Faits :
A.
Les époux A._ se sont mariés le 6 janvier 2011. Ils ont eu une enfant, C._, née en 2013.
Par demande unilatérale du 29 mars 2017, A.A._ a ouvert action en divorce.
A.a. Ensuite d'une ordonnance de " mesures provisionnelles " rendue par la Présidente du Tribunal civil de l'arrondissement de La Broye et du Nord vaudois le 15 avril 2019, un rapport d'expertise portant sur les modalités du droit aux relations personnelles du père sur l'enfant a été rendu par la Dresse D._ le 2 juin 2020. L'experte a en substance conclu qu'à l'heure actuelle, il n'était pas possible d'envisager l'exercice d'un droit de visite, étant précisé que cette question contribuait à péjorer l'état psychique de toute la famille. Elle a indiqué que le maintien de l'autorité parentale au père devait également être discuté, celui-ci ne percevant pas du tout les besoins de sa fille. La situation pourrait être revue en fonction de l'évolution du père, mais en l'état, il y avait lieu de maintenir une " séparation thérapeutique " afin de protéger l'évolution du père et de l'enfant, chacun de leur côté.
B.
Le 19 août 2020, le père a sollicité la mise en oeuvre d'une seconde expertise. La mère s'est opposée à cette requête.
Par ordonnance d'instruction du 15 octobre 2020, la Présidente a ordonné une seconde expertise tendant à déterminer selon quelles modalités le droit aux relations personnelles du père sur l'enfant pouvait et/ou devait s'exercer. Elle a désigné alternativement deux experts. Elle a en substance considéré qu'au vu des conclusions de l'expertise de la Dresse D._, de l'importance que revêtaient les relations parent-enfant dans la construction de l'identité d'un enfant et des positions divergentes de la Direction générale de l'enfance et de la jeunesse (qui préconisait une reprise du droit de visite) et de l'experte pédopsychiatre, un second avis d'expert était nécessaire pour apprécier correctement le droit aux relations personnelles du père sur sa fille.
Statuant par arrêt du 2 novembre 2020 adressé pour notification aux parties par pli du 19 novembre 2020, la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a déclaré irrecevable le recours interjeté par la mère contre cette décision. Elle a rendu son arrêt sans frais et jugé que la requête d'assistance judiciaire de la mère était sans objet.
C.
Par acte du 15 décembre 2020, A.A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle conclut principalement à la réforme de la décision de deuxième instance cantonale, en ce sens qu'il n'est pas ordonné de seconde expertise et que l'autorité de première instance est invitée à fixer l'audience de plaidoiries finales sans délai, que sa requête d'assistance judiciaire pour la procédure cantonale est admise, la cause étant renvoyée à la cour cantonale pour fixation de l'indemnité de son conseil, enfin, que des dépens lui sont alloués pour un montant d'à tout le moins 2'000 fr., montant mis à la charge de l'Etat. Subsidiairement, elle requiert le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. Elle sollicite aussi le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Invité à se déterminer, B.A._ a conclu principalement à ce que le recours soit déclaré irrecevable, subsidiairement à son rejet. La cour cantonale s'est référée aux considérants de sa décision.

Considérant en droit :
1.
1.1. L'arrêt entrepris déclare irrecevable, en dernière instance cantonale (<ref-law>), le recours interjeté contre une ordonnance d'instruction par laquelle une expertise pédopsychiatrique est ordonnée. Il s'agit d'une décision incidente au sens de l'<ref-law>. Ainsi que le soutient la recourante, conformément à l'<ref-law>, une décision incidente peut faire séparément l'objet d'un recours au Tribunal fédéral si elle peut causer un préjudice irréparable. Cette condition - qu'il appartient à la partie recourante d'établir à moins que sa réalisation ne fasse d'emblée aucun doute - s'apprécie par rapport à la décision de première instance, et non par rapport à la décision d'irrecevabilité du recours rendue par le tribunal supérieur (<ref-ruling> consid. 1.2).
La décision refusant ou admettant des moyens de preuve offerts par les parties ne cause en principe pas de préjudice irréparable puisqu'il est normalement possible, en recourant contre la décision finale, d'obtenir que la preuve refusée à tort soit administrée ou que la preuve administrée à tort soit écartée du dossier (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 2.3). Dans des cas exceptionnels, il peut cependant y avoir un risque de préjudice irréparable (arrêt 5A_1058/2019 du 4 mai 2020 consid. 1.2 in fine et les références). Ainsi, selon la jurisprudence constante, peut causer un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law> une décision ordonnant une expertise psychiatrique dans le cadre d'une affaire de droit de la famille (arrêts 5A_343/2020 du 15 décembre 2020 consid. 1.1; 5A_557/2017 du 16 février 2018 consid. 1.1), de même que dans le cadre d'une affaire relative à la protection de l'enfant (arrêts 5A_87/2019 du 26 mars 2019 consid. 1.2; 5A_940/2014 du 30 mars 2015 consid. 1) ou de l'adulte (arrêts 5A_211/2014 du 14 juillet 2014 consid. 1; 5A_655/2013 du 29 octobre 2013 consid. 1.1). La jurisprudence publiée aux <ref-ruling> consid. 2 et 3, qui nie l'existence d'un préjudice irréparable s'agissant des décisions des offices AI par lesquelles des expertises médicales sont mises en oeuvre, a trait à une situation différente et n'est donc pas déterminante dans le présent contexte (arrêts 5A_940/2014 du 30 mars 2015 consid. 1; 5A_655/2013 du 29 octobre 2013 consid. 1.1).
1.2. Pour le surplus, la détermination de la voie de droit ouverte à l'encontre d'une décision incidente dépend de la cause au fond (<ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 2.2). Il s'agit en l'espèce d'une affaire matrimoniale (<ref-law>) de nature non pécuniaire dans son ensemble (arrêt 5A_142/2020 du 24 décembre 2020 consid. 1 et les références). Le recours a par ailleurs été déposé en temps utile (<ref-law>) et dans la forme légale (<ref-law>) par une partie ayant la qualité pour recourir (<ref-law>). Il est en principe recevable au regard des dispositions qui précèdent.
2.
Dans le cadre d'un recours contre une décision incidente, les motifs qui peuvent être invoqués sont limités dans la même mesure que pour le recours contre la décision principale (arrêts 5A_1029/2018 du 28 décembre 2018 consid. 5.2; 5A_327/2017 du 2 août 2017 consid. 2.1 et les références). En l'espèce, nonobstant l'indication figurant dans l'arrêt cantonal selon laquelle la première expertise aurait été ordonnée par " ordonnance de mesures provisionnelles ", rien n'indique que la procédure dans le cadre de laquelle l'ordonnance d'instruction litigieuse a été rendue soit de nature provisionnelle. Il ressort en effet de l'arrêt attaqué que cette ordonnance a été rendue dans le cadre de la procédure de divorce des parties, à savoir une procédure qui n'est pas de nature provisionnelle au sens de l'<ref-law>. La cognition du Tribunal fédéral n'est donc pas restreinte à la violation des droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 1). Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit tel qu'il est délimité par les art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés (<ref-ruling> consid. 2.4 et les références).
3.
Se prévalant d'une violation de son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.) et d'un déni de justice (art. 29 al. 1 Cst.), la recourante expose que la Chambre des recours civile n'a pas statué sur la critique qu'elle avait développée dans son recours cantonal, à savoir que ce n'était pas l'allongement de la procédure en soi qui occasionnait un risque de préjudice difficilement réparable, mais bien les effets délétères que cet allongement auraient sur l'enfant et sur elle-même. Elle ajoute être favorable, par économie de procédure et nonobstant le caractère formel de ce grief, à ce que l'arrêt cantonal soit réformé sur le fond, et fait valoir que l'autorité cantonale a violé l'<ref-law> en considérant que la condition du préjudice difficilement réparable posée par cette disposition n'était pas remplie en l'espèce. Elle expose en substance qu'une nouvelle expertise pédopsychiatrique allongerait considérablement la procédure avec, comme corollaire, la constante péjoration psychique de toute la famille selon les propres dires de la Dresse D._. Enfin, la possibilité de contester la seconde expertise en même temps que la décision finale ne permettrait pas de réparer cette atteinte psychique.
3.1. La Chambre des recours civile a jugé que le droit aux relations personnelles entre un parent et son enfant était considéré comme un droit propre de l'enfant et devait servir en premier lieu son intérêt. On ne voyait donc pas en quoi le fait de déterminer si l'enfant pouvait ou non voir son père, et le cas échéant selon quelles modalités, serait de nature à causer un préjudice difficilement réparable à une personne tierce, fût-elle la mère de l'enfant. Quant à l'allongement de la procédure, ce critère ne permettait pas de retenir l'existence d'un préjudice irréparable (sic), ce d'autant plus que le sort de l'enfant était en jeu. Enfin, la mère aurait la possibilité de contester la seconde expertise ordonnée avec la décision finale de sorte que, pour ce motif aussi, il n'existait pas de préjudice difficilement réparable au sens restrictif où la jurisprudence l'entend.
3.2. Comme il a été dit (cf. supra consid. 1.1), le refus de la Chambre des recours civile d'entrer en matière sur le recours cantonal de la mère est susceptible de causer un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law>. Or, selon la jurisprudence, l'admission de la condition d'un tel préjudice s'agissant de la recevabilité du recours en matière civile au Tribunal fédéral réalise a fortiori la condition du préjudice difficilement réparable de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2; arrêt 5A_554/2019 du 21 novembre 2019 consid. 2.3, publié in SJ 2020 I 169). C'est donc à tort que l'autorité cantonale a déclaré irrecevable le recours en application de cette dernière disposition.
Lorsque le recours a pour objet une décision d'irrecevabilité, le Tribunal fédéral ne statue pas lui-même sur le fond en cas d'admission du recours, mais se borne à renvoyer l'affaire à l'autorité précédente afin que les justiciables ne soient pas privés d'un degré de juridiction (<ref-ruling> consid. 1.2; parmi plusieurs: arrêts 4A_510/2016 du 26 janvier 2017 consid. 1; 4A_360/2016 du 12 janvier 2017 consid. 1; 5A_637/2016 du 2 novembre 2016 consid. 1.2). Tel est le cas en l'espèce, de sorte qu'il ne saurait être entré en matière sur la conclusion en réforme de la recourante tendant à ce qu'aucune expertise psychiatrique familiale ne soit ordonnée, de même que sur les griefs de violation des <ref-law> et 133 al. 2 CC que la recourante soulève en lien avec le bien-fondé de l'ordonnance de preuve.
4.
La recourante reproche à la Chambre des recours civile d'avoir considéré sa requête d'assistance judiciaire comme étant sans objet. Elle expose en premier lieu que son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.), sous l'angle du droit à une décision motivée, a été violé, la décision entreprise se bornant à indiquer que la requête d'assistance judiciaire est sans objet " vu l'issue du recours ", de sorte qu'il ne serait pas possible d'en comprendre les motifs. En second lieu, elle fait valoir que son recours n'était pas dénué de chances de succès puisqu'il reposait sur les conclusions de l'expertise pédopsychiatrique de la Dresse D._, de sorte que le refus d'entrer en matière sur sa requête d'assistance judiciaire contreviendrait à l'<ref-law>.
Indépendamment du caractère très succinct de la motivation de l'arrêt cantonal s'agissant du sort de la requête d'assistance judiciaire de la recourante - cette autorité se contentant à cet égard de faire référence à " l'issue du recours " -, il faut relever qu'à moins que l'assistance judiciaire n'ait été requise que pour l'exonération des frais judiciaires (<ref-law>), à l'exclusion de la commission d'un conseil d'office (art. 118 al. 1 let. c CPC) - ce qui ne ressort pas de l'arrêt attaqué -, le fait que la Chambre des recours civile ait statué sans frais ne suffisait pas à rendre la requête d'assistance judiciaire sans objet. Celle-ci aurait pu être rejetée si l'une des conditions cumulatives de l'<ref-law> n'étaient pas réalisées, conditions que la cour cantonale n'a cependant pas examinées, étant relevé que l'issue du litige n'est en tant que telle pas déterminante dans le cadre de l'examen des chances de succès au sens de l'<ref-law>. Cet examen doit être effectué en fonction des circonstances existant à la date du dépôt de la requête et de manière sommaire (<ref-ruling> consid. 5.1 et les références; arrêt 5A_858/2012 du 4 février 2013 consid. 3.3.1.2). Quoi qu'il en soit, dès lors que la cause doit être renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision (cf. supra consid. 3.2), il n'y a pas lieu de se pencher plus avant sur la question du sort de la requête d'assistance judiciaire introduite pour la procédure cantonale. La cause sera renvoyée à l'autorité cantonale pour qu'elle statue sur les frais et dépens de la procédure cantonale (<ref-law>) ainsi sur la requête d'assistance judiciaire formée par la recourante pour la procédure de deuxième instance.
5.
Vu ce qui précède, conformément aux conclusions subsidiaires du recourant, l'arrêt attaqué doit être annulé et la cause renvoyée à la cour cantonale pour qu'elle entre en matière sur le recours cantonal et examine le bien-fondé de l'ordonnance d'instruction rendue par la Présidente. Il lui appartiendra aussi de statuer à nouveau sur les frais et dépens de la procédure cantonale (<ref-law>) et sur la requête d'assistance judiciaire formée par la recourante pour la procédure de deuxième instance. L'intimé, qui succombe (cf. <ref-ruling> consid. 11.1), supportera les frais de la procédure et versera en outre des dépens à la recourante (art. 68 al. 1 et 2 LTF; <ref-ruling> consid. 2c, avec la jurisprudence citée).
Les deux parties sollicitent le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. Les conditions prévues aux art. 64 al. 1 et 2 LTF sont remplies en l'espèce. Puisque la recourante ne supporte pas les frais judiciaires, sa demande d'assistance judiciaire est sans objet en tant qu'elle porte sur ce point (<ref-ruling> consid. 5; arrêt 5A_295/2016 du 23 février 2017 consid. 6.2). Tel n'est en revanche pas le cas en tant qu'elle concerne la désignation d'un avocat d'office et l'indemnisation de celui-ci. En effet, bien que l'intimé ait été condamné à verser des dépens à la recourante, il y a lieu de considérer que celle-ci ne sera pas en mesure de les recouvrer, compte tenu de la situation financière de son époux. L'avocat de la recourante sera dès lors également directement indemnisé par la Caisse du Tribunal fédéral (arrêts 5A_333/2019 du 6 juillet 2020 consid. 6; 5A_154/2019 du 1er octobre 2019 consid. 6.2; cf. ég. <ref-ruling> consid. 3d). Les parties sont rendues attentives au fait qu'elles sont tenues de rembourser ultérieurement la Caisse du Tribunal fédéral si elles sont en mesure de le faire (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
Autant qu'elle n'est pas sans objet, la requête d'assistance judiciaire de la recourante est admise et Me Matthieu Genillod lui est désigné comme avocat d'office.
3.
La requête d'assistance judiciaire de l'intimé est admise et Me Manuela Ryter Godel lui est désignée comme avocate d'office.
4.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge de l'intimé. Ils sont provisoirement supportés par la Caisse du Tribunal fédéral.
5.
Une indemnité de 2'500 fr. à verser à la recourante à titre de dépens, est mise à la charge de l'intimé. La Caisse du Tribunal fédéral indemnise provisoirement le conseil de la recourante; une indemnité de 2'000 fr. lui est allouée à titre d'honoraires d'avocat d'office.
6.
Une indemnité de 2'000 fr., supportée par la Caisse du Tribunal fédéral, est allouée au conseil de l'intimé à titre d'honoraires d'avocat d'office.
7.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 28 avril 2021
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Dolivo