Erwägungen:
1.
Mit Urteil 4A_488/2020 vom 19. Januar 2021 wies das Bundesgericht eine von A._ (Gesuchsteller) erhobene Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
Mit Eingabe vom 23./24. Mai 2021 (Postaufgabe: 25. Mai 2021) hat A._ um Revision dieses bundesgerichtlichen Urteils ersucht. Mit Schreiben vom 9. Juni 2021 gab er einen "Nachtrag zur Begründung" ein.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts kann nur aufgrund der in den Art. 121-123 BGG abschliessend aufgezählten Gründe verlangt werden.
Rechtsschriften müssen die Begehren und deren Begründung mit Angabe der Beweismittel enthalten (<ref-law>), ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>).
In einem Revisionsgesuch ist dementsprechend unter Angabe der Beweismittel der Revisionsgrund im Einzelnen darzulegen. Dabei genügt es nicht, das Vorliegen eines Revisionsgrundes einfach zu behaupten; vielmehr muss dargetan werden, weshalb dieser gegeben und inwiefern gestützt darauf das Urteilsdispositiv abzuändern ist (siehe etwa Urteil 4F_2/2020 vom 13. Mai 2020 E. 1 mit Hinweisen).
3.
Der Gesuchsteller beruft sich in seiner Eingabe auf <ref-law>. Er wirft der Gesuchsgegnerin und einer mit dieser verbundenen Gesellschaft ein Verhalten "von strafrechtlicher Relevanz" vor. Diese hätten "in betrügerischer Absicht" "arglistig und vorsätzlich mit irreführenden Angaben" agiert und ein "unwürdige[s] und hinterhältige[s] Spiel" betrieben. Mit seinen Ausführungen tut der Gesuchsteller das Vorliegen eines gesetzlichen Revisionsgrundes nicht nachvollziehbar dar, auch nicht im "Nachtrag". Das Revisionsgesuch ist somit nicht rechtsgenügend begründet, weshalb darauf nicht einzutreten ist.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Gesuchsteller aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juni 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Stähle