Sachverhalt:
A.
A._, geboren am "...", missachtete am 14. Mai 2019 als Lenker eines Personenwagens in Wiedlisbach das Signal "kein Vortritt" und kollidierte in der Folge seitlich-frontal mit einem von links kommenden Personenwagen. Mit Verfügung vom 13. August 2019 ordnete das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern (im Folgenden: Strassenverkehrsamt) eine Abklärung der Fahreignung durch Dr. med. B._ an. Mit Bericht vom 18. September 2019 bejahte dieser die Fahreignung von A._ unter Auflagen.
Am 7. Oktober 2019 verfügte das Strassenverkehrsamt eine Abklärung der Fahreignung durch Dr. med. C._ am Institut für forensische Psychiatrie und Psychotherapie (IFPP), Abteilung Verkehrsmedizin. Mit Entscheid vom 15. November 2019 wies das Strassenverkehrsamt eine gegen diese Verfügung gerichtete Einsprache von A._ ab. Die von diesem in der Folge gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde wies die Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern mit Urteil vom 26. Februar 2020 ebenfalls ab.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 5. Juni 2020 verlangt A._, das Urteil der Rekurskommission sei aufzuheben und das Strassenverkehrsamt anzuweisen, von einer weitergehenden Fahreignungsabklärung abzusehen und ihm den Führerausweis resp. die Fahrerlaubnis mit den Auflagen gemäss dem von Dr. B._ zu Handen des Strassenverkehrsamts erstatteten Arztbericht vom 18. September 2019 zu belassen. Eventuell sei die Angelegenheit zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Rekurskommission, das Strassenverkehrsamt und das Bundesamt für Strassen beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen. Der Beschwerdeführer hält in seiner Stellungnahme dazu an seinen Rechtsbegehren fest.
C.
Am 8. Juli 2020 erkannte das präsidierende Mitglied der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, gegen den nach Art. 82 ff. BGG die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist. Der angefochtene Entscheid schliesst das Verfahren nicht ab. Es handelt sich um einen Zwischenentscheid, der angesichts der mit der angeordneten ärztlichen Untersuchung einhergehenden Belastungen einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG; <ref-ruling> E. 5.2 S. 338 mit Hinweisen; ebenso, jedoch mit teilweise anderer Begründung: Urteile 1C_458/2019 vom 25. März 2020 E. 1; 1C_405/2020 vom 8. Dezember 2020 E. 1.1; je mit Hinweisen). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen gegeben sind, ist auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten.
1.2. Bei der Anordnung einer Fahreignungsuntersuchung handelt es sich, gleich wie beim vorsorglichen Entzug des Führerausweises, um eine vorsorgliche Massnahme (Urteile 1C_405/2020 8. Dezember 2020 E. 2.5 i.f.; 1C_232/2018 vom 13. August 2018 E. 1.1; 1C_154/2018 vom 4. Juli 2018 E. 1.3 je mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer kann deshalb gemäss Art. 98 BGG nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte rügen. Die Anwendung anderer Rechtsnormen prüft das Bundesgericht deshalb nur auf Willkür (Art. 9 BV; MARKUS SCHOTT, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 23 zu Art. 98 BGG). Eine solche Rüge ist in der Beschwerde vorzubringen und zu begründen (Art. 106 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Das Strassenverkehrsamt ordnete in seiner Verfügung vom 7. Oktober 2019 gestützt auf das Gutachten von Dr. B._ in Anwendung von Art. 15d Abs. 1 lit. e SVG (SR 741.01) eine Fahreignungsuntersuchung an. Nach dieser Bestimmung wird eine Person einer Fahreignungsuntersuchung unterzogen, wenn Zweifel an ihrer Fahreignung bestehen, namentlich bei Meldung eines Arztes, dass sie wegen einer körperlichen oder psychischen Krankheit, wegen eines Gebrechens oder wegen einer Sucht Motorfahrzeuge nicht sicher führen kann. In seinem diese Verfügung bestätigenden Einspracheentscheid vom 15. November 2019 führte das Strassenverkehrsamt im Wesentlichen an, das Gutachten von Dr. B._ vom 18. September 2019, mit dem er die Fahreignung des Beschwerdeführers unter Auflagen bejaht habe, sei wegen der noch erforderlichen Abklärungen nicht schlüssig. Deshalb sei die Fahreignung durch einen Arzt der nächsthöheren Anerkennungsstufe, der Stufe 4, zu beurteilen.
2.2. Dr. B._ hielt in seinem Gutachten als Schlussfolgerung fest, die Fahreignung sei aus medizinischer Sicht unter den nachfolgenden Voraussetzungen gegeben:
"1. Abklärung und allenfalls Behandlung des Schlaf-Apnoe-Syndroms durch einen Pneumologen, mit jährlicher Stellungnahme zur Fahreignung.
2. Abklärung und allenfalls Behandlung der Polyneuropathie und zerebralen Durchblutung bei bekannter Arteriosklerose durch einen Neurologen, mit jährlicher Stellungnahme zur Fahreignung.
3. Regelmässige mindestens jährliche kardiologische Kontrolle mit Stellungnahme zur Fahreignung.
4. Regelmässige augenärztliche Kontrollen mit jährlicher Stellungnahme zur Fahreignung.
5. Regelmässige, 3-monatliche Kontrollen durch den Hausarzt mit Kontrolle und Behandlung der kardiovaskulären Risikofaktoren, Vit B12-Substitution und Kontrolle des Alkoholkonsums.
6. Tragen einer Sehhilfe."
2.3. Die Rekurskommission hielt dazu und zu den weiteren Ausführungen im Gutachten fest, es falle zunächst auf, dass Dr. B._ beim Beschwerdeführer für mehrere Diagnosen, die die Fahreignung beeinflussen könnten, nur eine begrenzte Einsichtigkeit feststelle. So behandle der Beschwerdeführer gemäss dem Gutachten seine koronare Herzkrankheit, den Blutdruck und die erhöhten Blutfette trotz Empfehlung nicht. Welche Auswirkung dies auf die Fahreignung habe, sei dem Gutachten jedoch nicht zu entnehmen. Weiter weise der Gutachter darauf hin, dass das obstruktive Schlafapnoe-Syndrom und die Polyneuropathie bisher nicht weiter abgeklärt worden seien. Entsprechend verlange er als "Voraussetzungen für den Erhalt der Fahreignung" des Beschwerdeführers die spezialärztliche Abklärung und allenfalls eine Behandlung.
Ein Schlafapnoe-Syndrom zeige sich häufig durch eine ausgeprägte Tagesmüdigkeit, was gerade im Strassenverkehr sehr gefährlich sein könne, da bei betroffenen Personen ein deutlich erhöhtes Unfallrisiko (Einschlafunfälle) bestehe, weshalb sie grundsätzlich nicht fahrgeeignet seien. Da ein Schlafapnoe-Syndrom somit verkehrsrelevant sein könne, verlange Dr. B._ zu Recht eine entsprechende Untersuchung und allenfalls eine Behandlung des Beschwerdeführers durch einen Pneumologen. Bei dieser von Dr. B._ als erforderlich erachteten Untersuchung handle es sich jedoch nicht um eine Massnahme, deren Zweck darin bestehe, die Fahreignung des Beschwerdeführers aufrechtzuerhalten; vielmehr werde diese Untersuchung erst dazu dienen abzuklären, ob bzw. mit welcher Behandlung seine Fahreignung angesichts des diagnostizierten Schlafapnoe-Syndroms überhaupt bejaht werden könne. Gleiches gelte für die von Dr. B._ geforderte Abklärung und Behandlung der Polyneuropathie und zerebralen Durchblutung durch einen Neurologen.
Weiter stelle Dr. B._ fest, der Beschwerdeführer konsumiere gewohnheitsmässig Alkohol, wobei er sogar den Begriff "Spiegeltrinker" verwende. Auf Grund der Diagnosen aus den Akten gehe er von einem Konsum von 7 dl Wein pro Tag aus. Dennoch habe er das Vorliegen einer Alkoholerkrankung nicht weiter überprüft und weder eine Blutuntersuchung noch eine Haaranalyse veranlasst, was nicht nachvollziehbar erscheine. Bei einem gewohnheitsmässigen Alkoholkonsum im erwähnten Umfang stelle sich jedoch die Frage, ob der Beschwerdeführer diese Gewohnheit durch den eigenen Willen noch zu überwinden oder zu kontrollieren vermöge. Es stellt sich auch die Frage, ob dieser Alkoholkonsum und der von Dr. B._ geäusserte Verdacht auf eine sensible Polyneuropathie einen Zusammenhang aufwiesen.
Die erforderlichen Abklärungen seien durch spezialisierte Fachärzte vorzunehmen, nämlich von einem Pneumologen und einem Neurologen. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers würde es deshalb nicht ausreichen, einfach bei Dr. B._ nachzufragen. Zudem gehe es nicht nur um einzelne Diagnosen, sondern das Zusammenspiel mehrerer Befunde und deren Einfluss auf die Fahreignung. Nicht zuletzt sei auch die Frage der strassenverkehrsrechtlich relevanten Sucht oder Suchtgefährdung abzuklären. Deshalb sei nicht zu beanstanden, dass das Strassenverkehrsamt in Anlehnung an Art. 28a Abs. 2 lit. a der Verordnung vom 27. Oktober 1976 über die Zulassung von Personen und Fahrzeugen zum Strassenverkehr (Verkehrszulassungsverordnung, VZV; SR 741.51) für die Begutachtung einen Arzt der Stufe 4 gemäss Art. 5a bis VZV vorgesehen habe.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer wirft der Rekurskommission eine willkürliche Beweiswürdigung vor. Er habe immer bestritten, täglich 7 dl Wein zu trinken. In den Akten finde diese Feststellung keine Grundlage. Auch sonst gebe es keine Anzeichen für eine Alkoholsucht. Der nach dem Unfall durchgeführte Atemlufttest sei klar negativ gewesen. Er besitze zudem seit 1962 den Führerausweis für Fahrzeuge der Kategorie B und sei im Strassenverkehr nie auffällig geworden. Entsprechend habe das Strassenverkehrsamt einen vorsorglichen Entzug des Führerausweises zu keinem Zeitpunkt in Erwägung gezogen. Seit dem Unfall fahre er trotz den angeblich gravierenden medizinischen Beeinträchtigungen und der angeblichen Alkoholsucht Auto und habe den Tatbeweis erbracht, dass er in der Lage sei, sich verantwortungsbewusst und regelkonform zu verhalten. Dass nun ein Arzt der Stufe 4 eine Fahreignungsprüfung vornehmen solle, der für die Klärung Fachärzte beiziehen müsse, sei nicht nachvollziehbar und verletze das Verhältnismässigkeitsprinzip. Darüber hinaus habe die Rekurskommission seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, indem sie seine Beweisanträge abgelehnt habe.
3.2. Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht; zudem ist erforderlich, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 5.1 S. 41; <ref-ruling> E. 4.2 S. 516; je mit Hinweisen). Die Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen hat oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat. Dass die vom Gericht gezogenen Schlüsse nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmen, belegt noch keine Willkür (<ref-ruling> E. 3.6.2 S. 287 mit Hinweisen).
3.3. Art. 15d Abs. 1 SVG zählt die Fälle, in denen eine Fahreignungsuntersuchung anzuordnen ist, in nicht abschliessender Weise auf. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sind die Anforderungen an die Anordnung einer Fahreignungsuntersuchung nicht dieselben wie für den vorsorglichen Führerausweisentzug, obschon diese beiden Massnahmen häufig zusammen ergehen: Für Erstere genügen hinreichende Anhaltspunkte, welche die Fahreignung in Frage stellen, Letztere setzt dagegen ernsthafte Zweifel an der Fahreignung einer Person voraus, etwa bei konkreten Hinweisen auf eine Alkoholabhängigkeit (zum Ganzen: Urteil 1C_13/2017 vom 19. Mai 2017 E. 3.2 mit Hinweisen). Es ist somit nicht widersprüchlich, wenn das Strassenverkehrsamt im vorliegenden Fall zwar die Voraussetzungen für eine Fahreignungsabklärung, jedoch nicht für einen vorsorglichen Führerausweisentzug als gegeben ansah. Im Übrigen bildet hier nur die Frage der Fahreignungsabklärung Verfahrensgegenstand, weshalb nicht erörtert zu werden braucht, ob auch die Voraussetzungen für einen vorsorglichen Führerausweisentzug gegeben wären.
Das Ausmass der notwendigen behördlichen Nachforschungen zur Ermittlung der Fahreignung, namentlich die Frage, ob ein medizinisches Gutachten eingeholt werden soll, richtet sich nach den Umständen des Einzelfalles und liegt im pflichtgemässen Ermessen der Entzugsbehörde (<ref-ruling> E. 2.2 84; Urteil 1C_128/2020 vom 29. September 2020 E. 2.1). Dabei ist in den in Art. 15d Abs. 1 SVG aufgezählten Fällen grundsätzlich zwingend und ohne weitere Einzelfallprüfung eine Fahreignungsuntersuchung anzuordnen, selbst wenn die Zweifel im konkreten Fall noch nicht erhärtet oder nur abstrakter Natur sind. Diese Tatbestände begründen mithin hinreichende Anhaltspunkte für fehlende Fahreignung, welche zur Anordnung einer Fahreignungsuntersuchung führen (Urteil 1C_232/2018 vom 13. August 2018 E. 3.2 mit Hinweisen).
Entsprechend hat das Bundesgericht mit Blick auf Art. 15d Abs. 1 lit. e SVG im genannten Urteil festgehalten, dass bei einer Meldung eines Arztes eine Abklärung grundsätzlich obligatorisch sei. Im konkreten Fall konnte zwar dem betreffenden Schreiben nicht entnommen werden, weshalb der Hausarzt des Beschwerdeführers der Ansicht war, der damals zur Diskussion stehende Alkoholkonsum und die psychische Störung liessen nunmehr Zweifel an der Fahreignung aufkommen (nachdem der Hausarzt bis dahin die Fahreignung bejaht hatte). Das Bundesgericht erwog, dies sei jedoch auch nicht zwingend erforderlich. Es sei davon auszugehen, dass der Hausarzt die Meldung nicht vorgenommen hätte, wenn er nicht befürchten würde, die Fahreignung sei tatsächlich nicht mehr gegeben. Hausärzte, die über ein besonderes Vertrauensverhältnis zu ihren Patienten verfügten, nähmen Meldungen im Sinne von Art. 15d Abs. 1 lit. e SVG in der Regel zurückhaltend vor, namentlich wenn eine Person nicht einsichtig sei oder sein könne (Urteil 1C_232/2018 vom 13. August 2018 E. 3.3 mit Hinweis).
3.4. Im vorliegenden Fall liegt nicht eine "Meldung" eines Arztes im eigentlichen Sinne vor. Die Umstände sind jedoch insofern vergleichbar, als die Vorinstanz davon ausgeht, dass der mit der Fahreignungsabklärung betraute Arzt, Dr. B._, ein Gutachten verfasst habe, aus dem sich die Notwendigkeit weiterer Abklärungen ergebe. Dass sie dies mit Bezug auf die Schlafapnoe, die Polyneuropathie und die zerebrale Durchblutung zu Unrecht bejaht hätte, behauptet der Beschwerdeführer nicht und ist auch nicht ersichtlich. Der Gutachter bezeichnet die betreffenden Diagnosen für die Fahreignung explizit als relevant und hält eine Abklärung (und allenfalls Behandlung) als Voraussetzung für die Fahreignung bzw. für deren Erhalt für notwendig. Weshalb er die weiteren von ihm erforderlichen Abklärungen nicht gleich selbst vornahm oder anordnete, lässt sich gestützt auf die Ausführungen im Gutachten nicht beantworten, erscheint aber auch nicht entscheidend. Ausschlaggebend ist einzig, dass die Rekurskommission insoweit hinreichende Anhaltspunkte, welche die Fahreignung in Frage stellen, bejahen durfte. Eine Verletzung von Art. 15d Abs. 1 SVG ist deshalb nicht erkennbar, umso weniger im Rahmen einer Prüfung auf Willkür (s. E. 1.2 hiervor).
3.5. Ist der Entscheid, eine weitergehende Abklärung der Fahreignung des Beschwerdeführers anzuordnen, aus den dargelegten Gründen nicht zu beanstanden, so erscheint nicht mehr als ausschlaggebend, ob auch der Alkoholkonsum dazu Anlass gegeben hätte (vgl. Art. 97 Abs. 1 BGG, wonach die Sachverhaltsfeststellung nur beanstandet werden kann, wenn ihre Behebung für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann). Der Gutachter hält diesbezüglich unter dem Titel "Diagnosen aus den Akten fest": "Alkoholgewohnheitstrinker (ca. 7 dl Wein/Tag) ". Der Beschwerdeführer macht dagegen in seiner Einsprache vom 7. November 2019 geltend, Dr. B._ auf eine entsprechende Frage hin angegeben zu haben, er trinke mit seiner Partnerin einigermassen regelmässig beim Abendessen Wein, zu zweit aber höchstens eine Flasche. Die weiteren Abklärungen zur Fahreignung werden über diese Diskrepanz genaueren Aufschluss geben müssen. Die bereits erwähnten und die weiteren im Gutachten aufgeführten gesundheitlichen Probleme des Beschwerdeführers sowie die vom Gutachter diesbezüglich festgestellte begrenzte Einsichtigkeit des Beschwerdeführers werden dabei gesamtheitlich unter Berücksichtigung des Alkoholkonsums zu beurteilen sein, selbst wenn dieser allein noch keinen Anlass für eine Fahreignungsuntersuchung geben sollte. Die Rekurskommission hat im Übrigen dazu erwogen, es stelle sich die Frage, ob der Alkoholkonsum und der von Dr. B._ geäusserte Verdacht auf eine sensible Polyneuropathie einen Zusammenhang aufwiesen. Dem ist hinzuzufügen, dass auch bei dem von Dr. B._ festgestellten obstruktiven Schlafapnoe-Syndrom ein möglicher Zusammenhang zum Alkoholkonsum besteht (s. klinisches Wörterbuch Pschyrembel, online unter www.pschyrembel.de, Stichwort "Schlafapnoesyndrom" [besucht am 26. Januar 2021], wonach Alkohol einen aggravierenden Faktor darstellt).
3.6. Die vom Beschwerdeführer erhobene Kritik an der Sachverhaltsfeststellung ist somit abzuweisen. Dasselbe gilt in Bezug auf die Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV). Die Rekurskommission durfte, ohne in Willkür zu verfallen, davon ausgehen, dass eine Befragung des Beschwerdeführers oder seines Hausarztes am Beweisergebnis nichts ändern würden (<ref-ruling> E. 9.3.2 S. 332; <ref-ruling> E. 6.3.1 S. 299; je mit Hinweisen). Dies trifft umso mehr zu, als das Verfahren betreffend die Anordnung einer Fahreignungsabklärung vorsorglicher Natur ist und damit keine umfassende Auseinandersetzung mit sämtlichen Gesichtspunkten erfordert. Der Entscheid ergeht vielmehr grundsätzlich gestützt auf die vorhandenen Akten und ohne weitere Beweiserhebungen (Urteil 1C_541/2019 vom 10. März 2020 E. 3 mit Hinweisen).
3.7. Schliesslich kritisiert der Beschwerdeführer, wie erwähnt, es sei nicht nachvollziehbar und verletze das Verhältnismässigkeitsprinzip, dass nun ein Arzt der Stufe 4 eine Fahreignungsprüfung vornehmen solle. Das Verhältnismässigkeitsprinzip ist indessen ein allgemeiner Verfassungsgrundsatz (Art. 5 Abs. 2 BV), kein verfassungsmässiges Recht (<ref-ruling> E. 4.1 S. 156; Urteil 4A_146/2010 vom 2. Juni 2010 E. 5.2.2; je mit Hinweisen). Im Rahmen der hier anwendbaren Beschränkung der Beschwerdegründe auf die Verletzung verfassungsmässiger Rechte nach Art. 98 BGG kann sich der Beschwerdeführer deshalb nicht auf die Verletzung des Verhältnismässigkeitsprinzips berufen (MARKUS SCHOTT, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 22 zu Art. 98 BGG; GIOVANNI BIAGGINI, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 16 zu Art. 116 BGG). Dass das Strassenverkehrsamt das ihr in diesem Bereich zustehende Ermessen (s. E. 3.3 hiervor) in willkürlicher Weise gehandhabt hätte, macht der Beschwerdeführer, der im kantonalen Verfahren selbst die Seriosität des Vorgehens von Dr. B._ angezweifelt hatte, nicht geltend. Auf seine Rüge ist deshalb nicht einzutreten (Art. 106 Abs. 2 BGG).
4.
Die Beschwerde ist aus diesen Erwägungen abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern, der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern sowie dem Bundesamt für Strassen, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Februar 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Dold