Faits :
A.
A.a. A._, née en 1973, a bénéficié de prestations de l'assurance-invalidité du 1er mai 1999 au 30 avril 2015 (droit à une demi-rente d'invalidité jusqu'au 30 avril 2000, puis à une rente entière; décisions de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud [ci-après: l'office AI] des 28 février 2003 et 24 mars 2015). Elle était atteinte d'un trouble schizo-affectif de type dépressif (en rémission au moment de l'examen), sur personnalité schizoïde et obsessionnelle, entraînant une limitation partielle de la capacité de travail (rapport d'expertise du docteur B._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, du 7 février 2001). Pendant cette période, l'assurée a travaillé pour le compte de la Fondation C._, d'abord en qualité d'éducatrice de l'enfance à 25 % dès le 1er août 2006, puis à 100 %, en tant que directrice du jardin d'enfants/jardinière d'enfants, à partir du 1er août 2014. A ce titre, elle a été assurée pour la prévoyance professionnelle auprès de CoOpera Sammelstiftung PUK (ci-après: CoOpera) dès le 1er août 2014.
A.b. Au mois de septembre 2015, A._ a présenté une nouvelle demande de prestations de l'assurance-invalidité. La Fondation C._ a adressé à CoOpera une demande d'exemption de cotisations en faveur de son employée en février 2016, en indiquant que celle-ci était en incapacité totale de travail depuis le 18 août 2015. Les rapports de travail ont pris fin avec effet au 30 juin 2016. Par courrier du 3 octobre 2016, CoOpera a informé l'assurée qu'en raison d'une violation de l'obligation de déclarer, elle résiliait le contrat pour les prestations non obligatoires en relation avec les problèmes de santé qui n'avaient pas été communiqués au début de l'assurance. Par décision du 9 novembre 2017, l'office AI a reconnu le droit de l'assurée à une rente entière d'invalidité à compter du 1er décembre 2017, en précisant qu'une décision relative à la période du 1er mars 2016 au 30 novembre 2017 lui parviendrait ultérieurement.
A.c. Le 26 février 2018, l'assurée s'est adressée à CoOpera en vue d'obtenir le versement des prestations d'invalidité obligatoires et surobligatoires. Celle-ci a nié toute obligation de prester (courrier du 16 avril 2018). En bref, elle a considéré que le cas d'assurance était survenu avant le début de l'affiliation de l'assurée auprès d'elle, et que l'intéressée avait par ailleurs commis une réticence en répondant par la négative à différentes questions concernant son état de santé au moment de sa demande d'affiliation.
B.
Statuant le 2 avril 2020 sur l'action ouverte le 15 novembre 2018 par A._ contre CoOpera, le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, l'a rejetée.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande principalement la réforme. Elle conclut en substance à la condamnation de CoOpera au paiement d'une demi-rente d'invalidité du 1er mars au 31 mai 2016, puis d'une rente complète à compter du 1er juin 2016, à hauteur de 1100 fr. au moins par mois, calculées en tenant compte des prestations obligatoires et surobligatoires, ainsi qu'à la libération de l'obligation de payer des cotisations jusqu'à ce qu'elle atteigne l'âge ordinaire de la retraite. Elle requiert également que soit pris acte du fait qu'elle offre de restituer la prestation de sortie versée par CoOpera à "la nouvelle institution de prévoyance". Subsidiairement, elle requiert l'annulation du jugement entrepris et le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle instruction et/ou décision dans le sens des considérants.
CoOpera conclut au rejet du recours, dans la mesure de sa recevabilité, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Le 14 septembre 2020, A._ a déposé des observations.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il statue par ailleurs sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Le recourant qui entend s'en écarter doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut pas être pris en considération.
2.
2.1. Le litige porte sur le droit de la recourante à une rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle dès le 1er mars 2016, ainsi qu'à la libération de l'obligation de cotiser. Compte tenu des conclusions et motifs du recours, il s'agit en particulier de déterminer si les premiers juges étaient en droit de considérer que l'assurée avait commis une réticence conduisant à la résiliation du contrat de prévoyance en ce qui concerne les prestations de la prévoyance plus étendue. Il y a lieu ensuite d'examiner si la juridiction cantonale a nié à juste titre toute interruption du lien de connexité temporelle entre les troubles en raison desquels la recourante a bénéficié de prestations de l'assurance-invalidité du 1er mai 1999 au 30 avril 2015 et l'incapacité durable de travail survenue dès le 18 août 2015.
2.2. Le jugement entrepris expose de manière complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs notamment au droit à des prestations d'invalidité (<ref-law>) et à la notion de survenance de l'incapacité de travail, en relation avec la double condition de la connexité matérielle et temporelle nécessaire pour fonder l'obligation de prester d'une institution de prévoyance (<ref-ruling> consid. 4.4 et 4.5 p. 62 s.; <ref-ruling> consid. 6.2 et 6.3 p. 419 s.; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 22 s. et consid. 5.3 p. 27 et les références). Il fait également état de la disposition réglementaire relative à la réticence et à ses conséquences (art. 4 du Règlement de prévoyance Caisse de prévoyance de la Fondation collective PUK, valable à partir du 1er janvier 2012 [ci-après: règlement]). Il suffit d'y renvoyer.
3.
La juridiction de première instance a d'abord examiné le point de savoir si CoOpera était en droit de résilier le contrat de prévoyance pour toutes les prestations non obligatoires, en raison d'une réticence. Au vu de la mention d'une pleine capacité de travail dans la demande d'affiliation à la prévoyance professionnelle du 16 juin 2015, et des réponses manifestement fausses ou incomplètes de la recourante figurant dans le questionnaire de santé qu'elle avait signé le 5 juillet 2015, elle a considéré que la caisse de pensions était en droit de résilier l'assurance surobligatoire et de limiter ses prestations à la prévoyance professionnelle obligatoire, ce qu'elle avait fait dans le délai utile après avoir eu connaissance de la réticence. Les premiers juges ont ensuite admis l'existence d'un lien de connexité matérielle et temporelle entre les troubles psychiques que présentait l'assurée avant le début de sa couverture d'assurance auprès de CoOpera et l'incapacité de travail ayant débuté dès le 18 août 2015, avec pour conséquence qu'ils ont nié que la caisse de pensions intimée fût tenue à prestations.
4.
4.1. Dans un premier grief, la recourante se prévaut d'une violation de l'<ref-law>, ainsi que d'une appréciation arbitraire des faits. Elle reproche en substance aux premiers juges d'avoir violé les principes jurisprudentiels relatifs à l'<ref-law>, pour admettre qu'elle avait commis une réticence au moment de son affiliation auprès de CoOpera justifiant une résiliation de l'assurance surobligatoire. En se référant au texte de l'<ref-law>, elle affirme qu'une réticence ne peut porter que sur les déclarations faites au moment de l'affiliation. Or dans la mesure où les déclarations qui justifieraient la prétendue réticence n'ont pas été faites au moment de l'affiliation, le 16 juin 2015, mais seulement plus tardivement, au moment où le questionnaire de santé qu'elle avait signé le 5 juillet 2015 était parvenu à l'intimée, le 28 juillet 2015, l'assurée soutient que lesdites déclarations ne peuvent pas être constitutives d'une réticence. A titre subsidiaire, la recourante fait valoir que même si l'on devait considérer que les indications figurant dans le questionnaire de santé ont été données au moment de l'affiliation, les premiers juges ne pouvaient pas, sauf à faire preuve d'arbitraire, considérer que celles-ci étaient inexactes, compte tenu notamment du caractère équivoque des questions posées.
4.2.
4.2.1. Contrairement à ce que soutient d'abord la recourante, les premiers juges n'ont pas violé l'<ref-law>, dès lors déjà qu'il n'ont pas appliqué cette disposition en l'espèce. Pour admettre que l'intéressée avait commis une réticence, ils se sont en effet fondés sur l'art. 4 du règlement selon lequel la caisse de pensions remet un questionnaire de santé aux personnes à assurer à titre surobligatoire et une déclaration de santé complète et véridique est la condition d'admission dans l'assurance; la disposition règlementaire précise par ailleurs que la caisse peut réduire les prestations au minimum légal en cas de violation de l'obligation de renseigner, en l'annonçant à la personne concernée dans les trois mois après en avoir eu connaissance. A cet égard, selon la jurisprudence, à laquelle la juridiction cantonale s'est dûment référée, dans le domaine de la prévoyance plus étendue, la réticence et ses conséquences doivent en effet être examinées en fonction des dispositions statutaires et réglementaires valables au moment où a été conclu le contrat de prévoyance; ce n'est qu'en l'absence de telles dispositions que les institutions de prévoyance sont fondées à se départir du contrat de prévoyance en cas de réticence, par application analogique des <ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.1 in fine p. 12 et consid. 4-5 p. 13 ss; cf. aussi arrêts 9C_606/2017 du 14 mars 2018 consid. 3.2 et 9C_532/2014 du consid. 3.1). Aussi, compte tenu des dispositions réglementaires applicables en l'espèce, l'argumentation de l'assurée selon laquelle ses déclarations dans le questionnaire de santé ne peuvent pas être constitutives d'une réticence parce qu'elle aurait remis celui-ci plus d'un mois après la confirmation par l'intimée de son affiliation, est mal fondée. L'art. 4 du règlement de prévoyance prévoit en effet expressément que l'admission dans l'assurance est subordonnée à la condition que la personne à assurer remplisse un tel questionnaire. Or selon les constatations de la juridiction cantonale, qui ne sont pas remises en cause par les parties, le questionnaire lui a été remis en même temps que la confirmation de son entrée dans la caisse de pensions, avec l'invitation de le remplir. L'affiliation (sans réserve de santé) était dès lors soumise à la condition que la recourante effectue une déclaration de santé complète et véridique; le fait qu'elle a renvoyé le questionnaire plus d'un mois plus tard n'est pas déterminant.
4.2.2. La recourante ne saurait ensuite être suivie lorsqu'elle indique que les questions figurant dans le questionnaire de santé avaient un caractère équivoque, et que les premiers juges ne pouvaient pas considérer que ses réponses étaient inexactes. A la suite des premiers juges, on constate que l'assurée a répondu par la négative aux questions de savoir, notamment, si elle présentait une incapacité totale ou partielle de travail à la date de sa première affiliation, percevait une rente, prenait des médicaments à intervalles réguliers ou avait dû arrêter partiellement ou totalement de travailler du fait d'une maladie ou d'un accident pendant plus de quatre semaines au cours des cinq dernières années. On ne voit pas en quoi, en particulier cette dernière question, ne serait pas précise ou présenterait un caractère équivoque. La question fait en effet référence à une incapacité totale ou partielle de travailler d'une durée de plus de quatre semaines au cours des cinq dernières années. A cet égard, on rappellera que l'assurée a bénéficié d'une rente entière de l'assurance invalidité du 1er mai 2000 au 30 avril 2015 et qu'elle a travaillé à temps partiel avant le 1er août 2014. Il ressort par ailleurs des constatations cantonales - que la recourante ne conteste pas - qu'elle avait indiqué à l'assurance-invalidité, en décembre 2009, que son activité professionnelle exercée alors à un taux de 25 % constituait le maximum qu'elle pouvait faire pour garder le fragile équilibre qui était le sien (rapport d'enquête économique sur le ménage du 4 décembre 2009) et qu'elle n'avait par la suite pas augmenté le taux d'activité avant août 2014. La recourante ne pouvait ainsi ignorer, au moment où elle a rempli le questionnaire de santé en été 2015, que sa capacité de travail n'avait pas été entière durant les cinq dernières années ou qu'elle avait perçu une rente (en relation avec les questions 2 et 7 du questionnaire). Partant, quoi qu'en dise l'assurée, c'est sans arbitraire que les premiers juges ont considéré qu'en répondant par la négative à cette question, elle avait donné de faux renseignements, avec pour conséquence que CoOpera était en droit de résilier l'assurance surobligatoire et de limiter ses prestations à la prévoyance obligatoire. Le recours est mal fondé sur ce point.
5.
5.1. S'agissant ensuite du droit de la recourante à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle obligatoire, la recourante se plaint d'une violation de l'<ref-law>, en ce que les premiers juges ont considéré que le rapport de connexité temporelle "avec la précédente invalidité" n'avait pas été interrompu. Elle soutient qu'elle a pourtant été capable de travailler à 100% pendant une année entière (du 1er août 2014 au 18 août 2015), sans présenter d'incapacité de travail médicalement attestée pendant cette période, et sans qu'aucun élément ne permît de présumer que ses performances professionnelles eussent été altérées.
Les parties ne contestent pas l'existence d'un lien de connexité matériel entre le trouble schizo-affectif de type dépressif, sur personnalité schizoïde et obsessionnelle, en raison duquel la recourante s'est vu reconnaître le droit à une rente de l'assurance-invalidité du 1er mai 1999 au 30 avril 2015 et l'incapacité durable de travail survenue en août 2015, qui est à l'origine de l'invalidité actuelle.
5.2. Certes, comme le fait valoir la recourante en se référant à l'arrêt 9C_76/2015 du 18 décembre 2015 consid. 4.2, le recouvrement d'une capacité de travail de plus de 80 % dans une activité lucrative adaptée durant plus de trois mois constitue un indice important en faveur de l'interruption du lien de connexité temporelle que seuls des éléments objectifs importants peuvent remettre en cause. Cela étant, comme l'ont dûment rappelé les premiers juges, cette durée de trois mois doit être relativisée lorsque l'activité en question doit être considérée comme une tentative de réinsertion, en particulier lorsque l'invalidité résulte d'une maladie évoluant par poussées, telle que la sclérose en plaque ou la schizophrénie. Lorsque les tableaux cliniques sont caractérisés par des symptômes évoluant par vagues, avec une alternance des périodes d'exacerbation et de rémission, même une phase plus longue pendant laquelle la personne assurée avait pu reprendre le travail n'implique pas forcément une amélioration durable de l'état de santé et de la capacité de travail si chaque augmentation de la charge professionnelle entraîne après quelque temps, en règle générale, une recrudescence des symptômes conduisant à une nouvelle incapacité de travail notable. La jurisprudence essaie d'en tenir compte en accordant une signification particulière aux circonstances de chaque cas d'espèce (arrêt 9C_515/2019 du 22 octobre 2019 consid. 2.1.1; 9C_575/2018 du 15 avril 2019 consid. 4.1 et les arrêts cités). On rappellera à cet égard que les constatations de la juridiction cantonale relatives à l'incapacité de travail résultant d'une atteinte à la santé relèvent d'une question de fait et ne peuvent être examinées par le Tribunal fédéral que sous un angle restreint, dans la mesure où elles reposent sur une appréciation concrète des circonstances du cas d'espèce (consid. 1 supra). Les conséquences que tire l'autorité précédente des constatations de fait quant à la connexité temporelle sont en revanche soumises, en tant que question de droit, au plein pouvoir d'examen du Tribunal fédéral (arrêt 9C_214/2019 du 12 décembre 2019 consid. 4.1 et la référence).
5.3. Pour admettre que le lien de connexité temporelle entre les troubles psychiques en raison desquels la recourante a bénéficié d'une rente de l'assurance-invalidité dès le mois de mai 1999 et l'incapacité de travail ayant débuté dès le 18 août 2015 n'avait pas été interrompu pendant la période d'activité professionnelle à 100 % du 1er août 2014 ou 18 août 2015, les premiers juges ont d'abord considéré que cette période d'activité avait constitué une tentative de reprise du travail. Après avoir constaté que l'assurée avait travaillé à 100 % dès le 1er août 2014, sans présenter d'incapacité de travail médicalement attestée avant le 18 août 2015, la juridiction cantonale a admis que l'incapacité durable de travail médicalement attestée dès cette dernière date trouvait sa cause dans l'activité professionnelle exercée à 100 % dès le 1er août 2014, qui avait progressivement entraîné un épuisement des ressources de la recourante et une augmentation des symptômes. Dans le contexte d'un trouble schizo-affectif évoluant sous la forme de "poussées-rémissions", présent depuis de nombreuses années et ayant justifié l'octroi d'une rente entière de l'assurance-invalidité jusqu'au 30 avril 2015, soit pendant encore les neuf premiers mois de la période d'activité à 100 % de la recourante, les premiers juges ont considéré que le seul fait que cette atteinte à la santé n'ait pas entraîné de période d'arrêt de travail ou de diminution du taux d'activité pendant une année n'était pas suffisant pour interrompre le lien de connexité temporelle.
5.4. Quoi qu'en dise la recourante, les considérations de la juridiction cantonale ne prêtent pas le flanc à la critique, pour les raisons qui suivent.
5.4.1. D'une part, pour parvenir à la conclusion que l'activité exercée par l'assurée à 100 % dès août 2014 constituait une tentative de réinsertion, les premiers juges se sont fondés sur des éléments objectifs importants. Il ressort à cet égard de leurs constatations, qui ne sont pas contestées par la recourante, que lorsqu'elle avait postulé pour cet emploi à 100 %, elle était bien consciente du fait que cette augmentation du taux d'activité pouvait la déstabiliser et qu'elle n'était pas certaine de pouvoir tenir sur le long terme, ce dont elle avait fait part à l'office AI au moment de son engagement (cf. rapport d'entretien du 7 mai 2014). La juridiction cantonale s'est également référée à un rapport de la doctoresse D._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, du 13 mars 2014, qui suivait la recourante depuis novembre 2003. Selon le médecin, une reprise du travail à 100 % était possible, à raison de quatre heures de présence quotidienne et de quatre heures de planification libre, une présence de 8 heures quotidiennes n'étant pas exigible. Un autre élément objectif important en faveur d'une tentative de reprise d'un emploi à plein temps résidait également dans le fait que l'office AI avait poursuivi le versement de la rente entière dont l'assurée était titulaire jusqu'au 30 avril 2015. On ajoutera que lors d'un entretien, le 7 mai 2014, dans les locaux de l'office AI, la recourante avait en outre été informée que l'activité qu'elle avait l'intention de débuter à 100 % en août 2014 était un projet de reprise, et que son droit à la rente allait être maintenu pendant le début de l'activité pour s'assurer du caractère durable de celle-ci (rapport d'entretien du 7 mai 2014). Compte tenu de ce qui précède, les considérations de la juridiction cantonale selon lesquelles l'activité exercée à 100 % dès le 1er août 2014 était une tentative de réinsertion n'apparaissent pas insoutenables. Au moment de l'engagement, il existait en effet de sérieux doutes quant au point de savoir si l'exercice d'une activité professionnelle à plein temps était adapté à l'état de santé de l'assurée.
5.4.2. D'autre part, on ne saurait reprocher à la juridiction cantonale d'avoir considéré que le fait que la recourante n'avait pas été en incapacité de travail durant la tentative de réinsertion initiée en août 2014, avant le 18 août 2015, était insuffisant pour interrompre le lien de connexité temporelle. Lorsque l'atteinte à la santé se caractérise par une alternance des périodes d'exacerbation et de rémission, comme c'est le cas en l'espèce, des troubles psychiques présentés par la recourante, une période de plusieurs mois pendant laquelle la personne assurée est en mesure d'exercer une activité professionnelle à plein temps ne signifie pas nécessairement que l'état de santé et la capacité de travail se sont durablement améliorés lorsque l'augmentation de la charge professionnelle entraîne après quelque temps une recrudescence des symptômes conduisant à une nouvelle incapacité de travail notable (arrêts 9C_515/2019 et 9C_578/2018 cités). Or en l'occurrence, c'est précisément la reprise du travail à 100 % en août 2014 qui a provoqué l'incapacité durable de travail à compter du mois d'août 2015. On constate en effet, à la suite des premiers juges, que la doctoresse D._ a indiqué que sa patiente avait commencé à présenter des signes de décompensation sous forme de symptômes somatiques et psychiques au printemps 2015 et que durant les vacances d'été, l'anxiété s'était généralisée et que tous les symptômes étaient devenus plus percutants (rapport du 5 octobre 2015). Dans un rapport du 27 novembre 2015, le docteur E._, spécialiste en médecine interne générale, qui suivait la recourante depuis le mois de mars 2014, avait pour sa part fait état d'une tentative de reprise du travail à 100 % avec un épuisement progressif au plan émotionnel, et précisé que les longues vacances d'été n'avaient pas permis de rétablir l'équilibre préexistant.
En indiquant que son employeur n'avait pas fait preuve de sollicitude particulière envers elle et que son engagement ne reposait pas sur des considérations sociales, dès lors qu'il n'était pas au courant des problèmes de santé passés de son employée, et qu'il n'avait jamais observé quoi que ce fût de particulier, la recourante ne remet pas en cause les constatations des premiers juges fondées sur le dossier médical. Elle ne démontre pas en quoi la juridiction cantonale aurait fait preuve d'arbitraire en admettant que son état de santé et sa capacité de travail ne s'étaient pas durablement améliorés, si bien que le lien de connexité temporelle entre les troubles psychiques qu'elle présentait avant le début de sa couverture d'assurance auprès de CoOpera et l'incapacité durable de travail ayant débuté dès le 18 août 2015 n'avait pas été interrompu.
5.5. En conclusion, en admettant que la recourante n'était pas assurée auprès de CoOpera lorsque l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité est survenue, avec pour conséquence qu'elle a nié l'obligation de l'intimée d'allouer des prestations d'invalidité, la juridiction cantonale n'a pas procédé à une appréciation manifestement insoutenable des circonstances particulières du cas d'espèce et, partant, n'a pas violé l'<ref-law> et la jurisprudence y relative. Le recours est mal fondé sur ce point également.
6.
La recourante, qui succombe, supportera les frais de la procédure (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 23 février 2021
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
La Greffière : Perrenoud