Erwägungen:
1.
1.1. A._ hat steuerrechtlichen Wohnsitz in U._/BS und betätigt sich in der Rechtsberatung. Die Steuerverwaltung des Kantons Basel-Stadt (KSTV/BS) auferlegte ihm im Jahr 2016 bezüglich der Steuerperioden 2004-2007 Nachsteuern (Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Basel-Stadt sowie direkte Bundessteuer). Die kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos. Der Steuerpflichtige gelangte mit Eingabe vom 15. März 2017 ans Bundesgericht. Das Bundesgericht trat auf die Eingabe mit Urteil 2C_305/2017 vom 22. März 2017 mangels hinreichender Begründung nicht ein.
1.2. In der Folge ersuchte der Steuerpflichtige am 13./28. Juni 2017 bei der KSTV/BS um Erlass der streitbetroffenen Nachsteuern. Die KSTV/BS wies das Gesuch ab und bestätigte dies mit Einspracheentscheid vom 12. September 2017. Die Rechtsmittel an die Steuerrekurskommission des Kantons Basel-Stadt führten zur Abweisung (Präsidialentscheid vom 19. April 2018). Das zuletzt angerufene Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt wies die Rechtsmittel ebenso ab, soweit es darauf eintrat (Entscheid VD.2018.92 / VD.2018.93 vom 25. September 2018). Das Appellationsgericht verwarf das Vorliegen einer in den unterinstanzlichen Verfahren eingetretenen Gehörsverletzung. Es verneinte die Notwendigkeit einer Parteiverhandlung und qualifizierte die finanziellen Ansprüche des Steuerpflichtigen (Schadenersatz von Fr. 105'000.-- und Genugtuung von Fr. 75'000.--) als ausserhalb des Streitgegenstandes liegend. In der Sache selbst erkannte das Appellationsgericht, der Steuerpflichtige habe die von der KSTV/BS im Erlassverfahren einverlangten Auskünfte und Unterlagen nicht eingereicht, so wie er dies im Übrigen schon im Nachsteuerverfahren praktiziert habe. Mit Blick auf die verletzte Mitwirkungspflicht habe die KSTV/BS daher, wie schon die Steuerrekurskommission erkannt habe, ihr Ermessen ("Kann-Vorschrift") rechtsfehlerfrei ausgeübt.
1.3. Mit Eingabe vom 11. November 2018 (Poststempel: 12. November 2018) erhebt der Steuerpflichtige beim Bundesgericht subsidiäre Verfassungsbeschwerde/öffentlich-rechtliche Beschwerde. Er beantragt hauptsächlich, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen; die ungerechtfertigt erhobenen haltlosen Forderungen seien umgehend und anstandslos zu löschen. Aufgrund der arglistigen bzw. mut- und böswilligen, grobfahrlässigen Handlungen zu seinem Nachteil seien ihm als Opfer eines Justizmordes Schadenersatz und Genugtuung von je Fr. 65'000.-- zulasten des Kantons Basel-Stadt zuzusprechen.
1.4. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (<ref-law> [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen abgesehen.
2.
2.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) ist nicht gegeben; es fehlt an der hierfür erforderlichen Voraussetzung (<ref-law> in der Fassung vom 20. Juni 2014; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 462 f.; Urteil 2C_621/2018 vom 10. August 2018 E. 1.2, in: ASA 87 S. 129). Es verbleibt an sich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>). Mit diesem Rechtsmittel kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Individualrechte gerügt werden (<ref-law>). Voraussetzung hierzu ist namentlich ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 308). Legitimiert zur Willkürrüge ist nur, wer sich auf eine Norm berufen kann, die ihr im Bereich der betreffenden und angeblich verletzten Interessen einen Rechtsanspruch verschafft oder zumindest den Schutz ihrer Interessen bezweckt. Die anspruchsverleihende oder individualschützende Norm kann sich aus eidgenössischem oder kantonalem Gesetzesrecht, aber auch unmittelbar aus einem angerufenen speziellen Grundrecht ergeben, sofern die Interessen auf dem Gebiet liegen, das die betreffende Verfassungsbestimmung beschlägt (Urteil 2D_41/2015 vom 17. August 2015 E. 2.2.1).
2.2. Praxisgemäss verleiht § 201 des Gesetzes (des Kantons Basel-Stadt) vom 12. April 2000 über die direkten Steuern (StG/BS; SG 640.100) in der Fassung vom 23. Oktober 2013 keinen derartigen Rechtsanspruch auf Erlass oder Stundung einer rechtskräftig veranlagten Steuer. Nichts Anderes ergibt sich aus § 146 der Verordnung (des Kantons Basel-Stadt) vom 14. November 2000 zum Gesetz über die direkten Steuern (StV/BS; SG 640.110) in der Fassung vom 17. Dezember 2013. Der beschwerdeführende Steuerpflichtige kann daher durch die vorinstanzliche Abweisung seines Gesuchs um Erlassung, Stundung oder Zahlungserleichterungen von Vornherein in keinen rechtlich geschützten Interessen betroffen sein. Daher ist er nicht legitimiert, Rügen im kantonalen Erlasspunkt zu stellen (Urteil 2D_41/2015 vom 17. August 2015 E. 2.2.2). Ob bundesrechtlich ein Rechtsanspruch auf Erlass besteht, dessen Verletzung im Verfahren der subsidiären Verfassungsbeschwerde angerufen werden könnte, kann mit Blick auf das Nachfolgende offenbleiben (Urteile 2C_297/2018 vom 13. April 2018 E. 2.3.4; 2D_50/2017 vom 20. Dezember 2017 E. 3.3).
2.3.
2.3.1. Die Vorinstanz hat die Abweisung der Beschwerde im Kern damit begründet, dass der Steuerpflichtige seiner Mitwirkungspflicht - wie schon im Nachsteuerverfahren - auch im Erlassverfahren nicht nachgekommen sei. So habe er keinerlei Belege zum Nachweis seiner angeblichen finanziellen Notlage eingereicht, obwohl er von der KSTV/BS ausdrücklich aufgefordert worden sei, die in den Jahren 2004-2007 angefallenen Lebenshaltungskosten zu dokumentieren. Ebenso habe er es unterlassen, sein Verhältnis zu Frau B._ zu erläutern, was zur Klärung der finanziellen Verflechtung von Interesse gewesen wäre. Der Steuerpflichtige bringe zwar vor, der Aufforderung nachgekommen zu sein, das Dossier spreche aber eine andere Sprache.
2.3.2. Auf die Frage der Mitwirkungspflicht geht der Steuerpflichtige in seiner Eingabe höchstens beiläufig ein. Seine Aufgabe hätte darin bestanden, dem Bundesgericht anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids detailliert aufzuzeigen (qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit; Art. 117 in Verbindung mit <ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1 S. 52 f.), dass und inwiefern die Vorinstanz mit ihrer Beweiswürdigung gegen seine verfassungsmässigen Rechte verstossen habe, namentlich gegen seinen Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Indem der Steuerpflichtige in seiner Eingabe immer wieder auf die Nachsteuerverfügungen zu sprechen kommt, was von vornherein ausserhalb des Streitgegenstandes liegt, und den Kern der Sache dadurch nicht ansatzweise trifft, fehlt ihm die Legitimation auch unter dem Gesichtspunkt der "Star"-Praxis (Urteil 6B_773/2017 vom 21. Februar 2018 E. 1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 5; <ref-ruling> E. 1.3 S. 80; <ref-ruling> E. 3c S. 312 f.; Urteil 2D_41/2015 vom 17. August 2015 E. 2.3.1 und 2.3.2). Auf bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid geht das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 1.1 S. 503).
2.4. Die Eingabe enthält offensichtlich keine Begründung, die den gesetzlichen Anforderungen entspricht. Es ist darauf nicht einzutreten, was im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> durch einzelrichterlichen Entscheid des Abteilungspräsidenten zu geschehen hat.
3.
3.1. Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Steuerpflichtigen aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
3.2. Dem Kanton Basel-Stadt, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer, Nachsteuern der Steuerperioden 2004-2007, wird nicht eingetreten,
2.
Auf die Beschwerde betreffend die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Basel-Stadt, Nachsteuern der Steuerperioden 2004-2007, wird nicht eingetreten,
3.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. November 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher