Faits :
A.
Par décision du 17 mai 2021, la Caisse cantonale genevoise de chômage (ci-après: la caisse) a nié le droit de A._ à des indemnités de chômage, au motif qu'il ne justifiait pas d'une période de cotisation suffisante et ne pouvait se prévaloir d'aucun motif de libération. Le 2 juin 2021, le prénommé a formé opposition contre cette décision.
B.
B.a. Par acte du 5 juillet 2021, A._ a déposé un recours devant la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève, en se plaignant d'un déni de justice et en argumentant sur le fond.
Le 17 juillet 2021, il a spontanément transmis à la cour cantonale un courriel de la caisse qui lui avait été adressé en date du 12 juillet 2021, dans lequel celle-ci constatait qu'il n'avait pas donné suite à un avis du 4 juin 2021 l'invitant à produire une opposition motivée jusqu'au 5 juillet 2021, et lui impartissait un nouveau délai au 12 août 2021 pour ce faire. L'intéressé a fait part à la cour cantonale qu'il n'avait jamais reçu l'avis de la caisse du 4 juin 2021.
B.b. Dans sa réponse du 29 juillet 2021, la caisse s'est proposée, par gain de temps, de considérer le recours cantonal de l'intéressé comme une opposition motivée dans le délai contre sa décision du 17 mai 2021, indiquant qu'elle allait poursuivre l'instruction de ce dossier et se prononcer dans les meilleurs délais. Le recourant a répliqué en insistant sur le fait qu'il n'avait jamais reçu l'avis du 4 juin 2021.
Le 17 septembre 2021, la caisse a informé la cour cantonale qu'elle avait rendu une décision sur opposition le 8 septembre 2021.
B.c. Après avoir interpellé le recourant sur la suite qu'il entendait donner à son recours, la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève l'a déclaré sans objet, par arrêt du 2 novembre 2021.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre cet arrêt.

Considérant en droit :
1.
Selon l'<ref-law>, le président de la cour décide en procédure simplifiée de ne pas entrer en matière sur les recours dont la motivation est manifestement insuffisante (<ref-law>). Il peut confier cette tâche à un autre juge (<ref-law>).
2.
Aux termes de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, le recours doit indiquer, entre autres exigences, les conclusions, les motifs et les moyens de preuve, en exposant en quoi l'acte attaqué est contraire au droit. Pour satisfaire à l'obligation de motiver, la partie recourante doit discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi elle estime que l'autorité précédente a méconnu le droit, de telle sorte que l'on comprenne clairement, à la lecture de son exposé, quelles règles de droit auraient été, selon elle, transgressées par l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 1.7.1 et les références).
En outre, la partie recourante ne peut critiquer les constatations de fait que si elles ont été établies en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst., et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
3.
3.1. En l'espèce, les juges cantonaux ont considéré que le recours pour déni de justice était devenu sans objet vu la décision sur opposition du 8 septembre 2021 de l'intimée, rendue postérieurement audit recours et fondée notamment sur les diverses écritures et pièces produites par le recourant en cours d'instance.
3.2. Dans son écriture, le recourant se contente de relater par le détail toutes les étapes de la procédure. Il se plaint de la mauvaise foi de la caisse et critique la décision sur opposition du 8 septembre 2021. Il reproche également à la cour cantonale d'avoir fait preuve de partialité à son endroit en ne tenant pas compte des problèmes qu'il avait soulevés et en retenant une version des faits incomplète dans son arrêt.
3.3. Ce faisant, il ne prend toutefois pas position sur les motifs qui ont conduit la cour cantonale à considérer que son recours était devenu sans objet, étant précisé que le litige était circonscrit à la question du déni de justice et non pas aux motifs retenus par la caisse pour nier son droit au chômage. Le recourant n'expose pas non plus en quoi les faits qu'il invoque auraient une influence sur l'issue de la procédure, c'est-à-dire sur le dispositif de l'arrêt entrepris. Enfin, il ne fait mention d'aucune disposition légale qui aurait été violée par les juges cantonaux.
3.4. Partant, le recours ne répond manifestement pas aux exigences de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF et doit être déclaré irrecevable selon la procédure simplifiée de l'<ref-law>.
4.
Au vu des circonstances, il sera exceptionnellement renoncé à percevoir des frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Juge unique prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève et au Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO).
Lucerne, le 1er février 2022
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge unique : Abrecht
La Greffière : von Zwehl