Sachverhalt:
A.
A.a. A._, dessen Eltern (schwedische Staatsangehörige) sich seit dem 19. August 2013 zu Studienzwecken resp. zum Verbleib beim Lebenspartner bis zum Ende seines Studiums in der Schweiz aufhielten, wurde am 7. November 2013 geboren und anschliessend im Kinderspital stationär behandelt. Er war der SWICA Krankenversicherung AG (nachfolgend: Swica) für die obligatorische Krankenpflegeversicherung angeschlossen. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen anerkannte einen Anspruch des A._ auf medizinische Massnahmen und erteilte am 3. und 4. Februar 2014 Kostengutsprache für die vom 7. November bis zum 28. resp. 30. November 2013 erfolgte Behandlung der Geburtsgebrechen Ziffer 497 und 313 des Anhangs zur Verordnung vom 9. Dezember 1985 über Geburtsgebrechen (SR 831.232.21; GgV).
A.b. Am 21. Februar 2014 zogen die Eltern von A._ mit ihrem Kind zurück nach Schweden. Weil auch das Geburtsgebrechen Ziffer 395 Anhang GgV und damit ein weiterer Anspruch auf medizinische Massnahmen im Raum stand, leitete die IV-Stelle des Kantons St. Gallen die Akten zuständigkeitshalber an die IV-Stelle für Versicherte im Ausland (IVSTA) weiter. Diese kam nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens zum Schluss, dass die Eltern von A._ während ihres Aufenthalts in der Schweiz nicht dem schweizerischen Sozialversicherungssystem angeschlossen und deshalb die versicherungsmässigen Voraussetzungen für einen Anspruch des Kindes auf medizinische Massnahmen nicht erfüllt gewesen seien. Mit Verfügung vom 11. Dezember 2014 hob die IVSTA die Leistungszusprachen der IV-Stelle des Kantons St. Gallen vom 3. und 4. Februar 2014 wiedererwägungsweise auf. Gleichzeitig forderte sie die Swica auf, den entsprechenden Betrag von Fr. 20'559.70 an die Zentrale Ausgleichsstelle zu überweisen. Im Februar resp. Oktober 2015 zahlte das Kinderspital der Zentralen Ausgleichsstelle insgesamt Fr. 20'559.70 (Rückerstattung der Behandlungskosten für A._).
Die Swica führte Beschwerde gegen die Verfügung vom 11. Dezember 2014; das entsprechende Verfahren endete mit dem Rückweisungsentscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 31. Januar 2017. Nach Einholung einer zustimmenden Stellungnahme der IV-Stelle des Kantons St. Gallen und erneuter Durchführung des Vorbescheidverfahrens bestätigte die IVSTA mit Verfügung vom 21. September 2017 die Aufhebung der Leistungszusprachen.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde der Swica wies das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 18. Mai 2020 ab.
C.
Die Swica beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, unter Aufhebung des Urteils vom 18. Mai 2020 sei die Eidgenössische Invalidenversicherung zu verpflichten, die Behandlung der Geburtsgebrechen Ziffer 497 und 313 GgV bei A._ vom November 2013 zu übernehmen.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
Gemäss <ref-law> (SR 830.1) kann der Versicherungsträger auf formell rechtskräftige Verfügungen oder Einspracheentscheide zurückkommen, wenn diese zweifellos unrichtig sind und wenn ihre Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist.
Die vorinstanzlich (in E. 3.1.5 des angefochtenen Urteils) bejahte Anwendbarkeit des schweizerischen Rechts ist unbestritten. Die Beschwerdeführerin rügt einzig eine Verletzung von <ref-law>, und zwar einerseits in Bezug auf die Zuständigkeit der IVSTA für die Wiedererwägung (dazu nachfolgende E. 3) und anderseits hinsichtlich der zweifellosen Unrichtigkeit der Leistungszusprachen vom 3. und 4. Februar 2014 (dazu nachfolgende E. 4).
3.
3.1. Gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide über die Zuständigkeit und über Ausstandsbegehren ist die Beschwerde zulässig (<ref-law>). Diese Entscheide können später nicht mehr angefochten werden (<ref-law>).
3.2. Das Bundesverwaltungsgericht prüfte bereits in seinem Rückweisungsentscheid vom 31. Januar 2017 die Zuständigkeit (vgl. auch THOMAS FLÜCKIGER, Basler Kommentar, Allgemeiner Teil des Sozialversicherungsrechts, 2020, N. 89 zu <ref-law>) der IVSTA für die Wiedererwägung der von der IV-Stelle des Kantons St. Gallen erlassenen Leistungszusprachen vom 3. und 4. Februar 2014; es bejahte sie (unter Hinweis auf u.a. <ref-ruling> E. 4b) ausdrücklich. Es wies die - als zuständig erachtete - IVSTA an, vor dem Erlass einer neuen Wiedererwägungsverfügung die IV-Stelle St. Gallen zur Stellungnahme einzuladen, und verzichtete deshalb auf eine materielle Überprüfung der damals angefochtenen Verfügung.
3.3. Beim Rückweisungsentscheid vom 31. Januar 2017 handelt es sich somit um einen selbständig eröffneten Vor- resp. Zwischenentscheid über die Zuständigkeit, den die Beschwerdeführerin - entgegen ihrer Auffassung - selbständig hätte anfechten können. Ihre weiteren Ausführungen zur Zuständigkeit sind nunmehr verspätet (vgl. vorangehende E. 3.1); darauf ist in diesem Verfahren nicht einzugehen.
4.
4.1. Voraussetzung einer Wiedererwägung nach <ref-law> ist - nebst der erheblichen Bedeutung der Berichtigung -, dass kein vernünftiger Zweifel an der Unrichtigkeit der Verfügung (resp. des allfälligen Einspracheentscheids oder der formlosen Leistungszusprache [vgl. <ref-law> i.V.m. <ref-law>; SVR 2020 UV Nr. 11 S. 39, 8C_383/2019 E. 4.3.1]) besteht, also nur dieser einzige Schluss denkbar ist. Dieses Erfordernis ist in der Regel erfüllt, wenn eine Leistungszusprache aufgrund falscher Rechtsregeln erfolgt ist oder wenn massgebliche Bestimmungen nicht oder unrichtig angewandt wurden. Ob dies zutrifft, beurteilt sich nach der bei Erlass der Verfügung bestandenen Sach- und Rechtslage, einschliesslich der damaligen Rechtspraxis (<ref-ruling> E. 5.2; <ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 3.3).
4.2. Die Vorinstanz hat erwogen, dass ein Anspruch des A._ auf medizinische Massnahmen gemäss <ref-law> dessen Unterstellung unter die Invalidenversicherung vorausgesetzt habe. Dies gelte auch im Lichte des FZA (SR 0.142.112.681) und des damit übernommenen Gemeinschaftsrechts (Verordnung [EG] Nr. 883/2004 des Europäischen Parlaments und des Rates vom 29. April 2004 zur Koordinierung der Systeme der sozialen Sicherheit [SR 0.831.109.268.1]), und die Ausnahmebestimmung von <ref-law> sei i.c. nicht einschlägig. Nichterwerbstätige seien laut <ref-law> i.V.m. <ref-law> der Invalidenversicherung unterstellt, wenn sie in der Schweiz Wohnsitz (im Sinne von <ref-law>) haben. Sodann hat das Bundesverwaltungsgericht mit der Begründung, dass A._ gemäss <ref-law> i.V.m. <ref-law> den Wohnsitz mit seinen Eltern resp. seiner Mutter teile, deren Wohnsitz im Zeitpunkt der Geburt überprüft. Es kam zum Schluss, dass die Eltern während ihres rund sechs Monate dauernden Aufenthaltes keinen Wohnsitz in der Schweiz begründet hätten. A._ habe somit ebenfalls keinen schweizerischen Wohnsitz und deshalb auch keine Versicherteneigenschaft gehabt. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen habe aber hinsichtlich der Versicherungsunterstellung keine Abklärungen getroffen. Ihre Leistungszusprachen hätten demnach auf einer Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes von <ref-law> beruht, weshalb sie gesetzeswidrig und zweifellos unrichtig im Sinne von <ref-law> seien.
4.3. Die Swica macht geltend, die Leistungszusprache habe nicht auf ungenügender Sachverhaltsabklärung beruht. Die nötigen Unterlagen zur Beurteilung des Wohnsitzes und der Versicherungsunterstellung seien beim Entscheid der IV-Stelle des Kantons St. Gallen bereits aktenkundig gewesen.
Wie es sich damit verhält, kann offenbleiben. Die Unrichtigkeit der Leistungszusprachen ergibt sich aus dem Umstand, dass die IV-Stelle des Kantons St. Gallen die versicherungsmässigen Anspruchsvoraussetzungen nicht beachtete, d.h. aus der fehlenden resp. unrichtigen Anwendung von <ref-law>, dessen Massgeblichkeit die Beschwerdeführerin nicht in Abrede stellt.
4.4. Weiter kritisiert die Swica, das Bundesverwaltungsgericht habe den Anspruch auf medizinische Massnahmen "wie bei einem erstmaligen Leistungsentscheid" überprüft. Es liege kein derart grober, ins Auge springender Fehler vor, dass die Unrichtigkeit offensichtlich sei. Das ergebe sich schon aus dem Umfang des angefochtenen Entscheids und aus der rechtlichen Komplexität aufgrund der internationalen Aspekte.
Für die Annahme einer zweifellosen Unrichtigkeit ist nicht erforderlich, dass sie einfach erkennbar ist; vielmehr genügt es, wenn sie eindeutig feststeht (vgl. vorangehende E. 4.1). Dies kann sich bei komplexen Verhältnissen auch erst nach näherer Prüfung ergeben (THOMAS FLÜCKIGER, a.a.O., N. 60 zu <ref-law>; vgl. auch UELI KIESER, Kommentar zum ATSG, 4. Aufl. 2020, N. 58 f. zu <ref-law>). Weshalb im Rahmen einer Wiedererwägung nur eine Art summarische rechtliche Überprüfung zulässig oder eine leichte Erkennbarkeit der Unrichtigkeit gefordert sein soll, leuchtet nicht ein und legt die Swica auch nicht substanziiert dar.
4.5. Sodann führt die Swica aus, der angefochtene Entscheid leide an einem inneren Widerspruch. Das Bundesverwaltungsgericht hätte die Verneinung eines schweizerischen Wohnsitzes konsequenterweise mit dem Hinweis verknüpfen müssen, dass die IV-Stelle des Kantons St. Gallen nie für die Beurteilung des Leistungsanspruchs zuständig gewesen sei.
Diese Argumentation zielt ins Leere: Dass ursprünglich fehlerhafte Leistungszusprachen durch eine (allenfalls) unzuständige Behörde erlassen wurden, macht sie nicht rechtskonformer.
4.6.
4.6.1. Schliesslich bringt die Swica vor, die Mutter des A._ habe sich in fortgeschrittenem Schwangerschaftsstadium in die Schweiz begeben, um die Ausbildungszeit ihres Lebenspartners bei diesem zu verbringen. Sie habe gewusst, dass sie in der Schweiz gebären würde und sei (wie ihr Lebenspartner) für die obligatorische Krankenpflegeversicherung versichert gewesen. Damit habe sie ihren Lebensmittelpunkt "optima forma" von Schweden in die Schweiz verlegt. Zudem erwerbe ein Kurzaufenthalter in der Schweiz Wohnsitz, sobald die Voraussetzungen für die Umwandlung der entsprechenden Bewilligung erfüllt seien, was bei Staatsangehörigen eines EU-Landes "blosse Formalität" sei. Die kurze Aufenthaltsdauer könne eine bereits erfolgte Leistungszusprache nicht als zweifellos unrichtig erscheinen lassen.
4.6.2. Der Wohnsitz einer Person befindet sich an dem Orte, wo sie sich mit der Absicht dauernden Verbleibens aufhält; der Aufenthalt insbesondere zum Zweck der Ausbildung begründet für sich allein keinen Wohnsitz (<ref-law>).
Die Vorinstanz hat mit Blick auf diese Bestimmung erwogen, die fremdenpolizeiliche Kurzaufenthaltsbewilligung "EU/EFTA L" sei nicht allein massgebend, auch wenn der Wohnsitz bei Kurzaufenthaltern von der Rechtsprechung seit jeher nur unter strengen Voraussetzungen bejaht werde. Indessen sprächen sämtliche Umstände dafür, dass von vornherein lediglich ein vorübergehender Kurzaufenthalt in der Schweiz beabsichtigt gewesen sei. Der Vater des A._ sei nur für das Studium in das Land gekommen; beide Eltern seien hier weder erwerbstätig noch bei einer Ausgleichskasse gemeldet gewesen. Sie hätten die Schweiz entsprechend den für sechs Monate ausgestellten Kurzaufenthaltsbewilligungen planmässig wieder verlassen. Die Mutter habe bei der Anmeldung ihres Sohnes bei der Invalidenversicherung eine schwedische Mobiltelefonnummer hinterlegt und ein schwedisches Bankkonto angegeben. Der Anschluss an die Krankenversicherung sei auch für Kurzaufenthalter ohne Wohnsitz in der Schweiz gesetzlich (<ref-law> i.V.m. <ref-law> [SR 832.102]) vorgesehen.
4.6.3. Dass die vorinstanzlichen Feststellungen in diesem Zusammenhang offensichtlich unrichtig sein oder auf einer Rechtsverletzung beruhen sollen, ist nicht ersichtlich und wird auch nicht geltend gemacht. Sie bleiben daher für das Bundesgericht verbindlich (E. 1). Die Beschwerdeführerin setzt sich auch mit den hier interessierenden rechtlichen Erwägungen nicht substanziiert auseinander. Anders als sie glauben machen will, hat die Vorinstanz bei der Beurteilung des Wohnsitzes nicht allein auf die Aufenthaltsdauer abgestellt. Weshalb die Geburt eines Kindes (nebst einer gesetzlichen Versicherungspflicht) mit der Verlegung des Lebensmittelpunkts an den Ort dieses Ereignisses gleichzusetzen sein soll, erschliesst sich nicht. Die Vorinstanz hat kein Recht verletzt, indem sie einen schweizerischen Wohnsitz des A._ und folglich die versicherungsmässigen Anspruchsvoraussetzungen verneint hat. Die Beschwerde ist auch in diesem Punkt unbegründet.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, A._, Uppsala, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. Mai 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Dormann