Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich führt gegen A._ eine Strafuntersuchung wegen versuchter schwerer Körperverletzung etc. Ihm wird insbesondere vorgeworfen, sich am 16. Februar 2020, um ca. 02.00 Uhr, an einer tätlichen Auseinandersetzung zwischen mehreren Personen beteiligt und dabei B._ und C._ geschlagen und getreten zu haben. Ersterem soll er, als dieser verletzt und regungslos am Boden lag, mehrmals gegen den Kopf getreten haben.
Am 16. Februar 2020 wurde A._ verhaftet und mit Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts des Bezirks Zürich vom 18. Februar 2020 in Untersuchungshaft versetzt. Auf Antrag der Staatsanwaltschaft hin verlängerte das Zwangsmassnahmengericht die Untersuchungshaft am 13. Mai 2020 bis zum 13. August 2020. Dagegen reichte A._ erfolglos Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, und beim Bundesgericht ein (Urteil 1B_345/2020 vom 24. Juli 2020). Am 10. August 2020 verlängerte das Zwangsmassnahmengericht die Untersuchungshaft bis zum 13. November 2020.
Am 27. August 2020 stellte A._ ein Haftentlassungsgesuch, welches das Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich mit Verfügung vom 8. September 2020 abwies. Diese Verfügung focht A._ beim Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, an, welches die Beschwerde mit Beschluss vom 5. Oktober 2020 abwies.
B.
Gegen diesen Beschluss gelangt A._ mit Eingabe vom 15. Oktober 2020 an das Bundesgericht und beantragt dessen Aufhebung sowie seine unverzügliche Entlassung aus der Untersuchungshaft. Eventualiter sei der obergerichtliche Beschluss aufzuheben und sei er unter Anordnung von Ersatzmassnahmen, namentlich eines Kontaktverbots, unverzüglich aus der Untersuchungshaft zu entlassen. Subeventualiter sei der Beschluss aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. In prozessualer Hinsicht ersucht er um Beizug der Vorakten sowie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung.
Die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich verzichtet auf eine Vernehmlassung und beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht des Kantons Zürich verzichtet ebenfalls auf eine Vernehmlassung und übermittelt die Vorakten.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Haftentscheid. Dagegen ist die Beschwerde in Strafsachen gemäss Art. 78 ff. BGG gegeben. Der Beschwerdeführer nahm am vorinstanzlichen Verfahren teil und ist durch die Verweigerung der Haftentlassung in seinen rechtlich geschützten Interessen betroffen und damit zur Beschwerde befugt (Art. 81 Abs. 1 BGG). Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass, so dass auf die Beschwerde eingetreten werden kann.
2.
Was den allgemeinen Haftgrund des dringenden Tatverdachts gemäss Art. 221 Abs. 1 Ingress StPO betrifft, hat sich das Bundesgericht in E. 2 seines Urteils 1B_345/2020 vom 24. Juli 2020 bereits ausführlich damit auseinandergesetzt und dessen Vorliegen bejaht.
Der Beschwerdeführer bestreitet das Vorliegen eines dringenden Tatverdachts nicht, indem er festhält, es hätten sich diesbezüglich keine wesentlichen Änderungen ergeben, weshalb sich Ausführungen dazu erübrigten. Er macht jedoch geltend, für die Aufrechterhaltung der Untersuchungshaft bestehe keine hinreichend konkrete Kollusionsgefahr.
3.
3.1. In seinem Urteil 1B_345/2020 vom 24. Juli 2020, mit welchem das Bundesgericht die gegen die erste Verlängerung der Untersuchungshaft gerichtete Beschwerde des Beschwerdeführers abgewiesen hat, hielt dieses in E. 3.4 zusammenfassend fest, dass die Aussagen der befragten Personen mit Blick auf die dem Beschwerdeführer vorgeworfene versuchte schwere Körperverletzung auseinandergingen und sie für die Zuordnung der Tatbeiträge und Rekonstruktion des Tatablaufs äusserst bedeutsam seien. Zudem komme im Tatvorwurf eine erhebliche Gewaltbereitschaft des Beschwerdeführers zum Ausdruck. Dies und die Schwere des in Frage stehenden Delikts seien im Rahmen der Beurteilung der Kollusionsgefahr zu berücksichtigen. Es sei daher nicht zu beanstanden und erst recht nicht willkürlich, dass die Vorinstanz die Kollusionsgefahr auch im fortgeschrittenen Verfahrensstadium bejaht habe; dies jedenfalls solange, als die von ihr namentlich genannten Personen noch einvernommen werden müssten.
Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers kann daraus nicht abgeleitet werden, dass die Kollusionsgefahr nur solange zu bejahen wäre, als die beiden Zeugeneinvernahmen noch nicht durchgeführt sind und er danach ohne Weiteres aus der Haft zu entlassen wäre. Vielmehr erwog das Bundesgericht weiter, dass mit dem Fortschreiten des Verfahrens die Anforderungen an den Nachweis der Verdunkelungsgefahr steigen und einer umso sorgfältigeren Prüfung bedürfen würden.
3.2. Wie im Urteil 1B_345/2020 vom 24. Juli 2020 bereits dargelegt, genügt die theoretische Möglichkeit, dass die beschuldigte Person kolludieren könnte, nicht, um gestützt auf Art. 221 Abs. 1 lit. b StPO Untersuchungshaft zu rechtfertigen. Es müssen vielmehr konkrete Indizien für die Annahme von Verdunkelungsgefahr sprechen (<ref-ruling> E. 4.2 S. 127 f.; <ref-ruling> E. 3.2 S. 23; <ref-ruling> E. 4b-c S. 261). Gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung können sich solche konkreten Anhaltspunkte namentlich ergeben aus dem bisherigen Verhalten der beschuldigten Person im Strafprozess, aus ihren persönlichen Merkmalen, aus ihrer Stellung und ihren Tatbeiträgen im Rahmen des untersuchten Sachverhalts sowie aus den persönlichen Beziehungen zwischen ihr und den sie belastenden Personen. Bei der Frage, ob im konkreten Fall eine massgebliche Beeinträchtigung des Strafverfahrens wegen Verdunkelung droht, ist auch der Art und Bedeutung der von Beeinflussung bedrohten Aussagen bzw. Beweismittel, der Schwere der untersuchten Straftaten sowie dem Stand des Verfahrens Rechnung zu tragen (BGE <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 23 f. mit Hinweisen). Besondere Berücksichtigung verdienen die persönliche Situation und eine allfällige besondere Schutzbedürftigkeit des mutmasslichen Opfers bzw. wichtiger Gewährspersonen (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3.4 S. 26; Urteile 1B_406/2016 vom 22. November 2016 E. 2.4 und 2.6; 1B_341/2015 vom 23. Oktober 2015 E. 3.2 und 3.4).
Nach Abschluss der Untersuchung (Art. 318 StPO) durch die Staatsanwaltschaft und insbesondere nach Durchführung einer erstinstanzlichen Hauptverhandlung (Art. 335-351 StPO) bedarf der Haftgrund der Kollusionsgefahr einer besonders sorgfältigen Prüfung. Er dient primär der Sicherung einer ungestörten Strafuntersuchung. Zwar ist auch die richterliche Sachaufklärung vor unzulässigen Einflussnahmen möglichst zu schützen. Dies gilt namentlich im Hinblick auf die (beschränkte) Unmittelbarkeit der Beweisabnahme anlässlich der Hauptverhandlung (Art. 343 und Art. 405 Abs. 1 StPO). Je weiter das Strafverfahren vorangeschritten ist und je präziser der Sachverhalt bereits abgeklärt werden konnte, desto höhere Anforderungen sind jedoch an den Nachweis von Verdunkelungsgefahr zu stellen (<ref-ruling> E. 4.2 S. 127 f.; <ref-ruling> E. 3.2.1-3.2.2 S. 23 f.; <ref-ruling> E. 3c S. 35; <ref-ruling> E. 4b-c S. 261; Urteil 1B_218/2018 vom 30. Mai 2018 E. 3.2 mit weiteren Hinweisen). Der Haftrichter hat auch zu prüfen, ob einem gewissen Kollusionsrisiko schon mit geeigneten Ersatzmassnahmen für strafprozessuale Haft ausreichend begegnet werden könnte (Art. 212 Abs. 2 lit. c i.V.m. Art. 237 ff. StPO; vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 78 mit Hinweisen).
3.3. Die Vorinstanz erwog, in der Zwischenzeit hätten die letzten Zeugeneinvernahmen stattfinden können und auch die Schlusseinvernahme des Beschwerdeführers sei bereits erfolgt. Die Strafuntersuchung stehe damit kurz vor dem Abschluss und die Anklage beim Gericht sei zeitnah zu erwarten. Der gegen den Beschwerdeführer erhobene Tatvorwurf der versuchten schweren Körperverletzung beruhe hauptsächlich auf Aussagen von Auskunftspersonen sowie Zeuginnen und Zeugen. Da der Beschwerdeführer selber bestreite, auf das am Boden liegende Opfer eingetreten zu haben, und die Aussagen der einvernommenen Personen insbesondere mit Blick auf die ihm vorgeworfene versuchte schwere Körperverletzung auseinandergingen, seien die Aussagen der befragten Personen für die Zuordnung der Tatbeiträge und die Rekonstruktion des Tatablaufs äusserst bedeutsam. Mit der versuchten schweren Körperverletzung werde dem Beschwerdeführer eine schwere Straftat bzw. ein Verbrechen vorgeworfen, welches gemäss Art. 122 StGB mit Freiheitsstrafe von bis zu zehn Jahren bestraft werde. An einer von Verdunkelungshandlungen freien Sachverhaltsermittlung bzw. an einer erneuten Beweiserhebung durch das Gericht bestehe daher ein erhöhtes öffentliches Interesse. Diese Umstände sowie die dem Tatvorwurf inhärente erhebliche Gewaltbereitschaft des Beschwerdeführers sprächen für die Annahme von Kollusionsgefahr. Zudem lägen Hinweise dafür vor, dass er der Anführer seiner Gruppierung gewesen sei, und sei zu berücksichtigen, dass er von verschiedenen Personen als aggressiv beschrieben worden sei und er sich auch anlässlich der körperlichen Untersuchung durch das Institut für Rechtsmedizin aggressiv gezeigt habe. Weiter habe auch sein Verhalten anlässlich der Konfrontationseinvernahme vom 12. Mai 2020 deutlich gemacht, dass er seine Emotionen und sein Vorgehen je nach Situation nur schwer kontrollieren könne. Daran ändere der eingereichte Führungsbericht der Untersuchungsgefängnisse Zürich nichts.
3.4. Der Beschwerdeführer bringt dagegen vor, die Aussagen der befragten Personen seien widersprüchlich und beruhten teils auf Mutmassungen. Sie seien daher nicht derart gewichtig, dass sie die Aufrechterhaltung der Untersuchungshaft nach Abschluss der Strafuntersuchung rechtfertigen könnten. Dass die einvernommenen Personen divergierende Aussagen über den Tathergang gemacht haben, ist korrekt und bereits dem Bundesgerichtsurteil vom 24. Juli 2020 zu entnehmen.
Soweit der Beschwerdeführer aber ausführt, "bei einer derartigen desolaten Beweislage" sei der Anreiz für Kollusionshandlungen erheblich reduziert und eine Verurteilung wegen versuchter schwerer Körperverletzung unwahrscheinlich, kann ihm nicht gefolgt werden: Einerseits kann sich das Sachgericht gerade deswegen zur Anhörung der Auskunftspersonen sowie Zeuginnen und Zeugen veranlasst sehen (vgl. <ref-ruling> E. 4.4.2 S. 199 f.), wobei der diesbezügliche Entscheid letztlich ihm obliegt; andererseits ist dem Sachgericht im Haftverfahren nicht vorzugreifen und hat eine erschöpfende Abwägung sämtlicher belastender und entlastender Beweisergebnisse demnach zu unterbleiben. Im Übrigen wird das Vorliegen eines dringenden Tatverdachts vom Beschwerdeführer nicht bestritten (vgl. oben E. 2).
Wie ebenfalls bereits mit Urteil vom 24. Juli 2020 festgehalten, kommt im gegen den Beschwerdeführer erhobenen Tatvorwurf eine erhebliche Gewaltbereitschaft zum Ausdruck. So erstaunt es denn auch kaum, dass er gemäss den Ausführungen der Vorinstanz von verschiedenen befragten Personen als aggressiv bezeichnet worden ist. Dass er sich jedoch auch noch vier Stunden danach, während der gesamten, etwa einstündigen Untersuchung durch das Institut für Rechtsmedizin der Universität Zürich, aggressiv und teilweise unkooperativ verhalten hat, lässt sich - entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers - nur bedingt mit dem vorangegangenen Geschehen in Verbindung bringen; die Erklärung des Beschwerdeführers, welche er anlässlich der Haftverhandlung vom 8. September 2020 abgegeben hat, wonach er sich nicht aggressiv verhalten habe, sondern nur unkooperativ, weil er sich geschämt habe, erscheint wenig plausibel. Der Beschwerdeführer weist weiter darauf hin, dass er nicht einschlägig vorbestraft sei.
Was sodann seine Äusserung im Rahmen der Konfrontationseinvernahme vom 12. Mai 2020 betrifft, als er dem Opfer gesagt hat: "Lieber schwul als die eigene Cousine heiraten. Das machen sie gerne, die Türken", so deutet dies darauf hin, dass er sich relativ leicht provozieren lässt, zumal das Opfer davor nicht den Beschwerdeführer, sondern einen Mitbeschuldigten als "Schwuchtel" bezeichnet hat. Allerdings macht der Beschwerdeführer zu Recht geltend, dass die gegenüber dem ersten Haftverlängerungsverfahren neue und zusätzliche Argumentation der Vorinstanz, der Beschwerdeführer sei als Anführer seiner Gruppierung zu sehen, nicht ohne weiteres einleuchtet. Die Vorinstanz stützt sich dabei auf den (mutmasslichen) Tatbeitrag des Beschwerdeführers sowie die Antwort einer Zeugin auf die Frage, ob sie unter den Tätern einen Anführer habe erkennen können, wobei diese den Beschwerdeführer nannte und als Begründung angab, als er weggegangen sei, hätten sich alle vom Tatort entfernt. Es bleibt unklar, inwiefern diese Umstände lediglich dem Zufall zuzuschreiben sind, weshalb sie hinsichtlich des Bestehens von Kollusionsgefahr wenig aussagekräftig sind. Nachdem die Vorinstanz im letzten Verfahren noch nicht damit argumentiert hat, kommt diesem Umstand vorliegend, mit Blick auf das Bestehen von Kollusionsgefahr, keine entscheidende Bedeutung zu. Damit zielt auch die Rüge des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe den Sachverhalt diesbezüglich offensichtlich unrichtig festgestellt, ins Leere (vgl. Art. 97 Abs. 1 BGG). Was den zwischenzeitlich ergangenen Führungsbericht der Untersuchungsgefängnisse Zürich angeht, so trifft zwar zu, dass dieser zu Gunsten des Beschwerdeführers ausgefallen ist. Jedoch vermag dies allein die Kollusionsgefahr nicht zu relativieren. Dasselbe gilt für seine Beteuerungen anlässlich der Haftverhandlung, er werde keine Kollusionshandlungen vornehmen.
3.5. Nach dem Gesagten treffen die Ausführungen zur Kollusionsgefahr im Urteil des Bundesgerichts 1B_345/2020 vom 24. Juli 2020 nach wie vor zu und hat die Vorinstanz nicht gegen Bundesrecht verstossen, indem sie das Bestehen von Kollusionsgefahr gemäss Art. 221 Abs. 1 lit. b StPO bejaht hat.
Ein anderer Haftgrund wurde - soweit ersichtlich - nie in Betracht gezogen.
4.
4.1. Weshalb der Kollusionsgefahr nun nicht mit milderen Massnahmen im Sinne von Art. 237 StPO (namentlich mit einem Kontaktverbot) ausreichend begegnet werden kann, geht aus dem angefochtenen Beschluss nicht hervor. Die Vorinstanz führt diesbezüglich lediglich aus, das Verhalten des Beschwerdeführers anlässlich der Konfrontationseinvernahme vom 12. Mai 2020 zeige deutlich, dass er seine Emotionen und sein Vorgehen je nach Situation nur schwer kontrollieren könne, was insbesondere auch die Einhaltung von Ersatzmassnahmen durch den Beschwerdeführer unwahrscheinlich mache. Unter den gegebenen Umständen reicht eine solche Äusserung (vgl. oben E. 3.4) allein jedoch nicht aus, um von Ersatzmassnahmen abzusehen und stattdessen die Untersuchungshaft aufrechtzuerhalten.
4.2. Im Unterschied zur im Urteil vom 24. Juli 2020 beurteilten Situation wurden die beiden letzten Zeugeneinvernahmen in der Zwischenzeit durchgeführt. Diese haben offenbar zu keinen weiteren Ermittlungshandlungen Anlass gegeben, hat doch am 24. September 2020 bereits die Schlusseinvernahme des Beschwerdeführers stattgefunden. Die Vorinstanz hielt denn auch entsprechend fest, dass die Strafuntersuchung kurz vor dem Abschluss stehe und die Anklage beim Gericht zeitnah zu erwarten sei. Gemäss den vorinstanzlichen Ausführungen beruht der gegen den Beschwerdeführer erhobene Tatvorwurf der versuchten schweren Körperverletzung auf den Aussagen mehrerer Auskunftspersonen, insbesondere jener zweier Zeuginnen, zu denen der Beschwerdeführer offenbar keine persönliche Beziehung hat. Zwar ist nicht ausgeschlossen, dass das Sachgericht zumindest die beiden Zeuginnen erneut anhören wird (vgl. oben E. 3.4). Nachdem - soweit ersichtlich - aber noch nicht zur Hauptverhandlung vorgeladen wurde, besteht aktuell bloss die Möglichkeit weiterer Anhörungen durch das Sachgericht. Bei der vorliegenden Sachlage und unter Berücksichtigung, dass die befragten Personen grösstenteils sowohl von der Polizei als auch von der Staatsanwaltschaft einvernommen worden sind und es sich bei der schweren Körperverletzung gemäss Art. 122 StGB um ein Offizialdelikt handelt, welches von Amtes wegen verfolgt wird, ist die Fortdauer der Untersuchungshaft wegen Kollusionsgefahr nicht mehr gerechtfertigt und erweist sich als unverhältnismässig. Dem verbleibenden Kollusionsrisiko ist vielmehr mit Ersatzmassnahmen, namentlich einem Kontaktverbot gemäss Art. 237 Abs. 2 lit. g StPO, zu begegnen.
4.3. Nach dem Gesagten ist die Anordnung geeigneter Ersatzmassnahmen im Sinne von Art. 237 Abs. 1 und 2 StPO vorliegend angezeigt und zulässig. Allerdings ist es nicht Sache des Bundesgerichts, die Art und die Modalitäten der anzuordnenden Ersatzmassnahmen als erste Instanz festzulegen. Die Angelegenheit ist daher an das Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich zurückzuweisen zum unverzüglichen Entscheid über die anzuordnenden Ersatzmassnahmen und anschliessenden Entlassung des Beschwerdeführers aus der Untersuchungshaft (vgl. 1B_344/2017 vom 20. September 2017 E. 5.3 und 6 mit Hinweisen).
5.
Nach diesen Ausführungen ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen. Der angefochtene Beschluss ist aufzuheben und die Sache an das Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich zurückzuweisen zur unverzüglichen Anordnung von geeigneten Ersatzmassnahmen und anschliessenden Entlassung des Beschwerdeführers aus der Untersuchungshaft. Dem Antrag des Beschwerdeführers auf sofortige Haftentlassung ist daher keine Folge zu leisten; insofern ist die Beschwerde abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind für das bundesgerichtliche Verfahren keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 und Abs. 4 BGG). Der Kanton Zürich hat dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gemäss Art. 64 BGG ist damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich, III. Strafkammer, vom 5. Oktober 2020 aufgehoben und die Sache an das Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich zurückgewiesen zur unverzüglichen Anordnung von Ersatzmassnahmen und anschliessenden Entlassung des Beschwerdeführers aus der Untersuchungshaft. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Zürich hat den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Markus Huber, für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. November 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Die Gerichtsschreiberin: Dambeck