Faits :
A.
A.a. Au décès de leur père, B._ et ses trois soeurs ont hérité d'un certain nombre d'actions des sociétés C._ SA, D._ SA et E._ SA. Par la suite, une personne a fait part aux soeurs de B._ de son intention de racheter les actions en question. Le 4 mars 2016, celles-ci ont informé leur frère de leur volonté commune d'accepter ladite offre et lui ont imparti un délai au 4 mai 2016 pour donner son accord.
La fratrie s'est réunie le 14 avril 2016 à X._ pour discuter du sort qui devait être réservé aux actions précitées. F._, G._ et H._, avocats fiscalistes, ainsi que I._, le mari d'une des soeurs de B._, ont également participé à la réunion. A l'insu des autres personnes présentes, B._ a enregistré toute la séance.
A.b. A._ exerce la profession d'avocat à X._. Après la réunion du 14 avril 2016, il a assumé la défense des intérêts de B._. Le 10 août 2016, celui-ci, représenté par son avocat, a déposé une requête de mesures provisionnelles et superprovisionnelles auprès du Tribunal civil de première instance du canton de Genève (ci-après: le Tribunal civil) visant à interdire à ses soeurs de céder à tout tiers les actions dont elles avaient hérité. A l'appui de sa requête, il a produit l'enregistrement qu'il avait effectué le 14 avril 2016, "dans le but de rendre vraisemblable son droit de priorité ou de préemption sur les actions de ses soeurs".
Le 22 août 2016, A._, à qui l'avocat des soeurs de B._ avait demandé de retirer l'enregistrement du dossier déposé auprès du Tribunal civil, a refusé de donner suite à cette requête, en relevant qu'il appartenait à cette autorité de déterminer si la pièce en question était recevable.
A.c. Par ordonnance du 3 octobre 2016, le Tribunal civil, en considérant qu'il n'existait pas en l'espèce d'intérêt prépondérant justifiant l'utilisation d'une preuve obtenue de manière illicite et que celle-ci n'apparaissait de toute façon pas apte à influer sur l'issue de la cause, a écarté l'enregistrement du dossier.
Par arrêt du 10 février 2017, la chambre civile de la Cour de justice (ci-après: la chambre civile) a rejeté l'appel formé par B._ contre l'ordonnance du 3 octobre 2016. Cette autorité a retenu que la manifestation de la vérité relative à des prétentions de nature patrimoniale ne devait pas prendre le pas sur le respect de l'<ref-law>, de sorte que l'enregistrement effectué par l'intéressé à l'insu des autres participants à la réunion du 14 avril 2016 ne pouvait pas être pris en considération.
B.
Par décision du 10 avril 2017, la Commission du barreau du canton de Genève (ci-après: la Commission du barreau) a prononcé un avertissement à l'encontre de A._. Elle a considéré que l'intéressé, qui avait sciemment produit en justice l'enregistrement (dont il connaissait le caractère illicite) d'une réunion confidentielle visant à trouver une solution transactionnelle entre son client et les soeurs de celui-ci, avait commis un manquement grave à son obligation d'exercer sa profession avec soin et diligence et avait dès lors violé l'<ref-law>.
Saisie d'un recours contre la décision de la Commission du barreau, la Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) l'a rejeté le 17 octobre 2017. Les juges cantonaux ont constaté, en substance, que la réunion du 14 avril 2016 avait pour but de trouver un accord au sujet de la vente des actions dont B._ et ses soeurs avaient hérité, de sorte que la production en justice, par A._, de l'enregistrement de ces discussions transactionnelles et confidentielles constituait une violation de l'<ref-law>. L'autorité cantonale a aussi relevé que les propos échangés lors de la rencontre du 14 avril 2016 étaient de toute façon couverts par le secret professionnel des avocats qui avaient assisté à la réunion et que, pour cette raison également, en produisant auprès du Tribunal civil l'enregistrement effectué par son client, A._ avait violé l'<ref-law>. La Cour de justice a enfin considéré que, en agissant de la sorte, l'avocat avait aussi manqué à son devoir de diligence au sens de l'<ref-law>, car il avait exposé B._ à l'éventualité d'une poursuite pénale fondée sur l'<ref-law>, alors qu'il était manifeste que le Tribunal civil allait écarter l'enregistrement du dossier.
C.
A l'encontre de l'arrêt du 17 octobre 2017, A._ dépose un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral. Il demande à la Cour de céans, sous suite de dépens, d'annuler l'arrêt entrepris et de constater qu'il n'a pas violé l'<ref-law>. Subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
La Commission du barreau se réfère à sa décision du 10 avril 2017. La Cour de justice renonce à transmettre des observations et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours portés devant lui (<ref-ruling> consid. 2 p. 59).
1.1. Le présent litige concerne une sanction disciplinaire infligée à un avocat sur la base de la loi fédérale du 23 juin 2000 sur la libre circulation des avocats (LLCA; RS 935.61), qui relève du droit public au sens de l'<ref-law>. Le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause ne tombant pas sous le coup de l'une des exceptions prévues à l'<ref-law>. La voie du recours en matière de droit public est partant ouverte. Au surplus, le recours a été déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes requises (<ref-law>) par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a qualité pour recourir au sens de l'<ref-law>. Il est par conséquent recevable, sous réserve de ce qui suit.
1.2. Selon un principe général de procédure, les conclusions en constatation de droit ne sont recevables que lorsque des conclusions condamnatoires ou formatrices sont exclues. Sauf situations particulières, les conclusions constatatoires ont donc un caractère subsidiaire (<ref-ruling> consid. 1.7 p. 123; arrêts 2C_543/2017 du 1er février 2018 consid. 1.3 et 2C_1060/2016 du 13 juin 2017 consid. 1.2). Dans la mesure où le recourant conclut, parallèlement à l'annulation de l'arrêt de la Cour de justice du 17 octobre 2017 et au renvoi de la cause à l'autorité précédente, à ce qu'il soit dit et constaté que "M. A._ n'a pas violé l'<ref-law>", il formule une conclusion "préparatoire" puisqu'elle constitue une condition de mise en oeuvre de l'article en question. Une telle conclusion constatatoire est irrecevable (cf. arrêts 2C_543/2017 du 1er février 2018 consid. 1.3 et 2C_32/2016 du 24 novembre 2016 consid. 2.1).
1.3. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
En l'occurrence, l'intéressé a joint à son recours une clé USB contenant l'enregistrement effectué par son client de la réunion du 14 avril 2016. Cette pièce, antérieure au prononcé de l'arrêt querellé et qui ne résulte pas de la décision de l'autorité précédente (cf. pour ce cas MEYER/DORMANN, in NIGGLI/UEBERSAX/WIPRÄCHTIGER [éd.], Basler Kommentar - Bundesgerichtsgesetz, 2e éd., 2011, n. 44 ss ad <ref-law> p. 1320 s.), n'apparaît pas au dossier cantonal. Le Tribunal fédéral n'a partant pas à la prendre en considération (cf. arrêts 2C_730/2017 du 4 avril 2018 consid. 2.2 et 2C_148/2016 du 25 août 2017 consid. 4.2). En effet, le recourant se réfère à l'enregistrement en question mais ne prétend pas, ni a fortiori ne démontre, que la Cour de justice aurait arbitrairement refusé d'administrer ce moyen de preuve (notamment en ordonnant la production du dossier du Tribunal civil) et d'en tenir compte dans l'établissement des faits pertinents.
2.
Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Selon l'<ref-law>, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-ruling> consid. 6 p. 358; <ref-ruling> consid. 1.6 p. 377 s.). Conformément à l'<ref-law>, la partie recourante doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; arrêt 2C_157/2018 du 28 mai 2018 consid. 2).
3.
Le recourant se plaint d'une constatation insoutenable des faits au sujet de la nature de la réunion du 14 avril 2016. Il soutient que celle-ci avait eu lieu en dehors de tout différend. De l'avis de l'intéressé, la Cour de justice, en retenant que la rencontre en question visait à trouver un accord entre les parties, serait donc tombée dans l'arbitraire.
3.1. S'agissant de l'appréciation des preuves et des constatations de fait, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266).
3.2. Le recourant fonde sa critique relative à l'établissement manifestement inexact des faits sur le contenu de l'enregistrement de la rencontre du 14 avril 2016, qu'il a joint à son recours. A son sens, il ressortirait très clairement de cette pièce que la réunion était une simple "séance d'information" (recours, p. 6). Dans la mesure où ladite pièce - nouvelle - ne peut toutefois être prise en considération (<ref-law>; cf. supra consid. 1.3), l'intéressé ne peut rien en déduire.
Pour le reste, l'arrêt attaqué retient que la réunion avait été organisée après que B._ avait été informé par ses soeurs, le 4 mars 2016, de leur volonté commune de vendre les actions qu'elles avaient hérité de leur père. Il ressort également de l'arrêt entrepris, que le recourant ne critique pas sur ce point, que ce même jour les soeurs de B._ avaient imparti à celui-ci un délai au 4 mai 2016 pour donner son accord à la vente et que B._ avait été contrarié par le fait qu'elles avaient "répondu sans le consulter à un acquéreur potentiel". Dans ces circonstances, on ne voit pas en quoi il serait insoutenable de considérer que la rencontre du 14 avril 2016 avait pour but de trouver un accord au sujet de la vente des actions dont la fratrie avait hérité et qu'elle s'inscrivait dans le contexte d'un différend. Le recourant, hormis les allégations fondées sur la pièce nouvellement produite devant le Tribunal fédéral, qui ne peuvent donc pas être prises en considération, n'apporte aucun élément propre à remettre en question cette constatation de fait sous l'angle de l'arbitraire.
Le grief tiré de l'établissement manifestement inexact des faits doit partant être écarté. Le Tribunal fédéral se fondera donc exclusivement sur les faits tels qu'ils ressortent de l'arrêt attaqué. Quant au point de savoir si les propos échangés lors de la réunion doivent être qualifiés de "transactionnels" au sens exigé par la jurisprudence, il s'agit là d'une question de droit qui sera examinée ci-dessous (cf. infra consid. 4).
4.
Le recourant conteste en premier lieu avoir violé l'<ref-law> par la production en justice de discussions transactionnelles et confidentielles. Il soutient que l'enregistrement transmis au Tribunal civil ne contenait aucune proposition transactionnelle au sens de l'art. 6 du Code suisse de déontologie (ci-après: CSD) et ne dévoilait aucune discussion confidentielle protégée par l'art. 26 de ce même code.
4.1. L'<ref-law> énonce les règles professionnelles auxquelles l'avocat est soumis. Celui-ci doit notamment exercer sa profession avec soin et diligence (<ref-law>). Cette disposition constitue une clause générale (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 276; arrêt 2C_1060/2016 du 13 juin 2017 consid. 4.1), qui permet d'exiger de l'avocat qu'il se comporte correctement dans l'exercice de sa profession (FF 1999 5331, p. 5368; cf. arrêts 2C_280/2017 du 4 décembre 2017 consid. 4.1.1 et 2C_1060/2016 du 13 juin 2017 consid. 4.1). Elle ne se limite pas aux rapports professionnels de l'avocat avec ses clients, mais comprend aussi les relations avec les confrères et les autorités (arrêts 2C_907/2017 du 13 mars 2018 consid. 3.1; 2C_119/2016 du 26 septembre 2016 consid. 7.1; 2C_555/2014 du 9 janvier 2015 consid. 5.1). L'<ref-law> suppose l'existence d'un manquement significatif aux devoirs de la profession (arrêts 2C_1060/2016 du 13 juin 2017 consid. 4.1 et 2C_452/2011 du 25 août 2011 consid. 5.1).
4.2. Le Tribunal fédéral revoit librement le point de savoir s'il y a eu violation des règles professionnelles en fonction du comportement concret de la personne mise en cause compte tenu de la situation qui se présentait à elle au moment des faits (arrêts 2C_1060/2016 du 13 juin 2017 consid. 4.1 et 2C_652/2014 du 24 décembre 2014 consid. 3.1).
4.3. Si un avocat se voit certes reconnaître une large marge de manoeuvre s'agissant de déterminer les moyens et stratégies qui sont les plus aptes à la défense des intérêts de ses clients, il doit néanmoins demeurer circonspect (arrêt 2C_782/2015 du 19 janvier 2016 consid. 5.2; cf. aussi arrêt 2C_1180/2013 du 24 octobre 2014 consid. 4.3.5). La jurisprudence a souligné que l'avocat est le "serviteur du droit" (arrêts 2C_782/2015 du 19 janvier 2016 consid. 5.2 et 2C_1180/2013 du 24 octobre 2014 consid. 4.1.2; cf. déjà <ref-ruling> consid. 4 p. 105 et 106 Ia 100 consid. 6b p. 104), dans la mesure où sa mission est de conseiller et soutenir ses clients dans la poursuite de leurs intérêts juridiquement protégés. En ce sens, l'avocat assume une tâche essentielle à l'administration de la justice en garantissant le respect des droits des justiciables et joue ainsi un rôle important pour le bon fonctionnement des institutions judiciaires au sens large (<ref-ruling> consid. 6b p. 104; arrêt 2A.151/2003 du 31 juillet 2003 consid. 2.2). Dans ce cadre, il doit se montrer digne de confiance dans les relations avec les autorités judiciaires ou administratives (arrêts 2C_782/2015 du 19 janvier 2016 consid. 5.2 et 2C_1180/2013 du 24 octobre 2014 consid. 4.1.2) et s'abstenir de tout acte susceptible de remettre en question cette confiance (arrêts 2C_103/2016 du 30 août 2016 consid. 3.2.2 et 2C_551/2014 du 9 février 2015 consid. 4.1).
4.4. Les règles professionnelles (" Berufsregeln "; " regole professionali ") énumérées à l'<ref-law> ont été édictées afin de réglementer, dans l'intérêt public, l'exercice de la profession d'avocat. Elles se distinguent des règles déontologiques (" Standesregeln "; " regole deontologiche "), qui sont adoptées par les organisations professionnelles (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 300). La LLCA définit de manière exhaustive les règles professionnelles auxquelles les avocats sont soumis. Les règles déontologiques conservent toutefois une portée juridique en permettant de préciser ou d'interpréter les règles professionnelles, mais uniquement dans la mesure où elles expriment une opinion largement répandue au plan national (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 9; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 300). Dans le but d'unifier les règles déontologiques sur tout le territoire de la Confédération, la Fédération Suisse des Avocats a édicté le Code suisse de déontologie.
4.5. Selon l'art. 6 CSD, l'avocat ne porte pas à la connaissance du tribunal des propositions transactionnelles, sauf accord exprès de la partie adverse. Après avoir posé que le caractère confidentiel d'une communication adressée à un confrère doit être clairement exprimé, l'art. 26 CSD répète qu'il ne peut être fait état en procédure "de documents ou du contenu de propositions transactionnelles ou de discussions confidentielles". Ces dispositions servent à préciser la portée de l'<ref-law>, qui prescrit à l'avocat d'exercer sa profession avec soin et diligence. Selon la jurisprudence, le non-respect d'une clause de confidentialité et l'utilisation en procédure du contenu de pourparlers transactionnels constituent une violation de l'obligation résultant de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 9; cf. arrêt 6B_47/2017 du 13 décembre 2017 consid. 1.7, non publié in <ref-ruling>; arrêt 2C_280/2017 du 4 décembre 2017 consid. 4.1.1). Le Tribunal fédéral a relevé que l'interdiction pour l'avocat de se prévaloir en justice de discussions transactionnelles confidentielles est fondée sur l'intérêt public à favoriser le règlement amiable des litiges, les parties devant pouvoir s'exprimer librement lors de la recherche d'une solution extrajudiciaire (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 9; arrêts 2C_280/2017 du 4 décembre 2017 consid. 4.1.1 et 2A.658/2004 du 3 mai 2005 consid. 3.3).
4.6.
4.6.1. Lorsque des discussions transactionnelles sont menées, par écrit ou oralement, entre avocats, il n'est pas nécessaire que le caractère confidentiel de celles-ci soit prévu de manière explicite. Conformément aux art. 6 et 26 CSD, les avocats sont automatiquement soumis au devoir de confidentialité s'agissant non seulement du contenu, mais également de l'existence de pourparlers transactionnels (BENOÎT CHAPPUIS, La profession d'avocat, tome I, 2e éd., 2016, p. 70; cf. également BOHNET/MARTENET, Droit de la profession d'avocat, 2009, n. 1190 p. 510 s. [plus nuancé]). Ainsi, sous réserve d'une procédure en exécution d'un accord transactionnel dûment conclu, si un document envoyé par un avocat au mandataire de la partie adverse contient une proposition de nature transactionnelle, celui-ci ne peut pas le produire en justice, sous peine de violer l'<ref-law> interprété à l'aune des art. 6 et 26 CSD. Il en va de même des discussions transactionnelles qui se déroulent en présence des avocats des parties, dont l'existence et le contenu ne peuvent être portés par ceux-ci à la connaissance du tribunal.
4.6.2. S'agissant de pourparlers transactionnels entre un avocat et une partie non représentée, le Tribunal fédéral a admis que, lorsque cela a été expressément prévu par les parties, ceux-ci sont couverts par le devoir de confidentialité de l'avocat (cf. arrêt 2C_900/2010 du 17 juin 2011 consid. 1.4; CHAPPUIS, op. cit., p. 70; voir aussi WALTER FELLMANN, Anwaltsrecht, 2e éd., 2017, n. 237 ss p. 87 s.). Dans un tel cas, l'avocat qui a participé à la discussion transactionnelle (écrite ou orale) avec la partie adverse non représentée, tout comme l'éventuel avocat consulté par la suite par celle-ci, doivent respecter la confidentialité reconnue par les parties aux propos échangés dans ce cadre. Si l'un d'entre eux décide tout de même de se prévaloir en justice desdits propos, il viole son obligation d'exercer sa profession avec soin et diligence (<ref-law> cum art. 6 et 26 CSD). Il y a lieu de souligner à ce sujet que cette obligation, qui découle de la LLCA et a un caractère de droit public, ne concerne que les avocats. Elle doit ainsi être distinguée des devoirs imposés par l'accord de confidentialité à la personne qui a participé aux pourparlers, lesquels ont trait au droit privé et dépendent du contenu de l'accord en question.
4.6.3. Concernant la situation de l'avocat qui n'a pas participé aux échanges de nature transactionnelle entre l'avocat (ou les avocats) de la partie adverse et son client, car il a assumé la défense des intérêts de celui-ci seulement dans un deuxième temps, la clause de confidentialité prévue par les parties lors des échanges en question lui est également opposable, à condition qu'il soit au courant de son existence. En effet, les art. 6 et 26 CSD ont pour vocation à s'appliquer à tout avocat qui entend sciemment se prévaloir en justice de propos (écrits ou oraux) de nature transactionnelle et confidentielle formulés par un confrère, indépendamment de la question de savoir si ceux-ci lui ont été adressés directement ou pas. Lorsque le caractère confidentiel des propos en question a été expressément prévu par les parties, et que l'avocat qui n'a pas participé à la discussion en a connaissance, celui-ci ne peut en faire état en procédure. Admettre le contraire reviendrait à considérer comme conforme au devoir de diligence imposé par l'<ref-law> le comportement d'un avocat qui, dans le but de contourner les règles relatives à la confidentialité (auxquelles la jurisprudence reconnaît une importance primordiale pour le règlement amiable des litiges, cf. supra consid. 4.5), invoquerait le fait que les pourparlers transactionnels et/ou les pièces confidentielles (lettres, enregistrements, etc.) dont il veut se prévaloir en justice ne lui auraient pas été directement adressés, respectivement auraient été obtenus indépendamment de sa volonté, grâce aux agissements d'un tiers (notamment son client ou le précédent mandataire de celui-ci). Un tel comportement abusif et contraire à la bonne foi ne saurait être admis de la part d'un avocat.
En revanche, si aucune clause de confidentialité n'a été prévue pour protéger les pourparlers transactionnels entre l'avocat d'une partie et la partie adverse non représentée, il faut admettre que l'avocat consulté par la suite par celle-ci peut se prévaloir en justice du contenu des échanges en question, sans que cela constitue une violation de son devoir de diligence (<ref-law>). Dans un tel cas, en effet, il ne s'agit pas de discussions transactionnelles entre avocats de sorte que, faute d'avoir été protégées par une clause de confidentialité expresse, elles sont exclues du champ d'application de l'<ref-law> cum art. 6 et 26 CSD. Au demeurant, la solution inverse aurait comme conséquence de dissuader une personne qui a participé seule à des pourparlers transactionnels de consulter par la suite un avocat, car celui-ci ne pourrait pas se prévaloir en justice du contenu desdits pourparlers, ce qui n'est pas souhaitable.
4.7. En l'espèce, l'enregistrement produit par le recourant devant le Tribunal civil contenait les discussions menées entre son client et les soeurs de celui-ci, assistées de leurs avocats. Le recourant n'était toutefois pas présent lors de la réunion du 14 avril 2016. Malgré le fait que ladite réunion s'inscrivait dans le contexte d'un différend entre cohéritiers et qu'elle avait pour but de trouver une entente au sujet de la vente des actions dont la fratrie avait hérité (cf. supra consid. 3.2), les propos échangés à cette occasion n'étaient pas d'emblée couverts par la confidentialité que les art. 6 et 26 CSD rattachent aux discussions transactionnelles entre avocats (cf. supra consid. 4.6.1). Pour être qualifiés de transactionnels et confidentiels, ces propos auraient dû faire l'objet d'un accord explicite en ce sens (cf. supra consid. 4.6.2 et 4.6.3). Or, il ne ressort pas de l'arrêt entrepris qu'un tel accord aurait été convenu entre les parties. La Commission du barreau, dans sa réponse au recours, ne le soutient pas non plus. Faute d'avoir été protégées par une clause de confidentialité, les discussions menées lors de la réunion du 14 avril 2016 en l'absence du recourant ne constituaient donc pas des pourparlers "transactionnels" au sens exigé par l'<ref-law> cum art. 6 et 26 CSD. Le raisonnement développé à ce propos dans l'arrêt attaqué, qui retient le contraire en se fondant sur la seule présence des avocats des soeurs de B._ à la réunion, ne peut être confirmé.
4.8. Il ressort de ce qui précède que, contrairement à ce qu'a retenu la Cour de justice, l'enregistrement effectué par B._ ne contenait pas des discussions transactionnelles protégées par l'<ref-law> cum art. 6 et 26 CSD. En faisant état en procédure du contenu de cet enregistrement, le recourant n'a donc pas violé son obligation de confidentialité résultant de ces dispositions. Le grief de l'intéressé relatif à cette question doit ainsi être admis, étant précisé que cela ne préjuge en rien de la question de savoir si, en transmettant au Tribunal civil l'enregistrement en question, le recourant a enfreint l'<ref-law> à un autre titre, laquelle sera examinée ci-dessous (consid. 5).
5.
Le recourant conteste avoir violé l'<ref-law> en produisant une preuve dont il connaissait le caractère illicite. Il ne remet pas en question la nature illicite de l'enregistrement effectué par son client le 14 avril 2016. Il soutient cependant que, conscient de l'illicéité de ce moyen de preuve, il a décidé, dans l'intérêt de son mandant, de le produire tout de même. De l'avis du recourant, il ne lui appartenait en effet pas de préjuger de la décision du Tribunal civil en se livrant à "des calculs de probabilité hasardeux" (recours, p. 13). Son devoir de diligence lui imposait, au contraire, d'entreprendre tout ce qui était en son pouvoir pour défendre les intérêts de son client. La transmission au Tribunal civil de l'enregistrement litigieux étant le seul moyen pour ce faire, aucune violation du devoir de diligence ne saurait lui être reprochée.
5.1. Cette approche ne peut être suivie. Par son argumentation, le recourant perd en effet de vue que le devoir de diligence lui incombant lui imposait de défendre les intérêts de son client par tous les moyens légaux à sa disposition (cf. FELLMANN, op. cit., n. 262 p. 100; WALTER FELLMANN, in FELLMANN/ZINDEL [éd.], Kommentar zum Anwaltsgesetz, 2e éd., 2011, n. 37 s. ad art. 12 BGFA p. 173 s.; KASPAR SCHILLER, Schweizerisches Anwaltsrecht, 2009, n. 1460 p. 361; BOHNET/MARTENET, op. cit., n. 1234 p. 524; voir aussi l'arrêt 2C_344/2007 du 22 mai 2008 consid. 2, dans lequel le Tribunal fédéral rappelle que le comportement de l'avocat doit toujours se maintenir dans les limites de l'ordre juridique). Il lui était en conséquence interdit, sous peine de violer l'<ref-law>, de faire usage d'un moyen de preuve qu'il savait illégal (cf. MICHEL VALTICOS, in VALTICOS/REISER/CHAPPUIS [éd.], Commentaire romand - Loi sur les avocats, 2010, n. 37 ad <ref-law> p. 99 s.; BOHNET/MARTENET, op. cit., n. 1238 p. 526; cf. également, s'agissant de l'utilisation par un avocat d'un "moyen de preuve d'une légalité douteuse", l'arrêt 2C_257/2010 du 23 août 2010 consid. 5.2, ainsi que, avant l'entrée en vigueur de la LLCA, RJN 1995 p. 15 et RJN VI [1973-1977] p. 187 ss).
Contrairement à ce que semble penser l'intéressé, le fait qu'un juge civil, sur la base de l'<ref-law>, puisse prendre en considération - à des conditions restrictives (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 8; cf. PETER GUYAN, in SPÜHLER/TENCHIO/INFANGER [éd.], Basler Kommentar - Schweizerische Zivilprozessordnung, 3e éd., 2017, n. 10 ad art. 152 ZPO p. 891; GASSER/RICKLI, in Kurzkommentar - Schweizerische Zivilprozessordnung, 2e éd., 2014, n. 2 ad art. 152 ZPO p. 150; NICOLAS PASSADELIS, in Handkommentar - Schweizerische Zivilprozessordnung, 2010, n. 13 ad art. 152 ZPO p. 615) - des moyens de preuve obtenus de manière illicite, ne saurait justifier d'emblée une démarche telle que celle qui lui est reprochée. On peut en effet envisager, dans des situations particulières, un assouplissement du principe selon lequel l'avocat se limite aux moyens de preuve légaux à sa disposition, notamment - en droit civil - lorsqu'il a de bonnes raisons de penser que "l'intérêt à la manifestation de la vérité est prépondérant" (cf. <ref-law>; cette hypothèse n'est toutefois admise que de manière restrictive: <ref-ruling> consid. 3.1 p. 8). Cependant, tel ne pouvait d'emblée être le cas en l'espèce, car l'enregistrement illicite a été déposé à l'appui d'une requête de mesures provisionnelles et superprovisionnelles relative à une cause de nature patrimoniale. Or, le Tribunal fédéral a retenu, dans un arrêt récent cité également par le recourant (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 11), que dans une cause de nature patrimoniale soumise à la maxime des débats, l'intérêt à la découverte de la vérité matérielle, résultant prétendument d'un moyen de preuve illicite, ne pouvait prévaloir face à l'intérêt public au respect strict d'une des règles déduites de l'<ref-law> ( in casu, de la règle de la confidentialité). La provenance illicite de l'enregistrement, effectué dans des circonstances susceptibles de tomber sous le coup de l'<ref-law> (comme le recourant le reconnaît lui-même), aurait donc dû inciter l'intéressé à faire abstraction de ce moyen de preuve dans la procédure qu'il s'apprêtait à entamer pour le compte de son client et à défendre les intérêts de celui-ci par tout autre moyen licite. En décidant de produire tout de même la pièce en question auprès du Tribunal civil, le recourant a essayé de tirer profit des agissements de son client, alors que ceux-ci avaient un caractère pénalement répréhensible, et a pris le risque non seulement que l'enregistrement soit écarté du dossier (ce qui a effectivement été le cas), mais également qu'une procédure pour violation de l'<ref-law> soit ouverte et qu'une mesure disciplinaire soit prononcée à son encontre.
Enfin, la circonstance, alléguée par le recourant, selon laquelle celui-ci affirme avoir informé correctement son client des risques liés à la transmission de l'enregistrement au Tribunal civil et lui avoir demandé des instructions à ce sujet (recours, p. 12), ne saurait justifier le manquement qui lui est reproché. En effet, l'avocat doit se montrer digne de confiance dans les relations avec les autorités judiciaires comme administratives (cf. supra consid. 4.3), ce qui suppose notamment qu'il conserve une certaine indépendance vis-à-vis de son mandant (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 93; arrêts 2C_782/2015 du 19 janvier 2016 consid. 5.2 et 2C_1180/2013 du 24 octobre 2014 consid. 4.1.2; VALTICOS, op. cit., n. 27 s. ad <ref-law> p. 98). En ce sens, le fait qu'il ait agi avec l'accord et sur la base des instructions de celui-ci ne le libérait pas de son obligation d'exercer sa profession avec soin et diligence (<ref-law>).
5.2. Il sied aussi de relever que la production en justice de l'enregistrement litigieux constitue une violation du devoir de diligence déduit de l'<ref-law> également sous un autre angle. En effet, tel que l'a jugé à juste titre l'instance précédente, le recourant, par la transmission au Tribunal civil dudit enregistrement, a révélé à la partie adverse l'existence de cette pièce et a de la sorte exposé son client au risque que les autres participants à la réunion du 14 avril 2016 déposent une plainte pénale contre lui pour violation de l'<ref-law>. Une telle démarche était clairement contraire aux intérêts du mandant et à la diligence dont devait faire preuve l'avocat conformément à l'<ref-law>, et ce - contrairement à ce que semble affirmer le recourant - indépendamment de la question de savoir si une plainte pénale allait par la suite être déposée ou pas.
Au demeurant, on peut encore observer que, en conservant l'enregistrement et en le transmettant au Tribunal civil, le recourant a lui-même pris le risque d'être poursuivi pour violation de l'<ref-law>, aux termes duquel est punissable également (sur plainte) "celui qui aura conservé un enregistrement qu'il savait ou devait présumer avoir été réalisé au moyen d'une infraction visée à l'al. 1, ou en aura tiré profit, ou l'aura rendu accessible à un tiers". Dans la mesure où il ne ressort pas de l'arrêt entrepris que le recourant aurait été condamné pénalement sur cette base - ce qui aurait fondé une nouvelle violation de l'<ref-law>, qui impose de manière générale à l'avocat de s'abstenir de tout comportement illicite dans l'exercice de sa profession et d'agir dans le respect de l'ordre juridique (cf. arrêt 2C_344/2007 du 22 mai 2008 consid. 2; VALTICOS, op. cit., n. 35 ss ad <ref-law> p. 99 s.; voir aussi l'art. 1 CSD) - cette question n'a toutefois pas d'influence sur la présente cause.
5.3. La Cour de justice a aussi retenu que, en exposant son client au risque d'une procédure pénale (cf. consid. 5.2 ci-dessus), le recourant avait manqué à son devoir de diligence au sens de l'<ref-law>.
5.3.1. Les <ref-law> et 398 al. 2 CO sont étroitement liés. En effet, l'obligation de diligence imposée par l'<ref-law> est directement déduite de l'<ref-law> (arrêt 2C_878/2011 du 28 février 2012 consid. 5.1; cf. VALTICOS, op. cit., n. 8 ad <ref-law> p. 94); elle interdit à l'avocat d'entreprendre des actes qui pourraient nuire aux intérêts de son client (arrêt 2C_878/2011 du 28 février 2012 consid. 5.1). Cela étant, ces dispositions envisagent l'obligation de diligence de l'avocat dans une optique partiellement différente. L'<ref-law> concerne la diligence dont l'avocat doit faire preuve dans l'exercice de sa profession, y compris - mais non exclusivement - à l'égard de son client, alors que l'<ref-law> a trait au devoir de bonne et fidèle exécution du mandat, dont l'avocat doit rendre compte uniquement à son client (BOHNET/MARTENET, op. cit., n. 1153 p. 498). Ainsi, s'il faut admettre que la violation, par un avocat, du devoir de diligence découlant des règles du mandat (<ref-law>) constitue très souvent également une violation de ses obligations professionnelles (<ref-law>), cela n'est pas forcément le cas. En d'autres termes, il ne suffit pas de constater un comportement contraire à l'<ref-law> de la part de l'avocat pour conclure automatiquement aussi à une violation de l'<ref-law> (cf. VALTICOS, op. cit., n. 24 s. ad <ref-law> p. 97; BOHNET/MARTENET, op. cit., n. 1134 p. 491 et n. 1154 p. 498; voir aussi l'arrêt 2C_379/2009 du 7 décembre 2009 consid. 3.2, ainsi que FELLMANN, in FELLMANN/ZINDEL [éd.], op. cit., n. 15 ad art. 12 BGFA p. 142 s.; pour des exemples en ce sens, cf. FELLMANN, op. cit., n. 242 p. 89 s.).
5.3.2. En l'occurrence, l'arrêt attaqué relève que le recourant, en produisant auprès du Tribunal civil une preuve dont il connaissait le caractère illicite, a "manqué à son devoir de diligence au sens de l'<ref-law>" et en déduit une violation de l'<ref-law>. A ce sujet, il vient toutefois d'être constaté que, indépendamment de toute violation de l'<ref-law>, en transmettant au Tribunal civil l'enregistrement effectué par son client l'intéressé a enfreint l'<ref-law> (cf. supra consid. 5.1 et 5.2). Dans ces conditions, la question de savoir si ce même comportement constitue également une violation des règles du mandat (<ref-law>) souffre de demeurer indécise, car elle n'est pas pertinente pour l'issue du litige. En effet, la présente cause n'a trait qu'à la violation par l'avocat de ses obligations professionnelles découlant de l'<ref-law> et non pas à la responsabilité civile de celui-ci vis-à-vis de son client fondée sur l'<ref-law>.
5.4. Au vu de ce qui précède, c'est à bon droit que la Cour de justice a considéré que le recourant, en produisant en justice un moyen de preuve qu'il savait illégal, avait violé l'<ref-law>.
6.
Le recourant a été sanctionné par un avertissement. La Cour de justice a confirmé cette sanction en retenant que l'intéressé avait manqué à ses obligations professionnelles (<ref-law>) à deux titres, soit en violant son devoir de confidentialité et en se prévalant d'une preuve illicite. Cependant, tel qu'il a été exposé ci-dessus (consid. 4), en faisant état en procédure du contenu de l'enregistrement effectué par son client, le recourant n'a pas manqué à son obligation de confidentialité découlant de l'<ref-law> cum art. 6 et 26 CSD. Il se pose donc la question de savoir si, dans ces conditions, l'avertissement infligé au recourant est justifié.
6.1. L'<ref-law> prévoit qu'en cas de violation d'une règle professionnelle, l'autorité de surveillance (cantonale) peut prononcer à l'encontre d'un avocat, entre autres mesures disciplinaires, un avertissement, lequel constitue la sanction la plus légère du catalogue prévu à l'<ref-law> (arrêt 2C_1180/2013 du 24 octobre 2014 consid. 4.4). La loi reconnaît ainsi à l'autorité compétente en matière disciplinaire une certaine marge d'appréciation (cf. FELLMANN, op. cit., n. 743 p. 296; THOMAS POLEDNA, in FELLMANN/ZINDEL [éd.], op. cit., n. 2 ad art. 17 BGFA p. 390; BAUER/BAUER, in VALTICOS/REISER/CHAPPUIS [éd.], op. cit., n. 17 ad <ref-law> p. 225; BOHNET/MARTENET, op. cit., n. 2128 p. 868 s. et n. 2178 p. 888). En particulier, conformément au principe de l'opportunité (Opportunitätsprinzip; principio di opportunità), celle-ci peut renoncer à prononcer une sanction disciplinaire, même si elle constate une violation de l'<ref-law> (cf. THIERRY TANQUEREL, Caractéristiques et limites du droit disciplinaire, in TANQUEREL/BELLANGER [éd.], Le droit disciplinaire, 2018, p. 9 ss, notamment p. 23; FELLMANN, op. cit., n. 698 p. 284 s. et n. 742 p. 296; BAUER/BAUER, in VALTICOS/REISER/CHAPPUIS [éd.], op. cit., n. 18 ad <ref-law> p. 225 s.; BOHNET/MARTENET, op. cit., n. 2128 p. 868 s.). Ce procédé doit toutefois être réservé à des cas exceptionnels, car l'avertissement est déjà une sanction très faible. Il n'en demeure pas moins que la décision de l'autorité de surveillance doit toujours respecter les principes de l'égalité de traitement, de la proportionnalité et de l'interdiction de l'arbitraire (cf. BAUER/BAUER, in VALTICOS/REISER/CHAPPUIS [éd.], op. cit., n. 18 ad <ref-law> p. 225 s.; BOHNET/MARTENET, op. cit., n. 2128 p. 868 s. et n. 2178 p. 888; voir aussi TANQUEREL, op. cit., p. 23).
6.2. En l'occurrence, il a été constaté que le recourant a violé l'<ref-law> en produisant en justice un moyen de preuve qu'il savait illégal (cf. supra consid. 5). Au vu des circonstances du cas d'espèce, cette violation de la LLCA était à elle seule suffisamment grave pour justifier l'avertissement qui a été prononcé à l'encontre de l'intéressé. Cette mesure disciplinaire - la plus faible du catalogue prévu par l'<ref-law> - n'apparaît en particulier pas disproportionnée, au vu des manquements reprochés au recourant, et ce indépendamment de l'admission de son grief relatif à la violation du devoir de confidentialité (cf. supra consid. 4).
7.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours dans la mesure où il est recevable. Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, à la Commission du Barreau du canton de Genève et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre administrative.
Lausanne, le 19 septembre 2018
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Ermotti