Erwägungen:
1.
Mit Entscheid vom 4. Juli 2017 wies das Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt ein Rechtsöffnungsgesuch des Beschwerdeführers ab. Die dagegen erhobenen Rechtsmittel blieben erfolglos (Urteil 5A_816/2017 und 5A_821/2017 vom 1. November 2017).
Am 13. Mai 2019 verlangte der Beschwerdeführer sinngemäss die Revision des Entscheids des Zivilgerichts vom 4. Juli 2017. Mit Entscheid vom 29. Juli 2019 wies das Zivilgericht das Revisionsgesuch ab.
Gegen diesen Entscheid erhob der Beschwerdeführer am 6. September 2019 Beschwerde. Mit Verfügung vom 16. Oktober 2019 wies das Appellationsgericht Basel-Stadt das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ab und erstreckte die Frist für die Leistung des Kostenvorschusses von Fr. 750.-- bis zum 13. November 2019. Gegen diese Verfügung erhob der Beschwerdeführer erfolglos Beschwerde beim Bundesgericht (Urteil 5A_965/2019 vom 6. Dezember 2019). Mit Verfügung vom 17. Dezember 2019 setzte das Appellationsgericht dem Beschwerdeführer für die Leistung des Kostenvorschusses eine nicht erstreckbare Nachfrist bis zum 13. Januar 2020 an. Auch dagegen erhob er erfolglos Beschwerde beim Bundesgericht (Urteil 5A_14/2020 vom 9. Januar 2020). Mit Entscheid vom 24. Februar 2020 trat das Appellationsgericht auf die Beschwerde nicht ein, nachdem der Beschwerdeführer den Kostenvorschuss innert der Nachfrist nicht geleistet hatte.
Am 18. Juni 2020 (Postaufgabe) hat der Beschwerdeführer Beschwerde an das Bundesgericht erhoben.
2.
Der mit Einschreiben versandte angefochtene Entscheid ist dem Beschwerdeführer am 6. März 2020 zur Abholung gemeldet worden. Der Entscheid gilt am siebten Tag nach dem erfolglosen Zustellungsversuch als zugestellt, d.h. am 13. März 2020, da der Beschwerdeführer mit einer Zustellung rechnen musste (<ref-law>, <ref-law>). Daran ändern die Verlängerung der Aufbewahrungsfrist durch den Beschwerdeführer und die am 18. März 2020 erfolgte effektive Zustellung nichts (<ref-ruling> E. 3 S. 431 ff.). Unter Berücksichtigung des Fristenstillstands während der Corona-Pandemie ist die dreissigtägige Beschwerdefrist (<ref-law>) am 12. Mai 2020 abgelaufen. Die am 18. Juni 2020 der Post übergebene Beschwerde ist verspätet.
Im Übrigen legt der Beschwerdeführer nicht dar, weshalb der Nichteintretensentscheid des Appellationsgerichts rechtswidrig sein soll, womit die Beschwerde auch den Begründungsanforderungen von Art. 42Abs. 2 BGG nicht genügt.
Die Beschwerde ist damit offensichtlich unzulässig und sie enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung. Zudem ist sie querulatorisch und rechtsmissbräuchlich. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten (<ref-law>).
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war die Beschwerde von Anfang an aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juni 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg