Sachverhalt:
A.
A.a. Im Jahr 2008 schloss die schweizerische Gesellschaft C._ AG mit der spanischen D._ S.A. einen Investitionsvertrag über die Entwicklung von Windenergieprojekten in Rumänien. Dieser Vertrag wurde 2010 und 2011 durch mehrere Nachträge bzw. Zusatzvereinbarungen ergänzt bzw. abgeändert. Die Zusatzvereinbarungen Nrn. 3 und 4 wurden zwischen der D._ S.A. und C._ AG bzw. der E._ S.L. Unipersonal, und der C._ AG geschlossen. Darin wurde unter anderem vereinbart, dass die E._ S.L. Unipersonal im Rahmen eines Projekts Vorauszahlungen leistet, zu deren Rückzahlung sich die C._ AG unter gewissen Bedingungen verpflichtete. In den Zusatzvereinbarungen Nrn. 3. und 4 gab A._, der damals Verwaltungsrat der C._ AG war, als Sicherheit für die vereinbarten Rückzahlungen eine persönliche Garantie ab. Er garantierte die Rückzahlung der vereinbarten Rückzahlungssummen durch die C._ AG an die D._ S.A. (Zusatzvereinbarung Nr. 3) und an die E._ S.L. Unipersonal (Zusatzvereinbarung Nr. 4). Er anerkannte, dass die beiden spanischen Gesellschaften im Garantiefall gleichzeitig gegen ihn und die C._ AG vorgehen dürfen.
Gemäss Darstellung der B._ S.A. trat die D._ S.A. sämtliche Rechte aus den Vereinbarungen mit der C._ AG an die E._ S.L. Unipersonal ab. Letztere sei danach in die B._ S.A. umgewandelt worden. Die B._ S.A. forderte von der C._ AG die Rückzahlung der vorgeschossenen Zahlungen. Die C._ AG zahlte die geforderten Beträge nicht zurück, worauf die B._ S.A. die Rückzahlung von A._ forderte. A._ bestreitet, dass die Forderungen an die B._ S.A. abgetreten worden seien und er geht davon aus, die Voraussetzungen für eine Rückzahlungsverpflichtung der C._ AG seien nicht eingetreten.
A.b. Mit Urteil vom 7. Februar 2013 wies das Bezirksgericht Meilen ein Gesuch der B._ S.A. um provisorische Rechtsöffnung gegenüber A._ ab.
Danach leitete die B._ S.A. ein Schiedsverfahren beim Internationalen Schiedsgerichtshof in Paris ein. Am 6. August 2015 fällte das Schiedsgericht einen Entscheid über seine Zuständigkeit. Mit Entscheid vom 23. November 2016 verpflichtete das Schiedsgericht A._ zur Bezahlung von RON (rumänische Lei) 5'170'516.36 zuzüglich 5 % Zins seit 3. Juni 2014 sowie EUR 10'411'101.93 zuzüglich 5 % Zins seit 3. Juni 2014 an die B._ S.A. Die C._ AG wurde zur Bezahlung derselben Summen (inkl. Zins) an die B._ S.A. verurteilt. Zudem wurde angeordnet, dass jede Zahlung von A._ oder der C._ AG die Schuld des bzw. der anderen Beklagten im entsprechenden Umfang verringere. Schliesslich wurde A._ zu Kostenersatz an die B._ S.A. im Umfang von EUR 250'000.-- und USD 112'500.-- verpflichtet. Der C._ AG wurde ein an die B._ S.A. zu entrichtender Kostenersatz in derselben Höhe auferlegt.
Am 28. Juni 2017 ersuchte die B._ S.A. das Bezirksgericht Meilen gestützt auf das Schiedsurteil vom 23. November 2016 um definitive Rechtsöffnung gegenüber A._ (Verfahren EB170180-G).
B.
B.a. Ebenfalls am 28. Juni 2017 stellte die B._ S.A. beim Bezirksgericht Meilen gestützt auf das Schiedsurteil vom 23. November 2016 ein Arrestgesuch gegen A._. Am 30. Juni 2017 erliess das Bezirksgericht einen Arrestbefehl an die Betreibungsämter St. Gallen und Seeland, Dienststelle Biel, für die Forderungssummen von Fr. 1'228'514.69 nebst Zins zu 5 % seit 3. Juni 2014, Fr. 11'167'989.04 nebst Zins zu 5 % seit 3. Juni 2014, Fr. 268'175.-- nebst Zins zu 5 % seit 19. Dezember 2016 und Fr. 115'301.25 nebst Zins zu 5 % seit 19. Dezember 2016. Als Arrestgegenstände wurden die Liquidationsanteile von A._ an den einfachen Gesellschaften zwischen ihm, F._ und G._ bezeichnet, zufolge derer er mit den Genannten Gesamteigentümer der Grundstücke H._weg vvv, U._ (Grundbuch V._, Liegenschaft Nr. www, Plan Nr. xxx, yyy) und I._strasse zzz, W._ (Grundbuch Seeland) ist. Nachdem sich die beiden Betreibungsämter für die Verarrestierung der Liquidationsanteile an den einfachen Gesellschaften für örtlich unzuständig erklärt hatten, erliess das Bezirksgericht am 3. Juli 2017 einen neuen Arrestbefehl an das Betreibungsamt Küsnacht-Zollikon-Zumikon. Die Arresturkunde wurde A._ am 23. August 2017 zugestellt.
B.b. Am 1. September 2017 erhob A._ Einsprache gegen den Arrestbefehl vom 3. Juli 2017. Die B._ S.A. nahm am 16. Oktober 2017 Stellung. Am 18. Oktober 2017 ergänzte A._ seine Einsprache.
Mit Entscheid vom 1. Dezember 2017 wies das Bezirksgericht die Arresteinsprache ab und bestätigte den Arrestbefehl vom 3. Juli 2017. Das Bezirksgericht trat auf Anträge von A._ nicht ein, wonach ihm ausreichend richterliches Gehör in Bezug auf das dem Arrestbefehl zugrundeliegende Urteil zu gewähren sei, wonach die B._ S.A. ihn mit Fr. 40'000.-- zuzüglich Zinsen zu entschädigen habe und wonach die Anerkennung und Vollstreckung des Schiedsurteils als Basis für das Rechtsöffnungsgesuch zu verwehren seien.
B.c. Am 15. Dezember 2017 erhob A._ Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Er ersuchte um Aufhebung des bezirksgerichtlichen Urteils und des Arrestbefehls. Ausserdem sei ihm ausreichend richterliches Gehör in Bezug auf das dem Arrestbefehl zugrundeliegende Urteil zu gewähren. Die Anerkennung und Vollstreckung des Schiedsurteils vom 23. November 2016 als Basis für das Rechtsöffnungsgesuch seien zu verwehren. Die B._ S.A. habe ihn mit mindestens Fr. 40'000.-- zuzüglich Zinsen zu entschädigen.
Mit Urteil vom 20. März 2018 wies das Obergericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Am 29. April 2018 hat A._ (Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht erhoben. Er beantragt, das Urteil des Obergerichts und den Arrestbefehl aufzuheben. Allenfalls sei die Sache an das Obergericht oder das Bezirksgericht zurückzuweisen. Es sei zu anerkennen, dass die von ihm in seiner Beschwerde an das Obergericht vorgebrachten Noven echte Noven seien. Für die Bemessung der Parteientschädigung sei auf den Wert der Arrestgegenstände abzustellen.
Am 13. Juni 2018 hat der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege ersucht. Am 29. Juni 2018 hat er das Gesuch aufforderungsgemäss begründet.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen. Auf Ersuchen des Bezirksgerichts Meilen vom 20. Juni 2018 hat es allerdings die Akten des dort hängigen Rechtsöffnungsverfahrens EB170180-G, die im Arrestverfahren beigezogen worden waren, dem Bezirksgericht bis auf weiteres zugestellt.
Vernehmlassungen sind keine eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
Gegen den kantonal letztinstanzlichen Arresteinspracheentscheid ist die Beschwerde in Zivilsachen gegeben (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 75 BGG), sofern der Streitwert von Fr. 30'000.-- erreicht ist (<ref-law>). Es ist umstritten und vom Bundesgericht nicht abschliessend geklärt, ob sich in Arrestsachen der Streitwert anhand der Höhe der zu sichernden Forderung bemisst oder auf den Wert des Arrestgegenstands abzustellen ist (<ref-ruling> E. 4.3 S. 199 ff. mit Hinweisen; Urteil 5A_28/2013 vom 15. April 2013 E. 2.4). Das Obergericht hat den Streitwert in der Rechtsmittelbelehrung mit über Fr. 30'000.-- angegeben, was vom Beschwerdeführer im Rahmen seiner Ausführungen zur Zulässigkeit der Beschwerde bestätigt wird. Im Zusammenhang mit der Frage, ob überhaupt ein tauglicher Arrestgegenstand vorliegt, geht der Beschwerdeführer jedoch - wie bereits vor Obergericht - davon aus, die verarrestierten Liquidationsanteile seien wertlos. Dies betrifft die Frage der Begründetheit der Beschwerde und ist an jener Stelle zu prüfen (vgl. unten E. 2.2).
Im Rahmen der Eintretenserwägungen auf die Frage nach dem Streitwert näher einzugehen, erübrigt sich jedoch auch deshalb, weil sich die Kognition des Bundesgerichts bei den beiden in Betracht fallenden Beschwerdearten (Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde) in einem Fall wie dem vorliegenden ohnehin nicht unterscheidet (Urteil 5A_789/2010 vom 29. Juni 2011 E. 1.2). Arresteinspracheentscheide sind Entscheide über vorsorgliche Massnahmen im Sinne von <ref-law>, womit so oder anders vor Bundesgericht nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234).
Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von <ref-law> in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234; <ref-ruling> E. 2.4 S. 368).
2.
2.1. Die Beschwerde an das Bundesgericht stellt zum grössten Teil (Ziff. 13 bis 116 der Beschwerde) eine wörtliche Wiederholung der Beschwerde an das Obergericht dar. Der Beschwerdeführer gibt selber zu, dass er bloss die vor Obergericht gerügten Punkte nochmals aufführt (Ziff. 12 der Beschwerde). Abweichungen zur Beschwerde an das Obergericht liegen nur in der geänderten Nummerierung und darin, dass der Beschwerdeführer in der Beschwerde an das Bundesgericht Überschriften weggelassen hat.
Auf diese Weise setzt sich der Beschwerdeführer gerade nicht mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids des Obergerichts auseinander. Eine solche Beschwerdebegründung genügt bereits den Mindestanforderungen an eine Beschwerde gemäss <ref-law> nicht. Erst recht sind die strengeren Begründungs- bzw. Rügeanforderungen von <ref-law> nicht erfüllt (<ref-ruling> E. 2.3 S. 246 f.). Auf die entsprechenden Teile der Beschwerde ist nicht einzutreten. Aus diesem Grund ist insbesondere nicht einzugehen auf die bloss wiederholte Behauptung, den einfachen Gesellschaften (an denen der Beschwerdeführer beteiligt ist und dessen Liquidationsanteile an diesen Gesellschaften verarrestiert worden sind) stünde nur das nackte Eigentum an den Liegenschaften zu, da die Nutzungsrechte bei den Eltern des Beschwerdeführers lägen. Ebenso wenig ist auf Einwände einzugehen, mit denen sich der Beschwerdeführer gegen das Schiedsurteil bzw. den Ablauf des Schiedsverfahrens wendet oder mit denen er bestreitet, dass die B._ S.A. (Beschwerdegegnerin) Inhaberin der Arrestforderungen ist.
2.2. Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht vor, Dokumente zu Unrecht nicht berücksichtigt zu haben. Aus ihnen ergebe sich die Unpfändbarkeit der Liegenschaften (gemeint wohl: der Liquidationsanteile), da ein ungenügender Verwertungserlös resultieren würde.
Das Obergericht hat Dokumente, die der Beschwerdeführer mit seiner kantonalen Beschwerde vom 15. Dezember 2017 einreichte, als unechte Noven und damit als unbeachtlich qualifiziert (act. 22/2 und act. 22/4 bis 16). Erst nach dem bezirksgerichtlichen Arresteinspracheentscheid sei einzig das Schreiben der J._ Treuhand entstanden (act. 22/3). Gestützt darauf behaupte der Beschwerdeführer, die verarrestierten Liquidationsanteile seien infolge seiner Schulden bzw. Erbvorbezüge (sechs Darlehen in der Höhe von insgesamt Fr. 1'520'000.--) bei seiner Mutter wertlos und damit unpfändbar. Diese Behauptung sei im Beschwerdeverfahren verspätet, denn die Darlehen seien nach Angaben des Beschwerdeführers in den vergangenen Jahren aufgenommen worden. Es gehe nicht um Sachverhalte, die erst nach Eröffnung des erstinstanzlichen Arresteinspracheentscheids entstanden seien. Selbst wenn die unzulässigen Urkunden berücksichtigt würden, änderte dies jedoch nichts am vorliegenden Entscheid.
Die Haltung des Beschwerdeführers zu den Noven ist unklar. Einerseits spricht er vor Bundesgericht davon, er habe echte Noven vorgebracht. Er begründet dies jedoch nicht und er setzt sich nicht mit den gegenteiligen Erwägungen des Obergerichts auseinander. Andererseits scheint er nicht zu bestreiten, dass er vor Obergericht unechte Noven vorgebracht hat, sondern lediglich vorbringen zu wollen, unechte Noven seien zulässig. Insbesondere führt er aus, das Bundesgericht habe sich bisher nicht abschliessend dazu geäussert, ob <ref-law> nur echte Noven umfasse. Dass das Bundesgericht diese Frage bis jetzt offengelassen hat, trifft zwar zu (<ref-ruling> E. 4.2.3 und 4.2.4 S. 471 f.). Der Beschwerdeführer begründet jedoch mit keinem Wort, weshalb die Auffassung des Obergerichts, unechte Noven nicht zuzulassen, gegen verfassungsmässige Rechte verstossen soll. Er erläutert auch nicht in einer den Rügeanforderungen genügenden Weise, welchen Einfluss die act. 22/2 und 4, au f die er einzig noch ausdrücklich Bezug nimmt, auf die Beurteilung der Werthaltigkeit der arrestierten Liquidationsanteile haben sollen. Er legt mit anderen Worten nicht genügend dar, inwiefern seine persönlichen Schulden gegenüber seiner Mutter seine Stellung als Beteiligter an einfachen Gesellschaften und Gesamteigentümer an zwei Liegenschaften tangieren sollen.
2.3. Der Beschwerdeführer kritisiert schliesslich, das Bezirksgericht habe die Parteientschädigung anhand der Höhe der Arrestforderungen bemessen. Es hätte jedoch auf den Wert der Arrestgegenstände abgestellt werden müssen.
Diese Einwände wären vor Obergericht vorzubringen gewesen. Der Beschwerdeführer behauptet nicht, dies getan zu haben, und dem angefochtenen Urteil lässt sich zu diesem Thema denn auch nichts entnehmen. Der Beschwerdeführer befasst sich im Übrigen nicht mit dem kantonalen Tarifrecht und er legt nicht dar, auf welche Höhe seiner Ansicht nach die Parteientschädigung hätte festgesetzt werden müssen.
2.4. Die Beschwerde genügt damit den Rügeanforderungen insgesamt nicht. Auf sie ist nicht einzutreten.
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Wie die vorstehenden Ausführungen zeigen, war die Beschwerde von Anfang an aussichtslos. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ist folglich abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 25'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, und dem Bezirksgericht Meilen, Einzelgericht im summarischen Verfahren, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. März 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg