Erwägungen:
1.
A._ reichte am 20. Februar 2020 beim Appellationsgericht des Kantons Basel eine Rechtsverzögerungsbeschwerde gegen die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt und ein Ausstandsgesuch gegen Appellationsrichterin Stamm ein. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt trat mit Entscheid vom 19. März 2020 auf die Beschwerde und auf das Ausstandsgesuch nicht ein. Zur Begründung führte das Appellationsgericht zusammenfassend aus, dass die abgelehnte Gerichtsperson am vorliegenden Verfahren nicht mitwirke. In Bezug auf die zwei vom Beschwerdeführer erwähnten Strafanzeigen seien die Verfahren mit rechtskräftigen Einstellungs- bzw. Nichtanhandnahmeverfügungen erledigt worden. Bezüglich eines Vorfalls in U._ habe der Beschwerdeführer bei der Staatsanwaltschaft Basel-Stadt keine Strafanzeige gestellt. Unverständlich sei schliesslich der Antrag, wonach polizeiliche Massnahmen im Auftrag des Betreibungsamts zu unterbinden seien.
2.
A._ führt mit Eingaben vom 15. und 16. Mai 2020 Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 19. März 2020. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer vermag mit seinen Ausführungen nicht verständlich aufzuzeigen, dass das Appellationsgericht bei der Behandlung der Rechtsverzögerungsbeschwerde Recht im Sinne von <ref-law> verletzt hätte. Der Beschwerdeführer legt nicht im Einzelnen und konkret dar, inwiefern die Begründung des Appellationsgerichts bzw. dessen Entscheid selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Mai 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli