Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn eröffnete gegen A._ am 14. Februar 2017 eine Strafuntersuchung wegen Verdachts auf mehrfache sexuelle Handlungen mit einem Kind und sexuelle Nötigung, beides begangen im April 2016. Am 22. Februar 2017 wurde die Strafuntersuchung wegen Verdachts auf sexuelle Handlungen mit einem Kind, begangen im Januar 2017, ausgedehnt. Gleichentags wurde A._ festgenommen, worauf er sich vom 24. Februar 2017 bis 24. März 2017 in Untersuchungshaft befand.
Am 5. September 2017 wurde A._ erneut festgenommen wegen Verdachts auf mehrfache sexuelle Handlungen mit einem Kind, begangen im Juli 2017. Zudem wurde die Strafuntersuchung auf weitere Tatbestände ausgedehnt. Ab dem 8. September 2017 befand sich A._ in Untersuchungshaft. Am 23. Januar 2019 erhob die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn gegen A._ beim Richteramt Olten-Gösgen Anklage wegen mehrfacher Vergewaltigung, mehrfacher sexueller Handlungen mit Kindern, mehrfacher harter Pornografie, mehrfachen Verabreichens gesundheitsgefährdender Stoffe an Kinder, evtl. mehrfachen Vergehens gegen das Betäubungsmittelgesetz, mehrfacher Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz, mehrfacher Übertretung des Waffengesetzes, Führens eines Motorfahrzeugs trotz Entzugs des erforderlichen Ausweises und widerrechtlicher Aneignung von Kontrollschildern. Auf Antrag der Staatsanwaltschaft hin ordnete das Haftgericht des Kantons Solothurn gegen A._ am 1. Februar 2019 für den Zeitraum vom 23. Januar 2019 bis 22. Juli 2019 Sicherheitshaft an. Die Hauptverhandlung vor dem Amtsgericht Olten-Gösgen ist auf den 28. und 29. November 2019 angesetzt, wobei die mündliche Urteilseröffnung am 11. Dezember 2019 stattfinden wird. Am 15. Juli 2019 beantragte das Richteramt Olten-Gösgen dem Haftgericht die Verlängerung der Sicherheitshaft bis zur Eröffnung des erstinstanzlichen Urteils am 11. Dezember 2019. Das Haftgericht hiess den Antrag mit Verfügung vom 25. Juli 2019 gut und verlängerte die Sicherheitshaft gegen A._ bis 11. Dezember 2019.
Diese Verfügung focht A._ mit Beschwerde an die Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn an. Sie wies die Beschwerde mit Beschluss vom 21. August 2019 ab.
B.
Gegen diesen obergerichtlichen Beschluss gelangt A._ mit Beschwerde vom 25. August 2019 an das Bundesgericht und beantragt sinngemäss die Aufhebung des Beschlusses des Obergerichts. Er sei auf freien Fuss zu setzen, auch in Kombination mit einer oder mehreren Ersatzmassnahmen.
Während das Obergericht auf eine Vernehmlassung verzichtete, beantragt das Richteramt Olten-Gösgen die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer nahm dazu mit Eingabe vom 3. September 2019 Stellung.

Erwägungen:
1.
1.1. Der angefochtene Beschluss betrifft die Verlängerung der Sicherheitshaft (<ref-law>). Dagegen ist die Beschwerde in Strafsachen gemäss <ref-law> gegeben. Der Beschwerdeführer nahm vor der Vorinstanz am Verfahren teil und befindet sich nach wie vor in Haft. Er ist deshalb gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass, so dass auf die Beschwerde einzutreten ist.
1.2. Mit der Beschwerde in Strafsachen kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Dieses wendet das Bundesgericht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht allerdings nur insoweit geprüft, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Hierzu gelten qualifizierte Begründungsanforderungen: In der Beschwerde ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern die angerufenen Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 579 mit Hinweis).
2.
Gemäss <ref-law> ist Sicherheitshaft zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist und ernsthaft zu befürchten ist, dass sie durch schwere Verbrechen oder Vergehen die Sicherheit anderer erheblich gefährdet, nachdem sie bereits früher gleichartige Straftaten verübt hat.
2.1. Die Vorinstanz bejahte den dringenden Tatverdacht unter Verweis auf die Ausführungen in den bisherigen Entscheiden und die Stellungnahme des Beschwerdeführers vom 22. Juli 2019. In Letzterer habe der Beschwerdeführer bzw. sein amtlicher Verteidiger den dringenden Tatverdacht lediglich hinsichtlich des schwersten Vorhalts der Vergewaltigung bestritten, nicht aber hinsichtlich der anderen ihm vorgehaltenen Delikte.
Indem der Beschwerdeführer vor Bundesgericht ausführt, er habe sich bereits zu einem früheren Zeitpunkt zum Vorliegen des dringenden Tatverdachts geäussert und werde dies anlässlich der bevorstehenden Hauptverhandlung wieder tun, aktuell sei dies jedoch kaum möglich, macht er weder geltend noch legt er dar, dass und weshalb der dringende Tatverdacht nicht gegeben sein sollte. Solches ist denn auch nicht ersichtlich, weshalb der dringende Tatverdacht im Sinne von <ref-law> nach wie vor zu bejahen ist (vgl. das ebenfalls den Beschwerdeführer betreffende, in Sachen Verlängerung der Untersuchungshaft ergangene Urteil des Bundesgerichts 1B_246/2018 vom 12. Juni 2018 E. 3).
2.2.
2.2.1. Mit der Frage der Wiederholungsgefahr hat sich das Bundesgericht bereits im Urteil 1B_246/2018 vom 12. Juni 2018 eingehend auseinandergesetzt. Auf die entsprechenden Ausführungen kann verwiesen werden (a.a.O., E. 4), zumal der Beschwerdeführer das Vorliegen der Wiederholungsgefahr nicht substanziiert bestreitet.
Hinzu kommt, dass das im genannten Urteil des Bundesgerichts vom 12. Juni 2018 noch nicht berücksichtigte psychiatrische Gutachten über den Beschwerdeführer vom 30. April 2018 die bundesgerichtlichen Ausführungen bestätigt. Der Gutachter führte aus, es liege beim Beschwerdeführer eine Persönlichkeitsproblematik vor, die durch dissoziale, unreife, narzisstische sowie deutliche Psychopathy charakterisiert sei. Konkret bestehe eine deutliche und andauernde Verantwortungslosigkeit und Missachtung sozialer Normen, Regeln und Verpflichtungen. Er habe eine geringe Frustrationstoleranz und lasse eine Unfähigkeit zum Erleben von Schuldbewusstsein erkennen, wie auch zum Lernen aus Erfahrung, insbesondere Bestrafung. Er zeige die deutliche Neigung, andere zu beschuldigen oder vordergründige Rationalisierungen für eigenes Fehlverhalten anzubieten. Der Gutachter schloss auf eine dissoziale Persönlichkeitsstörung. Festzustellen sei auch, dass er sehr deutlich das Konstrukt der "Psychopathy" nach Prof. Hare erfülle, wobei eine Form vorliege, bei welcher vor allem betrügerische und manipulative Anteile stark ausgebildet seien. Im Bereich der Sexualität würden sich wiederum die unreifen Anteile der Persönlichkeit deutlich niederschlagen. Aus dem was bekannt sei, lasse sich deutlich erkennen, dass eine spezifische Präferenz für Mädchen im Pubertätsalter vorhanden sei. Diagnostisch seien die Kriterien erfüllt, eine sexuelle Devianz in Form einer Hebephilie zu diagnostizieren. Weitere erheblich schwere psychische Störungen würden beim Beschwerdeführer nicht vorliegen. Hinsichtlich der Legalprognose geht der Gutachter zusammenfassend von einem sehr hohen Rückfallrisiko erneuter Sexualdelinquenz der bisher gezeigten Art aus, welches in einem Bereich von deutlich über 50 % Rückfallwahrscheinlichkeit anzusiedeln sei. Hoch bis sehr hoch sei auch das Risiko erneuter Delinquenz in allen anderen Deliktbereichen, in denen der Beschwerdeführer bislang in Erscheinung getreten sei. Auch hier wiesen die Akten und Befunde darauf hin, dass es viel wahrscheinlicher sei, dass er rezidiviere, als dass er sich legal bewähre.
2.2.2. Der Beschwerdeführer bringt vor, die zwei Jahre Haft hätten bei ihm ein Umdenken bewirkt und ihn zu einem besseren Menschen gemacht, er arbeite hart, sei nie auffällig gewesen und habe keine Fluchtversuche unternommen. Das Gutachten sei willkürlich und aufgrund der seit seiner Erstellung vergangenen Zeitdauer nicht mehr gültig. Die Verhältnisse hätten sich in der Zwischenzeit verändert; er befinde sich in keiner Therapie, weil eine solche nicht nötig sei und der Gutachter keine geeignete Therapie zu nennen gewusst habe.
Wie bereits im bundesgerichtlichen Urteil 1B_246/2018 vom 12. Juni 2018 ausgeführt, vermag er aus der Wirkung und aus seinem Verhalten während der Haft mit Blick auf die vorliegend relevante Wiederholungsgefahr nichts zu seinen Gunsten abzuleiten (a.a.O., E. 4.9.3). Dasselbe gälte für die vom Beschwerdeführer beigebrachte Vorladung des Richteramts Olten-Gösgen vom 19. August 2019 zur Schlichtungsverhandlung, welche er als Beleg seiner Bemühungen verstanden haben will. Da sie jedoch erst nach dem angefochtenen Beschluss ausgestellt wurde, handelt es sich dabei um ein unzulässiges Novum (<ref-law>) und ist für das vorliegende Verfahren daher unbeachtlich.
Soweit der Beschwerdeführer rügt, das Gutachten sei willkürlich, diese Rüge jedoch weder begründet noch darlegt, inwieweit eine Verletzung des Willkürverbots vorliegen soll, ist darauf nicht einzugehen (vgl. oben E. 1.2). Im Übrigen ist auch nicht ersichtlich, dass und weshalb das Gutachten willkürlich sein soll. Hinsichtlich der Frage, ob ein früheres Gutachten hinreichend aktuell ist, ist sodann nicht primär auf das formelle Kriterium des Alters des Gutachtens abzustellen. Massgeblich ist vielmehr die materielle Frage, ob Gewähr dafür besteht, dass sich die Ausgangslage seit der Erstellung des Gutachtens nicht gewandelt hat. Soweit ein früheres Gutachten mit Ablauf der Zeit und zufolge veränderter Verhältnisse an Aktualität eingebüsst hat, sind neue Abklärungen unabdingbar. Entscheidend ist, ob die vorliegende ärztliche Beurteilung mutmasslich noch immer zutrifft, oder ob diese aufgrund der seitherigen Entwicklung nicht mehr als aktuell bezeichnet werden kann (<ref-ruling> E. 4.3 S. 254; <ref-ruling> E. 3.4 S. 247 f.; U rteile 6B_835/2017 vom 22. März 2018 E. 5.3.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 6B_815/2015 vom 11. April 2016 E. 1.2; je mit Hinweisen). Entgegen seiner Auffassung vermag der Beschwerdeführer eine solche wesentliche Veränderung der Verhältnisse gestützt auf sein Verhalten im Haftvollzug nicht darzutun und ist eine solche auch nicht ersichtlich. Mit Blick auf eine ambulante Therapie ist dem Gutachten zu entnehmen, dass das Problem bestehe, wonach das vorliegende Störungsbild gerade auch in der Kombination der psychischen Problematiken nur sehr schwer behandelbar sei. Auch erscheine der Beschwerdeführer viel zu wenig störungseinsichtig und behandlungsmotiviert, als dass erwartet werden könnte, dass eine ambulante Psychotherapie erfolgsversprechend durchgeführt werden könnte. Die praktische und theoretische erfolgsversprechende Durchführbarkeit einer stationären Massnahme erachtet der Gutachter als derart gering, dass sie aus ärztlicher Sicht nicht empfohlen werden könne. Hinsichtlich einer zur Haft parallelen Therapieerprobung in der Wartezeit auf die Hauptverhandlung konnte er keinerlei Behandlungsmassnahme empfehlen. Vor diesem Hintergrund ist der Beschwerdeführer mit seinen Vorbringen betreffend das aktuelle Fehlen einer Therapie nicht zu hören.
Schliesslich und entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz erwog, ein Austrittsbericht der Station Etoine, gemäss welchem zum Zeitpunkt der Entlassung am 6. März 2019 keine akute Selbst- oder Fremdgefährdung bestanden habe, vermöge ein umfassendes forensisch-psychiatrisches Gutachten nicht derart in Frage zu stellen, dass auf dieses - zumindest im Haftverfahren - nicht abgestellt werden könne.
2.2.3. Nachdem der besondere Haftgrund der Wiederholungsgefahr im Sinne von <ref-law> vorliegend gegeben ist, braucht nicht geklärt zu werden, ob auch eine Fluchtgefahr im Sinne von <ref-law> vorliegt. Es erübrigt sich daher, auf die entsprechenden Vorbringen des Beschwerdeführers einzugehen.
3.
Schliesslich beantragt der Beschwerdeführer die Entlassung aus der Sicherheitshaft unter Anordnung von Ersatzmassnahmen, wobei er namentlich das "GPS-Monitoring" nennt.
3.1. Gemäss <ref-law> ordnet das zuständige Gericht an Stelle der Untersuchungs- oder der Sicherheitshaft eine oder mehrere mildere Massnahmen an, wenn sie den gleichen Zweck wie die Haft erfüllen.
3.2. Das Bundesgericht hielt bereits in seinem Urteil vom 12. Juni 2018 fest, dass mit einer umgehenden Entlassung des Beschwerdeführers aus der Haft, verbunden mit blossen Ersatzmassnahmen, wie er sie beantragt, der hohen Rückfallgefahr für sexuelle Handlungen mit Kindern nicht wirkungsvoll begegnet werden kann. Insbesondere ist eine ambulante Psychotherapie, welche als Ersatzmassnahme noch am ehesten in Frage käme, nicht geeignet, das Rückfallrisiko kurzfristig zu minimieren. Nichts anderes ergibt sich nach dem Vorliegen des psychiatrischen Gutachtens vom 30. April 2018 (vgl. oben E. 2.2). Ersatzmassnahmen erweisen sich daher nach wie vor nicht in gleicher Weise geeignet wie die Fortführung der Sicherheitshaft, um die Wiederholungsgefahr zu bannen.
4.
Die Beschwerde erweist sich somit als unbegründet und ist abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Richteramt Olten-Gösgen, Strafabteilung, und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. September 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Fonjallaz
Die Gerichtsschreiberin: Dambeck