Sachverhalt:
A.
C.A._ (geb. 2010) und D.A._ (geb. 2005) sind die gemeinsamen Kinder von B.A._ und A.A._ (Beschwerdeführer). D.A._ ist seit dem 6. Juli 2017 verbeiständet.
Mit Entscheid vom 21. März 2019 errichtete die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Oberaargau (KESB) auch für C.A._ eine Beistandschaft und ernannte eine Beiständin. Gleichzeitig wies sie einen Antrag des Kindsvaters auf Anordnung eines Gutachtens zur Abklärung des persönlichen Verkehrs zwischen ihm und C.A._ ab.
B.
Auf die von A.A._ hiergegen erhobene Beschwerde trat das Obergericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 16. Mai 2019 (eröffnet am 21. Mai 2019) nicht ein (Dispositivziffer 1). Das Obergericht erhob keine Verfahrenskosten (Dispositivziffer 2) und sprach keine Parteientschädigung (Dispositivziffer 3).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 19. Juni 2019 gelangt A.A._ an das Bundesgericht. Er beantragt, es seien die Ziffern 1 und 3 des Entscheids des Obergerichts aufzuheben und die Sache sei zur Einholung eines Gutachtens über die Situation der Kinder bezüglich des persönlichen Verkehrs (Besuchs- und Kontaktrecht) zum Vater und anschliessender materieller Entscheidung über etwaige Massnahmen an die KESB, eventuell an das Obergericht, zurückzuweisen.
Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), die in nicht vermögensrechtlichen Angelegenheiten des Kindesschutzes (Errichtung einer Beistandschaft, Ernennung einer Beiständin, Anordnung eines Gutachtens zum persönlichen Verkehr zwischen Vater und Kind; vgl. auch hinten E. 3) auf das bei ihr erhobene Rechtsmittel nicht eingetreten ist. Betroffen sind damit öffentlich-rechtliche Angelegenheiten in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG) ohne Streitwert. Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel, womit die ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht zulässig ist (<ref-law>). Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt, die er auch fristgerecht erhoben hat (<ref-law>).
1.2. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Nichteintretensentscheid. Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens ist damit al-lein die Frage, ob das Obergericht zu Recht auf das bei ihm erhobene Rechtsmittel nicht eingetreten ist. Trifft dies zu, hat es beim Nichteintretensentscheid sein Bewenden. Ansonsten ist die Sache zur weiteren Beurteilung des Falls an das Obergericht zurückzuweisen. Das Bundesgericht könnte nicht direkt inhaltlich entscheiden, da die Streitsache nicht liquid wäre. Insbesondere würde es an den nötigen tatsächlichen Feststellungen durch die gerichtliche Vorinstanz fehlen (<ref-ruling> E. 1.2). Unter diesen Umständen ist es zulässig, dass der Beschwerdeführer einzig Antrag auf Aufhebung des angefochtenen Entscheids und Rückweisung der Sache an die kantonale Instanz zur weiteren Behandlung stellt (<ref-ruling> E. 1.3).
1.3. Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann die Verletzung von Bundesrecht, einschliesslich des Verfassungsrechts, sowie von Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 Bst. a und b BGG). Abgesehen von den hier nicht einschlägigen Ausnahmen von Art. 95 Bst. c-e BGG ist die fehlerhafte Anwendung des kantonalen Rechts kein Beschwerdegrund vor Bundesgericht. Vielmehr kann auch hinsichtlich des kantonalen Rechts nur gerügt werden, dessen Anwendung führe zu einer Rechtsverletzung nach Art. 95 Bst. a oder b BGG, namentlich einem Verstoss gegen das Willkürverbot oder einer Verletzung anderer verfassungsmässiger Rechte (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 1.2).
Bundesrecht wendet das Bundesgericht von Amtes wegen an (<ref-law>) und es prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid dieses verletzt. Es befasst sich aber nur mit ausreichend begründeten Einwänden (<ref-law>). In der Beschwerdebegründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochte-ne Entscheid rechtswidrig sein soll. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschrän-ken; die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2, 115 E. 2). Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten und von kantonalem Recht prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Notwendig ist, dass in der Beschwerde klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt wird, inwieweit die angerufenen Rechte verletzt wurden. Auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 1.3).
1.4. Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (<ref-law>). Dazu gehören auch die Feststellungen über den Lebenssachverhalt, auf dem der Streitgegenstand beruht, und jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1). Zum Sachverhalt kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (<ref-law>), oder würden auf einer anderen Bundesrechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. Verletzung von <ref-law>) beruhen. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; zum Ganzen <ref-ruling> E. 2.3). Für die Begründung gilt das Rügeprinzip nach <ref-law> (vgl. E. 1.3 hiervor).
2.
Das Obergericht hielt fest, die KESB habe eine Beistandschaft über C.A._ errichtet, eine Beiständin ernannt und einen Antrag des Beschwerdeführers auf Anordnung eines Gutachtens zur Abklärung des persönlichen Verkehrs zwischen Vater und Kind abgewiesen (vgl. vorne Bst. A).
Im Verfahren vor der KESB habe der Beschwerdeführer ausgeführt, dass er mit der Ausgestaltung des Besuchsrechts in Form von begleiteten Besuchen nicht einverstanden sei. Von ihm gehe keine Kindeswohlgefährdung aus und dem erstinstanzlichen Entscheid liessen sich keine Indizien für ein drohendes oder gewalttätiges Verhalten gegenüber den Kindern entnehmen. Damit mache der Beschwerdeführer zwar eine unrichtige Feststellung des Sachverhalts geltend. Weshalb er mit den erstinstanzlich angeordneten Massnahmen (Errichtung Beistandschaft und Ernennung Beiständin) nicht einverstanden sei bzw. weshalb diese Massnahmen unangemessen sein sollten, gehe aus der Beschwerde jedoch nicht hervor. Auf den Antrag auf Aufhebung dieser Massnahmen sei daher mangels Begründung nicht einzutreten.
Bei der Abweisung des Antrags auf Einholen eines Gutachtens (betreffend den persönlichen Verkehr) handle es sich sodann um eine unselbständige Zwischenverfügung. Diese könne nur ausnahmsweise selbständig angefochten werden, wenn der fragliche Beweis gefährdet sei und deshalb ein nicht wieder gutzumachender Nachteil drohe. Ansonsten sei eine Anfechtung nur zusammen mit dem Endentscheid möglich, soweit die Zwischenverfügung sich auf dessen Inhalt auswirke. Der Beschwerdeführer lege zwar dar, weshalb es zur Klärung des rechtserheblichen Sachverhalts seiner Ansicht nach eines Gutachtens bedürfe. Er mache bezüglich des abgewiesenen Beweisantrages aber weder einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil geltend, noch sei ein solcher ersichtlich. Die Zwischenverfügung sei nicht selbständig anfechtbar, weshalb auf die Beschwerde auch insoweit nicht ein-zutreten sei.
3.
Der Beschwerdeführer macht vorab geltend, soweit sich die Beschwerde an das Obergericht gegen die Aufhebung der "inhaltlich-materiellen Anordnung im KESB-Entscheid" gerichtet habe, sei sie ausreichend begründet gewesen. Er habe dargelegt, dass und warum keine Gefährdung des Kindeswohls von ihm ausgehe. Die Beschwerde habe sich sodann mit dem erstinstanzlichen Entscheid auseinandergesetzt und auf diesen Bezug genommen.
Damit verkennt der Beschwerdeführer, dass das Obergericht die bei ihm erhobene Beschwerde deshalb als ungenügend begründet angesehen hat, weil er sich nicht zur Rechtmässigkeit bzw. Angemessenheit der von der KESB angeordneten Massnahmen geäussert habe, mithin der Errichtung einer Beistandschaft und der Ernennung der Beiständin. Mit diesem Vorwurf setzt der Beschwerdeführer sich (auch) vor Bundesgericht nicht auseinander: Der Hinweis auf das Vorbringen zum Kindeswohl zeigt nicht auf, dass der Beschwerdeführer entgegen der obergerichtlichen Würdigung nach Massgabe von <ref-law> ausreichend auf den Entscheid der KESB eingegangen wäre. Der Beschwerdeführer ist sodann zwar weiter der Ansicht, die KESB habe (auch) über das väterliche Besuchsrecht entschieden. Damit weicht er jedoch von den vorinstanzlichen Feststellungen zum Prozesssachverhalt ab, ohne dem Obergericht eine qualifiziert unrichtige oder sonst Bundesrecht verletzende Sachverhaltsfeststellung vorzuwerfen. Er ist mit seinem Vorbringen daher nicht zu hören (vgl. vorne E. 1.4).
4.
Als hinreichend, gar ausführlich begründet erachtet der Beschwerdeführer die Beschwerde ans Obergericht auch hinsichtlich der Abweisung des Antrags auf Anordnung eines Gutachtens. Er habe aufgezeigt, "dass und warum mit dem angefochtenen KESB-Entscheid die korrekte Abklärung des rechtserheblichen Sachverhalts" verweigert worden sei. Dabei habe er sich intensiv mit dem Entscheid der Erstinstanz auseinandergesetzt. Das Nichteintreten auf seine Beschwerde beinhalte eine Verletzung des Beweis- und des Gehörsanspruchs sowie eine unrichtige Anwendung der Eintretensvoraussetzungen und sei willkürlich. Bei der Abweisung des Antrags auf Begutachtung handle es sich sodann nicht um einen Zwischen-, sondern einen Endentscheid. Die KESB habe über das Besuchsrecht des Vaters entschieden und mit der Beschwerde vor Obergericht sei nicht nur eine einzelne Massnahme beanstandet worden. Vielmehr sei gerügt worden, die KESB habe den rechtserheblichen Sachverhalt im Verfahren insgesamt nie überprüft. Die Behörde habe die Untersuchungsmaxime verletzt, indem sie die notwendigen Abklärungen in Form eines Gutachtens nicht getroffen habe.
An der Sache vorbei geht das Vorbringen, der Beschwerdeführer habe sich in der Beschwerde an das Obergericht in inhaltlicher Hinsicht ausreichend mit der Abweisung des Antrags auf Einholung eines Gutachtens auseinandergesetzt: Wie dargelegt hat das Obergericht die bei ihm erhobene Beschwerde nicht aus diesem Grund, sondern deshalb als ungenügend begründet angesehen, weil der Beschwerdeführer sich nicht hinreichend mit den (kantonalrechtlichen) Voraussetzungen zur Anfechtbarkeit eines Zwischenentscheids auseinandergesetzt habe. Zu dieser Problematik äussert der Beschwerdeführer sich in der Beschwerde in Zivilsachen nur insoweit, als er angibt, es habe tatsächlich nicht ein Zwischen-, sondern ein Endentscheid vorgelegen. Auch bezogen auf diesen Problemkreis gilt indes, dass der Beschwerdeführer mit dem Vorbringen nicht zu hören ist, die KESB habe auch über das Besuchsrecht entschieden (vgl. vorne E. 3). Im Übrigen belässt es der Beschwerdeführer dabei, seine eigene Ansicht jener des Obergerichts gegenüberzustellen. Mit den vorinstanzlichen Überlegungen zur Qualifikation des angefochtenen Akts als Zwischenverfügung, zu den Voraussetzungen, unter denen eine solche angefochten werden kann, und zur Anwendbarkeit des kantonalen Rechts in diesem Zusammenhang setzt er sich dagegen nicht auseinander. Auch legt er nicht dar, dass er sich entgegen dem Obergericht im vorinstanzlichen Verfahren mit den entsprechenden Fragen auseinandergesetzt hätte.
5.
Nach dem Ausgeführten erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist sie abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Parteientschädigung ist keine zu sprechen (Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Bern, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Oktober 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber