Erwägungen:
1.
Mit Beschluss vom 24. Juli 2018 wies das Bezirksgericht Zürich in einem Forderungsprozess das Gesuch von A._ (Beschwerdeführer) um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege ab. A._ focht diesen Beschluss mit Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich an. Dieses wies die Beschwerde mit Urteil vom 24. Januar 2019 ab.
A._ hat mit Eingabe vom 27. Februar 2019 beim Bundesgericht Beschwerde gegen dieses Urteil erhoben und um Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsbeistands ersucht. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90).
3.
Die Beschwerde verfehlt die eben dargestellten Begründungsanforderungen, da darin auf die ausführliche Entscheidbegründung der Vorinstanz nicht hinreichend eingegangen wird. Ausserdem weicht der Beschwerdeführer wiederholt von der Sachverhaltsfeststellung im angefochtenen Entscheid ab, ohne aufzuzeigen, inwiefern diese offensichtlich unrichtig sein oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen soll.
In einer Eventualbegründung legte die Vorinstanz im Einzelnen dar, weshalb der (vor den Vorinstanzen anwaltlich vertretene) Beschwerdeführer den Mitwirkungsobliegenheiten (vgl. <ref-law>) nicht nachgekommen sei, die ihn im Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege träfen, und zwar was die Voraussetzung der Mittellosigkeit betreffe (vgl. <ref-law>). Diese Ausführungen weist der Beschwerdeführer nicht als bundesrechtswidrig aus, wenn er mit vor Bundesgericht unzulässigen Sachverhaltsergänzungen die Vorgänge rund um die Gesellschaften in seinem Umfeld erklärt, ohne aber aufzuzeigen, wie und mit welchen Belegen er bei den Vorinstanzen seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse, einschliesslich seiner finanziellen Verpflichtungen, dargetan hätte. Er behauptet einzig, seine Steuererklärungen, Lohnabrechnungen und einen Entscheid betreffend Prämienverbilligung eingereicht zu haben. Diese Unterlagen als solche als auch die Darlegungen des Beschwerdeführers hinsichtlich seiner finanziellen Situation insgesamt erachtete die Vorinstanz als nicht nachvollziehbar, nicht transparent und unvollständig, was sie einlässlich begründete. Darauf geht der Beschwerdeführer nicht zureichend ein. Inwiefern es Recht verletzen sollte, bei nicht ausreichender Substanziierung auf Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege zu schliessen, legt er ebenfalls nicht dar (vgl. ohnehin Urteil 4A_44/2018 vom 5. März 2018 E. 5.3 mit zahlreichen Hinweisen). Damit enthält die Beschwerde offensichtlich keine hinreichende Begründung, weshalb im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> auf sie nicht einzutreten ist.
Folglich erübrigt es sich, zu den Einwänden Stellung zu nehmen, welche der Beschwerdeführer gegen die Begründung der Vorinstanz vorträgt, wonach sein Rechtsbegehren auch aussichtslos erscheint (vgl. <ref-law>).
4.
Die vorliegende Beschwerde wurde am letzten Tag der Beschwerdefrist eingereicht. Damit besteht keine Möglichkeit, dass der Beschwerdeführer zur Verbesserung seiner Beschwerde fristgerecht einen Rechtsbeistand beiziehen kann (vgl. <ref-law> und BGE <ref-ruling> E. 2.4). Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung für das vorliegende Beschwerdeverfahren ist deshalb, und weil in diesem keine weiteren prozessualen Schritte zu unternehmen sind, gegenstandslos.
Der Beschwerdeführer beantragt nicht ausdrücklich, (auch) für das bundesgerichtliche Verfahren von der Bezahlung der Gerichtskosten befreit zu werden. Da die Beschwerde aussichtslos war, könnte einem solchen Gesuch ohnehin nicht entsprochen werden (siehe <ref-law>). Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten gemäss <ref-law> somit dem Beschwerdeführer aufzuerlegen.

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, dem Bezirksgericht Zürich, 2. Abteilung, und Inge Schmid schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. März 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Stähle