Sachverhalt:
A.
A._ (Beschwerdeführer) war über seine Arbeitgeberin bei der B._ AG nach VVG (SR 221.229.1) krankentaggeldversichert. Am 30. Mai 2017 sprach die Arbeitgeberin die Kündigung des Arbeitsverhältnisses per 31. Oktober 2017 aus.
Mit Krankheitsmeldung vom 21. August 2017 wurde der B._ AG mitgeteilt, dass A._ am 30. Juli 2017 unter Verweis auf Arbeitsunfähigkeitszeugnisse die Arbeit niedergelegt habe. Die B._ AG anerkannte ihre Leistungspflicht und richtete A._ Taggelder aus.
Auf Veranlassung der B._ AG wurde A._ am 10. Oktober 2017 durch Dr. med. C._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, begutachtet.
Mit Schreiben vom 18. Dezember 2017 teilte die B._ AG A._ mit, dass die Taggeldleistungen per 31. Dezember 2017 eingestellt würden, da von einer arbeitsplatzbezogenen Arbeitsunfähigkeit und ab dem 1. Januar 2018 von einer externen vollen Arbeitsfähigkeit und Vermittelbarkeit auf dem allgemeinen Arbeitsmarkt ausgegangen werde. Nachdem A._ dagegen unter Verweis auf die Berichte seiner behandelnden Psychiaterin Dr. med. D._, Fachärztin für Psychiatrie und Psychotherapie, Einwände erhoben hatte, veranlasste die B._ AG bei Dr. med. E._, Fachärztin für Neurologie, ein Gutachten, welches am 28. März 2018 erstattet wurde. Mit Schreiben vom 12. April 2018, vom 15. Mai 2018 und vom 25. Juni 2018 teilte die B._ AG mit, dass sie an ihrem Entscheid festhalte.
B.
Am 16. August 2018 klagte A._ beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit dem Begehren, die B._ AG sei zu verurteilen, ihm den Betrag von Fr. 28'036.65 nebst Zins seit wann rechtens zu bezahlen.
Mit Urteil vom 8. November 2019 wies das Sozialversicherungsgericht die Klage ab.
C.
A._ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Sozialversicherungsgerichts sei aufzuheben. Die Beschwerdegegnerin sei zu verurteilen, ihm den Betrag von Fr. 28'036.65 nebst Zins zu 5 % seit 1. April 2018 zu bezahlen. Eventualiter sei die Sache zur Durchführung eines Beweisverfahrens und Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Sozialversicherungsgericht verzichtete auf Vernehmlassung. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Der Beschwerdeführer replizierte, worauf die Beschwerdegegnerin eine Duplik eingereicht hat.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Sozialversicherungsgerichts hat eine Streitigkeit aus einer Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung gemäss <ref-law> zum Gegenstand (siehe dazu Urteil 4A_12/2016 vom 23. Mai 2017 E. 1.2 mit Hinweisen). Es ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer einzigen kantonalen Instanz im Sinne von <ref-law>. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in Zivilsachen offen, gemäss <ref-law> unabhängig vom Streitwert (<ref-ruling> E. 1.1, 2 E. 1.2.2; siehe auch <ref-ruling> E. 1.2).
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90).
2.3. Soweit die Parteien die vorinstanzliche Beweiswürdigung kritisieren, ist zu beachten, dass das Bundesgericht in diese nur eingreift, wenn sie willkürlich ist. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern bloss, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 4.2.1). Dies ist dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 4.2). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (BGE <ref-ruling> E. 2.2). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266 f.; <ref-ruling> E. 2b).
3.
Streitig ist der Taggeldanspruch des Beschwerdeführers für die Zeit ab 1. Januar 2018.
3.1. Die Vorinstanz erwog, der Beschwerdeführer habe zu beweisen, dass er über den 31. Dezember 2017 hinaus (weiterhin) arbeitsunfähig sei. Dieser Beweis sei ihm nicht gelungen:
Zum Nachweis seiner Arbeitsunfähigkeit stütze er sich nämlich - so das Sozialversicherungsgericht - auf die Beurteilungen seiner behandelnden Psychiaterin Dr. med. D._. Diese Berichte seien indes nicht geeignet, um mit dem notwendigen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit eine Arbeitsunfähigkeit auszuweisen. Es gehe daraus namentlich nicht schlüssig hervor, weshalb auch an einem anderen Arbeitsplatz eine vollständige Arbeitsunfähigkeit bestehen solle, zumal sich die Beschwerden des Beschwerdeführers hauptsächlich auf das alte Arbeitsverhältnis bezogen hätten. Den Gutachten von Dr. med. D._ lasse sich auch nicht entnehmen, dass sie lösungsorientiert allfällige positive Aspekte einer neuen Arbeitsstelle und der damit einhergehenden finanziellen Entlastung und Distanzierung von der alten Arbeitsstelle in Betracht gezogen habe.
Das Sozialversicherungsgericht nahm sodann auf die zahlreichen Diskrepanzen zwischen den Beurteilungen von Dr. med. D._ und jenen von Dr. med. C._ und Dr. med. E._ Bezug und hielt ferner fest, es entspreche einer Erfahrungstatsache, dass behandelnde Ärzte eher zu Gunsten ihrer Patienten aussagten.
3.2. Der Beschwerdeführer behauptet, die Vorinstanz habe "die bundesrechtliche Beweiswürdigungsregel gemäss <ref-law> verletzt", indem sie davon ausgegangen sei, dass seine Arbeitsunfähigkeit "für die Zeit nach dem 1. Januar 2018 nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit nachgewiesen sei".
In der Beschwerdebegründung macht der Beschwerdeführer aber weder geltend, die Vorinstanz habe die Beweislast falsch verteilt, noch bringt er vor, sie habe ihrer Beurteilung ein falsches Beweismass zugrunde gelegt. Die entsprechenden vorinstanzlichen Erwägungen sind denn auch nicht zu beanstanden (siehe <ref-ruling> E. 3.1). In der Sache greift der Beschwerdeführer einzig die Beweiswürdigung an. Damit ist aber der Rüge, die bundesrechtliche Beweisvorschrift von <ref-law> sei verletzt, von vornherein der Boden entzogen (vgl. Urteil 4A_637/2011 vom 24. November 2011 E. 2.1 mit Hinweisen).
3.3. Der Beschwerdeführer stützt sich zur Begründung seiner Arbeitsunfähigkeit auf Berichte der behandelnden Psychiaterin Dr. med. D._. Das Sozialversicherungsgericht legte diese Gutachten ihrer Beweiswürdigung zugrunde, ohne im Einzelnen die Frage zu thematisieren, ob sie überhaupt ein zulässiges Beweismittel darstellen (vgl. auch <ref-ruling> E. 2.6). Darauf braucht auch vorliegend nicht eingegangen zu werden. Denn der Beschwerdeführer zeigt ohnehin nicht hinreichend auf, inwiefern die vorinstanzliche Würdigung der Beweise offensichtlich unhaltbar wäre (siehe Erwägungen 2.2 f.) :
So stellt er dem - im Einzelnen begründeten - Schluss der Vorinstanz, an den Einschätzungen von Dr. med. D._ bestünden erhebliche Zweifel und diese seien nicht schlüssig, einzig die Aussage entgegen, Dr. med. D._ habe "stets kohärent und schlüssig den Krankheitsverlauf des Beschwerdeführers dargelegt" und "anhand von Arztzeugnissen belegt", dass die Arbeitsunfähigkeit über den 1. Januar 2018 hinausgehe. Mit diesen - ohne jeden Bezug zu konkreten Gutachten und ohne Aktenhinweise vorgetragenen - Behauptungen setzt der Beschwerdeführer den vorinstanzlichen Erwägungen seine eigene Interpretation der ärztlichen Beurteilungen entgegen, ohne aber aufzuzeigen, inwiefern die erheblichen Zweifel der Vorinstanz an der Richtigkeit der Gutachten von Dr. med. D._ unberechtigt sein sollen.
Im Übrigen beschränkt er sich im Wesentlichen darauf, die Glaubwürdigkeit der Beurteilungen von Dr. med. C._ und Dr. med. E._ in Frage zu ziehen. Er schliesst, diese seien "nicht geeignet, um begründete Zweifel an der attestierten Arbeitsunfähigkeit durch Dr. med. D._ zu wecken". Überhaupt scheint den Ausführungen des Beschwerdeführers der Gedanke zugrunde zu liegen, die Vorinstanz habe den Gutachten von Dr. med. C._ und Dr. med. E._ "einen höheren Beweiswert" als den Berichten von Dr. med. D._ zugestanden. Dies trifft indes nicht zu. Das Sozialversicherungsgericht gelangte vielmehr zum Ergebnis, allein gestützt auf die Einschätzungen der behandelnden Psychiaterin Dr. med. D._ sei der Beweis einer über den 31. Dezember 2017 hinausgehenden Arbeitsunfähigkeit nicht erbracht. Diesen Schluss weist der Beschwerdeführer nicht als willkürlich aus. Soweit er auf ein Arztzeugnis von Dr. med. F._ vom 30. August 2017 verweist, das ihm eine Arbeitsunfähigkeit attestiere und das die Vorinstanz "völlig aussen vor" lasse, übergeht er, dass sich dieses nur auf den Zeitraum vom 7. bis 15. August 2017 bezieht.
3.4. Die Feststellung der Vorinstanz, die Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdeführers sei für die Zeit nach dem 31. Dezember 2017 nicht mehr erstellt, ist unter Willkürgesichtspunkten folglich nicht zu beanstanden.
4.
Der Beschwerdeführer moniert weiter, die Vorinstanz habe <ref-law> und die "Untersuchungsmaxime" verletzt, weil sie ihm nicht eine "angemessene" Übergangsfrist "von mehreren Monaten" angesetzt beziehungsweise sich "nicht weiter mit der Frage der Übergangsfrist" auseinandergesetzt habe.
4.1. Nach <ref-law> ist der Anspruchsberechtigte verpflichtet, nach Eintritt des befürchteten Ereignisses tunlichst für Minderung des Schadens zu sorgen. Zur Erfüllung der Schadenminderungsobliegenheit kann insbesondere die Wiederaufnahme der Berufstätigkeit notwendig sein. Nach der Rechtsprechung ist dabei als Ausdruck des Grundsatzes von Treu und Glauben von einem Versicherer, der einem Versicherten zunächst Taggelder ausrichtet, dann jedoch davon ausgeht, dessen Arbeitsunfähigkeit sei beendet, zu erwarten, dass er den Versicherten darüber informiert und er die Leistungen während der Frist weiterzahlt, welche zur tatsächlichen Wiederaufnahme der Berufstätigkeit erforderlich ist (Urteile 4A_79/2012 vom 27. August 2012 E. 5.1; 4A_111/2010 vom 12. Juli 2010 E. 3.1). Diese Rechtsprechung bezieht sich in erster Linie auf Berufswechsel und hat zum Ziel, dem Versicherten Zeit zu verschaffen, um sich anzupassen und eine neue Stelle zu finden (Urteile 4A_384/2019 vom 9. Dezember 2019 E. 5.3; 4A_73/2019 vom 29. Juli 2019 E. 3.3.3).
4.2. Die Vorinstanz beanstandete die mit Schreiben vom 18. Dezember 2017 mitgeteilte Einstellung der Taggeldleistungen per 31. Dezember 2017 auch unter diesem Gesichtspunkt nicht. Sie begründete dies damit, dass der Beschwerdeführer seit der am 30. Mai 2017 (per 31. Oktober 2017) ausgesprochenen Kündigung gewusst habe, dass er sich um eine neue Anstellung zu bemühen habe. Auch sei aufgrund der bloss arbeitsplatzbezogenen Arbeitsunfähigkeit ein Berufswechsel medizinisch nicht indiziert gewesen. Vor diesem Hintergrund erübrige sich die Frage, ob die Beschwerdegegnerin eine (längere) Übergangsfrist hätte ansetzen müssen.
4.3. Der Beschwerdeführer kritisiert zwar, eine Übergangsfrist von zwei Wochen - "erst noch über die Festtage" - sei zu kurz bemessen. Diese Kritik genügt den Begründungsanforderungen im bundesgerichtlichen Verfahren (siehe Erwägung 2.1) indes nicht. Nachdem die Obliegenheit des Versicherers, dem Versicherten eine angemessene Übergangsfrist einzuräumen, ihre Grundlage in <ref-law> findet, hätte der Beschwerdeführer darlegen müssen, weshalb es unter den konkreten Umständen treuwidrig wäre, ihm per Datum der Einstellung der Taggeldleistungen eine Wiederaufnahme der Berufstätigkeit zuzumuten (siehe auch Urteil 4A_384/2019 vom 9. Dezember 2019 E. 5.4.3). Dies unterlässt er. Allein mit der Behauptung, dass der Beschwerdeführer mit seiner Frau, die zusammen mit ihm arbeitslos geworden sei, trotz Arbeitsunfähigkeit auf dem Areal der Arbeitgeberin gelebt habe und "dem ganzen arbeitsmässigen Umfeld weiterhin ausgesetzt" gewesen sei, lässt sich die Notwendigkeit einer (längeren) Übergangsfrist im Sinne von <ref-law> nicht begründen. Zu Recht wies die Vorinstanz im Übrigen darauf hin, dass sich vorliegend die Frage eines Berufswechsels nicht stelle.
Ebenso unzureichend begründet ist die Kritik, das Sozialversicherungsgericht habe die Untersuchungsmaxime (vgl. <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) verletzt. Im blossen Umstand, dass die Vorinstanz die mit <ref-law> im Zusammenhang stehenden Obliegenheiten der Parteien rechtlich anders als der Beschwerdeführer beurteilt, liegt jedenfalls kein Verstoss gegen diesen Grundsatz vor. Dies ist indes der einzige Vorwurf, der sich der Beschwerdebegründung diesbezüglich entnehmen lässt.
4.4. Es gelingt dem Beschwerdeführer daher auch in diesem Punkt nicht, das angefochtene Urteil als bundesrechtswidrig auszuweisen.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat sich durch ihren eigenen Rechtsdienst vernehmen lassen. Praxisgemäss ist daher keine Parteientschädigung zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, II. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. April 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Stähle