Sachverhalt:
A.
Der 1985 geborene A._, algerischer Staatsangehöriger, reiste am 15. Juni 2003 in die Schweiz ein und stellte am 18. Juni 2003 ein Asylgesuch. Mit Entscheid vom 25. September 2003 wurde er mit sofortiger Wirkung aus der Schweiz weggewiesen. Er hielt sich weiter hin in der Schweiz auf.
Mit Verfügung vom 4. Oktober 2017 ordnete das Migrationsamt des Kantons Zürich (nachfolgend: Migrationsamt) gegen A._ eine Eingrenzung im Sinn von <ref-law> (SR 142.20; bis 31. Dezember 2018: AuG) auf das Gebiet der Gemeinde U._, V._ bzw. W._ an, je nachdem welcher Unterkunft er durch die zuständige Behörde zugewiesen werde. Eine Eingrenzung von A._ auf die Gemeinde W._ war bereits mit Ver fügung vom 9. Juni 2016 angeordnet worden (<ref-law>).
Eine gegen die Verfügung des Migrationsamtes vom 4. Oktober 2017 erhobene Beschwerde wies das Zwangsmassnahmengericht des Bezirksgerichts Zürich am 15. Dezember 2017 ab (<ref-law>).
Mit Urteil vom 5. April 2018 hob das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, die Eingrenzung teilweise auf und liess allein die Eingrenzung auf die Gemeinde W._ bestehen.
B.
B.a. Mit Eingabe vom 20. März 2019 gelangte A._ an die Finanzdirektion des Kantons Zürich und beantragte die Feststellung der Widerrechtlichkeit der Eingrenzung und die Leistung einer Genugtuung in der Höhe von Fr. 17'962.-- nebst Zins sowie die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Staatshaftungsverfahren.
Nachdem die Finanzdirektion ihm mit Schreiben vom 14. Juni 2019 mitgeteilt hatte, dass ein Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege vom zuständigen Einzelgericht zu beurteilen sei, stellte A._ mit Eingabe vom 2. Juli 2019 ein entsprechendes Gesuch beim Bezirksgericht Zürich. Dieses bezog sich auf das Verfahren vor der Finanzdirektion bzw. dem Regierungsrat, auf das allenfalls daran anschliessende Verfahren vor dem Bezirksgericht sowie auf das Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege vor dem Bezirksgericht.
Mit Urteil und Verfügung vom 16. Oktober 2019 wies das Bezirksgericht Zürich das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Verfahren bei der Finanzdirektion bzw. dem Regierungsrat ab und bewilligte die unentgeltliche Rechtspflege für sein eigenes Verfahren nicht. Gegen dieses Urteil erhob A._ Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich.
B.b. Mit Beschluss und Urteil vom 7. Februar 2020 entschied das Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, dass das Bezirksgericht Zürich nicht zuständig gewesen sei, über das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das staatshaftungsrechtliche Vorverfahren vor dem Regierungsrat bzw. der Finanzdirektion zu entscheiden.
In der Folge hiess das Obergericht die Beschwerde teilweise gut, hob Dispositiv-Ziffer 1 des Urteils des Bezirksgerichts vom 16. Oktober 2019 auf und ersetzte sie durch folgende Fassung: "Auf das Begehren um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das staatshaftungsrechtliche Vorverfahren vor dem Regierungsrat bzw. der Finanzdirektion des Kantons Zürich wird nicht eingetreten. Das Begehren um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das staatshaftungsrechtliche Klageverfahren wird abgewiesen".
C.
Mit Eingabe vom 7. März 2020 reicht A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und eventualiter subsidiäre Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht ein. Er beantragt, das angefochtene Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und die Sache sei materiell an die Vorinstanz unter dem Gesichtspunkt zurückzuweisen, dass Arglist für Genugtuungsansprüche aus Persönlichkeitsverletzungen nicht vorausgesetzt werde. Eventualiter sei in der Sache selbst zu entscheiden und es sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege in den Staatshaftungsverfahren zu gewähren.
