Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1957 geborene A._, seit ca. 1997 als selbstständige Atlaslogistin tätig, schloss mit der Pax, Schweizerische Lebensversicherungs-Gesellschaft AG (nachfolgend: Pax) eine "Linear fallende Todesfall-Versicherung - Gebundene Vorsorge-Police" mit Vertragsbeginn ab 1. Juli 1998 ab (Police Nr....). Garantierte Leistungen bei (vollständiger) Erwerbsunfähigkeit sind eine Rente von jährlich Fr. 48'000.- und Prämienbefreiung (Wartefrist 24 resp. 3 Monate).
Die Versicherte erlitt am 29. Mai 1999 einen Motorradunfall, weshalb ihr die Pax (für vollständige oder teilweise Invalidität) Prämienbefreiung ab dem 29. August 1999 und eine Rente ab dem 29. Mai 2001 gewährte. Diese Leistungen wurden auf den 30. Juni 2008 eingestellt; ab dem 1. April 2009 richtete die Pax - ohne Anerkennung einer Rechtspflicht - wieder Leistungen für eine Erwerbsunfähigkeit von 39 % aus.
A.b. Die IV-Stelle des Kantons Aargau sprach A._ mit Verfügung vom 20. August 2002 eine halbe Invalidenrente vom 1. Mai 2000 bis zum 31. Juli 2001 zu (Invaliditätsgrad ab 1. August 2001: 39 %). Die Versicherte meldete sich im April 2009 erneut bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach diversen Abklärungen - u.a. infolge von zwei Beschwerdeentscheiden des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau - und Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte die IV-Stelle mit Verfügung vom 7. Juli 2016 einen Rentenanspruch.
B.
Mit (Teil-) Klage vom 17. Dezember 2010 liess A._ Erwerbsunfähigkeitsleistungen für die Zeit ab dem 12. Dezember 2007 gestützt auf die Police Nr.... beantragen. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt sistierte das Verfahren am 28. Juni 2011 bis zum rechtskräftigen Entscheid über den Rentenanspruch gegenüber der Invalidenversicherung resp. bis zum 29. August 2016; anschliessend zog es die Akten der IV-Stelle des Kantons Aargau bei. Mit Entscheid vom 11. Dezember 2017 hiess es die Klage teilweise gut. Es verpflichtete die Pax, A._ Fr. 12'976.80 und Fr. 55'262.60 (zuzüglich 5 % Zins auf verschiedenen Beträgen ab Kageeinreichung resp. ab späterer Fälligkeit oder Zahlung vorgeleisteter Prämien) zu bezahlen. Sodann behaftete es A._ beim "Anerkenntnis", dass bereits erbrachte Leistungen von Fr. 25'381.- anzurechnen seien. Zudem stellte es für die Zeit ab 1. November 2011 einen Erwerbsunfähigkeitsgrad von 34 % fest. Im Übrigen wies es die Klage ab.
C.
Die Pax lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, der Entscheid vom 11. Dezember 2017 sei aufzuheben, und die Sache sei zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
A._ und das kantonale Gericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die Pax lässt eine weitere Eingabe einreichen.

Erwägungen:
1.
1.1. Streitig ist die Leistungspflicht der Beschwerdeführerin aus einer gebundenen Vorsorgeversicherung der Säule 3a nach Art. 82 Abs. 2 BVG und Art. 1 Abs. 1 lit. a der Verordnung über die steuerliche Abzugsberechtigung für Beiträge an anerkannte Vorsorgeformen vom 13. November 1985 (BVV 3; SR 831.461.3). Solche Streitigkeiten fallen in die sachliche Zuständigkeit der Berufsvorsorgegerichte (Art. 73 Abs. 1 lit. b BVG). Letztinstanzlich ist die II. sozialrechtliche Abteilung des Bundesgerichts zuständig (Art. 35 lit. e des Reglementes für das Bundesgericht vom 20. November 2006 [SR 173.110.131] in Verbindung mit Art. 49 und Art. 73 BVG; <ref-ruling> E. 1.1 S. 441 f. mit Hinweisen).
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>), die Feststellung des Sachverhalts nur, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (<ref-law>).
2.
In der Police Nr.... wird u.a. auf die "Ergänzenden Bedingungen für die Prämienbefreiung und die Zahlung einer Rente bei Erwerbsunfähigkeit - IR 96" (nachfolgend: IR 96) verwiesen. Deren Ziff. 1 enthält eine "Definition der Erwerbsunfähigkeit". Danach liegt Erwerbsunfähigkeit vor, wenn die versicherte Person infolge medizinisch objektiv feststellbarer Krankheit oder eines Unfalles ausserstande ist, ihren Beruf oder eine andere ihr zumutbare Erwerbstätigkeit auszuüben. Zumutbar ist eine Tätigkeit dann, wenn sie den Fähigkeiten und der Lebensstellung der versicherten Person entspricht, auch wenn die hierfür benötigten Kenntnisse erst durch eine Umschulung erworben werden müssen.
Ziff. 2 IR 96 enthält u.a. folgende Vorgaben zur "Bemessung des Grades der Erwerbsunfähigkeit": Das monatliche Erwerbseinkommen, das die versicherte Person vor Eintritt der Erwerbsunfähigkeit erzielt hat, wird mit demjenigen verglichen, das sie nach Eintritt der Erwerbsunfähigkeit noch erzielt oder - bei ausgeglichenem Arbeitsmarkt - noch erzielen könnte. Die Differenz, ausgedrückt in Prozenten des bisherigen Einkommens, ergibt den Grad der Erwerbsunfähigkeit (Ziff. 2.1 IR 96). Zur Bestimmung der Einkommenslücke bei Arbeitnehmern mit schwankendem oder unregelmässigem Einkommen (Arbeitnehmer auf Provisionsbasis, Temporärbeschäftigte, Arbeitnehmer mit saisonabhängigem Einkommen etc.) und bei Selbstständigerwerbenden wird der Durchschnitt des AHV-pflichtigen Einkommens der dem Beginn der Erwerbsunfähigkeit vorangehenden zwei vollen Kalenderjahre herangezogen. Bei den übrigen Erwerbstätigen gilt das AHV-pflichtige Einkommen im Kalendermonat vor Eintritt der Erwerbsunfähigkeit als Vergleichsbasis (Ziff. 2.2 IR 96). Ist die versicherte Person nicht erwerbstätig, so wird für die Bemessung des Grades der Erwerbsunfähigkeit darauf abgestellt, inwiefern die betreffende Person in ihrem gewohnten Tätigkeits- und Aufgabenbereich eingeschränkt ist (Ziff. 2.3 IR 96). Besteht nur teilweise Erwerbsunfähigkeit, so reduziert sich die jeweilige Leistungspflicht der Pax um das entsprechende Mass (Ziff. 2.4 IR 96).
3.
3.1. Das kantonale Gericht hat festgestellt, dass der Versicherten aus psychiatrischer Sicht eine Tätigkeit im Angestelltenverhältnis nicht zumutbar sei. Die angestammte Tätigkeit als selbstständige Atlaslogistin sei optimal angepasst; die Arbeitsfähigkeit dafür sei aus somatischen Gründen eingeschränkt und betrage 65 %. Dies gelte für den hier interessierenden Prüfungszeitraum ab September 2007, zumal die Operationen vom 25. September 2007, 29. Januar 2008 und 22. Januar 2009 keine (genügend) dauerhaften Auswirkungen auf die Arbeits- resp. Erwerbsfähigkeit gehabt hätten.
Für die per September resp. Dezember 2007 vorgenommene Invaliditätsbemessung hat die Vorinstanz die Versicherte als im Gesundheitsfall zu 100 % erwerbstätig erachtet. Unter "Anknüpfung" an den Bericht über die Abklärung an Ort und Stelle (Selbstständigerwerbende) der IV-Stelle vom 3. Oktober 2001 (nachfolgend: Abklärungsbericht Selbstständigerwerbende) hat sie das Valideneinkommen auf Fr. 78'162.48 und das Invalideneinkommen auf Fr. 51'589.44 festgelegt. Entsprechend dem resultierenden Invaliditätsgrad von 34 % hat sie die Ansprüche auf (teilweise) Rente und Prämienverbilligung bejaht.
3.2. Dass die vorinstanzlichen Feststellungen betreffend die Arbeitsfähigkeit offensichtlich unrichtig sein oder auf einer Rechtsverletzung beruhen sollen, ist nicht ersichtlich und wird auch nicht dargelegt. Sie bleiben daher verbindlich (E. 1.2).
Dagegen, dass das kantonale Gericht die Invaliditätsbemessung per Ende 2007 und auf der Grundlage einer vollen Erwerbstätigkeit vorgenommen hat, wird nichts vorgebracht. Die Beschwerdeführerin bemängelt einzig die Art und Weise der Invaliditätsbemessung. Sie macht im Wesentlichen geltend, die Vorinstanz habe Ziff. 2.1 und 2.2 IR 96 (und damit Bundesrecht) verletzt, indem sie die Erwerbsunfähigkeit nach der ausserordentlichen Methode bemessen habe; richtigerweise hätte sie einen (reinen) Einkommensvergleich nach der allgemeinen Methode durchführen und dabei als Valideneinkommen das durchschnittliche AHV-pflichtige Einkommen der zwei Jahre vor dem Unfall vom 29. Mai 1999 berücksichtigen müssen.
4.
4.1. Vorab ist in formeller Hinsicht festzuhalten, dass eine sachgerechte Anfechtung des vorinstanzlichen Entscheids möglich war. Daher kann von einer Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör resp. der Begründungspflicht keine Rede sein (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 436 mit Hinweisen).
4.2. Analog zum Vorgehen der IV-Stelle bei der Rentenzusprache vom 20. August 2002 hat das kantonale Gericht die Tätigkeit der Versicherten in die Bereiche Administration (9 %), direkte Behandlung (66 %) und Patientengespräche (25 %) unterteilt und den einzelnen Bereichen einen Tabellenlohn der Lohnstrukturerhebung des Bundesamtes für Statistik (LSE) zugewiesen. Anschliessend hat es für jeden Bereich eine gleichmässige Einschränkung um 1 /3 resp. "rund" 1 /3 berücksichtigt, was mit Behinderung zu einer Reduktion auf 6 %, 44 % und 16 % resp. gesamthaft zu einem Invaliditätsgrad von 34 % geführt hat. Damit hat die Vorinstanz im Ergebnis einen Prozentvergleich (vgl. E. 4.4.2 unten) vorgenommen (wobei die Abweichung des Invaliditätsgrades zur berücksichtigten Arbeitsunfähigkeit von 35 % auf eine Ungenauigkeit beim Runden des Werts für die Patientengespräche [16,66 %] zurückzuführen ist). Daran ändert nichts, dass sie die Vergleichseinkommen entsprechend den Tabellenlöhnen beziffert hat; dieser Umstand war für die Invaliditätsbemessung ohne jede Bedeutung. Von einer Invaliditätsbemessung in Anwendung der ausserordentlichen Methode - die im Übrigen eine Untervariante der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs ist (E. 4.4.1 unten) - kann nicht gesprochen werden.
Fraglich und zu prüfen ist, ob das vorinstanzliche Vorgehen mit den allgemeinen Versicherungsbedingen (IR 96; E. 2) vereinbar ist.
4.3. Die Auslegung des Reglements einer privatrechtlichen Vorsorgeeinrichtung resp. der Versicherungsbedingungen gemäss IR 96 als vorformulierter Inhalt des Vorsorgevertrages geschieht nach dem Vertrauensprinzip. Dabei sind jedoch die den allgemeinen Versicherungsbedingungen innewohnenden Besonderheiten zu beachten, namentlich die sogenannte Unklarheits- und Ungewöhnlichkeitsregel. Nach diesen Auslegungsgrundsätzen gilt es, ausgehend vom Wortlaut und unter Berücksichtigung des Zusammenhanges, in dem eine streitige Bestimmung innerhalb des Reglements als Ganzes steht, den objektiven Vertragswillen zu ermitteln, den die Parteien mutmasslich gehabt haben. Dabei hat das Gericht zu berücksichtigen, was sachgerecht ist, weil nicht angenommen werden kann, dass die Parteien eine unvernünftige Lösung gewollt haben (<ref-ruling> E. 2.2 S. 51 f. mit Hinweisen).
Das Ergebnis der Auslegung nach dem Vertrauensgrundsatz und in Anwendung der Unklarheits- und Ungewöhnlichkeitsregel überprüft das Bundesgericht als Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 2.3 S. 52 mit Hinweisen).
4.4.
4.4.1. Im Bereich der Invalidenversicherung gilt Folgendes: Für die Bemessung der Invalidität von erwerbstätigen Versicherten ist <ref-law> anwendbar (<ref-law>). Danach wird für die Bestimmung des Invaliditätsgrades das Erwerbseinkommen, das die versicherte Person nach Eintritt der Invalidität und Durchführung der medizinischen Behandlung und allfälliger Eingliederungsmassnahmen durch eine ihr zumutbare Tätigkeit bei ausgeglichener Arbeitsmarktlage erzielen könnte (Invalideneinkommen), in Beziehung gesetzt zum Erwerbseinkommen, das sie erzielen könnte, wenn sie nicht invalid geworden wäre (Valideneinkommen). Dies ist die allgemeine Methode des Einkommensvergleichs mit den Untervarianten des Schätzungs- oder Prozentvergleichs (<ref-ruling> E. 3a S. 313) und der ausserordentlichen Methode (<ref-ruling> E. 2.1 S. 23 mit Hinweisen; Urteil 8C_367/2018 vom 25. September 2018 E. 4.1).
4.4.2. Der Einkommensvergleich hat in der Regel in der Weise zu erfolgen, dass die beiden hypothetischen Erwerbseinkommen ziffernmässig möglichst genau ermittelt und einander gegenübergestellt werden, worauf sich aus der Einkommensdifferenz der Invaliditätsgrad bestimmen lässt. Für die Ermittlung des Valideneinkommens ist entscheidend, was die versicherte Person im Zeitpunkt des frühestmöglichen Rentenbeginns (oder der Anspruchsänderung) nach dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit als Gesunde tatsächlich verdient hätte. Dabei wird in der Regel am zuletzt vor Eintritt der Gesundheitsschädigung im angestammten Bereich erzielten, allenfalls der Teuerung und der realen Einkommensentwicklung angepassten Lohn angeknüpft (<ref-ruling> E. 4.1 S. 325; SVR 2009 IV Nr. 28 S. 79, 8C_576/2008 E. 6.2). Das Valideneinkommen von Selbstständigerwerbenden kann zumeist aufgrund der Einträge im Individuellen Konto (IK) bestimmt werden. Weist das bis zum Eintritt der Invalidität erzielte Einkommen starke und verhältnismässig kurzfristig in Erscheinung getretene Schwankungen auf, ist auf den während einer längeren Zeitspanne erzielten Durchschnittsverdienst abzustellen (SVR 2014 UV Nr. 1 S. 1, 8C_211/2013 E. 4.2; 2010 IV Nr. 26 S. 79, 8C_9/2009 E. 3.3; Urteil 9C_229/2018 vom 30. August 2018 E. 2.1).
Insoweit die fraglichen Erwerbseinkommen ziffernmässig nicht genau ermittelt werden können, sind sie nach Massgabe der im Einzelfall bekannten Umstände zu schätzen und die so gewonnenen Annäherungswerte miteinander zu vergleichen. Wird eine Schätzung vorgenommen, so muss diese nicht unbedingt in einer ziffernmässigen Festlegung von Annäherungswerten bestehen. Vielmehr kann auch eine Gegenüberstellung blosser Prozentzahlen genügen. Das ohne Invalidität erzielbare hypothetische Erwerbseinkommen ist alsdann mit 100 % zu bewerten, während das Invalideneinkommen auf einen entsprechend kleineren Prozentsatz veranschlagt wird, so dass sich aus der Prozentdifferenz der Invaliditätsgrad ergibt (sogenannter Prozentvergleich; <ref-ruling> E. 3a S. 312 f.; Urteil 8C_367/2018 vom 25. September 2018 E. 4.2 und 4.3).
4.5. Ziff. 2.1 IR 96 entspricht im Wesentlichen den Vorgaben von <ref-law>; sie enthält eine Umschreibung des Valideneinkommens als "Erwerbseinkommen, das die versicherte Person vor Eintritt der Erwerbsunfähigkeit erzielt hat". Sodann gilt für die meisten Erwerbstätigen "das AHV-pflichtige Einkommen im Kalendermonat vor Eintritt der Erwerbsunfähigkeit als Vergleichsbasis". Diese Bestimmungen stehen im Einklang mit der invalidenversicherungsrechtlichen Vorgabe (vgl. E. 4.4.2), wonach in der Regel am zuletzt vor Eintritt der Gesundheitsschädigung im angestammten Bereich erzielten Lohn angeknüpft wird. In Bezug auf das Valideneinkommen von Selbstständigerwerbenden stellt Ziff. 2.2 IR 96 eine Konkretisierung entsprechend den invalidenversicherungsrechtlichen Regeln zur Berücksichtigung von IK-Einträgen dar.
Der Wortlaut von Ziff. 2.2 IR 96 ist insofern unmissverständlich, als bei einer ziffernmässigen Festlegung des Valideneinkommens der Durchschnitt des AHV-pflichtigen Einkommens der dem Beginn der Erwerbsunfähigkeit vorangehenden zwei vollen Kalenderjahre heranzuziehen ist. Er schreibt indessen nicht vor, dass die Beträge gemäss IK-Eintrag unverändert zu übernehmen sind. Vielmehr ergibt sich aus dem Vertrauensprinzip, dass es auch im Anwendungsbereich von IR 96 sachgerecht ist, die zeitliche Entwicklung zu berücksichtigen und das Einkommen, das die versicherte Person als Gesunde im Zeitpunkt der Invaliditätsbemessung tatsächlich verdient hätte, als massgeblich zu betrachten. Sodann enthalten die Bestimmungen von IR 96 keine klare Vorgabe in dem Sinne, dass zwingend in jedem Fall die Vergleichseinkommen beziffert werden müssen resp. ein Prozentvergleich ausgeschlossen sein soll.
4.6. Laut verbindlicher (E. 1.2) vorinstanzlicher Feststellung ging die IV-Stelle bei der Rentenzusprache im August 2002 davon aus, dass die Versicherte ohne Gesundheitsschaden neben der Arbeit im Haushalt (mit drei Kindern) im Umfang von 76 % erwerbstätig gewesen wäre. Von dieser Auffassung abzuweichen besteht kein Anlass. Hinzu kommt, dass die Beschwerdegegnerin laut Abklärungsbericht Selbstständigerwerbende erst seit 1997 selbstständig tätig war (resp. 1996 bei einem Umsatz von lediglich Fr. 13'736.- einen Verlust erzielte). Für das Einkommen in den "zwei vollen Kalenderjahren" vor dem Unfall vom 29. Mai 1999 bedeutet dies, dass es einerseits in der Aufbauphase der Selbstständigkeit und anderseits in einem Teilzeitpensum (neben der versicherungsmässig ebenfalls abgedeckten Haushaltsarbeit; vgl. Ziff. 2.3 IR 96) erzielt wurde. Es scheint daher keine verlässliche Grundlage für die Ermittlung des Valideneinkommens per Ende 2007. Insbesondere stellt sich die Frage, nach welchen Parametern es auf den rund zehn Jahre späteren Zeitpunkt anzupassen wäre; die blosse Aufrechnung des damaligen (im Umfang bislang unbekannten) Teilzeitpensums auf ein Vollzeitpensum wäre jedenfalls ungenügend.
Angesichts der konkreten Umstände und der Schwierigkeiten bei der Bezifferung des hypothetischen Valideneinkommens ist es auch im Lichte von IR 96 nicht bundesrechtswidrig, dass das kantonale Gericht die Invalidität durch einen Prozentvergleich ermittelt hat. Die Beschwerde ist unbegründet.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'400.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. November 2018
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Dormann