Erwägungen:
1.
1.1. Mit Entscheid A-5727/2019 vom 26. August 2020 wies das Bundesverwaltungsgericht die von A._, B._, C._ und D._ in Sachen internationale Informationsamtshilfe (DBA CH-ES) beantragte Vereinigung mit elf parallelen Beschwerdeverfahren, die Sistierung des Verfahrens und die gestellten Beweisanträge ab. In der Sache selbst gelangte das Bundesverwaltungsgericht zur Abweisung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht versandte den Entscheid am 7. September 2020. Am 8. September 2020 traf das Urteil beim Rechtsvertreter der amtshilfebetroffenen Personen ein.
1.2. Mit Eingabe vom 8. Oktober 2020 erheben die amtshilfebetroffenen Personen beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragen:
1. Die Beschwerdefrist gemäss <ref-law> sei wiederherzustellen.
2. Das als Beilage 2 eingereichte Beweismittel sei in das bundesgerichtliche Verfahren miteinzubeziehen.
3. Das mit Eingabe vom 17. Januar 2020 eingereichte Beweismittel sei in das bundesgerichtliche Verfahren miteinzubeziehen.
4. Der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Erteilung der Amtshilfe sei zu verweigern.
5. Eventualiter sei das Steueramtshilfeverfahren zu sistieren, bis der Gerichtshof der Europäischen Union ein Urteil in der Sache des Vertragsverletzungsverfahrens gegen Spanien betreffend Modelo 720 gefällt habe.
6. Die Eidgenössische Steuerverwaltung (ESTV) sei anzuweisen, von Spanien die Herausgabe einer Kopie der Klage der Europäischen Kommission vom 23. Oktober 2019 in der Rechtssache C-788/19 und eine Kopie der Klageantwort Spaniens in derselben Rechtssache zu verlangen.
7. Eventualiter sei die ESTV anzuweisen, die in Antrag 6 genannten Dokumente bei der Europäischen Kommission einzuholen.
8. Subeventualiter sei das Steueramtshilfeverfahren zu sistieren, bis das spanische Tribunal Supremo ein Urteil im Anschluss an den Entscheid Nr. 1124/2020 gefällt habe.
1.3. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (<ref-law> [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen, insbesondere von einem Schriftenwechsel (<ref-law>), abgesehen.
2.
2.1. Über die Eingabe ist mit Blick auf das erhobene Fristwiederherstellungsgesuch (E. 2.2) in Dreierbesetzung zu entscheiden (<ref-law>), auch wenn die Beschwerde im Übrigen als verspätet erscheint, was einen einzelrichterlichen Entscheid ermöglichen würde (<ref-law>; Urteil 1C_430/2020 vom 10. August 2020 E. 1).
2.2.
2.2.1. Das Bundesverwaltungsgericht hat einen Entscheid in einer Angelegenheit der internationalen Informationsamtshilfe in Steuersachen (<ref-law>) getroffen. In solchen Fällen beträgt die Beschwerdefrist zehn Tage (<ref-law>). Der Entscheid wurde am 7. September 2020 versandt und am 8. September 2020 zugestellt. Die Beschwerdeschrift trägt den Poststempel vom 8. Oktober 2020.
2.2.2. Wie die amtshilfebetroffenen Personen selbst einräumen, ist die gesetzliche Beschwerdefrist von zehn Tagen versäumt worden. Entsprechend stellen sie ein Gesuch um Wiederherstellung der Frist (<ref-law>). Auf eine verspätete Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist gemäss <ref-law> nur einzutreten, wenn die steuerpflichtige Person einerseits nachweist, dass sie oder ihre Vertretung unverschuldet - etwa durch Militär- oder Zivildienst, Krankheit, Landesabwesenheit oder andere erhebliche Gründe - an der rechtzeitigen Einreichung verhindert war (materielle Voraussetzung) und anderseits das Rechtsmittel innert 30 Tagen nach Wegfall der Hinderungsgründe eingereicht wurde (formelle Voraussetzung; <ref-ruling> E. 2 S. 87; <ref-ruling> E. 2a S. 255 f.; Urteil 2C_566/2020 vom 10. Juli 2020 E. 4.3.1 und 4.3.2).
2.2.3. Die amtshilfebetroffenen Personen berufen sich zur Begründung ihres Gesuches um Fristwiederherstellung auf ein Verfahren, das sie vor dem spanischen Tribunal Supremo anhängig gemacht hätten und das die Vereinbarkeit von Art. 39 Abs. 2 des Gesetzes 35/2006 vom 28. November 2006 mit dem übergeordneten spanischen und EU-Recht zum Inhalt habe. Das Tribunal Supremo habe die Zulässigkeit des Verfahrens mit Entscheid Nr. 1124/2020 vom 2. Juli 2020 bestätigt. Inhaltlich gehe es darum, dass gemäss Art. 39 Abs. 2 des genannten Gesetzes keine Verjährungsvorschrift für im Ausland gehaltene Vermögenswerte bestehe. Dem vom Tribunal Supremo an die Hand genommenen Verfahren werde im vorliegenden Amtshilfeverfahren erhebliche Bedeutung zukommen, zumal es sich um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung und einen besonders bedeutenden Fall handle. Die Gründe für die Wiedereinsetzung in den früheren Stand seien damit erfüllt.
2.2.4. Der Auffassung der amtshilfebetroffenen Personen ist nicht zu folgen: Krankheit, Militärdienst oder einen anderen entschuldbaren Verhinderungsgrund bringen die amtshilfebetroffenen Personen nicht vor. Inwiefern sie im Verlauf der Beschwerdefrist, die vom 9. bis und mit dem 18. September 2020 lief, durch den Entscheid des Tribunal Supremo vom 2. Juli 2020 in einer rechtserheblichen Weise vom rechtzeitigen Handeln abgehalten worden sein könnten, bleibt unklar und liegt auch nicht auf der Hand. Das Gesuch um Fristwiederherstellung ist abzuweisen.
2.3. Folglich hat es bei der verspäteten Beschwerdeeinreichung zu bleiben. Die Beschwerde erweist sich als unzulässig. Es ist darauf nicht einzutreten.
3.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens den unterliegenden amtshilfebetroffenen Personen aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG), wobei diese die Kosten zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung tragen (<ref-law>). Der Eidgenössischen Steuerverwaltung, die in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Entschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Fristwiederherstellungsgesuch wird abgewiesen.
2.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt. Diese tragen ihren Anteil zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Oktober 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher