Faits :
A.
Par jugement du 11 octobre 2018, le Tribunal de police de l'arrondissement de Lausanne a pris acte du retrait de la plainte déposée par A._ contre X._, a pris acte de la convention signée entre les parties au procès-verbal de l'audience du même jour et a libéré X._ du chef de prévention de lésions corporelles simples qualifiées.
B.
Par jugement du 7 mars 2019, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois a admis partiellement l'appel formé par le Ministère public vaudois. Elle a réformé le jugement attaqué en ce sens qu'elle a constaté que X._ s'était rendu coupable de lésions corporelles simples qualifiées et a condamné ce dernier à une peine pécuniaire de 240 jours-amende, le montant du jour-amende étant fixé à trente francs, avec sursis pendant quatre ans.
En résumé, elle a retenu les faits suivants:
B.a. Le 1er décembre 2017, vers 01h25, à Lausanne, à la Place de l'Europe, X._ a, lors d'une dispute, asséné un coup de poing à A._ au niveau du visage et un coup au moyen d'un objet tranchant de type couteau ou cutter au niveau du thorax, alors que ce dernier se trouvait dans son véhicule automobile, du côté conducteur, portière ouverte. Lorsque A._ est sorti de la voiture pour se défendre, X._ lui a asséné un nouveau coup de poing au visage.
A._ a déposé une plainte pénale le 1er décembre 2017 et s'est constitué partie civile sans toutefois chiffrer ses prétentions. Il a retiré sa plainte à l'audience du 11 octobre 2018.
B.b. Dans leur rapport du 12 avril 2018, la Dresse B._ et le Dr C._, respectivement cheffe de clinique et médecin assistant auprès du Centre universitaire romand de médecine légale (ci-après : CURML) du CHUV, ont exposé en substance que, selon le dossier médical du CHUV, A._ présentait, le 1er décembre 2017, une plaie superficielle basithoracique gauche sans atteinte musculaire visible occasionnée par une arme blanche, que la plaie suturée thoracique présentait les caractéristiques d'une lésion provoquée par un instrument tranchant et/ou piquant et tranchant, tel un couteau ou un cutter, que des clés standards ou un tournevis ne pouvaient pas avoir provoqué ce genre de lésions, d'autant plus que trois épaisseurs de tissu avaient également été sectionnées avant d'atteindre la peau, et que les lésions subies par A._ n'avaient pas mis concrètement sa vie en danger, mais que, au vu de la localisation de la lésion thoracique, en cas de pénétration dans la cavité thoracique/abdominale, des structures vitales auraient pu être lésées, risquant d'entraîner des lésions potentiellement mortelles.
C.
Contre ce jugement cantonal, X._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Il conclut, principalement, à la réforme du jugement attaqué en ce sens qu'il est libéré du chef de prévention de lésions corporelles simples qualifiées, à titre subsidiaire, qu'il est constaté qu'il s'est rendu coupable de lésions corporelles simples qualifiées, mais qu'il est renoncé à lui infliger une peine et, à titre plus subsidiaire, qu'il est constaté qu'il s'est rendu coupable de lésions corporelles simples qualifiées et qu'il est condamné à une peine pécuniaire de maximum 50 jours-amende à 10 fr. le jour, avec sursis pendant deux ans. A titre subsidiaire, il requiert l'annulation du jugement attaqué et le renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouveau jugement dans le sens des considérants. En outre, il sollicite l'assistance judiciaire.

Considérant en droit :
1.
Le recourant soutient que la cour cantonale a établi les faits de manière manifestement inexacte sur différents points.
1.1. Le Tribunal fédéral n'est pas une autorité d'appel, auprès de laquelle les faits pourraient être rediscutés librement. Il est lié par les constatations de fait de la décision entreprise (<ref-law>), à moins que celles-ci n'aient été établies en violation du droit ou de manière manifestement inexacte au sens des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, à savoir pour l'essentiel de façon arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. Une décision n'est pas arbitraire du seul fait qu'elle apparaît discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable et cela non seulement dans sa motivation mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 244). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 368 et les références citées).
1.2. La cour cantonale a retenu qu'il n'était pas contesté qu'une altercation avait opposé le recourant et A._, le 1er décembre 2017, vers 1h25, que le recourant avait pris l'initiative de cette rencontre en plaçant son véhicule devant celui de A._ avant d'aller lui parler d'un litige qui l'énervait depuis plus d'une année et que, lors de cette altercation, le recourant avait asséné plusieurs coups à son adversaire. Elle a établi ces faits en se fondant sur les déclarations du recourant lors de son audition du 1er décembre 2017 par la police et celle du 12 juin 2018 par le Ministère public.
La cour cantonale a retenu qu'à l'issue de l'altercation, A._ avait présenté une plaie superficielle basithoracique de 1,5 cm qui a été occasionnée par un couteau ou un cutter. Pour arriver à cette conclusion, elle s'est fondée sur le dossier médical du CHUV qui mentionnait que la plaie avait été occasionnée par arme blanche (pièce 19 p. 2). Elle s'est également référée aux experts du Centre universitaire romand de médecine légale (ci-après: CURML) qui ont confirmé que la plaie à bords nets en question présentait les caractéristiques d'une " lésion provoquées par un instrument tranchant et/ou piquant et tranchant, tel qu'un couteau ou un cutter ". Les experts ont par ailleurs relevé que des clés standards ou un tournevis ne pouvaient pas provoquer ce genre de lésions, d'autant plus qu'en l'espèce, trois épaisseurs de tissu avaient également été sectionnées avant d'atteindre la peau (pièce 19 p. 7).
1.3. Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir omis de retenir certaines incohérences dans les déclarations de la victime ou encore le fait que celles-ci sont discréditées par les explications du témoin. Ainsi, la victime aurait d'abord affirmé avoir reçu deux coups alors qu'elle se trouvait au volant de la voiture, puis elle aurait déclaré avoir reçu trois coups, dont un après être sortie de sa voiture. Le recourant fait grief à la cour cantonale de ne pas avoir tenu compte de ses déclarations, alors que celles-ci étaient constantes. C'est ainsi qu'il aurait déclaré de manière constante qu'ils avaient commencé à se bagarrer qu'une fois la victime sortie de sa voiture, qu'il n'avait fait que de se défendre en donnant à la victime des coups au visage et sur le haut du torse, qu'il n'avait utilisé aucun objet dans la bagarre si ce n'est des clés, qu'il avait été victime d'un véritable acharnement tant de la part de la victime que de son frère. Enfin, le témoin aurait confirmé ses déclarations, en affirmant que tous les coups avaient été échangés alors que la victime se trouvait debout devant la voiture, qu'il avait vu deux personnes se bagarrer (échange de coups) et qu'il n'avait vu aucun couteau ni autre objet tranchant dans les mains du recourant.
La cour cantonale a retenu qu'une altercation avait opposé le recourant et A._ et que le recourant avait reconnu avoir asséné plusieurs coups à son adversaire. Le recourant ne conteste pas ces faits dans son mémoire. Lorsqu'il s'en prend au nombre de coups effectivement donnés (deux ou trois) ou à la position de la victime (à l'intérieur ou à l'extérieur de la voiture), ses griefs sont irrecevables, puisque ces questions ne sont pas déterminantes pour l'issue du litige.
Dans la mesure où le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir arbitrairement retenu qu'il avait utilisé une arme tranchante pour blesser A._, son grief est infondé. La cour cantonale s'est référée sur ce point au dossier médical du CHUV qui mentionne que la plaie a été occasionnée par une arme blanche. Elle s'est également fondée sur les constatations des experts du CURML, qui ont déclaré que la lésion avait été provoquée par un instrument tranchant et/ou piquant et tranchant, tel qu'un couteau ou un cutter et qui ont exclu qu'elle ait pu être provoquée par des clés standards ou un tournevis. Dans ces conditions, en écartant les déclarations du recourant et du témoin, la cour cantonale n'a pas versé dans l'arbitraire.
1.4. Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir versé dans l'arbitraire, en omettant de tenir compte qu'aucune trace de sang n'avait été détectée sur les objets saisis dans sa voiture et notamment sur le cutter.
La cour cantonale n'a pas omis cette objection. Elle a expliqué qu'il n'était pas déterminant que la police n'ait pas retrouvé l'arme, dans la mesure où les événements s'étaient produits vers 1h25 et que le recourant n'avait été interpellé qu'à 1h55, ce qui laissait suffisamment de temps au recourant pour se débarrasser de l'objet utilisé, voire pour nettoyer la lame du cutter retrouvé dans son coffre. Les explications données par la cour cantonale sont convaincantes. Le grief du recourant est infondé.
1.5. Le recourant fait valoir que la cour cantonale serait tombée dans l'arbitraire en ne tenant pas compte que les blessures auraient pu être occasionnées par d'autres personnes que le recourant. Il se réfère à
cet égard aux très nombreuses cicatrices présentes sur le corps de A._ et dont le rapport du CURML du 12 avril 2018 fait état.
La cour cantonale a pris en compte cette hypothèse. Elle a toutefois écarté la présence d'un tiers lors de l'altercation sur la base des déclarations des protagonistes et du témoin. Pour le surplus, la cour de céans ne voit pas en quoi la présence de cicatrices sur le corps de A._ permettrait d'établir que la lésion est le fait d'un tiers. Purement appellatoire, le grief du recourant est irrecevable.
1.6. Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir arbitrairement écarté des éléments essentiels accréditant la thèse de l'automutilation soutenue par le recourant. Il relève que A._ aurait ainsi déclaré lors de l'audience du 1er décembre 2017 " qu'il voulait lui faire payer ". Il invoque également les nombreuses inimitiés que A._ semblait avoir avec d'autres chauffeurs de taxi.
La cour cantonale a examiné l'hypothèse de l'automutilation. Elle l'a toutefois écartée pour plusieurs motifs. Elle a relevé que la lésion avait nécessité plusieurs points de suture. Elle a noté que A._ avait livré une version des faits nuancée, n'accusant jamais le recourant d'avoir utilisé un couteau ou une quelconque arme tranchante. Enfin, elle a ajouté que si A._ avait véritablement voulu simuler une agression à l'arme blanche, il aurait immédiatement signalé avoir été blessé. Le raisonnement de la cour cantonale est convaincant. Les arguments du recourant sont infondés.
1.7. Le recourant reproche à la cour cantonale de ne pas avoir repris dans le jugement attaqué que A._ avait retiré sa plainte et que les parties voulaient enterrer la hache de guerre et passer à autre chose. Ces éléments seraient essentiels pour retenir l'application de l'<ref-law>.
Ce grief est infondé. Il ressort du jugement cantonal que les parties ont signé une convention à l'audience du 11 octobre 2018 et que A._ a retiré sa plainte.
2.
Le recourant dénonce la violation de l'<ref-law>.
2.1. La présomption d'innocence, garantie par les <ref-law>, 32 al. 1 Cst., 14 par. 2 Pacte ONU II et 6 par. 2 CEDH, ainsi que son corollaire, le principe " in dubio pro reo ", concernent tant le fardeau de
la preuve que l'appréciation des preuves au sens large (<ref-ruling> consid. 2.2.3.1 p. 348 s.; <ref-ruling> consid. 2a p. 40 s.).
En tant que règle sur le fardeau de la preuve, elle signifie, au stade du jugement, que le fardeau de la preuve incombe à l'accusation et que le doute doit profiter au prévenu.
Comme règle d'appréciation des preuves (sur la portée et le sens précis de la règle sous cet angle, cf. <ref-ruling> consid. 2.2.3.3 p. 351 s.), la présomption d'innocence signifie que le juge ne doit pas se déclarer convaincu de l'existence d'un fait défavorable à l'accusé si, d'un point de vue objectif, il existe des doutes quant à l'existence de ce fait. Il importe peu qu'il subsiste des doutes seulement abstraits et théoriques, qui sont toujours possibles, une certitude absolue ne pouvant être exigée. Il doit s'agir de doutes sérieux et irréductibles, c'est-à-dire de doutes qui s'imposent à l'esprit en fonction de la situation objective. Lorsque l'appréciation des preuves et la constatation des faits sont critiquées en référence au principe " in dubio pro reo ", celui-ci n'a pas de portée plus large que l'interdiction de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.2.3.3 p. 351 s.; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 503; <ref-ruling> consid. 7 p. 82).
2.2. En l'espèce, il n'apparaît pas que la cour cantonale a renversé le fardeau de la preuve. La seule question est donc de savoir si elle aurait dû éprouver un doute, question qui relève de l'appréciation des preuves, de sorte que ce grief se confond avec celui de l'établissement arbitraire des faits, qui a déjà été déclaré mal fondé (cf. consid. 1).
3.
Le recourant soutient que les conditions d'une exemption de peine au sens de l'<ref-law> sont réalisées.
3.1. L'<ref-law> prévoit qu'en cas de réparation du dommage, le juge renonce à infliger une peine, si les conditions du sursis à l'exécution de la peine sont remplies et que l'intérêt public et l'intérêt du lésé à poursuivre l'auteur pénalement sont peu importants.
La renonciation à toute peine suppose donc, en premier lieu, que les conditions du sursis soient réalisées. En deuxième lieu, l'auteur doit avoir réparé le dommage ou accompli tous les efforts que l'on pouvait raisonnablement attendre de lui pour compenser le tort qu'il a causé. A cet égard, il doit démontrer par la réparation du dommage qu'il assume ses responsabilités et reconnaît notamment le caractère illicite ou du moins incorrect de son acte (arrêt 6B_344/2013 du 19 juillet 2013; <ref-ruling> consid. 3.5.3 p. 25; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 42). Si l'auteur persiste à nier tout comportement incorrect, on doit admettre qu'il ne reconnaît pas, ni n'assume sa faute; l'intérêt public à une condamnation l'emporte donc (arrêt 6B_558/2009 du 26 octobre 2009, consid. 2.2). Enfin, la réparation du dommage ne peut conduire à une exemption de peine que si l'intérêt public et celui du lésé à la poursuite pénale sont de peu d'importance. Lorsque l'infraction lèse des intérêts privés et plus particulièrement un lésé, qui a accepté la réparation de l'auteur, l'intérêt à la poursuite pénale fait alors la plupart du temps défaut (<ref-ruling> consid. 3.4.3 p. 23; arrêt 6B-558/2009 du 26 octobre 2009 consid. 2.1.2).
3.2. En l'espèce, le recourant réalise les conditions à l'octroi du sursis, puisque la cour cantonale a prononcé la peine pécuniaire avec sursis. A l'audience du 11 octobre 2018, le recourant s'est engagé à verser à A._ la somme de 1'250 fr., destinée à couvrir les prétentions civiles que ce dernier avait précédemment fait valoir à son encontre. En dépit de cet accord, il nie toutefois toujours avoir donné un coup à A._ avec une arme blanche. On doit donc admettre que le recourant n'assume pas sa faute dans une mesure telle que l'intérêt public au prononcé d'une sanction, même assortie du sursis, serait devenu si ténu que l'on puisse y renoncer. Par ailleurs, sur le plan de la prévention générale, il existe manifestement un intérêt public à ne pas laisser impuni l'usage d'armes blanches lors de bagarre. La cour cantonale n'a donc pas violé l'<ref-law> en refusant d'exempter le recourant de toute peine.
4.
Le recourant conteste enfin la mesure de sa peine.
4.1. Selon l'<ref-law>, le juge fixe la peine d'après la culpabilité de l'auteur. Celle-ci doit être évaluée en fonction de tous les éléments objectifs pertinents, qui ont trait à l'acte lui-même, à savoir notamment la gravité de la lésion, le caractère répréhensible de l'acte et son mode d'exécution (objektive Tatkomponente); du point de vue subjectif, sont pris en compte l'intensité de la volonté délictuelle ainsi que les motivations et les buts de l'auteur (subjektive Tatkomponente). A ces composantes de la culpabilité, il faut ajouter les facteurs liés à l'auteur lui-même (Täterkomponente), à savoir les antécédents (judiciaires et non judiciaires), la réputation, la situation personnelle (état de santé, âge, obligations familiales, situation professionnelle, risque de récidive, etc.), la vulnérabilité face à la peine, de même que le comportement après l'acte et au cours de la procédure pénale (<ref-ruling> consid. 6.1.1 p. 66 s.; <ref-ruling> consid. 5 p. 57 ss; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 19 s.).
4.2. La cour cantonale a retenu que la culpabilité du recourant était lourde. Elle a expliqué que le recourant, pour un motif futile, n'avait pas hésité à utiliser une arme blanche à l'encontre de A._, alors que celui-ci était encore assis dans son véhicule et totalement désarmé. Elle a relevé que les conséquences de son acte auraient pu être dramatiques compte tenu de l'emplacement de la lésion. Enfin, elle a refusé de tenir compte de la circonstance atténuante d'un état de détresse ou d'un profond désarroi.
4.3. Le recourant soutient que la cour cantonale n'a pris en compte que partiellement les critères fixés par l'<ref-law>.
Il fait valoir que la blessure n'était que superficielle. S'il est vrai que la lésion a été finalement de peu de gravité, les conséquences de l'acte du recourant auraient pu être dramatiques compte tenu de l'emplacement de la lésion: les experts ont relevé qu'en cas de pénétration dans la cavité thoracique/abdominale, des structures vitales auraient pu être lésées, risquant d'entraîner des lésions potentiellement mortelles.
Le recourant relève qu'il n'y a eu aucune préméditation, mais que les protagonistes se sont rencontrés par hasard. Il ajoute qu'il n'aurait eu aucune intention de blesser la victime au moment où il l'a approchée. Si la préméditation peut constituer un élément à charge, l'absence de préméditation ne constitue pas une circonstance atténuante. Pour le surplus, ce qui est déterminant, c'est l'intention de l'auteur au moment de la commission de l'infraction.
Le recourant insiste sur l'absence d'antécédents. Selon la jurisprudence, l'absence d'antécédents a en principe un effet neutre sur la fixation de la peine et n'a donc pas à être prise en considération dans un sens atténuant (<ref-ruling> consid. 2.6 p. 2).
Enfin, le recourant reproche à la cour cantonale de ne pas avoir tenu compte de l'effet de la peine sur son avenir. Ce grief est infondé, puisque, s'agissant d'une peine pécuniaire, le juge a tenu compte dans le calcul du montant du jour-amende de la situation financière précaire du recourant.
4.4. Le recourant fait valoir qu'il a agi dans un état de détresse profonde et/ou de profond désarroi au sens des art. 48 let. a ch. 2 et 48 let. c CP.
4.4.1. L'<ref-law> prévoit que le juge doit atténuer la peine lorsque l'une ou l'autre des circonstances évoquées dans cette disposition est réunie. Parmi celles-ci figurent une détresse profonde (let. a ch. 2) et un état de profond désarroi (let. c).
Selon la jurisprudence, il y a détresse profonde lorsque l'auteur est poussé à transgresser la loi pénale par une situation proche de l'état de nécessité, c'est-à-dire que, sous la pression d'une détresse particulièrement grave, il croit ne pouvoir trouver d'autre issue que la commission de l'infraction (<ref-ruling> consid. 4a p. 96).
Le profond désarroi vise un état d'émotion qui mûrit progressivement pendant une longue période, qui couve pendant longtemps jusqu'à ce que l'auteur soit complètement désespéré et ne voie d'autre issue que d'agir ainsi qu'il le fait (<ref-ruling> consid. 2a p. 204; <ref-ruling> consid. 2a p. 236). Il doit être rendu excusable par les circonstances (<ref-ruling> consid. 2a; <ref-ruling> consid. 2a p. 236). Le plus souvent, il est rendu excusable par le comportement blâmable de la victime à l'égard de l'auteur, mais il peut aussi l'être par le comportement d'un tiers ou par des circonstances objectives (<ref-ruling> consid. 2a p. 205).
4.4.2. Le recourant explique qu'il avait souscrit un abonnement Google, afin de mettre en avant son activité de chauffeur de taxi sur internet et de permettre à ses clients de le trouver facilement, service pour lequel Google lui demandait une contribution financière en fonction du nombre de clics effectués par les internautes. Il estime que de manière purement gratuite et dans le seul but de lui nuire, A._ et son frère s'étaient servis des possibilités offertes par internet pour lui faire perdre délibérément de l'argent en multipliant les clics sur son annonce publicitaire, chicaneries lui ayant occasionné des frais extrêmement importants. Poussé à bout par ce comportement, il n'a pas vu d'autre échappatoire que la confrontation physique avec la victime. Lors de son audition devant la cour d'appel, le recourant a certes fait mention de ces faits et ceux-ci ont été consignés au procès-verbal. Contrairement à ce que croit le recourant, ces faits ne sont pas pour autant établis par le jugement attaqué. Toute l'argumentation du recourant sur ce point est donc fondée sur des faits qui ne figurent pas dans l'état de fait cantonal, de sorte qu'elle est irrecevable.
4.5. En définitive, au vu de l'ensemble des circonstances, une peine de 240 jours-amende apparaît adéquate, de sorte que l'on ne saurait conclure à un abus du large pouvoir d'appréciation accordé à la cour cantonale. Cette dernière a motivé de manière détaillée et complète la peine, et le recourant n'invoque aucun élément, propre à la modifier, qu'elle aurait omis ou pris en considération à tort. Le grief de violation de l'<ref-law> est dès lors infondé.
4.6. Le recourant s'en prend encore au montant du jour-amende. Il fait grief à la cour cantonale de ne pas avoir tenu compte, dans le calcul de celui-ci, des frais de leasing du véhicule s'élevant à 1'500 fr. par mois, au motif qu'il s'agirait de charges professionnelles.
Ce reproche est infondé. La cour cantonale s'est fondée sur le salaire net du recourant (sous déduction des charges et autres frais professionnels). Il ne convenait donc pas de déduire de ce revenu netencore une fois les frais professionnels, sans quoi ceux-ci auraient été déduits deux fois.
5.
Le recours doit ainsi être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Comme ses conclusions étaient vouées à l'échec, l'assistance judiciaire ne peut pas être accordée (<ref-law>). Le recourant devra donc supporter les frais judiciaires (<ref-law>), dont le montant sera toutefois fixé en tenant compte de sa situation financière.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'200 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 3 juillet 2019
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
La Greffière : Kistler Vianin