Faits :
A.
A.a. B._ (ci-après: l'assuré), né en 1966, a conclu une assurance-accidents complémentaire auprès de X_ SA, devenue par la suite A._ SA (ci-après: A._). La police prévoyait le versement d'indemnités journalières à concurrence de 80 % d'un salaire assuré de 105'000 fr., après un délai d'attente de 14 jours.
A.b. Le 3 janvier 1993, l'assuré a été victime d'un accident de ski. Il a subi une entorse du genou gauche ayant nécessité une plastie du ligament croisé antérieur. A._ a versé des prestations en indemnisation de la perte de gain subie jusqu'au 31 mai 1993.
La police d'assurance est parvenue à échéance le 31 décembre 1999.
A.c. L'intéressé a conclu une " assurance-maladie et accidents pour les particuliers " auprès de X._ SA qui a pris effet le 1er juillet 1999. Cette police a été modifiée le 30 septembre 2002 pour inclure le versement d'une rente pour perte de gain en cas d'accident. En 2006, cette police a été cédée à C._ AG (ci-après: C._).
A.d. En 2011, l'assuré a subi deux accidents. Selon sa propre description des faits, le premier est survenu au mois de juin 2011; il a " voulu enjamber une barrière mais a glissé en se réceptionnant sur la jambe gauche, se tordant gravement le genou gauche en voulant éviter de chuter ". Le second s'est déroulé le 8 décembre 2011. L'assuré a " perdu l'équilibre alors qu'il se trouvait sur une échelle de chantier et a dû sauter pour éviter la chute, d'une hauteur d'environ 2 mètres, ne parvenant quasiment plus à marcher juste après la réception, en raison de douleurs au genou gauche ".
A la suite de l'événement du 8 décembre 2011, l'assuré a été en incapacité de travail à 100 % du 9 décembre 2011 au 3 avril 2012, puis à 75 % du 4 au 18 avril 2012, et finalement à 50 % du 19 au 24 avril 2012.
L'assuré a été opéré du genou gauche à l'Hôpital D._ à... le 3 février 2012.
Le 31 juillet 2012, C._ a refusé de prendre le cas en charge, estimant que l'incapacité de travail dès le 9 décembre 2011 et l'intervention du 3 février 2012 étaient les conséquences de l'accident de 1993.
Le 30 août 2013, A._ a également refusé d'intervenir. Elle a expliqué que malgré le lien existant entre l'événement de 1993 et la suite du traitement, les conditions complémentaires d'assurance limitaient la prise en charge pour une durée de 5 ans à compter de la survenance de l'accident. Le même jour, A._ a renoncé à se prévaloir de la prescription jusqu'au 31 décembre 2014.
B.
B.a. Le 31 mai 2014, au bénéfice d'une autorisation de procéder, l'assuré a saisi le Tribunal régional du Littoral et du Val-de-Travers (NE) d'une demande dirigée contre C._ et A._, tendant en substance à les condamner alternativement ou les deux ensemble à lui payer la somme de 30'000 fr. avec intérêts à 5 % l'an dès le 24 janvier 2012.
A._ a plaidé qu'en vertu des conditions générales et complémentaires d'assurance régissant le contrat, l'indemnité journalière ne devait être versée, par accident, que pendant la durée maximale de 730 jours en l'espace de 5 ans à compter du jour de l'accident.
Par jugement incident du 23 juillet 2015, le tribunal a écarté le moyen tiré du délai de 5 ans soulevé par A._. Il a expliqué qu'elle n'avait pas produit la police d'assurance supposée se référer auxdites conditions générales et complémentaires. L'appel interjeté par A._ a été déclaré irrecevable par la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal neuchâtelois, par arrêt du 18 juillet 2016.
Statuantsur le fond le 5 décembre 2019, le Tribunal régional a condamné A._ à payer à l'assuré la somme de 30'000 fr. plus intérêts à 5 % l'an dès le 9 décembre 2013; il a rejeté la demande pour le surplus. Il s'est notamment fondé sur une expertise judiciaire établie le 6 juin 2017 par le Dr E._, chirurgien orthopédiste. Le tribunal a retenu l'existence d'un lien de causalité naturelle et adéquate entre l'accident de 1993 et les douleurs ressenties par l'assuré en 2011, l'incapacité de travail et les soins médicaux qui ont suivi. Par ailleurs, il a considéré que A._ avait soulevé l'exception de prescription de deux ans prévue à l'<ref-law> (loi fédérale sur le contrat d'assurance; RS 221.229.1) au stade des plaidoiries, ce qui était tardif. En tout état de cause, le point de départ de ce délai n'était en aucun cas antérieur au moment où l'incapacité de travail avait surgi, soit le 9 décembre 2011. La prescription n'était ainsi pas encore acquise lorsque A._ avait renoncé à s'en prévaloir le 30 août 2013.
B.b. A._ a interjeté appel contre ce jugement auprès de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal neuchâtelois, en invoquant la prescription du droit aux prestations. L'assuré a déposé un appel joint dans lequel il remettait en cause le point de départ des intérêts. Par arrêt du 4 mai 2020, le Tribunal cantonal a rejeté l'appel principal et a partiellement admis l'appel joint, condamnant A._ à payer à l'assuré la somme de 30'000 fr. plus intérêts à 5 % dès le 2 octobre 2012.
C.
Le 5 juin 2020, A._ (ci-après: la recourante) a formé un recours en matière civile au Tribunal fédéral, en concluant principalement au rejet de la demande de l'assuré en tant qu'elle est dirigée contre elle. Subsidiairement, elle a conclu au renvoi de la cause à l'autorité inférieure pour nouvelle décision.
L'assuré (ci-après également: l'intimé) a conclu au rejet du recours.
C._ a renoncé à déposer une réponse et la cour cantonale s'est référée à son arrêt.

Considérant en droit :
1.
Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions libératoires (<ref-law>), le recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière civile (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (<ref-law>). Il porte sur une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. (<ref-law>). Déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prévues par la loi (<ref-law>), le présent recours est recevable sur le principe, sous réserve de la recevabilité des différents griefs formulés.
2.
Le recours peut être formé pour violation du droit fédéral (<ref-law>). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Eu égard, toutefois, à l'exigence de motivation qu'impose l'<ref-law>, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), il n'examine d'ordinaire que les griefs invoqués, sauf en cas d'erreurs juridiques manifestes (<ref-ruling> consid. 2 p. 116).
3.
La recourante soulève deux moyens: d'une part, la prescription des prétentions de l'assuré et d'autre part, l'absence de causalité adéquate entre l'accident du 3 janvier 1993 et l'incapacité de travail subie en 2011 et 2012. Ces griefs seront examinés successivement.
Au préalable, on constatera que l'autorité précédente a émis de sérieux doutes sur la recevabilité de l'appel au regard des exigences de motivation déduites de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 2.2.4 p. 417). Il semble bien que la cour cantonale aurait pu renoncer à entrer en matière, à tout le moins sur la question du lien de causalité. L'arrêt attaqué relève que l'appelante (recourante) n'a rien dit à ce sujet, respectivement qu'elle s'est simplement demandée pour quelle raison le cas n'avait pas été pris en charge par l'assurance-accidents en vigueur au moment où l'assuré s'était à nouveau blessé en 2011. A défaut de grief (s) valablement soulevé (s) devant l'autorité précédente, la cour de céans serait ainsi dispensée de l (es) examiner à ce stade. Peu importe toutefois, vu le sort du recours sur le fond.
4.
4.1. La recourante dénonce une violation de l'<ref-law>. L'autorité précédente aurait méconnu la volonté du législateur d'instituer un régime spécial de prescription dans le domaine de l'assurance privée, et aurait appliqué indûment des principes jurisprudentiels dégagés en assurances sociales à propos des séquelles tardives et des rechutes. Selon la recourante, le 9 décembre 2011 ne saurait constituer le point de départ du délai de prescription prévu à l'<ref-law>. Il devrait être fixé au jour de l'accident de 1993 ou, tout au plus, au 31 mai 1993, date à laquelle elle a cessé de verser des prestations en lien avec celui-ci.
4.2. La cour d'appel a apparemment adopté la prémisse que la recourante avait soulevé valablement l'exception de prescription dans sa réponse déjà, et non en plaidoiries finales comme l'avait retenu le tribunal de première instance. L'intimé ne discutant pas ce point, il n'y a pas à en discourir.
4.3. Selon l'<ref-law>, les créances qui dérivent du contrat d'assurance se prescrivent par deux ans à dater du fait d'où naît l'obligation.
A l'issue d'une évolution, la jurisprudence a conclu que le moment déterminant pour le dies a quo - le fait d'où naît l'obligation - est celui où sont réunis tous les éléments constitutifs fondant le devoir de prestation de l'assureur. Il ne s'agit donc pas nécessairement de la survenance du sinistre, même si celui-ci est la cause première de l'obligation d'indemniser; une prétention ne peut en principe pas être atteinte par la prescription avant d'avoir pris naissance. Il convient dès lors d'analyser le contrat d'assurance pour en dégager tout d'abord le risque assuré, puis les éléments constitutifs qui doivent être réunis pour que l'assureur ait l'obligation d'indemniser l'assuré en raison de ce risque (<ref-ruling> consid. 3 p. 419; arrêt 4A_488/2017 du 9 octobre 2018 consid. 4.1).
S'agissant de la prescription des indemnités journalières en cas de maladie, la cour de céans a précisé que l'obligation de prester de l'assureur naît de l'incapacité de travail causée par une maladie, attestée par un médecin, et de l'expiration du délai d'attente. Ces indemnités tendent à remplacer le revenu actuel que l'assuré est empêché de toucher du fait de son incapacité de travail; elles sont en principe demandées et fournies de façon continue. Lorsque l'assuré peut, en vertu du contrat d'assurance, exiger le paiement d'indemnités journalières individuelles, ces prestations se prescrivent séparément, dès le jour pour lequel chacune d'elles est exigible selon le certificat médical d'incapacité de travail et après l'expiration du délai d'attente (<ref-ruling> spéc. consid. 3 et 4 p. 419 ss; cf. aussi <ref-ruling> consid. 3.4 p. 676).
4.4. En l'occurrence, l'assuré était couvert, au moment de l'accident survenu en 1993, par une assurance contre la " perte de gain " consécutive à un accident prévoyant, après un délai de 14 jours, le versement d'indemnités journalières correspondant à 80 % du revenu assuré. L'accident comme tel ne génère pas encore en soi une obligation de prestation de l'assureur. Le droit aux indemnités journalières destinées à parer à la perte de revenu suppose bel et bien une incapacité de travail. L'accident du 3 janvier 1993 ne saurait donc constituer le point de départ du délai de prescription.
La recourante se plaint d'une application indue de la jurisprudence des assurances sociales relative aux rechutes et séquelles tardives. La rechute (Rückfall) est la récidive d'une atteinte à la santé tenue pour guérie, qui nécessite un traitement médical, voire entraîne une incapacité de travail; il y a séquelle tardive (Spätfolge) lorsqu'une affection, apparemment guérie, déclenche des modifications organiques, qui peuvent souvent être d'une nature différente que la maladie originelle (<ref-ruling> consid. 4b p. 456). Un tel phénomène ne concerne évidemment pas uniquement les assurances sociales (cf. arrêt 4A_328/2018 du 27 août 2019 consid. 5.2). En matière d'assurance privée contre les accidents, la doctrine a ainsi souligné que le point déterminant pour le départ de la prescription n'est pas le jour de l'accident, mais celui où naît la prétention inhérente à une certaine prestation de l'assureur (frais de guérison, indemnités journalières, etc.), cette règle concernant aussi les rechutes et séquelles tardives (ALFRED MAURER, Schweizerisches Privatversicherungsrecht, 3e éd. 1995, p. 394). L'autorité de céans a approuvé ce point de vue dans un arrêt publié et a jugé qu'une rechute ou une séquelle tardive constituait un nouveau dommage distinct faisant courir un nouveau délai de prescription (<ref-ruling> consid. 4b p. 457).
La recourante soutient que le sens d'un régime marqué par un délai de prescription aussi bref (deux ans) ne saurait autoriser l'indemnisation d'un assuré quelque 18 ans après l'accident. On renverra sur ce point aux remarques doctrinales, qui mettent en exergue la possibilité pour l'assureur de poser des limites temporelles à son obligation de prestation. Il est notamment question de clauses prévoyant le versement d'indemnités journalières dans un délai limité après l'accident (ROLAND BREHM, L'assurance privée contre les accidents, 2001, n° 389 p. 197; MAURER, op. cit., p. 394 sous-note 1025, p. 400 s. et p. 492; KARL SPIRO, Die Begrenzung privater Rechte durch Verjährungs-, Verwirkungs- und Fatalfristen, vol. I, 1975, § 38 p. 67 s. et § 349 p. 868 sous-note 10).
En l'occurrence, en première instance, la recourante s'était précisément prévalue d'une telle limitation, invoquant une clause de ses conditions complémentaires selon laquelle elle s'engageait à verser, par accident, des indemnités journalières uniquement pendant la durée maximale de 730 jours en l'espace de 5 ans à compter du jour de l'accident. Elle a toutefois échoué à établir son intégration dans la relation contractuelle avec l'intimé, et cette question n'est pas discutée à ce stade.
Pour le surplus, il n'est pas nécessaire d'examiner plus avant dans quelle mesure la jurisprudence précitée sur la prescription des indemnités journalières en cas de maladie s'applique au présent cas. En effet, au moment où la recourante a renoncé à se prévaloir de la prescription, le 30 août 2013, le délai de deux ans était loin d'être échu, l'incapacité de travail ayant débuté le 9 décembre 2011 pour s'achever le 24 avril 2012.
En bref, le grief tiré de la prescription est infondé.
5.
5.1. La recourante reproche encore à l'autorité précédente d'avoir violé le droit fédéral en admettant un lien de causalité adéquate entre l'accident de 1993 et l'incapacité de travail qui a suivi les événements de 2011. De son point de vue, le juge doit tenir compte des particularités de l'activité des assurances privées. Celles-ci ont besoin de prévoir avec une certaine précision quels montants elles pourraient être amenées à verser durant les années à venir, afin d'adapter la gestion de leur patrimoine. Pour ce faire, elles doivent pouvoir compter sur la sécurité et la prévisibilité du droit. Retenir qu'un accident survenu en 1993 a eu des conséquences en 2011 et 2012 mettrait à mal ce besoin de prévisibilité. Ce d'autant plus que selon l'expertise judiciaire, les douleurs de l'arthrose préexistante ont été " déclenchées " par les deux événements de 2011. La recourante estime ainsi qu'il serait inéquitable de mettre ces conséquences à sa charge.
5.2. Constitue la cause adéquate d'un certain résultat tout fait qui, d'après le cours ordinaire des choses et l'expérience générale de la vie, est en soi propre à provoquer un effet du genre de celui qui s'est produit, de sorte que la survenance de ce résultat paraît de façon générale favorisée par le fait en question. Le caractère adéquat d'une cause ne suppose pas que l'effet considéré se produise généralement, ni même qu'il soit courant. Il suffit qu'il s'inscrive dans le champ raisonnable des possibilités objectivement prévisibles. Pour apprécier la probabilité objective, le juge se met en règle générale à la place d'un tiers neutre et recueille, au besoin, l'avis d'experts (<ref-ruling> consid. 3.7 p. 250; <ref-ruling> consid. 8.4.2 p. 190; arrêts 4A_328/2018 du 27 août 2019 consid. 5.2.1; 4A_337/2018 du 9 mai 2019 consid. 4.1.4).
L'examen de la causalité adéquate implique de porter un jugement de valeur, le juge faisant usage de son pouvoir d'appréciation selon les règles du droit et de l'équité (<ref-law>); à ce titre, il tient notamment compte des objectifs de politique juridique poursuivis par la norme applicable dans le cas concret (<ref-ruling> consid. 3a p. 112).
La causalité adéquate peut être interrompue par un événement extraordinaire ou exceptionnel auquel on ne pouvait s'attendre (force naturelle, fait du lésé ou d'un tiers), et qui revêt une importance telle qu'il s'impose comme la cause la plus immédiate du dommage et relègue à l'arrière-plan les autres facteurs ayant contribué à le provoquer - y compris le fait imputable à la partie recherchée (<ref-ruling> consid. 3.7 p. 250 et les références citées).
La question de la causalité adéquate ressortit au droit, si bien que le Tribunal fédéral l'examine librement.
5.3. En l'espèce, la recourante reconnaît le lien de causalité naturelle entre l'accident de 1993 et l'incapacité de travail survenue dès le 9 décembre 2011. De fait, l'expert judiciaire a expliqué sans ambiguïté, sur la base de l'ensemble des pièces médicales au dossier, que les lésions présentées par l'assuré en 2011 étaient typiques d'une rupture du ligament croisé antérieur. Il a décrit avec précision le mécanisme selon lequel cette atteinte provoquait la formation d'une arthrose spécifique. Il a ajouté que l'arthrose se développait lentement, sur une période comprise entre 20 et 30 ans, avant de devenir symptomatique, soit spontanément, soit après un évènement banal comme ceux survenus en 2011 (cf. expertise judiciaire du 6 juin 2017, dont les pans principaux sont cités dans le jugement de première instance). Les observations de l'expert sont convaincantes et bien motivées, et n'ont d'ailleurs jamais été contestées par la recourante. Les autres documents médicaux figurant au dossier ne permettent pas de les remettre en cause.
La question de la causalité adéquate relève certes du droit et permet au juge d'effectuer le cas échéant un correctif en équité. Il n'en demeure pas moins qu'elle suppose d'établir une probabilité objective, qui dépend en l'occurrence largement des connaissances spécialisées des médecins. Or, selon les renseignements livrés par l'expert judiciaire, l'apparition d'une arthrose symptomatique due à l'accident de 1993 était objectivement prévisible à long terme, que ce soit spontanément ou après un évènement impliquant le genou atteint. Dans ces conditions, il n'est pas inéquitable d'admettre une causalité adéquate entre l'accident de 1993 et l'incapacité de travail ayant débuté en 2011, ceci malgré l'intervalle de temps conséquent. S'agissant du besoin de planification économique invoqué par la recourante, il convient de rappeler ici le rôle des clauses posant des limites temporelles à l'obligation de prester de l'assureur, écartées dans le cas d'espèce (cf. consid. 4.4 supra).
Pour le surplus, l'expert a certes indiqué que les deux événements survenus en 2011 avaient " déclenché " les douleurs de l'arthrose préexistante. Ces deux incidents ne revêtent toutefois pas les traits d'une imprévisibilité et d'une importance telle qu'ils seraient propres à rompre la causalité adéquate, ce d'autant plus que, selon l'expert, ces douleurs auraient tout aussi bien pu apparaître spontanément.
Par ailleurs, la recourante n'indique pas sur quelle base légale ou contractuelle elle pourrait se fonder pour réduire sa prestation en raison des incidents survenus en 2011 (cf. à cet égard arrêt 4A_307/2008 du 27 novembre 2008 consid. 2.5.2). Elle n'a pas non plus critiqué les composantes du montant de 30'000 fr. retenu par l'autorité précédente. Ces questions n'ont dès lors pas à être traitées (cf. <ref-law>).
6.
En définitive, le recours doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable. La recourante, qui succombe, prendra à sa charge les frais judiciaires (<ref-law>), fixés à 2'000 fr., et devra payer à l'intimé une indemnité de 2'500 fr. pour ses frais d'avocat (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Aucuns dépens ne sont dus à C._ dès lors que celle-ci a renoncé à déposer une réponse et n'est pas représentée par un avocat.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à l'intimé une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à C._ AG et au Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 15 octobre 2020
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
La Greffière : Raetz