Faits :
A.
A.a. Par prononcé rectificatif du 1er mai 2018, notifié au conseil de B.C._ le 2 mai suivant, la Présidente du Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte a notamment rectifié le chiffre VIII du dispositif du jugement de divorce rendu le 19 avril 2018 dans la cause en divorce des époux C._, en ce sens qu'elle a arrêté l'indemnité d'office de Me A._, conseil de la demanderesse, à 9'717 fr. 50, et celle de Me D._, conseil du défendeur, à 13'651 fr. 80 (I), a dit que le jugement de divorce rendu le 19 avril 2018 était maintenu pour le surplus (II), et a rendu le prononcé sans frais (III).
Tant le jugement de divorce du 19 avril 2018 que le prononcé rectificatif du 1er mai 2018 indiquent qu'un appel au sens des <ref-law> peut être formé dans un délai de trente jours dès la notification du jugement.
A.b. Par acte du 22 mai 2018, reçu le 24 suivant au greffe de la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal vaudois (ci-après: Chambre des recours civile), Me A._ a recouru contre le prononcé rectificatif, en concluant, avec suite de frais judiciaires et dépens, à la réforme du chiffre I de son dispositif, en ce sens que son indemnité de conseil d'office est arrêtée à 23'610 fr. 05, TVA comprise. Par courrier du 23 mai 2018 adressé à la Chambre des recours civile, Me A._ a indiqué que son acte du 22 mai 2018 comportait des erreurs d'inattention, dont il ne fallait pas tenir compte. Ainsi, lorsqu'il était mentionné " appel ", il fallait en réalité lire " recours ".
A.c. Par arrêt du 29 mai 2018, notifié le 26 juin 2018, la Chambre des recours civile a déclaré le recours irrecevable pour cause de tardiveté.
B.
Par acte du 28 août 2018, Me A._ exerce un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire contre l'arrêt du 29 mai 2018. Principalement, il conclut à son annulation et à sa réforme en ce sens que " l'Assistance Juridique du Canton de Vaud [est condamnée] à [lui] verser (...) la somme de CHF 23'610,05, TVA comprise, ainsi que, en sus, les montants des vacations à hauteur de CHF 240.- ainsi que des débours à hauteur de CHF 157,70, ces deux montants devant être additionnés de la TVA ". Subsidiairement, outre l'annulation de l'arrêt attaqué, il sollicite le renvoi de la cause à la Chambre des recours civile pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Invitée à se déterminer sur le recours, l'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1).
1.1. La décision attaquée a pour objet la fixation de l'indemnité due au recourant en sa qualité d'avocat d'office d'une partie à une procédure de divorce. Lorsqu'elle porte, comme en l'occurrence, sur la rétribution de l'activité déployée par le défenseur d'office dans une affaire susceptible de recours en matière civile, la décision est rendue dans une matière connexe au droit civil au sens de l'<ref-law> (arrêts 5A_301/2018 du 7 juin 2018 consid. 1.1 et l'arrêt cité; 5A_10/2018 du 17 avril 2018 consid. 1.1 et l'arrêt cité).
1.2. La valeur litigieuse n'atteint pas le seuil de 30'000 fr. requis selon l'<ref-law>. Pour le recourant, le recours en matière civile est néanmoins recevable, car la contestation soulèverait une question juridique de principe au sens de l'<ref-law>. Il soutient en substance que l'<ref-law> comporte une véritable lacune s'agissant du délai de recours contre une décision fixant l'indemnité du défenseur d'office, en particulier lorsque celle-ci est intégrée dans le jugement au fond.
1.2.1. La jurisprudence applique restrictivement l'<ref-law>, qui permet de déroger à l'exigence d'une valeur litigieuse minimale dans les affaires pécuniaires. Il ne suffit pas qu'une question juridique n'ait jamais été tranchée par le Tribunal fédéral. Encore faut-il qu'il soit nécessaire, pour résoudre le cas d'espèce, de trancher une question juridique donnant lieu à une incertitude caractérisée, laquelle appelle de manière pressante un éclaircissement de la part du Tribunal fédéral en tant qu'autorité judiciaire suprême chargée de dégager une interprétation uniforme du droit fédéral (<ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 1.2 et les arrêts cités; <ref-ruling> consid. 1.4.1). Il y a également lieu de tenir compte de la probabilité que la question litigieuse puisse ou non un jour être présentée avec une valeur litigieuse suffisante pour ouvrir le recours en matière civile (<ref-ruling> consid. 1.2, 267 consid. 1.2.3; cf. également <ref-ruling> consid. 1). La question soumise doit être de portée générale; la décision à rendre par le Tribunal fédéral doit être propre à orienter la pratique, en permettant aux instances inférieures de trancher de nombreux cas similaires (<ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling> consid. 1.3). Cette condition n'est pas remplie lorsque le litige en cause présente des particularités dont les autres affaires sont généralement dépourvues (<ref-ruling> consid. 4; arrêt 4A_684/2015 du 19 avril 2016 consid. 1.3). Si le point soulevé ne concerne que l'application de principes jurisprudentiels à un cas particulier, il ne saurait être qualifié de question juridique de principe (ATF <ref-ruling> consid. 1.4.1; <ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling> précité). De même, si la question se rapporte à une norme de droit cantonal que le Tribunal fédéral ne peut pas revoir librement, celui-ci ne saurait rendre une décision de principe. Si son pouvoir d'examen est limité à la violation des droits constitutionnels, il suffit, en effet, que le recourant interjette un recours constitutionnel subsidiaire et une dérogation à l'exigence de la valeur litigieuse ne se justifie pas (<ref-ruling> consid. 2.3).
La partie recourante doit exposer de manière circonstanciée, sous peine d'irrecevabilité (art. 42 al. 2 2ème phrase LTF), en quoi la décision attaquée soulève une question juridique de principe, à moins que celle-ci ne s'impose de façon évidente (<ref-ruling> consid. 1.2 et les arrêts cités).
1.2.2. Saisi d'un recours portant sur la même question, le Tribunal fédéral a déjà jugé que la condition posée par l'<ref-law> n'était pas réalisée, déjà pour le motif que la même problématique pourrait se poser un jour avec la valeur litigieuse légalement requise (arrêt 5A_120/2016 du 26 mai 2016 consid. 1.2 et les arrêts cités). Le recourant ne se prononce pas à cet égard. S'il motive la nécessité que le Tribunal fédéral tranche la question avec un plein pouvoir d'examen en alléguant la disparité des solutions cantonales et l'insécurité juridique qu'elle engendre, il ne conteste nullement que la problématique pourrait se présenter à nouveau dans une affaire dont la valeur litigieuse atteindrait le seuil requis. Il n'y a dès lors pas lieu de se départir des motifs retenus dans l'arrêt susvisé et d'ouvrir le recours en matière civile sans égard à la valeur litigieuse. Partant, seul le recours constitutionnel subsidiaire est en l'occurrence recevable.
1.3. Pour le surplus, le recours a été interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 et 117 LTF) contre une décision finale (art. 90 et 117 LTF) rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur, même s'il n'a pas statué sur recours au sujet de l'indemnité litigieuse (art. 75 al. 1 et 114 LTF; <ref-ruling> consid. 2.2 et les références); le recourant, qui est titulaire de cette prétention, a un intérêt juridiquement protégé à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (<ref-law>; arrêt 5A_301/2018 précité consid. 1.3).
1.4. La cour cantonale a rendu un arrêt d'irrecevabilité sans se prononcer sur le bien-fondé de la demande. Dans un tel cas de figure, seules des conclusions cassatoires sont admissibles, à l'exclusion de conclusions sur le fond, lesquelles supposent que l'autorité précédente soit entrée en matière. En effet, s'il annule un arrêt d'irrecevabilité, le Tribunal fédéral ne statue pas lui-même sur le fond mais renvoie la cause à l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 1.2). Il s'ensuit l'irrecevabilité des conclusions principales en réforme (arrêt 4A_618/2017 du 11 janvier 2018 consid. 2.2).
2.
2.1. Le recours constitutionnel peut être formé pour violation des droits constitutionnels exclusivement (<ref-law>). Conformément à l'<ref-law>, auquel renvoie l'<ref-law>, le Tribunal fédéral n'examine que les griefs constitutionnels qui sont expressément soulevés et motivés dans l'acte de recours conformément au principe d'allégation (art. 117 et 106 al. 2 LTF), à savoir expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 2.2, 349 consid. 3). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 2.4 et la référence).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Le recourant ne peut obtenir leur rectification ou leur complètement que s'il démontre la violation de droits constitutionnels (art. 118 al. 2 et 116 LTF). Il doit ainsi exposer avec précision, conformément au principe d'allégation susmentionné, en quoi la constatation d'un fait, pertinent pour l'issue de la procédure, est manifestement insoutenable, c'est-à-dire en contradiction évidente avec la situation de fait, repose sur une inadvertance manifeste ou est dénuée de toute justification objective (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 3.2 et les arrêts cités).
Dans la partie intitulée " Exposé des faits essentiels " de son écriture (p. 5-12), le recourant se contente d'exposer sa propre version des faits au motif que " l'arrêt cantonal ne permet pas d'avoir une vision globale du cas d'espèce ". En tant que les faits qu'il allègue divergent de ceux constatés dans l'arrêt querellé et qu'ils ne sont pas critiqués sous l'angle de l'établissement arbitraire des faits ou de l'appréciation arbitraire des preuves, il n'en sera pas tenu compte.
3.
Le recourant invoque une violation de son droit à la protection de la bonne foi consacré aux art. 5 al. 3 et 9 Cst., en vertu duquel le justiciable qui se fie à une indication erronée de l'autorité ne doit en principe subir aucun préjudice. En substance, il reproche aux juges précédents d'avoir considéré qu'il n'était pas protégé dans la confiance placée dans l'indication erronée du délai de recours figurant au pied de la décision de première instance.
3.1. Aux termes de l'art. 5 al. 3 Cst., les organes de l'Etat et les particuliers doivent agir de manière conforme aux règles de la bonne foi. De ce principe général découle notamment le droit fondamental du particulier à la protection de sa bonne foi dans ses relations avec l'Etat, consacré à l'art. 9 in fine Cst., dont le Tribunal fédéral contrôle librement le respect (<ref-ruling> consid. 8.3.1; <ref-ruling> consid. 5.2; <ref-ruling> consid. 2.6). On déduit du principe de la bonne foi que les parties ne doivent subir aucun préjudice en raison d'une indication inexacte des voies de droit (<ref-ruling> consid. 8.3.2; <ref-ruling> consid. 2, 421 consid. 2c). Une partie ne peut toutefois se prévaloir de cette protection que si elle se fie de bonne foi à cette indication. Tel n'est pas le cas de celle qui s'est aperçue de l'erreur, ou aurait dû s'en apercevoir en prêtant l'attention commandée par les circonstances. Seule une négligence procédurale grossière peut faire échec à la protection de la bonne foi. Celle-ci cesse uniquement si une partie ou son avocat aurait pu se rendre compte de l'inexactitude de l'indication des voies de droit en lisant simplement la législation applicable. En revanche, il n'est pas attendu d'eux qu'outre les textes de loi, ils consultent encore la jurisprudence ou la doctrine y relatives. Déterminer si la négligence commise est grossière s'apprécie selon les circonstances concrètes et les connaissances juridiques de la personne en cause. Les exigences envers les avocats sont naturellement plus élevées: on attend dans tous les cas de ces derniers qu'ils procèdent à un contrôle sommaire (" Grobkontrolle ") des indications sur la voie de droit (<ref-ruling> consid. 8.3.2; <ref-ruling> consid. 1.2.2.2; <ref-ruling> consid. 1.3.1). La confiance que la partie recourante assistée d'un avocat peut placer dans l'indication erronée du délai de recours dans une décision n'est pas protégée lorsqu'une lecture systématique de la loi suffisait à déceler l'erreur (<ref-ruling> consid. 3.3).
3.2. La Chambre des recours a constaté que le recourant s'appuyait sur un arrêt 5A_120/2016 du 26 mai 2016 pour se prévaloir d'un délai de 30 jours pour contester son indemnité d'avocat d'office, arrêtée dans le jugement au fond. Elle a ensuite retenu qu'il ressortait de l'arrêt précité que la loi ne se prononçait pas sur la voie de droit pour contester l'indemnité d'avocat d'office; la doctrine renvoyait, quant à elle, à l'<ref-law>, en vertu duquel les décisions sur les frais ne peuvent être entreprises séparément que par un recours selon l'<ref-law>. Pour le Tribunal fédéral, il n'était pas arbitraire d'admettre qu'une telle solution s'appliquait aussi lorsque l'indemnité d'office avait été fixée dans le jugement au fond, même si la loi n'imposait pas au tribunal de statuer à cette occasion sur la rétribution du conseil d'office. Aussi, selon le Tribunal fédéral, dès lors que l'avocat d'office avait fait valoir une prétention qui lui appartient en propre, l'autorité cantonale pouvait retenir, de manière défendable, qu'un éventuel litige à ce sujet ne relevait pas de la voie de droit - l'appel (<ref-law>) - ouverte contre la décision au fond, laquelle touche aux prétentions de la partie assistée. Le Tribunal fédéral considérait ainsi que, dans cette optique, l'application de l'<ref-law> par analogie, qui prévoit un délai de recours de 10 jours, ne pouvait être qualifiée d'insoutenable. Dans le cas qui lui était soumis, le Tribunal fédéral avait cependant retenu que la recourante qui s'était fiée à une voie de droit indiquée de manière erronée, soit un délai de 30 jours pour recourir au sens de l'<ref-law>, pouvait bénéficier du principe de la protection de la bonne foi, ce malgré le fait qu'elle fût avocate de profession; une " simple lecture des textes " ne permettait en effet pas de se rendre compte de l'erreur.
La Chambre des recours civile a ensuite jugé que dans la mesure où le recourant, également avocat de profession, avait manifestement connaissance de l'arrêt précité, il ne pouvait se prévaloir de l'indication erronée des voies de droit de 30 jours, ce d'autant que cette indication concernait l'appel et non le recours. Pour contester son indemnité d'avocat d'office, il aurait, en effet, pu recourir dans le délai de 10 jours considéré comme admissible par l'arrêt qu'il citait à l'appui de son recours. Partant, remis à la Poste suisse le 23 mai 2018 - alors que la décision entreprise lui avait été notifiée le 2 mai 2018 et que le délai pour recourir de 10 jours arrivait à échéance le 12 mai 2018 - le recours était manifestement tardif.
3.3. Il est exact que la jurisprudence n'exige pas du recourant, même avocat, qu'outre le texte légal, il consulte la jurisprudence ou la doctrine aux fins de contrôler les indications relatives à la voie de droit. S'agissant d'un avocat, il convient ainsi uniquement de se demander si celui-ci aurait pu déceler l'erreur affectant l'indication de la voie de droit par la seule lecture systématique du texte légal (cf. supra consid. 3.1). Le cas d'espèce a toutefois ceci de particulier qu'il résulte de l'arrêt attaqué - non contesté sur ce point - que le recourant avait connaissance de l'arrêt 5A_120/2016, par ailleurs publié à la RSPC 2016 p. 495. Or, cette affaire concerne la pratique vaudoise qui soumet la décision sur la rémunération du conseil d'office au délai de 10 jours de l'<ref-law> même lorsque l'indemnité d'office a été fixée dans le jugement au fond. Cette pratique cantonale complique certes l'exercice des voies de droit et une solution où le délai de recours contre la décision fixant l'indemnité du défenseur d'office serait identique à celui applicable à la décision au fond lorsque dite indemnité a précisément été fixée dans cette même décision aurait le mérite de la simplicité. Il n'en demeure pas moins que cette pratique a été considérée comme exempte d'arbitraire dans l'arrêt précité, lequel était connu du recourant. Ce dernier ne saurait dès lors se prévaloir de sa bonne foi pour pallier la tardiveté de son recours, de sorte que son grief s'avère infondé.
4.
En conclusion, le recours constitutionnel est irrecevable et le recours en matière civile est rejeté dans la mesure où il est recevable. Les frais judiciaires sont mis à la charge du recourant, qui succombe (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours en matière civile est irrecevable.
2.
Le recours constitutionnel subsidiaire est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Chambre des recours civile.
Lausanne, le 11 janvier 2019
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Hildbrand