Faits :
A.
A.a. Une procédure concernant les enfants mineurs C._ et D._ a opposé depuis le 4 décembre 2019 leurs parents non mariés B._ et A._ devant le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de la Gruyère. Dans sa réponse du 16 décembre 2019, le père a requis l'assistance judiciaire totale, avec effet au 9 octobre 2019; le 24 janvier 2020, il a produit des pièces complémentaires à l'appui de cette requête.
A.b. Le Président du tribunal a tenu deux audiences, les 24 janvier et 20 mai 2020. Le 21 mai 2020, Me Xavier Ruffieux, conseil du père, a produit sa liste de frais au titre de l'assistance judiciaire; le lendemain, ce magistrat lui a répondu qu'il procéderait à leur fixation une fois que le jugement serait définitif et exécutoire.
Le 9 juin 2020, le Président du tribunal a prononcé son jugement sous forme d'un dispositif; il a homologué une convention conclue lors de la dernière audience, qui prévoit notamment que chaque partie assume la moitié des frais judiciaires ainsi que ses propres dépens, sous réserve de l'assistance judiciaire.
B.
Le 29 août 2020, le père a formé un recours pour " retard injustifié/déni de justice "; il a conclu à l'octroi de l'assistance judiciaire totale pour la procédure au fond - Me Xavier Ruffieux étant désigné comme avocat d'office -, avec effet au 9 octobre 2019, ainsi que pour la procédure de recours.
Statuant le 28 septembre 2020, la Ie Cour d'appel civil du Tribunal cantonal de l'État de Fribourg a rejeté le recours, en invitant " cependant " le premier juge à statuer, " sans délai et prioritairement ", sur les requêtes d'assistance judiciaire des deux parties (ch. I); en outre, elle a rejeté la requête d'assistance judiciaire totale du recourant pour la procédure de recours cantonale (ch. II).
C.
Par acte expédié le 30 octobre 2020, A._ exerce un recours en matière civile, doublé d'un recours constitutionnel subsidiaire, au Tribunal fédéral; à titre principal, il conclut à l'annulation de l'arrêt cantonal et à l'octroi de l'assistance judiciaire totale, avec effet au 9 octobre 2020.
Invités à répondre, l'autorité précédente et le premier juge renoncent à présenter des observations.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours est dirigé contre une décision incidente qui peut causer un préjudice irréparable (<ref-law>; arrêt 5A_670/2016 du 13 février 2017 consid. 1, avec les arrêts cités), rendue par une autorité cantonale de dernière instance ayant statué sur un recours pour retard injustifié (art. 75 al. 1 et 2 LTF, en lien avec l'art. 319 let. c CPC).
1.2. L'arrêt attaqué a pour objet le retard à statuer du premier juge sur la requête d'assistance judiciaire que le recourant a formée dans une procédure concernant la garde, le droit de visite et l'entretien relatifs à ses enfants mineurs, à savoir une affaire civile non pécuniaire dans son ensemble ( cf. parmi d'autres: arrêt 5A_591/2020 du 17 novembre 2020 consid. 1 et les arrêts cités). Le recours en matière civile étant ouvert sans restriction quant à la valeur litigieuse (<ref-ruling> consid. 1.2), il est superflu - quoi qu'en pense le recourant - d'examiner si la cause soulève une question juridique de principe (<ref-law>).
1.3. Pour le surplus, le présent recours a été déposé à temps (<ref-law>) par une partie ayant participé à la procédure devant l'autorité précédente et qui possède un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de l'arrêt déféré (<ref-law>).
2.
2.1. En l'espèce, l'autorité précédente a constaté que le recourant avait déposé sa requête d'assistance judiciaire le 16 décembre 2019 et l'avait complétée le 24 janvier 2020. Le Président du tribunal n'a toujours pas statué à son sujet; dans ses déterminations du 1er septembre 2020, il admet qu'il s'agit d'un " oubli " et promet de s'en occuper - comme pour la requête de la partie adverse qu'il a également " omis " de traiter - une fois que le Tribunal cantonal lui aura retourné le dossier. Au regard de la jurisprudence cantonale, il ne fait " aucun doute " que ledit magistrat aurait " pu et dû statuer sans délai ", en particulier avant que les parties ne comparaissent aux deux audiences. En revanche, aucun élément du dossier ne permet de le soupçonner de s'être volontairement, voire par stratégie, abstenu de prendre une décision sur la requête en question, notamment pour amener les plaideurs à transiger et, partant, à réduire son importante charge de travail.
La cour cantonale a ensuite examiné si le recourant avait entrepris " ce qui était en son pouvoir pour que le Président fasse diligence ". Or, elle a estimé que tel n'était pas le cas; à aucun moment, il ne l'a relancé ou s'est plaint " auprès de lui " d'un retard à statuer; en particulier, il n'a pas réagi lorsque ce magistrat a accusé réception le 22 mai 2020 de sa liste de frais, lui répondant qu'elle serait fixée une fois le jugement devenu définitif et exécutoire. Il n'est pas davantage intervenu " spontanément " quand le premier juge a relevé dans ses déterminations sur le recours qu'aucune des parties ne l'avait relancé. Le fait que diverses écritures et décisions ont évoqué la problématique de l'assistance judiciaire n'y change rien; ces écritures ne s'apparentent en rien à une relance ou à une plainte. Enfin, l'argument d'après lequel le recourant se serait vu " contraint " d'accepter un accord, lors de l'audience du 20 mai 2020, en raison de l'absence d'une décision sur la requête d'assistance judiciaire confine à la " témérité ", dès lors que le recourant, respectivement son mandataire, n'a précisément pas relancé le Président du tribunal avant cette audience. En dépit du rejet du recours, les juges précédents ont " toutefois formellement invité [le premier juge] à statuer, sans délai et prioritairement ", sur les requêtes d'assistance judiciaire. Le recourant n'étant pas, " au préalable ", intervenu auprès du Président du tribunal " pour qu'il fasse diligence ", force est d'admettre que son recours était voué à l'échec, de sorte que sa requête d'assistance judiciaire pour la procédure (cantonale) de recours doit être rejetée.
2.2.
2.2.1. Les magistrats cantonaux ont correctement rappelé les principes que la jurisprudence a déduits de l'art. 29 al. 1 Cst., de sorte qu'on peut renvoyer sur ce point à l'arrêt entrepris. Les longs développements du recourant à ce sujet sont superfétatoires, dès lors que la cour cantonale a expressément sanctionné le retard à statuer du premier juge. Quant à l'art. 6 par. 1 CEDH, il ne confère pas au justiciable une protection plus étendue que celle découlant du droit constitutionnel fédéral (<ref-ruling> consid. 1.3.1 et la jurisprudence citée).
2.2.2. Dans l'appréciation du caractère raisonnable du délai dans lequel la cause doit être traitée, il faut tenir compte, entre autres éléments, du comportement du justiciable; il incombe à celui-ci d'entreprendre ce qui est en son pouvoir pour que l'autorité fasse diligence, " que ce soit en l'invitant à accélérer la procédure ou en recourant, le cas échéant, pour retard injustifié " (<ref-ruling> consid. 5.2; récemment, parmi d'autres: arrêts 2C_341/2020 du 19 janvier 2021 consid. 5.2; 2C_227/2020 du 21 août 2020 consid. 9.2, in : Pra 2021 n° 2; 1B_122/2020 du 20 mars 2020 consid. 3.1; 5D_205/2018 du 24 avril 2019 consid. 4.3.1). Comme le relève à juste titre le recourant, il s'agit là de conditions alternatives (" ou "), et non cumulatives; autrement dit, le justiciable n'est pas tenu de s'adresser d'abord au juge qui diffère indument sa décision, le recours pour déni de justice étant précisément l'un des moyens d'accélérer la procédure ( cf. récemment: ordonnance 5A_573/2020 du 10 septembre 2020 consid. 3.2).
En outre, le comportement du justiciable doit être apprécié avec moins de rigueur en procédure pénale et administrative que dans un procès civil, où les parties doivent faire preuve d'une " diligence normale " pour activer la procédure (<ref-ruling> consid. 5.2 et les références). Or, la requête sur laquelle le premier juge a tardé à statuer d'une manière injustifiée concerne une procédure opposant directement le justiciable à l'État (<ref-ruling> consid. 4.1.2; <ref-ruling> consid. 4.2), et non un procès civil ordinaire entre deux particuliers; même lorsqu'elle s'inscrit dans un procès civil, la décision relative à l'assistance judiciaire gratuite relève ainsi matériellement du droit administratif (arrêt 5P.489/1997 du 13 février 1998 consid. 2b, in : RDAF 1998 I 322 = Pra 1998 n° 80).
2.2.3. Pour le surplus, l'inaction que la juridiction précédente impute au recourant n'est nullement avérée.
Certes, l'intéressé n'a rien " entrepris " lorsque le premier juge a accusé réception, le 22 mai 2020, de sa liste de frais; il n'avait cependant pas à le faire, puisque ce magistrat lui avait répondu qu'il procéderait " à la fixation une fois que le jugement serait devenu définitif et exécutoire ", étant ajouté que l'avis de dispositif du 9 juin 2020 se prononce sur les frais et dépens de la procédure au fond, " sous réserve de l'assistance judiciaire ". Sous cet angle, le reproche de l'autorité précédente heurte manifestement le principe de la bonne foi (art. 5 al. 3 Cst.). Enfin, on ne discerne pas la pertinence d'une " intervention spontanée " du recourant aux observations déposées le 1er septembre 2020 par le Président du tribunal, alors que le recours pour retard injustifié était pendant.
2.3. Vu ce qui précède, le refus de l'assistance judiciaire pour la procédure de recours cantonale ( cf. supra, consid. 2.1 in fine) repose sur le même motif erroné. Le chiffre II du dispositif de l'arrêt entrepris doit dès lors être annulé.
3.
En conclusion, le présent recours apparaît fondé. On ne saurait, pour autant, admettre le chef de conclusions principal tendant à l'octroi de l'assistance judiciaire complète. Il n'appartient pas au Tribunal fédéral de connaître de cette requête en unique instance, d'autant que la cour cantonale a expressément invité le premier juge " à statuer, sans délai et prioritairement ", à ce sujet; au demeurant, l'arrêt déféré ne comporte pas de constatations suffisantes pour permettre à la Cour de céans de se prononcer, en particulier sur l'indemnité du conseil d'office (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.1). Il s'ensuit que le recours doit être admis en tant qu'il est dirigé contre le rejet du recours pour retard injustifié ( ch. I), l'affaire étant renvoyée à la juridiction précédente pour nouvelle décision sur la demande d'assistance judiciaire concernant la procédure de recours ( ch. II).
Le recourant, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un conseil professionnel, a droit à des dépens - payables en main de celui-ci - à la charge de l'État de Fribourg (art. 68 al. 1 et 2 LTF; <ref-ruling> consid. 3.2 et les citations), qui est exempté de frais judiciaires (<ref-law>; CORBOZ, in : Commentaire de la LTF, 2e éd., 2014, n° 29 ad <ref-law>). Cela étant, la requête d'assistance judiciaire du recourant n'a plus d'objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis, l'arrêt attaqué est annulé au sens des considérants et l'affaire est renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision.
2.
La requête d'assistance judiciaire est sans objet.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Une indemnité de 1'500 fr., à verser au conseil du recourant à titre de dépens, est mise à la charge de l'État de Fribourg.
5.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Président du Tribunal civil de l'arrondissement de la Gruyère et à la Ie Cour d'appel civil du Tribunal cantonal de l'État de Fribourg.
Lausanne, le 12 février 2021
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
Le Greffier : Braconi