Faits :
A.
A.a. Par acte notarié du 1er avril 2011, A._ et B._ Sàrl ont conclu une promesse de vente et d'achat ainsi que de constitution de servitude conditionnelle concernant la parcelle n° 1368 de U._. La promesse de vente était notamment conditionnée à l'obtention d'un permis de construire portant sur un immeuble de huit appartements à réaliser sur la parcelle n° 1368. Le permis de construire en faveur de B._ Sàrl a été délivré le 6 février 2012. Afin de permettre une plus grande densification sur ladite parcelle, nécessaire à la réalisation du projet de B._ Sàrl, A._ s'est engagé à requérir l'inscription au registre foncier, à charge de la parcelle n° 5714 de U._, d'une servitude d'interdiction de bâtir en faveur de la Commune de U._. Le prix de vente de la parcelle n° 1368 a été fixé à 4'200'000 fr., soit 2'511'600 fr. pour le terrain et 1'688'400 fr. pour la servitude d'interdiction de bâtir sur la parcelle n° 5714. Outre le versement par B._ Sàrl, en mains du notaire, d'un montant de 440'000 fr. au jour de l'exécution de l'acte, le prix de vente de la parcelle n° 1368 a été stipulé payable par la remise à A._, à l'état de neuf, terminés, des lots nos 1, 2 et 9 de la propriété par étages constituée par B._ Sàrl sur la parcelle en question. A cet effet, le 3 décembre 2012, A._, d'une part, et B._ Sàrl, d'autre part, ont conclu trois contrats d'entreprise générale en lien avec la construction sur la parcelle n° 1368 des lots nos 1, 2 et 9 de l'immeuble résidentiel " X._ ".
Par acte notarié de division de bien-fonds du 12 décembre 2012, A._ a divisé la parcelle n° 1368 en deux parcelles distinctes désormais inscrites au Registre foncier comme parcelles nos 1368 et 5829 de U._.
A.b. C._, fils de A._, est l'exploitant des vignes plantées sur la parcelle n° 5829.
La parcelle n° 1367 de U._, propriété de la Commune de V._, voisine des parcelles nos 1368 et 5829, est plantée en vignes. Celles-ci sont exploitées par D._.
Lors d'une séance qui s'est tenue le 14 mars 2012, soit avant le début des travaux de construction sur la parcelle n° 1368, B._ Sàrl, C._ et D._ sont convenus que lesexploitants procéderaient personnellement au défrichage des plants de vignes sur les parcelles nos 1367, 1368 et 5829. Le procès-verbal de cette séance de chantier mentionne en outre qu'une séance de coordination serait organisée avant le début des travaux en présence des différents intervenants, des autorités, ainsi que des divers services industriels et maîtres d'états. En ce qui concerne l'accès au chantier, les protections et défrichages des plants de vigne, les détails seraient définis lors de cette séance.
A.c. Par acte du 12 décembre 2012, A._ a vendu la parcelle n° 1368 à B._ Sàrl. L'acte de vente rappelle les diverses servitudes de canalisation auxquelles ladite parcelle est sujette.
Les travaux d'aménagement du chantier et de construction ont débuté le 21 mai 2013. Par lettre du 29 suivant, répondant aux inquiétudes exprimées par C._ dans un courrier du 24 mai 2013, B._ Sàrl a déclaré que l'assiette de la piste d'accès serait prochainement arrêtée et que la question de l'indemnisation serait résolue. B._ Sàrl n'a jamais contesté le principe même d'une indemnisation pour la perte de récolte occasionnée par l'arrachage des plants de vigne, rendu nécessaire pour permettre notamment l'exercice de la servitude de canalisation.
Par courriel du 22 octobre 2013, B._ Sàrl a indiqué à C._ qu'elle allait procéder à l'arrachage de vignes supplémentaires. Celui-ci n'a pas donné son accord, mais a constaté le 8 novembre 2013 que B._ Sàrl s'était exécutée. Pour aménager la piste d'accès au chantier, procéder aux travaux de raccordement des canalisations et entreprendre les travaux de drainage, un certain nombre de plants de vignes ont ainsi dû être arrachés par l'entreprise de terrassement en bordure nord-ouest de la parcelle n° 5829, ainsi que sur la parcelle n° 1367, sans que l'ordre dans lequel l'arrachage a eu lieu puisse être établi avec certitude.
