Faits :
A.
A._, B._, C._ et D._ ont été nommés membres du Conseil d'administration de l'Hôpital neuchâtelois (ci-après: HNE) sous l'empire de la loi cantonale neuchâteloise sur l'Etablissement hospitalier multisite du 30 novembre 2004 (LEHM/NE). Cette loi a été remplacée par la loi sur l'Hôpital neuchâtelois du 1er novembre 2016, entrée en vigueur le 1er mars 2017 (LHNE; RS/NE 802.4). Les prénommés ont été reconduits dans leur fonction jusqu'au 31 août 2018 (arrêté du 22 mars 2017), puis au 31 décembre 2021 (arrêté du 20 juin 2018).
Lors de sa session du mois de février 2019, le Grand Conseil de la République et canton de Neuchâtel a adopté la loi sur le réseau hospitalier neuchâtelois (LRHNe). Le 15 mai 2019, le Conseil d'Etat de la République et canton de Neuchâtel a promulgué cette nouvelle loi et les différents décrets y afférents, ainsi que la loi portant modification de la loi sur le Centre neuchâtelois de psychiatrie et de la loi portant constitution d'un établissement de droit public pour le maintien à domicile (NOMAD). Il a fixé l'entrée en vigueur de ces lois au 1er novembre 2019.
Le 15 mai 2019, le Conseil d'Etat a adressé aux membres du conseil d'administration de l'HNE un courrier, intitulé mise en oeuvre de la LRHNe, qui contenait les extraits suivants:
"Après examen des conséquences formelles de l'adoption de cette nouvelle législation sur les mandats d'administratrice et d'administrateurs que vous assumez en vertu de la LHNE, le service juridique de l'Etat est arrivé à la conclusion que ceux-ci prendront fin, de fait, avec l'abrogation de ladite loi. Avec le souci déjà exprimé de vous informer des décisions qui vous concernent sur le plan personnel avec un délai aussi raisonnable que possible, nous vous communiquons donc, par la présente, la fin de votre mandat d'administratrice et d'administrateurs de l'HNE au 31 octobre prochain et vous remercions de bien vouloir en prendre acte.
[...]
Dans ce contexte, le Conseil d'Etat désignera un nouveau CA (conseil d'administration) au plus tard durant l'été...".
B.
Par écriture du 18 juin 2019, A._, B._, C._ et D._ forment un recours en matière de droit public contre le courrier qui leur a été notifié par le Conseil d'Etat. Ils demandent l'annulation de l'acte attaqué et concluent à ce que le Tribunal fédéral constate qu'ils restent membres du Conseil d'administration du Réseau hospitalier neuchâtelois, dans la fonction qu'ils occupaient précédemment. Subsidiairement, ils requièrent du Conseil d'Etat leur nomination en qualité de membres du Conseil d'administration du Réseau hospitalier neuchâtelois, dans la fonction qu'ils occupaient précédemment, le tout sous suite de frais et dépens. Par ailleurs, ils demandent l'attribution de l'effet suspensif à leur recours.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 143; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 197 et les arrêts cités).
1.2. La loi sur le Tribunal fédéral impose aux cantons, à l'<ref-law>, d'instituer des tribunaux supérieurs qui statuent comme autorités précédant immédiatement le Tribunal fédéral, sauf dans les cas où une autre loi fédérale prévoit qu'une décision d'une autre autorité judiciaire peut faire l'objet d'un recours au Tribunal de céans. Cette règle correspond à la garantie d'accès au juge prévue à l'art. 29a Cst., disposition qui permet toutefois des dérogations dans des cas exceptionnels. La loi sur le Tribunal fédéral prévoit une telle exception en cas de recours contre les actes normatifs cantonaux (<ref-law>), pour les décisions qui concernent les droits politiques (<ref-law>) et pour les décisions revêtant un caractère politique prépondérant (<ref-law>). Dans ce dernier cas, les autorités cantonales peuvent instituer une autorité autre qu'un tribunal.
1.3. Le Conseil d'Etat, qui est l'auteur de l'acte attaqué, n'est pas une autorité judiciaire au regard de l'<ref-law>. Il convient donc d'examiner si, comme le soutiennent les recourants, l'on se trouve en présence d'un acte revêtant un caractère politique prépondérant, au sens de l'<ref-law>, qui justifierait de déroger à la garantie de l'accès au juge, étant donné que les hypothèses prévues aux art. 87 et 88 LTF n'entrent pas en considération.
2.
2.1. Les recourants invoquent l'art. 28 de la loi cantonale sur la procédure et la juridiction administratives (LPJA; RS/NE 152.130), aux termes duquel les décisions du Conseil d'Etat ne peuvent faire l'objet d'un recours auprès d'une instance cantonale que dans les cas prévus par la loi. A cet égard, ils soutiennent que le droit cantonal ne prévoit aucune voie de recours spécifique. En particulier, aucune disposition de la LHNE - ni d'ailleurs de la LRHNe - ne prévoit une voie de recours concernant les décisions du Conseil d'Etat prises en application de cette loi. Quant à la loi cantonale sur le statut de la fonction publique (LSt; RS/NE 152.510) - qui prévoit une voie de recours cantonale (art. 82 LSt) -, elle n'est pas applicable directement puisque l'HNE est un établissement autonome de droit public doté de la personnalité juridique selon l'art. 1er LHNE (art. 3 al. 1 let. b LSt a contrario). Les recourants infèrent de cela qu'il n'existe pas de voie de droit cantonale dans la situation particulière, de sorte que l'acte attaqué a été pris en dernière instance cantonale par le Conseil d'Etat. Se référant à l'<ref-law>, ils voudraient que l'on reconnaisse à cet acte un caractère politique prépondérant.
2.2. En tant qu'exception à la garantie de l'accès au juge découlant de l'art. 29a Cst., l'<ref-law> doit être interprété de manière restrictive. Il trouve seulement application si l'aspect politique prévaut sans discussion (<ref-ruling> consid. 4.4.1 p. 180). Le fait que la décision émane d'une autorité politique est certes un indice de son caractère politique, mais il n'est pas toujours déterminant. Lorsque des intérêts particuliers sont touchés, l'accès au juge n'est exclu que si les considérations politiques l'emportent clairement. Il ne suffit donc pas que la cause ait une connotation politique, encore faut-il que celle-ci s'impose de manière indiscutable et relègue à l'arrière-plan les éventuels intérêts juridiques privés en jeu (<ref-ruling> consid. 1.5.3-1.5.4 p. 45 ss.). Il convient en outre de relever qu'une très grande retenue s'impose à cet égard, d'autant qu'un renvoi à l'autorité judiciaire peut se révéler inutile lorsqu'il n'existe finalement aucune question juridique pouvant faire l'objet d'un contrôle par le juge.
2.3. Le Conseil d'administration est le pouvoir supérieur de l'HNE; il en assume la surveillance et la conduite stratégique (art. 22 al. 1 LHNE). Ses membres sont nommés par le Conseil d'Etat (art. 14 let. b LHNE). En l'occurrence, l'acte attaqué concerne la résiliation, avant leur expiration fixée au 31 décembre 2021, des mandats d'administrateurs à la suite d'une réorganisation structurelle. Cette mesure revêt un aspect "politique" en ce sens qu'elle repose exclusivement sur des critères d'appréciation de nature planificatrice et stratégique. Cet aspect est par ailleurs renforcé compte tenu de l'intention du Conseil d'Etat de désigner un nouveau Conseil d'administration au cours de l'été 2019. Avec la résiliation anticipée apparaît néanmoins un enjeu d'ordre juridique, en ce sens que la mesure a des implications sur la situation juridique des recourants, et pas seulement sur leurs simples intérêts. Qui plus est, le Conseil d'Etat se fonde explicitement sur les conséquences formelles de l'adoption de la nouvelle législation relative au réseau hospitalier cantonal. Or, le point de savoir si ces conséquences sont fondées doit être examiné par le juge administratif à la lumière d'une analyse juridique. C'est pourquoi on ne peut pas affirmer qu'aucun intérêt particulier n'est touché en l'occurrence (cf. arrêt 2C_266/2018 du 19 septembre 2018 consid. 4.3), et encore moins que l'aspect politique prévaut sans discussion (cf. <ref-ruling> consid. 4.4.1 p. 180). Cela étant, l'acte attaqué ne revêt pas un caractère politique prépondérant contrairement à ce que soutiennent les recourants.
2.4. Vu ce qui précède, le recours doit être déclaré irrecevable en tant que l'acte attaqué n'émane pas d'une autorité judiciaire comme l'exige l'<ref-law>. Il sera transmis avec ses annexes au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, auquel l'art. 30 al. 1 LPJA confère une compétence générale en matière de droit public neuchâtelois (<ref-law>).
3.
La cause étant jugée, la demande d'effet suspensif est devenue sans objet.
4.
Compte tenu de l'issue du litige, les frais judiciaires seront mis à la charge des recourants (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est irrecevable. Il est transmis avec une copie de l'acte attaqué au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel comme objet de sa compétence.
2.
La demande d'effet suspensif est sans objet.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge des recourants.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel.
Lucerne, le 14 août 2019
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
Le Greffier : Beauverd