Sachverhalt:
A.
A.a. Am 7. Juli 2017 erliess das Steueramt des Kantons Solothurn eine Sicherstellungsverfügung gegenüber B._ und A._ für Ausstände der direkten Bundessteuer und der Staatssteuer der Jahre 2008-2017 im Umfang von total Fr. 225'162.10 (Stand 31. Juli 2017).
A.b. Gestützt auf die Sicherstellungsverfügung erliess das Steueramt gleichentags einen Arrestbefehl für Fr. 225'162.10 und bezeichnete die einzelnen Arrestgegenstände. Zur Prosequierung des Arrestes stellten die Schweizerische Eidgenossenschaft und der Kanton Solothurn, vertreten durch das Steueramt, am 13. Juli 2017 beim Betreibungsamt Olten-Gösgen gegen A._ ein Begehren um Betreibung auf Zahlung in der Höhe von Fr. 148'566.15. Die Zustellung des Zahlungsbefehls in der Betreibung Nr. xxx erfolgte am 16. August 2017. A._ erhob Rechtsvorschlag.
A.c. Die Schweizerische Eidgenossenschaft und der Kanton Solothurn, vertreten durch das Steueramt, stellten daraufhin beim Richteramt Olten-Gösgen in der Betreibung auf Zahlung Nr. xxx ein Gesuch um definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 148'566.15. Die Amtsgerichtspräsidentin erteilte am 19. Oktober 2017 die definitive Rechtsöffnung im verlangten Umfang für eine Betreibung auf Sicherstellung.
B.
Das Obergericht des Kantons Solothurn wies die von A._ dagegen erhobene Beschwerde am 12. Dezember 2017 ab.
C.
Mit Eingabe vom 11. Januar 2018 ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und die Rückweisung der Sache an das Obergericht, eventualiter sei das Rechtsöffnungsgesuch abzuweisen. Zudem verlangt sie die Zusprechung einer Parteientschädigung für das kantonale Verfahren und für das Verfahren vor Bundesgericht.
Die Schweizerische Eidgenossenschaft und der Kanton Solothurn als Beschwerdegegner schliessen auf Gutheissung der Beschwerde in der Sache und auf Abweisung des Begehrens um Zusprechung einer Parteientschädigung.
Das Obergericht beantragt die Abweisung der Beschwerde und verzichtet unter Hinweis auf die Akten auf eine Vernehmlassung.
Die Beschwerdeführerin hat eine Replik eingereicht.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Entscheid einer kantonalen Rechtsmittelinstanz, die über ein Rechtsöffnungsbegehren mit einem Streitwert über Fr. 30'000.-- befunden hat. Die Beschwerde in Zivilsachen ist gegeben (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 1 lit. b und Art. 75 Abs. 1 BGG). Dabei handelt es sich um einen Endentscheid (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1).
1.2. Die im kantonalen Verfahren unterlegene Beschwerdeführerin ist als Schuldnerin von der definitiven Rechtsöffnung besonders berührt und daher zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>).
1.3. Mit der vorliegenden Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen, wobei hier das Rügeprinzip gilt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel sind nur zulässig, soweit erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
2.
Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz eine Verletzung des rechtlichen Gehörs vor, da sie ihr zwar die Beschwerdeantwort der Gegenpartei zugestellt habe, indes keine Frist zur Replik angesetzt habe.
2.1. Gemäss <ref-law> haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Aus dieser verfassungsmässigen Garantie folgt unter anderem das Recht einer Partei sich im Rahmen eines Gerichtsverfahrens zu den Stellungnahmen und Vernehmlassungen der anderen Parteien und der Vorinstanzen zu äussern. Dieses Äusserungsrecht steht ihr unabhängig davon zu, ob die eingereichte Eingabe neue und/oder wesentliche Elemente enthält und ob sie im konkreten Fall massgebend sein kann. Die Partei allein entscheidet, ob eine neue Eingabe Bemerkungen erfordert (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.2). Die Behörde ist indes nur verpflichtet, für die Einreichung die Klage- oder der Beschwerdeantwort eine Frist anzusetzen. Hingegen muss sie dies im Hinblick auf eine allfällige Replik nicht tun. Sie ist einzig gehalten, mit ihrem Entscheid so lange zuzuwarten, damit sich die Parteien effektiv äussern können (<ref-ruling> E. 4.1.1).
2.2. Damit geht die Beschwerdeführerin fehl, wenn sie meint, die Vorinstanz hätte sie zur Replik einladen müssen. Aus dem Umstand, dass ihr keine Frist angesetzt worden ist, musste sie schliessen, dass keine Replik erwartet wird. Zudem kennt das summarische Verfahren, das insbesondere bei Rechtsöffnungsgesuchen zur Anwendung gelangt (<ref-law>), nur mit der gebotenen Zurückhaltung einen zweiten Schriftenwechsel (<ref-ruling> E. 2.2; Urteil 5A_736/2017 vom 8. Juni 2018 E. 3.2.2). Will sich eine Partei gleichwohl noch einmal äussern, so muss sie umgehend handeln. Im konkreten Fall hat die Vorinstanz die Beschwerdeantwort am 5. Dezember 2017 zugestellt und ihren Entscheid am 12. Dezember 2017 gefällt. Wenn das Bundesgericht in seiner Rechtsprechung wiederholt von einer Wartefrist der Behörde von zehn Tagen spricht, so handelt es sich dabei nur um eine Faustregel. Welche Frist ausreichend ist, damit von einem Verzicht auf das Replikrecht ausgegangen werden darf, hängt jedoch vom Einzelfall ab (Urteil 5D_81/2015 vom 4. April 2016 E. 2.3). Die Beschwerdegegner haben im kantonalen Beschwerdeverfahren ihren Standpunkt in gebotener Kürze festgehalten. Soweit die Beschwerdeführerin sich dazu hätte äussern wollen, hätte sie dies wohl in den paar Tagen tun oder um die Ansetzung einer Frist ersuchen können. Der Vorinstanz kann im konkreten Fall kaum eine Verletzung des rechtlichen Gehörs vorgeworfen werden. Weshalb die Vorinstanz aber nicht noch 2-3 Tage zugewartet hat, ist nicht verständlich, indes mangels Interesse der Beschwerdeführerin nicht abschliessend zu beurteilen, da im vorliegenden Fall - wie sich aus dem Folgenden ergibt - die Gutheissung der Beschwerde und Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung erfolgt.
3.
Anlass zur Beschwerde gibt die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung in einer Betreibung auf Zahlung. Nicht Streitgegenstand ist hingegen die Sicherstellungsverfügung, die der Betreibung vorangegangen ist. In der Sache wehrt sich die Beschwerdeführerin gegen die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung.
3.1. Vorab weist die Beschwerdeführerin darauf hin, dass die Vorinstanz in der Betreibung Nr. xxx die definitive Rechtsöffnung für zwei Forderungen erteilt habe, die auf einem gemeinsamen Betreibungsbegehren beruhen. Die Schweizerische Eidgenossenschaft und der Kanton Solothurn hätten in ihrem Betreibungsbegehren je einen Anspruch mit einem anderen Forderungsgrund geltend gemacht. Aus dem Zahlungsbefehl gehe nicht hervor, welcher Gläubiger nun für welche Forderung die Zahlung verlange. Damit erweise sich der Zahlungsbefehl als nichtig, was der Rechtsöffnungsrichter von Amtes wegen hätte berücksichtigen müssen.
3.1.1. Das Betreibungsbegehren hat eine ganze Reihe von Angaben zu enthalten, auf deren Grundlage das Betreibungsamt den Zahlungsbefehl ausstellt. So ist unter anderem der Gläubiger anzugeben sowie der geforderte Betrag und die Forderungsurkunde, bei deren Ermangelung der Grund der Forderung zu nennen (Art. 67 Abs. 1 Ziff. 1, 3 und 4, <ref-law>). Diese Bestandteile gelten in der Praxis als wesentlich, da sie dem Schuldner ermöglichen sollen, zur Betreibung Stellung nehmen zu können. Ob ein gültiges Betreibungsbegehren vorliegt, prüft das Betreibungsamt nur beschränkt auf die Verfahrensvoraussetzungen. Es obliegt dem Schuldner, gegen den Zahlungsbefehl wegen formeller Mängel Beschwerde zu erheben (WÜTHRICH/SCHOCH, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 12, 27 zu Art. 69; vgl. zur amtl. Publ. bestimmtes Urteil 5A_653/2017 vom 3. Mai 2018 E. 3.1.1).
3.1.2. Im vorliegenden Fall findet sich im Zahlungsbefehl in der Rubrik Gläubiger die Schweizerische Eidgenossenschaft und der Kanton Solothurn, vertreten durch das Steueramt des Kantons Solothurn. Die Forderung wird mit Fr. 148'566.15 beziffert. Als Forderungsurkunde wird die Sicherstellungsverfügung vom 7. Juli 2017 samt Arrestbefehl und Arresturkunde bezeichnet. In der Tat geht aus dem Zahlungsbefehl nicht hervor, welcher Gläubiger nun welchen Betrag fordert bzw. sicherstellen will. Immerhin lässt sich aus der Sicherstellungsverfügung entnehmen, dass es sich um Steuerausstände der beiden Gläubiger handelt. Zudem wird gemäss Zahlungsbefehl nur ein Teil davon bereits geltend gemacht ("Teil prov. Forderung"). Die zuständige Aufsichtsbehörde konnte die formellen Anforderungen an den Zahlungsbefehl nicht prüfen, da keine Beschwerde erhoben worden war. Aufgrund der von der Beschwerdeführerin nunmehr im Rechtsöffnungsverfahren erhobenen Kritik am Zahlungsbefehl wird die Gültigkeit der Betreibung (<ref-ruling> E. 4.1.1) nicht in Frage gestellt.
3.2. Alsdann kritisiert die Beschwerdeführerin, dass die Vorinstanz den Beschwerdegegnern die definitive Rechtsöffnung in einer Betreibung auf Sicherstellung erteilt habe. Dem Rechtsöffnungsgesuch liege aber eine Betreibung auf Zahlung zugrunde.
3.2.1. Auf dem Wege der Schuldbetreibung werden die Zwangsvollstreckungen durchgeführt, welche auf eine Geldzahlung oder auf eine Sicherheitsleistung gerichtet sind (<ref-law>). Bei der Betreibung auf Sicherheitsleistung handelt es sich nicht um eine besondere Betreibungsart, sondern um eine Betreibung mit einem besonderen Zweck. Sie wird nach den selben Regeln wie die Betreibung auf Zahlung durchgeführt und ist keineswegs ein minus im Verhältnis zur Betreibung auf Zahlung. Indes ist die Konkursbetreibung für Ansprüche auf Sicherheitsleistung ausgeschlossen (<ref-law>). Ebenso wird in einem solchen Fall das Pfändungsergebnis nicht verteilt, sondern hinterlegt (<ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 2; 62 III 119 S. 121; ACOCELLA, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 15 zu Art. 38; RIGOT, in: Commentaire romand, Poursuite et faillite, 2005, N. 5 zu Art. 38; STOFFEL/CHABLOZ, Voies d'exécution, 3. Aufl. 2016, § 1 Rz. 24 f.). Soll eine Betreibung auf Sicherheitsleistung eingeleitet werden, so ist dies mit dem Betreibungsbegehren ausdrücklich zu verlangen; zudem ist der sicherzustellende Betrag anzugeben (<ref-law>, JENT-SØRENSEN, in: Kurzkommentar SchKG, 2. Aufl. 2014, N. 9 zu Art. 38). Auf dem Zahlungsbefehl wird präzisiert, dass eine Betreibung auf Sicherheitsleistung vorliegt (Art. 69 Abs. 2 Ziff. 1 und 2 SchKG; GILLIÉRON, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, Bd. I, 1999, N. 29 zu Art. 38).
3.2.2. Im vorliegenden Fall hat das Betreibungsamt gestützt auf entsprechendes Betreibungsbegehren der Beschwerdegegner in der Betreibung Nr. xxx am 17. Juli 2017 den Zahlungsbefehl erlassen. Damit wurde A._ zur Zahlung der Forderung von Fr. 148'566.15 und der Betreibungskosten innert 20 Tagen aufgefordert. Sie erhob rechtzeitig Rechtsvorschlag. Mit Gesuch vom 24. August 2017 ersuchten die Beschwerdegegner das Amtsgericht um Erteilung der definitiven Rechtsöffnung in der Betreibung auf Zahlung Nr. xxx für den Betrag von Fr. 148'566.15 samt Betreibungskosten. Als Rechtsöffnungstitel wurde die Sicherstellungsverfügung vom 7. Juli 2017 genannt. Mit Urteil vom 19. Oktober 2017 erteilte die Amtsgerichtspräsidentin den Beschwerdegegnern die definitive Rechtsöffnung im verlangten Umfang. Zwar bezog sich der Rechtsöffnungsentscheid auf das gegen A._ laufende Betreibungsverfahren Nr. xxx, indes wurde die definitive Rechtsöffnung für eine Betreibung auf Sicherheitsleistung und nicht - wie beantragt - für eine Betreibung auf Zahlung erteilt. Das Obergericht, an welches sich die Beschwerdeführerin daraufhin gewandt hatte, wies die Beschwerde gegen den Rechtsöffnungsentscheid ab. Es qualifizierte die (nicht rechtskräftige) Sicherstellungsverfügung als definitiven Rechtsöffnungstitel, äusserte sich aber nicht zur Frage, ob überhaupt eine Betreibung auf Sicherheitsleistung vorliegt, wie das Amtsgericht angenommen hatte.
3.3. Konkret bringt die Beschwerdeführerin vor, der von der Vorinstanz geschützte Rechtsöffnungsentscheid sei aus zwei Gründen nichtig. Er beruhe einmal auf einer krassen Verletzung von <ref-law>, da das Amtsgericht den Beschwerdegegnern die definitive Rechtsöffnung in einer Betreibung auf Sicherheitsleistung statt, wie beantragt, in einer Betreibung auf Zahlung, erteilt habe. Zudem erlaube ein solcher Rechtsöffnungsentscheid einen Wechsel der Betreibungsart, indem er in einer Betreibung auf Zahlung die Fortsetzung der Betreibung auf Sicherheitsleistung ermögliche, was wiederum nichtig sei.
3.3.1. Der Richter beurteilt das Rechtsöffnungsgesuch nach den Regeln der ZPO. Anwendbar ist das summarische Verfahren, welches sich durch eine Beschränkung der Prüfungsbefugnis auszeichnet (<ref-law>). Zu beurteilen ist einzig, ob ein gültiger (definitiver oder provisorischer) Rechtsöffnungstitel vorliegt und ob die vom Betriebenen dagegen erhobenen Einwendungen bewiesen (<ref-law>) bzw. glaubhaft gemacht worden sind (<ref-law>). Hingegen nimmt der Rechtsöffnungsrichter keine materielle Prüfung einer der Betreibung zugrunde liegenden Forderung vor (<ref-ruling> E. 4.1).
3.3.2. Der Rechtsöffnungsrichter handelt nur auf Antrag des Betreibungsgläubigers (GILLIÉRON, a.a.O., N. 63 zu Art. 84). Zu den anwendbaren Verfahrensregeln gehört auch die Dispositionsmaxime. Demnach ist der Richter an die Anträge der Parteien gebunden (vgl. GILLIÉRON, a.a.O., N. 65 a.E. zu Art. 84). Er darf einer Partei nicht mehr und nichts anderes zusprechen, als sie verlangt, und nicht weniger, als die Gegenpartei anerkannt hat (<ref-law>). Das bedeutet insbesondere, dass die um Rechtsschutz ersuchende Partei den Streitgegenstand in qualitativer und quantitativer Weise bestimmt. Soweit die Dispositionsmaxime massgebend ist, gilt sie für alle Verfahren vor erster und zweiter Instanz (HURNI, in: Berner Kommentar, ZPO, 2012, N. 6, 17 zu Art. 58; GEHRI, in: Basler Kommentar, ZPO, 3. Aufl. 2017, N. 5 zu Art. 58; TREZZINI, in: Commentario pratico al CPC, 2. Aufl. 2017, N. 12 zu Art. 58). Die Missachtung der Dispositionsmaxime stellt eine Verletzung von Bundesrecht dar. Geschieht dies durch ein erstinstanzliches Gericht, so kann dies vor der oberen kantonalen Instanz mit Berufung (<ref-law>) bzw. mit Beschwerde (<ref-law>) gerügt werden. Gegen einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid kann diese Rüge vor Bundesgericht geltend gemacht werden (<ref-law>).
3.3.3. Für den Antrag des Betreibungsgläubigers auf Rechtsöffnung gemäss <ref-law> und die Spezifizierung der Art der Rechtsöffnung (wie definitiv oder provisorisch) gelten besondere Regeln (<ref-ruling> E. 3.5 mit Hinweisen). Der Gläubiger muss sodann nicht näher angeben, ob die Betreibung auf Zahlung oder auf Sicherheitsleistung geht: Dies muss sich - wie erwähnt (E. 3.2.1) - aus dem Zahlungsbefehl ergeben (STAEHELIN, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 40 zu Art. 84; ABBET, in: La mainlevée d'opposition, Abbet/Veuillet, 2017, N. 66 zu Art. 84). Das Amtsgericht beurteilte das Rechtsöffnungsgesuch der Beschwerdegegner - mit spezifiziertem Antrag (auf definitive Rechtsöffnung in der Betreibung auf Geldzahlung) - als ein solches in der Betreibung auf Sicherheitsleistung und nicht in einer Betreibung auf Geldzahlung, wie sich aus dem Zahlungsbefehl ergibt. Damit hat es einen anderen Antrag beurteilt als die Beschwerdegegner gestellt hatten; mit der Gutheissung und Anordnung der Rechtsöffnung "in der Betreibung auf Sicherheitsleistung" hat es eine Rechtsfolge angeordnet, die durch den Rechtsschutzantrag nicht gedeckt ist. Die Beschwerdegegner, welche den Beschwerdeantrag unterstützen, halten fest, dass ihr Rechtsöffnungsgesuch nicht in dieser Weise, sondern einzig als Antrag auf Rechtsöffnung in der Betreibung auf Geldzahlung hätte verstanden werden können und müssen. Die Vorinstanz hat die gegen den Rechtsöffnungsentscheid erhobene Beschwerde abgewiesen und damit die Verletzung der Dispositionsmaxime geschützt. Das angefochtene Urteil wird im Rahmen einer Beschwerde in Zivilsachen auf die Verletzung von Bundesrecht überprüft und nicht nur auf eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte, wie die Beschwerdeführerin offenbar meint (E. 1.3). Es erweist sich zwar nicht als nichtig, hingegen führt die Verletzung der Dispositionsmaxime ohne weiteres zu dessen Aufhebung. Bei einem solchen Ergebnis bleibt kein Raum für die Frage, ob aufgrund der Sicherstellungsverfügung vom 7. Juli 2017 die definitive Rechtsöffnung in der Betreibung auf Geldzahlung überhaupt zu erteilen wäre. Ob ein genügender Titel zur Rechtsöffnung in der angehobenen Betreibung auf Geldzahlung vorliegt, ist nicht Gegenstand der Beurteilung gewesen. Mit der Frage hat sich die Vorinstanz zu befassen, an welche die Sache in Gutheissung der Beschwerde und Aufhebung des angefochtenen Urteils zur Neubeurteilung zurückzuweisen ist.
4.
Nach dem Gesagten lässt sich das vorinstanzliche Urteil und damit die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung mit Bundesrecht nicht vereinbaren. Der Beschwerde ist damit Erfolg beschieden, soweit darauf eingetreten werden kann. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben. Die Sache wird zur neuen Beurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
Mit der vorliegenden Gutheissung entfällt die Grundlage für den vorinstanzlichen Kostenentscheid. Wenn das Bundesgericht die Kosten des vorangegangenen Verfahrens nicht selber regelt (<ref-law>), hat die Vorinstanz darüber ebenfalls neu zu befinden.
Die Gerichtskosten des bundesgerichtlichen Verfahrens werden dem Kanton Solothurn, welchem die Vorinstanzen angehören und welche das vorliegende Verfahren veranlasst haben, auferlegt (<ref-law>). Der obsiegenden Beschwerdeführerin steht mangels entschädigungspflichtigen Aufwandes für das bundesgerichtliche Verfahren keine Parteientschädigung zu.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und das Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 12. Dezember 2017 wird aufgehoben. Die Sache wird zur neuen Beurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Sache wird an die Vorinstanz zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens zurückgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- für das bundesgerichtliche Verfahren werden dem Kanton Solothurn auferlegt.
4.
Es wird keine Parteientschädigung für das bundesgerichtliche Verfahren zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. August 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Levante