Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1976) ist iranischer Staatsangehöriger. Er reiste im Dezember 2000 in die Schweiz ein und ersuchte zwei Mal vergeblich um Asyl. Nachdem er ab April 2003 mit einem Schweizer Bürger in einer gleichgeschlechtlichen Partnerschaft lebte, erhielt er am 1. Dezember 2004 eine Härtefallbewilligung. Am 29. Juni 2007 verurteilte ihn das Obergericht des Kantons Bern wegen qualifizierter Betäubungsmittelkriminalität zu einer bedingten Freiheitsstrafe von 24 Monaten. In der Folge lehnten die Einwohnerdienste U._ die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung mit Verfügung vom 21. Dezember 2007 ab. Die dagegen erhobenen Rechtsmittel blieben erfolglos; das Bundesgericht wies die Beschwerde letztinstanzlich mit Urteil 2C_367/2009 vom 16. Dezember 2009 ab. Am 20. Februar 2008 liessen A._ und sein Partner die Partnerschaft eintragen. Zudem ersuchte er wegen seiner Homosexualität erneut um Asyl. Das damalige Bundesamt für Migration anerkannte ihn am 18. Januar 2014 als Flüchtling und gewährte ihm Asyl. Daraufhin erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung. Seit August 2016 lebt A._ von seinem Partner getrennt; die eingetragene Partnerschaft wurde am 23. Oktober 2019 aufgelöst.
1.2. Am 10. Januar 2019 stellte A._ ein Gesuch um Erteilung der Niederlassungsbewilligung, nachdem einem früheren Gesuch im Jahr 2017 kein Erfolg beschieden war. Das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern wies das Gesuch am 7. Juni 2019 ab und verlängerte stattdessen die Aufenthaltsbewilligung um ein weiteres Jahr. Die dagegen erhobenen Rechtsmittel wiesen die Sicherheitsdirektion des Kantons Bern am 7. August 2020 sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Bern am 6. September 2021 ab. Mit rechtskräftiger Verfügung vom 22. Oktober 2019 wurde A._ zudem die Flüchtlingseigenschaft aberkannt und sein Asyl widerrufen, weil er wiederholt nach Iran gereist war.
1.3. Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 8. Oktober 2021 beantragt A._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zum Neuentscheid zurückzuweisen, eventualiter sei sein Gesuch um Erteilung der Niederlassungsbewilligung gutzuheissen. Das Bundesgericht hat keine Instruktionsmassnahmen verfügt.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (<ref-law>).
2.1. Der Beschwerdeführer behauptet nicht, dass er einen Anspruch auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung nach <ref-law> (SR 142.20) habe (vgl. auch E. 3.1 des angefochtenen Urteils). Er bringt stattdessen vor, die Verweigerung der Niederlassungsbewilligung verletze seinen Anspruch auf Achtung des Privatlebens (<ref-law> bzw. Art. 8 EMRK). Aus dem angefochtenen Urteil ergibt sich nicht, dass er diese Rüge bereits im vorinstanzlichen Verfahren erhoben hat, weshalb zweifelhaft ist, ob sie nach <ref-law> überhaupt zulässig ist. Die Frage kann aber aus nachfolgenden Gründen offengelassen werden.
2.2. Der Anspruch auf Achtung des Privatlebens verleiht keinen Anspruch auf eine bestimmte Bewilligungsart (<ref-ruling> E. 3a; Urteil 2C_939/2020 vom 18. November 2020 E. 2). Er verleiht allerdings das Recht auf Regularisierung einer prekären, aber geduldeten langjährigen Anwesenheit, wenn damit rechtliche oder faktische Nachteile verbunden sind, die eine Beeinträchtigung des Privatlebens darstellen (<ref-ruling> E. 1.2.5). Im vorliegenden Fall kann indessen von einem prekären, aber jahrelang geduldeten Aufenthalt keine Rede sein. Der Beschwerdeführer besitzt seit Jahren eine Aufenthaltsbewilligung, die zuletzt einmal mehr verlängert worden ist. Aufenthaltsbeendende Massnahmen stehen nicht zur Debatte. Alleine der Umstand, dass seine Rechtsstellung bei Erteilung der Niederlassungsbewilligung besser wäre, führt offensichtlich nicht dazu, dass ein Eingriff in den Schutzbereich von <ref-law> bzw. Art. 8 EMRK vorliegt (vgl. auch <ref-ruling> E. 4, wo das Bundesgericht offengelassen hat, ob der Status der vorläufigen Aufnahme im Vergleich zu einer Aufenthaltsbewilligung einen Eingriff in den Schutzbereich darstellt). Es gelingt dem Beschwerdeführer somit nicht, einen Rechtsanspruch auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung in vertretbarer Weise geltend zu machen; damit steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht zur Verfügung. Der Beschwerdeführer hat denn auch zu Recht subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhoben.
3.
3.1. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Zur Verfassungsbeschwerde ist berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (<ref-law>). Gemäss ständiger bundesgerichtlicher Rechtsprechung ist der Beschwerdeführer mangels eines Bewilligungsanspruchs durch die Nichterteilung der Niederlassungsbewilligung nicht in seinen rechtlich geschützten Interessen betroffen, sodass er hinsichtlich der Bewilligungsfrage nicht zur Verfassungsbeschwerde legitimiert ist (<ref-ruling> E. 3 ff.; Urteile 2C_743/2021 vom 4. Oktober 2021 E. 3.1; 2C_729/2021 vom 4. Oktober 2021 E. 4). Trotz fehlender Legitimation in der Sache selbst ist er allerdings zur Rüge berechtigt, ihm zustehende Verfahrensgarantien seien verletzt worden. Nicht zu hören sind dabei aber Vorbringen, die im Ergebnis auf die Überprüfung des Sachentscheids abzielen (<ref-ruling> E. 2).
3.2. Der Beschwerdeführer rügt ausschliesslich, dass das angefochtene Urteil das Willkürverbot verletze, und möchte folglich eine Überprüfung des Sachentscheids der Vorinstanz. Dies ist nach dem vorher Gesagten nicht zulässig. Dabei hilft dem Beschwerdeführer auch der Verweis auf <ref-ruling> nichts. Mit diesem Leitentscheid wurde die Willkürrüge im Einbürgerungsverfahren zugelassen. Dabei hat sich das Bundesgericht auf damals neue gesetzliche Bestimmungen zum Bürgerrecht bzw. deren Entstehungsgeschichte abgestützt (vgl. <ref-ruling> E. 1.4), weshalb aus diesem Urteil ausserhalb des Einbürgerungsverfahrens nichts abgeleitet werden kann. Namentlich hat das Bundesgericht diesen Leitentscheid nicht zum Anlass genommen, im Ausländerrecht eine Änderung der mit <ref-ruling> begründeten Rechtsprechung zum Willkürverbot vorzunehmen. Hätte der Beschwerdeführer eine Überprüfung dieser Rechtsprechung anregen wollen, hätte er sich substanziiert mit dem Motiven von <ref-ruling> auseinandersetzen müssen. Der Beschwerde lässt sich hierzu nichts entnehmen.
4.
Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unzulässig. Darauf ist im vereinfachten Verfahren durch den Einzelrichter nicht einzutreten (<ref-law>). Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Oktober 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Businger