In Bezug auf die Kosten beantragt er (mit Korrigendum vom 19. Juni 2020) sinngemäss, die Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens seien dem Beschwerdegegner aufzuerlegen, unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das erstinstanzliche Verfahren. Even tualiter sei für das vor- und erstinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Subeventualiter seien die Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens zur Hälfte dem Beschwerdegegner aufzuerlegen und der Beschwerdegegner habe ihn für das vor- und erstinstanzliche Verfahren zur Hälfte zu entschädigen. Schliesslich beantragt er, es seien für das bundesgerichtliche Verfahren - allenfalls unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege - keine Kosten zu erheben und es sei keine Prozesskaution zu beziehen.
Das Obergericht verzichtet auf Vernehmlassung. Die Finanzdirektion des Kantons Zürich schliesst auf Nichteintreten, eventualiter auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Beschluss des Obergerichts handelt es sich um einen selbständig eröffneten, kantonal letztinstanzlichen Zwischenentscheid, welcher einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> bewirken kann (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 338 f.; Urteile 2C_297/2020 vom 8. Mai 2020 E. 2.1; 2C_1020/2019 vom 31. März 2020 E. 1.1). Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens sind Zwischenentscheide mit dem in der Hauptsache zulässigen Rechtsmittel anzufechten (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382; <ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.). In der Hauptsache geht es um einen Genugtuungsanspruch gegen den Kanton Zürich.
1.2.
1.2.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Sinne von <ref-law> ist gemäss <ref-law> gegen Entscheide auf dem Gebiet der Staatshaftung ausgeschlossen, wenn der Streitwert weniger als Fr. 30'000.-- beträgt (Abs. 1 lit. a) und sich keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Abs. 2). Dass die Voraussetzung einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung erfüllt ist, hat der Beschwerdeführer in der Rechtsschrift darzutun (<ref-law>).
1.2.2. Vorliegend beträgt der Streitwert gemäss dem angefochtenen Beschluss Fr. 17'972.-- zuzüglich Zins (vgl. E. I.4 des angefochtenen Beschlusses). Damit ist der Ausschlussgrund nach <ref-law> erfüllt.
1.2.3. Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt sich, wenn ein allgemeines Interesse besteht, eine umstrittene Frage im Sinne der einheitlichen Anwendung und Auslegung des Bundesrechts höchstrichterlich zu klären und damit Rechtssicherheit herzustellen (<ref-ruling> E. 2.3 S. 236; <ref-ruling> E. 1.2 S. 399 f.). Hängt der Verfahrensausgang von der Anwendung und Auslegung einer nicht frei überprüfbaren kantonalen Norm ab, kann in der Regel kein Grundsatzurteil gefällt werden (vgl. Urteil 2C_630/2014 vom 24. Oktober 2014 E. 1.2.2, mit Hinweisen). Der Rügegrund der Verletzung verfassungsmässiger Rechte rechtfertigt - soweit eine gleichwertige Überprüfungsbefugnis gewahrt ist - kein Abweichen vom Streitwerterfordernis gemäss <ref-law>, können diese Rügen doch bereits mit dem Rechtsmittel der subsidiären Verfassungsbeschwerde vorgebracht werden (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 236, mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer macht unter Berufung auf <ref-law> im Wesentlichen geltend, es handle sich vorliegend um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung, namentlich darum, ob Genugtuungsansprüche aus Persönlichkeitsverletzungen gegen den Staat einer (erhöhten) Verschuldenshaftung oder einer Haftung aus objektiver Widerrechtlichkeit unterliegen würden bzw. ob § 11 des Haftungs gesetzes des Kantons Zürich vom 14. September 1969 (HG/ZH; LS 170.1) Arglist i.S.v. § 6 Abs. 2 HG/ZH voraussetze.
Diese Begründung betrifft die Verletzung von kantonalem Recht, sodass die einheitliche Auslegung von Bundesrecht nicht in Frage steht. Daran ändert, wie bereits ausgeführt, auch der Umstand nichts, dass der Beschwerdeführer im Staatshaftungsverfahren auch Verletzungen seiner persönlichen Freiheit gemäss <ref-law> geltend macht. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird nicht ein getreten.
1.3. Die gleichzeitig erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) ist zulässig. Sie wurde frist- und formgerecht eingereicht (Art. 42, Art. 117 i.V.m. <ref-law>) und richtet sich gegen einen kantonal letztinstanzlichen (Art. 114 i.V.m. <ref-law>) Zwischenentscheid (Art. 117 i.V.m. <ref-law> und E. 1.1 hiervor). Der im vorinstanzlichen Verfahren teilweise unterliegende Beschwerdeführer hat ein rechtlich geschütztes Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (<ref-law>), welches sich aus dem als verletzt gerügten verfassungsmässigen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>) ergibt (vgl. auch Urteil 2C_34/2013 vom 21. Januar 2013 E. 5.3).
2.
2.1. Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>), wobei eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet werden muss (<ref-law>; Art. 117 i.V.m. <ref-law>; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.1 S. 372; <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f.; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (vgl. <ref-law>), was der Beschwerdeführer präzise geltend zu machen hat (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; vgl. BGE <ref-ruling> E. 3.2 S. 445).
3.
Verfahrensgegenstand bildet vorliegend einzig die Frage, ob dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege für das Klageverfahren zu bewilligen sei. Hinsichtlich des staatshaftungsrechtlichen Vorverfahrens vor der Finanzdirektion bzw. dem Regierungsrat hat das Obergericht festgehalten, dass das Bezirksgericht Zürich nicht zuständig gewesen sei, über das Gesuch des Beschwerdeführers zu entscheiden. In der Folge trat es auf das Gesuch nicht ein, soweit es die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das staatshaftungsrechtliche Vorverfahren betraf (vgl. E. II.2.5 des angefochtenen Beschlusses).
Der Beschwerdeführer bestreitet diese Schlussfolgerungen der Vorinstanz nicht ausdrücklich und zeigt nicht auf, dass die entsprechenden Ausführungen des Obergerichts verfassungsmässige Rechte verletzen würden. Soweit er im vorliegenden bundesgerichtlichen Ver fahren erneut (auch) um die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das staatshaftungsrechtliche Vorverfahren vor der Finanzdirektion bzw. dem Regierungsrat ersucht, ist auf seine Anträge nicht einzutreten.
4.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Anspruchs auf unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>).
4.1. Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Dieser Anspruch umfasst einerseits die Befreiung von den Verfahrenskosten und andererseits - soweit notwendig - das Recht auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand. Die unentgeltliche Rechtspflege bezweckt, auch der bedürftigen Partei den Zugang zum Gericht und die Wahrung ihrer Parteirechte zu ermöglichen (<ref-ruling> E. 7.1 S. 2, mit Hinweisen).
Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Begehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder die Gewinnaussichten nur wenig geringer sind als die Verlustgefahren. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer sum marischen Prüfung nach den Verhältnissen zur Zeit, zu der das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt wird (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 218; <ref-ruling> E. 5 S. 616; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135 f.).
4.2. Gemäss den unbestrittenen vorinstanzlichen Feststellungen ist der Beschwerdeführer bedürftig (vgl. E. III.1 des angefochtenen Beschlusses). Zu klären ist daher, ob die Vorinstanz <ref-law> verletzt hat, indem sie sein Begehren um Zusprechung einer Genugtuung im Klageverfahren als aussichtslos erachtet hat.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, durch die vom Migrationsamt angeordnete und nachträglich durch das Verwaltungsgericht aufgehobene Eingrenzung auf die Gemeinde U._ sei er in seinen Persönlichkeitsrechten, insbesondere in seinem Recht auf körperliche Unversehrtheit gemäss <ref-law>, verletzt worden. Er verweist in diesem Zusammenhang auf das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 5. April 2018, in welchem festgehalten worden sei, dass seine Unterbringung in der unterirdischen Zivilschutzanlage in U._ aus medizinischen Gründen unzumutbar gewesen sei. Daher stehe in seinem Fall eine Persönlichkeitsverletzung und nicht (bloss) ein Fehler in der Rechtspflege im Vordergrund, sodass seine Situation mit der im Urteil 1D_7/2010 vom 28. September 2010 beurteilten Konstellation vergleichbar sei. Bei Genugtuungsansprüchen sei - so der Beschwerdeführer sinngemäss weiter - § 11 HG/ZH anwendbar. Diese Bestimmung setze kein Verschulden bzw. keine Arglist voraus.
5.2. Das Obergericht erwog, der geltend gemachte Genugtuungsanspruch beurteile sich im Fall des Beschwerdeführers nach § 6 Abs. 2 HG/ZH, da ein Fehler in der Rechtspflege vorliege. Diese Bestimmung gelte auch für Genugtuungsansprüche. Ohnehin sei haftungsbegründende Widerrechtlichkeit erst gegeben, wenn die entscheidende Amtsperson eine für die Ausübung ihrer Funktion bedeutsame Pflicht, d.h. eine Amtspflicht, verletzt habe. Werde ein Schaden (oder eine Genugtuung) aufgrund eines Rechtsaktes geltend gemacht, der sich später als unrichtig erweise, sei eine wesentliche Amtspflichtverletzung jedenfalls vorausgesetzt (vgl. E. III.2.2 des angefochtenen Beschlusses). Im Übrigen habe es der Beschwerdeführer unterlassen, Ausführungen zu zentralen Haftungsvoraussetzungen zu machen, sodass sein Genugtuungsanspruch auch aus diesem Grund als aussichtslos erscheine (vgl. E. III.2.3 und III.2.4 des angefochtenen Beschlusses).
5.3. Hat ein Kanton Bestimmungen über die Haftung von öffentlichen Angestellten erlassen, so beurteilt sich deren Ersatzpflicht für den Schaden, den sie in Ausübung ihrer amtlichen Verrichtungen verursachen, ausschliesslich nach dem kantonalen Recht (vgl. <ref-law>).
Nach § 6 Abs. 1 HG/ZH haftet der Kanton für den Schaden, den ein Angestellter in Ausübung amtlicher Verrichtungen einem Dritten widerrechtlich zufügt. Wird ein Entscheid im Rechtsmittelverfahren geändert, so haftet der Kanton gemäss § 6 Abs. 2 HG/ZH nur, wenn ein Angestellter einer Vorinstanz arglistig gehandelt hat. Die Bestimmung von § 6 Abs. 2 HG/ZH bildet eine Ausnahme von der in Abs. 1 aufgestellten Regel der Kausalhaftung und setzt ein qualifiziertes Verschulden im Sinn von Arglist voraus (vgl. FRIDOLIN HUNOLD, Staatshaftung für judikatives Unrecht, Diss. Zürich 2013, S. 178; JOST GROSS, Schweizerisches Staatshaftungsrecht, Stand und Entwicklungstendenzen, 2. Aufl. 2001, S. 93).
Gemäss § 11 HG/ZH hat, wer in seiner Persönlichkeit widerrechtlich verletzt wird, Anspruch auf Feststellung der Verletzung, auf Schadenersatz und, sofern die Schwere der Verletzung es rechtfertigt und diese nicht anders wiedergutgemacht worden ist, auch auf Genugtuung.
5.4.
5.4.1. In dem vom Beschwerdeführer zitierten Urteil 1D_7/2010 vom 28. September 2010 betreffend eine im Rechtsmittelverfahren aufgehobene Disziplinarmassnahme (mehrtägige Arreststrafe) hielt das Bundesgericht zunächst fest, dass der Nachweis eines derart verwerflichen Verhaltens eines Angestellten - wie in § 6 Abs. 2 HG/ZH vorgesehen - kaum je gelingen dürfte, so dass eine Haftpflicht für den zwischenzeitlichen Schaden bei Abänderung eines Entscheids faktisch ausgeschlossen sei (vgl. dort E. 2.4; so auch die Lehre, vgl. HUNOLD, a.a.O., S. 178; BALZ GROSS, Die Haftpflicht des Staates, Diss. Zürich 1996, S. 164). Ferner erwog das Bundesgericht, dass Fälle, in welchen Persönlichkeitsverletzungen im Vordergrund stünden, sich nicht ohne Weiteres unter § 6 Abs. 2 HG/ZH subsumieren liessen. Die Staatshaftung auf jene äusserst seltenen Konstellationen zu beschränken, in welchen die anordnende Behörde geradezu arglistig gehandelt habe, dürfte - so das Bundesgericht weiter - nicht der ratio legis von § 6 Abs. 2 HG/ZH entsprechen (Urteil 1D_7/2010 vom 28. September 2010 dort E. 2.5).
5.4.2. Der vorliegende Fall ist mit dem zitierten Urteil 1D_7/2010 vom 28. September 2010 insoweit vergleichbar, als auch hier ein Genugtuungsanspruch aus einer Persönlichkeitsverletzung (i.c. <ref-law>) geltend gemacht wird. Das Verwaltungsgericht hielt in seinem Urteil vom 5. April 2018, mit welchem die angeordnete Eingrenzung teilweise aufgehoben wurde, fest, aus einem vorgelegten Arztzeugnis ergebe sich, dass der Beschwerdeführer aus medizinischer Sicht auf eine oberirdische Wohnsituation angewiesen sei. Es sei davon auszugehen - so das Verwaltungsgericht weiter - dass der Verbleib des Beschwerdeführers in der Notunterkunft U._ und die damit einhergehende Eingrenzung auf die Gemeinde U._ für ihn einen schwerwiegenden Nachteil darstelle, der durch die entgegen stehenden öffentlichen Interessen nicht aufgewogen werden könne (vgl. dort E. 3.4.3 und 3.4.4).
Wie der Beschwerdeführer sodann zu Recht ausführt, kann dem der Beschwerdeschrift beigelegten Antrag des Regierungsrates des Kantons Zürich vom 26. Oktober 1988 betreffend die Änderung des kantonalen Haftungsgesetzes entnommen werden, dass mit der Änderung von § 11 HG/ZH auf den Verschuldensnachweis bei der Zusprache einer Genugtuung verzichtet wurde (vgl. auch HUNOLD, a.a.O., S. 17).
5.4.3. Der angefochtene Beschluss enthält keine detaillierten Ausführungen zum Verhältnis von § 6 Abs. 2 und § 11 HG/ZH bzw. dazu, ob die Voraussetzungen gemäss § 6 Abs. 2 HG/ZH (d.h. namentlich Arglist) auch auf Genugtuungsansprüche gemäss § 11 HG/ZH anwendbar seien. Betreffend das zitierte Bundesgerichtsurteil 1D_7/2010 vom 28. September 2010 führt das Obergericht lediglich aus, daraus ergebe sich nur, dass § 6 Abs. 2 HG/ZH nicht extensiv anzuwenden sei, wo es nicht um einen Fehler in der Rechtspflege gehe, was aber vorliegend gerade der Fall sei (vgl. E. III.2.2.1 des angefochtenen Beschlusses). Weshalb demgegenüber keine Persönlichkeitsverletzung im Vordergrund stehe, wird jedoch nicht weiter erläutert.
Gleichwohl verletzt der vorinstanzliche Beschluss <ref-law> nicht: Selbst wenn sich die Haftung, wie vom Beschwerdeführer behauptet, nach § 11 HG/ZH richten würde und keine Arglist i.S.v. § 6 Abs. 2 HG/ZH vorausgesetzt wäre, müsste die geltend gemachte Persönlichkeitsverletzung in jedem Fall widerrechtlich sein (vgl. § 11 HG/ ZH; E. 5.3 hiervor). Zwar ist die Verletzung absoluter Rechtsgüter wie Leib, Leben oder Persönlichkeit, ohne dass ein Rechtfertigungsgrund vorliegt, an sich widerrechtlich (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 457; <ref-ruling> E. 4.1 S. 318), doch besteht bei Schädigungen durch Verfü gungen oder Entscheide, die sich im anschliessenden Rechtsmittelverfahren als unrichtig erweisen, nur eine beschränkte Staatshaftung. Wie die Vorinstanz zu Recht ausführt, stellt das Verhalten der verfügenden Instanz in solchen Fällen nur dann eine Widerrechtlichkeit im haftungsrechtlichen Sinne dar, wenn ihr eine wesentliche Amtspflichtverletzung vorgeworfen werden kann. Die blosse Unrichtigkeit des erstinstanzlichen Entscheids genügt dabei nicht (<ref-ruling> E. 3.3 S. 457; <ref-ruling> E. 4.1 S. 318; <ref-ruling> E. 4d/dd S. 582 f.; vgl. auch TOBIAS JAAG/JULIA HÄNNI, in: Die Schweizerische Bundesverfassung, St. Galler Kommentar, 3. Aufl. 2014, N. 31 zu <ref-law>; BALZ GROSS, a.a.O., S. 135; vgl. E. III.2.2.3 des angefochtenen Beschlusses).
Der Beschwerdeführer setzt sich mit den vorinstanzlichen Erwägungen zur Widerrechtlichkeit kaum auseinander und legt nicht dar, inwiefern die verfügende Behörde eine wesentliche Amtspflicht verletzt haben soll (vgl. auch E. III.2.3.4 des angefochtenen Beschlusses). Vielmehr beschränkt er sich auf Ausführungen zur Verschuldensfrage und weist auf den Umstand hin, dass die ausgesprochene Eingrenzung im Rechtsmittelverfahren aufgehoben wurde. Wie bereits ausgeführt, reicht dies allerdings nicht aus, um eine Widerrechtlichkeit im haftungsrechtlichen Sinne zu begründen. Auch sonst bestehen keine Anhaltspunkte für das Vorliegen einer wesentlichen Amtspflichtverletzung.
5.5. Im Ergebnis hat die Vorinstanz <ref-law> nicht verletzt, wenn sie aufgrund einer summarischen Prüfung auf die Aussichtslosigkeit des Genugtuungsbegehrens des Beschwerdeführers geschlossen und sein Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Klageverfahren abgewiesen hat.
Vor diesem Hintergrund verletzt auch die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Verfahren vor dem Obergericht und dem Bezirksgericht <ref-law> nicht (vgl. E. IV.1 und IV.2 des angefochtenen Beschlusses). Die entsprechenden Anträge des Beschwer deführers - soweit sie überhaupt als genügend substanziiert gelten können - erweisen sich als unbegründet.
6.
Der Beschwerdeführer verlangt sinngemäss, die Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens seien dem Beschwerdegegner aufzuerlegen (vgl. Rechtsbegehren 3). Zudem beantragt er subeventualiter, es seien die Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens zur Hälfte dem Beschwerdegegner aufzuerlegen und der Beschwerdegegner habe den Beschwerdeführer für das vor- und erstinstanzliche Verfahren zur Hälfte zu entschädigen (Rechtsbegehren 3.2). Zur Begründung führt er unter Berufung auf den Grundsatz von Treu und Glauben und auf das Willkürverbot (<ref-law>) aus, das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im Verfahren vor dem Regierungsrat (gemeint sein dürfte das Bezirksgericht) sei aufgrund einer falschen Rechtsmittelbelehrung der Finanzdirektion eingereicht worden. Es sei krass unbillig und damit willkürlich, die gesamten Anwalts- und Gerichtskosten auf ihn zu überwälzen, ohne den Fehler der Finanzdirektion zu berücksichtigen.
6.1. Der in <ref-law> verankerte Grundsatz von Treu und Glauben verleiht einer Person Anspruch auf Schutz des berechtigten Vertrauens in behördliche Zusicherungen oder sonstiges, bestimmte Erwartungen begründendes Verhalten der Behörden, sofern sich dieses auf eine konkrete, den betreffenden Bürger berührende Angelegenheit bezieht (<ref-ruling> E. 6.1 S. 636 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 170; je mit Hinweisen). Vorausgesetzt ist, dass die Person, die sich auf Vertrauensschutz beruft, berechtigterweise auf diese Grundlage vertrauen durfte und gestützt darauf nachteilige Dispositionen getroffen hat, die sie nicht mehr rückgängig machen kann (<ref-ruling> E. 2.3 und E. 2.5.1 S. 71 ff., mit Hinweisen). Ferner darf die relevante Rechtslage seit der Auskunftserteilung keine Änderung erfahren haben (<ref-ruling> E. 6.1 S. 636 f.).
Das Willkürverbot (<ref-law>) verschafft nach ständiger Praxis des Bundesgerichts für sich allein keine geschützte Rechtsstellung. Zur Willkürrüge ist eine beschwerdeführende Person somit nur legitimiert, wenn die gesetzlichen Bestimmungen, deren willkürliche Anwendung sie geltend macht, ihr einen Rechtsanspruch einräumen. Die Rechtsprechung nimmt bei der Anfechtung der Kostenauflage generell ein rechtlich geschütztes Interesse im Sinn von <ref-law> an (<ref-ruling> E. 2.2 S. 300; Urteile 2C_1088/2016 vom 2. Juni 2017 E. 1.4; 2C_901/2013 vom 20. Januar 2014 E. 1.2.1).
6.2.
6.2.1. Die Auferlegung von Verfahrenskosten richtet sich nach kantonalem Recht. Die Vorinstanz legte die Entscheidgebühr im Beschwerdeverfahren in Anwendung der Gebührenverordnung des Obergerichts vom 8. September 2010 (GebV OG/ZH; LS 211.11) und unter Berücksichtigung des Streitwertes, des Verfahrensgegenstands sowie des Verfahrensausgangs auf Fr. 300.-- fest und auferlegte diese dem teilweise unterliegenden Beschwerdeführer (vgl. E. IV.3 des angefochtenen Beschlusses). Mit seinen allgemeinen Ausführungen, wonach es krass unbillig bzw. willkürlich sei, ihm die gesamten Anwalts- und Gerichtskosten aufzuerlegen, vermag der Beschwerdeführer nicht substanziiert darzutun (vgl. auch E. 2.1 hiervor), inwiefern die vorinstanzliche Kosteregelung offensichtlich unhaltbar sein oder gegen den Grundsatz von Treu und Glauben verstossen soll. Ohnehin erscheinen die ihm auferlegten Verfahrenskosten in der Höhe von Fr. 300.-- verhältnismässig tief. Seine Anträge betreffend die Kosten- und Entschädigungsfolgen im Verfahren vor Obergericht erweisen sich daher als unbegründet.
6.2.2. Dem Beschwerdeführer ist indessen zuzustimmen, soweit er sinngemäss geltend macht, das erstinstanzliche Verfahren (vor dem Bezirksgericht) sei aufgrund einer unrichtigen Auskunft der Finanzdirektion eingeleitet worden. Dies trifft zumindest insoweit zu, als die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das staatshaftungsrechtliche Vorverfahren Verfahrensgegenstand bildete. Zur Beurteilung dieses Gesuchs war das Bezirksgericht, wie bereits ausgeführt, nicht zuständig (vgl. vorne, Sachverhalt B.b). Dass diese Unzuständigkeit nicht klar erkennbar war, ergibt sich auch aus der Stellungnahme der Finanzdirektion im bundesgerichtlichen Verfahren. Danach habe es ihrer bisherigen Auffassung und der kantonalen Praxis entsprochen, dass Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege in gleich gelagerten Fällen von den Zivilgerichten behandelt worden seien. Die Vorinstanz hat die Kosten- und Entschädigungsfolgen des erstinstanzlichen Verfahrens - trotz teilweiser Gutheissung der Beschwerde - implizit bestätigt.
Dem Urteil des Bezirksgerichts vom 16. Oktober 2019 kann entnommen werden, dass keine Verfahrenskosten erhoben wurden. Eine Parteientschädigung wurde dem damals anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer dem Ausgang des Verfahrens entsprechend nicht zuge sprochen. Angesichts der teilweisen Gutheissung der Beschwerde durch das Obergericht sowie des Umstandes, dass die Voraussetzungen des Vertrauensschutzes aufgrund einer unrichtigen behördlichen Auskunft erfüllt sind (vgl. E. 6.1 hiervor), ist die Beschwerde in diesem Punkt gutzuheissen. Die Sache ist an das Bezirksgericht Zürich zurückzuweisen (<ref-law>), damit dieses prüft, ob der Beschwerdeführer Anspruch auf eine Parteientschädigung für das erstinstanzliche Verfahren hat.
7.
Nach dem Gesagten wird auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht eingetreten. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird in Bezug auf die Entschädigungsfolgen des Verfahrens vor dem Bezirksgericht gutgeheissen, und die Sache wird im Sinne der Erwägungen zur Neubeurteilung an das Bezirksgericht Zürich zurückgewiesen. Im Übrigen erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Angesichts der konkreten Umstände wird auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet (<ref-law>). Damit ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gegenstandslos. Der nicht anwaltlich vertretene Beschwerdeführer hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird in Bezug auf die Entschädigungsfolgen des Verfahrens vor dem Bezirksgericht Zürich gutgeheissen, der Beschluss des Obergerichts Zürich vom 7. Februar 2020 aufgehoben und die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an das Bezirksgericht Zürich zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, und dem Bezirksgericht Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juli 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Ivanov