Sachverhalt:
A.
Am 21. Januar 2015 erstattete A._ bei der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Aargau gegen Staatsanwalt B._ sowie gegen allfällige weitere beteiligte Amtsträger Strafanzeige wegen des Verdachts auf Amtsmissbrauch, Verletzung des Amtsgeheimnisses, Nötigung und/oder Freiheitsberaubung. Die Strafanzeige steht im Zusammenhang mit einem mittlerweile eingestellten Strafverfahren gegen A._, das Staatsanwalt B._ geleitet hatte. In der Folge wurde Esther Omlin, Oberstaatsanwältin bei der Staatsanwaltschaft Obwalden, durch die Aufsichtskommission der Justiz als ausserordentliche Staatsanwältin eingesetzt, um die angezeigten Vorwürfe zu untersuchen.
Am 26. März 2018 stellte A._ ein Ausstandsgesuch gegen die ausserordentliche Staatsanwältin. Mit Entscheid vom 4. Mai 2018 wies die Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Aargau das Gesuch ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 18. Juni 2018 an das Bundesgericht beantragt A._, der Entscheid des Obergerichts sei aufzuheben und das Ausstandsgesuch gutzuheissen.
Das Obergericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Esther Omlin hat sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
1.1. Gemäss <ref-law> ist zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Nach lit. b Ziff. 5 derselben Bestimmung ist zur Erhebung der Beschwerde insbesondere die Privatklägerschaft legitimiert, wenn sich der angefochtene Entscheid auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann. Dies setzt voraus, dass die Privatklägerschaft, soweit zumutbar und möglich, ihre Zivilansprüche im Strafverfahren geltend gemacht hat. Dabei geht es um Ansprüche, die ihren Grund im Zivilrecht haben und deshalb ordentlicherweise vor einem Zivilgericht geltend gemacht werden müssen. In erster Linie handelt es sich um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung gemäss <ref-law>. Die Privatklägerschaft muss im Verfahren vor Bundesgericht darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderung auswirken kann. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen nicht, kann darauf nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderung es geht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 4 f., mit Hinweisen; Urteil 6B_1200/2017 vom 4. Juni 2018 E. 2.1).
1.2. Der Beschwerdeführer hat sich im Strafverfahren als Privatkläger konstituiert, jedoch nicht spezifisch als Zivilkläger (<ref-law>). Er legt auch im Verfahren vor Bundesgericht nicht dar, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderung auswirken kann. Dies ist aus den folgenden Gründen auch nicht ohne Weiteres ersichtlich.
1.3. Nach ständiger Rechtsprechung zählen öffentlich-rechtliche Ansprüche, wozu auch solche aus Staatshaftungsrecht gehören, nicht zu den Zivilansprüchen im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG und können nicht adhäsionsweise im Strafprozess geltend gemacht werden (Urteil 6B_1200/2017 vom 4. Juni 2018 E. 2.4.1 mit Hinweisen). Gemäss § 75 Abs. 1 Satz 1 KV/AG (SR 131.227) haften der Kanton und die Gemeinden für den Schaden, den ihre Behörden, Beamten und übrigen Mitarbeitenden in Ausübung der amtlichen Tätigkeit Dritten widerrechtlich verursachen. Dem Geschädigten stehen für den Schaden, den ihm ein Mitarbeiter des Gemeinwesens in Ausübung einer amtlichen Verrichtung zufügte, ausschliesslich Ansprüche gegen den Staat zu (§ 1 Abs. 1 und § 10 Abs. 1 des Haftungsgesetzes des Kantons Aargau vom 24. März 2009 [HG; SAR 150.200]). Die vom Beschwerdeführer erhobenen strafrechtlichen Vorwürfe können sich daher allenfalls auf seine Staatshaftungsansprüche, nicht aber auf seine Zivilansprüche auswirken.
1.4. Obwohl der Beschwerdeführer in der Sache selbst nicht legitimiert ist, kann er vor Bundesgericht geltend machen, im kantonalen Verfahren in seinen Parteirechten verletzt worden zu sein (sog. "Star-Praxis"; <ref-ruling> E. 1.1 S. 5 mit Hinweisen). Allerdings kann auf diesem Weg keine indirekte Überprüfung des Entscheids in der Sache erlangt werden. Vorliegend erhebt der Beschwerdeführer keine formellen Rügen, deren Beurteilung von der Prüfung in der Sache selbst getrennt werden könnte. Auch in dieser Hinsicht fehlt ihm deshalb das Beschwerderecht.
2.
Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Er hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Oktober 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Dold