Faits :
A.
A.a. Inscrite au registre du commerce depuis le 6 mai 2008, l'Etude Y._ SA (ci-après: l'Etude) est une société anonyme de droit suisse dont le siège est à Zurich. Son but social est la fourniture de prestations juridiques en Suisse et à l'étranger par des avocats, des notaires et d'autres conseillers, ainsi que les activités liées.
D'après la convention d'associés du 1 er octobre 2013, tous les associés, dont au moins trois quarts doivent être des avocats inscrits en Suisse, sont réunis en une société simple détenant la totalité des actions (art. 1 et 2.1 de la convention). Le capital-actions de la société est composé de 10'000 actions nominatives (art. 3 des statuts), qui ne peuvent être transférées si, à la suite de l'acquisition, les avocats inscrits en Suisse ne disposeraient plus de la majorité de contrôle des trois quarts des voix attribuées aux actions ou de trois quarts des voix dans la société détenant des actions (art. 4 des statuts). Enfin, le conseil d'administration est constitué d'un ou de plusieurs membres qui doivent être des actionnaires et majoritairement des avocats inscrits en Suisse (art. 10 des statuts).
Au moment de l'arrêt attaqué, Y._ SA comptait 44 associés, lesquels siégeaient tous au conseil d'administration. Un seul des associés, expert fiscal diplômé et juriste, n'était pas inscrit à un registre cantonal d'avocats.
A.b. Le 27 mai 2008, la Commission de surveillance des avocats du canton de Zurich a confirmé aux associés de Y._ SA qu'ils remplissaient tous les critères pour exploiter une étude d'avocats sous la forme d'une société anonyme, alors même que l'un d'eux n'était pas inscrit à un registre cantonal d'avocats. Par la suite, Y._ SA a ouvert des succursales à Berne, Lugano et Bâle. Les autorités cantonales compétentes en matière de surveillance des avocats ont rendu des décisions similaires au prononcé zurichois du 27 mai 2008.
B.
Le 13 novembre 2015, Y._ SA a formé une requête devant la Chambre des avocats du canton de Vaud (ci-après: la Chambre des avocats) tendant à ce que A._, B._, C._ et X._, avocats, et D._, avocate stagiaire, soient "autorisés à pratiquer la profession d'avocat au sein de [la] future étude de Lausanne". La société a demandé en outre à ce que "cet accord couvre à l'avenir tout avocat qui rejoindrait [l'] étude de Lausanne".
Par décision du 21 janvier 2016, la Chambre des avocats a rejeté la requête de la société. Elle a retenu en substance que seul un actionnariat composé à 100% d'avocats inscrits à un registre cantonal permettait le respect des principes de l'indépendance et du secret professionnel. Ainsi, dans la mesure où l'un des associés de l'Etude était un expert fiscal diplômé qui n'était pas inscrit à un registre cantonal des avocats, l'exercice de la profession d'avocat au sein d'une succursale de l'Etude ne permettait pas le respect des conditions légales. La société ne pouvait du reste pas se prévaloir de la LMI pour obtenir l'application de la décision de la Commission de surveillance des avocats du canton de Zurich. Un émolument de 300 fr. a été mis à la charge de la société Y._ SA.
Y._ SA, X._ ainsi que la Commission de la Concurrence ont recouru contre cette décision devant la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal). Par arrêt du 30 septembre 2016, le Tribunal cantonal a partiellement admis le recours en tant qu'il était formé par Y._ SA et X._ (ch. I), et l'a rejeté en tant qu'il émanait de la Commission de la concurrence (ch. III). La décision de la Chambre des avocats a été reformée en ce sens qu'il était constaté que les avocats exerçant leur profession au sein de Y._ SA conformément aux statuts du 6 août 2014, à la convention d'associés du 1 er octobre 2013, au règlement d'organisation du 30 septembre 2014 et à la composition du conseil d'administration selon l'état actuel de l'inscription de la société au registre du commerce, comprenant 97% d'avocats inscrits dans un registre cantonal, étaient autorisés à rester inscrits au registre des avocats, respectivement à y être inscrits, s'ils satisfaisaient aux autres conditions prévues par la loi. La décision a été maintenue pour le surplus (ch. II). Un émolument de 800 fr. a été mis à la charge de Y._ SA et X._, solidairement entre eux (ch. IV) et une indemnité de 1'500 fr. leur a été allouée à charge de l'Etat de Vaud (ch. V).
