Erwägungen:
1.
Das Strafdreiergericht des Kantons Basel-Stadt erklärte A._ mit Urteil vom 20. November 2019 der mehrfachen Drohung, der mehrfachen Sachbeschädigung, des falschen Alarms, der mehrfachen Beschimpfung, der mehrfachen Tätlichkeiten, des mehrfachen geringfügigen Vermögensdelikts sowie der Widerhandlung gegen das Übertretungsstrafgesetz des Kantons Basel-Stadt schuldig und verurteilte ihn zu sechs Monaten Freiheitsstrafe, zu einer Geldstrafe von 25 Tagessätzen zu Fr. 30.-- sowie zu einer Busse von Fr. 900.--. Der Vollzug der ausgesprochenen Freiheitsstrafe schob das Strafdreiergericht auf und ordnete eine stationäre psychiatrische Behandlung an. Darüber hinaus verlängerte es die Sicherheitshaft für die vorläufige Dauer von zwölf Wochen bis zum 12. Februar 2020. Dagegen erhob A._ am 2. Dezember 2019 Beschwerde und ersuchte um sofortige Haftentlassung. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt wies mit Entscheid vom 16. Dezember 2019 die Beschwerde ab. Es bejahte dabei den dringenden Tatverdacht und das Vorliegen von Fortsetzungs- und Fluchtgefahr und erachtete die Haft als verhältnismässig.
2.
A._ reichte gegen den Entscheid am 24. Dezember 2019 Beschwerde beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt ein. Mit Schreiben vom 30. Dezember 2019 überwies das Appellationsgericht die Beschwerde zuständigkeitshalber dem Bundesgericht, welches auf die Einholung von Vernehmlassungen verzichtete.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Begründung des Appellationsgerichts, die zur Abweisung der Beschwerde führte, nicht auseinander und vermag mit seiner Eingabe nicht substanziiert aufzuzeigen, inwiefern die Abweisung seiner Beschwerde rechts- bzw. verfassungswidrig erfolgt sein sollte. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, und Advokat Yves Waldmann schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Januar 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli