Sachverhalt:
A.
A._ (Beschwerdeführer) stellte am 7. Juli 2017 ein Gesuch um Anordnung vorsorglicher Massnahmen gegen die B._ GmbH und C._ (Beschwerdegegner). Das Handelsgericht des Kantons Zürich entsprach dem Gesuch gleichentags ohne Anhörung der Beschwerdegegner. Nachdem der Beschwerdeführer den Gerichtskostenvorschuss fristgerecht geleistet hatte und die schriftliche Stellungnahme der Beschwerdegegner eingegangen war, verfügte das Handelsgericht vorsorglich, dass die Beschwerdegegner den Artikel "..." vom Online-Portal www.b._.ch zu entfernen hätten und den Artikel weder weiter verbreiten noch künftig in irgendeiner Weise darauf Bezug nehmen dürften. Gleichzeitig wurde dem Beschwerdeführer eine Frist angesetzt, um den Prozess in der Hauptsache anhängig zu machen (Urteil vom 25. September 2017).
B.
B.a. Am 8. Dezember 2017 reichte der Beschwerdeführer seine Klage wegen Persönlichkeitsverletzung ein.
B.b. Dem Beschwerdeführer wurde eine einmalige Frist bis am 30. Januar 2018 angesetzt, um den Gerichtskostenvorschuss von Fr. 5'600.-- zu leisten (Verfügung vom 11. Dezember 2017).
B.c. Da der Beschwerdeführer den Gerichtskostenvorschuss nicht leistete, setzte ihm das Handelsgericht dazu eine einmalige Nachfrist bis am 19. Februar 2018 an unter der Androhung, dass bei Säumnis auf die Klage nicht eingetreten wird (Verfügung vom 6. Februar 2018).
B.d. Am letzten Tag der Nachfrist ersuchte der Beschwerdeführer um Fristerstreckung.
B.e. Das Handelsgericht wies das Gesuch um Fristerstreckung ab und setzte dem Beschwerdeführer eine nicht weiter erstreckbare Nachfrist bis am 26. Februar 2018, um den Gerichtskostenvorschuss zu leisten, unter erneuter Androhung, dass bei Säumnis auf die Klage nicht eingetreten wird (Verfügung vom 20. Februar 2018).
B.f. Der Beschwerdeführer stellte am 27. Februar 2018 ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
B.g. Das Handelsgericht trat auf die Klage nicht ein und stellte fest, dass damit die angeordneten vorsorglichen Massnahmen dahinfallen. Die Gerichtsgebühr für das Hauptsacheverfahren wurde auf Fr. 1'900.-- festgesetzt und dem Beschwerdeführer auferlegt, den Beschwerdegegnern aber keine Parteientschädigung zuerkannt. Laut Erwägungen des Handelsgerichts erfolgte das Nichteintreten auf die Klage wegen Nichtleistung des Gerichtskostenvorschusses innert Frist und wäre das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mangels Glaubhaftmachung der Mittellosigkeit abzuweisen gewesen, soweit von einem rechtzeitigen Gesuch und fehlender Aussichtslosigkeit hätte ausgegangen werden können (Beschluss vom 16. März 2018).
C.
Mit Eingabe vom 27. März 2018 beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, den Beschluss des Handelsgerichts vom 16. März 2018 aufzuheben, die Sache im Sinne der Erwägungen an das Handelsgericht zurückzuweisen und seiner Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzugestehen. Das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat dem Gesuch um aufschiebende Wirkung entgegen dem Antrag der Beschwerdegegner entsprochen (Verfügungen vom 28. März 2018 und vom 23. April 2018). Der Beschwerdeführer ersucht um unentgeltliche Rechtspflege. Es sind die kantonalen Akten eingeholt worden. Während das Handelsgericht auf eine Vernehmlassung verzichtet hat, schliessen die Beschwerdegegner auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Beschluss betrifft eine Klage zum Schutz der Persönlichkeit (<ref-law>) und damit eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 403; <ref-ruling> E. 1a S. 483). Er ist kantonal letztinstanzlich (<ref-law>), lautet zum Nachteil des Beschwerdeführers (<ref-law>) und schliesst das kantonale Verfahren ab (<ref-law>). Die - rechtzeitig erhobene (<ref-law>) - Beschwerde erweist sich als zulässig. Der Beschwerdeführer begnügt sich mit einem Aufhebungs- und Rückweisungsantrag. Aus der Beschwerdebegründung in Verbindung mit der Begründung des angefochtenen Beschlusses ergibt sich indessen ohne weiteres (<ref-ruling> E. 1.3 S. 317; <ref-ruling> E. 1.2 S. 135), dass er die Ansetzung einer ausreichenden Frist zur Leistung des Gerichtskostenvorschusses beantragt.
2.
2.1. Das Handelsgericht hat dafürgehalten, auf die Klage sei nicht einzutreten, weil der Beschwerdeführer den Gerichtskostenvorschuss innert Frist nicht geleistet habe (E. 2 S. 4). Daran ändere sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nichts, da es erst am 27. Februar 2018 und damit einen Tag nach Ablauf der Frist zur Leistung des Gerichtskostenvorschusses der Post übergeben worden sei (E. 3.2 S. 5). Selbst wenn von einem rechtzeitigen Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und fehlender Aussichtslosigkeit auszugehen wäre, müsste es abgewiesen werden, habe doch der Beschwerdeführer seine Mittellosigkeit nicht dargetan (E. 3.3 S. 6 ff. des angefochtenen Beschlusses).
2.2. Der Beschwerdeführer wendet dagegen ein, die Verfügung vom 20. Februar 2018, mit der das Handelsgericht sein Fristerstreckungsgesuch abgewiesen und eine nicht erstreckbare Frist zur Leistung des Gerichtskostenvorschusses bis 26. Februar 2018 angesetzt habe, habe ihn erst am 28. Februar 2018 erreicht (unter Hinweis auf die Sendeverfolgung der Post, Beschwerde-Beilage Nr. 12). Es sei ihm somit keine Möglichkeit geblieben, der angesetzten Notfrist Folge zu leisten. Nicht er habe die Notfrist verpasst, vielmehr habe das Handelsgericht mit der kurzen Notfrist die gesetzliche Abholfrist missachtet. Auch sein am 27. Februar 2018 der Post aufgegebenes Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege habe er deshalb vor Zustellung der Verfügung vom 20. Februar 2018, die er am 28. Februar 2018 erhalten habe, gestellt und damit rechtzeitig eingereicht. Bei allfälliger Ablehnung des Gesuchs solle das Handelsgericht eine einhaltbare Frist zur Begleichung des Gerichtskostenvorschusses von Fr. 5'600.-- stellen (S. 7 ff. vorab Rz. 31-39 der Beschwerdeschrift).
2.3. Die Beschwerdegegner halten fest, das Handelsgericht habe dem Beschwerdeführer mit Verfügung vom 11. Dezember 2017 eine einmalige Frist unter Säumnisandrohung und mit Verfügung vom 6. Februar 2018 eine einmalige Nachfrist unter Säumnisandrohung sowie mit Verfügung vom 20. Februar 2018 eine Notfrist angesetzt. All diese Fristen zur Leistung des Kostenvorschusses habe der Beschwerdeführer nicht eingehalten. Das Handelsgericht sei deshalb zu Recht auf die Klage androhungsgemäss nicht eingetreten. Eine ausdrücklich als nicht erstreckbar bezeichnete Frist könne grundsätzlich nicht nochmals verlängert werden. Der Beschwerdeführer habe nicht mit einer Fristerstreckung rechnen dürfen. Er habe mit der Zustellung einer gerichtlichen Sendung rechnen müssen. Dass die Verfügung vom 20. Februar 2018 ihm nicht direkt habe zugestellt werden können bzw. die Verfügung von ihm angeblich erst am 28. Februar 2018 abgeholt worden sei, habe der Beschwerdeführer selbst zu verantworten. Sein Vorgehen verdiene keinen Rechtsschutz. In dieses (rechtsmissbräuchliche) Bild passe, dass der Beschwerdeführer einerseits die gerichtliche Verfügung erst am 28. Februar 2018 abgeholt und andererseits am 27. Februar 2018 ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt habe. Angemerkt sei weiter, dass der Beschwerdeführer in zahlreichen anderen Verfahren, von denen er betroffen sei, ebenfalls alle Mittel der Verzögerung auszunützen versuche. Im Übrigen, insbesondere auch betreffend das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege, könne auf die zutreffenden Erwägungen des Handelsgerichts verwiesen werden (S. 4 f. Ziff. 6 und 7 der Beschwerdeantwort).
3.
Mit Bezug auf den Verfahrensablauf hat das Handelsgericht im angefochtenen Beschluss nirgends festgestellt, wann der Beschwerdeführer die Verfügung vom 20. Februar 2018 mit einer Fristansetzung auf den 26. Februar 2018 in Empfang genommen hat. Da es sich dabei um eine für die Fristwahrung entscheidende Tatsache handelt (<ref-law>), durfte der Beschwerdeführer den Beleg "Sendungen verfolgen Business" der Post (Beschwerde-Beilage Nr. 12) als neues Beweismittel einreichen (<ref-law>; Urteile 5D_41/2016 vom 21. Juli 2017 E. 2.3; 5A_28/2015 vom 22. Mai 2015 E. 2.3). Dem Beleg und dem gleichlautenden act. 10/1 der kantonalen Akten lässt sich entnehmen, dass die Verfügung vom 20. Februar 2018 dem Beschwerdeführer am 21. Februar 2018 ins Postfach zur Abholung am Schalter bis 28. Februar 2018 avisiert und am 28. Februar 2018 am Schalter zugestellt wurde. Der Sachverhalt ist insoweit zu ergänzen. In rechtlicher Hinsicht trifft zu und wird auch nicht in Abrede gestellt, dass der 28. Februar 2018 der siebte Tag der Abholfrist war (vgl. zur Berechnung: Urteil 5A_677/2013 vom 6. Dezember 2013 E. 2).
4.
4.1. Das Gericht kann von der klagenden Partei einen Vorschuss bis zur Höhe der mutmasslichen Gerichtskosten verlangen (<ref-law>). Es setzt eine Frist zur Leistung des Vorschusses und tritt auf die Klage nicht ein, wenn der Vorschuss auch innert einer Nachfrist nicht geleistet wird (Art. 101 Abs. 1 und 3 ZPO). Die Nachfrist, die von Amtes wegen anzusetzen ist und kurz sein darf, kann als gerichtliche Frist aus zureichenden Gründen erstreckt werden, wenn das Gericht vor Fristablauf darum ersucht wird (Urteil 5A_654/2015 vom 22. Dezember 2015 E. 5.1). Wird das Gesuch um Erstreckung dieser letztmaligen Frist abgelehnt, ist der gesuchstellenden Partei gleichwohl eine Nachfrist zur Vornahme der fristgebundenen Handlung anzusetzen, es sei denn, das Gesuch müsse als trölerisch angesehen werden (Urteil 1C_171/2012 vom 13. Juni 2012 E. 2.4 und E. 2.5; seither: PETER REETZ, Von der Erstreckung von Fristen, FS Sutter-Somm, 2016, S. 489 ff., S. 502 f.) oder der Gesuchsteller habe nach Treu und Glauben von Beginn an annehmen müssen, es werde keine Erstreckung gewährt, weil z.B. die Fristansetzung mit dem Vermerk "nicht erstreckbare Nachfrist" versehen war (vgl. für die Bundesrechtspflege: LORENZ MEYER, Wege zum Bundesgericht - Übersicht und Stolpersteine, ZBJV 146/2010 S. 797 ff., S. 834/835 mit Hinweisen; GEORG MESSMER/ HERMANN IMBODEN, Die eidgenössischen Rechtsmittel in Zivilsachen, 1992, Rz. 18 S. 21 in Anm. 2).
4.2. Das Handelsgericht ist der Rechtsprechung gemäss vorgegangen und hat mit der Abweisung der Gesuchs um Fristerstreckung nochmals eine Nachfrist zur Leistung des Gerichtskostenvorschusses angesetzt (Bst. B.e oben). Der Einwand der Beschwerdegegner, der Beschwerdeführer habe nicht mit einer weiteren Nachfrist rechnen dürfen und spiele allein auf Zeit, erscheint als unbegründet. Das Handelsgericht hat die Nachfrist im Sinne von <ref-law> als "einmalig" bezeichnet (Bst. B.c oben), aber nicht als "nicht erstreckbar" oder "letztmalig". Der Beschwerdeführer durfte folglich davon ausgehen, dass ein Gesuch um Fristerstreckung behandelt und selbst im Falle einer Abweisung des Gesuchs eine kurze Nachfrist angesetzt werden würde, soweit sein Gesuch nicht trölerisch ist. So hat auch das Handelsgericht seine eigene Fristansetzung verstanden und im Übrigen nirgends festgestellt, dass das Gesuch des Beschwerdeführers trölerisch gewesen wäre. Die Beschwerdegegner erheben und begründen dagegen keine ausnahmsweise zulässigen Sachverhaltsrügen (<ref-law>), so dass ihr Einwand, der Beschwerdeführer verhalte sich insgesamt rechtsmissbräuchlich, nicht beurteilt werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 457).
4.3. Die Ansetzung der Nachfrist zur Leistung des Gerichtskostenvorschusses mit der Abweisung des Gesuchs um Fristerstreckung kann aus den dargelegten Gründen nicht beanstandet werden.
5.
5.1. In tatsächlicher Hinsicht steht fest, dass die Ansetzung der Frist zur Leistung des Gerichtskostenvorschusses durch Verfügung vom 20. Februar 2018 bereits abgelaufen war, als der Beschwerdeführer die durch eingeschriebene Postsendung zugestellte Verfügung am siebten und letzten Tag der Abholfrist entgegennahm (E. 3 oben).
5.2. Unlängst hat das Bundesgericht festgehalten, dass bei der Bemessung der Nachfrist zur Verbesserung einer Beschwerdeschrift im Sinne von <ref-law> das kantonale Gericht mitzuberücksichtigen hat, dass dem Empfänger einer eingeschriebenen Sendung eine Abholfrist von sieben Tagen gewährt wird (<ref-ruling> E. 6.5 S. 253). Für das Rechtsöffnungsverfahren hat das Bundesgericht schon früher ausgeführt, dass die Ansetzung einer Frist zur Stellungnahme auf den letzten Tag der Abholfrist das rechtliche Gehör verletze. Das lasse sich vermeiden, indem zum Beispiel eine nach Tagen bestimmte (angemessene) Frist ab Empfang der Mitteilung angesetzt werde (Urteil 5D_69/2009 vom 3. September 2009 E. 2.3; für die Vorladung zur Rechtsöffnungsverhandlung: <ref-ruling> E. 3 S. 467 f.). Soweit sie sich äussert, teilt die Lehre die Auffassung. Wird die Frist auf einen bestimmten Kalendertag terminiert, ist die Abholfrist von sieben Tagen zu berücksichtigen (BARBARA MERZ, Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Kommentar, Brunner/Gasser/Schwander [Hrsg.], Bd. 1, 2. Aufl. 2016, N. 22 zu <ref-law>; YVES DONZALLAZ, La notification en droit interne suisse, 2002, S. 609 f. Rz. 1300 und 1301).
5.3. Den dargelegten Voraussetzungen genügt die Fristansetzung des Handelsgerichts nicht. Die Frist war abgelaufen, bevor der Beschwerdeführer die gerichtliche Verfügung am siebten Tag der Abholfrist am Postschalter in Empfang genommen hatte. Weshalb dem Beschwerdeführer die Abholfrist nicht zuzugestehen sei, vermögen die Beschwerdegegner nicht zu begründen. Sie werfen dem Beschwerdeführer ein rechtsmissbräuchliches Verhalten vor, dessen tatsächlichen Grundlagen indessen nicht erstellt sind. Auf Gesagtes kann verwiesen werden (E. 4.2 oben). Mit Blick auf die verschiedenen, im Ermessen des prozessleitenden Gerichts stehenden Möglichkeiten bleibt es dem Handelsgericht überlassen, dem Beschwerdeführer die Frist zur Leistung des Gerichtskostenvorschusses neu anzusetzen.
6.
6.1. Am Ergebnis ändert nichts, dass das Handelsgericht das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege mangels Nachweises der Mittellosigkeit abgewiesen hätte, wenn das Gesuch rechtzeitig gewesen wäre.
6.2. Gemäss <ref-law> kann das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege vor oder nach Eintritt der Rechtshängigkeit und folglich auch innert der Frist zur Leistung des Kostenvorschusses gestellt werden. Obwohl sich keine Bestimmung der ZPO ausdrücklich in diesem Sinne äussert, nimmt die Lehre an, dass das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege implizit eine Art von Suspensivwirkung auf die Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses hat. Gewiss gebietet die Vorsicht dem Betroffenen, gleichzeitig mit dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege eine Erstreckung der laufenden Frist zur Leistung des Vorschusses bis zum Entscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu beantragen. Hat der Betroffene diese Vorsicht nicht walten lassen und wird sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen, so ist die Frist von Amtes wegen zu erstrecken bzw. von Amtes neu anzusetzen. Solange das Gericht nicht über das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege entschieden hat, darf es von ihm nicht die Leistung eines Kostenvorschusses verlangen (<ref-ruling> E. 4.2 S. 165).
6.3. Nach Abweisung des innert laufender Frist zur Leistung des Gerichtskostenvorschusses gestellten Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege ist folglich eine Nachfrist zur Leistung des Gerichtskostenvorschusses anzusetzen. Das Handelsgericht hat auch unter diesem Blickwinkel dem Beschwerdeführer die Frist neu anzusetzen. Dem anwaltlich nicht vertretenen Beschwerdeführer wird es dabei - den von den Beschwerdegegnern wiederholt behaupteten offenbaren Rechtsmissbrauch vorbehalten - unbenommen bleiben, ein verbessertes Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu stellen.
7.
Insgesamt ist die Beschwerde gutzuheissen, der angefochtene Beschluss aufzuheben und die Sache antragsgemäss an das Handelsgericht zur Fristansetzung zurückzuweisen. Der Beschwerdeführer obsiegt, so dass sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos wird. Es stellt sich die Frage nach der Kosten- und Entschädigungspflicht. Nach ständiger Rechtsprechung des Bundesgerichts trägt die Gegenpartei im Falle des Unterliegens grundsätzlich das Kostenrisiko, auch wenn sie den vorinstanzlichen Entscheid nicht zu vertreten hat (<ref-ruling> E. 3 und 159 E. 4). Praxisgemäss rechtfertigt sich indes eine Ausnahme, wenn ein gravierender, vom Rechtsmittelbeklagten nicht mitverschuldeter Verfahrensfehler (Justizpanne) zur Gutheissung des Rechtsmittels führt und der Rechtsmittelbeklagte entweder die Gutheissung des Rechtsmittels beantragt oder sich eines Antrags enthalten hat (Urteil 5A_61/2012 vom 23. März 2012 E. 4 mit Hinweisen). Diese Voraussetzungen sind hier nicht erfüllt, zumal die Beschwerdegegner im Hauptantrag ausdrücklich auf Abweisung der Beschwerde schliessen und in der Begründung ihrer Beschwerdeantwort den angefochtenen Beschluss zusätzlich mit dem Einwand, der Beschwerdeführer verhalte sich rechtsmissbräuchlich, zu stützen suchen. Sie werden deshalb kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Eine Entschädigungspflicht entfällt hingegen im vorliegenden Fall, da der Beschwerdeführer anwaltlich nicht vertreten ist und auch keine sog. weiteren notwendigen Kosten geltend macht (Art. 1 lit. b und Art. 11 des Reglements über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht, SR 173.110.210.3; <ref-ruling> E. 5 S. 21; <ref-ruling> E. 4 S. 446).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Beschluss des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 16. März 2018 aufgehoben. Die Sache wird an das Handelsgericht zurückgewiesen, damit es dem Beschwerdeführer eine angemessene Frist zur Leistung des Gerichtskostenvorschusses ansetze.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdegegnern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. September 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: von Roten