Sachverhalt:
A.
In einem laufenden Strafverfahren gegen die Kommunikationsbeauftragte des Bistums St. Gallen verneinte die Anklagekammer des Kantons St. Gallen mit Urteil vom 25. August 2020 die Notwendigkeit einer Rechtsverbeiständung von A._ zur Wahrung seiner Interessen als Privatkläger. Nach Urteilen vom 8. Mai 2019 und 15. August 2019 war dies das dritte Urteil der Anklagekammer in der gleichen Sache. Die von A._ gegen das Urteil der Anklagekammer vom 25. August 2020 erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil 1B_543/2020 vom 14. Dezember 2020 ab, soweit es mangels Erfüllung der gesetzlichen Begründungspflicht überhaupt auf die Beschwerde eingetreten ist. Dieses Urteil stellte das dritte in diesem Sachzusammenhang ergangene Urteil des Bundesgerichts dar.
B.
Mit Gesuch vom 15. Februar 2021 verlangt A._ die Revision des bundesgerichtlichen Urteils 1B_543/2020 vom 14. Dezember 2020. Er stellt die Begehren, das Urteil 1B_543/2020 sei aufzuheben und ihm sei im Strafverfahren gegen die Medienbeauftragte des Bistums St. Gallen die unentgeltliche Rechtsverbeiständung zu gewähren. Zudem sei der Entscheid der Anklagekammer vom 25. August 2020 aufgrund einer Gehörsverletzung aufzuheben und es sei festzustellen, dass die kirchlichen Führungsorgane des Bistums St. Gallen in ihrem Handeln an die Grundrechte gebunden seien. Eventualiter sei die Sache zur inhaltlichen Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.

Erwägungen:
1.
1.1. Entscheide des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (<ref-law>). Eine nochmalige Überprüfung der vom Bundesgericht beurteilten Streitsache ist grundsätzlich ausgeschlossen. Das Gericht kann auf seine Urteile nur zurückkommen, wenn einer der in den <ref-law> abschliessend aufgeführten Revisionsgründe vorliegt. Revisionsgesuche haben den Begründungsanforderungen von <ref-law> zu genügen, weshalb der Gesuchsteller in gedrängter Form darzulegen hat, inwiefern der von ihm behauptete Revisionsgrund vorliegen soll. Fehlt es an einer rechtsgenüglichen Begründung, tritt das Bundesgericht auf das Revisionsgesuch nicht ein (zum Ganzen: Urteil 1F_7/2020 vom 4. Mai 2020 E. 3.1).
1.2. Der Gesuchsteller beruft sich in seiner fristgerecht eingereichten Rechtsschrift (<ref-law>) sinngemäss auf die Revisionsgründe von <ref-law>. Es ist fraglich, ob die schwer verständliche Eingabe überhaupt den Begründungsanforderungen von <ref-law> genügt. Wie es sich damit verhält, kann aufgrund der nachfolgenden Erwägungen aber offengelassen werden, da das Gesuch ohnehin abzuweisen ist.
Nicht einzutreten ist indes auf das Begehren, der Entscheid der Anklagekammer vom 25. August 2020 sei aufzuheben. Dieser Entscheid war im bundesgerichtlichen Verfahren 1B_543/2020 angefochten und kann deshalb im vorliegenden Revisionsverfahren gegen eben dieses Bundesgerichtsurteil nicht das Anfechtungsobjekt sein (vgl. Urteil 1F_37/2019 vom 30. Juli 2019 E. 2.1). Ebenfalls nicht einzutreten ist auf das erstmalig im Revisionsverfahren gestellte Feststellungsbegehren betreffend die Grundrechtsbindung der Führungsorgane des Bistums St. Gallen (vgl. <ref-law>).
2.
2.1. Gemäss <ref-law> kann die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts verlangt werden, wenn einzelne Anträge unbeurteilt geblieben sind. Der Umstand, dass das Bundesgericht einen Antrag positiv oder negativ beurteilt hat, kann sich auch aus der Begründung des Urteils ergeben, ohne dass dies ausdrücklich festgehalten würde (vgl. ELISABETH ESCHER in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 8 zu <ref-law>). Kein Revisionsgrund liegt vor, wenn das Urteil, dessen Revision verlangt wird, auf einen Antrag nicht eingeht, sofern dieser stillschweigend beurteilt wurde (Urteil 2F_9/2019 vom 14. Januar 2019 E. 3.2; NIKLAUS OBERHOLZER, in: Seiler/von Werdt/Güngerich/Oberholzer, Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2. Aufl. 2015, N. 20 zu <ref-law>). Keine Anträge sind Vorbringen oder Rügen. Ob eine Rüge den gesetzlichen Begründungsanforderungen genügt und das Bundesgericht sie deshalb hätte behandeln müssen, kann demnach nicht mit Revision geltend gemacht werden (vgl. Urteil 2F_26/2019 vom 14. November 2019 E. 2.1; NIKLAUS OBERHOLZER, a.a.O., N. 19 zu <ref-law>).
2.2. Der Revisionsgrund von <ref-law> liegt vor, wenn das Gericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat. Eine unzutreffende beweismässige oder rechtliche Würdigung unterliegt nicht der Revision (<ref-ruling> E. 3 S. 18 f.; Urteil 1F_23/2020 vom 17. September 2020 E. 3.1). Der entsprechende Revisionsgrund kann zudem nur angerufen werden, wenn die unberücksichtigten Tatsachen als erheblich zu bezeichnen sind. Davon ist auszugehen, wenn deren Berücksichtigung zugunsten des Gesuchstellers zu einer anderen Entscheidung hätte führen müssen (<ref-ruling> E. 3 S. 19; Urteil 2F_26/2019 vom 14. November 2019 E. 3.1 mit Hinweisen).
2.3. Der Gesuchsteller macht zunächst geltend, das Bundesgericht habe im Urteil 1B_543/2020 mehrere seiner Anträge im Sinne von <ref-law> nicht behandelt.
2.3.1. Ausgehend von den genannten Grundsätzen ist in diesem Zusammenhang vorweg festzuhalten, dass das Bundesgericht im genannten Urteil nur soweit auf die Beschwerde des Gesuchstellers eingetreten ist, als sich dessen Rügen überhaupt als zulässig erwiesen. Schon aus diesem Grund war das Bundesgericht nicht gehalten, auf alle Vorbringen des Gesuchstellers einzeln und detailliert einzugehen. Überdies beurteilte das Bundesgericht die Beschwerde als offensichtlich unbegründet und durfte sich auch deshalb auf eine summarische Urteilsbegründung beschränken (vgl. <ref-law>). In diesem Vorgehen liegt keine massgebliche Nichtbehandlung von gestellten Anträgen, sondern ein (teilweises) Nichteintreten, das auf mangelhafte Einhaltung der formellen Prozessvoraussetzungen (namentlich Nichteinhaltung der gesetzlichen Begründungsanforderungen gemäss Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) durch den Gesuchsteller bzw. damaligen Beschwerdeführer selbst zurückgeht. Kam das Bundesgericht bei Prüfung der damaligen Beschwerdeschrift somit zur Einschätzung, einzelne seiner Vorbringen oder Anträge genügten den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht (namentlich Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG), weshalb insoweit auf die Beschwerde nicht einzutreten sei, handelt es sich hierbei um eine rechtliche Würdigung, die der Revision nicht zugänglich ist (vgl. Urteile 2F_9/2019 vom 14. Januar 2020 E. 3.2; 1F_11/2017 vom 25. April 2017 E. 4.2.1; 2F_11/2014 vom 4. Juli 2014 E. 3.2).
2.3.2. Der Gesuchsteller hatte im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren sinngemäss Anträge mit Bezug auf die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege durch die Anklagekammer sowie die Kostenverteilung des bundesgerichtlichen Verfahrens gestellt. Antragsgemäss prüfte das Bundesgericht deshalb die Kostenliquidation des Urteils der Anklagekammer und erachtete diese als bundesrechtskonform (Urteil 1B_543/2020 vom 14. Dezember 2020 E. 3.3). Auch mit den in der Beschwerdeschrift unter dem Titel Kosten vorgebrachten Anträgen zur Kostenverteilung im bundesgerichtlichen Verfahren setzte sich das Bundesgericht zumindest implizit auseinander und verzichtete umständehalber gänzlich auf die Erhebung von Gerichtskosten zu Lasten einer der Parteien (Urteil 1B_543/2020 vom 14. Dezember 2020 E. 4). Inwieweit somit Anträge im Sinne von <ref-law> unbeurteilt geblieben sein sollen, ist nicht ersichtlich, zumal - wie bereits gesagt - aus dem bundesgerichtlichen Urteil hervorgeht, dass mehrere Anträge und Rügen des Beschwerdeführers nicht in einer den gesetzlichen Begründungsanforderungen genügenden Art und Weise vorgetragen wurden und das Bundesgericht insoweit nicht gehalten war, jedes Vorbringen einzeln zu widerlegen (vgl. vorne E. 2.3.1).
2.4. Der Gesuchsteller beruft sich auch vergeblich auf den Revisionsgrund von <ref-law>.
2.4.1. Er macht zunächst geltend, das Bundesgericht habe seine Rüge auf Korrektur des vorinstanzlichen Sachverhalts versehentlich nicht berücksichtigt. Diese Kritik ist unbegründet. Dem Urteil 1B_543/2020 kann entnommen werden, dass das Bundesgericht die Sachverhaltsrügen des Gesuchstellers geprüft und eine offensichtlich unrichtige oder gar willkürliche Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz verneint hat (Urteil 1B_543/2020 vom 14. Dezember 2020 E. 3.3). Wenn der Gesuchsteller diese Beurteilung der Sachverhaltsrügen durch das Bundesgericht nun auf dem Weg der Revision in Frage stellt, verkennt er damit überdies, dass es sich hierbei um eine Rechtsfrage handelt. Ein Revisionsgrund besteht somit auch deshalb nicht (vgl. vorne E. 2.2; Urteil 1F_34/2016 vom 14. Oktober 2016 E. 2.4).
2.5. Die weiteren Vorbringen, welche das Bundesgericht übersehen haben soll (u.a. "die Diskriminierung beim Missio-Entzug und die damit verbundene Medienberichterstattung", "dass aufgrund der Medienberichterstattung angeblich gesteigerte öffentliche Interesse an der Strafverfolgung der Medienbeauftragten des Bistums St. Gallen"; "faktisches Berufsverbot"; "die unsachgemässe Personalführung durch die Bistumsverantwortlichen"; "vertragswidrige Arbeitslosigkeit einer fünfköpfigen Familie"; "Kostenübernahme durch die ursächlich verantwortliche Kirchenführung") betrafen allgemeine Kirchenkritik oder allfällige arbeits- oder staatshaftungsrechtliche Ansprüche. Aufgrund dessen hat das Bundesgericht hierzu zusammenfassend erwogen, dass diese Aspekte nicht in den Zuständigkeitsbereich der Strafbehörden fielen und damit für die Beurteilung der Frage der Notwendigkeit einer Rechtsverbeiständung des Gesuchstellers nicht entscheidwesentlich seien. Auch zur vorgebrachten erhöhten Medienberichterstattung hat sich das Bundesgericht explizit geäussert und hierzu festgehalten, dass diese den Gesuchsteller in seiner Stellung als Privatkläger nicht vor zusätzliche Schwierigkeiten stelle, weswegen eine unentgeltliche Rechtsverbeiständung auch insoweit nicht nötig sei (zum Ganzen Urteil 1B_543/2020 vom 14. Dezember 2020 E. 3.2). Entgegen den Rügen des Beschwerdeführers hat sich das Bundesgericht somit auch mit diesen Vorbringen genügend auseinandergesetzt, zumal seine vorgetragene Kritik ohnehin die Beweiswürdigung betrifft, was wiederum keinen zulässigen Revisionsgrund im Sinne von <ref-law> darstellt (vgl. vorne E. 2.2).
2.6. Als offensichtlich unzutreffend erweist sich schliesslich auch die Behauptung des Gesuchstellers, das Bundesgericht habe sich nicht mit seinen Verfassungsrügen auseinander gesetzt. Soweit diese überhaupt hinreichend begründet waren, ist das Bundesgericht im erwähnten Urteil zum Schluss gekommen, die Vorinstanz habe keine Grundrechte verletzt, namentlich sei keine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) ersichtlich. Der Beschwerdeführer mag auch mit dieser rechtlichen Würdigung nicht einverstanden sein. Wie bereits ausgeführt, stellt eine Kritik an der Rechtsanwendung des Bundesgerichts jedoch keinen Revisionsgrund dar (vgl. vorne E. 2.2).
2.7. Zusammenfassend ergibt sich, dass das Bundesgericht in seinem Urteil 1B_543/2020 weder einzelne Anträge unbeurteilt gelassen (<ref-law>) noch in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat (<ref-law>).
3.
3.1. Das Revisionsgesuch ist nach dem Ausgeführten ohne Schriftenwechsel (<ref-law>) abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
3.2. Dem Gesuch um unentgeltliche Prozessführung ist angesichts der Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren nicht zu entsprechen (<ref-law>). Von der Erhebung von Kosten wird umständehalber nochmals abgesehen (<ref-law>). Der Gesuchsteller wird jedoch darauf hingewiesen, dass er mit dem vorliegenden Urteil nunmehr in der gleichen Sache fünf Mal an das Bundesgericht gelangt ist (Urteile 1B_579/2020 vom 3. Februar 2021; 1B_543/2020 vom 14. Dezember 2020; 1B_473/2019 vom 23. Juni 2020; 1B_299/2019 vom 19. Juni 2019) und sich die Beschwerden, soweit überhaupt darauf eingetreten werden konnte, jeweils als offensichtlich unbegründet erwiesen. Weitere gleichlautende Eingaben werden deshalb inskünftig eine Kostenauferlegung nach sich ziehen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Gesuchsteller, dem Untersuchungsamt St. Gallen und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. März 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Hahn