Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Klägerin, Versicherte) arbeitete vom 1. August 2010 bis 31. März 2013 als Mitarbeiterin im Kundendienst bei der C._ AG in U._. Über ihre Arbeitgeberin war sie im Rahmen eines Kollektivvertrages bei der B._ Versicherung AG (Beklagte, Versicherer) krankentaggeldversichert.
Die Versicherte erlitt am 15. März 2011 einen Unfall. An ihrem Arbeitsplatz am Schreibtisch sitzend verlor sie das Bewusstsein und kippte in der Folge vornüber vom Stuhl und fiel mit dem Gesicht auf den Boden. Dabei erlitt sie eine mehrfragmentäre Nasenbeinfraktur. Im Arztbericht führte der behandelnde Hausarzt zusätzlich ein traumatisch bedingtes cervicospondylogenes Syndrom an. Ein Arbeitsversuch von 50 % habe wegen Kopf- und Nackenschmerzen wieder sistiert werden müssen. In einem für die zuständige Unfallversicherung D._ erstellten Gutachten vom 25. Juni 2011 wurde ein cervicovertebrales Syndrom diagnostiziert. Gemäss dem Bericht eines Facharztes für Neurologie vom 26. Juni 2012 litt die Versicherte an einem protrahierten postkommotionellen Syndrom und einem posttraumatischen Zervikalsyndrom.
Die C._ AG kündigte das Arbeitsverhältnis mit der Versicherten per 31. März 2013. Per 14. Juli 2014 trat diese eine neue Stelle mit einem Pensum von 70 % als Empfangsmitarbeiterin in einem Fitnesspark an.
A.b. Die Unfallversicherung erbrachte Taggeldleistungen bis sie diese mit Verfügung vom 4. April 2012 per 30. April 2012 einstellte. Daraufhin leistete der Versicherer Krankentaggelder vom 22. Mai 2012 bis 17. Juni 2014. Mit Einspracheentscheid vom 24. Februar 2014 hob die Unfallversicherung ihre Verfügung vom 4. April 2012 wieder auf und zahlte rückwirkend per 1. April 2012 Unfalltaggelder. Dem Versicherer erstattete sie die von diesem in der Zeit vom 22. Mai 2012 bis 17. Juni 2014 bezahlten Krankentaggelder.
In einem vom Unfallversicherer in Auftrag gegebenen polydisziplinären Gutachten der E._, vom 9. April 2015 kamen die begutachtenden Ärzte der Fachrichtungen Orthopädie, Neuropsychologie, Neurologie und Psychiatrie zum Schluss, dass die Versicherte zu 100 % arbeitsfähig sei. Gestützt darauf stellte der Unfallversicherer mit Verfügung vom 13. Mai 2015 seine Leistungen per 30. April 2015 ein. Die Versicherte ersuchte mit Schreiben vom 30. April 2015 den Versicherer um Leistung von Krankentaggeldzahlungen ab 1. Mai 2015. Dies lehnte der Versicherer ab.
B.
Am 21. August 2015 reichte die Versicherte beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt eine Teilklage ohne Begründung gemäss Art. 244 Abs. 2 und Art. 245 Abs. 1 ZPO über Fr. 5'000.-- ein, welche sie an der Hauptverhandlung vom 8. März 2016 auf Fr. 10'000.--erhöhte.
B.a. Eine vom Präsidenten de s Sozialversicherungsgerichts mit Verfügung vom 20. April 2016 angeordnete Sistierung des Verfahrens wurde auf Beschwerde der Klägerin hin vom Bundesgericht mit Urteil 4A_307/2016 vom 8. November 2016 wegen Verletzung des rechtlichen Gehörs aufgehoben, da der Klägerin keine Möglichkeit zur vorgängigen Stellungnahme eingeräumt worden war.
B.b. Das Sozialversicherungsgericht schützte mit Urteil vom 5. April 2017 die Teilklage und verpflichtete die Beklagte, der Klägerin Fr. 10'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % ab 26. Mai 2016 bzw. ab Fälligkeit der einzelnen Taggeldzahlungen zu bezahlen. Es bejahte einen Taggeldanspruch der Klägerin für die Zeit ab 1. Mai 2015 gestützt auf die von der C._ AG abgeschlossene Kollektiv-Kr ankentaggeldversicherung, auch wenn es nicht mehr möglich sei, den Beginn der krankheitsbedingten Leiden genau festzusetzen. Entscheidend sei, dass eine ununterbrochene Arbeitsunfähigkeit von mindestens 30 % seit dem Unfall vom 15. März 2011 bestanden habe, sodass entweder der Unfallversicherer oder der Krankentaggeldversicherer leistungspflichtig sei. Zudem habe die Bekl agte mit der Ausrichtung von Krankentaggeldern in der Zeit vom 22. Mai 2012 bis 17. Juni 2014 ihre Leistungspflicht grundsätzlich anerkannt. Gestützt auf die vom Hausarzt ausgestellten Arbeitsunfähigkeitszeugnisse und die Tatsache, dass die Klägerin seit dem Unfall regelmässig etwa alle sechs Wochen bei ihm in Behandlung sei, sei davon auszugehen, dass die Klägerin eine Arbeitsunfähigkeit von mindestens 30 % auch für die Ze it nach dem 1. Mai 2015 mit überwiegender Wahrscheinlichkeit nachgewiesen habe.
C.
Sowohl die Klägerin wie die Beklagte haben gegen diesen Entscheid beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben.
C.a. Die Beklagte beantragt im Verfahren 4A_459/2017, das angefochtene Urteil sei kostenfällig aufzuheben, die Klage abzuweisen und die Klägerin zu einer Parteientschädigung von Fr. 9'097.25 (inkl. Auslagen und MwSt) für das kantonale Verfahren zu verpflichten. Eventualiter sei die Sache zur Festsetzung der Parteientschädigung an das Sozialversicherungsgericht zurückzuweisen.
Die Klägerin schliesst auf kostenfällige Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Sozialversicherungsgericht hat sich nicht vernehmen lassen.
Mit Präsidialverfügung vom 1. November 2017 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.
C.b. Die Klägerin beantragt im Verfahren 4A_447/2017, es sei Abs. 3 des angefochtenen Urteils kostenfällig aufzuheben und die Beklagte zu einer Parteientschädigung von Fr. 13'876.-- (inkl. 8 % MwSt) zu verurteilen. Eventualiter sei die Sache zur Neufestsetzung der Parteientschädigung an das Sozialversicherungsgericht zurückzuweisen.
Die Beklagte hat auf eine Vernehmlassung und auf einen Antrag in diesem Beschwerdeverfahren verzichtet. Das Sozialversicherungsgericht beantragt mit begründeter Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde, worauf die Klägerin unaufgefordert replizierte.
Mit Präsidialverfügung vom 3. Oktober 2017 lehnte das Bundesgericht ein Sistierungsgesuch der Beklagten ab.

Erwägungen:
1.
Wenn - wie hier - an den Verfahren dieselben Parteien beteiligt sind und den Beschwerden der gleiche Sachverhalt zugrunde liegt, behandelt das Bundesgericht die verschiedenen gegen dasselbe Urteil gerichteten Beschwerden in der Regel in einem einzigen Urteil. Die beiden Beschwerdeverfahren 4A_447/2017 und 4A_459/2017 werden deshalb vereinigt.
4A_459/2017
2.
Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>) einer oberen kantonalen Gerichtsinstanz, die als einzige kantonale Instanz (vgl. § 19 des Gesetzes vom 9. Mai 2001 über das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und über das Schiedsgericht in Sozialversicherungssachen [Sozialversicherungsgerichtsgesetz, SVGG, SG 154.200]) im Sinne von <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> entschieden hat. Die Beschwerde ist in diesem Fall streitwertunabhängig zulässig (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 4 f., 799 E. 1.1 S. 800). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist unter Vorbehalt einer rechtsgenügenden Begründung grundsätzlich auf die Beschwerde einzutreten.
3.
Umstritten ist, ob während der Dauer des Versicherungsschutzes der Versicherungsfall eingetreten ist. Bei der Kollektiv-Krankentaggeldversicherung ist der Versicherungsfall grundsätzlich die krankheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit (<ref-ruling> E. 3 S. 674 ff.).
3.1. Die Versicherungspolice sieht bei Krankheit eine Leistung von 80 % des effektiven Lohnes bei einer Leistungsdauer bis zum 730. Tag pro Fall und einer Wartefrist von 14 Tagen pro Fall vor. Gemäss Ziffer 5 der massgeblichen Vertragsbedingungen Kranken-Lohnausfallversicherung nach VVG (nachfolgend: VB), welche die Allgemeinen Vertragsbedingungen (nachfolgend: AVB) ergänzen, gilt als versicherte Krankheit jede Beeinträchtigung der körperlichen, geistigen oder psychischen Gesundheit, die "nicht Folge eines Unfalles" ist und die eine medizinische Behandlung oder eine Arbeitsunfähigkeit zur Folge hat. Unter "Gegenstand der Versicherung" bestimmt Ziffer 57 AVB, dass sich die Versicherung auf die "Folge von Krankheiten" erstreckt, welche die versicherten Personen während der Dauer des Versicherungsschutzes erleiden.
Der Versicherungsschutz beginnt mit dem Tag des Arbeitsantritts im versicherten Betrieb (Ziffer 67 AVB) und endet mit dem Tag, an dem der Lohnanspruch aufhört. Treten die Versicherten vorher eine neue Stelle an, endet der Versicherungsschutz bereits mit dem Antritt der neuen Stelle (Ziffer 68 Abs. 1 AVB). Für Versicherungsfälle, die bei Erlöschen des Versicherungsschutzes noch nicht abgeschlossen sind, erbringt die Beklagte ihre vertraglichen Leistungen über dieses Datum hinaus (Nachleistung), wobei diese bei einem Stellenwechsel und Übertritt zur Kranken-Taggeldversicherung des neuen Arbeitgebers entfällt (Ziffer 36 VB).
3.2. Die Vorinstanz ist sinngemäss der Auffassung, dass sich die ursprünglich unfallbedingte Arbeitsunfähigkeit während der Dauer des Versicherungsschutzes in eine krankheitsbedingte wandelte, und als solche "Folge von Krankheiten" und nicht "Folge eines Unfalles" i.S. des Vertrages war. Sie geht sodann von einem Andauern des Versicherungsschutzes über die Beendigung des Arbeitsverhältnisses am 31. März 2013 hinaus bis zur Einstellung der UVG-Leistungen am 30. April 2015 aus, denn gemäss Ziffer 68 und 69 AVB daure der Versicherungsschutz bis zum Erlöschen des Lohnanspruchs, worunter auch Taggelder der Unfallversicherung fallen würden. Sie nimmt an, irgendwann in diesem Zeitraum sei die unfallbedingte Arbeitsunfähigkeit zu einer krankheitsbedingten geworden, dass es aber nicht möglich ist, diesen Zeitpunkt genau festzusetzen. Dieser Zeitpunkt könne schon vor dem 30. April 2015 gewesen sein, denn die Unfallversicherung könne noch Leistungen erbracht haben, nachdem der natürliche und adäquate Kausalzusammenhang zum Unfall bereits weggefallen war. Entscheidend sei, dass seit dem Unfall eine anhaltende Arbeitsunfähigkeit bestanden habe. Es stelle sich lediglich die Frage, wer - der Unfall- oder der Krankentaggeldversicherer - leistungspflichtig sei. Aus der Sicht der Versicherten habe es sich jedoch um eine "Einheit" gehandelt; der Versicherungsvertrag habe daher in guten Treuen so verstanden werden müssen, dass die aus dem Unfall vom 15. März 2011 resultierenden Krankheitsfolgen von der Versicherung gedeckt seien. Denn gemäss Ziffer 36 VB erbringe die Versicherung Versicherungsleistungen, die bei Erlöschen des Versicherungsschutzes noch nicht abgeschlossen waren, über dieses Datum hinaus.
Zudem habe die Beklagte mit der Ausrichtung von Krankentaggeldern vom 22. Mai 2012 bis 17. Juni 2014 ihre Leistungspflicht grundsätzlich anerkannt. Sollte - was noch offen sei - der Unfallversicherer doch noch zu Leistungen verpflichtet werden, könne die Beklagte als lediglich subsidiär Leistungspflichtige gemäss Ziffer 25 und 26 VB von diesem ihre Zahlungen zurückfordern.
3.3. Der Hinweis der Vorinstanz auf die von der Beklagten erbrachten Taggeldzahlungen nach der erstmaligen Einstellung der Unfallversicherungsleistungen per 30. April 2012 geht fehl. Die Beklagte hat damit nicht anerkannt, dass bereits in jenem Zeitraum eine krankheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit vorgelegen hatte. Sie verweist darauf, dass sie eine Vorleistungspflicht (vgl. Ziffer 28 VB) trifft, wenn unklar ist, ob die Arbeitsunfähigkeit krankheits- oder unfallbedingt ist. Dies könne der Fall sein namentlich zu Beginn einer Arbeitsunfähigkeit. Zu Recht macht sie aber geltend, dass sie jene Leistungen zwischen dem 22. Mai 2012 und dem 17. Juni 2014 während (zumindest zu Beginn) noch bestehendem Arbeitsverhältnis und von ihr anerkanntem (sie hatte im Hauptstandpunkt geltend gemacht, der Versicherungsschutz habe am 12. August 2014 geendet) Versicherungsschutz erbrachte. Wenn in diesem Zeitraum eine krankheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit eingetreten wäre, wäre die Beklagte ohne Zweifel leistungspflichtig gewesen, und - solange die Leistungspflicht der Unfallversicherung nicht feststand - auch vorschusspflichtig.
3.4. Nicht ersichtlich ist auch, was die Vorinstanz mit ihrem Hinweis auf die Nachleistungspflicht (Art. 36 VB) begründen will. Vorliegend sind die massgeblichen Fragen der Gegenstand der Versicherung und die Dauer des Versicherungsschutzes, d.h. bis zu welchem Zeitpunkt ein Versicherungsfall eintreten musste, damit er von der Deckung erfasst wird (vgl. nachfolgend E. 3.5 und 3.6). Es geht nicht darum, ob im Sinn der Nachleistungspflicht nach diesem Zeitpunkt noch Zahlungen erbracht werden müssen bis zur Erschöpfung des Anspruchs (730 Tage).
3.5. Zum Gegenstand der Versicherung und der Dauer des Versicherungsschutzes werden drei verschiedene Auffassungen vertreten:
Die Vorinstanz ging davon aus, dass die Arbeitsunfähigkeit mit dem Unfall am 15. März 2011 eingetreten ist und damit "Folge eines Unfalls" im Sinn von Ziffer 5 VB war. Sie verstand den Vertragsgegenstand in objektivierter Auslegung aber so, dass die aus dem Unfall vom 15. März 2011 resultierenden Krankheitsfolgen von der Krankentaggeldversicherung gedeckt seien. Der Versicherungsschutz sei als Folge der Unfallversicherungsleistungen bis zum 30. April 2015 verlängert worden, sodass es keine Rolle spiele, wann genau die unfallbedingte Arbeitsunfähigkeit zu einer krankheitsbedingten geworden sei.
Nach Auffassung der Klägerin spielt es keine Rolle, ob die Deckung aus der kollektiven Krankentaggeldversicherung in Bezug auf sie als Arbeitnehmerin der C._ AG bis zum 31. März 2013, bis zum 12. August 2014 oder bis zum 30. April 2015 angedauert hat. Denn sie leite ihren Anspruch aus einer Erkrankung ab, die am Unfalltag, am 15. März 2011 eingetreten sei, somit zweifellos während bestehender Deckung. Daran ändere nichts, dass die Unfallversicherung zeitweise die Unfallkausalität anerkannt habe. Aus Sicht der Unfallversicherung sei die Arbeitsunfähigkeit ursprünglich unfallbedingt gewesen und sei diese Unfallkausalität später - wiederum aus Sicht der Unfallversicherung - zwei Mal weggefallen. Die Klägerin habe darauf vertrauen dürfen, dass die Deckung nur fehle, wenn eine Arbeitsunfähigkeit ausschliesslich von Anfang bis Ende Folge eines Unfalls sei, nicht aber wenn sich die Arbeitsunfähigkeit - ohne dass sich die Beschwerden im Geringsten geändert hätten - im Laufe der Zeit - und dies ausschliesslich aus "Gründen der juristischen Definition dieser Begriffe" - von unfall- zu krankheitsbedingten Beschwerden wandle.
Die Beklagte ihrerseits hält daran fest, dass für sämtliche Unfallfolgen nach dem klaren Wortlaut der Vertragsbestimmungen eine Deckung ausgeschlossen sei. Es sei daher entgegen der Vorinstanz irrelevant, dass es nicht möglich sei, den Beginn der krankheitsbedingten Leiden genau festzusetzen. Im Übrigen habe der Versicherungsschutz am 12. August 2014 geendet; nur eventualiter akzeptiert sie den 30. April 2015 als Endtermin.
3.6. Die Arbeitsunfähigkeit trat mit dem Unfall am 15. März 2011 ein. Der Klägerin kann nicht gefolgt werden, wenn sie meint, am Unfalltag habe eine krankheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit bestanden. Damit setzt sie sich in einen offensichtlichen Widerspruch zu ihrem eigenen Verhalten. Sie selber akzeptierte die wegen angeblich nicht mehr gegebener Unfallkausalität am 4. April 2012 verfügte Einstellung der Leistungen des Unfallversicherers nicht, was zur Bestätigung der nach wie vor bestehenden Unfallkausalität im Einspracheentscheid vom 24. Februar 2014 führte.
Umgekehrt kann "Folge eines Unfalls " auch nicht bloss äusserlich verstanden werden, also im Sinn, dass sobald eine Arbeitsunfähigkeit nach einem Unfall eintritt, alle gesundheitlichen Beschwerden daraus "Folge eines Unfalls" sind. Dass dem nicht so ist, zeigen die zitierten Ausführungen der Beklagten zu ihrer Vorschusspflicht. Danach erbrachte sie gestützt auf die Versicherungsbedingungen solche Leistungen während bestehendem Arbeitsverhältnis und damit Versicherungsschutz, weil nicht klar war, ob die Beschwerden unfall- oder krankheitsbedingt sind.
3.7. Die Argumentation beider Parteien zeigt, dass es darum geht, ob eine einmal als unfallkausal anerkannte Arbeitsunfähigkeit zur krankheitsbedingten werden kann, solange die Unfallkausalität vom Unfallversicherer anerkannt ist. Da von der Vorinstanz kein übereinstimmender tatsächlicher Wille festgestellt wurde (vgl. <ref-law>), kann das Bundesgericht die Auslegung des Vertrages als Rechtsfrage frei überprüfen.
Die Frage, was Vertragsgegenstand ist, hängt eng mit dem zeitlichen Umfang der Versicherungsdeckung zusammen. Die Vorinstanz hat einen Versicherungsschutz bis zum 30. April 2015 angenommen, weil die Unfallversicherung bis zu diesem Datum Taggelder geleistet hat.
Grundsätzlich endet der Versicherungsschutz mit dem Tag, an dem der Lohnanspruch aufhört. In der Regel ist dies das Ende des Arbeitsverhältnisses. Die Auslegung der Vorinstanz führt zum Ergebnis, dass als Folge der Unfallversicherungsleistungen eine Verlängerung der Versicherungsdeckung eintritt, während der aber die Taggeldversicherung nicht leistungspflichtig wird, da sie nur subsidiär zur Unfallversicherung leisten muss. Gleichzeitig soll die Deckungsverlängerung aber bewirken, dass in diesem Zeitraum ein Wandel von Unfallfolgen zu Krankheitsfolgen eintreten kann, weil die Unfallversicherung noch zahlt, obwohl sie dies mangels adäquater Kausalität der Beschwerden und damit der Arbeitsunfähigkeit zum Unfall gar nicht mehr müsste. Mit andern Worten wäre das Ergebnis der vorinstanzlichen Auslegung, wonach eine krankheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit noch während der Deckungsdauer eingetreten ist, allein auf die Tatsache zurückzuführen, dass die Unfallversicherung ihre Leistungen verspätet einstellte! Die Beklagte rügt dies, indem sie geltend macht, um eine krankheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit ab dem 1. Mai 2015 könne es sich nur handeln, wenn die Krankheit genau am 1. Mai 2015 (und somit nach Ablauf der Versicherungsdeckung) neu eingetreten sei; bis zu diesem Datum habe es sich um Unfallfolgen gehandelt. Dem ist beizupflichten. Solange die Unfallversicherung die Arbeitsunfähigkeit als unfallbedingt akzeptiert und Leistungen erbringt, ist diese "Folge eines Unfalls".
Es kann somit offenbleiben, ob die Deckung aus der Kollektivkrankentaggeldversicherung tatsächlich bis zum 30. April 2015 verlängert wurde. Denn so oder anders kann erst nach der Einstellung der durch die Unfallkausalität begründeten Leistungen eine krankheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit entstanden sein. Die Klage ist abzuweisen, ohne dass geprüft werden müsste, ob nach dem 1. Mai 2015 noch eine Arbeitsunfähigkeit bestand.
4A_447/2017
4.
Aufgrund der Beschwerde im Verfahren 4A_459/2017 ist das Urteil der Vorinstanz aufzuheben und die Klage abzuweisen. Entsprechend wird die Vorinstanz neu über die Kosten- und Entschädigungsregelung im kantonalen Verfahren befinden müssen und die diesbezügliche Beschwerde der Klägerin im Verfahren 4A_447/2017 gegenstandslos.
5.
Dem Ausgang der Verfahren gemäss wird die Klägerin kosten- und entschädigungspflichtig.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 4A_447/2017 und 4A_459/2017 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde im Verfahren 4A_459/2017 wird gutgeheissen. Der angefochtene Entscheid wird aufgehoben und die Klage wird abgewiesen.
3.
Die Beschwerde im Verfahren 4A_447/2017 wird als gegenstandslos abgeschrieben.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden der Klägerin auferlegt.
5.
Die Klägerin hat die Beklagte für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
6.
Die Sache wird zur Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen für das kantonale Verfahren an das Sozialverversicherungsgericht zurückgewiesen.
7.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Februar 2018
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Luczak