Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Versicherte, Beschwerdeführerin) war über ihre Arbeitgeberin, die C._ AG, bei der B._ AG (Versicherung, Beschwerdegegnerin) krankentaggeldversichert. Am 11. Juli 2017 meldete die Arbeitgeberin die Versicherte als arbeitsunfähig seit dem 30. Mai 2017. Am 16. Dezember 2017 kündigte die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis mit der Versicherten per 31. März 2018.
A.b. Die Versicherung erbrachte Taggeldleistungen, unter anderem vom 8. November 2017 bis zum 30. April 2018 entsprechend einer Arbeitsunfähigkeit von 100 % und sodann wie folgt:
- Mai 2018, entsprechend einer Arbeitsunfähigkeit von 70 %;
- Juni 2018, entsprechend einer Arbeitsunfähigkeit von 60 %;
- Juli 2018, entsprechend einer Arbeitsunfähigkeit von 50 %;
- August 2018, entsprechend einer Arbeitsunfähigkeit von 30 %;
- September 2018, entsprechend einer Arbeitsunfähigkeit von 25 %.
Eine darüber hinausgehende Leistungspflicht verneinte sie.
B.
Am 14. Februar 2020 reichte die Versicherte beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Klage gegen die Versicherung ein. Sie beantragte zur Hauptsache, diese sei zu verpflichten, ihr vom 1. Juli 2018 bis 2. Juni 2019 Krankentaggeldleistungen in Höhe von Fr. 69'957.15 nebst Zins zu bezahlen.
Mit Urteil vom 24. Juni 2021 wies das Sozialversicherungsgericht die Klage ab. Es erwog, die Versicherte habe nicht nachgewiesen, dass sie ab 1. Juli 2018 zu einem höheren Grad und länger als von der Versicherung anerkannt arbeitsunfähig gewesen sei.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 10. August 2021 verlangt die Beschwerdeführerin, das Urteil des Sozialversicherungsgerichts kostenfällig aufzuheben und die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, ihr Krankentaggeldleistungen für den Zeitraum vom 1. Juli 2018 bis zum 2. Juni 2019 von Fr. 69'957.15 nebst Zins seit dem 23. August 2019 zu bezahlen. Weiter begehrt sie, die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, ihr für vorprozessuale Anwaltskosten ab dem 25. November 2019 Fr. 1'335.60 nebst Zins zu bezahlen. Eventualiter sei die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde kostenfällig abzuweisen. Die Vorinstanz verzichtete auf Vernehmlassung. Die Beschwerdeführerin reichte unaufgefordert eine Replik ein.

Erwägungen:
1.
Zu beurteilen ist die Leistungspflicht aus einer Kollektiv-Krankentaggeldversicherung, die unter den Begriff der Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung fällt (Urteile 4A_73/2019 vom 29. Juli 2020 E. 1; 4A_427/2017 vom 22. Januar 2018 E. 1.1 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.1 f.). Derartige Zusatzversicherungen unterstehen gemäss Art. 2 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 26. September 2014 betreffend die Aufsicht über die soziale Krankenversicherung (KVAG; SR 832.12) dem VVG (SR 221.229.1). Streitigkeiten aus solchen Versicherungen sind privatrechtlicher Natur, weshalb als Rechtsmittel an das Bundesgericht die Beschwerde in Zivilsachen gemäss <ref-law> in Betracht kommt (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.1).
Die Beschwerde richtet sich gegen einen verfahrensabschliessenden Entscheid (<ref-law>) einer oberen kantonalen Gerichtsinstanz, die als einzige kantonale Instanz im Sinne von <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> entschieden hat. Die Zulässigkeit der Beschwerde ist in diesem Fall streitwertunabhängig (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2, 799 E. 1.1).
Auf die Beschwerde ist - unter Vorbehalt einer genügenden Begründung (<ref-law>) - einzutreten.
2.
Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2, 86 E. 2).
3.
3.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2, 264 E. 2.3). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1).
3.2. Zu beachten ist, dass das Bundesgericht in die Beweiswürdigung des Sachgerichts nur eingreift, wenn diese willkürlich ist. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern bloss, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 4.2.1). Dies ist dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 4.2). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (BGE <ref-ruling> E. 2.2). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 2b).
4.
Nicht umstritten ist, dass die Beschwerdeführerin den Eintritt des Versicherungsfalls - konkret die Arbeitsunfähigkeit - zu beweisen hat (vgl. <ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 3.1). Dafür gilt gemäss jüngster bundesgerichtlicher Rechtsprechung im Bereich der Krankentaggeldversicherung das ordentliche Beweismass der vollen Überzeugung (Urteile 4A_144/2021 vom 13. September 2021 E. 5.2; 4A_117/2021 vom 31. August 2021 E. 3.3.1, zur Publikation vorgesehen).
