Sachverhalt:
A.
A.a. Am 3. Februar 2021 reichte A._ beim Bezirksgericht Zürich gegen seine Schwester B._ eine Klage auf Teilung des väterlichen Nachlasses ein. Mit Beschluss vom 11. Februar 2021 auferlegte das Bezirksgericht dem Kläger, ausgehend von einem Streitwert von Fr. 690'000.--, einen Gerichtskostenvorschuss von Fr. 20'000.--. Darauf ersuchte A._ das Bezirksgericht um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Beschluss vom 11. März 2021 wies das Bezirksgericht dieses Gesuch ab, mit Verfügung vom 30. März 2021 setzte es A._ eine Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses. Am 12. April 2021 stellte A._ das Gesuch, den Vorschuss in zehn monatlichen Raten zu Fr. 2'000.-- bezahlen zu können. Mit Beschluss vom 22. April 2021 trat das Bezirksgericht auf die Klage nicht ein.
A.b. A._ erhob Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich. Dieses wies das Rechtsmittel ab. Auch dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren war kein Erfolg beschieden. Der Beschluss und das Urteil datieren vom 29. Juni 2021 und wurden gleichentags an die Parteien versandt.
B.
B.a. Mit Beschwerde vom 23. Juli 2021 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er stellt das Begehren, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben, und hält an seinem Antrag um Ratenzahlung (Bst. A.a) fest; ausserdem seien die Prozesskosten des erst- und zweitinstanzlichen Verfahrens neu zu Lasten von B._ (Beschwerdegegnerin) zu regeln. Eventualiter beantragt der Beschwerdeführer, die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Überdies ersucht er für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und verlangt gleichzeitig, die Vorinstanzen "verfahrensausgangsgemäss anzuweisen, [ihm] die unentgeltliche Rechtspflege in derselben Weise zu gewähren".
B.b. Am 26. Juli 2021 reichte der Beschwerdeführer mittels elektronischer Eingabe eine Ergänzung seiner Beschwerde ein. Am 28. Oktober 2021 folgte auf demselben Weg eine Noveneingabe.
B.c. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, jedoch keinen Schriftenwechsel durchgeführt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Erbstreitigkeit der Parteien ist eine vermögensrechtliche Zivilsache (<ref-law>). Die gesetzliche Streitwertgrenze gemäss Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG (s. Urteil 4A_303/2019 vom 21. November 2019 E. 7) ist erreicht. Die Vorinstanz hat als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin entschieden (<ref-law>). Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>). Der angefochtene Entscheid ist ein Endentscheid (<ref-law>). Die Beschwerdefrist endete am 31. August 2021 (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 Bst. b BGG), ist hinsichtlich der Beschwerde vom 23. Juli 2021 und der Ergänzung vom 26. Juli 2021 also eingehalten. Die Eingabe vom 28. Oktober 2021 ist hingegen unbeachtlich. Die Begründung muss in der Beschwerde selbst enthalten sein, die binnen der gesetzlichen und nicht erstreckbaren Beschwerdefrist einzureichen ist. Nach Ablauf der Beschwerdefrist eingereichte Ergänzungen der Beschwerde sind unzulässig (<ref-ruling> E. 1.2.3)
1.2. Unter den gleichen Voraussetzungen steht die Beschwerde auch gegen den Beschluss offen, mit dem das Obergericht dem Beschwerdeführer für das Berufungsverfahren die unentgeltliche Rechtspflege versagt, denn das Obergericht hat diesen Entscheid nicht unabhängig von der Hauptsache gefällt (s. Urteile 5A_497/2019 vom 10. Dezember 2019 E. 1; 5A_295/2016 vom 23. Februar 2017 E. 1.4, nicht publ. in: <ref-ruling>). Dass das Obergericht über das Rechtspflegegesuch für das Berufungsverfahren nicht als Rechtsmittelinstanz (<ref-law>) entschieden hat, steht der Zulässigkeit der Beschwerde nicht entgegen (vgl. <ref-ruling> E. 2.2). Soweit es der Beschwerdeführer hingegen darauf abgesehen hat, im heutigen Verfahren auch auf den Beschluss des Bezirksgerichts vom 11. März 2021 betreffend das Rechtspflegegesuch für das erstinstanzliche Verfahren (vgl. Sachverhalt Bst. A.a) zurückzukommen, ist auf seine Beschwerde nicht einzutreten. Denn dieser Beschluss ist nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens.
2.
Der Streit dreht sich um das Begehren des Beschwerdeführers, den erstinstanzlich verfügten Kostenvorschuss in Raten zu bezahlen.
2.1. Gemäss <ref-law> kann das Gericht von der klagenden Partei einen Vorschuss bis zur Höhe der mutmasslichen Gerichtskosten verlangen. Nach der Rechtsprechung liegt es bei der Festlegung des Kostenvorschusses im Ermessen des Gerichts, auf die finanzielle Leistungsfähigkeit einer Partei Rücksicht zu nehmen, gerade wenn kein Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege besteht. In einem solchen Fall entspricht es dem Willen des Gesetzgebers, grosszügig von der Möglichkeit eines (Teil-) Verzichts auf den Vorschuss Gebrauch zu machen (Urteil 4A_356/2014 vom 5. Januar 2015 E. 1.2.2 mit Hinweisen). Dementsprechend kann das Gericht der vorschusspflichtigen Partei ermessensweise auch Ratenzahlungen gewähren, wenn sie in finanziellen Schwierigkeiten steckt, ohne dass die Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege erfüllt sind (DENIS TAPPY, in: Commentaire romand, Code de procédure civile, 2. Aufl., 2019, N 8 zu <ref-law>; FRANCESCO TREZZINI, in: Commentario pratico al Codice di diritto processuale civile svizzero, Bd. II, 2. Aufl., 2017, N 18 zu <ref-law>; GASSER/RICKLI, Schweizerische Zivilprozessordnung, Kurzkommentar, 2. Aufl., 2014, N 3 zu <ref-law>). Unter Hinweis auf bundesgerichtliche Urteile zur Prozesskostenvorschusspflicht (Urteil 5P.441/2005 vom 9. Februar 2006 E. 1.2; <ref-ruling> E. 3) sprechen sich einzelne Lehrmeinungen dafür aus, dass bei gegebener Bedürftigkeit ein Rechtsanspruch darauf bestehe, einen eingeforderten Kostenvorschuss in mehreren Teilbeträgen bezahlen zu können (vgl. STAEHELIN/STAEHELIN/GROLIMUND/BACHOFNER, Zivilprozessrecht, 3. Aufl, 2019, S. 247; RICHARD KUSTER, in: Stämpflis Handkommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2010, N 6 zu <ref-law>). Welche Bewandtnis es damit hat, insbesondere ob sich ein Anspruch auf Ratenzahlung gegebenenfalls aus dem Recht auf Zugang zu einem Gericht nach Art. 6 Abs. 1 EMRK ergibt, braucht hier aber nicht weiter vertieft zu werden. Das zeigen die nachfolgenden Erwägungen.
2.2.
2.2.1. Die Vorinstanz zitiert aus dem Nichteintretensbeschluss des Bezirksgerichts. Demnach brächte eine Ratenzahlung das Verfahren während zehn Monaten zum Stillstand, da weitere Schritte vom Gericht erst nach Einzahlung des gesamten Vorschusses angehoben würden; eine solche Verfahrensverzögerung sei nicht angängig. Weiter habe das Bezirksgericht klargestellt, dass eine Ratenzahlung im Sinne eines Entgegenkommens des Gerichts höchstens bei einer bedürftigen Partei in Frage käme, diese Voraussetzung beim Beschwerdeführer aber schlechterdings nicht gegeben sei. Dem bezirksgerichtlichen Beschluss zufolge dürfe Illiquidität nicht mit Bedürftigkeit gleichgesetzt werden; aufgrund seiner Stellung als Miterbe mehrerer Liegenschaften an bevorzugter Lage könne sich der Beschwerdeführer unabhängig von seiner Hausbank Kredit verschaffen. Das Bezirksgericht weise darauf hin, dass die Erbschaft überdies namhafte mobile Sachwerte enthalte, an denen dem Beschwerdeführer ein Anteil von etwa Fr. 71'000.-- zustehe. Vor diesem Hintergrund könne von einer Bedürftigkeit nicht ernsthaft die Rede sein, so das Fazit des Bezirksgerichts.
2.2.2. Was die Berufung angeht, erwägt das Obergericht, die erhobenen Beanstandungen beschlügen letztlich praktisch allesamt die Frage, ob der Beschwerdeführer aktuell über die erforderlichen verfügbaren Mittel verfüge, um neben seinem Lebensunterhalt die Prozesskosten zu finanzieren bzw. einen Vorschuss an die Gerichtskosten zu leisten. Das Obergericht stellt klar, dass das Bezirksgericht diese Frage bereits mit Beschluss vom 11. März 2021 (vgl. Sachverhalt Bst. A.a) bejaht habe; dieser Beschluss sei unangefochten geblieben und damit formell rechtskräftig. Ein Anspruch auf Wiedererwägung bestehe nur, soweit der Beschwerdeführer in seinem Ratenzahlungsgesuch vom 12. April 2021 gegenüber dem Beschluss vom 11. März 2021 veränderte Verhältnisse geltend mache. Dass er dies getan hätte und die Vorinstanz deshalb die bereits (formell rechtskräftig) verneinte Mittellosigkeit erneut zu prüfen gehabt hätte, mache der Beschwerdeführer in seiner Berufung jedoch nicht geltend. Damit würden die Berufungsvorbringen zum Fehlen aktuell effektiv verfügbarer Mittel zur Zahlung des Gerichtskostenvorschusses ins Leere gehen. In der Folge erklärt das Obergericht, weshalb der Beschwerdeführer auch nicht gegen die vorinstanzliche Alternativbegründung aufkomme, wonach eine Verfahrensverzögerung von zehn Monaten nicht angängig sei. <ref-ruling> E. 3, auf den sich der Beschwerdeführer berufe, sage nichts darüber aus, welche mit einer Ratenzahlung verbundene Verfahrensverzögerung noch hinzunehmen sei. Eine Rechtsverzögerung im Sinne von Art. 319 Bst. c ZPO könne schon begriffsnotwendig nicht vorliegen, weil das Gericht mit weiteren Entscheiden zuwarten müsse, bis der Vorschuss vollständig eingegangen ist. Auch dass die Voraussetzungen für eine Sistierung (<ref-law>) erfüllt wären, werde in der Berufung nicht dargetan.
2.3.
2.3.1. Unter dem Titel einer Verletzung des rechtlichen Gehörs wirft der Beschwerdeführer der Vorinstanz vor, auf verschiedene der von ihm erhobenen Beanstandungen nicht einzugehen und damit den Anforderungen der Begründungspflicht nicht zu genügen. Gewiss verlangt der verfassungsmässige Gehörsanspruch (<ref-law>), dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen (<ref-ruling> E. 4.1). Allerdings braucht sich die Behörde nicht zu allen Punkten einlässlich zu äussern, noch muss sie jedes einzelne Vorbringen widerlegen (<ref-ruling> E. 3.3.1). Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich die betroffene Person über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. Ob diese Anforderungen erfüllt sind, beurteilt sich anhand des Ergebnisses des Entscheides, das im Urteilsspruch zum Ausdruck kommt und das allein die Rechtsstellung der betroffenen Person berührt. Die Begründung ist also nicht an sich selbst, sondern am Rechtsspruch zu messen (zum Ganzen <ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 6.1; <ref-ruling> E. 5.2; <ref-ruling> E. 4.3.2; <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 3.3).
2.3.2. Eingedenk dieser Vorgaben ist der angefochtene Entscheid unter dem Blickwinkel von <ref-law> nicht zu beanstanden. Aus den vorinstanzlichen Erwägungen ergibt sich ohne Weiteres, welche Überlegungen den Ausschlag für die Abweisung der Berufung gaben. Ist der Beschwerdeführer damit nicht einverstanden, so beschlägt dies nicht das rechtliche Gehör, sondern die Rechtsanwendung.
2.4.
2.4.1. In der Sache macht der Beschwerdeführer geltend, aus seiner Eingabe vom 12. April 2021 gehe unmissverständlich hervor, dass sich gegenüber dem Beschluss vom 11. März 2021 veränderte Umstände ergeben haben. Er beteuert, sich entsprechend den Vorgaben dieses Beschlusses bei seiner Hausbank C._ und bei der für Privatkredite zuständigen Schwesterbank Bank D._ um einen Kredit bemüht zu haben. Nach dem abschlägigen Bescheid der Banken habe er in seinem Gesuch um Ratenzahlung vom 12. April 2021 unmissverständlich festgehalten, dass sich aufgrund der Kreditverweigerung der Banken die Bezahlung des gesamten Vorschusses im Sinne einer anfänglichen Leistungsunmöglichkeit analog <ref-law> als nicht erbringbar erwiesen habe, weshalb er um eine ratenweise Bezahlung der Gerichtskosten ersucht habe. Als "ganz klar aktenwidrig" tadelt der Beschwerdeführer die vorinstanzliche Äusserung, er habe sich in der Berufung nicht zu diesen geänderten oder veränderten Umständen geäussert.
2.4.2. Die Rügen gehen an der Sache vorbei. Ausschlaggebend war für das Obergericht die Feststellung, der Beschwerdeführer habe in seiner Berufung nicht geltend gemacht, dass er sich schon in seinem Ratenzahlungsgesuch vom 12. April 2021 auf (gegenüber dem Beschluss vom 11. März 2021) veränderte Verhältnisse berief (E. 2.2.2). Diese Erkenntnis darüber, was der Beschwerdeführer im erstinstanzlichen Verfahren vorzubringen unterlassen hat, ist eine Feststellung über den Prozesssachverhalt, die für das Bundesgericht genauso verbindlich ist wie die vorinstanzlichen Feststellungen über den Lebenssachverhalt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1; Urteil 4A_247/2013 vom 14. Oktober 2013 E. 1.1). Diesbezüglich kann der Beschwerdeführer nur vorbringen, die fragliche Feststellung sei offensichtlich unrichtig (<ref-law>), das heisst willkürlich (vgl. <ref-ruling> E. 3.5; <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 1.5 mit Hinweis), oder beruhe auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>; Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1). In der Beschwerde ist auch darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (<ref-ruling> E. 4.1.2; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 1.3.1, 317 E. 5.4; <ref-ruling> E. 2.3).
Der Beschwerdeführer behauptet vor Bundesgericht nicht, dass er in seiner Berufung geltend gemacht habe, sich im Verfahren vor dem Bezirksgericht auf veränderte Verhältnisse berufen und damit das Bezirksgericht zu einer erneuten Prüfung seiner Mittellosigkeit veranlasst zu haben. Er besteht lediglich darauf, sowohl vor Bezirksgericht als auch vor Obergericht geltend gemacht zu haben, dass er den Kostenvorschuss aufgrund der Weigerung der Banken, ihm für die Finanzierung des Gerichtskostenvorschusses Kredit zu gewähren, im Sinne einer anfänglichen Leistungsunmöglichkeit nicht bezahlen könne. Auch wenn für den Beschwerdeführer damit "unmissverständlich" feststeht, dass veränderte Verhältnisse vorlagen, ist mit diesen Vorbringen noch nichts zur erwähnten, hier entscheidenden Frage gesagt, ob der Beschwerdeführer vor Obergericht auch den Vorwurf erhob, dass sich das Bezirksgericht auf unzulässige Weise über von ihm geltend gemachte veränderte Verhältnisse hinweggesetzt habe. Dass der Ausgang des Verfahrens allein von diesem - vom Beschwerdeführer übersehenen - Punkt abhängt, ist auch dadurch belegt, dass das Obergericht gerade nicht auf die Frage eingeht, ob die vom Beschwerdeführer geltend gemachte "anfängliche Leistungsunmöglichkeit" eine Wiedererwägung des Beschlusses vom 11. März 2021 wegen veränderter Verhältnisse begründen könnte.
2.4.3. Nach dem Gesagten bleibt es bei der vorinstanzlichen Schlussfolgerung, dass die Berufungsvorbringen zum Fehlen aktuell effektiv verfügbarer Mittel zur Zahlung des Gerichtskostenvorschusses ins Leere gehen. Angesichts dessen erübrigen sich Erörterungen zu den weiteren Beanstandungen, mit denen sich der Beschwerdeführer gegen die vorinstanzliche Begründung wehrt, weshalb das Bezirksgericht eine Ratenzahlung des Gerichtskostenvorschusses zu Recht auch wegen der damit verbundenen Verfahrensverzögerung verweigerte (E. 2.2.2). Der angefochtene Entscheid beruht auf mehreren (Eventual-) Begründungen, die je für sich den Rechtsstreit vor der Vorinstanz hätten beenden können. Erweist sich - wie hier - auch nur eine der vorinstanzlichen Begründungen als bundesrechtskonform, so ist es der angefochtene Entscheid selbst (<ref-ruling> E. 7; <ref-ruling> E. 6).
3.
Angefochten ist schliesslich auch der Entscheid, mit dem das Obergericht das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren abweist. Der vorinstanzlichen Begründung, dass seine Berufung als aussichtslos im Sinne von Art. 117 Bst. b ZPO anzusehen sei, widerspricht der Beschwerdeführer sinngemäss mit dem Einwand, sein Gesuch um ratenweise Zahlung des Gerichtskostenvorschusses sei "wie mit dieser Beschwerde vorgetragen" begründet, womit die Vorbringen in seiner Berufung nicht aussichtslos gewesen seien. Dieser Argumentation ist angesichts der Beurteilung seiner Beschwerde in der Sache (E. 2) der Boden entzogen. Weitere Erörterungen erübrigen sich.
4.
Zusammenfassend ergibt sich, dass die Beschwerde offensichtlich unbegründet und deshalb abzuweisen ist. Bei diesem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Wie die vorigen Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren als von Anfang an aussichtslos gelten, weshalb das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren abzuweisen ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bezirksgericht Zürich, 10. Abteilung, und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, mitgeteilt.
Lausanne, 24. Februar 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn