Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1978) stammt aus dem Irak. Das Amt für Migration des Kantons Luzern lehnte am 9. September 2021 sein Gesuch um Kantonswechsel ab, wogegen er an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern gelangte, welches sein Verfahren am 7. Dezember 2021 bis zu einem rechtskräftigen Entscheid im Kanton Bern über die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A._ sistierte. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern wies die hiergegen gerichtete Beschwerde am 2. Februar 2022 ab.
1.2. A._ ist in diesem Zusammenhang am 6. Februar 2022 an das Bundesgericht gelangt. Die Begründung seiner Eingabe beschränkte sich auf eine Notiz auf dem angefochtenen Entscheid, dass er mit dem Urteil "nicht einverstanden" sei. Die Bundesgerichtskanzlei teilte ihm hierauf am 9. Februar 2022 mit, dass seine Eingabe den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht genügen dürfte, er aber seine Eingabe noch bis zum Ablauf der Beschwerdefrist verbessern könne. Am 19. Februar 2022 teilte er dem Gericht mit, dass er in Luzern arbeite und sein Sohn - wie er - dort wohne und er "der Meinung" sei, dass er in Luzern oder in der Schweiz leben dürfe.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 des Bundesgerichtsgesetzes (BGG; SR 173.110) haben Rechtsschriften an das Bundesgericht die Begehren und die Begründung zu enthalten. Diese muss sachbezogen sein und sich auf den Gegenstand des angefochtenen Entscheids beziehen. Die beschwerdeführende Partei muss in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Urteils massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form plausibel darlegen, inwiefern die Vorinstanz Rechte oder Rechtsnormen verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2).
2.2. Die vorliegenden Eingaben genügen diesen Anforderungen nicht: Verfahrensgegenstand bildet die Frage der Sistierung des Beschwerdeverfahrens vor dem Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern. Hierzu äussert sich der Beschwerdeführer nicht; er legt nicht dar, inwiefern das angefochtene Urteil in diesem Punkt Recht verletzen würde. Seine Begründung ist nicht sachbezogen. Soweit er seinem Schreiben vom 19. Februar 2022 verschiedene Unterlagen beilegt, übersieht er, dass es nicht am Bundesgericht ist, nach allfälligen Rechtsverletzungen zu forschen.
2.3.
2.3.1. Auf die Beschwerde ist durch die Abteilungspräsidentin im Verfahren nach Art. 108 (Abs. 1 lit. b) BGG nicht einzutreten.
2.3.2. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer die Verfahrenskosten zu tragen (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, mitgeteilt.
Lausanne, 22. Februar 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar