Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Zahlungsbefehl Nr. xxx des Betreibungsamtes Olten-Gösgen vom 19. November 2018 verlangte die SVA Basel-Landschaft von A._ die Bezahlung von Fr. 8'839.80 zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 16. November 2018 sowie die Bezahlung einer Forderung ohne Zins von Fr. 1'036.60.
A.b. Nachdem der Betriebene Rechtsvorschlag erhob, ersuchte die SVA Basel-Landschaft das Richteramt Olten-Gösgen am 13. Juni 2019 um Erteilung der definitiven Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 9'946.65 zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 16. November 2018 unter Kostenfolge.
Mit Verfügung vom 14. Juni 2019, welche zufolge Nichtabholung durch den Betriebenen am 28. Juni 2019 nochmals versandt wurde, setzte der Rechtsöffnungsrichter A._ nach <ref-law> und <ref-law> eine Frist zur Stellungnahme von fünf Tagen ab Zustellung an.
A._ schloss mit Stellungnahme vom 8. Juli 2019 (Postaufgabe) auf Abweisung des Gesuchs und beantragte eine Fristerstreckung zur Einreichung der Begründung.
Mit Verfügung vom 10. Juli 2019 erstreckte der Amtsgerichtspräsident die Frist zur Einreichung einer Stellungnahme bis am 16. Juli 2019. Gleichzeitig wurde A._ darauf hingewiesen, dass keine weitere Fristerstreckung gewährt werde. In der Folge hat der Gesuchsgegner dem Richteramt keine Stellungnahme eingereicht.
A.c. Mit Urteil vom 8. August 2019 erteilte der Amtsgerichtspräsident für den Betrag von Fr. 8'940.45 zuzüglich Zins zu 5 % seit 16. November 2018, für die Verzugszinsen von Fr. 832.90 sowie für die Mahngebühren von Fr. 70.-- die definitive Rechtsöffnung. Er auferlegte A._ die Gerichtskosten von Fr. 300.-- und verpflichtete ihn, der SVA Basel-Landschaft eine Unkostenentschädigung von Fr. 30.-- zu bezahlen.
B.
B.a. Gegen das begründete Urteil erhob A._ am 14. Oktober 2019 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Solothurn und beantragte sinngemäss die Aufhebung des erstinstanzlichen Urteils. A._ ersuchte zudem um eine Fristverlängerung zur Einreichung einer substanziellen Begründung.
B.b. Das Obergericht wies das Begehren um eine Fristverlängerung mit Verfügung vom 21. Oktober 2019 ab und erteilte der SVA Basel-Landschaft die Möglichkeit zur Stellungnahme, wovon diese keinen Gebrauch machte. Mit Schreiben vom 1. November 2019 ersuchte A._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Mit Urteil vom 27. November 2019 hiess das Obergericht die Beschwerde insoweit teilweise gut, als dass in der Betreibung Nr. xxx die definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 8'839.80 zuzüglich Zins zu 5 % seit 16. November 2018 erteilt wurde. Im Übrigen wurde die Beschwerde abgewiesen und auf das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Beschwerdeverfahren nicht eingetreten. Das Obergericht auferlegte A._ die Gerichtskosten von Fr. 450.--.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 3. Januar 2020 ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheids und die Abweisung des Rechtsöffnungsbegehrens.
Mit Eingabe vom 20. Februar 2020 (Postaufgabe) ersucht der Beschwerdeführer ausserdem um aufschiebende Wirkung. Die SVA Basel-Landschaft beantragt die Abweisung des Begehrens. Mit Präsidialverfügung vom 27. April 2020 wurde das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, in der Sache hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Da in der vorliegenden vermögensrechtlichen Zwangsvollstreckungssache (<ref-law>) der Streitwert von Fr. 30'000.-- nicht erreicht ist (<ref-law>), kann der obergerichtliche Entscheid nur mit Beschwerde in Zivilsachen angefochten werden, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>). Dabei hat die beschwerdeführende Partei zu begründen, inwiefern diese Voraussetzung erfüllt ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.6 S. 494 f.). Dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von <ref-law> stellt, wird in der Beschwerde nicht ausgeführt. Demnach ist die Beschwerde in Zivilsachen nicht zulässig. Offen steht damit die eventuell erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>, Art. 114 i.V.m. <ref-law>, <ref-law> und Art. 117 i.V.m. <ref-law>), sofern die Eingabe die Begründungsanforderungen dieses Rechtsmittels erfüllt.
1.2. Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 117 i.V.m. <ref-law> in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399; <ref-ruling> E. 2.4 S. 368).
2.
In der Beschwerde wird als gehörsverletzend gerügt, dass dem Beschwerdeführer eine zu kurze Frist zur Stellungnahme zum Rechtsöffnungsgesuch gewährt worden sei. Unverständlicherweise habe ihm das Richteramt lediglich 5 Tage eingeräumt. Die Auffassung des Obergerichts, dass er insgesamt ausreichend Zeit gehabt habe, sich zur Sache zu äussern oder bei Bedarf einen Rechtsvertreter beizuziehen treffe nicht zu, weil das Richteramt mit der ersten Verfügung klar kommuniziert habe, dass die Frist von 5 Tagen nicht erstreckt werden könne. Der Komplexität des Falles sei damit nicht ausreichend Rechnung getragen worden.
2.1. Der Entscheid über das Rechtsöffnungsgesuch ergeht im summarischen Verfahren (<ref-law>). Gemäss <ref-law> gibt der Rechtsöffnungsrichter dem Betriebenen sofort nach Eingang des Gesuchs Gelegenheit zur schriftlichen oder mündlichen Stellungnahme und eröffnet danach innert fünf Tagen den Entscheid. Zwar handelt es sich bei diesen Zeitvorgaben lediglich um Ordnungsvorschriften. Gleichwohl wird damit die gesetzlich vorgesehene Beschleunigung des Verfahrens verdeutlicht (<ref-ruling> E. 3.2.4 S. 488; Urteil 5A_449/2012 vom 20. August 2012 E. 2.1).
2.2. Mit seinen Ausführungen übersieht der Beschwerdeführer, dass das Rechtsöffnungsgericht eine in Rechtskraft erwachsene und als Rechtsöffnungstitel vorgelegte Verfügung (vorliegend: Verfügung der SVA Basel-Landschaft, Ausgleichskasse, vom 26. April 2017 über die persönlichen Beiträge des Beschwerdeführers für die Beitragsperiode 1. Januar 2015 bis 30. September 2015) inhaltlich nicht überprüfen darf (<ref-ruling> E. 4.3.1 S. 568; <ref-ruling> E. 3.1 S. 80) und dem Schuldner im definitiven Rechtsöffnungsverfahren nur noch ganz eingeschränkte Verteidigungsmittel zur Verfügung stehen (vgl. <ref-law>). Zudem wurde dem Beschwerdeführer vorliegend auf dessen Gesuch hin eine Erstreckung der Frist bis zum 16. Juli 2019 gewährt. Der Einwand des Beschwerdeführers, dass ihm das Richteramt Olten-Gösgen mit der ersten Verfügung kommuniziert habe, dass die Frist von 5 Tagen nicht erstreckt werden könne, verfängt nicht. Der entsprechende Hinweis auf <ref-law> befindet sich unter dem mit Fettdruck hervorgehobenen Titel "Rechtsmittel gegen die Verfügung über den Kostenvorschuss" und bezieht sich damit klarerweise nicht auf die dem Beschwerdeführer angesetzte fünftägige (richterliche) Frist für die Stellungnahme zum Rechtsöffnungsbegehren. Die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs im Sinne von <ref-law> erweist sich somit als offensichtlich unbegründet.
3.
Sodann rügt der Beschwerdeführer sinngemäss, das Obergericht habe durch Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege <ref-law> verletzt. Dabei setzt er sich jedoch mit keiner der beiden selbständigen Begründungen des Obergerichts (Missachtung der Obliegenheit zur Einreichung der ausdrücklich angeforderten Unterlagen bzw. Vorliegen genügender liquider Mittel) rechtsgenüglich auseinander, indem er vor Bundesgericht lediglich unbelegte Behauptungen (er habe die Steuerbehörde gebeten, die vom Obergericht verlangte Bestätigung über seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse direkt an das Gericht zu senden bzw. die Einzahlungen auf sein Konto seien auf Unterstützungszahlungen seiner Familie zurückzuführen) aufstellt. Darauf ist nicht einzutreten (Art. 117 i.V.m. <ref-law>).
4.
4.1. Insgesamt ist auf die Beschwerde in Zivilsachen nicht einzutreten und die subsidiäre Verfassungsbeschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
4.2. Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung kann angesichts der Aussichtslosigkeit des bundesgerichtlichen Rechtsmittels nicht entsprochen werden (<ref-law>).
4.3. Der Beschwerdeführer als unterliegende Partei hat somit die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG). Der (nicht anwaltlich vertretenen) Gegenpartei sind keine ersatzpflichtigen Kosten entstanden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in Zivilsachen wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. September 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss