Sachverhalt:
A.
Der Gemeinderat Aarburg/AG kündigte mit Schreiben vom 26. Juni 2017 die zwischen der Einwohnergemeinde Aarburg und dem Frauenverein Spitex Aarburg bestehende Leistungsvereinbarung für Spitex-Leistungen vom 26. Februar 2010 per 31. Dezember 2017. In Hinblick auf die Neuvergabe der Spitex-Leistungen (mit einer vorgesehenen Vertragsdauer von drei Jahren) lud der Gemeinderat Aarburg vier gemeinnützige Organisationen in Aarburg und Umgebung zur Abgabe eines Angebots ein. Zur Einreichung einer Offerte wurde mit Schreiben vom 11. August 2017 auch der Frauenverein Spitex Aarburg eingeladen. Dem Einladungsschreiben beigelegt war ein Anforderungskatalog (Offert-Formular).
B.
Mit Eingabe vom 22. August 2017 erhob der Frauenverein Spitex Aarburg Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Aargau. Er beantragte diverse Anpassungen beim Einladungsschreiben bzw. beim Anforderungskatalog, so insbesondere eine Überprüfung der Gewichtung der Zuschlagskriterien (80 % Preis, 20 % übrige Kriterien). Das Verwaltungsgericht erteilte der Beschwerde am 23. August 2017 zunächst superprovisorisch die aufschiebende Wirkung und trat mit Urteil vom 12. September 2017 nicht auf die Beschwerde ein. Zur Begründung führte das Verwaltungsgericht aus, die Vergabe von Spitex-Leistungen bzw. die Erteilung eines Leistungsauftrags an eine gemeinnützige Organisation unterstehe nicht den Vorschriften des öffentlichen Beschaffungsrechts.
C.
Mit Eingabe vom 5. Oktober 2017 erhebt der Frauenverein Spitex Aarburg Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheit an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 12. September 2017 sei aufzuheben und an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese auf die Beschwerde gegen die Ausschreibung der Einwohnergemeinde Aarburg in Sachen Spitex-Leistungen eintrete.
D.
Das Verwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die Einwohnergemeinde Aarburg beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten, eventuell sie abzuweisen. Die Wettbewerbskommission WEKO nimmt Stellung, ohne einen konkreten Antrag zu stellen.
Mit Verfügung vom 6. November 2017 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung bzw. Anordnung vorsorglicher Massnahmen abgewiesen.
Mit Eingaben vom 28. Februar, 13. März und 29. März 2018 reichen das Verwaltungsgericht bzw. die Verfahrensbeteiligten weitere Stellungnahmen ein.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1 S. 116).
1.1. Der Beschwerdeführer wendet sich form- (<ref-law>) und fristgerecht (<ref-law>) gegen den kantonal letztinstanzlichen, beim Bundesverwaltungsgericht nicht anfechtbaren (<ref-law>; Art. 33 lit. i VGG [SR 173.2]) Nichteintretensentscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 12. September 2017 in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>).
1.2. Die Beschwerde ist zulässig gegen Endentscheide (<ref-law>) sowie gegen Vor- und Zwischenentscheide über die Zuständigkeit (<ref-law>). Das Verwaltungsgericht ist auf das kantonale Rechtsmittel mit der Begründung nicht eingetreten, dass die Vergabe von Spitex-Leistungen bzw. die Erteilung eines Leistungsauftrags an eine gemeinnützige Organisation nicht den Vorschriften des öffentlichen Beschaffungsrechts unterstünden. Die Beschwerde gegen die am 11. August 2017 erfolgte Ausschreibung bzw. Einladung zur Einreichung einer Offerte stehe daher nicht zu Verfügung, weshalb auf die Beschwerde mangels sachlicher Zuständigkeit nicht einzutreten sei (vgl. angefochtener Entscheid E. 3.2).
Mit seinem Nichteintretensentscheid brachte das Verwaltungsgericht das bei ihm hängige Verfahren zum Abschluss, womit es sich beim angefochtenen Urteil vom 12. September 2017 - entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers - um einen Endentscheid in Bezug auf die selbständig anfechtbare Ausschreibung (vgl. § 24 Abs. 2 lit. a des Submissionsdekrets [des Kantons Aargau] vom 26. November 1996 [SubmD/AG; SAR 150.910] bzw. Art. 15 Abs. 1bis lit. a der Interkantonalen Vereinbarung vom 15. März 2001 über das öffentliche Beschaffungswesen [IVöB; SAR 150.950]) im Sinne von <ref-law> handelt. Auch aus Sicht des Beschwerdeführers liegt ein Endentscheid vor, da er mit der vorinstanzlichen Begründung im Ergebnis vom Vergabeverfahren ausgeschlossen wurde (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 186 f.; Urteil 2C_1014/2015 vom 21. Juli 2016 E. 1.2). Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich offen. Soweit die Vorinstanz wie hier auf ein Rechtsmittel nicht eintritt, ohne mit einer Eventualbegründung die Sache auch materiell zu beurteilen, kann vor Bundesgericht nur das Nichteintreten angefochten werden. Ist die Beschwerde begründet, weist das Bundesgericht die Sache zur weiteren Beurteilung des Falles zurück. Andernfalls hat es mit dem vorinstanzlichen Nichteintretensentscheid sein Bewenden (<ref-ruling> E. 1.1 S. 187; <ref-ruling> E. 3.2 S. 235 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 41; Urteil 2C_1014/2015 vom 21. Juli 2016 E. 1.2).
1.3. Auf dem Gebiet der öffentlichen Beschaffungen ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur zulässig, wenn der geschätzte Wert des zu vergebenden Auftrags den massgebenden Schwellenwert des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1994 über das öffentliche Beschaffungswesen (BöB; SR 172.056.1) oder des Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und der Europäischen Gemeinschaft über bestimmte Aspekte des öffentlichen Beschaffungswesens (SR 0.172.052.68) erreicht (<ref-law>) und sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>). Die beiden Voraussetzungen müssen kumulativ erfüllt sein (<ref-ruling> E. 1.2 S. 20 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 398).
1.3.1. Im Gegensatz zur Vorinstanz (vgl. E. 1.2 hiervor) vertritt der Beschwerdeführer den Standpunkt, dass sich der Streit um einen beschaffungsrechtlichen Vorgang dreht. Er macht zudem geltend, dass der zu vergebende Auftrag den Schwellenwert nach <ref-law> überschreitet und eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von <ref-law> vorliegt.
1.3.2. Die Frage, ob der angefochtene Entscheid im Rahmen einer öffentlichen Beschaffung erging, ist vor Bundesgericht in doppelter Hinsicht relevant: Einerseits betrifft sie die grundsätzliche Anwendbarkeit der Zulässigkeitsschranke von <ref-law>. Andererseits wirkt sie sich auf das anwendbare Recht aus, nach welchem die Angelegenheit materiell zu beurteilen ist. In vergleichbaren Fällen hat das Bundesgericht unter Hinweis auf die Theorie der doppelrelevanten Tatsachen teilweise davon abgesehen, bereits im Rahmen des Eintretens zu prüfen, ob überhaupt ein Entscheid auf dem Gebiet der öffentlichen Beschaffungen im Sinne von <ref-law> vorliegt. Die Prüfung erfolgte im Zuge der materiellen Beurteilung, wobei sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten in den betreffenden Fällen trotz der Schranke von <ref-law> in der Regel als zulässig erwies. Es würde sich nur dann rechtfertigen, bereits anlässlich des Eintretens und nicht erst im Zuge der materiellen Beurteilung zu prüfen, ob überhaupt ein Entscheid auf dem Gebiet der öffentlichen Beschaffungen im Sinne von <ref-law> vorliegt, wenn eine der kumulativ anwendbaren Voraussetzungen nach <ref-law> für die Zulässigkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht erfüllt ist, was vorliegend - wie nachfolgend aufzuzeigen ist - nicht der Fall ist (<ref-ruling> E. 1.3 S. 427; Urteil 2C_1014/2015 vom 21. Juli 2016 E. 2.1 mit zahlreichen Hinweisen). Das Bundesgericht hat diese Praxis kürzlich präzisiert und Folgendes ausgeführt: Wenn - wie im vorliegenden Fall - ein oberes kantonales Gericht der Ansicht ist, eine Streitsache betreffe objektiv nicht das öffentliche Beschaffungswesen, hat das Bundesgericht zu prüfen, ob das öffentliche Beschaffungsrecht oder anderes öffentliches Recht zur Anwendung kommt. In solchen Fällen muss es dem Bundesgericht möglich sein, die Sache so vertieft wie möglich zu prüfen und steht das Rechtsmittel der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich zur Verfügung (<ref-ruling> E. 1.3 und 1.4 S. 188).
1.3.3. Die Voraussetzung von <ref-law> ist hier unbestrittenermassen erfüllt: Der Schwellenwert beträgt für Dienstleistungen Fr. 230'000.-- (<ref-law> in Verbindung mit Art. 1 lit. b der Verordnung des WBF vom 23. November 2015 über die Anpassung der Schwellenwerte im öffentlichen Beschaffungswesen für die Jahre 2016 und 2017 [AS 2015 4743] bzw. vom 22. November 2017 für die Jahre 2018 und 2019 [SR 172.056.12]). Er ist mit der Honorarsumme von geschätzten Fr. 400'000.-- pro Jahr deutlich überschritten.
1.3.4. Bei der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung muss es sich um eine Rechtsfrage aus dem Gebiet des öffentlichen Beschaffungsrechts handeln (<ref-ruling> E. 1.3 S. 195). Die Anwendung rechtsprechungsgemässer Prinzipien auf einen Einzelfall stellt keine Grundsatzfrage dar. Der blosse Umstand, dass die aufgeworfene Rechtsfrage noch nie entschieden wurde, genügt nicht. Es muss sich um eine Rechtsfrage handeln, deren Entscheid für die Praxis wegleitend sein kann und die von ihrem Gewicht her nach einer höchstrichterlichen Klärung ruft (<ref-ruling> E. 1.3 S. 180; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 118 f.). Der Beschwerdeführer hat die Erfüllung dieser Voraussetzung darzutun (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2.1 S. 21).
Der Beschwerdeführer stellt die Rechtsfrage, "ob die Beauftragung einer Spitex-Organisation mit der Erbringung von Leistungen der spitalexternen Pflege - insbesondere mit der Gewährleistung der Versorgungspflicht - einen öffentlichen Auftrag darstellt und somit vom objektiven Bereich der IVöB erfasst wird". Wie der Beschwerdeführer und auch die Wettbewerbskommission WEKO in ihrer Stellungnahme zu Recht ausführen, erfolgt die Qualifizierung der Übertragung von Spitex-Dienstleistungen an private Organisationen als öffentlicher Auftrag in den Kantonen unterschiedlich und in der Lehre besteht Uneinigkeit über diese Frage. Die Frage betrifft somit nicht bloss den Einzelfall des Beschwerdeführers, sondern potentiell sämtliche kommunalen oder regionalen Gemeinwesen. Die Frage ist von grundsätzlicher und erheblicher praktischer Bedeutung. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist daher zulässig.
1.4. Die Beschwerde setzt sodann ein aktuelles und praktisches Rechtsschutzinteresse voraus (<ref-law>). Die Vorinstanz und die Beschwerdegegnerin bestreiten ein solches Interesse des Beschwerdeführers, weil dieser seinen Betrieb per Ende 2017 eingestellt habe.
1.4.1. Der Beschwerdeführer bestätigt mit Stellungnahme vom 29. März 2018 die Betriebseinstellung per Ende 2017, da es ihm ohne Leistungsauftrag mit der Beschwerdegegnerin nicht mehr möglich war, den Spitex-Betrieb weiterzuführen. Indes führt er aus, dass der Frauenverein Aarburg selbst, der die Spitex-Organisation betrieben habe, nach wie vor bestehe und der Vereinszweck immer noch vorsehe, eine Spitex-Organisation zu betreiben.
1.4.2. Praxisgemäss muss das Rechtsschutzinteresse nicht nur bei der Beschwerdeeinreichung, sondern auch noch im Zeitpunkt der Urteilsfällung aktuell und praktisch sein (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 286 f.). Fällt das schutzwürdige Interesse im Laufe des Verfahrens dahin, wird die Sache als erledigt erklärt; fehlte es schon bei der Beschwerdeeinreichung, ist auf die Eingabe nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.1 S. 208; <ref-ruling> E. 1.3 S. 24 f.; Urteil 2C_675/2017 vom 15. Januar 2018 E. 2.2.1 und E. 2.2.2).
1.4.3. Der Frauenverein Spitex Aarburg ist im Handelsregister des Kantons Aargau eingetragen und bezweckt gemäss Eintrag den Betrieb einer Spitex-Organisation in der Gemeinde Aarburg (vgl. auch Art. 3 Abs. 1 der Statuten des Frauenvereins Spitex Aarburg vom 1. Januar 2014). Damit ist das aktuelle und praktische Rechtsschutzinteresse zu bejahen, da der Beschwerdeführer gemäss eigenen Angaben immer noch gewillt ist, den Vereinszweck zu erfüllen.
1.5. Sodann hat die Einwohnergemeinde Aarburg, nach Ablehnung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung durch das Bundesgericht, in der Zwischenzeit eine neue Spitex-Leistungsvereinbarung mit der Stiftung Altersheim Lindenhof in Oftringen abgeschlossen. Insofern hätte eine Gutheissung der vorliegenden Beschwerde zur Folge, dass die Vorinstanz auf das Rechtsmittel eintreten müsste und im Rahmen der materiellen Beurteilung bei einer Gutheissung lediglich feststellen könnte, inwiefern das massgebende Recht verletzt wurde (Art. 9 Abs. 3 des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 1995 über den Binnenmarkt [Binnenmarktgesetz, BGBM; SR 943.02]). Der Umstand, dass der Beschwerdeführer von vornherein nicht mehr erreichen kann, dass ihm der streitige Auftrag erteilt wird, schliesst somit nach der ausdrücklichen gesetzlichen Regelung die Anfechtung nicht aus (<ref-ruling> E. 1.3 S. 361; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 317).
1.6. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist daher einzutreten.
2.
Das Bundesgericht prüft frei und von Amtes wegen die richtige Anwendung von Bundes- und Völkerrecht (Art. 95 lit. a und b bzw. <ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten sowie von kantonalem und interkantonalem Recht überprüft es nur auf Rüge hin (<ref-law>). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat; die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 BGG).
3.
3.1. Im vorliegenden Fall hat die Vorinstanz einen Nichteintretensentscheid gefällt und zur Begründung im Wesentlichen ausgeführt, die Vorschriften des öffentlichen Beschaffungswesens seien nicht anwendbar, da Art. 10 Abs. 1 lit. a IVöB die Vergabe von Aufträgen an Behindertenorganisationen, Wohltätigkeitseinrichtungen oder Strafanstalten ausdrücklich vom Geltungsbereich der Vereinbarung ausnehme. Die Beschwerdegegnerin habe ausschliesslich gemeinnützige Organisationen bzw. nicht gewinnorientierte juristische Personen zur Einreichung einer Offerte für spitalexterne Krankenpflegeleistungen eingeladen, weshalb die Erteilung des Leistungsauftrags nicht den Vorschriften des öffentlichen Beschaffungsrechts unterstehe. Dagegen machen der Beschwerdeführer wie auch die Wettbewerbskommission WEKO geltend, die Erteilung des Leistungsauftrags für Spitex-Dienstleistungen stelle in casu einen öffentlichen Auftrag dar, der die Anwendbarkeit des öffentlichen Beschaffungsrechts erfordere.
