Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1960 geborene A._ bezog bei einem Invaliditätsgrad von 100 % eine ganze Rente der Invalidenversicherung ab dem 1. März 1998 (Verfügung vom 4. Dezember 1998). Infolge Verbesserung des Gesundheitszustandes (75 % Arbeitsfähigkeit für leidensangepasste Tätigkeiten; Invaliditätsgrad von 45 %) bestand ab 1. Mai 2007 nurmehr Anspruch auf eine Viertelsrente (Verfügungen vom 22. März und 5. April 2007 resp. Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 18. Juni 2008). Im Oktober 2016 ersuchte der Versicherte unter Hinweis auf einen "Sehnenabriss in der rechten Schulter" und ein bestehendes Arbeitsverhältnis um weitere Leistungen. Im Verlauf des anschliessenden Abklärungsverfahrens teilte die Arbeitgeberin von A._ mit, dass dieser vom 13. Juli 2009 bis zum 31. Januar 2017 in einem Vollzeitpensum bei ihr angestellt (gewesen) sei. Diesbezüglich ging die IV-Stelle des Kantons Solothurn von einer Meldepflichtverletzung aus, weshalb sie dem Versicherten mit Vorbescheid vom 12. Januar 2017 die rückwirkende Rentenaufhebung auf den 1. August 2009 und die Rückforderung der zu Unrecht bezogenen Leistungen in Aussicht stellte. Mit Verfügung vom 28. Februar 2017 hob sie die Rente wie angekündigt auf, und mit einer weiteren Verfügung vom 8. März 2017 verpflichtete sie A._, die vom 1. August 2009 bis zum 28. Februar 2017 zu Unrecht bezogenen Leistungen im Betrag von Fr. 45'757.- zurückzuerstatten.
A.b. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn sprach A._ der Verletzung der Meldepflicht und des unrechtmässigen Bezugs von Leistungen einer Sozialversicherung schuldig und verurteilte ihn deswegen zu einer Geldstrafe von 160 Tagessätzen zu je Fr. 70.- (Strafbefehl vom 25. Januar 2018). Dagegen liess er Einsprache erheben.
B.
A._ liess die Rückerstattungsverfügung vom 8. März 2017 anfechten. Das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn hiess die Beschwerde mit Entscheid vom 2. Mai 2018 teilweise gut. Es verpflichtete den Versicherten, die auf die Zeit vom 1. Februar 2012 bis zum 28. Februar 2017 entfallenden Rentenbetreffnisse im Betrag von Fr. 30'863.- zurückzuerstatten; im Übrigen wies es das Rechtsmittel ab.
C.
Die IV-Stelle beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, der Entscheid vom 2. Mai 2018 sei aufzuheben, und A._ sei zur Rückerstattung der vom 1. Februar 2010 bis zum 28. Februar 2017 bezogenen Leistungen zu verpflichten.
A._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Antrag der Beschwerdeführerin auf Aufhebung des angefochtenen Entscheids bezieht sich, entsprechend der Beschwerdebegründung, nur auf die Rückerstattung der vom 1. Februar 2010 bis zum 31. Januar 2012 bezogenen Leistungen (vgl. auch Art. 89 Abs. 1 lit. c BGG).
1.2. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
Unrechtmässig bezogene Leistungen sind zurückzuerstatten (Art. 25 Abs. 1 Satz 1 ATSG). Der Rückforderungsanspruch erlischt mit dem Ablauf eines Jahres, nachdem die Versicherungseinrichtung davon Kenntnis erhalten hat, spätestens aber mit dem Ablauf von fünf Jahren nach der Entrichtung der einzelnen Leistung. Wird der Rückerstattungsanspruch aus einer strafbaren Handlung hergeleitet, für welche das Strafrecht eine längere Verjährungsfrist vorsieht, so ist diese Frist massgebend (Art. 25 Abs. 2 ATSG).
3.
Das kantonale Gericht hat den Anspruch der IV-Stelle auf Rückerstattung der Rentenbetreffnisse, die sie dem Beschwerdegegner vom 1. August 2009 bis zum 28. Februar 2017 ausgerichtet hatte, im Grundsatz bejaht. Weiter hat es die relative (einjährige) Frist für die Geltendmachung des Anspruchs mit dem Erlass des Vorbescheids vom 12. Januar 2017 als gewahrt erachtet. Sodann ist es von einer absoluten Frist von fünf Jahren ausgegangen, weshalb es die Rückforderung der Betreffnisse bis Ende Januar 2012 für verwirkt gehalten und den Rückerstattungsanspruch nur für die ab 1. Februar 2012 ausgerichteten Rentenbetreffnisse bejaht hat.
Streitig und zu prüfen ist einzig der Umfang der Rückerstattungspflicht in Bezug auf die Länge der absoluten (Verwirkungs-) Frist.
4.
4.1. Art. 148a Abs. 1 StGB betreffend den unrechtmässigen Bezug von Leistungen einer Sozialversicherung oder der Sozialhilfe ist für den hier massgeblichen Zeitraum (E. 1.1) nicht von Interesse: Die Bestimmung trat erst am 1. Oktober 2016 in Kraft. Einschlägig ist indessen die Strafbestimmung von Art. 87 Abs. 6 (bis 31. Dezember 2017: Abs. 5) und 9 AHVG i.V.m. Art. 70 IVG: Wer die ihm obliegende Meldepflicht (Art. 31 Abs. 1 ATSG; vgl. auch Art. 77 IVV [SR 831.201]) verletzt, wird, sofern nicht ein mit einer höheren Strafe bedrohtes Verbrechen oder Vergehen des Strafgesetzbuches vorliegt, mit Geldstrafe bis zu 180 Tagessätzen bestraft.
Die entsprechende Verfolgungsverjährung (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 79) beträgt sieben Jahre (Art. 97 Abs. 1 lit. d StGB). Hat der Beschwerdegegner den Tatbestand von Art. 87 Abs. 6 AHVG erfüllt, folgt mit Blick auf Art. 25 Abs. 2 Satz 2 ATSG, dass er auch die vom 1. Februar 2010 bis zum 31. Januar 2012 ausgerichteten Rentenbetreffnisse zurückzuerstatten hat.
4.2. Angesichts des Umstandes, dass die Strafverfolgung bei Erlass des angefochtenen Urteils noch nicht abgeschlossen war (Sachverhalt lit. A.b), hat die Vorinstanz zu Recht selber über die Strafbarkeit des Beschwerdegegners befunden (<ref-ruling> E. 6.1 S. 80).
4.3. Das kantonale Gericht hat festgestellt, mit der Verfügung vom 22. März 2007 sei der Versicherte ausdrücklich für jede Änderung der persönlichen und wirtschaftlichen Verhältnisse (wie die Aufnahme einer Erwerbstätigkeit), die den Leistungsanspruch beeinflussen kann, auf seine Meldepflicht gegenüber der IV-Stelle hingewiesen worden. Er habe seine Arbeitsstelle als Eismeister bereits am 13. Juli 2009 angetreten. Seine Arbeitgeberin habe der Ausgleichskasse des Kantons Solothurn die entsprechende Versichertenanmeldung übermittelt. Der Beschwerdegegner habe die IV-Stelle über den Stellenantritt nicht informiert. Im November 2011 habe er der Ausgleichskasse mitgeteilt, infolge Arbeitsaufnahme auf den 1. Januar 2012 auf die weitere Auszahlung von Ergänzungsleistungen verzichten zu wollen. Erst im Leistungsgesuch vom September resp. Oktober 2016 habe er seine Anstellung gegenüber der IV-Stelle erwähnt.
4.4. Dass diese Feststellungen offensichtlich unrichtig sein oder auf einer Rechtsverletzung beruhen sollen, ist nicht ersichtlich und wird auch nicht geltend gemacht. Sie bleiben daher für das Bundesgericht verbindlich (E. 1.2).
Dementsprechend erfüllte der Versicherte seit dem Stellenantritt bis im Herbst 2016 den objektiven Tatbestand von Art. 87 Abs. 6 AHVG. Zwar stellt der Beschwerdegegner dies in Abrede; zur Begründung verweist er aber lediglich auf die Anmeldung durch die Arbeitgeberin vom August 2009 und seine im November 2011 erfolgte Mitteilung an die AHV-Zweigstelle resp. die Ausgleichskasse. Er nimmt mit keinem Wort (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG) Bezug auf die Ausführungen insbesondere in E. 5.2 des angefochtenen Entscheids, mit denen die Vorinstanz (zutreffend; vgl. das dort erwähnte Urteil 9C_226/2011 vom 15. Juli 2011 E. 4.2.2 und 4.2.3, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2012 IV Nr. 12 S. 61) dargelegt hat, weshalb sie Mitteilungen an die Ausgleichskasse als ungenügend erachtet und die Verletzung der Meldepflicht gegenüber der IV-Stelle bejaht hat.
4.5. In subjektiver Hinsicht (vgl. Art. 12 StGB) hat das kantonale Gericht einzig erwogen, das Vorgehen des Beschwerdegegners im November 2011 lasse eher nicht darauf schliessen, dass er den Stellenantritt grundsätzlich habe verheimlichen wollen. Der Vorsatz sei nicht nachgewiesen, weshalb nicht von der längeren Verwirkungsfrist gemäss Art. 25 Abs. 2 Satz 2 ATSG auszugehen sei.
Die vorinstanzliche Formulierung (kein "grundsätzlicher" Wille zur Verheimlichung) kann nur so verstanden werden, dass damit ein direkter Vorsatz verneint worden ist. Ob dieser Schluss rechtlich begründet ist und gegebenenfalls auch hinsichtlich des Zeitraums von Juli 2009 bis November 2011 Geltung hat, kann offenbleiben. Für die Strafbarkeit genügt bereits ein Eventualvorsatz im Sinne der Inkaufnahme des Erfolgs (Art. 12 Abs. 2 StGB; <ref-ruling> E. 8.2 S. 83 f.).
4.6. Ob der Täter die Tatbestandsverwirklichung in Kauf genommen hat, muss das Gericht - bei Fehlen eines Geständnisses des Beschuldigten - aufgrund der Umstände entscheiden. Dazu gehören die Grösse des dem Täter bekannten Risikos der Tatbestandsverwirklichung, die Schwere der Sorgfaltspflichtverletzung, die Beweggründe des Täters und die Art der Tathandlung. Je grösser die Wahrscheinlichkeit der Tatbestandsverwirklichung ist und je schwerer die Sorgfaltspflichtverletzung wiegt, desto näher liegt die Schlussfolgerung, der Täter habe die Tatbestandsverwirklichung in Kauf genommen. Das Gericht darf vom Wissen des Täters auf den Willen schliessen, wenn sich dem Täter der Eintritt des Erfolgs als so wahrscheinlich aufdrängte, dass die Bereitschaft, ihn als Folge hinzunehmen, vernünftigerweise nur als Inkaufnahme des Erfolgs ausgelegt werden kann. Was der Täter wusste, wollte und in Kauf nahm, betrifft sog. innere Tatsachen und ist damit Tatfrage. Rechtsfrage ist hingegen, ob im Lichte der festgestellten Tatsachen der Schluss auf Eventualvorsatz begründet ist (<ref-ruling> E. 8.4.1 S. 84 mit Hinweisen).
Das kantonale Gericht wird diesbezüglich eigene Feststellungen zu treffen (oder den Ausgang des strafrechtlichen Verfahrens zu berücksichtigen) und anschliessend über die Rückerstattungspflicht für den interessierenden Zeitraum neu zu entscheiden haben. In diesem Sinn ist die Beschwerde begründet.
5.
Hinsichtlich der Prozesskosten gilt die Rückweisung der Sache zu neuem Entscheid praxisgemäss als volles Obsiegen (<ref-ruling> E. 7.1 S. 271 mit Hinweisen). Der Beschwerdegegner hat die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdeführerin hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 2. Mai 2018 aufgehoben, soweit er den Anspruch auf Rückerstattung der vom 1. Februar 2010 bis zum 31. Januar 2012 bezogenen Leistungen betrifft. In diesem Umfang wird die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. Oktober 2018
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Dormann