Sachverhalt:
A.
A.a. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Bern, Region Oberland, führt ein Strafverfahren gegen eine unbekannte Täterschaft, eventuell gegen einen offenbar nicht weiter identifizierten B._, wegen Verstosses gegen das UWG (SR 241). Am Verfahren ist A._ als Strafantragsteller und Zivilkläger beteiligt. Dieser war früher in der Schweiz als Rechtsanwalt zugelassen.
Mit Verfügung vom 16. Oktober 2020 wies die Staatsanwaltschaft Beweisanträge ab und ordnete an, dass das Verfahren sistiert bleibe. Hiergegen erhob A._ am 17. Oktober 2020 Rechtsverweigerungsbeschwerde beim Obergericht des Kantons Bern. Zugleich stellte er ein Ausstandsgesuch gegen den führenden Staatsanwalt Thomas Wyser. Ferner reichte er gegen diesen Staatsanwalt eine Strafanzeige wegen versuchter Begünstigung ein.
Nachdem die Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Bern die Staatsanwaltschaft am 10. November 2020 angewiesen hatte, das sistierte Verfahren wieder aufzunehmen und bestimmte Ermittlungen zu tätigen, wurde das Beschwerdeverfahren beim Obergericht als gegenstandslos abgeschrieben.
Das Ausstandsgesuch vom 17. Oktober 2020 wurde mit Beschluss des Obergerichts vom 3. Dezember 2020 abgewiesen. Das Bundesgericht wies eine gegen diesen Beschluss erhobene Beschwerde in Strafsachen von A._ mit Urteil 1B_27/2021 vom 15. März 2021 ab.
A.b. Aufgrund der erwähnten Strafanzeige gegen Staatsanwalt Wyser eröffnete die Staatsanwaltschaft für Besondere Aufgaben des Kantons Bern eine Untersuchung. Sie gab dabei Staatsanwalt Wyser Gelegenheit, sich schriftlich zur Strafanzeige zu äussern. Staatsanwalt Wyser nahm diese Möglichkeit mit Stellungnahme vom 4. Februar 2021 wahr.
A.c. Am 13. März 2021 stellte A._ im Strafverfahren wegen Verstosses gegen das UWG erneut ein Ausstandsgesuch gegen Staatsanwalt Wyser. Er machte dabei geltend, die Äusserungen des Staatsanwaltes zu den Kostenfolgen des Strafverfahrens wegen versuchter Begünstigung und dessen frühere Verfehlungen liessen auf Befangenheit aufgrund persönlicher Feindschaft schliessen.
A.d. Das Obergericht wies das neue Ausstandsgesuch mit Beschluss vom 31. Mai 2021 ab.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 15. Juni 2021 an das Bundesgericht beantragt A._ im Hauptpunkt, den Beschluss des Obergerichts vom 31. Mai 2021 aufzuheben, das Ausstandsgesuch gutzuheissen, den Ausstand von Staatsanwalt Wyser anzuordnen und die Strafsache einem anderen Staatsanwalt der zuständigen Staatsanwaltschaft zuzuweisen. In prozessualer Hinsicht wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht.
Thomas Wyser und das Obergericht verzichteten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Beschluss handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen, selbstständig eröffneten Zwischenentscheid über den Ausstand im Rahmen eines Strafverfahrens. Dagegen steht die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht offen (vgl. Art. 78 ff. bzw. <ref-law>).
Die Vorinstanz hat das Ausstandsgesuch des Beschwerdeführers abgewiesen. Damit ist er ohne Weiteres zur Beschwerde legitimiert (vgl. <ref-law>).
1.2. Mit der Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Dessen Einhaltung überprüft das Bundesgericht von Amtes wegen (vgl. <ref-law>) und mit freier Kognition.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz auf Antrag hin oder von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (vgl. Art. 97 Abs. 1 und 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt, der angefochtene Beschluss sei nichtig, weil er "i.V." - also in Vertretung - der Gerichtsschreiberin Kurt von Gerichtsschreiber Rudin unterzeichnet worden sei. Es sei nicht ersichtlich, nach welcher gesetzlichen Regelung eine solche Vertretung erfolgen könne. In Ermangelung einer gesetzlichen Grundlage für eine derartige Delegation sei der angefochtene Beschluss ohne rechtsgültige Unterschrift eröffnet worden.
2.2. Im Rubrum des angefochtenen Entscheids ist unter "Besetzung" Gerichtsschreiberin Kurt aufgeführt. Am Ende des Entscheids bei den Unterschriften steht unter der Überschrift "Die Gerichtsschreiberin" ebenfalls der Name Kurt. Die Gerichtsschreiberin Kurt hat den Entscheid allerdings nicht eigenhändig unterschrieben. Vielmehr tat das für sie "i.V." Gerichtsschreiber Rudin.
Mit der Unterschrift "i.V." kann sichergestellt werden, dass das Urteil nach der Entscheidfindung auch bei Abwesenheit einer Gerichtsschreiberin oder eines Gerichtsschreibers wegen Krankheit, Ferien usw. ausgefertigt und versandt werden kann, was dem Beschleunigungsgebot dient. Dieses Vorgehen ist auch am Bundesgericht üblich, wo nach Abschluss der Entscheidfindung Urteile durch Gerichtsschreiberinnen bzw. Gerichtsschreiber in Vertretung abwesender Kolleginnen oder Kollegen ausgefertigt bzw. unterschrieben werden (vgl. Urteil 1B_503/2012 vom 25. Januar 2013 E. 6.2 mit Hinweis).
Gemäss Art. 36 Abs. 1 lit. g des Organisationsreglements des Obergerichts des Kantons Bern vom 23. Dezember 2010 (BSG 162.11), das gestützt auf Art. 12 und Art. 38 Abs. 2 lit. b des Gesetzes vom 11. Juni 2009 über die Organisation der Gerichtsbehörden und der Staatsanwaltschaft (GSOG; BSG 161.1) erlassen wurde, vertreten sich die Gerichtsschreiberinnen und Gerichtsschreiber gegenseitig und helfen einander aus. Damit besteht eine genügende gesetzliche Grundlage für die Unterzeichnung des angefochtenen Beschlusses in der erwähnten Art durch Gerichtsschreiber Rudin.
Die erwähnte Rüge ist somit unbegründet.
3.
3.1. Die Ausstandsgründe für die in einer Strafbehörde tätigen Personen sind in <ref-law> geregelt. Diese Bestimmung konkretisiert Art. 6 Ziff. 1 EMRK sowie Art. 29 Abs. 1 und Art. 30 Abs. 1 BV. Zu den Strafbehörden gehören neben den Gerichten (<ref-law>) die Strafverfolgungsbehörden, darunter die Organe der Staatsanwaltschaft (<ref-law>). Von den in Art. 56 lit. a-e StPO geregelten besonderen Ausstandsgründen abgesehen (persönliches Interesse an der Strafsache, Vorbefassung in anderer Stellung, persönliche Beziehung zu Parteien usw.), tritt ein Staatsanwalt in den Ausstand, wenn er "aus anderen Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand, befangen sein könnte" (<ref-law>).
3.2. Befangenheit einer staatsanwaltlichen Untersuchungsleiterin oder eines Untersuchungsleiters ist nach der Praxis des Bundesgerichtes nicht leichthin anzunehmen. Zu bejahen ist sie, wenn nach objektiver Betrachtung besonders krasse oder ungewöhnlich häufige Fehlleistungen der Untersuchungsleitung vorliegen, welche bei gesamthafter Würdigung eine schwere Verletzung der Amtspflichten darstellen und sich einseitig zulasten einer der Prozessparteien auswirken (<ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 3.2.3; <ref-ruling> E. 2.3; je mit Hinweisen). Diesbezüglich sind primär die zur Verfügung stehenden Rechtsmittel gegen beanstandete Verfahrenshandlungen auszuschöpfen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 3b/bb; je mit Hinweisen; zum Ganzen Urteil 1B_27/2021 vom 15. März 2021 E. 2.2).
3.3. Auch voreilige präjudizielle Äusserungen der Untersuchungsleitung können geeignet sein, objektive Zweifel an ihrer Unparteilichkeit zu begründen. Dies kann zum Beispiel zutreffen, wenn die Untersuchungsleitung nicht gewillt erscheint, ihren unzutreffenden, vom zuständigen Verfahrensgericht gerügten Standpunkt zu ändern (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.4). Sodann können sich Verfahrenssituationen ergeben, in denen die Staatsanwaltschaft bereits vor Abschluss der Strafuntersuchung in rechtlicher oder tatsächlicher Hinsicht zum Gegenstand der Untersuchung Stellung nimmt und dabei unter Umständen auch ihre aufgrund des jeweiligen Verfahrensstandes vorläufig gebildete Meinung offenlegt. Dabei darf und muss aber, sofern nicht besondere gegenteilige Anzeichen vorhanden sind, vorausgesetzt werden, dass die Untersuchungsleitung in der Lage ist, ihre vorläufige Beurteilung des Prozessstoffes entsprechend dem jeweils neusten Stand des Verfahrens ständig zu überprüfen und bei Vorliegen neuer Tatsachen und Argumente auch zu revidieren. Ein solches Vorgehen vermag in der Regel keine Parteilichkeit oder Befangenheit objektiv zu begründen. Ungeschickte Äusserungen eines Staatsanwaltes kommen als Ausstandsgrund nur in Frage, wenn es sich dabei um eine schwere Verfehlung gegenüber der betroffenen Partei handelt (BGE <ref-ruling> E. 3.2.3 mit Hinweisen; Urteil 1B_27/2021 vom 15. März 2021 E. 2.3).
3.4. Im blossen Umstand, dass eine Partei des Strafverfahrens in dessen Verlaufe eine Strafanzeige gegen ein Mitglied einer Strafbehörde einreicht, liegt kein Ausstandsgrund. Denn andernfalls könnte die Partei missliebige Mitglieder einer Strafbehörde allein durch Einreichen einer Strafanzeige aus dem Verfahren hinausdrängen (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2; Urteil 1B_13/2015 vom 1. Mai 2015 E. 3.1). Ein Ausstandsgrund ist hingegen zu bejahen, wenn das Mitglied der Strafbehörde aufgrund der gegen ihn eingereichten Strafanzeige einer Partei eines Strafverfahrens mit einem Strafantrag (vgl. <ref-law>), mit der Geltendmachung zivilrechtlicher Ansprüche auf Ersatz immateriellen Schadens aufgrund Persönlichkeitsverletzung (vgl. <ref-law> und <ref-law>) oder auf sonstige Weise in einer Art reagiert, die deutlich macht, dass es nicht mehr die notwendige Distanz gegenüber der Partei zu wahren vermag (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2).
4.
4.1. Im Verfahren 1B_27/2021 hatte der Beschwerdeführer geltend gemacht, Thomas Wysers Verfahrensleitung habe wiederholt durch übergeordnete Instanzen korrigiert werden müssen. Der Staatsanwalt habe Beweisanträge missachtet, einen Beweisverlust zu verantworten und teilweise einen Praktikanten zur Begründung seiner Verfügungen eingesetzt sowie diesen angehalten, den Beschwerdeführer in ein ungünstiges Licht rückende Urteile des Bundesgerichts zusammenzusuchen. Statt das Strafverfahren voranzutreiben, werde dieses durch den Staatsanwalt behindert. Weiter machte der Beschwerdeführer im Verfahren 1B_27/2021 geltend, er sei Opfer einer gross angelegten Mobbingkampagne von Teilen der schweizerischen Justiz geworden, die zu einer beim Bundesgericht unter der Verfahrensnummer 2E_4/2019 hängigen Schadenersatzklage gegen die Schweizerische Eidgenossenschaft geführt habe.
Das Bundesgericht erkannte im Urteil 1B_27/2021 vom 15. März 2021, die vom Beschwerdeführer angerufenen Umstände würden weder je für sich allein noch im Rahmen einer Gesamtwürdigung eine Ausstandspflicht von Staatsanwalt Wyser begründen. Eine persönliche Voreingenommenheit oder Feindschaft dieses Staatsanwalts gegenüber dem Beschwerdeführer sei nicht erkennbar. Der Staatsanwalt möge zwar vereinzelt das einschlägige Prozessrecht nicht vollständig eingehalten haben. Dabei habe es sich aber um überschaubare und grundsätzlich behebbare Verfehlungen gehandelt, wie sie regelmässig vorkommen könnten und die im vorliegenden Fall auch weitestgehend korrigiert worden seien. Der Einsatz von Rechtspraktikantinnen und Rechtspraktikanten in der Strafverfolgung und Justiz sei sodann verbreitet üblich. Die Berufung auf eine Mobbingkampagne von Teilen der schweizerischen Justiz vermöge keine individuelle Ausstandspflicht zu begründen.
4.2.
4.2.1. Von einem Ausstandsgrund wäre vorliegend nur auszugehen, wenn zu den im Urteil 1B_27/2021 vom 15. März 2021 gewürdigten Umständen zwischenzeitlich weitere Tatsachen hinzugetreten wären, die für sich allein oder unter Berücksichtigung dieser Umstände den Anschein der Befangenheit des Beschwerdegegners begründen. Der Beschwerdeführer sieht entsprechende Tatsachen in den Äusserungen, welche der Beschwerdegegner zu den Kostenfolgen des Strafverfahrens wegen versuchter Begünstigung gemacht hat.
4.2.2. Gemäss den bindenden Feststellungen im angefochtenen Urteil (vgl. vorne E. 1.2) führte der Beschwerdegegner in seiner Stellungnahme vom 4. Februar 2021 zur Strafanzeige wegen versuchter Begünstigung aus, das gegen ihn geführte Strafverfahren sei einzustellen. Weiter erklärte er in dieser Stellungnahme, die Kosten seien grundsätzlich vom Staat zu tragen, wobei durch die Verfahrensleitung zu prüfen sein werde, ob in Anwendung von <ref-law> Rückgriff auf den Beschwerdeführer zu nehmen sei. Die Einreichung einer Strafanzeige durch einen ausgebildeten Rechtsanwalt allein aufgrund einer "unbelegten These", auf welche nicht weiter eingegangen zu werden brauche, manifestiere ein zumindest grobfahrlässiges Verhalten desselben, was zu einer Regressnahme zu führen habe.
4.2.3. Die Tatsache allein, dass sich der Staatsanwalt in seiner Stellungnahme zu den Kostenfolgen des gegen ihn geführten Strafverfahrens und zu einem allfälligen Rückgriff äusserte, lässt ihn nicht als befangen erscheinen. Denn es war nicht von vornherein ausgeschlossen, dass ihm selbst die Kosten dieses Verfahrens auferlegt werden bzw. hinsichtlich dieser Kosten auf ihn Rückgriff genommen wird (vgl. zum Rückgriff <ref-law>). Mit Blick auf ihn selbst betreffende finanzielle Auswirkungen bestand für ihn zwar nur Anlass, die Übernahme der Kosten durch den Staat sowie den Verzicht auf einen Rückgriff auf ihn selbst zu fordern. Es war ihm aber gleichwohl nicht verwehrt zu erklären, es sei auf den Beschwerdeführer Rückgriff zu nehmen. Letztere Erklärung und ihre hiervor wiedergegebene Begründung erscheinen nicht als unsachlich, selbst wenn ihnen nicht zu folgen wäre. Die entsprechenden Äusserungen sind damit weder für sich allein noch mit den früheren (angeblichen) Verfehlungen des Staatsanwalts geeignet, dessen Unparteilichkeit in Frage zu stellen.
5.
Im Übrigen ist auch unter Berücksichtigung der weiteren Ausführungen in der Beschwerde an der seinerzeitigen bundesgerichtlichen Würdigung des Sachverhalts, welcher dem Urteil 1B_27/2021 vom 15. März 2021 zugrunde lag, festzuhalten. Der Beschwerdeführer verweist zwar zutreffend auf die Erwägungen in diesem Urteil, wonach es "als unglücklich oder mit dem Obergericht als 'suboptimal' zu werten [ist], dass möglicherweise ein mutmassliches Beweismittel mit dem eventuellen Verlust der Nachverfolgung einer IP-Adresse verloren gegangen ist" (E. 3.1.2 des Urteils). Er blendet aber Entscheidendes aus. Das Bundesgericht schloss nämlich in diesem Kontext eine grobe Fehlleistung des Beschwerdegegners mit der Begründung aus, die Vorhersehbarkeit des Verlustes des mutmasslichen Beweismittels sei nicht nachvollziehbar dargelegt.
6.
Die Beschwerde erweist sich somit nicht als begründet und ist abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der unterliegende Beschwerdeführer grundsätzlich kostenpflichtig. Es rechtfertigt sich jedoch, ausnahmsweise von der Erhebung von Gerichtskosten abzusehen (vgl. <ref-law>). Damit braucht über das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege nicht entschieden zu werden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, Thomas Wyser und dem Obergericht des Kantons Bern, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. September 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: König