Sachverhalt:
A.
Der Verein A._ gehört der Vereinigung C._ an und bezweckt die spitalexterne Pflege und Betreuung für Betagte. Er bietet in U._ ein Tagesheim an, einen Mittagstisch, kurzfristige Aufenthalte zur Erholung der Angehörigen, betreute Pflegewohnungen sowie Aus-, Fort- und Weiterbildung für die Tätigkeit im Bereich der Altershilfe.
B._ schloss mit dem Verein A._ einen schriftlichen Arbeitsvertrag ab dem 1. Oktober 2005, wonach er als Pflegehelfer SRK bei einem approximativen Pensum von 50 % mit Fr. 26.25 pro Stunde, Ferien- und Feiertagsentschädigung inklusive, beschäftigt wurde. Er wurde in der Folge meistens als Nachtwache zwischen 21.00 und 07.00 Uhr beschäftigt. Am 24. Mai 2013 kündigte er das Arbeitsverhältnis auf den 31. Juli 2013. In der Folge forderte er eine Entschädigung, weil ihm keine Kompensation für seine Nachtarbeit geleistet worden sei.
B.
B._ beantragte mit Klage vom 7. Januar 2014 beim Arbeitsgericht des Kantons Wallis, der Verein A._ sei zu verpflichten ihm brutto Fr. 18'104.65 bzw. netto Fr. 16'085.35 als "Nachtschicht Zeitzuschlag" zu bezahlen.
Das Arbeitsgericht verpflichtete den Verein A._ mit Entscheid vom 11. Juni 2015, B._ Fr. 16'054.95 netto zu bezahlen. Eine vom Verein A._ dagegen erhobene Berufung wies das Kantonsgericht des Kantons Wallis am 30. Mai 2018 ab.
C.
Der Verein A._ (Beschwerdeführer) beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Kantonsgerichts vom 30. Mai 2018 sei aufzuheben und es sei ihm entsprechend eine Parteientschädigung für das kantonale wie auch das bundesgerichtliche Verfahren zuzusprechen.
Auf die Einholung von Vernehmlassungen zur Beschwerde wurde vorliegend verzichtet.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (<ref-law>). Da die Beschwerde an das Bundesgericht ein reformatorisches Rechtsmittel ist (<ref-law>), darf sich die beschwerdeführende Partei grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu beantragen, sondern muss einen Antrag in der Sache stellen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 490). Rechtsbegehren, die auf einen Geldbetrag lauten, müssen beziffert werden (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2 S. 236 f. mit Hinweis). Unklare Rechtsbegehren sind unter Berücksichtigung der Beschwerdebegründung nach dem Vertrauensprinzip auszulegen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 136; <ref-ruling> E. 1.4.2; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 2a). Es genügt, wenn aus der Beschwerdebegründung klar hervorgeht, in welchem Sinne der angefochtene Entscheid abgeändert werden soll (BGE <ref-ruling> E. 2 S. 236 f. mit Hinweis; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.2).
Der Beschwerdeführer stellt vorliegend, abgesehen vom Antrag auf Zusprechung einer Parteientschädigung, bloss das Begehren, das angefochtene Urteil vom 30. Mai 2018 sei aufzuheben. Aus der Beschwerdebegründung geht allerdings klar hervor, dass der Beschwerdeführer die Anspruchserhebung durch B._ (Beschwerdegegner) für rechtsmissbräuchlich hält und dementsprechend - wie auch vor beiden kantonalen Instanzen ausdrücklich beantragt - die vollumfängliche Klageabweisung anstrebt.
Auf die Beschwerde, deren übrige Sachurteilsvoraussetzungen zu keinen Bemerkungen Anlass geben, ist damit unter Vorbehalt ihrer rechtsgenügenden Begründung grundsätzlich einzutreten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt (<ref-ruling> E. 1.2.2; <ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2; <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.1/2.2; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (BGE <ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
2.3. Der Beschwerdeführer lässt die in den Erwägungen 2.1 und 2.2 umschriebenen Grundsätze über weite Strecken ausser Acht. Namentlich stellt er seinen rechtlichen Ausführungen eine ausführliche eigene Sachverhaltsdarstellung unter den Titeln "Wesentlicher Sachverhalt" und "Wesentliche Beweise" voran. Darin - wie auch in seiner weiteren Beschwerdebegründung - erweitert er die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz nach Belieben bzw. weicht von diesen in vielfacher Hinsicht ab, ohne dazu jedoch rechtsgenügliche Sachverhaltsrügen zu erheben, die dem Bundesgericht gegebenenfalls eine Korrektur oder Ergänzung des im angefochtenen Urteil festgestellten Sachverhalts erlauben könnten. Insoweit kann er mit seinen Vorbringen nicht gehört werden.
3.
Der Beschwerdeführer bestreitet im vorliegenden Beschwerdeverfahren nicht mehr, dass der Beschwerdegegner für in den Jahren 2008 bis 2013 geleistete Nachtarbeit gestützt auf zwingende Bestimmungen des Arbeitsrechts grundsätzlich einen Zeitzuschlag von 10 % bzw. nach Beendigung des Arbeitsverhältnisses eine pekuniäre Kompensation in der Höhe des von der Erstinstanz zugesprochenen Betrages fordern kann. Er hält es indessen für rechtsmissbräuchlich, wenn der Beschwerdegegner einen jahrelang entsprechend vollzogenen Arbeitsvertrag erst nach seiner Kündigung in Frage stellt.
3.1. Der offenbare Missbrauch eines Rechtes findet keinen Rechtsschutz (<ref-law>). Wann ein solcher Missbrauch vorliegt, ist anhand der konkreten Umstände des Einzelfalles zu bestimmen, wobei die von der Lehre und Rechtsprechung entwickelten Fallgruppen des Rechtsmissbrauchs zu beachten sind. Zu diesen Fallgruppen ist die Rechtsausübung zu zählen, die ohne schützenswertes Interesse erfolgt oder zu einem krassen Missverhältnis berechtigter Interessen führen würde. Ebenso kann allgemein gesagt werden, dass die Geltendmachung eines Rechts missbräuchlich ist, wenn sie im Widerspruch zu einem früheren Verhalten steht und dadurch erweckte berechtigte Erwartungen enttäuscht. Indessen ist im Widerspruch zwischen der Zustimmung zu einer Vereinbarung und der nachträglichen Geltendmachung ihrer Ungültigkeit unter Berufung auf zwingendes Recht nur dann ein Rechtsmissbrauch zu erblicken, wenn zusätzliche besondere Umstände gegeben sind; ansonsten würde dem Arbeitnehmer der mit der zwingenden Gesetzesbestimmung gewährte Schutz auf dem Weg über <ref-law> wieder entzogen. Solche Umstände können vorliegen, wenn die Partei sich auf zwingendes Recht beruft, welche die dagegen verstossende Vereinbarung in eigenem Interesse und in Kenntnis ihrer Unzulässigkeit selber vorgeschlagen und damit beim Rechtserwerb unredlich gehandelt hat. Besondere Umstände, welche die Berufung auf zwingendes Recht als missbräuchlich erscheinen lassen, sind auch zu bejahen, wenn die von der angerufenen Norm zu schützenden Interessen entfallen oder sonst wie gewahrt wurden oder wenn die Partei mit der Geltendmachung der Nichtigkeit der Vereinbarung derart lange zuwartet, dass der anderen Partei dadurch verunmöglicht wurde, ihre eigenen Interessen zu wahren (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 5.1 S. 497 f. mit zahlreichen Hinweisen).
Zu beachten ist dabei, dass <ref-law> nicht allgemein für bestimmte Arten von Fällen die Bestimmungen des Zivilrechts ausser Kraft setzt, sondern das Gericht bloss anweist, den besonderen Umständen des Einzelfalls Rechnung zu tragen. Die Norm dient als korrigierender "Notbehelf" für die Fälle, in denen formales Recht zu materiell krassem Unrecht führen würde. Rechtsmissbrauch ist restriktiv anzunehmen. Einen Grundsatz der Gebundenheit an das eigene Handeln gibt es nicht. Vielmehr ist in einem Widerspruch zu früherem Verhalten nur dann ein Verstoss gegen Treu und Glauben zu erblicken, wenn dieses ein schutzwürdiges Vertrauen begründet hat, das durch die neuen Handlungen enttäuscht wird (<ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweisen).
3.2. Die Vorinstanz erwog unter Bezugnahme auf diese bundesgerichtliche Rechtsprechung sinngemäss, es sei unbestritten, dass der Beschwerdegegner den Verstoss gegen zwingendes Gesetzesrecht erst am Ende des Arbeitsverhältnisses bei einer Erkrankung feststellte. Er sei sich mithin nicht frühzeitig über die Fehlerhaftigkeit des Vertrages bewusst gewesen, der vom Arbeitgeber und nicht vom Arbeitsnehmer erarbeitet worden sei. Auch habe der Beschwerdegegner den Beschwerdeführer weder zu einem Fehler veranlasst noch ihn in einem Irrtum bestärkt und der Beschwerdeführer habe sich den Fehler selber zuzurechnen. Rechtsmissbrauch läge auch nicht vor, wenn der Beschwerdegegner die Klage wegen einer Zwistigkeit nach Erhalt des Arbeitszeugnisses deponiert hätte, zumal er sich auf eine zwingende arbeitsrechtliche Bestimmung berufe. Das Vorgehen des Beschwerdegegners sei nicht rechtsmissbräuchlich.
3.3. Der Beschwerdeführer rügt, die vom Kantonsgericht aufgestellte These, wonach grundsätzlich nicht rechtsmissbräuchlich handeln könne, wer sich auf zwingendes Arbeitsrecht berufe, sei unhaltbar. Sie führe zum stossenden Ergebnis, dass zwingendes Arbeitsrecht dem "verfassungsmässigen Grundsatz des Rechtsmissbrauchsverbots" vorgehe. Es sei unhaltbar, dass eine soziale Institution wie der Beschwerdeführer zu einer Zahlung an eine Person verpflichtet werde, die sich rächen wolle, weil ihr Arbeitszeugnis nicht ihren Wünschen entsprechend ausgefallen sei.
Mit diesen Vorbringen macht der Beschwerdeführer keine besonderen Umstände geltend, aufgrund der es als rechtsmissbräuchlich erschiene, dass der Beschwerdegegner die Zeitkompensation nach Beendigung des Arbeitsverhältnisses forderte. Ebensowenig zeigt er Gründe auf, nach denen Anlass zu einer Überprüfung der vorstehend (E. 3.1) dargestellten bundesgerichtlichen Rechtsprechung bestünde. Unabhängig davon, dass im vorinstanzlichen Urteil nicht festgestellt ist, der Beschwerdegegner habe seine Forderung aus Rache erhoben, weil das Arbeitszeugnis nicht seinen Wünschen entsprechend ausgefallen sei, und dass der Beschwerdeführer dazu keine Sachverhaltsrüge substanziiert, ist es namentlich nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz auch für diesen Fall eine rechtsmissbräuchliche Anspruchserhebung verneinte. Unter dem Gesichtswinkel des Rechtsmissbrauchsverbots ist es nach der dargestellten Rechtsprechung unerheblich, aus welchen Motiven der Arbeitnehmer sich letztlich dazu entschliesst, seine Ansprüche gerichtlich geltend zu machen.
3.4. Weiter bringt der Beschwerdeführer vor, die Vorinstanz verkenne mit ihren Erwägungen den Schutzgedanken der zwingenden Bestimmungen im Arbeitsrecht, weil der Beschwerdegegner nicht aus Gründen einer Gefährdung seiner Gesundheit handle und seine Gesundheitsgefährdung erst entdeckt habe, nachdem das Arbeitszeugnis nicht nach seinem Gusto ausgefallen sei. Dabei stützt er sich unzulässigerweise auf Sachverhaltselemente, die im angefochtenen Urteil keine Stütze finden, und kann daher nicht gehört werden. Unabhängig davon vermag er damit keine besonderen Umstände aufzuzeigen, die auf eine rechtsmissbräuchliche Anspruchserhebung schliessen liessen. Würde seiner Argumentation gefolgt, wäre praktisch jegliche nachträgliche Anspruchserhebung wegen Verletzung von zwingenden Schutznormen des Arbeitsrechts als missbräuchlich zu qualifizieren, was sich mit dem Schutzzweck der Normen offensichtlich nicht vereinbaren lässt.
3.5. Der Beschwerdeführer rügt ferner, im angefochtenen Entscheid fehle eine Auseinandersetzung mit seinen Argumenten. Er legt indessen nicht rechtsgenügend dar, mit welchen wesentlichen Argumenten sich die Vorinstanz nicht auseinandergesetzt und welche Rechte sie damit inwiefern verletzt haben soll, sondern behauptet bloss, das Kantonsgericht verkenne seine Aufgabe, <ref-law> sowie Art. 2 und Art. 8 ZGB als gleichrangige Bundesrechtsnormen anzuwenden, und habe den Anspruch des Beschwerdeführers, von den staatlichen Organen ohne Willkür und nach Treu und Glauben behandelt zu werden, verletzt. Auf die ungenügend begründete Rüge ist daher nicht weiter einzugehen.
3.6. Der Beschwerdeführer hält weiter dafür, die Rechtsprechung des Bundesgerichts, wonach es rechtsmissbräuchlich sei, sich auf einen Formmangel im Vertrag zu berufen, nachdem der Vertrag von beiden Parteien freiwillig und irrtumsfrei erfüllt wurde, sei nach Würdigung aller Umstände und in Berücksichtigung des Schutzzwecks auch auf die Anwendung von zwingendem Recht im Missbrauchsfall anzuwenden. Es erübrigt sich vorliegend schon deshalb darauf einzugehen, weil sich der Beschwerdeführer bei den seiner Ansicht nach im Rahmen einer solchen Rechtsanwendung zu würdigenden Umständen weitgehend auf Sachverhaltselemente stützt, die von der Vorinstanz nicht festgestellt wurden, ohne dazu Sachverhaltsrügen zu substanziieren.
4.
Die Beschwerde ist nach dem Ausgeführten abzuweisen, soweit sie überhaupt rechtsgenügend begründet ist und darauf eingetreten werden kann. Die Parteikostenregelung im angefochtenen Entscheid ficht der Beschwerdeführer nicht selbständig, d.h. unabhängig vom Verfahrensausgang an. Auf seinen Antrag auf Zusprechung einer Parteientschädigung braucht somit beim vorliegenden Verfahrensausgang nicht eingegangen zu werden. Diesem entsprechend hat der Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (<ref-law>). Der Beschwerdegegner hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung für das bundesgerichtliche Verfahren, da ihm in diesem kein Aufwand entstanden ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht des Kantons Wallis, I. Zivilrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. August 2018
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Widmer