Sachverhalt:
A.
Am 22. November 2016 erstattete A._ Strafanzeige gegen Dr. med. B._wegen Ehrverletzung und Verletzung des Berufsgeheimnisses.
Mit Verfügung vom 3. März 2017 nahm die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat die Strafuntersuchung nicht anhand. Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde hiess das Obergericht des Kantons Zürich (III. Strafkammer) am 2. August 2017 teilweise gut. Es hob die Nichtanhandnahmeverfügung, soweit sie die Verletzung des Berufsgeheimnisses betraf, auf und wies die Akten insoweit zur weiteren Untersuchung an die Staatsanwaltschaft zurück.
Am 7. September 2018 gewährte der Staatsanwalt des Kantons Zürich für amtliche Mandate A._ die unentgeltliche Rechtspflege und bestellte ihm Rechtsanwalt Markus Bischoff als unentgeltlichen Rechtsbeistand; dies mit Wirkung ab dem 5. September 2018.
Am 14. November 2018 stellte die Staatsanwaltschaft das Strafverfahren ein. Dagegen erhob A._ Beschwerde beim Obergericht. Er stellte das Gesuch, ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und Rechtsanwalt Markus Bischoff als unentgeltlichen Rechtsbeistand beizugeben.
Mit Verfügung vom 18. Januar 2019 wies der Präsident der III. Strafkammer des Obergerichts das Gesuch mangels genügender Substanziierung ab. Er forderte A._ auf, innert 30 Tagen ab Mitteilung dieser Verfügung eine Prozesskaution von einstweilen Fr. 2'000.-- zu leisten, unter der Androhung, dass sonst auf das Rechtsmittel nicht eingetreten werde.
B.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, die Verfügung des Kammerpräsidenten vom 18. Januar 2019 aufzuheben. Demgemäss sei ihm weiterhin die unentgeltliche Rechtspflege für das vorinstanzliche Verfahren zu gewähren und die Pflicht zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 2'000.-- abzunehmen.
C.
Der Kammerpräsident und die Staatsanwaltschaft haben auf Vernehmlassung verzichtet.
D.
Mit Verfügung vom 13. März 2019 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
Gegen den angefochtenen Entscheid ist gemäss <ref-law> die Beschwerde in Strafsachen gegeben. Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist somit nach <ref-law> zulässig (Urteil 1B_310/2017 vom 26. Oktober 2017 E. 1). Der Beschwerdeführer macht die Verletzung eines Parteirechts, das ihm die Strafprozessordnung einräumt, und damit eine formelle Rechtsverweigerung geltend. Dazu ist er gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und b BGG befugt (Urteil 6B_1039/2017 vom 13. März 2018 E. 1.2.2 mit Hinweisen). Der angefochtene Entscheid kann ihm einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> bewirken (<ref-ruling> E. 4 S. 338 mit Hinweisen; Urteil 1B_310/2017 vom 26. Oktober 2017 E. 1). Die Beschwerde ist daher auch insoweit zulässig. Die weiteren Eintretensvoraussetzungen sind ebenfalls erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, am 7. September 2018 habe ihm der Staatsanwalt für amtliche Mandate die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gewährt. Dies gelte auch für das Beschwerdeverfahren. Wenn die Vorinstanz dafür nach ihrer Praxis ein neuerliches Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung verlange und die entsprechenden Voraussetzungen prüfe, verletze das <ref-law> und Art. 136 f. StPO.
2.2. Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtlos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Diese Bestimmung konkretisiert <ref-law>. Nach dessen Absatz 1 gewährt die Verfahrensleitung der Privatklägerschaft für die Durchsetzung ihrer Zivilansprüche ganz oder teilweise die unentgeltliche Rechtspflege, wenn die Privatklägerschaft nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (lit. a) und die Zivilklage nicht aussichtslos erscheint (lit. b). Gemäss <ref-law> umfasst die unentgeltliche Rechtspflege die Befreiung von Vorschuss- und Sicherheitsleistungen (lit. a), die Befreiung von den Verfahrenskosten (lit. b) und die Bestellung eines Rechtsbeistands, wenn dies zur Wahrung der Rechte der Privatklägerschaft notwendig ist (lit. c). Gemäss <ref-law> richten sich Bestellung, Widerruf und Wechsel der Verbeiständung sinngemäss nach den Artikeln 133 und 134.
Gemäss <ref-law> wird die amtliche Verteidigung von der im jeweiligen Verfahrensstadium zuständigen Verfahrensleitung bestellt. Nach <ref-law> leitet das Verfahren bis zur Einstellung oder Anklageerhebung die Staatsanwaltschaft (lit. a), im Gerichtsverfahren bei Kollegialgerichten die Präsidentin oder der Präsident des betreffenden Gerichts (lit. c). Im vorliegenden Beschwerdeverfahren ist somit nicht mehr der Staatsanwalt, sondern der Kammerpräsident Verfahrensleiter. Gemäss Art. 137 i.V.m. <ref-law> war er damit für die Bestellung der Verbeiständung zuständig. Dies stützt die vorinstanzliche Praxis.
Zu beachten ist überdies <ref-law>. Danach trifft die Verfahrensleitung die Anordnungen, die eine gesetzmässige Durchführung des Verfahrens gewährleisten. Der Kammerpräsident durfte daher prüfen, ob die gesetzlichen Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung nach <ref-law> im Beschwerdeverfahren nach wie vor gegeben seien. Dann kann es nicht bundesrechtswidrig sein, wenn er für das Beschwerdeverfahren ein neuerliches entsprechendes Gesuch verlangte. Dafür bestanden sachliche Gründe. Seit der Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung am 7. September 2018 durch den Staatsanwalt für amtliche Mandate hat sich das Verfahren weiterentwickelt. Insbesondere hat die Staatsanwaltschaft inzwischen die Strafuntersuchung eingestellt. Aus einer solchen Einstellungsverfügung können sich Hinweise ergeben, welche die Frage der Aussichtslosigkeit der Zivilklage in einem andern Licht erscheinen lassen. Legt etwa in einem Fall wie hier die Staatsanwaltschaft in der Einstellungsverfügung überzeugend dar, dass ein strafbares Verhalten des Beschuldigten klar ausscheidet, führt das zur Annahme der Aussichtslosigkeit der Zivilklage. Auch die finanzielle Situation des Privatklägers kann sich im Übrigen inzwischen verändert haben, weshalb sich eine neue Prüfung der Mittellosigkeit nach <ref-law> rechtfertigt.
Die Praxis der Vorinstanz entspricht der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zur amtlichen Verteidigung. Danach ist die kantonale Beschwerdeinstanz zur Bewilligung der amtlichen Verteidigung für das Beschwerdeverfahren auch dann zuständig, wenn die Staatsanwaltschaft in der Strafuntersuchung die amtliche Verteidigung gewährt hat. Die entsprechende Verfügung der Staatsanwaltschaft gilt nicht auch für das Beschwerdeverfahren (Urteil 1B_705/2011 vom 9. Mai 2012 E. 2.3). Für eine abweichende Praxis bei der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung nach <ref-law> besteht kein Grund.
Die Praxis der Vorinstanz entspricht überdies <ref-law>. Danach ist im Rechtsmittelverfahren die unentgeltliche Rechtspflege neu zu beantragen. Wie im Schrifttum zutreffend ausgeführt wird, ist diese Bestimmung im Strafverfahren analog anzuwenden (HANSPETER KIENER, in: Goldschmid/Maurer/Sollberger [Hrsg.], Kommentierte Textausgabe zur Schweizerischen Strafprozessordnung, 2008, S. 119). <ref-law> verlangt einen neuen Antrag im Rechtsmittelverfahren insbesondere, weil sich die finanziellen Verhältnisse verändert haben können und die Prozesschancen- und Risikobeurteilung aufgrund des bisherigen Prozessverlaufs neu vorzunehmen ist (FRANK EMMEL, in: Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2016, N. 5 zu <ref-law>; VIKTOR RÜEGG/MICHAEL RÜEGG, in: Schweizerische Zivilprozessordnung, Basler Kommentar, 3. Aufl. 2017, N. 6 zu <ref-law>; LUKAS HUBER, in: Brunner/Gasser/Schwander [Hrsg.], Schweizerische Zivilprozessordnung, Kommentar, 2. Aufl. 2016, N. 13 zu <ref-law>). Diese Gesichtspunkte sind nach dem Gesagten auch im besonderen Fall von <ref-law> massgeblich.
2.3. Es verletzt demnach kein Bundesrecht, wenn die Vorinstanz ein neues Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung verlangt und die entsprechenden Voraussetzungen geprüft hat. Die Beschwerde ist in diesem Punkt unbegründet.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, wenn die Vorinstanz die ungenügende Substanziierung seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung annehme, sei das bundesrechtswidrig.
3.2. Zwar muss gemäss <ref-law> der Privatkläger die in der Zivilklage geltend gemachte Forderung erst spätestens im Parteivortrag beziffern und begründen. Nach der Rechtsprechung muss er jedoch in seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege in jedem Verfahrensstadium unter anderem darlegen, dass die Zivilklage nicht aussichtslos erscheint (Urteil 6B_458/2015 vom 16. Dezember 2015 E. 4.5 mit Hinweisen).
3.3. Mit Schreiben vom 5. September 2018 an die Staatsanwaltschaft konstituierte sich der Beschwerdeführer als "Privat- und Strafkläger". Er führte aus, Anträge zu Schadenersatz und Genugtuung würden an der Gerichtsverhandlung bzw. vor Erlass eines Strafbefehls gestellt. Auch in der Beschwerde vom 10. Dezember 2018 an die Vorinstanz machte er keine näheren Angaben zu einer Zivilklage. Er bemerkte lediglich, dass "die Angelegenheit" nicht aussichtslos sei, ergebe sich ohne Weiteres aus der Rechtsschrift.
Damit ist der Beschwerdeführer seiner Begründungspflicht nicht nachgekommen. Er hätte darlegen müssen, weshalb er welche Zivilforderung erheben will und warum diese nicht aussichtslos sei. Aufgrund der Akten ist dies nicht offensichtlich. So ist fraglich, inwiefern der Beschwerdeführer durch die dem Beschuldigten vorgeworfene Verletzung des Berufsgeheimnisses einen Schaden erlitten haben soll (<ref-law>). Ebenso wenig liegt auf der Hand, inwiefern die Schwere einer allfälligen Verletzung in der Persönlichkeit eine Genugtuung rechtfertigen sollte (<ref-law>).
3.4. Was der Beschwerdeführer einwendet, überzeugt nicht.
Entgegen seinen Vorbringen legte er im Schreiben vom 5. September 2018 an die Staatsanwaltschaft nicht dar, Anträge zu Schadenersatz und Genugtuung würden an der Gerichtsverhandlung bzw. vor Erlass eines Strafbefehls "beziffert". Vielmehr führte er aus, solche Anträge würden dann "gestellt". Es ist also nicht so, dass der Beschwerdeführer nur noch die Bezifferung einer näher bezeichneten Schadenersatz- und Genugtuungsforderung vorbehalten hätte. Vielmehr schwieg er sich darüber aus, weshalb ihm eine Schadensatz- und Genugtuungsforderung zustehen soll.
Der angefochtene Entscheid entspricht der dargelegten Rechtsprechung (E. 3.2). Wenn die Vorinstanz vom Beschwerdeführer die hinreichende Substanziierung einer Zivilklage und ihrer mangelnden Aussichtslosigkeit verlangt hat, ist das weder treuwidrig noch widersprüchlich noch willkürlich. Zu einer hinreichenden Substanziierung hätte der Beschwerdeführer umso mehr Anlass gehabt, als die Vorinstanz bereits im Beschluss vom 2. August 2017 sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen hatte, da er keine Ausführungen zu einer Zivilklage gemacht hatte (E. II. S. 3).
4.
Der Beschwerdeführer macht geltend, indem die Vorinstanz ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung entzogen habe, ohne ihn dazu vorher angehört zu haben, habe sie seinen Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt.
Die Rüge ist unbegründet. Die Vorinstanz entzog dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nicht. Vielmehr verlangte sie insoweit, wozu sie berechtigt war, für das Beschwerdeverfahren ein neues Gesuch. Dieses hat der Beschwerdeführer gestellt, womit er sich umfassend äussern konnte. Die Vorinstanz hatte keinen Anlass, ihn vor der Abweisung seines Gesuchs nochmals anzuhören. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs ist zu verneinen.
5.
Die Beschwerde ist demnach abzuweisen.
Die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers kann angenommen werden. Er verweist im Zusammenhang mit seinem Einwand, die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung durch die Staatsanwaltschaft gelte auch im Beschwerdeverfahren, auf nicht näher begründete entsprechende Äusserungen in der Literatur (MAZZUCCHELLI/POSTIZZI, in: Schweizerische Strafprozessordnung, Basler Kommentar, 2. Aufl. 2014, N. 10 zu <ref-law>; SCHMID/JOSITSCH, Schweizerische Strafprozessordnung, Praxiskommentar, 3. Aufl. 2018, N. 3 zu <ref-law>). Angesichts dessen kann die Beschwerde nicht als aussichtslos bezeichnet werden. Die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nach <ref-law> wird deshalb bewilligt. Es werden keine Gerichtskosten erhoben und dem Vertreter des Beschwerdeführers wird eine Entschädigung ausgerichtet.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dem Vertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Markus Bischoff, wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juni 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Härri