Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1984) ist türkischer Staatsangehöriger. Er ist in der Schweiz geboren und aufgewachsen und verfügte hier über die Niederlassungsbewilligung. A._ ist in der Schweiz wie folgt strafrechtlich verzeichnet:
- Strafbefehl der Bezirksanwaltschaft Hinwil vom 28. Oktober 2002: Fünf Tage Freiheitsstrafe (unter Ansetzung einer Probezeit von zwei Jahren) und Busse von Fr. 100.-- unter anderem wegen Entwendung eines Fahrzeugs zum Gebrauch und Fahrens ohne Führerschein;
- Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 22. Januar 2007: Sechs Jahre Freiheitsstrafe wegen versuchter vorsätzlicher Tötung (bestätigt durch das Bundesgericht mit Urteil 6B_290/2008 vom 17. Juli 2008);
- Strafmandat des Untersuchungsrichteramts Uznach vom 26. September 2008: Geldstrafe von 20 Tagessätzen (unter Ansetzung einer Probezeit von zwei Jahren) und Busse von Fr. 1'500.-- wegen grober Verletzung der Verkehrsregeln.
A.b. Mit Verfügung vom 21. Juli 2011 widerrief das Migrationsamt des Kantons Zürich (nachfolgend: das Migrationsamt) die Niederlassungsbewilligung A._s und wies ihn aus der Schweiz weg. Ein dagegen erhobener Rekurs wurde von der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich am 30. November 2011 (nachfolgend: die Sicherheitsdirektion) abgewiesen. Dieser Entscheid ist rechtskräftig.
A.c. Nachdem A._ am 24. Dezember 2007 in der Türkei die Schweizer Bürgerin B._ (geb. 1990) geheiratet hatte, trat er am 3. November 2008 den Strafvollzug an. Vom 9. bis am 20. Juli 2009 sowie vom 21. November 2011 bis am 16. September 2019 entzog er sich diesem durch Flucht. Während dieser Zeit zeugte A._ mit seiner Ehefrau die Kinder C._ (geb. 2013), D._ (geb. 2015) und E._ (geb. 2017), die allesamt die Schweizer Staatsbürgerschaft besitzen.
A.d. Am 16. September 2019 wurde A._ in Tirana (Albanien) verhaftet und am 16. Januar 2020 in die Schweiz überstellt, wo er sich seither wieder im Strafvollzug befindet.
B.
Am 26. Februar 2020 ersuchte A._ das Migrationsamt um Erteilung der Niederlassungsbewilligung, eventualiter einer Aufenthaltsbewilligung. Das Migrationsamt wies das Gesuch mit Verfügung vom 20. April 2020 ab und wies A._ aus der Schweiz weg; er habe das schweizerische Staatsgebiet unverzüglich nach Entlassung aus dem Strafvollzug zu verlassen.
Die gegen die Verfügung vom 20. April 2020 erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg (vgl. Entscheid der Sicherheitsdirektion vom 27. Juli 2020; Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 4. Februar 2021).
C.
Mit Eingabe vom 11. März 2021 gelangt A._ an das Bundesgericht. Er ersucht um Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts vom 4. Februar 2021 und Wiedererteilung der Niederlassungsbewilligung bzw. zumindest der Aufenthaltsbewilligung; eventualiter sei die Sache zu weiteren Abklärungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Prozessual beantragt er die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und die Beiordnung eines amtlichen Rechtsbeistands in Person seines Rechtsvertreters.
Das Bundesgericht hat einem Antrag A._s um Erteilung der aufschiebenden Wirkung mit Präsidialverfügung vom 12. März 2021 entsprochen.

Erwägungen:
1.
Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Zusammenhang mit Bewilligungen ausgeschlossen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>). Ein solcher Anspruch besteht im vorliegenden Fall potentiell gestützt auf <ref-law> (Familiennachzug zu Schweizer Bürgern) sowie Art. 8 EMRK und <ref-law> (Schutz des Familienlebens). Ob die jeweils erforderlichen Bewilligungsvoraussetzungen gegeben sind, ist eine Frage der materiellen Beurteilung; für das Eintreten genügt, dass - wie hier - ein Anspruch auf Familiennachzug in vertretbarer Weise dargetan wird (vgl. <ref-ruling> E. 1.1). Auf die frist- (<ref-law>) und formgerecht (Art. 42 und Art. 106 BGG) eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (vgl. Art. 82 ff. und Art. 86 lit. d BGG) des in seinem Anspruch auf Schutz des Familienlebens berührten Beschwerdeführers (vgl. <ref-law>) ist einzutreten. Hingegen bleibt für die parallel erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde bei dieser Ausgangslage kein Raum (<ref-law>). Diese wäre nur in Bezug auf die Wegweisung zulässig (vgl. <ref-law>), doch werden diesbezüglich keine spezifischen Verfassungsrügen erhoben. Auf die Verfassungsbeschwerde ist nicht einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. 3 S. 415). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind (<ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 116). Der Beschwerdeführer kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine entsprechende Rüge ist rechtsgenüglich zu substanziieren (<ref-ruling> E. 5.1 S. 356, <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254).
3.
Ein Rechtsanspruch auf Wiedererteilung der rechtskräftig widerrufenen Niederlassungsbewilligung ist nicht ersichtlich. Hingegen haben nach <ref-law> (SR 142.20) ausländische Ehegatten von Schweizerinnen Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen. Dieser Anspruch steht allerdings unter dem Vorbehalt, dass keine Widerrufsgründe nach <ref-law> vorliegen (<ref-law>). Liegt ein solcher Widerrufsgrund vor, ist zu prüfen, ob die Nichterteilung der Aufenthaltsbewilligung verhältnismässig ist (Art. 8 Ziff. 2 EMRK; vgl. auch <ref-ruling>, E. 4a; Urteil 2C_679/2011 vom 21. Februar 2012, E. 3.1).
4.
4.1. Der Beschwerdeführer bestreitet zu Recht nicht, mit seiner Verurteilung zu einer Freiheitsstrafe von sechs Jahren (vgl. Bst. A.a hiervor) den Widerrufsgrund der Verurteilung zu einer längerfristigen Freiheitsstrafe (Art. 63 Abs. 1 lit. a i.V.m. <ref-law>) gesetzt zu haben. Strittig ist einzig die Frage der Verhältnismässigkeit seiner Fernhaltung (Art. 8 Ziff. 2 EMRK, <ref-law>, <ref-law>).
4.2. Bezüglich der Verhältnismässigkeit wies die Vorinstanz darauf hin, dass der Beschwerdeführer wegen versuchter vorsätzlicher Tötung verurteilt worden sei; dieses Delikt sei als schwerwiegende Rechtsgutverletzung zu qualifizieren, so dass bereits eine geringe Rückfallgefahr nicht in Kauf genommen werden könne. Hinsichtlich der Rückfallgefahr sei festzuhalten, dass strafrechtliche Probezeiten den Bechwerdeführer in der Vergangenheit nicht von weiterer Delinquenz hätten abhalten können. Ins Gewicht falle zudem vor allem sein Verhalten nach dem erstmaligen Strafantritt. Vom 9. bis am 20. Juli 2009 sowie vom 21. November 2011 bis am 16. September 2019 habe er sich durch Flucht dem Strafvollzug entzogen, wobei er während dieser Zeit in der Türkei wegen Marihuanakonsums und in Albanien wegen eines gefälschten Passes strafrechtlich verfolgt worden sei. Er habe sich damit während seiner Flucht und insbesondere in der Zeit kurz vor seiner Auslieferung an die Schweiz nicht bewährt; seine Persönlichkeit erscheine nicht derart gefestigt, dass kein relevantes Rückfallrisiko mehr bestehe. Zudem sei sein Verhalten im Strafvollzug vor seiner Flucht von Disziplinarvorfällen geprägt gewesen, weshalb die Bewährungs- und Vollzugsdienste ihm eine "getrübte Legaprognose" attestiert und sein Gesuch um vorzeitige Entlassung aus dem Strafvollzug mit Verfügung vom 18. Februar 2020 abgelehnt hätten. Aus dem Umstand, dass der Beschwerdeführer im Übrigen seit erneutem Eintritt in den Strafvollzug nicht zu weiteren Klagen Anlass gegeben habe, könne nicht abgeleitet werden, dass eine Rückfallgefahr nunmehr vernachlässigt werden könne. Damit bestehe ein sehr grosses öffentliches Interesse an der Fernhaltung des Beschwerdeführers (E. 3.2 und 3.3 des angefochtenen Urteils).
Dieses öffentliche Fernhalteinteresse überwiege die privaten Interessen des Beschwerdeführers und seiner Familienangehörigen. Die Heirat des Beschwerdeführers mit seiner Ehefrau habe nach dem Strafurteil des Obergerichts stattgefunden; die Kinder seien gezeugt worden, als sich der Beschwerdeführer aufgrund seiner Flucht in der Türkei aufgehalten habe. Der Beschwerdeführer und seine Ehefrau hätten damit bewusst in Kauf genommen, dass die Kinder nur unregelmässigen Kontakt zu ihrem Vater haben würden. Im Übrigen hätten sie ihr Familienleben schon während der Flucht des Beschwerdeführers landesübergreifend gelebt; dies könne ihnen auch zukünftig zugemutet werden. Dem Beschwerdeführer sei es in der Vergangenheit nicht gelungen, sich in der Schweiz beruflich zu integrieren. Hingegen sei er mit seinem Heimatland weiterhin verbunden, was sich daran zeige, dass er dort Zuflucht gesucht, in den Jahren 2013 und 2014 den Militärdienst absolviert und mehrere Anstellungen innegehabt habe (E. 3.4 des angefochtenen Urteils).
Eine erneute Bewilligungserteilung könne vor diesem Hintergrund erst in Betracht kommen, wenn der Beschwerdeführer seine Freiheitsstrafe verbüsst habe, ordnungsgemäss ausgereist sei und sich anschliessend im Ausland während angemessener Zeitdauer bewährt habe (E. 3.5 des angefochtenen Urteils).
4.3. Festzuhalten ist zunächst, dass vorliegend entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers nicht von einer Gehörsverletzung (<ref-law>) auszugehen ist (vgl. Beschwerde, S. 6). Vor dem Hintergrund der Flucht des Beschwerdeführers und seiner dabei verübten Straftaten hat es die Vorinstanz mit Blick auf die Rückfallgefahr ausdrücklich für unbeachtlich angesehen, dass er sich nach seiner neuerlichen Inhaftierung im Januar 2020 wohlverhalten hat. Diese Würdigung kann nicht als willkürlich bezeichnet werden (vgl. E. 2.2 hiervor). Die Beweisanträge des Beschwerdeführers, die insbesondere auf die Dokumentation dieses Wohlverhaltens nach der neuerlichen Inhaftierung abzielen, waren damit schon deshalb nicht geeignet, zu einem anderen Ergebnis zu führen; die Vorinstanz durfte die Beweisanträge abweisen, ohne das Gehörsrecht des Beschwerdeführers zu verletzen (vgl. zu den Voraussetzungen der antizipierten Beweiswürdigung <ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f.).
4.4. Auch die Einwendungen, welche in der Beschwerde im Zusammenhang mit der Abwägung zwischen öffentlichem Fernhalteinteresse und privatem Interesse am weiteren Verbleib in der Schweiz erhoben werden, sind unbegründet. Zur Vermeidung von Wiederholungen kann im Wesentlichen auf die umfassenden und überzeugenden Erwägungen der Vorinstanz verwiesen werden (zusammengefasst wiedergegeben in E. 4.2 hiervor). Weil der Beschwerdeführer sich seiner Gefängnisstrafe während fast acht Jahren durch Flucht entzogen hat, er sich deshalb nach wie vor (bzw. wieder) in Haft befindet und damit von den Migrationsbehörden bis heute nicht ordnungsgemäss aus der Schweiz weggewiesen werden konnte, kann nicht die Rede davon sein, dass das öffentliche Interesse an seiner Fernhaltung an Bedeutung verloren hätte, weil eine Entfernungsmassnahme gegen ihn ergriffen, durchgesetzt und für eine der Schwere der Tat angemessene Zeitdauer aufrechterhalten worden wäre (Urteil 2C_736/2017 vom 28. November 2017 E. 3.3, m.w.H.). Auch im Lichte vergleichbarer bundesgerichtlicher Urteile (vgl. für eine Übersicht Urteil 2C_935/2017 vom 17. Mai 2018 E. 4.3.4) ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz einen Bewilligungsanspruch im vorliegenden Fall verneint hat.
4.5. Der angefochtene Entscheid verletzt damit weder Bundesrecht noch Völkerrecht. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich als offensichtlich unbegründet (<ref-law>) und ist abzuweisen.
5.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren ist angesichts der Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG e contrario).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. April 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner