Sachverhalt:
A.
Der 1947 geborene A._, deutscher Staatsbürger, wohnt in Deutschland, wo er als Zahnarzt resp. Kieferorthopäde tätig ist. Zusätzlich praktiziert er seit dem 1. Oktober 2011 in der Schweiz. Für diese Tätigkeit meldete er sich im Februar 2012 als Selbstständigerwerbender bei der Ausgleichskasse medisuisse (nachfolgend: medisuisse) an. Weil er zunächst in Deutschland unselbstständig erwerbend war, blieb er den deutschen Rechtsvorschriften über die soziale Sicherheit unterstellt. Sodann teilte er der medisuisse mit, dass er seine Tätigkeit in der Schweiz neu als Angestellter und in Deutschland seit dem 1. April 2013 als Selbstständigerwerbender ausübe. Unter diesen Umständen wäre die Versicherungsunterstellung von Deutschland auf die Schweiz übergegangen. Indessen erklärte sich das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) "angesichts des Alters" des A._ "ausnahmsweise" damit einverstanden, dass er weiterhin - bis zum 31. Dezember 2015 - den deutschen Rechtsvorschriften über die soziale Sicherheit unterstellt blieb. Ab dem 31. Dezember 2015 werde keine Verlängerung mehr möglich sein (Bestätigung vom 9. Januar 2014). Im April 2016 leitete die medisuisse eine Abklärung der sozialversicherungsrechtlichen Unterstellung ab dem 1. Januar 2016 ein. Eine weitere Befreiung des A._ von der Anwendung der schweizerischen Rechtsvorschriften über die soziale Sicherheit (ab 1. Januar 2016) lehnte das BSV am 21. November 2016 ab.
Mit Verfügung vom 24. Januar 2017 verpflichtete die medisuisse A._, ihr für das Jahr 2016 auf der Grundlage des in Deutschland als Selbstständigerwerbender erzielten Einkommens Akontobeiträge (und -verwaltungskosten) von Fr. 5142.20 zu bezahlen. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 14. November 2017 fest.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 9. August 2019 ab.
C.
A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, der Entscheid vom 9. August 2019 sei aufzuheben, und unter korrekter sozialversicherungsrechtlicher Unterstellung in Deutschland seien von ihm in der Schweiz keine sozialversicherungsrechtlichen Beiträge zu erheben. Zudem ersucht er um Anordnung eines zweiten Schriftenwechsels.
Die medisuisse schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das BSV verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Es besteht kein Anlass für den beantragten zweiten Schriftenwechsel (vgl. <ref-law> und JOHANNA DORMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 19-22 zu <ref-law>).
1.2. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>), was in der Beschwerde näher darzulegen ist. Der vorinstanzliche Verfahrensausgang allein bildet noch keinen hinreichenden Anlass im Sinne von <ref-law> für die Zulässigkeit von unechten Noven, die bereits im kantonalen Verfahren ohne Weiteres hätten vorgebracht werden können (<ref-ruling> E. 1.2 S. 22 f.; <ref-ruling> E. 3.2.2.2 S. 548).
Der Beschwerdeführer legt im bundesgerichtlichen Verfahren neu den Steuerbescheid 2016 eines deutschen Finanzamtes vom 13. Juni 2018 ins Recht. Weshalb dieser nicht bereits im vorinstanzlichen Verfahren hätte eingereicht werden können, wird nicht ausgeführt und ist auch nicht ersichtlich; er ist somit - wie die entsprechenden neuen Behauptungen - unzulässig und bleibt unberücksichtigt.
1.3. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde substanziiert vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4 S. 5; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
2.1. Es liegt ein länderübergreifender Sachverhalt vor, der auf der Grundlage von Art. 8 FZA (SR 0.142.112.681) und Art. 1 Abs. 1 Anhang II FZA i.V.m. Art. 11 ff. der Verordnung [EG] Nr. 883/2004 des Europäischen Parlaments und des Rates vom 29. April 2004 zur Koordinierung der Systeme der sozialen Sicherheit (SR 0.831.109.268.1; nachfolgend: VO Nr. 883/2004) und den diese konkretisierenden Vorgaben der Verordnung (EG) Nr. 987/2009 des Europäischen Parlaments und des Rates vom 16. September 2009 zur Festlegung der Modalitäten für die Durchführung der VO Nr. 883/2004 (SR 0.831.109.268.11; nachfolgend: VO Nr. 987/2009) zu beurteilen ist.
2.2. Die Vorinstanz hat die in der Schweiz bei der B._ AG ausgeübte Arbeit des Beschwerdeführers als unselbstständige Tätigkeit betrachtet. Gestützt auf Art. 13 Abs. 3 VO Nr. 883/2004 hat sie schweizerisches Recht für anwendbar gehalten. Sie hat erwogen, es sei nicht zu beanstanden, dass das BSV eine weitere Befreiung von der Versicherungsunterstellung (im Sinne von Art. 16 Abs. 1 VO Nr. 883/2004) ab dem 1. Januar 2016 abgelehnt hatte. Sodann hat das kantonale Gericht eine unzumutbare Doppelbelastung im Sinne von <ref-law> verneint und eine Beitragspflicht nach den <ref-law> für das gesamte, mithin auch für das in Deutschland im Jahr 2016 erzielte Erwerbseinkommen bejaht.
2.3. Eine sachgerechte Anfechtung des vorinstanzlichen Entscheids war möglich; es kann somit nicht von einer Verletzung der Begründungspflicht resp. des Anspruchs auf rechtliches Gehör gesprochen werden (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 436 mit Hinweisen).
Streitig und zu prüfen ist die Anwendbarkeit des AHVG und die entsprechende Beitragspflicht des Beschwerdeführers für das 2016 in Deutschland erwirtschaftete Erwerbseinkommen.
3.
3.1.
3.1.1. Als Grundregel bestimmt Art. 11 Abs. 1 VO Nr. 883/2004, dass Personen, für die diese Verordnung gilt, den Rechtsvorschriften nur eines Mitgliedstaates unterliegen. Eine Person, die gewöhnlich in zwei oder mehr Mitgliedstaaten eine Beschäftigung ausübt, unterliegt den Rechtsvorschriften des Wohnmitgliedstaats, wenn sie dort einen wesentlichen Teil ihrer Tätigkeit ausübt (Art. 13 Abs. 1 lit. a VO Nr. 883/2004). Eine Person, die gewöhnlich in zwei oder mehr Mitgliedstaaten eine selbstständige Erwerbstätigkeit ausübt, unterliegt den Rechtsvorschriften des Wohnmitgliedstaats, wenn sie dort einen wesentlichen Teil ihrer Tätigkeit ausübt (Art. 13 Abs. 2 lit. a VO Nr. 883/2004). Eine Person, die gewöhnlich in verschiedenen Mitgliedstaaten eine Beschäftigung und eine selbstständige Erwerbstätigkeit ausübt, unterliegt den Rechtsvorschriften des Mitgliedstaats, in dem sie eine Beschäftigung ausübt, oder, wenn sie eine solche Beschäftigung in zwei oder mehr Mitgliedstaaten ausübt, den nach Absatz 1 bestimmten Rechtsvorschriften (Art. 13 Abs. 3 VO Nr. 883/2004).
3.1.2. Für die Anwendung von Art. 13 VO Nr. 883/2004 sind unter "Beschäftigung" bzw. "selbstständiger Erwerbstätigkeit" diejenigen Tätigkeiten zu verstehen, die im Rahmen der Rechtsvorschriften über die soziale Sicherheit des Mitgliedstaates, in dessen Gebiet die Tätigkeit ausgeübt wird, als solche (unselbstständige oder selbstständige Tätigkeit) angesehen werden. Diese Regel bezieht sich indessen lediglich auf die Frage nach dem anwendbaren Recht; sie besagt noch nichts über die konkrete beitragsrechtliche Qualifikation eines bestimmten Einkommensteils, wenn die Unterstellung unter die schweizerischen Rechtsvorschriften feststeht (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 301 f.; SVR 2019 AHV Nr. 9 S. 24, 9C_65/2018 E. 3.3).
