Erwägungen:
1.
Mit Eingaben vom 19. Juni und 3. Juli 2020 an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt beantragte A._ den Ausstand von Appellationsgerichtspräsidentin Gabriella Matefi "in allen bisherigen und aktuellen Verfahren, die meine Person betreffen". Im Verlauf des nachfolgenden Schriftenwechsels reichte er am 29. Juli 2020 eine Stellungnahme ein, die ihm der verfahrensleitende Appellationsgerichtspräsident am 12. August 2020 wegen ihres ungebührlichen Inhalts ohne Weiterungen zurücksandte. In der Folge reichte A._ bei der Schweizerischen Botschaft in Berlin eine auf den 18. September 2020 datierte Beschwerde gegen die Verfügung des Appellationsgerichtspräsidenten vom 12. August 2020 ein. Die Botschaft stellte die Beschwerde dem Appellationsgericht zu und dieses leitete sie zuständigkeitshalber an das Bundesgericht weiter. A._ beanstandet im Wesentlichen, dass ihm das Appellationsgericht keine Nachfrist gemäss <ref-law> zur Nachbesserung seiner Eingabe gesetzt habe. Ergänzend ersucht er mit separater Eingabe um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Der Appellationsgerichtspräsident schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. A._ äusserte sich in zwei weiteren Eingaben nochmals zur Sache.
2.
2.1. Nach <ref-law> ist die Beschwerde an das Bundesgericht zulässig gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen. Dabei handelt es sich um solche, mit denen ein Verfahren in der Hauptsache aus prozessualen oder materiellen Gründen beendet wird (Endentscheide). Von weiteren, hier nicht interessierenden Ausnahmen abgesehen wird davon abgewichen, wenn ein selbständig eröffneter Vor- oder Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>). <ref-law> stellt klar, dass im Strafverfahren verfahrensleitende Anordnungen der Gerichte nur mit dem Endentscheid angefochten werden können.
2.2. Der Appellationsgerichtspräsident sandte die Eingabe des Beschwerdeführers vom 29. Juli 2020 wegen ungebührlichen Inhalts zurück, ohne ihm eine Nachfrist zu setzen. Er begründet dies in seiner Stellungnahme an das Bundesgericht damit, angesichts der vorangegangenen wirren und beleidigenden Eingaben des Beschwerdeführers sei es nicht erforderlich gewesen, die strittige Stellungnahme, die lediglich in unflätiger Art und Weise bereits vorgebrachte Rundumschläge gegen die Basler Justiz enthalten habe, zur Verbesserung zu retournieren. Wie es sich damit verhält, ist hier nicht zu entscheiden. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um eine verfahrensleitende Verfügung des Appellationsgerichtspräsidenten und damit nicht um einen anfechtbaren Endentscheid. Dadurch erleidet der Beschwerdeführer auch keinen irreversiblen Nachteil. Er kann seinen Standpunkt gegebenenfalls immer noch durch Anfechtung des Endentscheids geltend machen. Es liegt daher ein nicht mit Beschwerde anfechtbarer Zwischenentscheid vor.
3.
Die Beschwerde erweist sich als unzulässig, weshalb darauf nicht eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der unterliegende Beschwerdeführer grundsätzlich kostenpflichtig. Umständehalber kann jedoch ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet werden (vgl. <ref-law>). Über das Gesuch um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege ist damit nicht zu entscheiden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Dezember 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Uebersax