Sachverhalt:
A.
Das Amtsgericht Solothurn-Lebern erklärte A._ mit Urteil vom 23. April 2018 der Vergewaltigung, des Hausfriedensbruchs und der mehrfachen Übertretung des Betäubungsmittelgesetzes schuldig. Es verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von 5 Jahren sowie einer Busse, unter Anrechnung von zwei Tagen Untersuchungshaft, und verwies ihn gestützt auf <ref-law> für 10 Jahre des Landes. Gleichzeitig ordnete es für die Dauer von sechs Monaten Sicherheitshaft an. Mit einem separaten Beschluss vom 24. April 2018 wurde die Anordnung der Sicherheitshaft begründet.
Eine von A._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 29. Mai 2018 ab.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht vom 9. Juli 2018 beantragt A._, der Entscheid des Obergerichts sei aufzuheben und er selbst sei umgehend aus der Sicherheitshaft zu entlassen. Eventualiter seien eine tägliche Meldepflicht bzw. andere Ersatzmassnahmen anzuordnen. Subeventualiter sei die Sicherheitshaft auf maximal drei Monate zu begrenzen. Subsubeventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Staatsanwaltschaft und das Obergericht haben auf eine Stellungnahme verzichtet. Das Amtsgericht hat sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid betrifft die Anordnung der Sicherheitshaft (<ref-law>). Dagegen ist die Beschwerde in Strafsachen nach <ref-law> gegeben. Der Beschwerdeführer nahm vor der Vorinstanz am Verfahren teil und befindet sich nach wie vor in Haft. Er ist deshalb nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt zunächst eine Verletzung seines Anspruchs auf ein faires Verfahren bzw. auf rechtliches Gehör. Er macht zum einen geltend, das Obergericht habe seine Begründungspflicht verletzt, weil es nicht dargelegt habe, weshalb die Fluchtgefahr derart hoch sei, dass sie durch Ersatzmassnahmen nicht gebannt werden könne. Zum andern habe das Obergericht zu Unrecht offengelassen, ob das Amtsgericht das rechtliche Gehör verletzt habe, indem es sich auf Asylakten stützte, von deren Beizug er keine Kenntnis gehabt habe.
2.2. Insoweit, als der Beschwerdeführer eine Verletzung der Begründungspflicht rügt, geht seine Kritik fehl. Das Obergericht hat sich mit den Umständen, die für und wider die Annahme von Fluchtgefahr sprechen, auseinandergesetzt und ist zum Schluss gekommen, Ersatzmassnahmen seien nicht ausreichend. Weshalb es die Fluchtgefahr als ausgeprägt erachtete, ergibt sich ohne Weiteres aus dem angefochtenen Entscheid. Die Begründung ist mit anderen Worten so abgefasst, dass sich der Beschwerdeführer über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache ans Bundesgericht weiterziehen konnte (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 70 f. mit Hinweisen).
2.3. Der Amtsgerichtspräsident hat gemäss dem angefochtenen Entscheid in seiner Stellungnahme vom 9. Mai 2018 ausgeführt, es sei zutreffend, dass die dem Gericht vom Staatssekretariat für Migration eingereichten Asylakten, welche sich auf das Protokoll einer Anhörung vom 18. Februar 2016 sowie das Aktenverzeichnis beschränkten, den Parteien versehentlich nicht zugestellt worden seien. Der Beizug der Akten sei jedoch angeordnet worden. Zudem sei zu Beginn der Befragung des Beschwerdeführers auf das Befragungsprotokoll aus den Asylakten Bezug genommen worden. Er habe Gelegenheit gehabt, es einzusehen und dazu Stellung zu nehmen.
2.4. Das Obergericht hielt fest, es könne offenbleiben, ob die Kritik des Beschwerdeführers zutreffe. Die Fluchtgefahr sei unabhängig vom Umstand zu bejahen, dass er offenbar vor einer drohenden Haftstrafe in Syrien geflohen sei.
2.5. Angesichts der formellen Natur des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) kann die materielle Rechtmässigkeit eines Entscheides eine Gehörsverletzung nicht beseitigen. Indessen kann eine nicht besonders schwerwiegende Verletzung des rechtlichen Gehörs gemäss ständiger Rechtsprechung ausnahmsweise als geheilt gelten, wenn die betroffene Person die Möglichkeit erhält, sich vor einer Rechtsmittelinstanz zu äussern, die sowohl den Sachverhalt wie auch die Rechtslage frei überprüfen kann. Unter dieser Voraussetzung ist selbst bei einer schwerwiegenden Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör von einer Heilung des Mangels auszugehen, wenn die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu einem formalistischen Leerlauf und damit zu unnötigen Verzögerungen führen würde, die mit dem Interesse der betroffenen Partei an einer beförderlichen Beurteilung der Sache nicht zu vereinbaren wären (<ref-ruling> E. 2.3.2 S. 197 f.; Urteil 6B_178/2015 vom 26. August 2015 E. 1.3.2; je mit Hinweisen). Nach der Rechtsprechung zu <ref-law> ist der Verletzung des Verfahrensmangels jedoch bei der Verlegung der Kosten des Rechtsmittelverfahrens Rechnung zu tragen. Dies kann durch eine angemessene Reduktion der Gerichtskosten oder allenfalls durch den Verzicht auf die Erhebung von Kosten geschehen (Urteil 6B_1247/2015 vom 15. April 2016 E. 2.4.2 mit Hinweis).
2.6. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs zeitigt nach dem Ausgeführten in jedem Fall Konsequenzen, selbst wenn unter den konkreten Umständen eine Heilung möglich ist. Die Frage durfte vom Obergericht deshalb nicht offengelassen werden. Indem es dies dennoch tat, verletzte es selbst den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör. Die Beschwerde ist somit in diesem Punkt begründet.
2.7. Eine inhaltliche Prüfung der Haftvoraussetzungen durch das Bundesgericht ist aus diesem Grund jedoch nicht ausgeschlossen. Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, aus den vom Amtsgericht beigezogenen Akten etwas für seinen Standpunkt ableiten zu können. Das Obergericht seinerseits hielt, wie bereits erwähnt, fest, die Fluchtgefahr könne unabhängig von den Erkenntnissen aus jenen Akten bejaht werden. Ob dies zutrifft, ist im Folgenden zu prüfen.
3.
Nach <ref-law> sind Untersuchungs- und Sicherheitshaft unter anderem zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist und ernsthaft zu befürchten ist, dass sie sich durch Flucht dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion entzieht (Abs. 1 lit. a). An ihrer Stelle sind Ersatzmassnahmen anzuordnen, wenn sie den gleichen Zweck wie die Haft erfüllen (Art. 212 Abs. 2 lit. c und Art. 237 ff. StPO).
Der Beschwerdeführer bestreitet das Vorliegen eines dringenden Tatverdachts. Er ist zudem der Auffassung, dass keine Fluchtgefahr bestehe bzw. dass einer allfälligen Fluchtgefahr mit Ersatzmassnahmen begegnet werden könnte.
4.
4.1. Zum dringenden Tatverdacht hält der Beschwerdeführer fest, sowohl das Amts- als auch das Obergericht hätten ihn in ihren Erwägungen vorverurteilt. Bei vertiefter Auseinandersetzung mit den Aussagen der Privatklägerin wären nicht nur ihr "Belastungseifer" und die offensichtlichen Lügen aufgefallen, sondern auch fehlender quantitativer Detailreichtum, die Konzentration auf Nebensächlichkeiten sowie die Widersprüchlichkeiten und Unlogik in ihren Ausführungen.
4.2. Nach ständiger bundesgerichtlicher Rechtsprechung gilt der dringende Tatverdacht bei einer erstinstanzlichen Verurteilung grundsätzlich ohne Weiteres als erstellt. Darin liegt entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers kein Verstoss gegen die Unschuldsvermutung (<ref-law> und Art. 6 Ziff. 2 EMRK) begründet, denn mit der Annahme eines dringenden Tatverdachts erfolgt keine Vorverurteilung (Urteil 1B_449/2017 vom 13. November 2017 E. 3.2 mit Hinweisen). Die pauschale Kritik des Beschwerdeführers vermag den dringenden Tatverdacht vorliegend im Übrigen von vornherein nicht in Frage zu stellen.
5.
5.1. Die Annahme von Fluchtgefahr setzt ernsthafte Anhaltspunkte dafür voraus, dass die beschuldigte Person sich durch Flucht dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion entziehen könnte. Im Vordergrund steht dabei eine mögliche Flucht ins Ausland, denkbar ist jedoch auch ein Untertauchen im Inland. Bei der Bewertung, ob Fluchtgefahr besteht, sind die gesamten konkreten Verhältnisse zu berücksichtigen. Es müssen Gründe bestehen, die eine Flucht nicht nur als möglich, sondern als wahrscheinlich erscheinen lassen. Die Schwere der drohenden Strafe ist zwar ein Indiz für Fluchtgefahr, genügt jedoch für sich allein nicht, um den Haftgrund zu bejahen. Miteinzubeziehen sind die familiären und sozialen Bindungen, die berufliche und finanzielle Situation und die Kontakte zum Ausland. Selbst bei einer befürchteten Reise in ein Land, welches die beschuldigte Person grundsätzlich an die Schweiz ausliefern bzw. stellvertretend verfolgen könnte, ist die Annahme von Fluchtgefahr nicht ausgeschlossen. Die Wahrscheinlichkeit einer Flucht nimmt in der Regel mit zunehmender Verfahrens- bzw. Haftdauer ab, da sich auch die Dauer des allenfalls noch abzusitzenden strafrechtlichen Freiheitsentzugs mit der bereits geleisteten prozessualen Haft, die auf die mutmassliche Freiheitsstrafe anzurechnen wäre (<ref-law>), kontinuierlich verringert (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 4.3 S. 166 f. mit Hinweisen).
5.2.
5.2.1. Mit der erstinstanzlichen Verurteilung zu einer unbedingten Freiheitsstrafe von 5 Jahren und einer Landesverweisung von 10 Jahren hat sich die Hoffnung des Beschwerdeführers, gemäss seinem Antrag freigesprochen zu werden, vorerst zerschlagen. Er muss mit der Möglichkeit rechnen, dass auch die Berufungsinstanz die Sache gleich oder ähnlich beurteilt wie die erste Instanz und ihm dementsprechend nicht nur ein mehrjähriger Strafvollzug, sondern auch eine Landesverweisung bevorsteht. Das stellt fraglos einen erheblichen Fluchtanreiz dar. Nicht zu beanstanden ist auch die Auffassung des Obergerichts, dass der Fluchtanreiz vor dem erstinstanzlichen Urteil, als der Beschwerdeführer auf einen Freispruch hoffen konnte, geringer war und er auch ein ureigenes Interesse daran hatte, an der Hauptverhandlung teilzunehmen und seinen Standpunkt zu vertreten. Der Umstand, dass er bisher keinen Fluchtversuch unternommen hat, fällt deshalb nicht ins Gewicht.
5.2.2. Die erstinstanzlich angeordnete Landesverweisung muss zudem die Aussicht des Beschwerdeführers auf einen langfristigen Verbleib in der Schweiz zwangsläufig beeinträchtigen. Wie das Obergericht zu Recht festgehalten hat, lässt sich allerdings im jetzigen Zeitpunkt nicht beurteilen, ob eine Ausschaffung nach Syrien nach der Verbüssung der Strafe vollzogen werden kann.
5.2.3. Das Obergericht berücksichtigte weiter, dass der Beschwerdeführer in der Schweiz über kein gesichertes Aufenthaltsrecht verfügt. Das gelte auch für seine Familie, welche neben zwei Schwestern die einzige Beziehung zur Schweiz darstelle. Er spreche nur unzureichend Deutsch, verfüge über keine Arbeitsstelle und müsse mit seiner Familie von der Sozialhilfe unterstützt werden. Auch wenn einige dieser Umstände mit seinem Aufenthaltsstatus zusammenhingen, könne jedenfalls von einer Integration keine Rede sein. Was die geltend gemachte enge Beziehung zu seiner Familie anbelange, sei immerhin auf den dringenden Tatverdacht hinzuweisen, während eines Besuchs seiner Ehefrau im Durchgangszentrum eine andere Frau vergewaltigt zu haben.
5.2.4. Diese grundsätzlich nicht zu beanstandenden Ausführungen der Vorinstanz sind insofern zu relativieren, als die finanzielle Abhängigkeit des Beschwerdeführers von staatlichen Unterstützungsleistungen eine Flucht erschweren würde (vgl. Urteil 1P.625/2006 vom 12. Oktober 2006 E. 5.3, in: Pra 2007 Nr. 39 S. 241). Würde er sich in einen Nachbarstaat der Schweiz begeben, müsste er als Asylsuchender zudem mit einer Rücküberstellung rechnen (Urteil 1B_150/2015 vom 12. Mai 2015 E. 3.4). Schliesslich ist auch anzunehmen, dass er bei einer Flucht ins Ausland seine Familie zurücklassen müsste, wobei der Beschwerdeführer in dieser Hinsicht darauf hinweist, dass seine Ehefrau erneut schwanger sei. Der voraussichtliche Geburtstermin sei im August.
5.2.5. Trotz dieser Relativierungen ist die Einschätzung des Obergerichts im Ergebnis nicht zu beanstanden. Den mit einer Flucht verbundenen Schwierigkeiten und Entbehrungen stehen die nach der erstinstanzlichen Verurteilung zu einer Freiheitsstrafe und einer Landesverweisung schlechten Perspektiven auf einen längerfristigen Verbleib in der Schweiz gegenüber. Neben einer Flucht ins Ausland fällt zudem auch ein Untertauchen in der Schweiz in Betracht, wo auch die beiden Geschwister des Beschwerdeführers leben und er deshalb auf ein, wenn auch beschränktes, Beziehungsnetz zählen kann. Schliesslich besteht angesichts der Schwere des in Frage stehenden Delikts ein erhöhtes öffentliches Interesse an der Strafverfolgung. Insgesamt verstösst deshalb nicht gegen Bundesrecht, wenn das Obergericht die Fluchtgefahr bejahte und darüber hinaus davon ausging, sie könne auch mit Ersatzmassnahmen nicht hinreichend gebannt werden.
6.
6.1. Der Beschwerdeführer kritisiert schliesslich, die Haftverlängerung um 6 Monate sei bundesrechtswidrig. Das Obergericht hielt in dieser Hinsicht fest, das Amtsgericht erwähne zu Recht, dass das Abfassen der schriftlichen Urteilsbegründung einige Zeit in Anspruch nehmen werde und dass sich das Berufungsgericht anschliessend zuerst in den Fall einarbeiten müsse, bevor es über eine allfällige Verlängerung der Sicherheitshaft entscheiden könne. Von der Höhe der Strafe her sei die Sicherheitshaft ohnehin verhältnismässig.
6.2. Gemäss <ref-law> wird die Verlängerung der Untersuchungshaft jeweils für längstens 3 Monate, in Ausnahmefällen für längstens 6 Monate bewilligt. Diese Regelung gilt auch, wenn das erstinstanzliche Gericht mit dem Urteil entscheidet, ob eine verurteilte Person in Sicherheitshaft zu setzen oder zu behalten ist (<ref-law>; <ref-ruling>; abweichend: Urteil 1B_281/2015 vom 15. September 2015 E. 3.2).
6.3. Ein Ausnahmefall im Sinne von <ref-law> kann etwa angenommen werden, wenn von vornherein ersichtlich ist, dass der Haftgrund auch nach mehr als drei Monaten noch gegeben ist (Urteil 1B_405/2013 vom 3. Dezember 2013 E. 3.3 mit Hinweis). Davon kann nach dem Ausgeführten im vorliegenden Fall ausgegangen werden. Die Vorinstanz durfte unter Praktikabilitätsgesichtspunkten zudem auch berücksichtigen, dass die Redaktion des vollständig begründeten Urteils einige Zeit in Anspruch nehmen würde. Schliesslich ist es dem Beschwerdeführer nicht verwehrt, noch vor Ablauf der sechs Monate beim Berufungsgericht ein Haftentlassungsgesuch einzureichen (<ref-law>, vgl. <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 191).
7.
Die Beschwerde ist aus den genannten Erwägungen teilweise gutzuheissen und die Ziffer 4 des angefochtenen Urteils betreffend die Verfahrenskosten ist aufzuheben. Die Sache wird zur Prüfung der Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs ans Obergericht zurückgewiesen. Gegebenenfalls müsste die Ziffer 4 des Urteils neu gefasst werden. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Da die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind, ist dieses gutzuheissen (<ref-law>), soweit es nicht durch das teilweise Obsiegen ohnehin gegenstandslos geworden ist. Damit ist der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers je zur Hälfte durch den Kanton Solothurn und aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen. Gerichtskosten sind keine zu bezahlen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, die Ziffer 4 des angefochtenen Urteils wird aufgehoben und die Sache zur weiteren Prüfung im Sinne der Erwägungen an das Obergericht des Kantons Solothurn zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Rechtsanwalt Patrick Hasler wird zum unentgeltlichen Rechtsbeistand ernannt und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'000.-- entschädigt.
5.
Der Kanton Solothurn hat Rechtsanwalt Patrick Hasler mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
6.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amtsgericht Solothurn-Lebern, der Staatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Juli 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Dold