Le 7 novembre 2013, D._, exploitant de la parcelle n° 1367, a chiffré son dommage et a établi un devis qu'il a adressé à B._ Sàrl sur la base de tabelles fournies par E._. B._ Sàrl l'a indemnisé en lui versant un montant de 4'500 fr. hors taxes pour 178 plants de Chardonnay et une perte de récolte sur trois ans, le matériel et la main d'oeuvre compris.
Les travaux de remise en état de l'assiette de la servitude se sont achevés à la fin du printemps 2015. Aucune séance n'a eu lieu à la fin des travaux. La qualité de ces travaux de remise en état effectués par B._ Sàrl n'a pas pu être établie par l'instruction. Le 23 avril 2015, B._ Sàrl, agissant par l'intermédiaire de son conseil, a proposé une indemnisation de 2'500 fr. à C._ pour 97 plants enlevés. Mandaté par ce dernier, F._ (filiale de E._) a estimé les frais de remise en état de la vigne, de la perte de récolte et autre préjudice à 24'958 fr. 70, une fois déduites les économies de charge selon rapport du 3 juin 2015. La remise en état de la parcelle n° 5829 a fait l'objet d'un devis le 4 juin 2015 de G._ SA d'un montant de 43'821 fr.
Par acte intitulé " cession de droits et créances " du 17 juin 2015, C._ a déclaré céder à A._ toutes les prétentions qu'il détient à l'encontre de B._ Sàrl pour ce qui concerne l'arrachage des vignes et la perte de récolte qui en découle, ainsi que la remise en état en culture de la vigne.
B.
B.a. Le 16 juillet 2015, A._ a déposé une demande auprès du Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois (ci-après: Tribunal d'arrondissement) en concluant notamment à ce que B._ Sàrl soit reconnue sa débitrice et lui doive immédiat paiement de la somme de 68'779 fr. 70 avec intérêts à 5% l'an dès le 17 juin 2015.
Par réponse du 19 novembre 2015, la défenderesse a conclu au rejet de la demande. Elle a également allégué la prescription des créances déduites en procédure.
Par courrier du 20 mai 2016, le demandeur a renoncé à la mise en oeuvre d'une expertise.
Par jugement du 28 novembre 2016, le Tribunal d'arrondissement a rejeté la demande déposée le 16 juillet 2015.
B.b. Par acte du 6 juin 2017, le demandeur a interjeté appel contre le jugement précité, concluant, avec suite de frais et dépens, à sa réforme en ce sens que sa demande du 16 juillet 2015 est partiellement admise et que B._ Sàrl est reconnue sa débitrice et lui doit immédiat paiement de la somme de 24'958 fr. 70, avec intérêts à 5% l'an dès le 17 juin 2015.
Par réponse du 1er septembre 2017, B._ Sàrl a conclu, avec suite de frais et dépens, au rejet de l'appel.
B.c. Par arrêt du 24 octobre 2017, notifié en expédition complète le 22 février 2018, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: Cour d'appel) a notamment rejeté l'appel et confirmé le jugement entrepris.
C.
Par acte posté le 21 mars 2018, le demandeur exerce un recours constitutionnel subsidiaire contre l'arrêt du 24 octobre 2017, avec requête d'effet suspensif. Il conclut à la réforme de l'arrêt attaqué dans le sens de ses conclusions prises en appel.
Des déterminations n'ont pas été requises.
D.
Par ordonnance présidentielle du 24 avril 2018, l'effet suspensif a été attribué au recours.

Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>), prise dans une contestation civile (<ref-law>) de nature pécuniaire, dont la valeur litigieuse est inférieure à 30'000 fr. (<ref-law>); dès lors que le recourant ne prétend pas que la présente cause soulèverait une question juridique de principe (<ref-law>; cf. sur cette notion: <ref-ruling> consid. 1.2), seule est ouverte la voie du recours constitutionnel subsidiaire (<ref-law>). Celui-ci a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 et 117 LTF) contre une décision rendue par une juridiction supérieure de dernière instance cantonale ayant statué sur recours (art. 75 et 114 LTF) et le recourant a qualité pour recourir (<ref-law>).
2.
Le recours constitutionnel peut être formé pour violation des droits constitutionnels (<ref-law>). Saisi d'un tel recours, le Tribunal fédéral n'examine que les griefs expressément soulevés et motivés conformément au principe d'allégation (art. 106 al. 2 et 117 LTF; <ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling> consid. 2.2). Le recourant qui se plaint de la violation d'un droit constitutionnel ne peut donc se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de l'autorité cantonale, mais doit remettre en cause les considérants de la décision attaquée sous des aspects relevant des droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling> consid. 3). En particulier, une décision est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou contredit de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. L'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait concevable, voire préférable. Le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si sa décision apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain. Il ne suffit pas que les motifs de la décision soient insoutenables; encore faut-il que celle-ci soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 4.1).
3.
Le recourant se plaint tout d'abord d'une violation du principe d'égalité de traitement (art. 8 al. 1 Cst.). Ce faisant, il perd de vue que cette garantie constitutionnelle s'adresse à l'État et ne produit pas d'effet horizontal direct sur les relations entre personnes privées (<ref-ruling> consid. 2b et les références; arrêts 5A_756/2017 du 6 novembre 2017 consid. 4; 5A_362/2016 du 20 février 2017 consid. 6.3), de sorte qu'il ne peut s'en prévaloir à l'appui d'un recours dirigé contre une décision rendue dans une affaire opposant deux particuliers (arrêt 5A_601/2017 du 17 janvier 2018 consid. 5.4.1; 5A_362/2016 précité consid. 6.3 et la référence). Au surplus, la critique du recourant, qui se borne à soutenir que l'autorité cantonale a opéré, dans son appréciation des preuves, une assimilation insoutenable de sa situation avec celle de son voisin D._, est de nature essentiellement appellatoire, de sorte qu'elle ne respecte pas les réquisits de l'<ref-law> (cf. supra consid. 2). Autant qu'il est recevable, le grief est ainsi infondé.
4.
Le recourant se plaint ensuite d'une violation arbitraire (art. 9 Cst.) des <ref-law> et 152 CPC, faisant en substance grief à la cour cantonale de ne pas avoir tenu pour probante l'expertise privée qu'il avait produite à l'appui de sa demande et dont les conclusions avaient été confirmées par l'expert lors de son audition en qualité de témoin.
4.1.
4.1.1. La Cour d'appel a constaté qu'une expertise privée concernant le dommage lié aux frais de remise en état de la vigne et à la perte de récolte, ainsi que d'autres préjudices avait été produite par l'appelant à l'appui de l'un de ses allégués. Celui-ci avait été contesté dans sa réponse par l'intimée, qui alléguait à son tour avoir offert une indemnisation à l'appelant sur la base d'un calcul au prorata par rapport à celle requise par un voisin dans la même situation, voisin qui avait lui-même chiffré son dommage. L'intimée avait dès lors proposé une autre méthode de calcul et n'avait pas pu faire valoir son point de vue auprès de l'expert privé. L'autorité cantonale a estimé étonnant de constater que le voisin eût réclamé 4'500 fr. pour 178 plants remplacés, alors qu'il ressortait du courrier du mandataire de l'appelant du 23 avril 2015, adressé au conseil de l'intimée, que 97 plants seulement avaient été enlevés chez son mandant. L'expertise privée mentionnait 259 plants (149 + 56 + 54) à remplacer, ce qui mettait en évidence que la défenderesse n'avait pas pu faire valoir son point de vue auprès de l'expert, notamment le fait qu'elle estimait ne pas devoir assumer financièrement le déplacement au sud d'un certain nombre de ceps de vigne situés à proximité. Ainsi, il eût été arbitraire d'admettre comme probants les chiffres avancés par l'expert privé. Comme retenu par les premiers juges, il importait peu que l'expert mandaté soit reconnu ou qu'il soit compliqué d'en trouver un autre dans le canton, dès lors que le demandeur pouvait faire appel à un organisme similaire dans un autre canton et qu'il y avait renoncé dans le cadre de la procédure.
4.1.2. Le recourant conteste l'affirmation de la cour cantonale selon laquelle l'intimée n'avait pas pu faire valoir son point de vue auprès de l'expert privé, affirmation qu'il qualifie de " totalement fausse ". Selon lui, l'autorité précédente n'avait en effet pas tenu compte - voire avait oublié de tenir compte - du témoignage de l'expert devant les premiers juges, témoignage durant lequel les parties avaient pu le confronter aux chiffres et conclusions figurant dans son rapport. L'expert avait expressément confirmé les chiffres (calculs et résultats) mentionnés dans son rapport ainsi que ses sources. Il ressortait en outre du procès-verbal d'audition que le conseil de l'intimée n'avait soulevé aucune question qui aurait pu affaiblir en quoi que ce soit les conclusions de l'expert. Il n'avait pas non plus saisi cette occasion pour le confronter aux chiffres figurant dans son expertise et à leur véracité. De plus, l'expert s'était expressément positionné sur l'offre de dédommagement totalement dérisoire de 2'500 fr. proposée par l'intimée, estimant notamment qu'une somme supérieure à 20'000 fr. correspondait au dommage subi. Il avait également réaffirmé que son calcul tenait compte " de la remise en état et de la perte de récolte, mais pas des autres préjudices (terre retournée, bac de rétention, etc.) ". En faisant abstraction totale du témoignage de l'expert, l'autorité cantonale avait donc violé l'<ref-law> et entaché sa décision d'arbitraire.
4.2. La critique du recourant porte en réalité sur le résultat de l'appréciation des preuves, qui ne ressortit pas à l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 2b/aa in fine; <ref-ruling> consid. 2e), ni à l'<ref-law> qui consacre également le droit à la preuve (<ref-ruling> consid. 9.3.2).
4.2.1. La jurisprudence retient qu'en procédure civile, une expertise privée n'a pas la qualité d'un moyen de preuve, mais constitue une simple allégation de partie. Dans le cas où elle serait contestée de manière motivée par la partie adverse, l'expertise à elle seule ne saurait être probante. Elle pourrait éventuellement l'être pour autant qu'elle soit corroborée par des indices qui, eux, seraient établis par des moyens de preuve (<ref-ruling> consid. 2.6; arrêt 4A_299/2017 du 2 octobre 2017 consid. 4.1; 4A_85/2017 du 4 septembre 2017 consid. 2.1 et 2.2.2; 4A_301/2016 du 15 décembre 2016 consid. 7.2.3, non publié in <ref-ruling>). Seule peut donc se poser la question de savoir si le tribunal a correctement apprécié les indices, ce qui est une question qui relève de l'appréciation des preuves (arrêt 4A_85/2017 précité consid. 2.2.2).
4.2.2. L'appréciation des preuves et l'établissement des faits sont arbitraires lorsque le juge s'est manifestement mépris sur le sens et la portée d'un moyen de preuve, lorsqu'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée, ou encore lorsqu'il a tiré des déductions insoutenables à partir des éléments recueillis (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 4.2).
4.2.3. En l'espèce, le recourant ne prétend pas que l'intimée n'aurait pas, singulièrement dans ses écritures de première instance, dûment contesté la véracité des allégations factuelles contenues dans l'expertise privée qu'il invoque. La prétendue absence de contestation n'est en effet évoquée qu'en lien avec l'audience au cours de laquelle l'expert privé a été entendu en qualité de témoin. Or, autant que cela soit pertinent, le déroulement de cette audition ne ressort nullement de l'arrêt entrepris et ne résulte en définitive que des seules affirmations appellatoires du recourant. Celui-ci ne prétend pas non plus que les allégations de l'expertise seraient corroborées par des indices établis par des moyens de preuve figurant au dossier, étant rappelé que les déclarations orales d'un expert privé entendu comme témoin ne sauraient conférer une valeur de preuve aux allégations contenues dans son rapport (cf. arrêt 4A_373/2015 du 26 janvier 2016 consid. 3.4.3; HOHL, Procédure civile, Tome I, 2e éd. 2016, n° 1809 p. 298). Dans ces circonstances, les chiffres avancés par l'expert privé ne pouvaient être considérés comme prouvés. En conséquence, l'arrêt attaqué n'est pas arbitraire dans son résultat (cf. supra consid. 2) en tant que l'autorité cantonale a dénié la force probante de l'expertise privée produite par le recourant. Point n'est dès lors besoin d'examiner en outre s'il est arbitraire d'exiger, comme l'a fait l'autorité cantonale, que l'expertise privée soit instruite en contradictoire à l'instar d'une expertise judiciaire afin de garantir le droit d'être entendu de la partie adverse.
Le grief est donc infondé, pour autant que recevable.
5.
En conclusion, le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimée, qui n'a pas été suivie sur la question de l'effet suspensif et qui n'a pas été invitée à répondre sur le fond (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 31 août 2018
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : von Werdt
La Greffière : Mairot