Sachverhalt:
A.
B._ und A._ sind die nicht miteinander verheirateten Eltern von C._ (geb. 2006) und D._ (geb. 2009).
B.
Mit Vereinbarung vom 3. Februar 2010 verpflichtete sich A._, der Mutter an den Unterhalt von C._ und D._ ab Auflösung des gemeinsamen Haushalts bis zum vollendeten 6. Lebensjahr je Fr. 1'530.--, bis zum vollendeten 12. Lebensjahr je Fr. 1'550.-- und danach bis zur Volljährigkeit resp. bis zum Abschluss einer angemessenen Ausbildung je Fr. 1'720.-- zu bezahlen. Am 25. Februar 2010 genehmigte der Gemeinderat U._ in seiner damaligen Funktion als Vormundschaftsbehörde diese Vereinbarung.
C.
C.a. Am 9. September 2015 gelangte A._ mit einem Schlichtungsgesuch an das Bezirksgericht Kriens und ersuchte um eine Reduktion der Kinderalimente. Eine Einigung kam nicht zustande.
C.b. Mit Klage vom 12. Februar 2016 beantragte A._ dem Bezirksgericht Kriens, die Unterhaltsvereinbarung vom 25. Februar 2010 dahingehend abzuändern, dass er B._ an den Unterhalt von C._ und D._ rückwirkend per 9. September 2015 jeweils bis zum vollendeten 12. Lebensjahr der Kinder monatliche Beiträge von je Fr. 1'000.-- und danach bis zur Volljährigkeit solche von je Fr. 1'200.-- zu entrichten habe.
C.c. Mit Urteil vom 21. November 2016 hiess die Einzelrichterin am Bezirksgericht Kriens das Abänderungsgesuch teilweise gut. A._ wurde verpflichtet, per 9. September 2015 für seine beiden Kinder die folgenden monatlichen Unterhaltsbeiträge zu bezahlen: je Fr. 1'400.-- bis zum vollendeten 12. Altersjahr und danach je Fr. 1'570.--.
C.d. Gegen dieses Urteil erhob B._ am 9. Januar 2017 Berufung beim Kantonsgericht Luzern. Sie beantragte die Abweisung der Abänderungsklage. Am 9. März 2017 erhob A._ Anschlussberufung. Er verlangte die Gutheissung seiner Abänderungsklage.
C.e. Mit Urteil vom 9. November 2017 hiess das Kantonsgericht die Berufung von B._ gut. Die Anschlussberufung von A._ wurde abgewiesen.
D.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 8. Januar 2018 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Kantonsgerichts aufzuheben und die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts und neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen; die Unterhaltsbeiträge seien ab dem 1. Januar 2017 neu festzulegen.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen einen letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid (Art. 75 und 90 BGG) betreffend die Abänderung von Kindesunterhalt. Dabei handelt es sich um eine Zivilsache (<ref-law>) vermögensrechtlicher Natur (<ref-ruling> E. 2a S. 494 f.; jüngst Urteile 5A_90/2017 vom 24. August 2017 E. 1.1 und 5A_399/2016 vom 6. März 2017 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Der Streitwert übersteigt den Betrag von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b und Art. 51 Abs. 1 Bst. a und Abs. 4 BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist sodann nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Die Beschwerde erfolgte fristgerecht (Art. 100 Abs. 1, Art. 46 Abs. 1 Bst. c und <ref-law>).
2.
2.1. Die Beschwerde an das Bundesgericht ist ein reformatorisches Rechtsmittel (<ref-law>). Der Beschwerdeführer muss deshalb grundsätzlich einen Antrag in der Sache stellen, das heisst angeben, welche Punkte des kantonalen Entscheids er anficht und inwiefern das Bundesgericht den angefochtenen Entscheid abändern soll. Rechtsbegehren, die eine Geldsumme zum Gegenstand haben, sind daher zu beziffern (<ref-ruling> E. 1.2 S. 112; <ref-ruling> E. 2 S. 236 f., Urteil 5A_346/2016 vom 29. Juni 2017 E. 2.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Für die Auslegung der Rechtsbegehren kann das Bundesgericht die Begründung der Beschwerde heranziehen (<ref-ruling> S. 1.2 S. 136). Auf nicht bezifferte Anträge tritt es deshalb ausnahmsweise ein, sofern sich aus der Beschwerdebegründung, allenfalls in Verbindung mit dem angefochtenen Entscheid, ohne Weiteres ergibt, was der Beschwerdeführer in der Sache verlangt (BGE <ref-ruling> E. 2. S. 236 f.). Ansonst reicht ein nicht bezifferter Antrag nur aus, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung der Beschwerde in der Sache naturgemäss nicht selbst entscheiden könnte und die Sache an die kantonale Instanz zurückweisen müsste (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 383).
2.2. Im vorliegenden Fall beschränkt sich der Beschwerdeführer darauf, die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu verlangen, damit diese den Sachverhalt ergänzt und den Kindesunterhalt unter Berücksichtigung des neuen Unterhaltsrechts festlegt. Der Vorwurf der lückenhaften Feststellung des Sachverhalts beschränkt sich dabei auf die Behauptung, die Vorinstanz habe bezüglich Betreuungsunterhalt fälschlicherweise nicht das neue, am 1. Januar 2017 in Kraft getretene Unterhaltsrecht zur Anwendung gebracht. Darin liegt eine Rechts- und keine Sachverhaltsrüge. Weder tut der Beschwerdeführer auf diese Weise dar noch ist ersichtlich, weshalb das Bundesgericht die Sache zwingend an die Vorinstanz zurückweisen müsste, wenn es die Beschwerde für begründet hielte. Im Übrigen lässt sich der Beschwerde auch unter Heranziehung der Begründung keine Bezifferung der Anträge entnehmen. Entsprechend weiss das Bundesgericht nicht, welchen Unterhalt der Beschwerdeführer unter Berücksichtigung des neuen Unterhaltsrechts zu bezahlen bereit ist. Auf die Beschwerde kann deshalb nicht eingetreten werden.
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Er hat deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Juli 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Monn