Sachverhalt:
A.
A.a. Am 14. Mai 2020 reichten die A._ AG (Klägerin 1, Beschwerdeführerin 1) und B._ (Kläger 2, Beschwerdeführer 2) beim Handelsgericht des Kantons Zürich eine Klage ein. Sie verlangten, die C._ AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin) sei zu verurteilen, ihnen den Betrag von Fr. 405'000.-- nebst Zins und Betreibungskosten zu bezahlen. Ausserdem sei der Rechtsvorschlag der Beklagten in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts U._ im Umfang der Gutheissung der Klage zu beseitigen.
Der Gerichtskostenvorschuss von Fr. 19'000.-- wurde rechtzeitig geleistet.
A.b. Mit Eingabe vom 11. September 2020 begehrte die Beklagte, der Kläger 2 sei zur Leistung einer Sicherheit für die Parteientschädigung zu verpflichten. Sodann sei das Verfahren bis zum Eingang der Sicherheitsleistung zu sistieren und ihr vorab "die Frist zur Klageantwort abzunehmen".
Mit Verfügung vom 13. Oktober 2020 wies die Vizepräsidentin des Handelsgerichts den Sicherstellungsantrag ab, worauf die Beklagte am 5. November 2020 die Klageantwort einreichte.
A.c. Am 22. Februar 2021 wurde eine Vergleichsverhandlung durchgeführt.
A.d. Am 1. April 2021 stellte die Beklagte ein Wiedererwägungsgesuch mit dem Antrag, die Verfügung vom 13. Oktober 2020 sei aufzuheben und die Klägerin 1 sowie der Kläger 2 seien "je einzeln zu verpflichten, angemessene Sicherheit zu leisten für die Parteientschädigung zugunsten der Beklagten".
Mit Verfügung vom 17. Mai 2021 erkannte der Instruktionsrichter am Handelsgericht, dass sich die finanzielle Situation der beiden Kläger seit dem ersten Sicherstellungsgesuch "weiter verschlechtert" habe, sie zahlungsunfähig erschienen und nun bei beiden Klägern ein Kautionsgrund gegeben sei. Er verpflichtete die Klägerin 1 und den Kläger 2, "je eine Sicherheit für die Parteientschädigung" in Höhe von (je) Fr. 21'500.-- zu leisten, und setzte hierfür Frist an.
Die Klägerin 1 bezahlte die ihr auferlegte Sicherheit in Höhe von Fr. 21'500.-- rechtzeitig.
Nachdem der Kläger 2 die von ihm verlangte Sicherheit innert zweimal erstreckter Frist nicht geleistet hatte, trat das Handelsgericht mit Beschluss vom 13. August 2021 "auf die Klage des Klägers 2" androhungsgemäss nicht ein (Dispositiv-Ziffer 1). Es beschloss ferner, dass das Verfahren bezüglich der "Klage der Klägerin 1" fortgesetzt werde, indes sistiert bleibe, bis dieser Beschluss in Rechtskraft erwachsen sei (Dispositiv-Ziffer 2).
B.
Die Kläger verlangen mit (gemeinsam eingereichter) Beschwerde in Zivilsachen, der Beschluss des Handelsgerichts sei aufzuheben und die Sache sei zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese sei anzuweisen, "auf die Klage des Klägers 2 einzutreten".
Das Handelsgericht verzichtete auf Vernehmlassung. Die Beschwerdegegnerin begehrt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
1.1. Im angefochtenen Beschluss wird das Verfahren für den Beschwerdeführer 2 durch Nichteintreten abgeschlossen (Dispositiv-Ziffer 1). Es handelt sich dabei um einen Teilentscheid (Art. 91 lit. b BGG) einer einzigen kantonalen Instanz im Sinne von Art. 75 Abs. 2 lit. b BGG. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in Zivilsachen offen, gemäss Art. 74 Abs. 2 lit. b BGG unabhängig vom Streitwert (<ref-ruling> E. 1.2; siehe auch <ref-ruling> E. 1.1, 2 E. 1.2.2 S. 5).
Mit Bezug auf die Beschwerdeführerin 1 wird das vorinstanzliche Verfahren fortgesetzt (Dispositiv-Ziffer 2). Wie es sich mit ihrer Rechtsmittellegitimation verhält, kann dahingestellt bleiben. Denn die Beschwerde ist - wie nachfolgend aufzuzeigen sein wird - ohnehin abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
1.2. Soweit sich die Beschwerdeführer gegen die Verfügung des Handelsgerichts vom 17. Mai 2021 wenden, mit der sie zur Leistung einer Sicherheit für die Parteientschädigung in Höhe von je Fr. 21'500.-- verpflichtet wurden, fechten sie diesen Zwischenentscheid zulässigerweise durch Beschwerde gegen den (Teil-) Endentscheid an (siehe Art. 93 Abs. 3 BGG).
2.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5).
3.
Der Instruktionsrichter erwog in der Verfügung vom 17. Mai 2021, sowohl bei der Beschwerdeführerin 1 als auch beim Beschwerdeführer 2 sei je ein Kautionsgrund im Sinne von Art. 99 Abs. 1 ZPO gegeben. Da die beiden Beschwerdeführer keine notwendige Streitgenossenschaft bildeten, seien sie je einzeln zu verpflichten, Sicherheit für die Parteientschädigung zu leisten, und zwar mit Blick auf den Streitwert und den Verfahrensaufwand in Höhe von je Fr. 21'500.--.
Im Beschluss vom 13. August 2021 hielt das Handelsgericht unter Hinweis auf die Begründung in der instruktionsrichterlichen Verfügung vom 17. Mai 2021 erneut fest, dass die beiden Beschwerdeführer keine notwendigen Streitgenossen seien und das Schicksal der Klage bezüglich der Beschwerdeführerin 1 auf der einen Seite und dem Beschwerdeführer 2auf der anderen Seite separat beurteilt werden müsse. Es trat denn auch einzig "auf die Klage des Klägers 2" nicht ein, zufolge Nichtleistung der Sicherheit.
4.
Die Beschwerdeführer sind in zwei Punkten nicht mit dem handelsgerichtlichen Vorgehen einverstanden: Sie monieren einerseits, es liege eine notwendige Streitgenossenschaft vor. Aus diesem Grund verbiete es sich, die Klage zu trennen, wie dies die Vorinstanz aber getan habe (dazu Erwägung 5). Andererseits wenden sie sich gegen die Höhe der ihnen auferlegten Sicherheitsleistung (dazu Erwägung 6).
5.
5.1. Sind mehrere Personen an einem Rechtsverhältnis beteiligt, über das nur mit Wirkung für alle entschieden werden kann, so müssen sie gemeinsam klagen oder beklagt werden (Art. 70 Abs. 1 ZPO; sogenannte notwendige Streitgenossenschaft). Sie müssen zwingend gemeinsam handeln, und es ergeht nur ein einziges Urteil, das für und gegen alle (notwendigen) Streitgenossen wirkt (Urteil 4A_497/2020 vom 19. Oktober 2021 E. 4.2, zur Publikation vorgesehen; <ref-ruling> E. 3.2). Wird die Klage nicht von allen Berechtigten erhoben oder nicht gegen alle Verpflichteten gerichtet, so fehlt die Aktiv- beziehungsweise die Passivlegitimation und die Klage wird als unbegründet abgewiesen (<ref-ruling> E. 3.1.4 S. 786 mit Hinweisen). Ein Anwendungsfall ist namentlich die Klage, mit der die gesamthänderisch am Gesellschaftsvermögen berechtigten Gesellschafter einer einfachen Gesellschaft eine Forderung geltend machen, welche der Gesellschaft gegenüber Dritten zusteht (vgl. Art. 544 Abs. 1 OR und <ref-ruling> E. 3.1.1 f. S. 783; <ref-ruling> E. 3.4 f.).
5.2. Daraus folgt: Läge eine notwendige (aktive) Streitgenossenschaft vor, wie dies die Beschwerdeführer behaupten, wäre es in der Tat nicht zulässig, auf die Klage in Bezug auf einen notwendigen Streitgenossen mangels Leistung der Sicherheit nicht einzutreten, das Verfahren hinsichtlich der übrigen Streitgenossen aber weiterzuführen (Urteil 4A_497/2020 vom 19. Oktober 2021 E. 4.2, zur Publikation vorgesehen; siehe denn auch Art. 99 Abs. 2 ZPO).
Allein, das Handelsgericht stellte fest, aufgrund der Ausführungen in der Klageschrift sei unschwer zu erkennen, dass die Klage nur betreffend die Beschwerdeführerin 1 oder nur betreffend den Beschwerdeführer 2 gutgeheissen werden könnte. Die Beschwerdeführer stützten den eingeklagten Anspruch - ausstehenden Mäklerlohn - nämlich auf zwei separate Zeitspannen. In einer ersten Phase (ab Februar 2019), in der es um die Vermittlung von israelischen Kaufinteressenten gegangen sei, soll einzig die Beschwerdeführerin 1 als Mäklerin aktiv gewesen sein. In einer zweiten Phase (ab Mai 2019) habe dann gemäss Klageschrift praktisch ausschliesslich der Beschwerdeführer 2 als Mäkler agiert, und zwar betreffend die Vermittlung der "D._ AG". Damit sei insbesondere das Vorliegen einer einfachen Gesellschaft ohne Weiteres ausgeschlossen.
Die Beschwerdeführer kritisieren diese Feststellungen. Sie weisen sie indes nicht als willkürlich aus, sondern beschränken sich darauf, dem Bundesgericht ihre Interpretation der vor Vorinstanz eingereichten Rechtsschriften sowie Beweismittel zu unterbreiten und daraus zu schliessen, sie hätten eine einfache Gesellschaft gebildet (siehe zum Willkürbegriff: <ref-ruling> E. 2.3 S. 266). Inwiefern die Vorinstanz aber Bundesrecht verletzt haben sollte, wenn sie gestützt auf den von ihr festgestellten Sachverhalt das Bestehen einer notwendigen Streitgenossenschaft verneinte, zeigen sie nicht auf (vgl. zu den Tatbestandsmerkmalen einer einfachen Gesellschaft Art. 530 OR und BGE <ref-ruling> E. 3.1; Urteil 4A_421/2020 vom 26. Februar 2021 E. 3.1).
5.3. Dass das Rechtsbegehren - so, wie es in der Klageschrift auf Seite 2 formuliert ist - seinem Wortlaut nach darauf geht, "den Klägern" den Betrag von Fr. 405'000.-- (nebst Zins und Betreibungskosten) zu bezahlen, ändert daran nichts. Es wird Gegenstand des Urteils in der Sache sein, welche Art von Gläubigerschaft (angeblich) vorliegt (siehe <ref-ruling> E. 2.2) und wie dieses Rechtsbegehren im Lichte der Klagebegründung auszulegen ist (vgl. <ref-ruling> E. 6.2 S. 622 und Urteil 5A_773/2018 vom 30. April 2019 E. 7.3.2).
6.
6.1. Damit steht fest, dass die Beschwerdeführer die Klage als einfache Streitgenossen eingereicht haben. Sie bestreiten (vor Bundesgericht) nicht, je einen Kautionsgrund von Art. 99 Abs. 1 ZPO zu setzen. Entsprechend ist nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz die Beschwerdeführer je einzeln verpflichtet hat, Sicherheit für die gegnerische Parteientschädigung zu leisten (siehe Urteil 4A_497/2020 vom 19. Oktober 2021 E. 4.3.2, zur Publikation vorgesehen). Kontrovers ist aber deren Höhe.
6.2. Die Höhe der Sicherheit bemisst sich nach der zu erwartenden Parteientschädigung, die im Falle des Unterliegens auszurichten wäre (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.2 S. 447 und S. 449; Urteile 4A_497/2020 vom 19. Oktober 2021 E. 4.3.2, zur Publikation vorgesehen; 4A_290/2013 vom 30. Juli 2013 E. 3).
