Faits :
A.
A.a. En 2007, A._ (ci-après: le client, le demandeur ou le recourant), licencié en sciences économiques et actif dans le commerce du vin, a rencontré C._ (ci-après: le gestionnaire), opérateur de marché spécialisé dans les produits dérivés, par l'intermédiaire d'une relation d'affaires qui lui a indiqué qu'il avait obtenu d'importants bénéfices en investissant en bourse sur les conseils de celui-ci.
Le client et le gestionnaire se sont fréquentés pendant six mois. Pendant cette période, celui-ci lui a expliqué le fonctionnement des investissements en bourse ainsi que la particularité des produits dérivés.
A.b. En mars 2008, le client a ouvert un compte auprès de D._ SA. Ayant considéré que le gestionnaire manipulait les outils boursiers avec dextérité et professionnalisme, il lui a confié la gestion de l'entier de ses avoirs.
Dans un premier temps, le client s'informait régulièrement de l'état de son compte et était satisfait des résultats obtenus. Il pouvait voir les résultats des opérations effectuées par le gestionnaire sur ses écrans et celui-ci lui a expliqué la très importante rotation sur son compte. Le client comprenait le principe des opérations financières mais n'était pas en mesure de les exécuter lui-même.
A.c. En mai 2008, le client a subi d'importantes pertes sur son compte. Le gestionnaire a reporté le problème sur un défaut allégué de la plateforme de trading.
Le client s'étant plaint auprès de D._ SA, les responsables de celle-ci lui ont fourni des explications sur le fonctionnement et sur les risques des produits dérivés.
A.d. Depuis mai 2008 au moins, le client est assisté par Cédric Aguet, avocat, dans ses relations avec les entités chargées de la gestion de sa fortune.
A.e. En juillet 2008, le gestionnaire a conseillé au client d'ouvrir un compte auprès de E._ SA (ci-après: la banque), afin de pouvoir bénéficier de sa plateforme de trading qui correspondait à leurs attentes en matière de produits dérivés.
Le client a ouvert un tel compte le 17 juillet 2008, afin de permettre au gestionnaire de continuer à traiter des opérations sur options ou sur produits dérivés comme il avait l'habitude de le faire.
Dans sa requête d'ouverture de compte, le client a sélectionné l'ensemble des produits proposés et a précisé au sujet de ses connaissances en matière d'investissement qu'il était professionnel et qu'il avait plus de dix ans d'expérience. Il a toutefois indiqué qu'il n'avait aucune connaissance dans les types de produits qu'il avait sélectionnés. Il confirmait par ailleurs qu'il avait reçu et lu les conditions générales de la banque et une déclaration selon laquelle il avait été informé des risques liés à certains des produits précités.
Le client bénéficiait d'un accès électronique lui permettant de surveiller son compte en tout temps.
En août 2008, le client a transféré l'ensemble de ses actifs détenus auprès de D._ SA sur son nouveau compte auprès de la banque. Au 31 août 2008, la valeur de son compte était de 3'704'221 fr. 89.
Le 2 septembre 2008, le client a signé une procuration en faveur du gestionnaire, qui a essentiellement continué à effectuer des opérations sur produits dérivés.
A.f. Afin de pouvoir exercer en tant que gérant externe et de bénéficier de commissions, le gestionnaire a dû s'affilier à un organisme d'autorégulation, ce dont le client et son conseil ont été informés.
À cette fin, le gestionnaire a été engagé par B._ SA (ci-après: la société, la défenderesse ou l'intimée) en qualité de " Trader Senior ", après que celle-ci avait reçu son curriculum vitae, ses lettres de recommandation et ses certificats de travail. Le salaire du gestionnaire était calculé en fonction du montant des commissions versées à la société, lequel était à son tour lié au nombre de transactions effectuées sur les comptes de ses clients.
Le 15 octobre 2008, le client a été informé du fait que le gestionnaire travaillait désormais pour la société. Il n'a jamais signé de mandat de gestion écrit avec celle-ci.
A.g. Au 31 octobre 2008, la valeur totale du portefeuille du client s'élevait à 3'073'932 fr.
Le 3 novembre 2008, le client s'est inquiété auprès du gestionnaire des pertes subies sur son compte. Celui-ci l'a toutefois assuré qu'il recouvrerait rapidement l'argent perdu.
Le même jour, le client a signé une nouvelle procuration en faveur de la société afin d'autoriser le gestionnaire à gérer son compte auprès de la banque en qualité d'employé de la société. Le gestionnaire a continué à faire essentiellement usage des produits dérivés dans sa gestion du portefeuille du client.
Le 5 novembre 2008, le client a interpellé le gestionnaire parce qu'il voyait son compte " s'effriter " tous les jours, ce qui représentait selon lui plus de 1,2 million de francs en dix jours, et lui a demandé de vendre certains titres et de cesser provisoirement les investissements.
A.h. Le 17 décembre 2008, le client s'est plaint auprès de la banque car il perdait de l'argent tous les jours.
À la même date, le gestionnaire lui a répondu et expliqué que la dévaluation du compte provenait de la baisse du dollar américain et que les pertes étaient largement rattrapables.
Peu après, le client a relevé que la baisse du dollar américain n'expliquait pas tout, étant donné que son compte baissait régulièrement déjà avant la chute de cette devise, et que sa stratégie de vente d'actions afin de mettre un terme aux pertes subies avait fonctionné. Malgré le fait qu'il avait demandé au gestionnaire de faire de même pour les devises, il avait perdu de l'argent alors qu'il aurait dû selon lui en gagner.
A.i. Le 7 janvier 2009, le client s'est à nouveau plaint auprès du gestionnaire, estimant avoir perdu 5 millions de francs en dix mois.
Le lendemain, le conseil du client a enjoint le gestionnaire d'arrêter les pertes sur le compte de son mandant. Le gestionnaire lui a répondu qu'il allait rattraper les pertes si on le laissait faire.
A.j. Le 9 janvier 2009, le conseil du client a informé le gestionnaire que celui-ci constatait que son compte perdait chaque jour des sommes importantes et lui a demandé de remettre le compte à niveau.
Par courriel du même jour, il a demandé au gestionnaire de cesser toute gestion sur le compte de son client.
À cette date, les actifs du client totalisaient 2'194'571 fr. Le client ayant retiré 53'000 fr. et 99'020 fr. en novembre 2008, sa perte s'élevait selon lui à 727'341 fr. pour la période du 31 octobre 2008 au 9 janvier 2009.
A.k. Entre le 6 novembre 2008 et le 9 janvier 2009, la banque a versé l'équivalent de 160'241 fr. 52 à la société au titre de rétrocessions.
A.l. Le 31 mars 2009, la société a résilié avec effet immédiat le contrat de travail du gestionnaire.
A.m. Dans le contexte d'une procédure pénale pour abus de confiance et gestion déloyale à l'encontre du gestionnaire, à laquelle le client n'était pas partie, le gestionnaire a reconnu avoir détourné 88'000 fr. à son profit dans le contexte de mandats de gestion de fortune autres que celui du client. Il a expliqué qu'il souffrait de troubles bipolaires.
Le gestionnaire a été mis sous tutelle en 2010 puis est décédé en 2012, suite à quoi la procédure pénale à son encontre a été classée.
B.
B.a. Après que la conciliation a échoué, le client a ouvert action contre la banque et la société par-devant le Tribunal de première instance du canton de Genève le 14 septembre 2012. Au dernier état de ses conclusions à l'encontre de la société, il requérait sa condamnation au paiement de 727'341 fr., intérêts en sus. Les prétentions contre la banque ne sont plus litigieuses.
Le client demandeur a notamment fait valoir qu'il s'attendait à une gestion conservatrice dénuée de risque, qu'entre le 3 novembre 2008 et le 9 janvier 2009, le gestionnaire avait effectué 4'550 opérations sur son compte, qu'elles s'étaient soldées par des pertes et qu'elles avaient uniquement pour but de générer des commissions et des rétrocessions en faveur de la société, dont il requérait le remboursement.
Entendu par le tribunal, le client demandeur a déclaré qu'il savait que les produits dérivés présentaient des risques, mais qu'il ignorait de quelle ampleur et de quoi il retournait exactement, que, s'il avait accepté la politique de trading du gestionnaire, c'était parce que celui-ci l'avait convaincu qu'il pourrait limiter les risques ou que ce risque pouvait être combattu par son travail, qu'il prenait connaissance des courriels du gestionnaire mais que cela restait pour lui un langage compliqué, qu'il avait donné son accord pour ce type de gestion, dans la mesure où le gestionnaire lui avait exposé dès le début que le fait de travailler exclusivement sur des produits dérivés permettait des gains substantiels, supérieurs à ceux dégagés par un placement statique, et qu'il était conscient que ce type de gestion impliquait des risques, le gestionnaire l'ayant prévenu que ce type de placement était plus risqué que le dépôt sur un compte bancaire.
Selon la société, le gestionnaire avait respecté les souhaits du client et celui-ci était parfaitement informé des risques encourus. Le type de gestion choisi impliquait de nombreuses transactions, de sorte qu'il ne saurait être retenu que le gestionnaire aurait fait du " barattage ". Enfin, elle avait choisi et surveillé son employé de manière adaptée et diligente.
Par jugement du 29 avril 2015, le tribunal a débouté le demandeur de toutes ses conclusions.
B.b. Par arrêt du 12 février 2016, la Cour de justice du canton de Genève a admis l'appel interjeté par le client, a annulé le jugement attaqué et a renvoyé la cause au tribunal pour instruction complémentaire et nouvelle décision dans le sens des considérants.
En substance, elle a retenu que la question de savoir si l'activité de gestion effectuée par le gestionnaire pour le client s'était exercée de manière conforme aux règles de l'art ne pouvait être résolue sans expertise. Il était par ailleurs pertinent de savoir si le gestionnaire avait violé ses obligations car cette violation pouvait, suivant les circonstances, être imputable à la société en sa qualité d'employeuse.
B.c. L'expert a rendu son rapport au tribunal le 28 février 2018. Il en ressort notamment (1) que la stratégie d'investissement du gestionnaire consistait principalement à acheter et à vendre des produits à des intervalles rapprochés en misant sur des montants qui peuvent être importants en vue de profiter de petites différences de cours se dessinant sur de courtes périodes, (2) que cette périodicité rapide se traduit par un nombre d'opérations élevé par unité de temps, (3) que le client n'avait signé aucun document de mandat de gestion ni de profil de risque ou de gestion et que le profil de gestion ne pouvait qu'être déduit du type et du style de gestion opéré par le gestionnaire avec l'accord implicite de son client, (4) qu'en l'occurrence, la gestion devait forcément être qualifiée d'agressive et sujette à une haute prise de risques, (5) que le gestionnaire était un opérateur de marché de très haute fréquence et que cette fréquence correspondait au style et à la stratégie de gestion suivie par le gestionnaire depuis le début de sa relation avec le client, que l'horizon de temps d'investissement du gestionnaire se mesurait en minutes ou en heures et qu'on ne pouvait donc pas parler de barattage, (6) que le gestionnaire avait fréquemment communiqué avec le client sur l'exercice de sa gestion du compte au quotidien, que, s'il avait su le séduire en lui présentant le potentiel de gain associé avec ce type de placements, le client ne devait pas non plus ignorer les risques encourus et qu'avec l'expérience vécue avec D._ SA, le client avait confirmé sa confiance dans la gestion du gestionnaire en ouvrant le compte auprès de la banque, (7) que, dans la mesure où l'activité du gestionnaire sur le compte du client auprès de la banque en tant qu'employé de la société n'avait duré guère plus de deux mois, il n'était pas du tout certain que les pertes sur le portefeuille du client eussent pu être réduites sur cette brève période par l'application de mesures de contrôle plus coercitives de la part de la société, et (8) qu'en parallèle, les marchés mondiaux avaient traversé la pire crise des temps modernes et que le cas du client ne devait pas constituer un cas isolé.
B.d. Par jugement du 25 mars 2020, le tribunal a, en substance, débouté le demandeur de toutes ses conclusions à l'encontre de la banque et condamné la société à verser au demandeur 160'241 fr. 52, intérêts en sus, ce qui correspond à la restitution des rétrocessions perçues par la société.
B.e. Par arrêt du 16 mars 2021 notifié au demandeur le 26 mars 2021, la Cour de justice a constaté que la banque n'était pas partie à la procédure d'appel, a rejeté l'appel de la société et l'appel joint du client et confirmé le jugement querellé.
C.
Le 10 mai 2021, le client a formé un recours en matière civile contre cet arrêt. En substance, il conclut à ce que l'arrêt entrepris soit annulé et réformé, en ce sens, principalement, que la cause soit renvoyée à la cour cantonale pour mettre en oeuvre une contre-expertise sur l'analyse de la stratégie, de la gestion et des omissions du gestionnaire et de la société et pour rendre une nouvelle décision, subsidiairement, que la société soit condamnée à lui verser, en plus de la restitution des rétrocessions qui lui a déjà été octroyée par les instances cantonales, le montant de 727'341 fr., intérêts en sus, et, plus subsidiairement, que la cause soit renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
L'intimée conclut au rejet du recours.
La cour cantonale se réfère aux considérants de son arrêt.

Considérant en droit :
1.
Interjeté dans le délai fixé par la loi (art. 100 al. 1 et art. 46 al. 1 let. a LTF) par le client, qui a partiellement succombé dans ses conclusions (art. 76 al. 1 LTF), et dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue sur appel par le tribunal supérieur du canton de Genève (art. 75 LTF) dans une affaire civile (art. 72 al. 1 LTF) dont la valeur litigieuse dépasse 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF), le recours en matière civile est en principe recevable.
Devant l'autorité précédente, le client demandeur a conclu, en substance, à ce que la société défenderesse soit condamnée à lui verser 727'341 fr., intérêts en sus. Dans le présent recours, il conclut en sus à la condamnation de l'intimée au paiement de 160'241 fr. 52, intérêts en sus (cf. supra consid. C). Nouvelle et excédant ses conclusions initiales, cette conclusion est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF).
2.
2.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 4.1.2; <ref-ruling> consid. 5.1) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
Concernant l'appréciation des preuves, le Tribunal fédéral n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans raisons objectives de tenir compte des preuves pertinentes ou a effectué, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 1.4.3; <ref-ruling> consid. 2.1).
La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'art. 106 al. 2 LTF (<ref-ruling> consid. 2.3 et les références citées). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 et les références citées). Si elle souhaite obtenir un complètement de l'état de fait, elle doit aussi démontrer, par des renvois précis aux pièces du dossier, qu'elle a présenté aux autorités précédentes, en conformité avec les règles de la procédure, les faits juridiquement pertinents à cet égard et les moyens de preuve adéquats (<ref-ruling> consid. 2). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (<ref-ruling> consid. 1.3.1). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 1.3).
2.2. Le Tribunal fédéral applique en principe d'office le droit (art. 106 al. 1 LTF) à l'état de fait constaté dans l'arrêt cantonal (ou à l'état de fait qu'il aura rectifié). Cela ne signifie pas que le Tribunal fédéral examine, comme le ferait un juge de première instance, toutes les questions juridiques qui pourraient se poser. Compte tenu de l'obligation de motiver imposée par l'art. 42 al. 2 LTF, il ne traite que les questions qui sont soulevées devant lui par les parties, à moins que la violation du droit ne soit manifeste (<ref-ruling> consid. 2, 86 consid. 2). Il n'est en revanche pas lié par l'argumentation juridique développée par les parties ou par l'autorité précédente; il peut admettre le recours, comme il peut le rejeter en procédant à une substitution de motifs (<ref-ruling> consid. 1.4).
3.
Dans un premier temps, le recourant soulève plusieurs griefs à l'encontre de l'expertise. Il reproche à la cour cantonale, d'une part, de ne pas avoir soumis certains allégués à l'expert et de ne pas avoir motivé ce refus et, d'autre part, d'avoir retenu que l'expertise était concluante et complète et d'avoir refusé de mettre en oeuvre une contre-expertise.
Il invoque un établissement arbitraire des faits, une appréciation arbitraire des preuves et une violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst. et art. 53 CPC), du droit à la preuve (art. 152 CPC), du fardeau de la preuve (art. 8 CC) et de l'art. 188 al. 2 CPC.
3.1.
3.1.1. Le droit d'être entendu garanti par les art. 29 al. 2 Cst. et 53 CPC, qui ont à cet égard la même portée, comprend notamment l'obligation pour l'autorité de motiver sa décision, afin que le justiciable puisse apprécier la portée de celle-ci et exercer son droit de recours à bon escient. Pour satisfaire à cette exigence, il lui suffit d'exposer, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé son raisonnement (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 5.1 et les arrêts cités; <ref-ruling> consid. 3.3 et les arrêts cités).
Le droit à la preuve - qui découle tant du droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. que, en droit privé fédéral, de l'art. 8 CC et qui est, depuis l'entrée en vigueur du CPC, également consacré à l'art. 152 CPC -, octroie à toute personne à laquelle incombe le fardeau de la preuve le droit, pour établir un fait pertinent contesté, de faire administrer les moyens de preuve adéquats, pour autant qu'ils aient été proposés régulièrement et en temps utile (<ref-ruling> consid. 9.3.2; <ref-ruling> consid. 7.1; arrêt 4A_438/2019 du 23 octobre 2019 consid. 4.2).
En revanche, le droit à la preuve n'est pas en cause lorsque le juge, par une appréciation anticipée, arrive à la conclusion que la mesure requise n'apporterait pas la preuve attendue, ou ne modifierait pas la conviction acquise sur la base des preuves déjà recueillies (<ref-ruling> consid. 9.3.2; <ref-ruling> consid. 6.3.1; <ref-ruling> consid. 4.3.2; <ref-ruling> consid. 2.6; arrêt 4A_66/2018 précité consid. 2.1 et 2.1.1 et les arrêts cités). Le recourant doit alors invoquer l'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'appréciation des preuves, en motivant son grief conformément aux exigences plus strictes de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF <ref-ruling> consid. 4.1.2; <ref-ruling> consid. 2.2).
3.1.2. Aux termes de l'art. 57 CPC, le tribunal applique le droit d'office. Cela ne signifie pas que la cour cantonale doive examiner toutes les questions de fait et de droit qui pourraient se poser. Compte tenu de l'obligation de motiver imposée par l'art. 311 al. 1 CPC s'agissant de l'appel, il appartient à l'appelant de motiver son appel. La même obligation incombe à l'intimé, qui doit soulever ses griefs dans sa réponse. Selon la jurisprudence, la cour cantonale n'est pas tenue, comme un tribunal de première instance, d'examiner toutes les questions de fait et de droit qui pourraient se poser lorsque les parties ne soulèvent pas de griefs correspondants en deuxième instance. À moins que la violation du droit ne soit manifeste, la cour cantonale se limitera en principe à examiner les griefs que les parties adressent à la motivation du premier jugement dans l'appel et dans la réponse. Ce sont les griefs des parties qui forment le cadre de l'examen de la cour cantonale; le jugement attaqué ne doit en principe être examiné que sur les points ainsi remis en cause. Toutefois, lorsque des questions de droit sont ainsi discutées, la cour cantonale revoit librement l'application du droit, n'étant liée ni par l'argumentation juridique développée par les parties ni par la motivation du tribunal de première instance (<ref-ruling> consid. 4.1.4; <ref-ruling> consid. 2.2.4; arrêt 4A_40/2021 du 10 juin 2021 consid. 3.2 et les arrêts cités).
3.1.3. L'expertise est l'un des moyens de preuve admis par le CPC (art. 168 al. 1 let. d et art. 183 ss CPC). Un droit à la preuve par expertise peut résulter expressément du droit fédéral (par exemple l'art. 450e al. 3 CC), mais il peut aussi exister lorsque l'expertise apparaît comme le seul moyen de preuve adéquat, en particulier lorsque le juge n'est pas à même de résoudre, sur la base de ses propres connaissances, la question qui lui est soumise (arrêt 4A_599/2019 du 1er mars 2021 consid. 6.1 et les arrêts cités). L'expert judiciaire a pour tâche d'informer le juge sur des règles d'expérience ou sur des notions relevant de son domaine d'expertise, d'élucider pour le tribunal des questions de fait dont la vérification et l'appréciation exigent des connaissances spéciales - scientifiques, techniques ou professionnelles - ou de tirer, sur la base de ces connaissances, des conclusions sur des faits existants; il est l'auxiliaire du juge, dont il complète les connaissances par son savoir de spécialiste (<ref-ruling> consid. 1c et les références citées; arrêt 4A_599/2019 précité consid. 6.1 et l'arrêt cité).
Aux termes de l'art. 188 al. 2 CPC, le tribunal peut, à la demande d'une partie ou d'office, faire compléter ou expliquer un rapport lacunaire, peu clair ou insuffisamment motivé, ou faire appel à un autre expert. Savoir si l'expertise est lacunaire, peu claire ou insuffisamment motivée, au sens de l'art. 188 al. 2 CPC, autrement dit si elle est convaincante ou non, est une question d'appréciation des preuves que le Tribunal fédéral ne peut revoir que sous l'angle de l'arbitraire (art. 9 Cst.; ATF <ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 2.1; arrêt 5A_741/2018 du 18 janvier 2019 consid. 7.2; s'agissant précisément de l'application de l'art. 188 al. 2 CPC, cf. arrêt 5A_86/2016 du 5 septembre 2016 consid. 4.1.2). Si les conclusions d'une expertise judiciaire apparaissent douteuses sur des points essentiels, le juge doit recueillir des preuves complémentaires pour tenter de dissiper ses doutes. À défaut, en se fondant sur une expertise non concluante, il pourrait procéder à une appréciation arbitraire des preuves et violer l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 1c).
3.2. En l'espèce, la cour cantonale a retenu que le demandeur n'avait soulevé aucune objection sérieuse ébranlant le caractère concluant de l'expertise, qui a été utilement complétée par l'audition de l'expert.
En particulier, il n'y avait aucune raison de penser que l'analyse de l'expert, selon laquelle le gestionnaire avait manqué de perspicacité, était inexacte, dans la mesure où l'expert a expliqué en détail les causes des pertes et a relevé, en accord avec les autres pièces du dossier, que le client connaissait et voulait le type de gestion pratiquée par le gestionnaire et qu'il avait pris des risques en lui confiant plus de quatre millions de francs pour faire des opérations de trading. Il était par ailleurs admissible que l'expert porte une appréciation sur le profil psychologique du gestionnaire afin d'analyser sa stratégie de gestion.
Contrairement à ce que soutenait le client, l'expert avait par ailleurs répondu à la question de savoir si le gestionnaire et la société s'étaient rendus coupables de barattage, en considérant que la multiplication des opérations ne permettait pas en l'occurrence de conclure à du barattage dès lors qu'elle était intrinsèque à la stratégie de gestion choisie, qui était connue et acceptée par le client.
En tant que le rapport d'expertise ne présentait aucune lacune grossière, une contre-expertise n'était pas justifiée.
3.3. Le recourant soutient que la cour cantonale a violé son droit d'être entendu (1) en se contenant d'affirmer que l'expertise ne souffrirait d'aucune lacune grossière, " sans examiner concrètement les reproches soulevés ", (2) en passant sous silence le grief que l'expert n'a jamais été invité à se déterminer sur certains allégués relatifs à l'analyse de la stratégie, de la gestion et des omissions du gestionnaire et de la société, ce qui l'a par ailleurs empêché d'apporter la preuve des faits correspondants et (3) en motivant de manière péremptoire son refus de mettre en oeuvre une contre-expertise.
Selon lui, l'expertise est lacunaire, imprécise et contradictoire, dans la mesure (1) où les extraits de comptes à disposition du client n'étaient pas fiables, (2) où l'expert n'a pas identifié la cause des pertes et (3) où l'expertise est hors sujet en tant qu'elle dresse le profil psychologique du gestionnaire quand bien même l'expert n'est ni psychologue ni psychiatre. Par ailleurs, certains faits relatifs aux pertes subies doivent selon lui être complétés.
Dès lors, l'expertise est selon lui inexploitable et la cour cantonale a erré en ne mettant pas en oeuvre une contre-expertise.
3.4. Les griefs du recourant ne sauraient prospérer.
Contrairement à ce qu'il invoque, la cour cantonale a examiné les reproches qu'il avait formulés à l'encontre de l'expertise et motivé les raisons pour lesquelles elle ne reconnaissait pas l'existence de lacunes grossières au sujet du rapport d'expertise et, partant, considérait que la mise en oeuvre d'une contre-expertise n'était pas nécessaire. Le grief de violation du droit d'être entendu doit dès lors être rejeté sur ces points.
Par ailleurs, lorsqu'il reproche à la cour cantonale de ne pas avoir motivé les raisons pour lesquelles elle a refusé de soumettre à l'expert certains de ses allégués afin qu'il se détermine à leur propos, il n'établit pas, avec référence précise aux pièces du dossier, qu'il a effectivement fait valoir un grief correspondant devant l'autorité précédente. Son grief est donc irrecevable sur cette question.
S'agissant du caractère prétendument lacunaire, imprécis et contradictoire de l'expertise, le recourant se contente de substituer son appréciation à celle de la cour cantonale et n'établit donc pas, ou du moins pas suffisamment, que la cour cantonale aurait commis l'arbitraire dans son appréciation des preuves (cf. supra consid. 2.1 et 3.1.3). Ce grief est ainsi également irrecevable.
Il en va de même de son grief tendant au complètement de l'état de fait retenu par la cour cantonale, en tant que le recourant ne se conforme pas aux exigences strictes en la matière.
4.
Dans un second temps, tandis que le tribunal de première instance avait retenu que le client était lié à la société par un mandat de gestion de fortune et, partant, une responsabilité de la société sur la base des art. 398 al. 2 et 97 ss CO, dont l'art. 101 al. 1 CO, et que la cour cantonale n'a essentiellement examiné que les griefs fondés sur les art. 158 ch. 1 CP et 400 al. 1 et 55 al. 1 CO, le recourant invoque, en substance, que les conditions de la responsabilité de l'intimée selon l'art. 55 al. 1 CO seraient remplies, dans la mesure où les éléments constitutifs de l'art. 158 CP sont réalisés, où il a allégué et prouvé que le gestionnaire avait agi intentionnellement, où il ne lui incombait pas de prouver l'absence de preuve libératoire de l'intimée, où son dommage est réputé admis et où les pertes qu'il a essuyées ont pour cause adéquate la seule gestion déloyale de l'intimée, par l'entremise du gestionnaire qui était son employé.
Il invoque pêle-mêle un établissement arbitraire des faits et la violation du droit d'être entendu, des art. 41 et 55 CO, de l'art. 8 CC, des art. 50 et 150 CPC et de l'art. 158 CP.
4.1.
4.1.1. En vertu de l'art. 55 al. 1 CO, l'employeur est responsable du dommage causé par ses travailleurs ou ses autres auxiliaires dans l'accomplissement de leur travail, s'il ne prouve qu'il a pris tous les soins commandés par les circonstances pour détourner un dommage de ce genre ou que sa diligence n'eût pas empêché le dommage de se produire.
L'art. 55 CO est une norme de responsabilité pour le fait d'autrui. Il s'agit d'un cas de responsabilité objective simple (<ref-ruling> consid. 2; arrêts 4A_635/2020 du 5 mai 2021 consid. 3.1 et les arrêts cités; 4A_616/2019 du 17 avril 2020 consid. 4.1.1). Elle est subordonnée à la réalisation de cinq conditions, que doit prouver le lésé: (1) un acte d'un auxiliaire se trouvant dans un rapport de subordination personnelle à l'égard d'un employeur; (2) un acte commis dans l'accomplissement de son travail; (3) un acte illicite; (4) un dommage et (5) un rapport de causalité entre le dommage et l'acte illicite de l'auxiliaire. Il incombe à l'employeur d'apporter les preuves libératoires que sont le fait qu'il a pris tous les soins commandés par les circonstances pour détourner un dommage de ce genre ou le fait que sa diligence n'eût pas empêché le dommage de se produire (arrêt 4A_616/2019 précité consid. 4.1.1 et la référence citée).
Est notamment illicite (condition no 3) l'acte de celui qui, en vertu de la loi, d'un mandat officiel ou d'un acte juridique, est tenu de gérer les intérêts pécuniaires d'autrui ou de veiller sur leur gestion et qui, en violation de ses devoirs, porte atteinte à ces intérêts ou permet qu'ils soient lésés (cf. art. 158 ch. 1 CP).
4.1.2. Dans les procès soumis à la maxime des débats (art. 55 al. 1 CPC), il incombe aux parties, et non au juge, de rassembler les faits du procès. Les parties doivent alléguer les faits sur lesquels elles fondent leurs prétentions (fardeau de l'allégation subjectif), produire les moyens de preuve qui s'y rapportent (art. 55 al. 1 CPC) et contester les faits allégués par la partie adverse, le juge ne devant administrer les moyens de preuve que sur les faits pertinents et contestés (art. 150 al. 1 CPC; <ref-ruling> consid. 5.1; arrêt 4A_606/2020 du 1er septembre 2021 consid. 4.2.3, destiné à la publication). Le demandeur, qui supporte le fardeau de l'allégation objectif ( objektive Behauptungslast) et le fardeau de la preuve ( objektive Beweislast d'un fait; art. 8 CC), en ce sens qu'il supporte les conséquences de l'absence d'allégation de ce fait, respectivement celles de l'absence de preuve de celui-ci, a évidemment toujours intérêt à l'alléguer lui-même, ainsi qu'à indiquer au juge les moyens propres à l'établir (<ref-ruling> consid. 4.1; arrêt 4A_606/2020 précité consid. 4.2.3, destiné à la publication).
4.2. En l'espèce, la cour cantonale a tout d'abord considéré que c'était à juste titre que le tribunal avait condamné la société à restituer au client les rétrocessions qu'elle avait perçues de la part de la banque, dès lors qu'il n'avait pas renoncé à celles-ci.
Ensuite, elle a retenu que le demandeur n'avait pas établi que tous les éléments constitutifs de l'art. 158 CP étaient réalisés, dans la mesure notamment où il n'avait jamais allégué devant le tribunal que le gestionnaire avait agi intentionnellement, ce qui ne ressortait en tout état de cause pas du dossier.
La cour cantonale a considéré, au vu des documents d'ouverture de comptes, des conditions générales et des procurations signés par le demandeur, que celui-ci souhaitait une politique d'investissement agressive et risquée, et non une gestion conservatrice. De par sa formation en économie, son expérience dans le domaine des affaires et les indications qu'il avait pu recueillir, le demandeur avait compris le type de gestion qu'il avait lui-même sollicité et en connaissait les risques. Il était par ailleurs assisté par un avocat depuis mai 2008, de sorte qu'il a accepté en pleine connaissance de cause les opérations menées pour son compte.
Dès lors, le client demandeur a bel et bien validé, par l'ensemble de son comportement, la gestion effectuée par le gestionnaire durant la période pendant laquelle il était employé de la défenderesse, de sorte qu'aucune responsabilité ne peut être mise à charge de celle-ci de ce fait.
4.3. En substance, le recourant soutient (1) que, contrairement à ce que la cour cantonale a retenu, l'expert n'avait pas nié que le gestionnaire eût commis du barattage et qu'il y eût eu gestion déloyale au vu du montant des frais facturés par la banque l'empêchant de dégager le moindre bénéfice, (2) qu'il avait allégué dans sa demande que le gestionnaire avait agi intentionnellement, son allégué no 122 indiquant que " le nombre d'opérations effectuées sur le compte du demandeur est tel et leur résultat est si catastrophique qu'il est évident qu'elles n'ont été exécutées que pour permettre à [la banque] d'encaisser des commissions puis à [la société] d'encaisser des rétrocessions, sans égard pour le demandeur, lequel subissait des pertes considérables ", (3) qu'il est insoutenable de nier l'existence d'une quelconque intention du gestionnaire au motif que le client aurait souhaité une gestion extrêmement agressive, (4) que la méthode de trading du gestionnaire, qui faisait fi des pertes continuelles subies par le client, avait pour résultat d'enrichir la banque, la société et lui-même et que le gestionnaire agissait donc intentionnellement, (5) que le fardeau de la preuve libératoire incombe à l'employeur, (6) que la cour cantonale a violé son droit d'être entendu en omettant d'examiner la condition du dommage et (7) que la cour cantonale aurait dû attribuer les pertes subies à la gestion désastreuse du gestionnaire.
4.4. Le recourant tente, par le truchement de l'art. 158 CP, d'établir l'illicéité de la gestion opérée par le gestionnaire.
Dans ce contexte, c'est à tort qu'il prétend avoir allégué que le gestionnaire avait agi intentionnellement. En effet, il ressort de sa demande du 13 septembre 2012 que l'allégué no 122 qu'il invoque se situe, d'une part, dans la partie relative au préjudice qu'il a subi et non dans celle portant sur la responsabilité du gestionnaire et/ou de la société et, d'autre part, immédiatement après plusieurs allégués selon lesquels la société a géré ses avoirs durant la période litigieuse, soit de novembre 2008 à janvier 2009. Partant, pour autant que l'on puisse retenir que le recourant ait valablement allégué l'existence d'une intention, il s'agirait tout au plus de celle de la société et non de celle du gestionnaire, dont il ne fait pas mention, même à titre d'employé de la société, s'agissant de la période litigieuse. C'est dès lors à juste titre que la cour cantonale a retenu que le client demandeur n'avait pas allégué que le gestionnaire avait agi intentionnellement. Ce fait ne faisant pas partie du cadre du procès, le recourant supporte le fardeau de l'allégation objectif (art. 8 CC) de son absence.
Par ailleurs, le recourant ne remet pas en cause, ou du moins pas suffisamment, le fait qu'il a voulu et validé la gestion effectuée par le gestionnaire pendant la période litigieuse. En effet, il ressort des faits constatés par la cour cantonale que le client demandeur souhaitait une politique d'investissement agressive et risquée, et non une gestion conservatrice; il y a ainsi consenti dans l'espoir de voir sa fortune s'accroître fortement, mais également au risque de subir des pertes tout aussi importantes. Cet élément est renforcé par le fait (1) que le client avait accès en temps réel à son compte et qu'il était dès lors en mesure de se renseigner sur les opérations effectuées, (2) qu'il a continué à confier ses avoirs au gestionnaire après que celui-ci a géré son patrimoine auprès de D._ SA et a fait usage de produits dérivés dans le contexte de dite gestion et (3) que le client a établi une nouvelle procuration en faveur du gestionnaire quand bien même il subissait alors des pertes. Certes, la gestion opérée se caractérisait par un nombre élevé de transactions et par des titres conservés à brève échéance, mais telle était précisément la stratégie proposée par le gestionnaire et voulue par le client, de manière à profiter des fluctuations de cours à court terme. Partant, le recourant n'a pas valablement contesté que l'hypothétique illicéité des agissements du gestionnaire ne fût levée par son consentement.
Dans la mesure où au moins l'une des conditions de responsabilité de l'intimée n'est pas remplie, il est superflu d'examiner les autres griefs du recourant, relatifs aux autres conditions de responsabilité et aux preuves libératoires y afférentes.
Les griefs du recourant doivent donc être rejetés.
5.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable.
Les frais judiciaires et les dépens seront mis à la charge du recourant, qui succombe (art. 66 al. 1 et art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 9'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 10'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 21 octobre 2021
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Hohl
Le Greffier : Douzals