Erwägungen:
1.
Am 4. März 2018 fanden in Winterthur die Wahlen von Gemeinde- und Stadtrat statt. Am 13. März 2018 wurden die Ergebnisse veröffentlicht. Kurt Senft erhob am 14. März 2018 Stimmrechtsrekurs. Der Bezirksrat Winterthur wies mit Beschluss vom 6. April 2018 den Rekurs ab, soweit er darauf eintrat. Auf eine dagegen von Kurt Senft erhobene Beschwerde trat das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Verfügung vom 26. April 2018 nicht ein.
2.
Kurt Senft erhob mit Eingabe vom 21. Juni 2018 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen die Verfügung des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 26. April 2018. Da die angefochtene Verfügung der Beschwerde nicht beilag, forderte das Bundesgericht Kurt Senft mit Verfügung vom 26. Juni 2018 auf, diese noch nachzureichen. Innert Frist kam Kurt Senft dieser Aufforderung nach. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt.
Der Beschwerdeführer setzt sich überhaupt nicht mit der Begründung des Verwaltungsgerichts auseinander, die zum Nichteintreten auf die Beschwerde führte. Er legt folglich nicht dar, inwiefern die Begründung des Verwaltungsgerichts bzw. deren Verfügung selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Stadt Winterthur, dem Bezirksrat Winterthur und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Juli 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli