Sachverhalt:
A.
A._ ist Rechtsanwalt und teilamtliches Mitglied des Bezirksgerichts U._ mit einem Beschäftigungsumfang von 35 %.
B.
B.a. Rechtsanwalt A._ vertrat in einem Verfahren betreffend Abänderung von Eheschutzmassnahmen die Beklagte C._ gegen den Kläger B._. Mit Eingabe vom 4. November 2019 erhob er für die Beklagte Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich gegen das Urteil des Bezirksgerichts V._ vom 10. September 2019.
B.b. Mit Beschluss vom 22. Januar 2020 stellte das Obergericht fest, dass Rechtsanwalt A._ nicht berechtigt ist, die Berufungsklägerin im vorliegenden Berufungsverfahren zu vertreten, weshalb er als Vertreter der Berufungsklägerin aus dem Rubrum gestrichen wird (Dispositiv-Ziff. 1). Der Beschluss wurde am 24. Januar 2020 unter anderem Rechtsanwalt A._ mitgeteilt und ist auf dessen Kanzlei am 27. Januar 2020 eingegangen (Eingangsstempel).
B.c. Mit Beschluss und Urteil vom 5. Februar 2020 entschied das Obergericht in der Sache. Der Entscheid wurde am 11. Februar 2020 unter anderem der Beklagten, vertreten durch Rechtsanwältin D._, Bürokollegin von Rechtsanwalt A._, mitgeteilt und ist auf dessen Kanzlei am 12. Februar 2020 eingegangen (Eingangsstempel).
C.
Mit Eingabe vom 13. März 2020 beantragt A._ (Beschwerdeführer) dem Bundesgericht, Dispositiv-Ziff. 1 des Beschlusses vom 22. Januar 2020 ersatzlos aufzuheben und ihn als Parteivertreter der Beklagten und Berufungsklägerin ins Rubrum des angefochtenen Beschlusses aufzunehmen, eventualiter die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen, sowie das Rubrum des Beschlusses und des Urteils vom 5. Februar 2020 abzuändern und ihn dort anstelle von Rechtsanwältin D._ als Parteivertreter der Beklagten und Berufungsklägerin aufzuführen, eventualiter die Sache zur Abänderung des Rubrums an das Obergericht zurückzuweisen.
Das Bundesgericht hat je ein Beschwerdeverfahren betreffend den Beschluss und das Urteil vom 5. Februar 2020(5A_202/2020) und betreffend den Beschluss vom 22. Januar 2020 (5A_204/2020) eröffnet und die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.
Während das Obergericht auf eine Vernehmlassung verzichtet hat, schliesst B._ (Beschwerdegegner) auf Abweisung, soweit auf die Beschwerdeneinzutreten sei. Die Stellungnahmen wurden dem Beschwerdeführer am 26. Mai 2020 mitgeteilt, der sich nicht mehr hat vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
Die beiden Beschwerden betreffen die gleichen Parteien, richten sich gegen dieselben Entscheide des Obergerichts und sind wörtlich gleich begründet. Es rechtfertigt sich deshalb, die beiden Beschwerdeverfahren zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu erledigen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
2.
2.1. Zu den Eintretensvoraussetzungen legt der Beschwerdeführer dar, angefochten werde ein Beschluss und Urteil des Obergerichts vom 5. Februar 2020. Dieser Entscheid sei ihm am 12. Februar 2020 zugestellt worden. Die 30-tägige Rechtsmittelfrist laufe am 13. März 2020 aus und sei mit der heutigen Eingabe gewahrt. Mitangefochten werde auch der dem erwähnten Beschluss und Urteil vom 5. Februar 2020 zugrunde liegende Beschluss vom 22. Januar 2020 (S. 2 Rz. 1). Beim mitangefochtenen Beschluss vom 22. Januar 2020 handle es sich um einen Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law>, der insofern einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könne, als der Beschwerdeführer nicht mehr berechtigt gewesen sei, seine Klientin im laufenden Verfahren weiterhin zu vertreten, seine Klientin an eine Bürokollegin habe "abgeben" müssen und seine Aufwendungen für die Berufungsschrift der Klientschaft mangels Postulationsfähigkeit nicht habe in Rechnung stellen können (S. 3 Rz. 4 der Beschwerdeschrift).
Der Beschwerdegegner wendet ein, der Beschwerdeführer hätte den Beschluss vom 22. Januar 2020 anfechten müssen, mit seiner Eingabe die Beschwerdefrist aber nicht eingehalten. Zur Beschwerde gegen den Beschluss und das Urteil vom 5. Februar 2020 sei der Beschwerdeführer nicht aktivlegitimiert (S. 3 f. Rz. 5-7 der Beschwerdeantwort).
2.2. In der Rechtsprechung und - soweit sie sich dazu äussert - in der Lehre ist als unbestritten anerkannt, dass der Entscheid, der einem Rechtsanwalt die Befugnis entzieht, eine Partei vor Gericht zu vertreten, für die Parteieinen Zwischenentscheid im Sinn von <ref-law> darstellt, für den Rechtsanwalt hingegen einen Endentscheid gemäss <ref-law>. Denn für ihn ist das Verfahren damit abgeschlossen (Urteil 1B_510/2018 vom 14. März 2019 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>, wohl aber in: Praxis 108/2019 Nr. 123 S. 1210 und ZZZ 2019 S. 139; ferner z.B. Urteile 1B_582/2019 vom 20. März 2020 E. 1; 1B_209/2019 vom 19. September 2019 E. 2.2; 1B_59/2018 vom 31. Mai 2018 E. 1.2-1.4 für die Partei und E. 1.5 für den Rechtsanwalt; NICOLAS PELLATON, La recevabilité des recours au Tribunal fédéral portant sur la capacité de postuler de l'avocat, in: Revue de l'avocat 2012 S. 50 ff., S. 52; BENOÎT CHAPPUIS/NICOLAS PELLATON, Conflits d'intérêts: autorité compétente pour en juger et voies de recours, in: Revue de l'avocat 2012 S. 316 ff., S. 320).
Der Beschluss vom 22. Januar 2020, der dem Beschwerdeführer die Befugnis entzogen hat, die Berufungsklägerin vor Obergericht zu vertreten, ist für den Beschwerdeführer folglich ein Endentscheid (<ref-law>) und kein Zwischenentscheid, der unter den Voraussetzungen von <ref-law> durch Beschwerde gegen den Endentscheid angefochten werden könnte.
2.3. Die Frist zur Beschwerde gegen den Beschluss vom 22. Januar 2020 beträgt 30 Tage (<ref-law>). Der Beschluss ist am 27. Januar 2020 beim Beschwerdeführer eingegangen. Die Beschwerdefrist hat damit am 28. Januar 2020 zu laufen begonnen (<ref-law>) und am 26. Februar 2020 geendet. Mit seiner Eingabe vom 13. März 2020 hat der Beschwerdeführer die Frist nicht gewahrt. Auf die Beschwerde gegen den Beschluss vom 22. Januar 2020 kann aus dem dargelegten Grund nicht eingetreten werden.
2.4. Soweit sich die Beschwerde rechtzeitig gegen den Beschluss und das Urteil vom 5. Februar 2020 und damit gegen den Entscheid in der Sache zwischen den Ehegatten richtet, ist der Beschwerdeführer nicht in eigenen Interessen persönlich betroffen und damit nicht zur Beschwerde legitimiert (<ref-ruling> E. 1.2 a.E. S. 507 und E. 3.3 S. 509; PELLATON, a.a.O., S. 52). Auf die Beschwerde gegen den Beschluss und das Urteil vom 5. Februar 2020 kann aus dem dargelegten Grund nicht eingetreten werden.
3.
Insgesamt ist auf die Beschwerden nicht einzutreten. Der Beschwerdeführer wird damit kosten- und gegenüber dem Beschwerdegegner entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 5A _202 /2020 und 5A_204/2020 werden vereinigt.
2.
Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Der Beschwerdeführer hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit insgesamt Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. August 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied : Der Gerichtsschreiber:
Escher von Roten