Sachverhalt:
A.
A._ ist Eigentümer der Grundstücke Nrn. 2277 und 2278 in der Gemeinde Gaiserwald. Die beiden Grundstücke liegen teilweise im Perimeter der Deponie Tüfentobel, welche die Stadt St. Gallen dort betreibt. Im Rahmen der Planung und Realisierung einer Erweiterung dieser Deponie stellte die Stadt St. Gallen am 7. August 2018 bei der kantonalen Schätzungskommission für Enteignungen das Gesuch um Einleitung des Enteignungsverfahrens. Damit beantragte sie zur Hauptsache eine dauernde Beschränkung des Eigentums an den erwähnten Grundstücken in Form einer Dienstbarkeit (übertragbares Auffüllrecht für Inertmaterial) zu ihren Gunsten. Gegen das öffentlich aufgelegte Enteignungsbegehren erhob A._ Einsprache. In der Folge grenzte die Stadt St. Gallen das Enteignungsbegehren auf ein übertragbares Auffüllrecht für Inertmaterial Typ A (sauberer Aushub) ein. Am 3. Juni 2019 überwies der Präsident der Schätzungskommission die Einsprache der Regierung des Kantons St. Gallen zum Entscheid über die Zulässigkeit der Enteignung. Die Regierung wies die Einsprache mit Entscheid vom 25. August 2020 ab und stellte die Zulässigkeit der Enteignung fest.
B.
Gegen den Entscheid der Regierung erhob A._ Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen. Dieses wies die Beschwerde mit Entscheid vom 25. Februar 2021 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 12. April 2021 beantragt A._ die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Feststellung, dass der Stadt St. Gallen das Enteignungsrecht nicht zustehe. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Stadt St. Gallen ersucht um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das kantonale Sicherheits- und Justizdepartement stellt Antrag auf Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht schliesst ebenfalls auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Dem angefochtenen Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) liegt ein Beschwerdeverfahren über eine Enteignung und somit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit zugrunde. Ein Ausschlussgrund nach <ref-law> liegt nicht vor. Der Beschwerdeführer hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen. Er ist durch den angefochtenen Entscheid materiell beschwert und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung bzw. Änderung (vgl. <ref-law>).
1.2. Zum Enteignungsverfahren gemäss der Enteignungsgesetzgebung des Kantons Schwyz hat das Bundesgericht erwogen, dieses sei zweistufig aufgebaut (Enteignung - Entschädigung). Das Bundesgericht qualifiziert dabei den in der ersten Verfahrensstufe gefällten Entscheid über Zulässigkeit und Umfang der Enteignung als Endentscheid im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.2; Urteil des Bundesgerichts 1C_580/2020 vom 9. Dezember 2021 E. 1.2). Gemäss Art. 33 Abs. 2 des Enteignungsgesetzes des Kantons St. Gallen vom 31. Mai 1984 (EntG/SG; sGS 735.1) wird das Schätzungsverfahren erst eingeleitet, wenn die Zulässigkeit der Enteignung feststeht. Mit dem angefochtenen Entscheid hat die Vorinstanz die Zulässigkeit einer Enteignung geschützt und ist auf Begehren betreffend die Bemessung der Enteignungsentschädigung nicht eingetreten, sondern hat die Sache in dieser Hinsicht an die Schätzungskommission überwiesen. Der angefochtene Entscheid bildet deshalb einen Endentscheid im Sinne von <ref-law>. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben keinen Anlass zu Bemerkungen. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.3. Mit der Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht, einschliesslich Bundesverfassungsrecht, und von kantonalen verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Beschwerden an das Bundesgericht haben nebst den Begehren die Begründung zu enthalten; darin ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Die Vorbringen müssen sachbezogen sein, damit aus der Beschwerdeschrift ersichtlich ist, in welchen Punkten und weshalb der angefochtene Entscheid beanstandet wird. Der blosse Hinweis auf frühere Rechtsschriften oder auf den angefochtenen Entscheid genügt den Begründungsanforderungen nicht (vgl. <ref-ruling> E. 1.3). Sodann prüft das Bundesgericht die Verletzung von Grundrechten nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Es gilt insofern eine qualifizierte Rügepflicht (vgl. <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.2.2).
1.4. Der Beschwerdeführer beantragt die vollumfängliche Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Er erhebt jedoch keine substanziierten Rügen im Hinblick auf das teilweise Nichteintreten der Vorinstanz auf sein kantonales Rechtsmittel. In dieser Hinsicht ist auf die Beschwerde mangels ausreichender Begründung nicht einzutreten (vgl. oben E. 1.3).
2.
2.1. Zunächst beanstandet der Beschwerdeführer die sachverhaltlichen Feststellungen im angefochtenen Entscheid zu den von der Enteignung betroffenen Flächen und Auffüll-Volumina. Die Vorinstanz beziffere die von der Enteignung betroffenen Flächen mit 11'045 m2 und 19'216 m2, total 30'261 m2. Unklar sei dabei, ob es sich um die Gesamtfläche der beiden Grundstücke handle oder lediglich um die Flächen für die Erweiterung des Deponieperimeters. Weiter gebe die Vorinstanz das Restvolumen im Kompartiment Typ A mit 1'323'000 m2 bei der Deponie Tüfentobel und mit 1'638'000 m2 bei allen Deponien Typ A im Kantonsgebiet zusammen an. Die Vorinstanz vermische Flächenangaben mit Volumina. Es sei nicht nachvollziehbar, wie diese Zahlen - wenn sie denn stimmen sollten - zu würdigen seien. Ausserdem nehme die Vorinstanz an, ohne die Enteignung stände lediglich noch ein Restvolumen Typ A von 85'000 m3 auf der Deponie Tüfentobel zur Verfügung. Zwar treffe es zu, dass das Restvolumen Typ A bei der Deponie Tüfentobel per 1. Januar 2019 an sich 795'000 m3 betragen habe. Mindestens 710'000 m3 davon würden sich auf Grundstücken des Beschwerdeführers befinden. Die Vorinstanz verkenne aber, dass mindestens 400'000 m3 dieser 710'000 m3 im Perimeter der bestehenden Auffüll-Dienstbarkeit zu seinen Lasten aus dem Jahr 1964 lägen. Beim Perimeter, der das Erweiterungsprojekt betreffe, gehe es nur um ein Volumen von rund 310'000 m3 und nicht von 710'000 m3. Die Beschwerdegegnerin habe aufgrund von Differenzen mit ihm über die Auslegung der bestehenden Dienstbarkeit davon abgesehen, in jenem Perimeter weiter aufzufüllen, bestehe hingegen an sich noch auf dem Recht zur Ausschöpfung jener rund 400'000 m3. Zudem würden die von der Enteignung betroffenen Teilflächen der Grundstücke Nrn. 2277 und 2278 insgesamt 29'260 m2 ausmachen. Gemäss den Vorbringen des Beschwerdeführers ergeben sich von den Annahmen der Vorinstanz abweichende Flächen- und Volumina-Zahlen aus Dokumenten, die er dem Bundesgericht einreicht. Wegen dieser unrichtigen Sachverhaltsfeststellung sei die Vorinstanz zu Unrecht davon ausgegangen, dass die Knappheit an Deponievolumen Typ A ausgewiesen sei.
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Ein Beschwerdeführer darf die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung nur rügen, wenn sie mit einem Mangel im erwähnten Sinn behaftet ist und dessen Behebung für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine entsprechende Rüge ist in der Beschwerde substanziiert vorzubringen (vgl. <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 4.1). Neue Tatsachen und Beweismittel können nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
2.3. Dem angefochtenen Entscheid lässt sich entnehmen, dass der Streitgegenstand ein Auffüllrecht gemäss dem präzisierten Enteignungsbegehren der Beschwerdegegnerin als Erweiterung einer bestehenden entsprechenden Grunddienstbarkeit von 1964 betrifft. Die Vorinstanz hat darauf hingewiesen, dass das kantonale Amt für Umwelt (AFU) im Jahr 1994 der Stadt St. Gallen den Weiterbetrieb der Deponie Tüfentobel unter Auflagen bewilligt hatte. Im Jahr 2003 habe die Stadt St. Gallen das Deponieabschlussprojekt und damit die Sicherung der Kapazitäten für die Ablagerung von Inertstoffen für die nächsten dreissig Jahre bewilligt. Gemäss den kantonalen Verfahrensakten genehmigte das Baudepartement des Kantons St. Gallen am 21. Dezember 2004 den von der Gemeinde Gaiserwald erlassenen Deponieplan Tüfentobel als Sondernutzungsplan. Dabei wurde festgehalten, dieser Deponieplan gelte gestützt auf Art. 28quinquies des damals geltenden kantonalen Gesetzes vom 6. Juni 1972 über die Raumplanung und das öffentliche Baurecht (aBauG; nGS 32-21) als Baubewilligung. Insoweit behauptet der Beschwerdeführer vor Bundesgericht konkret nichts anderes.
2.4. Die Vorinstanz hat keine eigenen Feststellungen zu den von der Enteignung betroffenen Flächen und den damit verbundenen maximalen Auffüll-Volumina getroffen. Die vom Beschwerdeführer kritisierten Zahlen werden im angefochtenen Entscheid bei der Zusammenfassung des unterinstanzlichen Entscheids der Regierung genannt. Das Enteignungsbegehren der Beschwerdegegnerin bezieht sich in tatsächlicher Hinsicht auf den diesem Begehren beigelegten Dienstbarkeits- und Enteignungsplan vom 12. Februar 2018. Gemäss diesem Plan umfassen die von der Enteignung betroffenen Teilflächen zwischen der Perimeterlinie 1964 und der Perimeterlinie 2003 ca. 11'045 m2 von Grundstück Nr. 2277 und ca. 19'216 m2 von Grundstück Nr. 2278. Ausserdem dient die Enteignung der Ausschöpfung der gemäss Deponieplan ermöglichten Auffüllung; Bestandteil des Deponieplans ist es, das Deponievolumen zu ordnen (vgl. Art. 28bis Abs. 2 lit. b aBauG).
Im Hinblick auf die fraglichen Teilflächen zeigt sich, dass die von der Vorinstanz erwähnten Angaben der Regierung mit dem Enteignungsbegehren übereinstimmen. Die vom Beschwerdeführer dem Bundesgericht eingereichten Dokumente mit abweichenden Flächenangaben sind älter als der angefochtene Entscheid und liegen soweit ersichtlich nicht bei den vorinstanzlichen Akten. Sie hätten ohne Weiteres bereits im kantonalen Verfahren eingebracht werden können. Der Beschwerdeführer begründet vor Bundesgericht nicht, weshalb die von ihm behaupteten abweichenden Flächenangaben und die diesbezüglichen Dokumente vom Bundesgericht erstmalig berücksichtigt werden sollten. Es handelt sich um unzulässige unechte Noven (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 mit Hinweisen).
2.5. Die von der Enteignung betroffenen Auffüll-Volumina werden im Enteignungsbegehren, anders als die soeben angesprochenen Teilflächen, nicht beziffert. Es bildet weder einen Sachverhalts- noch einen sinngemäss ebenfalls gerügten Verfahrensmangel, dass im kantonalen Verfahren über die Zulässigkeit der Enteignung die maximalen Auffüll-Volumina pro betroffenes Grundstück nicht verbindlich festgestellt worden sind. Diese Volumina lassen sich auf der Basis der betroffenen Teilflächen und des bestehenden Deponie- bzw. Sondernutzungsplans berechnen; Art. 6 des Deponieplans Tüfentobel regelt Ausmass und Begrenzung der Deponie. Damit sind die Grundlagen der im Streit liegenden Zwangsdienstbarkeit insoweit genügend bestimmt. Wenn die Auffüll-Volumina bei einer Änderung dieses Sondernutzungsplans nachträglich erhöht werden sollten, würde dies hinsichtlich der betroffenen Grundstücke eine zusätzliche Enteignung bedingen. Unter diesen Umständen ist die Feststellung des maximalen von der Enteignung betroffenen Auffüll-Volumens entgegen dem Beschwerdeführer nicht relevant für den Ausgang des Verfahrens (<ref-law>). Demzufolge gehen die diesbezüglichen Rügen des Beschwerdeführers fehl.
2.6. Die Angaben der Regierung zum Restvolumen Typ A bei der Deponie Tüfentobel im Verhältnis zu allen entsprechenden Deponien im Kantonsgebiet, die im angefochtenen Entscheid zitiert worden sind, stützen sich auf den vom AFU herausgegebenen "Abfallbericht Kanton St. Gallen 2017". Bei einem Rückgriff auf diese Quelle ist es offensichtlich, dass die Vorinstanz in dieser Hinsicht lediglich einem Versehen bezüglich der Masseinheit (m2 statt m3) unterlegen ist. Daher ist es nachvollziehbar, wenn von einem Restvolumen Typ A von 1'323'000 m3 bei der Deponie Tüfentobel und von einem solchen von 1'638'000 m3 bei allen entsprechenden Deponien im Kantonsgebiet zusammen per 2017 ausgegangen wird. Die von der Vorinstanz daraus gezogene Schlussfolgerung, wonach die Deponie Tüfentobel den grössten Abfall-Anteil aller Deponien Typ A trägt und eine erhebliche Bedeutung für die diesbezügliche Entsorgungssicherheit des Kantons hat, erweist sich nicht als offensichtlich unrichtig.
Ferner hat die Vorinstanz gestützt auf den regierungsrätlichen Bericht "Abfallplanung 2020" festgehalten, dass dieser einen Handlungsbedarf für die Sicherung von Deponiestandorten auf Stufe Richtplan bezüglich der kurzfristigen Inbetriebnahme von Deponien Typ A bestätige. Dazu äussert sich der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht konkret. Insgesamt ist es nicht offensichtlich unrichtig, wenn die Vorinstanz kantonsweit eine Knappheit bzw. einen Mangel an Deponien Typ A bejaht hat. Insoweit sind die Sachverhaltsvorwürfe des Beschwerdeführers unbegründet.
2.7. Zusammengefasst dringen die Rügen betreffend die vorinstanzliche Feststellung des Sachverhalts nicht durch.
3.
3.1. Der angefochtene Entscheid erging in einem nach kantonalem Recht durchgeführten Enteignungsverfahren. Die eigentliche materiellrechtliche Grundlage hat die Enteignung für eine Deponie aber in <ref-law> (SR 814.01). Nach Abs. 1 dieser Bestimmung können der Bund und die Kantone, soweit der Vollzug des USG es erfordert, die notwendigen Rechte selbst enteignen oder dieses Recht Dritten übertragen. Weder macht der Beschwerdeführer vor Bundesgericht geltend noch ist ersichtlich, dass die einschlägigen kantonalen Vorschriften das Bundesgesetz vom 20. Juni 1930 über die Enteignung (EntG; SR 711) für anwendbar erklären (vgl. <ref-law>). Es steht auch kein Werk zur Diskussion, welches das Gebiet mehrerer Kantone beansprucht (<ref-law>). In einer solchen Konstellation ist die Frage, ob und inwieweit das Recht zur Enteignung gewährt werden kann, eine solche des Bundesrechts und nach <ref-law> zu lösen. Daneben behalten materiell- und verfahrensrechtliche Bestimmungen des kantonalen Enteignungsgesetzes auch in umweltschutzbedingten Verfahren ihre selbstständige Bedeutung, soweit sie den bundesrechtlichen Anforderungen genügen (vgl. <ref-ruling> E. 2a; vgl. auch <ref-ruling> E. 4 S. 191).
3.2.
3.2.1. Namentlich zum Bau von Kehrichtverbrennungsanlagen und zur Anlage von Deponien kann sich ein Bedarf ergeben, das Enteignungsrecht gemäss <ref-law> für den Erwerb des nötigen Bodens in Anspruch zu nehmen. Diese Beispiele werden bereits in der bundesrätlichen Botschaft vom 31. Oktober 1979 zum USG genannt (vgl. BBl 1979 III 749 ff., 826).
3.2.2. Alle Typen von Deponien (vgl. zu diesen Typen Art. 35 der Verordnung vom 4. Dezember 2015 über die Vermeidung und die Entsorgung von Abfällen [VVEA; SR 814.600]) dienen der kontrollierten Ablagerung von Abfällen (vgl. <ref-law> i.V.m. <ref-law>). Die Kantone haben im Rahmen der Pflicht zur Abfallplanung gemäss <ref-law> den Bedarf an Deponievolumen zu ermitteln und die Standorte von Deponien festzulegen (Deponieplanung; vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1). Für Deponien besteht gemäss <ref-law> auch eine Richtplanpflicht (Urteil 1C_139/ 2017 vom 6. Februar 2018 E. 4.5, in: ZBl 119/2018 S. 595; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.1).
3.2.3. Weiter unterliegen Deponien insbesondere der Bewilligungspflicht gemäss <ref-law>. Dabei macht diese Bestimmung die Errichtungs- bzw. Bau- wie auch die Betriebsbewilligung für eine Deponie von einem Bedarfsnachweis abhängig. Da jede Deponie Umweltrisiken birgt, besteht ein öffentliches Interesse daran, die Anzahl solcher Anlagen möglichst tief zu halten und für eine möglichst gute Auslastung der bestehenden Deponien zu sorgen. Die in <ref-law> verankerte Bedürfnisklausel ist somit ausschliesslich umweltpolizeilich motiviert und erweist sich als grundsatzkonformer Eingriff in die Wirtschaftsfreiheit (<ref-law>); allenfalls eintretende wirtschaftslenkende Effekte, namentlich der Ausschluss von Mitbewerbern bei der Vergabe der nur beschränkt verfügbaren Deponiebewilligungen, sind als Nebenwirkung zum umweltpolizeilichen Zweck hinzunehmen (vgl. PIERRE TSCHANNEN, in: Kommentar zum Umweltschutzgesetz, 2. Aufl. 2000 [USG-Kommentar], N. 27 zu <ref-law>; ALEXANDRE FLÜCKIGER, in: Moor/Favre/Flückiger [Hrsg.], Commentaire LPE, 2010, N. 57 zu <ref-law>).
3.2.4. Die Entsorgung der Siedlungsabfälle ist Sache der Kantone, wobei diese über ein Entsorgungsmonopol verfügen (vgl. dazu <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 5b); demgegenüber besteht grundsätzlich ein Freiraum privatwirtschaftlicher Tätigkeit bei der Entsorgung der übrigen Abfälle (vgl. dazu <ref-law>; <ref-ruling> E. 9.2.1; <ref-ruling> E. 3b). Diese Unterscheidung spielt aber angesichts der soeben dargelegten Bedürfnisklausel bei der Bewilligung von Deponien gemäss <ref-law> im vorliegenden Zusammenhang keine wesentliche Rolle. Vielmehr erfordert es der Vollzug des USG, dass alle Deponien mit ausgewiesenem Bedarf an den dafür vorgesehenen Standorten unabhängig von den dort gegebenen Grundeigentumsverhältnissen realisiert werden können (vgl. THEO LORETAN, in: USG-Kommentar, N. 16 zu <ref-law>; STÉPHANE GRODECKI, in: Commentaire LPE, N. 33 zu <ref-law>). Die Wahrnehmung einer öffentlichen Aufgabe liegt beispielsweise auch dann vor, wenn ein Privatunternehmen - ohne über einen Vollzugsauftrag zu verfügen - im Rahmen der kantonalen Abfall- und Raumplanung eine VVEA-konforme Deponie betreiben möchte (vgl. LORETAN, a.a.O., N. 22 zu <ref-law>). Unter diesen Voraussetzungen bietet <ref-law> eine gesetzliche Grundlage für die Zulässigkeit einer Enteignung nicht nur für Deponien zur Ablagerung von Abfällen im Anwendungsbereich von <ref-law>, sondern - entgegen dem Beschwerdeführer - auch von übrigen Abfällen im Sinne von <ref-law>.
3.2.5. Als Zwischenergebnis ist festzuhalten, dass eine Enteignung gestützt auf <ref-law> für alle VVEA-konformen Deponien bei ausgewiesenem Bedarf in Betracht kommt. Dieses Auslegungsergebnis ist mit den vom Beschwerdeführer angerufenen verfassungsmässigen Rechten der Eigentumsgarantie (<ref-law>) und der Wirtschaftsfreiheit (<ref-law>) vereinbar. Der Beschwerdeführer nennt ferner die Eigentumsgarantie gemäss Art. 2 lit. t der Verfassung des Kantons St. Gallen vom 10. Juni 2001 (SR 131.225). Er tut allerdings nicht dar, inwiefern dieser kantonalen Bestimmung im vorliegenden Zusammenhang ein eigenständiger Gehalt zukommen soll.
3.3. Im konkreten Fall musste der Nachweis für den Bedarf an der Deponie bereits im Rahmen des Deponieplans geprüft werden, die als Baubewilligung gilt (vgl. oben E. 2.3). Das Enteignungsbegehren ist dahingehend präzisiert worden, dass es für eine Deponie Typ A, d.h. zur Ablagerung von unverschmutztem Aushub, beansprucht wird. Bauabfälle wie unverschmutztes Aushubmaterial gehören zu den anderen Abfällen im Sinne von <ref-law> (TSCHANNEN, in: USG-Kommentar, N. 9 zu <ref-law>; FLÜCKIGER, in: Commentaire LPE, N. 4 zu <ref-law>). Unverschmutzter Aushub kann auf Deponien Typ A abgelagert werden, soweit er nicht verwertet wird (vgl. Art. 19 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Nach den nicht offensichtlich unrichtigen Feststellungen der Vorinstanz besteht kantonsweit eine Knappheit bzw. ein Mangel an Deponien Typ A (vgl. oben E. 2.6). Ein Bedarf für die umstrittene Enteignung ist genügend ausgewiesen. Diese lässt sich daher auf <ref-law> stützen. Gleichzeitig ist damit auch gesagt, dass das öffentliche Interesse für die umstrittene Enteignung gegeben ist.
3.4. Die Vorinstanz hat hauptsächlich Art. 5 lit. a EntG/SG als gesetzliche Grundlage für die Zulässigkeit der umstrittenen Enteignung betrachtet. Diese kantonale Bestimmung lässt eine Enteignung für Bau, Betrieb und Unterhalt sowie künftige Erweiterung öffentlicher oder überwiegend im öffentlichen Interesse liegender Werke zu. Art. 5 lit. a EntG/SG kommt jedoch im vorliegenden Zusammenhang keine über <ref-law> hinausgehende Bedeutung zu. Es kommt somit nicht darauf an, inwiefern die Deponie Tüfentobel die kantonalrechtliche Anforderung erfüllt, überwiegend im öffentlichen Interesse zu liegen. Soweit der Beschwerdeführer eine bundesrechtswidrige Anwendung von Art. 5 EntG/SG rügt, stossen seine Vorwürfe ins Leere.
4.
4.1. Gemäss <ref-law> können Bund und Kantone das Enteignungsrecht auf Dritte übertragen. Dritte können eine Körperschaft oder Anstalt des öffentlichen Rechts, aber auch natürliche oder juristische Personen des Privatrechts sein (vgl. LORETAN, a.a.O., N. 22 zu <ref-law>; GRODECKI, a.a.O., N. 51 zu <ref-law>). <ref-law> ermächtigt nicht bestimmte Dritte zur Enteignung. Es ist deshalb ein besonderer Übertragungsakt erforderlich. Für die Übertragung des Enteignungsrechts im Kanton ist das kantonale Recht massgeblich (vgl. LORETAN, a.a.O., N. 23 zu <ref-law>; GRODECKI, a.a.O., N. 52 f. zu <ref-law>). Bei der Regelung der Frage der Zuständigkeit zur Enteignung bzw. der Verleihung des Enteignungsrechts handelt es sich um verfahrensrechtliche Bestimmungen, bei denen das kantonale Recht eine selbstständige Bedeutung aufweist, soweit es mit <ref-law> vereinbar ist (vgl. oben E. 3.1).
4.2. Art. 7 Abs. 1 EntG/SG erklärt Staat und politische Gemeinden für enteignungsberechtigt. Die Verleihung des Enteignungsrechts durch die Kantonsregierung sieht Art. 7 Abs. 2 EntG/SG im Hinblick auf andere öffentlich-rechtliche juristische Personen und Private vor, sofern sie einen Enteignungsgrund haben. Es ist mit <ref-law> vereinbar, wenn ein Kanton das Enteignungsrecht den politischen Gemeinden durch formelles Gesetz überträgt. Auch zur Ausübung des Enteignungsrechts des Bundes sieht Art. 3 Abs. 2 lit. b EntG die Möglichkeit der Übertragung durch die Bundesgesetzgebung auf Dritte vor (vgl. dazu Urteil 1C_485/2017 vom 23. April 2019 E. 9.3, nicht publ. in: <ref-ruling>).
4.3. Der Beschwerdeführer vertritt die Meinung, das Enteignungsrecht gemäss Art. 7 Abs. 1 EntG/SG stehe der politischen Gemeinde bloss für Aufgaben auf ihrem eigenen Gebiet zu. Standortgemeinde sei vorliegend die Gemeinde Gaiserwald. Er macht geltend, die Beschwerdegegnerin falle unter Art. 7 Abs. 2 EntG/SG. Es sei nicht Sinn des Gesetzes, dass eine Gemeinde auf fremdem Territorium hoheitlich tätig werde. Allenfalls hätte die Regierung dies nach Art. 7 Abs. 2 EntG/SG zu bewilligen.
Die Vorinstanz hat erwogen, der Beschwerdegegnerin stehe eine Enteignungsberechtigung gestützt auf Art. 7 Abs. 1 EntG/SG auch ausserhalb ihres Gemeindegebiets zu. Dabei berief sich die Vorinstanz auf eine Literaturstelle (HANS BRUNNER, Voraussetzungen der Enteignung, in: Das neue st. gallische Enteignungsgesetz, 1985, S. 9 ff., 22). Nach Ansicht der Vorinstanz wäre eine Inanspruchnahme des Enteignungsrechts durch die Standortgemeinde auch nicht sachgerecht, weil nicht sie die Deponie betreibe.
4.4. Die Frage, wer das Enteignungsrecht beanspruchen kann, gehört zu den gesetzlichen Voraussetzungen des Grundrechtseingriffs. Diese Frage wird angesichts der Schwere dieses Eingriffs bei formellen Enteignungen vom Bundesgericht grundsätzlich frei überprüft (vgl. Urteil 1C_453/2019 und 1C_271/2021 vom 7. September 2021 E. 5).
Die Auslegung der Vorinstanz von Art. 7 Abs. 1 EntG/SG, wonach politische Gemeinden generell zur Enteignung ermächtigt seien, kann sich auf den Gesetzeswortlaut stützen. Die von der Vorinstanz zitierte Literaturstelle stammt vom Präsidenten der vorberatenden Parlamentskommission für das kantonale Enteignungsgesetz und enthält aus Sicht des damaligen Gesetzgebungsprozesses u.a. Erläuterungen zu Art. 7 EntG/SG. Dieser Materialie lässt sich entnehmen, dass die fragliche Bestimmung zwei Kategorien von Enteignungsberechtigten aufführt: einerseits den Kanton St. Gallen und die st. gallischen politischen Gemeinden sowie anderseits weitere Personen, so neben Privaten insbesondere die Spezialgemeinden (vgl. zu letzteren Art. 2 des kantonalen Gemeindegesetzes vom 21. April 2009; sGS 151.2) und ausserkantonale Gebietskörperschaften. Weiter soll bei allen Gebietskörperschaften die Inanspruchnahme des Enteignungsrechts auch ausserhalb ihres Gebiets möglich sein, sofern dafür ein öffentliches Interesse gegeben ist (BRUNNER, a.a.O., S. 21 f.). Politische Gemeinden wie die Beschwerdegegnerin können unter Umständen auch ausserhalb ihres Gemeindegebiets öffentliche Aufgaben erfüllen. Dies trifft im vorliegenden Fall für die Beschwerdegegnerin zu (vgl. oben E. 3.3). Das öffentliche Interesse an der Realisierung der Erweiterung der Deponie, welche die Beschwerdegegnerin betreibt, genügt, um das Enteignungsrecht zu beanspruchen. Auch in dieser Hinsicht sind die gesetzlichen Grundlagen für die Enteignung erfüllt.
5.
5.1. Weiter ist die Verhältnismässigkeit der Enteignung umstritten. Dieser materiellrechtliche Punkt richtet sich direkt nach <ref-law> (vgl. oben E. 3.1). Das Gebot der Verhältnismässigkeit gemäss <ref-law> verlangt, dass eine behördliche Massnahme für das Erreichen des im öffentlichen Interesse liegenden Ziels geeignet und erforderlich ist und sich für die Betroffenen in Anbetracht der Schwere der Grundrechtseinschränkung als zumutbar erweist (vgl. <ref-ruling> E. 6.4; <ref-ruling> E. 3.5). Das Bundesgericht prüft die vom Beschwerdeführer beanstandete vorinstanzliche Beurteilung der Erforderlichkeit und Verhältnismässigkeit der Massnahme frei. Es auferlegt sich allerdings Zurückhaltung bei der Überprüfung, wenn die Beurteilung von der Würdigung der örtlichen Verhältnisse abhängt, welche die Vorinstanzen besser überblicken (vgl. <ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 2.3). Die Vorinstanz hat erläutert, dass Art. 6 EntG/SG über die Verhältnismässigkeit der Enteignung den bundesrechtlichen Grundsatz der Verhältnismässigkeit konkretisiert. Insoweit behauptet der Beschwerdeführer vor Bundesgericht konkret nichts anderes.
5.2. Der Beschwerdeführer stellt die Erforderlichkeit der Enteignung in Abrede. Er sei an sich gewillt, das fragliche Land für Deponiezwecke zur Verfügung zu stellen. Im Rahmen der freien Marktwirtschaft wolle er aber den Meistbietenden als Deponiebetreiber auswählen. Im Rahmen eines privaten Deponievertrags beispielsweise mit einem Tiefbauunternehmen könne er neben der Aushandlung der Entschädigungshöhe auch Einfluss auf die Modalitäten der Deponievorgänge nehmen. Zudem sei die Betriebsbewilligung für die Deponie übertragbar. Im Kanton St. Gallen sei es eine Ausnahme, dass eine öffentlich-rechtliche Körperschaft eine Deponie betreibe. Diese Aufgabe könne er ebenso gut selbst oder in Zusammenarbeit mit einer Drittperson übernehmen. Mit der Enteignung werde im Ergebnis nicht eine zusätzliche Deponiemöglichkeit gewonnen. Besonders stossend sei, dass sich die Beschwerdegegnerin mit dem Enteignungsrecht einen Vorteil gegenüber privaten Deponiebetreibern verschaffen wolle. Sie greife zum Enteignungsrecht, um kein marktkonformes Angebot für das Auffüllrecht abgeben zu müssen. Dieses rein pekuniäre Interesse der Beschwerdegegnerin könne eine Enteignung nicht rechtfertigen.
5.3. Eine Enteignung kann sich bei gegebenem öffentlichen Interesse als erforderlich erweisen, wenn sich die Beteiligten nicht freihändig über die zu leistende Entschädigung einigen können. Der Beschwerdeführer hat einen Anspruch auf volle Entschädigung für die Enteignung (<ref-law>); dies ist indessen nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens (vgl. oben E. 1.2 und 1.4). Nicht stichhaltig ist das Argument, dass sich die Beschwerdegegnerin mit dem Enteignungsrecht wirtschaftlich eine bessere Ausgangslage als private Deponiebetreiber verschaffe. Wie dargelegt (vgl. oben E. 3.2.5), kommt eine Enteignung für alle VVEA-konformen Deponien bei ausgewiesenem Bedarf in Betracht, und damit auch für die Realisierung einer Deponie durch eine private Trägerschaft.
5.4. Die umstrittene Enteignung betrifft die Erweiterung einer Deponie, welche die Beschwerdegegnerin betreibt. Nach den Feststellungen der Vorinstanz hat sie eine übertragbare Ausgestaltung des Auffüllrechts für die Eventualität beantragt, dass die Dienststelle Entsorgung einmal aus der Stadtverwaltung ausgegliedert würde. Dieser Umstand ändert nichts daran, dass die ganze Deponie auch zukünftig eine einzige Betreiberin aufweisen soll.
Das Verhältnismässigkeitsprinzip verlangt nicht, dass der enteignungsrechtliche Eingriff sachlich auf das absolute Minimum zu beschränken ist. Es besteht ein öffentliches Interesse daran, dass die Rechtsbeziehungen klar und einfach geregelt werden, damit der Enteigner nicht mit unverhältnismässigen Lasten und Kosten beschwert wird (<ref-ruling> E. 6a; Urteil 1C_612/2020 vom 1. April 2021 E. 2.5 mit weiteren Hinweisen). Selbst wenn die Aufteilung eines mit einer Baubewilligung ausgestatteten Deponieperimeters auf verschiedene Betreiber rechtlich nicht ausgeschlossen sein sollte, so wäre eine solche Lösung bei den gegebenen Verhältnissen mit Umtrieben und Mehraufwendungen verbunden, die sich nicht mit dem öffentlichen Interesse vereinbaren lassen. Insgesamt durfte die Vorinstanz die umstrittene Enteignung unter Würdigung der örtlichen Verhältnisse als notwendig qualifizieren.
Aufgrund der Rügen des Beschwerdeführers ist ebenso wenig ersichtlich, inwiefern es bundesrechtswidrig wäre, dass die Vorinstanz das Interesse an der umstrittenen Enteignung höher als das gegenteilige Interesse des Beschwerdeführers gewichtet und den Eingriff für ihn als zumutbar betrachtet hat. Namentlich geht das öffentliche Interesse an einer geordneten Erweiterung der Deponie, die sich über Grundstücke verschiedener Eigentümer erstreckt, durch die Beschwerdegegnerin dem Interesse des Beschwerdeführers an einer separaten Realisierung beim Teilbereich auf seinen Grundstücken vor.
5.5. Insgesamt hält die umstrittene Enteignung vor dem Gebot der Verhältnismässigkeit stand.
6.
Ausserdem ist es eine Sache der materiellen Beurteilung und nicht des rechtlichen Gehörs, ob die rechtlichen Voraussetzungen für eine Enteignung erfüllt sind. Die Vorinstanz hat sich genügend mit den Einwänden des Beschwerdeführers gegen die Zulässigkeit der Enteignung auseinandergesetzt (vgl. zu den Anforderungen an die Entscheidbegründung <ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 9.2). Die diesbezüglichen Gehörsrügen gehen fehl.
7.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Politischen Gemeinde St. Gallen, der Regierung des Kantons St. Gallen und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. März 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Kessler Coendet