Faits :
A.
A.a. Par jugement rendu le 12 mai 2016, le Tribunal de première instance du canton de Genève a prononcé le divorce des époux A._ (ci-après: la recourante) et B._, maintenu l'autorité parentale conjointe sur l'enfant C._, né le 3 février 2003, et attribué au père la garde sur celui-ci, avec un droit de visite réservé pour la recourante.
A.b. Le 25 septembre 2018, la recourante, représentée par l'avocat Jacques Emery, a formé une action en modification du jugement de divorce précité au motif que son ex-époux s'oppose à ce qu'elle exerce son droit de visite. En outre, elle dispose nouvellement d'un appartement qui lui permettrait d'accueillir son fils et d'obtenir sa garde.
B.
B.a. Toujours le 25 septembre 2018, la recourante a sollicité l'assistance juridique pour la procédure en modification du jugement de divorce. Elle a déclaré être remariée, que son époux allait étudier, et a produit des pièces desquelles il ressort qu'elle a perçu un revenu mensuel net moyen de 2'864 fr. (de juin à août 2018) et a réglé un loyer mensuel de 1'790 fr. dès août [recte: juillet] 2018.
B.b. Par courrier du 26 septembre 2018, le greffe de l'Assistance juridique a avisé la recourante de ce qu'elle avait déclaré des charges mensuelles supérieures à ses revenus et l'a invitée à fournir plus d'informations relatives à ses moyens de subsistance actuels, en particulier au sujet d'un complément fourni par un tiers ou une institution sociale. La recourante a été en outre invitée à produire les preuves du paiement régulier des assurances-maladies du couple pour les trois derniers mois.
B.c. Par réponse du 26 octobre 2018, la recourante a produit l'extrait du registre des poursuites, dont il ressort qu'elle fait l'objet de nombreux actes de défaut de biens.
B.d. Par décision du 7 novembre 2018, notifiée le lendemain, le Vice-président du Tribunal civil du canton de Genève a refusé d'entrer en matière sur la requête d'assistance juridique. En substance, il a retenu que la recourante n'avait pas fourni les pièces et renseignements permettant d'apprécier le bien-fondé de sa requête. Elle a été informée de son droit de redéposer en tout temps une nouvelle requête munie des pièces et renseignements sollicités.
B.e. Par acte expédié le 16 novembre 2018, la recourante a recouru contre cette décision, concluant à son annulation et à l'octroi de l'assistance juridique avec effet au 25 septembre 2018.
B.f. Par décision du 6 février 2019, expédiée le 14 suivant, le Vice-président de la Cour de justice du canton de Genève a rejeté le recours.
C.
Par acte posté le 4 mars 2019, A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre la décision du 6 février 2019. Elle conclut à son annulation et à sa réforme en ce sens qu'elle est mise au bénéfice de l'assistance judiciaire avec effet au 25 septembre 2018. Pour le surplus, elle sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale et la désignation de Me Jacques Emery en qualité d'avocat d'office.
Des déterminations n'ont pas été requises.

Considérant en droit :
1.
Pris séparément du fond, le refus d'accorder l'assistance judiciaire est une décision incidente généralement susceptible de causer un préjudice irréparable. Partant, une telle décision est sujette à un recours immédiat (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.1; arrêt 5A_1017/2018 du 1er avril 2019 consid. 1.1 et la jurisprudence citée).
En vertu du principe de l'unité de la procédure, la voie de recours contre une décision incidente est déterminée par le litige principal (<ref-ruling> consid. 1.1). En l'occurrence, la procédure pour laquelle l'assistance judiciaire est sollicitée ressortit au droit du divorce, soit une cause sujette au recours en matière civile (<ref-law>). Le recours a par ailleurs été interjeté en temps utile (<ref-law>) contre une décision rendue par un tribunal supérieur de dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF) en lien, selon les constatations de la décision cantonale (cf. supra let. A.b), avec une affaire non pécuniaire portant sur la garde de l'enfant et l'exercice du droit aux relations personnelles. La recourante a en outre succombé dans ses conclusions devant l'autorité précédente (<ref-law>). Le recours est ainsi recevable au regard des dispositions qui précèdent.
2.
2.1. Dans un recours contre une décision incidente, les griefs qui peuvent être invoqués sont les mêmes que ceux qui sont autorisés dans le recours contre la décision principale; il s'ensuit qu'un recours contre le refus de l'assistance judiciaire pour une procédure de modification du jugement de divorce peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une autorité de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.4; <ref-ruling> consid. 1.1). Le recourant doit discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2). En outre, le Tribunal fédéral ne connaît de la violation de droits fondamentaux que si un tel grief a été invoqué et motivé par le recourant (" principe d'allégation ", <ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 3.3; <ref-ruling> consid. 1.2), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (ATF <ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 1.4.2). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 10.1 et les références).
2.2. A l'appui de son recours, la recourante a produit un bordereau de pièces; celles-ci sont déjà au dossier cantonal, à l'exclusion du contrat de travail du 19 septembre 2017 et de son avenant du 1er décembre 2017. L'<ref-law> prohibe la production de preuves nouvelles, sauf si elles sont rendues pertinentes pour la première fois par la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 3.1.2). Les pièces nouvelles produites ne répondent pas à cette exigence. Elles sont dès lors irrecevables. Au demeurant, elles sont sans incidence pour l'issue du présent recours (cf. infra consid. 2.3 et 3).
2.3. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>); il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été constatés de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influencer le sort de la cause (<ref-law>). La partie recourante qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte, à savoir arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.2), doit démontrer, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2).
En l'occurrence, la recourante se plaint d'une constatation manifestement inexacte des faits en tant que l'autorité cantonale n'aurait pas tenu compte de son treizième salaire pour arrêter son revenu mensuel moyen, alors que ce treizième salaire ressortait de l'avenant à son contrat de travail qui aurait été fourni au greffe de l'Assistance juridique. En tenant compte de ce treizième salaire, son déficit mensuel était de 387 fr. par mois et non de 626 fr. comme retenu à tort dans la décision attaquée. Cette erreur de calcul avait conduit l'autorité cantonale à adopter une solution arbitraire dans la mesure où elle avait contribué à lui faire croire qu'elle dissimulerait une source de revenus et aurait manqué à son obligation de collaborer.
Outre qu'il ne saurait être tenu compte de l'avenant au contrat de travail qui ne figure pas au dossier cantonal (cf. supra consid. 2.2), la prétendue erreur de calcul qu'aurait commise le juge précédent n'a, contrairement à ce que prétend la recourante, aucune influence sur le résultat de la cause (cf. infra consid. 3), ce qui scelle le sort du grief.
3.
3.1.
3.1.1. Aux termes de l'<ref-law>, une personne a droit à l'assistance judiciaire si elle ne dispose pas des ressources suffisantes (let. a) et si sa cause ne paraît pas dépourvue de toute chance de succès (let. b). Ces conditions - cumulatives (arrêt 5A_396/2018 du 29 juin 2018 consid. 5.1) - coïncident avec celles découlant du droit à l'assistance judiciaire, tel que garanti par l'art. 29 al. 3 Cst.
Une personne est indigente lorsqu'elle n'est pas en mesure d'assumer les frais de la procédure sans porter atteinte au minimum nécessaire à son entretien et à celui de sa famille (<ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 5.1). Pour déterminer l'indigence, il convient de prendre en considération l'ensemble de la situation financière du requérant au moment où la demande est présentée. Il y a lieu de mettre en balance, d'une part, la totalité de ses revenus (gains accessoires compris), sa fortune, ses éventuelles créances contre des tiers et, d'autre part, les charges d'entretien et les engagements financiers auxquels il ne peut échapper (ATF <ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 3a; arrêt 5A_327/2017 du 2 août 2017 consid. 4.1.1; TAPPY, Commentaire romand, CPC, 2ème éd. 2019, n° 23 ss ad <ref-law>). Concernant ces derniers, seules les charges réellement acquittées sont susceptibles d'entrer dans le calcul du minimum vital (<ref-ruling> consid. 3a, arrêts 5A_10/2013 du 24 janvier 2013 consid. 3.2; 5F_8/2010 du 26 mai 2011 consid. 3.1 non publié aux <ref-ruling>). Savoir quels sont les critères qu'il faut prendre en considération pour évaluer l'indigence, au regard de l'<ref-law>, est une question qui relève du droit et qui est, partant, examinée librement par le Tribunal fédéral; la détermination des actifs et passifs relève en revanche du fait et n'est revue que sous l'angle de l'arbitraire (ATF <ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 3a; arrêts 4A_548/2015 du 14 octobre 2015 consid. 2.2; 4A_319/2013 du 31 juillet 2013 consid. 2.3).
3.1.2. Celui qui requiert l'assistance judiciaire doit indiquer d'une " manière complète " et établir, dans la mesure du possible, ses revenus, sa situation de fortune et ses charges (arrêt 5D_114/2012 du 4 octobre 2012 consid. 2.3.2), et exposer l'affaire et les moyens de preuve qu'il entend invoquer (<ref-law>).
Applicable à la procédure portant sur l'octroi ou le refus de l'assistance judiciaire, la maxime inquisitoire est limitée par le devoir de collaborer des parties. Ce devoir de collaborer ressort en particulier de l'<ref-law> précité. L'autorité saisie de la requête d'assistance judiciaire n'a pas à faire de recherches approfondies pour établir les faits ni à instruire d'office tous les moyens de preuves produits. Elle ne doit instruire la cause de manière approfondie que sur les points où des incertitudes et des imprécisions demeurent, peu importe à cet égard que celles-ci aient été mises en évidence par les parties ou qu'elle les ait elle-même constatées (arrêt 5A_327/2017 du 2 août 2017 consid. 4.1.3 et les références).
Il appartient à la partie requérante de motiver sa requête et d'apporter, à cet effet, tous les moyens de preuve nécessaires et utiles (arrêt 5A_380/2015 du 1er juillet 2015 consid. 3.2.2 et les références, publié in SJ 2016 I 128). La jurisprudence ne se satisfait de la vraisemblance de l'indigence que lorsque le requérant a pris toutes les mesures qu'on pouvait raisonnablement attendre de lui pour établir sa situation économique (<ref-ruling> consid. 2b; arrêt 5D_114/2012 du 4 octobre 2012 consid. 2.3.2 et l'autre référence citée).
Lorsque la situation financière du requérant n'est pas établie, faute pour ce dernier d'avoir donné suite à la réquisition du juge de fournir toutes pièces utiles permettant d'établir sa situation financière actuelle - qu'il refuse de fournir les informations et documents concernant l'entier de sa situation, ou ne collabore pas activement (arrêt 5A_726/2014 du 2 février 2015 consid. 4.3, publié in RSPC 2015 p. 311) -, il y a lieu de rejeter sa requête d'assistance judiciaire (<ref-ruling> consid. 4a; <ref-ruling> consid. 3a; arrêts 5A_81/2017 du 29 juin 2017 consid. 6.3; 4A_537/2013 du 29 novembre 2013 consid. 4.1; 5A_ 952/2012 du 13 février 2013 consid. 2).
3.2. Le Vice-président de la Cour de justice a constaté que la recourante avait perçu un revenu mensuel net moyen de 2'864 fr. entre juin et août 2018. Elle avait assumé le minimum vital du couple (1'700 fr.) et le loyer (1'790 fr.). Or, au moyen de son seul salaire mensuel net moyen, elle ne pouvait pas y parvenir puisqu'il manquait une somme de 626 fr. pour ce faire. En dépit de l'interpellation du greffe de l'Assistance juridique du 26 septembre 2018, la recourante n'avait pas expliqué par quels moyens financiers elle avait pu assumer les charges précitées. La production de la liste des actes de défaut de biens accumulés en 2018 ne donnait aucune réponse à cette question. Faute d'avoir donné des explications circonstanciées au Vice-président du Tribunal civil, c'était avec raison que ce dernier avait refusé d'entrer en matière sur la requête d'assistance juridique.
3.3. La recourante considère que c'est à tort que l'autorité cantonale a retenu qu'elle n'avait pas réussi à expliquer comment elle parvenait à assumer les charges alléguées et qu'elle avait ainsi manqué à son devoir de collaboration. En effet, l'extrait du registre des poursuites produit et les explications qu'elle avait données permettaient de confirmer qu'elle vivait en dessous du minimum vital et que cette situation très précaire la pousse à s'endetter fortement pour assurer, " peu ou prou ", ses besoins essentiels. Cet état de précarité était la conséquence directe du fait que son ex-mari ne lui versait pas la moindre pension alimentaire, ce à quoi la demande de modification du jugement de divorce avait précisément pour but de remédier. Il était donc absurde de persister à lui demander comment elle parvenait à vivre au-dessus du minimum vital, alors qu'elle avait expliqué ne pas être en mesure d'assurer ce minimum du fait de sa situation, ce que prouvaient les pièces produites. On ne pouvait lui demander de produire d'hypothétiques pièces relatives à des revenus qui n'existaient pas. En refusant de prendre en compte ses explications et l'extrait du registre des poursuites fourni à leur appui, l'autorité cantonale avait fait preuve d'arbitraire dans l'appréciation des preuves.
3.4. En l'espèce, la recourante a déposé sa requête le 25 septembre 2018 en étant assistée d'un avocat. Le formulaire signé et déposé à cet effet mentionne que doivent obligatoirement être joints tous les justificatifs nécessaires, soit notamment copie " des dernières fiches de salaire, de rentes, d'indemnités journalières ou aides reçues ou [du] dernier bilan ", " des preuves de paiement du loyer, des assurances-maladie, des impôts (acomptes provisionnels), des pensions alim[entaires] ", " [d]es relevés bancaires/postaux détaillés des 3 derniers mois et [du] dernier bordereau d'impôts/avis de taxation ". Il ressort du dossier que la recourante a produit, à l'appui de sa requête, des décomptes de salaire pour les mois de juin 2018 (salaire net: 2'828 fr.) et août 2018 (salaire net: 2'882 fr. 50), un avenant n° 3 du 27 juin 2018 portant sur la reprise au 1er juillet 2018 d'un bail du 29 novembre 2016 relatif au logement qu'elle occupe à U._, un récépissé postal attestant du paiement le 3 juillet 2018 du loyer de 1'790 fr., un ordre permanent signé le 31 juillet 2018 pour le paiement dudit loyer, une confirmation du 2 août 2018 dudit ordre permanent, sa police d'assurance-maladie (Intras) faisant état d'une prime LAMal de 489 fr. 40 par mois, ainsi que des extraits de son compte D._ pour les mois de juillet et août 2018.
Quand bien même elle n'avait pas à interpeller la recourante, assistée d'un avocat, l'autorité de première instance lui a demandé de fournir des renseignements complémentaires au vu de l'incohérence constatée dans son budget mensuel. La recourante s'est bornée à produire un extrait du registre des poursuites au 22 octobre 2018 faisant essentiellement état d'actes de défaut de biens (en mains principalement de son assureur maladie). Or, en prétendant, sans même alléguer que ses créanciers détenteurs d'actes de défaut de biens feraient actuellement usage de leurs prérogatives, que ce document suffit à prouver son indigence, la recourante perd de vue que le Tribunal fédéral a retenu le contraire. Il a ainsi rappelé que l'extrait du registre des poursuites ne renseigne que sur les dettes, et non les revenus (arrêt 5D_114/2012 du 4 octobre 2012 consid. 2.3.2), et jugé que l'existence d'actes de défaut de biens après saisie ne signifie pas pour autant que le débiteur est dans le besoin, des dettes anciennes sur lesquelles le débiteur ne verse plus rien ne primant pas l'obligation du justiciable de payer les services qu'il requiert de l'Etat (arrêts 4P.95/2000 du 16 juin 2000 consid. 2h; H 269/95 du 23 février 1996). Au surplus, comme relevé dans l'arrêt 5D_114/2012 précité, le devoir de l'Etat de fournir l'assistance judiciaire est subsidiaire à l'obligation d'entretien découlant du droit de la famille (cf. ég. arrêt 1B_288/2010 du 2 novembre 2010 consid. 3.2 et les arrêts cités). Or, hormis la constatation cantonale selon laquelle elle avait déclaré qu'il " allait étudier ", la recourante ne dit mot de la situation actuelle de son nouvel époux.
Compte tenu de ce qui précède, force est de constater que la motivation de la décision déférée ne prête pas le flanc à la critique et qu'elle peut être confirmée.
4.
En définitive, le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Le recours étant dénué de chances de succès, la requête d'assistance judiciaire pour la procédure fédérale ne saurait être agréée (<ref-law>). Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont en conséquence mis à la charge de la recourante qui succombe (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué à la recourante, au Vice-président du Tribunal civil de la République et canton de Genève et au Vice-président de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Assistance judiciaire.
Lausanne, le 27 mai 2019
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Hildbrand