Faits :
A.
A.a. A._, ressortissant russe né le 10 octobre 1995, a quitté la Russie en 2002 avec sa mère. Le 5 septembre 2005, après avoir séjourné dans différents pays, les intéressés sont entrés en Suisse. A._ a alors été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour pour regroupement familial, régulièrement prolongée jusqu'au mois de septembre 2010, puis d'une autorisation de séjour pour études, qui est arrivée à échéance le 30 septembre 2015.
A.b. En janvier 2011, sur requête des autorités compétentes russes, la mère de A._ a été arrêtée puis emprisonnée. L'intéressé a donc été confié à un curateur et, en septembre 2011, il a rejoint un internat à Gruyère. Sa mère a été extradée en octobre 2011 vers la Russie, pour y purger une peine privative de liberté.
A.c. S'agissant de son parcours de formation, après avoir obtenu la maturité fédérale en septembre 2013, A._ a entrepris des études d'informatique auprès de l'EPFL, sans toutefois obtenir de diplôme. Sur le plan professionnel, après avoir été autorisé provisoirement à exercer une activité lucrative par l'autorité compétente (cf. infra let. B), l'intéressé a travaillé pour un restaurant-bar à Montreux entre mai et octobre 2018.
A.d. Au 12 octobre 2017, A._ faisait l'objet de poursuites pour un montant de 18'345 fr. Il n'a jamais bénéficié de l'aide sociale.
A.e. Durant son séjour en Suisse, l'intéressé a été condamné pénalement à deux reprises. Le 4 juin 2015, il a été condamné à une peine pécuniaire de 70 jours-amende à 30 fr. le jour avec sursis (cf. <ref-law>), ainsi qu'à une amende de 540 fr., pour des infractions à la loi fédérale du 19 décembre 1958 sur la circulation routière (LCR; RS 741.01). Le 14 janvier 2016, il a été condamné à une peine pécuniaire de 30 jours-amende à 30 fr. le jour, ainsi qu'à une amende de 400 fr., pour contravention à l'art. 19a de la loi fédérale du 3 octobre 1951 sur les stupéfiants et les substances psychotropes (LStup; RS 812.121) et conduite d'un véhicule automobile malgré le refus, le retrait ou l'interdiction de l'usage du permis de conduire.
B.
Le 23 mars 2018, A._ a déposé auprès du Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) une demande d'autorisation de séjour. L'intéressé a notamment expliqué au Service cantonal qu'il avait été au bénéfice d'un permis de séjour jusqu'en 2015 et que, depuis lors, il résidait en Suisse sans autorisation. Au vu de sa situation, en particulier du fait qu'il vivait seul en Suisse depuis l'âge de quinze ans, sa demande était fondée sur des "motifs humanitaires". Le 27 avril 2018, le Service cantonal a autorisé A._ à exercer une activité lucrative jusqu'à droit connu sur sa requête. Par décision du 9 août 2019, cette autorité a refusé d'octroyer à A._ l'autorisation de séjour requise et prononcé son renvoi de Suisse.
Par arrêt du 24 juillet 2020, le Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours formé par A._ contre cette décision. Les juges cantonaux ont retenu, en substance, que la situation de l'intéressé n'était pas constitutive d'un cas individuel d'extrême gravité et que A._ ne pouvait rien déduire de l'art. 8 CEDH.
C.
A l'encontre de l'arrêt du 24 juillet 2020, A._ dépose un "recours" auprès du Tribunal fédéral. Il conclut à l'annulation de l'arrêt entrepris et à l'octroi d'une autorisation de séjour. L'intéressé demande en outre à être entendu personnellement et sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire devant le Tribunal fédéral.
Le Tribunal cantonal se réfère aux considérants de son arrêt et conclut au rejet du recours. Le Service cantonal renonce à se déterminer. Le Secrétariat d'Etat aux migrations propose le rejet du recours.
Par ordonnance du 27 août 2020, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a accordé l'effet suspensif au recours quant à l'obligation de départ résultant de l'arrêt attaqué.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 116).
1.1. Le recourant a déclaré former un "recours" auprès du Tribunal fédéral. Cette désignation imprécise ne saurait lui nuire à condition que le recours remplisse les exigences légales de la voie de droit qui lui est ouverte (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 370).
1.2. Aux termes de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions relatives à une autorisation de droit des étrangers à laquelle ni le droit fédéral, ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit, sous l'angle de la recevabilité, qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et que, partant, la voie du recours en matière de droit public soit ouverte (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 332).
En l'espèce, le recourant invoque l'art. 8 CEDH, se prévalant de la longue durée de son séjour en Suisse et de ses liens avec ce pays. Son séjour légal de plus de dix ans en Suisse (cf. infra consid. 4.1) est potentiellement de nature à lui conférer un droit à l'obtention d'une autorisation de séjour sous l'angle du droit au respect de sa vie privée (cf. <ref-ruling> consid. 3.9 p. 277 ss). Le recours échappe donc au motif d'irrecevabilité prévu à l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, étant précisé que le point de savoir si l'intéressé remplit les conditions pour obtenir l'autorisation requise relève du fond et non de la recevabilité (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 179). La voie du recours en matière de droit public est ainsi ouverte.
1.3. Au surplus, l'arrêt attaqué constitue une décision finale (<ref-law>) rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>). Déposé en temps utile, compte tenu des féries (art. 46 al. 1 let. b et 100 al. 1 LTF), et dans les formes requises (<ref-law>) par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (<ref-law>), le recours est recevable.
2.
Le recourant sollicite son audition personnelle. Des mesures probatoires devant le Tribunal fédéral ne sont qu'exceptionnellement ordonnées dans une procédure de recours (<ref-ruling> consid. 2 p. 104), dès lors que cette autorité conduit en principe son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (cf. infra consid. 3.2). Il ne sera dès lors pas donné suite à la requête de l'intéressé, car il n'y a aucun élément dont on puisse inférer des circonstances exceptionnelles justifiant une mesure d'instruction devant le Tribunal fédéral (cf. arrêt 2C_941/2015 du 9 août 2016 consid. 3).
3.
3.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), alors qu'il n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant, conformément au principe d'allégation (<ref-law>). Dans ce cas, l'acte de recours doit contenir un exposé succinct des droits fondamentaux violés et préciser en quoi consiste la violation (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 41).
3.2. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Selon l'<ref-law>, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-ruling> consid. 6 p. 358; <ref-ruling> consid. 1.6 p. 377). Conformément à l'<ref-law>, la partie recourante doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; arrêt 2C_793/2018 du 13 mars 2019 consid. 2).
En l'occurrence, dans la mesure où le recourant présente une argumentation partiellement appellatoire, en complétant ou en modifiant librement l'état de fait retenu dans l'arrêt entrepris, sans invoquer ni l'arbitraire, ni une constatation manifestement inexacte des faits, le Tribunal fédéral ne peut pas en tenir compte. Il statuera donc sur la base des faits tels qu'ils ressortent de l'arrêt attaqué.
4.
Le litige porte sur le droit du recourant d'obtenir une autorisation de séjour en Suisse. A ce sujet, l'intéressé fait valoir uniquement une violation de l'art. 8 CEDH, sous l'angle de la protection de sa vie privée.
4.1. Selon la jurisprudence récente du Tribunal fédéral, la question du droit au respect de la vie privée (art. 8 par. 1 CEDH) doit être examinée dans le cadre d'une approche globale fondée sur l'art. 8 par. 2 CEDH (<ref-ruling> consid. 3.8 p. 277). Ainsi, lorsqu'un étranger réside légalement depuis plus de dix ans en Suisse, il y a lieu de partir de l'idée que les liens sociaux qu'il a développés dans ce pays sont suffisamment étroits pour qu'il puisse en principe se prévaloir de l'art. 8 CEDH et que le refus de prolonger son autorisation de séjour ne peut être prononcé, sous cet angle, que pour des motifs sérieux (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 271 ss; arrêts 2C_674/2020 du 20 octobre 2020 consid. 3.1 et 2C_755/2019 du 6 février 2020 consid. 5.1).
En l'occurrence, le recourant a d'abord résidé en Suisse au bénéfice d'une autorisation de séjour pour regroupement familial pendant cinq ans (septembre 2005 - septembre 2010). Il s'est ensuite vu octroyer une autorisation de séjour pour études, qui est arrivée à échéance le 30 septembre 2015. En principe, les années pendant lesquelles une personne réside en Suisse au bénéfice d'une autorisation pour études ne sont pas prises en considération dans le calcul de la durée du séjour sous l'angle de l'art. 8 CEDH, en raison du caractère temporaire d'emblée connu d'une telle autorisation (cf. <ref-ruling> consid. 3.9 p. 277; arrêt 2C_988/2019 du 26 novembre 2019 consid. 3.3). Le présent cas est toutefois particulier, en ce sens que l'intéressé n'est pas arrivé en Suisse pour y entreprendre des études, mais pour séjourner dans ce pays avec sa mère dans le cadre d'un regroupement familial. En 2011, lorsque celle-ci a été emprisonnée et extradée vers la Russie, le recourant - qui était alors mineur - a été confié à un curateur et a rejoint un internat à Gruyère. Il a pu poursuivre son séjour en Suisse sur la base d'une autorisation pour études. Dans ces circonstances très particulières, contrairement à l'avis de l'autorité précédente (cf. arrêt entrepris, p. 21), il y a lieu de considérer que le recourant a résidé légalement dans ce pays pendant plus de dix ans (début septembre 2005 - fin septembre 2015). Partant, il peut prétendre valablement qu'un renvoi risquerait de porter atteinte au respect de sa vie privée protégée par l'art. 8 CEDH.
4.2. Une ingérence dans l'exercice du droit au respect de la vie privée garanti par l'art. 8 par. 1 CEDH est possible aux conditions de l'art. 8 par. 2 CEDH. De jurisprudence constante, la question de la proportionnalité du refus d'octroyer une autorisation de séjour (ou d'établissement) doit être tranchée au regard de toutes les circonstances du cas d'espèce. Dans ce cadre, il y a lieu de prendre en considération la gravité de l'éventuelle faute commise par l'étranger, son degré d'intégration, la durée de son séjour en Suisse et les conséquences d'un renvoi (cf. <ref-ruling> consid. 2.4 p. 149; arrêt 2C_20/2019 du 13 mai 2019 consid. 7.3).
4.3. La présente espèce constitue un cas limite sous l'angle de l'art. 8 CEDH. En effet, durant son séjour en Suisse, le recourant a été condamné pénalement à deux reprises (en 2015 et 2016). Au 12 octobre 2017, il faisait en outre l'objet de poursuites pour un montant de 18'345 fr. L'intéressé n'a par ailleurs pas été en mesure de mener à bien les études d'informatique qu'il avait entrepris auprès de l'EPFL et il a résidé illégalement en Suisse entre le 30 septembre 2015 (moment de l'échéance de son autorisation de séjour pour études) et le 27 avril 2018 (jour où le Service cantonal l'a autorisé provisoirement à exercer une activité lucrative jusqu'à droit connu sur sa demande d'autorisation de séjour du 23 mars 2018).
Ces éléments défavorables au recourant sont toutefois contrebalancés par d'autres facteurs. Ainsi, sans vouloir les minimiser, les infractions pour lesquelles il a été condamné sont de peu de gravité, comme le démontrent aussi les peines infligées (peines pécuniaires et amendes). En particulier, la condamnation pour violation de l'<ref-law> sanctionnait la consommation personnelle de cannabis, qui est une simple contravention (cf. <ref-law>). De plus, ces condamnations remontent à 2015/2016 et concernent des actes commis entre le 14 janvier 2013 et le 12 juin 2015 (cf. <ref-law>), soit lorsque l'intéressé était un jeune adulte âgé entre 17 et 19 ans. Il s'agit ainsi, du moins en partie, d'erreurs de jeunesse, que le recourant n'a pas réitérées, son comportement après les condamnations en question n'ayant plus donné lieu à des plaintes. Il y a également lieu de souligner que l'intéressé, après l'arrestation de sa mère en janvier 2011, s'est retrouvé - à l'âge de 15 ans - seul en Suisse et que, malgré cette situation particulièrement défavorable, il a réussi à obtenir en 2013 la maturité fédérale. En outre, bien qu'il ait des dettes, le recourant n'a jamais bénéficié de l'aide sociale et, après avoir obtenu, le 27 avril 2018, l'autorisation provisoire d'exercer une activité lucrative, il a travaillé pendant six mois au sein d'un établissement situé à Montreux pour un revenu mensuel net de 3'100 fr. S'agissant de son intégration sociale en Suisse, il ressort des faits constatés dans l'arrêt entrepris que le recourant a des amis et des connaissances dans ce pays qui le soutiennent dans le cadre de la présente procédure (arrêt attaqué, p. 19; cf. aussi pièces 13, 14 et 15 du dossier cantonal) et que sa maîtrise de la langue française est très bonne (arrêt attaqué, p. 18). Il convient en outre de tenir compte du fait que l'intéressé a quitté la Russie en 2002, soit à l'âge de sept ans. Sa scolarisation a essentiellement eu lieu en Suisse, en particulier durant son adolescence, qui - tel que le relève à juste titre le Tribunal cantonal - est une période cruciale pour le développement personnel. Un retour en Russie après dix-huit ans constituerait ainsi un déracinement culturel majeur pour le recourant. Agé actuellement de vingt-cinq ans, sa réintégration dans ce pays serait très difficile, et ce indépendamment de la présence en Russie de sa mère (qui n'est actuellement plus en détention). Compte tenu du parcours personnel particulier de l'intéressé, du fait qu'il est arrivé très jeune en Suisse et qu'il a passé la majeure partie de sa vie dans ce pays, le refus de lui octroyer une autorisation de séjour ne peut être prononcé, sous l'angle de l'art. 8 CEDH, que pour des motifs sérieux (cf. supra consid. 4.1). Au vu de l'ensemble des éléments qui précèdent, force est de constater que de tels motifs font défaut en l'espèce. Partant, en confirmant le refus du Service cantonal d'octroyer une autorisation de séjour au recourant, le Tribunal cantonal a violé l'art. 8 CEDH. L'intéressé doit toutefois être rendu attentif que l'octroi d'une nouvelle autorisation de séjour implique qu'il ne commette plus de nouvelles infractions à l'avenir. S'il devait récidiver, il pourrait s'exposer à des mesures d'éloignement (cf. arrêts 2C_308/2017 du 21 février 2018 consid. 5.4 et 2C_851/2014 du 24 avril 2015 consid. 4.3). Par ailleurs, s'agissant d'un titre de séjour amené à être renouvelé régulièrement, les autorités seront à même de contrôler les efforts fournis par le recourant pour assainir sa situation financière. Si tel ne devait pas être le cas, la situation de l'intéressé pourrait alors être revue en sa défaveur.
5.
Les considérants qui précèdent conduisent à l'admission du recours et à l'annulation de l'arrêt du 24 juillet 2020 du Tribunal cantonal. La cause sera renvoyée au Service cantonal, afin qu'il octro ie une autorisation de séjour à l'intéressé.
Bien qu'il succombe, le Service cantonal, qui ne défend pas d'intérêt patrimonial, ne peut se voir imposer les frais judiciaires (art. 66 al. 1 et 4 LTF). Le recourant, qui a procédé sans l'aide d'un mandataire professionnel, n'a pas droit à des dépens (<ref-law>). Le présent arrêt rend en outre sans objet la requête d'assistance judiciaire déposée par l'intéressé.
Finalement, le Tribunal fédéral ne fera pas usage de la faculté prévue aux art. 67 et 68 al. 5 LTF et renverra la cause à l'autorité précédente pour qu'elle statue à nouveau sur les frais et dépens de la procédure accomplie devant elle.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis et l'arrêt rendu le 24 juillet 2020 par le Tribunal cantonal du canton de Vaud est annulé.
2.
La cause est renvoyée au Service de la population du canton de Vaud, afin qu'il octroie une autorisation de séjour au recourant.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
La cause est renvoyée au Tribunal cantonal du canton de Vaud afin qu'il statue à nouveau sur les frais et dépens de la procédure accomplie devant lui.
5.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Service de la population du canton de Vaud, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, ainsi qu'au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 28 décembre 2020
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Ermotti