Sachverhalt:
A.
Der Bundesrat erliess am 19. Juni 2020 die (alte) Verordnung über Massnahmen in der besonderen Lage zur Bekämpfung der Covid-19-Epidemie (aCovid-19-Verordnung besondere Lage; AS 2020 2213), die in der Folge wiederholt geändert wurde. Art. 4 enthält Vorschriften über Schutzkonzepte, welche die Betreiber von öffentlich zugänglichen Einrichtungen und Betrieben erarbeiten und umsetzen müssen. Dazu gehört unter bestimmten Voraussetzungen auch die Erhebung von Kontaktdaten der anwesenden Personen (Art. 4 Abs. 2 lit. b in der ursprünglichen Fassung; Art. 4 Abs. 2 lit. d in der Fassung vom 28. Oktober 2020, AS 2020 4503). Art. 5 der Verordnung regelt die Erhebung von Kontaktdaten.
B.
Am 4. November 2020 erliess der Regierungsrat des Kantons Bern die Verordnung über Massnahmen zur Bekämpfung der Covid-19-Epidemie (Covid-19 V; BSG 815.123; BAG 20-113). Die Art. 2-5 enthalten Bestimmungen über Restaurationsbetriebe. Die Art. 3 und 4 regeln die Erhebung von Kontaktdaten. Art. 3 in der ursprünglichen Fassung lautete wie folgt:
Art. 3 Kontaktdaten von Gästen
1 Die Erhebung von Kontaktdaten richtet sich grundsätzlich nach Artikel 5 sowie Anhang Ziffer 4 der Covid-19-Verordnung besondere Lage.
2 Es sind folgende Angaben zu erheben:
a Name und Vorname,
b vollständige Adresse,
c Telefonnummer,
d Geburtsdatum, (lit. d wurde am 16. April 2021 aufgehoben, BAG 21- 034)
e Tisch- oder Sitzplatznummer.
3 Die Kontaktdaten sind in einer gegliederten und nach Kalendertagen geführten elektronischen Gästeliste aufzubewahren.
Art. 4 regelt die Kontaktdaten von im Betrieb arbeitenden Personen.
C.
Am 28. April 2021 änderte der Regierungsrat des Kantons Bern die Verordnung (BAG 21-035). Dabei wurden u.a. Art. 3 geändert (Abs. 1, 3 und 4) und neue Art. 3a, 3b, 3c und 3d eingefügt. Die betreffenden Artikel lauten neu wie folgt:
Art. 3 Kontaktdaten von Gästen
1 Die Erhebung von Kontaktdaten richtet sich grundsätzlich nach der Covid-19-Verordnung besondere Lage.
2 (unverändert).
3 Die Kontaktdaten sind in Abweichung von Artikel 5 Absatz 2 Covid-19-Verordnung besondere Lage unaufgefordert an die zentrale Datenbank gemäss Artikel 3a zu übermitteln.
4 Die Übermittlung gemäss Absatz 3 hat automatisch oder mindestens einmal innert 24 Stunden zu erfolgen. Im Übrigen legt die Gesundheits-, Sozial- und Integrationsdirektion die Form der Übermittlung fest.
Art. 3a Zentrale Datenbank
1 Die Gesundheits-, Sozial- und Integrationsdirektion betreibt eine zentrale Datenbank, in welche die Kontaktdaten gemäss Artikel 3 aufzunehmen sind.
2 Die Datenbank dient der Bearbeitung von Kontaktdaten zwecks Identifizierung und Benachrichtigung ansteckungsverdächtiger Personen nach Artikel 33 EpG (Contact Tracing).
Art. 3b Bearbeitung von Kontaktdaten
1 Die erhobenen Kontaktdaten dürfen zu keinem anderen Zweck als dem Contact Tracing gemäss Artikel 3a Absatz 2 bearbeitet werden.
2 Auf die Kontaktdaten darf nur aufgrund eines konkreten gesundheitsrelevanten Ereignisses zugegriffen werden und der Zugriff ist auf die erforderlichen Daten zu beschränken.
3 Für die Bekanntgabe der Kontaktdaten gilt sinngemäss Artikel 59 EpG.
4 Die Kontaktdaten müssen bis 14 Tage nach dem Besuch der Einrichtung oder des Betriebs aufbewahrt und anschliessend sofort vernichtet werden.
Art. 3c Informationssicherheit und Datenschutz
1 Der Datenschutz richtet sich nach dem Datenschutzgesetz vom 19. Februar 1986 (KDSG).
2 Die Gesundheits-, Sozial- und Integrationsdirektion ist für die Sicherheit der Datenbank und die Rechtmässigkeit der Datenbearbeitung verantwortlich. Sie trifft entsprechende organisatorische und technische Massnahmen.
3 Sie sorgt für die Vorabkontrolle bei der kantonalen Aufsichtsstelle gemäss Artikel 17a KDSG.
Art. 3d Auslagerung
1 Die Gesundheits-, Sozial- und Integrationsdirektion kann Private oder Organisationen ausserhalb der Verwaltung mit dem Betrieb der Datenbank beauftragen, sofern die ordnungsgemässe Aufgabenerfüllung gewährleistet ist.
2 Wird der Betrieb der Datenbank an Private oder Organisationen ausserhalb der Verwaltung ausgelagert, schliesst die Gesundheits-, Sozial- und Integrationsdirektion einen Leistungsvertrag ab.
3 Leistungserbringer gemäss Absatz 1 unterliegen denselben Pflichten wie die Gesundheits-, Sozial- und Integrationsdirektion. Sie haben insbesondere die Informationssicherheit und den Datenschutz zu gewährleisten.
4 Im Leistungsvertrag verpflichtet die Gesundheits-, Sozial- und Integrationsdirektion die Private oder den Privaten bzw. die Organisation zur Gewährleistung gemäss Absatz 3.
D.
A._ erhob am 6. Mai 2021 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht mit dem Antrag, die geänderten bzw. neuen Art. 3 Abs. 1, 3 und 4 sowie Art. 3a-3d der Verordnung seien aufzuheben (Verfahren 2C_369/2021). Die Gesundheits-, Sozial- und Integrationsdirektion des Kantons Bern beantragte namens des Regierungsrats die Abweisung der Beschwerde. A._ erhielt Gelegenheit zu einer Replik.
E.
Am 23. Juni 2021 erliess der Bundesrat die neue Verordnung über Massnahmen in der besonderen Lage zur Bekämpfung der Covid-19-Epidemie (Covid-19-Verordnung besondere Lage; SR 818.101.26), welche die gleichlautende alte Verordnung vom 19. Juni 2020 (vgl. vorne Lit. A) ersetzte. Art. 11 der Verordnung regelt die Erhebung von Kontaktdaten, analog zu Art. 5 der alten Verordnung. Abs. 2 lautet:
2 Die Kontaktdaten müssen zwecks Identifizierung und Benachrichtigung ansteckungsverdächtiger Personen nach Artikel 33 EpG der zuständigen kantonalen Stelle auf deren Anfrage hin unverzüglich in elektronischer Form weitergeleitet werden.
Art. 12 dieser Verordnung lautete in der ursprünglichen Fassung auszugsweise wie folgt (AS 2021 379) :
Art. 12 Besondere Bestimmungen für Restaurations-, Bar- und Clubbetriebe
1 Für Restaurations-, Bar- und Clubbetriebe, in denen die Konsumation vor Ort erfolgt, gilt Folgendes:
a. In Innenbereichen:
-. 4. müssen die Betreiber die Kontaktdaten von einer Person pro Gästegruppe erheben.
F.
Am 24. Juni 2021 änderte der Regierungsrat des Kantons Bern die Covid-19 V (BAG 21-054). Dabei wurden u.a. Art. 3 Abs. 1 und 3 geändert und lauten nun wie folgt:
Art. 3 Kontaktdaten von Gästen
1 Die Erhebung von Kontaktdaten in Restaurations-, Bar- und Clubbetrieben richtet sich grundsätzlich nach der Covid-19-Verordnung besondere Lage.
2 (unverändert).
3 Die Kontaktdaten sind in Abweichung von Artikel 11 Absatz 2 Covid-19-Verordnung besondere Lage unaufgefordert an die zentrale Datenbank gemäss Artikel 3a zu übermitteln.
4 (unverändert).
Sodann wurde ein neuer Art. 6b erlassen mit folgendem Wortlaut:
Art. 6b Kontaktdaten von Besucherinnen und Besuchern
1 Für die Erhebung der Kontaktdaten von Besucherinnen und Besuchern von Veranstaltungen gilt Artikel 3 sinngemäss, sofern ein mit einem Restaurationsbetrieb vergleichbares Konsumationsangebot besteht.
G.
A._ reichte am 29. Juni 2021 seine "Replik [im Verfahren 2C_369/2021] und erneute Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit Anträgen zum Verfahren und Beweisanträgen" ein. Darin hielt er an den mit Beschwerde vom 6. Mai 2021 gestellten Rechtsbegehren fest und stellte die neuen Anträge, die Änderungen vom 24. Juni 2021 von Art. 3 Abs. 1 und 3 Covid-19 V sowie der neue Art. 6b Covid-19 V seien aufzuheben. Zudem sei Art. 12 Abs. 1 lit. a Ziff. 4 der Covid-19-Verordnung besondere Lage vom 23. Juni 2021 als unanwendbar zu erklären. In Bezug auf das Verfahren beantragte er die Vereinigung der neu eingereichten Beschwerde mit dem Verfahren 2C_369/2021.
Das Bundesgericht eröffnete in Bezug auf die neue Beschwerde das Verfahren 2C_525/2021.
H.
Der Regierungsrat des Kantons Bern schloss am 25. August 2021 auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Der Eidgenössische Datenschutz- und Öffentlichkeitsbeauftragte äusserte sich zur Sache. Der Beschwerdeführer replizierte am 14. September 2021 und hielt an seinen Anträgen fest. Zudem stellte er erneut den Antrag auf Vereinigung mit dem Verfahren 2C_369/2021 und beantragte einen Entscheid in der Sache "ungeachtet der Gegenstandslosigkeit der Beschwerde". Sodann sei ihm Gelegenheit zu geben, zu einer "allfälligen formellen Änderung oder Aufhebung der angefochtenen Verordnungsbestimmungen" Stellung zu nehmen. Zudem stellte er mehrere Beweisanträge, namentlich Editionsbegehren.
I.
Am 22. September 2021 wies das Bundesgericht die Beschwerde im Verfahren 2C_369/2021 ab. Es verzichtete auf eine Vereinigung mit dem neuen Verfahren 2C_525/2021.

Erwägungen:
1.
1.1. Da der Kanton Bern gegen Verordnungen des Regierungsrats keine abstrakte Normenkontrolle auf kantonaler Ebene kennt (Art. 74 Abs. 1 und Abs. 2 lit. b des Gesetzes [des Kantons Bern] vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege [VRPG/BE; BSG 155.21] e contrario; RUTH HERZOG, in: Herzog/Daum [Hrsg.], Kommentar zum bernischen VRPG, 2. A. 2020, Art. 74 N. 13 und 86 ff.), ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht direkt gegen den angefochtenen Erlass zulässig (Art. 82 lit. b und Art. 87 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdeführer ist als natürliche Person mit Wohnsitz im Kanton Bern von den angefochtenen Bestimmungen zumindest virtuell in schutzwürdigen Interessen betroffen und zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>).
1.2. Streitgegenstand sind nur die mit Verordnungsänderung vom 24. Juni 2021 geänderten bzw. neu aufgenommenen Art. 3 Abs. 1 und 3 sowie Art. 6b Covid-19 V. Die übrigen, im Verfahren 2C_369/2021 streitgegenständlichen Bestimmungen der Verordnung wurden mit Urteil vom 22. September 2021 beurteilt. Darauf ist nicht mehr zurückzukommen, und zwar auch insoweit nicht, als der Beschwerdeführer in seiner Eingabe vom 29. Juni 2021 geltend macht, die damals angefochtenen Bestimmungen seien mit der inzwischen in Kraft getretenen neuen Covid-19-Verordnung besondere Lage nicht (mehr) vereinbar. Denn für eine (neue) Beschwerde gegen die am 28. April 2021 erlassenen Verordnungsbestimmungen ist die Beschwerdefrist (<ref-law>) abgelaufen.
1.3. Anders als kantonale Verordnungen können Verordnungen des Bundesrates nicht im Verfahren der abstrakten Normenkontrolle vor Bundesgericht angefochten werden (<ref-law>; <ref-law> e contrario). Der Antrag des Beschwerdeführers, Art. 12 Abs. 1 lit. a Ziff. 4 der bundesrätlichen Covid-19-Verordnung besondere Lage sei als unanwendbar zu erklären, läuft auf eine abstrakte Normenkontrolle hinaus, die als solche unzulässig ist. Auf den Antrag ist nicht einzutreten (Urteil 2C_941/2020 vom 8. Juli 2021 E. 1.8, zur Publikation vorgesehen).
2.
2.1. Der angefochtene Art. 6b Covid-19 V wurde mit Änderung vom 15. September 2021 wieder aufgehoben (BAG 21-071). Damit ist das aktuelle Interesse in Bezug auf diese Bestimmung weggefallen. Es rechtfertigt sich dennoch, auf die Beschwerde auch insoweit einzutreten, weil bei schnell ändernden Verordnungen andernfalls eine rechtzeitige gerichtliche Überprüfung im Verfahren der abstrakten Normenkontrolle kaum je möglich wäre (Urteil 2C_941/2020 vom 8. Juli 2021 E. 1.3.2, zur Publikation vorgesehen). Aus diesem Grund kann auch offengelassen werden, inwieweit die streitgegenständlichen Bestimmungen vor dem Hintergrund der geänderten bundesrätlichen Covid-19-Verordnung (Ausweitung der Verwendung des Covid-19-Zertifikats; Änderung vom 8. September 2021; AS 2021 542) "sinnentleert" geworden sind, wie der Beschwerdeführer in der Replik geltend macht.
2.2. Wie bereits im Urteil 2C_369/2021 vom 22. September 2021 erläutert (E. 3.2), ist die technische Ausgestaltung der gestützt auf die streitigen Normen errichteten Datenbank grundsätzlich nicht zu prüfen. Diese wäre nur relevant, wenn konkrete Hinweise bestünden, dass die angefochtenen Normen wahrscheinlich nicht verfassungstreu angewendet würden. Nachdem der Beschwerdeführer solches auch im vorliegenden Verfahren nicht substanziiert behauptet, gehen seine Beweisanträge in der Replik vom 14. September 2021 - Edition aller Dokumente zur Vorabkontrolle und Beweis, dass die Abfrage nach bestimmten Personen nicht möglich sei - erneut an der Sache vorbei. Darauf ist nicht näher einzugehen.
3.
3.1. Die angefochtenen Bestimmungen sind im Kontext mit der bundesrechtlichen Regelung der Weiterleitung von Kontaktdaten zu sehen, die in Art. 5 Abs. 2 der alten Covid-19-Verordnung besondere Lage geregelt war und wörtlich gleich in Art. 11 Abs. 2 der aktuellen Verordnung geregelt ist. Die bernische Verordnung hat diese Regelung dahingehend präzisiert, dass die Daten nicht nur auf besondere Anfrage hin, sondern unaufgefordert an eine zentrale Datenbank übermittelt werden müssen. Dies wurde vom Bundesgericht im Verfahren 2C_369/2021 als bundesrechtskonform beurteilt.
3.2. Die hier angefochtenen Verordnungsbestimmungen stellen gegenüber den damals beurteilten Verordnungsbestimmungen folgende Änderungen dar:
3.2.1. In Art. 3 Abs. 1 wurden die Worte "in Restaurations-, Bar- und Clubbetrieben" eingefügt, womit der Geltungsbereich der Regelung umschrieben wird. Das ist vor dem Hintergrund zu sehen, dass gemäss Art. 12 Abs. 1 lit. a Ziff. 4 der neuen eidgenössischen Verordnung (in der ursprünglichen Fassung) die Pflicht zur Kontaktdatenerhebung in Innenräumen auch gilt für Restaurations-, Bar- und Clubbetriebe, in denen die Konsumation vor Ort erfolgt. In der alten Verordnung in der Ende April 2021 in Kraft stehenden Fassung galt die Pflicht zur Kontaktdatenerhebung unter bestimmten Voraussetzungen für "Betreiber von öffentlich zugänglichen Einrichtungen und Betrieben" (Art. 4 Abs. 1 i.V.m. Abs. 2 lit. d), soweit solche überhaupt betrieben werden durften. Der Betrieb von Restaurations-, Bar- und Clubbetrieben war allerdings in jenem Zeitpunkt generell verboten (Art. 5a Abs. 1); zugelassen waren Restaurationsbetriebe, die in Innenbereichen einzig Berufschauffeurinnen und -chauffeuren, Berufsleuten, die im Freien arbeiten müssen, namentlich der Landwirtschaft und im Bausektor, sowie Handwerkerinnen, Handwerkern und Berufstätigen auf Montage offenstehen, wobei auch in diesen Fällen Kontaktdaten erhoben werden mussten (Art. 5a Abs. 2 lit. d Ziff. 3, in der Fassung vom 14. April 2021 [AS 2021 213]). In der Fassung vom 26. Mai 2021 (AS 2021 300) wurde das Verbot aufgehoben, wobei für Restaurations-, Bar- und Clubbetriebe, in denen die Konsumation vor Ort erfolgt, die Betreiber die Kontaktdaten von allen Gästen (ausgenommen Kindern, die mit ihren Eltern anwesend sind) erheben mussten (Art. 5a Abs. 2 lit. d). Auch für diese Fälle galt die frühere Fassung der Covid-19 V. Der neue Art. 3 Abs. 1 Covid-19 V ist somit nur eine Anpassung an den bundesrechtlich geregelten Anwendungsbereich der Kontaktdatenerhebung, aber keine materielle Änderung gegenüber dem früheren Recht.
3.2.2. In Art. 3 Abs. 3 erfolgte einzig eine redaktionelle Anpassung an die inzwischen erfolgte Änderung der eidgenössischen Verordnung, indem nicht mehr auf Art. 5 Abs. 2 der (alten), sondern auf den wortgleichen Art. 11 Abs. 2 der (neuen) Verordnung verwiesen wird.
3.2.3. Im neuen Art. 6b wird Art. 3 sinngemäss auch als anwendbar erklärt für Besucherinnen und Besucher von Veranstaltungen, sofern ein mit einem Restaurationsbetrieb vergleichbares Konsumationsangebot besteht. Das steht im Zusammenhang damit, dass nach der neuen bundesrechtlichen Regelung für Veranstaltungen in Innenräumen, zu denen der Zugang nicht auf Personen mit einem Zertifikat beschränkt wird, die Konsumation von Speisen und Getränken nur erlaubt ist, sofern die Kontaktdaten erhoben werden (Art. 14 Abs. 2 lit. b Satz 2 der neuen Verordnung in der ursprünglichen Fassung). Art. 6b bezieht sich offensichtlich auf diese Konstellation: Die Pflicht, Kontaktdaten unaufgefordert an die zentrale Datenbank zu übermitteln, gilt damit nicht nur für Restaurants, sondern auch für derartige Veranstaltungen, und zwar - wie sich aus dem Verweis auf Art. 3 ergibt - nur soweit dabei die Erhebung von Kontaktdaten bundesrechtlich vorgeschrieben ist. Auch Art. 6b ist somit bloss eine Anpassung an den bundesrechtlich vorgegebenen Anwendungsbereich der Kontaktdatenerhebung.
4.
