Sachverhalt:
A.
A._ ist seit Dezember 2011 Halterin der Bergamasker-Hündin B._ (geb. 2011). Im Jahr 2014 übernahm sie mit Hund C._ (geb. 2012) zusätzlich einen belgischen Schäferhund.
A.a. Die beiden Hunde B._ und C._ waren an folgenden aktenkundigen Vorfällen beteiligt:
15. September 2014: Die Hündin B._ biss beim Hinterherrennen im öffentlichen Bereich einen Jack-Russel-Terrier und verursachte eine Hautperforation im Analbereich.
4. November 2014: Vier Hunde, darunter die Hündin B._ und der Hund C._, gingen gleichzeitig bellend auf eine andere Hundehalterin zu. Diese wurde durch den Hund C._ gebissen und erlitt eine Hautperforation am Unterschenkel.
14. Dezember 2014: Die Hündin B._ verhielt sich sehr aggressiv gegenüber einer anderen angeleinten Hündin und versuchte diese zu beissen. Dem Sohn von A._ gelang es vorerst nicht die Hündin B._ zu sich zu rufen, um sie anzuleinen. Kurz nachdem er die Hündin B._ angeleint hatte, liess er sie wieder von der Leine, worauf sie erneut um die andere Hündin herumrannte und diese verbellte.
18. Januar 2015: Als der älteste Sohn von A._ die beiden Hunde C._ und B._ im öffentlichen Raum ausführte, hatte er Mühe diese zu kontrollieren. Während beide kläfften und sich gegenseitig anstachelten, verletzte Hund C._ einen anderen Hund. Dieser erlitt dabei eine Hautperforation am Gesäss, einen Muskelriss sowie eine Abdomenperforation.
28. April 2015: Der Hund C._ biss in Italien einen Jogger, wobei beiden Hunden C._ und B._ eine aktive Rolle zugekommen sei. Jedenfalls waren beide Hunde nicht angeleint und die Aufsichtsperson zu weit weg, um einzugreifen.
Infolge dieser Vorfälle liess A._ den Hund C._ am 13. Mai 2015 einschläfern. Das Veterinäramt des Kantons Zürich (nachfolgend "Veterinäramt") sah vorerst davon ab, Massnahmen gegen die Hündin B._ zu verfügen und wies A._ mit Schreiben vom 9. Juli 2015 darauf hin, dass bei erneuten Vorfällen weitere Abklärungen und verwaltungsrechtliche Massnahmen in Betracht gezogen würden.
A.b. Am 19. September 2015 ging eine in der Nachbarschaft von A._ wohnhafte Hundehalterin mit ihrem Mann und Hund am Haus von A._ vorbei. Zeitgleich rannte die Hündin B._ durch die offene Haustür auf den anderen Hund zu. Während sie versuchte, ihren Hund an sich zu ziehen, um ihn zu schützen, zog sich die benachbarte Hundehalterin eine Verletzung am Bein zu. In der Folge liess sich allerdings nicht erstellen, ob die Verletzung durch die Hündin B._ verursacht wurde. Die in diesem Zusammenhang eingeleitete Strafuntersuchung wegen mangelnder Beaufsichtigung eines Hundes gegen A._ wurde vom Statthalteramt des Bezirks Affoltern (Kanton Zürich) mittels Verfügung vom 14. Juli 2017 eingestellt.
Am 9. Dezember 2015 wurde die Hündin B._ auf Anordnung des Veterinäramts sodann einem Wesenstest unterzogen. Bei diesem konnte bei der Hündin B._ kein aggressives Verhalten oder eine Gefährdung für Menschen festgestellt werden. Hingegen war die Hündin B._ im Zusammenspiel mit anderen Hunden lange nicht abrufbar und gab optische sowie akustische Drohsignale von sich. Zudem war eine Kontrolle durch die Hundehalterin A._ nur teilweise sichtbar.
B.
Mit Verfügung vom 26. Januar 2016 erliess das Veterinäramt für die Hündin B._ eine Leinenpflicht (Dispositiv-Ziff. I). Zudem wurde A._ die Pflicht auferlegt, die Hündin B._ in einer gesicherten Weise zu halten, sodass sie nicht unkontrolliert und selbständig öffentlich zugänglichen Raum betreten kann (Dispositiv-Ziff. II). Ferner durfte die Hündin B._ nicht mehr von minderjährigen Personen ausgeführt werden (Dispositiv-Ziff. III). Sodann auferlegte das Veterinäramt die Kosten des Wesenstests und der Verfügung vom 26. Januar 2016 A._ (Dispositv-Ziff. IV und V). Gegen diese Verfügung erhob A._ am 3. Februar 2016 Rekurs bei der Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich, welche das Rechtsmittel mit Verfügung vom 31. Mai 2017 abwies. Ebenso blieb die Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich ohne Erfolg (Urteil vom 5. Juli 2018).
C.
Mit Eingabe vom 13. September 2018 gelangt A._ an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Urteils vom 5. Juli 2018 sowie der auferlegten Massnahmen (Leinenpflicht, Anordnung einer sicheren Haltung und Verbot des Führens des Hundes durch minderjährige Personen). Zudem seien ihr die Kosten für die Wesensbeurteilung im Betrag von Fr. 1153.-- zu erlassen. Des Weiteren verlangt sie, dass ihr die unentgeltliche Prozessführung unter Verbeiständung durch Rechtsanwältin Dr. Béatrice Grob-Andermacher zu erteilen sei.
Während das Veterinäramt mit Eingabe vom 22. Oktober 2018 und die Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich mit Eingabe vom 24. September 2018 die Abweisung der Beschwerde beantragen, verzichtet das Bundesamt für Lebensmittelsicherheit und Veterinärwesen BLV auf eine Vernehmlassung. Die Vorinstanz lässt sich mit Eingabe vom 21. September 2018 vernehmen ohne einen Antrag in der Sache zu stellen. A._ repliziert mit Eingabe vom 20. November 2018.
Der Abteilungspräsident hat der Beschwerde mit Verfügung vom 4. Oktober 2018 teilweise die aufschiebende Wirkung für die Massnahmen der Dispositiv-Ziff. II und III der Verfügung vom 26. Januar 2016 zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die frist- (<ref-law>) und formgerecht (<ref-law>) eingereichte Eingabe betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts und richtet sich gegen das kantonal letztinstanzliche (<ref-law>) verfahrensabschliessende (<ref-law>) Urteil eines oberen Gerichts (<ref-law>). Das Rechtsmittel ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig, da kein Ausschlussgrund vorliegt (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin ist bereits im kantonalen Verfahren als Partei beteiligt gewesen und dort mit ihren Anträgen nicht durchgedrungen, weswegen sie zur Erhebung des Rechtsmittels legitimiert ist (<ref-law>). Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist daher einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten können Rechtsverletzungen nach <ref-law> gerügt werden. Dazu zählen Verstösse gegen Bundes- und Völkerrecht (<ref-law>) sowie interkantonales Recht (<ref-law>). Abgesehen von kantonalen verfassungsmässigen Rechten und Bestimmungen über politische Rechte (<ref-law>) wird hingegen die Anwendung des kantonalen Rechts als solches durch das Bundesgericht nicht überprüft. Die Anwendung der kantonalen Gesetzgebung kann deshalb nur daraufhin überprüft werden, ob sie Bundes-, Völker- oder interkantonales Recht verletzt. Im Vordergrund steht dabei eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte, wozu auch das Willkürverbot nach <ref-law> zählt (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 96; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 251 f.). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), wobei es - unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>) - grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen prüft, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.5 S. 144; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Indes geht das Bundesgericht der angeblichen Verletzung von Grundrechten und von kantonalem Recht nur nach, falls eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232). Diese qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit nach <ref-law> verlangt, dass in der Beschwerde klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt wird, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 5; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
1.3. Seinem Urteil legt das Bundesgericht den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Der von der Vorinstanz festgestellte Sachverhalt kann nur erfolgreich gerügt, berichtigt oder ergänzt werden, wenn er offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (vgl. <ref-law>; <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.6 S. 144 f.; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.). Rügt die beschwerdeführende Partei eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung, haben ihre Vorbringen den Anforderungen von <ref-law> zu genügen (vgl. <ref-ruling> E. 9.2.3.6 S. 96; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255; Urteil 2C_1106/2018 vom 4. Januar 2019 E. 2.2; E. 1.2 hiervor). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
2.
2.1. Im Bereich des Tierschutzes erteilt <ref-law> dem Bund eine umfassende Gesetzgebungskompetenz, die er mit dem Erlass des Tierschutzgesetzes vom 16. Dezember 2005 (TSchG; SR 455) wahrgenommen hat. Gestützt darauf sieht die Tierschutzverordnung vom 23. April 2008 (TSchV; SR 455.1) Vorschriften über die Hundehaltung und den Umgang mit Hunden vor. Zu beachten ist <ref-law>, nach dem die Person, die einen Hund hält oder ausbildet, Vorkehrungen zu treffen hat, damit der Hund Mensch und Tiere nicht gefährdet. Nach <ref-law> sind der zuständigen kantonalen Stelle Vorfälle zu melden, bei denen ein Hund Menschen oder Tiere erheblich verletzt hat oder ein übermässiges Aggressionsverhalten zeigt. Der zuständigen kantonalen Stelle steht es gemäss <ref-law> zu, die erforderlichen Massnahmen anzuordnen. Die Kompetenz des Bundes bezieht sich nur auf den Schutz von Tieren. Im Bereich des Schutzes von Menschen vor gefährlichen Tieren besteht nach geltendem Verfassungsrecht keine Gesetzgebungskompetenz des Bundes. Der Erlass und Vollzug von Vorschriften, welche die Hundehaltung aus Gründen der öffentlichen Sicherheit beschränken, fällt daher in die Kompetenz der Kantone (vgl. Art. 42 f. BV; <ref-ruling> E. 3.2 S. 254; Urteile 2C_545/2014 vom 9. Januar 2015 E. 2.2; 2C_1200/2012 vom 3. Juni 2013 E. 4.1; 2C_49/2010 vom 8. Oktober 2010 E. 4.2; 2C_ 166/2009 vom 30. November 2009 E. 2.2.1).
2.2. Zwecks sicheren und verantwortungsbewussten Umgangs mit Hunden hat der Kanton Zürich das Hundegesetz vom 14. April 2008 (HuG; LS 554.5) erlassen (vgl. § 1 HuG). Gemäss § 9 Abs. 1 HuG sind Hunde so zu halten, zu führen und zu beaufsichtigen, dass sie weder Mensch noch Tier gefährden, belästigen oder in der bestimmungsgemässen und sicheren Nutzung des frei zugänglichen Raumes beeinträchtigen, sowie dass sie die Umwelt nicht gefährden. Das Veterinäramt vollzieht die Aufgaben, die das Hundegesetz der zuständigen Direktion überträgt (§ 1 der Hundeverordnung vom 25. November 2009 des Kantons Zürich [HuV; LS 554.51]). Liegt entweder eine Meldung im Sinne von <ref-law> (§ 3 lit. a HuV i.V.m. § 16 HuG) oder eine bestehende oder zu erwartende Gefährdung der Sicherheit von Mensch und Tier durch einen Hund (§ 3 lit. b HuV) vor, trifft das Veterinäramt Abklärungen und Massnahmen. Die Abklärungen beinhalten insbesondere die Überprüfung des Sachverhalts sowie soweit notwendig eine Wesensbeurteilung des Hundes und die Überprüfung der Haltung (vgl. § 17 Abs. 1 HuG). Als Massnahmen können unter anderem Auflagen zur Haltung und zum Ausführen des Hundes oder eine Leinenpflicht angeordnet werden (vgl. § 18 Abs. 1 HuG).
2.3. Wie sich nachfolgend zeigen wird (vgl. E. 6), wenden die beteiligten kantonalen Behörden ausschliesslich kantonales Recht an. Damit haben die Rügen der Beschwerdeführerin den Anforderungen von <ref-law> zu genügen, wenn sie damit im bundesgerichtlichen Verfahren durchdringen will (vgl. E. 1.2).
3.
Die Beschwerdeführerin bemängelt, dass sie im Zusammenhang mit dem Vorfall vom 19. September 2015 im Verfahren nie angehört und anstelle dessen auf Korrespondenz verwiesen worden sei, die nicht das vorliegende Verfahren betreffe. Damit rügt sie eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör im Sinne von <ref-law>. Dieses Recht ist formeller Natur. Seine Verletzung führt ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels zur Gutheissung der Beschwerde sowie zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids (vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S.17 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 197). Die Rüge ist deshalb vorweg zu behandeln.
