Sachverhalt:
A.
X._ nahm am 3. März 2016 an einer unbewilligten Demonstration in Basel teil. Die Polizei setzte gegen den Demonstrationszug Gummischrot ein, wobei X._ selber nicht getroffen wurde. Am 11. März 2016 gelangte sie an das Justiz- und Polizeidepartement des Kantons Basel-Stadt und verlangte eine Verfügung bzw. die Feststellung der Rechtswidrigkeit des Polizeieinsatzes vom 3. März 2016. Das Justiz- und Polizeidepartement teilte X._ am 21. März 2016 mit, dass ihr Gesuch als Strafanzeige behandelt und an die Staatsanwaltschaft zur Bearbeitung weitergeleitet werde. Diese stellte das Strafverfahren gegen mehrere Polizeiangehörige am 14. September 2017 ein und verwies die unbezifferte Zivilforderung auf den Zivilweg, nachdem sie die als Straf- und Zivilklägerin konstituierte X._ als Auskunftsperson befragt hatte. Auf die gegen die Einstellungsverfügung erhobene Beschwerde trat das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 1. Juni 2018 nicht ein.
B.
X._ führt Beschwerde in Strafsachen. Sie beantragt zusammengefasst, der Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt sei aufzuheben und das Appellationsgericht anzuweisen, auf die Beschwerde einzutreten. Zugleich beantragt sie, die Beschwerde als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln, sollte ihre Legitimation zur Beschwerde in Strafsachen verneint werden. Ferner ersucht X._ um unentgeltliche Rechtspflege.

Erwägungen:
1.
1.1. Zur Beschwerde in Strafsachen ist nach <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Die Privatklägerschaft ist zur Beschwerde in Strafsachen unter Vorbehalt gewisser Ausnahmen nur berechtigt, wenn sie im kantonalen Verfahren adhäsionsweise Zivilansprüche geltend gemacht hat und der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung dieser Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 1.2.3 S. 439). In erster Linie handelt es sich dabei um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.1 S. 4). Richtet sich die Beschwerde gegen die Einstellung des Strafverfahrens, muss die Privatklägerschaft ihre Zivilansprüche noch nicht zwingend geltend gemacht haben. Sie hat diesfalls grundsätzlich darzulegen, aus welchen Gründen sich die angefochtene Einstellung inwiefern auf welche Zivilforderungen auswirken kann (<ref-ruling> E. 1.1 S. 4 f.; <ref-ruling> E. 3 S. 88; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 248; je mit Hinweisen).
Nicht als Zivilansprüche im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG gelten solche, welche der Privatklägerschaft - wie hier - allenfalls aus Haftungsrecht gegen den Kanton zustehen. Sie können nicht adhäsionsweise im Strafverfahren beurteilt werden (BGE <ref-ruling> E. 3.1 S. 88; <ref-ruling> E. 1.2.4 S. 461 mit Hinweisen).
1.2. Die Privatklägerschaft kann mit Beschwerde in Strafsachen ungeachtet um die fehlende Legitimation in der Sache selbst eine Verletzung ihrer Parteirechte rügen, die ihr nach dem Verfahrensrecht, der Bundesverfassung oder der EMRK zustehen und deren Missachtung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft. Das nach <ref-law> erforderliche rechtlich geschützte Interesse ergibt sich in diesem Fall nicht aus einer Berechtigung in der Sache, sondern aus der Berechtigung, am Verfahren teilzunehmen (sog. "Star-Praxis"; <ref-ruling> E. 1.1 S. 5; <ref-ruling> E. 1.3 S. 80; <ref-ruling> E. 1.9 S. 40; je mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin hat ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids, nachdem die Vorinstanz auf ihre Beschwerde gegen die Einstellungsverfügung nicht eingetreten ist. Die von der Beschwerdeführerin erhobene Rüge der Verletzung von Parteirechten ist unbesehen ihrer Legitimation in der Sache selbst zulässig.
2.
Die Beschwerdeführerin macht zunächst eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör geltend.
2.1. Die Vorinstanz erwägt, dass die Beschwerdeführerin ihr Interesse, möglicherweise eine Staatshaftungsklage zu erheben, nicht innert der Beschwerdefrist, sondern erst wiedererwägungsweise kundgetan habe. Insoweit sei sie ihrer Pflicht zur Begründung der Beschwerde gemäss Art. 396 Abs. 1 und Art. 385 Abs. 1 lit. b StPO verspätet nachgekommen, weshalb darauf im Rahmen des Beschwerdeentscheids nicht eingetreten werden könne (Entscheid E. 4.4 S. 7). Dagegen bringt die Beschwerdeführerin vor, dass die Vorinstanz ihre Begründung der fehlenden Beschwerdelegitimation auf ein Urteil des Bundesgerichts stütze, das zum Zeitpunkt der Beschwerdeeingabe noch nicht ergangen sei. Indem keine Nachfrist zur Verbesserung der Begründung eingeräumt, ein Wiedererwägungsgesuch abgelehnt und ein erneutes Schreiben aus dem Recht gewiesen worden sei, habe die Vorinstanz gegen den Grundsatz des rechtlichen Gehörs und gegen das Gebot von Treu und Glauben verstossen. Im Vorgehen der Vorinstanz erblickt die Beschwerdeführerin ausserdem einen überspitzten Formalismus, eine formelle Rechtsverweigerung und eine Verletzung von <ref-law>.
2.2. Es trifft zu, dass die Vorinstanz formell nicht auf die nach Abschluss des Schriftenwechsels zur Beschwerdelegitimation vorgetragenen Argumente der Beschwerdeführerin eingetreten ist. Indem sie sich im Sinne einer Doppelbegründung allerdings gleichwohl hinreichend mit den nachträglichen Vorbringen auseinandersetzt und eine Beschwerdelegitimation selbst unter Berücksichtigung der in Aussicht gestellten Staatshaftungsklage verneint, erwächst der Beschwerdeführerin im Ergebnis kein Rechtsnachteil. Ihr fehlt es folglich in diesem Punkt an einem rechtlich geschützten Interesse (<ref-law>), weshalb diesbezüglich nicht auf die Beschwerde einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang braucht nicht beantwortet zu werden, ob die Vorinstanz der Beschwerdeführerin zu Recht keine Nachfrist im Sinne von <ref-law> angesetzt hat.
3.
Die unter dem Titel "willkürliche Sachverhaltsfeststellungen" vorgetragenen Rügen, namentlich jene zur Betroffenheit, richten sich im Wesentlichen gegen rechtliche Überlegungen der Vorinstanz und nicht gegen deren Sachverhaltsfeststellung. Soweit die Beschwerdeführerin in tatsächlicher Hinsicht davon ausgeht, dass die Polizei ohne für die Demonstranten wahrnehmbare Warnung Gummischrot eingesetzt habe, stellt sie den vorinstanzlichen Feststellungen (vorgängige Warnung der Polizei durch Megaphon) lediglich ihre eigene Sicht der Dinge gegenüber. Damit kann keine Willkür belegt werden (vgl. zu den Begründungsanforderungen einer Beschwerde ans Bundesgericht Art. 42 Abs. 2 bzw. <ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 S. 53; <ref-ruling> E. 6.3 S. 375; je mit Hinweisen).
4.
Die Beschwerdeführerin rügt weiter eine Verletzung von Art. 6 Abs. 1 und Art. 382 StPO. Sie habe als Partei ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Abänderung des Einstellungsentscheids. Sie sei durch ein etwaiges strafbares Verhalten der Polizei beim fraglichen Mitteleinsatz (Gummischrot) in ihren unmittelbaren Rechten auf Versammlungsfreiheit, Bewegungsfreiheit und Meinungsäusserungsfreiheit unbestreitbar direkt verletzt worden, auch wenn sie keinen Treffer abbekommen habe. Es obliege angesichts des Untersuchungsgrundsatzes nicht ihr, sondern der Behörde, den Sachverhalt inklusive verfahrensrechtliche Regelungen abzuklären.
4.1. Die Legitimation zur Aufhebung oder Änderung einer Einstellungsverfügung der Staatsanwaltschaft setzt gemäss <ref-law> ein rechtlich geschütztes Interesse voraus. Die Privatklägerschaft kann, unabhängig von der Geltendmachung von Zivilansprüchen, unter anderem Nichtanhandnahmen und Einstellungen mit Beschwerde anfechten (<ref-ruling> E. 2.5 S. 235 f. mit Hinweisen). Ein Schaden ist hierfür nicht erforderlich. Es genügt, dass die Privatklägerschaft geschädigt, d.h. durch die Straftat unmittelbar in ihren Rechten verletzt worden ist (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3.3.3 f. S. 81 f.).
Nach der Rechtsprechung geht die Umschreibung der unmittelbaren Verletzung in eigenen Rechten vom Begriff des Rechtsguts aus. Unmittelbar verletzt und damit Geschädigter im Sinne von <ref-law> ist, wer Träger des durch die verletzte Strafnorm geschützten oder zumindest mitgeschützten Rechtsguts ist (<ref-ruling> E. 2.2 S. 78 mit Hinweisen). Bei Strafnormen, die nicht primär Individualrechtsgüter schützen, gelten praxisgemäss nur diejenigen Personen als Geschädigte, die durch die darin umschriebenen Tatumstände in ihren Rechten beeinträchtigt werden, sofern diese Beeinträchtigung unmittelbare Folge der tatbestandsmässigen Handlung ist (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 457 mit Hinweisen). Im Allgemeinen genügt es, wenn das von der geschädigten Person angerufene Individualrechtsgut durch den verletzten Straftatbestand auch nur nachrangig oder als Nebenzweck geschützt wird, selbst wenn der Tatbestand in erster Linie dem Schutz von kollektiven Rechtsgütern dient. Werden indes durch Delikte, die nur öffentliche Interessen verletzen, private Interessen bloss mittelbar beeinträchtigt, ist der Betroffene nicht Geschädigter im Sinne des Strafprozessrechts (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 457; <ref-ruling> E. 3.2 S. 158; <ref-ruling> E. 2.3 S. 263; je mit Hinweisen).
4.2. Amtsmissbrauch ist der zweckentfremdete Einsatz staatlicher Macht. <ref-law> schützt einerseits das Interesse des Staates an zuverlässigen Beamten, welche mit der ihnen anvertrauten Machtposition pflichtbewusst umgehen, und andererseits das Interesse der Bürger, nicht unkontrollierter und willkürlicher staatlicher Machtentfaltung ausgesetzt zu werden (<ref-ruling> E. 1b S. 212; Urteil 6B_297/2018 vom 6. September 2018 E. 4.6.1; Urteil 6B_1318/2017 vom 9. Februar 2018 E. 7.2.3 mit Hinweisen). <ref-law> schützt damit sowohl individuelle als auch kollektive Interessen. Es gilt allerdings zu berücksichtigen, dass der Tatbestand inhaltlich weit formuliert ist und dementsprechend auf vielfältige Weise begangen werden kann. Daher hat die betroffene Person, die aus <ref-law> Rechte abzuleiten gedenkt, exakt darzulegen, inwieweit die behauptete amtliche Handlung ihre privaten Interessen verletzt (Urteil 6B_1318/2017 vom 9. Februar 2018 E. 7.3 mit Hinweisen).
4.3. Kundgebungen auf öffentlichem Grund stehen unter dem Schutz der Meinungs- und Versammlungsfreiheit (Art. 16 und Art. 22 BV; <ref-ruling> E. 3 S. 258 f. mit Hinweis). Es besteht grundsätzlich aber nur ein bedingter Anspruch, öffentlichen Grund für Kundgebungen mit Appellwirkung an die Öffentlichkeit zu benützen (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 282 f.). Die Vorinstanz hält unter Hinweis auf die kantonale Gesetzgebung fest, es sei allgemein bekannt, dass Demonstrationen einer Bewilligungspflicht unterliegen würden (§ 10 des Gesetzes [des Kantons Basel-Stadt] über die Nutzung des öffentlichen Raumes vom 16. Oktober 2013 [NöRG; SG 724.100]; § 14 der Strassenverkehrsverordnung [des Kantons Basel-Stadt] vom 17. Mai 2011 [StVO; SG 952.200]). Davon musste auch die Beschwerdeführerin ausgehen. Gemäss den verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz soll die Polizei zunächst per Megaphon auf die Tatsache der fehlenden Bewilligung aufmerksam gemacht und die Teilnehmenden gewarnt haben. Um den Demonstrationszug zu lenken, seien jeweils Polizeiketten gebildet worden. Erst danach habe die Polizei Gummischrot eingesetzt. Vor dem Mitteleinsatz hätten sich die Demonstranten jeweils den Einsatzkräften genähert oder gegen sie Flaschen geworfen. Überdies hätten sie Matratzen getragen, die als Schutzvorrichtung gegen die Polizei gedient hätten (Entscheid E. 1 f. S. 2 ff.). Die Beschwerdeführerin habe sich am Wettsteinplatz der unbewilligten Demonstration angeschlossen, wobei sie bereits zu Beginn Geschosse gehört habe (Entscheid E. 4.2 S. 6). Der Vorinstanz kann gefolgt werden, wenn sie davon ausgeht, die Beschwerdeführerin habe unter diesen Umständen annehmen müssen, dass die Kundgebung zu einer Konfrontation mit der Polizei führe (Entscheid E. 4.3 S. 7). Die von der Beschwerdeführerin angerufenen Grundrechte umfassen hingegen nur friedliche Versammlungen und Meinungsäusserungen (<ref-ruling> E. 3d S. 173 f.). Der Eingriff in die Bewegungsfreiheit durch die demonstrationsbedingten Absperrungsmassnahmen, namentlich die Zutrittsverwehrung nach Grossbasel, war zudem nicht besonders einschneidend. Insgesamt ist nicht ersichtlich, inwiefern private Interessen der Beschwerdeführerin verletzt wurden. Sie gilt daher nicht als Geschädigte im Sinne von <ref-law>. Die Vorinstanz hat kein Bundesrecht verletzt, indem sie mangels Legitimation der Beschwerdeführerin nicht auf deren Beschwerde eingetreten ist.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Beschwerdeführerin wird ausgangsgemäss kostenpflichtig (<ref-law>). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann zufolge Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels nicht entsprochen werden (<ref-law>). Der finanziellen Lage ist mit herabgesetzten Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. November 2018
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Reut