Faits :
A.
A.a. Par décision du 27 avril 2017, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI) a rejeté la demande de prestations de l'assurance-invalidité présentée en janvier 2010 par A._, né en 1980, en relation avec une déchirure du tendon de l'épaule droite. Saisi d'un recours de l'assuré, le Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, l'a admis (jugement du 16 janvier 2018). Il a annulé la décision litigieuse et renvoyé la cause à l'office AI pour nouvelle décision après complément d'instruction sur le plan médical (mise en oeuvre d'une expertise pluridisciplinaire).
A.b. En exécution du jugement de renvoi, l'administration a notamment mandaté Swiss Medical Expertise SA (SMEX SA) pour une expertise pluridisciplinaire (rapport des docteurs B._, spécialiste en médecine interne générale, et C._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, et de la doctoresse D._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, du 1er février 2019). Les experts ont posé les diagnostics ayant une incidence sur la capacité de travail de douleurs et mobilité réduite de l'épaule droite après chute du 3 juin 2009, sans lésion de l'épaule droite nécessitant une arthroscopie avec décompression sous-acromiale avec un risque d'aggravation de la situation clinique. Ils ont conclu à une capacité de travail nulle dans l'activité habituelle de réviseur de citerne, mais totale dans une activité adaptée respectant les limitations fonctionnelles qu'ils ont décrites, dès le 15 février 2010. Après avoir soumis ces conclusions à son Service médical régional (SMR; rapport du docteur E._ du 5 février 2019), qui les a confirmées, l'office AI a nié le droit de l'assuré à une rente d'invalidité (décision du 12 août 2019).
B.
Statuant le 25 septembre 2020 sur le recours formé par A._ contre la décision du 12 août 2019, le Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, l'a rejeté.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il requiert l'annulation. Il conclut principalement à la reconnaissance du droit à une rente entière de l'assurance-invalidité. Subsidiairement, il demande que la cause soit renvoyée à la juridiction cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants.
Le 13 janvier 2021, A._ a produit un rapport du docteur F._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, et de la psychologue G._, du 3 novembre 2020.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il statue par ailleurs sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant qui entend s'en écarter doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut pas être pris en considération.
2.
Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté devant le Tribunal fédéral à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF). L'avis médical du 3 novembre 2020 produit par le recourant devant la Cour de céans est un moyen de preuve postérieur au prononcé du 25 septembre 2020 du jugement entrepris, soit un véritable novum (<ref-ruling> consid. 3.1.2 p. 123; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 343 s. et les arrêts cités). Il n'est dès lors pas admissible et ne justifie pas de reconsidérer l'ordonnance du 15 décembre 2020 concernant le rejet de la demande d'assistance judiciaire présentée par le recourant en instance fédérale, comme il le requiert par écriture du 13 janvier 2021.
3.
Les constatations de l'autorité cantonale de recours sur l'atteinte à la santé, la capacité de travail de la personne assurée et l'exigibilité - pour autant qu'elles ne soient pas fondées sur l'expérience générale de la vie - relèvent d'une question de fait et ne peuvent donc être contrôlées par le Tribunal fédéral que sous un angle restreint (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 398). On rappellera, en particulier, qu'il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une solution autre que celle de l'autorité cantonale semble concevable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 72; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 205). Pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que sa motivation soit insoutenable; il faut encore que cette décision soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 3.4 p. 53).
4.
4.1. Le litige a trait au droit du recourant à une rente de l'assurance-invalidité à la suite de la demande de prestations qu'il a déposée au mois de janvier 2010.
4.2. Le jugement entrepris expose de manière complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs notamment à la notion d'invalidité (art. 7 et 8 al. 1 LPGA, en lien avec l'art. 4 al. 1 LAI) et à son évaluation, en particulier s'agissant du caractère invalidant de troubles psychiques (<ref-ruling> consid. 6 et 7 p. 426 ss; <ref-ruling>). Il rappelle également les règles applicables à la valeur probante des rapports médicaux (<ref-ruling> consid. 2.2.2 p. 126; <ref-ruling> consid. 3 p. 352 ss) et à la libre appréciation des preuves (art. 61 let. c LPGA). Il suffit d'y renvoyer.
5.
5.1. Le recourant critique l'appréciation des preuves et l'établissement des faits opérés par les premiers juges. Il leur reproche de s'être fondés sur les conclusions des experts de SMEX SA (rapport du 1er février 2019), sans tenir compte des avis contraires de ses médecins traitants, pour nier son droit à une rente de l'assurance-invalidité.
5.2. En l'espèce, on constate que, confrontée à des avis médicaux divergents, la juridiction de première instance a procédé à leur évaluation de manière complète et qu'elle a dûment indiqué les motifs pour lesquels elle a accordé une pleine valeur probante aux conclusions des experts de SMEX SA, ainsi que les raisons pour lesquelles elle a considéré que les avis des médecins traitants de l'assuré ne suffisaient pas pour remettre en cause leurs conclusions (cf. jugement entrepris, consid. 3 p. 9-17). En ce qu'il se limite à affirmer que les avis de ses médecins, en particulier ceux des docteurs H._, spécialiste en médecine interne générale, et F._, ont été "écartés", alors même qu'ils avaient pourtant attesté d'une totale incapacité de travail dans toute activité, l'assuré ne fait pas état d'éléments cliniques ou diagnostiques concrets et objectifs susceptibles de mettre en cause les conclusions suivies par les premiers juges, ni de motifs susceptibles d'établir le caractère arbitraire de leur appréciation.
Le recourant ne critique pas non plus de manière pertinente cette appréciation lorsqu'il se contente, de manière appellatoire, de se référer aux rapports de ses médecins traitants et d'énumérer les diagnostics qu'ils ont posés, en substituant sa propre appréciation à celle des premiers juges et en affirmant que la mise en oeuvre de mesures d'instruction complémentaires pourrait apporter des renseignements supplémentaires. Un tel procédé ne suffit pas pour mettre en évidence en quoi la juridiction cantonale aurait procédé de manière arbitraire à une appréciation anticipée des preuves (à ce sujet, voir <ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 298) ou aurait établi les faits de manière incomplète (cf. consid. 1 supra). Quant à l'argumentation du recourant selon laquelle l'expertise ne serait pas "complète" parce que les experts ne l'auraient "vu (ou entendu par téléphone) que 2 heures 30 chacun", elle n'est pas davantage fondée. La durée de l'examen médical n'étant pas en soi un critère de la valeur probante d'un rapport médical, les critiques de l'assuré ne sont pas de nature à remettre en question la qualité du travail des experts de SMEX SA dont le rôle consistait à porter un jugement sur son état de santé dans un délai relativement bref (à ce sujet, voir arrêt 9C_542/2020 du 16 décembre 2020 consid. 7.4 et les références). En conséquence, il n'y a pas lieu de s'écarter des constatations de la juridiction cantonale quant à une capacité de travail totale dans une activité adaptée.
6.
Manifestement mal fondé, le recours doit être rejeté selon la procédure simplifiée de l'art. 109 al. 2 let. a LTF.
7.
Vu l'issue de la procédure, les frais judiciaires y afférents sont mis à la charge du recourant (art. 66 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 3 février 2021
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
La Greffière : Perrenoud