Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Abteilung 1 Luzern führte eine Strafuntersuchung gegen A.A._ wegen einfacher Körperverletzung, wiederholter Tätlichkeiten sowie Drohung zum Nachteil von B.A._. Anlass dazu gab ein Streit zwischen den beiden, der sich am 21. Mai 2018 zugetragen hatte.
Mit Verfügung vom 3. April 2019 stellte die Staatsanwaltschaft diese Strafuntersuchung in Anwendung von Art. 319 Abs. 1 lit. e StPO i.V.m. Art. 55a StGB ein. Die Gebühren und Auslagen (einschliesslich amtsärztlicher Prüfung sowie Untersuchungen) von insgesamt Fr. 1'589.15 auferlegte sie A.A._.
B.
Das Kantonsgericht des Kantons Luzern wies die von A.A._ gegen die Auferlegung der Verfahrenskosten erhobene Beschwerde mit Verfügung vom 6. August 2019 ab.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen beantragt A.A._, der Entscheid des Kantonsgerichts Luzern vom 6. August 2019 über die Beschwerde gegen die Einstellungsverfügung sei aufzuheben und die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
D.
Das Kantonsgericht und die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Luzern beantragen die Abwei sung der Beschwerde. In seiner Replik stellt A.A._ den Eventualantrag, die Vorinstanz sei mit der Rückweisung zur Neubeurteilung anzuweisen, ein gerichtsmedizinisches Gutachten in Auftrag zu geben.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör bzw. seines Rechts auf vollständige Akteneinsicht. Er macht geltend, der kriminaltechnische Dienst der Luzerner Polizei habe einen Bericht und eine Fotodokumentation der Verletzungen von B.A._ erstellt. Als ihm nach seinen Gesuchen vom 1. Juni 2018 und vom 13. November 2018 Einsicht in die Akten gewährt worden sei, hätten sich der Bericht sowie die Fotodokumentation nicht darin befunden. Die Staatsanwaltschaft habe den Bericht samt den Beilagen erst mit ihrer Vernehmlassung zu seiner Beschwerde an die Vorinstanz übermittelt. Bis heute hätten ihm weder die Staatsanwaltschaft noch die Vorinstanz Einsicht in den Bericht des kriminal-technischen Dienstes gewährt. Damit würden sie gegen fundamentale Grundsätze eines fairen Verfahrens, insbesondere gegen Art. 3 Abs. 2 lit. c und Art. 107 StPO, Art. 29 Abs. 2 sowie Art. 32 Abs. 2 BV und gegen Art. 6 Ziff. 2 EMRK verstossen (Beschwerde S. 3 Ziff. 5, S. 4 Ziff. 10, S. 5 f. Ziff. 12 ff. und S. 7 Ziff. 20).
1.2.
1.2.1. Im angefochtenen Entscheid stellt die Vorinstanz fest, die Akten des Rechtsmittelverfahrens seien durch die erstinstanzlichen Akten und die von den Parteien aufgelegten Urkunden sowie die CD ergänzt worden (Verfügung S. 2 E. 2.2). Die Beschwerdegegnerin führt aus, der Vorwurf der Unvollständigkeit der Akten sei unbegründet. Zwischenzeitlich seien die im Ermittlungsbericht der Luzerner Polizei vom 23. Mai 2018 erwähnten Fotografien der Verletzungen des Beschwerdeführers sowie denjenigen der Privatklägerin bei der Polizei eingeholt und in die Akten integriert worden (Verfügung S. 7 E. 5.3).
Die Vorinstanz hält in ihrer Vernehmlassung fest, es entspreche den Tatsachen, dass ihr die Staatsanwaltschaft im Rahmen des Schriftenwechsels als Beilage eine CD mit polizeilich erstellten Fotografien übermittelt habe. Mangels entsprechenden Antrags habe sie dem Beschwerdeführer diese CD nicht zur Kenntnis gebracht. Ihm sei die Ergänzung der Akten durch die fraglichen Fotografien aber bekannt gewesen, da in der Stellungnahme der Staatsanwaltschaft - welche dem Beschwerdeführer am 3. Mai 2019 zur Orientierung zugestellt worden sei - ausdrücklich darauf Bezug genommen werde. Er habe im weiteren Verlauf des Beschwerdeverfahrens (rund drei Monate) darauf verzichtet, in die Akten Einsicht zu nehmen, um die in der Zwischenzeit sowohl in die Untersuchungs- als auch in die Beschwerdeakten integrierten Fotografien zu sichten. Daher sei die Rüge der Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör unbegründet. Ein diesbezüglicher Verstoss liege auch deswegen nicht vor, weil sich der angefochtene Entscheid nicht auf die fraglichen Fotografien stütze (act. 12 S. 1 f.).
1.2.2. Die Beschwerdegegnerin weist in ihrer Vernehmlassung darauf hin, dass die Staatsanwaltschaft - gemäss ihrer Stellungnahme im vorinstanzlichen Verfahren - die im Ermittlungsbericht der Luzerner Polizei vom 23. Mai 2018 erwähnten Fotografien der Verletzungen bei der Polizei angefordert habe, als ihnen der Eingang der kantonalen Beschwerde des Beschwerdeführers angezeigt worden sei. Sie hätten diese Fotografien mit der Vernehmlassung unter Beilage der Akten an die Vorinstanz zugestellt. Dass dem Beschwerdeführer die Fotografien nicht zusammen mit ihrer Vernehmlassung zugestellt worden seien, ändere nichts daran, dass ihm die Verfahrenskosten bereits aufgrund der Aktenlage zu überbinden seien (act. 11 S. 2).
1.2.3. In seiner Replik bringt der Beschwerdeführer im Wesentlichen vor, mit dem Zustellen des Orientierungsschreibens habe die Vorinstanz den Schriftenwechsel abgeschlossen, denn sie habe keine neue Frist angesetzt, um ihm zu ermöglichen, die Akten einzufordern und Stellung dazu zu nehmen. Um seine Parteirechte angemessen ausüben zu können, sei die Einsichtnahme in die E-Mail der Kantonspolizei und in die CD mit den Fotografien, um sie mit dem Amtsbericht zu vergleichen, unabdingbar. Dass sich weder die Staatsanwaltschaft noch die Vorinstanz auf diese Beweise stützen würden, sei unerheblich (act. 17 S. 2 und act. 20 S. 1 f.).
1.3.
1.3.1. Aus dem in Art. 29 Abs. 2 BV bzw. Art. 6 Ziff. 3 EMRK verankerten Anspruch auf rechtliches Gehör, welcher einen wichtigen und deshalb eigens aufgeführten Teilaspekt des allgemeineren Grundsatzes des fairen Verfahrens von Art. 29 Abs. 1 BV bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK darstellt, ergibt sich für die beschuldigte Person das grundsätzlich uneingeschränkte Recht, in alle für das Verfahren wesentlichen Akten Einsicht zu nehmen (vgl. zudem Art. 3 Abs. 2 lit. c und Art. 107 Abs. 1 lit. a StPO) und an der Erhebung wesentlicher Beweise mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 89; Urteil 6B_403/2018 vom 14. Januar 2019 E. 2.3.1 mit Hinweis). Das Akteneinsichtsrecht soll sicherstellen, dass die beschuldigte Person als Verfahrenspartei von den Entscheidgrundlagen Kenntnis nehmen und sich wirksam und sachbezogen verteidigen kann. Die effektive Wahrnehmung dieses Anspruchs setzt notwendigerweise voraus, dass die Akten vollständig sind. In einem Strafverfahren bedeutet dies, dass die Beweismittel, jedenfalls soweit sie nicht unmittelbar an der gerichtlichen Hauptverhandlung erhoben werden, in den Untersuchungsakten vorhanden sein müssen und dass aktenmässig belegt sein muss, wie sie produziert wurden. Damit soll die beschuldigte Person in die Lage versetzt werden zu prüfen, ob sie inhaltliche oder formelle Mängel aufweisen und gegebenenfalls Einwände gegen deren Verwertbarkeit erheben kann. Dies ist Voraussetzung dafür, dass sie ihre Verteidigungsrechte überhaupt wahrnehmen kann, wie dies Art. 32 Abs. 2 BV verlangt (<ref-ruling> E. 4.1 S. 88 f.; Urteil 6B_376/2018 vom 25. September 2018 E. 5.1).
Die Anklagebehörde muss dem Gericht sämtliches Material zuleiten, das mit der Tat als Gegenstand eines gegen eine bestimmte Person erhobenen Vorwurfs in thematischem Zusammenhang steht. Sie muss dem Gericht und der beschuldigten Person respektive der Verteidigung sämtliche Spurenvorgänge zur Kenntnis bringen, die im Verfahren Bedeutung erlangen können. Die Ermittlungs- und Untersuchungsbehörden dürfen grundsätzlich kein von ihnen erhobenes oder ihnen zugekommenes Material zurückbehalten, das einen Bezug zur Sache hat. Die Dokumentationspflicht gilt auf allen Verfahrensstufen, also auch bereits im polizeilichen Ermittlungsverfahren (Urteile 6B_1368/2017 vom 14. Juni 2018 E. 2.3; 6B_719/2011 vom 12. November 2012 E. 4.5; je mit Hinweis). Dabei ist zu berücksichtigen, dass auch ergebnislose oder unergiebige Ermittlungen in ihrem negativen Ausgang einen für die Urteilsfällung relevanten Gehalt aufweisen können (Urteil 6B_403/2018 vom 14. Januar 2019 E. 2.3.1 mit Hinweis).
1.3.2. Der Anspruch auf rechtliches Gehör umfasst auch das Recht, von den beim Gericht eingereichten Stellungnahmen Kenntnis zu erhalten und sich dazu äussern zu können (<ref-ruling> E. 3.2 S. 191 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 99; je mit Hinweis). Die Wahrnehmung des Rechts auf Replik setzt voraus, dass die von den übrigen Verfahrensbeteiligten eingereichten Eingaben der Partei zugestellt werden, damit sie entscheiden kann, ob sie sich dazu äussern will oder nicht (<ref-ruling> E. 3.2 S. 191 f.; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 197; je mit Hinweisen). Es obliegt dem Gericht, in jedem Einzelfall ein effektives Replikrecht zu gewähren. Hierfür kann es den Parteien eine Frist setzen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 198 mit Hinweisen). Es kann die Eingabe aber auch lediglich zur Kenntnisnahme zustellen, wenn von den Parteien, namentlich von anwaltlich Vertretenen oder Rechtskundigen, erwartet werden kann, dass sie umgehend unaufgefordert Stel-lung nehmen oder eine Stellungnahme beantragen (<ref-ruling> E. 2.4 S. 487). Nach der Zustellung zur Kenntnisnahme ist das Gericht gehalten, eine angemessene Zeitspanne mit dem Entscheid zuzuwarten. Vor Ablauf von zehn Tagen darf es jedenfalls nicht, hingegen nach 20 Tagen schon, von einem Verzicht auf das Replikrecht ausgehen (Urteile 2C_876/2016 vom 17. Juli 2017 E. 2.2; 2C_469/2014 vom 9. Dezember 2014 E. 2.2; je mit Hinweisen). Entsprechend obliegt es einer Partei, die eine Stellungnahme zu einer ihr ohne Fristansetzung zugestellten Vernehmlassung für erforderlich hält, entweder umgehend eine Stellungnahme einzureichen oder, falls sie sich hierzu ausserstande sieht, dem Gericht anzukündigen, dass sie eine Stellungnahme einzureichen beabsichtige bzw. dieses um Ansetzung einer Frist zu ersuchen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 486; <ref-ruling> E. 4.8 S. 105; je mit Hinweisen).
1.4. Die Rügen des Beschwerdeführers erweisen sich als unbegründet. Es ist unbestritten, dass die Vorinstanz das E-Mail der Kantonspolizei vom 29. April 2019 und die CD mit den Fotografien des kriminaltechnischen Dienstes im Rahmen des bei ihr hängigen Beschwerdeverfahrens zu den Akten genommen hat. Im vorinstanzlichen Verfahren waren die Akten somit nicht (mehr) unvollständig. Der Beschwerdeführer bestätigt, dass ihm im vorinstanzlichen Verfahren die Vernehmlassung der Beschwerdegegnerin am 3. Mai 2019 zur Kenntnisnahme zuging. Es ist ausserdem davon auszugehen, dass dieser Orientierungskopie weder das E-Mail der Kantonspolizei vom 29. April 2019 noch die CD mit den Fotografien des kriminaltechnischen Dienstes beigelegt waren (act. 15 S. 1 f. und act. 17 S. 1 f.). Üblich und wünschbar wäre es zwar gewesen, dass die Vorinstanz dem Beschwerdeführer zusammen mit der Kopie der Vernehmlassung der Staatsanwaltschaft auch gleich die Beilagen zur Kenntnisnahme zugestellt hätte. Allerdings stellt der Beschwerdeführer nicht in Abrede, dass die ihm am 3. Mai 2019 gesandte Stellungnahme der Staatsanwaltschaft ausdrücklich auf die Ergänzung der Akten Bezug nimmt und ihm diese somit ab diesem Zeitpunkt bekannt war. Er macht weiter nicht geltend, er habe ein Gesuch um Akteneinsicht gestellt, das unbehandelt geblieben oder abgewiesen worden sei. Der Beschwerdeführer war bereits im kantonalen Verfahren anwaltlich vertreten. Sein Rechtsvertreter musste die Rechtsprechung kennen und wissen, dass ihm ein Recht auf Einsichtnahme in die Akten und auf Vernehmlassung zustand, das er innert angemessener Frist einzufordern hatte, ansonsten ein Verzicht angenommen würde. In den über drei Monaten bis zur Fällung des angefochtenen Entscheids am 6. August 2019 reichte der Beschwerdeführer weder ein Gesuch um Akteneinsicht noch Gegenbemerkungen ein oder ersuchte er um eine entsprechen-de Fristansetzung. Unter diesen Umständen durfte die Vorinstanz zum Schluss gelangen, der Beschwerdeführer habe auf eine weitere Akteneinsicht und auf sein Replikrecht verzichtet. Die Vorbringen des Beschwerdeführers in seiner Replik im bundesgerichtlichen Verfahren, die sich insbesondere auf die unterbliebene Akteneinsicht bzw. seine in der Zwischenzeit daraus gewonnenen Erkenntnisse beziehen, sowie die beigelegte ärztliche Stellungnahme dazu sind daher verspätet und können nicht berücksichtigt werden (act. 20 f.). Gleich verhält es sich mit dem diesbezüglichen Eventualantrag des Beschwerdeführers, wonach die Vorinstanz anzuweisen sei, ein gerichtsmedizinisches Gutachten in Auftrag zu geben.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz eine Verletzung von Art. 9 und Art. 32 Abs. 1 BV, Art. 147 Abs. 4 sowie Art. 426 Abs. 2 StPO und Art. 6 Ziff. 2 EMRK sowie des Rechts auf ein faires Verfahrens vor. Zusammengefasst wendet er ein, die Vorinstanz verstosse gegen die Unschuldsvermutung, da sie ihm trotz Verfahrenseinstellung die Kosten auferlege. Ferner stelle sie den rechtserheblichen Sachverhalt willkürlich fest. Bei den Verletzungen der Privatklägerin, beim Grad der Gewalteinwirkung und deren Erheblichkeit stütze sich die Vorinstanz ausschliesslich auf den Amtsbericht von Dr. med. Urs Sonntag, ohne den Bericht des kriminaltechnischen Dienstes einzubeziehen. Weiter würden in tatsächlicher Hinsicht insbesondere hinsichtlich des Kausalzusammenhangs zwischen den Verletzungen der Privatklägerin und seinen angeblichen Handlungen keine unbestrittenen oder bereits klar nachgewiesenen Umstände vorliegen, weil er die Angaben der Privatklägerin bestreite. Ausserdem seien ihre Aussagen nicht verwertbar, denn er habe nicht die Gelegenheit erhalten, an ihrer Einvernahme teilzunehmen (Beschwerde S. 3 Ziff. 5, S. 4 Ziff. 10 und S. 6 ff. Ziff. 16 ff.).
2.2. Gemäss Art. 426 Abs. 2 StPO können der beschuldigten Person bei Einstellung des Verfahrens die Verfahrenskosten ganz oder teilweise auferlegt werden, wenn sie rechtswidrig und schuldhaft die Einleitung des Verfahrens bewirkt oder dessen Durchführung erschwert hat. Das Verhalten einer beschuldigten Person ist widerrechtlich, wenn es klar gegen Normen der Rechtsordnung verstösst, die sie direkt oder indirekt zu einem bestimmten Tun oder Unterlassen verpflichten (vgl. Art. 41 Abs. 1 OR). Vorausgesetzt sind regelmässig qualifiziert rechtswidrige, rechtsgenüglich nachgewiesene Verstösse. Die Verfahrenskosten müssen mit dem zivilrechtlich vorwerfbaren Verhalten in einem adäquat-kausalen Zusammenhang stehen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 205; Urteil 6B_290/2018 vom 19. Februar 2019 E. 3.1; je mit Hinweisen).
Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts verstösst eine Kostenauflage bei Freispruch oder Einstellung des Verfahrens gegen die Unschuldsvermutung (Art. 10 Abs. 1 StPO, Art. 32 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 2 EMRK), wenn der beschuldigten Person in der Begründung des Kostenentscheids direkt oder indirekt vorgeworfen wird, es treffe sie ein strafrechtliches Verschulden. Damit käme die Kostenauflage einer Verdachtsstrafe gleich. Dagegen ist es mit Verfassung und Konvention vereinbar, einer nicht verurteilten beschuldigten Person die Kosten zu überbinden, wenn sie in zivilrechtlich vorwerfbarer Weise, d.h. im Sinne einer analogen Anwendung der sich aus Art. 41 OR ergebenden Grundsätze, eine geschriebene oder ungeschriebene Verhaltensnorm, die sich aus der Gesamtheit der schweizerischen Rechtsordnung ergeben kann, klar verletzt und dadurch das Strafverfahren veranlasst oder dessen Durchführung erschwert hat. In tatsächlicher Hinsicht darf sich die Kostenauflage nur auf unbestrittene oder bereits klar nachgewiesene Umstände stützen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 204 f.; <ref-ruling> E. 3b S. 155; <ref-ruling> E. 1b S. 334; <ref-ruling> E. 2a S. 373 f.; Urteil 6B_1334/2018 vom 20. Mai 2019 E. 1.1.2; je mit Hinweisen).
Eine solche Kostenauflage kann sich auch auf Art. 28 ZGB stützen. Nach dieser Bestimmung kann derjenige, der in seiner Persönlichkeit widerrechtlich verletzt wird, zu seinem Schutz gegen jeden, der an der Verletzung mitwirkt, das Gericht anrufen (Abs. 1). Widerrechtlich ist eine Verletzung, wenn sie nicht durch Einwilligung des Verletzten, durch ein überwiegendes privates oder öffentliches Interesse oder durch Gesetz gerechtfertigt ist (Abs. 2). Vom Gesetzeswortlaut her ist jede Persönlichkeitsverletzung widerrechtlich, wenn kein Rechtfertigungsgrund besteht. Praxisgemäss ist in zwei Schritten zu prüfen, ob (1.) eine Persönlichkeitsverletzung und (2.) ein Rechtfertigungsgrund vorliegt (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 412 f.; Urteil 6B_1172/2016 vom 29. August 2017 E. 1.3; je mit Hinweisen). Die Persönlichkeitsrechte werden durch Angriffe auf die physische und die psychische Integrität verletzt. Darunter fällt auch ein Verhalten, das andere terrorisiert und verängstigt und diese in ihrem seelischen Wohlbefinden gefährdet bzw. erheblich stört. Allerdings kann nicht jede noch so geringfügige Beeinträchtigung der Persönlichkeit als rechtlich relevante Verletzung verstanden werden. Die Verletzung muss eine gewisse Intensität erreichen. Auf die subjektive Empfindlichkeit des Betroffenen kommt es dabei nicht an. Für die Beurteilung der Schwere des Eingriffs ist ein objektiver Massstab anzulegen (Urteile 6B_552/2017 vom 18. Januar 2018 E. 1.2; 6B_414/2016 vom 29. Juli 2016 E. 2.4.1; 6B_1130/2014 vom 8. Juni 2015 E. 3.1; 6B_990/2013 vom 10. Juni 2014 E. 1.2).
Diese Rechtsprechung gilt in gleicher Weise bei Verfahrenseinstellungen gestützt auf Art. 55a StGB (Urteile 6B_1076/2016 vom 12. Januar 2017 E. 2; 6B_414/2016 vom 29. Juli 2016 E. 2.4; je mit Hinweisen).
Das Bundesgericht prüft frei, ob der Kostenentscheid direkt oder indirekt den Vorwurf strafrechtlicher Schuld enthält und ob die beschuldigte Person in zivilrechtlich vorwerfbarer Weise gegen geschriebene oder ungeschriebene Verhaltensnormen klar verstossen und dadurch das Strafverfahren veranlasst hat (Urteile 6B_1334/2018 vom 20. Mai 2019 E. 1.1.2; 6B_398/2018 vom 21. August 2018 E. 2.1; je mit Hinweisen). Lediglich unter Willkürgesichtspunkten prüft es hingegen die diesbezüglichen Sachverhaltsfeststellungen (vgl. Art. 97 Abs. 1 BGG). Die Rüge der Willkür muss in der Beschwerde explizit vorgebracht und substanziiert begründet werden. Auf ungenügend begründete Rügen oder rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.3 S. 30; <ref-ruling> E. 1.1 S. 156; je mit Hinweisen).
2.3. Die Vorinstanz erwägt, es sei unbestritten, dass zwischen dem Beschwerdeführer und der Privatklägerin eine tätliche Auseinandersetzung stattgefunden habe. Der Amtsarzt habe verschiedene Verletzungen der beiden diagnostiziert. Diejenigen der Privatklägerin würden dagegen sprechen, dass sich der Beschwerdeführer nur gewehrt habe, sie würden vielmehr eine erhebliche Gewalteinwirkung aufzeigen. Ihre Verletzungen stimmten mit ihren Schilderungen bei der - von ihr herbeigerufenen - Polizei überein, wonach er sie mit den Händen am Hals gegriffen und zugedrückt sowie mit der Faust in die linke Gesichtshälfte geschlagen habe. Hingegen sei wenig glaubhaft, dass die vom Beschwerdeführer geltend gemachten Abwehrhandlungen zu solchen Verletzungen geführt haben sollen. Seine eigenen Verletzungen, insbesondere bloss zwei Kratzer von 5 mm und 4 cm, erschienen als zu gering für den von ihm beschriebenen Ablauf der Geschehnisse, nämlich, dass die Privatklägerin tretend sowie kratzend auf ihn losgegangen sei und ihn geschlagen habe. Aufgrund des Spurenbilds sei nicht von einer Notwehrsituation des Beschwerdeführers auszugehen, da insbesondere der Kehlkopfverschiebeschmerz, aber wohl auch die Schwellungen, gegen reine Abwehrhandlungen und somit gegen seine Schilderung des Vorgangs sprechen würden. Weiter hält die Vorinstanz fest, die Privatklägerin habe der Polizei eine Textnachricht des Beschwerdeführers vom Februar 2018 gezeigt, in der er ihr mit dem Tod gedroht habe. Es sei davon auszugehen, dass die fraglichen Nachrichten vom Beschwerdeführer stammten. Sie seien der Polizei vor Ort auf dem Mobiltelefon der Privatklägerin gezeigt worden, der Absender werde als "Albert" bezeichnet und im Profilbild seien zwei kleine Kinder zu sehen, wie sie der Beschwerdeführer und die Privatklägerin zusammen hätten. Die Vorinstanz gelangt zum Schluss, gestützt auf das Vorerwähnte sei davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer die Privatklägerin körperlich verletzt und ihr WhatsApp-Nachrichten gesandt habe, mit denen ihr widerrechtliche Verletzungen der Persönlichkeit in Aussicht gestellt worden seien und die sie verängstigt sowie in ihrem seelischen Wohlbefinden gefährdet bzw. erheblich gestört hätten. Die Äusserungen seien nicht als harmlos einzustufen. Die körperlichen Verletzungen der Privatklägerin zeugten von einer erheblichen Gewalteinwirkung. Somit handle es sich um widerrechtliche Persönlichkeitsverletzungen im Sinne von Art. 28 ZGB. Schlage und würge jemand eine andere Person, wisse er, dass dies zu körperlichen Verletzungen führen könne. Der Beschwerdeführer habe sich auch um die Wirkung der Drohungen bewusst sein müssen. Er habe somit in zivilrechtlich vorwerfbarer Weise gegen Normen des Schweizerischen Rechts verstossen. Es liege kein Rechtfertigungsgrund vor. Das Verhalten des Beschwerdeführers, das erheblich von einem als angebracht geltenden Durchschnittsverhalten abweiche, sei natürlich und adäquat ursächlich, den Verdacht zumindest einer strafbaren Handlung zu erwecken; mit der Folge der Eröffnung eines Strafverfahrens gegen ihn. Entsprechend seien ihm nach Art. 426 Abs. 2 StPO die in diesem Zusammenhang entstandenen Verfahrenskosten aufzuerlegen (Verfügung S. 10 ff. E. 5.4.2).
2.4.
2.4.1. Die Vorinstanz nimmt eine einlässliche und nachvollziehbare Beweiswürdigung vor. Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, ist nicht geeignet, Willkür darzutun. Als unbegründet erweist sich sein Einwand, die Vorinstanz stütze sich einseitig auf ein unwahres und gleichzeitig belastendes Dokument, weshalb sie objektiv als voreingenommen erscheine (Beschwerde S. 8 Ziff. 23). Diese stellt fest, die beim Vorfall anwesenden Kinder des Beschwerdeführers und der Privatklägerin hätten gegenüber der Polizistin die Aussagen ihrer Mutter bestätigt, wonach es schon mehrmals zu solchen Vorfällen gekommen sei (Verfügung S. 11 E. 5.4.2.2). Dem hält der Beschwerdeführer entgegen, die Privatklägerin habe in ihrer Eingabe vom 16. August 2018 explizit festgehalten, dass der Hinweis im Polizeirapport, wonach die Kinder die Aussagen der Privatklägerin gegenüber der Polizei bestätigt hätten, nicht zutreffe (Beschwerde S. 7 f. Ziff. 22). Zum einen sind die Feststellungen der vor Ort anwesenden Polizistin nicht alleine bzw. zwingend deshalb unwahr, weil sie von der Privatklägerin in Abrede gestellt werden. Es gilt bei der Würdigung dieser späteren Erklärung der Privatklägerin ebenso zu berücksichtigen, dass sie nach Massgabe von Art. 55a StGB von ihrer Strafanzeige nachträglich wieder Abstand genommen hat. Zum anderen gelangt die Vorinstanz unabhängig von dieser Feststellung im Bericht der Polizei zu Recht zum Schluss, die glaubhaften Schilderungen der Privatklägerin des fraglichen Vorfalls würden durch die vom Amtsarzt diagnostizierten Verletzungen untermauert. Deshalb geht die Vorinstanz davon aus, d.h. sie hält es zutreffend für klar nachgewiesen, dass der Beschwerdeführer die Privatklägerin unter erheblicher Gewalteinwirkung verletzt hat. Es ist überdies nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz bei den Drohungen mittels WhatsApp-Nachrichten ebenfalls von klar nachgewie-senen Umständen ausgeht. Indem der Beschwerdeführer ausführt, es sei nicht erwiesen, dass er der Absender dieser Nachrichten sei, denn in ihrem Bekanntenkreis gäbe es mindestens zwei Familien mit kleinen Kindern, deren Vater ebenfalls Albert heisse (Beschwerde S. 9 f. Ziff. 32), vermag er keine Willkür darzutun. Insbesondere angesichts des Wortlauts der Nachrichten, "Du wirst dann sterben - weil du mir dann das wichtigste nimmst und nichts wird mich davon abhalten dich hin zu richten" und "Wenn es sich raus stellen sollte dass beim Vaterschaftstest was nicht stimmt, ich schwöre es bei allem was mir heilig ist, du mich getäuscht hast, denn wirst du sterben - das ist zu 100 sicher" geht die Vorinstanz ohne Willkür davon aus, dass es sich beim Absender um den Beschwerdeführer handeln muss. Entgegen seiner Meinung kann von einer Umkehr der Beweislast nicht die Rede sein (Beschwerde S. 10 Ziff. 34).
2.4.2. Sodann macht der Beschwerdeführer geltend, die Aussagen der Privatklägerin seien nicht verwertbar, da ihm nicht ermöglicht worden sei, an ihrer Einvernahme teilzunehmen. Es bestünden keine sachlichen Gründe, die gegen seine Teilnahme an dieser Einvernahme sprechen würden (Beschwerde S. 3 Ziff. 5, S. 4 Ziff. 10 und S. 8 f. Ziff. 24 ff.).
Die Beschwerde erweist sich in diesem Punkt ebenfalls als unbegründet. Bei der Beantwortung der Frage, ob die Vorinstanz die rechtlich relevanten Umstände als "bereits klar nachgewiesen" erachtet, geht es lediglich darum, welcher Sachverhalt sie ihrem Kosten- und Entschädigungsentscheid im eingestellten Strafverfahren zugrunde legt. Hierfür darf sie alle ihr im Zeitpunkt ihres Entscheids vorliegenden Beweismittel berücksichtigen (siehe Urteil 6B_1172/2016 vom 29. August 2017 E. 1.5). Gemäss Rechtsprechung des Bundesgerichts gelangen Art. 6 Ziff. 1 lit. d EMRK und Art. 32 Abs. 2 BV, wonach der Angeschuldigte das Recht hat, den Belastungszeugen Fragen zu stellen, nicht zur Anwendung, wenn es nicht um das Strafverfahren als solches geht, sondern nur um die Nebenfolgen einer eingestellten Strafuntersuchung. Es liegt kein Verstoss gegen Art. 29 Abs. 2 BV vor, wenn sich die Behörde bei der Prüfung der Kostenauflage auf Aussagen von Zeugen stützt, anlässlich deren Einvernahme der von der Kostenauflage Betroffene nicht anwesend war und welchen dieser keine Ergänzungsfragen stellen konnte. Art. 29 Abs. 2 BV verlangt lediglich, dass sich dieser vor dem Kostenentscheid zu den Aussagen der Zeugen äussern konnte (Urteil 6B_836/2009 vom 19. März 2010 E. 5.2.1 mit Hinweisen; gl.M. THOMAS DOMEISEN, in: Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 33 zu Art. 426 StPO). Im Lichte dieser Rechtsprechung ist festzuhalten, dass Art. 147 Abs. 4 StPO nicht anwendbar ist, wenn es nur um die Nebenfolgen eines eingestellten Strafverfahrens - d.h. wie hier die Regelung der Kostenfolgen bei Verfahrenseinstellung - geht. Auch nach dem Inkrafttreten der StPO besteht kein Anlass, von der vorerwähnten Rechtsprechung abzuweichen (Urteil 6B_1038/2019 vom 30. April 2020 E. 4.4.2). Der Beschwerdeführer legt nicht dar, dass er sich vor dem Kostenentscheid nicht habe zu den Aussagen der Privatklägerin äussern können.
2.4.3. Ferner kritisiert der Beschwerdeführer, sein Anspruch auf rechtliches Gehör sei verletzt, weil die Vorinstanz seinen Antrag auf Befra-gung der Privatklägerin zu ihrer Hämatom-Prädisposition abweise (Beschwerde S. 9 Ziff. 29).
Die Vorinstanz hält hierzu fest, nachdem bei der Privatklägerin nebst den Hämatomen auch ein Kehlkopfverschiebeschmerz und eine Schwellung vor dem linken Ohr sowie oberhalb desselben Richtung Schläfe und an der linken Ohrmuschel diagnostiziert worden sei, sei von ihrer Befragung zu einer allfälligen "Hämatom-Prädisposition" abzusehen. Ihre Verletzungen liessen sich nur mit einer erheblichen Gewalteinwirkung erklären, was auch der Amtsarzt festgehalten habe (Verfügung S. 11 E. 5.4.2.2). Mit diesen zutreffenden Erwägungen setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander, weshalb auf seine Rüge nicht eingetreten werden kann.
2.4.4. Ebenfalls unbegründet sind die weiteren Rügen, namentlich auch diejenige der Verletzung der Unschuldsvermutung. Die Vorinstanz wirft dem Beschwerdeführer weder direkt noch indirekt ein strafrechtliches Verschulden vor. Vielmehr begründet sie die Kostenauflage zu seinen Lasten mit den durch ihn begangenen Persönlichkeitsverletzungen im Sinne von Art. 28 ZGB aufgrund seiner Angriffe auf die physische und die psychische Integrität der Privatklägerin.
3.
3.1. Schliesslich macht der Beschwerdeführer geltend, ihm seien zu Unrecht auch die Kosten für die amtsärztliche Prüfung der Privatklägerin und diejenigen für die amtsärztliche Prüfung seiner Hafterstehungsfähigkeit auferlegt worden. Damit verstosse die Vorinstanz gegen Art. 422 StPO (Beschwerde S. 3 Ziff. 5, S. 4 Ziff. 10 und S. 10 Ziff. 35 f.).
3.2. In ihrer Stellungnahme wendet die Beschwerdegegnerin ein, der Beschwerdeführer erhebe die Rüge der unrichtigen Anwendung von Art. 422 StPO erstmals vor Bundesgericht. Gestützt auf Art. 99 BGG sei deshalb nicht darauf einzutreten (act. 11 S. 4).
Dieser Einwand ist unbegründet. Der Beschwerdegegnerin ist zwar beizupflichten, dass die Rüge der Verletzung von Art. 422 StPO ein neues Vorbringen des Beschwerdeführers ist, d.h. eine Rüge, die dieser erstmals vor Bundesgericht erhoben hat. Allerdings handelt es sich dabei um ein genügend begründetes, neues rechtliches Vorbringen, das sich weder auf von der Vorinstanz nicht festgestellte tatsächliche Feststellungen stützt, noch über die Begehren der Parteien hinausgeht (vgl. Art. 107 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 92). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), auf die Rüge kann eingetreten werden (<ref-ruling> E. 4.4.3 S. 156 f. mit Hinweisen).
3.3. Die Vorinstanz erwägt, die Beschwerde sei abzuweisen. Damit sei der Kostenentscheid gemäss Einstellungsverfügung vom 3. April 2020, wonach der Beschwerdeführer die Verfahrenskosten von Fr. 520.-- (Gebühren Staatsanwaltschaft Fr. 400.--; Gebühren Polizei Fr. 120.--) sowie die Auslagen von Fr. 1'069.15 (amtsärztliche Prüfung Hafterstehungsfähigkeit Beschwerdeführer Fr. 533.95; amtsärztliche Untersuchung Privatklägerin Fr. 267.60; amtsärztliche Untersuchung Beschwerdeführer Fr. 267.60) zu bezahlen habe (Einstellungsverfügung S. 2 E. 2.2), zu bestätigen (Verfügung S. 13 f. E. 6).
3.4. Die Verfahrenskosten setzen sich zusammen aus den Gebühren für das Untersuchungs- und Gerichtsverfahren und den Auslagen, welche die im konkreten Strafverfahren entstandenen notwendigen finanziellen Aufwendungen des Staates erfassen (Art. 422 Abs. 1 StPO; <ref-ruling> E. 9.5.1 S. 470 ff.), wobei die Kosten der Untersuchungs- und Sicherheitshaft keine Auslagen im Sinne von Art. 422 StPO sind (<ref-ruling> E. 9.5.2 S. 472 f. mit Hinweisen).
3.5. Die Vorinstanz bringt in ihrer Vernehmlassung zutreffend vor, die Kosten der amtsärztlichen Untersuchung der Privatklägerin und diejenige des Beschwerdeführers stünden nicht im Zusammenhang mit der Untersuchungs- und Sicherheitshaft, weshalb sie dem Beschwerdeführer auferlegt werden können (act. 12 S. 2 Ziff. IV). Hingegen sind die Kosten der amtsärztlichen Prüfung seiner Hafterstehungsfähigkeit im Betrag von Fr. 533.95 zu den Kosten der Untersuchungshaft zu zählen und gehören damit nicht zu den Auslagen im Sinne von Art. 422 StPO. Die Beschwerde erweist sich damit in diesem Punkt als begründet.
4.
Die Beschwerde ist teilweise gutzuheissen. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens ist der Beschwerdeführer im Umfang seines Unterliegens kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Kanton Luzern hat keine Verfahrenskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 4 BGG). Er hat indessen den Beschwerdeführer im Umfang seines Obsiegens für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde ist teilweise gutzuheissen. Die Verfügung des Kantons-gerichts des Kanton Luzern vom 6. August 2019 wird aufgehoben und die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Dem Beschwerdeführer werden Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- auferlegt.
3.
Der Kanton Luzern hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 500.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Juni 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Pasquini