Sachverhalt:
A.
Der 1979 geborene A._ meldete sich erstmals am 2. Februar 2016 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Bern liess den Versicherten bei der Zentrum für Interdisziplinäre Medizinische Begutachtungen AG (ZIMB) polydisziplinär abklären (Expertise vom 24. Februar 2017) und verneinte in der Folge einen Rentenanspruch mit Verfügung vom 8. Januar 2018. Diese wurde vom Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Urteil vom 2. Juli 2020 bestätigt. Die dagegen erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wies das Bundesgericht mit Urteil 9C_543/2020 vom 1. Dezember 2020 ab.
In der Zwischenzeit hatte A._ am 3. April 2018 erneut ein Leistungsgesuch eingereicht. Darauf trat die IV-Stelle mangels glaubhaft gemachten erheblichen Veränderung der tatsächlichen Verhältnisse mit Verfügung vom 13. April 2021 nicht ein.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Urteil vom 24. August 2021 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._ die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils und die Rückweisung der Sache an die IV-Stelle zur Anordnung eines polydisziplinären Gutachtens.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet einzig die Frage, ob die IV-Stelle auf die Neuanmeldung des Beschwerdeführers hätte eintreten müssen, was das kantonale Gericht verneint hat. Der Versicherte beantragt einzig die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils sowie die Rückweisung an die Verwaltung zu weiteren Abklärungen. Aus der Beschwerdebegründung, die zur Interpretation des Rechtsbegehrens beigezogen werden kann, ergibt sich jedoch, dass er ein Eintreten der IV-Stelle auf die Neuanmeldung anstrebt. Das Rechtsbegehren ist in diesem Sinne zu interpretieren (vgl. <ref-ruling> E. 1.2; Urteil 8C_62/2018 vom 19. September 2018 E. 1.2.2, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2019 UV Nr. 12 S. 47).
1.2. Die nach Ablauf der Rechtsmittelfrist erfolgte Eingabe des Beschwerdeführers hat unberücksichtigt zu bleiben (Art. 100 Abs. 1 BGG; Urteil 9C_382/2017 vom 18. August 2017 E. 1 mit Hinweis). Daran ändert nichts, dass er sich auf das Replikrecht (vgl. Art. 29 Abs. 2 BV und Art. 6 EMRK; <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 2.3.3) beruft. Dieses ist hier unbehelflich, da zuvor weder eine Eingabe der Vorinstanz noch der Gegenpartei einging.
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
3.
Das kantonale Gericht legte die rechtlichen Grundlagen für das Eintreten auf eine Neuanmeldung, insbesondere unter dem Aspekt des Glaubhaftmachens (Art. 87 Abs. 3 i.V.m. Abs. 2 IVV; <ref-ruling> E. 5; <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 5.2.5), zutreffend dar. Darauf wird verwiesen.
4.
4.1. Die Vorinstanz erwog, der Beschwerdeführer habe mit den im Rahmen bzw. im Nachgang zur Neuanmeldung vom 3. April 2018 eingereichten Berichten nicht glaubhaft gemacht, dass sich sein Gesundheitszustand seit dem 8. Januar 2018 in einer für den Anspruch erheblichen Weise (längerdauernd) geändert habe. Die IV-Stelle sei daher mit Verfügung vom 13. April 2021 zu Recht nicht auf die Neuanmeldung eingetreten.
4.2. Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, hält nicht stand. Soweit er rügt, die Vorinstanz habe übersehen, dass sich ein Gesundheitszustand auch durch die weitere Chronifizierung einer Schmerzstörung verschlechtern könne und die Depression an der er leide, mittlerweile ebenfalls chronisch sei, vermag er keine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung (vgl. E. 2 oben) darzutun. Denn das kantonale Gericht hat nachvollziehbar ausgeführt, dass namentlich Dr. med. B._, Facharzt Psychiatrie und Psychotherapie, am 7. November 2017 - und somit noch vor Erlass der rentenablehnenden Verfügung vom 8. Januar 2018 - die vom Versicherten genannten Diagnosen postuliert habe. Es sei bereits mit Urteil vom 2. Juli 2020 (bestätigt durch das Bundesgericht mit Urteil 9C_543/2020 vom 1. Dezember 2020) auf diesen Bericht eingegangen und habe erkannt, dass damit keine Verschlechterung seit dem ZIMB-Gutachten vom 24. Februar 2017 erstellt gewesen sei. Die Vorinstanz hat weiter festgehalten, dass sich die psychopathologische Befunderhebung des Dr. med. B._ vom 23. Februar 2021 im Vergleich zu jener im Bericht vom 7. November 2017 zwar deutlich detaillierter, jedoch weitgehend deckungsgleich darstelle. Der Psychiater habe im Weiteren am 22. Mai 2019 eine 100%ige Arbeitsunfähigkeit seit Behandlungsbeginn im Juli 2017 bescheinigt. Damit sei allerdings weder diagnostisch noch bezüglich der daraus abgeleiteten Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit eine im massgebenden (Vergleichs-) Zeitraum (leistungsabweisende Verfügung vom 8. Januar 2018 und Nichteintretensverfügung vom 13. April 2021) eingetretene Verschlechterung glaubhaft gemacht worden.
Schliesslich hat das kantonale Gericht auch die vom Versicherten in somatischer Hinsicht geltend gemachten Verschlechterungen (namentlich Tagesmüdigkeit infolge schwergradiger Schlafapnoe, chronische Übelkeit, Beschwerden an der Hals- und Lendenwirbelsäule) geprüft und ausführlich dargelegt, weshalb diese nicht geeignet seien, eine Veränderung glaubhaft zu machen. Den entsprechenden Feststellungen setzt der Beschwerdeführer lediglich seine abweichende Beweiswürdigung entgegen; darauf ist nicht weiter einzugehen (vgl. E. 2 oben). Von einer Verletzung des Art. 87 Abs. 3 IVV sowie der bundesgerichtlichen Grundsätze zur Glaubhaftmachung eines verschlechterten Gesundheitszustandes kann nicht gesprochen werden.
4.3. Die Beschwerde ist offensichtlich unbegründet, weshalb sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a und Abs. 3 BGG mit summarischer Begründung und unter Hinweis auf das kantonale Gerichtsurteil erledigt wird.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. Dezember 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Huber