Sachverhalt:
A.
A.a. Die B._ AG ist im (......) fachhandel tätig. Ihr Logo besteht aus der Firma "B._" und dem Zusatz "Aus Liebe zum (......) ".
A.b. Der Verein A._ gibt die Zeitschrift "A._-Nachrichten" heraus, die mit einer Gesamtauflage von 420'000 Exemplaren gedruckt, im Internet (www.A._.ch) und über Facebook veröffentlicht wird.
A.c. Die A._-Nachrichten vom Juni 2019 (19-2) greifen die Haltung von Kaninchen auf und erläutern, dass die Tiere für eine artgerechte Haltung genügend Platz benötigen, dass unnötige "Spielsachen" und "Leckerbissen" für die Kaninchen zum Kauf angeboten werden und dass Kaninchen für Kinder keine geeigneten Spielsachen sind. Der Beitrag steht unter dem Titel "B._ heisst für uns (......) " und schliesst mit dem Satz, dass das Logo der B._ AG "aus Liebe zum (......) " wohl eher "aus Liebe zum Profit" heissen sollte. Neben dem Textbeitrag steht das Logo der B._ AG, wobei das "i" in der Firma und der Zusatz "Aus Liebe zum (......) " rot durc h kreuzt sind.
B.
B.a. Am 3./5. Juli 2019 stellte die B._ AG ein Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen zum Schutz ihrer Persönlichkeit. Der Verein A._ nahm zum Gesuch am 29./30. Juli 2019 Stellung und schloss auf Abweisung.
B.b. Mit Urteil vom 14. August 2019 hiess das Handelsgericht des Kantons Zürich das Gesuch teilweise gut. Es untersagte dem Verein A._, die Aussagen "B._ heisst für uns (......) " und "Das Logo von B._ »aus Liebe zum (......) « sollte wohl eher heissen »aus Liebe zum Profit«" sowie das abgeänderte Logo B._ (Abänderung durch Streichung des "i" mit einem roten Kreuz und durch Streichung des Zusatzes "Aus Liebe zum (......) " ebenfall s mit einem roten Kreuz) zu verbreiten. Das Handelsgericht ordnete die Löschung der Berichterstattung auf Facebook an, soweit sie die genannten Persönlichkeitsverletzungen enthält. Es setzte der B._ AG eine Frist bis 15. Oktober 2019 an, um den Prozess in der Hauptsache anhängig zu machen.
B.c. Der Verein A._ legte Beschwerde ein, die die II. zivilrechtliche Abteilung des Bundesgerichts abwies, soweit sie darauf eintrat (Urteil 5A_742/2019 vom 7. September 2020).
C.
Am 15. Oktober 2019 reichte die B._ AG ihre Klage ein. Der Verein A._ schloss auf Abweisung. Das Handelsgericht fällte sein Urteil am 10. Dezember 2020.
Unter Androhung einer Ordnungsbusse von bis zu CHF 150.-- für jeden Tag der Nichterfüllung nach Art. 343 Abs. 1 lit. c ZPO sowie der Bestrafung der verantwortlichen Organe und geschäftsführenden Personen wegen Ungehorsams gegen eine amtliche Verfügung im Sinne von Art. 292 StGB (Busse bis CHF 10'000.--) für den Zuwiderhandlungsfall verbot das Handelsgericht dem Verein A._, auf seiner Internetseite www.A._.ch, insbesondere in den 19-2 auf Seite 23 (insbesondere auch in Bezug auf die Rubrik " (......) " und Bericht vom 19. Juni 2019) Folgendes zu verbreiten:
. wörtlich oder sinngemäss die Aussage "B._ heisst für uns (......) "
(Dispositiv-Ziff. 1a),
. wörtlich oder sinngemäss die Aussage "Das Logo von B._ »aus Liebe
zum (......) « sollte wohl eher heissen »aus Liebe zum Profit«" (Dispositiv-Ziff. 1b)
und
. das abgeänderte Logo B._ (Abänderung durch Streichung des "i" mit
einem roten Kreuz und durch Streichung des Zusatzes "Aus Liebe zum (......) "
ebenfalls mit einem roten Kreuz) (Dispositiv-Ziff. 2).
Ebenfalls unter Androhung der Ordnungsbusse sowie der Strafandrohung verpflichtete das Handelsgericht den Verein A._, sämtliche Berichterstattung über die B._ AG im vorliegenden Zusammenhang auf Facebook vollständig zu löschen bzw. löschen zu lassen, soweit diese Berichterstattung die genannten Persönlichkeitsverletzungen enthält (Dispositiv-Ziff. 3). Es wies die Klage lediglich ab, soweit eine CHF 150.-- übersteigende Tagesbusse beantragt worden war (Dispositiv-Ziff. 4 des Urteils vom 10. Dezember 2020).
D.
Mit Eingabe vom 30. Januar 2021 beantragt der Verein A._ (Beschwerdeführer) dem Bundesgericht, die Klage der B._ AG (Beschwerdegegnerin) abzuweisen, eventualiter die Sache zur Neubeurteilung an das Handelsgericht zurückzuweisen. Es sind die kantonalen Akten, hingegen keine Vernehmlassung eingeholt worden.
Der Beschwerdeführer hat eine Teileinstellungsverfügung in einem konnexen Ehrverletzungsverfahren zur Information eingereicht (Schreiben vom 28. August 2021).
Auf Verfügung des Instruktionsrichters der II. zivilrechtlichen Abteilung vom 28. September 2021 hin hat D._ als einzelzeichnungsberechtigte Vizepräsidentin des Beschwerdeführers am 5. Oktober 2021 ein von ihr unterschriebenes Exemplar der Beschwerdeschrift eingereicht und mitgeteilt, dass der Beschwerdeführer an seiner Beschwerde festhält.
E.
Am 9. November 2021 hat Rechtsanwalt Rempfler seine Bevollmächtigung durch den Beschwerdeführer angezeigt und um Akteneinsicht ersucht. Er hat ein Aktenverzeichnis zugestellt und die Möglichkeit eingeräumt erhalten, die Akten einzusehen.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil bejaht Ansprüche der Beschwerdegegnerin auf Unterlassung und Beseitigung wegen widerrechtlicher Verletzung in ihrer Persönlichkeit (Art. 28 und Art. 28a Abs. 1 Ziff. 1 und 2 ZGB) und wegen Herabsetzung in ihren Geschäftsverhältnissen durch unnötig verletzende Äusserungen (Art. 3 Abs. 1 lit. a und Art. 9 Abs. 1 lit. a und b UWG). Es betrifft damit eine insgesamt nicht vermögensrechtliche Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1a), ist kantonal letzt- und oberinstanzlich (Art. 75 BGG), lautet zum Nachteil des beklagten Beschwerdeführers (Art. 76 Abs. 1 BGG) und schliesst das kantonale Verfahren ab (Art. 90 BGG). Die rechtzeitig erhobene (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 lit. c BGG) Beschwerde erweist sich als zulässig.
1.2. Rechtsschriften haben die Begehren und deren Begründung zu enthalten (Art. 42 Abs. 1 BGG). Die Begründung hat in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen, und der blosse Verweis auf Ausführungen in andern Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 5.3). Die Verweise des Beschwerdeführers (z.B. S. 8 Ziff. 13) sind deshalb unbeachtlich.
2.
2.1. Gemäss Dispositiv-Ziff. 9 hat das Handelsgericht der schriftlichen Mitteilung seines Urteils act. 46 für die Beschwerdegegnerin und act. 45 für den Beschwerdeführer beigelegt. Es handelt sich dabei die Erklärungen der Beschwerdegegnerin (act. 45) und des Beschwerdeführers (act. 46), auf die Durchführung der Hauptverhandlung zu verzichten (Ziff. I Bst. B S. 7 des angefochtenen Urteils).
2.2. Eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör erblickt der Beschwerdeführer darin, dass ihm die Eingabe der Beschwerdegegnerin vom 17. November 2020 erst zusammen mit dem Urteil zugestellt wurde (S. 14 Ziff. 27 der Beschwerdeschrift).
2.3. Es kann ergänzt werden (Art. 105 Abs. 2 BGG), dass es sich bei der Eingabe vom 17. November 2020 um das act. 45 handelt, das mit dem Urteil mitgeteilt worden ist. Die Beschwerdegegnerin beantragt darin, auf die mündliche Verhandlung zu verzichten und das Urteil zu fällen. Sie stimmt dem Gericht zu, dass die Sache nun zügig abgeschlossen werden solle, und führt weiter aus, dass die Sache spruchreif sei, auch mit Blick auf das bereits ergangene Urteil des Bundesgerichts vom 7. September 2020, und dass eine Hauptverhandlung offensichtlich keinen Mehrwert darstelle und unter der bestehenden COVID-19-Problematik - falls möglich - nicht durchzuführen sei.
2.4. Der Anspruch auf rechtliches Gehör ist formeller Natur, womit seine Verletzung ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Urteils führt. Die Rechtsprechung des Bundesgerichts, wonach der Gehörsanspruch formeller Natur ist, darf indes nicht darüber hinwegtäuschen, dass auch die Wahrung des rechtlichen Gehörs keinen Selbstzweck darstellt. Wenn nicht ersichtlich ist, inwiefern die Verletzung des rechtlichen Gehörs einen Einfluss auf das Verfahren haben könnte, besteht kein Interesse an der Aufhebung des Entscheids (<ref-ruling> E. 1.4.1; Urteil 4A_166/2021 vom 22. September 2021 E. 5.2.1, zur Publikation vorgesehen). Entsprechend wird für eine erfolgreiche Rüge der Gehörsverletzung grundsätzlich vorausgesetzt, dass in der Begründung des Rechtsmittels auf die Erheblichkeit der angeblichen Verfassungsverletzung eingegangen wird (Urteil 5A_750/2020 vom 6. Mai 2021 E. 3.2) und die beschwerdeführende Partei in der Begründung des Rechtsmittels angibt, welche Vorbringen sie in das kantonale Verfahren bei Gewährung des rechtlichen Gehörs eingeführt hätte und inwiefern diese hätten erheblich sein können (Urteil 4P.189/2002 vom 9. Dezember 2002 E. 3.2.3, in: Praxis 2003 Nr. 130 S. 689; Urteil 4A_30/2021 vom 16. Juli 2021 E. 4.1).
2.5. Dem Beschwerdeführer ist einzuräumen, dass die Mitteilung von Eingaben der Parteien erst mit dem gefällten Urteil unter dem Blickwinkel des Anspruchs auf rechtliches Gehör Bedenken weckt (<ref-ruling> E. 3.4.1). Fallbezogen hat es sich um die Erklärung der Beschwerdegegnerin gehandelt, auf die Hauptverhandlung zu verzichten. Welche Tatsachenvorbringen der Beschwerdeführer in Kenntnis der Erklärung noch gerne eingebracht hätte, legt er nicht dar. Auf seine Rüge ist deshalb nicht einzutreten und damit der Gefahr zu begegnen, dass die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz allein wegen der festgestellten Gehörsverletzung zu einem Leerlauf und einer unnötigen Verzögerung führt.
3.
3.1. Das Handelsgericht hat die Klagebegehren gutgeheissen, weil die eingeklagten Äusserungen die Beschwerdegegnerin sowohl in ihrer Persönlichkeit widerrechtlich verletzen (Art. 28 ZGB; E. III/4i S. 15 f. und E. III/4ii S. 16 ff.) als auch in ihren Geschäftsverhältnissen herabsetzen (Art. 3 Abs. 1 lit. a UWG; E. III/4iii S. 23 f. des angefochtenen Urteils).
3.2. Unter Berufung auf das Medienprivileg (S. 2 Ziff. 2-4 und S. 8 Ziff. 16) und das öffentliche Interesse an Kritik (S. 3 Ziff. 5) wendet sich der Beschwerdeführer einzig gegen die Bejahung einer widerrechtlichen Persönlichkeitsverletzung und dabei insbesondere gegen die Verneinung von Rechtfertigungsgründen. Auf die Gutheissung der Klage nach den Bestimmungen des Bundesgesetzes gegen den unlauteren Wettbewerb (UWG; SR 241) geht der Beschwerdeführer hingegen nicht ein. Er übersieht damit, dass die Ansprüche aus Persönlichkeitsschutz und aus unlauterem Wettbewerb, die kumulativ geltend gemacht werden können und häufig auf den gleichen tatsächlichen Grundlagen beruhen, sich mit Bezug auf Rechtfertigungsgründe wesentlich unterscheiden. Die allgemeine Regelung in Art. 28 Abs. 2 ZGB kann zwar auch im UWG, das sich darüber ausschweigt, herangezogen werden, doch spielen ein überwiegendes öffentliches Interesse oder ein Medienprivileg als Rechtfertigungsgründe für eine Herabsetzung in den Geschäftsverhältnissen (Art. 3 Abs. 1 lit. a UWG) keine - so das offenbar angefochtene Urteil (E. III/4iii S. 23 f.) - oder im Vergleich zum Persönlichkeitsschutz eine nur ganz untergeordnete Rolle, zumal der zu beurteilende Wettbewerbsverstoss nicht nur gegen eine individualrechtlich geschützte Position eines Markteilnehmers gerichtet ist, sondern auch gegen den im Allgemeininteresse geschützten Wettbewerb (BAUDENBACHER/GLÖCKNER, in: Lauterkeitsrecht. Kommentar zum Gesetz gegen den unlauteren Wettbewerb [UWG], Carl Baudenbacher [Hrsg.], 2001, N. 192 zu Art. 9 UWG; weitergehend: BERGER, in: Basler Kommentar zum UWG, 2013, N. 55, KUONEN, in: Commentaire romand LCD, 2017, N. 24, und BLATTMANN, in: UWG. Kommentar, Reto Heizmann/Leander D. Loacker [Hrsg.], 2018, N. 83 und N. 88 f., je zu Art. 3 Abs. 1 lit. a UWG; Urteil 6S.858/1999 vom 16. August 2001 E. 7b/cc, in: Praxis 2002 Nr. 47 S. 235 und sic! 2001 S. 754).
3.3. Beruht die Gutheissung der Klage insoweit auf zwei selbstständigen Urteilsgründen, hat der Beschwerdeführer unter Nichteintretensfolge beide Urteilsgründe je für sich anzufechten. Da der Beschwerdeführer sich vorliegend nur mit dem einen Urteilsgrund befasst, hätte die Gutheissung der Klage gestützt auf den unangefochten gebliebenen Urteilsgrund Bestand, selbst wenn dem Beschwerdeführer recht zu geben wäre. Auf die Beschwerde in der Sache kann deshalb nicht eingetreten werden (<ref-ruling> E. 6.3; <ref-ruling> E. 2.4; gleicher Meinung der vom Beschwerdeführer zitierte [S. 13 Ziff. 25] Beitrag: NICOLAS VON WERDT, Begründungsanforderungen beim Rechtsmittel an das Bundesgericht, in: Der handelsgerichtliche Prozess, Alexander R. Markus und Andere [Hrsg.], 2019, S. 25 Ziff. 3.3).
4.
Aus den dargelegten Gründen darf auf die Beschwerde gesamthaft nicht eingetreten werden. Der Beschwerdeführer wird damit kosten-, nicht hingegen entschädigungspflichtig, da keine Vernehmlassungen eingeholt wurden (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. November 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: von Roten