Erwägungen:
1.
Die B._ AG (Beklagte) vermietete die Liegenschaft U._strasse in V._ mit Mietvertrag vom 13./28. April 2017, ergänzt am 13./30. April 2017, an A._ (Beschwerdeführer), die C._ GmbH und D._ (alle drei: Kläger). Die Parteien stehen sich seit dem 4. April 2018 in einem Verfahren betreffend "Kündigungsschutz/Anfechtung/Mietzinshinterlegung" vor dem Mietgericht Zürich gegenüber.
Am 8. Februar 2021 stellte A._ ein Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege, unter Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsbeistands. Mit Verfügung vom 22. März 2021 setzte ihm das Mietgericht Frist an, um das Gesuch zu ergänzen. Mit Präsidialverfügung vom 4. Mai 2021 wies es das Gesuch mangels Bedürftigkeit ab.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 29. Juni 2021 ab. Die Entscheidgebühr auferlegte es A._.
A._ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben. Es seien ihm die Gerichtskosten für das obergerichtliche Verfahren zu erlassen. Ferner sei er für den Prozess vor Mietgericht ab Stellung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege von den Gerichtskosten zu befreien, eventualiter für den Fr. 27'916.-- übersteigenden Betrag, und es sei ihm für das erstinstanzliche Verfahren ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen. (Sub-) Eventualiter sei die Sache an das Obergericht oder allenfalls an das Mietgericht zurückzuweisen.
Ausserdem ersucht der Beschwerdeführer auch für das bundesgerichtliche Verfahren um Befreiung von den Gerichtskosten und Bewilligung der unentgeltlichen Rechtsverbeiständung.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Mit dem angefochtenen Urteil wies die Vorinstanz als letzte kantonale Instanz (<ref-law>) die Beschwerde gegen die Präsidialverfügung des Mietgerichts ab, mit welcher die Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege verweigert wurde. Es handelt sich um einen Vor- und Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> bewirken kann (<ref-ruling> E. 4 S. 338; <ref-ruling> E. 1.1).
Bei Vor- und Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 2.2). In der Hauptsache geht es um ein mietrechtliches Verfahren, gemäss Vorinstanz mit einem Streitwert von Fr. 9'148'166.--. Die Beschwerde in Zivilsachen ist demnach gegeben (<ref-law>).
3.
Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
4.
4.1. Die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege setzt unter anderem voraus, dass der Gesuchsteller nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (<ref-law>; <ref-law>). Als in diesem Sinne bedürftig gilt, wer die Kosten eines Prozesses nicht aufzubringen vermag, ohne jene Mittel anzugreifen, die für die Deckung des eigenen notwendigen Lebensunterhalts und desjenigen der Familie erforderlich sind (<ref-ruling> E. 4.1 S. 537 mit Hinweisen). Der Teil der finanziellen Mittel, der das zur Deckung der persönlichen Bedürfnisse Notwendige übersteigt, muss mit den für den konkreten Fall zu erwartenden Gerichts- und Anwaltskosten verglichen werden; dabei sollte der monatliche Überschuss der gesuchstellenden Partei ermöglichen, die Prozesskosten bei weniger aufwändigen Prozessen innert eines Jahres, bei anderen innert zweier Jahre zu tilgen (<ref-ruling> E. 4.1 mit Hinweis).
Die um unentgeltliche Rechtspflege nachsuchende Person hat nach <ref-law> ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse darzulegen. Es trifft sie eine umfassende Mitwirkungsobliegenheit. An die klare und gründliche Darstellung der finanziellen Situation im Gesuch dürfen umso höhere Anforderungen gestellt werden, je komplexer die Verhältnisse sind (siehe Urteile 4A_257/2021 vom 6. September 2021 E. 2.1; 4A_48/2021 vom 21. Juni 2021 E. 3.2; 4A_622/2020 vom 5. Februar 2021 E. 2.4; je mit weiteren Hinweisen).
4.2. Betreffend die finanzielle Situation des Beschwerdeführers und seiner Familie errechneten die Vorinstanzen einen zur Finanzierung des Prozesses einsetzbaren Einkommensüberschuss von Fr. 851.-- pro Monat und ein Vermögen von Fr. 47'916.--. Vom Guthaben zogen sie einen "Notgroschen" von Fr. 20'000.-- ab, womit ein für das weitere Verfahren verwendbares Vermögen von Fr. 27'916.-- resultierte. Es sei - so schloss das Obergericht - davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer mit diesen Mitteln in der Lage sei, die auf ihn entfallenden Prozesskosten beziehungsweise die Kosten der Rechtsvertretung zu decken.
4.3. Der Beschwerdeführer ist mit dieser Berechnung nicht einverstanden:
4.3.1. Er moniert zunächst, die Vorinstanz habe seine Schulden nicht berücksichtigt.
Das Obergericht erwog, der Beschwerdeführer habe zum Nachweis seiner behaupteten Schulden einzig die Steuererklärung 2020 eingereicht. Abgesehen davon, dass diese Steuererklärung ein die Schulden um Fr. 73'875.-- übersteigendes Vermögen ausweise, stimmten die darin aufgeführten Verpflichtungen nicht mit jenen überein, die er in seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege aufführe. Der Beschwerdeführer erkläre diese Abweichungen nicht. Insgesamt - zumal mit Blick auf andere Unstimmigkeiten in seinen Angaben zu den Vermögensverhältnissen - erschienen die im Gesuch erwähnten Schulden ungenügend dargelegt und dokumentiert, weshalb sie nicht zu berücksichtigen seien. Im Übrigen habe das Mietgericht dem Beschwerdeführer ausdrücklich Frist angesetzt, um Unterlagen zum Nachweis seiner Verpflichtungen nachzureichen.
In seiner Beschwerde an das Bundesgericht wirft der Beschwerdeführer der Vorinstanz in diesem Zusammenhang nun "Willkür" und ein "Widerspruch" vor. Er begnügt sich aber im Wesentlichen damit, erneut seine angeblichen Schulden aufzuzählen. Inwiefern das Obergericht Recht verletzt haben sollte, wenn es diese zwar behaupteten, aber nicht belegten Verpflichtungen mangels Nachweis bei der Ermittlung der Bedürftigkeit unberücksichtigt gelassen hat, zeigt er dagegen nicht auf. Damit hat es sein Bewenden.
4.3.2. Der Beschwerdeführer rügt sodann eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Das Obergericht habe auf den vom Mietgericht berechneten Einkommensüberschuss von monatlich Fr. 851.-- abgestellt, ohne sich mit seinen diesbezüglichen "zahlreichen [...] Vorbringen und Beweismitteln" auseinanderzusetzen.
Um welche "zahlreichen [...] Vorbringen und Beweismitte[l]" es sich dabei handeln soll, lässt sich der Beschwerde nicht entnehmen. Der Beschwerdeführer nennt einzig die Behauptung, er komme für seine pflegebedürftige Mutter in Indien mit jährlich Fr. 15'000.-- bis Fr. 20'000.-- auf. Diese Leistungen habe die Vorinstanz nicht in Anschlag gebracht, und zwar ohne sich dazu zu äussern.
Dieser Vorwurf ist haltlos: Das Obergericht setzte sich explizit mit diesen Unterstützungsleistungen an die kranke Mutter auseinander, hielt aber fest, für derartige Zahlungen existierten keine Belege. Eine Gehörsverletzung ist nicht auszumachen.
4.3.3. Sodann unterbreitet der Beschwerdeführer dem Bundesgericht eine "integriert[e] Gegenüberstellung der monatlichen Einnahmen und Ausgaben", aus welcher er einen "Mangelbetrag" von monatlich Fr. 399.-- sowie eine "Nettoschuld" von Fr. 146'125.-- herleitet. Die Tabelle enthält die behaupteten Zahlungen an seine Mutter in Indien in Höhe von Fr. 1'250.-- sowie angebliche Schulden von Fr. 194'041.--; beide Angaben erachtete die Vorinstanz als nicht hinreichend belegt. Mit dieser "Gegenüberstellung" weist der Beschwerdeführer das angefochtene Urteil nicht als bundesrechtswidrig aus.
4.3.4. Schliesslich übt der Beschwerdeführer an verschiedenen Stellen abstrakte Kritik am angefochtenen Urteil. Es ist nicht erkennbar, inwiefern den entsprechenden Rügen Entscheidrelevanz zukäme. Darauf ist nicht einzutreten (Erwägung 3). Dies ist etwa der Fall, soweit der Beschwerdeführer unter Hinweis auf die Verordnung des Kantons Zürich über die Anwaltsgebühren vom 8. September 2010 (AnwGebV; LS 215.3) Berechnungen betreffend die zu erwartenden Prozesskosten anstellt, ohne dass ersichtlich wäre, in welcher Hinsicht die Mittellosigkeit gestützt auf diese Kalkulation anders zu beurteilen wäre. Gleich verhält es sich mit Bezug auf seine Ausführungen zur internen Kostentragung unter den drei Klägern.
Hingegen tut der Beschwerdeführer nicht konkret anhand der für die Bedürftigkeitsberechnung massgeblichen Kriterien dar, inwiefern die Vorinstanz zu Unrecht geschlossen haben soll, er vermöge (i) die voraussichtlichen Gerichts- und Anwaltskosten innert gegebener Zeit aufzubringen, ohne (ii) dass er Mittel angreifen müsste, die nachweislich für die Deckung seines eigenen notwendigen Lebensunterhalts und desjenigen seiner Familie erforderlich wären.
4.4. Damit ist ferner dem nicht weiter begründeten Vorwurf der Boden entzogen, die Vorinstanz hätte zufolge Bedürftigkeit (auch) für das zweitinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege bewilligen müssen. Nichts anderes gilt, soweit der Beschwerdeführer "im Sinne einer Eventualbegründung" tadelt, dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wäre zumindest teilweise stattzugeben gewesen.
5.
Die Beschwerde ist offensichtlich unbegründet und im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Das Begehren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen, weil die Beschwerde von vornherein aussichtslos war (siehe <ref-law>). Die Gerichtskosten sind gemäss <ref-law> dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Dem geringen Aufwand des Gerichts wird durch eine reduzierte Gerichtsgebühr Rechnung getragen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, und der B._ AG schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Oktober 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Stähle