Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich führt eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen gewerbsmässiger Geldwäscherei. Ihm wird vorgeworfen, durch den Betrieb von Online-Plattformen für den Handel mit diversen Finanzprodukten betrügerisch erlangte Vermögenswerte im Umfang von umgerechnet mehreren Millionen Schweizer Franken eingesammelt und über von ihm beherrschte Gesellschaften transferiert zu haben, um die Herkunft dieser Gelder zu verschleiern bzw. diesen eine vermeintlich legale Herkunft zu verschaffen. Weiter wird ihm vorgeworfen, er habe über Konten seiner Gesellschaften bei Schweizer Banken Gewinne in den USA von EUR 3'290'476.14 sowie USD 3'098'056.-- aus illegalen Glücksspielen an viele natürliche Personen in den USA weitergeleitet.
B.
Am 6. Juli 2021 stellte A._ ein Ausstandsgesuch gegen den untersuchungsleitenden Staatsanwalt Jan Hoffmann mit der Begründung, dieser habe eine Amtsgeheimnisverletzung nach <ref-law> zu seinem Nachteil begangen und sein rechtliches Gehör verletzt. Diese Fehlleistungen würden den Anschein erwecken, der Staatsanwalt sei gegen ihn voreingenommen. Die Staatsanwaltschaft übermittelte das Ausstandsgesuch am 15. Juli 2021 an das Obergericht des Kantons Zürich und beantragte dessen Abweisung. Das Obergericht wie s das Gesuch mit Beschluss vom 16. September 2021 ab.
C.
Mit Eingabe vom 22. Oktober 2021 erhob A._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Er beantragt, der Beschluss des Obergerichts vom 16. September 2021 sei vollumfänglich aufzuheben und der Beschwerdegegner sei zu verpflichten, in den Ausstand zu treten. Eventualiter sei der angefochtene Beschluss aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Vorinstanz hat auf eine Stellungnahme zur Beschwerde verzichtet. Die Staatsanwaltschaft beantragt, die Beschwerde abzuweisen.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Beschluss handelt es sich um einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren in einer Strafsache (Art. 78 Abs. 1 und 92 Abs. 1 BGG). Das Obergericht des Kantons Zürich hat als letzte und einzige kantonale Instanz entschieden (<ref-law> i.V.m. Art. 59 Abs. 1lit. b StPO). Als beschuldigte Person ist der Beschwerdeführer gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und lit. b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde legitimiert. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt, weshalb auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten ist (vgl. aber hinten E. 4.2).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung der Ausstandspflicht wegen Befangenheit gemäss <ref-law> und sinngemäss <ref-law>. Der Beschwerdegegner habe die Geheimhaltungspflicht sowie das Amtsgeheimnis verletzt. Weiter habe der Beschwerdegegner seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt. Diese schweren und wiederholten Fehlleistungen liessen darauf schliessen, dass der Beschwerdegegner voreingenommen sei und in den Ausstand treten müsse.
2.2. Die Ausstandsgründe für die in einer Strafbehörde tätigen Personen sind in <ref-law> geregelt. Diese Bestimmung konkretisiert Art. 6 Ziff. 1 EMRK sowie Art. 29 Abs. 1 und Art. 30 Abs. 1 BV. Zu den Strafbehörden gehören neben den Gerichten (<ref-law>) die Strafverfolgung sbehörden, darunter die Organe der Staatsanwaltschaft (<ref-law>). Von den in Art. 56 lit. a-e StPO geregelten besonderen Ausstandsgründen abgesehen (persönliches Interesse an der Strafsache, Vorbefassung in anderer Stellung, persönliche Beziehung zu Parteien usw.), tritt ein Staatsanwalt in den Ausstand, wenn er "aus anderen Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand, befangen sein könnte" (<ref-law>).
2.3. Die Rechtsprechung nimmt Voreingenommenheit und Befangenheit an, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit der untersuchungsleitenden Person zu erwecken. Solche Umstände können namentlich in einem bestimmten Verhalten der untersuchungsleitenden Person bestehen. Dabei ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken. Für die Ablehnung ist nicht erforderlich, dass die untersuchungsleitende Person tatsächlich befangen ist (vgl. <ref-ruling>, E. 5.1; <ref-ruling> E. 3.2.1; Urteil 1B_293/2019 vom 10. September 2019 E. 2.2).
2.4. Befangenheit einer staatsanwaltlichen Untersuchungsleiterin oder eines Untersuchungsleiters ist nach der Praxis des Bundesgerichtes nicht leichthin anzunehmen. Zu bejahen ist sie, wenn nach objektiver Betrachtung besonders krasse oder ungewöhnlich häufige Fehlleistungen der Untersuchungsleitung vorliegen, welche bei gesamthafter Würdigung eine schwere Verletzung der Amtspflichten darstellen und sich einseitig zulasten einer der Prozessparteien auswirken (B GE 143 IV 69 E. 3.2; <ref-ruling> E. 3.2.3; <ref-ruling> E. 2.3; je mit Hinweisen).
2.5. Das Ausstandsverfahren dient nicht dazu, den Parteien zu ermöglichen, die Art der Verfahrensführung und namentlich die von der Verfahrensleitung getroffenen Zwischenentscheide anzufechten. Dies bezüglich sind primär die zur Verfügung stehenden Rechtsmittel gegen beanstandete Verfahrenshandlungen auszuschöpfen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2; Urteil 1B_430/2021 vom 22. Oktober 2021, E. 2.1; 1B_27/2021 vom 15. März 2021 E. 2.2).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, der Beschwerdegegner habe drei vollständige, ungeschwärzte Einvernahmeprotokolle an die Steuerverwaltung des Kantons Schwyz sowie an die FINMA herausgegeben. Diese Akten enthielten Informationen zu seinen persönlichen Verhältnissen und insbesondere zur Krankheitssituation seines Sohnes, welche zur Aufgabenerfüllung der fraglichen Behörden nicht erforderlich seien. Die Herausgabe dieser Akten gehe über die zulässige Amtshilfe hinaus, da <ref-law> (SR 642.11), Art. 39 Abs. 3 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden (Steuerharmonisierungsgesetz, StHG; SR 642.14) sowie Art. 38 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 22. Juni 2007 über die Eidgenössische Finanzmarktaufsicht (Finanzmarktaufsichtsgesetz, FINMAG; SR 956.1) nur die Herausgabe der für die Anwendung der Gesetze erforderlichen Auskünfte zuliessen. Die Vorinstanz gehe fehl mit ihrer Erwägung, nur die ungeschwärzte Herausgabe der Akten könne allfällige Missverständnisse und Sinnverfälschungen verhindern. Die für die Behörden irrelevanten Angaben zu seinen persönlichen Verhältnissen seien nämlich im fraglichen Einvernahmeprotokoll klar mit Zwischentitel gekennzeichnet worden, was eine Abgrenzung zwischen notwendigen und irrelevanten Informationen zugelassen hätte. Der Beschwerdeführer bringt weiter vor, <ref-law>, wonach der Einsichtnahme durch andere Behörden keine überwiegenden öffentlichen oder privaten Interessen entgegenstehen dürfen, sei neben den vorliegend massgebenden Spezialvorschriften analog anwendbar. Sinngemäss macht er damit geltend, der Beschwerdegegner habe auch gegen <ref-law> verstossen. Die Vorinstanz habe somit verkannt, dass der Beschwerdegegner seine Geheimhaltungspflicht und das Amtsgeheimnis verletzt habe. Diese wiederholten, schweren Fehlleistungen liessen auf eine Befangenheit schliessen.
3.2. Gemäss <ref-law> und Art. 39 Abs. 3 StHG erteilen die Behörden des Bundes, der Kantone, Bezirke, Kreise und Gemeinden den mit dem Vollzug der Gesetze betrauten Behörden auf Ersuchen hin alle erforderlichen Auskünfte. Sie können diese Behörden von sich aus darauf aufmerksam machen, wenn sie vermuten, dass eine Veranlagung unvollständig ist. Gemäss <ref-law> tauschen die FINMA und die zuständige Strafverfolgungsbehörde die im Rahmen der Zusammenarbeit und zur Erfüllung ihrer Aufgaben notwendigen Informationen aus. Sie verwenden die erhaltenen Informationen ausschliesslich zur Erfüllung ihrer jeweiligen Aufgaben. Nach der Rechtsprechung muss die ersuchte Behörde die "Notwendigkeit" der geforderten Auskünfte für die Anwendung des Gesetzes jedenfalls vor Übermittlung der Akten prüfen. Die Gewichtung der tatsächlichen Relevanz dieser Angaben für die Besteuerung der involvierten Personen fällt jedoch in die Zuständigkeit der Steuerbehörde (<ref-ruling> E. 6.1; vgl. analog <ref-ruling> E. 4.1).
3.3. Der Beschwerdegegner hat die Akten der Strafuntersuchung amtshilfeweise gemäss <ref-law>, Art. 39 Abs. 3 StHG sowie <ref-law> an die Steuerverwaltung des Kantons Schwyz sowie an die FINMA übermittelt. Nach diesen Bestimmungen ist die Übermittlung der Strafakten dann zulässig, wenn die Staatsanwaltschaft vorhergehend geprüft hat, ob die fraglichen Auskünfte für den Vollzug der Steuergesetze bzw. für die Erfüllung der Aufgaben der FINMA notwendig sind. Der Beschwerdeführer behauptet nicht, dass der Beschwerdegegner die Akten der Strafuntersuchung vor ihrer Übermittlung nicht geprüft hätte oder dass die übermittelten Akten keinerlei Informationen enthielten, die für die Anwendung der Gesetze notwendig wären. Ein offensichtlicher, schwerer Verstoss gegen die Geheimhaltungspflicht bzw. das Amtsgeheimnis seitens des Beschwerdegegners erscheint damit jedenfalls ausgeschlossen. Selbst wenn er nämlich die fraglichen Einvernahmeprotokolle vor ihrer Übermittlung an die ersuchenden Behörden auszugsweise hätte schwärzen müssen - was hier nicht abschliessend zu prüfen ist -, so wäre die Übermittlung der ungeschwärzten Einvernahmeprotokolle dennoch weder als Amtsgeheimnisverletzung noch als schwere Verfehlung zu werten, da der Beschwerdegegner damit lediglich seiner Pflicht zur Amtshilfe nachkommen wollte (vgl. <ref-law>) und keine Absicht erkennbar ist, dem Beschwerdeführer einen Nachteil zuzufügen. Eine darüber hinaus gehende Untersuchung der Notwendigkeit der übermittelten Akten liefe auf eine im Ausstandsverfahren unzulässige Überprüfung der Rechtmässigkeit der geleisteten Amtshilfe hinaus. Die Fragen, welche Auskünfte im Detail als "notwendig" zu gelten haben und ob neben den Spezialbestimmungen auch <ref-law> anwendbar ist, müssen folglich nicht abschliessend erörtert werden.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer behauptet schliesslich, ihm sei ein unvollständiges Aktenverzeichnis zugestellt und damit die vollständige Akteneinsicht verweigert worden. Im Einzelnen hätten die Akten, aus denen hervorgehe, dass die Staatsanwaltschaft der Steuerverwaltung des Kantons Schwyz Akteneinsicht gewährt habe, gefehlt. Weiter sei ihm die Akteneinsicht in die Akten aus dem Jahr 2020 und früher verweigert worden. Es seien hierdurch sein Anspruch auf rechtliches Gehör nach Art. 101 Abs. 1, Art. 107 Abs. 1 lit. a StPO sowie <ref-law> sowie die Aktenführungspflicht gemäss <ref-law> verletzt worden.
4.2. Der Beschwerdeführer setzt sich in diesem Zusammenhang in keiner Weise mit dem angefochtenen Entscheid auseinander; seine Beschwerde genügt insoweit den Begründungsanforderungen nicht (vgl. <ref-law>). Bei den erwähnten früheren Akten handelte es sich gemäss der unwidersprochen gebliebenen Stellungnahme des Beschwerdegegners (act. 9) lediglich um einzelne Ermittlungsberichte der Kantonspolizei Zürich, welche aufgrund von komplexen Gesellschafts- und Kontoverhältnissen sowie grossen Mengen an sichergestellten Daten zum damaligen Zeitpunkt noch weitere Vorarbeiten erforderten und dem Beschwerdeführer deshalb erst zu einem späteren Zeitpunkt vorgelegt werden konnten. Wie die Vorinstanz hierzu zutreffend festhält, steht der Verfahrensleitung bei der Gewährung der Akteneinsicht ein gewisser Handlungsspielraum zu, solange sie diese nicht generell verweigert und die Wahrnehmung des Spielraums pflichtgemäss bzw. nicht willkürlich erfolgt (vgl. Urteil 1B_327/2020 vom 30. September E. 4.3). Was das unvollständige Aktenverzeichnis betrifft, so lässt die vom Beschwerdegegner eingeräumte leichte Nachlässigkeit auf keine Voreingenommenheit gegen den Beschwerdeführer schliessen. Insgesamt handelt es sich hierbei jedenfalls nicht um schwere und wiederholte Fehlleistungen, die auf eine Befangenheit schliessen lassen würden. Im Übrigen räumt der Beschwerdeführer selber ein, dass diese Beanstandung "für sich alleine einen Ausstand des Verfahrensbeteiligten kaum begründen könnte". Ob das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers tatsächlich verletzt wurde, ist an dieser Stelle nicht weiter zu prüfen.
Zusammengefasst vermögen die vom Beschwerdeführer beanstandeten Verfahrenshandlungen, selbst wenn es sich dabei um Verfahrensfehler handeln würde, mit Blick auf deren Art und Schwere nicht den Anschein der Befangenheit zu begründen.
5.
Nach dem Erwogenen erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist deshalb abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Januar 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Jametti
Die Gerichtsschreiberin: Kern