Erwägungen:
1.
Zwischen den Parteien ist vor dem Bezirksgericht Meilen ein Forderungsprozess hängig. Nach durchgeführtem Beweisverfahren setzte das Bezirksgericht beiden Parteien Frist an, um zum Beweisergebnis Stellung zu nehmen. Dagegen reichte die Beschwerdeführerin ein Fristerstreckungsgesuch ein. Am 28. Januar 2020 bewilligte das Bezirksgericht das Fristerstreckungsgesuch teilweise. Es erstreckte die angesetzte Frist letztmals bis am 10. Februar 2020, im darüber hinausgehenden Umfang wies es das Gesuch (implizit) ab.
Dagegen erhob die Beschwerdeführerin Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Das Obergericht erwog mit Beschluss vom 6. März 2020, gegen die prozessleitende Verfügung des Bezirksgerichts sei die Beschwerde zulässig, wenn durch die Verfügung ein nicht leicht wiedergutzumachender Nachteil drohe. Es sei weder dargetan noch erkennbar, inwiefern der Beschwerdeführerin durch die erstinstanzliche Verfügung nicht leicht wiedergutzumachende Nachteile in Aussicht stehen sollten, die sich nicht im Rahmen eines allfälligen Rechtsmittels gegen den Endentscheid korrigieren liessen. Auch soweit die Beschwerdeführerin die Verfahrensführung der Erstinstanz beanstande, sei sie auf das Rechtsmittel gegen den Entscheid zu verweisen. Entsprechend trat das Obergericht auf die Beschwerde nicht ein und wies das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren ab.
Gegen den Beschluss des Obergerichts erhob die Beschwerdeführerin mit der am 12. Mai 2020 der Post übergebenen Eingabe Beschwerde an das Bundesgericht. Am 22. Mai 2020, 5. Juni 2020, 9. Juni 2020 und 15. Juni 2020 reichte sie dem Bundesgericht je eine weitere Eingabe ein.
Auf das Einholen von Vernehmlassungen zur Beschwerde wurde verzichtet.
2.
Unter Berücksichtigung des Fristenstillstands während der Corona-Pandemie ist die dreissigtägige Beschwerdefrist (<ref-law>) gegen den angefochtenen Entscheid am 18. Mai 2020 abgelaufen, wie auch die Beschwerdeführerin in ihrer Eingabe vom 5. Juni 2020 zutreffend erkennt. Die nach dem 18. Mai 2020 der Post übergebenen Beschwerdeergänzungen sind daher verspätet und bleiben damit unberücksichtigt.
3.
3.1. Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). Dafür muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89). Eine Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
3.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
4.
Die Beschwerde an das Bundesgericht ist nur gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen zulässig (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist daher von vornherein nicht einzutreten, soweit sie sich gegen den Entscheid des Bezirksgerichts richtet, da es sich dabei nicht um einen letztinstanzlichen Entscheid im Sinne von <ref-law> handelt.
5.
Die Beschwerdeführerin beantragt, dass die verfahrensleitende Bezirksrichterin in den Ausstand zu treten habe. Ein solches Ausstandsgesuch hat die Beschwerdeführerin vor Bezirksgericht zu stellen (<ref-law>), worauf sie bereits von der Vorinstanz aufmerksam gemacht wurde.
6.
Im Übrigen erfüllt die Eingabe der Beschwerdeführerin die oben genannten Begründungsanforderungen offensichtlich nicht (Erwägung 3). Sie schildert darin bloss in frei gehaltenen Ausführungen ihre Sicht der Dinge, ohne indessen auf die Erwägungen der Vorinstanz hinreichend konkret einzugehen, geschweige denn nachvollziehbar aufzuzeigen, welche Rechte die Vorinstanz mit ihrem Entscheid inwiefern verletzt haben soll. Insbesondere legt die Beschwerdeführerin offensichtlich nicht hinreichend dar, inwiefern es bundesrechtswidrig sein soll, wenn die Vorinstanz zum Schluss kam, dass durch die (teilweise) Abweisung des Fristerstreckungsgesuchs kein nicht leicht wiedergutzumachender Nachteil drohe.
Auf die Beschwerde ist somit mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (<ref-law>).
7.
Das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung wird mit dem Entscheid in der Sache selbst gegenstandslos.
8.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege samt unentgeltlichem Rechtsbeistand für das bundesgerichtliche Verfahren ist bereits deshalb abzuweisen, weil die Beschwerde als von vornherein aussichtslos erscheint (<ref-law>), abgesehen davon, dass juristische Personen nur ganz ausnahmsweise Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege haben. Darüber musste unter den gegebenen Umständen nicht vorgängig separat entschieden werden (vgl. Urteil 4A_20/2011 vom 11. April 2011 E. 7.2.2).
9.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da ihr aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juli 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger