Sachverhalt:
A.
Das Appellationsgericht Basel-Stadt verurteilte A._ am 30. Oktober 2017 als Berufungsinstanz wegen mehrfacher ungetreuer Geschäftsbesorgung mit Bereicherungsabsicht, mehrfacher Urkundenfälschung und mehrfachen Vergehens gegen das Bundesgesetz über die direkte Bundessteuer sowie gegen das Gesetz über die direkten Steuern des Kantons Basel-Stadt zu einer bedingten Freiheitsstrafe von einem Jahr.
B.
Mit Urteil 6B_396/2018 vom 15. November 2018 hiess das Bundesgericht eine von A._ gegen das Berufungsurteil erhobene Beschwerde in Strafsachen gut und wies die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurück. Das Bundesgericht kam zum Schluss, der Spruchkörper des Berufungsgerichts sei unrechtmässig besetzt worden. Nach der Rückweisung durch das Bundesgericht wurde der Spruchkörper des Berufungsgerichts durch Christian Hoenen, den Vorsitzenden der strafrechtlichen Abteilung des Appellationsgerichts, neu bestimmt, wobei im Vergleich zum vormaligen Spruchkörper kein personeller Wechsel vorgenommen wurde. Mit Eingabe vom 10. Dezember 2018 beantragte A._ den Ausstand der Berufungsrichter Claudius Gelzer, Carl Gustav Mez sowie der Berufungsrichterin Annatina Wirz. Im gleichen Zusammenhang erhob er Einwände gegen die Bestellung des Spruchkörpers durch Christian Hoenen. Das Appellationsgericht wies das Ausstandsbegehren mit Entscheid vom 30. März 2019 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
A._ führt mit Eingabe vom 9. Mai 2019 Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Er beantragt, der Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 30. März 2019 sei vollumfänglich aufzuheben. Der Vorsitzende der strafrechtlichen Abteilung des Appellationsgerichts Basel-Stadt, der instruierende Gerichtspräsident und der Spruchkörper seien als verfassungswidrig eingesetzt und damit als befangen zu bezeichnen. Die Streitsache sei zur erneuten Entscheidung und Bestellung eines unabhängigen Gerichts an das Appellationsgericht Basel-Stadt zurückzuweisen. Das neue Gericht sei von einem neuen, unbefangenen Präsidenten zusammenzustellen.
Claudius Gelzer und Carl Gustav Mez beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen. Annatina Wirz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Christian Hoenen und die Vorinstanz beantragen sinngemäss die Abweisung der Beschwerde.
D.
Das vom Beschwerdeführer gestellte Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung bzw. um Erlass von vorsorglichen Massnahmen hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung mit Verfügung vom 11. Juni 2019 abgewiesen. Der Beschwerdeführer hat mit Eingabe vom 4. Juli 2019 an seinen Anträgen festgehalten.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über die Zuständigkeit bzw. ein Ausstandsbegehren in einer Strafsache (vgl. Art. 78 Abs. 1 und Art. 92 Abs. 1 BGG). Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt hat als letzte und einzige kantonale Instanz entschieden (vgl. <ref-law> i.V.m. <ref-law>). Als beschuldigte Person ist der Beschwerdeführer gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und lit. b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde befugt. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde vorbehältlich zulässiger und genügend begründeter Rügen (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt.
2.1. Eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör erblickt der Beschwerdeführer zunächst darin, dass die Vorinstanz mangelhaft begründet habe, nach welchen Kriterien der Spruchkörper bestimmt worden sei.
Der Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verlangt, dass die Behörde die rechtserheblichen Vorbringen der Parteien tatsächlich hört, ernsthaft prüft und bei der Entscheidfindung angemessen berücksichtigt (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 188; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88). Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Hierbei ist nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (vgl. <ref-ruling> E. 9.2 S. 65 mit Hinweisen).
Nach der Rückweisung der Sache durch das Bundesgericht besetzte Christian Hoenen als Vorsitzender der strafrechtlichen Abteilung des Appellationsgerichts den Spruchkörper für das Berufungsverfahren neu. Die Vorinstanz zitierte die massgebenden Bestimmungen des per 4. Oktober 2018 angepassten Organisationsreglements des Appellationsgerichts vom 14. März 2017 (SG 154.150) - nämlich die geänderten bzw. neuen Bestimmungen § 21 (Spruchkörperbildung) und § 21a (Zuteilungsgrundsätze) - wörtlich und wies darauf hin, dass die Besetzung des Spruchkörpers darauf gestützt erfolgt sei. Damit ist sie ihrer Begründungspflicht ausreichend nachgekommen. Es sind keine Anhaltspunkte dafür ersichtlich, dass dem Beschwerdeführer eine sachgerechte Anfechtung des vorinstanzlichen Entscheids nicht möglich war.
2.2. Der Beschwerdeführer sieht seinen Anspruch auf rechtliches Gehör sodann dadurch verletzt, dass Christian Hoenen von der Vorinstanz nicht zur Stellungnahme zum Ausstandsgesuch aufgefordert worden sei, weshalb er dessen Beweggründe nicht gekannt habe und nicht dazu habe Stellung nehmen können.
In seinem Ausstandsbegehren vom 10. Dezember 2018 stellte der Beschwerdeführer den Antrag, die Richter Claudius Gelzer, Carl Gustav Mez und Annatina Wirz hätten in den Ausstand zu treten. Dass der Spruchkörper von Christian Hoenen eingesetzt worden ist, kritisierte er nur nebenbei und ohne ausdrücklich auch dessen Ausstand zu verlangen. Erst in seiner Replik vom 11. Februar 2019 beantragte er, es sei überdies anzuordnen, dass der Spruchkörper nicht durch Christian Hoenen besetzt werden dürfe.
Dass die Vorinstanz unter den gegebenen Umständen in Anwendung von <ref-law> nur die eingesetzten Richter, nicht jedoch den die Richter einsetzenden Abteilungspräsidenten zur Stellungnahme eingeladen hat, erscheint nachvollziehbar. Der Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> wurde dadurch nicht verletzt.
3.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines Anspruchs auf ein unabhängiges und unparteiisches Gericht i.S.v. <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK i.V.m. <ref-law>. Er macht geltend, der Spruchkörper hätte nicht von Christian Hoenen eingesetzt werden dürfen, da dieser in der Sache vorbefasst und damit befangen gewesen sei. Weiter bringt er sinngemäss vor, dass nach der Rückweisung durch das Bundesgericht wieder die drei gleichen Richter eingesetzt worden sind, sei schon an sich unrechtmässig. Schliesslich macht er geltend, die eingesetzten Berufungsrichter seien befangen.
3.1. Nach <ref-law>, Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 14 Abs. 1 UNO-Pakt II (SR 0.103.2) hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Die verfassungs- bzw. konventionsrechtlichen Garantien werden unter anderem in der Strafprozessordnung konkretisiert (<ref-ruling> E. 4.2.1 S. 428 mit Hinweisen). Sie sind verletzt, wenn bei einer Gerichtsperson objektiv betrachtet Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten der betreffenden Person oder in äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Für den Ausstand wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken. Mit anderen Worten muss gewährleistet sein, dass der Prozess aus Sicht aller Beteiligten als offen erscheint (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 179; <ref-ruling> S. 329 E. 5.1).
Gemäss <ref-law> tritt eine Person namentlich dann in den Ausstand, wenn sie in einer anderen Stellung, insbesondere als Mitglied einer Behörde, in der gleichen Sache tätig war (lit. b), oder wenn sie aus anderen Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand, befangen sein könnte (lit. f). Ist eine Gerichtsperson in derselben Stellung mit der gleichen Sache mehrfach befasst, liegt kein Fall der Vorbefassung gemäss <ref-law> vor. Eine Mehrfachbefassung in diesem Sinn kann aber im Rahmen des Auffangtatbestands von <ref-law> relevant werden (Urteil des Bundesgerichts 1B_94/2019 vom 15. Mai 2019 E. 2.3 mit Hinweisen).
Wenn eine Gerichtsperson, die an einem durch die Rechtsmittelinstanz aufgehobenen Entscheid beteiligt war, nach der Rückweisung der Sache an der Neubeurteilung mitwirkt, liegt darin noch keine unzulässige Mehrfachbefassung (Urteil des Bundesgerichts 1B_94/2019 vom 15. Mai 2019 E. 2.4; vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 410). Von den beteiligten Richtern wird grundsätzlich erwartet, dass sie die Sache mit der nötigen Professionalität und Unvoreingenommenheit nochmals behandeln. Anders verhält es sich nur ausnahmsweise, etwa wenn ein Richter durch sein Verhalten oder durch Bemerkungen klar zum Ausdruck gebracht hat, dass er nicht willens oder fähig ist, von seiner im aufgehobenen Entscheid vertretenen Auffassung Abstand zu nehmen und die Sache unbefangen neu wieder aufzunehmen (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 146; Urteil des Bundesgerichts 1B_94/2019 vom 15. Mai 2019 E. 2.4).
3.2. Wie die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid feststellte, hatte Christian Hoenen im Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer bereits mehrfach Rechtsmittel des Beschwerdeführers zu beurteilen. Dieser Umstand und dass die Entscheide jeweils nicht im Sinne des Beschwerdeführers ausfielen, ist jedoch für sich allein nicht geeignet, den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen (vgl. E. 3.1 hiervor). Dass Christian Hoenen als Vorsitzender der strafrechtlichen Abteilung des Appellationsgerichts den Spruchkörper des Berufungsgerichts eingesetzt hat, steht sodann nicht im Widerspruch zu <ref-law>, wonach im gleichen Fall nicht als Mitglied des Berufungsgerichts wirken kann, wer als Mitglied der Beschwerdeinstanz tätig geworden ist. Konkrete Hinweise, die darauf hindeuten würden, dass Christian Hoenen befangen sein könnte, sind nicht zu sehen. Der Beschwerdeführer bringt zwar vor, Christian Hoenen habe ihm vor der Anklage an der Haftrichterverhandlung eine Standpauke gehalten und sich damit in der Sache schon festgelegt. Auch mit diesem nicht näher spezifizierten Einwand vermag der Beschwerdeführer eine ausstandsbegründende Voreingenommenheit von Christian Hoenen indes nicht darzutun. Dass die Vorinstanz das Ausstandsgesuch gegen Christian Hoenen nicht guthiess, ist somit nicht zu beanstanden.
3.3. Im Urteil 6B_396/2018 vom 15. November 2018 hat das Bundesgericht mit Blick auf <ref-law> bemängelt, dass - mit Ausnahme des vorsitzenden Richters - der Spruchkörper des Berufungsgerichts trotz des vom kantonalen Recht insoweit eingeräumten erheblichen Ermessens nicht von einer demokratisch legitimierten, weisungsungebundenen Gerichtsperson, sondern von der ersten Gerichtsschreiberin gebildet wurde (a.a.O., E. 1.2.1 f.). Hingegen hat das Bundesgericht im erwähnten Entscheid nicht angeordnet, die vormals eingesetzten Richter dürften bei der neu vorzunehmenden Spruchkörperbildung nicht mehr berücksichtigt werden. Dass Christian Hoenen bei der Bildung des Spruchkörpers im Vergleich zum vormaligen Spruchkörper keinen personellen Wechsel vorgenommen hat, steht somit nicht im Widerspruch zum Urteil 6B_396/2018 und begründet für sich auch keine Befangenheit im Sinne von <ref-law> (vgl. E. 3.1 hiervor).
3.4. Zu prüfen bleibt, ob die erneut eingesetzten Berufungsrichter durch ihr Verhalten zum Ausdruck gebracht haben, dass sie nicht dazu in der Lage sind, die Sache unbefangen neu wieder aufzunehmen, womit sie den Ausstandsgrund von <ref-law> erfüllen würden. Der Beschwerdeführer weist in diesem Zusammenhang auf diverse angebliche Verfehlungen und Verfahrensfehler hin.
3.4.1. Wird der Ausstandsgrund von <ref-law> aus materiellen oder prozessualen Rechtsfehlern abgeleitet, so sind diese nur wesentlich und begründen nur dann einen hinreichenden Anschein der Befangenheit, wenn sie besonders krass sind und wiederholt auftreten, sodass sie einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkommen und sich einseitig zulasten einer der Prozessparteien auswirken (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 180; <ref-ruling> E. 2.3 S. 146). Ansonsten sind primär die zur Verfügung stehenden Rechtsmittel gegen beanstandete Verfahrenshandlungen auszuschöpfen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 75; <ref-ruling> E. 3b/bb S. 158 f.; je mit Hinweisen).
3.4.2. Der Beschwerdeführer bemängelt, dass dem Verfahren nach der Rückweisung durch das Bundesgericht keine neue Nummer zugeteilt worden sei. Dass ein Verfahren nach der Rückweisung durch die obere Instanz unter der gleichen Verfahrensnummer weiter geführt wird, stellt indessen keinen Verfahrensfehler dar, sondern ist ein übliches Vorgehen.
Weiter wirft der Beschwerdeführer namentlich dem instruierenden Richter Claudius Gelzer verschiedene Verfehlungen und Verfahrensfehler vor, die er allerdings nur teilweise näher substanziiert. Unter anderem bringt er vor, Claudius Gelzer habe für bestimmte Verfahrenshandlungen eigenmächtig ein schriftliches Verfahren angeordnet, er weigere sich, bestimmte Verfahrenshandlungen zu wiederholen bzw. früher erhobene Akten aus dem Recht zu weisen, und er habe bereits am 30. Oktober 2017 in der mündlichen Urteilsbegründung verbal auf ihn eingedroschen bzw. ihm extreme kriminelle Energie unterstellt. Die Ausführungen des Beschwerdeführers zum prozessualen Verhalten von Claudius Gelzer lassen jedenfalls nicht auf besonders krasse und wiederholt auftretende Rechtsfehler schliessen, die einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkommen würden. Dass der vorsitzende Richter anlässlich der mündlichen Urteilsbegründung klare Worte findet, liegt in der Natur der Sache und impliziert für sich keine Befangenheit. Soweit der Beschwerdeführer überhaupt in genügender Weise begründet, inwiefern Claudius Gelzer einen Ausstandsgrund gemäss <ref-law> erfüllen sollte, dringt er mit seiner Rüge nicht durch.
3.4.3. Bezüglich Richter Carl Gustav Mez und Richterin Annatina Wirz fehlt es seitens des Beschwerdeführers an weiteren Ausführungen, die auf eine Befangenheit hinweisen würden. Entsprechende Anzeichen sind auch nicht ersichtlich. Damit ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz das gegen Claudius Gelzer, Carl Gustav Mez und Annatina Wirz gerichtete Ausstandsbegehren abgewiesen hat.
4.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Dezember 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Mattle