Sachverhalt:
A.
A.a. A._ war zusammen mit seiner Schwester D._ Mitglied der Geschäftsleitung der russischen Bank B._. Deren Geschäftsleitungsmitglieder stehen seit einiger Zeit unter Verdacht, seit Mai 2013 eine kriminelle Organisation gebildet und der Bank illegal hohe Vermögenswerte entzogen zu haben.
Am 18. Dezember 2015 geriet die Bank B._ wegen Überschuldung unter provisorische Verwaltung und Aufsicht der russischen Zentralbank. Am 21. Januar 2016 entzog diese der Bank B._ die Banklizenz. Sie untersteht heute der Konkursverwaltung durch die russische Corporation C._.
D._ wurde am 22. Dezember 2015 in Russland wegen Betrugsverdachts verhaftet. Am 12. Mai 2017 folgte ebenda die Verurteilung zu einer neunjährigen Freiheitsstrafe, die später im Berufungsverfahren auf 8.6 Jahre reduziert wurde.
A.b. A._ lebt hauptsächlich in Grossbritannien. Er ist Inhaber verschiedener Schweizer Bankkonten und an einer Vielzahl von Unternehmen wirtschaftlich berechtigt, die ebenfalls über Bankkonten in der Schweiz verfügen. Darauf werden Vermögenswerte aus betrügerischen Handlungen zum Nachteil der Bank B._ vermutet.
A._ steht in Russland wegen Betrugs zum Nachteil der Bank B._ in Strafuntersuchung. In der Schweiz läuft gegen ihn eine von der Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich geführte Strafuntersuchung wegen ungetreuer Geschäftsbesorgung zum Nachteil des Verbands E._ sowie im Zusammenhang mit beiden Strafvorwürfen wegen Geldwäscherei (Verfahrensnummer "..."). Dazu stellte die Schweiz 2016 ein Rechtshilfegesuch an Russland.
A._ ist überdies in ein gerichtliches Zivilverfahren in England involviert. In diesem Zusammenhang gibt es offenbar eine sog. "Worldwide freezing order" des englischen Gerichts, die ihn insbesondere unter Strafandrohung im Unterlassungsfall dazu verpflichtet, sein gesamtes Vermögen offenzulegen.
A.c. Am 7. Dezember 2017 bzw. 28. Februar 2018 stellte der russische Staat bei der Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich ein Rechtshilfegesuch im Zusammenhang mit der in Russland hängigen Strafuntersuchung. Das Rechtshilfeverfahren unter der Verfahrensnummer 2018/10013154 ist noch nicht abgeschlossen.
A.d. Am 21. Juni 2019 beantragte die Bank B._ in Liq., handelnd durch ihre Konkursverwaltung, die Rechtsstellung einer geschädigten Person und zugleich die vollumfängliche Akteneinsicht in der von der Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich geführten Strafuntersuchung. Mit Verfügung vom 4. Juli 2019 gab die Staatsanwaltschaft diesem Antrag statt. In der Folge stellte die Staatsanwaltschaft der Bank B._ in Liq. das Verzeichnis der Akten der fraglichen Strafuntersuchung zu.
B.
A._ erhob am 18. Juli 2019 beim Obergericht des Kantons Zürich Beschwerde gegen die Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 4. Juli 2019. Mit Beschluss vom 2. Juli 2020 hiess das Obergericht, III. Strafkammer, die Beschwerde teilweise gut und hob die Verfügung der Staatsanwaltschaft in dem Sinne auf, dass der Bank B._ in Liq. das Recht auf Akteneinsicht nur mit der Auflage gewährt werde, "von den eingesehenen Akten keinerlei Kopien (z.B. Photokopien mit Kopiergerät o.ä.) und keinerlei Aufnahmen (z.B. mit Smart Phone, Tablet oder sonstigen Geräten) " zu erstellen; im Übrigen wies das Obergericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 7. August 2020 an das Bundesgericht beantragt A._, den Beschluss des Obergerichts vom 2. Juli 2020 aufzuheben und der Bank B._ in Liq. im gegen ihn geführten Strafverfahren keine Geschädigtenstellung und keine Akteneinsicht zu gewähren; eventuell sei ihr keine Akteneinsicht einzuräumen, bis das bei der Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich hängige Verfahren über das russische Rechtshilfegesuch abgeschlossen sei; subeventuell sei die Staatsanwaltschaft anzuweisen, "alle Akten zu sondieren, welche Teil des Rechtshilfeverfahrens [...] sind oder sein können und diese Akten seien der Bank B._ in Liq. selbst unter Gewährung der Geschädigtenstellung im von der Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich gegen den Beschwerdeführer geführten Verfahren ("...") nicht zu editieren bis das bei der Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich hängige Rechtshilfeverfahren mit der Ziffer "..." rechtskräftig abgeschlossen ist"; überdies sei gegenüber der Bank B._ in Liq. anzuordnen, dass sie alle ihr bereits zugestellten Akten aus dem Verfahren "...", insbesondere das entsprechende Aktenverzeichnis, bis zum rechtskräftigen Abschluss des Rechtshilfeverfahrens nicht verwenden dürfe und diese Akten zu vernichten habe. Ausserdem erging ein Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung. Zur Begründung wird im Wesentlichen geltend gemacht, der Bank B._ in Liq. fehle es an den Voraussetzungen für die Anerkennung als Geschädigte und die Erteilung der Akteneinsicht sei rechtswidrig bzw. solange unzulässig, als nicht rechtskräftig über das russische Rechtshilfegesuch entschieden sei.
Die Bank B._ in Liq. stellt Antrag auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei; eventuell sei ihr die Geschädigtenstellung zuzusprechen und ihr unter Anordnung angemessener Schutzmassnahmen Akteneinsicht zu gewähren. Die Staatsanwaltschaft schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht verzichtete auf eine Stellungnahme.
A._ äusserte sich am 30. Oktober 2020 nochmals zur Sache. Am 23. März 2021 reichte er unaufgefordert eine weitere Eingabe ein.
D.
Mit Verfügung vom 8. September 2020 erteilte der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über die Gewährung der Geschädigtenstellung und die Akteneinsicht an die Beschwerdegegnerin in einem gegen den Beschwerdeführer in der Schweiz laufenden Strafverfahren. Parallel dazu ist in der Schweiz ein Rechtshilfegesuch Russlands hängig im Zusammenhang mit einer weiteren Straftat, deren der Beschwerdeführer in Russland beschuldigt wird und die Vortat des in der Schweiz untersuchten Vorwurfs der Geldwäscherei bildet.
1.2. Im vorliegenden Fall ist nicht ein Entscheid aus dem Rechtshilfeverfahren, sondern ein solcher aus dem schweizerischen Strafverfahren angefochten. Streitgegenstand bilden jedoch sowohl (in einer ersten Fragestellung) die Geschädigten- und damit Parteistellung der Beschwerdegegnerin als auch daran anknüpfend deren Akteneinsichtsrecht. Parallel dazu ist ein Rechtshilfegesuch Russlands im Zusammenhang mit einem anderen Strafvorwurf hängig. Zwar handelt es sich beim angefochtenen Urteil lediglich um einen Zwischenentscheid im Strafverfahren. Das Bundesgericht ist in insofern konstanter und klarer Rechtsprechung zur vorliegenden Konstellation mit Blick auf <ref-law> sowie ergänzend <ref-law> aber immer davon ausgegangen, dass die entsprechenden Entscheide angesichts der mit einem Endentscheid vergleichbaren Rechtsfolgen selbstständig angefochten werden können (vgl. <ref-ruling> E. 1.1.1; <ref-ruling> E. 2b S. 203 ff.; Urteil des Bundesgerichts 1C_368/2014 vom 7. Oktober 2014 E. 1.1). Daran ändert nichts, ob parallel bereits ein Rechtshilfeverfahren hängig ist oder nicht. In beiden Konstellationen bewirkt ein Entscheid über die Gewährung oder Verweigerung der Geschädigten- bzw. Parteistellung einen irreversiblen Nachteil für die dadurch belastete Person.
1.3. Hingegen erscheint die Rechtsprechung des Bundesgerichts als nicht einheitlich zur Frage, welches Rechtsmittel ans Bundesgericht in Streitsachen zu ergreifen ist, in denen wie hier ein Straf- neben einem Rechtshilfeverfahren durchgeführt wird und Interessenkollisionen auftreten können. Verschiedentlich hat das Bundesgericht entschieden, dass in solchen Konstellationen bei Vorliegen eines engen Konnexes von Straf- und Rechtshilfeverfahren mit Blick auf die strittige mögliche Übermittlung von (noch) vertraulichen Informationen aus dem Strafverfahren und die entsprechenden rechtshilferechtlichen Grundsätze die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> und nicht die Beschwerde in Strafsachen gemäss <ref-law> zur Anwendung gelange. Dies gelte nicht nur, wenn sich der Staat als Geschädigter am Strafverfahren beteilige, sondern auch, wenn die einer Privatklägerschaft gewährte Einsicht in die Strafuntersuchungsakten die Gefahr nach sich ziehe, dass Informationen an die um Rechtshilfe ersuchende ausländische Behörde gelangen könnten, bevor die zuständige schweizerische Rechtshilfebehörde über die Zulässigkeit einer solchen Information entschieden hat (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 297 f. und Urteil des Bundesgerichts 1C_368/2014 vom 7. Oktober 2014 E. 1 für den Fall einer als Geschädigte auftretenden Privatklägerschaft mit gewissen Verbindungen zum um Rechtshilfe ersuchenden Staat sowie BGE <ref-ruling> E. 2 S. 201 ff. für den Fall eines ausländischen Staates, der ein Rechtshilfegesuch stellt und sich zugleich selbst als Geschädigter am schweizerischen Strafverfahren beteiligt). Dabei spielte es keine Rolle, ob sich die Verfahrensbeteiligten auf die Bestimmungen des Rechtshilferechts beriefen oder nicht.
1.4. In einem von der Ausgangslage her (insbesondere mit dem Urteil 1C_368/2014 vom 7. Oktober 2014) vergleichbaren Fall erachtete das Bundesgericht hingegen die Beschwerde in Strafsachen als anwendbar (Urteil 1B_457/2013 vom 28. Januar 2014). In einem weiteren Urteil 1B_364/2013 vom 6. Januar 2014 erklärte das Bundesgericht die Beschwerde in Strafsachen ebenfalls als anwendbar für den Fall, dass im angefochtenen Entscheid die Akteneinsicht verweigert worden sei. Es handelte sich im Wesentlichen um den gleichen Streitfall wie beim Urteil 1C_368/2014, nur dass bei der ersten Beschwerde von 2013 die staatlich kontrollierte Privatklägerin gegen die Verweigerung von Parteirechten sowie insbesondere der Akteneinsicht Beschwerde erhob, währenddessen bei der zweiten Beschwerde von 2014 der Beschuldigte gegen die in der Folge der staatlich kontrollierten Privatklägerin erteilte teilweise Gewährung des Aktenzugangs vorging. Bei Verweigerung von Parteistellung und Akteneinsicht soll demgemäss die Beschwerde in Strafsachen offenstehen, weil sich diesfalls die Problematik der Umgehung der Rechtshilfevorschriften angeblich nicht stellt, bei ganzer oder teilweiser Gewährung hingegen die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Diese Differenzierung überzeugt nicht, denn zumindest bei der Frage der Akteneinsicht ist die rechtliche Fragestellung dieselbe und der Ausgang des vorinstanzlichen Verfahrens ist für die Bestimmung des Rechtsmittels an das Bundesgericht grundsätzlich ohne Belang. Das Bundesgericht hat diese, soweit ersichtlich, einmalige Rechtsprechung in der Folge auch nicht weiterverfolgt.
1.5. Die Unterscheidung der Beschwerde in Strafsachen nach <ref-law> von derjenigen in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bei der Internationalen Rechtshilfe in Strafsachen gemäss <ref-law> ist nicht bedeutungslos. Für die erste gelten keine besonderen Zulassungsvoraussetzungen sowie eine ordentliche Beschwerdefrist von 30 Tagen (<ref-law>), und es sind die Gerichtsferien zu berücksichtigen (<ref-law>). Überdies gilt für die Rechtsvertretung das Anwaltsmonopol (<ref-law>). Für die zweite gelangt hingegen ohne Geltung von Gerichtsferien (<ref-law>) eine verkürzte Beschwerdefrist von lediglich zehn Tagen (<ref-law>) zur Anwendung und ihre Zulässigkeit setzt einen besonders bedeutenden Fall voraus (<ref-law>), den die Beschwerdeführer nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ausreichend begründen müssen (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 am Ende). Ob in Rechtshilfeverfahren in Strafsachen das Anwaltsmonopol gilt, erscheint zumindest fraglich (<ref-law> e contrario). Es ist daher für die Rechtssuchenden wichtig, zu wissen, welches Rechtsmittel sie ergreifen müssen. Und es ist auch für die Vorinstanzen des Bundesgerichts von Bedeutung, welche Beschwerdeart sie in ihren Rechtsmittelbelehrungen anzugeben haben. Obwohl die Kombination von Straf- und Rechtshilfeverfahren und die damit verbundene Problematik der Vermeidung eines verfrühten Informationsflusses vom Straf- ins Rechtshilfeverfahren eine nicht allzu häufige Konstellation darstellt, erscheint es an der Zeit, hierzu Klarheit beim Rechtsmittelsystem zu schaffen.
1.6. In diesem Sinne kann es zunächst keine Rolle spielen, wie der angefochtene Entscheid ausgefallen ist. Das Rechtsmittel ist so oder so immer dasselbe. Ebenfalls unbeachtlich bleibt, ob im angefochtenen Entscheid oder von den Beteiligten im Beschwerdeverfahren die einschlägigen Gesetzesbestimmungen über die Rechtshilfe ausdrücklich angeführt bzw. angerufen werden. Mit dem im Bundesgerichtsgesetz verankerten Grundsatz der Einheitsbeschwerde kaum vereinbar wäre sodann, im Sinne einer Gabelung der Rechtsmittel für die Parteistellung die Beschwerde in Strafsachen und für die Akteneinsicht diejenige in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vorzusehen. Das wäre den Betroffenen kaum vermittelbar und überdies mit erheblichen Fallstricken verbunden, die der Gesetzgeber beim Erlass des Bundesgerichtsgesetzes gerade zu verringern bzw. zu vermeiden beabsichtigte. Anwendbar kann daher nur eine der beiden fraglichen Beschwerdearten sein.
1.7. Am Anfang der bisherigen Rechtsprechung stand mit BGE <ref-ruling> ein Urteil von 2001, das mithin noch unter altem Verfahrensrecht vor Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes ergangen ist. Damals gab es noch keine dem <ref-law> entsprechende Sondernorm mit den heutigen speziellen Regeln für die Fälle der Rechtshilfe in Strafsachen. Der Bestimmung des anwendbaren Rechtsmittels kam daher auch noch nicht die gleiche Tragweite zu wie heute. Entsprechende Auswirkungen und damit auch Schwierigkeiten bei der Festlegung der anwendbaren Beschwerdeart ergaben sich im Wesentlichen erst nach Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes. Ausgangspunkt bleibt aber so oder so, dass es um die Parteistellung und Akteneinsicht in einem Strafverfahren geht. In verfahrenstechnischer Hinsicht überwiegen denn auch die strafprozessualen Gesichtspunkte. Insbesondere richten sich die Parteistellung und die Akteneinsicht primär nach den Regeln der Strafprozessordnung. Das Rechtshilfeverfahren steht im Hintergrund. Inhaltlich zeitigt es zwar Auswirkungen auf die Rechtslage und muss insoweit berücksichtigt werden. Ist namentlich im Strafverfahren die Akteneinsicht strittig und ist gleichzeitig ein Rechtshilfeverfahren hängig, stellt sich mit Blick auf den in der Rechtshilfe geltenden Vertraulichkeits- und Geheimhaltungsschutz (vgl. insbesondere Art. 80b Abs. 2 und 3 IRSG) die Frage der Umgehung der Rechtshilferegeln unabhängig davon, ob diese ausdrücklich angerufen werden und ob die Vorinstanz den Aktenzugang verweigert oder gewährt hat. Das führt aber nicht dazu, dass das Strafverfahren seinen vorrangigen Charakter verliert und bereits zu einem Rechtshilfeverfahren mutiert. Es bleibt ein Strafverfahren, in dem lediglich ergänzend einzelne Gesichtspunkte der Rechtshilfe zu berücksichtigen sind. Insgesamt rechtfertigt es sich daher, in solchen Fällen in Abweichung zur bisherigen Rechtsprechung integral und ausschliesslich die Beschwerde in Strafsachen nach <ref-law> mit den entsprechenden für die Betroffenen weitgehend vorteilhafteren Voraussetzungen zuzulassen, und zwar unabhängig davon, ob dem Bundesgericht die Streitpunkte der Parteistellung und der Akteneinsicht einzeln oder zusammen mit Beschwerde vorgelegt werden.
1.8. Im vorliegenden Fall bilden sowohl die Frage der Geschädigtenstellung als auch der Akteneinsicht im Strafverfahren den Streitgegenstand. Die dem Beschwerdeführer im Straf- wie dem Rechtshilfeverfahren jeweils vorgeworfenen Delikte hängen eng zusammen, soll doch die in Russland verfolgte mutmassliche Straftat eine von mehreren Vortaten der in der Schweiz untersuchten Geldwäscherei bilden. Der Beschwerdeführer beruft sich denn auch auf das mögliche Risiko, dass Unterlagen aus dem schweizerischen Strafverfahren den russischen Strafverfolgungsbehörden vor Abschluss des Rechtshilfeverfahrens verfrüht bekannt werden könnten. Eine solche Gefahr lässt sich nicht verneinen. Zwar ist strittig, inwieweit auf Seiten der Beschwerdegegnerin die Konkursverwaltung einer Pflicht zur Herausgabe von Akten oder Informationen an die russischen Strafverfolgungsbehörden unterliegt. Es ist auch nicht eindeutig, wieweit es sich dabei um eine staatliche Behörde handelt bzw. wieweit die Konkursverwaltung der Kontrolle bzw. den Weisungen des russischen Staates untersteht. So oder so lässt sich aber nicht verhindern, dass die russischen Strafverfolgungsbehörden die Beschwerdegegnerin zur Übermittlung von Akten oder Informationen verpflichten und dies erzwingen könnten. Obwohl der russische Staat bzw. die russischen Strafverfolgungsbehörden nicht selbst direkt im schweizerischen Strafverfahren involviert sind, besteht demnach die Gefahr, dass sie unabhängig vom Rechtshilfeverfahren aufgrund der allfälligen Akteneinsicht der Beschwerdegegnerin verfrüht zu strafrechtlich massgeblichen Informationen kommen könnten, über deren Herausgabe an sich im Rechtshilfeverfahren zu entscheiden wäre. Damit gibt es zwar einen engen Konnex zwischen dem Straf- und Rechtshilfeverfahren. Wie dargelegt, kommt es darauf aber bei der Bestimmung des anwendbaren Rechtsmittels nicht an. So oder so gelangt einzig die Beschwerde in Strafsachen zur Anwendung.
1.9. Die Zulassungsvoraussetzungen der Beschwerde in Strafsachen nach <ref-law> sind hier ohne weiteres erfüllt. Im Übrigen durfte sich der Beschwerdeführer ohnehin auf die nicht offensichtlich falsche, sondern gemäss dem vorliegenden Entscheid vielmehr sogar zutreffende Rechtsmittelbelehrung im angefochtenen Entscheid stützen, in der ausschliesslich die Beschwerde in Strafsachen als Rechtsmittel ans Bundesgericht angegeben war.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer war am vorinstanzlichen Verfahren beteiligt und ist Adressat des angefochtenen Entscheids und Beschuldigter im Strafverfahren. Er wird durch die Gewährung der Geschädigtenstellung sowie durch die Akteneinsicht an die Beschwerdegegnerin beschwert und zwar unabhängig davon, dass das Obergericht die Einsicht beschränkt hat. Er verfügt damit über ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Beschlusses. Damit ist er in beiden Streitpunkten zur Beschwerde legitimiert (vgl. <ref-law>).
2.2. Mit Beschwerde an das Bundesgericht kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht geltend gemacht werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft jedoch unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.5 S. 144). Besonders zu begründen ist die behauptete Verletzung von Grundrechten (<ref-law>).
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>) und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen oder auf Rüge hin nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 107 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
3.
3.1. Am 23. März 2021 reichte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht unaufgefordert eine nachträgliche Eingabe ein, in der er geltend macht, es seien schon verschiedentlich ihn betreffende Informationen nach aussen gelangt, und zwar insbesondere in ein in Liechtenstein laufendes sowie in das in England hängige Verfahren.
3.2. Nach <ref-law> dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt. Diesen Zusammenhang legt der Beschwerdeführer nicht zureichend dar. Ohnehin unzulässig ist die Anrufung von Umständen, die erst nach dem angefochtenen Entscheid eingetreten sind, mithin von sog. echten Noven. Die neu vorgebrachten Argumente sind damit nicht zu hören. Sie wären im Übrigen auch nicht ausschlaggebend, da der Beschwerdeführer nicht über einen Anspruch auf absolute Geheimhaltung verfügt (vgl. hinten E. 6.4 und 6.5).
4.
4.1. Umstritten ist die Zulässigkeit des als Antrag 4 gestellten Rechtsbegehrens in der Beschwerdeschrift, wonach alle der Beschwerdegegnerin bereits zugestellten Akten aus dem Strafverfahren, namentlich das entsprechende Aktenverzeichnis, bis zum rechtskräftigen Abschluss des Rechtshilfeverfahrens nicht verwendet werden dürften bzw. zu vernichten seien.
4.2. Die Staatsanwaltschaft gab am 4. Juli 2019 dem bei ihr eingereichten Gesuch der Beschwerdegegnerin um Gewährung der Geschädigtenstellung und Akteneinsicht statt und eröffnete diese Verfügung den Parteien am 9. Juli 2019. Am 18. Juli 2019 reichte der Beschwerdeführer dagegen Beschwerde beim Obergericht ein, stellte jedoch erst am 19. Juli 2019 Antrag auf Erteilung der aufschiebenden Wirkung. Diese wurde vom Obergericht am 23. Juli 2019 gewährt. Nach <ref-law> kam der Beschwerde bis dahin keine aufschiebende Wirkung zu. Die Verfügung war damit vom 9. bis zum 23. Juli 2019 theoretisch vollstreckbar. In dieser Zeitspanne stellte die Staatsanwaltschaft der Beschwerdegegnerin das fragliche Aktenverzeichnis zu. Zu einer weiteren Akteneinsicht kam es vorerst nicht, offenbar weil die Akten zunächst hätten entsprechend aufbereitet werden müssen. Mit der Erteilung des Suspensiveffekts durch das Obergericht entfiel die Vollstreckbarkeit vorerst. Ob die Staatsanwaltschaft vor Herausgabe des Aktenverzeichnisses das Ende der Beschwerdefrist bzw. den Entscheid über die aufschiebende Wirkung hätte abwarten müssen, wie der Beschwerdeführer behauptet, kann hier offenbleiben.
4.3. Die Frage der Nichtverwendung und Vernichtung des bereits der Beschwerdegegnerin übermittelten Aktenverzeichnisses bildete nicht Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens. Der Beschwerdeführer stellte weder vor der Staatsanwaltschaft noch vor dem Obergericht einen entsprechenden Antrag. Der Streitpunkt zählt damit auch nicht zum Streitgegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens. Nach <ref-law> sind vor dem Bundesgericht neue Begehren ausgeschlossen. Auf den Antrag 4 der Beschwerdeschrift ist demnach nicht einzutreten.
5.
5.1. Strittig ist zunächst, ob die Beschwerdegegnerin überhaupt als Geschädigte im Strafverfahren zuzulassen ist.
5.2. Nach <ref-law> gilt als geschädigt die Person, die durch die Straftat in ihren Rechten unmittelbar verletzt worden ist. Dazu gehört, wer Träger des durch die fraglichen Strafbestimmungen geschützten oder zumindest mitgeschützten Rechtsguts ist (<ref-ruling> E. 3.2 S. 157 f.). Die geschädigte Person kann sich als Privatklägerin konstituieren (<ref-law>). Eine konkursite juristische Person behält die Stellung als Geschädigte auch im Liquidationsstadium und wird im Strafverfahren durch die Konkursverwaltung vertreten (vgl. <ref-ruling> E. 3.4.4 S. 160 f.).
