Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ (geb. 1981) stammt aus dem Libanon. Er lernte im Dezember 2011 über das Internet die Schweizer Bürgerin A.B._ kennen (geb. 1969). Am 1. Februar 2012 heirateten die beiden im Libanon in Abwesenheit der Gattin, welche zuvor eine Einverständniserklärung zum Eheschluss abgegeben hatte. A.A._ war zu diesem Zeitpunkt noch mit einer Landsfrau verheiratet; diese Ehe wurde am 27. März 2012 durch das sunnitische Scharia-Gericht in Beirut aufgelöst. Nachdem die Frage des Vorliegens einer allfälligen Umgehungsehe geklärt worden war, reiste A.A._ am 9. Februar 2013 zu seiner Frau und deren Tochter B.B._ (geb. 2001) in die Schweiz ein; in der Folge wurde ihm eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Gattin erteilt.
A.b. Die Kinder- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) platzierte B.B._ im Jahr 2013 in einem Internat. Am 3. Dezember 2014 zog A.A._ seine Kinder aus erster Ehe, B.A._ (geb. 2005) und C.A._ (geb. 2006), in die Schweiz nach, wo sie ebenfalls in den Genuss von Aufenthaltsbewilligungen kamen. Die Beziehungen der Gatten A._ waren durch Spannungen und Auseinandersetzungen geprägt: Die Polizei musste in der Zeitspanne vom April 2015 bis Juni 2016 insgesamt vier Mal wegen häuslicher Gewalt intervenieren; dabei kam es gestützt auf die Gewaltschutzmassnahmen auch zu Unterbrüchen des Zusammenlebens der Gatten. Am 17. März 2016 errichtete die Kinder- und Erwachsenenschutzbehörde eine Beistandschaft über die beiden Kinder B.A._ und C.A._; am 13. Dezember 2016 wurden sie in einer Pflegefamilie platziert. Das Bezirksgericht Dietikon hielt am 19. Februar 2018 fest, dass die Eheleute ab dem 31. Mai 2018 getrennt leben würden. Die Familie A._ war über Jahre hinweg auf Sozialhilfeleistungen angewiesen: Per Ende Mai 2016 betrugen die Sozialhilfebeiträge Fr. 426'440.50, wobei Fr. 281'254.20 auf die Fremdplatzierung von B.B._ entfielen. Am 4. September 2015 hatte das Migrationsamt des Kantons Zürich A.A._ in diesem Zusammenhang bereits verwarnt.
B.
B.a. Das Migrationsamt des Kantons Zürich lehnte am 27. Oktober 2016 das Gesuch von A.A._, B.A._ und C.A._ ab, ihre Aufenthaltsbewilligungen zu erneuern. Die Sicherheitsdirektion wies den hiergegen gerichteten Rekurs am 30. September 2017 ab, soweit er nicht gegenstandslos geworden war: Die Familie habe - so die Begründung - massiv und selbstverschuldet über Jahre hinweg Unterstützungsleistungen bezogen; eine Verbesserung der Situation sei nicht absehbar. A.A._ könne eine Rückkehr in den Libanon zugemutet werden. Die Kinder A._ dürften sich - angesichts ihrer kurzen Aufenthaltsdauer in der Schweiz und ihres anpassungsfähigen Alters mit Hilfe ihres Vaters und allenfalls ihrer in Beirut lebenden leiblichen Mutter bzw. der Grossmutter - in der Heimat rasch wieder zurechtfinden.
B.b. Die hiergegen von A.A._, B.A._ und C.A._ eingereichte Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich am 9. Mai 2018 im Sinne der Erwägungen teilweise gut. Es hob den Rekursentscheid der Sicherheitsdirektion vom 19. September 2017 im Sinne der Erwägungen auf und wies die Sache zu weiteren Untersuchungen und Abklärungen sowie zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurück. Das Gericht befand, dass der Sachverhalt bezüglich der beiden Kinder nicht hinreichend erstellt sei. Die Wegweisung von A.A._ könne indessen vollzogen werden. Dieser habe wenig Interesse an den Kindern gezeigt und sie kaum besucht. Die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung und die Wegweisung von A.A._ erscheine verhältnismässig und sei deshalb zu bestätigen.
C.
A.A._ und seine beiden Kinder beantragen vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben, soweit es sich auf A.A._ beziehe. Die Vorinstanz sei an-zuweisen, die Sache betreffend sämtlicher Beschwerdeführenden zur weiteren Untersuchung und zum Neuentscheid an die kantonalen Behörden zurückzuweisen. Die Gerichtskosten seien dementsprechend neu zu verteilen. Im Falle des Unterliegens sei ihnen für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. A.A._ und seine beiden Kinder machen geltend, dass die vom Verwaltungsgericht angeordnete Ergänzung des Sachverhalts nicht ohne den Vater möglich sei, der über das alleinige Sorgerecht über die beiden minderjährigen Kinder verfüge. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts verletze ihren Anspruch auf rechtliches Gehör und sei willkürlich.
Die Rekursabteilung der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich verzichtet darauf, sich zur Beschwerde zu äussern; das Verwaltungsgericht beantragt, diese abzuweisen. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) hat sich nicht vernehmen lassen.
Am 19. Juli 2018 reichten A.A._ und seine beiden Kinder einen Bericht der Bildungsdirektion des Kantons Zürich vom 13. Juli 2018 nach, welcher die intakte Vater-Kind-Beziehung belegen soll.
D.
Mit Verfügung vom 26. Juni 2018 legte der Abteilungspräsident der Eingabe antragsgemäss aufschiebende Wirkung bei.

Erwägungen:
1.
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Der Beschwerdeführer lebt von seiner schweizerischen Gattin getrennt, weshalb er keinen Bewilligungsanspruch gestützt auf Art. 42 Abs. 1 AIG (bis zum 1. Januar 2019: AuG) geltend machen kann. Er hält sich indessen seit mehr als drei Jahren im Land auf und kann sich somit potentiell auf einen selbständigen Anspruch nach Art. 50 AIG (Bewilligung nach Auflösung der Familiengemeinschaft) bzw. Art. 42 Abs. 3 AIG berufen. Nach dieser Bestimmung hat der Ehegatte einer Schweizerin oder eines Schweizers nach einem ordnungsgemässen, ununterbrochenen Aufenthalt von fünf Jahren grundsätzlich einen Anspruch auf Erteilung einer Niederlassungsbewilligung, es sei denn, es liege ein Widerrufsgrund vor. Ob die Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführer zu Recht nicht verlängert wurde, ist eine Frage der materiellen Beurteilung und keine solche des Eintretens (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 3.3.2 mit Hinweisen); es genügt hierfür, dass der Anspruch in vertretbarer Weise geltend gemacht wird. Die Vorinstanz ist davon ausgegangen, dass der Anspruch nach 5 Jahren zwar entstanden sei, jedoch im Hinblick auf die Sozialhilfeabhängigkeit ein Widerrufsgrund bestehe (Art. 63 Abs. 1 lit. c i.V.m. Art. 51 Abs. 1 lit. b AIG). Ob dies zutrifft, ist gegebenenfalls materiell zu prüfen und steht einem Eintreten auf die Beschwerde nicht entgegen.
1.2. Die Beschwerdeführer können sich für ihren Bewilligungsanspruch indessen nicht auf die Garantien des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (KRK; SR 0.107) bzw. Art. 11 BV (besonderer Schutz von Kindern und Jugendlichen) berufen: Diesen Bestimmungen ist jeweils im Rahmen der Auslegung des nationalen Rechts bzw. bei der Interessenabwägung als einem unter mehreren Aspekten Rechnung zu tragen (Art. 8 Ziff. 2 EMRK und Art. 96 Abs. 1 AIG). Es lässt sich daraus kein eigenständiger Anspruch auf die Erteilung einer Bewilligung ableiten, der im Rahmen des Eintretens in vertretbarer Weise geltend gemacht werden könnte (vgl. <ref-ruling> E. 5 S. 11 f.; Urteil 2C_775/2017 vom 28. März 2018 E. 1.3.3 mit Hinweis).
1.3.
1.3.1. Die Beschwerdeführer berufen sich auch vergeblich auf einen Bewilligungsanspruch gestützt auf Art. 8 EMRK und Art. 13 Abs. 1 BV. Der Beschwerdeführer 1 verkennt, dass seine Kinder lediglich im Besitz von Aufenthaltsbewilligungen sind, die von seiner eigenen Anwesenheitsberechtigung abhängen; die Kinder verfügen hier über kein gefestigtes Anwesenheitsrecht, welches ihm erlauben würde, sich in vertretbarer Weise auf einen "umgekehrten Familiennachzug" zu berufen, d.h. auf einen Verbleib im Land dank der Beziehungen zu hier (gefestigt) anwesenheitsberechtigten Kindern (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 969; <ref-ruling> E. 6.1 S. 12).
1.3.2. Die Beschwerdeführer machen in erster Linie eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör geltend (Art. 29 Abs. 2 BV). Dies ist im Rahmen der "Star"-Praxis selbst in jenen Fällen möglich, in denen kein Bewilligungsanspruch besteht: Danach kann losgelöst von der fehlenden Legitimation in der Sache selber (Bewilligungsanspruch) die Verletzung von Verfahrensrechten gerügt werden, deren Missachtung einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommt. Zulässig sind dabei Rügen formeller Natur, die von der Prüfung der Sache getrennt behandelt werden können (<ref-ruling> E. 3c S. 313; <ref-ruling> E. 6.2 S.198 und <ref-ruling> E. 2 S. 308; <ref-ruling> E.1.1 S. 5); dies ist mit der teilweisen Rückweisung zu ergänzenden Abklärungen des Sachverhalts bezüglich der Kinder der Fall.
1.4. Da der angefochtene Entscheid im Hinblick auf den Aufenthalt des Vaters einen Endentscheid bildet und alle übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten (Art. 42, Art. 82 lit. a i.V.m. Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 89 Abs. 1; Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG).
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an; es prüft - unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht (Art. 90 AIG und Art. 42 bzw. Art. 106 BGG) - jedoch nur die vorgebrachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu ins Auge springen; solche sind im vorliegenden Fall nicht ersichtlich. Das Bundesgericht ist im Übrigen an den Sachverhalt gebunden, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 175), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig bzw. widersprüchlich erhoben, was von der beschwerdeführenden Person in Auseinandersetzung mit den Ausführungen im angefochtenen Entscheid verfassungsbezogen aufzuzeigen ist (Art. 105 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.). Die Beweiswürdigung bildet eine Tatfrage; ihre Beanstandung unterliegt einer qualifizierten Rüge- und Begründungspflicht (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 52 f.).
2.2.
2.2.1. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen im bundesgerichtlichen Verfahren nur insoweit vorgebracht werden, als der angefochtene Entscheid hierzu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Echte Noven, d.h. Tatsachen, die sich erst nach dem angefochtenen Urteil realisiert haben, bleiben vor Bundesgericht unberücksichtigt (vgl. <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123; <ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.; je mit Hinweisen). Nur weil die Vorinstanz nicht der rechtlichen Beurteilung der Beschwerdeführer gefolgt ist, gibt der angefochtene Entscheid noch keinen Anlass, neue Beweismittel zuzulassen. Dazu müsste das kantonale Gericht materielles Recht derart angewendet haben, dass bestimmte Sachumstände neu und erstmals - durch den angefochtenen Entscheid - rechtserheblich würden (vgl. die Urteile 2C_323/2018 vom 21. September 2018 E. 1.4; 2C_50/2017 vom 22. August 2018 E. 3 und 2C_1071/2014 vom 28. Mai 2015 E. 1.4 mit Hinweisen). Im ganzen kantonalen Verfahren ging es im vorliegenden Fall immer um die gleiche Interessenabwägung aufgrund derselben Sachumstände, weshalb die Noven im vorliegenden Verfahren nicht zu beachten sind.
2.2.2. Folgende ergänzende Unterlagen der Beschwerdeführer sind deshalb aus dem Recht zu weisen: Die Fotodokumentation der Familientreffen und der Ausflüge 2017/2018, das Schreiben der Pflegemutter der Beschwerdeführer 2 und 3 vom 16. Juni 2018, die persönlichen Schreiben der Beschwerdeführenden 2 und 3 vom Juni 2018, der eingereichte Chatverlauf zwischen dem Beschwerdeführer 1 und der Beschwerdeführerin 2 zwischen April und Juni 2018 bzw. der Chatverlauf zwischen dem Beschwerdeführer 1 und dem Beschwerdeführer 3 in der Zeit vom Dezember 2017 bis Juni 2018 sowie die Mobiltelefonrechnungen vom Juni und April 2018. Die Beschwerdeführer hätten die entsprechenden Unterlagen rechtzeitig in das kantonale Verfahren einbringen müssen; sie können sie nicht erstmals vor Bundesgericht zu den Akten geben, um einen neuen, von den Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt überprüfen zu lassen (vgl. Art. 105 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 4.4.3 S. 128 f.). Auch der nachträglich eingereichte Bericht der Bildungsdirektion des Kantons Zürich vom 13. Juli 2018 bildet ein (echtes) Novum und ist im vorliegenden Verfahren nicht zu berücksichtigen.
3.
3.1. Die Beschwerdeführer machen geltend, ihr Anspruch auf rechtliches Gehör werde verletzt, wenn der Beschwerdeführer 1 bereits in den Libanon zurückkehren müsse, während der Sachverhalt - insbesondere bezüglich seines Verhältnisses zu den Kindern - erst noch abgeklärt werde. Nachdem das Verwaltungsgericht im Hinblick auf die Kinder weitere Untersuchungshandlungen angeordnet habe, dürfe für den Beschwerdeführer 1 nicht auf die überholten Verhältnisse abgestellt werden, wie das Migrationsamt, die Rekursabteilung der Sicherheitsdirektion und das Verwaltungsgericht dies getan hätten. Grundlage der Beurteilung bildeten die nach dem Rückweisungsentscheid des Verwaltungsgerichts erst noch zu erhebenden Elemente. Die Vorinstanz habe die gelebten Beziehungen zwischen den Beschwerdeführern in willkürlicher Weise unvollständig festgestellt, der Natur der familiären Beziehungen nicht mehr aktuelle Elemente zugrunde gelegt und das Vater-Kind-Verhältnis willkürlich falsch eingeschätzt.
3.2.
3.2.1. Der durch Art. 29 Abs. 2 BV gewährleistete Grundsatz des rechtlichen Gehörs garantiert den betroffenen Personen ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht im Verfahren. Sie sollen sich vor Erlass des Entscheids zur Sache äussern, erhebliche Beweise beibringen, an der Erhebung von Beweisen mitwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis äussern können. Die Behörde ist grundsätzlich verpflichtet, die ihr angebotenen Beweismittel abzunehmen, wenn sie zur Abklärung des Sachverhalts tauglich erscheinen. Sie hat die Vorbringen der Parteien tatsächlich zu hören, zu prüfen und in der Entscheidfindung zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 2.3 S. 222; <ref-ruling> E. 3.2 S. 270 f.).
3.2.2. Die Vorinstanz hat in ihrem Entscheid festgehalten, dass bei einer allfälligen Ausschaffung der Beschwerdeführer 2 und 3 in eine ihnen unbekannte Lebenssituation sorgfältig geprüft werden müsse, ob dies mit dem Kindeswohl vereinbar erscheine. Verschiedene Indizien (Zeichnungen und Schreiben der Beschwerdeführer 2 und 3; Stellungnahme des Beistands der Kinder; Bericht des Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienstes Dietikon vom 10. November 2016 usw.) wiesen darauf hin, dass vorliegend das Kindeswohl gefährdet sein könnte. Das Verwaltungsgericht zieht in diesem Zusammenhang in Erwägung, dass das Wohl der Kinder es allenfalls gebietet, dass B.A._ und C.A._, die bis zum Nachzug im Libanon bei ihrer Mutter gelebt haben, in der Schweiz gestützt auf eine Härtefallbewilligung fremdplatziert werden müssten. Die Kinder seien nie zur Sache und insbesondere nicht zu ihren Beziehungen zu den Eltern und anderen Verwandten befragt worden. Anhand der Akten könne nicht abgeschätzt werden, was für Umstände sie bei einer Rückkehr in den Libanon antreffen würden (allgemeine sowie familiäre Situation) und ob ihnen in diesem Zusammenhang schwere gesundheitliche Schäden drohten. Der Sachverhalt erweise sich somit bezüglich der Beschwerdeführer 2 und 3 als unzureichend erstellt. Die Sache werde deshalb zu ergänzender Untersuchung und zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
3.2.3. Die Vorinstanz - so das Verwaltungsgericht in seiner Begründung - werde konkret abzuklären haben, ob das Kindeswohl im Falle einer Rückkehr ins Heimatland konkret gefährdet erscheine. Es umschrieb den Umfang der vorzunehmenden Abklärungen hierzu wie folgt (E. 6.3) :
"Entscheidend ist dabei auch, ob die Erziehungsfähigkeit und das Verantwortungsbewusstsein beim Beschwerdeführer 1 oder anderen Verwandten vorhanden ist (vgl. <ref-ruling> E. 6). Dazu hat sie den Beschwerdeführer 1 sowie die Beschwerdeführenden 2 und 3 und deren Beistand zur Sache anzuhören und allenfalls eine aktuelle psychologische Beurteilung der Beschwerdeführerin 2 einzuholen. Überdies hat sie weitere geeignete Abklärungen betreffend der allgemeinen und familiären Situation im Libanon vorzunehmen.
Nach Ergänzung der Untersuchung wird die Vorinstanz erneut über die Verhältnismässigkeit der Wegweisung der Beschwerdeführenden 2 und 3 zu befinden haben und ihnen allenfalls im Rahmen von Art. 30 Abs. 1 lit. b oder c AuG die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern haben. Die Beschwerde ist damit im Sinn der Erwägungen teilweise gutzuheissen."
3.2.4. Hinsichtlich des Beschwerdeführers 1 nahm die Vorinstanz an, dass dessen Wegweisung keine wesentliche Änderung bezüglich des persönlichen Verkehrs mit den Kindern nach sich ziehe. Sie hielt fest (E. 6.4) :
"Der Beschwerdeführer 1 unterhält weder in wirtschaftlicher noch in affektiver Hinsicht eine enge Beziehung zu ihnen. Wie den Akten zu entnehmen ist, zeigt er wenig Interesse an seinen Kindern und besucht sie kaum. Konkrete Anzeichen, dass sich dies ändern könnte, sind nicht ersichtlich und werden auch vom Beschwerdeführer 1 nicht vorgebracht. Die Kinder müssten somit nicht auf etwas verzichten, was sich bisher bewährt hat. Die Wegweisung des Beschwerdeführers 1 würde das Kindeswohl nicht schwerwiegend gefährden, verletzt daher weder Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 Abs. 1 BV noch Art. 3 KRK, aus dem sich vorliegend ohnehin keine über Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 Abs. 1 BV hinausgehenden Ansprüche ergeben [...]. Damit ist zunächst festzuhalten, dass sich die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers 1 als verhältnismässig erweist und zu bestätigen ist."
3.3.
3.3.1. Die Beschwerdeführer machen zutreffend geltend, dass der angefochtene Entscheid hinsichtlich der Rolle des Beschwerdeführers 1 bei den weiteren vom Verwaltungsgericht angeordneten Abklärungen nicht klar umschrieben ist: Einerseits beauftragt das Verwaltungsgericht seine Vorinstanz, die Verhältnisse der Kinder in der Schweiz und im Libanon detailliert und umfassend abzuklären, wozu der Beschwerdeführer 1 anzuhören sei, andererseits bestätigt sie indessen gleichzeitig den Vollzug von dessen Wegweisung.
3.3.2. Muss der Beschwerdeführer 1 nach den Vorgaben des Verwaltungsgerichts angehört und ihm das rechtliche Gehör gewährt werden, ist nicht ersichtlich, wie dies zielführend erreicht werden kann, wenn er sich im Libanon aufhält. Zu den dortigen allgemeinen und familiären Verhältnissen kann in erster Linie der Beschwerdeführer 1 weitere sachdienliche Auskünfte geben; indessen setzt dies für eine zweckmässige Verfahrensinstruktion voraus, dass er sich für die Dauer der entsprechenden Abklärungen (noch) in der Schweiz aufhalten darf.
3.3.3. Der Beschwerdeführer 1 verfügt nach wie vor über das elterliche Sorgerecht; die Fremdplatzierung der Kinder erfolgte mit seinem Einverständnis; er war es auch, der die Kinder ursprünglich in die Schweiz nachgezogen hatte. Sollte eine aktuelle psychologische Beurteilung eines der Kinder erfolgen und weitere Berichte seitens des Beistands oder der Pflegeeltern erstellt werden, ist dem Beschwerdeführer 1 wiederum Gelegenheit zu geben, sich hierzu äussern und weitere Beweisanträge stellen zu können. Es handelt sich dabei um einen Eingriff in sein Sorgerecht über die Kinder, wozu er sich im Beweisverfahren muss äussern können.
3.3.4. Verfahrensrechtlich ist für die vertieften, vom Verwaltungsgericht angeordneten Abklärungen bezüglich des weiteren Aufenthalts der Kinder die Anwesenheit des Beschwerdeführers 1 in der Schweiz erforderlich. Er kann seine verfassungsmässigen Verfahrensrechte (Art. 29 BV) im Hinblick auf die von der Vorinstanz ausgemachten Abklärungsbedürfnisse nur sinnvoll wahrnehmen, wenn er zur - ausnahmsweise wohl mündlich vorzunehmenden - Anhörung während der Verfahrensdauer in der Schweiz verbleiben kann. Es geht dabei auch darum, dass die ausländerrechtlichen Behörden sich von ihm ein Bild machen können, was nicht allein über den Rechtsvertreter möglich ist. Die Anhörung des Beschwerdeführers 1 hat das Verwaltungsgericht selber angeordnet. Der Aufenthaltsanspruch ergibt sich für diesen, in der spezifischen Situation des vorliegenden Falles, aus Art. 29 BV und dem Recht, sich wirksam in das Beweisverfahren einbringen zu können. Dies ist vom Libanon aus nicht möglich, selbst wenn er anwaltlich vertreten ist.
3.4.
Zwar kann der Beschwerdeführer materiell unter dem Aspekt von Art. 8 EMRK aus den nicht gefestigten Aufenthaltsrechten der beiden Kinder nichts zu seinen Gunsten ableiten (vgl. vorstehende E. 1.3.1), doch ergibt sich für ihn ein Anspruch auf Verbleib bis zum Abschluss des Verfahrens auch aus den verfahrensrechtlichen Garantien von Art. 8 EMRK:
3.4.1. Das Recht auf Schutz des Familien- und Privatlebens gilt in verfahrensrechtlicher Hinsicht als verletzt, wenn keine umfassende, faire Interessenabwägung erfolgt (vgl. das EGMR-Urteil vom 8. November 2016 El Ghatet gegen Schweiz [Nr. 56971/10 §§ 42 und 47). Dazu ist die Anhörung des Vaters als sorgeberechtigter Elternteil - im vorliegenden Fall aufgrund der Rückweisung zu weiteren Abklärungen der Situation seiner beiden Kinder - erforderlich, wenn das Verwaltungsgericht etwa eine psychologische Begutachtung der Beschwerdeführerin 2 als weitere vorzunehmende Massnahme in Erwägung zieht; damit wird in das nach wie vor bestehende Sorgerecht des Vaters eingegriffen, wobei er sich vom Libanon aus, hiergegen kaum wirksam würde wehren können.
3.4.2. Für ein verfahrensrechtliches Anwesenheitsrecht in der vorliegend zu beurteilenden Situation spricht auch der Entscheid des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte in Sachen Polidario gegen die Schweiz vom 30. Juli 2013 (Nr. 33169/10) : Danach muss dem allein sorgeberechtigten Beschwerdeführer ermöglicht werden, während des ausländerrechtlichen bzw. eines kindesschutzrechtlichen Verfahrens den Kontakt mit seinen fremdplatzierten Kindern aufrecht erhalten zu können. Muss der Beschwerdeführer bereits vor Abschluss der die Kinder betreffenden Verfahren in die Heimat zurückkehren, kann er - obwohl sorgeberechtigt - seine Kinder nicht mehr besuchen, was - wie der Entscheid Polidario zu Recht feststellt - bereits vor dem Entscheid in der Sache zu einer Entfremdung der Kinder vom sorge- und obhutsberechtigten Elternteil führt (vgl. Ziff. 63 ff. des entsprechenden Entscheids: "Elle [la Cour] rappelle aussi que les obligations positives ne se limitent pas à veiller à ce que l'enfant puisse rejoindre son parent ou avoir un contact avec lui, mais qu'elles englobent également l'ensemble des mesures préparatoires permettant de parvenir à ce résultat"). Es muss vorliegend dem allein sorgeberechtigten Beschwerdeführer ermöglicht werden, für die Dauer der weiteren Abklärungen den Kontakt mit den Beschwerdeführern 2 und 3 aufrecht erhalten und pflegen zu können, nachdem keine Gefahr von ihm für die Kinder ausgeht.
4.
4.1. Das Verwaltungsgericht nimmt bezüglich der Situation der Kinder an, dass (unter Beibezug des Beschwerdeführers 1) aktuelle Abklärungen erforderlich seien, gleichzeitig stellt sie für den negativen Bewilligungs- und Wegweisungsentscheid bezüglich des Beschwerdeführers 1 auf Erklärungen und Berichte vom 5. Oktober 2017 sowie vom 10. November 2016 ab. Es geht damit entgegen dem Entscheid der Sicherheitsdirektion, deren Begründung als sachverhaltliche Einheit nachvollziehbar ist und im Ergebnis wohl kein Bundesrecht verletzt haben dürfte, von unterschiedlichen sachverhaltlichen Vorgaben für den Vater und die Kinder aus (zu aktualisierender Sachverhalt für die Kinder/bisheriger allenfalls überholter Sachverhalt für die Wegweisung des sorgeberechtigten Beschwerdeführers 1). Trotz des Rückweisungsentscheids des Verwaltungsgerichts oder gerade wegen diesem bedarf die Interessenabwägung im Rahmen von Art. 8 Ziff. 2 EMRK für die Anwesenheit der Kinder und des Vaters während des Verfahrens einer gesamtheitlichen Betrachtungsweise (vgl. <ref-ruling> E. 3.5 u. 4 S. 47 ff.).
4.2. Dem Beschwerdeführer 1 wird der weitere Aufenthalt auch gestützt auf die von der Familie bezogenen Sozialhilfegelder verweigert. Er arbeitet indessen seit Oktober 2017 als Smartphone-Techniker und -Verkäufer mit einem Bruttolohn von Fr. 3'700.-- auf dem ersten Arbeitsmarkt; er kann somit für sich selber aufkommen; die weiter erforderlichen Sozialhilfeleistungen stehen im Zusammenhang mit der Fremdbetreuung der Kinder; sie werden während der Abklärungen so oder anders anfallen. Durch den Verbleib des Beschwerdeführers bis zur definitiven Abklärung des Sachverhalts, wie die Vorinstanz dies verlangt, und dem definitiven Entscheid über den Verbleib der Kinder entstehen für die öffentliche Hand - gestützt auf den Sachverhalt zum Zeitpunkt des vorinstanzlichen Entscheids - keine wesentlichen zusätzlichen Kosten gegenüber der Situation, bei welcher der Beschwerdeführer die Schweiz bereits während des Verfahrens ohne seine Kinder zu verlassen hätte.
5.
5.1. Die Beschwerde ist demnach gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben, soweit darin die Nichtverlängerung der Bewilligung sowie die Wegweisung des Beschwerdeführers 1 geschützt wird. Es ist an der zuständigen kantonalen Behörde, dem Migrationsamt des Kantons Zürich (vgl. Art. 107 Abs. 2 BGG), den Sachverhalt nach den Vorgaben des Verwaltungsgerichts unter Einbezug der Beschwerdeführer und unter Beachtung von deren Anspruch auf rechtliches Gehör umfassend festzustellen. Der Aufenthalt des Beschwerdeführers 1 ist zum Zweck der Vornahme der gemäss der Vorinstanz angeordneten Abklärungen und der Wahrnehmung seiner Verfahrensrechte zu gestatten, soweit die Ermittlungen inzwischen nicht bereits abgeschlossen sein sollten. Es ist in der Folge an den kantonalen Behörden nach Vervollständigung des Sachverhalts im Sinne des Rückweisungsentscheids des Verwaltungsgerichts neu in der Sache zu entscheiden.
5.2. Es erübrigt sich unter diesen Umständen, die weiteren Rügen der Beschwerdeführer zu prüfen: Ist der Sachverhalt neu zu ermitteln, braucht nicht weiter beurteilt zu werden, ob und wieweit die Vorinstanz diesen offensichtlich falsch festgestellt hat, wie die Beschwerdeführer ergänzend rügen; dies gilt um so mehr, als es sich bei den von ihnen eingereichten Unterlagen um im bundesgerichtlichen Verfahren unzulässige Noven handelt (vgl. vorstehende E. 2.2).
5.3. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Der Kanton Zürich hat die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 BGG). Der Rechtsvertreter der Beschwerdeführer hat eine Kostennote über Fr. 3'062.75 eingereicht. Es rechtfertigt sich, ihm eine Entschädigung zulasten des Kantons Zürich von Fr. 3'000.-- zuzusprechen. Die Vorinstanz ihrerseits wird über die kantonale Kosten- und Entschädigungsregelung neu zu befinden haben. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird durch die Gutheissung der Beschwerde gegenstandslos (Art. 64 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 9. Mai 2018 im Sinne der Erwägungen aufgehoben und zur umfassenden Ergänzung des Sachverhalts an das Amt für Migration des Kantons Zürich zurückgewiesen.
2.
2.1. Es werden keine Kosten erhoben.
2.2. Der Kanton Zürich hat die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
2.3. Die Vorinstanz hat über die Kosten- und Entschädigungsregelung in den kantonalen Verfahren neu zu befinden.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Mai 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar