Sachverhalt:
A.
Die Schaugentobelstrasse liegt im Osten der politischen Gemeinde St. Gallen. Sie ist rund zwei Kilometer lang und weist eine Breite von 2 bis 4,5 m auf. In den am 1. Februar 2001 in Kraft getretenen Strassenplan wurde sie als Gemeindestrasse dritter Klasse aufgenommen. Die Kosten für den Strassenunterhalt übernimmt zu 10 % die Gemeinde, im Übrigen trägt sie die Strassenkorporation Schaugentobel. Bei dieser handelt es sich um eine öffentlich-rechtliche Körperschaft, deren Mitglieder die jeweiligen Eigentümer der von der Strasse erschlossenen beitragspflichtigen Grundstücke sind.
Am 23. Februar 2017 forderte die Strassenkorporation Schaugentobel den Stadtrat St. Gallen auf, die Schaugentobelstrasse neu als Gemeindestrasse zweiter Klasse einzuteilen, den Korporationsmitgliedern die seit dem Jahr 2012 geleisteten Beiträge zurückzuerstatten und die Korporation aufzulösen. Zur Begründung berief sie sich auf einen Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 7. Dezember 2011, wonach Gemeindestrassen, die mehr als zehn Wohneinheiten erschliessen, als Gemeindestrassen zweiter Klasse zu qualifizieren seien (GVP 2011 Nr. 21).
Mit Beschluss vom 12. September 2017 wies der Stadtrat das Gesuch ab. Zur Begründung führte er an, die Umklassierung setze voraus, dass sich seit der rechtskräftigen Klassierung die Verhältnisse beispielsweise hinsichtlich Charakter und Ausbaustandard, Funktion usw. massgebend verändert hätten. Eine solche Änderung liege nicht vor. Das von der Strassenkorporation erwähnte Urteil des Verwaltungsgerichts beziehe sich auf die Verlängerung und den Ausbau einer bisher als Gemeindestrasse dritter Klasse eingeteilten Strasse im Hinblick auf die Erschliessung weiterer, noch nicht überbauter Parzellen und lasse sich nicht unbesehen auf andere Fälle übertragen.
Einen von der Strassenkorporation Schaugentobel gegen den Entscheid des Stadtrats erhobenen Rekurs wies das Baudepartement des Kantons St. Gallen am 21. März 2019 ab. Auch es hielt für entscheidend, dass sich die Verhältnisse nicht wesentlich geändert hätten.
Daraufhin erhob die Strassenkorporation Schaugentobel Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen. Mit Entscheid vom 27. Februar 2020 hiess das Verwaltungsgericht die Beschwerde gut, soweit es darauf eintrat, und hob den Entscheid des Baudepartements auf. Es wies die Angelegenheit zur Prüfung der Einteilung der Schaugentobelstrasse und zu neuer Entscheidung an die Gemeinde St. Gallen zurück. Es erwog, der Streitgegenstand beschränke sich auf die Frage betreffend die Änderung der Verhältnisse. Auf den darüber hinausgehenden Beschwerdeantrag, die Schaugentobelstrasse als Gemeindestrasse zweiter Klasse einzuteilen, sei deshalb nicht einzutreten. Im Übrigen sei die Beschwerde jedoch gutzuheissen. Art. 14 des Strassengesetzes des Kantons St. Gallen vom 12. Juni 1988 (sGS 732.1; im Folgenden: StrG) trage zwar den Titel "Änderung der Verhältnisse", knüpfe jedoch nach dem klaren Wortlaut von Abs. 1 einzig an die Bedeutung und Zweckbestimmung der Strasse an. Die Eintretensvoraussetzungen von Abs. 3, wonach der politischen Gemeinde nach zehn Jahren seit rechtsgültiger Einteilung eine Änderung beantragen kann, wer ein schutzwürdiges Interesse dartut, seien zudem erfüllt. Die Gemeinde habe deshalb die Einteilung der Schaugentobelstrasse zu überprüfen.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 11. Mai 2020 beantragt die politische Gemeinde St. Gallen, der Entscheid des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und der Entscheid des Stadtrats sowie derjenige des Baudepartements seien zu bestätigen.
Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, das Baudepartement deren Gutheissung. Die Strassenkorporation Schaugentobel hat sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den angefochtenen, kantonal letztinstanzlichen Entscheid steht grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen (Art. 82 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Eingehender zu prüfen ist indessen, ob es sich beim Urteil des Verwaltungsgerichts um einen anfechtbaren Entscheid gemäss Art. 90 ff. BGG handelt.
1.2.
1.2.1. Die Beschwerdeführerin ist der Auffassung, der angefochtene Rückweisungsentscheid sei als Endentscheid zu qualifizieren, weil ihr kein Ermessensspielraum mehr verbleibe. Sollte das Bundesgericht anderer Auffassung sein und von einem Zwischenentscheid ausgehen, so sei dieser anfechtbar, weil er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirke. Dieser Nachteil resultiere daraus, dass sie durch die Anordnungen im Rückweisungsentscheid in ihrem Beurteilungsspielraum wesentlich eingeschränkt und gezwungen werde, entgegen ihrer Auffassung eine neue Anordnung zu erlassen, die sie in der Folge nicht anfechten könnte.
1.2.2. Mit dem angefochtenen Entscheid wird die Sache an die Gemeinde zurückgewiesen, damit diese prüfe, wie die Schaugentobelstrasse einzuteilen sei. Das kantonale Verfahren ist somit noch nicht abgeschlossen. Zudem kann entgegen dem Vorbringen der Gemeinde nicht gesagt werden, ihr verbleibe keinerlei Entscheidungsspielraum mehr, was gemäss der Rechtsprechung ausnahmsweise die Gleichstellung mit einem Endentscheid (Art. 90 BGG) zur Folge hätte (<ref-ruling> E. 1.2 S. 148; <ref-ruling> E. 1.3 S. 127; je mit Hinweisen).
1.2.3. Es liegt vielmehr ein selbstständig eröffneter Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG vor. Die Beschwerde an das Bundesgericht ist daher nur zulässig, wenn dieser einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b). Sofern sich nicht ohne Weiteres aus den Akten ergibt, dass diese Voraussetzungen erfüllt sind, obliegt es dem Beschwerdeführer, dies darzutun (<ref-ruling> E. 1.3 S. 292 mit Hinweisen).
Vorliegend ergibt sich nicht ohne Weiteres aus den Akten, dass durch die Gutheissung der Beschwerde ein bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erspart würde. Die Beschwerdeführerin behauptet auch nicht, dass die Prüfung der Einteilung der Schaugentobelstrasse mit einem solchen Aufwand ver bunden wäre. Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG fällt damit ausser Betracht.
Nach ständiger Rechtsprechung nimmt das Bundesgericht einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG an, wenn der Rückweisungsentscheid materiellrechtliche Anordnungen enthält, die den Beurteilungsspielraum der Behörde wesentlich einschränken, sodass sie eine ihres Erachtens rechtswidrige Verfügung erlassen müsste, die sie in der Folge nicht selber anfechten könnte (<ref-ruling> E. 1.2 S. 332; Urteil 2C_44/2018 vom 31. Januar 2020 E. 1.2, nicht publ. in <ref-ruling>; je mit Hinweisen). Der Rückweisungsentscheid des Verwaltungsgerichts enthält jedoch keine derartigen Anordnungen. Die Gemeinde wird einzig dazu angehalten, die Einteilung der Schaugentobelstrasse vor dem Hintergrund von Art. 8 StrG zu überprüfen. Diese Bestimmung regelt in Abs. 2 und 3, aufgrund welcher inhaltlicher Kriterien zwischen Gemeindestrassen zweiter und dritter Klasse zu unterscheiden ist:
2 Gemeindestrassen zweiter Klasse dienen der Groberschliessung des Baugebietes und der Erschliessung grösserer Siedlungsgebiete ausserhalb des Baugebietes. Sie stehen in der Regel dem allgemeinen Motorfahrzeugverkehr offen.
3 Gemeindestrassen dritter Klasse dienen der übrigen Erschliessung sowie der Land- und der Forstwirtschaft. Sie stehen dem allgemeinen Motorfahrzeugverkehr nicht offen.
Das Verwaltungsgericht hat der Gemeinde in dieser Hinsicht keinerlei Vorgaben gemacht. Es verpflichtet die Gemeinde zudem auch nicht zu einer Umklassierung, sondern verlangt von ihr lediglich, eine solche zu prüfen. Ein nicht wieder gutzumachender Nachteil ist somit zu verneinen.
2.
Auf die Beschwerde ist aus den genannten Erwägungen nicht einzutreten.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Die Beschwerdegegnerin hat sich nicht vernehmen lassen, weshalb eine Parteientschädigung ausser Betracht fällt (Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Baudepartement des Kantons St. Gallen und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. August 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Dold