Erwägungen:
1.
1.1. A._ absolvierte am 9. März 2020 an der Kantonsschule C._ die Zentrale Aufnahmeprüfung der Zürcher Mittelschulen für das Langgymnasium. Am 20. März 2020 teilte die Prorektorin den Eltern mit, dass A._ an der Aufnahmeprüfung einen Notendurchschnitt von 4,16 erreicht habe und die Voraussetzungen für die Aufnahme ans Gymnasium nicht erfülle.
1.2. Am 20. April 2020 erhob A._ per E-Mail Rekurs an die Bildungsdirektion des Kantons Zürich, wobei die angehängte Vollmacht mit einer anerkannten elektronischen Signatur ihrer Mutter versehen war. Am 5. Mai 2020 trat die Bildungsdirektion auf den Rekurs nicht ein. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich am 21. Juli 2020 ab.
1.3. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bzw. Verfassungsbeschwerde vom 14. September 2020 wendet sich A._ an das Bundesgericht und beantragt, die Bildungsdirektion sei anzuweisen, auf ihren Rekurs einzutreten. Zudem sei von der Auferlegung von Verfahrenskosten abzusehen. Das Bundesgericht hat keine Instruktionsmassnahmen verfügt.
2.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzliches Urteil, mit dem ein Nichteintretensentscheid wegen Fristversäumnis bestätigt worden ist. In materieller Hinsicht geht es um eine Aufnahmeprüfung. Es kann offengelassen werden, ob deshalb der Ausschlussgrund von Art. 83 lit. t BGG anwendbar ist, weil sich das angefochtene Urteil auf kantonales Verfahrensrecht stützt, das vom Bundesgericht von vornherein nur auf Willkür und Vereinbarkeit mit anderen verfassungsmässigen Rechten überprüft werden kann (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 108). Die übrigen Beschwerdevoraussetzungen liegen vor (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1 und Art. 90 BGG).
3.
Unbestritten ist, dass die Rekursfrist am 20. April 2020 abgelaufen ist und die Beschwerdeführerin am Abend des 20. April 2020 Rekurs per E-Mail erhoben hat, wobei die angehängte Vollmacht mit einer anerkannten elektronischen Signatur ihrer Mutter versehen war. Ebenso ist unbestritten, dass sie ihre Rekurseingabe zudem am 21. April 2020 per Einschreiben versendet hat. Streitig ist, ob die Rekursfrist mit der elektronischen Eingabe bzw. der Tags darauf erfolgten schriftlichen Eingabe gewahrt worden ist.
4.
4.1. Das Verwaltungsgericht hat erwogen, zur Schriftform nach § 22 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes (des Kantons Zürich) vom 24. Mai 1959 (VRG/ZH; LS 175.2) gehöre gemäss Praxis die eigenhändige Unterschrift der rekurrierenden Partei bzw. ihres Vertreters. Die Unterschrift müsse im Original vorliegen, woran es bei einer Eingabe per Fax oder E-Mail fehle. Das VRG/ZH sehe für das Rekursverfahren die Möglichkeit nicht vor, die eigenhändige Unterschrift durch eine elektronische Signatur zu ersetzen (vgl. E. 3.1 des angefochtenen Urteils). Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin liege keine Gesetzeslücke, sondern ein qualifiziertes Schweigen des Gesetzgebers vor. Es sei nicht Sache des Verwaltungsgerichts, dem Gesetzgeber im Hinblick auf allfällige Revisionsbestrebungen vorzugreifen. Weiter sei auch eine "zeitgemässe Auslegung" wegen der "gegenwärtigen Covid-19 Pandemie" nicht angezeigt (vgl. E. 3.3 des angefochtenen Urteils). Schliesslich sei die Rekursinstanz auch nicht überspitzt formalistisch gewesen. Einerseits sei die Zeit zu knapp gewesen, um die Beschwerdeführerin zu einer Verbesserung der Rekurseingabe noch innerhalb der Rekursfrist aufzufordern, und andererseits sei ihr zu Recht keine Nachfrist zur Verbesserung angesetzt worden, weil die mangelhafte Eingabe nicht auf ein Versehen oder auf Unbeholfenheit zurückzuführen sei (vgl. E. 4 des angefochtenen Urteils).
4.2. Die Beschwerdeführerin bringt zusammengefasst vor, es liege kein qualifiziertes Schweigen des Gesetzgebers vor, sondern eine Gesetzeslücke. Bei deren Ausfüllung sei zu berücksichtigen, dass trotz des identischen Wortlauts von § 22 und § 53 VRG/ZH im Verfahren vor Verwaltungsgericht die elektronische Eingabe zugelassen werde. Weiter setze Art. 14 Abs. 2bis OR die elektronische Signatur der eigenhändigen Unterschrift gleich und liessen auch die verwaltungsrechtlichen Verfahrensgesetze des Bundes die Möglichkeit zu, die eigenhändige Unterschrift durch eine elektronische Signatur zu ersetzen (Art. 21a VwVG; Art. 42 Abs. 4 BGG). Vor dem Hintergrund der gegenwärtigen Covid-19-Pandemie und den dadurch reduzierten Dienstleistungen der Post müsse die Anwendung der elektronischen Eingabe gefördert werden. Sodann sei in gesetzessystematischer Hinsicht zu beachten, dass § 53 VRG/ZH ausdrücklich auf § 22 VRG/ZH verweise. Deshalb bestehe ein Zusammenhang zwischen § 22, § 53 und § 71 VRG/ZH, der seinerseits auf die Regelungen der ZPO und damit auf die elektronische Eingabe verweise. Auch die ratio legis von § 22 VRG/ZH - die Sicherheit über die Identität des Unterzeichners - werde durch die elektronische Signatur gewahrt. Weiter sei es überspitzt formalistisch, von einem Fristversäumnis auszugehen. Die elektronische Eingabe sei fristgerecht in den Machtbereich der Rekursinstanz gelangt. Deshalb wäre es geboten gewesen, der Beschwerdeführerin eine kurze Nachfrist anzusetzen, die mit der Tags darauf erfolgten Postaufgabe gewahrt worden wäre. Dabei sei zu berücksichtigen, dass selbst für einen Rechtsanwalt unklar sein könne, welche Behörde eine elektronische Eingabe zulasse. Schliesslich sei den einschlägigen Bestimmungen des VRG/ZH wegen willkürlicher und überspitzt formalistischer Rechtsetzung die Anwendung zu versagen.
4.3. In einem ersten Schritt ist zu prüfen, ob die Rekursfrist mit der elektronischen Eingabe gewahrt worden ist.
4.3.1. Das Bundesgericht hatte in <ref-ruling> einen fast identischen Fall zu beurteilen. Auch dort reichte der Betroffene am Abend des letzten Tages der Rechtsmittelfrist eine elektronisch signierte Eingabe ein. Das Bundesgericht erwog, dass für den elektronischen Verkehr im Rahmen von Gerichts- und Verwaltungsverfahren eine spezifische gesetzliche Grundlage notwendig sei. Solange eine solche fehle, komme auch Art. 14 Abs. 2bis OR nicht zum Zug, der die eigenhändige Unterschrift der qualifizierten elektronischen Signatur gleichstelle (E. 3.1). Beim Fehlen einer Rechtsgrundlage (wie im zu beurteilenden Fall) liege keine echte Gesetzeslücke vor, die von den rechtsanwendenden Behörden zu füllen wäre (E. 3.2). Das Erfordernis einer gesetzlichen Grundlage schliesse auch die Auslegung aus, dass erlaubt sei, was das Gesetz nicht ausdrücklich verbiete. Dem Betroffenen hätte es offengestanden, sich innerhalb der Rechtsmittelfrist in Papierform an die Rechtsmittelinstanz zu wenden, weshalb die Nichtbeachtung seiner elektronischen Eingabe weder überspitzt formalistisch noch willkürlich oder unverhältnismässig sei. Ebenso liege keine Verletzung des rechtlichen Gehörs oder eine rechtsungleiche Behandlung vor (E. 3.3).
4.3.2. Gemäss § 22 Abs. 1 Satz 1 VRG/ZH ist der Rekurs innert 30 Tagen bei der Rekursinstanz schriftlich einzureichen. Zur elektronischen Eingabe äussern sich unbestrittenermassen weder § 22 VRG/ZH noch die übrigen Bestimmungen über den Rekurs (§§ 19 ff. VRG/ZH; vgl. auch ALAIN GRIFFEL, in: Alain Griffel [Hrsg.], Kommentar zum VRG/ZH, 3. Aufl. 2014, § 22 N. 6). Wenn die Vorinstanz vor dem Hintergrund der vorher zitierten Rechtsprechung und unter Verweis auf die ständige kantonale Praxis für das Erfüllen der Schriftform eine eigenhändige Unterschrift im Original verlangt und in Bezug auf die Zulässigkeit von elektronischen Eingaben eine Gesetzeslücke verneint, ist sie nicht in Willkür verfallen. Dass allenfalls auch eine andere Auslegung des kantonalen Rechts denkbar gewesen wäre, ändert daran nichts. Denn Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft, während es nicht genügt, dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar als zutreffender erscheint (<ref-ruling> E. 2.2 S. 72; <ref-ruling> E. 2.1 S. 168).
Insoweit spielt es keine Rolle, dass die Basler Gerichte angeblich elektronische Eingaben trotz fehlender gesetzlicher Grundlage akzeptieren, wobei die Basler Praxis die Zürcher Behörden von vornherein nicht zu binden vermag. Bei dieser Sachlage gehen die Ausführungen in der Beschwerde zur Lückenfüllung bzw. Gesetzesauslegung an der Sache vorbei; darauf ist nicht näher einzugehen.
4.3.3. Unklar ist, was die Beschwerdeführerin daraus ableiten will, dass im Kanton Zürich elektronische Eingaben im Beschwerdeverfahren vor Verwaltungsgericht akzeptiert werden. Sie werden dort nicht wegen § 53 VRG/ZH - der denselben Wortlaut wie § 22 VRG/ZH besitzt -, sondern gestützt auf Art. 130 ZPO i.V.m. § 71 VRG/ZH zugelassen (vgl. ALAIN GRIFFEL, a.a.O., § 53 N. 4), wobei § 71 VRG/ZH wegen seiner systematischen Stellung im Gesetz nicht auf das Rekursverfahren anwendbar ist (vgl. KASPAR PLÜSS, in: Alain Griffel [Hrsg.], Kommentar zum VRG/ZH, 3. Aufl. 2014, § 71 N. 3). Dabei ist anzumerken, dass § 53 Satz 2 VRG/ZH entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin nur für die Beschwerdefrist auf § 22 VRG/ZH verweist, weshalb kein gesetzessystematischer Zusammenhang zwischen diesen Bestimmungen ersichtlich ist. Es steht dem Gesetzgeber frei, in verschiedenen Rechtsgebieten oder vor verschiedenen Rechtsmittelinstanzen abweichende formelle Anforderungen an eine Eingabe festzusetzen. Darin liegt weder Willkür noch eine andere Grundrechtsverletzung. Soweit die Beschwerdeführerin vorbringt, die Praxis des Verwaltungsgerichts widerspreche <ref-ruling>, beruft sie sich sinngemäss auf den Grundsatz der Gleichbehandlung im Unrecht. Dies scheitert indessen bereits daran, dass nicht dieselbe rechtsanwendende Behörde betroffen ist (<ref-ruling> E. 5.6 S. 78). Dass die Bildungsdirektion in anderen Rekursverfahren elektronische Eingaben akzeptiert hätte, bringt die Beschwerdeführerin nicht vor.
4.3.4. Zusammenfassend sind die Vorinstanzen willkürfrei davon ausgegangen, dass elektronische Eingaben im Rekursverfahren nicht zulässig sind und die E-Mail der Beschwerdeführerin die Rekursfrist deshalb nicht hat wahren können. Es hätte der Beschwerdeführerin freigestanden, ihre Rekurseingabe rechtzeitig schriftlich einzureichen, wobei ihre Ausführungen zum reduzierten Postangebot wegen der Covid-19-Pandemie von vornherein unbehelflich sind, weil es genügt hätte, die Eingabe z.B. mit Zeugenbestätigung vor Fristablauf in einen Briefkasten zu werfen.
4.4. Es bleibt zu prüfen, ob die Bildungsdirektion der Beschwerdeführerin eine Nachfrist zur Verbesserung hätte ansetzen müssen.
4.4.1. Das Bundesgericht hat in <ref-ruling> erwogen, dass bei einem per E-Mail erhobenen Rechtsmittel kein Anspruch auf eine Nachfristansetzung bestehe, weil keine unfreiwillige Unterlassung vorliege. Im Gegensatz zu einer schriftlichen Eingabe, bei der die Unterschrift vergessen werden könne, fehle sie bei einer Eingabe mittels E-Mail der Natur der Sache nach von vornherein (E. 4.5 f.). Indem das Verwaltungsgericht diese Rechtsprechung analog auf das kantonale Verfahrensrecht angewendet hat, kann ihm weder Willkür noch überspitzter Formalismus oder eine formelle Rechtsverweigerung vorgeworfen werden. Denn wie die Vorinstanz zutreffend erwogen hat, ist die fehlende Originalunterschrift im vorliegenden Fall nicht auf ein Versehen oder Unbeholfenheit zurückzuführen; die Rekurseingabe ist bewusst unmittelbar vor Fristablauf per E-Mail eingereicht worden, um die Frist zu wahren. Musste der Beschwerdeführerin damit keine Nachfrist zur Verbesserung angesetzt werden, spielt es keine Rolle, dass sie die Rekurseingabe am Tag nach Ablauf der Frist auch schriftlich eingereicht hat.
4.4.2. An dieser Beurteilung ändern auch die weiteren Vorbringen in der Beschwerde nichts. Unklar ist, was die Beschwerdeführerin daraus ableiten will, dass der Rekurs am letzten Tag der Frist um 22:54 Uhr und damit "mehr als eine ganze Stunde vor Mitternacht" per E-Mail eingereicht wurde. Wie die Vorinstanz zutreffend festgehalten hat, ging die Eingabe offensichtlich ausserhalb der Bürozeiten ein, weshalb es nicht möglich war, die Beschwerdeführerin zur Verbesserung innerhalb der Rekursfrist aufzufordern, wobei eine solche angesichts der verbleibenden Zeit auch kaum möglich gewesen wäre. Unbeachtlich ist weiter, ob die Beschwerdeführerin bzw. ihre Vertreterin rechtskundig war bzw. ob sie sich durch die fehlerhafte Eingabe einen prozessualen Vorteil verschafft hat. Auch der Umstand, dass eine Behörde eine Adresse für elektronische Zustellungen besitzt, begründet kein Vertrauen darauf, dass solche Zustellungen rechtsgültig möglich sind (<ref-ruling> E. 3.3 S. 192).
Soweit sich die Beschwerdeführerin auch in Bezug auf die Nachfristansetzung auf die Covid-19-Pandemie beruft, kann auf die vorherigen Ausführungen verwiesen werden, wonach es ihr ohne Weiteres möglich gewesen wäre, den Rekurs innert Frist schriftlich zu verfassen und in einen Briefkasten zu werfen (vgl. vorne E. 4.3.4).
4.4.3. Zusammenfassend kann der Bildungsdirektion offensichtlich keine Grundrechtsverletzung vorgeworfen werden, wenn sie der Beschwerdeführerin keine Nachfrist zur Einreichung einer schriftlichen Rekurseingabe angesetzt hat.
4.5. Das Nichteintreten der Bildungsdirektion verstösst weder gegen das Willkürverbot noch gegen andere verfassungsmässige Rechte. Bei dieser Sachlage liegt auch keine irgendwie geartete "unrechtmässige Rechtssetzung" vor. Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet und ist im vereinfachten Verfahren abzuweisen (Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG).
5.
Die Verfahrenskosten sind ausgangsgemäss der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Ihr Antrag, es sei von der Auferlegung von Verfahrenskosten abzusehen, wird nicht näher begründet und kann angesichts der anwaltlichen Vertretung auch nicht als (sinngemässes) Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege verstanden werden, wobei ein solches infolge Aussichtslosigkeit abgewiesen werden müsste (Art. 64 Abs. 1 BGG e contrario).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligen und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. November 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Businger