Erwägungen:
1.
Bei der Amtsgerichtsstatthalterin von Bucheggberg-Wasseramt ist ein Strafverfahren gegen A._ hängig. Mit Verfügung vom 10. November 2020 wies die Amtsgerichtsstatthalterin das Gesuch von A._ auf Leistung einer Sicherheit von Fr. 100'000.-- durch die Staatsanwaltschaft ab. Dagegen erhob A._ am 16. November 2020 Beschwerde, auf welche die Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn mit Beschluss vom 2. Dezember 2020 mangels eines rechtlich geschützten Interesses nicht eintrat.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 24. Dezember 2020 Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer erachtet die am vorliegend angefochtenen Beschluss beteiligten Oberrichter sinngemäss als befangen. In seiner Beschwerde vom 16. November 2020 gegen die Verfügung der Amtsgerichtsstatthalterin vom 10. November 2020 stellte er kein solches Begehren. Mit seinen Ausführungen in der vorliegenden Beschwerde vermag der Beschwerdeführer nicht ansatzweise und verständlich aufzuzeigen, inwiefern gegen die besagten Gerichtspersonen Ausstandsgründe vorliegen sollten. In der Sache selbst setzt sich der Beschwerdeführer nicht mit der Begründung der Beschwerdekammer auseinander, die zum Nichteintreten auf seine Beschwerde führte. Er vermag folglich nicht aufzuzeigen, inwiefern die Begründung der Beschwerdekammer bzw. deren Beschluss selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (<ref-law>). Indessen ist davon abzusehen, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Amtsgerichtsstatthalterin von Bucheggberg-Wasseramt und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Januar 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli