Sachverhalt:
A.
Die B._ Holding AG (Beschwerdegegnerin) ist eine Aktiengesellschaft mit einem Aktienkapital von Fr. 330'000.-- und Sitz in U._. Das Aktienkapital ist in 1'200 Namenaktien zu Fr. 275.-- eingeteilt. Seit Februar 2021 setzt sich das Aktionariat wie folgt zusammen:
- C._ hält 254 Namenaktien (21,16%)
- D._ hält 253 Namenaktien (21,08%)
- E._ hält 253 Namenaktien (21,08%)
- A._ hält 440 Namenaktien (36.67%)
A._ (Beschwerdeführer) war ursprünglich Präsident des Verwaltungsrates der Beschwerdegegnerin. Seit Juni 2020 gehört er nicht mehr dem Verwaltungsrat an. Er steht in einer Auseinandersetzung mit den übrigen Aktionären. Mit Schreiben vom 5. Mai 2021 verlangte er von der Beschwerdegegnerin die Einberufung der ordentlichen Generalversammlung für das Geschäftsjahr 2020.
B.
Am 30. Juni 2021 ersuchte der Beschwerdeführer beim Handelsgericht des Kantons Zürich, die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, die ordentliche Generalversammlung des Geschäftsjahres 2020 mit den in den Rechtsbegehren genannten Traktanden und Anträgen sowie Modalitäten einzuberufen. Mit Eingabe vom 8. Juli 2021 teilte der Beschwerdeführer dem Handelsgericht mit, dass die Beschwerdegegnerin am 1. Juli 2021 die Einladung zur ordentlichen Generalversammlung vom 17. August 2021 verschickt habe.
Mit Verfügung vom 9. August 2021 schrieb der Einzelrichter am Handelsgericht das Verfahren zufolge Gegenstandslosigkeit ab. Die Gerichtsgebühr von Fr. 10'000.-- auferlegte er dem Beschwerdeführer und verpflichtete diesen, der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung von Fr. 15'000.-- zu bezahlen. Er erkannte, das Anliegen des Beschwerdeführers sei mit der am 1. Juli 2021 verschickten Einladung zur ordentlichen Generalversammlung erfüllt worden, weshalb das Verfahren als gegenstandslos abzuschreiben sei. Die Argumente, mit denen der Beschwerdeführer dies in Abrede stelle, überzeugten nicht.
C.
Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen, die Ziffern 1, 3 und 4 der Verfügung vom 9. August 2021 aufzuheben und die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, die ordentliche Generalversammlung des Geschäftsjahres 2020 mit den in den Rechtsbegehren genannten Traktanden und Anträgen sowie Modalitäten einzuberufen. Die handelsgerichtlichen Kosten seien vollumfänglich der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen und diese sei zu verpflichten, dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung von mindestens Fr. 15'000.-- zu bezahlen. Die Anträge zur Auflage der handelsgerichtlichen Prozesskosten stellt er auch eventualiter, falls der Entscheid in der Sache nicht in seinem Sinne geändert werde. Schliesslich beantragt er subeventualiter, das Verfahren zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz verzichtete auf Vernehmlassung. Die Parteien replizierten bzw. duplizierten.
Mit Verfügung vom 3. November 2021 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer bestreitet, dass das Verfahren gegenstandslos wurde. Er rügt eine Verletzung von <ref-law> und von <ref-law>. Diese erblickt er darin, dass die Vorinstanz über seine Vorbringen hinweggegangen sei, wonach in der Einladung vom 1. Juli 2021 entgegen der Statuten und dem Gesetz seine Traktanden nicht vollständig und seine Anträge zu den Traktanden nicht aufgeführt worden seien. Damit habe sie auch die Verhandlungsmaxime und das rechtliche Gehör verletzt.
1.1. Gemäss <ref-law> hat der Richter auf Antrag der Gesuchsteller die Einberufung der Generalversammlung anzuordnen, wenn der Verwaltungsrat diesem Begehren nicht binnen angemessener Frist entspricht. Bei der Beurteilung eines Einberufungsgesuchs gestützt auf <ref-law> sind nur formelle Fragen zu prüfen, d.h. ob der oder die Gesuchsteller Aktionäre sind, die formellen Voraussetzungen von <ref-law> erfüllt sind und ob tatsächlich ein Einberufungsbegehren an den Verwaltungsrat gestellt wurde, dem innert angemessener Frist nicht entsprochen wurde (<ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 2).
Der Einberufungsrichter unterzieht das Einberufungs- und Traktandierungsbegehren keiner materiellen Prüfung. Denn bei der richterlichen Einberufung gestützt auf <ref-law> handelt es sich um eine rein formelle Massnahme, die inhaltlich weder die Generalversammlung noch den Richter bindet, der über die Anfechtung von Beschlüssen entscheidet, die an der auf richterliche Anordnung hin einberufenen Versammlung gefasst worden sind (<ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 2a; Urteil 4A_508/2020 vom 25. März 2021 E. 3.1). Der Einberufungsrichter hat daher bei einem Einberufungsgesuch auch nicht zu beurteilen, ob die an der Generalversammlung zu fassenden Beschlüsse gültig sein werden; diese Fragen sind vielmehr erst im Rahmen einer allfälligen Anfechtungs- oder Nichtigkeitsklage (<ref-law>) gegen die gefassten Beschlüsse zu prüfen (<ref-ruling> E. 3.1; Urteile 4A_508/2020 vom 25. März 2021 E. 3.1; 4A_184/2019 vom 15. Juli 2019 E. 2.1).
Immerhin ist bei der Ausübung des Einberufungs- und Traktandierungsrechts das Rechtsmissbrauchsverbot nach <ref-law> zu beachten: Der offenbare Missbrauch dieses Rechts findet keinen Rechtsschutz. Der Einberufungsrichter hat mithin einem Einberufungs- und Traktandierungsbegehren nicht stattzugeben, wenn sich dieses als offensichtlich missbräuchlich oder schikanös herausstellt (<ref-ruling> E. 3.1; Urteil 4A_508/2020 vom 25. März 2021 E. 3.1).
1.2. Der Beschwerdeführer moniert unter Bezugnahme auf <ref-ruling> eine Verletzung von <ref-law> bzw. der "Prüfungstiefe" im summarischen Verfahren nach <ref-law>, weil die Vorinstanz sein Gesuch inhaltlich geprüft habe. Er übersieht mit dieser Kritik, dass die Vorinstanz sein Gesuch nicht etwa abgewiesen hat, weil sie dieses als inhaltlich unzulässig oder materiell unbegründet erachtete. Die Vorinstanz musste das Gesuch vielmehr einzig deshalb inhaltlich anschauen, weil der Beschwerdeführer behauptete, die Einladung vom 1. Juli 2021 "korrespondiere" nicht mit seinem Gesuch, insbesondere seien das von ihm beantragte Traktandum 1 unvollständig und seine Anträge nicht aufgenommen worden. Die Vorinstanz antwortete auf diese Beanstandung und hatte dazu das Gesuch inhaltlich mit der Einladung zu vergleichen. Sie nahm aber nicht losgelöst davon eine materielle Prüfung des Gesuchs vor. Der Vorwurf des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe den richterlichen Prüfungsumfang missachtet, geht daher an der Sache vorbei.
1.3. Im Rahmen dieses vom Beschwerdeführer durch seine Behauptung, die Einladung vom 1. Juli 2021 "korrespondiere" nicht mit seinem Gesuch, nötig gemachten Vergleichs gelangte die Vorinstanz zum Schluss, dass das Gesuch insgesamt gegenstandslos sei. Dabei folgte sie dem Beschwerdeführer nicht, dass das von ihm verlangte Traktdandum 1 "Lagebericht 2020, Jahresrechnung 2020, Konzernrechnung 2020, Bericht Revisionsstelle" nur unvollständig in Ziffer 2 der Einladung vom 1. Juli 2021 enthalten sei, weshalb das Verfahren nicht gegenstandslos und weiterzuführen sei. Die Vorinstanz hielt zwar fest, Ziffer 2 der Einladung vom 1. Juli 2021 traktandiere "Abnahme der Jahresrechnung 2020" und stimme also nur diesbezüglich mit dem beantragten Traktandum 2 überein. Hingegen führe der Beschwerdeführer nicht aus, dass er auch auf die Erstellung eines "Lageberichts 2020", einer "Konzernrechnung 2020" und eines "Berichtes Revisionsstelle" Anspruch habe. Das erscheine ohnehin fraglich: Die Beschwerdegegnerin habe auf eine eingeschränkte Revision verzichtet und verfüge aktuell über keine Revisionsstelle. Wenn gar keine Revisionsstelle bestehe, sei ein Revisionsbericht in Bezug auf die Jahresrechnung 2020 ein Ding der Unmöglichkeit. Ein Lagebericht sei nur bei sog. "grösseren Unternehmungen" erforderlich, die von Gesetzes wegen zu einer ordentlichen Revision verpflichtet sind (Art. 961 ff. i.V.m. <ref-law>). Die Beschwerdegegnerin habe offenbar gültig auf eine eingeschränkte Revision verzichten können und sei somit auch nicht zu einer ordentlichen Revision verpflichtet. Damit sei weder ausgeführt noch ersichtlich, dass Anspruch auf Erstellung eines "Lageberichts 2020" bestehe. Betreffend "Konzernrechnung 2020" sei fraglich, ob eine Gesellschaft, die gültig auf eine ordentliche Revision verzichten kann und davon Gebrauch gemacht habe, zur Erstellung einer Konzernrechnung verpflichtet werden könne. Der Beschwerdeführer äussere sich auch mit keinem Wort zur Befreiung von der Pflicht zur Erstellung einer Konzernrechnung (<ref-law>). Es verbleibe "Jahresrechnung 2020". Dieser berechtigte Teil des beantragten Traktandums 1 sei deckungsgleich mit Traktandum 2 "Abnahme der Jahresrechnung".
Diese Erwägungen sind bundesrechtlich nicht zu beanstanden. Ein Traktandumsbegehren, das Unmögliches bzw. Nichtexistierendes verlangt, kann nicht ein im Übrigen gegenstandslos gewordenes Einberufungsgesuch rechtfertigen. So wenig wie der Einberufungsrichter gehalten ist, offensichtlich nichtigen Traktandierungsbegehren, die auch der Verwaltungsrat zurückweisen könnte, stattzugeben (so Christian Leisinger, Einberufung einer GV auf Verlangen von Minderheitsaktionären: Berechtigte und gerichtlicher Prüfungsumfang, GesKR 1/2016, S. 116 ff., S. 119 mit Hinweisen; Peter Böckli, Schweizer Aktienrecht, 4. Aufl. 2009, § 12 Rz. 71d, S. 1361), so wenig muss er ein ansonsten gegenstandslos gewordenes Einberufungsverfahren fortsetzen, weil ein Traktandum, das Nichtexistierendes thematisieren will bzw. worüber an der Generalversammlung nicht Beschluss gefasst werden könnte, von der Traktandenliste der erfolgten Einladung des Verwaltungsrates zur Generalversammlung nicht erfasst ist. An solchen Traktandierungsbegehren besteht kein Rechtsschutzinteresse. Die Rüge der Verletzung von <ref-law> und von <ref-law>, weil die Vorinstanz das Verfahren als gegenstandslos abgeschrieben hat, verfängt daher nicht.
1.4. Ebenso wenig hat die Vorinstanz die Verhandlungsmaxime und das rechtliche Gehör verletzt. Der Beschwerdeführer tut jedenfalls nicht hinreichend dar, dass er in seinem Gesuch substantiiert begründet hätte, dass er mit der Traktandierung von "Lagebericht 2020", "Konzernrechnung 2020" und "Bericht Revisionsstelle" die Behandlung existierender Unterlagen verlangte oder dass er Anspruch auf die Erstellung derselben hätte und dass es möglich gewesen wäre, darüber an der Generalversammlung Beschluss im Sinne seiner Anträge (Genehmigung/Kenntnisnahme) zu fassen. Mangels einer anderslautenden hinlänglichen Darlegung durfte die Vorinstanz mit Blick auf den Umstand, dass die Beschwerdegegnerin auf eine eingeschränkte Revision verzichten durfte und aktuell über keine Revisionsstelle verfügte, von Unmöglichkeit ausgehen.
1.5. Weiter hält der Beschwerdeführer die Gegenstandsloserklärung für rechtsverletzend, weil in der Einladung vom 1. Juli 2021 seine Anträge nicht aufgeführt waren. Die Vorinstanz verletze die Verhandlungsmaxime und das rechtliche Gehör, indem sie seine "substantiierten und unbestrittenen Behauptungen betreffend die fehlenden Anträge" ignoriere. Dem kann nicht gefolgt werden. Zwar erwähnt die Vorinstanz die fehlenden Anträge nicht explizit. Implizit erfasst sie diesen Punkt aber, indem sie ausführt, keines der "zahlreichen" Argumente des Beschwerdeführers überzeuge. Explizit befasste sie sich mit dem "zentralen" Argument, wonach die verschickte Einladung zur ordentlichen Generalversammlung vom 17. August 2021 "nicht korrespondiere" mit seinem Gesuch. In diesem Argument ist der nicht korrespondierende Punkt der fehlenden Anträge enthalten. Insofern befasste sich die Vorinstanz auch mit den fehlenden Anträgen. Die Vorinstanz war nicht gehalten, im Einzelnen auf jeden nicht korrespondierenden Punkt einzugehen, nachdem sie das zentrale Argument der Divergenz zum beantragten Traktandum 1 eingehend behandelte. So brauchte sie nicht weiter zu begründen, dass das Gesuch trotz der fehlenden Anträge gegenstandslos wurde. Dies umso weniger, als der Beschwerdeführer an den von ihm angegebenen Stellen in der Noveneingabe vom 8. Juli 2021 (act. 7 Rz. 9 ff.) und in der Replik (act. 14 Rz. 27) entgegen seiner Behauptung nicht im Konkreten substantiierte, weshalb seine Anträge losgelöst vom Traktandierungsrecht in die Einladung hätten aufgenommen werden müssen, sondern nur allgemein anführte, dass die Anträge der Aktionäre nach <ref-law> und Art. 17 der Statuten der Beschwerdegegnerin zu den Mindestinhalten der Einberufung gehörten. Es bedeutet daher keine Verletzung des rechtlichen Gehörs, wenn die Vorinstanz auf den Punkt der fehlenden Anträge nicht explizit einging.
1.6. Die Vorschriften über Frist, Form und Inhalt der Einberufung der Generalversammlung bezwecken den Schutz der Aktionäre. Insbesondere sollen sie klar und deutlich über die Verhandlungsgegenstände unterrichtet werden (<ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. a). Vorliegend weist die Beschwerdegegnerin zutreffend darauf hin, dass das Informationsbedürfnis der Aktionäre auch hinsichtlich der Anträge des Beschwerdeführers trotz deren Fehlens in der Einladung erfüllt war. Denn sein Einberufungsbegehren vom 5. Mai 2021 richtete sich an den Verwaltungsrat, dem alle Aktionäre (ausser dem Beschwerdeführer) angehörten (Verfügung der Vorinstanz S. 4/5). Seine Anträge waren also allen Aktionären bekannt und wurden mithin nicht der Generalversammlung vorenthalten, auch wenn sie in der Einladung vom 1. Juli 2021 nicht aufgeführt waren. Die Vorinstanz hat mithin kein Recht verletzt, wenn sie trotz Fehlens der Anträge kein Rechtsschutzinteresse an der Fortsetzung des Einberufungsverfahrens erkannte.
1.7. Die Rügen gegen die Gegenstandsloserklärung des Einberufungsgesuchs erweisen sich demnach als unbegründet.
2.
Der Beschwerdeführer wendet sich auch für den Fall, dass das Bundesgericht die Gegenstandsloserklärung schützt, gegen den Kostenentscheid der Vorinstanz.
2.1. Nach <ref-law> werden die Prozesskosten grundsätzlich der unterliegenden Partei auferlegt. Das Gericht kann von den Verteilungsgrundsätzen abweichen und die Prozesskosten nach Ermessen verteilen, wenn das Verfahren als gegenstandslos abgeschrieben wird und das Gesetz nichts anderes vorsieht (<ref-law>). Bei Gegenstandslosigkeit ist namentlich zu berücksichtigen, wer Anlass zur Klage gegeben hat, ob die Klägerin überstürzt vorgegangen ist, welche Partei unnötigerweise Kosten verursacht hat, welches der mutmassliche Prozessausgang gewesen wäre und bei welcher Partei die Gründe eingetreten sind, die zur Gegenstandslosigkeit geführt haben (Urteile 4A_24/2019 vom 26. Februar 2019 E. 1.1; 5A_78/2018 vom 14. Mai 2018 E. 2.3.1; 4A_272/2014 vom 9. Dezember 2014 E. 3.1).
Der Entscheid über die Kostenverlegung stellt einen Ermessensentscheid dar, in welchen das Bundesgericht nur mit Zurückhaltung eingreift. Ermessensbetätigung kommt namentlich zur Anwendung, wenn ein Verfahren zufolge Gegenstandlosigkeit abgeschrieben wird (<ref-law>). Das Bundesgericht schreitet nur ein, wenn die Vorinstanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgegangen ist, wenn Tatsachen berücksichtigt wurden, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn umgekehrt Umstände ausser Betracht geblieben sind, die zwingend hätten beachtet werden müssen. In derartige Ermessensentscheide wird ferner eingegriffen, wenn sich diese als offensichtlich unbillig oder als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 11.2 mit Hinweis; Urteile 4A_24/2019 vom 26. Februar 2019 E. 1.3; 4A_345/2018 vom 5. November 2018 E. 3).
2.2. Die Vorinstanz auferlegte die Gerichtskosten von Fr. 10'000.-- und eine Parteientschädigung von Fr. 15'000.-- dem Beschwerdeführer mit folgender Begründung: Entscheidender Punkt sei, dass bereits anlässlich der ordentlichen Generalversammlung 2020 der Termin für die ordentliche Generalversammlung 2021 auf den 17. August 2021 festgesetzt worden sei. Damit habe der Beschwerdeführer gewusst - oder zumindest wissen müssen - dass die ordentliche Generalversammlung am 17. August 2021 stattfinden würde. Daran ändere auch der Umstand nichts, dass mit der Einberufung zur ordentlichen Generalversammlung auf den 17. August 2021 die Frist nach <ref-law> nicht eingehalten sei, handle es sich dabei doch bloss um eine Ordnungsvorschrift. Angesichts dieses Wissens bzw. Wissenmüssens sei nicht leicht verständlich, warum der Beschwerdeführer ein unnötiges Verfahren der vorliegenden Dimension eingeleitet und seinen Standpunkt noch zu einem Zeitpunkt verfochten habe, als dieser nicht mehr haltbar gewesen sei. Dies widerspreche dem Gebot der schonenden Rechtsausübung. Insofern hätte das Verfahren - oder zumindest in dieser Dimension - vermieden werden können.
2.3. Der Beschwerdeführer ist der Ansicht, die Vorinstanz stütze sich auf eine offensichtlich unrichtige Tatsache, indem sie unter Verletzung der Verhandlungsmaxime und des rechtlichen Gehörs willkürlich davon ausgehe, der Beschwerdeführer habe gewusst oder wissen müssen, dass anlässlich der ordentlichen Generalversammlung 2020 der Termin für die ordentliche Generalversammlung 2021 auf den 17. August 2021 festgesetzt worden sei.
Er behauptet, er sei an der Generalversammlung 2020 gar nicht anwesend gewesen, was die Beschwerdegegnerin nicht bestritten habe und daher als anerkannt zu gelten habe. Als Beleg für seine diesbezügliche Behauptung verweist er auf seine Eingabe vom 5. August 2021, Rz. 25 (act. 14). Diese letzte Eingabe des Beschwerdeführers wurde der Beschwerdegegnerin erst zusammen mit der Verfügung vom 9. August 2021 zugestellt (vgl. Dispositivziffer 5 der Verfügung vom 9. August 2021). Die Beschwerdegegnerin hatte mithin keine Gelegenheit, die Behauptung des Beschwerdeführers zu bestreiten. Eine Verletzung der Verhandlungsmaxime scheidet daher aus.
Ohnehin ist es jedenfalls nicht willkürlich, wenn die Vorinstanz gestützt auf das im Recht liegende Protokoll der Generalversammlung vom 18. August 2020 (act. 12/8) annahm, der Beschwerdeführer sei anwesend gewesen, ist doch bei den Abstimmungsergebnissen zu den Traktanden 1-3 durchwegs festgehalten, dass fünf Stimmen teilnahmen. Nachdem das Aktionariat der Beschwerdegegnerin damals just fünf Personen umfasste, wie vorinstanzlich festgestellt (Verfügung der Vorinstanz E. 1.2 S. 4), liegt der Schluss nahe und ist jedenfalls nicht unhaltbar, dass auch der Beschwerdeführer an der Generalversammlung teilnahm. Diese nahe liegende Schlussfolgerung der Vorinstanz konnte der Beschwerdeführer erkennen, ohne dass die Vorinstanz diese Überlegung explizit in der Erwägung zum Kostenentscheid erwähnen musste. Entsprechend war es ihm auch ohne weiteres möglich, den Kostenentscheid anzufechten. Demnach erweisen sich auch die Vorwürfe der offensichtlich falschen Tatsachenfeststellung und der Gehörsverletzung als unbegründet.
2.4. Somit ist mit der Vorinstanz anzunehmen, der Beschwerdeführer habe gewusst oder zumindest wissen müssen, dass die ordentliche Generalversammlung auf den 17. August 2021 geplant war. Wenn die Vorinstanz anfügte, daran ändere auch der Umstand nichts, dass durch das auf den 17. August 2021 angesetzte Datum für die ordentliche Generalversammlung die Frist nach <ref-law> nicht eingehalten werde, zumal es sich dabei um eine Ordnungsvorschrift handle, ist entgegen dem Beschwerdeführer nicht erkennbar, inwiefern sie mit dieser Erwägung <ref-law> verletzt haben soll. In der Tat ändert sich am Wissen des Beschwerdeführers um die auf den 17. August 2021 angesetzte Generalversammlung nichts, wenn die Ordnungsvorschrift von <ref-law> nicht eingehalten ist.
2.5. Schliesslich wirft der Beschwerdeführer der Vorinstanz eine Verletzung von <ref-law> vor, weil sie es angesichts besagten Wissens bzw. Wissenmüssens für nicht leicht verständlich hielt, warum der Beschwerdeführer ein unnötiges Verfahren der vorliegenden Dimension eingeleitet und seinen Standpunkt noch zu einem Zeitpunkt verfochten habe, als dieser nicht mehr haltbar gewesen sei. Der Beschwerdeführer weist den so begründeten Vorhalt des Verstosses gegen das Gebot der schonenden Rechtsausübung als nicht nachvollziehbar zurück. Er habe korrekt von seinem Klagerecht nach <ref-law> Gebrauch gemacht, nachdem die Frist von <ref-law> verstrichen sei, und die Beschwerdegegnerin auf seine Aufforderung vom 5. Mai 2021 nicht reagiert habe.
Damit zeigt er keine Verletzung von <ref-law> auf. Die Vorinstanz sprach ihm nicht grundsätzlich das Recht ab, gemäss <ref-law> gerichtlich die Einberufung der ordentlichen Generalversammlung zu verlangen. Indessen ist es durchaus nachvollziehbar und nicht rechtswidrig, wenn sie befand, angesichts des Wissens bzw. Wissenmüssens um die auf den 17. August 2021 angesetzte Generalversammlung erscheine das Gesuch und vor allem das Festhalten daran, als die Einladung vom 1. Juli 2021 erging, unnötig. Indem sie davon sprach, "das Verfahren - oder zumindest in dieser Dimension -" hätte sich vermeiden lassen, gibt sie zum Ausdruck, dass es weniger das Einreichen des Gesuchs als vielmehr das Festhalten an demselben ist, das sie als unnötig erachtete. Denn in der Tat ergaben sich deshalb trotz Gegenstandslosigkeit nicht unerhebliche Weiterungen. Unter diesen Umständen ist es nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz beim Kostenentscheid primär das Verursacherprinzip heranzog.
2.6. Vor Bundesgericht divergieren die Parteien darüber, ob die Generalversammlung am 17. August 2021 effektiv stattgefunden habe oder nicht. Während der Beschwerdeführer behauptet, sie sei abgesagt worden, reicht die Beschwerdegegnerin ein Protokoll der als Universalversammlung durchgeführten Generalversammlung vom 17. August 2021 zu den Akten. Wie es sich damit verhält, muss nicht geprüft werden, da es sich dabei um unzulässige, echte Noven handelt (<ref-ruling> E. 1.2).
2.7. Die Vorinstanz stellte demnach bei der Ermessensbetätigung nach <ref-law> auf zutreffende Kriterien und Umstände des Einzelfalles ab, indem sie namentlich berücksichtigte, wer Anlass zum Verfahren gegeben und welche Partei unnötigerweise Kosten verursacht hat. Für das Bundesgericht besteht kein Anlass, in die Ermessensbetätigung der Vorinstanz einzugreifen. Die Beschwerde erweist sich auch in diesem Punkt als unbegründet.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Dezember 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Brugger