Die Parteientschädigung ist ihrerseits nach dem kantonalen Tarif festzusetzen (Art. 96 ZPO). Die Anwendung von kantonalem Recht überprüft das Bundesgericht grundsätzlich nur unter Willkürgesichtspunkten (Art. 95 lit. a BGG). Soweit es im Übrigen bei der Bestimmung der mutmasslichen Höhe der allenfalls zu bezahlenden Parteientschädigung um eine Abschätzung des im weiteren Verfahren voraussichtlich anfallenden Aufwands geht, verfügt das kantonale Gericht über einen weiten Ermessensspielraum (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 449). In Ermessensentscheide schreitet das Bundesgericht nur mit Zurückhaltung ein (siehe zu den Voraussetzungen <ref-ruling> E. 4.2.5; <ref-ruling> E. 11.2 S. 98).
6.3. Die Beschwerdeführer meinen, bei einem eingeklagten Betrag von insgesamt Fr. 405'000.-- sei nach dem anwendbaren Gebührentarif eine Parteientschädigung von total Fr. 21'500.-- zu erwarten und folglich auch die Kaution in dieser Höhe festzusetzen. Entsprechend habe die Beschwerdeführerin 1 denn auch eine Sicherheit von Fr. 21'500.-- bezahlt (Sachverhalt Bst. A.d). Indem das Handelsgericht von beiden Parteien je eine Sicherheit in diesem Betrag verlange, verdopple sie "eigenmächtig" den Streitwert. Wegen der degressiven Ausgestaltung des Gebührentarifs seien sie gar zu einer höheren Sicherheit verpflichtet worden, als wenn sie eine Forderung von insgesamt Fr. 810'000.-- (also das Zweifache der effektiv eingeklagten Fr. 405'000.--) geltend gemacht hätten, da sich dann die Grundgebühr auf Fr. 28'550.-- belaufen würde.
6.4. Die Beschwerdeführer missverstehen die mitangefochtene Verfügung vom 17. Mai 2021. Das Handelsgericht hat nicht etwa den Streitwert vervielfacht, sondern unter Hinweis auf § 11 der Verordnung über die Anwaltsgebühren des Kantons Zürich (vom 8. September 2010 [AnwGebV/ZH; LS 215.3]) festgehalten, dass für die Vergleichsverhandlung vom 22. Februar 2021 und die anstehende Ausarbeitung der Duplik je ein Zuschlag geschuldet sei, wobei die Summe der Zuschläge die Grundgebühr nicht übersteigen dürfe. Der Tarif lässt eine Verdoppelung der allein nach dem Streitwert bemessenen Grundgebühr (von Fr. 21'500.--) somit durchaus zu. In welcher Hinsicht es vor diesem Hintergrund willkürlich oder sonstwie ermessensverletzend sein sollte, wenn die Vorinstanz in antizipierter Abschätzung des künftigen Prozessverlaufs die Leistung von Sicherheiten in Höhe von insgesamt Fr. 43'000.-- - zweimal Fr. 21'500.-- - anordnete, tun die Beschwerdeführer nicht dar, zumal sie hätten aufzeigen müssen, dass die Verfügung in diesem Punkt nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 2.1 S. 19 mit Hinweisen). Dies unterlassen sie.
Der Vollständigkeit halber ist darauf hinzuweisen, dass damit nichts über die in der Doktrin diskutierte Frage gesagt ist, ob die klagende Partei im Anwendungsbereich der Zivilprozessordnung zur Leistung einer Sicherheit für bereits angefallene Kosten angehalten werden kann oder aber ob die beklagte Partei ihren Kautionsanspruch für schon entstandenen Aufwand verwirkt, wenn sie erst im Lauf des Verfahrens um Sicherheitsleistung ersucht (offengelassen in <ref-ruling> E. 3.2.2 S. 449; Urteile 4A_46/2015 vom 27. März 2015 E. 3, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_26/2013 vom 5. September 2013 E. 2.2; siehe demgegenüber im bundesgerichtlichen Verfahren etwa Verfügung 4A_146/2020 vom 8. Oktober 2020). Denn zwar ordnete die Vorinstanz die Sicherheitsleistung erst mit Verfügung vom 17. Mai 2021 an, und soll diese Kaution offenbar auch den Aufwand für die damals bereits erstattete Klageantwort sowie die am 22. Februar 2021 durchgeführte Vergleichsverhandlung abdecken. Doch stellte die Beschwerdegegnerin ihr Kautionsgesuch (zumindest betreffend den Beschwerdeführer 2: Sachverhalt Bst. A.b) im frühestmöglichen Zeitpunkt, noch vor Einreichung einer Rechtsschrift zur Sache und verbunden mit einem Gesuch um Abnahme der Frist zur Erstattung der Klageantwort, und verwirklichte sich der Kautionsgrund erst während des Verfahrens. In einem solchen Fall - anfänglich gestellter Kautionsantrag, nachträglich verwirklichter Kautionsgrund - steht ausser Frage, dass die Sicherheit (auch) die Kosten der in der Zwischenzeit eingetretenen Prozesshandlungen erfassen kann (aus dem Schrifttum etwa SUTER/VON HOLZEN, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger [Hrsg.], 3. Aufl. 2016, N. 9 f. zu Art. 100 ZPO; DENIS TAPPY, in: Commentaire romand, Code de procédure civile, 2. Aufl. 2019, N. 14 zu Art. 99 ZPO und N. 8 zu Art. 100 ZPO). Dies wird von den Beschwerdeführern denn auch nicht in Abrede gestellt.
6.5. Am Rande bemerken die Beschwerdeführer, dass das Handelsgericht "zumindest" hätte abklären müssen, "welche Anteile der Forderungssumme von beiden Beschwerdeführern je einzeln gefordert werden, um sie anteilsmässig zur Sicherstellung der Parteientschädigung zu verpflichten".
Daran ist jedenfalls so viel richtig, dass einfache Streitgenossen, die je eine der Voraussetzungen von Art. 99 Abs. 1 ZPO erfüllen, nicht ohne Weiteres zur Sicherheitsleistung in je gleicher Höhe zu verpflichten sind. Vielmehr hängt die Höhe der jeweiligen Sicherheit vom Betrag ab, den der betreffende Streitgenosse am Ende des Verfahrens in Anwendung von Art. 106 ZPO unter dem Titel der Parteientschädigung zu bezahlen hätte, würde er vollständig unterliegen (siehe Erwägung 6.2 und Urteil 4A_497/2020 vom 19. Oktober 2021 E. 4.3.2, zur Publikation vorgesehen). Dies muss selbstredend nicht für jeden Streitgenossen der gleiche Kostenanteil sein: Bei einfachen Streitgenossen bestimmt sich der Anteil an den Prozesskosten - und damit auch die jeweils zu leistende Sicherheit - im Verhältnis zu ihrer jeweiligen Beteiligung am Streitwert (siehe Art. 106 Abs. 3 Satz 1 ZPO; Urteile 4A_497/2020 vom 19. Oktober 2021 E. 4.3.2, zur Publikation vorgesehen; 4A_444/2017 vom 12. April 2018 E. 6.3; nun ausdrücklich festgehalten im bundesrätlichen Entwurf zur Änderung der Zivilprozessordnung vom 26. Februar 2020: Art. 106 Abs. 3 E-ZPO). Inwiefern sich bei dieser Ausgangslage die hälftige Auferlegung der Sicherheitsleistung an die beiden Beschwerdeführer nicht halten lässt, begründen diese nicht. Sie belassen es bei abstrakter Kritik ("die Vorinstanz [hätte] abzuklären gehabt"). Damit hat es sein Bewenden.
7.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Ausgangsgemäss werden die Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und Abs. 2 BGG). Sie haben die Kosten und die Entschädigung gestützt auf das BGG unter solidarischer Haftung zu tragen, unabhängig davon, ob sie in diesem Verfahren eine einfache oder eine notwendige Streitgenossenschaft bilden (Art. 66 Abs. 5 und Art. 68 Abs. 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführer haben die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren unter solidarischer Haftbarkeit mit Fr. 3'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Dezember 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Stähle