Sachverhalt:
A.
Am 29. September 2017 reichten die Stadt Luzern, Stadtgärtnerei, als Bauherrin und die Stadt Luzern, Immobilien, als Grundeigentümerin ein Baugesuch betreffend "Erstellung Hundefreilaufzone: Wegnetz chaussiert, Neupflanzungen Baum-/Strauchgruppen, Sitzgelegenheiten, Zaun" auf einem Teil des Grundstücks Nr. 1370, GB Luzern, linkes Ufer, ein. Dieses Grundstück befindet sich in einem öffentlichen Park, der an den Vierwaldstättersee anstösst. Innert der öffentlichen Auflagefrist gingen zahlreiche Einsprachen ein, u.a. jene von A._, B._, A. C._ und B. C._, D._, E._ und F._.
Am 18. Januar 2018 erteilte die Dienststelle Raum und Wirtschaft des Kantons Luzern die Bewilligung für die Unterschreitung des gesetzlichen Gewässerabstands mit Kiesweg und Holzzaun mit Drähten unter Bedingungen und Auflagen.
Mit Entscheid vom 25. Juni 2018 trat die Baudirektion der Stadt Luzern auf die Einsprachen der genannten Personen mangels Beschwerdelegitimation nicht ein. Gleichzeitig erteilte sie die Baubewilligung für die Hundefreilaufzone, Warteggstrasse, Grundstück Nr. 111/1370, unter Bedingungen und Auflagen.
B.
Dagegen reichten die genannten Personen Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Kantonsgericht Luzern ein. Sie beantragten, den Entscheid der Baudirektion vom 25. Juni 2018 und den Entscheid der Dienststelle vom 18. Januar 2018 aufzuheben sowie die Baubewilligung zu verweigern.
Mit Urteil vom 30. Juli 2019 hiess das Kantonsgericht Luzern die Beschwerde in Bezug auf die Auferlegung von Einsprachekosten durch die Vorinstanz gut. In den übrigen Punkten wies es die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Dagegen erhoben A._, B._, A. C._ und B. C._, D._, E._ und F._ am 13. September 2019 Beschwerde an das Bundesgericht. Sie beantragen, das Urteil des Kantonsgerichts Luzern vom 30. Juli 2019 sei aufzuheben und die Sache zur materiellen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sie wehren sich darin in erster Linie dagegen, dass ihnen von der Vorinstanz die Beschwerdelegitimation abgesprochen wurde.
In der Vernehmlassung nahm einzig das Kantonsgericht Luzern mit Schreiben vom 7. Oktober 2019 Stellung mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen. Die Stadt Luzern, Immobilien, die Stadt Luzern, Baudirektion sowie die Dienststelle Raum und Wirtschaft reichten keine Stellungnahmen ein.
D.
Mit Präsidialverfügung vom 16. Oktober 2019 hat das Bundesgericht dem Gesuch der Beschwerdeführer entsprochen und der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht beurteilt gestützt auf <ref-law> Beschwerden gegen Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid (vgl. Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG) im Bereich des Raumplanungs- und Baurechts, das zum öffentlichen Recht zählt und vom Anwendungsbereich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht ausgenommen ist (vgl. <ref-law> e contrario; <ref-ruling> E. 1.2 S. 251).
1.2. Die Beschwerdeführer waren am vorinstanzlichen Verfahren beteiligt und sind unabhängig von der Beschwerdeberechtigung in der Sache jedenfalls in Anwendung von <ref-law> legitimiert, die Verletzung ihrer Verfahrensrechte, die auf eine formelle Rechtsverweigerung hinauslaufen, vor Bundesgericht geltend zu machen (vgl. das Urteil des Bundesgerichts 1C_69/2019 vom 20. August 2019 E. 1.2 mit Hinweis).
1.3. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht unter Einschluss des Bundesverfassungsrechts, von Völkerrecht und von kantonalen verfassungsmässigen Rechten sowie die offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts gerügt werden (Art. 95 lit. a-c und <ref-law>). Soweit die Vorinstanz kantonales Recht anzuwenden hatte, kann im Wesentlichen geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verstosse gegen Bundesrecht bzw. gegen die verfassungsmässigen Rechte und Grundsätze. Das Bundesgericht prüft kantonales Recht somit nur auf Bundesrechtsverletzung, namentlich Willkür, hin. Frei prüft das Bundesgericht die Verletzung kantonaler verfassungsmässiger Rechte. Soweit es dabei allerdings um die Auslegung von kantonalem Gesetzes- und Verordnungsrecht geht, prüft dies das Bundesgericht wiederum ausschliesslich unter dem Gesichtswinkel der Willkür (<ref-ruling> E. 2 S. 149 f.).
1.4. Gemäss <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Der Beschwerdeführer muss sich wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzen. Besondere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht) geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht grundsätzlich nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 176; <ref-ruling> E. 1.6 S. 130; <ref-ruling> E. 1.4 S. 254 f.).
2.
Streitgegenstand bildet einzig die Frage, ob die Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren einsprache- bzw. beschwerdelegitimiert waren.
2.1. Die Beschwerdeführer machen eine Verletzung von <ref-law> geltend. Da sich die kantonale Regelung der Beschwerdelegitimation mit der bundesrechtlichen decke, rügen sie dagegen eine willkürliche Anwendung des kantonalen Verfahrensrechts nicht, weshalb im Folgenden auf diesen Aspekt nicht eingegangen werden kann (vgl. vorne E. 1.4). Zu prüfen ist ausschliesslich, ob es <ref-law> verletzt, die Beschwerdeführer im Bewilligungsverfahren zum Erlass einer Baubewilligung für die Hundefreilaufzone nicht zu beteiligen.
2.2. Gemäss dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens nach <ref-law> muss sich unter anderem am Verfahren vor allen kantonalen Instanzen als Partei beteiligen können, wer zur Beschwerde an das Bundesgericht berechtigt ist (Abs. 1). Das kantonale Recht und die kantonalen Behörden dürfen zudem die Rechtsmittelbefugnis nicht enger fassen, als dies für die Beschwerde, hier die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law>, an das Bundesgericht vorgesehen ist. Auch nach Art. 33 Abs. 3 lit. a RPG gewährleistet das kantonale Recht im Anwendungsbereich des Raumplanungsgesetzes die Legitimation mindestens im gleichen Umfang wie für die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Ob diese Voraussetzung eingehalten ist, prüft das Bundesgericht frei, da es um die Anwendung von Bundesrecht geht (<ref-ruling> E. 2.1 S. 45 f. mit Hinweisen).
2.3. Nach <ref-law> ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. c).
Gemäss der Rechtsprechung wird neben der formellen Beschwer verlangt, dass der Beschwerdeführer über eine spezifische Beziehungsnähe zur Streitsache verfügt und einen praktischen Nutzen aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids zieht. Legitimiert ist nur, wer stärker als jedermann betroffen ist und in einer beachtenswerten, nahen Beziehung zur Streitsache steht. Die erforderliche Nähe der Beziehung zum Streitgegenstand muss bei Bauprojekten insbesondere in räumlicher Hinsicht gegeben sein. Liegt diese besondere Beziehungsnähe vor, braucht das Anfechtungsinteresse nicht mit dem Interesse übereinzustimmen, das durch die vom Beschwerdeführer als verletzt bezeichneten Normen geschützt wird. Er kann daher die Überprüfung eines Bauvorhabens im Lichte all jener Rechtssätze verlangen, die sich rechtlich oder tatsächlich in dem Sinne auf seine Stellung auswirken, dass ihm im Falle des Obsiegens ein praktischer Nutzen entsteht (<ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen). Das Anfechtungsinteresse muss aktuell sein.
2.4. Nachbarn sind zur Beschwerdeführung gegen ein Bauvorhaben legitimiert, wenn sie mit Sicherheit oder zumindest grosser Wahrscheinlichkeit durch Immissionen (Lärm, Staub, Erschütterungen, Licht oder andere Einwirkungen) betroffen werden, die der Bau oder Betrieb der fraglichen Anlage hervorruft. Als wichtiges Kriterium zur Beurteilung der Betroffenheit dient in der Praxis die räumliche Distanz zum Bauvorhaben bzw. zur Anlage. Die Rechtsprechung bejaht in der Regel die Legitimation von Nachbarn, deren Liegenschaften sich in einem Umkreis von bis zu rund 100 m befinden, ohne vertiefte Abklärungen. Bei grösseren Entfernungen muss eine Beeinträchtigung aufgrund der konkreten Gegebenheiten glaubhaft gemacht werden. Das Bundesgericht prüft die Legitimationsvoraussetzungen in einer Gesamtwürdigung anhand der im konkreten Fall vorliegenden tatsächlichen Verhältnisse. Es stellt nicht schematisch auf einzelne Kriterien ab, wie beispielsweise die Distanz zum Vorhaben, die Sichtverbindung usw. (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 2.3 S. 219 f. mit Hinweisen).
2.5. Neben dem Eigentümer benachbarter Liegenschaften können auch Dritte wie Baurechtsinhaber, Mieter und Pächter die Legitimationsvoraussetzungen erfüllen. Voraussetzung ist dafür ein selbständiges, eigenes Rechtsschutzinteresse an der Beschwerdeführung. Solche Drittpersonen müssen vom Streitgegenstand direkt betroffen sein und einen unmittelbaren Nachteil erleiden; bloss mittelbares Berührtsein genügt nicht (<ref-ruling> E. 6 S. 150 ff.).
2.6. Streitig ist vorliegend die Frage, ob die Beschwerdeführer ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung der Baubewilligung für die Hundefreilaufzone geltend machen können.
2.6.1. Zunächst machen die Beschwerdeführer dazu einen tatsächlichen Nachteil geltend, der ihnen durch die Baubewilligung zur Errichtung der vorgesehenen Hundefreilaufzone erwachse. Dieser komme dadurch zustande, dass die Hundefreilaufzone die Durchsetzung des Leinenzwangs im übrigen Gebiet des Parks mit sich bringe. Die Realisierung der Hundefreilaufzone sei untrennbar mit der Einführung eines durchgesetzten Leinenzwangs verbunden, weshalb ein kausaler Zusammenhang zwischen dem Bauvorhaben und dem drohenden Nachteil bestehe.
2.6.2. Die Vorinstanz hat zwar eingeräumt, dass eine Hundefreilaufzone nur Sinn mache, wenn in der nächsten Umgebung die Leinenpflicht eingeführt oder aufrecht erhalten werde. Sie argumentiert dagegen, dass diese Leinenpflicht nicht Gegenstand des strittigen Baugesuchs bilde und auch der Entscheid der Baudirektion keine solche Anordnung enthalte. Vielmehr sei der Leinenzwang für das übrige Gebiet in § 3 der Verordnung [des Kantons Luzern] vom 10. Dezember 1973 über das Halten von Hunden (SRL Nr. 849) verankert. In der projektierten Hundefreilaufzone seien ein bekiester Fussweg, ein Treffpunkt mit Sitzbänken und ein Wasserspender sowie neue Bepflanzungen vorgesehen. Die Hunde könnten sich in dieser mit einem einfachen Holzzaun und Drähten abgesteckten Zone unangeleint frei bewegen. Die Vorinstanz kommt zum Schluss, dass die Beschwerdeführer kein schutzwürdiges Interesse an der Ablehnung des Baugesuchs haben, denn es sei nicht ersichtlich, inwiefern die Bewilligung der Hundefreilaufzone sie in ihren rechtlich geschützten, wirtschaftlichen, ideellen oder rein tatsächlichen Interessen beeinträchtigen würde.
2.6.3. Die Errichtung der Hundefreilaufzone mag zwar, wie von den Beschwerdeführern und der Vorinstanz beschrieben, mit der Durchsetzung des Leinenzwangs im übrigen Parkgebiet einhergehen. Die Einführung, Durchsetzung oder auch Aufhebung des Leinenzwangs ist rechtlich dennoch keine Folge der Baubewilligung für die Hundefreilaufzone. So kann ein geltender Leinenzwang jederzeit durchgesetzt oder aufgehoben, ein noch nicht geltender jederzeit eingeführt werden. Dies gilt ungeachtet des Umstands, dass eine Baubewilligung für die Hundefreilaufzone erteilt wird oder nicht. Wie die Vorinstanz zu Recht geltend macht, enthält der vorliegende Streitgegenstand, die Baubewilligung der Hundefreilaufzone, keine Bestimmung über einen Leinenzwang, aus welcher der geltend gemachte Nachteil abgeleitet werden könnte. Daraus können die Beschwerdeführer für sich kein schutzwürdiges Interesse ableiten.
2.6.4. Die Beschwerdeführer bringen weiter vor, dass die Hundefreilaufzone viel zu klein und damit rechtswidrig sei. Der Rundweg von lediglich 230 m zeige, dass die Freilaufzone viel zu gering dimensioniert sei, auch wenn sich die Hunde entlang des Rundwegs frei bewegen könnten. Die Hundefreilaufzone könne damit ihren Zweck gar nicht erfüllen. Die Dimension der geplanten Freilaufzone entspreche in keiner Weise den Anforderungen an eine artgerechte Hundehaltung. Der rund 230 m lange, eintönige Rundweg würde 13 bis 26 mal absolviert werden müssen, um die Strecke eines normalen Hundespaziergangs zurückzulegen, was offensichtlich unzumutbar sei. Mit einer derart kleinen Freilaufzone nehme die Beschwerdegegnerin billigend in Kauf, dass die Hunde im Einzugsgebiet zu wenig bewegt und beschäftigt würden sowie dass es aufgrund der hohen Hundedichte zu Konflikten komme. Dies bedeute eine erhebliche Beeinträchtigung des Tierwohls. Den Beschwerdeführern drohe aus dem Bauvorhaben ein erheblicher Nachteil, da sie eine ungeeignete, viel zu kleine und den Zweck nicht erfüllende Hundefreilaufzone benützen müssten, die mit dem Tierwohl nicht vereinbar sei.
2.6.5. Dem hält die Vorinstanz entgegen, dass die für die Hundefreilaufzone vorgesehene Nutzungsmöglichkeit zu keiner Verpflichtung für die Beschwerdeführer führe, das fragliche Gebiet auch tatsächlich nutzen zu müssen. Von einem Nachteil könne daher nicht gesprochen werden.
2.6.6. Mit der neuen Hundefreilaufzone wird Hundehaltern auf dem Grundstück Nr. 111/1370 eine Nutzungsmöglichkeit eingeräumt, die im Vergleich zur bisherigen nicht nachteilig ist. Es handelt sich, wie die Vorinstanz zu Recht bemerkt, um eine Möglichkeit, die keine Verpflichtung für die Beschwerdeführer mit sich bringt. Deshalb könnten diese auch keinen praktischen Nutzen aus einer allfälligen Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids ziehen.
Auch aus den beanstandeten Mängeln der Hundefreilaufzone in Bezug auf ihre Grösse, Eignung und Zweckmässigkeit lassen sich für die Beschwerdeführer keine schutzwürdigen Interessen herleiten. In dieser Hinsicht entstünde ihnen im Falle des Obsiegens ebenfalls kein Vorteil, denn es ist nicht ersichtlich, wie die gerügten Mängel behoben werden könnten, ohne den vom Streitgegenstand vorgegebenen Rahmen zu überschreiten.
2.7. Da die Beschwerdeführer über kein schutzwürdiges Interesse verfügen, kann offen bleiben, ob sie in spezifischer Beziehungsnähe zur Streitsache stehen. Der angefochtene Entscheid verletzt Bundesrecht nicht, indem er den Beschwerdeführern die Beschwerdelegitimation mangels schutzwürdigen Interesses abspricht.
3.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens werden die Beschwerdeführer unter Solidarhaft kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2000.-- werden den Beschwerdeführern unter Solidarhaft auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Stadt Luzern, Immobilien, der Stadt Luzern, Baudirektion, dem Bau-, Umwelt- und Wirtschaftsdepartement, Dienststelle Raum und Wirtschaft, und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Februar 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Bisaz