3.1. Der Anspruch auf rechtliches Gehör nach <ref-law> dient einerseits der Sachaufklärung, anderseits stellt er ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheides dar, der in die Rechtsstellung des Einzelnen einzugreifen droht. Dazu gehört insbesondere das Recht des Betroffenen, sich vor Fällung eines solchen Entscheids zur Sache zu äussern, erhebliche Beweise beizubringen und Einsicht in die Akten zu nehmen. Wie weit dieses Recht geht, lässt sich nicht generell, sondern nur unter Würdigung der konkreten Umstände beurteilen. Massgebend ist, ob es der Betroffenen ermöglicht worden ist, ihren Standpunkt wirksam zur Geltung zu bringen (vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 17 f.; <ref-ruling> E. 3.2 S. 272; <ref-ruling> E. 5.1 S. 293).
3.2. Die Beschwerdeführerin brachte im vorinstanzlichen Verfahren diverse Zeugenaussagen in schriftlicher Form bei (vgl. E. 1.2 des Urteils vom 5. Juli 2018). Zudem konnte sich die Beschwerdeführerin schriftlich ausführlich zu sämtlichen Vorfällen äussern (vgl. E. 3 des Urteils vom 5. Juli 2018), womit sie sich rechtsgenüglich einbringen und ihrem Standpunkt Ausdruck verleihen konnte. Damit verletzte die Vorinstanz weder den Beweisführungs- noch den Gehörsanspruch. Die Beschwerdeführerin legt im Weiteren nicht dar, inwiefern der Verweis auf Korrespondenz, die nach ihrer Auffassung nicht das vorliegende Verfahren betrifft, Einfluss auf das Urteil vom 5. Juli 2018 hatte. Eine Verletzung von <ref-law> ist daher nicht zu erkennen.
4.
Die Beschwerdeführerin rügt eine willkürliche Würdigung der Beweise zwecks Feststellung des Sachverhalts (nachfolgend E. 5) sowie eine unverhältnismässige und willkürliche Rechtsanwendung bei der Anordnung der Massnahmen betreffend die Hündin B._ (nachfolgend E. 6).
Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn das angefochtene Urteil offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (vgl. <ref-ruling>3 E. 7.1 S. 124; <ref-ruling> E. 4.3 S. 380).
Soweit die Beschwerdeführerin einen Verstoss gegen das Verhältnismässigkeitsprinzip (<ref-law>) vorbringt, handelt es sich dabei nicht um ein verfassungsmässiges Recht, sondern um einen Verfassungsgrundsatz. Das Verhältnismässigkeitsprinzip kann zwar im Rahmen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten direkt und unabhängig von einem Grundrecht angerufen werden. Indessen prüft das Bundesgericht dessen Wahrung bei der Anwendung von kantonalem Recht unter dem Blickwinkel des Willkürverbots, zumal die Beschwerdeführerin keine Verletzung spezieller Grundrechte rügt (vgl. <ref-ruling> E. 5.3.2 S. 7 f.; <ref-ruling> E. 7.3 S. 27 f.; <ref-ruling> E. 4.1 ff. S. 156 ff.).
5.
Die Beschwerdeführerin bringt an verschiedenen Stellen Rügen vor, die den vorinstanzlich ermittelten Sachverhalt betreffen. Diese von der Beschwerdeführerin erhobenen Sachverhaltsrügen genügen über weite Strecken nicht den von <ref-law> gestellten Anforderungen (vgl. E. 1.3).
5.1. Die Beschwerdeführerin rügt, dass im Zusammenhang mit dem Vorfall vom 19. September 2015 eine Aussage zitiert worden sei, die sich nicht aus den Verfahrensakten ergebe (nachfolgend E. 5.1.1) Ferner seien zwei Aktenstücke willkürlich zu Lasten der Beschwerdeführerin ausser Acht gelassen worden (nachfolgend E. 5.1.2). Des Weiteren rügt die Beschwerdeführerin, die Einstellungsverfügung des Statthalteramts des Bezirks Affoltern vom 14. Juli 2017 sei willkürlich nicht zugunsten der Beschwerdeführerin berücksichtigt worden (nachfolgend E. 5.1.3).
5.1.1. Die Vorinstanz bringt in ihrer Vernehmlassung im bundesgerichtlichen Verfahren zutreffend vor, dass sich die zitierte Aussage in den Akten befindet. Es handelt sich dabei um ein Schreiben der Beschwerdeführerin vom 2. Oktober 2015 an das Veterinäramt. Darin legt sie dar, wie einer der Zeugen den Vorfall vom 19. September 2015 wahrgenommen habe. Die Beschwerdeführerin führt zudem in ihrer Beschwerdeschrift an das Bundesgericht selbst aus, dass die Vorinstanz in ihrem Urteil vom 5. Juli 2018 die Aussage der Beschwerdeführerin zitiert. Folglich ist erstellt, dass sich die Vorinstanz in ihrem Urteil vom 5. Juli 2018 nicht auf eine Aussage stützt, die sich nicht in den Verfahrensakten befindet.
5.1.2. Die Beschwerdeführerin hat im vorinstanzlichen Verfahren von derselben Person, deren Schilderung des Vorfalls vom 19. September 2015 im angefochtenen Urteil erwähnt wird (vgl. E. 3.6 des Urteils vom 5. Juli 2018), eine Bestätigung ihres Zeugnisses als Aktenstück eingereicht. Ein zweites Aktenstück betrifft die Aussage der Schwester der Beschwerdeführerin und Partnerin der im angefochtenen Urteil zitierten Person. Die Vorinstanz erwähnt die beiden Aktenstücke als Beweisofferten und begründet, weshalb sie auf die Einvernahme der beiden Zeugen verzichtet hat (vgl. E. 1.2 des Urteils vom 5. Juli 2018). Indem die Vorinstanz aus dem Schreiben der Beschwerdeführerin vom 2. Oktober 2015 zitiert, nimmt sie eine Würdigung der Wahrnehmung eines Zeugen des Vorfalls vom 19. September 2015 vor. Dass sich die Vorinstanz dabei auf die Wahrnehmung des Zeugen lediglich in indirekter Weise bezieht, stellt für sich keine willkürliche Beweiswürdigung dar. Der Vorinstanz kann deshalb nicht vorgeworfen werden, sie habe die beiden Aktenstücke willkürlich zu Lasten der Beschwerdeführerin ausser Acht gelassen.
5.1.3. Die Vorinstanz berücksichtigt die Einstellungsverfügung des Statthalteramts des Bezirks Affoltern vom 14. Juli 2017 (vgl. Ziff. III und E. 3.6 des Urteils vom 5. Juli 2018). Sie anerkennt dabei, dass der Beschwerdeführerin in strafrechtlicher Sicht kein Vorwurf gemacht werden könne. Die Rüge der Beschwerdeführerin, die Einstellungsverfügung sei gänzlich ausser Acht gelassen worden, ist deshalb unbegründet. In der Folge kann der Beschwerdeführerin daher auch nicht gefolgt werden, wenn sie - aufgrund einer nach ihrer Auffassung bestehenden Nichtberücksichtigung der Einstellungsverfügung - eine willkürliche Beweiswürdigung erkennt. Worin eine willkürliche Beweiswürdigung besteht und inwiefern sich dies auf das Ergebnis des angefochtenen Urteils auswirkt, legt die Beschwerdeführerin ausserdem nicht dar. Die Rüge entspricht demzufolge nicht den Anforderungen von <ref-law>.
5.2. An verschiedensten Stellen in ihrer Beschwerdeschrift rügt die Beschwerdeführerin eine willkürliche Beurteilung des Verhaltens der Hündin B._ durch die Vorinstanz. Die angeordneten Massnahmen würden bei richtiger Betrachtung als unverhältnismässig erscheinen.
5.2.1. Nach Auffassung der Beschwerdeführerin erfolgte die Beurteilung des Verhaltens der Hündin B._ immer zusammen mit Hund C._. Das Verhalten der Hündin B._ hätte jedoch für sich alleine beurteilt werden sollen. Darin liege eine willkürliche Beweiswürdigung.
Da die Beschwerdeführerin ursprünglich zwei Hunde hielt und diese jeweils gemeinsam ausführte, lag es in der Natur der Sache, dass die Hunde C._ und B._ bei den Vorfällen jeweils beide involviert waren. Die Vorinstanz würdigte bei sämtlichen gemeinsamen Vorfällen das Verhalten beider Hunde separat (vgl. E. 3.2, E. 3.3, E. 3.4, E. 3.5 des Urteils vom 5. Juli 2018). Zudem berücksichtigte die Vorinstanz auch die Vorfälle, in denen nur die Hündin B._ beteiligt war (vgl. E. 3.1 und E. 3.6 des Urteils vom 5. Juli 2018).
Dieses vorinstanzliche Vorgehen bei der Würdigung des Verhaltens beider Hunde trägt dem Umstand, dass eine separate Betrachtung der Hunde geboten ist, genügend Rechnung. Es kann der Vorinstanz daher nicht vorgeworfen werden, sie habe das Verhalten der Hündin B._ nicht neutral beurteilt. Soweit möglich hat sie eine isolierte Betrachtung ihres Einzelverhaltens vorgenommen. Ebenso darf das Verhalten der Hündin B._ nicht ausschliesslich als Einzelhündin beurteilt werden. Das Verhalten der Hündin B._ zusammen mit anderen Hunden ist genauso elementarer Bestandteil einer gesamtheitlichen Verhaltensbeurteilung wie ihr Verhalten als einzelne Hündin, zumal die Hündin B._ regelmässig in Kontakt mit anderen Hunden kommen dürfte. Folglich ergeben sich aus dem Verhalten der Hündin B._ zusammen mit Hund C._ zusätzliche Erkenntnisse. Es liegt keine willkürliche Beweiswürdigung durch die Vorinstanz vor.
5.2.2. Ferner bringt die Beschwerdeführerin vor, dass der Vorfall vom 14. Dezember 2014 völlig einseitig zu ihren Lasten gewürdigt wurde. Der Vorfall sei völlig harmlos gewesen, da ihr Sohn die Hündin B._, kurz nachdem er sie angeleint hatte, wieder von der Leine lassen konnte.
Der Umstand, dass der Sohn der Beschwerdeführerin den Hund wieder von der Leine liess, ist noch kein Indiz dafür, dass es kein nennenswerter Vorfall war, zumal ja ein zweites Anleinen kurz darauf erneut erforderlich war. Inwiefern die Vorinstanz den Vorfall hätte anders würdigen müssen und wie sich dies auf das Ergebnis ausgewirkt hätte, legt die Beschwerdeführerin nicht dar. Sie kommt insoweit den Anforderungen von <ref-law> i.V.m. <ref-law> damit nicht nach (vgl. E. 1.3).
5.3. Aus dem Dargelegten ergibt sich, dass im bundesgerichtlichen Verfahren keine Veranlassung besteht, von den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen abzuweichen. Zusammenfassend ergibt sich daraus Folgendes: Erstens berücksichtigte die Vorinstanz die Tatsachen und Beweismittel im Zusammenhang mit dem Vorfall vom 19. September 2015 in rechtsgenüglicher Weise. Zweitens resultierte aus der Wesensbeurteilung die Erkenntnis, dass die Hündin B._ nur einen mittelmässigen Gehorsam zeigte und in gewissen Situationen lange nicht abrufbar war. Drittens gab es hinreichend Vorfälle, in denen B._ eine aktive oder passive Rolle einnahm und sie sowohl durch die Hundehalterin als auch durch deren (damals) minderjährigen Kinder nicht (rechtzeitig) kontrolliert werden konnte. Die Wesensbeurteilung zeigt insofern eine Übereinstimmung mit den aktenkundigen Vorfällen. Folglich ist in der vorinstanzlichen Beweiswürdigung zwecks Ermittlung des Sachverhalts keine Willkür zu erkennen.
6.
6.1. Die Beschwerdeführerin bringt vor, der Vorfall vom 19. September 2015 stelle gar keinen meldepflichtigen Vorfall im Sinne von <ref-law> dar. Die angeordneten Massnahmen seien deshalb zu Unrecht und willkürlich ergriffen worden. Ferner habe die Hündin B._ der geschädigten Person keine Verletzung zugefügt, weshalb das Verfahren des Veterinäramts hätte eingestellt werden müssen.
6.1.1. Gemäss § 3 HuV trifft das Veterinäramt Abklärungen und Massnahmen nicht nur bei einer Meldung im Sinne von <ref-law> (vgl. auch § 16 HuG), sondern auch bei einer bestehenden oder zu erwartenden Gefährdung der Sicherheit von Mensch und Tier durch einen Hund (vgl. E. 2.2). Gestützt auf die Voraussetzungen der tierschutzgesetzlichen Meldepflicht kann die Beschwerdeführerin daher nichts zu ihren Gunsten ableiten. Das Veterinäramt darf unabhängig davon, ob die Voraussetzungen von <ref-law> für eine solche Meldung vorliegen, Abklärungen treffen und Massnahmen ergreifen, wenn sie Anhaltspunkte dafür hat, dass eine Gefährdung der Sicherheit von Mensch und Tier durch einen Hund besteht oder zu erwarten ist (vgl. § 3 lit. b HuV i.V.m. § 9 Abs. 1 HuG). Es kann daher offen bleiben, ob sich am 19. September 2015 überhaupt ein meldepflichtiger Vorfall im Sinne von <ref-law> ereignete, da das Tätigwerden der Behörden bereits gestützt auf kantonales Recht möglich war (vgl. § 3 lit. b HuV).
6.1.2. Zugleich ergibt sich daraus auch, dass die Anordnung einer Wesensbeurteilung der Hündin B._ gestützt auf kantonales Recht nicht willkürlich erfolgte. Nachdem die Beschwerdeführerin bereits mit Schreiben vom 9. Juli 2015 darauf hingewiesen wurde, dass bei erneuten Vorfällen weitere Abklärungen und verwaltungsrechtliche Massnahmen in Betracht gezogen würden, erscheint die Anordnung der Wesensbeurteilung im Sinne von § 17 Abs. 1 lit. c HuG nach dem Vorfall vom 19. September 2015 nicht als schlechterdings unhaltbar. Dem Veterinäramt kann deswegen nicht vorgeworfen werden, die Wesensbeurteilung willkürlich angeordnet und die Kosten dafür in willkürlicher Weise der Beschwerdeführerin auferlegt zu haben.
6.2. Im Zusammenhang mit dem Vorfall vom 15. September 2014 rügt die Beschwerdeführerin sodann, die Vorinstanz habe eine leichte Verletzung als erhebliche Verletzung im Sinne von <ref-law> betrachtet. Aus dem angefochtenen Urteil vom 5. Juli 2018 geht jedoch nicht hervor, dass die Vorinstanz die Schwere des Vorfalls vom 15. September 2014 qualifiziert. Sie führt ihn lediglich als einen für das Verhalten der Hündin B._ zu berücksichtigenden Vorfall auf (vgl. E. 3.1 und E. 4.2 des Urteils vom 5. Juli 2018). Weshalb dieses Vorgehen willkürlich sein soll, legt die Beschwerdeführerin nicht genauer dar. Im Weiteren ist nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz überhaupt Bundesrecht und nicht alleinig kantonales Recht anwendete.
7.
Zusammenfassend ergibt sich, dass die Vorinstanz weder den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt hat noch bei der Anwendung des kantonalen Rechts in Willkür verfallen ist. Entsprechend sind die angeordneten Massnahmen willkürfrei mit dem Verhältnismässigkeitsprinzip vereinbar.
8.
Die Beschwerdeführerin beantragt im Weiteren die unentgeltliche Rechtspflege unter Verbeiständung durch die unterzeichnende Vertreterin. Aus der Begründung geht hervor, dass sie die unentgeltliche Rechtspflege für das vorinstanzliche und das bundesgerichtliche Verfahren verlangt (zur Auslegung der Rechtsmittelbegehren nach Treu und Glauben unter Beizug der Beschwerdebegründung vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 317; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 414; Urteil 2C_576/2018 vom 16. November 2018 E. 1.2.3.1). Da die Vorinstanz den Antrag gestützt auf das Verwaltungsrechtspflegegesetz des Kantons Zürich vom 24. Mai 1959 (VRG ZH; LS 175.2) beurteilt (vgl. § 16 VRG ZH), hätte die Beschwerdeführerin zumindest eine Verletzung von <ref-law> rügen müssen. Eine solche Rüge bringt sie indes nicht vor. Ferner geht die Beschwerdeführerin nicht auf die vorinstanzliche Auffassung ein, ihre kantonale Beschwerde sei von Beginn weg als aussichtlos anzusehen. Damit ist die Rüge in Bezug auf das kantonale Verfahren ungenügend im Sinne von <ref-law> (vgl. E. 1.2). Ebenso kann dem Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege zufolge Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels im bundesgerichtlichen Verfahren nicht entsprochen werden (<ref-law>).
9.
Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde in allen Teilen abzuweisen. Diesem Verfahrensausgang entsprechend trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten werden im Umfang von Fr. 1'000.-- der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, und dem Bundesamt für Lebensmittelsicherheit und Veterinärwesen BLV schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Februar 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Zollinger