Sachverhalt:
A.
A._ (geb. "..." 1990) wurde am 14. März 2016 ein Führerausweis auf Probe für Motorfahrzeuge der Kategorie B (Motorwagen mit einem Gesamtgewicht von nicht mehr als 3500 kg; Probezeit bis zum 13. März 2019) und später ein Lernfahrausweis für Motorfahrzeuge der Kategorie A (Motorräder) ausgestellt.
Am 15. Juli 2018 verursachte A._ als Lenker eines Lieferwagens einen Verkehrsunfall. Das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern eröffnete deshalb am 26. Juli 2018 gegen A._ ein Administrativverfahren. Dieses wurde bis zum Abschluss des Strafverfahrens sistiert.
Das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt erteilte mit Verfügung vom 1. März 2019 A._ per 14. März 2019 den unbefristeten Führerausweis für Motorfahrzeuge der Kategorie B unter dem Vorbehalt des fristlosen Widerrufs, sofern im hängigen Administrativverfahren betreffend den Verkehrsunfall vom 15. Juli 2018 ein Ausweisentzug verfügt werde.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Bern erklärte A._ mit Strafbefehl vom 15. April 2019 aufgrund des Vorfalls vom 15. Juli 2018 wegen einer groben Verkehrsregelverletzung schuldig. Dieser Strafbefehl erwuchs in Rechtskraft. In der Folge entzog das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt A._ mit Verfügung vom 28. Juni 2019 den Führerausweis für Motorfahrzeuge der Kategorie B und den Lernfahrausweis der Kategorie A für die Dauer von drei Monaten. Weiter verfügte es den Einzug des per 14. März 2019 ausgestellten unbefristeten Führerausweises der Kategorie B und die Ausstellung eines neuen Führerausweises auf Probe mit einer um ein Jahr verlängerten Probezeit nach Ablauf der Entzugsdauer.
A._ schickte am 9. Juli 2019 den abgelaufenen Führerausweis auf Probe der Kategorie B sowie den Lernfahrausweis für die Kategorie A dem Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt zur Hinterlegung ein.
B.
Am 12. September 2019 hielt die Polizei A._ als Lenker eines Personenwagens an. Dieser wies sich mit dem per 14. März 2019 ausgestellten unbefristeten Führerausweis aus. Da ein Drogenschnelltest positiv auf Kokain ausfiel, nahm ihm die Polizei diesen Führerausweis ab und leitete den Ausweis an das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt weiter.
Gemäss dem forensisch-toxikologischen Abschlussbericht des Instituts für Rechtsmedizin (IRM) der Universität Bern vom 7. Oktober 2019 ergab die Blutanalyse ein negatives Resultat für Kokain nach den Richtlinien des Bundesamts für Strassen (ASTRA). Indes wurden im Blut zwei Stoffwechselprodukte (Benzoylecgonin und Ecgoninmethylester) nachgewiesen. Damit sei ein in der Vergangenheit liegender Konsum von Kokain nachgewiesen. Aufgrund der Gesamtumstände empfahl das IRM eine Überprüfung der Fahreignung von A._.
Das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt eröffnete mit Schreiben vom 19. September 2019 ein Administrativverfahren und stellte A._ die Annullierung seines Führerausweises auf Probe in Aussicht, weil er am 12. September 2019 einen Personenwagen trotz entzogenem Führerausweis gelenkt habe. Mit Schreiben vom 25. Oktober 2019 führte A._ aus, er habe nicht unter Drogeneinfluss ein Motorfahrzeug gelenkt, zudem sei er am 12. September 2019 im Besitz seines Führerausweises gewesen. Er habe diesen Ausweis der Polizei abgegeben.
Mit Verfügung vom 10. Dezember 2019 annullierte das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt den Führerausweis auf Probe von A._. Weiter hielt es fest, ein neuer Lernfahrausweis könne frühestens ab 12. September 2020 und nur aufgrund eines verkehrsmedizinischen und verkehrspsychologischen Gutachtens erteilt werden, das die Fahreignung bejahe und nicht älter als drei Monate sei.
Dagegen erhob A._ Beschwerde bei der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern. Diese wies die Beschwerde mit Urteil vom 22. April 2020 ab.
C.
Mit Eingabe vom 4. Dezember 2020 führt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil der Rekurskommission vom 22. April 2020 sei aufzuheben. Weiter sei auch die Verfügung des Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamts vom 10. Dezember 2019 aufzuheben. Ihm sei die Fahrerlaubnis zu erteilen und die Annullierung des Führerausweises auf Probe für Motorfahrzeuge sei rückgängig zu machen. Eventualiter seien das Urteil der Rekurskommission vom 22. April 2020 und die Verfügung des Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamts vom 10. Dezember 2019 aufzuheben und die Sache sei zur Neubeurteilung ans Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt zurückzuweisen.
Die Rekurskommission beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Strassen stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid über den Entzug des Führerausweises auf Probe bzw. dessen Annullierung. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach Art. 82 ff. BGG offen. Das Urteil der Vorinstanz vom 22. April 2020 wurde dem Beschwerdeführer gemäss Zustellnachweis am 9. November 2020 zugestellt. Mit Erhebung der bundesgerichtlichen Beschwerde am 4. Dezember 2020 ist die 30-tägige Beschwerdefrist gemäss Art. 100 Abs. 1 BGG eingehalten. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde - unter dem Vorbehalt der nachfolgenden Erwägungen - grundsätzlich einzutreten.
1.2. Nicht einzutreten ist auf seine Beschwerde, soweit der Beschwerdeführer die Aufhebung der Verfügung des Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamts vom 10. Dezember 2019 verlangt. Diese ist durch den Entscheid der Vorinstanz ersetzt worden (Devolutiveffekt des Rechtsmittels) und gilt inhaltlich als mitangefochten (vgl. <ref-ruling> E. 1.4).
1.3. Gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken; die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2, 115 E. 2). Die Begründung muss in der Beschwerde an das Bundesgericht selber enthalten sein und es genügt nicht, auf andere Rechtsschriften zu verweisen (<ref-ruling> E. 1.2.3).
Der Beschwerdeführer befasst sich in seiner Rechtsschrift über weite Strecken nicht substanziiert mit den vorinstanzlichen Erwägungen. Stattdessen legt er einzig seine Sicht der Dinge dar, ohne aber im Detail auf die Schlussfolgerungen der Vorinstanz einzugehen. Dies gilt insbesondere in Bezug auf die nur nebenbei erwähnte Rüge im Zusammenhang mit der Frage, ob der Vorfall vom 12. September 2019 während der Probezeit erfolgt sei. Da seine Vorbringen den Begründungsanforderungen gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG nicht genügen, ist darauf nicht einzutreten. Dasselbe gilt im Übrigen auch, soweit der Beschwerdeführer wiederholt auf frühere Rechtsschriften verweist.
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (Art. 9 BV) ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Die beschwerdeführende Person wiederum darf die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung nur rügen, wenn letztere mit einem solchen Mangel behaftet ist und dessen Behebung für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2).
2.
2.1. Vor Bundesgericht umstritten ist einzig, ob der Beschwerdeführer am 12. September 2019 zumindest fahrlässig trotz Ausweisentzug ein Motorfahrzeug geführt hat. Die Vorinstanz hat dies bejaht und somit eine schwere Widerhandlung gemäss Art. 16c Abs. 1 lit. f SVG angenommen, die nach Art. 16c Abs. 2 SVG einen Ausweisentzug zur Folge hat.
2.2. Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass das Führen eines Motorfahrzeuges trotz Ausweisentzug eine schwere Widerhandlung im Sinne von Art. 16c Abs. 1 lit. f SVG darstellt. Seiner Ansicht nach hat er sich am 12. September 2019 aber keine solche Widerhandlung zu Schulden kommen lassen. Zur Begründung führt er aus, dass er im Tatzeitpunkt noch im Besitz seines unbefristeten Führerausweises der Kategorie B und damit fahrberechtigt gewesen sei. Die gegenteilige Auffassung der Vorinstanz beruhe auf einer unrechtmässigen Feststellung des Sachverhalts und infolgedessen auf einer Verletzung von Bundesrecht, namentlich Art. 16c Abs. 1 lit. f, Art. 16c Abs. 2, Art. 15a Abs. 3 SVG sowie Art. 35 Abs. 1 und 2 der Verordnung vom 27. Oktober 1976 über die Zulassung von Personen und Fahrzeugen zum Strassenverkehr (VZV; SR 741.51).
2.3. Es ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer anlässlich seiner Anhaltung durch die Polizei am 12. September 2019 noch im physischen Besitz seines unbefristeten Führerausweises der Kategorie B war. Entgegen seiner Auffassung berechtigte ihn indessen einzig dieser physische Führerausweis nicht mehr zum Führen eines Motorfahrzeuges.
Wie den unbestrittenen vorinstanzlichen Erwägungen entnommen werden kann, entzog das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt dem Beschwerdeführer mit Verfügung vom 28. Juni 2019 den Führerausweis der Kategorie B sowie seinen Lernfahrausweis der Kategorie A für drei Monate. Dabei ist in Dispositiv-Ziffer 3 der Verfügung ausdrücklich festgehalten, dass "der Führerausweis und allfällige weitere Fahrbewilligungen zu einem frei wählbaren Zeitpunkt (Datum Poststempel gilt), aber bis spätestens 3 Monate ab Erhalt dieser Verfügung (...) einzusenden sind" und "sobald Sie den Ausweis oder die Ausweise der Post abgeben, sind Sie nicht mehr fahrberechtigt". In Dispositiv-Ziffer 4 wurde weiter festgehalten was folgt: "Ihr unbefristeter Führerausweis, ausgestellt am 14. März 2019, wird gestützt auf Art. 16 Abs. 1 SVG eingezogen".
Indem der Beschwerdeführer in der Folge am 9. Juli 2019 einerseits den abgelaufenen Führerausweis auf Probe der Kategorie B und andererseits den Lernfahrausweis für die Kategorie A dem Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt zur Hinterlegung eingereicht hatte, löste er den Vollzug des Ausweisentzugs von drei Monaten aus. Ab diesem Zeitpunkt war er folglich nicht mehr fahrberechtigt. Daran ändert nichts, dass er den unbefristeten Führerausweis der Kategorie B zurückhielt. Wie die Vorinstanz berechtigterweise erwog, musste sich der Beschwerdeführer aufgrund der unzweideutigen Formulierung der Verfügung vom 28. Juni 2019 bewusst sein, dass die Entzugsdauer bzw. die daraus resultierende fehlende Fahrberechtigung für alle Führerausweise gilt (vgl. auch Art. 33 Abs. 1 VZV; <ref-ruling> E. 3b in fine; Urteil 1C_6/2019 vom 23. April 2019 E. 3.2 mit Hinweis; BUSSY/RUSCONI/JEANNERET/KUHN/MIZEL/MÜLLER, Code suisse de la circulation routière, 4. Aufl. 2015, N. 3.7 zu Art. 16d SVG sowie N. 3 zu Art. 33 VZV).
Wenn die Vorinstanz erwog, der Beschwerdeführer habe daher nicht im guten Glauben davon ausgehen können, weiterhin Motorfahrzeuge lenken zu dürfen, ist dies angesichts des Wortlauts der Entzugsverfügung nicht zu beanstanden. Der vom Beschwerdeführer dagegen vorgebrachte Einwand, die dreimonatige Frist zur Abgabe des Ausweises sei noch nicht abgelaufen gewesen und er habe selber bestimmen können, wann er den unbefristeten Führerausweis der Kategorie B innerhalb der Frist, also bis zum 29. September 2019, der zuständigen Behörde abgeben wolle, ist nicht geeignet, dies in Frage zu stellen. Denn durch das Einsenden der übrigen Führerausweise am 9. Juli 2019 hat der Beschwerdeführer bereits von seinem "dreimonatigen Wahlrecht" Gebrauch gemacht und damit die für alle Führerausweise gleichzeitig geltende Entzugsdauer ausgelöst. Folglich nützt es dem Beschwerdeführer auch nichts, dass er noch im Besitz des physischen Ausweises war. Entgegen seiner Auffassung entfaltet ein Führerausweisentzug nicht erst mit der physischen Abgabe des Ausweises an das Strassenverkehrsamt seine Rechtswirkung. Vielmehr gilt der Führerausweis ab dem von der Administrativmassnahmenbehörde verfügten Entzugsdatum an als entzogen (Urteil 1C_560/2020 vom 18. Februar 2021 E. 2.2.2 mit Hinweisen). Für die Zulässigkeit des Führens von Motorfahrzeugen ist demnach nicht die Urkunde (der physische Ausweis) massgebend, sondern die dem Ausweis zugrunde liegende Verfügung.
Mit der Vorinstanz ist sodann davon auszugehen, dass sich der Beschwerdeführer bei Unklarheiten beim Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt über seine Fahrberechtigung hätte informieren können und müssen. Ein allfälliger Irrtum wäre jedenfalls leicht vermeidbar gewesen. Es ist daher ebenfalls nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz zumindest von einer fahrlässigen Begehung einer schweren Widerhandlung gemäss Art. 16c Abs. 1 lit. f SVG ausgegangen ist. Daran ändert im Übrigen auch der Umstand nichts, dass das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt zunächst nicht bemerkt hat, dass der Beschwerdeführer den unbefristeten Führerausweis der Kategorie B nicht abgegeben hatte.
Nach dem Gesagten stellt es weder eine unrichtige Feststellung des Sachverhalts noch eine Bundesrechtsverletzung dar, dass die Vorinstanz erwog, der Beschwerdeführer sei anlässlich seiner Anhaltung am 12. September 2019 nicht mehr im Besitz eines gültigen Führerausweises gewesen und habe eine schwere Widerhandlung im Sinne von Art. 16c Abs. 1 lit. f SVG begangen.
3.
3.1. Schliesslich ist fraglich, inwiefern sich der Beschwerdeführer überhaupt in rechtsgenüglicher Weise mit der von ihm beanstandeten und von der Vorinstanz bestätigten Anordnung eines verkehrsmedizinischen und verkehrspsychologischen Gutachtens auseinandersetzt. Er wiederholt erneut, die Vorinstanz verkenne, dass er keine schwere Widerhandlung gegen das Strassenverkehrsgesetz begangen und ihm das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt den Führerausweis zu Unrecht entzogen habe. Hinzu komme, dass gemäss dem forensisch-toxikologischen Bericht aufgrund der im Blut nachgewiesenen Stoffwechselprodukte lediglich ein länger zurückliegender Kokainkonsum nachgewiesen sei. Indessen sei das Blutanalyseresultat negativ ausgefallen, folglich habe er am 12. September 2019 nicht unter Drogen ein Fahrzeug gelenkt. Er habe dabei angegeben, dass er infolge einer Steissbein-Operation Medikamente habe einnehmen müssen; diesbezüglich seien jedoch keine weiteren Abklärungen erfolgt. Letztlich sei er aber am 12. September 2019 ohnehin im Besitz seines unbefristeten Führerausweises und somit fahrberechtigt gewesen.
3.2. Aus diesen Ausführungen erschliesst sich nicht, inwiefern die Anordnung des verkehrsmedizinischen und des verkehrspsychologischen Gutachtens rechtswidrig sein sollen. Dies ist denn auch nicht ersichtlich. Die Vorinstanz hat in Übereinstimmung mit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung festgehalten, dass aufgrund des beim Beschwerdeführer nachgewiesenen - wenn auch länger zurückliegenden - indes nicht grundsätzlich bestrittenen Kokainkonsums ein zusätzlicher Abklärungsbedarf bestehe. Da der Konsum von Kokain rasch zu einer ausgeprägten psychischen Abhängigkeit führt, kann eine gerichtsmedizinische Begutachtung der Fahreignung bereits bei vereinzeltem bzw. gelegentlichem Kokainkonsum angezeigt sein, selbst wenn daraus nicht zwingend auf eine Abhängigkeit geschlossen werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 4c und d S. 310 f.; Urteil 1C_458/2019 vom 25. März 2020 E. 2; je mit Hinweisen). Dass die Vorinstanz unter diesen Umständen die Anordnung einer verkehrsmedizinischen sowie einer verkehrspsychologischen Begutachtung gestützt hat, ist demnach ebenfalls nicht zu beanstanden.
4.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern, der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern und dem Bundesamt für Strassen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Juni 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier