Sachverhalt:
A.
A._ (Patientin, Beschwerdeführerin) meldete sich am Abend des 1. August 2013 wegen rezidivierend auftretenden kolikartigen Unterbauchschmerzen in der Notfallstation in einem Krankenhaus, das der B._ AG (Spital, Beschwerdegegnerin) angehört. Diagnostiziert wurde Urolithiasis links (4x2 mm grosser Stein im linken Harnleiter) mit der Nebendiagnose Nephrolithiasis links (ca. 6 mm grosser Stein in der linken Niere). Der Patientin wurden diverse Medikamente verschrieben sowie Urinsiebe abgegeben und sie wurde gebeten, sich bei Zunahme der Beschwerden, Fieber oder ausbleibender Besserung wieder auf der Notfallstation zu melden.
Am 2. August 2013 um 2.09 Uhr meldete sich die Patientin erneut auf der Notfallstation. Sie wurde im Spital stationär aufgenommen und gleichentags in das Kantonsspital Olten verlegt, wo sie um 14.20 Uhr operiert werden sollte. Noch vor der Narkoseeinleitung wurde sie kreislaufinstabil und musste auf der Intensivstation betreut werden. Nachdem sich ihr Kreislauf stabilisiert hatte, wurden bei ihr eine retrograde Ureteropyelographie (Kontrastmittel-Röntgendarstellung) und eine Doppel-J-Einlage (Harnleiterschienung) durchgeführt. Nach der Operation erlitt die Patientin ein Multiorganversagen, weshalb sie vom 3. bis 15. August 2013 mechanisch beatmet wurde. Am 16. August 2013 konnte sie auf die urologische Abteilung zurückverlegt werden, wo man ihr eine Perm-Cath-Einlage (Katheter zur Dialyse) einsetzte. Am 3. September 2013 wurde sie aus dem Kantonsspital Olten entlassen. Der Katheter wurde am 13. September 2013 und der 4 mm grosse Stein am 24. Oktober 2013 operativ entfernt.
B.
B.a. Mit Eingabe vom 11. September 2015 reichte die Patientin bei der Staatskanzlei des Kantons Solothurn ein Gesuch um Schadenersatz und Genugtuung ein. Sie machte im Wesentlichen geltend, zufolge diverser ärztlicher Pflichtverletzungen könne sie weiterhin weder einer vollen Erwerbstätigkeit nachgehen noch uneingeschränkt den Haushalt besorgen, zumal insbesondere die Leistungsfähigkeit ihrer Nieren massiv reduziert sei und sich nicht mehr verbessern werde.
Die Staatskanzlei holte mit verfahrensleitender Verfügung vom 25. August 2016 ein Gutachten zu allfälligen Sorgfaltspflichtwidrigkeiten ein bei Prof. Dr. med. Bruno Vogt, Facharzt FMH Innere Medizin und Nephrologie, Chefarzt und Klinikdirektor am Inselspital Bern. Während dem Sachverständigen die gesamten Kranken- und Verfahrensakten zur Verfügung gestellt wurden, lehnte die Staatskanzlei den Antrag der Patientin auf Edierung der Prozesshandbücher des Spitals ab.
Nach Erhalt des Gutachtens reichte die Patientin Ergänzungsfragen ein und beantragte ein Obergutachten, eventualiter ein zweites Gutachten mit diversen Anweisungen an den Sachverständigen. Überdies ersuchte die Patientin die Staatskanzlei um Befragung von Dr. med. C._ in Bezug auf eine allfällige Falschplatzierung der Perm-Cath-Einlage sowie um Bestellung eines weiteren Gutachtens über die ihrer Ansicht nach mangelhafte Organisation des Spitals. Die Staatskanzlei unterbreitete Dr. med. C._ diverse Fragen und stellte dem Sachverständigen Ergänzungsfragen; die weiteren Beweisanträge wies sie ab und schloss den Schriftenwechsel.
Mit Verfügung vom 29. November 2018 wies die Staatskanzlei das Gesuch um Schadenersatz und Genugtuung ab; infolge unentgeltlicher Rechtspflege übertrug sie die Verfahrenskosten dem Staat und setzte eine Entschädigung für den unentgeltlichen Rechtsbeistand der Patientin fest. Zur Begründung stützte sich die Staatskanzlei im Wesentlichen auf das Gutachten, wonach die Behandlung der Patientin lege artiserfolgte. Die Staatskanzlei erachtete das Gutachten als in sich schlüssig, nachvollziehbar und widerspruchsfrei und verwarf eine dem Spital zuzuschreibende Sorgfaltspflichtverletzung des die Patientin behandelnden Personals.
B.b. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn wies die Beschwerde der Patientin mit Entscheid vom 23. Oktober 2019 ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen begehrt die Patientin, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und die Sache zur vollständigen Feststellung des Sachverhalts an die Staatskanzlei zurückzuweisen, eventualiter an das Verwaltungsgericht.
Die Staatskanzlei des Kantons Solothurn, eventualiter das Verwaltungsgericht, sei anzuweisen, die Prozesshandbücher der Beschwerdegegnerin zu edieren, eine Expertise zur Frage der Organisationsmängel in Auftrag zu geben und ein Obergutachten über die Frage der medizinischen Sorgfaltspflichtverletzung einzuholen.
Gleichzeitig beantragt die Beschwerdeführerin die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren und die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands.
Vernehmlassungen wurden nicht eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen).
1.1. Gegenstand des angefochtenen Entscheids sind Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche wegen fehlerhafter Behandlung in einem öffentlichen Spital nach dem kantonalen öffentlichen Haftungsrecht. Da solche Entscheide in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht stehen, ist dagegen nach <ref-law> die Beschwerde in Zivilsachen gegeben (vgl. Art. 30 Abs. 1 lit. c Ziff. 1 und <ref-law> sowie <ref-ruling> E. 1.1 S. 331; <ref-ruling> E. 2.1 S. 465).
1.2. Aus der Befugnis des Bundesgerichts, reformatorisch entscheiden zu können (<ref-law>), folgt, dass die Beschwerdeführerin sich nicht darauf beschränken darf, einen rein kassatorischen Antrag zu stellen. Anders verhält es sich, wenn das Bundesgericht im Falle einer Gutheissung in der Sache ohnehin nicht selbst entscheiden könnte, insbesondere weil die erforderlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz fehlen (<ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.3 S. 317; <ref-ruling> E. 1.2 S. 135 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 383 sowie die Urteile 4A_129/2019 vom 27. Mai 2019 E. 1.1; 2C_489/2018 vom 13. Juli 2018 E. 1.2).
Die Beschwerdeführerin beantragt unter anderem, die erste Instanz, eventualiter die Vorinstanz, sei zu verpflichten, die Prozesshandbücher der Beschwerdegegnerin zu edieren, eine Expertise zur Frage der Organisationsmängel in Auftrag zu geben und ein Obergutachten über die Frage der medizinischen Sorgfaltspflichtverletzung einzuholen. Es ist fraglich, ob die vor Bundesgericht erneuerte Rüge der verweigerten Beweisanordnung ausreicht, um die Beschwerdeführerin von ihrer grundsätzlichen Pflicht zur Bezifferung ihres materiellen Begehrens zu dispensieren. Falls der Beschwerde ohnehin kein Erfolg beschieden sein sollte, braucht nicht abschliessend beurteilt zu werden, ob die ausschliesslich kassatorischen Begehren vorliegend ausnahmsweise ausreichen. Die übrigen Eintretensvoraussetzungen sind indessen zweifelsfrei erfüllt und geben zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass.
2.
Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig im Sinne von <ref-law> festgestellt und in diesem Zusammenhang ihren verfassungsmässigen Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) mehrfach verletzt.
2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Ausserdem muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens erheblich sein (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen. Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
2.1.1. Die Beschwerdeführerin verkennt diese qualifizierten Rügeanforderungen teilweise. Insoweit sie ihrer Rechtsschrift eine eigene Darstellung der Hintergründe des Rechtsstreits voranstellt, ohne Ausnahmen von der Sachverhaltsbindung aufgrund Willkür oder einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> geltend zu machen, ist sie nicht zu hören (Art. 105 Abs. 2 und <ref-law>).
Demgegenüber rügt die Beschwerdeführerin an zwei Stellen eine willkürliche Feststellung des Sachverhalts. So macht sie geltend, die Vorinstanz sei in Willkür verfallen, indem sie bezüglich Organisationsmängel erwog, der Gutachter könne sich kaum zu organisatorischen Belangen äussern, hierfür jedoch auf Erwägungen der ersten Instanz verwies, welche sich einzig auf das Gutachten stützen würden. Zudem sei der Sachverhalt insoweit offensichtlich unvollständig festgestellt, als die Akten ungenügende Informationen enthielten für einen Entscheid über Organisationsmängel. Deshalb sei die erste Instanz oder die Vorinstanz anzuhalten, Dokumente über die internen Abläufe der Beschwerdegegnerin zu edieren.
2.1.2. Es kann dahingestellt bleiben, ob sich die erste Instanz tatsächlich betreffend die behaupteten Organisationsmängel auf das Sachverständigengutachten bezog und sich die Vorinstanz insoweit mit ihrem Verweis hierauf selbst widersprach. Denn nach einer Feststellung der Vorinstanz, mit welcher sich die Beschwerdeführerin nicht auseinandersetzt, wurde die Organisation des Spitals sowohl im erstinstanzlichen als auch im vorinstanzlichen Verfahren lediglich in pauschaler Weise bemängelt. Namentlich hat die Beschwerdeführerin gemäss Feststellung der Vorinstanz zum Prozesssachverhalt in ihrem im Sinne von § 19ter Abs. 1 des Spitalgesetzes des Kantons Solothurn vom 12. Mai 2004 (SpiG, BGS 817.11) schriftlich begründeten Schadenersatzbegehren nicht konkret dargelegt, worin sie eine mangelhafte Organisation erblicke. Die Beschwerdeführerin zeigt auch vor Bundesgericht nicht auf, inwieweit das Spital konkret mangelhaft organisiert gewesen sein soll.
Im Übrigen erhellt nicht, inwiefern ein Organisationsmangel ohne Weiteres eine ärztliche Sorgfaltspflichtverletzung zur Folge hätte. Weder die Vorinstanz noch die erste Instanz war gehalten, einem Editionsantrag zu folgen, dessen Entscheiderheblichkeit nicht ersichtlich ist (vgl. dazu auch <ref-law>). Die dem vorinstanzlichen Urteil zugrunde liegenden Akten reichten entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin aus, um den für die rechtliche Würdigung notwendigen Sachverhalt festzustellen. An der Willkürfreiheit des Beweisergebnisses im angefochtenen Urteil ändert auch nichts, dass die Verwaltungsbehörden gemäss § 14 Abs. 1 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes des Kantons Solothurn vom 15. November 1970 (VRG, BGS 124.11) die zur Abklärung des Sachverhalts notwendigen Erhebungen selbständig vornehmen. Die Auffassung der Vorinstanz, wonach der erstinstanzlichen Verfügung die für den Ausgang des Verfahrens entscheidenden Feststellungen entnommen werden konnten, ist entgegen ohnehin lediglich pauschaler Kritik der Beschwerdeführerin nicht zu beanstanden.
2.2. Der aus <ref-law> fliessende Anspruch auf rechtliches Gehör verleiht der betroffenen Partei das Recht, in einem Verfahren, welches in ihre Rechtsstellung eingreift, mit rechtzeitig und formgültig angebotenen Beweisanträgen gehört zu werden, soweit diese erhebliche Tatsachen betreffen und nicht offensichtlich beweisuntauglich sind. Es liegt daher keine Verletzung des rechtlichen Gehörs vor, wenn ein Gericht auf die Abnahme beantragter Beweismittel verzichtet, weil es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen darf, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 3 S. 157). Der Anspruch auf rechtliches Gehör ist hingegen verletzt, wenn ein Gericht einem Beweismittel zum vornherein ohne sachliche Begründung jede Erheblichkeit oder Tauglichkeit abspricht (<ref-ruling> E. 2 S. 291; <ref-ruling> E. 6b S. 171).
2.2.1. Mit ihrer ersten Rüge der Verletzung des verfassungsmässigen Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) bezieht sich die Beschwerdeführerin erneut auf den Themenkomplex der angeblich mangelhaften Organisation des Spitals.
Die Beschwerdeführerin erachtet es als unzulässig, dass die Vorinstanz die Tatsachenbehauptungen hinsichtlich der Organisation des Spitals als pauschal verwarf und gleichzeitig darauf verzichtete, hierzu weitere Beweise abzunehmen. So habe die Beschwerdeführerin im erst- und zweitinstanzlichen Verfahren geltend gemacht, dass sie weder durch fachkundiges Personal betreut noch rechtzeitig behandelt und in das Kantonsspital Olten verlegt worden sei. Indem ihr die Vorinstanz die zur Substanziierung dieser Ansprüche beantragte Edition der Prozesshandbücher des Spitals sowie eine diesbezügliche Expertise bzw. ein Obergutachten - genauso wie hiervor die erste Instanz - verweigerte, habe sie ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt.
2.2.2. Die Beschwerdeführerin setzt sich mit dieser Argumentation nicht mit den einschlägigen Erwägungen der Vorinstanz auseinander und verkennt insoweit ihre Begründungspflicht (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.4 S. 368; <ref-ruling> E. 2.3. S. 266, 115 E. 2 S. 116 sowie Urteil 4A_174/2017 vom 1. September 2017 E. 4.4.2.4).
So verwarf die Vorinstanz die Rüge einer Verletzung des Rechts auf Beweis als Teilgehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör seitens der ersten Instanz unter Verweis auf § 52 Abs. 1 VRG, wonach die Verwaltungsgerichtsbehörden nicht an die Beweisanträge der Parteien gebunden sind. Die Vorinstanz erwog weiter zu Recht, dass die Bestimmungen der ZPO nur sinngemäss anwendbar sind (§ 17 Abs. 1 VRG). Ihr kann keine willkürliche Anwendung des kantonalen Prozessrechts (vgl. <ref-law> sowie <ref-ruling> E. 1.4 mit Hinweisen) vorgeworfen werden, wenn sie den Sachverhalt als genügend abgeklärt betrachtete (vgl. § 14 VRG sowie vorstehend E. 2.1). Da das Beweisverfahren bezweckt, rechtserhebliche, streitige Tatsachenbehauptungen auf deren (prozessualen) Wahrheitsgehalt zu überprüfen, setzt es ein genügend konkretes Tatsachenfundament voraus. Wenn die Beschwerdeführerin ohne nähere Angaben zum Spitalpersonal einwendet, es habe an fachkundiger Behandlung gemangelt, stellt dies keine im Rahmen eines Beweisverfahrens überprüfbare Tatsachenbehauptung dar. Das Gleiche gilt, wenn sie pauschal kritisiert, nicht rechtzeitig behandelt und auch verspätet in das Kantonsspital Olten verlegt worden zu sein, ohne zu detaillieren, inwiefern die medizinischen Massnahmen nicht innerhalb des notwendigen Zeitfensters vorgenommen wurden respektive weshalb sie nicht eine sorgfältige und nach den Umständen gebotene Behandlung erhalten haben sollte. Vor diesem Hintergrund erhellt auch nicht, inwieweit die Beschwerdeführerin einen Mehrwert aus der Edition der Prozesshandbücher des Spitals sowie einer weiteren Expertise oder eines Obergutachtens gezogen hätte. Mit anderen Worten kann der Vorinstanz mangels ersichtlicher Entscheiderheblichkeit der beantragten Beweismittel (vgl. dazu <ref-law>) ohnehin keine Verweigerung des rechtlichen Gehörs vorgeworfen werden.
2.3. Der Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verlangt ausserdem, dass die Gerichte die rechtserheblichen Vorbringen der Parteien anhören und bei der Entscheidfindung berücksichtigen. Damit sich die Parteien ein Bild über die Erwägungen des Gerichts machen können, ist sein Entscheid zu begründen. Hierbei wird nicht gefordert, dass sich das Gericht mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann es sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss jedoch so abgefasst sein, dass sich die Betroffenen über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen können. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die sich sein Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 3.2.4 S. 41; <ref-ruling> E. 3.2.1; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; je mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin rügt, das angefochtene Urteil erfülle diese Voraussetzungen in Bezug auf das Gutachten nicht. So habe die Vorinstanz nicht nachvollziehbar begründet, weshalb das Gutachten, welches nicht einmal Hinweise auf Fachliteratur enthalte, nachvollziehbar und schlüssig sein soll. Die Vorinstanz habe verkannt, dass aus der Person des Gutachters und dessen Berufserfahrung nichts hinsichtlich der Qualität des Gutachtens abgeleitet werden könne.
2.3.1. Die Kritik der Beschwerdeführerin verfängt nicht. Nachdem sie sich gemäss den vorinstanzlichen Feststellungen zum Prozesssachverhalt im Wesentlichen darauf beschränkte, die fachliche Qualifikation des Gutachters zu bemängeln und einzuwenden, die erste Instanz habe die rechtliche Beurteilung nicht selbständig vorgenommen, konzentrierte sich die Vorinstanz in ihrer Urteilsbegründung zu Recht auf die Beantwortung der damit aufgeworfenen Sach- und Rechtsfragen. Dabei kann der Vorinstanz nicht zum Vorwurf gemacht werden, dass weitere Aspekte der normativen Würdigung des Gutachtens, welche in diesem Verfahrensstadium nicht oder nur am Rande von den Parteien thematisiert wurden, in ihrer Begründung ebenfalls weniger Raum fanden. Der Begründung des angefochtenen Urteils sind die wesentlichen Überlegungen mit hinreichender Detailliertheit zu entnehmen. Denn die Beschwerdeführerin behauptet selbst nicht, dass ihr die Begründung im angefochtenen Urteil nicht ermöglicht hätte, den Entscheid in seiner vollen Tragweite zu erkennen und die Streitsache an das Bundesgericht weiterzuziehen.
2.3.2. Insoweit sich die Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang schliesslich auf angeblich offenkundige Unzulänglichkeiten des Gutachtens bezieht, erschöpft sich ihre Kritik in tatsächlichen Behauptungen, die in den Feststellungen des angefochtenen Urteils keine Stütze finden, weshalb sie als neu und unzulässig zu gelten haben (<ref-law>). Zudem beeinflussen - entgegen dem, was die Beschwerdeführerin nunmehr in ihrer Beschwerde vor Bundesgericht anzunehmen scheint - allfällig fehlende Zitate aus der Fachliteratur die Plausibilität einer Argumentation nicht. Inwiefern das Gutachten unvollständig, nicht nachvollziehbar oder widersprüchlich sein soll, zeigt die Beschwerdeführerin darüber hinaus nicht hinreichend konkret auf. Dass die Beantwortung der Rechtsfragen dem Gutachter überlassen worden seien (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.4.1; <ref-ruling> E. 5.4.1) oder dem beauftragten renommierten Chefarzt und Klinikdirektor am Inselspital Bern die fachliche Qualifikation fehle, macht die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht schliesslich selbst nicht mehr geltend.
2.4. Nachdem die Vorinstanz das Gutachten, wonach das Spitalpersonal lege artis vorgegangen ist, als lückenfrei, nachvollziehbar und schlüssig beurteilte und auch keine anderweitigen Anhaltspunkte für eine Pflichtverletzung der Beschwerdegegnerin ausmachte, schützte sie den erstinstanzlichen Entscheid zu Recht.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Da sich die Beschwerde von vornherein als aussichtslos erwies, ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren abzuweisen (vgl. Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Indessen rechtfertigt es sich, aufgrund der besonderen Umstände ausnahmsweise darauf zu verzichten, Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren zu erheben. Die Beschwerde verursachte einen geringen Aufwand. Zudem belegt die Beschwerdeführerin, dass sie seit ihrer Erkrankung von einer IV-Rente und AHV-Ergänzungsleistungen lebt. Eine Parteientschädigung ist mangels Vernehmlassung ebenfalls nicht zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Auf die Erhebung von Gerichtskosten wird verzichtet.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Februar 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Hug