Faits :
A.
A.a. Depuis 2015, le Ministère public de la République et canton de Genève, représenté par le Premier procureur Yves Bertossa (ci-après : le Procureur ou Procureur intimé), instruit le complexe de faits entourant les détournements commis par B._, ancien "relationship manager" chargé du comptoir Russie/Ukraine/Asie centrale auprès de la banque C._ SA; les faits reprochés auraient été effectués au détriment de cet établissement et de ses clients (cause P_2).
Au cours de la procédure préliminaire, la banque C._ SA a été visée par des plaintes pénales de plusieurs clients dont les avoirs étaient gérés par B._, soit notamment A._ et ses sociétés D._, E._ Limited et F._ Limited.
Le 7 juin 2017, le Ministère public a créé, par disjonction de cause, la procédure P_1, considérant qu'une éventuelle responsabilité pénale de la banque pour des faits constitutifs de blanchiment d'argent ou de corruption devait être instruite séparément. Dans cette même ordonnance, le Procureur a écarté les réquisitions de preuve formées par les parties plaignantes - dont A._ - au motif qu'elles visaient en réalité à obtenir des informations pour, d'une part, actionner civilement la banque et, d'autre part, tenter d'établir une responsabilité pénale de cette dernière, laquelle serait instruite dans le cadre de la procédure P_1 et non pas P_2.
A.b. Dans le cadre de la procédure P_2, le Ministère public a, par acte d'accusation du 26 juin 2017, renvoyé B._ en jugement pour notamment escroquerie par métier, gestion déloyale aggravée et faux dans les titres. Par jugement du 9 février 2018, le Tribunal correctionnel de la République et canton de Genève a condamné le précité à une peine privative de liberté de cinq ans, décision confirmée le 26 juin 2019 par la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice de la République et canton de Genève (AA_1). Certains recours interjetés, notamment par B._, auprès du Tribunal fédéral contre ce jugement ont été partiellement admis le 19 février 2020 et la cause a été renvoyée à l'instance cantonale pour nouvelle décision (causes 6B_1000/2019, 6B_1001/2019, 6B_1002/2019 et 6B_1008/2019); seule une partie des infractions reprochées à B._ a été portée devant le Tribunal fédéral (cf. l'arrêt du 19 février 2020 dans les causes précitées let. B).
A.c. Au cours de l'instruction de la procédure P_1, les parties plaignantes ont, le 20 octobre 2017, réitéré les réquisitions de preuve écartées le 7 juin 2017. Sans y avoir donné suite, le Procureur a, par courrier du 15 février 2019, invité les parties à lui communiquer les faits qu'elles considéraient comme relevant potentiellement d'actes de blanchiment ou de corruption, "afin de procéder à une première analyse du caractère fondé ou non [des] plaintes".
Dans leur réponse du 31 mai 2019, A._ et ses sociétés ont relevé l'absence de mise en oeuvre par le Procureur des actes d'enquête sollicités, dont la production du dossier de l'Autorité fédérale de surveillance des marchés financiers (FINMA) requise le 4 avril 2019; en particulier, le rapport de cet organisme serait propre à démontrer les manquements de la banque. A._ et ses sociétés ont également rappelé que l'instruction des faits par les parties était contraire à la maxime d'instruction. Les autres parties plaignantes se sont prononcées entre le 29 avril et le 7 juin 2019, réitérant leurs précédentes réquisitions de preuve et demandant la production du dossier de la FINMA.
A.d. A la suite de la demande du 30 juillet 2019 du Ministère public, la FINMA a, le 11 septembre suivant, transmis une copie de son rapport d'enquête. Le 3 octobre 2019, le Procureur a avisé les parties de la réception de ce document, les invitant d'ici à la fin du mois à indiquer les actes de blanchiment visés par leur plainte. La banque a réagi par retour de courrier, indiquant avoir demandé à la FINMA la mise sous scellés à titre préventif, mesure qui a été apposée par le Ministère public le 7 octobre 2019. Le recours des parties plaignantes contre cette "décision" a été déclaré irrecevable par arrêt du 12 décembre 2019 de la Chambre pénale de recours de la République et canton de Genève (ci-après : la Chambre pénale de recours; cause AC_1). Le jour suivant, le Tribunal des mesures de contrainte (Tmc) a levé les scellés apposés sur le rapport de la FINMA, décision confirmée le 19 juin 2020 par le Tribunal fédéral (cause 1B_59/2020).
A.e. Parallèlement à la procédure de levée des scellés, le Ministère public a refusé de mettre en oeuvre, en l'état, les actes d'instruction demandés; il a également indiqué à A._ et à ses sociétés que la question n'était pas de "savoir si l'établissement bancaire [...] a[vait] violé ses obligations en matière de blanchiment d'argent, mais celle de déterminer si de tels actes [avaient] été commis en [son] sein"; un délai leur a été imparti pour préciser lesdits actes. Peu après, le Procureur a informé les parties que le délai pour ce faire était reporté et qu'il serait fixé à l'issue de la procédure de scellés.
Le 20 janvier 2020, A._ et ses sociétés ont relancé le Ministère public afin qu'il mette en oeuvre les nombreux actes d'enquête sollicités en juin 2017, certains pouvant être ordonnés sans attendre le versement au dossier du rapport de la FINMA; il importait de déterminer la validité de la thèse du "loup solitaire" défendue par la banque. Les intéressés relevaient en outre qu'au vu du temps écoulé, l'inaction du Ministère public était à la limite du déni de justice, grief qu'ils se réservaient de faire valoir en justice. Par décision du 23 janvier 2020, le Ministère public a rejeté ces réquisitions. Il a retenu qu'une éventuelle responsabilité de la banque C._ SA dépendait (1) de l'existence d'actes de blanchiment en son sein et (2) d'un défaut d'organisation en ayant permis la commission. S'agissant de la première condition, la procédure pénale contre B._ avait permis de mettre en évidence tous les mouvements financiers reprochés par les parties plaignantes, seule étant ouverte la question - de droit qui serait tranchée à l'issue de l'instruction - de savoir si ces transferts pouvaient être constitutifs de blanchiment. Quant à la seconde condition, la FINMA avait été saisie de cette problématique et il y avait donc lieu d'attendre l'issue de la procédure de scellés (étant rappelé qu'à ce moment-là, la décision du Tmc du 13 décembre 2019 levant les scellés n'était pas encore entrée en force [cf. let. A.d in fine]). Le Procureur a en outre considéré que les actes d'instruction requis tendaient essentiellement à mettre à mal la thèse défendue par la banque ("loup solitaire"); or, la procédure P_1 n'avait pas pour vocation de déterminer si B._ avait agi de concert avec des tiers - complices, coauteurs ou instigateurs - puisque la cause était dirigée contre la banque.
B.
Par requête du 28 janvier 2020, A._ et ses sociétés ont sollicité la récusation du Procureur Yves Bertossa en raison de sa partialité; celle-ci serait démontrée par son refus d'instruire les faits en lien avec une éventuelle responsabilité de la banque C._ SA ou d'autres employés. Les requérants se référaient à cet égard à l'ordonnance de disjonction de juin 2017, ainsi qu'au refus de mettre en oeuvre les mesures d'instruction sollicitées notamment en janvier 2020.
Le Premier procureur s'est opposé, le 5 février 2020, à cette demande et les requérants ont répliqué, faisant notamment état de la connaissance par le magistrat pénal de la procédure administrative au moment d'ordonner la disjonction des causes sans qu'il en ait pourtant averti les parties.
Le 21 avril 2020, la Chambre pénale de recours a rejeté la demande de récusation.
C.
Par acte du 22 mai 2020, A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre cet arrêt, concluant à son annulation et à la récusation du Procureur Yves Bertossa. A titre subsidiaire, le recourant demande le renvoi de la cause à l'autorité précédente.
Invité à se déterminer, le Procureur intimé a conclu au rejet du recours. Le 30 juillet 2020, le recourant a persisté dans ses conclusions. Quant à la cour cantonale, elle s'est référée à ses considérants, sans formuler d'observations. Par courrier du 11 septembre 2020, le Procureur intimé a déposé des observations complémentaires, produisant en outre des copies de sa décision du 19 août 2020 permettant aux parties d'avoir un accès limité au rapport de la FINMA, ainsi que de l'ordonnance du 25 août 2020 de la direction de la procédure de la Chambre pénale des recours lui faisant interdiction de donner un tel accès jusqu'à droit connu sur le recours formé par la banque C._ SA contre la précédente décision. Le recourant a, par courrier du 5 octobre 2020, adressé au Tribunal fédéral une copie de son propre recours contre la décision du 19 août 2020.

Considérant en droit :
1.
Conformément aux art. 78, 79 et 92 al. 1 LTF, une décision cantonale relative à la récusation d'un magistrat pénal peut faire immédiatement l'objet d'un recours en matière pénale (arrêts 1B_420/2020 du 28 octobre 2020 consid. 1; 1B_331/2020 du 23 juillet 2020 consid. 2). Le recourant, dont la demande de récusation a été rejetée, a qualité pour recourir en vertu de l'<ref-law>. Pour le surplus, le recours a été interjeté en temps utile (<ref-law>) contre une décision rendue en instance cantonale unique (art. 80 al. 2 in fine LTF) et les conclusions présentées sont recevables (<ref-law>). Il y a donc lieu d'entrer en matière.
2.
Aucun fait nouveau, ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>). Il s'ensuit que les faits et pièces ultérieurs à l'arrêt attaqué invoqués - notamment sans lien avec la recevabilité du recours au Tribunal fédéral - sont irrecevables (cf. en particulier les pièces produites par les parties les 11 septembre et 5 octobre 2020).
3.
Invoquant une violation de l'art. 56 let. f CPP, le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir considéré que les comportements dénoncés du Procureur intimé ne démontreraient pas une prévention de la part de celui-ci à son encontre. Le recourant soutient au contraire que le Procureur intimé aurait "manoeuvré pour ne pas instruire les faits pouvant établir une responsabilité pénale de la banque, voire d'autres employés" de celle-ci; cela découlerait en particulier de son inaction depuis l'ouverture de la procédure P_1 et de son refus de mettre en oeuvre les actes d'instruction requis.
3.1. Un magistrat est récusable pour l'un des motifs prévus aux art. 56 let. a à e CPP, qui n'ont pas été invoqués en l'espèce. Il l'est également selon l'art. 56 let. f CPP, "lorsque d'autres motifs, notamment un rapport d'amitié étroit ou d'inimitié avec une partie ou son conseil, sont de nature à le rendre suspect de prévention". Cette disposition a la portée d'une clause générale recouvrant tous les motifs de récusation non expressément prévus aux lettres précédentes. Elle correspond à la garantie d'un tribunal indépendant et impartial instituée par les art. 30 Cst. et 6 CEDH. Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective du magistrat est établie, car une disposition interne de sa part ne peut guère être prouvée. Il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat. Seules les circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération. Les impressions purement individuelles d'une des parties au procès ne sont pas décisives (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 162; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 74).
Dans la phase de l'enquête préliminaire, ainsi que de l'instruction et jusqu'à la mise en accusation, le ministère public est l'autorité investie de la direction de la procédure (<ref-law>). A ce titre, il doit veiller au bon déroulement et à la légalité de la procédure (<ref-law>). Durant l'instruction, il doit établir, d'office et avec un soin égal, les faits à charge et à décharge (<ref-law>); il doit statuer sur les réquisitions de preuves et peut rendre des décisions quant à la suite de la procédure (classement ou mise en accusation), voire rendre une ordonnance pénale pour laquelle il assume une fonction juridictionnelle. Dans ce cadre, le ministère public est tenu à une certaine impartialité même s'il peut être amené, provisoirement du moins, à adopter une attitude plus orientée à l'égard du prévenu ou à faire état de ses convictions à un moment donné de l'enquête. Tout en disposant, dans le cadre de ses investigations, d'une certaine liberté, le magistrat reste tenu à un devoir de réserve. Il doit s'abstenir de tout procédé déloyal, instruire tant à charge qu'à décharge et ne point avantager une partie au détriment d'une autre (<ref-ruling> consid. 3.2.2 p. 179 s.; <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 145).
Des décisions ou des actes de procédure qui se révèlent par la suite erronés ne fondent pas en soi une apparence objective de prévention; seules des erreurs particulièrement lourdes ou répétées, constitutives de violations graves des devoirs du magistrat, peuvent fonder une suspicion de partialité, pour autant que les circonstances dénotent que la personne en cause est prévenue ou justifient à tout le moins objectivement l'apparence de prévention. Il appartient en outre aux juridictions de recours normalement compétentes de constater et de redresser les erreurs éventuellement commises dans ce cadre. La procédure de récusation n'a donc pas pour objet de permettre aux parties de contester la manière dont est menée l'instruction et de remettre en cause les différentes décisions incidentes prises par la direction de la procédure (ATF <ref-ruling> consid. 3.2 p. 74 s.).
3.2. La cour cantonale a tout d'abord considéré que l'ordonnance de disjonction de juin 2017 ne permettait pas de retenir que le Procureur intimé se serait engagé à mettre en oeuvre dans la procédure P_1 contre la banque les réquisitions de preuves écartées dans celle P_2; s'il avait ensuite confirmé son intention de ne pas les ordonner, il ne les avait pas non plus exclues de manière définitive. Selon les Juges cantonaux, la volonté d'instruire la cause P_1 était de plus démontrée par la production du rapport de la FINMA au dossier, afin d'étayer les éventuels manquements en matière d'organisation de la banque; rien n'indiquait de plus que le Procureur intimé aurait eu connaissance de la reddition de ce rapport préalablement à l'interpellation des parties, soit avant son courrier du 15 février 2019. La cour cantonale a de plus estimé que ce courrier ne demandait pas aux parties d'établir les faits incriminés, mais de les énumérer afin d'en examiner le caractère éventuellement pénal; un exposé des circonstances concrètes du comportement dénoncé était une condition de validité de la plainte pénale et permettait à l'autorité de poursuite de se déterminer sur la suite à y donner. La juridiction précédente a enfin indiqué que l'extension de l'objet de la procédure P_1 à l'éventuelle responsabilité, non pas uniquement de la banque, mais également à des employés de celle-ci relevait de l'interprétation personnelle effectuée par le recourant de l'ordonnance de disjonction.
Sur le vu de ces considérations, la Chambre pénale de recours a considéré que les agissements ou omissions imputés au Procureur intimé ne permettaient pas d'en concevoir des soupçons de mauvaise foi ou une prévention à l'encontre du recourant.
3.3. Ce raisonnement ne prête pas le flanc à la critique et le recourant ne développe aucune argumentation propre à le remettre en cause. Comme relevé à juste titre par l'instance précédente, le recourant ne saurait utiliser la voie de la récusation pour se plaindre d'un déni de justice, d'une violation du principe de célérité ou d'un refus de mettre en oeuvre des réquisitions de preuve.
Certes, il semble n'y avoir eu aucun acte d'instruction entre la requête du recourant du 20 octobre 2017 et le courrier du magistrat intimé du 15 février 2019 (cf. ad 11 p. 3 des observations du Ministère public du 26 juin 2020 et en particulier ad 9-16 p. 3 s. des déterminations du recourant du 30 juillet 2020). Cela étant, le recourant ne prétend pas avoir interpellé le Procureur intimé dans cet intervalle ou avoir déposé un recours pour déni de justice concernant cette procédure. Il n'ignorait pas non plus les développements intervenus en parallèle dans la cause connexe P_2 (soit notamment la procédure de première instance [cf. ad let. A.b ci-dessus]). On ne saurait donc considérer le défaut d'instruction dans la procédure P_1 jusqu'en février 2019 comme un élément permettant de démontrer la volonté du Procureur intimé de ne pas instruire cette cause. Une telle intention ne résulte pas non plus de la prolongation de la procédure en raison de la mise sous scellés du rapport de la FINMA suite à la requête de la banque C._ SA (cf. ad let. A.d ci-dessus).
Le Procureur intimé a certes écarté en juin 2019 des réquisitions de preuve dans la procédure P_2 menée à l'encontre de B._ au motif qu'elles tendaient à démontrer une responsabilité pénale de la banque et non pas celle du prévenu précité. Contrairement à ce que semble croire le recourant, cela ne voulait toutefois pas dire que ces requêtes étaient nécessairement pertinentes et devraient être mises en oeuvre dans le cadre de la procédure spécifique ouverte contre la banque (P_1). Les principes de célérité et d'économie de procédure permettent en effet - au demeurant plus de deux ans après - au Procureur intimé de procéder à un nouvel examen du bien-fondé des preuves demandées, notamment eu égard à leur but et à d'éventuelles nouvelles circonstances; cette constatation s'impose en particulier pour les actes d'instruction qui paraissent viser les mêmes problématiques que celles traitées dans le rapport de la FINMA, document dont il paraît incontesté qu'il n'était pas établi en juin 2017. Quant aux autres moyens de preuve requis, le Procureur intimé a estimé qu'ils tendaient à démontrer la participation de tiers, ce qui, selon lui, n'était pas l'objet de la procédure P_1. Cette appréciation quant à l'entité visée par la procédure peut certes déplaire au recourant mais il n'en découle pas pour autant un motif de prévention; le cas échéant, il pourra au demeurant réitérer ses réquisitions ultérieurement, y compris devant le juge du fond (cf. notamment art. 318 al. 1 et 2, ainsi que 331 al. 2 et 3 CPP). Une volonté de ne pas instruire la cause semble d'autant moins établie que le Procureur intimé ne paraît pas avoir exclu toute instruction complémentaire puisqu'il a invité le recourant à faire valoir ses arguments quant aux faits qui pourraient démontrer la réalisation des conditions de l'infraction dénoncée.
Le recourant se prévaut encore des circonstances entourant la connaissance par le Procureur intimé de la procédure de la FINMA, le défaut allégué d'information à cet égard aux parties et la prétendue absence de réaction du Procureur intimé à la suite notamment de la demande du recourant du 4 avril 2019 tendant à la production de ce dossier. Certes et contrairement ce que semble avoir retenu l'autorité précédente, il ne semble pas exclu que le Procureur intimé ait eu connaissance de l'existence de l'enquête de la FINMA dès juin 2017 (cf. ad 4 de ses déterminations du 5 février 2020 devant la Chambre pénale de recours). Cela étant et dans la mesure où l'invocation de ces éléments en janvier 2020 à titre de motif de récusation ne serait pas tardive, ils démontrent tout au plus une éventuelle erreur d'appréciation quant à la possible importance de la procédure de la FINMA, ce qui semble avoir été réparé par la demande de production du rapport le 30 juillet 2019. Cela ne constitue donc pas une grave violation des devoirs incombant au magistrat intimé, susceptible de démontrer une apparence de prévention.
Au regard des éléments précédents, on ne saurait donc considérer que le Procureur intimé aurait "manoeuvré" afin de ne pas instruire la procédure P_1, notamment à la suite de celle P_2. La Chambre pénale de recours pouvait ainsi, sans violer le droit fédéral, rejeter la demande de récusation formée par le recourant contre le Procureur intimé.
4.
Il s'ensuit que le recours est rejeté.
Le recourant, qui succombe, supporte les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, fixés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 17 novembre 2020
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Chaix
La Greffière : Kropf