Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ (geb. 1978; Beschwerdeführerin) und B.A._ (geb. 1967; Beschwerdegegner) gingen am 27. Juli 2014 zum zweiten Mal die Ehe miteinander ein. Sie sind die Eltern der Tochter C.A._ (geb. 2003). A.A._ ist ausserdem die Mutter des aus einer früheren Beziehung stammenden Sohns D._ (geb. 1995).
Am 13. August 2019 hoben die Eheleute den gemeinsamen Haushalt auf und am 1. Oktober 2019 ersuchte A.A._ das Bezirksgericht Horgen um Regelung des Getrenntlebens.
A.b. Mit Urteil vom 28. November 2019 stellte das Bezirksgericht soweit hier interessierend die Tochter unter die Obhut von A.A._ und verpflichtete diese, an B.A._ ab Rechtskraft des Urteils monatlichen Ehegattenunterhalt von Fr. 1'500.-- zu bezahlen. Kindesunterhalt sah das Gericht keinen vor.
B.
Das Obergericht des Kantons Zürich hiess die hiergegen von A.A._ erhobene Berufung mit Urteil vom 5. Juni 2020 (eröffnet am 12. Juni 2020) dahingehend (teilweise) gut, dass es den von A.A._ zu bezahlenden Ehegattenunterhalt auf monatlich Fr. 460.-- vom 1. Dezember 2019 bis 31. August 2020 und Fr. 370.-- ab dem 1. September 2020 für die weitere Dauer des Getrenntlebens festsetzte und B.A._ ab dem 1. September 2020 für die weitere Dauer des Getrenntlebens zur Zahlung von Kindesunterhalt von Fr. 120.-- (zzgl. allfälliger Ausbildungszulagen) verpflichtete.
C.
A.A._ gelangt am 13. Juli 2020 mit Beschwerde in Zivilsachen ans Bundesgericht und beantragt, in teilweiser Aufhebung des Urteils des Obergerichts sei sie von Unterhaltszahlungen an den Ehemann zu befreien und sei dieser zu verpflichten, ihr für die gemeinsame Tochter ab September 2020 für die weitere Dauer des Getrenntlebens einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 310.-- (zzgl. allfälliger Ausbildungszulagen) zu bezahlen. Ausserdem beantragt sie, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen, und ersucht darum, B.A._ zur Zahlung eines vorläufigen Prozesskostenbeitrags in der Höhe von Fr. 5'000.-- zu verpflichten und ihr eventuell das Recht auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
B.A._ ersucht am 28. Juli 2020 ebenfalls um unentgeltliche Rechtspflege und Beiordnung einer Rechtsvertretung. Mit Verfügung vom 4. August 2020 erteilt das Bundesgericht nach Anhörung der Verfahrensbeteiligten der Beschwerde die aufschiebende Wirkung. Im Übrigen hat es die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Endentscheid (<ref-law>) eines oberen kantonalen Gerichts, das als Rechtsmittelinstanz (<ref-law>) über Massnahmen zum Schutz der ehelichen Gemeinschaft (Kindes- und Ehegattenunterhalt) entschieden hat. Im Streit steht damit eine vermögensrechtliche Zivilsache nach <ref-law>. Der erforderliche Streitwert von Fr. 30'000.-- ist erreicht (Art. 74 Abs. 1 Bst. b, Art. 51 Abs. 1 Bst. a und Abs. 4 BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Die Beschwerdeführerin ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und sie hat diese auch fristgerecht erhoben (Art. 100 Abs. 1 und Art. 45 Abs. 1 BGG).
1.2. Unzulässig ist das Gesuch um Ausrichtung eines Prozesskostenbetirags für das bundesgerichtliche Verfahren. Das Bundesgericht ist zur Behandlung dieses Gesuchs (funktionell) nicht zuständig. Vielmehr hätte es bei dem für Massnahmen zum Schutz der ehelichen Gemeinschaft zuständigen Gericht eingereicht werden müssen (Urteil 5A_841/2018 und 5A_843/2018 vom 12. Februar 2020 E. 2.3.2).
2.
Eheschutzentscheide unterstehen <ref-law> (<ref-ruling> E. 5), weshalb nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann. Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz solche Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Die rechtsuchende Partei muss daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darlegen, inwiefern ein verfassungsmässiges Recht verletzt worden sein soll. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266). Wird eine Verletzung des Willkürverbots nach <ref-law> geltend gemacht, reicht es nicht aus, die Lage aus der eigenen Sicht darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Es ist im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 1.4.1; <ref-ruling> E. 2.2).
3.
Nach Ansicht der Beschwerdeführerin hat das Obergericht willkürlich entschieden, indem es sie zur Zahlung von Ehegattenunterhalt verpflichtete.
3.1. Im Berufungsverfahren war strittig, ob die Verpflichtung der Beschwerdeführerin zu Unterhaltszahlungen unbillig ist, weil der Ehemann nach Darstellung der Ehefrau diese mehrfach schwer bedroht und weil er in keiner Weise zum Unterhalt der Familie beigetragen und seine Bedürftigkeit mutwillig herbeigeführt habe.
Das Obergericht verneinte eine Unbilligkeit. Dabei hielt es fest, von der Festsetzung einer Unterhaltsleistung sei bei an sich gegebenem Anspruch nur in Ausnahmefällen abzusehen, wenn ein geradezu stossender oder offensichtlich unbilliger Fall vorliege. Eine schwere Straftat, die ein solches Vorgehen rechtfertige, sei nur mit grosser Zurückhaltung anzunehmen, zumal in einem Eheschutzverfahren mit vorläufigem Charakter. Die aktenkundige Verurteilung des Beschwerdegegners wegen mehrfacher Drohung zu Lasten der Beschwerdeführerin (insbes. Todesdrohungen) reiche hierzu nicht aus. Ohnehin lege die Beschwerdeführerin nicht dar, für welche Drohungen die Verurteilung im Einzelnen erfolgt sei und welche Überlegungen dem Strafmass zugrunde lägen. Selbstverständlich sei die Verhaltensweise des Beschwerdegegners dennoch strikte zu verurteilen. Weiter äussere sich die Beschwerdeführerin nur pauschal zur angeblichen Verletzung der Unterhaltspflicht durch den Beschwerdegegner. Sie lege nicht dar, welche konkreten ehelichen Aufgaben dieser in schwerer Weise vernachlässigt haben soll und wie sich dies ausgewirkt habe. Nicht dargelegt oder ersichtlich sei sodann, inwieweit der Beschwerdegegner seine Bedürftigkeit mutwillig herbeigeführt haben sollte. Da ihm ein hypothetisches Einkommen angerechnet werden könne, genüge hierzu nicht, dass er es bloss unterlassen habe, eine ihm zumutbare und mögliche Erwerbstätigkeit aufzunehmen.
3.2. Die Beschwerdeführerin erachtet ihre Verpflichtung zu Unterhalt bar jeder Gerechtigkeit und als willkürlich. Wiewohl der Ehemann dazu ermahnt worden sei, habe er keinen Beitrag zum Unterhalt der Familie geleistet, sich vielmehr von der Beschwerdeführerin aushalten lassen. Nach einem Bandscheibenvorfall habe er die Arbeitsfähigkeit im April 2019 wiedererlangt (dazu auch hinten E. 4.1). Dennoch sei er weder einer Erwerbstätigkeit nachgegangen, noch habe er sich bei der Arbeitslosenversicherung (ALV) angemeldet. Aus schierer Not heraus sei daher die Beschwerdeführerin für den gesamten Familienunterhalt aufgekommen. Zudem habe der Beschwerdegegner den Haushalt und die Kindererziehung vernachlässigt. Ein Verhältnis zur Tochter bestehe aufgrund seines Desinteresses bis heute nicht. Auch eine eheliche Gemeinschaft sei zufolge der Verweigerungshaltung des Ehemanns nie gelebt worden. Alles in allem habe der Beschwerdegegner seine familiären Pflichten wiederholt krass verletzt und die Familie weder finanziell noch moralisch unterstützt. Hinzu komme, dass er die Beschwerdeführerin verschiedentlich bedroht habe und dafür strafrechtlich belangt worden sei. Während des gesamten kantonalen Verfahrens habe der Beschwerdegegner sich renitent verhalten, was durch die Vorinstanzen unverständlicherweise nicht geahndet worden sei. Alles in allem sei die Beschwerdeführerin wegen krassen Verstosses gegen jeglichen Gerechtigkeitsgedanken von den Unterhaltszahlungen vollumfänglich zu befreien.
3.3. Mit diesen Ausführungen zur Willkür in der Rechtsanwendung (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.1) belässt die Beschwerdeführerin es dabei, ihre Einschätzung der Sachlage und des bisherigen Verfahrensverlaufs dem angefochtenen Urteil gegenüberzustellen, die von der Vorinstanz getroffene Lösung in appellatorischer Art und Weise zu kritisieren und sie als ungerecht zu bezeichnen. Auf die massgebenden Erwägungen des Obergerichts und namentlich dessen Ausführungen dazu, unter welchen Umständen trotz an sich gegebenen Anspruchs von der Festlegung eines Unterhaltsbeitrags ausnahmsweise abgesehen werden kann, geht sie dagegen nicht ein. Ausserdem stützt die Beschwerdeführerin sich in ihren Überlegungen teilweise auf sachverhaltliche Grundlagen, die das Obergericht so nicht festgestellt hat, ohne die notwendigen Rügen zu erheben. Dies ist nicht zulässig. Auf die Beschwerde kann insoweit nicht eingetreten werden.
4.
Die Beschwerdeführerin macht sodann verschiedentlich eine willkürliche Feststellung des Sachverhalts (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.4) geltend.
4.1. Streitbetroffen ist vorab die Berechnung des Einkommens des Ehemanns.
4.1.1. Dazu lässt sich dem angefochtenen Urteil entnehmen, dass der Beschwerdegegner gelernter Autolackierer ist und bis im Jahr 2018 als Hilfsgärtner ein Einkommen von netto Fr. 3'100.-- im Monat erzielte. Aufgrund eines Bandscheibenvorfalls war er ab Oktober 2018 nicht mehr arbeitsfähig. Gemäss eigenen Angaben wurde er im August 2019 operiert. Von einer vollen Arbeitsfähigkeit auch bei physisch anspruchsvollen Tätigkeiten ist nach Einschätzung der Vorinstanz wieder ab August 2020 auszugehen. Dem stehe auch ein Arztbericht vom 1. April 2019 nicht entgegen, wonach der Beschwerdegegner ab diesem Zeitpunkt körperlich leichte Tätigkeiten mit wirbelsäuleadaptierten Wechselpositionen voll ausführen könne. Ab September 2020 sei es dem Ehemann daher zumutbar und auch möglich, wieder eine Anstellung in seinem bisherigen Tätigkeitsgebiet (Autolackierer, Bauarbeiten, Reinigungskraft oder Hilfsgärtner) anzutreten, weshalb ihm ab diesem Zeitpunkt ein hypothetisches Einkommen von Fr. 3'100.-- im Monat anzurechnen sei. Unabhängig vom Genesungsprozess könne vor diesem Zeitpunkt auch deshalb kein hypothetisches Einkommen angenommen werden, weil die rückwirkende Anrechnung eines solchen ausser Betracht falle und dem Beschwerdegegner ohnehin eine Übergangsfrist einzuräumen sei. Bis August 2020 seien diesem sodann Krankentaggelder im Umfang von 80 % des früheren Lohns anzurechnen, mithin von monatlich Fr. 2'480.--.
4.1.2. Die Beschwerdeführerin erachtet demgegenüber die Annahme als willkürlich, der Ehemann sei bis August 2020 arbeitsunfähig gewesen. Gestützt namentlich auf den vorerwähnten Arztbericht kommt sie zum Schluss, dass der Beschwerdegegner spätestens im Dezember 2019 wieder eine Tätigkeit habe aufnehmen können. Selbst wenn zufolge des Verbots der rückwirkenden Anrechnung eines hypothetischen Einkommens für die Zeit ab Dezember 2019 bis Ende August 2020 bloss das Krankentaggeld berücksichtigt werden könne, sei der Beschwerdegegner daher in der Lage, seinen Unterhalt selbst zu decken.
4.1.3. Wer wie die Beschwerdeführerin eine willkürliche Feststellung des Sachverhalts rügt, hat in einem <ref-law> unterliegenden Verfahren zum einen klar und detailliert (vgl. dazu vorne E. 2) dazutun, inwieweit die gerügte Tatsachenfeststellung offensichtlich unhaltbar oder eben willkürlich sein soll. Ausserdem ist aufzuzeigen, dass der Fehler in der Sachverhaltsfeststellung sich auf den Ausgang des Verfahrens auswirkt (<ref-ruling> E. 4.1). Diesem zweiten Erfordernis genügt die Beschwerde nicht:
Vorab betreffen die Ausführungen der Beschwerdeführerin zur Arbeitsfähigkeit des Beschwerdegegners allein die Zumutbarkeit der Einkommenserzielung (vgl. Urteil 5A_201/2016 vom 22. März 2017 E. 8.1). Damit dem Ehemann zwischen Dezember 2019 und August 2020 ein hypothetisches Einkommen angerechnet werden könnte, müsste die Beschwerdeführerin aber zusätzlich aufzeigen, dass ihm dieses Einkommen zu erzielen auch tatsächlich möglich gewesen wäre (vgl. <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 2.3). Dies unterlässt sie, äussert sie sich zu diesem Punkt doch nicht. Zwar nahm das Obergericht ohne weiteres an, dem Beschwerdegegner werde es möglich sein, in seinem früheren Tätigkeitsgebiet wieder eine Anstellung zu finden. Diese Annahme bezieht sich jedoch auf die Zeit ab September 2020. Sodann bestreitet die Beschwerdeführerin die Einschätzung des Obergerichts nicht, wonach dem Beschwerdegegner bis August 2020 unabhängig des Heilungsverlaufs kein hypothetisches Einkommen angerechnet werden kann. Zum einen geht auch sie davon aus, dass die rückwirkende Anrechnung eines solchen Einkommens vorliegend nicht zulässig ist, zum anderen äussert sie sich nicht zu einer allfälligen Übergangsfrist. Zwar nimmt die Beschwerdeführerin an, der Ehemann könne auch dann seinen Lebensunterhalt bestreiten, wenn ihm nur das Krankentaggeld angerechnet werde. Dabei handelt es sich aber um eine nicht weiter begründete Behauptung und die Beschwerdeführerin zeigt auch nicht auf, dass der Beschwerdegegner zwischen November 2019 und August 2020 tatsächlich ein Einkommen erzielte, welches ihm die Bestreitung seines Lebensunterhalts erlaubt hätte. Damit ist die Beschwerde bezüglich der Berechnung des Einkommens des Beschwerdeführers bereits aus diesem Grund ungenügend begründet und es braucht nicht mehr darauf eingegangen werden, ob eine willkürliche Feststellung der Arbeitsunfähigkeit durch das Obergericht überhaupt hinreichend klar dargetan ist.
4.2. Willkürlich ist nach Dafürhalten der Beschwerdeführerin sodann die Bestimmung des dem Beschwerdeführer anrechenbaren Bedarfs.
