Faits :
A.
A.a. A._ (ci-après: l'employé) a travaillé depuis le 1 er mars 2002 pour la Fondation des Parkings (ci-après: la Fondation) comme surveillant-opérateur. Le 18 mars 2018, il a subi un accident qui a été pris en charge par la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA).
A.b. Par courrier recommandé du 28 janvier 2020, la Fondation a informé l'employé qu'elle avait pris la décision de mettre un terme au contrat de travail au 30 avril 2020, motif pris que son comportement avec ses collègues était problématique et nuisait au bon fonctionnement du service. Ce courrier précisait que la décision de résiliation des rapports de service pouvait faire l'objet d'un recours hiérarchique auprès du Bureau du Conseil de la Fondation (ci-après: le Bureau) dans les dix jours ouvrables, recours que l'intéressé a interjeté le 7 février 2020. Le 10 février 2020, l'employé a été victime d'un nouvel accident, qui a entraîné une incapacité de travail.
A.c. Par décision du 3 mars 2020 entrée en force, le Bureau a informé l'employé qu'il avait, lors de sa séance du 2 mars 2020, validé la décision de licenciement du 28 janvier 2020.
Par courrier du 30 octobre 2020, la Fondation a indiqué à l'employé que son contrat prenait fin au 31 octobre 2020.
B.
Le 16 décembre 2020, l'employé a formé un "recours en constatation de la nullité de [son] licenciement" auprès de la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève. Par arrêt du 25 mai 2021, la cour cantonale a déclaré ce recours irrecevable.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre cet arrêt, en concluant à sa réforme en ce sens que la décision du 3 mars 2020 soit déclarée nulle, qu'il soit réintégré au sein de la Fondation à compter du 1 er novembre 2020 et que celle-ci soit condamnée à lui verser une indemnité équivalente à trois mois de salaire.
L'intimée conclut à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. La juridiction cantonale s'en rapporte à justice quant à la recevabilité du recours et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt.

Considérant en droit :
1.
1.1. Selon l'<ref-law>, le président de la cour décide en procédure simplifiée de ne pas entrer en matière sur les recours dont la motivation est manifestement insuffisante. Il peut confier cette tâche à un autre juge (<ref-law>).
1.2. En vertu de l'<ref-law>, les mémoires de recours doivent être motivés. Conformément à l'<ref-law>, les motifs doivent exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit. Pour satisfaire à cette exigence, il appartient au recourant de discuter au moins brièvement les considérants de la décision litigieuse et d'expliquer en quoi ceux-ci seraient contraires au droit (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.4).
1.3. Le Tribunal fédéral ne peut revoir les questions de droit cantonal et de droit communal que sous l'angle restreint de l'arbitraire (sur cette notion: <ref-ruling> consid. 6.1), dans le cadre d'un moyen tiré de la violation d'un droit constitutionnel (cf. art. 95 et 96 LTF a contrario), expressément soulevé et développé conformément aux exigences de motivation accrues prévues à l'<ref-law>. Celles-ci imposent à la partie recourante d'expliquer de manière claire et précise en quoi le droit constitutionnel aurait été violé (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 2.2).
2.
2.1. En l'espèce, les juges cantonaux ont exposé que le Conseil de la Fondation avait, sur la base de l'art. 21 al. 2 de la loi cantonale sur la Fondation des Parkings du 17 mai 2001 (LFPark; RS/GE H 1 13), adopté le statut du personnel de la Fondation (ci-après: le statut). Ils ont retenu que le courrier du 28 janvier 2020 constituait bien une décision de résiliation des rapports de service, fondée sur le statut, et non un simple préavis de licenciement comme soutenu par le recourant. Celui-ci avait du reste formé un recours hiérarchique contre cette décision de licenciement auprès du Bureau, montrant ainsi qu'il l'avait bien comprise comme telle. La cour cantonale a ensuite considéré que le congé n'avait pas été donné en temps inopportun; le recourant n'avait pas rendu vraisemblable que l'arrêt de travail dont il bénéficiait le 28 janvier 2020 avait pour cause un accident plus récent que celui du 18 mars 2018, de sorte qu'au moment du licenciement, il ne pouvait plus se prévaloir de la période de protection de 180 jours en cas d'incapacité de travail prévue par l'art. 69.1 let. b du statut. Dès lors que le recourant, assisté d'un avocat, n'avait pas recouru contre la décision du 3 mars 2020 - qui confirmait son licenciement - auprès du tribunal cantonal, la résiliation des rapports de service était devenue définitive et les conclusions en nullité du recourant devaient être rejetées.
2.2. Dans son écriture, le recourant reproche en substance à la cour cantonale de s'être référée à tort au statut dans sa version du 26 septembre 2016, et non à la version du 1 er janvier 2019, en vigueur, pour retenir que le courrier du 28 janvier 2020 constituait une décision de licenciement et non un préavis de licenciement. Il soutient en outre que le courrier en question mentionnerait à tort un délai de recours interne de 10 jours, alors que ce délai serait de 15 jours selon l'art. 71.4 du statut. Par ailleurs, la Fondation, par son directeur général, aurait dû consulter le Bureau avant de prononcer la résiliation des rapports de service, en application de l'art. 3.2 let. a du statut.
Ce faisant, le recourant n'expose toutefois pas en quoi les premiers juges auraient versé dans l'arbitraire ou violé un droit fondamental en appliquant le droit cantonal, plus particulièrement les dispositions de la LPark et du statut. Partant, le recours ne répond pas aux exigences de l'<ref-law> et doit être déclaré irrecevable selon la procédure simplifiée de l'<ref-law>.
2.3. On notera qu'au demeurant, le statut, validé par le Conseil de la Fondation le 26 septembre 2016, n'a subi depuis cette date que deux modifications, qui ont porté sur les art. 77 (retraite) ainsi que 51.1 et 51.2 (prestations en cas d'incapacité de travail par suite de maladie). Or ces dispositions sont étrangères au litige. En outre, même si les art. 80.2 et 71.4 se contredisent s'agissant du délai pour exercer un recours hiérarchique interne (10 ou 15 jours), force est de constater que le recourant a pu user de cette voie de droit auprès du Bureau et qu'il n'a fait valoir aucun grief en lien avec ce délai devant le Bureau ou la juridiction cantonale. Enfin, par décision du 3 mars 2020, le Bureau a bien confirmé le licenciement, de sorte que le recourant ne saurait se plaindre du fait que la résiliation des rapports de service aurait été prononcée sans que le Bureau ait été consulté.
3.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>), qu'il y a lieu de fixer à 500 fr. vu l'application de la procédure simplifiée de l'<ref-law>. Bien qu'elle obtienne gain de cause, l'intimée n'a pas droit à des dépens (<ref-law>; cf. arrêt 8C_151/2010 du 31 août 2010 consid. 6).

Par ces motifs, le Juge unique prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lucerne, le 29 mars 2022
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge unique : Abrecht
Le Greffier : Ourny