Sachverhalt:
A.
A.a. B.A._ (geb. 2008) ist die Tochter von A.A._. Diese verfügt über die alleinige elterliche Sorge; der Vater von B.A._ ist im Jahr 2016 verstorben.
A.b. Nach einem notfallmässigen Aufenthalt von A.A._ in einer psychiatrischen Klinik entzog die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde U._ (KESB) der Mutter am 11. Mai 2018 superprovisorisch das Aufenthaltsbestimmungsrecht über B.A._ und platzierte diese im Kinderhaus C._ in V._. Am 18. Mai 2018 bestätigte die KESB ihren Entscheid vom 11. Mai 2018, ordnete indes die Platzierung des Kindes im Kinderhaus D._ in W._ an.
A.c. Mit Entscheid vom 19. Juli 2018 übertrug die KESB A.A._ wiederum das Aufenthaltsbestimmungsrecht über ihre Tochter und hob die Unterbringung im Kinderhaus D._ auf. Sodann gab die KESB eine kinderpsychiatrische Abklärung von B.A._ bei der E._ in Auftrag. Sie präzisierte, dass A.A._ Gelegenheit zu geben sein werde, sich zu den vorgesehenen Gutachtern und zum Fragenkatalog zu äussern. Sodann ordnete die KESB für B.A._ eine sozialpädagogische Familienbegleitung im Umfang von 20 Stunden pro Monat an, die mindestens vier Monate dauern und von der F._ GmbH (Zweigstelle X._) durchgeführt werden solle. Die zuständige Begleitperson wurde beauftragt, der KESB nach zwei sowie nach vier Monaten einen Verlaufsbericht einzureichen.
B.
Am 27. August 2018 erhob A.A._ für sich und B.A._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Sie beantragte, der Entscheid der KESB sei mit Bezug auf die kinderpsychiatrische Abklärung und die Anordnung der sozialpädagogischen Familienbegleitung aufzuheben, eventuell sei ihrer Tochter und ihr eine Weisung betreffend die Durchführung einer systemischen Familientherapie zu erteilen. In prozessualer Hinsicht beantragte A.A._, B.A._ und sie seien im Rahmen einer mündlichen Verhandlung persönlich anzuhören. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde ab, gewährte A.A._ jedoch die nachgesuchte unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung (Entscheid vom 3. Dezember 2018).
C.
Mit Eingabe vom 28. Januar 2019 gelangt A.A._ an das Bundesgericht. Sie beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn aufzuheben, das im Zentrum stehende Kind im Zuge der Entscheidfindung anzuhören und seine Parteistellung festzustellen, den rechtserheblichen Sachverhalt, der zur Anordnung der Kindesschutzmassnahme geführt hat, zu überprüfen und die Kindsmutter persönlich anzuhören sowie bei einem allfälligen kinderpsychiatrischen Gutachten die Gespräche zu Beweiszwecken mittels Tonaufnahme festzuhalten. Sodann sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
D.
Am 20. März 2019 verfügte die KESB, das Verfahren bzw. die Begutachtung von B.A._ werde bis zum Vorliegen eines rechtskräftigen Entscheids des Bundesgerichts sistiert.

Erwägungen:
1.
1.1. Es bleibt letztlich unklar, ob A.A._ allein für ihre Tochter B.A._ Beschwerde führt oder auch für sich selbst. Aus der ersten Seite ihrer Eingabe an das Bundesgericht wäre auf Ersteres zu schliessen, während sich der Begriff Beschwerdeführerin in der Beschwerdebegründung teils auf die Tochter, teils auf die Mutter bezieht. Als alleinige Inhaberin der elterlichen Sorge ist A.A._ berechtigt, im Namen ihrer Tochter Beschwerde zu führen (<ref-law>). Das Bundesgericht nimmt die Eingabe als Beschwerde sowohl von A.A._ als auch ihrer Tochter entgegen. Damit sind Mutter und Tochter Parteien im Verfahren. Das Rubrum wird insofern von Amtes wegen berichtigt. Der besseren Verständlichkeit wegen wird nachfolgend A.A._ als Mutter oder Beschwerdeführerin bezeichnet und B.A._ als Tochter.
Vor Bundesgericht prozessieren die Parteien ohne Anwalt, was zulässig ist (<ref-law> e contrario).
1.2. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid (<ref-law>) über Kindesschutzmassnahmen, der teils als Endentscheid (sozialpädagogische Familienbegleitung; <ref-law>), teils als Zwischenentscheid (kinderpsychiatrische Abklärung; <ref-law>) zu qualifizieren ist, wobei Letzterer rechtsprechungsgemäss einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur bewirken kann (Urteile 5A_557/2017 vom 16. Februar 2018 E. 1.1; 5A_940/2014 vom 30. März 2015 E. 1; 5A_211/2014 vom 14. Juli 2014 E. 1; je mit Hinweisen). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1). Dort geht es um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG). Mutter und Tochter sind zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>). Die fristgerecht (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 Bst. c BGG) erhobene Beschwerde in Zivilsachen ist insofern zulässig.
1.3. Die Rechtsbegehren sind nicht leicht verständlich, denn die Beschwerdeführerin beantragt nicht einfach, auf die angeordneten Massnahmen zu verzichten. Vielmehr verlangt sie, dass die Tochter und sie selbst angehört werden und dass der rechtserhebliche Sachverhalt überprüft werde. Soweit sie damit meint, das Bundesgericht habe Mutter und Tochter persönlich anzuhören und den Sachverhalt zu überprüfen, kann darauf nicht eingetreten werden. Das Bundesgericht ist an den Sachverhalt gebunden, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann von einer Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur dann abweichen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Mit anderen Worten ermittelt das Bundesgericht den rechtserheblichen Sachverhalt nicht selbst und führt demnach auch kein Beweisverfahren durch.
Aus der Begründung der Beschwerde, die zur Auslegung der Rechtsbegehren heranzuziehen ist (<ref-ruling> E. 6.2 mit Hinweisen), ergibt sich, dass die Beschwerdeführerin eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, eine unrichtige bzw. unvollständige Feststellung des Sachverhalts sowie Rechtsverletzungen im Zusammenhang mit den getroffenen Massnahmen geltend macht. Erwiesen sich diese Rügen als begründet, müsste das Bundesgericht den angefochtenen Entscheid tatsächlich aufheben und an das Verwaltungsgericht zurückweisen. Unter diesen Kautelen kann auf die Beschwerde eingetreten werden.
1.4. Nicht eingetreten werden kann hingegen auf das Begehren, bei einem allfälligen kinderpsychiatrischen Gutachten die Gespräche zu Beweiszwecken mittels Tonaufnahme festzuhalten, denn dieses ist neu und damit unzulässig (<ref-law>).
2.
Wie bereits im vorinstanzlichen Verfahren macht die Beschwerdeführerin geltend, die Tochter hätte betreffend ihre Begutachtung durch die E._ angehört werden müssen. Da der angefochtene Entscheid aufgehoben werden müsste, wenn sich der Einwand als begründet erwiese, ist dieser vorab zu behandeln (<ref-ruling> E. 2.8.1 mit Hinweisen).
2.1. Dazu hielt das Verwaltungsgericht fest, die Tochter sei bezüglich ihrer Platzierung am 17. Mai 2018 persönlich durch ein Mitglied der KESB angehört worden. Sodann habe gemäss Abklärungsbericht vom 29. Juni 2018 die abklärende Person persönlich mit ihr gesprochen. Mit Bezug auf die kinderpsychiatrische Abklärung erwog das Verwaltungsgericht, ein Kind im Alter von zehn Jahren verfüge nicht über die kognitiven Fähigkeiten, um sich zu diesen Fragen eine Meinung zu bilden und die Folgen solcher Massnahmen abzuschätzen. Ausserdem werde sich die Tochter gerade im Rahmen der angeordneten Abklärung, die zur weiteren Ermittlung des Sachverhalts diene, ausführlich äussern können.
2.2. Nach <ref-law> wird das Kind durch die Kindesschutzbehörde oder durch eine beauftragte Drittperson in geeigneter Weise persönlich angehört, soweit nicht sein Alter oder andere wichtige Gründe dagegen sprechen. Dabei gilt es zwei Aspekte der Kindesanhörung zu unterscheiden: Einerseits geht es - auch und namentlich im Sinne von Art. 12 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (KRK; SR 0.107) - um einen Gehörsanspruch im Sinne eines persönlichen Mitwirkungsrechts. Dieses steht indes nur dem Kind zu, das fähig ist, sich eine eigene Meinung zu bilden (vgl. <ref-ruling> E. 6.5). Daneben dient die Anhörung des Kindes unabhängig von dessen Alter und Urteilsfähigkeit der Ermittlung des Sachverhalts (<ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen).
2.3. Der Argumentation des Verwaltungsgerichts, wonach ein zehnjähriges Kind nicht über die kognitiven Fähigkeiten verfüge, um sich zu Fragen rund um die Anordnung einer kinderpsychiatrischen Abklärung eine Meinung bilden zu können, widerspricht die Beschwerdeführerin nicht direkt. Sie meint aber, das Verwaltungsgericht verkenne den Zweck der Anhörung; diese sei ein beobachtendes und fragendes Gespräch, in welchem das Gewicht der Vorgänge und Äusserungen entsprechend dem Entwicklungsstand des Kindes und im Kontext der Umstände individuell bewertet werden müsse. Die Garantie der Kindesanhörung fliesse aus Art. 12 KRK.
Die Beschwerdeführerin vermischt die beiden Aspekte der Kindesanhörung, wie sie soeben (E. 2.2) dargelegt wurden. Art. 12 KRK räumt nur dem urteilsfähigen Kind ein persönliches Mitwirkungsrecht ein. Vorliegend behauptet die Beschwerdeführerin nicht, ihre Tochter sei mit Bezug auf die Begutachtung durch die E._ und die Anordnung der sozialpädagogischen Familienbegleitung urteilsfähig. Damit wurde auch Art. 12 KRK nicht verletzt.
Ist das Kind mit Bezug auf die zu entscheidenden Fragen - wie vorliegend - nicht urteilsfähig, reduziert sich die Anhörung auf den Aspekt der Sachverhaltsermittlung. Die Beschwerdeführerin bestreitet nicht, dass die Tochter in dem vom Verwaltungsgericht angegebenen Umfang (E. 2.1) angehört worden ist. Sie ist hingegen der Auffassung, die Tochter hätte aufgrund verschiedener Vorkommnisse zusätzlich nochmals persönlich angehört werden müssen. Dabei bezieht sich die Beschwerdeführerin auf Sachverhaltsbehauptungen, die sich nicht aus dem angefochtenen Entscheid ergeben, so dass diese neu und daher für das Bundesgericht grundsätzlich unbeachtlich sind (<ref-law>). In diesem Punkt erweist sich die Beschwerde als unbegründet.
3.
Hinsichtlich der persönlichen Anhörung der Beschwerdeführerin selbst führt das Verwaltungsgericht aus, der Anspruch, persönlich vor Gericht angehört zu werden, bestehe nur unter bestimmten Bedingungen. Daher obliege es der Partei, die sich darauf berufe, darzulegen, inwiefern es unter den gegebenen Umständen entscheidend sei, dass das Gericht einen persönlichen Eindruck über sie gewinnen könne. Die Beschwerdeführerin habe ihren Antrag indes nicht weiter begründet und es lägen auch keine offensichtlichen Gründe vor, die für eine persönliche Anhörung sprechen würden. Bei der angeordneten Begutachtung handle es sich um eine Abklärungsmassnahme und bei der sozialpädagogischen Familienbegleitung um eine niederschwellige Massnahme, die nicht besonders stark in die Rechte der Beschwerdeführerin bzw. der Tochter eingriffen.
Zu diesen Erwägungen, die sich im Übrigen auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung stützen (<ref-ruling> E. 3), äussert sich die Beschwerdeführerin nicht. Darauf ist nicht weiter einzugehen.
4.
Die Beschwerdeführerin hält die Anordnung einer kinderpsychiatrischen Begutachtung der Tochter für unverhältnismässig.
4.1. Das Verwaltungsgericht hat die Anordnung der Begutachtung unter Hinweis auf den Entscheid der KESB damit begründet, laut Abklärungsbericht bestünden diverse Faktoren, die bei den involvierten Fachleuten Sorge betreffend das Wohl und die Entwicklung der Tochter hätten aufkommen lassen. Bis anhin sei keine Einschätzung vorhanden, welche konkreten Auswirkungen die psychische Verfassung der Mutter auf die psychische Entwicklung und Entfaltung der Tochter habe. Angesichts des stark auffälligen und ambivalenten Verhaltens der Mutter müsse davon ausgegangen werden, dass die Tochter einer hohen Belastungssituation ausgesetzt sei. Um eine gesunde Entwicklung zu unterstützen, müssten gesicherte Aussagen zur Entwicklung und Verfassung der Tochter gemacht werden. Soweit die Beschwerdeführerin diese Massnahme nicht für erforderlich halte, verhalte sie sich widersprüchlich, nachdem sie gemäss Abklärungsbericht anlässlich des Hausbesuchs vom 30. April 2018, der Anhörung durch die KESB am 11. Juli 2018 und schliesslich eines Telefongesprächs am 17. Juli 2018 damit einverstanden gewesen sei, dass die Situation der Tochter abgeklärt und allfällig notwendige Unterstützungsmassnahmen ergriffen werden. Hinsichtlich der zu beauftragenden Institution habe die Beschwerdeführerin erklärt, die G._ komme nicht infrage, demgegenüber sei die E._ gut. Wenn sie vor Verwaltungsgericht die E._ mit der Begründung ablehne, die Tochter verbinde den Begriff "Psychiatrie" generell mit dem Tod ihres Vaters, verhalte sich die Beschwerdeführerin widersprüchlich, zumal die Tochter bei den H._ eine tiergestützte Psychotherapie besuche. Daher sei die Begutachtung der Tochter durch die E._ zumutbar. Sodann verfüge die E._ über eine spezialisierte Abteilung für die Begutachtung von Kindern und Jugendlichen und sei damit fachlich geeignet, die Untersuchung durchzuführen. Schliesslich erachtete das Verwaltungsgericht die kinderpsychiatrische Abklärung der Tochter als dringend erforderlich. In den IV-Akten werde bezüglich der Mutter die Diagnose einer kombinierten Persönlichkeitsstörung mit passiv-abhängigen, narzisstischen und infantilen Charakterzügen festgestellt. Therapeutische Unterstützung lehne sie ab. Im Abklärungsbericht beschreibe die abklärende Person die äusserst eindrückliche Wechselhaftigkeit der jeweiligen emotionalen Verfassung der Beschwerdeführerin. Es müsse davon ausgegangen werden, dass dies die Tochter belaste und sich negativ auf ihre persönliche Entwicklung auswirke. Diese und weitere Umstände zeigten auf, dass das Wohl der Tochter gefährdet erscheine; es gebe sogar Anhaltspunkte, dass sich die Krankheit der Beschwerdeführerin bereits auf die psychische Entwicklung der Tochter ausgewirkt habe. Es müsse deshalb dringend abgeklärt werden, was die Tochter brauche, um sich gesund entwickeln zu können. Insgesamt sei die kinderpsychiatrische Abklärung der Tochter in der E._ erforderlich, zumutbar und verhältnismässig.
4.2. Die Beschwerdeführerin behauptet nicht, das Verwaltungsgericht habe die Akten, auf die es sich bezieht (IV-Akten, Abklärungsbericht), falsch gewürdigt. Die weitschweifigen und nur teilweise kohärenten Ausführungen der Beschwerdeführerin sind vielmehr dahin zu verstehen, dass sie bestreitet, psychisch krank zu sein; daher sei sie auch keine Gefahr für den Zustand und die Entwicklung der Tochter. Abgesehen davon, dass sie dabei auf einen Sachverhalt abstellt, der sich weder aus dem angefochtenen Urteil noch aus den Akten ergibt und für das Bundesgericht unbeachtlich bleibt, zielt diese Argumentationslinie an der Sache vorbei. Nach den Feststellungen des Verwaltungsgerichts gibt es Anhaltspunkte für eine ungesunde psychische Entwicklung der Tochter (symbiotische Beziehung zwischen Mutter und Tochter; Tendenz zu einem eher depressiven Attributionsstil; auffälliges Verhalten anlässlich einer Besprechung bei der IV-Stelle: die Tochter habe sich die ganze Zeit unter einer Decke versteckt und apathisch gewirkt). Diese Anhaltspunkte sind die Grundlage für den Abklärungsauftrag an die E._. Freilich versucht die Beschwerdeführerin den Beobachtungen eine andere Bedeutung zu geben, wobei sie sich wiederum auf Tatsachen bezieht, die sich nicht aus den Akten ergeben und damit im bundesgerichtlichen Verfahren unbeachtlich sind. Nach dem gegenwärtigen Stand der Dinge steht überhaupt nicht fest, ob die Tochter einer irgendwie gearteten Unterstützung Dritter bedarf oder nicht. Dieser Bedarf ist zunächst einmal - gutachterlich - abzuklären.
5.
Schliesslich geht es auch noch um die Anordnung einer sozialpädagogischen Familienbegleitung.
5.1. In diesem Zusammenhang lassen sich dem angefochtenen Entscheid folgende Erwägungen entnehmen: Der Beschwerdeführerin sei das im Mai 2018 entzogene Aufenthaltsbestimmungsrecht nicht deshalb wieder erteilt worden, weil sich ihr psychischer Zustand nach dem Klinikeintritt wesentlich verbessert hätte. Vielmehr habe die Institution, in welcher die Tochter platziert war, ihren pädagogischen Auftrag nicht erfüllen können, weil die Mutter die Empfehlungen der Fachpersonen nicht befolgt und selbst bestimmt habe, wann sie ihre Tochter zu sich genommen und wieder ins Heim zurückgebracht habe. Deshalb habe sich die Tochter auch nicht auf die Massnahme einlassen können. Das wechselhafte Verhalten der Beschwerdeführerin und deren labiler psychischer Zustand liessen sich nicht nur aus den Akten entnehmen, sondern würden auch durch Telefonanrufe und E-Mail-Nachrichten an das Verwaltungsgericht deutlich. In dieser Situation könne die Tochter nicht ohne weiteres in die Obhut und Verantwortung ihrer Mutter zurückgegeben werden, ohne dass die Behörde eine Möglichkeit habe, das Familiensystem und das Befinden der Tochter im Auge zu behalten. Die Beschwerdeführerin habe sich vehement gegen die Einsetzung einer Beistandsperson ausgesprochen. Daher habe die KESB das mildere Mittel einer niederschwelligen sozialpädagogischen Familienbegleitung angeordnet. Das von der Beschwerdeführerin gewählte Helfernetzwerk vermöge das Wohl der Tochter nicht genügend zu schützen, da es kaum Einblick in das Familiensystem erhalte und bei einer allfälligen Verschlechterung der Situation nicht gewährleistet wäre, dass eine entsprechende Meldung an die Behörde erfolgen und weitere erforderliche Massnahmen ergriffen werden könnten. Die Massnahme einer sozialpädagogischen Familienbegleitung sei deshalb zwingend erforderlich.
5.2. Die Beschwerdeführerin wendet ein, die sozialpädagogische Familienbegleitung sei im Abklärungsbericht empfohlen worden und zwar mit dem Ziel, das Kind bei der Rückführung zu seiner Mutter zu begleiten und im Hinblick auf den Wohnorts- und Schulwechsel die Familie zu unterstützen. Tatsache sei, dass sie, die Beschwerdeführerin, sämtliche organisatorischen Angelegenheiten im Zusammenhang mit dem Umzug, dem Schulwechsel sowie der Ab- und Anmeldung bei Behörden und Ämtern alleine bewältigt, die Tochter trotz Umzugsvorbereitungen bei sich betreut und an wichtigen Schulanlässen teilgenommen habe. Es habe nie ein Bedarf nach einer sozialpädagogischen Familienbegleitung bestanden. Die Anordnung dieser Massnahme sei unverhältnismässig.
5.3. Wie diese Ausführungen zeigen, setzt sich die Beschwerdeführerin nicht mit den Erwägungen des Verwaltungsgerichts auseinander; sie begnügt sich vielmehr damit, andere Tatsachenbehauptungen aufzustellen und ihre Sicht der Dinge darzulegen. Damit vermag sie den angefochtenen Entscheid nicht als bundesrechtswidrig auszuweisen.
6.
Aus den dargelegten Gründen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Grundsätzlich werden die Beschwerdeführerinnen dadurch kostenpflichtig (<ref-law>). Aufgrund der besonderen Verhältnisse wird indes auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet. Damit wird auch das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege gegenstandslos.
In Anbetracht der konkreten Situation wird die KESB prüfen müssen, ob für die Fortsetzung des Verfahrens die Anordnung einer Vertretung im Sinne von <ref-law> erforderlich ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird als gegenstandslos abgeschrieben.
4.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführerinnen, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde U._ und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. März 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Gutzwiller