Erwägungen:
1.
1.1. A.A._ und seine Gattin B.A._ sind Pächter des Freizeitgartens Nr. xxx in Basel-Stadt. Es handelt sich dabei um einen Kleintiergarten. Nach einer Kontrolle kündigte die Stadtgärtnerei, Abteilung Freizeitgärten, des Kantons Basel-Stadt den entsprechenden Pachtvertrag. Die kantonalen Rechtsmittel hiergegen blieben ohne Erfolg (Entscheid der Freizeitgartenkommission vom 6. Dezember 2019; Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt [als Verwaltungsgericht] vom 12. Juli 2020).
1.2.
1.2.1. Das Appellationsgericht hielt in seinem Entscheid fest, dass das Verfahren vor seiner Vorinstanz an einem formellen Mangel leide und die Anforderungen an ein rechtsstaatliches Verfügungs- und Rekursverfahren offensichtlich nicht erfülle. Es heilte jedoch die festgestellte Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör, zumal eine Rückweisung an die Freizeitgartenkommission im Ergebnis zu einem "formalistischen Leerlauf" führen würde.
1.2.2. Der Beschwerdeführer bestritt ursprünglich nicht, dass vor der Kündigung durch die Stadtgärtnerei gravierende Mängel bei der Tierhaltung bestanden haben. Die Hühner-, Ziervögel- und Taubenhaltung - so das Appellationsgericht - sei vom Veterinäramt bereits 2016 und 2017 bemängelt worden. Dieses auferlegte dem Beschwerdeführer Massnahmen zur Verbesserung der Situation. Er kam diesen teilweise nach, doch mussten am 13. Februar 2019 erneut schwerwiegende Mängel in der Hühner- und Ziervogelhaltung festgestellt werden (kein Einstreu auf dem Stallboden, "sehr schlechte" Stallhygiene, usw.).
1.2.3. Bei einer weiteren Kontrolle vom 1. Juli 2019 stellte das Veterinäramt fest, dass zahlreiche von ihm beanstandete Punkte, nicht beseitigt worden seien. Aufgrund der wiederholten Feststellungen von immer wieder den gleichen Verstössen gegen das Tierwohl könne der Beschwerdeführer - so das Appellationsgericht - aus der Verhinderung des Beschwerdeführers zur persönlichen Betreuung der Tiere nichts ableiten. Die Auflösung des Pachtvertrags treffe den Beschwerdeführer zwar hart, doch würden die öffentlichen Interessen des Schutzes der Tiere sein privates Interesse, einen Tiergarten betreiben zu können, überwiegen. Aufgrund der wiederholten, dem Tierwohl in gravierender Weise zuwiderlaufenden Haltung in der Vergangenheit bestehe keine ausreichende Sicherheit, dass der Beschwerdeführer im Rahmen einer verbleibenden Tierhaltung inskünftig seine Tiere nachhaltig tiergerechter halten werde.
1.3. Der Beschwerdeführer beantragt vor Bundesgericht sinngemäss, das angefochtene Urteil aufzuheben und ihm den Tiergarten zu belassen. Am 2. September 2020 informierte das Gericht den Beschwerdeführer darüber, dass seine Eingabe den Begründungsanforderungen des Bundesgerichtsgesetzes kaum genügen dürfte, weshalb auf diese nicht eingetreten werden könnte; er habe noch Gelegenheit, seine Eingabe bis zum Ablauf der Beschwerdefrist zu verbessern. Der Beschwerdeführer reichte am 15. September 2020 eine weitere Eingabe ein, in deren Rahmen er darum ersucht, ihm mehr Zeit einzuräumen. Es wurden keine Vernehmlassungen oder Akten eingeholt.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 des Bundesgerichtsgesetzes (BGG; SR 173.110) haben Rechtsschriften an das Bundesgericht die Begehren und die Begründung zu enthalten. Diese muss sachbezogen sein und sich auf den Gegenstand des angefochtenen Entscheids beziehen. Die beschwerdeführende Partei muss in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Urteils massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form plausibel darlegen, inwiefern die Vorinstanz Rechte und Rechtsnormen verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen). Das Bundesgericht ist an den Sachverhalt gebunden, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig (<ref-law>). Inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung und Sachverhaltsfeststellung klarerweise unhaltbar sein sollen, muss in der Beschwerdeschrift detailliert aufgezeigt und damit qualifiziert begründet werden (<ref-ruling> E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen).
2.2. Die vorliegende Eingabe genügt diesen Anforderungen nicht: Der Beschwerdeführer beschreibt seine Situation. Er beanstandet das angefochtene Urteil indessen rein appellatorisch, d.h. er stellt seine Sicht der Dinge derjenigen der Vorinstanz gegenüber, ohne sich in gezielter Auseinandersetzung mit deren für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen zu befassen. Soweit er punktuell den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt infrage stellt, legt er nicht dar, inwiefern die Vorinstanz diesen offensichtlich falsch oder unvollständig ermittelt hätte. Seine appellatorisch abgefasste Kritik am angefochtenen Urteil genügt den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht (LAURENT MERZ, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger/Kneubühler [Hrsg.], BSK BGG, 3. Aufl. 2018, N. 53 zu <ref-law>). Dem Beschwerdeführer kann keine weitere Nachfrist zur Begründung seiner Eingabe angesetzt werden (<ref-law>). Im Übrigen genügt seine Eingabe wiederum nicht den gesetzlichen Anforderungen (vgl. vorstehende E. 2.1).
3.
3.1. Weil die Beschwerde offensichtlich keine sachbezogene Begründung enthält, ist darauf durch den Präsidenten als Instruktionsrichter im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
3.2. Die Kosten sind dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (vgl. <ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. September 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar