Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer klagte mit Eingabe vom 7. Mai 2021 beim Bezirksgericht Baden gegen die weitere Verfahrensbeteiligte u.a auf Gewährung des Auskunftsrechts nach Art. 8 DSG und ersuchte darum, es sei ihm für das Klageverfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Der Präsident des Bezirksgerichts wies dieses Gesuch mit Verfügung vom 25. Mai 2021 ab, da er die Rechtsbegehren des Beschwerdeführers als aussichtslos qualifizierte.
Eine vom Beschwerdeführer dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 8. September 2021 (ZSU.2021.110) ab.
1.2. Der Beschwerdeführer erhob gegen diesen Entscheid mit Eingabe vom 22. Oktober 2021 Beschwerde in Zivilsachen und ersuchte gleichzeitig darum, es sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu gewähren und es sei ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und ein unentgeltlicher Rechtsbeistand beizustellen. Seiner Beschwerde legte er die Honorarnote seines Rechtsvertreters bei.
Mit Verfügung vom 10. November 2021 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung gewährt, nachdem die Vorinstanz mit Schreiben vom 29. Oktober 2021 auf eine Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet und die weitere Verfahrensbeteiligte mit Schreiben vom 8. November 2021 mitgeteilt hatte, sie habe gegen das betreffende Gesuch nichts einzuwenden.
1.3. Die weitere Verfahrensbeteiligte führte in ihrem Schreiben vom 8. November 2021 aus, sie habe mit dem Beschwerdeführer am 15. Juli 2021 einen Vergleich geschlossen, gemäss dessen Ziffer 7 der Beschwerdeführer sich verpflichtet habe, sämtliche Gerichtsverfahren zu beenden; die weitere Verfahrensbeteiligte sowie die Mitverpflichtete "C._ GmbH" seien bis auf die Schlusszahlung gemäss Ziffer 8 des Vergleichs (die von der Erfüllung von Ziffer 7 des Vergleichs abhängig gemacht wurde) allen ihren Verpflichtungen aus dem Vergleich nachgekommen; der Beschwerdeführer weigere sich nun, das Nötige vorzunehmen, um die zahlreichen Gerichtsverfahren, die allesamt durch ihn veranlasst seien, zu beenden, obwohl er sich im Vergleich dazu verpflichtet habe; es werde deshalb das rechtlich schützenswerte Interesse des Beschwerdeführers am vorliegenden Verfahren bestritten.
Dem Beschwerdeführer wurde im Rahmen der vorgenannten Verfügung vom 10. November 2021 Gelegenheit eingeräumt, bis zum 26. November 2021 zu diesem Schreiben Stellung zu nehmen.
Innert erstreckter Frist reichte der Beschwerdeführer persönlich am 13. Dezember 2021 (Postaufgabe) einen vom 8. Dezember 2021 datierten Nachtrag zum Vergleich vom 15. Juli 2021 ein und bat darum, das Verfahren durch Abschreibung infolge Vergleichs gemäss den im Nachtrag festgehaltenen Bestimmungen zu beenden.
Diese Eingabe wurde dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers, der Vorinstanz und der weiteren Verfahrensbeteiligten mit Verfügung vom 15. Dezember 2021 zur Kenntnisnahme zugestellt.
Mit Eingabe vom gleichen Tag bestätigte der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers, dass die Parteien einen Nachtrag zum Vergleich vom 15. Juli 2021 hätten schliessen können, der nun auch ausdrücklich die vorliegende datenschutzrechtliche Angelegenheit regle. Er ersuchte ebenfalls darum, das Verfahren infolge Vergleichs abzuschreiben sowie die Kosten (unter Neuverlegung der Kosten der Vorinstanzen) nach Massgabe des Vergleichs (Ziff. 1.c des beigelegten Nachtrags) zu verlegen. Ferner reichte er - mit Blick auf das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege - eine ergänzende Honorarnote ein.
Diese Eingabe wurde der Vorinstanz und der weiteren Verfahrensbeteiligten mit Verfügungen vom 17. und 28. Dezember 2021 zur Kenntnisnahme zugestellt. Bis zum heutigen Zeitpunkt gingen keine Stellungnahmen zu den Eingaben des Beschwerdeführers und seines Rechtsvertreters vom 13. bzw. 15. Dezember 2021 ein.
2.
Ein bundesgerichtliches Verfahren ist abzuschreiben, wenn ein Vergleich geschlossen wird und damit das Interesse der Parteien an einem Entscheid des Bundesgerichts dahinfällt (Art. 72 und 73 Abs. 1 BZP in Verbindung mit <ref-law>).
Der im vorliegenden Beschwerdeverfahren angefochtene Entscheid erging in einem Nebenverfahren über die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Haupt-Klageverfahren vor dem Bezirksgericht Baden. Es ist unbestritten und ergibt sich aus dem eingereichten Nachtrag zum Vergleich, dass sich die Parteien des Hauptverfahrens über die im Hauptverfahren strittigen Ansprüche geeinigt haben. Damit ist, was ebenfalls unbestritten ist, das Interesse an einem Entscheid des Bundesgerichts über die vorliegende Beschwerde dahingefallen, die sich gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege für dieses Verfahren richtet.
Das Verfahren ist demnach als gegenstandslos abzuschreiben (<ref-law>).
3.
Zu entscheiden ist damit nur noch über den Antrag des Beschwerdeführers, die Kosten vor den Vorinstanzen neu zu verlegen, sowie über die Kosten- und Entschädigungsfolgen für das bundesgerichtliche Verfahren und über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
3.1. Das Bundesgericht kann den vorinstanzlichen Kostenentscheid nur ändern, wenn es das angefochtene Urteil, in dem er ergangen ist, in der Sache selber ändert (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3). Bei Abschreibung des Verfahrens wegen Gegenstandslosigkeit ist dies nicht der Fall. Dem Umstand, dass der Beschwerdeführer mit Kosten des kantonalen Verfahrens belastet bleibt, von denen nicht feststeht, ob sie auch bei materieller Behandlung der Beschwerde noch von ihm zu tragen gewesen wären, kann allerdings im Rahmen der Billigkeit beim bundesgerichtlichen Kostenentscheid Rechnung getragen werden (Urteil 4A_364/2014 vom 18. September 2014 E. 2 mit Hinweisen).
3.2. Was die Kosten- und Entschädigungsfolgen des bundesgerichtlichen Verfahrens anbelangt, ergibt sich was folgt:
3.2.1. Der von Seiten des Beschwerdeführers eingereichte, vom 8. Dezember 2021 datierte Nachtrag zum Vergleich vom 15. Juli 2021, der zwischen der weiteren Verfahrensbeteiligten und dem Beschwerdeführer sowie weiteren Vertragsparteien abgeschlossen wurde, sieht unter anderem vor, dass sich die Parteien "in Ergänzung/Präzisierung des Vergleichs vom 15. Juli 2021 [...] zwecks Regelung des verbleibenden Vollzugs" darauf einigen, dass die Parteien mit der Unterzeichnung des Nachtrags "bei sämtlichen Behörden/Gerichten, welche mit Verfahren (Straf-/Zivil-/Verwaltungsverfahren) zwischen der Mieterschaft und der Verwaltung/Vermieterin [...] befasst sind" beantragen, diese Verfahren zufolge Vergleichs erledigt abzuschreiben (Ziff. 1a). Dabei wird ausdrücklich auch das vorinstanzliche Verfahren (ZSU.2021.110; Obergericht des Kantons Aargau) erwähnt und werden Verfahren vor Rechtsmittelinstanzen in den Geltungsbereich der Vereinbarung einbezogen (Ziff. 1b). Die Behörden werden sodann im Nachtrag von den Parteien "freundlichst ersucht, wenn immer möglich auf die Auferlegung von Kosten zu verzichten bzw. respektive Verfahrenskosten milde anzusetzen und grundsätzlich nach freiem Ermessen den Verfahrensparteien aufzuerlegen." Sodann verzichten die Parteien gegenseitig auf die Zusprechung von Parteientschädigungen und/oder anderer Entschädigungen (Ziff. 1c).
3.2.2. Der Beschwerdeführer und die weitere Verfahrensbeteiligte haben demnach im Vergleich gegenseitig auf die Zusprechung von Parteientschädigungen verzichtet. Auch dem Beschwerdegegner (Obergericht des Kantons Aargau) steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>). Es sind somit keine Parteientschädigungen zuzusprechen.
Hingegen enthält der Vergleich keine Regelung, welche Partei die Kosten des vorliegenden Verfahrens zu tragen hat. Nach der Praxis der Abteilung wird hinsichtlich der Kosten- und Entschädigungsfolgen in Fällen nachträglichen Wegfallens des Rechtsschutzinteresses in der Regel auf das Verursacherprinzip abgestellt (Art. 66 Abs. 3 und Art. 68 Abs. 4 BGG), wobei in der Regel die beschwerdeführende Partei als Verursacherin betrachtet wird.
Vorliegend besteht kein Anlass von dieser Regel abzuweichen. Nach unbestrittener Darstellung der weiteren Verfahrensbeteiligten war der Beschwerdeführer bereits aufgrund des Vergleichs vom 15. Juli 2021, Ziffer 7, verpflichtet, sämtliche Gerichtsverfahren u.a. gegen die weitere Verfahrensbeteiligte zu beenden. Der vom 8. Dezember 2021 datierende Nachtrag zu diesem Vergleich dient ausdrücklich lediglich der Regelung des verbleibenden Vollzugs des Vergleichs vom 15. Juli 2021. Es ist unter diesen Umständen nicht leicht verständlich, dass und weshalb der Beschwerdeführer gegen den vorinstanzlichen Entscheid vom 8. September 2021 die vorliegende Beschwerde einreichte. Der Beschwerdeführer lieferte dafür, nachdem ihm das Schreiben der weiteren Verfahrensbeteiligten zustellt wurde, keine Erklärung.
Die reduzierten Gerichtskosten wären demnach in Anwendung des Verursacherprinzips dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Mit Rücksicht darauf, dass dem Beschwerdeführer im vorinstanzlichen Verfahren Gerichtskosten auferlegt wurden (vorstehende Erwägung 3.1), und in Anbetracht der finanziellen Lage des Beschwerdeführers kann indessen vorliegend ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG).
3.3. Der Beschwerdeführer ersuchte um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Dieses Gesuch ist mit dem Verzicht auf die Erhebung von Gerichtskosten gegenstandslos, soweit damit die Befreiung von der Pflicht zur Tragung von solchen angestrebt wird. Zu prüfen bleibt das Gesuch indessen, soweit es auf die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands zielt.
Das Bundesgericht befreit eine Partei, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, auf Antrag von der Bezahlung der Gerichtskosten und von der Sicherstellung der Parteientschädigung, sofern ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (<ref-law>). Unter den gleichen Voraussetzungen, und wenn es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, bestellt das Bundesgericht der Partei einen Anwalt oder eine Anwältin (<ref-law>).
Als aussichtslos sind Begehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie - zumindest vorläufig - nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt das Gericht aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten, wobei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgebend sind (<ref-ruling> E. 5.1 mit Hinweisen).
Nach dem vorstehend (Erwägung 3.2.2) Ausgeführten, war der Beschwerdeführer bereits aufgrund des Vergleichs vom 15. Juli 2021 verpflichtet, das Klageverfahren vor dem Bezirksgericht Baden wie auch das Nebenverfahren über die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für diesen Prozess zu beenden. Die weitere Verfahrensbeteiligte stellte somit in ihrem Schreiben vom 8. November 2021 zu Recht in Frage, dass der Beschwerdeführer zum Zeitpunkt der Einreichung der vorliegenden Beschwerde bzw. der Stellung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege für das vorliegende Beschwerdeverfahren ein schutzwürdiges Interesse im Sinne von <ref-law> an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids hatte. Inwiefern dies der Fall sein soll, hat der Beschwerdeführer in der Folge nicht dargetan, obwohl ihm dazu Gelegenheit gegeben wurde, und ist auch nicht ersichtlich. Zu bedenken ist überdies, dass die weitere Verfahrensbeteiligte den Beschwerdeführer aufgrund des Vergleichs vom 15. Juli 2021 zur Abgabe der erforderlichen Willenserklärung zur Beendigung des vorliegenden Verfahrens hätte anhalten können. Bei dieser Sachlage ist nicht anzunehmen, dass eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zur Einreichung der vorliegenden Beschwerde entschlossen hätte.
Die Beschwerde ist demnach als von vornherein aussichtslos zu betrachten und das Gesuch um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege, soweit es nicht gegenstandslos ist, abzuweisen. Darüber musste unter den gegebenen Umständen nicht vorgängig separat entschieden werden (vgl. Urteil 4A_20/2011 vom 11. April 2011 E. 7.2.2).

Demnach verfügt das Bundesgericht:
1.
Das Verfahren wird infolge Gegenstandslosigkeit abgeschrieben.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben und es wird keine Parteientschädigung gesprochen.
3.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos ist.
4.
Diese Verfügung wird dem Beschwerdeführer, dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 4. Kammer, und der B._ AG schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Januar 2022
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Widmer