Sachverhalt:
A.
Der 2014 geborene A._ leidet an mehreren Geburtsgebrechen, weshalb die IV-Stelle des Kantons Zürich insbesondere medizinische Massnahmen sowie Hilfsmittel gewährte. Im Februar 2017 wurde der Versicherte von seiner Mutter bei der Invalidenversicherung zum Bezug einer Hilflosenentschädigung angemeldet. Die IV-Stelle sprach ihm nach entsprechenden Abklärungen mit Verfügung vom 7. September 2017 ab 1. Januar 2017 eine Hilflosenentschädigung leichten Grades zu. Im Rahmen eines im Herbst 2017 eingeleiteten Revisionsverfahrens, in welchem auch die Übernahme der Kosten für Kinderspitex-Leistungen geprüft wurde, tätigte die IV-Stelle weitere Abklärungen. Am 27. März 2018 verfügte sie die Ablehnung der Kostengutsprache für Leistungen der Kinderspitex. Mit separater Verfügung vom selben Tag sprach die IV-Stelle dem Versicherten ab 1. Dezember 2017 bis 31. Dezember 2032 (vorbehältlich einer Revision) eine Hilflosenentschädigung mittleren Grades zu. Einen Anspruch auf Intensivpflegezuschlag verneinte sie.
B.
Die von A._ gegen die Verfügung vom 27. März 2018 betreffend Hilflosenentschädigung und Intensivpflegezuschlag erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 29. November 2019 ab.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 29. November 2019 sei aufzuheben und in Abänderung der Verfügung vom 27. März 2018 sei ihm eine Hilflosenentschädigung schweren Grades und ein Intensivpflegezuschlag zuzusprechen.
Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) schliessen auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft unter Berücksichtigung der Begründungspflicht der Parteien (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) indessen nur die gerügten Rechtsverletzungen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 2 S. 315; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Die Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). In Bezug auf die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung gilt eine qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht (<ref-ruling> E. 1.3 S. 261; Urteil 9C_306/2016 vom 4. Juli 2016 E. 1.1). Auf ungenügend begründete Rügen oder bloss allgemein gehaltene appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246mit Hinweis).
2.
Die richtige Auslegung und Anwendung des Rechtsbegriffs der Hilflosigkeit, die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln nach Art. 43 Abs. 1 und Art. 61 lit. c ATSG sowie der Anforderungen an den Beweiswert von Abklärungsberichten an Ort und Stelle beschlagen Rechtsfragen. Die auf medizinische Abklärungen und auf einen Abklärungsbericht vor Ort gestützten gerichtlichen Feststellungen über Einschränkungen der versicherten Person in bestimmten Lebensverrichtungen betreffen demgegenüber Sachverhaltsfragen. Tatsächlicher Natur ist auch die konkrete Beweiswürdigung (zum Ganzen vgl. Urteil 9C_691/2019 vom 31. März 2020 E. 1.2 mit Hinweisen).
3.
Streitgegenstand bildet der Anspruch des minderjährigen Beschwerdeführers auf eine Hilflosenentschädigung schweren Grades sowie einen Intensivpflegezuschlag.
4.
4.1. Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze über die Hilflosigkeit (<ref-law>), den Anspruch auf Hilflosenentschädigung und die für deren Höhe wesentliche Unterscheidung dreier Hilflosigkeitsgrade (Art. 42 Abs. 1 und 2 IVG; Art. 37 Abs. 1 bis 3 IVV), die massgebenden sechs alltäglichen Lebensverrichtungen (Ankleiden, Auskleiden; Aufstehen, Absitzen, Abliegen; Essen; Körperpflege; Verrichtung der Notdurft; Fortbewegung [im oder ausser Haus], Kontaktaufnahme; <ref-ruling> E. 7.2 S. 463) sowie den Anspruch auf einen Intensivpflegezuschlag (<ref-law> und <ref-law>) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt für die beweisrechtlichen Anforderungen an einen Abklärungsbericht an Ort und Stelle (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 546 f.; <ref-ruling> E. 11.1.1 S. 468; <ref-ruling> E. 6.1 f. S. 63). Darauf wird verwiesen.
4.2. Hervorzuheben ist, dass bei behinderten Minderjährigen nur der Mehrbedarf an Hilfeleistung und persönlicher Überwachung im Vergleich zu nicht behinderten Minderjährigen gleichen Alters zu berücksichtigen ist (<ref-law>). Diese Sonderregelung trägt dem Umstand Rechnung, dass bei Kleinkindern eine gewisse Hilfs- und Überwachungsbedürftigkeit auch bei voller Gesundheit besteht. Für die Bestimmung der Hilflosigkeit Minderjähriger dienen die im Anhang III des Kreisschreiben des BSV über Invalidität und Hilflosigkeit in der Invalidenversicherung (KSIH; gültig ab 1. Januar 2015) enthaltenen Richtlinien zur Bemessung der massgebenden Hilflosigkeit bei Minderjährigen.
5.
Zu prüfen ist zunächst der Grad der Hilflosigkeit.
5.1. Unbestritten ist, dass der minderjährige Versicherte in fünf der sechs alltäglichen Lebensverrichtungen - Ankleiden, Auskleiden; Aufstehen, Absitzen, Abliegen; Essen; Verrichtung der Notdurft und Fortbewegung - regelmässig in erheblicher Weise auf die Hilfe Dritter angewiesen ist und zudem der dauernden Pflege bedarf. Streitig ist, ob auch bei der Lebensverrichtung "Körperpflege" eine Hilfsbedürftigkeit besteht, was Voraussetzung für eine Hilflosenentschädigung schweren Grades bildet (<ref-law>).
5.2.
5.2.1. Gestützt auf den Abklärungsbericht für Hilflosenentschädigung für Minderjährige und Intensivpflegezuschlag vom 30. November 2017 verneinte das kantonale Gericht eine Hilfsbedürftigkeit bei der Körperpflege, da es die von den Eltern geleistete Unterstützung als altersentsprechend erachtete. Der Beschwerdeführer wendet dagegen ein, es lägen vorliegend ausserordentliche Verhältnisse vor, die mit dem Aufwand für ein gesundes Kind im selben Alter nicht vergleichbar seien. So könne er nur gebadet werden, wenn die Mutter mit ihm in die Wanne steige. Weiter sei die Zahnpflege nur mit Unterstützung einer weiteren Person möglich, da sich der Versicherte bei dieser Verrichtung mit Händen und Füssen wehre und sich überstrecke.
5.2.2. In grundsätzlicher Hinsicht ist zunächst festzuhalten, dass auch bei einem gesunden Kleinkind die einzelnen Verrichtungen häufig noch vom Erwachsenen selber oder mit dem Kind zusammen resp. unter Anleitung des Erwachsenen ausgeführt werden müssen. Wie das kantonale Gericht zutreffend erwogen hat, ist beim Baden weiterhin von einer altersgerechten Hilfsbedürftigkeit auszugehen, auch wenn die Mutter jeweils mit ihrem im Abklärungszeitpunkt (knapp) dreijährigen Kind in die Wanne steigt, zumal auch gleichaltrige gesunde Kinder beim Baden auf die Hilfe der Eltern angewiesen sind. Was die aufgrund des Verhaltens des Kindes schwierig durchführbare Zahnpflege anbelangt, so ist darauf hinzuweisen, dass sich auch bei einem gesunden Kleinkind die Zahnpflege zuweilen als recht schwierig erweisen kann. Gemäss Beurteilung der Abklärungsperson besteht jedenfalls aus medizinischen Gründen keine Notwendigkeit zur Anwesenheit einer zweiten Person bei der Zahnpflege (vgl. Stellungnahme des Abklärungsdienstes vom 27. März 2018).
5.2.3. Nach dem Gesagten ist eine Hilfsbedürftigkeit bei der Lebensverrichtung "Körperpflege" nicht ausgewiesen. Damit verletzte die Vorinstanz kein Bundesrecht, als sie einen Anspruch auf Hilflosenentschädigung schweren Grades verneinte.
6.
Streitig ist weiter, ob der Beschwerdeführer Anspruch auf einen Intensivpflegezuschlag hat. Dieser setzt voraus, dass ein invaliditätsbedingter Betreuungsaufwand von täglich durchschnittlich mindestens vier Stunden vorliegt (<ref-law>).
6.1. Die Vorinstanz verneinte gestützt auf die Erhebung vom 30. November 2017 einen Anspruch auf einen Intensivpflegezuschlag. Gemäss Beurteilung der Abklärungsperson besteht ein invaliditätsbedingter zeitlicher Mehrbedarf an Behandlungs- und Grundpflege (<ref-law>) von insgesamt 3 Stunden und 36 Minuten (An-/Auskleiden: 15 Minuten; Aufstehen/Absitzen/Abliegen: 30 Minuten; Essen: 90 Minuten; Reinigung nach Verrichtung der Notdurft: 15 Minuten; dauernde medizinisch-pflegerische Hilfe: 51 Minuten; Begleitung zu Arzt- und Therapiebesuchen: 15.1 Minuten). Einen Bedarf an dauernder Überwachung (<ref-law>) erachtete die Abklärungsperson nicht als ausgewiesen.
6.2.
6.2.1. Zum Bereich "Essen" hat die Vorinstanz unter anderem festgestellt, gemäss den Angaben des Dr. med. B._, Facharzt Kinder- und Jugendmedizin sowie Neuropädiatrie, sei der Versicherte problemlos in der Lage, grob pürierte Speisen zu schlucken. Weitere, darüber hinausgehende Aspekte, wie etwa die Notwendigkeit von Sondenernährung, seien nicht aktenkundig. Die Abklärungsperson habe eine maximale Tagespauschale von 80 Minuten sowie zusätzlich 25 Minuten für pürierte Kost berücksichtigt, demgegenüber bloss 15 Minuten für die altersentsprechende Hilfe in Abzug gebracht, was als angemessen zu beurteilen sei. In Bezug auf den Bereich "Reinigung nach Verrichtung der Notdurft" erachtete das kantonale Gericht die von der Abklärungsperson berücksichtigte Tagespauschale von 25 Minuten für circa acht Wickelvorgänge abzüglich einer altersentsprechenden Hilfe von 10 Minuten als angemessen.
6.2.2. Soweit der Beschwerdeführer einen Mehraufwand mit Kau- und Schluckbeschwerden begründet, wiederholt er im Wesentlichen das bereits im kantonalen Verfahren Vorgebrachte (vgl. E. 1), ohne sich indessen mit der verbindlichen vorinstanzlichen Feststellung auseinanderzusetzen, wonach er gemäss ärztlicher Beurteilung problemlos in der Lage sei, grob pürierte Speisen zu schlucken. Nachdem ein Mehraufwand aufgrund von Kau- und Schluckbeschwerden nicht ausgewiesen ist, ist auch dem Einwand des Versicherten der Boden entzogen, die von der Abklärungsperson berücksichtigte Tagespauschale würde den Verhältnissen des vorliegenden Falles nicht Rechnung tragen. Soweit der Versicherte im Weiteren geltend macht, der berücksichtigte Mehraufwand von 15 Minuten für das Wickeln würde den konkreten Umständen nicht gerecht werden, übt er - auch hier - rein appellatorische Kritik an der vorinstanzlichen Sachverhaltsermittlung und Beweiswürdigung (vgl. E. 1).
6.3.
6.3.1. Das kantonale Gericht hat zum Bereich "dauernde medizinisch-pflegerische Hilfe" erwogen, gemäss Anhang IV KSIH entfalle vor dem 15. Altersjahr eine Anrechnung für die orale Verabreichung von Medikamenten. Hieran vermöge nichts zu ändern, dass der Wirkstoff Valproat offenbar in flüssiger Darreichungsform vorliege und mittels Spritze tröpfchenweise verabreicht werde. Weder resultiere hieraus ein erheblicher Aufwand, noch handle es sich um eine spezielle Applikationsform. Ferner habe die Abklärungsperson für das Durchführen von Physiotherapie im Alltag einen Mehraufwand von täglich 21 Minuten anerkannt. Soweit darüber hinaus die Berücksichtigung des täglichen Therapieaufwandes für die Durchführung von logopädischen Übungen zu Hause gefordert werde, sei darauf hinzuweisen, dass eine Kostengutsprache für eine solche Therapieform nicht aktenkundig sei. Nachdem mit Blick auf Rz. 8077.1 KSIH beim Intensivpflegezuschlag bloss Therapien zu berücksichtigen seien, für deren Kosten die Invalidenversicherung aufkomme, sei der von der Abklärungsperson festgestellte Mehraufwand nicht zu beanstanden.
6.3.2. Der Beschwerdeführer bringt vor, der Mehraufwand im Zusammenhang mit der Verabreichung von Valproat sei invaliditätsbedingt. Damit legt er aber nicht dar, inwiefern durch die Eingabe dieses Medikaments ein Aufwand entstanden wäre, der ein Abweichen von der in Anhang IV KSIH aufgeführten Altersgrenze rechtfertigen würde. Von vornherein nicht gefolgt werden kann dem Versicherten, soweit er unter Hinweis auf die per 1. Januar 2018 neu formulierte Rz. 8077.1 KSIH eine Anrechnung des Therapieaufwands für logopädische Übungen geltend machen will. Auch in der angepassten Randziffer wird vorausgesetzt, dass die Kosten für die entsprechende Therapie von einer Sozialversicherung übernommen werden, was beim Beschwerdeführer in Bezug auf die Logopädie unbestrittenermassen nicht der Fall ist.
6.4. Zu prüfen ist schliesslich, ob ein Bedarf an dauernder persönlicher Überwachung im Sinne von <ref-law> vorliegt.
6.4.1. Gemäss Anhang III KSIH ist die persönliche Überwachung vor dem 6. Altersjahr in der Regel nicht in Betracht zu ziehen. Bei Kindern mit medikamentös nicht einstellbarer Epilepsie kann je nach Schweregrad und Situation die Überwachung schon ab vier Jahren anerkannt werden.
6.4.2. Das kantonale Gericht verneinte unter Hinweis auf die im KSIH aufgeführte Altersgrenze einen Überwachungsbedarf. Der Beschwerdeführer moniert, die Vorinstanz habe die Umstände des Einzelfalles unberücksichtigt gelassen, indem sie starr auf das Kreisschreiben abgestellt habe. Dem Versicherten seien als Mehraufwand mindestens zwei Stunden für die behinderungsbedingte Überwachung anzurechnen.
6.4.3. Der an Epilepsie leidende Versicherte ist im Abklärungszeitpunkt drei Jahre alt, womit grundsätzlich - in Überstimmung mit dem Kreisschreiben - ein Überwachungsbedarf (noch) nicht berücksichtigt werden kann. Zwar richten sich Verwaltungsweisungen an die Durchführungsstellen und sind für das Sozialversicherungsgericht nicht verbindlich. Indes berücksichtigt das Gericht die Kreisschreiben insbesondere dann und weicht nicht ohne triftigen Grund davon ab, wenn sie eine dem Einzelfall angepasste und gerecht werdende Auslegung der anwendbaren gesetzlichen Bestimmungen zulassen und eine überzeugende Konkretisierung der rechtlichen Vorgaben enthalten. Dadurch trägt es dem Bestreben der Verwaltung Rechnung, durch interne Weisungen eine rechtsgleiche Gesetzesanwendung zu gewährleisten (<ref-ruling> E. 3.2.2.1 S. 547 f.; vgl. auch <ref-ruling> E. 5.2 S. 346, je mit Hinweisen).
6.4.4. Solche triftigen Gründe, welche ein Abweichen von der im Kreisschreiben festgehaltenen Altersgrenze rechtfertigen würden, sind vorliegend nicht ersichtlich:
6.4.4.1. Es ist unbestritten, dass der Versicherte (insbesondere) aufgrund von Epilepsieanfällen wiederholt notfallmässig hospitalisiert werden musste. Indes weist das BSV in seiner Vernehmlassung zu Recht darauf hin, dass dieser Umstand (für sich alleine) nicht genügt, um eine Überwachungsbedürftigkeit vor dem im KSIH angegebenen Referenzalter anzuerkennen. Auch bei einem bereits vierjährigen, an Epilepsie leidenden Kind wird gemäss KSIH der Überwachungsbedarf nur bejaht, wenn "Schweregrad und Situation" dies rechtfertigen (vgl. E. 6.4.1).
6.4.4.2. Beschwerdeweise wird sodann vorgebracht, eine Betreuungsperson müsse sich stets in unmittelbarer Nähe zum Versicherten aufhalten, was allerdings mit Blick auf die auch bei einem gesunden dreijährigen Kind erforderliche Überwachung nicht wesentlich ins Gewicht fällt. Soweit darüber hinaus eine "1:1-Überwachung" geltend gemacht und vorgebracht wird, ein dauernder Augenkontakt mit dem Versicherten sei überlebenswichtig (Augenflackern als einziges Vorzeichen für einen Anfall), ergibt sich eine (tatsächlich vorgenommene) Überwachung in dieser intensiven Form nicht aus den Akten. So ist beispielsweise festzuhalten, dass es der Mutter laut eigenen Angaben möglich ist, mit dem Versicherten eine 15-minütige Autofahrt zur Physiotherapiepraxis zu unternehmen, worauf das BSV zu Recht hinweist. Nichts zu seinen Gunsten ableiten kann der Versicherte aus der ärztlichen Bestätigung des Dr. med. B._ vom 4. Januar 2018 betreffend fachgerechte medizinische Überwachung durch die kispex Kinder-Spitex Kanton Zürich, zumal die IV-Stelle die beantragte Kostengutsprache für Kinderspitex-Leistungen - nach entsprechenden Abklärungen - mangels Notwendigkeit von medizinischem Fachpersonal für die Überwachung abgelehnt hatte (Verfügung vom 27. März 2018).
6.4.4.3. Ein dauernder persönlicher Überwachungsbedarf im Sinne von <ref-law> kann auch nicht aus dem Umstand abgeleitet werden, dass die Mutter mit ihrem Kind im gleichen Bett schläft, um im Falle eines Anfalles unverzüglich die notwendigen medizinischen Massnahmen ergreifen zu können, wird doch insbesondere nicht vorgebracht, dass die Mutter nachts (auch nur zeitweise) wach bleiben müsse. Dass sie aufgrund von wiederholten Epilepsieanfällen und notfallmässigen Hospitalisierungen eine erhöhte Aufmerksamkeit und Interventionsbereitschaft an den Tag legt, wird nicht in Abrede gestellt, ein erheblicher Mehraufwand lässt sich damit aber rechtsprechungsgemäss nicht begründen (Urteile 9C_595/2011 vom 17. Februar 2012 E. 3.4.2 und 9C_431/2008 vom 26. Februar 2009 E. 4.4.3).
6.4.5. Mit Blick auf das Gesagte - insbesondere unter Berücksichtigung der grundsätzlichen Überwachungsbedürftigkeit auch eines gesunden dreijährigen Kindes - hält die vom kantonalen Gericht verneinte Notwendigkeit persönlicher Überwachung vor Bundesrecht stand. Damit bleibt es bei dem im Abklärungsbericht vom 30. November 2017 festgehaltenen invaliditätsbedingten Betreuungsaufwand von 3 Stunden und 36 Minuten (vgl. E. 6.1), was für einen Anspruch auf einen Intensivpflegezuschlag nicht ausreicht.
7.
Zusammenfassend verletzte das kantonale Gericht kein Bundesrecht, als es einen Anspruch auf Hilflosenentschädigung für schwere Hilflosigkeit sowie einen Intensivpflegezuschlag verneinte.
8.
Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. Februar 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Stanger