Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Urteil vom 25. Juni 2018 erklärte das Strafgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, A._ der Drohung gemäss <ref-law> für schuldig und verurteilte ihn zu einer bedingten Geldstrafe von 20 Tagessätzen à Fr. 30.--. Gegen dieses Urteil meldete der notwendige amtliche Verteidiger, Advokat Martin Kaiser, mit Schreiben vom 26. Juni 2018 Berufung an. Zugleich teilte er dem Strafgericht mit, dass er sein Mandat niederlege.
A.b. Mit Schreiben vom 11. November 2018 reichte B._ im Namen von A._ die Berufungserklärung beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt ein und ersuchte dieses zugleich, ihn als amtlichen Verteidiger im Berufungsverfahren einzusetzen. Mit Verfügung vom 15. November 2018 setzte die Appellationsgerichtspräsidentin B._ im Berufungsverfahren als amtlichen Verteidiger ein. Am 2. Juni 2020 ersuchte die Appellationsgerichtspräsidentin den für die am 17. Juni 2020 angesetzte Berufungsverhandlung als amtlichen Verteidiger vorgeladenen B._ dem Appellationsgericht mitzuteilen, ob und gegebenenfalls wo er in einem schweizerischen Anwaltsregister eingetragen ist.
Mit Eingabe vom 8. Juni 2020 teilte A._ dem Appellationsgericht mit, dass er im Berufungsverfahren auf eine amtliche Verteidigung verzichte. Mit Verfügung vom 10. Juni 2020 stellte die Appellationsgerichtspräsidentin fest, dass B._ die mit Verfügung vom 2. Juni 2020 eingeforderten Auskünfte nicht erteilt hat, dass B._ im Anwaltsregister des Kantons Bern nicht mehr als Anwalt geführt wird und dass A._ für das weitere Verfahren auf eine amtliche Verteidigung verzichtet.
A.c. Am 17. Juni 2020 fand die Berufungsverhandlung am Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, statt. Im Rahmen der Vorfragen erkundigte sich A._ bei der Präsidentin, weshalb sein Verteidiger bei der Verhandlung nicht anwesend sei. Die Appellationsgerichtspräsidentin teilte ihm mit, dass B._ aus dem Anwaltsregister des Kantons Bern gestrichen wurde. Ausserdem habe er mit Eingabe vom 8. Juni 2020 auf eine amtliche Verteidigung verzichtet. A._ bestritt diesen Sachverhalt und beantragte die Bestellung eines amtlichen Verteidigers. Da das Appellationsgericht daraufhin den Anspruch auf amtliche Verteidigung anerkannte, unterbrach die Präsidentin die Verhandlung und ersuchte A._ gleichentags mit Verfügung, dem Appellationsgericht seinen Verteidiger bis zum 12. August 2020 bekanntzugeben, ansonsten die Verteidigung gestützt auf Art. 132 f. StPO durch die Verfahrensleitung bestellt werde.
Mit Eingabe vom 10. September 2020 beantragte A._ dem Appellationsgericht, das Berufungsverfahren so lange zu sistieren, bis B._ das Mandat wieder übernehmen könne.
A.d. Mit Verfügung vom 19. Oktober 2020 wies die Appellationsgerichtspräsidentin den Antrag auf Sistierung des Berufungsverfahrens ab und stellte fest, dass A._ keine neue Verteidigung für das Berufungsverfahren bekanntgegeben hat. In Anwendung von <ref-law> bestellte die Appellationsgerichtspräsidentin Advokat Christian von Wartburg zum amtlichen Verteidiger für das Berufungsverfahren.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 22. Oktober 2020 beantragt A._, die Verfügung vom 19. Oktober 2020 sei aufzuheben. Das Strafverfahren vor dem Appellationsgericht sei so lange zu sistieren, bis B._ das Mandat als amtlicher Verteidiger wieder übernehmen könne. Zudem sei festzustellen, dass das Appellationsgericht Art. 6 EMRK verletzt habe.
C.
Das Appellationsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung und beantragt gestützt auf die angefochtene Verfügung die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer verzichtet auf weitere Bemerkungen.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid in einer Strafsache. Dagegen ist die Beschwerde in Strafsachen gegeben (<ref-law>). Der angefochtene Entscheid schliesst das Strafverfahren jedoch nicht ab. Es handelt sich somit um einen Zwischenentscheid.
1.2. Unter dem Vorbehalt der hier nicht gegebenen Fälle von <ref-law> ist die Beschwerde gegen einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid nur zulässig, wenn dieser einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>) oder die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beschwerdeverfahren ersparen würde (<ref-law>). Die zweite Voraussetzung fällt vorliegend ausser Betracht.
1.3. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung kann der Umstand, dass im Falle einer notwendigen Verteidigung bei der Ersteinsetzung eines amtlichen Verteidigers das Vorschlagsrecht des Beschuldigten gemäss <ref-law> missachtet wurde, einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil bewirken (<ref-ruling> E. 1.2 S. 1.1). Die Ablehnung eines Gesuchs um Wechsel des amtlichen Verteidigers kann dagegen grundsätzlich nur dann einen solchen Nachteil bewirken, wenn der amtliche Verteidiger seine Pflichten erheblich vernachlässigt oder zwischen ihm und der beschuldigten Person keine Vertrauensbasis mehr besteht (<ref-ruling> E. 1.1 f. S. 115 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 263; <ref-ruling> E. 2b S. 211). Anders liegt der Fall, wenn der amtliche Verteidiger seine Pflichten erheblich vernachlässigt (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 50 ff.), wenn die Strafjustizbehörden gegen den Willen des Beschuldigten und seines Offizialverteidigers dessen Abberufung anordnen (<ref-ruling> E. 4 S. 339) oder wenn sie dem Beschuldigten verweigern, sich (zusätzlich zur Offizialverteidigung) auch noch durch einen erbetenen Privatverteidiger vertreten zu lassen (BGE <ref-ruling> E. 1.2-1.4 S. 264 f.; Urteil des Bundesgerichts 1B_424/2020 vom 15. Dezember 2020 E. 1.2).
1.4. Der Beschwerdeführer wendet sich zwar gegen die Ablehnung seines Gesuchs um Sistierung des Verfahrens. Die Ablehnung seines Gesuchs hat jedoch zur Folge, dass die Vorinstanz nicht den "Wunschanwalt" des Beschwerdeführers als amtlichen Verteidiger bestellt. Deswegen macht der Beschwerdeführer geltend, das Appellationsgericht hätte ihm, entgegen seinem ausdrücklichen Willen, nicht den von ihm vorgeschlagenen, sondern einen ihm fremden Anwalt als amtlichen Verteidiger bestellt. Damit habe das Appellationsgericht Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK verletzt und ihm (in einem Fall der notwendigen Verteidigung) einen nicht erwünschten Rechtsvertreter aufgedrängt.
Das Bundesgericht hat im Urteil 1B_74/2008 vom 18. Juni 2008 E. 2 festgehalten, dass sich bereits aus Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK ein Anspruch ergibt, dass die Behörde bei der Ernennung des amtlichen Verteidigers die Wünsche des Angeschuldigten berücksichtigt (vgl. Urteil des EGMR Croissant gegen Deutschland vom 25. September 1992 § 29, in: EuGRZ 19/1992 S. 542). Diesen Anspruch hat der Bundesgesetzgeber in <ref-law> ausdrücklich geregelt. Der Bundesrat führt in seiner Botschaft zur Strafprozessordnung dazu aus, mit einer sachgerechten Auslegung der Bestimmung könne allfälligen Bedenken begegnet werden, wonach die Verfahrensleitung, insbesondere die Staatsanwaltschaft, versucht sein könnte, eine ihr genehme Verteidigung zu bestellen (Botschaft vom 21. Dezember 2005 zur Vereinheitlichung des Strafprozessrechts, BBl 2006 1085, S. 1180). Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist nicht auszuschliessen, dass das Ablehnen eines Wunsches des Beschuldigten nach einem bestimmten amtlichen Verteidiger einen nicht wiedergutzumachenden (rechtlichen) Nachteil bewirken kann (<ref-ruling> E. 1.2 S. 116; Urteil des Bundesgerichts 1B_99/2013 vom 13. Mai 2013 E. 1.5).
In der vorliegenden Angelegenheit rügt der Beschwerdeführer, dass das Appellationsgericht Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK verletzt habe, indem es entgegen seinem Willen nicht B._, sondern Advokat Christian von Wartburg als amtlichen Verteidiger für das Berufungsverfahren eingesetzt hat. Diese Rüge ist nach der erwähnten Praxis gegen den Entscheid des Appellationsgerichts, das dieses Vorgehen schützte, unter dem Gesichtspunkt von <ref-law> zulässig (vgl. Urteil 1B_60/2019 vom 1. Mai 2019 E. 1.2).
1.5. Mit der Beschwerde an das Bundesgericht kann insbesondere die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht, wozu Bundesverfassungsrecht und die von der Schweiz ratifizierten Menschenrechtskodifikationen zählen, gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht prüft solche Rügen, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3 S. 30 mit Hinweis). Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3 S. 30 mit Hinweisen).
1.6. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen der Beschwerde in Strafsachen sind erfüllt und geben zu keinen weiteren Erörterungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, das Appellationsgericht habe das Berufungsverfahren so lange zu sistieren, bis der von ihm vorgeschlagene B._ das Mandat als amtlicher Verteidiger wieder aufnehmen könne. Indem das Gericht das Gesuch um Sistierung des Verfahrens abgelehnt hat und einen ihm einen fremden Anwalt als amtlichen Verteidiger für das Berufungsverfahren bestellt hat, habe es Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK verletzt. Den als amtlichen Verteidiger bestellten Anwalt lehnt der Beschwerdeführer ab, sinngemäss weil er der Ansicht ist, dass der Anwalt nicht unabhängig genug sei. Der Anwalt stünde in einem finanziellen und politischen Abhängigkeitsverhältnis zur Appellationsgerichtspräsidentin, da beide derselben politischen Partei angehören.
2.2. Die beschuldigte Person ist berechtigt, in jedem Strafverfahren und auf jeder Verfahrensstufe einen Rechtsbeistand ihrer Wahl mit der Verteidigung zu betrauen (<ref-law>). Gemäss <ref-law> ordnet die Verfahrensleitung eine amtliche Verteidigung an, wenn bei notwendiger Verteidigung nach <ref-law> die beschuldigte Person trotz Aufforderung der Verfahrensleitung keine Wahlverteidigung bestimmt oder der Wahlverteidigung das Mandat entzogen wurde oder sie es niedergelegt hat und die beschuldigte Person nicht innert Frist eine neue Wahlverteidigung bestimmt. Ein Fall notwendiger Verteidigung liegt insbesondere vor, wenn sie wegen ihres körperlichen oder geistigen Zustands oder aus anderen Gründen ihre Verfahrensinteressen nicht ausreichend wahren kann (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.4.4 S. 170 f.).
Die amtliche Verteidigung wird von der im jeweiligen Verfahrensstadium zuständigen Verfahrensleitung bestellt (<ref-law>). Die Verfahrensleitung berücksichtigt dabei nach Möglichkeit die Wünsche der beschuldigten Person (<ref-law>). Die amtliche Verteidigung wird nach dem Anwaltstarif desjenigen Kantons entschädigt, in welchem das Strafverfahren geführt wurde (<ref-law>). Die Staatsanwaltschaft oder das urteilende Gericht legen die Entschädigung am Ende des Verfahrens fest (<ref-law>). Wird die beschuldigte Person zu den Verfahrenskosten verurteilt, so ist sie, sobald es ihre wirtschaftlichen Verhältnisse erlauben, verpflichtet, dem Kanton die Entschädigung zurückzuzahlen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 S. 119).
Mit den gesetzlichen Bestimmungen von Art. 132 und 133 StPO wurde die bisherige bundesgerichtliche Rechtsprechung zu <ref-law> und Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK kodifiziert. Das Vorschlagsrecht des Beschuldigten nach <ref-law> begründet zwar keine strikte Befolgungs- bzw. Ernennungspflicht zulasten der Verfahrensleitung. Für ein Abweichen vom Vorschlag des Beschuldigten bedarf es jedoch zureichender sachlicher Gründe, wie z.B. Interessenkollisionen, Überlastung, die Ablehnung des Mandates durch den erbetenen Verteidiger, dessen fehlende fachliche Qualifikation oder Berufsausübungsberechtigung oder andere sachliche Hindernisse (<ref-ruling> E. 4.3 S. 119 mit Hinweisen).
2.3. Die Vorinstanz hat die Ablehnung des Gesuchs um Sistierung des Berufungsverfahrens bis B._ das Mandat als amtlicher Verteidiger wieder aufnehmen könnte damit begründet, dass die fehlende Möglichkeit der Verteidigung durch einen bestimmten Verteidiger keinen Grund für eine Verfahrenssistierung bilde. Zumal, wenn der Zeitpunkt einer erneuten Mandatsführung durch den gewünschten Verteidiger völlig offen sei. Aus dem Anwaltsregister des Kantons Basel-Stadt liessen sich ebenfalls geeignete Anwälte für die amtliche Verteidigung für das Berufungsverfahren finden. Da der Beschwerdeführer keinen anderen Anwalt für die amtliche Verteidigung vorgeschlagen hat, habe die Appellationsgerichtspräsidentin in Anwendung von <ref-law> Advokat Christian von Wartburg als amtlichen Verteidiger für das Berufungsverfahren bestellt.
2.4. Die Argumentation der Vorinstanz überzeugt und ist nicht zu beanstanden. Die Verteidigung einer beschuldigten Person ist ausschliesslich Anwältinnen und Anwälten vorbehalten, die nach dem Bundesgesetz über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte vom 23. Juni 2000 (Anwaltsgesetz, BGFA; SR 935.61) berechtigt sind, Parteien vor Gerichtsbehörden zu vertreten; vorbehalten bleiben abweichende Bestimmungen der Kantone für die Verteidigung im Übertretungsstrafverfahren (<ref-law>). Anwältinnen und Anwälte, die in einem kantonalen Anwaltsregister eingetragen sind, können in der Schweiz ohne weitere Bewilligung Parteien vor Gerichtsbehörden vertreten (<ref-law>). Ausserdem können namentlich Angehörige von Mitgliedsstaaten der EU oder der EFTA, die berechtigt sind, den Anwaltsberuf in ihrem Herkunftsstaat auszuüben, im freien Dienstleistungsverkehr in der Schweiz Parteien vor Gerichtsbehörden vertreten (<ref-law>). Es ist gerichtsnotorisch, dass die Anwaltsaufsichtsbehörde des Kantons Bern mit Entscheid vom 28. November 2019 die Löschung des Eintrags von B._ im Anwaltsregister angeordnet hat. Der Entscheid wurde letztinstanzlich vom Bundesgericht bestätigt (Urteil des Bundesgerichts 2C_305/2020 vom 30. Oktober 2020). Demnach ist B._ aufgrund der Tatsache, dass er nicht in einem kantonalen Anwaltsregister geführt wird, gestützt auf <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> nicht zur Vertretung einer beschuldigten Person zugelassen. Aus dem Einwand des Beschwerdeführers, wonach B._ mittlerweile in Luxemburg den "Cours complémentaires en droit luxembourgeois" besucht, um das luxemburgische Anwaltspatent zu erlangen, kann er nichts zu seinen Gunsten ableiten. Das Gleiche gilt darüber hinaus auch für den Einwand, wonach ein Verfahren auf Zulassung zur deutschen Anwaltschaft betreffend B._ hängig sei. Der Besuch eines Anwaltskurses oder die Beteiligung an einem Zulassungsverfahren befähigt eine Person gestützt auf <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> nicht zur Vertretung einer beschuldigten Person vor Schweizer Gerichtsbehörden.
Der Beschwerdeführer kann ausschliesslich eine Person, die gemäss BGFA zur Vertretung von Parteien vor Gerichtsbehörden berechtigt ist, als ihren Rechtsbeistand bezeichnen. Aufgrund des Umstandes, dass die vom Beschwerdeführer gewünschte Person nicht zur Vertretung zugelassen ist, hat die Vorinstanz das Gesuch um Sistierung zu Recht abgewiesen. Andere Gründe für die Sistierung sind weder ersichtlich, noch werden sie vom Beschwerdeführer dargelegt. Im Übrigen würde eine Sistierung des Verfahrens dem Beschleunigungsgebot gemäss <ref-law> zuwiderlaufen. Strafverfahren sollen ohne unbegründete Verzögerungen zum Abschluss gebracht werden. Dies gilt gerade im vorliegenden Fall, ist das Verfahren doch schon seit über zwei Jahren bei der Berufungsinstanz hängig.
2.5. Soweit der Beschwerdeführer sinngemäss die Bestellung von Advokat Christian von Wartburg durch die Appellationsgerichtspräsidentin rügt und geltend macht, der bestellte amtliche Verteidiger könne die Interessen des Beschwerdeführers nicht wahren, kann er nicht gehört werden. Die Vorbringen des Beschwerdeführers sind weder nachvollziehbar, noch entsprechen sie den gesetzlichen Begründungsanforderungen (vgl. vorne E. 1.5). Die Rügen sind bloss allgemein gehalten: Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, dass der amtliche Verteidiger in einem finanziellen und politischen Abhängigkeitsverhältnis zur Appellationsgerichtspräsidentin stünde, da beide Mitglied der selben politischen Partei seien. Der blosse Umstand, dass sowohl die Richterin als auch der amtliche Verteidiger derselben Partei angehören, vermag jedoch von vornherein keine politische oder finanzielle Abhängigkeit zu begründen, stellen doch die Mitgliedschaft in einer politischen Partei und allfällige Zuwendungen zugunsten der politischen Partei die Unabhängigkeit einer Person für sich alleine nicht in Frage (vgl. Urteil des Bundesgerichts 1B_120/2018 vom 29. Mai 2018 E. 3.4). Die Abhängigkeit des Anwalts zur Appellationsgerichtspräsidentin soll zudem dadurch bewiesen werden, dass dieser behaupteterweise nicht bereit gewesen sei, eine vom Beschwerdeführer verfasste "Erklärung bzgl. Rechtsgarantien der EMRK" zu unterzeichnen. Darüber hinaus kritisiert der Beschwerdeführer allgemein die basel-städtische Justiz, die Pflicht zur Mandatsabgabe für Richterinnen und Richter in der Schweiz und die angebliche Abhängigkeit der Basler Anwaltschaft vom Appellationsgericht. Aus dieser Kritik ist nicht erkennbar, inwiefern ein Abhängigkeitsverhältnis zwischen dem bestellten amtlichen Verteidiger und der Appellationsgerichtspräsidentin besteht. Der Beschwerdeführer bringt in seiner Beschwerdeschrift keine konkreten Hinweise auf einen möglichen Interessenkonflikt seines amtlichen Verteidigers vor und es sind auch keine solchen ersichtlich (vgl. <ref-ruling> E. 2.4 S. 165). Auf diese Rüge kann nicht eingetreten werden.
2.6. Demnach hat die Appellationsgerichtspräsidentin weder mit der Abweisung des Gesuchs um Sistierung des Verfahrens, noch mit der Einsetzung eines neuen amtlichen Verteidigers Bundes- oder Konventionsrecht verletzt.
3.
Damit erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Auf die Erhebung von Gerichtskosten kann hier ausnahmsweise verzichtet werden (<ref-law>). Parteientschädigungen für das bundesgerichtliche Verfahren sind keine auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Präsidentin, und Advokat Christian von Wartburg schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Februar 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Bisaz