Sachverhalt:
A.
Das Gerichtspräsidium Kulm eröffnete am 15. April 2021 über A._ als Inhaber des Einzelunternehmens "C._" in der Betreibung Nr. xxx des Regionalen Betreibungsamts Kulm auf Begehren der B._ AG den Konkurs. Gegen diesen Entscheid erhob A._ am 30. April 2021 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Aargau. Mit Verfügung des Instruktionsrichters vom 4. Mai 2021 wurden die im Beschwerdeverfahren vor dem Obergericht gestellten Gesuche um aufschiebende Wirkung und unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerdeanträge abgewiesen. A._ wurde aufgefordert, den Kostenvorschuss von Fr. 500.-- innert einer Frist von 10 Tagen zu leisten. Da A._ den Kostenvorschuss auch innert der mit Verfügung vom 31. Mai 2021 angesetzten Nachfrist nicht geleistet hatte, trat das Obergericht mit Entscheid vom 24. Juni 2021 auf die Beschwerde androhungsgemäss nicht ein und auferlegte A._ die obergerichtliche Entscheidgebühr von Fr. 200.--.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 5. August 2021 (Postaufgabe) ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Er beantragt dem Bundesgericht sinngemäss, das Obergericht sei anzuweisen, auf die Beschwerde gegen das Konkurserkenntnis einzutreten und ihm für das Verfahren vor Obergericht die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht der Beschwerdeführer um aufschiebende Wirkung und um unentgeltliche Rechtspflege (inklusive unentgeltlicher Rechtsvertretung).
Mit Präsidialverfügung vom 30. August 2021 wurde der Beschwerde in dem Sinne die aufschiebende Wirkung zuerkannt, als der Konkurs eröffnet bleibt, jedoch einstweilen Vollstreckungsmassnahmen zu unterbleiben haben.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid betreffend Konkurseröffnung; dagegen steht streitwertunabhängig die Beschwerde in Zivilsachen offen (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 2 lit. d und Art. 75 Abs. 1 BGG). Der angefochtene Entscheid schliesst das kantonale Verfahren ab (Art. 90 BGG). Durch die Beschwerde gegen diesen Endentscheid ist auch die Verfügung betreffend die unentgeltliche Rechtspflege im kantonalen Beschwerdeverfahren als Zwischenentscheid anfechtbar (Art. 93 Abs. 3 BGG; <ref-ruling> E. 2.3; Urteil 5A_1002/2017 vom 12. März 2019 E. 1.3.3).
1.2. Von vornherein unzulässig ist die Beschwerde insoweit, als der Beschwerdeführer Rügen erhebt, die nicht Gegenstand der angefochtenen Entscheide bildeten und daher auch nicht Gegenstand des bundesgerichtlichen Urteils sein können, was insbesondere für Vorbringen betreffend Verfügungen des Sozialdiensts und des Konkursamts gilt.
2.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheides massgeblichen Erwägungen aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 2). Der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt ist für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die unrichtige Feststellung des Sachverhalts kann nur unter den Voraussetzungen von Art. 97 Abs. 1 BGG gerügt werden (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.3).
3.
Der Beschwerdeführer schildert seine finanziellen Schwierigkeiten und beanstandet, dass ihm im vorinstanzlichen Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege trotz seiner geltend gemachten Mittellosigkeit verweigert worden ist. Er setzt sich jedoch nur ganz am Rande mit der vorinstanzlichen Begründung auseinander, dass die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im konkreten Fall mangels Erfüllung der weiteren Voraussetzung der Nichtaussichtslosigkeit der gestellten Begehren (Art. 117 lit. b ZPO) ausscheide. Namentlich geht der Beschwerdeführer nicht auf die vorinstanzliche Erwägung ein, wonach die Zahlung der Forderung der konkursbetreibenden Gläubigerin an das Betreibungsamt erst nach der Konkurseröffnung vom 15. April 2021, 09.30 Uhr, erfolgt sei, weshalb gemäss Art. 174 Abs. 2 SchKG die rechtzeitige Glaubhaftmachung der Zahlungsfähigkeit für eine Konkursaufhebung zwingend gewesen wäre. Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung, der Beschwerdeführer habe in seiner Beschwerdeeingabe keinerlei Angaben zu seiner Zahlungsfähigkeit gemacht und auch keine überprüfbaren Belege hierzu eingereicht, blieb ebenfalls unbestritten. Soweit der Beschwerdeführer auch vor Bundesgericht den Umstand in Frage stellt, überhaupt der Konkursbetreibung zu unterliegen, kann ihm nicht gefolgt werden. Ein Schuldner unterliegt unter anderem dann der Konkursbetreibung, wenn er als Inhaber einer Einzelfirma im Handelsregister eingetragen ist (Art. 39 Abs. 1 Ziff. 1 SchKG), bzw. noch sechs Monate nach Bekanntmachung einer allfälligen Streichung durch das Schweizerische Handelsamtsblatt (Art. 40 Abs. 1 SchKG). Im vorliegenden Fall ist das Fortsetzungsbegehren unbestrittenermassen in der Zeit gestellt worden, als die Einzelunternehmung des Beschwerdeführers im Handelsregister des Kantons Aargau eingetragen war, wobei die vom Beschwerdeführer behauptete faktische Inaktivität seines Unternehmens an der Massgeblichkeit des Registereintrags nichts ändert. Ein Anwendungsfall von Art. 43 SchKG (Ausnahme von der Konkursbetreibung) ist nicht auszumachen und wird vom Beschwerdeführer vor Bundesgericht auch nicht mehr geltend gemacht. Die Fortsetzung der Betreibung auf dem Wege des Konkurses ist deshalb nicht zu beanstanden und es liegt keine Nichtigkeit der Konkursandrohung vor. Damit ist insgesamt weder dargetan noch ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz Recht verletzt haben könnte, wenn sie in Anwendung von Art. 101 Abs. 3 ZPO mangels Leistung des Kostenvorschusses auf die Beschwerde gegen das Konkurserkenntnis nicht eingetreten ist bzw. mit Zwischenentscheid vom 4. Mai 2021 das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerdeanträge abgewiesen hat.
4.
Der Beschwerde ist nach dem Gesagten kein Erfolg beschieden. Die Umstände rechtfertigen es, ausnahmsweise auf die Erhebung von Kosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG). Damit wird das Gesuch um Kostenbefreiung gegenstandslos. Dem Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung kann schon darum nicht entsprochen werden, weil die Beschwerde aussichtslos erschien (Art. 64 BGG).
Da vorliegend die Anordnung der aufschiebenden Wirkung auf das Verbot beschränkt worden ist, während der Dauer des bundesgerichtlichen Verfahrens weitere Vollstreckungshandlungen vorzunehmen, erübrigt sich die Festsetzung eines neuen Konkursdatums (Urteil 5A_181/2018 vom 30. April 2018 E. 4).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 4. Kammer, dem Regionalen Betreibungsamt Kulm, dem Konkursamt des Kantons Aargau, dem Grundbuchamt Zofingen und dem Handelsregisteramt des Kantons Aargau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. September 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Buss