Faits :
A.
C._est né le 24 novembre 2014 de la relation hors mariage entre sa mère, A._et B._, lequel l'a reconnu l'année suivante.
Le 3 décembre 2015, l'Autorité de protection de l'enfant et de l'adulte (APEA) du Jura bernois a institué une curatelle au sens de l'art. 308 al. 1 et 2 CC en faveur de l'enfant et a accordé au père, de manière provisoire, un droit de visite d'un week-end sur deux par l'intermédiaire du Point Echange, selon les modalités suivantes: le samedi de 13h15 à 13h30 pour le début des relations personnelles, le dimanche de 18h à 18h15 pour le retour chez le parent gardien.
Les relations conflictuelles des parents ont pu être violentes: le père a notamment été condamné pour injures et lésions corporelles simples à l'encontre de la mère. Cette procédure, qui concernait des faits s'étant tous déroulés en 2016 au plus tard, a pris fin par jugement pénal rendu en décembre 2018.
Les conflits entre eux ont perduré après la période couverte par la procédure pénale susmentionnée. Leurs relations s'étant apaisées courant 2016, le Point Echange a été suspendu en septembre et l'exercice des relations personnelles élargi en octobre 2016. Toutefois, les conflits ont repris en fin d'année, de sorte que les échanges par cet intermédiaire ont à nouveau dû être instaurés dès le mois de janvier 2017.
Par décision du 27 mars 2017, l'APEA a confié au Dr D._, pédopsychiatre, le mandat d'établir une expertise. Celui-ci a rendu son rapport le 19 octobre 2017 et l'a complété le 22 janvier 2018.
B.
B.a. Par décision du 28 mars 2019, rectifiée le 1er avril 2019, l'APEA a notamment modifié l'exercice du droit de visite comme il suit (ch. 3 du dispositif) :
a) par l'intermédiaire du Point Echange, un week-end sur deux du samedi au dimanche. La mère amènera l'enfant le samedi à 13h00 et le père ira le chercher à 13h15, et le dimanche, le père ramènera l'enfant à 18h00 et la mère ira le chercher à 18h15;
b) du mercredi soir à 18h00 au jeudi matin à 08h00. Le père ira chercher l'enfant le mercredi soir à 18h00 à son domicile, mais restera en dehors et ne s'adressera pas à la mère. Le jeudi matin, il amènera son fils à 08h00 à la crèche, respectivement à l'école.
B.b. La mère a recouru contre cette décision, concluant à l'annulation du ch. 3 let. b de son dispositif.
Par décision du 2 mars 2020, le Tribunal de la protection de l'enfant et de l'adulte de la Cour suprême du canton de Berne (ci-après: TPEA) a rejeté le recours.
C.
Par acte posté le 26 mars 2020, la mère interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre la décision du 2 mars 2020. Elle conclut à ce que les relations personnelles entre le père et l'enfant se limitent à un week-end sur deux du samedi à 13h00 au dimanche à 18h00 par l'intermédiaire d'un Point Echange, le droit de visite du mercredi soir au jeudi matin étant supprimé.
Des observations n'ont pas été requises.
Les deux parties sollicitent le bénéfice de l'assistance judiciaire.
D.
Par ordonnance du 29 avril 2020, le Président de la Cour de céans a rejeté la requête d'effet suspensif.

Considérant en droit :
1.
Interjeté en temps utile (<ref-law>) et en la forme prévue par la loi (<ref-law>), le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>) prise par un tribunal supérieur stat uant sur recoursen dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans une affaire sujette au recours en matière civile (<ref-law>) de nature non pécuniaire. La recourante, qui a succombé devant la juridiction précédente, a qualité pour recourir (<ref-law>). Le présent recours est donc recevable au regard des dispositions qui précèdent.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être lié ni par l'argumentation juridique de l'autorité précédente, ni par les moyens des parties; il peut donc admettre le recours en se fondant sur d'autres arguments que ceux invoqués par le recourant, comme il peut le rejeter en opérant une substitution de motifs (<ref-ruling> consid. 3.2.3; <ref-ruling> consid. 2.4 et les références). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés (<ref-ruling> consid. 2.4 et les références). Le recourant doit par conséquent discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (<ref-ruling> consid. 1.7.1; <ref-ruling> consid. 2.4 et la référence). En outre, le Tribunal fédéral ne connaît de la violation de droits fondamentaux que si un tel grief a été expressément invoqué et motivé de manière claire et détaillée (principe d'allégation; <ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2.2; <ref-ruling> consid. 2.1).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été constatés de façon manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 4.1.2), ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influencer le sort de la cause ( <ref-law>). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte (<ref-law>) doit satisfaire au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1), soit expressément soulever et exposer de façon claire et détaillée son grief. Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (<ref-ruling> consid. 1.3.1 et la référence).
En l'espèce, le "résumé" des faits figurant à la page 3 du recours sera ignoré en tant que les éléments qui y sont exposés s'écartent de ceux contenus dans la décision attaquée sans que la recourante ne prétende valablement, ni a fortiori ne démontre, qu'ils auraient été arbitrairement établis ou omis ou que leur correction influerait sur le sort de la cause.
2.3. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>; parmi d'autres: arrêt 2C_320/2020 du 20 octobre 2020 consid. 2.2 et les références). A l'appui de son recours, la recourante dépose un certain nombre de pièces. En tant qu'il s'agit de copies de celles figurant déjà au dossier cantonal, elles peuvent être prises en compte.
2.4. Des mesures probatoires devant le Tribunal fédéral (<ref-law>) ne sont qu'exceptionnellement ordonnées dans une procédure de recours (<ref-ruling> consid. 2; arrêts 1B_166/2020 du 25 juin 2020 consid. 2; 5A_361/2019 du 21 février 2020 consid. 2.5), dès lors qu'il conduit en principe son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>).
Outre l'édition du dossier de la cause et de la procédure pénale intentée contre l'intimé, la recourante requiert que des rapports de la curatrice de l'enfant, respectivement de l'Action Educative en Milieu Ouvert (AEMO) du Jura bernois, soient ordonnés. En l'absence d'éléments dont on puisse inférer des circonstances exceptionnelles qui justifieraient la mise en oeuvre de mesures d'instruction en procédure fédérale, circonstances dont la recourante ne démontre par ailleurs nullement l'existence, il ne sera pas donné suite à ces requêtes, étant précisé que le dossier constitué dans la présente cause par l'autorité précédente a été transmis au Tribunal fédéral dans le délai imparti conformément aux exigences posées par l'<ref-law>.
3.
Seul est remis en question par la recourante l'élargissement du droit de visite du père du mercredi soir au jeudi matin. Elle se plaint à cet égard d'établissement manifestement inexact des faits et de violation du droit fédéral, en particulier de l'<ref-law>.
3.1. Aux termes de l'<ref-law>, le parent qui ne détient pas l'autorité parentale ou la garde ainsi que l'enfant mineur ont réci proquement le droit d'entretenir les relations personnelles indiquées par les circonstances. Le droit aux relations personnelles est considéré comme un droit de la personnalité de l'enfant qui doit servir en premier lieu l'intérêt de celui-ci (<ref-ruling> consid. 5; <ref-ruling> consid. 2.1; arrêts 5A_844/2019 du 17 septembre 2020 consid. 4.1; 5A_669/2019 du 7 février 2020 consid. 6.3); dans chaque cas, la décision doit donc être prise de manière à répondre le mieux possible à ses besoins, l'intérêt des parents étant relégué à l'arrière-plan (<ref-ruling> consid. 3.2.3; <ref-ruling> consid. 2.2.1 et les références; arrêts 5A_844/2019 précité consid. 4.1; 5A_669/2019 précité consid. 6.3).
L'appréciation des circonstances de fait pour fixer le droit aux relations personnelles, c'est-à-dire la détermination de leur portée juridique, est une question de droit. Le Tribunal fédéral s'impose toutefois une certaine retenue. Le juge du fait qui, par son expérience en la matière, connaît le mieux les parties et le milieu dans lequel l'enfant évolue, dispose d'un large pouvoir d'appréciation en vertu de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 4a; arrêt s 5A_844/2019 précité consid. 4.1; 5A_669/2019 précité consid. 6.3). Le Tribunal fédéral n'intervient que si le juge s'est écarté sans motif des principes établis par la doctrine et la jurisprudence, lorsqu' il s'est fondé sur des faits qui ne devaient jouer aucun rôle pour la solution du cas d'espèce, ou lorsque, au contraire, il n'a pas tenu compte de circonstances qui auraient impérativement dû être prises en considération (<ref-ruling> consid. 3.2.5; <ref-ruling> consid. 1; arrêts 5A_844/2019 précité consid. 4.1; 5A_669/2019 précité consid. 6.3).
3.2. L'autorité cantonale a tout d'abord relevé qu'il ressortait des rapports de la curatrice et de la coordinatrice du Point Rencontre du 10 octobre 2019, mis en oeuvre dans le cadre de la procédure d'appel, que la collaboration du père s'était améliorée et que les relations entre les parties s'étaient calmées, bien que cet apaisement pût se révéler fragile. Admettant qu'il convenait d'agir avec prudence, dès lors que l'accalmie intervenue en 2016 n'avait été que temporaire, cette juridiction a toutefois retenu que la situation s'était améliorée au début de l'année 2019 sans se dégrader jusqu'en octobre 2019 au moins, et ce malgré les risques de tensions engendrés par les transferts de l'enfant le mercredi soir. L'amélioration des relations entre les parents apparaissait ainsi plus stable qu'en 2016 et il pouvait être espéré que la clôture de la procédure pénale contribuerait au maintien de cet apaisement.
Retenant en outre que l'enfant revoyait son père certains mercredis soirs en sus d'un week-end sur deux depuis près d'une année, le TPEA a considéré qu'au vu de l'évolution favorable des relations entre les parents, le bien du mineur n'était pas mis en danger par le droit de visite élargi tel que décidé par l'APEA. Au contraire, celui-ci risquait plus d'être perturbé par une nouvelle restriction subite de l'exercice des relations personnelles.
L'autorité cantonale a par ailleurs relevé que l'élargissement du droit de visite critiqué était très modéré. Ni la coordinatrice du Point Rencontre, ni la curatrice n'avaient au demeurant émis de proposition concrète concernant un élargissement progressif. Vu les constatations de la curatrice selon lesquelles l'enfant était un garçon souriant, vif et stimulé, qui entretenait une bonne relation avec chacun de ses deux parents et qui ne semblait pas (plus) être dans un conflit de loyauté, le bien de celui-ci était respecté. Il apparaissait de surcroît inopportun de restreindre ou de supprimer les visites de l'enfant chez son père en semaine pour les réintroduire ensuite progressivement.
S'agissant du déménagement de la recourante et de l'enfant, ainsi que de la scolarisation de celui-ci en août 2019, l'autorité cantonale a constaté que, la décision attaquée prévoyant expressément que le père devait ramener son fils à la crèche, respectivement à l'école, cette question avait été suffisamment réglée. Quant à la distance entre les domiciles respectifs des parents (environ 25 km en voiture), elle n'était pas excessive et ces trajets paraissaient raisonnables pour un enfant de 5 ans. Enfin, la curatrice restait libre de demander au besoin une adaptation des modalités du droit de visite à l'APEA ou de la mettre en place elle-même avec l'accord des parties.
3.3.
3.3.1. La recourante reproche à l'autorité cantonale d'avoir retenu de façon manifestement inexacte que cela faisait "près d'une année" que l'enfant voyait son père certains mercredis soirs en sus d'un week-end sur deux et qu'il "risquerait plus d'être perturbé par une nouvelle restriction subite des relations personnelles". Elle soutient, en se référant à un courrier de l'intimé, que l'enfant n'a en réalité vu son père que trois ou quatre mercredis en tout sur un an, et ce uniquement pendant le délai de recours contre la décision de première instance. La constatation incriminée aurait une influence sur l'issue de la cause puisque, selon la recourante, le TPEA aurait fondé l'entier de sa décision sur le fait que le droit de visite du mercredi "fonctionn[ait] déjà depuis une année (principe de continuité) ".
Contrairement à ce que prétend la recourante, l'autorité précédente n'a pas estimé qu'il était inadéquat de mettre subitement fin aux relations personnelles entre l'enfant et son père en semaine au motif que celles-ci "fonctionnaient" depuis un an. Ainsi qu'il résulte de l'état de fait de la décision attaquée, elle a constaté qu'il ressortait tant des écrits des parties que des rapports des intervenantes que, depuis son instauration par le premier juge, l'exercice des relations personnelles le mercredi soir avait été suivi par les parties "du moins dans une certaine mesure", dès lors qu'il n'était pas précisé si les visites avaient eu lieu "tous les mercredis soirs ou seulement de temps à autre". Cela étant, même si le droit de visite litigieux n'a pu être exercé que quatre fois depuis son instauration par la décision de l'APEA du 28 mars 2019 - ce que l'intimé confirme dans ses déterminations sur la requête d'effet suspensif au présent recours -, la recourante n'expose pas en quoi l'autorité cantonale aurait fait preuve d'arbitraire ou violé le droit fédéral en considérant que sa brusque suppression risquait de perturber l'enfant (art. 42 al. 2, 106 al. 2 LTF). Le grief est par conséquent mal fondé, dans la mesure où il est recevable.
3.3.2. Selon la recourante, l'autorité cantonale aurait aussi retenu à tort que les relations entre les parties avaient évolué favorablement, ce qui permettait l'extension du droit de visite. Elle soutient que cette constatation est en contradiction avec l'expertise pédopsychiatrique, de même qu'avec les rapports de la curatrice et du Point Echange du 10 octobre 2019.
La recourante ne peut être suivie. Tout d'abord, elle ne saurait se fonder sur l'expertise pédopsychiatrique pour nier toute amélioration des relations entre les parties depuis le début de l'année 2019, dès lors que celle-ci a été rendue le 19 octobre 2017 et complétée le 22 janvier 2018. Partant, cette expertise ne lui est également d'aucun secours pour contester l'extension du droit de visite. S'agissant des rapports du 10 octobre 2019, la recourante ne tente pas de démontrer qu'ils ne souligneraient pas l'évolution positive de la situation à partir de janvier 2019. Elle reproche en réalité à l'autorité cantonale de s'être arbitrairement écartée de l'avis des deux intervenantes, qui estimaient qu'un élargissement des relations personnelles entre le père et l'enfant était prématuré. La recourante méconnaît cependant qu'il ne s'agit là que de recommandations dont le juge peut s'écarter, de surcroît à des conditions moins strictes que celles applicables lorsqu'il s'agit d'une expertise judiciaire (notamment: arrêt 5A_381/2020 du 1er septembre 2020 consid. 4.1 et les références), et que lui seul peut déterminer quelles conclusions juridiques doivent être tirées des constatations et des avis des organismes consultés (arrêt 5A_373/2018 du 8 avril 2019 consid. 3.2.6; cf. aussi: arrêt 5A_794/2017 du 7 février 2018 consid. 4.1 et les références). Or la recourante n'avance aucun élément qui ferait apparaître comme arbitraire le refus de suivre les recommandations formulées dans lesdits rapports (<ref-law>).
Dans la mesure où il est recevable, le moyen est dès lors mal fondé.
3.3.3. La recourante prétend en outre que l'autorité cantonale a affirmé de façon manifestement inexacte et arbitraire que les capacités éducatives des parents n'étaient pas remises en doute. Cette constatation serait en contradiction directe avec l'avis de l'expert, qui s'était demandé si le père présentait un véritable intérêt et les compétences pour s'occuper de l'enfant et qui avait recommandé une aide éducative pour ce parent, laquelle n'avait jamais été mise en place.
Quand bien même l'expert s'est interrogé sur la capacité parentale de l'intimé - compte tenu des difficultés de celui-ci à dialoguer avec les intervenants, notamment la curatrice, et du fait qu'il avait stoppé tout contact avec la crèche -, estimant qu'il serait souhaitable qu'il puisse être accompagné par une aide éducative, la recourante n'explique pas en quoi cette circonstance aurait une influence sur l'élargissement du droit de visite. Il ressort d'ailleurs de l'état de fait de la décision du premier juge, état de fait auquel l'autorité cantonale se réfère expressément, que ledit expert a estimé qu'une "restriction ne changerait que peu le problème car tout comportement inapproprié aura[it] un impact similaire, que le droit de visite soit réduit ou non". Il n'est en outre pas établi que les doutes de l'expert quant à la capacité éducative de l'intimé soient encore d'actualité. Selon la décision de l'APEA, ledit expert a en effet considéré "qu'en dehors du conflit conjugal, le père a techniquement les capacités, dans un contexte de droit de visite, pour s'occuper de son fils". Or, comme exposé plus haut (cf. supra consid. 3.3.2), il est établi, sans que la recourante n'ait démontré que cette constatation serait arbitraire, que la relation entre les parents s'est apaisée depuis la reddition du rapport de l'expert des 19 octobre 2017 et 22 janvier 2018.
La recourante ne saurait dès lors se plaindre d'établissement manifestement inexact des faits à cet égard.
3.3.4. L a recourante exposeen outre qu'il existerait plusieurs signes que l'enfant se trouve dans un grave conflit de loyauté et que son développement serait ainsi mis en danger. Elle souligne avoir dû requérir une aide professionnelle de l'AEMO, sous forme de consultations et de conseils, afin de soutenir son fils face à ce conflit et tenter de le diminuer.
A supposer qu'il faille comprendre que la recourante reproche à l'autorité cantonale de ne pas avoir retenu l'existence d'un conflit de loyauté, sa critique, entièrement appellatoire et fondée sur un fait - l'aide de l'AEMO - postérieur à la décision attaquée, est irrecevable.
3.3.5. Enfin, la recourante soutient que l'autorité précédente a violé les art. 273 et 274 al. 2 CC, arguant qu'au vu de la situation vécue par les parties, seul un droit de visite standard, organisé avec l'aide d'une curatelle et d'un intermédiaire comme le point Echange, serait à même de préserver le bien-être de l'enfant.
A l'appui de ce moyen, elle fait valoir que l'intimé ne détient pas l'autorité parentale, ce qui ne plaide pas pour un droit de visite élargi, et que le passé des parties est marqué par de graves violences à son encontre. Elle expose aussi que l'enfant se trouve dans un important conflit de loyauté et que les désaccords entre les parents n'ont pas diminué, ce pourquoi ni la curatrice, ni la coordinatrice du Point Rencontre ne soutiennent un élargissement du droit de visite à ce stade. En outre, les mesures prévues par l'expert psychiatre pour encadrer le père dans sa tâche éducative n'auraient pas encore été mises en place. La recourante relève par ailleurs que l'enfant vit et est scolarisé dans un lieu distant de 25 minutes en voiture du domicile de l'intimé.
Dans la mesure où elle est fondée sur des faits qui ne ressortent pas de la décision attaquée, sans que la recourante n'ait valablement démontré qu'ils auraient été arbitrairement constatés ou omis (cf. supra consid. 3.3.2 et 3.3.4), la critique ne peut être prise en considération. Pour le surplus, comme exposé plus haut (cf. supra consid. 3.3.3), l'avis de l'expert quant à la capacité parentale de l'intimé n'apparaît pas déterminant. L'autorité cantonale a en outre estimé que la distance entre les domiciles des parents n'empêchait pas un élargissement de l'exercice des relations personnelles tel que prévu par l'APEA, sans que la recourante ne soulève de grief d'arbitraire à ce sujet (<ref-law>). Sur la base des faits constatés par la décision attaquée, on ne voit donc pas en quoi l'autorité précédente aurait abusé du large pouvoir d'appréciation dont elle dispose en la matière (cf. supra consid. 3.1) en confirmant l'élargissement du droit de visite du père du mercredi soir au jeudi matin.
4.
En définitive, le recours doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable. Dès lors qu'il était d'emblée voué à l'échec, la requête d'assistance judiciaire de la recourante ne peut qu'être rejetée (<ref-law>). Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., seront donc mis à sa charge (<ref-law>). L'intimé, qui a obtenu gain de cause s'agissant de l'effet suspensif, mais n'a pas été invité à se déterminer sur le fond, a droit à une indemnité de dépens réduits (art. 68 al. 1 et 2 LTF), ce qui rend sa demande d'assistance judiciaire sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours en matière civile est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire de la recourante est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Une indemnité de 200 fr., à payer à l'intimé à titre de dépens, est mise à la charge de la recourante.
5.
La requête d'assistance judiciaire de l'intimé est sans objet.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à l'Autorité de protection de l'enfant et de l'adulte du Jura bernois, à C._ et au Tribunal de la protection de l'enfant et de l'adulte de la Cour suprême du canton de Berne.
Lausanne, le 28 juillet 2020
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant : Escher
La Greffière : Mairot