Erwägungen:
1.
Die Baubehörde Dornach verfügte am 23. März 2018 und 4. April 2018 einen Baustopp. Dagegen erhob A._ Beschwerde, welche das Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn mit Verfügung vom 7. Dezember 2018 abwies. Gegen diese Verfügung erhob A._ am 20. Dezember 2018 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 24. Juni 2019 ab, soweit es darauf eintrat.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 28. August 2019 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 24. Juni 2019. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist die Beschwerde innert 30 Tagen nach der vollständigen Ausfertigung des angefochtenen Entscheids beim Bundesgericht einzureichen. Diese gesetzliche Frist ist nicht erstreckbar (<ref-law>).
3.1.
Das angefochtene Urteil ist dem Beschwerdeführer nach eigenen Angaben am 27. Juni 2019 zugestellt worden. Die vorliegende Beschwerde vom 28. August 2019 ist somit nach Ablauf der Beschwerdefrist eingereicht worden. Der Beschwerdeführer beruft sich auf den Fristenstillstand gemäss <ref-law>.
Das angefochtene Urteil erging in einem Beschwerdeverfahren gegen einen Baustopp. Beim Baustopp handelt es sich um eine vorsorgliche Massnahme. Damit handelt es sich um einen Entscheid über "andere vorsorgliche Massnahmen" im Sinne von <ref-law>, mithin um einen Entscheid, für dessen Anfechtung ans Bundesgericht der Fristenstillstand gemäss <ref-law> nicht gilt. Auf die Beschwerde kann somit wegen Verspätung nicht eingetreten werden. Da der Unzulässigkeitsgrund offensichtlich ist, ergeht der vorliegende Entscheid im vereinfachten Verfahren nach <ref-law>.
4.
Bei diesem Verfahrensausgang hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).
Mit dem vorliegenden Entscheid in der Sache selbst wird das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn, der Bauverwaltung der Einwohnergemeinde Dornach und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. August 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli