Sachverhalt:
A.
Mit Entscheid vom 24. März 2021 wies das Regionalgericht Bern-Mittelland A._ (Gesuchsteller, Beschwerdeführer) im Verfahren um Rechtsschutz in klaren Fällen aus der von ihm gemieteten 4.5-Zimmer-Wohnung an der U._strasse in V._ aus.
A._ erhob gegen den regionalgerichtlichen Entscheid vom 24. März 2021 beim Obergericht des Kantons Bern Berufung.
Die zuständige Instruktionsrichterin, Oberrichterin Grütter (Gesuchsgegnerin, Beschwerdegegnerin), forderte A._ mit Verfügung vom 3. Mai 2021 zur Bezahlung eines Kostenvorschusses auf; ausserdem erliess sie weitere verfahrensleitende Anordnungen.
Am 7. Mai 2021 stellte sie dem Gesuchsteller ein Doppel der Berufungsantwort zu und erliess wiederum verfahrensleitende Anordnungen. Am gleichen Tag reichte A._ ein Ablehnungsgesuch gegen Oberrichterin Grütter ein und ersuchte um Neuansetzung der laufenden Fristen im Berufungsverfahren.
Die Gesuchsgegnerin reichte am 11. Mai 2021 eine Stellungnahme zum Ablehnungsgesuch ein. Mit Eingabe vom 16. Mai 2021 reichte der Gesuchsteller dem Obergericht weitere Bemerkungen ein.
Das Obergericht beurteilte das Ausstandsgesuch unter Ausschluss der Gesuchsgegnerin. Mit Entscheid vom 21. Mai 2021 wies es das Ausstandsgesuch ab (Dispositiv-Ziffer 1). Die Gerichtskosten für das Ausstandsverfahren in der Höhe von Fr. 500.-- auferlegte es dem Gesuchsteller (Dispositiv-Ziffer 2).
B.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Gesuchsteller dem Bundesgericht, es sei der Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern vom 21. Mai 2021 aufzuheben, es sei die Gesuchsgegnerin in den Ausstand zu versetzen und die Sache zur Beurteilung in geänderter Zusammensetzung an die Vorinstanz zurückzuweisen (Antrags-Ziffer 1). Zudem seien die Gerichtskosten für das vorinstanzliche Verfahren in Abänderung von Dispositiv-Ziffer 2 dem Kanton Bern aufzuerlegen (Antrags-Ziffer 2).
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 2.1).
1.1. Die Beschwerde betrifft eine Zivilsache (<ref-law>) und richtet sich gegen einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid eines oberen kantonalen Gerichts (<ref-law>) über ein Ausstandsbegehren (<ref-law>). Der Beschwerdeführer ist mit seinen Anträgen unterlegen (<ref-law>), der Streitwert ist erreicht (<ref-law>) und die Beschwerdefrist (<ref-law>) ist eingehalten.
Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist somit unter Vorbehalt einer rechtsgenügenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>) einzutreten.
1.2. Der Beschwerdeführer formuliert hinsichtlich des vorinstanzlichen Kostenentscheids separate Rechtsbegehren (Antrags-Ziffer 2). Aus seiner Beschwerdebegründung, der sich keine Rügen der bundesrechtswidrigen Festsetzung der Verfahrenskosten entnehmen lassen, ergibt sich jedoch, dass er den vorinstanzlichen Kostenentscheid nicht gesondert, d.h. unabhängig von der Beurteilung des Ausstandsbegehrens, anfechten will.
1.3. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft aber unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der beschwerdeführenden Partei (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2, 115 E. 2). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Macht die beschwerdeführende Partei beispielsweise eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich; sie hat vielmehr im Einzelnen zu zeigen, inwiefern der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1, 167 E. 2.1; je mit Hinweisen). Stützt sich der angefochtene Entscheid auf mehrere selbständige Begründungen, so muss sich die Beschwerde mit jeder einzelnen auseinandersetzen, sonst wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.4 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.4).
Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im vorinstanzlichen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2, 115 E. 2). Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen und der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 1.2.3; <ref-ruling> E. 2).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (BGE <ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht; zudem muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1.5). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt ebenfalls das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (BGE <ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (BGE <ref-ruling> E. 1.3.1).
2.
Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe mit der Abweisung seines Ablehnungsbegehrens gegen die Beschwerdegegnerin Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletzt.
2.1. Nach <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch darauf, dass ihre Streitsache von einem unbefangenen, unvoreingenommenen und unparteiischen Richter beurteilt wird. Es soll garantiert werden, dass keine sachfremden Umstände, die ausserhalb des Prozesses liegen, in sachwidriger Weise zugunsten oder zulasten einer Partei auf das gerichtliche Urteil einwirken. <ref-law> soll zu der für einen korrekten und fairen Prozess erforderlichen Offenheit des Verfahrens im Einzelfall beitragen und damit ein gerechtes Urteil ermöglichen (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 4.3; <ref-ruling> E. 4.2.2).
Die Garantie des verfassungsmässigen Richters wird bereits verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Voreingenommenheit und Befangenheit in diesem Sinne werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn im Einzelfall anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände Gegebenheiten aufscheinen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Dabei ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit hervorrufen. Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 4.2.2; <ref-ruling> E. 4.1).
2.2. Die Vorinstanz erwog, der Beschwerdeführer vermöge mit seinen Vorbringen weder die Unabhängigkeit noch die Unparteilichkeit der Beschwerdegegnerin in Frage zu stellen. Soweit er aus dem Umstand, dass ihn die Beschwerdegegnerin in anderem Zusammenhang bei der Anwaltsaufsichtsbehörde gemeldet habe, eine Befangenheit ableiten wolle, könne ihm nicht gefolgt werden. Kantonale Gerichtsbehörden hätten nach Art. 32 Abs. 3 des Kantonalen Anwaltsgesetzes vom 28. März 2006 (KAG; BGS 168.11) in Verbindung mit Art. 15 des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte (Anwaltsgesetz, BGFA; SR 935.61) eine Meldepflicht bei der Aufsichtsbehörde in Bezug auf Vorfälle, welche die anwaltlichen Berufsregeln verletzen könnten. Bei Vorliegen entsprechender Hinweise habe die Beschwerdegegnerin folglich ihrer gesetzlichen Pflicht entsprechend gehandelt. Der urteilenden Kammer seien weder der Wortlaut der besagten Meldung noch der Ausgang des Verfahrens bekannt, sei die Anwaltsaufsichtsbehörde doch eine von der Zivilabteilung des Obergerichts organisatorisch unabhängige Behörde und hätten deren Mitglieder nach Art. 18 KAG Stillschweigen über dortige Verfahren zu wahren. Dass die Meldung jeder sachlichen Grundlage entbehrt hätte und dadurch gegebenenfalls auf eine Voreingenommenheit wegen persönlicher Abneigung schliessen liesse, lasse sich den Vorbringen des Beschwerdeführers nicht entnehmen. Im Gegenteil erhelle aus dem von ihm erwähnten und gerichtsnotorischen Entscheid ZK 18 17 vom 18. Februar 2018, dass er wiederholt und mit immer gleicher Begründung die jeweilige Besetzung der erst- und zweitinstanzlichen Gerichte im Kanton Bern abgelehnt habe, damit bis vor Bundesgericht unterlegen sei und dennoch keinen Abstand genommen habe von der Einreichung weiterer, nahezu identischer und aufgrund der Kenntnis des Ausgangs der vorherigen Verfahren aussichtsloser Ausstandsgesuche. Ein solches Vorgehen lasse die Vereinbarkeit mit den anwaltlichen Berufsregeln - insbesondere der Pflicht zur sorgfältigen und gewissenhaften Berufsausübung (<ref-law>) - fraglich erscheinen und begründe eine Meldepflicht. Das Vorgehen der Beschwerdegegnerin sei folglich gesetzeskonform und begründe in keiner Weise einen Mobbingverdacht oder den Anschein einer persönlichen Abneigung gegen den Beschwerdeführer.
Auch der Vorwurf, die Beschwerdegegnerin erscheine wegen der Kostenauflage an ihn persönlich im Verfahren ZK 18 17 bzw. wegen "unzähliger Gerichtskostenauflagen" als befangen, sei nicht nachvollziehbar. Ein möglicherweise falscher materieller Entscheid vermöge für sich allein nicht den Anschein der Voreingenommenheit zu begründen. Das Bundesgericht sei mit Urteil 5D_56/2018 vom 18. Juli 2018 auf die Rüge des Beschwerdeführers in Bezug auf die im Verfahren ZK 18 17 erfolgte Kostenauflage nicht eingetreten. Eine materielle Überprüfung der monierten Kostenauflage im dafür vorgesehenen Rechtsmittelverfahren habe daher nicht stattgefunden; das Bundesgericht habe im fraglichen Urteil die Prozessführung des Beschwerdeführers im Verfahren ZK 18 17 jedoch als nicht im Interesse seines Mandanten liegend, sondern als private Kampagne in Sachen Gerichtsbesetzung beurteilt und die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens mit gleicher Begründung ebenfalls dem Beschwerdeführer persönlich auferlegt. Inwiefern in der persönlichen Kostenauflage im Verfahren ZK 18 17 eine Unsachlichkeit, Rechtswidrigkeit oder gar eine schwere Verletzung der Richterpflicht zu erblicken wäre, sei im Lichte des bundesgerichtlichen Entscheids 5D_56/2018 nicht ersichtlich. Zudem sei der allgemeine Verweis auf weitere Entscheide, in denen die Beschwerdegegnerin dem Beschwerdeführer persönlich Kosten auferlegt habe, nicht genügend konkret und substanziiert, um ein Ausstandsgesuch zu begründen. Es könne nicht angehen, dass die urteilende Kammer die Entscheiddatenbank des Obergerichts auf einschlägige Urteile zu durchsuchen haben; vielmehr hätte es dem Beschwerdeführer oblegen, die entsprechenden Entscheide beizulegen oder wenigstens konkret zu nennen.
Der Beschwerdeführer irre darüber hinaus, soweit er in der Ergänzung des Organisationsreglements des Obergerichts vom 23. Dezember 2010 (OrR OG; BGS 162.11) um einen neuen Art. 27a seine Prozessführung in Sachen Fallzuteilung und Spruchkörperbildung am Obergericht als "rehabilitiert" sehe und das Vorgehen der Beschwerdegegnerin (nachträglich) als böswillig beurteile. Mit der am 1. September 2018 in Kraft getretenen Bestimmung habe das Obergericht lediglich seine Praxis der Fallzuteilung und Spruchkörperbildung auf Stufe Reglement festgehalten. Auch aus der vom Beschwerdeführer erwähnten Autorenschaft eines Buches und seiner Absicht, der Beschwerdegegnerin (sowie dem ehemaligen Oberrichter Hurni) ein Kapitel zu widmen, ergebe sich kein Ausstandsgrund. Zudem sei nicht ersichtlich, inwiefern der Verweis auf die Erwägungen des Entscheids ZK 21 39 einen Ausstandsgrund gegen die Beschwerdegegnerin zu begründen vermöge, zumal sie daran gar nicht mitgewirkt habe.
Ebenso wenig vermöge der Umstand, dass der Beschwerdeführer inzwischen wegen zahlreicher Verlustscheine - unter anderem zugunsten des Obergerichts - von der kantonalen Anwaltsaufsichtsbehörde aus dem Anwaltsregister des Kantons Bern entfernt worden sei, auf eine Befangenheit der Beschwerdegegnerin schliessen. Weder sei sie Mitglied der Anwaltsaufsichtsbehörde noch lasse die Folge der Ausstellung von Verlustscheinen die den Forderungen zugrundeliegenden Kostenauflagen (nachträglich) als unrichtig erscheinen. Soweit der Beschwerdeführer implizit den Vorwurf erheben wolle, die Kostenauflagen seien einzig mit dem Ziel der Löschung seiner Person aus dem Anwaltsregister erfolgt, handle es sich um reine Mutmassung infolge subjektiv empfundenen Unrechts. Objektive Anhaltspunkte für eine "Intrigenwirtschaft" seien weder dargetan noch ersichtlich. Zusammenfassend zeigten die vom Beschwerdeführer geschilderten Umstände weder eine böswillige Absicht noch eine manipulative Vorgehensweise oder eine Schädigungsabsicht der Beschwerdegegnerin gegen den Beschwerdeführer auf. Es lägen keinerlei objektiven Hinweise auf ein Unvermögen der Beschwerdegegnerin zur unvoreingenommenen und unparteilichen Prozessführung vor, weshalb sich das Ausstandsgesuch als unbegründet erweise.
2.3. Der Beschwerdeführer vermag mit seinen Vorbringen keine Verletzung der Garantie des verfassungsmässigen Richters aufzuzeigen. Er behauptet, die Beschwerdegegnerin biete "offenkundig keine Gewähr, die Rechtssache unabhängig und unparteiisch zu leiten" und wirft ihr eine "geradezu boshafte Einstellung" ihm gegenüber vor. Zudem ziele "das Gebaren des Obergerichts (weiterhin) darauf ab, den Beschwerdeführer durch absurde Begründungen und zynische Erwägungen zu verhöhnen". Dabei verweist er mitunter in unzulässiger Weise auf Rechtsschriften in anderen Verfahren (so etwa dem vor Bundesgericht hängigen Verfahren 2E_4/2019) sowie ein von ihm angekündigtes Buch zur Schweizer Justiz, aus denen sich "die ganzen Manipulationen" ebenfalls ergeben sollen. Mit diesen pauschalen Vorbringen verfehlt er die gesetzlichen Begründungsanforderungen (<ref-law>).
In seiner weiteren Beschwerdebegründung behauptet der Beschwerdeführer einmal mehr in allgemeiner Weise, von der Beschwerdegegnerin "offensichtlich zu Unrecht [mit Kostenauflagen] überzogen und als 'querulatorisch' gebrandmarkt worden [zu sein]" und wirft ihr " (politisch oder auf anderen Animositäten motivierte) Manöver" vor. Daraus leitet er ab, er habe von der Beschwerdegegnerin nichts Positives zu erwarten, sondern müsse davon ausgehen, dass diese "das bisherige an den Tag gelegte Werk fortführen [werde]", wobei sie ihn zu schädigen beabsichtige, wo immer sich auch nur eine Möglichkeit dafür finde. Abgesehen davon, dass er nicht auf die vorinstanzliche Erwägung eingeht, wonach die angeblichen Fehler im Verfahren ZK 18 17 im Rahmen des Rechtsmittelverfahrens vor Bundesgericht nicht erhärtet werden konnten und weitere Verfahrensmängel nicht hinreichend substanziiert worden waren, lassen sich seine Vorwürfe nicht auf die - für das Bundesgericht verbindlichen (<ref-law>) - Feststellungen im angefochtenen Entscheid stützen.
Auch hinsichtlich der erfolgten Meldung bei der kantonalen Aufsichtsbehörde geht der Beschwerdeführer nicht hinreichend auf die konkreten Erwägungen im angefochtenen Entscheid ein und zeigt nicht auf, inwiefern der Vorinstanz eine Verletzung von <ref-law> bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK vorzuwerfen wäre. Soweit er vor Bundesgericht einmal mehr vorträgt, die Ergänzung des Organisationsreglements des Obergerichts des Kantons Bern um einen neuen Art. 27a belege, dass seine Bedenken gegen die Spruchkörperbildung berechtigt gewesen seien, stossen seine Vorbringen zudem ins Leere. Wie die Vorinstanz zutreffend festgehalten hat, sind richterliche Verfahrensfehler und Fehlentscheide mit den dafür vorgesehenen Rechtsmitteln zu rügen; sie sind grundsätzlich nicht geeignet, zusätzlich den objektiven Anschein von Befangenheit zu erwecken (<ref-ruling> E. 3a; Urteile 4A_320/2020 vom 14. September 2020 E. 3.2; 5A_308/2020 vom 20. Mai 2020 E. 2). Ohnehin wäre entgegen der in der Beschwerde vertretenen Ansicht kein Verfahrensfehler auszumachen (zur Spruchkörperbildung etwa Urteil 4A_267/2021 vom 23. Juli 2021 E. 3 mit zahlreichen Hinweisen).
Der Vorwurf der Befangenheit der Beschwerdegegnerin erweist sich insgesamt als unbegründet. Der Vorinstanz ist keine Verletzung von <ref-law> bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK vorzuwerfen, indem sie das Ausstandsgesuch des Beschwerdeführers abwies.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin steht keine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 3BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juli 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Leemann