Sachverhalt:
A.
A._ war seit dem 1. Januar 1994 Direktor der Kasse B._ und deswegen für die ausserobligatorische berufliche Vorsorge bei der Fürsorgestiftung für das Personal des Sekretariates des Verbandes Schweizerischer Eisenwarenhändler (heute: Vorsorgestiftung für das Personal von Swissavant - Wirtschaftsverband Handwerk und Haushalt; nachfolgend: Vorsorgestiftung) versichert. Im März 2015 ersuchte A._ die Vorsorgestiftung im Hinblick auf seine Pensionierung auf Ende Dezember 2015 um eine ausserordentliche Einmaleinlage entsprechend "bisheriger Usance". Die Vorsorgestiftung stellte sich auf den Standpunkt, dass vor dem Hintergrund ihrer finanziellen Lage und angesichts der individuellen Vorsorgesituation keine zusätzliche Verbesserung mittels Einmaleinlage erforderlich sei. Anlässlich der Alterspensionierung von A._ am 31. Dezember 2015 richtete ihm die Vorsorgestiftung das reglementarische Alterskapital von Fr. 385'460.60 (nach Abzug der Vorbezüge für Wohneigentum) aus, nicht aber die anbegehrte Einmaleinlage. Die von A._ daraufhin angerufene BVG- und Stiftungsaufsicht des Kantons Zürich (BVS) kam in ihrer "Stellungnahme nach erfolgter Abklärung der Angelegenheit" vom 6. Oktober 2017 zum Schluss, dass der abschlägige Entscheid des Stiftungsrates in dessen pflichtgemässem Ermessen gelegen habe, seine "Anzeige" zu keinen weiteren Massnahmen Anlass gebe und die Sache für sie erledigt sei.
B.
Mit Klage vom 29. März 2018 liess A._ beantragen, die Vorsorgestiftung sei unter Androhung von Ungehorsamsstrafe gemäss <ref-law> zu verpflichten, ihm die Kriterien bekanntzugeben, welche sie in den letzten 10 Jahren für die Berechnung der bei Pensionierung gewährten Einmaleinlage aus freien Stiftungsmitteln angewendet habe, insbesondere in den Fällen C._, D._, E._ und F._. Die Vorsorgestiftung sei zu verpflichten, ihm den nach der gehörigen Auskunftserteilung von ihm zu beziffernden Betrag, mindestens aber Fr. 157'000.- zuzüglich 5 % Zins seit Klageerhebung zu bezahlen.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich trat mit Entscheid vom 21. November 2019 auf die Klage nicht ein.
C.
A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, der Entscheid vom 21. November 2019 sei aufzuheben und die Vorsorgestiftung sei unter Androhung einer Ungehorsamsstrafe zur Bekanntgabe der einschlägigen Kriterien zu verpflichten; das Verfahren sei an das kantonale Gericht zurückzuweisen und ihm sei Gelegenheit zur Bezifferung seiner Klage zu geben; eventualiter sei die Vorinstanz anzuweisen, auf seine Klage einzutreten und diese zu beurteilen.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft in Bezug auf das vor- wie letztinstanzliche Verfahren die Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1.1 S. 208 mit Hinweisen; Urteile 9C_305/2017 vom 20. Februar 2018 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2018 KV Nr. 13 S. 76, und 9C_106/2017 vom 19. September 2017 E. 1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2018 KV Nr. 9 S. 55).
2.
Betreffend das Auskunftsbegehren verlangt der Beschwerdeführer vom Bundesgericht eine materielle Entscheidung. Diesbezüglich fehlt es indessen an einem zulässigen Anfechtungsgegenstand (vgl. Art. 86 Abs. 1 lit. a und d BGG; <ref-ruling> E. 1 S. 414). Zu prüfen bleibt einzig, ob die Vorinstanz auf die Klage vom 29. März 2018 hätte eintreten müssen.
3.
3.1. Die hier zu beurteilende Sachlage ist in der Zeit vor Inkrafttreten des neuen Art. 89a Abs. 7 und 8 ZGB am 1. April 2016 (AS 2016 S. 935) anzusiedeln. Zur Anwendung gelangt demnach die bis Ende März 2016 geltende Fassung (a<ref-law>). Nach dessen Abs. 6 Ziff. 12 und 19 gelten für die (nicht registrierte; vgl. Art. 48 Abs. 1 BVG) Vorsorgestiftung insbesondere die Bestimmungen des BVG über die Aufsicht (Art. 61-62a BVG) und über die Rechtspflege (Art. 73 und 74 BVG).
3.2.
3.2.1. Jeder Kanton bezeichnet ein Gericht, das als letzte kantonale Instanz über Streitigkeiten zwischen Vorsorgeeinrichtungen, Arbeitgebern und Anspruchsberechtigten entscheidet (Art. 73 Abs. 1 BVG). Voraussetzung für den Rechtsweg nach Art. 73 Abs. 1 BVG bildet jedoch, dass eine Streitigkeit aus beruflicher Vorsorge im engeren oder weiteren Sinn vorliegt. Zudem darf die streitige berufsvorsorgerechtliche Angelegenheit nicht in den Zuständigkeitsbereich der Aufsichtsbehörden gemäss Art. 61 ff. BVG fallen (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 608 mit Hinweisen).
3.2.2. Gemäss Art. 73 BVG steht der Klageweg an das kantonale Berufsvorsorgegericht den "Anspruchsberechtigten" offen. Gestützt darauf wurde in der Rechtsprechung wiederholt festgestellt, dass der Rechtsweg nach Art. 73 BVG ausgeschlossen und stattdessen der aufsichtsrechtliche Beschwerdeweg einzuschlagen ist, wenn die Ausrichtung reiner Ermessensleistungen in Frage steht (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 608 f.; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 81 mit Hinweisen).
Die Verwendung der freien Mittel einer (registrierten) Vorsorgeeinrichtung im Rahmen der reglementarischen Bestimmungen steht grundsätzlich im freien Ermessen des Stiftungsrates. Dies schliesst den Rechtsweg nach Art. 73 BVG jedoch nicht per se aus. Geht es um die generelle Regelung, wie bestimmte freie Mittel aufzuteilen sind, fällt die Sache in den Bereich der Aufsicht (Verwaltungsverfahren); steht hingegen der individuell-konkrete Vollzug (der generellen Regelung) in Frage, ist das Berufsvorsorgegericht zuständig (Klageverfahren). Bei der Verteilung von überschüssigem Deckungskapital ausserhalb einer Teilliquidation ist somit eine Zweiteilung im Sinne von Gestaltung und Umsetzung vorzunehmen, die als Abgrenzungskriterium für den Rechtsweg dient (<ref-ruling> E. 3.2.3 und 3.2.4 S. 609 f. mit Hinweisen). Offene (Vor-) Fragen, die in die Zuständigkeit der Aufsichtsbehörde fallen, sind denn auch nicht im Klageverfahren nach Art. 73 BVG zu beantworten; es gibt keine Kompetenzattraktion des kantonalen Berufsvorsorgegerichts in Bezug auf rein aufsichtsrechtliche Fragen (SVR 2017 BVG Nr. 37 S. 169, 9C_938/2015 E. 6.2.3).
3.2.3. Die soeben (in E. 3.2.2) dargelegten Grundsätze wurden zwar im Zusammenhang mit registrierten Vorsorgeeinrichtungen entwickelt. Indessen lassen sie sich angesichts der Vorgaben von (a) <ref-law> ohne Weiteres auf nicht registrierte Vorsorgeeinrichtungen übertragen.
3.3. Klagefundament und Ausgangspunkt für die Zulässigkeit der Klage bildet - nebst den Anträgen - deren Begründung (<ref-ruling> E. 3.3 S. 610).
3.4. Die Vorinstanz hat zutreffend erkannt, dass der geltend gemachte Anspruch - trotz der Bezeichnung als "Einmaleinlage" - nicht in einem (den Klageweg eröffnenden; vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 611 mit Hinweis auf BGE <ref-ruling> und 128 II 386) unmittelbaren und untrennbaren Zusammenhang mit dem reglementarischen Anspruch auf eine Altersleistung steht. Der Beschwerdeführer legte denn auch im vorinstanzlichen Verfahren unmissverständlich dar, dass er die (wenn auch anlässlich der Alterspensionierung geltend gemachte) Einmaleinlage zusätzlich zum reglementarisch definierten, in der Höhe unbestrittenen und bereits ausgerichteten Alterskapital verlangte. Anbegehrt wurde eine eigenständige reine Ermessensleistung, auf die weder ein gesetzlicher noch ein reglementarischer Anspruch besteht, und die aus den freien Mitteln der Vorsorgestiftung zu finanzieren ist. Das kantonale Gericht hat mit Blick auf diese Leistungsart erwogen, die Sache falle in den Prüfungsbereich der Aufsichtsbehörde. Folglich hat es seine sachliche Zuständigkeit zur Beurteilung der Klage verneint.
3.5. Der Beschwerdeführer bringt richtig vor, dass der hier gegebene Sachverhalt keinen Zusammenhang mit einer Teilliquidation (vgl. Art. 53d Abs. 6 BVG i.V.m. aArt. 89a Abs. 6 Ziff. 9 ZGB) aufweist. Weiter macht er geltend, als einziger Destinatär habe er ohne nachvollziehbare Gründe keine Einmaleinlage erhalten. Bei dieser Leistungsverweigerung handle es sich um einen konkreten Anwendungsfall; der entsprechende Stiftungsratsbeschluss sei daher auf dem Klageweg nach Art. 73 BVG auf seine Rechtmässigkeit hin zu überprüfen.
3.6. Anders als etwa in den Fällen des <ref-ruling> oder der Urteile B 59/02 und B 60/02 vom 27. Februar 2004 sowie B 3/02 vom 8. Januar 2003 ist im hier zu beurteilenden Fall kein formeller generell-abstrakter Beschluss des Stiftungsrates zur Verwendung resp. Verteilung freier Mittel aktenkundig; ein solcher wurde (und wird) auch nicht geltend gemacht. Wie in der Klage dargelegt (und von der Vorsorgestiftung bestätigt) wurde, bestand vielmehr eine "blosse" mehrjährige Praxis der Beschwerdegegnerin, zu verschiedenen Ereignissen - insbesondere bei Alterspensionierungen - individuell unterschiedliche Einmaleinlagen resp. "freiwillige Extragutschriften" zu gewähren, wodurch ihre freien Mittel kontinuierlich reduziert wurden. Dass ein formeller Stiftungsratsbeschluss lediglich hinsichtlich der individuell-konkreten Anfrage des Beschwerdeführers vorliegt, spricht indessen nicht gegen eine Zweiteilung im Sinne von Gestaltung und Umsetzung (vgl. E. 3.2.2) bei der Verteilung der freien Mittel.
3.7. Der Beschwerdeführer beantragte mit seiner Klage u.a. die Bekanntgabe der früher von der Vorsorgestiftung angewandten Kriterien (vgl. Sachverhalt lit. B). In der Klagebegründung warf er der Beschwerdegegnerin eine rechtswidrige Ermessensausübung bei der Ausrichtung von Einmaleinlagen vor. Er legte insbesondere dar, die Beschwerdegegnerin habe "plötzlich neue Kriterien" angeführt. Zudem habe sie gänzlich offengelassen, wie sie diese im Einzelnen berücksichtige und gewichte; es sei somit nicht nachvollziehbar, wie die Einmaleinlagen berechnet würden. Ausserdem habe die Vorsorgestiftung sachfremde Kriterien genannt; es könne einzig massgeblich sein, wer in welchem Umfang zur Äufnung der freien Mittel beigetragen habe, während die finanzielle oder familiäre Situation der Versicherten unerheblich sei.
Damit zielte die Klage auf die Grundlagen der umstrittenen Einmaleinlage, nämlich auf die Kriterien zu deren Berechnung und folglich zur Begrenzung des Begünstigtenkreises. Insoweit stand - auch wenn diesbezüglich nur eine Art "impliziter Beschluss" vorliegt (vgl. E. 3.6) - die generell-abstrakte Gestaltung der Mittelverteilung im Fokus. Deren Überprüfung fällt (ausschliesslich) in den sachlichen Zuständigkeitsbereich der Aufsichtsbehörde (vgl. E. 3.2.2). Ob diesbezüglich mit der "Stellungnahme" der BVS vom 6. Oktober 2017 eine res iudicata (vgl. dazu Urteil 2C_723/2013 vom 1. Dezember 2014 E. 2.8.1; <ref-ruling> E. 5.1 S. 150; <ref-ruling> E. 2.2 S. 212 f.) vorliegt, braucht hier nicht beantwortet zu werden. Die generellen Verteilkriterien (Gestaltung) bilden Gegenstand des Klagefundaments, und ein individueller Umsetzungsfehler kann folglich (noch) nicht zur Diskussion stehen.
3.8. Nach dem Gesagten ist das kantonale Gericht zu Recht nicht auf die Klage vom 29. März 2018 eingetreten. Die Beschwerde ist unbegründet.
4.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer die Kosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. November 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Dormann