Faits :
A.
A._ est auditrice libre auprès de la Faculté de droit de l'Université de Neuchâtel depuis le semestre de printemps 2017. Durant le semestre d'automne 2019-2020, elle a suivi le cours de procédure pénale et s'est inscrite à l'examen de cette matière à la session de janvier 2020. Le jour de l'examen, le 23 janvier 2020, elle s'est présentée et s'est excusée auprès de l'examinateur, lui exposant disposer d'un certificat médical remis au secrétariat de la Faculté de droit, puis elle a assisté aux examens des autres candidats en tant que membre du public.
B.
Par décision du 14 février 2020, le Décanat de la Faculté de droit a indiqué à l'intéressée que son absence à l'examen n'était pas admise et qu'elle serait sanctionnée par un échec. Le 16 mars 2020, A._ a contesté son échec auprès de la Commission de recours en matière d'examens de l'Université de Neuchâtel (ci-après: la Commission de recours) et, parallèlement, a recouru contre la décision du Décanat du 14 février 2020 auprès du Rectorat de l'Université de Neuchâtel, qui a transmis le recours à la Commission de recours comme objet de sa compétence.
Par décision du 24 mars 2021, ladite Commission a déclaré les recours de l'intéressée irrecevables faute d'intérêt digne de protection, cette dernière ayant réussi l'examen litigieux lors de la session de juin 2020. Par courrier daté du 9 mai 2021 mais posté le 14 mai 2021, A._ a recouru contre la décision de la Commission de recours auprès de la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal). Par courrier du 20 mai 2021, elle a sollicité la restitution du délai de recours pour faute légère, invoquant avoir été victime d'une violation de domicile avec intervention de la police, ce qui lui aurait fait "perdre le fil de la vie courante".
Par arrêt du 30 juin 2021, le Tribunal cantonal a déclaré le recours de A._ irrecevable pour cause de tardiveté et a rejeté la demande de restitution de délai au motif que l'intéressée n'avait pas rendu vraisemblable un empêchement d'agir pour faute légère.
C.
Par mémoire du 8 septembre 2021, complété le 27 septembre 2021, A._ forme un "recours" au Tribunal fédéral contre l'arrêt du Tribunal cantonal du 30 juin 2021. Outre l'octroi de l'effet suspensif et de l'assistance judiciaire, elle conclut, sous suite de dépens, principalement à l'admission de la validité de son certificat médical, à ce que son absence à la première tentative pour passer l'examen litigieux soit considérée comme une absence excusée et non comme un échec, et à la restitution des avances de frais versées en première et deuxième instance cantonale. Subsidiairement, elle conclut à la restitution du délai de recours devant le Tribunal cantonal et au renvoi de la cause à l'autorité compétente pour adoption d'un nouveau jugement au sens des considérants.
Le Tribunal cantonal se réfère aux considérants de l'arrêt attaqué et conclut au rejet du recours.
Par ordonnance du 10 septembre 2021, la Juge présidant de la IIe Cour de droit public a rejeté la demande d'effet suspensif jointe au recours. Le 27 septembre 2021, A._ a sollicité une rectification de ladite ordonnance. Par ordonnance rectificative du 29 septembre 2021, le Président de la IIe Cour de droit public a confirmé le rejet de la requête d'effet suspensif.
Le 1er octobre 2021, le Tribunal fédéral a renoncé provisoirement à l'avance de frais, précisant qu'il serait statué ultérieurement sur la demande d'assistance judiciaire.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>). Il contrôle donc librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1).
1.1. La recourante n'a pas indiqué par quelle voie de recours elle procède auprès du Tribunal fédéral. Toutefois, cette omission ne saurait lui nuire si son recours remplit les exigences légales de la voie de droit qui lui est ouverte (cf. <ref-ruling> consid. 1.1).
1.2. L'auteur d'un recours tardif déclaré irrecevable est habilité à contester l'arrêt d'irrecevabilité par un recours au Tribunal fédéral lorsque l'arrêt au fond de l'autorité précédente aurait pu être déféré à celui-ci (cf. arrêt 2C_882/2019 du 31 octobre 2019 consid. 2.1 cf. aussi <ref-ruling> consid. 3.2), ce qu'il convient d'examiner en l'espèce.
1.2.1. La présente cause relève au fond du droit public (<ref-law>) et la décision attaquée est une décision finale (<ref-law>) rendue par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). Le recours en matière de droit public est donc envisageable sous réserve de l'<ref-law>.
1.2.2. En vertu de l'art. 83 let. t LTF, la voie du recours en matière de droit public n'est pas ouverte à l'encontre des décisions qui concernent le résultat d'examens ou d'autres évaluations des capacités, notamment en matière de scolarité obligatoire, de formation ultérieure ou d'exercice d'une profession (cf. <ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 1; arrêt 2C_113/2019 du 6 mai 2019 consid. 1).
En l'espèce, la décision attaquée prononce l'irrecevabilité du recours contre la décision du 24 mars 2021 de la Commission de recours qui déclarait irrecevable les recours de l'intéressée dirigés contre son échec à l'examen de procédure pénale et le refus d'admettre un empêchement à cet examen, faute d'intérêt digne de protection. Cette absence d'intérêt digne de protection à recourir résulte du fait que la recourante a réussi l'examen litigieux lors d'une session ultérieure, ce qui n'est pas contesté, et ne porte ainsi pas sur l'évaluation matérielle de l'examen en cause ou des capacités de la recourante. Partant, un arrêt au fond du Tribunal cantonal ne tomberait pas sous le coup de l'exception prévue à l' art. 83 let. t LTF, avec pour conséquence que la voie du recours en matière de droit public est ouverte (cf. arrêts 2C_361/2021 du 28 septembre 2021consid. 1.3; 2C_279/2019 du 24 septembre 2019 consid. 1).
1.3. Le recours a été interjeté en temps utile (<ref-law>) et déposé dans les formes requises (<ref-law>) par la destinataire de la décision attaquée, qui a la qualité pour recourir (cf. <ref-law>). Il est donc en principe recevable sous réserve de ce qui suit.
Les conclusions de la recourante sollicitant du Tribunal fédéral l'admission de la validité de son certificat médical, la reconnaissance du caractère excusable de son absence à la première tentative pour passer l'examen de procédure pénale, et la restitution de l'avance de frais versée à la Commission de recours sont irrecevables. En effet, il convient de rappeler que devant le Tribunal fédéral, la recourante ne peut pas prendre de conclusions allant au-delà de l'objet du litige, tel qu'il était devant le Tribunal cantonal (cf. <ref-ruling> consid. 4.4.2; <ref-ruling> consid. 3.4.2 et 3.4.3). Or, la présente procédure porte exclusivement sur la décision d'irrecevabilité du Tribunal cantonal du 30 juin 2021 pour dépôt tardif du recours de l'intéressée contre la décision de la Commission de recours du 24 mars 2021. Seules les conclusions subsidiaires de la recourante sont donc admissibles et seuls les griefs liés à cette irrecevabilité seront examinés.
2.
2.1. Pour statuer, le Tribunal fédéral se fonde sur les faits constatés par l'autorité précédente (cf. <ref-law>), sous réserve des situations visées à l' <ref-law>. En vertu de l'<ref-law>, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l' <ref-law>, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-ruling> consid. 6; <ref-ruling> consid. 1.6), ce qu'il appartient à la partie recourante de démontrer (<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 1.3.1). Les faits et les critiques invoqués de manière appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling> consid. 2.4), le Tribunal fédéral étant juge du droit et non pas une instance d'appel (cf. arrêts 2C_85/2021 du 21 mai 2021 consid. 3.1; 2C_814/2020 du 18 mars 2021 consid. 2.2; 2C_922/2018 du 13 mai 2019 consid. 3). Par ailleurs, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut en principe être présenté devant le Tribunal fédéral (<ref-law>).
En l'espèce, la recourante présente, sous la partie "Faits" de son recours, sa propre version des événements, avec offres de preuve, comme elle le ferait devant une instance d'appel. En tant que les faits ainsi allégués ne sont pas constatés dans l'arrêt attaqué et que la recourante n'expose pas en quoi les conditions qui viennent d'être rappelées sont remplies, il n'en sera pas tenu compte. Pour les mêmes raisons, les faits invoqués à l'appui du raisonnement juridique de la recourante, mais qui ne sont pas constatés dans l'arrêt attaqué, ne seront pas pris en considération. Il en va notamment ainsi de l'allégation selon laquelle l'intéressée aurait déposé une plainte pénale pour violation de domicile en date du 7 août 2021. Enfin, les pièces produites par la recourante à l'appui de son recours, notamment les diverses correspondances qu'elle a échangées avec le vice-doyen de la Faculté de droit, ne pourront pas être prises en compte, car nouvelles (<ref-law>).
2.2. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Conformément à l'<ref-law> toutefois, il ne connaît de la violation des droits fondamentaux, ainsi que de celle de dispositions de droit cantonal et intercantonal que si ce grief a été invoqué et motivé par la partie recourante, c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (ATF <ref-ruling> consid. 2.4).
2.3. Sous réserve des cas visés à l'art. 95 let. c-e LTF, la violation du droit cantonal en tant que tel ne peut pas être invoquée devant le Tribunal fédéral. Il est néanmoins possible de faire valoir que son application consacre une violation du droit fédéral, comme la protection contre l'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou la garantie d'autres droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 6.1). Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils sont formulés de manière conforme aux exigences de l'<ref-law>.
3.
Le litige porte sur le point de savoir si le Tribunal cantonal a violé le droit en déclarant irrecevable le recours déposé devant lui au motif que la recourante n'avait pas rendu vraisemblable un empêchement non fautif ou dû à une faute légère d'agir dans le délai de recours.
Rappelons à cet égard qu'il ressort clairement de l'arrêt attaqué, ce qui n'est pas contesté, que le recours de l'intéressée contre la décision de la Commission de recours a été déposé le 14 mai 2021 alors que le délai de recours arrivait à échéance, compte tenu des féries pascales, le 10 mai 2021, de sorte que seul est litigieux le rejet de la requête de restitution du délai de recours par le Tribunal cantonal.
4.
Sur le fond, soulevant un grief de nature formelle qu'il convient d'examiner en premier lieu (<ref-ruling> consid. 3), la recourante se plaint d'une violation de son droit d'être entendue, consacré à l'art. 29 al. 2 Cst. Selon elle, si le Tribunal cantonal avait des doutes, il aurait dû l'entendre et l'interroger sur la violation de domicile qu'elle indiquait avoir subie. Ce faisant, elle reproche implicitement aux juges cantonaux de ne pas avoir instruit la cause sur un point qui serait essentiel et d'avoir statué sans examen approfondi, en violation de la maxime inquisitoire.
4.1. Le droit d'être entendu découlant de l'art. 29 al. 2 Cst. comprend notamment pour le justiciable le droit d'obtenir l'administration des preuves pertinentes et valablement offertes, de participer à l'administration des preuves essentielles et de se déterminer sur son résultat lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (cf. <ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 6.3.1). Cette garantie constitutionnelle n'empêche pas l'autorité de pouvoir renoncer à procéder à des mesures d'instruction, lorsque les preuves administrées lui ont permis de forger sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient l'amener à modifier son opinion (cf. ATF <ref-ruling> consid. 6.3.1; <ref-ruling> consid. 5.3). Le refus d'une mesure probatoire par appréciation anticipée des preuves ne peut être remis en cause devant le Tribunal fédéral qu'en invoquant l'arbitraire (art. 9 Cst.) de manière claire et détaillée (<ref-law>; cf. arrêt 2C_124/2016 du 31 janvier 2017 consid. 4.1 et les références citées).
Par ailleurs, selon la maxime inquisitoire, l'autorité définit les faits pertinents et ne tient pour existants que ceux qui sont dûment prouvés; cette maxime oblige notamment les autorités compétentes à prendre en considération d'office l'ensemble des pièces pertinentes qui ont été versées au dossier. Elle ne dispense pas pour autant les parties de collaborer à l'établissement des faits; il leur incombe d'étayer leurs propres thèses, de renseigner le juge sur les faits de la cause et de lui indiquer les moyens de preuves disponibles, spécialement lorsqu'il s'agit d'élucider des faits qu'elles sont le mieux à même de connaître (ATF <ref-ruling> consid. 6.3.1 et les références).
4.2. Dans son arrêt, le Tribunal cantonal relève que la recourante n'a produit aucun document quant à son allégation d'avoir subi une violation de domicile, ni quant à celle d'avoir perdu "le fil de la vie courante" suite à cet évènement, ce qu'elle ne conteste d'ailleurs pas. Or, dans la mesure où la recourante n'a jamais étayé ses allégations ni renseigné le Tribunal cantonal sur celles-ci et qu'elle n'a indiqué aucun moyen de preuve à ce propos, on ne saurait reprocher aux juges cantonaux d'avoir violé son droit d'être entendu ou la maxime inquisitoire. En effet, il ne peut être reproché au Tribunal cantonal d'avoir insuffisamment instruit la cause sur ce point dans la mesure où le recourante n'a versé aucune pièce au dossier, alors qu'elle était tenu de collaborer à l'établissement des faits. Ceci vaut d'autant plus que la recourante est la mieux placée pour étayer les évènements qu'elle allègue avoir vécus. Sur ce point, l'allégation de l'intéressée selon laquelle il lui serait matériellement impossible de prouver la violation de domicile qu'elle a subie tombe à faux. En effet, on ne discerne pas pourquoi, et la recourante ne l'explique pas non plus, l'intervention policière alléguée n'aurait donné lieu à l'établissement d'aucun rapport de police, et pourquoi aucune plainte pénale n'aurait été immédiatement déposée auprès des autorités compétentes. Partant, les griefs de violation de la maxime inquisitoire et du droit d'être entendu sont rejetés.
5.
La recourante se plaint également d'une constatation arbitraire des faits. Selon elle, le Tribunal cantonal aurait retenu de manière insoutenable que son courrier du 20 mai 2021 sollicitant la restitution du délai de recours n'indiquait pas la date à laquelle se serait produite la violation de domicile dont elle se prévaut. Or, il ressortirait de façon évidente dudit courrier que la violation de domicile se serait déroulée le 10 mai 2021.
5.1. L'appréciation des preuves et l'établissement des faits sont arbitraires lorsque le juge s'est manifestement mépris sur le sens et la portée d'un moyen de preuve, lorsqu'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée, ou encore lorsqu'il a tiré des déductions insoutenables à partir des éléments recueillis (<ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 2.3 et les arrêts cités).
5.2. En l'espèce, le Tribunal cantonal a relevé que la recourante n'indiquait pas à quelle date s'était produite la violation de domicile alléguée. Le passage pertinent du courrier du 20 mai 2021 de l'intéressée sollicitant la restitution du délai a la teneur suivante: "En date du 10 mai 2021, un courrier aurait dû vous être adressé (recours contre la décision UNI.2020.7). Suite à une violation de domicile avec intervention de la police, cette lettre est malheureusement restée en ma possession et n'a été remise à votre autorité que le 13 mai 2021". Compte tenu de la formulation vague de ce passage, force est de constater, à l'instar du Tribunal cantonal, que la date à laquelle la violation du domicile de la recourante aurait eu lieu ne peut être établie avec certitude. La recourante n'ayant par ailleurs produit aucune pièce pour étayer cette allégation, on ne voit pas en quoi l'appréciation du Tribunal cantonal serait insoutenable.
En réalité, la recourante se contente d'opposer, de manière appellatoire, ses propres vision et appréciation des faits aux constatations de l'autorité précédente. Elle n'invoque toutefois pas, ni ne démontre à suffisance que la constatation du Tribunal cantonal relative au manque d'informations quant à la date à laquelle la violation de son domicile aurait eu lieu serait arbitraire ou manifestement inexacte. Partant, ce grief est mal fondé.
6.
Sous le couvert d'arbitraire et d'abus de pouvoir, la recourante se plaint enfin d'une violation de l'art. 148 du Code de procédure civile (CPC). Elle estime avoir prouvé à suffisance son empêchement de pouvoir déposer son recours en temps utile, de sorte que le Tribunal cantonal aurait violé cette disposition en retenant le contraire.
6.1. On peut se demander si, tel que motivé, le grief de la recourante remplit les conditions de l'<ref-law>, dès lors qu'elle n'explique pas en quoi l'<ref-law> aurait été appliqué de manière insoutenable par le Tribunal cantonal. La question peut demeurer indécise pour les motifs qui suivent.
6.2. La procédure administrative devant les autorités cantonales n'est pas unifiée. La restitution d'un délai lorsque la partie défaillante en fait la requête et les conditions auxquelles un tel délai peut ou doit être restitué relève du droit de procédure. Par conséquent, les cantons restent libres, dans le respect des garanties constitutionnelles, d'organiser cette matière à leur guise (arrêts 2C_985/2019 du 26 mai 2020 consid. 6.1; 2C_1019/2019 du 12 décembre 2019 consid. 7.3 et les références).
Par ailleurs, si du droit fédéral vient à s'appliquer dans le cadre d'une procédure administrative cantonale, c'est en tant que droit cantonal supplétif (<ref-ruling> consid. 4.2). Dans un tel cas de figure, le Tribunal fédéral ne peut intervenir que si l'autorité précédente a versé dans l'arbitraire ou enfreint d'autres droits constitutionnels et pour autant qu'un tel grief ait été allégué conformément à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 2.3).
6.3. Appelé à revoir l'application faite d'une norme cantonale sous l'angle de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue en dernière instance cantonale que si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté ou si elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité. Il ne suffit pas que la motivation de la décision soit insoutenable; encore faut-il qu'elle soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.2.2; cf. aussi <ref-ruling> consid. 3.1).
6.4. Selon l'art. 20 al. 1 de la loi cantonale neuchâteloise sur la procédure et la juridiction administratives du 27 juin 1979 (LPJA; RS/NE 152.130), les dispositions du CPC relatives aux délais et à la restitution sont applicables par analogie en procédure administrative. L'<ref-law> prévoit que le tribunal peut accorder un délai supplémentaire ou citer les parties à une nouvelle audience lorsque la partie défaillante en fait la requête et rend vraisemblable que le défaut ne lui est pas imputable ou n'est imputable qu'à une faute légère.
6.5. Selon le Tribunal cantonal, l'<ref-law> soumet une éventuelle restitution de délai à une seule exigence matérielle, à savoir l'absence de faute ou une faute légère seulement, et il suffit que cette exigence soit rendue vraisemblable. Cette autorité précise également, en se référant à la jurisprudence établie, que le requérant supporte le fardeau de la preuve et que sa requête doit indiquer l'empêchement et être accompagnée des moyens de preuve disponibles. Par ailleurs, il n'y a aucune violation des droits fondamentaux à refuser une restitution de délai faute d'indications suffisantes sans que le requérant ait été interpellé à ce sujet. Enfin, l'application de l'<ref-law> aux délais légaux de recours ou d'appel devrait en principe conduire à interpréter restrictivement la notion de faute légère.
6.6. En l'espèce, le refus du Tribunal cantonal de restituer le délai de recours ne procède pas d'une interprétation insoutenable de l'<ref-law>, par renvoi de l'art. 20 al. 1 LPJA. En effet, les juges précédents ont estimé que la recourante n'avait produit aucun document à l'appui de sa thèse selon laquelle une violation de domicile lui aurait fait perdre "le fil de la vie courante", ce qu'elle ne conteste pas. En outre, ils ont constaté sans arbitraire que sa requête de restitution de délai ne mentionnait pas la date à laquelle s'était déroulée cet évènement (cf. supra consid. 5.2). Dès lors, contrairement à ce que prétend la recourante, ces éléments suffisent pour retenir qu'elle n'a pas su rendre vraisemblable un empêchement d'agir non fautif ou dû à une faute légère, alors que le délai en cause était un délai légal et que le fardeau de la preuve lui incombait.
En outre, comme elle le mentionne dans son courrier du 20 mai 2021 sollicitant la restitution du délai de recours, la recourante savait que le dépôt de son recours contre la décision du 24 mars 2021 rendue par la Commission de recours était tardif. Dès lors, elle ne pouvait ignorer que sa requête serait soumise aux exigences fixées par l'<ref-law> et que le fardeau de la preuve d'un empêchement non fautif ou dû à une faute légère lui incombait, ce d'autant plus qu'elle mentionne explicitement l'<ref-law> dans son courrier du 20 mai 2021. Par conséquent, si elle avait des arguments supplémentaires à faire valoir ou des moyens de preuve à soumettre, ce qu'elle ne prétend pas, il lui appartenait de le faire en temps utile. Partant, son grief est rejeté.
7.
Au regard de ce qui précède, le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
8.
La recourante a demandé le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure devant le Tribunal fédéral. La cause paraissant d'emblée dépourvue de chances de succès, cette requête doit être rejetée (<ref-law>). Au vu de l'issue du recours, les frais judiciaires seront mis à la charge de la recourante mais, compte tenu des documents fournis, ils seront réduits (art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public.
Lausanne, le 26 janvier 2022
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : F. Aubry Girardin
La Greffière : S. Colella