Der Beschwerdeführer rügt, die Pflicht, Kontaktdaten unaufgefordert an die zentrale Datenbank zu übermitteln, sei mit dem Bundesrecht nicht vereinbar. In Bezug auf die alte Fassung der eidg. Verordnung hat das Bundesgericht im Verfahren 2C_369/2021 diese Frage beantwortet. Es hat namentlich entschieden, dass die Kantone zuständig sind, den Vollzug des Contact Tracing zu konkretisieren, und dass die bernische Regelung mit Art. 5 Abs. 2 der alten Verordnung vereinbar ist. Zu prüfen ist, ob die neue Bundesratsverordnung diesbezüglich zu einer anderen Beurteilung führt:
4.1. Art. 2 Abs. 1 der neuen Verordnung legt wie Art. 2 der alten Verordnung fest, dass die Kantone ihre Zuständigkeiten gemäss EpG behalten, soweit diese Verordnung nichts anderes bestimmt. Wenn nach der früheren Verordnung die Kantone ihre Befugnis, Verordnungen zum Vollzug des EpG zu erlassen, grundsätzlich behalten haben (Urteil 2C_369/2021 vom 22. September 2021 E. 5.2 und 5.3.4), so gilt das demnach gleichermassen unter dem neuen Recht. Sodann lautet Art. 11 Abs. 2 der neuen Verordnung wörtlich gleich wie Art. 5 Abs. 2 der alten Verordnung. Auch der Beschwerdeführer geht davon aus, dass die beiden Regelungen identisch sind (Beschwerde S. 6 Rz. 19). Prima vista besteht daher kein Grund, die Frage unter neuem Recht anders zu beantworten, zumal die angefochtenen neuen bernischen Bestimmungen nur eine Anpassung an den bundesrechtlich geregelten Anwendungsbereich der Kontaktdatenerhebung sind (vorne E. 3.2).
4.2. Der Beschwerdeführer bringt vor, in der neuen Verordnung sei in Anhang 1 Ziff. 1.4.3 festgelegt, dass Kontaktdaten insbesondere über Reservations- oder Mitgliedersysteme oder mittels Kontaktformular erhoben werden können. Der Bundesrat habe damit nur die Erhebungsseite geregelt. Dem Bundesrat sei aber bekannt gewesen, dass der Kanton Bern eine zentrale staatliche Kontaktdatenbank betreibe und ein anderer Kanton eine ähnliche Lösung anstrebe. Wenn er nicht gleichzeitig auch geregelt habe, dass zentrale Kontaktdatenbank-Lösungen möglich sein sollen, so könne dies nur so ausgelegt werden, dass der Bund keine solchen zentralen Datenbanken wolle. Die Argumentation scheint weit hergeholt: Die neue Ziff. 1.4.3 will offensichtlich die Erhebung vereinfachen, indem ausdrücklich festgehalten wird, dass dafür (private) Reservations- oder Mitgliedersysteme verwendet werden können. Dafür, dass damit ein qualifiziertes Schweigen in Bezug auf eine kantonale Datenbank vorliegt, gibt es keine Hinweise.
4.3. Spezifisch zum neuen Art. 6b bringt der Beschwerdeführer vor, diese Bestimmung sei nicht durch die bundesrätliche Verordnung bedingt, sondern stelle eine autonome Erweiterung der Anwendung der Kontaktdatenbank vor. Indessen ist Art. 6b nur anwendbar, soweit Kontaktdaten gemäss der bundesrätlichen Verordnung überhaupt erhoben werden müssen (vorne E. 3.2.3). Wenn für diese Datenerhebung die vom Kanton Bern vorgesehene zentrale Datenbank für Restaurants zulässig ist, gilt dasselbe grundsätzlich auch für Veranstaltungen, die wegen der dort gebotenen Konsumationsmöglichkeiten insoweit den Restaurants gleichgestellt werden.
4.4. Der Beschwerdeführer macht allerdings geltend, die Kontaktdaten würden bei solchen Veranstaltungen bereits über die gewöhnlichen Buchungstools erfasst, die jedoch mit der Kontaktdatenbank nicht kompatibel seien. Diese Daten müssten daher zusätzlich noch einmal erfasst werden, was zusätzliche Datenschutzrisiken berge und gegen den Verhältnismässigkeitsgrundsatz verstosse. Die Aussage, die Kontaktdaten würden bei derartigen Veranstaltungen ohnehin über Buchungstools erhoben, wird allerdings nicht weiter belegt. Allgemeinnotorisch ist nicht bei allen Veranstaltungen, bei denen Konsumationen angeboten werden, eine Buchung erforderlich. Soweit für bestimmte Veranstaltungen Reservationen oder Buchungen auch unabhängig von den Covid-Massnahmen üblich sind, sieht die neue Ziff. 1.4.3 von Anhang 1 ausdrücklich vor, dass Kontaktdaten insbesondere über Reservations- oder Mitgliedersysteme oder mittels Kontaktformular erhoben werden können. Zumindest aus rechtlicher Sicht müssen somit die Daten nicht zweimal erfasst werden. Dass technisch diese Erhebungssysteme nicht kompatibel seien mit der zentralen Datenbank, wird in der Beschwerde nicht belegt.
5.
Der Beschwerdeführer bringt schliesslich vor, der Zeitablauf habe dazu geführt, dass aufgrund zunehmender Immunisierung durch Impfung nur noch ein geringerer Teil der Bevölkerung bei Stichproben an Covid-19 erkrankt sei. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine an Covid-19 erkrankte Person sich in einem Gastronomiebetrieb aufhalte, liege unter 1 Prozent. Da zudem der R-Wert tiefer als 1 liege, stecke das eine Prozent von infizierten Personen nicht bei jedem Restaurantbesuch eine andere Person an. Es stelle sich daher neu die Frage, ob das Erheben von Kontaktdaten noch verhältnismässig sei.
5.1. Richtig ist, dass die Notwendigkeit gesundheitspolizeilicher Massnahmen, mit denen in Grundrechte eingegriffen wird, periodisch zu überprüfen ist, und die Massnahmen neuen Erkenntnissen oder einer geänderten Gefährdungssituation angepasst werden müssen (Urteil 2C_941/2020 vom 8. Juli 2021 E. 3.2.7, zur Publikation vorgesehen). Allerdings kann nicht erwartet oder verlangt werden, dass bei jeder kurzfristigen Veränderung der Umstände jede Regelung sofort wieder angepasst wird. Es ist auch zu berücksichtigen, dass erfahrungsgemäss die Verhältnisse im Verlauf einer Epidemie relativ rasch wieder ändern können, so dass eine Massnahme, die zu einem bestimmten Zeitpunkt allenfalls fragwürdig gewesen sein mag, kurz darauf wieder angemessen erscheint (vgl. Urteil 2C_793/2020 vom 8. Juli 2021 E. 5.2, zur Publikation vorgesehen).
5.2. Die neusten Entwicklungen im Bereich der Pandemieausbreitung bestätigen diese Erfahrung: Die vom Beschwerdeführer genannten Zahlen beziehen sich auf den Zeitpunkt, in dem seine Replik/neue Beschwerde eingereicht wurde, also Ende Juni 2021. Inzwischen sieht die epidemiologische Situation wieder anders aus. Sowohl die laborbestätigten Fälle wie auch die Hospitalisationen haben im August 2021 stark zugenommen und stagnieren trotz Rückgang im September 2021 auf eher hohem Niveau. Gleichzeitig sind die täglich verabreichten Impfdosen zurückgegangen, was den Bundesrat in der Summe zu einer Ausweitung der Verwendung des Covid-19-Zertifikats am 8. September 2021 veranlasst hat. Die Verhältnismässigkeit ist daher nicht anders zu beurteilen als im Urteil 2C_369/2021 vom 22. September 2021. Das gilt entgegen den Vorbringen in der Replik auch für die Erforderlichkeit, und zwar unabhängig davon, dass sich die Abfrage von Kontaktdaten von Restaurants, Bars und Clubs im Rahmen des Contact Tracings im Kanton Bern bislang eher in Grenzen gehalten hat.
6.
Die Beschwerde erweist sich daher als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Der unterliegende Beschwerdeführer trägt die Kosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Bundesamt für Gesundheit und dem Eidgenössischen Datenschutz- und Öffentlichkeitsbeauftragten mitgeteilt.
Lausanne, 27. Oktober 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Businger