Faits :
A.
A.a. A._, ressortissant turc né en 1985 en Turquie, est arrivé en Suisse pour rejoindre son père le 5 octobre 2002. Il a obtenu une autorisation d'établissement.
A.b. L'intéressé a été condamné pénalement à plusieurs reprises, dont, le 21 novembre 2014, à une peine privative de liberté de vingt-quatre mois avec sursis pendant trois ans, pour actes d'ordre sexuel commis sur une personne incapable de discernement ou de résistance (jugement du Tribunal correctionnel de Lausanne, dont la peine a été confirmée le 17 juin 2015 par la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud).
A.c. Par décision du 5 avril 2017, le Chef du Département de l'économie, de l'innovation et du sport du canton de Vaud (ci-après: le Département) a révoqué l'autorisation d'établissement de l'intéressé et a ordonné son renvoi immédiat de Suisse, au motif que ses nombreux antécédents pénaux, en particulier sa dernière condamnation, constituaient une atteinte très grave à la sécurité et à l'ordre publics. Le recours formé par l'intéressé contre cette décision a été successivement rejeté par la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après : le Tribunal cantonal), en date du 9 janvier 2018, puis par le Tribunal fédéral le 28 mai 2018 (arrêt 2C_157/2018).
A.d. Le 31 juillet 2018, A._ a déposé devant le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service de la population), une demande de réexamen (reconsidération) de la décision du Département du 5 avril 2017, au motif qu'il avait initié des démarches en vue d'une procédure de mariage avec sa compagne suisse et qu'il avait trouvé un emploi. Par décision du 28 janvier 2019, le Service de la population a refusé de délivrer à l'intéressé une autorisation de séjour en vue de mariage et ordonné son renvoi immédiat de Suisse. Le recours formé par l'intéressé contre cette décision a été rejeté en dernière instance par le Tribunal fédéral le 12 juillet 2019 (arrêt 2C_497/2019). Le 22 août 2019, le Service de la population lui a imparti un délai immédiat pour quitter la Suisse. Un délai au 13 septembre 2019 lui a été fixé pour se présenter afin de régler des formalités liées à l'annonce de son départ.
Le 7 septembre 2019, l'intéressé a déposé devant le Département une demande de report de l'exécution de son renvoi au motif qu'il souhaitait déposer devant la Cour européenne des droits de l'homme (CourEDH) une requête individuelle fondée sur l'art. 34 de la Convention européenne des droits de l'homme (CEDH).
B.
Le 26 octobre 2019, A._ a déposé auprès du Service de la population une demande de réexamen de la décision du 5 avril 2017 en faisant valoir que l'état de santé de son père s'était détérioré et que celui-ci se trouvait dans un rapport de dépendance envers lui.
Par décision du 6 décembre 2019, le Département a déclaré irrecevable la demande de reconsidération déposée par l'intéressé, subsidiairement l'a rejetée, et a maintenu le délai imparti pour quitter la Suisse.
Par arrêt du 6 février 2020, le Tribunal cantonal a rejeté le recours interjeté par l'intéressé contre cette décision.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, outre l'effet suspensif au recours, l'annulation de l'arrêt précité du 6 février 2020 et le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Par ordonnance du 11 mars 2020, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a admis la demande d'effet suspensif.
Le Département se rallie à la position du Tribunal cantonal. Le Service de la population et le Tribunal cantonal renoncent à se déterminer. Le Secrétariat d'État aux migrations ne s'est pas prononcé.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 2 p. 59).
1.1. Selon l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions relatives à une autorisation de droit des étrangers à laquelle ni le droit fédéral, ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit, sous l'angle de la recevabilité, qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et que, partant, la voie du recours en matière de droit public soit ouverte (cf. <ref-ruling> consid. 2.5 p. 315).
1.2. Le Tribunal cantonal, en suivant sur ce point l'approche du Département, a examiné la présente cause sous l'angle de la reconsidération de la décision de révocation de l'autorisation d'établissement du recourant, prononcée le 5 avril 2017 par le Département. Cette décision avait toutefois été confirmée en dernière instance par le Tribunal fédéral par arrêt du 28 mai 2018. Partant, une reconsidération ultérieure de la décision du 5 avril 2017 par le Service de la population était de toute façon exclue, seule la voie de la révision auprès du Tribunal fédéral (<ref-law>) - qui n'a cependant pas été utilisée - demeurant possible (cf. arrêts 2C_634/2016 du 4 mai 2017 consid. 1.1.2; 2C_876/2013 du 18 novembre 2013 consid. 2). Il en découle que l'autorisation d'établissement du recourant a été définitivement révoquée par décision du Département du 5 avril 2017, confirmée en dernière instance par le Tribunal fédéral le 28 mai 2018.
1.3. Cela étant, la révocation d'une autorisation d'établissement est une décision qui déploie ses effets pour le futur et qui implique la caducité de l'autorisation dont bénéficiait l'étranger jusqu'alors. Il s'ensuit qu'en principe, ce dernier peut formuler en tout temps une nouvelle demande d'autorisation. Si cette demande est accordée, cela n'implique pas la renaissance de l'autorisation caduque, mais la naissance d'une nouvelle autorisation, octroyée parce que les conditions sont remplies au moment où la demande a été formulée. L'on ne se trouve donc pas, dans ce contexte, dans une situation de réexamen au sens propre du terme (arrêt 2C_634/2016 du 4 mai 2017 consid. 1.1.3 et les références).
1.4. Il découle de ce qui précède qu'au stade de la recevabilité, il convient dans le présent cas d'examiner si le recourant peut se prévaloir, de manière soutenable, d'un droit potentiel à une nouvelle autorisation de droit des étrangers (cf. supra consid. 1.1). Les conditions pour l'octroi d'une nouvelle autorisation d'établissement n'étant à l'évidence pas remplies (cf. art. 34 LEI [RS 142.20]), seul le droit potentiel à l'octroi d'une autorisation de séjour peut entrer en considération.
1.5. En l'espèce, le recourant se prévaut de l'art. 8 par. 1 CEDH en invoquant, de manière défendable, l'existence d'un lien de dépendance particulier avec son père malade. Dès lors que la jurisprudence admet, à certaines conditions restrictives, qu'un droit de séjour puisse être tiré des art. 8 par. 1 CEDH et 13 Cst. en pareilles situations (cf. infra consid. 2), il y a lieu d'admettre que la voie du recours en matière de droit public est ouverte, étant précisé que le point de savoir si l'intéressé remplit les conditions pour obtenir l'autorisation requise relève du fond et non de la recevabilité (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 179). Une telle voie n'est en revanche pas ouverte pour ce qui concerne le renvoi ou l'admission provisoire du recourant (art. 83 let. c ch. 4 in fine et 5 LTF).
1.6.
1.6.1. En vertu de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, le recourant doit motiver son recours en exposant succinctement en quoi la décision attaquée viole le droit. En particulier, la motivation doit se rapporter à l'objet du litige tel qu'il est circonscrit par la décision litigieuse (<ref-ruling> consid. 6.4 p. 121). Lorsque celle-ci confirme une décision d'irrecevabilité, les motifs développés dans le mémoire de recours doivent porter sur la question de la recevabilité traitée par l'instance précédente à l'exclusion du fond du litige (cf. <ref-ruling> consid. 1b p. 336; arrêt 1C_380/2016 du 8 mars 2017 consid. 1.1). Pour satisfaire à cette exigence, il appartient au recourant de discuter au moins brièvement les considérants de la décision litigieuse et d'expliquer en quoi ceux-ci seraient contraires au droit (<ref-ruling> consid. 2 p. 89; arrêt 1C_16/2020 du 20 janvier 2020 consid. 3).
Selon la jurisprudence, lorsque la décision attaquée comporte plusieurs motivations indépendantes, alternatives ou subsidiaires, toutes suffisantes pour sceller le sort de la cause, la partie recourante doit, sous peine d'irrecevabilité, démontrer que chacune d'elles est contraire au droit en se conformant aux exigences de motivation requises (cf. <ref-ruling> consid. 2.4 p. 368; <ref-ruling> consid. 4.1.4 p. 100; <ref-ruling> consid. 2 p. 535).
1.6.2. En l'espèce, le Département n'est pas entré en matière sur la demande du recourant et l'a rejetée à titre subsidiaire. Le Tribunal cantonal a confirmé cette décision. Selon lui, le Département avait retenu à juste titre que la situation du recourant ne s'était pas modifiée dans une mesure notable depuis la révocation de son autorisation d'établissement le 5 avril 2017 et, sur le fond, il avait nié à raison l'existence d'un rapport de dépendance entre le recourant et son père en raison des problèmes psychiques de celui-ci.
1.6.3. Le recourant invoque l'art. 8 par. 1 CEDH dont il estime les conditions remplies. Il se plaint dans ce cadre d'une appréciation arbitraire des faits par le Tribunal cantonal qui n'aurait à tort pas retenu que son père souffrait de graves problèmes de santé physique et psychique et qu'il avait besoin de lui à ses côtés. Il ne fait en revanche pas valoir que sa situation se serait modifiée de façon notable depuis le prononcé de la révocation d'établissement en avril 2017, voire depuis que le Service de la population lui a refusé une autorisation de séjour le 28 janvier 2019. En particulier, le recourant ne prétend pas, ni a fortiori ne démontre, que l'état de santé de son père, qui selon l'arrêt attaqué est suivi pour des troubles psychiques depuis 2012, se serait dégradé depuis avril 2017, respectivement janvier 2019.
Le recourant ne s'attaque ainsi pas au bienfondé de la décision de non-entrée en matière, confirmée par le Tribunal cantonal, mais s'en prend uniquement au fond du litige. Son recours est en cela insuffisamment motivé et donc irrecevable (cf. supra consid. 1.6.1).
2.
2.1. Même si le recours de l'intéressé pouvait être déclaré recevable, il devrait être rejeté. Le Tribunal cantonal retient en effet à juste titre que les conditions de l'art. 8 par. 1 CEDH en lien avec un rapport de dépendance particulier entre le père du recourant et celui-ci ne sont pas remplies (cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 230 s. et références; arrêts 2C_471/2019 du 25 septembre 2019 consid. 4 et références; 2C_1083/2016 du 24 avril 2017 consid. 4). Selon l'arrêt attaqué, il n'est pas établi que le soutien que nécessite l'état de santé du père du recourant ne peut être fourni que par ce dernier. Le recourant ne remet pas en question ces faits sous l'angle de l'arbitraire, conformément aux exigences de motivation accrues de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 5; <ref-ruling> consid. 6.3 p. 375). Contrairement à ce qu'il prétend, le Tribunal cantonal ne nie pas que son père a des problèmes de santé, mais il retient que ceux-ci n'imposent pas sa présence à ses côtés. Par ailleurs, le recourant reproche à l'autorité précédente de ne pas avoir tenu compte des atteintes physiques de son père, mais n'indique pas, ni n'établit, de quels troubles il s'agirait, ni dans quelle mesure ils rendraient indispensables sa présence à ses côtés. Son argumentation appellatoire sur ce point ne peut être prise en compte (cf. ATF <ref-ruling> consid. 6.3 p. 375; <ref-ruling> consid. 10.1 p. 445).
2.2. Par ailleurs, à moins de ressortir déjà de l'arrêt attaqué, les pièces produites par le recourant ne peuvent pas être prises en compte. En effet, soit il s'agit de pièces nouvelles irrecevables (<ref-law>), soit d'éléments figurant déjà au dossier cantonal qui n'auraient arbitrairement pas été pris en considération par l'autorité précédente, auquel cas, il aurait appartenu au recourant de l'alléguer et de le démontrer (<ref-law>), ce qu'il n'a pas fait.
3.
Enfin, le recourant se plaint d'une violation de l'art. 25 al. 3 Cst. et de l'art. 3 CEDH, en invoquant qu'en cas de renvoi en Turquie, il sera contraint de remplir ses obligations militaires dans un contexte politique et militaire qui menacera son intégrité physique.
3.1. Comme déjà mentionné, un tel grief, qui porte sur l'exigibilité du renvoi, est irrecevable sous l'angle du recours en matière de droit public. Il peut néanmoins être examiné sous l'angle du recours constitutionnel subsidiaire (<ref-law>).
3.2. Le Tribunal cantonal a confirmé la décision du Service de la population qui avait retenu que le caractère illicite ou inexigible d'un renvoi en Turquie n'avait pas été établi. En outre, l'autorité précédente a également relevé que l'éventualité pour le recourant de devoir effectuer son service militaire, avec un risque d'être engagé dans une zone de conflit armé n'était pas nouveau. Le recourant ne prétend pas qu'il n'avait pas connaissance de ces éléments en avril 2017 ou qu'il aurait été empêché de les faire valoir. Les conditions permettant d'entrer en matière sur une demande de réexamen (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 181; arrêt 2C_170/2018 du 18 avril 2018 consid. 4.1 et les autres références citées) ne sont partant pas remplies.
Au demeurant, le recourant reste très vague sur les dangers encourus en cas de retour en Turquie, pays qui ne se trouve notamment pas dans une situation de violence généralisée. Le fait de devoir y accomplir son service militaire ne saurait à lui seul être assimilé à un traitement prohibé par les art. 3 CEDH et 25 al. 3 Cst. (concernant la confirmation de renvoi dans ce pays de ressortissants en âge d'accomplir leur service militaire, cf. notamment arrêt 6B_1417/2019 du 13 mars 2020 et arrêt du Tribunal administratif fédéral D-6819/2019 du 11 mars 2020 consid. 8). Par ailleurs, le Tribunal cantonal a également constaté que le Service de la population n'avait pas proposé l'admission provisoire au Secrétariat d'État aux migrations dans sa décision du 5 avril 2017.
4.
Il découle de ce qui précède que le recours est irrecevable. Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (cf. <ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (cf. art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué à la mandataire du recourant, au Département de l'économie, de l'innovation et du sport du canton de Vaud (DEIS), Secrétariat général, au Service de la population du canton de Vaud, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, et au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 18 septembre 2020
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : de Chambrier