Sachverhalt:
A.
A.a. B.A._ (geb. 1974; Beschwerdegegnerin) und A.A._ (geb. 1969; Beschwerdeführer) heirateten im Jahr 2002. Sie sind die Eltern von C.A._ (geb. 2004), D.A._ (geb. 2007) und E.A._ (geb. 2011). Seit dem 15. Juni 2017 sind die Eheleute getrennt, wobei die Kinder bei der Mutter leben.
A.b. Am 30. Juni 2017 ersuchte A.A._ das Regionalgericht U._ um die Regelung des Getrenntlebens. Es folgte ein äusserst langes und heftig umstrittenes Verfahren, geprägt von zahlreichen Gesuchen um den Erlass superprovisorischer und vorsorglicher Massnahmen. Zur Diskussion Anlass gab insbesondere der Kontakt zwischen Vater und Töchtern, wobei Ersterem nach zeitweiligem Kontaktverbot zuletzt unter gleichzeitiger Errichtung einer Besuchsrechtsbeistandschaft nach <ref-law> ein unbegleitetes Besuchsrecht von einem Tag alle zwei Wochen eingeräumt wurde. Am 30. November 2017 ging ein Gutachten der Kinder- und Jugendpsychiatrie Graubünden (kjp) zur Frage der Zuteilung der (faktischen) Obhut und des Besuchsrechts beim Gericht ein und am 28. November 2018 hörte dieses die Kinder an.
Mit Eheschutzentscheid vom 6. Dezember 2018 hielt das Regionalgericht den Zeitpunkt der Trennung fest und übertrug den Eltern soweit hier interessierend das gemeinsame Sorgerecht über die Töchter, allerdings ergänzt durch die Zuteilung der Entscheidbefugnis in medizinischen und schulischen Belangen sowie des Aufenthaltsbestimmungsrechts an die Mutter. Die Kinder stellte es unter die (faktische) Obhut von B.A._, dem Vater räumte es im Sinne einer Minimalregelung ein Besuchsrecht im bisherigen Rahmen ein und gestattete ihm ausserdem, drei Mal in der Woche mit den Töchtern telefonisch Kontakt aufzunehmen. Die Besuchsrechtsbeistandschaft behielt das Regionalgericht bei. Weiter bestimmte es den von A.A._ an B.A._ für die Kinder zu bezahlenden Unterhalt und verzichtete auf die Festlegung eines Ehegattenunterhaltbeitrags. Die Gerichtskosten auferlegte es zu einem Viertel der Ehefrau und zu drei Vierteln dem Ehemann, den es ausserdem zur Ausrichtung einer reduzierten Parteientschädigung an Erstere verpflichtete.
B.
B.a. Mit Eingabe vom 31. Dezember 2018 beschwerte sich B.A._ beim Kantonsgericht von Graubünden soweit die Prozesskosten betreffend gegen das Urteil des Regionalgerichts. Am 7. Januar 2019 reichte A.A._ am Kantonsgericht ausserdem Berufung gegen das gesamte Eheschutzurteil ein.
Im Rahmen des Berufungsverfahrens ersuchte A.A._ im April 2019 das Kantonsgericht um den Erlass verschiedener vorsorglicher Massnahmen. Der Entscheid über dieses Gesuch erfolgte am 14. Februar 2020, wodurch ein zu diesem Zeitpunkt vor Bundesgericht hängiges Verfahren wegen Rechtsverzögerung gegenstandslos wurde (Urteil 5A_153/2020 vom 2. April 2020). Mit Urteil vom 13. Juli 2020 hob das Bundesgericht diesen Entscheid auf, weil er den Mindestanforderungen von <ref-law> nicht genügte, und wies die Sache zur erneuten Behandlung an das Kantonsgericht zurück (Urteil 5A_229/2020). Am 26. August 2020 hiess das Kantonsgericht das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen teilweise gut, soweit es darauf eintrat, und ordnete an, die A.A._ vom Regionalgericht gewährten Telefonkontakte mit den Kindern hätten unbeaufsichtigt zu erfolgen. Hiergegen gelangte A.A._ erneut ans Bundesgericht. Das entsprechende Verfahren 5A_767/2020 ist derzeit hängig.
Am 7. April 2020 und am 23. November 2020 hiess das Bundesgericht zwei von A.A._ im Berufungsverfahren erhobene Rechtsverzögerungsbeschwerden gut (Urteile 5A_152/2020 und 5A_768/2020).
B.b. Bereits am 17. Juni 2019 hatte B.A._ auf Scheidung der Ehe geklagt.
B.c. Mit Urteil vom 16. November 2020 (eröffnet am 4. Januar 2021) hiess das Kantonsgericht im Eheschutzverfahren die Berufung von A.A._ im Umfang des Eintretens teilweise und die Kostenbeschwerde von B.A._ umfassend gut (Dispositivziffern 1 und 2). Eine Vereinigung der beiden Verfahren erfolgte nicht im Dispositiv, wohl aber in der Urteilsbegründung. Den Entscheid des Regionalgerichts passte das Kantonsgericht in verschiedenen Punkten an. Dabei hob es die Zuteilung des Aufenthaltsbestimmungsrechts an die Ehefrau auf (Dispositivziffer 3) und präzisierte, dass die Telefonkontakte zwischen Vater und Kindern ohne Aufsicht zu erfolgen haben (Dispositivziffer 4). Den von A.A._ an B.A._ für die Kinder zu bezahlenden Unterhalt setzte es wie folgt fest (Dispositivziffern 5.1-5.3) :
"Für die Zeit vom 1. Juli 2019 bis zum 31. Juli 2019:
- für C.A._ CHF 1'417.00
(davon Fr. 1'031.00 Barbedarf, CHF 386.00 Betreuungsunterhalt).
- für D.A._ CHF 1'417.00
(davon Fr. 1'031.00 Barbedarf, CHF 386.00 Betreuungsunterhalt).
- für E.A._ CHF 1'217.00
(davon Fr. 831.00 Barbedarf, CHF 386.00 Betreuungsunterhalt).
Für die Zeit vom 1. August 2019 bis zum 31. August 2021:
- für C.A._ CHF 1'262.00
(davon Fr. 1'108.00 Barbedarf, CHF 154.00 Betreuungsunterhalt).
- für D.A._ CHF 1'262.00
(davon Fr. 1'108.00 Barbedarf, CHF 154.00 Betreuungsunterhalt).
- für E.A._ CHF 1062.00
(davon Fr. 908.00 Barbedarf, CHF 154.00 Betreuungsunterhalt).
Für die Zeit ab 1. September 2021 für die weitere Dauer der Trennung:
- für C.A._ CHF 1'229.00
(davon Fr. 1'075.00 Barbedarf, CHF 154.00 Betreuungsunterhalt).
- für D.A._ CHF 1'229.00
(davon Fr. 1'075.00 Barbedarf, CHF 154.00 Betreuungsunterhalt).
- für E.A._ CHF 1'229.00
(davon Fr. 1'075.00 Barbedarf, CHF 154.00 Betreuungsunterhalt)."
Sodann stellte das Kantonsgericht fest, dass A.A._ mangels Leistungsfähigkeit für die Zeit vom 1. Juli 2017 bis zum 30. Juni 2019 keinen Kindesunterhalt zu bezahlen habe (Dispositivziffer 5.4) und hielt fest, in welcher Höhe der gebührende Unterhalt der Kinder nicht gedeckt sei (Dispositivziffer 5.5). Die Kosten des erstinstanzlichen Verfahrens von insgesamt Fr. 69'427.50 auferlegte es zu einem Viertel B.A._ und zu drei Vierteln A.A._, den es ausserdem zur Zahlung einer Parteientschädigung über Fr. 24'034.30 (inkl. Spesen und MWSt) verpflichtete (unter Berücksichtigung der bereits früher getroffenen Regelung zur unentgeltlichen Rechtspflege; Dispositivziffer 6.1-6.5). Die Kosten des Berufungsverfahrens von Fr. 8'321.45 auferlegte es im Umfang von einem Fünftel der Ehefrau und von vier Fünfteln dem Ehemann. Die von A.A._ für dieses Verfahren zu zahlende Parteientschädigung legte es auf Fr. 3'913.65 (inkl. Spesen und MWSt) fest (unter Berücksichtigung der bereits früher getroffenen Regelung zur unentgeltlichen Rechtspflege; Dispositivziffer 7.1-7.4). Ausserdem auferlegte das Kantonsgericht A.A._ die Kosten des Beschwerdeverfahrens von Fr. 2'000.-- und verpflichtete diesen für dieses Verfahren zur Zahlung einer Parteientschädigung an die Ehefrau über Fr. 1'996.75 (inkl. Spesen und MWSt; Dispositivziffer 8.1 und 8.2).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 1. Februar 2021 gelangt A.A._ ans Bundesgericht und stellt unter Kosten- und Entschädigungsfolge die folgenden Begehren:
"1. Das vi Urteil sei in Dispositivziffer 1 (betreffend des Schutzes der erstinstanzlichen Dispositivziffern 3, 4, 5, 6, 15, 16), 3, 4, 5, 5.1, 5.2, 5.3, 5.5, 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 8.1, 8.2 aufzuheben.
2. Die Sache sei zur Sachverhaltsergänzung und Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
3. Eventualiter sei [A.A._] zu verpflichten, an den Unterhalt der Töchter (...) ab Juli 2019 monatlich pränumerando einen Beitrag von je maximal CHF 620.00 (zzgl. allfälliger FamZ) zu bezahlen.
4. [A.A._] sei die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und der Unterzeichnete als Rechtsvertreter beizuordnen."
Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Endentscheid (<ref-law>) eines oberen kantonalen Gerichts, das als Rechtsmittelinstanz (<ref-law>) über die Regelung des Getrenntlebens der Parteien nach Auflösung des gemeinsamen Haushalts und während des zwischenzeitlich anhängig gemachten Scheidungsverfahrens entschieden hat. Im Streit steht eine insgesamt nicht vermögensrechtliche (<ref-ruling> E. 1.1) Zivilsache nach <ref-law>. Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> grundsätzlich zur Beschwerde berechtigt (vgl. aber sogleich E. 1.3), die er auch fristgerecht eingereicht hat (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen einzutreten.
1.2. Der Beschwerdeführer beantragt in der Hauptsache die (teilweise) Aufhebung des angefochtenen Urteils und die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz (vgl. vorne Bst. C). Zur Begründung führt er aus, das Kantonsgericht habe den relevanten Sachverhalt nicht erstellt und in mehrfacher Hinsicht gegen den Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verstossen. Ein reformatorischer Entscheid des Bundesgerichts sei deshalb ausgeschlossen. Ob dies zutrifft, ist nachfolgend zu prüfen (<ref-ruling> E. 6.1); das kassatorische Begehren erweist sich unter diesen Umständen auch mit Blick auf die reformatorische Natur der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>) jedenfalls als zulässig (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 3).
1.3. Im Zusammenhang mit den Kosten der kantonalen Verfahren richtet sich die Beschwerde auch gegen die Regelung der unentgeltlichen Rechtspflege (vgl. vorne Bst. B.c und C). Von vornherein nicht einzutreten ist dabei auf die Beschwerde, soweit sie die der Beschwerdegegnerin gewährte Rechtswohltat betrifft: Dem Beschwerdeführer kommt im entsprechenden Verfahren keine Parteistellung zu (Urteil 5A_841/2018 und 5A_843/2018 vom 12. Februar 2020 E. 2.3.1 mit Hinweisen). Über das weiter strittige Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege im erstinstanzlichen Verfahren wurde gemäss den Feststellungen der Vorinstanz bereits zu einem früheren Zeitpunkt entschieden. Dies schliesst mit Blick auf <ref-law> zwar nicht grundsätzlich aus, dass die Problematik in der Beschwerde gegen den Eheschutzentscheid thematisiert wird (Urteil 5A_536/2020 vom 23. November 2020 E. 4.1). Der Beschwerdeführer legt aber nicht dar, dass er die entsprechende Frage vor Kantonsgericht aufgeworfen hätte, wie dies nötig wäre (<ref-ruling> E. 1.1), und setzt sich im Übrigen in der Beschwerde ans Bundesgericht in keiner Weise damit auseinander (<ref-law>; hinten E. 2.1). Auch insoweit ist auf die Beschwerde daher nicht einzutreten.
2.
2.1. Massnahmeentscheide, die gestützt auf <ref-law> ergehen, unterstehen ebenso <ref-law> (Urteile 5A_263/2020 vom 6. Juli 2020 E. 1.2) wie Eheschutzentscheide (<ref-ruling> E. 5). Daher kann im Verfahren vor Bundesgericht nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-ruling> E. 1.2). Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz solche Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Die rechtsuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2.3).
2.2. Der Beschwerdeführer rügt zahlreiche Verletzungen seiner verfassungsmässigen Rechte. In der Folge ist vorab auf die Vorbringen zu einem Ausstandsgesuch einzugehen (hinten E. 3). Danach sind die Rügen zu den Kinderbelangen im Allgemeinen (inkl. Kindesschutzmassnahmen; hinten E. 4 und 5), zur (faktischen) Obhut und zum persönlichen Verkehr (hinten E. 6), zum Kindesunterhalt (hinten E. 7-9) sowie zu den Kosten des Berufungsverfahrens (hinten E. 10) zu behandeln.
3.
3.1. Nach Darstellung des Beschwerdeführers hat die Vorinstanz ein am 19. Juli 2019 eingereichtes Gesuch um Ausstand des erstinstanzlich zuständigen Richters und Wiederholung wesentlicher Verfahrenshandlungen nicht beurteilt und dadurch den Anspruch auf ein gleiches und gerechtes Verfahren (<ref-law>) sowie auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt. Der Ausstand des Richters sei bereits früher (am 27. Dezember 2017 sowie am 29. Mai und 30. August 2018) verlangt worden, wenn auch erfolglos. Gegenstand dieser Verfahren seien insbesondere eine Strafanzeige wegen Amtsmissbrauchs sowie eine verfehlte Gefährdungsmeldung des Richters gegen den Beschwerdeführer gewesen. Weiteres sei seither hinzugekommen: An der Hauptverhandlung vom xx.xx.2018 habe der Richter die Kantonspolizei beigezogen und alle technischen Geräte versiegeln lassen, dem Beschwerdeführer vorgeworfen, seine Opferrolle zu zelebrieren, und das Ausstandsbegehren als Beleg der Unbelehrbarkeit bezeichnet. Im März 2019 habe er sodann ein ausserhalb des Eheschutzverfahrens gestelltes Auskunftsbegehren an die Beschwerdegegnerin und die Kindesvertreterin weitergeleitet, was eine Amtsgeheimnisverletzung bedeute. Das erstinstanzliche Scheidungsverfahren werde denn auch nicht mehr durch den fraglichen Richter geführt, sondern liege beim Regionalgericht V._. Auf das neuerliche Gesuch vom 19. Juli 2019 sei die Vorinstanz - was durch die Lektüre des angefochtenen Entscheids bestätigt wird - nur im Teilbereich der Befangenheit in Bezug auf die erstinstanzliche Kindesanhörung eingegangen.
3.2. Im Zivilprozess umschreibt <ref-law> in Konkretisierung der Garantien von Art. 6 Ziff. 1 EMRK und <ref-law> auf Gesetzesebene, wann eine Gerichtsperson in Ausstand tritt (<ref-ruling> E. 4). Eine Partei, die eine Gerichtsperson ablehnen will, hat dem Gericht unverzüglich ein entsprechendes Gesuch zu stellen (<ref-law>). Gemäss <ref-law> hat die Partei Anspruch auf Beurteilung ihres Gesuchs innert angemessener Frist (vgl. <ref-ruling> E. 3.1). Der Anspruch auf rechtliches Gehör nach <ref-law> verlangt, dass das Gericht die Vorbringen der vom Entscheid in ihrer Rechtsstellung betroffenen Person tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung des Gerichts, ihren Entscheid zu begründen (<ref-ruling> E. 5.2).
Fehlerhafte Verfügungen und Verfahrenshandlungen begründen für sich allein den Anschein der Befangenheit nicht. Nur besonders schwere oder wiederholte Fehler, die auf eine Pflichtverletzung schliessen lassen, vermögen einen Ausstandsgrund zu bilden (<ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 3.2.3; Urteil 4A_304/2020 vom 16. Juli 2020 E. 5). Ein Ausstandsgrund kann sich auch aufgrund einer Gesamtwürdigung ungewöhnlich häufiger Fehlleistungen der Verfahrensleitung ergeben. Selbst wenn das Ausstandsgesuch unverzüglich gestellt werden muss, ist es mit Blick auf die Gesamtsituation dabei nicht nötig, jedes problematische Verhalten umgehend zu rügen. Dadurch verwirkt zwar die Möglichkeit, das Gesuch allein mit diesem einen Ereignis zu begründen; nicht ausgeschlossen wird aber, darauf zusammen mit neu hinzugekommenen Umständen zurückzukommen, sofern nicht missbräuchlich ein bloss vorgeschobener neuer Grund angerufen wird, der nicht ernstlich für die Begründung eines Ausstands geeignet ist (Urteil 1B_246/2020 und 1B_248/2020 vom 22. Dezember 2020 E. 5.2.2 [zum Strafverfahren]).
3.3. Unzutreffend ist vorab der Vorwurf, das Kantonsgericht habe sich mit dem Ausstandsgesuch "in keiner Weise auseinandergesetzt". Der Beschwerdeführer gibt vielmehr selbst an, dass dieses in einem Teilbereich beurteilt wurde. Eine umfassendere Prüfung des Gesuchs wäre nach dem Ausgeführten sodann zwar wünschenswert gewesen; der Vorinstanz kann jedoch nicht geradezu eine Verfassungsverletzung vorgeworfen werden: Unbestritten hatte der Beschwerdeführer im Laufe des kantonalen Verfahrens bereits dreifach erfolglos um den Ausstand des erstinstanzlichen Richters ersucht. Die neu vor Kantonsgericht geltend gemachten Gründe erscheinen sodann repetitiv (Vorwurf der Amtsgeheimnisverletzung) oder tendenziell weniger gravierend (Verhalten anlässlich der Hauptverhandlung). Unter diesen Umständen ist es gerade noch nicht zu beanstanden, dass das Kantonsgericht sich bei der Behandlung des neuerlichen Ausstandsgesuchs auf die Ereignisse um die Befragung der Kinder fokussierte. Nicht haltbar ist es mit Blick auf die Rechtsprechung jedoch, dem Beschwerdeführer vorzuwerfen, er habe den (Gesamt-) Ausstandsgrund verspätet vorgetragen, nachdem dieser auch mit Vorfällen vom März 2019 begründet wurde. Die Vorinstanz hat das Ausstandsgesuch indes auch inhaltlich geprüft und abgewiesen, was vom Beschwerdeführer nicht beanstandet wird. Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet.
4.
4.1. Im Zusammenhang mit sämtlichen Kindesangelegenheiten beanstandet der Beschwerdeführer verschiedentlich die Erhebung des massgebenden Sachverhalts: In Willkür (<ref-law>) sei die Vorinstanz verfallen, weil sie trotz Kenntnis eines veränderten Sachverhalts, trotz Scheiterns der bisherigen Massnahmen und im Bewusstsein, dass ein neues Gutachten notwendig wird, keinerlei eigene Feststellungen getroffen habe. Hierin liege ausserdem eine Verletzung der Pflicht zur Erforschung des Sachverhalts. Der Beschwerdeführer beanstandet weiter die Feststellung, er sei nicht in der Lage, die Konflikte mit der Ehefrau von den Kindern fernzuhalten und erkenne nicht, dass die Kinder eine möglichst konfliktfreie Beziehung zu beiden Elternteilen aufbauen sollten. Anstatt den aktuellen Sachverhalt zu erheben, habe die Vorinstanz dem Beschwerdeführer vorgeworfen, er habe das Gegenteil nicht nachweisen können. Dadurch verfalle sie nicht nur in Willkür, sondern verlege auch die Beweislast falsch und verletze die strenge Untersuchungspflicht.
Im vorliegenden Verfahren kann allein die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden (vgl. vorne E. 2.1). Von vornherein unzulässig ist daher die Rüge des Verstosses gegen Gesetzesrecht, namentlich gegen die Bestimmung zur Beweislast (<ref-law>). Dies gilt auch, soweit der Beschwerdeführer vorbringt, die Anhörung der Töchter sei mangelhaft erfolgt (Ort der Durchführung, unvollständige Befragung), ohne in diesem Zusammenhang jedoch eine (angebliche) Verfassungsverletzung vorzutragen (zum Verfassungsbezug der Kindesanhörung vgl. Urteil 5A_723/2019 vom 4. Mai 2020 E. 5.1).
4.2. Eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung liegt vor, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat. Dass die vom Sachgericht gezogenen Schlüsse nicht mit der eigenen Darstellung der rechtsuchenden Partei übereinstimmen, belegt keine Willkür (<ref-ruling> E. 4.4). Bei Willkürrügen reicht es daher nicht aus, die Lage aus der eigenen Sicht darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Vielmehr ist im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 1.4.1; <ref-ruling> E. 2.2). Ausserdem ist aufzuzeigen, inwiefern die Behebung der behaupteten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (BGE <ref-ruling> E. 2.3). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law> (dazu vorne E. 2.1).
Gemäss <ref-law> erforscht das Gericht den Sachverhalt in Kinderbelangen in familienrechtlichen Angelegenheiten von Amtes wegen. Die Untersuchungspflicht des Gerichts reicht so weit und dauert so lange, bis über die Tatsachen, die für die Beurteilung des streitigen Anspruchs erforderlich sind, hinreichende Klarheit besteht. Wer eine Verletzung der Untersuchungsmaxime geltend macht, muss zunächst aufzeigen, dass das Gericht den Sachverhalt offensichtlich unrichtig und damit willkürlich festgestellt hat (Urteile 5A_468/2017 vom 18. Dezember 2017 E. 6.1; 5A_724/2015 vom 2. Juni 2016 E. 4.5, nicht publ. in: <ref-ruling>). Folglich kommt der Rüge der Verletzung des uneingeschränkten Untersuchungsgrundsatzes im vorliegenden Verfahren keine eigenständige Tragweite zu.
4.3. Die Beschwerde genügt über weite Teile bereits den formellen Anforderungen nicht, welche für die Rüge der Willkür in der Sachverhaltsfeststellung bestehen: In seinen Ausführungen begnügt der Beschwerdeführer sich überwiegend damit, in appellatorischer Art und Weise und ohne Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid seine Sicht der Dinge darzulegen. Ergebnisorientiert versucht er durch herausgreifen einzelner Punkte das Kantonsgericht zu weiteren Abklärungen zu verpflichten, von denen er sich ein günstigeres Ergebnis erhofft. Beispielsweise verweist er im Zusammenhang mit der Beistandschaft auf einen in den Akten liegenden Bericht der Beiständin und leitet hieraus das Scheitern der Massnahme ab. Dabei geht er nicht auf die in den Akten abgestützte Darlegung des Kantonsgerichts ein, wonach die Beiständin ihre Aufgabe zumindest teilweise erfüllt habe, die Schwierigkeiten bei der Ausübung des Besuchsrechts auf das Verhalten der Eltern zurückzuführen und die Massnahme nach wie vor notwendig sei. Unter diesen Umständen hilft dem Beschwerdeführer auch der Vorwurf nicht weiter, die Vorinstanz habe den von ihm erwähnten Bericht nicht explizit erwähnt. Weiter beschränkt der Beschwerdeführer sich vielfach darauf, der Vorinstanz Unterlassungen bzw. Fehler vorzuwerfen, ohne aufzuzeigen, welche Beweisvorkehren sinnvollerweise hätten ergriffen werden können. Zwar verweist er verschiedentlich auf einen Antrag um Einholung eines interventionsorientierten Gutachtens. Indessen legt er nicht mit hinreichender Genauigkeit dar, inwiefern diese Massnahme zur Klärung des relevanten Sachverhalts hätte beitragen sollen. Keine Willkür begründet der Vorwurf, das Kantonsgericht habe nicht die aktuellsten Verhältnisse berücksichtigt, der letztlich auf eine nicht wünschenswerte Wiederholung des gesamten Beweisverfahrens abzielt. Nicht entscheidend erscheint der Hinweis, die Besuche des Beschwerdeführers bei der jüngsten Tochter würden seit drei Jahren reibungslos funktionieren, ist doch unbestritten, dass dies bei den beiden älteren Töchtern nicht der Fall ist.
Zusammenfassend erweist sich die Rüge der willkürlichen Sachverhaltsfeststellung als unbegründet, soweit überhaupt darauf einzugehen ist.
4.4. Auch im Zusammenhang mit der Abklärung des Sachverhalts rügt der Beschwerdeführer verschiedene Verletzungen des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>).
4.4.1. Zum vorerwähnten interventionsorientierten Gutachten macht der Beschwerdeführer geltend, das Kantonsgericht habe die Beweismassnahme mit keinem Wort erwähnt und darüber auch nicht entschieden.
Der Gehörsanspruch gewährt den Parteien das Recht, mit rechtzeitig und formrichtig angebotenen tauglichen Beweismitteln gehört zu werden (vgl. <ref-law>). Dies hindert das Gericht aber nicht daran, auf die Abnahme eines Beweismittels zu verzichten, wenn es zum Schluss gelangt, dieses könne am Beweisergebnis nichts ändern (<ref-ruling> E. 3.1.3). Die Vorinstanz trifft keinen Vorwurf, dass sie das beantragte Gutachten nicht angeordnet hat (vgl. E. 4.3 hiervor). Unter diesen Umständen würde es sich auch als unschädlich erweisen, hätte sie nicht explizit über die Abnahme dieses Beweismittels entschieden; zumal das Gericht nicht gehalten war, sich mit jedem der zahlreichen Vorbringen des Beschwerdeführers auseinanderzusetzen (vgl. <ref-ruling> E. 5.2).
4.4.2. Weiter moniert der Beschwerdeführer, die Kindesanhörung sei von der Erstinstanz um einen Augenschein erweitert worden, ohne dass ihm die Möglichkeit zur Teilnahme an diesem eingeräumt worden sei.
Der Beschwerdeführer spricht die Überlegung des Kantonsgerichts an, der Erstrichter habe mit der Befragung der Kinder an ihrem Wohnort die Belastung für diese möglichst tief halten wollen. Ausserdem habe sich ihm durch dieses Vorgehen die Gelegenheit geboten, sich einen Eindruck von der gewohnten Umgebung der Kinder zu machen und festzustellen, wie es ihnen am neuen Wohnort gehe. Anders als der Beschwerdeführer meint, kann hieraus nicht abgeleitet werden, anlässlich der Kinderbefragung hätte ein eigentlicher Augenschein nach <ref-law> stattgefunden (vgl. zu diesem Urteil 4A_225/2019 vom 2. September 2019 E. 5.3.2). Vielmehr ist hierin mit der Vorinstanz der Versuch einer möglichst kindgerechten Anhörung zu sehen (vgl. zu dieser Urteil 5A_92/2020 vom 25. August 2020 E. 3.4.2, in: FamPra.ch 2020 S. 1075). Die Rüge der Gehörsverletzung erweist sich damit als unbegründet. Ohnehin zeigt der Beschwerdeführer nicht auf, dass er ein entsprechendes Vorbringen bereits im vorinstanzlichen Verfahren erhoben hätte (<ref-ruling> E. 1.1).
4.4.3. Zuletzt wirft der Beschwerdeführer dem Kantonsgericht vor, ohne Begründung habe es "die Feststellung als Fakt dargestellt", er sei nicht in der Lage, das Kindeswohl auch nur im Rahmen von Besuchsrechten zu wahren. Unbestritten hat die Vorinstanz jedoch dargelegt, weshalb sie die (faktische) Obhut über die Kinder der Mutter zuteilte und dem Beschwerdeführer kein weitergehendes Besuchsrecht einräumte. Der Umstand, dass der Beschwerdeführer damit nicht einverstanden ist, begründet keine Gehörsverletzung (<ref-ruling> E. 6.1).
4.5. Der Beschwerdeführer erachtet es als eine Verletzung des Anspruchs auf gleiche und gerechte Behandlung (<ref-law>) und des Anspruchs auf rechtliches Gehör sowie als willkürlich, dass die Vorinstanz auf seinen Antrag auf Erlass von Kindesschutzmassnahmen nicht eingegangen sei und auch keine solchen Massnahmen getroffen habe. Er bezieht sich dabei wiederum auf seinen Antrag auf Einholung eines interventionsorientierten Gutachtens. Zudem seien die aktuellen Kindesschutzmassnahmen (d.h. die Beistandschaft) gescheitert. Vorab bleibt unklar, inwieweit die Einholung eines Gutachtens als eine den Sachverhalt klärende Massnahme geeignet sein sollte, eine aktuelle Kindeswohlgefährdung zu beheben. Ohnehin geht der Beschwerdeführer in seinen Überlegungen zum Scheitern der Beistandschaft von unmassgebenden tatsächlichen Grundlagen aus: Wie dargelegt (E. 4.2 hiervor) trifft die Vorinstanz auch hinsichtlich der Beistandschaft bei der Klärung des Sachverhalts keinen Vorwurf. Anlass, eine andere Massnahme zum Schutz des Kindeswohls zu ergreifen, bestand damit nicht und es erweist sich auch unter diesem Aspekt als unschädlich, dass die Vorinstanz nicht weiter auf den Antrag auf Einholung eines erneuten Gutachtens einging.
5.
5.1. Zur Anhörung der Töchter vom 28. November 2018 (vgl. vorne Bst. A.b) verweist der Beschwerdeführer auf die Praxis, wonach für die Berücksichtigung des Kindeswillens das Alter des Kindes bzw. dessen Fähigkeit zur autonomen Willensbildung mitentscheidend ist. Vom Vorliegen dieser Fähigkeit ist ungefähr ab dem 12. Altersjahr auszugehen, was auch das Kantonsgericht erkannt habe (Urteil 5A_56/2020 vom 17. August 2020 E. 4.1 mit Hinweisen). Bei Ausfällung des angefochtenen Urteils sei die älteste Tochter 16 Jahre und die zweitälteste 13 Jahre alt gewesen, womit deren Meinung zu beachten gewesen wäre. Angehört worden seien die Kinder jedoch zwei Jahre früher; eine aktuelle Meinungsäusserung der ältesten Tochter habe damit nicht vorgelegen und die zweitälteste Tochter sei seit Erreichen des 12. Altersjahrs nicht angehört worden. Jedoch habe das Kantonsgericht, durchaus entgegen den eigenen Erwägungen, den Aussagen der Kinder keine entscheidrelevante Bedeutung beigemessen. Indem das Gericht den aktuellen Kindeswillen nicht berücksichtigt und widersprüchlich argumentiert habe, sei es in Willkür (<ref-law>) verfallen. Die Kindesanhörung sei weiter Ausdruck des Persönlichkeitsrechts des Kindes. Zumindest den beiden älteren Töchtern hätte damit auch unter diesem Aspekt die Möglichkeit gegeben werden müssen, sich ins Verfahren der Eltern einzubringen. Indem sie dies unterlassen habe, habe die Vorinstanz den Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt.
5.2. Was den Vorwurf der Gehörsverletzung angeht, übersieht der Beschwerdeführer, dass er das vorliegende (Eheschutz-) Verfahren im eigenen Namen und nicht als gesetzlicher Vertreter der Kinder führt. Diesen wurde vielmehr am 21. August 2017 eine eigene Vertreterin bestellt. Entsprechend kann er sich vor Bundesgericht nicht auf das Persönlichkeitsrecht der Töchter berufen (Urteil 5A_56/2020 vom 17. August 2020 E. 6.3).
5.3. Im Übrigen ist zwar korrekt, dass das Kantonsgericht den Aussagen der Töchter vorliegend keine Entscheidrelevanz zumisst, obgleich es die verstärkte Bedeutung der Willensäusserung von Kindern ab dem 12. Altersjahr grundsätzlich anerkennt. Dies steht aber vor dem Hintergrund, dass die Vorinstanz den Kindeswillen als nicht allein massgebend erachtet und jedenfalls bei den beiden jüngeren Kindern keine klaren Tendenzen bezüglich der (faktischen) Obhut ausmachen konnte. Der Beschwerdeführer unterschlägt ausserdem, dass das Kantonsgericht insbesondere auch deshalb auf eine erneute Kindesanhörung verzichtete, weil es bei den Kindern nicht den Eindruck erwecken wollte, sie könnten allein über ihren Wohnort entscheiden. Es sollten die Kinder vor einer ständigen Konfrontation mit der sie sehr belastenden Frage nach dem Wohnort geschützt werden, um den bestehenden Loyalitätskonflikt nicht weiter zu verstärken. Entsprechend empfahl das Kantonsgericht den Eltern auch, die Kinder mit diesem Thema nicht weiter zu konfrontieren. Mit diesen Argumenten setzt der Beschwerdeführer sich nicht auseinander, womit er insgesamt auch nicht aufzuzeigen vermag, dass die Vorinstanz in Willkür verfallen wäre. Ohnehin besteht nach der Rechtsprechung die Pflicht, ein Kind anzuhören, in der Regel nur einmal im Verfahren, und zwar grundsätzlich nicht nur auf die einzelne Instanz gesehen, sondern einschliesslich des Instanzenzugs (<ref-ruling> E. 3.3.2).
6.
6.1. Bezüglich des zur (faktischen) Obhut über die Töchter und der Ausgestaltung des persönlichen Verkehrs eingeholten Gutachtens (vgl. vorne Bst. A.b) macht der Beschwerdeführer ebenfalls eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) geltend. Vor Kantonsgericht war strittig, ob die erste Instanz dem Beschwerdeführer Einsicht in die gutachterlichen Akten (Videoaufnahmen der Befragung des Beschwerdeführers) hätte gewähren müssen. Gegenüber dem abschlägigen Entscheid der Vorinstanz beruft sich der Beschwerdeführer vor Bundesgericht auf das Recht auf Akteneinsicht und das Recht auf Beweis. Er habe dem Kantonsgericht dargelegt, seine eigene Interaktionsbefragung sei im Gutachten falsch bzw. nicht umfassend wiedergegeben worden. Sei aber die textliche Zusammenfassung des Gutachtens strittig, müsse Einsicht in die zugrunde liegenden Informationen gewährt werden, ansonsten Fehler nicht belegt werden könnten. Fehler im Gutachten würden aber die gesamte Gutachtensarbeit in Frage stellen. Dies sei umso mehr von Bedeutung, als das Kantonsgericht verschiedentlich auf das Gutachten abstelle.
6.2. Der Anspruch auf rechtliches Gehör ist formeller Natur, sodass seine Verletzung ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels in der Regel zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids führt (<ref-ruling> E. 2.8.1). Dennoch stellt die Wahrung des rechtlichen Gehörs keinen Selbstzweck dar. Insbesondere kann trotz Vorliegens einer Gehörsverletzung von einer Aufhebung des angefochtenen Entscheids abgesehen werden, wenn nicht ersichtlich ist, inwiefern das verfassungskonform durchgeführte Verfahren zu einem anderen Ergebnis geführt hätte (<ref-ruling> E. 1.4.1). Entsprechend wird für eine erfolgreiche Rüge der Gehörsverletzung grundsätzlich vorausgesetzt, dass in der Begründung des Rechtsmittels auf die Erheblichkeit der angeblichen Verfassungsverletzung eingegangen wird (ausführlich Urteil 4A_453/2016 vom 16. Februar 2017 E. 4.2.3 mit zahlreichen Hinweisen; vgl. weiter etwa Urteile 4A_241/2020 vom 9. September 2020 E. 3.6; 5A_923/2018 vom 6. Mai 2019 E. 4.2.1; 5A_561/2018 vom 14. Dezember 2018 E. 2.3).
Dem kommt der Beschwerdeführer nicht nach: Er verweist zwar nachvollziehbar darauf, dass ein Fehler in der Erstellung des Gutachtens sich auf dessen Ergebnis auswirkt. Auch hat das Kantonsgericht das Gutachten verschiedentlich als Entscheidgrundlage beigezogen. Dies allein besagt freilich nicht, dass der Verfahrensausgang durch die Gutheissung des streitbetroffenen Beweisantrags beeinflusst worden wäre. Der Beschwerdeführer setzt sich denn auch nicht mit der Überlegung der Vorinstanz auseinander, wonach die Obhutszuteilung das Resultat einer Abwägung verschiedener Faktoren, darunter des Kindeswillens, sei und auch deshalb nicht ersichtlich sei, was die beantragte Edition der Videoaufnahmen bewirken solle. Die Beschwerde ist damit insoweit ungenügend begründet.
7.
Seine verfassungsmässigen Rechte erachtet der Beschwerdeführer sodann verschiedentlich durch das Vorgehen der Vorinstanz bei der Berechnung des Einkommens der Ehegatten im Rahmen der Festlegung des Kindesunterhalts als verletzt.
7.1.
7.1.1. Die Ehefrau wurde unbestritten in W._, ihrer Heimat, zur Krankenschwester ausgebildet. Das Kantonsgericht gibt dazu zu bedenken, dass die Ausbildung in der Schweiz nicht anerkannt ist. Gemäss den nachvollziehbaren Angaben der Beschwerdegegnerin - diese seien indes nicht nachgewiesen - und mit Blick auf die geltenden Voraussetzungen (Äquivalenz von Bildungsstufe und Ausbildungsdauer, vergleichbare Inhalte der Ausbildung, theoretische und praktische Qualifikationen) könne die Anerkennung auch nicht als reine Formsache behandelt werden, die kurzfristig realisierbar sei. Zudem habe die Ehefrau nur kurz als Krankenschwester gearbeitet und vor der Heirat andere Tätigkeiten ausgeübt (u.a. als Hostess für eine Werbefirma und auf einem Kreuzfahrtschiff). Mit 27 Jahren sei sie in die Schweiz gekommen und habe eine Hotelfachschule begonnen, aufgrund ihrer familiären Pflichten aber nicht beendet. Als Krankenschwester könne die Beschwerdegegnerin damit nicht innert nützlicher Frist ein hinreichendes Einkommen erzielen. Da sie aber auch anderweitig eine Anstellung mit ausreichendem Einkommen finden könne, sei dies auch nicht nötig.
Unter Berücksichtigung des Schulstufenmodells sei der Ehefrau ein Arbeitspensum von 40 % ab dem 1. August 2019 zumutbar. Dabei sei zu berücksichtigen, dass extrem knappe Verhältnisse vorliegen und die Kinder sich tagsüber in der Schule befinden. Allerdings sei die Beschwerdegegnerin bereits 44-jährig und bis zu diesem Zeitpunkt nur sporadisch einer Erwerbstätigkeit nachgegangen. Auch erhalte sie bei der Betreuung der Kinder nur wenig Entlastung durch den Vater, dem nur ein eingeschränktes Besuchsrecht und kein Ferienrecht zukomme.
Aufgrund der dargelegten Erwerbsbiographie komme für die Beschwerdegegnerin eine Anstellung in der Gastronomie in Frage. Mit Blick auf den "statistischen Lohnrechner" sei dabei von einem Bruttoeinkommen von monatlich Fr. 3'900.-- bei einer vollen Anstellung auszugehen. Entsprechend könne der Ehefrau ab dem 1. August 2019 ein Einkommen von Fr. 1'400.-- angerechnet werden.
7.1.2. Dem Ehemann rechnete das Regionalgericht ein hypothetisches Einkommen von Fr. 7'000.-- im Monat an. Mit den entsprechenden Erwägungen der Erstinstanz setzte der Beschwerdeführer sich nach Dafürhalten des Kantonsgerichts kaum auseinander. Jedenfalls könne er aber unbestritten keine Nachweise für ernsthafte Suchbemühungen vorweisen. Auch im Berufungsverfahren mache der Beschwerdeführer nicht geltend, sich erfolglos um eine Arbeitsstelle bemüht zu haben. Seine Tätigkeiten für die Parlamentarische Untersuchungskommission (PUK) und bei verschiedenen Untersuchungen erfolge auf freiwilliger Basis, womit der damit verbundene Aufwand nicht beachtlich sei. Unbestritten sei der Ehemann ausgebildeter Maurer und Polier und habe er das Technikum in X._ besucht. Ihm könne daher ein Durchschnittslohn als Polier mit Fachhochschulabschluss angerechnet werden. Der Beschwerdeführer sei nicht mehr an die Region Y._ gebunden, weshalb es ihm möglich sei, eine entsprechende Anstellung zu finden, zumal mit Blick auf die ihm gewährte grosszügige Übergangsfrist. Damit könne ihm ab 1. Juli 2019 das vorgenannte Einkommen angerechnet werden.
7.2.
7.2.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, die Ehefrau habe die Ausbildung zur Krankenschwester in einem Mitgliedstaat der Europäischen Union (EU) absolviert. Die Anerkennung der Ausbildung sei gestützt auf Art. 9 FZA (SR 0.142.112.681) ohne grossen Aufwand und innert vernünftiger Frist möglich. Der angefochtene Entscheid lasse demgegenüber völlig offen, welcher (erhebliche) finanzielle und zeitliche Aufwand mit der Anerkennung verbunden sein solle. Selbst ohne Berufserfahrung sei das Erwerbspotential der Beschwerdegegnerin als diplomierte Pflegefachfrau höher als bei einer ungelernten Tätigkeit in der Gastronomie oder der Pädagogik. In der gegebenen Situation komme auch eine Übernahme der Kosten für die Anerkennung der Ausbildung durch die Sozialhilfe in Betracht. Die Vorinstanz sei in Willkür (<ref-law>) verfallen und habe die Pflicht zur Klärung des Sachverhalts verletzt, indem sie die (höheren) Erwerbsmöglichkeiten der Beschwerdegegnerin im Pflegebereich nicht geprüft habe. Willkürlich sei auch die widersprüchliche Argumentation der Vorinstanz: Einerseits halte das Kantonsgericht fest, die Beschwerdegegnerin könne ohne Diplom ein ausreichendes Einkommen erzielen, andererseits komme es aber zum Schluss, diese könne ihren Lebensbedarf nicht selbst decken. Hierin liege ausserdem eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) im Teilgehalt der Begründungspflicht. Die Beschwerdegegnerin könne richtig berechnet bei reduziertem Pensum ein Einkommen von Fr. 6'000.-- erzielen.
7.2.2. Mit diesen Ausführungen begnügt der Beschwerdeführer sich im Wesentlichen damit, appellatorisch seine eigene Sicht der Dinge darzulegen und die davon abweichenden Überlegungen der Vorinstanz als willkürlich zu bezeichnen. Im Zusammenhang mit der Anerkennung der ausländischen Berufsausbildung setzt er sich nicht mit den Erwägungen der Vorinstanz auseinander und auch zu den Überlegungen des Kantonsgerichts betreffend die Auswirkungen der mangelnden Berufserfahrung der Ehefrau äussert er sich nicht vertieft. Seine Ausführungen sind alles in allem wenig konkret und er vermag in keiner Weise nachvollziehbar zu erklären, weshalb der Beschwerdegegnerin ein Einkommen angerechnet werden können sollte, das um ein Vielfaches über dem vom Kantonsgericht ermittelten liegt. Dies lässt sich auch nicht mit einem erhöhten Erwerbspotential im Pflegebereich erklären. Unter diesen Umständen hilft es dem Beschwerdeführer auch nicht weiter, dass das Kantonsgericht zwar erwägt, die Beschwerdegegnerin könne auch ausserhalb des Pflegebereichs ein hinreichendes Einkommen erzielen, sie dann aber nicht zur Deckung ihres eigenen Bedarfs anhält. Damit vermag der Beschwerdeführer weder Willkür noch anderweitige Verfassungsverletzungen aufzuzeigen (zur Tragweite der Untersuchungsmaxime vgl. im Übrigen vorne E. 4.2).
7.3.
7.3.1. Willkürlich (<ref-law>) ist es nach Dafürhalten des Beschwerdeführers weiter, dass die Vorinstanz eine Reduktion des der Ehefrau nach dem Schulstufenmodell anrechenbaren Erwerbspensums aus Gründen erwog, die auf dieses Pensum gar keinen Einfluss hätten, namentlich das Alter der Ehefrau und deren Erwerbsbiographie. In Willkür sei das Kantonsgericht auch verfallen, indem es bei Kindern im Alter von 16, 13 und 9 Jahren von der Notwendigkeit einer sich auf das Erwerbspensum auswirkenden Drittbetreuung während der Schulferien ausgegangen sei, ohne dass dieser Bedarf ausgewiesen wäre. Dies verletze auch die strenge Untersuchungspflicht und den Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) im Teilgehalt der Pflicht zur Begründung des Entscheids. Willkürlich sei es weiter, dass die Vorinstanz die erhöhte Eigenerwerbspflicht bei Absehbarkeit der Scheidung nicht berücksichtige sowie die Erwerbseinschränkungen mit Bezug auf die Kinderbetreuung nicht von solchen ohne diesen Bezug trenne und folglich auch nicht-betreuungsbezogene Einschränkungen bei der Festlegung des Barunterhalts berücksichtige. Der Beschwerdegegnerin sei ein Erwerbseinkommen von 50 % oder mehr anzurechnen.
7.3.2. Auch hier ergeht sich der Beschwerdeführer weitgehend in appellatorischer Kritik am angefochtenen Urteil. So namentlich, wo er dem Kantonsgericht vorwirft, einen Betreuungsbedarf der Kinder während der Ferien angenommen sowie Betreuungs- und Barunterhalt nicht ausreichend unterschieden zu haben. Eine Auseinandersetzung mit den massgebenden Grundlagen oder den Überlegungen der Vorinstanz findet sich in der Beschwerdeschrift nicht. Auch die der Vorinstanz vorgeworfene Gehörsverletzung begründet der Beschwerdeführer nicht näher. Damit genügt die Beschwerde den Begründungserfordernissen nicht (vorne E. 2.1 und 4.2).
Im Übrigen ist festzuhalten, was folgt: Nach der Rechtsprechung gilt bezüglich der Aufnahme bzw. Ausweitung einer Erwerbstätigkeit das Schulstufenmodell, wonach dem die Kinder hauptsächlich betreuenden Elternteil eine Tätigkeit von 50 % ab der obligatorischen Einschulung des jüngsten Kindes zumutbar ist (<ref-ruling> E. 4.7.6; Urteil 5A_104/2018 vom 2. Februar 2021 E. 5.2, zur Publ. bestimmt). Hierbei handelt es sich jedoch um eine Richtlinie, von der in pflichtgemässer Ermessensausübung abgewichen werden kann, um den Besonderheiten des Einzelfalls Rechnung zu tragen. Dabei darf auch dem Umstand Rechnung getragen werden, dass bei der Betreuung mehrerer Kinder die ausserschulische Belastung höher ist als bei der Betreuung nur eines Kindes (<ref-ruling> E. 4.7.9; Urteil 5A_600/2019 vom 9. Dezember 2020 E. 5.1.2). Im Grundsatz ist daher nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz bei der Bestimmung des der Beschwerdegegnerin zumutbaren Arbeitspensums der erhöhten Belastung Rechnung trug, welche dieser aus der Betreuung dreier Kinder erwächst, zumal der Vater zufolge des gegen seinen Willen eingeschränkten Besuchs- und des fehlenden Ferienrechts bei der Betreuung nur sehr reduziert mitwirken kann. Vor diesem Hintergrund erscheint der angefochtene Entscheid zumal im Ergebnis auch dann nicht als willkürlich, wenn das Kantonsgericht sich auch noch von sachfremden Überlegungen hätte leiten lassen sollen.
7.4.
7.4.1. Zu dem von ihm selbst erzielbaren Einkommen macht der Beschwerdeführer geltend, er sei aufgrund seiner "Whistleblower-Tätigkeit" im gesamten Kanton Graubünden im Baubereich nicht mehr vermittelbar. Ohnehin sei er dem erlernten Beruf - Polier - entfremdet; er habe nie in dieser Funktion gearbeitet und sei bis 2013 als Bauunternehmer tätig gewesen. Die Behörden hätten durch ihr Verhalten in der Öffentlichkeit ausserdem den Eindruck erweckt, der Beschwerdeführer sei gefährlich, was ihm eine normale Anstellung faktisch verunmögliche. Zudem müsse der Beschwerdeführer verschiedenen parlamentarischen und administrativen Untersuchungen zur Verfügung stehen, was mit erhöhten Absenzen und mit Widrigkeiten in der Einsatzplanung verbunden sei. Auch branchenfremde Arbeitgeber seien sich weiter der Öffentlichkeitswirkung einer Anstellung des Beschwerdeführers bewusst. Entgegen dem Kantonsgericht habe der Beschwerdeführer dargetan, welches Einkommen er derzeit erziele und weshalb es ihm nicht möglich sei, ein höheres Einkommen zu erreichen. Genauere Einzelnachweise seien zu keinem Zeitpunkt verlangt worden. Indem das Kantonsgericht dem Beschwerdeführer ein hypothetisches Einkommen anrechne, handle es in Verletzung der strengen Untersuchungsmaxime und willkürlich (<ref-law>) und verletze den Anspruch auf gleiche und gerechte Behandlung (<ref-law>). Ausserdem werde er gegenüber der Beschwerdegegnerin rechtsungleich behandelt (<ref-law>). Eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) im Teilgehalt der Begründungspflicht liege in der Erwägung der Vorinstanz, die Hindernisse bei der Erwerbsaufnahme seien auf die Region Y._ beschränkt.
7.4.2. Der Beschwerdeführer macht vor Bundesgericht zwar geltend, er habe dargelegt, weshalb ihm die Erzielung eines höheren Einkommens nicht möglich sei. Indes bestreitet er nicht, im kantonalen Verfahren keine Nachweise für ernsthafte Suchbemühungen vorgelegt zu haben. Zwar wirft er den kantonalen Instanzen vor, ihn nicht zur Vorlage entsprechender Nachweise aufgefordert zu haben. Mit diesem pauschalen Hinweis geht er indes nicht mit hinreichender Genauigkeit auf die sich stellende Problematik ein. Ohnehin ist der Beschwerdeführer auch unter Geltung des uneingeschränkten Untersuchungsgrundsatzes nach <ref-law> nicht von seiner Pflicht zur Mitwirkung bei der Abklärung des Sachverhalts entbunden (Urteil 5A_994/2018 vom 29. Oktober 2019 E. 6.3.4 mit Hinweisen). Soweit der Beschwerdeführer sodann darlegt, weshalb es ihm ansonsten nicht möglich sein soll, das ihm angerechnete Einkommen zu erzielen (mangelnde bzw. anderweitige Berufserfahrung, Mitwirkung bei Untersuchungen), beschränkt er sich auf eine rein appellatorische Darstellung seines Standpunktes. Damit vermag er nicht aufzuzeigen, dass das Kantonsgericht bei der Bestimmung des ihm anrechenbaren (hypothetischen) Einkommens in Willkür verfallen wäre oder ansonsten die Verfassung verletzt hätte (vgl. zum Ganzen vorne E. 2.1 und E. 4.2).
Auch der Vorwurf der Gehörsverletzung ist ungenügend begründet: Der Beschwerdeführer beschränkt sich auf die Nennung der (angeblich) verletzten Verfassungsbestimmung und die Darlegung seiner von der Vorinstanz abweichenden Ansicht hinsichtlich der bei der Arbeitssuche bestehenden Probleme. Eine Auseinandersetzung sowohl mit der angerufenen Verfassungsbestimmung als auch mit dem angefochtenen Urteil fehlt zur Gänze. Der Beschwerdeführer legt in keiner Weise dar, weshalb das Kantonsgericht die getroffene Aussage (Hindernisse bei der Erwerbsaufnahme nur in der Region Y._) vor dem Hintergrund der angerufenen Verfassungsbestimmung umfassender hätte begründen müssen (vgl. zum Umfang der Begründungspflicht <ref-ruling> E. 6.1). Auf die Beschwerde ist insoweit daher nicht einzutreten.
8.
8.1. Bei der Berechnung des Bedarfs der Ehefrau stimmt der Beschwerdeführer dem Kantonsgericht zu, dass angesichts der knappen finanziellen Verhältnisse die laufende Steuerlast nicht zu berücksichtigen sei. Entsprechend seien die Einkommenssteuern richtigerweise nicht in die Bedarfsberechnung einbezogen worden. Dagegen gehe es nicht an, der Beschwerdegegnerin einen Betrag für die Feuerwehrersatzpflicht mit dem Hinweis anzurechnen, dieser Posten sei tatsächlich angefallen. Auch hierbei handle es sich um eine staatliche Abgabe, die nicht zu berücksichtigen sei, zumal sie vermieden werden könne. Ihre Anrechnung widerspreche ständiger Rechtsprechung und den Ausführungen des Kantonsgerichts selbst und sei willkürlich (<ref-law>).
8.2. Wegen Willkür in der Rechtsanwendung hebt das Bundesgericht einen Entscheid nur auf, wenn er nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist, was die beschwerdeführende Person aufzuzeigen hat (<ref-ruling> E. 6.1). Die beanstandete Abgabe beträgt nach den Feststellungen des Kantonsgerichts Fr. 17.-- im Monat bei einem relevanten Grundbedarf der Beschwerdegegnerin zwischen monatlich ca. Fr. 1'800.-- und 1'900.--. Unter diesen Umständen ist nicht ersichtlich, weshalb sich die Berücksichtigung der Feuerwehrersatzabgabe, selbst wenn sie zu Unrecht erfolgt sein sollte, derart auf die Unterhaltsberechnung auswirken könnte, dass diese als geradezu willkürlich anzusehen wäre (vgl. Urteil 5A_75/2018 vom 18. Dezember 2018 E. 8.2). Entsprechendes bringt der Beschwerdeführer denn auch nicht vor. Anlass zur Korrektur des angefochtenen Urteils besteht in diesem Punkt folglich nicht.
9.
Nach dem Ausgeführten ist die Berechnung und Festlegung des Kindesunterhalts durch die Vorinstanz unter Verfassungsgesichtspunkten nicht zu beanstanden und es besteht kein Anlass, diesen neu zu bestimmen. Auf die vom Beschwerdeführer angestellte Neuberechnung des Unterhalts ist folglich nicht einzugehen.
10.
10.1. Zur Kostenverlegung im vorinstanzlichen Verfahren weist der Beschwerdeführer darauf hin, dass dieses Verfahren ein vereinigtes Verfahren gewesen sei (Berufungs- und Beschwerdeverfahren; vgl. vorne Bst. B.c). Dennoch habe die Vorinstanz für beide Verfahren getrennt über die Parteikosten entschieden und zweimal Verfahrenskosten verlangt, und zwar jeweils im Umfang der kompletten Behandlung des jeweiligen Rechtsmittels. Indem sie trotz gemeinsamen Entscheids Gebühren und Kosten für zwei getrennte Verfahren erhoben habe, sei die Vorinstanz in Willkür verfallen (<ref-law>) und habe die Grundsätze des rechtsstaatlichen Handelns verletzt (<ref-law>).
10.2. Vorab bleibt aufgrund der Beschwerdeschrift unklar, welches verfassungsmässige Recht der Beschwerdeführer genau anrufen will, wenn er sich auf die "Grundsätze des rechtsstaatlichen Handelns" beruft. Er verweist in diesem Zusammenhang zwar auf <ref-law>, führt aber nicht aus, welchen Teilgehalt dieser Bestimmung die Vorinstanz missachtet haben soll. Hierauf ist nicht weiter einzugehen (vgl. vorne E. 2.1). Soweit der Beschwerdeführer sodann Willkür in der Anwendung der kantonalrechtlichen Kostenbestimmungen geltend macht, ist ihm wiederum entgegen zu halten, dass er in keiner Weise aufzeigt, inwieweit sich die geltend gemachte Verfassungsverletzung im Ergebnis auswirken sollte bzw. welche Reduktion der vorinstanzlichen Kosten er erreichen möchte (vgl. vorne E. 8.2). Entsprechend erweist die Beschwerde sich auch insoweit als ungenügend begründet.
11.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde unbegründet und abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Kosten für die Kindesvertretung sind im bundesgerichtlichen Verfahren allerdings keine angefallen (vgl. vorne Bst. C). Parteientschädigung ist keine zu sprechen, da der obsiegenden Beschwerdegegnerin mangels Einholens einer Vernehmlassung keine entschädigungspflichtigen Kosten entstanden sind (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Der Beschwerdeführer ersucht für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Dieses Gesuch ist gutzuheissen, da die entsprechenden Voraussetzungen erfüllt sind (<ref-law>). Die Gerichtskosten sind daher auf die Bundesgerichtskasse zu nehmen, dem Beschwerdeführer ist sein Vertreter als unentgeltlicher Rechtsbeistand beizuordnen und dieser ist aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen. Der Beschwerdeführer wird darauf hingewiesen, dass er der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn er dazu später in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren wird gutgeheissen und es wird ihm Rechtsanwalt Angelo Schwizer als unentgeltlicher Rechtsvertreter beigeordnet.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Rechtsanwalt Schwizer wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 3'500.-- entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Kantonsgericht von Graubünden, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. März 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber