Sachverhalt:
A.
A.a. B.A._ und A.A._ (beide deutsche Staatsangehörige) hatten am 1. Dezember 2006 in U._ (Deutschland) geheiratet. Sie sind die Eltern von C.A._ (geb. 15. Mai 2005). Seit Anfang Juni 2010 lebten die Eheleute getrennt. Mit Urteil vom 6. Dezember 2011 schied das Amtsgericht Konstanz (Deutschland) die Ehe. Neben dem Scheidungspunkt regelte dieses Urteil lediglich die interne Teilung der Deutschen Rentenversicherung sowie die Verfahrenskosten.
A.b. Mit Beschluss vom 15. Februar 2011 genehmigte das Amtsgericht eine gerichtliche Vereinbarung der Parteien, wonach C.A._ derzeit überwiegend beim Vater lebe und sich die Mutter verpflichtete, ihre Arbeitsverträge so zu gestalten, dass sie regelmässigen Umgang mit C.A._ pflegen könne. Ausserdem regelten die Parteien in der Vereinbarung das Besuchs- und Ferienrecht zwischen Mutter und Sohn.
B.
B.a. Gestützt auf die Klagebewilligung des Friedensrichteramts Kreuzlingen vom 3. November 2015 reichte C.A._, vertreten durch seinen Vater, am 16./17. November 2015 beim Bezirksgericht Kreuzlingen gegen seine Mutter eine Unterhaltsklage ein. Er beantragte, A.A._ ab Juli 2015 bis zum Abschluss seiner Erstausbildung, mindestens aber bis zur Vollendung seines 16. Lebensjahres zu monatlichen Zahlungen von Fr. 437.-- zu verurteilen. Ausserdem forderte er Fr. 9'177.-- Unterhalt für die letzten 21 Monate seit dem Umzug in die Schweiz, zuzüglich 5% Zins ab Rechtskraft des Entscheids.
B.b. In der Folge verständigten sich die Parteien darauf, das Verfahren als Prozess betreffend die Abänderung oder Ergänzung des Scheidungsurteils mit B.A._ als Kläger weiterzuführen. Mit Entscheid vom 19. September 2016 ergänzte das Bezirksgericht das Scheidungsurteil des Amtsgerichts Konstanz (Bst. A.a). Es verpflichtete A.A._, an C.A._s Unterhalt ab 1. Januar 2017 monatliche vorauszahlbare Unterhaltsbeiträge von Fr. 250.-- zuzüglich allfälliger Kinderzulagen und ab 1. Juni 2019 solche von Fr. 300.-- zu bezahlen.
B.c. Erfolglos wandte sich A.A._ an das Obergericht des Kantons Thurgau. Dieses erklärte ihre Berufung für unbegründet und bestätigte den erstinstanzlichen Entscheid. Der Entscheid des Obergerichts datiert vom 19. Januar 2017. Am 31. Mai 2017 wurde er zur Zustellung an die Parteien der Post übergeben.
C.
Mit Beschwerde vom 3. Juli 2017 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, den obergerichtlichen Entscheid aufzuheben und die Klage abzuweisen. Für das hiesige Verfahren ersucht die Beschwerdeführerin überdies um unentgeltliche Rechtspflege. Dazu eingeladen, zur Beschwerde Stellung zu nehmen, reichte B.A._ (Beschwerdegegner) am 3. April 2018 (Datum der Postaufgabe) ein Schreiben ein, in welchem er seine Sicht der Dinge schildert und sein Bedauern über das Verhalten der Beschwerdeführerin äussert, ohne jedoch ein Begehren zum Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens zu formulieren. Das Obergericht erklärt, auf eine Vernehmlassung zu verzichten (Schreiben vom 29. März 2018).

Erwägungen:
1.
Angefochten ist binnen Frist der Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als Rechtsmittelbehörde über die Leistung von Kinderalimenten, also über eine Zivilsache vermögensrechtlicher Natur entschieden hat (Art. 72 Abs. 1, 75, 90, 100 Abs. 1 BGG). Die gesetzliche Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG) ist erreicht. Die Beschwerde in Zivilsachen ist zulässig. Für die subsidiär erhobene Verfassungsbeschwerde bleibt kein Raum (<ref-law>).
