Erwägungen:
1.
1.1. A._ hat eine Verfügung vom 29. Oktober 2021 des Departements des Innern des Kantons Solothurn bezüglich seiner Aufenthaltsbewilligung (Wegweisung) beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn angefochten. Dieses forderte ihn auf, seine Eingabe bis zum 6. Dezember 2022 zu verbessern und insbesondere diese zu unterschreiben. A._ reichte die Unterschrift nicht fristgerecht nach, weshalb das Verwaltungsgericht am 13. Dezember 2021 androhungsgemäss auf seine Eingabe nicht eingetreten ist.
1.2. A._ gelangt hiergegen an das Bundesgericht. Die Kanzlei teilte ihm am 17. Dezember 2022 mit, dass seine Eingabe den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht genügen dürfte (<ref-law>), er diese aber noch bis zum Ablauf der Beschwerdefrist verbessern könne. Es ging von ihm keine weitere Eingabe ein. Es kann auf zusätzliche Instruktionsmassnahmen verzichtet werden.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law> [SR 173.110]); es ist indessen nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich potentiell stellenden Fragen zu beantworten, wenn diese ihm nicht mehr formell korrekt unterbreitet werden (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2; <ref-ruling> E. 1.4.1). Die Rechtsschriften haben deswegen die Begehren und deren Begründung zu enthalten; dabei ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2 sowie Art. 106 Abs. 2 BGG). Die Begründung muss sachbezogen sein, d.h. den Gegenstand des angefochtenen Entscheids betreffen. Es ist in gezielter Form auf die für das Ergebnis massgeblichen Ausführungen der Vorinstanz einzugehen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 - 2.3).
2.2. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern der angefochtene Nichteintretensentscheid Recht verletzen würde (<ref-law>) : Er ersucht in seiner Eingabe darum, ihm eine neue Frist anzusetzen, um die unterschriebene Eingabe nachreichen zu können. Er habe gesundheitliche Probleme, welche seine "Vergesslichkeit und Unkonzentriertheit" verstärkten. Er wolle, dass auf seine Beschwerde eingetreten werde. Der Beschwerdeführer legt damit - entgegen seiner Begründungspflicht - nicht dar, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzen würde.
3.
3.1. Auf die Beschwerde ist durch die Präsidentin der Abteilung im Verfahren nach Art. 108 (Abs. 1 lit. b) BGG nicht einzutreten, nachdem die Beschwerdefrist inzwischen abgelaufen und eine Verbesserung der Eingabe nicht mehr möglich ist (vgl. <ref-law>).
3.2.
3.2.1. Der Beschwerdeführer beantragt, es sei davon abzusehen, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben. Er ersucht damit implizit um unentgeltliche Rechtspflege. Das entsprechende Gesuch ist wegen Aussichtslosigkeit der Eingabe abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 i.V.m. Abs. 3 BGG).
3.2.2. Dem Verfahrensausgang entsprechend hat der unterliegende Beschwerdeführer deshalb die Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren zu tragen (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mitgeteilt.
Lausanne, 8. Februar 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar