Sachverhalt:
A.
Mit Eingabe vom 19. Juli 2021 machte die B._ (Klägerin) eine Klage betreffend UWG / Persönlichkeitsschutz gegen die A._ Sàrl (Beklagte; Beschwerdeführerin) am Handelsgericht des Kantons Zürich anhängig. Mit Eingabe vom 28. September 2021 ersuchte die Beklagte um Sistierung des Verfahrens. Mit Verfügung vom 5. Oktober 2021 wies Oberrichterin Claudia Bühler, Vizepräsidentin des Handelsgerichts, den Sistierungsantrag ab.
In der Folge stellte die Beklagte ein Ausstandsbegehren gegen Oberrichterin Claudia Bühler. Die Beklagte richtete sodann ein Schreiben an den Präsidenten des Handelsgerichts, Oberrichter Roland Schmid, und ersuchte darin um Mitteilung der zuständigen Behörde zur Einleitung strafrechtlicher Ermittlungen gegen Oberrichterin Claudia Bühler.
Mit Beschluss vom 20. Oktober 2021 wies das Handelsgericht das Ausstandsbegehren der Beklagten gegen Oberrichterin Claudia Bühler ab, trat auf das sinngemäss gestellte Ausstandsbegehren gegen Oberrichter Roland Schmid nicht ein, wies die übrigen von der Beklagten gestellten prozessualen Anträge ab und setzte der Beklagten Frist zur Einreichung der Klageantwort an.
B.
Dagegen erhob die Beschwerdeführerin Beschwerde an das Bundesgericht. Sie beantragte, der Beschluss des Handelsgerichts sei aufzuheben und der Ausstand von Oberrichterin Claudia Bühler sei auszusprechen, eventuell sei die Angelegenheit zur neuen Entscheidung an das Handelsgericht zurückzuweisen.
Auf das Einholen von Vernehmlassungen zur Beschwerde wurde verzichtet.

Erwägungen:
1.
Die Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Unter Vorbehalt einer rechtsgenüglichen Begründung (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>; vgl. Erwägung 2) ist daher auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1.).
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin rügt, dass die Vorinstanz ihre Argumente, die sie in ihrem Ausstandsgesuch dargelegt habe, "vollständig ignoriert" habe. Die Vorinstanz habe den Sachverhalt willkürlich festgestellt, wenn sie ausführe, dass die Beschwerdeführerin ihr Ausstandsbegehren im Wesentlichen mit der Parteimitgliedschaft von Oberrichterin Claudia Bühler begründet habe. Die Beschwerdeführerin habe zwar vorab den politischen Hintergrund der Angelegenheit erläutert, habe aber anschliessend deutlich gemacht, dass die Sistierungsverfügung übereilt und einseitig zugunsten der Gegenpartei getroffen worden sei. Dies deute auf Verbindungen oder gar Absprachen zwischen der betroffenen Oberrichterin und der Gegenpartei hin. Die Gesamtheit der Umstände belege die Befangenheit der Oberrichterin.
Diese Rüge geht fehl: Die Vorinstanz hat die Vorbringen der Beschwerdeführerin im Ausstandsgesuch nicht ignoriert, sondern im Gegenteil ausdrücklich in Erwägung 2.1 S. 3 des angefochtenen Entscheids unter Zitierung der einzelnen Randziffern des Ausstandsgesuchs zusammengefasst. Insbesondere gab sie wieder, dass die Beschwerdeführerin der Auffassung sei, dass die Abweisung des vorgängigen Sistierungsgesuchs durch Oberrichterin Claudia Bühler übereilt und einseitig erfolgt sei, die Oberrichterin nicht auf die vorgebrachten Argumente eingegangen sei, die Richterin Mitglied der SVP sei und über ein persönliches Interesse am Verfahren verfüge.
Welche weiteren, entscheidwesentlichen Elemente die Beschwerdeführerin im Ausstandsgesuch vorgebracht hätte, zeigt sie vor Bundesgericht rechtsgenüglich nicht auf (Erwägung 2.2), indem sie lediglich pauschal behauptet, dass die Vorinstanz alle ihre vorgebrachten Argumente ignoriert habe, ohne aber hinreichend konkret darzutun, welche Punkte von der Vorinstanz übergangen worden wären. Eine offensichtlich unrichtige oder unvollständige Feststellung des Sachverhalts wird nicht aufgezeigt.
3.2. Die Beschwerdeführerin moniert, die Vorinstanz habe auch im Zusammenhang mit dem Ausstandsgesuch gegen Oberrichter Roland Schmid den Sachverhalt unrichtig festgestellt. Sie habe ihr Ausstandsgesuch nur gegen Oberrichterin Claudia Bühler gestellt, nie aber den Ausstand von Oberrichter Roland Schmid verlangt.
Auch diese Rüge ist unbehelflich. Die Vorinstanz stellte nicht fest, dass die Beschwerdeführerin ein ausdrückliches Ausstandsgesuch gegen Oberrichter Roland Schmid gestellt hätte. Vielmehr erwog sie bloss, dass die Beschwerdeführerin die Parteizugehörigkeit auch hinsichtlich Oberrichter Roland Schmid bemängle, weshalb sich das Ausstandsgesuch sinngemäss auch gegen ihn richte. Auch hier wurde der Sachverhalt nicht offensichtlich unrichtig festgestellt.
3.3. Es ist daher vom Sachverhalt auszugehen, welchen die Vorinstanz festgestellt hat. Entsprechend ist den auf die eigene Sachverhaltsdarstellung abgestützten Rechtsrügen der Beschwerdeführerin der Boden entzogen.
4.
Die Vorinstanz kam zum Schluss, das mit der Parteizugehörigkeit der betroffenen Oberrichterin begründete Ausstandsgesuch sei verspätet gestellt worden, da die Beschwerdeführerin das Gesuch nicht umgehend nach Kenntnis des Verdachtsmoments eingereicht habe, sondern bis zum Erlass einer für sie ungünstigen prozessleitenden Verfügung zugewartet habe.
Damit setzt sich die Beschwerdeführerin nicht hinreichend auseinander und zeigt nicht nachvollziehbar auf (Erwägung 2.1), inwiefern die Vorinstanz hier Bundesrecht verletzt haben soll. Ebensowenig ist hinreichend dargetan noch ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz diesbezüglich gegen den Grundsatz von Treu und Glauben verstossen hätte, wie dies die Beschwerdeführerin ohne weitere, nachvollziehbare Begründung behauptet.
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin ist der Ansicht, dass die Vorinstanz gegen <ref-law> verstossen habe, indem sie die betroffene Oberrichterin nicht aufgefordert habe, zum Ausstandsgesuch Stellung zu nehmen. Ebenso habe die Vorinstanz ihren Anspruch auf rechtliches Gehör nach <ref-law> und <ref-law> verletzt, indem es die Gegenpartei nicht zu einer Stellungnahme zum Ausstandsgesuch aufgefordert habe. Dies könnte auf eine Sonderbehandlung der Gegenpartei hindeuten, nachdem diese bereits beim früher gestellten Sistierungsantrag nicht zur Stellungnahme aufgefordert worden sei.
5.2. Nach <ref-law> nimmt die Gerichtsperson zum Ausstandsgesuch Stellung, das sich gegen sie richtet. Ob neben der betroffenen Gerichtsperson auch die Gegenpartei in jedem Ausstandsverfahren zwingend anzuhören wäre, braucht hier nicht vertieft zu werden (vgl. Urteil 5A_201/2018 vom 19. Juni 2018 E. 2.2; Regina Kiener, Kurzkommentar Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2021, N. 2 zu <ref-law>; Adrian Staehelin / Eva Bachofner, in: Staehelin/Staehelin/Grolimund, Zivilprozessrecht, 3. Aufl. 2019 § 6 Rz. 28).
Von der Einholung von Stellungnahmen kann nämlich zumindest dann abgesehen werden, wenn das urteilende Gericht das Ausstandsbegehren als rechtsmissbräuchlich oder offensichtlich unbegründet einstuft. Das hat das Bundesgericht bereits für die Stellungnahme der betroffenen Gerichtsperson klargestellt (Urteile 4A_155/2021 vom 30. September 2021 E. 5.4, zur Publ. bestimmt; 5A_308/2020 vom 20. Mai 2020 E. 2; 5A_461/2016 vom 3. November 2016 E. 5.1; 5A_309/2016 vom 4. Oktober 2016 E. 6.1; im Ergebnis bereits Urteil 5A_600/2012 vom 16. November 2012 E. 2.2 und 2.3). Das Gleiche gilt auch für die Stellungnahme der Gegenpartei.
5.3.
5.3.1. Die Vorinstanz legte dar, dass das Ausstandsgesuch bezüglich der Parteizugehörigkeit der Richterin verspätet sei, dass der Vorwurf, zwischen der Oberrichterin und der B._ bestünden Absprachen, haltlos sei und jeglicher Grundlage entbehre, und dass auch nicht ersichtlich sei, inwiefern sich aus der materiellen Beurteilung des Sistierungsantrages eine Befangenheit ergeben sollte. Das Gesuch sei offensichtlich unbegründet und geradezu rechtsmissbräuchlich.
5.3.2. Vor Bundesgericht wäre es an der Beschwerdeführerin, rechtsgenüglich aufzuzeigen, dass ihr Ausstandsgesuch entgegen der Auffassung der Vorinstanz nicht offensichtlich unbegründet gewesen ist. Diesen Anforderungen kommt die Beschwerdeführerin nicht rechtsgenüglich nach (Erwägung 2.1), indem sie pauschal behauptet, ihr Gesuch sei nicht unbegründet, und sich dafür hauptsächlich auf die eigene Sachverhaltsdarstellung stützt, ohne sich aber mit den Erwägungen der Vorinstanz hinreichend auseinander zu setzen, geschweige denn aufzuzeigen, inwiefern die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hätte, als sie das Gesuch als offensichtlich unbegründet qualifizierte.
Unabhängig davon ist auch nicht ersichtlich, dass in casu ein Anschein der Befangenheit bestehen würde. Das gilt insbesondere auch dann, wenn die Beschwerdeführerin einen Ausstandsgrund aus der nach ihrem Empfinden "übereilten Abweisung" ihres vorgängigen Sistierungsgesuchs ableiten möchte. Wie schon die Vorinstanz zutreffend erwog, ist nicht ersichtlich, inwiefern sich aus der materiellen Beurteilung des Sistierungsgesuchs eine Befangenheit der betroffenen Oberrichterin ergeben sollte, vermögen doch im Allgemeinen weder prozessuale Fehler noch falsche materielle Entscheide den Verdacht der Befangenheit zu begründen. Anders verhält es sich nur, wenn besonders krasse oder wiederholte Irrtümer vorliegen, die als schwere Verletzung der Richterpflichten beurteilt werden müssen (dazu: <ref-ruling> E. 3a; Urteil 4A_320/2020 vom 14. September 2020 E. 3.2). Dass eine solche Ausnahmesituation vorliegen würde, macht die Beschwerdeführerin zu Recht nicht geltend.
Entsprechend ist mit der Vorinstanz von einem offensichtlich unbegründeten Ausstandsgesuch der Beschwerdeführerin auszugehen. Unter diesen Umständen konnte die Vorinstanz vom Einholen der Stellungnahmen der abgelehnten Richter und der Gegenpartei absehen. Es liegt damit entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin auch keine Sonderbehandlung der Prozessgegnerin der Beschwerdeführerin vor, sondern der Verzicht auf die Einholung der Stellungnahmen zum Ausstandsgesuch ist eine Folge davon, dass die Beschwerdeführerin ein offensichtlich unbegründetes Gesuch einreichte.
Ob die Beschwerdeführerin schliesslich überhaupt ein Rechtsschutzinteresse hätte, die Nichteinholung der Stellungnahme der Gegenpartei im Rechtsmittelverfahren zu beanstanden, braucht bei dieser Sachlage nicht beurteilt zu werden.
6.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Die B._ hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da ihr aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein entschädigungspflichtiger Aufwand erwachsen ist (<ref-law>). Den Beschwerdegegnern ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der B._ und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Februar 2022
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger