Sachverhalt:
A.
A._ (Kunde, Kläger, Beschwerdeführer) eröffnete am 6. November 2009 eine Konto- und Depotbeziehung bei der C._ Bank AG; diese wurde am 14. Dezember 2011 von der B._ Bank SA (Bank, Beklagte, Beschwerdegegnerin) übernommen. Der Kunde unterhielt drei Konten und ein Depot bei der Bank, welche über mehrere Zweigniederlassungen verfügt, unter anderem in Zürich. Er bezahlte nach seiner Darstellung auf seine Konten insgesamt USD 1'559'117.52 sowie EURO 22'127.-- ein. Nach Beendigung der Geschäftsbeziehung wurden ihm noch USD 207'522.40 überwiesen.
Kundenberaterin des Klägers war D._. Sie zeigte dem Kunden per Ende Dezember 2013 einen Vermögensstand von USD 2'305'698.87 an. Mit - nicht rechtskräftigem - Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 23. August 2017 wurde D._, die gemäss diesem Urteil mit richtigem Namen X._ heisst, unter anderem wegen mehrfacher ungetreuer Geschäftsbesorgung zu einer Freiheitsstrafe von 30 Monaten verurteilt. Sie hatte in der Untersuchung gestanden, sie habe unautorisierte Transaktionen unter anderem auch zu Lasten der Vermögenswerte des Klägers vorgenommen.
B.
B.a. Mit Schlichtungsbegehren vom 20. Mai 2015 bzw. Klage vom 8. Dezember 2014 vor Bezirksgericht Zürich stellte der Kunde das Rechtsbegehren, die Bank sei zur Zahlung von USD 2'305'698.87 zuzüglich Zins zu 6 % seit 10. April 2014 zu verurteilen. In der Replik reduzierte er die Forderung auf USD 2'019'817.47 nebst Zins.
Mit Beschluss und Urteil vom 16. August 2017 schrieb das Bezirksgericht Zürich das Verfahren im Umfang von USD 285'881.40 als durch Rückzug erledigt ab; im Mehrbetrag wies es die Klage ab. Das Bezirksgericht hielt insbesondere den Schaden für nicht genügend substanziiert behauptet. So habe der Kläger nicht in rechtsgenüglicher Weise die Differenz aufgezeigt zwischen dem Vermögensstand im Zeitpunkt der Klageeinleitung und dem hypothetischen Stand, den sein Vermögen ohne die beanstandeten Transaktionen gehabt hätte.
B.b. Am 9. Mai 2018 wies das Obergericht des Kantons Zürich die Berufung des Klägers ab, soweit auf sie eingetreten wurde, und bestätigte den Entscheid des Bezirksgerichts Zürich vom 16. August 2017.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 14. Juni 2018 stellt der Kläger das Rechtsbegehren, es sei das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 9. Mai 2018 aufzuheben und das Verfahren zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Er rügt nach allgemeinen Darlegungen, die Vorinstanz habe ihm die Beweislast für die rechtswidrigen Transaktionen zu Unrecht auferlegt, eventualiter habe sie den Sachverhalt willkürlich gewürdigt, sie habe ihm sodann das rechtliche Gehör verweigert, indem sie Beweise nicht abgenommen habe und ausserdem mit ihren Anforderungen an den Schadennachweis das Verbot des überspitzten Formalismus verletzt.
Die Akten wurde beigezogen. Vernehmlassungen wurden nicht eingeholt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerdeschrift hat ein Rechtsbegehren zu enthalten. Angesichts der grundsätzlich reformatorischen Natur der Beschwerde (<ref-law>) genügt in der Regel das Begehren auf Aufhebung des angefochtenen Entscheides nicht; vielmehr ist ein Antrag in der Sache erforderlich und muss das Begehren bei Geldleistungen beziffert sein (<ref-ruling> E. 1.2 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2 S. 237). Immerhin ist ein Antrag auf Rückweisung zulässig und allein angebracht, wenn wie hier die Sachverhaltsfeststellungen im angefochtenen Entscheid fehlen, die dem Bundesgericht bei Gutheissung der Beschwerde erlauben, ein reformatorisches Urteil zu fällen. Im Übrigen sind die Voraussetzungen für die Zulässigkeit der Beschwerde ohne Weiteres erfüllt. Auf die Beschwerde ist unter Vorbehalt hinreichender Begründung einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266). Soweit der Beschwerdeführer den Sachverhalt ergänzen will, hat er zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass er entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
2.2. Der Beschwerdeführer rügt in einer Eventualbegründung, die Vorinstanz habe die Beweise willkürlich gewürdigt und in diesem Rahmen das rechtliche Gehör verletzt mit der Annahme, dass die Beschwerdegegnerin in einem beschränkten Rahmen Anlageentscheide fällen und einzelne Transaktionen ohne expliziten Auftrag seinerseits durchführen durfte.
2.2.1. Die Vorinstanz hat zum Prozesssachverhalt festgestellt, der Beschwerdeführer habe vor erster Instanz anerkannt, mit dem "Reinvestment Mandate" einen Wiederanlageauftrag erteilt zu haben für Kontoguthaben und Fälligkeiten in Treuhandgelder von C._, Geldmarktfonds, Obligationenfonds sowie Obligationen und mittelfristige Notes mit einem Minimum-Rating von AA- und AAS [recte: AA3]. Nach den weiteren Feststellungen im angefochtenen Urteil hatte der Beschwerdeführer die Beschwerdegegnerin überdies beauftragt, einzeln oder wiederholt in Treuhandfestgelder innerhalb des C._-Netzwerks sowie bei einer Anzahl türkischer Banken zu investieren. Daraus schloss die Vorinstanz, dass die Beschwerdegegnerin zumindest befugt war, in einem beschränkten Rahmen Anlageentscheide zu fällen und einzelne Transaktionen ohne expliziten Auftrag des Klägers durchzuführen. Der Beschwerdeführer wendet gegen diese Feststellungen im angefochtenen Urteil einzig ein, er habe bereits im Verfahren vor erster Instanz sämtliche mit der Beschwerdegegnerin abgeschlossenen Verträge ins Recht gelegt und vor beiden Instanzen deutlich zum Ausdruck gebracht, dass die Verträge reine Ausführungsgeschäfte ("execution only") zuliessen, womit er bewiesen habe, dass er der Beschwerdegegnerin nicht gestattet habe, eigenmächtige Transaktionen vorzunehmen. Insoweit sich der Beschwerdeführer mit diesem Einwand auf Sachverhaltsfragen bezieht, beschränkt er sich darauf, dem vorinstanzlichen Beweisergebnis seine eigene Würdigung der Beweise gegenüberzustellen. Dass die von Sachgerichten gezogenen Schlüsse nicht mit der eigenen Darstellung übereinstimmen, belegt indessen keine Willkür (BGE <ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 4.2). Für das Bundesgericht ist der Sachverhalt im angefochtenen Urteil daher verbindlich (<ref-law>).
2.2.2. Der Beschwerdeführer sieht eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>; <ref-law>) in der angeblich fehlenden Begründung der Vorinstanz, anhand welchen "Fundstellen oder Passagen" sie zum Schluss kam, er habe der Beschwerdegegnerin erlaubt, in beschränktem Rahmen einzelne Transaktionen ohne expliziten Auftrag auszuführen. Der Beschwerdeführer übersieht hierbei, dass die Vorinstanz sehr wohl ausführte, anhand welcher in den Akten liegenden Dokumente sie zu dieser Schlussfolgerung kam. Im Übrigen kann der Vorinstanz entgegen seiner Behauptung auch keine Verletzung des rechtlichen Gehörs vorgeworfen werden, selbst wenn sie sich nicht mit allen seinen in der Berufungsschrift vorgebrachten Einwänden befasst haben sollte. So gilt eine Begründung als rechtsgenüglich, wenn sie dem Beschwerdeführer erlaubt, sich über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft zu geben, damit er ihn in voller Kenntnis der Sache an das Bundesgericht weiterziehen kann. Insbesondere wird nicht gefordert, dass sich das Gericht mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann es sich auf die wesentlichen Überlegungen beschränken (<ref-ruling> E. 3.2.4 S. 41; <ref-ruling> E. 3.2.1; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; je mit Hinweisen). Dass die vorinstanzliche Begründung rechtsgenüglich ist, kann im Übrigen aus den vom Beschwerdeführer zur Sache erhobenen Rügen geschlossen werden. Mithin ergeht aus der Beschwerdeschrift, dass er sich über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an das Bundesgericht weiterziehen konnte.
3.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von <ref-law>. Er vertritt die Ansicht, er habe danach nur zu beweisen, dass er der Beschwerdegegnerin bestimmte Vermögenswerte anvertraut habe, ohne ihr zu gestatten, eigenmächtig Transaktionen vorzunehmen.
Insofern der Beschwerdeführer eine Verletzung von <ref-law> darin erblickt, dass die Vorinstanz davon ausging, der Beschwerdegegnerin sei es erlaubt gewesen, in beschränktem Rahmen selbständige Transaktionen auszuführen, gilt der vom Bundesgericht in ständiger Praxis befolgte Grundsatz, dass diese Frage gegenstandslos ist, wenn die Vorinstanz aufgrund ihrer Beweiswürdigung zum Ergebnis gekommen ist, ein bestimmter Sachverhalt sei nachgewiesen worden (<ref-ruling> E. 3 S. 282; <ref-ruling> E. 3.4 S. 634; <ref-ruling> E. 5.4 S. 602; <ref-ruling> E. 2b/aa S. 277; Urteil 4A_376/2017 vom 11. Dezember 2017 E. 3).
Aus <ref-law> ergibt sich, dass es am Beschwerdeführer liegt, die Anspruchsgrundlagen zu beweisen, aus denen er Rechte ableitet. Da er Schadenersatz wegen Verletzung einer Pflicht der Bank als Beauftrage verlangt (Art. 398 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>), hat er grundsätzlich zu behaupten und zu beweisen, dass die Beschwerdegegnerin eine vertragliche Verpflichtung nicht (gehörig) erfüllt hat, und ihm dadurch - adäquat-kausal - der Schaden entstanden ist, dessen Ersatz er begehrt (<ref-ruling> E. 2.3 mit zahlreichen Hinweisen). Nachdem der Beschwerdeführer behauptet, die Beschwerdegegnerin habe unautorisierte Transaktionen ausgeführt, aus dem ihm Schaden erwachsen sei, hat er unter anderem diese Transaktionen (und den daraus erwachsenen Schaden) substanziiert zu behaupten und zu beweisen. Die Vorinstanz hat die Beweislast zutreffend verteilt.
4.
Der Beschwerdeführer rügt schliesslich, die Vorinstanz habe das Recht auf Beweis verletzt, ihm das rechtliche Gehör verweigert und überspitzt formalistisch gehandelt, indem sie mangels gehöriger Behauptungen zu einzelnen, unautorisierten Transaktionen und dem daraus entstandenen Schaden seine Beweisanträge auf Edition von Unterlagen durch die Beschwerdegegnerin und die Einholung eines Gutachtens abgelehnt hat.
4.1. Die Vorinstanz hat (unter Verweis auf mehrere im Recht liegende Urkunden) nicht zu erkennen vermocht, weshalb es dem Beschwerdeführer nicht hätte möglich sein sollen, anhand der Kontoauszüge und Einzeltransaktionsbelege diejenigen Transaktionen zu bezeichnen, deren Rechtmässigkeit er bestreitet. Der Beschwerdeführer zeigt in der Rechtsschrift an das Bundesgericht nicht auf, dass ihm dies aufgrund der vorhandenen Unterlagen nicht möglich war, indem er in allgemeiner Weise vorbringt, er habe mehrfach zum Ausdruck gebracht, dass die Beschwerdegegnerin die relevanten Akten nicht vollständig ausgehändigt habe und er habe explizit verlangt, dass sie sämtliche weiteren Urkunden ediere. Denn ohne gehörige Behauptungen sind keine Beweise abzunehmen. Vielmehr ist erforderlich, dass die Beweisofferten jeweils separat unmittelbar im Anschluss an die entsprechenden konkret substanziierten Tatsachenbehauptungen aufgeführt werden, die damit bewiesen werden sollen (vgl. Urteil 4A_103/2017 vom 19. Juli 2017 E. 2.2). Die Vorinstanz hat kein Bundesrecht verkannt mit der Annahme, die Beweisanträge auf Edition und Gutachten vermöchten rechtsgenügliche Behauptungen zu den einzelnen rechtswidrigen Transaktionen nicht zu ersetzen.
4.2. Die Vorinstanz hat im Ergebnis offen gelassen, ob das Vertragsverhältnis als eigentlicher Vermögensverwaltungsvertrag oder lediglich als Anlageberatungsvertrag zu qualifizieren sei. Jedenfalls verneinte sie angesichts der (eingeschränkten) Befugnis der Beschwerdegegnerin, selbständig Transaktionen zu tätigen, zu Recht einen reinen Konto-/Depotvertrag (vgl. zur Abgrenzung dieses sog. "execution only"-Vertrages zur Anlageberatung und der eigentlichen Vermögensverwaltung <ref-ruling> E. 2.1 mit zahlreichen Hinweisen). Der Beschwerdeführer stützt sich denn auch bei seiner Behauptung, es habe sich um eine "execution only"-Beziehung gehandelt, einzig auf tatsächliche Elemente, die in den willkürfreien Feststellungen im angefochtenen Entscheid keine Stütze finden. Inwiefern von einer blossen Konto-/Depotbeziehung auszugehen sein sollte, wenn die Feststellungen der Vorinstanz zur Befugnis der Beschwerdegegnerin dem Urteil des Bundesgerichts zugrunde gelegt werden, legt er hingegen nicht dar.
In Bezug auf die im Rahmen dieses Vertragsverhältnisses angeblich vorgenommenen Pflichtverletzungen behauptet der Beschwerdeführer sodann selbst nicht, es sei das gesamte Portfolio sorgfaltswidrig verwaltet worden respektive die pflichtwidrig ausgeführten Transaktionen seien nicht mehr bestimmbar. Da demnach nur einzelne Anlagen vertragswidrig getätigt worden sind, beschränkt sich die Schadensberechnung auf die Ermittlung der Differenz zwischen dem tatsächlichen Wert der einzelnen pflichtwidrigen Anlagen und dem hypothetischen Wert, den das konkret pflichtwidrig investierte Kapital bei vertragskonformer Anlage hätte (<ref-ruling> E. 2.2.2 mit Hinweisen). Wenn die Vorinstanz vom Beschwerdeführer gehörige Behauptungen zu den einzelnen, von ihm als rechtswidrig qualifizierten Transaktionen verlangte, um den daraus entstandenen Schaden zu beurteilen, hat sie das nach der bundesgerichtlichen Praxis für den Schadensnachweis gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 OR Erforderliche verlangt (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 mit zahlreichen Hinweisen) und damit weder die einschlägigen formellen Vorschriften mit übertriebener Schärfe gehandhabt, noch überspannte Anforderungen gestellt (vgl. zu den Voraussetzungen des überspitzten Formalismus <ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweisen). Die Rüge des überspitzten Formalismus ist unbegründet.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer zu auferlegen (<ref-law>). Da keine Vernehmlassungen eingeholt wurden, ist der Beschwerdegegnerin praxisgemäss keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtsgebühr von Fr. 10'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. September 2018
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Hug