3.2. Unbestritten und deshalb nicht zu überprüfen (vgl. E. 1.3) sind insbesondere folgende Punkte: Im hier interessierenden Jahr 2016 hatte der Beschwerdeführer seinen Wohnort (vgl. dazu Art. 11 VO Nr. 987/2009) in Deutschland. Er übte sowohl in Deutschland als auch in der Schweiz eine nicht bloss marginale Tätigkeit aus, und auf beide Länder entfiel ein wesentlicher Teil der Erwerbstätigkeit (vgl. Art. 14 Abs. 5b und 8 VO Nr. 987/2009). Die Arbeit in Deutschland wird nach deutschem Recht als selbstständige Erwerbstätigkeit qualifiziert (vgl. Schreiben des GKV-Spitzenverbands, Deutsche Verbindungsstelle Krankenversicherung - Ausland, vom 27. November 2017).
Fraglich - und bei diesen Gegebenheiten für die Ermittlung der zutreffenden Kollisionsnorm (Art. 13 Abs. 2 lit. a oder Art. 13 Abs. 3 VO Nr. 883/2004) entscheidend - ist, ob die Tätigkeit des Beschwerdeführers in der Schweiz nach schweizerischem Recht als selbstständig oder unselbstständig aufzufassen ist. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers spielt es im hier interessierenden Zusammenhang keine Rolle, wie die in Deutschland ausgeübte und (allenfalls) "genau gleich gelagerte Tätigkeit" nach schweizerischem Recht qualifiziert würde (vgl. E. 3.1.2).
3.3.
3.3.1. Nach <ref-law> gilt als massgebender Lohn jedes Entgelt für in unselbstständiger Stellung auf bestimmte oder unbestimmte Zeit geleistete Arbeit; als Einkommen aus selbstständiger Erwerbstätigkeit gilt nach <ref-law> jedes Einkommen, das nicht Entgelt für in unselbstständiger Stellung geleistete Arbeit darstellt.
Nach der Rechtsprechung beurteilt sich die Frage, ob im Einzelfall selbstständige oder unselbstständige Erwerbstätigkeit vorliegt, nicht aufgrund der Rechtsnatur des Vertragsverhältnisses zwischen den Parteien. Entscheidend sind vielmehr die wirtschaftlichen Gegebenheiten. Die zivilrechtlichen Verhältnisse vermögen dabei allenfalls gewisse Anhaltspunkte für die AHV-rechtliche Qualifikation zu bieten, ohne jedoch ausschlaggebend zu sein. Als unselbstständig erwerbstätig ist im Allgemeinen zu betrachten, wer von einem Arbeitgeber in betriebswirtschaftlicher bzw. arbeitsorganisatorischer Hinsicht abhängig ist und kein spezifisches Unternehmerrisiko trägt. Aus diesen Grundsätzen allein lassen sich indessen noch keine einheitlichen, schematisch anwendbaren Lösungen ableiten. Die Vielfalt der im wirtschaftlichen Leben anzutreffenden Sachverhalte zwingt dazu, die beitragsrechtliche Stellung einer erwerbstätigen Person jeweils unter Würdigung der gesamten Umstände des Einzelfalls zu beurteilen. Weil dabei vielfach Merkmale beider Erwerbsarten zu Tage treten, muss sich der Entscheid oft danach richten, welche dieser Merkmale im konkreten Fall überwiegen (<ref-ruling> E. 4.2 S. 112 f.; SVR 2017 AHV Nr. 7 S. 15, 9C_407/2016 E. 2.1).
3.3.2. Die beitragsrechtliche Qualifikation ist eine frei überprüfbare Rechtsfrage (Art. 95 lit. a i.V.m. <ref-law>). Die Sachverhaltselemente hingegen, welche der entsprechenden Schlussfolgerung zu Grunde liegen, beschlagen Tatfragen (SVR 2017 AHV Nr. 7 S. 15, 9C_407/2016 E. 2).
3.3.3. Die Vorinstanz hat festgestellt, die Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich habe mit Verfügung vom 20. Dezember 2013 die Arbeit des Beschwerdeführers bei der B._ AG nur im Rahmen eines Anstellungsverhältnisses erlaubt. Dementsprechend hätten die B._ AG und der Beschwerdeführer ein Arbeitsverhältnis begründet (Vertrag vom 15. Dezember 2013). Nach der Praxis der Gesundheitsdirektion wäre die Tätigkeit ab 1. September 2015 auch auf eigene Rechnung bewilligungsfähig gewesen; der Arbeitsvertrag sei aber unverändert weitergeführt worden. Die Parteien hätten u.a. ein an die Praxisöffnungszeiten gebundenes fixes Arbeitspensum, eine Treuepflicht, ein Verbot der Kundenabwerbung, Lohn und Ferienanspruch sowie eine einmonatige Kündigungsfrist statuiert. Zwar sei ein Provisionslohn auf der Basis der effektiv bezahlten zahnärztlichen Leistungen vereinbart worden, weshalb der Beschwerdeführer dafür das Inkassorisiko trage. Darüber hinaus bestehe kein (unternehmerisches) Risiko, und der Beschwerdeführer habe auch keinen fixen Infrastrukturkostenbeitrag zu entrichten. Arbeitsorganisatorisch sei er weisungsgebunden.
Dass diese Feststellungen offensichtlich unrichtig sein oder auf einer Rechtsverletzung beruhen sollen, ist nicht ersichtlich und wird auch nicht geltend gemacht. Sie bleiben daher für das Bundesgericht verbindlich (E. 1.3).
3.3.4.
3.3.4.1. Im hier interessierenden Zusammenhang macht der Beschwerdeführer im Wesentlichen geltend, er sei bereits "zuvor" (resp. "früher") in gleicher Weise für die B._ AG tätig gewesen; dabei seien aber die Vertragsparteien und die medisuisse von einer selbstständigen Erwerbstätigkeit ausgegangen. Der Arbeitsvertrag sei nur mit Blick auf die Bewilligung der Gesundheitsdirektion erstellt worden. Er habe erhebliche Reise-, Verpflegungs- und Aufenthaltskosten zu tragen und keinen Anspruch auf Spesenersatz. Es sei vereinbart worden, dass er die Sozialversicherungsabgaben selbst bezahle. Er sei in der Annahme von Patienten frei, fachlich nicht weisungsgebunden und werde als Spezialist beigezogen. Viele Klauseln des Arbeitsvertrags seien lediglich aus einer Word-Vorlage übernommen worden und ohne eigenständige Bedeutung. Insbesondere habe er keine fixen Arbeitszeiten analog eines subalternen Sachbearbeiters einzuhalten, und dass er nur während der Öffnungszeiten der Praxis dort praktizieren könne, verstehe sich von selbst. Er trage das (Inkasso-) Risiko und erhalte keinen Grundlohn.
3.3.4.2. Diese Argumentation hält nicht stand: Aufgrund der bis Ende März 2013 in Deutschland ausgeübten unselbstständigen Tätigkeit und der anschliessenden, bis Ende 2015 geltenden Ausnahmeregelung (vgl. Sachverhalt lit. A) hatte die medisuisse erstmals für das Jahr 2016 Anlass zu prüfen und zu entscheiden, ob der Beschwerdeführer bei der B._ AG als Angestellter oder als Selbstständigerwerbender arbeitete. Sodann ist die zivilrechtliche Ausgestaltung des Vertragsverhältnisses AHV-rechtlich nicht entscheidend, und die Übereinkunft, wonach der Beschwerdeführer die Sozialversicherungsabgaben selbst bezahle, ist für die Durchführungsorgane der AHV nicht bindend (<ref-ruling> E. 6.1 S. 114). Weder die (fehlende) Spesenregelung noch die (weitgehende) Freiheit in der Einteilung der Arbeitszeit ist ein wesentliches Merkmal für die Unterscheidung zwischen selbstständiger und unselbstständiger Tätigkeit. Zudem spricht die fehlende fachliche Weisungsgebundenheit nicht gegen ein Anstellungsverhältnis, bildet doch eine ausgeprägte Eigenverantwortlichkeit bei Erbringung der Dienstleistung Merkmal aller sog. freien Berufe (<ref-ruling> E. 6.3.2 S. 117).
Des Weiteren ist nicht ersichtlich und macht (e) der Beschwerdeführer auch nicht geltend, dass er für die Ausübung der Tätigkeit bei der B._ AG Kapital investierte, organisatorischen Aufwand betrieb, (direkt) Angestellte entlöhnte oder Werbe- resp. Marketingauslagen trug, oder dass er bei kurzfristiger Aufgabe der Tätigkeit Einbussen im Sinne von Substanzverlusten hätte in Kauf nehmen müssen. Insgesamt fehlte somit ein spezifisches Unternehmerrisiko (vgl. <ref-ruling> E. 6.2 S. 115). Daran ändert nichts, dass der Beschwerdeführer (einzig) das Inkassorisiko für die Bezahlung seiner Leistungen trug. Ausserdem mag er zwar Freiheit in Bezug auf die Patientenannahme genossen haben; er legt aber nicht dar, dass er dabei etwa den Behandlungstarif frei bestimmen konnte, oder dass er in irgend einer Weise in "eigenem" Namen auftrat resp. seine Leistungen anbot (vgl. <ref-ruling> E. 6.4 S. 119).
3.4. Angesichts der gesamten Umstände des konkreten Falls (E. 3.3.3-3.3.4) hat die Vorinstanz kein Bundesrecht verletzt, indem sie die 2016 in der Schweiz bei der B._ AG geleistete Arbeit des Beschwerdeführers als unselbstständige Erwerbstätigkeit qualifiziert hat. Somit sind - im Grundsatz (vgl. sogleich E. 3.5) - nach Art. 13 Abs. 3 VO Nr. 883/2004 die schweizerischen Rechtsvorschriften anwendbar.
3.5.
3.5.1. Art. 16 Abs. 1 VO Nr. 883/2004 ermöglicht eine Ausnahmeregelung; die Bestimmung lautet wie folgt: Zwei oder mehr Mitgliedstaaten, die zuständigen Behörden dieser Mitgliedstaaten oder die von diesen Behörden bezeichneten Einrichtungen können im gemeinsamen Einvernehmen Ausnahmen von den Artikeln 11-15 im Interesse bestimmter Personen oder Personengruppen vorsehen.
3.5.2. Der Beschwerdeführer hält die Befristung der (auf Art. 16 Abs. 1 VO Nr. 883/2004 gestützten) Ausnahme von der Unterstellung unter die schweizerischen Rechtsvorschriften bis Ende 2015 resp. deren Nichtverlängerung (vgl. Sachverhalt lit. A) für willkürlich, unverhältnismässig und deshalb unzulässig. Indessen macht er - in Anbetracht der ausdrücklichen zeitlichen Limitierung durch das BSV zu Recht - nicht geltend, im Sinne des Vertrauensschutzes (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.6.2 S. 103 mit Hinweisen) über den 31. Dezember 2015 hinaus von der Anwendung der schweizerischen Rechtsvorschriften ausgenommen zu sein.
3.5.3.
3.5.3.1. Die Beantwortung der Frage, ob eine Ausnahme im Sinne von Art. 16 Abs. 1 VO Nr. 883/2004 zu machen ist, liegt nach dem klaren Wortlaut dieser Bestimmung nicht in der Kompetenz einer einzelnen Ausgleichskasse. Zuständig im konkreten Fall ist resp. war vielmehr das BSV (vgl. Art. 1 lit. m VO Nr. 883/2004) im Einvernehmen mit dem GKV-Spitzenverband, Deutsche Verbindungsstelle Krankenversicherung - Ausland. Zwar hat die Ausgleichskasse unter bestimmten Voraussetzungen offene Vorfragen aus einem anderen Rechtsgebiet zu beantworten; zu denken ist etwa an Fragen aus dem Zivil- resp. Strafrecht, wenn Schadenersatz nach <ref-law> resp. eine Rückforderung nach <ref-law> zur Diskussion steht. Hier geht es indessen um eine innerhalb der Kollisionsvorschriften von Art. 11 ff. VO Nr. 883/2004 spezialgesetzlich geregelte Zuständigkeit, wobei dem BSV in der Anwendung von Art. 16 VO Nr. 883/2004 ein erheblicher Ermessensspielraum verbleibt, vermittelt doch die Bestimmung mit der "Kann-Formulierung" keinen Anspruch auf Freistellung von den grundsätzlich anwendbaren Rechtsvorschriften. Zudem ist die zuständige Beschwerdeinstanz gegen den Entscheid des BSV das Bundesverwaltungsgericht (vgl. <ref-ruling>; SVR 2016 AHV Nr. 2 S. 5, 9C_602/2015; Urteil 9C_171/2016 vom 15. Juni 2016), gegen einen solchen der Ausgleichskasse hingegen das kantonale Versicherungsgericht (vgl. <ref-law>). Bei diesen Gegebenheiten besteht kein Raum für eine Kompetenzattraktion der Ausgleichskasse in Bezug auf die (Vor-) Frage nach einer Ausnahme im Sinne von Art. 16 VO Nr. 883/2004 (vgl. SVR 2017 BVG Nr. 37 S. 169, 9C_938/2015 E. 6.2.3).
3.5.3.2. Da die Kognition des kantonalen Versicherungsgerichts nicht weiter sein kann als jene der Ausgleichskasse (Einheit des Verfahrens; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 411; vgl. auch <ref-ruling> E. 1 S. 414 f.), steht bzw. stand es auch der Vorinstanz nicht zu, die (im November 2016 bestätigte) Entscheidung des BSV, ab Januar 2016 keine Ausnahme mehr zu gewähren, zu überprüfen.
3.5.4. Das BSV erliess keine an den Beschwerdeführer gerichtete formelle Verfügung, vielmehr kommunizierte es seine Entscheidung - Nichtverlängerung der Ausnahmeregelung - mit Schreiben vom 21. November 2016 (einzig) dem GKV-Spitzenverband, Deutsche Verbindungsstelle Krankenversicherung - Ausland. Dagegen opponierte der Beschwerdeführer bereits in seiner Einsprache vom 24. Februar 2017 (vgl. zur Frist für das Verlangen einer anfechtbaren Verfügung SUSANNE GENNER, in: Basler Kommentar, Allgemeiner Teil des Sozialversicherungsrechts, 2020, N. 7 zu <ref-law>; UELI KIESER, ATSG-Kommentar, 3. Aufl. 2015, N. 18 ff. zu <ref-law>; vgl. auch Art. 27 und 30 ATSG zur Aufklärungs- und Weiterleitungspflicht der Ausgleichskasse).
Die Sache ist daher an die Verwaltung zurückzuweisen, damit diese den Erlass einer Verfügung durch das BSV veranlasse oder dem Beschwerdeführer Gelegenheit gebe, eine solche zu verlangen. Damit erübrigt es sich, hier auf die Ausführungen des Beschwerdeführers zu einer Ausnahme gemäss Art. 16 VO Nr. 883/2004 einzugehen, und der Instanzenzug bleibt ihm gewahrt. Anschliessend wird die Ausgleichskasse erneut über die Beitragspflicht des Beschwerdeführers zu befinden haben.
4.
4.1. Soweit sich aus dem Vorgehen gemäss E. 3.5.4 keine Ausnahme ergibt, sind nach dem Gesagten (einzig) die schweizerischen Rechtsvorschriften anwendbar. Es rechtfertigt sich, hier nach diesen Regeln die Unterstellung des Beschwerdeführers unter das AHVG und die entsprechende Beitragspflicht zu prüfen.
4.2. Versichert nach AHVG - und damit diesem Gesetz unterstellt - sind die natürlichen Personen, die in der Schweiz eine Erwerbstätigkeit ausüben (<ref-law>). Nicht versichert sind insbesondere Personen, die einer ausländischen staatlichen Alters- und Hinterlassenenversicherung angehören, sofern der Einbezug in die Versicherung für sie eine nicht zumutbare Doppelbelastung bedeuten würde (<ref-law>).
4.3. Die Vorinstanz hat zutreffend erkannt, dass im konkreten Fall nicht von einer unzumutbaren Doppelbelastung im Sinne von <ref-law> gesprochen werden kann. Einerseits unterliegt der Beschwerdeführer den Rechtsvorschriften nur eines Staates (vgl. Art. 11 Abs. 1 VO Nr. 883/2004); anderseits macht er selber geltend, für das hier interessierende Jahr 2016 in Deutschland ohnehin keiner Beitragspflicht zu unterliegen. Soweit er auf die früher von ihm geleisteten "sehr hohen" Sozialversicherungsbeiträge verweist, ergibt sich nichts anderes. Es mag sein, dass die deutsche Rechtsordnung für erwerbstätige Personen im Rentenalter keine Beitragspflicht kennt, und dass eine solche Beitragsbefreiung durch entsprechend höhere Beiträge der Beitragspflichtigen ausgeglichen werden muss, wie der Beschwerdeführer (teilweise implizit) geltend macht. Daraus lässt sich aber für das hier interessierende Beitragsjahr weder eine Doppelbelastung noch eine Unzumutbarkeit ableiten.
4.4. Demnach steht fest, dass der Beschwerdeführer - unter Vorbehalt des Ergebnisses gemäss E. 3.5.4 - dem AHVG unterstellt ist. Für diesen Fall beruft er sich auf die von <ref-law> gewährleistete Wirtschaftsfreiheit. Dass nach den Bestimmungen des AHVG auch auf dem in Deutschland erzielten Erwerbseinkommen Beiträge erhoben werden (vgl. insbesondere <ref-law> e contrario), komme einem Berufsverbot in der Schweiz gleich resp. bedeute eine prohibitive Beitragsbelastung und sei somit unverhältnismässig.
Zwar trifft zu, dass die im Rentenalter geschuldeten Beiträge nicht rentenbildend, sondern reine Solidaritätsbeiträge sind (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 263; ZAK 1981 S. 346, H 31/80 E. 3). Indessen braucht nicht weiter geprüft zu werden, ob es verhältnismässig ist, dass allein aufgrund der unselbstständigen Tätigkeit in der Schweiz (auch) auf dem im Ausland erzielten Erwerbseinkommen (nach Abzug eines Freibetrags; vgl. <ref-law> i.V.m. <ref-law> [SR 831.101]) Beiträge erhoben werden: Die schweizerische Rechtsordnung kennt keine Verfassungsgerichtsbarkeit für Bundesgesetze. Diese sind laut <ref-law> für das Bundesgericht und die anderen rechtsanwendenden Behörden massgebend; für die <ref-law> gilt somit ein Anwendungsgebot (vgl. <ref-ruling> E. 3.5.1 S. 130; Pra 2017 Nr. 65 S. 633, 2C_150/2016 E. 5; Urteil 9C_659/2019 vom 15. November 2019 E. 4.2; ASTRID EPINEY, in: Basler Kommentar, Bundesverfassung, 2015, N. 8 und 21 f. zu <ref-law>).
4.5. Ausführungen zur Höhe der geschuldeten Beiträge erübrigen sich. Mit dem angefochtenen Entscheid hat die Vorinstanz lediglich (provisorische) Akontobeiträge und damit die Beitragspflicht gemäss den <ref-law> im Grundsatz bestätigt (E. 2.2). Die medisuisse wird gegebenenfalls die (definitive) Bemessung der geschuldeten Beiträge mittels Verfügung vornehmen.
Die Beschwerde ist einzig im Sinne von E. 3.5.4 teilweise gutzuheissen; im Übrigen ist sie unbegründet.
5.
Hinsichtlich der Prozesskosten gilt die Rückweisung der Sache zu neuem Entscheid praxisgemäss als volles Obsiegen (vgl. statt vieler: Urteil 9C_279/2019 vom 1. Juli 2019 E. 3 mit Hinweisen), weshalb die unterliegende Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten trägt und dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung auszurichten hat (Art. 66 Abs. 1 und 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 9. August 2019 und der Einspracheentscheid der Ausgleichskasse medisuisse vom 14. November 2017 werden aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Verfügung an die Ausgleichskasse medisuisse zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 600.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung für das vorangegangene Verfahren an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. Februar 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Dormann