Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Verfügung ("Order") vom 28. Oktober 2013 erklärte der Eastern Caribbean Supreme Court, High Court of Justice Antigua and Barbuda, die Eröffnung des Konkurses ("winding up") über die Bank B._ in Liquidation mit Sitz in U._, Antigua, und setzte Konkursliquidatoren ein. Mit Verfügung ("Order") vom 21. März 2014 wurden die bisherigen Liquidatoren der Bank B._ in Liquidation ersetzt.
A.b. Mit Eingabe vom 8. September 2014 beantragte die Bank B._ in Liquidation, handelnd durch ihre Liquidatoren, bei der Eidgenössischen Finanzmarktaufsicht (FINMA), der Entscheid betreffend das "winding up" der Beschwerdegegnerin sei für das Gebiet der Schweizerischen Eidgenossenschaft anzuerkennen (Anerkennung des ausländischen Konkursdekrets). Ferner beantragte sie, ihr in der Schweiz belegenes Vermögen sei nach Art. 37g Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 8. November 1934 über die Banken und Sparkassen (Bankengesetz, BankG; SR 952.0) ohne Durchführung eines inländischen Verfahrens der ausländischen Insolvenzmasse zur Verfügung zu stellen und die Konkursverwalter seien zu ermächtigen, die in der Schweiz belegenen Vermögenswerte selbst einzufordern. Die Bank B._ in Liquidation verfüge über Kontoguthaben bei vier Banken in der Schweiz, unter anderem bei der A._ SA.
A.c. Die FINMA ordnete mit Verfügung vom 27. August 2015 an, dass (a) die Entscheide des Eastern Caribbean Supreme Court, High Court of Justice Antigua and Barbuda, vom 28. Oktober 2013 betreffend das "winding up" der Bank B._ in Liquidation sowie vom 21. März 2014 betreffend den Ersatz der Liquidatoren mit Wirkung für die Schweiz anerkannt würden, (b) das Verfahren nach <ref-law> durchgeführt werde und (c) die Bank B._ in Liquidation, handelnd durch ihre jeweiligen zeichnungsberechtigten Liquidatoren, ermächtigt werde, ihre Konto- und Depotguthaben unter anderem gegenüber der A._ SA geltend zu machen.
Das Bundesverwaltungsgericht hob mit Urteil vom 6. Mai 2016 die Verfügung der FINMA insoweit auf, als damit durch diese die Durchführung des Verfahrens ohne inländischen Hilfskonkurs angeordnet wurde, ohne zuvor geprüft zu haben, ob ein solches Hilfskonkursverfahren überhaupt durchzuführen sei oder ob darauf verzichtet werden dürfe, und wies die Sache in diesem Punkt zu weiteren Sachverhaltsabklärungen und zu neuem Entscheid an die FINMA zurück.
A.d. Mit Verfügung vom 19. September 2017 ordnete die FINMA in Hinblick auf die in der Schweiz belegenen Vermögenswerte der Bank B._ in Liquidation die Durchführung eines Verfahrens nach <ref-law> an. Zugleich ermächtigte die FINMA die Bank B._ in Liquidation, ihre Konto- und Depotguthaben unter anderem gegenüber der A._ SA geltend zu machen.
B.
Eine seitens der A._ SA gegen die Verfügung vom 19. September 2017 erhobene Beschwerde wurde vom Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 10. Mai 2019 abgewiesen.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 13. Juni 2019 beantragt die A._ SA, unter Aufhebung des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts vom 10. Mai 2019 sei die FINMA anzuweisen, in Bezug auf die Bank B._ in Liquidation ein Hilfskonkursverfahren (bzw. Anschlusskonkursverfahren) in der Schweiz zu eröffnen. Eventualiter stellt die A._ SA das Begehren, die Sache sei zum Neuentscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Mit Präsidialverfügung vom 12. Juli 2019 wies das Bundesgericht ein mit der Beschwerde gestelltes Gesuch um aufschiebende Wirkung ab, soweit es nicht gegenstandslos war.
Die Bank B._ in Liquidation beantragt in ihrer Beschwerdeantwort, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die FINMA stellt vernehmlassungsweise das Begehren, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten und eventualiter seien die in der Sache gestellten Anträge der A._ SA abzuweisen. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf Vernehmlassung.
Die A._ SA, die Bank B._ in Liquidation und die FINMA halten im Rahmen des zweiten Schriftenwechsels an ihren Begehren fest. Mit Triplik bekräftigt die A._ SA ihre Anträge.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit von Amtes wegen (<ref-law>).
2.
Gegen Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts ist grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig (<ref-law>). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet der internationalen Amtshilfe, mit Ausnahme der Amtshilfe in Steuersachen (<ref-law>; zu den Zulässigkeitsvoraussetzungen dieses Rechtsmittels bei Fällen der internationalen Amtshilfe in Steuersachen vgl. Art. 84a i.V.m. <ref-law>).
Zu klären ist vor diesem Hintergrund vorab die Frage, ob Gegenstand des angefochtenen Urteils der Vorinstanz die internationale Amtshilfe im Sinne von <ref-law> bildet.
3.
Die mit dem angefochtenen Urteil bestätigte Verfügung der FINMA steht in folgendem rechtlichen Kontext:
3.1. Voraussetzung dafür, dass eine ausländische Konkursmasse (bzw. deren Konkursverwalter) auf Vermögen in der Schweiz greifen kann, ist insbesondere, dass das ausländische Konkursdekret vorgängig anerkannt wurde (vgl. <ref-law> [geändert mit Wirkung per 1. Januar 2019 [AS 2018 3263]; <ref-ruling> E. 2 S. 572). Handelt es sich bei der konkursiten Gesellschaft um eine Bank mit Sitz im Ausland, ist gemäss <ref-law> für die Anerkennung die FINMA zuständig.
3.2. Gemäss dem bis zum 31. Dezember 2018 gültig gewesenen Recht musste, soweit es sich bei der konkursiten Gesellschaft mit Sitz im Ausland nicht um eine Bank handelte, nach der Anerkennung des ausländischen Konkursdekrets zwangsläufig ein sog. Hilfskonkurs (auch "Mini"-Konkurs oder Anschlusskonkurs genannt) betreffend das in der Schweiz befindliche Vermögen durchgeführt werden und wurden im Rahmen dieses Verfahrens einzig pfandgesicherte Forderungen sowie privilegierte Forderungen von Gläubigern mit Wohnsitz in der Schweiz, nicht jedoch privilegierte Forderungen von Gläubigern mit Wohnsitz im Ausland in den Kollokationsplan aufgenommen (vgl. <ref-law> [SR 291] und <ref-law> in der bis zum 31. Dezember 2018 gültig gewesenen Fassung [AS 1988 1776 und AS 1995 1227]; <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 173; <ref-ruling> E. 2 S. 573).
Für den Fall des Konkurses von Banken sieht <ref-law> (in der seit dem 1. September 2011 gültigen Fassung [AS 2011 3919]) vor, dass die FINMA das in der Schweiz belegene Vermögen der ausländischen Insolvenzmasse ohne Durchführung eines inländischen Verfahrens (bzw. ohne Hilfskonkurs) zur Verfügung stellen kann. Eine entsprechende Bewilligung der FINMA führt zu einem abgekürzten Verfahren. Die Bewilligung setzt nach <ref-law> voraus, dass im ausländischen (Haupt-) Verfahren die nach <ref-law> pfandgesicherten und privilegierten Forderungen von Gläubigern mit Wohnsitz in der Schweiz gleichwertig behandelt und die übrigen Forderungen von Gläubigern mit Schweizer Wohnsitz angemessen berücksichtigt werden (Art. 37g Abs. 2 Bst. a und b BankG).
Gemäss dem seit dem 1. Januar 2019 geltenden Recht kann unter bestimmten Voraussetzungen auch beim Konkurs ausländischer Nichtbanken auf die Durchführung eines Hilfskonkurses verzichtet werden (vgl. dazu Art. 174a Abs. 1-3 IPRG in der seit dem 1. Januar 2019 geltenden Fassung [AS 2018 3263]). Gegebenenfalls darf die ausländische Konkursverwaltung unter Beachtung des schweizerischen Rechts grundsätzlich alle Befugnisse ausüben, welche ihr nach dem Recht des Staates der Konkurseröffnung zustehen (vgl. <ref-law> in der seit dem 1. Januar 2019 geltenden Fassung [AS 2018 3263]).
4.
4.1. Das Bundesgericht trat mit <ref-ruling> auf eine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen einen Nichteintretensentscheid des Bundesverwaltungsgerichts nicht ein, und zwar mit der Begründung, es gehe im betreffenden Fall um internationale Amtshilfe im Sinne von <ref-law>. Ausgangsverfügung des Verfahrens bildete seinerzeit eine Verfügung der FINMA, welche einen Auflösungsplan zu einer Bank betraf, welche infolge Verdachts auf Geldwäscherei durch die andorranische Bankenaufsichtsbehörde geführt wurde. Dieser Bankauflösungsplan sah vor, dass eine Auffanggesellschaft gegründet wird, welche die unproblematischen Kunden übernimmt. Mit ihrer Verfügung anerkannte die FINMA den von der ausländischen Aufsichtsbehörde genehmigten Auflösungsplan und erteilte dieser Behörde die Befugnis, Vermögenswerte der Bank von einer Schweizer Bank herauszuverlangen.
4.2. Im erwähnten Urteil führte das Bundesgericht aus, dass der konkrete Fall die internationale Hilfe ("entraide internationale") betreffe (<ref-ruling> E. 3.2 S. 172 ff.). Zur Begründung erklärte das Bundesgericht insbesondere, aus funktioneller Sicht unterscheide sich das Verfahren der Anerkennung des Bankauflösungsplanes nicht in grundsätzlicher Weise von einem ordentlichen Verfahren der Anerkennung eines ausländischen Konkursdekrets. Für die ausländische Behörde, welche den Auflösungsplan angenommen habe, gehe es darum, die Vermögenswerte, welche die aufzulösende Bank bei der Schweizer Bank deponiert habe, zurückfordern zu können, um zur Sanierung schreiten und schliesslich mit der Liquidation der Bank eine ihr staatlich übertragene öffentliche Aufgabe zu erfüllen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 3.2.3 S. 173). Weil die FINMA die andorranische Behörde dazu ermächtigt habe, ihren Bankauflösungsplan in der Schweiz auszuführen, liege ein Akt der internationalen Hilfe zwischen zwei Behörden unterschiedlicher Staaten vor (<ref-ruling> E. 3.2.4 S. 173 f.). Der Annahme einer solchen Hilfeleistung stehe nicht entgegen, dass die FINMA im konkreten Fall weder einen Anschlusskonkurs eröffnet noch ein Anschlusskonkursverfahren durchgeführt habe. Denn eine internationale Hilfe könne auch darin bestehen, einer ausländischen Behörde die Ermächtigung zu erteilen, in der Schweiz Handlungen vorzunehmen (<ref-ruling> E. 3.2.4 S. 174).
4.3. Das Bundesgericht prüfte in <ref-ruling> in einem zweiten Schritt, ob die in Frage stehende internationale Hilfe im Sinne von <ref-law> verwaltungsrechtlicher Natur (Amtshilfe) ist. Es führte dazu aus, die FINMA habe von ihrer Anerkennungszuständigkeit in <ref-law> Gebrauch gemacht und unter Berufung auf <ref-law> die ausländische Aufsichtsbehörde ermächtigt, die Vermögenswerte bei der Schweizer Bank ohne Anschlusskonkursverfahren direkt einzufordern (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.1 S. 174 f.). Es handle sich damit bei der entsprechenden Verfügung der FINMA um eine Hilfeleistung verwaltungsrechtlicher Art, welche im öffentlichen Recht der Schweiz bzw. in <ref-law> geregelt sei. Der schweizerische Gesetzgeber habe bezeichnenderweise ebenso wie derjenige von Andorra der Finanzmarktaufsichtsbehörde die Aufgabe anvertraut, auf der Basis spezialgesetzlicher Normen des öffentlichen Rechts über den Bankenkonkurs sowie über Massnahmen im Fall der Insolvenzgefahr von Banken zu befinden; namentlich habe der Gesetzgeber der FINMA die Aufgabe übertragen, über die Anerkennung ausländischer Konkursdekrete und ähnlicher ausländischer Massnahmen zu entscheiden (<ref-ruling> E. 3.3.2 S. 175).
5.
5.1. Die Beschwerdegegnerin wurde nach den bindenden Feststellungen der Vorinstanz (vgl. <ref-law>) bereits im Februar 2009 von der Bankenaufsichtsbehörde von Antigua und Barbuda, der Bank C._, übernommen. Insofern ist der Sachverhalt grundsätzlich ähnlich gelagert wie bei der andorrandischen Bank in <ref-ruling>, die zum massgebenden Zeitpunkt von der ausländischen Aufsichtsbehörde geführt wurde. Ebenso wie bei der andorranischen Bank wurde sodann nach der Übernahme der Bank durch die Aufsichtsbehörde eine Auffanggesellschaft zur Übertragung eines Teils der Geschäfte gegründet (es handelt sich vorliegend um die Bank D._, welche im Eigentum des Staates Antigua und Barbuda sowie verschiedener karibischer Zentralbanken war).
Vor diesem Hintergrund drängt es sich auf, zur Beantwortung der Frage, ob Gegenstand des angefochtenen Urteils der Vorinstanz die internationale Amtshilfe im Sinne von <ref-law> bildet (vgl. E. 2 hiervor), <ref-ruling> sinngemäss heranzuziehen.
5.2. Entsprechend <ref-ruling> ist zunächst zu klären, ob eine internationale Hilfeleistung der FINMA an eine ausländische Behörde vorliegt.
5.2.1. Zwar wurde das Gesuch um Bewilligung des Verfahrens nach <ref-law> nach der Einstellung der Geschäftstätigkeit der Beschwerdegegnerin durch die gerichtlich eingesetzten Liquidatoren der Beschwerdegegnerin (statt wie in <ref-ruling> durch die ausländische Bankenaufsichtsbehörde) gestellt. Auch hat die FINMA vorliegend (formell) die Beschwerdegegnerin (bzw. deren Liquidatoren) und nicht wie bei <ref-ruling> eine ausländische Behörde gestützt auf <ref-law> dazu ermächtigt, Vermögensansprüche gegenüber einer Schweizer Bank (vorliegend der Beschwerdeführerin) geltend zu machen. Gleichwohl ist beim hier zu beurteilenden Fall von einer internationalen Hilfeleistung zugunsten einer ausländischen Behörde auszugehen:
Die Erteilung der Bewilligung zur Durchführung des abgekürzten Verfahrens kam der ausländischen Bankenkonkursmasse zugute, welche von den vom ausländischen Staat eingesetzten Liquidatoren vertreten ist. Mit der auf Begehren dieser Liquidatoren hin erfolgten Bewilligungserteilung wurde diesen die Erfüllung der ihnen übertragenen öffentlichen Aufgabe der Liquidation der Bank erleichtert. Aufgrund des letzteren Umstandes ist mit Blick auf die in <ref-ruling> E. 3.2 S. 172 ff. zum Ausdruck kommenden Wertungen, an welchen festzuhalten ist, von einer Hilfeleistung zugunsten einer ausländischen Behörde auszugehen (vgl. auch IVO SCHWANDER, Auszüge aus Bundesgerichtsentscheidungen zum Zivilprozessrecht und zum SchKG, ZZZ 2019 S. 277 ff., S. 280, wonach es im Fall der andorranischen Bank für das Vorliegen einer Hilfeleistung an die ausländische Behörde nicht relevant sei, ob der Herausgabe- und Forderungsanspruch in der Schweiz entsprechend dem ausländischen Sanierungsplan statt von der ausländischen Aufsichtsbehörde direkt von der Auffanggesellschaft durchgesetzt werden kann).
5.2.2. Der hier gezogene Schluss rechtfertigt sich umso mehr, als die vom ausländischen Gericht eingesetzten Liquidatoren als in das öffentlich-rechtliche, zunächst durch die Bank C._ angestossene Bankabwicklungsverfahren eingebundene Organe zu betrachten sind. Dafür spricht, dass die dem Konkurs der Beschwerdegegnerin vorangegangene aufsichtsrechtliche Übernahme und die aufsichtsrechtliche Gründung der Auffanggesellschaft nach den Feststellungen der Vorinstanz aufgrund des Konkurses der zur gleichen Gruppe wie die Beschwerdegegnerin zählenden, wegen Betrugs unter Zwangsverwaltung gestellten Bank E._ erfolgten. Die aufsichtsrechtlichen Massnahmen der Bank F._, welche die Struktur der Beschwerdegegnerin grundlegend änderten, hängen damit nicht nur mit der vorangegangenen Eröffnung des Konkurses über die Bank E._, sondern auch mit dem späteren Konkurs der Beschwerdegegnerin eng zusammen. Folglich ist das die Beschwerdegegnerin betreffende Konkursverfahren sachlich dem ausländischen aufsichtsrechtlichen Bankabwicklungsverfahren zuzuordnen und müssen die gerichtlich eingesetzten Liquidatoren der Beschwerdegegnerin im internationalen Verhältnis funktionell als Behörden betrachtet werden (aufgrund dieser Einbindung in das aufsichtsrechtliche Bankabwicklungsverfahren nicht relevant ist vorliegend entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin, dass die Liquidatoren als solche formell betrachtet aus der schweizerischen Optik nicht als Verwaltungsbehörden erscheinen [vgl. zum Begriff der Verwaltungsbehörde <ref-law>; SR 172.021]). Dabei bleibt es auch bei Berücksichtigung der Tatsache, dass der Konkurs über die Beschwerdegegnerin seinerzeit aufgrund eines Gesuches der Liquidatoren der Bank E._ und nicht gestützt auf ein Gesuch der Bankenaufsichtsbehörde (Bank C._) erklärt wurde.
5.2.3. Mit Blick auf das Ausgeführte ist auch unter Berücksichtigung des von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Umstandes, dass die Verfügung der FINMA letztlich primär der Konkursmasse und damit den Gläubigern der Beschwerdegegnerin zugute kommt, von einer Hilfeleistung an eine ausländische Behörde auszugehen.
5.3. Die in Frage stehende internationale Hilfeleistung der FINMA ist ohne Weiteres eine solche verwaltungsrechtlicher Art, wurde die entsprechende Verfügung doch wie im Fall der andorranischen Bank im Rahmen eines öffentlich-rechtlichen Verfahrens der Schweiz gestützt auf <ref-law> erlassen. Die Hilfeleistung wäre vorliegend selbst dann als verwaltungsrechtlich zu qualifizieren, wenn in Antigua und Barbuda die Kompetenzen der Bankenaufsichtsbehörde - anders als bei der andorranischen Aufsichtsbehörde in <ref-ruling> - im Bereich von Bankkonkursen weniger weit reichen sollten als diejenigen der FINMA. Denn aus <ref-law> ergibt sich nicht, dass für die Bestimmung der massgebenden Rechtsnatur einer internationalen Hilfeleistung in erster Linie auf das ausländische Recht abzustellen wäre.
5.4. Es erweist sich nach dem Gesagten, dass die streitbetroffene Angelegenheit die internationale Amtshilfe im Sinne von <ref-law> betrifft. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit ausgeschlossen.
Entgegen der Beschwerdeführerin kann am hier gezogenen Schluss nichts ändern, dass das Bundesgericht in seinem Urteil 2C_237/2009 vom 28. September 2009 (in E. 1.1) erklärte, gegen finanzmarktrechtliche Aufsichts-, Liquidations- und Konkursentscheide des Bundesverwaltungsgerichts könne die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht erhoben werden. Beim entsprechenden Fall im Streit lag nämlich nicht etwa die Anerkennung eines ausländischen Konkurserkenntnisses (oder die Anerkennung der im konkreten Fall verfügten ausländischen Nachlassstundung) oder die Ermächtigung ausländischer Behörden (oder ausländischer Liquidatoren), Forderungen geltend zu machen. Vielmehr ging es um die Rechtmässigkeit einer Anordnung der FINMA, mit welcher bestimmte Vermögenswerte bei einer schweizerischen Bank direkt der Konkursmasse einer luxemburgischen Bank zugewiesen wurden und das weitere Verfahren betreffend dieser Vermögenswerte geregelt wurde. Es fehlte damit im betreffenden Fall an einem Bezug der Handlung der FINMA zu einer ausländischen Behörde, welcher eine internationale Hilfeleistung hätte begründen können.
In seinem Urteil 2C_127/2010 vom 15. Juli 2011 hat das Bundesgericht die Anwendbarkeit der Ausschlussklausel von <ref-law> mit der Begründung verneint, im konkreten Fall sei Verfahrensgegenstand "nicht die Frage, ob die Voraussetzungen gegeben waren, um den amerikanischen Behörden doppelbesteuerungsrechtlich Amtshilfe zu leisten, sondern ob die FINMA im Rahmen von aufsichtsrechtlichen Schutzmassnahmen befugt erschien, notfalls Kundendaten ins Ausland zu liefern" (E. 1.1.2 des Urteils; in <ref-ruling> nicht amtlich publiziert). Da es vorliegend unbestrittenermassen nicht um aufsichtsrechtliche Schutzmassnahmen der FINMA geht, lässt sich aus diesem Urteil entgegen der Beschwerdeführerin nichts ableiten, was für die Zulässigkeit ihrer Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten spräche.
6.
Die hängige Beschwerde lässt sich auch nicht als Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>) entgegennehmen, da der Gesetzgeber mit Art. 37g Abs. 1 und 2 BankG die Thematik von Konkursen ausländischer Banken (soweit vorliegend relevant) einem öffentlich-rechtlichen Spezialregime unterstellt hat und das angefochtene Urteil damit weder als Entscheid auf dem Gebiet des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts noch als gestützt auf öffentlich-rechtliche Vorschriften erlassener Entscheid in einer mit dem Zivilrecht zusammenhängenden Materie betrachtet werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 176, mit weiteren Hinweisen; kritisch dazu SCHWANDER, a.a.O., S. 280).
Die Eingabe der Beschwerdeführerin lässt sich schliesslich auch nicht als subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) materiell behandeln, da dieses Rechtsmittel gegen Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts ausgeschlossen ist (<ref-law> e contrario).
7.
Nach dem Gesagten ist auf die vorliegende Beschwerde nicht einzutreten.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Sie hat der obsiegenden Beschwerdegegnerin eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Der FINMA ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 12'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 12'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Januar 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: König