Faits :
A.
Le 21 octobre 2009, la Ville de Genève a remis à bail aux époux H.A._ et F.A._ un appartement de six pièces situé au 1er étage d'un immeuble sis à Genève.
Par jugement de divorce du 13 avril 2011, les droits et obligations découlant du contrat de bail ont été attribués à F.A._, celle-ci devenant la seule titulaire du bail à loyer. H.A._ s'est engagé à quitter le domicile conjugal au plus tard le 31 juillet 2011. Il a cependant continué à vivre chez son ex-femme après cette date.
Le 19 septembre 2019, F.A._ a décidé de résilier son bail. La bailleresse a accepté cette résiliation.
Par courrier du 27 septembre 2019, H.A._ a sollicité l'annulation de ladite résiliation est s'est déclaré prêt à reprendre le bail à son nom ou à déménager si un autre logement lui était proposé.
Le 3 octobre 2019, la bailleresse a confirmé la résiliation du bail. Elle a rappelé à H.A._ que le bail avait été attribué à F.A._. Seule la possibilité de lui octroyer un délai de départ raisonnable pouvait dès lors être envisagée.
Le 10 octobre 2019, la Ville de Genève a soumis un projet de convention à H.A._ prévoyant un délai de départ au 31 mars 2020, moyennant le paiement d'une indemnité pour occupation illicite. H.A._ a refusé de signer cette convention au motif qu'il lui serait impossible de se reloger d'ici la date de départ prévue.
B.
B.a. Par jugement du 18 mai 2020, rendu selon la procédure sommaire applicable aux cas clairs, le Tribunal de première instance genevois a fait droit à la requête en évacuation déposée le 6 décembre 2019 par la Ville de Genève. Il a condamné H.A._ à évacuer immédiatement l'appartement litigieux et autorisé la Ville de Genève à requérir son expulsion par la force publique dès l'entrée en force du jugement.
En bref, l'autorité de première instance a considéré que l'état de fait n'était pas litigieux et que la situation juridique était claire, dès lors que F.A._ était seule titulaire du bail depuis le divorce des époux et qu'elle avait valablement résilié son bail. H.A._ occupait dès lors le logement sans droit. Le délai de départ proposé par la Ville de Genève, que l'occupant avait refusé, ne constituait pas une proposition de bail. Par ailleurs, le fait que l'occupant était resté dans les locaux après la fin du bail de son ex-épouse ne permettait pas de retenir l'existence d'un bail tacite conclu entre les parties.
B.b. Le 1er juin 2020, H.A._ a appelé du jugement précité, concluant à son annulation et à ce que la requête en cas clair soit déclarée irrecevable, les conditions du cas clair n'étant, selon lui, pas remplies. Subsidiairement, il a invité la cour cantonale à constater qu'un bail de durée déterminée allant du 16 octobre 2019 au 31 mars 2020 avait été conclu. Plus subsidiairement, il a requis qu'un délai échéant le 30 septembre 2020 lui soit octroyé pour quitter les lieux.
Le 19 juin 2020, l'appelant a présenté une demande d'assistance judiciaire pour la procédure d'appel. Statuant le 22 juillet 2020, la Vice-Présidente du Tribunal de première instance genevois a rejeté ladite demande, au motif que la cause était dépourvue de chances de succès.
Saisie d'un recours déposé par H.A._, la Cour de justice du canton de Genève l'a rejeté par décision du 12 janvier 2021, en considérant que l'appel ne présentait pas de chances de succès.
C.
Le 15 février 2021, H.A._ (ci-après: le recourant) a formé un recours en matière civile, concluant à la réforme de la décision attaquée, en ce sens qu'il soit mis au bénéfice de l'assistance judiciaire à compter du 19 juin 2020.
La Ville de Genève (ci-après: l'intimée) et la cour cantonale n'ont pas été invitées à répondre au recours.

Considérant en droit :
1.
Le refus de l'assistance judiciaire est une décision incidente qui est susceptible de causer un préjudice irréparable et, partant, sujette à recours en vertu de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4 p. 338; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 131; arrêt 4A_44/2018 du 5 mars 2018 consid. 1.2). Pour le surplus, les conditions de recevabilité du recours en matière civile sont réalisées, notamment celles afférentes à la valeur litigieuse minimale de 30'000 fr. (<ref-law>) et au délai de recours (<ref-law>).
2.
2.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Le Tribunal fédéral ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes ou découlent d'une violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266 et les références). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18 et les références). Si elle souhaite obtenir un complètement de l'état de fait, elle doit aussi démontrer, par des renvois précis aux pièces du dossier, qu'elle a présenté aux autorités précédentes, en conformité avec les règles de la procédure, les faits juridiquement pertinents à cet égard et les moyens de preuve adéquats (<ref-ruling> consid. 2 p. 90). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 261 s.).
2.2. Dans son mémoire, le recourant présente un exposé des faits qui ne contient aucune critique satisfaisant aux exigences de l'<ref-law>. Il n'en sera dès lors pas tenu compte.
3.
Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir rejeté sa demande d'assistance judiciaire, au motif que sa cause paraissait dépourvue de chances de succès.
3.1. En vertu de l'<ref-law>, une personne a droit à l'assistance judiciaire si elle ne dispose pas de ressources suffisantes (let. a) et si sa cause ne paraît pas dépourvue de toute chance de succès (let. b).
Un procès est dépourvu de chances de succès lorsque les perspectives de le gagner sont notablement plus faibles que les risques de le perdre, et ne peuvent donc être considérées comme sérieuses, de sorte qu'un plaideur raisonnable et aisé renoncerait à s'y engager en raison des frais qu'il serait exposé à devoir supporter; en revanche, il ne l'est pas lorsque les chances de succès et les risques d'échec s'équilibrent à peu près ou que les premières n'apparaissent que légèrement inférieures aux secondes (<ref-ruling> consid. 2.2.4 et la jurisprudence citée). Le critère des chances de succès doit être examiné au moment du dépôt de la requête d'assistance judiciaire et sur la base d'un examen sommaire (<ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 2.2.4; <ref-ruling> consid. 5 et les arrêts cités).
L'absence de chances de succès peut résulter des faits ou du droit. L'assistance judiciaire sera ainsi refusée s'il apparaît d'emblée que les faits pertinents allégués sont invraisemblables ou ne pourront pas être prouvés. Il en sera de même si, en droit, la démarche du requérant paraît d'emblée irrecevable, ou juridiquement infondée. L'autorité chargée de statuer sur l'assistance judiciaire ne doit évidemment pas se substituer au juge du fond; tout au plus doit-elle examiner s'il y a des chances que le juge adopte la position soutenue par le demandeur, chances qui doivent être plus ou moins équivalentes aux risques qu'il parvienne à la conclusion contraire (arrêts 4A_8/2017 du 30 mars 2017 consid. 3.1; 4A_614/2015 du 25 avril 2016 consid. 3.2; 4A_454/2008 du 1er décembre 2008 consid. 4.2).
Déterminer s'il existe des chances de succès est une question de droit, que le Tribunal fédéral examine librement; en revanche, savoir si les faits sont établis ou susceptibles d'être prouvés est une question qui relève de l'appréciation des preuves, laquelle ne peut être corrigée qu'en cas d'arbitraire (arrêts 4A_8/2017, précité, consid. 3.1; 4A_325/2016 du 19 octobre 2016 consid. 4.2; 4A_614/2015, précité, consid. 3.2; cf. aussi ATF <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2c). Lorsqu'il est saisi d'un recours contre une décision refusant l'octroi de l'assistance judiciaire pour défaut de chances de succès, le Tribunal fédéral n'a pas à se substituer au juge cantonal pour décider si la requête présentée en instance cantonale doit être admise ou non. Le juge cantonal dispose en effet d'un large pouvoir d'appréciation dans l'examen des chances de succès. Le Tribunal fédéral ne revoit dès lors sa décision qu'avec retenue: il doit uniquement vérifier que le juge cantonal ne s'est pas écarté des principes juridiques reconnus en la matière, qu'il n'a pas tenu compte de circonstances qui ne jouent pas de rôle pour le pronostic dans le cas particulier ou inversement qu'il n'a pas méconnu des circonstances pertinentes dont il aurait dû tenir compte (arrêts 4A_383/2019 du 30 mars 2020 consid. 3; 4A_375/2016 du 8 février 2017 consid. 3.2 et les arrêts cités).
3.2. Dans la décision attaquée, la cour cantonale relève que les arguments avancés par l'intéressé dans son écriture d'appel paraissent, prima facie, infondés. Ce dernier ne dispose en effet d'aucun titre valable pour demeurer dans l'appartement, dès lors que le bail liant l'intimée à l'ex-épouse du recourant a été résilié. La circonstance selon laquelle l'intimée aurait eu connaissance du fait que le recourant était resté dans l'appartement postérieurement au jugement de divorce, lequel avait attribué le logement à son ex-épouse, semble a priori dénuée de pertinence, car elle n'est pas de nature à créer une nouvelle relation contractuelle avec la propriétaire des locaux. L'existence d'un bail conclu tacitement pour la période postérieure à la résiliation du bail n'est par ailleurs pas rendue vraisemblable, au vu de la teneur des courriers qui ont été adressés au recourant en date des 3 et 10 octobre 2019. Pour le reste, les conclusions subsidiaires prises par l'intéressé dans son mémoire d'appel paraissent sans objet compte tenu de l'écoulement du temps.
3.3. Le recourant fait grief à la cour cantonale de n'avoir pas correctement apprécié les chances de succès de son appel. Il lui reproche notamment d'avoir nié, a priori, l'existence d'un bail tacite, en omettant de prendre en considération certains éléments. Il soutient enfin que la question d'éventuels motifs humanitaires permettant de surseoir à l'exécution du jugement d'évacuation, conformément à l'art. 30 al. 4 de la loi genevoise d'application du code civil suisse (LaCC/GE; RSG E 1 05), aurait dû être examinée.
3.4. En l'espèce, le recourant fonde, dans une large mesure, sa critique sur des faits qui ne ressortent pas de la décision attaquée, notamment lorsqu'il fait valoir qu'il a continué à payer la moitié du loyer après le prononcé du divorce ou quand il affirme que la propriétaire des lieux était au courant de la situation des deux ex-époux et n'avait soulevé aucune objection à cet égard, alors même qu'une liste des occupants de l'appartement lui était régulièrement remise. Il ne soutient toutefois pas ni ne démontre que la cour cantonale aurait omis de constater certains éléments de fait régulièrement avancés ou aurait établi les faits de manière arbitraire. Sa critique est dès lors irrecevable sur ce point.
Le recourant fait fausse route lorsqu'il soutient que la question d'éventuels motifs humanitaires au sens de l'art. 30 al. 4 LaCC aurait dû être instruite. Sur ce point, la cour cantonale a en effet souligné que ladite disposition ne vise que les litiges relevant de la compétence du Tribunal des baux et loyers genevois, raison pour laquelle l'art. 30 al. 4 LaCC n'était pas applicable en l'espèce. Or, l'intéressé ne s'en prend pas à la motivation des juges précédents sur ce point, de sorte qu'il n'y a pas lieu de s'y attarder.
Pour le reste, le recourant se contente de substituer sa propre appréciation des chances de succès à celle de l'autorité précédente sans toutefois démontrer que la cour cantonale aurait méconnu le droit fédéral en niant l'existence de chances de succès. En tout état de cause, on ne saurait reprocher à la cour cantonale d'avoir abusé de son large pouvoir d'appréciation en retenant que la cause apparaissait dénuée de chances de succès.
4.
Au vu de ce qui précède, le recours, manifestement mal fondé, doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité, ce qu'il y a lieu de constater selon la procédure simplifiée prévue par l'<ref-law>.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais de la procédure (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimée qui n'a pas été invitée à répondre (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à la Cour de justice du canton de Genève et à la Ville de Genève.
Lausanne, le 26 février 2021
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Hohl
Le Greffier : O. Carruzzo