Sachverhalt:
A.
Die Eltern der 2008 geborenen A._ meldeten diese am 12. Februar 2016 unter Hinweis auf ein Geburtsgebrechen (Ziff. 404 des Anhangs zur Verordnung über Geburtsgebrechen [GgV-Anhang]) bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren verneinte die Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen (IV-Stelle) mit Verfügung vom 12. März 2018 einen Anspruch auf eine Kostengutsprache für medizinische Massnahmen (Ergotherapie).
Am 16. März 2020 wurde A._ von ihren Eltern erneut zum Leistungsbezug (Ergotherapie) bei der Invalidenversicherung angemeldet. Mit Vorbescheid vom 23. Juli 2020 kündigte die IV-Stelle an, sie werde keine Kostengutsprache für Ergotherapie nach Art. 12 IVG erteilen. Daran hielt sie mit Verfügung vom 1. Oktober 2020 fest.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 26. Mai 2021 gut. Es hob die Verfügung vom 1. Oktober 2020 auf und stellte fest, dass A._ einen Anspruch auf die Vergütung der Kosten der Ergotherapie habe. Das kantonale Gericht wies die Sache zur Fortsetzung des Verwaltungsverfahrens im Sinne der Erwägungen an die IV-Stelle zurück.
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag auf Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids und Bestätigung der Verfügung vom 1. Oktober 2020.
A._ lässt sinngemäss auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die Vorinstanz äussert sich, ohne einen formellen Antrag zu stellen.

Erwägungen:
1.
Im vorinstanzlichen Rückweisungsentscheid bejahte das kantonale Gericht gestützt auf Art. 12 IVG einen Anspruch der Beschwerdegegnerin auf Ergotherapie und wies die Sache zur Ausrichtung dieser Sachleistung (unter Berücksichtigung einer allfälligen Verwirkung des im Februar 2016 geltend gemachten Leistungsanspruchs) an die Beschwerdeführerin zurück. Weil die Rückweisung damit einzig noch der Umsetzung des von der Vorinstanz Angeordneten dient und der Beschwerdeführerin kein Entscheidungsspielraum mehr verbleibt, handelt es sich materiell nicht - wie bei Rückweisungsentscheiden sonst grundsätzlich der Fall (vgl. <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 4.2) - um einen Zwischenentscheid, gegen den ein Rechtsmittel letztinstanzlich bloss unter den Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG zulässig ist. Vielmehr liegt ein von der Verwaltung anfechtbarer Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG vor (<ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweisen). Auf die Beschwerde gegen den kantonalen Rückweisungsentscheid ist damit ohne Weiteres einzutreten.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
3.
3.1. Der Versicherungsträger kann nach Art. 53 Abs. 2 ATSG wiedererwägungsweise auf formell rechtskräftige Verfügungen zurückkommen, wenn sie zweifellos unrichtig sind und wenn ihre Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist. Die vor dem Inkrafttreten des ATSG ergangene Rechtsprechung, wonach kein gerichtlich durchsetzbarer Anspruch auf Wiedererwägung besteht (<ref-ruling> E. 2a), wurde in Art. 53 Abs. 2 ATSG ("Kann-Vorschrift") gesetzlich verankert. Damit liegt das Zurückkommen auf formell rechtskräftige Verfügungen beim Fehlen eigentlicher Revisionsgründe (weiterhin) im alleinigen Ermessen des Versicherungsträgers (statt vieler: <ref-ruling> E. 4.1). Vorausgesetzt wird, dass kein vernünftiger Zweifel an der Unrichtigkeit der Verfügung möglich, folglich nur dieser einzige Schluss denkbar ist. In diesem Sinne qualifiziert unrichtig ist eine Verfügung, wenn die notwendigen fachärztlichen Abklärungen überhaupt nicht oder nicht mit der erforderlichen Sorgfalt durchgeführt wurden (Urteil 9C_427/2014 vom 1. Dezember 2014 E. 2.2 mit Hinweisen), oder wenn eine Leistung aufgrund falscher Rechtsregeln bzw. ohne oder in unrichtiger Anwendung der massgeblichen Bestimmungen zugesprochen wurde. Soweit ermessensgeprägte Teile der Anspruchsprüfung vor dem Hintergrund der Sach- und Rechtslage einschliesslich der Rechtspraxis im Zeitpunkt des Verfügungserlasses (<ref-ruling> E. 3) in vertretbarer Weise beurteilt worden sind, scheidet die Annahme zweifelloser Unrichtigkeit aus (<ref-ruling> E. 5.2 mit weiteren Hinweisen).
3.2. Die Feststellungen, die der Beurteilung der zweifellosen Unrichtigkeit zugrunde liegen, sind tatsächlicher Natur und folglich nur eingeschränkt überprüfbar (vgl. E. 2). Dagegen ist die Auslegung (Konkretisierung) dieses unbestimmten Rechtsbegriffs als Wiedererwägungsvoraussetzung eine grundsätzlich frei prüfbare Rechtsfrage (Art. 95 lit. a BGG; Urteile 9C_886/2017 vom 20. April 2018 E. 3.3; 9C_309/2017 vom 13. Juli 2017 E. 2.2.2 mit Hinweisen).
4.
4.1.
4.1.1. Am 12. März 2018 verfügte die Beschwerdeführerin, die inhaltlichen Kriterien für das Geburtsgebrechen Ziff. 404 GgV-Anhang seien nicht alle erfüllt. Es liege auch kein anderes Geburtsgebrechen vor. Weiter führte sie aus, die versicherungsmedizinischen Voraussetzungen für die Kostenübernahme der Ergotherapie nach Art. 12 IVG lägen nicht vor. In der Neuanmeldung vom 16. März 2020 gaben die Eltern der Beschwerdegegnerin an, diese leide seit Geburt an ADHS (Aufmerksamkeitsdefizit-/Hyperaktivitätsstörung) sowie an einem primordialen Kleinwuchs und beantragten erneut die Kostenübernahme der Ergotherapie. Am 1. Oktober 2020 wies die Beschwerdeführerin das Gesuch wiederum ab. Sie führte aus, die Voraussetzungen von Art. 12 IVG seien nicht erfüllt. Die Ergotherapie diene der pädagogischen Entwicklungsförderung. Die vorhandenen Probleme und Schwierigkeiten müssten im pädagogischen resp. sonderpädagogischen Rahmen angegangen und gelöst werden. Es handle sich nicht um eine Integrationsmassnahme nach Art. 12 IVG. Die Ergotherapie sei längerfristig (bis zum Beginn der Lehre) nötig.
4.1.2. Die Vorinstanz fasste die Neuanmeldung vom 16. März 2020 als Wiedererwägungsgesuch im Sinne von Art. 53 Abs. 2 ATSG auf und erkannte, die Beschwerdeführerin sei darauf eingetreten, habe eine materielle Prüfung vorgenommen und mit Wiedererwägungsverfügung vom 1. Oktober 2020 das ursprüngliche Begehren um eine Ergotherapie erneut abgewiesen. Das kantonale Gericht erachtete die Verfügung vom 12. März 2018 als zweifellos unrichtig und ging von einer erheblichen Bedeutung der Berichtigung aus (Art. 53 Abs. 2 ATSG). Es hob die Verfügung vom 1. Oktober 2020 auf, hiess das ursprüngliche Leistungsbegehren der Beschwerdegegnerin vom Februar 2016 gut und bejahte einen Anspruch auf Ergotherapie gestützt auf Art. 12 IVG.
4.2. Dem Vorgehen des kantonalen Gerichts, das Rückkommen auf die Verfügung vom 12. März 2018 unter dem Titel der Wiedererwägung nach Art. 53 Abs. 2 ATSG zu prüfen, stimmt die Beschwerdeführerin zu. Dies erscheint nachvollziehbar, nannte sie doch im Anhang zur Verfügung vom 1. Oktober 2020 Art. 53 ATSG als eine der relevanten gesetzlichen Grundlagen. Die Beschwerdeführerin bringt jedoch vor, die Vorinstanz habe bundesrechtswidrig die zweifellose Unrichtigkeit der Verfügung vom 12. März 2018 bejaht. Mithin ist nachfolgend zu prüfen, ob das kantonale Gericht bundesrechtskonform gestützt auf Art. 53 Abs. 2 ATSG dem ursprünglichen Leistungsbegehren vom Februar 2016 (wiedererwägungsweise) stattgegeben und zu Recht einen Anspruch auf Ergotherapie angenommen hat.
5.
5.1. Soweit sich das kantonale Gericht zur Begründung der zweifellosen Unrichtigkeit der Verfügung vom 12. März 2018 auf den Gesundheitszustand der Beschwerdegegnerin im Zeitpunkt der Verfügung vom 1. Oktober 2020 und dabei insbesondere auf die Berichte der Ergotherapeutin vom 16. Januar 2020 und der Kleingruppenschule vom 3. März 2020 gestützt hat, ist dies rechtlich unzulässig. Denn die Voraussetzungen der Wiedererwägung sind nach der Aktenlage zu beurteilen, wie sie sich im Zeitpunkt des Erlasses der ursprünglichen Verfügung vom 12. März 2018 dargeboten hat (<ref-ruling> E. 3; Urteil 8C_347/2011 vom 11. August 2011 E. 4.1 mit weiteren Hinweisen). Nichts anderes gilt für die Rügen, mit denen die Beschwerdeführerin in Bezug auf die zweifellose Unrichtigkeit eine Bundesrechtswidrigkeit des kantonalen Gerichts gestützt auf die Aktenlage im Zeitpunkt der Verfügung vom 1. Oktober 2020 geltend machen will. Auf diese Vorbringen ist nicht weiter einzugehen.
5.2. Die am 12. März 2018 verfügte Abweisung des Leistungsbegehrens beruhte auf der Expertise des Dr. med. D._, Facharzt für Kinder- und Jugendpsychiatrie und -psychotherapie, vom 2. Oktober 2017. Gemäss Gutachter leide die Beschwerdegegnerin an einer einfachen Aktivitäts- und Aufmerksamkeitsstörung (ICD-10 F90.0), einer umschriebenen Entwicklungsstörung der motorischen Funktionen (ICD-10 F82), einer niedrigen Intelligenz sowie an einem primordialen Kleinwuchs (ICD-10 E34.39). Die Vorinstanz stellte fest, laut Expertise des Dr. med. D._ sei die Intelligenz der Beschwerdegegnerin zwar unterdurchschnittlich. Die testpsychologischen Auffälligkeiten wie auch die Schwierigkeiten in Bezug auf die Aufmerksamkeit seien aber vor allem in Zusammenhang mit einer Entwicklungsdyspraxie beziehungsweise mit einer motorischen Störung und einer daraus resultierenden Überforderung zu betrachten. Dr. med. D._ habe allerdings auch festgestellt, dass die objektiven Befunde eine gute Förderung in den Jahren vor der Begutachtung belegt hätten. Ausserdem erkannte das kantonale Gericht, dass der Gutachter weiterhin eine spezifische Förderung der Beschwerdegegnerin, namentlich die Weiterführung der Ergotherapie, empfohlen habe. Allerdings verneinte Dr. med. D._ die versicherungsmedizinischen Voraussetzungen von Art. 12 IVG betreffend die Ergotherapie mit der Begründung, es handle sich um eine Behandlung, die in der Dauer nicht überblickt werden könne.
Die Expertise des Dr. med. D._ wurde dem Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) unterbreitet, der mit Stellungnahme vom 12. Oktober 2017 berichtete, das Gutachten sei formal und inhaltlich korrekt. Die versicherungsmedizinischen Voraussetzungen für die Kostenübernahme der Ergotherapie nach Art. 12 IVG lägen aufgrund des Dauercharakters der Behandlung nicht vor.
5.3.
5.3.1. Versicherte bis zum vollendeten 20. Altersjahr haben Anspruch auf medizinische Massnahmen, die nicht auf die Behandlung des Leidens an sich, sondern unmittelbar auf die Eingliederung ins Erwerbsleben oder in den Aufgabenbereich gerichtet und geeignet sind, die Erwerbsfähigkeit oder die Fähigkeit, sich im Aufgabenbereich zu betätigen, dauernd und wesentlich zu verbessern oder vor wesentlicher Beeinträchtigung zu bewahren (Art. 12 Abs. 1 IVG).
Nach Rechtsprechung und Praxis werden medizinische Vorkehren bei Minderjährigen schon dann von der Invalidenversicherung übernommen, wenn ohne Behandlung das Leiden mit hinreichender Wahrscheinlichkeit zu einem schwer korrigierbaren, die spätere Ausbildung und Erwerbsfähigkeit erheblich behindernden stabilen pathologischen Zustand führen würde (<ref-ruling> E. 4.2). Auch in derartigen Fällen muss indessen der angestrebte Erfolg medizinisch-prognostisch mit genügender Wahrscheinlichkeit voraussehbar sein (Urteile 8C_632/2017 vom 6. März 2018 E. 5.3.1 mit Hinweisen; I 64/07 vom 27. Juli 2007 E. 2). Es ist nicht entscheidend, ob eine Sofortmassnahme oder zeitlich ausgedehntere (aber nicht unbegrenzte) Vorkehr angeordnet wird. Die Massnahmen zur Verhütung einer Defektheilung oder eines sonstwie stabilisierten Zustandes bei einem Kind können sehr wohl eine gewisse Zeit andauern (Urteil 8C_805/2009 vom 26. April 2010 E. 3.2). Allerdings fallen Therapien, die, ob bei psychischen oder physischen Leiden, Dauercharakter haben, das heisst zeitlich unbegrenzt erforderlich sind, ausser Betracht (Urteil 9C_430/2010 vom 23. November 2010, in: SZS 2011 S. 303 betreffend Psychotherapie; Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 258/05 vom 10. November 2005 E. 3; ULRICH MEYER/MARCO REICHMUTH, Bundesgesetz über die Invalidenversicherung [IVG], 3. Aufl. 2014, N. 33 zu Art. 12 IVG).
5.3.2. Dr. med. D._ kam in seiner Expertise vom 2. Oktober 2017 zum Schluss, die Dauer der Ergotherapie könne im vorliegenden Fall nicht überblickt werden. Auf diese Aussage stellte die Beschwerdeführerin in der Verfügung vom 12. März 2018 ab und folgte dabei der bundesgerichtlichen Rechtsprechung, wonach die Invalidenversicherung nur für medizinische Massnahmen aufzukommen hat, die nicht einen Dauercharakter haben (vgl. E. 5.3.1). Der Beschwerdeführerin kann in diesem Punkt folglich keine falsche Rechtsanwendung vorgeworfen werden.
Gemäss kantonalem Gericht habe Dr. med. D._ zwar festgehalten, dass die objektiven Befunde eine gute Förderung in den Jahren vor der Begutachtung belegt hätten und er die Weiterführung der Sonderschule und der Ergotherapie empfohlen habe. Mit Blick auf die Expertise des Dr. med. D._ lagen zumindest damals jedoch keine Anhaltspunkte dafür vor, dass die Ergotherapie zur Vermeidung eines stabilen Defektzustandes als notwendig erachtet wurde, von dem mit hinlänglicher Zuverlässigkeit wesentliche Auswirkungen auf die spätere Erwerbstätigkeit oder Berufsbildung zu erwarten gewesen wären (vgl. E. 5.3.1 oben; zur Sachverhaltsergänzung durch das Bundesgericht vgl. <ref-ruling> E. 4.3). Entsprechend ändert daran auch nichts, dass das kantonale Gericht die Auffassung vertrat, eine mögliche Eingliederung in eine geschützte Tätigkeit sei als ein relevanter Eingliederungserfolg im Sinne des Art. 12 IVG zu qualifizieren. Die Vorinstanz ging ausserdem davon aus, ein Anspruch auf medizinische Eingliederungsmassnahmen sei zu bejahen, wenn nicht mit einer hohen Plausibilität feststehe, dass die versicherte Person später selbst bei bester medizinischer Versorgung durch die Invalidenversicherung kein ökonomisch relevantes Erwerbseinkommen erzielen werde. Dass das kantonale Gericht dies für den Anspruch auf medizinische Massnahmen genügen lässt, weist vor dem Hintergrund der bundesgerichtlichen Rechtsprechung, wonach der angestrebte Erfolg der Therapie medizinisch-prognostisch mit genügender Wahrscheinlichkeit voraussehbar sein muss (E. 5.3.1 oben), nicht auf eine damalige falsche Rechtsanwendung durch die Beschwerdeführerin hin; zumal das Bundesgericht auch im von der Vorinstanz zitierten Urteil 9C_677/2017 vom 8. Juni 2018 E. 4.3 im damals zu beurteilenden Fall festhielt, prognostisch beurteilt, sei gemäss den medizinischen Angaben die Ausübung einer Arbeit im geschützten Bereich möglich, und sich das Bundesgericht folglich auf eine positive medizinische Erfolgsprognose stützte.
Nach dem Gesagten liegen keine Hinweise dafür vor, dass die Leistungsabweisung aufgrund falsch oder unzutreffend verstandener Rechtsregeln erfolgte oder die Beschwerdeführerin die massgeblichen Bestimmungen nicht oder unrichtig anwandte. Dass nur ein einziger Schluss, nämlich derjenige der zweifellosen Unrichtigkeit der Leistungsabweisung möglich wäre, kann nicht gesagt werden.
5.4. Die Beschwerde ist begründet. Wie von der Beschwerdeführerin zutreffend gerügt, bejahte die Vorinstanz zu Unrecht die Voraussetzungen der zweifellosen Unrichtigkeit nach Art. 53 Abs. 2 ATSG. Der angefochtene Entscheid ist demnach aufzuheben.
6.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 26. Mai 2021 wird aufgehoben und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons St. Gallen vom 1. Oktober 2020 bestätigt.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen zurückgewiesen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. Oktober 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Huber