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, la Commission de la concurrence demande au Tribunal fédéral de constater que l'arrêt attaqué, en tant qu'il rejette le recours de la Commission de la concurrence (ch. III), réforme la décision du 21 janvier 2016 de la Chambre des avocats (ch. II) et met des frais à charge des recourants (ch. IV), restreint l'accès au marché de manière illicite.
S'en remettant à l'appréciation du Tribunal fédéral quant à la recevabilité du recours, le Tribunal cantonal conclut à son rejet. La Chambre des avocats renonce à se déterminer. Y._ SA et X._ déclarent adhérer aux conclusions et à la motivation du recours.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>). Il contrôle donc librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 417).
1.1. L'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>), rendue par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), dans une cause de droit public (<ref-law>) ne tombant pas sous le coup de l'une des exceptions prévues à l'<ref-law>. La voie du recours en matière de droit public est donc en principe ouverte.
1.2. La Commission de la concurrence est une autorité fédérale indépendante chargée de l'application de la LMI (<ref-law>). Elle se prévaut de l'art. 89 al. 2 let. d LTF en relation avec l'<ref-law>, selon lequel la Commission de la concurrence peut, pour faire constater qu'une décision restreint indûment l'accès au marché, déposer un recours. Il en découle que la qualité pour recourir de la Commission de la concurrence suppose que la LMI s'applique à la présente cause. Comme on le verra plus en détail ci-après (cf. infra consid. 3.2), le Tribunal fédéral a déjà eu l'occasion de se prononcer sur la question de l'application de la LMI dans la situation d'une Etude d'avocat souhaitant ouvrir une succursale dans un autre canton (cf. arrêt 2C_1054/2016 et 2C_1059/2016 du 15 décembre 2017, destiné à la publication). Dans cette affaire, le Tribunal fédéral a jugé que lorsque le canton de destination adoptait une interprétation de la LLCA qui divergeait de celle du canton de provenance, il convenait d'appliquer l'<ref-law> sur le droit de s'établir dans un autre lieu de Suisse (consid. 4.4). Partant, en tant que son recours tend à faire constater que l'arrêt attaqué restreint l'accès au marché de manière illicite, la Commission de la concurrence a qualité pour recourir. La recevabilité du recours doit ainsi être admise au regard de l'art. 89 al. 2 let. d LTF.
1.3. La Commission fédérale a pris des conclusions de nature exclusivement constatatoire. Selon un principe général de procédure, les conclusions en constatation de droit ne sont recevables que lorsque des conclusions condamnatoires ou formatrices sont exclues; sauf situations particulières, les conclusions constatatoires ont donc un caractère subsidiaire (cf. <ref-ruling> consid. 1.7 p. 123; <ref-ruling> consid. 4 p. 122). Le législateur a introduit une exception à ce principe à l'<ref-law> pour tenir compte du fait que les restrictions à la liberté d'accès au marché affectaient davantage les intérêts privés que les intérêts publics, si bien qu'il ne se justifiait pas de conférer à la Commission de la concurrence un droit de recours pour obtenir une décision formatrice (cf. FF 2005 421, p. 446; <ref-ruling> consid. 17 p. 123 et références). Les conclusions constatatoires qu'a prises la Commission de la concurrence sont partant admissibles. Cette autorité aurait cependant dû également conclure expressément à l'annulation préalable de l'arrêt attaqué, étant donné que le Tribunal cantonal a rejeté le recours en constatation de la Commission de la concurrence devant lui (<ref-ruling> consid. 1.7 p. 123). A la lecture des conclusions constatatoires formulées par la recourante, l'on comprend toutefois que celle-ci a procédé implicitement de la sorte. Ses conclusions doivent en conséquence être déclarées recevables.
Pour le surplus, le recours a été déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 et 2 LTF). Il convient donc d'entrer en matière.
2.
Le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (<ref-law>) et applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est en principe pas lié par les motifs de l'autorité précédente ni par les moyens des parties; il peut donc admettre le recours pour d'autres motifs que ceux invoqués par le recourant, comme il peut le rejeter en opérant une substitution de motifs (<ref-ruling> consid. 3 p. 783). Selon l'<ref-law>, la reformatio in pejusest exclue devant le Tribunal fédéral (arrêt 2C_628/2016 du 10 février 2017 consid. 2.2, non publié in <ref-ruling>).
3.
La Commission de la concurrence se plaint en premier lieu d'une violation de l'<ref-law>. De son point de vue, la décision zurichoise du 27 mai 2008 selon laquelle les avocats employés par Y._ SA remplissaient tous les conditions de l'art. 8 al. 1 let. d LLCA vaut pour toute la Suisse. Il appartenait donc aux autorités vaudoises de l'appliquer, et cela quand bien même elles faisaient une lecture divergente du droit fédéral. Ainsi, en imposant une proportion déterminée d'avocats inscrits au sein du conseil d'administration (97%) - restriction qui ne figurait pas dans la décision du 27 mai 2008 -, le Tribunal cantonal a indûment restreint la liberté d'accès au marché prévue par l'<ref-law>.
3.1. La LMI garantit à toute personne ayant son siège ou son établissement en Suisse l'accès libre et non discriminatoire au marché, afin qu'elle puisse exercer une activité lucrative sur tout le territoire suisse (<ref-law>). Par activité lucrative au sens de cette loi, on entend toute activité non régalienne ayant pour but un gain (<ref-law>), dont en particulier la profession d'avocat (FRANÇOIS BOHNET/VINCENT MARTENET, Droit de la profession d'avocat, 2009, n° 196 p. 85). L'<ref-law> permet à celui qui veut s'établir dans un autre canton pour y exercer une activité lucrative légale de se prévaloir du principe de la liberté d'accès au marché selon les prescriptions du lieu de provenance. Quant à l'<ref-law>, il prévoit que lorsqu'une autorité d'exécution cantonale a constaté que l'accès au marché d'une marchandise, d'un service ou d'une prestation est conforme au droit fédéral ou en a autorisé l'accès au marché, sa décision est applicable dans toute la Suisse.
3.2. Dans l'arrêt du 15 décembre 2017 consid. 4 (2C_1054/2016 et 2C_1059/2016) destiné à publication, le Tribunal fédéral a eu l'occasion de déterminer si et dans quelle mesure les règles sur la liberté d'accès au marché étaient applicables dans le cadre d'un recours formé contre le refus, prononcé par la Commission du barreau genevoise et confirmé par la Cour de justice, d'accorder l'agrément en vue de l'exercice de la profession d'avocats. Le recours avait été interjeté par les employés de la succursale genevoise d'une Etude d'avocats, avec siège à Zurich et organisée en société anonyme, et rejeté au motif que l'un des associés n'était pas un avocat inscrit à un registre cantonal d'avocats. La Cour de justice avait rendu son arrêt après que la Commission de surveillance des avocats de Zurich avait confirmé que les associés de l'Etude remplissaient tous les critères pour exploiter une étude d'avocats sous la forme d'une société anonyme. Dans cette affaire, le Tribunal fédéral a jugé que la situation devait être examinée à l'aune de l'<ref-law>. L'<ref-law> ne trouvait, en revanche, pas application. Cette jurisprudence a été adoptée sur la base du raisonnement suivant. La Cour de céans a tout d'abord rappelé la jurisprudence du Tribunal fédéral sur les liens existant entre la LLCA et la LMI. Lorsque, en particulier, la LLCA a vocation à s'appliquer uniformément à l'ensemble du territoire, en fixant notamment des règles régissant l'organisation et la pratique du métier d'avocat, la LMI ne trouve en principe pas application. Une exception à ce principe doit cependant être admise lorsqu'un canton fait échec au droit d'accès au marché d'un offreur extérieur au canton en faisant une interprétation de la LLCA qui diverge de celle du canton de provenance. Dans ce cas, l'offreur pourra valablement invoquer l'<ref-law>, selon lequel une décision cantonale prise en application du droit fédéral donnant accès à un marché s'impose aux autres. Cette exception s'applique également dans la situation où, bien que se fondant sur la LLCA, les cantons adoptent des interprétations différentes en lien avec l'<ref-law> (arrêt 2C_1054/2016 du 15 septembre 2017 consid. 4.2, destiné à la publication). Appliquant ces principes au cas particulier, le Tribunal fédéral a considéré que dans la mesure où les cantons avaient adopté des interprétations différentes de la LLCA, il convenait d'appliquer la LMI. Restait à savoir quelle disposition de la LMI trouvait application. En l'occurrence, la Cour de céans a jugé que dans la situation où une entreprise se voit, en vertu du droit fédéral, refuser le droit de s'établir dans un autre canton, il convient d'appliquer l'<ref-law>. L'<ref-law>, qui vise uniquement l'accès au marché d'une marchandise, d'un service ou d'une prestation, ne trouve en revanche pas application (arrêt 2C_1054/2016 du 15 septembre 2017 consid. 4.4, destiné à la publication).
3.3. En l'occurrence, les principes posés dans l'arrêt 2C_1054/2016 précité sont applicables dans le cas particulier. En effet, le litige a pour origine une requête formée devant la Chambre des avocats par Y._ SA, dont le siège est à Zurich, tendant à ce que A._, B._, C._ et X._, avocats, et D._, avocate-stagiaire, soient "autorisés à pratiquer la profession d'avocat au sein de [la] future étude de Lausanne et à ce que l'accord "couvre à l'avenir tout avocat qui rejoindrait [l']étude de Lausanne". La Chambre des avocats a rejeté cette requête, au motif que seul un actionnariat composé à 100% d'avocats inscrits à un registre cantonal permettait le respect des principes de l'indépendance et du secret professionnel. Le Tribunal cantonal a partiellement admis un recours contre cette décision, considérant que l'inscription au registre cantonal pouvait être accordée aux avocats de Y._ SA, à condition que le conseil d'administration soit composé de 97% d'avocats inscrits dans un registre cantonal, que les règles décisionnelles et organisationnelles de la société en vigueur au moment de l'arrêt attaqué demeurent applicables et pour autant que les autres conditions prévues par le droit cantonal soient remplies. L'arrêt attaqué pose ainsi des conditions plus restrictives à l'inscription au registre cantonal d'avocats que la décision rendue par la Commission de surveillance des avocats de Zurich le 27 mai 2008 confirmant que les associés de Y._ SA remplissaient tous les critères pour exploiter une étude d'avocats sous la forme d'une société anonyme. Ainsi, on est en présence d'interprétations cantonales divergentes de la LLCA. Dans une telle configuration, et conformément à la jurisprudence précitée, il convient d'appliquer l'<ref-law>, et non l'<ref-law>. Partant, en tant que la Commission de la concurrence reproche à l'autorité précédente de n'avoir pas appliqué l'<ref-law>, son grief tombe à faux.
4.
Il convient ainsi d'examiner la situation à l'aune de l'<ref-law>. Cet examen revient à vérifier la conformité de la décision entreprise au droit fédéral, soit en l'occurrence, la LLCA.
4.1. Dans l'arrêt précité du 15 décembre 2017, destiné à publication, le Tribunal fédéral a examiné la question de savoir si la présence de personnes autres que des avocats inscrits au sein de l'actionnariat et du conseil d'administration d'une étude d'avocats, organisée sous forme de personne morale, était conciliable avec le respect des principes de l'indépendance et du secret professionnel prévus par la LLCA. La Cour de céans a d'abord rappelé les principes dégagés de l'<ref-ruling> (cf. consid. 5). Il ressort en particulier de cette jurisprudence que l'<ref-law> ne s'oppose pas à ce que des avocats s'associent pour la pratique du barreau en constituant une personne morale dont ils sont les employés. L'indépendance n'est toutefois assurée que pour autant que celle-ci soit conçue de manière à ce que seuls des avocats inscrits puissent influencer la relation d'emploi. Appliquant ces principes au cas particulier, le Tribunal fédéral a considéré que le système mis en place par la société anonyme, selon lequel les avocats non inscrits pouvaient représenter jusqu'à un quart des associés, ne permettait pas d'exclure tout risque concret d'influence, au sein de l'actionnariat et du conseil d'administration, par les associés qui n'étaient pas inscrits au registre (consid. 5.3.2). Le fait que des personnes autres que des avocats inscrits siégeaient au conseil d'administration d'une étude d'avocats mettait également en péril la garantie du secret professionnel de l'avocat (<ref-law>; consid. 5.3.3). La Cour de céans en a donc conclu qu'en confirmant le refus d'accorder l'agrément sollicité en vue de l'exercice de la profession d'avocat par les avocats de l'Etude, au motif que l'un des membres de la société d'avocats n'était pas inscrit à un registre cantonal, l'autorité précédente n'avait pas violé le droit fédéral, en particulier l'<ref-law> (consid. 5.4).
4.2. Il s'ensuit qu'en admettant la possibilité pour les avocats de l'Etude Y._ SA de rester inscrits au registre cantonal des avocats, alors même que l'un des membres de la société anonyme n'était pas un avocat inscrit à un registre cantonal, le Tribunal cantonal a violé le droit fédéral. Cela étant, compte tenu de l'interdiction de la reformatio in pejus devant le Tribunal fédéral (cf. <ref-law>; arrêts 2C_729/2016 du 7 avril 2017 consid. 5.2; 6B_909/2015 du 22 juin 2016 consid. 1.3.2), la Cour de céans ne peut pas modifier l'arrêt du Tribunal cantonal sur ce point.
5.
La Commission de la concurrence invoque ensuite une violation de l'<ref-law> qui garantit la gratuité de la procédure en matière de marché intérieur. D'après la recourante, la Chambre des avocats n'était pas fondée à percevoir de frais judiciaires à charge de la société Y._ SA Elle reproche ainsi à l'autorité précédente d'avoir confirmé la décision du 21 janvier 2016 sur ce point.
En vertu de l'<ref-law>, les décisions relatives aux restrictions doivent faire l'objet d'une procédure simple, rapide et gratuite. Comme le Tribunal de céans l'a jugé en relation avec l'ancien al. 2 de l'<ref-law> (RO 2006 2363, 2366), cette exigence vaut de manière générale pour les procédures relatives à l'accès au marché (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 487). L'<ref-law> a été adopté à la suite de l'<ref-ruling>, dans lequel le Tribunal fédéral a constaté que la fixation de frais pour l'examen des conditions personnelles d'exercice de la profession en application de la LMI restreignait indûment l'accès au marché. La Cour de céans a précisé que le but de la LMI ne serait pas réalisé si un offreur, souhaitant fournir ses prestations dans un autre canton, devait s'attendre, lors de l'examen de telles restrictions, à devoir supporter les frais de procédure (consid. 5 p. 323; FF 2005 421, p. 442). Le principe de la gratuité de la procédure s'impose ainsi aux cantons comme une exigence minimale (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 487). La jurisprudence a en revanche toujours considéré que la gratuité de la procédure prévue dans la LMI ne s'appliquait pas aux procédures de recours (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 487; <ref-ruling> consid. 7 p. 339; arrêt 2C_701/2014 du 13 avril 2015 consid. 10, non publié in <ref-ruling>).
Il suit de ce qui précède que la Chambre des avocats n'était pas fondée à percevoir un émolument lorsqu'elle a rendu sa décision du 21 janvier 2016. A partir du moment où les requérants avaient soutenu de manière défendable devant la Chambre des avocats que la LMI s'appliquait au litige, celle-ci ne pouvait pas fixer un émolument à leur charge, même si, selon elle, la LMI ne s'appliquait pas, dès lors que la question de l'applicabilité de la LMI a été discutée (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 229 s.; arrêt 2C_154/2017 du 23 mai 2017 consid. 8.2.1). Le Tribunal cantonal a ainsi violé le droit fédéral en confirmant la perception d'un émolument de 300 fr. par l'autorité précédente. Le grief de la Commission de la concurrence doit partant être admis sur ce point. En revanche, le Tribunal cantonal a statué en tant qu'instance de recours contre la décision de la Chambre des avocats, de sorte que des frais judiciaires pouvaient être perçus à ce stade. La conclusion de l'intéressée tendant à faire constater que la fixation de frais à charge de Y._ SA et X._ restreint l'accès au marché de manière illicite doit donc être rejetée.
6.
Les considérants qui précèdent conduisent à l'admission partielle du recours. Il convient de constater que la Chambre des avocats, dans sa décision du 21 janvier 2016, a violé l'<ref-law> en percevant un émolument de 300 francs. Le recours est rejeté pour le surplus. Ayant agi dans l'exercice de ses attributions officielles sans que son intérêt patrimonial soit en cause, la Commission de la concurrence n'a pas à supporter de frais (<ref-law>) et n'a pas droit à des dépens (<ref-law>; arrêt 2C_1131/2013 du 31 mars 2015 consid. 8.3, non publié in <ref-ruling>). La Chambre des avocats du canton de Vaud n'a pas non plus à supporter de frais, ni droit à des dépens (<ref-law>; art. 68 al. 1 et 3 LTF). En revanche, Y._ SA et X._, qui ont conclu à l'admission du recours et obtiennent ainsi partiellement gain de cause, supporteront des frais judiciaires réduits (<ref-law>). Ils peuvent également prétendre à des dépens réduits, à la charge du canton de Vaud (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis. Il est constaté que la Chambre des avocats du canton de Vaud a violé l'<ref-law> en percevant un émolument pour sa décision du 21 janvier 2016. Le recours est rejeté pour le surplus.
2.
Les frais judiciaires réduits, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de Y._ SA et X._, solidairement entre eux.
3.
Une indemnité de dépens réduite de 500 fr., à charge du canton de Vaud, est allouée à Y._ SA et X._, créanciers solidaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué à la recourante, à la Chambre des avocats du canton de Vaud, à X._, à la société Y._ SA et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lausanne, le 27 avril 2018
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Tissot-Daguette