Sachverhalt:
A.
A._ ist beklagte Partei in einem Unterhaltsprozess, den B._, sein im Jahre 2016 geborener Sohn, vor dem Bezirksgericht Willisau gegen ihn angestrengt hat. Am 22. Januar 2018 stellte A._ für diesen Prozess ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Entscheid vom 2. März 2018 wies die Einzelrichterin des Bezirksgerichts Willisau dieses Gesuch ab.
B.
A._ erhob darauf Beschwerde beim Kantonsgericht Luzern. Zugleich ersuchte er auch für das dortige Beschwerdeverfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Das Kantonsgericht wies die Beschwerde ab (Dispositiv-Ziffer 1) und auferlegte A._ die Gerichtsgebühr von Fr. 500.-- (Dispositiv-Ziffer 2). Für das Verfahren der unentgeltlichen Rechtspflege vor Kantonsgericht wurden keine Kosten erhoben (Dispositiv-Ziffer 3).
C.
Mit "subsidiärer Verfassungsbeschwerde" vom 18. Juli 2018 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt sinngemäss, den Entscheid des Kantonsgerichts aufzuheben und ihm für das vor dem Bezirksgericht Willisau hängige Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen. Ausserdem ersucht er auch für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, jedoch keinen Schriftenwechsel angeordnet.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob die Eintretensvoraussetzungen gegeben sind (<ref-ruling> E. 1 S. 143).
1.1. Der Beschwerdeführer wehrt sich gegen den Entscheid, mit dem das Kantonsgericht die Abweisung des Armenrechtsgesuchs des Beschwerdeführers für den Zivilprozess vor dem Bezirksgericht bestätigt. Das ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin entschieden hat (Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG). Der selbständig eröffnete Entscheid des Bezirksgerichts ist ein Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG bewirken kann (Urteil 5D_158/2013 vom 24. September 2013 E. 1 mit Hinweisen). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382; <ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.). Dort geht es um eine Klage betreffend Kindesunterhalt (<ref-law>), also um eine Zivilsache (<ref-law>) vermögensrechtlicher Natur. Angesichts der verbleibenden Dauer der Unterhaltspflicht - der Sohn des Beschwerdeführers ist zwei Jahre alt (s. Sachverhalt Bst. A) - wäre die gesetzliche Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG) in der Hauptsache auch dann erreicht, wenn die Unterhaltspflicht vor Bundesgericht nur noch teilweise umstritten wäre. Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit auch gegen den Zwischenentscheid gegeben. Die als "subsidiäre Verfassungsbeschwerde" bezeichnete Eingabe ist als ordentliche Beschwerde entgegen zu nehmen (<ref-law>).
1.2. Den vorinstanzlichen Feststellungen zufolge stellte der Beschwerdeführer auch für das kantonale Beschwerdeverfahren ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Dass das Kantonsgericht dieses Gesuch abweist, ergibt sich aus der Begründung, erstaunlicherweise aber nicht aus dem Dispositiv des angefochtenen Entscheids. Daran ändert auch Ziffer 3 des Urteilsspruchs nichts, denn darin erklärt das Kantonsgericht bloss, für das Verfahren der unentgeltlichen Rechtspflege vor Kantonsgericht keine Kosten zu erheben. Diese Unzulänglichkeit im angefochtenen Entscheid findet ihr Entsprechung in der Beschwerde an das Bundesgericht. Zwar verlangt der Beschwerdeführer in seinem Rechtsbegehren die Aufhebung des kantonsgerichtlichen Entscheids. Seiner umständlichen Formulierung ist jedoch nicht zu entnehmen, inwiefern er auch die Erteilung des Armenrechts für das kantonale Beschwerdeverfahren anstrebt und das Bundesgericht hierfür um Rechtsschutz ersucht (vgl. Urteil 5A_929/2015 vom 17. Juni 2016 E. 3.1 mit Hinweis). Aus seiner Beschwerdebegründung, die für die für die Auslegung der Rechtsbegehren heranzuziehen ist (<ref-ruling> E. 1.2 S. 136; <ref-ruling> E. 1.3 S. 383), geht immerhin hervor, dass er vor Bundesgericht auch an seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Beschwerdeverfahren festhält. Insofern ist dem gesetzlichen Erfordernis eines Rechtsbegehrens (<ref-law>; s. dazu BGE <ref-ruling> E. 1.3 S. 383) Genüge getan.
1.3. Die Beschwerdefrist (<ref-law>) ist eingehalten und der Beschwerdeführer zur Beschwerde in Zivilsachen berechtigt (<ref-law>). Die Beschwerde in Zivilsachen steht grundsätzlich offen.
2.
Der Beschwerdeführer rügt im Wesentlichen eine Verletzung des in <ref-law> verbürgten Anspruchs auf unentgeltliche Rechtspflege. Gemäss dieser Verfassungsnorm hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Mit Bezug auf die Voraussetzung der prozessualen Bedürftigkeit prüft das Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht frei, ob die Kriterien zu deren Bestimmung im Sinne von <ref-law> zutreffend gewählt worden sind. Die tatsächlichen Feststellungen der kantonalen Behörden kann es dagegen nur nach Massgabe von Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG, das heisst auf Willkür hin überprüfen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 223 mit Hinweis). Was die Rüge willkürlicher Sachverhaltsfeststellung anbelangt, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Feststellungen für den Ausgang des Verfahrens (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22) im Einzelnen darzulegen, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein, das heisst mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen, auf einem offenkundigen Versehen beruhen oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lassen sollen (<ref-ruling> E. 4.3 S. 62 mit Hinweisen). Soweit der Beschwerdeführer der Vorinstanz darüber hinaus auch noch Willkür bei der Beurteilung der mutmasslich anfallenden Prozesskosten vorwirft, kommt dieser Rüge neben derjenigen der Verletzung von <ref-law> keine eigenständige Bedeutung zu.
3.
Was die unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bezirksgericht angeht, dreht sich die Auseinandersetzung um die Frage, ob der Beschwerdeführer über die Mittel verfügt, die zur Finanzierung jenes Prozess erforderlich sind.
3.1. Das Kantonsgericht stellt fest, dass dem Beschwerdeführer bei einem Einkommen von Fr. 5'515.-- (ohne Kinderzulagen) und Auslagen von Fr. 5'162.-- ein monatlicher Überschuss von Fr. 353.-- verbleibe. Es findet, dass der Beschwerdeführer mit diesem Betrag in der Lage sei, die allfälligen Prozesskosten zu tragen. Diesbezüglich sei davon auszugehen, dass die Gerichtskosten zwischen Fr. 1'000.-- und Fr. 2'000.-- liegen werden. Zu berücksichtigen sei weiter, dass der Beschwerdeführer nicht in der Klägerrolle sei und von daher auch keine Gerichtskosten vorzuschiessen habe. Dem Vorbringen, dass mit Anwaltskosten zwischen Fr. 8'000.-- und Fr. 10'000.-- zu rechnen sei, hält das Kantonsgericht die kantonale Verordnung über die Kosten in Zivil-, Straf- und verwaltungsgerichtlichen Verfahren vom 26. März 2013 (Justiz-Kostenverordnung; SRL Nr. 265) entgegen. Demnach betrügen die Anwaltskosten für einen Kinderunterhaltsprozess Fr. 375.-- bis Fr. 7'500.--. Den Akten des Hauptverfahrens entnimmt das Kantonsgericht, dass der Kläger des Hauptprozesses, vertreten durch seine Beiständin, eine dreiseitige Klageschrift eingereicht habe. Weiter erklärt es, dass jenes Verfahren von der Sache her nicht allzu schwierig sein werde, zumal die finanziellen Eckpunkte geklärt seien. Der Kernpunkt des Prozesses werde sich letztlich um die Bemessung der Unterhaltsbeiträge drehen, wobei umfassende Beweiserhebungen aufgrund der Aktenlage wohl kaum zu machen sein werden. Gestützt auf diese Überlegungen kommt das Kantonsgericht zum Schluss, dass die Anwaltskosten im Hauptprozess "praxisgemäss" zwischen Fr. 2'000.-- und Fr. 3'000.-- zu liegen kommen werden. Mit dem errechneten Überschuss sei der Beschwerdeführer in der Lage, für die mutmasslichen Prozesskosten im Umfang von Fr. 4'236.-- pro Jahr aufzukommen. Aus diesem Grunde sei er nicht bedürftig im Sinne des Gesetzes. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege sei daher abzuweisen. Schliesslich weist das Kantonsgericht darauf hin, dass das Gericht im Hauptverfahren den Sachverhalt von Amtes wegen zu erforschen habe und auch nicht an die Anträge der Parteien gebunden sei. Von daher wäre der Beizug eines Rechtsbeistands zur Wahrung der Rechte des Beschwerdeführers "vorliegend grundsätzlich auch nicht notwendig", so das Fazit im angefochtenen Entscheid.
3.2. Der Beschwerdeführer findet, in einem Verfahren betreffend die unentgeltliche Rechtspflege sei es gemäss <ref-law> nicht zulässig, dass sich das Gericht zu den mutmasslichen Gerichts- und Anwaltskosten ausschweige und stattdessen - wie die Vorinstanz - lediglich "Spannbreiten" von mutmasslichen Kosten vorgebe. Denn "unter diesen Vorgaben" könne jedes Armenrechtsgesuch ohne weiteres mit der Begründung abgewiesen werden, dass die mutmasslichen Gerichts- und Anwaltskosten wohl zwischen Fr. 1.-- und einem beliebigen oberen Grenzbetrag liegen werden. Indem die Vorinstanz keine konkrete Schätzung der mutmasslich anfallenden Prozesskosten vornehme, dem jährlichen Überschuss von Fr. 4'236.-- also keinen bestimmten Geldbetrag gegenüberstelle, erweise sich ihre Feststellung, wonach der besagte Überschuss zur Deckung der voraussichtlichen Kosten ausreiche, als "haltlos wie damit willkürlich" <ref-law>. Anhand einer tabellarischen Darstellung legt der Beschwerdeführer dar, dass sein jährlicher Überschuss schon dann nicht zur Deckung der Prozesskosten ausreiche, wenn man dem Betrag von Fr. 4'236.-- die mutmasslichen "Mittelwerte" der von der Vorinstanz genannten Spannbreiten gegenüberstelle und zusätzlich die Gerichtskosten für das Beschwerdeverfahren im Armenrechtsstreit von Fr. 500.-- berücksichtige, die "natürlich auch bei der Überprüfung der Prozessbedürftigkeit im Sinne von <ref-law> aufzurechnen" seien. Nachdem sich das Kantonsgericht nicht festlege, sei zu seinen Gunsten aber ohnehin auf die im angefochtenen Entscheid erwähnten "Höchstzahlen" abzustellen, womit ein noch höherer Fehlbetrag von Fr. 1'264.-- resultiere. Schliesslich argumentiert der Beschwerdeführer, dass für eine "korrekte Beurteilung und Gewichtung" natürlich alle mutmasslichen Gerichts- und Verfahrenskosten berücksichtigt und dem ermittelten Freibetrag gegenüber gestellt werden müssten. Dies verkenne der angefochtene Entscheid, indem er weder den Auslagen des Anwalts noch der Mehrwertsteuer Rechnung trage. Ausserdem vergesse das Kantonsgericht die Tatsache, dass auch im Beschwerdeverfahren betreffend die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege Anwaltskosten anfallen. Unter Berücksichtigung dieser zusätzlichen Betreffnisse errechnet der Beschwerdeführer einen Fehlbetrag von über Fr. 4'000.--, womit die Voraussetzungen von <ref-law> "natürlich offensichtlich erfüllt" seien. Schliesslich tadelt der Beschwerdeführer die vorinstanzliche Einschätzung, wonach das Hauptverfahren von der Sache her nicht allzu schwierig sein werde, als "offensichtlich völlig verfehlte, gleichermassen völlig unhaltbare Einschätzung". Er beteuert, dass der Kinderunterhaltsprozess angesichts der eingeklagten Beträge zumindest von der Bedeutung her "natürlich offensichtlich ausserordentlich wichtig, einschneidend und auch seine nächsten 20 Lebensjahre prägend" sei. Ausserdem werde sich das Verfahren vor dem Bezirksgericht Willisau nicht auf die Regelung von Kinderunterhaltsbeiträgen beschränken, sondern auch das väterliche Besuchs- und Ferienrecht zum Gegenstand haben.
3.3. Mit den oben resümierten Vorbringen lässt sich der angefochtene Entscheid nicht ins Wanken bringen. Der Beschwerdeführer gibt sich im Wesentlichen damit zufrieden, seine Sicht der Sach- und Rechtslage auszubreiten. Nach der Rechtsprechung kann die unentgeltliche Rechtspflege verweigert werden, wenn der monatliche Einkommensüberschuss es der gesuchstellenden Partei ermöglicht, die Prozesskosten bei weniger aufwändigen Prozessen binnen eines Jahres und bei anderen binnen zweier Jahre zu tilgen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 224). Der Prozessaufwand, der dem errechneten Freibetrag gegenüber zu stellen ist, bestimmt sich nicht nach dem Honorar, das ein Anwalt in Fällen unentgeltlicher Rechtspflege beanspruchen kann, sondern nach der mutmasslichen Entschädigung aufgrund der einschlägigen Bestimmungen und den zu erwartenden Gerichtskosten (Urteil 5P.295/2005 vom 4. Oktober 2005 E. 2.4). Es liegt in der Natur der Sache, dass die voraussichtlichen Prozesskosten nur geschätzt werden können. Von daher geht die Argumentation des Beschwerdeführers, dass sich die Vorinstanz auf einen konkreten Betrag hätte festlegen müssen, an der Sache vorbei. Abgesehen davon beruht der angefochtene Entscheid im Ergebnis auf der Erkenntnis, dass der mutmassliche Aufwand für den Unterhaltsprozess Fr. 4'236.-- nicht übersteigen wird. Von daher kann nicht gesagt werden, dass sich das Kantonsgericht nicht auf einen bestimmten Betrag festgelegt hat.
Die weiteren, nur schlecht verständlichen Erörterungen des Beschwerdeführers laufen zumindest sinngemäss auf die Forderung hinaus, dass angesichts der Bedeutung des Hauptsacheprozesses für die mutmasslichen Prozesskosten auf die Mittelwerte bzw. "zu Gunsten des Beschwerdeführers" auf die Höchstwerte der Bandbreiten abzustellen sei, die der angefochtene Entscheid nennt. Auch diese Forderung läuft ins Leere. Der vorinstanzlichen Einschätzung, dass der Unterhaltsprozess weder schwierig noch aufwändig sein werde, hält der Beschwerdeführer nichts Substantielles entgegen. Dass er seine finanziellen Verhältnisse offengelegt hat, stellt die Vorinstanz nicht in Abrede. Allein die Höhe der eingeklagten Kinderalimente sagt weder über die Schwierigkeit noch über den Umfang des Unterhaltsprozesses etwas aus. Mithin fehlt es in der Beschwerde an einer Begründung, inwiefern der Betrag von Fr. 4'236.-- allein unter dem Gesichtspunkt der Bedeutung des Verfahrens nicht dazu ausreichen soll, den angemessenen Zeitaufwand eines Rechtsbeistands (einschliesslich Mehrwertsteuer) bundesrechtskonform zu entschädigen. Daran ändert auch der Betrag von Fr. 250.-- nichts, den der Beschwerdeführer unter dem Titel "Auslagen Hauptverfahren" pauschal in Rechnung stellt. Weshalb dem Rechtsbeistand in dieser Höhe unausweichliche Auslagen entstehen sollen, ist der Beschwerde nicht zu entnehmen. Soweit der Beschwerdeführer argumentiert, dass sich das Bezirksgericht Willisau nebst dem Unterhaltsstreit im selben Verfahren auch mit Fragen des persönlichen Verkehrs werde befassen müssen, findet diese Behauptung in den vorinstanzlichen Feststellungen über den Gegenstand des Hauptverfahrens keine Stütze. Dem Beschwerdeführer ist es unbenommen, zu einem späteren Zeitpunkt gegebenenfalls erneut um das Armenrecht zu ersuchen. Schliesslich täuscht sich der Beschwerdeführer, wenn er im Hinblick darauf, ob er mit seinem Freibetrag von jährlich Fr. 4'236.-- die voraussichtlichen Prozesskosten bestreiten kann, auch den Aufwand für das kantonale Beschwerdeverfahren betreffend den Armenrechtsstreit in Rechnung stellen will. Zur Beurteilung steht hier allein das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für den Unterhaltsprozess vor dem Bezirksgericht Willisau. Von diesem Gesuch sind nur die (voraussichtlichen) Prozesskosten dieses Unterhaltsprozesses erfasst. Für das kantonale Beschwerdeverfahren hat der Beschwerdeführer denn auch ein separates Armenrechtsgesuch gestellt, dessen (implizite) Abweisung durch die Vorinstanz hier ebenfalls angefochten ist (E. 1.2). Entgegen dem, was der Beschwerdeführer glauben machen will, ist die Abweisung des Armenrechtsgesuchs für das Beschwerdeverfahren für sich genommen aber kein Grund, den Prozessaufwand für dieses Beschwerdeverfahren gewissermassen aufs Konto des Armenrechtsgesuchs für den Hauptprozess "umzubuchen".
Vor allem aber geht der Beschwerdeführer an keiner Stelle seines Schriftsatzes auf die vorinstanzliche Erwägung ein, wonach der Beizug eines Rechtsbeistandes zur Wahrung seiner Rechte im Hauptprozess grundsätzlich gar nicht notwendig wäre, weil in diesem Prozess die Offizial- und die Untersuchungsmaxime gelten (s. E. 3.1). So behauptet der Beschwerdeführer nicht, dass es <ref-law> zuwider läuft, einer Prozesspartei gestützt auf diese Überlegung des Kantonsgerichts einen unentgeltlichen Rechtsbeistand zu versagen. Ebenso wenig macht er geltend, dass seine Bedürftigkeit auch losgelöst von einer unentgeltlichen Verbeiständung ausgewiesen wäre, sein Freibetrag also nicht einmal zur Finanzierung der Gerichtskosten ausreichen würde. Mithin übersieht der Beschwerdeführer, dass es zur Anfechtung eines kantonalen Entscheids vor Bundesgericht nicht ausreicht, bloss einzelne Elemente der vorinstanzlichen Begründung in Frage zu stellen und andere unangefochten stehen zu lassen. Beruht der angefochtene Entscheid - wie hier - auf mehreren (Eventual-) Begründungen, die je für sich den Rechtsstreit vor der Vorinstanz hätten beenden können, muss in der Beschwerde an das Bundesgericht dargelegt werden, dass jede von ihnen Recht verletzt (<ref-ruling> E. 6.3 S. 120 f.; Urteil 5A_159/2011 vom 3. Mai 2011 E. 3).
4.
Streitig ist weiter das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Beschwerdeverfahren (E. 1.2). Das Kantonsgericht weist dieses Gesuch "mangels Bedürftigkeit" des Beschwerdeführers ab. Zur Begründung verweist es auf seine Erwägungen zur Prozessarmut im Zusammenhang mit dem Armenrechtsgesuch für den Hauptprozess (vgl. E. 3.1). Der Beschwerdeführer stellt diese Vorgehensweise nicht in Frage. Daran ändern auch die Ausführungen nichts, mit denen er sich - erfolglos (s. E. 3.3) - dagegen wehrt, dass das Kantonsgericht den erstinstanzlichen Armenrechtsentscheid bestätigt (s. E. 3.2). Denn diese Erörterungen beziehen sich auf die vorinstanzliche Beurteilung seiner Bedürftigkeit, nicht jedoch dagegen, dass das Kantonsgericht seine Bedürftigkeit mit Bezug auf das Armenrechtsgesuch für das kantonale Beschwerdeverfahren einfach mit dem Hinweis auf die Erwägungen zur Prozessarmut im Streit um das Armenrecht für den Hauptprozess verneint. Soweit er im hiesigen Verfahren an seinem Armenrechtsgesuch für das kantonale Beschwerdeverfahren festhält, lässt sein Schriftsatz mithin eine diesbezügliche Begründung vermissen, wie sie das Gesetz in <ref-law> vorschreibt. Insofern ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
5.
Nach alledem muss es mit dem angefochtenen Entscheid sein Bewenden haben. Die Beschwerde ist unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Er hat deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Dem Kanton Luzern ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen. Wie die vorigen Erwägungen zeigen, muss das vor Bundesgericht gestellte Rechtsbegehren als von Anfang an aussichtslos gelten. Damit mangelt es an einer gesetzlichen Voraussetzung für die Gewährung des Armenrechts im Verfahren vor Bundesgericht (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksgericht Willisau, Einzelrichterin, Abteilung 2, und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Oktober 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Monn