Erwägungen:
1.
1.1. A._ (nachfolgend: der Gebührenpflichtige) gelangte am 23. August 2019 mit Beschwerde betreffend die Radioemp-fangsgebühr an das Bundesverwaltungsgericht. Mit Zwischenver-fügung A 4299/2019 vom 26. August 2019 forderte dieses den Gebührenpflichtigen auf, bis zum 16. September 2019 einen Kosten-vorschuss von Fr. 800.-- zu leisten, unter Androhung des Nicht-eintretens im Unterlassungsfall. Mit rechtzeitiger Eingabe vom 27. September 2019 an das Bundesgericht beantragte der Gebühren-pflichtige unter Hinweis auf seine finanziellen Verhältnisse, auf die Bezahlung des Kostenvorschusses sei zu verzichten; für das vor-liegende Verfahren solle ihm das Recht zur unentgeltlichen Rechts-pflege erteilt werden. Das Bundesgericht qualifizierte die Eingabe als Gesuch um Kostenbefreiung im Verfahren vor dem Bundesver-waltungsgericht und damit vorab um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege vor jener Instanz. Mit Urteil 2C_817/2019 vom 30. September 2019 trat das Bundesgericht auf die Beschwerde nicht ein und überwies es die Eingabe vom 27. September 2019 im Sinne der Erwägungen an das Bundesverwaltungsgericht. Der Versand des Urteils erfolgte am 10. Oktober 2019.
1.2. Mit Entscheid A-4299/2019 vom 1. Oktober 2019 trat das Bundesverwaltungsgericht auf die Beschwerde vom 23. August 2019 nicht ein. Es begründete dies damit, dass der Kostenvorschuss innerhalb der angesetzten Frist nicht geleistet worden sei, weshalb auf die Sa-che androhungsgemäss nicht einzutreten sei. Von Verfahrenskosten sah das Bundesverwaltungsgericht ab.
1.3. Am 18. Oktober 2019 gelangte das Bundesverwaltungsgericht von Amtes wegen an den Gebührenpflichtigen und teilte diesem mit, erst nach Erlass des Entscheids vom 1. Oktober 2019 erfahren zu haben, dass der Gebührenpflichtige ans Bundesgericht gelangt sei. Der Nichteintretensentscheid vom 1. Oktober 2019 lasse sich von Amtes wegen nicht aufheben und in Wiedererwägung ziehen. Unpräjudiziell hielt das Bundesverwaltungsgericht aber fest, dass selbst unter Berück-sichtigung der Eingabe vom 27. September 2019 (Gesuch um Kosten-befreiung) auf die Beschwerde vom 23. August 2019 nicht einzutreten gewesen wäre. Das Gesuch um Erteilung des Rechts zur unent-geltlichen Rechtspflege sei zum einen erst nach Ablauf der Zahlungs-frist (16. September 2019) gestellt worden, zum anderen hätte sich die Beschwerdesache voraussichtlich als aussichtslos erwiesen, weshalb das Gesuch auch aus diesem Grund abzuweisen gewesen wäre.
1.4. Mit Eingabe vom 5. November 2019 (Poststempel: 6. November 2019) erhebt der Gebührenpflichtige beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt sinngemäss, das Urteil A-4299/2019 vom 1. Oktober 2019 sei aufzuheben und die Vorinstanz anzuweisen, die Sache an die Hand zu nehmen und ihm zudem das Recht zur unentgeltlichen Rechtspflege zu gewähren. In verfahrensrechtlicher Hinsicht ersucht der Gebührenpflichtige auch für das bundesgerichtliche Verfahren um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege.
1.5. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (<ref-law>; SR 173.110) hat von Instruktionsmassnahmen, insbesondere von einem Schriftenwechsel, abgesehen.
2.
2.1. Der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kommt aufschiebende Wirkung nur zu, soweit der Instruktionsrichter von Amtes wegen oder auf Antrag einer Partei eine solche anordnet (<ref-law>). Das Bundesgericht qualifizierte die Eingabe vom 27. September 2019 ohnehin als Gesuch um Kostenbefreiung im Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht und damit vorab um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege vor jener Instanz (Urteil 2C_817/2019 vom 30. September 2019; vorne E. 1.1). Damit lief die mit Zwischenverfügung A-4299/2019 vom 26. August 2019 angesetzte Frist zur Leistung des Kostenvorschusses von Fr. 800.-- ununterbrochen weiter und endete am 16. September 2019, wenngleich der Gebührenpflichtige seiner Eingabe vom 27. September 2019 möglicherweise den Charakter einer Beschwerde beigemessen hatte.
2.2. Streitig und zu prüfen kann demnach einzig sein, ob die Vorin-stanz in ihrem Endentscheid vom 1. Oktober 2019 bundesrechts-konform und willkürfrei festgestellt habe, der Kostenvorschuss sei innert Frist nicht eingelangt, weshalb auf die Sache nicht einzutreten sei. Der Gebührenpflichtige bestreitet nicht, dass die Zahlungsfrist ungenutzt verstrichen sei und dass ihm für diesen Fall das Nicht-eintreten angedroht worden sei. Er macht vielmehr geltend, im vorinstanzlichen Verfahren wäre ihm das Recht zur unentgeltlichen Rechtspflege zu gewähren und daher - trotz ausgebliebenen Kosten-vorschusses - auch materiell auf die Sache einzutreten gewesen.
2.3. Der Gebührenpflichtige hatte seine Beschwerde vom 23. August 2019 eingereicht, ohne begleitend ein Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege zu stellen. Er tat dies erst mit seinem Gesuch vom 27. September 2019, das er überdies bei einer unzuständigen Behörde eingereicht hat. Daraus darf ihm kein Rechts-nachteil entstehen. Es ist daher zu prüfen, wie die Vorinstanz zu entscheiden gehabt hätte, wenn ihr das Gesuch vom 27. September 2019 schon vor dem 1. Oktober 2019 zugekommen wäre.
2.4. Die unentgeltliche Rechtspflege kann grundsätzlich jederzeit be-antragt werden. Erfolgt das Gesuch vor Ablauf der angesetzten Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses, so ist dies als Gesuch um Wiedererwägung hinsichtlich des verfügten Kostenvorschusses zu verstehen (MARTIN KAYSER/RAHEL ALTMANN, VwVG, Kommentar, 2. Aufl. 2019, N. 17 zu <ref-law>). Wird es hingegen nach Ablauf der angesetzten Fristeingereicht, kann die Frist zwangsläufig nicht mehr gewahrt werden (Urteil 2C_535/2016 vom 8. Juli 2016 E. 3.2.1) und könnte sich das Gesuch einzig noch auf künftige Verfahrenskosten auswirken. Den Rechtsnachteil, dass die Vorschusspflicht ungenutzt verstrichen ist, vermag ein verspätetes Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu heilen.
2.5. Der Gebührenpflichtige bringt nichts vor, was den streitbetroffenen Nichteintretensentscheid A-4299/2019 vom 1. Oktober 2019 als ver-fassungsrechtlich unhaltbar oder bundesrechtswidrig darstellen kön-nte. Seine Ausführungen bleiben an der Oberfläche und genügen den Anforderungen von <ref-law> nicht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 217). Nichts daran ändert der Umstand, dass die Vorinstanz eher vorschnell gehandelt, den gewöhnlichen Lauf der Briefpost ausser Acht gelassen und ihren Nichteintretensentscheid getroffen hat, noch ehe das Bundesgericht eine etwaige aufschiebende Wirkung hätte an-ordnen können. Die Beschwerde enthält so oder anders offensichtlich keine hinreichende Begründung, weshalb darauf mit Entscheid des Abteilungspräsidenten als Einzelrichter nicht einzutreten ist (<ref-law>).
3.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der unterliegenden Partei aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Mit Blick auf die besonderen Umstände kann von einer Kostenverlegung abgesehen werden (<ref-law>), wodurch das für das bundesgerichtliche Verfahren gestellte Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege ge-genstandslos wird (<ref-ruling> E. 5 S. 126). Der Serafe AG und dem BAKOM, die in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegen, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Für das bundesgerichtliche Verfahren werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesver-waltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. November 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher