Erwägungen:
1.
Am 16. August 2018 gab B._ gegenüber der Kantonspolizei St. Gallen an, dass sie von ihrem Ex-Partner A._, von welchem sie sich vor 10 Jahren unter schwierigen Umständen getrennt habe, mittels Nachrichten belästigt werde. B._ wurde angewiesen, A._ klar und deutlich mitzuteilen, dass sie keinen Kontakt mehr zu ihm wünsche.
Am 29. Mai 2019 meldete B._ der Kantonspolizei, dass die Nachrichten stark zugenommen hätten und es zu Beschimpfungen und Drohungen gekommen sei. Eine Anzeige wolle sie nicht erstatten. In der Folge nahm das Bedrohungsmanagement der Kantonspolizei mit A._ Kontakt auf. Dabei wurde A._ ermahnt, eine weitere Kontaktaufnahme zu B._ zu unterlassen. In den folgenden Tagen meldete sich B._ bei der Kantonspolizei und erklärte, dass die Anzahl Nachrichten, Drohungen und Beschimpfungen zugenommen hätten. Am 5. Juni 2019 erstattete B._ Strafanzeige gegen A._ wegen Beschimpfung, Missbrauchs einer Fernmeldeanlage, Drohung und Nötigung.
2.
Am 13. Juni 2019 wurde A._ zu den Vorwürfen polizeilich einvernommen. Dabei wurde ihm eine Vorladung zur erkennungsdienstlichen Behandlung ausgehändigt. Nachdem er schriftlich erklärt hatte, dass er damit nicht einverstanden sei, verfügte das Untersuchungsamt St. Gallen am 16. September 2019 die erkennungsdienstliche Erfassung, die Abnahme eines Wangenschleimhautabstrichs sowie die Erstellung eines DNA-Profils mit der Begründung, es bestünden Anhaltspunkte, dass A._ in - künftige oder vergangene - Delikte verwickelt sein könnte. Dagegen erhob A._ am 24. September 2019 Beschwerde, welche die Anklagekammer des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 4. Dezember 2019 abwies und ihm die Entscheidgebühr von Fr. 1'500.-- auferlegte. Zur Begründung führte die Anklagekammer zusammenfassend aus, es bestünden hinreichend konkrete Anhaltspunkte, dass A._ in andere - künftige oder vergangene - Delikte verwickelt sein könnte. Die verfügten Massnahmen würden sich deshalb als recht- und verhältnismässig erweisen.
3.
A._ führt mit Eingabe vom 17. Januar 2020 Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen vom 4. Dezember 2019. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Begründung der Anklagekammer überhaupt nicht auseinander und vermag mit der Darstellung seiner Sicht der Dinge nicht aufzuzeigen, dass die Abweisung seiner Beschwerde in rechtswidriger Weise erfolgt sein sollte. Soweit er die Entscheidgebühr beanstandet, ergibt sich aus seiner Beschwerde nicht, inwiefern die mit Fr. 1'500.-- im unteren Bereich des Gebührenrahmens (Fr. 500.-- bis Fr. 15'000) festgesetzte Gebühr rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Insgesamt ergibt sich aus der Beschwerde nicht, inwiefern die Begründung der Anklagekammer bzw. deren Entscheid selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein sollte. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
5.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Untersuchungsamt St. Gallen, und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Januar 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli