Faits :
A.
A.a. En date du 5 décembre 2014, au terme d'une procédure d'"enforcement" - soit d'une enquête forcée visant à établir les faits et à imposer le respect des lois sur la surveillance des marchés financiers en cas de soupçons d'irrégularité ou d'abus - ouverte contre B._ SA, compagnie d'assurance sur la vie, aujourd'hui en liquidation, la FINMA a prononcé le transfert du portefeuille d'assurance de la société précitée, ainsi que celui des actifs de la fortune liée y afférente, à C._ SA. A._, actionnaire unique de B._ SA, a alors recouru contre cette décision auprès du Tribunal administratif fédéral.
Par actes du 10 février 2015, la FINMA a dénoncé pénalement certains organes de B._ SA auprès du Ministère public genevois. Ce dernier a ouvert une instruction pénale le 5 mars 2015. En date du 4 décembre 2015, A._ a pour sa part déposé une demande d'indemnisation pour près de 75 millions de francs devant la FINMA et requis un accès au dossier complet des procédures d'audit et d'"enforcement " menées contre B._ SA.
Par arrêt du 18 août 2015, le Tribunal administratif fédéral a déclaré irrecevable le recours que A._ avait interjeté contre la décision de la FINMA du 5 décembre 2014. Cet arrêt a été par la suite confirmé par le Tribunal fédéral en date du 1 er août 2016 (arrêt 2C_872/2015).
A.b. Dans l'intervalle, par décision incidente du 29 avril 2016, la FINMA a suspendu la procédure relative à la demande d'indemnisation jusqu'à droit connu dans les différentes procédures qui avaient été ouvertes, notamment la procédure pénale conduite par le Ministère public de Genève et, enfin, la procédure de faillite de B._ SA.
Statuant sur recours de A._ SA le 8 novembre 2017, le Tribunal administratif fédéral a annulé la décision précitée et renvoyé la cause à la FINMA pour qu'elle statue à nouveau. Dans cet arrêt A-3504/2016, il était constaté qu'en matière d'action en responsabilité, l'organisation de la FINMA ne permettait pas l'instruction et le prononcé de décisions de manière indépendante et impartiale. Des personnes ayant participé aux procédures d'"enforcement" étaient en effet amenées à statuer sur leur propre responsabilité. En particulier, bien qu'ayant agi conformément aux règles organisationnelles de l'institution, le directeur de la FINMA aurait dû se récuser dans le cadre de la procédure de traitement de la demande d'indemnisation.
A.c. Le 7 décembre 2017, la FINMA a informé A._ de l'adaptation de son organisation interne et communiqué les noms des nouvelles personnes amenées à se prononcer dans sa cause. Elle garantissait que ces personnes n'étaient en aucun cas intervenues dans la procédure d'"enforcement" menée contre B._ SA.
B.
Par décision incidente du 15 décembre 2017, la FINMA a à nouveau suspendu la procédure relative à la demande d'indemnisation jusqu'à droit connu dans la procédure pénale conduite par le Ministère public de Genève et dans la procédure de faillite de B._ SA, précisant dans son dispositif qu'elle examinerait à intervalle régulier la réalisation des conditions de ladite suspension, pour la première fois au plus tard cinq ans après le prononcé de la présente décision.
A._ a recouru contre cette seconde décision de suspension. Elle alléguait, entre autres griefs, le risque d'un préjudice irréparable et une violation des règles sur la récusation.
Par arrêt du 6 décembre 2018, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours déposé devant lui dans la mesure où il était recevable. Il a déclaré le recours irrecevable en tant qu'il contestait la décision de suspension de la procédure prononcée par la FINMA; il l'a rejeté en tant qu'il demandait la récusation des membres de l'institution appelés à se prononcer sur l'action en responsabilité engagée.
C.
A._ (ci-après : la recourante) interjette un recours en matière de droit public contre l'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 6 décembre 2018.
Outre l'annulation de l'arrêt en cause et de la décision incidente de la FINMA du 15 décembre 2017, respectivement la constatation de la nullité de celle-ci (conclusions 2, 5 et 7 du mémoire), elle demande que le Tribunal ordonne la désignation, par le Conseil fédéral, d'une autorité de remplacement pour statuer sur sa demande d'indemnisation du 4 décembre 2015, ainsi que la transmission des actes de la présente procédure à cette autorité spéciale (conclusions 3 et 4). À titre subsidiaire, la recourante prend les conclusions en cascade suivantes : elle exige que la cause soit renvoyée à la FINMA et qu'il soit ordonné à celle-ci de se donner une organisation interne conforme à la Constitution fédérale et à la CEDH avant de statuer dans la procédure (conclusion 6), respectivement de désigner des personnes garantissant une impartialité et une indépendance conformes au droit supérieur pour statuer sur sa demande d'indemnisation (conclusion 8). Très subsidiairement, la recourante demande que l'arrêt attaqué soit annulé et que la cause soit renvoyée au Tribunal administratif fédéral, afin que celui-ci se prononce sur le bien fondé du recours qu'elle avait déposé et rende un nouvel arrêt après l'avoir entendue sur la question de la recevabilité de son acte (conclusions 9, 10 et 11).
Le Tribunal administratif fédéral a renoncé à se prononcer sur le recours. Aux termes de sa réponse, la FINMA conclut à son irrecevabilité, subsidiairement à son rejet. La recourante a répliqué et la FINMA renoncé à dupliquer.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 116).
1.1. Pour se prononcer sur la recevabilité d'un recours, il est nécessaire de définir dans un premier temps l'objet du litige qui en est à la base.
En procédure juridictionnelle administrative, ne peuvent être examinés et jugés, en principe, que les rapports juridiques à propos desquels l'autorité administrative compétente s'est prononcée préalablement, d'une manière qui la lie sous la forme d'une décision. Dans cette mesure, la décision détermine l'objet de la contestation qui peut être déféré en justice par la voie d'un recours (cf. <ref-ruling> consid. 5.2.1 p. 426; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 164; <ref-ruling> consid. 1a p. 414). Le juge n'entre donc pas en matière, en règle générale, sur des conclusions qui vont au-delà de l'objet de la contestation (cf. <ref-ruling> consid. 5.2.1 p. 426; <ref-ruling> consid. 1a p. 414).
En l'espèce, la décision rendue par la FINMA le 15 décembre 2017 se limitait à prononcer la suspension d'une procédure en responsabilité engagée contre l'institution précitée. Dans son recours au Tribunal administratif fédéral, la recourante ne s'est cependant pas contentée de contester le bien-fondé de cette suspension, mais a également fait valoir le devoir de récusation des personnes en charge de la procédure au sein de la FINMA et demandé la désignation d'une autorité de remplacement. Dans son arrêt, le Tribunal administratif fédéral a traité de ces deux questions. S'agissant de la demande de récusation déposée à l'encontre des membres de la FINMA, le Tribunal administratif fédéral l'a jugée admissible, car l'institution en question avait décidé de suspendre la procédure en responsabilité intentée contre elle une semaine seulement après avoir informé la recourante du nom des nouvelles personnes appelées à statuer. Selon lui, on ne pouvait pas exiger de la recourante qu'elle formule une demande de récusation devant la FINMA; elle devait au contraire être autorisée à invoquer directement ce point dans son recours.
Une telle approche est conforme au principe selon lequel la personne qui entend mettre en doute l'impartialité de l'autorité saisi doit, sous peine de déchéance, le faire dès que possible sans attendre l'issue de la procédure (<ref-ruling> consid. 3c p. 253). Partant, il y a lieu d'admettre que le litige porte sur ces deux aspects distincts, qu'il convient néanmoins de traiter de manière séparée s'agissant de la recevabilité.
1.2. Conformément à l'<ref-law>, les recours au Tribunal fédéral doivent en principe être déposés dans les trente jours qui suivent la notification de l'expédition complète de la décision attaquée. Ce délai est suspendu, entre autres périodes, du 18 décembre au 2 janvier inclus (art. 46 al. 1 let. c LTF). Selon l'<ref-law>, cette suspension du délai de recours ne vaut pas dans les causes portant sur l'octroi de l'effet suspensif à un recours, ni dans les causes qui concernent d'autres mesures provisionnelles, étant précisé que la décision de suspendre une procédure s'assimile à une telle mesure (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 264; arrêts 2C_316/2019 du 12 juillet 2019 consid. 1.2; 2C_321/2018 du 7 août 2018 consid. 3.2.2 et les références). A cela s'ajoute qu'au sens de la LTF, les mesures provisionnelles ne se limitent pas à celles prononcées par les autorités précédant immédiatement le Tribunal fédéral. Du moment que le recours à l'origine de l'arrêt attaqué est dirigé contre le prononcé d'une mesure provisionnelle, l'arrêt entrepris concerne lui-aussi une mesure provisionnelle (cf. <ref-ruling> consid. 1 et 3 p. 350 ss; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 153; aussi arrêts 1C_219/2011 du 30 septembre 2011 consid. 1 et 2C_774/2011 du 3 janvier 2011 consid. 1.2.3).
En l'occurrence, la recourante s'est vue notifier l'arrêt attaqué le mardi 11 décembre 2018. Si elle voulait en contester le premier volet, consistant dans le refus du Tribunal administratif fédéral d'examiner la suspension décidée par la FINMA, elle aurait dû déposer son recours dans les trente jours sans tenir compte d'une éventuelle suspension du délai de recours pendant la période de Noël. Autrement dit, il lui aurait incombé d'interjeter recours au Tribunal fédéral au plus tard le jeudi 10 janvier 2019 (art. 45 al. 1, 46 al. 1 et 100 al. 1 LTF). Comme son recours a été remis à une poste suisse le lundi 28 janvier 2019 seulement, il est irrecevable en tant qu'il concerne la problématique susmentionnée. En revanche, le recours a été déposé en temps utile - compte tenu de la suspension du délai de recours entre le 18 décembre et le 2 janvier - en tant qu'il conteste le second volet de l'arrêt attaqué, c'est-à-dire le refus du Tribunal administratif fédéral de désigner une autorité spéciale qui statue sur l'action en responsabilité engagée par la recourante contre la FINMA, respectivement de récuser les administrateurs et agents de cette institution actuellement en charge du dossier (art. 100 al. 1 et 46 al. 1 let. b LTF; cf. arrêt 1B_149/2013 du 5 septembre 2013 consid. 2.2).
1.3. Reste à savoir si, en tant qu'il ne conteste pas directement la décision de suspension, le recours remplit les autres conditions de recevabilité.
La voie de recours ouverte sur les questions principales devant le Tribunal fédéral l'est en principe également sur les questions accessoires. En l'espèce, le recours est dirigé contre un arrêt du Tribunal administratif fédéral (<ref-law>) rendue, sur recours, dans le cadre d'une action en responsabilité ouverte contre la FINMA, soit une procédure qui se fonde sur l'art. 19 de la loi du 22 juin 2007 sur l'Autorité fédérale de surveillance des marchés financiers (loi sur la surveillance des marchés financiers, LFINMA; RS 956.1) et qui constitue une cause de droit public (<ref-law>). Comme aucune exception de l'<ref-law> ne trouve application s'agissant de la cause au fond et que celle-ci présente une valeur litigieuse supérieure au seuil minimal de 30'000 fr. applicable aux contestations pécuniaires relevant de la responsabilité étatique (<ref-law>), l'arrêt entrepris peut faire l'objet d'un recours en matière de droit public.
Pour le reste, puisqu'il constitue une décision incidente notifiée séparément en matière de récusation, l'arrêt attaqué peut en principe être attaqué immédiatement devant le Tribunal fédéral en vertu de l'<ref-law>. Il s'ensuit que le recours en matière de droit public, qui a au surplus été déposé dans les formes prescrites (<ref-law>), est recevable en tant qu'il conteste la question de la récusation des personnes en charge de traiter l'action en responsabilité intentée par la recourante à l'encontre de la FINMA.
2.
Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Conformément à l'<ref-law> et en dérogation à l'<ref-law>, le Tribunal fédéral ne connaît toutefois de la violation des droits fondamentaux, ainsi que de celle de dispositions de droit cantonal, que si le grief a été invoqué et motivé par le recourant, à savoir exposé de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 1.7.2 p. 106; <ref-ruling> consid. 1.3 p 41).
Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été constatés de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 313 s.) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (cf. <ref-law>). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées. A défaut d'une telle motivation, il n'est pas possible de prendre en considération un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée, ni des faits qui n'y sont pas constatés (arrêt 2C_777/2015 du 26 mai 2016 consid. 2, non publié in <ref-ruling>).
Il découle de ce qui précède qu'il ne sera pas tenu compte des faits et des moyens de preuves que la recourante expose à titre préliminaire dans son mémoire sur treize pages et qui ne sont pas contenus dans l'arrêt entrepris, dès lors qu'elle n'explique pas en quoi les conditions qui viennent d'être rappelées seraient réunies, mais discute les faits comme devant une autorité d'appel, ce qui n'est pas admissible devant le Tribunal fédéral. Il est en outre relevé que, dans ses écritures, la recourante mélange les questions de fait et de droit et se plaint à différentes reprises d'un établissement inexact des faits alors qu'elle formule en réalité des griefs ayant trait à la bonne application du droit; de plus, de nombreux arguments font référence à des faits qui ne sont pas constatés dans l'arrêt attaqué. Une telle façon de procéder ne répond pas aux exigences susmentionnées, de sorte que les critiques formulées quant à l'établissement des faits ne seront pas examinées (cf. arrêt 2C_872/2015 du 1er août 2016 consid. 2).
3.
En ce qui concerne l'indépendance et l'impartialité des personnes en charge de traiter la demande d'indemnisation déposée par la recourante, le Tribunal administratif fédéral a relevé que la FINMA avait réorganisé ses services et adopté un nouveau règlement d'organisation ainsi qu'un nouveau règlement opérationnel d'organisation en date du 7 décembre 2017. L'institution avait ainsi réagi au prononcé de son précédent arrêt A-3504/2016 qui constatait que l'organisation de la FINMA ne permettait pas de garantir que les procédures en responsabilité engagées contre elle soient conduites dans le respect de l'art. 6 CEDH, ainsi que des art. 29 et 30 Cst. Selon les juges précédents, la nouvelle organisation mise en place ne serait en rien comparable à la précédente. Elle offrirait les garanties nécessaires pour que les procédures en responsabilité de la FINMA soient traitées de manière équitable, étant précisé que les exigences en matière de récusation sont moins sévères pour les membres des autorités administratives que pour les autorités judiciaires. Il n'existerait pour le reste aucune raison de penser que les administrateurs et employés de la FINMA, en particulier ceux appelés à traiter la demande d'indemnisation de la recourante, nourriraient une prévention à l'égard de celle-ci, ni qu'ils pourraient être partiaux en la cause.
4.
La recourante formule différents griefs qui se recoupent largement à l'encontre de l'arrêt du Tribunal administratif fédéral. Ce faisant, elle affirme en premier lieu que la procédure en responsabilité devant la FINMA est une procédure quasi-judiciaire régie par les exigences d'impartialité et d'indépendance de l'art. 30 Cst. et de l'art. 6 CEDH. Elle reproche au Tribunal administratif fédéral d'être parti de l'idée qu'il s'agirait uniquement d'une procédure administrative à laquelle seules les exigences déduites de l'art. 29 Cst. s'appliqueraient. Les juges précédents auraient ainsi dénié à tort l'existence d'un motif de récusation objectif et permanent à l'endroit de tous les membres de la FINMA, lequel résulterait du double rôle de cette institution qui est à la fois juge et partie s'agissant des demandes d'indemnisation.
4.1. Le droit à un tribunal indépendant et impartial est consacré en droit suisse à l'art. 30 al. 1 Cst. Il est également garanti par l'art. 6 par. 1 de la Convention européenne des droits de l'homme (CEDH, RS 0.101). Cette seconde disposition s'applique à toutes les procédures qui s'assimilent à des accusations en matière pénale ou qui concernent des contestations sur des droits et obligations de caractère civil, telle qu'une prétention en responsabilité contre l'Etat (cf. <ref-ruling> consid. 8.2.1 p. 201 s.). La garantie d'un juge indépendant et impartial telle qu'elle résulte des art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH - lesquels ont, de ce point de vue, la même portée - permet, indépendamment du droit de procédure applicable, de demander la récusation d'un juge dont la situation ou le comportement est de nature à susciter des doutes quant à son impartialité (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 162 et les arrêts cités).
4.2. Les art. 30 Cst. et 6 CEDH consacrent un droit à un tribunal indépendant et impartial. Ils ne garantissent toutefois pas que chaque autorité appelée à statuer sur une cause donnée satisfasse à de telles exigences. Selon son texte clair, l'art. 30 Cst. ne s'applique en effet qu'aux autorités ou magistrats qui exercent des fonctions juridictionnelles, le critère déterminant étant la nature fonctionnelle et non organique de l'autorité. Les exigences qu'il prévoit ne s'imposent ainsi pas aux organes qui remplissent le rôle d'autorités administratives (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 173; <ref-ruling> consid. 2b p. 198 s. et les références citées; arrêt 2C_187/2011 du 28 juillet 2011 consid. 3.1, non publié in <ref-ruling>). Quant à l'art. 6 par. 1 CEDH, il consacre, d'après la Cour européenne des droits de l'homme (ci-après: la CourEDH), un droit à voir sa cause examinée par un tribunal à un moment ou à un autre, sans interdire "l'intervention préalable d'organes administratifs ou corporatifs, et a fortiori d'organes juridictionnels ne satisfaisant pas sous tous leurs aspects à ces mêmes prescriptions" (arrêt de la CourEDH Le Compte, Van Leuven et De Meyere contre Belgique du 23 juin 1981, nos 6878/75 et 7238/75, § 51). Autrement dit, la CourEDH reconnaît que les exigences de la convention puissent être garanties au regard de l'ensemble de la procédure envisagée "en bloc" (arrêt de la CourEDH Ekbatani contre Suède du 26 mai 1988, no 10563/83, §§ 23-33). Ainsi, l'art. 6 CEDH n'interdit pas d'instaurer comme autorité de première instance, voire comme première autorité de recours un tribunal ou une commission juridictionnelle ne répondant pas aux exigences de cette disposition pour autant qu'une autre instance de recours juridictionnel puisse revoir la cause librement en fait et en droit (cf., notamment, arrêts de la CourEDH Belilos contre Suisse du 29 avril 1988, no 10328/83, §§ 68-72; Albert et Le Compte contre Belgique du 10 février 1983, nos 7299/75 et 7496/76, §§ 29; aussi <ref-ruling> consid. 4 p. 81 ss).
4.3. En l'occurrence, la FINMA est un établissement autonome de droit public chargé de surveiller les marchés financiers en Suisse (cf. art. 1, 5 et 6 LFINMA). Cette surveillance a pour but de protéger les créanciers, les investisseurs et les assurés et d'assurer le bon fonctionnement des marchés financiers, conformément aux lois sur les marchés financiers. La FINMA exerce sa tâche de surveillance de manière autonome et indépendante (<ref-law>). Pour ce faire, elle octroie des autorisations, surveille de manière continue les titulaires d'autorisation et, en cas de violation de la loi, rétablit l'ordre légal, le cas échéant par des mesures contraignantes (cf. <ref-law>). Comme n'importe quelle institution indépendante de l'administration ordinaire chargée d'exécuter des tâches de droit public par la Confédération, il lui incombe également de statuer directement sur les prétentions en dommages et intérêts que les tiers peuvent soulever contre elle, en appliquant par analogie les règles de la loi fédérale du 14 mars 1958 sur la responsabilité de la Confédération, des membres de ses autorités et de ses fonctionnaires (Loi sur la responsabilité, LRCF, RS 170.32) et la loi fédérale du 20 décembre 1968 sur la procédure administrative (PA, RS 172.021; cf. <ref-law> et 19 al. 1 et 3 LRCF). Ce faisant, la FINMA ne se prononce jamais de manière définitive, mais uniquement en tant que première instance décisionnelle. Qu'elles concernent directement la surveillance des marchés financiers ou la responsabilité de l'institution, ses décisions peuvent toujours faire l'objet d'un recours au Tribunal administratif fédéral dans le cadre duquel celui-ci dispose d'un pouvoir d'examen complet en fait et en droit (art. 53 et 54 al. 1 LFINMA; <ref-law> et art. 33 let. e et h de la loi sur le Tribunal administratif fédéral [LTAF, RS 173.32]).
4.4. Sur le vu de ce qui précède, force est de constater que la FINMA ne constitue pas une autorité judiciaire. Le simple fait qu'elle ne soit soumise à aucune directive ne suffit bien évidemment pas à la qualifier de tribunal. À l'instar de la Commission de la concurrence, de la Commission de la communication et de l'ancienne Commission fédérale des banques, la FINMA constitue une autorité décisionnelle appartenant à l'administration fédérale décentralisée. Elle remplit à ce titre non pas une fonction judiciaire, mais de surveillance (<ref-ruling> consid. 27 p. 158 et les références citées). Il en découle que les exigences d'indépendance et d'impartialité découlant l'art. 30 Cst. ne s'imposent pas aux procédures ouvertes devant elle. C'est en vain que la recourante tente de se prévaloir de l'arrêt A-3504/2016 du Tribunal administratif fédéral qui, selon elle, retiendrait le contraire.
La non-application des exigences d'impartialité et d'indépendance déduites de l'art. 30 Cst. aux procédures ouvertes devant la FINMA est pour le reste conforme à l'art. 6 CEDH. Dans la mesure où la recourante se plaint du fait que sa demande d'indemnisation ne serait pas instruite et examinée par une autorité judiciaire satisfaisant pleinement aux exigences d'indépendance et d'impartialité imposées par cette disposition, elle perd de vue que le Tribunal administratif fédéral joue précisément ce rôle. Le fait que cette autorité judiciaire n'intervienne que sur recours n'est pas déterminant, la procédure devant être examinée dans son ensemble et d'un point de vue global. Il faut dès lors considérer que la procédure d'action en responsabilité engagée par la recourante contre la FINMA respecte les exigences de l'art. 6 CEDH. Autrement dit, le fait que cette procédure passe par une phase préalable dans le cadre de laquelle l'institution précitée est à la fois juge et partie ne viole pas en soi le droit à un juge indépendant et impartial, comme le prétend la recourante (cf. arrêt 2A.446/2001 du 7 février 2002 consid. 2.2).
4.5. Il découle de ce qui précède que le recours doit être rejeté en tant qu'il se plaint d'une violation des art. 6 par. 1 CEDH et 30 al. 1 Cst.
5.
La recourante affirme que dans la mesure où l'on devrait considérer que la procédure en responsabilité engagée contre la FINMA ne viole pas les art. 6 CEDH et 30 Cst., il faudrait au moins admettre que les personnes chargées de sa cause au sein de cette institution se trouvent dans un conflit de loyauté propre à susciter des doutes quant à leur impartialité. Elle y voit une violation de son droit à une procédure équitable garanti par l'art. 29 al. 1 Cst.
5.1. L'art. 29 al. 1 Cst. dispose que toute personne a droit, dans une procédure judiciaire ou administrative, à ce que sa cause soit traitée équitablement. Selon la jurisprudence, ce droit permet notamment d'exiger la récusation des membres d'une autorité administrative dont la situation ou le comportement sont de nature à faire naître un doute sur leur indépendance ou leur impartialité; il tend à éviter que des circonstances extérieures à l'affaire ne puissent influencer une décision en faveur ou au détriment de la personne concernée. La récusation peut s'imposer même si une prévention effective du membre de l'autorité visée n'est pas établie, car une disposition interne de sa part ne peut guère être prouvée; il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale. Cependant, seules des circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération; les impressions purement individuelles d'une des personnes impliquées ne sont pas décisives (ATF <ref-ruling> consid. 2b p. 198; <ref-ruling> consid. 3b p. 123, 209 consid. 8a p. 217). De manière générale, les dispositions sur la récusation sont moins sévères pour les membres des autorités administratives que pour les autorités judiciaires. Contrairement à l'art. 30 al. 1 Cst., l'art. 29 al. 1 Cst. n'impose pas l'indépendance et l'impartialité comme maxime d'organisation (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 451; <ref-ruling> consid. 3f p. 124; voir également arrêt 2C_831/2011 du 30 décembre 2011 consid. 3.2).
5.2. L'<ref-law> - qui concrétise l'art. 29 al. 1 Cst. - prévoit un devoir de récusation à chaque fois que les personnes appelées à rendre ou à préparer une décision ont un lien de parenté ou sentimental avec l'une des parties à la procédure ou ont déjà représenté l'une de celles-ci dans la même affaire (let. b, bbis et c). Il en fait de même lorsque lesdites personnes ont un intérêt personnel ou pourraient avoir, pour d'autres raisons, une opinion préconçue dans l'affaire (let. a et d). Il est précisé que, d'après la jurisprudence, une faute de procédure - voire une fausse application du droit matériel - ne suffit pas à elle seule à donner une apparence de prévention. Il n'en va autrement que si le membre d'une autorité administrative ou judiciaire a commis des erreurs grossières ou répétées constituant une grave violation des devoirs de sa charge. Une personne qui exerce la puissance publique est nécessairement amenée à devoir trancher des questions controversées ou des questions qui dépendent largement de son appréciation. Même si elle prend dans l'exercice normal de sa charge une décision qui se révèle erronée, il n'y a pas lieu de redouter une attitude partiale de sa part à l'avenir. Par ailleurs, la procédure de récusation ne saurait être utilisée pour faire corriger des fautes - formelles ou matérielles - prétendument commises par une personne détentrice de la puissance publique; de tels griefs doivent être soulevés dans le cadre du recours portant sur le fond de l'affaire (<ref-ruling> consid. 3b p. 404 et les références; aussi arrêt 2C_629/2015 du 1er décembre 2015 consid. 3.1).
5.3. La récusation ne touche en principe que les personnes physiques individuelles composant les autorités, et non l'autorité en tant que telle (<ref-ruling> consid. 4 p. 862). Il s'agit de ne pas vider la procédure et la réglementation de l'administration de son sens dès lors que la récusation vise à relever une autorité entière des tâches qui lui sont attribuées par la loi (<ref-ruling> consid. 3b p. 477). Une demande de récusation dirigée contre une autorité dans son ensemble peut cependant être examinée comme si elle était dirigée contre chacun des membres de l'autorité pris individuellement (arrêts 2C_1124/2015 du 31 mars 2017 consid. 4.2; 9C_499/2013 du 20 février 2014 consid. 5.4; 2C_831/2011 du 30 décembre 2011 consid. 3.1 et les références).
5.4. En l'occurrence, dans son recours, le recourante demande la récusation des personnes chargées de traiter son action en responsabilité en se plaignant qu'" il existe[rait] de par la nature même des procédures concernant des demandes d''indemnisation dirigées contre la FINMA un conflit fondamental d'intérêts qui est à lui seul apte à faire naître des doutes légitimes sur l'impartialité [de chacun] des membres de la FINMA ". Elle conclut dans cette logique à la désignation d'une autorité spéciale pour statuer sur son cas, c'est-à-dire d'une autorité qui serait totalement indépendante de l'autorité de surveillance des marchés financiers. Ce faisant, elle formule un grief qui est en réalité dirigé contre la FINMA dans son ensemble et qui vise au retrait d'une prérogative qui est reconnue à celle-ci de par la loi. Or, comme on l'a vu, une demande de récusation ne peut être dirigée contre une autorité in globo, mais uniquement individuellement contre les personnes physiques qui la composent (cf. supra consid. 5.3). A cela s'ajoute que le conflit d'intérêts reproché par la recourante découle du choix délibéré du législateur fédéral d'attribuer aux institutions indépendantes telle que la FINMA la charge de statuer en première instance sur les demandes d'indemnisation introduites en raison de leurs propres décisions (cf. <ref-law> et supra consid. 4.3). Même si un telle règle ne répondait pas aux exigences de l'art. 29 al. 1 Cst., elle lierait de toute manière le Tribunal fédéral (cf. art. 190 Cst.). Cela étant, la question de savoir si le recours doit être rejeté pour ces seules raisons peut rester indécise. Il n'existe en effet aucun motif de récusation individuel à l'endroit des personnes chargées de traiter l'action en responsabilité intentée par la recourante.
5.5. Comme cela ressort de l'arrêt attaqué, l'action intentée par la recourante est, depuis fin 2017, du ressort d'un comité permanent du conseil d'administration de la FINMA, soit le "comité des offres publiques d'acquisition et de la responsabilité de l'Etat" (cf. Mandat du conseil d'administration concernant le comité des offres publiques d'acquisition et de la responsabilité de l'Etat du 7 décembre 2017 [ci-après: Mandat], consultable sous : www.finma.ch > FINMA > Organisation > Conseil d'administration; aussi art. 4 al. 1 et 2 du Règlement d'organisation de l'Autorité fédérale de surveillance des marchés financiers FINMA du 18 décembre 2008 [ci-après: Règlement d'organisation FINMA], dont la version la plus récente du 1er juillet 2019 est consultable sous www.finma.ch > FINMA > Organisation > Corporate Governance > Règlement d'organisation et opération; sites consultés en octobre 2019). Ce nouveau comité permanent est chargé des procédures en responsabilité engagées contre l'institution et est appelé à statuer sur les prétentions qui peuvent être soulevées contre elle sur la base de la LRCF. Il se compose actuellement pour chaque affaire de trois membres du conseil d'administration et est présidé par D._ (cf. introduction du Mandat). Le responsable du groupe "Droit et compliance" de la FINMA participe aux réunions du comité, à l'instar des différents responsables de dossier provenant de la section précitée qui sont également présents afin de soumettre des propositions au comité et d'en assurer le secrétariat (cf. let. B du Mandat). Ce comité spécifique pour le traitement des actions en responsabilité a été créé par le conseil d'administration de la FINMA après que le Tribunal administratif fédéral avait reproché à cette institution de présenter des défauts organisationnels s'agissant du traitement des demandes d'indemnisation, à la suite d'un précédent recours de la recourante.
Comme relevé par l'autorité précédente, la FINMA s'est ainsi organisée de sorte à octroyer le pouvoir décisionnel en ce qui concerne les demandes d'indemnisation à des personnes qui n'ont ni instruit, ni statué dans les procédures dit d'"enforcement" ayant causé un éventuel dommage, étant précisé que ces procédures relèvent normalement d'un "comité d'enforcement" composé du directeur de la FINMA et des chefs des divisions "Services stratégiques" et "Enforcement". Afin d'éviter tout risque de conflit d'intérêts entre les procédures d'"enforcement" et de responsabilité, la FINMA a même prévu que le conseil d'administration devait statuer sans les membres du comité des offres publiques d'acquisition et de la responsabilité de l'Etat lorsqu'il se saisissait d'une procédure d'"enforcement" à la place du comité compétent éponyme (cf. art. 11 al. 5 Règlement d'organisation FINMA).
5.6. Sur le vu de ce qui précède, on ne comprend pas pourquoi le Tribunal administratif fédéral aurait dû admettre la demande de récusation de la recourante, étant rappelé que les règles sur la récusation sont moins sévères pour les membres des autorités administratives - telles que la FINMA - que pour les autorités judiciaires (cf. supra consid. 5.1).
L'intéressée ne prétend pas que les personnes dont elle requiert la mise à l'écart dans le cadre de son action en responsabilité auraient été impliquées dans la procédure menée contre sa filiale et lui ayant été préjudiciable. Elle se contente de prétendre que la direction de la FINMA, en tant qu'organe opérationnel supérieur de l'institution, pourrait théoriquement exercer une influence sur les agents de la division "Droit et compliance" qui sont désormais responsables de la gestion de son dossier, à savoir E._ et F._, et, par ce biais indirect, sur le comité permanent du conseil d'administration compétent en la cause. Or, cette critique abstraite d'ordre organisationnel revient dans une large mesure à critiquer de manière inadmissible le principe de l'<ref-law> selon lequel la FINMA doit statuer elle-même sur les demandes d'indemnisation liée à son activité (cf. supra consid. 5.4). Reposant en outre essentiellement sur des conjectures, elle n'est du reste pas propre à éveiller un soupçon d'impartialité sur la procédure et à fonder un motif de récusation, d'autant moins que les collaborateurs de la division "Droit et Compliance" concernés n'ont aucun pouvoir décisionnel sur le fond, puisque celui-ci appartient aux administrateurs de la FINMA siégeant au sein du comité des offres publiques d'acquisition et de la responsabilité de l'Etat. Il n'en va pas autrement des autres indices de partialité invoqués par la recourante, notamment des prétendus vices de procédure allégués par celle-ci depuis le changement d'organisation de la FINMA. Comme on l'a vu, le fait qu'une procédure ne soit pas menée à la totale convenance d'une partie ne constitue pas un motif de récusation des personnes (cf. supra consid. 5.2).
5.7. Il découle de ce qui précède que l'arrêt attaqué ne viole pas l'art. 29 al. 1 Cst., ni l'<ref-law> en déniant toute apparence de partialité chez les personnes chargés, au sein de la FINMA, de traiter l'action en responsabilité intentée par la recourante.
6.
Dans ces circonstances, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Succombant, la recourante doit supporter un émolument judiciaire (<ref-law>). Il ne sera pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 5'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, à la FINMA et au Tribunal administratif fédéral, Cour I.
Lausanne, le 9 décembre 2019
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Jeannerat