Faits :
A.
Par jugement du 9 novembre 2012, le Tribunal de première instance du canton de Genève a prononcé le divorce des époux A._, né en 1977, et B._, née en 1978. Il a maintenu l'autorité parentale conjointe sur leur fils C._, né en 2010, attribué la garde de l'enfant à la mère, réservé au père un droit de visite devant s'exercer trois et quatre jours consécutifs en alternance chaque semaine ainsi que pendant la moitié des vacances scolaires, entériné l'engagement du père de contribuer à l'entretien de l'enfant par le versement d'une pension mensuelle d'un montant de 500 fr. jusqu'à l'âge de 10 ans, 700 fr. de 10à 16 ans et 900 fr. de 16 à 25 ans au plus, à charge pour la mère de payer l'assurance-maladie de l'enfant, enfin, ratifié la prise en charge par moitié entre les parents de tous les frais extraordinaires imprévus concernant celui-ci (séjours linguistiques, dentiste, lunettes, etc.), ainsi que de ses frais médicaux non couverts.
B.
B.a. Statuant sur l'action en modification du jugement de divorce intentée par le père, le Tribunal de première instance a, le 28 avril 2020, constaté et, en tant que de besoin, ordonné, que la garde alternée était, respectivement soit exercée alternativement entre les parents à raison d'une semaine sur deux (le passage de l'enfant s'effectuant le lundi matin à l'école), ainsi que durant la moitié des vacances scolaires (ch. 1 du dispositif), fixé la domicile légal du mineur chez la mère (ch. 2), modifié et précisé, dans la seule mesure utile à l'application de ces chiffres, le jugement de divorce du 9 novembre 2012 (ch. 3), réparti les frais judiciaires (ch. 4) et débouté les parties de toutes autres conclusions (ch. 5).
B.b. Statuant par arrêt du 18 mai 2021 sur l'appel du père et sur l'appel joint de la mère, la Cour de justice du canton de Genève a confirmé le jugement de première instance et débouté les parties de toutes autres conclusions.
L'autorité cantonale a en particulier considéré qu'il n'y avait pas lieu de supprimer la contribution d'entretien due à l'enfant, dès lors que la situation financière du père ne s'était pas péjorée et que les charges du mineur ne s'étaient pas modifiées de façon notable et durable depuis le prononcé du divorce.
C.
Par acte posté le 24 juin 2021, le père exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 18 mai 2021. Il conclut, principalement, à son annulation en tant qu'il confirme le jugement de première instance du 28 avril 2020, à l'annulation du chiffre 5 de celui-ci, à l'annulation des chiffres 4 et 5 - relatifs à l'entretien de l'enfant - du jugement de divorce du 9 novembre 2012, à la suppression de toute contribution d'entretien pour son fils et à ce qu'il lui soit donné acte de son engagement de prendre directement en charge, dès le jour de la suppression de la contribution, les primes d'assurance-maladie du mineur, sa quote-part à charge de l'assuré, ses frais de parascolaires, de même que ses cotisations et autres frais liés au football. Subsidiairement, il sollicite l'annulation de l'arrêt entrepris et le renvoi de la cause à la Cour de justice pour nouvelle décision au sens des considérants.
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Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>), prise par un tribunal cantonal supérieur statuant sur recours (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans une affaire civile (<ref-law>) de nature pécuniaire dont la valeur litigieuse requise est atteinte (art. 51 al. 1 let. a et al. 4, 74 al. 1 let. b LTF). Interjeté en outre en temps utile (<ref-law>) et dans la forme légale (<ref-law>), par une partie qui a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt digne de protection à l'annulation ou la modification de la décision attaquée (<ref-law>), le recours est en principe recevable.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'<ref-law>, il n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une autorité de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2.4 et les références, 402 consid. 2.6). Le recourant doit discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 1.7.1; <ref-ruling> consid. 2.4 et la référence). Le Tribunal fédéral ne connaît par ailleurs de la violation de droits fondamentaux que si un tel grief a été expressément invoqué et motivé de façon claire et détaillée par le recourant ("principe d'allégation", <ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 5.1).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si ceux-ci ont été constatés de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 6.7; <ref-ruling> consid. 2.2 et la référence), doit satisfaire au principe d'allégation susmentionné (<ref-law>; cf. supra consid. 2.1). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (<ref-ruling> consid. 4.1.2; <ref-ruling> consid. 1.1). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il n'y a arbitraire que si l'autorité cantonale n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans raisons objectives de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 1.1 et la référence).
2.3. Les conclusions principales du recourant sont mal formulées: en demandant l'annulation de l'arrêt entrepris en tant qu'il confirme le jugement de première instance, il réclame implicitement l'admission de son action en modification du jugement de divorce, du moins s'agissant de l'entretien de l'enfant; il en va de même lorsqu'il sollicite l'annulation partielle de celui-ci. Quant à sa conclusion tendant à l'annulation du jugement du 28 avril 2020, elle est irrecevable, le recours en matière civile n'étant recevable qu'à l'encontre des décisions de dernière instance cantonale (<ref-law>).
3.
Le recourant invoque l'établissement arbitraire des faits et la violation du droit fédéral, plus particulièrement de l'<ref-law> et de la maxime inquisitoire illimitée. Il soutient que, contrairement à l'opinion des juges précédents, trois faits nouveaux importants et durables intervenus dans la situation financière des parents et de l'enfant commandaient de revoir la contribution d'entretien mise à sa charge.
3.1. En matière de contribution due pour l'entretien d'un enfant, l'<ref-law>, applicable par renvoi de l'<ref-law>, prévoit que si la situation change notablement, le juge modifie ou supprime la contribution d'entretien à la demande du père, de la mère ou de l'enfant. Cette modification ou suppression n'est possible que si les circonstances ayant prévalu lors de la fixation de la contribution ont subi un changement notable et durable qui n'a pas été pris en compte dans le jugement de divorce. La procédure de modification n'a en effet pas pour but de corriger le premier jugement, mais de l'adapter aux circonstances nouvelles (<ref-ruling> consid. 3.3.1; <ref-ruling> consid. 11.1.1; <ref-ruling> consid. 2.7.4; arrêt 5A_971/2020 du 19 novembre 2021 consid. 5.2.3.1 et les références). Lorsque le juge admet que les conditions susmentionnées sont remplies, il doit en principe fixer à nouveau la contribution d'entretien après avoir actualisé tous les éléments pris en compte pour le calcul dans le jugement précédent, en faisant usage de son pouvoir d'appréciation (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.1.2; arrêt 5A_190/2020 du 30 avril 2021 consid. 3 et la jurisprudence citée).
La survenance d'un fait nouveau - important et durable - n'entraîne toutefois pas automatiquement une modification de la contribution d'entretien. En particulier, l'amélioration de la situation du parent crédirentier doit en principe profiter aux enfants par des conditions de vie plus favorables, notamment par l'acquisition d'une meilleure formation, en tout cas lorsque cette amélioration est due aux efforts que ledit parent fournit en travaillant davantage. Ce n'est que si la charge d'entretien devient déséquilibrée entre les deux parents, au vu des circonstances prises en compte dans le jugement précédent, en particulier si cette charge devient excessivement lourde pour le parent débirentier qui aurait une condition modeste, qu'une modification de la contribution peut entrer en considération. Le juge ne peut donc pas se limiter à constater une modification dans la situation d'un des parents pour admettre la demande; il doit procéder à une pesée des intérêts respectifs de l'enfant et de chacun des parents pour juger de la nécessité de modifier la contribution d'entretien dans le cas concret (<ref-ruling> consid. 4.1.1; <ref-ruling> consid. 2.2.2; arrêts 5A_190/2020 du 30 avril 2021 consid. 3; 5A_230/2019 du 31 janvier 2020 consid. 6.1 et la jurisprudence citée).
3.2.
3.2.1. Le recourant reproche à l'autorité cantonale d'avoir estimé que les charges de l'enfant ne s'étaient pas modifiées de manière importante et durable depuis le jugement de divorce.
S'il prétend que la cour cantonale a fait preuve d'arbitraire et violé la maxime inquisitoire illimitée en retenant qu'il n'avait pas démontré quel était le montant exact des charges du mineur au moment du divorce, il ne soutient cependant pas, et par conséquent n'établit pas non plus, qu'une diminution des besoins de son fils ou une augmentation des éventuels revenus ou fortune de celui-ci (cf. <ref-law>) serait intervenue postérieurement au jugement de divorce. A l'appui de son moyen, il expose en substance que la pension de 500 fr. fixée en 2012 avait pour but de couvrir "le déficit de l'intimée", d'un montant de 400 fr. ("contribution de prise en charge" qui n'aurait plus lieu d'être), ainsi que les frais d'assurance-maladie de l'enfant, en 140 fr.; il ajoute que les besoins actuels de celui-ci se montent à 500 fr., hors minimum vital et frais de logement pris en charge directement par les parents pour une moitié chacun, et que force serait ainsi de constater qu'après déduction des allocations familiales, les coûts "fixes" du mineur s'élèvent à 200 fr. On peine à saisir la pertinence de cette critique au regard de principes relatifs à la modification du jugement de divorce (cf. supra consid. 3.1). Par son argumentation, le recourant paraît bien plutôt remettre en cause la répartition des charges de l'enfant entre les parents, ce qui revient à vouloir corriger le jugement de divorce. L'autorité cantonale a d'ailleurs relevé qu'il ressortait de l'exposé de l'appelant que celui-ci entendait se plaindre de "la mise en oeuvre" dudit jugement, et non d'une modification des charges de l'enfant: il est par conséquent douteux que le grief, tel que formulé dans le recours en matière civile, ait été soulevé en appel, autrement dit, que le principe de l'épuisement des instances ait été respecté (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.1).
Pour autant qu'il soit recevable, le grief doit par conséquent être rejeté.
3.2.2. Selon le recourant, l'autorité cantonale aurait de plus estimé à tort que sa situation financière ne s'était pas péjorée au point de revoir la contribution d'entretien due pour son fils.
Dans la mesure où il se plaint du refus des juges précédents de tenir compte de l'augmentation de ses charges résultant de la séparation d'avec sa compagne, au motif, selon lui insoutenable, que ce fait n'était pas démontré, sa critique est à l'évidence infondée. La Cour de justice a en effet constaté, ce que le recourant reconnaît du reste expressément, qu'il ne vivait pas en concubinage au moment du divorce. Supposée établie, cette prétendue séparation ne constituerait donc de toute façon pas une circonstance nouvelle permettant d'entrer en matière sur une éventuelle modification de la contribution d'entretien.
En tant qu'il concerne la détermination de ses revenus, le grief du recourant, pour autant qu'il soit suffisamment motivé, n'apparaît pas non plus fondé. L'arrêt attaqué retient comme établi que les ressources du débirentier ont baissé depuis le prononcé du divorce, passant d'un revenu de 10'000 fr. nets par mois, bonus garanti compris, à 9'000 fr. d'indemnités mensuelles nettes de chômage, en moyenne, de juin 2019 à octobre 2020, puis à 7'456 fr. nets par mois, participation à l'assurance-maladie comprise, pour une activité lucrative à un taux de 80% commencée en octobre 2020. Ses charges, de quelque 8'800 fr. lors du divorce, ne s'élevaient toutefois plus qu'à 6'500 fr. Lorsqu'il était au chômage, il bénéficiait ainsi d'un solde disponible de l'ordre de 2'500 fr. par mois, soit un montant mensuel largement supérieur à celui de 1'200 fr. dont il disposait au moment du jugement de divorce. Actuellement, son solde disponible n'était certes plus que d'environ 1'000 fr. par mois. En travaillant à plein temps - ce qui pouvait être attendu de lui et qui était le cas lors du divorce, puis durant les années qui avaient suivi celui-ci -, il serait cependant en mesure de réaliser un revenu au moins équivalent à celui que lui procuraient ses allocations de chômage. Il serait de surcroît légitimé à obtenir des indemnités de chômage afin de compléter son salaire réalisé en travaillant à un taux de 80% (art. 8 al. 1 let. a et 10 al. 2 let. b LACI). Pour l'autorité cantonale, sa situation financière ne s'était donc pas péjorée d'une façon justifiant de revoir le principe et le montant des contributions à l'entretien de son fils. Au contraire, malgré une admission large des charges composant son minimum vital, il demeurait dans une situation où il n'apparaissait pas déséquilibré qu'il supporte l'essentiel des frais d'entretien de l'enfant.
Selon le recourant, les juges précédents ont erré en retenant, à la suite d'une constatation arbitraire des faits, qu'il devait et pouvait retrouver un travail à 100% et réaliser ainsi un revenu annuel brut de 130'000 fr., ou encore obtenir des prestations de chômage pour compléter son salaire à concurrence de 20%. Ce moyen n'est toutefois pas décisif. A l'instar de l'autorité cantonale, force est d'admettre que le solde disponible du débirentier - qu'il soit de l'ordre de 1'000 fr. par mois comme actuellement ou supérieur à ce montant - lui permet d'assumer la contribution mensuelle de 700 fr. due à son fils, ce que le recourant ne conteste du reste pas. Il ne prétend pas non plus que cette charge d'entretien serait déséquilibrée pour lui, en particulier qu'elle serait excessivement lourde au regard de sa condition modeste (cf. ATF <ref-ruling> consid. 2.2.2; <ref-ruling> consid. 2c). Dans ces conditions, son argumentation ne peut être suivie.
3.2.3. Le recourant reproche aussi à l'autorité cantonale d'avoir arbitrairement retenu qu'il n'avait pas établi que la situation financière de l'intimée se fût notablement et durablement améliorée depuis le prononcé du divorce, puisqu'elle faisait l'objet de nombreuses poursuites, ainsi que d'une saisie de revenus. Il se plaint en outre à cet égard d'une violation de l'<ref-law>.
Autant qu'elle est suffisamment motivée (art. 42 al. 2, 106 al. 2 LTF), la critique n'apparaît pas fondée. Sous l'angle de l'établissement des faits, le recourant soutient, en se référant à une pièce (n° 42) produite en appel par l'intimée, que celle-ci a uniquement établi avoir fait l'objet d'une saisie de revenus de février à avril 2019, sans démontrer que celle-ci aurait encore lieu, ni pour quel montant. Ce faisant, il n'établit pas encore que la constatation des juges cantonaux, selon laquelle la mère fait l'objet de nombreuses poursuites, serait insoutenable. L'arrêt querellé constate du reste qu'en appel, il s'est prévalu de " l'impécuniosité de l'intimée - à savoir des saisies opérées sur ses revenus". Quant au montant de la saisie qu'il conteste, il ressort de la pièce n° 42, à laquelle il se réfère expressément, qu'il s'élève à 3'120 fr. par mois.
Dans la mesure où il expose, par ailleurs, qu'il n'a pas été tenu compte de poursuites ou de saisies dans le jugement de divorce, sa critique est sans pertinence. En effet, il s'agit bien là d'un fait nouveau (cf. supra consid. 3.1), lequel vient toutefois contrebalancer la prétendue amélioration de la situation financière de l'intimée dont il se prévaut. Il en va de même lorsqu'il soutient que, s'agissant de l'entretien d'un enfant, l'autorité cantonale ne pouvait tenir compte de nouvelles dettes de l'un ou l'autre parent. Contrairement à ce que prétend de plus le recourant, le fait que le montant de celles-ci ne résulte pas de l'arrêt entrepris ne suffit pas pour admettre que la Cour de justice aurait fait preuve d'arbitraire ou violé le droit fédéral en estimant que la situation financière de l'intimée ne s'était pas notablement et durablement améliorée depuis le prononcé du divorce. L'argument selon lequel la durée des poursuites n'est pas déterminée ne convainc pas davantage: si, le cas échéant, le recourant considère qu'à la suite de la cessation de celles-ci, la situation financière de la mère se trouve améliorée de manière telle qu'il serait justifié de supprimer ou de réduire la contribution à l'entretien de l'enfant, il lui appartiendra d'intenter une nouvelle action en modification du jugement de divorce. C'est d'ailleurs le lieu de relever que, sauf dans le présent recours en matière civile, le père n'a jamais prétendu que l'amélioration des ressources de l'intimée, par rapport à celles dont elle bénéficiait au moment du divorce, représentait un fait nouveau au sens de l'<ref-law>.
Quoi qu'il en soit, l'amélioration des ressources du parent crédirentier ne constitue pas, en soi, un facteur de réduction des contributions d'entretien (cf. supra consid. 3.1). Or le recourant - qui se contente d'affirmer, de manière générale, qu'il incombait aux juges précédents de revoir la question de la prise en charge financière de l'enfant afin qu'elle soit équilibrée pour les deux parents - n'avance aucun élément qui permettrait de considérer que la cour cantonale aurait enfreint le droit fédéral à ce sujet.
En tant que le recourant reproche par ailleurs à l'autorité cantonale d'avoir arbitrairement retenu que l'intimée avait démontré qu'elle ne percevait plus les allocations familiales depuis le 30 juin 2019, son grief est en outre sans pertinence. On ne discerne en effet pas en quoi cette circonstance aurait une quelconque influence sur le sort de la cause, les allocations familiales devant être déduites des besoins de l'enfant, et non pas ajoutées au revenu du parent qui les reçoit (<ref-ruling> consid. 4.2.3; <ref-ruling> consid. 4b; arrêts 5A_987/2020 du 24 février 2022 consid. 5.2; 5A_782/2019 du 15 juin 2020 consid. 3.3).
4.
Sur le vu de ce qui précède, le recours apparaît mal fondé et ne peut donc être que rejeté, dans la mesure où il est recevable, aux frais de son auteur (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 29 mars 2022
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Mairot