Faits :
A.
Par jugement du 7 février 2019, le Tribunal de police de l'arrondissement de la Broye et du Nord vaudois a condamné A._, pour tentative d'actes d'ordre sexuel avec des enfants et contravention à la LStup, à une peine privative de liberté de huit mois, avec sursis - assorti d'une règle de conduite obligeant le prénommé à se soumettre à une investigation psychiatrique prolongée, en mesure de mettre en lumière toute problématique psychiatrique ou de sexualité, auprès d'une unité spécialisée - durant quatre ans, ainsi qu'à une amende de 200 francs.
B.
Par jugement du 4 juillet 2019, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud, statuant sur les appels formés par A._ et par le ministère public contre ce jugement, a réformé celui-ci en ce sens qu'il est interdit au prénommé, pour une durée de dix années, d'exercer toute activité professionnelle et toute activité non professionnelle organisée impliquant des contacts réguliers avec des mineurs. Elle a confirmé le jugement du 7 février 2019 pour le surplus.
La cour cantonale a retenu les faits suivants.
B.a. A._ est né en 1976. Durant la semaine du 25 au 29 janvier 2016, il a participé à un camp de ski organisé par le collège D._, en qualité de moniteur, dans le cadre de sa fonction d'enseignant-remplaçant auprès de cet établissement.
B.b. Le 29 janvier 2016, vers 4 h, A._ s'est introduit dans la chambre qui était occupée par trois élèves, soit B._, née en 2003, C._, née en 2003, ainsi que E._, née en 2004. Il s'est approché du lit de C._. Une fois arrivé à côté de cette dernière, il lui a dit bonne nuit et l'a embrassée sur la joue. La prénommée lui a alors demandé d'arrêter. A._ a toutefois poursuivi ses actes en lui disant : "ça va tu veux que je continue?". Il a ensuite caressé le bras de la jeune fille et a touché sa cuisse. C._ lui a alors déclaré : "Arrêtez ou je crie!", ce à quoi A._ a répondu : "non". La prénommée s'est retournée en demandant à ce dernier de la laisser tranquille. A._ s'est dirigé vers le lit de B._, qui avait été réveillée. Il s'est couché dans le lit de cette dernière en la repoussant contre le mur et en lui disant : "ça va bonne nuit". Il a ensuite commencé à toucher le corps de B._ en lui prodiguant des caresses le long du bras et de la jambe, cela par-dessus le pyjama. A._ a embrassé l'intéressée, notamment sur la bouche mais sans y introduire la langue. B._ a demandé à celui-ci de sortir, en précisant qu'à défaut elle se mettrait à crier. A._ a finalement quitté la pièce.
B.c. Entre 2015 et 2018, A._ a occasionnellement consommé des produits dérivés du cannabis.
B.d. Durant l'instruction, A._ a été soumis à une expertise psychiatrique. Les experts n'ont pas mis en évidence l'existence d'un trouble mental chez l'intéressé. Ils ont encore indiqué que rien ne permettait de formuler un diagnostic de pédophilie à son égard.
C.
A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 4 juillet 2019, en concluant, avec suite de frais et dépens, principalement à sa réforme en ce sens qu'il est libéré du chef de prévention de tentative d'actes d'ordre sexuel avec des enfants et qu'il est indemnisé conformément à sa requête en indemnisation du 4 juillet 2019. Subsidiairement, il conclut à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire ainsi que l'octroi de l'effet suspensif.
Par ordonnance du 25 septembre 2019, le Président de la Cour de droit pénal du Tribunal fédéral a rejeté la demande d'effet suspensif présentée par A._.

Considérant en droit :
1.
Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir apprécié les preuves et établi les faits de manière arbitraire. Il se plaint en outre, à cet égard, d'une violation du principe "in dubio pro reo".
1.1. Le Tribunal fédéral n'est pas une autorité d'appel, auprès de laquelle les faits pourraient être rediscutés librement. Il est lié par les constatations de fait de la décision entreprise (<ref-law>), à moins qu'elles n'aient été établies en violation du droit ou de manière manifestement inexacte au sens des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, soit pour l'essentiel de façon arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. Une décision n'est pas arbitraire du seul fait qu'elle apparaît discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable et cela non seulement dans sa motivation mais aussi dans son résultat. Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire. La présomption d'innocence, garantie par les <ref-law>, 32 al. 1 Cst., 14 par. 2 Pacte ONU II et 6 par. 2 CEDH, ainsi que son corollaire, le principe "in dubio pro reo", concernent tant le fardeau de la preuve que l'appréciation des preuves au sens large. En tant que règle sur le fardeau de la preuve, elle signifie, au stade du jugement, que le fardeau de la preuve incombe à l'accusation et que le doute doit profiter au prévenu. Comme règle d'appréciation des preuves, la présomption d'innocence signifie que le juge ne doit pas se déclarer convaincu de l'existence d'un fait défavorable à l'accusé si, d'un point de vue objectif, il existe des doutes quant à l'existence de ce fait. Il importe peu qu'il subsiste des doutes seulement abstraits et théoriques, qui sont toujours possibles, une certitude absolue ne pouvant être exigée. Il doit s'agir de doutes sérieux et irréductibles, c'est-à-dire de doutes qui s'imposent à l'esprit en fonction de la situation objective. Lorsque l'appréciation des preuves et la constatation des faits sont critiquées en référence au principe "in dubio pro reo", celui-ci n'a pas de portée plus large que l'interdiction de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 155 s. et les références citées).
1.2. L'autorité précédente a exposé que le récit de chacune des trois jeunes filles présentes dans la chambre visitée par le recourant la nuit des faits avait été exempt d'exagération et comportait l'aveu de divers oublis et hésitations, ce qui en renforçait la crédibilité. La description des événements livrée par les trois intéressées avait été émaillée de détails concrets et était restée constante au fil des diverses auditions conduites. Les trois récits s'étaient révélés concordants, chacune des jeunes filles ayant par ailleurs indiqué uniquement ce qu'elle avait réellement vu et entendu. Ces descriptions des événements, convaincantes, devaient l'emporter sur le récit, certes constant, du recourant. Après la visite nocturne de ce dernier, les trois jeunes filles étaient allées se confier à une enseignante qu'elles ne connaissaient pas, cela en pleine nuit et alors que B._ était en pleurs. Ces circonstances du dévoilement des faits accréditaient encore le récit des intéressées, dont on ne pouvait imaginer qu'elles pussent tout inventer. Par ailleurs, il ne pouvait être exclu que le recourant pût, au moment des faits, quitter sa chambre sans éveiller ses camarades de chambrée. L'intéressé n'était pas le moniteur des trois jeunes filles concernées - ni leur enseignant - et n'avait alors rencontré aucun problème avec celles-ci, de sorte qu'on ne voyait pas pourquoi il aurait été faussement accusé. Selon la cour cantonale, il convenait donc de retenir que les faits s'étaient déroulés comme l'avaient rapporté B._, C._ et E._.
1.3. Le recourant développe une argumentation purement appellatoire et, partant, irrecevable, par laquelle il rediscute intégralement l'appréciation des preuves à laquelle s'est livrée l'autorité précédente, sans démontrer en quoi celle-ci serait arbitraire. L'intéressé ne présente en particulier aucun élément qui rendrait insoutenable la version des faits retenue par la cour cantonale, mais se borne à livrer son propre regard sur les éléments probatoires qui ont tous été abordés et appréciés dans le jugement attaqué. Les remarques concernant sa propre crédibilité ou celle des trois jeunes filles l'ayant mis en cause, le regard porté par les témoins sur les événements rapportés lors de leur dévoilement, l'absence de diagnostic de pédophilie au terme de l'expertise psychiatrique diligentée, le fait qu'il aurait porté une attelle au moment des faits et que cet objet aurait dû être remarqué par les intéressées, ou encore le fait qu'il aurait été "fort probable" qu'un tiers fût éveillé par les bruits ou la lumière s'il avait déambulé dans les couloirs du chalet durant la nuit, ne font ainsi nullement apparaître l'état de fait de la cour cantonale comme arbitraire. On ne voit pas, pour le reste, quelle constatation insoutenable aurait pu être tirée par l'autorité précédente des différentes preuves administrées, en particulier des témoignages concordants de B._, C._ et E._ relatifs au déroulement des événements. Le grief doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Le recourant conteste sa condamnation pour tentative d'actes d'ordre sexuel avec des enfants.
2.1. Aux termes de l'<ref-law>, celui qui aura commis un acte d'ordre sexuel sur un enfant de moins de 16 ans sera puni d'une peine privative de liberté de cinq ans au plus ou d'une peine pécuniaire (ch. 1 al. 1).
Constitue un acte d'ordre sexuel au sens de cette disposition une activité corporelle sur soi-même ou sur autrui qui tend à l'excitation ou à la jouissance sexuelle de l'un des participants au moins (arrêts 6B_1122/2018 du 29 janvier 2019 consid. 3.2; 6B_732/2018 du 18 septembre 2018 consid. 3.1.3). Selon la jurisprudence, il faut d'abord distinguer les actes n'ayant aucune apparence sexuelle, qui ne tombent pas sous le coup de la loi, des actes clairement connotés sexuellement du point de vue de l'observateur neutre, qui remplissent toujours la condition objective de l'infraction, indépendamment des mobiles de l'auteur. Dans les cas équivoques, il convient de tenir compte de l'ensemble des éléments d'espèce (cf. <ref-ruling> consid. 3b p. 63 et les références citées; arrêt 6B_1122/2018 précité consid. 3.2). Un baiser lingual ou des baisers insistants sur la bouche, de même qu'une caresse insistante du sexe, des fesses ou des seins, même par-dessus les habits, constitue un acte d'ordre sexuel (<ref-ruling> consid. 3b et c p. 62 s.; arrêts 6B_732/2018 précité consid. 3.1.3 et les références citées; 6B_103/2011 du 6 juin 2011 consid. 1.1).
Subjectivement, l'auteur doit agir intentionnellement, l'intention devant notamment porter sur le caractère sexuel de l'acte (arrêt 6B_849/2019 du 11 septembre 2019 consid. 3.2 et les références citées).
2.2. L'<ref-law> régit la punissabilité de la tentative. En vertu de son alinéa 1, le juge peut atténuer la peine si l'exécution d'un crime ou d'un délit n'est pas poursuivie jusqu'à son terme ou que le résultat nécessaire à la consommation de l'infraction ne se produit pas ou ne pouvait pas se produire.
2.3. La cour cantonale a indiqué que le recourant avait prodigué des caresses sur les bras et les jambes des jeunes filles concernées, ainsi que des baisers sur leurs joues et un baiser sur la bouche de B._. Bien que ces agissements n'eussent pas constitué des actes d'ordre sexuel à proprement parler, ils étaient connotés sexuellement en raison des circonstances qui les entouraient. Il s'était en particulier agi pour un enseignant de caresser une élève et de l'embrasser sur la joue en lui demandant : "ça va tu veux que je continue?" puis de s'allonger dans le lit d'une autre élève pour l'embrasser, notamment sur la bouche. L'intention qui avait sous-tendu de tels agissements était de nature sexuelle et l'autorité précédente était convaincue que le recourant voulait aller "plus loin" mais n'avait pu y parvenir car les jeunes filles s'y étaient opposées. Ainsi, le recourant avait effectué les démarches ultimes et décisives pour l'accomplissement de l'infraction, seule la résistance des intéressées ayant empêché la réalisation de celle-ci.
2.4. L'appréciation de la cour cantonale ne prête pas le flanc à la critique. Le recourant, qui s'est introduit nuitamment dans la chambre de jeunes filles et a commencé à les caresser ou à donner des baisers - y compris sur la bouche - ne pouvait chercher que l'excitation ou la jouissance sexuelle. Du point de vue de l'observateur neutre, les gestes de l'intéressé revêtaient - compte tenu du contexte, notamment de la proximité recherchée avec des jeunes filles dans leur lit, au milieu de la nuit - clairement un caractère sexuel. Le recourant s'écarte de manière inadmissible de l'état de fait de la cour cantonale - par lequel le Tribunal fédéral est lié (cf. <ref-law>) - lorsqu'il prétend qu'il ne désirait pas "aller plus loin" avec les jeunes filles en question car il n'aurait "aucune attirance sexuelle envers les enfants". Il a ainsi commencé par donner un baiser et caresser une première jeune fille, en lui proposant de continuer. Ensuite, après que celle-ci lui eut clairement signifié sa désapprobation, l'intéressé s'est glissé dans le lit d'une autre jeune fille, avec laquelle il s'est montré encore plus entreprenant, jusqu'à ce que cette dernière le chassât en menaçant de se mettre à crier. Ainsi, le recourant, qui cherchait une excitation sexuelle, aurait poursuivi ses agissements, n'était-ce le refus et la résistance des jeunes filles concernées.
La cour cantonale n'a donc pas violé le droit fédéral en condamnant le recourant pour tentative d'actes d'ordre sexuel avec des enfants. Le grief doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. En raison de l'interdiction de la reformatio in peius, il n'est pas nécessaire de se demander si, au vu des faits établis, l'infraction consommée aurait pu entrer en considération.
3.
Le recourant soutient qu'il aurait dû se voir allouer une indemnité à titre de l'<ref-law> en raison d'un éventuel acquittement. Comme il n'obtient pas celui-ci, son grief n'a plus d'objet.
4.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Comme il était dépourvu de chances de succès, la demande d'assistance judiciaire doit être rejetée (<ref-law>). Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>), qui seront fixés en tenant compte de sa situation financière, laquelle n'apparaît pas favorable.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'200 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 11 novembre 2019
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Graa