Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1987) ist irakischer Staatsangehöriger. Am 26. Februar 1997 reiste er mit seiner Familie in die Schweiz ein. Ihm und seinen Familienangehörigen wurde in der Folge auf entsprechendes Gesuch hin die Flüchtlingseigenschaft zuerkannt und Asyl gewährt. Seit 2002 verfügt A._ über die Niederlassungsbewilligung. Im März 2014 verzichtete er auf sein Asyl; seine Flüchtlingseigenschaft und sein Asyl sind erloschen (vgl. Verfügung des Bundesamts für Migration vom 11. März 2014).
A.b. Am 3. Dezember 2015 verurteilte das Regionalgericht Emmental-Oberaargau A._ wegen Brandstiftung, Gehilfenschaft zu versuchtem Betrug, Widerhandlungen gegen das Waffengesetz (WG; SR 514.54) und das Betäubungsmittelgesetz (BetmG; SR 812.121) sowie Inumlaufsetzens falschen Geldes zu einer Freiheitsstrafe von 16 Monaten und einer Geldstrafe von 50 Tagessätzen. Auf Berufung hin bestätigte das Obergericht des Kantons Bern mit Urteil vom 16. Januar 2017 die erstinstanzliche Verurteilung wegen Inumlaufsetzens falschen Geldes und stellte fest, dass die übrigen erstinstanzlichen Schuldsprüche und die Freiheitsstrafe in Rechtskraft erwachsen seien.
B.
Am 21. November 2017widerrief das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern (heute: Amt für Bevölkerungsdienste, Migrationsdienst) die Niederlassungsbewilligung A._s und wies ihn aus der Schweiz weg. Die dagegen erhobene Beschwerde wies die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern am 13. Mai 2019 ab, soweit sie darauf eintrat; überdies setzte sie A._ eine neue Ausreisefrist bis zum 5. Juli 2019. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern bestätigte diesen Entscheid mit Urteil vom 7. April 2020, verzichtete jedoch angesichts eines neu gegen A._ eröffneten Strafverfahrens auf die Ansetzung einer Ausreisefrist.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 11. Mai 2020 beantragt A._ dem Bundesgericht die Auf hebung des angefochtenen Urteils. Vom Widerruf seiner Niederlassungsbewilligung und der Wegweisung sei abzusehen. Eventualiter sei ihm eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen und auf die Wegweisung zu verzichten. Prozessual ersucht er für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, die Sicherheitsdirektion des Kantons Bern und das Staatssekretariat für Migration beantragen die Abweisung der Beschwerde. A._ reicht am 9. Juli 2020 Schlussbemerkungen ein.

Erwägungen:
1.
1.1. Weil grundsätzlich ein Anspruch auf das Fortbestehen der Niederlassungsbewilligung besteht (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 4), ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig, soweit vorliegend der Widerruf dieser Bewilligung in Frage steht (Art. 82 lit. a, Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG).
1.2. Soweit der Beschwerdeführer hingegen darum ersucht, von der Wegweisung abzusehen, spielt der Ausschlussgrund von Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG. Der Antrag kann auch nicht als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen werden, zumal der Beschwerdeführer eine drohende Verletzung verfassungsmässiger Rechte (vgl. Art. 116 BGG) in diesem Zusammenhang nicht substanziiert (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG) aufzeigt (<ref-ruling> E. 3.3 S. 310; Urteil 2C_636/2017 vom 6. Juli 2018 E. 1.3 mit Hinweisen).
1.3. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen (Form, Frist und Legitimation gemäss Art. 42, Art. 100 Abs. 1 und Art. 89 Abs. 1 BGG) geben nicht zu Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten, soweit beantragt wird, vom Widerruf der Niederlassungsbewilligung abzusehen bzw. eine Ersatzmassnahme anzuordnen.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), prüft jedoch unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nur die geltend gemachten Rechtsverletzungen, sofern rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.5 S. 144). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Eine Berichtigung oder Ergänzung der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen ist von Amtes wegen (Art. 105 Abs. 2 BGG) oder auf Rüge hin (Art. 97 Abs. 1 BGG) möglich. Von den tatsächlichen Grundlagen des vorinstanzlichen Urteils weicht das Bundesgericht jedoch nur ab, wenn diese offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.6 S. 144 f.).
2.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Unzulässig sind damit neue Tatsachen, die bereits der Vorinstanz hätten vorgelegt werden können (<ref-ruling> E. 4.4.3 S. 129). Tatsachen oder Beweismittel, welche sich auf das vorinstanzliche Prozessthema beziehen, sich jedoch erst nach dem angefochtenen Entscheid ereignet haben oder entstanden sind, können von vornherein nicht durch das angefochtene Urteil veranlasst worden sein. Solche "echte Noven" sind im bundesgerichtlichen Verfahren in jedem Fall unzulässig (<ref-ruling> E. 3.1.2; <ref-ruling> E. 2.1 S. 344).
3.
Die Niederlassungsbewilligung kann widerrufen werden, wenn der Ausländer zu einer längerfristigen Freiheitsstrafe, d.h. zu einer solchen von mehr als einem Jahr (<ref-ruling> E. 2.1 S. 147), verurteilt worden ist (Art. 63 Abs. 1 lit. a und Art. 62 lit. b AIG [SR 142.20]). Vorliegend wird nicht bestritten, dass der Beschwerdeführer aufgrund der rechtskräftigen Strafurteile des Regionalgerichts Emmental-Oberaargau vom 3. Dezember 2015 bzw. des Obergerichts des Kantons Bern vom 21. November 2017 (Verurteilung zu einer Freiheitsstrafe von 16 Monaten und einer Geldstrafe von 50 Tagessätzen) den Widerrufsgrund nach Art. 63 Abs. 1 lit. a i.V.m. Art. 62 lit. b AIG (<ref-ruling> E. 2.1 S. 36) gesetzt hat. Der Beschwerdeführer rügt jedoch die Annahme der Vorinstanz, dass der Widerruf auch verhältnismässig sei.
4.
4.1. Der Widerruf der Niederlassungsbewilligung tangiert angesichts der langen Aufenthaltsdauer des Beschwerdeführers in der Schweiz dessen Anspruch auf Achtung des Privatlebens (Art. 8 Ziff. 1 EMRK; <ref-ruling> E. 3.9 S. 277 ff.). Art. 8 Ziff. 2 EMRK setzt für die Rechtfertigung eines Eingriffs in Art. 8 Ziff. 1 EMRK voraus, dass der Eingriff gesetzlich vorgesehen und in einer demokratischen Gesellschaft notwendig ist für die nationale oder öffentliche Sicherheit, für das wirtschaftliche Wohl des Landes, zur Aufrechterhaltung der Ordnung, zur Verhütung von Straftaten, zum Schutz der Gesundheit oder der Moral oder zum Schutz der Rechte und Freiheiten anderer. Vorgeschrieben ist mit anderen Worten neben dem vorliegend unbestrittenermassen erfüllten Erfordernis der gesetzlichen Grundlage eine Verhältnismässigkeitsprüfung. Nichts anderes ergibt sich aus den anwendbaren Vorschriften des nationalen Rechts (Art. 5 Abs. 2 BV, Art. 13 Abs. 1 BV i.V.m. Art. 36 Abs. 3 BV sowie Art. 96 AIG; vgl. <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 19, E. 2.2.2 S. 20; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 33, E. 2.3.3 S. 34 f.).
4.2. Im Rahmen der Verhältnismässigkeitsprüfung zu berücksichtigen sind nach der Praxis des Bundesgerichts namentlich die Schwere des Verschuldens, der Grad der Integration sowie die mit der Fernhaltemassnahme verbundenen Nachteile (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 33; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 19; <ref-ruling> E. 4.3 S. 381). Je länger eine ausländische Person in der Schweiz anwesend war, desto höher sind die Anforderungen zur Annahme der Rechtmässigkeit der fremdenpolizeilichen Massnahme. Die Niederlassungsbewilligung einer ausländischen Person, die sich schon seit langer Zeit in der Schweiz aufhält, soll nur mit besonderer Zurückhaltung widerrufen werden; allerdings ist ein Widerruf bei wiederholter bzw. schwerer Straffälligkeit selbst dann nicht ausgeschlossen, wenn sie hier geboren ist und ihr ganzes bisheriges Leben im Land verbracht hat (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 33 f.; <ref-ruling> E. 4.3 S. 381).
4.3. Ausgangspunkt und Massstab der migrationsrechtlichen Interessenabwägung ist die Schwere des Verschuldens, die sich in der Dauer der verfahrensauslösenden Freiheitsstrafe niederschlägt (<ref-ruling> E. 4.2 S. 23; <ref-ruling> E. 3.1 S. 216). Bemessen wird das migrationsrechtliche Verschulden allerdings nicht nur anhand des für die Anlasstat verhängten Strafmasses; ausschlaggebend ist vielmehr eine Gesamtbetrachtung des deliktischen Verhaltens bis zum Zeitpunkt des angefochtenen Urteils (vgl. Urteil 2C_1046/2014 vom 5. November 2015 E. 4.1).
5.
Die Vorinstanz erwog (insbesondere) mit Blick auf die Verurteilung des Beschwerdeführers wegen Brandstiftung, es bestehe ein gewichtiges öffentliches Interesse an der Fernhaltung. Zu berücksichtigen sei auch, dass es sich beim Beschwerdeführer nicht um einen Ersttäter handle: Für die Zeit von 2008 bis 2012 seien verschiedene Übertretungen des BetmG sowie Strassenverkehrsdelikte aktenkundig, darunter eine grobe Verletzung der Verkehrsregeln und Fahren in fahrunfähigem Zustand. Weiter sei von einem gewissen Rückfallrisiko auszugehen, das sich - angesichts einer vorläufigen Inhaftierung des Beschwerdeführers im Februar 2020 wegen des Verdachts der häuslichen Gewalt und der Widerhandlungen gegen das BetmG - möglicherweise bereits realisiert habe.
Mit Blick auf seinen 22-jährigen Aufenthalt in der Schweiz habe der Beschwerdeführer sodann zwar gewichtige Interessen an einem weiteren Verbleib im Land. Allerdings müsse seine Integration insbesondere in wirtschaftlicher Hinsicht als misslungen bezeichnet werden. In sozialer Hinsicht bringe der Beschwerdeführer einzig vor, in der Schweiz eine Tochter zu haben; diese Tochter habe er allerdings nicht anerkannt und eine gelebte Beziehung zu ihr bzw. zur Kindsmutter bestehe nicht. Auch sonst bestünden keine Hinweise darauf, dass er gefestigte soziale Kontakte und Freundschaften zur einheimischen Be völkerung pflege. Die Wiedereingliederung im Irak werde ihm zwar voraussichtlich nicht leicht fallen; sie sei jedoch möglich und könne nicht als unzumutbar bezeichnet werden.
Bei einer Gesamtwürdigung aller Umstände überwiege das öffentliche Interesse an der Beendigung des Aufenthalts das private Interesse des Beschwerdeführers an einem Verbleib in der Schweiz.
6.
Was die Gewichtung der öffentlichen Fernhalteinteressen angeht, rügt der Beschwerdeführer zusammengefasst, die Vorinstanz sei mit Blick auf die Art der verfahrensauslösenden Delikte zu Unrecht von einem "erheblichen Verschulden" ausgegangen. Diese Annahme widerspreche auch der Einschätzung des Regionalgerichts Emmental-Oberaargau, das im Urteil vom 3. Dezember 2015 bezüglich der von ihm verübten Brandstiftung von einem minimalen "Tatkomponentenverschulden" ausgegangen sei. Die von der Vorinstanz erwähnten Widerhandlungen gegen das BetmG beschränkten sich auf leichte Verfehlungen, die ausschliesslich mit Eigenkonsum zusammenhingen. Die Widerhandlung gegen das WG wiege ebenfalls nicht schwer, sei er doch nur wegen des Besitzes eines Elektroschockgeräts und eines Wurfsterns schuldig gesprochen worden und sei das Regionalgericht diesbezüglich von einem geringen Verschulden ausgegangen. Abgesehen davon sei die Vorinstanz zu Unrecht davon ausgegangen, bei ihm liege Rückfallgefahr vor.
6.1. Mit seinen Vorbringen verkennt der Beschwerdeführer, dass die Vorinstanz nicht das strafrechtliche, sondern das migrationsrechtliche Verschulden zu beurteilen hatte. Im strafrechtlichen Kontext dient der Verschuldensbegriff dazu, die Strafe zu bemessen (Art. 47 Abs. 1 StGB). Das migrationsrechtliche Verfahren verfolgt demgegenüber keine Strafzwecke (vgl. Urteile 2C_532/2017 vom 26. März 2018 E. 5.1 und 2C_116/2017 vom 3. Oktober 2017 E. 4.2). Vielmehr knüpft es an die durch das Strafgericht ausgesprochene Strafe an, um mit Blick auf die Gewichtung der öffentlichen Fernhalteinteressen das migrationsrechtliche Verschulden des betroffenen Ausländers festzustellen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 147; vgl. E. 4.3 hiervor). Entgegen der Annahme des Beschwerdeführers kann ein "erhebliches" migrationsrechtliches Verschulden überdies - wie vorliegend - auch dann vorliegen, wenn keine Gewalt- oder Sexualdelikte in Frage stehen.
6.2. Dass die Vorinstanz davon ausging, im Falle des Beschwerdeführers bestehe eine gewisse Rückfallgefahr, ist ebenfalls nicht zu beanstanden: Zu bemerken ist in diesem Zusammenhang zunächst, dass die Behauptung des Beschwerdeführers, seit 2013 nicht mehr straffällig geworden zu sein, den Tatsachen widerspricht: Am 11. März 2020 ist er durch die Staatsanwaltschaft Berner Jura-Seeland wegen Führens eines Motorfahrzeugs trotz Verweigerung, Entzugs oder Aberkennung des Ausweises zu einer Geldstrafe verurteilt worden (vgl. die insoweit unwidersprochene Vernehmlassung des SEM vom 23. Juni 2020; Art. 105 Abs. 2 BGG). Insofern ist die Ausgangslage eine andere, als die Vorinstanz - notabene zugunsten des Beschwerdeführers - annahm. Vor dem Hintergrund der dokumentierten wiederholten Straffälligkeit des Beschwerdeführers, seiner von der Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich (Art. 105 Abs. 1 BGG) festgestellten Uneinsichtigkeit in den Unrechtsgehalt der begangenen Straftaten und der egoistischen Beweggründe für die Deliktsbegehung (vgl. E. 3.3.2 des angefochtenen Entscheids) ist der Vorinstanz beizupflichten, dass es der Beschwerdeführer am nötigen Respekt vor der hiesigen Rechtsordnung vermissen lässt. Daraus resultiert zweifelsohne eine gewisse Gefahr, dass er weitere Straftaten begehen wird. Daran ändert nichts, dass bezüglich der Straftatbestände, deretwegen der Beschwerdeführer am 14. Februar 2020 vorläufig festgenommen worden ist, noch kein rechtskräftiger Schuldspruch vorliegt.
6.3. Im Lichte der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (vgl. beispielsweise Urteile 2C_779/2017 vom 26. Oktober 2018 E. 3.3 [Fall im Zusammenhang mit Brandstiftung]; 2C_935/2014 vom 11. Mai 2015 E. 3.2.2 [Anknüpfung an ein Strafverdikt von 16 Monaten]) ist damit (vgl. E. 6.1-E. 6.2 hiervor) nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz im Falle des Beschwerdeführers vom Vorliegen eines "gewichtigen" bzw. "erheblichen" öffentlichen Fernhalteinteresses ausging.
7.
Was die privaten Interessen am weiteren Verbleib in der Schweiz angeht, bringt der Beschwerdeführer vor, die Vorinstanz gehe zu Unrecht von einer mangelnden Integration aus. Er sei abgesehen von kurzen Unterbrüchen stets erwerbstätig gewesen. Für den Widerruf der Niederlassungsbewilligung sei mutwillige Verschuldung erforderlich. Davon könne in seinem Fall nicht die Rede sein: Die Mehrheit der sich mittlerweile auf Fr. 98'243.65 belaufenden Betreibungen habe er mit Rechtsvorschlag bestritten und die jeweiligen Rechtsvorschläge seien offenbar nicht beseitigt worden. Im Gegenteil habe er einen Grossteil der unbestrittenen Schulden beglichen. Er sei um eine Verbesserung der finanziellen Situation bemüht und sei zudem seit dem 6. Mai 2020 wieder erwerbstätig.
Auch in sozialer Hinsicht seien die Annahmen der Vorinstanz unzutreffend: Er sei (auch sprachlich) bestens integriert und pflege nicht nur zu seiner Familie und zu Landsleuten regen Kontakt, sondern auch zu Schweizerinnen und Schweizern; selbstverständlich könne er dies auf erste Aufforderung hin auch durch Vorlage einer vollständigen Liste seines Schweizer Bekannten- und Freundeskreises belegen. Soweit die Vorinstanz ihm vorhalte, dass er seine Tochter nicht anerkannt habe und zu ihr keinen Kontakt pflege, sei festzuhalten, dass ihm die Anerkennung derzeit nicht möglich sei, weil das Zivilstandsamt auf der Zustellung einer Geburtsurkunde bestehe und er diese Urkunde im Irak besorgen müsse. Dies sei ihm angesichts des gegenwärtigen Verfahrens nicht möglich.
Sodann sei er mit den sprachlichen, kulturellen und gesellschaftlichen Gepflogenheiten im Irak nicht vertraut und mit dem Land abgesehen von Ferienaufenthalten auch nicht verbunden. Es werde ihm nicht möglich sein, dort einen Arbeitsplatz zu finden, zumal er nicht über gesellschaftliche und politische Beziehungen verfüge.
7.1. Der Beschwerdeführer beschränkt sich in Bezug auf die Ausführungen der Vorinstanz zu seiner wirtschaftlichen Integration im Wesentlichen darauf, den wohlfundierten Feststellungen der Vorinstanz seine eigene Sichtweise gegenüberzustellen. Seine (verdeckten) Sachverhaltsrügen sind jedoch nicht hinreichend begründet, um von den Feststellungen der Vorinstanz abweichen zu können (vgl. E. 2.2 hiervor). Soweit der Beschwerdeführer vorbringt, angesichts einer am 6. Mai 2020 bei der B._ GmbH neu angetretenen Arbeitsstelle könne damit gerechnet werden, dass er seine Schulden in absehbarer Zeit signifikant reduzieren könne, beruft er sich auf ein echtes Novum, das im bundesgerichtlichen Verfahren keine Berücksichtigung finden kann (vgl. E. 2.3 hiervor).
7.2. Mit Blick auf die rechtlichen Ausführungen des Beschwerdeführers zur angeblich fehlenden Mutwilligkeit seiner Schuldenwirtschaft ist festzuhalten, dass vorliegend nicht zu prüfen ist, ob der Widerrufstatbestand von Art. 63 lit. b AIG erfüllt ist. Die Ausführungen der Vorinstanz zur wirtschaftlichen Situation des Beschwerdeführers beziehen sich denn auch lediglich auf die fehlende wirtschaftliche Integration des Beschwerdeführers und sein entsprechend relativiertes privates Interesse an einem weiteren Verbleib in der Schweiz. Angesichts der (von der Vorinstanz verbindlich festgestellten [vgl. E. 7.1 hiervor]) Arbeitslosigkeit des Beschwerdeführers und seiner erheblichen Schulden sind die entsprechenden Ausführungen der Vorinstanz nicht zu beanstanden.
7.3. Der Beschwerdeführer ist mit Blick auf die vorinstanzlichen Erwägungen zur sozialen Integration der Auffassung, ihm könne die nach wie vor ausstehende Anerkennung seiner Tochter und auch der auf das abwehrende Verhalten der Kindsmutter zurückzuführende fehlende Umgang nicht vorgehalten werden.
Inwiefern die vorinstanzlichen Feststellung, dass eine Vaterschaftsanerkennung möglich gewesen wäre, offensichtlich unrichtig sein soll, geht aus der Beschwerdeschrift jedoch nicht hervor. Namentlich sind keine plausiblen Gründe dargetan, die es dem Beschwerdeführer verunmöglicht hätten, allenfalls erforderliche Dokumente zu besorgen; das vorliegende ausländerrechtliche Verfahren taugt nicht als Erklärung, zumal es dem Beschwerdeführer nicht verboten war, für die Papierbeschaffung in den Irak zurückzukehren, und auch nicht ersichtlich ist, inwiefern sich daraus (migrationsrechtlich) nachteilige Folgen für ihn ergeben hätten. Damit bleibt es bei den Feststellungen der Vorinstanz (vgl. E. 5 hiervor). Dasselbe gilt für die vorinstanzliche Annahme, es sei nicht erstellt, dass der Beschwerdeführer "in besonderem Mass gefestigte soziale Kontakte und Freundschaften zur einheimischen Bevölkerung pflege". Offenbar unterliess es der Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren, das angebliche Bestehen eines Freundes- und Bekanntenkreis näher zu substanziieren; dieses Versäumnis kann nicht mittels "Beweisofferte" im bundesgerichtlichen Verfahren korrigiert werden (vgl. E. 2.3 hiervor).
7.4. Zu prüfen bleibt damit die Rüge, die Vorinstanz sei zu Unrecht davon ausgegangen, der Beschwerdeführer werde sich im Nordirak wieder einfinden können.
Festzuhalten ist diesbezüglich, dass das Bundesgericht in verschie denen jüngeren Entscheiden (Urteile 2C_679/2019 vom 23. Dezember 2019 E. 6.4.3; 2C_740/2017 vom 6. März 2018 E. 5.2.4; 2C_666/2017 vom 1. Februar 2018 E. 3.3) in Einklang mit der asylrechtlichen Praxis des Bundesverwaltungsgerichts (vgl. Referenzurteil E-3737/2015 vom 14. Dezember 2015, jüngst bestätigt durch das Urteil E-5757/2017 vom 13. Juli 2020 E. 8.3.2) von der grundsätzlichen Zumutbarkeit der Rückkehr in die Gebiete des Nordiraks ausging. Für die Vorinstanz bestand kein Anlass, von dieser Einschätzung abzuweichen. Auch im vorliegenden Verfahren legt der Beschwerdeführer nicht dar, dass sich die Situation in seiner Heimat massgeblich verändert hätte.
Aus dem Umstand, dass der Beschwerdeführer sich in den Jahren 2012, 2013 und 2014 jeweils für mehrere Wochen bis Monate im Nordirak aufhielt, durfte die Vorinstanz sodann für den konkreten Fall willkürfrei schliessen, dass er dort über einen gewissen sozialen Empfangsraum verfüge. Weiter anerkennt der Beschwerdeführer, dass es ihm - neben den bestehenden mündlichen Kurdischkenntnissen - möglich ist, die nordkurdische Schriftsprache zu erlernen. Dies wird es ihm neben seiner in der Schweiz absolvierten Ausbildung erleichtern, im Nordirak beruflich Fuss zu fassen. Auch angesichts des Alters des Beschwerdeführers und seiner - soweit ersichtlich - intakten Gesundheit ist davon auszugehen, dass er sich in seiner Heimat wieder zurechtfinden wird.
7.5. Damit erscheint die vorinstanzliche Gewichtung der privaten Interessen des Beschwerdeführers an einem weiteren Verbleib in der Schweiz (vgl. E. 5 hiervor) als zutreffend.
8.
Bei einer Würdigung aller Umstände ist unter Verhältnismässigkeitsgesichtspunkten nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz davon ausging, das öffentliche Fernhalteinteresse (vgl. E. 6 hiervor) überwiege die privaten Interessen des Beschwerdeführers an einem weiteren Verbleib in der Schweiz (vgl. E. 7 hiervor). Ins Gewicht fällt neben der wiederholten und teils erheblichen Straffälligkeit des Beschwerdeführers der Stand seiner wirtschaftlichen und sozialen Integration, der - angesichts der beträchtlichen Aufenthaltsdauer - deutlich unter den Erwartungen bleibt. Unter diesen Umständen fällt eine Verwarnung oder die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung ausser Betracht (vgl. Urteil 2C_952/2019 vom 8. Mai 2020 E. 4.3). Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist (vgl. E. 1.2 hiervor).
9.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens (vgl. E. 8 hiervor) wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Mit Blick auf das ausführlich und nachvollziehbar begründete Urteil der Vorinstanz sowie die bundesgerichtliche Rechtsprechung erweist sich die Beschwerde als aussichtslos; dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann deshalb nicht entsprochen werden (vgl. Art. 64 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. August 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner