Fatti:
A.
A._, cittadino colombiano, è giunto in Svizzera nel maggio 2006 per chiedere asilo. A seguito dell'accoglimento della sua domanda, ha ottenuto un permesso di dimora. Durante il suo soggiorno nel nostro Paese, A._ ha interessato le autorità penali in questi termini:
30 luglio 2007: decreto d'accusa del Ministero pubblico del Cantone Ticino; pena pecuniaria di 20 aliquote giornaliere da fr. 60.-- ciascuna, sospesa condizionalmente per 3 anni, e multa di fr. 1'200.-- per i reati di guida in stato di inattitudine ed infrazione alle norme della circolazione.
7 maggio 2010: sentenza della Corte delle assise correzionali di Lugano; pena detentiva di 2 anni e 6 mesi, di cui due anni sospesi condizionalmente per 4 anni, per i reati di infrazione aggravata e contravvenzione alla legge federale sugli stupefacenti e sulle sostanze psicotrope del 3 ottobre 1951 (LStup; RS 812.121) (incarcerazione tra il 29 gennaio e il 28 luglio 2010).
Preso atto di questa seconda condanna, il 7 giugno 2013 l'allora Ufficio federale della migrazione ha revocato l'asilo a A._, ma non la qualità di rifugiato. L'11 dicembre 2013 il Tribunale amministrativo federale ha confermato questa decisione, respingendo il ricorso interposto dall'interessato.
B.
Invitata dalla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino a pronunciarsi in merito all'esistenza di eventuali impedimenti all'allontanamento di A._ (cfr. lettera del 30 gennaio 2014 agli atti), il 27 febbraio 2018 la Segreteria di Stato della migrazione (SEM) ha concluso che il rimpatrio in Colombia non violerebbe il divieto di tortura sancito all'art. 3 della Convenzione europea per la salvaguardia dei diritti dell'uomo e delle libertà fondamentali del 4 novembre 1950 (CEDU; RS 0.101).
Ottenuta questa risposta dalla SEM, dopo averla più volte sollecitata, con decisione del 28 giugno 2018 l'autorità dipartimentale ha quindi informato A._ di non ritenere più date le condizioni che avevano portato al rilascio del permesso di dimora e, considerato ammissibile ed esigibile il suo rientro in Patria, gli ha negato il rinnovo da lui domandato a diverse riprese (10 agosto 2010, 25 gennaio 2011, 3 maggio 2012, 8 aprile 2016) senza che le sue richieste venissero sin lì evase. Nel seguito, tale provvedimento di diniego è stato confermato sia dal Governo (12 dicembre 2018) che dal Tribunale amministrativo ticinese (6 agosto 2019).
C.
Il 9 settembre 2019 A._ ha impugnato il giudizio della Corte cantonale davanti al Tribunale federale con ricorso sussidiario in materia costituzionale. In tale contesto, chiede che il permesso di dimora gli sia rinnovato. In parallelo, domanda l'esenzione dal versamento di un anticipo spese in quanto le sue entrate non gli permettono di farvi fronte.
In corso di procedura, il Tribunale amministrativo si è riconfermato nelle conclusioni della propria sentenza. Ad essa ha fatto in sostanza rinvio anche la Sezione della popolazione. Il Consiglio di Stato si è invece rimesso al giudizio del Tribunale federale.

Diritto:
1.
1.1. Presentata nei termini (art. 46 cpv. 1 lett. b e art. 100 cpv. 1 LTF) dal destinatario della decisione querelata (<ref-law>), l'impugnativa è ammissibile quale ricorso in materia di diritto pubblico (art. 82 segg. LTF). Siccome chi insorge chiede il rinnovo del proprio permesso di soggiorno facendo (tra l'altro) valere di essere in possesso dello statuto di rifugiato, l'art. 83 lett. c n. 2 LTF non trova in effetti applicazione (sentenza 2C_14/2017 del 18 dicembre 2017 consid. 1.2).
1.2. Ritenuto che, nella misura in cui l'allegato ricorsuale rispetta le esigenze formali del tipo di ricorso di per sé esperibile, l'errata denominazione del rimedio non comporta nessun pregiudizio, occorre pertanto entrare nel merito del gravame e procedere al suo esame quale ricorso in materia di diritto pubblico (<ref-ruling> consid. 1.2 pag. 302 seg.; <ref-ruling> consid. 3.1 pag. 399 seg.).
2.
2.1. Il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto federale (<ref-law>); nondimeno, considerato l'onere di motivazione posto dalla legge (art. 42 cpv. 1 e 2 LTF), si confronta di regola soltanto con le censure sollevate. Esigenze più severe valgono poi in relazione alle violazioni di diritti fondamentali, che vanno motivate con precisione (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4.2 pag. 254).
2.2. Per quanto riguarda i fatti, esso fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento svolto dall'autorità inferiore (<ref-law>). Può scostarsene se è stato eseguito violando il diritto ai sensi dell'<ref-law> o in modo manifestamente inesatto. L'eliminazione del vizio deve inoltre poter influire in maniera determinante sull'esito della causa (<ref-law>). A meno che non ne dia motivo la decisione impugnata, ciò che va dimostrato, il Tribunale federale non può neanche tenere conto di mezzi di prova nuovi (<ref-law>).
3.
Sottolineando di avere a tutt'oggi lo statuto di rifugiato, il ricorrente lamenta il mancato rinnovo del suo permesso di dimora, deciso dalle autorità migratorie ticinesi il 28 giugno 2018, e poi confermato su ricorso dal Consiglio di Stato e dal Tribunale amministrativo ticinesi. Ritiene in effetti questa misura a vario titolo lesiva sia del diritto interno che di quello internazionale.
3.1. La posizione di un rifugiato in Svizzera è regolata dalla convenzione del 28 luglio 1951 sullo statuto dei rifugiati (RS 0.142.30) e dalla legge federale del 26 giugno 1998 sull'asilo (LAsi; RS 142.31) (art. 12 segg. della citata convenzione; <ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.1. pag. 68; sentenze 2C_588/2019 del 30 gennaio 2020 consid. 3.1 e 2C_14/2017 del 18 dicembre 2017 consid. 2.1).
Come indicato anche dalla Corte cantonale, fatto salvo l'<ref-law>, l'allontanamento o l'espulsione di rifugiati sono retti dall'<ref-law> in combinato disposto con l'art. 63 cpv. 1 lett. b e l'<ref-law> (<ref-law>). Nel contempo trova però applicazione l'art. 32 n. 1 della convenzione sullo statuto dei rifugiati, in base alla quale gli Stati contraenti possono espellere un rifugiato che risiede regolarmente sul loro territorio soltanto per motivi di sicurezza nazionale o di ordine pubblico; in questa misura, la facoltà di allontanamento è quindi limitata dal diritto in materia di rifugiati rispettivamente d'asilo (<ref-ruling> consid. 2.2.1 pag. 113; citata sentenza 2C_14/2017 consid. 2.2 con ulteriori rinvii; CONSTANTIN HRUSCHKA, Kommentar zum Migrationsrecht, 5a ed. 2019, n. 1 ad <ref-law> e n. 1 ad <ref-law>; ANDREAS ZÜND/LADINA ARQUINT HILL, Beendigung der Anwesenheit, Entfernung und Fernhaltung, in: Peter Uebersax e altri [curatori], Ausländerrecht, 2a ed. 2009, n. 8.44 e 8.89). L'art. 63 cpv. 1 lett. b e l'<ref-law> vanno pertanto interpretati in conformità al diritto internazionale, di modo che persone cui è riconosciuto lo statuto di rifugiato possono essere allontanate o espulse dalla Svizzera solo se costituiscono un grave pericolo per la sicurezza interna o esterna della Svizzera o minacciano gravemente l'ordine e la sicurezza pubblici (<ref-ruling> consid. 5.1 pag. 72 e consid. 6.2 pag. 75; <ref-ruling> <ref-ruling> consid. 2.2.1. pag. 113; sentenze 2C_588/2019 del 30 gennaio 2020 consid. 3.2; 2C_108/2018 del 28 settembre 2018 consid. 3.2; 2C_14/2017 del 18 dicembre 2017 consid. 2.2; e 2C_710/2008 del 16 febbraio 2009 consid. 2.2.1; DIDIER LEYVRAZ, La jurisprudence du Tribunal fédéral en droit des étrangers et de la nationalité, in: Achermann [e altri], Jahrbuch für Migrationsrecht 2017/2018, pag. 99 segg., 105-106 con rinvio alla citata sentenza 2C_14/2017).
3.2. Riferendosi in particolare ai reati alla base della condanna pronunciata il 7 maggio 2010 (precedente consid. A.), la Corte cantonale è giunta alla conclusione che le condizioni per l'applicazione dell'art. 63 cpv. 1 lett. b LStrl in relazione con l'<ref-law> sono nella fattispecie date e che rispettato è pure il principio della proporzionalità. Come rilevato dal ricorrente, alla luce del diritto applicabile e della giurisprudenza in materia, che richiedono un'applicazione delle norme menzionate conforme all'art. 32 n. 1 della convenzione sullo statuto dei rifugiati, le conclusioni dei Giudici ticinesi non possono essere tuttavia condivise.
3.2.1. In effetti, e come indicato nel considerando 3.3 della querelata sentenza, è senz'altro vero che i fatti per i quali il ricorrente è stato giudicato il 7 maggio 2010 sono da considerare gravi e del resto anche l'entità della condanna inflitta (pena detentiva di 2 anni e 6 mesi, di cui due anni sospesi condizionalmente per 4 anni) ne è la dimostrazione.
Altrettanto vero è inoltre che, di fronte a reati quali quello di infrazione aggravata alla legge federale sugli stupefacenti, compiuti in relazione a quantitativi di droga importanti, vige una prassi severa anche in materia di diritto degli stranieri (sentenze 2C_874/2019 del 4 novembre 2019 consid. 5.2.2. e 2C_1077/2018 del 6 giugno 2019 consid. 4).
3.2.2. Tenuto conto del quadro legale di riferimento, che in un caso come quello in esame, relativo ad una persona che dispone dello statuto di rifugiato, richiede l'esistenza di una grave minaccia dell'ordine e della sicurezza pubblici (precedente consid. 3.1 e le referenze ivi indicate), non si può tuttavia non considerare che detta condanna è stata pronunciata nel 2010 e che riguarda reati che risalgono al 2008-2009.
Come risulta dal giudizio penale, cui la sentenza impugnata rinvia, l'infrazione aggravata alla legge federale sugli stupefacenti è stata infatti localizzata " nel corso del 2009 e sino al 10 aprile 2009" mentre la contravvenzione alla medesima legge "tra il 2008 e fine gennaio 2009" e, nel contempo, la Corte cantonale riferisce di una situazione che sarebbe comunque migliorata su più fronti (impiego stabile a partire da aprile 2016 e affrancamento dall'aiuto sociale, nessuna ulteriore e qualificata minaccia dell'ordine e della sicurezza pubblici).
3.2.3. Anche se il fatto che le autorità ticinesi non si siano pronunciate prima sulle richieste di rinnovo non è dovuto a queste ultime, bensì alla SEM - che le ha tenute in sospeso per anni senza nemmeno rispondere ai solleciti che riceveva - va di conseguenza rilevato che la decisione presa dalla Sezione della popolazione il 28 giugno 2018 non può essere tutelata, poiché, a quel momento, la grave minaccia richiesta non risultava più data rispettivamente provata.
In effetti, se le conclusioni contenute nel considerando 3 del giudizio impugnato potevano senz'altro valere a ridosso della pronuncia della sentenza penale e negli anni immediatamente successivi - quando si è espresso anche il Tribunale amministrativo federale, confermando la revoca dell'asilo - ciò non valeva più a metà 2018, poiché il tempo trascorso - in attesa della pronuncia da parte della SEM, che era necessaria (sentenza 2C_396/2017 dell'8 gennaio 2018 consid. 5.2), ma che ha preso oltre quattro anni - aveva fatto venir meno anche il requisito richiesto e il rinnovo del permesso andava quindi concesso.
3.2.4. Determinante ai fini dell'esame della - qualificata - minaccia domandata in casi relativi all'esame della situazione di persone che dispongono dello statuto di rifugiato, è infatti la situazione il 28 giugno 2018, perché è soltanto quel giorno che la Sezione della popolazione ha preso la propria decisione in merito alle varie richieste di rinnovo che le erano state presentate nel corso degli anni.
Proprio perché così è, nel giugno 2018, quando è stato deciso il diniego del rinnovo, doveva però allora essere chiaro che - sulla base delle condanne subite nel 2007 e nel 2010 e dell'evoluzione successiva - la prova dell'esistenza di una grave minaccia per l'ordine e la sicurezza pubblici ai sensi dell'<ref-law> in relazione con l'<ref-law> e l'art. 32 della convenzione sullo statuto dei rifugiati (precedente consid. 3.1), non era ormai più data.
In questo contesto, il ricorrente viene però avvertito a chiare lettere in merito al fatto che, se la situazione dovesse in futuro nuovamente cambiare, anche la sua posizione potrà essere rivalutata.
4.
4.1. Per quanto precede, il ricorso è accolto, la sentenza impugnata annullata e la causa rinviata alla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino, affinché rinnovi l'autorizzazione di soggiorno al ricorrente.
4.2. Da parte sua, il Tribunale amministrativo ticinese dovrà nuovamente esprimersi sulle spese e sulle ripetibili della sede cantonale (art. 68 cpv. 5 e art. 107 cpv. 2 LTF; sentenze 2C_600/2014 del 27 ottobre 2015 consid. 7 e 2C_173/2011 del 24 giugno 2011 consid. 6.2).
4.3. Soccombente, lo Stato del Cantone Ticino è dispensato dal pagamento delle spese giudiziarie (<ref-law>). Il ricorrente è stato assistito da un giurista che non dispone del brevetto di avvocato. Un'indennità per ripetibili per la sede federale può pertanto essergli riconosciuta giusta l'art. 68 cpv. 1 e 2 LTF in relazione con l'art. 9 del regolamento sulle spese ripetibili accordate alla parte vincente e sull'indennità per il patrocinio d'ufficio nelle procedure davanti al Tribunale federale (RS 173.110.210.3; sentenze 2C_1053/2017 del 13 marzo 2018 consid. 5.3; 2C_600/2014 del 27 ottobre 2015 consid. 7 e 2C_546/2013 del 5 dicembre 2013 consid. 5). Di conseguenza, per quanto sia da intendere come tale, la domanda di assistenza giudiziaria presentata davanti al Tribunale federale va considerata priva di oggetto (sentenze 2C_1053/2017 del 13 marzo 2018 consid. 5.3 e 2C_182/2012 del 18 luglio 2012 consid. 6.3).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
II ricorso è accolto. La sentenza del 6 agosto 2019 del Tribunale amministrativo del Cantone Ticino è annullata e la causa rinviata alla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino, affinché rinnovi l'autorizzazione di soggiorno al ricorrente.
2.
Non vengono prelevate spese.
3.
Lo Stato del Cantone Ticino verserà al ricorrente un'indennità di fr. 1'500.-- per ripetibili della sede federale.
4.
La causa è nel contempo rinviata al Tribunale cantonale amministrativo per nuova decisione su spese e ripetibili per la sede cantonale.
5.
Comunicazione al rappresentante del ricorrente, alla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino, nonché alla Segreteria di Stato della migrazione.