Fatti:
A.
A._, cittadino italiano nato nel..., è giunto nel nostro Paese il 1° aprile 2013 e il 23 maggio successivo ha ottenuto un permesso di dimora UE/AELS, valido fino al 31 marzo 2018, per risiedere a X._ (TI), dapprima in un alloggio preso in locazione e in seguito in un appartamento di 3,5 locali acquistato in via yyy.
II 25 settembre 2015, egli ha sposato la connazionale B._, che ha continuato a risiedere in Italia (provincia di Z._), in ragione della sua attività professionale (a tempo parziale).
B.
A seguito della domanda di rilascio di un'autorizzazione di domicilio UE/AELS (19 febbraio 2018), il 27 aprile 2018 la Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino ha chiesto alla polizia cantonale di sentire A._ in merito al suo effettivo soggiorno in Svizzera.
Preso atto dell'esito dell'interrogatorio svolto ed eseguiti ulteriori accertamenti, con decisione del 10 ottobre 2018 ha quindi negato il rilascio del permesso di domicilio richiesto e revocato l'autorizzazione di dimora UE/AELS, fissando ad A._ un termine per lasciare la Svizzera. In tale contesto, l'autorità competente ha in particolare ritenuto che il "centro di vita e degli interessi" del richiedente si trovasse in Italia e che egli si recasse nel nostro Paese solo per brevi soggiorni di riposo, ciò che rendeva la sua presenza fittizia e di comodo. Nel seguito, tale risoluzione è stata invano impugnata sia davanti al Consiglio di Stato (28 maggio 2019) che al Tribunale amministrativo ticinese (13 maggio 2020). Circa il permesso di dimora, entrambi hanno in particolare riconosciuto che lo stesso era in realtà decaduto.
C.
Il 15 giugno 2020 A._ ha contestato il giudizio della Corte cantonale con ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale chiedendo: in via principale e in riforma della querelata sentenza, che la revoca del permesso di dimora B UE/AELS, con contestuale assegnazione di un termine per lasciare la Svizzera, sia annullata; in via subordinata, che la pronuncia impugnata sia annullata e l'incarto rinviato alla Corte cantonale per completare l'istruttoria e decidere nuovamente sulla causa.
Chiamato ad esprimersi, il Tribunale amministrativo si è riconfermato nelle conclusioni della propria sentenza. Ad essa ha fatto in sostanza rinvio anche la Sezione della popolazione. Il Consiglio di Stato si è invece rimesso al giudizio del Tribunale federale. Con decreto del 17 giugno 2020 è stato concesso l'effetto sospensivo al gravame.

Diritto:
1.
1.1. Giusta l'art. 83 lett. c n. 2 LTF, il ricorso in materia di diritto pubblico è inammissibile contro le decisioni in materia di diritto degli stranieri concernenti permessi o autorizzazioni al cui ottenimento né il diritto federale né il diritto internazionale conferiscono un diritto. Dato che il ricorrente è cittadino italiano, e l'accordo sulla libera circolazione delle persone conferisce, di principio, anche il diritto di vivere nel nostro Paese senza svolgere nessuna attività lucrativa, la menzionata norma non trova però applicazione (art. 6 ALC in relazione con l'art. 24 allegato I ALC; sentenza 2C_847/2019 del 18 dicembre 2019 consid. 1.1). Le conclusioni che vertono direttamente sulla pronuncia dell'allontanamento, sono per contro inammissibili (83 lett. c n. 4 LTF) e non possono nemmeno essere trattate con ricorso sussidiario in materia costituzionale poiché, riguardo a tale soggetto, non viene fatta valere la lesione di nessun diritto costituzionale specifico (art. 113 segg. in relazione con l'art. 106 cpv. 2 LTF; sentenze 2D_57/2019 del 4 novembre 2019 consid. 4.4 e 2C_409/2019 del 16 settembre 2019 consid. 1.3).
1.2. Il gravame relativo all'autorizzazione di soggiorno è stato presentato nei termini (art. 100 cpv. 1 LTF) contro una decisione finale di un tribunale superiore (art. 86 cpv. 1 lett. d e 2; art. 90 LTF) e da persona legittimata in tal senso (art. 89 cpv. 1 LTF). Indipendentemente dal fatto che l'originario permesso sia oramai scaduto (precedente consid. A), ammesso va anche il necessario interesse a ricorrere (art. 89 cpv. 1 LTF). Di per sé, un'autorizzazione di soggiorno UE/AELS ha infatti portata dichiarativa, e non perde quindi validità con il passare del tempo, ma soltanto quando le condizioni per il suo riconoscimento non sono più adempiute (<ref-ruling> consid. 2.2 pag 332 seg.). Di conseguenza, in quanto relativa al permesso di soggiorno, l'impugnativa è ammissibile quale ricorso ordinario in materia di diritto pubblico (sentenza 2C_251/2019 del 9 settembre 2019 consid. 1.2). Ritenuto che le condizioni per la produzione di nuovi documenti non sono date rispettivamente dimostrate, il doc. A3 accluso al gravame non può però essere preso in considerazione (art. 99 cpv. 1 LTF).
2.
2.1. Nel suo giudizio, la Corte cantonale ha rilevato che la questione del diritto al rilascio del permesso di domicilio poteva restare aperta, in quanto la decadenza del permesso di dimora, già constatata dal Consiglio di Stato, andava confermata. In questa sede, il ricorrente si limita a formulare conclusioni relative al permesso di dimora, di modo che l'esame della fattispecie sottoposta al Tribunale federale sarà circoscritto a quest'ultimo aspetto, senza toccare quello del permesso di domicilio (sentenza 2C_732/2017 del 19 settembre 2017 consid. 1.3).
2.2. In base ai fatti che risultano dal giudizio impugnato (querelata sentenza, consid. B), la presenza del ricorrente in Svizzera viene considerata fin dall'inizio come "fittizia e di comodo" (precedente consid. B). Di conseguenza, il caso non va affrontato nell'ottica di una possibile decadenza del permesso - come fatto dal Consiglio di Stato e dal Tribunale amministrativo -, poiché simili fattispecie si avverano solo se le condizioni per il rilascio erano date e vengono successivamente a mancare - in particolare, a causa di una partenza all'estero - non se viene sostenuto che esse farebbero da sempre difetto (art. 61 cpv. 2 LStrI, di principio applicabile anche in relazione a permessi UE/AELS; sentenza 2C_52/2014 del 23 ottobre 2014 consid. 3.2, con riferimento agli art. 6 cpv. 5, 12 cpv. 5 e 24 cpv. 6 allegato I ALC).
D'altra parte, quando si è pronunciata la Sezione della popolazione (10 ottobre 2018), il termine di controllo stabilito al momento del rilascio del permesso era oramai trascorso (31 marzo 2018), di modo che la questione da porsi non era nemmeno quella di una revoca, come fatto dalla Sezione della popolazione, bensì quella a sapere se sussisteva un diritto al rinnovo del permesso di dimora di cui il ricorrente, cittadino italiano, sin lì beneficiava (<ref-ruling> consid. 2.2 pag. 332 seg. relativo al termine di controllo e alla procedura di rinnovo di un permesso UE/AELS; per maggiori dettagli in proposito, cfr. il successivo consid. 3).
2.3. In via abbondanziale e pro futuro, va ad ogni modo osservato che l'aspetto del "centro degli interessi" di una persona, cui fanno ampio riferimento le autorità ticinesi, ha in realtà una portata circoscritta, segnatamente alle procedure di decadenza, e che anche in quel contesto non costituisce affatto il criterio principale sul quale basarsi (art. 61 cpv. 2 LStrI; al riguardo, cfr. la recente <ref-ruling> consid. 2 pag. 324 segg.). Come osservato in precedenza, il caso che ci occupa non concerne tuttavia una fattispecie di decadenza, bensì quella di un rinnovo del permesso di dimora UE/AELS e come tale va quindi trattato.
3.
3.1. L'Accordo del 21 giugno 1999 tra la Confederazione svizzera, da una parte, e la Comunità europea e i suoi Stati membri, dall'altra, sulla libera circolazione delle persone (ALC; RS 0.142.112.681) è entrato in vigore il 1° giugno 2002. Da tale data, i cittadini degli Stati membri dell'UE e dell'AELS, tra cui rientrano i cittadini italiani, hanno il diritto di soggiornare e di spostarsi liberamente su tutto il territorio svizzero, alle condizioni previste dall'accordo medesimo. Per quanto riguarda le persone che non svolgono un'attività economica, come è il caso per il ricorrente, l'art. 24 allegato I ALC, cui l'art. 6 ALC rinvia, disciplina il soggiorno nel modo seguente:
(1) Il cittadino di una parte contraente che non esercita un'attività economica nello Stato in cui risiede e che non beneficia di un diritto di soggiorno in virtù di altre disposizioni del presente Accordo, riceve una carta di soggiorno la cui validità ha una durata di almeno cinque anni, purché dimostri alle autorità nazionali competenti di disporre per sé e per i membri della propria famiglia: a) di mezzi finanziari sufficienti per non dover ricorrere all'assistenza sociale durante il soggiorno; b) di un'assicurazione malattia che copra tutti i rischi. Qualora lo ritengano necessario, le parti contraenti possono esigere che la validità della carta di soggiorno sia riconfermata al termine dei primi due anni di soggiorno.
(2) Sono considerati sufficienti i mezzi finanziari necessari superiori all'importo al di sotto del quale i cittadini nazionali, tenuto conto della loro situazione personale ed eventualmente di quella dei membri della loro famiglia, hanno diritto a prestazioni d'assistenza. Qualora tale condizione non possa essere applicata, i mezzi finanziari del richiedente vengono considerati sufficienti quando sono superiori al livello della pensione minima di previdenza sociale versata dallo Stato ospitante.
(3) Coloro che abbiano avuto un impiego di durata inferiore a un anno sul territorio di una parte contraente possono soggiornarvi purché soddisfino le condizioni stabilite al paragrafo 1 del presente articolo. I sussidi di disoccupazione a cui essi hanno diritto conformemente alle disposizioni della legislazione nazionale, integrata se del caso dalle disposizioni dell'allegato II, vanno considerati mezzi finanziari ai sensi del paragrafo 1, lettera a) e del paragrafo 2 del presente articolo.
(4) Una carta di soggiorno la cui validità è limitata alla durata della formazione oppure a un anno se la durata della formazione è superiore ad un anno, è rilasciato allo studente che non gode di un diritto di soggiorno sul territorio dell'altra parte contraente in base ad un'altra disposizione del presente Accordo e che assicuri all'autorità nazionale interessata con una dichiarazione o, a sua scelta, con qualsiasi altro mezzo almeno equivalente, di disporre di risorse affinché egli stesso, il coniuge e i loro figli a carico non debbano ricorrere durante il soggiorno all'assistenza sociale dello Stato ospitante, e a condizione che lo studente sia iscritto in un istituto riconosciuto per seguirvi, a titolo principale, una formazione professionale e disponga di un'assicurazione malattia che copra tutti i rischi. Il presente Accordo non disciplina né l'accesso alla formazione professionale, né l'aiuto concesso per il loro mantenimento agli studenti di cui al presente articolo.
(5) La carta di soggiorno viene rinnovata automaticamente per almeno cinque anni, purché siano soddisfatte le condizioni d'ammissione. Per lo studente, la carta di soggiorno è rinnovata di anno in anno per una durata corrispondente alla durata residua della formazione.
(6) Le interruzioni del soggiorno che non superino sei mesi consecutivi e le assenze motivate dall'assolvimento di obblighi militari non infirmano la validità del permesso di soggiorno.
(7) La carta di soggiorno è valida per tutto il territorio dello Stato che l'ha rilasciata.
(8) Il diritto di soggiorno sussiste finché i beneficiari del medesimo soddisfano le condizioni di cui al paragrafo 1.
3.2. Un diritto di soggiorno UE/AELS sul territorio di un'altra parte contraente è certificato dal rilascio da parte delle autorità competenti di una carta di soggiorno (art. 2 allegato I ALC).
La natura delle autorizzazioni UE/AELS alle quali un cittadino di uno Stato dell'Unione europea può avere diritto in virtù dell'ALC non ha carattere costitutivo, ma dichiarativo (<ref-ruling> consid. 2.2. pag. 332; <ref-ruling> consid. 4 pag. 58). Ciò vuol dire che quando le condizioni previste dall'accordo sulla libera circolazione delle persone per la concessione di una determinata autorizzazione UE/AELS sono date, e non sussistono motivi di ordine pubblico per un diniego (art. 5 allegato I ALC), il documento richiesto va concesso; in effetti, il permesso non fonda il diritto al soggiorno, limitandosi ad attestarlo (<ref-ruling> consid. 4.4; <ref-ruling> consid. 2. e 3 pag. 331 segg.).
3.3. Anche in relazione all'applicazione dell'accordo sulla libera circolazione delle persone sono tuttavia riservati i casi di abuso di diritto, in presenza del quale il permesso può essere negato, non rinnovato o revocato (art. 23 dell'ordinanza sull'introduzione della libera circolazione delle persone del 22 maggio 2002 [OLCP; RS 142.203]; sentenze 2C_472/2019 del 9 agosto 2019 consid. 5; 2C_968/2017 del 15 ottobre 2018 consid. 3 e 2C_71/2016 del 14 novembre 2016 consid. 3.4).
Per giurisprudenza costante, simili fattispecie vanno però ammesse con ritegno. Come indicato dalla Corte di giustizia dell'Unione europea (CGUE) e in consonanza con il diritto interno, è infatti necessario che vi siano una serie di circostanze oggettive dalle quali risulta che, malgrado un rispetto formale delle condizioni previste dall'accordo sulla libera circolazione delle persone, l'obiettivo perseguito attraverso la concessione di un determinato permesso non viene raggiunto, poiché la persona che vi si richiama mira in realtà a tutt'altro (<ref-ruling> consid. 2.1 pag. 395; <ref-ruling> consid. 3.2.3 pag. 186; <ref-ruling> consid. 9 seg. pag. 129 segg.; sentenze 2C_688/2017 del 29 ottobre 2018 consid. 4.4; 2C_292/2017 dell'8 marzo 2018 consid. 4.2; 2C_71/2016 del 14 novembre 2016 consid. 3.4; 2C_128/2015 del 25 agosto 2015 consid. 3.3; 2C_114/2012 del 26 marzo 2013 consid. 4.2, con riferimenti anche alla prassi della CGUE).
4.
4.1. La procedura di rinnovo di un permesso UE/AELS, come quella che ha dato inizio a questa causa, serve tra l'altro a verificare se le condizioni previste dall'accordo sulla libera circolazione delle persone siano ancora date (<ref-ruling> consid. 2.2 pag. 332 seg.).
Nella fattispecie, si tratta delle condizioni indicate dall'art. 24 allegato I ALC, in base al quale - quando è giunto in Svizzera nel 2013, all'età di... anni - l'insorgente ha chiesto e ottenuto un permesso di dimora UE/AELS per persone senza attività lucrativa.
4.2. Ora, non risulta che i soggiorni all'estero del ricorrente abbiano mai superato i sei mesi così come previsto dall'art. 24 par. 4 allegato I ALC. Al pari dell'art. 61 cpv. 2 LStrI (precedente consid. 2), la norma citata riguarda inoltre la decadenza del permesso, non il suo rinnovo o la concessione di un nuovo permesso, che restano in ogni tempo possibili (sentenza 2C_42/2014 del 17 ottobre 2014 consid. 3 e 4).
In parallelo, al ricorrente non è nemmeno rimproverato di non rispettare le condizioni richieste dall'art. 24 cpv. 1 allegato ALC (mezzi finanziari sufficienti per non dover ricorrere all'assistenza sociale e assicurazione malattia che copra tutti i rischi), di modo che - almeno per questo motivo - l'art. 23 OLCP, che permette di non rinnovare i permessi di dimora se le condizioni per il loro rilascio non sono più adempiute, non pare applicabile.
4.3. Tenuto conto del fatto che la presenza del ricorrente in Svizzera viene considerata da sempre come "fittizia e di comodo" (precedente consid. B), va infine aggiunto che una ragione per applicare alla fattispecie l'art. 23 OLCP e negare il rinnovo del permesso, non può essere ravvisata neanche in un eventuale abuso di diritto, poiché - in base agli accertamenti che risultano dalla querelata sentenza, che vincolano il Tribunale federale (art. 105 cpv. 1 LTF) - gli estremi per riconoscere una simile fattispecie, che va di principio dimostrata dalle autorità migratorie (sentenze 2C_362/2010 del 21 settembre 2010 consid. 2.2; 2C_268/2008 del 23 settembre 2008 consid. 3.2; 2C_173/2008 del 28 luglio 2008 consid. 3.2 e 3.6), non sono dati.
4.3.1. In effetti, se in un primo tempo il ricorrente ha indicato di soggiornare nel Cantone Ticino per "vacanza e riposo", ha poi precisato di risiedere in Svizzera "in modo continuativo, anche se non tutti i giorni della settimana", e ciò è certificato anche dalle diverse dichiarazioni prodotte davanti all'istanza precedente (di vicini di casa e conoscenti; dell'associazione Gruppo C._ del Comune di X._, che documenta l'affiliazione quale socio dal 2014; della farmacista del paese, che dà conto di "visite piuttosto frequenti in ordine alle plurime patologie" e del medico che ha in cura il ricorrente dal 2013). Sempre dal 2014, e dopo avere alloggiato in un immobile preso in locazione, egli è inoltre proprietario di un appartamento di tre locali in cui vive.
4.3.2. Nemmeno la constatazione del soggiorno per parte della settimana a Z._ (I), a causa dell'attività lavorativa a tempo parziale svolta ancora dalla moglie (nata nel...), permette d'altro canto di giungere a una diversa conclusione. In effetti, la coniuge del ricorrente sembra nel frattempo (marzo 2019) aver cessato tale attività lavorativa residua (doc. P accluso al ricorso alla Corte cantonale) e avere anch'ella chiesto un permesso di dimora per vivere con il marito (giudizio impugnato consid. 4.1). Indipendentemente da ciò, va poi rilevato che la flessibilità negli spostamenti e la possibilità di organizzare il proprio tempo libero senza particolari vincoli costituisce proprio una caratteristica delle persone che non svolgono (più) nessuna attività lucrativa e - per lo meno nella misura accertata nella fattispecie - non può quindi costituire, nemmeno esso, un motivo per concludere che il sollecito del rinnovo di un permesso giusta l'art. 24 allegato I ALC sarebbe addirittura abusivo.
4.3.3. Come rammentato nel precedente considerando 3.3, per ammettere un abuso di diritto in relazione all'applicazione dell'ALC è infatti necessario che vi siano una serie di circostanze oggettive dalle quali risulti che, malgrado un rispetto formale delle condizioni previste dall'accordo, l'obiettivo perseguito attraverso la concessione di un determinato permesso non viene raggiunto, ciò che non è il caso nella fattispecie.
4.4. Ora, ritenuto che le istanze cantonali erano partite da altri presupposti (precedente consid. 2), riguardo alle condizioni previste dall'art. 24 allegato I ALC per il rinnovo del permesso - ovvero l'esistenza di mezzi finanziari e di una copertura assicurativa sufficienti - il giudizio impugnato non contiene tuttavia nessun accertamento specifico.
Di conseguenza, l'incarto va rinviato alle autorità migratorie ticinesi, affinché approfondiscano i due aspetti citati e si pronuncino in seguito nuovamente sulla fattispecie. In questo contesto, esse devono però prendere sin d'ora atto del fatto che, in caso di rispetto delle due condizioni menzionate, il ricorrente avrà diritto a un rinnovo del permesso almeno per ulteriori cinque anni (art. 24 par. 1, 5 e 8 allegato I ALC).
5.
5.1. Per quanto precede, il ricorso è accolto e la sentenza impugnata annullata senza che sia necessario pronunciarsi sulle ulteriori critiche formulate nell'impugnativa (volte in particolare a denunciare lesioni di carattere procedurale commesse contestualmente alla pronuncia/alla conferma della decadenza). La causa è rinviata alla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino, per nuovo esame della fattispecie, nel senso del precedente considerando 4.4 (verifica dei mezzi finanziari e della copertura assicurativa).
5.2. Per giurisprudenza, il rinvio dell'incarto all'istanza inferiore per procedere a complementi istruttori con esito aperto comporta che chi ricorre sia considerato vincente (sentenza 2C_127/2019 del 15 novembre 2019 consid. 5). Soccombente, lo Stato del Cantone Ticino è dispensato dal pagamento di spese giudiziarie (art. 66 cpv. 4 LTF); deve però corrispondere al ricorrente, patrocinato da un avvocato, un'indennità per ripetibili per la sede federale (art. 68 cpv. 1 e 2 LTF).
5.3. Da parte sua, il Tribunale amministrativo ticinese deve nuovamente esprimersi sulle spese e sulle ripetibili della sede cantonale (art. 68 cpv. 5 e art. 107 cpv. 2 LTF; sentenze 2C_600/2014 del 27 ottobre 2015 consid. 7 e 2C_173/2011 del 24 giugno 2011 consid. 6.2).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
II ricorso è accolto. La sentenza del 13 maggio 2020 del Tribunale amministrativo del Cantone Ticino è annullata e la causa rinviata alla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino per nuovo esame della fattispecie, nel senso dei considerandi.
2.
Non vengono prelevate spese.
3.
Lo Stato del Cantone Ticino verserà al ricorrente un'indennità di fr. 2'500.-- per ripetibili della sede federale.
4.
La causa è nel contempo rinviata al Tribunale cantonale amministrativo per nuova decisione su spese e ripetibili per la sede cantonale.
5.
Comunicazione ai patrocinatori del ricorrente, alla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino, nonché alla Segreteria di Stato della migrazione.