Sachverhalt:
A.
A._ (nachfolgend: der Steuerpflichtige) betreibt unter der Firma "B._ Engineering" eine Einzelunternehmung mit Sitz in U._/ZH, aufgrund welcher er seit dem 1. Januar 1995 im Register der Mehrwertsteuerpflichtigen eingetragen ist. Im Mai 2000 gründete er eine weitere Einzelunternehmung. Diese trat unter der Firma "C._, Inhaber A._" auf, hatte Sitz in V._/ZH und wurde im Februar 2017 gelöscht. Das Angebot der zweiten Einzelunternehmung umfasste Sauna, Solarium, klassische und teilweise auch erotische Massagen. Zur Ausübung dieser Tätigkeit vermietete der Steuerpflichtige die erforderlichen Räumlichkeiten an die Masseurinnen.
B.
Im Jahr 2005 führte die Eidgenössische Steuerverwaltung (ESTV) beim Steuerpflichtigen eine externe Kontrolle durch. Die ESTV stellte fest, dass die Voraussetzungen für eine selbständige Tätigkeit der Masseurinnen unter mehrwertsteuerlichen Gesichtspunkten fehlten. Wie aus dem Internetauftritt des Steuerpflichtigen hervorgehe und sich anlässlich eines Augenscheins gezeigt habe, träten die Masseurinnen nach aussen nicht auf. Entsprechend sei der von ihnen erzielte Umsatz mehrwertsteuerlich dem Steuerpflichtigen zuzurechnen. Da dieser nur die von ihm vereinnahmten Mietzinsen vorweisen könne, seien die Umsätze annäherungsweise zu ermitteln. Mit Ergänzungsabrechnung vom 22. Juni 2005 bzw. 4. August 2005 belastete die ESTV dem Steuerpflichtigen für den Zeitraum vom 1. Mai 2000 bis zum 30. September 2004 den Betrag von Fr. 34'895.-- nach. Mit Verfügung vom 17. September 2007 und Einspracheentscheid vom 2. März 2011 bestätigte sie dies. Das Bundesverwaltungsgericht hiess die dagegen gerichtete Beschwerde des Steuerpflichtigen teilweise gut (Entscheid A-1989/2011 vom 4. Januar 2012). Es erkannte, die von den Masseurinnen erbrachten Leistungen seien mehrwertsteuerlich - mit Blick auf den fehlenden Aussenauftritt - zwar tatsächlich dem Steuerpflichtigen zuzuordnen. Zufolge unterlassener Buchführung seien auch die Voraussetzungen für eine Schätzung des Umsatzes nach pflichtgemässem Ermessen erfüllt. Wenn die ESTV die Erfahrungszahlen aber lediglich auf einen einzigen Vergleichsbetrieb zu stützen vermöge, der zudem beträchtlich von den im Erotikgewerbe herrschenden Verhältnissen abweiche, so sei dies ungenügend. Entsprechend sei die Sache an die ESTV zurückzuweisen.
C.
Mit Einspracheentscheid vom 28. März 2012 wies die ESTV die Einsprache des Steuerpflichtigen erneut ab und bestätigte sie die Nachbelastung von Fr. 34'895.--. Das Bundesverwaltungsgericht hiess die Beschwerde des Steuerpflichtigen gut (Entscheid A-2601/2012 vom 3. Januar 2013), nachdem es erwogen hatte, die ESTV habe es abermals unterlassen, aufzuzeigen, weshalb der einzige herangezogene Drittbetrieb mit dem streitbetroffenen Betrieb vergleichbar sei. Auf die gegen den Rückweisungsentscheid gerichtete Beschwerde der ESTV trat das Bundesgericht mit Urteil 2C_151/2013 vom 24. Mai 2014, publ. in: ASA 83 S. 59, nicht ein.
D.
Schon zuvor hatte die ESTV die Identität von sechs Masseurinnen ermittelt. Im November 2010 kontaktierte sie diese schriftlich, worauf drei antworteten. Bezüglich dieser drei Frauen gelangte die ESTV an das Steueramt des Kantons Zürich (KStA/ZH). Die eine der drei Masseurinnen hatte erotische Massagen, die andere Masseurin ausschliesslich klassische Massagen angeboten. Beide hatten ihre Steuererklärung eingereicht. Zur dritten Masseurin konnte beim KStA/ZH einzig in Erfahrung gebracht werden, dass diese in der Steuerperiode 2000 Einkünfte aus selbständiger Erwerbstätigkeit von rund Fr. 20'000.-- erzielt hatte, was durch rechtskräftige Veranlagung nach pflichtgemässem Ermessen festgestellt worden war. Die ESTV ermittelte hierauf den Umsatz der Masseurinnen (und damit des Steuerpflichtigen), indem sie den (nachgewiesenen) Mietzins, den die beiden ersten Masseurinnen an den Steuerpflichtigen geleistet hatten, ins Verhältnis zum direktsteuerlich massgebenden Umsatz setzte. Dies führte zu einem durchschnittlichen Miete-Umsatz-Verhältnis (MUV) von 17,4 Prozent. Gestützt darauf ermittelte die ESTV den mutmasslich von den übrigen Masseurinnen erzielten Umsatz. Für alle Masseurinnen zusammen ergaben sich dann folgende Werte:
Jahr Gesamtumsatz (100%) MWST (Satz) MWST (Betrag) 2000 Fr. 82'569 7,5% Fr. 6'192.65 2001 Fr. 149'284 7,6% Fr. 11'345.60 2002 Fr. 151'182 7,6% Fr. 11'489.85 2003 Fr. 183'393 7,6% Fr. 13'937.90 2004 Fr. 142'247 7,6% Fr. 10'810.80 Total Fr. 708'675 Fr. 53'776.80
E.
Nach Gewährung des rechtlichen Gehörs erliess die ESTV am 6. Juli 2016 einen neuen Einspracheentscheid, der eine Nachbelastung von Fr. 53'776.-- auswies. Das Bundesverwaltungsgericht hiess die Beschwerde, soweit die vier Quartale des Jahres 2001betreffend, zufolge eingetretener Verjährung gut, wies sie im Übrigen aber ab. Entsprechend setzte es die Steuerforderung um Fr. 11'345.60 auf Fr. 42'430.40 herab (1. Mai 2000 bis 1. Oktober 2004; Entscheid A-5410/2016 vom 8. November 2017).
F.
Mit Eingabe vom 14. Dezember 2017 erhebt der Steuerpflichtige beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache zur Neufestsetzung der Steuerforderung an die ESTV zurückzuweisen. Zudem sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
G.
Die Vorinstanz verzichtet auf Vernehmlassung. Die ESTV stellt und begründet den Antrag auf Abweisung der Beschwerde, wobei keine Parteientschädigung auszurichten sei. Der Steuerpflichtige repliziert.
H.
Mit Präsidialverfügung vom 21. Dezember 2017 hat das Bundesgericht das Gesuch um Zuerkennung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sind gegeben (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. a, Art. 89 Abs. 1, Art. 90, Art. 100 Abs. 1 BGG). Aus dem Bundesgesetz vom 12. Juni 2009 über die Mehrwertsteuer ( MWSTG 2009; SR 641.20) gehen keine spezialgesetzlichen Vorschriften zum bundesgerichtlichen Verfahren hervor. Auf die Beschwerde ist damit einzutreten.
1.2. Das Bundesrecht prüft das Bundesrecht, worunter auch das Mehrwertsteuerrecht fällt (<ref-law>), von Amtes wegen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.5 S. 157) und mit uneingeschränkter (voller) Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 236). Im Unterschied dazu geht es der angeblichen Verletzung verfassungsmässiger Individualrechte (unter Einschluss der Grundrechte) nur nach, falls eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (<ref-law>; qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit; <ref-ruling> E. 1.7.2 S. 106). In der Beschwerde ist daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 372).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil grundsätzlich den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.3 S. 156). Zu den tatsächlichen Feststellungen zählt auch die Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 6.3 S. 375).
1.4. Mit dem anwendbaren Recht verhält es sich im streitbetroffenen Zeitraum wie folgt: Im Jahr 2000 war die Verordnung vom 22. Juni 1994 über die Mehrwertsteuer ( MWSTV 1994; AS 1994 1464) massgebend, in den Jahren 2002 bis 2004 das Bundesgesetz vom 2. September 1999 über die Mehrwertsteuer ( MWSTG 1999; AS 2000 1300).
2.
2.1. Der Steuerpflichtige rügt im Wesentlichen, die Forderungen der ESTV aus dem Zeitraum vom 1. Mai 2000 bis und mit dem 31. Dezember 2000 seien verjährt (hinten E. 2.2), die ermessensweise Schätzung der noch nicht verjährten Steuerforderungen beruhe auf unzureichenden Grundlagen (hinten E. 2.3) und die Nachbelastung sei insofern bundesrechtswidrig erhoben worden, als die geschätzten Umsätze zu Unrecht als Nettoumsatz (100 Prozent) statt inklusive Mehrwertsteuer (107,5 bzw. 107,6 Prozent) betrachtet worden seien (hinten E. 2.4).
2.2.
2.2.1. Gemäss Art. 40 Abs. 1 MWSTV 1994 verjährt die Steuerforderung fünf Jahre nach Ablauf des Kalenderjahres, in dem sie entstanden ist. Dabei handelt es sich um die relative Verjährung, kann der Lauf der Verjährung doch unterbrochen werden oder stillstehen (Art. 40 Abs. 2 MWSTV 1994; 2C_426/2008 vom 18. Februar 2009 E. 6.6, in: ASA 79 S. 608, StR 64/2009 S. 605). Dasselbe gilt hinsichtlich des Anspruchs auf Vorsteuerabzug (Art. 41 Abs. 1 und 2 MWSTV 1994). Eine absolute Verjährung ist der MWSTV 1994 hingegen unbekannt, was beabsichtigt war (<ref-ruling> E. 2.3 S. 19 f. mit Hinweisen). Es liegt diesbezüglich ein qualifiziertes Schweigen des Verordnungsgebers vor.
2.2.2. Das Fehlen einer absoluten Verjährung entsprach im Jahr 1994 der abgaberechtlichen Übung auf Bundesebene, wie sie namentlich schon in Art. 28 des Bundesratsbeschlusses vom 29. Juli 1941 über die Warenumsatzsteuer (WUStB; AS 1941 793) zum Ausdruck gekommen war (Urteil 2A.546/2001 vom 1. Mai 2002 E. 3, in: ASA 73 S. 237, RDAF 2002 II 392, StR 57/2002 S. 638). Gleiches ergab sich zur Anspruchsverjährung aus Art. 128 des Bundesratsbeschlusses vom 9. Dezember 1940 über die Erhebung einer direkten Bundessteuer (BdBSt; AS 1940 1947; Urteil 2C_267/2010 vom 8. April 2011 E. 4.2, in: StR 66/2011 S. 613). Bis heute begnügen sich Art. 17 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 13. Oktober 1965 über die Verrechnungssteuer (VStG; SR 642.21; <ref-ruling> E. 2d S. 53 sowie Urteil 2C_188/2010 vom 24. Januar 2011 E. 5.2 mit Hinweisen) und Art. 30 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 27. Juni 1973 über die Stempelabgaben (StG; SR 641.10) mit der relativen Verjährung. Auch dabei handelt es sich um ein qualifiziertes Schweigen (MICHAEL BEUSCH, in: Martin Zweifel/Michael Beusch/Maja Bauer-Balmelli [Hrsg.], Kommentar VStG, 2. Aufl. 2012, N. 29 zu <ref-law>). Ein solches findet sich teils auch im nicht harmonisierten Steuerrecht von Kantonen und Gemeinden. Zu denken ist etwa an das Erbschaftssteuerrecht des Kantons Genf (Urteil 2C_68/2016 vom 2. Juni 2017 E. 5.5.4, in: ASA 86 S. 50, RDAF 2017 II 326).
2.2.3. Der Steuerpflichtige anerkennt dies bis dahin, meint aber, das MWSTG 1999, welches die MWSTV 1994 ablöste, enthalte insofern eine echte Lücke, als es keine übergangsrechtliche Bestimmung zur Verjährung altrechtlicher Mehrwertsteuerforderungen vorsehe. Diese Nichtregelung dürfe nicht als qualifiziertes Schweigen gewürdigt werden. Er stützt sich dabei insbesondere auf die Ansicht von RALF IMSTEPF/STEFAN OESTERHELT, welche diese in der wohl einzigen Publikation zu dieser Frage vertreten (Die absolute Verjährung von Mehrwertsteuerforderungen aus den Jahren 1995 bis 2000, in: ASA 84 S. 591 ff.). Die Beantwortung der aufgeworfenen bundesrechtlichen Rechtsfrage hängt wesentlich davon ab, ob das mehrwertsteuerliche Verjährungsrecht als Teil des Verfahrensrechts oder aber des materiellen Sachrechts zu würdigen sei.
