Faits :
A.
A.a. B._ et son père, C._, sont architectes au sein du bureau D._ SA à E._.
Le 11 janvier 2018, une altercation est survenue dans les locaux de la société, entre un client, A._, et les architectes prénommés. La police a dû intervenir et menotter A._ pour des raisons de sécurité.
A.b. Le 17 janvier 2018, A._ a déposé plainte contre C._ et B._ pour agression, mise en danger de la vie d'autrui, lésions corporelles simples et séquestration.
A.c. Le 26 janvier 2018, B._ a déposé plainte contre A._ pour agression et lésions corporelles graves.
A.d. Le 8 juin 2018, A._ a encore déposé plainte contre B._ pour dénonciation calomnieuse.
B.
Par ordonnance du 28 juin 2019, le Ministère public de la République et canton de Genève a refusé d'entrer en matière sur ces plaintes.
C.
B._ a formé recours contre l'ordonnance de non-entrée en matière du 28 juin 2019, dans la mesure où celle-ci concernait sa plainte du 26 janvier 2018.
A._ n'a, quant à lui, pas recouru contre l'ordonnance en question.
Par arrêt du 13 novembre 2019, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice genevoise a admis le recours formé par B._ contre l'ordonnance de non-entrée en matière du 28 juin 2019, a partiellement annulé celle-ci et a renvoyé la cause au ministère public en vue de l'ouverture d'une instruction concernant la plainte de ce dernier.
D.
A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 13 novembre 2019, en concluant, avec suite de frais et dépens, principalement à sa réforme en ce sens que l'ordonnance de non-entrée en matière du 28 juin 2019 est entièrement annulée et que le ministère public est invité à ouvrir, respectivement à reprendre, une procédure préliminaire sur l'ensemble des faits, y compris les faits visés par ses plaintes des 17 janvier et 8 juin 2018. Subsidiairement, il conclut à son annulation et à la confirmation de l'ordonnance de non-entrée en matière du 28 juin 2019. Plus subsidiairement, il conclut à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision.

Considérant en droit :
1.
L'arrêt attaqué est de nature incidente (cf. <ref-law>), dès lors qu'il ne met pas fin à la procédure pénale et aboutit au renvoi de la cause au ministère public afin que ce dernier ouvre une instruction. Or, le recourant n'explique pas dans quelle mesure il pourrait former un recours contre l'arrêt attaqué au regard de l'<ref-law>, si bien que son recours est irrecevable (cf. <ref-ruling> consid. 4 p. 95; arrêt 6B_1414/2019 du 7 janvier 2020).
Par ailleurs, contrairement à ce qu'indique l'intéressé, la décision attaquée ne comprend pas de décision finale (cf. <ref-law>) ou partielle (cf. <ref-law>) "dès lors qu'elle met fin à la procédure en ce qui concerne la plainte du recourant". En effet, le recourant n'a pas formé recours contre l'ordonnance de non-entrée en matière du 28 juin 2019, de sorte que la procédure concernant ses plaintes a pris fin avec cette décision, nullement avec l'arrêt attaqué, lequel ne portait pas sur le sort desdites plaintes. Le recourant ne saurait donc en aucune manière remettre en cause le refus d'entrer en matière sur ses propres plaintes, faute d'épuisement des instances cantonales sur ce point (cf. <ref-law>).
2.
Au demeurant, indépendamment de ce qui précède, le recourant ne pourrait de toute manière contester devant le Tribunal fédéral le refus d'entrer en matière sur ses plaintes, compte tenu de ce qui suit.
2.1. Selon l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 5 LTF, la partie plaignante qui a participé à la procédure de dernière instance cantonale est habilitée à recourir au Tribunal fédéral, si la décision attaquée peut avoir des effets sur le jugement de ses prétentions civiles. Constituent de telles prétentions celles qui sont fondées sur le droit civil et doivent en conséquence être déduites ordinairement devant les tribunaux civils. Il s'agit principalement des prétentions en réparation du dommage et du tort moral au sens des <ref-law>. En vertu de l'<ref-law>, il incombe à la partie recourante d'alléguer les faits qu'elle considère comme propres à fonder sa qualité pour recourir. Lorsque le recours est dirigé contre une décision de non-entrée en matière ou de classement de l'action pénale, la partie plaignante n'a pas nécessairement déjà pris des conclusions civiles. Quand bien même la partie plaignante aurait déjà déclaré des conclusions civiles (cf. <ref-law>), il n'en reste pas moins que le ministère public qui refuse d'entrer en matière ou prononce un classement n'a pas à statuer sur l'aspect civil (cf. <ref-law>). Dans tous les cas, il incombe par conséquent à la partie plaignante d'expliquer dans son mémoire au Tribunal fédéral quelles prétentions civiles elle entend faire valoir contre l'intimé. Comme il n'appartient pas à la partie plaignante de se substituer au ministère public ou d'assouvir une soif de vengeance, la jurisprudence entend se montrer restrictive et stricte, de sorte que le Tribunal fédéral n'entre en matière que s'il ressort de façon suffisamment précise de la motivation du recours que les conditions précitées sont réalisées, à moins que l'on puisse le déduire directement et sans ambiguïté compte tenu notamment de la nature de l'infraction alléguée (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 4).
Si la partie plaignante se plaint d'infractions distinctes, elle doit mentionner, par rapport à chacune d'elles, en quoi consiste son dommage (arrêts 6B_88/2020 du 11 février 2020 consid. 3.1; 6B_5/2020 du 20 janvier 2020 consid. 2.3).
2.2. En l'espèce, le recourant n'explique nullement quelles conclusions civiles il pourrait déduire des infractions dont il se plaint, de sorte qu'il n'aurait, le cas échéant, pas la qualité pour recourir sur le fond de la cause au sens de l'art. 81 al. 1 let. b ch. 5 LTF.
2.3. L'hypothèse visée à l'art. 81 al. 1 let. b ch. 6 LTF n'entrerait pas en considération dans le cas d'espèce, dès lors que le recourant ne formule aucun grief recevable relatif à son droit de porter plainte.
2.4. Indépendamment des conditions posées par l'<ref-law>, la partie plaignante est habilitée à se plaindre d'une violation de ses droits de partie équivalant à un déni de justice formel, sans toutefois pouvoir faire valoir par ce biais, même indirectement, des moyens qui ne peuvent être séparés du fond (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 5 et les références citées). Le recourant ne formule aucun grief de cette nature.
3.
Les considérants de l'arrêt attaqué appellent cependant les remarques suivantes.
3.1. La cour cantonale a retenu, sur la base des éléments probatoires figurant au dossier, que, lors de l'altercation du 11 janvier 2018, le recourant avait à tout le moins poussé - voire "plaqué" - l'intimé contre un mur. C._ était alors intervenu et avait recouvert la tête du recourant d'une capuche. Le prénommé et l'intimé avaient ensuite amené le recourant à s'asseoir, puis à s'allonger sur le ventre, l'immobilisant dans l'attente de la police. Lorsque celle-ci était arrivée, elle avait menotté le recourant.
L'autorité précédente a indiqué que, selon elle, ces agissements réunissaient les éléments constitutifs d'une infraction de rixe. Elle a ajouté que l'objet du litige était limité par les conclusions prises devant elle par l'intimé, lequel ne pouvait plus être inquiété pour avoir participé à une rixe ou pour avoir causé des lésions corporelles. Elle a ainsi renvoyé la cause au ministère public afin que celui-ci ouvre une instruction "sur la plainte [de l'intimé] exclusivement".
3.2. Invité à se déterminer sur le recours de l'intimé contre l'ordonnance de non-entrée en matière du 28 juin 2019, le recourant a pris des conclusions qui excédaient le cadre du litige, en concluant à l'annulation de l'ordonnance précitée et au renvoi de la cause au ministère public en vue de "l'ouverture d'une instruction sur la totalité des faits visés par la procédure".
La cour cantonale, en motivant le rejet de ces conclusions, s'est avancée en indiquant que l'intimé ne pourrait plus, désormais, "être inquiété pour avoir participé à une rixe ou pour avoir causé des lésions corporelles à un autre participant". Or, on ne voit pas ce qui empêcherait à l'avenir le ministère public, si celui-ci devait constater qu'une infraction poursuivie d'office pouvait avoir été commise, de diriger son instruction contre toutes les personnes y ayant pris part.
4.
Le recours doit être déclaré irrecevable. Le recourant, qui succombe, supporte les frais judiciaires (<ref-law>). L'intimé, qui n'a pas été invité à se déterminer, ne saurait prétendre à des dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre pénale de recours.
Lausanne, le 4 mars 2020
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Graa