Faits :
A.
A._ a travaillé en qualité de cadre auprès d'une compagnie d'assurance. Le 14 décembre 2015, il a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité, alors que les rapports de travail ont pris fin le 30 avril 2016.
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg (ci-après: l'office AI) a recueilli l'avis du docteur B._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, et psychiatre traitant. Ce médecin a posé les diagnostics de dépression et de trouble mixte de la personnalité activé par la dépression et attesté que la capacité de travail était nulle dans l'activité habituelle depuis le 11 mai 2015, tandis qu'une activité de gestion commerciale sans beaucoup de contacts avec des tiers serait envisageable (notamment rapports des 7 janvier et 29 avril 2016, 10 mai et 30 août 2017). L'office AI a par ailleurs versé au dossier l'avis du docteur C._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, qui avait été mandaté par AXA Winterthur Assurances en qualité d'assureur perte de gain en cas de maladie (rapport du 18 février 2016). Ce médecin a retenu le diagnostic d'épisode dépressif majeur, de gravité légère à moyenne et fait état d'une pleine capacité de travail sans baisse de rendement dès le 1 er mars 2016.
Par décision du 6 juillet 2018, l'office AI a rejeté la demande, au motif que l'assuré avait subi une incapacité de travail d'une durée inférieure à un an et qu'il ne présentait pas d'atteinte à la santé invalidante.
B.
A._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales, qui l'a débouté par jugement du 31 décembre 2019.
C.
A._ interjette un recours en matière droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant principalement à l'octroi d'une rente entière d'invalidité, subsidiairement au renvoi de la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle instruction et décision dans le sens des considérants.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public (<ref-law>) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>).
2.
Le litige porte sur le droit du recourant à une rente d'invalidité.
La juridiction cantonale a exposé de manière complète les règles relatives à la notion d'invalidité (<ref-law>; <ref-law>), aux conditions du droit à la rente (<ref-law>), à l'appréciation du caractère invalidant de troubles psychiques (<ref-ruling> consid. 4.5 p. 415; <ref-ruling>), ainsi qu'à la valeur probante des rapports médicaux (<ref-ruling> consid. 3a p. 352). Il suffit d'y renvoyer.
3.
Le recourant se prévaut d'une constatation manifestement inexacte des faits pertinents consécutive à une mauvaise appréciation des preuves. Il reproche à la juridiction cantonale d'avoir accordé à tort force probante à l'expertise du docteur C._ et d'avoir écarté, sans motivation valable, les rapports et avis du docteur B._. Pour le recourant, l'avis du docteur C._ n'est pas probant au motif que ce médecin n'était pas en possession des informations nécessaires, plus particulièrement du rapport du docteur B._ du 7 janvier 2016. Il fait valoir que le docteur C._ ne s'est pas exprimé sur les avis divergents déposés antérieurement au dossier et qu'il n'a pas explicité les motifs pour lesquels ces avis ne devaient pas être suivis. Le recourant en déduit que seuls les rapports du docteur B._ pouvaient être pris en compte. Néanmoins, s'il fallait reconnaître une valeur probante au rapport du docteur C._, l'instance précédente aurait dû ordonner une nouvelle expertise car les opinions des deux spécialistes prénommés étaient diamétralement opposées.
4.
4.1. Quoi qu'en dise le recourant, le fait que le docteur C._ ne disposait pas du rapport du docteur B._ du 7 janvier 2016 qui attestait un trouble de la personnalité n'enlève pas sa valeur probante à l'expertise du docteur 18 février 2016. Comme le docteur C._ n'était pas intervenu dans le cadre de la demande de prestations de l'assurance-invalidité du 14 décembre 2015 dont le règlement est à l'origine du présent litige et s'était prononcé à la demande de l'assureur perte de gain, il n'avait pas accès aux pièces médicales en mains de l'office AI. A l'occasion de son expertise, le docteur C._ s'est cependant clairement exprimé non seulement sur l'incidence de la dépression, mais aussi sur la présence éventuelle d'une autre atteinte psychique. Il a ainsi explicitement écarté une comorbidité psychiatrique assimilable à une atteinte à la santé mentale et un trouble majeur de la personnalité (rapport, ch. 3.4 p. 14, ch. 5.2 p. 17 ss). Contrairement à l'opinion du recourant, ce médecin a donc envisagé un tel trouble, mais l'a exclu en fonction de ses constatations.
En conséquence, les premiers juges disposaient des rapports probants de deux spécialistes en psychiatrie (le docteur B._ et son confrère C._), dont les opinions divergeaient sur l'existence d'un trouble de la personnalité et sur l'étendue de la capacité de travail.
4.2. Dans ces circonstances, et malgré la divergence entre les médecins, l'instance précédente pouvait statuer en l'état du dossier sans compléter l'instruction. En effet, s'agissant du trouble de la personnalité, elle a indiqué de façon convaincante les raisons qui l'ont conduite à suivre l'appréciation du docteur C._ plutôt que celle du docteur B._. En particulier, elle a tenu compte du fait que les éléments mis en évidence par le psychiatre traitant (défiance, anxiété, comportement évitant, manque de confiance en soi) avaient été discutés par le docteur C._ qui les avait fortement relativisés. Ce dernier avait notamment constaté une intelligence vive, une expression aisée en français, l'absence de dépressivité marquée dans le sens d'une anhédonie, aboulie ou apragmatisme, l'existence d'une certaine anxiété non constante, une bonne collaboration durant l'entretien, un jugement et un raisonnement conservés, une accessibilité à un certain humour, mais également une tendance à la critique lorsque la question de l'incapacité de travail et de la reprise de l'activité était évoquée. Le docteur C._ en avait conclu que rien n'indiquait la présence d'un trouble majeur de la personnalité assimilable à une atteinte à la santé mentale.
Par ailleurs, l'instance précédente a aussi retenu que les tests réalisés durant l'expertise donnaient un résultat nettement aggravé lorsqu'ils résultaient d'une évaluation par le recourant lui-même, ce qui suggérait clairement une tendance à l'exagération. Pour les premiers juges, l'avis du docteur C._ était fondé sur une appréciation clairement objectivée et était dès lors plus convaincant.
Dans son argumentation, le recourant ne discute pas ces considérations, ses griefs se limitant essentiellement à contester - vainement - la force probante du rapport du docteur C._ et à se référer à la divergence entre l'appréciation de celui-ci et celle de son psychiatre traitant. Ce faisant, le recourant n'indique pas de manière circonstanciée en quoi les constatations de fait et l'appréciation des preuves de l'instance précédente seraient insoutenables. Dans ces conditions, le Tribunal fédéral n'a pas à s'écarter des constatations de la juridiction cantonale en tant qu'elle a exclu la présence d'un trouble de la personnalité assimilable à une atteinte à la santé.
4.3. Quant à l'éventuelle incidence de l'épisode dépressif majeur sur la capacité de travail et de gain, les premiers juges l'ont dûment examinée à la lumière des critères posés par la jurisprudence (cf. ATF <ref-ruling>), abordant successivement les indicateurs idoines (atteinte à la santé, personnalité et cohérence, contexte social et ressources personnelles, offres thérapeutiques existantes). A l'issue de leur analyse, les juges cantonaux sont parvenus à la conclusion que le recourant dispose des ressources nécessaires pour surmonter les difficultés liées à l'épisode dépressif qui l'affecte, de sorte qu'il n'est pas limité dans sa capacité de travail et de gain, y compris dans son activité habituelle.
Le recourant ne discute pas l'analyse des indicateurs par l'instance précédente ni le résultat de l'appréciation des preuves y relative. Il n'y a dès lors pas lieu d'y revenir.
4.4. Vu ce qui précède, le recours est infondé.
5.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais de la procédure (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 29 octobre 2020
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Meyer
Le Greffier : Berthoud