4.2.1. Zur Bedarfsberechnung hielt das Obergericht fest, zufolge der Erhöhung des Einkommens des Beschwerdegegners resultiere anders als von der Erstinstanz angenommen ein Überschuss. Der familienrechtliche Notbedarf sei daher um gewisse Positionen zu erweitern, soweit diese ausgewiesen und insgesamt angemessen seien. Beim Beschwerdegegner berücksichtigte die Vorinstanz daher neben den erstinstanzlich zugestandenen Positionen zusätzlich die Kosten der überobligatorischen Krankenversicherung sowie ab dem 1. September 2020 Berufsauslagen. Dies ergab insgesamt einen Bedarf des Ehemanns von Fr. 2'786.20. Die Beschwerdeführerin macht geltend, das Obergericht habe dem Beschwerdegegner zu Unrecht die Kosten für eine Hausrats- und Haftpflichtversicherung sowie Kommunikationskosten und Abgaben für Radio und Fernsehen angerechnet. Der Beschwerdegegner habe genügend Gelegenheit gehabt, seine Ausgaben nachzuweisen, und es sei "krass unzulänglich", ihm diese nicht erstellten Kosten anzurechnen.
4.2.2. Damit greift die Beschwerdeführerin Bedarfspositionen auf, welche gemäss dem angefochtenen Urteil im Berufungsverfahren nicht strittig waren, sondern von der Vorinstanz aus dem erstinstanzlichen Erkenntnis übernommen wurden. Dies ist nicht zulässig (<ref-ruling> E. 1.1). Die Beschwerdeführerin legt auch nicht dar, dass das Obergericht es in Verletzung verfassungsmässiger Rechte unterlassen hätte, im Berufungsverfahren auf eine Rüge zu diesen Bedarfspositionen einzugehen. Weiter setzt sie sich nicht mit dem Umstand auseinander, dass das Obergericht im Zusammenhang mit der Bedarfsberechnung auf die Berufung mangels ausreichender Begründung teilweise nicht eingetreten ist.
4.3. Nach dem Ausgeführten ist auch hinsichtlich der Rüge der willkürlichen Sachverhaltsfeststellung auf die Beschwerde nicht einzutreten.
5.
Im Zusammenhang mit dem Kindesunterhalt rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung des Gleichheitsgebots nach <ref-law>. Sie komme für den Unterhalt der Tochter auf und kümmere sich ausserdem um deren Erziehung und moralische Unterstützung. Es widerspreche dem angerufenen Grundrecht, wenn der Beschwerdegegner an den Unterhalt der Tochter nur Fr. 120.-- im Monat beisteuern müsse, obwohl er nachweislich einen Überschuss von Fr. 313.-- erziele. Zumal wenn ihm ab September 2020 ein hypothetisches Einkommen angerechnet werde, könne er Unterhaltsbeiträge von Fr. 310.-- bezahlen. Die Beschwerdeführerin ist daran zu erinnern, dass das verfassungsmässige Gleichbehandlungsgebot sich an den Staat richtet und keine direkte Drittwirkung zwischen den Parteien entfaltet. Es kann im vorliegenden Verfahren nicht angerufen werden (<ref-ruling> E. 5.1; jüngst etwa Urteil 5A_929/2019 vom 20. April 2020 E. 6; vgl. auch <ref-ruling> E. 5.2).
6.
Damit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten (inkl. der Kosten des Verfahrens betreffend aufschiebende Wirkung) der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>) und hat diese keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren ist abzuweisen, da die Beschwerde nach dem Ausgeführten als von Anfang an aussichtslos beurteilt werden muss (<ref-law>). Dem nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdegegner, der sich zum Gesuch um aufschiebende Wirkung inhaltlich nicht hat vernehmen lassen und der in der Sache nicht zu einer Stellungnahme eingeladen wurde, sind keine entschädigungspflichtigen Kosten entstanden, womit ihm keine Parteientschädigung zuzusprechen ist. Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gegenstandslos und ist abzuschreiben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Auf das Gesuch um Ausrichtung eines Prozesskostenbeitrags wird nicht eingetreten.
3.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
5.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Oktober 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber