Faits :
A.
A._ est prévenu, dans le cadre de la cause Pmin_2017 ouverte le 28 juin 2017 devant le Juge des mineurs, de deux tentatives d'assassinat (art. 22 al. 1 et 112 CP), pour avoir, dans la nuit du 6 au 7 janvier 2017, donné de nombreux coups à B._ et à C._, respectivement d'avoir accepté que D._, E._, F._ et G._ fassent de même. A._ est également mis en prévention pour rixe (<ref-law>), pour dommages à la propriété (<ref-law>), pour vols (<ref-law>), ainsi que pour diverses infractions à la loi sur la circulation routière et à celle sur les armes.
Dans le cadre de cette procédure, une expertise psychiatrique a été réalisée le 30 novembre 2017. Le rapport y relatif a été communiqué aux parties plaignantes, caviardé en ce qui concerne la situation personnelle du prévenu mineur (anamnèse familiale, évolution depuis son arrestation, entretiens avec des tiers, mesures de protection préconisées).
Le 22 octobre 2018, A._ est devenu majeur.
Le Juge des mineurs a, le 16 janvier 2019, communiqué au Ministère public de la République et canton de Genève (ci-après : le Procureur des mineurs) sa procédure, considérant que l'instruction était terminée. Le 20 mars 2019, le Procureur des mineurs a retourné la cause au Juge des mineurs; les faits nouveaux survenus dans l'intervalle commandaient que la situation personnelle du prévenu soit complétée, notamment par le biais d'une nouvelle expertise psychiatrique.
A.a. Le 19 janvier 2019, le Ministère public de la République et canton de Genève en charge de la juridiction ordinaire (ci-après : le Ministère public ordinaire) a ouvert la procédure P_2019 contre A._ pour meurtre (<ref-law>), lésions corporelles simples aggravées (<ref-law>) et menaces de mort (<ref-law>). Dans ce cadre, il lui est reproché d'avoir, le 19 janvier 2019, blessé H._ d'un coup de couteau, tué avec ce même couteau I._ et menacé de mort J._ et K._. La détention provisoire de A._ a été ordonnée, mesure toujours en cours.
A.b. A la suite de l'ordonnance du 24 mai 2019 du Ministère public ordinaire refusant de transmettre la cause P_2019 concernant A._ à la juridiction des mineurs et du prononcé du 11 avril 2019 du Juge des mineurs se dessaisissant de la procédure Pmin_2017 en faveur de la juridiction des adultes, le Procureur général de la République et canton de Genève a rejeté le 22 octobre 2019 les deux recours formés par A._ contre ces décisions.
Par arrêt du 23 mars 2020 (cause 1B_573/2019 publiée à l'<ref-ruling>), le Tribunal fédéral a admis le recours formé par A._ contre cette décision, l'a annulée dans la mesure où elle confirmait l'ordonnance de dessaisissement du 11 avril 2019 rendue par le Juge des mineurs en faveur de la juridiction ordinaire dans la cause Pmin_2017; le Tribunal des mineurs était compétent pour instruire et juger cette procédure (cf. consid. 3 non publié à l'<ref-ruling>). Le Tribunal fédéral a en particulier relevé qu'il n'était pas exclu que les autorités pénales puissent se communiquer réciproquement leur dossier (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 170).
Le 2 juin 2020, le Ministère public ordinaire a rendu un avis de dessaisissement de la cause Pmin_2017 en faveur du Tribunal des mineurs et lui a transmis le dossier.
A.c. Le 14 mai 2020, A._ a demandé au Juge des mineurs, ainsi qu'au Ministère public ordinaire, de l'informer préalablement s'ils estimaient utile de se communiquer les pièces de leur dossier respectif, afin de pouvoir se déterminer et, le cas échéant, recourir contre leur décision.
Par requête du 2 juin 2020, le Ministère public ordinaire a demandé au Juge des mineurs l'apport du dossier d'expertise de la procédure Pmin_2017, notamment afin que l'expert qui serait mandaté dans la cause P_2019 puisse en avoir connaissance "s'il veut examiner sérieusement la personnalité et l'état mental du prévenu, de même que leur évolution, notamment sous l'angle des risques", au besoin après avoir rendu "illisibles les passages qui toucheraient à des tiers mineurs et seraient sans lien avec la personnalité du prévenu (noms de complices, etc.) ". Interpellé par le Juge des mineurs, A._ s'est opposé à cette transmission.
Par ordonnance du 24 août 2020, le Juge des mineurs a autorisé la transmission de l'expertise du 30 novembre 2017 au Ministère public ordinaire, caviardée en ce qui concerne l'identité des tiers sans lien avec la personnalité du prévenu (coauteurs). Le Juge des mineurs a en particulier considéré que le secret qui entourait les procédures d'un mineur devait céder le pas à la transparence lorsque les infractions commises en tant que majeur étaient graves ou de même nature ou qu'il existait un risque de récidive et que le respect de la sphère personnelle des tiers visés dans le rapport pouvait être garanti par le retrait des passages les concernant sans lien avec la personnalité du prévenu.
B.
Le 26 octobre 2020, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève a rejeté le recours formé par A._ contre cette décision.
C.
Par acte du 26 novembre 2020, A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre cet arrêt, concluant à son annulation et, subsidiairement, au renvoi de la cause à l'autorité précédente. A titre de mesures provisionnelles, il demande de ne pas transmettre au Ministère public ordinaire l'expertise du 30 novembre 2017 jusqu'à droit connu sur le présent recours. Le 4 décembre 2020, le recourant a sollicité l'octroi de l'assistance judiciaire dans le sens qu'il soit renoncé à l'avance de frais demandée, ce qui a été accordé le 7 décembre 2020.
L'autorité précédente a renoncé à se déterminer sur la requête de mesures provisionnelles et sur le fond du recours. Quant au Ministère public ordinaire, il a conclu à l'irrecevabilité du recours - subsidiairement à son rejet - et au rejet de la demande de mesures provisionnelles. Le Juge des mineurs s'est en substance rapporté à justice s'agissant des mesures provisionnelles requises et a persisté dans les termes de son ordonnance du 24 août 2020, précisant qu'il entendait solliciter l'apport de l'expertise qui sera rendue dans la cause P_2019. Le 25 janvier 2021, le recourant a confirmé ses conclusions.
Par ordonnance du 21 décembre 2020, le Président de la Ire Cour de droit public du Tribunal fédéral a admis la demande de mesures provisionnelles.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 2 p. 241).
1.1. Dans le cadre d'une procédure pénale, la décision statuant sur la possibilité de consulter les procédures instruites et jugées par le Tribunal des mineurs constitue une décision rendue en matière pénale au sens de l'<ref-law>. Il s'agit d'une décision incidente, qui ne met pas fin à la procédure. Le recours devant le Tribunal fédéral n'est dès lors recevable qu'aux conditions de l'<ref-law>, soit notamment en présence d'un préjudice irréparable (<ref-law>; l'hypothèse prévue à l'<ref-law> est manifestement inapplicable). En droit pénal, il doit s'agir d'un préjudice de nature juridique, à savoir qui n'est pas susceptible d'être supprimé par une décision ultérieure favorable au recourant (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 329).
En l'occurrence, il n'est pas certain que la transmission de l'expertise réalisée dans la cause Pmin_2017 au Ministère public ordinaire chargé de celle P_2019 soit de nature à causer un dommage irréparable au sens de la disposition précitée. Vu l'issue du litige, cette question peut toutefois rester indécise.
1.2. Il en va de même de l'éventuel défaut de qualité de partie du recourant dans le cadre d'une procédure au sens de l'<ref-law> tel qu'invoqué par le Ministère public ordinaire (cf. arrêt 1B_268/2019 du 25 novembre 2019 consid. 2.1 laissant cependant cette question ouverte).
Il peut cependant être relevé que le recourant est prévenu tant dans la procédure Pmin_2017 que dans celle P_2019, ce qui lui permet assurément de s'opposer aux décisions du Juge des mineurs, autorité ayant rendu le prononcé à l'origine de la présente cause, respectivement de contester, dans le cadre de la cause P_2019, le versement au dossier du rapport litigieux par le Ministère public ordinaire. La manière de procéder dans la présente cause ne semble d'ailleurs pas contraire à la jurisprudence précitée - relative à une demande adressée à une autorité administrative par une autorité pénale - qui préconise avant tout que l'intéressé puisse défendre ses droits dans le cadre pénal. Vu la configuration particulière du cas d'espèce et l'intérêt exprimé par le recourant à pouvoir se déterminer, lui imposer d'attendre la décision du Ministère public ordinaire l'informant du versement au dossier P_2019 du rapport litigieux paraît de plus contraire aux principes de célérité et d'économie de procédure (pour un exemple d'opposition à la suite d'une décision du Ministère public d'édition d'un dossier administratif, voir arrêt 1B_342/2016 du 12 décembre 2016; dans le sens d'un droit de se prononcer sur le versement d'un dossier d'une autre procédure, ISABELLE PONCET, in Commentaire romand, Code de procédure pénale suisse, 2e éd. 2019, n° 16 ad <ref-law>; MARTIN BÜRGISSER, in Basler Kommentar, Strafprozessordnung/Jugendstrafprozessordnung, Art. 1-196 StPO, 2e éd. 2014, n° 12 ad <ref-law>, pour cet auteur notamment si des intérêts privés entrent en considération).
2.
Invoquant en particulier l'art. 15 de la loi fédérale du 20 mars 2009 sur la procédure pénale applicable aux mineurs (PPMin; RS 312.1), le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir considéré que le rapport d'expertise réalisé au cours de la procédure des mineurs (Pmin_2017) pouvait être transmis, en application de l'<ref-law>, au Ministère public ordinaire pour l'instruction des faits réalisés postérieurement à la majorité (P_2019). Le recourant soutient que ce rapport ne serait nécessaire ni pour établir les faits, ni pour son jugement dans cette seconde procédure (P_2019). Selon le recourant, son intérêt au respect de sa sphère privée en tant que mineur et les garanties procédurales offertes par le droit pénal des mineurs devraient primer et continuer à s'appliquer s'agissant de l'expertise réalisée dans ce cadre; cela vaudrait d'autant plus qu'en cas de transmission au Ministère public ordinaire, le rapport pourrait être accessible aux parties plaignantes de cette cause, lesquelles étaient sans lien avec la procédure Pmin_2017.
2.1. En application de l'<ref-law>, les autorités - pénales (arrêts 1B_268/2019 du 25 novembre 2019 consid. 2.1; 1B_289/2016 du 8 décembre 2016 consid. 3.1 publié in RtiD 2017 I 220) - fédérales et cantonales sont tenues de s'accorder l'entraide judiciaire lorsqu'il s'agit de poursuivre et de juger des infractions prévues par le droit fédéral, en application du Code de procédure pénale.
Selon l'<ref-law>, le ministère public et les tribunaux requièrent les dossiers d'autres procédures lorsque cela est nécessaire pour établir les faits ou pour juger le prévenu (al. 1); les autorités administratives et judiciaires autorisent la consultation de leurs dossiers lorsqu'aucun intérêt public ou privé prépondérant au maintien du secret ne s'y oppose (al. 2); les désaccords entre autorités d'un même canton sont tranchés par l'autorité de recours de ce canton et ceux qui opposent des autorités de différents cantons ou des autorités cantonales et une autorité fédérale le sont par le Tribunal pénal fédéral (al. 3).
Vu la maxime de l'instruction (cf. <ref-law>), le ministère public et les tribunaux ont l'obligation de faire produire les dossiers d'autres procédures lorsque ceux-ci sont nécessaires pour établir les faits ou pour juger le prévenu (cf. <ref-law>; arrêt 6B_798/2019 du 27 août 2019 consid. 4.2), notamment eu égard à l'examen de la situation personnelle, de la capacité de discernement et/ou de la nécessité d'une mesure thérapeutique (ANDREAS DONATSCH, in DONATSCH/LIEBER/ SUMMERS/WOHLERS [édit.], Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung [StPO], Art. 1-195 StPO, 3e éd. 2020, n° 5 ss ad <ref-law>; PONCET, op. cit., n° 8 ad <ref-law>). Peuvent en particulier être nécessaires à l'instruction, des dossiers relatifs à des procédures pénales antérieures ou parallèles (DONATSCH, op. cit., n° 3 ad <ref-law>; BÜRGISSER, op. cit., n° 1 ad <ref-law>).
Dans le cadre de l'<ref-law>, les intérêts publics et privés doivent être mis en balance avec l'intérêt de l'autorité pénale d'avoir accès aux informations contenues dans le dossier dont la consultation ou la production est demandée, conformément au principe de proportionnalité (arrêt 1B_33/2013 du 19 mars 2013 consid. 2.1; DONATSCH, op. cit., n° 23 ad <ref-law>; PONCET, op. cit., n° 13 ad <ref-law>; MOREILLON/PAREIN-REYMOND, Petit commentaire, Code de procédure pénale, 2e éd. 2016, n° 9 ad <ref-law>). L'autorité requise en application de l'<ref-law> peut ainsi s'opposer à la demande de production en invoquant un intérêt public ou privé prépondérant. Un intérêt privé peut en particulier être retenu en raison de la protection de la sphère privée, notamment de certaines personnes comme un mineur ou une victime (arrêt 1B_33/2013 du 19 mars 2013 consid. 2.1; DONATSCH, op. cit., nos 20 et 21b ad <ref-law>; PONCET, op. cit., n° 15 ad <ref-law>; JEANNERET/KUHN, Précis de procédure pénale, 2e éd. 2018, n° 13020 p. 329; MOREILLON/PAREIN-REYMOND, op. cit., n° 9 ad <ref-law>; BÜRGISSER, op. cit., n° 11 ad <ref-law>). Il faut cependant retenir qu'au vu du caractère généralement prépondérant de l'intérêt à l'élucidation des infractions, le refus de produire un dossier doit demeurer exceptionnel et il faudra examiner s'il est possible de sauvegarder les intérêts invoqués par une mesure moins incisive comme le tri d'un dossier ou le caviardage de certaines pièces (arrêts 1B_268/2019 du 25 novembre 2019 consid. 2.1; 1B_33/2013 du 19 mars 2013 consid. 2.1). En particulier, l'intérêt des autorités pénales à obtenir un dossier pénal des mineurs l'emporte généralement sur l'intérêt au secret qui prévaut en droit pénal des mineurs lorsque les infractions perpétrées après la majorité sont (i) graves ou (ii) de même nature que celles commises durant la minorité ou (iii) lorsqu'il existe un risque de récidive (arrêt 1B_33/2013 du 19 mars 2013 consid. 2.2.1-2.2.2; PONCET, op. cit., note de bas de page n° 29 ad <ref-law>; BÜRGISSER, op. cit., n° 12 ad <ref-law>).
2.2. L'art. 2 al. 1 de la loi fédérale du 20 juin 2003 régissant la condition pénale des mineurs (DPMin; RS 311.1) prévoit, à titre de principes ("Grundsätze", "Principi"), que la protection et l'éducation du mineur sont déterminantes dans l'application de la présente loi. Selon l'alinéa 2 de cette disposition, une attention particulière est vouée aux conditions de vie et à l'environnement familial du mineur, ainsi qu'au développement de sa personnalité.
En vertu de l'<ref-law>, sauf dispositions particulières de la PPMin, le CPP est applicable. Lorsque le CPP s'applique, ses dispositions doivent être interprétées à la lumière des principes définis à l'<ref-law> (<ref-law>). L'alinéa 1 de l'<ref-law> prévoit que la protection et l'éducation du mineur sont déterminantes dans l'application de la PPMin; l'âge et le degré de développement du mineur doivent être pris en compte de manière appropriée. Les autorités pénales respectent les droits de la personnalité du mineur à tous les stades de la procédure et lui permettent de participer activement à celle-ci; sous réserve de dispositions de procédure particulières, elles l'entendent personnellement (<ref-law>). Elles veillent à ce que la procédure pénale n'empiète pas plus qu'il ne le faut sur la vie privée du mineur et sur la sphère d'influence de ses représentants légaux (<ref-law>). Lorsque cela paraît indiqué, les autorités pénales impliquent les représentants légaux ou l'autorité civile (<ref-law>).
L'<ref-law> ("Consultation du dossier", "Umfang der Akteneinsicht", "Limitazione dell'esame degli atti") prévoit que dans l'intérêt du prévenu mineur, le droit de consulter des informations sur sa situation personnelle peut être restreint pour le mineur lui-même (let. a), ses représentants légaux (let. b), la partie plaignante (let. c) et l'autorité civile (let. d). Le défenseur et le ministère public des mineurs peuvent consulter tout le dossier; ils ne sont pas autorisés à en divulguer le contenu dans la mesure où le droit de le consulter a été restreint (<ref-law>).
En matière de procédure pénale applicable aux mineurs, la consultation du dossier est principalement régie par les <ref-law>; par rapport à ceux-ci, l'<ref-law>, en tant que loi spéciale, ne fait qu'ajouter une possibilité de restriction supplémentaire à celles envisagées par les art. 101 al. 1, 102 al. 1 et 108 CPP (arrêt 1B_372/2020 du 16 octobre 2020 consid. 3.1; AURÉLIEN STETTLER, in NICOLAS QUÉLOZ [édit.], Commentaire, Droit pénal et justice des mineurs en Suisse, 2018, no 78 ad <ref-law>; JOSITSCH/RIESEN-KUPPER, Schweizerische Jugendstrafprozessordnung, Kommentar, 2e éd. 2018, nos 1 ss ad <ref-law>; HUG/SCHLÄFLI, in Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung/Jugendstrafprozessordnung, art. 197-456 StPO, 2e éd. 2014, no 1 ad <ref-law>; le Message du Conseil fédéral du 21 décembre 2005 relatif à l'unification du droit de la procédure pénale [ci-après : le Message CPP-2005], FF 2006 1057 1345). Cette restriction a pour seul objet les informations relatives à la situation personnelle du mineur, à savoir celles touchant sa personne et le cercle de ses familiers, soit notamment les rapports d'enquête sociale, les examens psychologiques, les rapports médicaux et/ou les expertises psychiatriques (STETTLER, op. cit., no 80 ad <ref-law>; JOSITSCH/ RIESEN-KUPPER, op. cit., no 9 ad <ref-law>; HUG/SCHLÄFLI, op. cit., nos 2 et 4 ad <ref-law>); n'entrent en revanche pas dans les documents visés par l'<ref-law> les documents relatifs aux faits proprement dits, à savoir en particulier les rapports de police, les interrogatoires et procès-verbaux d'audience et/ou les mesures techniques (STETTLER, op. cit., no 80 ad <ref-law>; JOSITSCH/RIESEN-KUPPER, op. cit., no 11 ad <ref-law>). Il y a en effet un droit légitime des parties à accéder à une version du dossier contenant tous les éléments factuels permettant, d'une part au mineur de connaître les charges qui pèsent sur lui et d'autre part aux autres parties de se faire une idée objective de la situation (JOSITSCH/RIESEN-KUPPER, op. cit., no 11 ad <ref-law>); il y a aussi un intérêt légitime à restreindre - dans certaines circonstances - l'accès aux informations d'ordre personnel (JOSITSCH/RIESEN-KUPPER, op. cit., no 9 ad <ref-law>; le Message CPP-2005, op. cit., FF 2006 1057 1345).
L'<ref-law> est également une lex specialis par rapport à l'<ref-law>. En effet, certains rapports d'expertise pourront ne pas être transmis au prévenu mineur ou à d'autres parties (arrêt 1B_372/2020 du 16 octobre 2020 consid. 3.1; JOSITSCH/RIESEN-KUPPER, op. cit., no 7 ad <ref-law>; DIETER HEBEISEN, in Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung/Jugendstrafprozessordnung, art. 197-456 StPO, 2e éd. 2014, n° 11 ad <ref-law>; le Message CPP-2005, op. cit., FF 2006 1057 1346).
2.3. La Chambre pénale de recours a retenu, en se référant à l'<ref-ruling>, que les garanties procédurales particulières de la procédure pénale des mineurs ne faisaient pas obstacle à toute transmission entre le Juge des mineurs et le Ministère public ordinaire; cela ne contrevenait notamment ni aux principes généraux du droit pénal des mineurs, ni à l'<ref-law>. L'autorité précédente a estimé qu'indépendamment de l'existence d'un risque de récidive, le fait que les infractions commises en tant que majeur étaient graves ou de même nature - meurtre - que celles commises pendant la minorité - double tentative d'assassinat - constituait un intérêt public suffisant au dévoilement d'un élément du dossier du Tribunal des mineurs. Selon les Juges cantonaux, il appartenait enfin aux experts mandatés dans la cause P_2019 de juger de l'utilité du rapport d'expertise de novembre 2017, sa mise à disposition apparaissant primordiale pour les éclairer sur la personnalité du recourant dans son entier; le respect de la sphère personnelle des tiers était de plus suffisamment garanti par le retrait des passages les concernant sans lien avec la personnalité du prévenu. La cour cantonale a enfin relevé qu'il n'appartenait pas au recourant de défendre les intérêts des parties plaignantes de la procédure Pmin_2017; les restrictions d'accès découlant de l'<ref-law> ayant alors prévalu à leur égard ne valaient pas dans la procédure ordinaire (P_2019).
2.4. Ce raisonnement ne prête pas le flanc à la critique et le recourant ne développe aucune argumentation propre à le remettre en cause.
Certes, l'expertise de novembre 2017 ne permettra en principe pas l'établissement des faits proprement dits perpétrés en janvier 2019. Cela étant, elle assurera aux autorités en charge de la procédure P_2019 d'avoir une vision complète de la personnalité du recourant, notamment afin de pouvoir apprécier sa culpabilité, fixer sa peine et/ou prononcer une mesure. Ce rapport permettra en particulier aux experts requis dans la cause P_2019 de pouvoir apprécier l'évolution du recourant et, le cas échéant, d'émettre des propositions de mesures plus adaptées, ce qui ne semble pas contraire aux intérêts du recourant. Ces motifs suffisent pour considérer que le rapport litigieux est nécessaire pour l'appréciation des faits à juger dans la cause P_2019 (cf. <ref-law>).
S'agissant ensuite de la pesée des intérêts (cf. <ref-law>), le recourant ne remet pas en cause le fait que les infractions retenues en lien avec les événements de janvier 2019 sont extrêmement graves. Ces faits, qui ont en particulier conduit au décès d'une personne, sont en outre de même nature - notamment eu égard à leur violence - que ceux reprochés dans la cause Pmin_2017. Il se justifie ainsi, de manière conforme à la jurisprudence précitée (cf. consid. 2.1 ci-dessus), de privilégier, dans la cause P_2019, l'intérêt à la sécurité publique - notamment en permettant une instruction complète - sur la confidentialité dont bénéficiait le recourant en tant que mineur (cf. <ref-law>).
Sous l'angle des intérêts privés, le recourant ne saurait pas non plus se prévaloir, dans le cadre de la procédure relative aux actes commis postérieurement à la majorité, des règles de protection du droit pénal des mineurs, notamment celles en matière de consultation du dossier (cf. arrêt 1B_33/2013 du 19 mars 2013 consid. 2.2.2). Si le Tribunal fédéral a ordonné la poursuite de l'instruction séparée pour la cause Pmin_2017 - afin que le recourant puisse bénéficier dans ce cadre des droits de la procédure des mineurs -, c'est notamment en raison du fait qu'au moment de sa saisie seul le Juge des mineurs était compétent pour les faits de 2017 (cf. <ref-ruling> consid. 2.3 p. 170) et que la poursuite des infractions réalisées après la majorité résulte dans le cas d'espèce d'une exception découlant de la jurisprudence (cf. art. 3 al. 2 4ème phrase DPMin; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 167 s. et 2.3 p. 168 s.). Le Tribunal fédéral n'a en revanche pas écarté toute collaboration entre les différentes autorités saisies (cf. <ref-ruling> consid. 2.3 p. 170). En outre, les droits de la procédure des mineurs, respectivement la protection qu'ils accordent, n'ont pas non plus été ignorés en l'occurrence, puisque des mesures de caviardage ont été préconisées par le Juge des mineurs. Le recourant ne développe d'ailleurs aucune argumentation afin de démontrer que la protection alors conférée - a priori notamment eu égard aux coauteurs dans cette cause - serait insuffisante. Il ne prétend pas non plus que des limitations au sens des art. 102 al. 1 et/ou 108 al. 1 let. b CPP n'entreraient pas en considération dans la procédure P_2019 en cas de consultation par les autres parties. Aucun élément ne permet donc de considérer qu'un intérêt public ou des intérêts privés permettraient en l'espèce de refuser la transmission du rapport d'expertise du 30 novembre 2017 au Ministère public ordinaire.
3.
Il s'ensuit que le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
Le recourant a demandé l'octroi de l'assistance judiciaire. Il n'a pas requis la désignation de son mandataire en tant qu'avocat d'office (cf. <ref-law>), mais uniquement en substance à être dispensé des frais judiciaires (cf. <ref-law>). Eu égard à la situation financière du recourant - détenu entre le 4 juillet 2017 et le 19 janvier 2018, au bénéfice d'une mesure de placement jusqu'au 28 juin 2018, puis en détention provisoire depuis le 20 janvier 2019 - et dans la mesure où son recours n'était pas d'emblée dénué de chances de succès, il y a lieu d'admettre cette requête dans la mesure des conclusions prises et de statuer sans frais. Il n'est pas alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire est admise. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Juge des mineurs de la République et canton de Genève (Pmin_2017), au Ministère public de la République et canton de Genève (P_2019) et à la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 29 mars 2021
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Chaix
La Greffière : Kropf