Faits :
A.
A.a. Par jugement du 5 mars 2004, confirmé par arrêt de la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal vaudois du 12 mai 2004, le Tribunal de police de l'arrondissement de la Broye et du Nord vaudois a condamné X._, pour incendie par négligence, à 20 jours d'emprisonnement, avec sursis pendant deux ans.
Le tribunal a considéré que X._ avait stocké du foin qui n'était pas sec, utilisant pour la première fois un procédé de bottelage en balles rondes. Il n'avait cependant pas vérifié régulièrement, par sondages, que la température de celles-ci ne s'élevait pas. Pour établir les causes du départ de l'incendie, le tribunal a fondé sa décision sur un premier rapport, établi le 10 décembre 2002, par l'expert A._, du Service scientifique de la police municipale de B._, dont il ressortait que l'analyse des bactéries présentes dans des échantillons de foin révélait, au vu du nombre de germes présents, qu'un échauffement spontané ou surfermentation avait eu lieu. Le tribunal s'est également fondé sur le rapport du 1er avril 2003 de l'inspecteur C._, de la police de la sûreté vaudoise, qui a également considéré, au vu des résultats des analyses des prélèvements effectués, qu'un échauffement spontané avait eu lieu dans plusieurs zones du fourrage entreposé à l'intérieur de la grange et que la combustion lente qui s'était développée était la cause la plus probable de l'incendie. Le tribunal a par ailleurs rejeté une demande incidente de X._ tendant à ce qu'une nouvelle expertise soit ordonnée, au motif que deux rapports avaient déjà été établis par des spécialistes. L'expert A._ était diplômé en biologie et en zoologie et disposait d'une expérience de trente ans, tandis que l'expert C._ était au bénéfice d'une formation spéciale en matière d'incendie et disposait d'une expérience de vingt-deux ans.
A.b. X._ a déposé, le 8 novembre 2004, une première demande de révision du jugement du 5 mars 2004, rejetée par arrêt de la Commission de révision pénale vaudoise du 12 janvier 2005.
Il a déposé une deuxième demande de révision, le 29 janvier 2010. Cette demande a été rejetée par arrêt de la Commission de révision pénale du 10 février 2010.
X._ a déposé une troisième demande de révision, le 10 mai 2012. Cette demande a été rejetée par jugement de la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois du 20 août 2012. Par arrêt du 29 janvier 2013 (6B_601/2012), le Tribunal fédéral a rejeté le recours formé par X._ contre le jugement du 20 août 2012.
Le 7 décembre 2016, X._ a déposé une quatrième demande de révision, rejetée par jugement de la Cour d'appel pénale du 23 décembre 2016.
Le 17 octobre 2017, le prénommé a déposé une cinquième demande de révision, rejetée par jugement de la Cour d'appel pénale du 27 octobre 2017.
B.
Le 18 janvier 2018, X._ a déposé une nouvelle demande de révision du jugement du 5 mars 2004.
Par jugement du 25 janvier 2018, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois a refusé d'entrer en matière sur la demande de révision du 18 janvier 2018 et a déclaré celle-ci irrecevable. En bref, la cour cantonale a estimé que les nouveaux moyens de preuves proposés par le prénommé n'étaient pas sérieux et que les motifs de révision invoqués étaient d'emblée manifestement mal fondés.
C.
X._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 25 janvier 2018, en concluant, avec suite de frais et dépens, à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision.

Considérant en droit :
1.
Le recourant produit un bordereau de pièces. Les pièces qui ne figurent pas au dossier de la cause sont des pièces nouvelles, partant irrecevables (cf. <ref-law>).
2.
Le recours en matière pénale est une voie de réforme (<ref-law>). Le recourant ne peut se borner à demander l'annulation de la décision et le renvoi de la cause à l'autorité cantonale, mais doit également, sous peine d'irrecevabilité, prendre des conclusions sur le fond du litige. Il n'est fait exception à ce principe que lorsque le Tribunal fédéral, s'il admettait le recours, ne serait pas en mesure de statuer lui-même sur le fond et ne pourrait que renvoyer la cause à l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 317; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 383).
En l'espèce, le recourant conclut uniquement à l'annulation du jugement attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision. Une telle manière de faire n'est pas admissible. Les motifs du recours permettent toutefois de comprendre que le recourant souhaite que la cour cantonale entre en matière sur sa demande de révision. Cela suffit pour satisfaire aux exigences de forme déduites de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 317; arrêt 6B_115/2018 du 30 avril 2018 consid. 2).
3.
3.1. La demande de révision et la décision attaquée sont postérieures à l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2011, du CPP. Comme l'avait déjà indiqué le Tribunal fédéral dans son arrêt du 29 janvier 2013 (6B_601/2012 consid. 1.1), les règles de compétence et de procédure des <ref-law> s'appliquent. Les motifs de révision pertinents sont en revanche ceux prévus par le droit applicable au moment où la décision dont la révision est demandée a été rendue, soit, en l'espèce, le 5 mars 2004. Cette réserve est toutefois sans portée s'agissant d'une révision en faveur du condamné, le motif de révision prévu à l'<ref-law> correspondant à celui de l'art. 397 aCP, en vigueur en 2004 (cf. arrêts 6B_414/2014 du 25 septembre 2014 consid. 1.1; 6B_393/2012 du 12 novembre 2012 consid. 1.1.1 et les références citées).
3.2. L'<ref-law> permet à toute personne lésée par un jugement entré en force d'en demander la révision s'il existe des faits ou des moyens de preuves qui étaient inconnus de l'autorité inférieure et qui sont de nature à motiver l'acquittement ou une condamnation sensiblement moins sévère du condamné. Les faits ou moyens de preuves invoqués doivent ainsi être nouveaux et sérieux. Les faits ou moyens de preuves sont inconnus lorsque le juge n'en a pas eu connaissance au moment où il s'est prononcé, c'est-à-dire lorsqu'ils ne lui ont pas été soumis sous quelque forme que ce soit (<ref-ruling> consid. 5.1.2 p. 66 s.). Ils sont sérieux lorsqu'ils sont propres à ébranler les constatations de fait sur lesquelles se fonde la condamnation et que l'état de fait ainsi modifié rend possible un jugement sensiblement plus favorable au condamné (<ref-ruling> consid. 5.1.4 p. 68). Savoir si l'autorité cantonale s'est fondée sur une juste conception de faits ou de moyens de preuves nouveaux et sérieux et si la modification, le cas échéant, de l'état de fait sur lequel repose la condamnation est de nature à entraîner une décision plus favorable au condamné relève du droit. En revanche, déterminer si un fait ou un moyen de preuve était effectivement inconnu du juge relève de l'établissement des faits. Il en va de même de la question de savoir si un fait ou un moyen de preuve nouveau est propre à modifier l'état de fait retenu, puisqu'elle relève de l'appréciation des preuves, étant rappelé qu'une vraisemblance suffit au stade du rescindant (<ref-ruling> consid. 1 p. 73; plus récemment arrêts 6B_22/2018 du 15 mars 2018 consid. 2; 6B_1113/2017 du 8 mars 2018 consid. 1.1).
La demande de révision en raison de faits ou de moyens de preuves nouveaux n'est soumise à aucun délai (art. 411 al. 2 in fine CPP). La procédure du rescindant instituée par le CPP se déroule, en principe, en deux phases comprenant un examen préalable de la recevabilité (art. 412 al. 1 et 2 CPP) puis celui des motifs invoqués (art. 412 al. 3 et 4 et 413 CPP). Il s'agit de deux étapes d'une seule et même procédure de la compétence de la juridiction d'appel (art. 412 al. 1 et 3 CPP). Aux termes de l'<ref-law>, la juridiction d'appel n'entre pas en matière sur la demande de révision si celle-ci est manifestement irrecevable ou non motivée ou si une demande de révision invoquant les mêmes motifs a déjà été rejetée par le passé. La procédure de non-entrée en matière selon cette disposition est en principe réservée à des vices de nature formelle. Il est néanmoins loisible à la juridiction d'appel de refuser d'entrer en matière si les motifs de révision invoqués apparaissent d'emblée non vraisemblables ou mal fondés (arrêts 6B_1113/2017 précité consid. 1.1; 6B_350/2017 du 6 novembre 2017 consid. 1.2.2; 6B_742/2014 du 22 juin 2015 consid. 3.3 et la référence citée).
3.3. Le Tribunal fédéral n'est pas une autorité d'appel, auprès de laquelle les faits pourraient être rediscutés librement. Il est lié par les constatations de fait de la décision entreprise (<ref-law>), à moins qu'elles n'aient été établies en violation du droit ou de manière manifestement inexacte au sens des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, à savoir, pour l'essentiel, de façon arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. Une décision n'est pas arbitraire du seul fait qu'elle apparaît discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable et cela non seulement dans sa motivation mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 503). Le Tribunal fédéral n'entre ainsi pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 368).
3.4. La cour cantonale a exposé que le recourant affirmait que les prélèvements de foin soumis à l'expert A._ avaient été effectués "cinq jours" après l'incendie du 31 août 2002. Le recourant se fondait sur l'agenda de son frère pour l'année 2002, qui faisait remonter lesdits prélèvements au 4 septembre, soit en réalité quatre jours après l'incendie. Selon l'autorité précédente, cet agenda était dépourvu de valeur probante. En effet, il apparaissait, dans l'agenda lui-même, que l'inscription "mardi ou mercredi matin", tracée au feutre rouge sous les dates des 3 et 4 septembre, avait été par la suite partiellement biffée au stylo bleu, de sorte qu'on ne lise plus que "mercredi matin". En outre, une flèche au stylo bleu avait également été dessinée depuis la colonne du 3 septembre, où figuraient au feutre rouge des indications concernant les prélèvements litigieux, vers celle du 4 septembre. Pour la cour cantonale, on ne pouvait conclure de ces corrections et ajouts opportuns que lesdits prélèvements auraient eu lieu à la date avancée par le recourant. De surcroît, si les deux feuilles volantes à l'en-tête du Séchoir de D._, également couvertes d'inscriptions manuscrites au stylo bleu, mentionnaient bien la date du 4 septembre 2002, rien ne prouvait que celles-ci, simplement glissées dans l'agenda lui-même, eussent été remplies le jour en question, et non postérieurement. Le motif de révision ne pouvait ainsi être qualifié de sérieux.
L'autorité précédente a par ailleurs indiqué que le rapport de l'expert A._ mentionnait certes la date du 2 septembre 2002, mais qu'il s'agissait d'une erreur, dans la mesure où il ressortait de toutes les pièces au dossier que les prélèvements litigieux avaient été effectués le mardi 3 septembre 2002. Peu importait, en définitive, car le motif de révision invoqué n'avait rien de nouveau. En effet, interrogé par le procureur le 3 juin 2002, le recourant affirmait déjà que les prélèvements avaient eu lieu "quatre jours après l'incendie, c'est-à-dire le mercredi 4 septembre 2002". A cet égard, le jugement du 5 mars 2004 du tribunal de première instance avait exposé ce qui suit :
"[Le recourant] a également soutenu que les échantillons qui avaient été analysés avaient été prélevés quatre jours après le début de l'incendie et après avoir été constamment arrosés par les pompiers. En réalité, lorsque le foin est correctement séché et que le taux d'humidité est inférieur à 12-15%, toute vie microbienne cesse. Un foin séché puis humidifié ne fermente plus, mais pourrit."
Ainsi, pour la cour cantonale, le recourant ne présentait aucun fait ou moyen de preuve nouveau, propre à ébranler les constatations de fait sur lesquelles avait été fondée sa condamnation.
3.5. Le recourant développe une argumentation purement appellatoire et, partant, irrecevable, par laquelle il affirme que les prélèvements de foin auraient été accomplis par la police le 4 septembre 2002, sans démontrer en quoi la cour cantonale aurait versé dans l'arbitraire en retenant - même sous l'angle de la vraisemblance - que ceux-ci avaient été réalisés le 3 septembre 2002.
Il s'attache en outre critiquer le jugement de la Cour d'appel pénale du 27 octobre 2017. Son argumentation est également irrecevable à cet égard, dès lors que seul le jugement attaqué fait l'objet du recours au Tribunal fédéral (cf. <ref-law>).
Le recourant tente ensuite de présenter comme un élément nouveau le fait que l'expert A._ n'aurait jamais été informé de la véritable date à laquelle ont été effectués les prélèvements de foin. Outre que cette affirmation repose sur sa seule présentation des événements, il apparaît que la date du 2 septembre 2002 figurait sur le rapport de l'expert depuis sa rédaction, de sorte que, à supposer même que l'expert n'eût pas eu connaissance, avant de rédiger son rapport, de la véritable date des prélèvements - soit le 3 septembre 2002 -, le recourant ne prétend pas que cet élément aurait été ignoré par le tribunal de première instance. Contrairement à ce qu'il soutient, celui-ci ne fait donc valoir aucun fait ni moyen de preuve nouveau à l'appui de sa demande de révision. Le recourant admet d'ailleurs qu'il avait déjà fondé sa demande de révision du 17 octobre 2017 sur la question de la prétendue méconnaissance, par l'expert, de la date exacte des prélèvements.
Il ressort de ce qui précède que la cour cantonale pouvait, à l'issue d'une appréciation anticipée des preuves qui résiste au grief d'arbitraire, considérer d'emblée que les arguments avancés par le recourant - portant sur la date de prélèvement des échantillons et de sa connaissance par l'expert - n'apparaissaient pas, même sous l'angle de la vraisemblance, propres à remettre en question les constatations sur lesquelles reposait sa condamnation. Dans ces circonstances, le refus d'entrer en matière sur la demande de révision ne viole pas l'<ref-law>. Le grief doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
4.
Le recourant affirme encore que son argument, selon lequel l'expert A._ n'aurait jamais été informé de la véritable date des prélèvements du foin, n'aurait pas été traité par l'autorité précédente. Outre que l'intéressé ne développe sur ce point aucun grief topique répondant aux exigences de motivation découlant des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF, on comprend du jugement attaqué que, selon l'autorité précédente, l'expert ne s'est pas fondé sur "une date manifestement fausse" - soit une date autre que le 4 septembre 2002 alléguée par le recourant -, mais que le rapport d'expertise mentionnait erronément le 2 septembre 2002, ce qui rendait sans objet l'argumentation du recourant relative à la découverte d'une prétendue faille dans l'expertise.
5.
Enfin, le recourant soutient que la cour cantonale aurait violé les art. 6 CEDH et 14 du Pacte international relatif aux droits civils et politiques (RS 0.103.2). Après avoir reproduit intégralement ces deux dispositions, celui-ci énumère pêle-mêle divers griefs, qui ne sont pas tous dirigés contre le jugement attaqué et portent tant sur la violation de la présomption d'innocence que sur la publicité du procès. A cet égard, il convient de relever que le rescindant permet précisément une procédure écrite au cours de laquelle l'autorité d'appel examine préalablement la recevabilité de la demande de révision (cf. <ref-law>). Pour le reste, l'argumentation du recourant, qui tend en définitive à démontrer qu'"on" aurait voulu lui faire "porter [...] tout le poids de l'erreur judiciaire, dont il est aujourd'hui indubitablement la victime", ne comprend aucun grief répondant aux exigences de motivations de l'<ref-law> en matière de droits fondamentaux.
6.
Compte tenu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 5 juillet 2018
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Graa