Sachverhalt:
A.
Die Kirchliche Stiftung Kapuzinerkloster Wesemlin (nachfolgend Kirchliche Stiftung) ist Eigentümerin der teilweise in der Grünzone, teilweise in der Wohn- und Arbeitszone liegenden und von der Ortsbildschutzzone B überlagerten Grundstücke Nr. 937 und 4108 in Luzern. Auf dem Grundstück Nr. 937 befindet sich das Kapuzinerkloster Wesemlin, bestehend aus der Klosterkirche, dem Klostergebäude, dem Bibliotheksgebäude und dem Südtrack. Auf dem Grundstück Nr. 4108 stehen zwei Ökonomiegebäude sowie weitere untergeordnete An- und Nebenbauten.
Vor dem Hintergrund der von der Kapuzinergemeinschaft angestrebten Öffnung der Klosteranlage sowie zur Sicherstellung der für den Unterhalt und Betrieb der Anlage notwendigen finanziellen Mittel beabsichtigt die Kirchliche Stiftung den Bau von Mietwohnungen auf dem Klosterareal. Dazu reichte sie am 27. April 2016 ein Baugesuch für den Neubau eines Mehrfamilienhauses sowie einer Einstellhalle auf dem Grundstück Nr. 4108 ein. Dagegen erhoben A._, die B._ AG, C._ und Stiftung D._ während der öffentlichen Auflage Einsprache. Die Dienststelle Raum und Wirtschaft (rawi) des Kantons Luzern erteilte mit Entscheid vom 19. Dezember 2016 u.a. die Bewilligung für Bauarbeiten an dem im kantonalen Denkmalverzeichnis eingetragenen Kloster (Laubengang) sowie für bauliche Massnahmen im Umfeld des Klosters unter Bedingungen und Auflagen. Am 6. März 2017 erteilte die Baudirektion der Stadt Luzern die Baubewilligung für das Mehrfamilienhaus mit Einstellhalle auf dem Grundstück Nr. 4108 und trat gleichzeitig auf die Einsprache der Stiftung D._ nicht ein. Die übrigen Einsprachen wies sie ab, soweit sie darauf eintrat. Gegen diesen Entscheid erhoben A._, die B._ AG, C._ und die Stiftung D._ Beschwerde an das Kantonsgericht Luzern.
Mit Entscheid vom 13. August 2018 erteilte die Baudirektion die Bewilligung für den Abbruch von einem der zwei Ökonomiegebäuden auf dem Grundstück Nr. 4108 sowie für weitere untergeordnete An- und Nebengebäude. Dagegen erhoben A._, die B._ AG, C._ und die Stiftung D._ ebenfalls Beschwerde an das Kantonsgericht. Auf dessen Anordnung fand am 20. August 2018 ein Augenschein auf den betroffenen Grundstücken sowie in der näheren Umgebung des Klosters Wesemlin statt. Mit Urteil vom 7. Januar 2019 vereinigte das Kantonsgericht die Verfahren der angefochtenen Baubewilligung vom 6. März 2017 sowie der angefochtenen Abbruchbewilligung vom 13. August 2018 und wies die Beschwerden ab.
B.
Mit Eingabe vom 12. Februar 2019 führen A._ (Beschwerdeführerin 1), die B._ AG (Beschwerdeführerin 2), C._ (Beschwerdeführer 3) und die Stiftung D._ (Beschwerdeführerin 4) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Sie beantragen, das Urteil des Kantonsgerichts vom 7. Januar 2019 sei aufzuheben. Weiter sei das Baugesuch betreffend Mehrfamilienhaus und Einstellhalle an der E._strasse xxx, Grundstücke Nr. 4108 sowie Nr. 937, abzuweisen und die Bewilligung für den Abbruch des Ökonomiegebäudes F._strasse, Grundstücke Nr. 4108 und Nr. 937 sowie der weiteren untergeordneten An- und Nebengebäuden auf den Baugrundstücken nicht zu erteilen. Eventualiter sei die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz bzw. subeventualiter an die Baubewilligungsbehörde zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Kantonsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Kultur (BAK) nimmt in positiver Art und Weise Stellung zum Projekt, welches es bereits zuvor begleitet hat, ohne einen konkreten Antrag zu stellen. Die Beschwerdeführer halten an ihren Anträgen fest.
C.
Mit Präsidialverfügung vom 13. März 2019 erkannte das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG). Die Beschwerdeführerinnen 1 und 2 sind als Alleineigentümerinnen der Stockwerkeigentumsgrundstücke Nr. 13017 bzw. Nr. 13018 auf dem Stammgrundstück Nr. 1682, welches einzig durch die E._strasse vom Baugrundstück Nr. 4108 getrennt ist, aufgrund ihrer räumlichen Nähe von der Baubewilligung besonders betroffen (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 219 f.; Urteil 1C_476/2018 vom 3. Juli 2019 E. 1.2; je mit Hinweisen) und zur Beschwerdeerhebung befugt (<ref-law>). Dasselbe gilt für den Beschwerdeführer 3, der Eigentümer der Stockwerkeigentumseinheit Nr. 12796 auf dem Grundstück Nr. 1631 ist, das ebenfalls nur durch die E._strasse vom Baugrundstück getrennt ist. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde der Beschwerdeführer 1-3 grundsätzlich einzutreten. Wie es sich indessen mit der Beschwerdebefugnis der Beschwerdeführerin 4 verhält, ist vorerst offen zu lassen (vgl. E. 6 hiernach).
1.2. Die Beschwerdeführer rügen neben der Verletzung von Bundesrecht (vgl. <ref-law>) insbesondere die Verletzung von kantonalem Recht. Ob ein Entscheid kantonales Recht verletzt, prüft das Bundesgericht grundsätzlich nur auf Willkür hin und nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law> i.V.m. <ref-law> und <ref-law>). Willkürlich ist ein Entscheid, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.2 S. 72, Urteil 1C_25/2019 vom 5. März 2020 E. 2; je mit Hinweisen).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Willkürrüge ist substanziiert vorzubringen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.4 S. 324; <ref-ruling> E. 4.2 S. 233 f.; je mit Hinweisen).
2.
Die Beschwerdeführer machen eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör geltend. Dieser Vorwurf der Gehörsverletzung greift indessen nicht. Die Vorinstanz hat die Rügen der Beschwerdeführer im angefochtenen 36-seitigen Entscheid ausführlich behandelt. Von Bundesrechts wegen ist sie sodann nicht verpflichtet, sich mit sämtlichen Details im Rügenkatalog der Beschwerdeführer ausdrücklich und im einzelnen zu befassen. Sie kann sich auf die für ihren Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss einzig so abgefasst sein, dass sich die Betroffenen über die Tragweite des Entscheids im Klaren sind und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen können. In diesem Sinn müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde leiten liess und auf welche sich ihr Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 3.2.4 mit Hinweisen). Dies hat die Vorinstanz vorliegend getan. Die Beschwerdeführer legen denn auch nicht dar, inwiefern es ihnen die Begründung des angefochtenen Entscheids praktisch verunmöglicht hätte, den Rechtsweg an das Bundesgericht wirksam zu beschreiten. Die Rüge erweist sich als unbegründet.
3.
3.1. Die Beschwerdeführer sind der Auffassung, die Vorinstanz sei in willkürlicher Betrachtung der Sach- und Rechtslage davon ausgegangen, die Klostermauer, welche zur Erschliessung des geplanten Neubaus durchbrochen sowie das Ökonomiegebäude, welches hierfür abgerissen werden müsse, stünden nicht unter Denkmalschutz.
3.2. Das Kloster und die Klosteranlage sind seit dem 14. August 1974 im kantonalen Denkmalverzeichnis eingetragen. Der Schutzumfang wurde dabei wie folgt definiert: Kirche samt Kirchenausstattung: Altäre, Reliefs, Malereien, Gemälde, Kabinettscheiben; Kreuzgang des Klosters in seiner Renaissance-Fensterordnung und Innenhöfchen, ehemaliger Sodbrunnen und gotische Marienstatue; die Aussenfassaden der Klostergebäulichkeiten in ihrer grundlegenden Gestalt und in ihrem Umfang. Zudem ist die Klosteranlage seit dem 1. März 1984 im Bundesinventar der schützenswerten Ortsbilder der Schweiz (ISOS) verzeichnet. Der Ortsbildteil ist als "Kapuzinerkloster auf dem Wesemlin, gegründet 1584, ummauertes Areal mit grossem Klostergarten, Vorbereich umgeben von Gebäulichkeiten des ehemaligen Wesemlinhofs" umschrieben. Gemäss ISOS weist die Baugruppe eine gewisse Bedeutung für das Gesamtortsbild von Luzern sowie gewisse räumliche und hohe architekturhistorische Qualitäten auf. Dem Ortsbildteil ist das Erhaltungsziel A ("Erhalten der Substanz") zugewiesen. Zentrales Element der Baugruppe ist die "Nachgotische Klosteranlage, erbaut 1584-88", für welche das ISOS ebenfalls das Erhaltungsziel A aufführt.
3.3. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid ausführlich dargelegt, weshalb sie die Ansicht der kantonalen Denkmalpflege teilt, wonach gemäss dem Entscheid vom 14. August 1974 weder die Klostermauer noch das abzubrechende Ökonomiegebäude unter Denkmalschutz gestellt worden seien. Die Begründung der Vorinstanz, aus dem kantonalen Unterschutzstellungsentscheid aus dem Jahre 1974 lasse sich kein Schutz der Klostermauer und des Ökonomiegebäudes ableiten, da in jenem Entscheid lediglich von den "Aussenfassaden der Klostergebäulichkeiten" die Rede sei, worunter eine Gebäudehülle, nicht aber die Umfassungsmauer eines grösseren Areals wie z.B. eine Klostermauer verstanden werde, ist nachvollziehbar und lässt keine Willkür erkennen. Daran ändert auch nichts, dass es sich bei der Klostermauer, wie von den Beschwerdeführern behauptet, zwar um eine "Hülle" handeln mag; Teil eines eigentlichen Gebäudes ist die Mauer indessen nicht. Ebenfalls keine Willkür kann sodann im Umstand erblickt werden, dass gemäss der Vorinstanz auch das Ökonomiegebäude keine Aussenfassade darstellt, sondern eine vom eigentlichen Kloster entfernt stehende Holzbaute, weshalb ebenfalls nicht von ihrer Unterschutzstellung auszugehen ist. Es kann auf die eingehende und überzeugende vorinstanzliche Begründung im angefochtenen Entscheid (vgl. E. 7.4) verwiesen werden (vgl. <ref-law>). Was die Beschwerdeführer dagegen vorbringen, soweit sie überhaupt substanziiert aufzeigen, inwiefern die Vorinstanz gegen das Willkürverbot verstossen haben soll und nicht bloss unzulässige appellatorische Kritik üben (vgl. <ref-ruling> E. 2.4 mit Hinweisen), vermag diese Ausführungen nicht umzustossen.
4.
4.1. Die Beschwerdeführer machen weiter geltend, der geplante Neubau gliedere sich in keiner Weise in die Klosteranlage ein. Beim geplanten Mehrfamilienhaus mit Einstellhalle handle es sich um eine auf- bzw. ausfallende Baute ohne jeglichen Bezug zum von der Ortsbildschutzzone B und dem Denkmalschutz geschützten Klosterensemble und dem umliegenden Quartier. Damit liege offensichtlich ein Verstoss gegen Art. 17 Abs. 3 des Bau- und Zonenreglements der Stadt Luzern vom 1. September 2015 (BZR) und § 5 des Gesetzes über den Schutz der Kulturdenkmäler des Kantons Luzern vom 8. März 1960 (DSchG/LU; SRL 595) vor. Die gegenteilige Auffassung der Vorinstanz sei willkürlich.
4.2. Soweit die Beschwerdeführer vorab der Meinung sind, die geplante Baute sei nicht mit dem kantonalen Denkmalschutzgesetz bzw. dem ISOS vereinbar, weshalb ihr keine Bewilligung gemäss § 5 DSchG/LU hätte erteilt werden dürfen, kann ihnen nicht gefolgt werden. Die Vorinstanz hat in E. 7.5.2 f. des angefochtenen Entscheids plausibel dargelegt, weshalb sie der nachvollziehbaren und schlüssigen Einschätzung der kantonalen Denkmalpflege bzw. des rawi gefolgt ist, wonach für das geplante Bauvorhaben eine Bewilligung gemäss § 5 DSchG/LU erteilt werden könne. Nach § 5 DSchG/LU dürfen im Denkmalverzeichnis eingetragene Immobilien ohne Bewilligung der zuständigen Dienststelle weder renoviert, verändert, beseitigt, zerstört noch sonst wie in ihrer Wirkung beeinträchtigt werden. Sie sind so zu erhalten, dass ihr Bestand dauernd gesichert ist. Die vorinstanzliche Begründung, es handle sich beim geplanten Neubau um einen aus denkmalpflegerischer Sicht vertretbaren Eingriff, weil das geplante Bauvorhaben aufgrund seiner Stellung, Lage, Proportion und Materialisierung verträglich mit dem denkmalgeschützten Umfeld sei, lässt keine Willkür erkennen. Darauf kann verwiesen werden.
4.3. Im Kanton Luzern richtet sich die Einordnung von Bauten nach § 140 Abs. 1 des Planungs- und Baugesetzes des Kantons Luzern vom 7. März 1989 (PBG/LU; SRL 735). Dieser schreibt vor, dass Bauten und Anlagen in die bauliche und landwirtschaftliche Umgebung einzugliedern sind. Sie sind zu untersagen, wenn sie durch ihre Grösse, Proportion, Gestaltung, Bauart, Dachform oder Farbe das Orts- und Landschaftsbild beeinträchtigen. Das kommunale Recht legt in Art. 1 Abs. 1 BZR fest, die Bauten und Anlagen seien qualitätsvoll zu gestalten, wobei Abs. 2 dieser Bestimmung ausführt, welche Elemente für die Eingliederung in Ergänzung zu den Dichtebestimmungen zu berücksichtigen sind. Vorliegend ist zur Beurteilung der Eingliederung weiter Art. 17 BZR mit der Marginalie "Ortsbildschutzzone B" heranzuziehen. Gemäss Art. 17 Abs. 1 BZR bezweckt die Schutzzone B die Erhaltung schützenswerter Stadtteile, Bauten und Gärten. Als wichtige Bestandteile des Stadtbildes und der Stadtentwicklung sind sie in ihrem Gesamtbild und in ihrer Primärstruktur zu erhalten. Nach Abs. 3 der genannten Bestimmung sind Neubauten und Veränderungen an bestehenden Bauten und Anlagen so auszuführen, dass sie sich bezüglich Lage, Stockwerkzahl, Fassadenhöhe, Volumen, Proportionen, Symmetrien sowie Materialwahl und Farbgebung in das Ensemble, welches das Quartierbild prägt, einfügen. Es sind Fenster aus Holz, aus Holz und Metall oder aus Kunststoff innen und Metall aussen zu verwenden.
4.4. Die Vorinstanz kam vorliegend zum Ergebnis, die Auffassung der zuständigen Fachbehörden, der geplante Neubau sei mit den Baupolizeivorschriften, insbesondere den Ästhetikvorschriften, vereinbar, sei nicht zu beanstanden. Es treffe zwar zu, dass Art. 17 Abs. 3 BZR erhöhte Anforderungen an die Eingliederung des geplanten sechsstöckigen Neubaus stelle; diese erfülle das Projekt indes. Die Bestimmung schliesse ein gewisses volumetrisches Spannungsverhältnis zwischen dem Neubau und der bestehenden baulichen Umgebung nicht aus. Der Neubau halte zudem die maximale Fassaden- und Firsthöhe gemäss Art. 26 BZR ein und es lägen entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer auch keine besonders triftigen Gründe vor, weshalb ausnahmsweise auf die Ausschöpfung der im Zonenplan vorgesehenen Verdichtungsmöglichkeit verzichtet werden müsse. Das geplante Projekt gliedere sich aufgrund seiner kompakten Bauweise und der Aussenfassade aus Holz, wie von der kantonalen Denkmalpflege bestätigt, in einer Art. 17 Abs. 3 BZR genügenden Weise in das Klostergeviert ein. Wie anlässlich des Augenscheins habe festgestellt werden können, liege das Klosterareal in einem von zahlreichen Bäumen durchsetzten Wohnquartier heterogenen Charakters. Das geplante Mehrfamilienhaus mit Einstellhalle gliedere sich auch in dieses ein, zumal der Neubau ohnehin in südlicher und südöstlicher Richtung von zahlreichen zwischen 16 und 30 m hohen Bäumen abgeschirmt werde. Schliesslich sei auch der Durchbruch der Klostermauer zur Erschliessung des Neubaus der Eingliederung in die Klosteranlage nicht abträglich, da in der Vergangenheit bereits mehrfach Öffnungen in der Mauer erstellt und wieder geschlossen worden seien.
4.5. Die Vorinstanz hat damit, unter Berücksichtigung des gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung den kommunalen Baubehörden in ästhetischen Fragen zukommenden Ermessensspielraums (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 55 f. mit Hinweisen), einlässlich begründet, weshalb sie auf die Einschätzungen der Fachbehörden abstellte, die Eingliederung des Neubaus bejahte und festhielt, der Durchbruch der Klostermauer beeinträchtige das Ortsbild nicht. Auf ihre willkürfreien Ausführungen in E. 8, insb. E. 8.5 des angefochtenen Entscheids, kann folglich verwiesen werden. Schliesslich teilt auch das BAK als Fachbehörde die Auffassung, dass die Lage und Setzung des in Holzbauweise ausgebildeten Neubaus darauf angelegt seien, den Bau im Kontext der Klosteranlage als unabhängigen Solitär in Erscheinung treten zu lassen und die Konzeption den Erhalt der grosszügigen Wirkung der Klosteranlage sowie des Klostergartens erlaube.
Soweit die Beschwerdeführer darüber hinaus eine Verletzung des ISOS und damit der bundesrechtlichen Schutzbestimmungen des Bundesgesetzes über den Natur- und Heimatschutz vom 1. Juli 1966 (NHG; SR 451) überhaupt rechtsgenüglich rügen, können sie ebenfalls nichts zu ihren Gunsten ableiten. Denn diese Bestimmungen gelangen vorliegend nicht direkt zur Anwendung, da das Vorhaben, wie von der Vorinstanz festgehalten, keine Bundesaufgabe darstellt (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 212 f.; Urteil 1C_25/2019 vom 5. März 2020 E. 7.1; je mit Hinweisen).
4.6. Ebenfalls unberechtigt ist schliesslich die Kritik der Beschwerdeführer, es hätte keine Ausnahmebewilligung gemäss Art. 17 Abs. 2 BZR für den Abbruch des Ökonomiegebäudes erteilt werden dürfen, da das Gebäude nicht sanierungsbedürftig sei. Nach Art. 17 Abs. 2 BZR kann der Stadtrat Abbrüche ausnahmsweise bewilligen, wenn eine Sanierung aus statischen Gründen nicht möglich oder aus wirtschaftlichen Gründen unverhältnismässig wäre. Die Vorinstanz hat vorliegend nachvollziehbar ausgeführt, weshalb der Erhalt des Gebäudes unter den vorliegenden besonderen Umständen aus wirtschaftlicher Sicht unverhältnismässig wäre und das private Interesse am Abbruch überwiege, weshalb eine Ausnahmebewilligung im Sinne von Art. 17 Abs. 2 BZR zu erteilen sei. Darauf wird verwiesen (vgl. E. 5 des angefochtenen Entscheids).
5.
Zusammenfassend kann die von der Vorinstanz vorgenommene Sachverhaltsfeststellung und Rechtsanwendung entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer nicht als willkürlich bezeichnet werden. Es ist mithin nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz die Bewilligung für den Abbruch des nicht denkmalgeschützten Ökonomiegebäudes sowie den Durchbruch der nicht denkmalgeschützten Klostermauer und die Baubewilligung für den Neubau geschützt hat.
6.
6.1. Zu klären bleibt die Beschwerdelegitimation der Beschwerdeführerin 4. Diese ist als gemeinnützige private Stiftung im Sinne von Art. 80 f. ZGB und somit als eine juristische Person konstituiert. Die der Stiftungsaufsicht des Kantons Luzern unterstehende Beschwerdeführerin 4 mit Sitz in Luzern setzt sich seit 1996 für den Schutz und die Pflege von Orts- und Landschaftsbildern ein. Juristische Personen können Beschwerde erheben, wenn sie in ihren eigenen Interessen wie eine natürliche Person betroffen sind, die Voraussetzungen einer egoistischen Verbandsbeschwerde erfüllen oder aufgrund einer spezialgesetzlichen Regelung zur Beschwerde befugt sind (sog. ideelle Verbandsbeschwerde; vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 1.1 S. 542 mit Hinweisen). Diese Voraussetzungen sind indessen vorliegend alle nicht erfüllt. Die Beschwerdeführerin 4 ist weder wie eine natürliche Person betroffen noch vertritt sie die Interessen ihrer Mitglieder, die ebenfalls grösstenteils zur Beschwerde legitimiert wären. Weiter kann sie sich auch nicht auf eine spezialgesetzliche Regelung wie z.B. auf <ref-law> berufen. Bei der Beschwerdeführerin 4 handelt es sich nämlich weder um eine gesamtschweizerische Organisation noch steht die Erfüllung einer Bundesaufgabe zur Diskussion, was jedoch Voraussetzung für ihre Beschwerdelegitimation wäre (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 273 mit Hinweis). Sie erfüllt mithin die Anforderungen an <ref-law> nicht und ist vor Bundesgericht grundsätzlich nicht beschwerdebefugt.
6.2. Als im kantonalen Verfahren beschwerdelegitimierte Partei kann sie indessen die Verletzung von Parteirechten rügen (sog. "Star-Praxis"; vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 5 mit Hinweisen). Voraussetzung jeder Beschwerdeführung vor Bundesgericht ist jedoch ein hinreichendes Rechtsschutzinteresse (vgl. <ref-law>). Ein derartiges kann nur in Bezug auf solche Anliegen anerkannt werden, die überhaupt mit der Beschwerde erreicht werden können (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.1 S. 320 mit Hinweisen). Nachdem feststeht, dass das Projekt so, wie von der Beschwerdegegnerin geplant, bewilligungsfähig ist und umgesetzt werden kann, fehlt es der Beschwerdeführerin 4 an einem Rechtsschutzinteresse. Damit hat die Beschwerdeführerin 4 kein schutzwürdiges Interesse mehr an der Überprüfung der gerügten Verletzungen verschiedener kantonaler Verfahrensbestimmungen, des rechtlichen Gehörs und der Rechtsweggarantie von <ref-law>, zumal sie ohnehin Zugang zur Vorinstanz und damit zu einem unabhängigen Gericht hatte.
Daran ändert auch der Einwand der Beschwerdeführerin 4 nichts, wonach sie sich verstärkt mit dem Erscheinungsbild der denkmalgeschützten Klosteranlage befasst und nur sie den Einwand erhoben habe, das Bauvorhaben sei betreffend Bauhöhe und Bauvolumen um einen Drittel zu reduzieren bzw. seien nur vier Stockwerke mit entsprechender Volumenreduktion zuzulassen. Daran hat sie ebenfalls kein Rechtsschutzinteresse mehr, nachdem feststeht, dass das Projekt mit den geplanten Dimensionen (sechsstöckig) zulässig ist und der diesbezügliche Entscheid nicht gegen Bundesrecht verstösst (vgl. E. 4 hiervor).
Im Übrigen kann der Beschwerdeführerin 4 auch nicht alleine wegen der gerügten Kostenverlegung ein genügendes Anfechtungsinteresse zugebilligt werden, zumal alle Beschwerdeführer bereits vor der Vorinstanz gemeinsam aufgetreten sind und ihre Anträge vollumfänglich abgewiesen wurden. Die Vorinstanz hat dabei auch die hauptsächlichen sachlichen Vorbringen der Beschwerdeführerin 4 eingehend geprüft und die Kosten nach dem im kantonalen Recht verankerten Unterliegerprinzip (vgl. § 198 Abs. 1 lit. c und § 201 Abs. 1 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Luzern vom 3. Juli 1972 [VRG/LU, SRL 40]) verlegt. Dies ist, entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin 4, nicht zu beanstanden.
7.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Verfahrensausgang tragen die Beschwerdeführer die Gerichtskosten unter solidarischer Haftung (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Sie schulden der anwaltlich vertretenen privaten Beschwerdegegnerin eine angemessene Entschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Die in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegenden Behörden haben demgegenüber praxisgemäss keinen Anspruch auf Parteikostenersatz (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführer haben die private Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Stadt Luzern, Stab Baudirektion, dem Bau-, Umwelt- und Wirtschaftsdepartement, Dienststelle Raum und Wirtschaft, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, und dem Bundesamt für Kultur schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Mai 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier