Sachverhalt:
A.
A._ ist seit dem Jahr 2000 im Besitz des Führerausweises der Kategorie B. Er ist wegen einer rezidivierenden depressiven Störung in psychiatrischer Behandlung und nimmt auf ärztliche Verschreibung hin verschiedene Medikamente ein. Zudem konsumiert er gelegentlich Cannabis.
Nachdem am 20. Dezember 2017 anlässlich einer Polizeikontrolle ein sog. Drugwipe-Betäubungsmittelschnelltest ein positives Ergebnis auf Cannabis und Benzodiazepine gezeitigt hatte, wurde bei A._ eine Blut- und Urinprobe durchgeführt. Gemäss dem Gutachten des Instituts für Rechtsmedizin des Kantonsspitals Aarau liess sich aus den Testergebnissen für den Zeitpunkt der Blutentnahme oder der polizeilichen Anhaltung keine Cannabis-Wirkung mit dadurch hervorgerufener Beeinträchtigung der Fahrfähigkeit ableiten; insgesamt könne nicht sicher auf einen nicht fahrfähigen Zustand des Probanden im Ereigniszeitpunkt geschlossen werden. Gegenüber der Polizei hatte A._ erklärt, am Vorabend der Kontrolle Marihuana und ein Arzneimittel sowie vor der Blut- und Urinprobe das Schmerzmittel Dafalgan konsumiert zu haben. Auf Aufforderung des Strassenverkehrsamts des Kantons Aargau hin reichte er eine Therapie-Bestätigung der Klinik B._ ein, in welcher seine aktuelle Medikation dargestellt wurde.
In der Folge verfügte das Strassenverkehrsamt am 13. April 2018, dass A._ der Führerausweis belassen werde, dies unter der Auflage, sich regelmässig psychiatrisch behandeln zu lassen und die allenfalls verordneten Medikamente regelmässig einzunehmen.
B.
Am 20. Mai 2018 wurde A._ erneut von der Polizei angehalten und kontrolliert. Diesmal verweigerte er den Drugwipe-Betäubungsmittelschnelltest. In dem daraufhin durchgeführten Blut- und Urintest wurden zahlreiche Wirkstoffe festgestellt, nicht aber THC oder dessen Abbauprodukt. Eine die Fahrfähigkeit im Zeitpunkt der Blutentnahme oder der polizeilichen Anhaltung beeinträchtigende Cannabis-Wirkung konnte nicht festgestellt werden. Die Gutachter empfahlen dennoch eine Fahreignungsabklärung, da die Polizei anlässlich der Kontrolle Ausfallerscheinungen bei A._ festgestellt hatte.
In der Folge entzog das Strassenverkehrsamt A._ den Führerausweis vorsorglich ab sofort bis zur Abklärung von Ausschlussgründen und verpflichtete ihn, sich auf eigene Kosten einer verkehrsmedizinischen Begutachtung zu unterziehen (Verfügung vom 3. August 2018).
Eine Beschwerde gegen diese Verfügung wies das Departement Volkswirtschaft und Inneres (DVI) des Kantons Aargau ab. Das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau hiess am 4. April 2019 eine von A._ dagegen erhobene Beschwerde teilweise gut. Es befand, gewisse Zweifel an seiner Fahreignung würden eine verkehrsmedizinische Begutachtung rechtfertigen. Allerdings seien diese Zweifel nicht erheblich genug, um A._ den Führerausweis vorsorglich zu entziehen.
C.
Mit Eingabe vom 23. Mai 2019 führt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 4. April 2019 sei dahingehend abzuändern, dass die Verfügung des DVI vollständig aufzuheben sei; er sei mithin (auch) nicht dazu zu verpflichten, eine verkehrsmedizinische Untersuchung zu absolvieren.
Während das DVI auf eine Vernehmlassung verzichtet, beantragen das Strassenverkehrsamt, das Verwaltungsgericht und das Bundesamt für Strassen ASTRA die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer nahm dazu Stellung, worüber die übrigen Verfahrensbeteiligten in Kenntnis gesetzt wurden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (Art. 82 lit. a und Art. 86 BGG), mit dem die Vorinstanz eine verkehrsmedizinische Untersuchung zur Abklärung der Fahreignung des Beschwerdeführers bestätigte. Dieser schliesst das Verfahren nicht ab, sondern stellt einen Zwischenentscheid dar, der nach der Rechtsprechung anfechtbar ist, zumal er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> bewirkt, indem der Beschwerdeführer einen Kostenvorschuss für die Abklärung leisten muss, der ihm möglicherweise nicht zurückerstattet wird, und er sich einer Untersuchung unterziehen muss (Urteile 1C_569/2018 vom 19. März 2019 E. 1.1 mit Hinweis; 1C_328/2011 vom 8. März 2012 E. 1; 1C_248/2011 vom 30. Januar 2012 E. 1). Der Beschwerdeführer ist als zur Fahreignungsabklärung Verpflichteter zur Beschwerde befugt (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist daher grundsätzlich einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Dieses wendet das Bundesgericht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht allerdings nur insoweit geprüft, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Hierzu gelten qualifizierte Begründungsanforderungen: In der Beschwerde ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern die angerufenen Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 579 mit Hinweis).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und zudem die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Bei der Rüge der offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft in diesem Fall nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3 S. 30; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266; je mit Hinweisen).
2.
Der Beschwerdeführer hat dem Bundesgericht einen Therapiebericht der Klinik B._ vom 21. Mai 2019 eingereicht. Dieses Dokument wurde somit zu einem Zeitpunkt verfasst, als das angefochtene Urteil vom 4. April 2019 bereits gefällt war. Es handelt sich deshalb um ein neues und damit unzulässiges Beweismittel (<ref-law>). Inwiefern erst das Urteil des Verwaltungsgerichts zur Einreichung des Berichts Anlass gegeben haben soll, ist nicht ersichtlich.
Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers wäre der Therapiebericht vom 21. Mai 2019 im Übrigen auch nicht geeignet, die Vermutung der Vorinstanz zu entkräften, wonach den behandelnden Ärzten der Klinik B._ sein Cannabis-Konsum bisher womöglich nicht bekannt gewesen sei. Denn das genannte Dokument äussert sich bloss sehr vage dahingehend, dass der Beschwerdeführer "im Berichtszeitraum" von einem seltenen Konsum von Cannabis berichtet habe; wann dies der Fall gewesen sein soll, geht daraus nicht hervor. Zudem bezieht sich die Aussage im Bericht über die fehlenden Einschränkungen der Fahrtauglichkeit alleine auf die aktuelle Medikation des Beschwerdeführers. Dass dabei eine allfällige Interaktion zwischen der Medikation und dem "seltenen Konsum von Cannabis" berücksichtigt worden wäre, ist nicht ersichtlich.
3.
Der Beschwerdeführer macht keine einfachrechtliche Verletzung von Bundesrecht geltend, erachtet das angefochtene Urteil aber in verschiedener Hinsicht als willkürlich (<ref-law>). Es ist sehr fraglich, ob die Beschwerdeschrift den qualifizierten Anforderungen von <ref-law> für die Rüge von Verfassungsverletzungen genügt (vgl. oben E. 1.2). Wie es sich damit verhält, kann aufgrund der nachstehenden Erwägungen aber offengelassen werden.
3.1. Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht; zudem ist erforderlich, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 372 mit Hinweisen). Die Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen hat oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat. Dass die vom Gericht gezogenen Schlüsse nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmen, belegt noch keine Willkür (<ref-ruling> E. 3.6.2 S. 287 mit Hinweisen).
3.2. Gemäss <ref-law> ist eine Fahreignungsuntersuchung durchzuführen, wenn Zweifel an der Fahreignung einer Person bestehen. Dies trifft namentlich dann zu, wenn eine Meldung eines Arztes vorliegt, wonach eine Person wegen einer körperlichen oder psychischen Krankheit, wegen eines Gebrechens oder wegen einer Sucht Motorfahrzeuge nicht sicher führen kann (<ref-law>). Dem Wortlaut dieser Norm lässt sich nicht entnehmen, dass diese Meldung einzig durch den die betreffende Person behandelnden Arzt erfolgen dürfte. Es erscheint vielmehr naheliegend, dass Ärzte, die in behördlichem Auftrag ein forensisch-toxikologisches Gutachten erstellen, ebenfalls eine Fahreignungsuntersuchung vorschlagen können, namentlich wenn sich die Beobachtungen der Polizei im Rahmen der Anhaltung des Fahrzeugführers aufgrund der Ergebnisse des Gutachtens nicht ohne weiteres erklären lassen. Was daran willkürlich sein soll, ist nicht ersichtlich und wird vom Beschwerdeführer auch nicht näher begründet.
3.3. Sodann erachtet es der Beschwerdeführer als willkürlich, dass die Vorinstanz Zweifel an seiner Fahreignung nicht ausgeschlossen habe, obwohl die untersuchenden Ärzte die von der Polizei festgestellten Symptome nicht festgestellt hätten und sich die Symptome, wie auch die Vorinstanz festgestellt habe, nicht innert 1 3⁄4 Stunden verflüchtigt haben könnten.
Ausweise und Bewilligungen sind zu entziehen, wenn festgestellt wird, dass die gesetzlichen Voraussetzungen zur Erteilung nicht oder nicht mehr bestehen (<ref-law>). Gemäss <ref-law> müssen Motorfahrzeugführer über Fahreignung und Fahrkompetenz verfügen. Die Fahreignung fehlt namentlich dann, wenn die erforderliche körperliche und psychische Leistungsfähigkeit zum sicheren Führen von Motorfahrzeugen nicht mehr vorhanden ist (vgl. <ref-law>). Wecken konkrete Anhaltspunkte ernsthafte Zweifel an der Fahreignung einer Person, ist eine Fahreignungsuntersuchung anzuordnen (<ref-law>, Art. 28a Abs. 1 der Verordnung vom 27. Oktober 1976 über die Zulassung von Personen und Fahrzeugen zum Strassenverkehr [Verkehrszulassungsverordnung, VZV; SR 741.51]). Nach der Rechtsprechung ist in den vom Gesetzgeber in <ref-law> aufgezählten Fällen grundsätzlich zwingend und ohne weitere Einzelfallprüfung eine Fahreignungsuntersuchung anzuordnen, selbst wenn die Zweifel im konkreten Fall noch nicht erhärtet oder nur abstrakter Natur sind (Urteil 1C_232/2018 vom 13. August 2018 E. 3.2; JÜRG BICKEL, in: Basler Kommentar, Strassenverkehrsgesetz, 2014, N. 15 zu <ref-law>). Diese Tatbestände begründen mithin einen Anfangsverdacht fehlender Fahreignung, welcher zur Anordnung einer Fahreignungsuntersuchung führt (Botschaft vom 20. Oktober 2010 zu Via sicura, Handlungsprogramm des Bundes für mehr Sicherheit im Strassenverkehr, BBI 2010 8470 Ziff. 1.3.2.6).
Vorliegend steht fest, dass der Beschwerdeführer an einer rezidivierenden depressiven Störung leidet, der Polizei zweimal im Rahmen von Verkehrskontrollen aufgefallen ist und dabei Zweifel an seiner Fahreignung erweckt hat, dass er - aufgrund seiner psychischen Erkrankung - verschiedene Medikamente zu sich nehmen muss, die sich negativ auf die Fahrtüchtigkeit auswirken können und dass er darüber hinaus gelegentlich Cannabis konsumiert. Wie die Vorinstanz nachvollziehbar dargestellt hat, erlauben es all diese Umstände zwar nicht, seine Eignung zum Führen eines Motorfahrzeugs zu verneinen; sie werfen aber durchaus gewisse Fragen hinsichtlich seiner Fahreignung auf. Obwohl anlässlich der Blut- und Urintests weder der aktive Cannabis-Wirkstoff THC noch dessen inaktives Abbauprodukt THC-Carbonsäure nachgewiesen wurde, kann es angesichts der oben dargestellten Umstände und der Risiken, die das Führen eines Motorfahrzeugs in nicht fahrtauglichem Zustand mit sich bringt, nicht als offensichtlich unhaltbar bezeichnet werden, Zweifel an der Fahreignung des Beschwerdeführers zu hegen. Damit sind die Vorinstanzen nicht in Willkür verfallen, wenn sie den Beschwerdeführer gestützt auf <ref-law> zu einer Fahreignungsuntersuchung verpflichtet haben.
3.4. An dieser Einschätzung vermag der Umstand nichts zu ändern, dass die Klinik B._ die Fahreignung des Beschwerdeführers in ihrer Therapiebestätigung vom 23. August 2018 bejaht hat. Auch wenn dieser Meinungsäusserung von medizinischen Fachpersonen Gewicht zukommt, ist davon auszugehen, dass sie sich aufgrund des Vertrauensverhältnisses zwischen ihnen und dem Patienten im Zweifelsfall regelmässig eher zu dessen Gunsten aussprechen werden bzw. eine Meldung im Sinne von <ref-law> in der Regel zurückhaltend vornehmen (<ref-ruling> E. 11.3.3 S. 137 f.; <ref-ruling> E. 3b/cc S. 353 mit Hinweisen; PHILIPPE WEISSENBERGER, in: Kommentar Strassenverkehrsgesetz und Ordnungsbussengesetz, 2. Aufl. 2014, N. 95 zu <ref-law>). Die Vorinstanz geht zudem willkürfrei davon aus, die Gesundheit des Beschwerdeführers habe sich seit August 2018 verschlechtert. Weiter können sich die behandelnden Ärzte ohnehin nur zur Fahreignung des Beschwerdeführers bei Einnahme der von ihnen verschriebenen Medikamente in der vorgeschriebenen Dosierung äussern, nicht aber zur Situation bei gleichzeitigem Konsum von Cannabis - wovon, wie die Vorinstanz zurecht feststellt, die behandelnden Ärzte beim Verfassen der Therapiebestätigung vom 23. August 2018 womöglich nichts wussten - oder bei einem allfälligen Medikamentenabusus. Daher erscheint es nicht willkürlich, dass die Vorinstanz befunden hat, die ärztliche Stellungnahme vermöge die relevanten Fragen nicht ohne weiteres zu beantworten, und eine Abklärung der Fahreignung als erforderlich erachtete.
4.
Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann, und die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrsamt des Kantons Aargau, dem Departement Volkswirtschaft und Inneres des Kantons Aargau, dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 1. Kammer, und dem Bundesamt für Strassen ASTRA, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. September 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Die Gerichtsschreiberin: Dambeck