Sachverhalt:
A.
A.a. Am 23. November 2010 eröffnete das Bezirksgericht Zürich den Konkurs über B._. Das Obergericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Beschwerde ab und setzte infolge Gewährung der aufschiebenden Wirkung das Konkursdatum neu auf den 14. März 2011 fest. Dieses Urteil hat bereits zu zahlreichen Verfahren vor den kantonalen Instanzen und dem Bundesgericht geführt. Der Konkurs wird im summarischen Verfahren durch das Konkursamt Hottingen-Zürich durchgeführt.
A.b. Mit Verfügung vom 2. Juli 2013 ermächtigte das Konkursamt A._ im Konkurs über B._ den Anspruch gemäss Inventar Nr. xx ("Anspruch aus letztwilliger Verfügung vom 11. April 2002 des Dr. C._... Schätzung Fr. 20'000.--") gestützt auf <ref-law> an Stelle der Masse in eigenem Namen und auf eigene Rechnung und Gefahr zu den in der Abtretungsverfügung festgesetzten Bedingungen geltend zu machen. Für den Fall, dass die gerichtliche Geltendmachung nicht bis zum 30. September 2014 erfolge, behielt sich das Konkursamt die Annullierung der Abtretung vor.
A.c. Am 18. Juni 2019 teilte das Konkursamt A._ mit, innert der gesetzten Frist sei kein Nachweis eingegangen, dass eine rechtzeitige gerichtliche Geltendmachung erfolgt sei. Daher werde die Abtretung annulliert.
B.
Am 27. Juni 2019 erhoben A._ und B._ Beschwerde beim Bezirksgericht Zürich als untere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibungs- und Konkurssachen. Sie beantragten die Feststellung, dass die Abtretungsverfügung vom 2. Juli 2013 nichtig sei. Zudem sei das Konkursamt anzuweisen, die Herausgabe eines näher umschriebenen Guthabens von B._ sowie das Kaufrecht an einer Parzelle in V._ und zwei Schuldbriefe anzufordern. Eventualiter sei der Konkurs einzustellen. Mit Entscheid vom 12. September 2019 wies das Bezirksgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Dagegen gelangten A._ und B._ an das Obergericht des Kantons Zürich als obere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs, wo sie ihre Rechtsbegehren erneuerten. Das Obergericht wies die Beschwerde am 12. Dezember 2019 ebenfalls ab, soweit es darauf eintrat.
C.
A._ und B._ sind mit gemeinsamer Beschwerde vom 23. Dezember 2019 an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführer beantragen die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und erneuern die im kantonalen Verfahren gestellten Anträge.
Sie stellen ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
Es sind die kantonalen Akten, indes keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den Entscheid der oberen kantonalen Aufsichtsbehörde, die als Rechtsmittelinstanz die Beschwerde gegen eine konkursamtliche Verfügung beurteilt hat, ist die Beschwerde in Zivilsachen gegeben (<ref-law> i.V.m. Abs. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 2 lit. c und Art. 75 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdeführerin ist als Abtretungsgläubigerin von der Annullation der Abtretungsverfügung besonders berührt und daher zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>). Auf die Beschwerdeberechtigung des Beschwerdeführers ist im Sachzusammenhang einzugehen.
1.2. Mit der vorliegenden Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der Entscheid Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen, wobei hier das Rügeprinzip gilt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.4).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel sind nur zulässig, soweit der vorinstanzliche Entscheid dazu Anlass gibt (<ref-law>), was in der Beschwerde näher darzulegen ist (<ref-ruling> E. 3).
2.
Die Vorinstanz hat zusammengefasst erwogen, dass die Verfügung vom 2. Juli 2013 unangefochten geblieben sei. Dass die Beschwerdeführer von Anbeginn davon wussten, sei unbestritten. Zwar könne die Nichtigkeit jederzeit geltend gemacht werden, weshalb dies jedoch erst sechs Jahre nach Ergehen der Verfügung erfolge, werde von den Beschwerdeführern nicht dargetan. Ein solch langes Zuwarten erweise sich - selbst wenn Gründe für eine allfällige Nichtigkeit erkennbar wären - als rechtsmissbräuchlich. Damit müsse auf die weiteren Handlungen des Konkursamtes, welche infolge der nun geltend gemachten Nichtigkeit nach Ansicht der Beschwerdeführer nun vorzunehmen wären, nicht eingegangen werden.
3.
Anlass zur Beschwerde gibt eine Verfügung, mit der das Konkursamt die Abtretung von Rechtsansprüchen der Masse an die Beschwerdeführerin annulliert hat.
3.1. Die Abtretung von Rechtsansprüchen gemäss <ref-law> ist keine Zession im Sinne von <ref-law>. Es handelt sich um ein konkurs- und prozessrechtliches Institut eigener Art, das als Prozessstandschaft bezeichnet werden kann. Die Abtretung kann nur an einen Gläubiger erfolgen, dessen Anmeldung in den Kollokationsplan aufgenommen worden ist. Sie ermächtigt ihn, den streitigen Rechtsanspruch anstelle der Masse im eigenen Namen und auf eigene Rechnung geltend zu machen. Rechtsträgerin des strittigen Anspruchs bleibt die Masse, und der Gläubiger tritt bloss in die verfahrensrechtliche Stellung der Konkursmasse ein (<ref-ruling> E. 4.1.1; <ref-ruling> E. 4.1.1).
3.2. Sind die Voraussetzungen für eine Abtretung gegeben, so erlässt das Konkursamt eine formelle Verfügung. Die Bedingungen für die Geltendmachung des strittigen Anspruchs und die Verpflichtungen gegenüber dem Konkursamt sind im hierfür vorgeschriebenen Formular 7K oder einer inhaltlich damit übereinstimmenden Fassung festzuhalten (Art. 2 Ziff. 6 und Art. 80 Abs. 1 KOV sowie <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2).
3.3. Im vorliegenden Fall erliess das Konkursamt am 2. Juli 2013 eine als "Bedingte Abtretung von Rechtsansprüchen der Masse gemäss <ref-law>" bezeichnete Verfügung, die es der Beschwerdeführerin eröffnete. Damit ermächtigte es die Beschwerdeführerin und weitere kollozierte Gläubiger, den Anspruch gemäss Inventar Nr. xx nach den im Einzelnen festgelegten Bedingungen geltend zu machen. Das Konkursamt knüpfte die Abtretung unter anderem an die Bedingung einer rechtskräftigen Kollokation. Ebenso behielt es sich in Ziff. 7 der Verfügung ausdrücklich vor, die Abtretung zu annullieren, falls bis zum 30. September 2014 keine gerichtliche Geltendmachung erfolgen werde.
3.4. Es ist unbestritten, dass diese Verfügung der Beschwerdeführerin seinerzeit zugestellt worden war. Ebenso steht gemäss der Vorinstanz ausser Frage, dass der abgetretene Anspruch von der Beschwerdeführerin innert der vom Konkursamt angesetzten Frist nicht geltend gemacht worden ist. Mit Schreiben vom 18. Juni 2019 teilte das Konkursamt der Beschwerdeführerin mit, dass die Abtretung hiermit annulliert werde und ersuchte um Rücksendung des Originals der Abtretungsurkunde vom 2. Juli 2013.
3.5. Im Wesentlichen machen die Beschwerdeführer geltend, dass die Abtretungsverfügung vom 2. Juli 2013 nichtig sei. Die strittige Verfügung richtet sich einzig an die Beschwerdeführerin und der Beschwerdeführer ist davon nicht betroffen, weshalb er zur Beschwerde gegen den vorinstanzlichen Entscheid nicht berechtigt ist (<ref-law>). Die in der Beschwerdeschrift erhobenen Rügen sind daher (mit einer Ausnahme, E. 3.6) als solche der Beschwerdeführerin zu beurteilen.
3.5.1. Die Beschwerdeführerin schildert vorab ihre Sicht der erbrechtlichen und stiftungsrechtlichen Ausgangslage im Zusammenhang mit der Stiftung C._ und leitet daraus Ansprüche ihres Ehemannes ab. Insbesondere verweist sie auf die Ungültigkeitsklage betreffend das Testament von Dr. C._. Aus diesen Vorbringen zieht sie den Schluss, dass keine Ansprüche der Stiftung C._ hätten kolloziert werden dürfen und zudem das Inventar um die Ansprüche ihres Ehemannes aus einem der Testamente von Dr. C._ zu ergänzen sind. Da der Kollokationsplan im Konkurs über ihren Ehemann sich angesichts der dargelegten Ausgangslage als nichtig erweise, müsse dies auch für die Abtretung des strittigen Anspruchs gelten. Das Konkursamt habe nunmehr eine neue Abtretungsverfügung zu erlassen.
3.5.2. Mit dieser Argumentation versucht die Beschwerdeführerin erfolglos, den Gegenstand des Verfahrens über die Gültigkeit der Abtretungsverfügung hinaus zu erweitern. Dabei verkennt sie insbesondere, dass das Bundesgericht die Beschwerde aufgrund des vorinstanzlich festgestellten Sachverhaltes beurteilt (E. 1.4). Auf die Kritik am Inventar sowie dem Kollokationsplan und den darin aufgeführten Positionen wird daher nicht eingegangen. Hinzu kommt, dass diese Rügen teilweise die Rechte Dritter betreffen und die Beschwerdeführerin nicht gleichsam an deren Stelle Rechtsverletzungen geltend machen kann.
3.5.3. Soweit die Beschwerdeführerin meint, sie könne die Nichtigkeit der Abtretungsverfügung geltend machen, da sie diese damals angefochten habe und das Bezirksgericht auf ihre Beschwerde nicht eingetreten sei, kann ihr nicht gefolgt werden. Gemäss den vorinstanzlichen Feststellungen ist die Abtretungsverfügung seinerzeit unangefochten geblieben. Die Vorinstanz hat unter Hinweis auf die Erwägung der Erstinstanz festgehalten, dass es zur Abtretung nach <ref-law> nicht der Zustimmung der Gesamtheit, sondern der Mehrheit der Gläubiger bedürfe und durch die Abtretung vom 2. Juli 2013 keine Vorschriften im Sinne von <ref-law> verletzt worden seien, und zudem (gemäss Erstinstanz) die Abtretungsverfügung (mit der angefochtenen Verfügung vom 18. Juni 2019) jedenfalls annulliert sei. Mit dieser massgeblichen Argumentation hätten sich die Beschwerdeführer nicht auseinandergesetzt. Dass das Gegenteil der Fall war, müsste die Beschwerdeführerin in rechtsgenüglicher Begründung vortragen, was sie nicht tut. Ihrem Standpunkt, über die Gültigkeit der Abtretungsverfügung sei gerichtlich nicht befunden worden, kommt daher keine weitere Bedeutung zu.
3.5.4. Im Weiteren wirft die Beschwerdeführerin dem Konkursamt vor, die Abtretung der strittigen Forderung gemäss Inventar Nr. xx mit der Streichung ihrer Forderung von Fr. 240'000.-- im Kollokationsplan verbunden zu haben. Damit sei in Wirklichkeit gar keine Abtretung erfolgt und sie habe mit der Erbschaftsklage (recte: der Klage aufgrund der Abtretung) bis zum Entscheid über die Wegweisungsklage der D._ AG zuwarten müssen. Durch die Streichung dieser und einer weiteren Forderung (über Fr. 1'500.--) sei ihr die Möglichkeit genommen worden, innert der vom Konkursamt angesetzten Frist den abgetretenen Anspruch beim Gericht geltend zu machen. Das Bundesgericht habe in einem Urteil (5D_171/2017) vom 24. April 2018 die Streichung der Forderung von Fr. 1'500.-- durch das Konkursamt als nichtig erklärt.
Bei aufmerksamer Lektüre des angeführten Urteils ergibt sich nur, dass das Bundesgericht zum Ergebnis gelangt ist, die Gläubigerstellung der Beschwerdeführerin und damit ihre Klageberechtigung erweise sich im konkreten Fall nicht als willkürlich. Zudem hat es betont, dass einzig das Gericht über ein genügendes Interesse an der Kollokationsklage befinde. Zwar hat es die Streichung der genannten Forderung als eine nicht bloss fehlerhafte Verfügung bezeichnet, sondern auch deren Nichtigkeit mangels Zuständigkeit des Konkursamtes angesprochen, ohne allerdings diese formell zu erklären. Für den vorliegenden Fall bleibt diese Erwägung ohne Bedeutung.
3.5.5. Entscheidend ist einzig, dass die Beschwerdeführerin die Abtretungsverfügung seinerzeit nicht mit Erfolg angefochten hat. Aus welchem Gründen ihre Forderungen aus dem Kollokationsplan gestrichen worden sind, ist an dieser Stelle nicht mehr von Belang. Insbesondere ist vorliegend nicht zu prüfen, ob dies zu Recht erfolgt ist. Ob und in welcher Weise das Konkursamt in diesen Verfahren hätte eingreifen müssen, wie die Beschwerdeführerin meint, ist nicht nachvollziehbar; auf jeden Fall kann ihm keine Art der Befangenheit vorgeworfen werden. Es kann zudem nicht angehen, der in der Abtretungsverfügung aufgenommene Vorbehalt der rechtskräftigen Kollokation erst nachträglich, nachdem über die entsprechenden Forderungen entschieden worden ist, in Frage zu stellen.
3.6. Schliesslich verlangen die Beschwerdeführer die Aufhebung des Konkurses über den Beschwerdeführer. Da sich der Konkurs nur gegen ihn richtet, ist er allein in diesem Punkt zur Beschwerde berechtigt. Nach Ansicht des Beschwerdeführers wurde der Konkurs durch strafbares Verhalten insbesondere Hehlerei (<ref-law>) erwirkt und dieser Umstand konnte bisher nicht geprüft werden; damit gelte die von der Vorinstanz angeführte Einmaligkeit des Rechtsschutzes nicht. Dem ist entgegenzuhalten, dass das Bundesgericht die Rechtmässigkeit der seinerzeitigen Konkurseröffnung infolge Fristversäumnis nicht prüfen konnte. Hingegen hat es sich mehrfach mit der Nichtigkeit des Konkurserkenntnisses befasst und diese jeweils verneint. Es ist nicht nachvollziehbar, inwiefern (und erst nach vielen Jahren) der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang einen strafrechtlich relevanten Hintergrund geltend machen könnte, der sich zudem aus der Beschwerde in einem andern Verfahren ergeben sollte.
4.
Nach dem Gesagten kann auf die Beschwerde auf weiten Strecken nicht eingetreten werden. Zufolge Aussichtslosigkeit ist das Gesuch der Beschwerdeführer um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege abzuweisen (<ref-law>). Ausgangsgemäss werden die Verfahrenskosten den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. September 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Levante