Sachverhalt:
A.
Die A._ AG (nachfolgend: die Gesellschaft), eine Generalunternehmung im Bauhauptgewerbe, hatte in den hier interessierenden Steuerperioden 2001 bis 2007 statutarischen Sitz in U._/SZ. Haupt- bzw. alleiniger Aktionär war in diesem Zeitraum B._ (geb. 1976, nun lic. oec. publ. HSG). Er verfügte im Jahr 2004 über 98 Prozent, ab 2005 über 100 Prozent der Aktien. Zu Beginn wirkte er als Präsident des Verwaltungsrats, ab dem Jahr 2004 als einziges Mitglied des Verwaltungsrats, wobei er über Einzelunterschrift verfügte. In dieser Eigenschaft unterzeichnete B._ (nachfolgend: der Alleinaktionär) namentlich auch die Steuererklärungen für die Gesellschaft. Als Buchhalter wirkte zu dieser Zeit C._. Die Steuerverwaltung des Kantons Schwyz (KSTV/SZ) bzw. die Verwaltung für die direkte Bundessteuer des Kantons Schwyz (VdBSt/SZ; zusammenfassend nachfolgend: die Veranlagungsbehörde) nahmen die Veranlagungen zu den Steuerperioden 2001 bis 2007 entsprechend den eingereichten handelsrechtlichen Abschlüssen vor. Die Veranlagungsverfügungen erwuchsen in Rechtskraft.
B.
Gestützt auf eine Ermächtigung des Vorstehers des Eidgenössischen Finanzdepartements (EFD) vom 16. Dezember 2008 eröffnete die Eidgenössische Steuerverwaltung, Abteilung Strafsachen und Untersuchungen (ASU), gegen die Gesellschaft und den Alleinaktionär, ferner gegen C._, D._ (Vater des Alleinaktionärs) und gegen die E._ AG mit damaligem statutarischen Sitz in V._/AG eine besondere Strafuntersuchung im Sinne von <ref-law> wegen des Verdachts auf schwere Steuerwiderhandlungen. Die Veranlagungsbehörde eröffnete ihrerseits am 10. Dezember 2009 für die Steuerperioden 1999 bis 2007 ein Nachsteuerverfahren gegen die Gesellschaft (vgl. bundesgerichtliches Verfahren 2C_1067/2017) und leitete darüber hinaus gegen die Gesellschaft ein Steuerstrafverfahren wegen Steuerhinterziehung sowie wegen Gehilfenschaft zur Steuerhinterziehung ein (vorliegendes Verfahren 2C_257/2018 / 2C_308/2018). Der Gesellschaft wurde namentlich vorgeworfen, sie habe mit Hilfe von Strukturen, die Dritte aufgesetzt hatten, Gewinnverschiebungen ins Fürstentum Liechtenstein vorgenommen und den Gewinn und das Kapital nicht vollumfänglich deklariert. Schliesslich leitete die Veranlagungsbehörde ebenfalls am 10. Dezember 2009 ein Nachsteuer- und ein Strafsteuerverfahren gegen den Alleinaktionärein (vgl. bundesgerichtliches Verfahren 2C_32/2018 / 2C_35/2018). Ihm wurde vorgeworfen, beim Aufbau der Steuerhinterziehungsstrukturen im Ausland mitgeholfen und Einkommen und Vermögen nicht deklariert zu haben. Die Abteilung ASU der ESTV legte am 8. April 2013 ihre Feststellungen (bezüglich der Gesellschaft) bzw. ihren Bericht (betreffend den Alleinaktionär) vor. Im Zusammenhang mit den verschiedenen Verfahren befragte die Veranlagungsbehörde, wie beantragt, den Alleinaktionär, nämlich am 3. Juli 2014 (als Organ der Gesellschaft) und am 10. Juli 2014 (in eigener Sache).
C.
C.a. Mit Verfügung vom 3. Juli 2015 setzte die Veranlagungsbehörde gegenüber der Gesellschaft für die Steuerperioden 2001 bis 2007 Nachsteuern von insgesamt Fr. 169'333.25 (kantonale Steuern) bzw. Fr. 172'678.10 (direkte Bundessteuer) fest und auferlegte sie dieser zudem Bussen wegen vollendeter Steuerhinterziehung von insgesamt Fr. 245'400.-- (kantonale Steuern) bzw. Fr. 252'600.-- (direkte Bundessteuer). Die Nachsteuerverfahren und die Steuerstrafverfahren hinsichtlich der Steuerperioden 1999 und 2000 wurden eingestellt.
C.b. Mit weiterer Verfügung vom 3. Juli 2015 forderte die Veranlagungsbehörde vom Alleinaktionär für die Steuerperioden 2001 bis 2004 Nachsteuern von Fr. 83'261.20 (kantonale Steuern) und Fr. 146'177.25 (direkte Bundessteuer) nach. Weiter auferlegte sie ihm Bussen wegen vollendeter Steuerhinterziehung von insgesamt Fr. 116'050.-- (kantonale Steuern) bzw. Fr. 206'900.-- (direkte Bundessteuer). Die Nachsteuerverfahren und die Steuerstrafverfahren hinsichtlich der Steuerperiode 2000 wurden eingestellt.
C.c. Die Gesellschaft und der Alleinaktionär erhoben Einsprache an die Steuerkommission bzw. die Verwaltung für die direkte Bundessteuer des Kantons Schwyz (KSTK/VdBSt/SZ; nachfolgend: die Einsprachebehörde). Die Einsprachebehörde wies die Einsprache der Gesellschaft bezüglich der direkten Bundessteuer ab. Jene der Gesellschaft betreffend die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Schwyz hiess sie insofern teilweise gut, als sie die Nachsteuerforderungen zulasten des Eigenkapitals passivierte (nicht aber gewinnmindernd berücksichtigte); im Übrigen wies sie die Einsprache ab (Entscheide vom 18. Februar 2016). Ebenso mit Einspracheentscheiden vom 18. Februar 2016 wies die Einsprachebehörde die Einsprachen des Alleinaktionärs ab. Mit Entscheid II 2016 43 / II 2016 44 vom 28. November 2017 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz die Beschwerden des Alleinaktionärs im Nachsteuerpunkt gut, soweit die Steuerperiode 2001 betreffend (Eintritt der Verjährung), im Übrigen wies es sie ab. Im Steuerstrafpunkt hiess es sie gut (Eintritt der Verjährung).
D.
D.a. Die Gesellschaft gelangte mit Beschwerden vom 29. März 2016 an das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz. Dessen Kammer II erkannte mit Entscheid II 2016 41 vom 31. Oktober 2017, der Antrag auf Vereinigung der beiden Verfahren bezüglich der Gesellschaft und der beiden Verfahren betreffend den Alleinaktionär werde abgewiesen. In den Verfahren hinsichtlich der Gesellschaft wurden das Nachsteuerverfahren und das Steuerstrafverfahren getrennt und die Beschwerde im Nachsteuerpunkt vorab beurteilt. Das Recht, die Nachsteuer für die Steuerperiode 2001 festzusetzen, sei verjährt. In teilweiser Gutheissung der Beschwerden wurden die angefochtenen Einspracheentscheide zur Nachsteuer für die Steuerperioden 2002 bis 2007 aufgehoben und die Sache zur Neufestsetzung der Nachsteuern an die Vorinstanzen zurückgewiesen.
D.b. Das Verwaltungsgericht hielt hauptsächlich fest, die Einsprachebehörde sei im Einspracheentscheid vom 18. Februar 2016 zutreffend zum Schluss gelangt, dass in der Buchhaltung der Gesellschaft zum einen geschäftsmässig unbegründeter Aufwand verbucht und zum anderen Ertrag nicht verbucht worden sei. Zum aufzurechnenden Aufwand zählte das Verwaltungsgericht - soweit hier noch interessierend - unbegründete Zahlungen (für angebliche Baudienst- und Vermittlungsleistungen) an die F._ AG in W._ (FL), an welcher D._, der Vater des Alleinaktionärs, wirtschaftlich berechtigt sei, ferner die Übernahme von Versicherungsprämien für Fahrzeuge, die im Eigentum der E._ AG standen. Die unverbuchten oder erfolgsneutral (über das Konto 2390) verbuchten Geschäftsvorfälle betrafen den Verkauf von Fahrzeugen, Prämienrückvergütungen, ein nicht deklariertes ("schwarzes") Konto bei der G._-Bank sowie den Verzicht auf den Herausgabeanspruch aus einer konkurrenzierenden Tätigkeit des Alleinaktionärs in seiner Eigenschaft als einziges Mitglied des Verwaltungsrats (Provisionen seitens der H._-Bank aus der Vermittlung von Hypotheken). Insoweit sei der angefochtene Entscheid nicht zu beanstanden.
D.c. Die Einsprachebehörde habe aber Bundesrecht dadurch verletzt, dass sie die Steuerrückstellung (Nachsteuern) lediglich kapital-, nicht aber gewinnmindernd berücksichtigt habe. Zulässig sei demgegenüber, dass die Verzugs- und Ausgleichszinsen nicht auf die Steuerperioden verteilt, sondern der Steuerperiode zugeordnet würden, in welcher die Zinsen fakturiert wurden.
D.d. Mit Eingabe vom 13. Dezember 2017 erhob die Gesellschaft beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragte, es sei festzustellen, dass der angefochtene Entscheid nichtig sei, eventuell sei dieser aufzuheben und an die Vorinstanz zurückzuweisen, jedenfalls aber seien die Gewinnaufrechnungen von Fr. 7'941.-- (2006) und Fr. 15'802.-- (Einkünfte aus Vermittlungsprovisionen des Alleinaktionärs) aufzuheben und alle Zinsen in der jeweiligen Steuerperiode gewinn- und kapitalmindernd zu berücksichtigen. Mit Urteil 2C_1067/2017 vom 11. November 2019 hiess das Bundesgericht die Beschwerden zu den Steuerperioden 2001 bis 2007 teilweise gut und hob es das Urteil II 2016 41 des Verwaltungsgerichts des Kantons Schwyz, Kammer II, vom 31. Oktober 2017 insoweit auf. Im Übrigen wurde die Beschwerde abgewiesen.
Das Bundesgericht erwog, bezüglich der Steuerperioden 2001, 2002 und 2003 sei die Veranlagungsverjährung eingetreten. Was die Vermittlungsprovisionen von Fr. 7'941.-- (2006) und 15'802.-- (2007) betreffe, sei entgegen den kantonalen Instanzen keine konkurrenzierende Tätigkeit zwischen dem Alleinaktionär und der Gesellschaft ersichtlich. Zumindest statutengemäss handle es sich bei der streitbetroffenen Gesellschaft um eine Generalunternehmung. Wie dem angefochtenen Entscheid entnommen werden könne, betätige die Gesellschaft sich auch tatsächlich in diesem Bereich.
Die Vorinstanz sei der Auffassung, zwischen der Vermittlung von Immobilien und der Vermittlung von Hypothekardarlehen bestehe ein hinreichend enger Zusammenhang, um eine Konkurrenzsituation zu begründen. Dazu sei folgendes zu sagen: Es dürfe zwar als allgemein notorisch gelten, dass Bauherren gewöhnlich daran interessiert seien, möglichst viele Leistungen aus einer Hand zu beziehen. Entgegen der Vorinstanz lasse sich indes kaum annehmen, wer Immobilien vermittle, vermittle auch Hypothekardarlehen. Dies könne, müsse aber nicht der Fall sein. Entsprechend sei im individuell-konkreten Fall zu prüfen, ob die Gesellschaft dies tatsächlich getan habe. Auf eine blosse "Branchenüblichkeit" abzustellen, vermöge den im Einzelfall erforderlichen Nachweis nicht zu ersetzen.
Unter den gegebenen Umständen zeige sich, dass der Alleinaktionär in einer Weise vorgegangen sei, die zu keiner unzulässigen Konkurrenzierung der Gesellschaft führe. Von einer solchen wäre nur zu sprechen, wenn sich aufgrund der vorinstanzlichen Feststellungen sagen liesse, dass die Vermittlung von Grundpfanddarlehen zum üblichen Betätigungsfeld der Gesellschaft zähle. Daran fehle es jedoch, weshalb von vornherein keine konkurrenzierende Tätigkeit vorliegen könne. Für eine Aufrechnung bleibe auf Ebene der Gesellschaft unter diesem Titel kein Raum. Die Beschwerde sei insofern gutzuheissen.
E.
Bis dahin betrifft dies alles im Wesentlichen den Nachsteuerpunkt. Im Steuerstrafpunkt beurteilte das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer II, die Beschwerden vom 29. März 2016 (vorne lit. D.a) mit Entscheid II 2016 42 vom 20. Februar 2018. Nachdem die Steuerstrafverfahren hinsichtlich der Steuerperioden 1999 und 2000bereits von der Veranlagungsbehörde eingestellt worden waren (vorne lit. C.a), waren noch die Steuerperioden 2001 bis 2007 zu beurteilen. Das Kantonsgericht erwog, hinsichtlich der Steuerperioden 2001 bis 2004sei die Verjährung des Rechts zur Verfolgung des Vorwurfs der vollendeten Steuerhinterziehung eingetreten. Bezüglich der Steuerperioden 2005 bis 2007seien die Beschwerde bzw. das Begehren um gerichtliche Beurteilung teilweise gutzuheissen, der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zur Neufestsetzung der Bussen wegen vollendeter Steuerhinterziehung (Berücksichtigung der Steuerrückstellung für die aufgerechneten Elemente) an die Veranlagungsbehörde zurückzuweisen. Anlass für die teilweise Gutheissung gab der Umstand, dass die Einsprachebehörde die Steuerrückstellung (Nachsteuern) lediglich kapital-, nicht aber gewinnmindernd berücksichtigt habe (vorne lit. D.c). Zur Neubemessung der Hinterziehungsbussen - unter Beibehaltung des Koeffizienten von 200 Prozent - sei die Sache an die Einsprachebehörde zurückzuweisen.
F.
F.a. Mit Eingabe vom 15. März 2018 erhebt die Veranlagungsbehörde beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Verfahren 2C_257/2018). Sie beantragt, der angefochtene Entscheid sei, soweit die Steuerperioden 2001 bis 2004 betreffend, aufzuheben; es sei festzustellen, dass das Recht zur Verhängung von Steuerbussen wegen vollendeter Steuerhinterziehung noch nicht verjährt sei, weshalb die Sache zur materiellen Beurteilung an die Veranlagungsbehörde zurückzuweisen sei.
F.b. Die Gesellschaft gelangt ihrerseits mit Eingabe vom 13. April 2019 an das Bundesgericht, erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, es sei festzustellen, dass der angefochtene Entscheid nichtig sei, eventuell sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen (Verfahren 2C_308/2018). Gerügt wird: Verweigerung des rechtlichen Gehörs, insbesondere Verweigerung der Abnahme der ordnungsgemäss offerierten Beweismittel, Missachtung der Untersuchungsmaxime, Verweigerung von Beweisauflagen, Missachtung der Kooperationsmaxime, Verweigerung eines fairen Verfahrens.
G.
Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (<ref-law> [SR 173.110]) hat im Verfahren 2C_257/2018 (Beschwerde der Veranlagungsbehörde) von Instruktionsmassnahmen abgesehen. Im Verfahren 2C_308/2018 hat er den Schriftenwechsel veranlasst und die vorinstanzlichen Akten beigezogen. Die Vorinstanz schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Einsprachebehörde und die ESTV beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen.

Erwägungen:
I. Prozessuales
1.
1.1. Die beiden Beschwerden richten sich gegen den nämlichen Entscheid II 2016 42 vom 20. Februar 2018; sie betreffen die gleichen Parteien, den gleichen Sachverhalt und weitgehend die gleichen Rechtsfragen. Es rechtfertigt sich, die zwei Verfahren zu vereinigen (vgl. <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 296).
1.2.
1.2.1. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sind gegeben (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1 [Verfahren 2C_308/2018] bzw. Art. 89 Abs. 2 lit. d [Verfahren 2C_257/2018] und <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> [SR 642.11] und Art. 73 StHG [SR 642.14]). Insbesondere ist der angefochtene Entscheid auch selbständig anfechtbar: Die Vorinstanz hat zwar einen Rückweisungsentscheid gefällt, was grundsätzlich für einen Zwischenentscheid spricht (<ref-law>). Abgesehen von der eingetretenen Verfolgungsverjährung (Steuerperioden 2001 bis 2004), kam es allerdings nur deswegen zur teilweisen Gutheissung und Rückweisung an die Einsprachebehörde, weil diese die Nachsteuern nur kapital-, nicht aber gewinnmindernd berücksichtigt hatte, was sich zwangsläufig auf die Hinterziehungsbusse auswirkt (Sachverhalt, lit. D.c).
1.2.2. Wenn die Rückweisung - wie hier - einzig noch der (rechnerischen) Umsetzung der oberinstanzlichen Anordnungen dient und der Unterinstanz daher keinerlei Entscheidungsspielraum mehr verbleibt, nimmt die öffentlich-rechtliche Praxis des Bundesgerichts einen anfechtbaren (Quasi-) Endentscheid im Sinne von <ref-law> an (<ref-ruling> E. 2.1 S. 45). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
1.2.3. Nichts Anderes ergibt sich daraus, dass der Kanton Schwyz, wie die Gesellschaft vorbringt, es bis dahin unterlassen haben soll, das Mehrfamilienhaus in X._/AG zu berücksichtigen, obwohl der Kanton Aargau die interkantonale Steuerausscheidung ausdrücklich verlangt habe. Zudem frage sich, so die Gesellschaft, ob die Leistungen, welche sie angeblich an die E._ AG erbracht habe, eine ausserkantonale Betriebsstätte begründen könnten. Dem angefochtenen Entscheid lässt sich zu einem ausserkantonalen Grundstück nichts entnehmen. Selbst wenn die Gesellschaft in den streitbetroffenen Steuerperioden ein solches gehalten haben sollte, hätte dies entgegen den Vorbringen der Gesellschaft nicht zwingend zur Folge, dass die interkantonale Steuerausscheidung zwangsläufig schon vorliegen müsste. Sollte der andere Kanton später der Ansicht sein, die Gesellschaft begründe eine Betriebsstätte, so wäre dies im Verfahren gemäss <ref-law> zu rügen.
1.3. Das Bundesgericht prüft das Bundesrecht von Amtes wegen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 210) und mit uneingeschränkter (voller) Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 241). Bei aller Rechtsanwendung von Amtes wegen untersucht das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286), aber nur die geltend gemachten Rügen (<ref-ruling> E. 2 S. 5), es sei denn, die rechtlichen Mängel lägen geradezu auf der Hand (<ref-ruling> E. 1.7.1 S. 106).
1.4. Die Verletzung von verfassungsmässigen Individualrechten (einschliesslich der Grundrechte) und des rein kantonalen Rechts prüft das Bundesgericht nur, soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit gemäss <ref-law>). In der Beschwerde ist daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, dass und inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 41). Rein appellatorische Kritik entspricht diesen Anforderungen nicht (<ref-ruling> E. 2.1 S. 133).
1.5. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.5 S. 31). Die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen können von Amtes wegen oder auf Rüge hin berichtigt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 105 Abs. 2 und Art. 97 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 5.1 S. 232). "Offensichtlich unrichtig" ist mit "willkürlich" gleichzusetzen (<ref-ruling> E. 2.3.3 S. 42 f.). Tatfrage ist auch die Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 3 S. 112). Die Anfechtung der vorinstanzlichen Feststellungen unterliegt der qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit (<ref-ruling> E. 4.1 S. 52 f. mit Hinweisen; vorne E. 1.4).
II. Formelle Rügen
2.
Formelle Rügen und Sachverhaltsrügen sind vorab zu behandeln (<ref-ruling> E. 3 S. 563; <ref-ruling> E. 5.1 S. 237).
2.1. Die Gesellschaft rügt eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Sie trägt hauptsächlich vor, die streitbetroffenen Aufrechnungen seien "ohne jede Beweisauflage, ohne jedes Beweisverfahren" ergangen. Gegenteils sei die Abnahme der "wiederholt und fortgesetzt offerierten Beweise (...) systematisch verweigert" worden. Insbesondere hätten die kantonalen Instanzen alle Beweisanträge abgewiesen, mit denen hätte nachgewiesen können, dass der Buchhalter, der Vater des Alleinaktionärs, die Mutters des Alleinaktionärs und gegebenenfalls weitere Beteiligte - unter Umgehung der Organe der Gesellschaft - "in eigener Regie Leistungen oder jedenfalls Zahlungen zwischen der E._ AG und der F._ AG (...) verschoben" hätten, die nun zur Aufrechnung auf Ebene der Gesellschaft führten. So sei namentlich der Einwand übergangen worden, dass die Unterschriften des Alleinaktionärs gefälscht bzw. seine Blankounterschriften missbraucht worden seien.
2.2. Die Gesellschaft rügt mehrfach, wenn auch nur beiläufig und ohne näher darauf einzugehen, einen Verstoss gegen Art. 6 EMRK.
2.2.1. Anders als beim Veranlagungs- und Nachsteuerverfahren handelt es sich beim direktsteuerlichen Hinterziehungsverfahren um eine strafrechtliche Anklage im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK ("de nature pénale"; <ref-ruling> E. 3.3.5 S. 348; <ref-ruling> E. 9.2 S. 74; <ref-ruling> E. 2.6.1 S. 51; Entscheide des EGMR Chambaz gegen die Schweiz vom 5. April 2012 [11663/04] § 36 ff., insb. 48; J. B. gegen die Schweiz vom 3. Mai 2001 [31827/96] § 42 ff., insb. 50; A. P., M. P. und T. P. gegen die Schweiz vom 29. August 1997 [19958/92] § 7 ff., insb. 43). Entgegen der Annahme der Gesellschaft bedeutet dies aber nicht, dass das Verfahren sich daher nach der Schweizerischen Strafprozessordnung (StPO; SR 312.0) zu richten hätte. Vielmehr sieht <ref-law> folgende Triage vor: Während direktsteuerliche Übertretungen (Art. 174 und Art. 175 bis 181a DBG) nach den Regeln über die Veranlagung verfolgt werden (<ref-ruling> E. 5.3 S. 141), sind Steuervergehen (Art. 186 und 187 DBG), für die ohnehin die Strafbehörden zuständig sind, nach Massgabe der StPO zu behandeln (Art. 188 Abs. 1 und 2 DBG; Urteil 2C_181/2019 vom 11. März 2019 E. 2.3.2, in: ASA 87 S. 664, StE 2019 B 92.52 Nr. 4, StR 74/2019 S. 407). Ansonsten sind die direktsteuerlichen Verfahrensvorschriften anwendbar und, ergänzend, das kantonale Verwaltungsverfahrensrecht (Urteil 2C_581/2019 vom 12. Juli 2019 E. 3.2.1).
2.2.2. Schliesslich ist zu berücksichtigen, dass die Garantien und Regeln des Verwaltungsstrafrechts, wie sie in dem von der ESTV geführten Verfahren wegen Verdachts auf schwere Steuerwiderhandlungen (<ref-law>) geherrscht hatten, im Lichte von Art. 6 EMRK auszulegen sind bzw. waren (<ref-ruling> E. 2.1.1 S. 431).
2.3. Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>; vorne E. 1.5) haben die kantonalen Behörden das Nachsteuer- und das Steuerhinterziehungsverfahren in weitestgehendem Ausmass parallel geführt.
2.3.1. Die Abklärungen mündeten in die Verfügung der Veranlagungsbehörde vom 3. Juli 2015 (Sachverhalt, lit. C.a). Auch im Einspracheentscheid vom 18. Februar 2016 (Sachverhalt, lit. C.c) kam es zur parallelen Beurteilung von Nachsteuer- und Steuerstrafpunkt. Im erstinstanzlichen Verfahren hat die Veranlagungsbehörde den Alleinaktionär, wie beantragt, befragt, nämlich am 3. Juli und am 10. Juli 2014 (Sachverhalt, lit. B). Darüber kam es am 28. Oktober 2015 zu einer mündlichen Einspracheverhandlung, an welcher der Alleinaktionär aber nicht teilnahm und sich durch Rechtsanwalt Pius Huber vertreten liess. Gesellschaft und Alleinaktionär konnten sich damit mündlich und schriftlich äussern. Im Urteil 2C_1067/2017 vom 11. November 2019 E. 2.3.3, welches das Nachsteuerverfahren gegenüber der Gesellschaft betrifft, erkannte das Bundesgericht, dass die Vorinstanz in bundesrechtskonformer und willkürfreier antizipierter Beweiswürdigung davon habe absehen dürfen, weitere offerierte Beweismittel abzunehmen. Darauf kann verwiesen werden. Nachdem das Steuerhinterziehungsverfahren (<ref-law>) und das Nachsteuerverfahren (<ref-law>) übereinstimmend auf den Vorschriften des Veranlagungs- und Beschwerdeverfahrens beruhen, ist es der Veranlagungsbehörde an sich unbenommen, bei Untersuchung der Steuerhinterziehung auf die im Nachsteuerverfahren gewonnenen Erkenntnisse abzustellen.
2.3.2. Beweismittel aus einem Nachsteuerverfahren dürfen in einem Strafverfahren wegen Steuerhinterziehung aber nur dann verwendet werden, wenn sie weder unter Androhung einer Veranlagung nach pflichtgemässem Ermessen (Art. 130 Abs. 2) mit Umkehr der Beweislast nach Art. 132 Abs. 3 noch unter Androhung einer Busse wegen Verletzung von Verfahrenspflichten beschafft wurden (<ref-law>; ebenso Art. 57a Abs. 2 StHG). Mit andern Worten läge eine unzulässige Vermischung dann vor, wenn die betroffene Person im fortgeführten Veranlagungsverfahren unter Androhung von Strafe zur Mitwirkung bei der Sachverhaltsermittlung angehalten worden wäre, was dem Grundsatz widersprochen hätte, sich in einem Strafverfahren nicht selbst belasten und zu seiner eigenen Verurteilung beitragen zu müssen ( nemo tenetur se ipsum accusare; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 433; <ref-ruling> E. 2.6.1 S. 52).
2.3.3. Die Gesellschaft rügt sodann einen Verstoss gegen <ref-law>. Sie macht indes nichts geltend, was sie nicht schon im Nachsteuerverfahren (2C_1067/2017) vorgebracht hätte. Insbesondere zeigt sie nicht auf, dass und inwiefern die Beweismittel in einer <ref-law> bzw. Art. 57a Abs. 2 StHG widersprechenden Weise beschafft worden sein sollten. Ihre Kritik zielt wiederum darauf ab, dass die kantonalen Instanzen gehörsverletzend davon abgesehen hätten, die beantragten Befragungen und Gutachten vorzunehmen bzw. einzuholen. Wenn dies aber im Nachsteuerverfahren nicht zu beanstanden war, wie aus dem Urteil 2C_1067/2017 vom 11. November 2019 hervorgeht, so ist dies unter den gegebenen Umständen auch im Steuerhinterziehungsverfahren nicht zu beanstanden. Von Nichtigkeit kann nicht gesprochen werden. Die Beschwerde erweist sich insoweit als unbegründet.
2.4. Eine weitere formelle Rüge, welcher vorab nachzugehen ist, besteht darin, dass die kantonalen Instanzen gegen das Anklageprinzip verstossen hätten.
2.4.1. Nach dem im Bereich der Strafprozessordnung herrschenden Anklagegrundsatz bestimmt die Anklageschrift den Gegenstand des Gerichtsverfahrens ( Umgrenzungsfunktion; <ref-law>; Art. 9 und Art. 325 StPO; Art. 6 Ziff. 1 und Ziff. 3 lit. a und b EMRK). Das Gericht ist alsdann an den in der Anklage wiedergegebenen Sachverhalt gebunden, nicht aber an dessen rechtliche Würdigung durch die Anklagebehörde (vgl. <ref-law>). Die Anklage hat die der beschuldigten Person zur Last gelegten Delikte in ihrem Sachverhalt so präzis zu umschreiben, dass die Vorwürfe in objektiver und subjektiver Hinsicht genügend konkretisiert sind. Das Akkusationsprinzip bezweckt zugleich den Schutz der Verteidigungsrechte der beschuldigten Person und dient dem Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Die beschuldigte Person muss der Anklageschrift unter dem Gesichtspunkt der Informationsfunktionentnehmen können, wessen sie angeklagt ist. Das bedingt eine zureichende Umschreibung der Tat. Entscheidend ist, dass der Betroffene genau erfahren kann, welcher konkreter Handlungen er beschuldigt und wie sein Verhalten rechtlich qualifiziert wird, damit er sich in seiner Verteidigung richtig vorbereiten kann. Er darf nicht Gefahr laufen, erst an der Gerichtsverhandlung mit neuen Anschuldigungen konfrontiert zu werden (<ref-ruling> E. 2.2 S. 65).
2.4.2. Auch beim direktsteuerlichen Hinterziehungsverfahren handelt es sich um eine strafrechtliche Anklage im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK (vorne E. 2.2.1). Folglich herrscht der Anklagegrundsatz, wenn auch nicht in der eben dargestellten Weise. Dies ergibt sich daraus, dass die für das Strafverfahren typische Trennung zwischen anklagender und erkennender Behörde fehlt: Die Veranlagungsbehörde untersucht den Sachverhalt, spricht die steuerpflichtige Person gegebenenfalls der Steuerhinterziehung schuldig und sanktioniert sie deswegen. Dies alles geschieht "aus einer Hand". Die (Verwaltungs-) Gerichtsbehörde kann den Tat- und Schuldvorwurf nur, aber immerhin, auf Beschwerde hin und damit im Rahmen der nachträglichen Verwaltungsrechtspflege prüfen. Aus diesem Grund muss der Umgrenzungs- und Informationsfunktion dadurch entsprochen werden, dass die Veranlagungsbehörde in ihrer Bussenverfügung mit hinreichender Deutlichkeit aufzeigt, welcher Sachverhalt der steuerpflichtigen Person zur Last gelegt wird. Anhand dessen kann diese dann den Tat- und Schuldvorwurf vor der Verwaltungsgerichtsbehörde beanstanden. Es besteht eine ähnliche Rechtslage wie im Bereich des Strafbefehlsverfahrens (<ref-law>). Wenn gegen den Strafbefehl Einsprache erhoben wird, kann dieser als Anklage gelten (<ref-law>; vgl. Urteil 6B_764/2016 vom 24. November 2016 E. 1.4). Es handelt sich beim Strafbefehl dann um einen "Anklageersatz" (<ref-ruling> E. 1.4 S. 190).
2.4.3. Entscheidend ist im vorliegenden Fall, ob die Gesellschaft mit Blick auf die Bussenverfügung der Veranlagungsbehörde vom 3. Juli 2015 (Sachverhalt, lit. C.a) hinreichend erkennen konnte, welche strafrechtlich relevanten Tat- und Schuldvorwürfe gegen sie erhoben werden, so dass sie sich wirksam zu verteidigen vermochte. Die Gesellschaft hält in recht allgemeiner Weise fest, es hätte anhand von "Ort, Art, Datum" aufgezeigt werden müssen, inwiefern die Gesellschaft Steuern hinterzogen haben soll. Dies sei unterblieben. Dies überzeugt nicht, denn es ist der Gesellschaft entgegenzuhalten, dass kein klassisches, einzig von der Veranlagungsbehörde geführtes Steuerstrafverfahren vorliegt. Vielmehr ging dem Hinterziehungsverfahren die besondere Strafuntersuchung der Abteilung Strafen und Untersuchungen (ASU) wegen des Verdachts auf schwere Steuerwiderhandlungen voran (<ref-law>; Sachverhalt, lit. B). Aufgrund der Feststellungen (bezüglich der Gesellschaft) bzw. des Berichts der Abteilung ASU der ESTV vom 8. April 2013 (betreffend den Alleinaktionär) war die Gesellschaft detailliert im Bild, welche Vorhalte erhoben wurden. Im kantonalen Verfahren ergaben sich keine weitergehenden Anklagen. Der Tat- und Schuldvorwurf ging aus der ausserordentlich detaillierten Verfügung, die 50 Seiten umfasst, mit der erforderlichen Klarheit hervor.
2.5. Insgesamt erweisen sich die formellen und Sachverhaltsrügen der Gesellschaft als unbegründet.
II. Direkte Bundessteuer
3.
3.1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz bundesrechtskonform zum Schluss gekommen sei, hinsichtlich der Steuerperioden 2001 bis und mit 2004 sei die Verfolgungsverjährung eingetreten. Die Veranlagungsbehörde bestreitet dies und vertritt die Ansicht, die Verjährung sei noch nicht eingetreten.
3.2. Gemäss <ref-law> in der Fassung vom 14. Dezember 1990 (AS 1991 1184; nachfolgend: DBG 1990), in Kraft vom 1. Januar 1995 (AS 1991 1255) bis zum 1. Januar 2017 (AS 2015 779) verjährte die Strafverfolgung bei vollendeter Steuerhinterziehung zehn Jahre nach dem Ablauf der Steuerperiode, für welche die steuerpflichtige Person nicht oder unvollständig veranlagt wurde (relative Frist; Art. 184 Abs. 1 lit. b DBG 1990). Die Verjährungsfrist konnte unterbrochen, aber insgesamt nicht um mehr als die Hälfte ihrer ursprünglichen Dauer hinausgeschoben werden (absolute Frist; Art. 184 Abs. 2 DBG 1990). Damit ergab sich eine Höchstdauer von 15 Jahren.
3.3. In der Folge kam es zu einer Überarbeitung des Strafgesetzbuches, welche auch die direkte Bundessteuer beeinflusste.
3.3.1. Im Zuge der allgemeinen Überarbeitung des strafrechtlichen Verjährungsrechts erliess der Bundesgesetzgeber eine Novelle, die auch das Nebenstrafrecht erfasste. Hier von Bedeutung sind Art. 333 Abs. 5 lit. b und d des Schweizerischen Strafgesetzbuchs vom 21. Dezember 1937 (StGB; SR 311.0) in der Fassung vom 22. März 2002, in Kraft seit dem 1. Oktober 2002 (AS 2002 2986; nachfolgend: StGB 2002). Die neue Norm wurde durch den inhaltsgleichen Art. 333 Abs. 6 lit. b und d StGB in der Fassung vom 13. Dezember 2002 ersetzt, der seit dem 1. Januar 2007 in Kraft ist (AS 2006 3459 3535; nachfolgend: StGB 2007 bzw. zusammenfassend StGB 2002/2007).
3.3.2. Nach dem Recht von 2002 bzw. 2007 werden "bis zu ihrer Anpassung in anderen Bundesgesetzen" die Verfolgungsverjährungsfristen für Übertretungen, die über ein Jahr betragen, um die ordentliche Dauer verlängert (lit. b). Die Verfolgungsverjährung tritt nicht mehr ein, wenn vor Ablauf der Verjährungsfrist ein erstinstanzliches Urteil ergangen war (lit. d). Diese Neuregelung ist, da sie, wie gesagt, auch das Nebenstrafrecht erfasst und das harmonisierte Steuerrecht von Bund, Kantonen und Gemeinden nichts anderes bestimmte, grundsätzlich auch im Bereich der direkten Bundessteuer anwendbar (vgl. Urteil 2C_1010/2016 / 2C_1012/2016 vom 19. Juli 2017 E. 2.5 Abs. 1; Botschaft vom 2. März 2012 zum Bundesgesetz über eine Anpassung des DBG und des StHG an die Allgemeinen Bestimmungen des StGB, BBl 2012 2869, insb. 2874 Ziff. 1.2.1). Im Anwendungsbereich des Rechts von 2002/2007 belief die Höchstdauer für Übertretungen sich damit auf 20 Jahre. Dagegen verjährten die direktsteuerlichen Vergehen (Steuerbetrug gemäss Art. 186, Veruntreuung von Quellensteuern nach <ref-law>) weiterhin nach 15 Jahren.
3.3.3. Das Bundesgericht erachtete dies als unhaltbar und legte das neue Recht dahingehend aus, dass für Übertretungen keine längere Verjährungsfrist als für die nach dem gleichen Gesetz zu ahndenden Vergehen bestehen dürfe (<ref-ruling> E. 2.1 S. 332). Diese Sichtweise war ursprünglich auf den Bereich der indirekten eidgenössischen Steuern beschränkt. Später dehnte das Bundesgericht sie auf die harmonisierten Steuern von Bund, Kantonen und Gemeinden aus (wegleitend dazu Urteil 2C_416/2013 und weitere vom 5. November 2013 E. 5.2.1, nicht publ. in: BGE <ref-ruling>, aber in: RDAF 2014 II S. 40; zuletzt Urteile 2C_3/2019 vom 4. Juli 2019 E. 4.2; 2C_444/2018 vom 31. Mai 2019 E. 4.3.1; 2C_874/2018 vom 17. April 2019 E. 5.3; PIETRO SANSONETTI/DANIELLE HOSTETTLER, in: Yves Noël/Florence Aubry Girardin [Hrsg.], Commentaire Romand, LIFD, N. 25 zu Art. 25 zu <ref-law>; ROMAN J. SIEBER/JASMIN MALLA, in: Martin Zweifel/Michael Beusch [Hrsg.], Komm. DBG, 3. Aufl. 2017, N. 4a zu <ref-law>). Mithin betrug die Verjährungsfrist im Bereich der Steuerhinterziehung unverändert 15 Jahre.
3.3.4. Der Bundesgesetzgeber hat mit Wirkung ab dem 1. Januar 2017 die direktsteuerlichen Bestimmungen zur steuerstrafrechtlichen Verfolgungsverjährung mit den Bestimmungen des Allgemeinen Teils des Strafgesetzbuches harmonisiert. Der neue Art. 184 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 Teilsatz 1 und Abs. 2 DBG in der Fassung vom 26. September 2014 (AS 2015 779; nachfolgend: DBG 2014) bestimmt seither:
" 1 Die Strafverfolgung verjährt:
b. bei vollendeter Steuerhinterziehung zehn Jahre nach Ablauf:
1. der Steuerperiode, für welche die steuerpflichtige Person nicht oder unvollständig veranlagt wurde (...)."
"2 Die Verjährung tritt nicht mehr ein, wenn die zuständige kantonale Behörde (Art. 182 Abs. 1) vor Ablauf der Verjährungsfrist eine Verfügung erlassen hat."
Ergänzend dazu, schuf der Gesetzgeber mit <ref-law> 2014 eine übergangsrechtliche Norm folgenden Inhalts:
"Für die Beurteilung von Straftaten, die in Steuerperioden vor Inkrafttreten der Änderung vom 26. September 2014 begangen wurden, ist das neue Recht anwendbar, sofern dieses milder ist als das in jenen Steuerperioden geltende Recht."
Dies entspricht <ref-law>, wonach die Bestimmungen des neuen Rechts über die Verfolgungs- und die Vollstreckungsverjährung, wenn sie milder als das bisherige Recht sind und das Gesetz nichts anderes bestimmt, auch auf die Täter Anwendung finden, die vor Inkrafttreten dieses Gesetzes eine Tat verübt haben oder beurteilt wurden. Welche Regelung zu einem milderen Ergebnis führt, ist im individuell-konkreten Fall zu untersuchen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 114; <ref-ruling> E. 6.2 S. 87). Das Gericht hat zu prüfen, "nach welchem der beiden Rechte der Täter besser wegkommt" (<ref-ruling> E. 3.3 S. 404).
3.4.
3.4.1. Nach den unbestrittenen und daher für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>; vorne E. 1.5) sprach die Veranlagungsbehörde die Steuerpflichtige mit Bussenverfügung vom 3. Juli 2015 schuldig der vollendeten Steuerhinterziehung, begangen in den Steuerperioden 2001 bis und mit 2007, und auferlegte sie ihr deswegen Hinterziehungsbussen von insgesamt rund Fr. 500'000.-- (Sachverhalt, lit. C.a). Die Vorinstanz ist demgegenüber der Ansicht, die Strafverfolgung hinsichtlich der Steuerperioden 2001 bis 2004 sei verjährt. Dem stehe nicht entgegen, dass bei 15-jähriger Verjährungsfrist rechtzeitig ein "erstinstanzliches Urteil" ergangen wäre (Art. 333 Abs. 6 lit. d StGB 2002). Spätestens mit dem Einspracheentscheid vom 18. Februar 2016 (Sachverhalt, lit. C.c) sei nach dem Recht von 2002/2007 die Unverjährbarkeit eingetreten, doch stehe dies unter dem Vorbehalt der lex mitior. Das Recht von 2014 erweise sich als milder. Was die Steuerperioden 2005, 2006 und 2007 betreffe, habe die Verfügung vom 3. Juli 2015 zur Unverjährbarkeit geführt.
3.4.2. Die beschwerdeführende Veranlagungsbehörde argumentiert, was unter dem Recht von 2002/2007 unverjährbar geworden sei, könne unter dem Recht von 2014 nicht (mehr) verjähren. Sie stellt sich im Wesentlichen auf den Standpunkt, spätestens mit dem Einspracheentscheid vom 18. Februar 2016 habe ein "erstinstanzliches Urteil" nach dem Recht von 2002/2007 vorgelegen und sei der Lauf der Verjährung dadurch definitiv angehalten worden. Übergangsrecht könnte nur angesprochen sein, soweit "über den zu beurteilenden Sachverhalt noch nicht definitiv entschieden" sei. Dies bedinge einen Fall, der sich zwar unter dem StGB 2002/2007 zugetragen, von der Erstinstanz aber erst nach dem 1. Januar 2017 beurteilt werde. Daran fehle es hier.
3.4.3. Es ist zu prüfen, nach welchem der mehreren Normen die Täterin "besser wegkommt" (vorne E. 3.3.4). Was zunächst das Verhältnis zwischen dem Recht von 1990 (vorne E. 3.2) und dem Recht von 2002/2007 (vorne E. 3.3) betrifft, besteht insofern Übereinstimmung, als die absolute Verjährung in beiden Fällen nach 15 Jahren eintritt. Wie auch die Veranlagungsbehörde annimmt, ist daher die Verfolgungsverjährung hinsichtlich der Steuerperiode 2001eingetreten.
3.4.4. Auf die weiteren streitbetroffenen Steuerperioden 2002 bis 2007 ist an sich das Recht von 2002/2007 anwendbar, das sofort in Kraft trat (Art. 2 Abs. 2 und Art. 104 in Verbindung mit <ref-law>). Das Recht von 2014 ist seinerseits erst am 1. Januar 2017 in Kraft getreten. Es wirkt aber insofern auf frühere Steuerperioden zurück, falls es sich gegenüber dem früheren Recht als das mildere erweist (<ref-law>).
Mit Blick darauf, ist zu den Steuerperioden 2002, 2003 und 2004folgendes festzuhalten: Nach dem Recht von 2002/2007 wäre die Verjährung spätestens mit dem Einspracheentscheid vom 18. Februar 2016 eingetreten. Insoweit ist der Veranlagungsbehörde zuzustimmen. Zu diesem Zeitpunkt stand das Recht von 2014 zwar noch nicht in Kraft, es kann aber kraft <ref-law> zurückwirken, sofern es sich als lex mitior darstellt (Urteil 2C_12/2017 vom 23. März 2018 E. 4.1, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: RDAF 2018 II 298) und die Angelegenheit nicht ohnehin schon rechtskräftigerledigt ist.
Diese beiden Voraussetzungen sind hier erfüllt: Die Veranlagungsbehörde erliess die Bussenverfügung (erst) am 3. Juli 2015, mithin mehr als zehn Jahre nach Ablauf der Steuerperioden 2002, 2004 und 2004. Nach dem Recht von 2014 war die Strafverfolgung damit verjährt, weshalb sich das Recht von 2002/2007, das seinerseits zur Unverjährbarkeit führen konnte, als das weniger günstige Recht erweist. Zu einer derartigen Konstellation hat das Bundesgericht die Praxis entwickelt, dass das Recht von 2014 diesfalls das Recht von 2002/2007 zurückdränge (Urteile 2C_1010/2016 / 2C_1012/2016 vom 19. Juli 2017 E. 2.5; 2C_12/2017 vom 23. März 2018 E. 4, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: RDAF 2018 II 298; 2C_333/2017 vom 12. April 2018 E. 8.2; 2C_760/2017 vom 15. Juni 2018 E. 4.2; 2C_11/2018 vom 10. Dezember 2018 E. 5.2; 2C_3/2019 vom 4. Juli 2019 E. 4.2). Daran ist festzuhalten, was dazu führt, dass auf die Steuerperioden 2002 bis 2004 das Recht von 2014 anwendbar ist. Folglich ist die Verfolgungsverjährung insofern eingetreten und erweist sich der angefochtene Entscheid als bundesrechtskonform.
3.4.5. Demgegenüber kann die Verfolgungsverjährung bezüglich der Steuerperioden 2005, 2006 und 2007nicht mehr eintreten; die Verfügung vom 3. Juli 2015 hat zur Unverjährbarkeit geführt. Auch dies hat die Vorinstanz bundesrechtskonform festgehalten.
3.5. Die Beschwerde der Veranlagungsbehörde (Verfahren 2C_257/2018) erweist sich daher als unbegründet; sie ist abzuweisen.
4.
4.1. Die Vorinstanz gelangt sodann zum Ergebnis, dass die Gesellschaft mit ihrem Verhalten in den unverjährbar gewordenen Steuerperioden 2005, 2006 und 2007 den Tatbestand der vollendeten Steuerhinterziehung erfüllt habe (Art. 175 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law>). Sie würdigt die Schuld der Gesellschaft bzw. des für sie handelnden Alleinaktionärs (in seiner Eigenschaft als einziges Mitglied des Verwaltungsrats) als schwer, weshalb ein Koeffizient von 200 Prozent (<ref-law>) gerechtfertigt sei. Die Gesellschaft bestreitet dies alles.
4.2. Gemäss <ref-law> wird die juristische Person sowohl durch den Abschluss von Rechtsgeschäften als auch durch das sonstige Verhalten ihrer (Exekutiv-) Organe verpflichtet.
4.2.1. Die juristische Person muss sich folglich auch das deliktische Verhalten ihrer Organe anrechnen lassen (<ref-ruling> E. 4a S. 179 f.; <ref-ruling> E. 10c S. 281; <ref-ruling> E. 2e S. 346). Die Zurechnung greift selbst dann, wenn das Organ in seinem eigenen und nicht im Interesse der juristischen Person gehandelt hat (<ref-ruling> E. 4a S. 179 f.; <ref-ruling> E. 7 S. 295; <ref-ruling> E. 9 S. 252).
4.2.2. In einer Aktiengesellschaft vertritt der Verwaltungsrat die Gesellschaft nach aussen (<ref-law>). Die Verwaltungsräte sind zu "aller Sorgfalt" verpflichtet und nicht bloss zur Vorsicht, die sie in eigenen Geschäften anzuwenden pflegen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 26; <ref-ruling> E. 3a S. 198; <ref-ruling> E. 3a S. 56). Handelt ein Mitglied des Verwaltungsrats pflichtwidrig unvorsichtig, ändert dies nichts daran, dass die Gesellschaft im Aussenverhältnis verpflichtet bleibt (<ref-law>; <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3 S. 82). Im Innenverhältnis - gegenüber der Gesellschaft, den einzelnen Aktionären und den Gesellschaftsgläubigern - sind die Mitglieder des Verwaltungsrats für den Schaden verantwortlich, den sie durch absichtliche oder fahrlässige Verletzung ihrer Pflichten verursachen (<ref-law>).
4.2.3. Zu den unübertragbaren und unentziehbaren Aufgaben des Verwaltungsrats zählt die Ausgestaltung des Rechnungswesens, der Finanzkontrolle sowie der Finanzplanung, sofern diese für die Führung der Gesellschaft notwendig ist (<ref-law>). Zieht der Verwaltungsrat Dritte bei, muss er sich etwaige Fehlleistungen seiner Vertretung oder Hilfsperson unmittelbar anrechnen lassen (Urteile 2C_1113/2018 vom 8. Januar 2019 E. 2.1; 2C_987/2017 vom 7. Dezember 2017 E. 3.4; 2C_222/2014 vom 10. März 2014 E. 2.4 mit Hinweis, in: ASA 82 S. 661). Dies gilt namentlich auch, was die Kontrolle der durch eine Hilfsperson ausgefüllten Steuererklärung betrifft (Urteil 2C_699/2012 vom 22. Oktober 2012 E. 3.4).
4.2.4. Juristischen Personen wird die strafrechtliche Deliktsfähigkeit im Bereich von Übertretungstatbeständen nur zuerkannt, falls und soweit ein Bundesgesetz oder kantonales Recht dies ausdrücklich vorsieht (<ref-ruling> E. 3.1.1 S. 250). Eine derartige Norm ist <ref-law>, wonach die juristische Person gebüsst wird, wenn mit Wirkung für sie Verfahrenspflichten verletzt, Steuern hinterzogen oder Steuern zu hinterzogen versucht werden. Die bundesgerichtliche Praxis geht dahin, dass die juristische Person sich das strafrechtliche Verschulden des Organs anrechnen lassen müsse (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 und 4.2 S. 89 f.; zuletzt: Urteil 2C_875/2018 vom 17. April 2019 E. 8.1.2). Wie zu zeigen ist (hinten E. 4.4), liegt das strafrechtliche Verschulden des einzigen Verwaltungsrats auf der Hand. Sein tatbestandsmässiges, widerrechtliches und schuldhaftes Verhalten erfolgte "mit Wirkung" für die Gesellschaft (<ref-law>) und wäre ihr auch zivilrechtlich zuzurechnen (<ref-law> und <ref-law>).
4.3. Damit ist zu prüfen, ob die Gesellschaft den Tatbestand der (eventual-) vorsätzlichen Steuerhinterziehung erfüllt hat, wovon die Vorinstanz ausgeht und was die Gesellschaft bestreitet.
4.3.1. Den Tatbestand der vollendeten Steuerhinterziehung erfüllt, wer als steuerpflichtige Person vorsätzlich oder fahrlässig bewirkt, dass eine Veranlagung zu Unrecht unterbleibt oder dass eine rechtskräftige Veranlagung unvollständig ist (<ref-law>). Streitig sind im Steuerstrafpunkt noch die Steuerperioden 2005 bis 2007.
4.3.2. Im Urteil 2C_1067/2017 vom 11. November 2019 E. 3.6, welches das Nachsteuerverfahren gegenüber der Gesellschaft betrifft, ist das Bundesgericht zum Ergebnis gekommen, dass die Nachsteuern der Steuerperioden 2001 bis 2003 verjährt seien. Bezüglich der Steuerperioden 2004 bis 2007 bestätigte das Bundesgericht die Aufrechnungen, mit Ausnahme der Vermittlungsprovisionen von Fr. 7'941.-- (2006) und 15'802.-- (2007), was zu einer entsprechenden Minderung der Steuerrückstellungen zu führen hat. Es erwog, in der Buchhaltung der Gesellschaft sei zum einen geschäftsmässig unbegründeter Aufwand verbucht (unbegründete für angebliche Baudienst- und Vermittlungsleistungen an eine Gesellschaft mit Sitz im Fürstentum Liechtenstein) und zum anderen Ertrag nicht verbucht worden (Verkauf von Fahrzeugen, Prämienrückvergütungen, "schwarzes" Konto bei einer Bank; Sachverhalt, lit. D.b).
4.3.3. Mit diesem Verhalten hat die Gesellschaft unmittelbar eine Nicht- bzw. Unterbesteuerung hervorgerufen. Am Kausalzusammenhang zwischen dem inkriminierten Verhalten und dem strafrechtlichen "Erfolg" bestehen keinerlei Zweifel; der erforderliche Kausalzusammenhang ist gegeben (<ref-ruling> E. 2.5 S. 337). Dies erfüllt den objektiven Tatbestand von <ref-law>. Hinterzogen wurden damit jene Beträge, die in den Steuerperioden 2005 bis 2007 auch mit der Nachsteuer zu erfassen sind. Die Gesellschaft bringt nichts vor, was auf ein ausnahmsweises Auseinanderfallen zwischen Nachsteuer und Steuerhinterziehung hindeuten könnte. Auch wenn die Aufrechnungen im Nachsteuerverfahren teils auf annäherungsweiser Ermittlung und damit pflichtgemässem Ermessen beruhen, schliesst dies die Berücksichtigung im Hinterziehungsverfahren nicht aus: Die bundesrechtskonforme und willkürfreie Schätzung stellt eine Form des strafprozessual zulässigen Indizienbeweises dar (Urteil 2C_16/2015 vom 6. August 2015 E. 2.6.4 mit zahlreichen Hinweisen).
4.4. Der subjektive Tatbestand der Steuerhinterziehung erfordert Vorsatz oder Fahrlässigkeit.
4.4.1. Die Begriffe des Vorsatzes und der Fahrlässigkeit in <ref-law> entsprechen jenen in <ref-law>, die kraft Art. 104 und <ref-law> auch für Übertretungen des Nebenstrafrechts anwendbar sind (Urteile 2C_449/2017 vom 26. Februar 2019 E. 4.1; 2C_851/2011 vom 15. August 2012 E. 2.3, in: StR 67/2012 S. 759). Vorsätzlich begeht ein Verbrechen oder Vergehen, wer die Tat mit Wissen und Willen ausführt (<ref-law>). Vorsätzlich handelt auch, wer die Verwirklichung der Tat für möglich hält und in Kauf nimmt (Eventualvorsatz; <ref-law>). Je höher die Wahrscheinlichkeit der Tatbestandsverwirklichung ist und je schwerer die Sorgfaltspflichtverletzung wiegt, umso mehr ist anzunehmen, die Tatbestandsverwirklichung werde in Kauf genommen (<ref-ruling> E. 4.2.2 S. 291).
4.4.2. Wenn mit hinreichender Sicherheit feststeht, dass die steuerpflichtige Person sich der Unrichtigkeit oder Unvollständigkeit ihrer Angaben bewusst war, muss angenommen werden, dass sie auch mit Willen handelte, d.h. die Unterbesteuerung bezweckte (direkter Vorsatz) oder zumindest in Kauf nahm (Eventualvorsatz). Die billigende Inkaufnahme des inkriminierten Erfolgs ist namentlich auch zu vermuten, wenn die steuerpflichtige Person sich in keiner Weise darum kümmert, ob die von ihr im Veranlagungsverfahren gemachten Angaben zutreffend sind (Urteil 6B_453/2011 vom 20. Dezember 2011 E. 5.2, nicht publ. in: BGE <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 8.2 S. 61). Die Vermutung, es sei eine zu niedrige Veranlagung angestrebt oder zumindest in Kauf genommen worden, lässt sich nicht leicht entkräften, weil in der Regel ein anderer Beweggrund für die Unrichtigkeit oder Unvollständigkeit der gemachten Angaben nur schwer vorstellbar ist (<ref-ruling> E. 3a S. 30; Urteile 2C_362/2018 vom 19. Juni 2019 E. 3.4; 2C_129/2018 vom 24. September 2018 E. 9.1).
4.4.3. Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz leistete der Alleinaktionär seine Unterschrift als Verwaltungsrat gewissermassen blindlings. Die Gesellschaft erklärt dies damit, dass dem Alleinaktionär neben der Steuererklärung auch weitere Dokumente - teils durch den Buchhalter, teils durch die Eltern - zur Unterschrift "untergeschoben" worden seien. Mit Blick auf das jugendliche Alter, seine Unerfahrenheit und sein Abhängigkeitsverhältnis sei der Alleinaktionär dem Willen der Drittpersonen unwidersprochen nachgekommen. Die Gesellschaft bestreitet das Vorliegen jeglichen schuldhaften Verhaltens.
4.4.4. Dies überzeugt nicht: Wie die Vorinstanz feststellt, war der angeblich ahnungslose Alleinaktionär in der Steuerperiode 2005 beinahe 30-jährig. Er studierte an der Universität St. Gallen (bzw. hatte sein Studium bereits abgeschlossen, was offen bleiben kann) und musste sich in seiner Eigenschaft als Alleinaktionär und einziger Verwaltungsrat der Gesellschaft, der über Einzelunterschrift verfügt (Sachverhalt, lit. A), seiner besonderen Verantwortung bewusst sein. Er musste unter den gegebenen Umständen wissen, dass die sträfliche Vernachlässigung der elementarsten Vorsichtsmassnahmen zu einer Unterbesteuerung führen kann. Entsprechend hätte der Alleinaktionär mit "aller Sorgfalt" vorzugehen gehabt (vorne E. 4.2.2), als er seine Unterschrift leistete. Davon kann indes nicht gesprochen werden, verhielt er sich doch ausgesprochen gleichgültig, indem er angeblich alles unterzeichnete, was man ihm zur Unterschrift vorlegte. Es steht daher zu vermuten, dass der Alleinaktionär die unrichtige, für die Gesellschaft günstige Veranlagung gewollt oder zumindest in Kauf genommen hat. Eine andere Erklärung ist schlechterdings undenkbar.
4.5. Der Tatbestand von Art. 175 in Verbindung mit <ref-law> ist erfüllt: Der Alleinaktionär hat mit Wirkung für die Gesellschaft Steuern hinterzogen. Die Sanktion besteht bei der Steuerhinterziehung in einer Busse (<ref-law>).
4.5.1. Die Busse beträgt in der Regel das Einfache der hinterzogenen Steuer. Sie kann bei leichtem Verschulden bis auf ein Drittel ermässigt, bei schwerem Verschulden bis auf das Dreifache erhöht werden (<ref-law>). Der Veranlagungsbehörde steht bei der Ausübung des Rechtsfolgeermessens im Sinne von <ref-law> ein erheblicher Handlungsspielraum zu. Das Bundesgericht prüft die Höhe der Busse lediglich unter dem Gesichtspunkt der Überschreitung bzw. des Missbrauchs des weiten Spielraums. Entsprechend greift es nur ein, wenn die Vorinstanz die Busse willkürlich hoch oder niedrig angesetzt hat (<ref-ruling> E. 9.1 S. 152; <ref-ruling> E. 2.2 S. 133; <ref-ruling> E. 4a S. 31 [zum BdBSt]).
4.5.2. Die Vorinstanz würdigt das Ausgangsverschulden des Alleinaktionärs bzw. der Gesellschaft bundesrechtskonform als schwer. Straferhöhende Wirkung misst sie dem Umstand bei, dass die Gesellschaft geschäftsmässig unbegründete Provisionszahlungen an eine im Ausland ansässige Sitzgesellschaft leistete, was schwer zu überprüfen sei, ferner die Abwicklung geschäftlicher Zahlungen über ein Schwarzkonto. Zulasten der Gesellschaft berücksichtigt sie weiter die Höhe der hinterzogenen Steuern und die "über einige Jahre und auf verschiedene Weise" herbeigeführte Steuerverkürzung. Ebenso darf im Hinterziehungsverfahren in freier Beweiswürdigung als ein Element unter mehreren berücksichtigt werden, dass die beschuldigte steuerpflichtige Person Klärungen nicht liefert, die sich aufdrängen (Urteil 2C_16/2015 vom 6. August 2015 E. 2.6.4 mit Hinweisen). Die Einsprachebehörde war von einen Koeffizienten von 100 Prozent ausgegangen, um das Verschulden mit zusätzlichen 130 Prozent zu bemessen. Davon brachte sie strafmindernd 30 Prozent in Abzug (Beschleunigungsgebot; <ref-law>). Die Vorinstanz hält dies insgesamt für angemessen. Eine Strafbefreiung (<ref-law>; "Betroffenheit des Täters durch seine Tat") lehnt die Vorinstanz bundesrechtskonform ab. Sie macht zutreffend geltend, Nachsteuern stellten keine Strafe dar, vielmehr gehe es um die Nacherhebung noch nicht fakturierter, aber gesetzlich geschuldeter Steuern.
4.5.3. Die Gesellschaft setzt sich mit der Bussenbemessung nicht näher auseinander. Sie bemerkt hauptsächlich, dass die lange Verfahrensdauer von der Veranlagungsbehörde zu vertreten sei. Mit der Einsprachebehörde berücksichtigte die Vorinstanz die zeitlichen Umstände bereits mit einer Minderung um 30 Prozent. Dies erscheint als angemessen, jedenfalls erfordert dies kein bundesgerichtliches Einschreiten. Ins Gewicht fällt vielmehr die an völliges Desinteresse grenzende Gleichgültigkeit und Sorglosigkeit, mit welcher der Alleinaktionär seinen administrativen Geschäfte nachging. Die eher geringfügigen Korrekturen um Fr. 7'941.-- (2006) und 15'802.-- (2007), die durch entsprechend verminderte Steuerrückstellungen teilweise kompensiert werden, vermögen das Gesamtbild nicht günstiger darzustellen. Die Rüge, im Nachsteuerverfahren sei der Verzugszins bundesrechtswidrig - nicht fortlaufend, sondern gesamthaft - zum Abzug zugelassen worden, ist unbegründet (Urteil 2C_1067/2017 vom 11. November 2019 E. 3.5). Vor dem Hintergrund der eingetretenen Steuerverkürzung und der wiederholten Begehung unter erschwerenden Umständen (fiktiver Leistungsbezug aus dem Ausland) ist der von der Vorinstanz angesetzte Bussenkoeffizient von 200 Prozent jedenfalls nicht übersetzt und daher nicht zu beanstanden.
4.6. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Verfolgungsverjährung bezüglich der Steuerperioden 2001, 2002, 2003 und 2004 eingetreten ist, sodass die Beschwerde der Verwaltung für die direkte Bundessteuer des Kantons Schwyz abzuweisen ist. Die Beschwerde der Gesellschaft ist insoweit gutzuheissen, als die Vermittlungsprovisionen von Fr. 7'941.-- (2006) und Fr. 15'802.-- (2007) zu Unrecht in die Bemessung der Busse eingeflossen sind (siehe Urteil 2C_1067/2017 vom 11. November 2019 E. 3.6). Diese Aufrechnungen sind aufzuheben und die Steuerrückstellungen entsprechend herabzusetzen. In diesem Umfang ist die Sache nur neuen Festsetzung der Steuerbussen an die Veranlagungsbehörde zurückzuweisen. Im Übrigen ist die Beschwerde unbegründet und abzuweisen.
III. Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Schwyz
5.
5.1. Das harmonisierte Steuerrecht von Kantonen und Gemeinden (StHG) entspricht im hier interessierenden Bereich dem Recht der direkten Bundessteuer. In der Folge stimmt das Steuergesetz (des Kantons Schwyz) vom 9. Februar 2000 (StG/SZ; SRSZ 172.200) mit dem StHG überein, weshalb auf die Ausführungen zur direkten Bundessteuer verwiesen werden kann.
5.2. Das gilt auch in Bezug auf die Verjährung: Art. 58 Abs. 2 lit. a in Verbindung mit Abs. 3 StHG in der Fassung vom 26. September 2014 (AS 2015 779; nachfolgend: StHG 2014) regelt die Verjährung der Strafverfolgung bei vollendeter Steuerhinterziehung übereinstimmend mit den Bestimmungen des DBG 2014. Nach dem Inkrafttreten der Änderung vom 26. September 2014 findet Art. 58 StHG 2014 direkt Anwendung, wenn das kantonale Steuerrecht ihm widerspricht (Art. 72s StHG 2014; Urteil 2C_444/2018 vom 31. Mai 2019 E. 4.2.3). Namentlich ist auch die Übergangsbestimmung von Art. 78f StHG 2014 inhaltsgleich mit jener von <ref-law> 2014 ausgestaltet. Die Kantone waren gehalten, die neuen Verjährungsregeln auf den Zeitpunkt des Inkrafttretens der harmonisierungsrechtlichen Vorgabe in ihr eigenes Recht zu übernehmen und in Kraft zu setzen (Art. 72s Abs. 1 StHG 2014).
5.3. Der hier interessierende Kanton Schwyz ist dieser Verpflichtung mit dem Erlass der Verordnung vom 13. Dezember 2016 über die vorläufige Anpassung des kantonalen Steuerrechts an das Steuerharmonisierungsgesetz (ÜVStHG/SZ; SRSZ 172.214) nachgekommen. Die Verordnung trat am 1. Januar 2017 in Kraft (§ 8 Abs. 1 ÜVStHG/SZ) und sieht eine Übergangsbestimmung vor, die Art. 78f StHG nachempfunden ist (§ 6 ÜVStHG/SZ). Die Beschwerde im Verfahren 2C_257/2018 erweist sich daher als unbegründet; sie ist abzuweisen.
5.4. Die Beschwerde im Verfahren 2C_308/2018 erweist sich nach dem Gesagten, soweit die Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Schwyz betreffend, im selben Umfang als begründet wie auf Ebene der direkten Bundessteuer. In diesem Umfang ist die Sache zur neuen Festsetzung der Steuerbussen an die Veranlagungsbehörde zurückzuweisen. Im Übrigen ist die Beschwerde unbegründet und abzuweisen.
IV. Kosten und Entschädigung
6.
6.1. Bei diesem Ausgang obsiegt die Gesellschaft im Verfahren 2C_257/2018, sie unterliegt aber grösstenteils im Verfahren 2C_308/2018. Insgesamt obsiegt sie etwa zur Hälfte. Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens sind nach dem Unterliegerprinzip zu verlegen (<ref-law>). Auch dem Kanton Schwyz können Kosten auferlegt werden, handelt er doch in seinem amtlichen Wirkungskreis und nimmt er Vermögensinteressen wahr (<ref-law>).
6.2. Die Gesellschaft ist anwaltlich vertreten. Ihr ist im Umfang ihres Obsiegens eine angemessene Entschädigung zuzusprechen (<ref-law>; Art. 2 des Reglements vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht [SR 173.110.210.3]). Dem Kanton Schwyz, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Entschädigung zu (<ref-law>).
6.3. Zur Verlegung der Kosten und Zusprechung von Entschädigungen für die kantonalen Verfahren ist folgendes festzustellen: Das Bundesgericht heisst die Beschwerde nur deshalb teilweise und in geringem Umfang gut, weil Vermittlungsprovisionen von rund Fr. 24'000.-- zu Unrecht aufgerechnet worden sind. Entsprechend sind die Steuerrückstellungen anzupassen, was die Korrektur wiederum vermindert. Die vorinstanzlichen Anordnungen im Kosten- und Entschädigungspunkt sind mithin zu bestätigen. Die Rückweisung zur Neuverlegung der Kosten und Entschädigungen des vorangegangenen Verfahrens (<ref-law>) erübrigt sich.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_257/2018 und 2C_308/2018 werden vereinigt.
2.
2.1. Die Beschwerde der Verwaltung des Kantons Schwyz für die direkte Bundessteuer im Verfahren 2C_257/2018 betreffend die direkte Bundessteuer, Steuerperioden 2001 bis 2007, wird abgewiesen.
2.2. Die Beschwerde der Steuerverwaltung des Kantons Schwyz im Verfahren 2C_257/2018 betreffend die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Schwyz, Steuerperioden 2001 bis 2007, wird abgewiesen.
2.3. Die Beschwerde der A._ AG im Verfahren 2C_308/2018 betreffend die direkte Bundessteuer, Steuerperioden 2001 bis 2007, wird teilweise gutgeheissen. Das Urteil II 2016 42 des Verwaltungsgerichts des Kantons Schwyz vom 20. Februar 2018 wird aufgehoben und die Sache zur neuen Festsetzung der Steuerbussen an die Verwaltung für die direkte Bundessteuer des Kantons Schwyz zurückgewiesen. Diese hat die Vermittlungsprovisionen von Fr. 7'941.-- (2006) und Fr. 15'802.-- (2007) sowie die damit zusammenhängenden Steuerrückstellungen aus der Bemessungsgrundlage der Busse zu entfernen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.4. Die Beschwerde der A._ AG im Verfahren 2C_308/2018 betreffend die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Schwyz, Steuerperioden 2001 bis 2007, wird teilweise gutgeheissen. Das Urteil II 2016 42 des Verwaltungsgerichts des Kantons Schwyz vom 20. Februar 2018 wird aufgehoben und die Sache zur neuen Festsetzung der Steuerbussen an die Steuerverwaltung des Kantons Schwyz zurückgewiesen. Diese hat die Vermittlungsprovisionen von Fr. 7'941.-- (2006) und Fr. 15'802.-- (2007) sowie die damit zusammenhängenden Steuerrückstellungen aus der Bemessungsgrundlage der Busse zu entfernen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
3.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 5'500.-- werden je hälftig, ausmachend je Fr. 2'750.--, der Beschwerdeführerin und dem Kanton Schwyz auferlegt.
4.
Der Kanton Schwyz hat der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- auszurichten.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer II, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. November 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher