Faits :
A.
En mars 2015, A._ (né en 2008) a présenté une demande d'allocation pour impotent, en indiquant, par l'intermédiaire de ses parents, qu'il avait besoin de leur aide directe ou indirecte pour les actes ordinaires de la vie, ainsi que d'une surveillance pendant la nuit et le jour. Déscolarisé depuis février 2015, il a commencé un traitement auprès de la doctoresse D._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie d'enfants et d'adolescents, selon laquelle il souffrait notamment d'une infirmité congénitale (psychoses primaires du jeune enfant; ch. 406 de l'annexe à l'ordonnance du 9 décembre 1985 concernant les infirmités congénitales [OIC; RS 831.232.21]; rapport du 13 mars 2015).
Après que A._ a réintégré l'école primaire à environ 50 % à la rentrée scolaire 2015, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg (ci-après: l'office AI) a pris des renseignements auprès de l'enseignante de l'enfant et d'une spécialiste du Service de l'enseignement spécialisé et des mesures d'aide (SESAM) qui l'accompagnait. Il a également diligenté une enquête sur l'impotence (rapport du 18 septembre 2015). A la suite d'un projet de décision du 3 juillet 2017, selon lequel il comptait nier le droit de l'assuré à une allocation pour impotent et qui a été contesté par les parents le 23 août 2017, l'office AI a requis des informations complémentaires auprès notamment de l'enseignante (rapport d'entretien téléphonique du 12 janvier 2018) et du SESAM. Pour l'année scolaire 2018/2019, une autorisation d'enseignement à domicile a été délivrée pour A._. Par décision du 16 janvier 2019, l'office AI a rejeté la demande d'allocation pour impotence.
B.
Statuant le 22 septembre 2020 sur le recours formé par l'assuré contre cette décision, le Tribunal cantonal du canton de Fribourg, IIe Cour des assurances sociales, l'a partiellement admis. Réformant la décision du 16 janvier 2019, il a reconnu le droit de A._ à une allocation pour impotence de degré moyen dès le 1er novembre 2014. Pour le surplus, il a renvoyé la cause à l'office AI pour qu'il procède aux mesures d'instruction nécessaires (pour l'examen du droit à un supplément pour soins intenses) et statue à nouveau au sens des considérants (ch. I du dispositif). Après avoir réparti les frais de la procédure entre les parties (ch. II du dispositif), il a fixé à 4088 fr. 55 l'indemnité de partie allouée à l'avocat de l'assuré (ch. IV du dispositif).
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre le jugement cantonal, dont il demande en substance la réforme en ce sens qu'il a droit à une allocation pour impotence grave dès le 1er novembre 2014, la cause étant pour le surplus renvoyée à l'office AI pour qu'il procède aux mesures d'instruction nécessaires pour statuer sur le droit à un supplément pour soins intenses. A titre subsidiaire, il demande le renvoi de la cause à l'office AI pour complément d'instruction et nouvelle décision sur le droit à l'allocation pour impotent et le droit à un supplément pour soins intenses. Il requiert par ailleurs le versement d'une indemnité de dépens de 5451 fr. 40 pour l'instance cantonale.
L'office AI conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) ne s'est pas déterminé.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours en matière de droit public est recevable contre les décisions finales, soit celles qui mettent fin à la procédure (<ref-law>), et contre les décisions partielles visées à l'<ref-law>, soit notamment celles qui statuent sur un objet dont le sort est indépendant de celui qui reste en cause (let. a). Les décisions de renvoi constituent des décisions incidentes qui ne peuvent en principe faire l'objet d'un recours au Tribunal fédéral qu'aux conditions de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 481 s.).
1.2. En tant que le jugement entrepris renvoie la cause à l'intimé pour qu'il procède aux mesures d'instruction nécessaires concernant le droit à un supplément pour soins intenses au sens de l'<ref-law> puis statue à nouveau (ch. I du dispositif et consid. 6 et 7 de l'arrêt cantonal), il s'agit d'une décision incidente qui ne peut être attaquée qu'aux conditions de l'<ref-law>.
Le recours est cependant dirigé uniquement contre la reconnaissance du droit à une allocation pour impotent de degré moyen à partir du 1er novembre 2014, l'assuré contestant le degré de l'impotence. Sur ce point, le prononcé entrepris constitue une décision partielle au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 1.2.1 p. 217; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 480 s.), contre laquelle un recours est recevable. Même si le supplément pour soins intenses est conçu comme une augmentation de l'allocation versée aux mineurs impotents (art. 42ter al. 3 première phrase LAI) et dépend donc de l'octroi d'une allocation pour impotent (cf. arrêt 9C_350/2014 du 11 septembre 2014 consid. 4.2.1 et les références in SVR 2015 IV n° 6 p. 13), celle-ci peut être reconnue de manière indépendante dudit supplément. En mettant le recourant au bénéfice d'une allocation pour impotent de degré moyen, la juridiction cantonale a dès lors statué définitivement sur cet objet, dont le sort est indépendant de la prétention au supplément pour soins intenses sur laquelle l'intimé devra statuer. Cette indépendance, prescrite à l'<ref-law>, suppose en particulier qu'il n'existe pas de risque que la décision à rendre sur le reste du litige ne se trouve en contradiction avec la décision partielle, destinée à entrer en force (cf. <ref-ruling> consid. 2.4 p. 398 s.; arrêt 8C_55/2010 du 6 août 2010 consid. 2.3.2 non publié in <ref-ruling>). Un tel risque peut être écarté en l'espèce puisque la décision sur le degré moyen ou grave de l'impotence - seul litigieux devant la Cour de céans - n'a pas d'influence sur les conditions du droit au supplément pour soins intenses prévues par l'<ref-law>. Le recours est dès lors recevable.
2.
Le recours en matière de droit public (<ref-law>) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>).
3.
Compte tenu des conclusions et de la motivation du recours, le litige porte uniquement sur le point de savoir si A._ a droit à une allocation pour impotent de degré grave, et non de degré moyen, à partir du 1er novembre 2014. A cet égard, le jugement entrepris expose de manière complète les conditions légales du droit à une allocation pour impotence dans le cas des mineurs (<ref-law>, art. 42 et 42bis al. 3 LAI, <ref-law>) et la jurisprudence y relative, en particulier quant aux six actes ordinaires de la vie déterminants pour évaluer l'impotence (se vêtir/se dévêtir, se lever/s'asseoir/se coucher, manger, faire sa toilette, aller aux toilettes et se déplacer à l'intérieur/à l'extérieur; <ref-ruling> consid. 3c p. 97 et les références). Il suffit d'y renvoyer.
4.
Le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir constaté les faits de manière manifestement inexacte et incomplète. Outre les quatre actes ordinaires de la vie reconnus par les premiers juges comme nécessitant une aide régulière et importante d'autrui (manger, faire sa toilette, se coucher et se déplacer [entretenir des contacts sociaux]), l'assuré soutient qu'il ne peut pas non plus accomplir les deux autres actes ordinaires, à savoir se vêtir/se dévêtir et aller aux toilettes, sans l'aide d'autrui. Selon lui, les constatations contraires de l'autorité judiciaire cantonale à ce sujet sont contredites par les avis, produits en instance cantonale, des docteurs D._ (du 1er février 2019) et E._ (du 17 juillet 2019), tous deux pédiatres traitants, et de l'ergothérapeute F._ (rapports des 4 février et 2 novembre 2015), de même que par ceux de l'enquêtrice venue à domicile en septembre 2015 et de la collaboratrice du SPITEX (rapport du 19 avril 2017).
4.1. Pour l'acte "aller aux toilettes", la juridiction cantonale a constaté que le recourant était en mesure d'accomplir cet acte (enfant propre) sans l'aide de ses parents et qu'on pouvait attendre de ceux-ci qu'ils vérifient son hygiène corporelle, en considération de son jeune âge. Cette constatation ne correspond toutefois pas entièrement aux indications de l'enquêtrice de l'office AI selon lesquelles l'enfant avait besoin d'aide pour s'essuyer après avoir été à selles. La nécessité d'une telle assistance a été confirmée notamment par le docteur E._, selon lequel l'enfant n'était pas autonome pour s'essuyer (rapport du 17 juillet 2019). Or conformément à la jurisprudence (<ref-ruling> consid. 6 p. 93 ss; arrêt 9C_560/2017 du 17 octobre 2017 consid. 4.2 et les références), le nettoyage corporel après le passage aux toilettes constitue une fonction partielle de l'acte en cause, pour laquelle le recourant requiert concrètement une aide régulière et importante, puisqu'il n'est pas autonome pour l'accomplir (sur la notion de l'importance de l'aide, cf. arrêt 9C_560/2017 précité consid. 4.3); un rituel apparaît de plus nécessaire dans ce domaine également, selon le docteur E._. La référence au jeune âge de l'assuré n'y change rien, dès lors que selon les recommandations concernant l'évaluation de l'impotence déterminante chez les mineurs, un enfant est considéré capable, à six ans, de s'essuyer lui-même et de se rhabiller tout seul (Annexe III à la Circulaire de l'OFAS sur l'invalidité et l'impotence dans l'assurance-invalidité [CIIAI; version valable à partir du 1er janvier 2018], ch. 5 p. 212). Le grief tiré de l'établissement manifestement inexact des faits est dès lors fondé, la nécessité d'assistance devant être reconnue aussi pour l'acte "aller aux toilettes".
4.2. En ce qui concerne l'acte ordinaire "se vêtir/se dévêtir", la juridiction cantonale a suivi l'indication de l'enseignante du recourant qui avait mentionné qu'il était autonome pour se vêtir ou se dévêtir lors des cours de gymnastique. Tout en indiquant que cet avis ne concordait pas avec la position des médecins traitants de l'assuré, elle n'a pas discuté plus avant cette divergence et constaté la capacité de l'enfant de s'habiller sans l'aide de ses parents. On ignore dès lors la raison pour laquelle les premiers juges ont été apparemment convaincus davantage par les renseignements donnés par l'enseignante que par ceux des médecins traitants.
Quoi qu'il en soit, la constatation cantonale apparaît manifestement inexacte, parce que les premiers juges n'ont pas pris en considération toutes les pièces pertinentes au dossier. En complément de leur constatation (supra consid. 2), il ressort d'abord de l'enquête sur l'impotence que l'assuré nécessite une aide directe pour tout ce qui demande une dextérité fine, comme enfiler les chaussettes, ouvrir ou fermer une fermeture éclair, boutonner ses vêtements (rapport du 18 septembre 2015, ch. 4.1.1). Selon les indications des docteurs D._ (rapports des 12 juillet 2017 et 1er février 2019) et E._ (rapport du 17 juillet 2019), leur patient a besoin d'une assistance verbale pour s'habiller, alors qu'il présente une hypersensibilité tactile et une maladresse au niveau de la motricité; l'enfant n'arrive à s'habiller qu'en présence d'un adulte et avec un coaching verbal. La nécessité d'une telle assistance n'est pas contredite par les observations faites à l'école, dans la mesure où l'assuré y a bénéficié d'un cadre structuré. Dans ce contexte, la doctoresse D._ mentionne la nécessité d'un "grand besoin de contenant extérieur" en ces termes: "dès que bien contenu [A._] arrive à fonctionner d'une façon adapté[e] à la circonstance" (rapport du 12 juillet 2017). L'enseignante de l'assuré a indiqué qu'il était autonome pour se déshabiller et se rhabiller au vestiaire ou aux leçons de gymnastique, mais a précisé qu'il avait un peu moins d'assurance tout en assumant les gestes seul (note d'entretien téléphonique du 12 janvier 2018). On peut en déduire que le cadre ou l'impulsion nécessaires ont été fournis par la présence de l'enseignante, voire des camarades de classe. A cet égard, le procès-verbal de la séance de réseau du SESAM du 20 avril 2016 met en évidence qu'en rapport avec l'acte de s'habiller en relation avec les cours de gymnastiques, l'enfant a senti "la pression des copains" et qu'il est dès lors plus facile pour les parents de l'entraîner à la maison pour ce faire. On constate donc que l'assuré est en mesure, du point de vue fonctionnel, d'accomplir avec une certaine difficulté l'acte de "se vêtir/se dévêtir" mais a besoin d'une aide indirecte d'un tiers, sans laquelle il ne ferait l'acte qu'imparfaitement ou à contretemps; en d'autres termes, livré à lui-même, cet acte ne serait accompli qu'avec difficulté ou avec une lenteur certaine (cf. <ref-ruling> consid. 7.2 p. 462 s. et les références), le contrôle nécessaire dépassant le cadre usuel pour les enfants de six à dix ans (cf. Annexe III à la CIIAI, ch. 1 p. 209). Il y a donc lieu d'admettre également la nécessité d'assistance pour l'acte en cause.
4.3. Il résulte de ce qui précède que l'impotence de l'assuré doit être qualifiée de grave, conformément à l'<ref-law>, de sorte qu'il a droit à une allocation pour impotent de degré grave à partir du 1er novembre 2014.
L'argumentation de l'intimé n'y change rien. En se référant de façon générale aux indications données par les parents du recourant (objections du 23 août 2017) au moment de contester le projet de décision du 3 juillet 2017, l'intimé nie la nécessité d'un besoin d'aide pour l'acte "se lever, s'assoir, se coucher", sans se prononcer sur les deux autres actes invoqués par le recourant. Ce faisant, il ne met pas en évidence que les constatations des premiers juges sur l'aide nécessaire des parents pour coucher l'enfant seraient manifestement inexactes ou insoutenables. Son argumentation ne saurait dès lors être suivie.
5.
Vu l'issue de la procédure, la juridiction cantonale est invitée à se prononcer à nouveau sur les frais et dépens de la procédure cantonale, de sorte qu'il n'y a pas lieu d'examiner plus avant la conclusion du recourant relative aux dépens en instance cantonale.
Pour la procédure fédérale, les frais de justice sont mis à la charge de l'intimé, de même que l'indemnité de dépens que peut prétendre le recourant (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. Le ch. I (2e §, première phrase) du dispositif de la décision du Tribunal cantonal du canton de Fribourg, IIe Cour des assurances sociales, du 22 septembre 2020 est réformé en ce sens que le recourant a droit à une allocation pour impotence grave dès le 1er novembre 2014. Les ch. II et IV de ladite décision sont annulés.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3.
L'intimé versera au recourant la somme de 2800 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
La cause est renvoyée au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, IIe Cour des assurances sociales pour nouvelle décision sur les frais et les dépens de la procédure antérieure.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, II e Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 27 janvier 2021
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
La Greffière : Perrenoud