Sachverhalt:
A.
A._ (Kläger, Beschwerdeführer) war über sein Anstellungsverhältnis bei der C._ AG bei der B._ AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin) gegen Lohnausfall bei Krankheit versichert. Nach einer Krankheitsmeldung im Oktober 2016 bezog der Kläger zunächst vom 25. Oktober 2016 bis 28. Februar 2018 und später vom 11. Juni bis 31. Juli 2018 Krankentaggelder. Eine darüberhinausgehende Leistungspflicht lehnte die Beklagte ab.
B.
Mit Eingabe vom 15. August 2019 reichte der Kläger am Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Klage ein. Er beantragte, die Beklagte sei zu verpflichten, ihm Taggelder in der Höhe von Fr. 21'882.96 zuzüglich Zins zu bezahlen.
Mit Urteil vom 6. Januar 2021 wies das Sozialversicherungsgericht die Klage ab. Das Sozialversicherungsgericht kam zum Schluss, dem Kläger sei der Nachweis der Arbeitsunfähigkeit im relevanten Zeitraum misslungen.
C.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Er beantragte, das Urteil des Sozialversicherungsgerichts sei aufzuheben und die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten, die ausstehenden Krankentaggelder in der Höhe von Fr. 21'882.95 zuzüglich Zins zu entrichten.
Die Beschwerdegegnerin beantragte die Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz verzichtete auf Stellungnahme. Der Beschwerdeführer replizierte.

Erwägungen:
1.
Die Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Unter Vorbehalt einer rechtsgenüglichen Begründung (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>; vgl. Erwägung 2) ist daher auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
Die Beschwerde ist innert der Beschwerdefrist vollständig begründet einzureichen (vgl. <ref-law>). Vor Bundesgericht findet in der Regel nur ein Schriftenwechsel statt (<ref-law>). Kommt es zu einem zweiten Schriftenwechsel, darf die beschwerdeführende Partei die Replik nicht dazu verwenden, ihre Beschwerde zu ergänzen oder zu verbessern (<ref-ruling> E. 1.7; <ref-ruling> E. 3.3.4). Mit Rügen, welche die beschwerdeführende Partei bereits in der Beschwerde hätte erheben können, ist sie nach Ablauf der Beschwerdefrist ausgeschlossen (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.7; <ref-ruling> E. 3.3.4 mit Hinweisen). Die Replik ist nur zu Darlegungen zu verwenden, zu denen die Ausführungen in der Vernehmlassung eines anderen Verfahrensbeteiligten Anlass geben (vgl. <ref-ruling> E. 2.2). Soweit der Beschwerdeführer in seiner Replik darüber hinausgeht, kann er nicht gehört werden.
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
3.
Die Vorinstanz ging ausführlichst auf den Begriff der Arbeitsunfähigkeit ein und legte dar, wie die entsprechende Definition in Art. 3 der zwischen den Parteien geltenden Allgemeinen Bedingungen für die Kollektiv-Krankentaggeldversicherung (AB) zu verstehen sei.
Dagegen macht der Beschwerdeführer bloss geltend, die vorinstanzliche Auslegung sei willkürlich und die Bestimmung von Art. 3 Abs. 1 AB sei "aussergewöhnlich". Er setzt sich aber nicht, zumindest nicht rechtsgenüglich, mit den eingehenden Erwägungen der Vorinstanz auseinander und legt auch nicht hinreichend dar (Erwägung 2.1), inwiefern die Vorinstanz bei der Auslegung der Vertragsbestimmung Bundesrecht verletzt hätte.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer erklärt, dass er alle vorhandenen ärztlichen Atteste eingereicht und somit seiner "Beweispflicht" nach <ref-law> genügend nachgekommen sei. Er habe den Beweis ordnungsgemäss angeboten. Wäre die Beschwerdegegnerin der Ansicht gewesen, die ins Recht gelegten Arztzeugnisse seien zu wenig aussagekräftig, hätte sie entsprechend nähere Auskünfte bei den behandelnden Ärzten tätigen und Rückfragen stellen müssen. Auch hätte die Vorinstanz bei den Ärzten um nähere Darlegung der Diagnosen oder Befunde ersuchen müssen. Indem sie dies nicht gemacht habe, sei das rechtliche Gehör schwerwiegend verletzt worden. Dieses Vorgehen der Vorinstanz erweise sich auch als parteiisch und damit als willkürlich. Folge man der Argumentation der Vorinstanz müsste der Versicherte jeweils beliebig viele ärztliche Atteste ins Recht legen, sobald die Versicherung die Leistungspflicht ablehne. Dieses Vorgehen sei nicht mit dem Sinn und Zweck des Versicherungsvertrages vereinbar, vielmehr erbringe der Versicherte den ihm auferlegten Beweis bereits dann, wenn er ein Arbeitsunfähigkeitszeugnis einreiche. Bestreite die Versicherung deren Gültigkeit, müsse sie die "negative Tatsachen" beweisen. Er habe mit den ins Recht gelegten Zeugnissen somit den rechtsgenüglichen Beweis erbracht. Die Vorinstanz habe die Beweislast falsch verteilt und den Sachverhalt falsch erstellt.
4.2.
4.2.1. Der Beschwerdeführer beruft sich somit darauf, dass die Beschwerdegegnerin die "negative Tatsache" zu beweisen habe. Er möchte damit wohl vorbringen, die Versicherung habe nachzuweisen, dass der Versicherte nicht mehr arbeitsunfähig sei, sobald dieser ein ärztliches Arbeitsunfähigkeitszeugnis eingereicht habe.
Dem kann nicht gefolgt werden: Wie bereits die Vorinstanz mit Verweisen auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung darlegte, ist es am Beschwerdeführer als Versicherter, die Tatsachen bezüglich des Eintritts des Versicherungsfalls und des Umfangs des Anspruchs zu behaupten und zu beweisen. Wie die Vorinstanz ebenfalls zutreffend erwog, ändert daran auch nichts, dass die Versicherung die Leistung von Taggeldern eingestellt hat, nachdem sie solche zunächst ausbezahlte. Vielmehr hat auch in diesem Fall der Versicherte nachzuweisen, dass er (weiterhin) einen Anspruch auf Taggelder hat (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 3.1; zum Beweismass 4A_117/2021 E. 3, zur Publikation vorgesehen). Die Rüge des Beschwerdeführers geht damit fehl. Ebensowenig brauchte die Beschwerdegegnerin weitere Auskünfte bei den behandelnden Ärzten zu tätigen oder Rückfragen zu stellen, wenn sie den Anspruch des Beschwerdeführers bestritt. Es ist am Beschwerdeführer, seinen behaupteten Versicherungsanspruch vor Gericht nachzuweisen.
4.2.2. Der Beschwerdeführer bringt sodann vor, die Vorinstanz hätte um die nähere Darlegung der Diagnosen oder Befunde ersuchen sollen. Sollte der Beschwerdeführer damit der Ansicht sein, die Vorinstanz hätte aufgrund der im vorinstanzlichen Verfahren geltenden sozialen Untersuchungsmaxime (Art. 247 Abs. 2 lit. a i.V.m. <ref-law>) das Vorliegen der Arbeitsunfähigkeit von Amtes wegen abklären müssen, verkennt er die Tragweite dieser Maxime: Nach dem Willen des Gesetzgebers ist das Gericht im Rahmen der sozialen Untersuchungsmaxime bloss einer erhöhten Fragepflicht unterworfen. Wie unter der Verhandlungsmaxime müssen die Parteien selbst den Stoff beschaffen. Das Gericht kommt ihnen nur mit spezifischen Fragen zu Hilfe, damit die erforderlichen Behauptungen und die entsprechenden Beweismittel genau aufgezählt werden. Es ermittelt aber nicht aus eigenem Antrieb. Ist eine Partei durch einen Anwalt vertreten, wie es beim Beschwerdeführer vor der Vorinstanz bereits der Fall war, kann und muss sich das Gericht ihr gegenüber wie bei Geltung der Verhandlungsmaxime zurückhalten (<ref-ruling> E. 2.3.1).
In casu bedeutet das insbesondere, dass es entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers nicht an der Vorinstanz war, von sich aus Auskünfte bei den Ärzten einzuholen oder um Diagnosen oder Befunde zu ersuchen. Vielmehr hätte der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer die Tatsachen zur Begründung seines Versicherungsanspruches und dessen Umfang vor der Vorinstanz rechtsgenüglich behaupten und die diesbezüglichen Beweise anbieten resp. Beweisofferten stellen sollen. Dass er solches vor der Vorinstanz in seinen Rechtsschriften prozesskonform vorgebracht hätte, macht der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht rechtsgenüglich mit präzisen Aktenhinweisen geltend (Erwägung 2.2), indem er bloss ohne Weiteres behauptet, dass "der Beweis (...) durch den Beschwerdeführer ordnungsgemäss angeboten" worden sei. Im Übrigen stellte die Vorinstanz fest, dass abgesehen von den gewürdigten Unterlagen keine weiteren Beweismittel vom anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer offeriert worden seien, was der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht in Abrede stellt. Auch diese Rüge geht damit fehl.
4.3. Im gleichen Zusammenhang reicht der Beschwerdeführer vor Bundesgericht einen neuen Bericht von Dr. med. D._ vom 2. März 2021 ein und erklärt, dass "erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass" gegeben habe, eine weitere Anfrage bei Dr. med. D._ einzuholen.
Auch diesem Standpunkt kann nicht gefolgt werden: Einerseits datiert der Bericht vom 2. März 2021 und damit rund zwei Monate nach dem angefochtenen Entscheid. Er ist somit als echtes Novum vor Bundesgericht von vornherein ausgeschlossen (<ref-ruling> E. 1.2). Andererseits wäre auch weder dargetan noch ersichtlich, inwiefern erst der Entscheid der Vorinstanz Anlass gegeben hätten, eine weitere "Anfrage" bei Dr. med. D._ zu tätigen. Vielmehr wäre es für den Beschwerdeführer ohne Weiteres möglich gewesen, im vorinstanzlichen Verfahren einen weiteren Bericht von Dr. med. D._ anzufordern und diesen prozesskonform ins vorinstanzliche Verfahren einzubringen.
5.
Der Beschwerdeführer macht geltend, dass ihm entgegen der Vorinstanz der Nachweis der Arbeitsunfähigkeit gelungen sei.
5.1. Die Vorinstanz ging ausführlich auf die von den Parteien eingereichten ärztlichen Berichte ein. Sie legte im Detail dar, warum die von Dr. med. D._ und Dr. med. E._ erstellten Unterlagen nicht auf eine Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdeführers im relevanten Zeitraum schliessen liessen. Vielmehr sei - insbesondere gestützt auf die Ausführungen von Dr. med. F._ und Dr. med. G._ - davon auszugehen, dass dem Beschwerdeführer der Nachweis der Arbeitsunfähigkeit misslungen sei.
5.2. Die Vorinstanz ging dabei davon aus, dass der Beschwerdeführer eine Beweiserleichterung geniesse, indem er nur eine überwiegende Wahrscheinlichkeit für das Bestehen des geltend gemachten Anspruches darzutun habe (angefochtener Entscheid E. 4.2). Das Bundesgericht hat jedoch in einem kürzlich gefällten Urteil entschieden, dass bei Versicherungsfällen, wie dem vorliegenden, für die behauptete Arbeitsunfähigkeit nicht das reduzierte Beweismass der überwiegenden Wahrscheinlichkeit, sondern das ordentliche Beweismass der vollen Überzeugung gilt (Urteil 4A_117/2021 vom 31. August 2021 E. 3.3.1, zur Publikation vorgesehen). Umsomehr gilt daher, dass dem Beschwerdeführer der Nachweis unter dem strengeren, ordentlichen Beweismass nicht gelungen ist.
So oder anders ist zu beachten, dass das Bundesgericht in die vorinstanzliche Beweiswürdigung nur eingreift, wenn sie willkürlich ist. Dies ist dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 4.2). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 2.2). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266 f.; <ref-ruling> E. 2b). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 4.2.1).
5.3. Der Beschwerdeführer genügt diesen Anforderungen nicht, wenn er die einzelnen ärztlichen Berichte aus seiner Sicht schildert und behauptet, dass die seiner Einschätzung widersprechende Würdigung der Vorinstanz nicht zu überzeugen vermöge, ihr nicht gefolgt werden könne, dem gesunden Menschenverstand widerspreche, nicht nachvollziehbar sei, die Vorinstanz ein unzulässiges Vorgehen gewählt, irrelevante Umstände berücksichtigt oder im Gegenteil entscheidende Umstände nicht beachtet habe, ohne aber rechtsgenüglich darzulegen, inwiefern die Beweiswürdigung der Vorinstanz offensichtlich unrichtig im genannten Sinn wäre (Erwägung 5.2). Darauf ist nicht einzutreten.
5.4. Gleiches gilt, wenn der Beschwerdeführer pauschal behauptet, dass die von der Beschwerdegegnerin in Recht gelegten Arztberichte "aufgrund formeller Mängel" nicht hätten verwendet werden dürfen, ohne aber diesen Vorwurf in der Beschwerdeschrift nachvollziehbar zu begründen (Erwägung 2.1).
5.5. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz im Zusammenhang mit den Berichten von Dr. med. E._ eine Aktenwidrigkeit vor. Er stützt sich aber für seinen Vorwurf der Aktenwidrigkeit einzig auf Aussagen aus dem Bericht von Dr. med. E._ vom 2. Oktober 2018, die so im vorinstanzlichen Entscheid nicht festgestellt wurden, ohne eine hinreichende Sachverhaltsergänzung nach den oben genannten Voraussetzungen zu erheben (Erwägung 2.2). Insbesondere zeigt er nicht mit präzisen Aktenhinweisen auf, wo Dr. med. E._ die Aussagen gemacht hätte, welche die Feststellung der Vorinstanz als aktenwidrig erscheinen liessen. Dem Vorwurf der Aktenwidrigkeit ist somit der Boden entzogen.
Im Übrigen legte die Vorinstanz dar, aus welchen Gründen der Auffassung von Dr. med. E._ bezüglich der Arbeitsunfähigkeit nach dem Klinikaustritt nicht gefolgt werden könne. Inwiefern dieser Schluss der Vorinstanz, abgesehen von der behaupteten Aktenwidrigkeit willkürlich wäre, legt der Beschwerdeführer nicht dar, zumindest nicht rechtsgenüglich.
5.6. Der Beschwerdeführer trägt vor, dass die Vorinstanz den Bericht von Dr. med. G._ nicht hätte in die Beweiswürdigung einbeziehen dürfen, weil diese als Fachärztin für Neurologie nicht über die notwendigen Fachkenntnisse verfüge, um den psychischen Gesundheitszustand festzustellen. Der Bericht von Dr. med. G._ sei auch nicht in Einklang mit den Berichten von Dr. med. E._ zu bringen.
Bereits vor der Vorinstanz machte der Beschwerdeführer geltend, dass Dr. med. G._ als Neurologin nicht über die notwendigen Fachkenntnisse verfüge. Die Vorinstanz ging auf diesen Vorwurf ein und legte dar, dass eine neuropsychologische Abklärung nur eine Zusatzuntersuchung darstelle und es grundsätzlich Aufgabe des psychiatrischen Facharztes sei, die Arbeitsunfähigkeit unter Berücksichtigung allfälliger neuropsychologischer Defizite einzuschätzen. In diesem Sinn berücksichtigte die Vorinstanz die Erkenntnisse von Dr. med. G._ in ihrer Beweiswürdigung.
Das stösst der Beschwerdeführer nicht um, wenn er bloss erneut pauschal behauptet, dass die Neurologin nicht über die notwendigen Fachkenntnisse verfüge, weshalb deren Bericht überhaupt nicht in die Beweiswürdigung hätte einbezogen werden dürfen. Im Übrigen legt der Beschwerdeführer auch hier nicht rechtsgenüglich dar, inwiefern die diesbezügliche vorinstanzliche Würdigung offensichtlich unrichtig im oben genannten Sinn wäre, indem er vorbringt, dass der Bericht von Dr. med. G._ nicht in Einklang mit den Ausführungen von Dr. med. E._ zu bringen sei.
6.
Die Beschwerde ist nach dem Ausgeführten abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
7.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin, die nicht durch einen extern mandatierten Anwalt, sondern durch ihren eigenen Rechtsdienst vertreten ist, steht keine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 4).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, V. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. September 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Brugger