Sachverhalt:
A.
D._ reichte am 19. Juli 2019 das Baugesuch für den Abbruch und Neubau eines Mehrfamilienhauses mit Velounterstand auf den Parzellen mit den Katasternummern (KTN) 330 und 418 in der Gemeinde Morschach ein. Grundeigentümerschaft von KTN 418 ist die StWEG X._strasse "...". Gleichzeitig ersuchte er um einen drittverbindlichen Vorentscheid betreffend "Gebäudeabstand zwischen KTN 329 und KTN 330 und maximale Gebäude- und Firsthöhen auf KTN 329". Die beiden Gesuche wurden am 26. Juli 2019 publiziert und öffentlich aufgelegt. A.C._ und B.C._, E.G._ und F.G._ sowie die Erben des H._ erhoben am 14. August 2019 gemeinsam je eine Einsprache gegen die beiden Gesuche. Auch der Schwyzer Heimatschutz legte für sich und drei weitere Umweltverbände am 16. August 2019 je eine Einsprache ein.
Am 14. Januar 2020 lud das Bauamt Morschach auf Gesuch der Bauherrschaft die Beteiligten zu einer Besprechung (runder Tisch) über das Vorhaben auf KTN 330 und 418 ein. Mit Schreiben vom 18. Januar 2020 lehnten A.C._ und B.C._ die Mitglieder des Gemeinderats I._ und J._ sowie die Gemeindemitarbeiter K._ und L._ als befangen ab; diese dürften an der Sitzung nicht teilnehmen und hätten sich vertreten zu lassen. Sie machten geltend, die abgelehnten Personen hätten sie am 2. April 2019 bei der Staatsanwaltschaft Innerschwyz der mehrfachen Ehrverletzung beschuldigt. Mit Zwischenbescheid vom 28. Januar 2020 stellte der Gemeinderat Morschach förmlich fest, bei den vier abgelehnten Personen liege keine Befangenheit vor; diese könnten bei der Behandlung der vorliegenden Baubewilligungs- und Vorentscheidverfahren uneingeschränkt mitwirken.
B.
Den Beschluss des Gemeinderats fochten A.C._ und B.C._ beim Regierungsrat des Kantons Schwyz an. Dieser wies die Beschwerde am 7. April 2020 ab.
Die daraufhin eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz am 24. August 2020 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Beschwerde vom 22. September 2020 beantragen A.C._ und B.C._ dem Bundesgericht, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben. Es sei ein fairer Prozess unter Berücksichtigung der Gehörsansprüche und der Grundrechte der Beschwerdeführer zu gewähren. Eventualiter sei das rechtsmissbräuchliche und grundrechtsverletzende Vorgehen der Strafbehörde, der Regierung, des Verwaltungsgerichts und der Verwaltung an eine neutrale und unabhängige Behörde zur Überprüfung und Korrektur von Amtes wegen zu überweisen.
D._, der Regierungsrat und das Verwaltungsgericht verzichten auf eine Vernehmlassung. Der Gemeinderat ersucht um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Der Schwyzer Heimatschutz äussert sich mit Vernehmlassung vom 26. Oktober 2020 zur Beschwerde, ohne einen Antrag zu stellen. Die Beschwerdeführer teilen am 26. Oktober 2020 schriftlich mit, dass am 12. Oktober 2020 eine Besprechung des Bauamts in den betroffenen Bauverfahren stattgefunden habe.
In der Stellungnahme vom 17. November 2020 halten die Beschwerdeführer sinngemäss an ihren Begehren fest. Der Schwyzer Heimatschutz erklärt mit Eingabe vom 7. November 2020, nicht mehr Stellung zu nehmen. Der Gemeinderat Morschach stellt dem Bundesgericht am 30. November 2020 Kopien von Schreiben an das kantonale Sicherheitsdepartement und an den Schwyzer Heimatschutz zu, die sich auf die Vernehmlassung des Schwyzer Heimatschutzes vom 26. Oktober 2020 beziehen.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Zwischenentscheid in einer Ausstandssache im Rahmen von Baubewilligungsverfahren (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und 92 Abs. 1 BGG). Hiergegen steht grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen. Die Beschwerdeführer sind durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und verfügen über ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (<ref-law>).
1.2. Im Zusammenhang mit den umstrittenen Ausstandsfragen beantragen die Beschwerdeführer allein die Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Insoweit erfüllen sie an sich die Voraussetzung von <ref-law> nicht, wonach die Eingabe an das Bundesgericht einen Antrag in der Sache enthalten muss. Die Rechtsprechung lässt es in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten allerdings genügen, dass ausdrücklich nur ein kassatorisches Begehren gestellt wird, wenn sich aus der Begründung ergibt, was mit der Beschwerde angestrebt wird (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 414 f.; Urteil 1C_645/2018 vom 21. November 2019 E. 1.3). Unter Einbezug der Beschwerdebegründung ergibt sich, dass es den Beschwerdeführern darum geht, die vier bereits im erstinstanzlichen Verfahren abgelehnten Amtspersonen der Gemeinde Morschach in den Ausstand zu versetzen. Weiter wenden sich die Beschwerdeführer gegen den vorinstanzlichen Entscheid wegen der Mitwirkung von Richter Karl Gasser, den sie ebenfalls als befangen ansehen. Insoweit kann auf die Beschwerde grundsätzlich eingetreten werden.
Soweit die Beschwerdeführer hingegen vor Bundesgericht die Frage aufwerfen, ob der gesamte Gemeinderat befangen sei, und dazu die Edition von Gemeinderats- und anderen Sitzungsprotokollen verlangen, gehen ihre Vorbringen über den Streitgegenstand vor der Vorinstanz hinaus. Dieser war auf die Ausstandspflicht der vier abgelehnten Amtspersonen der Gemeinde beschränkt. Vor Bundesgericht sind neue Rechtsbegehren, die nicht bereits vor der Vorinstanz gestellt wurden, nicht zulässig (<ref-law>). Die Neuheit eines Begehrens bezieht sich auf den Streitgegenstand: Dieser kann vor Bundesgericht nur noch eingeschränkt, aber nicht ausgeweitet oder geändert werden (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 367; Urteil 2C_91/2013 vom 23. Juli 2013 E. 1.3, nicht publ. in <ref-ruling>). Mit der Beschwerde ans Bundesgericht vermögen die Beschwerdeführer den Streitgegenstand nicht auf weitere Amtspersonen der Gemeinde auszuweiten und auch nicht eine Edition von Protokollen der Gemeinde in diesem Zusammenhang zu erreichen. Darauf ist nicht einzutreten.
1.3. Die Vorinstanz ist auf die kantonale Beschwerde in den Punkten ausserhalb der Ausstandsthematik nicht eingetreten. Sie erwog, die Vorbringen der Beschwerdeführer zur Fairness in Strafverfahren, zu Unstimmigkeiten beim Grundbuch, zur Entschädigung und Wiedergutmachung von Fehlurteilen in Bausachen, zur Gewaltentrennung bzw. -teilung, zur Akteneinsicht bzw. Auskunftserteilung und zu unterschiedlichen Fassungen des kommunalen Baureglements hätten keinen Bezug zum vorliegenden Verfahren. Weiter lehnte es die Vorinstanz mangels einer Aufsichtsbefugnis ab, auf den Antrag betreffend Einleitung einer Untersuchung über gerügte Vorgänge bei kommunalen und kantonalen Stellen einzutreten.
Der Streitgegenstand im vorinstanzlichen Verfahren war auf Ausstandsfragen beschränkt. Die Beschwerdeführer zeigen vor Bundesgericht nicht substanziiert auf, weshalb es bundesrechtswidrig sein soll, dass die Vorinstanz die soeben genannten anderen Punkte materiell nicht überprüft hat. Demzufolge ist die Vorinstanz darauf zu Recht nicht eingetreten. In dieser Hinsicht erweist sich die Beschwerde als unbegründet. In dem Umfang, als die Beschwerdeführer in appellatorischer Weise wiederum angebliche Mängel bei Straf- und anderen Verfahren ausserhalb der Ausstandsthematik aufzählen, ist die Beschwerde unzulässig (vgl. dazu unten E. 2.1). Soweit die Beschwerdeführer einen fairen Prozess verlangen, beschränkt sich die Zulässigkeit dieses Antrags auf die Frage der Ausstandspflicht (vgl. oben E. 1.2).
1.4. Ferner beanstanden die Beschwerdeführer, dass der Baugesuchsteller, die Grundeigentümerschaft von KTN 418 und die anderen Einsprecher am Ausstandsverfahren beteiligt worden sind. Dies verletze deren Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens (Art. 8 EMRK bzw. <ref-law>). Gleichzeitig kritisieren die Beschwerdeführer aber auch, dass die Grundeigentümerschaft von KTN 329 trotz der Betroffenheit vom Gesuch für den Vorentscheid nicht in das Ausstandsverfahren einbezogen worden sei. Es ist fraglich, ob die Beschwerdeführer zu diesen Rügen legitimiert sind. Sie legen nicht dar, inwiefern sie durch die Beteiligung bzw. Nichtbeteiligung von Drittpersonen am Ausstandsverfahren persönlich betroffen sind. Ihre Beschwerdeberechtigung ist auf eigene schutzwürdige Interessen beschränkt (<ref-law>). Diese Frage muss jedoch nicht näher erörtert werden, weil diese Vorwürfe in der Sache fehlgehen.
Der Ausstandsentscheid bezüglich einer Partei wirkt sich in dem zugrunde liegenden Bauverfahren, an dem mehrere Parteien teilnehmen, auf die Mitbeteiligten aus; darauf wurde bereits im regierungsrätlichen Entscheid hingewiesen. Es ist daher verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden, dass letztere in das Verfahren einbezogen worden sind. Beizufügen bleibt, dass die Beschwerdeführer nicht konkret behaupten, die Grundeigentümerschaft von KTN 329 sei eigenständig im Baubewilligungsverfahren aufgetreten oder deren Interessen würden durch den Baugesuchsteller ungenügend wahrgenommen. Die kantonalen Instanzen durften es deshalb insoweit mit der Beteiligung des Baugesuchstellers am Ausstandsverfahren bewenden lassen. In gleicher Weise kann davon abgesehen werden, die Grundeigentümerschaft von KTN 329 in das bundesgerichtliche Verfahren einzubeziehen (vgl. <ref-law>).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht, unter Einschluss des Bundesverfassungsrechts (vgl. <ref-law>), sowie von Völkerrecht (<ref-law>) gerügt werden. Das kantonale Gesetzesrecht stellt, von hier nicht in Betracht fallenden Ausnahmen abgesehen (vgl. <ref-law>), keinen Beschwerdegrund dar. Das Bundesgericht prüft das fragliche kantonale Recht somit nur auf Bundesrechtsverletzung, namentlich Willkür, hin (vgl. <ref-ruling> E. 3.1.3 S. 14; <ref-ruling> E. 2.1 S. 372). Das Bundesgericht wendet das Bundesrecht grundsätzlich von Amtes wegen an (vgl. <ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten prüft es dagegen nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). In der Beschwerde ist daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern Grundrechte verletzt worden sein sollen; wird eine solche Rüge nicht vorgebracht, kann das Bundesgericht eine Beschwerde selbst dann nicht gutheissen, wenn eine Grundrechtsverletzung tatsächlich vorliegt (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 65; <ref-ruling> E. 2.1 S. 372). Gemäss Art. 42 Abs. 2 und <ref-law> ist bezüglich jeder selbstständigen Alternativbegründung im angefochtenen Entscheid darzutun, weshalb sie Recht verletzt (vgl. <ref-ruling> E. 2.4 S. 368 mit Hinweisen).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine entsprechende Sachverhaltsrüge ist substanziiert vorzubringen (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1 S. 52 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 187). Neue Tatsachen und Beweismittel können nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
3.
Die Beschwerdeführer wehren sich gegen die Mitwirkung von Verwaltungsrichter Karl Gasser am angefochtenen Entscheid. Zusätzlich halten sie dem Verwaltungsgericht vor, ihr diesbezügliches Ausstandsbegehren vom 28. August 2020 nicht beantwortet zu haben.
3.1. Gemäss der Beschwerdeschrift an das Bundesgericht ist der angefochtene Entscheid am 26. August 2020 bei den Beschwerdeführern eingegangen. Daraus folgt, dass sie das betreffende Ausstandsbegehren bei der Vorinstanz nach Erhalt des angefochtenen Entscheids und während laufender Frist für eine Beschwerde an das Bundesgericht stellten. Sie tun nicht dar, inwiefern die Vorinstanz verfahrensrechtlich verpflichtet gewesen wäre, dieses Ausstandsgesuch im Nachhinein zu behandeln. Darauf kommt es allerdings letztlich nicht an. Ein Ausstandsgrund kann erstmals in der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht geltend gemacht werden, wenn er erst nach der Fällung des letztinstanzlichen kantonalen Urteils, aber vor Ablauf der Beschwerdefrist beim Bundesgericht entdeckt wird und eine Beurteilung unter dem Gesichtspunkt von <ref-law> möglich ist (vgl. Urteil 2C_455/2020 vom 2. Dezember 2020 E. 4.2.3, zur Publikation bestimmt).
3.2. Die Beschwerdeführer rügen im Zusammenhang mit der Ablehnung von Richter Gasser in allgemeiner Weise eine Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Nach <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK, die insoweit dieselbe Tragweite aufweisen, hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem durch Gesetz geschaffenen, zuständigen, unabhängigen und unparteiischen Gericht ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Dieser Anspruch ist verletzt, wenn bei einer Gerichtsperson - objektiv betrachtet - Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 162; <ref-ruling> E. 2.2 S. 242; je mit Hinweisen). Die Ausstandsrügen der Beschwerdeführer betreffen mit Bezug auf Richter Gasser somit die Anwendung von <ref-law>.
3.3. Zur Rechtzeitigkeit des Ausstandsbegehrens ist Folgendes zu berücksichtigen. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sind die Rechtssuchenden grundsätzlich nach Treu und Glauben gehalten, Ausstandsgründe unverzüglich nach Kenntnisnahme geltend zu machen, ansonsten diese als verwirkt gelten (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 216; <ref-ruling> E. 8.4.3 S. 275). Das verfassungsmässige Recht auf einen unabhängigen und unparteiischen Richter umfasst den Anspruch auf Bekanntgabe, welche Richter am Entscheid mitwirken. Nach der Rechtsprechung besteht jedoch keine Pflicht, den Verfahrensparteien die Zusammensetzung des Spruchkörpers des Gerichts im Voraus bekannt zu geben (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.3 S. 43 mit Hinweisen). Es genügt grundsätzlich vielmehr, dass sie die Namen aus einer allgemein zugänglichen Quelle (Staatskalender oder Internet) entnehmen können (vgl. BGE <ref-ruling> E. 8.4.3 S. 275 mit Hinweisen). Nach der Praxis haben die Parteien damit zu rechnen, dass das Gericht in seiner ordentlichen Besetzung tagen wird. Dies gilt nicht nur für anwaltlich vertretene Parteien, sondern auch für juristische Laien (Urteil 1C_187/2017 und 1C_327/2017 vom 20. März 2018 E. 3.2 mit Hinweisen). Es obliegt ihnen, allfällige ihnen bekannte Ablehnungsgründe unverzüglich geltend zu machen.
3.4. In der Beschwerdeschrift heisst es, Richter Gasser sei bis Ende Juli 2020 als Notar und Grundbuchverwalter tätig gewesen. Aus dieser Tätigkeit leiten die Beschwerdeführer seine Vorbefassung ab. Wie es sich damit verhält, muss nicht erörtert werden. Die Zusammensetzung des Verwaltungsgerichts kann dem Staatskalender des Kantons Schwyz bzw. der Internetseite des Verwaltungsgerichts entnommen werden. Die Beschwerdeführer legen nicht substanziiert dar, seit wann Richter Gasser Mitglied des Verwaltungsgerichts ist. Sie behaupten auch nicht, von den gegen ihn gerichteten Ausstandsgründen erst ab August 2020 Kenntnis erhalten bzw. diese unverzüglich vorgebracht zu haben. Der Umstand, dass sie seine Befangenheit erst nach Erhalt des angefochtenen Entscheids geltend gemacht haben, erweist sich demzufolge als verspätet. Die Beschwerde dringt in diesem Punkt nicht durch.
4.
Im Hinblick auf das Verfahren vor dem Regierungsrat hat das Verwaltungsgericht einen Rechtsanspruch der Beschwerdeführer auf Erhalt der Eingabe des Gemeinderats vom 16. März 2020 vor dem regierungsrätlichen Entscheid verneint. Ergänzend hat die Vorinstanz ausgeführt, selbst wenn der Regierungsrat das rechtliche Gehör der Beschwerdeführer dabei verletzt hätte, so wöge diese Verletzung nur leicht und sei im Verfahren vor Verwaltungsgericht heilbar.
Die Beschwerdeführer entgegnen vor Bundesgericht, der Regierungsrat habe ihnen insoweit das rechtliche Gehör nicht gewährt und diesen Formfehler habe die Vorinstanz nicht heilen können. Zusätzlich habe die Vorinstanz die Eingabe der Beschwerdeführer vom 12. Juni 2020 nicht den Beschwerdegegnern zugestellt; letzteres sei im angefochtenen Entscheid verschwiegen worden.
Bei diesen Vorbringen legen die Beschwerdeführer nicht detailliert dar, weshalb der gerügte Formfehler des Regierungsrats keiner Heilung durch das Verwaltungsgericht zugänglich sein soll. Ebensowenig zeigen sie nachvollziehbar auf, welcher Verfahrensnachteil ihnen entsteht, wenn das Verwaltungsgericht den obsiegenden Beschwerdegegnern keine Gelegenheit zur Stellungnahme zur genannten Eingabe vom 12. Juni 2020 gegeben hat. Insofern fehlt es an rechtsgenüglichen Gehörsrügen; darauf ist nicht einzutreten (vgl. oben E. 2.1).
5.
Zur Hauptsache liegt die Ausstandspflicht der von den Beschwerdeführern abgelehnten Amtspersonen der Gemeinde (I._, J._, K._ und L._) im Streit.
5.1. Die Vorinstanz hat die Ausstandspflicht von Mitgliedern des Gemeinderats und Mitarbeitern der Gemeinde anhand von § 132 des kantonalen Justizgesetzes vom 18. November 2009 (JG; SRSZ 231.110) beurteilt. Sie hat erwogen, diese Bestimmung sei aufgrund von § 4 des kantonalen Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 6. Juni 1974 (VRP; SRSZ 234.110) und von § 73 des kantonalen Gesetzes über die Organisation der Gemeinden und Bezirke vom 25. Oktober 2017 (GOG; SRSZ 152.100) anwendbar. § 132 JG verweise auf die Ausstandsgründe von Art. 47 der Schweizerischen Zivilprozessordnung vom 19. Dezember 2008 (ZPO; SR 272). Im Vordergrund des angefochtenen Entscheids steht die Generalklausel von <ref-law>. Danach tritt eine Gerichtsperson in den Ausstand, wenn sie aus anderen Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder ihrer Vertretung, befangen sein könnte. Die Beschwerdeschrift an das Bundesgericht setzt sich weder mit dem kantonalen Recht noch mit <ref-law> substanziiert auseinander. Das gestützt auf das kantonale Recht subsidiär anwendbare Bundesrecht zählt ebenfalls zum kantonalen Recht (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 322; Urteil 2C_510/2017 vom 16. September 2019 E. 2.3). Die Auslegung von <ref-law> kann vom Bundesgericht vorliegend nur auf Verfassungs- bzw. Konventionsverletzung hin überprüft werden (vgl. oben E. 2.1).
Die Beschwerdeführer berufen sich in diesem Zusammenhang, wiederum in allgemeiner Weise, auf Art. 6 EMRK. Für nichtgerichtliche Behörden - wie hier für Mitglieder des Gemeinderats und Mitarbeiter der Gemeinde - kommen <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK nicht zur Anwendung. Hingegen gewährleistet <ref-law> den Anspruch auf gleiche und gerechte Behandlung; das Gebot der Unbefangenheit bildet einen Teilgehalt dieses Grundrechts (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 329). Die Anrufung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK durch die Beschwerdeführer geht mithin in dieser Hinsicht fehl. Zu prüfen bleibt eine Beurteilung unter dem Blickwinkel von <ref-law>. Den gleichzeitig erhobenen Willkürvorwürfen kommt keine eigenständige Bedeutung zu.
5.2. <ref-law> verpflichtet eine Amtsperson der Exekutivbehörden zum Ausstand, wenn Umstände vorliegen, die nach objektiven Gesichtspunkten geeignet sind, den Anschein der Befangenheit zu erwecken. Es genügt, dass ein entsprechender Anschein durch objektive Umstände und vernünftige Gründe glaubhaft dargetan erscheint (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 452; Urteil 2C_994/2016 vom 9. März 2018 E. 3.1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Der dem gerichtlichen Verfahren vorangehende verwaltungsinterne Rechtsschutz muss indessen bezüglich Unabhängigkeit und Unparteilichkeit nicht den gleichen Garantien genügen wie ein Gericht. Im Kern der Garantie der Unbefangenheit steht für Richter wie für Amtspersonen einer Gemeinde, dass sie sich in Bezug auf die Beurteilung des Sachverhalts nicht bereits festgelegt haben (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 329 f.). Die Obliegenheit, Ausstandsgründe unverzüglich geltend zu machen, gilt auch mit Bezug auf Verwaltungsbehörden und -beamte (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 496; Urteil 2C_807/2015 vom 18. Oktober 2016 E. 2.1.2). Wer eine solche Amtsperson nicht unverzüglich ablehnt, wenn er vom Ablehnungsgrund Kenntnis erhält, sondern sich stillschweigend auf den Prozess einlässt, verwirkt den Anspruch auf spätere Anrufung der verletzten Verfassungsbestimmungen (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 69 mit Hinweisen).
5.3. Die Ausstandsrügen der Beschwerdeführer stützen sich auf den Umstand, dass die fraglichen vier Personen am 2. April 2019 ein Strafverfahren gegen sie eingeleitet haben. Die genannten vier Personen beschuldigten die Beschwerdeführer damit namentlich, Ehrverletzungsdelikte gegen sie begangen zu haben, und stellten entsprechend Strafantrag. Die Vorinstanz hat die diesbezüglichen Vorbringen der Beschwerdeführer mit einer Doppelbegründung verworfen. Einerseits hat sie das Ausstandsbegehren für verspätet angesehen. Die Beschwerdeführer hätten geltend gemacht, am 15. November 2019 durch die Strafverfolgungsbehörden Kenntnis von der Strafanzeige vom 2. April 2019 erhalten haben. Sofern dies zutreffe, hätten sie über zwei Monate verstreichen lassen, bis sie das Ausstandsgesuch gestellt hätten. Damit hätten sie es nicht rechtzeitig gestellt. Anderseits hat die Vorinstanz das Ausstandsbegehren als unbegründet erachtet. Trotz der Strafanzeige erwecke der Gemeinderat anhand konkreter Anhaltspunkte weiterhin nicht den Anschein, den Beschwerdeführern feindschaftlich zu begegnen.
5.4. Der angefochtene Entscheid beruht in diesem Punkt auf zwei selbstständigen Alternativbegründungen. Den Beschwerdeführern obliegt es daher, in der Beschwerdeschrift die Rechtswidrigkeit jedes Begründungsstrangs darzutun (vgl. oben E. 2.1). Sie setzen sich jedoch vor Bundesgericht grösstenteils nicht genügend substanziiert mit der vorinstanzlichen Erwägung über die verspätete Erhebung des Ausstandsbegehrens auseinander. Insoweit erfüllt die Beschwerde die gesetzlichen Formerfordernisse nicht (vgl. oben E. 2.1).
Die Beschwerdeführer bekräftigen vor Bundesgericht, am 15. November 2019 bei einer polizeilichen Befragung Kenntnis von der Strafanzeige erhalten zu haben. Wird zu ihren Gunsten von diesem Datum ausgegangen, so bringen sie vor Bundesgericht nicht vor, inwiefern die vorinstanzliche Feststellung unzutreffend sein sollte, dass sie damit mehr als zwei Monate ab Kenntnisnahme dieses Umstands mit dem Ausstandsgesuch zuwarteten. Ebensowenig legen sie dar, inwiefern eine derartige Zeitdauer mit dem Gebot einer unverzüglichen Ablehnung (vgl. oben E. 5.2) vereinbar sein soll. In der Beschwerdeschrift steht zwar, der Gemeinderat und die Gemeindeverwaltung hätten ihnen die Erstattung der Strafanzeige nicht kundgetan oder angedeutet. In der Beschwerdeschrift wird aber nicht aufgezeigt, weshalb eine allenfalls unterbliebene Mitteilung über die Strafanzeige seitens der Gemeinde etwas an der Obliegenheit einer unverzüglichen Ablehnung nach erfolgter Information durch die Strafverfolgungsbehörden ändern soll.
Demzufolge ist der Beschwerde bereits im Hinblick auf die Rechtzeitigkeit des Ausstandsbegehrens kein Erfolg beschieden. Den Vorbringen der Beschwerdeführer zur inhaltlichen Berechtigung der Ausstandsgründe ist somit nicht weiter nachzugehen.
5.5. Beiläufig machen die Beschwerdeführer geltend, sie würden mit diesem Verfahren eine unmenschliche und erniedrigende Behandlung erleiden. Soweit sie sinngemäss Art. 3 EMRK bzw. <ref-law> ansprechen, welche eine unmenschliche oder erniedrigende Behandlung verbieten, so muss eine entsprechende Misshandlung ein Mindestmass an Schwere erreichen, um darunter zu fallen. Die Würdigung dieses Mindestmasses hängt von den gesamten Umständen des Einzelfalls ab (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 226; <ref-ruling> E. 2b S. 236). Auch in dieser Hinsicht fehlt es in der Beschwerdeschrift allerdings an einer genügenden Begründung (oben E. 2.1). Die Beschwerdeführer tun nicht substanziiert dar, inwiefern es unmenschlich oder erniedrigend sein soll, dass die von ihnen abgelehnten Amtspersonen der Gemeinde im betroffenen Baubewilligungsverfahren hoheitlich gegenüber ihnen auftreten.
6.
Schliesslich beanstanden die Beschwerdeführer, dass ihnen in den Entscheiden des Gemeinderats vom 28. Januar 2020 und des Regierungsrats vom 7. April 2020 Verfahrenskosten auferlegt worden sind. Dabei nehmen die Beschwerdeführer keinen ersichtlichen Bezug auf die einschlägigen Bestimmungen zur Kostenverlegung. Vielmehr bezeichnen sie es als nicht gerechtfertigt bzw. nicht angebracht, diese Kosten tragen zu müssen. Die Beschwerdeschrift enthält keine hinreichende Begründung, inwiefern die von der Vorinstanz geschützte unterinstanzliche Kostenverlegung eine Rechtsverletzung darstellen soll (E. 2.1).
7.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Parteientschädigungen sind keine zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gemeinderat Morschach, dem Regierungsrat des Kantons Schwyz und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Februar 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Kessler Coendet