Erwägungen:
1.
A._ befand sich im Gefängnis Zürich in Untersuchungshaft. Das Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich (heute Justizvollzug und Wiedereingliederung) bestrafte ihn während seiner vorangegangenen Unterbringung im Gefängnis Limmattal mit Disziplinarverfügung vom 18. Februar 2019 mit fünf Tagen Ausschluss vom Gemeinschaftsbetrieb (Gruppenvollzug, tägliches Duschen, Sport) vom 18. Februar bis zum 22. Februar 2019. Aufgrund der Versetzung in das Gefängnis Zürich wurde die Disziplinarstrafe lediglich vom 18. Februar bis zum 21. Februar 2019 vollzogen.
2.
Am 19. Februar 2019 rekurrierte A._ bei der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich, welche den Rekurs mit Verfügung vom 12. April 2019 abwies. Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 9. Juli 2019 teilweise gut, hob die Verfügung vom 12. April 2019 auf und wies die Sache im Sinne der Erwägungen zur neuen Entscheidung an die Direktion der Justiz und des Innern zurück.
Die Direktion der Justiz und des Innern hob mit Verfügung vom 27. August 2019 die Disziplinarverfügung in teilweiser Gutheissung des Rekurses auf und wies die Sache zur eingehenden Abklärung des Sachverhalts und zur neuen Entscheidung an den Justizvollzug und Wiedereingliederung zurück, welcher mit Verfügung vom 15. Oktober 2019 an der Disziplinierung von A._ festhielt.
Dagegen erhob A._ am 22. Oktober 2019 abermals Rekurs. Mit Verfügung vom 24. Februar 2020 wies die Direktion der Justiz und des Innern den Rekurs ab, ohne Verfahrenskosten zu erheben. A._ erhob dagegen Beschwerde, welche das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 4. Juli 2020 abwies, soweit es darauf eintrat. Das Verwaltungsgericht führte zur Begründung zusammenfassend aus, dass es zur Behandlung einer Aufsichtsbeschwerde nicht zuständig sei; insoweit sei auf die Beschwerde nicht einzutreten. Weiter sei zu beachten, dass einzig die Verfügung der Direktion der Justiz und des Innern vom 24. Februar 2020 zu beurteilen sei, und nicht die vorangegangenen Verfügungen. Sodann gehe es vorliegend nicht darum, neben dem Verhalten von A._ auch dasjenige anderer Insassen zu beurteilen. Es sei nicht von der Hand zu weisen, dass A._ beim Angriff auf ihn schwere Verletzungen erlitten habe. Dies habe denn auch zu einer strafrechtlichen Verurteilung eines Mitinsassens geführt. Unbestritten sei indessen, dass A._ den harten Ball des Fussballkastens in Richtung seines Gegenspielers über den Spazierhof geworfen habe. Dass die Direktion der Justiz dieses Verhalten aufgrund des Verletzungs- und Eskalationspotenzials als geeignet beurteilte, die Sicherheit oder Ordnung in der Vollzugseinrichtung zu stören oder zu gefährden, sei nicht zu beanstanden. Die genauen Gründe, die letztlich zur tätlichen Auseinandersetzung geführt hätten, seien deshalb nicht relevant. Auf die Sichtung von weiterem Videomaterial habe die Direktion aufgrund einer antizipierten Beweiswürdigung absehen dürfen. Eine rechtsverletzende Ermessensausübung sei hinsichtlich der Sanktion nicht auszumachen.
A._ führte mit Eingabe vom 3. August 2020 Beschwerde in Strafsachen gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 4. Juli 2020. Das Bundesgericht trat mit Urteil 1B_401/2020 vom 27. August 2020 mangels einer den gesetzlichen Formerfordernissen genügenden Begründung auf die Beschwerde nicht ein.
3.
Mit Eingaben vom 28. August 2020 und 8. September 2020 wandte sich A._ erneut gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 4. Juli 2020. Da die Beschwerdefrist aufgrund des Fristenstillstands gemäss <ref-law> noch nicht abgelaufen war, sind diese Eingaben als Beschwerde gegen das verwaltungsgerichtliche Urteil entgegenzunehmen.
4.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Das Verwaltungsgericht hielt allein das vom Beschwerdeführer zugestandene Werfen des harten Balls, unabhängig von der Vorgeschichte, als disziplinarrechtlich relevant und verneinte hinsichtlich der Sanktion von fünf Tagen Ausschluss vom Gemeinschaftsbetrieb eine rechtsverletzende Ermessensausübung. Inwiefern diese Ausführungen des Verwaltungsgerichts im Einzelnen und konkret rechtswidrig sein sollten, ergibt sich aus der Beschwerde nicht. Der Beschwerdeführer vermag nicht konkret aufzuzeigen, inwiefern die Begründung des Verwaltungsgerichts bzw. dessen Urteil selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
5.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Justizvollzug und Wiedereingliederung und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, Einzelrichterin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Juni 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli