Sachverhalt:
A.
Die Vorsorge A._ ist eine Stiftung im Sinne von <ref-law>. Sie bezweckt die berufliche Vorsorge für die Angestellten der A._ AG und der mit ihr wirtschaftlich eng verbundenen Unternehmen. Rentenbezüger der Vorsorge A._ sind unter anderem B._ (geb. 1947) und C._ (geb. 1953), die mittlerweile beide im Ausland wohnhaft sind:
B._, der bis Ende November 2009 bei der A._ AG angestellt war, verlegte seinen steuerrechtlichen Wohnsitz nach der Pensionierung per 31. Dezember 2009 in die Republik Sri Lanka. C._ - bis 30. Juni 2001 Angestellter der Abteilung D._ in U._ - nahm per 30. Juni 2005 steuerrechtlichen Wohnsitz in der Republik der Philippinen (die Abteilung D._ wurde per 31. Dezember 2003 infolge Fusion mit der Abteilung E._ aufgelöst; die Abteilung E._ wiederum ging per 24. Mai 2011 infolge Fusion auf die A._ Schweiz AG über).
B.
Mit Verfügungen vom 25. Januar 2013 verpflichtete die Steuerverwaltung des Kantons Bern die Vorsorge A._, auf den B._ und C._ ausbezahlten Renten Quellensteuern zurückzubehalten. Diese Verfügungen focht die Vorsorge A._ bei der Steuerrekurskommission des Kantons Bern an. Mit Entscheid vom 13. Dezember 2016 hiess die Steuerrekurskommission die Rechtsmittel der Vorsorge A._ gut und hob die Verfügungen vom 25. Januar 2013 auf.
Daraufhin erhob die Steuerverwaltung sowohl für die Bundessteuer als auch für Kantons- und Gemeindesteuern Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern. Dieses wies die Beschwerden mit Urteil vom 29. Juni 2018 ab.
C.
Mit Eingabe vom 5. September 2018 erhebt die Steuerverwaltung Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des Entscheids des Verwaltungsgerichts vom 29. Juni 2018, die Entscheidung der vorliegenden Angelegenheit im Sinne ihrer Argumentation und die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht.
Die Eidgenössische Steuerverwaltung (ESTV) beantragt die Gutheissung der Beschwerde, das Verwaltungsgericht deren Abweisung. Die Vorsorge A._ verzichtet auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Die verfahrensabschliessenden Entscheide (<ref-law>) der Vorinstanz betreffen eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts im Sinne von <ref-law>. Bei der Vorinstanz handelte es sich um die letzte kantonale Instanz im Sinne von <ref-law>. Soweit die direkte Bundessteuer betroffen ist, ergibt sich die Legitimation der Steuerverwaltung aus Art. 146 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer (DBG; SR 642.11) und Art. 2 und Art. 4 lit. e der Verordnung des Regierungsrats des Kantons Bern vom 18. Oktober 2000 über den Vollzug der direkten Bundessteuer (BStV/BE; BSG 668.11). In Bezug auf die kantonalen Steuern ist die Steuerverwaltung nach Art. 73 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden (StHG; SR 642.14) in Verbindung mit Art. 9 Abs. 1 lit. h der Verordnung vom 18. Oktober 1995 über die Organisation und die Aufgaben der Finanzdirektion des Regierungsrats des Kantons Bern (Organisationsverordnung FIN/BE, OrV FIN/BE; BSG 152.221.171) als nach kantonalem Recht zuständige Behörde zur Beschwerde legitimiert. Die Frist ist eingehalten (<ref-law>).
1.2. Die beiden Entscheide der Vorinstanz in Bezug auf die direkte Bundessteuer und die Kantons- und Gemeindesteuern ergingen in einer einzigen Urteilsschrift. Im Urteilsdispositiv wird jedoch zwischen direkter Bundessteuer und Kantons- und Gemeindesteuern unterschieden. Die Steuerverwaltung ficht die Entscheide in einer einzigen Rechtsschrift an, ohne zwischen direkter Bundessteuer und kantonalen Steuern zu unterscheiden. Dies steht im Einklang mit der bundesgerichtlichen Praxis, wonach in den Rechtsschriften und Urteilen nicht zwischen direkter Bundessteuer und kantonalen Steuern unterschieden werden muss, wenn über die Quellensteuern nach DBG im gleichen Verfahren entschieden wird wie über die kantonalen Quellensteuern (Urteile 2C_450/2017 vom 26. Juni 2018 E. 1, nicht publ. in <ref-ruling>, aber in: StE 2018 B 82.1 Nr. 7; 2C_265/2007 vom 8. Oktober 2007 E. 1.3). Obschon das Rechtsbegehren der Steuerverwaltung überaus vage ist, ergibt sich ihr Ansinnen - die Bestätigung ihrer Verfügungen vom 25. Januar 2013 - insgesamt mit hinreichender Klarheit aus der Beschwerde. Damit ist den Formerfordernissen von <ref-law> Genüge getan. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht nach <ref-law> von Amtes wegen an, prüft jedoch unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht gemäss <ref-law> nur die geltend gemachten Rechtsverletzungen, sofern rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.5 S. 144).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil nach <ref-law> den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Die vorinstanzlichen Feststellungen können gemäss <ref-law> nur berichtigt werden, sofern sie entweder offensichtlich unrichtig, d. h. willkürlich ermittelt worden sind (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356) oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.6 S. 144 f.). Die beschwerdeführende Partei hat substanziiert darzulegen, inwiefern der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt im Lichte der vorstehenden Regeln zu ergänzen ist; wird sie dieser Anforderung nicht gerecht, bleibt es beim vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
3.
Unbestritten ist vorliegend, dass B._ und C._ nach Bundesrecht und kantonalem Recht für die von der Beschwerdegegnerin ausgerichteten Rentenleistungen in der Schweiz bzw. im Kanton Bern einer beschränkten Steuerpflicht unterliegen (Art. 5 Abs. 1 lit. d in Verbindung mit Art. 95 Abs. 1 bzw. <ref-law>; Art. 6 Abs. 1 lit. e in Verbindung mit Art. 120 Abs. 1 bzw. Art. 121 Abs. 1 des Steuergesetzes vom 21. Mai 2000 des Kantons Bern [StG/BE; BSG 661.11]). Strittig und zu klären ist jedoch, ob Staatsvertragsrecht der Quellenbesteuerung der ausgerichteten Renten entgegensteht.
3.1. Einer Besteuerung entgegenstehen könnte im Falle von B._ in Sri Lanka aufgrund seines unbestrittenen Wohnsitzes in Sri Lanka das Abkommen zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und der Demokratischen Sozialistischen Republik Sri Lanka zur Vermeidung der Doppelbesteuerung auf dem Gebiet der Steuern vom Einkommen und vom Vermögen vom 11. Januar 1983 (DBA CH-LKA; SR 0.672.971.21; vgl. Art. 1 und Art. 4 DBA CH-LKA); im Fall von C._ wäre aufgrund des ebenfalls unbestrittenen Wohnsitzes auf den Philippinen das Abkommen zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und der Republik der Philippinen zur Vermeidung der Doppelbesteuerung auf dem Gebiet der Steuern vom Einkommen vom 24. Juni 1998 (DBA CH-PHL; SR 0.673.964.51; vgl. Art. 1 und Art. 4 DBA CH-PHL) zu berücksichtigen.
Inhaltlich übereinstimmend sehen die beiden Abkommen vor, dass Ruhegehälter, die eine in einem Vertragsstaat ansässige Person (für frühere unselbständige Arbeit) bezieht, grundsätzlich nur im Ansässigkeitsstaat besteuert werden (vgl. Art. 18 Ziff. 1 DBA CH-LKA; Art. 18 DBA CH-PHL). Eine Ausnahme von diesem Grundsatz besteht jedoch für Ruhegehälter, die "von einem Vertragsstaat oder einer seiner politischen Unterabteilungen oder lokalen Körperschaften oder aus einem von diesem Staat oder der politischen Unterabteilung oder lokalen Körperschaft errichteten Sondervermögen [...] für die diesem Staat oder der Unterabteilung oder lokalen Körperschaft geleisteten Dienste gezahlt werden"; diese Ruhegehälter können nur im Kassenstaat besteuert werden (vgl. Art. 19 Ziff. 2 lit. a DBA CH-LKA; Art. 19 Ziff. 2 lit. a DBA CH-PHL). Die Steuerverwaltung vertritt den Standpunkt, die A._ AG (als frühere Arbeitgeberin von B._) bzw. die Abteilung D._ (als frühere Arbeitgeberin von C._) fielen unter die Ausnahmebestimmungen von Art. 19 Ziff. 2 lit. a DBA CH-LKA bzw. Art. 19 Ziff. 2 lit. a DBA CH-PHL.
3.2. Eine mit Art. 19 Ziff. 2 lit. a DBA CH-LKA bzw. Art. 19 Ziff. 2 lit. a DBA CH-PHL wörtlich übereinstimmende Regelung findet sich in Art. 18 Ziff. 2 lit. a des Abkommens zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und dem Königreich Thailand zur Vermeidung der Doppelbesteuerung auf dem Gebiet der Steuern vom Einkommen vom 12. Februar 1996 (DBA CH-TH; SR 0.672.974.51). Zu dieser Bestimmung hat das Bundesgericht kürzlich festgehalten, es "sei nicht einzusehen, weshalb sich der Ansässigkeitsstaat seines Besteuerungsrechts begeben soll[te], wenn der Kassenstaat die betreffende Tätigkeit auf einen Rechtsträger des Privatrechts übertragen ha[be], selbst wenn der Kassenstaat sämtliche Kapitalanteile an diesem privatrechtlichen Rechtsträger h[alte] oder ihn auf andere Weise kontrollier[e]" (vgl. Urteil 2C_510/2018 vom 6. Februar 2020 E. 6.1). Weil die Beschwerdeführerin nicht aufzeigt, inwiefern Art. 19 Ziff. 2 lit. a DBA CH-LKA bzw. Art. 19 Ziff. 2 lit. a DBA CH-PHL einen anderen Regelungsgehalt aufweisen könnten, als Art. 18 Ziff. 2 lit. a DBA CH-TH, ist auf diese Rechtsprechung auch vorliegend abzustellen.
3.3. Zum hier massgeblichen Zeitpunkt der Pensionierung von B._ und C._ (vgl. Urteil 2C_510/2018 vom 6. Februar 2020 E. 5.4) waren die A._ AG bzw. die Abteilung D._ selbst nach der Darstellung der Beschwerdeführerin bereits als rechtlich verselbständigte Gesellschaften des Privatrechts konstituiert. Damit arbeiteten B._ und C._ nicht für einen Vertragsstaat, eine politische Unterabteilung oder eine lokale Körperschaft im Sinne von Art. 19 Ziff. 2 lit. a DBA CH-LKA bzw. Art. 19 Ziff. 2 lit. a DBA CH-PHL. Die ihnen ausgerichteten Renten unterliegen nach Art. 18 Ziff. 1 DBA CH-LKA bzw. Art. 18 DBA CH-PHL der alleinigen Besteuerung durch Sri Lanka bzw. die Philippinen als Ansässigkeitsstaaten. Die Vorinstanz hat damit kein Bundes- oder Völkerrecht verletzt, indem sie der Schweiz bzw. dem Kanton Bern das Besteuerungsrecht abgesprochen und die Aufhebung der Verfügungen der Steuerverwaltung durch die Steuerrekurskommission bestätigt hat.
4.
Die Beschwerde erweist sich damit sowohl hinsichtlich der direkten Bundessteuer als auch hinsichtlich der Kantons- und Gemeindesteuern als unbegründet. Sie ist abzuweisen.
Die Kosten des Verfahrens sind dem Kanton Bern aufzuerlegen, da er Vermögensinteressen verfolgt (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet, da sich die Vorsorge A._ im vorliegenden Verfahren nicht hat vernehmen lassen und ihr damit auch kein ersatzfähiger Aufwand entstanden ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Kanton Bern auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Februar 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner