Sachverhalt:
A.
Die A._ AG (Klägerin, Beschwerdeführerin) und die B._ S.A. (Beklagte, Beschwerdegegnerin) schlossen am 25. März 2019 eine "Vereinbarung" ab. Diese enthält in Art. 4 Rz. 31 eine Schiedsklausel, wonach "[a]lle Streitigkeiten, Meinungsverschiedenheiten oder Ansprüche aus oder im Zusammenhang mit dieser Vereinbarung, einschliesslich über deren Gültigkeit, Ungültigkeit, Verletzung oder Auflösung, [...] durch ein Schiedsverfahren gemäss der Internationalen Schweizerischen Schiedsordnung der Swiss Chambers' Arbitration Institution zu entscheiden" sind.
Die Beklagte machte in der Folge gestützt auf diese Vereinbarung eine Forderung in Höhe von Fr. 500'000.-- gegen die Klägerin geltend und leitete im Dezember 2019 beim Betreibungsamt U._ die Betreibung ein. Die Klägerin bestritt die Gültigkeit der Vereinbarung und erhob Rechtsvorschlag. Am 3. August 2020 sprach das Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt die provisorische Rechtsöffnung aus. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 24. März 2021 ab. Dieses Verfahren ist zurzeit beim Bundesgericht hängig (5A_380/2021).
B.
B.a. Am 29. April 2021 leitete die Klägerin ein Schiedsverfahren gegen die Beklagte ein und erhob die Rechtsbegehren einer Aberkennungsklage. Gleichzeitig ersuchte sie um Sistierung dieses schiedsgerichtlichen Verfahrens bis zum Entscheid des Bundesgerichts über die provisorische Rechtsöffnung.
Am 30. April 2021 reichte sie auch beim Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt eine Aberkennungsklage ein, und zwar "vorsorglich für den Fall [...], dass sich das zuvor angerufene Schiedsgericht für unzuständig erklären würde". Die Beklagte anerkannte die Zuständigkeit des Schiedsgerichts und verlangte am 28. Juni 2021, dass die Klägerin das staatliche Verfahren "zurückziehe". Die Klägerin wehrte sich gegen diesen Rückzug und brachte vor, sie könne sich erst nach Abschluss eines parallel laufenden, gegen ehemalige Organe geführten Strafverfahrens ein abschliessendes Bild über die Zuständigkeit des Schiedsgerichts machen. Zur Sicherheit habe sie die Aberkennungsklage deshalb sowohl beim Zivil- als auch beim Schiedsgericht eingegeben.
B.b. Am 20. Juli 2021 hat sich die Einzelschiedsrichterin konstituiert, nachdem sie den Parteien in einem Schreiben vom 8. Juli 2021 bereits angekündigt hatte, "vorgehend über die Sistierung dieses Verfahrens zu entscheiden".
B.c. Mit Eingabe vom 13. August 2021 beantragte die Beklagte einen Zwischenentscheid in Bezug auf (i) die Zuständigkeit des Schiedsgerichts, (ii) die Frage der rechtzeitigen Erhebung der Aberkennungsklage sowie (iii) den Verfahrensantrag der Klägerin auf Sistierung. Sie stellte sich namentlich auf den Standpunkt, dass die Zuständigkeit des Schiedsgerichts zu bejahen sei.
Am 13. September 2021 begehrte die Klägerin, der beklagtische Antrag auf Zwischenschiedsspruch sei abzuweisen und das Schiedsverfahren sei zu sistieren. Jedenfalls aber sei die Vereinbarung vom 25. März 2019 und "damit" auch die darin enthaltene Schiedsklausel ungültig.
B.d. Am 25. Oktober 2021 erliess die Einzelschiedsrichterin einen Zwischenentscheid, dessen Dispositiv (soweit hier interessierend) wie folgt lautet:
"1. Das Schiedsgericht ist zuständig zur Beurteilung der vorliegend einge reichten Klage.
2. Das Schiedsgericht stellt fest, dass die vorliegende Klage innert der Frist von <ref-law> ergangen ist und somit als Aberkennungsklage zu behandeln ist.
3. Das Verfahren wird sistiert bis zur Erledigung des Beschwerdeverfahrens Nr. 5A_380/2021 vor Bundesgericht im Zusammenhang mit der proviso rischen Rechtsöffnung der Beklagten gegen die Klägerin in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes U._ vom 6. Dezember 2019.
[...]"
Sie stützte ihre Zuständigkeit auf die Schiedsklausel in Art. 4 Rz. 31 der Vereinbarung vom 25. März 2019. Die Klausel sei wirksam vereinbart worden, weder mit formellen noch mit inhaltlichen Mängeln behaftet und erfasse die dem Schiedsgericht unterbreitete, schiedsfähige Streitigkeit.
C.
Die Klägerin verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, Dispositiv-Ziffer 1 des Zwischenentscheids der Einzelschiedsrichterin sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass das konstituierte Schiedsgericht bezüglich der anhängig gemachten Aberkennungsklage nicht zuständig sei. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Einzelschiedsrichterin zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Die Einzelschiedsrichterin verzichtete auf Vernehmlassung. Die Beschwerdeführerin hat eine Replik eingereicht.
Mit Präsidialverfügung vom 27. Januar 2022 wurde der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung gewährt.

Erwägungen:
1.
1.1. Bei der angefochtenen Dispositiv-Ziffer 1 des Schiedsentscheids handelt es sich um einen Zwischenschiedsspruch über die Zuständigkeit im Bereich der nationalen Schiedsgerichtsbarkeit. Dieser Zwischenentscheid ist mit Beschwerde beim Bundesgericht (Art. 389 f. ZPO) aus den in <ref-law> genannten Gründen anfechtbar (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>).
Im Rahmen einer solchen Beschwerde können auch die weiteren Rügen nach Art. 393 lit. c bis lit. e ZPO erhoben werden, sofern sie mit der Bestellung beziehungsweise der Zuständigkeit des Schiedsgerichts zusammenhängen. Solche Rügen sind jedoch strikte auf Punkte zu beschränken, die unmittelbar die Bestellung oder die Zuständigkeit des Schiedsgerichts betreffen; ansonsten sind sie unzulässig und es ist nicht darauf einzutreten (Urteil 4A_112/2021 vom 9. September 2021 E. 1.3 mit weiteren Hinweisen).
1.2. Das Bundesgericht prüft nur die Beschwerdegründe, die in der Beschwerde vorgebracht und begründet werden (<ref-law>). Diese Anforderung entspricht der nach <ref-law> für die Verletzung von Grundrechten vorgesehenen Rügepflicht (<ref-ruling> E. 5).
2.
Die Beschwerdeführerin moniert, die Einzelschiedsrichterin habe sich zu Unrecht für zuständig erklärt. Sie rügt in diesem Zusammenhang Verfahrensfehler (dazu Erwägung 3) und eine unzutreffende Prüfung der Gültigkeit der Schiedsklausel (dazu Erwägung 4).
Die Beschwerdegegnerin erwidert, die Einrede der Unzuständigkeit sei verwirkt. Die Beschwerdeführerin selbst habe das Schiedsgericht angerufen und in der Einleitungsanzeige vom 29. April 2021 keinen Vorbehalt zur Zuständigkeit angebracht. Erstmals mit Eingabe vom 19. Juli 2021 habe sie die Zuständigkeitsfrage aufgeworfen, allerdings auch hier ohne "explizit und unzweideutig" die Unzuständigkeitseinrede zu erheben. Wie es sich damit verhält, kann offenbleiben. Die in der Beschwerde erhobenen Rügen verfangen ohnehin nicht, wie nachfolgend aufzuzeigen ist.
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin kritisiert, die Einzelschiedsrichterin habe das Verfahren zunächst (mit Schreiben vom 8. Juli 2021 und dann in der Konstituierungsverfügung vom 20. Juli 2021) auf die Frage einer allfälligen Verfahrenssistierung beschränkt (siehe Sachverhalt B.b). In der Folge sei von der Beschwerdegegnerin Antrag auf Erlass eines Zwischenentscheids über die Zuständigkeit gestellt worden. Daraufhin habe die Einzelschiedsrichterin über ihre Zuständigkeit entschieden, ohne das Verfahren auf diesen Streitpunkt zu beschränken beziehungsweise obwohl sie den Prozess vorgängig allein auf die Sistierungsfrage limitiert habe. Dies widerspreche dem Prinzip von "Treu und Glauben" und verletze Art. 393 (recte wohl: Art. 383) ZPO, der "in prozessualer Hinsicht" vorschreibe, dass vom Schiedsgericht "vorgängig ein prozessleitender Entscheid zur Beschränkung des Verfahrens zu treffen ist".
3.2. Die Beschwerdeführerin beanstandet mit anderen Worten die schiedsrichterliche Verfahrensführung. Eine derartige Rüge setzt im jetzigen Verfahrensstadium aber nicht nur voraus, dass die behaupteten Unzulänglichkeiten unmittelbar die Zuständigkeit betreffen (Erwägung 1.1). Ihr kann von vornherein nur dann Erfolg beschieden sein, wenn der angebliche Prozessfehler einer Verletzung des verfahrensrechtlichen Ordre public gleichkommt. Denn das Bundesgericht kann die Anwendung des Verfahrensrechts durch das Schiedsgericht grundsätzlich nicht überprüfen (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 288; Urteile 4A_461/2021 vom 27. Oktober 2021 E. 2.1; 4A_58/2020 vom 3. Juni 2020 E. 4.1 mit weiteren Hinweisen). Eine Verletzung des Ordre public macht die Beschwerdeführerin allerdings nicht geltend. Weiterungen erübrigen sich.
3.3. Sie rügt indes eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Sie sei davon ausgegangen, dass in einem ersten Schritt über die Sistierung entschieden werde und ihr "anschliessend" die Möglichkeit gegeben werde, sich "einlässlich" zur Gültigkeit der Schiedsklausel und zur Zuständigkeit des Schiedsgerichts zu äussern. Indem die Einzelschiedsrichterin "ohne vorgängigen verfahrensleitenden Entscheid" über die Zuständigkeit geurteilt habe, sei ihr (der Beschwerdeführerin) im Ergebnis keine Gelegenheit eingeräumt worden, "in der Sache zur Zuständigkeitsfrage abschliessend Stellung zu nehmen".
Dies trifft nicht zu. Die Einzelschiedsrichterin hatte der Beschwerdeführerin mit Verfügung vom 19. August 2021 ausdrücklich Frist angesetzt, um zum Antrag der Beschwerdegegnerin auf Feststellung der schiedsrichterlichen Zuständigkeit Stellung zu nehmen. Entsprechend hat sich die Beschwerdeführerin denn auch in der Eingabe vom 13. September 2021 ausführlich zur Zuständigkeit des Schiedsgerichts und zur behaupteten Ungültigkeit der Schiedsklausel geäussert. Damit wurde ihr das rechtliche Gehör zur Zuständigkeitsfrage gewährt, zumal die Beschwerdeführerin in keiner Weise dartut, was sie hätte vorbringen wollen, wäre ihr eine weitere Möglichkeit zur Stellungnahme eingeräumt worden (siehe auch Urteil 4A_166/2021 vom 22. September 2021 E. 5.2.1, zur Publikation vorgesehen).
4.
4.1. Sodann moniert die Beschwerdeführerin, die Einzelschiedsrichterin habe die Schiedsklausel unzutreffenderweise für gültig erachtet und sich daher zu Unrecht für zuständig erklärt (<ref-law>).
4.2. Das Bundesgericht prüft die Zuständigkeitsrüge gemäss <ref-law> in rechtlicher Hinsicht frei, einschliesslich materieller Vorfragen, von deren Beantwortung die Zuständigkeit abhängt (<ref-ruling> E. 3.1 S. 224 mit Hinweisen). Demgegenüber überprüft es tatsächliche Feststellungen des angefochtenen Schiedsentscheids auch im Rahmen der Zuständigkeitsrüge nicht, da es an den vom Schiedsgericht festgestellten Sachverhalt gebunden ist und diesen weder ergänzen noch berichtigen kann (vgl. Art. 77 Abs. 2 i.V.m. Art. 97 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Nur wenn gegenüber den Sachverhaltsfeststellungen zulässige Rügen im Sinne von <ref-law> vorgebracht oder ausnahmsweise Noven berücksichtigt werden (<ref-law>), kann das Bundesgericht die tatsächlichen Feststellungen des angefochtenen Schiedsentscheids überprüfen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 224 mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin kann daher namentlich insoweit nicht gehört werden, als sie dem Bundesgericht "gestützt auf <ref-law>" einen ganzen Ordner, beinhaltend "Straf- und Zivilklage vom 14. August 2019 [...] inkl. Beilagen, insb. auch Aktionärbindungsvertrag", einreicht, ohne auch nur im Ansatz (geschweige denn mit präzisen Hinweisen) aufzuzeigen, welche Schlüsse aus diesen zahlreichen Dokumenten zu ziehen wären und weshalb die Voraussetzungen von <ref-law> ("Neue Vorbringen") erfüllt sein sollten.
4.3. Die Beschwerdeführerin trägt vor, die Vereinbarung vom 25. März 2019 "als Ganzes [...] und damit auch die vertragliche Schiedsklausel" seien ungültig beziehungsweise nichtig. Denn erstens hätten die Organe, welche damals für sie gehandelt hätten, mit dem Vertragsabschluss gegen die aktienrechtliche Treuepflicht verstossen und ausschliesslich "eigennützige Ziele" verfolgt. Es handle sich um ein "Insichgeschäft ohne jegliche gesellschaftsinterne Berechtigung". Zweitens unterliege die Vereinbarung Fehlern "in der Willensbildung", weil die gemäss einem Aktionärbindungsvertrag vorausgesetzte Zustimmung der Generalversammlung nicht eingeholt worden sei und weiter wegen des "offenbaren Missverhältnisses zwischen Leistung und Gegenleistung" ("Übervorteilung"). Die vertragschliessenden Organe hätten - drittens - aufgrund eines "offensichtlichen Interessenkonflikts" in den Ausstand treten müssen und überdies den Inhalt der Vereinbarung den übrigen Verwaltungsratsmitgliedern "bewusst verschwiegen". Die Schiedsklausel - so schliesst die Beschwerdeführerin - könne als Bestandteil dieses "nichtigen" Vertrags "keinerlei Rechtswirkungen" entfalten.
4.4.
4.4.1. Nach <ref-law> kann gegen die Schiedsvereinbarung nicht eingewendet werden, der Hauptvertrag sei ungültig. In dieser Bestimmung ist der Grundsatz der Autonomie der Schiedsvereinbarung kodifiziert. Demnach hat der Hauptvertrag hinsichtlich seines Zustandekommens, seiner Gültigkeit und seiner Beendigung nicht zwingend das gleiche Schicksal wie die Schiedsvereinbarung. Hauptvertrag und Schiedsklausel sind insofern unabhängig voneinander zu beurteilen (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 244 f.; <ref-ruling> E. 3.3.2 mit weiteren Hinweisen; Urteil 4A_460/2021 vom 3. Januar 2022 E. 3.1.3).
4.4.2. Von diesen Prinzipien ist die Einzelschiedsrichterin zu Recht ausgegangen. Sie hat zutreffend erwogen, dass die behaupteten Willens- und Vertretungsmängel "im Hinblick auf die konkrete Schiedsklausel (und nicht auf die ganze Vereinbarung) " zu prüfen sind. In der Folge gelangte sie zum Schluss, die Beschwerdeführerin habe weder den ins Feld geführten Aktionärbindungsvertrag noch weitere Korrespondenz oder Dokumente eingereicht, welche die behaupteten Mängel in der internen Willensbildung in Bezug auf die Schiedsklausel konkret dokumentierten und belegten. Auch soweit sich die Beschwerdeführerin auf die Übervorteilung oder ein wirtschaftliches Ungleichgewicht berufe, sei unklar, inwiefern dies die Schiedsklausel tangiere. Diese Argumente entkräftet die Beschwerdeführerin nicht, wenn sie auch vor Bundesgericht einfach behauptet, dass "die Ungültigkeitsgründe des Hauptvertrages (Mangel in der Willensbildung durch Insichgeschäft ohne jegliche gesellschaftsinterne Berechtigung auf Seiten der Beschwerdeführerin) gleichermassen auch der Schiedsklausel entgegenstünden". Wohl ist es nicht ausgeschlossen, dass die gleichen Ungültigkeitsgründe sowohl den Hauptvertrag als auch die Schiedsklausel betreffen (siehe nur <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 245; <ref-ruling> E. 6a; Urteil 4P.137/2002 vom 4. Juli 2003 E. 7.2.4 und grundlegend BGE 65 I 19 S. 21 f.; 59 I 177 S. 179). Die Behauptung allein, der Hauptvertrag existiere nicht beziehungsweise sei ungültig, bringt die Schiedsklausel indes nicht zu Fall (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 245; siehe auch <ref-ruling> E. 4c).
4.4.3. Inwiefern die Einzelschiedsrichterin gestützt auf den von ihr festgestellten Sachverhalt auf die Ungültigkeit der Schiedsklausel hätte schliessen müssen, ergibt sich aus den Ausführungen in der Beschwerde nicht. Insbesondere hat das Schiedsgericht keine Tatsachen festgestellt, die einen allenfalls auch die Schiedsklausel beschlagenden Vertretungsmangel zufolge Selbstkontrahierens, Doppelvertretung oder "interessen- und pflichtwidrige[n] Vertreterhandelns" begründeten. Darauf macht die Beschwerdegegnerin mit Recht aufmerksam. Der von der Beschwerdeführerin wiederholt vorgetragene Vorwurf, die Einzelschiedsrichterin habe die Gültigkeit der Schiedsklausel "bloss summarisch" und somit mit unzureichender Kognition geprüft, ist nicht nachvollziehbar und wird in der Beschwerdeschrift auch nicht weiter begründet.
4.5. Der Schluss der Einzelschiedsrichterin, sie sei zur Beurteilung der in der Einleitungsanzeige vorgebrachten Streitigkeit zuständig, hält der bundesgerichtlichen Überprüfung stand.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (siehe Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 8'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 9'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Schiedsgericht mit Sitz in Basel schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Februar 2022
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Stähle