Sachverhalt:
A.
A.a. A.B._ führt in U._, Gemeinde V._, einen Landwirtschaftsbetrieb. Er wurde mehrfach wegen Verstössen gegen das Tierschutzgesetz von Strafgerichten der Kantone St. Gallen und Appenzell Ausserrhoden verurteilt. Am 20. Februar 2012 verfügte das Veterinäramt des Kantons Appenzell Ausserrhoden (nachfolgend: Veterinäramt) gegen ihn ein zeitlich unbeschränktes Halteverbot für Nutztiere mit Ausnahme der Pferdehaltung. Dieses Tierhalteverbot bestätigte das Bundesgericht letztinstanzlich mit Urteil 2C_958/2014 vom 31. März 2015.
A.b. Mit einem am 9. Juni 2015 unterzeichneten Vertrag übertrug A.B._ den Tierbestand rückwirkend auf den 1. Juni 2015 auf seine Frau B.B._. Das Veterinäramt beurteilte dieses Vorgehen als offensichtliche Umgehung des gegen A.B._ verhängten Tierhalteverbots (Art. 105 Abs. 2 BGG). Mit Verfügung vom 15. Juli 2016 gewährte das Veterinäramt A.B._ und B.B._ eine letzte Frist bis zum 1. September 2016, den rechtmässigen Zustand herzustellen, sodass das gegen A.B._ rechtskräftig verfügte Tierhalteverbot eingehalten sei. Gleichzeitig drohte das Veterinäramt die Ersatzvornahme an.
Mit Schreiben vom 9. Februar 2017 stellte das Veterinäramt fest, dass A.B._ weiterhin Nutztiere halte und dass ab dem 20. Februar 2017 mit der Durchführung der rechtskräftig angedrohten Vollstreckungshandlungen zu rechnen sei. Mit Schreiben vom 17. Februar 2017 liess B.B._ dem Veterinäramt mitteilen, dass sie den gesamten Tierbestand gemäss Kaufvertrag vom 6. Februar 2017 an B._ verkauft habe. Damit würden sich die angedrohten Vollstreckungsmassnahmen zur Durchsetzung des Tierhalteverbots erübrigen.
A.c. Am 20. Februar, 24. Februar und 10. April 2017 führte das Veterinäramt unangemeldete Kontrollen auf dem Betrieb von A.B._ durch. Zudem wurde B._ durch den Kantonstierarzt befragt.
Mit Schreiben vom 9. Juni 2017 stellte das Veterinäramt B._ zur Gewährung des rechtlichen Gehörs den Entwurf einer Beseitigungs- und Duldungsverfügung zu. Dazu liess er sich mit Eingabe vom 3. Juli 2017 vernehmen.
A.d. Mit Eingabe vom 19. Juni 2017 reichte A.B._ beim Departement Gesundheit und Soziales des Kantons Appenzell Ausserrhoden (nachfolgend: Departement) ein Ausstandsbegehren gegen das Veterinäramt bzw. gegen dessen Mitarbeiter ein. Dieses Ausstandsbegehren wurde vom Bundesgericht mit Urteil 2C_382/2018 vom 15. März 2019 letztinstanzlich abgewiesen.
A.e. Mit Entscheid vom 14. August 2017 erliess das Veterinäramt gegen B._ eine Beseitigungs- und Duldungsverfügung. Darin hielt es unter anderem fest, dass das gegen A.B._ rechtskräftig verfügte Tierhalteverbot nicht umgesetzt worden sei. A.B._ wohne und arbeite auf dem Betrieb U._ und sei damit weder räumlich noch betrieblich von den Nutztieren getrennt, noch habe eine Umstellung auf eine andere Bewirtschaftungsart stattgefunden. Der Betrieb sei auch nicht vollständig an B._ übertragen worden, der die Tiere alleine ohne Einflussnahme von A.B._ halte. B._ gelte daher mit Blick auf den Vollzug des Tierhalteverbots selbst als Störer. Dies solange seine (angeblichen) Tiere sich räumlich und/oder betrieblich in der Nähe von A.B._ befänden und Letzterer damit Einfluss nehmen könne. Für den Fall des rechtmässigen zivilrechtlichen Übergangs des Eigentums (gesamter Tierbestand gemäss Kaufvertrag vom 1. Februar 2017) wurde B._ per sofort verpflichtet, sämtliche ihm gehörenden Rinder sowie sämtliche ihm gehörenden Schweine, Schafe, Ziegen und Hühner dauerhaft räumlich und betrieblich von A.B._ zu trennen. Zudem wurde er zur sofortigen Duldung von Handlungen, die sich zur Umsetzung des gegenüber A.B._ rechtskräftig verfügten Tierhalteverbots notwendig erweisen, verpflichtet. Einem allfälligen Rekurs entzog das Veterinäramt die aufschiebende Wirkung.
Mit Entscheid gleichen Datums erliess das Veterinäramt gegen A.B._ eine Vollstreckungsverfügung. Darin stellte es unter anderem fest, dass das gegen ihn rechtskräftig verfügte Tierhalteverbot nicht umgesetzt worden sei (Art. 105 Abs. 2 BGG).
A.f. Gegen die Beseitigungs- und Duldungsverfügung vom 14. August 2017 rekurrierte B._ beim Departement. Mit Zwischenentscheid vom 31. August 2017 wies das Departement den Antrag auf Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung ab. Dieser Zwischenentscheid ist unangefochten in Rechtskraft erwachsen. Mit Zwischenverfügung vom 26. September 2017 sistierte das Departement das Rekursverfahren bis zum rechtskräftigen Entscheid betreffend das von A.B._ eingereichte Ausstandsbegehren (vgl. vorne A.d).
A.g. Gestützt auf die Vollstreckungsverfügung vom 14. August 2017 wurde am 1. September 2017 auf dem Betrieb U._ die Ersatzvornahme durchgeführt. Dabei beschlagnahmte das Veterinäramt gegenüber C.B._, Tochter von A.B._, 90 Hühner. 128 Junghennen, acht Ziegen sowie 52 Schafe wurden durch von der Familie B._ beauftragte Dritte abtransportiert. Um ca. 12.30 Uhr waren alle Tiere, die vom Tierhalteverbot betroffen waren, weggebracht. Mit Zwischenverfügung vom 11. September 2017 bestätigte das Veterinäramt gegenüber C.B._ die Beschlagnahme der Hühner.
A.h. Am 22. Mai 2019 nahm das Departement das Rekursverfahren gegen die Beseitigungs- und Duldungsverfügung vom 14. August 2017 wieder auf. Mit Entscheid vom 13. November 2019 wies es den Rekurs von B._ ab.
B.
Mit Zirkular-Urteil vom 29. April 2021 trat das Obergericht Appenzell Ausserrhoden, 4. Abteilung, auf die dagegen erhobene Beschwerde von B._ im Sinne der Erwägungen nicht ein und hob den Entscheid des Departements vom 13. November 2019 auf.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 7. Juni 2021 gelangt B._ an das Bundesgericht. Er beantragt, das Zirkular-Urteil des Obergerichts des Kantons Appenzell Ausserrhoden vom 29. April 2021 sei aufzuheben und die Angelegenheit sei zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen des Bundesgerichts an das Obergericht zurückzuweisen. Eventualiter sei davon Vormerk zu nehmen, dass er seit dem 1. Februar 2017 Eigentümer und Tierhalter des Tierbestandes auf dem Betrieb U._ sei. Schliesslich beantragt er, es sei vom Erlass einer Duldungsverfügung gegen ihn abzusehen.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die frist- (Art. 100 Abs. 1 BGG) und formgerecht (Art. 42 BGG) eingereichte Eingabe betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a BGG) und richtet sich gegen das kantonal letztinstanzliche (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG), verfahrensabschliessende (Art. 90 BGG) Urteil eines oberen Gerichts (Art. 86 Abs. 2 BGG). Eine Ausnahme gemäss Art. 83 BGG liegt nicht vor. Der Beschwerdeführer, der am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen hat und mit seinen Anträgen unterlegen ist, hat ein berechtigtes Interesse an der Überprüfung des angefochtenen Urteils durch das Bundesgericht (Art. 89 Abs. 1 BGG). Auf die Beschwerde ist daher - vorbehältlich E. 1.2 hiernach - einzutreten.
1.2. Vor Bundesgericht kann der Streitgegenstand gegenüber dem vorinstanzlichen Verfahren weder geändert noch erweitert werden (Art. 99 Abs. 2 BGG). Ficht die beschwerdeführende Partei einen Nichteintretensentscheid oder einen Rechtsmittelentscheid an, der einen solchen bestätigt, haben sich ihre Rechtsbegehren und deren Begründung zwingend auf die vorinstanzlichen Erwägungen zu beziehen, die zum Nichteintreten bzw. zur Bestätigung des Nichteintretens geführt haben (Art. 42 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht prüft in einem solchen Fall nur, ob die betreffende Instanz zu Recht auf das Rechtsmittel nicht eingetreten ist. Ist dies zu bejahen, entscheidet es reformatorisch und bestätigt den Nichteintretensentscheid. Andernfalls urteilt es kassatorisch, weist die Sache an die Vorinstanz zurück und sieht von einer Beurteilung in der Sache selbst ab (Urteile 2C_603/2018 vom 3. Dezember 2018 E. 1.2; 2C_694/2017 vom 13. Februar 2018 E. 1.2). Hat allerdings die Vorinstanz in einer Eventualbegründung erwogen, selbst wenn auf das Rechtsmittel einzutreten (gewesen) wäre, wäre es in materieller Hinsicht abzuweisen, beurteilt das Bundesgericht auch die materielle Rechtslage (vgl. <ref-ruling> E. 3.2). Eine solche Konstellation liegt hier nicht vor. Soweit der Beschwerdeführer eventualiter beantragt, es sei davon Vormerk zu nehmen, dass er seit dem 1. Februar 2017 Eigentümer und Tierhalter des Tierbestandes auf dem Betrieb U._ sei und ferner den Antrag stellt, es sei vom Erlass einer Duldungsverfügung abzusehen, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Bei der Prüfung wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 4.4.5) und verfügt es über volle Kognition (Art. 95 BGG; <ref-ruling> E. 2). Die Anwendung kantonalen Rechts prüft das Bundesgericht hingegen - abgesehen von den Fällen gemäss Art. 95 lit. c-e BGG - nur auf Bundesrechtsverletzungen, namentlich auf Willkür, hin (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2). Die Verletzung von verfassungsmässigen Individualrechten (einschliesslich der Grundrechte) prüft das Bundesgericht nur, soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.2.2; <ref-ruling> E. 1.7.2). In der Beschwerde ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 2.1). Auf bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid geht das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 6.3; <ref-ruling> E. 1.4.2).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, sofern sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 105 Abs. 2 BGG).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, das Obergericht habe zu Unrecht das Vorliegen eines Rechtsschutzinteresses verneint. Er wirft der Vorinstanz eine willkürliche Anwendung des massgebenden kantonalen Rechts (Art. 9 BV) sowie eine Verletzung der Rechtsweggarantie (Art. 29a BV) vor. Zur Begründung führt er zunächst aus, das Veterinäramt beabsichtige, ihm gestützt auf die Verfügungen vom 14. August 2017 und die angefochtenen Rekursentscheide des Departements die Kosten für den Vollzug des Tierhalteverbots aufzuerlegen. Zudem bildeten die Verfügungen vom 14. August 2017 sowie die nachfolgenden Rekursentscheide die rechtliche Grundlage für die seiner Auffassung nach widerrechtliche und damit entschädigungspflichtige Androhung der Beschlagnahme der Tiere, die er am 6. Februar 2017 rückwirkend per 1. Februar 2017 von B.B._ gekauft habe. Als Kostenpflichtiger sei er vom Vollzug des Tierhalteverbots betroffen, er handle im eigenen Interesse und ziehe aus der Behandlung seiner Beschwerde einen praktischen Nutzen. Sodann ist er der Auffassung, dass vorliegend vom Erfordernis eines aktuellen und praktischen Rechtsschutzinteresses abzusehen sei, da es sich um grundsätzliche Fragen handle und eine rechtzeitige Kontrolle solcher Beschlagnahmeverfügungen praktisch nie möglich sei, weil das Veterinäramt in der Regel die aufschiebende Wirkung entziehe.
3.2. Gemäss Art. 29a BV hat jede Person bei Rechtsstreitigkeiten Anspruch auf eine Beurteilung durch eine richterliche Behörde, wobei Bund und Kantone durch Gesetz die richterliche Beurteilung in Ausnahmefällen ausschliessen können. Die Rechtsweggarantie gibt keinen Anspruch darauf, dass jedermann jedes staatliche Handeln ungeachtet prozessualer Vorschriften auf seine Rechtmässigkeit hin überprüfen lassen kann. Der von Art. 29a BV garantierte Rechtsweg besteht nur im Rahmen der jeweils geltenden Verfahrensordnung und verbietet es nicht, das Eintreten auf ein Gesuch, ein Rechtsmittel oder eine Klage von den üblichen Sachurteilsvoraussetzungen abhängig zu machen. Insbesondere ist es zulässig, einen Entscheid an das Vorliegen eines praktischen und aktuellen Rechtsschutzinteresses zu knüpfen (vgl. <ref-ruling> E. 12.4; <ref-ruling> E. 4.2; <ref-ruling> E. 4.3; Urteile 2C_526/2020 vom 20. Oktober 2020 E. 3.6.1; 2C_651/2019 und 2C_700/2019 vom 21. Januar 2020 E. 5.1.1).
Ein solches Interesse verlangt unter anderem Art. 89 Abs. 1 lit. c BGG denn auch ausdrücklich. Es ist unter dem Gesichtspunkt des Bundesrechts ohne Weiteres zulässig, dieses Erfordernis bei der Legitimation auch für die kantonalen Rechtsmittel zu verlangen (vgl. Art. 111 BGG; vgl. auch Urteile 2C_526/2020 vom 20. Oktober 2020 E. 3.3 und 3.6.2; 2C_392/2020 vom 1. Juli 2020 E. 2.3.1).
3.3. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist ein Interesse nur dann schutzwürdig, wenn der Beschwerdeführer noch im Zeitpunkt der Urteilsfällung ein aktuelles praktisches Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheides hat (vgl. <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.3, mit Hinweisen). Fehlt ein solches Interesse bereits bei Erhebung der Beschwerde, führt das zu einem Nichteintreten. Fällt das schutzwürdige Interesse an einer Beschwerde im Laufe des Verfahrens dahin, so wird die Sache als gegenstandslos erklärt. Das Bundesgericht verzichtet ausnahmsweise auf das Erfordernis des aktuellen Interesses, wenn sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen deren grundsätzlicher Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (vgl. <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1b; Urteil 2C_599/2010 vom 11. März 2011 E. 3.1).
3.4. Dem angefochtenen Urteil kann entnommen werden, dass das kantonale Recht dieselben Anforderungen an die Beschwerdelegitimation stellt wie Art. 89 Abs. 1 lit. c BGG. So ist gemäss Art. 32 Abs. 1 i.V.m. Art. 59 Abs. 1 des Gesetzes vom 9. September 2002 über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Appenzell Ausserrhoden (VRPG/AR; bGS 143.1) zur Beschwerde berechtigt, wer ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung der angefochtenen Verfügung hat oder durch Gesetz dazu ermächtigt ist. Gemäss den Ausführungen der Vorinstanz muss dieses Interesse aktuell und praktisch sein. Dies sei dann der Fall, wenn der Beschwerdeführer aus dem beantragten Verfahrensausgang einen praktischen Nutzen ziehe, sodass seine tatsächliche oder rechtliche Situation beeinflusst werden könne. Auf das Erfordernis des aktuellen Rechtsschutzinteresses könne ausnahmsweise unter den von der bundesgerichtlichen Rechtsprechung entwickelten Voraussetzungen (vgl. E. 3.3 hiervor) verzichtet werden (vgl. E. 2 des angefochtenen Urteils).
4.
4.1. Streitgegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens war die Beseitigungs- und Duldungsverfügung des Veterinäramtes vom 14. August 2017, mit welcher der Beschwerdeführer unter anderem zur sofortigen Duldung von Handlungen verpflichtet wurde, die sich zur Umsetzung des gegenüber A.B._ rechtskräftig verfügten Tierhalteverbots notwendig erweisen (vgl. vorne Sachverhalt A.e). Unbestritten ist, dass die Ersatzvornahme, welche sich auf diese Vollstreckungsverfügung stützte, bereits am 1. September 2017 durchgeführt wurde. Dem angefochtenen Urteil kann zudem entnommen werden, dass am 1. September 2017 alle Tiere, die vom Tierhalteverbot betroffen waren, in Sicherheit gebracht worden waren (vgl. vorne Sachverhalt A.g), womit die angefochtene Duldungs- und Beseitigungsverfügung gegenstandslos wurde.
Zu prüfen ist deshalb, ob die Vorinstanz das Vorliegen eines aktuellen und praktischen Rechtsschutzinteresses zu Recht verneint hat. Dabei ist zu beachten, dass eine Beschwerde auch hinsichtlich der Legitimationsvoraussetzungen hinreichend begründet (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) sein muss. Der Beschwerdeführer hat deshalb darzutun, inwiefern er ein aktuelles und praktisches Interesse an der Anfechtung eines Entscheids hat, soweit dieses nicht ohne Weiteres ersichtlich ist (BGE <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2; Urteile 2C_265/2020 vom 3. August 2020 E. 1.2; 1C_453/2014 und 1C_454/2014 vom 23. Februar 2015 E. 4.2, mit Hinweisen; 2C_433/2008 vom 24. November 2009 E. 3).
4.2. Der Beschwerdeführer begründet sein aktuelles und praktisches Interesse primär mit dem Umstand, dass er vom Vollzug des Tierhalteverbots betroffen sei sowie mit den mit der Beschlagnahme verbundenen Kosten.
Nach den unbestrittenen Ausführungen der Vorinstanz wurden bei der Durchführung der Ersatzvornahme ausschliesslich Hühner beschlagnahmt, die sich im Eigentum der Tochter von A.B._, C.B._, befanden. Gemäss dem angefochtenen Urteil liegen sowohl in Bezug auf die Beschlagnahme als auch auf die Kostenauferlegung separate anfechtbare Verfügungen mit C.B._ als Adressatin vor (vgl. E. 4 des angefochtenen Urteils). Wie die Vorinstanz zu Recht erwägt, kann der Beschwerdeführer daraus kein aktuelles und praktisches Interesse an der Behandlung seiner Beschwerde ableiten. Schliesslich handelt es sich bei den Behauptungen des Beschwerdeführers, wonach er mit weiteren Kosten zu rechnen habe, um blosse Vermutungen, die ebenfalls kein solches Interesse zu begründen vermögen. Im Übrigen ist davon auszugehen, dass allfällige weitere Kostenverlegungen in der Form separat anfechtbarer Verfügungen ergehen werden.
4.3. Der Beschwerdeführer bringt sodann in allgemeiner Weise vor, das (gegen A.B._) verfügte Tierhalteverbot habe zusätzlich zur Folge, dass auch Familienangehörige und Hausgenossen von A.B._ bzw. Dritte keine vom Tierhalteverbot erfassten Tiere auf dem betroffenen Landwirtschaftsbetrieb halten dürften, solange A.B._ im Wohnhaus auf dem Landwirtschaftsbetrieb wohne. Zudem argumentiert er, das Tierhalteverbot dürfe nicht als Vorwand dafür benutzt werden, die Familie B._ zu zwingen, entweder ihr Wohnhaus und ihr Restaurant zu verlassen oder die landwirtschaftlichen Gebäude, deren Verwendungszweck die Tierhaltung sei, nicht mehr zu nutzen.
Ob er daraus ein aktuelles und praktisches eigenes Interesse an der Behandlung seiner Beschwerde durch die Vorinstanz ableiten will, lässt sich der Beschwerde indes nicht genau entnehmen. Mit seinen allgemein gehaltenen Ausführungen, die teilweise die Situation von A.B._ betreffen, vermag er ein solches Interesse jedenfalls nicht hinreichend konkret darzutun. Die Beschwerde genügt in diesem Punkt den Anforderungen an die Begründungspflicht nicht (vgl. E. 4.1 hiervor).
4.4. Zu prüfen ist schliesslich, ob die Vorinstanz ausnahmsweise auf das Erfordernis des aktuellen und praktischen Rechtsschutzinteresses hätte verzichten müssen.
4.4.1. Der Beschwerdeführer behauptet, es handle sich um Fragen von grundsätzlicher Bedeutung, deren Beantwortung aufgrund des Entzugs der aufschiebenden Wirkung praktisch nie rechtzeitig möglich sei. Zum einen stelle sich die Frage, ob und unter welchen Voraussetzungen ein Tierhalteverbot nicht nur die Person des Tierhalters, sondern auch Familienmitglieder und sogar Dritte betreffe bzw. für einen ganzen Landwirtschaftsbetrieb gelte, wenn der Adressat des Tierhalteverbots weiterhin auf dem Betrieb wohne. Zum anderen frage es sich, ob und unter welchen Voraussetzungen sich Dritte ein Tierhalteverbot entgegen halten lassen müssten, dessen Adressaten sie nicht seien.
4.4.2. Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt sich, wenn ein allgemeines Interesse besteht, eine umstrittene Frage im Sinne der einheitlichen Anwendung und Auslegung des Bundesrechts höchstrichterlich zu klären, und damit Rechtssicherheit herzustellen (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 1.2; Urteil 2C_630/2014 vom 24. Oktober 2014 E. 1.2.2).
Mit seinen Ausführungen vermag der Beschwerdeführer nicht darzutun, inwiefern diese Voraussetzungen hier erfüllt sein sollen. Wie das Obergericht zu Recht ausführt, hat sich das Bundesgericht mit der Tragweite und den Adressaten von Tierhalteverboten in mehreren Urteilen bereits befasst (vgl. die von der Vorinstanz zitierten Urteile 2C_196/2013 vom 27. Oktober 2013 und 2C_635/2011 vom 11. März 2012; E. 5 des angefochtenen Urteils). Zudem hat das Bundesgericht im Zusammenhang mit dem gegen A.B._ verhängten Tierhalteverbot erwogen, dass das Tierschutzgesetz selbst zwar keine spezifische Umschreibung enthält, wer als Tierhalter zu gelten hat, jedoch zwischen Betreuer und Tierhalter unterscheidet (Art. 6 Abs. 1 Tierschutzgesetz vom 16. Dezember 2005 [TschG; SR 455]). Tierhalter im Sinne von Art. 56 OR ist, wer die tatsächliche Herrschaft über das Tier ausübt bzw. über dieses verfügen kann, auch wenn er die Beaufsichtigung des Tieres zeitweilig einer Hilfsperson anvertraut hat. Dabei ist das dauerhafte wirtschaftliche Interesse oder der Nutzen (auch ideeller Art) von entscheidender Bedeutung, um die Tierhalterin von der Hilfsperson abzugrenzen (vgl. Urteil 2C_958/2014 vom 31. März 2015 E. 4.4). Damit wurde bundesgerichtlich entschieden, dass auch Dritte von einem Tierhalteverbot betroffen sein können. Es ist somit nicht ersichtlich, inwiefern ein öffentliches Interesse an der Klärung der vom Beschwerdeführer gestellten Fragen besteht bzw. deren Beantwortung für die Praxis wegleitend sein kann.
Folglich hat die Vorinstanz das Vorliegen einer Frage von grundsätzlicher Bedeutung zu Recht verneint.
4.5. Schliesslich bilden die Eigentumsverhältnisse an den am 1. September 2017 beschlagnahmten bzw. von A.B._ weggebrachten Tiere sowie die Frage, ob A.B._ das gegen ihn angeordnete Tierhalteverbot umgesetzt habe, nicht Gegenstand des vorliegenden bundesgerichtlichen Verfahrens (vgl. E. 1.2 hiervor), sodass auf die diesbezüglichen Ausführungen in der Beschwerde nicht weiter einzugehen ist.
5.
5.1. Im Ergebnis ist festzuhalten, dass die Vorinstanz zu Recht das Vorliegen eines aktuellen und praktischen Rechtsschutzinteresses des Beschwerdeführers verneint hat. Somit waren im vorinstanzlichen Verfahren nicht alle Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt und der Beschwerdeführer kann sich nicht mit Erfolg auf die Rechtsweggarantie (Art. 29a BV) berufen (vgl. E. 3.2 hiervor). Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
5.2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. November 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Ivanov