Faits :
A.
A.a. A.X._, ressortissante sri lankaise née en 1957, est entrée en Suisse avec sa fille le 16 août 1992 et y a déposé une demande d'asile, qui a été rejetée définitivement le 1 er juin 1995. Revenue en Suisse le 5 janvier 2003, avec sa fille et son fils, B.X._, né en 1997, A.X._ a été mise au bénéfice d'une autorisation de séjour par regroupement familial avec son époux, titulaire d'une autorisation pour cas de rigueur. Le couple X._ a vécu séparé à partir du mois d'août 2008. Le divorce a été prononcé le 3 mars 2015.
A.b. A.X._ ne s'est pas intégrée sur le marché de l'emploi et a eu recours à l'aide sociale. En mars 2016, sa dette sociale s'élevait à 224'088 fr. 05, montant comprenant 43'565 fr. 90 de mesure d'insertion sociale et 155'069 fr. 80 d'aide allouée pendant le mariage, et, au 1 er mai 2017, à 262'176 fr. 95, dont 45'085 fr. 90 de mesure d'insertion sociale.
A.X._ a déposé une demande de rente d'assurance invalidité (ci-après: AI), qui a été rejetée par décision du 9 septembre 2008. L'Office AI a retenu un taux d'invalidité limité à 20% et a accordé à l'intéressée la prise en charge d'un stage de préparation à une activité professionnelle en tant qu'aide de cuisine à mi-temps, du 21 décembre 2015 au 20 mars 2016. Ce stage n'a pas abouti à un emploi. A.X._ vit depuis avril 2017 chez sa fille, naturalisée suisse.
B.
B.a. Depuis la séparation d'avec son époux, A.X._ a demandé et obtenu la prolongation de son autorisation de séjour d'année en année. Le Service de la population et des migrants du canton de Fribourg (ci-après: le Service cantonal) l'a toutefois avertie à plusieurs reprises, notamment en 2009, 2010, 2012 et 2015 qu'elle devait améliorer sa situation financière. En 2016, par courrier du 26 avril, le Service cantonal a informé A.X._ qu'il était favorable à l'octroi d'une autorisation de séjour en sa faveur pour raisons personnelles majeures après la dissolution du mariage (cf. <ref-law>). Le 30 mai 2016 (cf. <ref-law>), il a délivré à l'intéressée une autorisation de séjour valable jusqu'au 1 er mars 2017.
B.b. Début 2017, A.X._ a sollicité la prolongation annuelle de son autorisation de séjour, ce que le Service cantonal a refusé par décision du 19 juin 2017. Contre ce prononcé, A.X._ a formé un recours auprès de la Ie Cour administrative du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg (ci-après: le Tribunal cantonal), qui l'a rejeté par arrêt du 20 décembre 2017. En substance, les juges cantonaux ont retenu que la dépendance de A.X._ à l'aide sociale justifiait le refus de prolonger son autorisation de séjour et que cette décision respectait le principe de proportionnalité.
B.c. Par arrêt du même jour, le Tribunal cantonal a par ailleurs rejeté le recours formé par le fils de A.X._ contre la décision du 8 novembre 2016 du Service cantonal révoquant l'autorisation de séjour de l'intéressé et prononçant son renvoi de Suisse.
C.
C.a. Contre l'arrêt du 20 décembre 2017 la concernant, A.X._ forme un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral. Elle conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt querellé et, principalement, au renvoi de la cause au Service cantonal pour nouvel examen, subsidiairement au renvoi de la cause au Tribunal cantonal dans le même but, plus subsidiairement à la prolongation de son autorisation de séjour, plus subsidiairement encore à ce qu'elle soit mise au bénéfice d'une admission provisoire, respectivement à ce qu'il soit demandé au Secrétariat d'Etat aux migrations une telle admission. Elle sollicite en outre l'effet suspensif et l'octroi de l'assistance judiciaire.
L'effet suspensif a été accordé au recours par ordonnance présidentielle du 16 février 2018. Par courrier du 19 février 2018, le Tribunal fédéral a renoncé provisoirement à exiger une avance de frais et informé la recourante qu'il serait statué ultérieurement sur sa requête d'assistance judiciaire.
Le Service cantonal ne formule pas de remarques particulières et se réfère aux considérants de l'arrêt entrepris. Le Tribunal cantonal renvoie aux considérants de son arrêt et conclut au rejet du recours. Le Secrétariat d'Etat aux migrations n'a pas déposé d'observations.
C.b. En parallèle, le fils de A.X._ a formé un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 20 décembre 2017 du Tribunal cantonal le concernant. Cette procédure fait l'objet de l'arrêt 2C_125/2018.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 116).
1.1. La recourante a déposé un mémoire de recours en allemand alors que l'arrêt entrepris a été rendu en français, ce qui est admissible (<ref-law>; arrêt 2C_793/2016 du 10 février 2017 consid. 1). Dans la mesure où il n'y a aucun motif de s'écarter en l'espèce de la règle générale de l'<ref-law> selon laquelle la procédure devant le Tribunal fédéral est conduite dans la langue de la décision attaquée, la présente décision est toutefois rendue en français, langue de l'arrêt du Tribunal cantonal du 20 décembre 2017 (cf. arrêt 2C_45/2011 du 3 octobre 2011 consid. 2, non publié in <ref-ruling>).
1.2. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
1.2.1. L'autorisation de séjour de la recourante est échue depuis le 1 er mars 2017 et la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20) ne confère pas à l'intéressée de droit à son renouvellement, ce qui n'est pas contesté.
1.2.2. Le droit à la protection de la bonne foi (art. 9 Cst.), invoqué par la recourante, n'est pas non plus susceptible de lui conférer un droit à la prolongation de son autorisation de séjour. En effet, le fait que la recourante se soit vue délivrer une autorisation de séjour en 2016, après que le Service cantonal l'avait informée qu'il y était favorable pour des raisons personnelles majeures, ne crée pas un lien de confiance légitime relatif à la garantie son renouvellement en 2017 (cf. <ref-ruling> consid. 3b p. 387; arrêts 2C_840/2014 du 4 mars 2015 consid. 5.1; 2C_184/2014 du 4 décembre 2014 consid. 4.3; 2C_1119/2012 du 4 juillet 2013 consid. 4.4; 2C_40/2012 du 15 octobre 2012 consid. 5). En revanche, la délivrance d'une autorisation en 2016 pour raisons personnelles majeures peut comporter des éléments pertinents en lien avec la proportionnalité du refus de renouveler l'autorisation en 2017, comme il sera vu ci-après (cf. infra consid. 4).
1.2.3. La recourante se prévaut également d'un droit à une autorisation de séjour fondé sur l'art. 8 CEDH et l'art. 13 Cst., qui garantissent la protection de la vie familiale et privée.
La recourante ne peut pas se prévaloir de l'art. 8 CEDH sous l'angle de la protection de la vie familiale en invoquant la relation avec ses enfants, dès lors que ceux-ci sont majeurs et qu'il ne ressort pas de l'arrêt entrepris qu'elle entretiendrait avec eux une relation susceptible de relever de l'art. 8 CEDH en raison d'un lien de dépendance particulier (cf., sur la notion de vie familiale entre parents et enfants majeurs, <ref-ruling> consid. 6.1 p. 12 s.; arrêt 2C_876/2018 du 5 octobre 2018 consid. 2). Le fait que la recourante vive chez sa fille depuis 2017 n'est pas suffisant pour retenir le contraire.
En revanche, il y a lieu d'admettre que la recourante se prévaut de manière défendable d'un droit à la prolongation de son autorisation de séjour fondé sur le droit au respect de la vie privée garanti par l'art. 8 CEDH. En effet, la recourante réside légalement en Suisse depuis plus de dix ans. Or, selon la jurisprudence récente du Tribunal fédéral, en cas de séjour légal de plus de dix ans, il y a lieu de partir de l'idée que les liens sociaux que l'étranger a développés avec le pays dans lequel il réside sont suffisamment étroits pour que le refus de prolonger ou la révocation de l'autorisation de rester en Suisse ne puissent être prononcés qu'en présence de motifs sérieux ( arrêts 2C_105/2017 du 8 mai 2018 consid. 3 destiné à la publication; 2C_535/2018 du 10 septembre 2018 consid. 4.1). Le recours échappe partant à la clause d'irrecevabilité de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, étant précisé que le point de savoir si l'art. 8 CEDH est en l'espèce de nature à justifier le renouvellement du titre de séjour relève de l'examen au fond et non de la recevabilité (cf. arrêts 2C_876/2018 du 5 octobre 2018 consid. 2; 2C_757/2018 du 18 septembre 2018 consid. 3; 2C_441/2018 du 17 septembre 2018 consid. 1.3.2; 2C_459/2018 du 17 septembre 2018 consid. 1.1).
Comme la voie du recours en matière de droit public est ouverte, le recours constitutionnel subsidiaire formé par la recourante est irrecevable (cf. <ref-law> a contrario).
1.3. Pour le surplus, l'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). Déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites (<ref-law>) par la destinataire de l'arrêt attaqué qui a qualité pour recourir au sens de l'<ref-law>, le présent recours est en principe recevable, sous les réserves qui suivent.
1.4. La conclusion de la recourante tendant à l'octroi d'une admission provisoire, respectivement à ce qu'une telle admission soit demandée au Secrétariat d'Etat aux migrations, est, en vertu de l'art. 83 let. c ch. 3 LTF, irrecevable (cf. arrêt 2C_908/2018 du 11 octobre 2018 consid. 2.3). Elle dépasse de toute façon l'objet de la présente procédure, qui porte sur le renouvellement de l'autorisation de séjour par les autorités cantonales, alors que l'admission provisoire relève de la compétence du Secrétariat d'Etat aux migrations (art. 83 al. 1 LEtr; cf. arrêt 2D_10/2018 du 16 mai 2018 consid. 1.3).
1.5. Les critiques de la recourante portant sur son renvoi sont également inadmissibles dans le cadre du recours en matière de droit public (cf. art. 83 let. c ch. 4 LTF).
2.
2.1. En vertu de l'<ref-law>, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente.
2.2. La recourante a produit avec son recours un rapport de l'Organisation suisse pour les réfugiés intitulé "accès au médicament Humira (Adalimumab), à l'imagerie par résonance magnétique (IRM) et à la cappillaroscopie" du 6 mai 2016. Cette pièce nouvelle est irrecevable, étant relevé qu'on ne voit pas ce qui empêchait la recourante de la produire devant le Tribunal cantonal si elle jugeait ce document pertinent.
3.
3.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral contrôle librement le respect du droit fédéral, qui comprend les droits de nature constitutionnelle (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'<ref-law>. Aux termes de cet alinéa, le Tribunal fédéral n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par la partie recourante, à savoir exposé de manière claire et détaillée (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 41).
3.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que ceux-ci n'aient été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>).
4.
La recourante invoque une violation de l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.) en raison d'une constatation lacunaire des faits et/ou contraire aux éléments figurant au dossier sur plusieurs points. Elle reproche notamment au Tribunal cantonal de ne pas avoir rendu compte de manière complète de l'historique relatif aux autorisations de séjour qui lui ont été accordées, en relevant en particulier qu'une autorisation de séjour pour cas de rigueur lui a été octroyée en 2016 par le Service cantonal, en connaissance de cause de sa situation de dépendance à l'aide sociale. La recourante fait aussi grief au Tribunal cantonal d'avoir établi de manière lacunaire et manifestement inexacte les faits pertinents relatifs aux circonstances de sa séparation d'avec son ex-époux, alcoolique et violent, ainsi que, de manière générale, ceux relatifs à sa situation professionnelle et personnelle.
4.1. Selon l'<ref-law>, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-ruling> consid. 6 p. 358; <ref-ruling> consid. 1.6 p. 377). La partie recourante doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (cf. <ref-law>). Lorsque la partie recourante s'en prend à l'appréciation des preuves et à l'établissement des faits, la décision n'est arbitraire que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a procédé à des déductions insoutenables (cf. <ref-ruling> consid. 6.3 p. 375; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 266; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560).
4.2. En l'occurrence, il résulte effectivement du dossier qu'en avril 2016, à la suite de la demande annuelle de prolongation d'autorisation de séjour formulée par la recourante, le Service cantonal a indiqué à l'intéressée être prêt à lui délivrer une autorisation de séjour en application de l'art. 77 al. 1 let. b de l'ordonnance du 24 octobre 2007 relative à l'admission, au séjour et à l'exercice d'une activité lucrative (OASA; RS 142.201). Cette disposition prévoit la possibilité de prolonger l'autorisation de séjour octroyée au conjoint et aux enfants au titre du regroupement familial selon l'art. 44 LEtr (regroupement familial avec le titulaire d'une autorisation de séjour) après la dissolution du mariage ou de la famille si la poursuite du séjour en Suisse s'impose pour des raisons personnelles majeures. Le Service cantonal a précisé que le titre de séjour ne pourrait être établi que lorsque le Secrétariat d'Etat aux migrations aurait donné son approbation. Le dossier ne contient pas la confirmation de cette approbation par le Secrétariat d'Etat aux migrations. En date du 30 mai 2016, le Service cantonal a délivré à la recourante un titre de séjour, valable jusqu'au 1 er mars 2017.
L'arrêt entrepris ne fait pas état de ce déroulement des faits et des circonstances entourant l'octroi en 2016 d'une autorisation de séjour pour cas de rigueur à la recourante. Le présent litige ne concerne pas directement cette autorisation, mais porte sur le refus de renouveler en 2017 le titre de séjour de la recourante valable en 2016. Les faits relatifs à l'octroi d'une autorisation de séjour en 2016 ne sont donc a priori pas déterminants (cf. également supra consid. 1.2.2). Cela étant, il convient de relever en l'espèce que le refus opposé par le Service cantonal en 2017 et confirmé par le Tribunal cantonal a été motivé par la dépendance durable à l'aide sociale de l'intéressée, ainsi que par le fait que celle-ci avait été avertie à plusieurs reprises par le Service cantonal de ce qu'elle devait améliorer sa situation financière. Or, selon les faits de l'arrêt entrepris, la dette sociale de la recourante s'élevait à environ 224'000 fr. en mars 2016. La dépendance à l'aide sociale était donc déjà importante au moment de la délivrance du titre de séjour en mai 2016. Par ailleurs, cette autorisation a été accordée alors même que la recourante avait reçu un avertissement en 2015 et sans que l'arrêt entrepris ne fasse état d'un changement de la situation entre 2015 et 2016. La similarité apparente des circonstances en 2016 et 2017 requiert des précisions concernant l'octroi de l'autorisation pour cas de rigueur en 2016, ainsi qu'au sujet de la situation professionnelle et personnelle de la recourante en 2016, puis en 2017, pour comprendre le refus qui lui a été opposé en 2017 et qui fait l'objet du présent litige.
4.3. L'arrêt entrepris est, de manière générale, extrêmement succinct au regard du dossier en ce qui concerne la situation personnelle et professionnelle de la recourante depuis qu'elle séjourne en Suisse. Il n'est ainsi nullement fait mention des faits allégués par la recourante relatifs à la violence domestique subie pendant le mariage et à l'alcoolisme de son ex-conjoint. S'agissant de l'intégration professionnelle, le Tribunal cantonal a émis des doutes quant à la réalité des efforts d'intégration de la recourante, sans prendre position cependant sur les pièces figurant au dossier attestant de recherches d'emploi. S'agissant de l'intégration sociale, le Tribunal cantonal a retenu qu'il était regrettable que la recourante ait attendu la procédure de renvoi pour améliorer ses connaissances linguistiques; ce constat ne permet toutefois pas de déterminer quel est le degré de maîtrise d'une langue nationale par la recourante. L'arrêt entrepris ne contient au surplus aucune information concernant les dettes autres que la dette sociale, les rapports de la recourante avec les autorités ou encore ses liens sociaux en Suisse hormis ses enfants.
4.4. Dans ces conditions, il n'est pas possible de se prononcer sur le caractère proportionné (art. 96 LEtr; art. 8 par. 2 CEDH) du refus de renouveler l'autorisation de séjour de la recourante en 2017, alors qu'en 2016 il existait apparemment des raisons personnelles majeures justifiant l'octroi d'un titre de séjour pour cas de rigueur nonobstant la situation financière de l'intéressée et, qu'apparemment également, le Secrétariat d'Etat aux migrations a approuvé l'octroi d'un tel titre de séjour (cf. art. 86 al. 5 OASA). Dans le cas d'espèce, il importe de connaître les circonstances ayant conduit à l'octroi de l'autorisation pour raisons personnelles majeures en 2016, ainsi que de disposer d'informations complètes sur la différence de situation entre 2016 et 2017. En outre, il est nécessaire de disposer d'éléments de fait plus précis et détaillés sur la situation personnelle et professionnelle de la recourante en Suisse. Ce n'est en effet qu'à la lumière de ces informations que la balance des intérêts publics et privés en présence effectuée par le Tribunal cantonal pourra être comprise et vérifiée. Il convient donc d'admettre la critique de la recourante tirée d'un établissement des faits lacunaire, ce qui implique d'annuler l'arrêt attaqué et de retourner la cause au Tribunal cantonal pour qu'il complète l'état de fait et procède à une nouvelle pesée des intérêts, en intégrant les éléments précités.
4.5. Il convient d'ajouter que le renvoi à l'autorité précédente s'impose également eu égard à l'issue devant le Tribunal fédéral de la procédure 2C_125/2018 relative au fils de la recourante, à savoir l'admission du recours et le renvoi de la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle décision. En effet, dans la présente cause, le Tribunal cantonal a mentionné dans le cadre du contrôle de proportionnalité que le fils de la recourante était renvoyé au Sri Lanka et en a déduit que celle-ci pourrait reconstruire une vie familiale dans ce pays avec lui. Or, compte tenu de l'arrêt 2C_125/2018, ce point n'est, à ce stade, pas établi.
5.
Sur le vu de ce qui précède, il n'est plus nécessaire d'examiner les autres griefs formulés par la recourante.
6.
En définitive, le recours en matière de droit public doit être admis, dans la mesure où il est recevable, et l'arrêt du Tribunal cantonal du 20 décembre 2017 annulé. La cause est renvoyée à cette autorité pour instruction complémentaire des faits et nouvelle décision dans le sens des considérants (cf. <ref-law>).
Il n'est pas perçu de frais judiciaires (art. 66 al. 1 et 4 LTF). La recourante, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'une mandataire professionnelle, a droit à des dépens, à la charge du canton de Fribourg (<ref-law>). Cela rend la demande d'assistance judiciaire sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2.
Le recours en matière de droit public est admis, dans la mesure où il est recevable. L'arrêt du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg du 20 décembre 2017 est annulé. La cause est renvoyée à cette autorité, pour qu'elle procède dans le sens des considérants.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le canton de Fribourg versera la somme de 2'000 fr. à la recourante, à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
5.
Le présent arrêt est communiqué à la mandataire de la recourante, au Service de la population et des migrants et au Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg, Ie Cour administrative, ainsi qu'au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 21 décembre 2018
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Kleber