2.
Der Streit dreht sich um die Frage, ob der in Deutschland wohnhaften Beschwerdeführerin mit Blick auf die Bemessung des Kindesunterhalts für eine vollzeitliche Erwerbstätigkeit ein hypothetisches Einkommen von Fr. 1'400.-- netto anzurechnen ist.
Das Obergericht stellt fest, dass die Beschwerdeführerin an ihrer aktuellen Stelle im "D._" ihres Lebenspartners nur formal das ganze Jahr hindurch angestellt sei. Laut ihren eigenen Aussagen sei sie lediglich während der Hauptsaison von April bis September/Oktober zu hundert Prozent beschäftigt; in der übrigen Zeit gebe es saisonal bedingt praktisch keine Arbeit. Die Vorinstanz folgert daraus, dass das Arbeitspensum der Beschwerdeführerin aufs Jahr gerechnet nur wenig mehr als fünfzig Prozent betrage. Weshalb die Beschwerdeführerin unter den gegebenen Umständen nicht einem tatsächlichen Vollzeiterwerb nachgehen können sollte, sei nicht einzusehen. Um einen angemessenen Unterhalt für ihren Sohn zu bezahlen, sei ihr ein Stellenwechsel "nicht nur zumutbar, sondern geradezu Pflicht". Daran ändere auch die Anstellung im Geschäft des Lebenspartners nichts, sei es ihr doch freigestellt, ihre Arbeitskraft in den Wintermonaten anderweitig zu verwerten und eine saisonale Stelle anzutreten. Was die konkrete Festsetzung des hypothetischen Nettoeinkommens angeht, berücksichtigt das Obergericht, dass die 39-jährige Beschwerdeführerin über keinen Berufsabschluss verfüge, nach C.A._s Geburt nicht im Teilzeitpensum an ihre Anstellung in einem Tierheim habe zurückkehren können, von 2008 bis 2014 arbeitslos gewesen sei und am 1. Februar 2015 ihre gegenwärtige Stelle angetreten habe. Angesichts dessen könne entgegen der erstinstanzlichen Beurteilung nicht der Lohn einer Büromitarbeiterin mit einer Berufserfahrung von 17.5 Jahren oder einer Verkäuferin mit einer Berufserfahrung von 13.6 Jahren zum Vergleich herangezogen werden.
Um die Höhe des hypothetischen Einkommens zu ermitteln, bezieht sich das Obergericht in der Folge auf die in Deutschland durch die Statistischen Ämter des Bundes und der Länder durchgeführte Vierteljährliche Verdiensterhebung (VVE). Für das Bundesland Baden-Württemberg ergebe sich für die (unterste) Leistungsgruppe 5 ein Mindesteinkommen von monatlich rund EUR 2'000.-- brutto. Im Gesundheitswesen, wo die Beschwerdeführerin einerseits über Arbeitserfahrung verfüge und anderseits immer ein Bedarf an Arbeitskräften bestehe, hätten Arbeitnehmerinnen der Leistungsgruppe 5 in Baden-Württemberg im Jahr 2016 im Durchschnitt mehr als EUR 2'100.-- brutto pro Monat verdient. Was den konkreten Fall angeht, stellt die Vorinstanz fest, dass die Beschwerdeführerin unter 40 Jahre alt und gesund sei, über eine deutsche Schulbildung verfüge, Deutsch als Muttersprache spreche, keine Kinder zu betreuen habe und somit sowohl zeitlich als auch örtlich im Raum Singen/Ludwigshafen/Konstanz/Friedrichshafen flexibel sei. Daher sei nicht erkennbar, weshalb sie im untersten Leistungssektor nicht zumindest ein durchschnittliches Einkommen erzielen könnte. Dass die Beschwerdeführerin mehrere Jahre ohne feste Arbeitsstelle war, vermag dem angefochtenen Entscheid zufolge an dieser Einschätzung nichts zu ändern, denn aus den Angaben der Beschwerdeführerin ergebe sich nicht, auf welche Stellen sie sich bewarb und wie intensiv sie die Stellensuche betrieb. Selbst unter der Annahme, dass die Beschwerdeführerin aufgrund ihrer beschränkten Arbeitserfahrung nur ein unterdurchschnittliches Einkommen erzielen könnte, müsste ihr Lohn jedenfalls den vom Bezirksgericht herangezogenen Mindestlohn von EUR 10.18 pro Stunde für einfache Tätigkeiten im Einzelhandel und Versandhandel übersteigen. Unter den gegebenen Voraussetzungen sei der Beschwerdeführerin die Erzielung eines monatlichen Bruttoeinkommens von EUR 1'800.-- möglich. Die Vorinstanz rechnet vor, dass die Beschwerdeführerin unter Berücksichtigung von Abzügen von einem Viertel ein Bruttojahreseinkommen von weniger als EUR 21'000.-- erzielen müsste, um das von der Vorinstanz errechnete monatliche Nettoeinkommen von rund Fr. 1'400.-- zu erreichen. Dies sei ihr ohne weiteres zuzumuten, so das Fazit des Obergerichts.
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin erinnert an das Berufungsverfahren. Dort habe sie argumentiert, dass im Vergleich zu den vom Bezirksgericht verwendeten Zahlen ein Jahreseinkommen von EUR 9'000.-- (für eine ungelernte Reinigungskraft mit sechsjähriger Berufserfahrung) bis maximal EUR 16'000.-- (für eine Hilfsarbeiterin mit Berufserfahrung) "realistischer" wäre. Für diese Einkommenszahlen habe sie sich auf die Listen von "http://www.ausbildung-und-berufe.de" gestützt. Mit einem hypothetischen Einkommen von monatlich EUR 2'100.-- bzw. jährlich EUR 25'200.-- weiche das Obergericht nun "massiv" davon ab, ohne auf die besagten Listen Bezug zu nehmen. Die Beschwerdeführerin anerkennt, dass das Obergericht neue Beweismittel in Form von ausländischen Statistiken von sich aus berücksichtigen durfte. Sie wirft der Vorinstanz aber vor, die ermittelten neuen Beweismittel erst im Urteil offengelegt zu haben. Auf Kennzahlen des Statistischen Landesamts Baden-Württemberg abzustellen, ohne diese vorher den Parteien zur Stellungnahme vorzulegen, verletzt in den Augen der Beschwerdeführerin Art. 232 Abs. 1 und <ref-law> sowie <ref-law>. In Fällen nachträglich neu erhobener Beweise sei den Parteien das rechtliche Gehör einzuräumen. Sie, die Beschwerdeführerin, sei davon insoweit betroffen, als der angefochtene Entscheid sie unvorbereitet getroffen habe, so dass sie vor der Urteilsfällung der Vorinstanz keine beweisrechtlichen Schritte habe unternehmen können. Entgegen <ref-law> habe es das Obergericht unterlassen, die für eine Beweiserhebung vorausgesetzte Beweisverfügung zu treffen. Die erwähnte Vorschrift gelte grundsätzlich auch im Scheidungsverfahren. Ergänzend beanstandet die Beschwerdeführerin, dass eine Belegstelle zu den Anmerkungen 45 und 46 im angefochtenen Entscheid fehle. Nachdem das Statistische Bundesamt in Deutschland unzählige Publikationen zu den verschiedensten Kennzahlen enthalte und allein schon das Inhaltsverzeichnis zum Stichwort 10. Juni 2016 45 Seiten fülle, sei es ihr nicht möglich, sich dazu zu äussern. Mangels Sachkenntnis über die Unterschiede der Statistiken und deren Erhebungen könne sich auch ihr Anwalt momentan nicht über die Beweiskraft der statistischen Kennzahlen des Bundeslands Baden-Württemberg informieren.
3.2. Nach <ref-law> kann die Berufungsinstanz Beweise abnehmen (s. dazu <ref-ruling> E. 4.3.1 f. S. 375 ff.). In familienrechtlichen Verfahren, in denen das Gericht den Sachverhalt hinsichtlich der Kinderbelange von Amtes wegen erforscht (<ref-law>), ergibt sich dies schon aus <ref-law>. In solchen Verfahren gilt der Freibeweis. Das Gericht ist nicht an die in <ref-law> abschliessend aufgezählten Beweismittel gebunden (<ref-law>). Es kann zur Klärung des Sachverhalts von sich aus auch mit Beweismitteln operieren, die nicht den klassischen Formen entsprechen (Urteil 5A_991/2015 vom 29. September 2016 E. 6.2, nicht publ. in <ref-ruling>; s. auch <ref-ruling> E. 4a S. 55). Diese Besonderheit ändert freilich nichts daran, dass die Beweisabnahme aufgrund einer Beweisverfügung (<ref-law>) zu erfolgen hat, in der (auch) diejenigen Beweismittel zu nennen sind, die das Gericht von Amtes wegen abzunehmen gedenkt (FRANZ HASENBÖHLER, in: Sutter-Somm et al. [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 3. Aufl. 2016, N 10 zu <ref-law>; CHRISTIAN LEU, in: Brunner et al. [Hrsg.], ZPO, Schweizerische Zivilprozessordnung, Kommentar, 2. Aufl. 2016, N 20 zu <ref-law>). Diese Erkenntnis, zu der das Bundesgericht bereits im Zusammenhang mit der Feststellung von Amtes wegen im vereinfachten Verfahren (Art. 247 Abs. 2 Bst. a i.V.m. <ref-law>) gelangt ist (Urteil 4A_108/2017 vom 30. Mai 2017 E. 3.1), gilt auch für die Verfahren, die der Untersuchungsmaxime im Sinne von <ref-law> unterstehen. Die Vorschrift, nach Massgabe von <ref-law> eine Beweisverfügung zu erlassen, ist auch im Beweisverfahren vor der Berufungsinstanz zu beachten (PETER REETZ/SARAH HILBER, in: Sutter-Somm et al. [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 3. Aufl. 2016, N 53 zu <ref-law>). Das Gesetz bringt damit zum Ausdruck, dass der Anspruch der Parteien auf rechtliches Gehör gewahrt werden muss. Schreitet das Gericht zur Abnahme von Beweisen, ohne vorher eine Beweisverfügung zu erlassen, so verletzt es nicht nur Art. 154 f. ZPO, sondern auch den in <ref-law> und <ref-law> verbürgten Gehörsanspruch (Urteil 4A_108/2017 vom 30. Mai 2017 E. 3.2).
Auch wenn die Berufungsinstanz keine Verhandlung durchführt, muss sie den Parteien (in sinngemässer Anwendung von Art. 232 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) im Anschluss an die Beweisabnahme (<ref-law>) Gelegenheit geben, zum Beweisergebnis Stellung zu nehmen (PETER REETZ/SARAH HILBER, a.a.O., N 20, 26 und 54 zu <ref-law>; MARTIN H. STERCHI, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. II, 2012, N 17 zu <ref-law>). Dieses Recht auf Äusserung ergibt sich ebenfalls aus dem Anspruch der Parteien auf rechtliches Gehör (<ref-law> und <ref-law>). Das rechtliche Gehör dient einerseits der Klärung des Sachverhaltes, anderseits stellt es ein persönlichkeitsbezogenes Recht auf Mitwirkung beim Erlass eines Entscheides dar, der in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Dazu gehört insbesondere das Recht der betroffenen Partei, sich vor Erlass eines sie belastenden Entscheides zur Sache zu äussern und an der Erhebung wesentlicher Beweise mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis äussern zu können, wenn dieses geeignet ist, den Ausgang des Verfahrens zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 89; <ref-ruling> E. 2.2 S. 190 mit Hinweis). Der Gehörsanspruch ist formeller Natur. Seine Verletzung führt deshalb ungeachtet der Begründetheit des Rechtsmittels in der Sache grundsätzlich zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheides (BGE <ref-ruling> E. 2.2 S. 190).
3.3. Was den konkreten Fall angeht, so ist zunächst daran zu erinnern, dass es nach der Rechtsprechung zulässig ist, zum Nachweis des hypothetischen Einkommens auf statistische Angaben zurückzugreifen und im Sinne einer tatsächlichen Vermutung zu schliessen, der betreffende Lohn sei im Einzelfall tatsächlich erzielbar. Vorausgesetzt ist freilich, dass dem Vermutungsgegner entsprechend bezahlte Stellen tatsächlich offen stehen. Gelingt der Gegenbeweis, so greift die natürliche Vermutung nicht mehr und der Beweis ist gescheitert. Es liegt Beweislosigkeit vor, deren Folgen die beweisbelastete Partei treffen (s. Urteil 5A_96/2016 vom 18. November 2016 E. 3.3.2). Die Art und Weise, wie die Vorinstanz die deutsche Lohnstatistik berücksichtigt, beschlägt demnach die Feststellung des Sachverhalts (vgl. Urteil 5A_182/2017 vom 2. Februar 2018 E. 3.2.2). Im Unterschied zu offiziellen Statistiken des Bundesamts für Statistik (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4c/bb S. 7 f.; Urteil 5A_435/2011 vom 14. November 2011 E. 9.3.3) können Statistiken von Behörden ausländischer Staaten auch dann nicht als gerichtsnotorische Tatsachen im Sinne von <ref-law> gelten, wenn eine der Parteien im fraglichen ausländischen Staat ihren Wohnsitz hat. Dementsprechend können solche ausländischen Statistiken auch als Basis für die beschriebene tatsächliche Vermutung nicht als allgemein bekannt vorausgesetzt werden. Wollte das Obergericht im Rahmen der Erforschung des Sachverhalts (<ref-law>) mit dieser tatsächlichen Vermutung operieren, so hätte es den Parteien dies in Gestalt einer entsprechenden Beweisverfügung offenlegen müssen. Die darin zu klärende Frage, welcher Partei der Nachweis des hypothetischen Einkommens obliegt (<ref-law>), ist unabhängig vom anwendbaren Verfahrensgrundsatz zu beantworten (s. Urteil 5A_59/2016 vom 1. Juni 2016 E. 4.4). An der Verteilung der Beweislast ändert auch die Zuhilfenahme einer tatsächlichen Vermutung nichts (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 244). Zu Recht beklagt sich die Beschwerdeführerin darüber, dass ihr das Obergericht in Verletzung von <ref-law> die Möglichkeit abschnitt, sich im Berufungsverfahren über die neu herangezogenen statistischen Kennzahlen des deutschen Bundeslands Baden-Württemberg zu informieren und sich zu deren Beweiskraft zu äussern.
Wie sich aus den Akten ergibt und von keiner Seite bestritten wird, konnte sich die Beschwerdeführerin zum Beweisergebnis - der aus der deutschen Verdiensterhebung gewonnenen Erkenntnis, dass die Beschwerdeführerin ein monatliches Bruttoeinkommen von EUR 1'800.-- erzielen kann (E. 2) - im Berufungsverfahren nicht mehr äussern. Dieses Beweisergebnis war geeignet, den Ausgang des Verfahrens zu beeinflussen. Zwar bewerkstelligt das Obergericht unter Zuhilfenahme der Lohnstatistik eine Art Ersatzbegründung: Es kommt zum Schluss, angesichts des Beweisergebnisses müsste die Beschwerdeführerin ein Bruttojahreseinkommen von weniger als EUR 21'000.-- erzielen, um das erstinstanzlich errechnete Nettoeinkommen von rund Fr. 1'400.-- pro Monat zu erreichen. Diese Vorgehensweise ändert indes nichts daran, dass das erwähnte Beweisergebnis für die Bestätigung des bezirksgerichtlichen Entscheids und damit für den Ausgang des Berufungsverfahrens den Ausschlag gab. Von daher ist im Licht der zitierten Rechtsprechung nicht ersichtlich, weshalb die Vorinstanz der Beschwerdeführerin keine Gelegenheit zur Stellungnahme hätte geben müssen. Darüber hinaus wirft die Beschwerdeführerin dem Obergericht auch vor, keine einschlägigen Feststellungen zu ihren tatsächlichen Aussichten im Arbeitsmarkt getroffen zu haben. So äussere sich das Obergericht nicht konkret dazu, welches Berufsfeld es für sie vor Augen hat und wie es sich mit dem Risiko einer erneuten Arbeitslosigkeit verhält. Auch fehle es in der herangezogenen Statistik an Zahlen zu den Anstellungschancen im betreffenden Wirtschaftssektor. Mit diesen Beanstandungen bringt die Beschwerdeführerin hinreichend deutlich zum Ausdruck, dass sie durchaus Anlass hatte, zum Beweisergebnis Stellung zu nehmen. Was es mit diesen Einwänden konkret auf sich hat, ist nicht eine Frage des rechtlichen Gehörs, sondern beschlägt den Streit in der Sache.
3.4. Soweit in der Beschwerde darüber hinaus auch von einer Verletzung von <ref-law> die Rede ist, braucht das Bundesgericht darauf nicht weiter einzugehen. Die zitierte Vorschrift handelt von den neuen Tatsachen, den neuen Beweismitteln und der Klageänderung im Berufungsverfahren. Inwiefern die vor Bundesgericht vorgetragenen Beanstandungen damit etwas zu tun haben, ist der Beschwerde nicht zu entnehmen und auch nicht ersichtlich.
4.
4.1. Wie die vorigen Erwägungen zeigen, ist der angefochtene Berufungsentscheid auf gesetzes- und verfassungswidrige Weise zustande gekommen. Das Obergericht verletzte nicht nur <ref-law>, sondern auch den Anspruch der Beschwerdeführerin auf rechtliches Gehör (<ref-law>; <ref-law>). Die Heilung einer Gehörsverletzung kommt im Verfahren vor Bundesgericht nur in Frage, wenn ausschliesslich Rechtsfragen streitig sind, die das Bundesgericht mit freier Kognition beurteilen kann (<ref-ruling> E. 4.9 S. 105). Soweit - wie hier - die Feststellung des Sachverhalts in Frage steht, ist eine Heilung im Verfahren vor Bundesgericht ausgeschlossen.
4.2. Nach dem Gesagten ist der angefochtene Entscheid aufzuheben. Die Sache ist zu neuem Entscheid an das Obergericht zurückzuweisen. Die weiteren Vorbringen sind mit Blick auf den formellen Charakter des Gehörsanspruchs nicht zu prüfen. Auch wenn bei diesem Verfahrensausgang noch nicht feststeht, ob es mit der erstinstanzlichen Unterhaltsregelung sein Bewenden haben muss, gilt der Beschwerdegegner in dieser vermögensrechtlichen Streitigkeit als unterliegende Partei. Hier rechtfertigt es sich jedoch, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>). Hingegen hat der Beschwerdegegner die Beschwerdeführerin zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
4.3. Die Beschwerdeführerin ersucht für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Die diesbezüglichen Voraussetzungen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG) sind erfüllt. Da die Beschwerdeführerin keine Verfahrenskosten zu tragen hat (E. 4.2), ist ihr Gesuch gegenstandslos geworden (<ref-ruling> E. 5 S. 11), soweit es die Befreiung von den Gerichtskosten betrifft. Hingegen ist es nicht gegenstandslos geworden, soweit es die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands zum Gegenstand hat. Zwar wird der obsiegenden Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zugesprochen. Unter den gegebenen Umständen ist indessen nicht anzunehmen, dass die Beschwerdeführerin die ihr zustehende Entschädigung beim Beschwerdegegner erhältlich machen kann. Deshalb ist der Anwalt der Beschwerdeführerin direkt aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen (vgl. <ref-ruling> E. 3d S. 326 f.). Die Beschwerdeführerin ist darauf hinzuweisen, dass sie der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten hat, falls sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Obergerichts des Kantons Thurgau vom 19. Januar 2017 wird aufgehoben. Die Sache wird zur Fortführung des Verfahrens und zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandlos geworden ist, und es wird der Beschwerdeführerin Rechtsanwalt Christian Schroff als Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen. Die Entschädigung wird indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen und Rechtsanwalt Christian Schroff wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Mai 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Monn