Sachverhalt:
A.
Mit Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Basel-Stadt vom 27. August 2019 wurde A._ des rechtswidrigen Aufenthalts schuldig erklärt und zu einer unbedingten Freiheitsstrafe von 45 Tagen verurteilt. Der Strafbefehl wurde A._ am 12. September 2019 an seinem Wohnort in Deutschland zugestellt. Dagegen erhob A._ eigenhändig Einsprache. Das undatierte Schreiben wurde der Schweizerischen Post am 26. Dezember 2019 übergeben. Die Staatsanwaltschaft überwies das Schreiben zuständigkeitshalber an das Strafgericht des Kantons Basel-Stadt, welches mit Verfügung vom 3. Januar 2020 infolge Verspätung auf die Einsprache nicht eintrat.
Gegen diesen Nichteintretensentscheid erhob A._ am 12. Januar 2020 eigenhändig Beschwerde beim Appellationsgericht Basel-Stadt. Mit Verfügung vom 17. Januar 2020 setzte die instruierende Appellationsgerichtspräsidentin A._ eine Nachfrist, um die Beschwerde gesetzeskonform zu begründen. Mit Schreiben vom 4. Februar 2020 teilte A._ mit, er werde nunmehr durch Rechtsanwalt Guido Ehrler vertreten. Er beantragte neben einer Erstreckung der Frist zur Beschwerdeverbesserung die unentgeltliche Rechtspflege mit Guido Ehrler als Rechtsbeistand. Mit Verfügung vom 6. Februar 2020 erstreckte die instruierende Appellationsgerichtspräsidentin die Nachfrist für die Beschwerdebegründung letztmalig und wies gleichzeitig das Gesuch um amtliche Verteidigung ab.
Mit Eingabe vom 13. Februar 2020 beantragte A._, die Verfügung des Strafgerichts vom 3. Januar 2020 sei aufzuheben. Die Angelegenheit sei an das Strafgericht zur Behandlung der Einsprache vom 26. Dezember 2019 gegen den Strafbefehl vom 27. August 2019 zurückzuweisen. Er sei mit vorsorglicher Massnahme superprovisorisch und superdringlich umgehend auf freien Fuss zu setzen. Weiter sei ihm wiedererwägungsweise die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Mit Verfügung vom 19. Februar 2020 stellte das Appellationsgericht dem Beschwerdeführer die Vernehmlassung der Staatsanwaltschaft vom 18. Februar 2020 zu und verfügte erneut, die amtliche Verteidigung im Sinne der unentgeltlichen Rechtspflege werde wegen Aussichtslosigkeit nicht bewilligt (Dispositiv-Ziffer 3).
Mit Entscheid vom 25. März 2020 wies das Appellationsgericht die von A._ gegen die Verfügung des Strafgerichts vom 3. Januar 2020 erhobene Beschwerde ab. Dagegen erhob A._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht (6B_611/2020).
B.
Mit Eingabe vom 30. März 2020 führt A._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Er beantragt, Ziff. 3 der Verfügung des Appellationsgerichts Basel-Stadt vom 19. Februar 2020 sei aufzuheben. Weiter sei das Appellationsgericht anzuweisen, ihm für das vor ihm hängige Berufungsverfahren die unentgeltliche Prozessführung mit dem Unterzeichner als Rechtsbeistand zu gewähren. Eventualiter sei ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
Das Appellationsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Staatsanwaltschaft stellt den Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Der Beschwerdeführer nimmt erneut Stellung und hält an seinen Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Entscheid, mit welchem das Appellationsgericht den Antrag des Beschwerdeführers auf amtliche Verteidigung bzw. unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen hat, handelt es sich nicht um einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid in einer Strafsache (vgl. Art. 78 Abs. 1 und Art. 90 BGG), sondern um einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid. Gemäss Art. 93 Abs. 1 BGG ist die Beschwerde gegen selbstständig eröffnete Zwischenentscheide, die weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betreffen (vgl. Art. 92 BGG), nur zulässig, wenn der Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Die selbstständige Anfechtbarkeit von Zwischenentscheiden bildet aus prozessökonomischen Gründen eine Ausnahme vom Grundsatz, dass sich das Bundesgericht mit jeder Angelegenheit nur einmal befassen soll (<ref-ruling> E. 1.2 S. 479 mit Hinweisen). Die Ausnahme ist restriktiv zu handhaben, zumal die Parteien keine Rechte verlieren, wenn sie sich nicht selbstständig gegen einen Zwischenentscheid wenden, da sie ihn mit dem Endentscheid anfechten können (Art. 93 Abs. 3 BGG). Es obliegt dem Beschwerdeführer, detailliert darzutun, dass die Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG erfüllt sind, soweit diese nicht offensichtlich vorliegen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 801; <ref-ruling> E. 1.2 S. 81; je mit Hinweisen).
2.
2.1. Zwischenentscheide in denen die amtliche Verteidigung oder die unentgeltliche Rechtspflege verweigert werden, haben in der Regel einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG zur Folge (<ref-ruling> E. 1.1 S. 131, Urteil 6B_957/2018 vom 21. November 2018 E. 2.4; je mit Hinweis). Dies ist namentlich der Fall, wenn dem Gericht oder dem Anwalt innert kurzer Frist ein Kostenvorschuss geleistet werden müsste. Wenn das Verfahren indessen abgeschlossen ist, der Rechtsvertreter seine Arbeit bereits getan hat und daher keine Gefahr droht, dass die beschwerdeführende Person infolge der Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung bzw. der amtlichen Verteidigung ihre Rechte nicht wahrnehmen könnte, kann allein aus der Tatsache, dass ein Entscheid die amtliche Verteidigung bzw. die unentgeltliche Prozessführung betrifft, nicht auf die Gefahr eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils geschlossen werden (<ref-ruling> E. 2.3 S. 603; Urteil 1B_9/2018 vom 29. Januar 2018 E. 1.2; je mit Hinweisen).
2.2. Der Beschwerdeführer legt denn auch nicht dar, inwiefern die Voraussetzungen für eine selbstständige Anfechtung des vorinstanzlichen Zwischenentscheids erfüllt sein sollten. Das vorinstanzliche Beschwerdeverfahren bezüglich Nichteintreten auf die Einsprache gegen den Strafbefehl infolge Verspätung und der Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung ist mit Entscheid vom 25. März 2020 bereits abgeschlossen und der Beschwerdeführer war im Verfahren vor der Vorinstanz anwaltlich vertreten. Unter diesen Umständen besteht keine Gefahr, dass der Beschwerdeführer infolge der Verweigerung der amtlichen Verteidigung im Verfahren vor der Vorinstanz seine Rechte nicht hätte wahrnehmen können. Der Beschwerdeführer kann den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid mit selbstständiger Beschwerde beim Bundesgericht anfechten, was er im Übrigen auch getan hat (hängiges Verfahren 6B_611/2020).
2.3. Demnach ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege inklusive Verbeiständung ist abzuweisen, da die Beschwerde aussichtslos war (vgl. Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Aufgrund der Umstände rechtfertigt es sich ausnahmsweise, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht Basel-Stadt, Präsidentin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Oktober 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kneubühler
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier