Sachverhalt:
A.
A._ (Kläger, Beschwerdeführer) arbeitete ab April 2002 bei der B._ Genossenschaft (Beklagte, Beschwerdegegnerin), zuletzt als Mitglied der Direktion und Leiter Grosskunden. Mit Schreiben vom 31. März 2016 kündigte die Beklagte das Arbeitsverhältnis mit dem Kläger fristlos. Anlass für diese fristlose Kündigung waren mehrere Vorfälle, bei welchen die Beklagte dem Kläger nicht offengelegte Eigeninteressen und die Mithilfe bei einem Steuerdelikt vorwarf.
B.
Mit Eingabe vom 28. Februar 2017 reichte der Kläger beim Zivilgericht Basel-Stadt Klage ein. Er beantragte, die Beklagte sei zu verpflichten, dem Kläger wegen ungerechtfertigter fristloser Kündigung eine Strafentschädigung in der Höhe von vier Bruttomonatslöhnen, mithin netto Fr. 80'446.65 zuzüglich Zins zu 5 % seit 1. April 2016 zu bezahlen. Die Beklagte sei unter Vorbehalt des Nachklagerechts zu verpflichten, dem Kläger wegen ungerechtfertigter fristloser Kündigung Ersatz für den hypothetischen Verdienst im Umfang von Fr. 127'475.25 nebst Zins zu 5 % seit 1. April 2016 zu bezahlen. Zudem sei die Beklagte zu verpflichten, ihm innert 10 Tagen ein Arbeitszeugnis mit dem im Rechtsbegehren spezifizierten Wortlaut auszustellen.
Mit Entscheid vom 27. Juni 2018 wies das Zivilgericht die Klage ab. Die dagegen vom Kläger erhobene Berufung wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 13. Juni 2019 ab.
C.
Gegen den Entscheid des Appellationsgerichts erhob der Beschwerdeführer Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Er beantragte die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids. Im Übrigen hält er an seinen erstinstanzlichen materiellen Anträgen fest.
Die Vorinstanz beantragte, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Beschwerdegegnerin begehrte, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Die Parteien replizierten und duplizierten.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
Die Beschwerde ist innert der Beschwerdefrist vollständig begründet einzureichen (vgl. <ref-law>). Vor Bundesgericht findet in der Regel nur ein Schriftenwechsel statt (<ref-law>). Kommt es zu einem zweiten Schriftenwechsel, darf die beschwerdeführende Partei die Replik nicht dazu verwenden, ihre Beschwerde zu ergänzen oder zu verbessern (<ref-ruling> E. 1.7; <ref-ruling> E. 3.3.4). Mit Rügen, welche die beschwerdeführende Partei bereits in der Beschwerde hätte erheben können, ist sie nach Ablauf der Beschwerdefrist ausgeschlossen (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.7; <ref-ruling> E. 3.3.4 mit Hinweisen). Die Replik ist nur zu Darlegungen zu verwenden, zu denen die Ausführungen in der Vernehmlassung eines anderen Verfahrensbeteiligten Anlass geben (vgl. <ref-ruling> E. 2.2). Soweit der Beschwerdeführer in seiner Replik darüber hinausgeht, kann er nicht gehört werden.
1.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
1.3. Gemäss <ref-law> dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt, was in der Beschwerde näher darzulegen ist (<ref-ruling> E. 3). Tatsachen oder Beweismittel, die sich auf das vorinstanzliche Prozessthema beziehen, jedoch erst nach dem angefochtenen Entscheid eingetreten oder entstanden sind (sog. echte Noven), sind vor Bundesgericht unbeachtlich (<ref-ruling> E. 2.1 S. 344).
2.
2.1. Die Vorinstanz beurteilte zunächst, ob die Voraussetzungen für eine fristlose Auflösung des Arbeitsverhältnisses nach <ref-law> bei der Entlassung des Beschwerdeführers vorlagen. Sie prüfte dabei ausführlich, ob der Beschwerdeführer in drei Sachverhalten (Baukredite 2011/2012, Grundstückkauf 2009 und C._ GmbH) eine Treuepflichtverletzung begangen habe. Die Vorinstanz kam dabei zusammengefasst zum Schluss, dass der Beschwerdeführer in den genannten Sachverhalten seine Treuepflicht gemäss <ref-law> gegenüber der Beschwerdegegnerin "besonders schwer verletzt" habe, weshalb die Voraussetzungen für eine fristlose Auflösung des Arbeitsverhältnisses nach <ref-law> erfüllt seien.
2.2. Dagegen bringt der Beschwerdeführer vor, die Vorinstanz würdige den Sachverhalt unrichtig und sie sei nicht gewillt, das "Hauptproblem des Beschwerdeführers anzuerkennen". Er beruft sich einleitend auf den Inhalt des Kündigungsgesprächs vom 31. März 2016 und dessen Folgen sowie den Verkauf seiner eigenen Liegenschaft. Im Weiteren stützt er sich für den Sachverhalt der Baukredite 2011/2012 auf die von ihm geleisteten "Bautreuhandaufgaben", die Complianceaufgaben der Beschwerdegegnerin, die Abnahme der Zahlung durch die Compliance-Abteilung und auf "nicht eingereichte" GwG-Abklärungen. Für den Grundstückkauf 2009 stellt er auf die Situation nach der Finanzkrise 2007/2008 ab, auf die Pflichten der Compliance-Abteilung, die "Abnahme" der Aktennotiz durch "weitere Personen" und auf die Kommunikations- und Reportingwege in einem "grösseren Unternehmen". Für den Sachverhalt der C._ GmbH beruft er sich auf die Pflichten der Compliance-Abteilung, auf die "Good Governance" und "checks and balances", auf die Vorgänge bei der F Gruppe, die Funktion als unabhängiger Bautreuhänder, den Kaufvertrag D._, den Inhalt eines Handelsregisterauszuges und die Geläufigkeit des Nachnamens "A._".
Der Beschwerdeführer macht diesbezüglich geltend, er plädiere keinen "neuen Sachverhalt". Vielmehr stelle dies "bloss eine Erweiterung der bisherigen Beweisführung bei den Vorinstanzen dar". Das sei nicht nur zulässig, sondern sogar notwendig, wolle der Beschwerdeführer sich nicht den Vorwurf gefallen lassen müssen, "gebetsmühlenartig die gleichen Argumente vorzutragen und somit auch dem Bundesgericht gar keinen Ansatz für eine Neubeurteilung zu liefern".
Damit verkennt der Beschwerdeführer grundlegend, dass das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde legt, den die Vorinstanz festgestellt hat und es die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Erwägung 1.2). Inwiefern dies für die genannten tatsächlichen Elemente, die der Beschwerdeführer seiner Argumentation zugrunde legt, der Fall wäre, zeigt er nicht hinreichend auf. Vielmehr geht er frei über die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz hinaus, ohne eine rechtsgenügliche Sachverhaltsrüge zu erheben, und präsentiert dem Bundesgericht seine eigene Sicht der Dinge, teilweise sogar mit neuen Beweismitteln (Erwägung 1.3). Darauf kann nicht abgestellt werden.
Der Beschwerdeführer stützt sich sodann auf die Aussagen aus dem erstinstanzlichen Verhandlungsprotokoll und aus dem Schlichtungsgesuch sowie dessen Beilagen. Er geht auch hier über den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt hinaus und erhebt auch insoweit keine rechtsgenügliche Sachverhaltsrüge im oben genannten Sinn (Erwägung 1.2). Auch darauf kann nicht abgestellt werden.
Es bleibt damit beim vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt.
2.3. Inwiefern die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hätte, als sie gestützt auf den von ihr festgestellten Sachverhalt von einer mehrfachen schweren Treuepflichtverletzung ausging, zeigt der Beschwerdeführer nicht hinreichend auf (Erwägung 1.1). Insbesondere genügt es nicht, wenn er bloss pauschal die Vorinstanz kritisiert, deren Erwägungen als "wenig überzeugend" taxiert und Mutmassungen und Spekulationen über die internen Abläufe der Beschwerdegegnerin aufstellt, ohne rechtsgenüglich aufzuzeigen, inwiefern die Vorinstanz seine Rechte verletzt hätte. Das Gleiche gilt auch, wenn er unsubstanziiert eine Verletzung von "Treu und Glauben" oder von "Unternehmensregeln und - kodizes" rügt, die Beweiswürdigung der Vorinstanz als "unglaubwürdig" bezeichnet oder erklärt, dass sie ein Beweismittel "nicht richtig interpretiert" habe, ohne sich aber rechtsgenüglich mit den sorgfältigen und detaillierten Erwägungen der Vorinstanz auseinander zu setzen.
3.
3.1. Die Vorinstanz prüfte ausführlich, ob die fristlose Kündigung durch die Beschwerdegegnerin unverzüglich ausgesprochen worden war. Dafür ging sie insbesondere auf die Wissenszurechnung im Unternehmen ein und prüfte für die drei vorgenannten Sachverhalte einzeln, ob die Beschwerdegegnerin unverzüglich reagiert hatte. Sie kam dabei zum Ergebnis, dass die am 31. März 2016 ausgesprochene Kündigung aufgrund der gesamten Umständen des vorliegenden Falls als noch rechtzeitig zu betrachten sei.
3.2. Dagegen stellt sich der Beschwerdeführer auf den Standpunkt, die fristlose Kündigung sei "viel zu spät erfolgt". Er schildert auch hier den Sachverhalt aus seiner eigenen Sicht und stützt sich dafür auf die Folgen des "E._-Falls", die Gründe für die Abwesenheit am 29. und 30. März 2016 und den Tagesablauf vom 31. März 2016. Er geht diesbezüglich über den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt hinaus, ohne eine hinreichende Sachverhaltsrüge zu erheben (Erwägung 1.2). Darauf kann nicht abgestellt werden. Entsprechend hat auch die auf die eigene Sachdarstellung abgestützte Rechtsrüge keinen Erfolg.
3.3. Er kritisiert sodann im Zusammenhang mit der Verwirkung des Kündigungsrechts für den Sachverhalt des Grundstückkaufs 2009 die Erwägung 3.5.3 des Urteils des Zivilgerichts als "reichlich bizarr". Darauf ist nicht einzutreten, da es sich beim Urteil des Zivilgerichts nicht um einen letztinstanzlichen Entscheid handelt (<ref-law>). Mit der entsprechenden Erwägung 6.3 im Entscheid der Vorinstanz setzt er sich nicht auseinander, zumindest nicht hinreichend.
3.4. Im Weiteren behauptet der Beschwerdeführer bloss pauschal, dass die Erwägungen der Vorinstanz "haarsträubend realitätsfern" seien, die Beschwerdegegnerin Kenntnis von den Kündigungsgründen haben musste und dass die fristlose Kündigung zu spät erfolgt sei. Auch damit genügt er den Begründungsanforderungen nicht, denn er setzt sich nicht hinreichend mit den ausführlichen Erwägungen der Vorinstanz auseinander (Erwägung 1.1).
3.5. Der Beschwerdeführer schildert schliesslich, dass der Verwaltungsrat der Beschwerdegegnerin schon vor dem 22. März 2016 habe davon ausgehen können, dass aufgrund des ausstehenden Berichts des Leiters Compliance und Gesamtbankrisiko eine wichtige Entscheidung gefällt werden müsse. Vor diesem Hintergrund hätte schon auf den 22. März 2016 die Sitzung einberufen und der Entscheid, den Beschwerdeführer zu entlassen, hätte schon am 22. März 2016 gefällt werden müssen.
Er spekuliert damit einzig über die Vorbereitung der Verwaltungsratssitzung der Beschwerdegegnerin. Gestützt auf welche Gründe der Verwaltungsrat eine wichtige Entscheidung hätte antizipieren und daher präventiv eine Sitzung einberufen sollen, ist im vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt aber nicht festgestellt und der Beschwerdeführer erhebt auch hier keine rechtsgenüglich Sachverhaltsrüge (Erwägung 1.2). Auch darauf ist nicht einzutreten.
4.
Auf die Beschwerde ist nach dem Gesagten mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Februar 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger