Sachverhalt:
A.
E._ ist Eigentümer des Grundstücks Nr. 1314, Grundbuch Weggis, welches in der zweigeschossigen Wohnzone B (W2B) liegt. Am 19. April 2017 erteilte der Gemeinderat Weggis die Baubewilligung für einen auf diesem Grundstück geplanten Neubau zweier Einfamilienhäuser und wies gleichzeitig die gegen dieses Bauvorhaben von Nachbarn erhobenen Einsprachen ab. Eine gegen diese Baubewilligung erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Urteil vom 1. Februar 2018 gut, da das Projekt die Grenzabstände unterschritt.
Am 4. April 2018 reichte E._ zwei überarbeitete Baugesuche ein. Aufgrund einer neuerlichen Einsprache von Nachbarn zog der Eigentümer daraufhin eines der Projekte zurück; in der Folge wies der Gemeinderat Weggis am 5. Oktober 2018 die gegen das andere Projekt erhobenen Einsprachen ab und erteilte für dieses die Baubewilligung.
B.
Die von den Nachbarn A._, B._, C._, D._ und Ann Esmarch hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Urteil vom 12. November 2019 gut, soweit sie die Kostenverlegung vor dem Gemeinderat Weggis betraf, im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen A._, B._, C._ und D._, es sei die Baubewilligung unter Aufhebung des kantonalen Urteils aufzuheben; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
E._ beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit auf sie einzutreten sei.
In ihrer Eingabe vom 4. März 2020 halten die Beschwerdeführer an ihren Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Dem angefochtenen Urteil der Vorinstanz liegt eine baurechtliche Streitigkeit und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit zugrunde. Das Bundesgerichtsgesetz enthält auf dem Gebiet des Raumplanungs- und Baurechts keinen Ausschlussgrund von der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 lit. a und Art. 83 BGG). Die Beschwerdeführer sind Nachbarn im baurechtlichen Sinn und hatten im vorinstanzlichen Verfahren Parteistellung. Sie sind durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und haben ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung. Sie sind damit zur Beschwerdeführung berechtigt (<ref-law>).
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten können Rechtsverletzungen im Sinne von <ref-law> gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.6 S. 281 f.).
1.3. Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>).
Die beschwerdeführende Partei, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss substanziiert darlegen, inwiefern die Voraussetzungen einer Ausnahme gemäss <ref-law> gegeben sind und das Verfahren bei rechtskonformer Ermittlung des Sachverhalts anders ausgegangen wäre; andernfalls kann ein Sachverhalt, der vom im angefochtenen Entscheid festgestellten abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht Bundesrecht verletzte, als es die Baubewilligung des Gemeinderates Weggis vom 5. Oktober 2018 bestätigte.
3.
Der Beschwerdegegner reichte am 4. April 2018 zwei sich gegenseitig ausschliessende Baugesuche für das streitbetroffene Grundstück ein, zog aber auf Einsprache der Beschwerdeführer hin eines der Projekte vor dem Entscheid des Gemeinderates wieder zurück.
3.1. Nicht gefolgt werden kann den Beschwerdeführern, soweit sie in diesem Zusammenhang eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) durch den Gemeinderat rügen. Wie sich aus der Baubewilligung vom 5. Oktober 2018 ergibt, hat der Gemeinderat ihre Argumentation, das Einreichen zweier sich ausschliessender Baugesuche sei unzulässig, zur Kenntnis genommen und geprüft, aber sie schliesslich verworfen.
3.2. Das kantonale Gericht hat im Weiteren erwogen, die Frage nach der Zulässigkeit zweier gleichzeitig eingereichter Baugesuche könne offenbleiben, da der Beschwerdegegner das eine Gesuch bereits vor dem Entscheid des Gemeinderates wieder zurückgezogen habe. Entgegen den Ausführungen der Beschwerdeführer erweist sich diese Erwägung nicht als bundesrechtswidrig: Geht man von einer grundsätzlichen Unzulässigkeit zweier gleichzeitig eingereichter, sich ausschliessender Baugesuche für das gleiche Grundstück aus, so wäre der Gemeinderat nach Treu und Glauben (<ref-law>) gehalten gewesen, den Eigentümer auf die Unzulässigkeit aufmerksam zu machen und ihm Gelegenheit zu geben, sich für eines der Projekte zu entscheiden. Da der Eigentümer des Grundstückes aufgrund der Einsprache von sich aus eines der Gesuche zurückzog, erübrigte sich für den Gemeinderat eine solche Vorgehensweise.
3.3. Es ist zwar nicht zu verkennen, dass das gleichzeitige Einreichen mehrerer Baugesuche die Position der Einsprecher potenziell erschwert, so dass sich die Frage stellt, ob der Gemeinderat nach Treu und Glauben nicht gehalten gewesen wäre, nach dem Rückzug des einen Gesuchs das andere Gesuch noch einmal mit neuer Einsprachefrist öffentlich aufzulegen. Da jedoch zum einen die Beschwerdeführer offensichtlich eine rechtsgenügliche Einsprache erheben konnten, zum anderen entgegen ihren Ausführungen keine Hinweise auf eine bewusst schädigende und damit allenfalls rechtsmissbräuchliche Vorgehensweise des Beschwerdegegners bestehen, verstösst es nicht gegen Bundesrecht, dass der Gemeinderat auf eine Neuauflage verzichtet hat.
3.4. Soweit die Beschwerdeführer weiter geltend machen, durch die gleichzeitige Aussteckung zweier Projekte könne diese ihrem Zweck nicht mehr gerecht werden, hat das kantonale Gericht erwogen, es komme den ausgesteckten Profilen nach kantonalem Recht lediglich eine Hilfsfunktion zu. Die Ausmasse eines Bauprojekts würden sich in erster Linie aus den öffentlich aufliegenden Bauplänen ergeben. Auch bei einer unvollständigen oder fehlerhaften Aussteckung sei daher eine Verletzung von Parteirechten nicht leichthin anzunehmen. Im konkreten Fall haben sich nach den grundsätzlich verbindlichen vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen die Profile der beiden Bauprojekte farblich deutlich voneinander unterschieden, so dass die Beurteilung der Ausmasse des Projekts nicht wesentlich erschwert wurde. Inwiefern diese vorinstanzlichen Erwägungen bundesrechtswidrig sein sollten, ist nicht ersichtlich (vgl. zur Hilfsfunktion der Profile insbesondere auch Urteile 1C_103/2016 vom 22. Juni 2017 E. 9 und 1C_387/ 2014 vom 20. Juni 2016 E. 5.4 mit Hinweisen).
4.
Weiter rügen die Beschwerdeführer, der Verlauf des gewachsenen Terrains auf dem streitbetroffenen Grundstück entspreche nicht den vorinstanzlichen Feststellungen.
4.1. Das Bundesgericht greift in die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung nur ein, soweit diese für den Ausgang des Verfahrens entscheidend ist (<ref-law>; vgl. E. 1.3 hievor). Inwiefern dies für den Verlauf des gewachsenen Terrains zutrifft, ist nicht ohne weiteres ersichtlich. Die Beschwerdeführer bringen zwar vor, das Bauprojekt schöpfe die zulässige Ausnutzungsziffer maximal aus, so dass es schon bei einer minimalen Abweichung des gewachsenen Terrains zu einer Überschreitung kommen könnte. Sie legen indessen nicht nachvollziehbar dar, inwiefern der von ihnen geltend gemachte Verlauf des gewachsenen Terrains konkret etwas an der Berechnung der Ausnutzungsziffer ändern würde. Letztlich kann jedoch, wie nachstehende Erwägungen zeigen, die Frage nach der rechtlichen Relevanz des gewachsenen Terrains im konkreten Fall offenbleiben.
4.2. Die Beschwerdeführer machen zu Recht nicht geltend, dass sich aus den Akten ein anderer Verlauf des gewachsenen Terrains als der vom kantonalen Gericht festgestellte, ergeben würde. Sie rügen indessen, sie hätten vor Vorinstanz den Beweis eines abweichenden Verlaufs durch einen Augenschein angeboten; diese hätte auf die Abnahme dieses Beweises nicht verzichten dürfen. Von der Abnahme eines beantragten Beweismittels kann jedoch rechtsprechungsgemäss dann abgesehen werden, wenn ein Gericht auf Grund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener (antizipierter) Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 236 mit weiteren Hinweisen).
Die Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen hat oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 3.6.2 S. 287). Solches ist vorliegend nicht ersichtlich: Die vorinstanzlichen Feststellungen zum Verlauf des gewachsenen Terrains beruhten auf dem im Geoportal des Kantons Luzern hinterlegten Höhenkurvenplan aus dem Jahr 2010 und einem von der HASK Ingenieure AG ausgehend von den Nachbargrundstücken erstellten digitalen Geländemodell. Einzig aufgrund des Umstandes, dass die Beschwerdeführer die Richtigkeit des Höhenkurvenplans stets bestritten haben, erscheint es nicht als offensichtlich unhaltbar und damit nicht als willkürlich, wenn das kantonale Gericht die Notwendigkeit weiterer Beweismassnahmen verneint hat.
5.
Die Beschwerdeführer rügen, die Feststellung des kantonalen Gerichts, eine Unvereinbarkeit des Bauprojekts mit dem Orts- und Landschaftsbild sei von den Beschwerdeführern nicht substanziiert dargetan, sei als überspitzt formalistisch und damit gegen <ref-law> verstossend zu betrachten. Gemäss den vorinstanzlichen Erwägungen genügt der pauschale Hinweis darauf, dass die zulässige Ausnutzungsziffer auf das Äusserste ausgeschöpft werde, nicht, um eine solche Unvereinbarkeit darzutun. Inwiefern diese Erwägung bundesrechtswidrig sein sollte, ist nicht ersichtlich. Insbesondere hat sich die Vorinstanz mit dem Hauptargument der Beschwerdeführer (Gefährdung des Ortsbildes durch maximale Ausnutzung) auseinandergesetzt und es verworfen, so dass diesbezüglich keine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) vorliegt. Eine Bundesrechtswidrigkeit des vorinstanzlichen Schlusses, alleine aufgrund der maximalen Ausschöpfung der Ausnutzungsziffer sei keine Gefährdung des Ortsbildes nachgewiesen, wird von den Beschwerdeführern nicht dargetan. Somit erscheint es auch als folgerichtig und jedenfalls nicht als überspitzt formalistisch, wenn das kantonale Gericht auf eine einlässlichere Prüfung der Eingliederung des Projekts in das Ortsbild mit dem Hinweis auf eine fehlende weitergehende Begründung der Beschwerde verzichtete. Die Beschwerde ist somit auch in diesem Punkt abzuweisen.
6.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Als unterliegende Partei haben die Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und dem Beschwerdegegner überdies eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführer haben den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gemeinderat Weggis und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Mai 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Nabold