Das präsidierende Mitglied zieht in Erwägung:
1.
Der Beschwerdeführer reichte am 13. Oktober 2020 Strafanzeige gegen unbekannte Täterschaft ein. Die Polizei habe ihn am Nachmittag des 28. September 2020 verhaftet und in die Notaufnahme B._ beim Bahnhof U._ verbracht, worauf er in die Klinik C._ eingewiesen worden sei. Im Rahmen des von ihm umgehend beantragten Verfahrens vor dem Bezirksgericht Willisau sei die vorsorglich angeordnete fürsorgerische Unterbringung am 8. Oktober 2020 aufgehoben worden. Es sei zu eruieren, wer ihn in die Klinik habe einweisen lassen. Die Staatsanwaltschaft Luzern stellte das vom Beschwerdeführer wegen Freiheitsberaubung angestrebte Strafverfahren am 7. Januar 2021 ein. Eine dagegen gerichtete Beschwerde wies das Kantonsgericht Luzern mit Beschluss vom 3. Mai 2021 ab, soweit es darauf eintrat. Der Beschwerdeführer wendet sich mit Beschwerde an das Bundesgericht. Er macht eine rechtswidrige Freiheitsberaubung geltend infolge einer gesetzeswidrigen Einweisung und Unterbringung in die psychiatrische Klinik und verlangt die Aufhebung des Entscheids der Vorinstanz sowie eine Entschädigung. So sei ihm für das Verfahren eine "Kostengutsprache" zuzusprechen, da ihm Kostenfolgen von ca. Fr. 2'500.-- (Transport mit Ambulanz, Krankenkasse etc.) entstanden seien.
2.
Anfechtungsgegenstand bildet einzig der angefochtene Beschluss der Vorinstanz (vgl. <ref-law>). Soweit der Beschwerdeführer sich nicht dazu äussert, sondern sich mit anderen Verfahren (z.B. einem Verfahren vor der Schlichtungsbehörde in Mietsachen) befasst, ist er mit seinen Ausführungen von vornherein nicht zu hören.
3.
Gemäss <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt, wobei für die Rüge der Verletzung von Grundrechten (einschliesslich Anfechtung des Sachverhalts wegen Willkür) qualifizierte Begründungsanforderungen gelten (vgl. Art. 97 Abs. 1, Art. 106 Abs. 2 BGG).
Der Privatklägerschaft wird ein rechtlich geschütztes Interesse an der Beschwerde zuerkannt, wenn sich der angefochtene Entscheid auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Als Zivilansprüche im Sinne der Vorschrift gelten Ansprüche, die ihren Grund im Zivilrecht haben und deshalb ordentlicherweise vor dem Zivilgericht durchgesetzt werden müssen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 4). Hingegen können öffentlich-rechtliche Ansprüche, auch solche aus Staatshaftungsrecht, nicht adhäsionsweise im Strafprozess geltend gemacht werden und zählen demnach nicht zu den Zivilansprüchen im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG (<ref-ruling> E. 3.1 S. 82; Urteil 6B_1109/2019 vom 23. September 2020 E. 1.1; je mit Hinweisen).
4.
Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht. Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Erwägungen der Vorinstanz nicht sachgerecht auseinander, sondern beschränkt sich darauf, seine Sicht der Sach- und Rechtslage zu schildern. Seine Sachrügen gehen nicht über eine appellatorische Kritik an der vorinstanzlichen Beweiswürdigung hinaus. Der Beschwerdeführer verkennt, dass das Bundesgericht keine Appellationsinstanz ist, die eine freie Prüfung in tatsächlicher Hinsicht vornimmt (Urteile 6B_1328/2020 vom 5. Januar 2021 E. 3; 6B_800/2016 vom 25. Oktober 2017 E. 10.3.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; je mit Hinweisen). Seine Rechtsausführungen stützt er auf einen von den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Lebenssachverhalt, womit er nicht zu hören ist.
Zudem äussert sich der Beschwerdeführer nicht zu seiner Beschwerdelegitimation als Privatkläger. Allfällige zivilrechtliche Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche sind aufgrund des angezeigten Lebenssachverhalts auch nicht (ohne Weiteres) ersichtlich. Die Anordnung einer fürsorgerischen Unterbringung weist zwar einen unmittelbaren Zusammenhang mit dem Zivilrecht auf, jedoch handelt es sich um einen öffentlich-rechtlichen Entscheid. Für allfällige Schadenersatzbegehren im Zusammenhang mit einer fürsorgerischen Unterbringung haftet der Kanton; gegen die Person, die den Schaden verursacht hat, steht der geschädigten Person kein Ersatzanspruch zu (Art. 454 Abs. 1 und 3 ZGB). Allfällige Schadensersatzansprüche können demnach nicht im Zivilverfahren geltend gemacht werden, sondern sind mittels einer Staatshaftungsklage zu erheben (vgl. Urteile 6B_ 268/2021 vom 23. März 2021; 5A_1031/2020 vom 15. Dezember 2020 E. 2; 5A_346/2013 vom 17. Mai 2013 E. 1.1; HAUSHEER/WEY, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 6. Aufl. 2018, N. 36 ff. zu <ref-law>). Ob und inwieweit die vom Beschwerdeführer als rechtswidrig bezeichnete fürsorgerische Unterbringung (vgl. hierzu: <ref-ruling> E. 8.3 f.) eine strafbare Handlung darstellt, kann demnach vorliegend nicht beurteilt werden.
5.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren gemäss <ref-law> nicht einzutreten. Auf die Erhebung von Gerichtskosten kann angesichts der konkreten Umstände ausnahmsweise verzichtet werden (<ref-law>), womit das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos wird.

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juni 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill