Faits :
A.
A.a. A._, né en 1966, a travaillé à temps plein en tant qu'ouvrier de construction pour B._ SA entre le 9 janvier 2017 et son licenciement intervenu en octobre 2017. Il était à ce titre assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). Le 24 août 2017, il a glissé et est tombé dans un petit trou sur le chantier d'une patinoire, ce qui lui a occasionné une contusion des deux talons et des douleurs aux deux chevilles. La CNA, qui a pris en charge le cas, a notamment versé une indemnité journalière dont le montant a été fixé à 130 fr. 20.
Par décision du 15 juin 2018, la CNA a mis un terme au paiement des soins médicaux et de l'indemnité journalière avec effet au 30 juin 2018, au motif que l'assuré n'avait plus besoin de traitement médical spécifique. Par décision du 9 juillet 2018, elle a refusé de lui octroyer une rente d'invalidité ainsi qu'une indemnité pour atteinte à l'intégrité.
A.b. La caisse de chômage a ouvert un délai-cadre d'indemnisation pour l'assuré à compter du 2 juillet 2018. Au bénéfice de certificats médicaux attestant d'une incapacité totale de travail pour cause de maladie du 1 er octobre au 31 décembre 2018, l'assuré a perçu des prestations de l'assurance perte de gain maladie pour les bénéficiaires d'indemnités de chômage entre le 31 octobre 2018 et le 25 juin 2019, son droit aux prestations s'étant épuisé à cette date selon une décision du Service de l'emploi (SDE) du 3 juillet 2019. L'indemnité journalière perçue par l'assuré dans ce cadre s'élevait à 171 fr. 45.
A.c. En raison de douleurs aux pieds, l'assuré a subi des infiltrations plantaires. En l'absence d'amélioration, des imageries par résonance magnétique (IRM) ont été pratiquées en février 2019. Dans un rapport du 1 er avril 2019 adressé à la CNA le 4 avril 2019, le docteur C._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, a diagnostiqué une tendinopathie insertionnelle du tendon d'Achille droit qui nécessitait un traitement chirurgical par endoscopie.

Le 28 avril 2019, l'assuré a requis de la CNA qu'elle reconsidère sa décision du 15 juin 2018, au motif qu'il se trouvait toujours en incapacité de travail et qu'il devait être opéré. La CNA a accepté de lui allouer des prestations au titre d'une rechute de son accident du 24 août 2017. Le 27 juin 2019, l'intéressé a subi l'intervention chirurgicale prévue, ensuite de quoi il s'est trouvé en incapacité de travail jusqu'au 29 mai 2020.
A.d. Par décision du 16 décembre 2019, confirmée sur opposition le 13 février 2020, la CNA a fixé le montant de l'indemnité journalière - versée à compter de la rechute fixée au 27 juin 2019 - à 32 fr. 50.
B.
Saisie d'un recours contre la décision sur opposition, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud l'a admis par arrêt du 4 janvier 2021, annulant cette décision et renvoyant la cause à la CNA pour qu'elle procède à un nouveau calcul de l'indemnité journalière de l'assurance-accidents, laquelle devait correspondre à l'indemnité de l'assurance-chômage calculée par jour civil.
C.
C.a. La CNA interjette un recours en matière de droit public contre cet arrêt, en concluant à sa réforme dans le sens de la confirmation de la décision sur opposition du 13 février 2020.
A._ conclut au rejet du recours et sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire. La cour cantonale et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à se déterminer.
C.b. A._ interjette lui aussi un recours en matière de droit public contre l'arrêt du 4 janvier 2021, en concluant à sa réforme en ce sens que la date de la rechute de l'accident du 24 août 2017 soit fixée au 1er avril 2019. A titre subsidiaire, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à la juridiction cantonale, respectivement à la CNA, pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire.
La CNA conclut au rejet du recours, dans la mesure de sa recevabilité. La cour cantonale et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à se déterminer. A._ a répliqué.
Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office (<ref-law>) et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 1).
1.1. Le recours en matière de droit public (<ref-law>) est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure (<ref-law>), ainsi que contre les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (<ref-law>). Selon l'<ref-law>, les autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément peuvent faire l'objet d'un recours si elles peuvent causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b).
1.2. Les jugements qui renvoient la cause à l'autorité inférieure constituent des décisions incidentes car ils ne mettent pas fin à la procédure (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 1.3). Toutefois, lorsque l'autorité inférieure à laquelle la cause est renvoyée ne dispose plus d'aucune marge de manoeuvre parce que le renvoi ne porte que sur l'exécution (par simple calcul) des injonctions de l'autorité supérieure, le jugement constitue matériellement une décision finale (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1.4).
En l'espèce, l'arrêt attaqué constitue matériellement une décision finale pour la CNA, dès lors que la cour cantonale lui a renvoyé la cause pour qu'elle procède à un nouveau calcul de l'indemnité journalière due à l'assuré en se fondant sur l'indemnité de l'assurance-chômage calculée par jour civil. Le recours de la CNA est ainsi recevable sous cet angle. Il convient également d'entrer en matière sur le recours de l'assuré, dont les conclusions et la motivation sont indissociables du recours de la CNA puisque la fixation de la date de la rechute conditionne le calcul du gain assuré déterminant pour fixer l'indemnité journalière (cf. consid. 3.2 et 6.2 infra).
1.3. Les deux recours sont dirigés contre une décision rendue par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Ils ont été interjetés en temps utile (<ref-law>) et dans les formes requises (<ref-law>) par des parties qui ont partiellement succombé dans leurs conclusions prises devant l'autorité précédente et qui ont donc qualité pour recourir au sens de l'<ref-law>. Contrairement à ce que soutient la CNA, la conclusion de l'assuré tendant à la fixation de la date de la rechute au 1 er avril 2019 ne constitue pas une conclusion nouvelle au sens de l'<ref-law>, dès lors que celui-ci avait requis de la cour cantonale qu'elle fixe cette date au 4 février 2019. Les recours sont partant recevables.
1.4. Les deux recours sont dirigés contre le même arrêt, concernent des faits de même nature et portent sur des questions juridiques communes. Il se justifie dès lors de joindre les causes et de statuer sur celles-ci en un seul arrêt (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 1).
2.
2.1. Le litige porte sur le point de savoir si la juridiction cantonale a violé le droit fédéral en fixant au 27 juin 2019 la date de la rechute de l'accident et en retenant que l'indemnité journalière due à l'assuré devait correspondre à l'indemnité de chômage calculée par jour civil.
2.2. S'agissant d'une procédure concernant l'octroi de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par la juridiction précédente (<ref-law>).
3.
3.1. Selon l'<ref-law>, les indemnités journalières et les rentes sont calculées d'après le gain assuré (al. 1); est réputé gain assuré pour le calcul des indemnités journalières le dernier salaire que l'assuré a reçu avant l'accident (al. 2, première phrase). Il s'agit du salaire déterminant au sens de la législation sur l'assurance-vieillesse et survivants (<ref-law> [RS 832.202]), sous réserve des dérogations décrites à l'art. 22 al. 2 let. a à d OLAA. Aux termes de l'<ref-law>, l'indemnité journalière correspond, en cas d'incapacité totale de travail, à 80 % du gain assuré (al. 1, première phrase); si l'incapacité de travail n'est que partielle, l'indemnité journalière est réduite en conséquence (al. 1, seconde phrase); pour les personnes au chômage, l'indemnité journalière correspond à l'indemnité nette de l'assurance-chômage visée aux art. 22 et 22a LACI (RS 837.0), calculée par jour civil (al. 2).
3.2. Sous réserve de certains des cas spéciaux prévus à l'<ref-law>, le gain assuré au sens des <ref-law> et 22 OLAA se fonde sur le salaire effectivement touché par l'assuré et ne se rapporte pas à un gain fictif. Il ne faut pas perdre de vue que, dans l'assurance-accidents, les indemnités journalières servent à compenser la perte de revenu d'une activité lucrative ou d'un revenu de substitution en cas d'incapacité de travail consécutive à un accident assuré (arrêt 8C_778/2016 du 1 er septembre 2017 consid. 3.2 et les références).
Selon l'<ref-law>, le salaire déterminant en cas de rechute est celui que l'assuré a reçu juste avant celle-ci; il ne saurait toutefois être inférieur à 10 % du montant maximum du gain journalier assuré, sauf pour les bénéficiaires de rentes de l'assurance sociale. Cette disposition concerne le calcul des indemnités journalières en cas de rechute, à savoir lorsque se manifeste à nouveau une atteinte à la santé qui, en apparence seulement mais non dans les faits, était considérée comme guérie. Il s'agit d'une prescription particulière qui déroge à la règle générale de l'<ref-law> concernant la période de référence pour le calcul du gain assuré. La circonstance prévue à l'<ref-law> se rapporte directement à la survenance d'une (nouvelle) incapacité de travail. Par salaire reçu juste avant la rechute, il faut ainsi comprendre le gain réalisé juste avant l'incapacité de travail (arrêt 8C_778/2016 précité, consid. 3.3.3 et les références). Selon l'<ref-law>, le montant maximum du gain assuré s'élève à 148'000 fr. par an et à 406 fr. par jour.
3.3. Aux termes de l'<ref-law>, les assurés qui, passagèrement, ne sont aptes ni à travailler ni à être placés ou ne le sont que partiellement en raison d'une maladie (<ref-law> [RS 830.1]), d'un accident (<ref-law>) ou d'une grossesse et qui, de ce fait, ne peuvent pas satisfaire aux prestations de contrôle ont droit à la pleine indemnité journalière s'ils remplissent les autres conditions dont dépend le droit à l'indemnité (première phrase); leur droit persiste au plus jusqu'au trentième jour suivant le début de l'incapacité totale ou partielle de travail et se limite à 44 indemnités journalières durant le délai-cadre (seconde phrase).
3.4. Dans le canton de Vaud, la loi cantonale sur l'emploi du 5 juillet 2005 (LEmp; BLV 822.11) institue une assurance perte de gain maladie pour les bénéficiaires d'indemnités de chômage (ci-après: APGM), qui a pour but le versement de prestations complémentaires aux chômeurs en incapacité provisoire de travail, totale ou partielle, pour des raisons de maladie ou de grossesse, et qui ont épuisé leur droit aux indemnités de chômage, conformément à l'<ref-law> (art. 19a LEmp). L'art. 19d LEmp prévoit que l'APGM produit ses effets dès le jour où débute le délai-cadre d'indemnisation de l'assuré (al. 1); elle cesse de produire ses effets au terme du délai-cadre d'indemnisation de l'assuré (al. 2 let. a), lorsque l'assuré sort du régime de l'assurance-chômage avant le terme de son délai-cadre d'indemnisation (al. 2 let. b) ou lorsque l'assuré a épuisé son droit aux prestations (al. 2 let. c). Selon l'art. 19h al. 4 let. b LEmp, les prestations sont versées dans les limites de temps prévues par l'art. 19d al. 2 LEmp jusqu'à concurrence de 170 jours ouvrables si l'assuré a droit à 260 indemnités de chômage. Aux termes de l'art. 19f LEmp, le montant des prestations, après paiement des cotisations APGM, est équivalent au montant net des indemnités de chômage qui serait versé à l'assuré s'il n'était pas en incapacité de travail, totale ou partielle (al. 1); en cas de gain intermédiaire, les prestations sont équivalentes aux indemnités de chômage auxquelles l'assuré pourrait prétendre s'il n'était pas en gain intermédiaire, après déduction des éventuelles prestations dues par l'employeur ou par une assurance perte de gain (al. 2). A teneur de l'art. 19q al. 2 LEmp, le montant des prestations de tiers versées à l'assuré est déduit du montant des prestations de l'APGM auxquelles il a droit pour la période concernée (première phrase); si l'assuré reçoit des prestations de l'APGM et que son droit à des prestations de tiers pour la même période est établi ultérieurement, la part des prestations de l'APGM qui correspond à une surindemnisation doit être restituée (seconde phrase).
4.
4.1. En l'espèce, la cour cantonale a constaté que l'existence d'une rechute en lien de causalité avec l'accident du 24 août 2017 et le droit de l'assuré à des indemnités journalières du fait de cette rechute n'étaient pas contestés par la CNA. Relevant que les parties étaient en désaccord sur la date de la rechute, elle a fixé cette date - à l'instar de l'assureur - au 27 juin 2019, au motif que l'assuré s'était trouvé en incapacité de travail uniquement après l'opération effectuée à cette même date, bien que l'atteinte à sa santé ayant justifié cette intervention eût été diagnostiquée auparavant. Il n'existait au demeurant aucun élément au dossier permettant de reconnaître une incapacité de travail antérieure en lien avec la rechute.
4.2. S'exprimant sur l'<ref-law>, les juges cantonaux ont estimé que l'esprit de la loi était de calculer le gain assuré sur une période représentative; fonder ce calcul sur le seul jour précédant l'incapacité de travail - comme l'avait fait la CNA en considérant que l'assuré n'avait touché aucune prestation la veille de sa rechute du 27 juin 2019 (cf. let. A.b supra) et qu'il avait donc uniquement droit à 10 % du montant maximum du gain journalier assuré en application de l'<ref-law> - ne respectait pas cet esprit. Dans la mesure où c'était à partir du mois d'avril 2019 que le docteur C._ avait constaté la nécessité de l'intervention à l'origine de l'incapacité de travail, il se justifiait d'autant plus de tenir compte des revenus perçus par l'assuré à cette période sous la forme de prestations de l'APGM. Aux fins de déterminer le gain assuré, il convenait ainsi de prendre en considération la période pendant laquelle l'assuré avait perçu ces prestations, quand bien même celui-ci ne les percevait plus la veille de l'incapacité de travail, pas plus qu'il ne recevait d'indemnités de chômage.
4.3. Constatant que l'assuré se trouvait, avant sa rechute, en incapacité de travail passagère, l'autorité précédente a relevé que l'<ref-law> n'était de prime abord pas applicable à sa situation puisqu'il percevait des indemnités pour perte de gain et non des indemnités de chômage lorsque la rechute était survenue et qu'il n'avait plus droit à des indemnités de chômage calculées selon les art. 22 et 22a LACI. Les premiers juges ont toutefois considéré que l'application de l'<ref-law> et de l'<ref-law> permettait de garantir un traitement identique des personnes en incapacité de travail totale ou partielle provisoire connaissant une rechute d'accident pendant la période de chômage, qu'elles perçoivent ou non des indemnités de perte de gain maladie. Dès lors que l'assuré aurait perçu des indemnités de chômage s'il n'avait pas été en incapacité de travail en raison d'une maladie, l'<ref-law> commandait la prise en compte du gain qu'il aurait obtenu sans cette maladie, à savoir les indemnités de l'assurance-chômage conformément à l'<ref-law>. C'était ainsi à tort que la CNA avait fixé le gain assuré à 10 % du montant maximum du gain journalier assuré. L'indemnité journalière de l'assurance-accidents devait bien plutôt correspondre à l'indemnité de l'assurance-chômage calculée par jour civil.
5.
5.1. L'assuré se plaint d'une constatation inexacte des faits et d'une violation du droit fédéral. Il soutient que le docteur C._ aurait constaté dans son rapport du 1 er avril 2019 qu'il souffrait de douleurs persistantes ensuite de l'accident du 24 août 2017 et qu'il était en arrêt de travail à 100 %. Cette incapacité de travail serait corroborée par le fait qu'il a bénéficié de prestations de l'APGM entre le 31 octobre 2018 et le 25 juin 2019. Le docteur C._ aurait d'ailleurs indiqué qu'il ne souffrait d'aucune maladie. En outre, il ressortirait de la demande de l'assuré du 28 avril 2019 que l'atteinte à sa santé en lien avec la rechute ne lui permettait toujours pas de travailler. Dans ces conditions, la CNA aurait dû retenir qu'il était en arrêt de travail à 100 % en raison de ses problèmes de santé consécutifs à son accident du 24 août 2017, à tout le moins depuis le diagnostic de l'affection ayant justifié l'opération du 27 juin 2019. Ainsi, le moment de la rechute aurait dû être fixé au 1 er avril 2019 et non au 27 juin 2019.
5.2. Cette critique est justifiée. Les certificats d'incapacité de travail établis pour la période du 1 er octobre au 31 décembre 2018 se limitent à mentionner la "maladie" comme cause de l'incapacité, sans autres précisions. Ils ne permettent donc pas de lier l'incapacité de travail qu'ils attestent à l'accident du 24 août 2017 ou à la rechute annoncée par l'assuré le 28 avril 2019, d'autant moins que le dossier ne contient pas d'autres certificats d'incapacité de travail pour la période se situant entre le 1 er janvier 2019 et le rapport du docteur C._ du 1er avril 2019. Il ressort en revanche dudit rapport qu'ensuite de la consultation du 29 mars 2019, le diagnostic de tendinopathie insertionnelle du tendon d'Achille droit a été posé. Ce même rapport évoque pour la première fois l'endoscopie finalement réalisée le 27 juin 2019 et fait état d'une incapacité de travail totale de l'assuré en lien avec les douleurs persistantes consécutives à son accident du 24 août 2017. L'incapacité de travail de l'assuré en lien avec la rechute ayant nécessité l'intervention du 27 juin 2019 est donc attestée à compter du 1 er avril 2019. Bien qu'il ait annoncé cette rechute le 28 avril 2019 seulement, il convient donc de fixer la date de la rechute au 1 er avril 2019. Le rapport du 1 er avril 2019 a du reste été transmis à la CNA en date du 4 avril 2019, de sorte qu'elle avait connaissance de la situation médicale de l'assuré au plus tard à cette date.
On relèvera que le fait que l'assuré ait touché des indemnités de l'APGM jusqu'au 25 juin 2019 ne s'oppose pas à ce que son droit à des indemnités journalières de l'assurance-accidents soit reconnu à partir du 1 er avril 2019, dès lors que les prestations subsidiaires de l'APGM doivent être restituées en cas de surindemnisation subséquente, en application de l'art. 19q al. 2, seconde phrase, LEmp. Le recours de l'assuré doit donc être admis, en ce sens que la date de la rechute de son accident du 24 août 2017 - déterminante pour déterminer le début de son droit à l'indemnité journalière due par la CNA - est fixée au 1 er avril 2019.
6.
6.1. La CNA reproche pour sa part à la juridiction cantonale d'avoir violé le droit fédéral, en particulier l'art. 15 al. 1 et 2 LAA ainsi que l'<ref-law>. Elle soutient qu'en application de cette dernière disposition, il conviendrait de prendre en considération le gain réalisé la veille de la rechute fixée au 27 juin 2019, à savoir le 26 juin 2019, pour déterminer le montant de l'indemnité journalière. Or l'assuré n'aurait perçu aucun revenu le 26 juin 2019, de sorte que le salaire déterminant au sens de l'<ref-law> devrait correspondre au 10 % du montant maximum du gain journalier assuré. Par ailleurs, les indemnités journalières de l'assurance-accidents ne sauraient se fonder sur le montant des indemnités de chômage que l'assuré aurait hypothétiquement perçues, puisque celui-ci a bénéficié de prestations de l'APGM qui ne seraient pas visées par l'<ref-law>. Il n'y aurait pas non plus lieu d'appliquer l'<ref-law> au cas d'espèce. Conformément aux <ref-law>, 22 al. 1 et 23 al. 8 OLAA, l'indemnité journalière devrait être fixée à 32 fr. 50 ([406 fr. x 10 %] x 80 %).
6.2. Il n'est pas contesté que l'<ref-law> trouve application au cas d'espèce, dès lors que l'assuré a subi une rechute de son accident du 24 août 2017. La date de la rechute - qui coïncide avec le début de l'incapacité de travail y étant liée - doit toutefois être fixée au 1 er avril 2019, non au 27 juin 2019 (cf. consid. 5.2 supra). Il sied par conséquent de prendre en compte le gain réalisé juste avant le 1 er avril 2019 pour fixer le gain assuré (cf. consid. 3.2 supra). Juste avant cette date, le délai-cadre d'indemnisation de l'assuré, ouvert par la caisse de chômage le 2 juillet 2018, courait encore; il percevait toutefois des prestations de l'APGM, son droit aux indemnités de chômage étant épuisé en vertu de l'<ref-law>.
Comme on l'a vu (cf. consid. 3.2 supra), l'<ref-law> constitue une exception à l'<ref-law>, en ce sens qu'en cas de rechute, le gain assuré est fixé non pas sur la base du salaire perçu avant l'accident, mais sur la base de celui perçu avant la rechute. Dans ce cas de figure, conformément à l'<ref-law>, le montant de l'indemnité journalière correspond - pour une personne qui ne perçoit pas d'indemnités de chômage (cf. <ref-law>) - à 80 % du gain assuré, le salaire (ou le revenu de substitution; cf. arrêt 8C_778/2016 précité au consid. 3.2 supra; arrêt U 51/95 du 19 août 1996 consid. 3d, in SVR 1997 UV n° 91 p. 331) déterminant étant celui reçu juste avant la rechute (<ref-law>).
En l'espèce, il convient ainsi de se fonder sur le revenu de substitution que l'assuré recevait juste avant la rechute, à savoir les prestations de l'APGM. Le montant de ces prestations, après paiement des cotisations APGM, était équivalent au montant net des indemnités de chômage qui lui auraient été versées en l'absence d'une incapacité de travail (cf. art. 19f al. 1 LEmp). L'arrêt attaqué se révèle ainsi conforme au droit fédéral dans son résultat en tant qu'il impose à la CNA de calculer l'indemnité journalière de l'assurance-accidents de manière à ce qu'elle corresponde à l'indemnité de l'assurance-chômage. Le recours de la CNA doit donc être rejeté.
7.
La CNA, qui succombe dans les deux causes, supportera les frais judiciaires (<ref-law>). Les demandes d'assistance judiciaire formulées par l'assuré dans les deux causes sont sans objet, dès lors que celui-ci a obtenu gain de cause dans les deux causes et a à ce titre droit à une indemnité de dépens à la charge de la CNA (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 8C_120/2021 et 8C_137/2021 sont jointes.
2.
Le recours de la CNA dans la cause 8C_120/2021 est rejeté.
3.
Le recours de A._ dans la cause 8C_137/2021 est admis. L'arrêt de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud du 4 janvier 2021 est réformé en ce sens que la date de la rechute de l'accident du 24 août 2017 est fixée au 1er avril 2019.
4.
Les frais judiciaires, arrêtés globalement à 1600 fr., sont mis à la charge de la CNA.
5.
La CNA versera à A._ la somme de 5600 fr. à titre de dépens pour les deux procédures devant le Tribunal fédéral.
6.
Les demandes d'assistance judiciaires formulées dans les causes 8C_120/2021 et 8C_137/2021 sont sans objet.
7.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 2 août 2021
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Wirthlin
Le Greffier : Ourny