Sachverhalt:
A.
Gemäss Vereinbarung vom 27. Oktober 2017 beauftragte C._ die B._ AG bzw. Rechtsanwalt Dr. iur. Dr. rer. pol. A._ mit der Wahrung ihrer Interessen in Bezug auf ein Verfahren vor der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Gossau/SG, welches den Kindesunterhalt und den persönlichen Verkehr bezüglich eines gemeinsamen Kindes von C._ und deren ehemaligem Lebenspartner betraf. Am 28. Februar 2018 entzog sie Rechtsanwalt A._ das Mandat, welches anschliessend von einer Rechtsanwältin weitergeführt und zum Abschluss gebracht wurde. Mit Eingabe vom 14. März 2019 zeigte C._ (Anzeigerin) Rechtsanwalt A._ bei der Anwaltskammer des Kantons St. Gallen (Anwaltskammer) an. Sie warf ihm vor, in genanntem Verfahren kein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt und ein übersetztes Honorar von ihr verlangt zu haben. Zudem sei Rechtsanwalt A._ seiner Aufklärungspflicht in Bezug auf die Grundsätze der Rechnungsstellung ungenügend nachgekommen.
B.
B.a. Mit Entscheid vom 19. September 2019 stellte die Anwaltskammer fest, dass Rechtsanwalt A._ "gegen <ref-law> (Vereinbarung eines angemessenen Honorars) und gegen <ref-law> (Pflicht zur Information über die Grundsätze der Rechnungsstellung) verstossen hat." In Bezug auf den Vorwurf der Unterlassung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege wurde der Anzeige keine Folge geleistet. Neben der Entscheidgebühr von Fr. 1'200.-- wurde Rechtsanwalt A._ eine Busse von Fr. 1'500.-- auferlegt. Zudem wurde die Zustellung des Entscheids an die Anzeigerin verfügt.
B.b. Die gegen den genannten Entscheid erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 24. September 2020 teilweise gut, indem es in Ziff. 1 Satz 1 des Entscheiddispositivs die Rechtswidrigkeit der Zustellung des begründeten Entscheids der Anwaltskammer an die Anzeigerin feststellte. Im Übrigen bzw. "in der Sache" wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde jedoch ab (Ziff. 1 Satz 2 Entscheiddispositiv).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 25. November 2020 an das Bundesgericht beantragt Rechtsanwalt A._ (Beschwerdeführer) die vollumfängliche Aufhebung von Ziff. 1 Satz 2 des vorinstanzlichen Entscheiddispositivs und Feststellung, er habe weder gegen <ref-law> (Vereinbarung eines angemessenen Honorars) noch gegen <ref-law> (Pflicht zur Information über Grundsätze der Rechnungsstellung) verstossen (Antrag 1). Eventualiter sei eine Verwarnung (<ref-law>) auszusprechen, subeventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen (Antrag 2). Subeventualiter sei festzustellen, dass der Beschwerdeführer gegen <ref-law> (Pflicht zur Information über die Grundsätze der Rechnungsstellung) nur bezogen auf den vereinbarten Stundenansatz verstossen habe (Antrag 3).
Die Vorinstanz und die Anwaltskammer beantragen vernehmlassungsweise jeweils die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen letztinstanzliche kantonale Endentscheide bezüglich Verletzung von Berufsregeln und Disziplinaraufsicht (Anwältinnen und Anwälte) steht, da es sich um eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts handelt, die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90 BGG). Der im vorinstanzlichen Verfahren unterlegene Beschwerdeführer ist zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>), weshalb auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, unter Vorbehalt der E. 1.2 f., einzutreten ist (Art. 100 Abs. 1, Art. 42 Abs. 1 BGG).
1.2. Mit Antrag 1 stellt der Beschwerdeführer neben einem kassatorischen auch einen Feststellungsantrag. Das Feststellungsinteresse begründet er damit, dass die Anwaltskammer gewisse Pflichtverletzungen ausdrücklich festgestellt habe, weshalb es zur Wiederherstellung der bundesrechtskonformen Lage ebenfalls einer (negativen) Feststellung, wonach die betroffenen Gesetzesverstösse nicht stattgefunden hätten, bedürfe.
Feststellungsanträge sind im bundesgerichtlichen Verfahren zulässig, sofern an der Feststellung ein schutzwürdiges Interesse besteht und dieses nicht ebenso gut mit einem Leistungsbegehren gewahrt werden kann (Urteil 2C_933/2018 vom 25. März 2019 E. 1.3). Vorliegend ersetzt aufgrund des Devolutiveffekts der vorinstanzliche Entscheid den Entscheid der Anwaltskammer und Letzterer gilt als mitangefochten (<ref-ruling> E. 1.4; Urteil 2C_933/2018 vom 25. März 2019 E. 1.2). Die den Beschwerdeführer belastenden Feststellungen der Anwaltskammer würden deshalb bei Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids ebenfalls beseitigt. Auf den genannten Feststellungsantrag ist deshalb nicht einzutreten. Im Übrigen genügt vorliegend - da sich auch der vorinstanzliche Entscheid soweit angefochten in einer Belastung erschöpft, welche mit der Aufhebung des Entscheids entfällt - ein kassatorischer Antrag (Urteil 2C_314/2020 vom 3. Juli 2020 E. 1.2).
1.3. Subeventualiter hat der Beschwerdeführer ein weiteres Feststellungsbegehren (Antrag 3) gestellt. Das Feststellungsinteresse hat er mit der strafschärfenden Wirkung ausgesprochener Sanktionen bei zukünftigen Verstössen gegen das BGFA (Bundesgesetz vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte; SR 935.61) begründet. Da die Vorinstanz den Entscheid der Anwaltskammer geschützt habe, werde bei erneutem Verstoss gegen das BGFA auf die dort getroffenen Feststellungen Bezug genommen. Wenn, dann habe er nur bezüglich des Stundenansatzes gegen die Aufklärungspflicht verstossen, nicht aber - wie von der Anwaltskammer festgestellt - in umfassender Weise bezüglich der Grundsätze der Rechnungsstellung.
Die Formulierung der Feststellung durch die Anwaltskammer bezieht sich primär auf den Gesetzestext von <ref-law> ("Grundsätze ihrer Rechnungsstellung"). Ausserdem wird aufgrund des Devolutiveffekts der Entscheid der Anwaltskammer durch den vorinstanzlichen Entscheid ersetzt (vgl. E. 1.2 oben). Demnach besteht kein genügendes Feststellungsinteresse, weshalb auf den Subeventualantrag nicht einzutreten ist. Dies gilt auch unter Berücksichtigung der Begründung in Rz. 22 der Beschwerde. Mit einem sanktionierten Verstoss gegen <ref-law> wird keineswegs per se ausgedrückt, dass der Sanktionierte gegen alle erdenklichen Grundsätze der Rechnungsstellung, sondern dass er gegen einen Tatbestand verstossen hat, unter den verschiedene Handlungsweisen subsumiert werden können.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft jedoch unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nur die geltend gemachten Rechtsverletzungen, sofern rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.5). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten (und von kantonalem Recht) gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht, d.h. es ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Urteils darzulegen, inwiefern das Grundrecht verletzt worden sein soll (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.5).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Eine Berichtigung oder Ergänzung der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen ist von Amtes wegen (<ref-law>) oder auf Rüge hin (<ref-law>) möglich. Von den tatsächlichen Grundlagen des vorinstanzlichen Urteils weicht das Bundesgericht jedoch nur ab, wenn diese offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.6). Offensichtlich unrichtig bedeutet in diesem Zusammenhang willkürlich (<ref-ruling> E. 4.1.2). Eine Sachverhaltsrüge ist substanziiert vorzubringen; auf rein appellatorische Kritik an der (vorinstanzlichen) Sachverhaltsfeststellung geht das Gericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 10.1; <ref-ruling> E. 4.1).
Der Beschwerdeführer anerkennt grundsätzlich die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung, behält sich jedoch allfällige Sachverhaltsrügen anlässlich der "materiellen Rügen" vor. Auf diese ist entsprechend an der jeweiligen Stelle einzugehen.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von Art. 63 VRP SG (Gesetz vom 16. Mai 1965 über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons St. Gallen; sGS 951.1) bzw. des darin enthaltenen Verbots der Reformatio in peius und erblickt darin auch einen Verstoss gegen Bundesrecht, nämlich die Rechtsweggarantie (<ref-law>) und <ref-law>. Sinngemäss erachtet er deshalb auch Art. 6 Ziff. 1 EMRK als verletzt. Ausserdem sieht der Beschwerdeführer in der vermeintlichen, unerwarteten Reformatio in peius (Verschlechterung) seinen Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt. Er macht geltend, der Rechtsstreit betreffend die Aufklärung über die Grundsätze der Rechnungsstellung beziehe sich alleine auf den Stundenansatz und dementsprechend habe die Anwaltskammer die Verletzung von <ref-law> auch begründet. Die Vorinstanz habe jedoch in der Folge die Frage der korrekten Aufklärung nicht auf den Stundenansatz beschränkt, sondern auf weitere finanzielle Aspekte der Honorarvereinbarung ausgedehnt und damit den Streitgegenstand unzulässigerweise erweitert. So habe die Vorinstanz eine eingehende Auslegung der Honorarvereinbarung zu seinen (Beschwerdeführer) Lasten vorgenommen, nämlich in dem Sinne, dass die Honorarvereinbarung auch so verstanden werden könne, dass mit jeder Anwaltsstunde à Fr. 500.-- auch eine Stunde Sekretariatsarbeit à Fr. 80.-- zu bezahlen sei. Diesen erhöhten Stundenansatz habe die Vorinstanz ihrem Entscheid zugrunde gelegt.
3.2. Das Verbot der Reformatio in peius bedeutet, dass die Beschwerdeinstanz nicht zu Ungunsten des Beschwerdeführers über dessen Anträge hinausgehen bzw. bei anbegehrter Aufhebung oder Abänderung des erstinstanzlichen Entscheids andere als vom Beschwerdeführer verlangte Rechtsfolgen setzen darf (Verschlechterungsverbot). Dies kommt im Wortlaut von Art. 63 VRP SG zum Ausdruck, wonach das Verwaltungsgericht "über die Begehren des Beschwerdeführers nicht hinausgehen und die angefochtene Verfügung oder den angefochtenen Entscheid nicht zu dessen Nachteil ändern" darf. Ob eine verpönte Reformatio in peius vorliegt, beurteilt sich alleine aufgrund des Dispositivs des erstinstanzlichen Entscheids. Auf dessen Begründung kommt es jedoch nicht an (vgl. THOMAS HÄBERLI, in: Waldmann/Weissenberger [Hrsg.], Praxiskommentar Verwaltungsverfahrensgesetz, 2. Aufl. 2016, N. 9 ff., 18 f. zu <ref-law>; TANJA KAMBER, in: Rivzi/Schindler/Cavelti [Hrsg.], Gesetz über die Verwaltungsrechtspflege [VRP], Praxiskommentar, 2020, N. 2, 5 zu Art. 63 VRP). Vorliegend ergibt sich aus den Akten (<ref-law>), dass die Vorinstanz nicht zum Nachteil des Beschwerdeführers über dessen Anträge im vorinstanzlichen Verfahren hinausgegangen ist, hat sie diese doch grösstenteils schlicht abgewiesen und einen Antrag gutgeheissen. Gemessen am erstinstanzlichen Dispositiv und den im vorinstanzlichen Verfahren gestellten Anträgen liegt somit keine Verschlechterung im genannte Sinne bzw. kein Verstoss gegen das Verbot der Reformatio in peius vor. Die Rüge erweist sich damit als unberechtigt. Demzufolge erweisen sich auch die Rügen der Verletzung von <ref-law> (Rechtsweggarantie), <ref-law> und <ref-law> (rechtliches Gehör) sowie die sinngemässe Rüge der Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK als unberechtigt. Im Übrigen stellt das Verbot der Reformatio in peius keine allgemeine völkerrechtliche oder bundesrechtliche Verfahrensgarantie dar, sondern es ist dem Bundesgesetzgeber und dem kantonalen Gesetzgeber überlassen, im jeweiligen Kompetenzbereich ein solches Verbot zu verankern oder im Gegenteil eine Reformatio in peius zu ermöglichen und die für deren Vornahme erforderlichen Voraussetzungen zu statuieren (vgl. dazu ausführlich <ref-ruling> E. 5; Urteil 2C_476/2014 vom 21. November 2014 E. 5.1).
4.
4.1. Der Beschwerdeführer hat mit der Anzeigerin (am 27. Oktober 2017) im Wesentlichen folgende, schriftliche Honorarvereinbarung getroffen:
Die geschuldete Vergütung bemisst sich dabei nach der aufgewendeten Zeit der Beauftragten, je zzgl. einer Entschädigung für Sekretariatsarbeiten von CHF 80.- pro Stunde, sowie für Dossiereröffnung und Aktenarchivierung. Der Auftraggeber anerkennt in diesem Zusammenhang, mit den nachstehenden Besonderheiten, ausdrücklich die jeweils geltende Honorarordnung für Rechtsanwälte und Rechtsagenten des Kantons St. Gallen als verkehrsüblich, wobei Barauslagen wie Versand-, Fernmelde- und Kopierkosten pauschal mit 5 Prozent des Honorars, Fahrkosten mit CHF 1.-/km sowie Dritt- und Reisekosten effektiv verrechnet werden. Sofern nicht eine abweichende Entschädigung schriftlich vereinbart worden ist, gilt für die Bemühungen der Beauftragten ein Stundenansatz von CHF 500.- (zzgl. MWST).
4.2. Die Kantone sind trotz Erlass des BGFA weiterhin befugt, Vorschriften bezüglich Anwaltshonorar zu erlassen (<ref-ruling> E. 2.2 und 2.4). Diese Kompetenz erstreckt sich - innerhalb der Schranken der Bundesverfassung - auch auf allgemeine Vorschriften betreffend die Honorarbemessung über den notwendigerweise geregelten Bereich (unentgeltlicher Rechtsbeistand; amtliche Verteidigung; Parteientschädigung bei Obsiegen) hinaus (Urteile 2C_205/2019 vom 26. November 2019 E. 4.3; 2P.318/2006, 2A.733/2006 vom 27. Juli 2007 E. 8.3.1). Die kantonalen Vorschriften bezüglich Honorar konkretisieren zudem die bundesrechtlichen Berufspflichten, insbesondere die Informations- und Aufklärungspflichten gemäss <ref-law> (Urteil 2P.318/2006, 2A.733/2006 vom 27. Juli 2007 E. 8.2). Daneben ergeben sich die Kriterien zur Bemessung des Honorars und die Anforderungen an die Informationspflicht auch aus dem Auftragsrecht (<ref-law>; Urteile 2C_205/2019 vom 26. November 2019 E. 4.3; 2P.318/2006, 2A.733/2006 vom 27. Juli 2007 E. 8.2).
4.3. Vorliegend ist unbestritten, dass auf das am 26. Juni 2018 abgeschlossene, genannte Verfahren vor der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (vgl. lit. oben) gemäss Art. 30 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 AnwG SG (Anwaltsgesetz des Kantons St. Gallen vom 11. November 1993; sGs 963.70) die Honorarordnung des Kantons St. Gallen vom 22. April 1994 Anwendung findet, und zwar in der bis am 31. Dezember 2018 gültigen Fassung (aHonO [Fassung gemäss Stand vom 9. Dezember 2010]; Art. 30bis Honorarordnung vom 22. April 1994 des Kantons St. Gallen, Stand 1. Januar 2019, sGs 963.75; VI. Nachtrag vom 28. November 2018 zur Honorarordnung für Rechtsanwälte und Rechtsagenten, nGs 2019-019). Gemäss Art. 2 Abs. 3 aHonO können Rechtsanwälte "durch Einzelabrede und unter Hinweis auf die Bestimmungen dieser Honorarordnung eine andere Bemessung des Honorars vereinbaren." Weiter hält Art. 24 Abs. 1 aHonO (Überschrift "Stundenansatz") fest: "Das mittlere Honorar beträgt Fr. 250.- je Stunde." Laut Art. 24 Abs. 2 aHonO kann dieser Stundenansatz "zur Berücksichtigung besonderer Umstände um bis zu einem Viertel unter- oder überschritten werden." Vorliegend weicht der vereinbarte Stundenansatz (mindestens Fr. 500.--; vgl. E. 4.1 oben) vom genannten, mittleren Stundenansatz gemäss aHonO ab.
4.4. Der Beschwerdeführer macht zunächst geltend, er habe der Anzeigerin im Rahmen der Erläuterung der genannten Honorarvereinbarung mündlich verschiedene Stundenansätze zifferngenau erklärt und im Sinne von Art. 2 Abs. 3 aHonO auch die Abweichung von der aHonO erläutert.
4.5. Die Vorinstanz hat jedoch sachverhaltsmässig nicht festgestellt, dass eine mündliche Erläuterung der Abweichung von der aHonO oder auch nur ein mündlicher Hinweis auf die abweichende aHonO gegenüber der Anzeigerin erfolgt ist. Der Beschwerdeführer ergänzt die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung um seine eigene Sachverhaltsversion, ohne zu rügen und darzulegen, dass und inwiefern die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung willkürlich ist bzw. sein soll (vgl. E. 2.2 oben). Auf die Behauptung des Beschwerdeführers bezüglich mündlicher Information gegenüber der Anzeigerin ist deshalb nicht weiter einzugehen. Sachverhaltsmässig ist demnach davon auszugehen, dass keine entsprechende, mündliche Aufklärung stattgefunden hat.
4.6. Im Weiteren rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung von <ref-law>. Er macht geltend, die Vorinstanz beanstande zu Unrecht, dass die (schriftliche) Honorarvereinbarung die genaue, ziffernmässige Abweichung vom dispositiven Stundenansatz gemäss Art. 2 Abs. 3 aHonO nicht angebe. Weder <ref-law> noch Art. 2 Abs. 3 aHonO würden dies verlangen. Es genüge ein mündlicher Hinweis auf die durchschnittlichen Stundenansätze von Kollegen im gleichen Kanton. Ausserdem ergebe sich aus der getroffenen Honorarvereinbarung, dass sein Stundenansatz (von Fr. 500.--) von demjenigen der aHonO abweiche, denn der Wortlaut "nachstehende Besonderheiten" beziehe sich auch auf den vereinbarten Stundenansatz. Ausserdem verlangten selbst die Mustervorlagen für eine Honorarvereinbarung des St. Galler Anwaltsverbandes (SGAV) keine Angabe der ziffernmässigen Abweichung vom Honorar gemäss aHonO. Jedenfalls habe er die Anzeigerin entsprechend den Mustervorlagen des SGAV informiert. Überdies statuierten die Honorarrichtlinien des SGAV aus dem Jahr 2006 Stundenansätze von Fr. 200.-- bis 520.-- als verkehrsüblich, weshalb nicht einzusehen sei, weshalb im Jahr 2017 eine zifferngenaue Abweichung bei einem Stundenansatz [von Fr. 500.--; vgl. aber E. 6.4 unten], der sich schon 2006 im verkehrsüblichen Bereich bewegt habe, erforderlich sei. Er habe nicht gegen die Aufklärungspflicht gemäss <ref-law> verstossen.
4.7. Gemäss <ref-law> klären Anwältinnen und Anwälte "ihre Klientschaft bei Übernahme des Mandates über die Grundsätze der Rechnungsstellung auf und informieren sie periodisch oder auf Verlangen über die Höhe des geschuldeten Honorars." Die Begründung des Beschwerdeführers zielt insofern ins Leere, als der vorinstanzliche Entscheid gerade nicht statuiert, dass die konkrete Honorarvereinbarung den subsidiären, mittleren Stundenansatz von Fr. 250.-- und die Abweichung nach oben um Fr. 250.-- explizit aufführen muss. Vielmehr hat die Vorinstanz die Honorarvereinbarung ausgelegt und ist zum Schluss gelangt, dass diese ungenügend auf das Bestehen eines amtlichen Tarifs und den Umstand, dass der vereinbarte Stundenansatz von diesem abweiche, hinweise. Aufgrund der Honorarvereinbarung werde nicht klar, dass die Honorarordnung ein mittleres Honorar vorsehe und in der Höhe konkret festsetze. Der vorinstanzliche Entscheid geht damit auch nicht über die Pflichten gemäss <ref-law> hinaus, welche durch Art. 2 Abs. 3 i.V.m. Art. 24 Abs. 1 aHonO konkretisiert werden, sondern steht mit diesen im Einklang. Gemäss Urteil 2P.318/2006, 2A.733/2006 vom 27. Juli 2007 E. 8.2 wird diesbezüglich verlangt, dass in der Honorarvereinbarung auf die niedrigeren Ansätze der subsidiär geltenden Honorarordnung hingewiesen wird.
Dies bedeutet mit anderen Worten, dass gemäss <ref-law> i.V.m. Art. 2 Abs. 3 und Art. 24 Abs. 1 aHonO in der Honorarvereinbarung explizit auf die Existenz einer Honorarordnung und des darin enthaltenen, subsidiären Honorartarifs hinzuweisen und ebenso klar zu statuieren ist, dass der vereinbarte Stundenansatz vom tieferen, subsidiären Honorartarif abweicht. Nicht nötig ist es dagegen, den konkreten Stundenansatz des subsidiären Tarifs in Franken bzw. die betragsmässige Abweichung (des vereinbarten Stundenansatzes) von ersterem anzugeben (allerdings bestehen gemäss <ref-law> auch Informationspflichten des Anwalts während des laufenden Mandats).
4.8. Ein Hinweis auf die durchschnittlichen Stundenansätze von Kollegen im gleichen Kanton genügt den vorgenannten Anforderungen demnach nicht. Im Weiteren hat die Vorinstanz eine Auslegung der konkreten Honorarvereinbarung vorgenommen. Sie hat im Wesentlichen erwogen, es werde nur allgemein auf die Honorarordnung verwiesen, ohne Erwähnung eines amtlichen Tarifs und der Abweichung von diesem. Damit entstehe der Eindruck, die Honorarordnung entfalte volle Wirkung. Nach dem Passus "mit den nachstehenden Besonderheiten" folgten Ansätze für Barauslagen und Fahrtkosten, wobei nicht darauf hingewiesen werde, dass die Ansätze gemäss aHonO tiefer seien (vgl. Art. 28bis und Art. 28 Abs. 2 lit. c aHonO). In einem separaten Satz werde der Stundenansatz von Fr. 500.-- aufgeführt, wobei zweifelhaft sei, dass dieser Ansatz als Besonderheit erkannt werde. Vielmehr entstehe der Eindruck, Letzterer sei normal. Vor dem genannten Passus werde zudem die separate Entschädigung für Sekretariatsarbeiten festgehalten, welche ungewöhnlich sei (da der Sekretariatsaufwand grundsätzlich im Anwaltshonorar enthalten sei), wobei die Formulierung "je zzgl. [...]" so verstanden werden könne, dass pro Anwaltsstunde jeweils eine Stunde Sekretariatsarbeit à Fr. 80.-- verrechnet werde. Doch selbst wenn auf die (effektiv) durch das Sekretariatspersonal geleisteten Stunden abgestellt werde, sei dies ungewöhnlich. Indem die Honorarvereinbarung für sämtliche Sekretariatsarbeiten zusätzlich Fr. 80.-- pro Stunde vorsehe, liege der vereinbarte Stundenansatz damit nochmals wesentlich über Fr. 500.--. Insgesamt hat die Vorinstanz als Auslegungsergebnis die bereits unter E. 4.7 oben erwähnten Schlussfolgerungen getroffen und ist zum Resultat gelangt, dass der Beschwerdeführer seine Aufklärungs- und Informationspflichten in Bezug auf die Rechnungsstellung gemäss <ref-law> verletzt hat.
4.9. Den Einwand des Beschwerdeführers, wonach der Passus "mit den nachstehenden Besonderheiten" auch den Stundenansatz von Fr. 500.-- erfasse, hat die Vorinstanz bereits berücksichtigt und zu Recht verworfen. Im Gegenteil wird mit der Formulierung, der Auftraggeber anerkenne ausdrücklich die geltende Honorarordnung als verkehrsüblich, der Eindruck erweckt, der Stundenansatz von Fr. 500.-- sei der übliche Ansatz. Erschwerend kommt hinzu, dass auch die zusätzliche Entschädigung für generelle Sekretariatsarbeiten, da sie vor dem genannten Passus festgehalten wird, als üblich erscheint. Wenn überhaupt wird der Passus höchstens mit den Barauslagen und Fahrtkosten in Verbindung gebracht. Dass die Honorarordnung einen subsidiären Honorartarif umfasst, der sogar einen tieferen Stundenansatz enthält, ist aufgrund des Wortlauts der Honorarvereinbarung nicht erkennbar. Vielmehr ist dieser diesbezüglich intransparent und irreführend. Die vorinstanzliche Auslegung der Honorarvereinbarung erweist sich damit als bundesrechtskonform.
4.10. Auch die Berufung des Beschwerdeführers auf die Mustervorlagen des SGAV und die Honorarrichtlinien des SGAV aus dem Jahr 2006 (recte: vom 20. Januar 2005) ist unbehelflich. Es trifft zu, dass die Mustervorlagen für eine Honorarvereinbarung aus den Jahren 2017 und 2018 keine explizite, ziffernmässige Abweichung vom subsidiären Honorartarif aufführen, aber Letzteres ist wie dargelegt auch nicht erforderlich (vgl. E. 4.7 oben). Mit der Formulierung "Für Verfahren vor Gerichten oder Behörden weichen die Parteien bewusst vom amtlichen Tarif ab" und dem Klammerhinweis auf Art. 2 Abs. 3 Honorarordnung machen die Mustervorlagen jedoch - im Gegensatz zur Honorarvereinbarung des Beschwerdeführers - deutlich, dass es einen amtlichen Tarif gibt und von diesem abgewichen wird. Ausserdem wird in der Mustervorlage im Gegensatz zur vorliegenden Honorarvereinbarung auf ein Merkblatt verwiesen, welches dem Klienten abgegeben werden muss und den amtlichen Tarif erläutert, wenn auch ohne Angabe von konkreten Stundenansätzen (aber immerhin mit Hinweis auf "Mittelwerte"). Zudem erklären die genannten Honorarrichtlinien (vgl. E. 4.5 oben), abgesehen davon, dass sie vorliegend nicht anwendbar sind, entgegen dem Beschwerdeführer gerade nicht Stundenansätze von Fr. 200.-- bis 520 tel quel als verkehrsüblich, sondern bei einem Streitwert bis Fr. 100'000.-- und bei Auseinandersetzungen ohne Streitwert wurde ein Stundenansatz von Fr. 200.-- bis 300.-- als verkehrsüblich empfohlen (bei einem Streitwert von Fr. 100'000.-- bis Fr. 250'000.-- ein Stundenansatz von Fr. 220.-- bis Fr. 320.--; etc.), während der (höchste) Stundenansatz von Fr. 340.-- bis Fr. 520.-- erst bei einem Streitwert von über Fr. 8 Mio. zum Zug kommen sollte. Wie sich aus den Akten ergibt (<ref-law>;), ist die von der Anzeigerin und dem Kindsvater getroffene Unterhaltsvereinbarung von einem Streitwert dieser Grössenordnung sehr weit entfernt.
4.11. Der angefochtene Entscheid erweist sich somit in Bezug auf die Anwendung von <ref-law> als bundesrechtskonform, weshalb die entsprechende Rüge unberechtigt ist.
4.12. Ausserdem rügt der Beschwerdeführer, indem der angefochtene Entscheid eine schriftliche und zifferngenaue Angabe der Abweichung vom dispositiven Stundenansatz gemäss aHonO verlange, verletze er die Wirtschaftsfreiheit (<ref-law>) bzw. die darin enthaltene Vertragsfreiheit. Dem ist entgegen zu halten, dass die Frage, ob eine verfassungskonforme Anwendung von <ref-law> auch eine mündliche Aufklärung über die Grundsätze der Rechnungsstellung genügen lasse, eine theoretische Frage darstellt, welche vom Bundesgericht nicht zu klären ist. Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung hält nämlich keine mündliche Aufklärung fest und der Beschwerdeführer hat diesbezüglich keine substanziierte Rüge der willkürlichen Sachverhaltsfeststellung erhoben (vgl. E. 4.5 oben). Ausserdem verlangt der angefochtene Entscheid wie dargelegt keine zifferngenaue Angabe der genannten Abweichung (vgl. E. 4.7 oben), weshalb sich auch diesbezüglich eine Prüfung der Vereinbarkeit des angefochtenen Entscheids mit der Wirtschaftsfreiheit erübrigt. Auf die entsprechende Rüge ist deshalb nicht weiter einzugehen.
5.
5.1. Im Weiteren rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung von <ref-law>. Er macht zunächst geltend, der vorinstanzliche Entscheid stelle zu Unrecht auf den vereinbarten, aber nicht in Rechnung gestellten Stundenansatz ab. Ob das Honorar krass übersetzt sei, hänge von zahlreichen Faktoren ab (zeitlicher Aufwand, Schwierigkeit des Falles, Dringlichkeit, etc.), welche grösstenteils erst nach Erbringung der Leistung überprüft werden könnten. Deshalb sei im Rahmen von <ref-law> auf das in Rechnung gestellte Honorar abzustellen. Der Beschwerdeführer beruft sich diesbezüglich auch auf die Rechtsprechung und Lehre.
5.2. Gemäss vorinstanzlicher Sachverhaltsfeststellung hat der Beschwerdeführer je nach Berechnung effektiv nur einen Stundenansatz von Fr. 320.73 oder knapp unter Fr. 300.-- in Rechnung gestellt (vgl. angefochtener Entscheid, E. 5.3 in fine). Aus den Akten ergibt sich (<ref-law>), dass er für einen Zeitaufwand von 32.8 Anwaltsstunden anfänglich eine Honorarrechnung über Fr. 11'896.55 (inkl. Barauslagen und MWST) stellte und anschliessend mit der Anzeigerin ein Honorar von Fr. 11'000.-- inkl. Barauslagen und MWST per Saldo aller Ansprüche vereinbarte. Der Zeitaufwand wurde im vorinstanzlichen Verfahren nicht in Frage gestellt. Den in Rechnung gestellten Stundensatz beurteilte die Vorinstanz als nicht krass übersetzt, wohl aber den vereinbarten.
5.3. Gemäss <ref-law> haben Anwältinnen und Anwälte ihren Beruf "sorgfältig und gewissenhaft" auszuüben. Abgesehen von der zu beachtenden Aufklärungspflicht über die Grundsätze der Rechnungsstellung gemäss <ref-law> untersteht die Bemessung der Honorarhöhe grundsätzlich der Vertragsfreiheit. Aufsichtsrechtlich wird deshalb gestützt auf <ref-law> unbestrittenerweise nur bei einem krass übersetzten Honorar eingeschritten (Urteil 2C_205/2019 vom 26. November 2019 E. 4.2; WALTER FELLMANN, Anwaltsrecht, 2. Aufl. 2017 [FELLMANN, Anwaltsrecht], Rz. 243).
5.4. Die Vorinstanz ist der Auffassung, bei der Beurteilung, ob das Honorar krass übersetzt sei, sei analog <ref-law> (Übervorteilung) auf den vereinbarten Stundenansatz bzw. auf die Honorarvereinbarung abzustellen. Auch der Übervorteilungstatbestand fusse auf den vertraglich vereinbarten Leistungen. Ausserdem müssten sich die Parteien auf den vereinbarten Stundenansatz verlassen können. Sie hat deshalb den Stundenansatz gemäss Honorarvereinbarung von Fr. 500.-- bzw., unter Einbezug der Entschädigung von Fr. 80.-- für Sekretariatsarbeit, von Fr. 580.--, herangezogen und als krass übersetzt qualifiziert.
5.5. Der generalklauselartige Wortlaut von <ref-law> hilft bei der Frage, worauf bezüglich der Höhe des Honorars abzustellen ist, nicht weiter. Die Standesregeln des Schweizerischen Anwaltsverbandes vom 10. Juni 2005 (SSR; in Kraft seit 1. Juli 2005; gemäss Stand 22. Juni 2012), welche zur Präzisierung und Auslegung der Berufsregeln des BGFA herangezogen werden können (<ref-ruling> E. 4.1), halten in Art. 18 Abs. 1 SSR fest, die Höhe des Honorars müsse angemessen sein. Das Bundesgericht hat im Urteil 2C_205/2019 vom 26. November 2019 E. 4.2 f. einerseits auf das in Rechnung gestellte Honorar Bezug genommen, andererseits aber (vgl. E. 4.3 des zitierten Urteils) den Stundenansatz in Relation zur Schwierigkeit und Dringlichkeit der Aufgabe sowie der Expertise des beauftragten Anwalts gesetzt. Jedenfalls bestand in diesem Fall keine Diskrepanz zwischen dem vereinbarten und dem in Rechnung gestellten Stundenansatz. Die Lehre spricht im Rahmen von <ref-law> von krass übersetzter Rechnung (FELLMANN, Anwaltsrecht, Rz. 243, 500) bzw. "facturation manifestement abusive"/"si les honoraires facturés sont manifestement exagérés" (MICHEL VALTICOS, in: Commentaire Romand, Valticos/Reiser/Chappuis [Hrsg.], Loi sur les avocats, 2010, N. 32 und 296 zu <ref-law>). Allerdings wird die Konstellation einer Diskrepanz zwischen vereinbartem und in Rechnung gestelltem Stundenansatz nicht ausdrücklich reflektiert.
Diesbezüglich ist im Auge zu behalten, dass die Berufsregeln in Bezug auf das Verhältnis zum Klienten das öffentliche Interesse verfolgen, die Einhaltung der Treuepflicht und das Vertrauen in die Anwaltschaft zu wahren (<ref-ruling> E. 3.c; Urteil 2C_205/2019 vom 26. November 2019 E. 4.2; vgl. auch <ref-ruling> E. 4.1; FELLMANN, Anwaltsrecht, Rz. 241). Die Treuepflicht, welche in <ref-law> zum Ausdruck kommt, gilt gegenüber dem Klienten bereits ab Übernahme des Mandats bzw. schon vorher. Die entsprechenden Berufsregeln sollen bereits ab Mandatsübernahme auf das Verhalten des Anwalts Einfluss nehmen. Letzterer ist verpflichtet, bei Mandatsbeginn für klare Rechtsverhältnisse zu sorgen (FELLMANN, Anwaltsrecht, Rz. 244). Es soll gerade nicht darauf ankommen, ob ein aufgrund der Honorarvereinbarung krass übersetztes Honorar akzeptiert oder bei Reklamation reduziert wird (vgl. FELLMANN, Anwaltsrecht, Rz. 500).
5.6. Es ist deshalb sachgerecht, bei der Beurteilung des Honorars im Rahmen von <ref-law> bei einer Diskrepanz nicht bloss auf den in Rechnung gestellten, sondern auch auf den (höheren) vereinbarten Stundenansatz abzustellen. Ein Rückgriff auf den zivilrechtlichen Tatbestand der Übervorteilung von <ref-law> ist diesbezüglich nicht nötig.
6.
6.1. Ob das Honorar angemessen ist, beurteilt sich rechtsprechungsgemäss nach den unter dem Auftragsrecht (<ref-law>) entwickelten, zivilrechtlichen Grundsätzen und allfälligen kantonalen Vorschriften zum Anwaltshonorar (vorliegend Art. 31 Abs. 1 und 2 AnwG SG). Abzustellen ist auf die Art und den Umfang der Bemühungen, den Streitwert, die Schwierigkeit der Aufgabe, die Dringlichkeit der Ausführung, die Ausbildung und das Können des Anwalts und die wirtschaftlichen Verhältnisse der Beteiligten (Urteile 2C_205/2019 vom 26. November 2019 E. 4.3; 2P.318/2006, 2A.733/2006 vom 27. Juli 2007 E. 8.1). Art. 18 Abs. 2 SSR nennt zusätzlich die Bedeutung der Angelegenheit, die Interessenlage des Mandanten, die Verkehrsübung und den Verfahrensausgang. Im Urteil 2C_205/2019 vom 26. November 2019 E. 5.1 hat das Bundesgericht einen Stundenansatz, der das Zwei- bis Dreifache des üblichen Stundenansatzes ausmachte, als krass übersetzt qualifiziert.
6.2. Die Vorinstanz hat im Wesentlichen erwogen, dass vorliegend ein gängiges familienrechtliches Verfahren betreffend Regelung des Unterhalts und Besuchsrechts betroffen sei. Der Beschwerdeführer habe diesbezüglich keine besonderen Abklärungen vornehmen müssen. Über eine besondere Qualifikation oder langjährige praktische Erfahrung im Familienrecht verfüge er nicht. Die wirtschaftliche Lage der Anzeigerin bzw. Klientin habe zumindest die Frage nach der Stellung eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege aufgeworfen. Der Stundenansatz von Fr. 500.-- bzw. Fr. 580.-- sei deshalb im Vergleich zum mittleren Stundenansatz von Fr. 250.-- (vgl. vorne E. 4.3) krass übersetzt und <ref-law> damit verletzt.
6.3. Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, überzeugt nicht. Seine Ausführungen, wonach seine besondere Expertise, besonderen Sprachkenntnisse und aussergewöhnliche Erreichbarkeit einen Stundenansatz von Fr. 500.-- als sachlich vertretbar erscheinen liessen, sind appellatorischer Natur. Ebenso wenig kann aus dem Urteil 2C_205/2019 vom 26. November 2019 E. 5.1 abgeleitet werden, dass im Kanton St. Gallen ein Stundenansatz von Fr. 300.-- bis Fr. 400.-- generell üblich ist, war doch in jenem Fall ein vielfach höherer Streitwert betroffen. Vorliegend war zu Mandatsbeginn unbestrittenermassen von wirtschaftlich sehr bescheidenen Verhältnissen der Anzeigerin auszugehen. Eine besondere Schwierigkeit oder grosse Bedeutung des Falles war und ist nicht erkennbar. Im Gegenteil handelte es sich um eine eng begrenzte, rechtliche Routineangelegenheit. Ein mittlerer Stundenansatz wird dieser Ausgangslage gerecht. Wenn der Kanton St. Gallen dafür in seiner wenn auch bloss subsidiären Honorarordnung (E. 4.3 oben) einen Stundenansatz von Fr. 250.-- vorsieht, ist dieser als lokal verkehrsüblicher Ansatz zu qualifizieren.
6.4. In Bezug auf den konkret vereinbarten Stundenansatz stellt die Vorinstanz auf Fr. 500.-- "beziehungsweise" Fr. 580.-- ab (E. 5.4 angefochtener Entscheid). Selbst wenn zugunsten des Beschwerdeführers davon auszugehen wäre, dass nicht für jede Anwaltsstunde zusätzlich eine Sekretariatsstunde à Fr. 80.-- verrechnet würde (vgl. E. 4.8 oben), wäre das Zweifache des unter den vorliegenden Umständen lokal üblichen Stundenansatzes erreicht. Erst recht gilt dies, wenn von einem Stundenansatz von Fr. 580.-- ausgegangen wird. Die Schlussfolgerung der Vorinstanz, wonach unter den vorliegenden Umständen in der vorliegend einzig zu beurteilenden Konstellation auch der vereinbarte Stundenansatz als krass übersetzt zu qualifizieren ist und insofern ein Verstoss gegen <ref-law> vorliegt, erweist sich damit als bundesrechtskonform.
7.
7.1. In Bezug auf die verhängte Sanktion rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung des Verhältnismässigkeitsprinzips (<ref-law>), des Willkürverbots (<ref-law>) und sinngemäss von <ref-law>. Er macht im Wesentlichen geltend, die Vorinstanz habe nicht berücksichtigt, dass das tatsächlich in Rechnung gestellte Honorar nicht krass übersetzt gewesen sei. Die Anzeigerin habe keinen Nachteil erlitten. Auch habe die Vorinstanz zu Unrecht als erschwerend erachtet, dass der Verstoss auf Grundlagen beruhe, auf welche er seine Mandatsverhältnisse regelmässig abstütze. Es sei nicht zulässig, hypothetische, weitere Verstösse ohne konkrete Anhaltspunkte hinzuzurechnen. Auch habe er - wenn überhaupt - nicht mehrmals, sondern durch eine einzige Handlung, nämlich den Abschluss einer Honorarvereinbarung ohne genügende Aufklärung, gegen das BGFA verstossen, sei jedoch wegen zwei Tatbeständen sanktioniert worden.
7.2. Bei Verletzungen der Berufsregeln kann die Aufsichtsbehörde gemäss <ref-law> als Disziplinarmassnahme eine Verwarnung (lit. a), einen Verweis (lit. b), eine Busse (lit. c) oder ein befristetes (lit. d) oder dauerndes (lit. e) Berufsausübungsverbot anordnen. Die Bestimmung der zu ergreifenden Disziplinarmassnahme ist vorab Sache der zuständigen Aufsichtsbehörde. Anders als bei der Frage, ob ein Verstoss gegen die Berufsregeln vorliegt, welche das Bundesgericht mit freier Kognition prüft, auferlegt sich dieses Zurückhaltung, soweit es um die auszufällende Massnahme geht. Insoweit greift das Bundesgericht nur ein, wenn die angefochtene Disziplinarsanktion den Rahmen des pflichtgemässen Ermessens sprengt und damit als klar unverhältnismässig und geradezu willkürlich erscheint (Urteile 2C_314/2020 vom 3. Juli 2020 E. 5.1; 2C_205/2019 vom 26. November 2019 E. 6.1).
7.3. Die vorinstanzlich bestätigte Sanktion einer Busse (von Fr. 1'500.--) bewegt sich bezüglich Sanktionsart in der Mitte des gesetzlichen Rahmens. Sie wurde im Wesentlichen mit der mangelhaften Aufklärung bezüglich der Grundsätze der Rechnungsstellung und der Vereinbarung eines krass übersetzten Stundenansatzes von Fr. 500.-- beziehungsweise Fr. 580.-- begründet. Der Beschwerdeführer habe trotz schwieriger finanzieller Verhältnisse der Anzeigerin primär seine eigenen finanziellen Interessen verfolgt. Erschwerend komme hinzu, dass die Mängel, anders als bei einzelfallbezogenen Verletzungen, auf Grundlagen (Honorarvereinbarung) beruhten, auf welche der Beschwerdeführer seine Mandatsverhältnisse regelmässig stütze. Der bisher ungetrübte anwaltliche Leumund sei berücksichtigt worden.
7.4. Dem Beschwerdeführer ist zuzugestehen, dass Gegenstand des vorliegenden Verfahrens nur das konkret zu betrachtende Mandatsverhältnis mit der Anzeigerin ist. Insgesamt ist der Verstoss des Beschwerdeführers gegen die Berufspflichten jedoch nicht bloss als geringfügig zu qualifizieren, denn ihm musste bewusst sein, dass eine derart formulierte Honorarvereinbarung der Aufklärungspflicht nicht genügt, weshalb von einsprechendem Vorsatz auszugehen ist. Auch musste dem Beschwerdeführer aufgrund der konkreten Ausgangslage zu Mandatsbeginn klar sein, dass der vereinbarte Stundenansatz dazu in einem erheblichen Missverhältnis steht und als krass übersetzt gelten muss. Die von der Vorinstanz ausgefällte Disziplinarsanktion, welche von einem mittelschweren Verstoss ausgeht, erscheint vor diesem Hintergrund nicht als klar unverhältnismässig bzw. willkürlich, und somit als bundesrechtskonform.
Damit erübrigt es sich, auf den mit Antrag 2 gestellten Eventualantrag und Subeventualantrag einzugehen.
8.
8.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich damit als unbegründet und ist abzuweisen.
8.2. Bei diesem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (Art. 65, Art. 66 Abs. 1 BGG). Da die Anwaltskammer in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegt hat, ist keine Parteientschädigung geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Für das bundesgerichtliche Verfahren ist keine Parteientschädigung geschuldet.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung II, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. November 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Quinto