Sachverhalt:
A.
Die A._ AG beantragte mit Gesuch vom 23. Februar 2017 in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts Weinfelden gegen B._ für Fr. 1'175'806.60 zuzüglich Zins die Erteilung der provisorischen Rechtsöffnung. Die Einzelrichterin des Bezirksgerichts Weinfelden wies das Rechtsöffnungsgesuch mit Entscheid vom 7. Juli 2017 ab.
B.
Eine dagegen erhobene Beschwerde der A._ AG wies das Obergericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 16. November 2017 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Die A._ AG ist mit Eingabe vom 5. Januar 2018 und Beschwerdeergänzung vom 22. Januar 2018 an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin beantragt, die provisorische Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 1'175'806.60 zuzüglich 5 % Zins seit 1. Dezember 2015 sowie für die Betreibungskosten zu erteilen. Eventuell sei die Angelegenheit zur Neubehandlung zurückzuweisen.
Mit Verfügung vom 6. März 2018 bewilligte das präsidierende Mitglied der Beschwerde die aufschiebende Wirkung im beantragten Umfang (erst- und zweitinstanzliche Parteientschädigung von total Fr. 16'700.--).
In der Sache schliesst das Obergericht unter Verzicht auf eine Vernehmlassung auf Abweisung der Beschwerde. B._ (Beschwerdegegner) beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Entscheid einer kantonalen Rechtsmittelinstanz, die über ein Rechtsöffnungsbegehren mit einem Streitwert über Fr. 30'000.-- befunden hat. Die Beschwerde in Zivilsachen ist gegeben (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 1 lit. b und Art. 75 Abs. 1 BGG).
1.2. Die Beschwerdeführerin hat ihre Beschwerde innert der 30-tägigen Rechtsmittelfrist im Sinne von <ref-law> (wie bereits in ihrer ersten Eingabe angekündigt) ergänzt, was entgegen der Auffassung des Beschwerdegegners zulässig ist (<ref-ruling> E. 1.2.1; Urteil 2C_66/2013 vom 7. Mai 2013 E. 1.2). Der Beschwerdegegner macht weiter geltend, dass Rechtsanwältin D._ die Beschwerdeschrift vom 5. Januar 2018 i.V. für Rechtsanwalt Lörli unterzeichnet hat, ohne hierfür eine genügende Vollmacht aufweisen zu können. Da Rechtsanwalt Lörli aber immerhin die Beschwerdeergänzung signiert hat, kann auf die Ansetzung einer Nachfrist im Sinne von <ref-law> verzichtet werden.
1.3. Mit der vorliegenden Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen, wobei hier das Rügeprinzip gilt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2).
1.4. Der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt ist für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn die Feststellung offensichtlich unrichtig - d.h. willkürlich (<ref-ruling> E. 1.5 S. 130 mit Hinweis) - ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (<ref-law>). Will der Beschwerdeführer die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten, muss er darlegen, inwiefern die genannten Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356). Bei der Rüge der offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>) und es ist demnach anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen, inwiefern die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung willkürlich sein soll. Demzufolge genügt es nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten. Auf solche rein appellatorische Kritik am Sachverhalt tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE <ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.4.2 und 1.4.3).
2.
Die Beschwerdeführerin stützt ihr Rechtsöffnungsgesuch auf den von den Parteien am 25. November 2015 unterzeichneten "Garantievertrag". Sie qualifiziert diese Vereinbarung als - formlos gültiges - bürgschaftsähnliches Garantieversprechen im Sinn von <ref-law>. Demgegenüber hat der Beschwerdegegner begründet eingewendet, die von ihm gegebene Personalsicherheit sei entgegen dem Wortlaut der Vereinbarung keine Garantie, sondern eine Bürgschaft und diese sei wegen fehlender öffentlicher Beurkundung formungültig. Das Bezirksgericht hat den Einwand des Beschwerdegegners nach summarischer Prüfung der Rechts- und Sachlage als glaubhaft erachtet und das Rechtsöffnungsgesuch deshalb abgewiesen. Das Obergericht hat mit Bezug auf die Kognition des Rechtsöffnungsrichters bei der Auslegung von Verträgen zunächst festgehalten, dass für die Feststellung des normativen Konsenses als Rechtsanwendung grundsätzlich volle Kognition bestehe und den erstinstanzlichen Entscheid alsdann mit der Begründung geschützt, dass die subjektivierte Auslegung zu keinem Beweisergebnis führe und es sich objektiviert ausgelegt bei der Vereinbarung vom 25. November 2015 um eine Bürgschaft handle, die jedoch formnichtig sei.
3.
3.1. Beruht die Forderung auf einer durch Unterschrift bekräftigten Schuldanerkennung, kann der Gläubiger die provisorische Rechtsöffnung verlangen (<ref-law>). Der Richter spricht dieselbe - im summarischen Verfahren (<ref-law>) - aus, sofern der Betriebene nicht Einwendungen, welche die Schuldanerkennung entkräften, sofort glaubhaft macht (<ref-law>). Glaubhaft gemacht ist eine Tatsache dann, wenn für ihr Vorhandensein aufgrund objektiver Anhaltspunkte eine gewisse Wahrscheinlichkeit spricht, selbst wenn das Gericht noch mit der Möglichkeit rechnet, dass sie sich nicht verwirklicht haben könnte (<ref-ruling> E. 4.1.2; <ref-ruling> E. 3.3).
3.2. Im provisorischen Rechtsöffnungsverfahren sind alle Einreden und Einwendungen zulässig, welche geeignet sind, die Schuldanerkennung zu entkräften, insbesondere auch solche gegen Bestand und Höhe der Forderung (<ref-ruling> E. 4.2.1; SPÜHLER/INFANGER, Grundlegendes zur Rechtsöffnung, BlSchK 2000 S. 8). Der Betriebene kann sich dabei auch mit rechtlichen Einwänden behelfen und z.B. geltend machen, dass die Schuldanerkennung nichtig ist (VOCK/AEPLI-WIRZ, in: Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs SchKG, 4. Aufl. 2017, N. 26 zu <ref-law> mit Hinweis; <ref-ruling>; Urteil 5P.321/2005 vom 27. Januar 2006 E. 3.2).
4.
Zu Recht haben die Vorinstanzen vorfrageweise geprüft, ob die persönliche Verpflichtung des Beschwerdegegners vom 25. November 2015 als Garantie (<ref-law>) oder als Bürgschaft (Ar. 492 OR) zu qualifizieren ist, zumal das Rechtsöffnungsgericht nicht an den Wortlaut des Vertrages gebunden ist. Handelt es sich um eine Bürgschaft, ist sie unbestrittenermassen wegen Formmangels nichtig (vgl. <ref-law>).
4.1. Der unstrittig gebliebene und aktenmässig erstellte Sachverhalt stellt sich wie folgt dar:
Die C._ AG hat der Beschwerdeführerin, die insbesondere Arbeitskräfte vermittelt und verleiht, per 23. November 2015 gesamthaft Fr. 2'407'826.10 geschuldet. Mit Darlehensvertrag vom 25. November 2015 wurde diese Schuld in ein mit 5 % zu verzinsendes Darlehen mit einer ausführlichen Rückzahlungsvereinbarung umgewandelt. Zur Sicherstellung wurden gleichentags zwei weitere Verträge abgeschlossen. So vereinbarten die Parteien des Darlehensvertrags einen Zessionsvertrag. Die Darlehensnehmerin C._ AG trat als Sicherheit für den ihr gewährten Darlehensbetrag sowie für andere gegenwärtige oder künftige Ansprüche ihre sämtlichen aus ihrem Geschäftsbetrieb sich ergebenden gegenwärtigen und künftigen Forderungen samt Neben- und Vorzugsrechten unter Garantie für deren Bestand, Abtretbarkeit und Einbringlichkeit an die Beschwerdeführerin und Darlehensgeberin ab. Ebenfalls am 25. November 2015 schlossen der Beschwerdegegner als damaliger Alleinaktionär und einzelzeichnungsberechtigter Verwaltungsratspräsident der C._ AG und die Beschwerdeführerin den strittigen "Garantievertrag", auf den die Beschwerdeführerin ihr Rechtsöffnungsbegehren stützt. Nach der Präambel, die auf den Darlehensvertrag Bezug nimmt und die Sicherstellung der darin erwähnten Gesamtschuld als Zweck des Garantievertrags angibt, steht im Abschnit "I. Rechtsform", der Garant sei wirtschaftlich Berechtigter der Darlehensnehmerin und habe als solcher ein eigenes Interesse an der Gewährung des Darlehens an die Darlehensnehmerin und der damit zusammenhängenden Sicherheiten. Als im Handelsregister eingetragenem Präsidenten des Verwaltungsrats der Darlehensnehmerin mit Einzelzeichnungsberechtigung sei dem Garanten überdies die Tragweite der mit diesem Garantievertrag eingegangenen Verpflichtungen bewusst. Es entspreche dem gemeinsamen Willen der Parteien, unter allen möglichen Formen der Sicherstellung wie Schuldbeitritt, Bürgschaft etc., die Rechtsform des Garantievertrags zu wählen. Unter "II. Garantieleistung" verpflichtete sich der Garant unwiderruflich, der Darlehensgeberin auf erste Anforderung hin, ungeachtet der Gültigkeit und der Rechtswirkungen des eingangs erwähnten Darlehensvertrags und unter Verzicht auf jegliche Einwendungen und Einreden aus demselben, den Betrag in Höhe der gemäss Darlehensvertrag noch ausstehenden Amortisationsraten und Zinsen binnen 30 Tagen zu bezahlen. Gemäss dem daran anschliessenden Absatz des "Garantievertrags" ist die Darlehensgeberin zur Zahlungsaufforderung berechtigt, wenn die Darlehensnehmerin mit der Zahlung der im Darlehensvertrag vereinbarten Amortisationsraten oder Zinsen in Verzug ist.
4.2. Der Inhalt bzw. das Zustandekommen eines Vertrags bestimmt sich in erster Linie durch die subjektive Auslegung, d.h. nach dem übereinstimmenden wirklichen Parteiwillen (<ref-law>). Was die Parteien beim Vertragsabschluss gewusst, gewollt oder tatsächlich verstanden haben, ist eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 3.3). Wenn eine tatsächliche Willensübereinstimmung unbewiesen bleibt, sind zur Ermittlung des mutmasslichen Parteiwillens die Erklärungen der Parteien aufgrund des Vertrauensprinzips so auszulegen, wie sie nach ihrem Wortlaut und Zusammenhang sowie den gesamten Umständen verstanden werden durften und mussten. Das Bundesgericht überprüft diese objektivierte Auslegung von Willenserklärungen als Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.1).
4.3. Die Beschwerdeführerin macht zunächst geltend, das Obergericht habe bei der subjektiven Vertragsauslegung zu Unrecht nicht auf den eindeutigen Wortlaut des "Garantievertrags" vom 25. November 2015 abgestellt. Namentlich finde sich im Handelsregister der C._ AG insbesondere die Bestimmung, dass sie "auch Finanzierungen für eigene oder fremde Rechnung vornehme sowie Garantien und Bürgschaften für Tochtergesellschaften und Dritte eingehe". Hätte das Obergericht den Handelsregisterauszug der C._ AG gewürdigt, hätte es zum Schluss kommen müssen, dass der Beschwerdegegner aufgrund seiner Tätigkeit auch mit Sicherungsverträgen vertraut und damit geschäftserfahren sei, weshalb sich dieser den objektiven juristischen Sinn der im "Garantievertrag" verwendeten Ausdrücke entgegenhalten lassen müsse.
4.3.1. Das Obergericht hat sich in erster Linie bemüht, den wirklichen und übereinstimmenden Parteiwillen (vgl. <ref-law>) festzustellen. Der Grundsatz des Vorrangs der subjektiven Auslegung ist damit entgegen dem Vorbringen der Beschwerdeführerin nicht verletzt worden. Das Obergericht hat diesbezüglich namentlich erwogen, der Beschwerdegegner sei vor ein von der Beschwerdeführerin vorformuliertes Vertragswerk gesetzt worden. Gestützt auf die vorhandenen Akten könne ihm keine Geschäftsgewandtheit im Sinn der bundesgerichtlichen Rechtsprechung und Lehre zugesprochen werden. Der Beschwerdegegner sei zwar Verwaltungsratspräsident der C._ AG. Es würden aber jegliche substanziierte Behauptungen, geschweige denn aktenmässig erstellte Indizien fehlen, wonach er als solcher oft mit Sicherungsverträgen zu tun gehabt hätte. Die explizite "Wahl des Garantievertrags" bleibe im Grunde genommen eine Floskel über die Bezeichnung des Vertrags, die nicht entscheidend sei. Es könne keinesfalls davon ausgegangen werden, der Beschwerdegegner habe sich als Privatperson verpflichten wollen, der Beschwerdeführerin bis zu rund Fr. 2.4 Mio. zu zahlen, gleichgültig, ob die C._ AG der Beschwerdeführerin diesen Betrag schuldet oder nicht. Ohne weitere Beweisabnahmen, die im Rechtsöffnungsverfahren nicht vorgesehen seien, sei ein übereinstimmender Wille, die Parteien hätten eine Garantie im Sinn von <ref-law> vereinbart, nicht erstellt.
4.3.2. Dass die vorinstanzliche Beweiswürdigung, gemäss welcher kein übereinstimmender Parteiwille ermittelbar sei, an Willkür krankt, vermag die Beschwerdeführerin nicht aufzuzeigen. So findet sich - wie der Beschwerdegegner mit konkreten Beispielen nachweist - der von der Beschwerdeführerin herausgegriffene Textbaustein im Handelsregisterauszug der C._ AG nahezu wortgleich in diversen Handelsregisterauszügen von Unternehmen unterschiedlichster Branchen, was nicht dazu führen kann, dass sämtliche Verwaltungsräte dieser Unternehmen bezüglich solcher Sicherungsgeschäfte von vornherein als geschäftsgewandt im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zu gelten haben (zum Begriff vgl. <ref-ruling> E. 2.4.2). Dieses Vorbringen der Beschwerdeführerin genügt deshalb nicht, um die vorinstanzliche Annahme, es sei weder substanziiert behauptet noch erstellt, dass der Beschwerdegegner oft mit Sicherungsverträgen zu tun gehabt habe, als willkürlich auszuweisen. Im Übrigen stellt der Umstand, dass das Obergericht diesem Handelsregisterauszug nicht die von der Beschwerdeführerin gewünschte Bedeutung beigemessen hat, auch keine Verletzung des rechtlichen Gehörs dar.
4.4. Die Beschwerdeführerin hält sodann dafür, die objektivierte Auslegung nach dem Vertrauensprinzip ergebe entgegen der Auffassung des Obergerichts nicht Bürgschaft sondern Garantie. Die Indizien zugunsten eines selbständigen Garantieversprechens im Sinne von <ref-law> würden klar überwiegen, weshalb die in Zweifelsfällen geltende Vermutung, dass bei Verpflichtungen von Privatpersonen eher auf eine Bürgschaft zu schliessen ist, nicht zur Anwendung gelange. Namentlich sei der Wortlaut völlig eindeutig und lasse der blosse Umstand, dass auf den Darlehensvertrag Bezug genommen werde, noch nicht auf Akzessorietät schliessen, da sowohl bei der Bürgschaft als auch beim bürgschaftsähnlichen Garantievertrag ein Drittschuldverhältnis vorhanden sei. Als Alleinaktionär und Verwaltungsratspräsident der C._ AG habe der Beschwerdegegner den Garantievertrag nicht in völliger Unkenntnis geschlossen. Vielmehr habe er aufgrund seiner Kenntnis gar nicht befürchten müssen, dass er Fr. 2.4 Mio. zahlen muss, ohne dass die C._ AG der Beschwerdeführerin diesen Betrag tatsächlich schuldet. Die Argumentation des Obergerichts laufe letztlich darauf hinaus, dass für die bürgschaftsähnliche Garantie kein Raum mehr verbleibe.
4.4.1. Mit der Bürgschaft übernimmt der Bürge gegenüber dem Gläubiger die Pflicht, für die Erfüllung der Schuld eines Dritten, des Hauptschuldners, einzustehen (<ref-law>). Die Bürgschaft setzt den Bestand einer anderen (der sicherzustellenden) Verpflichtung voraus. Sie ist dieser beigeordnet und hängt in Bestand und Inhalt von dieser ab. Die Bürgschaft hat somit einen akzessorischen Charakter. Sie garantiert die Zahlungsfähigkeit des Schuldners oder die Erfüllung eines Vertrages (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2b; Urteil 4A_310/2015 vom 29. Oktober 2015 E. 3.1).
4.4.2. Der gemeinhin unter <ref-law> subsumierte Garantievertrag weist verschiedene Erscheinungsformen auf. Bei der reinen Garantie steht der Garant für einen von jedwelchem konkreten Schuldverhältnis unabhängigen Erfolg ein. Daneben umfasst der Begriff der Garantie auch diejenigen Verpflichtungen, die sich in irgendeiner Weise auf ein Schuldverhältnis beziehen, das dem Begünstigten einen Anspruch auf Leistung eines Dritten gibt (sogenannte bürgschaftsähnliche Garantie oder Garantie im engeren Sinn). Mit ihnen soll diese Leistung gesichert werden, gleichgültig, ob sie tatsächlich geschuldet ist; die Verpflichtung gilt damit auch für den Fall, dass die Schuldpflicht nie entstanden ist, wegfällt oder nicht erzwingbar ist. Der Promittent verspricht dem Promissar Schadenersatz für den Fall, dass der Dritte sich nicht erwartungsgemäss verhält (BGE <ref-ruling> E. 2b; <ref-ruling> E. 2a; vgl. dazu auch <ref-ruling> E. 4.2; Urteil 4A_530/2008 vom 29. Januar 2009 E. 5.1). Auf das Vorliegen dieses Instituts beruft sich die Beschwerdeführerin.
Als Abgrenzungskriterium zwischen der bürgschaftsähnlichen Garantie und der Bürgschaft steht die Akzessorietät im Vordergrund. Akzessorietät bedeutet, dass die Sicherheit das Schicksal der Hauptschuld teilt, indem die akzessorische Verpflichtung von der Hauptschuld abhängig ist und dieser als Nebenrecht folgt (BGE <ref-ruling> E. 2b; <ref-ruling> E. 2b; <ref-ruling> E. 2b; zit. Urteil 4A_530/2008 E. 5.1).
Ob ein akzessorischer Bürgschaftsvertrag oder ein selbständiger Garantievertrag vorliegt, ist durch Auslegung des Sicherungsvertrags zu ermitteln (BGE <ref-ruling> E. 2b; <ref-ruling> E. 2b).
4.4.3. Für die Beurteilung, ob eine Verpflichtung selbständiger oder akzessorischer Natur vorliegt, sind verschiedene Anhaltspunkte bzw. Indizien zu berücksichtigen, die nach der Rechtsprechung für das eine oder das andere sprechen können, wobei stets der Gesamtheit der Umstände Rechnung zu tragen ist. So spricht es namentlich für eine Bürgschaft, wenn der Promittent erklärt, einzig für die Verbindlichkeiten des Hauptschuldners einstehen zu wollen, sein Leistungsversprechen mithin identisch mit der Leistungspflicht des Hauptschuldners ist, die er sicherstellt (BGE <ref-ruling> E. 3b; <ref-ruling> E. 2b). Demgegenüber ist es ein Indiz für eine Garantie, wenn die Summe, die der Promittent zu zahlen verspricht, nicht mit derjenigen übereinstimmt, die der Hauptschuldner schuldet (<ref-ruling> E. 2d/bb). Vermutungsweise liegt eine Bürgschaft vor, wenn zur Feststellung der Garantenleistung vollumfänglich auf das Grundverhältnis zurückgegriffen werden muss, während es auf eine Garantie hindeutet, wenn im Sicherungsvertrag selber ein detaillierter, selbständiger Leistungsbeschrieb enthalten ist (BGE <ref-ruling> E. 3c; <ref-ruling> E. 2b). Verzichtet der Promittent auf die Erhebung der dem Hauptschuldner zustehenden Einreden und Einwendungen, spricht dies dafür, es sei eine Garantie gewollt gewesen, wenn es auch für sich allein kaum die Annahme eines Garantievertrags zu begründen vermag, da es sich dabei auch um eine nach Massgabe des Bürgschaftsrechts (Art. 492 Abs. 4 in Verbindung mit <ref-law>) nichtige Verpflichtung handeln könnte (BGE <ref-ruling> E. 3d; vgl. auch <ref-ruling> E. 4.3; <ref-ruling> E. 2b). Verspricht der Promittent zudem, auf erstes Verlangen zu bezahlen, spricht dies eher für einen Garantievertrag (<ref-ruling> E. 4.3).
4.4.4. Wenn die Auslegung nach Wortlaut, Sinn und Zweck des Vertrags, nach dem Sachzusammenhang und der inhaltlichen Ausgestaltung der einzelnen Erklärungen nicht zu einem eindeutigen Ergebnis führt, greifen nach Lehre und Rechtsprechung verschiedene Vermutungen Platz. So gilt die Vermutung, dass zur Verwirklichung des vom Bürgschaftsrecht angestrebten Schutzes des Verpflichteten im Zweifelsfall eher auf Bürgschaft zu schliessen ist. Weiter sollen Garant ieerklärungen geschäftsgewandter Banken und Sicherungsgeschäfte über Auslandverträge vermutungsweise als Garantien, Garantieerklärungen von Privatpersonen demgegenüber eher als Bürgschaften gewertet werden (<ref-ruling> E. 4.3; <ref-ruling> E. 2c; <ref-ruling> E. 2b; <ref-ruling> E. 1d).
4.4.5. Für den konkreten Fall ergeben sich namentlich die folgenden (im Wesentlichen bereits vom Bezirksgericht berücksichtigten) Gesichtspunkte:
4.4.5.1. Die Vereinbarung wird als "Garantievertrag" bezeichnet und das Vorliegen einer Bürgschaft gemäss dem Vertragstext sogar explizit ausgeschlossen. Dies weist auf einen Garantievertrag hin. Ob Bürgschaft oder Garantie vorliegt, lässt sich indes nicht allein aufgrund der von den Parteien gebrauchten Formulierungen entscheiden. Die Rechtsprechung, wonach gegenüber geschäftserfahrenen, im Gebrauch von Fachbegriffen gewandten Personen, eine strikte Auslegung nach dem Wortlaut angezeigt sein kann (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2b/c; <ref-ruling> E. 2.4.1), ist nach den willkürfreien und damit verbindlichen vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen nicht einschlägig, stand das Obergericht doch vor dem Ergebnis, dass nicht von einer Geschäftsgewandtheit des Beschwerdegegners ausgegangen werden konnte. Ausserdem enthält das Sicherungsversprechen daneben auch Formulierungen, die für Akzessorietät sprechen und schreibt <ref-law> klar vor, Bezeichnungen, die von den Parteien möglicherweise unrichtig gebraucht worden sind, nicht zu beachten.
4.4.5.2. Eher für das Vorliegen einer Garantie spricht, dass der Beschwerdegegner als Alleinaktionär der C._ AG ein wirtschaftliches Interesse am Zustandekommen des Darlehensvertrags hatte (s. dazu PESTALOZZI, in: Basler K ommentar, Obligationenrecht I, 6. Aufl. 2015, N. 31 zu <ref-law>).
4.4.5.3. Die Verpflichtung des Beschwerdegegners bezog sich genau auf denselben Betrag wie die Verpflichtung der C._ AG: Es ging darum, die Rückzahlung des an letztere gewährten Darlehens sicherzustellen. Die Beschwerdeführerin wollte sich offensichtlich direkt an den Beschwerdegegner wenden können, falls sich die C._ AG als zahlungsunfähig erweisen sollte. Wenn zur Feststellung der garantierten Leistung vollumfänglich auf das vertragliche Drittschuldverhältnis zurückgegriffen werden muss, ist eher auf Bürgschaft zu schliessen (BGE <ref-ruling> E. 2c; PESTALOZZI, a.a.O., N. 29 zu <ref-law>).
4.4.5.4. Auf der anderen Seite erklärte der Beschwerdegegner in Ziff. 3 des "Garantievertrags", der Beschwerdeführerin auf erste Anforderung hin, ungeachtet der Gültigkeit und der Rechtswirkungen des Darlehensvertrags und unter Verzicht auf jegliche Einwendungen und Einreden aus demselben zu leisten. Dass die blosse schriftliche Aufforderung des Beschwerdegegners ohne jegliche Nachweise für die Auslösung der Zahlungspflicht ausreicht, spricht wiederum für eine selbständige Garantieverpflichtung (vgl. <ref-ruling> E. 4.3; Urteil 4A_279/2009 vom 14. September 2009 E. 4.3). Allerdings hält die Beschwerdeführerin selbst fest, dass die Einwände lediglich insofern umfassend wegbedungen werden sollten, als sie nicht die Forderungshöhe betreffen, womit die Bedeutung dieser Klausel als Indiz für das Vorliegen einer Garantie relativiert wird (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3d; PESTALOZZI, a.a.O., N. 30 zu <ref-law>). Immerhin hat das Bundesgericht in Erwägung 4.5 des Urteils 4A_279/2009 vom 14. September 2009 betont, dass eine Reduktion der Leistungspflicht um bereits bezahlte Darlehensbeträge nicht zwingend volle Akzessorietät zur Folge habe.
4.4.5.5. Von Relevanz könnte auch sein, ob das Garantieversprechen zu einem Zeitpunkt abgegeben wurde, in dem man wusste, dass die Hauptschuldnerin vermutlich nicht erfüllen kann (BGE <ref-ruling> E. 2b). Diesbezüglich fehlt es im angefochtenen Entscheid aber an konkreten Feststellungen.
4.4.6. Die bisherigen Erwägungen erlauben den Schluss, dass die Annahme eines Zweifelsfalls mit entsprechender Vermutungsfolge zugunsten des Vorliegens einer Bürgschaft zumindest ernsthaft in Betracht fällt. Das Obergericht hat <ref-law> deshalb nicht verletzt, indem es die Beschwerde gegen den Rechtsöffnungsentscheid des Bezirksgerichts, welches den Nichtigkeitseinwand des Beschwerdegegners nach summarischer Beurteilung der Rechts- und Sachlage als glaubhaft erachtet hat, abgewiesen hat. Dies schliesst keinesfalls aus, dass eine umfassende Analyse der Gesamtsituation - namentlich der Umstände des Vertragsschlusses und der Interessen der Parteien - ungeachtet der eindeutigen Bezugnahme auf das zu sichernde Grundverhältnis zum gegenteiligen Schluss führen kann, dass mit dem "Garantievertrag" tatsächlich eine Garantie im Sinne von <ref-law> vereinbart wurde bzw. dass sich der Beschwerdegegner unter den konkreten Umständen nicht auf den mit dem formstrengen Bürgschaftsrecht gewollten Sozialschutz berufen kann. Das Bezirksgericht hat diesbezüglich zutreffend festgehalten, dass sich darüber mit der im Rechtsöffnungsverfahren lediglich summarisch vorzunehmenden Prüfung und der Beweismittelbeschränkung nicht abschliessend befinden lässt.
4.5. Nicht vorbehaltlos gefolgt werden kann in diesem Zusammenhang den vorinstanzlichen Erwägungen zur Kognition des Rechtsöffnungsrichters bei der Auslegung von Verträgen (vgl. oben E. 2). Diesbezüglich ist zu berücksichtigen, dass die vorliegende Materie eine komplexe Gesamtabwägung erfordert (vgl. PESTALOZZI, a.a.O., N. 31 zu <ref-law>) und sich der Rechtsöffnungsrichter trotz Geltung des Grundsatzes iura novit curia jedenfalls dann auf eine summarische Prüfung einer mit dem Rechtsöffnungstitel zusammenhängenden materiellen Rechtsfrage beschränken darf, wenn eine umfassende Prüfung dem raschen Entscheid entgegenstünde (vgl. VEUILLET, La mainlevée de l'opposition, Abbet/Veuillet [Hrsg.], N. 108 zu <ref-law> mit Hinweisen; KREN KOSTKIEWICZ, Schuldbetreibungs- & Konkursrecht, 3. Aufl. 2018, § 4 Rz. 60mit Hinweis; LEUENBERGER, Glaubhaftmachen, in: Der Beweis im Zivilprozess, 2000, S. 125 f.; STAEHELIN, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Bd. I, 2. Aufl. 2010, N. 88 zu <ref-law>). Es gilt zu beachten, dass über Rechtsöffnungsgesuche im summarischen Verfahren entschieden wird (<ref-law>) und dass der Rechtsöffnungsrichter nicht über den Bestand der in Betreibung gesetzten Forderung befindet, sondern nur über deren Vollstreckbarkeit (<ref-ruling> E. 1.5). Zweck des hier interessierenden provisorischen Rechtsöffnungsverfahrens ist es, rasch über die Beseitigung des Rechtsvorschlags zu entscheiden und - wenn der gefällte Entscheid nicht akzeptiert wird - die Parteirollen für den ordentlichen Prozess festzulegen (LEUENBERGER, a.a.O., S. 112). Entsprechend würdigt der Rechtsöffnungsrichter nur die Beweiskraft der vom Gläubiger vorgelegten Urkunde, nicht aber die Gültigkeit der Forderung an sich. Dass dabei auch gewisse materiellrechtliche Punkte vorfrageweise zu berücksichtigen sind, ändert an der Rechtsnatur des provisorischen Rechtsöffnungsverfahrens nichts. Der materielle Forderungsprozess folgt erst nach dem Rechtsöffnungsentscheid und auch nur dann, wenn die Parteien die Initiative hierzu ergreifen (vgl. <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 5.3).
Da die Abweisung des Rechtsöffnungsgesuchs nach dem Gesagten nichts über das Bestehen oder Nichtbestehen der Forderung besagt, steht es der Beschwerdeführerin offen, zur Durchsetzung ihres behaupteten Anspruchs den ordentlichen Prozessweg zu beschreiten.
5.
Der Beschwerde ist kein Erfolg beschieden. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG). Der Kostenentscheid erfolgt im bundesgerichtlichen Verfahren von Amtes wegen und bedarf keines Antrags. Nach dem Grundsatz, dass das Gericht nicht über die Parteianträge hinausgehen darf, ist die zuzusprechende Parteientschädigung allerdings durch den bezifferten Antrag des Beschwerdegegners in der Beschwerdeantwort nach oben limitiert (GEISER, in: Basler Kommentar BGG, 3. Aufl. 2018, N. 3 zu <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 15'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 12'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. April 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss