Sachverhalt:
A.
Am 23. Februar 2017 erhob B._ (Beschwerdegegner) mit Klagebewilligung des Friedensrichteramtes Kreise 6 + 10 der Stadt Zürich vom 9. Februar 2017 beim Bezirksgericht Affoltern Klage gegen die A._ AG (Beschwerdeführerin). Seine Rechtsbegehren lauteten wie folgt:
"A. Es soll festgestellt werden, dass die mit Betreibung Nr. xxx eingeforderte mutmassliche Schuld zum Zeitpunkt der Betreibungseinleitung noch gar nicht bestand.
B. Es soll festgestellt werden, dass die gegen den Kläger gerichtete Betreibung Nr. xxx (auch unabhängig vom Rechtsbegehren A.) rechtsmissbräuchlich ist.
C. Es soll festgestellt werden, dass die Beklagte durch die mutmasslich rechtsmissbräuchlich bzw. kriminell eingeleitete Betreibung Nr. xxx sich gegenüber dem Kläger schadenersatz- und genugtuungspflichtig gemacht hat."
Auf Antrag der A._ AG beschränkte das Bezirksgericht das Verfahren mit Verfügung vom 3. April 2017 einstweilen auf die Eintretensfrage. Mit Verfügung vom 25. August 2017 trat es auf das klägerische Rechtsbegehren A. und B. ein, nicht aber auf das Begehren C. Diese Verfügung blieb unangefochten.
Anlässlich der Hauptverhandlung vom 28. Juni 2018 präzisierte B._ die (verbleibenden) Rechtsbegehren in der Sache folgendermassen:
"1. Es sei festzustellen, dass die mit Betreibung Nr. xxx beim Betreibungsamt Zürich 10 betriebene Forderung zum Zeitpunkt der Betreibungseinleitung nicht bestand.
2. Es sei festzustellen, dass die gegen den Kläger beim Betreibungsamt Zürich 10 eingereichte Betreibung Nr. xxx rechtsmissbräuchlich ist, weshalb Nichtigkeit besteht.
3. Das Betreibungsamt Zürich 10 sei anzuweisen, den Registereintrag zu löschen resp. diesen keinem Dritten mitzuteilen."
Am selben Tag fällte das Bezirksgericht in der Sache das folgende Urteil:
"1. Es wird festgestellt, dass die mit Betreibung Nr. xxx beim Betreibungsamt Zürich 10 betriebene Forderung zum Zeitpunkt der Betreibung nicht bestand.
2. Es wird festgestellt, dass die gegen den Kläger beim Betreibungsamt Zürich 10 eingereichte Betreibu ng Nr. xxx vom 9. Juli 2015 rechtsmissbräuchlich und somit nichtig ist.
3. Das Betreibungsamt Zürich 10 wird unter Hinweis auf <ref-law> angewiesen, die Betreibung Nr. xxx Dritten gegenüber nicht zur Kenntnis zu geben."
Die A._ AG erhob gegen dieses Urteil Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich, womit sie verlangte, die Klage sei vollumfänglich abzuweisen, soweit darauf überhaupt einzutreten sei. Das Obergericht behandelte die Berufung als Beschwerde und wies dieselbe mit Urteil vom 28. Mai 2019 ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Die A._ AG hat mit Beschwerde an das Bundesgericht in der Sache die folgenden Rechtsbegehren gestellt:
"1. Das Urteil vom 28. Mai 2019 des Obergerichts [...] sei aufzuheben.
1.1 Es sei festzustellen, dass das vorinstanzliche Urteil vom 28. Mai 2019 [...] nichtig ist.
1.1.1 Es sei festzustellen, da ss das erstinstanzliche Urteil des Einzelgerichts Affoltern vom 28.06.2018 [...] nichtig ist.
1.1.2 Eventualiter sei die Frist zur Einreichung des Rechtsmittels gegen das Urteil des Einzelgerichts Affoltern vom 28.06.2018 [...] wiederherzustellen.
1.1.3 Subeventualiter sei die Vorinstanz verbindlich anzuweisen, die Rechtsmittelschrift vom 11. September 2018 der Beschwerdeführerin als Berufung i.S.v. <ref-law> zu behandeln und neu zu beurteilen.
2. Eventualiter sei das Urteil vom 28. Mai 2019 des Obergerichts [...] aufzuheben und das Dispositiv des Urteils des Einzelgerichts Affoltern [...] sei wie folgt zu ändern:
2.1 Die Dispositiv-Ziffer 1 und 2 des Urteils des Bezirksgerichts Affoltern vom 28.06.2018 [...] seien - unter Streichung der Dispositiv Ziff. 3 - wie folgt anzupassen: 'Die Klage gegenüber der Beklagten wird vollumfänglich abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.'
[...]
3. Subeventualiter sei das Urteil vom 28. Mai 2019 des Obergerichts [...] aufzuheben und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen."
Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet. B._ begehrt, die Anträge der A._ AG abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei, und das angefochtene Urteil zu bestätigen. Die A._ AG hat eine Replik eingereicht.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Obergerichts ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer Vorinstanz im Sinne von <ref-law>, gegen den die Beschwerde an das Bundesgericht grundsätzlich offensteht.
2.
2.1. Nach <ref-law> ist die Beschwerde in Zivilsachen gegen einen zweitinstanzlichen kantonalen Gerichtsentscheid in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens beträgt: a. 15'000.-- in arbeits- und mietrechtlichen Fällen; b. 30'000.-- in allen übrigen Fällen. Dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von <ref-law> stellt, wird in der Beschwerde nicht ausgeführt (siehe <ref-law>).
2.2. Der Streitwert bestimmt sich bei Beschwerden gegen Endentscheide nach den Begehren, die vor der Vorinstanz streitig geblieben waren (<ref-law>). Lautet ein Begehren nicht auf Bezahlung einer bestimmten Geldsumme, so setzt das Bundesgericht den Streitwert nach Ermessen fest (<ref-law>). Mehrere in einer vermögensrechtlichen Sache von der gleichen Partei oder von Streitgenossen und Streitgenossinnen geltend gemachte Begehren werden zusammengerechnet, sofern sie sich nicht gegenseitig ausschliessen (<ref-law>).
2.3. Nachdem die Verfügung vom 25. August 2017 (betreffend Nichteintreten auf das Klagebegehren C.) nicht angefochten worden war, waren vom Obergericht einzig noch die Klagebegehren A. und B. zu beurteilen. Deren Wert bezifferte die Vorinstanz auf Fr. 864.--, entsprechend dem Forderungsbetrag der streitgegenständlichen Betreibung. Dagegen bringt die Beschwerdeführerin vor, dass der Beschwerdegegner mit der von ihm angestrebten Feststellung der Rechtsmissbräuchlichkeit der Betreibung "die Erwirkung eines Präjudiz[es] [...] für die Geltendmachung seiner vermeintlichen Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche" ihr gegenüber anstrebe, die er - wie vom Bezirksgericht festgestellt - mit seinem Schlichtungsgesuch auf Fr. 68'000.-- beziffert habe.
Das Bezirksgericht hatte zur Streitwertbestimmung noch ausgeführt, im Rahmen des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts sei praxisgemäss der Betrag der Forderung massgeblich. Zwar habe der Beschwerdegegner zum Zeitpunkt der Rechtshängigkeit (Eingang des Schlichtungsgesuchs) angegeben, eine Forderung gegen die Beschwerdeführerin von insgesamt Fr. 68'000.-- zu haben. Diese Forderung habe er jedoch nicht belegt oder substanziiert begründet, was ihn dann offenbar auch dazu bewogen habe, "vorerst eine Feststellungsklage (Rechtsbegehren C) am Gericht anhängig zu machen." Mit anderen Worten war das Bezirksgericht davon ausgegangen, der Streitwert von Klagebegehren C. (Feststellung der Schadenersatz- und Genugtuungspflicht) orientiere sich an der (angeblichen) Schadenersatz- und Genugtuungsforderung, wogegen hinsichtlich der Rechtsbegehren A. und B. die Forderungssumme der Betreibung massgeblich sei.
Diese Auffassung ist nicht zu beanstanden: Die Präzisierung der Klagebegehren durch den Beschwerdegegner an der Hauptverhandlung vom 28. Juni 2018 verdeutlicht, dass das Rechtsbegehren A. den Bestand der in Betreibung gesetzten Forderung betrifft, während das Rechtsbegehren B. die Frage der Nichtigkeit der Betreibung zum Gegenstand hat, mithin darauf abzielt, dass die Betreibung nach <ref-law> Dritten nicht zur Kenntnis gegeben wird. Dass das Gericht in einem späteren Verfahren an die rechtskräftige Feststellung der Nichtigkeit der Betreibung grundsätzlich gebunden ist (siehe nur <ref-ruling> E. 5.1 mit Hinweisen), hat entgegen der Beschwerdeführerin nicht zur Folge, dass der mutmassliche Streitwert eines allfälligen zukünftigen Schadenersatzprozesses bereits im vorliegenden Verfahren zu berücksichtigen wäre. Für die Streitwertbestimmung im bundesgerichtlichen Verfahren ist nach <ref-law> alleine die Forderungssumme der Betreibung massgeblich. Diese liegt unter der Grenze gemäss <ref-law>.
2.4. Demnach ist die Beschwerde in Zivilsachen nicht zulässig.
3.
3.1. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde - wie von der Beschwerdeführerin eventualiter beantragt - als subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne der Art. 113-119 BGG zu behandeln, welche gemäss <ref-law> zur Verfügung steht. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Verfassungsbeschwerde einzutreten, soweit von der Beschwerdeführerin zulässige und hinlänglich begründete Rügen erhoben werden.
3.2. Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Eine Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Das bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheides darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.2; je mit weiteren Hinweisen). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368; <ref-ruling> E. 2.3 mit weiteren Hinweisen).
Macht die beschwerdeführende Partei eine Verletzung des Willkürverbots von <ref-law> geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich. Sie hat vielmehr im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern dieser offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 1.3 S. 60; <ref-ruling> E. 3 S. 352). Dass die vom Sachgericht gezogenen Schlüsse nicht mit der eigenen Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmen, belegt keine Willkür (BGE <ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Erforderlich ist zudem, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 2.1 S. 19 mit Hinweisen).
Die Beschwerde ist innert der Beschwerdefrist vollständig begründet einzureichen (vgl. <ref-law>). Kommt es zu einem zweiten Schriftenwechsel, darf die beschwerdeführende Partei die Replik nicht dazu verwenden, ihre Beschwerde zu ergänzen oder zu verbessern (vgl. <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.3.4; je mit weiteren Hinweisen).
3.3. Die Beschwerdeführerin moniert, das angefochtene Urteil enthalte trotz entsprechender Rügen und Vorbringen "keinerlei Erwägungen und Sachverhaltsfeststellungen" betreffend den Streitwert, worin eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) liege.
Gemäss <ref-law> ist in vermögensrechtlichen Angelegenheiten die Berufung nur zulässig, wenn der Streitwert der zuletzt aufrechterhaltenen Rechtsbegehren mindestens 10'000 Franken beträgt.
Tatsächlich fehlen im angefochtenen Urteil selber Erläuterungen zur Streitwertbestimmung nach <ref-law>. In Erwägung 1.3 wird lediglich ausgeführt, die Beschwerdeführerin habe Berufung, "recte: Beschwerde", erhoben, obwohl die Erstinstanz den Streitwert noch auf Fr. 30'000.-- festgelegt und in der Rechtsmittelbelehrung (Dispositiv-Ziffer 9) die Berufung genannt hatte. Allerdings verweist das Obergericht direkt im Anschluss daran ausdrücklich auf seine Verfügung vom 20. September 2018. Darin wurde der Beschwerdeführerin ein Gerichtskostenvorschuss auferlegt und zur Begründung unter Hinweis auf <ref-law> ausgeführt, auf das Klagebegehren C. sei mit Teilentscheid vom 25. August 2017 nicht eingetreten worden, womit "der für das Rechtsmittelverfahren massgebliche Streitwert" Fr. 864.-- betrage. Entgegen der Rechtsmittelbelehrung des Bezirksgerichts sei damit die Beschwerde zulässig und die Eingabe als solche entgegenzunehmen. Damit hat die Vorinstanz in gehörsrechtlich hinreichender Weise begründet, weshalb sie davon ausging, die Berufung sei aufgrund des Streitwerts nicht zulässig. Mit welchen Ausführungen in der Berufungsschrift sich das Obergericht darüber hinaus konkret hätte auseinandersetzen müssen, wird in der Beschwerde nicht dargetan.
3.4. Weiter erblickt die Beschwerdeführerin darin, dass das Obergericht ihre Berufung als Beschwerde statt als Berufung und somit im falschen Rechtsmittelverfahren behandelt habe, eine Verletzung von <ref-law> sowie von Art. 29 Abs. 1 und 2 BV. Sie begründet jedoch in diesem Punkt keine zulässige Verfassungsrüge. Namentlich zeigt sie weder auf, dass das Verständnis des Obergerichts, wonach das bereits rechtskräftig erledigte Rechtsbegehren C. bei der Bestimmung des Streitwerts nach <ref-law> nicht zu berücksichtigen ist, geradezu willkürlich sein oder im Widerspruch zu <ref-law> stehen soll, noch, dass ihre Äusserungsmöglichkeiten im Beschwerdeverfahren den verfassungsrechtlichen Mindestanforderungen des rechtlichen Gehörs nicht genügen würden (vgl. Urteil 4D_19/2018 vom 23. August 2018 E. 3.3).
3.5. Schliesslich rügt die Beschwerdeführerin als verfassungswidrig (Art. 9 und <ref-law>), dass das Obergericht ihre Betreibung Nr. xxx beim Betreibungsamt Zürich 10 vom 9. Juli 2015 als rechtsmissbräuchlich und daher nichtig beurteilt hat. Zu Unrecht:
Zunächst trifft es nicht zu, dass sich der angefochtene Entscheid nicht mit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zur Frage auseinandersetzt, unter welchen Umständen die Einleitung einer Betreibung als rechtsmissbräuchlich beurteilt wird. Im Gegenteil verwies das Obergericht für diese Frage auf die Ausführungen des Bezirksgerichts und die von diesem zitierte Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 2.3.1 und 2.3.3) und räumte ausdrücklich ein, "dass eine Betreibung praxisgemäss ganz allgemein nur in Ausnahmefällen wegen Rechtsmissbrauchs nichtig" sei.
Aber auch bei der Anwendung der besagten Rechtsprechung auf den vorliegenden Fall ist der Vorinstanz keine Verfassungsverletzung vorzuwerfen: Die Betreibung erfolgte für eine vom Obergericht mit Urteil vom 2. Juli 2015 zugesprochene Parteientschädigung, und der Beschwerdegegner gab die Zahlung am 10. Juli 2015 in Auftrag. Die Vorinstanz pflichtete den nachvollziehbaren Erwägungen des Bezirksgerichts bei, wonach entscheidend sei, dass der Beschwerdegegner vor der Einleitung der Betreibung die Schuld überhaupt gekannt habe und ihm die Gelegenheit eingeräumt worden sei, der Zwangsvollstreckung mittels Zahlung zuvorzukommen. Dies sei unbestrittenermassen nicht der Fall gewesen, zumal der Beschwerdegegner, kaum habe er das obergerichtliche Urteil am 9. Juli 2015 in Empfang genommen, unverzüglich den Betrag von Fr. 864.-- erfasst und freigegeben habe.
Diese Auffassung ist jedenfalls unter Willkürgesichtspunkten mit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zu vereinbaren, wonach sich der Gläubiger rechtsmissbräuchlich verhält, wenn er mit der Betreibung offensichtlich Ziele verfolgt, die nicht das Geringste mit der Zwangsvollstreckung zu tun haben, und eine Betreibung nichtig sein kann, wenn der Betreibende bloss die Kreditwürdigkeit eines (angeblichen) Schuldners schädigen will (<ref-ruling> E. 2.3.1 mit Hinweisen).
Im Übrigen setzte sich das Obergericht ausdrücklich mit den Vorbringen der Beschwerdeführerin auseinander und gelangte zum Ergebnis, diese vermöchten die Auffassung des Bezirksgerichts nicht zu entkräften. Dass es dabei, wie die Beschwerdeführerin meint, "in unhaltbarer Weise bei Kläger und Beklagter unterschiedliche Ellen zur Bemessung des jeweiligen Verhaltens angesetzt" hätte, ist nicht erkennbar. Die Beschwerdeführerin kann keine Willkür oder Gehörsverletzung belegen, wenn sie in appellatorischer Weise diverse einzelne Umstände herausgreift, welche das Obergericht falsch oder unvollständig gewürdigt habe, und dadurch den Rechtsmissbrauchsvorwurf zu entkräften versucht. In diesem Zusammenhang vermag sie ausserdem auch keine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts im Sinne von <ref-law> aufzuzeigen.
3.6. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde erweist sich als unbegründet, soweit sie überhaupt zulässige Verfassungsrügen enthält.
4.
Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist nicht einzutreten. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kosten - und entschädigungspflichtig (siehe Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in Zivilsachen wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Februar 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz