Fatti:
A.
Con petizione del 9 aprile 2020 inoltrata alla Pretura competente, D._ ha chiesto la condanna della Repubblica e Cantone Ticino al pagamento a titolo di risarcimento:
"di tutti i danni morali, esistenziali, patrimoniali e non patrimoniali patiti e patiendi di fr. 50'000.-- per la misura di allontanamento e di fr. 16'590.-- annui a titolo di perdita economica per mancata corresponsione all'estero della pensione di reversibilità del marito dell'attrice corrispondente a fr. 1'185.-- mensili e tredicesima mensilità sulla pensione dell'attrice e di reversibilità del marito, sino all'ottenimento di un nuovo permesso... oltre interessi maturati al 10 % dal dovuto al saldo del giorno in cui si è verificato l'evento dannoso (misura di allontanamento) sino all'effettivo soddisfo e rivalutazione monetaria".
La domanda faceva seguito alla revoca/al mancato rilascio di un permesso di soggiorno in Svizzera e alla successiva misura di allontanamento adottata dalle autorità migratorie ticinesi nel giugno 2018.
B.
R ilevato che la causa non presentava possibilità di esito favorevole, con decisione del 30 settembre 2020 il Pretore aggiunto ha respinto l'istanza di gratuito patrocinio presentata contestualmente al gravame. Su reclamo, il diniego decretato in prima istanza è stato tutelato anche dal Presidente della III Camera civile del Tribunale di appello, il quale ha nel contempo respinto la richiesta di gratuito patrocinio formulata col reclamo medesimo (11 gennaio 2021).
C.
Il 15 febbraio 2021, D._ ha impugnato la pronuncia di quest'ultimo davanti al Tribunale federale chiedendo che, in riforma della stessa, venga concesso il gratuito patrocinio sia in prima che in seconda istanza cantonale. Domanda inoltre l'assistenza giudiziaria anche in sede federale e il conferimento dell'effetto sospensivo al gravame. Non sono stati ordinati atti istruttori.

Diritto:
1.
1.1. Basandosi sull'indicazione dei rimedi giuridici contenuta nella sentenza impugnata, la ricorrente è insorta davanti al Tribunale federale facendo riferimento alle norme valide per il ricorso in materia civile.
Siccome la causa ha quale oggetto una richiesta di risarcimento di fr. 50'000.-- oltre accessori che si fonda sulla legge ticinese del 24 ottobre 1988 sulla responsabilità civile degli enti pubblici e degli agenti pubblici (LResp/TI; RL/TI 166.100) e la stessa non riguarda pretese risultanti dall'attività medica, per le quali la via del ricorso in materia civile è eccezionalmente aperta, occorre tuttavia rilevare che il giudizio reso dalla III Camera civile del Tribunale di appello va impugnato con ricorso in materia di diritto pubblico (art. 82 lett. a in relazione con l'<ref-law> [valore litigioso minimo di fr. 30'000.--]; art. 30 cpv. 1 lett. c cifra 1 e 31 cpv. 1 lett. d del regolamento del Tribunale federale del 20 novembre 2006 [RTF; RS 173.110.131]; sentenza 2C_241/2015 del 3 luglio 2015 consid. 1.1).
1.2. Tempestivo e presentato da persona legittimata a ricorrere (<ref-law>), contro una decisione incidentale resa da un'autorità giudiziaria cantonale di ultima istanza (art. 86 cpv. 1 lett. d LTF) con cui viene respinta un'istanza di assistenza giudiziaria e perciò atta a causare un pregiudizio irreparabile (<ref-law>; sentenza 2C_236/2018 del 5 aprile 2018 consid. 1.2), il gravame va quindi esaminato quale ricorso ex art. 82 segg. LTF.
Nella misura in cui l'allegato ricorsuale rispetta le esigenze formali del tipo di ricorso di per sé esperibile, l'errato rinvio alle norme relative al ricorso in materia civile non comporta in effetti nessun pregiudizio per la parte ricorrente (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 3.1).
2.
2.1. Il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto federale (<ref-law>); nondimeno, tenuto conto dell'onere di allegazione e motivazione posto dalla legge (art. 42 cpv. 1 e 2 LTF), si confronta di regola solo con le censure sollevate. Nell'atto di ricorso occorre pertanto spiegare in modo conciso in cosa consiste la lesione del diritto e su quali punti il giudizio contestato viene impugnato (<ref-ruling> consid. 2.1). Esigenze più severe valgono invece in relazione alla violazione di diritti fondamentali; simili critiche vengono infatti trattate unicamente se sono state motivate in modo circostanziato ed esaustivo mentre, in caso contrario, esse non possono essere prese in considerazione (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4.2).
2.2. Quando, come nella fattispecie, il legislatore cantonale sottopone una pretesa di diritto pubblico ai tribunali civili e questi ultimi esaminano la causa applicando il Codice di diritto processuale civile svizzero del 19 dicembre 2008 (CPC; RS 272), il diritto federale è applicato a titolo di diritto cantonale suppletivo (sentenza 2C_241/2015 del 3 luglio 2015 consid. 2.2 con rinvii). Considerato che, fatta eccezione per i casi citati dall'<ref-law>, non è possibile far valere la violazione del diritto cantonale in quanto tale, anche chi intende formulare una critica relativa a disposti che rientrano nella categoria del diritto cantonale suppletivo deve quindi dimostrare, con motivazione conforme all'<ref-law>, una violazione di un diritto costituzionale (<ref-ruling> consid. 2.3; sentenza 2C_241/2015 del 3 luglio 2015 consid. 2.2).
3.
3.1. Richiamato l'<ref-law>, in forza del quale il gratuito patrocinio è escluso se la domanda appare priva di probabilità di successo, il Presidente della III Camera civile del Tribunale di appello indica che il Pretore aggiunto ha respinto l'istanza di assistenza giudiziaria dopo avere constatato: (a) che le richieste di risarcimento di D._ erano fondate sulla LResp/TI e conseguenti all'ordine di allontanamento pronunciato il 22 giugno 2018 dall'Ufficio ticinese della migrazione; (b) che questo ordine era a sua volta conseguente alla sentenza 2C_205/2017 del 12 giugno 2018 del Tribunale federale, confermata con sentenza 2F_12/2018 del 10 agosto successivo, con la quale l'ultima istanza federale aveva constatato la liceità della revoca del permesso di soggiorno di D._ pronunciata dalle autorità ticinesi; (c) che il compito dell'Ufficio della migrazione di rendere esecutiva la sentenza 2C_205/2017 risulta dall'art. 2 cpv. 1 lett. h del regolamento della legge cantonale d'applicazione alla legislazione federale in materia di persone straniere (RLALPS/TI; RL/TI 143.110); (d) che, in un simile contesto, la fissazione di un termine di partenza è corretto e l'allontanamento non può essere considerato illegale.
3.2. Detto ciò, osserva: (a) che D._ sostiene che non poteva essere allontanata dalla Svizzera in considerazione del fatto che la sentenza 2C_205/2017 non aveva esaminato la sua situazione pensionistica e previdenziale; (b) che la stessa si lamenta anche del fatto che il Pretore aggiunto non abbia considerato che detta questione non è mai stata esaminata neanche dall'Ufficio della migrazione; (c) che va tuttavia rammentato come, con sentenza del 12 giugno 2018, il Tribunale federale ha statuito in via definitiva che la revoca del permesso di soggiorno decisa in prima istanza era giustificata; (d) che mal si comprende quindi come, ponendo in esecuzione tale sentenza, le autorità migratorie possano aver commesso un atto illecito, per il quale il Cantone Ticino sia tenuto a rispondere in base alla LResp/TI.
3.3. Confermato che la causa pendente davanti alla Pretura di Bellinzona appariva effettivamente priva di possibilità di esito favorevole, il Presidente della III Camera civile del Tribunale di appello: (a) respinge d'altra parte anche le critiche in merito alla mancata nomina, sempre in prima istanza, di un patrocinatore d'ufficio (poiché la designazione di un patrocinatore d'ufficio in applicazione degli art. 117 e 118 CPC presuppone che siano dati i requisiti per beneficiare del gratuito patrocinio); (b) nega, sempre in assenza di probabilità di esito favorevole (<ref-law>), la concessione del gratuito patrocinio pure in sede di appello, ponendo le spese a carico della reclamante.
4.
4.1. Come visto, il diniego dell'assistenza giudiziaria - dapprima, da parte del Pretore aggiunto; in seguito, da parte del Presidente della III Camera civile del Tribunale di appello - si basa sull'<ref-law>, in forza del quale il gratuito patrocinio è (tra l'altro) escluso se la domanda appare priva di probabilità di successo. Preso atto dei contenuti della decisione impugnata, si pone quindi la questione dell'esistenza delle probabilità di successo e, in questo contesto, dell'eventuale applicazione incostituzionale dei disposti di diritto cantonale suppletivo su cui le autorità ticinesi si sono basate per negare tale probabilità (sentenza 2C_943/2019 del 22 novembre 2019 consid. 2).
Nell'esame "prima facie" che l'autorità competente è chiamata a svolgere per valutare l'esistenza di sufficienti probabilità di successo, essa dispone di un potere di apprezzamento sul quale il Tribunale federale interviene con riserbo, e segnatamente quando: l'istanza inferiore si è scostata da principi riconosciuti; ha tenuto conto di aspetti che non giocavano alcun ruolo; oppure ha tralasciato di esaminarne altri, che avrebbe dovuto considerare (sentenze 2C_236/2018 del 5 aprile 2018 consid. 2.2 e 2C_61/2018 del 26 marzo 2018 consid. 2.2). La valutazione delle probabilità di successo, in base al diritto applicabile, si fonda sulle circostanze al momento del deposito della domanda d'assistenza ed ha luogo in modo sommario (<ref-ruling> consid. 2.2 pag. 476 seg.; <ref-ruling> consid. 2.2.4, pag. 218).
4.2. Nel lungo ricorso interposto davanti al Tribunale federale contro la decisione su reclamo dell'11 gennaio 2021, l'insorgente non dimostra tuttavia né che la Corte cantonale abbia contravvenuto ai principi appena indicati né che la stessa abbia leso le numerose norme di rango costituzionale che, in violazione dell'<ref-law>, vengono in sostanza soltanto menzionate nel ricorso, di modo che il giudizio qui impugnato va confermato.
4.2.1. Innanzitutto, dev'essere in effetti rilevato che - siccome l'insorgente non li mette in discussione, con una motivazione conforme all'<ref-law>, che ne dimostri un accertamento rispettivamente un apprezzamento arbitrario - i fatti che emergono dalla querelata sentenza vincolano il Tribunale federale anche nel caso concreto (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2; 133 Il 249 consid. 1.2.2; sentenza 2C_772/2020 del 30 ottobre 2020 consid. 2.2, dalla quale risulta che anche aggiunte e precisazioni formulate liberamente nel testo non possono essere prese in considerazione).
Detto ciò, va poi osservato che - in base a tali fatti e prove - nemmeno può essere rimproverato al Presidente della III Camera civile del Tribunale di appello di avere concluso che, in assenza di probabilità di esito favorevole, la decisione del Pretore aggiunto andasse condivisa.
4.2.2. L'atto illecito ravvisato nell'impugnativa in relazione all'allontanamento pronunciato il 22 giugno 2018 dalle autorità migratorie ticinesi consisterebbe infatti - secondo quanto indicato dall'insorgente medesima - nell'esclusiva verifica di un eventuale diritto di soggiorno nell'ottica dell'accordo sulla libera circolazione delle persone, invece che (anche) nell'ottica del diritto interno quindi, in questo stesso contesto, nella mancata presa di posizione sulla sua situazione previdenziale. Così argomentando - senza per altro riferirsi al diritto in concreto applicabile nel merito, ovvero alla LResp/TI, se non di sfuggita - non considera tuttavia:
(a) che contro una misura di allontanamento presa dopo la pronuncia di una revoca o di un diniego del rinnovo di un permesso di soggiorno cresciuti in giudicato, critiche che attengono ancora alla questione del diritto a un simile permesso, che hanno potuto essere presentate ed esaminate già in precedenza davanti a più istanze, non sono più lecite (<ref-ruling> consid. 1.1; sentenza 2C_990/2017 del 6 agosto 2018 consid. 1.6 con rinvii; UEBERSAX/PETRY/HRUSCHKA/FREI/ERRASS, Migrationsrecht in a Nutshell, 2021, ad 4/a/aa pag. 186);
(b) che, nella citata sentenza 2C_205/2017 del 12 giugno 2018, il Tribunale federale ha esaminato la questione del diritto al soggiorno in Svizzera nell'ottica dell'accordo sulla libera circolazione delle persone nella misura in cui lo stesso era più favorevole alla ricorrente (<ref-law>), applicando per il resto anche il diritto interno (consid. 9 con riferimento all'art. 96 LStr, che impone un esame della proporzionalità e che ha quindi condotto anche il Tribunale federale a una ponderazione dei vari aspetti in discussione);
(c) che richieste relative ad altre tipologie di permessi rispettivamente a nuove situazioni andavano/vanno formulate davanti alle istanze cantonali preposte, come per altro la ricorrente mostra di sapere (sentenza 2C_926/2020 dell'8 dicembre 2020 consid. 1.2, relativa all'insorgente medesima la quale, dopo essersi vista negare "in via definitiva" il diritto a un permesso di soggiorno con la sentenza 2C_205/2017 e fissare un termine per lasciare la Svizzera, non ha in realtà lasciato il territorio elvetico ma ha di nuovo - anche se invano - percorso ogni grado di giudizio: tra le altre cose, per chiedere alle autorità migratorie un permesso quale "caso di rigore", oltre che per reiterare la denuncia di una mancata coordinazione a livello di regimi di sicurezza sociale, cui si richiama in relazione alla pretesa di risarcimento);
(d) che neppure è possibile dire che l'allontanamento sia stato messo in atto per non consentire all'insorgente una parità di trattamento con i pensionati AVS, perché questo provvedimento è stato preso in ragione del fatto che la stessa non disponeva più del permesso di soggiorno necessario, così come confermato anche in ultima istanza federale con la già più volte citata sentenza 2C_205/2017 (in relazione alla quale è stata poi presentata sia una domanda di revisione [respinta, nella misura in cui fosse ammissibile, con sentenza 2F_12/2018 del 10 agosto 2018] sia un'azione di risarcimento danni in base alla legge federale sulla responsabilità della Confederazione, dei membri delle autorità federali e dei funzionari federali [LResp; RS 170.32; dichiarata manifestamente inammissibile con sentenza 2E_1/2020 del 13 febbraio 2020]).
4.3. Detto della valutazione svolta dal Pretore aggiunto rispettivamente della correttezza della sua conferma in sede di reclamo, occorre d'altra parte rilevare che corrette sono anche le argomentazioni riassunte nel precedente considerando 3.3, che vengono contestate soltanto in modo generico e quindi senza addurre critiche sulle quali occorra qui soffermarsi in modo specifico.
5.
Per quanto precede, il ricorso è respinto. L'istanza di assistenza giudiziaria in sede federale non può essere accolta siccome il gravame doveva apparire sin dall'inizio come privo di probabilità di successo ( <ref-law>). Le spese giudiziarie seguono quindi la soccombenza (<ref-law>); non sono assegnate ripetibili (<ref-law>). Con la pronuncia di questo giudizio, la domanda di conferimento dell'effetto sospensivo al gravame diviene priva di oggetto.

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è respinto.
2.
La domanda di assistenza giudiziaria è respinta.
3.
Le spese giudiziarie di fr. 1'000.-- sono poste a carico della ricorrente.
4.
Comunicazione alla ricorrente, alla Repubblica e Stato del Cantone Ticino, nonché alla III Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino.