Sachverhalt:
Die Staatsanwaltschaft Lenzburg-Aarau führte je ein Strafverfahren gegen B._ und C._ wegen sexueller Nötigung, mutmasslich begangen an A._ am 29. August 2011 in der Justizvollzugsanstalt Lenzburg. Mit zwei Verfügungen je vom 20. September 2019 stellte die Staatsanwaltschaft die Strafverfahren ein.
Dagegen erhob A._ bei der Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Aargau Beschwerde mit dem Antrag, die angefochtenen Verfügungen seien aufzuheben und die Strafverfahren gegen B._ und C._ weiterzuführen. Für das Verfahren vor dem Obergericht ersuchte A._ um unentgeltliche Rechtspflege inklusive Einsetzung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands. Der Verfahrensleiter der Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts wies dieses Gesuch mit Verfügung vom 28. Oktober 2019 ab und forderte A._ zur Bezahlung einer Sicherheitsleistung in der Höhe von Fr. 1'000.-- auf, ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten werde.
Gegen die Verfügung vom 28. Oktober 2019 hat A._ am 29. November 2019 (Datum der Postaufgabe) Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht erhoben. Er beantragt, die angefochtene Verfügung sei aufzuheben. Ihm sei für das Verfahren vor dem Obergericht die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen und Rechtsanwalt Oliver Bulaty als unentgeltlicher Rechtsvertreter einzusetzen. Eventualiter sei die angefochtene Verfügung aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet. Die Staatsanwaltschaft liess sich nicht vernehmen. Der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat der Beschwerde am 20. Dezember 2019 die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid in einer Strafsache (vgl. Art. 78 Abs. 1 und Art. 80 BGG). Es handelt sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> bewirken kann (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 205; <ref-ruling> E. 4 S. 338 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer macht mit seiner Kritik an der Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege eine Verletzung von Verfahrensrechten geltend, die einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommt. Dazu ist er gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und b BGG befugt (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 5; Urteile 1B_502/2019 vom 23. Dezember 2019 E. 1 und 6B_1039/2017 vom 13. März 2018 E. 1.2.2; je mit Hinweisen). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von <ref-law> und sinngemäss von <ref-law>.
2.1. Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtlos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. <ref-law> konkretisiert den in <ref-law> verankerten Anspruch auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für die Privatklägerschaft im Strafprozess. Als Privatklägerschaft gilt die geschädigte Person, die ausdrücklich erklärt, sich am Strafverfahren als Straf- oder Zivilklägerin oder -kläger zu beteiligen (<ref-law>). Der Privatklägerschaft ist nach <ref-law> die unentgeltliche Rechtspflege für die Durchsetzung ihrer Zivilansprüche ganz oder teilweise zu gewähren, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (lit. a) und die Zivilklage nicht aussichtslos erscheint (lit. b). Die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands setzt überdies voraus, dass die Rechtsvertretung zur Wahrung der betreffenden Ansprüche notwendig ist (<ref-law>).
2.2. Unbestritten war vor der Vorinstanz, dass der Beschwerdeführer im Sinne von <ref-law> bedürftig ist. Die Vorinstanz hat das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege indessen gestützt auf <ref-law> wegen Aussichtslosigkeit abgewiesen. Der Beschwerdeführer wendet ein, die Beschwerde an das Obergericht sei nicht aussichtslos, weswegen ihm die unentgeltliche Rechtspflege nicht hätte verweigert werden dürfen.
2.2.1. Als aussichtslos im Sinne von <ref-law> bzw. <ref-law> sind Begehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie - zumindest vorläufig - nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten, wobei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgebend sind (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 139 f. mit Hinweisen).
Bei im Strafverfahren adhäsionsweise erhobenen Zivilklagen sind die genügenden Gewinnaussichten in der Regel gegeben. Diese dürfen nicht verneint werden, wenn sich schwierige Fragen stellen, deren Beantwortung als unsicher erscheint. Die unentgeltliche Rechtspflege darf indessen verweigert werden, wenn die rechtliche Argumentation des Gesuchstellers unhaltbar ist oder die Verurteilung des Beschuldigten offensichtlich ausscheidet, so dass ohne Weiteres die Nichtanhandnahme oder Einstellung zu verfügen ist (vgl. Urteil 1B_505/2019 vom 5. Juni 2020 E. 3.2 mit Hinweisen).
Nach <ref-law> verfügt die Staatsanwaltschaft unter anderem dann die vollständige oder teilweise Einstellung des Verfahrens, wenn kein Tatverdacht erhärtet ist, der eine Anklage rechtfertigt (lit. a), kein Straftatbestand erfüllt ist (lit. b) oder Rechtfertigungsgründe einen Straftatbestand unanwendbar machen (lit. c). Der Entscheid über die Einstellung eines Verfahrens richtet sich nach dem Grundsatz "in dubio pro duriore". Danach darf die Staatsanwaltschaft das Verfahren grundsätzlich nur bei klarer Straflosigkeit oder offensichtlich fehlenden Prozessvoraussetzungen einstellen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 69 f.). Selbst bei so genannten "Vier-Augen-Delikten" kann auf eine Anklageerhebung unter anderem dann verzichtet werden, wenn eine Verurteilung unter Einbezug der gesamten Umstände als von vornherein unwahrscheinlich erscheint (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 243 mit Hinweisen).
2.2.2. Der Beschwerdeführer hatte am 28. März 2018 gegenüber der Kantonspolizei Solothurn den angeblichen Vorfall vom 29. August 2011, nämlich die in der Justzivollzugsanstalt Lenzburg angeblich an ihm begangene sexuelle Nötigung, beschrieben. Unter anderem hat er ausgesagt, er sei nach dem Vorfall mit einem Kollegen zum Gesundheitsdienst gegangen, welcher festgestellt habe, dass er vergewaltigt worden sei und eine Platzwunde am Kopf habe. Ausserdem sei er ausserhalb der Justizvollzugsanstalt bei einem Arzt in der Altstadt gewesen. Er sei am Anus verletzt gewesen und er habe am Anus genäht werden müssen. Am Kopf habe er Schürfungen gehabt, die mit einem Pflaster abgedeckt worden seien.
Die Vorinstanz kam in einer summarischen Prüfung der Prozessaussichten zum Schluss, eine Verurteilung der beschuldigten Personen sei von vornherein unwahrscheinlich. Entscheidend waren für die Vorinstanz insbesondere die von der Staatsanwaltschaft eingeholten Auskünfte der Justizvollzugsanstalten Lenzburg und Solothurn. Gemäss der Auskunft der Justizvollzugsanstalt Lenzburg vom 26. September 2018 gab es am 29. August 2011 keinen Kontakt zwischen dem Beschwerdeführer und dem Gesundheitsdienst der Anstalt und fanden während des gesamten Aufenthalts des Beschwerdeführers in der Justizvollzugsanstalt keine externen ärztlichen Untersuchungen statt. Gemäss der Auskunft der Justizvollzugsanstalt Solothurn vom 17. Mai 2019 wies der Beschwerdeführer bei seinem Eintritt am 30. August 2011 keine äusserlich sichtbaren Verletzungen auf.
Angesichts der erwähnten Auskünfte der beiden Justizvollzugsanstalten ist nachvollziehbar, dass die Vorinstanz die Aussagen des Beschwerdeführers vom 28. März 2018 als nicht glaubhaft einstufte und dass sie zum vorläufigen Schluss kam, eine Verurteilung der beschuldigten Personen sei unter den gesamten Umständen von vornherein unwahrscheinlich, womit das Strafverfahren gegen die beschuldigten Personen habe eingestellt werden dürfen. Dass die Staatsanwaltschaft in antizipierter Beweiswürdigung davon absah, weitere Nachforschungen bezüglich des vom Beschwerdeführer erwähnten Kollegen anzustellen, der ihm am 29. August 2011 angeblich geholfen haben soll, ändert daran mit Blick auf die erhobenen Beweise nichts.
2.2.3. Nach dem Ausgeführten ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz zum Schluss kam, für die Beschwerde des Beschwerdeführers an das Obergericht gegen die Einstellung der Strafverfahren bestünden keine ernsthaften Erfolgsaussichten, womit die Beschwerde bzw. eine mit dem Strafverfahren verknüpfte Zivilklage aussichtslos sei. Die Vorinstanz hat nicht gegen <ref-law> oder <ref-law> verstossen, indem sie das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen hat.
3.
Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet. Sie ist im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege inklusive unentgeltliche Verbeiständung im Verfahren vor Bundesgericht ist wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen (vgl. Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Indessen kann unter den gegebenen Umständen auf eine Kostenauflage ausnahmsweise verzichtet werden (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege inklusive unentgeltliche Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Lenzburg-Aarau und dem Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. November 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Mattle