Sachverhalt:
A.
Mit Urteil vom 13. Januar 2020 (2C_621/2019) hiess das Bundesgericht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten von A._ gegen einen Zwischenentscheid des Instruktionsrichters des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 28. Mai 2019 gut. Es hob unter anderem die Ziffer 2 (Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung) der angefochtenen Verfügung auf. A._ wurde von Rechtsanwalt Dr. B._ vertreten, welcher für seinen Klienten um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht hatte. Das Bundesgericht erhob keine Gerichtskosten und verpflichtete den Kanton Aargau, den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'200.-- zu entschädigen. Es ging davon aus, dass das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung damit gegenstandslos geworden sei.
B.
Am 22. Januar 2020 teilte die Obergerichtskasse des Kantons Aargau Rechtsanwalt Dr. B._ mit, dass die Parteientschädigung mit einem Pfändungsverlustschein seines Mandanten vom 15. Juli 2019 verrechnet werde; es erfolge deshalb keine Auszahlung der vom Bundesgericht zugesprochenen Parteientschädigung.
C.
Mit Schreiben vom 24. Januar 2020 ersucht Rechtsanwalt Dr. B._ darum, nachträglich über die unentgeltliche Verbeiständung im Verfahren 2C_621/2019 zu entscheiden und ihn für dieses mit Fr. 1'200.-- zu entschädigen.

Erwägungen:
1.
1.1. Nach der bundesgerichtlichen Praxis besteht die Möglichkeit, auf Gesuch nachträglich über die unentgeltliche Verbeiständung zu entscheiden und die aus der Bundesgerichtskasse zu entrichtende Entschädigung festzusetzen, sofern sich die Parteientschädigung als uneinbringlich erweist und daher nicht zur Bezahlung des amtlichen Anwalts verwendet werden kann (Urteile 1F_6/2018 vom 27. Februar 2018 E. 1 und 1F_17/2012 vom 5. September 2012 E. 1 mit weiteren Hinweisen). Die Eingabe ist als solches Gesuch entgegenzunehmen.
1.2. Rechtsanwalt Dr. B._ hatte bereits im Hauptverfahren ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gestellt. Die einschlägigen Voraussetzungen (vgl. <ref-law>) waren damals erfüllt. Das Bundesgericht ging allerdings davon aus, dass der Anwalt der unentgeltlich verbeiständeten Partei aus der zugesprochenen Parteientschädigung bezahlt werden würde.
2.
2.1. Gemäss <ref-law> steht dem Anwalt ein Anspruch auf eine angemessene Entschädigung aus der Gerichtskasse zu, soweit der Aufwand für die Vertretung nicht aus der zugesprochenen Parteientschädigung gedeckt werden kann. Dies ist nicht nur der Fall, wenn sich die Parteientschädigung als uneinbringlich erweist, sondern auch dann, wenn die Gegenpartei die von ihr geschuldete Parteientschädigung mit eigenen Forderungen gegen die unentgeltlich verbeiständete Partei verrechnet. In beiden Fällen hat der Anwalt der bedürftigen Partei kein Honorar erhalten, weshalb sein Anspruch gegenüber der Gerichtskasse bestehen bleibt. Wurde die Entschädigung wie im zu beurteilenden Fall bereits im Hauptverfahren festgesetzt, kann der Anwalt deren Auszahlung beantragen (Urteile 1F_17/2012 vom 5. September 2012 E. 1 und 1F_7/ 2012 vom 4. April 2012 E. 1).
2.2. Nach dem Gesagten ist das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung gutzuheissen. Der Gesuchsteller ist für das Hauptverfahren mit Fr. 1'200.-- aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen. Da Rechtsanwalt Dr. B._ für das vorliegende Verfahren kein nennenswerter Aufwand entstanden ist, rechtfertigt es sich nicht, ihm eine zusätzliche Entschädigung zuzusprechen. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das erneute Gesuch von Rechtsanwalt Dr. B._ um unentgeltliche Verbeiständung im Verfahren 2C_621/2019 wird gutgeheissen.
2.
Rechtsanwalt Dr. B._ wird als amtlicher Vertreter des Beschwerdeführers A._ im Verfahren 2C_621/2019 bestellt, und es wird ihm hierfür aus der Bundesgerichtskasse ein Honorar von Fr. 1'200.-- ausgerichtet.
3.
Für das nachträgliche Gesuchsverfahren werden keine Kosten erhoben und keine Entschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Februar 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar