Sachverhalt:
A.
Die 1986 geborene A._, russische Staatsangehörige, reiste im Februar 2013 in die Schweiz ein, um an der Universität Zürich ein Studium aufzunehmen. Im Januar 2017 gelangte sie an die Ausgleichskasse des Kantons Zürich und teilte mit, dass sie Beitragslücken für die Jahre 2013 bis 2016 bezahlen wolle. Mit Verfügung vom 30. August 2017 verneinte die Ausgleichskasse eine AHV-Beitragspflicht für die Jahre 2013, 2014 und 2015. Für das Jahr 2016 bejahte sie die Beitragspflicht als Nichterwerbstätige. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 7. November 2017 fest.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 19. März 2019 ab.
C.
A._ beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, unter Aufhebung des Entscheids vom 19. März 2019 und des Einspracheentscheids vom 7. November 2017 sei sie für die Jahre 2013 bis 2015 als Nichterwerbstätige zu erfassen, und es sei die Nachzahlung der entsprechenden AHV-Beiträge zu verfügen. Zudem seien der Wohnsitz und die Verwaltungspraxis in Bezug auf den "Fragebogen für Studierende" gerichtlich zu überprüfen.
Das Bundesamt für Sozialversicherungen und die Ausgleichskasse verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Wie sich aus der Beschwerdebegründung ergibt (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 127; Urteil 8C_62/2018 vom 19. September 2018 E. 1.2.2, nicht publ. in: <ref-ruling>), haben die Anträge betreffend gerichtliche Überprüfung des Wohnsitzes und der Verwaltungspraxis keine eigenständige Bedeutung: Die diesbezüglichen Ausführungen der (nicht anwaltlich vertretenen) Beschwerdeführerin dienen direkt und einzig der Untermauerung ihrer Position in Bezug auf die umstrittene Unterstellung unter die Alters- und Hinterlassenenversicherung. Soweit die Beschwerdeführerin beantragt, es sei die Nachzahlung von Beiträgen zu "verfügen", verlangt sie sinngemäss die Rückweisung der Sache an die Verwaltung.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Der obligatorischen Versicherung nach dem AHVG unterstehen insbesondere die natürlichen Personen mit Wohnsitz in der Schweiz (Art. 1a Abs. 1 lit. a AHVG) und die natürlichen Personen, die in der Schweiz eine Erwerbstätigkeit ausüben (Art. 1a Abs. 1 lit. b AHVG). Laut Art. 13 ATSG (i.V.m. Art. 1 Abs. 1 AHVG) bestimmt sich der Wohnsitz einer Person nach den Art. 23-26 ZGB.
2.2.
2.2.1. Der Wohnsitz einer Person befindet sich an dem Orte, wo sie sich mit der Absicht dauernden Verbleibens aufhält; der Aufenthalt insbesondere zum Zweck der Ausbildung begründet für sich allein keinen Wohnsitz (Art. 23 Abs. 1 ZGB).
Für die Begründung des Wohnsitzes im Sinne des ersten Teilsatzes von Art. 23 Abs. 1 ZGB müssen zwei Merkmale (kumulativ) erfüllt sein: Ein objektives äusseres, der Aufenthalt, sowie ein subjektives inneres, die Absicht dauernden Verbleibens. Nach der Rechtsprechung kommt es nicht auf den inneren Willen, sondern darauf an, auf welche Absicht die erkennbaren Umstände objektiv schliessen lassen. Massgebend ist somit der Ort, wo sich der Mittelpunkt der Lebensbeziehungen befindet (<ref-ruling> E. 3.1 S. 312; <ref-ruling> E. 2a S. 77; je mit Hinweisen; SVR 2019 AHV Nr. 1 S. 1, 9C_600/2017 E. 2.2). Im zweiten Teilsatz von Art. 23 Abs. 1 ZGB wird eine - widerlegbare - Vermutung angestellt, wonach der Aufenthalt am Studienort nicht bedeutet, dass auch der Lebensmittelpunkt an den fraglichen Ort verlegt worden ist; er umschreibt somit im Ergebnis negativ, was der erste Teilsatz zum Wohnsitz in grundsätzlicher Hinsicht positiv festhält (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 25; <ref-ruling> E. 3.1 S. 312).
2.2.2. Ist ein früher begründeter Wohnsitz nicht nachweisbar oder ist ein im Ausland begründeter Wohnsitz aufgegeben und in der Schweiz kein neuer begründet worden, so gilt der Aufenthaltsort als Wohnsitz (Art. 24 Abs. 2 ZGB).
Im Rahmen von Art. 24 Abs. 2 ZGB richtet sich die Frage, wann eine Person ihren ausländischen Wohnsitz aufgegeben hat, nach Art. 20 Abs. 1 lit. a IPRG (SR 291). Dies ist der Fall, wenn die Person den Ort des bisherigen Lebensmittelpunktes definitiv verlassen hat, wobei unerheblich ist, ob nach dem ausländischen Recht der ausländische Wohnsitz noch weiterbesteht. Die Aufgabe des einmal begründeten Wohnsitzes ist im internationalen Verhältnis wesentlich einfacher als im innerstaatlichen. Sie ist auch dann anzunehmen, wenn die Person zwar weiterhin einen ausländischen Wohnsitz hat, die Beziehungen dazu jedoch stark gelockert erscheinen (SVR 2006 KV Nr. 12 S. 38, K 34/04 E. 3 mit zahlreichen Hinweisen; DANIEL STAEHELIN, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch, Bd. I, 6. Aufl. 2018, N. 8 zu Art. 24 ZGB; HAUSHEER/AEBI-MÜLLER, Das Personenrecht des Schweizerischen Zivilgesetzbuches, 4. Aufl. 2016, S. 116 Rz. 09.51 ff.).
3.
3.1. Das kantonale Gericht hat u.a. festgestellt, die Beschwerdeführerin sei in Russland geboren; dort habe sie die Universität besucht und lebten ihre Eltern und ihr Grossvater. Sie habe 2008 geheiratet und ihr Ehemann habe bis 2017 in Deutschland gelebt; die Beschwerdeführerin habe in Deutschland eine Zustelladresse unterhalten. Anfangs des Jahres 2013 habe sie sich vom Ehemann getrennt und sei in die Schweiz eingereist. Sie habe ihren Ehemann seither nicht mehr besucht und auch keine anderen persönlichen Kontakte nach Deutschland aufrechterhalten. Nach der Einreise in die Schweiz habe sie ein Studium an der Universität Zürich aufgenommen, ohne seither einer Erwerbstätigkeit nachzugehen. Für die Beitragsjahre 2013 bis 2015 habe sie im "Fragebogen für Studierende" jeweils selber angegeben, dass sie sich ausschliesslich zu Studienzwecken in der Schweiz aufgehalten habe. Erst 2017 habe sie mitgeteilt, dass der Mittelpunkt ihrer Lebensbeziehungen "jetzt" in der Schweiz sei, wo ebenfalls ihr Verlobter lebe, und dass sie seit März 2017 von ihrem in Deutschland lebenden Ehemann auch gerichtlich getrennt sei.
Aus diesen - unbestrittenen und verbindlichen (E. 1.2) - Feststellungen hat das kantonale Gericht geschlossen, dass sich der Lebensmittelpunkt der Beschwerdeführerin nicht bereits bei ihrer Einreise im Februar 2013 in der Schweiz befunden habe; sie habe denn auch nicht vorgebracht, wegen ihres neuen Lebenspartners oder ihrer Freunde in das Land gekommen zu sein. Ihre Angaben sprächen vielmehr dafür, dass die neuen Bekanntschaften und Vereinsaktivitäten ihre Beziehung zur Schweiz allmählich gefestigt hätten und sie daher ihren Lebensmittelpunkt (und damit den Wohnsitz) erst 2016 von Russland beziehungsweise Deutschland in die Schweiz verlegt habe. Folglich hat es für die Jahre 2013 bis 2015 eine Beitragspflicht nach AHVG verneint.
3.2. Wo sich der Wohnsitz der Beschwerdeführerin vor deren Einreise in die Schweiz befand, hat die Vorinstanz nicht abschliessend festgelegt und braucht auch hier nicht beantwortet zu werden. Angesichts der konkreten Umstände - insbesondere Heirat, Übersiedlung nach Deutschland zum Ehemann und spätere Trennung von diesem (vgl. E. 3.1) - ist ab dem Zeitpunkt der Einreise in die Schweiz (zumindest) von stark gelockerten Beziehungen sowohl zu Deutschland als auch zu Russland auszugehen (vgl. Urteil 9C_10/2016 vom 16. Februar 2016 E. 3.3). Dies steht auch im Einklang mit den Angaben auf den "Fragebogen für Studierende". Ob damit gleichzeitig die Vermutung des zweiten Teilsatzes von Art. 23 Abs. 1 ZGB widerlegt wurde bzw. die Absicht des dauernden Verbleibens in der Schweiz gegeben war (vgl. E. 2.2.1; vgl. auch STAEHELIN, a.a.O., N. 19f zu Art. 23 ZGB), kann offenbleiben. Es steht fest, dass die Beschwerdeführerin im Sinn von Art. 24 Abs. 2 ZGB ihren früheren Wohnsitz im Ausland aufgab (vgl. E. 2.2.2), was das kantonale Gericht (wie die Verwaltung) nicht beachtet hat und in der Beschwerde zu Recht geltend gemacht wird. Der (gewöhnliche) Aufenthalt (vgl. STAEHELIN, a.a.O., N. 10 ff. zu Art. 24 ZGB; Art. 13 Abs. 2 ATSG) in der Schweiz resp. in Zürich seit der Einreise im Februar 2013 ist unbestritten. Ab diesem Zeitpunkt hatte die Beschwerdeführerin demnach auch ihren Wohnsitz in der Schweiz, weshalb sie gleichzeitig obligatorisch nach AHVG versichert war (vgl. E. 2.1).
3.3. Nach dem Gesagten wird die Ausgleichskasse die entsprechenden Beiträge für die Jahre 2013, 2014 und 2015 festzusetzen haben. Die Beschwerde ist begründet.
4.
Die unterliegende Beschwerdegegnerin hat keine Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 19. März 2019 und der Einspracheentscheid der Ausgleichskasse des Kantons Zürich vom 7. November 2017 werden aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Verfügung an die Ausgleichskasse des Kantons Zürich zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. Juni 2019
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Dormann