Sachverhalt:
A.
A.a. B.A._ (geb. 1993) und A.A._ (geb. 1992; Beschwerdeführer) heirateten am 24. April 2012. Sie sind die Eltern der Tochter C.A._ (geb. 2013). Die Ehe wurde am 3. Dezember 2015 geschieden. Mit gerichtlich genehmigter Scheidungsvereinbarung verpflichtete sich A.A._ zur Zahlung von monatlichem Kindesunterhalt von Fr. 980.-- zzgl. Kinderzulagen. Dies auf Grundlage eines Einkommens von Fr. 3'720.-- im Monat, bestehend aus Taggeldleistungen der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA).
A.b. Auf den 29. Februar 2016 stellte die SUVA die Taggeldleistungen ein, weshalb die Scheidungsvereinbarung angepasst werden musste. Mit gerichtlich genehmigter Vereinbarung vom 24. August 2016 sistierten die früheren Ehegatten die von A.A._ geschuldeten Kindesunterhaltsbeiträge zwischen August 2016 und August 2017. Für die Zeit danach legten sie den monatlich zu bezahlenden Kindesunterhaltsbeitrag auf Fr. 750.-- zzgl. Kinderzulagen fest. Dabei rechneten sie A.A._ ab September 2017 ein hypothetisches Einkommen von Fr. 3'720.-- im Monat an. In der Folge gelang es A.A._ nicht, eine neue Anstellung zu finden.
A.c. Am 29. August 2017 klagte A.A._ vor dem Regionalgericht Bern-Mittelland auf Abänderung der Vereinbarung vom 24. August 2016 und beantragte, die Unterhaltsbeiträge für die Tochter seien zu sistieren, bis er ein regelmässiges, sein Existenzminimum übersteigendes Einkommen erzielen könne, mindestens aber bis zum 31. Januar 2019. Die Abänderung sei für die Dauer des Verfahrens vorsorglich zu verfügen.
Mit Entscheid vom 24. Januar 2018, berichtigt am 25. Januar 2018, sistierte das Regionalgericht die Kindesunterhaltsbeiträge vorsorglich ab September 2017 bis A.A._ ein Nettoeinkommen von monatlich Fr. 3'220.-- erzielen kann, längstens aber bis Ende Januar 2019 bzw. bis zum Vorliegen eines Entscheids in der Sache.
B.
Hiergegen reichte B.A._ Berufung beim Obergericht des Kantons Bern ein und beantragte die Aufhebung des angefochtenen Entscheids sowie die Erteilung des Rechts auf unentgeltliche Rechtspflege. Auch A.A._ ersuchte um unentgeltliche Rechtspflege.
Mit Entscheid vom 15. Juni 2018 (eröffnet am 21. Juni 2018) hiess das Obergericht die Berufung unter Aufhebung des Entscheids des Regionalgerichts gut (Dispositivziffer 1) und wies das Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen ab (Dispositivziffer 2). Das Gesuch von A.A._ um unentgeltliche Rechtspflege im Berufungsverfahren wies es ebenfalls ab (Dispositivziffer 4), dasjenige von B.A._ hiess es gut (Dispositivziffer 3). Für das Verfahren betreffend unentgeltliche Rechtspflege erhob es keine Kosten (Dispositivziffer 7).
C.
Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 23. Juli 2018 (Postaufgabe) ist A.A._ an das Bundesgericht gelangt. Er beantragt, der Entscheid des Obergerichts sei "hinsichtlich der Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege" aufzuheben und es sei ihm "für das obergerichtliche Berufungsverfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu erteilen unter Beiordnung [seiner] Rechtsvertreterin als unentgeltliche Rechtsbeiständin". Ausserdem ersucht A.A._ auch für das Verfahren vor Bundesgericht um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Obergericht hat am 28. N ovember 2018 auf eine Vernehmlassung verzichtet, worüber A.A._ informiert wurde. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Streitbetroffen ist das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege im Berufungsverfahren. Das Obergericht sah das in diesem Verfahren gestellte Begehren des Beschwerdeführers um Bestätigung der vorsorglichen Sistierung seiner Unterhaltspflicht durch die Erstinstanz als aussichtslos an. Der Beschwerdeführer begründe sein Gesuch nicht mit der Veränderung der tatsächlichen Verhältnisse seit Abschluss der Unterhaltsvereinbarung, wie dies notwendig wäre. Vielmehr berufe er sich lediglich darauf, dass er nicht in der Lage sei, das ihm damals angerechnete hypothetische Einkommen zu erzielen. Der Nichteintritt einer Prognose vermöge die beantragte Abänderung aber nicht zu begründen. Dem Ansinnen des Beschwerdeführers habe daher von Anfang an kein Erfolg beschieden sein können. Zudem sei die aussergerichtliche Erledigung des Rechtsstreites von der Sache her nicht ausgeschlossen, weshalb der Beschwerdeführer vor der oberen Instanz nicht einlassungspflichtig gewesen sei.
1.2. Nach Ansicht des Beschwerdeführers verletzt der angefochtene Entscheid <ref-law>. Die Position der unentgeltlich prozessierenden Partei könne kaum als aussichtlos bezeichnet werden, wenn sie - wie in seinem Fall - in erster Instanz geschützt worden sei. Ein offensichtlicher Mangel des erstinstanzlichen Urteils, der eine abweichende Beurteilung zulassen würde, sei sodann weder ersichtlich noch vor Obergericht geltend gemacht. Weiter habe der Beschwerdeführer belegen können, dass es ihm nicht möglich und damit nicht zumutbar sei, ein hypothetisches Einkommen in der Höhe zu erzielen, wie sie in der Unterhaltsvereinbarung angenommen worden war. Ihm drohe ein Eingriff in das Existenzminimum, was keinesfalls zu rechtfertigen sei, da ihn kein Verschulden treffe. Das Obergericht stütze sich in seiner Würdigung des Abänderungsgrundes allein auf einen Entscheid des Kantonsgerichts Basel-Landschaft. Abgesehen davon, dass dieser nicht einschlägig sei, könne die Aussichtslosigkeit nicht allein mit dem Hinweis auf einen ausserkantonalen Entscheid begründet werden. Fehl ginge auch der Hinweis des Obergerichts auf die (fehlende) Einlassungspflicht. Zwar könne keine Aussichtslosigkeit angenommen werden, wenn eine solche Pflicht bestehe. Umgekehrt bedeute dies aber nicht, dass fehlende Einlassungspflicht als Argument für die Bejahung der Aussichtslosigkeit dienen könne. Zudem könne vom Beschwerdeführer nicht verlangt werden, sein Begehren zurückzuziehen, nachdem die erste Instanz vollumfänglich in seinem Sinne entschieden habe. Ohnehin seien die Versuche einer einvernehmlichen Einigung vor der ersten Instanz nachweislich gescheitert und sei es mit Blick auf die Offizialmaxime fraglich, ob eine aussergerichtliche Einigung zulässig wäre.
2.
2.1. Die Vorinstanz beurteilte das strittige Gesuch nach Massgabe der im Berufungsverfahren anwendbaren ZPO. Die Bestimmungen dieses Gesetzes zur unentgeltlichen Rechtspflege (<ref-law>) stimmen mit der vom Beschwerdeführer angerufenen Minimalgarantie von <ref-law> überein (<ref-ruling> E. 4.1). Die Beschwerde ist daher ausschliesslich unter dem Gesichtswinkel der Verfassungsbestimmung zu beurteilen. Folglich prüft das Bundesgericht, eine hinreichend begründete Rüge vorausgesetzt (<ref-law>), auch unter Berücksichtigung des hier anwendbaren <ref-law> (vgl. Urteil 5A_339/2017 vom 8. August 2017 E. 1.2 mit Hinweisen) frei, ob der Anspruch auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege missachtet worden ist. Nur beschränkt, namentlich auf Willkür hin, prüft das Bundesgericht dagegen, ob die kantonale Instanz den Sachverhalt korrekt festgestellt hat (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 2.1).
2.2. Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Als aussichtslos sind Begehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten, wobei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgebend sind (<ref-ruling> E. 5.1 mit Hinweisen).
Die Anspruchsvoraussetzung der Nichtaussichtslosigkeit ist grundsätzlich unabhängig von der Parteirolle zu prüfen. Sofern das Verfahren nicht eine besondere Rücksichtnahme auf die Parteirolle verlangt, beurteilt sich im Grundsatz die Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren der beklagten Partei nicht anders als für die klägerische Partei; auch von Ersterer kann erwartet werden, dass sie offensichtlich berechtigte Ansprüche anerkennt und nicht sinnlos prozessiert (<ref-ruling> E. 5.2; <ref-ruling> E. 2.3). Im Rechtsmittelverfahren präsentiert sich die Situation freilich anders: Hier kann die Rechtsposition der rechtsmittelbeklagten Partei kaum als aussichtslos bezeichnet werden, wenn sie in erster Instanz vom Gericht geschützt worden ist; Regel ist daher die Nichtaussichtslosigkeit der Begehren. Von diesem Grundsatz rechtfertigt es sich jedoch abzuweichen, wenn der angefochtene Entscheid an einem offensichtlichen Mangel, namentlich an einem krassen Verfahrensfehler leidet, der für sich allein zur Aufhebung des Entscheids führen muss. Hier darf von der rechtsmittelbeklagten Partei erwartet werden, dass sie sich dem Rechtsmittel der Gegenpartei unterzieht und nicht unnötige Kosten verursacht (BGE <ref-ruling> E. 2.3; Urteil 9C_902/2014 vom 9. Juli 2015 E. 3.3; vgl. auch Urteile 5A_128/2016 vom 22. August 2016 E. 6.1; 5A_665/2015 vom 21. April 2016 E. 3.2).
2.3. Wie der Beschwerdeführer richtig geltend macht, hat das Bezirksgericht seinem Antrag im Massnahmeverfahren weitgehend entsprochen und die Kindesunterhaltsbeiträge bis Verfahrensabschluss oder längstens bis Ende Januar 2019 sistiert. Es war die Kindsmutter, die den Streit um die vorsorgliche Einstellung der Unterhaltspflicht vor das Obergericht trug. Im Berufungsverfahren kam dem Beschwerdeführer die Rolle des Beklagten zu (vorne Bst. A.c und B). Gemessen an der bundesgerichtlichen Rechtsprechung, der das Obergericht keinerlei Beachtung schenkt, wären die Begehren des Beschwerdeführers in dieser Situation nur dann aussichtslos, wenn der Entscheid des Bezirksgerichts an einem offensichtlichen Mangel, etwa an einem krassen Verfahrensfehler, leiden würde. Dass dies der Fall wäre, ergibt sich aus dem angefochtenen Entscheid nicht:
Das Obergericht hat den Entscheid der Erstinstanz korrigiert, weil der Beschwerdeführer seiner Ansicht nach keinen Abänderungsgrund geltend machte, indem er sich darauf berief, er habe seit Abschluss der Unterhaltsvereinbarung keine Stelle finden können. Diese Rechtsauffassung des Obergerichts erscheint mehr als fraglich. Nach der Rechtsprechung liegt darin, dass sich die tatsächlichen Feststellungen, die der Festsetzung eines Unterhaltsbeitrags zugrunde gelegt wurden, nicht wie vorgesehen verwirklichen, ein Abänderungsgrund (<ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweisen). Entsprechend kann eine Partei, der ein hypothetisches Einkommen angerechnet wurde, die Anpassung der gestützt auf dieses begründeten Unterhaltspflicht erwirken, wenn sie keine wie angenommen entlöhnte Stelle findet. Vorausgesetzt ist, dass sie ernsthafte Suchbemühungen nachweist und anhand der gewonnenen Erfahrungswerte darlegt, dass und weshalb sich die früheren Erwartungen nicht verwirklichen lassen. Die Nichtverwirklichung einer erwarteten Änderung der Verhältnisse ist einer erheblichen und dauernden Veränderung der Verhältnisse gleichgestellt (Urteile 5A_928/2016 vom 22. Juni 2017 E. 3.3; 5A_129/2015 vom 22. Juni 2016 E. 5.4.2, in: FamPra.ch 2016 S. 990; vgl. auch Urteil 5A_96/2016 vom 18. November 2015 E. 3.1). Zwar erging diese Rechtsprechung zum nachehelichen bzw. ehelichen Unterhalt. Diese Grundsätze gelten rechtsprechungsgemäss aber für alle Matrimonialsachen (so bereits <ref-ruling> E. 4a). Nicht evident ist sodann, dass vorliegend darum etwas anderes gelten würde, weil die Unterhaltspflicht in einer (gerichtlich genehmigten) Vereinbarung gründet. Indem das Bezirksgericht die vorsorgliche Abänderung der Unterhaltsvereinbarung gestützt auf die Argumentation des Beschwerdeführers zuliess, hat es daher jedenfalls nicht offensichtlich falsch entschieden.
Nicht ersichtlich ist weiter, weshalb es dem Beschwerdeführer zum Nachteil gereichen sollte, dass er sich den Begehren der Kindsmutter vor Obergericht nicht unterzogen hat. Wie er zutreffend geltend macht, bestand hierzu mit Blick auf die Rechtslage kein Anlass, zumal er im Verfahren vor Bezirksgericht weitgehend obsiegt hatte. Damit spielt keine Rolle, ob frühere Einigungsversuche gescheitert sind und ob die Parteien des Abänderungsverfahrens sich überhaupt aussergerichtlich einigen können.
2.4. Zusammenfassend hat das Obergericht <ref-law> verletzt, indem es das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege im Berufungsverfahren zufolge Aussichtslosigkeit abwies.
3.
3.1. Die Beschwerde erweist sich damit als begründet und ist in Aufhebung von Ziffer 4 des angefochtenen Entscheids gutzuheissen. Der Beschwerdeführer beantragt vor Bundesgericht, es sei ihm das Recht auf unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren zu erteilen. Indessen hat das Obergericht sich nicht zu den weiteren Anspruchsvoraussetzungen geäussert. Es ist nicht Sache des Bundesgerichts, unter Vervollständigung des Sachverhalts als erste und einzige Instanz über diese zu urteilen. Die Sache ist daher zum erneuten Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege an das Obergericht zurückzuweisen (<ref-law>). Die Rückweisung kann auch ohne Parteiantrag von Amtes wegen angeordnet werden (Urteil 5A_577/2016 vom 13. Februar 2017 E. 3.4 mit Hinweisen).
3.2. Die Rückweisung zum erneuten Entscheid gilt, selbst wenn der Ausgang des Verfahrens offen ist, im Hinblick auf die Gerichtskosten und die Parteientschädigung als vollständiges Obsiegen des Beschwerdeführers. Unerheblich bleibt, dass er die Rückweisung nicht beantragt hat (<ref-ruling> E. 11.1). Dementsprechend sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG) und hat der Kanton Bern dem Beschwerdeführer die Parteikosten zu ersetzen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG), wobei die Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers praxisgemäss direkt zu entschädigen ist. Das Gesuch der Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird gegenstandslos und ist abzuschreiben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, Ziffer 4 des Entscheids des Obergerichts des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, vom 15. Juni 2018 wird aufgehoben und die Sache wird zum erneuten Entscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im Berufungsverfahren an das Obergericht zurückgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Der Kanton Bern hat der Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers, Rechtsanwältin Stefanie Augsburger für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Regionalgericht Bern-Mittelland schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Dezember 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber