Fatti:
A.
Il 26 marzo 2016 il Gran Consiglio del Cantone Ticino ha decretato l'aggregazione dei Comuni di Bellinzona, Camorino, Claro, Giubiasco, Gnosca, Gudo, Moleno, Monte Carasso, Pianezzo, Preonzo, Sant'Antonino e Sementina in un nuovo Comune denominato Bellinzona a far tempo dalla costituzione del Municipio. Il 2 aprile 2017 ha avuto luogo la prima elezione del nuovo Municipio, il nuovo Regolamento comunale è entrato in vigore il 28 giugno 2018.
Il 5 ottobre 2017 il Municipio di Bellinzona ha indetto un pubblico concorso per l'aggiudicazione del contratto di assicurazione obbligatoria contro gli infortuni secondo la LAINF. Fra i criteri di idoneità specifici figurava il seguente punto: "I concorrenti devono rispettare le condizioni poste dalla Legge federale sulla sorveglianza degli assicuratori (LSA) : a tale scopo deve essere allegata la dichiarazione ad esercitare rilasciata dall'Autorità federale di vigilanza sui mercati finanziari (FINMA) ". Entro il termine perentorio del 10 novembre 2017 sono pervenute al Comune sei offerte. Il 17 novembre 2017 il Municipio di Bellinzona ha aggiudicato la commessa all'Istituto nazionale svizzero di assicurazione contro gli infortuni (INSAI).
B.
Adito su ricorso dell'AXA Assicurazioni SA (di seguito: l'AXA), il Tribunale amministrativo del Cantone Ticino con giudizio del 22 marzo 2018 ha annullato la decisione municipale e aggiudicato la commessa ad AXA.
C.
L'INSAI presenta un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale con cui chiede di annullare i dispositivi n. 1.2, 2 e 3 del giudizio impugnato (causa 8C_453/2018).
Il Comune di Bellinzona inoltra un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, in via subordinata un ricorso sussidiario in materia costituzionale, concludendo all'annullamento dei dispositivi n. 1.2 e 3 del giudizio cantonale e alla conferma della decisione municipale del 17 novembre 2017 (causa 8C_455/2018).
Entrambi i ricorrenti postulano la concessione dell'effetto sospensivo al ricorso.
Mentre in entrambe le cause l'AXA chiede che il ricorso sia respinto, nella misura della sua ammissibilità, l'Ufficio federale della salute pubblica rinuncia a presentare osservazioni. I ricorrenti concludono per l'accoglimento del rispettivo ricorso parallelo. L'AXA ha persistito in replica nelle sue richieste.
D.
Con decreto del 4 giugno 2018 il Tribunale federale ha concesso l'effetto sospensivo al ricorso.

Diritto:
1.
Entrambi i ricorsi riguardano la medesima fattispecie, pongono questioni giuridiche analoghe e riguardano la medesima decisione impugnata. Si giustifica quindi di congiungere le due cause e decidere la controversia in un'unica sentenza (<ref-ruling> consid. 1 pag. 217; <ref-ruling> consid. 1 pag. 126 con riferimenti).
2.
Il Tribunale federale esamina liberamente, con piena cognizione e senza essere vincolato dalle motivazioni delle parti, la sua competenza (<ref-law>) e l'ammissibilità del rimedio esperito (<ref-ruling> consid. 1 pag. 116).
2.1. Impugnata in sede federale è una decisione finale cantonale di ultima istanza emessa dal Tribunale amministrativo del Cantone Ticino il 22 marzo 2018 e non impugnabile al Tribunale amministrativo federale. La Corte cantonale ha accolto un ricorso dell'AXA contro una decisione del Municipio di Bellinzona con la quale era stata concessa all'INSAI la commessa relativa all'assicurazione dei propri dipendenti secondo la LAINF ed ha aggiudicato la commessa all'AXA.
2.2. Il giudizio cantonale è stato emesso in applicazione della legislazione cantonale sugli appalti pubblici. I ricorrenti fanno valere tra l'altro che la Corte cantonale avrebbe a torto applicato le normative sugli appalti pubblici invece della legislazione sull'assicurazione contro gli infortuni. Nella misura in cui si considera il giudizio impugnato come una decisione in materia di assicurazione contro gli infortuni, l'esclusione dell'<ref-law> non trova applicazione. Se per contro lo si considera come una decisione in materia di acquisti pubblici a norma dell'art. 83 lett. f LTF, il ricorso in materia di diritto pubblico è ammissibile soltanto se il valore stimato della commessa raggiunge la soglia determinante secondo la legge federale del 16 dicembre 1994 sugli acquisti pubblici (LAPub; SR 172.056.1) o secondo l'Accordo del 21 giugno 1999 tra la Confederazione Svizzera e la Comunità europea su alcuni aspetti relativi agli appalti pubblici (di seguito: accordo su alcuni aspetti; RS 0.172.052.68; art. 83 lett. f numero 1 LTF) e se si pone una questione di diritto d'importanza fondamentale (art. 83 lett. f numero 2 LTF). Entrambe le condizioni devono essere soddisfatte cumulativamente (<ref-ruling> consid. 1.2 pag. 20 seg.; <ref-ruling> consid. 2.1 pag. 398).
2.3. La condizione dell'art. 83 lett. f numero 1 LTF è pacificamente adempiuta: il valore soglia ammonta per i servizi a fr. 230'000.- (<ref-law> in combinazione con l'art. 1 lett. b dell'ordinanza del DEFR del 23 novembre 2015 sull'adeguamento dei valori soglia degli acquisti pubblici per gli anni 2016 e 2017 [RU 2015 4743] e del 22 novembre 2017 per gli anni 2018 e 2019 [RS 172.056.12]). Con un premio annuale di almeno fr. 578'226.- la soglia è chiaramente superata.
2.4. Per quanto attiene alla questione di diritto di importanza fondamentale secondo l'art. 83 lett. f numero 2 LTF, essa deve toccare l'ambito degli acquisti pubblici (<ref-ruling> consid. 1.3 pag. 195). L'applicazione di principi giurisprudenziali a un caso concreto non configura ancora una questione di importanza fondamentale. La circostanza che una domanda non sia ancora stata decisa dal Tribunale federale non è sufficiente. Si deve trattare di una questione di diritto, che deve essere particolarmente importante per la prassi e che necessita una chiarificazione del Tribunale federale, autorità giudiziaria suprema investita del compito di sviluppare un'interpretazione uniforme del diritto federale (<ref-ruling> consid. 1.3 pag. 180; <ref-ruling> consid. 1.4.1 pag. 118 seg.). La parte ricorrente che si prevale della natura fondamentale della questione sollevata deve esporre perché ciò sia il caso (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2.2.1 pag. 21).
I ricorrenti sostengono che l'esercizio del diritto di opzione secondo l'<ref-law> in combinazione con l'<ref-law> non possa essere abrogato dal diritto cantonale sulle commesse pubbliche. Si pone quindi la questione se un Comune, il cui ammontare dei premi supera il valore soglia per servizi, sia tenuto ad indire un pubblico concorso per la polizza assicurativa secondo la LAINF dei propri dipendenti. Tale domanda non riguarda soltanto il caso in esame, bensì potenzialmente tutte le nuove entità comunali che potrebbero essere costituite in futuro. Si tratta quindi di una questione giuridica d'importanza fondamentale e dalla rilevante portata pratica. Il ricorso in materia di diritto pubblico è pertanto proponibile.
2.5. A norma dell'<ref-law> ha diritto di interporre ricorso in materia di diritto pubblico chi ha partecipato al procedimento dinanzi all'autorità inferiore o è stato privato della possibilità di farlo (lett. a), è particolarmente toccato dalla decisione o dall'atto normativo impugnati (lett. b) e ha un interesse degno di protezione all'annullamento o alla modifica degli stessi (lett. c).
2.5.1. La legittimazione dell'INSAI, che si è vista revocare l'aggiudicazione della commessa dalla Corte cantonale, è pacifica. Se ne conclude che occorre entrare nel merito del ricorso.
2.5.2. L'<ref-law> si indirizza in primo luogo ai privati. Secondo la giurisprudenza del Tribunale federale Enti o corporazioni di diritto pubblico possono fondarvisi solo se sono colpiti dall'atto impugnato analogamente a un singolo cittadino privato. La prassi riconosce la legittimazione dell'Ente pubblico, quando esso è toccato dall'atto impugnato in interessi di pubblico imperio degni di una protezione specifica (<ref-ruling> consid. 2.3 pag. 166 seg.; <ref-ruling> consid. 1.1 e 1.2 pag. 92 seg.; <ref-ruling> consid. 2.2.1 pag. 47; sulla situazione legale precedente cfr. sentenza A.919/1984 del 29 ottobre 1986 consid. 2, non pubblicato in <ref-ruling> [diritto di ricorso in generale per un Comune come committente di un'opera pubblica]; sulla continuazione della prassi precedente cfr. <ref-ruling> consid. 2.4.2 pag. 406 seg. e <ref-ruling> consid. 2 pag. 95).
Il giudizio impugnato aggiudica la commessa relativa alla copertura assicurativa contro gli infortuni a un altro assicuratore, rispetto a quello scelto dal Comune. Questa circostanza tocca il ricorrente quale detentore del pubblico imperio in maniera considerevole (cfr. sentenza 2C_1021/2016 del 18 luglio 2017 consid. 2.2, non pubblicato in <ref-ruling>). Il Comune può fondarsi per ricorrere alla clausola generale di cui all'<ref-law> (cfr. <ref-ruling> consid. 1.3.2 pag. 149). Esso si richiama altresì all'autonomia comunale, che di principio si estende anche all'ambito delle commesse pubbliche (<ref-ruling> consid. 1.2 pag. 291). La legittimazione a ricorrere del Comune di Bellinzona è data anche dall'art. 89 cpv. 2 lett. c LTF. Occorre entrare nel merito anche del ricorso del Comune.
2.5.3. Posto che il ricorso del Comune può essere tratto come ricorso in materia di diritto pubblico, il ricorso sussidiario in materia costituzionale (art. 113 segg. LTF) presentato in via subordinata deve essere dichiarato inammissibile (sentenza 8C_440/2017 del 25 giugno 2018 consid. 2, non pubblicato in <ref-ruling>, ma in SVR 2018 IV n. 67 pag. 213 segg.).
3.
Il ricorso in materia di diritto pubblico (<ref-law>) può essere presentato per violazione del diritto, conformemente a quanto stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Pur applicando d'ufficio il diritto (<ref-law>), tenuto conto dell'esigenza di motivazione posta dall'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, il Tribunale federale esamina solamente le censure sollevate (<ref-ruling> consid. 2.2 pag. 550), mentre non è tenuto a vagliare, come lo farebbe un'autorità di prima istanza, tutte le questioni giuridiche che si pongono, se queste ultime non sono (più) presentate in sede federale (<ref-ruling> consid. 2.2.1 pag. 389; <ref-ruling> consid. 1.4.1 pag. 254).
4.
4.1. A norma dell'<ref-law> l'assicurazione contro gli infortuni è gestita, secondo le categorie d'assicurati, dall'INSAI o da altri assicuratori autorizzati e dalla cassa suppletiva da loro amministrata. Sono assicurati d'obbligo presso l'INSAI i lavoratori delle aziende e amministrazioni elencate all'<ref-law>. Le persone, la cui assicurazione esula dalla competenza dell'INSAI, devono a norma dell'<ref-law> essere assicurate contro gli infortuni da: imprese di assicurazione private sottoposte alla legge del 17 dicembre 2004 sulla sorveglianza degli assicuratori (LSA; lett. a), casse pubbliche d'assicurazione contro gli infortuni (lett. b) o da casse malati ai sensi della legge federale del 18 marzo 1994 sull'assicurazione malattie (lett. c). Gli assicuratori che intendono partecipare alla gestione dell'assicurazione obbligatoria contro gli infortuni devono in applicazione dell'<ref-law> iscriversi in un registro tenuto dall'Ufficio federale della sanità pubblica. Questo registro è pubblico.
4.2. Il rapporto assicurativo con l'INSAI è fondato sulla legge per quanto concerne l'assicurazione obbligatoria (<ref-law>). Il rapporto assicurativo con gli altri assicuratori è fondato sul contratto tra il datore di lavoro, od i lavoratori indipendenti, e l'assicuratore oppure sull'appartenenza ad una cassa in virtù del rapporto di lavoro (<ref-law>).
4.3. Cantoni, Distretti, Circoli, Comuni ed altre corporazioni di diritto pubblico possono scegliere secondo l'<ref-law> entro un termine fissato dal Consiglio federale, per il loro personale non già assicurato all'INSAI in virtù dell'art. 66 lett. q LAINF, tra l'INSAI e un assicuratore ai sensi dell'<ref-law>. In virtù dell'<ref-law> le amministrazioni e le aziende formanti un'entità unica sono assicurate presso lo stesso assicuratore.
4.4. Nuove entità uniche amministrative e aziendali, che tengono una contabilità propria per la prima volta, segnatamente a seguito di creazioni o ristrutturazioni di unità esistenti, devono scegliere l'assicuratore secondo l'<ref-law> (RS 832.202) al più tardi un mese prima di entrare in attività. Ai rappresentanti dei lavoratori va accordato un diritto di partecipazione alla scelta. Se l'entità non ha optato tempestivamente, i suoi dipendenti sono assicurati dallʼINSAI. Le amministrazioni pubbliche esercitano a norma dell'<ref-law> il diritto di scelta presentando all'assicuratore designato una proposta scritta d'assicurazione indicante le entità da affiliare.
5.
5.1. Il Tribunale cantonale amministrativo ha aggiudicato all'AXA la commessa della copertura dell'assicurazione contro gli infortuni secondo la LAINF per quei dipendenti del nuovo Comune di Bellinzona che non sono già assicurati all'INSAI a norma dell'art. 66 lett. q LAINF. I ricorrenti rilevano innanzitutto che il nuovo Comune di Bellinzona non ha esercitato tempestivamente il proprio diritto di opzione secondo l'<ref-law> combinato con l'<ref-law>, perciò i dipendenti toccati sarebbero assicurati per legge presso l'INSAI già a norma dell'art. 98 cpv. 2 terza frase OAINF.
5.2. L'aggregazione dei precedenti Comuni è stata decretata dal Gran Consiglio del Cantone Ticino con decreto legislativo del 21 marzo 2016. A norma dell'art. 1 del decreto è stato creato a tutti gli effetti un nuovo Comune denominato Bellinzona. La fusione non è stata svolta nel senso che i precedenti enti siano stati assorbiti dal vecchio Comune di Bellinzona. In tali circostanze, è pacifico quindi che il nuovo Comune disponeva secondo l'<ref-law> combinato con l'<ref-law> di un nuovo diritto di opzione per scegliere se l'INSAI o un assicuratore secondo l'<ref-law> avrebbe dovuto assumersi la copertura contro gli infortuni secondo la LAINF. Il nuovo Comune di Bellinzona quindi non è legato alla scelta operata dal precedente Comune di Bellinzona al momento dell'entrata in vigore della LAINF.
5.3. Secondo l'<ref-law> la scelta deve essere adottata al più tardi un mese prima di entrare in attività. Secondo l'art. 1 del decreto legislativo del 21 marzo 2016 l'aggregazione è stata resa effettiva al momento della costituzione del nuovo Municipio. A norma dell'art. 12 cpv. 1 della legge ticinese del 16 dicembre 2003 sulle aggregazioni e separazioni dei Comuni il nuovo Municipio entra immediatamente in carica dopo le elezioni. Le elezioni hanno avuto luogo il 2 aprile 2017. Il Municipio si è costituito nella settimana seguente dell'elezione. Bisogna concluderne che il nuovo Comune di Bellinzona è entrato pertanto in attività nel senso dell'<ref-law> già nel mese di aprile 2017. Il bando di concorso del 5 ottobre 2017 per i contratti di assicurazione contro gli infortuni come anche l'aggiudicazione del 17 novembre 2017 sono avvenuti in un momento in cui il termine dell'<ref-law> era da tempo spirato infruttuoso. Nulla muta alla circostanza che il nuovo regolamento organico comunale sia entrato in vigore il 28 giugno 2018. Contrariamente all'opinione dell'opponente non ha altresì alcuna pertinenza il fatto che secondo l'art. 11 del decreto legislativo del 21 marzo 2016 ai fini fiscali l'aggregazione avrebbe esplicato i suoi effetti a partire dal 1° gennaio successivo all'entrata in funzione del nuovo Comune, ossia il 1° gennaio 2018. Ad ogni modo, pur ipotizzando di fissare il momento determinante al 1° gennaio 2018, il termine dell'<ref-law> non sarebbe stato rispettato, poiché il Municipio di Bellinzona (o comunque l'amministrazione comunale per delega) non avrebbe esercitato il diritto di scelta, presentando un mese prima della scadenza del termine all'opponente una proposta scritta d'assicurazione (cfr. <ref-law>).
6.
6.1. Secondo la lettera dell'<ref-law> un nuovo Comune costituito tramite aggregazione deve presentare al più tardi entro un mese prima di entrare in attività all'assicuratore scelto una proposta scritta d'assicurazione che comprenda le nuove entità amministrative e aziendali. Secondo la giurisprudenza del Tribunale federale tali disposizioni di ordinanza sono conformi con la LAINF (<ref-ruling> consid. 5 pag. 225 seg.). Anche la nuova versione redazionale della normativa in vigore dal 1° gennaio 2017 non ha cambiato niente ed è irrilevante ai fini del giudizio. Non si può però ignorare che l'<ref-law> rende più difficile o di fatto quasi impedisce lo svolgimento di una corretta procedura di appalto pubblico. La conformità della disposizione di ordinanza con il diritto federale superiore sarebbe altresì problematica, se il nuovo Comune dovesse essere tenuto proprio per diritto federale ad attribuire il contratto di assicurazione contro gli infortuni secondo la LAINF dei dipendenti, facendo capo a una procedura di appalto pubblico. Tale aspetto deve essere esaminato di seguito.
6.2. A norma dell'art. 5 cpv. 1 prima frase della legge federale del 6 ottobre 1995 sul mercato interno (LMI; RS 943.02) i mercati pubblici dei Cantoni, dei Comuni e degli altri Enti preposti a compiti cantonali o comunali sono retti dal diritto cantonale o intercantonale. Tali Enti devono tenere conto degli obblighi internazionali della Confederazione (cfr. <ref-law>). Il Cantone Ticino fa parte del Concordato intercantonale sugli appalti pubblici del 15 marzo 2001 (CIAP). Il campo di applicazione di questo concordato va oltre gli obblighi internazionali, che la Svizzera ha sottoscritto. Benché le convenzioni internazionali si estendano solo alle opere edili, alle forniture e alle prestazioni di servizio definiti da tali trattati, il CIAP comprende tutti i tipi di commesse pubbliche (cfr. sentenza 2C_1014/2015 del 21 luglio 2016 consid. 2.2).
6.3. Giusta l'<ref-law> il diritto federale prevale su quello cantonale contrario. Questo vale anche per il diritto scaturente da concordati intercantonali, i quali per questo disposto costituzionale valgono come diritto cantonale (<ref-ruling> consid. 9.3 pag. 460). Nella misura in cui ci fosse un conflitto tra l'<ref-law> e il diritto cantonale o intercantonale, la disposizione di OAINF prevalerebbe. Una violazione del diritto superiore da parte dell'ordinanza può unicamente sussistere nel caso concreto, se tale disposizione va ad aggirare gli obblighi convenzionalmente sottoscritti dalla Svizzera, ma non nel caso di conflitto tra OAINF e CIAP.
6.4. Secondo l'art. I dell'Accordo del 15 aprile 1994 sugli appalti pubblici (AAP; RS 0.632.231.422) lo stesso si applica tra l'altro agli appalti conclusi tra le entità, come sono specificate nell'Appendice I, che sottostanno all'Accordo. In applicazione dell'art. 2 cifra 1 dell'Accordo su alcuni aspetti pubblici è stato introdotto nell'allegato 2 dell'Appendice I AAP nell' "Elenco degli enti" dopo il punto 2 un nuovo punto 3 ("Le autorità e gli organismi pubblici a livello di distretti e di comuni"). Il nuovo Comune di Bellinzona è tenuto quindi di principio per diritto federale a osservare le prescrizioni dell'AAP per le commesse di servizi.
6.5.
6.5.1. Il concetto di "servizio" secondo l'AAP e l'Accordo su alcuni aspetti è definito in maniera più precisa nell'Appendice 4 dell'Allegato I all'AAP e nell'Allegato 6 dell'Accordo su alcuni aspetti. Entrambi gli allegati presentano una lista positiva di servizi che sono compresi dagli accordi. Le singole iscrizioni sono codificate secondo la Classification Centrale de Produits (CPC) stilata dall'ONU. La CPC è un sistema di categorie, che comprende sia beni sia servizi, che formano un tutt'uno esaustivo, escludendosi mutualmente (cfr. cifra 21 dell'Introduzione CPC). Se un oggetto non rientra in una categoria di beni, esso deve necessariamente rientrare in un'altra categoria della CPC, poiché tutto ciò che è suscettibile di dare luogo a una transazione è coperto dalla CPC (cfr. cifra 29 dell'Introduzione CPC).
6.5.2. In entrambe le liste positive sono elencati i servizi assicurativi ("services d'assurances"; CPC 812 e 814), ma non i servizi di sicurezza sociale obbligatoria ("services de sécurité sociale obligatoire"; CPC 913; cfr. anche ROLF KUHN, Der Einfluss des Vergaberechts auf den Wechsel der Vorsorgeeinrichtung, Jusletter 12 giugno 2017 n. 27). Sottoclassificazione ("sous-classe") della CPC 812 è la CPC 81291 di servizi di assicurazione contro gli infortuni e assicurazione malattia ("services d'assurance-accident et d'assurance-maladie"). Per contro, le sottoclassificazioni prestazioni di malattia, di maternità o d'invalidità temporanea (CPC 9131; "prestations de maladie, de maternité ou d'invalidité temporaire") e regimi di pensioni dei funzionari, prestazioni di vecchiaia, prestazioni di invalidità e prestazioni di reversibilità, salvo in quanto attengano ai funzionari (CPC 9132; "régimes de pension des fonctionnaires; allocation de vieillesse, prestation d'invalidité et prestation de réversion, sauf en ce qui concerne les fonctionnaires") sono attribuite alla classificazione CPC 913.
6.5.3. L'assicurazione obbligatoria contro gli infortuni è un ramo del sistema di sicurezza sociale obbligatoria in Svizzera (cfr. anche Frésard/Moser-Szeless, L'assurance-accidents obligatoire, in Soziale Sicherheit, SBVR vol. XIV, 3aed. 2016, pag. 903 n. 20); conseguentemente trova applicazione nelle relazioni europee anche una disposizione di coordinamento della sicurezza sociale (cfr. <ref-law>). Questo vale anche, quando la polizza assicurativa è tenuta da un assicuratore secondo l'<ref-law>: la competenza dell'assicuratore secondo l'<ref-law> si costituisce con la sottoscrizione di un contratto di diritto amministrativo (sentenza 8C_809/2011 del 12 dicembre 2012 consid. 5.2). L'assicuratore scelto dall'Ente pubblico è peraltro autorizzato di agire nei confronti delle persone assicurate mediante lo strumento della decisione formale e pertanto con un atto di imperio. Per prassi invalsa un assicuratore secondo l'<ref-law> è considerato un'autorità nel senso dell'art. 1 cpv. 1 lett. e PA (cfr. <ref-ruling> consid. 4.2 pag. 171 seg.). Coerentemente accanto all'INSAI non ogni assicuratore privato è autorizzato ad offrire ai Comuni tali contratti, ma soltanto coloro che sono iscritti al registro degli assicuratori autorizzati a esercitare l'assicurazione obbligatoria contro gli infortuni (cfr. <ref-law> e <ref-law>). Quindi i servizi offerti sia dall'INSAI sia dagli assicuratori secondo l'<ref-law> devono essere classificati nel gruppo 913 CPC. Una classificazione contemporanea nel gruppo 812 CPC è esclusa (cfr. consid. 6.5.1). A tal proposito è irrilevante il fatto che le assicurazioni contro gli infortuni non obbligatorie e private siano inserite nella sottoclasse 81291 CPC (e conseguentemente nel gruppo 812). La scelta dell'assicuratore obbligatorio contro gli infortuni non cade quindi nel campo di applicazione dei trattati internazionali (cfr. anche MARTIN BEYELER, Der Geltungsanspruch des Vergaberechts, 2012, n. 1079; DENIS ESSEIVA, Les marchés publics d'assurance, in Le droit en mouvement, Numéro spécial, Revue fribourgeoise de jurisprudence [RFJ] 2002 pag. 251 segg., pag. 253 seg.). Non esiste pertanto alcun obbligo prescritto dal diritto federale per i Comuni, di dover indire una commessa pubblica prima di decidere a chi attribuire il mandato fra gli assicuratori autorizzati.
6.6. Nella misura in cui l'<ref-law> rende difficoltoso o di fatto impedisce lo svolgimento di una corretta procedura di commessa pubblica, al Tribunale federale non rimane alcun margine di intervento; non è infatti ravvisabile nessuna incompatibilità tra l'OAINF e il diritto federale superiore. Questo non cambia niente al fatto che i Comuni secondo il diritto cantonale o le normative proprie possano indire un appalto pubblico, fintanto che possano rispettare nel caso concreto le prescrizioni dell'<ref-law> (cfr. per analogia sentenza 2P.97/2005 del 28 giugno 2006; per il resto sull'applicabilità del diritto delle commesse pubbliche a contratti misti, ove si ha per oggetto non solo le assicurazioni sociali obbligatorie, ma anche facoltative e/o coperture private: DENIS ESSEIVA, loc. cit.). Nella misura in cui potesse essere auspicabile facilitare i Comuni nello svolgimento della procedura di commessa pubblica (cfr. MARTIN BEYELER, loc. cit.), spetterebbe al Consiglio federale adeguare se del caso l'<ref-law>.
7.
Posto che l'<ref-law> non collide con il diritto federale superiore e che il termine previsto nella normativa è spirato, senza che il Comune di Bellinzona abbia esercitato validamente l'opzione per un altro assicuratore contro gli infortuni, i dipendenti comunali sono assicurati per legge all'INSAI. A ciò nulla muta che nel momento in cui il termine era già spirato da tempo il Municipio di Bellinzona abbia ancora messo a concorso pubblico il contratto di assicurazione. La procedura non si sarebbe più dovuta svolgere del tutto. In quel momento, il comportamento del Municipio di Bellinzona non poteva più cambiare alcunché nei confronti dell'assicurazione contro gli infortuni prevista dalla legge esercitata tramite l'INSAI. Ne segue che i ricorsi devono essere accolti nel senso che il giudizio cantonale e la decisione municipale di aggiudicazione sono annullati.
8.
Le spese giudiziarie della procedura federale seguono la soccombenza e sono poste a carico dell'opponente (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso sussidiario in materia costituzionale presentato nella causa 8C_455/2018 è inammissibile.
2.
I ricorsi in materia di diritto pubblico sono accolti. Il giudizio del Tribunale cantonale amministrativo del 22 marzo 2018 e la decisione del Municipio di Bellinzona del 17 novembre 2017 sono annullati.
3.
Le spese giudiziarie di fr. 3'000.- sono poste a carico di AXA Assicurazioni SA.
4.
La causa è rinviata al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino per nuova decisione sulle spese giudiziarie e sulle spese ripetibili della sede cantonale.
5.
Comunicazione alle parti, al Dipartimento del territorio del Cantone Ticino, Ufficio vigilanza commesse pubbliche, al Tribunale cantonale amministrativo e all'Ufficio federale della sanità pubblica.