Sachverhalt:
A.
Die B._ AG stellte am 24. April 2017 beim Bezirksgericht Weinfelden ein Gesuch um provisorische Nachlassstundung. Mit Entscheid vom 25. April 2017 bewilligte das Bezirksgericht die provisorische Nachlassstundung bis am 26. Juni 2017, ernannte C._ zum Sachwalter und verpflichtete die B._ AG, dem Sachwalter einen Kostenvorschuss von Fr. 10'000.-- zu leisten.
Am 19. Juni 2017 erstattete der Sachwalter einen Zwischenbericht und reichte eine Zwischenabrechnung ein. In einer Ergänzung zum Zwischenbericht vom 21. Juni 2017 beantragte er, die provisorische Nachlassstundung sei bis 26. Juli 2017 zu verlängern und die Zwischenabrechnung sei zu genehmigen. Die B._ AG beantragte am 22. Juni 2017 die Verlängerung der provisorischen Nachlassstundung bis am 26. August 2017. Am 23. Juni 2017 verlängerte das Bezirksgericht die Nachlassstundung bis am 2. August 2017.
Entsprechend der gerichtlichen Verpflichtung im Entscheid vom 25. April 2017 bezahlte die B._ AG dem Sachwalter einen Kostenvorschuss von Fr. 10'000.--. Während des Nachlassverfahrens bezahlte A._, damaliger Verwaltungsrat der B._ AG, auf Aufforderung bzw. Rechnung des Sachwalters aus seinem privaten Vermögen insgesamt Fr. 23'637.20 (zweimal Fr. 10'000.-- plus Fr. 3'637.20) für die Tätigkeit des Sachwalters.
Gestützt auf den Schlussbericht des Sachwalters vom 26. Juli 2017 eröffnete das Bezirksgericht am 2. August 2017 über die B._ AG den Konkurs. Es genehmigte die Kostennoten des Sachwalters vom 19. Juni 2017 und 19. Juli 2017.
B.
Am 19. Juli 2018 klagte A._ gegen die Konkursmasse der B._ AG in Liquidation auf Zahlung von Fr. 23'637.20 zuzüglich Zins zu 5 % seit 2. August 2017 und der Betreibungskosten von Fr. 158.20. Der Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Weinfelden, Aussenstelle Bischofszell, sei zu beseitigen.
Die Konkursmasse der B._ AG in Liquidation beantragte am 29. November 2018, die Klage sei abzuweisen und der Rechtsvorschlag in der genannten Betreibung sei nicht zu beseitigen.
Mit Entscheid vom 22. August / 1. Oktober 2019 wies das Bezirksgericht Weinfelden die Klage ab.
C.
A._ erhob am 1. November 2019 Berufung. Er beantragte die Aufhebung des bezirksgerichtlichen Entscheids und den Schutz der Klage. Eventuell sei die Sache an das Bezirksgericht zurückzuweisen.
Die Konkursmasse der B._ AG in Liquidation beantragte am 12. Dezember 2019 die Abweisung der Berufung.
Mit Entscheid vom 27. Februar 2020 erklärte das Obergericht des Kantons Thurgau die Berufung für unbegründet und wies die Klage ab.
D.
Gegen diesen Entscheid hat A._ (Beschwerdeführer) am 27. Mai 2020 subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht erhoben. Er verlangt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und hält an seinen Klageanträgen fest. Allenfalls sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen und Vernehmlassungen eingeholt. Das Obergericht (Eingabe vom 19. Juni 2020) und die Konkursmasse der B._ AG in Liquidation (Beschwerdegegnerin; Eingabe vom 2. Juli 2020 [Postaufgabe]) beantragen die Abweisung der Beschwerde. Diese Eingaben sind dem Beschwerdeführer zugestellt worden. Weitere Eingaben sind nicht eingegangen.

Erwägungen:
1.
Der Streitwert der Angelegenheit liegt unter Fr. 30'000.-- (<ref-law>) und eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung wird nicht geltend gemacht (<ref-law>). Damit ist die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) das zutreffende Rechtsmittel. Diese ist grundsätzlich zulässig (Art. 114 i.V.m. Art. 75, Art. 115, Art. 117 i.V.m. Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG).
Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 117 i.V.m. <ref-law> in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399; <ref-ruling> E. 2.4 S. 368). Die Begründung muss in der Beschwerde selber enthalten sein und es genügt nicht, auf andere Rechtsschriften oder die Akten zu verweisen (<ref-ruling> E. 1.2.3 S. 286; <ref-ruling> E. 3.2 S. 258; <ref-ruling> E. 3.1 S. 400). Soweit der Beschwerdeführer für die Sachverhaltsdarstellung auf seine Berufung verweist, ist darauf nicht einzugehen.
2.
Das Obergericht hat erwogen, die Entschädigung des provisorischen Sachwalters gehe zu Lasten des Nachlassschuldners, d.h. hier der B._ AG. Auf Anordnung des Nachlassgerichts sei grundsätzlich ein Vorschuss zu leisten. Sachwalterkosten, die während der Nachlassstundung ungedeckt geblieben seien, stellten in einer nachfolgenden Generalexekution Masseverbindlichkeiten dar (unter Hinweis auf Urteil 5A_722/2016 vom 12. Juni 2017 E. 3.3).
Das Obergericht ist - wie bereits das Bezirksgericht - unter Würdigung verschiedener Dokumente zum Schluss gelangt, die vom Beschwerdeführer geleisteten Zahlungen seien "à fonds perdu" erfolgt. Die Beschwerdegegnerin sei deshalb nicht zur Rückerstattung verpflichtet.
3.
Der Beschwerdeführer rügt zunächst eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>), weil die beantragte Befragung eines Zeugen (des seinerzeitigen Nachlassrichters, Gerichtspräsident Pascal Schmid) nicht stattgefunden habe.
3.1. Das Obergericht hat auf die entsprechende Rüge hin erwogen, das Bezirksgericht habe den Beweis in der Tat nicht abgenommen. Allerdings bestehe ungeachtet der formellen Natur des Gehörsanspruchs dann kein schützenswertes Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids, wenn nicht bestritten sei, dass eine allfällige Verletzung des rechtlichen Gehörs keinen Einfluss auf den Verfahrensausgang gehabt hätte. Es werde für eine erfolgreiche Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs vorausgesetzt, dass die beschwerdeführende Partei in der Begründung des Rechtsmittels angebe, welche Vorbringen sie in das kantonale Verfahren bei Gewährung des rechtlichen Gehörs eingeführt hätte und inwiefern diese hätten erheblich sein können (unter anderem mit Hinweis auf Urteil 5A_561/2018 vom 14. Dezember 2018 E. 2.3). Der Beschwerdeführer habe im Berufungsverfahren nicht erläutert, was er mit dem nicht abgenommenen Beweis hätte beweisen wollen und inwiefern dies erheblich gewesen wäre.
3.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe in der Berufung erläutert, was er mit dem nicht abgenommenen Beweis hätte beweisen wollen und inwiefern dies erheblich gewesen wäre. Der Beschwerdeführer verweist dazu auf Randziffer 31 seiner Berufungsschrift. Aus dieser ergibt sich zwar die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs. Entgegen seinen Ausführungen in der Beschwerde lässt sich der von ihm angegebenen Stelle der Berufungsschrift jedoch keine konkrete Darlegung entnehmen, was sich der Beschwerdeführer von einer Einvernahme des Zeugen erhofft. Es findet sich darin einzig der Hinweis, dass es sich beim beantragten Zeugen um den Nachlassrichter handelt. Soweit der Beschwerdeführer eine solche Begründung vor Bundesgericht nunmehr nachholt und ausführt, weshalb der Zeuge einzuvernehmen sei und wozu er Auskunft geben könne, erfolgt dies verspätet. Entsprechendes wäre nach dem Grundsatz der materiellen Erschöpfung des Instanzenzuges (<ref-ruling> E. 1.1 S. 293 mit Hinweisen; Urteil 4A_609/2019 vom 16. Juli 2020 E. 9.3.3, nicht publ. in: <ref-ruling>) vor Obergericht vorzubringen gewesen. Eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte durch das Obergericht in Bezug auf die Beurteilung, ob das Bezirksgericht das rechtliche Gehör verletzt hat, liegt nicht vor.
4.
Vor Obergericht hat der Beschwerdeführer sodann einen Fehler bei der Beweislastverteilung gerügt. Nicht er habe die Rückerstattungspflicht zu beweisen, sondern die Beschwerdegegnerin das Vorliegen einer Schenkung. Das Obergericht hat dazu erwogen, die Beweislastverteilung gemäss <ref-law> spiele keine Rolle mehr, wenn ein Beweisergebnis vorliege, d.h. der Richter zur Überzeugung gelangt sei, eine Tatsachenbehauptung sei bewiesen oder widerlegt (mit Hinweis unter anderem auf <ref-ruling> E. 4.1 S. 2 f.).
Vor Bundesgericht macht der Beschwerdeführer geltend, das Obergericht habe sich mit der Rüge der falschen Beweislastverteilung nicht auseinandergesetzt. Es sei unzutreffend, dass diese nicht geprüft werden müsse. Weshalb die Erwägungen des Obergerichts gegen verfassungsmässige Rechte verstossen sollen, legt der Beschwerdeführer nicht dar. Wenn er den Vorinstanzen unterstellt, sie gingen implizit davon aus, eine Rückerstattungspflicht hätte ausdrücklich vereinbart werden müssen, und zudem vorbringt, er habe glaubhaft dargetan, dass er die vom Sachwalter geschilderten Umstände und Zusammenhänge anders verstanden habe, so hilft all dies nicht darüber hinweg, dass die Vorinstanzen zu einem Beweisergebnis gekommen sind. Ob die Beweise richtig gewürdigt wurden und das richtige Beweismass angewandt wurde, beschlägt nicht die Frage nach der Beweislast.
5.
Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht ausserdem Willkür (<ref-law>) bei der Beweiswürdigung und bei der Rechtsanwendung vor.
5.1. Die Sachverhaltsfeststellung bzw. Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat. Dass die von Sachgerichten gezogenen Schlüsse nicht mit der eigenen Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmen, belegt keine Willkür (<ref-ruling> E. 3.6.2 S. 287; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266). Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 3.1 S. 372; <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.). In beiden Fällen liegt Willkür nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheides, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Sie ist nicht schon dann gegeben, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre (<ref-ruling> E. 3.6.2 S. 287; <ref-ruling> E. 3.1 S. 372).
5.2. Das Obergericht hat zunächst auf den Zwischenbericht des Sachwalters vom 19. Juni 2017 abgestellt. Nachdem sich der Sachwalter einen ersten Überblick verschafft habe, habe er im Zwischenbericht klar zum Ausdruck gebracht, dass der Beschwerdeführer als wirtschaftlicher Eigentümer der AG - und nicht die AG selber, welche über keine flüssigen Mittel mehr verfügt habe - die Kosten für das provisorische Nachlassverfahren, für die Tätigkeit des Sachwalters, aus seinem Privatvermögen habe bezahlen müssen, damit das Verfahren überhaupt habe durchgeführt werden können. Der Sachwalter sei prädestiniert, über die Umstände des Nachlassverfahrens Auskunft zu geben. Es bestünden keine Anhaltspunkte, dass seine Darstellung nicht neutral oder falsch gewesen wäre. Sein Zwischenbericht sei während des Verfahrens erfolgt und vor der Auseinandersetzung um die Rückzahlung. Die Schilderung des Sachwalters sei inhaltlich logisch und nachvollziehbar, denn der Beschwerdeführer habe als wirtschaftlicher Eigentümer ein Interesse an der Durchführung des Nachlassverfahrens gehabt. Die Gesellschaft sei illiquid und nicht in der Lage gewesen, das Nachlassverfahren aus eigenen Mitteln zu finanzieren. Bereits aus den Ausführungen des Sachwalters im Zwischenbericht werde somit klar, dass die Zahlungen des Beschwerdeführers definitiv für die illiquide AG erfolgten, um die provisorische Nachlassstundung überhaupt zu ermöglichen.
Das Obergericht hat weiter ausgeführt, es sei nicht anzunehmen, dass der Beschwerdeführer diese vom Sachwalter geschilderten Umstände und Zusammenhänge anders hätte verstehen können. Vielmehr gehe aus dem Gesuch der B._ AG vom 22. Juni 2017 um Verlängerung der provisorischen Nachlassstundung hervor, dass der Beschwerdeführer genau gewusst habe, dass seine Zahlungen aus seinem Privatvermögen für seine Gesellschaft nicht zurückbezahlt würden ("Wie bereits in der ersten, nun ablaufenden Stundungsphase zugesichert und auch faktisch bezahlt, steht Herr A._ für die Massaverbindlichkeiten der Gesellschaft während der Stundungsphase privat gerade. Diese Zusicherung von Herr A._ gilt somit auch für eine verlängerte Stundungsdauer."). Privat geradestehen bedeute, die Schuld der Gesellschaft privat zu bezahlen und zwar definitiv, d.h. nicht rückzahlbar. Die Zusicherung des Beschwerdeführers, für die Masseverbindlichkeiten aufzukommen, weil praktisch keine liquiden Mittel mehr vorhanden gewesen seien, sei auch im Protokoll Nr. 1 vom 3. Mai 2017 dokumentiert ("Liquide Mittel sind praktisch keine vorhanden. A._ sichert zu, für die Massenverbindlichkeiten aufzukommen."). In seiner schriftlichen Auskunft als Zeuge vom 15. April 2019 habe der Sachwalter erklärt, für ihn sei völlig klar gewesen, dass die vom Beschwerdeführer persönlich geleisteten Kostenvorschüsse ohne Rückzahlung erfolgt seien; für ihn sei dieser Umstand eine Bedingung gewesen, ohne die er die sofortige Konkurseröffnung beantragt hätte; er habe dem Beschwerdeführer mehrmals mitgeteilt, dass er ein Nachlassverfahren nur dann durchführen werde, wenn sichergestellt sei, dass die gesamte, für das Nachlassverfahren notwendige Liquidität von aussen (d.h. durch einen Dritten), als Zuschuss ins Eigenkapital bezahlt werde. Der Sachwalter habe in dieser Auskunft ferner auf eine vom Treuhänder des Beschwerdeführers erstellte Liquiditätsplanung für die Dauer der provisorischen Nachlassstundung hingewiesen. Dieser Hinweis treffe zu, denn der Zeile "Darlehen Aktionär" sei zu entnehmen, dass der Beschwerdeführer kein Darlehen als Liquidität in die B._ AG eingeschossen habe ("Liquiditätsplan 2017 [Phase: prov. Nachlassstundung]").
Das Obergericht hat aus all dem geschlossen, dass die Zahlungen des Beschwerdeführers "à fonds perdu" erfolgt seien, d.h. ohne Aussicht auf Gegenleistung und Rückerstattung, insbesondere nicht als Darlehen an die Gesellschaft. Der Beschwerdeführer setze sich vor Obergericht mit den entscheidenden Sachverhaltsgrundlagen, aus denen sich dieser Schluss ergebe, nicht auseinander.
5.3. Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, ein "à fonds perdu"-Beitrag stelle eine Schenkung dar. Ein Schenkungsversprechen müsse aber schriftlich vereinbart werden (<ref-law>), was vorliegend nicht geschehen sei. Bereits deshalb sei der angefochtene Entscheid willkürlich.
Wie es sich mit der Qualifikation eines "à fonds perdu"-Beitrags verhält, kann offenbleiben. Der Beschwerdeführer übersieht nämlich, dass eine Schenkung auch durch Übergabe (sog. Handschenkung) vollzogen werden kann (<ref-law>).
5.4. Hinsichtlich der seinerzeitigen Abmachungen macht der Beschwerdeführer zusammengefasst geltend, es sei ihm nur um die Überbrückung eines Liquiditätsengpasses der B._ AG gegangen. Dabei sei es für ihn selbstverständlich gewesen, dass er die bevorschussten Beiträge bei der B._ AG zurückfordern könne, wenn der Liquiditätsengpass beseitigt sei, was heute der Fall sei. Er wirft dem Obergericht vor, es stütze sich nur auf Indizien, reisse Sätze aus dem Zusammenhang und konstruiere einseitig zugunsten der Beschwerdegegnerin eine angebliche Vereinbarung, die er nachweislich nie eingegangen sei. In den gesamten Akten finde sich nirgends die Formulierung "à fonds perdu" oder "Schenkung". Auf die einzelnen in diesem Zusammenhang erhobenen Rügen ist nachfolgend einzugehen.
5.4.1. Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht zunächst vor, es stütze sich nur auf drei Unterlagen (Gesuch um Verlängerung der provisorischen Nachlassstundung vom 22. Juni 2017, Protokoll Nr. 1 vom 3. Mai 2017 und Zeugenauskunft des Sachwalters vom 15. April 2019). Keine dieser Unterlagen sei vom Beschwerdeführer erstellt worden.
Es trifft nicht zu, dass sich das Obergericht nur auf diese drei Dokumente gestützt hätte. Es stützte sich auch auf den Zwischenbericht des Sachwalters vom 19. Juni 2017 sowie auf den Liquiditätsplan 2017 (vgl. oben E. 5.2). Auf diese beiden Dokumente geht der Beschwerdeführer mit keinem Wort ein. Sodann mag es zutreffen, dass keines der drei genannten Dokumente von ihm persönlich stammt. Als einziges Mitglied des Verwaltungsrats der B._ AG musste er jedoch um das im Namen der Gesellschaft durch deren Anwälte eingereichte Gesuch um Verlängerung der provisorischen Nachlassstundung wissen und an der im Protokoll Nr. 1 festgehaltenen Sitzung hat er persönlich teilgenommen.
5.4.2. Der Beschwerdeführer macht sodann geltend, das Obergericht habe im Gesuch um Verlängerung der provisorischen Nachlassstundung vom 22. Juni 2017 die Ausführungen zum erwarteten Zufluss an Liquidität (durch Verkauf einer Spenglerei und neu aufgefundene Debitoren) ausser Acht gelassen. Wenn man das Gesuch gesamthaft betrachte, so bedeute das "Geradestehen" aus Sicht des Beschwerdeführers klarerweise, den Liquiditätsengpass zu überbrücken. Er habe nicht von Schenkung gesprochen, sondern davon, privat geradezustehen, bis die Liquidität der Gesellschaft wiederhergestellt sei. Dies ergebe sich auch aus der Parteibefragung vor Bezirksgericht. Das Obergericht habe einen isolierten Satz aus dem Gesuch herausgenommen und damit die Beweise willkürlich gewürdigt. Seine Aussage an der Hauptverhandlung sei unbeachtet geblieben.
Das Vorbringen, das Gesuch um Verlängerung der provisorischen Nachlassstundung vom 22. Juni 2017 müsse gesamthaft gewürdigt werden, genügt für eine Willkürrüge nicht. Der Beschwerdeführer zeigt nicht präzise auf, inwiefern das Obergericht dieses Dokument willkürlich gewürdigt haben soll. Dass eine andere Interpretation als vom Obergericht vorgenommen, ebenfalls denkbar ist, begründet keine Willkür. Daran ändert auch der Hinweis auf die Aussage des Beschwerdeführers an der Hauptverhandlung nichts (Protokoll vom 7. Februar 2019, S. 11), wo er aussagte, der Sachwalter habe im ersten Gespräch gesagt, er werde die Debitoren eintreiben, da entstünden dann wieder flüssige Mittel. Wenn das Obergericht auf diese Aussage nicht eingegangen ist, ist dies unter Willkürgesichtspunkten nicht zu beanstanden. Einerseits kann ihr nicht zwingend entnommen werden, dass der Beschwerdeführer davon ausging, seine Beiträge zurückbezahlt zu erhalten. Andererseits hat der Beschwerdeführer an der genannten Stelle auch ausgesagt, es habe sich erst danach herausgestellt, dass einfach keiner mehr bezahlt habe und alle Debitoren blockiert gewesen seien. Ob die Beiträge des Beschwerdeführers ganz oder teilweise geflossen sind, bevor oder nachdem er um die Blockierung der Debitoren (d.h. darum, dass auf diese Weise keine flüssigen Mittel mehr eingehen würden) wusste, ist nicht erstellt und der Beschwerdeführer bringt dazu nichts vor.
5.4.3. Der Beschwerdeführer macht ausserdem geltend, er habe das Protokoll Nr. 1 erstmals im erstinstanzlichen Verfahren gesehen. Ihm sei dazu nie das rechtliche Gehör gewährt worden. Entsprechend sei sein Beweiswert herabgesetzt, da es nur eine Aufzeichnung des Sachwalters sei. Wenn das Obergericht den Gesamtkontext erfasst hätte, wäre es zum Schluss gekommen, dass es nach dem klaren Verständnis des Beschwerdeführers und der anderen am Nachlassverfahren Beteiligten darum ging, einen Liquiditätsengpass zu überbrücken.
Dass der Beschwerdeführer das (vom Sachwalter erstellte) Protokoll Nr. 1 erstmals im erstinstanzlichen Verfahren gesehen hätte, ist eine unbelegte Behauptung. Inwieweit er sich dazu im Laufe des Gerichtsverfahrens nicht hätte äussern können, ist weder dargetan noch ersichtlich. Er beanstandet auch nicht konkret, dass und inwiefern das vom Sachwalter erstellte Protokoll falsch sein soll. Umgekehrt legt er auch nicht dar, welche konkrete Aussage darin zur Folge haben soll, dass die obergerichtliche Beweiswürdigung willkürlich wäre. Der vage Hinweis auf einen angeblichen Gesamtkontext ist unbehelflich.
5.4.4. Zur schriftlichen Zeugenauskunft des Sachwalters vom 15. April 2019 führt der Beschwerdeführer aus, es stelle sich die Frage, weshalb der Sachwalter den Umstand (Zuschuss ins Eigenkapital), der für ihn Bedingung gewesen sei, nicht schriftlich mit dem Beschwerdeführer vereinbart habe, zumal ihm die Notwendigkeit der Schriftlichkeit für die Schenkung bewusst gewesen sei. Dass es keine Schenkung gewesen sei, zeige sich an der Formulierung des Sachwalters, dass es ein Zuschuss ins Eigenkapital gewesen sein soll. Dies offenbare, dass es weiterhin eine Forderung der Gesellschaft sein soll und nicht eine "à fonds perdu"-Zahlung. Eine "à fonds perdu"-Zahlung wäre nämlich kein Zuschuss ins Eigenkapital. Von einer Schenkung, einem "à fonds perdu"-Beitrag oder einem Verzicht auf eine Rückerstattung sei nie die Rede gewesen.
Hinsichtlich des angeblichen Schriftformerfordernisses für die Schenkung kann auf bereits Gesagtes verwiesen werden (oben E. 5.3). Im Übrigen sind die Ausführungen des Beschwerdeführers zur Behandlung seines Beitrags auf der Passivseite der Bilanz teilweise nicht nachvollziehbar. Die Passiven geben über die Herkunft des Vermögens (Aktiven) Auskunft und gliedern sich in Fremd- und Eigenkapital (Art. 959 und 959a OR). Weshalb ein "à fonds perdu"-Beitrag oder eine Schenkung nicht dem Eigenkapital zugeordnet werden sollte, wird vom Beschwerdeführer nicht plausibel gemacht: Der Beschwerdeführer teilt die Auffassung, dass ein "à fonds perdu"-Beitrag oder eine Schenkung nicht zurückgezahlt werden muss; es kann aber gerade als Kennzeichen des Eigenkapitals verstanden werden, dass es nicht zurückgezahlt werden muss, d.h. keine Schuld (und damit kein Fremdkapital) repräsentiert (vgl. zum Begriff des Fremdkapitals <ref-law>). Weshalb die Aussage des Sachwalters, es sei ein "Zuschuss ins Eigenkapital" gewesen, bedeuten solle, dass es eine Forderung der Gesellschaft ist und der Sachwalter dies eingeräumt habe - wie der Beschwerdeführer geltend macht -, erschliesst sich nicht. Die Gesellschaft, d.h. die heutige Beschwerdegegnerin, verfügt im vorliegenden Zusammenhang nämlich über gar keine Forderung. Das Obergericht durfte die Aussage des Sachwalters, er sei von einem Zuschuss ins Eigenkapital ausgegangen, vielmehr willkürfrei als Indiz dafür werten, dass eben gerade keine Rückzahlung vorgesehen war, da bei Verabredung einer Rückzahlungspflicht von Fremdkapital hätte ausgegangen werden müssen. Der Beschwerdeführer geht im Übrigen nicht darauf ein, dass im Liquiditätsplan 2017 kein Aktionärsdarlehen enthalten war. Dass nie ausdrücklich von einer Schenkung oder einem "à fonds perdu"-Beitrag die Rede war, wie der Beschwerdeführer geltend macht, mag zutreffen, lässt aber weder das Vorgehen des Obergerichts, den Vertragsinhalt aus Indizien zu ermitteln, noch das Ergebnis seiner Würdigung als willkürlich erscheinen.
5.4.5. Der Beschwerdeführer macht schliesslich geltend, wenn ein Dritter einspringe und eine Forderung des Schuldners begleiche, bestehe grundsätzlich eine Vermutung, dass der Schuldner dem Dritten dies zurückzahlen müsse, ausser es sei etwas anderes vereinbart worden.
Der Einwand geht bereits deshalb an der Sache vorbei, weil der Beschwerdeführer in Bezug zur B._ AG kein typischer Dritter war, sondern als Verwaltungsrat und wirtschaftlicher Eigentümer ein eigenes Interesse am Wirken des Sachwalters hatte. Die entsprechenden Ausführungen des Obergerichts werden vom Beschwerdeführer nicht bestritten. Im Übrigen ist das Obergericht zum Schluss gekommen, es sei etwas anderes vereinbart worden. Darüber hilft der Verweis auf eine angebliche gegenteilige Vermutung nicht hinweg.
5.4.6. Dem Beschwerdeführer gelingt es damit nicht, die Würdigung des Obergerichts als willkürlich auszuweisen.
6.
Die Verfassungsbeschwerde ist damit abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann.
7.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin ist nicht anwaltlich vertreten und deshalb für den ihr im bundesgerichtlichen Verfahren entstandenen Aufwand nicht zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Juni 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Zingg