Faits :
A.
Par jugement du 27 mars 2018, le Tribunal de police de l'arrondissement de La Côte a libéré X._ des chefs de prévention d'escroquerie au préjudice des proches ou des familiers et de diminution effective de l'actif au préjudice des créanciers.
B.
Par jugement du 21 août 2018, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud, statuant sur l'appel de A._ et sur l'appel joint formé par X._ contre ce jugement, a réformé celui-ci en ce sens que ce dernier est condamné, pour diminution effective de l'actif au préjudice des créanciers, à une peine privative de liberté de huit mois.
La cour cantonale a retenu les faits suivants.
B.a. X._ est divorcé de A._, avec laquelle il a un fils, B._, né en 2000.
Son casier judiciaire fait état d'une condamnation, en 2015, pour détournement de valeurs patrimoniales mises sous main de justice et violation d'une obligation d'entretien.
B.b. Selon un extrait des registres établi le 27 juin 2016 par l'Office des poursuites du district de Nyon, X._ fait l'objet de poursuites pour un montant total de 591'880 fr. 57. Des actes de défaut de biens ont été délivrés à son encontre, pour un montant total de 347'158 fr. 37. Une partie de ces montants concerne la dette résultant du non-paiement d'une contribution d'entretien de 800 fr. par mois, due par l'intéressé en faveur de B._ en vertu d'un jugement de divorce du 15 janvier 2004.
Au décès de sa mère - C._ - survenu le 5 novembre 2011, X._ est devenu propriétaire en commun, avec ses huit frères et soeurs, ainsi qu'avec ses deux nièces, d'une part indivise d'une moitié de la parcelle no xxx de la commune de D._, l'autre moitié étant restée la propriété de son père, E._.
Par acte notarié du 2 juillet 2014, intitulé "transfert successoral et cession en lieu de partage", X._ a cédé à E._ sa part de propriété commune indivise sur la parcelle précitée. Les autres descendants de C._ en ont fait de même. La part de propriété commune indivise ainsi cédée a été estimée fiscalement à 355'000 fr., alors que la valeur vénale du bien immobilier s'élevait, le 2 juillet 2014, à plus de 1'900'000 francs. X._, qui avait signé une procuration en vue de ce transfert le 26 août 2013, a ainsi cédé sa part à une valeur de 29'583 fr. 33, alors qu'il aurait pu prétendre obtenir un montant de 158'333 fr. 33. Il a agi de la sorte afin de léser ses créanciers.
C.
X._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 21 août 2018, en concluant, avec suite de frais, à son acquittement ainsi qu'à l'allocation, en sa faveur, d'une indemnité à titre de réparation du tort moral. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
D.
Invités à se déterminer sur le recours, la cour cantonale s'est référée aux considérants du jugement attaqué, tandis que le ministère public a renoncé à déposer des observations. A._ a quant à elle conclu au rejet du recours. X._ a encore présenté des observations concernant les déterminations de la prénommée, cette dernière ayant à son tour présenté des déterminations à cet égard.

Considérant en droit :
1.
Le recourant reproche tout d'abord à la cour cantonale d'avoir violé l'<ref-law>. Selon lui, B._ était son créancier s'agissant des contributions d'entretien impayées ayant entraîné la délivrance d'actes de défaut de biens, de sorte que A._ ne pouvait déposer plainte et agir qu'en sa qualité de représentante légale du prénommé. Comme B._ est devenu majeur le 17 juillet 2018, soit postérieurement au jugement de première instance mais antérieurement aux débats d'appel, seul celui-ci pouvait, depuis lors, prendre part à la procédure d'appel contre le jugement du 27 mars 2018. Le recourant soutient que B._ ne s'est pas présenté aux débats d'appel, si bien que la cour cantonale aurait dû, en application de l'<ref-law>, considérer que l'appel formé contre le jugement de première instance était retiré.
Le grief du recourant amène tout d'abord à examiner quelles ont été les parties à la procédure et en quelle qualité.
1.1. En l'occurrence, il ressort du jugement attaqué que le recourant était le débirentier de B._ - en raison de la contribution d'entretien prévue par un jugement de divorce de 2004 - et que des actes de défaut de biens ont été délivrés, notamment en raison du non-paiement desdites contributions. A cet égard, la cour cantonale a indiqué que A._ avait déposé plainte contre le recourant et s'était constituée partie plaignante, à titre personnel et non comme représentante légale de B._. Elle a ajouté que le dernier nommé n'avait pas agi devant les autorités pénales et n'avait pas la qualité de partie à la procédure.
Il ressort encore du jugement attaqué et du dossier de la cause que A._ a déposé plainte contre le recourant et s'est portée demanderesse au pénal et au civil, qu'elle seule était mentionnée dans l'acte d'accusation du 29 mars 2017, et que la prénommée a seule pris part à la procédure devant le tribunal de première instance - en qualité de partie plaignante -, à défaut de B._.
1.2. Une infraction de diminution effective de l'actif au préjudice des créanciers ne pouvait qu'être commise au préjudice de B._, créancier du recourant (cf. <ref-law>). Seul le prénommé pouvait, à cet égard, revêtir la qualité de lésé au sens de l'<ref-law>.
Contrairement à ce qu'a indiqué la cour cantonale, on ne voit pas comment A._ aurait pu, sans être directement lésée par l'infraction dénoncée, puisqu'elle n'était pas la créancière du recourant, prendre part à la procédure en qualité de partie plaignante. On ne pouvait fonder ce statut, comme semble l'avoir fait l'autorité précédente, sur ce que la doctrine germanophone désigne sous les termes de "Prozessstandschaft" ou "Prozessführungsbefugnis", pure institution de droit civil qui permet au détenteur de l'autorité parentale d'exercer en son propre nom les droits de l'enfant mineur, y compris, dans certains cas, au-delà de la majorité de l'enfant (cf. sur ce point l'arrêt publié aux <ref-ruling> consid. 3.2 p. 80 s. et les références citées).
Ainsi, A._ aurait pu tout au plus, durant la minorité de son fils, déposer plainte et participer à la procédure pénale en sa qualité de représentante légale de l'intéressé. Il apparaît toutefois qu'elle a déposé plainte et agi en son propre nom, comme l'a d'ailleurs constaté la cour cantonale. La prénommée - à défaut d'avoir été lésée par l'infraction dénoncée - ne pouvait ainsi revêtir la qualité de partie plaignante dans la procédure (cf. <ref-law>). En conséquence, on ne voit pas que A._ aurait disposé d'un intérêt juridiquement protégé à l'annulation ou à la modification du jugement du Tribunal de police de l'arrondissement de La Côte du 27 mars 2018. Elle ne pouvait, partant, former appel contre cette décision.
1.3. Il ressort du jugement attaqué que, après l'ouverture des débats d'appel et après que le recourant eut soulevé la question préjudicielle concernant l'application de l'<ref-law>, B._ a produit une procuration, par laquelle il constituait l'avocat de A._, afin de l'y représenter (cf. pièce 99 du dossier cantonal). Cet avocat a ensuite, durant les plaidoiries, pris des conclusions pour le compte du prénommé.
La cour cantonale a, à juste titre, relevé que B._ n'avait pas agi devant les autorités en son nom et n'était pas partie à la procédure. Le prénommé ne pouvait plus, au stade de la procédure d'appel, déclarer vouloir participer à la procédure pénale comme demandeur au pénal ou au civil (cf. <ref-law>). La procuration donnée à l'avocat de A._ ne pouvait donc aucunement permettre à B._ de prendre part à la procédure en qualité de partie plaignante.
1.4. Compte tenu de ce qui précède, il apparaît que B._, seul lésé par une éventuelle infraction de diminution effective de l'actif au préjudice des créanciers, n'a jamais pris part à la procédure pénale. A._ n'était quant à elle pas lésée par l'infraction en question, ne pouvait revêtir la qualité de partie plaignante dans la procédure ni former appel contre le jugement de première instance.
Il convient donc d'admettre le recours, d'annuler le jugement attaqué et de renvoyer la cause à l'autorité cantonale afin qu'elle déclare irrecevable l'appel formé par A._ contre le jugement du Tribunal de police de l'arrondissement de La Côte du 27 mars 2018.
Ce qui précède rend sans objet les griefs du recourant relatifs à sa condamnation pour diminution effective de l'actif au préjudice des créanciers.
2.
Le recours doit être admis. Le recourant, qui obtient gain de cause, ne supporte pas de frais judiciaires (<ref-law>). Une partie des frais judiciaires est mise à la charge de A._, qui a conclu au rejet du recours et qui succombe, le canton de Vaud n'ayant pas, pour sa part, à en supporter (<ref-law>). Le recourant peut prétendre à une indemnité de dépens, à la charge pour moitié du canton de Vaud et pour moitié de A._ (<ref-law>). La demande d'assistance judiciaire devient ainsi sans objet (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis, le jugement attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
2.
Une partie des frais judiciaires, arrêtée à 1'500 fr., est mise à la charge de A._.
3.
Le canton de Vaud et A._ verseront, pour moitié chacun, une indemnité de 3'000 fr. au recourant à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 8 avril 2019
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Graa