Sachverhalt:
A.
Mit Schreiben vom 14. Oktober 2018 ersuchte A._ die Schweizerischen Bundesbahnen AG (SBB) um Ausstellung einer SwissPass-Karte mit fiktivem Geburtsdatum und Gültigkeit ab 1. November 2018. Für den Fall der Verweigerung verlangte er eine begründete, beschwerdefähige Verfügung.
Die SBB lehnte am 20. Dezember 2018 dieses Gesuch ab, da die Bekanntgabe des effektiven Geburtsdatums für den Zugang zum SwissPass-System zwingend notwendig sei. Weiter handle sie bei der Ausgabe des SwissPass privatrechtlich und sei mangels Hoheitsgewalt nicht berechtigt, Rechte und Pflichten einseitig mit Verfügung festzulegen.
Mit Urteil A-653/2019 vom 3. Juli 2019 hiess das Bundesverwaltungsgericht eine dagegen von A._ erhobene Rechtsverweigerungsbeschwerde gut und wies die SBB an, ohne Verzug über das Gesuch vom 14. Oktober 2018 zu entscheiden und entsprechend zu verfügen. Auf eine dagegen durch die SBB erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht mit Urteil 1C_457/2019 vom 1. Juli 2019 nicht ein.
B.
Im Sinne eines Entgegenkommens bot die SBB A._ in der Folge mit Schreiben vom 28. Oktober 2020 unpräjudiziell und ausnahmsweise eine SwissPass-Karte mit dem fiktiven Geburtsdatum "1. Januar 1977" an, beschränkt auf deren Gültigkeitsdauer. Sie habe sich dabei am durchschnittlichen Alter der schweizerischen Wohnbevölkerung orientiert. A._ lehnte dieses Angebot am 30. Oktober 2020 ab. Daraufhin trat die SBB mit Verfügung vom 16. November 2020 auf sein Gesuch vom 14. Oktober 2018 nicht ein.
C.
Eine dagegen von A._ erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 29. Juli 2021 ab, soweit es darauf eintrat (Ziff. 1). Weiter schrieb es das Wiedererwägungsgesuch von A._ vom 27. Januar 2021 als gegenstandslos ab (Ziff. 2) und auferlegte diesem die Verfahrenskosten (Ziff. 3).
D.
Dagegen gelangt A._ mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung der Dispositivziffern 1 und 3 des angefochtenen Urteils und die Rückweisung der Angelegenheit zur materiellen Beurteilung an das Bundesverwaltungsgericht, eventualiter an die Beschwerdegegnerin.
Das Bundesverwaltungsgericht verweist vollumfänglich auf das angefochtene Urteil und verzichtet im Übrigen auf eine Stellungnahme. Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Urteil des Bundesverwaltungsgerichts im Bereich des Datenschutzes und somit in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a, Art. 90 BGG).
1.2. Der Beschwerdeführer war am vorinstanzlichen Verfahren beteiligt und hat ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Ände-rung des angefochtenen Entscheids (<ref-law>).
1.3. Auf die fristgerecht erhobene Beschwerde (<ref-law>) ist somit einzutreten.
1.4. Nachdem die Beschwerdegegnerin das Gesuch des Beschwerdeführers vom 14. Oktober 2018 abgelehnt hatte (vgl. Sachverhalt Ziff. A.), hiess das Bundesverwaltungsgericht die dagegen erhobene Beschwerde gut und wies die Beschwerdegegnerin an, über das Gesuch zu entscheiden und entsprechend zu verfügen. Es erscheint allerdings fraglich, ob die Beschwerdegegnerin überhaupt verfügen konnte, wenn diese - wie das Bundesverwaltungsgericht im angefochtenen Urteil ausführt - beim Ausstellen der SwissPass-Karte nicht öffentlich-rechtlich handelt.
Die Beschwerdegegnerin ist mit Verfügung vom 16. November 2020 nicht auf das Gesuch des Beschwerdeführers eingetreten. In der Folge wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde gegen diesen Nichteintretensentscheid ab. Streitgegenstand im vorliegenden Verfahren bildet somit einzig die Frage, ob die Vorinstanz den Nichteintretensentscheid der Beschwerdegegnerin (im Ergebnis) zu Recht gestützt hat.
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht - einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens - gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Bundesrecht (mit Ausnahme der Grundrechte) von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist daher nicht an die Begründung der Parteien gebunden, sondern kann die Beschwerde auch aus andern als den geltend gemachten Gründen gutheissen oder den Entscheid mit einer Begründung bestätigen, die von jener der Vorinstanz abweicht (<ref-ruling> E. 1.3 mit Hinweis; Urteil 1C_377/2019 vom 1. Dezember 2020 E. 1.3, nicht publ. in: <ref-ruling>).
3.
3.1. Die Beschwerdegegnerin trat mit Verfügung vom 16. November 2020 nicht auf das Gesuch des Beschwerdeführers um Ausstellung einer SwissPass-Karte mit fiktivem Geburtsdatum und Gültigkeit ab 1. November 2018 ein. Sie begründete dies primär mit dem fehlenden schutzwürdigen Interesse des Beschwerdeführers an einer Verfügung.
3.2. Die Vorinstanz hat das Gesuch des Beschwerdeführers gestützt auf Art. 54 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 20. März 2009 über die Personenbeförderung (Personenbeförderungsgesetz, PBG; SR 745.1) i.V.m. Art. 25 des Bundesgesetzes vom 19. Juni 1992 über den Datenschutz (DSG; SR 235.1) beurteilt. Im Gegensatz zur Beschwerdegegnerin kommt die Vorinstanz zum Schluss, der Beschwerdeführer verfüge über ein schutzwürdiges Interesse am Erlass einer Verfügung. Zunächst sei das Gesuch des Beschwerdeführers dahingehend auszulegen, dass es sich nicht mit jedem (beliebigen) fiktiven Datum formell als erfüllt betrachten lasse. Weiter habe der Beschwerdeführer das Angebot der Beschwerdegegnerin, eine SwissPass-Karte mit dem fiktiven Geburtsdatum 1. Januar 1977 auszustellen, nicht angenommen und sei auch nicht dazu verpflichtet gewesen. Schliesslich sei bei Ansprüchen nach Art. 25 Abs. 1 DSG ein schutzwürdiges Interesse grundsätzlich bereits zu bejahen, wenn das Gesuch Daten betreffe, die sich direkt auf die gesuchstellende Person beziehen oder Rückschlüsse auf sie zulassen würden.
Gemäss der Vorinstanz ist der Nichteintretensentscheid der Beschwerdegegnerin jedoch aus einem anderen Grund rechtmässig. Die Datenerhebung zur Ausstellung der SwissPass-Karte sei nicht unmittelbar der konzessionierten Personenbeförderung zuzurechnen. Da die Beschwerdegegnerin somit nicht öffentlich-rechtlich handle, fehle es an einer Rechtsgrundlage für den Erlass der verlangten Verfügung. Es sei dem Beschwerdeführer mithin verwehrt, gestützt auf Art. 25 DSG eine Verfügung hinsichtlich der Verwendung des streitigen Geburtsdatums zu verlangen.
3.3. Der Beschwerdeführer macht dagegen geltend, die "vorherrschende Auffassung", wonach der Personentransportvertrag privatrechtlicher Natur sei, treffe nicht zu. Vielmehr handle die Beschwerdegegnerin bei der Datenerhebung zur Ausstellung der SwissPass-Karte öffentlich-rechtlich, womit eine Rechtsgrundlage - Art. 25 DSG - für den Erlass der verlangten Verfügung bestehe.
4.
Wenn die Auffassung des Beschwerdeführers zutreffen und die Beschwerdegegnerin bei der Datenerhebung zur Ausstellung der SwissPass-Karte tatsächlich öffentlich-rechtlich handeln würde, wäre vorliegend Art. 25 Abs. 1 DSG anwendbar. Danach kann, wer ein schutzwürdiges Interesse hat, vom verantwortlichen Bundesorgan verlangen, dass es das widerrechtliche Bearbeiten von Personendaten unterlässt (lit a), die Folgen eines widerrechtlichen Bearbeitens beseitigt (lit. b) oder die Widerrechtlichkeit des Bearbeitens feststellt (lit. c).
Wie die Vorinstanz zu Recht festgehalten hat, könnte auf die Prüfung, ob die Streitigkeit dem Privat- oder öffentlichen Recht zuzuordnen sei, verzichtet werden, sollte dem Beschwerdeführer von Vornherein kein schutzwürdiges Interesse an einer allfälligen Verfügung zukommen. Dies ist im Folgenden zu prüfen.
5.
5.1. Der in Art. 25 Abs. 1 DSG enthaltene Begriff des schutzwürdigen Interesses findet sich auch in Art. 25 Abs. 2, Art. 25a und Art. 48 Abs. 1 lit. c VwVG sowie in <ref-law>. Dafür wird zum einen vorausgesetzt, dass die beschwerdeführende Person stärker und intensiver als die Gesamtheit der Bürgerinnen und Bürger von der angefochtenen Verfügung betroffen ist. Nötig ist eine besondere, beachtenswerte, nahe Beziehung zur Streitsache (<ref-ruling> E. 6.2.1; <ref-ruling> E. 5.1; je mit Hinweisen). Zum anderen ist ein praktischer Nutzen erforderlich, d.h. die tatsächliche oder rechtliche Situation der oder des Beschwerdeführenden muss durch den Ausgang des Verfahrens beeinflusst werden können (<ref-ruling> E. 4.4 mit Hinweisen). Es muss darum gehen, mit dem Rechtsmittel einen Nachteil der beschwerdeführenden Person zu beseitigen (Urteil 2C_545/2019 vom 13. Juli 2020, E. 4.1). Das schutzwürdige Interesse muss ausserdem grundsätzlich auch im Zeitpunkt der Urteilsfällung noch aktuell und praktisch sein, d.h. der strittige Nachteil muss auch dann noch durch das Urteil behoben werden können (<ref-ruling> E. 4.4 mit Hinweisen).
5.2. Die Beschwerdegegnerin hat dem Beschwerdeführer mit Schreiben vom 28. Oktober 2020 unpräjudiziell eine SwissPass-Karte mit fiktivem Geburtsdatum "1. Januar 1977", beschränkt auf deren Gültigkeitsdauer, angeboten; sie habe sich bei der Festlegung dieses fiktiven Geburtsdatums am durchschnittlichen Alter der schweizerischen Wohnbevölkerung orientiert. Die Vorinstanz hat aus verschiedenen Gründen befunden, dem Gesuch des Beschwerdeführers sei mit diesem Angebot nicht vollständig entsprochen worden, weshalb dieser weiterhin ein schutzwürdiges Interesse an der Prüfung habe, ob die Bearbeitung des tatsächlichen (oder eines realistisch erscheinenden) Geburtsdatums für die Ausstellung der SwissPass-Karte rechtmässig bzw. erforderlich ist.
Diese Auffassung bezüglich des schutzwürdigen Interesses kann nicht geteilt werden. Zwar hat die Vorinstanz zu Recht ausgeführt, das Gesuch des Beschwerdeführers müsse dahingehend ausgelegt werden, dass dieser nicht die Ausstellung einer SwissPass-Karte mit irgendeinem fiktiven Datum, sondern eine solche mit einem offensichtlich fiktiven Datum verlangt. Daraus kann aber noch nicht abgeleitet werden, sein Gesuch lasse sich mit dem Angebot der Beschwerdegegnerin aus Sicht des Datenschutzgesetzes nicht als erfüllt betrachten.
5.3. Das Datenschutzgesetz bezweckt den Schutz der Persönlichkeit und der Grundrechte von Personen, über die Daten bearbeitet werden (Art. 1 DSG). Gemäss Art. 3 lit. a DSG sind Personendaten (Daten) "alle Angaben, die sich auf eine bestimmte oder bestimmbare Person beziehen". Eine Person ist dann bestimmt, wenn sich aus den Angaben ergibt, dass sie sich auf diese Person und nur auf diese Person beziehen (z.B. bei einem Personalausweis). Bestimmbar ist die Person, wenn sie zwar allein durch die Daten nicht eindeutig identifiziert wird, aus den Umständen, das heisst dem Kontext einer Information aber auf sie geschlossen werden kann (z.B. wenn aus Angaben über Liegenschaften die Eigentümerinnen und Eigentümer ausfindig gemacht werden können). Für die Bestimmbarkeit genügt jedoch nicht jede theoretische Möglichkeit der Identifizierung. Ist der Aufwand derart gross, dass nach der allgemeinen Lebenserfahrung nicht damit gerechnet werden muss, dass eine interessierte Person diesen auf sich nehmen wird, liegt keine Bestimmbarkeit vor (Botschaft vom 23. März 1988 zum Bundesgesetz über den Datenschutz, BBl 1988 444 f.; <ref-ruling> E. 6.1).
Vorliegend entsprechen weder die beiden offensichtlich fiktiven, vom Beschwerdeführer vorgeschlagenen Geburtsdaten "1. Januar 1888" und "1. Januar 1900" noch das fiktive, aber mögliche, Geburtsdatum "1. Januar 1977" dem effektiven Geburtsdatum des Beschwerdeführers. Bezogen auf ihn sind alle drei dieser Daten frei erfunden und unzutreffend. Ob dabei auf den ersten Blick erkennbar ist, ob ein Datum frei erfunden ist - wie dies bei den beiden Daten "1. Januar 1888" und "1. Januar 1900" zutrifft - oder nicht, spielt aus Sicht des Datenschutzes vorliegend keine Rolle: dieser Umstand ändert nichts an deren fiktiven Charakter. Dem Beschwerdeführer geht es bei seinem Gesuch insbesondere auch nicht darum, sich mit Angabe eines bestimmten falschen Geburtsdatums als eine andere, bestimmte oder bestimmbare Person auszugeben: sowohl er wie auch die Beschwerdegegnerin wissen, dass es sich um fiktive Daten handelt. Er ersucht ausdrücklich darum, ein fiktives Geburtsdatum durch ein anderes - offensichtlich - fiktives Geburtsdatum zu ersetzen. Unter diesen Umständen ist es fraglich, ob die genannten Daten überhaupt Personendaten im Sinne von Art. 3 lit. a DSG darstellen, d.h. Angaben, die sich auf eine bestimmte oder bestimmbare Person beziehen, und, folglich, ob das Datenschutzgesetz überhaupt anwendbar ist.
Diese Frage kann jedoch offen gelassen werden, weil es dem Beschwerdeführer bereits am schutzwürdigen Interesse fehlt. In der Tat bringt ihm der gewünschte Ausgang des Verfahrens keinen grösseren praktischen Nutzen, als wenn er das Angebot der Beschwerdegegnerin angenommen hätte, den 1. Januar 1977 als Geburtsdatum einzutragen. Da alle zur Diskussion stehenden Geburtsdaten fiktiv sind und somit nicht dem effektiven Geburtsdatum des Beschwerdeführers entsprechen, tangiert die von ihm geforderte Änderung weder dessen Persönlichkeit noch dessen Grundrechte (vgl. Art. 1 DSG). Im Übrigen begründet der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde auch nicht, inwiefern dies der Fall sein könnte. Somit kann der Ausgang des Verfahrens weder seine tatsächliche noch seine rechtliche Situation beeinflussen. Für die Anwendung des Art. 25 Abs. 1 DSG fehlt es somit bereits am schutzwürdigen Interesse.
5.4. Die Vorinstanz hat somit im Ergebnis kein Bundesrecht verletzt, indem sie die Beschwerde des Beschwerdeführers gegen den Nichteintretensentscheid der Beschwerdegegnerin abgewiesen hat.
6.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Februar 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Die Gerichtsschreiberin: Hänni