Sachverhalt:
A.
A._ wurde am 19. Juni 2018 verhaftet und mit Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts des Bezirks Zürich vom 21. Juni 2018 in Untersuchungshaft versetzt. Die Untersuchungshaft wurde in der Folge mehrmals verlängert. Eine dagegen gerichtete Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil 1B_480/2018 vom 1. November 2018 ab, soweit es darauf eintrat.
Mit Urteil vom 19. März 2019 erkannte ihn das Bezirksgericht Zürich unter anderem des Verbrechens gegen das Betäubungsmittelgesetz für schuldig. Es widerrief eine 2016 bedingt ausgefällte Freiheitsstrafe von 14 Monaten und verurteilte ihn zu einer Gesamtstrafe von 45 Monaten Freiheitsstrafe sowie einer Busse. Zudem verwies es ihn für 7 Jahre des Landes. Mit Beschluss gleichen Datums verlängerte es die Sicherheitshaft. A._ erhob gegen das Urteil Berufung.
Mit Präsidialverfügung vom 17. Juni 2019 verlängerte das Obergericht des Kantons Zürich die Sicherheitshaft bis zum Zeitpunkt der Fällung des Berufungsurteils.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 20. Juni 2019 beantragt A._ dem Bundesgericht die sofortige Haftentlassung.
Das Obergericht und die Staatsanwaltschaft haben auf eine Stellungnahme verzichtet.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid betrifft die Verlängerung der Sicherheitshaft (<ref-law>). Dagegen ist die Beschwerde in Strafsachen nach <ref-law> gegeben. Der Beschwerdeführer nahm vor der Vorinstanz am Verfahren teil und befindet sich nach wie vor in Haft. Er ist deshalb nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt.
2.
Nach <ref-law> sind Untersuchungs- und Sicherheitshaft unter anderem zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist und ernsthaft zu befürchten ist, dass sie sich durch Flucht dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion entzieht (Abs. 1 lit. a). An ihrer Stelle sind Ersatzmassnahmen anzuordnen, wenn sie den gleichen Zweck wie die Haft erfüllen (Art. 212 Abs. 2 lit. c und Art. 237 ff. StPO).
3.
Der Beschwerdeführer bestreitet das Vorliegen eines dringenden Tatverdachts nicht grundsätzlich. Er kritisiert jedoch, es sei falsch, von einem qualifizierten Fall gemäss <ref-law> (SR 812.121) auszugehen. Er verweist auf seine Berufungsbegründung und ergänzt, eine detailliertere Begründung werde anlässlich der Hauptverhandlung erfolgen. Nach ständiger bundesgerichtlicher Rechtsprechung gilt der dringende Tatverdacht bei einer erstinstanzlichen Verurteilung allerdings grundsätzlich ohne Weiteres als erstellt und kann nicht mit einer pauschalen Kritik in Zweifel gezogen werden, wie der Beschwerdeführer dies tut (Urteil 1B_176/2018 vom 2. Mai 2018 E. 3.2 mit Hinweisen).
4.
Mit der Frage der Fluchtgefahr hat sich das Bundesgericht bereits im Urteil 1B_480/2018 vom 1. November 2018 eingehend befasst. Die mittlerweile erfolgte erstinstanzliche Verurteilung des Beschwerdeführers bestätigt die dortigen Erwägungen. Darauf kann verwiesen werden (a.a.O., E. 4). Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was eine abweichende Einschätzung rechtfertigen würde.
5.
Gemäss <ref-law> und Art. 5 Ziff. 3 EMRK hat eine in strafprozessualer Haft gehaltene Person Anspruch darauf, innerhalb einer angemessenen Frist richterlich abgeurteilt oder während des Strafverfahrens aus der Haft entlassen zu werden. Eine übermässige Haftdauer stellt eine unverhältnismässige Beschränkung dieses Grundrechts dar. Nach <ref-law> dürfen deshalb Untersuchungs- und Sicherheitshaft nicht länger dauern als die zu erwartende Freiheitsstrafe (vgl. im Einzelnen <ref-ruling> E. 3.1 S. 180 f. mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, es liege Überhaft vor. Soweit er zur Begründung vorbringt, er sei zu Unrecht wegen eines qualifizierten Falls gemäss <ref-law> verurteilt worden, ist auf die Ausführungen unter E. 3 hiervor zu verweisen. Weiter beruft er sich auf die Möglichkeit der bedingten Entlassung aus dem Strafvollzug. Eine solche ist indessen gemäss ständiger Rechtsprechung im Grundsatz nicht zu berücksichtigen und gestützt auf die Akten besteht kein Anlass, von diesem Grundsatz vorliegend ausnahmsweise abzuweichen (vgl. <ref-ruling> E. 3.4 S. 182 mit Hinweisen). Schliesslich trifft auch die Behauptung nicht zu, ein in strafprozessualer Haft verbrachter Tag zähle wegen der stärkeren Einschränkung der persönlichen Freiheit dreimal soviel wie ein Tag im Strafvollzug. Sie widerspricht <ref-law>. Überhaft liegt somit angesichts der erstinstanzlich ausgefällten Freiheitsstrafe von 45 Monaten eindeutig nicht vor.
6.
Die weiteren Ausführungen in der Beschwerde lassen den angefochtenen Entscheid ebenfalls nicht als bundesrechtswidrig erscheinen. Soweit der Beschwerdeführer eine Verletzung des Beschleunigungsgebots rügt (<ref-law>), ist die Beschwerde unzureichend begründet (<ref-law>). Nicht weiter einzugehen ist auch auf die Kritik an der angeblich mangelhaften medizinischen Versorgung in der Haftanstalt. Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, das Anstaltspersonal jemals auf seine angeblichen Leiden aufmerksam gemacht zu haben, sondern räumt vielmehr selbst ein, sich niemals beschwert zu haben.
7.
Die Beschwerde ist somit abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig. Seiner finanziellen Lage ist durch reduzierte Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>; vgl. Urteil 1B_480/2018 vom 1. November 2018 E. 7).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Strafkammer, und Eugen Fritschi schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Juli 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Dold