Erwägungen:
1.
Mit Verfügung vom 8. März 2021 wies das Betreibungsamt Zürich 3 ein Gesuch des Beschwerdeführers um Nichtbekanntgabe der Betreibung Nr. xxx an Dritte ab.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer am 11. März 2021 (Poststempel) Beschwerde beim Bezirksgericht Zürich. Mit Zirkulationsbeschluss vom 14. April 2021 wies das Bezirksgericht die Beschwerde ab.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer am 23. April 2021 (Poststempel) Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich. Mit Urteil vom 10. Juni 2021 wies das Obergericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
Gegen diesen Entscheid (sowie einen weiteren; dazu Verfahren 5A_499/2021) hat der Beschwerdeführer am 17. Juni 2021 (Postaufgabe) Beschwerde an das Bundesgericht erhoben.
2.
Nach <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheides massgeblichen Erwägungen aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 116).
3.
Das Bezirksgericht hatte erwogen, dass der Gemeinde U._ mit Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 22. Januar 2021 in der Betreibung Nr. xxx definitive Rechtsöffnung erteilt worden sei. Damit fehle es an einer Voraussetzung für die Nichtbekanntgabe der Betreibung an Dritte im Sinne von <ref-law>. Das Obergericht hat erwogen, dass der Beschwerdeführer dies nicht bestreite und er nichts vorbringe, was eine abweichende Beurteilung nahe legen würde.
4.
Der Beschwerdeführer geht auf diese Erwägungen nicht ein. Es genügt nicht zu behaupten, er habe Beweise vorgelegt, die ignoriert worden seien. Er macht bloss geltend, die Forderung sei durch einen Lohnabzug bezahlt worden. Dabei geht er nicht auf die obergerichtliche Erwägung ein, wonach der Bestand der Forderung nicht Prozessthema sei. Das Verhalten der KESB Horgen ist ebenfalls nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens.
Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten (<ref-law>).
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Am Rande spricht der Beschwerdeführer vom Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, doch ist unklar, ob er sich auf das vorliegende bundesgerichtliche Verfahren bezieht. Ein entsprechendes Gesuch wäre infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer als obere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Juli 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg