Sachverhalt:
A.
Die B._ Immobilien AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin) ist eine Tochtergesellschaft der B._ AG, zu deren Konzern weitere Gesellschaften gehören.
A._ (Kläger, Beschwerdeführer) war seit 1967 für die Unternehmensgruppe B._ tätig, von 1988 bis 2005 als alleiniger Geschäftsführer. Am 22. August 2005 schloss er mit der B._ Immobilien AG einen Vertrag rückwirkend per 1. Juli 2005, wonach er bis Ende 2010 als Berater des Verwaltungsrats der Holding tätig sein sollte.
Mit Schreiben vom 17. November 2006 kündigte die B._ Immobilien AG das Arbeitsverhältnis per Ende Mai 2007. Für den Fall, dass das Arbeitsverhältnis noch bestehen sollte, kündigte sie zudem mit Schreiben vom 12. Juni 2007 fristlos.
B.
B.a. Mit Teilklage vom 17. Oktober 2007 verlangte A._ von der B._ Immobilien AG gestützt auf Arbeitsrecht die Bezahlung von Fr. 1 Mio. nebst Zins. Die Gerichte - letztinstanzlich das Bundesgericht - erkannten, dass ein Arbeitsvertrag vorgelegen habe, der zufolge Befristung nicht habe ordentlich gekündigt werden können und dessen fristlose Kündigung ohne wichtigen Grund erfolgt sei. Die B._ Immobilien AG wurde verurteilt, A._ Fr. 1 Mio. akonto seiner Ansprüche aus Arbeitsvertrag zu bezahlen, da dessen Lohnansprüche diesen Betrag jedenfalls überstiegen. Die Frage, in welcher Höhe A._ ein Gewinnanteil für das Jahr 2005 zustehe, liess das Bundesgericht offen. Für den Betrag von Fr. 1 Mio. wurde ein Zins von 5 % seit 13. Juni 2007 zugesprochen (Urteil 4A_293/2015 / 4A_295/2015 vom 10. Dezember 2015, siehe insbesondere Dispositiv-Ziffer 4 und Erwägung 10.2).
B.b. Am 8. Januar 2018 erhob A._ beim Bezirksgericht (Arbeitsgericht) Bülach Klage mit folgendem materiellen Rechtsbegehren:
"Die Beklagte sei zu verpflichten, dem Kläger akonto seiner Ansprüche aus dem Arbeitsverhältnis den Betrag von 2'743'757.-- Franken zu bezahlen, zuzüglich 5 % Zins auf 736'240.-- Franken seit 1. Juli 2006, 5 % Zins auf 44'000.-- Franken seit 13. Juni 2007 und 5 % Zins auf 4'107'071.-- Franken ab 1.1.2018. Weitere Ansprüche bleiben ausdrücklich vorbehalten."
A._ forderte damit Fr. 736'240.-- als zusätzliche Gewinnbeteiligung für das Geschäftsjahr 2005 und Fr. 1'963'517.-- für Zinsen auf Ansprüche wegen ungerechtfertigter fristloser Entlassung.
Mit Beschluss und Urteil vom 30. Dezember 2019 verurteilte das Arbeitsgericht die B._ Immobilien AG, A._ Fr. 1'726'182.-- nebst Zins zu 5 % auf Fr. 4'106'656.-- seit 1. Januar 2018 zu bezahlen. Im Umfang von Fr. 44'000.-- (nebst Zins zu 5 % seit 13. Juni 2007) schrieb es die Klage ab. Im Mehrbetrag schloss das Arbeitsgericht auf Abweisung der Klage.
Dagegen gelangten sowohl A._ als auch die B._ Immobilien AG mit Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich. Dieses vereinigte die Berufungsverfahren und wies beide Berufungen mit Beschluss und Urteil vom 19. Januar 2021 ab.
C.
A._ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben, soweit darin seine Berufung abgewiesen werde. Die B._ Immobilien AG sei zu verurteilen, ihm akonto seiner Ansprüche aus dem Arbeitsvertrag Fr. 2'699'559.-- zu bezahlen, nebst Zins zu 5 % auf Fr. 736'240.-- seit 1. Juli 2006 und auf Fr. 4'106'656.-- seit 1. Januar 2018. Eventualiter sei die Sache "zur Vervollständigung des Beweisverfahrens" an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Obergericht verzichtete auf Vernehmlassung. Die Beschwerdegegnerin begehrt die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer replizierte, worauf die Beschwerdegegnerin eine Duplik eingereicht hat.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Obergerichts ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer Vorinstanz im Sinne von <ref-law>. Weiter erreicht der Streitwert den nach <ref-law> in arbeitsrechtlichen Fällen geltenden Mindestbetrag von Fr. 15'000.--. Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit grundsätzlich zulässig.
2.
2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90).
2.2. Soweit die Parteien die vorinstanzliche Beweiswürdigung kritisieren, ist zu beachten, dass das Bundesgericht in diese nur eingreift, wenn sie willkürlich ist. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern bloss, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 4.2.1). Dies ist dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 4.2). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 2.2). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266 f.; <ref-ruling> E. 2b).
3.
3.1. Vor Vorinstanz stand zunächst im Streit, ob die Parteien schriftlich oder mündlich eine zusätzliche Gewinnbeteiligung für das Geschäftsjahr 2005 in Höhe von 10 % zugunsten des Beschwerdeführers vereinbart hatten. Nach ausführlicher Würdigung aller im Recht liegenden Beweismittel kam das Obergericht zum Ergebnis, dass dem Beschwerdeführer der Nachweis einer solchen Vereinbarung nicht gelungen sei.
3.2. Was der Beschwerdeführer gegen diese Beweiswürdigung vorträgt, beschränkt sich auf appellatorische Kritik. Er schildert in frei gehaltenen Ausführungen seine Sicht der Geschehnisse und hält den vorinstanzlichen Feststellungen seine Interpretation der im Recht liegenden Schreiben und Aussagen entgegen. Dies genügt den Begründungsanforderungen im bundesgerichtlichen Verfahren nicht (Erwägung 2). Es ist darauf nicht einzutreten.
3.3. Soweit der Beschwerdeführer eine "unzulässige antizipierte Beweiswürdigung" und eine damit verbundene Verletzung von <ref-law> und <ref-law> moniert, weil er nicht zur Beweisaussage zugelassen worden sei, ist was folgt zu bemerken:
Richtig ist, dass die Beweisaussage ein gesetzlich vorgesehenes (<ref-law>), objektiv taugliches Beweismittel ist. Aus <ref-law> folgt ein Verbot fester Beweisregeln. Soweit die gesetzliche Pflicht zur freien Beweiswürdigung Platz greift, ist es nicht zulässig, einem bestimmten, gesetzlich vorgesehenen Beweismittel von vornherein jeden Beweiswert, also jede Überzeugungskraft abzusprechen. Dies gilt auch für die Beweisaussage (<ref-ruling> E. 9.3.2 S. 333).
Dieser Vorwurf kann dem Obergericht allerdings nicht gemacht werden. Es erachtete eine Beweisaussage des Beschwerdeführers im konkreten Fall deshalb als entbehrlich, weil es zur Überzeugung gelangte, sie ändere am Beweisergebnis ohnehin nichts. Diese Argumentation verletzt den Beweisführungsanspruch nicht (vgl. <ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer hätte aufzeigen müssen, dass die antizipierte Beweiswürdigung der Vorinstanz willkürlich ist (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 376 mit Hinweis). Dies tut er nicht.
3.4. Der Beschwerdeführer rügt sodann eine Verletzung von <ref-law>. Mit dieser Bestimmung habe der Gesetzgeber zum Ausdruck gebracht, dass "die Äusserung des Willens als vertragskonstituierendes Element" im Mittelpunkt stehe. Es sei vor diesem Hintergrund "unhaltbar", dass die Vorinstanz "unbestrittene schriftliche Willensäusserungen" der Beschwerdegegnerin "unbeachtet" gelassen habe, "zumal diese Willensäusserungen in jeder Hinsicht klar und eindeutig" gewesen seien.
Damit kritisiert der Beschwerdeführer unter dem Vorwand der Rechtsverletzung die sachverhaltlichen Feststellungen der Vorinstanz zum tatsächlichen Willen der Parteien. Darauf ist nicht einzugehen. Dass er in diesem Zusammenhang den "Vertrauensgrundsatz" ins Feld führt, ändert daran nichts.
4.
4.1. Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens waren sodann die Zinsen für Ansprüche des Beschwerdeführers aufgrund seiner ungerechtfertigten fristlosen Entlassung vom 12. Juni 2007.
4.2. In diesem Zusammenhang stellte die Vorinstanz fest, dass die konkrete erstinstanzliche "Berechnung" des Zinses im Berufungsverfahren nicht beanstandet worden sei. Diesbezügliche Rügen können folglich auch dem Bundesgericht nicht mehr unterbreitet werden (<ref-ruling> E. 1.1).
4.3. Hingegen war vor Obergericht strittig, ab welchem Zeitpunkt Ersatzansprüche aus ungerechtfertigter Entlassung (<ref-law>) zu verzinsen sind, konkret der Ersatz für den vereinbarten Anteil am (zukünftigen) Geschäftsergebnis (vgl. <ref-law>).
Die Vorinstanz hielt was folgt fest: Entlasse der Arbeitgeber den Arbeitnehmer fristlos ohne wichtigen Grund, so habe dieser Anspruch auf Ersatz dessen, was er verdient hätte, wenn das Arbeitsverhältnis unter Einhaltung der Kündigungsfrist oder durch Ablauf der bestimmten Vertragszeit beendigt worden wäre (<ref-law>). Dazu gehörten auch vereinbarte Anteile an (zukünftigen) Geschäftsergebnissen. Gemäss <ref-law> würden Forderungen aus dem Arbeitsverhältnis grundsätzlich mit der Beendigung des Arbeitsverhältnisses fällig, also im Zeitpunkt der fristlosen Kündigung. Gemäss Art. 339 Abs. 3 (in Verbindung mit Art. 323 Abs. 3) OR gelte allerdings für Forderungen auf einen Anteil am Geschäftsergebnis eine Ausnahme. Diese würden erst fällig, sobald das Geschäftsergebnis festgestellt sei, spätestens jedoch sechs Monate nach Ablauf des Geschäftsjahrs. (Erst) ab diesem Zeitpunkt sei die Forderung zu verzinsen.
Der Beschwerdeführer ist dagegen der Ansicht, die Beteiligung am (zukünftigen) Gewinn müsse ab dem Zeitpunkt der (ungerechtfertigten) fristlosen Kündigung verzinst werden und nicht erst nach Ablauf von sechs Monaten nach Abschluss des betreffenden Geschäftsjahrs. <ref-law> regle die Fälligkeit nur bei ordentlicher Beendigung des Arbeitsverhältnisses. Durch die zu späte Ansetzung des Fälligkeitszeitpunkts seien ihm Fr. 237'137.-- zu wenig Zinsen zugesprochen worden.
4.4. Die Erwägungen der Vorinstanz sind nicht zu beanstanden. Das Bundesgericht hat in der Tat - und anders, als der Beschwerdeführer meint - entschieden, dass sich die Fälligkeit und damit der Beginn der Verzinsung auch der Entschädigungsansprüche aufgrund ungerechtfertigter fristloser Entlassung im Sinne von <ref-law> nach den Regeln von <ref-law> richtet (Urteile 4A_474/2010 vom 12. Januar 2011 E. 2.2.2; 4C.414/2005 vom 29. März 2006 E. 6; vgl. ferner <ref-ruling> E. 3b S. 275 und Urteil 4C.2/2003 vom 25. März 2003 E. 10.3; aus der Doktrin - statt vieler - STREIFF/VON KAENEL/RUDOLPH, Arbeitsvertrag, 7. Aufl. 2012, N. 3 zu <ref-law> und N. 2 zu <ref-law>).
Soweit in der Lehre abweichende Meinungen vertreten werden, sind sie für den Beschwerdeführer ungünstig. Es wird namentlich eine Abzinsung ("Diskontierung") jener Forderungen vorgeschlagen, die wegen <ref-law> bereits jetzt fällig, aber bei ungekündigtem Vertragsverhältnis erst in Zukunft geschuldet gewesen wären (so GABRIEL AUBERT, in: Commentaire romand, Code des obligations I, 2. Aufl. 2012, N. 5 zu <ref-law>).
Jedenfalls hält <ref-law> fest, dass im Falle der Beendigung des Arbeitsverhältnisses die Forderung auf einen Anteil am Geschäftsergebnis nach Massgabe von <ref-law> fällig wird. Diese Bestimmung wiederum sieht vor, dass der Anteil am Geschäftsergebnis auszurichten ist, sobald dieses festgestellt ist, spätestens jedoch sechs Monate nach Ablauf des Geschäftsjahrs. Dies hat denn auch die Vorinstanz ihren Überlegungen zugrunde gelegt und erscheint ohne Weiteres sachgerecht, da das Ergebnis des Geschäftsjahrs und damit die Höhe des (behaupteten) Anspruchs des Arbeitnehmers im Vertragsbeendigungszeitpunkt noch gar nicht bekannt ist (Urteil 4A_45/2017 vom 27. Juni 2017 E. 6.2, nicht publiziert in: <ref-ruling>). Für den davor liegenden Zeitraum (das heisst für die Zeit vor Fälligkeit) sind entsprechend keine Zinsen zu bezahlen.
Der Beschwerdeführer legt nicht nachvollziehbar dar, weshalb diese (insoweit klaren) Bestimmungen und die darauf beruhende bundesgerichtliche Rechtsprechung nicht anwendbar sein sollen. Er bringt im Wesentlichen vor, der Zins sei nach allgemeinen Regeln "vom Zeitpunkt an geschuldet, in welchem sich das schädigende Ereignis finanziell auswirkt". Dies spricht allerdings gerade gegen seine These, wäre ihm der Anteil am Geschäftsergebnis bei ungekündigtem Arbeitsverhältnis doch auch erst nach Ablauf des jeweiligen Geschäftsjahrs (gemäss der Regel in <ref-law>) ausbezahlt worden. Auch seine Behauptung, beim hier in Frage stehenden Zins handle es sich um Schadens- und nicht um Verzugszins, hilft ihm nicht (vgl. zur Bedeutung der Unterscheidung: <ref-ruling> E. 9.1).
4.5. Die Kritik des Beschwerdeführers ist unbegründet.
5.
Der Beschwerdeführer stellt in seinen Rechtsbegehren vor Bundesgericht den Antrag, der vorinstanzliche Entscheid über die Kosten- und Entschädigungsfolgen sei zu ändern. Aus der Beschwerdebegründung erhellt, dass sich dieses Begehren auf den Fall der bundesgerichtlichen Gutheissung seiner Beschwerde bezieht. Damit hat es sein Bewenden.
6.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (siehe Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 15'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 17'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Juli 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Stähle