Sachverhalt:
A.
Nachdem das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau (MIKA) A._s Aufenthaltsbewilligung widerrufen hatte und sämtliche dagegen erhobenen Rechtsmittel erfolglos geblieben waren (vgl. letztinstanzlich Urteil 2C_415/2018 vom 15. Juni 2018), ersuchte A._ ein erstes Mal erfolglos um Wiedererteilung einer Aufenthaltsbewilligung. Das Gesuch wurde von den kantonalen Behörden negativ beschieden.
B.
Auf ein zweites Gesuch A._s um Wiedererteilung einer Aufenthaltsbewilligung trat das MIKA mit Schreiben vom 5. Januar 2021 nicht ein. Die dagegen erhobene Einsprache wies der Rechtsdienst des MIKA ab, soweit er darauf eintrat. Das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau (nachfolgend: das Verwaltungsgericht) bestätigte diesen Entscheid mit Urteil vom 20. Oktober 2021.
C.
Mit Eingabe vom 10. November 2021 gelangte A._ an das Bundesgericht und erklärte, mit dem Urteil des Verwaltungsgerichts nicht einverstanden zu sein; ferner ersuchte sie verfahrensrechtlich um "Prozesskostenhilfe".
Mit Schreiben vom 12. November 2021 setzte das Bundesgericht A._ darüber in Kenntnis, dass ihre Beschwerde vom 10. November den Begründungsanforderungen gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG nicht genügen dürfte und dass es darauf vermutlich nicht eintreten könne; ferner wies es A._ darauf hin, dass sie ihre Eingabe innert der laufenden Beschwerdefrist verbessern und den gesetzlichen Begründungsanforderungen anpassen könne. In der Folge retournierte A._ zwar den vom Bundesgericht übermittelten Erhebungsbogen für die unentgeltliche Rechtspflege; auf eine Ergänzung bzw. Verbesserung ihrer Beschwerde verzichtete sie jedoch.

Erwägungen:
1.
Ist eine früher bestehende Bewilligung widerrufen bzw. nicht verlängert worden, so kann zwar grundsätzlich jederzeit ein Gesuch um eine neue Bewilligung gestellt werden. Ein neues Gesuch darf aber nicht dazu dienen, rechtskräftige Entscheide immer wieder infrage zu stellen. Die Verwaltungsbehörde ist von Verfassungs wegen nur verpflichtet, auf ein neues Gesuch einzutreten, wenn die Umstände sich seit dem ersten Entscheid wesentlich geändert haben oder der Gesuchsteller erhebliche Tatsachen und Beweismittel namhaft macht, die ihm im früheren Verfahren nicht bekannt waren oder die schon damals geltend zu machen für ihn rechtlich oder tatsächlich unmöglich war oder keine Veranlassung bestand (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2b).
2.
2.1. Die Vorinstanz erwog in Anwendung der vorstehend (vgl. E. 1 hiervor) wiedergegebenen bundesgerichtlichen Rechtsprechung, die Einspracheinstanz sei zutreffend davon ausgegangen, dass sich weder hinsichtlich der finanziellen Situation der Beschwerdeführerin noch hinsichtlich ihres Gesundheitszustand massgebliche Veränderungen ergeben hätten, so dass insoweit kein Anspruch auf materielle Behandlung des Wiedererwägungsgesuchs bestehe (vgl. E. 3 des angefochtenen Entscheids). Mit dieser Begründung setzt sich die Beschwerdeführerin in ihrer Eingabe vom 10. November 2021 nicht ansatzweise auseinander. Die Eingabe genügt damit den Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) für eine Beschwerde an das Bundesgericht offenkundig nicht (<ref-ruling> E. 2 mit Hinweisen).
2.2. Angesichts der damals noch laufenden Beschwerdefrist hat das Bundesgericht die Beschwerdeführerin am 12. November 2021 ausdrücklich auf die Mangelhaftigkeit ihrer Eingabe vom 10. November 2021 hingewiesen (vgl. Bst. C hiervor). Eine ergänzende Beschwerdeschrift ist daraufhin beim Bundesgericht nicht eingegangen.
2.3. Die Beschwerde enthält nach dem Gesagten offensichtlich keine hinreichende Begründung; darauf ist nicht einzutreten (<ref-law>).
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens (vgl. E. 2.3 hiervor) wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Ihre Beschwerde muss als aussichtslos qualifiziert werden. Entsprechend kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Verfahrenskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau, dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 2. Kammer, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Dezember 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner