Erwägungen:
1.
B._ erstattete am 18. Januar 2021 Strafanzeige gegen Kantonsrat A._, den mutmasslichen Ersteller des Twitter-Accounts "@kantonsrat_zh", sowie gegen den bzw. die allfälligen anderen unbekannten Betreiber dieses Twitter-Accounts wegen Widerhandlung gegen das Wappenschutzgesetz. Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich überwies die Strafanzeige am 20. Januar 2021 an die Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland zwecks Prüfung und weiterer Veranlassung. Mit Verfügung vom 28. Januar 2021 überwies die Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland die Akten an die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich, um über die Erteilung bzw. Nichterteilung der Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung wegen unzulässigen Gebrauchs öffentlicher Zeichen zu entscheiden. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich trat in Bezug auf A._ mit Beschluss vom 30. April 2021 auf das Ermächtigungsgesuch nicht ein; das Ermächtigungsgesuch gegen Unbekannt wies sie zurzeit ab. Die III. Strafkammer führte zusammenfassend aus, dass für die Strafverfolgung von Verbrechern oder Vergehen, die ein Mitglied des Kantonsrates begangen haben könnte, mit Ausnahme von strafrechtlich relevanten Äusserungen im Parlament, keine Ermächtigung erforderlich sei. Eine allfällige Strafverfolgung von A._ für die beanzeigte Handlung setze somit keine Ermächtigung voraus, weshalb auf das Ermächtigungsgesuch nicht einzutreten sei.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 25. Mai 2021 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Er beantragt, es sei die Ermächtigung zur Durchführung eines Strafverfahrens nicht zu erteilen. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Der angefochtene Beschluss schliesst das Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer nicht ab, sondern ermöglicht vielmehr dessen Durchführung. Es handelt sich somit nicht um einen Endentscheid im Sinne von <ref-law>, sondern um einen Zwischenentscheid, gegen den die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> grundsätzlich nur zulässig ist, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a), oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Es ist Sache des Beschwerdeführers, die Eintretensvoraussetzungen von <ref-law> darzulegen, sofern deren Vorhandensein nicht auf der Hand liegt (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 28 mit Hinweisen).
4.
Der Beschwerdeführer äussert sich nicht zu den Beschwerdevoraussetzungen nach <ref-law>, weshalb bereits aus diesem Grund auf die Beschwerde nicht einzutreten ist. Im Übrigen sind diese auch nicht erfüllt, wie nachfolgende Ausführungen ergeben.
5.
Bei der Beschwerde gegen die Erteilung der Ermächtigung einer Strafuntersuchung muss der nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne von <ref-law> rechtlicher Natur sein, damit das Bundesgericht auf die Beschwerde eintritt (vgl. Urteil 1C_595/2019 vom 27. Januar 2020 E. 2.1 mit Hinweisen). Ein derartiger Nachteil liegt vor, wenn er auch durch einen für den Beschwerdeführer günstigen späteren Entscheid nicht mehr behoben werden kann (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 130). Ein lediglich tatsächlicher Nachteil wie die Verteuerung oder Verlängerung des Verfahrens genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.2 S. 801).
Der angefochtene Beschluss führt dazu, dass sich der Beschwerdeführer dem Strafverfahren mit den damit verbundenen Unannehmlichkeiten stellen muss. Die Durchführung eines Strafverfahrens begründet keinen Nachteil rechtlicher Natur, der mit einem für den Angeschuldigten günstigen Entscheid nicht behoben werden könnte (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 141; Urteil 1B_489/2017 vom 20. November 2017 E. 1.4 mit Hinweisen). Damit ist der angefochtene Ermächtigungsentscheid unter dem Gesichtspunkt von <ref-law> nicht anfechtbar. Dies gilt nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts auch, wenn im Ermächtigungsverfahren der Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt worden sein sollte, wird doch die beschuldigte Person im Rahmen einer Strafuntersuchung ihre vollen Verteidigungsrechte wahrnehmen können (Urteil 1C_595/2019 vom 27. Januar 2020 E. 2.2 mit Hinweis).
Zwar verzichtet das Bundesgericht bei Beschwerden gegen Zwischenentscheide grundsätzlich auf das Erfordernis des nicht wieder gutzumachenden Nachteils, wenn der Beschwerdeführer eine Rechtsverweigerung oder ungerechtfertigte Rechtsverzögerung rügt (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 346; <ref-ruling> E. 1.1 S. 261; <ref-ruling> E. 1.3 S. 129; Urteil 1C_595/2019 vom 27. Januar 2020 E.2.2 mit Hinweisen) bzw. wenn mit der Beschwerde eine formelle Rechtsverweigerung in der Form der Verweigerung oder Verzögerung eines Rechtsanwendungsaktes gerügt wird (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 177 und Urteil 1C_595/2019 E. 2.2 mit Hinweisen). Dass der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör im Ermächtigungsverfahren rügt, rechtfertigt nach dem bereits Ausgeführten jedoch keinen Verzicht auf das Erfordernis des nicht wieder gutzumachenden Nachteils im Sinne von <ref-law>.
6.
Bei Gutheissung der Beschwerde (im Hauptantrag) läge ein Endentscheid vor. Somit stellt sich die Frage, ob damit ein bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erspart würde. Das Bundesgericht legt diese Voraussetzung im Strafverfahren restriktiv aus (<ref-ruling> E. 3.2 S. 292; Urteil 6B_799/2018 vom 29. Januar 2019 E. 1.3). Die Aufwendungen müssen über diejenigen eines gewöhnlichen Strafverfahrens hinausgehen. Dies kann insbesondere der Fall sein, wenn ein komplexes oder gar mehrere Gutachten eingeholt, zahlreiche Zeugen befragt oder eine rogatorische Einvernahme im entfernteren Ausland durchgeführt werden müssten (Urteil 6B_799/2018 vom 29. Januar 2019 E. 1.3 mit Hinweis).
Das vorliegend durchzuführende Strafverfahren erscheint weder mit Blick auf den abzuklärenden Sachverhalt noch auf die sich stellenden Rechtsfragen besonders komplex. Inwiefern es aussergewöhnlich hohe Kosten verursachen oder ausserordentlich umfangreiche Beweiserhebungen erfordern sollte, ist nicht ersichtlich. Die Eintretensvoraussetzungen von <ref-law> sind somit ebenfalls nicht erfüllt.
7.
Nach dem Ausgeführten ist im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> auf die Beschwerde nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Mai 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli