Sachverhalt:
A.
Der 1971 geborene A._ meldete sich im Oktober 2013 unter Hinweis auf ein Burnout bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Luzern sprach ihm verschiedene berufliche Massnahmen und Taggelder zu. Nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens anerkannte sie mit Verfügung vom 30. März 2020 einen Anspruch auf eine Dreiviertelsrente vom 1. April 2014 bis zum 31. Oktober 2015 (Invaliditätsgrad zuletzt 38 %). Indessen veranschlagte sie im Berechnungsteil der Verfügung die Rente lediglich vom 1. April bis zum 30. Juni 2014, wobei aus dem entsprechenden Nachzahlungsanspruch (Fr. 9477.-) unter Berücksichtigung einer "Verrechnung Doppelbezug Taggeld und Rente" und von Verzugszins eine Überweisung von Fr. 760.80 resultierte.
B.
Das Kantonsgericht Luzern wies die Beschwerde des A._, nachdem es ihm eine Schlechterstellung (reformatio in peius) angedroht und Gelegenheit zum Beschwerderückzug gegeben hatte, ab. Darüber hinaus stellte es in Abänderung der Verfügung vom 30. März 2020 fest, dass der Versicherte keinen Anspruch auf eine Invalidenrente habe (Urteil vom 26. April 2021).
C.
A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, unter Aufhebung des Urteils vom 26. April 2021 sei ihm spätestens ab dem 1. Mai 2017 eine halbe Invalidenrente, eventualiter eine Viertelsrente, zuzusprechen; subeventualiter sei die Sache zu ergänzenden Abklärungen und anschliessender Neubeurteilung des Anspruchs ab dem 1. Mai 2017 an das kantonale Gericht, allenfalls an die IV-Stelle, zurückzuweisen.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
Die Vorinstanz hat die rechtlichen Grundlagen für den Anspruch auf eine Invalidenrente (Art. 7 f. ATSG, Art. 4 Abs. 1 und Art. 28 IVG), insbesondere bei psychischen Gesundheitsschäden (<ref-ruling>; <ref-ruling>; <ref-ruling>), und zur Beweiskraft medizinischer Unterlagen (<ref-ruling> E. 5.1) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3.
3.1. Das kantonale Gericht hat erwogen, der Versicherte habe vom 11. März 2014 bis zum 1. November 2015 und vom 1. Dezember 2015 bis zum 30. April 2017 an beruflichen Massnahmen teilgenommen und entsprechende Taggelder bezogen. Ein Rentenanspruch hätte somit frühestens im November 2015 entstehen können, weshalb die (einen davor liegenden Zeitraum betreffende) Rentennachzahlung von vornherein unrechtmässig gewesen sei.
Indessen hat es auch für die Zeit ab November 2015 einen Rentenanspruch verneint: Dr. med. B._ hatte in seinem psychiatrischen Gutachten vom 26. Oktober 2017 eine chronifizierte depressive Entwicklung mit mittelgradiger Episode (ICD-10: F32.1) bei begleitenden multiplen psychosomatischen Symptomen sowie eine Persönlichkeit mit leistungsorientierten, perfektionistischen, regressiven und ängstlich-vermeidenden Zügen (ICD-10: Z73.1) diagnostiziert; für die angestammte Tätigkeit als kaufmännischer Angestellter (bei wohlwollender Umgebung und mit berechenbarer Stressbelastung) hatte er eine Arbeitsfähigkeit von 60 % ab 2014 attestiert. Das kantonale Gericht hat diesem Gutachten in Bezug auf den medizinischen Sachverhalt Beweiskraft beigemessen. Nach einer einlässlichen Indikatorenprüfung im Sinne von BGE <ref-ruling>ist es zum Schluss gekommen, dass auf die Arbeitsfähigkeitsschätzung des Experten nicht abgestellt werden könne, und eine invalidenversicherungsrechtlich relevante Arbeitsunfähigkeit des Versicherten nicht nachgewiesen sei.
3.2. Streitig und zu prüfen ist einzig, ob das kantonale Gericht mit Blick auf die Arbeitsfähigkeit des Versicherten eine unzulässige juristische Parallelbeurteilung und eigenständige medizinische Einschätzung vorgenommen hat.
4.
4.1. Für die Abgrenzung zwischen der (freien) Überprüfung der medizinisch-psychiatrischen Annahme einer Arbeitsunfähigkeit durch die rechtsanwendenden Stellen einerseits und unzulässiger juristischer Parallelbeurteilung anderseits gilt Folgendes:
In allen Fällen ist durch den Versicherungsträger und im Beschwerdefall durch das Gericht zu prüfen, ob und inwieweit die ärztlichen Experten ihre Arbeitsunfähigkeitsschätzung unter Beachtung der massgebenden Indikatoren (Beweisthemen) hinreichend und nachvollziehbar begründet haben. Dazu ist erforderlich, dass die Sachverständigen den Bogen schlagen zum vorausgehenden medizinisch-psychiatrischen Gutachtensteil (mit Aktenauszug, Anamnese, Befunden, Diagnosen usw.), d.h. sie haben im Einzelnen Bezug zu nehmen auf die in ihre Kompetenz fallenden erhobenen medizinisch-psychiatrischen Ergebnisse fachgerechter klinischer Prüfung und Exploration. Ärztlicherseits ist also substanziiert darzulegen, aus welchen medizinisch-psychiatrischen Gründen die erhobenen Befunde das funktionelle Leistungsvermögen und die psychischen Ressourcen in qualitativer, quantitativer und zeitlicher Hinsicht zu schmälern vermögen. Am Beispiel rezidivierender depressiver Entwicklungen leichten bis mittleren Grades veranschaulicht bedeutet dies: Es genügt nicht, dass der medizinisch-psychiatrische Sachverständige vom diagnostizierten depressiven Geschehen direkt auf eine Arbeitsunfähigkeit, welchen Grades auch immer, schliesst; vielmehr hat er darzutun, inwiefern wegen der von ihm erhobenen Befunde die beruflich-erwerbliche Arbeitsfähigkeit eingeschränkt ist, und zwar - zu Vergleichs-, Plausibilisierungs- und Kontrollzwecken - unter Miteinbezug der sonstigen persönlichen, familiären und sozialen Aktivitäten der rentenansprechenden Person. Kommen die Experten dieser Aufgabe unter Berücksichtigung der durch BGE <ref-ruling> normierten Beweisthemen überzeugend nach, wird die medizinisch-psychiatrische Folgenabschätzung auch aus der juristischen Sicht des Rechtsanwenders - Durchführungsstelle oder Gericht - Bestand haben. Andernfalls liegt ein triftiger Grund vor, der rechtlich ein Abweichen davon gebietet (<ref-ruling> E. 4.3 mit Hinweisen; vgl. auch Urteil 8C_407/2020 vom 3. März 2021 E. 6.3).
4.2. Bezüglich der massgeblichen Indikatoren (vgl. die Übersicht in BGE <ref-ruling> E 4.1.3) hat die Vorinstanz festgestellt, die vom Gutachter erhobenen Befunde seien insgesamt nicht besonders ausgeprägt. Der Antrieb sei leicht vermindert und die affektive Modulation zum depressiven Pol hin verschoben gewesen; Konzentrationsschwierigkeiten oder eine ausgeprägte Müdigkeit seien aber nicht erwähnt worden, der Appetit sei nicht beeinträchtigt und nächtliche Durchschlafstörungen beständen nur phasenweise. Dr. med. B._ habe nicht von einem Interessenverlust, einer deutlichen psychomotorischen Hemmung, einer Agitiertheit oder einer Beeinträchtigung beim Fortsetzen der alltäglichen Aktivitäten berichtet. Er habe auch keinen verfestigten Verlauf beschrieben, und dem Versicherten sei es phasenweise auch besser gegangen. Der behandelnde Arzt habe zeitnah zur Begutachtung eine lediglich leichte depressive Episode diagnostiziert. Der Versicherte befinde sich zwar seit 2012 in psychiatrischer Behandlung. Die Medikation sei abgesehen von kurzen Phasen stets unverändert, und angesichts der Therapiefrequenz (monatliche Konsultationen) könne nicht von einer konsequenten Depressionsbehandlung gesprochen werden. Der Gutachter habe von einer eher supportiv orientierten Behandlung gesprochen und eine Intensivierung der Medikation sowie der Psychotherapie als sinnvoll erachtet. Eine Behandlungsresistenz sei damit nicht ausgewiesen, und das Scheitern der Eingliederung sei nicht auf den Gesundheitszustand zurückzuführen. Laut dem Experten lasse sich die massiv fluktuierende Leistungsfähigkeit bei den Eingliederungsmassnahmen nur teilweise durch die medizinische Symptomatik begründen, vielmehr hätten auch beeinflussbare motivationale Faktoren eine Rolle gespielt. Nebst den bereits bei der Depression berücksichtigten Somatisierungssymptomen resp. psychosomatischen Beschwerden sei keine Komorbidität erkannt worden.
Weiter hat das kantonale Gericht festgestellt, Dr. med. B._ habe eine unauffällige Persönlichkeitsentwicklung bestätigt und insbesondere eine Persönlichkeitsstörung verworfen. Die Sensitivität und emotionale Labilität sei direkte Folge der aktuell belastenden psychosozialen Situation (und als solche nicht zu berücksichtigen). Als Ressourcen habe der Experte die gute Ausbildung, das relativ junge Alter, die soziale Integration und die Leistungsbereitschaft des Versicherten genannt. Aus dessen Angaben zum Tagesablauf und zu den Freizeitaktivitäten ergebe sich, dass er sich sozial nicht zurückgezogen habe. Insbesondere unterhalte er rege Kontakte zu seiner Familie, zu seiner religiösen Glaubensgemeinschaft und zu Fussballmannschaftskollegen, und er besuche wöchentlich mehrmals Zusammenkünfte und Trainings, was ihm eine Tagesstruktur und Halt gebe.
Mit Blick auf den Tagesablauf, die Freizeitgestaltung und die sonstige Alltagsbewältigung (wie z.B. die Unterstützung der Ehefrau bei Haushaltstätigkeiten) sei keine Einschränkung ersichtlich. Das gelte nicht nur für den Zeitpunkt der Begutachtung, sondern beispielsweise auch für die Zeit, als er in der kantonalen Verwaltung ein Arbeitstraining mit einer Arbeitsleistung im Umfang eines 70 %-Pensums absolviert und sich daneben aktiv um Stellen bemüht und seine Zeit für das Familienleben und für sportliche Aktivitäten genutzt habe. In Anbetracht der geringen psychotherapeutischen Behandlungsfrequenz, die der Gutachter als niederfrequent und eher supportiv bezeichnet habe, sei ein Leidensdruck nicht ausgewiesen. Auf einen solchen deuteten lediglich die Teilnahme an den Eingliederungsmassnahmen und die intensive Stellensuche. Indessen habe der Versicherte auch bei den Eingliederungsmassnahmen gezeigt, dass er eine höhere Arbeitsleistung, als vom Gutachter attestiert worden war, habe erbringen können, was auch der zuständige Job-Coach bestätigt habe. Die dabei vorgekommenen Einbrüche in der Leistungsfähigkeit seien psychosozialen Belastungen oder motivationalen Faktoren geschuldet gewesen.
4.3. Soweit sich der Beschwerdeführer überhaupt zu diesen Feststellungen äussert, beschränkt er sich auf eine eigene Darlegung des Sachverhalts. Dass sie offensichtlich unrichtig (unhaltbar, willkürlich; <ref-ruling> E. 4.1.2; <ref-ruling> E. 7.3.1; <ref-ruling> E. 8.1) sein sollen, macht er damit auch nicht ansatzweise geltend, und solches ist auch nicht ersichtlich. Die vorinstanzlichen Feststellungen beruhen auch nicht auf einer Rechtsverletzung, weshalb sie für das Bundesgericht verbindlich bleiben (vgl. vorangehende E. 1).
4.4.
4.4.1. Anders als der Beschwerdeführer anzunehmen scheint, ergibt sich aus den Stellungnahmen des Regionalen Ärztlichen Dienstes (vgl. <ref-law>) oder der Berücksichtigung einer um 25 % eingeschränkten Arbeitsfähigkeit in der angefochtenen Verfügung nichts zu seinen Gunsten. Das kantonale Sozialversicherungsgericht ist weder an die Beweiswürdigung der IV-Stelle noch an die Begehren der Parteien gebunden (vgl. Art. 61 lit. c und d ATSG). Sodann lässt der Umstand, dass eine psychiatrische Diagnose lege artis gestellt wurde, nicht per se auf eine invalidenversicherungsrechtlich relevante Arbeitsunfähigkeit schliessen (vgl. <ref-ruling>; <ref-ruling>; <ref-ruling>). Auch wenn ein Ermessensspielraum des psychiatrischen Experten zu respektieren ist (<ref-ruling> E. 4.1.2 und 4.3), kann auf dessen Folgenabschätzung nur abgestellt werden, wenn sie mit Blick auf die durch BGE <ref-ruling> normierten Beweisthemen überzeugend begründet ist (vgl. vorangehende E. 4.1). Es genügt somit nicht, wenn ein Gutachten - wie hier - zwar umfassende Feststellungen zu den massgeblichen Indikatoren enthält, diese aber nicht in nachvollziehbarer Weise in die ärztliche Arbeitsfähigkeitsschätzung einfliessen.
4.4.2. Was die vorinstanzliche Gesamtwürdigung der massgeblichen Indikatoren anbelangt, so ändert die (einmalige) stationäre Behandlung vom 28. Mai bis zum 17. Juli 2013 nichts an den vorinstanzlichen Feststellungen betreffend den funktionellen Schweregrad des Leidens. Eine allfällige gesundheitliche Verschlechterung, die (laut verbindlicher vorinstanzlicher Feststellung) in der erfolglosen Stellensuche ihre hinreichende Erklärung findet, is t invalidenversicherungsrechtlich nicht relevant (Urteil 8C_717/2018 vom 22. März 2019 E. 3 mit Hinweisen). Zudem leuchtet die - nicht näher begründete - Behauptung des Beschwerdeführers, wonach mit einer Intensivierung der Behandlung lediglich eine "Stabilität im Krankheitsgeschehen" zu erreichen sei, nicht ein. Eine eigenständige Komorbidität legt auch der Versicherte nicht dar. Zwar gilt regressives Verhalten im Rahmen akzentuierter Persönlichkeitszüge (grundsätzlich) als ressourcenhemmender Faktor; indessen hielt auch der psychiatrische Gutachter diesen in concreto für "zumindest teilweise überwindbar". Sodann sind Diskrepanzen zwischen den geltend gemachten Einschränkungen im Beruf einerseits und den Restriktionen in den sonstigen Lebensbereichen anderseits von entscheidender rechtlicher Bedeutung (vgl. BGE <ref-ruling> E. 4.4.1). Der blosse Umstand, dass sich die privaten Aktivitäten flexibler gestalten lassen als eine Arbeitstätigkeit, rechtfertigt keine Abkehr von diesem Grundsatz. Auch wenn Eingliederungsmassnahmen "in geschütztem Rahmen" erfolgten, wie der Beschwerdeführer geltend macht, stellte er dennoch - beispielsweise anlässlich des Arbeitstrainings in der kantonalen Verwaltung (vgl. Schlussbericht der IG Arbeit vom 9. November 2015) - unter Beweis, dass er den Anforderungen des ersten Arbeitsmarkts genügen kann.
4.5. Nach dem Gesagten hat das kantonale Gericht kein Recht verletzt, indem es bei den konkret gegebenen Umständen in Bezug auf den Rentenanspruch eine rechtlich relevante Arbeitsunfähigkeit verneint hat. Die Beschwerde ist unbegründet.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. September 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Stadelmann
Die Gerichtsschreiberin: Dormann