Faits :
A.
A.a. Le 11 janvier 2019, A._, représenté par un mandataire professionnel, a saisi le Tribunal régional des Montagnes et du Val-de-Ruz d'une requête de conciliation dirigée contre B._, concluant à ce que ce dernier soit condamné à lui payer 1'800 fr. et à lui restituer quatre valises ainsi qu'un sac à dos, contenant divers effets personnels ou, subsidiairement, à lui verser la somme de 5'000 fr. Il exposait avoir travaillé pour le défendeur dans un stand de boissons à Genève, du 4 au 14 août 2018, et y avoir même dormi les quatre derniers jours car celui-ci avait été précédemment pillé pendant la nuit. A titre de moyens de preuve, il a produit une lettre de son mandataire, datée du 1er novembre 2018, accompagnée d'un suivi des envois postaux, dans laquelle le conseil priait le défendeur de restituer à son client les bagages que ce dernier avait déposés chez lui au Locle. Il se réservait la possibilité de fournir d'autres explications et de mentionner d'autres preuves.
Le même jour, le requérant a sollicité le bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite, tant pour l'avance de frais que pour l'assistance d'un mandataire professionnel. Dans sa requête, l'intéressé, se référant au dossier de la procédure de conciliation, indiquait que sa cause présentait des chances de succès. Il soulignait qu'il n'avait ni revenus ni fortune, qu'il était en situation illégale et en détention à la prison régionale de Berne.
Par courrier du 13 février 2019, le tribunal a invité le demandeur à faire part de ses observations au sujet des chances de succès de son action.
En date du 20 février 2019, le demandeur, par le truchement de son mandataire, a répondu qu'il y " a [ vait] des témoins ", sans toutefois les nommer ou fournir d'autres précisions quant à leur identité, pouvant attester qu'il avait travaillé pour le défendeur sans être indemnisé et que celui-ci l'avait privé de tous ses biens. Il ajoutait n'avoir pas pu aborder ce point jusqu'à présent dans la mesure où il n'y avait pas d'audition de témoins lors de la procédure de conciliation.
Par ordonnance du 9 mai 2019, le Tribunal régional a rejeté la requête d'assistance judiciaire, au motif que la cause paraissait dénuée de chances de succès.
A.b. Le 25 mai 2019, A._ a recouru contre cette décision en sollicitant sa mise au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure de recours.
Par lettre du 28 mai 2019, la Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel a invité le recourant à verser une avance de frais de 400 fr., faute de quoi il ne serait pas entré en matière sur le recours.
La Cour civile, par son Président, a clos la procédure le 3 juillet 2019, au motif que l'avance de frais n'avait pas été réglée dans le délai imparti.
A.c. Saisi d'un recours constitutionnel subsidiaire, le Tribunal fédéral a considéré que la cour cantonale n'avait pas formellement statué sur la demande d'assistance judiciaire présentée par A._, violant ainsi l'art. 29 al. 3 Cst. (arrêt 4D_49/2019 du 14 novembre 2019). Partant, il a annulé la décision attaquée et renvoyé la cause à l'autorité précédente pour qu'elle statue sur la requête d'assistance judiciaire formulée par le recourant et lui fixe, en cas de refus, un délai supplémentaire pour verser l'avance de frais sollicitée.
B.
Invité par l'autorité précédente à présenter ses observations à la suite de l'arrêt rendu par la Cour de céans, A._, par courrier de son conseil du 21 février 2020, a indiqué que les chances de succès de sa démarche judiciaire ressortaient de " son exposé, des preuves et des demandes de preuve ". A cette occasion, il a aussi désigné nommément deux témoins et apporté certaines précisions quant aux points sur lesquels ils pourraient être interrogés. L'intéressé a conclu une nouvelle fois à l'octroi de l'assistance judiciaire, en ponctuant son courrier de la mention suivante " Sous réserve de faits plus détaillés, de nouvelles preuves et demandes ".
Statuant le 26 février 2020, la cour cantonale a rejeté la requête d'assistance judiciaire et invité le recourant à verser une avance de frais de 400 fr. jusqu'au 26 mars 2020, délai qui a été ensuite prolongé jusqu'au 17 avril 2020.
C.
Le 28 mars 2020, A._ (ci-après: le recourant) a saisi le Tribunal fédéral d'un recours constitutionnel subsidiaire, rédigé en langue allemande, dans lequel il conclut, en substance, à l'annulation de la décision entreprise et à sa réforme, en ce sens que l'assistance judiciaire totale lui est accordée pour la procédure de recours devant la cour cantonale, Me Lars Rindlisbacher lui étant désigné en qualité de conseil d'office. Il requiert aussi l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Par ordonnance du 11 mai 2020, la Présidente de la Cour de céans a admis la requête d'effet suspensif du recourant.
Des déterminations n'ont pas été requises.

Considérant en droit :
1.
Même si le mémoire de recours a été rédigé en allemand, le présent arrêt sera rendu en français, langue de la décision attaquée, conformément à l'<ref-law>.
2.
Le refus de l'assistance judiciaire est une décision incidente qui est susceptible de causer un préjudice irréparable et, partant, sujette à recours en vertu de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4 p. 338; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 131; arrêt 4A_44/2018 du 5 mars 2018 consid. 1.2). En vertu du principe de l'unité de la procédure, la voie de recours contre une décision incidente est déterminée par le litige principal (<ref-ruling> consid. 1.4; <ref-ruling> consid. 1.2). En l'espèce, le refus de l'assistance judiciaire a été prononcé dans le cadre d'une contestation de nature civile et pécuniaire. Faute de valeur litigieuse suffisante, la décision attaquée ne peut pas faire l'objet d'un recours en matière civile. Partant, seule la voie du recours constitutionnel subsidiaire est ouverte (<ref-law>). Le recours a été déposé dans le délai légal (art. 100 al. 1 et 117 LTF). La décision a été rendue sur recours par le tribunal supérieur du canton (art. 75 et 114 LTF). Le recourant a qualité pour recourir (<ref-law>). Le recours constitutionnel subsidiaire est ainsi recevable au regard de ces dispositions.
3.
3.1. Comme son intitulé l'indique, le recours constitutionnel subsidiaire peut être formé pour violation des droits constitutionnels (<ref-law>). Le Tribunal fédéral n'examine que les griefs expressément soulevés et motivés conformément au principe d'allégation (art. 106 al. 2 et 117 LTF). Le recourant doit indiquer quel droit ou principe constitutionnel a été violé par l'autorité précédente et dans quelle mesure, en présentant une argumentation claire et circonstanciée; des critiques simplement appellatoires ne sont pas admissibles (<ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 286; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 368; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 232; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 246).
3.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente si les faits ont été établis en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266 et les arrêts cités).
Dans le domaine de la constatation des faits et de l'appréciation des preuves, le Tribunal fédéral se montre réservé, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en ce domaine aux autorités cantonales (<ref-ruling> consid. 4b; <ref-ruling> consid. 9 et les références). Il n'intervient que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis sans raisons objectives de tenir compte des preuves pertinentes ou s'il a effectué, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 1.4.3; <ref-ruling> consid. 2.1).
4.
4.1. Dénonçant pêle-mêle une violation des art. 6 par. 1 CEDH, 29 al. 3 Cst. et 117 ss CPC ainsi qu'un établissement des faits, une appréciation des preuves et une application du droit arbitraires, le recourant soutient que la cour cantonale a considéré, à tort, que sa cause était dépourvue de chances de succès.
4.2.
4.2.1. En vertu de l'<ref-law> - qui concrétise les principes que le Tribunal fédéral a dégagés de l'art. 29 al. 3 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.2.3 p. 218 et les références) -, une personne a droit à l'assistance judiciaire si elle ne dispose pas de ressources suffisantes (let. a) et si sa cause ne paraît pas dépourvue de toute chance de succès (let. b).
Un procès est dépourvu de chances de succès lorsque les perspectives de le gagner sont notablement plus faibles que les risques de le perdre, et ne peuvent donc être considérées comme sérieuses, de sorte qu'un plaideur raisonnable et aisé renoncerait à s'y engager en raison des frais qu'il serait exposé à devoir supporter; en revanche, il ne l'est pas lorsque les chances de succès et les risques d'échec s'équilibrent à peu près ou que les premières n'apparaissent que légèrement inférieures aux secondes (<ref-ruling> consid. 2.2.4 et la jurisprudence citée). Le critère des chances de succès doit être examiné au moment du dépôt de la requête d'assistance judiciaire et sur la base d'un examen sommaire (<ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 2.2.4; <ref-ruling> consid. 5 et les arrêts cités).
L'absence de chances de succès peut résulter des faits ou du droit. L'assistance judiciaire sera ainsi refusée s'il apparaît d'emblée que les faits pertinents allégués sont invraisemblables ou ne pourront pas être prouvés. Il en sera de même si, en droit, la démarche du requérant paraît d'emblée irrecevable, ou juridiquement infondée. L'autorité chargée de statuer sur l'assistance judiciaire ne doit évidemment pas se substituer au juge du fond; tout au plus doit-elle examiner s'il y a des chances que le juge adopte la position soutenue par le demandeur, chances qui doivent être plus ou moins équivalentes aux risques qu'il parvienne à la conclusion contraire (arrêts 4A_8/2017 du 30 mars 2017 consid. 3.1; 4A_614/2015 du 25 avril 2016 consid. 3.2; 4A_454/2008 du 1er décembre 2008 consid. 4.2).
Déterminer s'il existe des chances de succès est une question de droit, que le Tribunal fédéral examine librement; en revanche, savoir si les faits sont établis ou susceptibles d'être prouvés est une question qui relève de l'appréciation des preuves, laquelle ne peut être corrigée qu'en cas d'arbitraire (arrêts 4A_8/2017, précité, consid. 3.1; 4A_325/2016 du 19 octobre 2016 consid. 4.2; 4A_614/2015, précité, consid. 3.2; cf. aussi ATF <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2c). Lorsqu'il est saisi d'un recours contre une décision refusant l'octroi de l'assistance judiciaire pour défaut de chances de succès, le Tribunal fédéral n'a pas à se substituer au juge cantonal pour décider si la requête présentée en instance cantonale doit être admise ou non. Le juge cantonal dispose en effet d'un large pouvoir d'appréciation dans l'examen des chances de succès. Le Tribunal fédéral ne revoit dès lors sa décision qu'avec retenue: il doit uniquement vérifier que le juge cantonal ne s'est pas écarté des principes juridiques reconnus en la matière, qu'il n'a pas tenu compte de circonstances qui ne jouent pas de rôle pour le pronostic dans le cas particulier ou inversement qu'il n'a pas méconnu des circonstances pertinentes dont il aurait dû tenir compte (arrêts 4A_383/2019 du 30 mars 2020 consid. 3; 4A_375/2016 du 8 février 2017 consid. 3.2 et les arrêts cités).
4.2.2. Applicable à la procédure portant sur l'octroi ou le refus de l'assistance judiciaire, la maxime inquisitoire est limitée par le devoir de collaborer des parties (Message du 28 juin 2006 relatif au code de procédure civile suisse, FF 2006 p. 6914 in initio; arrêt 4A_114/2013 du 20 juin 2013 consid. 4.3.1 et les références). Ce devoir de collaborer ressort en particulier de l'<ref-law> qui prévoit que le requérant doit justifier de sa situation de fortune et de ses revenus et exposer l'affaire et les moyens de preuve qu'il entend invoquer. Il doit ressortir clairement des écritures de la partie requérante qu'elle entend solliciter le bénéfice de l'assistance judiciaire et il lui appartient de motiver sa requête s'agissant des conditions d'octroi de l'<ref-law> et d'apporter, à cet effet, tous les moyens de preuve nécessaires et utiles (arrêts 5A_181/2019 du 27 mai 2019 consid. 3.1.2; 5A_327/2017 du 2 août 2017 consid. 4).
4.2.3. L'assistance judiciaire peut aussi être accordée pour la procédure de conciliation. Seules sont décisives les chances d'obtenir gain de cause sur le fond et non les perspectives d'aboutir à une solution transactionnelle (arrêt 4D_67/2017 du 22 novembre 2017 consid. 3.2.2). Lorsqu'elle est saisie d'une requête en ce sens, l'autorité de conciliation, bien qu'elle ne puisse en principe pas mener de procédure probatoire (cf. <ref-law>), est tenue d'examiner sommairement les chances de succès de l'action, en tenant compte de la crédibilité des allégations et de l'état du dossier (arrêt 4D_67/2017, précité, consid. 3.2.3).
4.3. En l'occurrence, l'autorité de conciliation a estimé que le recourant, qui réclamait à titre subsidiaire le paiement de 5'000 fr. pour ses effets personnels, n'avait fait valoir aucun moyen de preuve relatif à la valeur desdits objets. A ce stade, la propriété de l'intéressé ne paraissait pas même vraisemblable. Par ailleurs, celui-ci réclamait le versement de 1'800 fr. sans même que l'on puisse comprendre le fondement légal de cette prétention. Les faits allégués dans la requête de conciliation n'étaient pas suffisants et la position du recourant paraissait infondée. Aussi, la cause semblait-elle dénuée de chances de succès.
Dans l'ordonnance attaquée, la cour cantonale a considéré en substance que le recourant n'avait pas rendu suffisamment vraisemblable que sa cause n'était pas dépourvue de chances de succès, raison pour laquelle elle a rejeté la requête d'assistance judiciaire présentée par l'intéressé. Elle a relevé que celui-ci n'avait pas soutenu, dans son mémoire de recours, que l'établissement et l'appréciation des preuves par l'autorité de conciliation auraient été entachés d'arbitraire. Le recourant n'avait pas davantage prétendu avoir fourni des éléments suffisants pour établir que son action aurait des chances de succès. Quant à la violation alléguée de l'<ref-law> (recte: 203 al. 2 CPC), lequel prévoit qu'il n'y a en principe pas de procédure probatoire au stade de la conciliation, les juges précédents, se référant à l'arrêt 4D_67/2017 précité, ont estimé que l'autorité de conciliation devait déterminer, sur la base des allégués et des offres de preuve du recourant, si les allégations de fait étaient a priori crédibles. Un tel examen n'était pas contraire à la disposition précitée. Selon eux, le recourant s'était contenté de faire état, comme preuve de ses allégués, de la lettre de son mandataire datée du 1er novembre 2018. Dans celle-ci, le conseil écrivait que son client avait déposé des bagages au domicile du défendeur au Locle, alors qu'il ressortait de la requête de conciliation que ce dernier aurait lui-même emporté chez lui les affaires du recourant à la suite de l'arrestation des deux hommes à Neuchâtel. Ces allégations étaient ainsi contradictoires. La requête de conciliation décrivait en outre les faits de manière très sommaire et n'expliquait pas pourquoi le recourant détenait quatre valises et un sac à dos, ce qui était plutôt inhabituel. Aucune preuve n'était en outre offerte pour étayer la valeur des biens que les valises et le sac auraient prétendument contenus. Dans ces conditions, vu la brièveté des allégués, l'absence de mention de preuves à l'appui de l'essentiel de ceux-ci, la seule preuve produite étant au surplus en contradiction avec les faits allégués, et l'absence de grief suffisant au sens de l'<ref-law>, l'autorité précédente a considéré que le recours contre le refus de l'assistance judiciaire ne présentait pas de chances suffisantes de succès.
4.4. Le recourant fait valoir que la procédure de conciliation se veut simple et rapide. Il s'agit en outre d'une procédure peu formaliste car le requérant n'est pas tenu d'indiquer ses moyens de preuve et l'autorité ne mène aucune procédure probatoire. Aussi les conditions d'octroi de l'assistance judiciaire devraient-elles être appréciées de façon moins stricte lorsque celle-ci est requise au stade de la conciliation. Une telle affirmation péremptoire, sans aucune référence jurisprudentielle ou doctrinale, apparaît d'emblée irrecevable faute de satisfaire aux exigences du principe d'allégation sus-évoqué.
4.5.
4.5.1. Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir considéré qu'il n'avait mentionné aucune preuve pour étayer ses allégations, respectivement qu'il n'avait produit qu'une seule preuve. A cet égard, il fait valoir qu'il a aussi offert la preuve par témoins. Il soutient encore que la présentation des faits ne serait nullement contradictoire. Enfin, il fait grief aux juges cantonaux d'avoir tiré argument de la brièveté des allégués et de la description sommaire des faits pour rejeter la demande d'assistance judiciaire. Ce faisant, la cour cantonale aurait méconnu le caractère sommaire de la procédure d'assistance judiciaire ainsi que la maxime inquisitoire limitée.
4.5.2. Semblable argumentation n'emporte pas la conviction de la Cour de céans.
On relèvera tout d'abord que le recourant a certes indiqué, postérieurement au dépôt des requêtes de conciliation et d'assistance judiciaire, et seulement après avoir été interpellé par l'autorité de conciliation sur la question des chances de succès, qu'il existait des témoins. Il ne les a toutefois pas nommés. Il n'a fourni aucune information sur leur identité. Il n'a pas davantage précisé les circonstances dans lesquelles les témoins auraient pu être amenés à observer les faits litigieux. Ce n'est qu'à la suite de l'arrêt de renvoi rendu par le Tribunal fédéral que le recourant, invité à formuler des observations, a indiqué, pour la première fois, le nom des témoins. A cette occasion, l'intéressé a également exposé que les témoins pouvaient fournir des renseignements au sujet de leur propre perception des faits, notamment s'agissant des objets du recourant déposés chez le défendeur, de leur valeur, du contrôle de police ayant eu lieu à Neuchâtel et des rapports de travail liant les parties. Dans l'ordonnance attaquée, la cour cantonale a relevé que le recourant, par lettre du 20 février 2019, avait informé l'autorité de conciliation qu'il y avait des témoins. Se référant à l'<ref-law>, elle a en outre considéré que les éléments nouveaux avancés par le recourant dans la lettre de son mandataire du 21 février 2020, soit la mention du nom des témoins et les précisions que ceux-ci pourraient apporter, ne pouvaient pas être pris en compte puisque ces éléments n'avaient pas été articulés devant l'autorité de conciliation. Dans une critique appellatoire, le recourant fait valoir qu'il ne s'agissait en l'occurrence pas de faits nouveaux et qu'il avait déjà évoqué, devant l'autorité de conciliation, l'existence de témoins. Ce faisant, le recourant se contente d'opposer sa propre appréciation à celle de l'autorité cantonale sans démontrer en quoi celle-ci serait arbitraire. Quoi qu'il en soit, il ressort, à tout le moins implicitement, de la décision attaquée, que les juges cantonaux ont considéré, de manière non arbitraire, que le simple fait pour le recourant d'avoir soutenu qu'il y avait des témoins, sans autres précisions, ne suffisait pas à retenir que la cause présentait des chances de succès suffisantes.
Ensuite, la tentative du recourant de démontrer qu'il n'y aurait aucune contradiction dans ses allégations est vouée à l'échec. Il suffit pour s'en convaincre de comparer les indications figurant dans la requête de conciliation avec celles ressortant de la lettre adressée par le conseil du recourant en date du 1er novembre 2018.
Pour le surplus, on ne saurait reprocher à la cour cantonale d'avoir, en l'occurrence, tiré argument de la brièveté des allégués et de la description sommaire des faits pour rejeter la demande d'assistance judiciaire, au motif que l'intéressé n'avait pas suffisamment rendu vraisemblable que le recours n'était pas dénué de chances de succès. En effet, le caractère sommaire de la procédure d'assistance judiciaire ne dispensait pas le recourant de collaborer en apportant tous les éléments démontrant que sa cause n'était pas dépourvue de chances de succès. L'intéressé, assisté d'un mandataire professionnel, devait ainsi se conformer aux exigences de l'<ref-law> qui prévoit que le requérant doit justifier de sa fortune et de ses revenus et exposer l'affaire et les moyens de preuve qu'il entend invoquer. En conséquence, il devait exposer d'emblée dans sa requête, de manière suffisamment détaillée, les motifs pour lesquels il estimait pouvoir bénéficier de l'assistance judiciaire et apporter en particulier tous les éléments démontrant que sa cause n'était pas dépourvue de chances de succès.
En définitive, le recourant n'apporte aucun élément susceptible de faire apparaître arbitraire la motivation de la cour cantonale, qui, on le rappelle, procède à un examen sommaire des chances de succès et non à un procès au fond à titre préjudiciel. Il se contente en effet, dans une très large mesure, de substituer son appréciation à celle de l'autorité précédente, sans remettre en cause valablement - sur la base des éléments régulièrement versés au dossier - la motivation de la décision querellée. Dans ces conditions, et étant donné la retenue dont le Tribunal fédéral doit faire preuve dans un domaine où le juge cantonal dispose d'un large pouvoir d'appréciation, on ne saurait reprocher à la cour cantonale d'avoir abusé de son pouvoir d'appréciation en retenant que le recours contre la décision refusant l'assistance judiciaire apparaissait dénué de chances de succès.
5.
Sur le vu de ce qui précède, le recours constitutionnel subsidiaire doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
L'effet suspensif ayant été octroyé au présent recours, d'abord à titre superprovisoire dès le 16 avril 2020, puis par ordonnance présidentielle du 11 mai 2020, il convient d'impartir un nouveau délai au recourant pour effectuer l'avance de frais requise de 400 fr. Par conséquent, la Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel fixera un nouveau délai au recourant pour verser l'avance de frais.
6.
Selon l'<ref-law>, le Tribunal fédéral peut accorder l'assistance judiciaire à une partie à condition que celle-ci ne dispose pas de ressources suffisantes et que ses conclusions ne paraissent pas d'emblée vouées à l'échec. En l'occurrence, la procédure entreprise devant la Cour de céans était dépourvue de chances de succès, ce qui entraîne le rejet de la demande d'assistance judiciaire du recourant. Faisant application de la faculté que lui confère l'art. 66 al. 1 in fine LTF, la Cour de céans renoncera néanmoins à la perception de frais à titre exceptionnel. Il n'est pas alloué de dépens, la partie intimée étant une autorité (<ref-law>), qui n'a du reste pas été invitée à déposer une réponse.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
2.
Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
3.
A titre exceptionnel, il n'est pas perçu de frais.
4.
La Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel fixera un nouveau délai au recourant pour verser l'avance de frais.
5.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à la Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel et à B._
Lausanne, le 29 juin 2020
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
Le Greffier : O. Carruzzo