Sachverhalt:
A.
A.A._ (geb. 1975) ist kosovarischer Staatsangehöriger. Da er sich als italienischer Staatsbürger ausgab, erteilte die Abteilung Migration des Amtes für Inneres und Sicherheit des Kantons Appenzell Ausserrhoden (im Weiteren: Abteilung Migration) ihm 2009 eine Aufenthaltsbewilligung B-EU/EFTA mit einer Laufzeit von fünf Jahren. Seine kosovarische Ehegattin (geb. 1987) und die beiden in der Schweiz geborenen Kinder D.A._ (geb. 2011) und C.A._ (geb. 2014) kamen im Familiennachzug ebenfalls in den Genuss von Aufenthaltsbewilligungen B-EU/EFTA.
B.
B.a. Am 22. April 2013 wurde die Abteilung Migration anonym darüber informiert, dass A.A._ nicht italienischer, sondern kosovarischer Staatsbürger sei. Die weiteren Abklärungen bestätigten dies. Am 18. November 2014 wurde A.A._ wegen Fälschung von Ausweisen und Täuschung von Behörden schuldig gesprochen; das Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden sprach A.A._ am 10. Januar 2017 vom Vorwurf der Fälschung von Ausweisen frei; es bestätigte indessen seine Verurteilung wegen Täuschung der Behörden und auferlegte ihm eine bedingte Geldstrafe von 50 Tagessätzen zu je Fr. 70.--, entsprechend Fr. 3'500.--, sowie eine Busse von Fr. 700.--.
B.b. Am 22. Mai 2014 ersuchte A.A._ die Abteilung Migration darum, seine Aufenthaltsbewilligung B-EU/EFTA zu verlängern; er gab dabei neu an, kosovarischer Staatsbürger zu sein. Das Bewilligungsverfahren wurde in der Folge bis zum Abschluss des Strafverfahrens sistiert. Am 12. September 2017 wies die Abteilung Migration die Ver-längerungsgesuche von A.A._, B.A._ und D.A._ ab; sie widerrief zudem die bis zum 25. Februar 2019 gültige Aufenthaltsbewilligung B-EU/EFTA von C.A._ und hielt die ganze Familie an, das Land zu verlassen.
B.c. Die hiergegen gerichteten kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg: Das Departement Inneres und Sicherheit des Kantons Appen-zell Ausserrhoden, Direktion, wies den von der Familie A._ einge-reichten Rekurs am 22. November 2017 ab; das Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden schloss sich am 5. Juli 2018 der Beurteilung seiner Vorinstanzen an.
C.
Die Familie A._ beantragt vor Bundesgericht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiärer Verfassungsbeschwerde, das Urteil des Obergerichts des Kantons Appenzell Ausserrhoden aufzuheben und die kantonalen Behörden anzuweisen, die Aufenthaltsbewilligungen von A.A._, B.A._ und D.A._ zu verlängern bzw. vom Widerruf der Aufenthaltsbewilligung von C.A._ abzusehen. Die Familie A._ macht geltend, dass die Abteilung Migration ihre Abklärungen zu spät eingeleitet habe, womit sie eine Vertrauensgrundlage hinsichtlich der Verlängerung ihrer Bewilligungen geschaffen habe; im Übrigen sei die aufenthaltsbeendende Massnahme unverhältnismässig und verletze die Kinderrechtekonvention.
Der Abteilungspräsident liess die Akten einholen; am 4. September 2018 legte er der Beschwerde aufschiebende Wirkung bei.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unzulässig gegen Entscheide über ausländerrechtliche Bewilligungen, auf deren Erteilung weder das Bundes- noch das Völkerrecht einen Rechtsanspruch einräumen (<ref-law>). Die Beschwerdeführer berufen sich auf eine Verletzung des verfassungsmässigen Vertrauensschutzes (vgl. <ref-law>) sowie - im Hinblick auf das Schicksal der Kinder - auf eine Missachtung der Garantien des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (Kinderrechtekonvention; SR 0.107). Sie machen indessen nicht mehr geltend, das Freizügigkeitsabkommen (FZA; SR 0.142.112.681) sei auf sie weiterhin anwendbar, nachdem sich die italienische Identitätskarte als Fälschung erwiesen hat (vgl. zu dieser Problematik auch die Urteile 2C_96/2012 vom 18. September 2012 E. 2.2.2 und 2C_209/2010 vom 4. Oktober 2010).
1.2. Ob und inwiefern die Beschwerdeführer aus den angerufenen Bestimmungen - in vertretbarer Weise - einen Rechtsanspruch ableiten können, ist fraglich; im Zweifel rechtfertigt es sich jedoch, die aufgeworfenen Rechtsfragen materiell und nicht im Rahmen des Eintretens zu prüfen. Wird auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten eingetreten, ist die subsidiäre Verfassungsbeschwerde unzulässig (vgl. <ref-law>) : Die Beschwerdeführer legen nicht dar, dass und inwiefern die mit dem negativen Bewilligungsentscheid verbundene Wegweisung (Art. 64 Abs. 1 lit. c AuG) besondere verfassungsmässige Rechte verletzen würde (vgl. <ref-ruling> ff.). Da die Eingabe die weiteren gesetzlichen Vorgaben für die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erfüllt (Art. 42, Art. 82 lit. a i.V.m. Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG), ist darauf einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich potentiell stellenden Fragen zu beantworten, wenn diese in seinem Verfahren nicht mehr formell korrekt (Begründungs- und Mitwirkungspflicht) vorgebracht werden (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem sowie interkantonalem Recht. Das Bundesgericht geht auf entsprechende Rügen nur ein, wenn sie in der Beschwerdeschrift präzise vorgebracht und verfassungsbezogen begründet werden (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
2.2. Das Bundesgericht ist an den Sachverhalt gebunden, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig, was von der beschwerdeführenden Person in Auseinandersetzung mit den Ausführungen im angefochtenen Entscheid aufzuzeigen ist (Art. 105 Abs. 2 und <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 351 f.). Zur Sachverhaltsfeststellung gehört auch die auf Indizien gestützte Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 2.3 S. 265 ff.; Urteil 2C_402/2015 vom 11. November 2016 E. 2.2.2). Die Beschwerdeführer rügen die Sachverhaltsfeststellung bzw. die Würdigung der Beweise nicht verfassungsbezogen, sondern bloss appellatorisch, d.h. sie stellen lediglich ihre Sicht der Dinge derjenigen der Vorinstanz gegenüber, ohne darzulegen, inwiefern diese die Beweise in Missachtung von <ref-law> (Willkür) gewürdigt hätte. Im Folgenden ist der rechtlichen Beurteilung deshalb der Sachverhalt zugrundezulegen, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>).
3.
3.1. Nach den Feststellungen im Urteil des Obergerichts vom 10. Januar 2017, auf welche sich der angefochtene Entscheid stützt, hat der Beschwerdeführer 1 bewusst eine gefälschte Identitätskarte benutzt, um von der günstigeren ausländerrechtlichen Freizügigkeitsregelung zu profitieren. Ohne dieses Papier wäre ihm als kosovarischer Staatsangehöriger - ohne weiteren Bezug zur Schweiz und ohne spezifische berufliche Fachfähigkeiten (Gipser) - keine Bewilligung erteilt worden. Soweit der Beschwerdeführer 1 geltend macht, die Abteilung Migration hätte bei der erstmaligen Ausstellung der Aufenthaltsbewilligung seine Papiere nachhaltiger untersuchen müssen, verkennt er, dass sich dies erst aufdrängte, als sie am 22. April 2013 einen telefonischen Hinweis erhalten hatte, dass der Beschwerdeführer nicht italienischer, sondern kosovarischer Staatsbürger sei. In der Folge bemühte sich die Abteilung Migration um die entsprechenden Abklärungen (auch in Italien). Diese ergaben, dass der Beschwerdeführer seine Bewilligung durch falsche Angaben erwirkt und er die Behörden wissentlich und willentlich mit einer gefälschten Identitätskarte getäuscht und ihnen wesentliche Tatsachen verschwiegen hatte (vgl. Art. 62 Abs. 1 lit. a AuG).
3.2. Die täuschende Handlung des Beschwerdeführers hätte es erlaubt, seine Bewilligung gestützt auf <ref-law> (SR 142.203) zu widerrufen; hat er doch nie die Voraussetzungen für ein freizügigkeitsrechtliches Anwesenheitsrecht erfüllt (vgl. ZÜND/HUGI YAR, Staatliche Leistungen und Aufenthaltsbeendigung unter dem FZA, in: Epiney/ Gordzielik [Hrsg.], Personenfreizügigkeit und Zugang zu staatlichen Leistungen, 2015, S. 157 ff., dort S. 182 ff.). Unter diesen Umständen rechtfertigt es sich auch, die unter falschen Angaben erschlichenen Bewilligungen nicht mehr zu verlängern (vgl. das Urteil 2C_209/2010 vom 4. Oktober 2010). Wer die Fehlerhaftigkeit der Vertrauensgrundlage kennt, kann sich hernach nicht auf den Vertrauensschutz berufen, wie die Beschwerdeführer dies tun (vgl. Urteil 2D_37/2018 vom 29. Oktober 2018 E. 4 und den Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts F-7543/2015 vom 27. November 2017 E. 5.1 - 5.3 [BVGE 2017 VII/6]); "nemo auditur propriam turpitudinem allegans"). Hieran ändert nichts, dass die Beschwerdeführer bei der Geburt des ersten Kindes den Kosovo als dessen Heimatstaat angegeben haben und die Abteilung Migration für den Familiennachzug der Gattin ursprünglich eine Bestätigung der italienischen und der kosovarischen Behörden einverlangte. Der Beschwerdeführer hat sich beim Nachzug seiner Frau wiederum als italienischer Staatsbürger ausgegeben; dass die Abteilung für Migration auf eine Erklärung seitens der kosovarischen Behörden verzichtete, konnte für ihn keine Vertrauensgrundlage schaffen, nachdem er und seine Gattin wussten, dass sie nicht die italienische Staatsbürgerschaft besassen. Die blosse Erteilung einer Bewilligung begründet regelmässig kein schutzwürdiges Vertrauen in deren Verlängerung (<ref-ruling> E. 3b; Urteil 2D_37/2018 vom 29. Oktober 2018 E. 4.1; BVGE 2017 VII/6 E. 5.3 mit Hinweisen). Das Recht gewährt dem missbräuchlich Handelnden für Rechtspositionen, die er durch Täuschung erwirkt hat, regelmässig keinen Bestandesschutz (vgl. <ref-ruling> E. 2; Urteile 2D_37/2018 vom 29. Oktober 2018 E. 4 und 2C_209/2010 vom 4. Oktober 2010 E. 6.2.2).
3.3. Die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligungen ist - entgegen der Kritik der Beschwerdeführer - auch verhältnismässig: Der Beschwerdeführer lebte bis zu seinem 34. Altersjahr im Kosovo. Er wurde dort sozialisiert und ist mit den heimatlichen Gebräuchen sowie der dortigen Sprache vertraut. Dasselbe gilt für seine Gattin: Diese ist im Alter von 32 Jahren in die Schweiz eingereist; ihr sind die Verhältnisse im Kosovo, wo sie aufwuchs und sozialisiert wurde, ebenfalls bekannt. Soweit die Beschwerdeführer einwenden, nach acht Jahren Aufenthalt in der Schweiz hier inzwischen sozial und beruflich gut integriert zu sein, ist ihre Darlegung ohne Belang, da sie sich nie ordentlich bewilligt im Land aufgehalten haben. Ihr Anwesenheitsrecht war erschlichen und damit unrechtmässig; die Dauer der Anwesenheit des Beschwerdeführers 1 hing im Übrigen von der Dauer des Strafverfahrens hinsichtlich des gefälschten italienischen Ausweises ab. Dass der Strafrichter das Verschulden des Beschwerdeführers "als eher leicht" qualifizierte, ändert nichts daran, dass die jahrelange Täuschung der Ausländerbehörden ausländerrechtlich anders zu beurteilen ist: Das Ausländerrecht beruht auf der Grundlage der Mitwirkungspflicht der Betroffenen und darauf, dass diese wahrheitsgetreue Angaben machen (Art. 90 AuG); täuschen sie bewusst die Behörden und könnten sie dennoch in der Schweiz verbleiben, ginge dies zu Lasten all jener ausländischen Personen, die sich an die hiesigen Regeln halten oder gehalten haben.
4.
Was die Beschwerdeführer weiter vorbringen, überzeugt nicht:
4.1. Der Beschwerdeführer zog seine Frau im Wissen darum nach, dass er seine Aufenthaltsbewilligung mit unlauteren Machenschaften erschlichen hatte. Ihr abgeleitetes Anwesenheitsrecht nach Art. 3 Anhang I FZA entfällt mit der vom Gatten erschlichenen potentiell originiären freizügigkeitsrechtlichen Anwesenheitsberechtigung. Ihre Bewilligung könnte nur solange gelten, als das originäre Anwesenheitsrecht des Gatten fortbestünde. Dies ist hier nicht der Fall: Der Beschwerdeführer 1 hat - wie dargelegt - nie freizügigkeitsrechtlich ein originäres Aufenthaltsrecht erworben.
4.2.
4.2.1. Heikler erweist sich die Situation der Kinder: Sie sind in der Schweiz geboren und besuchen inzwischen hier die Schulen. Das ausländische unmündige Kind teilt indessen bereits aus familienrechtli-chen Gründen (Art. 25 Abs. 1 und Art. 301 Abs. 3 und 301a ZGB [SR 210]) das ausländerrechtliche Schicksal seiner sorge- und obhutsberechtigten Eltern; es hat das Land mit ihnen zu verlassen, wenn sie über keine Anwesenheitsberechtigung mehr verfügen und das Sorgerecht bzw. die Obhut nicht auf eine anwesenheitsberechtigte Drittperson (volljährige Brüder und Schwestern usw.) übertragen wurde, was hier nicht geschehen ist.
4.2.2. Die beiden Kinder befinden sich noch in einem anpassungsfähigen Alter; es ist ihnen zumutbar, mit den Eltern auszureisen, zumal sie - nach den Erfahrungen des Lebens - im Familienverband auch über die heimischen Verhältnisse und die dortige Kultur gewisse Kenntnisse erworben haben dürften. Der Nachzug von Kindern im Alter der Be-schwerdeführer 3 und 4 in die Schweiz wird als zumutbar gewertet, selbst wenn sie noch keine Landessprache beherrschen. Warum dies umgekehrt anders sein sollte, ist nicht ersichtlich (vgl. das Urteil 2C_775/2017 vom 28. März 2018 E. 4.3.3).
4.2.3. Nach der bundesgerichtlichen Praxis kann grundsätzlich nur die Bewilligung jener Person widerrufen werden, die selber einen Widerrufsgrund gesetzt hat. Hinsichtlich der Kinder geht die Rechtsprechung davon aus, dass ihre Bewilligung, die - mangels eines Widerrufsgrunds nicht widerrufen werden kann und an sich trotz der Ausreisepflicht der Eltern fortbesteht -, durch die Abmeldung bzw. den Aufenthalt im Ausland erlischt (vgl. Art. 61 Abs. 1 lit. a bzw. Abs. 2 AuG; vgl. die Urteile 2C_95/2018 vom 7. August 2018 E. 7; 2C_775/ 2017 vom 28. März 2018 E. 1.2; 2C_656/2011 vom 8. Mai 2012 E. 3; 2C_830/2010 vom 10. Juni 2011 E. 4). Diese Praxis gilt für den Fall des Widerrufs einer ursprünglich korrekt erteilten Bewilligung, hingegen nicht für Situationen, bei denen nie eine ordnungsgemässe Bewilligung erteilt worden ist, weil die entsprechenden Voraussetzungen nicht gegeben waren. In dieser Situation hat sich das Kind das missbräuchliche Verhalten seiner Eltern anrechnen zu lassen und mit diesen auszureisen (so das Urteil 2C_483/2017 vom 6. Februar 2018 E. 4.6).
4.2.4. Die Geburt der Kinder in der Schweiz war nur möglich, weil die Eltern die Behörden - mit einer gefälschten italienischen Identitätskarte - getäuscht haben. Unter diesen Umständen und im Hinblick auf die Aufrechterhaltung der Einheit der Familie im Heimatland durfte auch die an sich noch bis zum 25. Februar 2019 gültige Aufenthalts-bewilligung EU/EFTA des Beschwerdeführers 3 widerrufen werden. Die Bewilligungsvoraussetzungen nach Art. 3 Anhang I FZA waren nie gegeben, weshalb sich die Beschwerdeführer nicht auf Art. 6 Abs. 1 Anhang I FZA berufen können. <ref-law> bezieht sich seinerseits nicht nur auf nachträglich, sondern auch auf ursprünglich fehlerhafte Verfügungen (Urteil 2C_96/2012 vom 18. September 2012 E. 2). Da die Beschwerdeführer ihre familiären Beziehungen im Heimatland pflegen können, ist der Anwendungsbereich von Art. 8 EMRK durch den angefochtenen Entscheid nicht betroffen (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 96 mit Hinweisen). Die Beschwerdeführer haben das Land gemeinsam zu verlassen; sie können ihr Familienleben im Kosovo fortsetzen.
4.2.5. Die Beschwerdeführer verkennen die Tragweite der Garantien des Übereinkommens über die Rechte des Kindes (KRK), soweit sie sich für die Erteilung bzw. die Beibehaltung ihrer Bewilligungen auf diese berufen: Aus der KRK ergibt sich kein Anspruch auf Erteilung oder Verlängerung einer Anwesenheitsbefugnis (vgl. <ref-ruling> E. 5; Urteile 2C_775/2017 vom 28. März 2018 E. 1.3.3 und 2C_648/ 2014 vom 6. Juli 2015 E. 2.3 mit weiteren Hinweisen); den in der Kinderrechtekonvention geregelten Aspekten sowie <ref-law> (besonderer Schutz von Kindern und Jugendlichen) wird im Rahmen der Auslegung bzw. der Interessenabwägung bei der Anwendung der einschlägigen nationalen Gesetzesbestimmungen Rechnung getragen (vgl. <ref-ruling> E. 5.5.1; Urteil 2C_648/2014 vom 6. Juli 2015 E. 2.3); dies hat die Vorinstanz hier rechtsfehlerfrei getan. Eine gewisse kulturelle und soziale Entwurzelung ist mit jeder familiären Umgliederung verbunden; dies spricht nicht gegen einen Umzug, wenn es darum geht, ob ein Kind im Familiennachzug mit den Eltern in ein ihm mehr oder weniger fremdes Land ausreisen muss (so das Urteil 2C_359/2014 vom 12. Dezember 2014 E. 5.4).
5.
5.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unbegründet und deshalb abzuweisen. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
5.2. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend haben die Beschwer-deführer die Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren solidarisch zu tragen (Art. 66 Abs. 1 i.V.m. Abs. 5 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
1.2. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht von Appenzell Ausserrhoden, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Dezember 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar