Faits :
A.
A.a. Au mois de décembre 2016, la Faculté de psychologie et des sciences de l'éducation de l'Université de Genève (ci-après: la Faculté) a mis au concours, pour une entrée en fonction le 1er août 2018 ou à une date à convenir, un poste de "professeur-e ordinaire associé-e ou assistant-e avec prétitularisation conditionnelle" à la section de psychologie, domaine neuropsychologie clinique et intégrative. Le candidat devait notamment bénéficier "du titre de spécialisation en neuropsychologie au sens de la LPsy (Loi [fédérale] sur les professions [relevant du domaine] de la psychologie du 18 mars 2011 [RS 935.81]) ou remplir les conditions pour son obtention".
A.b. Le 28 février 2017, A._ a fait acte de candidature pour le poste précité. Le 15 septembre 2017, la Faculté l'a informé que la commission de nomination avait choisi de retenir sa candidature primo locoet de proposer sa nomination en qualité de professeur assistant avec prétitularisation conditionnelle; ladite proposition devait être confirmée par le collège des professeurs ordinaires de la section et de la faculté, avant d'être soumise au rectorat.
Le 22 décembre 2017, le doyen de la Faculté a informé A._ que le rectorat avait refusé la condition de titularisation conditionnelle proposée par la commission de nomination, c'est-à-dire l'obtention du titre de psychologue spécialiste en neuropsychologie dans le cours du premier mandat de professeur assistant, et que cette décision contraignait la Faculté à ne pas pouvoir retenir sa candidature pour la suite de la procédure.
Par courrier du 25 janvier 2018, A._ a demandé au rectorat de réévaluer la situation, en confirmant le préavis initial de la commission de nomination retenant sa candidature primo loco. Il faisait valoir que personne ne bénéficiait alors du titre de spécialisation en neuropsychologie au sens de la LPsy, de sorte qu'il n'était pas soutenable d'écarter un candidat pour ce motif. Au surplus, il remplissait les conditions du critère alternatif du profil souhaité, en ce sens qu'il satisfaisait aux conditions pour obtenir le titre de spécialisation en question.
A.c. Par courrier du 30 janvier 2018, le vice-recteur de l'Université a écrit au doyen de la Faculté. Il rappelait que, le 18 septembre 2017, le rectorat avait été interpellé sur l'existence de difficultés importantes relativement à cette procédure de nomination, notamment sous l'angle du titre requis pour le poste, le texte de l'annonce mentionnant que les candidats devaient être au bénéfice "du titre de spécialisation en neuropsychologie au sens de la LPsy (...) ou remplir les conditions pour son obtention". Or le processus d'accréditation par les autorités fédérales n'avait pas encore commencé, de sorte que nul ne pouvait effectivement être titulaire d'un titre postgrade fédéral en neuropsychologie au sens de la LPsy; de plus, à défaut de formation accréditée, nul ne pouvait remplir les conditions pour l'obtention du titre. Il en résultait que le concours pour ledit poste avait "malheureusement inclus dans son cahier des charges et son appel à candidature une condition que personne ne remplit et que personne ne pourra remplir avant 2, voire 3 ans, dans le meilleur des cas".
A.d. Par courrier du 11 juin 2018, le rectorat a informé A._, de même que l'autre candidate restant en lice, de la clôture de la procédure de nomination. Il a indiqué que la mise au concours avait malheureusement inclus une condition que, pour les motifs exposés ci-dessus, personne ne remplissait et ne pourrait remplir avant deux voire trois ans; dans ces circonstances, lors de sa séance du 28 mai 2018, le rectorat avait estimé que la procédure ne s'était pas déroulée conformément aux exigences du Règlement sur le personnel de l'Université et avait en conséquence proposé la clôture de la procédure de nomination.
A.e. Le 13 juillet 2018, A._ a déclaré former opposition contre la "décision" de clôture de la procédure de nomination. Demandant préalablement l'accès à l'ensemble du dossier relatif à cette procédure, il concluait à l'annulation de la "décision" et à ce qu'il soit dit que la procédure de nomination se poursuit.
Par décision du 21 août 2018, le recteur a déclaré l'opposition irrecevable, au motif que la décision de clôture de l'ouverture d'un poste n'était pas une décision administrative. L'annonce de clôture de la procédure de nomination procédait du constat que l'une des exigences fixées lors de la mise au concours du poste en question n'était en l'état pas réalisable, de sorte que les profils de candidats retenus ne remplissaient pas les conditions formelles posées par l'inscription. Dans ces circonstances, la procédure de nomination ne s'était pas déroulée conformément aux exigences du Règlement sur le personnel de l'Université et la clôture s'imposait. Cette annonce, intervenue sans qu'il ait été procédé à aucune nomination, n'était qu'une information relative à un acte d'organisation interne et ne constituait ni une décision d'exclusion d'une candidature ni une décision de refus d'embauche.
B.
A._ a recouru devant la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève contre cette décision, dont il demandait l'annulation. A titre préalable, il sollicitait la production de l'ensemble du dossier relatif à la procédure de nomination et à sa clôture. Au fond, il concluait principalement à la condamnation de l'Université à lui payer une indemnité équivalente à trois mois de salaire d'un professeur associé, soit au minimum 38'145 fr. 60, et subsidiairement au renvoi de la cause au rectorat pour statuer sur le fond, une fois l'accès au dossier garanti. La Chambre administrative a rejeté le recours par arrêt du 28 mai 2019.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre cet arrêt, dont il demande l'annulation. Il conclut principalement à la condamnation de l'Université à lui payer une indemnité équivalente à trois mois de salaire d'un professeur associé, soit au minimum 38'145 fr. 60. A titre subsidiaire, il conclut à l'annulation de la décision sur opposition du 21 août 2018 et, cela fait, à l'annulation de la procédure de nomination litigieuse et à ce qu'il soit dit que cette procédure se poursuit, ou à tout le moins au renvoi de la cause au rectorat pour statuer sur le fond, une fois l'accès au dossier garanti.
La cour cantonale a renoncé à se déterminer. L'intimée conclut au rejet du recours. Le recourant a répliqué.

Considérant en droit :
1.
L'arrêt entrepris a été rendu en matière de rapports de travail de droit public au sens de l'art. 83 let. g LTF. La contestation peut être considérée comme pécuniaire (cf. arrêts 8D_7/2019 du 13 février 2020 consid. 1.1; 8C_596/2017 du 1 er mars 2018 consid. 1.1 et les références), de sorte que le motif d'exclusion du recours en matière de droit public prévu par l'art. 83 let. g LTF ne s'applique pas. La valeur litigieuse atteint par ailleurs le seuil de 15'000 fr. ouvrant la voie du recours en matière de droit public en ce domaine (<ref-law>). Interjeté en temps utile (<ref-law>) et dans les formes requises (<ref-law>) contre une décision finale (<ref-law>) prise par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF), le recours est ainsi recevable.
2.
2.1. Le Tribunal fédéral, qui est un juge du droit, fonde son raisonnement juridique sur les faits retenus par l'autorité précédente (<ref-law>), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2 p. 190) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-law>). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente, il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> seraient réalisées et la correction du vice susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>); à ce défaut, un état de fait divergent de celui de la décision attaquée ne peut pas être pris en compte (<ref-ruling> consid. 5.2.2).
2.2. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Toutefois, il n'examine la violation de droits fondamentaux ainsi que celle de dispositions de droit cantonal et intercantonal que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (<ref-law>). Sauf exceptions non pertinentes en l'espèce (cf. art. 95 let. c, d et e LTF), on ne peut pas invoquer la violation du droit cantonal en tant que tel devant le Tribunal fédéral (<ref-law> a contrario). Il est néanmoins possible de faire valoir que son application viole le droit fédéral, en particulier l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.) ou d'autres droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine alors de tels moyens que s'ils sont formulés conformément aux exigences de motivation qualifiée prévues à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 579 et la référence).
3.
3.1. La procédure de nomination des professeurs ordinaires, des professeurs associés et des professeurs assistants de l'Université de Genève est réglée aux art. 95 ss du Règlement sur le personnel de l'Université entré en vigueur le 17 mars 2009 (ci-après: RPers-UNIGE). Elle se déroule de la manière suivante: Après une mise au concours (art. 96 RPers-UNIGE), une procédure de nomination est ouverte (art. 97 RPers-UNIGE) et le décanat initie la création d'une commission de nomination (art. 98 RPers-UNIGE). Selon l'art. 99 al. 1 RPers-UNIGE, cette commission examine tous les dossiers de candidature remplissant les conditions formelles de l'inscription (al. 1); en règle générale, elle propose dans son rapport final deux candidatures rangées par ordre de préférence (al. 5); elle soumet ce rapport final, accompagné des rapports des experts, au collège des professeurs ordinaires de l'unité principale d'enseignement et de recherche concernée (al. 7), lequel préavise la proposition (al. 8). Selon l'art. 100 RPers-UNIGE, le dossier complet de la procédure de nomination est ensuite transmis au rectorat pour examen et décision du recteur (al. 1); le rectorat s'assure (a) que la procédure s'est déroulée conformément aux exigences de la loi et du règlement, (b) qu'une attention suffisante a été accordée à l'évaluation des aptitudes pédagogiques des candidats et (c) que la commission et le collège des professeurs ordinaires de l'unité principale d'enseignement et de recherche ont pris en compte la mise en oeuvre de la promotion du principe d'égalité des droits et des chances entre femmes et hommes (al. 2). Aux termes de l'art. 101 RPers-UNIGE, si le recteur approuve la candidature rangée en première position dans l'ordre de préférence, il procède à la nomination (al. 1); s'il n'approuve pas la première candidature proposée mais la candidature rangée en seconde position, il procède à la nomination après consultation du décanat (al. 2); s'il ne retient aucune des deux propositions, il procède, après consultation du décanat, à la suspension de la procédure de nomination dans l'attente d'une nouvelle proposition de nomination ou à la clôture de la procédure de nomination (al. 3).
3.2. L'art. 43 de la loi sur l'Université de Genève du 13 juin 2008 (LU; RS/GE C 1 30) dispose que la loi sur la procédure administrative du 12 septembre 1985 (LPA; RS/GE E 5 10) s'applique à l'université (al. 1) et que celle-ci met en place une procédure d'opposition interne à l'égard de toute décision au sens de l'art. 4 LPA avant le recours à la chambre administrative de la Cour de justice (al. 2). Cette procédure est régie par le règlement du 16 mars 2009 relatif à la procédure d'opposition au sein de l'Université de Genève (ci-après: RIO-UNIGE), conformément à l'art. 1 dudit règlement. Selon l'art. 2 RIO-UNIGE, ont qualité pour former opposition les personnes énumérées par cette disposition, notamment les membres du corps professoral et les membres du corps des collaboratrices et collaborateurs de l'enseignement et de la recherche, pour autant qu'elles soient touchées par une décision d'une autorité universitaire et qu'elles aient un intérêt digne de protection à ce que cette décision soit modifiée ou annulée par ladite autorité. L'art. 3 al. 1 RlO-UNIGE précise que sont considérées comme décisions, au sens dudit règlement, toutes les décisions au sens de l'art. 4 LPA rendues par une autorité universitaire dans un cas d'espèce.
3.3. Aux termes de l'art. 4 al. 1 LPA, sont considérées comme des décisions les mesures individuelles et concrètes prises par l'autorité dans les cas d'espèce fondées sur le droit public fédéral, cantonal, communal et ayant pour objet (a) de créer, de modifier ou d'annuler des droits ou des obligations, (b) de constater l'existence, l'inexistence ou l'étendue de droits, d'obligations ou de faits ou (c) de rejeter ou de déclarer irrecevables des demandes tendant à créer, modifier, annuler ou constater des droits ou obligations. Cette disposition définit la notion de décision de la même manière que l'art. 5 al. 1 de la loi fédérale sur la procédure administrative (PA; RS 172.021). La notion de décision vise donc tout acte individuel et concret d'une autorité, qui règle de manière unilatérale et contraignante des droits ou des obligations (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 45). En d'autres termes, constitue une décision un acte étatique qui touche la situation juridique de l'intéressé, l'astreignant à faire, à s'abstenir ou à tolérer quelque chose, ou qui règle d'une autre manière obligatoire ses rapports avec l'Etat (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 24).
La décision comme acte juridique a pour objet de régler la situation d'administrés en tant que sujets de droit et donc, à ce titre, distincts de la personne étatique ou, en d'autres termes, extérieurs à l'administration. On oppose dans ce contexte la décision à l'acte interne ou d'organisation, qui vise des situations à l'intérieur de l'administration; l'acte interne peut avoir des effets juridiques, mais ce n'en est pas l'objet, et c'est pourquoi il n'est en règle générale pas susceptible de recours. Deux critères permettent généralement de déterminer si l'on a affaire à une décision ou à un acte interne. D'une part, l'acte interne n'a pas pour objet de régler la situation juridique d'un sujet de droit en tant que tel et, d'autre part, le destinataire en est l'administration elle-même, dans l'exercice de ses tâches. Ainsi, un acte qui affecte les droits et obligations d'un fonctionnaire en tant que sujet de droit, par exemple la fixation de son salaire, d'indemnités diverses ou encore de sanctions disciplinaires, est une décision. En revanche, un acte qui a pour objet l'exécution même des tâches qui lui incombent en déterminant les devoirs attachés au service, telles que la définition du cahier des charges ou des instructions relatives à la manière de trancher une affaire, est un acte interne juridique (sur le tout: ATF 136 l 323 consid. 4.4 et les références citées; arrêt 8D_1/2016 du 23 janvier 2017 consid. 5.1 et les références citées).
4.
4.1. La cour cantonale a exposé que le rectorat avait, par acte du 11 juin 2018, clôturé la procédure de nomination du poste litigieux. Auparavant, la procédure de nomination avait été suivie de manière régulière et conformément aux dispositions du RPers-UNIGE. Ce n'était qu'au cours de la procédure, lorsqu'il s'était rendu compte que la mise au concours pour ledit poste avait inclus, dans son cahier des charges et son appel à candidatures, une condition que personne ne pouvait remplir, que le rectorat avait d'abord alerté la Faculté puis avait décidé de la clôture de la procédure de nomination, ce dont il avait informé les deux candidats retenus. Force était ainsi de constater que le courrier du 11 juin 2018 envoyé par le rectorat à A._ - mais également à l'autre candidate - ne constituait pas une décision au sens des art. 3 al. 1 RIO-UNIGE et 4 al. 1 LPA, mais un acte interne (cf. décision du 8 novembre 2005 de la commission de recours de l'Université de Genève, publiée in SJ 2006 I 342). Comme seule une décision pouvait être contestée par la voie de l'opposition (art. 43 al. 2 LU; art. 2 et 3 RIO-UNIGE), c'était à juste titre que le recteur avait déclaré l'opposition du 13 juillet 2018 irrecevable.
4.2. Le recourant conteste la conclusion des juges cantonaux selon laquelle le courrier du 11 juin 2018 l'informant de la clôture de la procédure de nomination ne constituait pas une décision. Il soutient que cet acte lui avait été notifié individuellement, régissait sa situation particulière en tant que seul candidat restant dans la course et avait pour objet d'annuler des droits en ce sens qu'il lui refusait l'accès au poste pour lequel il avait initialement été choisi comme candidat " unico loco" par la commission de nomination.
Ce faisant, le recourant ne démontre pas en quoi l'application par la cour cantonale des dispositions légales et principes juridiques topiques (cf. consid. 3 supra) violerait le droit fédéral (cf. consid. 2.2 supra). Au demeurant, la clôture de la procédure de nomination, en tant qu'acte interne à l'administration, avait des conséquences - indirectes - non seulement pour lui, dont la commission de nomination avait retenu la candidature primo loco (cf. art. 99 al. 5 RPers-UNIGE) et non unico loco, mais aussi pour l'autre candidate, et elle n'avait pas pour objet d'annuler des droits dans la mesure où le recourant n'avait pas un droit à être nommé.
4.3. Invoquant l'abus de droit, le recourant soutient que le rectorat se serait servi de l'institution juridique qu'est la clôture de la procédure de nomination, qui serait intervenue en réaction à son courrier du 25 janvier 2018, pour contourner une décision de refus d'embauche qui aurait été sujette à recours; il expose que la jurisprudence genevoise admet qu'une personne qui s'estime lésée par une discrimination à caractère sexuel lors de l'embauche peut faire valoir son droit à une indemnité au sens de l'<ref-law> (loi fédérale sur l'égalité entre femmes et hommes; RS 151.1) en recourant directement contre la décision de refus d'embauche (arrêt de la chambre administrative de la Cour de justice du 8 novembre 2016, ATA/946/2016, consid. 8c p. 16-17). Il se plaint en outre d'une violation des art. 5 al. 2 et 13 al. 2 LEg, soutenant que le rectorat aurait changé de position s'agissant de sa candidature et que ce revirement ne pourrait s'expliquer que par une discrimination à caractère sexuel.
Il ne ressort de l'état de fait de l'arrêt attaqué aucun élément qui permettrait ne serait-ce que de supposer que la clôture de la procédure de nomination n'aurait été qu'un moyen abusif choisi par le rectorat pour contourner une décision de refus d'embauche qui aurait été discriminatoire au sens de la LEg. Rien ne permet de mettre en doute le motif objectif exposé par le rectorat pour prononcer la clôture de la procédure de nomination, à savoir que la mise au concours avait inclus une condition que personne ne remplissait et ne pourrait remplir avant deux voire trois ans et que dans ces circonstances, la procédure ne s'était pas déroulée conformément aux exigences du Règlement sur le personnel de l'Université. Dans ces conditions, les griefs tirés de l'abus de droit et de la violation de la LEg tombent à faux.
4.4. Le recourant se plaint ensuite de ce qu'il n'a jamais été fait droit à sa requête tendant à obtenir l'accès au dossier entourant la nomination au poste considéré. Il invoque une violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) et de la loi cantonale du 5 octobre 2001 sur l'information du public, l'accès aux documents et la protection des données personnelles (LIPAD; RS/GE A 2 08), laquelle impose aux institutions publiques de communiquer spontanément au public les informations de nature à l'intéresser, à moins qu'un intérêt prépondérant ne s'y oppose (art. 18 al. 1 LIPAD), et prévoit que toute personne a accès aux documents en possession des institutions publiques, sauf exception prévue ou réservée par la loi (art. 24 al. 1 LIPAD).
Le droit d'être entendu garanti à l'art. 29 al. 2 Cst., qui comprend notamment le droit de consulter le dossier (<ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 298), ne concerne que les parties à une procédure judiciaire ou administrative, comme cela ressort du texte même de cette disposition. Dans la mesure où il a été retenu sans arbitraire que le courrier du 11 juin 2018 n'était pas une décision, le recourant n'avait pas la qualité de partie et ne pouvait déduire de l'art. 29 al. 2 Cst. aucun droit d'accès aux documents internes à l'Université de Genève.
C'est par ailleurs en vain que le recourant invoque la LIPAD, faute d'avoir suivi la procédure instituée par cette loi. En effet, l'accès aux documents prévu par l'art. 25 al. 1 LIPAD est accordé sur demande adressée à l'institution concernée (art. 28 al. 1 LIPAD). Si celle-ci entend rejeter la demande d'accès, elle en informe le requérant en lui indiquant qu'il peut saisir le préposé cantonal à la protection des données et à la transparence (art. 28 al. 6 LIPAD) selon la procédure de médiation ou de préavis prévue à l'art. 30 LIPAD. Si la médiation n'aboutit pas, le préposé cantonal formule, à l'adresse du requérant ainsi que de l'institution ou des institutions concernées, une recommandation écrite sur la communication du document considéré; l'institution concernée rend alors dans les 10 jours une décision sur la communication du document (art. 30 al. 5 LIPAD), et seule cette décision est sujette à recours (art. 60 al. 1 LIPAD).
4.5. Le recourant reproche enfin aux juges cantonaux d'avoir violé l'obligation que leur fait l'art. 29 al. 2 Cst. de motiver leur décision pour n'avoir pas répondu à ses griefs relatifs à l'abus de droit, à la violation de la LEg et à l'accès au dossier.
Le droit d'être entendu consacré à l'art. 29 al. 2 Cst. implique pour l'autorité l'obligation de motiver sa décision. Il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 70; <ref-ruling> consid. 3.4.3 p. 46). L'autorité n'a pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à l'examen des questions décisives pour l'issue du litige (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 157). La motivation peut pour le reste être implicite et résulter des différents considérants de la décision (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 565).
En l'espèce, la cour cantonale a exposé clairement que l'acte par lequel le rectorat avait clôturé la procédure de nomination du poste litigieux n'était pas une décision mais un acte interne, motivé uniquement par le constat que la mise au concours avait inclus une condition que personne ne pouvait remplir et que la procédure de nomination ne s'était ainsi pas déroulée conformément aux exigences du Règlement sur le personnel de l'Université. Une telle motivation excluait en elle-même un droit d'accès au dossier fondé sur l'art. 29 al. 2 Cst. (cf. consid. 4.4 supra) et répondait à tout le moins implicitement aux griefs du recourant selon lesquels il se serait agi d'une décision d'exclusion de sa candidature qui ne pourrait pas s'expliquer autrement que par une discrimination à caractère sexuel (cf. consid. 4.3 supra).
5.
Il résulte de ce qui précède que le recours doit être rejeté. Les frais judiciaire seront mis à la charge du recourant, qui succombe (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimée (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative.
Lucerne, le 10 juin 2020
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Paris