Sachverhalt:
A.
A.a. Im Rahmen einer von B._ gegen A.A._ angehobenen Betreibung nahm das Betreibungsamt Birmensdorf die Pfändungen Nr. xxx ff. vor. Erfasst wurde unter anderem das Grundstück an der C._-Strasse in U._, welches im hälftigen Miteigentum des Schuldners und seiner Ehegattin B.A._ steht. Mit Eingabe vom 11. Dezember 2018 erhoben die Ehegatten gegen B._ beim Bezirksgericht Dietikon je eine Klage auf Aberkennung von diversen Ansprüchen im Lastenverzeichnis.
A.b. Das Bezirksgericht forderte A.A._ mit Verfügung vom 13. Dezember 2018 zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 32'100.-- innert zehn Tagen auf. Sein daraufhin eingereichtes Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wurde infolge Aussichtslosigkeit am 8. März 2019 abgewiesen. Nachdem das Obergericht die von A.A._ dagegen erhobene Beschwerde wegen Verletzung der Begründungspflicht gutgeheissen hatte, befasste sich das Bezirksgericht wiederum mit dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und wies es am 2. September 2019 erneut ab. Dem Beschwerdeweiterzug an das Obergericht war kein Erfolg beschieden. Das Bundesgericht trat mit Urteil 5A_957/2019 vom 5. Dezember 2019 auf die von A.A._ dagegen erhobene Beschwerde nicht ein.
A.c. Am 12. Dezember 2019 setzte das Bezirksgericht A.A._ eine nicht erstreckbare Nachfrist von sieben Tagen an, um den Kostenvorschuss vom Fr. 32'100.-- zu überweisen. Hierauf ergänzte A.A._ seine Klage und reichte ein neuerliches Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ein. Mit Verfügung vom 10. Januar 2020 setzte das Bezirksgericht A.A._ mit Hinweis auf die Säumnisfolgen eine letzte Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses an, nachdem es sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit abgewiesen hatte.
B.
A.A._ focht die bezirksgerichtliche Verfügung beim Obergericht des Kantons Zürich an, welches seine Beschwerde am 4. August 2020 abwies, soweit es darauf eintrat.
C.
Das Bezirksgericht trat in der Folge mit Verfügung vom 12. August 2020 auf die Klage von A.A._ auf Aberkennung von Ansprüchen im Lastenverzeichnis nicht ein, nachdem dieser den verlangten Kostenvorschuss auch nach einer letzten Nachfrist nicht geleistet hatte.
Das Bezirksgericht trat in der Folge mit Verfügung vom 12. August 2020 auf die Klage von A.A._ auf Aberkennung von Ansprüchen im Lastenverzeichnis nicht ein, nachdem dieser den verlangten Kostenvorschuss auch nach einer letzten Nachfrist nicht geleistet hatte.
D. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 14. September 2020 ist A.A._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils vom 4. August 2020 und die Rückweisung der Sache im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz.
Er stellt ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
Mit Verfügung vom 18. November 2020 wies die Instruktionsrichterin das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung ab.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, indes keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt.
Die Beschwerde von B.A._ wird in einem separaten Verfahren (5A_746/2020) beurteilt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Entscheid einer letzten kantonalen Instanz mit dem diese die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bezirksgericht geschützt hat. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der praxisgemäss einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG, <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.1). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1). Dort geht es um Ansprüche im Lastenverzeichnis im Hinblick auf die Zwangsverwertung einer Liegenschaft und damit um eine Zivilsache mit Vermögenswert. Die Beschwerde in Zivilsachen ist somit gegeben (Art. 72 ff., Art. 74 Abs. 1 lit. b und 75 Abs. 1 BGG).
1.2. Der Beschwerdeführer ist als Schuldner und Miteigentümer der zur Verwertung anstehenden Liegenschaft vom angefochtenen Entscheid besonders berührt und insoweit zur Anfechtung berechtigt (Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG). Er hat nach wie vor ein praktisches Interesse an der Beurteilung seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege, obwohl das Bezirksgericht in der Zwischenzeit - aber einzig - über die Hauptsache entschieden hat.
1.3. Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.2). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen, wobei hier das Rügeprinzip gilt (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.4). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann von Amtes wegen Ergänzungen und Berichtigungen vornehmen, sofern sich der Sachverhalt als offensichtlich unrichtig erweist (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Neue Tatsachen und Beweise sind nur zulässig, soweit der vorinstanzliche Entscheid dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG), was in der Beschwerde näher darzulegen ist (<ref-ruling> E. 3).
2.
Anlass zur Beschwerde geben die Anforderungen, die im Hinblick auf die Gutheissung eines erneuten Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege erfüllt sein müssen. Von Interesse sind vorliegend die Prozesschancen.
2.1. Nach Art. 117 ZPO hat eine Person Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Die unentgeltliche Rechtspflege umfasst die Befreiung von Vorschuss- und Sicherheitsleistungen (Art. 118 Abs. 1 lit. a ZPO) und, sofern es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes (Art. 118 Abs. 1 lit. b ZPO). Mit diesen Bestimmungen wird der verfassungsmässige Anspruch nach Art. 29 Abs. 3 BV auf Gesetzesstufe konkretisiert (<ref-ruling> E. 4.1). Die vom Bundesgericht zum Begriff der Aussichtslosigkeit gemäss dieser Verfassungsbestimmung entwickelte Praxis ist auch für die Auslegung von Art. 117 lit. b ZPO zu berücksichtigen. Als aussichtslos sind demnach Begehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet (<ref-ruling> E. 2.2.4).
2.2. Im vorliegenden Fall hat sich das Bezirksgericht und das Obergericht im Verfahren auf Aberkennung eines Anspruchs im Lastenverzeichnis bereits mit verschiedenen Gesuchen des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege befasst. Es ist unstrittig, dass jederzeit in neues Gesuch gestellt werden kann, sofern sich die tatsächlichen Verhältnisse seit dem letzten Entscheid wesentlich verändert haben (vgl. STAEHELIN/STAEHELIN/GROLIMUND, Zivilprozessrecht, 3. Aufl. 2019, § 16 Rz. 67; RÜEGG/RÜEGG, in: Basler Kommentar, ZPO, 3. Aufl. 2017, N. 1a zu Art. 119; TAPPY, in: Commentaire romand, CPC, 2. Aufl. 2019, N. 17 zu Art. 119). Das erneute Gesuch ist allerdings unverzüglich nach Kenntnisnahme der (echten) Noven zu stellen. Dieser Grundsatz (Art. 229 Abs. 1 ZPO) gilt auch im summarischen Verfahren, welches für die Beurteilung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege zur Anwendung gelangt (Art. 119 Abs. 3 ZPO).
2.3. In seiner Verfügung vom 10. Januar 2020 kam das Bezirksgericht zum Schluss, dass die vom Beschwerdeführer eingereichten Unterlagen aus der Verwertung anderer Liegenschaften nicht ansatzweise genügen, um die teilweise Tilgung der Forderung des Beschwerdegegners glaubhaft zu machen. Zudem sei dem Beschwerdeführer bereits in vorangegangenen Verfahren erörtert worden, dass die Bestreitung dieser Position nicht im Lastenbereinigungsverfahren erfolgen könne. Ohnehin wären die mit Eingabe vom 30. Dezember 2019 vorgebrachten neuen Tatsachen verspätet erfolgt, laute das Datum des letzten Novums doch vom 4. Dezember 2019. Damit ändere die behauptete Reduktion der Forderung nichts an der bisherigen Bewertung der fehlenden Prozesschancen.
2.4. Im anschliessenden Beschwerdeverfahren erläuterte die Vorinstanz dem Beschwerdeführer die gesetzlichen Anforderungen an die Begründung seiner Rechtsbegehren. Insbesondere betonte sie dabei, dass die blosse Wiederholung von bereits im vorangegangenem Verfahren Gesagtem unzureichend sei. Zudem erläuterte sie dem Beschwerdeführer die Notwendigkeit, sich mit jeder einzelnen Erwägung des angefochtenen Entscheides auseinanderzusetzen, falls dieser auf mehreren Begründungen ruhe. Konkret habe das Bezirksgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege aus verschiedenen Gründen nicht bewilligt. Da der Beschwerdeführer jedoch einzig auf das Argument, sein Novum sei verspätet, eingegangen sei, erweise sich die Begründung seiner Beschwerde als ungenügend.
2.5. Soweit der Beschwerdeführer nunmehr eine Reihe von Vorwürfen gegenüber dem Bezirksgericht erhebt, ist darauf nicht einzutreten. Dessen Verfügung bildet nicht Gegenstand des Verfahrens vor Bundesgericht. Ebenso bleiben seine Schilderungen zum aktuellen Stand der Zwangsverwertung verschiedener Liegenschaften unberücksichtigt, da sie keinen Zusammenhang zur Frage der Prozessaussichten erkennen lassen und keine tatbeständliche Grundlage im angefochtenen Urteil haben.
2.6. Der Beschwerdeführer vertritt die Ansicht, dass er seine Beschwerde an das Obergericht rechtsgenüglich begründet habe. Insbesondere habe er darlegt, dass er sein Novum rechtzeitig - nämlich bereits im erstinstanzlichen Verfahren - vorgebracht habe. Mit diesen Vorbringen übergeht der Beschwerdeführer die ihm von der Vorinstanz darlegten Anforderungen an eine Beschwerde, soweit der angefochtene Entscheid auf einer Mehrfachbegründung beruht. Dies ist vorliegend der Fall. Das Bezirksgericht hat sich nämlich in seiner Verfügung nicht nur mit der Zulässigkeit eines Novums auseinandergesetzt, sondern weitere Argumente für die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege angeführt. Vor Obergericht ist der Beschwerdeführer darauf nicht eingegangen. Die diesbezüglichen Erwägungen der Vorinstanz übergeht er und macht stattdessen vor Bundesgericht in allgemeiner Weise die Verletzung seines rechtlichen Gehörs geltend. Damit kann er seine ungenügende Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Urteil nicht wettmachen.
3.
Nach dem Gesagten kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werde n. Zufolge Aussichtslosigkeit der Begehren ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG). Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdeführer die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Januar 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante