Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1957 geborene A._ war Bäckereiangestellte bei der Firma B._. Am 30. Oktober 2008 meldete sie sich bei der IV-Stelle Luzern zum Leistungsbezug an. Am 22. April 2009 wurde sie an der rechten Schulter, am 23. November 2010 an der Halswirbelsäule (HWS) und am 5. Januar 2012 an der Lendenwirbelsäule (LWS) operiert. Die IV-Stelle holte u.a ein polydisziplinäres Gutachten der Medas Ostschweiz, St. Gallen, vom 11. Oktober 2012 mit Ergänzung vom 19. November 2012 ein und veranlasste eine Haushaltsabklärung vom 5. Februar 2013. Mit Verfügung vom 2. Juli 2013 sprach sie A._ vom 1. November 2010 bis 31. Mai 2011 und vom 1. April 2012 bis 31. Mai 2012 eine ganze Invalidenrente zu. Auf die dagegen eingereichte Beschwerde trat das Kantonsgericht Luzern mit Entscheid vom 4. September 2013 nicht ein, was unangefochten blieb.
A.b. Am 6. Dezember 2013 machte A._ eine Verschlechterung ihres Gesundheitszustandes geltend. Am 7. Januar 2014 wurde sie erneut an der HWS und am 8. September 2014 an der LWS operiert. Die IV-Stelle veranlasste u.a. Haushaltsabklärungen vom 4. August 2016 und 14. August 2018. Am 2. Juli 2018 wurde A._ am Rücken ein Neurostimulator implantiert. Die IV-Stelle holte ein polydisziplinäres Gutachten des Zentrums für Medizinische Begutachtung (ZMB), Basel, vom 4. März 2019 ein. Mit Verfügung vom 3. Dezember 2019 sprach sie A._ ab 1. Januar 2018 eine Viertelsrente zu.
B.
Das Kantonsgericht Luzern hiess die Beschwerde der A._ gut und sprach ihr ab 1. Juni 2014 eine ganze Invalidenrente zu (Entscheid vom 22. September 2020).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle die Aufhebung des kantonalen Entscheides. Der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
A._ schliesst auf Beschwerdeabweisung. Die Vorinstanz und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung, wobei Erstere die Abweisung der Beschwerde verlangt.
Mit Verfügung vom 27. Januar 2021 hat das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG). Rechtsfrage ist, ob die rechtserheblichen Tatsachen vollständig festgestellt und ob der Untersuchungsgrundsatz bzw. die Beweiswürdigungsregeln nach <ref-law> beachtet wurden. Gleiches gilt für die Frage, ob die Anforderungen an den Beweiswert von Arztberichten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232) sowie von Abklärungsberichten an Ort und Stelle (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 547) erfüllt wurden. Bei den aufgrund dieser Berichte getroffenen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit bzw. Leistungsfähigkeit im Haushalt und bei der konkreten Beweiswürdigung geht es grundsätzlich um Sachverhaltsfragen (nicht publ. E. 1 des Urteils <ref-ruling>).
2.
2.1. Streitig ist, ob die vorinstanzliche Zusprache einer ganzen Invalidenrente ab 1. Juni 2014 anstatt einer Viertelsrente ab 1. Januar 2018 bundesrechtskonform ist.
2.2. Die Vorinstanz hat die rechtlichen Grundlagen und die Rechtsprechung betreffend die Erwerbsunfähigkeit (<ref-law>), die Invalidität (<ref-law>; <ref-law>), die Voraussetzungen des Rentenanspruchs (<ref-law>), die bei der Neuanmeldung analog anwendbaren Revisionsregeln (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.3 in fine S. 588) und die Invaliditätsbemessung bei im Gesundheitsfall teilweise Erwerbstätigen nach der gemischten Methode (<ref-law>; <ref-ruling>, 143 I 50 E. 4.4 S. 60) zutreffend dargelegt. Richtig ist auch, dass die Invaliditätsbemessung nach dem neuen Berechnungsmodell gemäss Art. 27 bis Abs. 2-4 IVV erst ab dem Zeitpunkt des Inkrafttretens dieser Bestimmung am 1. Januar 2018 erfolgen kann (Urteil 8C_133/2019 vom 20. August 2019 E. 2). Gleiches gilt zum massgebenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 5.1 S. 56) und zum Beweiswert von Abklärungsberichten an Ort und Stelle sowie von Arztberichten (E. 1 hiervor). Darauf wird verwiesen.
2.3. Zu ergänzen ist, dass Anlass zur Rentenrevision nach <ref-law> jede wesentliche Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen seit Zusprechung der Rente gibt, die geeignet ist, den Invaliditätsgrad und damit den Anspruch zu beeinflussen. Insbesondere ist die Rente bei einer wesentlichen Änderung des Gesundheitszustandes revidierbar. Weiter sind, auch bei an sich gleich gebliebenem Gesundheitszustand, veränderte Auswirkungen auf den Erwerbs- oder Aufgabenbereich von Bedeutung (<ref-ruling> E. 3 S. 132). Hingegen ist die bloss unterschiedliche Beurteilung eines Wesentlichen gleich gebliebenen Sachverhalts revisionsrechtlich unbeachtlich. Liegt ein Revisionsgrund vor, ist der Rentenanspruch in rechtlicher und tatsächlicher Hinsicht umfassend ("allseitig") zu prüfen, wobei keine Bindung an frühere Beurteilungen besteht (<ref-ruling> E. 2.3 S. 10).
3.
3.1. Unbestritten ist die vorinstanzliche Feststellung, dass die Beschwerdegegnerin ohne gesundheitliche Beeinträchtigung unverändert zu 80 % erwerbstätig und zu 20 % im Haushalt tätig wäre.
3.2. Weiter erwog die Vorinstanz, die Beschwerdegegnerin sei gemäss dem Medas-Gutachten vom 11. Oktober 2012 ab 25. Februar 2011 in der zuletzt ausgeübten Tätigkeit zu 50 % und in einer leidensangepassten Tätigkeit zu 100 % arbeitsfähig gewesen. Das ZMB-Gutachten vom 4. März 2019 sei beweiswertig. Gestützt hierauf sei eine massgebliche gesundheitliche Verschlechterung ausgewiesen. Einerseits hätten die Gutachter im Verlauf - insbesondere auch im Vergleich zur Situation anlässlich der MEDAS-Begutachtung vom 11. Oktober 2012 - ab den Eingriffen im Jahr 2014 eine somatische Verschlechterung festgestellt. Deshalb seien sie aufgrund einer erheblichen Minderbelastbarkeit des gesamten Achsenorgans (lumbal und zervikal) sowie einer starken Bewegungseinschränkung der rechten (dominanten) Schulter ab Januar 2014 von einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit auch für angepasste Tätigkeiten ausgegangen. Dies sei nachvollziehbar und überzeugend. Zudem bestätige auch die psychiatrische Teilgutachterin eine deutliche Zunahme der Schmerzsymptomatik, wobei es bloss bezogen auf die Beschwerdelokalisation zu keiner Symptomausweitung gekommen sei. Psychischerseits sei aufgrund der schnellen Erschöpfbarkeit und der Schmerzen, die zu einer körperlichen Langsamkeit führten, auch eine Arbeitsfähigkeit in angepasster Tätigkeit kaum möglich. Da aber ohnehin von einem Revisionsgrund aufgrund der Verhältnisse im Aufgabenbereich auszugehen sei, erübrigten sich vertiefte Ausführungen hierzu. Den ZMB-Gutachtern hätten die Abklärungsberichte Haushalt vom 4. August 2016 und 14. August 2018 vorgelegen. Sie hätten festgehalten, die gemachten Angaben einer praktisch fehlenden Behinderung der Beschwerdegegnerin seien nicht nachvollziehbar. Auf welchen Bericht sie Bezug nähmen, sei unklar. Im Abklärungsbericht vom 4. August 2016 seien praktisch keine Einschränkungen festgestellt worden. Demgegenüber seien im Bericht vom 14. August 2018 in vier von sieben Bereichen eindeutige Einschränkungen festgehalten worden. Insofern stünden die Ausführungen der ZMB-Gutachter dem Beweiswert des letzten Abklärungsberichts nicht entgegen.
4.
Die IV-Stelle wendet ein, sie habe in der strittigen Verfügung vom 3. Dezember 2019 dargelegt, weshalb sie in medizinischer Hinsicht einen Revisionsgrund verneint habe. Dabei habe sie insbesondere die echtzeitlichen Dokumente ab 2014 und die Feststellungen im ZMB-Gutachten vom 4. März 2019 herangezogen. Die Vorinstanz habe sich mit der ausführlichen Begründung der IV-Stelle nicht auseinandergesetzt, sondern pauschal auf die abweichenden Ausführungen im ZMB-Gutachten abgestellt, ohne diese auf ihre Schlüssigkeit zu überprüfen. Damit habe sie die Untersuchungs- sowie die Beweiswürdigungs- und Begründungspflicht verletzt.
Aus den Erwägungen im angefochtenen Entscheid wird klar, dass die Vorinstanz das ZMB-Gutachten vom 4. März 2019 als schlüssig und nachvollziehbar begründet qualifizierte. Die Beschwerdeführerin konnte den Entscheid somit sachgerecht anfechten. Die Begründung der Vorinstanz kann daher unter verfassungsrechtlichen Gesichtspunkten als genügend erachtet werden, weshalb entgegen der Beschwerdeführerin keine Verletzung von <ref-law> vorliegt (vgl. <ref-ruling> E. 9.2 S. 65; Urteil 8C_466/2017 vom 9. November 2017 E. 4.2.3).
5.
5.1. Weiter bringt die IV-Stelle im Wesentlichen vor, die Kontrollen beim Operateur PD Dr. med. C._, FMH für Neurochirurgie, Klinik D._, nach der Operation vom 7. Januar 2014 hätten allesamt eine Verbesserung ausgewiesen (Wegfall der zuvor geklagten Brachialgien, der invalidisierenden Nackenschmerzen und der Horner-Symptomatik). Eine Verschlechterung im Vergleich zum Zustand vor 2014 könne den echtzeitlichen Akten nicht entnommen werden. Daher sei die Annahme einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit der Beschwerdegegnerin seit Januar 2014 unbegründet. Gleiches ergebe sich aus der im ZMB-Gutachten vom 4. März 2019 aufgeführten Krankheitsanamnese. Die Beschwerdegegnerin habe angegeben, bezüglich der Nackenschmerzen sei es ihr nach der Operation vom 7. Januar 2014 zwei bis drei Jahre besser gegangen, bis die Schmerzen wieder zugenommen hätten und unverändert geblieben seien. Auch im orthopädischen ZMB-Gutachten habe die Befragung ergeben, dass nach der Operation im Januar 2014 zunächst sechs Monate eine Verbesserung und erst danach eine Schmerzzunahme eingetreten sei. Nach der lumbalen Operation vom 7. September 2014 sei es der Beschwerdegegnerin laut ihren Angaben während sechs Monaten besser gegangen, dann hätten die Rückenschmerzen erneut im früheren Ausmass bestanden. Damit ergebe sich nach den Operationen im Jahr 2014 jeweils eine vorübergehende Schmerzverbesserung im Vergleich zur letzten materiellen Beurteilung. Eine Verschlechterung erscheine auch aufgrund der geringeren Schmerzmedikation nicht nachvollziehbar. Gemäss dem MEDAS-Gutachten vom 11. Oktober 2012 habe die Behandlung nämlich in einer Dauermedikation mit Ibuprofen 800 mg 3 x 1 bestanden, während sie gemäss dem ZMB-Gutachten vom 4. März 2019 nur noch ein- bis zweimal pro Woche mit Dafalgan 1 g nach Bedarf erfolgt sei. Auch hieraus könnten keine Verschlechterung und kein gestiegener Leidensdruck abgeleitet werden. Zusammenfassend habe die Vorinstanz mit dem Verzicht auf eine vertiefte Untersuchung, Beweiswürdigung und Begründung eines Revisionsgrundes ab Januar 2014 Bundesrecht verletzt. Die Veränderung im Aufgabenbereich Haushalt infolge Neuberechnung nach der gemischten Methode und Wohnungswechsel sei erst im Jahr 2018 eingetreten, weshalb diesbezüglich im Jahr 2014 kein Revisionsgrund habe vorliegen können. Die Vorinstanz sei aufgrund einer seit Januar 2014 angenommenen somatischen Verschlechterung davon ausgegangen, die im Abklärungsbericht Haushalt vom 14. August 2018 festgestellten Einschränkungen hätten seit Januar 2014 bestanden. Damit habe sie aber zu Unrecht den Haushaltabklärungsbericht vom 4. August 2016 nicht beachtet, worin nämlich eine fast unveränderte Einschränkung wie bei der Haushaltabklärung vom 5. Februar 2013 festgestellt worden sei. Dies spreche übereinstimmend mit den echtzeitlichen medizinischen Berichten und auch der späteren Krankheitsanamnese für einen unveränderten Sachverhalt im Jahre 2016.
5.2. Gemäss dem Bericht des PD Dr. med. C._ vom 29. November 2013 ergab das CT der HWS vom 28. November 2013 neu eine Pseudarthrose mit Lockerung der sechs Schrauben bzw. das Fehlen des ossären Durchbaus im Bereich der zwei implantierten Cages, zusätzlich aber auch deutlich dorsale Spondylosen in beiden Segmenten. Deswegen erfolgte die Operation vom 7. Januar 2014. Damit lag eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes der Beschwerdegegnerin bzw. ein Revisionsgrund vor (vgl. auch Urteil 8C_222/2010 vom 19. Juli 2010 E. 4.2.3). Folglich ist der Rentenanspruch ohne Bindung an frühere Beurteilungen allseitig zu prüfen (siehe E. 2.3 hiervor).
5.3.
5.3.1. Entgegen der IV-Stelle hat die Vorinstanz richtig dargelegt, dass bei der Beschwerdegegnerin aufgrund der echtzeitlichen Berichte nach den Operationen vom 7. Januar und 8. September 2014 eine vollumfängliche Arbeitsunfähigkeit bestanden habe. Dies ergebe sich aus den Berichten des PD Dr. med. C._ vom 31. März 2014 und 12. Januar sowie 13. Oktober 2015 und des Dr. med. E._, Facharzt FMH Rheumatologie, Klinik D._, vom 1. Mai 2014. Weiter führte die Vorinstanz zutreffend aus, dass gemäss dem ZMB-Gutachten vom 4. März 2019 mit der operativen Einsetzung eines Neurostimulators am 2. Juli 2018 eine gewisse Wirkung hinsichtlich der Schmerzsymptomatik erzielt worden sei. Bis zur strittigen Verfügung vom 3. Dezember 2019 sei jedoch keine massgebliche - die Arbeitsfähigkeit verbessernde - Veränderung nachgewiesen, zumal die ZMB-Gutachter aufgrund des bisherigen Verlaufs bloss eine vorsichtige Prognose abgegeben hätten. Gegen diese vorinstanzlichen Feststellungen bringt die IV-Stelle keine stichhaltigen Einwände vor.
5.3.2. Weiter haben die ZMB-Gutachter ihre Einschätzung einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit der Beschwerdegegnerin seit Januar 2014 in Kenntnis der von der IV-Stelle ins Feld geführten Krankheitsanamnese und Medikation abgegeben, wie diese selber einräumt (vgl. E. 5.1 hiervor). Auch diesbezüglich liegt somit kein Mangel vor, der die Beweiskraft des ZMB-Gutachtens schmälern würde.
5.4. Insgesamt vermögen die Vorbringen der IV-Stelle keine konkreten Indizien gegen die Zuverlässigkeit des ZMB-Gutachtens vom 4. März 2019 zu begründen (vgl. <ref-ruling> E. 4.4 S. 470). Zu beachten ist auch, dass Dr. med. F._, Facharzt für Innere Medizin FMH, Leitender Arzt und Teamleiter des Regionalen Ärztlichen Dienstes der IV-Stelle, ein Abstellen auf dieses Gutachten befürwortete (zur Aufgabe des RAD, die funktionelle Leistungsfähigkeit der versicherten Person zu beurteilen vgl. Art. 59 Abs. 2 und 2 bis IVG; <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 219, 135 V 254 E. 3.3.2 S. 257). Da von weiteren Abklärungen keine entscheidrelevanten Ergebnisse zu erwarten sind, durfte die Vorinstanz darauf verzichten (antizipierte Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 6.5 S. 368 f., 136 I 229 E. 5.3 S. 236).
6.
6.1. Die IV-Stelle wendet ein, die Vorinstanz habe es zu Unrecht unterlassen, zwecks Beurteilung der Arbeitsfähigkeit der Beschwerdegegnerin die Indikatorenprüfung nach <ref-ruling> durchzuführen.
6.2. Die Indikatorenprüfung ist praxisgemäss nur bei psychischen Gesundheitsschäden durchzuführen (vgl. <ref-ruling>).
Im ZMB-Gutachten vom 4. März 2019 wurde zwar unter anderem eine chronische Schmerzstörung mit somatischen und psychischen Faktoren mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit diagnostiziert. Im Rahmen der interdisziplinären Gesamtbeurteilung führten die ZMB-Gutachter indessen aus, unter Berücksichtigung der Summe der orthopädischen Einschränkungen, d.h. sowohl des Rückens im Bereich von HWS und BWS, wie insbesondere auch der rechten Schulter bei Rechtshändigkeit, könne die Beschwerdegegnerin keine Tätigkeit in der freien Marktwirtschaft mehr ausüben. Die aktuelle 100%ige Arbeitsunfähigkeit bestehe seit Januar 2014. Diese Arbeitsunfähigkeit werde rein somatisch begründet, wobei die Schmerzverarbeitungsstörung zusätzlich mitspiele. Eine bewusste Aggravation wurde verneint.
Da die ZMB-Gutachter die vollständige Arbeitsunfähigkeit mithin bereits rein physisch begründeten, kam der psychischen Problematik keine zusätzliche Bedeutung hinsichtlich der Arbeitsunfähigkeit zu. Unter diesen Umständen verzichtete die Vorinstanz zu Recht auf die Indikatorenprüfung nach <ref-ruling>.
6.3. Nach dem Gesagten erscheint es weder als offensichtlich unrichtig noch anderweitig als bundesrechtswidrig, wenn die Vorinstanz gestützt auf das ZMB-Gutachten vom 4. März 2019 ab Januar 2014 von einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit der Beschwerdegegnerin ausging.
7.
Die Vorinstanz hat richtig erkannt, dass aufgrund der vollständigen Arbeitsunfähigkeit der Beschwerdegegnerin im erwerblichen Bereich seit Januar 2014 ein gewichteter Invaliditätsgrad von 80 % resultiert (vgl. auch E. 3.1 hiervor). Dies ist denn auch unbestritten. Da bereits dies zum Anspruch auf eine ganze Invalidenrente führt (<ref-law>), braucht nicht geprüft zu werden, ob bzw. bejahendenfalls in welchem Ausmass Einschränkungen im Aufgabenbereich Haushalt zu einer Erhöhung des Invaliditätsgrades führen. Unbehelflich ist somit der Einwand der IV-Stelle, die Vorinstanz habe den Haushaltabklärungsbericht vom 4. August 2016 zu Unrecht nicht beachtet.
8.
Die unterliegende Beschwerdeführerin trägt die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. März 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Jancar