Sachverhalt:
A.
Die A._ AG (Beschwerdeführerin) war ab 1. November 1989 Mieterin einer Industrieliegenschaft an der Strasse U._ in V._. Ab 1. April 2012 betrug der monatliche Nettomietzins Fr. 25'000.-- nebst Mehrwertsteuer. Per Ende 2015 kündigte die A._ AG den dannzumal bestehenden Mietvertrag. Am 26. und 27. Oktober 2015 schloss sie mit der B._ GmbH (Vermieterin, Beschwerdegegnerin) für die Zeit von 1. Januar 2016 bis 31. Dezember 2018 einen neuen Mietvertrag über diese Liegenschaft ab. Sie vereinbarten einen monatlichen Nettomietzins von Fr. 30'166.30 nebst Mehrwertsteuer. Mit Eingabe vom 27. Januar 2016 focht die A._ AG den Mietzins bei der Schlichtungsstelle für Miet- und Pachtverhältnisse der Gemeinde V._ als missbräuchlich an.
B.
Am 4. Mai 2016 reichte die A._ AG beim Bezirksgericht Münchwilen eine Klage gegen die B._ GmbH ein, mit der sie verlangte, die Missbräuchlichkeit des Mietzinses festzustellen und den monatlichen Nettomietzins von Fr. 30'166.30 auf das zulässige Mass herabzusetzen.
Mit Entscheid vom 13. September 2018 stellte der Einzelrichter am Bezirksgericht Münchwilen fest, dass der angefochtene Mietzins missbräuchlich sei. Er setzte den monatlichen Nettomietzins für die Vertragsdauer von 1. Januar 2016 bis 31. Dezember 2018 auf Fr. 18'333.33 pro Monat nebst Mehrwertsteuer herab und verpflichtete die B._ GmbH, der A._ AG den Betrag von Fr. 425'986.90 nebst Zins zu 5 % ab Rechtskraft des Urteils zu bezahlen.
Die B._ GmbH focht dieses Urteil mit Berufung beim Obergericht des Kantons Thurgau an. Dieses hiess die Berufung mit Entscheid vom 16. Mai 2019 gut und wies die Klage ab.
C.
Die A._ AG verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, der Entscheid des Obergerichts sei aufzuheben. Die Streitsache sei "zur materiellen Prüfung und Beurteilung der Missbräuchlichkeit des vereinbarten Mietzinses in quantitativer Hinsicht", eventualiter zur Beweisabnahme, an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem sei der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Das Obergericht begehrt die Abweisung der Beschwerde, unter Verzicht auf Vernehmlassung und Hinweis auf den angefochtenen Entscheid. Die Beschwerdegegnerin beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Mit Eingabe vom 4. Dezember 2019 teilte die Beschwerdeführerin mit, sie halte an den Ausführungen in der Beschwerdeschrift "in allen Teilen und umfassend" fest.
Mit Präsidialverfügung vom 4. November 2019 wurde der Beschwerde mangels Opposition aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil des Obergerichts ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer Vorinstanz im Sinne von <ref-law>. Weiter erreicht der Streitwert den nach <ref-law> in mietrechtlichen Fällen geltenden Mindestbetrag von Fr. 15'000.--.
1.2. Die Beschwerde in Zivilsachen ist ein reformatorisches Rechtsmittel (<ref-law>). Grundsätzlich muss die rechtsuchende Partei einen Antrag in der Sache stellen. Ein blosser Rückweisungsantrag reicht ausnahmsweise aus, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung nicht selbst in der Sache entscheiden könnte (vgl. <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.3 S. 383). Dieser Fall ist hier gegeben, da sich die Beurteilung des Obergerichts auf die Frage beschränkt, ob der Mietzins rechtzeitig angefochten wurde, ohne dass ihr Feststellungen zu dessen Missbräuchlichkeit entnommen werden könnten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90).
2.3. Soweit die Parteien die vorinstanzliche Beweiswürdigung kritisieren, ist zu beachten, dass das Bundesgericht in diese nur eingreift, wenn sie willkürlich ist. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern bloss, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 4.2.1). Dies ist dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 4.2). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (BGE <ref-ruling> E. 2.2). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266 f.; <ref-ruling> E. 2b).
2.4. Die in der Beschwerde erhobenen Sachverhaltsrügen genügen diesen Anforderungen nicht. Die Beschwerdeführerin behauptet einleitend, das Obergericht habe den "Sachverhalt unter mehreren Aspekten falsch" gewürdigt. In der Folge stellt sie den streitgegenständlichen Sachverhalt aus eigener Sicht dar und weicht dabei von den tatsächlichen Feststellungen im angefochtenen Urteil ab, ohne aufzuzeigen, inwiefern diese offensichtlich unrichtig sein oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen sollen. Es ist daher vollumfänglich vom Sachverhalt auszugehen, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat, und die Beschwerdeführerin kann von vornherein insoweit nicht gehört werden, als sie ihre Argumentation auf ein Tatsachenfundament stützt, das in den Feststellungen im angefochtenen Urteil keine Grundlage findet.
2.5. Fehl geht auch die Rüge, die Vorinstanz habe <ref-law> sowie Art. 152 und Art. 153 ZPO verletzt, weil "die beantragten relevanten zusätzlichen Beweisabnahmen" - konkret: zwei Parteibefragungen - nicht erfolgt seien.
Die Beschwerdeführerin zeigt schon nicht auf, dass sie diese Beweismittel bereits bei der ersten Instanz prozesskonform eingebracht hat (Erwägung 2.2), sondern sie bezieht sich in ihrer Beschwerde an das Bundesgericht nur auf eine Passage ihrer Berufungsschrift, in der sie entsprechende Beweisanträge gestellt haben will. Dass die dort vorgebrachten Beweise von der Vorinstanz noch hätten berücksichtigt und abgenommen werden dürfen (siehe <ref-law>), tut sie nicht dar und ist auch nicht ersichtlich. Abgesehen davon führt sie weder konkret aus, welche Erkenntnisse von der Abnahme dieser Beweise zu erwarten gewesen wären, noch, dass die Behebung der in diesem Zusammenhang behaupteten Sachverhaltsmängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend ist.
3.
3.1. Nach <ref-law> kann der Mieter den Anfangsmietzins innert 30 Tagen nach Übernahme der Sache bei der Schlichtungsbehörde unter gewissen Voraussetzungen als missbräuchlich anfechten.
3.2. Die Vorinstanz hielt fest, dass die Parteien (beziehungsweise die Beschwerdeführerin und die Rechtsvorgängerin der Beschwerdegegnerin) verschiedene Mietverträge über die Liegenschaft abgeschlossen hätten, erstmals am 20. Oktober und 6. November 1989, letztmals am 26. und 27. Oktober 2015. Die Beschwerdeführerin habe das Mietobjekt seit 1. November 1989 und den dazugehörigen Neubau seit Juli 2003 ununterbrochen genutzt, die Verfügungsgewalt darüber gehabt und die Schlüssel für die Liegenschaft besessen. Sie habe das Mietobjekt namentlich auch vor der letzten, im vorliegenden Verfahren streitigen Vertragsperiode (1. Januar 2016 bis 31. Dezember 2018) nicht verlassen. Eine Übergabe beziehungsweise Übernahme der Mietsache, die sich in gebrauchstauglichem Zustand befunden habe, sei daher nicht notwendig gewesen. In einer solchen Konstellation beginne die Frist zur Anfechtung des neu vereinbarten Mietzinses gemäss <ref-law> mit dem Abschluss des neuen Mietvertrags (Ende Oktober 2015) und sei somit Ende November 2015 abgelaufen. Die Beschwerdeführerin habe das Schlichtungsgesuch erst am 27. Januar 2016 und damit nicht rechtzeitig eingereicht.
3.3. Dagegen wendet sich die Beschwerdeführerin. Sie stellt sich im Wesentlichen auf den Standpunkt, die Parteien hätten per 6. Januar 2016 eine "Abnahme" terminiert, zu der die Beschwerdegegnerin indes "geradezu rechtsmissbräuchlich" nicht erschienen sei. Am 19. Januar 2016 habe die Beschwerdegegnerin dann brieflich eine "bauliche Bestandesaufnahme" in Aussicht gestellt. Die Anfechtungsfrist nach <ref-law> habe frühestens an diesem Tag zu laufen begonnen.
Zu Recht wirft die Beschwerdegegnerin die Frage auf, ob die Ausführungen in der Beschwerde den Begründungsanforderungen im bundesgerichtlichen Verfahren genügen. Die Beschwerdeführerin beschränkt sich über weite Strecken darauf, dem Bundesgericht ihr eigenes Verständnis der Mietverträge und der Vorgänge um deren Abschluss zu unterbreiten. Soweit den diesbezüglichen Darlegungen überhaupt Kritik an der vorinstanzlichen Rechtsanwendung entnommen werden kann, ist eine Rechtsverletzung nicht dargetan:
Die Beschwerdeführerin war im Zeitpunkt der Unterzeichnung des neuen Mietvertrags im - bereits seit dem 1. November 1989 ununterbrochen andauernden - Besitz der (gebrauchstauglichen) Mietsache. Der neu abgeschlossene Mietvertrag ermöglichte der Beschwerdeführerin den Verbleib im Mietobjekt bis am 31. Dezember 2018 und damit über den Zeitpunkt der Beendigung des zuvor bestehenden Mietvertrags hinaus. Inwiefern die Vorinstanz unter diesen Umständen gegen <ref-law> verstiess, wenn sie davon ausging, dass die Frist für die Anfechtung des neu vereinbarten Mietzinses mit der Unterzeichnung des Mietvertrags am 26. und 27. Oktober 2015 begonnen hat, vermag die Beschwerdeführerin nicht aufzuzeigen (siehe auch Urteil 4A_455/2017 vom 27. November 2017 E. 4). Sie belässt es im Wesentlichen bei ihren Vorbringen, das Obergericht habe unbeachtet gelassen, dass das bisherige (bis am 31. Dezember 2015 dauernde) Mietverhältnis ein solches befristeter Natur gewesen sei und sich der neue Mietvertrag vom 26. und 27. Oktober 2015 wesentlich vom vorbestehenden Vertrag unterscheide. Es ist indes nicht erkennbar, inwiefern diese Behauptungen - soweit sie denn zutreffen - etwas am vorinstanzlichen Schluss ändern sollten.
Das Gleiche gilt für ihren wiederholten Hinweis auf den "Sanierungsbedarf" der Liegenschaft sowie die "Abnahme" vom 6. Januar 2016, bezüglich der die Vorinstanz feststellte, es sei nicht erstellt, dass sie tatsächlich stattgefunden habe. Zudem sei es dabei - so das Obergericht weiter - "wenn überhaupt" nur um die "Abnahme von Baumängeln" beziehungsweise um eine "bauliche Bestandsaufnahme" gegangen. Die Vorinstanz verwies in diesem Zusammenhang auch auf den Regelungsgedanken von <ref-law>, wonach deshalb auf den Zeitpunkt der "Übernahme" abgestellt werde, weil sich der Mieter erst nach Übergabe der Sache eine genaue Vorstellung von der Qualität der Mietsache bilden könne. Nachdem aber die Beschwerdeführerin schon im Zeitpunkt der Unterzeichnung des neuen Mietvertrags die Liegenschaft genutzt habe, sei es ihr bereits zu diesem Zeitpunkt möglich gewesen, sich einen Überblick über das Mietobjekt zu verschaffen und einen Entschluss über eine allfällige Anfechtung des Mietzinses zu fällen. Weshalb sich diese Argumentation nicht mit <ref-law> vertragen soll, lässt sich der Beschwerde nicht entnehmen.
3.4. Damit hält das angefochtene Urteil, in welchem im Ergebnis dem Herabsetzungsbegehren zufolge verpasster Anfechtungsfrist nicht stattgegeben wird, der bundesgerichtlichen Überprüfung stand.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (siehe Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 7'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 8'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Januar 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Stähle