Sachverhalt:
A.
Die 1991 geborene A._ war seit 10. Juni 2013 als Temporärangestellte der B._ SA im Betrieb der C._ AG als Produktionsmitarbeiterin eingesetzt worden und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (Suva) gegen die Folgen von Unfällen und Berufskrankheiten versichert. Am 2. September 2013 erlitt sie bei der Arbeit in der Produktion eine Handkontusion links. Die Suva leistete Taggelder und übernahm die Heilungskosten. Mit Schreiben vom 3. August 2015 teilte sie A._ mit, sie stelle die Heilkostenleistungen per sofort ein. Die Behandlung der Tendovaginitis de Quervain (inklusive bevorstehender Operation) werde von der Suva nicht bezahlt. Das Taggeld sei bis am 30. April 2015 vergütet worden und bleibe auf jenen Zeitpunkt hin ebenfalls eingestellt. Es werde nun der Anspruch auf eine Invalidenrente geprüft. In der Folge hielt sie mittels Verfügung vom 16. September 2015 fest, es bestehe bei einer Lohneinbusse von 1 % keine erhebliche unfallbedingte Beeinträchtigung der Erwerbsfähigkeit, weshalb keine Invalidenrente ausgerichtet werden könne. Auf die am 4. Januar 2016 "ergänzend" erhobene Einsprache der A._ trat die Suva mit Einspracheentscheid vom 21. März 2016 zufolge verspäteter Einspracheerhebung nicht ein.
B.
Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen wies die dagegen erhobene Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Dispositiv-Ziffer 1), und überwies die Sache zur Verfügung über die Taggeld- und Heilbehandlungsleistungen an die Suva (Dispositiv-Ziffer. 2; Entscheid vom 17. Oktober 2017).
C.
Die Suva führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, Dispositiv-Ziffer 2 des vorinstanzlichen Entscheids sei aufzuheben.
A._ lässt ohne zusätzliche Ausführungen auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 44 mit Hinweisen).
1.1. Die Beschwerde an das Bundesgericht ist zulässig gegen Endentscheide, das heisst gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen (<ref-law>). Gegen selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist hingegen die Beschwerde nur zulässig, wenn sie die Zuständigkeit oder den Ausstand betreffen (<ref-law>), einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (<ref-law>), oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (<ref-law>).
1.2. Die vorliegende Beschwerde richtet sich einzig gegen die vorinstanzliche Überweisung der Sache an die Suva zur Verfügung über Taggeld- und Heilbehandlungsleistungen. Es fragt sich, ob diese Überweisung als Endentscheid oder als Zwischenentscheid zu qualifizieren ist (vgl. SVR 2010 IV Nr. 40 S. 126, 9C_1000/2009 E. 1.2; FELIX UHLMANN, in: Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, Rz. 8a zu <ref-law>).
1.2.1. Nach ihrem tatsächlichen rechtlichen Bedeutungsgehalt handelt es sich hier bei der Überweisung zur Prüfung des Anspruchs auf vorübergehende Leistungen um eine Rückweisung. Ein Rückweisungsentscheid schliesst das Verfahren nicht ab und ist somit kein Endentscheid im Sinne von <ref-law>. Mit der angefochtenen Überweisung hat das kantonale Gericht die Streitsache in Bezug auf die vorübergehenden Leistungen weder materiell entschieden noch formell abschliessend behandelt. Vielmehr bleibt die Rechtshängigkeit durch die Überweisung erhalten und die Suva, an welche die Sache überwiesen wird, muss das Verwaltungsverfahren wieder aufnehmen und verfügungsweise abschliessen. Sie hat sich auf Anordnung des kantonalen Gerichts inhaltlich mit dem Anspruch auf Taggelder und Übernahme der Heilungskosten zu befassen. Indem die Suva gezwungen wird, über die vorübergehenden Leistungen (nach ihrer Auffassung nochmals) zu verfügen, wird der Versicherten (trotz verpasster Einsprachefrist im Nachgang zur Verfügung vom 16. September 2015) eine neue Möglichkeit eröffnet, materielle Einwände gegen die (aus Sicht der Suva mit Verfügung vom 16. September 2015 bekräftigte) Einstellung der vorübergehenden Leistungen zu erheben. Gleichzeitig bestätigt die Vorinstanz, dass die Einsprache gegen die leistungsablehnende Verfügung zu spät erhoben worden ist, wovon nach Meinung der Suva nicht nur die Rentenfrage, sondern auch die Einstellung der vorübergehenden Leistungen betroffen sind.
1.2.2. Der nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne von <ref-law> ist rechtlicher Natur, wobei die blosse Möglichkeit genügt, dass ein solcher besteht (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 317). Das setzt voraus, dass er durch einen späteren günstigen Entscheid nicht oder nicht mehr vollständig behoben werden kann. Vorliegend wird im Ergebnis - vom Standpunkt der Suva aus gesehen - mit der Überweisung die Rechtskraft der (nicht rechtzeitig angefochtenen) Verfügung vom 16. September 2015 bezüglich Taggeldleistungen und Heilbehandlungskosten missachtet. Könnte die Verwaltung diese Überweisung nicht anfechten, wäre sie also gezwungen, eine ihres Erachtens rechtswidrige (nochmalige) Verfügung über die Einstellung der vorübergehenden Leistungen zu erlassen. Der Unfallversicherer wäre bei fehlender Anfechtungsmöglichkeit an die Vorgabe des kantonalen Gerichts, den Anspruch auf vorübergehende Leistungen materiell zu prüfen und darüber eine Verfügung zu erlassen, gebunden. Diesen Verwaltungsakt könnte die Suva in der Folge nicht selber anfechten und die Beschwerdegegnerin wird kein Interesse haben, sich in einem weiteren Rechtsmittelverfahren gegen die materielle Prüfung zu wehren. Die Überweisung bewirkt damit einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil für den Versicherer (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 483 ff.).
1.3. Neben dem nicht wieder gutzumachenden Nachteil (<ref-law>) sind auch die weiteren formellen Voraussetzungen erfüllt, weshalb auf die Beschwerde einzutreten ist.
2.
Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f. mit Hinweisen).
3.
3.1. Das kantonale Gericht gelangt in Bestätigung des Einspracheentscheids vom 21. März 2016 zum Schluss, dass das Nichteintreten auf die Einsprache vom 4. Januar 2016 zu Recht erfolgt sei. Soweit sich die Versicherte in ihren Eingaben gegen den mit formlosem Schreiben vom 3. August 2015 eingestellten Anspruch auf Taggeld- und Heilbehandlungsleistungen richte, sei gemäss kantonalgerichtlicher Praxis von unterschiedlichen Streitgegenständen auszugehen. Daher stelle sich - nota bene ausserhalb des vorliegenden Streitgegenstandes - die Frage, wie mit der Kritik der Versicherten an der Einstellung der vorübergehenden Leistungen zu verfahren sei. Über die Einstellung von Taggeld- und Heilbehandlungsleistungen sei gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung formell zu verfügen. Demnach hätte die mit formloser Mitteilung vom 3. August 2015 angeordnete Einstellung der Taggeld- und Heilbehandlungsleistungen korrekterweise in Form einer formellen Verfügung ergehen müssen. Eine ausreichende Willenserklärung der versicherten Person, dass sie mit der Einstellung nicht einverstanden sei und gemäss <ref-law> analog den Erlass einer Verfügung wünsche, sei sowohl in der Beschwerde ans kantonale Gericht vom 3. Mai 2016 als auch in der Einsprache vom 4. Januar 2016 enthalten. Damit habe sie innert eines Jahres ab Mitteilung vom 3. August 2015 reagiert, weshalb die Sache zum diesbezüglichen Erlass einer formellen Verfügung zuständigkeitshalber an die Suva zu überweisen sei.
3.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, Streit- und Anfechtungsgegenstand des vorinstanzlichen Prozesses sei ausschliesslich der Einsprache- bzw. Nichteintretensentscheid der Suva vom 21. März 2016. Der Erlass einer anfechtbaren Verfügung zur Einstellung der vorübergehenden Leistungen sei nicht Gegenstand des angefochtenen Einspracheentscheides, weshalb dies auch nicht zum Streitgegenstand des vorinstanzlichen Prozesses hätte gemacht werden dürfen. Eine Rechtsverweigerungsbeschwerde sei ebenfalls nicht erhoben worden. Das kantonale Gericht habe also mit seiner verbindlichen Anordnung an die Adresse der Suva, eine anfechtbare Verfügung zu erlassen, ihren Zuständigkeitsbereich klar überschritten. Dispositiv-Ziffer 2 des angefochtenen Entscheids sei bereits aus diesem Grund rechtswidrig und aufzuheben. Zudem könne auch nicht davon ausgegangen werden, dass die Versicherte ihren Willen, bezüglich der Einstellung der vorübergehenden Leistungen auf dem Erlass einer anfechtbaren Verfügung zu bestehen, rechtsgenüglich zum Ausdruck gebracht hätte. Schliesslich habe die Suva in ihrer Verfügung vom 16. September 2015 ausdrücklich auf das Schreiben vom 3. August 2015 hingewiesen. Mit der anschliessenden Prüfung des Rentenanspruchs habe sie gleichzeitig auch die mit formlosem Schreiben vom 3. August 2015 mitgeteilte Einstellung der Taggelder und Heilbehandlungsleistungen bestätigt. Über diesen einheitlichen Streitgegenstand habe die Suva am 16. September 2015 rechtskräftig und definitiv befunden, weshalb für den nachträglichen Erlass einer separaten formellen Einstellungsverfügung kein Raum bleibe. Die Versicherte hätte in Anbetracht der Einheitlichkeit des Streitgegenstandes durch rechtzeitige Einsprache gegen den Verwaltungsakt vom 16. September 2015 auch die Einstellung der vorübergehenden Leistungen rügen können. Den Umstand, dass eine fristgerechte Einsprache unterblieben sei, habe die Versicherte selber zu verantworten.
4.
4.1. Gemäss <ref-law> entsteht der Rentenanspruch, wenn von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes des Versicherten mehr erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung abgeschlossen sind (Satz 1). Mit dem Rentenbeginn fallen die Heilbehandlung und die Taggeldleistungen dahin (Satz 2). In dieser Norm wird zunächst geregelt, wann ein Versicherungsfall zum Abschluss zu bringen ist (<ref-ruling> E. 3.2 S. 113). Die vorübergehenden Leistungen, wie Taggelder und Heilbehandlung, hat der Unfallversicherer - sofern allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung abgeschlossen sind - nur so lange zu gewähren, als von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung noch eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes erwartet werden kann. Trifft dies nicht mehr zu, ist der Fall unter Einstellung der vorübergehenden Leistungen mit gleichzeitiger Prüfung des Anspruches auf eine Invalidenrente und/oder eine Integritätsentschädigung abzuschliessen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 113 f.; SVR 2017 UV Nr. 42 S. 145, 8C_776/2016 E. 5.1.1).
4.2. Folglich hängen die Einstellung der vorübergehenden Leistungen und der Fallabschluss mit Prüfung der Rentenfrage und der Integritätsentschädigung derart eng zusammen, dass von einem einheitlichen Streitgegenstand auszugehen ist (Urteil 8C_170/2015 vom 29. September 2015 E. 4.2). Ist der Rentenanspruch streitig, so kann die Frage, ob der Fallabschluss korrekt erfolgt ist, nicht gesondert in Rechtskraft erwachsen, weil das Entstehen des Anspruchs auf eine Rente der Unfallversicherung unter anderem auch vom Zeitpunkt des Eintritts des medizinisch-therapeutischen Endzustandes abhängig ist (SVR 2017 UV Nr. 40 S. 138, 8C_43/2017 E. 2.3.2). Für die abweichende Praxis des kantonalen Gerichts, wonach bezüglich Einstellung der Taggeld- und Heilbehandlungsleistungen einerseits und der Rentenfrage andererseits von zwei unterschiedlichen Streitgegenständen auszugehen sei, besteht mit Blick auf das von <ref-law> vorgegebene Zusammenfallen der Einstellung von vorübergehenden Leistungen und der Prüfung (und gegebenenfalls Festlegung) der Rente kein Spielraum.
4.3. Die Vorinstanz behauptet, die Praxis des Bundesgerichts sei uneinheitlich. So sei unter anderem im Urteil 8C_584/2013 vom 3. April 2014 (E. 6) ebenfalls von unterschiedlichen Streitgegenständen ausgegangen worden. Dabei übersieht sie jedoch, dass dort nicht die Rentenfrage, sondern die Integritätsentschädigung zur Diskussion stand. Praxisgemäss ist eine Verfügung insbesondere hinsichtlich des Entscheids über den Anspruch auf Integritätsentschädigung einerseits und über den Anspruch auf Invalidenrente andererseits der Teilrechtskraft zugänglich (SVR 2017 UV Nr. 40 S. 138, 8C_43/2017 E. 2.3.1 mit Hinweis). Daraus folgend kann über Rente und Integritätsentschädigung auch getrennt verfügt werden. Einzelne Teilaspekte, welche die Leistung bestimmen (<ref-ruling> E. 2b und d S. 416 f.), bilden demgegenüber nur Begründungselemente des Streitgegenstands. Sie können daher im Rahmen der Rechtsanwendung von Amtes wegen von einer Beschwerdeinstanz anders beurteilt werden als von der verfügenden Behörde, auch wenn sie nicht angefochten worden sind (SVR 2011 IV Nr. 20 S. 53, 9C_303/2010 E. 4.2), und sie können erst als rechtskräftig beurteilt und damit der richterlichen Überprüfung entzogen gelten, wenn über den Streitgegenstand insgesamt rechtskräftig entschieden worden ist (<ref-ruling> E. 2b S. 416 mit Hinweis; vgl. auch <ref-ruling> E. 5.2 S. 150). So verhält es sich, wie in Erwägung 4.1 f. hiervor erläutert, gemäss <ref-law> für den Fallabschluss mit Prüfung der Rentenfrage und die Einstellung der vorübergehenden Leistungen.
5.
5.1. Im vorliegenden Fall verneinte die Suva in der Verfügung vom 16. September 2015 den Rentenanspruch nach einem Verweis auf das Schreiben vom 3. August 2015, mit welchem die Einstellung der Taggeld- und Heilbehandlungsleistungen angeordnet worden war. Die Einstellung der vorübergehenden Leistungen und die Rentenprüfung gehörten nach den vorstehenden Erwägungen untrennbar zum Anfechtungs- und Streitgegenstand im vorinstanzlichen Verfahren. Selbst wenn man sich mit dem kantonalen Gericht auf den Standpunkt stellt, die Suva sei im Verwaltungsakt vom 16. September 2015 nicht (auch nicht implizit) auf die Einstellung der vorübergehenden Leistungen eingegangen und hätte, unabhängig davon, ausschliesslich den Rentenanspruch geprüft, verhielte es sich nicht anders. Denn zum Anfechtungsgegenstand gehören nicht nur diejenigen Rechtsverhältnisse, über welche die Verwaltung tatsächlich eine Anordnung getroffen hat. Vielmehr bilden auch jene Rechtsverhältnisse Teil des Verfahrensgegenstandes, hinsichtlich deren es die Verwaltung zu Unrecht - in Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes sowie des Prinzips der Rechtsanwendung von Amtes wegen - unterlassen hat zu befinden, obwohl dazu nach der Aktenlage oder den Parteivorbringen hinreichender Anlass bestanden hätte (vgl. Urteil 8C_210/2018 vom 17. Juli 2018 E. 3.2.3.2 mit weiteren Hinweisen).
5.2. Die Vorinstanz hat den Nichteintretensentscheid der Suva vom 21. März 2016 bestätigt. Damit kann sie den Versicherungsträger nicht mehr dazu auffordern, eine Verfügung bezüglich der vorübergehenden Leistungen zu erlassen. Der Fallabschluss und mit ihm die Einstellung der Taggelder und Heilkostenleistungen ist mit der Verfügung vom 16. September 2015 zufolge verspäteter Einspracheerhebung in Rechtskraft erwachsen. Mit der vorinstanzlichen Bestätigung des Nichteintretensentscheides ist die Sache erledigt, nachdem die Versicherte den kantonalgerichtlichen Entscheid nicht selber angefochten hat. Streitgegenstand im vorinstanzlichen Verfahren bildete lediglich die Frage, ob die Suva mit Entscheid vom 21. März 2016 zu Recht nicht auf die - verspätete - Einsprache der Beschwerdegegnerin eingetreten war. Die Überweisung der Angelegenheit an die Suva zur Verfügung über die vorübergehenden Leistungen verletzt folglich Bundesrecht. Deshalb ist die entsprechende Dispositiv-Ziffer 2 des angefochtenen vorinstanzlichen Entscheids aufzuheben. Erörterungen zu den ersten beiden Einwänden der Suva (Überschreitung des kantonalgerichtlichen Zuständigkeitsbereichs; fehlende Willensbekundung der Versicherten bezüglich Erlass einer anfechtbaren Verfügung zu den vorübergehenden Leistungen: vgl. E. 3.2 hiervor) erübrigen sich unter diesen Umständen.
6.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Als unterliegende Partei hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Dispositiv-Ziffer 2 des Entscheids des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 17. Oktober 2017 wird aufgehoben.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. September 2018
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Berger Götz