Erwägungen:
1.
1.1. Die Eheleute A.A._ und B.A._ haben Wohnsitz in C._/BS. In ihrer Steuererklärung zur Steuerperiode 2015 deklarierten sie einen Verlust aus selbständiger Erwerbstätigkeit von Fr. 15'173.--. Die Steuerverwaltung des Kantons Basel-Stadt (KSTV/BS) würdigte die Beschäftigung als Liebhaberei und liess den Verlust daher nicht zu (Veranlagungsverfügungen vom 6. Juni 2019), was sie auf Einsprache hin bestätigte (Einspracheentscheide vom 11. September 2019). Dagegen gelangten die Steuerpflichtigen an die Steuerrekurskommission des Kantons Basel-Stadt, wobei sie beantragten, die deklarierten Verluste seien seit der Steuerperiode 2014 zum Abzug zuzulassen. Mit Entscheiden STRK.2019.131 / STRK.2019.132 vom 27. August 2020 wies die Steuerrekurskommission die Rechtsmittel ab, soweit darauf einzutreten war. Die Steuerrekurskommission hielt namentlich fest, dass der Steuerpflichtige in den Steuerperioden 2014 bis 2018 ausschliesslich Verluste erzielt habe.
1.2. In der Folge wandte der Steuerpflichtige sich am 12. November 2020 an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Dieses eröffnete die Verfahren VD.2020.227 und VD.2020.228, worauf es den Steuerpflichtigen mit Verfügung vom 19. November 2020 zu einem Kostenvorschuss von Fr. 1'800.-- bzw. Fr. 1'200.-- verpflichtete, zahlbar bis zum 21. Dezember 2020. Am 18. Dezember 2020 ersuchte der Steuerpflichtige um Genehmigung eines Zahlungsaufschubs bis zum 31. Januar 2021. Das Appellationsgericht erstreckte die beiden laufenden Fristen in der Folge bis zum 11. Januar 2021. Der Steuerpflichtige reagierte darauf am 7. Januar 2021 mit einem Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege. Das Appellationsgericht wies das Gesuch mit Entscheiden vom 11. Januar 2021 in den beiden Verfahren ab, was es damit begründete, dass die Rechtsmittel bei provisorischer und summarischer Beurteilung als aussichtslos erschienen.
1.3. Das Appellationsgericht erstreckte die Nachfrist zuletzt mit Verfügungen vom 20. Januar 2021 bis zum 11. Februar 2021. Gleichzeitig ordnete es an, falls der Steuerpflichtige dem Appellationsgericht bis am 11. Februar 2021 ein "Gesuch um eine weitere Fristerstreckung und einen Beweis für die Einreichung einer Beschwerde an das Bundesgericht gegen die Verfügung vom 11. Januar 2021" zustelle, werde die Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses bis zum Entscheid des Bundesgerichts erstreckt. Andernfalls sei die Nachfrist nicht mehr erstreckbar. Der Steuerpflichtige ersuchte das Appellationsgericht darauf mit Gesuch vom 21. Januar 2021 sinngemäss um Wiedererwägung der Verfügungen vom 11. Januar 2021. Das Appellationsgericht trat mit Verfügungen vom 25. Januar 2021 in den Verfahren VD.2020.227 und VD.2020.228 auf das Gesuch nicht ein. Es erwog, der Steuerpflichtige begründe sein Wiedererwägungsgesuch mit Ergänzungen und Konkretisierungen seiner Beschwerde bzw. seines Rekurses. Das Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege dürfe freilich nicht dazu benützt werden, um in der Sache neue Tatsachen vorzutragen.
1.4. Mit Eingabe vom 10. Februar 2021 erhebt der Steuerpflichtige beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er ersucht sinngemäss um Aufhebung des angefochtenen Entscheids und Zusprechung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege, eventualiter wohl um Begründung und Herabsetzung des Kostenvorschusses von Fr. 1'800.-- bzw. Fr. 1'200.--. Die Beschwerde scheint ausschliesslich gegen die Verfügungen vom 11. Januar 2021 gerichtet zu sein, nicht aber gegen die Verfügungen vom 25. Januar 2021.
2.
2.1. Die angefochtenen Verfügungen betreffen - wenn auch zu unterschiedlichen Steuerhoheiten - denselben Sachverhalt. Es stellen sich dieselben Rechtsfragen. Daher rechtfertigt es sich, die Angelegenheit in einem einzigen Urteil zu erledigen (vgl. <ref-law> [SR 173.110] in Verbindung mit <ref-law> [SR 273]; <ref-ruling> E. 1.2 S. 296).
2.2. Rein kantonales oder kommunales Recht überprüft das Bundesgericht, von hier nicht entscheidwesentlichen Ausnahmen abgesehen (Art. 95 lit. b-e BGG), nur daraufhin, ob dessen Auslegung und/oder Anwendung zur Verletzung von Bundesrecht führt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.1 S. 112 f.). Bei der Überprüfung stehen regelmässig die verfassungsmässigen Individualrechte im Vordergrund (<ref-ruling> E. 3.1.3 S. 14), insbesondere die Verletzung des allgemeinen Willkürverbots (<ref-law>).
2.3. Im Unterschied zum Bundesgesetzesrecht geht das Bundesgericht der Verletzung verfassungsmässiger Individualrechte (einschliesslich der Grundrechte) und des rein kantonalen und kommunalen Rechts nur nach, falls und soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit gemäss <ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 305). Die beschwerdeführende Person hat daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, dass und inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3 S. 65; <ref-ruling> E. 2.1 S. 118).
2.4. Der Steuerpflichtige kritisiert in seiner Beschwerde hauptsächlich den Umstand, dass seine Tätigkeit von den kantonalen Behörden als Liebhaberei bezeichnet werde. Er bemängelt das fehlende Verständnis der Behörden für seine Arbeit und verweist auf die Sichtweise der Ausgleichskasse, die - nach vertiefter, zweimaliger Abklärung - zum Ergebnis gelangt sei, es liege selbständige Erwerbstätigkeit vor. Weiter macht er auf angebliche formale Fehler und widersprüchliche Aussagen aufmerksam. Schliesslich bringt der Steuerpflichtige vor, die streitigen Gerichtskostenvorschüsse seien "nicht nachvollziehbar". Streitgegenstand im vorliegenden Verfahren ist, ob die Vorinstanz verfassungsrechtlich haltbar zum Ergebnis gelangt sei, bei vorläufiger und summarischer Prüfung erweise die Beschwerde sich als aussichtslos, weshalb die unentgeltliche Rechtspflege nicht infrage komme (erster Schritt) bzw. ob die angesetzten Kostenvorschüsse haltbar seien (zweiter Schritt). Auf den so eingegrenzten Streitgegenstand geht der Steuerpflichtige nur beiläufig ein, wobei er ausnahmslos rein appellatorische Kritik äussert, insbesondere auch zur Höhe der angesetzten Gerichtskostenvorschüsse. Selbst unter Berücksichtigung dessen, dass eine Laienbeschwerde vorliegt, weswegen die formellen Anforderungen praxisgemäss niedriger angesetzt werden (Urteil 2C_1053/2020 vom 22. Dezember 2020 E. 2.3.2), unterbleibt jede zumindest beiläufige Auseinandersetzung mit der Verfassungsfrage. Den gesetzlichen Anforderungen genügt dies nicht.
2.5. Die Beschwerde enthält damit offenkundig keine hinreichende Begründung. Es ist darauf nicht einzutreten, was durch einzelrichterlichen Entscheid des Abteilungspräsidenten als Instruktionsrichter (<ref-law>) im vereinfachten Verfahren zu geschehen hat (<ref-law>).
3.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der unterliegenden Partei aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Es ist mit Blick auf den Sachzusammenhang anzunehmen, dass der Steuerpflichtige auch für das bundesgerichtliche Verfahren ein Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege (<ref-law> bzw. Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG) erheben will. Der in der Hauptsache gestellte Antrag erweist sich als aussichtslos, weshalb das Gesuch abzuweisen ist. Praxisgemäss werden die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens aber reduziert, wenn erst zusammen mit dem Endentscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege entschieden wird. Dem Kanton Basel-Stadt, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Entschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde hinsichtlich der direkten Bundessteuer, Steuerperiode 2015, unentgeltliche Rechtspflege, wird nicht eingetreten.
2.
Auf die Beschwerde hinsichtlich der Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Basel-Landschaft, Steuerperiode 2015, unentgeltliche Rechtspflege, wird nicht eingetreten.
3.
Das für das bundesgerichtliche Verfahren gestellte Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Die reduzierten Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht Basel-Stadt und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Februar 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher