, Behandlung und Beseitigung von akuten lebensbedrohlichen Zuständen/Situationen" diene. Das heisst mit anderen Worten, dass nach der vorinstanzlichen Interpretation von Art. 49 Abs. 2 SpVG/BE nicht jeder "Notfall", also wenn ein Patient ohne vorgängige Überweisung und Terminvereinbarung in der Notfallabteilung im Spital behandelt wird, unter die Bestimmung der Nothilfe im Sinne von Art. 49 Abs. 2 SpVG/BE fällt, sondern einzig, wenn es sich um eine lebensbedrohliche Situation handelt bzw. wenn es um die Leistung von lebensrettenden Massnahmen geht.
Es wäre nun am Beschwerdeführer aufzuzeigen, dass diese Auslegung der kantonalen Bestimmung von Art. 49 Abs. 2 SpVG/BE durch die Vorinstanz willkürlich wäre, denn die richtige Anwendung und Auslegung des kantonalen Rechts ist Aufgabe der kantonalen Gerichte, während das Bundesgericht - von hier nicht gegebenen Ausnahmen (Art. 95 lit. c - e BGG) abgesehen - lediglich eine Willkürprüfung vornimmt (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 1.4).
Eine solche Rüge erhebt der Beschwerdeführer indessen nicht rechtsgenüglich, indem er sich darauf beruft, dass es sich bei seiner Behandlung um einen Notfall ("une urgence") gehandelt habe. Vielmehr müsste der Beschwerdeführer aufzeigen, dass die Auslegung der kantonalen Bestimmung von Art. 49 Abs. 2 SpVG/BE durch die Vorinstanz offensichtlich unrichtig wäre (vgl. dazu: <ref-ruling> E. 2.1), und jeder Notfall, also jede Behandlung in der Notfallstation eines Spitals, als Nothilfe nach Art. 49 Abs. 2 SpVG/BE zu qualifizieren wäre.
Auch im Übrigen vermag der Beschwerdeführer die Auslegung durch die Vorinstanz nicht als willkürlich auszuweisen, indem er der vorinstanzlichen Auslegung seine eigene Interpretation entgegen hält und die davon abweichende Auffassung pauschal als willkürlich sowie absurd bezeichnet. Es bleibt damit bei der Auffassung der Vorinstanz, dass Nothilfe im Sinne von Art. 49 Abs. 2 SpVG/BE die Bergung und Leistung lebensrettender Massnahmen umfasst bzw. lebensbedrohliche Zustände oder Situationen vorausgesetzt werden.
Ist aber mit der Vorinstanz davon auszugehen, dass nicht jeder Notfall als Nothilfe im Sinne von Art. 49 Abs. 2 SpVG/BE zu qualifizieren ist, sondern nur, wenn es sich um lebensbedrohlichen Zustände handelt bzw. wenn lebensrettende Massnahmen notwendig gewesen sind, braucht nicht geklärt zu werden, ob es sich bei der Behandlung des Beschwerdeführers um einen Notfall gehandelt hat und ob die Beschwerdegegnerin solches anerkannt hätte.
Schliesslich zeigt der Beschwerdeführer nicht hinreichend auf, dass bei seiner Behandlung in der Klinik der Beschwerdegegnerin eine lebensbedrohliche Situation vorgelegen hätte bzw. lebensrettende Massnahmen im Sinne von Art. 49 Abs. 2 SpVG/BE notwendig gewesen wären und deren Behandlung als Nothilfe im obengenannten Sinne qualifiziert werden müsste.
5.
Der Beschwerdeführer vermag damit nicht aufzuzeigen, dass die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hätte. Die Beschwerde ist infolgedessen abzuweisen, soweit darauf überhaupt einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein entschädigungspflichtiger Aufwand erwachsen, weshalb ihr keine Parteientschädigung zuzusprechen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juli 2018
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger