Erwägungen:
1.
1.1. A._ (Beschwerdeführer) war Mieter einer 5.5-Zimmerwohnung von B.B._ und C.B._ (Beschwerdegegner). Diese betrieben ihn für Mietzinse. Das Bezirksgericht Höfe erteilte ihnen am 30. Juni 2016 provisorische Rechtsöffnung über Fr. 25'160.-- nebst Zins und Betreibungskosten, was das Kantonsgericht Schwyz am 26. September 2016 bestätigte.
Am 3. August 2016 erhob der Beschwerdeführer beim Bezirksgericht Meilen (im Folgenden: Bezirksgericht) Aberkennungsklage. Am 6. März 2017 stellten die Beschwerdegegner den Antrag, der Beschwerdeführer habe für die Parteientschädigung Sicherheit zu leisten. Daraufhin ersuchte der Beschwerdeführer im Klageverfahren drei Mal in der Folge erfolglos um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Das dritte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wies das Bezirksgericht am 29. März 2019 ab und setzte dem Beschwerdeführer eine Nachfrist im Sinne von Art. 101 Abs. 3 ZPO für die Sicherheitsleistung. Eine vom Beschwerdeführer dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich am 13. Mai 2019 ab. Gleichzeitig setzte es dem Beschwerdeführer eine Nachfrist von 10 Tagen ab Zustellung seines Entscheids, um eine Sicherheit von Fr. 5'300.-- zu leisten, unter Androhung des Nichteintretens auf die Klage im Säumnisfall. Das Bundesgericht wies eine vom Beschwerdeführer dagegen erhobene Beschwerde mit Urteil 4A_326/2019 vom 4. Februar 2020 ab, soweit es darauf eintrat.
1.2. Mit Beschluss vom 14. April 2020 trat das Bezirksgericht auf die Klage des Beschwerdeführers wegen Nichtleistung der Sicherheit für die Parteientschädigung nicht ein. Diesen Beschluss hob das Obergericht auf Berufung des Beschwerdeführers hin auf und wies die Sache an das Bezirksgericht zurück.
Dieses setzte dem Beschwerdeführer mit Verfügung vom 17. August 2020 eine nicht erstreckbare Nachfrist von 5 Tagen an, um für die Entschädigung der Beschwerdegegner eine Sicherheit zu leisten. Mit Schreiben vom 24. August 2020 teilte der Kläger dem Bezirksgericht mit, dass er wegen eines noch hängigen Ausstandsverfahrens davon ausgehe, dass alle Fristen stillstünden. Das Bezirksgericht teilte dem Beschwerdeführer mit Verfügung vom 31. August 2020 mit, dass dem nicht so sei, und erstreckte die angesetzte Nachfrist zur Sicherheitsleistung im Sinne einer Notfrist letztmals bis am 7. September 2020. Mit Verfügung vom 10. September 2020 hielt das Bezirksgericht fest, dass die angesetzte Notfrist nicht säumniswirksam habe ablaufen können, da der Beschwerdeführer die Verfügung vom 31. August 2020 erst am 9. September 2020 erhalten habe. Es räumte dem Beschwerdeführer eine nicht erstreckbare Notfrist von 3 Tagen ein, um die verlangte Sicherheit zu leisten. Diese Verfügung wurde dem Beschwerdeführer am 15. September 2020 zugestellt. Mit Beschluss vom 26. Januar 2021 trat das Bezirksgericht auf die Klage nicht ein. Es hielt zudem fest, dass die durch das Bezirksgericht Höfe erteile provisorische Rechtsöffnung damit definitiv werde, auferlegte die Entscheidgebühr von Fr. 3'689.50 dem Beschwerdeführer und verpflichtete diesen, den Beschwerdegegnern eine Parteientschädigung von Fr. 6'000.-- zu bezahlen.
Auf Berufung des Beschwerdegegners hin reduzierte das Obergericht die erstinstanzliche Gerichtsgebühr mit Urteil vom 6. Mai 2021 auf Fr. 2'589.50 und wies das Rechtsmittel im Übrigen ab, soweit es darauf eintrat. Die zweitinstanzliche Entscheidgebühr von Fr. 2'500.-- auferlegte es im Umfang von Fr. 2'000.-- dem Beschwerdeführer. Mit gleichzeitig gefälltem Beschluss trat es auf das Gesuch des Beschwerdeführers um (rückwirkende) Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands für das Hauptverfahren nicht ein und wies es das Gesuch des Beschwerdeführers um (rückwirkende) Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands für das Berufungsverfahren ab.
1.3. Dagegen erhob der Beschwerdeführer mit Eingabe vom 20. Juni 2021 Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Er beantragt, es sei der Beschluss des Bezirksgerichts Meilen vom 26. Januar 2021 aufzuheben und eine neue Nachfrist von mindestens 10 Tagen anzusetzen und es sei zu verfügen, dass keine Sicherheitsleistung erforderlich ist. Ferner stellt er verschiedene Anträge, mit denen er, soweit verständlich, unabhängig vom Ausgang des vorliegenden Beschwerdeverfahrens in der Hauptsache sinngemäss die Aufhebung der im kantonalen Verfahren ergangenen Kostenentscheide und eine Reduktion der Entscheidgebühren auf Fr. 1'000.-- pro Verfahren verlangt, sowie eine Reduktion der Entschädigung für die Beklagten auf Fr. 2'000.--. Schliesslich stellt er die Gesuche, es sei ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, unter Beistellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands, dem eine Frist für eine Stellungnahme und ausführliche Begründung der Beschwerde einzuräumen sei. Weiter sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
2.
Eine Beschwerde ist - abgesehen von der hier nicht gegebenen Ausnahme nach Art. 43 BGG - innert der Beschwerdefrist mit einem Antrag und vollständig begründet einzureichen (Art. 42 Abs. 1 BGG). Eine Ergänzung der Beschwerdebegründung nach Ablauf der Beschwerdefrist kann nicht zugelassen werden (<ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 3.3). Bei der Beschwerdefrist nach Art. 100 Abs. 1 BGG handelt es sich sodann um eine gesetzliche Frist, die nach Art. 47 BGG nicht erstreckt werden kann.
Die Frist lief im vorliegenden Fall am 21. Juni 2021 ab, nachdem der angefochtene Entscheid dem Beschwerdeführer am 22. Mai 2021 zugestellt wurde (Art. 44 Abs. 1 und Art. 100 Abs. 1 BGG), und die vorliegende Beschwerde ging beim Bundesgericht erst am 22. Juni 2021, d.h. nach Fristablauf, ein. Damit bestand schon im Zeitpunkt des Eingangs der Beschwerde beim Bundesgericht keine Möglichkeit mehr, dass der Beschwerdeführer zur fristgerechten Verbesserung seiner Beschwerde einen Rechtsbeistand hätte beiziehen können. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung für das vorliegende Beschwerdeverfahren ist deshalb, und weil in diesem keine weiteren prozessualen Schritte zu unternehmen sind, gegenstandslos.
3.
Mit dem Urteil und dem Beschluss des Obergerichts vom 6. Mai 2021 ist ein von einer letzten kantonalen Instanz im Sinne von Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG ergangener Endentscheid (Art. 90 BGG) in einer mietrechtlichen Angelegenheit mit einem Fr. 15'000.-- übersteigenden Streitwert (Art. 51 Abs. 1 lit. a BGG) angefochten. Gegen diesen Entscheid ist die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich zulässig (Art. 74 Abs. 1 lit. a BGG), mit der auch eine geltend gemachte Verletzung verfassungsmässiger Rechte geprüft werden kann (Art. 95 BGG). Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist demnach nicht einzutreten (Art. 113 BGG).
In Zivilsachen, wie hier eine vorliegt, ist die Beschwerde an das Bundesgericht nur gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen, des Bundesverwaltungsgerichts und des Bundespatentgerichts zulässig (Art. 75 Abs. 1 BGG). Beim Bezirksgericht Meilen handelt es sich nicht um eine solche Instanz, weshalb auf die Beschwerde nicht eingetreten werden kann, soweit der Beschwerdeführer die Aufhebung des Entscheids des Bezirksgerichts vom 26. Januar 2021 verlangt und seine Kritik direkt gegen denselben richtet (Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG).
Ebensowenig kann auf die Beschwerde eingetreten werden, soweit der Beschwerdeführer darin die rückwirkende Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das mietgerichtliche (Haupt-) Verfahren und eine Verfügung mit der Feststellung verlangt, dass keine Sicherheitsleistung erforderlich sei, da dies nicht Gegenstand des angefochtenen Entscheids des Obergerichts ist (Art. 75 Abs. 1 BGG und Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG).
4.
Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). Dafür muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89). Eine Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Die Begründung hat in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen. Der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten, konkret der vom Beschwerdeführer vorgenommene Verweis auf seine Rechtsmittelbegründung im vorinstanzlichen Verfahren, reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 2 S. 116) und ist daher unbeachtlich.
D as Bundesgericht legt seinem Entscheid den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), wobei dazu sowohl die Feststellungen über den Lebenssachverhalt, der dem Streitgegenstand zugrunde liegt, als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt gehören (<ref-ruling> E. 1.3.1). Es kann davon nur abweichen kann, wenn eine Sachverhaltsfeststellung offensichtlich unrichtig, mithin willkürlich ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG), was die beschwerdeführende Partei präzise geltend zu machen hat.
4.1. Die Vorinstanz legte mit einlässlicher, schlüssiger Begründung dar, dass das Vorgehen des Bezirksgerichts bei der Fristansetzung zur Leistung der Parteikostensicherheit, die das Gericht nach pflichtgemässem Ermessen vorzunehmen habe, namentlich auch die Ansetzung der dreitägigen Notfrist in der Verfügung vom 31. August 2020, nicht zu beanstanden sei. Der Beschwerdeführer resumiert bloss einzelne Elemente dieser Begründung und rügt, die darauf gestützte Beurteilung der Vorinstanz sei überspitzt formalistisch und gehörsverletzend. Er setzt sich dabei aber nicht hinreichend mit der Begründung der Vorinstanz, die er offenbar nicht verstehen will, auseinander und legt offensichtlich nicht rechtsgenügend dar, inwiefern die Vorinstanz damit Bundesrecht, namentlich die angerufenen Grundrechte verletzt haben soll. Vielmehr unterbreitet er dem Bundesgericht bloss in frei gehaltenen Ausführungen seine Sicht der Dinge. Darin liegt keine genügende Beschwerdebegründung, weshalb darauf nicht eingetreten werden kann.
4.2. Was die Kosten- und Entschädigungsfolgen des erstinstanzlichen Verfahrens angeht, prüfte die Vorinstanz diese mit ausführlichen Erwägungen und bestätigte sie weitgehend, abgesehen von einer von ihr vorgenommenen Reduktion der erstinstanzlichen Gerichtsgebühr aus dem Grund, dass die Erstinstanz keinen Sachentscheid fällen musste.
Insoweit ist zu beachten, dass die Festlegung und Verteilung der Gerichtskosten auf die Parteien ein Ermessensentscheid ist, den das Bundesgericht nur mit grosser Zurückhaltung überprüft (<ref-ruling> E. 3.2.5 S. 339). Es schreitet nur ein, wenn die Vorinstanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Tatsachen berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt Umstände ausser Betracht gelassen hat, die zwingend hätten beachtet werden müssen. Ausserdem greift das Bundesgericht in Ermessensentscheide ein, falls sich diese als offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 5.3.2; <ref-ruling> E. 9.2).
Die Beschwerde enthält einzig eine Begründung hinsichtlich der Bemessung der erstinstanzlichen Gerichtsgebühr, nicht hingegen bezüglich der zweitinstanzlichen Entscheidgebühr und der Parteientschädigung für die Gegenpartei. Der Beschwerdeführer setzt sich allerdings auch insoweit nicht hinreichend mit der einlässlichen Begründung der Vorinstanz zu den Kostenfolgen auseinander und legt nicht hinreichend dar, inwiefern die Kostenfestlegung bundesrechtswidrig bzw. in bundesrechtswidriger Ausübung des Ermessens erfolgt sein soll. Vielmehr übt er sich in freier Kritik an einzelnen Punkten der vorinstanzlichen Begründung, wobei er den im angefochtenen Entscheid festgestellten Prozesssachverhalt in verschiedener Hinsicht ergänzt, ohne dazu hinreichende Sachverhaltsrügen zu substanziieren, die dem Bundesgericht allenfalls eine Ergänzung der vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellungen erlauben könnten, worauf nicht eingetreten werden kann.
4.3. Die Vorinstanz wies das für das Berufungsverfahren gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab, weil der Beschwerdeführer unter Verletzung seiner Mitwirkungspflicht bei der Feststellung seiner Bedürftigkeit sein Gesuch nicht begründet und dazu auch keine Belege eingereicht habe. Dies obwohl Art. 119 Abs. 4 ZPO vorsehe, dass die unentgeltliche Rechtspflege im Rechtsmittelverfahren neu zu beantragen sei und er bereits vom Bezirksgericht als auch vom Obergericht auf seine Mitwirkungspflicht im Rahmen der unentgeltlichen Rechtspflege hingewiesen worden sei, ihm mithin bekannt sei, dass er seine finanziellen Verhältnisse umfassend offenlegen sowie belegen muss und welche Angaben das Gericht zur Behandlung des Gesuchs benötige; er sei insoweit kein unbeholfener Laie und eine Nachfrage bzw. Fristansetzung zur Begründung des Gesuchs und Einreichung von Unterlagen könne daher unterbleiben.
Der Beschwerdeführer bestreitet die vorinstanzliche Feststellung, wonach ihm bekannt ist, dass er in einem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege seine finanziellen Verhältnisse umfassend offenlegen und belegen muss, nicht mit einer substanziierten Sachverhaltsrüge im vorstehend umschriebenen Sinne. Wenn er bloss geltend macht, es sei ihm de fakto bis heute nicht ersichtlich, weshalb ihm in diesem Verfahren die Rechtspflege verweigert, in anderen aber zugebilligt worden sei, jeweils bei gleicher Information und Mitwirkung, und er sei nach wie vor juristischer Laie und fühle sich der Willkür des Gerichts ausgesetzt, liegt darin keine rechtsgenügende Bestreitung dieser tatsächlichen Feststellung. Er legt sodann nicht hinreichend dar, welche Rechte die Vorinstanz inwiefern verletzt haben soll, wenn sie auf dieser tatsächlichen Grundlage schloss, dass er insoweit kein unbeholfener Laie sei und eine Nachfrage bzw. Fristansetzung zur Begründung des Gesuchs und Einreichung von Unterlagen unterbleiben könne.
4.4. Zusammenfassend ist auf die Beschwerde, auch soweit sie sich gegen den Entscheid des Obergerichts richtet, nicht einzutreten, weil sie den vorstehend genannten Begründungsanforderungen offensichtlich nicht genügt (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
5.
Soweit es nicht gegenstandslos ist (Erwägung 2), ist d as Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren abzuweisen, weil die Beschwerde als von vornherein aussichtslos erscheint (Art. 64 Abs. 1 BGG). Darüber musste unter den gegebenen Umständen nicht vorgängig separat entschieden werden (vgl. Urteil 4A_20/2011 vom 11. April 2011 E. 7.2.2).
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Die Beschwerdegegner haben keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da ihnen aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand entstanden ist (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Das Gesuch des Beschwerdeführers um Erteilung der aufschiebenden Wirkung wird mit diesem Entscheid in der Sache selbst gegenstandslos.

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. August 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Widmer