Sachverhalt:
A.
A.a. Die am 29. Dezember 1963 geborene A._ war seit dem 1. August 1999 als Physiotherapeutin bei der Gemeinschaftspraxis B._ angestellt. In dieser Eigenschaft war sie über ihre Arbeitgeberin obligatorisch unfallversichert; für die vorübergehenden Leistungen bei der ÖKK Kranken- und Unfallversicherungen AG (nachfolgend: ÖKK) und für die andauernden Leistungen bei der Solida Versicherungen AG (nachfolgend: Solida). Am 27. Juli 2001 erlitt sie als Lenkerin eines Kleinmotorrads beim Zusammenprall mit einem Personenwagen ein Polytrauma. Die ÖKK erbrachte die gesetzlichen Versicherungsleistungen (Heilkosten, Taggelder). Nach medizinischen Abklärungen, insbesondere nach Einholung des Gutachtens der Dr. med. C._, FMH Spezialärztin für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 29. Juni 2009 und Konsultation ihres vertrauensärztlichen Dienstes (Aktennotiz des Dr. med. D._ vom 16. Juli 2009) teilte sie der Versicherten mit Verfügung vom 24. August 2010 mit, dass der natürliche Kausalzusammenhang zwischen dem Verkehrsunfall vom 27. Juli 2001 und der posttraumatischen Belastungsstörung nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt sei, so dass ab 1. Oktober 2010 "ein Leistungsanspruch für alle weiteren psychologischen Behandlungen" entfalle. Diese Verfügung erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
A.b. Für die somatischen Unfallfolgen sprach die Solida A._ mit Verfügung vom 13. Mai 2011 eine Integritätsentschädigung in der Höhe von 5 % zu, verneinte jedoch einen Rentenanspruch. Auf Einsprache hin führte die Solida weitere medizinische Abklärungen durch und holte insbesondere ein interdisziplinäres Gutachten der Begutachtungsstelle E._ vom 17. September 2014 ein. Gestützt darauf gelangte sie zum Schluss, dass der Unfall vom 27. Juli 2001 eine Schädigung der körperlichen Integrität im Ausmass von gesamthaft 20 % zur Folge hatte. Dementsprechend erhöhte sie die Integritätsentschädigung in teilweiser Gutheissung der Einsprache auf 20 %, wies diese jedoch ab, soweit damit eine höhere Integritätsentschädigung sowie eine Invalidenrente von mindestens 40 % beantragt wurden (Einspracheentscheid vom 2. Mai 2017).
B.
Die hiergegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 14. Februar 2018 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, es sei in Aufhebung des angefochtenen Gerichts- und des Einspracheentscheids vom 2. Mai 2017 festzustellen, dass die Verfügung der ÖKK vom 24. August 2010 wiedererwägungsweise aufgehoben worden sei, und ein Kausalzusammenhang zwischen den psychischen Beschwerden und dem Unfallereignis vom 27. Juli 2001 bestehe. Die ÖKK und Solida seien zu verpflichten, weiterhin die gesetzlichen Leistungen zu erbringen. Zur genauen Bestimmung der Leistungen sei die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventuell seien die ÖKK und die Solida zur weiteren Heilbehandlung für die psychischen Beschwerden sowie zur Leistung einer Invalidenrente von 20 % und einer Integritätsentschädigung von 20 % zu verhalten.
Die zum bundesgerichtlichen Verfahren beigeladene ÖKK beantragt, auf die Beschwerde sei, soweit sich diese gegen sie richte, nicht einzutreten. Die Solida ihrerseits schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit auf sie einzutreten sei. Die Vorinstanz hält dafür, die Beschwerde sei gutzuheissen und die Angelegenheit zur Prüfung der psychischen Unfallfolgen an sie zurückzuweisen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die (weiteren) Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1 mit Hinweis).
1.2.
1.2.1. Die Beschwerdeführerin beantragt, wie schon im vorinstanzlichen Verfahren, die ÖKK habe ihr weitere Heilbehandlung für die psychischen Unfallfolgen zu erbringen. Ob in diesem Punkt auf die Beschwerde eingetreten werden kann, ist vorab zu prüfen.
1.2.2. Im verwaltungsgerichtlichen Beschwerdeverfahren sind grundsätzlich nur Rechtsverhältnisse zu überprüfen und zu beurteilen, zu denen die zuständige Verwaltungsbehörde vorgängig verbindlich - in Form einer Verfügung - Stellung genommen hat. Insoweit bestimmt die Verfügung den beschwerdeweise weiterziehbaren Anfechtungsgegenstand. Umgekehrt fehlt es an einem Anfechtungsgegenstand und somit an einer Sachurteilsvoraussetzung, wenn und insoweit keine Verfügung ergangen ist (<ref-ruling> E. 1a mit Hinweisen). Streitgegenstand im System der nachträglichen Verwaltungsrechtspflege ist das Rechtsverhältnis, welches - im Rahmen des durch die Verfügung bestimmten Anfechtungsgegenstandes - den auf Grund der Beschwerdebegehren effektiv angefochtenen Verfügungsgegenstand bildet. Anfechtungs- und Streitgegenstand sind danach identisch, wenn die Verwaltungsverfügung insgesamt angefochten wird (<ref-ruling> E. 2.1 S. 164 f. mit Hinweis).
1.2.3. Anfechtungsgegenstand des vorinstanzlichen Beschwerdeverfahrens bildete der von der Solida erlassene Einspracheentscheid vom 2. Mai 2017 (Art. 56 ATSG), worin ausschliesslich über den Anspruch der Beschwerdeführerin auf Dauerleistungen (Rente, Integritätsentschädigung) gegenüber der Solida befunden wurde. Im Rahmen des vorinstanzlichen Verfahrens wurde die ÖKK mangels eines diesbezüglichen Anfechtungs- und Streitgegenstands weder als Partei einbezogen noch beigeladen. Damit fällte die Vorinstanz hinsichtlich der gegenüber der ÖKK geltend gemachten Ansprüche im Ergebnis einen Nichteintretensentscheid, auch wenn sie das im Entscheiddispositiv nicht zum Ausdruck brachte. Mit diesem Prozessentscheid setzt sich die Beschwerdeführerin in ihrer Begründung mit keinem Wort auseinander, obwohl dies nach der Rechtsprechung erforderlich wäre und es mit den Vorbringen zur materiellen Seite des Falles nicht sein Bewenden haben kann (<ref-ruling>; Urteile 8C_508/2018 vom 20. August 2018 sowie 9C_513/2018 vom 23. Juli 2018). Insofern ist auf die Beschwerde von vornherein nicht einzutreten, soweit sie sich gegen die ÖKK richtet.
1.2.4. Selbst wenn in diesem Punkt auf die Beschwerde einzutreten wäre, dränge die Beschwerdeführerin nicht durch. Soweit damit geltend gemacht wird, die Solida habe ihrerseits im Rahmen des Einspracheverfahrens weitere Abklärungen auch hinsichtlich des psychischen Gesundheitszustands veranlasst und den diesbezüglichen Leistungsanspruch im Einspracheentscheid vom 2. Mai 2017 verneint, bliebe dies für die Leistungspflicht der ÖKK folgenlos. Denn ein Anspruch auf weitere Heilbehandlung wäre, allenfalls unter Geltendmachung eines Wiedererwägungs- oder eines Nichtigkeitsgrundes betreffend die unangefochten in Rechtskraft erwachsene Verfügung vom 24. August 2010, zwingend gegenüber der ÖKK - als für die vorübergehenden Leistungen allein zuständiger Versicherungsträger - geltend zu machen gewesen. Insofern liesse sich der vorinstanzliche Nichteintretesentscheid nicht beanstanden.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1, 130 III 136 E. 1.4 S. 140).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
3.
Streitig und noch zu prüfen bleibt, ob die Solida bei der Prüfung der langfristigen Leistungen (Rente und Integritätsentschädigung) die psychischen Unfallfolgen zu berücksichtigen hatte. Die Vorinstanz verneinte dies im angefochtenen Entscheid mit Hinweis auf die von der ÖKK erlassene Verfügung vom 23. August 2010, mit der der Leistungsanspruch auf "weitere psychologische Behandlungen" in Bezug auf die PTBS (posttraumatische Belastungsstörung) bereits rechtskräftig verneint worden sei.
4.
4.1. Das Nebeneinander zweier Unfallversicherer in ein und demselben Versicherungsfall findet seine bundesrechtliche Grundlage in Art. 70 Abs. 2 UVG. Danach können Krankenkassen die Versicherung der Heilbehandlung einschliesslich der Sachschäden, der Reise-, Transport- und Rettungskosten sowie des Taggeldes durchführen; sie haben mit dem Versicherer, der die übrigen Leistungen erbringt, die gegenseitige Zusammenarbeit zu vereinbaren.
Wie bereits erwähnt, war im vorliegenden Fall die ÖKK zuständig für die Erbringung der vorübergehenden Leistungen, namentlich Taggeld und Heilbehandlung, die Solida für die Erbringung Dauerleistungen, namentlich der Invalidenrente und der Integritätsentschädigung.
4.2. In <ref-ruling> hat das Bundesgericht im Zusammenhang mit Art. 70 Abs. 2 UVG erkannt, dass sich jeder der beteiligten Versicherer das jeweilige Verhalten des andern anrechnen lassen muss (E. 2.3 S. 164 und E. 2.6 S. 167 f.). Weiter führte es aus, die Durchführung des Versicherungsobligatoriums durch eine Krankenkasse in Zusammenarbeit mit einem anderen Versicherer nach Art. 68 Abs. 1 lit. a oder b UVG dürfe für die versicherte Person keine Nachteile bewirken (vgl. Botschaft des Bundesrates vom 18. August 1976 in: BBl 1976 III 141, 211 Ziff. 405.13); namentlich dürfe die Erfüllung des Versicherungsobligatoriums in der Konstellation von Art. 70 Abs. 2 UVG zu keinen Erschwernissen oder anderen verfahrensrechtlichen Vorgehensweisen führen, als wenn der versicherten Person einzig die Suva oder ein Versicherer nach Art. 68 Abs. 1 lit. a oder b UVG gegenübersteht (<ref-ruling> E. 2.3 S. 164). Aus der vorausgesetzten engen Zusammenarbeit der beiden beteiligten Versicherer schloss das Gericht, dass sich eine allenfalls nicht optimal funktionierende Art der Zusammenarbeit nicht zu Lasten der versicherten Person auswirken dürfe, sondern diese sowie deren Konsequenzen eine intern zu regelnde Angelegenheit der Versicherer darstelle (<ref-ruling> E. 2.4 S. 165).
4.3. Wesentlich ist die in <ref-ruling> mit Blick auf die auch hier gegebene besondere Organisationsform statuierte Regel, dass aus dieser für die versicherte Person keine Erschwernis, auch keine verfahrensrechtliche, entstehen darf. Insofern musste die damals rechtlich nicht vertretene Beschwerdeführerin nach Erhalt der Verfügung der ÖKK vom 23. August 2010 nicht damit rechnen, dass mit dem darin verneinten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfallereignis und der PTBS sowie der gestützt darauf explizit verfügten Ablehnung eines Anspruchs auf weitere Heilbehandlungen "für alle weiteren psychologischen Behandlungen" im Grundsatz bereits auch über ihre gesamten Ansprüche auf Dauerleistungen für psychische Beschwerden gegenüber der Solida befunden worden war. Die Tragweite dieser Leistungseinstellung wäre für eine Versicherte ohne rechtlichen Beistand schon bei einem einzigen involvierten Versicherungsträger kaum ohne Weiteres erkennbar gewesen, worüber hier jedoch nicht zu entscheiden ist. Keinesfalls war sie es bei der hier gegebenen Organisationsform. Die Tragweite des Verfügungstextes wird dabei zusätzlich dadurch relativiert, dass die zum damaligen Zeitpunkt bereits diagnostizierte chronifizierte leichte depressive Episode - im Gegensatz zur ausdrücklich genannten PTBS - gänzlich unerwähnt blieb, weshalb darüber, jedenfalls mit Wirkung im Verhältnis zur Solida, auch gar nicht befunden wurde. Im Rahmen des interdisziplinären Gutachtens der Begutachtungsstelle E._ vom 17. September 2014 wurde denn auch die psychiatrische Diagnose nochmals bestätigt und eine (psychiatrisch bedingte) Arbeitsunfähigkeit im Sinne einer Leistungseinschränkung im Umfang von 20 % attestiert. Somit war es auch rechtens, dass die Solida im Einspracheentscheid vom 2. Mai 2017 eine Anspruchsprüfung unter Berücksichtigung der psychischen Beschwerden vornahm und insofern die Verfügung der ÖKK vom 24. August 2010 für sich selbst nicht gelten liess. Die entsprechende Prüfung hätte daher auch im vorinstanzlichen Beschwerdeverfahren erfolgen müssen, wie nun auch das kantonale Gericht im bundesgerichtlichen Verfahren vernehmlassend einräumt.
5.
Demzufolge ist die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie darüber befindet, ob die zumindest teilweise in natürlich kausaler Weise im Unfallereignis vom 27. Juli 2001 gründende Depression auch in einem adäquaten Kausalzusammenhang zu diesem steht.
Sollte die Adäquanz bejaht werden, bliebe zu klären, ob die vorhandenen medizinischen Unterlagen einem strukturierten Beweisverfahren nach Massgabe von <ref-ruling> zugänglich sind (vgl. <ref-ruling>, wonach selbst leichte bis mittelschwere Depressionen für die Beurteilung der Arbeitsfähigkeit grundsätzlich einem solchen Verfahren zu unterziehen sind). Je nach Abklärungstiefe und -dichte kann zudem unter Umständen eine punktuelle Ergänzung genügen (<ref-ruling> E. 8 S. 309). Entsprechend dem Ergebnis dieser Weiterungen wird die Vorinstanz über die beantragte Zusprache zusätzlicher Dauerleistungen neu zu befinden haben. Die Beschwerde ist in diesem Sinne teilweise gutzuheissen, soweit darauf eingetreten wird.
6.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 BGG). Die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz gilt als vollständiges Obsiegen der leistungsansprechenden Partei nach Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG (<ref-ruling> E. 6.1 S. 235). Als unterliegende Partei hat demnach die Solida die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdeführerin steht eine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 14. Februar 2018 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung über den Anspruch auf Dauerleistungen an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Solida auferlegt.
3.
Die Solida hat A._ für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. Oktober 2018
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Elmiger-Necipoglu