Umstritten ist indes, ob die Beschwerdeführerin den Beweis erbracht hat, dass sie vom 1. Juli 2018 an in höherem Grad und länger als von der Beschwerdegegnerin anerkannt (vgl. Sachverhalt lit. A.b) - nämlich bis am 2. Juni 2019 - arbeitsunfähig war.
5.
Die Vorinstanz erwog, die Beschwerdeführerin habe sich am 4. Mai 2018 beim Regionalen Arbeitsvermittlungszentrum zur Arbeitsvermittlung gemeldet. In ihrem Antrag auf Arbeitslosenentschädigung habe sie zum Ausmass, in dem sie bereit und in der Lage sei zu arbeiten, erklärt, " wenn gesund 100 % "; zurzeit sei sie im Umfang von 30 % mit Tendenz aufwärts arbeitsfähig. In den Angaben der versicherten Person (nachfolgend: AVP) von Mai bis September 2018 habe sie, so die Vorinstanz weiter, die Frage jeweils bejaht, ob sie im gleichen Umfang Arbeit suche wie im Vormonat. In den AVP für den Oktober 2018 habe sie dann angegeben, ab 1. Oktober 2018 neu eine Arbeit mit Beschäftigungsgrad von 100 % zu suchen. Dasselbe gelte für die AVP der Folgemonate.
In den AVP werde auch gefragt, ob die versicherte Person im Berichtsmonat arbeits un fähig gewesen sei. Diese Frage habe die Beschwerdeführerin folgendermassen beantwortet:
Jahr Monat Arbeitsunfähigkeit 2018 Mai ja, 1. bis 31. Mai Juni ja, 60 %, 1. bis 30. Juni Juli ja, 1. bis 31. Juli August ja, 60 %, 1. bis 31. August September ja, 60 %, 1. bis 30. September Oktober nein November nein Dezember nein 2019 Januar nein Februar nein März ja, wegen Krankheit 13.-14. März, wegen Unfall 1⁄2 Tag 29. März April nein Mai nein
Die Beschwerdeführerin berufe sich zum Beweis der Arbeitsunfähigkeit - im Ausmass und vor allem in zeitlicher Hinsicht - auf die Atteste und Berichte von Dr. med. D._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie. Dieser habe ihr eine Arbeitsunfähigkeit von 60 % von August bis Dezember 2018 bescheinigt, eine solche von 100 % in der ersten Hälfte des Januars 2019 und dann von 60 % bis Ende April 2019 bzw. noch immer im Oktober 2019. Diese Angaben kontrastierten aufs Schärfste mit den eigenen Angaben der Beschwerdeführerin gegenüber der Arbeitslosenversicherung (nachfolgend: ALV). Sie habe dieser nämlich mitgeteilt, ab Oktober 2018 Arbeit im Umfang von 100 % zu suchen. Auch die Frage nach einer allfälligen Arbeitsunfähigkeit - mit Ausnahme von wenigen Tagen im März 2019 - habe sie Monat für Monat ausdrücklich verneint. Sie habe sich gegenüber der ALV als vollumfänglich arbeitsfähig präsentiert. Sie könne sich deshalb nicht in guten Treuen auf die Atteste und Berichte von Dr. med. D._ berufen. Diese seien vor diesem Hintergrund als Beweismittel hinsichtlich der behaupteten Arbeitsunfähigkeit vollkommen untauglich. Damit sei der Beweis für die Behauptung, es habe ab Oktober 2018 noch eine zu Taggeldleistungen berechtigende Arbeitsunfähigkeit bestanden, nicht erbracht.
5.1. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz hätte die AVP nicht berücksichtigen dürfen. Die ALV-Akten einschliesslich der AVP habe ursprünglich sie als Beweismittel offeriert um zu belegen, dass ihre Suchbemühungen im Sinne der Mitwirkungspflicht in der ALV ausreichend gewesen seien. Zu den AVP habe sie sich nicht geäussert und auch die Beschwerdegegnerin habe diese nie thematisiert. Vielmehr habe die Vorinstanz diese bei der Durchsicht der ALV-Akten entdeckt und aufgenommen. Die Vorinstanz habe damit die Tragweite der sozialen Untersuchungsmaxime von <ref-law> verkannt. Der Gesetzgeber habe mit dieser die schwächere Partei schützen wollen. Die Beschwerdegegnerin sei keine solche. Sie sei vor der Vorinstanz durch Anwälte ihres Rechtsdienstes vertreten worden. Entsprechend gelte für sie die volle, strenge zivilprozessuale Behauptungslast.
Die Rüge der Verletzung von <ref-law> verfängt nicht. Zwar trifft es zu, dass die ALV-Akten nur von der Beschwerdeführerin als Beweismittel offeriert wurden und die Beschwerdegegnerin die darin enthaltenen AVP nicht thematisierte. Allerdings ist es dem Gericht unter der Geltung der sozialen Untersuchungsmaxime gemäss <ref-law> nicht verwehrt, seinem Entscheid auch Tatsachen zugrunde zu legen, die von den Parteien zwar nicht behauptet wurden, dem Gericht im Laufe des Verfahrens aber bekannt geworden sind (CHRISTIAN FRAEFEL, in: Kurzkommentar ZPO, 3. Aufl. 2021, N. 11 zu <ref-law>; FABIENNE HOHL, Procédure civile, Bd. II, 2. Aufl. 2010, S. 255 Rz. 1407; LAURENT KILLIAS, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 32 zu <ref-law>; LAZOPOULOS/ LEIMGRUBER, in: ZPO Kommentar, Gehri/Jent-Sørensen/Sarbach [Hrsg.], 2. Aufl. 2015, N. 4 zu <ref-law>; CLAUDIA M. MORDASINI-ROHRER, Gerichtliche Fragepflicht und Untersuchungsmaxime nach der Schweizerischen Zivilprozessordnung, 2013, S. 155 Rz. 424; DENIS TAPPY, in: Commentaire Romand, Code de procédure civile, 2. Aufl. 2019, N. 23 zu <ref-law>; zu Art. 243 Abs. 4 aOR, der ebenfalls eine soziale Untersuchungsmaxime vorsah: <ref-ruling> E. 2b; Urteil 4C.36/2006 vom 29. März 2006 E. 3.2). Diese Tatsachen können sich - wie vorliegend - beispielsweise aus den angerufenen Beweismitteln ergeben (BERND HAUCK, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 3. Aufl. 2016, N. 34 zu <ref-law>; vgl. auch Urteil 4A_135/2013 vom 6. Juni 2013 E. 2.3).
5.2. Weiter rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör. Sie beanstandet, die Vorinstanz habe den Sachverhalt von Amtes wegen um Einzeltatsachen ergänzt, die sich bloss in den AVP fänden und nicht behauptet worden seien. Diese bildeten daher nicht Prozessstoff. Den Parteien sei nicht zumutbar, bereits im Vorfeld zu sämtlichen denkbaren Einwänden der Gegenpartei Stellung zu nehmen und diese vorsorglich zu entkräften. Vielmehr müssten die Parteien nur bei entsprechender Behauptung oder Bestreitung der Gegenpartei tätig werden. Die Vorinstanz hätte sich in ihrem Entscheid nicht einzig auf diese neuen, von Amtes wegen ergänzten Einzeltatsachen aus den AVP abstützen dürfen, ohne den Parteien vorgängig dazu das rechtliche Gehör zu gewähren. Wäre ihr das rechtliche Gehör gewährt worden, hätte sie darlegen können, dass sie aus rein existenzieller Not und Unwissen diese Angaben getätigt habe. Die Vorinstanz hätte dann die Abweisung der Klage nicht einzig auf ihre eigene Interpretation dieser Angaben stützen dürfen.
5.2.1. Der aus <ref-law> fliessende Anspruch auf rechtliches Gehör dient einerseits der Sachaufklärung und stellt anderseits ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht dar beim Erlass eines Entscheids, welcher in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Zum Gehörsanspruch gehört insbesondere das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines solchen Entscheids zur Sache zu äussern, erhebliche Beweise beizubringen, Einsicht in die Akten zu nehmen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2b mit Hinweis).
5.2.2. Gemäss den Ausführungen der Vorinstanz zum Prozesssachverhalt, wurden die Akten der ALV und die Akten der Invalidenversicherung (nachfolgend: IV) beigezogen und den Parteien die Möglichkeit zur Stellungnahme eröffnet. Diese Gelegenheit nahmen sie mit Eingaben vom 17. Dezember 2020 (Beschwerdeführerin), 8. März 2021 (Beschwerdegegnerin) und 30. März 2021 (erneut Beschwerdeführerin) wahr. Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, dass diese vorinstanzliche Sachverhaltsdarstellung unzutreffend, geschweige denn willkürlich wäre. Damit steht fest, dass der Beschwerdeführerin offenstand, sich zu den Angaben in den AVP, die Teil der Akten der ALV bilden, zu äussern. Die anwaltlich vertretene Beschwerdeführerin musste wissen, dass sich die AVP in den edierten Akten befanden und ihr war - zumal die darin gemachten Angaben von ihr selbst stammen - deren Inhalt bekannt. In Anbetracht dessen musste sie damit rechnen, dass die Vorinstanz bei der Durchsicht der Akten auf die AVP stossen und sie diese ihrer Urteilsfindung zugrundelegen könnte. Die Vorinstanz war nicht gehalten, die Beschwerdeführerin explizit auf diesen Umstand aufmerksam zu machen und ihr die Gelegenheit einzuräumen, sich spezifisch zu diesen Angaben zu äussern, ihr mithin ein zweites Mal das rechtliche Gehör zu gewähren. Die Rüge einer Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör ist unbegründet.
5.3. Die Beschwerdeführerin moniert eine Verletzung der Begründungspflicht. Die Vorinstanz sei aktenwidrig davon ausgegangen, sie habe nur die Atteste und Berichte von Dr. med. D._ als Beweismittel angeboten. Die weiteren von ihr offerierten Beweismittel habe die Vorinstanz ohne Begründung nicht abgenommen. Eine sachgerechte Anfechtung des Urteils sei damit verunmöglicht worden.
5.3.1. Der Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law> und <ref-law>) verlangt auch, dass das Gericht die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt (<ref-ruling> E. 2.2.1; <ref-ruling> E. 4.1 mit Hinweisen). Damit sich die Parteien ein Bild über die Erwägungen des Gerichts machen können, ist sein Entscheid zu begründen. Die Begründung muss kurz die Überlegungen nennen, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die sich sein Entscheid stützt. Nicht erforderlich ist hingegen, dass sich der Entscheid mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Es genügt, wenn der Entscheid gegebenenfalls sachgerecht angefochten werden kann (<ref-ruling> E. 5.2; <ref-ruling> E. 4.3.2; <ref-ruling> E. 3.2.4).
5.3.2. Entgegen dem was die Beschwerdeführerin suggeriert, offerierte sie nicht sämtliche, angeblich nicht berücksichtigte Beweismittel für die gesamte eingeklagte Periode von Juli 2018 bis Juni 2019.
Für die vorliegend interessierende Zeit ab Oktober 2018 bot sie Dr. med. D._, die Eingliederungsberaterin und die Jobcoachin als Zeugen bzw. Zeuginnen an. Weiter offerierte sie das Protokoll der Besprechung mit Dr. E._ vom Regionalen Ärztlichen Dienst der IV-Stelle U._ vom 27. September 2018, die Telefonnotiz über das Gespräch zwischen der Eingliederungsberaterin und ihr vom 1. November 2018 sowie eine schriftliche Auskunft bei der IV-Stelle U._.
Die übrigen Beweisofferten (Bericht des MZL vom 26. März 2018, Arbeitsunfähigkeitszeugnisse des MZL vom 7. Mai, 6. Juni und 9. Juli 2018 sowie Zeugeneinvernahmen von Dr. med. F._ und Dr. phil. G._) betrafen andere Monate. Auf diese Beweisofferten ist bei der Beurteilung der Arbeitsunfähigkeit in den Monaten Juli bis September 2018 zurückzukommen (E. 6 hiernach).
Für den gesamten eingeklagten Zeitraum von Juli 2018 bis Juni 2019 offerierte die Beschwerdeführerin lediglich ihre eigene Befragung oder Parteiaussage sowie ein Gerichtsgutachten. Das ebenfalls offerierte Schreiben der IV-Stelle des Kantons U._ vom 17. Mai 2021, das sich zur aktuellen Situation der Beschwerdeführerin äussert, betrifft einen Zeitpunkt, der nahezu zwei Jahre nach dem Ende des eingeklagten Zeitraums liegt, weshalb es offensichtlich beweisuntauglich war.
5.3.3. Aus E. 4.4 des angefochtenen Urteils ergibt sich (jedenfalls implizit), dass die Vorinstanz namentlich aufgrund der Selbsteinschätzung der Beschwerdeführerin in den AVP für die Zeit ab Oktober 2018 in antizipierter Beweiswürdigung auf die Abnahme weiterer Beweismittel verzichtete. Das scheint die Beschwerdeführerin im Übrigen selbst zu erkennen, rügt sie doch eventualiter eine willkürliche antizipierte Beweiswürdigung. Darauf ist in E. 6.3 hiernach zurückzukommen. Eine sachgerechte Anfechtung des Entscheids war damit möglich.
5.4. Die Beschwerdeführerin beanstandet, dass die Vorinstanz auf die Abnahme der von ihr für die Periode ab Oktober 2018 angebotenen Beweismittel in antizipierter Beweiswürdigung verzichtete. Selbst ohne Wissen um die wahren Hintergründe der AVP sei es nicht haltbar, eine Arbeitsunfähigkeit alleine aufgrund der Angaben auf den Formularen zu verneinen. Angesichts dieser Beweislage müssten die Äusserungen in den AVP als Überschätzung gesehen werden und eine 40 % übersteigende Arbeitsfähigkeit könne nicht willkürfrei bejaht werden.
5.4.1. Eine antizipierte Beweiswürdigung liegt vor, wenn das Gericht zum Schluss kommt, ein an sich taugliches Beweismittel vermöge seine Überzeugung von der Wahrheit oder Unwahrheit einer strittigen Tatsache, die es insbesondere aufgrund der bereits abgenommenen Beweismittel gewonnen hat, nicht zu erschüttern (<ref-ruling> E. 9.3.2; <ref-ruling> E. 6.3.1; <ref-ruling> E. 4.3.2). Bei dieser Überlegung hat das Gericht zu unterstellen, dass das Beweismittel zu Gunsten der Partei ausfällt, die es angerufen hat, und dafür spricht, dass die zu beweisende Behauptung zutrifft (vgl. Urteil 4A_427/2017 E. 5.1.1). Die Behörde kann auf ein beantragtes Beweismittel verzichten, wenn sie ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen durfte, eine weitere Beweiserhebung würde ihre Überzeugung nicht beeinflussen (<ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen). Der Gehörsanspruch ist jedoch verletzt, wenn einem Beweismittel von vornherein jede Erheblichkeit abgesprochen wird, ohne dass hierfür sachliche Gründe angegeben werden können (<ref-ruling> E. 2a). Ob die kantonalen Instanzen diese Grundsätze verletzt haben, prüft das Bundesgericht nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür, da insoweit nicht der Umfang des bundesrechtlichen Anspruchs auf Beweis oder rechtliches Gehör, sondern lediglich eine Frage der Beweiswürdigung zu beurteilen ist (<ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 5b/bb).
Von einer antizipierten Beweiswürdigung ist ebenfalls die Rede, wenn das Gericht einem beantragten Beweismittel die Tauglichkeit abspricht, um die behauptete Tatsache zu erstellen, zu deren Beweis es angerufen wurde. Das Gericht verzichtet diesfalls darauf, das von ihm als untauglich eingestufte Beweismittel abzunehmen - und zwar losgelöst von seiner Überzeugung hinsichtlich der Verwirklichung der damit zu erstellenden Tatsache, also insbesondere auch bei offenem Beweisergebnis (Urteile des Bundesgerichts 4A_279/2020 vom 23. Februar 2021 E. 6.3; 4A_297/2019 vom 29. Mai 2020 E. 4.3.1.2; 4A_253/2019 vom 5. September 2019 E. 3.4.1; 4A_66/2018 vom 15. Mai 2019 E. 2.1.2; 4A_427/2017 vom 22. Januar 2018 E. 5.1.1).
5.4.2. Wenn die Beschwerdeführerin erstmals vor Bundesgericht vorträgt, sie habe aus reiner existenzieller Not und Unwissen in den AVP eine volle Arbeits- und Vermittlungsfähigkeit angegeben (vgl. E. 5.2 hiervor a.E.), sind diese Vorbringen verspätet und haben unberücksichtigt zu bleiben, da nicht erst der Entscheid der Vorinstanz zu diesen Anlass gab (<ref-law>; vgl. E. 3.1 hiervor).
Im Übrigen ist es nicht willkürlich, wenn die Vorinstanz der Selbstdeklaration der Beschwerdeführerin in den AVP eine derart hohe Beweiskraft beimass, dass sie in antizipierter Beweiswürdigung auf die Abnahme der von dieser offerierten Beweismittel verzichtete. Die Vorinstanz hatte keinen Anlass an den echtzeitlichen Angaben der Beschwerdeführerin zu zweifeln. Die Selbstdeklaration in den AVP wurde auch von der Einschätzung mehrerer medizinischer Fachpersonen gestützt: Einerseits gingen nämlich Dr. phil. G._, Med. pract. H._ und Dr. phil. klin. psych. I._ vom MZL in ihrem Bericht vom 3. Juli 2018 davon aus, die Beschwerdeführerin sei voraussichtlich ab Oktober 2018 wieder vollumfänglich arbeitsfähig (vgl. vorinstanzliche E. 3.6). Andererseits erachtete Dr. med. J._, Fachärztin für Neurologie, am 28. Mai 2018 überhaupt keine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit als gegeben. Sie empfahl lediglich "aus therapeutisch-rehabilitativen Gründen, zwecks Festigung des positiven Verlaufs", keine vollzeitliche Arbeitstätigkeit, sondern "eine weitere graduelle Leistungssteigerung, per sofort bis und mit Juni 2018 auf 50 % und sodann alle 2-4 Wochen um weitere 10-20 %" (vgl. vorinstanzliche E. 3.5).
Vor diesem Hintergrund ist es nicht willkürlich, wenn die Vorinstanz die Atteste und Berichte von Dr. med. D._ als beweisuntauglich einstufte. Angesichts dieser Würdigung der Atteste und Berichte von Dr. med. D._, durfte die Vorinstanz ohne in Willkür zu verfallen, auch davon ausgehen, dass dessen Einvernahme als Zeugen ihre Überzeugung nicht zu beeinflussen vermöchte.
Weiter ist ebenfalls die unterlassene Befragung der Beschwerdeführerin nicht zu beanstanden. Diese stellte in ihren Eingaben keine substanziierten Behauptungen zu den Umständen der AVP auf, weshalb ihre Befragung unterbleiben konnte.
Auch die unterlassene Einvernahme der Eingliederungsberaterin und der Jobcoachin sowie der Verzicht, eine schriftliche Stellungnahme der IV-Stelle einzuholen, sind unter Willkürgesichtspunkten nicht zu beanstanden. Selbst wenn sich diese Nicht-Fachpersonen im Sinne von Dr. med. D._ äussern würden, wäre es nicht willkürlich, wenn die Vorinstanz trotzdem auf die Angaben in den AVP abstellt.
Dasselbe gilt für das beantragte Gerichtsgutachten. Der Gutachter hätte nämlich lediglich aufgrund der vorhandenen medizinischen Unterlagen eine retrospektive Einschätzung abgeben können. Eine solche wäre - in Anbetracht des langen Zeitablaufs - von einer erheblichen Unschärfe geprägt, weshalb ihr Beweiswert im Vergleich zu den echtzeitlichen Angaben in den AVP deutlich geschmälert wäre.
Sofern das (bloss wenige Zeilen lange) Protokoll der Besprechung mit Dr. E._ vom 27. September 2018 und die Telefonnotiz über das Gespräch zwischen der Eingliederungsberaterin und der Beschwerdeführerin vom 1. November 2018 überhaupt beweistauglich sind, ist die Beweiskraft dieser Urkunden gering. Jedenfalls weisen sie das vorinstanzliche Beweisergebnis (zusammen mit den übrigen antizipiert gewürdigten Beweismitteln) nicht als willkürlich aus.
Dem Gesagten zufolge war es nicht willkürlich, wenn die Vorinstanz zum Schluss gelangte, die Beschwerdeführerin habe den Beweis für die Behauptung, es habe ab Oktober 2018 noch eine zu Taggeldleistungen berechtigende Arbeitsunfähigkeit bestanden, nicht erbracht.
6.
Damit bleibt zu prüfen, ob die Beschwerdeführerin für den Zeitraum von Juli bis September 2018 den Beweis erbrachte, dass sie in höherem Grad als von der Beschwerdegegnerin anerkannt (vgl. Sachverhalt lit. A.b) arbeitsunfähig war.
6.1. Die Vorinstanz erwog dazu Folgendes: Im August und September 2018 habe die Beschwerdegegnerin Taggeldleistungen entsprechend einer Arbeitsunfähigkeit von 30 % bzw. 25 % erbracht. Soweit die Beschwerdeführerin geltend mache, ihre Arbeitsunfähigkeit sei in diesen Monaten höher gewesen als von der Beschwerdegegnerin anerkannt, könne sie sich lediglich auf die Atteste von Dr. med. D._ berufen. Diesen komme indes, wie erwähnt (vgl. E. 5 hiervor), keinerlei Beweiswert zu. Im Juli 2018 sei die Beschwerdegegnerin von einer Arbeitsunfähigkeit von 50 % ausgegangen. Hinweise oder gar Belege für eine höhere Arbeitsunfähigkeit gebe es nicht. Dass die Beschwerdegegnerin von einer im Vergleich zum Juni 2018 leicht höheren Arbeitsfähigkeit von zusätzlich 10 % ausgegangen sei, finde zudem seine Stütze darin, dass Dr. med. F._ in ihrem Bericht vom 26. März 2018, von einer Teilarbeitsfähigkeit von lediglich 30 % im Mai 2018 und danach einer sukzessiven Steigerung der Arbeitsfähigkeit auf 100 % ab Juli 2018 bzw. Oktober 2018 (Bericht vom 3. Juli 2018) ausgegangen sei.
6.2. Die Beschwerdeführerin moniert auch diesbezüglich eine Verletzung der Begründungspflicht, da die Vorinstanz die von ihr offerierten Beweise nicht abgenommen und dies nicht begründet habe.
Diese Rüge verfängt nicht. Wie in E. 5.3.2 hiervor ausgeführt, betrafen einzig folgende Beweisofferten die vorliegend zu beurteilende Zeit von Juli bis September 2018: Der Bericht des MZL vom 26. März 2018, die Arbeitsunfähigkeitszeugnisse des MZL vom 7. Mai, 6. Juni und 9. Juli 2018, die Befragung von Dr. med. F._ und Dr. phil. G._ als sachverständige Zeuginnen, die Befragung oder Parteiaussage der Beschwerdeführerin sowie ein Gerichtsgutachten.
In E. 3 ihres Entscheids führte die Vorinstanz die von der Beschwerdeführerin offerierten Urkunden chronologisch auf und gab deren Inhalt wieder. Darunter finden sich auch die angeblich unberücksichtigt gebliebenen Berichte und Arbeitsunfähigkeitszeugnisse des MZL. Aus der dortigen - mangels hinreichender Rüge für das Bundesgericht verbindlichen - Darstellung der Vorinstanz ergibt sich, dass der Beschwerdeführerin im Bericht vom 26. März 2018 lediglich für den Mai und den Juni 2018 eine Arbeitsunfähigkeit attestiert wurde, nicht jedoch für die vorliegend interessierende Periode ab Juli 2018. Insofern war dieser Bericht nicht tauglich, um eine Arbeitsunfähigkeit ab Juli 2018 zu beweisen. Dass die Vorinstanz auf dieses Beweismittel nicht weiter einging, ist demnach als antizipierte Beweiswürdigung (wegen Beweisuntauglichkeit) zu verstehen. Nämliches trifft auf die Arbeitsunfähigkeitszeugnisse vom 7. Mai und 6. Juni zu. Von den erwähnten Urkunden war einzig das Zeugnis vom 9. Juli 2018 beweistauglich, um eine Arbeitsunfähigkeit in der Zeit zwischen Juli und September 2018 zu belegen. In Anbetracht dessen, dass die Vorinstanz dieses Zeugnis in E. 3 explizit als Beweismittel aufführte, ist ihre Aussage, wonach es weder Hinweise oder gar Belege für eine höhere Arbeitsunfähigkeit als 50 % im Juli 2018 gebe (vgl. E. 6.1 hiervor), dahingehend zu verstehen, dass sie diesem nicht die Beweiskraft zugestand, um eine höhere Arbeitsunfähigkeit zu belegen, womit eine sachgerechte Anfechtung möglich war. Auf diese Beweiswürdigung ist nachfolgend in E. 6.3.2 zurückzukommen.
Dass die Vorinstanz auf die Befragung von Dr. med. F._, Dr. phil. G._ und der Beschwerdeführerin verzichtete und auch kein Gerichtsgutachten einholte, muss aufgrund der obigen Ausführungen - auch ohne ausdrückliche Erwähnung in der Urteilsbegründung - als antizipierte Beweiswürdigung verstanden werden. Folglich ist auch bezüglich die Periode von Juli bis September 2018 keine Verletzung der Begründungspflicht auszumachen.
6.3. Die Beschwerdeführerin rügt sodann in mehrfacher Hinsicht eine willkürliche Beweiswürdigung.
6.3.1. Die Beschwerdeführerin moniert, die Vorinstanz habe den Attesten und den Berichten von Dr. med. D._ in der Zeit von Juli bis September 2018 keinen Beweiswert zuerkannt. Für die Periode ab Oktober 2018 habe die Vorinstanz dies damit begründet, dass dessen Atteste und Berichte durch die anderslautenden AVP entkräftet seien. Diese Argumentation könne jedoch nicht für die Monate Juli bis September 2018 gelten, da sie in den AVP für diese Monate eine andauernde Arbeitsunfähigkeit von 60 % angegeben habe. Für diese Zeit seien die Angaben von Dr. med. D._ keineswegs durch anderslautende Angaben ihrerseits entkräftet, sondern vielmehr durch gleiche Angaben bestätigt.
Diese Rüge überzeugt nicht. Zunächst gilt es festzuhalten, dass sich Dr. med. D._ - gemäss den ungerügt gebliebenen Tatsachendarstellungen der Vorinstanz - nicht zur Arbeitsunfähigkeit im Juli 2018 äusserte. Folglich bestätigte er die Angaben der Beschwerdeführerin im Juli 2018 keinesfalls. Dass die Vorinstanz - obschon die Beschwerdeführerin für die Monate August und September 2018 in den AVP eine Arbeitsunfähigkeit von 60 % angab und Dr. med. D._ denselben Grad der Arbeitsunfähigkeit diagnostizierte - lediglich eine Arbeitsunfähigkeit von 30 % bzw. 25 % als nachgewiesen erachtete, ist nicht zu beanstanden. Weichen die Angaben von Dr. med. D._ für die Periode von Oktober 2018 bis April 2019 derart von jenen der Beschwerdeführerin und den weiteren bei den Akten liegenden Beweismitteln ab (vgl. E. 5.4.2 hiervor), ist es nicht willkürlich, wenn die Vorinstanz auch den Angaben von Dr. med. D._ betreffend die Monate August und September 2018 die Beweistauglichkeit absprach.
6.3.2. Die Beschwerdeführerin beanstandet weiter eine willkürliche Beweiswürdigung betreffend den Juli 2018. Die Vorinstanz habe nämlich das Arbeitsunfähigkeitszeugnis von Dr. med. F._ vom 9. Juli 2021 nicht beachtet und sei deshalb zu einem willkürlichen Beweisergebnis gelangt. Sie habe erwogen, es gebe - abgesehen von den Attesten und Berichten von Dr. med. D._ - für den Juli 2018 keine Hinweise oder gar Belege für eine 50 % übersteigende Arbeitsunfähigkeit. Stattdessen nehme sie zur Untermauerung ihrer Erwägung Bezug auf zwei Prognosen von Dr. med. F._ von März bzw. Juni 2018 (recte: Juli 2018) betreffend eine mögliche Steigerung der Arbeitsfähigkeit. Die Vorinstanz habe sich somit ohne Begründung statt auf die tatsächlich attestierte Arbeitsunfähigkeit auf frühere Prognosen über einen längeren Zeitraum gestützt. Überdies habe die Vorinstanz durch die antizipierte Würdigung der weiteren offerierten Beweismittel unterstellt, diese würden für ihre Behauptung einer 60 %-igen Arbeitsunfähigkeit sprechen.
Die Vorinstanz führte das fragliche Zeugnis von Dr. med. F._ in E. 3.6 auf und gab dessen Inhalt wieder (vgl. E. 6.2 hiervor). Dies zeigt, dass sie das Zeugnis zur Kenntnis nahm. Allerdings mass sie ihm nicht dieselbe Beweiskraft zu, wie die Beschwerdeführerin. Dies begründet keine Willkür: Die Vorinstanz verwies betreffend den Juli 2018 nämlich einerseits auf den Bericht des MZL vom 26. März 2018, andererseits auf jenen des MZL vom 3. Juli 2018. Gestützt darauf gelangte die Vorinstanz zu ihrem Beweisergebnis (vgl. E. 6.1 hiervor). Anders als beim Zeugnis vom 9. Juli 2018 handelt es sich bei diesen beiden Urkunden um mehrseitige, detaillierte Berichte. Bereits aus diesem Grund ist es nachvollziehbar, wenn die Vorinstanz diesen Berichten Priorität gegenüber dem blossen, wenige Tage später erstellten Zeugnis einräumte.
Von den antizipiert gewürdigten Beweismitteln (vgl. E. 6.2 hiervor) offerierte die Beschwerdeführerin für den Juli 2018 die Zeugenaussagen von Dr. med. F._ sowie von Dr. phil. G._ (als Mitunterzeichnerin des Berichts des MZL vom 3. Juli 2018) sowie ihre eigene Befragung oder Beweisaussage. In Anbetracht der bei den Akten liegenden Atteste, Berichte und Zeugnisse, in welchen diese Zeuginnen bereits ihre Diagnose ausführlich und teils mehrmals festhielten, sind deren unterlassene Einvernahme und das vorinstanzliche Beweisergebnis nicht willkürlich. Nämliches gilt für die offerierte Befragung oder Beweisaussage der Beschwerdeführerin. Ihre Äusserungen vermögen den Beweis für eine Arbeitsunfähigkeit für sich allein nicht zu erbringen. Was das beantragte Gerichtsgutachten anbelangt, ist festzuhalten, dass diesem jedenfalls kein derart hoher Beweiswert zugekommen wäre, damit der Vorinstanz eine willkürliche Beweiswürdigung vorgeworfen werden könnte. Der Gutachter hätte nämlich bloss auf die von der Vorinstanz bereits gewürdigten Unterlagen abstellen können, was den Beweiswert des Gutachtens eingeschränkt hätte.
6.3.3. Auch soweit die Beschwerdeführerin die vorinstanzliche Beweiswürdigung betreffend die Monate August und September 2018 als willkürlich rügt, ist ihrem Einwand kein Erfolg beschieden. Die Vorinstanz hielt fest, die Beschwerdeführerin könne sich bezüglich diese beiden Monate lediglich auf die Atteste von Dr. med. D._ berufen, denen sie keinen Beweiswert beimass, was - wie in E. 6.3.1 hiervor begründet - nicht willkürlich war. Für die fragliche Periode offerierte die Beschwerdeführerin neben diesen Attesten lediglich ein gerichtliches Gutachten sowie ihre eigene Befragung oder Parteiaussage. Auf die Abnahme dieser Beweismittel verzichtete die Vorinstanz in antizipierter Beweiswürdigung (E. 6.2 hiervor). Diese antizipierte Beweiswürdigung ist nicht zu beanstanden: Da der Gutachter bei seiner Beurteilung ausschliesslich auf die Atteste und Berichte von Dr. med. D._ hätte abstellen können, denen die Vorinstanz ohne in Willkür zu verfallen keinen Beweiswert beimass (vgl. E. 5.4.2 hiervor), war ein solches Gutachten nicht beweistauglich. Die offerierte Befragung oder Parteiaussage der Beschwerdeführerin war jedenfalls als alleiniges Beweismittel ebenfalls nicht geeignet, um die behauptete Arbeitsunfähigkeit zu belegen.
6.3.4. Zusammengefasst ist es nicht willkürlich, wenn die Vorinstanz davon ausging, die Beschwerdeführerin habe nicht nachzuweisen vermocht, dass sie mehr als zu den von der Beschwerdegegnerin anerkannten 50 % im Juli, 30 % im August und 25 % im September 2018 arbeitsunfähig gewesen sei.
7.
Soweit die Beschwerdeführerin Ersatz für vorprozessuale Anwaltskosten begehrt und dazu ohne weitere Ausführungen auf ihre Klageschrift verweist, genügt sie den Begründungsanforderungen nicht (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.3; <ref-ruling> E. 3.2; Urteil 4A_65/2021 vom 27. August 2021 E. 3). Folglich ist auf die Beschwerde in diesem Punkt nicht einzutreten.
8.
Im Ergebnis ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin ist nicht anwaltlich, sondern durch ihren eigenen Rechtsdienst vertreten, weshalb ihr keine Parteientschädigung zuzusprechen ist (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; BGE <ref-ruling> E. 4).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, II. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Dezember 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Bittel