Sachverhalt:
Im Transportfahrzeug der Luzerner Polizei habe A._ auf der Höhe des V._platzes damit begonnen, zu spucken. Dabei habe er mit seiner Spucke die Autofensterscheibe hinten rechts getroffen, wo der Polizist B._ gesessen sei. Diesen habe er mit seiner Spucke auch am Unterarm und auf der Brust getroffen, während dieser versucht habe, ihn im mittlerweile stehenden Transportfahrzeug am Oberkörper und den Beinen besser zu fixieren und zu beruhigen.
A.
A.a. Mit Strafbefehl vom 2. Oktober 2018 sprach die StaatsanwaltschaftA._ wegen Trunkenheit, Hinderung einer Amtshandlung und Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte schuldig und bestrafte ihn mit einer bedingten Geldstrafe von 60 Tagessätzen zu je Fr. 70.-- bei einer Probezeit von zwei Jahren sowie zu einer Busse von Fr. 1'000.--.
NachdemA._ gegen diesen Strafbefehl Einsprache erhoben hatte, hielt die Staatsanwaltschaft an diesem fest und überwies die Akten am 23. Oktober 2018 dem Bezirksgericht Luzern zur Durchführung des Hauptverfahrens.
Mit Urteil vom 22. März 2019 sprach das Bezirksgericht LuzernA._ schuldig wegen Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte, Hinderung einer Amtshandlung und Trunkenheit, begangen am 2. Oktober 2017 in Luzern, und bestrafte ihn mit einer bedingten Geldstrafe von 45 Tagessätzen zu je Fr. 70.-- sowie einer Busse von Fr. 750.-- (Ersatzfreiheitsstrafe 10 Tage) unter Anrechnung von einem Tag Polizeihaft an die Geldstrafe.
A.b. Das Kantonsgericht Luzern wies die dagegen erhobene Berufung mit Urteil vom 31. März 2020 vollumfänglich ab und bestätigte den erstinstanzlichen Entscheid. Was den Sachverhalt anbelangt, stellte es massgeblich auf die Aussagen der beiden Polizisten ab.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen beantragt A._ dem Bundesgericht, es sei das Berufungsurteil aufzuheben und er sei von sämtlichen Vorwürfen freizusprechen; eventualiter sei im Sinne von <ref-law> von einer Strafe abzusehen. Für den Fall eines Freispruchs sei ihm eine Genugtuung von Fr. 1'000.-- zuzusprechen. Schliesslich sei ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu erteilen.
Es wurden die kantonalen Akten, nicht aber Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein Endentscheid (<ref-law>) in Strafsachen einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Berufung hin (<ref-law>) geurteilt hat. Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>) und hat die Beschwerdefrist eingehalten (<ref-law>). Unter Vorbehalt rechtsgenüglicher Begründung (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) und materieller Ausschöpfung des Instanzenzugs (<ref-law>) ist die Beschwerde in Strafsachen gemäss <ref-law> grundsätzlich zulässig.
2.
Der Beschwerdeführer rügt zunächst eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes nach <ref-law>.
2.1.
2.1.1. Im Strafverfahren gilt der Untersuchungsgrundsatz. Danach klären die Strafbehörden von Amtes wegen alle für die Beurteilung der Tat und der beschuldigten Person bedeutsamen Tatsachen ab (<ref-law>). Sie untersuchen die belastenden und entlastenden Umstände mit gleicher Sorgfalt (<ref-law>). Die Ermittlung des wahren Sachverhalts ist von zentraler Bedeutung. Insofern ist es mit Blick auf das Ziel der Erforschung der materiellen Wahrheit erforderlich, dass die Gerichte eine aktive Rolle bei der Beweisführung einnehmen (<ref-ruling> E. 5.6.2; Urteile 6B_1189/2018 vom 12. September 2019 E. 2.1.1; 6B_288/2015 vom 12. Oktober 2015 E. 1.5.4). Nur wenn die Gerichte ihrer Amtsermittlungspflicht genügen, dürfen sie einen Sachverhalt als erwiesen (oder nicht erwiesen) ansehen und in freier Beweiswürdigung darauf eine Rechtsentscheidung gründen (Urteil 6B_1189/2018 vom 12. September 2019 E. 2.1.1).
2.1.2. Die Strafbehörden können ohne Verletzung des rechtlichen Gehörs und des Untersuchungsgrundsatzes auf die Abnahme weiterer ihnen angebotener und sich auf entscheidwesentliche Tatsachen beziehende Beweise verzichten, wenn sie in willkürfreier Würdigung der bereits abgenommenen Beweise zur Überzeugung gelangen, der rechtlich erhebliche Sachverhalt sei genügend abgeklärt, und sie überdies in willkürfreier antizipierter Würdigung zum Schluss kommen, ein an sich taugliches Beweismittel vermöge ihre Überzeugung von der Wahrheit oder Unwahrheit einer strittigen Tatsache, die es insbesondere aufgrund der bereits abgenommenen Beweismittel gewonnen hat, nicht zu erschüttern (<ref-ruling> E. 9.3.2; <ref-ruling> E. 3.3; je mit Hinweisen).
Die Rüge unzulässiger antizipierter Beweiswürdigung prüft das Bundesgericht nur unter dem Aspekt der Willkür (Urteil 6B_300/2020 vom 21. August 2020 E. 3.3.3 mit Hinweisen).
2.1.3. Wird eine Verletzung von Grundrechten einschliesslich Willkür behauptet, obliegt der Partei im bundesgerichtlichen Verfahren eine qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 106 Abs. 2 BGG). Wird diese nicht eingehalten, ist auf die entsprechende Rüge nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweis).
Ebenfalls nicht einzutreten ist auf Rügen, die bereits bei der Vorinstanz hätten erhoben werden können, aber nicht erhoben wurden: Der kantonale Instanzenzug ist nicht nur formell, sondern auch materiell auszuschöpfen (<ref-law>).
2.2. Soweit der Beschwerdeführer eine Verletzung von <ref-law> aus den Umständen ableiten will, dass im kantonalen Verfahren diverse Kameraaufnahmen nicht beigezogen, Passanten nicht befragt, kein Protokoll über den Atemalkoholtest verfasst und keine Blutprobe abgenommen worden seien, ist er vor Bundesgericht nicht mehr zu hören. Die entsprechenden Vorwürfe hätte er vor der Berufungsinstanz erheben bzw. wiederholen müssen. Dass er dies getan hat, legt er in seiner Beschwerdeschrift nicht dar und geht auch aus den gemäss <ref-law> verbindlichen Feststellungen im angefochtenen Urteil zum Prozesssachverhalt (zum Begriff <ref-ruling> E. 1.3.1) nicht hervor. Es ist nicht Sache des Bundesgerichts, selbst in den Verfahrensakten nach Belegstellen für unsubstantiierte Rügen zu forschen (<ref-ruling> E. 6.2; Urteil 6B_129/2018 vom 23. November 2018 E. 5 mit Hinweisen). Damit kann auf die entsprechende Rüge mangels materieller Ausschöpfung des kantonalen Instanzenzugs nicht eingetreten werden. Das Gleiche gilt für den Vorwurf, die Auskunftspersonen B._ und C._ hätten sich abgesprochen, weshalb ihre übereinstimmenden Aussagen unglaubhaft seien, für die Kritik, wonach nicht abgeklärt worden sei, ob der Beschwerdeführer mit einem normalen Personenwagen hätte transportiert werden dürfen und die Festnahme verhältnismässig war sowie für den Vorwurf, von den Spuckrückständen seien keine Fotografien erstellt worden. Weder aus den Angaben in der Beschwerdeschrift noch aus dem angefochtenen Urteil ergibt sich, dass diese Rügen vorinstanzlich geltend gemacht worden sind.
2.3.
2.3.1. Soweit der Beschwerdeführer eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes daraus ableiten will, dass die Vorinstanz seinen Antrag auf Einvernahme von D._, E._ und F._ als Zeugen abgewiesen hat, kann auf die Ausführungen auf den Seiten 5 und 6 im angefochtenenUrteil verwiesen werden: Danach bestätigte E._ mit Schreiben vom 5. März 2020 ihre Ausführungen vom 23. Dezember 2017, wonach sie mit dem Beschwerdeführer im Pub H._ zusammen gewesen sei und sich dieser anständig, nicht betrunken und auch nicht anderweitig negativ auffällig verhalten habe. Für den Tatzeitpunkt vor dem Club G._ kann sie keine Angaben machen. Schliesslich bestätigte auch D._ mit Schreiben vom 9. März 2020 seine Ausführungen vom Dezember 2017, wonach er mit dem Beschwerdeführer im Pub H._ und im Club G._ zusammen gewesen sei und sich dieser weder aggressiv, mühsam, unanständig oder betrunken verhalten habe. D._ war allerdings draussen vor dem Club G._ nicht anwesend und vermag somit die Reaktionen des Beschwerdeführers, welche dieser im Rahmen einer Stresssituation wie einer Konfrontation mit Polizeibeamten an den Tag legte, nicht zu beschreiben. Bereits aus diesem Grund sind nach Auffassung der Vorinstanz seine allfälligen früheren Beobachtungen im Club nicht relevant. Auch die Einvernahme von F._, die bloss telefonischen Kontakt mit dem Beschuldigten hatte, erweist sich gemäss den Ausführungen im angefochtenen Urteil im Hinblick auf die dem Beschwerdeführer gemachten Vorwürfe als nicht relevant. In antizipierter Beweiswürdigung wies die Vorinstanz die entsprechenden Beweisanträge daher ab.
2.3.2. Dass die Vorinstanz mit diesen Erwägungen in Willkür verfallen wäre, legt der Beschwerdeführer nicht im Ansatz dar. Vielmehr begnügt er sich mit Ausführungen, zu welchen Themen die beantragten Zeugen auch noch hätten befragt werden können, ohne dabei aber darzutun, weshalb die vorinstanzliche Beweiswürdigung in geradezu unhaltbarer Weise erfolgt sein soll. Auf die entsprechende Rüge ist ebenfalls nicht einzutreten.
3.
Unter dem Titel "Rüge der Verletzung der nicht wirklichen Prüfung und Beachtung des subjektiven Tatbestandes" wendet sich der Beschwerdeführer sodann gegen die vorinstanzliche Beweiswürdigung und macht eine Verletzung des rechtlichen Gehörs geltend.
3.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung der Vorinstanz kann vor Bundesgericht nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich im Sinne von <ref-law> ist und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1, 241 E. 2.3.1; je mit Hinweisen). Willkür im Sinne von <ref-law> liegt vor, wenn die vorinstanzliche Beweiswürdigung schlechterdings unhaltbar ist, d.h. wenn die Behörde in ihrem Entscheid von Tatsachen ausgeht, die mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen oder auf einem offenkundigen Fehler beruhen. Dass eine andere Lösung ebenfalls möglich erscheint, genügt für die Annahme von Willkür nicht (<ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.3.1; je mit Hinweisen).
3.2. Bei seiner Kritik an der vorinstanzlichen Beweiswürdigung übersieht der Beschwerdeführer diese Grundsätze. Das Bundesgericht ist keine Berufungsinstanz, vor der die Beweiswürdigung noch einmal frei diskutiert werden kann und welche die erhobenen Beweise eigenständig noch einmal neu würdigt. Das Bundesgericht ist Rechts-, nicht Tatsacheninstanz: Es hört einzig Rechtsfehler bei der Sachverhaltserhebung. Der Beschwerdeführer trägt dem Bundesgericht nun aber in seiner Beschwerdeschrift nichts anderes als eine eigenständige Beweiswürdigung aus eigener Sicht vor, die er den vorinstanzlichen Erwägungen gegenüberstellt - ein Vorgehen, welches dem Plädoyer im Schlussvortrag vor der Berufungsinstanz entspricht. Das ist im bundesgerichtlichen Verfahren unbehelflich. Zwar behauptet der Beschwerdeführer hie und da auch Willkür, legt diesen Vorwurf aber nicht in einer den Begründungsanforderungen genügenden Weise dar. Dass die Vorinstanz vor allem auf die Auskunftspersonen B._ und C._ abgestellt und deren Aussagen als glaubhaft erachtet hat, erscheint entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers nicht willkürlich. Die im selben Zusammenhang erhobene Rüge der Gehörsverletzung erfolgt, soweit sie überhaupt im Sinne von Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG rechtsgenügend begründet ist, ebenfalls ohne Grund.
4.
Im Weiteren rügt der Beschwerdeführer sinngemäss eine Verletzung des Grundsatzes "in dubio pro reo" in seiner Ausgestaltung als Beweiswürdigungsregel (<ref-law>), indem "wichtige Beweise nicht sichergestellt bzw. nicht erhoben" worden seien "und der Sachverhalt in offensichtlich unbegründeter Verneinung der Glaubwürdigkeit des Beschuldigten nicht richtig festgestellt" worden sei. Wäre dies der Fall gewesen, "hätten ernsthafte und unüberbrückbare Zweifel an der Schuld gehegt werden müssen".
Die Rüge geht fehl. Wie aus den obigen Ausführungen hervorgeht, vermag der Beschwerdeführer die monierte Nichtabnahme diverser Beweismittel vorliegend nicht mehr mit Erfolg in Frage zu stellen. Was sodann den Vorwurf der Verletzung des Grundsatzes "in dubio pro reo" unter dem Aspekt der Beweiswürdigungsregel anbelangt, so wird dies vom Bundesgericht nur unter dem Blickwinkel der - nicht hinreichend substanziiert geltend gemachten - Willkür überprüft (<ref-ruling> E. 1.1; Urteile 6B_878/2018 vom 29. Juli 2019 E. 3.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 6B_1197/2019 vom 5. Mai 2020 E. 2; 6B_828/2018 vom 5. Juli 2019 E. 4.2). Dem Grundsatz ist sodann nicht zu entnehmen, welche Beweismittel zu berücksichtigen und wie sie gegebenenfalls zu würdigen sind (<ref-ruling> E. 2.2.3.1). Eine behördliche Pflicht zur Würdigung der Beweismittel ausschliesslich zu seinen Gunsten scheint der Beschwerdeführer aber mit seinen Vorbringen aus "in dubio pro reo" ableiten zu wollen. Dies zu Unrecht.
5.
Was schliesslich den Eventualantrag anbelangt, es sei im Sinne von <ref-law> von einer Strafe abzusehen, so finden sich in der Beschwerdeschrift keinerlei Ausführungen hierzu. Darauf ist mithin mangels Begründung ebenfalls nicht einzutreten.
Da es beim Schuldspruch bleibt, erübrigen sich Ausführungen zur Genugtuungsforderung des Beschwerdeführers.
6.
Die Beschwerde ist nach dem Gesagten abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann. Die Gerichtskosten sind ausgangsgemäss dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von <ref-law> wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist mit reduzierten Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Februar 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Jacquemoud-Rossari
Die Gerichtsschreiberin: Rohrer