Erwägungen:
1.
1.1. Das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt lehnte es am 20. Januar 2017 ab, die Aufenthaltsbewilligung der südafrikanischen Staatsbürgerin A._ zu verlängern und hielt sie an, das Land zu verlassen. Den Rekurs hiergegen wies das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt am 3. Dezember 2020 ab. A._ gelangte hiergegen an den Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt, der am 9. April 2021 ihren Antrag auf Wiedereinsetzung in den vorigen Stand abwies und auf den Rekurs nicht eintrat.
1.2. Hiergegen gelangte A._ an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, das ihren Rekurs am 23. Juli 2021 abwies und dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung keine Folge gab. Das Appellationsgericht ging davon aus, dass der Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements vom 3. Dezember 2020 der Rekurrentin tags darauf zugestellt worden sei, weshalb die zehntägige Frist für die Rekursanmeldung am 5. Dezember 2020 zu laufen begonnen und am 14. Dezember 2020 geendet habe; die Eingabe vom 4. Februar 2021 sei damit verspätet. Entgegen der Ansicht von A._ bestehe kein Fristwiederherstellungsgrund.
2.
2.1. Mit Eingabe vom 14. September 2021 beantragt A._ vor Bundesgericht, das Urteil des Appellationsgerichts vom 23. Juli 2021 aufzuheben und festzustellen, dass ihre Eingabe fristgerecht erfolgt sei; allenfalls sei ihrem Antrag auf Wiedereinsetzung in den vorigen Stand zu entsprechen. Sie habe - so ihr Begründung - die Vermutung erschüttert, dass die Sendung in ihren Abholbereich gelangt sei (Irrtum der Post). Allenfalls sei die Frist wiederherzustellen, da sie wegen verschiedener Schicksalsschläge nicht rechtzeitig habe handeln können.
2.2. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement und das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Das präsidierende Mitglied legte der Beschwerde am 16. September 2021 antragsgemäss aufschiebende Wirkung bei. Mit Schreiben vom 2. November 2021 zog A._ ihre Beschwerde zurück, nachdem ihr das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt am 26. Oktober 2021 eine Aufenthaltsbewilligung erteilt hatte. Sie hielt dabei an ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung fest; trotz des Beschwerderückzugs könne nicht davon ausgegangen werden, dass ihre Beschwerde zum Vornherein aussichtslos gewesen sei; dem Rückzug liegt eine Honorarnote von Fr. 1'254.35 bei.
3.
3.1. Nach Art. 32 Abs. 1 und 2 BGG entscheidet der Abteilungspräsident als Einzelrichter über die Abschreibung von Verfahren infolge Rückzugs der Beschwerde. Gleichzeitig befindet er über die Kosten- und Entschädigungsfrage (MATTHIAS HÄRRI, in: Niggli/Uebersax/ Wiprächtiger/Kneubühler [Hrsg.], Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 20 zu <ref-law>; FLORENCE AUBRY GIRARDIN, in: Corboz/ Wurzburger/Ferrari/Frésard/Aubry Girardin [Hrsg.], Commentaire de la LTF, 2. Aufl. 2014, N. 10 zu <ref-law>). Über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung entscheidet das Gericht grundsätzlich in der Besetzung mit drei Richterinnen oder Richter (Art. 64 Abs. 3 1. Satz BGG; Verfügung 2C_323/2011 vom 29. August 2011 E. 2); der Instruktionsrichter kann die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nur selber gewähren, falls keine Zweifel daran bestehen, dass deren Voraussetzungen erfüllt sind (Art. 64 Abs. 3 3. Satz BGG; vgl. HANSJÖRG SEILER, in: Seiler/von Werdt/Güngerich/ Oberholzer [Hrsg.], SHK Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2. Aufl. 2015, N. 57 zu <ref-law>; HÄRRI, a.a.O., N. 21b zu <ref-law>).
3.2.
3.2.1. Die Beschwerdeführerin hat ihre Eingabe am 2. November 2021 klar, ausdrücklich und unbedingt zurückgezogen; das Verfahren ist deshalb abzuschreiben. Da die Voraussetzungen für die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nicht gegeben sind, ist über das Gesuch in einer Besetzung mit drei Richterinnen oder Richter zu befinden: Die Eingabe hatte gestützt auf die detaillierte Begründung im angefochtenen Entscheid, welche in zutreffender Weise auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung Bezug nimmt, als zum Vornherein aussichtslos zu gelten. Es kann aufgrund der konkreten Umstände dennoch davon abgesehen werden, für das vorliegende Verfahren Kosten zu erheben (<ref-law>).
3.2.2. Zwar hat die Beschwerdeführerin am 26. April 2021 eine Anwaltsvollmacht unterzeichnet, die eine Substitutionsklausel enthält. Die Beschwerdeschrift wurde jedoch vom Substituten verfasst, der seinerseits um Beigabe als unentgeltlicher Rechtsbeistand ersucht ("substituiert durch den Unterzeichneten [recte: Unterzeichnenden] als deren unentgeltlichen Rechtsbeistand"). Es handelt sich dabei um einen Juristen, der nicht Rechtsanwalt ist. Dessen Bestellung als unentgeltlicher Vertreter nach <ref-law> ist nicht möglich. Die bevollmächtigte Anwältin selber kann nicht bestellt werden, da die massgebliche Rechtsvertretungsarbeit, für die Entschädigung aus der Gerichtskasse beantragt wird, nicht von ihr geleistet wurde. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtsvertretung ist daher - neben der Aussichtslosigkeit - auch aus diesem Grund abzuweisen (vgl. Verfügung 2C_323/2011 vom 29. August 2011 E. 2; Urteil 2C_1132/2012 vom 13. Mai 2013 E. 5.3, nicht publ. in <ref-ruling>).

Demnach wird verfügt und beschlossen:
1.
Das Verfahren wird infolge Rückzugs der Beschwerde abgeschrieben.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Diese Verfügung bzw. dieser Beschluss wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. November 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar