Sachverhalt:
A.
A._ (Beschwerdeführer) war ab 14. Januar 2002 bei der B._ AG (Beschwerdegegnerin) als Abteilungsleiter "Einkauf/ Verkauf DVD" angestellt. Am 27. August 2014 kam es zwischen A._ und C._ - dem Verwaltungsratspräsidenten der B._ AG - zu einer Auseinandersetzung. Ab dem Folgetag war A._ bis Ende Januar 2016 krankgeschrieben. Mit Schreiben vom 15. September 2014 teilte die B._ AG A._ mit, dass sie plane, nach seiner Genesung das Arbeitsverhältnis aufzulösen und ihn von jeglicher Arbeitsleistung freizustellen.
Mit Schreiben vom 24. Februar 2015 kündigte die B._ AG das Arbeitsverhältnis per 31. März 2015. A._ erhob innerhalb der Kündigungsfrist Einsprache.
B.
Am 29. Februar 2016 klagte A._ beim Bezirksgericht (Arbeitsgericht) Baden mit dem Begehren, die B._ AG sei zu verurteilen, ihm Fr. 10'923.37 brutto sowie Fr. 27'300.-- netto je nebst Zins zu 5 % seit 22. September 2015 und Fr. 4'720.14 netto nebst Zins zu 5 % seit 17. November 2015 zu bezahlen.
Mit Entscheid vom 28. August 2017 hiess das Arbeitsgericht die Klage teilweise gut und verurteilte die B._ AG, A._ netto Fr. 7'514.70 nebst Zins zu 5 % seit 22. September 2015 zu bezahlen.
Gegen diesen Entscheid erhob A._ Berufung, die B._ AG Anschlussberufung an das Obergericht des Kantons Aargau. Mit Entscheid vom 11. April 2019 hob das Obergericht den Entscheid des Arbeitsgerichts auf und verurteilte die B._ AG in Abweisung der Berufung und teilweiser Gutheissung der Anschlussberufung, A._ netto Fr. 1'567.10 nebst Zins zu 5 % seit 22. September 2015 zu bezahlen.
C.
A._ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben. Die B._ AG sei zu verurteilen, ihm Fr. 10'923.37 brutto sowie Fr. 27'300.-- netto je nebst Zins zu 5 % seit 22. September 2015 zu bezahlen. Eventualiter sei die Sache "zur Durchführung des Beweisverfahrens bezüglich Verursachung der Krankheit" und "zur Bemessung der Entschädigung wegen missbräuchlicher Kündigung" zurückzuweisen. Überdies sei die B._ AG zu verurteilen, ihm Fr. 4'720.14 netto nebst Zins zu 5 % seit 17. November 2015 zu bezahlen.
Das Obergericht verzichtete auf Vernehmlassung. Die B._ AG begehrt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit auf sie einzutreten sei.
Mit Präsidialverfügung vom 4. September 2019 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Obergerichts ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer Vorinstanz im Sinne von <ref-law>. Weiter erreicht der Streitwert den nach <ref-law> in arbeitsrechtlichen Fällen geltenden Mindestbetrag von Fr. 15'000.--. Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit grundsätzlich zulässig.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90).
2.3. Soweit die Parteien die vorinstanzliche Beweiswürdigung kritisieren, ist zu beachten, dass das Bundesgericht in diese nur eingreift, wenn sie willkürlich ist. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern bloss, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 4.2.1). Dies ist dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 4.2). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (BGE <ref-ruling> E. 2.2). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266 f.; <ref-ruling> E. 2b).
3.
Der Beschwerdeführer macht zunächst geltend, die am 24. Februar 2015 erfolgte Kündigung sei missbräuchlich.
3.1. Er meint, die Beschwerdegegnerin habe ihn wegen einer Krankheit entlassen, die sie selbst durch jahrelange Überforderung am Arbeitsplatz verursacht habe. Die Beschwerdegegnerin stellte sich dagegen im vorinstanzlichen Verfahren und auch vor Bundesgericht auf den Standpunkt, Kündigungsmotiv sei nicht die Krankheit, sondern die anhaltende Widersetzlichkeit des Beschwerdeführers gewesen. Wie es sich damit verhält, braucht vorliegend nicht erörtert zu werden. Denn die Kündigung wäre auch dann nicht missbräuchlich, wenn sie aufgrund der Krankheit erfolgte, wie nachfolgend aufzuzeigen ist.
3.2. Ein unbefristetes Arbeitsverhältnis kann von jeder Vertragspartei unter Einhaltung der gesetzlichen oder vertraglichen Kündigungsfrist gekündigt werden (<ref-law>). Damit gilt das Prinzip der Kündigungsfreiheit. Es bedarf grundsätzlich keiner besonderen Gründe, um kündigen zu können (siehe <ref-ruling> E. 2.3 S. 514 mit Hinweisen). Die Kündigungsfreiheit findet aber ihre Grenzen am Missbrauchsverbot. Gemäss <ref-law> ist die Kündigung eines Arbeitsverhältnisses unter anderem dann missbräuchlich, wenn eine Partei sie ausspricht wegen einer Eigenschaft, die der anderen Partei kraft ihrer Persönlichkeit zusteht, es sei denn, diese Eigenschaft stehe in einem Zusammenhang mit dem Arbeitsverhältnis oder beeinträchtige wesentlich die Zusammenarbeit im Betrieb.
3.3. Die Vorinstanz erwog, eine Krankheit, die zur Arbeitsunfähigkeit führe und sich somit auf das Arbeitsverhältnis auswirke, stelle grundsätzlich einen legitimen Kündigungsgrund dar. Eine nach <ref-law> verpönte Treuwidrigkeit liege indes vor, wenn die Krankheit einer Unterlassung der nach <ref-law> vom Arbeitgeber geschuldeten Fürsorge zuzuschreiben wäre und dieser um diesen Umstand gewusst habe. Im vorliegenden Fall könne folglich nur dann von einer missbräuchlichen Kündigung ausgegangen werden, wenn die Beschwerdegegnerin am 15. September 2014 (als sie dem Beschwerdeführer ihre Kündigungsabsicht mitteilte) gewusst habe, dass die Krankheit des Beschwerdeführers durch eine von ihr erwirkte Überforderung verursacht worden sei. Es fehle indes bereits an entsprechenden Behauptungen des Beschwerdeführers, zumal die von ihm geltend gemachten Überzeiten keine Überforderung begründeten.
3.4. Der Beschwerdeführer moniert, in der Sache werfe ihm die Vorinstanz vor, dass er der Beschwerdegegnerin die Ursache seiner Krankheit nicht mitgeteilt habe. Indes habe für ihn kein Anlass bestanden, ihr mehr über seine Krankheit mitzuteilen, als sich aus den ärztlichen Attesten ergebe. Es bestehe denn auch "keine Pflicht zur Bekanntgabe der ärztlichen Diagnose". Die Beschwerdegegnerin müsse sich angesichts der "langen Arbeitszeiten", der "vielen E-Mails", die sie ihm "zu jeder Tages- und Nachtzeit" geschickt habe, und seiner Überzeit (die entgegen den vorinstanzlichen Feststellungen durchschnittlich nicht 14 bis 25, sondern 51 Minuten pro Tag betragen habe) bewusst gewesen sein, dass seine Krankheit "wohl die Reaktion" auf diese Arbeitsbedingungen gewesen sei.
3.5.
3.5.1. Es ist grundsätzlich zulässig, jemandem wegen einer die Arbeitsleistung beeinträchtigenden Krankheit zu kündigen, jedenfalls soweit die Sperrfrist nach <ref-law> abgelaufen ist (<ref-ruling> E. 4.4; <ref-ruling> E. 5; Urteile 4A_564/2008 vom 26. Mai 2009 E. 2.2; 4C.174/2004 vom 5. August 2004 E. 2.2.2). Dagegen läge eine nach <ref-law> verpönte Treuwidrigkeit vor, wenn die krankheitsbedingte Beeinträchtigung der Verletzung einer dem Arbeitgeber obliegenden Fürsorgepflicht zuzuschreiben wäre (siehe Urteile 4A_437/2015 vom 4. Dezember 2015 E. 2.2.2; 4C.354/2005 vom 8. Februar 2006 E. 2.3, nicht publ. in: <ref-ruling>; vgl. auch Urteil 4C.320/2005 vom 20. März 2006 E. 3.2).
Die Missbräuchlichkeit einer Kündigung setzt einen Kausalzusammenhang zwischen dem verpönten Motiv und der Kündigung voraus. Es ist mithin erforderlich, dass der als missbräuchlich angefochtene Kündigungsgrund bei der Entscheidung des Arbeitgebers, den Arbeitsvertrag aufzulösen, eine entscheidende Rolle gespielt hat (siehe <ref-ruling> E. 2a S. 73; Urteil 4A_437/2015 vom 4. Dezember 2015 E. 2.2.3). Der Arbeitnehmer, der sich auf die Missbräuchlichkeit beruft, trägt hierfür die Beweislast. Dies gilt namentlich auch für den besagten Kausalzusammenhang zwischen dem angerufenen Kündigungsgrund und der Kündigung (siehe <ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1 S. 703; <ref-ruling> E. 4b S. 252; <ref-ruling> E. 3b S. 62; vgl. auch Urteil 4C.313/1990 vom 4. März 1991 E. 1a).
Vor diesem Hintergrund ist der Schluss der Vorinstanz nicht zu beanstanden, der Beschwerdeführer müsse das Vorliegen eines verpönten Kündigungsmotivs aufzeigen und folglich beweisen, dass die Beschwerdegegnerin die Kündigung aussprach wegen seiner Krankheit, die durch eine Verletzung ihrer Fürsorgepflicht verursacht wurde. Der Beschwerdeführer hält dafür, für die Missbräuchlichkeit nach <ref-law> dürfe nicht vorausgesetzt werden, dass der Arbeitgeber um die "Kausalität zwischen Fürsorgepflichtverletzung und Krankheit" wisse. Damit schlägt er eine Lösung vor, die sich mit <ref-law>, <ref-law> und der hierzu ergangenen, im vorstehenden Absatz zitierten bundesgerichtlichen Rechtsprechung nicht verträgt.
3.5.2. Entscheidend ist somit, ob die Beschwerdegegnerin wusste, dass die Krankheit durch die Unterlassung der von ihr geschuldeten Fürsorge hervorgerufen wurde (immer vorausgesetzt, die Krankheit sei der tatsächliche Kündigungsgrund gewesen [siehe Erwägung 3.1]). Die Vorinstanz gelangte zum Ergebnis, dem Beschwerdeführer sei dieser Nachweis (bei einem Beweisgrad der hohen Wahrscheinlichkeit) nicht gelungen. Dies ist eine Frage der Beweiswürdigung, die vom Bundesgericht nur unter Willkürgesichtspunkten überprüft werden kann (vorstehende Erwägung 2.3). Willkür tut der Beschwerdeführer aber nicht dar. Er behauptet einzig, die Beschwerdegegnerin habe "ganz genau" gewusst, dass sie ihn "überfordert" habe, und verweist hierzu und in teilweise unzulässiger Ergänzung des Sachverhalts (vorstehende Erwägung 2.2) auf die E-Mails, die er erhalten habe, sowie auf den Umstand, dass die Überzeit täglich durchschnittlich 51 Minuten betragen habe. Weshalb der Schluss, die Beschwerdegegnerin habe nicht im Wissen um eine durch sie selbst pflichtwidrig verursachte Krankheit gekündigt, geradezu willkürlich sein sollte, ergibt sich daraus nicht.
Entsprechend sah die Vorinstanz zu Recht von der Abnahme der vom Beschwerdeführer offerierten Beweismittel - Zeugenbefragung der Ärzte, allenfalls Gutachten - ab. Denn diese taugten allenfalls zur Klärung der Frage, ob die Krankheit des Beschwerdeführers auf dessen angebliche Überforderung am Arbeitsplatz zurückzuführen war. Sie vermöchten aber ohnehin nicht aufzuzeigen, dass die Beschwerdegegnerin im Kündigungszeitpunkt um diesen Zusammenhang wusste, wie bereits die Vorinstanz ausführte und was auch der Beschwerdeführer nicht bestreitet. Die in diesem Zusammenhang und unter Hinweis auf <ref-law> erhobene Rüge des Beschwerdeführers, sein "Recht [...] zum Beweis" sei verletzt, verfängt nicht.
3.6. Weitere Umstände, welche für die Treuwidrigkeit der Kündigung sprächen, sind nicht festgestellt. Der Vorinstanz ist somit keine Verletzung von <ref-law> vorzuwerfen, wenn sie zum Schluss gelangte, die Kündigung sei nicht missbräuchlich. Damit fehlt es an einer Grundlage für die vom Beschwerdeführer verlangte Entschädigung (siehe <ref-law>).
4.
Sodann macht der Beschwerdeführer eine Forderung für Überzeit geltend.
4.1. Im bundesgerichtlichen Verfahren ist in diesem Zusammenhang einzig strittig, ob die Beschwerdegegnerin berechtigt war, von der im Zeiterfassungssystem registrierten Arbeitszeit für jeden Mittag eine Stunde Pause in Abzug zu bringen.
4.2. Die Vorinstanz führte aus, die Beschwerdegegnerin habe in ihrem Betrieb eine Mittagspause von einer Stunde vorgeschrieben. Sie habe - im Speziellen auch gegenüber dem Beschwerdeführer - auf die Einhaltung dieser Pause gepocht, was sich etwa an einer Verwarnung vom 22. September 2010 zeige. Die Zeugin D._ habe ausgesagt, der Beschwerdeführer habe ihre wiederholte Ermahnung, er solle "über Mittag bitte stempeln" mit der Begründung in Frage gezogen, es würde ihm "ja sowieso eine Stunde abgezogen". Die Beschwerdegegnerin sei daher - so die Vorinstanz - berechtigt gewesen, für Arbeitstage, an denen der Beschwerdeführer am Mittag nicht eine ganze Stunde ausgestempelt habe, die entsprechende Differenz von der erfassten Arbeitszeit abzuziehen.
4.3. Der Beschwerdeführer stellt die Zulässigkeit des Pausenabzugs nicht grundsätzlich in Frage. Er meint aber, die Beschwerdegegnerin habe das Durcharbeiten über Mittag während mehr als zweieinhalb Jahren "ohne jeden Widerspruch" toleriert, indem sie die Zeiterfassungsblätter "widerspruchslos" entgegengenommen und damit die "geleistete Arbeitszeit" akzeptiert habe. Dies steht in offenbarem Widerspruch zu den Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz, ohne dass der Beschwerdeführer Willkür geltend machen würde (siehe Erwägung 2.2). Folglich ist er mit seinen diesbezüglichen Vorbringen nicht zu hören und seiner Argumentation, die von ihm über Mittag erfasste Zeit sei genehmigt worden und daher entgegen den im Betrieb geltenden Pausenvorschriften zu entschädigen, von vornherein der Boden entzogen.
5.
Schliesslich erhebt der Beschwerdeführer eine Rüge unter dem Titel "Betriebszahlung im Mai 2015". Er führt aus, im Dezember 2014 habe er sowohl eine Taggeldzahlung der Krankentaggeldversicherung als auch eine Lohnzahlung der Beschwerdegegnerin erhalten. Diese Lohnzahlung habe er an seine "Überstundenforderung" angerechnet. Nach dieser "Verrechnung" habe die Beschwerdegegnerin ihm gegenüber kein Guthaben mehr gehabt, in der Folge aber dennoch eine weitere Taggeldzahlung vom Versicherer erhältlich gemacht, die ihr nicht zugestanden habe.
Damit wiederholt der Beschwerdeführer frei seinen bereits vor den Vorinstanzen vorgetragenen Standpunkt, ohne in nachvollziehbarer Weise eine Rechtsverletzung zu rügen. Vor allem unterlässt er es, auf die Erwägungen des Obergerichts einzugehen. Dieses erwog nämlich, eine Auseinandersetzung mit dieser Forderung erübrige sich, da dem Beschwerdeführer das Überzeitguthaben ohne Berücksichtigung der von ihm in Abzug gebrachten "Verrechnungsforderung" zugesprochen werde. Inwiefern die Vorinstanz mit diesen Erwägungen Bundesrecht verletzt hat, legt der Beschwerdeführer nicht dar. Auf die in diesem Zusammenhang erhobene Kritik ist daher nicht einzutreten (siehe Erwägung 2.1).
6.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (siehe Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Oktober 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Stähle