Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1965 geborene, in Österreich wohnhafte österreichische Staatsangehörige A._ war in den Jahren 1988 bis 1992 in der Schweiz erwerbstätig und leistete Beiträge an die schweizerische Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung (AHV/IV). Zuletzt war er als Küchenchef in einem Gletscherrestaurant in Österreich angestellt. Am 10. März 2016 meldete sich A._ unter Hinweis auf eine Erschöpfungsdepression seit Ende November 2015 im Rahmen des zwischenstaatlichen Verfahrens zum Bezug von Leistungen der schweizerischen Invalidenversicherung an. Die IV-Stelle für Versicherte im Ausland (IVSTA) lehnte das Leistungsbegehren mit Verfügung vom 21. November 2017 ab. Das Bundesverwaltungsgericht hob diese Verfügung mit Urteil vom 21. August 2018 auf und wies die Sache zur polydisziplinären Begutachtung sowie zu anschliessender Neuverfügung an die IVSTA zurück.
A.b. Nach Einholung eines interdisziplinären Gutachtens des Zentrums für medizinische Begutachtungen (ZMB), Basel, vom 23. Mai 2019 und Durchführung des Vorbescheidverfahrens lehnte die IVSTA das Leistungsbegehren mit Verfügung vom 5. März 2020 erneut ab.
B.
Mit Urteil vom 6. Juli 2021 wies das Bundesverwaltungsgericht die dagegen erhobene Beschwerde ab.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, es seien ihm, unter Aufhebung des angefochtenen Urteils, die gesetzlichen Leistungen zuzusprechen; eventualiter sei die Sache zu weiteren Abklärungen und neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Bundesgericht holte die vorinstanzlichen Akten ein.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.2. Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist. Eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung weist damit die Tragweite von Willkür auf. Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erscheint. Eine Sachverhaltsfeststellung ist etwa dann offensichtlich unrichtig, wenn das kantonale Gericht den Sinn und die Tragweite eines Beweismittels offensichtlich falsch eingeschätzt, ohne sachlichen Grund ein wichtiges und für den Ausgang des Verfahrens entscheidendes Beweismittel nicht beachtet oder aus den abgenommenen Beweisen unhaltbare Schlüsse gezogen hat (<ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweisen).
1.3. Die gerichtlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit beziehen sich auf Tatfragen (<ref-ruling> E. 3.2). Gleiches gilt für die Beweiswürdigung, namentlich die antizipierte Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 8.2). Dagegen geht es bei der unvollständigen Feststellung rechtserheblicher Tatsachen sowie der Missachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Anforderungen an die Beweiskraft ärztlicher Berichte und Gutachten um Rechtsfragen (Urteil 9C_505/2020 vom 21. Dezember 2020 E. 1.3 mit Hinweisen).
1.4. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>; <ref-ruling>), was in der Beschwerde näher darzulegen ist (<ref-ruling> E. 3). Der vorinstanzliche Verfahrensausgang allein bildet noch keinen hinreichenden Anlass im Sinn von <ref-law> für die Zulässigkeit von unechten Noven, die bereits im kantonalen Verfahren ohne Weiteres hätten vorgebracht werden können (statt vieler: Urteil 8C_587/2021 vom 4. Februar 2022 E. 1.2 mit Hinweis). Das Vorbringen von Tatsachen, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid ereigneten oder entstanden (echte Noven), ist vor Bundesgericht unzulässig (<ref-ruling> E. 1.2 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer legt im bundesgerichtlichen Verfahren den Rentenbescheid der österreichischen Pensionsversicherung BVAEB, Geschäftsstelle Wien, vom 23. Juli 2021 auf. Da dieses Dokument nach dem angefochtenen Urteil datiert, stellt es ein unbeachtliches echtes Novum dar, so dass sich Weiterungen dazu erübrigen.
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hat, indem sie in Bestätigung der Verfügung vom 5. März 2020 der IVSTA einen Anspruch des Beschwerdeführers auf eine Rente der schweizerischen Invalidenversicherung verneinte.
3.
3.1. Zu den massgebenden Rechtsgrundlagen hat das Bundesverwaltungsgericht zunächst zutreffend erkannt, dass sich die materiellen Voraussetzungen des hier streitigen Leistungsanspruchs nach schweizerischem Recht bestimmen, ungeachtet des Umstands, dass der Beschwerdeführer österreichischer Staatsangehöriger mit Wohnsitz in Österreich ist und daher das am 1. Juni 2002 in Kraft getretene Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (Freizügigkeitsabkommen; FZA; SR 0.142.112.681) zur Anwendung gelangt (<ref-ruling> E. 2.4 S. 257; <ref-ruling>; Urteil 8C_111/2020 vom 15. Juli 2020 E. 2). Ebenso ist mit der Vorinstanz festzuhalten, dass gemäss Art. 46 Abs. 3 der Verordnung (EG) Nr. 883/2004 des Europäischen Parlaments und des Rates vom 29. April 2004 zur Koordinierung der Systeme der sozialen Sicherheit (SR 0.831.109.268.1) eine vom Träger eines Mitgliedstaats getroffene Entscheidung über den Grad der Invalidität eines Antragstellers für den Träger jedes anderen in Betracht kommenden Mitgliedstaats nur dann verbindlich ist, wenn die in den Rechtsvorschriften dieser Mitgliedstaaten festgelegten Definitionen des Grads der Invalidität in Anhang VII als übereinstimmend anerkannt sind. Dies ist für das Verhältnis zwischen Österreich und der Schweiz nicht der Fall (vgl. auch <ref-ruling> E. 2.4; Urteil 9C_317/2014 vom 16. Juni 2014 E. 2).
3.2. Das Bundesverwaltungsgericht hat auch die weiteren massgebenden Rechtsgrundlagen, insbesondere betreffend die Invalidität (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>), den Rentenanspruch (Art. 28, 28a und 29 IVG) sowie die Rechtsprechung betreffend die Invaliditätsbemessung bei psychischen Erkrankungen (<ref-ruling> und 418; <ref-ruling>; vgl. auch <ref-ruling>) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3.3. Zutreffend sind schliesslich die Hinweise der Vorinstanz, dass für die Beurteilung einer Streitsache auf den bis zum Zeitpunkt des Erlasses der streitigen Verwaltungsverfügung eingetretenen Sachverhalt abzustellen ist (<ref-ruling> E. 3.1.1), und dass Tatsachen, die diesen Sachverhalt seither verändert haben, im Normalfall Gegenstand einer neuen Verwaltungsverfügung bilden sollen (<ref-ruling> E. 1b).
4.
4.1. Nach ausführlicher Würdigung der gesamten medizinischen Aktenlage, einschliesslich einer eingehenden Prüfung der Standardindikatoren (vgl. BGE <ref-ruling>), kam die Vorinstanz zum Ergebnis, es sei mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer die angestammte Tätigkeit als Küchenchef seit seinem Zusammenbruch Ende November 2015 nicht mehr ausüben könne. Hingegen sei ihm eine angepasste Tätigkeit ab 18. August 2016 im Umfang von 80 % zumutbar. Soweit sich aus den Berichten der behandelnden Ärztin, die nach der Verfügung vom 5. März 2020 erstellt worden seien, allfällige Anhaltspunkte für Änderungen des Sachverhalts bzw. des Gesundheitszustands des Beschwerdeführers ergeben sollten, wären diese im Rahmen einer neuen Verwaltungsverfügung zu prüfen (s. vorne E. 3.3). Der Einkommensvergleich (vgl. <ref-law>) ergab einen nicht rentenbegründenden Invaliditätsgrad von 33 %.
4.2. Der Beschwerdeführer macht hierzu einzig geltend, die Vorinstanz habe in unzulässiger antizipierter Beweiswürdigung und ohne Begründung darauf verzichtet, die beantragten Beweise zu erheben. So habe sie weder eine EFL- oder BEFAS-Abklärung zur Eruierung der effektiven Leistungsfähigkeit auf dem ersten Arbeitsmarkt veranlasst noch die Akten der AK Kammer für Arbeiter und Angestellte für Tirol beigezogen. Mit den Darlegungen im angefochtenen Urteil setzt er sich jedoch in keiner Weise auseinander. Angesichts der überzeugenden Beweiswürdigung der Vorinstanz, auf die verwiesen werden kann (<ref-law>), erweist sich deren Schlussfolgerung, dass von weiteren Abklärungen keine neuen Erkenntnisse zu erwarten seien, nicht als offensichtlich unrichtig. Die willkürfreie antizipierte Beweiswürdigung der Vorinstanz verletzt somit weder den Untersuchungsgrundsatz noch den Gehörsanspruch (vgl. <ref-ruling> E. 6.5 mit Hinweisen).
5.
Die Beschwerde ist offensichtlich unbegründet, weshalb sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> ohne Durchführung eines Schriftenwechsels, mit summarischer Begründung und unter Hinweis auf den kantonalen Gerichtsentscheid (<ref-law>) erledigt wird.
6.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. März 2022
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Wirthlin
Die Gerichtsschreiberin: Betschart