Sachverhalt:
A.
A.a. Obwohl er bereits seit 1960 mit C._ verheiratet war, vermählte sich A.A._ (geb. 1935) 1986 in U._ mit B.A._ (geb. 1947).
A.b. Am 9. September 2008 klagte A.A._ beim Bezirksgericht Bischofszell auf Ehescheidung, eventuell Eheungültigkeit. Mit Eingabe vom 29. Juni 2009 stellte er den bisherigen Eventualantrag neu als Hauptbegehren und den Antrag auf Ehescheidung als neues Eventualbegehren. Am 28. Oktober 2009 zog A.A._ seine Klage zurück. Auf Begehren von B.A._ wurde das bisher auf der Basis eines gemeinsamen Scheidungsbegehrens geführte Verfahren als Scheidungsklage der Ehefrau fortgesetzt. Am 11. März 2010 teilte A.A._ dem Bezirksgericht Bischofszell mit, dass er an seiner Eheungültigkeitsklage festhalte. Diesen Antrag zog er am 17. August 2012 zurück, worauf das Bezirksgericht Arbon, welches das bis dahin vor Bezirksgericht Bischofszell hängige Verfahren zufolge einer Bezirksreorganisation ab 1. Januar 2011 übernommen hatte, das Verfahren betreffend Eheungültigkeit als erledigt vom Protokoll abschrieb. Ab dem 18. Juni 2013 blieb das Ehescheidungsverfahren bis zum rechtskräftigen Abschluss des am Tribunale Ordinario di Roma hängigen Eheungültigkeitsprozesses (s. A.d hiernach) sistiert.
A.c. B.A._ beantragte für die Dauer des Scheidungsverfahrens vorsorgliche Massnahmen, welche das Bezirksgericht Bischofszell am 20. Juli 2009 anordnete. Es verpflichtete A.A._ zu monatlichen Unterhaltszahlungen von Fr. 16'700.-- an seine Ehefrau. Den von A.A._ dagegen erhobenen Rekurs wies das Obergericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 19. Juli/22. September 2010 ab. Dieser Entscheid erwuchs unangefochten in Rechtskraft. Ausserdem liess B.A._ ihn mit Urteil des Corte d'Appello di Roma vom 26. März 2014 anerkennen; sie verfügt in Italien über einen vollstreckbaren Unterhaltstitel.
A.d. Auf Klage von C._ und D.A._ (Tochter der Beklagten) gegen A.A._ und B.A._ erklärte das Tribunale Ordinario di Roma mit Entscheid vom 16. Januar 2015 die Ehe der Parteien - d.h. die Ehe zwischen A.A._ und B.A._ - für nichtig. Das Berufungsgericht (Corte d'Appello di Roma) bestätigte dieses Ergebnis mit Urteil vom 16. März 2016.
A.e. Mit Entscheid vom 26./29. Mai 2017 anerkannte das Bezirksgericht Arbon das Urteil des Tribunale Ordinario di Roma und schrieb das bei ihm hängige Ehescheidungsverfahren zufolge Gegenstandslosigkeit als erledigt ab. Weiter stellte das Bezirksgericht fest, dass die am 20. Juli 2009 angeordneten vorsorglichen Massnahmen mit der rechtskräftigen Erledigung des Scheidungsverfahrens für die Zukunft ( ex nunc) dahinfielen.
B.
Dagegen führte A.A._ am 29. Juni 2017 Berufung. Er wollte festgestellt wissen, dass er B.A._ keine Unterhaltszahlungen schulde und dass die am 20. Juli 2009 angeordneten vorsorglichen Massnahmen für die Vergangenheit ( ex tunc), eventualiter ab dem 21. März 2015 (Datum der Rechtskraft des Urteils des Tribunale Ordinario di Roma) dahingefallen seien. Mit Entscheid vom 8. März 2018 wies das Obergericht des Kantons Thurgau die Berufung ab und hielt fest, dass der erstinstanzliche Entscheid mit Bezug auf die Anerkennung des Urteils des Tribunale Ordinario di Roma und die Abschreibung des Verfahrens zufolge Gegenstandslosigkeit seit dem 24. November 2017 rechtskräftig sei und dass die vorsorglichen Massnahmen mit der rechtskräftigen Erledigung des Scheidungsverfahrens am 24. November 2017 für die Zukunft ( ex nunc) dahinfielen.
C.
Mit Eingabe vom 11. Mai 2018 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht, dem er die bereits vor Vorinstanz gestellten Begehren unterbreitet.
Der Präsident der urteilenden Abteilung hat mit Verfügung vom 3. Juli 2018 der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt. Es wurden die kantonalen Akten, jedoch keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>) einer oberen und letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), die über die Dauer der Wirkungen von in einem - zufolge Anerkennung eines ausländischen Eheungültigkeitsurteils gegenstandslos gewordenen - Ehescheidungsverfahren für die Dauer desselben angeordneten vorsorglichen Massnahmen befunden hat. Diese zivilrechtliche Streitigkeit (<ref-law>) betrifft Unterhaltsbeiträge für die Beschwerdegegnerin, ist also vermögensrechtlicher Natur. Der Streitwert beträgt Fr. 1'970'600.-- und erreicht damit die gesetzliche Streitwertgrenze (Art. 51 Abs. 1 Bst. a und Abs. 4; Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). Die im Übrigen rechtzeitig (<ref-law>) eingereichte Beschwerde ist von daher zulässig.
1.2. Grundsätzlich unterstehen Massnahmenentscheide, die gestützt auf Art. 137 aZGB ergangen sind, <ref-law> (<ref-ruling> E. 5.1 und 5.2), und es kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-ruling> E. 4.1). Hier sind indes nicht die vorsorglichen Massnahmen als solche streitig, sondern die Wirkungen der Anerkennung eines ausländischen Eheungültigkeitsurteils auf für die Dauer eines hängigen Ehescheidungsverfahrens angeordnete Massnahmen. Der Beschwerdeführer bestreitet denn auch die Anwendbarkeit von <ref-law> im vorliegenden Verfahren. Wie sich aus dem Folgenden ergibt, kann diese Frage offengelassen werden.
2.
Das Bezirksgericht Arbon hat das am 21. März 2015 in Rechtskraft erwachsene Urteil des Tribunale Ordinario di Roma vom 16. Januar 2015 anerkannt (Sachverhalt A.e). Dieser Teil des bezirksgerichtlichen Urteils blieb unbestritten und war auch nicht Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens.
2.1. Die Anerkennung eines ausländischen Urteils bewirkt eine Ausdehnung der Rechtskraft- und Gestaltungswirkung desselben auf das Gebiet der Schweiz (<ref-ruling> E. 5.1.2; <ref-ruling> E. 2.5; <ref-ruling> E. 4b; je mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer behauptet zwar, entgegen der Auffassung der Vorinstanz habe sich das Tribunale Ordinario di Roma auch zum nachehelichen Unterhalt geäussert und eine diesbezügliche Unterhaltsberechtigung verneint. Dabei übersieht er, dass es hier nicht um nachehelichen Unterhalt geht, sondern um die bis zum Abschluss des Verfahrens geltenden Wirkungen der für ungültig erklärten Ehe. Damit hat sich das Tribunale Ordinario di Roma aber unbestrittenermassen nicht befasst und das italienische Urteil kann in dieser Hinsicht keine Wirkung entfalten.
2.2. Im Zusammenhang mit der Eheungültigkeit (und auch der Ehescheidung) ist zwischen dem Statusakt als solchem (Feststellung der Ungültigkeit der Ehe; Auflösung der Ehe durch Scheidung) und den Nebenfolgen der Statusänderung zu unterscheiden. Das Eheungültigkeitsurteil besagt, dass gar nie eine (gültige) Ehe bestanden hat; in diesem Sinne hat es Wirkung ex tunc. Hinsichtlich der Nebenfolgen eines solchen Urteils gelten andere Regeln, denn sowohl nach schweizerischem (<ref-law>) als auch italienischem Recht (E. 2 S. 3 des Entscheids des Berufungsgerichts von Rom vom 26. März 2014) entfaltet auch die ungültige Ehe bis zum Zeitpunkt der Ungültigerklärung die Wirkungen einer gültigen Ehe. Hinsichtlich der Nebenfolgen der Auflösung einer Ehe wirkt das Ungültigkeitsurteil mithin ex nunc. Der Beschwerdeführer stellt diese bereits von der Vorinstanz getroffenen Feststellungen im bundesgerichtlichen Verfahren nicht infrage. Entgegen seiner Auffassung folgt aus der ex tunc -Wirkung des Ungültigkeitspunktes nicht, dass auch eine (eheliche) Unterhaltspflicht ex tunc wegfallen würde.
2.3. Ist eine Ehe ungültig, sind die Folgen dem Scheidungsstatut zu unterstellen (Schnitzer, Handbuch des internationalen Privatrechts einschliesslich Prozessrecht, Bd. I, 4. Aufl. 1957, S. 367). Dieser Sicht folgt auch das IPRG: "Auf eine Regelung der Ehenichtigkeitsklage wird verzichtet. Die Interessenlage bei der Ehenichtigkeit entspricht weitgehend derjenigen bei der Scheidung, so dass sich eine entsprechende Anwendung der betreffenden Bestimmungen aufdrängt" (Botschaft vom 10. November 1982 zum Bundesgesetz über das internationale Privatrecht, BBl 1983 I 340 Ziff. 232.1; vgl. auch den heutigen <ref-law>). Das wird in der Lehre bestätigt (Bucher, in: Commentaire romand, LDIP/CL, 2011, N. 41 zu <ref-law>: "Les dispositions sur le nom, le régime matrimonial, l'établissement de la filiation et l'obligation alimentaire ne font aucune dérogation pour le cas de la nullité du mariage."). Für die mit der Anerkennung eines ausländischen Eheungültigkeitsurteils verbundenen Nebenfolgen gilt die grundsätzliche Analogie zum ausländischen Scheidungsurteil (Schwander, Einführung in das Internationale Privatrecht, Besonderer Teil, 1997, Rz. 166). Das Tribunale Ordinario di Roma hat auf der Basis italienischen Rechts entschieden; dieses bestimmt das Eheungültigkeitsstatut.
Die italienische Republik hat das Übereinkommen vom 2. Oktober 1973 über das auf Unterhaltspflichten anzuwendende Recht (Haager Unterhaltsübereinkommen, HUÜ; SR 0.211.213.01) am 2. Oktober 1981 ratifiziert; dieses ist für Italien seit 1. Januar 1982 in Kraft. Das HUÜ findet Anwendung auf Unterhaltspflichten, die sich aus Beziehungen der Familie, Verwandtschaft, Ehe oder Schwägerschaft ergeben (Art. 1 HUÜ) und gilt namentlich auch im Fall einer für nichtig oder als ungültig erklärten Ehe (vgl. Art. 8 Abs. 2 HUÜ). Für die in Art. 1 HUÜ genannten Unterhaltspflichten ist das am gewöhnlichen Aufenthalt des Unterhalts berechtigten geltende innerstaatliche Recht massgebend (Art. 4 HUÜ).
Hier geht es um ehelichen Unterhalt im Sinne von Art. 1 HUÜ. Die Ehefrau, die Unterhalt fordert, hat ihren gewöhnlichen Aufenthalt in der Schweiz, weshalb in dieser Beziehung schweizerisches Recht zur Anwendung gelangt.
2.4. Bis zum Ungültigkeitsurteil hat die Ehe mit Ausnahme der erbrechtlichen Ansprüche alle Wirkungen einer gültigen Ehe (<ref-law>). Das Verfahren bei Eheungültigkeit richtet sich sinngemäss nach den Vorschriften über die Scheidungsklage (<ref-law>). Vorsorglich für die Dauer eines hängigen Scheidungsverfahrens angeordnete Unterhaltsbeiträge haben ihre materielle Grundlage im (schweizerischen) Eherecht (<ref-law>). Sie besitzen (beschränkte) Rechtskraft. Anders als der Beschwerdeführer mit seinem Hinweis auf <ref-law> meint, können sie im Endurteil nicht rückwirkend abgeändert werden und fallen auch nicht rückwirkend dahin (<ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 3.3.4; je mit Hinweisen). Die Weitergeltung der vorsorglichen Massnahmen bis zum Abschluss des Verfahrens gilt im Übrigen unabhängig davon, ob die Ehe bereits aufgelöst ist (Art. 137 Abs. 2 aZGB bzw. <ref-law>). Diese Regelung gilt qua <ref-law> auch für das Eheungültigkeitsverfahren. Damit spielt es keine Rolle, ob bzw. wann das Urteil des Tribunale Ordinario di Roma, das sich nicht mit ehelichen Unterhaltsfragen befasst (E. 2.1), rechtskräftig wurde. Das in der Schweiz hängige Verfahren wurde erst mit der Rechtskraft des Abschreibungsbeschlusses vom 26. Mai 2017 abgeschlossen, weshalb die eheliche Unterhaltspflicht erst auf diesen Zeitpunkt untergegangen ist.
2.5. Zusammenfassend ergibt sich, dass das anerkannte Urteil des Tribunale Ordinario di Roma sich nicht zur Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers für die Zeit des Ungültigkeitsverfahrens äussert und in dieser Hinsicht für die Schweiz keine Wirkung erzeugt (E. 2.1), die Unterhaltspflicht trotz ex tunc -Wirkung der Ungültigerklärung der Ehe nicht auch ex tunc wegfällt (E. 2.2), für Fragen der Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers gegenüber der Beschwerdegegnerin nach Massgabe des auch in Italien anwendbaren HUÜ das schweizerische Recht anwendbar ist (E. 2.3) und für die Dauer eines eherechtlichen Verfahrens angeordnete vorsorgliche Massnahmen erst mit dem rechtskräftigen Abschluss des Hauptsacheverfahrens ihre Wirkung verlieren (E. 2.4). Folglich sind die vorsorglich angeordneten Unterhaltsbeiträge bis zum Zeitpunkt des Eintritts der Rechtskraft des Urteils vom 26. Mai 2017 über die Anerkennung des italienischen Eheungültigkeitsurteils, d.h. bis am 24. November 2017, geschuldet.
3.
Nach alledem erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang unterliegt der Beschwerdeführer. Er hat deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>) und der Beschwerdegegnerin für den Aufwand, der ihr durch die Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung entstanden ist, eine Parteientschädigung zu entrichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Die Beschwerdegegnerin hat ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gestellt, dessen Voraussetzungen erfüllt sind. Ihr Gesuch ist indessen gegenstandslos geworden, soweit es die Befreiung von den Gerichtskosten betrifft, weil sie ohnehin keine Verfahrenskosten zu tragen hat. Dagegen ist es nicht gegenstandslos geworden, soweit es die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands zum Gegenstand hat. Da eine Parteientschädigung angesichts der konkreten Situation (unbekannter Aufenthalt des Beschwerdeführers; bisher erfolglos verlaufene Vollstreckungsbemühungen in Italien) als von vornherein uneinbringlich betrachtet werden muss, ist der Anwalt der Beschwerdegegnerin sogleich aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen. Die Beschwerdegegnerin wird darauf hingewiesen, dass sie der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten hat, falls sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>). Sollte sie die Parteientschädigung beim Beschwerdeführer doch noch erhältlich machen können, hat sie der Bundesgerichtskasse die amtliche Entschädigung ebenfalls zurückzuerstatten.
Die Beschwerdegegnerin hat auch ein Gesuch um Sicherstellung der Parteientschädigung (<ref-law>) gestellt. Mit der Entschädigung ihres Anwalts aus der Bundesgerichtskasse ist das Gesuch gegenstandslos geworden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, und es wird ihr Rechtsanwalt Alexander Heinzelmann als Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 15'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
5.
Rechtsanwalt Alexander Heinzelmann wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'000.-- ausgerichtet.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Oktober 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Gutzwiller