Sachverhalt:
A.
A.a. A._ ist türkischer Staatsangehöriger. Er wurde am 30. August 1992 in der Schweiz geboren und lebt seither in Basel. Am 24. Juni 2016 lief seine zuvor jeweils verlängerte Aufenthaltsbewilligung aus. Zu einer erneuten Verlängerung kam es mangels eines entsprechenden Gesuchs nicht. Nachdem bereits am 23. März 2016 die amtliche Streichung durch das Einwohneramt erfolgt war, verzeichnete das zentrale Migrationssystem am 30. September 2016 automa-tisiert den Wegzug von A._.
Am 14. Februar 2017 wurde A._ am Grenzübergang des Flughafens Basel-Mulhouse kontrolliert und wegen rechtswidrigen Aufenthalts verurteilt. Gleichentags wurde er mit einer Ausreisefrist bis 20. Februar 2017 aus der Schweiz weggewiesen. Das SEM verfügte am 23. Februar 2017 ein bis 22. Februar 2020 gültiges Einreiseverbot. Anlässlich einer Kontrolle durch das Grenzwachtkorps wurde A._ am 29. April 2017 bei der Einreise am Zollamt Au/SG das Einreiseverbot eröffnet.
A.b. Nach einem Gesuch um nachträgliche Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung verfügte das Migrationsamt am 23. August 2017, dass die Aufenthaltsbewilligung von A._ erloschen ist und er die Schweiz bis zum 21. September 2017 zu verlassen hat. Gegen diese Verfügung hat er nach Ablauf der Rekursfrist einen Rekurs erhoben und gleichzeitig um Wiederherstellung der Frist ersucht. Mit Entscheid vom 12. Dezember 2017 hat das Justiz- und Sicherheitsdepartement das Gesuch um Fristwiederherstellung abgewiesen. Auf den Rekurs trat es nicht ein. Dagegen gelangte A._ an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht. Das entsprechende Verfahren ist nach der Lage der Akten noch hängig.
A.c. Am 28. Mai 2018 wurde A._ von der Grenzwache kontrolliert und zuhanden des Migrationsamts des Kantons Basel-Stadt festgenommen. Mit Verfügung vom 29. Mai 2018 ordnete das Migrationsamt an, A._ für einen Monat bis 28. Juni 2018 (<ref-law>) in Ausschaffungshaft zu nehmen.
B.
Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht ordnete mit Urteil vom 30. Mai 2018 im Verfahren der Haftüberprüfung nach Art. 80 Abs. 2 AuG (SR 142.20) die Entlassung von A._ an.
C.
Gegen das Urteil vom 30. Mai 2018 gelangt das Staatssekretariat für Migration (SEM) mit Eingabe vom 5. Juli 2018 (Postaufgabe) an das Bundesgericht. Es stellt folgenden Antrag:
"Das Urteil des Appelationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 30.05.2018 sei aufzuheben."
A._ (Beschwerdegegner) beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Appellationsgericht verweist auf das angefochtene Urteil. Das Migrationsamt machte von der Einladung zur Stellungnahme keinen Gebrauch.
Auf die Anzeige dieser Stellungnahmen hin liess sich das SEM nicht vernehmen.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1 S. 116).
1.1. Mit dem Urteil vom 30. Mai 2018 frist- und - unter Vorbehalt der nachfolgenden Erwägungen (vgl. E. 1.2.3 hiernach) - formgerecht angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher, verfahrensabschliessender Entscheid eines oberen Gerichts, gegen den die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2, Art. 82 lit. a, Art. 83, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90, Art. 100 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.1.3 S. 139; <ref-ruling> E. 5.5 S. 101 f.; je mit Hinweisen).
1.2. Die Departemente des Bundes und, soweit es das Bundesrecht vorsieht, die ihnen unterstellten Dienststellen sind nach <ref-law> zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wenn der angefochtene Akt die Bundesgesetzgebung in ihrem Aufgabenbereich verletzen kann.
1.2.1. Das SEM ist in den Bereichen des Ausländer- und Bürgerrechts nach Art. 14 Abs. 2 der Organisationsverordnung vom 17. November 1999 für das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement (OV-EJPD; SR 172.213.1) berechtigt, gegen letztinstanzliche kantonale Entscheide beim Bundesgericht Beschwerde zu führen (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 542; Urteil 2C_861/2013 vom 11. November 2013 E. 1 [nicht publ. in: <ref-ruling>]). Die Beschwerde ist rechtsgültig unterzeichnet.
1.2.2. Das Beschwerderecht der Bundesbehörden nach <ref-law> bezweckt, den Vollzug des Bundesverwaltungsrecht in den Kantonen und in der Bundesverwaltung zu überwachen; es soll seine richtige und einheitliche Anwendung sicherstellen. Darüber hinaus setzt das Beschwerderecht kein spezifisches öffentliches Interesse voraus, doch ist jedenfalls verlangt, dass die Behördenbeschwerde nicht der Behandlung einer vom konkreten Fall losgelösten abstrakten Frage des objektiven Rechts dient. Sie hat sich auf konkrete Probleme eines tatsächlich bestehenden Einzelfalls zu beziehen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 342; <ref-ruling> E. 1.1 S. 203; Urteil 2C_861/2013 vom 11. November 2013 E. 1 [nicht publ. in: <ref-ruling>]). Mithin hat das öffentliche Interesse an einer Beurteilung der Behördenbeschwerde in vergleichbarer Weise aktuell und praktisch zu sein, wie es <ref-law> für das allgemeine Beschwerderecht voraussetzt (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 542; <ref-ruling> E. 1.3 S. 45; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 342; Urteile 2C_645/2018 vom 28. September 2018 E. 1.2; 2C_770/2017 vom 11. September 2018 E. 2; 2C_898/2017 vom 2. Februar 2018 E. 1; 2C_776/2016 vom 17. Juli 2017 E. 3.4; 2C_49/2009 vom 27. April 2009 E. 1).
1.2.3. Zur Beurteilung der Frage, ob ein ausreichendes Interesse an der Behandlung der Beschwerde besteht, sind die gestellten Rechtsbegehren von massgeblicher Bedeutung.
1.2.3.1. Das SEM verlangt in seiner Eingabe vom 5. Juli 2018 ausdrücklich nur die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils, obschon die Vorinstanz die Haftentlassung des Beschwerdegegners anordnete und der Zeitraum, für den das Migrationsamt die Haft beantragt hatte, bereits am 28. Juni 2018 endete. Vor dem Hintergrund des reformatorischen Charakters der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) - an den das SEM schon verschiedentlich erinnert wurde (vgl. etwa Urteile 2C_898/2017 vom 2. Februar 2018 E. 1; 2C_287/2017 vom 13. November 2017 E. 1 [nicht publ. in: <ref-ruling>]; 2C_982/2015 vom 20. Juli 2016 E. 1.1; 2C_669/2015 vom 30. März 2016 E. 1.2) - sind solche rein kassatorischen Anträge grundsätzlich unzulässig, soweit die beschwerdeführende Partei wie hier nicht bloss eine sie belastende Anordnung beseitigen will (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 489; Urteile 2C_994/2016 vom 9. März 2018 E. 1.2 [nicht publ. in: <ref-ruling>]; 2C_853/2C_934/2014 vom 29. September 2015 E. 1.3 [nicht publ. in: <ref-ruling>]). Die Rechtsmittelbegehren sind indes nach Treu und Glauben unter Beizug der Beschwerdebegründung auszulegen (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 317; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 414 f.; Urteil 2C_994/2016 vom 9. März 2018 E. 1.2 [nicht publ. in: <ref-ruling>]). Unter diesem Gesichtswinkel kann der Beschwerdeantrag des SEM gerade noch so verstanden werden, dass es die Ausschaffungshaft für die Dauer von einem Monat bestätigt haben will, wobei für den Fall der Gutheissung der Beschwerde die bereits ausgestandene Haft in Ermangelung eines ausdrücklich weitergehenden Antrags des SEM freilich anzurechnen ist (vgl. zur Zulässigkeit neuer Begehren im Rahmen der Behördenbeschwerde <ref-ruling> E. 1.2 S. 362 f.; Urteil 1C_482/2017 vom 26. Februar 2018 E. 1.2).
1.2.3.2. Ein aktuelles und praktisches Interesse am Vollzug einer rechtskräftigen Wegweisung und den zu diesem Zweck anzuordnenden Zwangsmassnahmen besteht im bundesgerichtlichen Verfahren grundsätzlich auch nach der Entlassung einer betroffenen Person aus der Haft, sofern sie sich tatsächlich weiterhin in der Schweiz aufhält (vgl. Urteil 2C_898/2017 vom 2. Februar 2018 E. 1). Liegt das nicht auf der Hand, hat die beschwerdeführende Partei im Rahmen der allgemeinen Begründungspflicht (<ref-law>) ein entsprechendes Interesse an der Behandlung des Rechtsmittels aufzuzeigen (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 251; Urteil 2C_770/2017 vom 11. September 2018 E. 1; je mit Hinweisen). Im vorliegenden Fall geht das SEM davon aus, dass sich der Beschwerdegegner auch noch im Zeitpunkt der Beschwerdeerhebung in der Schweiz befunden hat. Der Beschwerdegegner bestätigt dies jedenfalls implizit, indem er in seiner Beschwerdeantwort an das Bundesgericht geltend macht, dass er sich bei seinen Eltern in Basel aufhalte und keine Gefahr bestehe, dass er untertaucht. Ein aktuelles und praktisches Interesse an der Behandlung der Beschwerde ist damit hinreichend dargetan (vgl. E. 1.2.2 hiervor). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>), grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f.; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Die Verletzung von Grundrechten untersucht das Bundesgericht in jedem Fall nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3 S. 415; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Eine Berichtigung der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen ist von Amtes wegen (<ref-law>) oder auf Rüge hin (<ref-law>) möglich. Von den tatsächlichen Grundlagen des vorinstanzlichen Urteils weicht das Bundesgericht jedoch nur ab, wenn diese offensichtlich unrichtig sind oder sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.). Rügt die beschwerdeführende Partei eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung, haben ihre Vorbringen den Anforderungen von <ref-law> zu genügen (<ref-ruling> E. 9.2.3.6 S. 96; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255).
3.
Die Vorinstanz erwog, dass der Beschwerdegegner diverse strafrechtliche Verurteilungen wegen nebenstrafrechtlicher Vergehen (Strassenverkehrsgesetz [SR 741.01], Betäubungsmittelgesetz [SR 812.121]) aufweise, selber keinen Ausreisewillen bekundet habe und am 14. Februar 2017 bereits einmal weggewiesen worden sei. Diese Umstände würden für das Vorliegen von Untertauchensgefahr sprechen. Des Weiteren hat die Vorinstanz festgestellt, dass er seit seiner Kindheit in Basel lebt, Mundart spricht und in tieferen Ligen auch Fussball spielt. Zudem leben seine besten Freunde in Basel und pflegt er seit sechs Jahren mit einer Schweizerin eine Beziehung, wobei eine Heirat angedacht sein soll. Am Verwaltungsgericht ist ausserdem ein Verfahren hängig, an dessen positivem Ausgang er nach den Ausführungen im angefochtenen Entscheid ein Interesse haben soll. In diesem Rahmen pflege der Beschwerdegegner durchaus Kontakt mit dem Migrationsamt. Er sei weiter anwaltlich vertreten. Ob der Haftgrund der Untertauchensgefahr tatsächlich gegeben sei, könne derzeit offen gelassen werden; insgesamt erweise sich die Haftanordnung ohnehin als unverhältnismässig.
3.1. Das SEM stellt in seiner Beschwerde auf verschiedene Sachverhaltselemente ab, die im vorinstanzlichen Urteil keine Stütze finden. Das betrifft etwa das Verhalten des Beschwerdegegners bei polizeilichen Kontrollen (Beschwerde Ziff. 3), Einzelheiten seiner strafrechtlichen Vergehen (Beschwerde Ziff. 4) oder seine finanzielle Situation (Beschwerde Ziff. 5). Diesbezüglich legt das SEM aber weder dar, auf welche Beweisstücke es seine Darstellung stützt, noch führt es aus, inwieweit die Vorinstanz offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellungen getroffen haben soll, die im Hinblick auf den Ausgang des Verfahrens rechtserheblich sein könnten. Seine Ausführungen entsprechen den Anforderungen an Sachverhaltsrügen (vgl. E. 2.2 hiervor) nicht. Abzustellen ist auf das vorinstanzliche Beweisergebnis.
3.2. Gestützt auf den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt erweist sich die Abweisung des Haftantrags als mit Bundesrecht vereinbar:
3.2.1. Selbst wenn ein Haftgrund im Sinne von Art. 76 AuG gegeben ist, muss die Anordnung von Ausschaffungshaft in jedem Fall verhältnismässig sein (vgl. Art. 5 Abs. 2 und Art. 36 Abs. 3 BV; Art. 80 Abs. 2, Abs. 4 und Abs. 6 AuG; <ref-ruling> E. 4.1 S. 150 f.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 380 f.). Zur Verhältnismässigkeit zählt die Erforderlichkeit der angeordneten Massnahme. Demnach ist das in sachlicher, räumlicher, zeitlicher und personeller Hinsicht mildeste Mittel zu ergreifen, mit dem der gesetzliche Zweck gerade noch erreicht werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 9.1 S. 69; <ref-ruling> E. 9.2.2 S. 24; Urteil 2C_466/2018 vom 21. Juni 2018 e. 5.1, je mit Hinweisen).
3.2.2. Die Ausschaffungshaft dient der Sicherstellung des Wegweisungsvollzugs (Art. 76 Abs. 1 AuG; <ref-ruling> E. 2.1 S. 76). Als milderes Mittel zur Ausschaffungshaft sieht Art. 64e AuG namentlich vor, dass die zuständige Person die ausländische Person nach der Eröffnung der Wegweisungsverfügung verpflichten kann, sich regelmässig bei einer Behörde zu melden, Sicherheiten zu leisten oder ihre Reisepapiere zu hinterlegen. Denkbar ist auch eine Eingrenzung auf ein bestimmtes Gebiet, falls ein rechtskräftiger Wegweisungsentscheid vorliegt und eine Person die ihr angesetzte Ausreisefrist nicht eingehalten hat (Art. 74 Abs. 1 lit. b AuG).
3.2.3. Für die Vorinstanz fällt bei der Beurteilung der Verhältnismässigkeit der Haftanordnung im konkreten Einzelfall entscheidend ins Gewicht, dass der Beschwerdegegner in Basel aufgewachsen ist, sich dort bei seinen Eltern und seinem Bruder aufhält sowie über ein festes Beziehungsnetz verfügt und insoweit als integriert gelten kann. Daraus hat das Verwaltungsgericht gefolgert, dass der Beschwerdegegner für die Migrationsbehörden "greifbar" ist. Es hat weiter erwogen, dass sich der Beschwerdegegner gegen das Erlöschen seiner Aufenthaltsbewilligung ordnungsgemäss und vertreten durch einen Rechtsanwalt auf dem vorgesehenen Weg zur Wehr setzt und auch Kontakte zum Migrationsamt pflegt. Im bundesgerichtlichen Verfahren blieb weiter unwidersprochen, dass er dem Migrationsamt eine funktionierende Telefonnummer bekannt gegeben hat und sich monatlich meldet.
3.2.4. In Anbetracht dieser Umstände erweist sich die vorinstanzliche Einschätzung als bundesrechtskonform, wonach die Ausschaffungshaft im konkreten Fall nicht die mildeste Massnahme darstellt, um den - gegebenenfalls zwangsweisen - Vollzug der Wegweisung sicherzustellen. Dabei gilt es auch zu berücksichtigen, dass neben der bisherigen Weigerung des Beschwerdegegners, freiwillig innert der angesetzten Frist auszureisen, kaum belastbare Anhaltspunkte namhaft gemacht werden, die mildere Mittel als ungeeignet erscheinen liessen. Namentlich ist weder festgestellt noch wird geltend gemacht, dass die strafrechtlichen Vergehen des Beschwerdegegners von einer Schwere oder mit Freiheitsstrafen von einer Dauer verbunden wären, die ein Untertauchen des Beschwerdeführers angesichts seiner übrigen Lebenssituation sehr wahrscheinlich machen. Die Weigerung, freiwillig auszureisen und die gesetzte Ausreisefristen einzuhalten, hat aber unter dem Blickwinkel von Art. 76 und Art. 80 AuG für sich noch nicht zwingend zur Folge, dass die Ausschaffungshaft in jedem Fall verhältnismässig ist.
3.2.5. Aufgrund der vorstehenden Erwägungen erweist sich die beantragte Ausschaffungshaft als unzulässig. Das ändert nichts daran, dass der Beschwerdeführer zur Ausreise verpflichtet ist, soweit ein rechtskräftiger und vollstreckbarer Wegweisungsentscheid gegen ihn vorliegt. Zudem wäre die Zulässigkeit einer Haftanordnung gegebenenfalls in anderem Licht zu beurteilen, wenn sich mildere Massnahmen wie Meldepflicht (Art. 64e lit. a AuG) oder Eingrenzung (Art. 74 Abs. 1 lit. b AuG) entgegen der Einschätzung der Vorinstanz nicht als geeignet erweisen würden, um den Wegweisungsvollzug sicherzustellen.
4.
Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde abzuweisen. Gerichtskosten sind nicht zu erheben (<ref-law>). Das SEM hat dem Beschwerdegegner eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Das SEM hat dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Einzelrichter für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. November 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Fellmann