3.2. Das Bundesgerichtsgesetz führt nicht näher aus, was unter einer öffentlichen Beschaffung im Sinne von <ref-law> zu verstehen ist. Von einem beschaffungsrechtlichen Entscheid im Sinne der genannten Bestimmung ist aber jedenfalls dann auszugehen, wenn er gestützt auf einschlägige submissionsrechtliche Erlasse erging oder hätte ergehen sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 180 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 188 f.; 2C_1014/2015 vom 21. Juli 2016 E. 2.2). Eine Definition des Begriffs "öffentliche Beschaffung" ist aber auch den vergaberechtlichen Erlassen fremd (vgl. <ref-ruling> E. 6b S. 212; Urteil 2C_198/2012 vom 16. Oktober 2012 E. 5.1.1; MARTIN BEYELER, Der Geltungsanspruch des Vergaberechts, 2012, Rz. 605). Gemäss Art. I Ziff. 1 des Übereinkommens vom 15. April 1994 über das öffentliche Beschaffungswesen (SR 0.632.231.422; nachfolgend: GPA) findet das Übereinkommen auf alle Gesetze, Vorschriften, Verfahren und Praktiken betreffend die öffentliche Beschaffung Anwendung. Immerhin deutet das GPA auf ein eher weites Verständnis des Begriffs "öffentliche Beschaffung" hin. Das Binnenmarktgesetz bestimmt seinerseits in Art. 5 lediglich, dass sich öffentliche Beschaffungen durch Kantone, Gemeinden und andere Träger kantonaler oder kommunaler Aufgaben nach kantonalem oder interkantonalem Recht richten (Abs. 1) und sie dabei die vom Bund eingegangenen staatsvertraglichen Verpflichtungen berücksichtigen (Abs. 2). Der Anwendungsbereich der IVöB, die auch der Kanton Aargau unterzeichnet hat, setzt unter anderem voraus, dass ein öffentlicher Auftrag erteilt werden soll (vgl. Art. 6 IVöB). Was unter einem öffentlichen Auftrag zu verstehen ist, regelt die Interkantonale Vereinbarung indes nicht (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 180 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 188 f.).
3.3. Nach Lehre und Rechtsprechung ist für öffentliche Beschaffungen kennzeichnend, dass der Staat als Nachfrager Waren oder Dienstleistungen gegen eine Gegenleistung bestellt, um damit seine Aufgaben wahrzunehmen (synallagmatisches Rechtsgeschäft; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 117; <ref-ruling> E. 6b S. 212 f.; Urteil 2C_198/2012 vom 16. Oktober 2012 E. 5.1.2; je mit Hinweisen; BEYELER, a.a.O., Rz. 645 ff.). Es ist dabei nicht bloss auf die Rechtsnatur des abgeschlossenen Vertrags, sondern auf eine funktionale Betrachtung abzustellen, damit die Anwendung des Vergaberechts nicht durch die Wahl einer besonderen Rechtskonstruktion umgangen werden kann (Urteil 2C_198/2012 vom 16. Oktober 2012 E. 5.1.2 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 4.4 S. 56; POLEDNA/TRÜMPLER, Die Vergabe von Spitex-Leistungen durch die öffentliche Hand, AJP 2018 S. 190). Demgegenüber ist der blosse Umstand, dass der Staat einem Privaten erlaubt, eine bestimmte Tätigkeit auszuüben, keine öffentliche Beschaffung, weil der Staat dabei nicht eine Tätigkeit veranlasst oder ein Gut beschafft, sondern bloss eine private Tätigkeit hoheitlich ordnet oder reguliert (vgl. <ref-ruling> E. 6b S. 212 f.; Urteil 2C_198/2012 vom 16. Oktober 2012 E. 5.1.3). Dasselbe gilt grundsätzlich auch, wenn der Staat lediglich eine Sondernutzungskonzession für die Benützung von öffentlichem Grund erteilt, weil der Staat damit nicht etwas beschafft, sondern im Gegenteil dem Privaten ein Recht einräumt und dafür (in der Regel) eine Gegenleistung erhält (<ref-ruling> E. 6 S. 126; <ref-ruling> E. 6b S. 212 f.; Urteil 2C_198/2012 vom 16. Oktober 2012 E. 5.1.3). Anders verhält es sich nach der Rechtsprechung, wenn mit der Erteilung der Konzession untrennbar Gegenleistungen von gewisser Bedeutung verbunden sind, die normalerweise Gegenstand einer öffentlichen Beschaffung bilden (vgl. <ref-ruling> E. 4.4 S. 56; Urteil 2C_198/2012 vom 16. Oktober 2012 E. 5.1.3 mit Hinweisen). Die Verleihung einer Konzession schliesst die Anwendbarkeit des öffentlichen Beschaffungsrechts folglich nicht aus (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 181; <ref-ruling> E. 2.2 S. 189 f.; vgl. zum Ganzen auch die Legaldefinition des öffentliches Auftrags in Art. 8 und 9 des Entwurfs zum Bundesgesetz über das öffentliche Beschaffungswesen vom 15. Februar 2017 [E-BöB; BBl 2017 2009]; POLEDNA/TRÜMPLER, a.a.O., S. 189).
3.4. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid zunächst überzeugend dargelegt, dass es sich bei der spitalexternen Krankenpflege um eine öffentliche Aufgabe handelt, die primär in den Zuständigkeitsbereich der Gemeinden fällt (vgl. angefochtener Entscheid E. 2.3.2). Dies ergibt sich einerseits aus Art. 25 Abs. 2 (i.V.m. Art. 35 Abs. 2 lit. e) KVG (SR 832.10), wonach grundsätzlich auch die spitalexterne Krankenpflege unter die sogenannten Pflichtleistungen gemäss <ref-law> fällt. Andererseits sieht das kantonale Recht (§ 11 Abs. 1 des Pflegegesetzes [des Kantons Aargau] vom 26. Juni 2007 [PflG/AG; SAR 301.200]) vor, dass die Gemeinden zuständig sind für die Planung und Sicherstellung eines bedarfsgerechten und qualitativ guten Angebots der ambulanten und stationären Langzeitpflege. Soweit erforderlich schliessen die Gemeinden mit stationären und ambulanten Leistungserbringern entsprechende Leistungsvereinbarungen ab (§ 11 Abs. 4 PflG/AG).
3.5. Ebenso zutreffend hat die Vorinstanz dargelegt, dass es für die Qualifikation als öffentlicher Auftrag unerheblich ist, dass der Spitex-Leistungserbringer seine Tätigkeit primär gegenüber dem Publikum (Patienten, Versicherte) und nicht gegenüber der auftraggebenden Gemeinde entfaltet (vgl. angefochtener Entscheid E. 2.3.3). So hat das Bundesgericht im Urteil 2C_1014/2015 vom 21. Juli 2016 in E. 2.2.3 festgehalten, dass die (damalige) anderslautende Praxis des Zürcher Verwaltungsgerichts im Widerspruch zur bundesgerichtlichen Rechtsprechung stand, zumal der Begriff der öffentlichen Aufgabe beschaffungsrechtlich nicht nur die staatlichen Kernaufgaben umfasst (vgl. <ref-ruling> E. 5.2.2 S. 58; <ref-ruling> E. 6b S. 212 f.; Urteil 2C_198/2012 vom 16. Oktober 2012 E. 5.2.3; vgl. auch BEYELER, a.a.O., Rz. 862 Fn. 1019; MARTIN BEYELER, Veloverleih: Kein öffentlicher Auftrag?, BR/DC 1/2016 S. 24 f.; HANS RUDOLF TRÜEB, in: Oesch/Weber/Zäch (Hrsg.), Wettbewerbsrecht II, 2011, <ref-law> Rz. 16 und 20; GALLI/MOSER/LANG/STEINER, Praxis des öffentlichen Beschaffungsrechts, 3. Aufl. 2013, Rz. 200; CLAUDIA SCHNEIDER HEUSI, Vergaberecht, 2. Aufl. 2018, S. 45; POLEDNA/TRÜMPLER, a.a.O., S. 193).
3.6. Die Vorinstanz ist sodann in einem ersten Schritt zum richtigen Schluss gelangt, dass die Übertragung der spitalexternen Krankenpflege durch eine Gemeinde auf private Leistungserbringer grundsätzlich als öffentlicher Auftrag zu qualifizieren ist (vgl. angefochtener Entscheid E. 2.4). Allerdings hat sie diesen Schluss in Anlehnung an BEYELER nur auf jene Fälle bezogen, in denen der private Leistungserbringer als Wirtschaftsteilnehmer auftritt, das heisst kommerziell motiviert ist und gewinnorientiert tätig wird (BEYELER, a.a.O., Rz. 862, 865 und 868). In einem zweiten Schritt hat die Vorinstanz dagegen ausgeführt, es liege hier ein Fall vor, bei dem der private Leistungserbringer keine wirtschaftliche Zwecksetzung habe und keine wirtschaftlichen Ziele verfolge, sondern rein ideell motiviert sei. Mit Verweis auf Art. 10 Abs. 1 lit. a IVöB stellte die Vorinstanz fest, die Leistungsbeauftragung von ideell motivierten, gemeinnützig tätigen Organisationen sei kein öffentlicher Auftrag im Sinne des Beschaffungsrechts und unterstehe demgemäss auch nicht den beschaffungsrechtlichen Vorschriften. Da die Beschwerdegegnerin ausschliesslich gemeinnützige Organisationen bzw. nicht gewinnorientierte juristische Personen zu Einreichung einer Offerte eingeladen habe, stehe hier die Beschwerde an das Verwaltungsgericht gegen die am 11. August 2017 erfolgte Ausschreibung bzw. Einladung zur Einreichung einer Offerte nicht zur Verfügung, weshalb auf die Beschwerde nicht einzutreten sei (vgl. angefochtener Entscheid E. 3.2).
3.7. Die Argumentation der Vorinstanz vermag im Ergebnis nicht zu überzeugen:
3.7.1. Alleine der Umstand, dass ein bestimmter Auftrag Dienstleistungen des Sozialbereichs zum Gegenstand hat, heisst nicht, dass dieser Auftrag für gewisse ideell motivierte Organisationen vom Vergaberecht nicht erfasst wird. Es geht mithin nicht um den Gegenstand des Auftrags und auch nicht um die damit verfolgten Ziele, sondern zunächst darum, ob der Auftragnehmer aus kommerziellen Motiven handelt und ob er auf kommerzieller Basis beauftragt wird (BEYELER, a.a.O., Rz. 715). Nur die Kombination aus nicht-kommerzieller grundsätzlicher Zwecksetzung der Institution, den im Einzelfall nicht-kommerziellen Absichten dieser Institution mit Bezug auf die fragliche Leistungserbringung sowie der tatsächlich nicht-kommerziellen Ausgestaltung des Geschäfts führt dazu, dass das Geschäft nicht als öffentlicher Auftrag gilt und daher ohne Beachtung des Vergaberechts vergeben werden darf (BEYELER, a.a.O., Rz. 716; POLEDNA/TRÜMPLER, a.a.O., S. 191).
3.7.2. Daneben ist aber auch die Absicht der Auftraggebers bzw. die Ausgestaltung der Ausschreibung von entscheidender Bedeutung. Im Zeitpunkt der Ausschreibung ist in der Regel noch nicht bekannt, wer in der Folge eine Offerte einreichen wird. Insbesondere ist nicht auszuschliessen, dass sowohl kommerziell motivierte wie auch nicht-kommerzielle Anbieter offerieren. Wäre alleine die Motivation des Auftragnehmers massgebend, würde sich in solchen Fällen die Frage stellen, ob das Vergaberecht für die kommerziellen wie nicht-kommerziellen Anbieter gleichfalls zur Anwendung kommen soll.
Damit steht hier die Frage im Vordergrund, ob der Auftraggeber vor allem eine möglichst günstige Aufgabenerfüllung oder vielmehr die Unterstützung einer gemeinnützigen Organisation anstrebte.
3.7.3. Im vorliegenden Fall hat die Beschwerdegegnerin ein Einladungsverfahren durchgeführt, um den für sie günstigsten Anbieter von Spitex-Leistungen auszuwählen. Gemäss den Ausschreibungsunterlagen wollte die Beschwerdegegnerin für den Spitex-Leistungsauftrag jenen Anbieter auswählen, der die bestmögliche Qualität zu einem konkurrenzfähigen Preis anbietet. Entsprechend wurde das Zuschlagskriterium Preis mit 80 % gewichtet. Zwar hat die Beschwerdegegnerin unter dem Titel "Kriterien" dargelegt, die Spitex-Organisation sei ein "Non-Profit-Unternehmen" und solle "keinen Gewinn machen, der über die benötigten betriebsnotwendigen Reserven hinausgeht". Dies ändert indes nichts am Ergebnis, dass hier die Durchführung des Einladungsverfahrens aus der Sicht der Beschwerdegegnerin einzig aus Rentabilitätsgründen erfolgte. Damit ging es der Beschwerdegegnerin nicht um die Unterstützung eines schutzbedürftigen nicht-kommerziellen Anbieters, sondern um das Eruieren eines Anbieters, der die offerierte Dienstleistung am besten und am günstigsten erbringt (vgl. Urteil VB.2007.00531 des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 1. Oktober 2008 E. 3.4.8). Dies ergibt sich auch aus der Leistungsvereinbarung vom Februar/März 2010 zwischen der Beschwerdegegnerin und dem Beschwerdeführer, wonach die Spitex-Leistungen "wirtschaftlich" zu erbringen sind. Da auch die neue Leistungsvereinbarung eine wirtschaftliche Leistungserbringung vorsieht, spricht dies ebenfalls für eine Beauftragung auf kommerzieller Basis, so dass hier - entgegen der Auffassung der Vorinstanz - ein öffentlicher Auftrag im Sinne des Beschaffungsrechts vorliegt.
3.8. Im Ergebnis unterstehen damit die Spitex-Leistungen - in der Form, wie sie die Beschwerdegegnerin ausgeschrieben hat - dem öffentlichen Vergaberecht. Daraus ergibt sich, dass das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau im vorinstanzlichen Verfahren auf die Beschwerde hätte eintreten müssen. Dies führt zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Urteils. Damit sind die im Raum stehenden materiellen Fragen (so insb. auch die von der Wettbewerbskommission WEKO in ihrer Stellungnahme aufgeworfene Frage einer Ausschreibung im offenen Verfahren) im bundesgerichtlichen Verfahren nicht weiter zu behandeln. Die Angelegenheit ist zur materiellen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen (vgl. E. 1.2 hiervor).
4.
Im vorliegenden beschaffungsrechtlichen Verfahren gilt die Einwohnergemeinde Aarburg als unterliegende Partei, die eigene Vermögensinteressen verfolgt (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 6 S. 268; <ref-ruling> E. 8 S. 103; Urteil 2C_658/2016 vom 25. August 2016 E. 4.2; je mit Hinweisen). Ihr sind die Gerichtskosten (<ref-law>) und die Parteientschädigung zugunsten des Beschwerdeführers (<ref-law>) aufzuerlegen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird gutgeheissen. Der angefochtene Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 12. September 2017 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Einwohnergemeinde Aarburg auferlegt.
3.
Die Einwohnergemeinde Aarburg wird verpflichtet, den Frauenverein Spitex Aarburg für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, und der Wettbewerbskommission WEKO schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Oktober 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Winiger