2.2.4. Einem allgemeinen intertemporalrechtlichen Grundsatz zufolge sind neue Verfahrensbestimmungen - vorbehältlich abweichender gesetzlicher Anordnungen - mit dem Tag ihres Inkrafttretens sofort und vollumfänglich anwendbar (<ref-ruling> E. 7.4.5 S. 418 f.), es sei denn, das neue Recht bringe eine grundlegend neue Verfahrensordnung mit sich. Die sofortige Anwendbarkeit auf alle hängigen Verfahren ist Ausfluss der "relativen Wertneutralität des Prozessrechts" (<ref-ruling> E. 3.1 S. 189; vgl. PIERRE MOOR/ALEXANDRE FLÜCKIGER/VINCENT MARTENET, Droit administratif, Band I, 3. Aufl. 2012, Ziff. 2.4.2.3 S. 186), zumal formelles Recht der Vermutung der fortschreitenden Rechtsstaatlichkeit unterliegt (vgl. F RITZ GYGI, Verwaltungsrecht, 1986, S. 113). Das Bundesgericht hat sich zur Einordnung des Verjährungsrechts schon verschiedentlich geäussert. Danach ist die Verjährung grundsätzlich ein Institut des (materiellen) Sachrechts und nicht des (formellen) Verfahrensrechts. Dies gilt auch mehrwertsteuerrechtlich, zumal diese Qualifikation heute in Art. 112 Abs. 1 Satz 2 MWSTG 2009 ausdrücklich festgeschrieben ist (<ref-ruling> E. 1.1 S. 18 f.; IMSTEPF/OESTERHELT, a. a. O., S. 597). Entgegen dem Steuerpflichtigen lässt sich daher nicht sagen, der Gesetzgeber werte die absolute Verjährung "zumindest im Bereich der Mehrwertsteuer" als Bestimmung des Verfahrensrechts. Dass es sich um Sachrecht handeln muss, geht auch aus der gesetzlichen Systematik hervor. So stehen die Art. 34 ff. MWSTG 2009 zur Inlandsteuer unter dem Titel "Ermittlung, Entstehung und Verjährung der Steuerforderung", was verdeutlicht, dass die Verjährung den gegensätzlichen Begriff zur Entstehung der abgaberechtlichen Forderung bildet. Gleiches ergibt sich hinsichtlich der Bezugsteuer aus Art. 48 MWSTG 2009.
2.2.5. Im MWSTG 1999 findet sich freilich, worauf der Steuerpflichtige mit Recht hinweist, keine Art. 112 Abs. 1 Satz 2 MWSTG 2009 entsprechende Norm. Dies kann ebenso als qualifiziertes Schweigen (mithin als Fortsetzung des Zustandes gemäss Art. 40 MWSTV 1994) wie als echte Lücke (durch Fehlen einer unerlässlichen Anordnung) zu werten sein. Unstreitig ist zunächst, dass der Gesetzgeber mit Art. 49 Abs. 4 MWSTG 1999 (Umsatzsteuer) bzw. Art. 50 Abs. 4 MWSTG 1999 (Vorsteuer) bewusst von Art. 40 und 41 MWSTV 1994 abrückte und den Schritt von der Unverjährbarkeit zur absoluten Verjährbarkeit vollzog. Gleiches hatte er bereits bei Schaffung von Art. 120 Abs. 4 und Art. 121 Abs. 3 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer (DBG; SR 642.11) getan, die im Widerspruch zu Art. 128 BdBSt stehen. Im neuen Mehrwertsteuerrecht liess er es indes bei Art. 93 Abs. 1 MWSTG 1999 bewenden, wonach die Normen der MWSTV 1994 "weiterhin auf alle während deren Geltungsdauer eingetretenen Tatsachen und entstandenen Rechtsverhältnisse anwendbar" seien.
2.2.6. Auch wenn der Gesetzgeber von 1999 eine grosse Zahl von Revisionspostulaten erfüllte und manches bedachte, muss die fehlende ausdrückliche Regelung zur Verjährung im Übergangsrecht nicht zwangsläufig auf ein gesetzgeberisches "Vergessen" oder "Übersehen" hindeuten. Dass der Gesetzgeber von 1999 eine ausdrückliche Anordnung unterliess, kann vielmehr auch als logische Fortsetzung von Art. 40 MWSTV 1994 verstanden werden, ebenso wie Art. 112 Abs. 1 Satz 2 MWSTG 2009 inhaltlich an Art. 49 Abs. 1 bzw. Art. 50 Abs. 1 MWSTG 1999 anknüpft. Hinzu kommt, dass auch der Gesetzgeber von 2009 noch die Möglichkeit hätte ergreifen können, die Steuerforderungen aus den Jahren 1995 bis und mit 2010 einer absoluten Verjährung zu unterstellen. Davon hat er aber abgesehen, was insgesamt eher für ein qualifiziertes Schweigen spricht.
2.2.7. Es fragt sich, ob dieses Zwischenergebnis mit dem Standpunkt übereinstimmt, den das Bundesgericht bezüglich des Übergangs vom BdBSt zum DBG eingenommen hat. Eine gleichlaufende Praxis ist mit Blick auf die Unterschiede zwischen BdBSt/DBG einerseits und MWSTV 1994/MWSTG 1999 anderseits zwar nicht unerlässlich. Vor dem Hintergrund der Gleichartigkeit von Art. 40/41 MWSTV 1994 und Art. 128 BdBSt (vorne E. 2.2.2) ist sie aber zumindest wünschenswert. Dem Grundsatz der Einheit der Rechtsordnung kommt im Abgaberecht rechtsprechungsgemäss einige Bedeutung zu (<ref-ruling> E. 7.3 S. 23 f.; <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 690; <ref-ruling> E. 2.2 S. 155 f. mit zahlreichen Hinweisen). Die gewünschte Einheit erstreckt sich auch auf das Verhältnis zwischen den verschiedenen Steuerarten (<ref-ruling> E. 3.3 S. 467; <ref-ruling> E. 2.4 S. 256 ff.). Zu Art. 128 BdBSt bzw. <ref-law> hat das Bundesgericht übergangsrechtlich erkannt, das Fehlen einer absoluten Verjährung im vorrevidierten Recht sei grundsätzlich hinzunehmen, um dann aber festzuhalten (<ref-ruling> E. 3 S. 6) :
"Allerdings wäre es stossend und mit dem Rechtsgleichheitsgebot kaum vereinbar, wenn die Frist für die Verjährung altrechtlicher Steuerforderungen auch dann noch weiterlaufen könnte, wenn Steuerforderungen, die unter dem neuen Recht entstanden und demnach jünger sind, bereits absolut verjährt sind. Dieses übergangsrechtliche Problem ist beim Erlass des DBG offensichtlich übersehen worden. Die Übergangsbestimmungen des neuen Rechts erscheinen insoweit als lückenhaft. Es liesse sich erwägen, diese Lücke durch Übernahme der allgemeinen Regel zu schliessen, wonach eine neu vorgesehene Verjährungsfrist (erst) vom Zeitpunkt des Inkrafttretens des neuen Rechts an zu laufen beginnt. Bei der direkten Bundessteuer ist dies der 1. Januar 1995. Da das Recht, die Steuer zu veranlagen, gemäss <ref-law> in maximal 15 Jahren, der Steuerbezug gemäss <ref-law> in maximal zehn Jahren verjährt, träte die Veranlagungsverjährung für altrechtliche Steuerforderungen somit spätestens im Jahre 2010, die Bezugsverjährung spätestens im Jahre 2020 ein. Wie es sich damit verhält, braucht jedoch im vorliegenden Fall nicht abschliessend entschieden zu werden, da diese Termine noch in weiter Ferne liegen."
Seither hat sich das Bundesgericht verschiedentlich mit diesem Leiturteil auseinandergesetzt. <ref-ruling> ist heute dahingehend zu verstehen, dass die absolute Veranlagungsverjährung altrechtlicher direktsteuerlicher Forderungen am 1. Januar 2010eintrat (unter anderem Urteile 2C_1038/2014 vom 27. März 2015 E. 3.2.3; 2C_653/2014 vom 15. Januar 2015 E. 4.3; 2C_999/2014 vom 15. Januar 2015 E. 4.3; 2C_267/2010 vom 8. April 2011 E. 5.1 und 5.2; 2A.100/2007 vom 5. Dezember 2008 E. 2.4).
2.2.8. Wollte man diese direktsteuerliche Praxis auf die MWSTV 1994 übertragen, hiesse dies Folgendes: Das Mehrwertsteuerrecht von 1999 trat am 1. Januar 2001 in Kraft (AS 2000 1346). Damit erfasste Art. 49 Abs. 4 MWSTG 1999 die noch nicht erledigten mehrwertsteuerlichen Fälle aus dem Zeitraum vom 1. Januar 1995 bis zum 1. Januar 2001, weshalb die absolute Verjährung am 1. Januar 2016eintrat. Diese Sichtweise entspricht der Auffassung, die IMSTEPF/OESTERHELT (a. a. O., S. 603 ff., insb. 607) vertreten. Die beiden Autoren unterlegen ihre Ansicht namentlich mit <ref-law>, den sie analog auch im öffentlichen Recht anwenden wollen. Dieser Norm zufolge gelten für die Verjährung "im Übrigen" von der Einführung einer neuen Regelung an die Bestimmungen des neuen Rechts. Dies bedingt, dass das revidierte Verjährungsrecht neue, vom alten Recht abweichende Verjährungsfristen einführt (Urteile 9C_104/2007 und weitere vom 20. August 2007 E. 6.2; C.572/1985 vom 25. Februar 1986 E. 3). Denkbar ist, dass das bisherige Recht noch gar keine Verjährungsfrist gekannt hatte (ROBERT K. DÄPPEN, in: Basler Kommentar, ZGB II, 5. Aufl. 2015, N. 10 zu <ref-law>). Praxisgemäss gilt die zivilrechtliche Rechtslage auch im öffentlichen Recht (<ref-ruling> E. 5.2 S. 430 mit Hinweisen).
2.2.9. <ref-ruling> zur direkten Bundessteuer stellt einen Anwendungsfall dieser öffentlich-rechtlichen Praxis dar. Hinsichtlich des Interesses am Eintritt der absoluten Verjährung bestehen keinerlei erkennbare Unterschiede zwischen dem Mehrwertsteuerrecht und der direkten Bundessteuer. Es ist nicht einzusehen, weshalb altrechtliche direktsteuerliche Ansprüche (BdBSt) anders zu behandeln sein sollten als solche, die unter Herrschaft der MWSTV 1994 entstanden sind. So oder anders standen der öffentlichen Hand zumindest 15 Jahre - nebst dem Zeitraum, der vor der Einführung des neuen Rechts verstrich - zur Verfügung, um den Anspruch durchzusetzen. Mit <ref-ruling> E. 3 S. 6 kann auch hier gesagt werden, dass es "stossend und mit dem Rechtsgleichheitsgebot kaum vereinbar" wäre, wenn neurechtliche Steuerforderungen vor altrechtlichen absolut verjährt sind. Zum selben Ergebnis ist das Bundesgericht im Übrigen im kantonalrechtlichen Bereich gelangt. So erwog es etwa, dass eine vorharmonisierte Steuerforderung des Kantons Neuenburg, die mithin vor dem Inkrafttreten von Art. 47 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden (StHG; SR 642.14) entstanden war, am 1. Januar 2016absolut verjährte (Urteil 2C_999/2014 vom 15. Januar 2015 E. 4.4, in: ASA 83 S. 516). Ausgangspunkt dieser Berechnung war, dass das Harmonisierungsrecht im Kanton Neuenburg am 1. Januar 2001in Kraft getreten war (Art. 72 Abs. 1 StHG).
2.2.10. Damit zeigt sich, dass die Mehrwertsteuerforderung aus dem Zeitraum vom 1. Mai 2000 bis und mit dem 31. Dezember 2000 (Sachverhalt, lit. B) absolut verjährt ist. Dies beruht auf Richterrecht (<ref-ruling>) bzw. dem analog auch im öffentlichen-recht anwendbaren <ref-law>. Ebenso absolut verjährt sind mittlerweile die vier Quartale des Jahres 2002. Grundlage hierfür bildet Art. 49 Abs. 1 MWSTG 1999. Zu beurteilen ist daher nur noch der Zeitraum vom 1. Januar 2003 bis zum 31. Oktober 2004 (auch dazu Sachverhalt, lit. B).
2.3.
2.3.1. Im streitbetroffenen Sauna-Club wurden zum einen "klassische", zum andern erotische Massagen angeboten. Bei den klassischen Massagen handelt es sich zwar um nicht-erotische Massagen, die aber nicht unter die steuerausgenommenen humanmedizinischen Heilbehandlungen (Art. 18 Ziff. 3 MWSTG 1999) fallen. Erotische und "klassische" Massagen sind steuerbar (Art. 5 lit. b MWSTG 1999). Bereits rechtskräftig entschieden ist, dass die Umsätze dem Steuerpflichtigen zuzurechnen sind und dass die Voraussetzungen der Schätzung nach pflichtgemässem Ermessen vorlagen. Streitig ist hingegen die von der ESTV gewählte Vorgehensweise.
2.3.2. Die ESTV ist mehrwertsteuerlich gehalten (Art. 60 MWSTG 1999), eine pflichtgemässe Schätzung der massgebenden Umsätze vorzunehmen, falls entweder überhaupt keine oder nur unvollständige Aufzeichnungen vorliegen (erste Tatbestandsvariante, Verstoss gegen die formellen Regeln der Buchführung) oder die ausgewiesenen Ergebnisse mit dem wirklichen Sachverhalt offensichtlich nicht übereinstimmen können (zweite Tatbestandsvariante, Verstoss gegen die materiellen Regeln der Buchführung (Urteil 2C_311/2016 vom 23. Mai 2016 E. 2.2.1).
2.3.3. Bezüglich der bundesgerichtlichen Kognition gilt folgendes: Beim Sachverhalt handelt es sich um eine Tatfrage, die als solche nur im Rahmen von <ref-law> gerügt werden kann. Frei überprüfbare Rechtsfrage ist, ob der Sachverhalt eine Schätzung nach pflichtgemässem Ermessen zulässt. Trifft dies zu, ist zu klären, ob die Vorinstanz eine sachgerechte Bewertungsmethode herangezogen hat. Auch dies ist eine Rechtsfrage. Sachgerecht ist ein Vorgehen, das nachvollziehbar, plausibel, anerkannt ist, in vergleichbaren Fällen verbreitete Anwendung findet, allgemeiner Auffassung zufolge mindestens ebenso bewährt ist wie andere Methoden und zudem den Verhältnissen im individuell-konkreten Fall entspricht. Die eigentliche Bewertung oder Schätzung gehört zu den Tatfragen. Das Bundesgericht prüft das Ergebnis einer Bewertung oder Schätzung nur zurückhaltend, das heisst auf offensichtliche Fehler und Irrtümer hin. Es obliegt der steuerpflichtigen Person, die Unrichtigkeit der Schätzung zu beweisen (ausführlich zur Kognition Urteil 2C_311/2016 E. 2.2 vom 23. Mai 2016, in: ASA 85 S. 59).
2.3.4. Der Unrichtigkeitsnachweis ist mithin umfassend zu erbringen. Die steuerpflichtige Person kann sich vor Bundesgericht nicht darauf beschränken, die Kalkulationsgrundlagen der Ermessensbetätigung in allgemeiner Weise zu kritisieren. Vielmehr hat sie nachzuweisen, dass die behördliche Schätzung offensichtlich unrichtig ist, was zur Umkehr der Beweislast führt (vgl. <ref-law>; Urteil 2C_36/2017 vom 30. Januar 2017 E. 2.2.1 mit Hinweis, in: ASA 85 S. 600). Der erfolgreiche Unrichtigkeitsnachweis bedingt grobe methodische oder rechnerische Fehler (Urteil 2C_82/2018 vom 9. Februar 2018 E. 3.1).
2.3.5. Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>; vorne E. 1.3) machte der Steuerpflichtige zu den Umsätzen aus Massageleistungen, die in der Kontrollperiode erzielt wurden, keinerlei Angaben. Er legte der ESTV nur, aber immerhin eine (scheinbar unvollständige) Übersicht zu den von ihm vereinnahmten Mietzinsen der Masseurinnen vor (Sachverhalt, lit. B). Die ESTV konnte sich daher nicht mit einem blossen Ermessenszuschlag begnügen, sondern hatte den Umsatz von Grund auf neu zu erheben. Die Vorinstanz zeigt minutiös auf, in welcher Weise dies getan wurde (dazu die Zusammenfassung in Sachverhalt, lit. D). Der Steuerpflichtige bringt in knappen Zügen vor, entgegen den Angaben der ESTV sei lediglich auf eine Masseurin abgestellt worden, wobei deren Wirken "alles andere als repräsentativ" sei. So habe sie eine monatliche Miete von Fr. 800.-- entrichtet, während die anderen Frauen "weit weniger häufig in der Sauna anzutreffen" gewesen seien und nur zwischen Fr. 250.-- und Fr. 500.-- zu leisten gehabt hätten.
2.3.6. Der Steuerpflichtige kritisiert damit zur Hauptsache die vorinstanzliche Beweiswürdigung, was unter die Tatfragen fällt (vorne E. 2.3.3), weshalb die Beschwerde den Anforderungen von <ref-law> (vorne E. 1.2 und 1.3) zu genügen hätte. Mit der alles entscheidenden Frage, inwiefern die Vorinstanz bei deren Beweiswürdigung verfassungsmässige Individualrechte verletzt haben könnte, setzt sich die Beschwerde nicht auseinander, ebenso wenig wie sie einen eigentlichen Unrichtigkeitsnachweis antritt. Das Bundesgericht hat damit auf den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt abzustellen. Die Kritik an der Bemessungsmethode, bei welcher es sich um eine Rechtsfrage des Bundesrechts handelt, fällt ebenso verhalten aus. Wie den vorinstanzlichen Feststellungen zu entnehmen ist, konnte die ESTV einzig gewisse Mietumsätze und einige wenige Dienstleistungsumsätze in Erfahrung bringen. Mit Blick darauf ist es bundesrechtlich nicht zu beanstanden, wenn die Methode hauptsächlich in der Hochrechnung aufgrund des Miete-Umsatz-Verhältnisses geschah. Eine besser geeignete Herangehensweise vermag der Steuerpflichtige nicht aufzuzeigen. Die vorinstanzlichen Erwägungen zur ermessensweisen Schätzung der Umsätze erweisen sich als bundesrechtskonform.
2.4.
2.4.1. Schliesslich bringt der Steuerpflichtige vor, die ermessensweise geschätzten Umsätze seien nicht netto (als 100 Prozent), sondern brutto (also inklusive Mehrwertsteuer) zu betrachten. Dadurch ergebe sich eine Differenz zu seinen Gunsten von Fr. 763.60. Hierzu ist Folgendes festzuhalten: Die ESTV hatte die direktsteuerlichen Umsätze zweier Masseurinnen herangezogen, worauf die von den übrigen Masseurinnen mutmasslich erzielten Umsätze geschätzt werden konnten. Als Multiplikator diente dabei das Miete-Umsatz-Verhältnis (Sachverhalt, lit. D).
2.4.2. Wenn aber von den direktsteuerlichen Umsätzen ausgegangen wird, so versteht es sich von selbst, dass es sich dabei um eine Nettogrösse handelt. Der Steuerpflichtige macht auch gar nicht geltend, dass die direktsteuerlich massgebenden Umsätze auch Mehrwertsteuer enthielten. Seine Überlegung geht vielmehr dahin, mit der Umsatzschätzung würden die Einnahmen, also der Bruttobetrag, geschätzt. Dies mag je nach Herangehensweise zutreffend sein. Im vorliegenden Fall, wo der direktsteuerliche Umsatz als Ausgangsbasis der Multiplikation dient, kann davon keine Rede sein. Im Übrigen kann hierzu auf das Urteil 2C_973/2017 / 2C_974/2017 vom 23. Januar 2018 E. 3.6 verwiesen werden, wo das Zusammenspiel - wenn auch mit umgekehrten Vorzeichen, das heisst aus Optik der direkten Steuern - dargelegt wurde.
2.5. Die Beschwerde erweist sich damit, was den Zeitraum vom 1. Mai 2000 bis und mit dem 31. Dezember 2000 und vom 1. Januar 2002 bis und mit dem 31. Dezember 2002 betrifft, als begründet. Sie ist insoweit zufolge eingetretener Verjährung gutzuheissen, im Übrigen aber abzuweisen. Geschuldet bleiben die auf den Zeitraum vom 1. Januar 2003 bis zum 1. Oktober 2004 entfallenden Mehrwertsteuern. Diese belaufen sich auf Fr. 24'748.70.
3.
3.1. Der Steuerpflichtige und die ESTV unterliegen und obsiegen je teilweise. Nach dem Unterliegerprinzip (<ref-law>) sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens daher teils dem Steuerpflichtigen, teils der ESTV, die in ihrem amtlichen Wirkungskreis tätig wird und Vermögensinteressen wahrnimmt (<ref-law>), aufzuerlegen. Mit Blick auf den Ausgang des Verfahrens rechtfertigt sich eine je hälftige Verlegung der Kosten.
3.2. Die ESTV hat dem Steuerpflichtigen, der sich durch ein Treuhandbüro vertreten lässt, eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (<ref-law> in Verbindung mit Art. 9 des Reglements des Bundesgerichts vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht [SR 173.110.210.3]). Der ESTV, die in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Entschädigung auszurichten (<ref-law>).
3.3. Zur Neuverlegung der Kosten und Entschädigungen des vorangegangenen Verfahrens wird die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 8. November 2017 wird in Bezug auf die Jahre 2000 und 2002 aufgehoben. In Bezug auf die Jahre 2003 und 2004 (erstes bis und mit drittes Quartal) wird die Beschwerde abgewiesen. Die Nachbelastung beläuft sich auf Fr. 24'748.70 zuzüglich Verzugszins.
2.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 3'000.-- werden je hälftig, ausmachend je Fr. 1'500.--, dem Beschwerdeführer und der Eidgenössischen Steuerverwaltung auferlegt.
3.
Die Eidgenössische Steuerverwaltung hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- auszurichten.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Bundesverwaltungsgericht zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. April 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher