Sachverhalt:
A.
A.a. Die B._ AG (nachfolgend: B._) mit Sitz in Zug vermarktet Sportrechte, unter anderem Bandenwerbungsrechte des Deutschen Fussballbundes (DFB) im Zusammenhang mit der deutschen Fussballnationalmannschaft. Meist über Zwischenhändler kaufen Kunden eine bestimmte Werbezeit pro Spiel, während der auf den Banden im Stadion das Logo oder eine Werbebotschaft angezeigt wird. A._ arbeitete jahrelang bei der B._ und war zuletzt als Managing Director für die Vermarktung der Werberechte verantwortlich. Ihm unterstellt war unter anderem C._.
A.b. Im Jahr 2017 eröffnete die Staatsanwaltschaft für Wirtschaftsstraffälle und Organisierte Kriminalität des Kantons Thurgau aufgrund einer Mitteilung der Meldestelle für Geldwäscherei (MROS) im Bundesamt für Polizei (fedpol) ein Strafverfahren gegen A._ wegen des Verdachts auf Betrug, Urkundenfälschung, Geldwäscherei und ungetreue Geschäftsbesorgung zum Nachteil seiner Arbeitgeberin. Gegenstand des Verfahrens bildeten Zahlungen der D._ S.A., der E._ GmbH sowie von F._ an A._. Beim Betrug geht es um den Vorwurf des sog. "Sekundenklaus", d.h. verschiedenen Kunden von B._ mehr Werbeminuten verkauft als ausgestrahlt zu haben. A._ bestreitet die Vorwürfe vollumfänglich.
A.c. Am 12. Februar 2018 unterzeichneten A._ und die B._ eine "Grundsatzeinigung" über die Beendigung des Arbeitsverhältnisses auf Ende August 2018. Am 15. Februar 2018 schlossen die Parteien einen umfassenden Aufhebungsvertrag. Am 27. Februar 2018 gab die B._ gestützt auf eine darin übernommene Verpflichtung eine Desinteresseerklärung gegenüber der Staatsanwaltschaft ab.
A.d. Mit Eingabe vom 26. April 2019 widerrief die B._ die Desinteresseerklärung wegen neuer Erkenntnisse, erhob strafrechtliche Vorwürfe gegen A._, konstitutierte sich als Zivil- und Strafklägerin und machte dabei einen Schaden von 3.85 Millionen Euro geltend und ersuchte um Einladung zur Teilnahme an den Beweiserhebungen.
A.e. Am 5. Juli 2019 meldete sich C._ bei der Staatsanwaltschaft und erteilte Auskünfte zum Sachverhalt. In der Folge eröffnete die Staatsanwaltschaft auch ein Strafverfahren gegen ihn im Zusammenhang mit dem Betrugsvorwurf des "Sekundenklaus".
B.
Wegen verschiedener Vorkommnisse reichte A._ am 14. Dezember 2019 bei der Staatsanwaltschaft sowie am 16. Dezember 2019 beim Obergericht des Kantons Thurgau ein Ausstandsgesuch gegen den als Untersuchungsleiter amtenden stellvertretenden Oberstaatsanwalt des Kantons Thurgau, Urs Wiedemann, ein. Zur Begründung machte er im Wesentlichen geltend, es bestünden auf Seiten von Urs Wiedemann zumindest der Anschein der Befangenheit und die Gefahr einer Voreingenommenheit. Mit Entscheid vom 21. April 2020 wies das Obergericht das Ausstandsgesuch ab.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 2. Juni 2020 an das Bundesgericht beantragt A._, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und Staatsanwalt Urs Wiedemann in den Ausstand zu versetzen; evenutell sei die Angelegenheit zu neuer Entscheidung an das Obergericht zurückzuweisen. Zur Begründung macht er im Wesentlichen geltend, der angefochtene Entscheid verstosse gegen die Ausstandsvorschriften der Strafprozessordnung sowie der Bundesverfassung und der Europäischen Menschenrechtskonvention. Urs Wiedemann verzichtete im Namen der Staatsanwaltschaft auf eine Stellungnahme. Das Obergericht schliesst ohne weitere Ausführungen zur Sache auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen, selbständig anfechtbaren Zwischenentscheid über den Ausstand im Rahmen eines Strafverfahrens. Dagegen steht die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht offen (vgl. Art. 78 ff. bzw. <ref-law>).
1.2. Der Beschwerdeführer ist Beschuldigter im Strafverfahren, war am vorinstanzlichen Verfahren beteiligt und ist als Gesuchsteller sowie Adressat des angefochtenen Entscheids zur Beschwerde legitimiert (vgl. <ref-law>).
1.3. Mit der Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Bei den vom Beschwerdeführer angerufenen Bestimmungen handelt es sich um massgebliches Bundesrecht. Dessen Einhaltung überprüft das Bundesgericht mit freier Kognition.
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz zugrunde (<ref-law>), es sei denn, diese seien offensichtlich unrichtig oder beruhten auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Solche Ausnahmegründe werden hier weder dargetan noch sind sie ersichtlich, weshalb die tatsächlichen Feststellungen des Obergerichts für das Bundesgericht verbindlich sind.
2.
Der Beschwerdeführer beanstandet verschiedene Verfahrensfehler und ihm gegenüber missliebige Äusserungen des Untersuchungsleiters. Gestützt darauf rügt er eine Verletzung von <ref-law> in Verbindung mit Art. 29 Abs. 1 und Art. 30 Abs. 1 BV sowie von Art. 6 Ziff. 1 EMRK und zugleich eine willkürliche Anwendung dieser Bestimmungen im Sinne von <ref-law>. Zusammengefasst macht er geltend, der vom Ausstandsgesuch betroffene Staatsanwalt sei voreingenommen. Sein bisheriges Verhalten offenbare, dass er sich nicht an die Unschuldsvermutung halte. So habe er ein fallrelevantes Telefongespräch mit dem Rechtsvertreter der Privatklägerin nicht protokolliert und einer vorgeladenen und in den zu untersuchenden Sachverhalt als Organ der Privatklägerin involvierten Auskunftsperson vor deren Einvernahme über ihren Rechtsvertreter den gesamten Fragenkatalog mit Beilagen sowie internen Notizen der Ermittlungsbehörde zugestellt. Dem Beschwerdeführer habe er demgegenüber die Identität von Auskunftspersonen vor der Einvernahme wegen nicht näher begründeter Kollusionsgefahr regelmässig nicht bekanntgegeben. Sodann habe er einfach erhältliche entlastende Beweise entgegen den Anträgen der Verteidigung nicht eingeholt bzw. als unwesentlich gewertet und die entsprechenden Beweisanträge als "relative Peinlichkeit" bzw. deren Begründung als "aktenwidrig" bezeichnet. Weiter habe er die Ergreifung von Rechtsmitteln durch den Beschwerdeführer gegenüber dem Obergericht als Beschwerdeinstanz mehrfach als "Torpedierung" des Strafverfahrens bezeichnet und eindeutig als Belastungsindiz gewertet. Und schliesslich habe er dem Beschwerdeführer im Rahmen eines Beschwerdeverfahrens vor dem Obergericht im Zusammenhang mit Grundbuchsperren ohne Anlass aktenwidrig ein Steuerdelikt unterstellt, ohne dass ein entsprechendes Verfahren eröffnet worden wäre. Auch das Obergericht habe sein Missfallen über einzelne Verhaltensweisen des Staatsanwaltes bekundet, ohne allerdings einen ausreichenden Ausstandsgrund zu erkennen, was bundesrechtswidrig sei.
3.
3.1. Die Ausstandsgründe für die in einer Strafbehörde tätigen Justizpersonen sind in <ref-law> geregelt. Zu den Strafbehörden gehören neben den Gerichten (<ref-law>) die Strafverfolgungsbehörden, darunter die Organe der Staatsanwaltschaft (<ref-law>). Von den in Art. 56 lit. a-e StPO geregelten besonderen Ausstandsgründen abgesehen (persönliches Interesse an der Strafsache, Vorbefassung in anderer Stellung, persönliche Beziehung zu Parteien usw.), tritt ein Staatsanwalt oder eine Staatsanwältin in den Ausstand, wenn diese Justizperson "aus anderen Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand, befangen sein könnte" (<ref-law>).
3.2. Befangenheit einer staatsanwaltlichen Untersuchungsleiterin oder eines Untersuchungsleiters ist nach der Praxis des Bundesgerichtes nicht leichthin anzunehmen. Zu bejahen ist sie, wenn nach objektiver Betrachtung besonders krasse oder ungewöhnlich häufige Fehlleistungen der Untersuchungsleitung vorliegen, welche bei gesamthafter Würdigung eine schwere Verletzung der Amtspflichten darstellen und sich einseitig zulasten einer der Prozessparteien auswirken (<ref-ruling> E. 3.2 S. 74 f.; <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 180; <ref-ruling> E. 2.3 S. 146; <ref-ruling> E. 3e S. 124; <ref-ruling> E. 3b S. 404; <ref-ruling> E. 3b/bb S. 158; Urteil 1B_375/2017 vom 7. Februar 2018 E. 2; je mit Hinweisen). Diesbezüglich sind primär die zur Verfügung stehenden Rechtsmittel gegen beanstandete Verfahrenshandlungen auszuschöpfen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 75; <ref-ruling> E. 3b/bb S. 158 f.; je mit Hinweisen).
3.3. Auch voreilige präjudizielle Äusserungen der Untersuchungsleitung können in begründeten Einzelfällen geeignet sein, objektive Zweifel an ihrer Unparteilichkeit zu begründen. Dies kann zum Beispiel zutreffen, wenn die Untersuchungsleitung nicht gewillt erscheint, ihren unzulässigen, vom zuständigen Verfahrensgericht gerügten Standpunkt zu ändern (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.4 S. 146 f.). Sodann können sich Verfahrenssituationen ergeben, in denen die Staatsanwaltschaft bereits vor Abschluss der Strafuntersuchung in rechtlicher oder tatsächlicher Hinsicht zum Gegenstand der Untersuchung Stellung nimmt und dabei unter Umständen auch ihre, aufgrund des jeweiligen Verfahrensstandes vorläufig gebildete Meinung offen legt. Dabei darf und muss aber, sofern nicht besondere gegenteilige Anzeichen vorhanden sind, vorausgesetzt werden, dass die Untersuchungsleitung in der Lage ist, ihre vorläufige Beurteilung des Prozessstoffes entsprechend dem jeweils neusten Stand des Verfahrens ständig zu überprüfen und bei Vorliegen neuer Tatsachen und Argumente auch zu revidieren. Ein solches Vorgehen vermag in der Regel keine Parteilichkeit oder Befangenheit objektiv zu begründen. "Ungeschickte Äusserungen" eines Staatsanwaltes kommen als Ausstandsgrund nur in Frage, wenn es sich dabei um eine schwere Verfehlung gegenüber der betroffenen Partei handelt (BGE <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 180; <ref-ruling> E. 2d S. 200; <ref-ruling> E. 6 S. 21 f.; je mit Hinweisen; zum Ganzen Urteil des Bundesgerichts 1B_535/2018 vom 16. April 2019 E. 3).
4.
4.1. Der Beschwerdeführer macht nicht eine massgebliche persönliche Feindschaft im Verhältnis zum Staatsanwalt geltend, um dessen Ausstand er ersucht. Er sieht den Ausstandsgrund hingegen in der Summe der von diesem begangenen Verhaltensverfehlungen.
4.2. Wie das Obergericht zutreffend ausführt, belegen die Bildung und Nennung einer Schuldhypothese für sich noch keine Parteilichkeit. Es ist aber erforderlich, dass die Staatsanwaltschaft belastende und entlastende Umstände mit gleicher Sorgfalt untersucht. Abgelehnte Beweisanträge sind allerdings nicht anfechtbar, da sie im Hauptverfahren erneut gestellt werden können, ausser es liesse sich daraus eine krass einseitige Beweisführung ableiten. Das trifft hier nicht zu, erscheint es doch mit dem Obergericht nachvollziehbar, dass der Staatsanwalt sich bisher vorrangig auf Urkundenbeweise konzentrierte und deswegen auf die vom Beschwerdeführer beantragten Einvernahmen vorerst verzichtete. Das gilt auch für die vom Beschwerdeführer verlangte Einholung der sog. Genehmigungsblätter für die angeblich gefälschten Verträge bei seiner früheren Arbeitgeberin. Wie das Obergericht festhielt, versucht der Beschwerdeführer dadurch den Verdacht von sich abzuwenden und gegebenenfalls auf Dritte zu lenken. Demgegenüber geht der Staatsanwalt davon aus, das Vertragswerk sei manipuliert worden. Das lässt noch nicht auf Befangenheit schliessen. Mit dem Obergericht ist jedoch festzuhalten, dass wertende Aussagen des Untersuchungsleiters zu Beweisanträgen, insbesondere deren Bezeichnung als "relative Peinlichkeit", der Sache nicht dienlich sind und unterbleiben sollten. Auch wenn Ausführungen des Beschuldigten als aktenwidrig bezeichnet werden, sollte dies nur dann in Betracht gezogen werden, wenn sich das eindeutig belegen lässt. Unterlagen, die sich wie hier die Genehmigungsblätter gar nicht in den Akten befinden, können auch nicht aktenwidrig sein. Hierzu wäre beim Beschwerdegegner eine grössere Zurückhaltung erforderlich gewesen.
4.3. Mit dem Obergericht ist weiter davon auszugehen, dass im Untersuchungsverfahren geführte Telefongespräche zu protokollieren sind bzw. darüber zumindest eine Aktennotiz zu erstellen ist. Es ist daher nicht unbedenklich, dass der Beschwerdegegner dies im Zusammenhang mit einem Gespräch mit dem Rechtsbeistand der früheren Arbeitgeberin des Beschwerdeführers unterlassen hat. Allerdings dürfte dies vor allem später im Hauptverfahren von Belang sein.
4.4. Nicht zu beanstanden ist, Zeugennamen bei Vorliegen von Kollusionsgefahr nicht vorgängig bekannt zu geben. Je länger dies dauert, desto eingehender muss die Kollusionsgefahr freilich belegt werden. Vorerst ist darin im vorliegenden Fall noch kein wesentlicher Verfahrensfehler erkennbar. Künftig wird die Staatsanwaltschaft dies jedoch eingehender zu begründen haben, wenn sie Zeugennamen weiterhin nicht preisgeben will.
4.5. Mit dem Obergericht erscheint es demgegenüber fragwürdig, dass der Beschwerdegegner dem Rechtsvertreter einer vorgeladenen und als Organ der Privatklägerin geladenen Auskunftsperson vorweg den gesamten Fragenkatalog mit Beilagen sowie internen Notizen der Ermittlungsbehörde zustellte. Dadurch kann der Eindruck einer gewissen Einseitigkeit entstehen. Die Begründung des Beschwerdegegners, die Zustellung der Unterlagen habe der Vorbereitung der Einvernahme gedient, erscheint dürftig und überzeugt für sich allein nicht. Der Eindruck von Einseitigkeit unterscheidet sich höchstens noch graduell vom Anschein der Befangenheit.
4.6. Sodann steht es jedem Beschuldigten zu, die ihm offenstehenden Rechtsmittel zu ergreifen, ohne dass ihm dies im Strafverfahren nachteilig ausgelegt wird. Soweit der Beschwerdegegner das entsprechende Verhalten des Beschwerdeführers als "Torpedierung" des Strafverfahrens bezeichnet hat, ist das daher als unangebracht zu werten. Der angemessene Umgang mit der Verteidigungsstrategie gehört zur Aufgabe der Staatsanwaltschaft. Als unvorsichtig und aufgrund der Umstände ebenfalls unangemessen entpuppt sich auch der Vorwurf, bei einem gesiegelten Bankkonto handle es sich um ein nicht versteuertes Konto, nachdem dies nachweislich nicht zutraf. Der Beschwerdegegner liess in beiden Zusammenhängen ungenügende Zurückhaltung erkennen. Es kann hier offenbleiben, ob in diesen beiden Umständen bereits eine derart schwere Verfehlung vorliegt, dass daraus eine Vorverurteilung des Beschwerdeführers abzuleiten wäre.
4.7. Insgesamt sindmehrere vom Beschwerdeführer gegenüber dem Beschwerdegegner erhobene Vorwürfe nicht unbegründet. Dieser hat sich mitunter nicht nur ungeschickt verhalten, sondern bei seinen Untersuchungen auch nicht die erforderlicheUnparteilichkeit erkennen lassen. Ob die einzelnen Verhaltensweisen derart schwer wiegen, dass sie jeweils für sich allein als krasses Fehlverhalten einen Ausstandsgrund schaffen, kann dahingestellt bleiben. Jedenfalls erweckt die Summe aller zu beanstandenden Verhaltensweisen objektiv den Anschein von Befangenheit. Der vorliegende Fall weist insofern gewisse Parallelen zum Sachverhalt auf, der vom Bundesgericht im vom Beschwerdeführer angerufenen Urteil 1P.766/2000 vom 18. Mai 2001 zu beurteilen war. Die Verfehlungen sind insgesamt vergleichbar. Der Beschwerdegegner hat daher im fraglichen Strafverfahren in den Ausstand zu treten.
4.8. Der angefochtene Entscheid, mit dem ein Ausstandsgrund verneint wird, verletzt demnachBundesrecht.
5.
Die Beschwerde erweist sich als begründet und ist gutzuheissen, der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und es ist der Ausstand des Beschwerdegegners im Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer anzuordnen.
Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 4BGG). Der Kanton Thurgau hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Thurgau vom 21. April 2020 wird aufgehoben und es wird der Ausstand von Staatsanwalt Urs Wiedemann im Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer angeordnet.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Thurgau hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. August 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Daspräsid ierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Kneubühler Uebersax