Sachverhalt:
A.
Das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern (SVSA) eröffnete am 14. August 2018 ein Administrativverfahren gegen A._. Es warf ihm vor, am 27. Mai 2018 als Lenker eines Wohnmobils auf der Autobahn A2 in Basel beim Wechsel des Fahrstreifens mangelnde Rücksichtnahme auf andere Fahrzeuge gezeigt zu haben. Weiter sistierte das SVSA das Verfahren bis zum Abschluss des Strafverfahrens.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt sprach A._ wegen des Vorfalls vom 27. Mai 2018 mit Strafbefehl vom 13. Juni 2019 der einfachen Verletzung der Verkehrsregeln im Sinne von Art. 90 Abs. 1 i.V.m. Art. 34 Abs. 3 und <ref-law> schuldig und bestrafte ihn mit einer Busse von Fr. 200.--. Da A._ seine dagegen erhobene Einsprache am 19. November 2019 zurückzog, erwuchs der Strafbefehl in Rechtskraft.
Am 17. Dezember 2019 nahm das SVSA das Administrativverfahren wieder auf. Es verfügte am 12. März 2020 den Entzug des Führerausweises wegen einer mittelschweren Widerhandlung gegen die Strassenverkehrsvorschriften für einen Monat.
B.
A._ zog die Verfügung an die Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern weiter. Diese wies die Beschwerde am 16. Dezember 2020 ab; das begründete Urteil wurde am 25. Juni 2021 versandt.
C.
Mit Eingabe vom 31. August 2021 führt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids, eventualiter zugunsten einer milderen Massnahme (Verwarnung).
Das SVSA ersucht um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Rekurskommission schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Strassen stellt in seiner Vernehmlassung vom 18. November 2021 Antrag auf Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer reicht am 16. Dezember 2021 seine Schlussbemerkungen ein.
D.
Das präsidierende Mitglied der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung hat der Beschwerde mit Verfügung vom 27. September 2021 die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über einen Führerausweisentzug. Es handelt sich dabei um eine Administrativmassnahme, weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> offen steht. Ein Ausnahmegrund liegt nicht vor (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen; er ist als Adressat des angefochtenen Entscheids besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (<ref-law>). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt, weshalb auf die Beschwerde einzutreten ist.
1.2. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) prüft es grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, es sei denn, die rechtlichen Mängel lägen geradezu auf der Hand. Die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich die willkürliche Anwendung von kantonalem Recht) prüft es dagegen lediglich insoweit, als eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 1.3).
1.3. Die Akten der Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer und den am Vorfall vom 27. Mai 2018 ebenfalls beteiligten Lenker eines Personenwagens (vgl. dazu unten E. 4.1) bilden Teil der Verfahrensakten der Vorinstanz. Diese Akten sind vom Bundesgericht beigezogen worden. Dem entsprechenden Verfahrensantrag des Beschwerdeführers ist somit Genüge getan.
2.
2.1. Der Fahrzeugführer, der seine Fahrrichtung ändern will, wie zum Abbiegen, Überholen, Einspuren und Wechseln des Fahrstreifens, hat auf den Gegenverkehr und auf die ihm nachfolgenden Fahrzeuge Rücksicht zu nehmen (<ref-law>). Der Lenker darf auf Strassen, die für den Verkehr in gleicher Richtung in mehrere Fahrstreifen unterteilt sind, seinen Streifen nur verlassen, wenn er dadurch den übrigen Verkehr nicht gefährdet (<ref-law>). Mit dieser Regelung wird dem Fahrzeugführer, der seinen Streifen beibehält, ein Vortrittsrecht gegenüber Fahrzeugen eingeräumt, die darauf einspuren wollen. Wer sein Fahrzeug in den Verkehr einfügen will, darf andere Strassenbenützer nicht behindern (<ref-law>; vgl. auch Art. 14 Abs. 1 der Verkehrsregelnverordnung vom 13. November 1962 [VRV; SR 741.11]). Entsprechendes gilt beim Wechseln des Fahrstreifens. Nach der älteren Rechtsprechung wird der Vortrittsberechtigte bereits behindert, wenn er seine Fahrt nicht gleichmässig und ungestört fortsetzen kann. Um den besonderen Verhältnissen bei hohem Verkehrsaufkommen Rechnung zu tragen, lässt die neuere Rechtsprechung zu, dass eine relevante Behinderung ausnahmsweise erst dann angenommen wird, wenn der vortrittsberechtigte Fahrer seine Fahrweise brüsk ändern muss, das heisst, wenn er zu brüskem Bremsen, Beschleunigen oder Ausweichen gezwungen wird (vgl. <ref-ruling> S. 147; Urteil des Bundesgerichts 1C_634/2017 vom 10. April 2018 E. 5.2).
2.2. Nach dem aus <ref-law> abgeleiteten Vertrauensgrundsatz darf jeder Strassenbenützer, der sich verkehrsgemäss verhält, darauf vertrauen, dass sich die anderen Verkehrsteilnehmer ebenfalls ordnungsgemäss verhalten, ihn also nicht behindern oder gefährden, sofern nicht besondere Umstände dagegen sprechen (<ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweis). Besondere Vorsicht ist hingegen namentlich dann geboten, wenn Anzeichen dafür bestehen, dass sich ein anderer Strassenbenützer nicht richtig verhalten wird (vgl. <ref-law>). Anzeichen für unrichtiges Verhalten eines Strassenbenützers liegen vor, wenn aufgrund seines bisherigen Verhaltens damit gerechnet werden muss, dass er sich in verkehrsgefährdender Weise regelwidrig verhalten wird. Die Rechtsprechung verlangt "konkrete Anzeichen" bzw. "zuverlässige Anhaltspunkte" für das Fehlverhalten eines Strassenbenützers; eine abstrakte Möglichkeit eines Fehlverhaltens genügt nicht. Sie können sich auch aus der Unklarheit oder Ungewissheit einer bestimmten Verkehrslage ergeben, die nach allgemeiner Erfahrung die Möglichkeit fremden Fehlverhaltens unmittelbar in die Nähe rückt. In solchen Situationen liegen zwar keine konkreten Anzeichen für unrichtiges Verhalten vor, angesichts ihrer besonderen Gefahrenträchtigkeit ist aber risikoarmes Verhalten gefordert (<ref-ruling> E. 2b; Urteil 6B_1002/2020 vom 4. Oktober 2021 E. 3.4).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt eine offensichtlich unrichtige bzw. willkürliche und gegen die Unschuldsvermutung verstossende Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz. Dies tut er namentlich im Zusammenhang mit der Frage, ob er mit seinem Überholmanöver beim Vorfall vom 27. Mai 2018 andere Fahrzeuge gefährdet habe. Die Vorinstanz habe auch seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt. Gleichzeitig ruft er die Allgemeine Erklärung der Menschenrechte der Vereinten Nationen vom 10. Dezember 1948 (AEMR) an. Letzterer kommt als Resolution der Generalversammlung der Vereinten Nationen grundsätzlich keine Rechtsverbindlichkeit zu (vgl. Urteile 1C_224/ 2021 vom 28. Oktober 2021 E. 5; 2C_738/2010 vom 24. Mai 2011 E. 3.2.3, in: EuGRZ 2011 S. 692).
3.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (vgl. <ref-ruling> E. 3.5; <ref-ruling> E. 2.2) oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (<ref-law>). Ein Beschwerdeführer darf die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung nur rügen, wenn sie mit einem Mangel im erwähnten Sinn behaftet ist und dessen Behebung für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine entsprechende Rüge ist in der Beschwerde substanziiert vorzubringen (vgl. <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 4.1). Die Beweiswürdigung ist eine Sachverhaltsfrage und erweist sich als willkürlich, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen hat oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (vgl. <ref-ruling> E. 3.6.2; <ref-ruling> E. 4.2).
3.3. Der Warnungsentzug ist eine der Strafe zwar ähnliche, von dieser aber unabhängige Verwaltungsmassnahme mit präventivem Charakter. Trotz dieser besonderen Natur handelt es sich gemäss der Rechtsprechung um einen Entscheid über die Stichhaltigkeit einer strafrechtlichen Anklage im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK (<ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweisen). Daraus folgt, dass auf das Administrativverfahren die in <ref-law> und Art. 6 Ziff. 2 EMRK verankerte Unschuldsvermutung anwendbar ist (vgl. <ref-ruling> E. 6; Urteil 1C_634/2017 vom 10. April 2018 E. 5.5). Als Beweiswürdigungsregel besagt der aus der Unschuldsvermutung abgeleitete Grundsatz "in dubio pro reo", dass sich das Strafgericht nicht von der Existenz eines für die beschuldigte Person ungünstigen Sachverhalts überzeugt erklären darf, wenn bei objektiver Betrachtung erhebliche und nicht zu unterdrückende Zweifel bestehen, ob sich der Sachverhalt so verwirklicht hat. Diesem Grundsatz kommt in seiner Funktion als Beweiswürdigungsregel im Verfahren vor dem Bundesgericht keine über das Willkürverbot von <ref-law> hinausgehende Bedeutung zu (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 1.1).
3.4. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist die Verwaltungsbehörde grundsätzlich an die Tatsachenfeststellungen des Strafgerichts gebunden. Sie darf davon nur abweichen, wenn sie Tatsachen feststellt und ihrem Entscheid zugrunde legt, die dem Strafgericht unbekannt waren, wenn sie zusätzliche Beweise erhebt oder wenn das Strafgericht bei der Rechtsanwendung auf den Sachverhalt nicht alle Rechtsfragen abgeklärt, namentlich die Verletzung bestimmter Verkehrsregeln übersehen hat (vgl. <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 1c/aa). Nicht gebunden ist die Verwaltungsbehörde an die rechtliche Beurteilung, namentlich des Verschuldens, des Strafgerichts. Die straf- und die verwaltungsrechtliche Beurteilung der Schwere eines strassenverkehrsrechtlich massgeblichen Fehlverhaltens müssen sich nicht zwingend decken (vgl. <ref-ruling> E. 3.1; Urteile 1C_424/2012 vom 15. Januar 2013 E. 2.3; 1C_564/2019 vom 28. Mai 2020 E. 3.2).
4.
4.1. Die Vorinstanz ging in Übereinstimmung mit dem Strafbefehl vom 13. Juni 2019 von folgendem Sachverhalt aus:
Der Beschuldigte führte am 27. Mai 2018 um ca. 21.29 Uhr in Basel ein Wohnmobil auf der Autobahn A2 in Richtung Deutschland. Dabei überholte der Beschuldigte auf dem Überholstreifen fahrend linksseitig einen auf dem Normalstreifen fahrenden Personenwagen - dessen Lenker während des Überholvorgangs des Beschuldigten vorschriftswidrig beschleunigte und dem Beschuldigten damit das Überholen erschwerte - und wechselte ohne Rücksicht auf diesen Personenwagen zu nehmen unmittelbar vor diesem nach rechts auf die Normalspur, so dass dessen Lenker abbremsen musste.
Dabei hat die Vorinstanz angenommen, beim Wiedereinbiegen habe der Beschwerdeführer wegen mangelhafter Rücksichtnahme und ungenügendem frontalen Abstand den Lenker des Personenwagens zum Abbremsen gezwungen und dadurch bei der Weiterfahrt behindert. Die Vorinstanz hat erwogen, es lägen keine klaren Anhaltspunkte vor, dass die Sachverhaltsfeststellungen im Strafbefehl unrichtig seien. Sie habe die Aufzeichnungen der Verkehrsüberwachungskameras und jene der Dashcam des Beschwerdeführers aus den edierten Strafakten einsehen können. Zusätzliche Sachverhaltsabklärungen habe sie nicht vorgenommen. Selbst wenn der überholte Lenker das dem Beschwerdeführer vorgeworfene Manöver gegenüber Polizei und Staatsanwaltschaft nicht beanstandet und dagegen dem Beschwerdeführer anderweitiges Fehlverhalten zu Unrecht vorgeworfen haben sollte, so würde das nicht zwangsläufig bedeuten, dass das umstrittene Manöver nicht stattgefunden habe. Es erübrige sich daher, auf die Vorbringen des Beschwerdeführers zu den Aussagen des Lenkers des Personenwagens einzugehen.
4.2. Der Beschwerdeführer entgegnet, der Lenker des Personenwagens sei durch das Wiedereinbiegen in keiner Weise gefährdet worden. Wenn letzterer dabei behindert worden sein sollte, habe er es sich selber zuzuschreiben, weil er beschleunigt habe, während er überholt worden sei. Auf den Überwachungsvideos sei gut sichtbar, dass das Wohnmobil des Beschwerdeführers vor dem Wiedereinbiegen einen guten frontalen Abstand zum überholten Personenwagen gehabt habe. Das kurze Antippen der Bremsen durch den Lenker dieses Personenwagens habe nicht einmal eine Sekunde gedauert. Dabei habe es sich nicht um eine Notbremsung gehandelt. Die Bremsen seien nur kurz angetippt worden, wie viele Fahrzeuglenker es grundsätzlich bei jeder sich bietenden Gelegenheit täten, möglicherweise um die Bremsbereitschaft anzuzeigen. Insofern sei der Sachverhalt im angefochtenen Urteil offensichtlich unrichtig bzw. willkürlich erstellt worden.
Weiter sei die Tatsachenfeststellung gehörsverletzend und willkürlich, weil die Vorinstanz zwar den Beschwerdeführer belastende Aussagen aus Polizeirapporten zitiere, hingegen den aktenkundigen Aussagen des Lenkers des Personenwagens die Relevanz abspreche. So würden im angefochtenen Urteil Polizeiberichte wiedergegeben, wonach der Beschwerdeführer den Personenwagen äusserst knapp überholt habe und letzterer deswegen die Geschwindigkeit extrem habe verlangsamen müssen. Ein äusserst knappes Überholen oder ein extremes Abbremsen habe sich jedoch nicht schlüssig feststellen lassen. Beim Lenker des Personenwagens handle sich um den einzigen Augenzeugen des Vorfalls. Aus dessen Aussagen gehe hervor, dass er sich mit Ausflüchten, unwahren Behauptungen und unzutreffenden, anderweitigen Vorwürfen gegenüber dem Beschwerdeführer habe "reinwaschen" wollen. Der Lenker des Personenwagens habe jedoch nicht den geringsten Hinweis geäussert, dass ihn das Wiedereinbiegen des Fahrzeugs des Beschwerdeführers behindert oder bedrängt habe. Dieser Umstand hätte zugunsten des Beschwerdeführers so gewertet werden müssen, dass der Lenker des Personenwagens das Wiedereinbiegen des Beschwerdeführers nicht als gefährlich angesehen habe. Im Übrigen habe die Vorinstanz zu Unrecht ausser Betracht gelassen, aus welchen Gründen der Beschwerdeführer die Einsprache gegen den Strafbefehl zurückgezogen habe.
4.3. Nach den Feststellungen der Vorinstanz machte das SVSA den Beschwerdeführer bereits bei der Eröffnung des Administrativverfahrens auf die präjudizielle Wirkung des Strafverfahrens für die Administrativmassnahme aufmerksam. Dem widerspricht der Beschwerdeführer nicht konkret. Er bestreitet auch nicht, rechtskundig zu sein. Sofern die beschuldigte Person wusste, dass gegen sie ein Führerausweisentzugsverfahren eröffnet wurde, und sie es trotzdem unterliess oder darauf verzichtete, im Rahmen des summarischen Strafverfahrens die ihr garantierten Verteidigungsrechte geltend zu machen, darf sie nicht das Administrativverfahren abwarten, um dort Einwände gegen die tatsächlichen Grundlagen der strafrechtlichen Verurteilung zu erheben. Nach Treu und Glauben obliegt es ihr vielmehr, dies bereits im Strafverfahren zu tun und dort die nötigen Rechtsmittel zu ergreifen (<ref-ruling> E. 3c/aa; Urteil 1C_33/2018 vom 6. Juli 2018 E. 3.2 und 4.1 mit weiteren Hinweisen). Im vorliegenden Fall hat der Beschwerdeführer die Einsprache gegen den Strafbefehl zurückgezogen und damit die strafrechtliche Verurteilung hingenommen. Darauf kann er im Administrativverfahren nicht mehr zurückkommen. Wie die Vorinstanz erwogen hat, ist es ohne Belang, aus welchen Gründen der Beschwerdeführer die Einsprache gegen den Strafbefehl zurückgezogen hatte.
4.4. Zudem vermag der Beschwerdeführer mit seinen Einwänden keine klaren Anhaltspunkte darzutun, dass die Sachverhaltsfeststellung im Strafbefehl unrichtig war. Aus dem angefochtenen Urteil geht hervor, dass die Vorinstanz die Auswertung der Videoaufzeichnungen aus den Strafakten als ausreichend bei der Überprüfung des Sachverhalts gemäss Strafbefehl erachtet hat. Auch wenn im angefochtenen Urteil aus den fraglichen Polizeiberichten zitiert wird, hat die Vorinstanz festgehalten, dass der von der Kantonspolizei erhobene Strafvorwurf gegen den Beschwerdeführer auf grobe Verletzung der Verkehrsregeln lautete, was im Strafbefehl nicht übernommen wurde. Entgegen dem Beschwerdeführer hat die Vorinstanz den Sachverhalt im Verhältnis zum Strafbefehl nicht dahingehend erweitert, dass der Beschwerdeführer den Personenwagen äusserst knapp überholt habe bzw. letzterer deswegen die Geschwindigkeit extrem verlangsamt habe. Jedenfalls konnte die Vorinstanz in vertretbarer Weise davon ausgehen, dass die Videoaufzeichnungen so aussagekräftig sind, dass sie sich den Sachverhaltsfestellungen gemäss Strafbefehl anschliessen konnte. Insbesondere durfte sie in haltbarer Weise annehmen, dass der frontale Abstand beim Wiedereinbiegen gering war und der Lenker des Personenwagens nicht nur zum Antippen der Bremsen, sondern zu einem Abbremsen zur Vermeidung einer Kollision veranlasst wurde. Die Vorinstanz durfte deshalb auf der Sachverhaltsebene den Schluss ziehen, dass der Beschwerdeführer beim Wiedereinbiegen den Lenker des Personenwagen in der Weiterfahrt behinderte und der Beschwerdeführer deswegen einer der Verursacher der entstandenen Gefahrensituation war. Die Vorinstanz hat dadurch ebenso wenig die Unschuldsvermutung verletzt.
Auch macht der Beschwerdeführer nicht geltend, der Lenker des Personenwagens habe ihn mit Aussagen im Strafverfahren direkt entlastet. Der Beschwerdeführer beruft sich im Wesentlichen auf fehlende diesbezügliche Aussagen. Unter den gegebenen Umständen ist es nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz in antizipierter Beweiswürdigung den Vorbringen des Beschwerdeführers zu den Aussagen des Lenkers des Personenwagens nicht im Einzelnen nachgegangen ist. Dieses Ergebnis gilt auch unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Vorinstanz die Akten aus den Strafverfahren gegen ihn und gegen den Lenker des Personenwagens beigezogen hatte (vgl. oben E. 1.3). In diesem Zusammenhang hat die Vorinstanz ebenso wenig den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör verletzt (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3.1.3 mit Hinweisen).
4.5. Insgesamt gehen die Rügen des Beschwerdeführers gegen die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz fehl.
5.
5.1. Im Streit liegt weiter, ob der Vorfall bundesrechtskonform als mittelschwere Widerhandlung gegen die Strassenverkehrsvorschriften qualifiziert worden ist. Das Gesetz unterscheidet zwischen der leichten, mittelschweren und schweren Widerhandlung (Art. 16a-c SVG). Gemäss <ref-law> begeht eine leichte Widerhandlung, wer durch Verletzung von Verkehrsregeln eine geringe Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft und ihn dabei nur ein leichtes Verschulden trifft (Abs. 1 lit. a). Eine mittelschwere Widerhandlung begeht, wer durch Verletzung von Verkehrsregeln eine Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft oder in Kauf nimmt (<ref-law>). Gemäss <ref-law> begeht eine schwere Widerhandlung, wer durch grobe Verletzung von Verkehrsregeln eine ernstliche Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft oder in Kauf nimmt.
5.2. Die mittelschwere Widerhandlung nach <ref-law> stellt einen Auffangtatbestand dar. Sie liegt vor, wenn nicht alle privilegierenden Elemente einer leichten Widerhandlung nach <ref-law> und nicht alle qualifizierenden Elemente einer schweren Widerhandlung nach <ref-law> gegeben sind. Demgegenüber setzt die Annahme einer leichten Widerhandlung kumulativ eine geringe Gefahr und ein leichtes Verschulden voraus (vgl. <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 2.2.2 f.).
5.3. Eine Gefahr für die Sicherheit anderer im Sinne von Art. 16a-c SVG ist bei einer konkreten oder auch bei einer erhöhten abstrakten Gefährdung zu bejahen. Eine erhöhte abstrakte Gefahr besteht, wenn die Möglichkeit einer konkreten Gefährdung oder Verletzung naheliegt. Ob eine solche Gefährdung vorliegt, ist anhand der jeweiligen Verhältnisse im Einzelfall zu beurteilen (vgl. Urteil 1C_334/2019 vom 11. Februar 2020 E. 3.1 mit Hinweisen).
6.
6.1. Die Vorinstanz hat erwogen, der Beschwerdeführer habe bei der Verletzung von Art. 34 Abs. 3 i.V.m. <ref-law> eine mindestens mittelschwere Verkehrsgefährdung verursacht. Er habe beim Wiedereinbiegen auf die Normalspur den Lenker des Personenwagens und dessen Mitfahrerin zumindest erhöht abstrakt gefährdet. Der Vertrauensgrundsatz entlaste den Beschwerdeführer dabei nicht. Zwar habe der Lenker des Personenwagens vorschriftswidrig beschleunigt (<ref-law>) und damit dem Beschwerdeführer das Überholen erschwert. Der Beschwerdeführer habe aber nicht darauf vertrauen dürfen, dass der frontale Abstand zum Personenwagen beim Wiedereinbiegen noch genügend gross sein würde, ohne sich dessen sicher zu sein. Es sei unbehelflich, wenn der Beschwerdeführer darlege, dass er einen Blick in den beim Wohnmobil vorhandenen Aussenspiegel getätigt habe, das Abschätzen der Distanzen bei seinem Fahrzeug allerdings schwierig sei. Da er sich nicht einer Notlage befunden habe, hätte er das Überholmanöver ohne Weiteres abbrechen und sich wieder hinter den Personenwagen zurückfallen lassen können. Es gelte die Maxime, wonach der Klügere nachgebe. Auch wenn zugunsten des Beschwerdeführers angenommen werde, dass die Fahrzeuge nur mit 60 km/h gefahren seien und ideale Strassen-, Verkehrs- und Sichtverhältnisse geherrscht hätten, hätte eine Kollision schwerste Folgen haben können. Bei diesem Ergebnis hat die Vorinstanz offengelassen, ob das Verschulden des Beschwerdeführers noch als leicht anzusehen sei.
6.2. Bei den Vorschriften über den Spurwechsel im Sinne von Art. 34 Abs. 3 und <ref-law> handelt es sich nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung um objektiv wichtige Verkehrsvorschriften (vgl. Urteil 6B_1173/2020 vom 18. November 2020 E. 1.1.1 mit Hinweisen). Die Verletzung einer für die Verkehrssicherheit bedeutsamen Vorschrift wiegt grundsätzlich objektiv schwer. Die Vorinstanz hat sich nicht mit diesem Grundsatz begnügt, sondern auch die Tragweite der verursachten Gefahr im Einzelfall beurteilt (vgl. oben E. 5.3). Dass im konkreten Fall ein hohes Verkehrsaufkommen geherrscht hätte, ist weder dargetan noch ersichtlich. Das Wiedereinbiegen des Beschwerdeführers bzw. der entsprechende Spurwechsel hat den Lenker des Personenwagens zum Abbremsen gezwungen und diesen dadurch erheblich bei der Weiterfahrt behindert (vgl. oben E. 2.1). Dabei verursachte der Beschwerdeführer eine Gefährdung, bei der ein Auffahrunfall auf einem Autobahnabschnitt nahelag. Die Vorinstanz hat den Vorfall bei der Annahme einer gefahrenen Geschwindigkeit von 60 km/h zu Recht als Schaffung einer mehr als geringen erhöhten abstrakten Gefahr beurteilt.
Zwar beschleunigte der Lenker des Personenwagens vorschriftswidrig und erschwerte das Überholmanöver des Beschwerdeführers. Der Vorinstanz ist aber zuzustimmen, dass dem Beschwerdeführer die Berufung auf den Vertrauensgrundsatz in diesem Zusammenhang nicht weiterhilft. Wie er vor Bundesgericht vorbringt, ist das von ihm gefahrene Wohnmobil viel schwerfälliger beim Beschleunigen als der überholte Personenwagen. Es ist ihm zuzugestehen, dass er eine Beschleunigung des überholten Personenwagens nicht im vornherein zu erwarten hatte. Trotzdem oblag ihm eine erhöhte Vorsichtspflicht, als der Blick in den Aussenspiegel vor dem Wiedereinbiegen nicht mehr zuverlässig zur Abschätzung führte, dass die frontale Distanz zum überholten Personenwagen noch deutlich ausreiche. Spätestens in diesem Moment hätte er die entstandene Unklarheit beim Abstand angesichts des viel grösseren Beschleunigungsvermögens des Personenwagens als konkretes Anzeichen für ein vorschriftswidriges Beschleunigen des letzteren erkennen können und müssen. Der Beschwerdeführer beachtete die Pflicht zu risikoarmem Verhalten bei einer solchen Situation nicht, als er das Wiedereinbiegen bzw. den Spurwechsel dessen ungeachtet vollzog (vgl. oben E. 2.2).
6.3. Insgesamt hat der Beschwerdeführer eine Gefahr für die Sicherheit anderer geschaffen, die nicht mehr als gering im Sinne von <ref-law> beurteilt werden kann. Der abweichenden Meinung des Beschwerdeführers kann nicht beigepflichtet werden. Demzufolge kommt die Annahme einer leichten Widerhandlung im Sinne dieser Bestimmung nicht in Betracht. Mit der Einstufung als mittelschwere Widerhandlung (<ref-law>) hat die Vorinstanz auch keinen Widerspruch zum Ausgang des Strafverfahrens geschaffen; eine einfache Verkehrsregelverletzung im Sinne von <ref-law> entspricht sowohl einer leichten als auch einer mittelschweren Widerhandlung (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.4).
6.4. Bei der Festsetzung der Dauer des Führerausweisentzugs sind die Umstände des Einzelfalls zu berücksichtigen, namentlich die Gefährdung der Verkehrssicherheit, das Verschulden, der Leumund als Motorfahrzeugführer sowie die berufliche Notwendigkeit, ein Motorfahrzeug zu führen (<ref-law>). Die Mindestentzugsdauer darf jedoch (von der hier nicht interessierenden Ausnahme für Vorfälle auf Dienstfahrten gemäss <ref-law> abgesehen) nicht unterschritten werden (<ref-law>). Auch ein bisher tadelloser automobilistischer Leumund soll nur bis zur vorgeschriebenen Mindestentzugsdauer berücksichtigt werden können (vgl. <ref-ruling> E. 2.2). Die Vorinstanzen haben es vorliegend in Anwendung von <ref-law> bei einer für eine mittelschwere Widerhandlung minimalen Entzugsdauer von einem Monat bewenden lassen. Dies erweist sich als bundesrechtskonform.
7.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Der unterliegende Beschwerdeführer hat die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern, der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern und dem Bundesamt für Strassen, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Februar 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Kessler Coendet