Erwägungen:
1.
B._ erstattete am 31. Dezember 2018 Strafanzeige gegen den Beschwerdeführer wegen Drohung, Ehrverletzung, Beleidigung/Beschimpfung, Hausfriedensbruchs und Diebstahls. Er warf diesem u.a. vor, am 6. Oktober 2018 in seinem (B._s) CBD-Laden zu Unrecht sieben Fläschchen Gelenkwohlöl an sich genommen zu haben, ohne diese zu bezahlen. Am 4. Januar 2019 stellte C._ in der gleichen Angelegenheit Strafantrag gegen den Beschwerdeführer. Im Gegenzug erstattete der Beschwerdeführer gegen diese am 11. Januar 2019 Strafanzeige wegen falscher Anschuldigung betreffend Diebstahl und Tätlichkeit. Die Staatsanwaltschaft Rheinfelden-Laufenburg verfügte am 19. Februar 2019 die Nichtanhandnahme des Verfahrens gegen C._ wegen falscher Anschuldigung. Die Verfügung wurde am 21. Februar 2019 von der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Aargau genehmigt. Die vom Beschwerdeführer dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Aargau am 2. Juli 2019 ab, soweit es darauf eintrat.
Der Beschwerdeführer beantragt mit Beschwerde in Strafsachen, C._ sei wegen falscher Anschuldigung bezüglich der Vorwürfe der Tätlichkeit, des Diebstahls und des Hausfriedensbruchs zu bestrafen.
2.
Gegenstand des angefochtenen Entscheids bildet einzig die Nichtanhandnahme des Verfahrens wegen falscher Anschuldigung betreffend Diebstahl und Tätlichkeit (angefochtener Entscheid E. 1.2 S. 3). Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, C._ habe ihn des Hausfriedensbruchs beschuldigt und sich insofern der falschen Anschuldigung strafbar gemacht, ist auf seine Beschwerde daher von vornherein nicht einzutreten. Der Beschwerdeführer behauptet nicht, die Vorinstanz habe seine Beschwerde zu Unrecht nicht unter diesem Gesichtspunkt geprüft.
3.
Die Privatklägerschaft ist zur Beschwerde in Strafsachen nur berechtigt, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Bei den Zivilansprüchen im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG geht es in erster Linie um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung gemäss <ref-law>, die üblicherweise vor den Zivilgerichten geltend gemacht werden müssen. Die Privatklägerschaft muss im Verfahren vor Bundesgericht darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderung auswirken kann. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen nicht, kann darauf nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderung es geht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 4 f. mit Hinweisen).
4.
Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, inwiefern ihm gegenüber C._ Schadenersatz- oder Genugtuungsansprüche im Sinne von <ref-law> zustehen könnten. Genugtuungsforderungen aus Persönlichkeitsverletzung bestehen nur, sofern die Schwere der Verletzung es rechtfertigt (vgl. <ref-law>). Der Eingriff muss aussergewöhnlich schwer sein und in seinen Auswirkungen das Mass einer Aufregung oder einer alltäglichen Sorge klar übersteigen (vgl. etwa Urteile 6B_96/2019 vom 7. Juni 2019 E. 1.2; 6B_798/2018 vom 14. November 2018 E. 4; 6B_555/2017 vom 29. September 2017 E. 3.2; je mit Hinweisen). Dies ist vorliegend weder rechtsgenügend dargetan noch ersichtlich.
C._ war am 6. Oktober 2018 als Verkäuferin im CBD-Laden von B._ anwesend. Anlässlich ihrer Einvernahme vom 11. Januar 2019 sagte sie u.a. aus, der Beschwerdeführer habe sieben Fläschchen Gelenkwohlöl hinter dem Tresen und aus der Vitrine genommen. Dabei habe er sie mit dem Arm zur Seite geschoben. Sie möge es nicht, wenn man sie berühre. Der Vorwurf, der Beschwerdeführer habe sie mit dem Arm zur Seite geschoben, begründet - selbst wenn dies nicht zutreffen sollte - offensichtlich keine schwere Persönlichkeitsverletzung.
Unbestritten ist, dass der Beschwerdeführer die sieben Fläschchen Gelenkwohlöl ohne diese zu bezahlen aus dem Ladenlokal von B._ mitnahm. Strittig sei einzig, ob C._ damit einverstanden war. Die Staatsanwaltschaft Rheinfelden-Laufenburg folgte der Version von C._, da sie den Beschwerdeführer mit Strafbefehl vom 19. Februar 2019 wegen Diebstahls schuldig sprach. Der Beschwerdeführer erhob gegen den Strafbefehl Einsprache (angefochtener Entscheid E. 3.3.2 S. 6). Sollte es doch noch zu einem Freispruch des Beschwerdeführers vom Vorwurf des Diebstahls kommen, kann dieser eine allfällige Entschädigung für wirtschaftliche Einbussen und eine Genugtuung für Verletzung seiner persönlichen Verhältnisse im Strafverfahren geltend machen (<ref-law>; Urteil 6B_425/2019 vom 16. Juli 2019 E. 4). Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, weshalb C._ ihm zu Schadenersatz oder Genugtuung verpflichtet sein könnte, dies obschon das Strafverfahren wegen Diebstahls nicht von ihr, sondern von B._ in Gang gesetzt wurde (vgl. angefochtener Entscheid E. 3.3.1 S. 5 f.).
5.
Auf die Beschwerde ist mangels Beschwerdelegitimation im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Oktober 2019
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Unseld