Faits :
A.
Le 24 juin 2015, A._, qui avait bénéficié d'une rente entière d'invalidité du 1er août 1994 au 30 septembre 1998, a présenté une nouvelle demande de prestations de l'assurance-invalidité. Par décision du 25 juin 2019, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) lui a alloué une rente entière dès le 1er mai 2016. Entre autres éléments, il a tenu compte d'une aggravation de l'état de santé en se fondant sur le rapport du docteur B._, médecin du Centre d'expertise médicale X._, spécialiste en rhumatologie, du 15 avril 2019; il a fixé la survenance de cette aggravation au 22 mai 2015 après avoir requis l'avis du docteur C._, médecin de son Service médical régional (du 24 avril 2019).
B.
Sur recours de l'assurée, qui ne contestait que la date de la naissance du droit à la rente, la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève a réformé la décision administrative litigieuse en ce sens qu'elle a fixé le début du droit à la rente entière au 1er décembre 2015 (arrêt du 18 février 2021).
C.
L'office AI forme un recours en matière de droit public contre cet arrêt, dont il sollicite l'annulation. Il conclut, principalement, à la confirmation de sa décision et, subsidiairement, au renvoi de la cause au tribunal cantonal pour complément d'instruction.
L'intéressée conclut à l'irrecevabilité du recours et, subsidiairement, à son rejet tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
A l'inverse de ce que prétend l'intimée, l'écriture du recourant ne saurait être considérée comme un "recours anonyme". Elle comporte la signature lisible du responsable du service juridique de l'office AI et d'un juriste - même s'il eût été préférable que leur nom y figure en toutes lettres -, sans qu'il y ait lieu de douter de leur pouvoir de représentation (cf. art. 15 al. 1 du règlement genevois du 23 mars 2005 d'exécution de la loi relative à l'office cantonal des assurances sociales [RSG J4 18.01]).
2.
Le recours en matière de droit public (au sens des <ref-law>) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par cette dernière (<ref-law>). Cependant, il peut rectifier les faits ou les compléter d'office s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Le recourant ne peut critiquer les faits que s'ils ont été constatés de façon manifestement inexacte ou contraire au droit et si la correction d'un tel vice peut influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
3.
En l'espèce, est seule litigieuse la question de savoir si l'intimée à déjà droit à une rente entière d'invalidité à partir du 1er décembre 2015 ou seulement à partir du 1er mai 2016, date retenue par le recourant.
4.
L'arrêt attaqué expose les normes pertinentes pour la résolution du litige, soit l'<ref-law>, concernant le droit à la rente, et l'<ref-law>, relatif à sa naissance. Il suffit d'y renvoyer.
5.
La juridiction cantonale a constaté que le docteur B._ avait attesté une aggravation de la situation médicale, mais s'était montré incapable de fixer précisément la date à laquelle elle était survenue, ajoutant toutefois que l'intervention pratiquée en juillet 2016 avait accentué "un tableau clinique très péjoré". Elle a en outre relevé que cette date avait été fixée au 22 mai 2015 par le docteur C._ en référence à un rapport d'imagerie par résonance magnétique (IRM), établi le 22 mai 2015, qui avait mis en évidence des troubles dégénératifs sévères. Elle a considéré qu'eu égard à leur nature dégénérative, les troubles objectivés n'étaient pas apparus brusquement. Elle a jugé au contraire que, dans la mesure où la réalisation d'une IRM avait forcément été précédée par des investigations que des symptômes douloureux avaient rendues nécessaires, il était hautement vraisemblable que les troubles en question étaient déjà présents six mois avant l'examen du 22 mai 2015, soit en décembre 2014. Elle en a déduit que le délai de carence d'une année était arrivé à échéance en décembre 2015, soit six mois après le dépôt de la nouvelle demande de prestations. Elle a dès lors fixé la naissance du droit à la rente au 1er décembre 2015 au lieu du 1er mai 2016.
6.
Le recourant reproche au tribunal cantonal d'avoir arbitrairement apprécié les preuves en considérant comme hautement vraisemblable l'aggravation de l'état de santé de l'assurée au cours du mois de décembre 2014. Il soutient en substance que cette appréciation repose sur des conjectures ou des considérations d'ordre général qui s'écartent des éléments objectifs du dossier, ce qui n'était pas le cas de l'appréciation du docteur C._ sur laquelle se fondait sa décision. Celui-ci avait en effet fixé la date de la survenance de l'aggravation sur la base des rapports d'IRM établis les 22 mai et 25 juin 2015; son appréciation trouvait confirmation dans le rapport du docteur D._, spécialiste en neurologie, du 4 septembre 2015.
7.
Manifestement fondé, le recours doit être admis selon la procédure simplifiée de l'<ref-law>. En effet, en fixant le début du droit à la rente au 1er décembre 2015, les premiers juges ont procédé à des suppositions reposant sur le caractère évolutif des troubles dégénératifs affectant l'intimée sans tenir compte de l'ensemble des rapports médicaux figurant au dossier. Or comme l'allègue le recourant, les troubles évoqués ont été objectivés pour la première fois à l'occasion des IRM effectuées en mai et juin 2015 (dont les rapports ont du reste motivé la nouvelle demande de prestations) et c'est leur évolution significative ("changement manifeste de la présentation clinique") entre cette époque et septembre 2015 qui a incité le docteur D._ à requérir un avis neurochirurgical. Dans ces circonstances, il était parfaitement légitime pour le recourant de faire remonter la détérioration de la situation médicale au mois de mai et, par conséquent, de fixer le début du droit à la rente en mai 2016. En adoptant un point de vue contraire à la situation de fait, sans avancer d'éléments objectifs pour confirmer l'existence de douleurs six mois avant les examens IRM, la juridiction cantonale a donc fait preuve d'arbitraire (sur cette notion, cf. notamment <ref-ruling> consid. 3.2.5; <ref-ruling> consid. 2.4 et les références). L'argumentation de l'intimée fondée sur une aggravation progressive de son état de santé depuis 2008 ne repose pas davantage sur des éléments objectifs mis en évidence notamment par le docteur C._. Elle ne saurait être suivie. Il convient dès lors d'annuler l'arrêt attaqué et de confirmer la décision administrative litigieuse: l'intimée a droit à une rente entière à partir du 1er mai 2016 seulement.
8.
Vu l'issue du litige, les frais de justice sont mis à la charge de l'intimée (<ref-law>). La cause est renvoyée au tribunal cantonal pour nouvelle décision sur les frais et les dépens de la procédure antérieure (art. 67 et 68 al. 5 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. L'arrêt de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 18 février 2021 est annulé et la décision de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève du 25 juin 2019 confirmée.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3.
La cause est renvoyée à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure antérieure.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 31 janvier 2022
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Cretton