Faits :
A.
A._ est propriétaire de la parcelle n o 3'201 de la Commune de Corsier, dans le canton de Genève. Cette parcelle, d'une surface de 569 m2, supporte un bâtiment de 152 m2.
Par décision du 25 novembre 2015, (demande définitive [ci-après: DD] 107'626], A._ a été autorisé à transformer une ancienne gendarmerie en logements et parkings de dix places.
Le 27 septembre 2017, le Département cantonal du territoire (ci-après: DT) a informé le prénommé avoir été saisi d'une plainte, accompagnée d'un reportage photographique, dont il ressortait qu'un chantier avait été ouvert sans lui avoir été annoncé. Les travaux réalisés ne correspondaient pas à la DD 107'626.
B.
Depuis lors, plusieurs requêtes ont été formulées s'agissant de cette parcelle, dont la demande d'autorisation de construire en procédure accélérée (ci-après: APA) 302'165. Portant sur "la reconstruction et l'aménagement d'un bâtiment existant", cette demande a été déposée par la société B._ Sàrl, le 19 novembre 2018. A titre de mandataire professionnellement qualifié (ci-après: MPQ), au sens de la loi cantonale sur l'exercice des professions d'architecte et d'ingénieur du 17 décembre 1982 (LPAI; RS/GE L 5 40), était mentionné le bureau ABC architectes SA.
Dans le cadre de l'instruction de cette demande, des préavis ont été sollicités des services concernés de l'Etat. Par courriers successifs respectifs des 28 novembre et 3, 4, 11 et 20 décembre 2018, ces différents services ont requis du MPQ le dépôt des pièces manquantes nécessaires à l'instruction de la demande d'autorisation. Chacune de ces demandes était assortie d'un délai de 10 jours, conformément à l'art. 3 al. 10 de la loi cantonale sur les constructions et les installations diverses du 14 avril 1988 (LCI; RS/GE L 5 05).
L'architecte mandaté n'a pas donné suite à ces requêtes.
Le 20 mars 2019, se référant à son courrier précité du 28 novembre 2018, le DT a nouvellement invité l'architecte à lui faire parvenir les compléments nécessaires à la poursuite de l'étude du dossier, au plus tard dans les dix jours. Passé ce délai, et sans nouvelles, le DT statuerait sur la requête d'autorisation.
Par courrier du 3 juin 2019, A._, "faisant suite à des discussions avec le département et à une surcharge de travail de l'architecte", a proposé au département une solution faisant droit à ses demandes et préavis. De nouveaux plans seraient produits et des modifications proposées; un délai au 30 juin 2019 était requis pour ce faire.
Par décision du 5 juillet 2019, le département a informé A._ qu'il notifiait, le même jour, à C._ SA une décision de refus concernant l'APA 302'165. Le projet soumis à l'examen du DT était déjà réalisé en partie, ce qui avait donné lieu à l'ouverture d'une procédure d'infraction. Compte tenu de la décision de refus, les éléments de construction réalisés sans droit ne pouvaient être maintenus en l'état. Par conséquent, le département lui ordonnait, dans un délai de soixante jours, de rétablir une situation conforme à la seule autorisation valable, soit la DD 107'626 (cf. let. A ci-dessus). Par ailleurs, une amende administrative de 3'000 fr. lui était infligée.
Par décision du 9 juillet 2019, le DT a refusé l'APA 302'165. Les demandes de compléments n'avaient pas été suivies d'effets et cela malgré le rappel qui avait été adressé au mandataire (architecte) en date du 20 mars 2019.
C.
A._ a vainement recouru contre ces deux décisions devant le Tribunal administratif de première instance de la République et canton de Genève (TAPI), avant de porter ces causes devant la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Par un premier arrêt du 9 février 2021 (cause cantonale ATA 159/2021), la Cour de justice a rejeté le recours dirigé contre le jugement du TAPI (A/3341/2019) confirmant la décision de remise en état et l'amende administrative du 5 juillet 2019. Cet arrêt fait l'objet d'un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral (cause 1C_144/2021); cette cause est actuellement suspendue.
Par arrêt séparé du même jour (ATA 160/2021), la Cour de justice a par ailleurs rejeté le recours dirigé contre le jugement du TAPI validant la décision de refus de l'APA 302'165 du 9 juillet 2019 (A/3417/2019). La cour cantonale a en substance considéré que le département était fondé à refuser l'autorisation de construire en application de l'art. 3 al. 10 LCI; il ne s'était, ce faisant, pas non plus rendu coupable d'un déni de justice formel.
D.
Agissant également par la voie du recours en matière de droit public contre ce second arrêt cantonal, A._ et B._ Sàrl demandent principalement au Tribunal fédéral son annulation et l'octroi de l'APA 302'165. Subsidiairement, ils concluent au renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Préalablement, ils requièrent la suspension de la cause jusqu'à droit jugé sur la demande de permis de construire (DD 312'289/1) déposée le 8 mars 2021, postérieurement à l'arrêt entrepris, et portant sur la remise en conformité et la construction.
La Cour de justice persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. L'Office des autorisations de construire du Département cantonal du territoire conclut au rejet du recours. Les recourants ont répliqué, persistant dans leurs conclusions.
Par ordonnance du 3 mai 2021, estimant en substance que l'octroi de l'autorisation de construire DD 312'289/1 n'était pas de nature à rendre sans objet le recours se rapportant au bien-fondé du refus de l'APA 302'165, le Président de la Ire Cour de droit public a rejeté la requête de suspension.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis.
Dirigé contre une décision prise en dernière instance cantonale dans le domaine du droit public des constructions, le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public conformément aux <ref-law>, aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'étant réalisée. En tant que propriétaire de la parcelle concernée, respectivement requérante de l'autorisation de construire litigieuse, les recourants bénéficient en principe de la qualité pour recourir au sens de l'<ref-law>.
2.
En vertu de l'<ref-law>, les mémoires de recours doivent être motivés et contenir des conclusions. Celles-ci doivent exprimer sur quels points la décision est attaquée et quelles sont les modifications demandées (<ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling> consid. 3.1). A teneur de l'<ref-law>, les motifs doivent exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit. Pour satisfaire à cette exigence, la partie recourante doit discuter au moins brièvement les considérants de la décision litigieuse et expliquer en quoi ceux-ci seraient contraires au droit (<ref-ruling> consid. 1.7.1). Elle ne peut se contenter de reprendre l'argumentation formée devant l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 5.2).
Sauf dans les cas cités expressément à l'<ref-law>, le recours ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal en tant que tel. En revanche, il est toujours possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 4.4.1; <ref-ruling> consid. 2.5; <ref-ruling> consid. 2.3).
Les griefs de violation des droits fondamentaux - dont celui d'arbitraire dans l'application du droit cantonal - sont en outre soumis à des exigences de motivation accrues au sens de l'<ref-law>, la partie recourante devant alors citer les principes constitutionnels qui n'auraient pas été respectés et expliquer de manière claire et précise en quoi ces principes auraient été violés (<ref-ruling> consid. 3). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les griefs insuffisamment motivés ou sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 1.3.1).
3.
Devant la dernière instance cantonale, les recourants faisaient valoir une violation du principe de la proportionnalité. Aux termes des considérants de son arrêt, la Cour de justice a cependant estimé que l'analyse de la cause devait en réalité porter sur l'éventuel abus du pouvoir d'appréciation du département dans l'application de l'art. 3 al. 10 LCI. Cette disposition prévoit que les demandes de pièces complémentaires ou de projet modifié sont formulées dans les 5 jours dès réception du dossier par les entités consultées; le requérant dispose d'un délai de 10 jours pour y répondre; passé ce délai et à défaut de justes motifs, le département renvoie la requête au requérant, le cas échéant, la refuse. Or, cinq délais avaient été impartis au mandataire des recourants entre novembre et décembre 2018. Un nouveau délai, sous forme de rappel, avait encore été octroyé le 20 mars 2019. Aucune réponse n'y avait cependant été donnée. Ainsi, à teneur de l'art. 3 al. 10 LCI, dès début avril 2019, le DT était fondé à statuer sur la requête incomplète. Les recourants ne s'étaient prévalus d'aucun juste motif expliquant leur retard, ni le 3 juin 2019 ni ultérieurement. Dans son dernier courrier du 3 juin 2019, le propriétaire mentionnait pouvoir donner suite, dans un délai au 30 juin 2019, aux demandes de documents. Ainsi, en rendant sa décision le 9 juillet 2019, après avoir imparti, à six reprises, des délais de dix jours, puis, attendu plus de six mois, et enfin, patienté après l'échéance que l'administré avait dit pouvoir respecter, le département n'avait pas abusé de son pouvoir d'appréciation et avait fait une correcte application des dispositions légales.
Au stade du recours fédéral, les recourants se prévalent à nouveau du principe de la proportionnalité (art. 5 al. 2 Cst.). Ils perdent toutefois de vue que, lorsqu'une violation de ce principe est, comme en l'espèce, invoquée indépendamment de toute atteinte à un droit fondamental, le Tribunal fédéral ne l'examine que sous l'angle de l'arbitraire; il en va en particulier ainsi lorsque l'invocation de ce principe est en lien avec l'application du droit cantonal (cf. <ref-ruling> consid. 5.3.2; arrêts 2C_273/2021 du 29 mars 2021 consid. 5; 1C_442/2016 du 7 juin 2017 consid. 5.1). Dans un tel cas de figure, il appartient à la partie recourante de démontrer en quoi l'application du droit cantonal serait arbitraire (cf. consid. 2 ci-dessus; <ref-ruling> consid. 5.3.2). Or, dans le cas particulier, les recourants se limitent à des critiques très générales et appellatoires. Ils ne prennent aucunement la peine de discuter l'appréciation de l'instance précédente, dont on ne saurait dès lors s'écarter, ni même de mentionner l'art. 3 al. 10 LCI.
Leur grief apparaît ainsi irrecevable non seulement au regard des exigences accrues de motivation de l'<ref-law>, mais également des exigences générales définies à l'<ref-law>.
4.
Les recourants se plaignent encore d'un déni de justice. Ils reprochent en particulier au département de n'avoir pas répondu à la demande de prolongation formulée par le propriétaire le 3 juin 2019. Faute de réponse, ils ne pouvaient pas s'attendre à ce qu'une décision soit rendue "dans l'immédiat étant donné [que le département] avait attendu trois mois depuis la dernière demande formulée auprès du MPQ avant de relancer [le propriétaire] le 20 mars 2019". Ils y voient également une violation du principe de la bonne foi découlant de l'ancien art. 4 Cst. (cf. art. 9 in fine Cst.).
4.1. En droit cantonal genevois, lorsqu'une autorité mise en demeure refuse sans droit de statuer ou tarde à se prononcer, son silence est assimilé à une décision (art. 4 al. 4 de la loi cantonale sur la procédure administrative du 12 septembre 1985 [LPA/GE; RS/GE E 5 10]). Une partie peut recourir en tout temps pour déni de justice ou retard non justifié, si l'autorité concernée ne donne pas suite rapidement à la mise en demeure prévue à l'art. 4 al. 4 LPA/GE (art. 62 al. 6 LPA/GE).
Aux termes de l'art. 29 al. 1 Cst., toute personne a droit, dans une procédure judiciaire ou administrative, à ce que sa cause soit traitée équitablement et jugée dans un délai raisonnable. Il y a déni de justice formel lorsqu'une autorité n'applique pas ou applique d'une façon incorrecte une règle de procédure, de sorte qu'elle ferme l'accès à la justice au particulier qui, normalement, y aurait droit. L'autorité qui se refuse à statuer, ou ne le fait que partiellement, viole l'art. 29 al. 1 Cst. (<ref-ruling>72 consid. 5 et les références citées; arrêt 1C_361/2019 du 7 janvier 2020 consid. 3.1.1).
4.2. En l'espèce, la Cour de justice a souligné que le DT, qui n'avait certes pas répondu au courrier du 3 juin 2019, avait toutefois attendu le terme du délai au 30 juin 2019, sollicité par les recourants, pour statuer. Au regard des six délais précédemment impartis, que les recourants avaient laissé échoir, le département n'était plus tenu de répondre avant de prendre une décision. Par ailleurs, la supposition des recourants selon laquelle, en l'absence de réponse, ils auraient bénéficié de temps au vu de l'intervalle entre la dernière demande au MPQ et la relance du 20 mars 2019 ne trouvait aucun fondement ni légal ni compatible avec le but de la procédure accélérée (à ce propos, cf. Mémorial du Grand Conseil genevois [MGC] 2012-2013/XII A 18010). Aucune base légale n'imposait au département d'accorder une prolongation de délai dans le cas d'une demande formulée plus de trois mois après le terme du délai de rappel imparti aux recourants. Ces derniers n'avaient de surcroît pas procédé à une mise en demeure du DT au sens de l'art. 4 al. 4 LPA/GE.
4.3. Tout comme pour le grief précédent, les recourants ne discutent pas l'appréciation de l'instance précédente. Ils se bornent à répéter - mot pour mot (cf. recours au TAPI du 11 juin 2020; à ce sujet, voir <ref-ruling> consid. 5.2; <ref-ruling> consid. 2.3) - sans plus ample explication, les critiques formulées devant l'instance précédente, auxquelles cette dernière a pourtant répondu. Les recourants n'exposent ainsi pas en quoi les garanties de l'art. 29 al. 1 Cst. auraient été bafouées, pas plus qu'ils n'expliquent où résiderait la violation du principe de la bonne foi. A cet égard, indépendamment de leur recevabilité sous l'angle de la motivation (art. 42 al. 2, respectivement <ref-law>), qui apparaît douteuse, les considérations émises à ce sujet au stade de la réplique seulement sont tardives; elles doivent pour ce motif être écartées (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2.3; arrêt 1C_70/2020 du 8 décembre 2020 consid. 2). Au surplus, les recourants ni ne prétendent ni a fortiori ne démontrent que l'instance précédente se serait livrée à une application arbitraire du droit de procédure cantonal, singulièrement des art. 4 et 62 LPA/GE.
Ce grief, à l'instar du précédent, doit en conséquence être déclaré irrecevable.
5.
Sur le vu de ce qui précède, le recours ne répond pas aux exigences de motivation des art. 42 al. 2, respectivement 106 al. 2 LTF; il doit en conséquence être déclaré irrecevable, aux frais des recourants (art. 66 al. 1 et 5 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge solidaire des recourants.
3.
Il n'est pas alloué de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux recourants, au Département du territoire de la République et canton de Genève ainsi qu'à la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 12 août 2021
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Kneubühler
Le Greffier : Alvarez