Sachverhalt:
A.
A.a. Im Rahmen der Erweiterung und Erneuerung des Hauses 02 hat die Spitalanlagengesellschaft Kantonsspital St. Gallen (Vergabestelle) am 24. Juli 2017 einen Bauauftrag für Bettenkanäle im offenen Verfahren ausgeschrieben.
A.b. Am 9. Oktober 2017 erteilte die Vergabestelle der "A._ AG" den Zuschlag für die ausgeschriebenen Arbeiten. Dagegen gelangte die nicht berücksichtigte B._ AG an das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen (Verfahren B 2017/214). Das Verwaltungsgericht erteilte der Beschwerde mit Verfügung vom 30. Oktober 2017 antragsgemäss die aufschiebende Wirkung mit der Begründung, die "A._ AG" sei am 26. Juni 2012 aufgelöst und das Firmenvermögen auf die am 27. Juni 2012 neu im Handelsregister eingetragenen A._ Immobilien und Dienstleistungs AG, die A._ Handels AG, die A._ Produktions AG und die A._ Engineering AG übertragen worden. Unter den konkreten Umständen sei nicht nachvollziehbar, auf welches Unternehmen sich die in der Offerte gemachten "Angaben zum Anbieter" bezögen. Mit welcher Firma der Vertrag abgeschlossen werde sei nicht klar, sodass die Beschwerde bei summarischer Prüfung als ausreichend begründet erscheine.
A.c. Mit Verfügung vom 8. November 2017 erteilte die Vergabestelle den Zuschlag daraufhin widerrufsweise der A._ Handels AG. Die B._ AG erhob auch dagegen eine Beschwerde an das Verwaltungsgericht (Verfahren B 2017/234). Ihrem Gesuch um aufschiebende Wirkung wurde wiederum entsprochen mit der Begründung, die Erteilung des Zuschlags an die A._ Handels AG vermöge nichts daran zu ändern, dass die Offerte ausdrücklich für und namens der nicht mehr existierenden "A._ AG" eingereicht worden sei und die A._ Handels AG ihrerseits gar nie ein rechtsverbindliches und rechtsgültiges Angebot eingereicht habe. Es müsse davon ausgegangen werden, dass die A._ Handels AG als Zuschlagsempfängerin nicht in Betracht falle.
B.
Mit Verfügung vom 11. Dezember 2017 hob die Vergabestelle ihre Verfügung vom 8. November 2017 auf, schloss die A._ Handels AG vom Verfahren aus und erteilte den Zuschlag der B._ AG. Gegen diese Verfügung gelangte die A._ Handels AG ihrerseits mit Beschwerde an das Verwaltungsgericht und ersuchte um Erteilung der aufschiebenden Wirkung (Verfahren B 2017/264). Mit Verfügung vom 28. Dezember 2017 untersagte das Verwaltungsgericht der Vergabestelle einstweilen den Abschluss des Vertrags. Alsdann wies das Verwaltungsgericht das Gesuch um aufschiebende Wirkung mit Verfügung vom 9. Januar 2018 ab (Ziff. 1 im Dispositiv). Zugleich verpflichtete es die A._ Handels AG für das Zwischenverfahren zur Tragung der amtlichen Kosten (Ziff. 3 im Dispositiv) und Bezahlung einer Parteientschädigung an die B._ AG (Ziff. 4 im Dispositiv).
C.
C.a. Gegen die Verfügung des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 9. Januar 2018 erhebt die A._ Handels AG Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht (Eingabe vom 24. Januar 2018). Sie beantragt Ziff. 1, Ziff. 3 und Ziff. 4 im Dispositiv der Verfügung vom 9. Januar 2018 aufzuheben. Das Verwaltungsgericht sei anzuweisen, der Beschwerde vom 22. Dezember 2017 die aufschiebende Wirkung zu erteilen und der Vergabestelle zu untersagen, den Vertrag abzuschliessen.
Weiter ersucht die A._ Handels AG, der Beschwerde an das Bundesgericht superprovisorisch die aufschiebende Wirkung zu erteilen und der Vergabestelle zu untersagen, den Vertrag mit der Zuschlagsempfängerin abzuschliessen. Mit superprovisorischer Verfügung seien sodann die ihr Geschäftsgeheimnis tangierenden Teile der von der Vergabestelle allenfalls einzureichenden Vergabeakten und gewisse Beilagen zur Beschwerde an das Bundesgericht der B._ AG nicht offenzulegen.
C.b. Mit Verfügung des Abteilungspräsidenten vom 26. Januar 2018 wurde der Beschwerde superprovisorisch die aufschiebende Wirkung erteilt und der Vergabestelle vorerst untersagt, den Vertrag mit der Zuschlagsempfängerin abzuschliessen.
C.c. Das zur Vernehmlassung eingeladene Verwaltungsgericht schliesst unter Verzicht auf einen Antrag zum Gesuch um aufschiebende Wirkung auf Abweisung der Beschwerde.
Die Vergabestelle beantragt auf die Beschwerden nicht einzutreten, eventualiter sie abzuweisen. In verfahrensrechtlicher Hinsicht sei den Beschwerden die superprovisorisch erteilte aufschiebende Wirkung umgehend zu entziehen und das Gesuch um aufschiebende Wirkung abzuweisen.
Die B._ AG ersucht um Abweisung der Beschwerde, soweit auf sie einzutreten ist. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung sei abzuweisen.
Den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht gab das Bundesgericht die Gelegenheit, sich je zu den Eingaben der anderen Verfahrensbeteiligten bzw. des Verwaltungsgerichts zu äussern.
C.d. Mit Verfügung des Abteilungspräsidenten vom 25. April 2018 wurde das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen und die am 16. Januar 2018 superprovisorisch angeordnete aufschiebende Wirkung aufgehoben.
Die Vergabestelle teilte dem Bundesgericht daraufhin mit Schreiben vom 3. Mai 2018 mit, dass am 2. Mai 2018 der Vertrag mit der Beschwerdegegnerin abgeschlossen worden sei.
D.
Angesichts dessen wurde den Verfahrensbeteiligten mit instruktionsrichterlicher Verfügung vom 6. Juni 2018 die Gelegenheit eingeräumt, sich zur Frage des Rechtsschutzinteresses sowie zur Kostenregelung bei einer allfälligen Verfahrenserledigung ohne materielle Beurteilung der Beschwerde wegen Gegenstandslosigkeit zu äussern.
Das Verwaltungsgericht verzichtet auf eine diesbezügliche Stellungnahme.
Die Vergabestelle vertritt die Auffassung, dass das Verfahren als erledigt abzuschreiben sei. Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens seien der A._ Handels AG zu auferlegen. Zugleich sei ihr eine Parteientschädigung wegen unnötig verursachter Kosten zuzusprechen.
Die B._ AG (Beschwerdegegnerin) ist der Auffassung, dass die Beschwerde unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten der A._ Handels AG abzuweisen sei, soweit darauf eingetreten werden kann.
Die A._ Handels AG vertritt den Standpunkt, dass kein Vertragsschluss über den streitgegenständlichen Auftrag stattgefunden habe, weil die Vergabestelle laut schriftlichem Vertrag mit einer "B._ AG" kontraktiert hat. Unter dieser Firma existiere keine juristische Person. Im Handelsregister eingetragen seien verschiedene andere Unternehmen mit ähnlicher, aber nicht identischer Firma. An einer materiellen Beurteilung der Beschwerde bestehe weiterhin ein Rechtsschutzinteresse, weil ein Vertrag mit der Zuschlagsempfängerin noch nicht abgeschlossen worden sei. Auch am Kosten- und Entschädigungsantrag vom 24. Januar 2018 werde festgehalten.
Den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht gab das Bundesgericht die Gelegenheit, sich je zu den Eingaben der anderen Verfahrensbeteiligten bzw. des Verwaltungsgerichts zu äussern. Zuletzt liess sich die A._ Handels AG vernehmen, die seit 8. Juni 2018 wieder unter "A._ AG" firmiert.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 116).
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid eines oberen Gerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 [i.V.m. Art. 114 und Art. 117] BGG), mit dem der Beschwerde gegen einen Zuschlagsentscheid auf dem Gebiet der öffentlichen Beschaffungen die aufschiebende Wirkung verweigert wurde.
1.2. Der angefochtene Entscheid über die Erteilung der aufschiebenden Wirkung schliesst das vorinstanzliche Verfahren nicht ab. Es handelt sich um einen Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 Abs. 1 (i.V.m. Art. 117) BGG, gegen den die Beschwerde nur zulässig ist, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 195 und E. 1.4 S. 196; Urteil 2D_43/2015 vom 10. Dezember 2015 E. 1.1). Die Verweigerung der aufschiebenden Wirkung in einem Rechtsmittelverfahren gegen den Zuschlagsentscheid auf dem Gebiet der öffentlichen Beschaffungen ist unter diesem Gesichtswinkel grundsätzlich anfechtbar, weil sie die Voraussetzung nach Art. 93 Abs. 1 lit. a (i.V.m. Art. 117) BGG erfüllt. Nicht gegeben ist hier die Möglichkeit einer sofortigen Herbeiführung eines Endentscheids unter bedeutender Ersparnis von Zeit oder Kosten gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. b (i.V.m. Art. 117) BGG.
2.
Über die Anfechtbarkeit des Zwischenentscheids im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a (i.V.m. Art. 117) BGG hinaus muss die beschwerdeführende Partei zur Erhebung des Rechtsmittels legitimiert sein. Für die ordentliche Beschwerde ergibt sich dies aus <ref-law>, nach dem zur Beschwerde berechtigt ist, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat. Die Zulässigkeit der subsidiären Verfassungsbeschwerde setzt neben der Teilnahme oder der fehlenden Möglichkeit zur Teilnahme am vorinstanzlichen Verfahren ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids voraus (<ref-law>).
2.1. Sowohl im Verfahren der ordentlichen Beschwerde als auch jenem der subsidiären Verfassungsbeschwerde muss das Interesse an der Beschwerdeführung im Zeitpunkt der Beurteilung der Angelegenheit durch das Bundesgericht aktuell sein (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 143; <ref-ruling> E. 1.1 S. 103; Urteile 2D_67/2012 vom 18. Februar 2013 E. 2.1; 2C_811/2011 vom 5. Januar 2012 E. 1.2; 2D_15/2011 vom 31. Oktober 2011 E. 1.3; FLORENCE AUBRY GIRARDIN, in: Commentaire de la LTF, 2. Aufl. 2014, N. 23 f. zu <ref-law>; JEAN-MAURICE FRÉSARD, in: Commentaire de la LTF, 2. Aufl. 2014, N. 16 zu <ref-law>; BERNHARD WALDMANN, in: Basler Kommentar, 2. Aufl. 2011, N. 17 zu <ref-law>; GIOVANNI BIAGGINI, in: Basler Kommentar, 2. Aufl. 2011, N. 1 zu <ref-law>; ALEXANDER MISIC, Verfassungsbeschwerde, Zürich 2011, S. 309 Rz. 570).
2.1.1. An einem aktuellen Interesse mangelt es namentlich, wenn das Ereignis, auf das sich der angefochtene Entscheid bezieht, im Zeitpunkt der bundesgerichtlichen Beurteilung bereits eingetreten ist. Fehlte das aktuelle Interesse bereits im Zeitpunkt der Einreichung der Beschwerde, ist auf die Eingabe nicht einzutreten. Fällt es im Verlaufe des bundesgerichtlichen Verfahrens dahin, wird die Sache als erledigt erklärt (vgl. <ref-law> i.V.m. <ref-law> [SR 273]; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 143 mit Hinweisen). Unter Verzicht auf das Erfordernis eines aktuellen Interesses tritt das Bundesgericht auf ein Rechtsmittel ein, wenn sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und deren Beantwortung wegen ihrer grundsätzlichen Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 143 mit Hinweisen).
2.1.2. Neue Tatsachen und Beweismittel können im bundesgerichtlichen Verfahren nur eingeschränkt vorgebracht werden (vgl. <ref-law>). Betreffen sie Umstände, die zur Gegenstandslosigkeit des Verfahrens führen, sind entsprechende Vorbringen allerdings zulässig (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 616; Urteil 2C_994/2016 vom 9. März 2018 E. 1.5.2 [zur Publikation vorgesehen]).
2.2. Streitgegenstand in der Sache ist die Frage, ob das Verwaltungsgericht dem bei ihm hängigen Rechtsmittel gegen den Zuschlagsentscheid vom 11. Dezember 2017 die aufschiebende Wirkung erteilen und damit der Vergabestelle den Abschluss des Vertrags über die ausgeschriebene Leistung vorläufig weiterhin hätte untersagen müssen.
2.2.1. Nachdem das Gesuch um aufschiebende Wirkung im bundesgerichtlichen Verfahren mit Präsidialverfügung vom 25. April 2018 abgewiesen und die am 26. Januar 2018 superprovisorisch angeordnete aufschiebende Wirkung aufgehoben wurde, kam es gemäss Mitteilung der Vergabestelle am 2. Mai 2018 zum Abschluss des Vertrags mit der Beschwerdegegnerin. Die entsprechende Mitteilung vom 3. Mai 2018, die vom Bundesgericht nach dem bereits Dargelegten zu berücksichtigen ist (vgl. E. 2.1.2 hiervor), ergänzte die Vergabestelle mit dem Auszug aus einem schriftlichen Vertrag. Gestützt auf diese Angaben der Vergabestelle ist erstellt, dass es nach Eintritt der Rechtshängigkeit des bundesgerichtlichen Verfahrens zum Abschluss eines Vertrags über die ausgeschriebene Leistung gekommen ist. Damit besteht im Hauptpunkt kein aktuelles Interesse an der Behandlung der Beschwerde durch das Bundesgericht, weil der eigentliche Verfahrenszweck - die Verhinderung des Vertragsabschlusses - selbst bei Gutheissung des Rechtsmittels nicht mehr erreicht werden kann (vgl. Urteile 2D_67/2012 vom 18. Februar 2013 E. 2.1; 2D_26/2012 vom 7. August 2012 E. 2.1; 2C_811/2011 vom 5. Januar 2012 E. 1.3).
2.2.2. Die Beschwerdeführerin lässt dagegen ausführen, dass die Vergabestelle im Vertragsdokument nicht die korrekte Parteibezeichnung verwendet habe. Eine "B._ AG", mit der die Vergabestelle kontraktiert haben wolle, existiere nicht. Der Vertrag sei mit einer inexistenten Gesellschaft geschlossen worden, der keine Rechtswirkungen entfalten könne. Zu überzeugen vermögen diese Einwendungen der Beschwerdeführerin nicht. Die Vergabestelle und die Beschwerdegegnerin, deren Existenz von der Beschwerdeführerin nicht bestritten wird, gehen in ihren Eingaben an das Bundesgericht beide davon aus, dass es zwischen ihnen zum Vertragsabschluss gekommen ist. Eine möglicherweise ungenaue Parteibezeichnung im schriftlichen Vertragsdokument ändert noch nichts daran, dass von einer Einigung über den Abschluss des Vertrags zwischen der Vergabestelle und der Beschwerdegegnerin ausgegangen werden kann. Hinzu kommt, dass im vorliegenden Verfahren betreffend aufschiebende Wirkung allein von Bedeutung ist, dass es zum Vertragsabschluss über die ausgeschriebene Leistung kam. Die Frage, ob dieser mit der (rechtmässigen) Zuschlagsempfängerin erfolgte, ist für das vorliegende Verfahren ebensowenig von Bedeutung wie der Umstand, dass die Beschwerdeführerin mittlerweile wieder unter einer früher verwendeten Bezeichnung firmiert.
2.2.3. Da nicht ersichtlich ist, dass sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen könnten, besteht im vorliegenden Fall keine Veranlassung, vom Erfordernis eines aktuellen Interesses im Sinne von <ref-law> bzw. <ref-law> abzusehen (vgl. E. 2.1.1 hiervor). Demnach ist das Verfahren zufolge Wegfall eines aktuellen Interesses als gegenstandslos abzuschreiben, soweit die Beschwerdeführerin die Aufhebung von Ziff. 1 im Dispositiv des angefochtenen Entscheids verlangt.
2.3. Das Verwaltungsgericht hat der Beschwerdeführerin im angefochtenen Entscheid die amtlichen Kosten auferlegt (Ziff. 3 im Dispositiv) und der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung zugesprochen (Ziff. 4 im Dispositiv). Die Verlegung von Kosten- und Entschädigungsfolgen in einem Zwischenentscheid verursacht allein indes keinen nicht wiedergutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a (i.V.m. Art. 117) BGG, sodass eine selbständige Anfechtbarkeit des vorinstanzlichen Urteils in diesen Punkten ausser Betracht fällt. Unmittelbar anfechtbar sind die Kosten- und Entschädigungsfolgen eines Zwischenentscheids nur im Rahmen einer Beschwerde gegen den Hauptpunkt (vgl. <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 333 f.; Urteil 4A_168/2011 vom 16. Januar 2012 E. 2.3). Nachdem das Rechtsmittel hier im Hauptpunkt gegenstandslos geworden ist, teilt die Beschwerde dieses Schicksal folglich auch in Bezug auf die Kosten- und Entschädigungsfolgen; sie können gegebenenfalls im Anschluss an den Endentscheid in der Sache noch angefochten werden (Art. 93 Abs. 3 [i.V.m. Art. 117] BGG; <ref-ruling> E. 1.1 S. 365 f.; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 332 f.).
3.
3.1. Nach dem Dargelegten besteht an der Behandlung der Beschwerde durch das Bundesgericht insgesamt kein aktuelles Interesse. Das Verfahren ist als gegenstandslos abzuschreiben, was der Instruktionsrichter als Einzelrichter verfügt (<ref-law>).
3.2. Bei diesem Verfahrensausgang entscheidet das Bundesgericht mit summarischer Begründung über die Prozesskosten auf Grund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrunds (<ref-law> i.V.m. <ref-law>), wobei diesbezüglich in allen Teilen auf die Verfügung des Abteilungspräsidenten vom 25. April 2018 verwiesen werden kann. Demnach trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (<ref-law>). Sie hat der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>). Ungeachtet der sehr ausführlichen und zahlreichen Eingaben der Beschwerdeführerin ist der Vergabestelle mit Blick auf ihr eigenes Verhalten im Zusammenhang mit der Zuschlagserteilung entgegen ihrer Auffassung keine Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach verfügt der Einzelrichter:
1.
Das Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. August 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Haag
Der Gerichtsschreiber: Fellmann