Sachverhalt:
A.
A._, geboren 1969, war seit dem 1. September 2018 als Mitarbeiter Sicherheit bei der Organisation B._ ang estellt und dadurch bei der VAUDOISE ALLGEMEINE, Versicherungs-Gesellschaft AG (Vaudoise oder Beschwerdegegnerin) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen versichert. Gemäss Schadenmeldung vom 26. März 2019 wurde er am 2. März 2019 in einem Menschengedränge in einem Zimmer des Übergangszentrums an die Türe geschleudert, wodurch er sich eine Verletzung an der rechten Schulter zuzog. Nach einer Magnetresonanz-Untersuchung (MRI) stellte die Klinik C._ mit Bericht vom 17. April 2019 die Diagnose einer posttraumatischen bursaseitigen Partialläsion der Supraspinatussehne mit deutlicher Bursitis subacromialis. Am 28. Juni 2019 teilte die Vaudoise der Klinik C._ mit, die Spitalkosten einer Rekonstruktion der Supraspinatussehne zu übernehmen, woraufhin der Eingriff am 5. September 2019 durchgeführt wurde. Gestützt auf eine Beurteilung ihres beratenden Arztes Dr. med. D._, Facharzt für Allgemeinchirurgie und Traumatologie, stellte die Vaudoise ihre Leistungen rückwirkend per 16. April 2019 ein, weil die Partialruptur der Rotatorenmanschette nicht auf das Ereignis vom 2. März 2019 zurückzuführen sei (Verfügung vom 23. Oktober 2019). Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 12. Februar 2020 fest.
B.
Die hiergegen gerichtete Beschwerde des A._ wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 25. Februar 2021 ab.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, unter Aufhebung des angefochtenen Urteils seien ihm die gesetzlichen Leistungen zuzusprechen, insbesondere Heilbehandlung und Taggeld. Zudem sei ein zweiter Schriftenwechsel durchzuführen.
Während die Vaudoise auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichten die Vorinstanz und das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Ein zweiter Schriftenwechsel findet nur ausnahmsweise auf Anordnung des Gerichts statt (Art. 102 Abs. 3 BGG). Dazu besteht vorliegend kein Anlass. Ausserdem wurde dem Beschwerdeführer Gelegenheit geboten, auf die Vernehmlassung der Beschwerdegegnerin zu reagieren, wovon er keinen Gebrauch machte.
1.2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweis).
1.3. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
Streitig ist, ob das kantonale Gericht Bundesrecht verletzte, indem es in Bestätigung des Einspracheentscheids der Vaudoise vom 12. Februar 2020 einen Leistungsanspruch des Beschwerdeführers über den 16. April 2019 hinaus verneinte.
3.
3.1. Die Vorinstanz hat die Grundsätze und Bestimmungen über die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers bei Unfällen (Art. 6 Abs. 1 UVG i.V.m. Art. 4 ATSG) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt betreffend die Rechtsprechung zu Art. 6 Abs. 1 und zum am 1. Januar 2017 in Kraft getretenen Art. 6 Abs. 2 UVG. Demzufolge ist der Unfallversicherer bei Listenverletzungen, die auf ein Unfallereignis im Sinne von Art. 4 ATSG zurückzuführen sind, solange leistungspflichtig, bis der Unfall nicht mehr die natürliche und adäquate Ursache darstellt, der Gesundheitsschaden also nur noch und ausschliesslich auf unfallfremden Ursachen beruht (<ref-ruling> E. 9.1). Richtig sind auch die Ausführungen zum Dahinfallen der Leistungspflicht bei Erreichen des Zustands, wie er vor dem Unfall bestand oder sich auch ohne diesen ergeben hätte (Status quo sine vel ante; <ref-ruling> E. 5.1) sowie zum im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 5.1). Darauf kann ebenso verwiesen werden wie auf die Ausführungen zu den beweisrechtlichen Anforderungen an Arztberichte im Allgemeinen (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 3a).
3.2. Hervorzuheben ist, dass den Berichten versicherungsinterner Ärzte praxisgemäss nicht dieselbe Beweiskraft zukommt wie einem gerichtlichen oder im Verfahren nach Art. 44 ATSG vom Versicherungsträger veranlassten Gutachten unabhängiger Sachverständiger. Soll ein Versicherungsfall ohne Einholung eines externen Gutachtens entschieden werden, so sind an die Beweiswürdigung strenge Anforderungen zu stellen. Bestehen auch nur geringe Zweifel an der Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit der versicherungsinternen ärztlichen Feststellungen, so sind ergänzende Abklärungen vorzunehmen (<ref-ruling> E. 8.5 in fine; <ref-ruling> E. 4.4; je mit Hinweis). Ergänzend festzuhalten ist, dass beratende Ärzte eines Versicherungsträgers, was den Beweiswert ihrer ärztlichen Beurteilung angeht, versicherungsinternen Ärzten gleichzusetzen sind (vgl. Urteil 8C_774/2020 vom 19. Februar 2021 E. 2.2 mit Hinweis).
4.
Nach umfassender Darstellung der medizinischen Aktenlage erwog die Vorinstanz, der beratende Dr. med. D._ sei hinsichtlich der streitigen Partialruptur der Supraspinatussehne unbestrittenermassen von einer Listendiagnose gemäss Art. 6 Abs. 2 UVG ausgegangen. Die Vaudoise habe das Ereignis vom 2. März 2019 als Unfall im Sinne von Art. 4 ATSG anerkannt. Davon gehe auch der Beschwerdeführer aus, womit der Fall ausschliesslich unter dem Blickwinkel von Art. 6 Abs. 1 UVG zu prüfen sei. Die Vaudoise sei damit so lange für die Folgen des Unfallereignisses leistungspflichtig, bis der Unfall nicht mehr die natürliche und adäquate Ursache darstelle, der Gesundheitsschaden also nur noch und ausschliesslich auf unfallfremden Ursachen beruhe. Im Weiteren sprach das kantonale Gericht den Stellungnahmen des Dr. med. D._ vom 22. August 2019 und vom 5. Februar 2020, mit welchen der beratende Arzt lediglich von einer unfallbedingten Kontusion der rechten Schulter ausging, vollen Beweiswert zu. Der Unfall vom 2. März 2019 habe mit überwiegender Wahrscheinlichkeit nicht zu feststellbaren strukturellen Verletzungen im rechten Schultergelenk in Form der Sehnenruptur geführt, sondern lediglich zu einer vorübergehenden Verschlimmerung eines degenerativen Vorzustandes. Demzufolge sei die Vaudoise ab dem Datum der MRI-Untersuchung vom 16. April 2019, mithin gut sechs Wochen nach dem Unfall, zu Recht von ausschliesslich unfallfremden Ursachen ausgegangen und habe ihre Leistungen einstellen dürfen.
5.
Der Beschwerdeführer rügt vorab eine Verletzung des rechtlichen Gehörs. Er habe vor der Vorinstanz geltend gemacht, die am 23. Oktober 2019 verfügte rückwirkende Leistungseinstellung (vgl. hierzu die nicht publ. E. 3 des Urteils <ref-ruling>, veröffentlicht in SVR 2020 UV Nr. 8 S. 23; Urteil 8C_133/2021 vom 25. August 2021 E. 5.2.1) per 16. April 2019 sei bereits deshalb unzulässig, weil die Vaudoise am 28. Juni 2019 Kostengutsprache für die Operation vom 5. September 2019 erteilt habe; dieses Vorgehen sei treuwidrig und verdiene keinen Rechtsschutz, wobei sich die Vorinstanz mit diesem Vorbringen mit keinem Wort auseinandergesetzt habe.
Zwar trifft zu, dass sich das kantonale Gericht zu dieser Rüge nicht äusserte. Ob es damit den Anspruch auf rechtliches Gehör (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2 mit Hinweisen) verletzte, braucht mit Blick auf den Ausgang des Verfahrens indes nicht weiter erörtert zu werden. Gleiches gilt, soweit sich der Beschwerdeführer im Sinne einer neuen rechtlichen Begründung (<ref-ruling> E. 4.1 mit Hinweisen; Urteil 8C_652/2020 vom 5. Februar 2021 E. 5.2.1) hinsichtlich der rückwirkenden Leistungseinstellung vor Bundesgericht erstmals auf den Vertrauensschutz beruft.
6.
6.1. Wie von der Vorinstanz festgestellt ist unbestritten, dass es sich bei der streitigen Verletzung um eine Listenverletzung im Sinne von Art. 6 Abs. 2 UVG handelt und das Ereignis vom 2. März 2019 einen Unfall im Sinne von Art. 4 ATSG darstellt. Der vorliegende Fall ist damit einzig unter dem Blickwinkel von Art. 6 Abs. 1 UVG zu prüfen (<ref-ruling> E. 9.1; Urteile 8C_649/2019 vom 4. November 2020 E. 5.3 und 8C_412/2019 vom 9. Juli 2020 E. 5.2).
6.2. Streitig und zu prüfen ist im Folgenden einzig, ob die Vaudoise namentlich mit Blick auf die verschiedenen Berichte der behandelnden Dr. med. E._, Fachärztin für Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates, auf die Stellungnahmen des beratenden Dr. med. D._ abstellen durfte.
6.3.
6.3.1. In einer ersten Stellungnahme vom 22. August 2019 hielt Dr. med. D._ fest, aufgrund der in der MRI-Untersuchung festgestellten Veränderungen und dem in der Literatur genannten hohen Anteil von Teilrupturen der Rotatorenmanschette mit zunehmendem Alter betrage die Wahrscheinlichkeit für eine degenerative Ursache der Sehnenläsion mehr als 50 %. Am 5. Februar 2020 führte er weiter aus, gemäss Ultraschall- und MRI-Untersuchung handle es sich nicht um einen transmuralen Abriss der Supraspinatussehne. Es bestünden jedoch eindeutige Zeichen einer Tendinopathie/Tendinose der Sehne mit Teilrissen der Sehnenfasern. Dabei handle es sich um degenerative Veränderungen. Zudem bestünden ein Akromion Typ III und eine Flüssigkeitsansammlung im Schleimbeutel unter dem Schulterdach. Beides spreche für eine unfallfremde Impingementproblematik mit Aufscheuerverletzung der Supraspinatussehne. Dies habe sich intraoperativ im Sinne der von Dr. med. E._ beschriebenen subakromialen Friktionspathologie bestätigt. Dr. med. E._ habe auch die richtige Therapie dafür durchgeführt, indem sie den Platz unter dem knöchernen Schulterdach durch eine Abtragung der Akromionunterfläche ("Akromioplastik") erweitert habe. Er sage nicht, dass der Beschwerdeführer kein Trauma erlitten habe. Die Läsion, welche zur Operation in der Klinik C._ geführt habe, sei aber nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit auf das Ereignis zurückzuführen.
6.3.2. Der Beschwerdeführer berief sich im Einspracheverfahren zunächst auf die Beurteilung der Dr. med. E._ vom 25. November 2019. Die behandelnde Ärztin, welche den Beschwerdeführer am 5. September 2019 in der Klinik C._ an der Schulter operiert hatte, verwies darauf, dass eine Tendinopathie der Supraspinatussehne ab einem Alter von 45-50 sehr häufig sei und überhaupt keinen Krankheitswert habe. Dies alleine erkläre keine Ruptur. Intraoperativ sei die Rupturform lokal, aufgeworfen und eingerissen gewesen, so dass der intraoperative Befund einem traumatischen Geschehen entspreche. Insofern sei sie nicht der Meinung des Dr. med. D._, wonach es sich klar um eine degenerative Veränderung handle. Beweisen könne sie dies nicht, da niemand wisse, wie die Schulter vor dem Unfall ausgesehen habe. Intraartikulär habe es bei sehr schön erhaltenen Gelenkstrukturen keine Anzeichen von Degeneration gegeben.
6.3.3. Im kantonalen Beschwerdeverfahren nahm Dr. med. E._ am 24. März 2020 erneut Stellung und erläuterte mit Bezug auf die Beurteilung des Dr. med. D._ vom 5. Februar 2020 (E. 6.3.1 hiervor), man könne im Bereich der Ruptur genauso wenig beweisen, dass es sich um degenerative Veränderungen handle, wie man eine traumatische Veränderung beweisen könne. Sicher zeige der Beschwerdeführer einige degenerative Veränderungen und auch eine Impingementkonfiguration, was aber noch lange nicht heisse, dass er vor dem Trauma an einer Ruptur gelitten habe. Die beim Beschwerdeführer sehr lokalisierte bursaseitige Partialruptur werde oft durch ein Trauma ausgelöst. Was vorher bereits an dieser Sehne verändert gewesen sei, könne rückschliessend nicht gesagt werden und lasse sich auch nicht medizinisch begründen. Die subacromiale Friktionspathologie sei häufig und müsse nicht heissen, dass die Ruptur ebenfalls degenerativ bedingt sei. Somit sei die Schlussfolgerung von degenerativen Veränderungen auf die degenerative Ursache der Ruptur falsch.
6.4. Soweit die Vorinstanz den Beweiswert der Berichte der Dr. med. E._ deshalb gemindert sah, weil letztere in einem früheren Bericht vom 9. April 2019 zunächst von einem Status nach Distorsion und damit einem nicht belegten Unfallhergang ausgegangen sei, ist dies nicht stichhaltig. Ob das kantonale Gericht mit der Berücksichtigung dieses Umstands den Anspruch auf rechtliches Gehör verletzte, kann hier mit Blick auf den Verfahrensausgang offen gelassen werden. Dem Beschwerdeführer ist beizupflichten, dass Dr. med. E._ die Distorsion einzig im genannten Bericht erwähnte und dabei eine blosse Verdachtsdiagnose stellte. Nach der MRI-Untersuchung vom 16. April 2016 findet sich die Distorsion in den Berichten der Dr. med. E._ nicht mehr. Sodann entspricht es grundsätzlich zwar der Rechtsprechung, dass in jedem Einzelfall zu prüfen ist, welche Bedeutung den in Arztberichten verwendeten Begriffen "post" beziehungsweise "posttraumatisch" beizumessen ist (vgl. Urteil 8C_555/2018 vom 17. Oktober 2018 E. 4.1.1 mit Hinweisen). Vor dem Hintergrund der umfassenden Stellungnahmen der Dr. med. E._ hinsichtlich der Unfallkausalität vermögen die entsprechenden vorinstanzlichen Erwägungen jedoch nicht ohne Weiteres zu überzeugen. Soweit Dr. med. E._ in beiden Stellungnahmen auf den unbekannten Vorzustand der Schulter verwies, läuft ihre Argumentation - wie auch von der Vorinstanz festgestellt - in Teilen auf die beweisrechtlich unzulässige Beweismaxime "post hoc ergo propter hoc" hinaus (<ref-ruling> E. 2b/bb; SVR 2016 UV Nr. 18 S. 55, 8C_331/2015 E. 2.2.3.1; Urteil 8C_672/2020 vom 15. April 2021 E. 4.2). Ihre Ausführungen beschränken sich indes nicht darauf, verwies die behandelnde Ärztin in ihrer Stellungnahme vom 25. November 2019 doch auch auf ihre eigenen Wahrnehmungen anlässlich der Operation vom 5. September 2019. Ihr diesbezüglicher Standpunkt, die Rupturform sei lokal, aufgeworfen und eingerissen gewesen, so dass der intraoperative Befund einem traumatischen Geschehen entsprechen würde (vgl. E. 6.3.2 hiervor), steht in direktem Widerspruch zur gegenteiligen Auffassung des Dr. med. D._, wonach die intraoperativen Befunde für eine unfallfremde Impingementproblematik mit Aufscheuerverletzung der Supraspinatussehne sprächen. Bestehen auch nur geringe Zweifel an der Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit der versicherungsinternen ärztlichen Feststellungen, sind ergänzende Abklärungen vorzunehmen (vgl. E. 3.2 hiervor). Solche geringen Zweifel sind vorliegend mit Blick auf die diametral voneinander abweichenden medizinischen Beurteilungen gegeben. Nicht nur hinsichtlich der intraoperativen Befunde bestehen erhebliche Divergenzen, auch in Bezug auf den Einfluss der durchaus bestehenden degenerativen Veränderungen auf die zur Diskussion stehenden Verletzungen gehen die fachärztlichen Ansichten weit auseinander.
6.5. Indem das kantonale Gericht nach dem Gesagten auch nur geringe Zweifel an den Beurteilungen des Dr. med. D._ verneinte und ohne weitere Abklärungen davon ausging, der Unfall vom 2. März 2019 habe mit überwiegender Wahrscheinlichkeit nicht zur Sehnenruptur geführt, verletzte es Bundesrecht. Das angefochtene Urteil ist daher aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen; diese wird die Frage nach dem natürlichen Kausalzusammenhang zwischen den Schulterbeschwerden und dem Ereignis vom 2. März 2019 weiter abklären und anschliessend über die Beschwerde neu zu entscheiden haben.
7.
Bei diesem Ergebnis kann offenbleiben, ob der zusammen mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten eingereichte Ausdruck der Website "www.netdoktor.de" vom 11. Mai 2021 als zulässiges Novum ausnahmsweise zu beachten wäre (vgl. Art. 99 Abs. 1 BGG).
8.
Die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu weiterer Abklärung (mit noch offenem Ausgang) gilt für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten wie auch der Parteientschädigung als vollständiges Obsiegen im Sinne von Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG, unabhängig davon, ob sie beantragt oder ob das Begehren im Haupt- oder Eventualantrag gestellt wird (<ref-ruling> E. 7.1). Die unterliegende Beschwerdegegnerin hat die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG) und dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Das Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 25. Februar 2021 und der Einspracheentscheid der VAUDOISE ALLGEMEINE, Versicherungs-Gesellschaft AG (Vaudoise) vom 12. Februar 2020 werden aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. November 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Walther