5.3. Der Tatbestand der Geldwäscherei nach <ref-law> schützt vorab die Strafrechtspflege bei der Durchsetzung des staatlichen Einziehungsanspruchs. Geschützt werden nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung aber auch individuelle Rechtsgüter und dabei insbesondere die Vermögensinteressen des durch die Vortat Geschädigten (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 325 ff.). Bei der Vortat muss es sich um ein Verbrechen im Sinne von <ref-law> oder um ein qualifiziertes Steuervergehen handeln (vgl. <ref-law>). Der Täter wird auch bestraft, wenn die Haupttat im Ausland begangen wurde und diese ebenfalls am Begehungsort strafbar ist (<ref-law>). Nach der mehrfach bestätigten Rechtsprechung des Bundesgerichts kann überdies Täter sein, wer das von ihm gewaschene Geld selbst durch ein Verbrechen oder ein qualifiziertes Steuervergehen erlangt hat (vgl. <ref-ruling> E. 7a S. 132; <ref-ruling> E. 3 S. 276 ff.; <ref-ruling> E. 3 S. 217 ff.; Urteil des Bundesgerichts 6B_295/2019 vom 8. August 2019 E. 1.4).
5.4. Der Beschwerdeführer wird verdächtigt, Betrugsdelikte zum Nachteil der Beschwerdegegnerin begangen und die dadurch erlangten Vermögenswerte auf verschiedenen Bankkonten in der Schweiz versteckt zu haben. Der Tatbestand des Betrugs schützt das Vermögen des Getäuschten, steht unter einer Strafdrohung von einer Freiheitsstrafe bis zu fünf Jahren und zählt daher zu den Verbrechen im Sinne von <ref-law>. Die Beschwerdegegnerin als durch diese Vortaten mutmasslich in ihren Vermögensrechten Geschädigte kann demnach im Strafverfahren, handelnd durch ihre Konkursverwaltung, im Zusammenhang mit dem Tatvorwurf der Geldwäscherei Geschädigtenstellung beanspruchen. Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, ist nicht geeignet, die insofern schlüssigen Erwägungen und Folgerungen des Obergerichts in Frage zu stellen. Insbesondere setzte sich das Bundesgericht mit der vom Beschwerdeführer angerufenen Kritik an seiner Rechtsprechung schon wiederholt auseinander (vgl. die in E. 5.3 zitierte Rechtsprechung). Der Beschwerdeführer trägt insoweit keine neuen Argumente vor, so dass kein Anlass besteht, darauf zurückzukommen.
6.
6.1. Einer im Strafverfahren zugelassenen geschädigten Person stehen die entsprechenden Parteirechte zu, namentlich der Anspruch auf rechtliches Gehör und dabei insbesondere das Akteneinsichtsrecht nach <ref-law> sowie <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Dazu zählt das Recht, Unterlagen einzusehen, zu kopieren oder abzubilden und darüber Notizen zu verfassen. Dies soll namentlich einer geschädigten Person die Grundlage für den Entscheid darüber verschaffen, ob sie sich als Zivilklägerin konstituieren will. Das rechtliche Gehör kann gemäss <ref-law> jedoch eingeschränkt werden, wenn der begründete Verdacht besteht, dass eine Partei ihre Rechte missbraucht (lit. a) oder dies für die Sicherheit von Personen oder zur Wahrung öffentlicher oder privater Geheimhaltungsinteressen erforderlich ist (lit. b). Die Einschränkungen sind zu befristen oder auf einzelne Verfahrenshandlungen zu begrenzen (Abs. 3); besteht der Grund für die Einschränkung fort, dürfen die Strafbehörden Entscheide nur so weit auf Akten, die einer Partei nicht eröffnet worden sind, stützen, als ihr von deren wesentlichem Inhalt Kenntnis gegeben wurde (Abs. 4); fällt der Grund für die Einschränkung weg, ist das rechtliche Gehör in geeigneter Form nachträglich zu gewähren (Abs. 5).
6.2. Mit dem Obergericht ist davon auszugehen, dass die mögliche Verwendung von im schweizerischen Strafverfahren als geschädigte Person erlangten Informationen und Unterlagen im in England hängigen Zivilverfahren weder rechtsmissbräuchlich ist noch an vom Beschwerdeführer ausreichend belegten Geheimhaltungsinteressen scheitert. Es ist daher nicht erforderlich, die insofern etwas unklare Sachlage im Zusammenhang mit dem englischen Zivilverfahren vertiefter abzuklären, was im Übrigen auch der Beschwerdeführer selbst nicht rechtsgenüglich geltend macht. Ebenso wenig ist zu beanstanden, dass das Obergericht das Argument des Beschwerdeführers, aus politischen Gründen verfolgt zu werden, und seine Behauptung, seine Schwester erleide "folterähnliche" Haftbedingungen, als pauschal und nicht nachgewiesen beurteilte. Jedenfalls vermag er nicht darzutun, dass die entsprechenden Erwägungen des Obergerichts auf offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellungen beruhten oder bundesrechtswidrig wären (vgl. vorne E. 2.2 und 2.3).
6.3. Ein Grund zur Einschränkung des Akteneinsichtsrechts kann hingegen im Zusammenhang mit dem in der Schweiz hängigen Rechtshilfeverfahren bestehen. Nach Art. 80b Abs. 2 und 3 IRSG kann die Akteneinsicht bei einer entsprechenden Interessenlage eingeschränkt und bei Vorliegen von Geheimhaltungsgründen sogar ganz verweigert werden. Auch im Strafprozess kann, wie bereits erwähnt, gemäss <ref-law> das rechtliche Gehör aufgrund massgeblicher Interessen eingeschränkt werden. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung gilt insofern, dass grundsätzlich keine Informationen aus einem Strafverfahren in der Schweiz an den in einem parallelen Verfahren um Rechtshilfe ersuchenden Staat gelangen dürfen, solange das Rechtshilfeverfahren nicht rechtskräftig abgeschlossen ist. Dies liegt sowohl im privaten Interesse der beschuldigten Person als auch im öffentlichen Interesse der Durchsetzung des Rechtshilferechts. Die entsprechende Einschränkung des Akteneinsichtsrechts findet in <ref-law> sowie durch Analogieschluss in Art. 80b Abs. 2 und 3 IRSG eine gesetzliche Grundlage. Handelt es sich beim Geschädigten um den ausländischen Staat, der selbst um Rechtshilfe ersucht, liegt die Gefahr nahe, dass mit der Gewährung der Akteneinsicht dem Rechtshilfeentscheid vorgegriffen wird. Ein entsprechendes Risiko besteht aber auch, wenn eine private Person als Geschädigte Parteistellung erlangt mit der Möglichkeit, dass Informationen aus dem in der Schweiz geführten Strafverfahren nach der Akteneinsicht in das ausländische Strafverfahren fliessen. In solchen Fällen ist das Aktensichtsrecht der als Geschädigte zugelassenen Person bis zum Abschluss des Rechtshilfeverfahrens zu suspendieren oder einzuschränken. Dabei ist das Verhältnismässigkeitsprinzip zu wahren und die Einschränkung der Akteneinsicht zeitlich zu begrenzen. Grundsätzlich ist jedoch spätestens vor Abschluss des Strafuntersuchungsverfahrens vollständige Aktensicht zu gewähren, abgesehen von einem ausnahmsweise bleibenden überwiegenden Geheimhaltungsinteresse, in welchem Fall allerdings das Verwendungsverbot gemäss <ref-law> droht. Bei der Einschränkung des Akteneinsichtsrechts kommt den Strafbehörden ein gewisses Ermessen zu. Mildere Massnahmen wie das Verbot von Aufzeichnungen oder die Zusage der Nichtverwendung von Informationen im ausländischen Strafverfahren müssen geeignet erscheinen, ein Unterlaufen des Rechtshilfeverfahrens durch frühzeitige Kenntnisgabe zu vermeiden, dürfen umgekehrt aber auch nicht die Parteirechte der geschädigten Person übermässig einschränken (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 298 ff.; <ref-ruling> E. 4 S. 206 ff.; Urteile des Bundesgerichts 1C_368/2014 vom 7. Oktober 2014 und 1A.63/2004 vom 17. Mai 2004; ROBERT ZIMMERMANN, Les rapports entre l'entraide judiciaire internationale et la procédure pénale nationale, in: SJ 2018 II, S. 1 ff., insbes. S. 12 ff.). Diese muss insbesondere die Möglichkeit erhalten, zeitgerecht die erforderlichen Informationen zu erlangen, um rechtzeitig den Entscheid fällen zu können, ob sie sich als Privatklägerin am Strafverfahren konstituieren will, wäre doch mit einer verspäteten Beteiligung ein gewisses Risiko verbunden, ihre Verfahrensrechte nicht vollständig wahrnehmen zu können.
6.4. Im vorliegenden Fall sind in der Schweiz parallel ein Rechtshilfegesuch des russischen Staates im Zusammenhang mit dem gegen den Beschwerdeführer laufenden Strafverfahren in Russland wegen Betrugs zulasten der Beschwerdegegnerin sowie ein Strafverfahren in der Schweiz gegen den Beschwerdeführer wegen ungetreuer Geschäftsbesorgung zulasten des russischen Verbands E._ hängig. Wird der Beschwerdegegnerin Akteneinsicht gewährt, besteht eine gewisse, wenn auch nur schwer einschätzbare Gefahr, dass die russischen Strafverfolgungsbehörden in Umgehung des Rechtshilfeverfahrens vorzeitig Kenntnis wesentlicher Informationen für ihr Strafverfahren erhalten könnten (dazu vorne E. 1.8). Der Beschwerdeführer beantragt deswegen, die von der Staatsanwaltschaft gewährte Akteneinsicht ganz zu verweigern oder zumindest die Staatsanwaltschaft anzuweisen, alle Akten auszusondern, die Teil des russischen Rechtshilfeverfahrens sind oder sein können, und diese von der Akteneinsicht auszuschliessen. Gemeint sind damit die Akten im Zusammenhang mit der in Russland untersuchten Vortat des Betrugs zum Nachteil der Beschwerdegegnerin. Demgegenüber gewährte die Staatsanwaltschaft die vollständige Akteneinsicht, was das Obergericht mit der Auflage verknüpfte, dass von den eingesehenen Akten keine Kopien und Aufnahmen erstellt werden dürfen. Wie das Obergericht zutreffend ausführt, fällt die Einholung von Zusicherungen wie die Nichtverwendung von Informationen im russischen Strafverfahren nicht in Betracht, da der russische Staat nicht Partei des schweizerischen Strafverfahrens ist und die Beschwerdegegnerin keine Gewähr bieten könnte, solche Zusicherungen auch einzuhalten. Selbst eine Auflage gegenüber der Beschwerdegegnerin, die erhaltenen Akten oder Informationen nicht an die russischen Strafverfolgungsbehörden weiterzugeben, wäre letztlich nicht durchsetzbar und damit wirkungslos, da sie vom russischen Staat trotzdem zur Herausgabe gezwungen werden könnte. Was für sonstige geeignetere Schutzmassnahmen als die verfügten in Betracht fielen, ist nicht ersichtlich. Als Alternative käme nur die vollständige Verweigerung der Akteneinsicht in Frage. Das wäre indessen unverhältnismässig, steht es der Beschwerdegegnerin doch zu, ihre Rechte im Strafverfahren zeitgerecht wahrzunehmen. Der Beschwerdeführer hat keinen Anspruch auf absolute Geheimhaltung. Das Rechtshilfeverfahren soll zwar nicht unterlaufen werden. Dass vereinzelt Informationen aus dem Strafverfahren über die Verfahrensbeteiligten, soweit diese nicht einer gesetzlichen Verschwiegenheitspflicht unterstehen, vorzeitig nach aussen gelangen, liesse sich höchstens durch die vorübergehende Einstellung des Strafverfahrens bis zum Abschluss des Rechtshilfeverfahrens verhindern. Dafür bräuchte es aber entsprechende überwiegende Interessen, die hier nicht ersichtlich sind.
6.5. Auch wenn es mithin keine absolute Garantie dafür gibt, dass Informationen aus dem schweizerischen Strafverfahren über Aussagen von Zeugen oder Auskunftspersonen ins russische Strafverfahren eingehen könnten, so ist doch davon auszugehen, dass der Wert solcher Beweismittel beschränkt wäre. Angesichts des dem Obergericht zustehenden Ermessens ist der angefochtene Entscheid daher insoweit nicht zu beanstanden, zumal zurzeit nicht ersichtlich ist, dass der Beschwerdeführer bleibende überwiegende Geheimhaltungsinteressen hätte, welche die Gewährung der Akteneinsicht an die Beschwerdegegnerin selbst über den rechtskräftigen Abschluss des Rechtshilfeverfahrens hinaus zu hindern vermöchten. Jedenfalls trägt der Beschwerdeführer insoweit keine Argumente vor, die den Beschluss des Obergerichts als bundesrechtswidrig erscheinen liessen. Damit ist auch dem vor Bundesgericht vom Beschwerdeführer gestellten Subeventualbegehren, die Akten aus dem Rechtshilfeverfahren auszusondern, d.h. diejenigen Unterlagen, die den Betrugsvorwurf gegenüber der Beschwerdegegnerin betreffen, nicht stattzugeben. Im Übrigen erschiene eine solche Aussonderung auch unangebracht, nachdem der Betrugstatbestand als Vortat zur mutmasslichen Geldwäscherei mituntersucht wird und eine auf den letzteren Tatvorwurf beschränkte Akteneinsicht aufgrund des engen Konnexes der Vor- zur Haupttat kaum realisierbar und sinnvoll sein dürfte.
6.6. Im Unterschied zum vor Bundesgericht gestellten Subeventualbegehren hatte der Beschwerdeführer vor dem Obergericht subsidiär beantragt, die Akten des in der Schweiz hängigen Strafverfahrens wegen ungetreuer Geschäftsbesorgung zum Nachteil des russischen Verbands E._ von der Akteneinsicht auszuschliessen, da die Beschwerdegegnerin insofern kein zureichendes Interesse nachweise. Das Obergericht trat auf den Antrag jedoch nicht ein, weil es der Beschwerdeführer unterlassen habe, diesen ausreichend zu substanziieren. Es überliess es vielmehr ausdrücklich der Staatsanwaltschaft, "wie sie bei Gewährung der Akteneinsicht allenfalls dem Umstand Rechnung tragen will, dass die Beschwerdegegnerin... lediglich Einsicht in die Akten betreffend Geldwäscherei, nicht aber betreffend ungetreue Geschäftsbesorgung beantragte". Die Staatsanwaltschaft ersucht in ihrer Stellungnahme an das Bundesgericht insofern im Bedarfsfall um Klarstellung. Der fraglichen Erwägung im angefochtenen Entscheid kommt indes keine verbindliche Rechtswirkung zu, nahm das Obergericht doch im Dispositiv seines Beschlusses keine förmliche Änderung der staatsanwaltschaftlichen Verfügung vom 4. Juli 2019 vor. Im Übrigen ist auch die Begründung lediglich als unverbindliche Handlungsmöglichkeit ohne weitergehende Rechtsfolge abgefasst. Nachdem der Beschwerdeführer den obergerichtlichen Entscheid insofern nicht oder jedenfalls nicht zureichend vor dem Bundesgericht anficht, ist darauf nicht weiter einzugehen.
7.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 65 BGG). Überdies hat er die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 4'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Mai 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Uebersax