Sachverhalt:
A.
A.a. Die Abteilung Migration des Amts für Inneres des Kantons Appenzell Ausserrhoden (AR; im Weiteren auch: Abteilung Migration) erteilte dem österreichischen Staatsbürger A._ (geb. 1969) am 19. Juni 2013 eine für 5 Jahre gültige Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA, um in der Schweiz selbständig erwerbstätig sein zu können. Am 15. August 2016 ersuchte die Abteilung Migration A._ darum, ihr verschiedene Unterlagen einzureichen, welche geeignet seien, die Sicherung seiner Existenz durch die selbständige Aktivität zu belegen. Sie forderte folgende Unterlagen ein:
(1.) Erfolgsrechnungen der Geschäftsjahre 2013, 2014 und 2015;
(2.) Steuerveranlagungen der Jahre 2013, 2014 und falls vorhanden 2015 [Geschäft];
(3.) Kontoauszüge der letzten drei Monate [Geschäft];
(4.) Nachweis über die Bezahlung der Quellensteuer seit 2013 [privat];
(5.) Betreibungsregisterauszug, nicht älter als ein Monat [Geschäft und privat];
(6.) Kopie Mietvertrag der Wohn- und Geschäftsräume mit Bestätigung des Vermieters, dass der Mietvertrag noch in allen Punkten gültig ist und ein ungekündigtes Mietverhältnis besteht.
Da A._ dieser Aufforderung nicht nachkam, widerrief die Abteilung Migration des Amts für Inneres des Kantons Appenzell Ausserrhoden am 7. Dezember 2018 die Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA von A._ und hielt ihn an, das Land zu verlassen. Hiergegen rekurrierte dieser; der Ausgang des Verfahrens im Kanton Appenzell Ausserrhoden ist nicht bekannt.
A.b. A._ hat am 1. Mai 2017 seinen Wohnsitz in den Kanton Zürich verlegt und um einen Kantonswechsel ersucht. Das Migrationsamt des Kantons Zürich erteilte ihm am 5. Mai 2017 eine bis zum 31. Januar 2018 gültige Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA als Selbständigerwerbender. Mit Schreiben vom 22. November 2017 forderte das Migrationsamt A._ im Hinblick auf die Verlängerung der Bewilligung auf, verschiedene Unterlagen einzureichen:
(1.) Bestätigung der Wohngemeinde der letzten drei Jahre über einen allfälligen Sozialhilfebezug,
(2.) Auszug aus dem Betreibungsregister der Wohngemeinden betreffend die letzten drei Jahre,
(3.) letzte definitive Steuerrechnung,
(4.) aktueller Bankkontoauszug,
(5.) Bilanz und Erfolgsrechnung,
(6.) Anerkennung der selbständigen Erwerbstätigkeit durch die Sozialversicherungsanstalt des Kantons Zürich,
(7.) Auszug aus dem Handelsregister.
In der Folge gab A._ lediglich die Bestätigung als Selbständigerwerbender der Sozialversicherungsanstalt des Kantons Zürich (SVA Zürich) zu den Akten. Im Übrigen verwies er auf den Eintrag seiner "B._ GmbH" im Handelsregister.
B.
Am 3. Mai 2018 lehnte das Migrationsamt des Kantons Zürich es ab, die Bewilligung von A._ zu verlängern; es hielt ihn gleichzeitig an, die Schweiz zu verlassen. Das Amt begründete seine Verfügung damit, dass A._ nicht alle von ihm einverlangten Unterlagen zur Prüfung des Verlängerungsgesuchs eingereicht habe. Allein die von A._ eingereichte Bestätigung der SVA Zürich über den Anschluss an die Ausgleichskasse stelle noch keinen ausreichenden Beweis für eine existenzsichernde selbständige Erwerbstätigkeit dar. A._ habe trotz wiederholter Aufforderung den Nachweis mit den einverlangten Unterlagen, eine nachhaltige existenzsichernde selbständige Erwerbstätigkeit zu belegen, nicht erbracht. Die Sicherheitsdirektion und das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich teilten diese Meinung und wiesen die bei ihnen eingereichten Rechtsmittel am 22. November 2018 bzw. 3. April 2019 ab.
C.
A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 3. April 2019 aufzuheben und das Migrationsamt anzuweisen, seine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA für eine selbständige Erwerbstätigkeit zu erteilen. Er macht geltend, seit seiner Einreise in die Schweiz nie fürsorgeabhängig gewesen zu sein, was offensichtlich belege, dass er über ein regelmässiges, existenzsicherndes Einkommen verfüge und er - mit welchen Mitteln auch immer - sein Existenzminimum zu decken vermöge. Die Anerkennung als Selbständigerwerbender durch die SVA des Kantons Zürich genüge unter diesen Umständen für den Nachweis der Fortsetzung seiner selbständigen Erwerbstätigkeit. Die einverlangten zusätzlichen Unterlagen gingen zu weit.
Die Rekursabteilung der Sicherheitsdirektion und das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich verzichten darauf, zur Beschwerde Stellung zu nehmen. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) hat sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
Gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG) ist die Beschwerde in öffentlichrechtlichen Angelegenheiten zulässig, da der Beschwerdeführer als österreichischer Staatsbürger gestützt auf das Freizügigkeitsabkommen potenziell einen Anspruch darauf geltend machen kann, dass ihm sein Aufenthaltsrecht in der Schweiz anerkannt und gegebenenfalls die damit verbundene Bewilligung verlängert wird (<ref-law> e contrario; Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit [Freizügigkeitsabkommen; FZA; SR 0.142.112.681]). Zwar ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide über den Kantonswechsel unzulässig (<ref-law>). Vorliegend geht es jedoch nicht um einen solchen, sondern um die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers nach Ablauf der ersten freizügigkeitsrechtlichen Frist von 5 Jahren als Selbständigerwerbender in der Schweiz (vgl. Art. 12 Abs. 1 und 2 Anhang I FZA). Der Bewilligung kommt im Zusammenhang mit dem FZA keine rechtsbegründende, sondern lediglich eine deklaratorische Wirkung zu (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 in fine; <ref-ruling> E. 4 S. 58). Die Frage, ob die Aufenthaltsbewilligung zu Recht nicht erteilt oder verlängert worden ist, betrifft nicht das Eintreten, sondern bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 179 f.). Da alle weiteren Sachurteilsvoraussetzungen gegeben sind, ist auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten (vgl. Art. 42, Art. 82 lit. a i.V.m. Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG).
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>); es prüft jedoch unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nur die vorgebrachten Rechtsverletzungen, falls weitere rechtliche Mängel nicht geradezu augenfällig sind (<ref-ruling> E. 1.5 S. 144). Es ist an den Sachverhalt gebunden, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig (<ref-ruling> E. 1.6 S. 144 f.; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Der Beschwerdeführer muss in Auseinandersetzung mit den Argumenten der Vorinstanz detailliert aufzeigen, inwiefern diese die Beweise willkürlich gewürdigt bzw. den Sachverhalt klarerweise unhaltbar festgestellt hat (<ref-ruling> E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.3).
2.2. Der Beschwerdeführer beanstandet die Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung teilweise appellatorisch, d.h. er wiederholt lediglich seine Sicht der Dinge und stellt diese jener der Vorinstanz gegenüber, ohne darzutun, dass und inwiefern die Vorinstanz die Beweise in Verletzung von <ref-law> (Willkür) gewürdigt oder den Sachverhalt offensichtlich fehlerhaft festgestellt hätte. Eine rein appellatorisch begründete Kritik genügt im bundesgerichtlichen Verfahren nicht; entsprechend formulierte Rügen gelten als ungenügend substanziiert (vgl. LAURENT MERZ, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger/Kneubühler [Hrsg.], Basler Kommentar BGG, 3. Aufl. 2018, N. 53 zu <ref-law>).
2.3. Soweit der Beschwerdeführer den Widerrufsentscheid im Kanton Appenzell Ausserrhoden kritisiert, ist auf seine Ausführungen nicht weiter einzugehen: Verfahrensgegenstand vor Bundesgericht bildet ausschliesslich der Entscheid der Zürcher Behörden, ihm seine Bewilligung nicht zu verlängern. Unzulässig sind auch seine Verweise auf die Begründung in den Eingaben an die kantonalen Behörden: Die Beschwerdebegründung muss in der Eingabe an das Bundesgericht selber enthalten sein und es genügt nicht, auf andere Rechtsschriften oder die Akten zu verweisen (<ref-ruling> E. 1.2.3 S. 286; <ref-ruling> E. 3.1 S. 400).
3.
3.1. Bürger aus EU-/EFTA-Staaten haben Anspruch auf eine fünfjährige EU-/EFTA-B-Bewilligung, falls sie den zuständigen Behörden nachweisen, dass sie sich zum Zweck einer selbständigen Erwerbstätigkeit niedergelassen haben oder niederlassen wollen (Art. 12 Abs. 1 Anhang I FZA). Der betroffene Selbständige muss seine Erwerbstätigkeit dartun; dabei dürfen aber keine prohibitiven Hürden aufgestellt werden (SEM, Weisung VEP-11/2019 Ziff. 4.3.2; ANDREAS ZÜND/THOMAS HUGI YAR, Staatliche Leistungen und Aufenthaltsbeendigung unter dem FZA, in: Epiney/Gordzielik [Hrsg.], Personenfreizügigkeit und Zugang zu staatlichen Leistungen, 2015, S. 157 ff., dort S. 200). Als Nachweis genügt etwa die Errichtung eines Unternehmens oder einer Betriebsstätte mit einer effektiven und möglichst existenzsichernden Geschäftstätigkeit. Dies ist gegebenenfalls durch Businesspläne, Geschäftsbücher, Aufträge, Kundenverzeichnisse usw. zu belegen (vgl. LISA OTT, in: SHK Bundesgesetz über die Ausländerinnen und Ausländer [AuG], Bern 2010, N. 4 zu <ref-law>).
3.2. Die betroffene Person soll grundsätzlich ein Einkommen erzielen, welches ihr erlaubt, ihr Leben und dasjenige der Familie zu fristen und nicht dauerhaft bzw. umfassend sozialhilfeabhängig zu werden (ZÜND/HUGI YAR, a.a.O., S. 200 f.); ist dies dennoch der Fall, wird die Bewilligung widerrufen bzw. nicht mehr erneuert, da der Betroffene nicht mehr als erwerbstätig gelten kann (vgl. PHILIPP GREMPER, in: Uebersax/Rudin/Hugi Yar/Geiser [Hrsg.], Ausländerrecht, 2. Aufl. 2009, § 18 Ausländische Personen als selbständig Erwerbende, S. 905 ff., dort S. 923 N. 18.26; EPINEY/BLASER, in: Cesla Amarelle/Minh Son Nguyen [Editeurs], Code annoté de droit des migrations, Volume III: Accord sur la libre circulation [ALCP], 2014, N. 34 zu Art. 4 ALCP). Die entsprechenden Voraussetzungen (nachhaltig und möglichst existenzsichernd) ergeben sich aus Sinn und Zweck von Art. 12 Abs. 1 und 2 des Anhangs I FZA: Hintergrund dieses Erfordernisses bildet der Umstand, dass die Aufnahme einer selbständigen Erwerbstätigkeit nicht nur für den gesuchstellenden Ausländer mit finanziellen und sozialen Risiken verbunden ist; da Selbständigerwerbende im Gegensatz zu Arbeitnehmern nicht obligatorisch gegen Arbeits- bzw. Verdienstlosigkeit versichert sind, stellen sie im Falle eines schlechten Geschäftsgangs und bei Fehlen ausreichender finanzieller Reserven ein Risiko für das staatliche Fürsorgesystem dar (OTT, a.a.O., N. 11 zu Art. 19 AuG; GREMPER, a.a.O., N. 18.33).
3.3. Es darf jedoch kein bestimmtes Mindesteinkommen vorausgesetzt werden (Urteil 2C_243/2015 vom 2. November 2015 E. 3.3.1; ZÜND/HUGI YAR, a.a.O., S. 201). Ob Selbständigerwerbende ihr Aufenthaltsrecht systematisch verlieren, wenn sie nicht mehr für ihren Lebensunterhalt aufkommen können und von der Sozialhilfe abhängig werden, ist umstritten (vgl. das Urteil 2C_13/2018 vom 16. November 2018 E. 4.7; bejahend in der Doktrin : MARC SPESCHA, in: Spescha/Thür/Zünd/Bolzli, 3. Aufl. 2012, N. 7 zu Art. 5 Anhang I FZA bzw. N. 3 zu Art. 12 Anhang I FZA; SEM, Weisungen VEP-11-/2019 Ziff. 4.3.2 5. Abschnitt und Ziff. 10.4.4.2; GREMPER, a.a.O., N. 1826; OTT, a.a.O., N. 3 zu Art. 19 AuG; differenzierend: EPINEY/BLASER, in: Code annoté de droit des migrations, Amarelle/Nguyen [Hrsg.], Bd. III, 2014, N. 34 zu Art. 4 ALCP; MARC SPESCHA, in: Spescha et al. [Hrsg.], Migrationsrecht, 5. Aufl. 2019, N. 4 zu Art. 12 Anhang I FZA; ZÜND/HUGI YAR, a.a.O., S. 201). Jedenfalls sind die Umstände zu berücksichtigen, die zur Abhängigkeit von der Sozialhilfe geführt haben, sowie deren allfällige Dauer und eine möglicherweise absehbare Verbesserung der finanziellen Situation (vgl. das Urteil 2C_243/2015 vom 2. November 2015 E. 3.3.1). Die entsprechende Problematik braucht im vorliegenden Zusammenhang nicht abschliessend vertieft zu werden; der Beschwerdeführer hat seit seiner Anwesenheit in der Schweiz unbestrittenermassen keine Sozialhilfeleistungen bezogen.
3.4. Die Aufenthaltsbewilligung wird automatisch um mindestens fünf Jahre verlängert, sofern der Selbständigerwerbende den zuständigen nationalen Behörden nachweist, dass er (weiterhin) einer selbständigen Erwerbstätigkeit nachgeht (Art. 12 Abs. 2 Anhang 1 FZA). Für die Erteilung der Aufenthaltserlaubnisse dürfen die Vertragsparteien vom Selbständigerwerbenden nur den Ausweis, mit dem er in ihr Hoheitsgebiet eingereist ist, und die für den Nachweise für die selbständige Erwerbstätigkeit erforderlichen Unterlagen einverlangen (Art. 12 Ziff. 3 Anhang 1 FZA; EPINEY/BLASER, a.a.O., N. 31 zu Art. 4 ALCP; ALVARO BORGHI, La libre circulation des personnes entre la Suisse et l'UE, 2010, Art. 4 ALCP N. 165). Bei ernsthaften Zweifeln an der tatsächlichen und nachhaltigen Ausübung der selbständigen Erwerbstätigkeit in der Schweiz sowie an ein regelmässiges, möglichst existenzsicherndes Einkommen können die zuständigen Kantonsbehörden während der Gültigkeitsdauer der Bewilligung jederzeit neue Beweismittel für die Selbständigkeit verlangen oder die Bewilligung widerrufen, falls die Bedingungen für den entsprechenden Rechtsanspruch nach dem Freizügigkeitsabkommen nicht mehr bestehen, weshalb die deklaratorisch wirkende Bewilligung dahinfällt (SEM, VEP-11/2019 Ziff. 4.3.1 2. Abschnitt).
4.
4.1. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich hat für das Bundesgericht verbindlich festgestellt, dass der Beschwerdeführer eine Bestätigung der zuständigen AHV-Ausgleichskasse (SVA Zürich) über seinen Anschluss als selbständigerwerbende Person eingereicht hat. Die Kritik des Beschwerdeführers, dass die Bestätigung durch die kantonalen Behörden nicht berücksichtigt worden sei, trifft nicht zu (vgl. E. 4.3 des angefochtenen Entscheids) : Mit deren Entgegennahme hat das Migrationsamt nicht "amtlich schriftlich bestätigt", dass der Beschwerdeführer die geforderten Unterlagen erbracht hat, sondern einzig, dass dieses Papier von ihm eingereicht worden ist. Eine entsprechende Erklärung vermag nach Ansicht des Verwaltungsgerichts zwar in der Regel einen genügenden Nachweis darüber zu erbringen, dass eine Person für eine bestimmte Tätigkeit - sei sie noch so untergeordnet oder unwesentlich - als selbständig (und nicht als unselbständig) erwerbend zu gelten habe, was darüber entscheide, ob sie sich auf Art. 12 Anhang I FZA - statt auf Art. 6 ff. Anhang I FZA (unselbständige Erwerbstätigkeit) - berufen könne.
4.2. Die Bestätigung sage - so das Verwaltungsgericht weiter - indessen nichts darüber aus, ob die betreffende Tätigkeit auch aktiv ausgeübt und damit ein regelmässiges, möglichst existenzsicherndes Einkommen realisiert wird. Dasselbe gelte für den Umstand, dass der Beschwerdeführer als Geschäftsführer der von ihm in der Schweiz gegründeten Gesellschaft mit beschränkter Haftung im Handelsregister eingetragen sei; ob und in welchem Mass er in der entsprechenden Gesellschaft selbständig aktiv sei, ergebe sich hieraus nicht. Da es dem Beschwerdeführer gestützt auf die Bestätigung der selbständigen Tätigkeit durch die SVA Zürich und auf den Eintrag seiner Gesellschaft in das Handelsregister nicht gelinge, den Nachweis einer quantitativen echten und tatsächlichen wirtschaftlichen Bestätigung zu erbringen, habe der Beschwerdeführer seinen freizügigkeitsrechtlichen Status als Selbständigerwerbender verloren.
4.3. Der Beschwerdeführer bestreitet dies und geht davon aus, er habe mit der Bestätigung der SVA Zürich hinreichend belegt, dass er selbständig tätig sei. Der (aussergesetzliche) Nachweis betreffend eines existenzsichernden Einkommens sei - prima vista - mittelbar/indirekt erbracht, da er seit Einreise in die Schweiz im Februar 2013 niemals um Sozialhilfeleistungen oder sonstige Leistungen der Kantone oder des Bundes nachgesucht habe. Er könne tatsächlich für seinen Lebensunterhalt aufkommen und sei niemals sozialhilfeabhängig gewesen und sei es auch jetzt nicht. Das FZA verlange keine existenzsichernde Aktivität als Selbständigerwerbender; auch von Nachhaltigkeit sei dort nicht die Rede. Eine Tätigkeit als Selbständigerwerbender liege bereits dann vor, wenn eine wirkliche, nicht völlig unwesentliche Erwerbstätigkeit ausgeübt werde, auch wenn damit kein existenzsicherndes Einkommen verbunden sei. Die Weisungen des Migrationsamts des Kantons Zürich vom 5. Mai 2017 liessen als Nachweis ausdrücklich die Anerkennung der selbständigen Erwerbstätigkeit durch die Sozialversicherungsanstalt genügen. Die Einforderung von weiteren Unterlagen verstosse gegen das Diskriminierungsverbot, da solche von Schweizer Selbständigerwerbenden nicht verlangt würden.
5.
5.1. Weder das Freizügigkeitsabkommen noch die Verordnung vom 22. Mai 2002 über die Einführung des freien Personenverkehrs (VEP [SR 142.203]) enthalten nähere Angaben darüber, in welcher Form der Nachweis über die ausgeübte oder beabsichtigte selbständige Erwerbstätigkeit zu erbringen ist und welchen Anforderungen er zu genügen hat (vgl. auch GREMPER, a.a.O., N. 18.25). Aus der Formulierung in Art. 12 Abs. 3, dass " nur " die Unterlagen verlangt werden dürfen, die belegen, dass er sich zum Zweck der selbständigen Erwerbstätigkeit niedergelassen hat oder beabsichtigt, dies zu tun (Art. 12 Abs. 1 i.V.m. Abs. 3 lit. b Anhang I FZA), bzw. seine Erwerbstätigkeit über die ursprünglichen 5 Jahre hinaus fortsetzen will (Art. 12 Abs. 2 i.V.m. Abs. 3 lit. b Anhang FZA), ist davon auszugehen, dass keine allzu hohen Anforderungen bzw. eine übermässige Anzahl von Unterlagen einverlangt werden dürfen. Art. 12 Abs. 2 Anhang I FZA sieht vor, dass die Aufenthaltsbewilligung " automatisch " verlängert wird, was zwar innerstaatliche Vorgaben an den Nachweis der selbständigen Erwerbstätigkeit nicht ausschliesst, aber dennoch darauf hindeutet, dass die Verlängerung möglichst unbürokratisch erfolgen soll (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 332); den Gesuchsteller trifft dennoch eine Mitwirkungspflicht. Zu berücksichtigen ist hinsichtlich des Umfangs der einforderbaren Grundlagen auch das öffentliche Interesse an der Gewährleistung und Umsetzung der Personenfreizügigkeit (vgl. ZÜND/ARQUINT HILL, in: Uebersax/Rudin/Hugi Yar/Geiser, Ausländerrecht, 2. Aufl. 2009, N. 8.40 in fine).
5.2.
5.2.1. Zum gleichen Schluss führt Art. 2 Abs. 3 Satz 2 Anhang I FZA: Diese Bestimmung sieht vor, dass die Vertragsparteien alle erforderlichen Massnahmen treffen, "um die Formalitäten und Verfahren für die Beschaffung" der Aufenthaltserlaubnis "so weit wie möglich" zu vereinfachen (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 332; MARC SPESCHA, in: Spescha et al., a.a.O., N. 2 zu Art. 2 Anhang I FZA). Der jeweilige Ausweis bestätigt, dass der Betroffene die Voraussetzungen für einen Bewilligungsanspruch gemäss Freizügigkeitsabkommen erfüllt. Das "automatische" Verlängerungsverfahren dient dazu, die individuelle Situation eines Staatsangehörigen eines anderen Mitgliedsstaates im Hinblick auf die Bestimmungen des Gemeinschaftsrechts zu bestätigen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 332). Die Bewilligung muss erteilt werden, falls die staatsvertraglichen Voraussetzungen erfüllt sind; durch den fehlenden Ausweis allein wird - wegen dessen deklaratorischen Charakters - der Aufenthalt nicht illegal; das Erneuerungsverfahren gibt regelmässig Anlass, das Fortbestehen der Freizügigkeitsvoraussetzungen zu prüfen und den Aufenthaltstyp bzw. den Ausweis nötigenfalls anzupassen.
5.2.2. Ergänzende nationale Verfahrensregelungen bei der Verlängerung der EU/EFTA-Aufenthaltsbewilligungen sind nicht ausgeschlossen (vgl. CARONI/SCHEIBER/PREISIG/ZOETEWEIJ, Migrationsrecht, 4. Aufl. 2018, S. 343). Sie sollen aber nicht weiter gehen, als dies für den Zweck der Verlängerung der Bewilligung erforderlich ist (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 332 f. mit weiteren Hinweisen). Die Einholung der Informationen hat - wie jedes staatliche Handeln - verhältnismässig zu sein: Die einverlangten Unterlagen müssen geeignet erscheinen, zu belegen, dass der Betroffene eine selbständige Erwerbstätigkeit ausübt, die es ihm erlaubt, sein Auskommen oder jenes der Familie ohne Sozialhilfe zu finden; sie müssen hierfür erforderlich sein (mildestes gerade noch wirksames Mittel); schliesslich ist eine Verletzung des Übermassverbots zu vermeiden, d.h. ein sachgerechtes, zumutbares Verhältnis von Mittel und Zweck zu wahren (vgl. <ref-ruling> E. 9.2 S. 362; <ref-ruling> E. 7.3.3 S. 182; <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 97; <ref-ruling> E. 3.3 S. 99).
5.3.
5.3.1. Die zulässigerweise durch die Ausländerbehörde einforderbaren Unterlagen dürfen keine prohibitiven Hürden für den Nachweis der selbständigen Erwerbstätigkeit bilden (SEM, a.a.O., Ziff. 4.3.2 4. Absatz; ZÜND/HUGI YAR, a.a.O., 200). Da sich auch ausländische selbständig Erwerbende, die in der Schweiz einer Erwerbstätigkeit nachgehen (<ref-law> [SR 832.10]), obligatorisch bei der schweizerischen AHV versichern müssen, kann der Nachweis mit der Bescheinigung erbracht werden, dass der Betroffene als Selbständigerwerbender durch die AHV-Ausgleichskasse anerkannt worden ist (vgl. auch GREMPER, a.a.O., N. 18.25). Dies gilt um so mehr, als die Ausgleichskassen bei der Anmeldung das Vorliegen der Voraussetzungen einer selbständigen Erwerbstätigkeit ihrerseits vertieft prüfen und bei Zweifeln auch eigene Abklärungen vornehmen (vgl. GREMPER, a.a.O., N. 18.24).
5.3.2. Die Bewilligungsbehörden dürfen die Erteilung bzw. Verlängerung der fünfjährigen Bewilligung indessen nicht ausschliesslich von der Anerkennung der Selbständigkeit im AHV-Verfahren abhängig machen, obwohl die entsprechende Anerkennung in den meisten Fällen geeignet sein dürfte, die selbständige Erwerbstätigkeit bereits nahezulegen (vgl. OTT, a.a.O., N. 3 zu <ref-law>). Sie müssen vielmehr auch andere Formen des Nachweises zulassen (GREMPER, a.a.O., N. 18.25) : Die Anerkennung als Selbständigerwerbstätiger kann (ergänzend) auch aufgrund eines Auszugs aus dem Handelsregister erfolgen, wenn dieser belegt, dass der Betroffene freiberuflich tätig ist. Indizien für eine selbständige Erwerbstätigkeit können ferner die Mitgliedschaft in einem Berufsverband, ein Mietvertrag über die Geschäftsräumlichkeiten, ein Arbeitsvertrag mit Mitarbeitenden, ein Verzeichnis der Kunden oder Verträge mit solchen bilden (vgl. GREMPER, a.a.O., N. 18.25; ZÜND/HUGI YAR, a.a.O., S. 200).
5.3.3. Der betroffene EU-/EFTA-Bürger hat die Ausübung einer selbständigen Erwerbstätigkeit, nicht deren Rentabilität zu belegen (GREMPER, a.a.O., N. 18.26). Es genügt deshalb, dass er aktiv und nicht nur marginal bzw. symbolisch oder hobbymässig einer selbständigen Erwerbstätigkeit nachgeht. Es darf von ihm - wie bereits dargelegt - kein Mindesteinkommen erwartet werden (SEM, a.a.O., Ziff. 4.3.2; Urteile 2C_81/2017 vom 31. Juli 2017 E. 3.2 und 2C_243/2015 vom 2. November 2015 E. 3.3.1; ZÜND/HUGI YAR, a.a.O., S. 201). Entscheidend ist, dass der betroffene Vertragsausländer sein eigenständiges Gewerbe in einem wirtschaftlich relevanten Ausmass betreibt (EuGH-Urteil C-107/94 Asscher vom 27. Juni 1996 §§ 25 ff.). Der Umstand, dass dieses allenfalls (noch) nicht gewinnbringend erfolgt, stellt die Selbständigkeit der Erwerbstätigkeit nicht infrage, solange der EU-/EFTA-Bürger deswegen nicht dauernd und in erheblichem Masse Sozialhilfeleistungen beziehen muss, sondern diesbezüglich auf persönliche Reserven zurückgreifen kann.
5.3.4. Je grösser die ernsthaften Zweifel an einer tatsächlichen und ins Gewicht fallenden selbständigen Erwerbstätigkeit sowie an der Erwirtschaftung eines regelmässigen Einkommens sind, desto mehr Beweismittel dürfen von der betroffenen Person eingeholt werden. Dasselbe gilt, soweit Anhaltspunkte dafür vorliegen, dass nur eine "Scheinselbständigkeit" besteht (ZÜND/HUGI YAR, a.a.O. S. 202). Aus Gründen der Verhältnismässigkeit haben sich die einzuholenden Unterlagen - ohne konkrete Hinweise, die ernsthafte Zweifel an der selbständigen Tätigkeit nahelegen - auf einige wenige Belege zu beschränken. Es bestimmt sich nach den Umständen im Einzelfall unter Respektierung des Verhältnismässigkeitsgrundsatzes, welche Unterlagen zulässigerweise eingeholt werden dürfen.
6.
6.1. Im konkreten Fall hat der Beschwerdeführer am 14. Juni 2013 einen Businessplan eingereicht. Es ergab sich daraus, dass er - wie bereits zuvor in Österreich - auch in der Schweiz als Markenanwalt tätig sein wollte. Als Unternehmensziel und Leitbild seiner Erwerbstätigkeit gilt die Versorgung von Betrieben und Unternehmen mit neuen, fertig entwickelten Markenrechten, die diese für neue Produkte, Dienstleistungen und Firmennamen einsetzen können. Das Unternehmen verfügte in Appenzell-Ausserrhoden über Büroräumlichkeiten. Die Erfahrungen aus 12 1/2 Jahren selbständiger Tätigkeit zeigten - so der Beschwerdeführer -, dass seine professionell-kreativen Markenentwicklungen von der Wirtschaft positiv aufgenommen würden. Seiner Kenntnis nach sei er "der einzige Europäische Markenanwalt, der das markenrechtliche Know-how" mitbringe "und gleichzeitig über das erforderliche Marketing-Fachwissen verfüge, "um wirklich gute neue Markenrechte" zu entwickeln. Aus dem Handelsregister ergibt sich, dass der Beschwerdeführer am 13. November 2013 für seine Geschäftstätigkeit die von ihm beherrschte B._ GmbH gegründet hat. Im Rahmen der Verlängerung seiner Bewilligung reichte er eine Erfassungsbestätigung als Selbständigerwerbender der Sozialversicherungen Appenzell Ausserrhoden für die Periode vom 1. Februar 2013 bis 30. April 2017 ein. Nach dem Kantonswechsel in den Kanton Zürich bestätigte die SVA Zürich am 22. Februar 2018, dass der Beschwerdeführer seit dem 1. Mai 2017 bei ihr als selbständigerwebende Person angeschlossen sei.
6.2. Zwar hat der Beschwerdeführer nicht alle Unterlagen, auf die er sich beruft, in die kantonalen Verfahren eingebracht: Dies war etwa beim Ranking der "Top-Vertreter" nach Markenanmeldungen beim Eidgenössischen Institut für Geistiges Eigentum der Fall, woraus sich ergibt, dass er im Jahr 2019 102 Markengesuche eingereicht hat und zudem seit 2010 auch in der Europäischen Union als Markenanwalt tätig ist. Er macht in diesem Zusammenhang geltend, dass die Behörden die entsprechenden Angaben ohne Weiteres auf dem Internet hätten abrufen können, was er als "Amtswissen" bezeichnet. Er verkennt insofern jedoch, dass es an ihm war, seine andauernde selbständige Erwerbstätigkeit zu belegen, womit er die für ihn relevanten Unterlagen selber hätte beibringen müssen. Es bestand insofern eine Mitwirkungspflicht, der er nur ungenügend nachgekommen ist. Es war nicht an der Behörde, ihrerseits Recherchen zu tätigen, wollte der Beschwerdeführer seine selbständige Erwerbstätigkeit nicht mit den von dieser einverlangten Dokumente sondern anderweitig belegen.
6.3. Gestützt auf die glaubwürdigen Angaben des Beschwerdeführers ist davon auszugehen, dass er tatsächlich der von ihm angegebenen selbständigen Erwerbstätigkeit nachgeht. Ihm die entsprechende Bewilligung - und damit die nicht rechtsbegründende Bestätigung, dass er die Voraussetzungen nach Art. 12 Anhang I FZA erfüllt - nur deshalb zu verweigern, weil er auf die entsprechenden Unterlagen im Internet Bezug genommen und sie nicht in Papierform eingereicht hat, wäre unverhältnismässig (Übermassverbot) und überspitzt formalistisch (vgl. BGE 142 V E. 4.2 S. 158 mit Hinweisen). Mit seiner als Selbständigerwerbender ausgeübten Tätigkeit hatte er bei der Verlängerung seiner Bewilligung einen freizügigkeitsrechtlichen, rechtsbegründenden Anspruch auf die entsprechende Bewilligung. Würde dem Beschwerdeführer die das Anwesenheitsrecht bestätigende Bewilligung nicht verlängert, könnte er, weil die Voraussetzungen für seinen Aufenthalt gegeben sind, sich weiter in der Schweiz aufhalten, seiner selbständigen Erwerbstätigkeit nachgehen und sofort wieder ein Gesuch an das Migrationsamt richten. Vom Beschwerdeführer durfte verlangt werden zu belegen, dass er nie Sozialhilfegelder bezogen hat bzw. falls er doch auf solche angewiesen gewesen sein sollte, unter welchen Umständen dies der Fall war. Der Beschwerdeführer hat angegeben, nie fürsorgeabhängig geworden zu sein, was durch die Bewilligungsbehörden nicht bestritten wird. Es kann somit davon ausgegangen werden, dass dem so ist und er über hinreichende Mittel verfügt, um für seinen Unterhalt und allenfalls jenen der Familie - soweit wie möglich - aufzukommen; auch dieser Aspekt steht der Erneuerung der Bewilligung somit nicht entgegen.
7.
7.1. Die Beschwerde ist begründet und der angefochtene Entscheid aufzuheben; dem Beschwerdeführer ist seine Bewilligung im Rahmen von Art. 12 Abs. 2 des Anhangs I FZA zu verlängern.
7.2. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind keine Kosten zu erheben (<ref-law>). Der Beschwerdeführer beantragt, ihm seine Aufwendungen zu ersetzen; dem Gesuch kann nicht entsprochen werden, nachdem er die verschiedenen Verfahren provoziert und sich in diesen in keiner Weise flexibel gezeigt hat. Seinen Mitwirkungspflichten ist er bloss ungenügend nachgekommen (vgl. vorstehende E. 6.2); unter diesen Umständen rechtfertigt es sich nicht, ihm eine Parteientschädigung zuzusprechen. Er hat die verschiedenen Verfahren selber vom Zaun gebrochen. Die Vorinstanz hat über die kantonale Kosten- und Entschädigungsfrage neu zu befinden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 3. April 2019 aufgehoben. Die Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA des Beschwerdeführers ist zu verlängern.
2.
2.1. Es werden keine Kosten erhoben.
2.2. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich wird über die Kosten- und Entschädigungsregelung in den kantonalen Verfahren neu zu befinden haben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration (SEM) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Februar 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar