Sachverhalt:
A.
A._ wurde am 24. November 2016 vom Amtsgericht Olten-Gösgen zu einer Freiheitsstrafe von 20 Monaten und einer Busse von Fr. 150.-- verurteilt. Überdies wurde eine stationäre therapeutische Massnahme nach <ref-law> angeordnet.
Nachdem A._ am 21. Februar 2020 in der Justizvollzugsanstalt Solothurn einen Mitinsassen tätlich angegriffen und verletzt hatte, wies ihn das Amt für Justizvollzug des Kantons Solothurn mit Verfügung vom 2. März 2020 "befristet für maximal sechs Monate, d.h. bis zum 1. September 2020", in den Sicherheitstrakt I der Justizvollzugsanstalt Lenzburg ein. D iese Verfügung focht A._ am 12. März 2020 mit Beschwerde beim Departement des Innern des Kantons Solothurn an.
B.
Am 31. Juli 2020 erhob A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn Beschwerde mit den Anträgen, es sei festzustellen, dass es im Verfahren betreffend Einweisung in den Sicherheitstrakt I durch das Departement des Innern zu einer Rechtsverweigerung und Rechtsverzögerung gekommen sei, und das Departement sei anzuweisen, umgehend über die Rechtmässigkeit der Einweisung in den Sicherheitstrakt I zu entscheiden. Gleichzeitig ersuchte er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung.
C.
Mit Urteil vom 23. September 2020 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Es erwog, nachdem das Departement des Innern am 31. August 2020 über die Beschwerde von A._ gegen die Einweisung in den Sicherheitstrakt I entschieden habe, habe sich das Begehren hinsichtlich der Rechtsverweigerung erledigt. Im Übrigen beurteilte es die Beschwerde als unbegründet, da keine Rechtsverzögerung vorliege. Ferner wies das Verwaltungsgericht das Gesuch von A._ um unentgeltliche Rechtspflege und -verbeiständung infolge Aussichtslosigkeit ab und auferlegte A._ die Verfahrenskosten in der Höhe von Fr. 800.--.
D.
A._ verlangt mit Beschwerde in Strafsachen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 23. September 2020 sei aufzuheben und wie folgt neu zu fassen:
"Es sei festzustellen, dass es im Verfahren betr. Einweisung in den Sitrak I durch das Departement des Innern zu einer Rechtsverweigerung und Rechtsverzögerung gekommen ist (<ref-law> sowie Art. 5 Ziff. 4 EMRK und Art. 13 EMRK). Dem Rechtsanwalt des Beschwerdeführers sei eine Parteientschädigung von CHF 1'947.20 für das Verfahren vor dem Verwaltungsgericht zuzusprechen."
Ferner seien die Kosten des Verfahrens vor dem Verwaltungsgericht von Fr. 800.-- auf die Staatskasse zu nehmen und es sei ihm eine Parteientschädigung für das Verfahren vor Bundesgericht zuzusprechen.
Eventualiter sei ihm für das Verfahren vor dem Verwaltungsgericht die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, und seinem Anwalt sei ein amtliches Honorar in Höhe von CHF 1'500.-- auszurichten. Die Verfahrenskosten von Fr. 800.-- seien einstweilen auf die Staatskasse zu nehmen.
Subeventualiter sei die Sache zur neuen Entscheidung und Begründung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Ausserdem ersucht A._ um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren.

Erwägungen:
1.
Entscheide über den Vollzug von Strafen und Massnahmen unterliegen nach <ref-law> der Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Zu dieser ist gemäss <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Dass in der beispielhaften Aufzählung von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 BGG "die verurteilte Person" nicht erwähnt wird, steht deren Beschwerdebefugnis in Angelegenheiten des Straf- und Massnahmenvollzugs offensichtlich nicht entgegen. Inwiefern in diesem Zusammenhang Art. 5 Ziff. 1 lit. a EMRK verletzt sein soll, wie der Beschwerdeführer meint, ist nicht nachvollziehbar.
Nach ständiger bundesgerichtlicher Rechtsprechung muss das von <ref-law> verlangte Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids ein aktuelles und praktisches sein (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 77; <ref-ruling> E. 1.3 S. 276 mit weiteren Hinweisen; siehe zur jüngeren Praxis etwa Urteil 6B_294/2020 vom 24. September 2020 E. 2.3). Ob unter diesem Gesichtspunkt auf die Beschwerde eingetreten werden kann, nachdem das Departement des Innern mit Entscheid vom 31. August 2020 über die Beschwerde gegen die Einweisung des Beschwerdeführers in den Sicherheitstrakt I entschieden hat, erscheint ungewiss. Da sich die Beschwerde ohnehin als unbegründet erweist (vgl. nachfolgende Erwägungen 2 - 4), kann die Frage jedoch offenbleiben.
2.
Mit Beschwerde in Strafsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden.
In der Begründung der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Bezüglich der Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht prüft eine solche nur insofern, als eine Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). In der Beschwerde ist daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 118; <ref-ruling> E. 3 S. 65; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232).
Der Beschwerdeführer rügt diverse Bestimmungen der Bundesverfassung und der EMRK als verletzt, kommt jedoch den dafür geltenden Begründungsanforderungen nur teilweise nach. Unzureichend begründet ist insbesondere die Rüge einer Verletzung von Art. 3 EMRK, zumal sich die Beschwerde insofern in allgemeinen Erörterungen zur Isolation Inhaftierter erschöpft, ohne dass ein Bezug zur vorliegenden Beschwerde wegen Rechtsverzögerung hergestellt würde. Auf diese Ausführungen ist im Folgenden nicht weiter einzugehen.
3.
Der Beschwerdeführer rügt eine Rechtsverzögerung durch das Departement des Innern.
3.1. Er beruft sich auf <ref-law> sowie Art. 6 Ziff. 1 und Art. 5 Ziff. 4 EMRK. Inwiefern die letztgenannte Bestimmung hier anwendbar sein soll, zeigt er allerdings nicht auf und ist auch nicht ersichtlich, war doch nicht der Freiheitsentzug als solcher Gegenstand des Verfahrens vor dem Departement des Innern, sondern eine Änderung der Vollzugsbedingungen. Dass eine solche mit zusätzlichen Einschränkungen der persönlichen Freiheit einhergeht, vermag die Anwendbarkeit von Art. 5 EMRK im Allgemeinen nicht zu begründen (siehe OLIVIER BIGLER, in: Gonin/Bigler [Hrsg.], Convention européenne des droits de l'homme [CEDH], Commentaire des articles 1 à 18 CEDH, 2018, N. 22 zu Art. 5 EMRK; FROWEIN/PEUKERT, Europäische Menschenrechtskonvention, EMRK-Kommentar, 3. Aufl. 2009, N. 18 f. zu Art. 5 EMRK; JOACHIM RENZIKOWSKI, in: Pabel/Schmahl [Hrsg.], Internationaler Kommentar zur Europäischen Menschenrechtskonvention, 19. Lieferung 2016, N. 75 - 78 zu Art. 5 EMRK; je mit Hinweis auf die Strassburger Rechtsprechung).
3.2. Gemäss <ref-law> hat jede Person in Verfahren vor Gerichts- und Verwaltungsinstanzen Anspruch auf gleiche und gerechte Behandlung sowie auf Beurteilung innert angemessener Frist. Ob in der hier zu beurteilenden Sache zusätzlich auch Art. 6 Ziff. 1 EMRK zur Anwendung gelangt, kann dahingestellt bleiben, zumal diese Bestimmung hinsichtlich des Beschleunigungsgebots keinen weitergehenden Schutz vermittelt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 377; <ref-ruling> E. 2.2 f. S. 271 ff., 312 E. 5.1 S. 332; Urteil 6B_942/2019 vom 2. Oktober 2020 E. 1.2.1).
Die Angemessenheit der Verfahrensdauer bestimmt sich nicht absolut, sondern ist im Einzelfall unter Berücksichtigung der gesamten Umstände zu beurteilen. Der Streitgegenstand und die damit verbundene Interessenlage können raschere Entscheide erfordern oder längere Behandlungsperioden erlauben. Zu berücksichtigen sind namentlich die Bedeutung des Verfahrens für den Betroffenen, die Komplexität des Falles und das Verhalten der Verfahrensbeteiligten. Je intensiver der Grundrechtsträger von einem Entscheid betroffen ist und je schwerer das Rechtssicherheitsinteresse wiegt, desto höher ist der Anspruch auf beförderliche Behandlung der Sache zu werten (<ref-ruling> E. 3.2 S. 489; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 377; <ref-ruling> E. 4.4 S. 277; <ref-ruling> E. 5.2 S. 332; Urteile 6B_771/2019 vom 7. November 2019 E. 4.1; 2C_608/2017 vom 24. August 2018 E. 6.5.2). Bei der Feststellung einer übermässigen Verfahrensdauer ist zu prüfen, ob sich die Umstände, die zur Verlängerung des Verfahrens geführt haben, objektiv rechtfertigen lassen. Mangelnde Organisation oder Überlastung bewahren nicht vor dem Vorwurf der Rechtsverzögerung (<ref-ruling> E. 3.2 S. 489; <ref-ruling> E. 3.3.3 S. 57; <ref-ruling> E. 5.2 S. 332). Andererseits kann von den Behörden und Gerichten nicht verlangt werden, dass sie sich ausschliesslich einem einzigen Fall widmen. Zeiten mit intensiver behördlicher oder gerichtlicher Tätigkeit können andere Zeitspannen kompensieren, in denen aufgrund der Geschäftslast keine Verfahrenshandlungen erfolgten (BGE <ref-ruling> E. 3.3.3 S. 56; <ref-ruling> E. 2c S. 142; Urteil 6B_771/2019 vom 7. November 2019 E. 4.1).
3.3. Zum Ablauf des Verfahrens vor dem Departement des Innern ist folgendes bekannt: Der Beschwerdeführer erhob am 12. März 2020 durch seinen Rechtsanwalt Beschwerde gegen die Verfügung des Amts für Justizvollzug vom 2. März 2020, wobei er unter dem Titel "Vorfragen" die Durchführung einer mündlichen Hauptverhandlung sowie die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Rechtsverbeiständung beantragte. Die Beschwerde ging am 13. März 2020 beim Departement des Innern ein. Am 2. April 2020 verfügte dieses, dass auf die Erhebung eines Kostenvorschusses vorläufig verzichtet werde, und setzte dem Amt für Justizvollzug Frist bis zum 1. Mai 2020 zur Einreichung einer Stellungnahme und der Akten. Mit Schreiben vom 26. April 2020 bat der Rechtsanwalt des Beschwerdeführers das Departement des Innern darum, "so schnell als möglich zu entscheiden", da sich der gesundheitliche Zustand des Beschwerdeführers weiter verschlechtert habe. Am 27. April 2020 ersuchte das Amt für Justizvollzug um Fristerstreckung betreffend Stellungnahme und Akteneinreichung bis 15. Mai 2020, da sich die Vollzugsakten zurzeit noch wegen eines Beschwerdeverfahrens beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn befänden. Diesem Gesuch gab das Departement des Innern mit Verfügung vom 29. April 2020 statt, mit dem Hinweis, dass der Eingabe des Beschwerdeführers vom 26. April 2020 insofern Rechnung getragen werden könne, als die Fristerstreckung "einmalig" erfolge. Am 13. Mai 2020 nahm das Amt für Justizvollzug zur Beschwerde Stellung, unter Beilage der Originalakten. Mit Schreiben vom 25. Mai 2020 bat der Beschwerdeführer darum, umgehend über "die von mir am 12.03.2020 gestellten Anträge zu entscheiden". In einer verfahrensleitenden Verfügung vom 26. Mai 2020 wies das Departement des Innern den Antrag auf Durchführung einer mündlichen Hauptverhandlung ab, verzichtete für das Beschwerdeverfahren auf die Erhebung von Verfahrenskosten sowie eines Kostenvorschusses und wies das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung ab, "soweit es nicht gegenstandslos geworden ist". Gleichzeitig sandte es die Stellungnahme des Amts für Justizvollzug "zur Kenntnisnahme" an den Beschwerdeführer. Am 8. Juni 2020 nahm der Beschwerdeführer zur Vernehmlassung des Amts für Justizvollzug Stellung und stellte den Antrag, der juristische Mitarbeiter des Rechtsdienstes des Departements des Innern, Herr B._, habe in den Ausstand zu treten, da er das hängige Verfahren ohne Vorbehalt als aussichtslos bezeichnet habe. Zudem focht er die Verfügung vom 26. Mai 2020 beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn an. Mit Zwischenentscheid vom 12. Juni 2020 trat das Departement des Innern auf das Ausstandsgesuch nicht ein. Sodann trat das Verwaltungsgericht mit Urteil vom 16. Juni 2020 auf die Beschwerde gegen die verfahrensleitende Verfügung vom 26. Mai 2020 nicht ein. Am 28. Juli 2020 ersuchte das Departement des Innern das Bundesgericht darum, die im Beschwerdeverfahren 1B_262/2020 bei diesem befindlichen Strafvollzugsakten zur Einsichtnahme zuzustellen.
Die Vorinstanz prüfte das Vorliegen einer Rechtsverzögerung und verneinte dies "mit Blick auf die Chronologie des Verfahrens". Sie erwog, es habe keine längeren, unbegründeten Verfahrenspausen gegeben. Die involvierten Stellen hätten jeweils fristgerecht agiert.
3.4. Die Vorinstanz hat in ihrem Entscheid die für sie wesentlichen Überlegungen genannt, von denen sie sich hat leiten lassen und auf welche sie ihren Entscheid stützt. Anders als der Beschwerdeführer meint, ist ihre Erwägung, es habe keine längeren, unbegründeten Verfahrenspausen gegeben, angesichts des bekannten Verfahrenshergangs durchaus überprüfbar. Dass sich die Vorinstanz in ihrem Entscheid nicht ausdrücklich zum Umfang und zur Komplexität des Falles äussert, verletzt entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers die Begründungspflicht (<ref-law>) nicht; vielmehr war der Entscheid ohne Weiteres sachgerecht anfechtbar. Ferner beanstandet der Beschwerdeführer willkürliche und aktenwidrige Feststellungen, kritisiert unter diesem Titel aber lediglich die rechtliche Würdigung durch die Vorinstanz. Eine vom Bundesgericht zu berichtigende offensichtlich unrichtige oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhende Sachverhaltsfeststellung (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG) liegt nicht vor.
3.5. Der Beschwerdeführer kritisiert, dass das Departement des Innern dem Amt für Justizvollzug angesichts der 10-tägigen Beschwerdefrist zu viel Zeit für die Stellungnahme und die Einreichung der Akten eingeräumt habe. Tatsächlich erscheint es mit Blick auf die Natur der Sache und den Umstand, dass einer allfälligen Beschwerde in der angefochtenen Verfügung die aufschiebende Wirkung entzogen worden war, angezeigt, der verfügenden Behörde eine kurze Vernehmlassungsfrist einzuräumen. Die Frist bis zum 1. Mai 2020 ist vom Ermessensspielraum der verwaltungsinternen Rechtsmittelinstanz aber noch gedeckt, zumal auch der Grundsatz der Waffengleichheit nicht verlangt, dass den Verfahrensparteien gleich lange Fristen eingeräumt werden (siehe etwa Urteile 2D_47/2019 vom 13. November 2019 E. 3.1; 2A.160/2004 vom 9. Juni 2005 E. 3.2, nicht publ. in <ref-ruling>; 2P.187/2003 vom 27. November 2003 E. 3; je mit Hinweisen). Sodann hat das Amt für Justizvollzug seine Stellungnahme entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers nicht "verspätet" eingereicht, sondern rechtzeitig und begründet um eine Fristerstreckung ersucht, welche denn auch einmalig gewährt wurde.
Andererseits weist die Vorinstanz zu Recht darauf hin, dass der Beschwerdeführer mit seinem Verhalten wiederholt selbst zur Verzögerung des Verfahrens beigetragen hat, nämlich, indem er zur Vernehmlassung des Amts für Justizvollzug freiwillig Stellung nahm, die verfahrensleitende Verfügung vom 26. Mai 2020 anfocht und ein Ausstandsgesuch stellte. Wohl kann dem Beschwerdeführer nicht zum Vorwurf gemacht werden, dass er sich am Verfahren beteiligte. Sein Verhalten darf jedoch bei der Frage berücksichtigt werden, ob die Verfahrensdauer angemessen war (vgl. auch Urteil 6B_306/2020 vom 27. August 2020 E. 2.4.2). Der Beschwerdeführer macht geltend, die verfahrensleitende Verfügung vom 26. Mai 2020 sei unnötig gewesen, da das Departement des Innern stattdessen direkt einen Endentscheid hätte fällen können. Diese Kritik geht jedenfalls insoweit fehl, als in der besagten Verfügung unter anderem über den prozessualen Antrag des Beschwerdeführers um Durchführung einer mündlichen Hauptverhandlung entschieden wurde. Der Beschwerdeführer focht die Verfügung denn (in diesem Punkt) auch an, anstatt den Endentscheid abzuwarten, und räumt in der Beschwerde selbst ein, dass diese Anfechtung "ein weiterer Fehler" gewesen sein möge. Ferner kann dem Beschwerdeführer nicht gefolgt werden, wenn er meint, sein Ausstandsgesuch hätte keine Verzögerung zur Folge haben dürfen. Nachdem er verlangt hatte, der fallführende juristische Mitarbeiter habe umgehend in den Ausstand zu treten und dürfe am Entscheid nicht mehr mitarbeiten, kann er dem Departement des Innern nicht vorwerfen, dass es vorgängig zum Endentscheid in einer separaten Verfügung über den Ausstand entschied.
Dem Beschwerdeführer ist zuzustimmen, dass die Verfahrensinstruktion des Departements des Innern ab dem Eingang der Beschwerde bis zur Zwischenverfügung vom 26. Mai 2020 nicht optimal erscheint, zumal zwischen einzelnen Instruktionsschritten ohne erkennbaren Grund mehrere Tage vergingen. In der Folge hat der Beschwerdeführer jedoch selbst massgeblich dazu beigetragen, dass sich das Verfahren verzögerte, und er hat somit mitzuvertreten, dass der Endentscheid erst zum Ende der verfügten Einweisung in den Sicherheitstrakt I erging. Unter Berücksichtigung dieses Umstands verstösst die Verfahrensdauer insgesamt nicht gegen das Beschleunigungsgebot gemäss <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Bei dieser Sachlage ist aber auch nicht erkennbar, inwieweit Art. 13 EMRK verletzt sein soll, wie in der Beschwerde ebenfalls moniert wird (vgl. <ref-ruling> E. 3.4.2 S. 350 f.).
4.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von <ref-law>, da die Vorinstanz sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu Unrecht abgewiesen und ihm Kosten auferlegt habe.
Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sind Begehren als aussichtslos anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Wenn sich dagegen Gewinn- und Verlustchancen ungefähr die Waage halten oder wenn das Obsiegen nur wenig unwahrscheinlicher ist, liegt keine Aussichtslosigkeit vor. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zum Prozess entschliessen würde. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich nach den Verhältnissen zum Zeitpunkt, zu dem das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt wurde (<ref-ruling> E. 5.1 S. 139 f.; <ref-ruling> E. 9.1 S. 537; je mit weiteren Hinweisen).
Dass die Vorinstanz das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen hat, verstösst nicht gegen <ref-law>. Der Beschwerdeführer gelangte an das Verwaltungsgericht, nachdem er - wie eben dargestellt (E. 3.5) - bereits selbst massgeblich zur Verzögerung des Verfahrens beigetragen hatte. Unter diesen Umständen ist es nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz seine Beschwerde als aussichtslos beurteilte, und zwar unabhängig davon, dass zum Zeitpunkt der Beschwerdeerhebung der Entscheid des Departements des Innern in der Sache noch nicht ergangen war.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung ist infolge Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren abzuweisen (vgl. <ref-law>). Die Gerichtskosten sind nach <ref-law> dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Dessen finanzieller Lage ist mit einer reduzierten Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (siehe <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Dezember 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Rohrer