Faits :
A.
A._ est propriétaire de la parcelle n° 2896 de la commune de Conthey (VS), classée en zone "centre: vieux village-vieille ville" selon le règlement communal des constructions et des zones, approuvé par le Conseil général le 25 mars 1997 et homologué par le Conseil d'État le 10 juin 1997 (RCCZ) et selon le plan d'affectation et des zones (PAZ). D'une surface de 43 m2, cette parcelle, qui supporte un bâtiment, est entourée à l'ouest par la parcelle n° 28772, propriété de la Commune de Conthey et occupée par une route communale (rue de Parcouret), qui forme un léger coude à cet endroit. Elle jouxte à l'est un chemin privé (parcelle n° 2882) qui permet notamment l'accès aux parcelles n° 2828 et 2903.
Depuis 1972, A._ parque ses véhicules en épi sur un espace de terrain de forme triangulaire du bien-fonds communal n° 28772, devant la façade nord-est de son bâtiment.
Le 17 juillet 1984, un document a été signé par les membres de l'hoirie de B._, représentée par ses fils C._ et A._, ainsi que par la Commune de Conthey, alors représentée par la Commission des mensurations. Il prévoyait que les membres de l'hoirie étaient mis au bénéfice de la jouissance, en vertu des conventions passées antérieurement, du triangle situé sur l'actuelle parcelle n° 28772, au nord-est de la parcelle n° 2896 devant la parcelle n° 2915. Ce document précisait que l'utilisation de cette place de parc ne devait en aucune manière gêner l'entrée du bâtiment dénommé "E._" situé sur la parcelle n° 2915.
Le 25 septembre 1997, la Commission cantonale de signalisation routière (ci-après: CCSR) a autorisé A._ à poser à ses frais un signal n° 2.50 "interdiction de parquer" muni de la plaque complémentaire "place privée" devant le bâtiment désigné "E._".
B.
Le 5 août 2015, la CCSR a approuvé la pose d'une signalisation OSR 2.50 "interdiction de parquer" munie de la plaque complémentaire "dans toute la rue des deux côtés" sur la rue de Parcouret, du giratoire du Rendez-vous à la route de la Morge, à Plan- Conthey, conformément au plan soumis; cette décision précisait qu'il y avait lieu de répéter la signalisation après chaque carrefour. A._ n'a pas contesté cette nouvelle signalisation routière lorsqu'elle a été publié au Bulletin officiel du canton du Valais (BO) le 12 juin 2015.
Dans le courant du mois de septembre 2015, la Commune de Conthey a fait poser deux marquages au sol en forme de croix visant à interdire à A._ de parquer son véhicule à cet endroit.
C.
Le 22 septembre 2015, A._ a adressé au Juge de commune de Conthey (ci-après: Juge de commune) une requête en conciliation dirigée contre la Commune. Selon le procès-verbal de l'audience qui s'est tenue en date du 19 octobre 2015 devant le Juge de commune, la Commune a accepté que A._ parque son véhicule le long et contre le bâtiment situé sur la parcelle n° 2896, en empiétant sur la rue du Parcouret (parcelle n° 28772).
Par la suite, il s'est avéré que le véhicule du prénommé débordait soit sur la parcelle n° 28772 soit sur le chemin d'accès aux parcelles voisines. Le 3 mars 2016, le Conseil communal a donc déposé auprès du Juge de commune une requête en conciliation à l'encontre de A._ tendant à l'annulation de l'acte administratif du 19 octobre 2015. Lors de la séance de conciliation du 11 mai 2016, il a été convenu que la convention passée devant le Juge de commune de Conthey en date du 19 octobre 2015 était annulée.
Saisi d'une nouvelle requête de A._ du 31 août 2016, le Juge de commune a délivré en date du 16 novembre 2016 une autorisation de procéder donnant le droit de porter l'action devant le tribunal, aucun accord n'étant intervenu entre les parties.
D.
Le 13 avril 2017, le Conseil communal a rendu, sur requête de A._ du 16 février 2017, une décision aux termes de laquelle elle interdisait à ce dernier de parquer ses véhicules sur la parcelle communale.
A._ a interjeté recours contre cette décision communale devant le Conseil d'État le 29 mai 2017, qui l'a rejeté par décision du 28 mars 2018.
E.
Par arrêt du 23 août 2019, la Cour de droit public du Tribunal cantonal du Valais a rejeté le recours déposé par A._.
F.
A._ forme un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral par lequel il conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt du 23 août 2019 et à ce qu'il soit autorisé, ainsi que tout visiteur, à se parquer de façon perpendiculaire à la façade nord-est de sa propriété sise sur la parcelle n° 2896, approximativement au milieu de ladite façade, moyennant un écart entre la bâtisse et le véhicule d'environ 50 cm, à charge pour lui de veiller à ne pas entraver le passage sur les parcelles nos 2828, 2888 et 2898 et de ne pas empiéter sur la route.
Le Tribunal cantonal renonce à se déterminer. La Commune conclut au rejet du recours. Le recourant réplique.
Par ordonnance du 23 octobre 2019, le Juge présidant de la Ire Cour de droit public du Tribunal fédéral a admis la requête d'effet suspensif de A._ tendant à ce qu'il puisse continuer à se parquer devant la façade nord-est de sa propriété, sur la parcelle n° 28772, moyennant le respect de l'engagement de ne pas entraver le passage sur les parcelles nos 2828, 2888 et 2898 et de ne pas empiéter sur la route.

Considérant en droit :
1.
Dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF), le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public selon les art. 82 ss LTF, aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'étant réalisée. Le recourant a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et est particulièrement touché par l'arrêt attaqué qui confirme l'interdiction pour le recourant de stationner sur la parcelle litigieuse. Il dispose dès lors de la qualité pour recourir devant le Tribunal fédéral au sens de l'art. 89 al. 1 LTF. Les autres conditions de recevabilité du recours sont réunies si bien qu'il y a lieu d'entrer en matière.
2.
Dans un premier moyen, le recourant se plaint d'une application arbitraire du droit cantonal, à savoir de l'art. 30 de la loi cantonale du 6 octobre 1976 sur la procédure et la juridiction administratives [LPJA, RS/VS 172.6] en lien avec l'art. 9 Cst.
2.1. Appelé à revoir l'application ou l'interprétation d'une norme cantonale sous l'angle de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. Lorsque l'application ou l'interprétation de la loi défendue par l'autorité cantonale ne se révèle pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, elle est confirmée, même si une autre solution éventuellement plus judicieuse paraît possible. En outre, il ne suffit pas que les motifs de l'arrêt attaqué soient insoutenables; encore faut-il qu'il soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 41; <ref-ruling> consid. 4.4.1 p. 113).
Le grief de violation du droit cantonal est soumis à des exigences de motivation accrue (art. 106 al. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 41; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 372).
2.2. Dans le cas d'espèce, la cour cantonale a retenu que les décisions de la CCSR concernant la signalisation routière pouvaient faire l'objet d'un recours au Conseil d'État dans les 30 jours dès leur notification, laquelle pouvait, selon la jurisprudence, être effectuée par voie édictale en raison du caractère collectif de ce type de prononcé. Elle a ainsi considéré que la modification de la signalisation routière litigieuse publiée dans le BO du 12 juin 2015, puis approuvée de manière définitive par la CCSR le 5 août 2015, était entrée en force et ne pouvait plus être remise en cause par le recourant qui ne l'avait pas contestée à l'époque.
La cour cantonale a par ailleurs ajouté que le recourant se prévalait en vain d'avoir adressé au Juge de commune une requête en conciliation le 22 septembre 2015, à son retour de vacances. En effet, le présent litige concernait le prononcé d'une interdiction de parquer sur le domaine public communal, soit d'une décision relevant du contentieux administratif. Le Juge de commune, matériellement compétent selon l'art. 3 al. 1 de la loi cantonale d'application du code de procédure civile suisse (LACPC, RS/VS 270.1) pour tenter les conciliations des parties dans les litiges de droit civil au sens de l'art. 201 al. 1 CPC (RS 272), ne pouvait connaître du litige que le recourant voulait lui soumettre via sa requête du 22 septembre 2015. La cour cantonale a ajouté que le fait que la Commune elle-même ait, de manière erronée, adressé le 3 mars 2016 au Juge de commune une requête en conciliation n'y changeait rien, une acceptation tacite ne pouvant fonder la compétence matérielle de ce magistrat.
2.3. Le recourant se plaint d'une application arbitraire du droit cantonal, soit de l'art. 30 LPJA. Il affirme que, selon cette disposition, la décision modifiant la signalisation dans la rue concernée aurait dû lui être notifiée personnellement, à l'instar des personnes ayant participé à la procédure préalable, et elle ne lui serait par conséquent pas opposable. Ce grief tiré de la violation de cette disposition de droit cantonal est irrecevable puisqu'il est soulevé pour la première fois devant le Tribunal fédéral (cf. <ref-ruling> consid. 4.4.3 p. 156 s.; FLORENCE AUBRY GIRARDIN, in Corboz et al. [éd.], Commentaire de la LTF, 2e éd., 2014, n° 29 ad art. 42 LTF). Cela étant, l'appréciation de l'instance précédente selon laquelle la notification de la décision relative à la modification de la signalisation routière litigieuse effectuée par voie édictale était opposable au recourant n'apparaît pas insoutenable, s'agissant d'une décision collective touchant un très grand nombre de personnes. Au demeurant, même si, comme le soutient le recourant, la décision modifiant la signalisation routière aurait dû lui être personnellement notifiée, force est cependant de constater que, lorsqu'il a pris connaissance de cette décision en septembre 2015, il ne l'a alors pas attaquée devant le Conseil d'État, comme l'auraient pourtant exigé les règles de la bonne foi (cf. <ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 63; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 232; <ref-ruling> consid. 3a/aa p. 99 et les réf. cit.). L'instance précédente pouvait ainsi, sans verser dans l'arbitraire, considérer que le dépôt d'une requête en conciliation devant le Juge de commune, par l'avocat du recourant, n'était dans ce contexte d'aucun secours à ce dernier.
3.
Ensuite, dans un grief intitulé "établissement inexact des faits (art. 9 Cst.) ", le recourant reproche au Tribunal cantonal d'avoir retenu de manière arbitraire, que "la convention du 17 juillet 1984 n'habilitait pas les hoirs de B._ à construire sur le domaine public, ni à l'utiliser de manière permanente dans un but commercial ou industriel. Elle ne tolérait que le parcage d'un vé hicule". Quoi qu'en pense le recourant, ce constat n'apparaît pas insoutenable au vu de la formulation de la convention qui évoque uniquement la jouissance du triangle situé sur la parcelle communale, tout en précisant que l'usage de cette place de parc ne devait pas gêner l'entrée du bâtiment situé sur la parcelle n° 2915. Cela étant, en réalité, la critique du recourant constitue une question de droit qui se confond avec le grief intitulé "usage du domaine public (138 aLR avec 9 Cst.) ". Dans ce moyen, le recourant reproche à l'instance précédente d'avoir considéré que l'accord de 1984 ne lui conférait pas de droits acquis à stationner sur la parcelle en cause. Il fait grief à l'instance précédente d'avoir appliqué de façon extrêmement formaliste l'art. 138 de la loi cantonale sur les routes du 3 septembre 1965 (LR; RS/VS 725.1), dans sa teneur en vigueur au moment de la signature de cet accord et jusqu'au 31 décembre 1992 (RO/VS 1965 p. 277).
3.1. L'ancien art. 138 1ère phrase LR subordonne à une autorisation, à une permission ou à une concession toute utilisation du domaine public excédant l'usage commun. La seconde phrase de cette disposition précise qu'un usage conforme à la destination principale du domaine public présuppose l'octroi d'une autorisation (usage privatif normal). En revanche, une permission est requise en cas d'utilisation privative anormale du domaine public, notamment s'il est employé pour des constructions ou des installations permanentes ou à des fins industrielles ou commerciales. Enfin, si cette utilisation est assortie de dispositions contractuelles, elle est subordonnée à une concession (ancien art. 138 3e phrase LR).
La cour cantonale a procédé à la qualification du document litigieux rédigé le 17 juillet 1984 à la lumière du droit cantonal en vigueur à cette époque, en l'occurrence l'ancien art. 138 LR. Elle a considéré que l'opinion défendue par le recourant ne se conciliait pas a vec la LR. La cour cantonale en effet estimé que la convention du 17 juillet 1984 n'habilitait pas les hoirs de B._ à construire sur le domaine public, ni à l'utiliser de manière permanente dans un but commercial ou industriel. Elle ne tolérait que le parcage d'un véhicule. Il n'y avait donc selon la cour cantonale aucune raison de voir dans ce document une concession, plutôt qu'une permission ou une autorisation. La cour cantonale relevait en particulier que la convention du 12 juillet 1984 ne contenait pas de dispositions contractuelles prévoyant un engagement pris par les hoirs de B._, en contrepartie du droit octroyé par la Commune. L'instance précédente estimait que le contenu de cet accord était trop imprécis pour conclure à un engagement durable de la Municipalité envers les hoirs de B._ et le recourant, sans exiger la moindre contre-prestation financière. Selon l'instance précédente, l'opinion du recourant ne se conciliait par ailleurs pas non plus avec les règles jurisprudentielles selon lesquelles le fait de disposer de places de stationnement situées sur le domaine public constituait un usage accru soumis à l'octroi d'une autorisation (<ref-ruling> consid. 2b; <ref-ruling> consid. 3; arrêt 2P.58/1996 du 28 mai 1996 consid. 3b, in SJ 1996 p. 533), laquelle ne consacrait pas de droits acquis (cf. <ref-ruling> consid. 2).
Par ailleurs, la cour cantonale relevait que l'accord de 1984 avait été signé au nom de la Commune par une Commission communale des mensurations et non par le Conseil communal, seul compétent pour l'octroi des autorisations, permissions ou concessions instituées à l'ancien art. 138 al. 1 LR (ancien art. 139 al. 1 LR). Ce document ne liait donc pas cette autorité lorsqu'elle avait statué sur la requête du recourant du 16 février 2017. A ce moment-là, elle devait appliquer la LR dans sa version actuelle, selon laquelle un particulier n'était en droit de se réserver une aire de stationnement sur le domaine public que s'il avait obtenu une autorisation du Conseil communal (art. 139 al. 1, 141 al. 1 let. b, 153 al. 1 et 154 al. 3 LR).
3.2. Le recourant conteste l'appréciation de l'instance précédente. Il insiste sur le fait que l'usage conféré de ce bout de terrain était privatif puisque l'usage par des tiers était totalement exclu et se manifestait par l'apposition du panneau "interdiction de parquer"; il souligne que cet usage durait depuis 47 ans et qu'il a été validé par les autorités communales et cantonales. Le recourant affirme en outre que le cas d'espèce est différent de celui que semble prendre en compte le Tribunal cantonal, à savoir celui d'un parcage en ville sur des places de parc pouvant être utilisées par d'autres usagers lorsqu'elles sont disponibles (octroi d'un macaron permettant un stationnement de longue durée, sans payer à l'horodateur). Selon le recourant, il en découlerait que, conformément à la loi cantonale, dans son ancienne teneur, et à la jurisprudence fédérale, son droit devrait "être qualifié de permission ou de concession, mais en aucun cas d'autorisation".
Ce faisant, le recourant ne démontre pas le caractère arbitraire du raisonnement de l'instance précédente (cf. consid. 2.1 ci-dessus). En insistant sur le caractère privatif de l'usage du domaine public qui lui était conféré, le recourant méconnaît en particulier que, selon l'ancien art. 138 2e phrase LR, l'usage privatif du domaine public peut faire l'objet d'une autorisation (usage privatif normal) ou d'une permission (usage privatif anormal), lesquelles sont octroyées à titre précaire. En tout état de cause, l'appréciation de l'instance précédente selon laquelle la convention de 1984 ne constituait pas une concession et ne créait pas de droits acquis n'apparaît pas insoutenable, au vu de la teneur pour le moins sommaire et imprécise de ce document. Les engagements des parties sont en effet trop vagues et imprécis. L'usage de cette place de parc n'impliquait par ailleurs pas la réalisation d'une construction ou d'une installation permanente et le recourant ne prétend pas avoir consenti à des investissements devant être amortis (cf. <ref-ruling> consid. 2.4.3 p. 113; <ref-ruling> consid. 9.5 p. 513). Ce moyen peut donc être rejeté.
4.
Enfin, le recourant se prévaut de la protection des droits acquis découlant du principe de la bonne foi.
4.1. Découlant directement de l'art. 9 Cst. et valant pour l'ensemble de l'activité étatique, le droit à la protection de la bonne foi préserve la confiance légitime que le citoyen met dans les assurances reçues des autorités, lorsqu'il a réglé sa conduite d'après des décisions, des déclarations ou un comportement déterminé de l'administration. Selon la jurisprudence, un renseignement ou une décision erronés de l'administration peuvent obliger celle-ci à consentir à un administré un avantage contraire à la réglementation en vigueur, à condition que l'autorité soit intervenue dans une situation concrète à l'égard de personnes déterminées, qu'elle ait agi ou soit censée avoir agi dans les limites de ses compétences et que l'administré n'ait pas pu se rendre compte immédiatement de l'inexactitude du renseignement obtenu. Il faut encore que l'administré se soit fondé sur les assurances ou le comportement dont il se prévaut pour prendre des dispositions auxquelles il ne saurait renoncer sans subir de préjudice et que la réglementation n'ait pas changé depuis le moment où l'assurance a été donnée (cf. <ref-ruling> consid. 3.6.2 p. 103; <ref-ruling> consid. 6.2 p. 538; <ref-ruling> consid. 3.6.2 p. 193).
4.2. Le recourant soutient qu'il serait au bénéfice d'un droit acquis résultant des promesses faites par l'autorité tant par la signature de la convention en 1984 que par l'octroi en 1997 de l'autorisation d'apposer une plaque interdisant aux tiers de parquer à l'emplacement litigieux. Il affirme que les personnes ayant signé la convention de 1984 représentaient le Conseil municipal, lequel avait en outre en 1997 transféré à la CCSR sa demande tendant à l'autorisation d'apposer la plaque précitée. Le recourant ajoute que la Commune avait encore confirmé son droit de parquer à l'endroit litigieux par la signature de la convention du 19 octobre 2015 devant le Juge de commune.
Quoi qu'en pense le recourant, les conditions posées par la jurisprudence pour que soit reconnu un droit à la protection de la bonne foi ne sont pas réunies en l'espèce. En effet, le recourant n'a pas établi avoir pris des dispositions sur lesquelles il ne pourrait revenir sans subir de préjudice au sens de la jurisprudence précitée. Le fait que le recourant ne disposerait plus de place de parc privative dans le voisinage n'est dans ce contexte pas décisif. Sa situation n'est pas différente de celle de n'importe quel autre habitant du village de Conthey qui doit le cas échéant solliciter une vignette/un macaron " habitant " pour stationner dans le village ou louer ou acquérir une place de parc privée. La question de savoir si, comme le soutient le Tribunal cantonal, la Commission des mensurations n'était pas compétente pour engager le Conseil communal peut dès lors rester indécise. Le grief du recourant est infondé.
5.
Il résulte de ce qui précède que le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable, aux frais du recourant qui succombe (art. 65 et 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, fixés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Conseil communal de Conthey, au Conseil d'Etat du canton du Valais et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour de droit public.
Lausanne, le 8 mars 2021
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Kneubühler
La Greffière : Arn