Fatti:
A.
Dopo un primo soggiorno in Svizzera (metà anni 80 - inizio anni 90), A._, cittadino italiano, è arrivato nel luglio 2009 nel Canton Berna ove ha ottenuto un permesso di dimora UE/AELS valido fino al 7 luglio 2014 per lavorarvi come indipendente (gestione di un ristorante). Il 20 agosto 2009 è stato raggiunto dalla moglie B._, cittadina rumena, e dal figlio C._, cittadino italiano, ugualmente posti al beneficio di permessi di dimora UE/AELS. A._ ha cessato la propria attività fine febbraio 2010. Il 15 marzo successivo tutta la famiglia si è trasferita nel Cantone Ticino dove, dal mese di giugno 2010, ha iniziato a percepire prestazioni assistenziali. Il 1° maggio 2015 i consorti si sono separati, il figlio rimanendo con la madre.
Il 9 febbraio 2016 l'Ufficio AI ha accertato un'incapacità lavorativa di A._ del 100 % dal 1° novembre 2011 al 31 maggio 2014 (diritto ad una rendita intera dal 1° novembre 2012), del 40 % dal 1° giugno 2014 al 31 gennaio 2015 (nessuna rendita) e del 65 % dal 1° febbraio 2015 (3/4 di rendita). Nell'aprile 2016 l'interessato ha chiesto l'erogazione di prestazioni complementari (PC), che ha poi ottenute.
B.
Il 20 ottobre 2016 la Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni ha rifiutato di rilasciare a A._ un permesso di domicilio UE/AELS nonché di rinnovargli il permesso di dimora UE/AELS, fissandogli nel contempo un termine per lasciare la Svizzera. A sostegno del proprio rifiuto ha osservato che l'interessato, il quale percepiva prestazioni assistenziali dal giugno del 2010 (più di fr. 225'000.--) e aveva a suo carico 23 procedure esecutive nonché 42 attestati di carenza beni, non poteva appellarsi al diritto di rimanere sgorgante dall'Accordo sulla libera circolazione delle persone del 21 giugno 1999 (ALC; RS 0.142.112.681).
Questa decisione è stata confermata dapprima dal Consiglio di Stato ticinese - dinanzi al quale A._ non ha più sollecitato il rilascio di un permesso di domicilio - il 7 novembre 2018 e poi dal Tribunale cantonale amministrativo, il 20 maggio 2020.
Nel frattempo, in seguito a revisione, gli è stata riconosciuta dal 1° ottobre 2018 una rendita AI intera (fr. 488.-- mensili) con un grado di invalidità del 79 %.
C.
Il 24 giugno 2020 A._ ha presentato dinanzi al Tribunale un ricorso con cui chiede che, previo conferimento dell'effetto sospensivo, la sentenza cantonale sia annullata e gli atti rinviati all'autorità di prime cure affinché gli rilasci un permesso di dimora. Domanda inoltre dall'essere esentato dal dovere versare un anticipo per le spese processuali presunte.
Non è stato ordinato alcun atto istruttorio.

Diritto:
1.1. Il Tribunale federale esamina d'ufficio e con piena cognizione la sua competenza (<ref-law>), rispettivamente l'ammissibilità dei gravami che gli vengono sottoposti (<ref-ruling> consid. 1 pag. 186; <ref-ruling> consid. 1 pag. 417 e rinvii).
1.2. Quale cittadino italiano il ricorrente ha, di principio, un diritto ad un'autorizzazione di soggiorno in virtù dell'ALC (sentenza 2C_437/2019 del 25 novembre 2019 consid. 1.1), motivo per cui l'eccezione di cui all'art. 83 lett. c n. 2 LTF non trova applicazione nei suoi confronti (sentenza 2C_310/2012 del 12 novembre 2012 consid. 1.2). Il suo gravame, presentato in tempo utile (<ref-law>) e diretto contro una decisione finale di un'autorità cantonale di ultima istanza con carattere di tribunale superiore (art. 86 cpv. 1 lett. d e cpv. 2 e <ref-law>), è quindi ammissibile quale ricorso in materia di diritto pubblico.
1.3. Considerato che il ricorrente non mette in discussione, con una motivazione che ne provi un accertamento arbitrario, i fatti che emergono dalla querelata sentenza, gli stessi vincolano il Tribunale federale (<ref-law>).
2.
2.1. Richiamate la normativa e la giurisprudenza determinanti (sentenza impugnata pag. 4 a 9), il Tribunale amministrativo cantonale ha rilevato che il ricorrente non poteva (più) appellarsi ai diritti scaturenti dall'ALC per lavorare (perdita dello statuto di lavoratore in seguito ad un lungo periodo d'inattività professionale; nessun diritto alle indennità di disoccupazione; dal giugno 2010 dipendenza dall'aiuto sociale) rispettivamente cercarsi un impiego in Svizzera o per risiedervi senza esercitare un'attività lavorativa (art. 6 ALC e art. 24 par. 1 e 8 Allegato I ALC; mancanza di mezzi finanziari sufficienti per garantire il proprio sostentamento). Inoltre, benché risiedesse nel nostro Paese senza interruzione da più di due anni, egli non poteva nemmeno invocare il diritto di rimanere disciplinato da tale Accordo, non avendo cessato di lavorare a seguito di inabilità permanente al lavoro o a causa di un incidente (art. 4 Allegato I ALC e art. 2 par. 1 lett. b Regolamento CEE 1251/70 [GU L 142 del 1970, pag. 24]). Ha poi aggiunto che erano dati i motivi di revoca previsti dall'art. 62 cpv. 1 lett. d LStrI (RS 142.20), ragione per cui nemmeno nell'ottica del diritto interno il ricorrente poteva pretendere al rilascio dell'autorizzazione sollecitata. Ha poi constatato che sebbene il soggiorno in Svizzera andava considerato di media durata, un rientro in Italia, dove era nato e cresciuto e dove poteva continuare a beneficiare della propria rendita AI, appariva esigibile e rispettoso del principio della proporzionalità (art. 2 cpv. 2 e art. 96 LStrI), malgrado le difficoltà di adattamento che avrebbe dovuto affrontare. Con riferimento ai suoi problemi di salute, di natura fisica e psichica, la Corte cantonale ha precisato che il paese d'origine non era sprovvisto di adeguate strutture sanitarie medico-psichiatriche-assistenziali pubbliche di qualità, di modo che poteva senz'altro esservi curato e che, trasferendosi nella fascia di confine, avrebbe comunque potuto continuare il percorso terapeutico in Svizzera. Ha concluso osservando che l'insorgente non poteva invocare l'art. 8 CEDU né dal profilo della relazione con il figlio, il quale non risiedeva più in Svizzera né da quello della vita privata (la sua integrazione non avendo nulla di eccezionale, oltre al fatto che si sosteneva essenzialmente grazie alle PC).
2.2. Il ricorrente non rimette in discussione il fatto che non può appellarsi all'ALC né per ottenere un'autorizzazione di soggiorno per lavorare (come dipendente e/o quale indipendente) né per cercarsi del lavoro o per risiedere nel nostro Paese senza svolgervi un'attività. Come anche non rimette in discussione il fatto che non può pretendere al rilascio di un permesso di dimora in base al diritto interno. Non occorre pertanto riesaminare questi aspetti e, in proposito, ci si limita a rinviare ai pertinenti considerandi della sentenza cantonale (cfr. pag. 9 consid. 5.1, pag. 11 consid. 5.3 e 6), ai quali ci si allinea.
2.3. Egli ritiene invece di soddisfare le esigenze dell'art. 2 par. 1 lett. b del regolamento CEE 1251/70 (GU L 142 del 1970, pag. 24), in relazione con l'art. 4 Allegato I ALC nonché con la direttiva 75/34/CEE (GU L 14 del 1975, pag. 10) che disciplinano il diritto di rimanere, siccome vive da oltre due anni in Svizzera ed è totalmente inabile al lavoro.
Come emerge in modo vincolante dalla sentenza cantonale (<ref-law>) e peraltro non contestato dal ricorrente, egli si è visto rilasciare nel luglio 2009 un permesso di dimora UE/AELS per lavorare come indipendente (gestione di un ristorante). Otto mesi dopo ha cessato la propria attività e da allora non ha più lavorato, nemmeno come impiegato. Non avendo diritto alle indennità di disoccupazione, si è ritrovato a carico della pubblica assistenza dal giugno 2010. Per quanto concerne l'inabilità lavorativa (peraltro parziale dal giugno 2014 a fine settembre 2018) la stessa è stata accertata dal mese di novembre 2011. È quindi indubbio che l'attività lucrativa non ha preso fine a seguito d'inabilità permanente al lavoro, bensì tempo prima, quando l'interessato non aveva problemi di salute. È pertanto a ragione che la Corte cantonale ha considerato che non poteva invocare il diritto di restare in Svizzera (<ref-ruling> consid. 4 pag. 11). Su questo aspetto il ricorso si rivela infondato e come tale va respinto.
2.4. Il ricorrente invoca in seguito la protezione della vita privata sgorgante dall'art. 8 CEDU (sulle relative condizioni cfr. <ref-ruling> consid. 3 pag. 271 segg.; sentenza 2C_919/2019 del 25 febbraio 2020 consid. 7 e richiami) adducendo di essersi creato una rete di relazioni in Svizzera, la quale verrebbe interrotta nel caso in cui fosse costretto a tornare in Italia. È dubbio che la critica soddisfi le esigenze di allegazione e di motivazione degli art. 42 cpv. 2 e 106 cpv. 2 LTF (al riguardo vedasi <ref-ruling> consid. 2.1 pag. 245 seg.; <ref-ruling> consid. 1.4.2 pag. 254). Quand'anche si volesse da ciò prescindere, va osservato che il rifiuto litigioso risulta conforme al principio della proporzionalità il cui rispetto è imposto dall'art. 8 n. 2 CEDU nell'ambito della valutazione degli interessi pubblici e della situazione personale dello straniero. In proposito va rammentato che dopo avere ottenuto nel luglio 2009 un permesso di dimora UE/AELS per esercitare un'attività indipendente, il ricorrente ha lavorato per solo 8 mesi. Dopodiché non ha più lavorato, nemmeno come salariato, e si è ritrovato (non potendo beneficiare delle indennità di disoccupazione) insieme alla moglie e al figlio a carico della pubblica assistenza dal mese di giugno 2010. Per quanto concerne la rendita d'invalidità erogatagli dal 1° novembre 2012, la stessa è risulta insufficiente per assicurare il suo mantenimento siccome ha chiesto l'erogazione di prestazioni complementari, che le sono state accordate. Non si può quindi ritenere che la sua integrazione sia particolarmente riuscita e che i suoi interessi privati a rimanere in Svizzera risultano prevalenti. Premesse queste considerazioni, anche su questo aspetto il ricorso si rivela infondato e, come tale, va respinto.
2.5. Infine, nella misura in cui il ricorrente sostiene che l'allontanamento verso l'Italia costituirebbe una misura sproporzionata, essendo il centro dei suoi interessi in Svizzera, oltre al fatto che un rientro in patria non garantirebbe il legame terapeutico a livello psichiatrico, la sua argomentazione, ancora una volta ai limiti dell'ammissibilità (art. 42 cpv. 2 e 106 cpv. 2 LTF), non è all'evidenza idonea a dimostrare che l'apprezzamento effettuato al riguardo dalla Corte cantonale disattende il principio di proporzionalità. Al contrario la ponderazione svolta dalla citata autorità (la quale aveva peraltro sottolineato che un trasferimento nella fascia di confine permetteva di non precludere la possibilità di continuare il percorso terapeutico in Svizzera) appare ad ogni modo corretta, motivo per cui si rinvia al pertinente considerando contenuto nella sentenza querelata (pag. 12 seg. consid. 7), al quale ci si allinea.
2.6. Visto quanto precede, l'impugnativa si rivela infondata e, come tale, va respinta.
3.
3.1. Con l'evasione del ricorso, la domanda di conferimento dell'effetto sospensivo è divenuta priva d'oggetto.
3.2. La domanda di esonero dal dovere versare un anticipo per le spese, intesa quale domanda di assistenza giudiziaria, non può trovare accoglimento, atteso che le conclusioni del ricorrente erano sin dall'inizio prive di probabilità di successo (<ref-law>). Si terrà comunque conto della sua situazione finanziaria nel fissare le spese che verranno poste a suo carico (<ref-law>). Non si assegnano ripetibili ad autorità vincenti (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è respinto.
2.
La domanda di assistenza giudiziaria è respinta.
3.
Le spese giudiziarie ridotte di fr. 500.-- sono poste a carico del ricorrente.
4.
Comunicazione al ricorrente, alla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino nonché alla Segreteria di Stato della migrazione SEM.