Sachverhalt:
A.
Das Kantonsgericht des Kantons Luzern wies am 22. Mai 2020 auf Berufung von A._ gegen ein Urteil des Bezirksgerichts Willisau vom 27. September 2019 das gegen den Staatsanwalt eingereichte Ausstandsgesuch ab, soweit es darauf eintrat. Es stellte die Rechtskraft des Freispruchs vom Vorwurf einer am 14. Juli 2018 begangenen Verleumdung fest. Das Kantonsgericht verurteilte A._ wegen mehrfacher Beschimpfung und mehrfacher versuchter Nötigung, begangen am 13./14. Juli 2018 z. N. von B._, sowie wegen Hausfriedensbruchs, begangen am 14. Juli 2018, zu einer Geldstrafe von 50 Tagessätzen zu Fr. 40.--, bedingt vollziehbar bei einer Probezeit von 2 Jahren.
B.
A._ beantragt mit Beschwerde in Strafsachen sinngemäss, ihn vollumfänglich freizusprechen.

Erwägungen:
1.
Dem Beschwerdeführer wurde das angefochtene Urteil am 27. Juni 2020 am Schalter zugestellt. Mit der Postübergabe der Beschwerde am 28. August 2020 (<ref-law>) wurde die 30-tägige Beschwerdefrist (<ref-law>) unter Berücksichtigung des Friststillstands vom 15. Juli bis und mit dem 15. August 2020 (<ref-law>) eingehalten.
2.
In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Das Bundesgericht ist keine Appellationsinstanz und unter Vorbehalt von Art. 97 Abs. 1 i.V.m. <ref-law> an den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt gebunden (<ref-law>). Willkür liegt nach ständiger Rechtsprechung nur vor, wenn die vorinstanzliche Beweiswürdigung schlechterdings unhaltbar ist, d.h. wenn die Behörde in ihrem Entscheid von Tatsachen ausgeht, die mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen oder auf einem offenkundigen Fehler beruhen. Dass eine andere Lösung ebenfalls möglich erscheint, genügt nicht. Auf ungenügend begründete Rügen oder allgemeine appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid hat das Bundesgericht nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 92).
3.
Der Beschwerdeführer bringt vor, durch die Nichteinberufung eines Pflichtverteidigers sei eine Benachteiligung im Strafverfahren zu prüfen. Das gelte als Antrag (Beschwerde S. 4).
Die beschuldigte Person ist unter Vorbehalt von <ref-law> berechtigt, in jedem Strafverfahren und auf jeder Verfahrensstufe sich selber zu verteidigen (<ref-law>). Aus den erst- und vorinstanzlichen Urteilen ergibt sich nicht, dass der Beschwerdeführer einen Pflichtverteidiger beantragt hätte. Das behauptet er auch nicht. Soweit ersichtlich, lagen die Voraussetzungen der notwendigen Verteidigung im Sinne von <ref-law> nicht vor. Die amtliche Verteidigung war gemäss Art. 132 Abs. 2 und 3 StPO nicht geboten. Die Vorinstanz beurteilt die drei Schuldsprüche als Bagatellfälle (Urteil S. 21 ff., E. 5.2-5.4). Die Erst- und die Vorinstanz haben den Anklagevorhalt in umfangreichen Urteilen umfassend beurteilt. Ein Rechtsnachteil ist weder dargetan (<ref-law>) noch ersichtlich.
Auf Stufe Bundesgericht kann dem Antrag nicht stattgegeben werden. Im bundesgerichtlichen Verfahren ist es grundsätzlich an der beschwerdeführenden Person, für eine Vertretung besorgt zu sein. Die Beigabe eines Anwalts nach <ref-law> kommt nur in Betracht, wenn die betroffene Person offensichtlich nicht imstande ist, ihre Sache selber zu führen. Das kann allenfalls bei einem Analphabeten oder bei jemandem angenommen werden, der sonst im betreffenden Verfahren völlig unbeholfen ist (Urteil 6B_409/2019 vom 24. Juni 2019 E. 2). Der Beschwerdeführer ist imstande, seine Sache selbst zu führen, kann er doch verständlich machen, was er mit dem Verfahren erreichen will (Urteile 6B_457/2020 vom 20. Juli 2020 E. 5; 6B_979/2019 vom 28. Oktober 2019 E. 2). In aussichtslosen Verfahren kommt die Bestellung eines Anwalts nicht in Betracht (unten E. 6).
4.
Soweit die Beschwerde bei Anwendung einer bei Laienbeschwerden üblichen wohlwollenden Betrachtungsweise (Urteil 6B_1239/2016 vom 14. Juni 2017 E. 3.2) den Begründungsanforderungen überhaupt genügt, erweist sie sich hinsichtlich der Schuldsprüche wegen mehrfacher Beschimpfung und mehrfacher versuchter Nötigung von vornherein als offenkundig unbegründet.
Die Textnachrichten vom 13. und 14. Juli 2018 an die Privatklägerin wie "Hey figg dich würkli du arschloch", "Bring [das Kind] uf Zypere abe du scheiss Arschloch", "futz dumm" usw. sind ohne weiteres als Formalinjurien im Sinne von <ref-law> zu qualifizieren (vgl. Urteil 6B_1232/2019 vom 17. Dezember 2019 E. 3.1), wie die Vorinstanz zu Recht annimmt (Urteil S. 15 f.). Entgegen den nicht substanziierten Behauptungen des Beschwerdeführers fehlen jegliche Anhaltspunkte für eine Manipulation der Textnachrichten (Urteil S. 12 f.).
Betreffend den Nötigungsvorwurf geht die Vorinstanz davon aus, dass nicht jedes rüpelhafte Verhalten und dreiste Auftreten gegenüber dem anderen ein tatbestandsmässiges Inaussichtstellen ernstlicher Nachteile sei. Der Beschwerdeführer kündigte der Privatklägerin, der teilzeitarbeitenden, alleinerziehenden Mutter des gemeinsamen dreijährigen Kindes, in der zitierten Manier an, dass sie "keinen Rappen" mehr erhalten werde, falls sie ihm das Kind nicht für gemeinsame Ferien in Zypern überlasse (Urteil S. 17 f.). Die Vorinstanz weist auf die bestehende Unterhaltspflicht (<ref-law>) und die unzulässige Verknüpfung der Unterhaltsleistung mit der Durchsetzung seines Besuchsrechts hin (das Verfahren wegen Vernachlässigung der Unterhaltspflichten wurde von der Anklagebehörde am 29. Mai 2019 sistiert; erstinstanzliches Urteil S. 2). Aufgrund der mehrfachen unmissverständlichen Äusserungen und der Familienkonstellation bejaht die Vorinstanz zutreffend die mehrfache versuchte Nötigung (Urteil S. 18).
Entgegen den nicht substanziierten Behauptungen des Beschwerdeführers ist nicht ersichtlich, dass die Anklagevorwürfe nicht bewiesen werden konnten. Es bestehen keine unüberwindlichen Zweifel an der Erfüllung der tatsächlichen Voraussetzungen der angeklagten Taten (<ref-law>).
5.
Der Beschwerdeführer wendet sich gegen den Schuldspruch wegen Hausfriedensbruchs. In Frage steht die Erfüllung des objektiven Tatbestandes.
5.1. Der Beschwerdeführer diskutiert eine Aussage der Privatklägerin ("Damals war er eigentlich nicht berechtigt gewesen".) und wirft die Frage auf, ob er berechtigt gewesen sei, das Haus zu betreten, und setzt sich mit den Worten "eigentlich" und "damals" in der Aussage auseinander, ob also eine stillschweigende Berechtigung für ihn existiert habe, das Treppenhaus zu betreten. Die Aussage reiche für sein Verständnis nicht aus, um einen klaren Willen der Privatklägerin zu erkennen (Beschwerde S. 2 f.). Er sei unzählige Male vor der Wohnungstüre gestanden, um das Kind abzuholen oder zurückzubringen. Das sei üblich gewesen. Grundsätzlich bewirke ein Arztzeugnis nicht, dass das Kind bei Krankheit nicht beim Vater sein dürfe oder dieser sich nicht bei ihm melden dürfe, um zu erfahren, wie es ihm gehe.
5.2. Nach der Vorinstanz steht fest, dass der Beschwerdeführer zur Mitbenutzung der Mietwohnung der Privatklägerin nicht befugt war. Zur Ausübung des Hausrechts sei einzig diese berechtigt gewesen. Er sei gegen ihren Willen in das Treppenhaus eingedrungen. Das Abholen und Zurückbringen des Kindes habe nach dem Entscheid der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde innert der festgesetzten Besuchszeiten erfolgen müssen. Ob der Beschwerdeführer am 14. Juli 2018 berechtigt gewesen wäre, das Kind abzuholen, könne offen gelassen werden. Die geplante Ferienwoche habe ärztlich bescheinigt abgesagt werden müssen, was ihm bekannt gewesen sei. Er sei damit nicht berechtigt gewesen, das Treppenhaus zu betreten, um das Kind abzuholen. Er habe sich darüber hinweggesetzt. "Dabei war ihm klar, dass die Privatklägerin das nicht wollte" (Urteil S. 20 f.).
5.3. Eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung wird vom Beschwerdeführer nicht aufgezeigt. Die Beweiswürdigung erscheint denn auch keineswegs "schlechterdings unhaltbar" (oben E. 2). Das Gericht würdigt die Beweise frei nach seiner aus dem gesamten Verfahren gewonnenen Überzeugung (<ref-law>). Im Rahmen dieser tatsächlichen Gesamtbetrachtung überzeugt auch der Einwand des Beschwerdeführers nicht, die Schilderung der Kindsmutter mit dem zehnminütigen, lauten Klopfen sei falsch und die Geschichte mit dem Herzrasen wahrscheinlich frei erfunden (Beschwerde S. 4; vgl. u.a. Urteil S. 22 f.).
Massgebend ist einzig der rechtserhebliche Sachverhalt. Eine Diskussion von nicht entscheidwesentlichen Vorkommnissen oder Umständen kann ein Beweisergebnis nicht erschüttern. Es ist zunächst festzustellen, welche Tatsachen überhaupt rechtserheblich sind. Im Übrigen ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
5.4. Auf Antrag wird wegen Hausfriedensbruchs im Sinne von <ref-law> mit Freiheitsstrafe bis zu drei Jahren oder Geldstrafe bestraft, wer gegen den Willen des Berechtigten in ein Haus, in eine Wohnung, in einen abgeschlossenen Raum eines Hauses oder in einen unmittelbar zu einem Hause gehörenden umfriedeten Platz, Hof oder Garten oder in einen Werkplatz unrechtmässig eindringt oder, trotz der Aufforderung eines Berechtigten, sich zu entfernen, darin verweilt.
Die Strafnorm schützt das Hausrecht, d.h. die Befugnis, über einen bestimmten Raum ungestört zu herrschen und darin den eigenen Willen frei zu betätigen (<ref-ruling> E. 3; Urteil 6B_593/2019 vom 15. Januar 2020 E. 1.3.2); ANDREAS DONATSCH, in: Derselbe u.a., StGB/JStG, Kommentar, 20. Aufl. 2018, N. 1 zu <ref-law>). Mit dem Hausrecht wird neben der freien Willensbetätigung insbesondere die Privatsphäre des Hausrechtsinhabers geschützt. Das Unrecht des Hausfriedensbruchs liegt bereits im Eindringen der unerwünschten Person. Diese stört in akuter und andauernder Weise den Hausfrieden. Schon ihre blosse Anwesenheit hemmt die freie Betätigung des Berechtigten, sie stört die Atmosphäre im umfriedeten Raum (VERA DELNON/BERNHARD RÜDY, in: Basler Kommentar, Strafrecht II, 4. Aufl. 2019, NN. 5, 9 und 12 zu <ref-law>).
Nach der Rechtsprechung wird das "Eindringen" im Sinne des Gesetzes mit dem Betreten erfüllt (<ref-ruling> E. 2 S. 121 f. mit Hinweisen). Als "abgeschlossener Raum" ist auch der "umschlossene Raum" zu verstehen (Nachweise bei DONATSCH, a.a.O.). Es kommt demnach nicht darauf an, ob das Treppenhaus abgeschlossen war, und nicht entscheidend ist das "angebliche zehnminütige Klopfen an die Wohnungstüre der Kindsmutter, die offenbar Herzrasen bekam" (Beschwerde S. 4). Die "Verwerflichkeit des Handelns" (<ref-law>) ist für die Strafzumessung relevant. Wesentlich ist weiter, dass der Beschwerdeführer nach dem Entscheid der KESB nur innert der festgesetzten Besuchszeiten das Kind abholen durfte (Urteil S. 20). Aufgrund des ihm bekannten Arztzeugnisses war ein Abholen des Kindes an jenem 14. Juli 2018 ausgeschlossen. Er kann sich für sein Betreten an diesem Tag nicht auf sein Besuchsrecht berufen. Es nützt ihm auch nichts, das Arztzeugnis anzuzweifeln.
Der Wille der Privatklägerin kann sich auch konkludent oder aus den Umständen ergeben. Neben den oben erwähnten Tatsachen, die eine Berechtigung des Beschwerdeführers zum Betreten des Treppenhauses zur Wohnung der Privatklägerin ausschliessen, ist auf die Textnachrichten hinzuweisen. Es ist angesichts seines tatbestandsmässig "rüpelhaften Verhaltens und dreisten Auftretens" (oben E. 4) nicht zu bezweifeln, dass das unangemeldete ungestüme Anklopfen morgens um ca. 07.05 Uhr bei der Privatklägerin Herzrasen auslöste. Dieses Eindringen in die Privatsphäre der Privatklägerin lässt sich auch nicht zwecks Besuchs des kranken Kindes rechtfertigen, denn dazu hätte der Beschwerdeführer sich vorerst mit der Privatklägerin verständigen und ihre Einwilligung erlangen müssen. Es sind keine Anhaltspunkte dafür erkennbar, dass eine "stillschweigende Berechtigung für ihn existiert habe, das Treppenhaus zu betreten" (oben E. 4.1).
Da die Erfüllung des subjektiven Tatbestands nicht zu bestreiten ist, verletzt die Verurteilung wegen Hausfriedensbruchs kein Bundesrecht. Schliesslich verletzt die Vorinstanz mit der "moderaten" Erhöhung der Einsatzstrafe wegen des Hausfriedensbruchs (Urteil S. 22) ihr Strafzumessungsermessen offenkundig ebenfalls nicht.
6.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Das (sinngemässe) Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (und Verbeiständung) ist wegen Aussichtslosigkeit des Rechtsbegehrens abzuweisen (<ref-law>; Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 5.1 S. 139 f.; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135 f.). Praxisgemäss werden der unterliegenden Person bei Gesuchen um unentgeltliche Rechtspflege die Gerichtskosten herabgesetzt.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Januar 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Jacquemoud-Rossari
Der Gerichtsschreiber: Briw