Sachverhalt:
A.
Das Bezirksgericht Willisau stellte am 12. November 2015 fest, X._ habe die Tatbestände der mehrfachen Sachbeschädigung, der einfachen Körperverletzung, des Hausfriedensbruchs, der Hinderung einer Amtshandlung, der mehrfachen Trunkenheit und des unanständigen Benehmens erfüllt. Es sah wegen Schuldunfähigkeit von einer Bestrafung ab und ordnete eine ambulante Massnahme nach <ref-law> an. Der Vollzugs- und Bewährungsdienst des Kantons Luzern (VBD) hob die ambulante Massnahme am 17. November 2017 gestützt auf <ref-law> wegen Aussichtslosigkeit auf und stellte am 13. Dezember 2017 beim Bezirksgericht Willisau Antrag auf Anordnung einer stationären Massnahme nach <ref-law>. X._ wurde mit Entscheid des Zwangsmassnahmengerichts des Kantons Luzern vom 22. Dezember 2017 in Sicherheitshaft versetzt.
Das Bezirksgericht Willisau ordnete mit Beschluss vom 15. Februar 2018 anstelle der aufgehobenen ambulanten Massnahme eine stationäre Massnahme nach <ref-law> an. Das Kantonsgericht Luzern bestätigte am 29. März 2018 auf Beschwerde von X._ die stationäre therapeutische Massnahme. Es beschränkte die Dauer von deren Anordnung jedoch auf zwei Jahre. Über die Weiterführung der Sicherheitshaft entschied es gleichentags in einem separaten Beschluss.
B.
Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Luzern beantragt mit Beschwerde in Strafsachen, der Beschluss vom 29. März 2018 sei aufzuheben und es sei eine stationäre Massnahme nach <ref-law> ohne zeitliche Beschränkung anzuordnen. Eventualiter sei die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen (Verfahren 6B_636/2018).
C.
X._ erhebt sinngemäss ebenfalls Beschwerde gegen den Entscheid vom 29. März 2018 (Verfahren 6B_649/2018).

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht vereinigt mehrere Verfahren, wenn sie in einem engen sachlichen Zusammenhang stehen, namentlich wenn sie sich gegen denselben Entscheid richten und wenn sie die gleichen Parteien sowie ähnliche oder gleiche Rechtsfragen betreffen (vgl. <ref-law> i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 217; <ref-ruling> E. 1 S. 285; <ref-ruling> E. 1 S. 394). Dies ist vorliegend der Fall. Es rechtfertigt sich daher, die beiden Verfahren zu vereinigen und die Beschwerden in einem einzigen Entscheid zu behandeln.
2.
Der Entscheid vom 29. März 2018 wurde dem amtlichen Verteidiger des Beschwerdeführers am 17. Mai 2018 rechtsgültig zugestellt (vgl. <ref-law>, der auf amtlich bestellte Verteidiger analog anwendbar ist; Urteile 1B_102/2018 vom 2. März 2018 E. 2; 6B_286/2014 vom 6. Oktober 2014 E. 1.2 mit Hinweisen). Von vornherein nicht eingetreten werden kann daher auf die ergänzenden Eingaben des Beschwerdeführers vom 21. und 25. Juni 2018 (je Datum Postaufgabe), da diese nicht innert der 30-tägigen Beschwerdefrist (vgl. <ref-law>) erfolgten und somit verspätet sind.
3.
3.1. Die Beschwerde an das Bundesgericht ist zu begründen (<ref-law>). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>).
3.2. Der Beschwerdeführer beschränkt sich in seiner Eingabe vom 13. Juni 2018 an das Bundesgericht darauf, "Einsprache" gegen den Entscheid vom 29. März 2018 zu erheben, ohne jedoch eine Beschwerdebegründung zu liefern. Auch dem Schreiben an seinen Anwalt, welches er dem Bundesgericht am 18. Juni 2018 in Kopie zustellte, kann keine Beschwerdebegründung entnommen werden. Eine Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid bzw. der Frage, ob die ambulante Massnahme nachträglich in eine stationäre Massnahme umgewandelt werden durfte, fehlt auch darin gänzlich.
Die Vorinstanz äussert sich im angefochtenen Entscheid einlässlich zu den Voraussetzungen für die nachträgliche Anordnung einer stationären therapeutischen Massnahme. Sie legt dabei dar, dass die nachträgliche Umwandlung einer aussichtslosen ambulanten Behandlung in eine stationäre therapeutische Massnahme nach <ref-law> auch möglich sein muss, wenn der Täter - wie vorliegend - mangels Schuldfähigkeit (vgl. <ref-law>) keine Freiheitsstrafe zu verbüssen hat (vgl. angefochtener Entscheid S. 6 f.). Sie begründet zudem ausführlich, weshalb die Voraussetzungen für die nachträgliche Anordnung einer stationären therapeutischen Massnahme erfüllt sind. Der Beschwerdeführer zeigt nicht ansatzweise auf, dass und weshalb die vorinstanzlichen Erwägungen gegen Bundesrecht verstossen könnten. Dies ist auch nicht ersichtlich. Auf die Beschwerde des Beschwerdeführers kann daher nicht eingetreten werden.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin rügt, <ref-law> lasse bei der Erstanordnung einer stationären therapeutischen Massnahme keine Beschränkung der Dauer auf weniger als fünf Jahre zu. Die Verhältnismässigkeit in Bezug auf die Dauer der Massnahme sei bei einer Erstanordnung durch die gesetzlich vorgesehene periodische Überprüfung der Massnahme gewahrt. Indem die Vorinstanz die Dauer der Massnahme auf zwei Jahre beschränke, greife sie in die Kompetenz der Vollzugsbehörde ein, welche gemäss <ref-law> in Anwendung des Verhältnismässigkeitsprinzips jährlich zu prüfen habe, ob die Voraussetzungen für eine stationären Massnahme noch gegeben seien. Die jährliche Überprüfung durch die Vollzugsbehörde werde faktisch durch einen Antrag auf Verlängerung einer Massnahme ersetzt. Dass bereits nach einer solch kurzen Zeitspanne wieder eine Überprüfung durch das Gericht erfolge, sei nicht nötig, da die Rechte des Beschwerdegegners durch die jährliche Überprüfung der Vollzugsbehörde und die Beschwerdemöglichkeit gewahrt seien. Nicht ausser Acht gelassen werde dürfe sodann der durch diese Rechtsprechung generierte Mehraufwand bei Vollzugsbehörden und Staatsanwaltschaft. Gegen eine zeitlich beschränkte stationäre Massnahme sprächen auch praktische Überlegungen. Bei einer kurzen Massnahmendauer sei die effektive Einwirkungszeit u.U. nur sehr kurz, dies etwa dann, wenn der erstinstanzliche Entscheid rückwirkend in Rechtskraft erwachse und die betroffene Person nicht in den vorzeitigen Massnahmenvollzug eingewilligt habe. Es bestehe sogar die Möglichkeit, dass die Massnahmendauer schon verstrichen sei, bevor ein letztinstanzlicher Entscheid gefallen sei.
4.2.
4.2.1. Der mit der stationären Behandlung verbundene Freiheitsentzug beträgt in der Regel höchstens fünf Jahre (<ref-law>). Sind die Voraussetzungen für die bedingte Entlassung nach fünf Jahren noch nicht gegeben und ist zu erwarten, durch die Fortführung der Massnahme lasse sich der Gefahr weiterer mit der psychischen Störung des Täters in Zusammenhang stehender Verbrechen und Vergehen begegnen, so kann das Gericht auf Antrag der Vollzugsbehörde die Verlängerung der Massnahme um jeweils höchstens fünf Jahre anordnen (<ref-law>).
4.2.2. Das Bundesgericht hatte sich in <ref-ruling> mit der Frage zu befassen, ob das Gericht bei der Verlängerung einer stationären Massnahme eine konkrete Höchstdauer von weniger als fünf Jahren festlegen darf oder ob die Massnahme im Gegenteil in jedem Fall um die Höchstdauer von fünf Jahren zu verlängern ist. Es entschied dabei, das Verhältnismässigkeitsprinzip verlange nicht nur in Bezug auf die Anordnung der Massnahmenverlängerung als solche Beachtung, sondern auch hinsichtlich ihrer Dauer (<ref-law>). Nach dem Gesetzeswortlaut dürfe die Massnahme um höchstens fünf Jahre verlängert werden. Daraus folgte, dass im Einzelfall auch eine Verlängerungsdauer von weniger als fünf Jahren in Frage kommen könne (BGE, a.a.O., E. 2.4 S. 144). Die Auffassung, wonach Massnahmen nach <ref-law> in jedem Fall um die Höchstdauer von fünf Jahren zu verlängern seien, lasse sich weder aus der den Massnahmen eigenen spezialpräventiven Zielsetzung noch aus der gesetzlichen Kompetenzordnung im Verfahren um die Massnahmenbeendigung herleiten. Sie stehe zudem im Widerspruch mit dem Gesetzeswortlaut, der im Hinblick auf Sinn und Zweck der Regelung nicht anders verstanden werden könne, als dass die Massnahme im Einzelfall auch um weniger als fünf Jahre verlängert werden dürfe (BGE, a.a.O., E. 2.4.1 S. 145).
4.2.3. Diese Überlegungen gelten entgegen der Beschwerdeführerin auch für die Erstanordnung einer stationären Massnahme. Das Bundesgericht erachtete in seiner Rechtsprechung auch bei der Erstanordnung einer stationären Massnahme eine Beschränkung der Anordnungsdauer auf weniger als fünf Jahre für zulässig (vgl. etwa <ref-ruling>). Der Wortlaut von <ref-law> steht dem nicht entgegen. Der Verhältnismässigkeitsgrundsatz ist auch hinsichtlich der Dauer der Erstanordnung der stationären Massnahme zu beachten. Geht der Sachverständige aufgrund des Krankheitsbildes und der weiteren Umstände davon aus, der Zweck der Massnahme werde bei positivem Verlauf voraussichtlich deutlich vor Ablauf der fünfjährigen Höchstdauer erreicht, darf die Massnahme nicht ohne weitere Begründung für die gesetzliche Höchstdauer von fünf Jahren angeordnet werden. Bei einer zeitlichen Beschränkung der stationären Massnahme wird deren Weiterführung von einem erneuten Tätigwerden der Vollzugsbehörde und einem erneuten gerichtlichen Entscheid abhängig gemacht, d.h. die Frist, innert welcher für die Weiterführung der Massnahme ein gerichtlicher Entscheid im Sinne von <ref-law> zu ergehen hat, wird verkürzt. Würde die Massnahme bzw. der damit verbundene Freiheitsentzug trotz voraussichtlich kürzerer Behandlungsdauer für die gesetzliche Höchstdauer angeordnet, könnte die Vollzugsbehörde während diesen fünf Jahren selber über die Weiterführung oder Beendigung der Massnahme entscheiden. Gegen einen negativen Entlassungsentscheid müsste die betroffene Person ein Rechtsmittel ergreifen und damit selber tätig werden, wobei die Massnahme bis zum Ablauf der gesetzlichen Höchstdauer bzw. bis zum vollstreckbaren Entscheid über die (bedingte) Entlassung weiterläuft. Mit der zeitlichen Beschränkung der Anordnungsdauer der stationären Massnahme wird daher die Rechtsposition des Betroffenen verbessert. Unbeachtlich ist der Einwand der Beschwerdeführerin, damit werde bei den Vollzugsbehörden und den Staatsanwaltschaften ein Mehraufwand generiert. Ein solcher ist im Interesse des Betroffenen und in Nachachtung des Verhältnismässigkeitsprinzips hinzunehmen.
Indem das Gericht die Massnahme für weniger als fünf Jahre anordnet, wird entgegen der Kritik der Beschwerdeführerin auch nicht in die Kompetenz der Vollzugsbehörde nach <ref-law> eingegriffen. Die Vollzugsbehörde hat gemäss dieser Bestimmung mindestens einmal jährlich darüber zu befinden, ob der Täter aus dem Vollzug der Massnahme bedingt zu entlassen oder die Massnahme aufzuheben ist. Eine solche Prüfung hat auch zu erfolgen, wenn eine Massnahme nicht für die gesetzliche Höchstdauer von fünf Jahren angeordnet wurde. Ergibt die Prüfung der Vollzugsbehörde vor Ablauf der gerichtlich angeordneten Höchstdauer der Massnahme, dass die Voraussetzungen für eine bedingte Entlassung erfüllt sind, ist der Betroffene bedingt zu entlassen. Ist dies nicht der Fall, hat die Vollzugsbehörde beim zuständigen Gericht die Verlängerung der Massnahme zu beantragen (<ref-law>).
Auch die praktischen Einwände der Beschwerdeführerin vermögen nicht zu überzeugen. Zutreffend ist, dass der Anordnungsentscheid nicht zwingend sofort vollstreckbar wird (bspw. bei einer Beschwerde nach <ref-law> mit aufschiebender Wirkung [vgl. für den Rechtsmittelweg bei nachträglichen gerichtlichen Entscheiden nach <ref-law>: <ref-ruling> E. 3 f.] oder bei einer Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht, vgl. <ref-law>, Urteil 6B_453/2018 vom 4. Juni 2018 E. 2.3) und die effektive Behandlungsdauer daher um die Zeit bis zur Vollstreckbarkeit des Entscheids verkürzt wird, wenn die betroffene Person nicht in den vorzeitigen Massnahmenvollzug einwilligt. Dies kann im Extremfall zur Folge haben, dass die Massnahmendauer im Zeitpunkt, in dem die Massnahme vollstreckbar wird, bereits abgelaufen ist. Auch für diesen Fall kann und muss die zuständige Behörde jedoch rechtzeitig die Verlängerung der Massnahme beantragen. Ob für den Fristenlauf auf das Datum des in Rechtskraft erwachsenen Anordnungsentscheids abzustellen ist (vgl. <ref-ruling> E. 5.6 f. S. 113 ff.) oder ob hierfür vielmehr auch die vor diesem Entscheid erfolgte Sicherheitshaft oder ein allfälliger vorzeitiger Massnahmenvollzug mitzuberücksichtigen ist (in diesem Sinne Urteil 6B_1203/2017 vom 1. November 2017 E. 4.1, das allerdings eine Suchtbehandlung nach <ref-law> betraf), kann an dieser Stelle offenbleiben.
4.3. Der Beschwerdegegner leidet an einer paranoiden Schizophrenie. Die Gutachterin gab anlässlich der Verhandlung vom 27. März 2018 zu Protokoll, sie rechne nicht damit, dass die klinische, stationäre Behandlung fünf Jahre daure, aber zwei Monate würden auch nicht reichen. Es sei immer schwierig, eine Dauer vorauszusagen, weil der Verlauf von vielen verschiedenen Faktoren abhänge. Sie könne sich bei gutem Verlauf vorstellen, dass vielleicht innert Jahresfrist innerhalb der stationären Massnahme ein Wechsel in ein offenes Setting erfolgen könnte, z.B. in ein Wohnheim. Für eine bedingte Entlassung seien bei positivem Verlauf ein bis zwei Jahre ein realistischer Zeithorizont (angefochtener Entscheid S. 9 und 20). Die Vorinstanz beschränkte die stationäre therapeutische Massnahme daher zu Recht auf zwei Jahre, wobei sie ausdrücklich darauf hinwies, dass die Massnahme verlängert werden kann, falls die Voraussetzungen dafür erfüllt sind (angefochtener Entscheid S. 21). Dass die Beschränkung der Dauer der stationären Massnahme auf zwei Jahre im konkreten Fall nicht angebracht war, behauptet die Beschwerdeführerin nicht. Diese macht vielmehr einzig in allgemeiner Weise geltend, eine zeitliche Beschränkung der stationären Massnahme auf weniger als fünf Jahre sei von Gesetzes wegen generell nicht zulässig, was indes wie dargelegt (oben E. 4.2) nicht zutrifft.
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist die Umwandlung einer ambulanten in eine stationäre Massnahme nach vollständiger Verbüssung der Freiheitsstrafe nur in klaren Ausnahmefällen und unter strenger Berücksichtigung des Verhältnismässigkeitsgebotes zulässig. Eine solche Ausnahmesituation nimmt das Bundesgericht etwa an, wenn ein entlassener Straftäter nach dem Scheitern der Therapie die öffentliche Sicherheit in schwerer Weise gefährden würde und nur eine langfristige stationäre Behandlung die Rückfallgefahr vermindern könnte (<ref-ruling> E. 2.6 S. 160; Urteile 6B_338/2018 vom 22. Mai 2018 E. 2.2.5; 6B_68/2016 vom 28. November 2016 E. 2.5 und 4.4, nicht publ. in: <ref-ruling>). Auch dies steht einer Beschränkung der Massnahme auf zwei Jahre nicht entgegen, vorausgesetzt die zitierte Rechtsprechung gelangt vorliegend überhaupt zur Anwendung. Eine zweijährige Behandlungsdauer ist ohne Weiteres als langfristig im Sinne dieser Rechtsprechung zu betrachten.
5.
Auf die Beschwerde des Beschwerdeführers ist nach dem Gesagten nicht einzutreten. Die Beschwerde der Beschwerdeführerin ist abzuweisen. Der Kanton Luzern trägt keine Gerichtskosten (<ref-law>). Auf eine Kostenauflage an den Beschwerdeführer im Verfahren 6B_649/2018 kann ausnahmsweise verzichtet werden. Eine Entschädigung ist ihm ebenfalls nicht zuzusprechen, da er im Verfahren 6B_636/2018 nicht zur Stellungnahme aufgefordert wurde und daher keine Auslagen hatte.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 6B_636/2018 und 6B_649/2018 werden vereinigt.
2.
Auf die Beschwerde des Beschwerdeführers wird nicht eingetreten (Verfahren 6B_649/2018).
3.
Die Beschwerde der Beschwerdeführerin wird abgewiesen (Verfahren 6B_636/2018).
4.
Es werden keine Kosten erhoben.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Juli 2018
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Unseld