Faits :
A.
A.a. A._, né en 1962, a travaillé dès le 1 er avril 2004 en qualité d'adjoint de direction technique au sein du Service B._ de la Ville de Genève. A compter du 1 er septembre 2007, il a été transféré en cette même qualité au Service C._ (ci-après: Service C._ ou le service), rattaché au Département D._, qui est devenu par la suite le Département E._. Dès avril 2014, il a assumé la fonction d'adjoint de direction "F._" au sein du Service C._, aux côtés de trois autres adjoints de direction ("G._", "H._" et "I._"). Les quatre adjoints dépendaient tous directement du chef du service. Au niveau organisationnel, la direction chapeautait trois unités opérationnelles, chacune dirigée par un chef d'unité.
A.b. Ensuite de son arrivée à la tête du service en octobre 2017, la nouvelle cheffe du Service C._ ad interim a mandaté une société externe afin d'effectuer un audit de la direction. Le 31 décembre 2017, cette société a rendu un rapport d'évaluation de la gouvernance du Service C._ dont il ressortait notamment que les adjoints de direction étaient trop nombreux et qu'il convenait de réduire de manière significative les ressources à cet échelon afin de le rationaliser. Le 23 mai 2018, le Conseil administratif de la Ville de Genève (ci-après: le Conseil administratif) a validé une nouvelle organisation de la direction du Service C._ impliquant en particulier la suppression de deux des postes d'adjoints de direction, dont celui occupé par A._.
Le 24 mai 2018, le prénommé a été informé lors d'un entretien avec sa hiérarchie que son poste allait être supprimé, ce qui lui a été confirmé par courrier du Conseil administratif du 22 juin 2018. Ledit courrier précisait que si à l'échéance de la période de reclassement, qui débutait le jour même et se terminait le 22 août 2018, aucune alternative d'emploi n'était trouvée, les rapports de service seraient résiliés. L'employé était en outre libéré de son obligation de travailler dès le 1 er août 2018 afin de lui permettre de rechercher un nouvel emploi. Sur requêtes de l'employé, la période de reclassement a été prolongée une première fois au 15 septembre 2018, puis une seconde fois au 30 septembre 2018.
A.c. Dans le cadre de la procédure de reclassement, A._ a eu trois entretiens avec une coordinatrice des ressources humaines (ci-après: la coordinatrice RH), les 10 et 13 juillet 2018 ainsi que le 8 août 2018. L'employé a annulé un quatrième entretien prévu le 22 août 2018, indiquant à la coordinatrice RH dans un courriel du 24 août 2018 qu'il ne renonçait pas à son "précieux accompagnement" mais qu'il vivait une période "hautement chronophage quant à la recherche d'un nouvel emploi". Au cours du premier entretien du 10 juillet 2018, l'employé a répondu en treize minutes à un questionnaire de personnalité professionnelle appelé "Perf Echo". Le 13 juillet 2018, la coordinatrice RH a adressé le CV de l'intéressé à l'ensemble des départements de l'administration de la Ville de Genève, afin de s'enquérir de l'existence éventuelle d'un poste pouvant correspondre à ses compétences. Seules des réponses négatives sont arrivées en retour dans le délai de réponse fixé au 20 août 2018. En date du 11 septembre 2018, la coordinatrice RH a adressé une nouvelle fois le dossier de l'employé aux différents départements; à l'issue du délai fixé au 21 septembre 2018, seules des réponses négatives lui sont parvenues. Le Conseil administratif a par ailleurs octroyé à l'employé un mandat d'"outplacement" pour un montant de 11'000 fr.
Le 24 septembre 2018, l'employé a demandé au Conseil administratif de réexaminer la possibilité de le réintégrer au Service C._, de prolonger une nouvelle fois la période de reclassement au 31 décembre 2018 et d'intercéder en sa faveur pour un poste d'adjoint de direction au sein du Service J._, pour lequel il avait postulé et passé un entretien le 17 septembre 2018. Le 16 octobre 2018, la Ville de Genève a informé l'employé qu'elle refusait de prolonger la période de reclassement. Celui-ci a été informé le 9 novembre 2018 qu'il n'avait pas été choisi pour le poste d'adjoint de direction au Service J._.
A.d. Le 17 octobre 2018, le Conseil administratif a informé l'employé de son intention de procéder à son licenciement, dès lors que les démarches en vue de son reclassement n'avaient pas abouti. Dans ses observations du 2 novembre 2018, l'intéressé a notamment relevé qu'il convenait d'établir un bilan approfondi de ses compétences afin d'identifier les postes qui pouvaient lui être attribués au sein de l'administration communale, et au besoin de le faire bénéficier d'une formation complémentaire lui permettant d'être reclassé. Il a en outre estimé que la prestation d'"outplacement" était insuffisante eu égard à son âge et à son parcours professionnel. Le 13 novembre 2018, il a été reçu par une délégation du Conseil administratif. Deux jours plus tard, il a confirmé à la vice-présidente dudit conseil son intérêt pour un poste de chargé de formation continue dans son département. Le 26 novembre 2018, cette dernière lui a répondu que le poste en question requérait des compétences spécifiques dont il ne disposait pas et qu'il n'y avait aucun poste disponible au sein de son propre département.
A.e. Par décision du 16 janvier 2019, le Conseil administratif a résilié les rapports de travail de A._ au 31 juillet 2019 au motif de la suppression de son poste et l'a mis au bénéfice de l'indemnité statutairement prévue dans un tel cas.
B.
L'employé a recouru contre cette décision auprès de la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève, en concluant principalement à sa réintégration et subsidiairement au versement d'une indemnité correspondant à 355'403 fr. 10.
Par jugement du 13 octobre 2020, la cour cantonale a partiellement admis le recours, en ce sens que le licenciement de l'employé a été jugé contraire au droit et que la Ville de Genève a été condamnée à lui verser une indemnité correspondant à quatorze mois de son dernier traitement mensuel brut.
C.
La Ville de Genève interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant à sa réforme dans le sens de la confirmation de sa décision du 16 janvier 2019. A titre subsidiaire, elle conclut à l'annulation du jugement attaqué et au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Elle sollicite par ailleurs l'octroi de l'effet suspensif.
L'intimé conclut au rejet du recours et ne s'oppose pas à l'octroi de l'effet suspensif. La cour cantonale persiste dans les considérants et le dispositif de son jugement.
D.
Par ordonnance du 2 février 2021, le juge instructeur a admis la requête d'effet suspensif.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office (art. 29 al. 1 LTF) et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 1).
1.1. Le jugement entrepris concerne des rapports de travail de droit public au sens des art. 83 let. g et 85 al. 1 let. b LTF. Il tranche une contestation pécuniaire (cf. art. 83 let. g LTF) et la valeur litigieuse dépasse largement le seuil de 15'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et 85 al. 1 let. b LTF), la recourante exposant sans être contredite que le salaire mensuel brut de l'intimé s'élève à 13'839 fr. 55. La voie du recours en matière de droit public est donc en principe ouverte.
1.2. Selon l'art. 89 al. 2 let. c LTF, ont qualité pour recourir les communes et les autres collectivités de droit public qui invoquent la violation de garanties qui leur sont reconnues par la constitution cantonale ou la Constitution fédérale. Sont en particulier visés les cas où les communes peuvent invoquer la garantie de leur autonomie communale, ancrée au niveau fédéral à l'art. 50 al. 1 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 3.3.1). Aux termes de cette disposition, l'autonomie communale est garantie dans les limites fixées par le droit cantonal. Le recours est recevable dès lors que la commune ou une autre collectivité de droit public se plaint de la violation d'une garantie constitutionnelle qui lui est reconnue en relation avec son autonomie (<ref-ruling> consid. 1.3.2; <ref-ruling> consid. 1.1).
La Ville de Genève invoque en l'espèce l'autonomie qui lui est reconnue par le droit cantonal dans le domaine de la gestion du personnel (cf. art. 132 al. 2 Cst-GE [RS 131.234]; art. 2, 31 al. 1 let. w et 48 let. r de la loi sur l'administration des communes du 13 avril 1984 [LAC; RS/GE B 6 05]) et se plaint d'une violation de l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.). Il y a donc lieu de lui reconnaître la qualité pour recourir sur la base déjà de l'art. 89 al. 2 let. c LTF. La question de savoir si la garantie de l'autonomie communale a été violée ressortit au fond (<ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling> consid. 1.2). En tout état de cause, la recourante est également légitimée à recourir sur la base de l'art. 89 al. 1 LTF; obligée par le jugement attaqué de verser une indemnité à l'intimé, elle est touchée de manière analogue à un employeur privé (cf. <ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 2.3).
1.3. Pour le surplus, le recours en matière de droit public a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites (art. 42 LTF). Il est partant recevable, hormis en tant qu'il conclut à la confirmation de la décision du 16 janvier 2019, laquelle n'a pas été annulée par le jugement attaqué et ne fait donc pas l'objet de la présente contestation.
2.
2.1. Le Tribunal fédéral, qui est un juge du droit, conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente, il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées et la correction du vice susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF); à défaut, un état de fait divergent de celui de la décision attaquée ne peut pas être pris en compte (<ref-ruling> consid. 2 précité; <ref-ruling> consid. 5.2.2).
Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques appellatoires portant sur l'appréciation des preuves ou l'établissement des faits par l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 2.3). L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier, ou lorsque l'autorité ne tient pas compte, sans raison sérieuse, d'un élément propre à modifier la décision, se trompe sur le sens et la portée de celui-ci ou, se fondant sur les éléments recueillis, en tire des conclusions insoutenables (ATF <ref-ruling> consid. 2.3 précité et les références).
2.2. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Toutefois, il n'examine la violation de droits fondamentaux ainsi que celle de dispositions de droit cantonal et intercantonal que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF). Sauf exceptions non pertinentes en l'espèce (cf. art. 95 let. c, d et e LTF), on ne peut pas invoquer la violation du droit cantonal ou communal en tant que tel devant le Tribunal fédéral (art. 95 LTF a contrario). En revanche, il est toujours possible de faire valoir que sa mauvaise application constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2). Appelé à revoir l'application ou l'interprétation d'une norme cantonale ou communale sous l'angle de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motif objectif et en violation d'un droit certain (<ref-ruling> consid. 5.2). En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale n'est pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution éventuellement plus judicieuse paraît possible (<ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 7.1). En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision critiquée soient insoutenables; encore faut-il que cette dernière soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> précité; <ref-ruling> consid. 4.2).
2.3. Lorsqu'elle est reconnue autonome dans un domaine spécifique, une commune peut dénoncer tant les excès de compétence d'une autorité cantonale de contrôle ou de recours que l'interprétation et l'application erronées des règles de droit qui régissent la matière. Elle peut faire valoir la violation de ses droits constitutionnels et fondamentaux, telle que l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.). Le Tribunal fédéral examine librement l'interprétation du droit constitutionnel, fédéral comme cantonal, dans les limites des griefs invoqués et motivés conformément à l'art. 106 al. 2 LTF. En revanche, il vérifie - dans ces mêmes limites - l'application de règles de rang inférieur à la constitution cantonale sous l'angle restreint de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 7.4.1; <ref-ruling> consid. 6.1).
3.
3.1. Aux termes de l'art. 34 al. 1 let. c et al. 2 let. d du Statut du personnel de la Ville de Genève du 29 juin 2010 (SPVG; LC 21 151), le Conseil administratif peut licencier, moyennant un délai de préavis de six mois pour la fin d'un mois dès la onzième année de service, un employé lorsque son poste est supprimé et qu'il est impossible de l'affecter à un autre emploi correspondant à ses capacités et aptitudes professionnelles. Selon l'art. 35 SPVG, avant d'envisager un tel licenciement, l'employeur procède à des recherches en vue de proposer un ou plusieurs postes équivalents au sein de l'administration municipale; subsidiairement, il doit proposer des mesures de reconversion professionnelle prévues par règlement (al. 1). En cas de proposition de reconversion professionnelle à l'extérieur de l'administration municipale, le salaire est maintenu pendant la période de formation (al. 2, première phrase). Le Conseil administratif peut en outre décider que les frais de formation seront pris en charge par la Ville de Genève (al. 2, seconde phrase). La personne licenciée en vertu de l'art. 34 al. 2 let. d a droit à une indemnité égale à six fois son dernier traitement mensuel de base, plus 0,2 fois son dernier traitement mensuel de base par année passée au service de la ville, une année entamée comptant comme une année entière (al. 3, première phrase).
L'art. 47 al. 1 du Règlement d'application du SPVG du 14 octobre 2009 (REGAP; LC 21 152.0) précise que le Conseil administratif met en oeuvre une politique active de reconversion et de réadaptation professionnelle. Selon l'al. 3 de cette disposition, la politique de reconversion et de réadaptation professionnelle repose notamment sur des mesures de formation spécifiques (let. a), une offre de mesures d'orientation, en particulier des bilans de compétence (let. b), un recensement des postes disponibles au sein de l'administration municipale (let. c), une collaboration étroite avec les collectivités et institutions susceptibles d'offrir des débouchés professionnels (let. d), une proposition de transfert dans d'autres fonctions (let. e) et une adaptation de la place de travail (let. f).
3.2. Selon la jurisprudence cantonale genevoise, mentionnée par la cour cantonale dans le jugement entrepris (cf. ATA/1778/2019 du 10 décembre 2019 consid. 8 et les références), le principe du reclassement est l'une des expressions du principe de la proportionnalité. Il impose à l'employeur public de s'assurer, avant qu'un licenciement soit prononcé, qu'aucune mesure moins préjudiciable pour l'administré ne puisse être prise. Il s'agit tout d'abord de proposer des mesures dont l'objectif est d'aider l'intéressé à retrouver ou maintenir son "employabilité", soit sa capacité à conserver ou obtenir un emploi, dans sa fonction ou dans une autre, à son niveau hiérarchique ou à un autre. Avant qu'une résiliation puisse intervenir, différentes mesures peuvent être envisagées. Elles peuvent prendre de multiples formes, telles qu'un certificat de travail intermédiaire, un bilan de compétences, un stage d'évaluation, des conseils en orientation, des mesures de formation et d'évolution professionnelles, l'accompagnement personnalisé, voire l'"outplacement". Il faut ensuite rechercher si une solution alternative de reclassement au sein de la fonction publique peut être trouvée.
3.3. Toujours selon la jurisprudence cantonale citée dans le jugement entrepris, l'autorité communale doit bénéficier de la plus grande liberté d'appréciation pour fixer l'organisation de son administration et créer, modifier ou supprimer des relations de service nécessaires au bon fonctionnement de celle-ci, questions relevant très largement de l'opportunité et échappant par conséquent au contrôle de la chambre administrative (art. 61 al. 2 de la loi sur la procédure administrative du 12 septembre 1986 [LPA; E 5 10]). Ce pouvoir discrétionnaire ne signifie pas que l'autorité est libre d'agir comme bon lui semble, dès lors qu'elle ne peut ni renoncer à exercer ce pouvoir, ni faire abstraction des principes constitutionnels régissant le droit administratif, notamment la légalité, la bonne foi, l'égalité de traitement, la proportionnalité et l'interdiction de l'arbitraire (ATA/430/2020 du 30 avril 2020 consid. 5b et la référence). Il en découle que le juge doit contrôler que les dispositions prises se tiennent dans les limites du pouvoir d'appréciation de l'autorité communale et qu'elles apparaissent comme soutenables (ATA/608/2020 du 23 juin 2020 consid. 4b).
3.4. Selon l'art. 105 SPVG, si la chambre administrative retient qu'un licenciement est contraire au droit, elle peut proposer au Conseil administratif la réintégration de la personne intéressée (al. 1, première phrase). En cas de refus du Conseil administratif, la chambre administrative alloue à la personne intéressée une indemnité dont le montant ne peut être inférieur à trois mois et supérieur à 24 mois du dernier traitement brut (al. 2).
3.5.
3.5.1. En l'espèce, la juridiction cantonale a constaté que la direction du Service C._ avait été réorganisée ensuite des conclusions d'un audit externe et des constatations de sa cheffe de service ad interim. Cette réorganisation avait notamment conduit à la suppression de deux des quatre postes d'adjoints de direction, parmi lesquels celui de l'intimé dont le poste n'avait pas été repourvu et le cahier des charges pas repris sous un autre intitulé. Les juges cantonaux ont estimé que la suppression de ce poste était justifiée par des motifs objectifs.
3.5.2. La cour cantonale a ensuite retenu que la recourante avait ouvert la période de reclassement le 22 juin 2018, laquelle devait initialement prendre fin un mois plus tard, et que ce n'était qu'ensuite de demandes répétées de l'intimé qu'elle avait accepté de la prolonger jusqu'au 30 septembre 2018. L'intimé avait bénéficié de trois séances avec la coordinatrice RH, au cours desquelles il avait répondu à un questionnaire de personnalité professionnelle, finalisé son CV et passé en revue l'utilisation de l'application "Job up", et ladite coordinatrice RH avait transmis à deux reprises son dossier à l'ensemble des départements de l'administration, la seconde fois avec un délai relativement bref. Rien n'avait toutefois été entrepris plus activement pour soutenir ses différentes postulations, notamment celles pour lesquelles il avait bénéficié d'un entretien. Aucune écriture ne figurait au "journal de suivi" relatif à la procédure de reclassement après le 10 septembre 2018. En outre, hormis une enveloppe pour un "outplacement", aucune autre mesure de reconversion professionnelle n'avait été accordée à l'intimé. Lors de son audition en procédure cantonale, la coordinatrice RH avait confirmé ne pas avoir procédé à l'identification des postes correspondant au parcours de l'intimé, ne pas être intervenue dans le processus de recrutement pour favoriser son reclassement et ne pas avoir entrepris d'autres démarches vis-à-vis des départements que l'envoi de courriels les informant de la disponibilité de l'intimé; or ces mesures étaient citées à l'art. 47 al. 3 let. c et d REGAP. Plusieurs témoins avaient par ailleurs relevé qu'il n'existait pas d'instruments spécifiques pour les travailleurs âgés dans les procédures de reclassement.
Les premiers juges ont considéré que l'échec de la procédure de reclassement n'était pas imputable à l'intimé. A ce titre, ils ont notamment retenu que si celui-ci n'avait pas souhaité discuter des résultats du test "Perf Echo", il en avait toutefois précisé les raisons, à savoir ses doutes quant à l'efficience de ce test. En outre, bien qu'il eût annulé la quatrième séance avec la coordinatrice RH prévue le 22 août 2018, on ne pouvait pas en déduire qu'il avait décidé de mettre un terme au soutien des ressources humaines, au vu notamment de son courriel du 24 août 2018 à la coordinatrice RH et de ses courriers des 24 septembre et 2 novembre 2018 au Conseil administratif. Il avait par ailleurs postulé et/ou montré de l'intérêt pour au moins quatre postes au sein de l'administration de la Ville de Genève. Enfin, il avait rencontré une première fois sa personne de contact concernant l'"outplacement" en novembre 2018 et cette personne, entendue en procédure cantonale, avait indiqué avoir supposé que l'intimé avait attendu le résultat d'une postulation avant de reprendre contact avec elle à la fin mars 2019, ce qui expliquait que la mesure d'"outplacement" n'avait démarré qu'en avril 2019.
Ainsi, même si en matière de reclassement, l'employeur public n'avait pas d'obligation de résultat, la recourante aurait dû soutenir activement l'intimé - dont le poste avait été supprimé malgré ses compétences avérées - dans sa recherche de poste, ce en quoi elle avait failli, alors même qu'il avait participé activement à son reclassement. Les premiers juges en ont conclu que la procédure de reclassement n'avait pas été menée conformément aux exigences du SPVG, de sorte que la résiliation des rapports de service s'avérait contraire au droit.
3.5.3. Relevant que la recourante avait exclu la réintégration de l'intimé, la juridiction cantonale a arrêté l'indemnité qui lui était due en application de l'art. 105 al. 2 SPVG à quatorze mois de son dernier traitement mensuel brut, cette indemnité venant en sus de celle à laquelle il avait droit selon l'art. 35 al. 3 SPVG. A cet égard, les juges cantonaux ont tenu compte de l'âge de l'intimé (57 ans) et de la durée des rapports de service (quinze ans) au moment de son licenciement, de son parcours professionnel sans reproches, des modalités brusques de l'annonce de la suppression de son poste, du fait qu'il n'avait pas retrouvé d'emploi, des difficultés futures à en retrouver un, du refus de l'employeur de le réintégrer malgré sa disponibilité, et du fait que la suppression de son poste était objectivement fondée pour des motifs organisationnels.
4.
La recourante se plaint tout d'abord d'un établissement manifestement inexact et d'une appréciation arbitraire des faits, faisant valoir différents griefs à ce titre.
4.1.
4.1.1. Elle soutient que la cour cantonale aurait retenu de façon inexacte que la période de reclassement avait été initialement fixée à un mois, et non à deux mois comme tel aurait été le cas. Ce serait également à tort que l'autorité précédente a constaté que la recourante n'avait pas accordé de mesures de reconversion professionnelle à l'intimé hormis une enveloppe pour un "outplacement", puisque les séances avec la coordinatrice RH et les transmissions de son dossier à l'ensemble de l'administration constitueraient de telles mesures au sens de la loi. En outre, les premiers juges auraient omis de retenir que la vice-présidente du Conseil administratif s'était personnellement enquise des possibilités de replacement au sein de l'administration, écrivant le 26 novembre 2018 à l'intimé que ses recherches avaient été vaines. Ces erreurs porteraient sur des faits importants, dès lors que la juridiction cantonale en aurait déduit que la recourante n'avait pas rempli ses obligations en matière de reclassement.
4.1.2. Dans la partie "en fait" de son jugement, la cour cantonale a correctement mentionné que la période de reclassement avait été initialement prévue pour une durée de deux mois, à savoir du 22 juin au 22 août 2018, et qu'elle s'était finalement achevée le 30 septembre 2018. Elle a par ailleurs fait état - également dans la partie "en fait" - de l'ensemble des mesures dont a bénéficié l'intimé durant la période en question (cf. let. A.c supra). Certes, elle a indiqué dans sa subsomption que la période ayant débuté le 22 juin 2018 devait initialement prendre fin un mois plus tard, avant d'être prolongée jusqu'au 30 septembre 2018. En outre, elle a relevé à propos de l'intimé qu'"hormis une enveloppe pour un 'outplacement', aucune autre mesure ne lui a[vait] été accordée, comme des mesures de reconversion professionnelle, pourtant expressément prévues par l'art. 35 al. 1 SPVG dans un tel cas de figure et précisées à l'art. 47 REGAP"; elle a toutefois cité préalablement les séances avec la coordinatrice RH ainsi que les envois du dossier de l'intimé à l'administration, dont la formulation rappelée ci-dessus montre qu'elle les a bien considérés comme des mesures au sens des art. 35 al. 1 SPVG et 47 al. 3 REGAP. Les premiers juges se sont ainsi prononcés en tenant compte de la durée correcte de la procédure de reclassement (du 22 juin au 30 septembre 2018) et de l'ensemble des mesures adoptées dans le cadre de ladite procédure. Par ailleurs, ils ont bien fait mention dans leur jugement du courriel du 26 novembre 2018 adressé par la vice-présidente du Conseil administratif à l'intimé. Par conséquent, on ne saurait considérer qu'ils auraient versé dans l'arbitraire en établissant les faits de la cause discutés par la recourante.
4.2. La recourante reproche également à l'instance précédente d'avoir retenu qu'aucune écriture ne figurait au journal de suivi après le 10 septembre 2018, date du second envoi des courriels aux autres départements, et d'en avoir déduit de manière arbitraire que rien n'avait été entrepris au bénéfice de l'intimé après cette date. Après le 10 septembre 2018, les courriels reçus des collaborateurs de la coordinatrice RH auraient en effet permis d'effectuer un nouveau recensement des postes disponibles.
Ce grief tombe à faux dès lors que la juridiction cantonale s'est limitée à constater l'absence d'écriture au journal de suivi après le 10 septembre 2018 - en soi non contestée par la recourante - sans pour autant en inférer que rien n'avait été fait par la suite. Au demeurant, le recensement des postes auquel se réfère la recourante consiste en la seule réception par la coordinatrice RH des réponses (négatives) qui lui sont parvenues ensuite de l'envoi du dossier de l'intimé à l'administration communale le 11 septembre 2018 (non le 10 septembre 2018), de sorte qu'il ne s'agissait pas de nouvelles mesures mises en place au profit de l'intimé. Le jugement attaqué fait de surcroît référence à ces réponses négatives.
4.3. En reprochant à l'autorité précédente d'avoir retenu que l'intimé avait joué un rôle actif et collaborant dans la procédure de reclassement, la recourante soutient qu'il ressortirait de ses déclarations en lien avec l'annulation de la séance du 22 août 2018 qu'il avait suspendu les mesures de reclassement initiées par la coordinatrice RH, ce dont les premiers juges n'auraient pas tenu compte. Renvoyant au courriel adressé le 24 août 2018 par l'intimé à la coordinatrice RH - dans lequel il disait ne pas renoncer à son précieux accompagnement - et à ses courriers au Conseil administratif dans lesquels il sollicitait un appui et plusieurs mesures, la cour cantonale a retenu sans verser dans l'arbitraire que l'intimé n'avait pas voulu mettre un terme au soutien dont il bénéficiait. Le grief de la recourante s'avère ainsi également mal fondé.
4.4. Pour le reste, le point de savoir si l'intimé a participé et collaboré activement à la procédure de reclassement, sur la base des faits constatés par la cour cantonale, relève de l'application du droit et sera examiné dans ce cadre (cf. consid. 5 infra). Il en va de même des points de savoir si, d'une part, les mesures prises au profit de l'intimé peuvent être assimilées à des mesures de reconversion professionnelle au sens de la législation communale et si, d'autre part, tout a été fait pour tenter de reclasser l'intimé (cf. ibidem).
5.
5.1. La recourante se plaint ensuite d'une violation de son autonomie communale et d'une application arbitraire du SPVG et du REGAP. Elle estime avoir soutenu suffisamment activement l'intimé, lequel aurait bénéficié de plusieurs mesures de reconversion professionnelle. Elle n'aurait pas pu faire davantage en sa faveur, hormis contraindre ses services à l'engager. A cet égard, il conviendrait de prendre en compte le fait que l'intimé occupait un poste de cadre et que des postes équivalents seraient peu nombreux, qu'il serait spécialisé dans un domaine pour lequel aucun poste n'aurait été disponible, et que la coordinatrice RH aurait été au même moment en charge d'un autre collaborateur en procédure de reclassement. La recourante soutient que le jugement attaqué reviendrait à créer de nouvelles exigences en matière de reclassement pour les employés dont le poste serait supprimé en dépit de leurs compétences avérées, de leur âge et de leur ancienneté, alors que de telles exigences ne figureraient pas dans la loi; en ce sens, ces nouvelles exigences entraîneraient une inégalité de traitement au bénéfice des employés les plus compétents, les plus âgés et ayant le plus d'ancienneté. En outre, le raisonnement des juges cantonaux lui imposerait une obligation de résultat qu'elle n'aurait pas selon la jurisprudence. En substituant son appréciation à la sienne en opportunité, la juridiction cantonale aurait par ailleurs outrepassé ses pouvoirs et violé l'interdiction de l'arbitraire, dès lors qu'elle aurait été habilitée à sanctionner la recourante uniquement pour application arbitraire des dispositions statutaires et réglementaires. Enfin, il n'aurait pas été tenu compte du manque de collaboration de l'intimé durant la période de reclassement, notamment de son refus de discuter les résultats du test "Perf Echo", de l'annulation de sa quatrième séance avec la coordinatrice RH et de l'attente de six mois avant l'entame de la mesure d'"outplacement".
5.2. La protection de l'égalité (art. 8 Cst.) et celle contre l'arbitraire (art. 9 Cst.) sont étroitement liées. Une norme est arbitraire lorsqu'elle ne repose pas sur des motifs sérieux ou si elle est dépourvue de sens et de but. Elle viole le principe de l'égalité de traitement consacré à l'art. 8 al. 1 Cst. lorsqu'elle établit des distinctions juridiques qui ne se justifient par aucun motif raisonnable au regard de la situation de fait à réglementer ou qu'elle omet de faire des distinctions qui s'imposent au vu des circonstances, c'est-à-dire lorsque ce qui est semblable n'est pas traité de manière identique et ce qui est dissemblable ne l'est pas de manière différente (ATF <ref-ruling> consid. 5.1.1; <ref-ruling> consid. 6.1.1). L'inégalité de traitement apparaît ainsi comme une forme particulière d'arbitraire, consistant à traiter de manière inégale ce qui devrait l'être de manière semblable ou inversement (ATF <ref-ruling> consid. 6.1.1; <ref-ruling> consid. 3.5).
5.3. En l'espèce, l'ensemble des mesures prises au bénéfice de l'intimé correspondent bien à des mesures de reconversion professionnelle au sens des art. 35 al. 1 SPVG et 47 al. 3 REGAP, cette dernière disposition dressant une liste non exhaustive des mesures en question. L'intimé a ainsi participé à trois entretiens avec la coordinatrice RH, au cours desquels il a notamment été soutenu dans l'établissement de son CV (ce qui correspond à la mesure visée par l'art. 47 al. 3 let. b REGAP). Son dossier a été transmis aux départements de l'administration communale afin de s'enquérir de l'existence éventuelle d'un poste correspondant à ses compétences (ce qui correspond à la mesure visée par l'art. 47 al. 3 let. c REGAP). Il s'est en outre vu accorder un mandat d'"outplacement" pour un montant de 11'000 fr. Il a par ailleurs été libéré de son obligation de travailler le 1 er août 2018 déjà, de sorte qu'il a pu dès cette date se consacrer entièrement à sa recherche d'emploi.
Cela étant, il ressort des faits constatés par la juridiction cantonale - qui lient le Tribunal fédéral (cf. consid. 2.1 supra) - que s'agissant des recherches en vue de lui proposer un poste équivalent, la coordinatrice RH s'est limitée à adresser à deux reprises son CV à l'ensemble de l'administration communale en s'enquérant d'éventuels postes disponibles. En outre, les juges cantonaux n'ont pas retenu que des démarches auraient été entreprises pour soutenir les postulations de l'intimé à l'interne de l'administration, ni même que le moindre contact entre le Service C._ et les autres services concernés aurait eu lieu. A cet égard, l'instance précédente a constaté que la coordinatrice RH avait au contraire admis ne pas avoir identifié les postes correspondants au parcours professionnel de l'intimé, ne pas être intervenue dans le processus de recrutement et ne pas avoir entrepris de démarches auprès de l'administration autres que l'envoi de courriels. Compte tenu de ce qui précède et dès lors que l'art. 47 al. 3 REGAP impose notamment une collaboration étroite avec les collectivités et institutions susceptibles d'offrir des débouchés professionnels aux personnes concernées (let. d), on ne voit pas que l'autorité précédente soit tombée dans l'arbitraire en considérant que le soutien fourni à l'intimé avait été insuffisant. Par ailleurs, un tel raisonnement n'implique pas une obligation de résultat pour l'employeur; les premiers juges n'ont pas reproché à la recourante de ne pas avoir réengagé l'intimé à un autre poste, mais de ne pas l'avoir suffisamment soutenu en vue de lui trouver un nouveau poste, ce qui constitue le but de la procédure de reclassement. Enfin, on ne voit pas en quoi les juges cantonaux auraient posé de nouvelles exigences qui ne figureraient pas dans la loi, en violation du principe de l'égalité de traitement, ni en quoi ils auraient violé l'autonomie communale de la recourante en se substituant à son appréciation. Ils se sont en effet limités à faire grief à la recourante de ne pas avoir fait bénéficier l'intimé d'une mesure pourtant prévue par la législation communale (cf. art. 47 al. 3 let. d REGAP), laquelle s'imposait d'autant plus que les compétences de l'intimé étaient reconnues, qu'il était déjà âgé de 56 ans et travaillait depuis plus de quatorze ans pour la recourante au moment de la suppression de son poste, et qu'il avait participé activement à son reclassement. La cour cantonale n'a du reste pas admis le recours cantonal pour des motifs d'opportunité, mais parce que la résiliation des rapports de service était contraire au droit au sens de l'art. 105 SPVG, en conformité avec la jurisprudence cantonale qui l'autorisait à examiner si la recourante avait agi dans les limites de son pouvoir d'appréciation, lequel ne peut pas faire abstraction des principes constitutionnels régissant le droit administratif, parmi lesquels la légalité (cf. consid. 3.3 supra).
5.4. Les premiers juges n'ont pas non plus versé dans l'arbitraire en ne considérant pas que l'échec de la procédure de reclassement était imputable à l'intimé, bien qu'il ait annulé une quatrième séance avec la coordinatrice RH, qu'il n'ait pas souhaité discuter avec elle des résultats d'un test effectué en treize minutes et qu'il ait attendu six mois pour débuter la mesure d'"outplacement". Ils ont en effet retenu sans arbitraire que l'intéressé n'avait pas voulu mettre un terme au soutien des ressources humaines et de la coordinatrice RH malgré l'annulation de leur entretien planifié le 22 août 2018 (cf. consid. 4.3 supra). Ils ont également constaté qu'il avait motivé son refus de discuter les résultats du test "Perf Echo" et qu'il avait pris contact avec sa personne de contact pour l'"outplacement" en novembre 2018 déjà, la mesure ayant démarré en soi en avril 2019 ensuite de l'échec d'une candidature au sein de l'administration communale. A cela s'ajoute que selon les constatations de fait du jugement entrepris, l'intimé a postulé pour au moins quatre postes au sein de l'administration et qu'il s'est adressé au Conseil administratif en vue d'un appui de ses postulations, de la réalisation d'un bilan de compétences approfondi ainsi que de la mise en place de mesures de formation. Dans ces conditions, on ne saurait reprocher aux juges cantonaux d'en avoir conclu de manière arbitraire que l'intimé avait participé activement à son reclassement.
5.5. Au vu de ce qui précède, le grief tiré d'une violation de l'interdiction de l'arbitraire se révèle mal fondé et la cour cantonale n'a pas violé la garantie constitutionnelle reconnue à la recourante en vertu de son autonomie communale.
6.
Dans un dernier grief, la recourante reproche à la cour cantonale d'avoir violé le principe de la proportionnalité en allouant à l'intimé une indemnité correspondant à quatorze mois de son dernier traitement mensuel brut, en application de l'art. 105 al. 2 SPVG. Au vu des circonstances du cas d'espèce, en particulier du fait que l'annonce de la suppression de son poste n'aurait pas été brusque et qu'il n'aurait pas été question d'un refus de le réintégrer, une indemnité équivalant à trois mois de salaire aurait dû lui être octroyée. La recourante n'expose toutefois pas en quoi les premiers juges auraient appliqué ou interprété la norme précitée de manière arbitraire (cf. consid. 2.2 supra). On ne voit pas que tel serait le cas, au vu des facteurs pris en compte par la juridiction cantonale pour fixer l'indemnité litigieuse (cf. consid. 3.5.3 supra), comprenant notamment l'âge de l'intimé, la durée des rapports de travail, son parcours professionnel sans reproches et le fait qu'il n'a pas retrouvé d'emploi ensuite de son licenciement. L'ultime grief de la recourante s'avère ainsi également mal fondé. Il s'ensuit que le jugement attaqué échappe à la critique et que le recours en matière de droit public doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable (cf. consid. 1.3 supra).
7.
La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Touchée dans son intérêt patrimonial en tant qu'employeur, elle ne peut pas être exonérée des frais judiciaires en application de l'art. 66 al. 4 LTF (<ref-ruling>). Elle versera en outre à l'intimé une indemnité à titre de dépens (art. 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à l'intimé la somme de 2800 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lucerne, le 4 mai 2021
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
Le Greffier : Ourny