Faits :
A.
A._, né en 1975, a travaillé en dernier lieu en tant que coupeur et façonneur auprès d'une société faisant commerce d'aciers. A la suite d'une incapacité totale de travail médicalement attestée depuis le 16 juin 2016, il a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité, en octobre 2016.
Entre autres mesures d'instruction, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg (ci-après: l'office AI) a mandaté le docteur B._, spécialiste en neurologie, pour une expertise. Dans son rapport du 15 décembre 2017, l'expert a diagnostiqué des lombosciatalgies gauches persistantes après cure de hernie discale L5-S1 médio-latérale gauche et conclu à une capacité de travail nulle à titre définitif dans l'activité habituelle depuis mi-juin 2016. Dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles de l'assuré, le docteur B._ a attesté une capacité de travail, vraisemblablement depuis le milieu de l'année 2017, au départ de 50 % avec un rendement de 100 %, puis, à terme, de 75 %, voire 100 %. Par communication du 23 mars 2018, l'administration a octroyé à A._ des mesures de réinsertion sous la forme d'un entraînement progressif auprès du Centre C._ du 19 mars au 17 juin 2018, qui a été interrompu le 24 avril 2018 pour des raisons médicales. Elle a ensuite diligenté une nouvelle expertise auprès du docteur B._, qui a conclu à une capacité de travail médico-théorique de 100 % dans une activité adaptée (rapport du 28 juin 2019). Par décision du 18 février 2020, l'office AI a reconnu le droit de l'assuré à une rente entière d'invalidité du 1er juin 2017 au 30 septembre 2019. En bref, il a considéré que l'assuré avait présenté une incapacité totale de travail dans toute activité jusqu'au 28 juin 2019 et qu'à partir de ce moment-là, il ne subissait plus de perte de gain.
B.
Statuant le 29 janvier 2021 sur le recours formé par A._ contre la décision du 18 février 2020, le Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Ie Cour des assurances sociales, l'a rejeté. La juridiction cantonale a par ailleurs accordé le bénéfice de l'assistance judiciaire à l'assuré.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre cet arrêt dont il demande la réforme, ainsi que celle de la décision administrative du 18 février 2020. Sous suite de frais et dépens, il conclut principalement au maintien de son droit à une rente entière d'invalidité au-delà du 30 septembre 2019, subsidiairement à la diminution de ce droit à une demi-rente dès le 1er octobre 2019. Plus subsidiairement, l'assuré requiert le renvoi de la cause à l'administration pour la mise en oeuvre d'une expertise bidisciplinaire (neurologique et psychiatrique) afin de déterminer le taux d'invalidité dès le 1er octobre 2019.
L'office AI conclut implicitement au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
1.1. Aux termes de l'<ref-law>, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente. En l'espèce, la correspondance du secrétariat du docteur D._, médecin chef à la Consultation de médecine physique et réhabilitation du Département de l'appareil locomoteur de l'Hôpital E._, du 19 février 2020 et les factures relatives à des consultations auprès de ce médecin les 13 janvier et 27 février 2020, soit avant le prononcé de l'arrêt entrepris, produites en instance fédérale ne peuvent pas être prises en considération. Le recourant n'expose pas en quoi ces pièces résulteraient de l'arrêt entrepris, ni pour quel motif il ne les a pas déposées devant la juridiction cantonale (cf. <ref-ruling> consid. 1.2).
1.2. Le recours en matière de droit public peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il statue par ailleurs sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Le recourant qui entend s'en écarter doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut pas être pris en considération.
2.
Les constatations de l'autorité cantonale de recours sur l'atteinte à la santé, la capacité de travail de la personne assurée et l'exigibilité - pour autant qu'elles ne soient pas fondées sur l'expérience générale de la vie - relèvent d'une question de fait et ne peuvent donc être contrôlées par le Tribunal fédéral que sous un angle restreint (<ref-ruling> consid. 3.2). On rappellera, en particulier, qu'il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une solution autre que celle de l'autorité cantonale semble concevable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 6.1). Pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que sa motivation soit insoutenable; il faut encore que cette décision soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 3.4).
3.
3.1. Le litige a trait au maintien du droit du recourant à une rente entière d'invalidité au-delà du 30 septembre 2019.
3.2. L'arrêt entrepris expose de manière complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs notamment à la notion d'invalidité (art. 7 et 8 al. 1 LPGA en relation avec l'<ref-law>) et à son évaluation (<ref-law> et <ref-law>), ainsi qu'au bien-fondé d'une décision d'octroi, à titre rétroactif, d'une rente limitée dans le temps, qui doit être examiné à la lumière des conditions de révision du droit à la rente (cf. <ref-law>; <ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 2d et les références). Il rappelle également les règles relatives à la valeur probante des rapports médicaux (<ref-ruling> consid. 3) et à la libre appréciation des preuves (art. 61 let. c LPGA). Il suffit d'y renvoyer.
4.
4.1. Examinant l'évolution de l'état de santé de l'assuré, les premiers juges ont constaté qu'il souffrait d'une hernie discale depuis 2016 et que les médecins étaient unanimes quant à l'incapacité de travail (totale) de celui-ci dans son activité antérieure de coupeur et façonneur. S'agissant de la capacité de travail du recourant dans une activité adaptée, ils ont admis, en se fondant sur les conclusions du docteur B._, qu'elle était entière depuis le 28 juin 2019, soit dès la date du second rapport d'expertise, et que les avis divergents des différents médecins ne permettaient pas de s'écarter de ces conclusions. Après avoir ensuite procédé à l'évaluation du taux d'invalidité en comparant les revenus déterminants dans l'activité antérieure (63'336 fr.) et dans une activité adaptée (68'393 fr. 95) et constaté que l'assuré ne subissait aucune perte de gain à partir du 28 juin 2019, la juridiction de première instance a confirmé l'absence de droit à une rente de l'assurance-invalidité au-delà du 30 septembre 2019 (<ref-law>).
4.2. Le recourant reproche aux premiers juges d'avoir constaté les faits de manière manifestement inexacte et incomplète et d'avoir violé le droit fédéral en ce qu'ils ont admis qu'il était en mesure de travailler à plein temps avec un plein rendement dans une activité adaptée depuis le 28 juin 2019, alors que le docteur B._ avait fait état d'une capacité de travail de 50 % dans toute activité dans son second rapport d'expertise. A cet égard, il fait valoir qu'aucun rapport figurant au dossier n'atteste une amélioration de son état de santé depuis le premier rapport d'expertise du docteur B._ du 15 décembre 2017, de sorte que la juridiction cantonale ne pouvait pas nier son droit à une rente de l'assurance-invalidité au-delà du 30 septembre 2019.
5.
5.1. Contrairement à ce que soutient d'abord le recourant, les premiers juges n'ont pas violé l'<ref-law> en déduisant des rapports d'expertise du docteur B._ une amélioration de son état de santé au sens de cette disposition, puisqu'ils ont admis une augmentation de sa capacité résiduelle de travail. Certes, comme le relève le recourant, le docteur B._ a indiqué que l'examen clinique pratiqué en 2019 était globalement superposable à son examen de 2017. Cela étant, dans son premier rapport du 15 décembre 2017, le docteur B._ a constaté la persistance des troubles après une microdisectomie L5-S1 effectuée en décembre 2016. Il a conclu à une capacité de travail de 50 % avec un rendement de 100 % dans une activité adaptée, en raison du déconditionnement et du manque d'entraînement que présentait le recourant, et a précisé qu'une amélioration progressive de la capacité de travail de l'assuré était possible jusqu'à des valeurs de 75-100 %. Dans le cadre de la seconde expertise, excluant une modification significative de la situation lors de son examen, le médecin a confirmé les conclusions prises dans son premier rapport, à savoir que l'assuré disposait dorénavant d'une capacité de travail médico-théorique de 100 % dans une activité adaptée, ce qui correspond au pronostic qu'il avait fait en 2017. On constate ainsi que l'état de santé de l'assuré ne s'est pas aggravé depuis le premier examen du docteur B._; c'est donc la capacité de travail exigible de sa part, avec une amélioration progressive conformément au pronostic de l'expert, qui est déterminante.
5.2. En ce qui concerne ensuite le taux de capacité de travail de 50 % invoqué par le recourant, l'expert B._ a certes précisé dans son rapport du 28 juin 2019, qu'en raison de l'impossibilité pour l'assuré de mettre en oeuvre ses capacités fonctionnelles résiduelles, "la solution, non pas optimale mais la plus raisonnable, serait d'admettre une incapacité de travail de 50 %". Ce faisant, l'expert est toutefois sorti du cadre de son mandat, comme l'ont dûment retenu les premiers juges. On rappellera à cet égard, à la suite de la juridiction cantonale, que le rôle de l'expert consiste à mettre ses compétences à la disposition de la justice et à se faire une idée sur l'état de santé du patient dans un délai relativement bref (arrêt 9C_352/2017 du 9 octobre 2017 consid. 5.1 et les arrêts cités) et non à émettre des constatations dépassant le champ médical. Quoi qu'en dise le recourant, la proposition du docteur B._ de "clore le cas par l'attribution d'une demi-rente AI" afin de "s'éviter de nombreuses mesures administratives et des tentatives réitérées de réinsertion [...] coûtant beaucoup d'argent" ne repose pas sur un fondement médical.
Par ailleurs, on constate, à la suite de la juridiction de première instance, que le médecin a pris en considération, dans son second rapport d'expertise, de nombreux facteurs extra-médicaux à l'appui de sa proposition de retenir une incapacité de travail de 50 %. Le docteur B._ a en effet indiqué que si l'assuré ne semblait pas en mesure de mettre en oeuvre la capacité de travail médico-théorique de 100 % qu'il présentait désormais dans une activité adaptée, le facteur limitatif semblait être "plus psycho-social que médical proprement dit".
6.
6.1. C'est également en vain que le recourant se réfère aux avis de ses médecins traitants et du docteur F._ du Service médical régional de l'AI (SMR) pour affirmer que son état de santé ne s'est pas amélioré depuis le premier rapport d'expertise du docteur B._ du 15 décembre 2017 et qu'il présente une incapacité de travail, à tout le moins de 50 %, dans toute activité.
6.2. S'agissant d'abord du dysfonctionnement physiologique de la nociception mis en évidence par le docteur G._, spécialiste en médecine physique et réadaptation (rapports des 13 février et 25 octobre 2019), auquel le docteur B._ s'est également référé dans son rapport du 28 juin 2019 - en indiquant rejoindre l'avis du docteur G._, selon lequel l'assuré présentait une symptomatologie bio-psycho-sociale, expression d'un dysfonctionnement de la nociception, péjorée par des facteurs socio-professionnels -, il ne permet pas de retenir une incapacité de travail de 50 % dans une activité adaptée, quoi qu'en dise le recourant. D'une part, si le docteur G._, qui, selon les constatations cantonales, non contestées par le recourant, l'a examiné pour la dernière fois, en septembre 2018, a fait état d'un dysfonctionnement physiologique de la nociception, en 2019, il ne s'est pas prononcé sur l'incidence de ce trouble sur la capacité de travail de l'assuré. Le médecin a seulement décrit le dysfonctionnement de la nociception comme un état séquellaire reconnu par l'OMS comme une maladie chronique, distincte de la douleur aigüe (rapport du 13 février 2019), en indiquant qu'une douleur chronique est désormais reconnue par l'OMS comme une maladie à part entière (rapport du 25 octobre 2019). D'autre part, bien que le docteur G._ ait fait état d'une aggravation de l'état de santé de son patient en 2018 (rapports des 12 juillet et 4 septembre 2018), son appréciation de l'incapacité de travail repose en partie sur des facteurs extra-médicaux. On constate, à la suite de l'instance cantonale de recours, que le docteur G._ a en effet indiqué que son patient devenait beaucoup plus plaintif par rapport à ses lombosciatalgies avec une thymie très à la baisse, au vu de la situation financière très précaire dans laquelle il se trouvait depuis le 15 juin 2018, date à partir de laquelle il ne percevait plus d'indemnités journalières de l'assurance perte de gain (rapport du 12 juillet 2018). Or des facteurs extra-médicaux n'ont pas à être pris en considération dans l'évaluation des effets d'une atteinte à la santé sur la capacité de travail de l'assuré (<ref-ruling> consid. 5a; cf. aussi arrêt 9C_848/2017 du 29 mai 2018 consid. 4.2).
6.3. Le recourant ne peut pas davantage être suivi lorsqu'il reproche à la juridiction cantonale d'avoir "écarté" le rapport du docteur D._, du 3 mars 2020, en raison essentiellement du fait que ce médecin ne l'aurait examiné qu'à une seule reprise, en mai 2017. Indépendamment du nombre de consultations auprès du docteur D._, l'affirmation du recourant selon laquelle ce médecin aurait attesté une incapacité totale de travail dans toute activité est dépourvue de fondement. Si dans le rapport qu'il a établi le 3 mars 2020 en réponse aux questions qui lui avaient été posées par le mandataire de l'assuré, le docteur D._ a certes mentionné que l'activité antérieure de ferrailleur n'était pas exigible et qu'il se pouvait que la reprise du travail fût impossible sur le long terme compte tenu de l'ancienneté des symptômes et de l'inefficacité des mesures thérapeutiques jusqu'ici, il ne s'est pas clairement prononcé sur la capacité de travail du recourant dans une activité adaptée. Le médecin a en effet indiqué qu'il lui était difficile de se prononcer quant à l'exercice d'une autre activité que l'activité habituelle sans la réalisation d'une évaluation des capacités fonctionnelles.
6.4. Le recourant ne saurait non plus rien tirer en sa faveur du rapport du docteur F._ du SMR du 21 février 2019. Dans ce rapport, le médecin n'a fait que confirmer les conclusions que le docteur B._ avaient prises dans son premier rapport d'expertise de 2017, selon lesquelles l'assuré présentait une incapacité de travail de 50 % dans une activité adaptée depuis le milieu de l'année 2017. Afin de clarifier le droit aux prestations, l'office intimé a ensuite diligenté une seconde expertise auprès du docteur B._, qui a constaté, le 28 juin 2019, soit postérieurement au rapport du docteur F._, que la capacité de travail médico-théorique du recourant s'était améliorée puisqu'elle était désormais de 100 % dans une activité adaptée.
6.5. En ce qu'il se limite finalement à affirmer que dans un rapport du 18 octobre 2019, la doctoresse H._, spécialiste en médecine interne générale, a confirmé que son état de santé ne s'était pas amélioré depuis 2017, le recourant ne fait pas état d'éléments cliniques ou diagnostiques concrets et objectifs susceptibles de mettre en cause les conclusions suivies par les premiers juges, ni de motifs susceptibles d'établir le caractère arbitraire de leur appréciation. La juridiction cantonale a en effet constaté que la doctoresse H._ n'avait notamment donné aucune information quant aux examens qu'elle avait effectués, ni indiqué les raisons pour lesquelles elle considérait que l'état de santé de son patient ne s'était pas amélioré.
7.
Compte tenu de l'issue du litige, les frais de justice doivent être mis à la charge du recourant (<ref-law>). Il n'y a pas lieu non plus de lui accorder des dépens pour la procédure cantonale, ni de constater, comme il le requiert, que l'État de Fribourg ne puisse pas exiger de lui, en tant que bénéficiaire de l'assistance judiciaire pour l'instance cantonale, qu'il rembourse l'indemnité allouée à son ancien défenseur d'office. Cette conclusion n'est au demeurant pas motivée.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Ie Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 7 septembre 2021
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
La Greffière : Perrenoud