Erwägungen:
1.
Mit Beschluss vom 12. Dezember 2017 erteilte die Baukommission der Gemeinde Küsnacht der B._ AG die baurechtliche Bewilligung für den Abbruch zweier Gebäude und den Neubau von vier Mehrfamilenhäusern auf dem in der Kernzone K2 in der Gemeinde Küsnacht gelegenen Grundstück Kat.-Nr. 10681. Gleichzeitig eröffnete sie ihr die strassenpolizeiliche Bewilligung der Baudirektion des Kantons Zürich vom 9. November 2017 für das Bauvorhaben. Gegen den Beschluss der Baukommission gelangten A._ und zwei weitere Personen an das Baurekursgericht des Kantons Zürich. Am 18. September 2018 hiess dieses die Rekurse gut und hob die strittige Baubewilligung auf.
Dagegen erhob die B._ AG Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Mit Urteil vom 27. Februar 2020 hob das Gericht den Entscheid des Baurekursgerichts auf und wies die Angelegenheit an dieses zurück. Das Baurekursgericht habe die tatsächlichen Auswirkungen der geplanten Gebäude auf die Umgebung abzuklären und neu zu entscheiden. Dabei stehe es ihm offen, ob es von einer Fachperson mit Kenntnissen in Architektur sowie zusätzlichen Ausbildungen und/oder Erfahrungen im Bereich der Denkmalpflege ein externes Fachgutachten einhole oder eine entsprechende Fachperson im Spruchkörper einen internen Fachbericht erstatte.
2.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 18. Mai 2020 an das Bundesgericht beantragt A._, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an dieses zurückzuweisen.
Die B._ AG schliesst wie das Verwaltungsgericht auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Baukommission beantragt Abweisung der Beschwerde. Die Baudirektion und die Gebäudeversicherung Kanton Zürich haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. A._ hat keine weitere Stellungnahme eingereicht.
3.
3.1. Mit dem angefochtenen kantonal letztinstanzlichen Entscheid wird die Sache zu weiteren Abklärungen und neuem Entscheid bei noch offenem Verfahrensausgang an die untere Instanz zurückgewiesen. Ein solcher Rückweisungsentscheid gilt nach der Rechtsprechung als Zwischenentscheid (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 148 mit Hinweisen). Er ist gemäss <ref-law> beim Bundesgericht nur anfechtbar, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Die beschwerdeführende Partei hat darzutun, dass eine dieser beiden Voraussetzungen erfüllt ist, es sei denn, dies sei offensichtlich (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 28 mit Hinweisen).
3.2. Der Beschwerdeführer beruft sich in erster Linie auf <ref-law>. Diese Bestimmung sei mit Blick auf <ref-law> so auszulegen, dass die Beschwerde auch gegen Zwischenentscheide zulässig sei, mit denen die kantonale Vorinstanz Rechtsfragen offen gelassen habe, deren Beantwortung einen sofortigen Endentscheid herbeigeführt und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beschwerdeverfahren erspart hätte. Dies sei vorliegend der Fall. Die Vorinstanz habe im angefochtenen Entscheid seine Rüge, das strittige Bauvorhaben verletze Art. 9 und 10 der Bau- und Zonenordnung der Gemeinde Küsnacht, nicht geprüft. Die Beurteilung dieser Rüge als begründet hätte jedoch sofort einen Endentscheid herbeigeführt und damit das sehr aufwendige Beweisverfahren, welches das Baurekursgericht als Folge des Rückweisungsentscheids nunmehr durchzuführen habe, vermieden.
Dieser Argumentation kann nicht gefolgt werden. <ref-law> soll zwar prozessökonomischen Anliegen Rechnung tragen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 48). Seine Anwendung setzt jedoch voraus, dass das Bundesgericht selbst einen Endentscheid fällen könnte und die Sache nicht an die Vorinstanz oder eine andere Behörde zurückweisen müsste (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 636; <ref-ruling> E. 2.4.1 S. 233; jeweils mit Hinweis; Urteil 1C_550/2017 vom 6. Februar 2018 E. 1.2.2). Erforderlich ist ausserdem, dass sich das Beweisverfahren, das durch den Endentscheid des Bundesgerichts vermieden würde, hinsichtlich der Dauer und der Kosten deutlich von gewöhnlichen Beweisverfahren abhebt (vgl. Urteile 1C_336/2020 vom 22. Juni 2020 E. 2.2; 1C_191/2019 vom 8. April 2019 E. 1.2; 1C_313/2018 vom 13. November 2018 E. 3.3). Vorliegend ist bereits die erste der beiden kumulativen Voraussetzungen nicht erfüllt. Da die Vorinstanz die erwähnte Rüge des Beschwerdeführers nicht beurteilt hat, könnte das Bundesgericht keinen Endentscheid fällen. <ref-law> kommt daher schon aus diesem Grund nicht zur Anwendung. Auf die zweite Voraussetzung - deren Erfüllung zweifelhaft erscheint (vgl. Urteile 1C_191/2019 vom 8. April 2019 E. 1.2; 1C_313/2018 vom 13. November 2018 E. 3.3) - ist daher nicht weiter einzugehen.
3.3. Der Beschwerdeführer bringt ergänzend vor, er erleide durch den angefochtenen Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law>, da er damit verpflichtet werde, ein Drittel der Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens zu tragen und der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung auszurichten.
Auch dem kann nicht gefolgt werden. Die fragliche Kosten- und Entschädigungsregelung bewirkt für den Beschwerdeführer keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law>, kann er sie doch nach Ergehen des neuen Endentscheids noch anfechten, und zwar auch dann, wenn er gegen diesen kein Rechtsmittel ergreifen sollte (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 556 mit Hinweisen). Einen anderen nicht wieder gutzumachenden Nachteil macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Ein solcher ist auch nicht offensichtlich (vgl. vorne E. 3.1), zumal die blosse Verlängerung oder Verteuerung des Verfahrens in aller Regel keinen derartigen Nachteil darstellt (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 24 f.; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 170). <ref-law> kommt demnach ebenfalls nicht zur Anwendung.
4.
Nach dem Gesagten sind die Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 lit. a und b BGG für eine Anfechtung des strittigen Zwischenentscheids nicht erfüllt. Auf die Beschwerde kann daher nicht eingetreten werden.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Er hat zudem die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Baudirektion des Kantons Zürich, der Baukommission Küsnacht, der Gebäudeversicherung Kanton Zürich und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. September 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Baur