Sachverhalt:
A.
Die österreichische Staatsangehörige A._ (1966) kam im Dezember 2008 in die Schweiz, um eine Anstellung bei der B._ GmbH in U._ aufzunehmen. Sie erhielt eine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA zwecks Erwerbsaufenthalts bis zum 30. November 2013, die in der Folge um fünf Jahre bis zum 30. November 2018 verlängert wurde.
Am 5. November 2018 ersuchte A._ erneut um Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA. Im Rahmen ihres Gesuchs gab sie an, wegen einer Zwangserkrankung seit dem Jahr 2009 nicht mehr arbeitstätig zu sein. Parallel dazu leitete das Amt für Migration und Zivilrecht des Kantons Graubünden eine Aufenthaltsprüfung ein, nachdem ihm die Sozialversicherungsanstalt Graubünden mitgeteilt hatte, dass A._ Ergänzungsleistungen in der Höhe von jährlich Fr. 19'800.-- beziehe.
B.
Am 20. Juni 2019 verweigerte das Amt für Migration und Zivilrecht, die Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA von A._ zu verlängern, und wies diese an, die Schweiz bis am 20. Juli 2019 zu verlassen. Es begründete seinen Entscheid im Wesentlichen damit, dass A._ ihre Arbeitnehmerinneneigenschaft verloren habe und die Voraussetzungen für einen Aufenthalt ohne Erwerbstätigkeit nicht erfüllt seien. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg (Verfügung des Departements für Justiz, Sicherheit und Gesundheit Graubünden vom 4. August 2020; Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden vom 16. Juni 2021).
C.
Mit Eingabe vom 1. September 2021 gelangt A._ an das Bundesgericht und beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden vom 16. Juni 2021 aufzuheben und von einer Verweigerung der Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung abzusehen. Der Sachverhalt sei zudem zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen; insbesondere ihre gesundheitliche Situation sei vertieft zu prüfen. In prozessualer Hinsicht ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Das Verwaltungsgericht und das Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit beantragen in der Vernehmlassung, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Das Staatssekretariat für Migration liess sich nicht vernehmen.
Das präsidierende Abteilungsmitglied erteilte der Beschwerde am 6. September 2021 aufschiebende Wirkung.

Erwägungen:
1.
1.1. Die frist- (<ref-law>) und formgerecht (<ref-law>) eingereichte Beschwerde richtet sich gegen das verfahrensabschliessende (<ref-law>) Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden vom 16. Juni 2021 (<ref-law>) und betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>). Als österreichische Staatsangehörige kann die Beschwerdeführerin gestützt auf das Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (Freizügigkeitsabkommen, FZA; SR 0.142.112.681) potentiell einen Aufenthaltsanspruch ableiten (vgl. <ref-ruling> E. 1.1). Sinngemäss rügt sie sodann in vertretbarer Weise eine Verletzung von Art. 3 und 8 EMRK. Ein Ausschlussgrund nach <ref-law> ist somit nicht gegeben. Die Beschwerdeführerin ist überdies legitimiert, Rechtsmittel zu erheben (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist unter Vorbehalt des Nachfolgenden einzutreten.
1.2. Unzulässig ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, ihre Situation sei zu Unrecht nicht als allgemeiner Härtefall behandelt worden (<ref-law> [SR 142.20]). Ob die kantonalen Behörden der Beschwerdeführerin wegen eines schwerwiegenden persönlichen Härtefalls eine Bewilligung hätten erteilen müssen, kann das Bundesgericht nicht prüfen, da sich seine Zuständigkeit auf Anspruchsbewilligungen beschränkt (<ref-law>). Bei der Erteilung der damit verbundenen Bewilligung geht es um einen kantonalen Ermessensentscheid im Rahmen von <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1). Da sich ein Anspruch auf Aufenthalt weder aus dem Willkürverbot, dem Rechtsgleichheitsgebot noch dem Verhältnismässigkeitsprinzip ableiten lässt, steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen entsprechende kantonal letztinstanzliche richterliche Entscheide in der Sache nicht offen (vgl. <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 6.2). Diesbezüglich können (im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde) ausschliesslich Rügen bezüglich verfahrensrechtlicher Punkte geltend gemacht werden, deren Verletzung einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommt, soweit das Gericht diese losgelöst von der Frage in der Sache selber beurteilen kann ("Star"-Praxis; <ref-ruling> E. 2 und 4; <ref-ruling> E. 3c). Solche Rügen bringt die Beschwerdeführerin nicht vor.
2.
2.1. Mit der Beschwerde kann namentlich die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), wobei es - unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>) - nur die geltend gemachten Vorbringen prüft, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.5; <ref-ruling> E. 1.4.1). Seinem Urteil legt es den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (<ref-law>). Offensichtlich unrichtig festgestellt ist ein Sachverhalt, wenn er auf willkürlichen Feststellungen beruht (<ref-ruling> E. 4.1.2). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Das Vorbringen von Tatsachen, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid ereignet haben oder erst danach entstanden sind (echte Noven), ist unzulässig (<ref-ruling> E. 1.2).
2.2. Nach <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit). In der Beschwerde ist daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2.2).
3.
Die Beschwerdeführerin rügt zunächst eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Sie macht sinngemäss geltend, die Vorinstanz habe es unterlassen, entscheidrelevante Sachverhaltselemente hinsichtlich der Beendigung ihres Arbeitsverhältnisses sowie ihrer gesundheitlichen Situation zu prüfen. Die entsprechenden Ausführungen der Beschwerdeführerin genügen den Anforderungen der qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit nicht (<ref-law>; vgl. vorstehende E. 2.2). Die Beschwerdeführerin präzisiert weder, welche Beweismittel sie offeriert und die Vorinstanz zu Unrecht nicht abgenommen habe, noch zeigt sie auf, inwiefern die von ihr behauptete Gehörsverletzung für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (vgl. <ref-ruling> E. 3.4). Beim neu eingereichten Schreiben der Psychiatrischen Dienste des Kantons Graubünden vom 31. August 2021 handelt es sich ferner um ein echtes Novum, das im Verfahren vor Bundesgericht unzulässig ist (<ref-ruling> E. 1.2; vgl. vorstehende E. 2.1).
4.
Umstritten ist sodann, ob der Beschwerdeführerin ein Aufenthaltsanspruch nach dem FZA zukommt.
4.1. Ein Arbeitnehmer, der Staatsangehöriger einer Vertragspartei ist und mit einem Arbeitgeber des Aufnahmestaates ein Arbeitsverhältnis mit einer Dauer von mindestens einem Jahr eingeht, erhält eine Aufenthaltserlaubnis mit einer Gültigkeitsdauer von fünf Jahren, gerechnet ab dem Zeitpunkt der Erteilung der Erlaubnis (EU/EFTA-B-Bewilligung; Art. 6 Abs. 1 Anhang I FZA). Gemäss Art. 4 Abs. 1 Anhang I FZA haben die Staatsangehörigen einer Vertragspartei und ihre Familienangehörigen nach Beendigung ihrer Erwerbstätigkeit ein Recht auf Verbleib im Hoheitsgebiet der anderen Vertragspartei. Für Arbeitnehmer verweist Art. 4 Abs. 2 Anhang I FZA auf die Verordnung (EWG) Nr. 1251/70 der Kommission vom 29. Juni 1970 über das Recht der Arbeitnehmer, nach Beendigung einer Beschäftigung im Hoheitsgebiet eines Mitgliedsstaates zu verbleiben (ABl. L 142 vom 30. Juni 1970 S. 24 ff.; nachfolgend: Verordnung Nr. 1251/70). Danach steht das Verbleiberecht demjenigen Arbeitnehmer zu, "der infolge dauernder Arbeitsunfähigkeit eine Beschäftigung im Lohn- oder Gehaltsverhältnis aufgibt, wenn er sich seit mindestens zwei Jahren im Hoheitsgebiet dieses Mitgliedstaats ständig aufgehalten hat" (Art. 2 Abs. 1 Bst. b Verordnung Nr. 1251/70). Die in Art. 2 Abs. 1 Bst. b Verordnung Nr. 1251/70 vorgesehene Voraussetzung der Mindestaufenthaltsdauer von zwei Jahren muss im Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit erfüllt sein, setzt hingegen keine Mindestbeschäftigungsdauer voraus (<ref-ruling> E. 3.6.3 und 3.5.3).
4.2. Die Vorinstanz hat festgestellt, dass die Beschwerdeführerin seit dem 23. März 2009 zu 100 % arbeitsunfähig ist. Die Beschwerdeführerin bestreitet dies nicht. Wie die Vorinstanz ebenfalls festgehalten hat, hielt sich die Beschwerdeführerin am 23. März 2009 noch keine zwei Jahre in der Schweiz auf. Folglich erfüllt sie die Voraussetzung des Mindestaufenthalts nach Art. 2 Abs. 1 lit. b Verordnung Nr. 1251/70 nicht. Der Einwand der Beschwerdeführerin, ihr Arbeitgeber habe ihr erst per 31. August 2017 gekündigt und sie habe bis dahin Umschulungsbemühungen unternommen, ist unbehelflich. Massgebend für die Bemessung der Mindestaufenthaltsdauer von zwei Jahren ist der Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, nicht die (rechtliche) Beendigung des Arbeitsverhältnisses (vgl. vorstehende E. 4.1).
4.3. Die Vorinstanz hat ein Verbleiberecht gestützt auf Art. 4 Anhang I FZA i.V.m. Art. 2 Abs. 1 Bst. b Verordnung Nr. 1251/70 somit zu Recht verneint. Mangels ausreichender finanzieller Mittel besteht auch kein freizügigkeitsrechtlicher Anspruch auf Aufenthalt ohne Erwerbstätigkeit (vgl. Art. 6 FZA i.V.m. Art. 24 Abs. 1 und 2 Anhang I FZA).
5.
Umstritten ist schliesslich, ob sich die aufenthaltsbeendende Massnahme als verhältnismässig i.S.v. Art. 8 Ziff. 2 EMRK sowie vereinbar mit Art. 3 EMRK erweist.
5.1. Die Beschwerdeführerin bringt vor, dass eine Rückkehr nach Österreich ihre prekäre gesundheitliche Verfassung gefährde. Zudem verweist sie auf die familiären Nachteile, die ihr, ihrem volljährigen Sohn sowie ihrem Schweizer Lebenspartner drohen würden.
5.2. Die Verweigerung der Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung muss verhältnismässig sein (vgl. <ref-law>; <ref-law>). Eine umfassende und faire Interessenabwägung erfordern Art. 8 Ziff. 2 EMRK und Art. 36 in Verbindung mit <ref-law>, soweit die Aufenthaltsbeendigung - wie vorliegend - in deren Schutzbereich eingreift.
5.3. Die Beziehung von Konkubinatspaaren fällt nur unter qualifizierten Voraussetzungen (gefestigte eheähnliche Gemeinschaft bzw. konkrete Heiratspläne) unter den Schutz von Art. 8 Ziff. 1 EMRK (<ref-ruling> E. 2.4 und 2.5; Urteil 2C_396/2021 vom 27. Mai 2021 E. 3.2). Ebenso ist bei der Beziehung zwischen Eltern und erwachsenen Kindern praxisgemäss ein besonderes Abhängigkeitsverhältnis erforderlich (Urteil des EGMR Emonet u.a. gegen die Schweiz vom 13. Dezember 2007 [Nr. 39051/03] § 35; <ref-ruling> E. 3.4.2; Urteil 2C_940/2020 vom 9. August 2021 E. 7.3.4). Gemäss vorinstanzlicher Feststellung lebt die Beschwerdeführerin seit 2008 mit ihrem Schweizer Lebenspartner zusammen, der sie in der Vergangenheit durch die Aufnahme eines Kredits finanziell unterstützt hat. Es kann folglich von einer durch Art. 8 Ziff. 1 EMRK geschützten Konkubinatsbeziehung ausgegangen werden. Anders verhält es sich mit der Beziehung zu ihrem volljährigen Sohn. Zwar lebt dieser im gleichen Haushalt wie die Beschwerdeführerin und hat sie zu ihm ein enges Verhältnis, ein besonderes Abhängigkeitsverhältnis macht sie jedoch nicht geltend.
5.4. Bei der Beurteilung der Verhältnismässigkeit zu berücksichtigen sind namentlich der Grad der Integration bzw. die Dauer der bisherigen Anwesenheit sowie die der Betroffenen und ihrer Familie drohenden Nachteile (<ref-ruling> E. 4.3). Art. 8 Ziff. 2 EMRK verlangt eine Abwägung der sich gegenüberstehenden individuellen Interessen an der Erteilung oder Verlängerung der Bewilligung einerseits und der öffentlichen Interessen an deren Verweigerung andererseits; diese müssen jene in dem Sinne überwiegen, dass sich der Eingriff in das Privat- und Familienleben als notwendig erweist (<ref-ruling> E. 4.2; <ref-ruling> E. 4.1.1).
5.5. Medizinische Gründe sprechen gegen eine Aufenthaltsbeendigung, wenn bei einer Rückkehr eine überlebensnotwendige Behandlung nicht erhältlich gemacht werden kann (medizinische Notlage) und die fehlende Möglichkeit der (Weiter-) Behandlung eine drastische und lebensbedrohende Verschlechterung des Gesundheitszustands nach sich ziehen würde (vgl. Urteile 2C_401/2017 vom 26. März 2018 E. 5.5; 2C_192/2017 vom 9. Januar 2018 E. 3.3). Diesbezüglich gelten im Zusammenhang mit Art. 3 EMRK relativ hohe Schwellen (Urteile 2C_401/2017 vom 26. März 2018 E. 5.5; 2C_721/2014 vom 15. Januar 2015 E. 3.2.2; Urteil des EGMR N. gegen das Vereinigte Königreich vom 27. Mai 2008 [Grosse Kammer; Nr. 26565/05] § 29 f. 45; Fanny De Weck, Das Rückschiebungsverbot aus medizinischen Gründen nach Art. 3 EMRK, in: Jusletter vom 18. März 2013 Rz. 6 ff.). Die schweizerischen Behörden sind gehalten, im Rahmen der konkreten Rückkehrmassnahmen alles ihnen Zumutbare vorzukehren, um medizinisch bzw. betreuungsmässig sicherzustellen, dass das Leben und die Gesundheit der betroffenen Person nicht beeinträchtigt wird; sie sind jedoch nicht verpflichtet, im Hinblick auf eine psychisch kritische Situation in Abweichung von den gesetzlichen Vorgaben dem Ansinnen auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung (und den damit verbundenen weiteren Fürsorgeleistungen) zu entsprechen (<ref-ruling> E. 5.2.2; vgl. ferner Urteil 2C_940/2020 vom 9. August 2021 E. 3.5).
5.6.
5.6.1. Das zulässige öffentliche Interesse an der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführerin besteht vorliegend darin, eine restriktive Einwanderungspolitik durchzusetzen (<ref-ruling> E. 3.7). Diesem gilt es die privaten und familiären Interessen der Beschwerdeführerin gegenüberzustellen.
5.6.2. Gemäss der von der Vorinstanz herangezogenen fachärztlichen Einschätzung vom 27. März 2020 (nachfolgend: fachärztliche Einschätzung) sei es der Beschwerdeführerin aufgrund ihrer ausgeprägten Zwangsstörung nicht möglich, ein selbstständiges Leben zu führen, und ihre aktuelle Therapie erfordere zwingend eine intakte Situation. Die schwere abhängige Persönlichkeitsstörung der Beschwerdeführerin bewirke überdies eine ausgeprägte depressive Symptomatik, wenn sie von ihr wichtigen Personen getrennt sei; das könne zu einer konkreten Suizidalität führen. Den Feststellungen der Vorinstanz ist weiter zu entnehmen, dass die Beschwerdeführerin in ihrem Heimatland nicht über Personen verfügt, die sie betreuen oder unterstützen könnten. Zu ihrer dort lebenden Mutter, die mit ihrer Krankheit nicht zurecht komme, habe sie ein schwieriges Verhältnis.
5.6.3. Aufgrund ihrer gesundheitlichen Situation sind die privaten Interessen der Beschwerdeführerin an einem Verbleib in der Schweiz nicht unbedeutend. Eine Rückkehr nach Österreich würde sie jedoch nicht in eine medizinische Notlage versetzen. Vielmehr hielt die Vorinstanz verbindlich fest (<ref-law>), dass eine angemessene psychiatrische Behandlung der Beschwerdeführerin auch in Österreich möglich ist. Dass die fachärztliche Einschätzung die aktuelle Therapie als "nicht ersetzbar" bezeichnet, macht die vorinstanzliche Feststellung diesbezüglich nicht willkürlich. Mit der Vorinstanz ist sodann davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerin ihre persönlichen Beziehungen auch grenzüberschreitend aufrechterhalten (vgl. nachstehende E. 5.6.5) und auf diese Weise weiterhin von ihrem Umfeld unterstützt werden kann. Zur Bestreitungen des Alltags in der Heimat erscheint es ferner möglich, auf die Betreuung durch Drittpersonen auszuweichen.
5.6.4. Die depressive Symptomatik der Beschwerdeführerin und mögliche Gefahr der Suizidalität genügen für sich allein praxisgemäss nicht, um die Aufenthaltsbeendigung als unverhältnismässig bzw. unzulässig erscheinen zu lassen (<ref-ruling> E. 5.2.2; vgl. ferner Urteil 2C_856/2015 vom 10. Oktober 2015 E. 3.2.1). Die Behörden sind jedoch gehalten, im Rahmen der konkreten Rückkehrmassnahmen alles ihnen Zumutbare vorzukehren, um medizinisch bzw. betreuungsweise sicherzustellen, dass das Leben und die Gesundheit der Beschwerdeführerin nicht beeinträchtigt werden (vgl. vorstehende E. 5.5).
5.6.5. Die Beziehung der Beschwerdeführerin zu ihrem Sohn und ihrem Lebenspartner würde durch die aufenthaltsbeendende Massnahme zweifelsfrei erschwert. Wie die Vorinstanz jedoch zutreffend ausführt, kann der Kontakt auch aus Österreich vergleichsweise gut weiter gepflegt werden, insbesondere durch gegenseitige Besuche (im Rahmen des bewilligungsfreien Aufenthaltes) oder moderne Kommunikationsmittel (vgl. Urteil 2C_339/2019 vom 14. November 2019 E. 4.6).
5.6.6. Die Beschwerdeführerin lebt seit über 12 Jahren in der Schweiz. Zu berücksichtigen gilt es indessen, dass sie ihre seit 2009 bestehende Arbeitsunfähigkeit im ersten Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung im Jahr 2013 nicht offen gelegt hat. Somit erscheint fraglich, ob damals ein Bewilligungsanspruch weiterhin bestand, schliesst die dauernde Arbeitsunfähigkeit den Arbeitnehmerinnenstatus i.S.v. Art. 6 Abs. 1 Anhang I FZA doch aus (Urteil des EuGH vom 6. Juni 1995 C-434/93 Bozkurt, Slg. 1995 I-1475, Randnr. 39; Benedikt Pirker, Zum Verlust der Arbeitnehmereigenschaft im Freizügigkeitsabkommen, AJP 2014 S. 1218; vgl. ferner Urteil 2C_574/2019 vom 9. Dezember 2019 E. 4.2 und 6.3). Hinzu kommt, dass sich die Beschwerdeführerin gemäss Feststellungen der Vorinstanz weder in sozialer noch beruflicher Hinsicht in der Schweiz integrieren konnte. Selbst wenn dies teilweise ihrer Krankheit geschuldet sein mag, erscheint eine Rückkehr in ihr Heimatland, wo die Beschwerdeführerin die Mehrheit ihres Lebens verbracht hat, zumutbar.
5.7. Zusammenfassend stehen der Aufenthaltsbeendigung keine überwiegenden privaten oder familiären Interessen entgegen, zumal der Beschwerdeführerin gestützt auf das FZA kein Aufenthaltsanspruch zukommt. Die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung erweist sich als verhältnismässig und hält überdies Art. 3 EMRK stand.
6.
Die Beschwerde ist unbegründet und deshalb abzuweisen, soweit darauf eingetreten wird. Es besteht kein Grund, die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Da die Beschwerdeführerin bedürftig ist und ihre Eingabe nicht als zum Vornherein aussichtslos gelten konnte (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.4), ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu entsprechen. Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Rechtsanwalt Reto Picenoni, Zürich, wird als unentgeltlicher Rechtsanwalt der Beschwerdeführerin bestellt und ihm wird für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 1. Kammer, und dem Staatssekretariat für Migration mitgeteilt.
Lausanne, 2. Februar 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Der Gerichtsschreiber: Marti