Erwägungen:
1.
Der in der Schweiz lebende A._ war Beschuldigter in einem Strafverfahren in Deutschland. Im Zuge dieses Strafverfahrens ersuchte die Staatsanwaltschaft Kempten rechtshilfeweise um erkennungsdienstliche Behandlung von A._. In der Folge wurde diesem Ersuchen entsprochen.
A._ gelangte mit Eingabe vom 7. Mai 2019 ans Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen und beschwerte sich über verschiedene Vorkommnisse im Umfeld dieser Rechtshilfehandlungen und dabei namentlich über Mitarbeitende des Untersuchungsamtes Gossau sowie der Kantonspolizei St. Gallen. Am 10. Mai 2019 leitete das Sicherheits- und Justizdepartement die Eingabe von A._ an die Anklagekammer des Kantons St. Gallen weiter. Da der Eingabe sinngemäss Vorwürfe rechtswidrigen Verhaltens der Mitarbeitenden des Untersuchungsamts und der Kantonspolizei zu entnehmen sind, nahm sie die Anklagekammer als Strafanzeige wegen Amtsmissbrauchs entgegen und eröffnete ein Ermächtigungsverfahren. Mit Entscheid vom 10. Juli 2019 erteilte die Anklagekammer keine Ermächtigung. Verfahrenskosten erhob sie dabei nicht.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 18. August 2019 (Postaufgabe 19. August 2019) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen. Er beantragt die Aufhebung des Entscheids, da er nie Strafanzeige erhoben habe. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht ist nach <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. c).
Der Beschwerdeführer beanstandet nicht, dass die Anklagekammer keine Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens erteilt hat. Er macht vielmehr geltend, dass er gar keine Strafanzeige erhoben habe und das Verfahren vor der Anklagekammer deshalb "gegenstandslos" sei. Da ihm die Anklagekammer für das Ermächtigungsverfahren praxisgemäss keine Kosten auferlegt hat, ist unter diesen Umständen nicht ersichtlich - und dies wird vom Beschwerdeführer auch nicht dargelegt -, inwiefern eine erfolgreiche Beschwerde überhaupt einen praktischen Nutzen für ihn zur Folge hätte. Ein wirtschaftlicher, ideeller oder materieller Nachteil, den der angefochtene Entscheid für den Beschwerdeführer zur Folge hätte, ist weder ersichtlich noch wird er dargetan. Dem Beschwerdeführer kommt somit keine Beschwerdeberechtigung im Sinne von <ref-law> zu.
4.
Auf die Beschwerde ist somit im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> mangels Legitimation bzw. Erfüllung der diesbezüglichen Begründungsanforderungen nicht einzutreten. Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Untersuchungsamt Gossau, und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. August 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli