Fatti:
A.
A.a. Nel 2016, l'avvocato A._ ha assunto un mandato per conto della B._ SA (di seguito: la Società), che si era rivolta a lui per rappresentarla in un litigio in materia di locazione. All'epoca, la Società era amministrata dai propri azionisti C._ (50 %) e D._ (50 %).
A.b. E.E._ e F.E._ sono figli di D._.
L'8 luglio 2019, A._, agendo in nome e per conto di C._, ha notificato a E.E._ la disdetta di un credito garantito da una cartella ipotecaria gravante la sua quota di comproprietà della particella xxx del Comune di X._. Non avendo potuto incassare il credito, A._ ha poi promosso una formale procedura esecutiva dinanzi alla competente Pretura.
Il 17 luglio 2019, sempre per conto di C._, A._ ha chiesto a E.E._ di sottoscrivere la disdetta per mora di un contratto di locazione relativo alla ditta individuale di F.E._, che gestiva un hotel situato sulla summenzionata particella xxx del Comune di X._.
A.c. Il 7 agosto 2019, dando seguito a una segnalazione di D._, la Commissione di disciplina degli avvocati del Cantone Ticino (di seguito: la Commissione) ha aperto nei confronti di A._ un procedimento disciplinare fondato segnatamente su una possibile violazione del divieto del conflitto d'interessi. Chiamato a pronunciarsi in merito, l'interessato ha respinto ogni addebito, informando al contempo la Commissione di avere comunque, nel frattempo, posto fine al mandato svolto per conto della B._ SA.
B.
B.a. Con decisione dell'8 ottobre 2019, la Commissione ha inflitto a A._ una multa disciplinare di fr. 1'000.-- per essere incorso in un chiaro conflitto d'interessi accettando di assumere il patrocinio di C._ nelle vertenze da questi avviate contro E.E._ e F.E._, allorquando era ancora legato dal mandato assunto per conto della Società di cui D._ (madre di E.E._ e F.E._) era amministratrice e azionista.
B.b. Il 1o marzo 2021, adito su ricorso di A._, il Tribunale amministrativo del Cantone Ticino (di seguito: il Tribunale amministrativo) ha confermato la decisione della Commissione. I Giudici cantonali hanno ritenuto, in sostanza, che il mandato assunto dall'interessato per conto di C._ si rivelava problematico nell'ottica del divieto del conflitto d'interessi. Tale mandato, infatti, lo aveva portato ad agire contro E.E._ e F.E._, figli di D._. Quest'ultima però, in quanto amministratrice e azionista della B._ SA, era direttamente coinvolta nel mandato svolto in parallelo dall'avvocato per conto della Società e doveva quindi essere considerata - seppur indirettamente - alla stregua di una sua cliente. Secondo i Giudici ticinesi, agendo contro i figli di una sua cliente, A._ era pertanto incorso in un palese conflitto d'interessi che doveva essere sanzionato. Il Tribunale amministrativo ha inoltre confermato l'entità della sanzione inflitta, ritenendola adeguata e rispettosa del principio di proporzionalità.
C.
Il 7 aprile 2021, A._ ha inoltrato dinanzi al Tribunale federale un ricorso in materia di diritto pubblico con cui postula, protestate spese e ripetibili, l'annullamento della sentenza del Tribunale amministrativo del 1o marzo 2021.
La Commissione di disciplina degli avvocati del Cantone Ticino si è riconfermata nella propria decisione e ha proposto la reiezione del gravame. La Corte cantonale si è riconfermata nelle motivazioni e nelle conclusioni della propria sentenza.

Diritto:
1.
Il Tribunale federale esamina d'ufficio la sua competenza (<ref-law>) e verifica con piena cognizione l'ammissibilità dei gravami che gli vengono sottoposti (<ref-ruling> consid. 1).
1.1. L'impugnativa concerne una causa di diritto pubblico che non ricade sotto nessuna delle eccezioni previste dall'<ref-law> ed è diretta contro una decisione finale (<ref-law>) resa in ultima istanza cantonale da un tribunale superiore (art. 86 cpv. 1 lett. d e cpv. 2 LTF). Essa è stata presentata nei termini (art. 46 cpv. 1 lett. a cum <ref-law>) e nelle forme richieste (<ref-law>) dal destinatario del giudizio impugnato, con interesse a insorgere (<ref-law>), ed è quindi ricevibile, con la precisazione che segue.
1.2. Il ricorrente postula unicamente l'annullamento della sentenza impugnata. Delle conclusioni meramente cassatorie sono di principio insufficienti (cfr. <ref-law>; sentenze 2C_406/2020 del 10 febbraio 2021 consid. 2.4 e 2C_401/2018 del 17 settembre 2018 consid. 1.3). Tuttavia, una siffatta conclusione può talvolta rivelarsi adeguata, ciò che accade regolarmente nell'ambito del diritto pubblico (cfr. JOHANNA DORMANN, in NIGGLI/UEBERSAX/WIPRÄCHTIGER/KNEUBÜHLER [ed.], Bundesgerichtsgesetz - Basler Kommentar, 3a ed., 2018, n. 14 ad art. 107 pag. 1675). In particolare, quando - come nella fattispecie - un litigio concerne una sanzione disciplinare che, in ragione dell'effetto devolutivo del gravame, deriva dalla sentenza impugnata, il ricorrente che contesta tale sanzione può postulare unicamente l'annullamento del giudizio querelato. Difatti, qualora il ricorso dovesse essere accolto, il Tribunale federale non sarebbe obbligato a riformare la sentenza contestata, ma potrebbe limitarsi ad annullarla, sopprimendo così la sanzione disciplinare inflitta all'interessato.
2.
Il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento fattuale che è stato svolto dall'autorità precedente (<ref-law>), eccezion fatta per i casi contemplati dall'<ref-law>. Giusta l'<ref-law>, il ricorrente può censurare l'accertamento dei fatti soltanto se è stato svolto in modo manifestamente inesatto - ovvero arbitrario - o in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> e se l'eliminazione del vizio può essere determinante per l'esito del procedimento (<ref-ruling> consid. 6; <ref-ruling> consid. 1.6). In conformità all'<ref-law>, chi ricorre deve motivare, con precisione e per ogni accertamento di fatto censurato, la realizzazione di queste condizioni. Se ciò non avviene, il Tribunale federale non può tener conto di uno stato di fatto divergente da quello esposto nella sentenza impugnata (sentenza 2C_300/2019 del 31 gennaio 2020 consid. 2.2, non pubblicato in <ref-ruling>).
3.
Il ricorrente invoca un accertamento arbitrario dei fatti relativo all'esistenza di una procura a favore di D._ per la gestione della ditta individuale del figlio F.E._ (ricorso, pag. 2). A mente dell'insorgente, tale procura non sarebbe mai esistita. Il Tribunale amministrativo, che ha ritenuto il contrario, deducendo da tale (inesistente) documento la sussistenza di un conflitto d'interessi, sarebbe dunque incorso in arbitrio.
3.1. L'accertamento dei fatti, rispettivamente l'apprezzamento delle prove, viola il divieto d'arbitrio qualora l'autorità abbia manifestamente travisato il senso e la portata di un mezzo di prova, abbia trascurato di considerare, senza una ragione oggettiva, un mezzo di prova rilevante e importante per l'esito della causa o abbia tratto dai fatti accertati delle conclusioni insostenibili (<ref-ruling> consid. 1.1).
3.2. Nella fattispecie, l'incarto cantonale contiene un estratto del registro di commercio del Cantone Ticino relativo alla ditta "G._" (allegato C alla segnalazione del 26 luglio 2019 di D._ alla Commissione). Tale estratto indica chiaramente che il titolare della ditta è F.E._ e che D._ dispone di una procura individuale in seno alla stessa. Alla luce di questi elementi, mal si comprende come il ricorrente possa sostenere che il Tribunale amministrativo sia incorso in arbitrio ritenendo, sulla base dell'estratto in parola, che D._ disponeva di una procura individuale per la gestione della ditta del figlio F.E._. Del resto, tale elemento non appare neppure determinante per l'esame della violazione, da parte dell'insorgente, dell'art. 12 lett. c della legge federale del 23 giugno 2000 sulla libera circolazione degli avvocati (LLCA; RS 935.61) (cfr. infra consid. 4.3). La censura di accertamento arbitrario dei fatti non può dunque che essere scartata.
3.3. Per il resto, siccome non sono validamente messi in discussione, i fatti che risultano dal giudizio querelato vincolano il Tribunale federale (<ref-law>; sentenza 2C_795/2019 del 13 febbraio 2020 consid. 3.4). Questa Corte fonderà dunque il proprio giudizio sui fatti constatati dall'autorità precedente.
4.
Il presente litigio verte sulla multa disciplinare inflitta al ricorrente per violazione dell'art. 12 lett. c LLCA, disposizione consacrata al conflitto d'interessi dell'avvocato.
4.1. La LLCA unifica a livello federale, disciplinandole esaustivamente, le regole professionali concernenti l'esercizio dell'avvocatura (cfr. Messaggio del Consiglio federale del 28 aprile 1999 concernente la legge federale sulla libera circolazione degli avvocati, FF 1999 IV 4983, pag. 5020). In particolare, giusta l'art. 12 lett. c LLCA, l'avvocato evita qualsiasi conflitto tra gli interessi del suo cliente e quelli di altre persone con cui ha rapporti professionali o privati. Il divieto di patrocinare un cliente in caso di conflitto d'interessi è un principio cardine della professione forense (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.4; sentenza 1B_339/2020 del 23 febbraio 2021 consid. 2.1), che deriva dal precetto d'indipendenza (<ref-law>) e dai doveri di cura e diligenza (<ref-law>) (cfr. <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.1; sentenza 1B_191/2020 del 26 agosto 2020 consid. 4.1.2).
Per costante giurisprudenza, l'avvocato deve segnatamente evitare il doppio patrocinio, che consiste nel rappresentare contemporaneamente clienti con interessi contrapposti, poiché in tal caso non sarebbe più in grado di rispettare appieno i suoi doveri di fedeltà e diligenza nei confronti di ognuno di essi (DTF <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 9.1; sentenze 1B_339/2020 del 23 febbraio 2021 consid. 2.1 e 2C_898/2018 del 30 gennaio 2019 consid. 5.2). Questi principi tendono in primo luogo a proteggere gli interessi dei clienti dell'avvocato, assicurando loro una difesa esente da conflitti d'interesse. Essi mirano parimenti a tutelare la corretta amministrazione della giustizia, garantendo in particolare che nessun avvocato sia limitato nella propria capacità di difendere un cliente, segnatamente in caso di difesa multipla (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.1; sentenza 1B_191/2020 del 26 agosto 2020 consid. 4.1.2). Colui che si rivolge a un avvocato, deve poter contare sul fatto che questi sia libero da ogni legame atto a limitare la sua capacità di difendere efficacemente gli interessi del cliente nello svolgimento del mandato affidatogli (cfr. GRODECKI/JEANDIN, Approche critique de l'interdiction de postuler chez l'avocat aux prises avec un conflit d'intérêts, SJ 2015 II 107, pag. 110; ALAIN LE FORT, Les conflits d'intérêts, in Défis de l'avocat au XXIe siècle, Mélanges Burger, 2008, pag. 179 segg., segnatamente pag. 180; si veda anche già la sentenza 2A.293/2003 del 9 marzo 2004 consid. 2, nonché, prima dell'entrata in vigore della LLCA, la sentenza 2P.187/2000 dell'8 gennaio 2001 consid. 4c e GIOVANNI ANDREA TESTA, Die zivil- und standesrechtlichen Pflichten des Rechtsanwaltes gegenüber dem Klienten, 2001, pag. 94). Va quindi in definitiva evitata qualsiasi situazione potenzialmente suscettibile di generare un conflitto d'interessi (<ref-ruling> consid. 2.1 in fine; sentenze 2C_87/2021 del 29 aprile 2021 consid. 3.1.1; 1B_191/2020 del 26 agosto 2020 consid. 4.1.2; 2C_898/2018 del 30 gennaio 2019 consid. 5.2).
Un rischio meramente astratto o teorico non è sufficiente; occorre che tale rischio sia concreto. Non è tuttavia necessario che il rischio si sia concretizzato e che l'avvocato abbia quindi già eseguito il mandato in maniera discutibile o a discapito del proprio cliente (<ref-ruling> consid. 2.1 in fine; sentenze 1B_339/2020 del 23 febbraio 2021 consid. 2.1 e 1B_191/2020 del 26 agosto 2020 consid. 4.1.2 in fine). Vi è segnatamente un rischio di violazione dell'art. 12 lett. c LLCA quando un avvocato rappresenta un cliente e agisce, in un contesto differente, contro una persona alla quale il proprio cliente è strettamente legato, ad esempio un parente (GRODECKI/JEANDIN, op. cit., pag. 113; BOHNET/ MARTENET, Droit de la profession d'avocat, 2009, n. 1417 pag. 583). In tal caso, infatti, l'avvocato rischia di non potere (o non volere) agire in modo efficace contro quest'ultimo, al fine di non urtare il proprio cliente (BOHNET/MARTENET, op. cit., n. 1417 pag. 583; si veda anche, più in generale, WALTER FELLMANN, Kommentar zum Anwaltsgesetz, 2a ed., 2011, n. 84 ad <ref-law> pag. 230 seg.). Va da sé che questo rischio non sussiste se è il cliente stesso ad aver chiesto all'avvocato di agire contro una persona a lui vicina - segnatamente un parente -, poiché in un'ipotesi del genere l'avvocato non avrebbe alcun motivo di temere di urtare il cliente con il proprio operato.
4.2. Il ricorrente sostiene di non essere incorso, agendo contro F.E._ e E.E._, in nessun conflitto d'interessi vietato dall'art. 12 lett. c LLCA. Contrariamente a quanto ritenuto dalla Corte cantonale, nell'ambito del mandato assunto nel 2016 per conto della B._ SA, la sua cliente era appunto la Società, e non D._. Il fatto che quest'ultima, insieme a C._, fosse azionista e amministratrice della Società, non permetteva di certo di considerarla alla stregua di una cliente diretta dell'insorgente. D._ non era né azionista unica, né amministratrice unica della B._ SA e non poteva quindi influire in modo determinante sulla formazione della volontà della Società. Lei e la B._ SA erano due soggetti giuridici distinti; del resto, l'ipotesi di un " Durchgriff " non era mai neppure stata presa in considerazione. A mente del ricorrente, non vi sarebbe quindi stato conflitto d'interessi nell'accettare un mandato che lo aveva portato ad agire contro i figli di D._, allorquando patrocinava ancora - in una causa di tutt'altro genere - la B._ SA. Tra i fratelli E._ e la Società non vi era infatti nessun legame atto a far anche solo dubitare della correttezza professionale dell'operato dell'insorgente. Secondo il ricorrente, confermando la multa disciplinare inflittagli dalla Commissione, il Tribunale amministrativo avrebbe dunque violato l'art. 12 lett. c LLCA.
4.3. Le argomentazioni del ricorrente non possono essere condivise. Sebbene D._ non fosse, in effetti, cliente diretta dell'interessato, essa era incontestabilmente una delle due persone (l'altra era C._) che gestivano e possedevano, in parti uguali, la B._ SA. In tale veste, D._ era coinvolta in prima persona nel mandato assunto dal ricorrente per conto della Società nel 2016. In altre parole, rappresentando la B._ SA, l'insorgente rappresentava indirettamente gli interessi di D._. Tra l'interessata e l'avvocato vi era dunque, da qualche anno, un rapporto di fiducia speciale, del quale l'insorgente doveva tenere conto e dal quale non poteva fare astrazione sulla sola base del fatto che, formalmente, la sua cliente era la B._ SA. In tali circostanze, contrariamente a quanto sostiene il ricorrente, il fatto che D._ non fosse amministratrice o azionista unica della Società, e non potesse quindi agire da sola per conto della B._ SA, non è determinante. La posizione privilegiata dell'interessata in seno alla B._ SA era infatti sufficiente a creare tra lei e l'insorgente un legame particolare, fondato sul mandato affidato all'avvocato dalla Società fin dal 2016. Tale legame era senz'altro atto a influenzare l'interessato nella gestione di eventuali altri mandati, in quanto egli sapeva che, se un altro mandato lo avesse portato ad agire contro gli interessi di D._, vi era il rischio che questo fatto avesse delle ripercussioni negative sul mandato assunto per conto della Società. In particolare, nel caso di specie, il mandato assunto dal ricorrente per conto di C._ è dunque problematico, poiché lo ha portato ad agire contro i figli di D._, della quale assicurava (indirettamente) gli interessi patrocinando la B._ SA in un'altra causa. Ora, come esposto poc'anzi (supra consid. 4.1 in fine), l'avvocato che rappresenta un cliente e agisce, in un contesto differente e senza che questi glielo abbia chiesto, contro una persona alla quale il proprio cliente è strettamente legato, ad esempio un parente, viola l'art. 12 lett. c LLCA, poiché, in tali circostanze, rischia di non potere (o non volere) agire in modo efficace contro quest'ultimo per non urtare gli interessi del proprio cliente. Ne consegue che, accettando di assumere il patrocinio di C._ nelle vertenze da questi avviate contro i figli di D._, allorquando assicurava ancora (seppure indirettamente, patrocinando la B._ SA) gli interessi di D._, il ricorrente è incorso in un conflitto d'interessi proscritto dall'art. 12 lett. c LLCA.
In conclusione, è senza contravvenire al diritto federale che i Giudici cantonali hanno ritenuto che il ricorrente aveva violato l'art. 12 lett. c LLCA. Le censure sollevate in proposito dall'insorgente non possono dunque che essere scartate.
5.
Per quanto riguarda la sanzione inflitta (multa disciplinare di fr. 1'000.--), che non è peraltro oggetto di specifica contestazione da parte del ricorrente, alla luce delle circostanze del caso di specie e degli elementi presi in considerazione dal Tribunale amministrativo (gravità dell'infrazione, assenza di segni di autocritica e ravvedimento, precedente disciplinare, modesto ammontare della sanzione), essa appare rispettosa del principio di proporzionalità e va pertanto confermata (cfr. sentenze 2C_87/2021 del 29 aprile 2021 consid. 3.7 e 2C_933/2018 del 25 marzo 2019 consid. 6, nelle quali si attira del resto l'attenzione sul margine di apprezzamento di cui dispongono in materia le autorità cantonali, quindi sul fatto che il Tribunale federale interviene a correggerne l'operato solo in presenza di una lesione del principio della proporzionalità chiara a tal punto da sfociare nell'arbitrio).
6.
Per quanto precede, il ricorso è infondato e va respinto. Le spese giudiziarie seguono la soccombenza (<ref-law>). Non vengono assegnate ripetibili (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 2'000.-- sono poste a carico del ricorrente.
3.
Comunicazione al ricorrente, al Tribunale amministrativo e alla Commissione di disciplina degli avvocati del Cantone Ticino.