Sachverhalt:
A.
Am 24. November 2016 stellte die I._ bei der Baubewilligungskommission der Gemeinde Herisau ein Gesuch für den Neubau einer Mobilfunkantennenanlage an der Südwestseite des auf der Parzelle Nr. 3392 stehenden Gebäudes. Das kantonale Amt für Umwelt, das kantonale Tiefbauamt und die Baubewilligungskommission bewilligten das Vorhaben und wiesen die dagegen gerichteten Einsprachen ab, soweit sie darauf eintraten (Entscheide vom 27. Oktober 2017, 30. Oktober 2017 und 29. Juni 2018).
Dagegen erhoben A._, B._, C._, D._ und E._, F._, G._ und H._ Rekurs beim Departement Bau und Volkswirtschaft des Kantons Appenzell Ausserrhoden. Dieses wies ihr Rechtsmittel mit Entscheid vom 28. Oktober 2019 ab. Eine gegen diesen Entscheid gerichtete Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden mit Urteil vom 18. Januar 2021 ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiärer Verfassungsbeschwerde beantragen die genannten Personen, das Urteil des Obergerichts und die übrigen erwähnten Entscheide seien aufzuheben. Eventualiter sei das Baugesuch nach erneuter amtlicher Publikation der öffentlichen Auflage neu aufzulegen.
Das Obergericht beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, weil sie nicht den gesetzlichen Formerfordernissen entspreche. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Baubewilligungskommission und das Departement Bau und Volkswirtschaft haben sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid über die Baubewilligung für eine Mobilfunkanlage. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zur Verfügung (<ref-law>). Für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde bleibt kein Raum (<ref-law>).
1.2. Die Beschwerdeführer wohnen innerhalb des praxisgemäss berechneten Einspracheradius oder besitzen in diesem Umkreis Grundeigentum; sie sind daher vom umstrittenen Vorhaben besonders berührt (<ref-ruling> E. 2). Sie sind nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt.
1.3.
1.3.1. Die Beschwerde ist gemäss <ref-law> hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1). Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen, und der blosse Verweis auf Ausführungen in andern Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 3.1; zum Ganzen: Urteil 4A_24/2021 vom 24. Juni 2021 E. 2).
1.3.2. Das Obergericht erwog, die bei ihm erhobene Beschwerde genüge den Begründungsanforderungen grundsätzlich nicht. Die Beschwerdeschrift sei, abgesehen von wenigen Ergänzungen, eine wörtliche Kopie der Rekurseingabe vom 23. Februar 2018 und der Stellungnahme vom 26. April 2019. Das Obergericht ging deshalb inhaltlich nur auf einige Punkte ein. Die Rüge, dass sich das Departement in seinem Rekursentscheid nicht mit der Situation der brütenden Vögel im Bereich Glatt auseinandergesetzt und damit den Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt habe, erachtete es als begründet. Es heilte den Verfahrensmangel, indem es die Rüge selbst behandelte, und berücksichtigte ihn bei den Kosten- und Entschädigungsfolgen. Die weiteren Rügen, soweit es auf diese eintrat, erachtete es als unbegründet.
1.3.3. Die dem Bundesgericht eingereichte Beschwerdeschrift stellt bis zu Rz. 23, abgesehen von völlig unbedeutenden Abweichungen, eine Kopie von Passagen aus der Beschwerde und der Replik aus dem vorinstanzlichen Verfahren dar. Sogar die Kritik, dass in den Bau- und Einspracheentscheiden auf das Vorbringen betreffend die brütenden Vögel nicht eingegangen worden sei, wird mit unverändertem Wortlaut wiederholt, obwohl das Obergericht den Vorwurf wie erwähnt als begründet erachtete und die Rüge deshalb inhaltlich behandelte. Wie das Bundesgericht bereits in <ref-ruling> E. 2.4.3 entschied, ist eine solche Art der Prozessführung rechtsmissbräuchlich, weshalb auf die Beschwerde insoweit nicht nur gestützt auf <ref-law>, sondern auch auf Abs. 7 dieser Bestimmung nicht einzutreten ist.
1.3.4. Die Kritik in den Rz. 24 und 25, welche die Beschwerdeschrift abschliessen, genügt den Begründungsanforderungen ebensowenig. Die Beschwerdeführer bringen an diesen Stellen vor, dass die vielen umstrittenen Sachverhaltspunkte (Waldabstand, Gewässerabstand, Berechnung und Bestimmung der OMEN u.s.w.) einen Augenschein erfordert hätten und dass der angefochtene Entscheid, soweit damit auf die Beschwerde nicht eingetreten worden sei, <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletze. Eine hinreichend substanziierte Auseinandersetzung mit dem Urteil des Obergerichts, das darlegte, weshalb es keinen Augenschein durchführte und weshalb es auf die Beschwerde teilweise nicht eintrat, fehlt auch in dieser Hinsicht.
2.
Auf die Beschwerde ist aus diesen Gründen nicht einzutreten.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten grundsätzlich den Beschwerdeführern aufzuerlegen (<ref-law>). Gemäss <ref-law> hat indessen unnötige Kosten zu bezahlen, wer sie verursacht hat. Auf dieser Grundlage kann das Bundesgericht ausnahmsweise entscheiden, die Kosten nicht der unterliegenden Partei, sondern deren Rechtsvertreter persönlich aufzuerlegen. Das ist namentlich dann gerechtfertigt, wenn die Aussichtslosigkeit des eingelegten Rechtsmittels schon bei Beachtung elementarster Sorgfalt festgestellt werden kann (Urteile 1B_47/2019 vom 20. Februar 2019 E. 4; 9C_644/2016 vom 31. Oktober 2016 E. 3 mit Hinweisen). Diese Voraussetzung trifft hier zu. Der Rechtsvertreter der Beschwerdeführer trat bereits im Verfahren, das in den erwähnten <ref-ruling> mündete, als Rechtsvertreter auf. Es musste ihm also bewusst sein, dass das Einreichen einer Beschwerdeschrift, die im Wesentlichen eine Kopie von Eingaben aus dem vorinstanzlichen Verfahren darstellt, rechtsmissbräuchlich ist. Hinzu kommt, dass das Obergericht ihn sogar nochmals ausdrücklich auf die Unzulässigkeit seines Vorgehens hingewiesen hat. Die Gerichtskosten sind deshalb ihm aufzuerlegen. Die anwaltlich vertretene Beschwerdegegnerin hat zudem Anspruch auf eine angemessene Parteientschädigung. Diese ist aus den erwähnten Gründen ebenfalls vom Rechtsvertreter der Beschwerdeführer zu bezahlen (Art. 68 Abs. 2 und 3 i.V.m. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde und die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden Rechtsanwalt Tim Walker auferlegt.
3.
Rechtsanwalt Tim Walker hat die Beschwerdegegnerin mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Baubewilligungskommission Herisau, dem Departement Bau und Volkswirtschaft sowie dem Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. März 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Dold