Sachverhalt:
A.
A._ lenkte am 17. März 2017 einen Personenwagen, obschon ihm wegen einer leichten Widerhandlung gegen das Strassenverkehrsgesetz das Strassenverkehrsamt des Kantons Zürich mit Verfügung vom 1. September 2016 den Führerausweis für einen Monat, vom 28. Februar 2017 bis zum 27. März 2017, entzogen hatte. Mit Strafbefehl vom 1. Juni 2017 sprach die Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich A._ des Fahrens ohne Berechtigung schuldig. A._ erhob dagegen Einsprache. Die Staatsanwaltschaft hielt am Strafbefehl fest und überwies die Akten dem Bezirksgericht des Kantons Zürich zur Durchführung des Hauptverfahrens. Mit Urteil vom 20. Oktober 2017 bestätigte dieses den Schuldspruch wegen Fahrens ohne Berechtigung. Am 23. November 2018 verfügte das Strassenverkehrsamt gegen A._ einen Warnungsentzug des Führerausweises wegen Führens eines Motorfahrzeuges trotz Ausweisentzugs für die Dauer von sechs Monaten.
Den von A._ dagegen erhobenen Rekurs wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich am 7. März 2019 ab. Dagegen erhob A._ Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, welches die Beschwerde mit Urteil vom 28. August 2019 ebenfalls abwies.
B.
Mit Eingabe vom 11. Oktober 2019 führt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 28. August 2019 sei aufzuheben. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Strassenverkehrsamt beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Strassen stellt ebenfalls den Antrag, die Beschwerde abzuweisen.
C.
Mit Präsidialverfügung vom 19. November 2019 erkannte das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über einen Führerausweisentzug. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> offen. Der Beschwerdeführer ist als Inhaber des Führerausweises und direkter Adressat des angefochtenen Entscheids gemäss <ref-law> zur Beschwerde befugt. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass, weshalb grundsätzlich auf die Beschwerde einzutreten ist.
2.
Der Beschwerdeführer rügt vorab eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law>. Er ist der Auffassung, die Vorinstanz habe seine Ausführungen absolut unzureichend behandelt, wenn nicht sogar gänzlich ignoriert. Diese Rüge ist unbegründet. Wie nachfolgend aufzuzeigen sein wird (vgl. E. 3 hiernach), hat sich die Vorinstanz mit den entscheidwesentlichen Vorbringen des Beschwerdeführers auseinandergesetzt und dargelegt, von welchen Überlegungen sie sich bei der Abweisung der Beschwerde hat leiten lassen (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 70 f. mit Hinweisen). Dem Beschwerdeführer war es denn auch ohne Weiteres möglich, den Entscheid sachgerecht anzufechten.
3.
3.1. Die Vorinstanz hat dargelegt, dass sie aufgrund der klaren Formulierung der Verfügung des Strassenverkehrsamts vom 1. September 2016, wonach dem Beschwerdeführer der Führerausweis vom 28. Februar 2017 bis zum 27. März 2017 entzogen sei, in Übereinstimmung mit der Sicherheitsdirektion davon ausgehe, es habe auf Seiten des Beschwerdeführers kein Sachverhaltsirrtum vorgelegen. Selbst wenn jedoch ein solcher vorgelegen hätte, wäre er vermeidbar gewesen. Folglich habe der Beschwerdeführer eine schwere Widerhandlung nach <ref-law> begangen.
3.2. Dagegen wendet sich der Beschwerdeführer. Er bestreitet zwar nicht, am 17. März 2017 ohne Führerausweis ein Motorfahrzeug gelenkt zu haben. Er stellt sich aber auf den Standpunkt, es liege lediglich eine mittelschwere Widerhandlung im Sinne von <ref-law> vor. Zur Begründung führt er sinngemäss aus, er sei aufgrund eines Telefonats mit dem Strassenverkehrsamt davon ausgegangen, dass sein Führerausweis nicht als entzogen gegolten habe. Er habe sich folglich in einem Sachverhaltsirrtum befunden, was vom Bezirksgericht und von der Vorinstanz, welche sich dem Bezirksgericht unkritisch angeschlossen habe, praktisch unberücksichtigt geblieben sei.
3.3. Ein Strafurteil vermag die Verwaltungsbehörde grundsätzlich nicht zu binden. Allerdings gebietet der Grundsatz der Einheit der Rechtsordnung, widersprüchliche Entscheide im Rahmen des Möglichen zu vermeiden, weshalb die Verwaltungsbehörde beim Entscheid über die Massnahme von den tatsächlichen Feststellungen des Strafrichters nur abweichen darf, wenn sie Tatsachen feststellt und ihrem Entscheid zugrunde legt, die dem Strafrichter unbekannt waren, wenn sie zusätzliche Beweise erhebt oder wenn der Strafrichter bei der Rechtsanwendung auf den Sachverhalt nicht alle Rechtsfragen abgeklärt hat (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 101 f. mit Hinweisen). In der rechtlichen Würdigung des Sachverhalts - namentlich auch des Verschuldens - ist die Verwaltungsbehörde demgegenüber frei, ausser die rechtliche Qualifikation hängt stark von der Würdigung von Tatsachen ab, die der Strafrichter besser kennt, etwa weil er den Beschuldigten persönlich einvernommen hat. Auch in diesem Zusammenhang hat sie jedoch den eingangs genannten Grundsatz, widersprüchliche Urteile zu vermeiden, gebührend zu berücksichtigen (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 451; Urteil 1C_421/2019 vom 20. Dezember 2019 E. 3.1; je mit Hinweisen).
3.4. Wie die Vorinstanz zutreffend erwog, sind vorliegend keine Umstände ersichtlich, weshalb vom strafrechtlichen Urteil des Bezirksgerichts vom 20. Oktober 2017 abzuweichen wäre. Das Bezirksgericht erachtete einen Sachverhaltsirrtum gemäss <ref-law> als nicht gegeben. Es stufte die Ausführungen des Beschwerdeführers als Schutzbehauptungen ein. Dies ist nicht zu beanstanden.
Das Vorbringen des Beschwerdeführers, das Strassenverkehrsamt habe ihm anlässlich eines nicht aktenkundigen Telefonats betreffend Abgabe des ungültigen Führerausweises angeblich widersprüchliche Auskünfte erteilt, weshalb er davon ausgegangen sei, der Entzug des Führerausweises sei trotz der gegenteilig lautenden Verfügung vom 1. September 2017 noch nicht in Kraft, überzeugt tatsächlich nicht. Es leuchtet nicht ein, weshalb die Abgabe eines gültigen Führerausweises dessen Entzug herbeiführen soll, während nach Ansicht des Beschwerdeführers ein ungültiger Ausweis den Entzug aufschieben sollte. Diesfalls wäre umso mehr davon auszugehen, dass kein Fahrzeug gelenkt werden darf. Daran ändert auch sein Einwand nichts, wonach er fest daran geglaubt habe, die mangelnde Abgabe eines gültigen Ausweises habe zur Verschiebung des Führerausweisentzugs geführt. Im Übrigen ist unabhängig davon nicht erheblich, ob das angebliche Telefonat tatsächlich für das Missverständnis beim Beschwerdeführer verantwortlich war; denn dieses wäre jedenfalls vermeidbar gewesen. Wie die Vorinstanz zu Recht festhielt, wäre der Beschwerdeführer nämlich verpflichtet gewesen, sich bei Unklarheiten erneut beim Strassenverkehrsamt zu erkundigen. Dies gilt umso mehr, als der Beschwerdeführer selbst einwendet, er sei der deutschen Sprache nicht "in vollem Umfang" mächtig und die Auskünfte hätten ihn ausserordentlich irritiert. Um allfällige Verständnisprobleme zu vermeiden, hätte er insbesondere auch einen Übersetzer beiziehen können und müssen. Wie die Vorinstanz zutreffend ausführte, geht aus der Verfügung des Strassenverkehrsamts vom 1. September 2016 klar hervor, dass dem Beschwerdeführer der Führerausweis vom 28. Februar 2017 bis zum 27. März 2017 entzogen ist. Dessen war sich der Beschwerdeführer nach dem Gesagten bewusst bzw. hätte er sich bei Anwendung der gebotenen Sorgfaltspflicht bewusst sein müssen.
3.5. Entgegen der Behauptung des Beschwerdeführers liegt sodann ohnehin keine mittelschwere Widerhandlung gemäss <ref-law> vor. Ihm wird nicht vorgeworfen, ein Motorfahrzeug geführt zu haben, ohne den Führerausweis für die entsprechende Kategorie besessen zu haben, sondern, dass er trotz Ausweisentzug ein Motorfahrzeug gelenkt hat. Dieses Verhalten stellt gemäss der ausdrücklichen Normierung in <ref-law> eine schwere Widerhandlung dar.
3.6. Soweit der Beschwerdeführer schliesslich Ausführungen zu seinem angeblichen Selbstunfall macht, aufgrund dessen ihm bereits am 21. Juli 2014 sein Führerausweis wegen einer mittelschweren Widerhandlung für einen Monat entzogen worden war, ist er von vornherein nicht zu hören. Diesen Ausweisentzug hat er nicht angefochten, weshalb seine diesbezüglichen Einwendungen verspätet sind.
4.
Nach einer schweren Widerhandlung wird der Lernfahr- oder Führerausweis für mindestens sechs Monate entzogen, wenn - wie vorliegend - in den vorangegangenen fünf Jahren der Ausweis bereits einmal wegen einer mittelschweren Widerhandlung entzogen war (<ref-law>). Gegenüber dem Beschwerdeführer wurde eine Entzugsdauer von sechs Monaten angeordnet. Dies entspricht der gesetzlichen Mindestentzugsdauer, die gemäss <ref-law> nicht unterschritten werden darf. Daran ändert auch die vom Beschwerdeführer geschilderte persönliche Situation nichts, insbesondere dass er aus beruflichen Gründen und aufgrund der stark eingeschränkten Bewegungsfreiheit seiner Frau, welche er zu ihren wöchentlichen Spitalbesuchen fahren müsse, auf den Führerausweis angewiesen sei. Die vom Beschwerdeführer vorgebrachte massive Belastung durch den sechsmonatigen Führerausweisentzug wird im Übrigen dadurch relativiert, dass er für die Zufahrt zu seinem Arbeitsort allenfalls einen Chauffeur engagieren kann (vgl. Urteil 1C_178/2018 vom 30. August 2018 E. 3.3 mit Hinweis), wie er dies angeblich ab dem 28. Februar 2017 bereits gemacht hat; dasselbe gilt für die Spitalbesuche seiner Frau. Die dadurch entstehenden Mehrkosten hat er sich selbst zuzuschreiben. Seiner Arbeit als Autohändler kann er sodann - zwar mit gewissen Einschränkungen - auch ohne Führerausweis nachgehen, dies im Gegensatz zu einem Berufschauffeur, bei welchem aber ebenfalls keine Ausnahme gemacht wird (vgl. Urteil 1C_312/2018 vom 30. Oktober 2018 E. 4). Folglich erweist sich die verfügte Entzugsdauer von sechs Monaten als rechts- und verhältnismässig.
5.
Die Beschwerde ist demnach abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrsamt des Kantons Zürich, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, Einzelrichter, und dem Bundesamt für Strassen Sekretariat Administrativmassnahmen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. März 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier