Sachverhalt:
A.
A.a. A._, geboren 1935, deutscher Staatsangehöriger, kam zusammen mit seiner Ehefrau, ebenfalls deutsche Staatsangehörige, im Jahre 2008 in die Schweiz und erhielt durch das Migrationsamt des Kantons Aargau (heute: Amt für Migration und Integration Kanton Aargau, MIKA) eine EG/EFTA-Aufenthaltsbewilligung zur Ausübung einer selbständigen Tätigkeit als Arzt. Am 23. August 2013 wurde ihm die Niederlassungsbewilligung erteilt.
A.b. Am 30. März 2016 verurteilte das Bezirksgericht Zurzach A._ rechtskräftig wegen mehrfacher, qualifizierter Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz und mehrfacher Widerhandlung gegen das Heilmittelgesetz zu einer Freiheitsstrafe von zwei Jahren, einer Geldstrafe von 100 Tagessätzen à Fr. 30.-- sowie einer Busse von Fr. 8'000.--.
A.c. Mit Verfügung vom 24. November 2017 entzog das Departement Gesundheit und Soziales des Kantons Aargau die Berufsausübungsbewilligung von A._ als privatwirtschaftlich in eigener fachlicher Verantwortung tätiger Arzt. Dieser Entscheid wurde letztinstanzlich durch Urteil des Bundesgerichts vom 2. April 2019 (2C_907/2018) bestätigt.
A.d. Mit Verfügung vom 7. Juni 2018 und Einspracheentscheid vom 30. August 2018 widerrief das MIKA die Niederlassungsbewilligung von A._ und wies ihn aus der Schweiz weg.
B.
Dagegen erhob A._ Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau. Dieses hob mit Urteil vom 6. Mai 2019 den Einspracheentscheid in teilweiser Gutheissung der Beschwerde bezüglich Wegweisung auf und wies das MIKA an, A._ eine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA zu erteilen. Zugleich verwarnte es A._ unter Androhung des Widerrufs der neu zu erteilenden Aufenthaltsbewilligung. Es erwog, der Widerruf der Niederlassungsbewilligung sei gemessen am nationalen Recht nicht zu beanstanden. Hingegen seien die Voraussetzungen für eine Wegweisung gemäss Art. 5 Abs. 1 Anhang I FZA nicht erfüllt; zwar sei aufgrund der deliktischen Karriere eine hinreichend schwere Gefahr für die Gesellschaft im Sinne dieser Bestimmung zu bejahen. Diese Gefährdung sei im Zeitpunkt des Einspracheentscheids auch noch gegenwärtig gewesen, da sich A._ mit allen Mitteln gegen den Entzug der Berufausübungsbewilligung gewehrt habe und sein deliktisches Verhalten ausschliesslich im Zusammenhang mit seiner Berufsausübung als Arzt gestanden habe; es habe daher eine konkrete Gefahr weiterer Straftaten bestanden, wenn er seine Arztpraxis nicht schliessen sollte. Nachdem ihm aber nun inzwischen rechtskräftig verboten worden sei, als Arzt tätig zu sein, sei diese Gefahr nicht mehr als hinreichend konkret zu qualifizieren. Damit seien die Voraussetzungen für eine Einschränkung der Freizügigkeitsrechte gemäss Art. 5 Abs. 1 Anhang I FZA nicht mehr erfüllt, weshalb eine Wegweisung gegen diese Bestimmung verstossen würde. Zusammenfassend sei zwar der Widerruf der Niederlassungsbewilligung zu bestätigen, jedoch - im Sinne eines Grenzfalls - auf eine Wegweisung zu verzichten und das MIKA anzuweisen, A._ eine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA zu erteilen. Zugleich sei er zu verwarnen.
C.
Das Staatssekretariat für Migration (SEM) erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, in teilweiser Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts sei die zuständige Behörde anzuweisen, die Wegweisung von A._ anzuordnen. Zusätzlich sei bei Verneinung der Gegenwärtigkeit der Gefährdung der öffentlichen Ordnung und Sicherheit die zuständige kantonale Behörde anzuweisen, das Vorliegen eines Aufenthaltsrechts gemäss FZA zu prüfen.
Das Verwaltungsgericht beantragt Abweisung der Beschwerde. Das MIKA hat keine Vernehmlassung eingereicht. A._ beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Eventualiter sei das MIKA anzuweisen, ihm eine Aufenthaltsbewilligung auf der Basis von Art. 8 EMRK zu erteilen.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid ist zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG), zumal das SEM geltend macht, die Vorinstanz habe zu Unrecht einen Anspruch auf Aufenthaltsbewilligung bejaht (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 4.4.4 S. 176).
1.2. Das SEM ist zur Beschwerde legitimiert (Art. 89 Abs. 2 lit. a BGG; Art. 14 Abs. 2 der Organisationsverordnung für das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement vom 17. November 1999 [OV-EJPD; SR 172.213.1]).
1.2.1. Der Beschwerdegegner bestreitet die Legitimation des SEM mit verschiedenen Argumenten, seine Einwände sind jedoch unbegründet.
1.2.1.1. Das Beschwerderecht der Bundesbehörden gemäss Art. 89 Abs. 2 lit. a BGG ist abstrakter und autonomer Natur (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 326; <ref-ruling> E. 1.2 S. 363); es dient dazu, den Vollzug des Bundesverwaltungsrechts in den Kantonen und in der Bundesverwaltung zu überwachen; es soll dadurch dessen richtige und einheitliche Anwendung - wenn nötig letztinstanzlich durch das Bundesgericht - sichergestellt werden. Das Beschwerderecht der Bundesbehörden setzt kein hierüber hinausgehendes spezifisches schutzwürdiges (öffentliches) Interesse voraus (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 341 f.; Urteile 2C_645/2018 vom 28. September 2018 E. 1.2; 2C_207/2013 vom 28. April 2014 E. 1.3). Eine Bundesbehörde ist insbesondere dann zur Beschwerde legitimiert, wenn sich eine neu zu beurteilende Rechtsfrage stellt (<ref-ruling> E. 1.1 S. 203; <ref-ruling> E 1.2.1 S. 341 f.). Das SEM macht vorliegend eine solche geltend, indem es die Frage aufwirft, ob nach Beendigung einer selbständigen Erwerbstätigkeit auch dann ein Aufenthaltsrecht nach Art. 4 Anhang I FZA besteht, wenn die selbständige Erwerbstätigkeit in der Schweiz, die zur Erteilung der ursprünglichen Aufenthaltsbewilligung geführt hat, erst nach Erreichen des ordentlichen Rentenalters aufgenommen wurde.
1.2.1.2. Entgegen der Auffassung des Beschwerdegegners ist das SEM sodann nach ständiger bundesgerichtlicher Rechtsprechung nicht nur zur Beschwerdeführung legitimiert, um eine falsche Anwendung der Bundesgesetzgebung zu rügen, sondern auch eine falsche Anwendung von Völkerrecht (vgl. z.B. <ref-ruling> E. 3.2 S. 141; Urteil 2C_471/2019 vom 20. September 2019 E. 2.1), namentlich auch des FZA, wobei eine falsche Anwendung sowohl dann vorliegt, wenn in Verletzung des FZA eine Bewilligung zu Unrecht nicht erteilt wird, als auch, wenn sie zu Unrecht erteilt wird (vgl. Urteile 2C_567/2017 vom 5. März 2018 E. 3 und 4; 2C_1092/2013 vom 4. Juli 2014 E. 1.2; 2C_401/2012 vom 18. September 2012 E. 1.2).
1.2.1.3. Schliesslich steht der Beschwerdebefugnis der Bundesbehörde nicht entgegen, dass die kantonale Behörde, deren Entscheid von der kantonalen Rechtsmittelbehörde nicht bestätigt wurde, bei der Bundesbehörde eine Beschwerdeerhebung anregt. Es bleibt Sache der zuständigen Bundesbehörde zu entscheiden, ob sie dieser Anregung Folge leistet oder nicht.
1.2.2. Auf die Beschwerde des SEM ist somit einzutreten.
2.
Der Beschwerdegegner hat das Urteil der Vorinstanz nicht angefochten. Damit ist der darin bestätigte Widerruf der Niederlassungsbewilligung rechtskräftig geworden. Ebenfalls nicht Streitgegenstand des vorliegenden Verfahrens ist das Vorgehen der Vorinstanz, die Niederlassungsbewilligung des Beschwerdegegners zu widerrufen, ihm dafür aber eine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA zu erteilen. Diese Rückstufung des ausländerrechtlichen Aufenthaltsrechts wird weder vom SEM noch vom Beschwerdegegner angefochten.
3.
3.1. Dass SEM beanstandet, dass zu prüfen sei, ob der Beschwerdegegner überhaupt einen Anspruch auf die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA hat. Das FZA gibt EU-Angehörigen kein voraussetzungsloses Aufenthaltsrecht in der Schweiz, sondern nur ein Aufenthaltsrecht unter bestimmten Bedingungen, nämlich zu selbständiger oder unselbständiger Erwerbstätigkeit (Art. 6 ff. und 12 ff. Anhang I FZA), als Familienangehörige (Art. 3 Anhang I FZA), aus Verbleiberecht (Art. 4 Anhang I FZA) oder als Person ohne Erwerbstätigkeit unter den dafür geltenden Voraussetzungen (Art. 24 Anhang I FZA). Art. 5 Anhang I FZA stellt Anforderungen an die Einschränkung der durch das FZA eingeräumten Rechte, setzt somit voraus, dass solche Rechte überhaupt bestehen. Wenn keine Aufenthaltsrechte gemäss FZA bestehen, kann Art. 5 Anhang I FZA von vornherein nicht zum Tragen kommen.
3.2. Zunächst ist also zu prüfen, ob der Beschwerdegegner gestützt auf das FZA einen Anspruch auf Aufenthalt hat, und zwar nicht nur dann, wenn die Voraussetzungen für eine Einschränkung nach Art. 5 Anhang I FZA nicht erfüllt sind, sondern schon als Voraussetzung, damit diese Bestimmung überhaupt zum Tragen kommt. Wäre nämlich ein Aufenthaltsrecht nach FZA zu verneinen, hätte die Vorinstanz zu Unrecht geprüft, ob Art. 5 Anhang I FZA verletzt sei, und es hätte beim Widerruf der Niederlassungsbewilligung sein Bewenden (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 4 f.).
3.2.1. Dem Beschwerdegegner wurde die Bewilligung zur Ausübung seiner bisherigen selbständigen Erwerbstätigkeit als Arzt rechtskräftig entzogen. Das SEM geht deshalb davon aus, dass ein Aufenthaltsanspruch nach FZA zur selbständigen Erwerbstätigkeit (Art. 12 Anhang I FZA) nicht mehr zur Diskussion steht. Ein solcher wird denn vom Beschwerdegegner auch nicht geltend gemacht.
3.2.2. Angesichts des Alters des Beschwerdegegners ist auch kaum anzunehmen, dass dieser eine unselbständige Erwerbstätigkeit (Art. 6 Anhang I FZA) aufnehmen möchte. Dies wird vom Beschwerdegegner auch nicht geltend gemacht.
3.2.3. Der Beschwerdegegner macht jedoch ein Verbleiberecht nach Art. 4 Anhang I FZA geltend, was das SEM bestreitet. Es geht davon aus, dass ein Verbleiberecht nur bestehe, wenn die Aufnahme der selbständigen Erwerbstätigkeit spätestens drei Jahre vor dem Erreichen des Rentenalters erfolgt sei; der Beschwerdegegner habe jedoch die entsprechende Aufenthaltsbewilligung erst im Alter von 73 Jahren erworben und erfülle somit die Voraussetzungen des Verbleiberechts nicht. Der Beschwerdegegner bestreitet diese Voraussetzung.
3.2.4. Weder das Bundesgericht noch der Europäische Gerichtshof (EuGH) haben sich bisher zur Rechtsfrage geäussert, ob ein Bewilligungsanspruch nach der Beendigung einer selbständigen Erwerbstätigkeit gemäss Art. 4 Anhang I FZA auch dann besteht, wenn die selbständige Erwerbstätigkeit in der Schweiz ursprünglich erst nach Erreichen des ordentlichen Rentenalters aufgenommen wurde. Die Beantwortung dieser Rechtsfrage ist somit durch Auslegung der einschlägigen Bestimmungen zu ergründen.
3.2.5. Bei der Auslegung und Anwendung von völkerrechtlichen Verträgen sind namentlich die sich aus den Art. 31 ff. des Wiener Übereinkommens vom 23. Mai 1969 über das Recht der Verträge (VRK; SR 0.111) ergebenden Grundsätze massgebend (Urteil 2C_653/2018 vom 26. Juli 2019 E. 5.3.1, zur Publikation vorgesehen; <ref-ruling> E. 5.2.1 S. 148; <ref-ruling> E. 2.1.3 S. 167; <ref-ruling> E. 7.2.1 S. 422). Art. 31 Abs. 1 VRK bestimmt eine Reihenfolge der Berücksichtigung der verschiedenen Auslegungselemente, ohne dabei eine feste Rangordnung unter ihnen festzulegen. Ausgangspunkt der Auslegung völkerrechtlicher Verträge bildet der Wortlaut der vertraglichen Bestimmung. Der Text der Vertragsbestimmung ist aus sich selbst heraus gemäss seiner gewöhnlichen Bedeutung zu interpretieren (<ref-ruling> E. 8.2.1 S. 130; <ref-ruling> E. 6.3.1 S. 208; <ref-ruling> E. 5.2.2 S. 148). Diese gewöhnliche Bedeutung ist nach Treu und Glauben und unter Berücksichtigung ihres Zusammenhangs und des Ziels und Zwecks des Vertrags zu bestimmen (<ref-ruling> E. 8.2.1 S. 139; <ref-ruling> E. 6.3.1 S. 208; <ref-ruling> E. 5.2.2 S. 148). Ziel und Zweck des Vertrags ist dabei, was mit dem Vertrag erreicht werden sollte. Zusammen mit der Auslegung nach Treu und Glauben stellt die teleologische Auslegung den "effet utile" des Vertrags sicher (Urteil 2C_653/2018 vom 26. Juli 2019 E. 5.3.1, zur Publikation vorgesehen; <ref-ruling> E. 8.2.1 S. 139; <ref-ruling> E. 5.2.2 S. 148; <ref-ruling> E. 2.1.3 S. 167; <ref-ruling> E. 3.5.1 S. 503).
3.2.6. Gemäss Art. 4 Anhang I FZA haben die Staatsangehörigen einer Vertragspartei und ihre Familienangehörigen nach Beendigung ihrer Erwerbstätigkeit ein Recht auf Verbleib im Hoheitsgebiet der anderen Vertragspartei. Dabei wird für Arbeitnehmer auf die Verordnung (EWG) Nr. 1251/70 der Kommission vom 29. Juni 1970 über das Recht der Arbeitnehmer, nach Beendigung einer Beschäftigung im Hoheitsgebiet eines Mitgliedsstaates zu verbleiben (ABl. L 142 vom 30. Juni 1970 S. 24 ff.; hiernach: Verordnung Nr. 1251/70) und für Selbständigerwerbende auf die Richtlinie des Rates vom 17. Dezember 1974 über das Recht der Staatsangehörigen eines Mitgliedsstaats, nach Beendigung der Ausübung einer selbständigen Tätigkeit im Hoheitsgebiet eines anderen Mitgliedsstaates zu verbleiben (ABl. L 14 vom 20. Januar 1975 S. 10; hiernach: Richtlinie 75/34/EWG) Bezug genommen. Der Beschwerdegegner war in der Schweiz nicht als Arbeitnehmer, sondern als Selbständigerwerbender tätig, so dass die Richtlinie 75/34/EWG Anwendung findet.
3.2.7. Gemäss Art. 2 Abs. 1 lit. a der Richtlinie 75/34/EWG (analog zu Art. 2 Abs. 1 lit. a der Verordnung Nr. 1251/70) erkennen die Mitgliedsstaaten das Recht auf ständiges Verbleiben in ihrem Hoheitsstaat zu "dem Selbständigen, der zu dem Zeitpunkt, in dem er seine Tätigkeit aufgibt, das nach der Gesetzgebung dieses Mitgliedsstaats vorgeschriebene Alter für die Geltendmachung einer Altersrente erreicht hat, in diesem Mitgliedsstaat mindestens in den letzten zwölf Monaten seine Tätigkeit ausgeübt und sich dort seit mindestens drei Jahren ständig aufgehalten hat. Wird nach den Rechtsvorschriften dieses Mitgliedsstaats bestimmten Gruppen von Selbständigen kein Anspruch auf Altersrente zuerkannt, so gilt die Altersvoraussetzung als erfüllt, sobald der Begünstigte das 65. Lebensjahr vollendet hat."
3.2.8. Dem Wortlaut dieser Bestimmung lässt sich nicht entnehmen, dass das Verbleiberecht nur dann bestehen soll, wenn die Erwerbstätigkeit vor dem ordentlichen Rentenalter aufgenommen wurde. Vielmehr besagt bereits der Wortlaut, dass ein Aufenthaltsrecht besteht, wenn im Aufenthaltsstaat im letzten Jahr eine selbständige Erwerbstätigkeit ausgeübt wurde, insgesamt ein mindestens drei- jähriger ständiger Aufenthalt vorliegt und dass die anspruchsberechtigte Person bei Aufgabe der selbständigen Erwerbstätigkeit das ordentliche Rentenalter von 65 Jahren überschritten haben muss. Die Auffassung des SEM, wonach ein Verbleiberecht nach Art. 4 Anhang I FZA nur bestehe, wenn die Aufnahme der selbständigen Erwerbstätigkeit spätestens drei Jahre vor dem Erreichen des Rentenalters erfolgt sei, findet im Wortlaut der Bestimmung keinen Halt.
3.2.9. Auch eine Auslegung nach dem Sinn und Zweck der Norm führt zum Ergebnis, dass es nicht die Intention der Vertragsparteien gewesen sein kann, dass ein Verbleiberecht nach Art. 4 Anhang I FZA nur dann bestehen soll, wenn die Erwerbstätigkeit vor dem ordentlichen Rentenalter aufgenommen wurde. Sinn und Zweck des FZA ist es, dass es den FZA-Bürgern und Bürgerinnen unter anderem ermöglicht wird, ihrer selbständigen Erwerbstätigkeit im ganzen EU/EFTA-Raum und in der Schweiz möglichst hindernisfrei nachzugehen (Art. 1 lit. a, Art. 12 ff. Anhang I FZA). Das FZA schreibt indes nicht vor, bis in welches Alter eine Erwerbstätigkeit ausgeübt werden darf. Führt man sich in diesem Zusammenhang zusätzlich vor Augen, dass es gerade bei den freien Berufen, worunter die Tätigkeit als Arzt gehört, auch in der Schweiz nicht unüblich und gesetzlich nicht verboten ist, die Erwerbstätigkeit auch nach Erreichen des ordentlichen Rentenalters weiterzuführen, kann es nicht Sinn und Zweck von Art. 4 Anhang I FZA sein, dass ein Verbleiberecht nach Aufgabe der selbständigen Erwerbstätigkeit nur dann bestehen soll, wenn diese Erwerbstätigkeit im Aufenthaltsstaat ursprünglich vor dem Erreichen des ordentlichen Rentenalters aufgenommen wurde.
3.2.10. Ein möglicher Hinweis für die Auffassung des SEM könnte sich aus den Erwägungsgründen zur Richtlinie 75/34 ergeben, wonach das Recht gesichert werden soll, im Hoheitsgebiet des anderen Vertragsstaats zu verbleiben, sobald die dortige Tätigkeit "wegen Erreichen des Rentenalters oder infolge dauernder Arbeitsunfähigkeit" endet, was nicht der Fall wäre, wenn die Erwerbstätigkeit nach dem Erreichen des Rentenalters erst aufgenommen wurde. Auch einige Aussagen in der Rechtsprechung scheinen grundsätzlich davon auszugehen, dass die Verbleiberechte nach Art. 2 Abs. 1 lit. a der Richtlinie 75/34/EWG voraussetzen, dass die Erwerbstätigkeit wegen des Erreichens des Rentenalters aufgegeben wurde, mithin dass die Erwerbstätigkeit vor dem Eintritt ins Rentenalter ausgeübt worden sein muss (<ref-ruling> E. 3.5 und 3.5.1 S. 126 f.; Urteil 2C_243/2015 vom 2. November 2015 E. 3.3.3). Indes gilt es diese Aussagen zu relativieren, da der Aspekt, ob die selbständige Erwerbstätigkeit erst nach Erreichen des Rentenalters aufgenommen wurde, in diesen konkret zu beurteilenden Fällen jeweils nicht entscheiderheblich war oder gar nicht zur Debatte stand, da die beschwerdeführenden Personen das Rentenalter noch nicht erreicht hatten oder gar keine einjährige Erwerbstätigkeit bestand. Die Berücksichtigung der weiteren Erwägungsgründe zur Richtlinie 75/34 zeigt weiter auf, dass der Umstand, dass eine Person nach Erreichen des Rentenalters in einen FZA-Mitgliedsstaat einreist und dort weiterhin einer selbständigen Erwerbstätigkeit nachgeht, gar nicht angedacht wurde.
3.2.11. Nach dem Gesagten ergeben sich aus dem Wortlaut bzw. der gewöhnlichen Bedeutung, dem Sinn und Zweck der Bestimmung sowie aus den Erwägungsgründen zur Richtlinie 75/34 keine überzeugenden Anhaltspunkte für die Auffassung des SEM, wonach ein Verbleiberecht nach Art. 4 Anhang I FZA nur bestehe, wenn die Aufnahme der selbständigen Erwerbstätigkeit spätestens drei Jahre vor dem Erreichen des Rentenalters erfolgt sei. Vielmehr ergibt sich aus der Auslegung von Art. 2 Abs. 1 lit. a der Richtlinie 75/34/EWG, dass ein Verbleiberecht im vorliegenden Fall auch dann besteht, wenn die selbständige Erwerbstätigkeit in der Schweiz nach Erreichen des ordentlichen Rentenalters aufgenommen wurde. Der Beschwerdeführer kann sich somit grundsätzlich auf einen Aufenthaltsanspruch nach Art. 4 Anhang I FZA berufen.
3.2.12. Zu berücksichtigen ist jedoch, dass ein Aufenthaltsanspruch nach Art. 4 Anhang I FZA bedingt, dass tatsächlich eine ernsthafte selbständige Tätigkeit ausgeübt wurde. Aus den kantonalen Vorakten, auf die hier zurückgegriffen werden kann (Art. 105 Abs. 2 BGG), ergibt sich, dass der Beschwerdegegner aus seiner selbständigen Erwerbstätigkeit als Arzt im Jahr 2012 einen Reingewinn von lediglich Fr. 241.-- erwirtschaftet hat. Dies deutet darauf hin, dass er seine berufliche Tätigkeit in der Schweiz womöglich nicht effektiv ausgeübt hat. Die Vorinstanz hat den Sachverhalt diesbezüglich nicht abgeklärt, weshalb es dem Bundesgericht nicht möglich ist, abschliessend darüber zu befinden. Die Frage, ob der Beschwerdeführer in der Schweiz tatsächlich einer selbständigen Erwerbstätigkeit als Arzt nachgegangen ist und sich deshalb auf einen Aufenthaltsanspruch nach Art. 4 Anhang I FZA berufen kann, wird durch die Vorinstanz abzuklären sein.
3.2.13. Der Beschwerdeführer kann sich womöglich auch auf einen Aufenthaltsanspruch für Personen ohne Erwerbstätigkeit (Art. 24 Abs. 1 Anhang I FZA) berufen. Voraussetzung hierfür ist, dass die betreffende Person für sich und seine Familienangehörigen über ausreichende finanzielle Mittel verfügt, so dass sie während ihres Aufenthalts keine Sozialhilfe in Anspruch nehmen müssen (wobei in diesem Zusammenhang auch Ergänzungsleistungen als Sozialhilfe gelten, Art. 16 Abs. 2 VEP; <ref-ruling> E. 3.6 S. 272; Urteile 2C_243/2015 vom 2. November 2015 E. 3.4.2 und 3.4.3; 2C_52/2014 vom 23. Oktober 2014 E. 4.2) und dass sie über einen Krankenversicherungsschutz verfügt, der sämtliche Risiken abdeckt. Die Vorinstanz hat keine Aussagen dazu gemacht, ob diese Voraussetzungen erfüllt sind. Der Beschwerdegegner bringt in seiner Beschwerdeantwort vor, er beziehe eine monatliche Rente von 2'300 Euro und werde von seiner Frau und seiner Tochter unterstützt; er habe nie Sozialhilfe oder Ergänzungsleistungen bezogen. Aus den Akten gehen seine finanziellen Verhältnisse und diejenigen seiner Frau allerdings nicht klar hervor. Es ist aber nicht auszuschliessen, dass der Beschwerdegegner einen Anspruch auf Aufenthaltsbewilligung aufgrund von Art. 24 Anhang I FZA hat. Dies steht aber aufgrund des angefochtenen Entscheids und der Akten nicht fest und wird durch die Vorinstanz abzuklären sein.
4.
4.1.
Nach dem Dargelegten ergibt sich, dass sich der Beschwerdegegner vertretbar auf Aufenthaltsansprüche gestützt auf das FZA (Art. 4 und Art. 24 Anhang 1 FZA) berufen kann. Ob diese Ansprüche effektiv bestehen, wird durch die Vorinstanz abzuklären sein. Nachfolgend zu prüfen bleibt somit, ob die Voraussetzungen für eine Einschränkung dieser möglichen FZA-Ansprüche (Art. 5 Anhang I FZA) erfüllt sind.
4.2. Nach der an die Praxis des EuGH angeglichenen Rechtsprechung des Bundesgerichts setzt Art. 5 Anhang I FZA eine hinreichend schwere und gegenwärtige Gefährdung der öffentlichen Ordnung durch die betreffende ausländische Person voraus. Eine strafrechtliche Verurteilung darf dabei nur insofern zum Anlass für eine derartige Massnahme genommen werden, als die ihr zugrunde liegenden Umstände ein persönliches Verhalten erkennen lassen, das eine gegenwärtige Gefährdung der öffentlichen Ordnung darstellt. Art. 5 Anhang I FZA steht somit Massnahmen entgegen, die (allein) aus generalpräventiven Gründen verfügt werden. Auch vergangenes Verhalten kann den Tatbestand einer solchen Gefährdung der öffentlichen Ordnung erfüllen, doch kommt es wesentlich auf das Rückfallrisiko an. Zu verlangen ist eine nach Art und Ausmass der möglichen Rechtsgüterverletzung zu differenzierende hinreichende Wahrscheinlichkeit, dass der Ausländer künftig die öffentliche Sicherheit und Ordnung stören wird. Je schwerer die möglichen Rechtsgüterverletzungen sind, desto niedriger sind die Anforderungen an die in Kauf zu nehmende Rückfallgefahr (Zum Ganzen Urteil 6B_378/2018 vom 22. Mai 2019 E. 3.5.2; zur Publikation vorgesehen; <ref-ruling> E. 4.2 S. 20; <ref-ruling> E. 4.2 und 4.3 S. 185 ff.).
4.3. Die Vorinstanz bejaht angesichts der deliktischen Karriere des Beschwerdegegners und der neuerlichen Verurteilung durch das Bezirksgericht Zurzach/AG zwar das Kriterium der hinreichend schweren Gefahr für die Gesellschaft, verneint indessen, dass gegenwärtig noch eine solche Gefahr bestehe, da sein hier massgebliches deliktisches Verhalten ausschliesslich in Zusammenhang mit seiner Berufausübung als Arzt gestanden habe; die Gefährdung sei aufgrund des inzwischen rechtskräftigen Entzugs der Berufsausübungsbewilligung nicht mehr hinreichend konkret.
4.4. Das SEM bringt hiegegen vor, der Beschwerdegegner sei nicht nur in seiner Eigenschaft als Arzt straffällig geworden, sondern darüber hinaus in der Vergangenheit in Deutschland auch wegen Steuerhinterziehung und Betrugs. Sein deliktisches Verhalten und seine Motivation dafür seien nicht auf seine Tätigkeit als Arzt beschränkt. Nachdem er sich auch im Alter von rund 80 Jahren erneut mehrfach strafbar gemacht habe, sei von einem hohen Rückfallrisiko auszugehen. Die Straftaten seien bisher auf finanzielle Vorteile ausgerichtet gewesen; es könne davon ausgegangen werden, dass der Beschwerdegegner auch in Zukunft wieder gewillt sein könnte, sich auf illegale Weise zu bereichern, auch mit anderen Straftaten als solchen in Zusammenhang mit der ärztlichen Tätigkeit. Der Aspekt, dass er seine Vertrauensposition als Arzt missbraucht habe, lasse darauf schliessen, dass seine Hemmschwelle für die Begehung von Straftaten tief sei.
4.5. Der Beschwerdegegner bringt vor, seine Vorstrafen in Deutschland seien fast 15 Jahre her; die entsprechenden Handlungen würden in der Schweiz teilweise nicht einmal als Vergehen gelten und stünden in einem anderen Kontext als demjenigen der in der Schweiz begangenen Straftaten. Diese seien ausschliesslich in Zusammenhang mit seiner ärztlichen Tätigkeit gestanden, weshalb er jetzt - nach dem Verbot dieser Tätigkeit - gar nicht mehr in der Lage sei, rückfällig zu werden. Zudem gehe auch das schweizerische Strafurteil nur von einem mittelschweren Verschulden und von guten Bewährungsaussichten aus; er zeige auch Einsicht in sein Fehlverhalten. Das Bezirksgericht Zurzach/AG habe denn auch mit Rücksicht auf die positive Prognose kein Berufsverbot verhängt. Es bestehe offensichtlich kein Rückfallrisiko.
4.6. Zutreffend ist, dass das Bezirksgericht Zurzach/AG von der Verhängung eines strafrechtlichen Berufsverbots (aArt. 67 StGB) abgesehen hat. Es begründete dies damit, dass aufgrund der Vorstrafenlosigkeit des Beschwerdegegners, seiner Einsicht in das Fehlverhalten und des Eindrucks des Strafverfahrens eine positive Prognose zu stellen sei (E. 10.5 S. 10 des Urteils des Bezirksgerichts Zurzach/AG vom 30. März 2016). Offensichtlich bezog somit das Strafgericht - aus welchen Gründen auch immer - die vom Beschwerdegegner in Deutschland erwirkten Verurteilungen nicht ein. Entgegen der Ansicht des SEM hat die Vorinstanz diese früheren Verurteilungen in Deutschland zwar nicht im Einzelnen festgestellt, aber doch pauschal darauf verwiesen (E. 4.2.3.3 des angefochtenen Entscheids) und summarisch von einer "deliktischen Karriere" gesprochen (E. 5.5.2.1 des angefochtenen Entscheids). Sie hat damit sämtliche rechtskräftigen Verurteilungen des Beschwerdegegners in ihre Beurteilung einfliessen lassen, ob vom Beschwerdegegner noch eine gegenwärtige Gefahr für die öffentliche Ordnung im Sinne von Art. 5 Anhang I FZA ausgeht. Vor diesem Hintergrund kam die Vorinstanz unter korrekter Wiedergabe der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zu Art. 5 Anhang I FZA bundesrechtlich haltbar zum Schluss, dass vom Beschwerdegegner keine konkrete Gefahr einer erneuten deliktischen Tätigkeit mehr ausgeht, nachdem ihm mittlerweile rechtskräftig die Berufsausübungsbewilligung als Arzt entzogen wurde (E. 5.5.2.2 und E. 5.6 des angefochtenen Entscheid). Diese vorinstanzliche Beurteilung wird zusätzlich durch den Umstand gestützt, dass sich der Beschwerdegegner mittlerweile in einem sehr fortgeschrittenen Alter (84 jährig) befindet, was das Risiko einer Rückfallgefahr im vorliegenden Einzelfall zusätzlich einzuschränken vermag.
4.7. Dem SEM ist zwar insoweit zuzustimmen, als dass aufgrund der deliktischen Vorgeschichte des Beschwerdegegners sowie seines bisher gezeigten Charakters eine Rückfallgefahr nicht mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit ausgeschlossen werden kann. Aufgrund der Tatsache, dass dem Beschwerdegegner die Berufsausübungsbewilligung entzogen wurde, wurde ihm jedoch die Grundlage sowie das Umfeld genommen, das ihm sein kriminelles Verhalten bisher erst ermöglicht bzw. begünstigt hat, was die Rückfallgefahr weiter minimiert.
4.8. Nach dem Dargelegten ist die vorinstanzliche Schlussfolgerung, dass zum aktuellen Zeitpunkt die Voraussetzungen für eine Beschränkung der Freizügigkeitsrechte des Beschwerdegegners gemäss Art. 5 Anhang I FZA mangels rechtsgenüglicher konkreter Gefährdung der öffentlichen Ordnung, Sicherheit und Gesundheit nicht erfüllt sind, nicht zu beanstanden. Sollte sich der Beschwerdegegner somit auf einen der genannten FZA-Aufenthaltsansprüche berufen können (vorne E. 3.2.12 f.), würde seine Wegweisung gegen das FZA verstossen.
5.
5.1. Die Beschwerde erweist sich damit als teilweise begründet. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben. Die Sache ist zur neuen Abklärung im Sinne der Erwägungen (Bestehen einer tatsächlichen selbständigen Erwerbstätigkeit im Sinne von Art. 4 Anhang I FZA; Abklärung finanzielle Situation Beschwerdegegner im Hinblick auf ein Aufenthaltsrecht nach Art. 24 Anhang I FZA) und zum neuen Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
5.2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt das SEM im Hauptpunkt. Dementsprechend sind für das bundesgerichtliche Verfahren keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG) und hat das SEM dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 6. Mai 2019 wird aufgehoben. Die Sache wird zur weiteren Sachverhaltsabklärung im Sinne der Erwägungen und zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Für das bundesgerichtliche Verfahren werden keine Kosten erhoben.
3.
Das Staatssekretariat für Migration hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 2. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Februar 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hahn