Sachverhalt:
A.
Die Baubehörde der Stadt Illnau-Effretikon bewilligte der B._ AG (Bauherrin) am 23. Februar 2016 unter Nebenbestimmungen den Neubau von zwei Mehrfamilienhäusern mit Unterniveaugarage auf den Grundstücken Kat.-Nrn. IE4368, IE4369, IE4370, IE4371 und IE4373 in Illnau. Bestandteil der Baubewilligung ist der Abbruch des Schopfs Assek.-Nr. 941 auf Kat.-Nr. IE4370.
Die Bauherrin focht einzelne Nebenbestimmungen der Baubewilligung beim Baurekursgericht des Kantons Zürich an. A._, Eigentümer der angrenzenden Liegenschaft Kat.-Nr. IE4372, wehrte sich mit Rekurs gegen die Baubewilligung. Das Baurekursgericht vereinigte die beiden Verfahren und hiess mit Entscheid vom 28. September 2016 den Rekurs der Bauherrin gut; hingegen wies es den Rekurs des Nachbarn ab, soweit es darauf eintrat.
A._ zog den Rekursentscheid an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich weiter. Dieses wies seine Beschwerde mit Urteil vom 23. Mai 2017 ab.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 13. Juli 2017 beantragt A._ die Aufhebung des verwaltungsgerichtlichen Urteils und die Nichterteilung der Baubewilligung.
Die Bauherrin und das Verwaltungsgericht stellen den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Baubehörde Illnau-Effretikon hat sich nicht vernehmen lassen.
Mit Eingabe vom 17. Januar 2018 erklärt A._, auf eine weitere Stellungnahme zu verzichten.
C.
Der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung hat der Beschwerde mit Verfügung vom 27. Dezember 2017 aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid über eine baurechtliche Bewilligung (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen; ein Ausschlussgrund nach <ref-law> liegt nicht vor. Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen; als unmittelbarer Nachbar ist er von der umstrittenen Baubewilligung besonders berührt und hat an deren Aufhebung ein schutzwürdiges Interesse. Daher ist er zur Beschwerdeführung berechtigt (<ref-law>).
1.2. Die Beschwerdegegnerin bestreitet in vielen Punkten, dass die Beschwerdeschrift im bundesgerichtlichen Verfahren den dafür geltenden Formvorschriften entspricht. Mit dieser Beschwerde wird die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz kritisiert und es werden Verfassungsrügen gegen die Rechtsanwendung erhoben. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten - einschliesslich Willkür bei der Feststellung des Sachverhalts - gilt eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 42 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 6.3 S. 375; <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f.; je mit Hinweisen). Die Beschwerdebegründung erweist sich teilweise als ungenügend. In welchen Punkten die Beschwerdeschrift den formellen Anforderungen nicht entspricht, wird im jeweiligen Sachzusammenhang erörtert.
1.3. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten.
2.
Dem angefochtenen Urteil liegt folgender, insoweit unbestrittener Sachverhalt zugrunde:
Die Baugrundstücke befinden sich beim unteren Dorfeingang des Ortsteils Unter-Illnau. Sie liegen im rückwärtigen Bereich bzw. südöstlich zwischen den bestehenden Gebäuden an der Usterstrasse und dem Fluss Kempt. Das Baugelände ist über die Talgartenstrasse erschlossen, die westlich des Gevierts von der Usterstrasse abzweigt und dem Fluss entlang verläuft. Auf dem Grundstück des Beschwerdeführers sind das Hauptgebäude an der Usterstrasse samt Umschwung und ein im rückwärtigen Bereich befindlicher, freistehender Schopf (Assek.-Nr. 947) rechtskräftig unter Denkmalschutz gestellt worden (vgl. Urteil des Bundesgerichts 1C_543/2009 vom 15. März 2010 E. 2).
Die Baugrundstücke wie auch die Liegenschaft des Beschwerdeführers liegen im Perimeter des rechtskräftigen Quartierplans Längg. Gemäss dem Technischen Bericht dieses Quartierplans können die bestehenden Gebäude an der Usterstrasse für Besucher weiterhin direkt über diese Strasse erschlossen werden; für Neubauten ist indessen eine rückwärtige Erschliessung zu realisieren. In der Folge wurde zugunsten der Liegenschaft des Beschwerdeführers und zulasten der Bauparzelle Kat.-Nr. IE4370 ein Fuss- und Fahrwegrecht statuiert. Der Verlauf des Dienstbarkeitswegs wurde dabei nicht genau festgelegt, sondern es wurden einzig Richtungspunkte definiert. Bei der Wegführung soll gemäss dem Technischen Bericht auf eine spätere Bebauung und eine allfällige Parzellierung Rücksicht genommen werden können. Die beiden Richtungspunkte wurden auf dem Servitutenplan auf der Grenze zwischen den Grundstücken Kat.-Nr. IE4372 und IE4371 (in Richtung Talgartenstrasse) sowie am westlichen Ende des Wendebereichs der Talgartenstrasse (von dieser Strasse weg) eingezeichnet.
Zum Bauareal gehört das Grundstück Kat.-Nr. IE4371, auf dem ein denkmalgeschütztes Bauernhaus steht; dieses Gebäude schliesst nordöstlich an das Hauptgebäude des Beschwerdeführers an. Im rückwärtigen Bereich des Bauernhauses auf Kat.-Nr. IE4371 gegen die Kempt hin liegt ein Schopf (Assek.-Nr. 941); dieser steht aber auf der abgetrennten Parzelle Kat.-Nr. IE4370. Die geplante Überbauung bedingt dessen Abbruch. Im Übrigen ist das Baugelände unüberbaut. Die vorgesehenen beiden Mehrfamilienhäuser sollen im östlichen Teil der Bauparzellen, parallel zur Talgartenstrasse, angeordnet werden. Zwischen diesen Gebäuden und im Innenhof wurde gleichzeitig die Erstellung einer Sammeltiefgarage bewilligt. Die Zufahrt zur Tiefgarage erfolgt quer zur Talgartenstrasse, und zwar in der Verlängerung des vorgenannten Wendebereichs.
3.
3.1. Als Anstösser, der ein Zufahrtsrecht über die Bauparzelle Kat.-Nr. IE4370 besitzt, kann sich der Beschwerdeführer auf die Eigentumsgarantie (<ref-law>) berufen (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.3 S. 16). Das angefochtene Urteil bewirkt im Ergebnis einen Aufschub bei der Erstellung des Erschliessungswegs und tangiert Eigentümerbefugnisse des Beschwerdeführers. Dabei kommt es allerdings auf die Höhe der Quartierplankosten und die vom Beschwerdeführer getragenen Anteile nicht entscheidend an; deshalb ist eine Edition diesbezüglicher Unterlagen entgegen seinem Antrag entbehrlich.
3.2. Das unterinstanzliche Baurekursgericht hat unter Bezugnahme auf § 167 des kantonalen Planungs- und Baugesetzes vom 7. September 1975 (PBG; LS 700.1) und den Technischen Bericht des Quartierplans Längg erwogen, dass das Neubauvorhaben der Beschwerdegegnerin keine baurechtliche Pflicht zur Erstellung dieses Erschliessungswegs auslöse. Solange auf dem Grundstück des Beschwerdeführers keine erheblichen baulichen Massnahmen vorgenommen würden, genüge dessen bisherige Erschliessung über die Usterstrasse. Es sei daher einzig zu prüfen, ob die rückwärtige Erschliessung des Grundstücks des Beschwerdeführers auch nach Realisierung des Bauprojekts der Beschwerdegegnerin möglich bleibe; diese Frage könne mit dem vorbehaltenen Umgebungsplan beurteilt werden. Auf diese Erwägungen verweist das angefochtene Urteil.
3.3. Nach § 167 PBG wird der Bau der Quartierplananlagen von Amtes wegen oder auf Gesuch eines Beteiligten eingeleitet, wenn der Bedarf an erschlossenem Bauland oder der Stand der Überbauung es erfordert. Dass der Beschwerdeführer die Voraussetzungen dieser Bestimmung erfüllt, wird in der Beschwerde nicht gemäss den Vorgaben von Art. 42 Abs. 2 i.V.m. <ref-law> behauptet. Er zeigt auch nicht auf, weshalb seine bisherige Erschliessung über die Usterstrasse bei der gegebenen Grundstücksnutzung ungenügend sein soll. Unter diesen Umständen ist es aus planungs- und baurechtlicher Sicht mit der Eigentumsgarantie vereinbar, dass die Vorinstanz sich mit der Pflicht der Beschwerdegegnerin zur Vorlage eines Umgebungsplans, der die Realisierbarkeit des betreffenden Erschliessungswegs aufzeigt, begnügt hat.
4.
4.1. Im kantonalen Rechtsmittelverfahren wurde die Baubewilligung im Wesentlichen bestätigt und erklärt, dass der (detaillierte) Umgebungsplan für die Überbauung erst nachträglich vor Baubeginn zur Bewilligung nachzureichen ist. In diesem Umgebungsplan sind unter anderem die Spiel- und Ruheflächen einzutragen, aber auch die verkehrstechnische Erschliessung der Liegenschaft des Beschwerdeführers aufzuzeigen. Der bei den Baugesuchsakten liegende Umgebungsplan wurde als nicht verbindlicher Übersichtsplan beurteilt. Weitere bei den Akten liegende Varianten für den fraglichen Erschliessungsweg, welche die Beschwerdegegnerin eingereicht hatte, wurden entsprechend gewürdigt. Der Beschwerdeführer wendet sich gegen die Abspaltung der Umgebungsgestaltung von der Stammbaubewilligung.
4.2. Der Beschwerdeführer führt ins Feld, der seiner Liegenschaft dienende Erschliessungsweg verkleinere die ausnützungsberechtigte Baufläche. Da dieser noch nicht ausgeschieden worden ist, bestreitet der Beschwerdeführer die Einhaltung der Ausnützungsvorschriften.
In der Beschwerdeschrift fehlt bei dieser Rüge allerdings ein konkreter Bezug zu einer Bauvorschrift bzw. zur Rechtsprechung. Die kantonale Rechtsprechung macht die Anrechenbarkeit von Verkehrsflächen für die bauliche Ausnützung grundsätzlich davon abhängig, ob die Verkehrsfläche auf einer übergeordneten Festlegung beruht (vgl. FRITZSCHE/BÖSCH/WIPF, Zürcher Planungs- und Baurecht, 5. Aufl. 2011, S. 728 ff.). Damit befasst sich die Beschwerdeschrift nicht im Einzelnen. Vor diesem Hintergrund genügt es nach Art. 42 Abs. 2 i.V.m. <ref-law> nicht, die Anrechenbarkeit von Verkehrsflächen generell in Abrede zu stellen. Auf diese Rüge kann nicht eingetreten werden.
Im Übrigen hat die Vorinstanz das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers nicht verletzt, indem sie von ihm substanziierte Vorbringen betreffend Missachtung der Nutzungsvorschriften verlangt hat. Die Vorinstanz hat einen solchen Gesetzesverstoss verneint. Soweit sie damit die Anrechenbarkeit der fraglichen Wegfläche für die bauliche Ausnützung bejahte, liess sich die Einhaltung der entsprechenden Vorschriften ohne genaue Festlegung des Erschliessungswegs beurteilen.
4.3. Ferner macht der Beschwerdeführer geltend, es gehe vorliegend um eine Arealüberbauung. Das angefochtene Urteil widerspreche der Praxis zu § 73 Abs. 1 PBG, wonach es bei Arealüberbauungen nicht genüge, den detaillierten Umgebungsplan für einen späteren Zeitpunkt vorzubehalten.
§ 73 Abs. 1 PBG bestimmt, dass die baurechtliche Bewilligung eine vollständige Baueingabe voraussetzt. Die Beschwerdeschrift geht jedoch nicht darauf ein, dass § 73 PBG eine Sondervorschrift für Arealüberbauungen im Sinne von §§ 69 ff. PBG bildet. Aus der Beschwerde geht nicht konkret hervor, inwiefern die umstrittene Überbauung eine solche Arealüberbauung bilden soll. Das angefochtene Urteil enthält keine Anhaltspunkte für eine solche Beurteilung. Die qualifizierten Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 i.V.m. <ref-law> an die Beschwerdeschrift werden nicht erfüllt, wenn darin einzig argumentiert wird, es handle sich um ein Bauprojekt von grösserer Dimension; damit allein wird das Vorliegen einer Arealüberbauung nicht genügend dargetan. Auf die entsprechende Rüge kann somit nicht eingetreten werden.
4.4.
4.4.1. Für den Fall, dass es - ungeachtet der Vorschriften für Arealüberbauungen - im Ermessen der Baubehörde stehen sollte, eine Abspaltung des Umgebungsplans zu gestatten, kritisiert der Beschwerdeführer die diesbezügliche Ermessensausübung als missbräuchlich. Seiner Meinung nach vermag der Vorbehalt zum Umgebungsplan eine quartierplankonforme und hinreichende Zufahrt zu seinem Grundstück nicht zu gewährleisten. Die Platzverhältnisse neben dem Schopf auf seinem Grundstück seien zu beengt für eine Durchfahrt in seinen Hof, namentlich auf der Seite gegen Kat.-Nr. IE4373. Er rügt eine Verletzung von § 237 PBG. Auch über andere wichtige Punkte wie über den Wasseranschluss seien keine Unterlagen im Baubewilligungsverfahren eingereicht worden.
Nach dem angefochtenen Urteil sind hingegen keine Anhaltspunkte ersichtlich, dass der genaue Standort des Spielplatzes für die Bewilligungsfähigkeit des Bauprojekts von grundsätzlicher Bedeutung sei. Weiter sei auch nach der Realisierung der geplanten Mehrfamilienhäuser die rückwärtige Erschliessung des Grundstücks des Beschwerdeführers möglich. Die Frage der Umgebungsgestaltung beim Bauprojekt der Beschwerdegegnerin dürfe vorliegend in ein späteres Verfahren verlagert werden.
4.4.2. § 237 Abs. 1 PBG verlangt eine der Art, Lage und Zweckbestimmung der Bauten entsprechende Zufahrt für die Fahrzeuge der öffentlichen Dienste und der Benützer. Das Fahr- und Fusswegrecht des Beschwerdeführers über Kat.-Nr. IE4370 weist unbestrittenermassen eine garantierte Minimalbreite von 3 m auf. Zu der vom Beschwerdeführer beantragten Edition von Grundbuchauszügen bezüglich Kat.-Nr. IE4370, IE4371 und IE4372 besteht kein Anlass. Es lässt keine Willkür erkennen, wenn die Vorinstanz bei einer Realisierbarkeit des betreffenden Wegs nach den Vorgaben im Quartierplan von einer hinreichenden Zufahrt ausgeht. Dass die Zufahrt zum Hof des Beschwerdeführers seitlich am Schopf auf seinem Grundstück vorbeiführt, ergibt sich aus den Richtungspunkten im Quartierplan. Diese befinden sich auf der Seite seines Schopfs gegen Kat.-Nr. IE4371; die Platzverhältnisse auf der anderen Seite gegen Kat.-Nr. IE4373 sind ohnehin nicht ausschlaggebend. Der Beschwerdeführer bestreitet ebenso wenig in konkreter Weise, dass der unüberbaut bleibende Bereich seitlich der Zufahrt zur neuen Tiefgarage zwischen den geplanten Mehrfamilienhäusern Platz für den fraglichen Weg lässt. Er stellt auch nicht infrage, dass im Gartenbereich der Überbauung die vorgeschriebenen Spiel- und Ruheflächen neben diesem Erschliessungsweg angeordnet werden können. Die Vorinstanz durfte somit von der Erreichung eines rechtmässigen Zustands hinsichtlich des fraglichen Wegs im Rahmen eines Nachverfahrens ausgehen und insoweit die Vereinbarkeit mit dem Quartierplan bejahen. Soweit sich der Beschwerdeführer über die konkret vorgeschlagene Wegführung im unverbindlichen Übersichtsplan oder über die anderen Erschliessungsvarianten der Beschwerdegegnerin aufhält, stossen seine Vorwürfe ins Leere.
Bezüglich der Wasserversorgung ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde nicht ersichtlich, gegen welche Vorschrift es verstösst, wenn die Anschlüsse für Wasser und Abwasser nicht bereits mit der Baubewilligung bewilligt werden. Darauf kann mangels genügender Beschwerdebegründung nicht eingetreten werden (vgl. oben E. 1.2).
4.5. Insgesamt liegt die sinngemäss gerügte Verletzung des Willkürverbots bezüglich der Aufteilung des Baubewilligungsverfahrens zwischen Stammbaubewilligung und vorbehaltenem Nachverfahren nicht vor, soweit auf diese Rüge überhaupt eingetreten werden kann.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer kritisiert ausserdem die Feststellung in der Baubewilligung, wonach die Bauparzellen in der Wohnzone W2.2 lägen. Dies entspreche nicht den Tatsachen. Eine Teilfläche, insbesondere dort, wo die Tiefgarage der Überbauung geplant sei, befinde sich in der Kernzone. Zudem rügt er, die Tiefgarage halte nicht die gemäss der Bau- und Zonenordnung von Illnau-Effretikon vorgeschriebenen Grenzabstände für die Kernzone gegenüber seinem Grundstück ein. Er räumt zwar ein, dass sich diese Abstandsvorschriften nur auf oberirdische Gebäude beziehen. Unter sinngemässer Bezugnahme auf § 269 PBG führt er weiter aus, dass für unterirdische Bauten Ausnahmeregelungen vorgesehen seien. Letztere würden aber vorliegend nicht gelten, weil die Tiefgarage Bestandteil eines Gesamtbauprojekts mit den oberirdischen Mehrfamilienhäusern sei. Deshalb habe auch die Tiefgarage die für die Wohnhäuser geltenden Abstandsvorschriften einzuhalten.
5.2. Es kann offen bleiben, ob der Beschwerdeführer damit rechtsgenügliche Sachverhalts- und Willkürrügen erhoben hat, denn diese erweisen sich als unbegründet. Im Kern geht es um die Anwendung von § 269 PBG. Nach dieser Bestimmung unterliegen unterirdische Gebäude und Gebäudeteile sowie oberirdische, die den gewachsenen Boden um nicht mehr als einen halben Meter überragen und die keine Öffnungen gegen Nachbargrundstücke aufweisen, keinen Abstandsvorschriften, wenn die Bau- und Zonenordnung nichts anderes bestimmt. Schon im Wortlaut von § 269 PBG werden unterirdische Gebäudeteile als abstandsbefreit erklärt. Auch ist nach der kantonalen Rechtsprechung eine Unterteilung eines Gebäudes in abstandspflichtige, oberirdische Teile sowie abstandsbefreite, unter- oder oberirdische Teile im Sinne von § 269 PBG zulässig (vgl. dazu FRITZSCHE/ BÖSCH/WIPF, a.a.O., S. 849). Es verstösst nicht gegen das Willkürverbot, wenn die kantonalen Instanzen nicht das vom Beschwerdeführer vertretene Verständnis der Abstandsvorschriften übernommen haben; Mehrfamilienhäuser und Tiefgarage durften insoweit getrennt überprüft werden. Der Beschwerdeführer bestreitet nicht konkret, dass die Tiefgarage für sich allein im Bereich gegen sein Grundstück hin die Anforderungen von § 269 PBG einhält. Folglich kommt es insoweit nicht darauf an, welche Teilflächen des Bauareals in der Wohn- bzw. in der Kernzone liegen.
6.
6.1. Ein zusätzlicher Beschwerdepunkt betrifft den Abbruch des Schopfs Assek.-Nr. 941. Nach dem Beschwerdeführer handelt es sich dabei um ein Denkmalschutzobjekt. Er beantragt die Edition des Inventars denkmalgeschützter Gebäude der Gemeinde. Der Beschwerdeführer macht geltend, nach dem Heimatschutz-Leitbild der Gemeinde von 2003 komme dem Bauernhaus auf Kat.-Nr. IE4371 samt dem Schopf Assek.-Nr. 941 auf Kat.-Nr. IE4370 aus ortsbaulichen und baugeschichtlichen Gründen Zeugencharakter im Sinne von § 203 Abs. 1 lit. c PBG zu. Zudem beruft sich der Beschwerdeführer auf das Inventar schützenswerter Ortsbilder der Schweiz (ISOS), das Unter-Illnau als Ortsbild von regionaler Bedeutung einstufe. Die Fachbehörden für Heimat- bzw. Denkmalschutz hätten zur Unterschutzstellung dieses Schopfs nicht Stellung nehmen können. Das Gleichbehandlungsgebot werde missachtet, weil der Schopf des Beschwerdeführers denkmalgeschützt sei, während der vergleichbare Schopf Assek.-Nr. 941 abgerissen werden dürfe.
6.2. Die Verfassungsrügen, die sich gegen den Abbruch des fraglichen Schopfs (d.h. einer Scheune) richten, hat der Beschwerdeführer bereits vor dem Baurekursgericht, hingegen vor der Vorinstanz nur teilweise vorgebracht. Zwar sind vor Bundesgericht neue Verfassungsrügen, unter dem Vorbehalt einer treuwidrigen Prozessführung, zulässig (vgl. <ref-ruling> E. 4.4.6 S. 158). Das Bundesgericht legt aber seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.3 S. 156).
6.3. Das Baurekursgericht hat festgestellt, dass die Scheune Assek.-Nr. 941 im Jahr 1931 erbaut worden sei. Sie werde im kommunalen Heimatschutz-Leitbild genannt, sei aber nicht im kommunalen Inventar aufgeführt. Es hat nach Durchführung eines Augenscheins und unter Würdigung des erwähnten kommunalen Leitbilds im Ergebnis konkrete Anhaltspunkte für eine mögliche Schutzwürdigkeit der Scheune verneint. Dabei äusserte sich das Baurekursgericht auch zur ortsbaulichen Bedeutung dieses Nebengebäudes. Es erachtete es nicht als notwendig, die Schutzwürdigkeit der Scheune einer vertieften Abklärung zu unterziehen. Die Vorinstanz hat sich im angefochtenen Urteil nicht im Einzelnen mit der Schutzwürdigkeit der Scheune Assek.-Nr. 941 befasst.
Der Beschwerdeführer macht nicht substanziiert geltend, dass die Begründung des angefochtenen Urteils in dieser Hinsicht unvollständig sei. Bei der Rüge, dass eine fachliche Stellungnahme zur Unterschutzstellung der Scheune fehle, wird in der Beschwerdeschrift nicht dargelegt, gegen welche Vorschriften der behauptete Mangel verstossen soll. Auch der Antrag auf Beizug des kommunalen Inventars denkmalgeschützter Gebäude wird in der Beschwerdeschrift nicht näher begründet. Vielmehr wird in der Beschwerdeschrift bloss behauptet, dass die fragliche Scheune ein Schutzobjekt im Sinne von § 203 Abs. 1 lit. c PBG darstelle, und dabei auf das genannte, kommunale Heimatschutz-Leitbild hingewiesen. Diese Vorbringen reichen nicht aus, um gemäss den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 i.V.m. <ref-law> darzutun, dass die Verneinung der Schutzwürdigkeit willkürlich sein soll. In diesem Punkt kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
6.4. Was das ISOS betrifft, hat das Baurekursgericht zu Recht erwogen, dass es vorliegend nicht beachtlich ist. Darin werden schützenswerte Ortsbilder von nationaler, aber nicht solche von regionaler Bedeutung - wie Unter-Illnau - aufgezeichnet. Illnau-Effretikon bzw. Unter-Illnau sind im Anhang zur Verordnung über das Bundesinventar der schützenswerten Ortsbilder der Schweiz (SR 451.12) nicht verzeichnet. Die Berufung auf das ISOS hilft dem Beschwerdeführer nicht weiter.
6.5. Der Schopf Assek.-Nr. 947 auf dem Grundstück des Beschwerdeführers ist rechtskräftig unter Denkmalschutz gestellt worden (vgl. oben E. 2). Demgegenüber ist die Schutzwürdigkeit des Schopfs Assek.-Nr. 941 verneint worden (vgl. oben E. 6.3-6.4). Bei den beiden Nebengebäuden besteht somit eine unterschiedliche Ausgangslage. Demzufolge liegt keine verfassungsrechtliche Ungleichbehandlung (<ref-law>) im Umstand begründet, dass der Beschwerdeführer Assek.-Nr. 947 aufrechterhalten muss, während der Abbruch von Assek.-Nr. 941 bewilligt worden ist.
7.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Dieser hat der Beschwerdegegnerin eine angemessene Parteientschädigung für das bundesgerichtliche Verfahren auszurichten (Art. 68 Abs. 1-2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Baubehörde der Stadt Illnau-Effretikon und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. April 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Kessler Coendet