Fatti:
A.
Con atto pubblico del 15 maggio 2009 del notaio A._ è stata costituita la società anonima B._ SA con sede a X._. C._, di professione fiduciario, è comparso dinanzi al notaio quale socio fondatore e promotore della società ed ha dichiarato di avere assunto e sottoscritto tutte le azioni della B._ SA, per una somma di fr. 100'000.--, pari all'intero capitale azionario. L'atto pubblico attesta inoltre che il capitale azionario è stato liberato in contanti mediante il deposito di fr. 100'000.-- a disposizione della società presso l'istituto bancario di fiducia del fondatore.
B.
B.a. Dopo una serie di atti che non occorre qui evocare, con atto di accusa del 7 ottobre 2013 il Procuratore pubblico (PP) ha segnatamente promosso l'accusa nei confronti di C._ per il reato di conseguimento fraudolento di una falsa attestazione (<ref-law>) per avere indotto il notaio A._ ad attestare nell'atto pubblico del 15 maggio 2009 che le 100 azioni costituenti la totalità del capitale azionario della B._ SA erano state liberate in denaro nella misura del 100 % e che il corrispondente importo di fr. 100'000.-- era depositato ad esclusiva disposizione della società, mentre in realtà tale somma era stata messa a disposizione soltanto temporaneamente dall'imputato.
B.b. Con un ulteriore atto di accusa del 21 dicembre 2015, quale ipotesi alternativa o subordinata a quella formulata nel precedente atto di accusa del 7 ottobre 2013, il PP ha promosso l'accusa nei confronti di C._, in correità con D._, per il reato di istigazione (subordinatamente complicità) in falsità in atti formati da pubblici ufficiali o funzionari (<ref-law>), segnatamente per avere determinato (subordinatamente aiutato) il notaio A._ ad attestare, contrariamente al vero, quanto certificato nell'atto notarile del 15 maggio 2009 riguardo alla liberazione del capitale azionario e alla messa a disposizione della costituita società.
C.
Statuendo su tali accuse, con sentenza del 21 dicembre 2018 la Corte delle assise correzionali di Lugano ha in particolare dichiarato C._ autore colpevole di istigazione in falsità in atti formati da pubblici ufficiali o funzionari, per avere, nel periodo tra aprile e maggio 2009, in correità con D._, al fine di permettere a quest'ultimo di fare acquisire ad una società anonima svizzera i valori patrimoniali immobiliari della E._ srl ed evitare di immettere il capitale liquido di fr. 100'000.--, determinato il notaio A._ ad attestare contrariamente al vero, nell'atto pubblico del 15 maggio 2009 relativo alla costituzione della B._ SA, che le 100 azioni costituenti la totalità del capitale azionario erano state interamente liberate in denaro e che la rispettiva somma di fr. 100'000.-- era depositata ad esclusiva disposizione della società, quando in realtà tale importo è stato da lui messo a disposizione soltanto temporaneamente. L'imputato è stato contestualmente prosciolto dall'imputazione di conseguimento fraudolento di una falsa attestazione di cui all'atto di accusa del 7 ottobre 2013. Il tribunale di primo grado ha rinviato la E._ srl nonché F._ e G._, costituitisi accusatori privati, al competente foro civile.
D.
Con sentenza del 16 settembre 2021, la Corte di appello e di revisione penale del Cantone Ticino (CARP) ha accolto un appello di C._ contro il giudizio della prima istanza. Ha segnatamente pronunciato l'abbandono del procedimento penale nei confronti dell'imputato per i fatti di cui all'atto di accusa del 21 dicembre 2015 concernenti l'atto pubblico del 15 maggio 2009 relativo alla costituzione della B._ SA. La Corte cantonale ha rilevato che il proscioglimento dall'imputazione di conseguimento fraudolento di una falsa attestazione di cui all'atto di accusa del 7 ottobre 2013, pronunciato dalla Corte di primo grado, era passato in giudicato ed ha ritenuto che il principio "ne bis in idem" impediva di procedere contro l'imputato per quel complesso di fatti.
E.
Il pubblico ministero impugna questa sentenza, nella misura in cui la CARP ha disposto l'abbandono del procedimento penale nei confronti di C._ per i fatti relativi all'atto pubblico del 15 maggio 2009, con un ricorso in materia penale del 18 ottobre 2021 al Tribunale federale. Chiede di annullarla e di rinviare gli atti alla Corte cantonale, affinché statuisca nuovamente sull'imputazione di istigazione (subordinatamente complicità) in falsità in atti formati da pubblici ufficiali o funzionari. Il ricorrente fa valere la violazione dell'<ref-law>.
F.
La Corte cantonale rinuncia a presentare osservazioni al ricorso. L'opponente chiede di respingere il gravame e di confermare la sentenza impugnata.

Diritto:
1.
1.1. La decisione impugnata, di carattere finale (<ref-law>), è stata pronunciata in una causa in materia penale (<ref-law>), da un'autorità di ultima istanza cantonale (<ref-law>). La legittimazione del ricorrente è data (art. 81 cpv. 1 lett. b n. 3 LTF). Il ricorso è tempestivo (<ref-law>) ed è sotto i citati aspetti ammissibile.
1.2. Il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto (<ref-law>). Non è quindi vincolato né agli argomenti sollevati nel gravame né ai considerandi della precedente istanza. Esso può accogliere il ricorso sulla base di un motivo non invocato, rispettivamente respingerlo con una motivazione diversa da quella addotta dalla precedente istanza (<ref-ruling> consid. 1.3.2; <ref-ruling> consid. 2.1).
2.
2.1. Il ricorrente lamenta la violazione dell'<ref-law> e l'errata applicazione della giurisprudenza del Tribunale federale relativa al principio "ne bis in idem", esposta in <ref-ruling>. Adduce ch'essa concernerebbe unicamente il caso in cui il Ministero pubblico abbia precedentemente emanato un decreto di abbandono, mentre la situazione sarebbe diversa nel caso di un'assoluzione per un'ipotesi di reato alternativa pronunciata dal tribunale di primo grado contestualmente ad un giudizio di condanna, come è avvenuto in concreto. Secondo il ricorrente, in questa evenienza vi sarebbe una connessione talmente stretta tra il punto del dispositivo di condanna (nella fattispecie: istigazione in atti formati da pubblici ufficiali o funzionari) e quello del proscioglimento (nella fattispecie: conseguimento di una falsa attestazione), che l'impugnativa presentata contro il primo comporterebbe necessariamente la rimessa in discussione del secondo.
2.2.
2.2.1. L'<ref-law> disciplina il principio "ne bis in idem", che è inoltre sancito dall'art. 4 del Protocollo n. 7 alla CEDU (RS 0.101.07), nonché dall'art. 14 cpv. 7 del Patto ONU II (RS 0.103.2) e deriva altresì direttamente dalla Costituzione (<ref-ruling> consid. 1.3.2). Secondo l'<ref-law>, chi è stato condannato o assolto in Svizzera con decisione passata in giudicato non può essere nuovamente perseguito per lo stesso reato. V'è identità degli atti quando i fatti alla base del primo e del secondo procedimento penale sono identici o fondamentalmente uguali. La loro qualifica giuridica non è rilevante. Il divieto di un secondo procedimento costituisce un impedimento a procedere, che deve essere considerato d'ufficio in ogni stadio della procedura (<ref-ruling> consid. 1.3.2 e riferimenti).
2.2.2. Nella citata <ref-ruling>, richiamata dalla Corte cantonale, relativa ad un abbandono del procedimento penale (<ref-law>), il Tribunale federale ha rilevato che in linea di principio un abbandono parziale del procedimento entra in considerazione quando occorre giudicare più eventi o fatti che si prestano a un trattamento distinto. Un abbandono parziale del procedimento è invece escluso se esso concerne unicamente un'altra qualificazione giuridica del medesimo evento. Se il procedimento penale è parzialmente abbandonato, benché non sussista spazio in tal senso, e l'abbandono parziale cresce in giudicato, il suo effetto preclusivo impedisce una condanna per gli stessi fatti. La pronuncia di un giudizio di condanna per i medesimi fatti violerebbe in tali circostanze il principio "ne bis in idem" (<ref-ruling> consid. 1.3.1 e 1.4).
In una recente sentenza destinata a pubblicazione (6B_1404/2020 del 17 gennaio 2022), il Tribunale federale ha precisato questa giurisprudenza, ricordando che se il pubblico ministero intende reprimere soltanto una parte dei fatti nell'ambito di un decreto di accusa, egli deve emanare simultaneamente un decreto di accusa e un decreto di abbandono. Ha al riguardo fatto riferimento alla <ref-ruling> ribadendo ch'essa è stata confermata anche in giudizi recenti (sentenza 6B_1404/2020, citata, consid. 2.6.5 e riferimenti). Il Tribunale federale ha ricordato che in <ref-ruling> l'imputato aveva, nell'ambito di un alterco, fatto cadere a terra la vittima e l'aveva colpita al torso e al collo: il pubblico ministero aveva emanato un decreto di accusa per vie di fatto, ma aveva rinunciato a perseguire l'imputato per una parte dei fatti, segnatamente per un trauma cranico lamentato dalla vittima, abbandonando quindi (implicitamente) il procedimento penale per i fatti relativi al trauma cranico (cfr. <ref-ruling> consid. 2.4). Nella sentenza 6B_1404/2020, citata, il Tribunale federale ha rilevato che un abbandono parziale esplicito del procedimento penale, che non concerne il complesso dei fatti ma unicamente singoli rimproveri aggravanti, può essere necessario per tutelare i diritti dell'accusatore privato (sentenza 6B_1404/2020, citata, consid. 2.6.5). Simili abbandoni parziali non conducono all'applicazione del principio "ne bis in idem" riguardo ai rimproveri per i quali è stata contemporaneamente promossa l'accusa. È determinante che la decisione di abbandono parziale faccia riferimento alla contestuale accusa, promossa o già pendente, rispettivamente alla concomitante emanazione di un decreto di accusa, e sia di conseguenza dichiarata come tale. Dalla decisione di abbandono parziale deve risultare che il procedimento penale non è abbandonato nel suo complesso, ma unicamente riguardo a singole circostanze di fatto aggravanti non dedotte in accusa, quali ad esempio ulteriori atti allegati dalla vittima, conseguenze supplementari, quali lesioni ulteriori, o elementi aggiuntivi concernenti il foro interiore (come, per esempio, una volontà omicida dell'imputato eccedente le lesioni causate). Tali decisioni di abbandono parziale non mirano ad abbandonare il procedimento penale nel suo complesso, ma a stabilire l'oggetto del procedimento giudiziario (sentenza 6B_1404/2020, citata, consid. 2.6.6). Alla luce di queste considerazioni, la <ref-ruling> è quindi stata precisata dal Tribunale federale nel senso che l'effetto preclusivo del principio "ne bis in idem" di una decisione di abbandono parziale passata in giudicato si riferisce soltanto ai fatti concretamente interessati da tale decisione, non invece ai rimproveri per i quali è stata contestualmente promossa l'accusa. Questa interpretazione restrittiva del principio "ne bis in idem" è stata ritenuta compatibile con gli <ref-law>, 4 del Protocollo n. 7 alla CEDU e 14 cpv. 7 del Patto ONU II (sentenza 6B_1404/2020, citata, consid. 2.6.6).
2.3. Con la sentenza del 21 dicembre 2018, il tribunale di primo grado ha condannato l'imputato per il reato di istigazione in falsità in atti formati da pubblici ufficiali o funzionari per avere determinato il notaio ad attestare, contrariamente al vero, nell'atto pubblico del 15 maggio 2009 relativo alla costituzione della B._ SA, che tutte le azioni della società erano state interamente liberate in denaro e che il relativo importo di fr. 100'000.-- era depositato ad esclusiva disposizione della società. Nella pronuncia, la prima Corte ha contestualmente prosciolto l'imputato dall'accusa (alternativa) di conseguimento fraudolento di una falsa attestazione di cui all'atto di accusa del 7 ottobre 2013 per avere indotto detto notaio ad eseguire la suddetta attestazione.
La CARP ha ritenuto che il fatto che l'imputato sia stato prosciolto dall'imputazione di conseguimento fraudolento di una falsa attestazione con il giudizio di prima istanza passato in giudicato comportasse un effetto preclusivo che le imponeva di abbandonare il procedimento per il complesso dei fatti. La CARP ha quindi disposto l'abbandono del procedimento penale per tutti i fatti di cui all'atto di accusa del 21 dicembre 2015 concernenti l'atto pubblico del 15 maggio 2009 di costituzione della B._ SA, in applicazione dell'art. 329 cpv. 1 lett. c CPP e del principio "ne bis in idem".
2.4. Tuttavia, il comportamento rimproverato all'imputato con l'atto di accusa del 7 ottobre 2013 era quello di avere indotto il notaio inconsapevole, ingannandolo, ad attestare nell'atto pubblico del 15 maggio 2009, contrariamente al vero, che tutte le azioni della società erano state liberate in denaro e che il relativo importo di fr. 100'000.-- era depositato ad esclusiva disposizione della società stessa. Il giudizio di proscioglimento era limitato a questo elemento relativo al foro interiore dell'imputato, che avrebbe agito all'insaputa del notaio, traendolo in errore riguardo alla veridicità del contenuto dell'atto pubblico. Il proscioglimento è direttamente collegato al contestuale giudizio di colpevolezza per il fatto che, diversamente dall'ipotesi alternativa, l'imputato aveva determinato il notaio, il quale non era ignaro bensì consapevole della falsità del contenuto dell'atto pubblico, ad eseguire l'attestazione inveritiera. In analogia con i considerandi della citata sentenza 6B_1404/2020, si tratta di un proscioglimento soltanto parziale, limitato ad una parte degli atti rimproverati all'imputato, segnatamente all'avere ingannato il pubblico ufficiale. Gli atti oggetto di assoluzione si lasciano quindi distinguere da quelli oggetto di condanna. Dalla decisione di primo grado risulta in effetti chiaramente che l'assoluzione dell'imputato non riguarda l'intero complesso dei fatti, ma unicamente la circostanza relativa al fatto di avere tratto in errore il notaio inconsapevole. In tali condizioni, il proscioglimento dall'imputazione di conseguimento fraudolento di una falsa attestazione non impedisce l'eventuale condanna per i fatti relativi all'istigazione in falsità in atti formati da pubblici ufficiali o funzionari. Del resto, quando il pubblico ufficiale agisce intenzionalmente, ossia avendo consapevolezza della falsità di quanto da lui attestato, con riferimento all'imputato che lo ha determinato a commettere il reato, soltanto la fattispecie di istigazione all'<ref-law> entra di massima in considerazione (MARKUS BOOG, in: Basler Kommentar, Strafrecht II, 4aed. 2019, n. 4 all'<ref-law>; STEFAN TRECHSEL/MARK PIETH, Schweizerisches Strafgesetzbuch, Praxiskommentar, 4aed. 2021, n. 6 all'<ref-law>; cfr., inoltre, sentenza 6B_17/2013 del 13 giugno 2013 consid. 3.2).
Ne consegue che, abbandonando il procedimento penale nei confronti dell'imputato in applicazione del principio "ne bis in idem", la CARP ha in concreto disatteso la recente giurisprudenza del Tribunale federale (sentenza 6B_1404/2020, citata), violando l'<ref-law>.
3.
3.1. Il ricorso deve pertanto essere accolto e il dispositivo n. I. 1 della sentenza impugnata, relativo all'abbandono del procedimento penale nei confronti di C._, deve essere annullato. Devono inoltre essere annullati i punti n. I. 4.2, I. 6, I. 7, I. 8, I. 9, concernenti la commisurazione della pena, le spese giudiziarie della sede cantonale e le indennità. Questi dispositivi sono parimenti impugnati dal ricorrente e sono strettamente legati all'esito del giudizio.
3.2. Le spese giudiziarie della sede federale seguono la soccombenza e sono quindi poste a carico dell'opponente (<ref-law>). Non si assegnano ripetibili ad autorità vincenti (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è accolto. I dispositivi n. I. 1, I. 4.2, I. 6, I. 7, I. 8, I. 9 della sentenza emanata il 16 settembre 2021 dalla Corte di appello e di revisione penale del Cantone Ticino sono annullati. La causa le è rinviata per un nuovo giudizio.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 3'000.-- sono poste a carico dell'opponente.
3.
Comunicazione alle parti e alla Corte di appello e di revisione penale del Cantone Ticino.