Sachverhalt:
A.
Am 1. September 2014 verurteilte das Strafgericht Basel-Stadt unter anderem A._ und B._ wegen verschiedener Delikte zu einer bedingten Freiheitsstrafe (A._) bzw. einer bedingten Geldstrafe (B._). Am 30. Oktober 2017 stellte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Berufungsgericht das Verfahren bezüglich der vor dem 1. Oktober 2002 begangenen Handlungen zufolge Verjährung ein. Es sprach A._ in Abänderung des Urteils des Strafgerichts von gewissen Anklagepunkten frei. Im Übrigen bestätigte es die erstinstanzlichen Schuldsprüche von A._ und B._, wobei es die bedingte Freiheitsstrafe für A._ und die bedingte Geldstrafe für B._ reduzierte.
B.
Mit den Urteilen 6B_396/2018 sowie 6B_383/2018 vom 15. November 2018 hiess das Bundesgericht die von A._ und B._ gegen das Urteil des Appellationsgerichts vom 30. Oktober 2017 erhobenen Beschwerden in Strafsachen gut. Das Bundesgericht kam zum Schluss, der Spruchkörper des Appellationsgerichts sei unrechtmässig besetzt worden. Es hob den angefochtenen Entscheid vom 30. Oktober 2017 auf und wies die Sache zu neuer Beurteilung an das Appellationsgericht zurück. Im Anschluss an die Rückweisung der Sache durch das Bundesgericht wurde der Spruchkörper des Appellationsgerichts neu bestimmt, wobei im Vergleich zum vormaligen Spruchkörper kein personeller Wechsel vorgenommen wurde.
C.
Am 10. Dezember 2018 stellten A._ und B._ je ein Ausstandsbegehren gegen die drei Mitglieder des neu besetzten Spruchkörpers.
Am 24. bzw. 25. Januar 2019 beantragten A._ und B._ je, die Sache sei zur Durchführung einer neuen Hauptverhandlung an das erstinstanzliche Strafgericht zurückzuweisen. Mit Zwischenentscheid vom 19. März 2019 wies das Appellationsgericht die Anträge auf Rückweisung der Sache an das erstinstanzliche Strafgericht ab.
Am 30. März 2019 bzw. 2. April 2019 wies das Appellationsgericht die Ausstandsbegehren vom 10. Dezember 2018 ab und befand, der Spruchkörper sei rechtmässig bestimmt worden.
D.
Gegen den Zwischenentscheid des Appellationsgerichts vom 19. März 2019 betreffend Nichtrückweisung der Sache an das erstinstanzliche Strafgericht haben A._ (Verfahren 1B_207/2019) und B._ (Verfahren 1B_247/2019) am 7. bzw. 20. Mai 2019 je Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht erhoben. Sie beantragen, der angefochtene Zwischenentscheid sei aufzuheben. A._ beantragt weiter, die Sache sei zur Durchführung eines korrekten Verfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventualiter sei die Vorinstanz anzuweisen, die Sache zur neuen Beurteilung an das Strafgericht Basel-Stadt zurückzuweisen. B._ beantragt weiter, die Sache sei an die Vorinstanz zurückzuweisen und die Vorinstanz sei anzuweisen, ihn freizusprechen. Sinngemäss beantragt er sodann, die Vorinstanz sei anzuweisen, die Sache zur neuen Beurteilung an das Strafgericht Basel-Stadt zurückzuweisen.
Die Vorinstanz beantragt, die Beschwerden seien abzuweisen, soweit überhaupt darauf einzutreten sei. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt hat auf Vernehmlassung verzichtet.
E.
Die von den Beschwerdeführern je gestellten Gesuche um Überweisung der Beschwerde an die strafrechtliche Abteilung des Bundesgerichts sowie um Gewährung der aufschiebenden Wirkung hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung am 11. bzw. am 20. Juni 2019 abgewiesen. Mit weiteren Eingaben haben die Beschwerdeführer je an ihrer Beschwerde festgehalten.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerden in den Verfahren 1B_207/2019 und 1B_247/2019 richten sich beide gegen den Entscheid des Appellationsgerichts vom 19. März 2019 und betreffen den gleichen Sachverhalt. Es rechtfertigt sich, die beiden Verfahren zu vereinigen.
2.
2.1. Gegenstand des vorliegenden Verfahrens ist der Entscheid vom 19. März 2019, mit welchem das Appellationsgericht die Anträge der Beschwerdeführer auf Rückweisung der Sache an das erstinstanzliche Strafgericht zur Durchführung einer neuen Hauptverhandlung abgewiesen hat. Auf Anträge und Rügen, die nicht damit im Zusammenhang stehen, ist von vornherein nicht einzutreten (vgl. <ref-law>). Dies gilt insbesondere für den Antrag von B._, die Vorinstanz sei anzuweisen, ihn freizusprechen.
2.2. Die Beschwerdeführer rügen, das Appellationsgericht, welches den vorliegend angefochtenen Entscheid vom 19. März 2019 gefällt hat, sei unrechtmässig besetzt worden. Das Appellationsgericht hat den vorliegend angefochtenen Entscheid in der im Anschluss an die Rückweisung der Sache durch das Bundesgericht neu vorgenommenen Besetzung getroffen. Mit der Frage der rechtmässigen Zusammensetzung des Spruchkörpers hat sich das Bundesgericht in den gleichentags wie das vorliegende Urteil ergangenen Urteilen 1B_215/ 2019 (A._) bzw. 1B_269/2019 (B._) auseinandergesetzt. Es kam zum Schluss, dass die Ausstandsbegehren der Beschwerdeführer vom 10. Dezember 2018 zu Recht abgewiesen wurden und dass das Berufungsgericht rechtmässig besetzt wurde. Es besteht kein Anlass, im vorliegenden Verfahren darauf zurückzukommen. Auf die Rüge der unrechtmässigen Besetzung des Spruchkörpers ist nicht einzutreten.
3.
3.1. Beim angefochtenen Entscheid vom 19. März 2019 handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid in einer Strafsache (vgl. Art. 78 Abs. 1 und Art. 80 Abs. 1 und 2 BGG), der das Strafverfahren nicht abschliesst, folglich nicht um einen Endentscheid im Sinne von <ref-law>, sondern um einen Zwischenentscheid.
Beim Bundesgericht anfechtbar sind selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide über die Zuständigkeit und über Ausstandsbegehren (<ref-law>). Diese Entscheide können später nicht mehr angefochten werden (<ref-law>). Anfechtbar sind Entscheide, welche sich auf die örtliche, sachliche oder auch auf die funktionelle Zuständigkeit beziehen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 559 mit Hinweis). Gegen andere selbständig eröffnete Zwischenentscheide ist die Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht nur unter den Voraussetzungen gemäss <ref-law> zulässig, nämlich wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Ist die Beschwerde gegen einen Zwischenentscheid gemäss <ref-law> nicht zulässig oder wurde von ihr kein Gebrauch gemacht, bleibt der Zwischenentscheid im Rahmen einer Beschwerde gegen den Endentscheid anfechtbar, sofern er sich auf dessen Inhalt auswirkt (<ref-law>).
Es obliegt der beschwerdeführenden Partei, detailliert darzutun, inwiefern die Voraussetzungen von Art. 92 f. BGG erfüllt sind, soweit diese nicht offensichtlich vorliegen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 801; <ref-ruling> E. 1.2 S. 81; je mit Hinweisen).
3.2. Die Beschwerdeführer machen geltend, beim angefochtenen Entscheid vom 19. März 2019 handle es sich um einen Zwischenentscheid über die funktionelle Zuständigkeit und damit um einen beim Bundesgericht anfechtbaren Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law>.
Der vorliegend angefochtene Zwischenentscheid betrifft nicht die Frage, ob die Vorinstanz für die Beurteilung der von den Beschwerdeführern erhobenen Berufung grundsätzlich zuständig ist. Die Vorinstanz hat vielmehr geprüft, ob die Sache nach der Rückweisung durch das Bundesgericht an sie noch eine Instanz weiter zurückzuweisen sei oder nicht. Beim Entscheid der Vorinstanz, die Sache (im jetzigen Zeitpunkt) nicht an das erstinstanzliche Strafgericht zurückzuweisen, handelt es sich - gleich wie grundsätzlich bei der Rückweisung einer Streitsache an die untere Instanz bei (teilweiser) Gutheissung einer Beschwerde - nicht um einen Zwischenentscheid über die Zuständigkeit und über Ausstandsbegehren im Sinne von <ref-law>, sondern um einen anderen selbständigen Zwischenentscheid, der nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> anfechtbar ist.
3.3. Die Beschwerdeführer machen weiter geltend, falls der angefochtene Entscheid nicht als Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> eingestuft werde, könne er nach <ref-law> beim Bundesgericht angefochten werden, da er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könne.
3.3.1. Nach ständiger Praxis zu <ref-law> muss der nicht wieder gutzumachende Nachteil rechtlicher Natur sein, was der Fall ist, wenn er auch durch einen für die rechtsuchende Partei günstigen Endentscheid nachträglich nicht mehr behoben werden könnte (<ref-ruling> E. 3.6 S. 326 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 115; je mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführer werden den neuen Berufungsentscheid des Appellationsgerichts - sofern er nicht in ihrem Sinne ausfällt - mit Beschwerde in Strafsachen beim Bundesgericht anfechten können. Zusammen mit dem Berufungsentscheid werden sie den Zwischenentscheid vom 19. März 2019 anfechten können, soweit sich dieser auf dessen Inhalt auswirkt (vgl. <ref-law>). Namentlich werden die Beschwerdeführer dannzumal vor Bundesgericht geltend machen können, das Appellationsgericht hätte nicht über die Berufung entscheiden dürfen, ohne die Sache zuvor an das erstinstanzliche Strafgericht zurückzuweisen. In einer allfälligen Beschwerde gegen den neuen Berufungsentscheid werden die Beschwerdeführer auch weitere, im Zusammenhang mit dem vorliegend angefochtenen Zwischenentscheid von der Vorinstanz erörterte Verfahrensfragen wieder aufwerfen können, soweit sie sich auf den Berufungsentscheid auswirken. Inwiefern den Beschwerdeführern durch den angefochtenen Zwischenentscheid vom 19. März 2019 ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von <ref-law> entstehen könnte, der auch durch einen für sie günstigen Endentscheid des Bundesgerichts nicht mehr behoben werden könnte, ist nicht ersichtlich.
3.3.2. Die Gutheissung der vorliegenden Beschwerde würde nicht sofort einen Endentscheid herbeiführen. Damit fällt auch die Variante gemäss <ref-law> ausser Betracht.
4.
Nach dem Ausgeführten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung aufzuerlegen (vgl. Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 1B_207/2019 und 1B_247/2019 werden vereinigt.
2.
Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Dezember 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Mattle