Erwägungen:
1.
1.1. Die Sicherheitsdirektion des Kantons Bern hiess am 27. Januar 2021 eine Rechtsverweigerungsbeschwerde von A._ bezüglich seines Gesuchs gut, ihm die Niederlassungsbewilligung zu erteilen; gleichzeitig hielt es den Migrationsdienst des Amts für Bevölkerungsdienste des Kantons Bern an, das entsprechende Gesuch umgehend an die Hand zu nehmen; es verneinte indessen eine Rechtsverzögerung im Verfahren betreffend die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung.
1.2. A._ gelangte hiergegen an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, welches am am 8. März 2021 auf seine Beschwerde nicht eintrat, da A._ teilweise obsiegt (fehlende Beschwer) und er seine Eingabe im Übrigen nicht rechtsgenügend begründet habe; dies gelte auch, soweit er einwende, nicht in der Lage zu sein, die Verfahrenskosten von Fr. 500.-- zu bezahlen.
1.3. Auf die von A._ hiergegen beim Bundesgericht eingereichte Beschwerde trat der Abteilungspräsident am 26. April 2021 - aus dem gleichen Grund wie die Vorinstanz (offensichtlich mangelhafte Begründung der Beschwerde) nicht ein. Mit Eingabe vom 23. Juni 2021 ersucht A._ das Bundesgericht darum, sein Bankkonto wieder zu eröffnen und ihm die Niederlassungsbewilligung zu erteilen, weil er die Fr. 500.-- bezahlt habe, um die er "gebeten" worden sei; sinngemäss stellt er damit (auch) das bundesgerichtliche Urteil vom 26. April 2021 infrage.
2.
2.1. Urteile des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (<ref-law>). Eine nochmalige Überprüfung der einem Urteil des Bundesgerichts zu Grunde liegenden Streitsache ist grundsätzlich ausgeschlossen. Das Gericht kann auf seine Urteile nur zurückkommen, wenn einer der in den <ref-law> abschliessend aufgeführten Revisionsgründe vorliegt. Die um Revision eines bundesgerichtlichen Urteils ersuchende Person hat gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG namentlich einen vom Gesetz vorgesehenen Revisionsgrund zu nennen und aufzuzeigen, weshalb das revisionsbetroffene Urteil an einem revisionserheblichen Mangel leidet; fehlt eine entsprechende Begründung wird auf das Gesuch nicht eingetreten (vgl. das Urteil 2F_28/2020 vom 21. April 2021 E. 3).
2.2. Die vorliegende Eingabe genügt diesen Anforderungen nicht: Der Gesuchsteller verkennt, dass das Bundesgericht keine allgemeine Aufsichtsbehörde ist und nur im Rahmen der im Bundesgerichtsgesetz (BGG; SR 173.110) vorgesehenen Verfahren angerufen werden kann. Das Bundesgericht ist weder befugt, das Bankkonto des Gesuchstellers wieder zu "eröffnen", noch ihm eine Niederlassungsbewilligung zu erteilen. Das entsprechende Bewilligungsverfahren ist offenbar noch hängig. Bei den vom Gesuchsteller erhobenen Fr. 500.-- handelt es sich - soweit ersichtlich - um Verfahrenskosten.
2.3. Auf die vorliegende Eingabe ist nicht einzutreten. Es kann noch einmal davon abgesehen werden, Kosten zu erheben (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Juli 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar