Fatti:
A.
A._ è un cittadino turco di etnia curda entrato illegalmente in Svizzera nel 1997 (rispettivamente, secondo quanto da lui affermato, quale richiedente d'asilo). Sposatosi con una connazionale, nell'ottobre 2001 ha ottenuto un permesso di dimora per vivere con la moglie. Dall'unione tra i coniugi, nel 2007 è nato un figlio che, come la madre, possiede oggi la nazionalità svizzera. Sul piano professionale, A._ ha alternato l'attività lavorativa a momenti di disoccupazione.
Nell'aprile 2013, il Giudice civile competente ha pronunciato il divorzio della coppia. L'autorità parentale sul figlio è rimasta congiunta, mentre la custodia è stata attribuita alla madre, facendo obbligo al padre di versare un contributo di fr. 300.-- mensili. Dopo il divorzio, il permesso di dimora annuale di A._ è stato regolarmente rinnovato fino al 4 agosto 2017.
B.
Durante il suo soggiorno in Svizzera, A._ ha interessato le autorità amministrative e giudiziarie penali nei seguenti termini:
20.10.03: Decreto d'accusa (DA) per circolazione in stato di ebrietà (alcolemia min. 0.86-max. 1.06 g% o) e infrazione alle norme della circolazione stradale: pena di 10 giorni di detenzione sospesa condizionalmente con un periodo di prova di 3 anni e multa di fr. 1'000.--;
20.02.04: DA per infrazione all'allora vigente legge federale sulla dimora e il domicilio degli stranieri (aiuto all'entrata illegale) : pena di 15 giorni di detenzione sospesa condizionalmente con un periodo di prova di 3 anni e formale ammonimento;
02.04.04: ammonito dal Dipartimento con l'avvertenza che in caso di recidiva o di comportamento scorretto, sarebbe stata presa in esame la possibilità di adottare adeguate misure amministrative nei suoi confronti;
07.09.06: sentenza del Giudice della Pretura penale per lesioni semplici qualificate: 60 giorni di detenzione, sospesi condizionalmente con un periodo di prova di 3 anni, e prolungamento di 18 mesi del periodo di prova a ciascuna delle condanne del 20.10.03 e del 20.02.04;
05.10.06: 2° ammonimento dipartimentale per i suoi precedenti penali;
18.02.08: DA per infrazione e contravvenzione alla legge federale sugli stupefacenti e sulle sostanze psicotrope (LStup) : pena pecuniaria di 25 aliquote giornaliere da fr. 50.-- cadauna - sospesa condizionalmente con un periodo di prova di 3 anni - aggiuntiva a quella di cui alla sentenza del 07.09.06, multa di fr. 3'000.--, formale ammonimento e prolungamento di 1 anno del periodo di prova di cui alla sentenza del 07.09.06;
17.11.11: DA per rissa e contravvenzione alla LStup: condanna a valere quale pena unica, richiamato il DA del 18.02.08, alla pena detentiva di 6 mesi - sospesa condizionalmente con un periodo di prova di 4 anni - e multa di fr. 500.--;
13.01.12: 3° ammonimento dipartimentale per i suoi precedenti penali;
13.02.13: DA per infrazione e contravvenzione ripetuta alla LStup: pena pecuniaria di 15 aliquote giornaliere da fr. 60.-- cadauna e formale ammonimento.
12.03.13: DA per guida in stato di inattitudine (alcolemia min. 1.32-max. 1.86 g% o) e infrazione alle norme della circolazione stradale: pena pecuniaria di 150 aliquote giornaliere da fr. 30.-- cadauna e prolungamento di 1 anno del periodo di prova della pena inflittagli il 17.11.11;
06.10.15: DA per infrazione alle norme della circolazione (superamento di 11 km/h del limite di velocità di 60 km/h) : multa di fr. 160.--;
17.05.16: 4° ammonimento dipartimentale per la condanna del 06.10.15 nonché per avere 6 procedure esecutive in corso per un totale di fr. 2'872.45 e 21 attestati di carenza beni per complessivi fr. 33'348.75, oltre al fatto che dal 1.01.12 al 31.05.13 lo Stato aveva anticipato la pensione alimentare al figlio per un importo di fr. 8'375.85;
22.08.16: DA per infrazione alle norme della circolazione (superamento di 3 km/h del limite di velocità di 100 km/h) : multa di fr. 20.--;
19.09.16: DA per minaccia: pena pecuniaria di 30 aliquote giornaliere da fr. 30.-- cadauna e formale ammonimento;
02.02.18: DA per infrazione alle norme della circolazione (superamento di 21 km/h del limite di velocità di 50 km/h) : multa di fr. 600.--;
13.04.18: DA per infrazione alle norme della circolazione (superamento di 17 km/h del limite di velocità di 100 km/h) : multa di fr. 180.--.
A causa del suo comportamento, nel 2005 e nel 2009 la richiesta di concessione di un permesso di domicilio gli è stata rifiutata. Constatato che, nonostante la pronuncia di quattro ammonimenti, egli aveva continuato a delinquere, non aveva sanato la sua situazione debitoria, e aveva omesso di versare gli alimenti al figlio, il 22 novembre 2017 ha quindi fatto seguito la decisione di non rinnovargli il permesso di dimora, che non è stata impugnata ed è cresciuta in giudicato.
C.
Facendo valere il lungo soggiorno nel nostro Paese e di avere un figlio, con il quale intratterrebbe rapporti regolari, il 16 marzo 2018 A._ ha chiesto alla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino di riesaminare la decisione presa il 22 novembre 2017. In questo contesto, ha inoltre domandato di considerare che, a partire dal 1° aprile 2018, avrebbe avuto la possibilità di intraprendere un'attività presso la ditta B._ SA di X._, che lo aveva assunto con contratto a tempo indeterminato e con retribuzione di fr. 4'292.--, che gli avrebbe permesso di sistemare la sua situazione debitoria e di far fronte ai doveri di mantenimento del figlio.
Constatato come non fossero stati addotti fatti nuovi di importanza tale da modificare la decisione presa in precedenza e che sugli altri aspetti alla base della sua precedente decisione A._ non si era espresso, il 3 maggio 2018 l'autorità ha respinto l'istanza. Su ricorso, il diniego è stato confermato sia dal Consiglio di Stato (29 agosto 2018) che dal Tribunale amministrativo ticinese (18 maggio 2020).
D.
Con ricorso del 22 giugno 2020, A._ si è rivolto al Tribunale federale domandando che il giudizio della Corte cantonale sia annullato - segnatamente, poiché lesivo del suo diritto alla vita familiare - e l'incarto rinviato ai Giudici ticinesi, affinché entrino nel merito dell'istanza di riesame. Chiede inoltre il conferimento dell'effetto sospensivo.
Il Tribunale federale ha domandato alle autorità cantonali la trasmissione degli atti; non ha per contro ordinato scambi di scritti.

Diritto:
1.
1.1. Giusta l'art. 83 lett. c n. 2 LTF, il ricorso in materia di diritto pubblico è inammissibile contro le decisioni in ambito di diritto degli stranieri concernenti permessi o autorizzazioni al cui ottenimento né il diritto federale né il diritto internazionale conferiscono un diritto (<ref-ruling> consid. 2.2 e 2.3 pag. 189 seg.). L'insorgente, che è padre di un minorenne di nazionalità svizzera che vive in Svizzera, può però in via di principio richiamarsi all'art. 8 CEDU, che tutela il diritto alla vita familiare (<ref-ruling> consid. 4 seg. pag. 24 segg.), di modo che la clausola d'esclusione di cui all'art. 83 lett. c cifra 2 LTF non trova applicazione; l'esistenza reale di un diritto in tale senso è una questione di merito (sentenza 2C_832/2019 del 23 dicembre 2019 consid. 1.2).
1.2. Presentata nei termini (<ref-law>) da una persona legittimata ad agire (<ref-law>) e diretta contro una decisione finale di un'autorità cantonale di ultima istanza con carattere di tribunale superiore (art. 86 cpv. 1 lett. d e cpv. 2 e <ref-law>), l'impugnativa va quindi esaminata quale ricorso ordinario in materia di diritto pubblico.
2.
2.1. Il diritto federale è applicato d'ufficio (<ref-law>); nondimeno, tenuto conto dell'onere di allegazione posto dalla legge (art. 42 cpv. 1 e 2 LTF), il Tribunale federale si confronta di regola solo con le censure sollevate. Esigenze più severe valgono poi per la denuncia di violazioni di diritti fondamentali; simili critiche vanno in effetti formulate in maniera precisa (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.).
2.2. Per quanto riguarda i fatti, il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sugli accertamenti svolti dall'autorità inferiore (<ref-law>). Può scostarsene se sono stati eseguiti in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> o in modo manifestamente inesatto (<ref-law>). A meno che non ne dia motivo la decisione impugnata, ciò che va dimostrato da chi ricorre, non può neanche tenere conto di fatti o mezzi di prova nuovi (<ref-law>).
2.3. Siccome non sono validamente messi in discussione, con una motivazione che ne attesti un accertamento insostenibile, i fatti indicati nel querelato giudizio vincolano il Tribunale federale anche nel caso che ci occupa (<ref-law>; sentenza 2C_550/2015 del 1° ottobre 2015 consid. 4.2.1, da cui risulta che, in assenza di precise critiche, pure aggiunte e precisazioni non possono essere considerate). Nel contempo, date rispettivamente dimostrate non sono nemmeno le condizioni per produrre nuovi documenti giusta l'<ref-law>.
3.
3.1. Dopo avere presentato il quadro legale in maniera corretta (sentenze 2C_603/2017 del 6 marzo 2018 consid. 2 e 2C_689/2016 del 30 novembre 2016 consid. 2), di modo che a tale esposizione può essere rinviato anche in questa sede (giudizio impugnato, consid. 3.1 e 3.2), pure la Corte cantonale ha concluso che le condizioni per rimettere in discussione la decisione presa il 22 novembre 2017 dalla Sezione della popolazione ticinese - cresciuta in giudicato incontestata - non erano date. Inoltre, ha rilevato che nemmeno esistevano gli estremi per il rilascio di un nuovo permesso (a prescindere dalle condizioni per procedere a un riesame).
3.2. Nel suo giudizio, ha in particolare indicato: a) che le critiche relative alla decisione presa dalla Sezione della popolazione il 22 novembre 2017 esulavano dall'oggetto del contendere, perché tale pronuncia era oramai definitiva; b) che il contratto di lavoro come manovale stipulato con la ditta B._ SA di X._ (con una retribuzione fr. 4'292.-- mensili a partire dal 1° aprile 2018) non costituisce una modifica rilevante della fattispecie, poiché già il 21 luglio 2017, ovvero prima che venisse presa la decisione di non rinnovargli il permesso (22 novembre 2017), il ricorrente disponeva di un contratto di lavoro e percepiva uno stipendio identico e, ciò nonostante, non aveva dimostrato di avere migliorato la propria situazione debitoria; c) chiedendo il riesame rispettivamente il rilascio di un nuovo permesso, l'insorgente non si è pronunciato sull'altro motivo posto alla base della decisione dipartimentale del 22 novembre 2017, ovvero i numerosi precedenti penali, per i quali era anche già stato ammonito quattro volte.
3.3. Sennonché, contro queste argomentazioni il ricorrente non solleva nessuna critica convincente.
3.3.1. In effetti, egli vede un cambiamento determinante della sua situazione nel fatto di avere reperito un impiego, considerando con ciò l'attività indicata nell'istanza di riesame (a quel tempo, presso la ditta B._ SA), e aggiungendo "tutto ciò che mi è stato rimproverato con la decisione del 22 novembre 2017 era strettamente legato all'assenza di un impiego e quindi di un reddito che mi permettesse di far fronte ai miei impegni economici".
Così argomentando, non considera però che quanto indicato dalla Corte cantonale è tutt'altro, ovvero che - prima della decisione di diniego del permesso - già disponeva di un lavoro che gli garantiva una retribuzione analoga a quella percepita presso la B._ SA e, ciò nonostante, non aveva dimostrato di essere in grado di migliorare la propria situazione debitoria (giudizio impugnato, consid. 3.3).
3.3.2. In relazione alle condanne subite, pure alla base del mancato rinnovo del permesso, dopo che era stato ammonito a quattro riprese, osserva inoltre di non avere mai agito "per tornaconto personale".
In questo modo, non fa però valere nessun nuovo elemento, bensì un aspetto che occorreva indicare prima che venisse presa la decisione del 22 novembre 2017, quando la Sezione della popolazione gli ha dato la facoltà di esprimersi. D'altra parte, non considera che in presenza di un mancato rinnovo cresciuto in giudicato, pronunciato - anche - a causa della presenza di condanne, l'aspetto che è possibile in seguito addurre, per ottenere un nuovo permesso e rientrare in Svizzera, consiste semmai nel fatto che una persona ha trascorso un congruo lasso di tempo all'estero senza compiere ulteriori reati (sentenze 2C_987/2018 del 23 aprile 2019 consid. 4.6.3 e 2C_956/2014 del 21 agosto 2015 consid. 3 segg.).
3.3.3. Per quanto fondi le sue argomentazioni su documenti addotti per la prima volta in questa sede, non tiene invece conto del fatto che, per i motivi esposti, le prove da lui presentate - tra cui quelle di saltuari versamenti effettuati all'Ufficio del sostegno sociale e dell'inserimento, che aveva anticipato il pagamento degli alimenti dovuti al figlio a seguito del divorzio - non possono essere qui vagliate (precedente consid. 2.3).
Nel contempo, non considera che in casi come il suo - in cui l'autorità parentale è congiunta, ma il figlio è affidato all'ex coniuge - un eventuale diritto al permesso di soggiorno sulla base dell'art. 8 CEDU richiede proprio, oltre a un comportamento irreprensibile, anche un rapporto particolarmente intenso, e questo sia dal profilo affettivo che da quello economico (<ref-ruling> consid. 5.2 pag. 97 seg.; sentenze 2C_348/2018 del 10 marzo 2019 consid. 6.1 e 2C_455/2018 del 9 settembre 2018 consid. 5.2 segg. con ulteriori rinvii).
3.3.4. Un comportamento irreprensibile e un rapporto particolarmente intenso sul piano economico, che si manifesta nel versamento effettivo al figlio delle prestazioni finanziarie nella misura decisa dalle istanze giudiziarie civili (<ref-ruling> consid. 5.2.2), non sono però qui dati rispettivamente dimostrati.
Nonostante i diversi ammonimenti indirizzatigli nel corso degli anni, la condotta del ricorrente è stata infatti tutt'altro che irreprensibile (precedente consid. B); inoltre, nemmeno egli contesta che il suo sostegno economico al figlio è stato finora soltanto sporadico, tant'è che anche l'Ufficio cantonale competente ha dovuto intervenire, anticipando il versamento degli alimenti dovuti.
4.
4.1. Per quanto precede, il ricorso è respinto e il giudizio impugnato confermato. Le spese giudiziarie vanno poste a carico del ricorrente, secondo soccombenza (art. 66 cpv. 1 e 65 LTF). Non si assegnano ripetibili (<ref-law>).
4.2. Con l'evasione del ricorso, la domanda di conferimento dell'effetto sospensivo è divenuta priva d'oggetto.

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 2'000.-- sono poste a carico del ricorrente.
3.
Comunicazione al ricorrente, alla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino, nonché alla Segreteria di Stato della migrazione.