Sachverhalt:
A.
A.a. Am 17. Oktober 2018 stellte A._ (Beschwerdeführer) bei der Politischen Gemeinde U._ ein Begehren um Schadenersatz und Genugtuung über Fr. 34'837.--. Die Gemeinde bestritt die geltend gemachten Ansprüche, woraufhin A._ beim Bezirksgericht Bülach mit Teilklage vom 15. November 2019 unter Nachklagevorbehalt beantragte, diese zur Zahlung von Fr. 1'000.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 15. November 2015 zu verpflichten.
A.b. Am 28. Dezember 2020 wies das Bezirksgericht die Klage unter Kostenfolgen ab und verweigerte A._ die unentgeltliche Rechtspflege.
B.
Mit Urteil vom 25. März 2021 (eröffnet am 29. März 2021) wies das Obergericht des Kantons Zürich die hiergegen von A._ erhobene Beschwerde unter Kostenfolgen ab.
C.
A._ gelangt mit Beschwerde in Zivilsachen vom 11. Mai 2021 ans Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und es sei in Gutheissung der Klage vom 15. November 2019 die Politische Gemeinde U._ unter Mehrforderungs- bzw. Nachklagevorbehalt zu verpflichten, ihm Fr. 1'000.-- zzgl. 5 % Zins seit dem 15. November 2015 zu bezahlen. Ausserdem seien die Kosten- und Entschädigungsfolgen neu zu regeln. Eventuell sei die Sache zu neuer Entscheidung an das Obergericht oder das Bezirksgericht zurückzuweisen. Weiter sei A._ für das obergerichtliche Verfahren gänzlich von den Gerichtskosten zu befreien und es sei ihm für dieses Verfahren ein unentgeltlicher Rechtsvertreter beizuordnen. Dasselbe beantragt A._ auch für das bundesgerichtliche Verfahren. Alles unter Kosten und Entschädigungsfolge.
Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Endentscheid (<ref-law>) eines oberen Gerichts, das auf Rechtsmittel hin als letzte kantonale Instanz (<ref-law>) über das Begehren des Beschwerdeführers auf Schadenersatz und Genugtuung entschieden hat. Der Streitwert dieser vermögensrechtlichen Angelegenheit beträgt nach den unbestrittenen Feststellungen der Vorinstanz Fr. 1'000.--, womit das gesetzliche Streitwerterfordernis nicht erfüllt ist (Art. 85 Abs. 1 Bst. a BGG). Zulässig ist damit allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>). Zu deren Erhebung ist der Beschwerdeführer nach <ref-law> berechtigt. Die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 117 i.V.m. Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 1 Bst. a BGG). Unter diesen Umständen schadet die falsche Bezeichnung des Rechtsmittels dem Beschwerdeführer nicht (<ref-ruling> E. 1.1).
1.2. Der Beschwerdeführer beantragt, ihm sei für das Verfahren vor dem Obergericht ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bewilligen. Gemäss den nicht strittigen und damit verbindlichen tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>) hat der Beschwerdeführer vor Obergericht kein entsprechendes Gesuch gestellt, weshalb das angefochtene Urteil sich hierzu auch nicht äussert. Das neue Begehren des Beschwerdeführers ist unzulässig (<ref-law>) und es ist auf die Beschwerde insoweit nicht einzutreten. Anders als der Beschwerdeführer offensichtlich glaubt, ist das Bundesgericht auch für die erstmalige Behandlung seines Gesuchs nicht zuständig (Art. 1 Abs. 1 und Art. 86 Abs. 2 BGG).
1.3. Der Beschwerdeführer beantragt ausserdem, es seien die Kosten- und Entschädigungsfolgen des obergerichtlichen Verfahrens neu zu regeln. Soweit die Gerichtskosten betreffend beantragt er dabei, er sei von diesen gänzlich zu befreien. Welche Regelung für die Parteikosten seiner Ansicht nach zu treffen ist, lässt sich den vor Bundesgericht gestellten Anträgen aber ebenso wenig entnehmen, wie der zu deren Auslegung beizuziehenden Beschwerdebegründung (vgl. <ref-ruling> E. 6.2). Die Beschwerde enthält damit insoweit keinen genügenden Antrag (<ref-law>), da dies voraussetzen würde, dass das auf eine Geldzahlung lautende Begehren beziffert wird (<ref-ruling> E. 1.2). Auf die Beschwerde ist auch insoweit nicht einzutreten.
2.
Mit der subsidären Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Die rechtsuchende Partei muss daher präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt. Stützt sich der angefochtene Entscheid auf mehrere selbständige Begründungen, muss zudem dargelegt werden, dass jede dieser Begründungen Verfassungsrecht verletzt (<ref-ruling> E. 1.2.2; <ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 1.3).
Auf die Beschwerde ist daher auch insoweit nicht einzutreten, als der Beschwerdeführer der Vorinstanz die Verletzung von Bundesrecht im Sinne von Art. 95 Bst. a BGG vorwirft.
3.
3.1. In der Sache umstritten ist das Begehren des Beschwerdeführers um Schadenersatz und Genugtuung.
Die geltend gemachten Ansprüche stehen im Zusammenhang mit einem vom Beschwerdeführer angestrengten Verfahren um Abänderung der von ihm für seinen Sohn zu bezahlenden Unterhaltsbeiträge (vgl. dazu Urteil 5A_929/2018 vom 6. Juni 2019). In diesem Verfahren habe der zuständige Friedensrichter dem Beschwerdeführer die Klagebewilligung fälschlicherweise nicht an die Wohnsitzadresse in den Vereinigten Staaten, sondern an eine frühere temporäre Aufenthaltsadresse in der Schweiz zugestellt. Deshalb habe der Beschwerdeführer nicht bereits im September 2014, sondern erst im Oktober 2016 auf Abänderung des Kindesunterhalts klagen können. Die Verzögerung von 26 Monaten habe bei monatlichen Unterhaltsbeiträgen von Fr. 1'000.-- einen Schaden von Fr. 26'000.-- verursacht. Zusätzlich sei dem Beschwerdeführer Genugtuung zu leisten, da diese Vorgänge ihn seelisch schwer belasten und dadurch seine psychische Integrität gravierend beeinträchtigen würden.
3.2. Das Obergericht wies die bei ihm erhobene Beschwerde aus drei Gründen ab: Vorab habe der Beschwerdeführer auf dem Schlichtungsgesuch vom 28. Februar 2014 eine c/o-Adresse in V._ angegeben und die Feststellung des Bezirksgerichts nicht beanstandet, wonach er diese Adresse an der Schlichtungsverhandlung nicht widerrufen oder durch eine Adresse in den Vereinigten Staaten ersetzt habe. Bei Versand der Klagebewilligung habe daher eine Adresse in der Schweiz vorgelegen, an welche die Zustellung gültig habe erfolgen können. Weiter sei die angeblich anspruchsbegründende Verzögerung bei der Einreichung der Abänderungsklage nach den Feststellungen des Bezirksgerichts zu einem grossen Teil auf das Verhalten des Beschwerdeführers selbst zurückzuführen. Dies habe der Beschwerdeführer nicht beanstandet. Zuletzt habe der Beschwerdeführer einen Schaden nicht rechtsgenüglich behauptet, weshalb die Teilklage auf Schadenersatz auch aus diesem Grund abzuweisen wäre. Der Beschwerdeführer habe nicht dargetan, dass die angeblich verzögert eingereichte Abänderungsklage auch nur teilweise gutgeheissen worden sei. Damit sei nicht ersichtlich, wie der behauptete Schaden hätte entstehen sollen.
3.3. Der Beschwerdeführer äussert sich vor Bundesgericht ausführlich dazu, warum ihm die Klagebewilligung in den Vereinigten Staaten hätte zugestellt werden müssen. Weiter legt er dar, weshalb er im kantonalen Verfahren einen Schaden hinreichend behauptet habe. Zur Frage, ob die geltend gemachte Verzögerung bei der Erhebung der Abänderungsklage vom Beschwerdeführer selbst zu vertreten sei, merkt dieser an, er habe sich hierzu sowohl in der Abänderungsklage (S. 6) als auch in der Beschwerdeschrift (Rn. 7) ans Obergericht geäussert. Ausserdem habe die Gemeinde das oberinstanzliche Urteil insofern nicht angefochten und damit eine Haftung diesbezüglich implizit anerkannt. Sodann führt der Beschwerdeführer detailliert aus, weshalb es seiner Ansicht nach aufgrund der falschen Zustellung der Klagebewilligung zu erheblichen Verzögerungen in der Klageerhebung gekommen sei.
Damit rügt und begründet der Beschwerdeführer nicht, weshalb er durch die Feststellungen der Vorinstanz im Zusammenhang mit dem Vorwurf, die Verzögerung in der Klageerhebung sei grossteils auf sein eigenes Verhalten zurückzuführen, in verfassungsmässigen Rechten verletzt worden sei sollte (vgl. zu diesem Begriff <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.2). Von vornherein ausser Acht bleibt in diesem Zusammenhang die bei der ersten Instanz eingereichte Abänderungsklage. Auf die Beschwerde ist diesbezüglich folglich nicht einzutreten (vgl. vorne E. 2). Da es sich bei den Ausführungen des Obergerichts zum Selbstverschulden um eine eigenständige, das angefochtene Urteil tragende Begründung handelt, ist dieses bereits aus diesem Grund nicht zu beanstanden.
3.4. Unter diesen Umständen besteht kein Anlass, die vorinstanzliche Regelung der Gerichtskosten anzupassen, zumal der Beschwerdeführer diesbezüglich keine von der materiellen Streitsache unabhängigen Rügen erhebt.
4.
Zusammenfassend ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
Entsprechend diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin, der ohnehin keine entschädigungspflichtigen Parteikosten entstanden sind, hat keinen Anspruch auf Kostenersatz (Art. 68 Abs. 1-3 BGG). Parteientschädigung ist damit keine zuzusprechen. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflegeund Verbeiständung ist abzuweisen, da die Beschwerde nach dem vorstehend Ausgeführten als von Anfang an aussichtslos beurteilt werden muss (Art. 64 Abs. 1und 2BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, mitgeteilt.
Lausanne, 18. März 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber