Faits :
A.
A._, né en 1984, travaillait comme mécanicien en automobiles au service du Garage B._ SA depuis le 1 er février 2006. A ce titre, il était obligatoirement assuré contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA).
Le 27 octobre 2017, alors que l'assuré était occupé à changer des pneus et qu'il dévissait une pièce avec une clé à cliquet, une vis récalcitrante a subitement cédé, provoquant un mouvement brusque et un choc de son avant-bras gauche contre le passage de roue et une pièce en métal. Consulté le jour même, le docteur C._, son médecin traitant, a diagnostiqué une contusion au poignet et à la main gauches et a attesté une incapacité totale de travail. La CNA a pris en charge le cas.
Par décision du 17 juillet 2018, confirmée sur opposition le 1 er octobre suivant, la CNA a mis un terme au versement des prestations d'assurance à compter du 22 juillet 2018, au motif qu'il n'existait plus de lien de causalité entre l'accident et les troubles de l'assuré.
B.
Par jugement du 4 décembre 2019, la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura a rejeté le recours formé par l'assuré contre la décision sur opposition du 1 er octobre 2018.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande principalement la réforme, dans le sens du maintien de son droit à des indemnités journalières au moins jusqu'au 31 juillet 2019, et subsidiairement l'annulation suivie du renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouveau jugement dans le sens des considérants.
L'intimée conclut au rejet du recours, de même que la cour cantonale, dans la mesure où celui-ci est recevable. L'Office fédéral de la santé publique ne s'est pas déterminé.

Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
2.1. Le litige porte sur le droit du recourant à des prestations d'assurance en raison des atteintes dont il souffre au membre supérieur gauche, plus particulièrement sur l'existence d'un lien de causalité entre l'accident du 27 octobre 2017 et les troubles persistant au-delà du 22 juillet 2018.
A cet égard, la cour cantonale a exposé correctement les dispositions légales et les principes jurisprudentiels applicables au cas, s'agissant notamment de l'exigence d'un lien de causalité naturelle entre l'événement dommageable et l'atteinte à la santé (<ref-ruling> consid. 1 p. 438 et les références; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 181) et de l'examen de la causalité adéquate en l'absence de déficit organique objectivable (<ref-ruling> et 403). Il suffit de renvoyer au jugement entrepris.
2.2. Lorsque la décision qui fait l'objet d'un recours concerne l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par l'autorité précédente (art. 97 al. 2 et 105 al. 3 LTF). Aussi, lorsque sont en jeu des prestations en espèces et en nature, le Tribunal fédéral dispose-t-il d'un pouvoir d'examen étendu en ce qui concerne les faits communs aux deux types de prestations (arrêt 8C_591/2018 du 29 janvier 2020 consid. 3 et l'arrêt cité).
3.
3.1. En l'espèce, les juges cantonaux ont considéré, sur la base des examens médicaux pratiqués, qu'après l'oedème qui avait immédiatement résulté de l'accident, il n'y avait plus aucune lésion organique objectivée. Tant le médecin traitant du recourant, les spécialistes en neurologie, en radiologie et en chirurgie de la main consultés que le médecin-conseil de l'intimée concluaient que les plaintes du recourant ne reposaient pas sur un déficit organique objectivable et qu'il n'était pas possible d'expliquer la cause des douleurs ressenties. En outre, même si la doctoresse D._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur ainsi qu'en chirurgie de la main, avait évoqué des propositions de traitements supplémentaires, comme une imagerie par résonance magnétique (IRM) du rachis cervical et du défilé thoracique, il ne s'agissait là que d'investigations. En conclusion, le recourant souffrait de douleurs contusionnelles post-traumatiques non objectivables, à l'égard desquelles les juges cantonaux ont mis en doute l'existence d'un lien de causalité naturelle avec l'accident. Laissant toutefois la question ouverte, ils ont considéré qu'un lien de causalité adéquate devait dans tous les cas être nié au regard des principes et critères jurisprudentiels applicables en l'absence de déficit organique objectivable (<ref-ruling>). Ils ont retenu à cet égard que l'accident du 27 octobre 2017 était de peu de gravité, de sorte que, selon le cours ordinaire des choses et l'expérience générale de la vie, il n'était pas propre à entraîner une atteinte à la santé telle que celle dont souffrait le recourant. Les troubles étaient donc imputables à une cause extérieure à l'accident, étant précisé que le recourant avait subi une cure du canal carpien des deux mains en 2014 (avec reprise à droite pour récidive en décembre 2016).
3.2. Le recourant conteste le caractère non objectivable de sa symptomatologie douloureuse ainsi que l'absence d'un lien de causalité avec l'accident. Il fait valoir que, dans son rapport du 25 mai 2018, la doctoresse D._ a mis en évidence un diagnostic différentiel, allant d'une cervicobrachialgie posturale à un syndrome du défilé thoracique, ainsi que la possibilité d'une hernie discale, tout en préconisant des mesures d'investigation supplémentaires, de sorte que ce médecin aurait posé des pistes quant à l'origine de ses douleurs post-traumatiques. Au vu de ce rapport médical, l'instruction de la cause sur le plan médical ne serait pas complète. Enfin, comme l'origine organique des douleurs du recourant pourrait être déduite des mesures d'investigation préconisées par la doctoresse susmentionnée, la question de la causalité naturelle et adéquate devrait être analysée à la lumière des critères ordinaires, lesquels seraient remplis en l'espèce.
3.3. L'argumentation du recourant ne permet pas d'établir l'existence d'une lésion organique objectivable et d'un éventuel rapport de causalité avec l'accident du 27 octobre 2017. En effet, dans son rapport du 25 mai 2018, la doctoresse D._ a posé les diagnostics de contusion de la main et de l'avant-bras gauches le 27 octobre 2017, de faiblesse et douleurs du membre supérieur gauche sans étiologie claire (diagnostics différentiels: cervicobrachialgie, syndrome du défilé thoracique) et de status post cure du canal carpien des deux mains en 2014 (avec reprise à droite pour récidive en décembre 2016). Même si elle a envisagé des diagnostics différentiels pour expliquer les douleurs du recourant, encore faudrait-il que les pathologies évoquées puissent être rattachées à l'accident du 27 octobre 2017. Or il est constant que l'accident a uniquement consisté en un mouvement brusque de l'avant-bras gauche et un choc contre une pièce de métal, lequel a causé une contusion à la main et à l'avant-bras. Dans le rapport médical précité, la doctoresse D._ n'évoque pas l'existence d'un lien de causalité naturelle (même possible) entre l'accident et les diagnostics différentiels. Quant aux éventuelles mesures d'investigations susceptibles de confirmer les diagnostics évoqués, elles ne seraient pas de nature à établir l'existence d'un tel lien. On rappellera en outre qu'une IRM de la main et du poignet gauches pratiquée le 14 mars 2018 n'a pas mis en évidence d'anomalie des tendons fléchisseurs ou de compression extrinsèque et que le docteur E._, spécialiste en neurologie, qui a procédé à un bilan électro-clinique le 17 janvier 2018, a exclu une participation neurologique à la symptomatologie annoncée. De l'avis de ce médecin, il est uniquement question de douleurs contusionnelles post-traumatiques sans composante neurologique.
4.
Vu ce qui précède, les premiers juges étaient fondés à retenir l'absence de déficit organique objectivable et à dénier le droit du recourant à des prestations d'assurance au-delà du 22 juillet 2018, sans qu'il apparaisse nécessaire d'investiguer plus avant son état de santé. Le jugement cantonal n'est donc pas critiquable et le recours doit être rejeté.
5.
Les frais judiciaires seront mis à la charge du recourant, qui succombe (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 7 octobre 2020
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Castella