Erwägungen:
1.
Mit Verfügung vom 27. August 2021 wies das Bezirksgericht Bülach in einem gegen den Beschwerdeführer angestrengten Forderungsprozess dessen Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab und setzte ihm Frist an, für die mutmasslichen Gerichtskosten im Zusammenhang mit der erhobenen Widerklage einen Kostenvorschuss von Fr. 810.-- zu leisten.
Mit Beschluss vom 30. November 2021 trat das Obergericht des Kantons Zürich auf eine vom Beschwerdeführer gegen die bezirksgerichtliche Verfügung vom 27. August 2021 erhobene Beschwerde infolge unzureichender Begründung des Rechtsmittels nicht ein.
Mit Eingabe vom 24. Januar 2022 erklärte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, den Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 30. November 2021 mit Beschwerde anfechten zu wollen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 2.1).
2.1. Der Streitwert erreicht die Streitwertgrenze für eine Beschwerde in Zivilsachen gemäss <ref-law> nicht. Diese ist daher nur zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>), was die beschwerdeführende Partei aufzuzeigen hat (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer behauptet nicht, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt und es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern sich eine solche stellen könnte. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde in Zivilsachen nicht zulässig, sondern es steht die subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne der Art. 113-119 BGG offen.
2.2. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann ausschliesslich die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Diesbezüglich gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten nicht von Amtes wegen, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 in Verbindung mit <ref-law>). Dies bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.2; je mit weiteren Hinweisen).
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kam (Art. 118 Abs. 2 und <ref-law>), was die beschwerdeführende Partei präzise geltend zu machen hat (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.2). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-ruling> E. 7.1, 585 E. 4.1).
Neue tatsächliche Vorbringen und Beweismittel sind grundsätzlich ausgeschlossen und neue Begehren unzulässig (Art. 99 i.V.m. <ref-law>).
3.
Die Eingabe des Beschwerdeführers vom 24. Januar 2021 erfüllt die genannten Begründungsanforderungen offensichtlich nicht. Er zeigt nicht unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids des Obergerichts des Kantons Zürich vom 30. November 2021 auf, inwiefern die Vorinstanz mit ihrem Nichteintretensentscheid verfassungsmässige Rechte verletzt hätte. Stattdessen kritisiert er in unzulässiger Weise unmittelbar die Verfügung des Bezirksgerichts Bülach vom 27. August 2021, bei der es sich nicht um einen letztinstanzlichen Entscheid im Sinne von <ref-law> handelt. Die Eingabe vom 24. Januar 2022 erfüllt damit die erwähnten Begründungsanforderungen offensichtlich nicht.
Auf die Beschwerde ist somit mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (<ref-law>).
4.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege samt Rechtsbeistand für das bundesgerichtliche Verfahren ist bereits wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (<ref-law>). Unter den gegebenen Umständen ist jedoch ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG). Dem Verfahrensbeteiligten und der Vorinstanz steht keine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 2 und 3 BGG).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, und dem Verfahrensbeteiligten schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Februar 2022
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Leemann