Faits :
A.
A._ (1979) et B._ (1992) se sont mariés en 2014. De leur union est issue C._, née en août 2016.
Les époux ont été autorisés à vivre séparés par décision de mesures protectrices de l'union conjugale du 20 mars 2018, le mari s'étant établi aux Etats-Unis d'Amérique (ci-après: les Etats-Unis).
B.
B.a. Par décision de divorce du 12 décembre 2019, le Tribunal civil de la Sarine a notamment attribué l'autorité parentale exclusive sur l'enfant en faveur de la mère, a confié la garde de l'enfant à la mère, a réservé le droit aux relations personnelles du père comprenant en substance un " droit de visite physique " exercé en Suisse et des contacts réguliers par Skype ou toute autre moyen similaire en fonction de trois périodes différentes, dont la dernière dès décembre 2020 prévoit un contact bihebdomadaire le jeudi et le dimanche sans intervention externe. Le père a également été astreint à contribuer à l'entretien de sa fille par le versement d'une contribution mensuelle de 900 fr. de juillet 2020 à l'entrée de l'enfant à l'école secondaire, de 535 fr. de l'entrée à l'école secondaire aux 16 ans de l'enfant et de 350 fr. des 16 ans à la majorité de l'enfant ou au-delà aux conditions de l'<ref-law>.
B.b. Par arrêt du 1er septembre 2020, la Cour d'appel civil du Tribunal cantonal de l'État de Fribourg a partiellement admis l'appel du mari. Elle a réformé la décision de première instance, en ce sens que le " droit de visite physique " s'exerce en Suisse selon un planning établi par la curatrice de surveillance des relations personnelles, ce droit pouvant dès le mois d'août 2029 s'exercer à l'étranger selon des modalités pratiques à définir, à raison de deux fois par an pendant deux semaines jusqu'en août 2021 et, dès le mois suivant, durant la moitié des vacances scolaires d'été et de Noël, les fêtes de Noël et de Nouvel-An étant passées alternativement avec chacun des parents. Elle a également modifié le montant de la contribution d'entretien due par le père à l'enfant. Elle l'a supprimée jusqu'au 30 juin 2020, puis l'a fixée à 800 fr. par mois dès le 1er juillet 2020 jusqu'à l'entrée de l'enfant à l'école secondaire, à 535 fr. par mois dès l'entrée à l'école secondaire jusqu'aux 16 ans de l'enfant et à 350 fr. par mois dès les 16 ans de l'enfant jusqu'à sa majorité, voire au-delà aux conditions de l'<ref-law>. La Cour d'appel civil a également donné ordre à la mère de mettre en oeuvre les démarches utiles pour faire reconnaître la qualité de ressortissante étasunienne de l'enfant auprès des autorités compétentes, plus particulièrement auprès de l'ambassade des Etats-Unis à Berne. Elle a confirmé pour le surplus la décision de première instance, notamment en ce qui concerne l'attribution de l'autorité parentale exclusive en faveur de la mère et la réglementation des contacts entre le père et l'enfant par Skype.
C.
C.a. Par acte du 9 octobre 2020, A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut principalement à la réforme de l'arrêt cantonal, en ce sens que l'autorité parentale sur l'enfant demeure conjointe et que les contacts par Skype ou tout autre moyen de communication similaire sont exercés, sauf meilleure entente, deux fois par semaine pour une durée idéale de 30 minutes, selon les modalités à définir par la curatrice, en présence de la curatrice ou d'une personne du Service de l'enfant et de la jeunesse, l'enfant se trouvant dans les locaux du Service de protection de la jeunesse ou dans un autre lieu défini par la curatrice qui communiquera au minimum un mois à l'avance aux parents les modalités du droit de visite, à charge pour la mère d'emmener l'enfant à l'endroit communiqué, ce jusqu'à ce que l'enfant ait atteint l'âge de 4 ans. Dès l'âge de 4 ans révolus et jusqu'au 31 décembre 2020, les contacts s'exerceront de manière hebdomadaire les dimanches à 19h00 (UTC + 1) pour une durée idéale de 30 minutes, puis dès le 1er janvier 2021 de manière bihebdomadaire les jeudis et dimanches à 19h00 (UTC + 1) pour une durée idéale de 30 minutes, mais pour une durée pendant laquelle l'enfant souhaitera rester devant l'écran sans intervention externe. Il conclut également à la réforme de l'arrêt cantonal s'agissant du " droit de visite physique ", en ce sens qu'il est exercé pendant deux semaines aux Etats-Unis ou en Suisse tous les trois mois, à charge pour lui d'assumer les frais de déplacement de l'enfant aux Etats-Unis ou les siens propres jusqu'à la scolarisation de l'enfant et, dès sa scolarisation, de manière plus large deux semaines lors des vacances d'automne, de Noël et de Pâques et six semaines lors des vacances d'été en principe aux Etats-Unis à son domicile, celui-ci pouvant également l'exercer en Suisse selon sa convenance et ses moyens financiers. Toujours à titre principal, le recourant conclut en outre à ce qu'il soit constaté qu'il n'est pas en mesure de contribuer à l'entretien de l'enfant et qu'ordre soit donné à son épouse de collaborer à la mise en oeuvre des démarches utiles pour faire reconnaître la qualité de ressortissante étasunienne de l'enfant auprès des autorités compétentes, plus particulièrement auprès de l'ambassade des Etats-Unis à Berne, dans un délai d'un mois dès le prononcé du jugement de divorce définitif et exécutoire, celui-ci étant à défaut autorisé à faire reconnaître seul cette qualité. Il conclut subsidiairement à l'annulation de l'arrêt cantonal sur ces points et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour instruction et nouvelle décision dans le sens des considérants. À titre préalable, il requiert que l'effet suspensif soit accordé sur l'ensemble des aspects relatifs à son recours, dans la mesure des conclusions formées. Il sollicite par ailleurs le bénéficie de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
C.b. Invitées à se déterminer sur la requête d'effet suspensif du recourant, la cour cantonale n'a pas formulé d'observations, la curatrice de l'enfant s'y est opposée pour la contribution d'entretien et l'intimée a conclu à son rejet. Cette dernière a également sollicité le bénéfice de l'assistance judiciaire et que son avocat lui soit désigné en qualité de défenseur d'office.
Par ordonnance du 10 novembre 2020, le Président de la Cour de céans a rejeté la requête d'effet suspensif.
C.c. Par courrier du 1er juin 2021, le conseil de l'intimée a informé le Tribunal fédéral de la fin de son mandat et de la reprise de celui-ci par un nouveau conseil.
Le 24 juin 2021, le recourant a adressé au Tribunal fédéral une mise en demeure ordonnant notamment aux autorités suisses, à l'intimée et au conseil de celle-ci de cesser ou de s'abstenir de commettre toutes activités illicites dans le cadre des rapports qu'il entretient avec son enfant.
Par courrier du 9 juillet 2021, le conseil du recourant a informé le Tribunal fédéral de la fin de son mandat.
C.d. La Cour de céans a requis des déterminations sur le fond du recours. Représentée par son nouveau conseil, l'intimée dépose une réponse le 8 juillet 2021, en concluant au rejet du recours, pour autant que recevable. Elle y réitère par ailleurs sa demande visant à être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire et y requiert que son nouveau conseil lui soit désignée en qualité d'avocate d'office. La cour cantonale se réfère aux considérants de son arrêt et la curatrice de l'enfant conclut au rejet du recours.

Considérant en droit :
1.
Le recours a été déposé en temps utile (<ref-law>) et dans la forme prévue par la loi (<ref-law>), contre une décision finale (<ref-law>), par une partie qui a succombé en dernière instance cantonale et sur recours (art. 75 et 76 LTF), dans une affaire civile (<ref-law>) de nature non pécuniaire dans son ensemble (parmi plusieurs: arrêts 5A_489/2019 du 24 août 2020 consid. 2.1, 5A_159/2020 du 4 mai 2020 consid. 1, 5A_168/2016 du 29 septembre 2016 consid. 1 et les références). Le recours est en principe recevable.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés (<ref-ruling> consid. 2.4 et les références). Le recourant doit par conséquent discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (<ref-ruling> consid. 1.7.1; <ref-ruling> consid. 2.4 et la référence). Le Tribunal fédéral ne connaît par ailleurs de la violation de droits fondamentaux que si un tel grief a été expressément invoqué et motivé de façon claire et détaillée par le recourant (" principe d'allégation ", <ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.4).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que s'il démontre la violation de droits constitutionnels, conformément au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1). Le Tribunal fédéral ne corrige les constatations de fait que si elles sont arbitraires (art. 9 Cst.) et ont une influence sur le résultat de la décision (<ref-ruling> consid. 1.2.2). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il n'y a arbitraire que lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.3 et les références). Le recourant ne peut pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; il doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont contraires au droit ou entachées d'une erreur indiscutable, c'est-à-dire arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.2.2). L'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait envisageable ou même préférable; pour que la décision entreprise soit annulée, encore faut-il que le recourant démontre qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 7.3 et les références; <ref-ruling> consid. 4.3). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4.3).
En l'occurrence, les faits exposés par les parties seront ignorés en tant qu'ils s'écartent de ceux contenus dans l'arrêt attaqué et ne font pas l'objet d'un grief d'arbitraire dans l'établissement des faits valablement soulevé. Tel est le cas en particulier lorsque le recourant se prévaut du fait que la mère aurait été condamnée pénalement pour des délits et qu'elle aurait abandonné le chat de sa fille (recours, p. 7 et 8), qu'il aurait été acquitté pour sa part de plusieurs infractions (p. 7), qu'il a dû cesser son emploi de sténographe car il était en dépression et qu'il aide sa mère en incapacité de travail (p 16), qu'il est actuellement chauffeur Uber et non chauffeur de taxi (p. 16), qu'un billet d'avion Genève-New-York, aller-retour, coûterait 600 fr. (p. 17), que l'enfant n'a jamais rencontré sa famille maternelle (p. 18) et que sa grand-mère maternelle est gravement malade (p. 18). Il en va de même lorsque l'intimée se réfère à des faits figurant dans un rapport du Service de l'enfance et de la jeunesse du 31 octobre 2018 (réponse, p. 6).
2.3. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>). Cette exception, dont il appartient aux parties de démontrer que les conditions sont remplies, vise les faits qui sont rendus pertinents pour la première fois par la décision attaquée, par exemple concernant le déroulement de la procédure devant l'instance précédente afin d'en contester la régularité, ou encore des faits postérieurs à l'arrêt attaqué permettant d'établir la recevabilité du recours (arrêt 5A_904/2015 du 29 septembre 2016 consid. 2.3 non publié in <ref-ruling>). En dehors de ces cas, les nova ne sont pas admissibles, qu'il s'agisse de faits ou moyens de preuve survenus postérieurement à la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 1.2 et les références), ou d'éléments que les parties ont négligé de présenter aux autorités cantonales (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 4.4.3).
En l'espèce, les parties présentent des allégués et des pièces postérieurs à l'arrêt entrepris. En tant que les parties ne démontrent pas que ces éléments nouveaux remplissent les conditions précitées, ils sont d'emblée irrecevables et ne seront donc pas pris en compte. Il en va notamment ainsi des nouveaux allégués contenus dans la réponse de l'intimée et des nouvelles pièces produites à l'appui de ceux-ci (pièces 2 à 7) - dont l'intimée concède elle-même qu'ils ne répondent vraisemblablement pas aux exigences strictes de l'<ref-law> -, des pièces 103 à 105 produites par l'intimée à l'appui de ses déterminations sur effet suspensif et des courriers des 22 et 26 octobre 2020 des parties à la Justice de paix adressés au Tribunal fédéral pour information et du document du 24 juin 2021 envoyé par le recourant. Quant à la lettre du 26 août 2020 produite par l'intimée à l'appui de ses déterminations (pièce 102), elle est également irrecevable, dès lors que l'intimée ne soutient pas l'avoir produite en instance cantonale et qu'elle tend à démontrer des faits qui ne sont pas établis dans l'arrêt attaqué sans qu'un grief d'arbitraire en lien avec l'établissement de ceux-ci ait été valablement soulevé. En revanche, les documents fournis à l'appui de la demande d'assistance judiciaire de l'intimée (pièces 107 et 108 du bordereau du 5 novembre 2020) sont recevables, aux fins de se prononcer sur dite demande.
2.4. Dès lors qu'il ressort de l'arrêt querellé que l'enfant a fêté son quatrième anniversaire le 16 août 2020 et a commencé sa scolarité en août 2021 (<ref-law>), les conclusions et les critiques du recourant pour la période antérieure aux quatre ans de l'enfant ou à sa scolarisation sont désormais sans objet dans la procédure devant le Tribunal fédéral. Autant que les faits relatifs à ces périodes ne sont plus pertinents pour juger du présent litige, ils seront ignorés.
2.5. En vertu du principe de l'épuisement des griefs, le recours n'est ouvert qu'à l'encontre des décisions rendues par une autorité cantonale de dernière instance (<ref-law>), ce qui signifie que les voies de droit cantonales doivent avoir été non seulement utilisées sur le plan formel, mais aussi épuisées sur le plan matériel (<ref-ruling> consid. 3.3.4; <ref-ruling> consid. 2.2.2; <ref-ruling> consid. 1.1 et les références). Lorsque l'autorité de dernière instance cantonale peut se limiter à examiner les griefs régulièrement soulevés, le principe de l'épuisement matériel des instances cantonales veut que les griefs soumis au Tribunal fédéral aient déjà été invoqués devant l'instance précédente (arrêts 4A_40/2021 du 10 juin 2021 consid. 3.2; 5A_451/2020 du 31 mars 2021 consid. 2.3 et les références; 5A_703/2019 du 27 avril 2020 consid. 2.3.1 et les références).
3.
Le recourant fait valoir que l'attribution de l'autorité parentale exclusive sur l'enfant à la mère repose sur une constatation manifestement inexacte des faits et viole les dispositions légales sur l'autorité parentale, notamment les art. 296 et 298 CC.
3.1.
3.1.1. L'autorité parentale conjointe est la règle depuis l'entrée en vigueur le 1er juillet 2014 des nouvelles dispositions du Code civil relatives à l'autorité parentale (RO 2014 357), ce indépendamment de l'état civil des parents (art. 296 al. 2, 298a al. 1, 298b al. 2 et 298d al. 1 CC; <ref-ruling> consid. 3.3, 56 consid. 3). Il n'est qu'exceptionnellement dérogé à ce principe, lorsqu'il apparaît que l'attribution de l'autorité parentale exclusive à l'un des parents est nécessaire pour le bien de l'enfant. Une telle exception est en particulier envisageable en présence d'un conflit important et durable entre les parents ou d'une incapacité durable pour ceux-ci de communiquer entre eux à propos de l'enfant, pour autant que cela exerce une influence négative sur celui-ci et que l'autorité parentale exclusive permette d'espérer une amélioration de la situation. De simples différends, tels qu'ils existent au sein de la plupart des familles, d'autant plus en cas de séparation ou de divorce, ne constituent pas un motif d'attribution de l'autorité parentale exclusive, respectivement de maintien d'une autorité parentale exclusive préexistante (<ref-ruling> consid. 4.3 et 4.7; <ref-ruling> consid. 2.1). En outre, la seule distance géographique entre les parents n'est pas en soi suffisante pour déroger au principe de l'autorité parentale conjointe (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 3).
En l'absence de toute communication entre les parents, le bien de l'enfant n'est pas garanti par l'exercice de l'autorité parentale conjointe. Celle-ci suppose en effet que les parents s'entendent un minimum sur les questions principales concernant l'enfant et qu'ils soient au moins capables de coopérer dans une certaine mesure. Si tel n'est pas le cas, l'autorité parentale conjointe constitue presque inévitablement une charge pour l'enfant, qui s'accentue dès que celui-ci se rend compte du désaccord de ses parents. Cette situation comporte également des risques comme celui de retarder la prise de décisions importantes, par exemple en lien avec des suivis ou traitements médicaux (<ref-ruling>97 consid. 3.5).
Pour apprécier les critères d'attribution en matière de droits parentaux, le juge du fait, qui connaît le mieux les parties et le milieu dans lequel vit l'enfant, dispose d'un large pouvoir d'appréciation (<ref-law>). Le Tribunal fédéral ne revoit son exercice qu'avec retenue. Il n'intervient qu'en cas d'excès ou d'abus de ce pouvoir, autrement dit si le juge s'est écarté sans motif des principes établis par la doctrine et la jurisprudence, s'il s'est fondé sur des faits qui ne devaient jouer aucun rôle pour la solution du cas d'espèce ou si, au contraire, il n'a pas tenu compte de circonstances qui auraient impérativement dû être prises en considération, ou encore si sa décision aboutit à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (<ref-ruling> consid. 3.2.5 et les références).
3.2. La cour cantonale a d'abord rappelé que les premiers juges avaient constaté que les parties connaissaient de nombreuses tensions et n'arrivaient pas à communiquer ou à s'entendre sur les questions importantes relatives à l'enfant. Elles avaient par ailleurs des différends sur des choses les plus insignifiantes. Les premiers juges avaient également relevé que le conflit parental s'étendait au-delà des altercations verbales, chacun accusant régulièrement l'autre de toutes sortes de torts et que, compte tenu des publications du père sur internet, le risque que celui-ci enlève son enfant pour l'emmener avec lui aux Etats-Unis ne pouvait pas être écarté.
Puis, la cour cantonale a indiqué qu'il ressortait du dossier judiciaire que les parties avaient des difficultés importantes pour communiquer sereinement au sujet de leur fille et qu'elles se faisaient des reproches réciproques récurrents. Il fallait constater que les relations entre les parties semblaient tellement difficiles que cela pouvait avoir des répercussions négatives sur leur fille, notamment en ce qui concerne le droit aux relations personnelles entre l'enfant et le père. Les autorités de protection de l'enfant étaient régulièrement intervenues durant les deux ans qu'avait duré la procédure de divorce. Ainsi, le juge de paix avait déjà constaté l'existence d'un conflit important entre les parents en août 2018. Dans sa décision du 2 août 2018, il les avait exhortés à respecter leurs devoirs, en particulier de communication et de coopération. Il avait également été contraint de régler en détail les modalités du droit aux relations personnelles du père pour la période du 17 au 25 août 2018, vu que les parties n'étaient pas en mesure de s'accorder elles-mêmes à ce sujet. De son côté, le Tribunal de la Sarine avait relevé que les tensions persistaient et que les parties ne parvenaient pas à s'entendre sur des questions importantes, par exemple celle de la nationalité étasunienne de l'enfant. Le rapport du Service de l'enfance et de la jeunesse (SEJ) du 19 juin 2019 faisait également état d'un conflit parental, en mentionnant que les parties avaient des différends même sur des choses insignifiantes relatives à l'enfant, par exemple sur la manière de passer du temps en sa compagnie. La cour cantonale a ajouté que le conflit ne s'était par ailleurs pas apaisé durant la procédure d'appel, étant donné que le juge de paix avait une nouvelle fois été contraint en février 2020 de fixer de manière très détaillée les modalités d'exercice du droit aux relations personnelles du père. Elle a par ailleurs relevé que, plus récemment, à la suite de l'annonce de son épouse de déménager du canton de Fribourg pour le canton de Vaud, le père avait refusé, dans un premier temps, de donner son autorisation à l'office de la population pour inscrire l'enfant à ce nouveau domicile, en envoyant à la mère une longue liste de reproches en lien avec ses demandes relatives à l'enfant. Il avait ensuite indiqué qu'il allait contacter sa mandataire pour savoir de quel type d'enregistrement il s'agissait. Dans les jours qui suivirent, il s'était à nouveau longuement plaint auprès de la mère de ses comportements passés, en mettant en même temps comme condition à son autorisation de prise de domicile que celle-ci signe à son tour les formulaires nécessaires pour permettre l'enregistrement de l'enfant auprès des services sociaux étasuniens. Cela avait conduit la mère à solliciter l'intervention de la justice de paix, avant que le père ne donne finalement son accord au déménagement de l'enfant. La cour cantonale a en outre précisé que les difficultés rencontrées avaient incité la mère à refuser à ce stade de collaborer avec la nouvelle curatrice de surveillance des relations personnelles, ce qui avait amené celle-ci à constater que les deux parents étaient dans l'incapacité de faire la distinction entre leur conflit de couple et la protection de l'enfant. Sur la base des événements passés et du refus récent du père de donner son accord au déménagement alors même que ce changement de domicile n'avait aucune conséquence pratique pour ses propres relations avec sa fille, les juges cantonaux ont considéré qu'il y avait tout lieu de craindre que cette attitude d'opposition de principe à toute décision projetée par la mère en lien avec l'enfant (choix de l'école, décision d'effectuer un traitement médical, établissement de documents d'identité, etc.) persisterait tout au long de la minorité de l'enfant. Le père devait à chaque fois être persuadé de l'utilité, voire de la nécessité, de donner son accord. Compte tenu de la méfiance manifeste dont celui-ci faisait preuve vis-à-vis de la mère, et de la susceptibilité exacerbée de celle-ci envers le père de son enfant, il était probable qu'il faille à chaque fois recourir à l'intervention des mandataires et de la curatrice de surveillance des relations personnelles, voire de l'autorité de protection de l'enfant. Il était à craindre que cette attitude nuise gravement aux intérêts de l'enfant, notamment si le père devait être amené à refuser d'autoriser un acte médical nécessaire. Ainsi, la cour cantonale a jugé que l'on se trouvait en présence d'une des rares situations visées par l'<ref-law>, où l'autorité parentale conjointe n'a pas de sens dans la mesure où la collaboration entre les parents est impossible, cette situation allant manifestement perdurer, et où les autorités judiciaires doivent intervenir continuellement pour que les décisions relevant en principe de la sphère de compétence des parents puissent être prises. Dès lors que le pronostic relatif à l'évolution des relations parentales s'avérait manifestement défavorable, les juges cantonaux ont confirmé la décision de première instance d'attribuer l'autorité parentale exclusive sur l'enfant à la mère.
3.3. Le recourant expose en substance qu'il était dans l'intérêt de l'enfant que les deux parents puissent communiquer et prendre des décisions ensemble la concernant. Or, il ressortait du dossier et de l'arrêt entrepris que la mère avait fait part de son intention de ne plus collaborer avec les autorités et avec la curatrice, ce qui pourrait démontrer sa volonté de détruire la relation père-fille. Il relève également que le refus de maintenir l'autorité parentale conjointe conduirait à le priver de toute information sur sa fille, alors qu'il peine déjà actuellement à en obtenir. S'il ne conteste pas l'existence d'un conflit parental dont il relève qu'il en existe pratiquement dans tous les divorces, il estime que rien au dossier ne permet d'établir que le conflit des parties a eu ou aura un impact négatif sur l'enfant. Il critique par ailleurs le fait que la cour cantonale fonde son retrait de l'autorité parentale sur le fait qu'il ait refusé son accord au déménagement de l'enfant. Il soutient que ses craintes étaient légitimes en raison du risque de changement de for des procédures en cours. Partant, une autorité parentale conjointe, comme cela est la règle, sur l'enfant se justifiait pleinement, ce d'autant qu'il n'avait aucune intention d'enlever l'enfant et de l'amener avec lui aux États-Unis.
3.4. Lorsque le recourant tente de démontrer que l'intimée ne veut plus de manière générale collaborer avec les autorités et la curatrice en se référant à l'arrêt querellé, il procède à une lecture partielle et biaisée des propos qu'il contient puisqu'il isole un passage pour le sortir de son contexte, à savoir que l'incitation de l'intimée de ne plus collaborer à ce stade avait été provoquée par l'obstruction infondée du recourant au déménagement de celle-ci et de l'enfant, en occultant de surcroît la référence de la phrase " à ce stade ". Quant à son affirmation selon laquelle la mère chercherait à nuire aux relations père-enfant, elle n'est pas motivée. Cette critique ne repose pas sur des éléments de fait qui ressortent du dossier et le comportement de la mère ne saurait être qualifié ainsi de façon généralisée. En tant que le recourant fait valoir que le refus de maintenir l'autorité parentale conjointe le priverait de toute information sur sa fille, il perd de vue que l'absence de l'autorité parentale n'empêche en principe pas un parent d'être informé des événements particuliers survenant dans la vie de l'enfant (cf. sur ce point, arrêt 5A_638/2014 du 3 février 2015 consid. 5.1). S'agissant enfin des explications du recourant sur son refus que la mère déménage avec l'enfant selon lesquelles il craignait que le déménagement engendre un changement de for, elles ne sont guère convaincantes puisque l'arrêt querellé indique notamment - sans que le recourant le conteste - qu'il a cherché à conditionner son accord au fait que son épouse accepte de remplir les formulaires nécessaires pour permettre l'enregistrement de l'enfant auprès des services sociaux étasuniens. Par ailleurs, le recourant ne se réfère pas à des obstacles de fait déterminés susceptibles de démontrer qu'un changement de for lié à un déménagement aurait conduit à des difficultés particulières (cf. supra consid. 2.2). Au surplus, le recourant ne conteste pas que lui et la mère éprouvent de grandes difficultés à communiquer et que les prises de décisions concernant l'enfant ont nécessité l'intervention régulière des autorités judiciaires jusqu'à présent. Il ne prétend pas non plus - et a fortiori ne le démontre - que cette situation serait susceptible d'évoluer favorablement à l'avenir. Il s'ensuit que la critique du recourant se fonde en partie sur des faits non établis (cf. supra consid. 2.2) et dénués de pertinence sur la question de l'attribution de l'autorité parentale. Une telle critique n'est pas de nature à démontrer un abus du pouvoir d'appréciation de la cour cantonale dans la prise en considération des tensions et des blocages décisionnels liés à l'incapacité des parents à communiquer à propos de l'enfant. Autant que recevable, sa critique doit ainsi être rejetée.
4.
4.1. Le recourant se plaint d'une violation de son droit d'être entendu (art. 29 Cst.), au motif que les juges cantonaux ne motiveraient absolument pas les raisons pour lesquelles ils n'ont pas pris en considération ses arguments tendant à ce que les contacts par Skype doivent continuer à se faire en présence de la curatrice. Or, selon lui, une telle présence se justifie afin de s'assurer que la mère respecte son droit aux relations personnelles, ce que celle-ci ne faisait pas étant donné qu'il n'avait plus eu de contact avec sa fille depuis 5 mois au moment de déposer son recours.
4.2. Il ressort de son appel (p. 26-27) que le recourant avait requis que les contacts par Skype soient accompagnés par la curatrice uniquement pour la période qui précède les 4 ans de l'enfant. Dès lors que cette période est révolue (cf. supra consid. 2.4), son grief est ainsi devenu sans objet.
5.
Le recourant fait également grief à la cour cantonale d'avoir violé l'<ref-law> en fixant les modalités de son droit aux relations personnelles par Skype et par des déplacements " physiques ".
5.1. Aux termes de l'<ref-law>, le parent qui ne détient pas l'autorité parentale ou la garde ainsi que l'enfant mineur ont réciproquement le droit d'entretenir les relations personnelles indiquées par les circonstances. Le droit aux relations personnelles est considéré comme un droit de la personnalité de l'enfant qui doit servir en premier lieu l'intérêt de celui-ci (<ref-ruling> consid. 5; <ref-ruling> consid. 2.1; arrêt 5A_369/2018 du 14 août 2018 consid. 5.1); dans chaque cas, la décision doit donc être prise de manière à répondre le mieux possible à ses besoins, l'intérêt des parents étant relégué à l'arrière-plan (ATF <ref-ruling> consid. 2.2.1 et les références; arrêt 5A_369/2018 précité consid. 5.1).
Le droit aux relations personnelles n'est pas absolu. Si les relations personnelles compromettent le développement de l'enfant, si les père et mère qui les entretiennent violent leurs obligations, s'ils ne se sont pas souciés sérieusement de l'enfant ou s'il existe d'autres justes motifs, le droit d'entretenir ces relations peut leur être retiré ou refusé (<ref-law>). Il importe en outre que cette menace ne puisse être écartée par d'autres mesures appropriées. Cette règle découle du principe de la proportionnalité auquel sont soumis le refus ou le retrait de relations personnelles avec l'enfant en tant que mesures de protection. Le retrait de tout droit à des relations personnelles constitue l' ultima ratio et ne peut être ordonné, dans l'intérêt de l'enfant, que si les effets négatifs des relations personnelles ne peuvent être maintenus dans des limites supportables pour l'enfant (<ref-ruling> consid. 3b/aa; arrêts 5A_618/2017 du 2 février 2018 consid. 4.2, 5A_699/2017 du 24 octobre 2017 consid. 5.1; 5A_184/2017 du 9 juin 2017 consid. 4.1 et les références).
L'appréciation des circonstances de fait pour fixer le droit aux relations personnelles, c'est-à-dire la détermination de leur portée juridique, est une question de droit. Le Tribunal fédéral s'impose toutefois une certaine retenue. Le juge du fait qui, par son expérience en la matière, connaît mieux les parties et le milieu dans lequel l'enfant évolue, dispose d'un large pouvoir d'appréciation en vertu de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 4a; arrêt 5A_478/2018 du 10 août 2018 consid. 5.2.1). Le Tribunal fédéral n'intervient que si le juge, sans aucun motif, a écarté des critères essentiels pour la décision sur le droit aux relations personnelles ou, à l'inverse, s'est fondé sur des éléments dépourvus d'importance au regard du bien de l'enfant ou contrevenant aux principes du droit fédéral (<ref-ruling> consid. 3; arrêt 5A_422/2015 du 10 février 2016 consid. 4.2 non publié in <ref-ruling>93).
5.2. S'agissant des modalités des contacts entre lui et son enfant par Skype, le recourant reproche aux juges cantonaux de ne pas avoir fixé de durée " idéale " des contacts.
5.2.1. La cour cantonale a jugé que, si l'on devait bien suivre le père lorsqu'il émettait la crainte que la mère mette fin à son contact avec l'enfant après quelques minutes, la fixation d'une durée minimale ou " idéale " de ce contact ne permettait aucunement de pallier ce risque. Imposer un temps déterminé à l'enfant pendant lequel elle devait rester devant l'écran de son ordinateur n'était pas dans son intérêt. Il convenait donc d'y renoncer et, à l'instar des premiers juges, de rendre les deux parents attentifs au fait que les contacts par Skype étaient établis pour le bien-être de leur fille et que celui-ci devait rester leur priorité, ce qui impliquait en particulier, pour l'un et pour l'autre, de s'abstenir de toute remarque désobligeante à l'égard de l'autre, et de respecter les souhaits de l'enfant de poursuivre ou de mettre un terme à la conversation. La cour cantonale a ainsi confirmé la décision de première instance prévoyant que, dès le 1er janvier 2021 (cf. supra consid. 2.4), les contacts par Skype ou tout autre moyen de communication similaire s'exerceraient par des contacts bihebdomadaires les jeudis et dimanches, à 19h00 (UTC+1), pour la durée pendant laquelle l'enfant resterait seule devant l'écran, sans intervention externe.
5.2.2. Le recourant expose en substance que, dans la mesure où la mère ne fera rien pour favoriser les contacts avec sa fille et où la réglementation du droit aux relations personnelles ne saurait tenir compte de la volonté de l'enfant, il y a lieu de fixer dans la décision que les contacts par ce moyen de communication ont une durée minimale de 30 minutes afin de garantir l'exercice de son droit. Il indique qu'à défaut d'une telle précision, il ne pourrait même pas demander l'exécution de son droit aux relations personnelles, faute pour l'arrêt cantonal d'être suffisamment précis quant à sa durée. Par surabondance, il relève qu'en principe, selon la jurisprudence constante, un droit aux relations personnelles fait l'objet d'une durée définie et qu'il ne se justifie pas de statuer différemment lorsqu'un tel droit est exercé par Skype ou vidéoconférence, de sorte que la cour cantonale aurait violé l'<ref-law>. Il ajoute que la décision de mesures protectrices de l'union conjugale du 20 mars 2018 et celle de mesures provisionnelles du 14 novembre 2018 prévoyaient une durée idéale de 30 minutes et que rien dans le dossier ne justifie de modifier ces modalités. Il serait dans l'intérêt de sa fille que ces contacts soient dans un premier temps encadrés et que pour le surplus une durée minimale de 30 minutes soit fixée. Les échanges seraient facilités puisque l'enfant en connaîtrait les modalités, qui ne dépendraient pas uniquement d'elle, et elle ne serait pas placée dans un conflit de loyauté.
5.2.3. Quoiqu'en dise le recourant, il n'apparaît pas que le refus de la cour cantonale de faire droit à sa requête de fixer une durée " idéale " de 30 minutes aux contacts par Skype est contraire au droit fédéral. Il résulte en effet de l'arrêt querellé que les modalités des contacts par Skype entre l'enfant et le père ont été fixées en tenant compte de l'intérêt et des besoins de l'enfant. Celles-ci ont été réglées de manière détaillée, notamment en ce qui concernent la fréquence, les jours et les heures de ces contacts et il est précisé que la communication devait se faire sans intervention externe, ce qui suffit en l'état à assurer le droit aux relations personnelles entre l'enfant et son père par vidéoconférence. Ni l'affirmation selon laquelle la mère ne ferait rien pour favoriser le contact Skype - que le recourant n'établit pas en se référant à des éléments concrets (cf. supra consid. 2.2) - ni le fait que deux précédentes décisions rendues en procédure sommaire mentionnent une durée minimale de 30 minutes n'est de nature à remettre en cause l'appréciation de la cour cantonale, selon laquelle la fixation d'une durée minimale est inutile et qu'il n'est pas dans l'intérêt de l'enfant de lui imposer de rester devant son écran d'ordinateur pendant une durée déterminée. En préconisant de fixer une durée minimale de 30 minutes, le recourant se limite en définitive à présenter son appréciation, sans s'en prendre valablement aux motifs retenus par la cour cantonale, mais en se bornant à procéder à une approche théorique par référence à des arrêts dont il entend tirer profit. Autant que recevable, une telle critique doit être rejetée.
5.3. Le recourant reproche également à la cour cantonale d'avoir limité de manière excessive son droit aux relations personnelles " physique ", sans tenir compte des intérêts de sa fille.
5.3.1. La cour cantonale a indiqué qu'il ressortait du dossier judiciaire que le père avait pu exercer son droit aux relations personnelles à raison d'une semaine en août 2018, une dizaine de jours en mai 2019 et deux semaines en février 2020. Chacun de ses séjours en Suisse avait cependant entraîné une charge importante de travail pour la curatrice de surveillance des relations personnelles ainsi que pour les autorités judiciaires qui avaient été saisies, à chaque visite, de requêtes de mesures provisionnelles et superprovisionnelles de la part des deux parents et de la curatrice de représentation. La Justice de paix avait ainsi dû rendre des décisions le 17 août 2018, le 11 février 2020 et le 19 février 2020 et le Président du Tribunal le 14 novembre 2018, le 14 mai 2019, le 16 mai 2019, le 18 juillet 2019 et le 29 juillet 2019. Nonobstant cela, les premiers juges avaient retenu que, hormis le risque d'enlèvement, l'enfant ne courait pas de danger auprès de son père, ce que la mère ne contestait pas en appel. Il semblait ainsi que le risque principal résidait dans les difficultés de communication entre les parents et la méfiance réciproque qu'ils avaient l'un envers l'autre. De plus, l'exercice du droit de visite exigeait à chaque fois un déplacement du père des Etats-Unis vers la Suisse et la mise en place d'un logement dans ce pays, ce qui était coûteux et laborieux. Compte tenu de ces éléments, la cour cantonale a jugé qu'il paraissait judicieux de prévoir non pas une multiplication des fréquences d'exercice du droit de visite, mais plutôt un relatif allongement de leur durée. Par conséquent, elle a modifié le droit aux relations personnelles du père. En ce qui concerne la période postérieure à la scolarisation de l'enfant (cf. supra consid. 2.4), la cour cantonale a relevé que la requête du père tendant à ce que son droit soit exercé pendant quasiment toutes les vacances scolaires ne pouvait pas être admise. L'intérêt de l'enfant commandait en effet qu'elle puisse passer une partie de ses vacances avec chacun de ses parents, de manière à ce que l'enfant n'en vienne pas à assimiler l'école au temps passé avec sa mère et les vacances au temps passé en compagnie de son père. Dès lors que le père habitait aux Etats-Unis et qu'il disposait de moyens financiers limités, le coût d'exercice des visites, comprenant un voyage aller-retour entre les Etats-Unis et la Suisse ainsi que le logement nécessaire durant le séjour en Suisse, devait être pris en compte au moment d'arrêter les modalités du droit aux relations personnelles. Il se justifiait ainsi, pour cette période également, de prévoir un droit aux relations personnelles moins fréquent mais pour des durées longues, de sorte que ce droit s'exercerait durant la moitié des vacances scolaires d'été et de Noël, les fêtes de Noël et de Nouvel-An étant passées alternativement avec chacun des parents, la curatrice devant pour le surplus en régler l'organisation. S'agissant enfin du souhait du père de pouvoir recevoir sa fille aux Etats-Unis, la cour cantonale a relevé qu'il fallait admettre avec la curatrice de représentation, qu'indépendamment du risque éventuel de déplacement unilatéral de l'enfant, on ne pouvait exiger de celle-ci en l'état qu'elle se rende seule à l'étranger, chez un père qu'elle connaît mal et dont elle ignore la langue. De telles visites à l'étranger pourraient ainsi être envisagées dès l'âge de 13 ans, lorsque l'enfant aurait gagné en autonomie et entretenu des contacts réguliers avec son père.
5.3.2. Le recourant considère que son droit aux relations personnelles " physique " serait trop limité et qu'il ne tiendrait pas compte des circonstances et de l'intérêt de l'enfant, de sorte que l'arrêt contesté violerait le droit, en particulier l'<ref-law>. Il rappelle que sa fille est âgée de 4 ans et qu'il s'agit d'un âge charnière pour créer une relation avec ses parents. S'il fallait admettre qu'en raison de son domicile aux Etats-Unis il ne saurait bénéficier d'un droit aux relations personnelles " usuel ", ce qu'il ne requérait du reste pas, un droit aux relations personnelles exercé seulement deux fois par an, chaque six mois pour une durée de deux semaines, n'était pas suffisant pour créer des liens de qualité avec sa fille, ce qui ne serait pas dans l'intérêt de celle-ci. Un tel droit ne serait justifié ni dans sa fréquence ni dans sa durée. Il ne serait pas en adéquation avec la jurisprudence rendue en matière de droit aux relations personnelles " usuel ", d'où il ressort que l'intervalle des visites ne devrait en principe pas être supérieur à 15 jours. Le recourant expose par ailleurs que ses inquiétudes seraient d'autant plus justifiées qu'il a l'impression que la mère mettrait à profit ce temps pour l'éloigner de sa fille et ne ferait rien pour favoriser les contacts. Il considère ainsi qu'il se justifie de donner droit à ses conclusions tendant en substance à ce que le droit aux relations personnelles soit exercé tous les trois mois, deux semaines jusqu'à la scolarisation de sa fille, puis deux semaines pendant les vacances d'automne, deux semaines pendant les vacances de Noël, deux semaines pendant les vacances de Pâques et six semaines pendant les vacances d'été. Il relève aussi que, contrairement à ce qu'avait considéré la cour cantonale, il convenait de lui permettre d'exercer son droit sur sa fille en Suisse et aux Etats-Unis, car il n'avait aucune volonté de déplacer le domicile de l'enfant à l'étranger. Les craintes de la mère portant sur un possible risque d'enlèvement n'étaient par ailleurs pas plausibles, dès lors que les Etats-Unis avaient signé la convention de La Haye sur l'enlèvement international d'enfants et avaient pris des mesures importantes en cas de conflit par rapport à un voyage d'un seul parent avec des enfants.
5.3.3. Lorsqu'il préconise des contacts à raison de deux semaines en automne, à Noël et à Pâques et six semaines en déplorant l'insuffisance de son droit aux relations personnelles, eu égard notamment à l'âge de l'enfant et par référence à un droit aux relations personnelles " usuel " ainsi qu'à la jurisprudence qui précise que l'intervalle des visites ne devrait en principe pas être supérieur à 15 jours, le recourant procède à un raisonnement théorique limité à ce qui serait selon lui le plus " approprié " pour un enfant de 4 ans et détaché de toute considération concrète. Ce raisonnement le conduit à opposer son appréciation de la cause à celle de la cour cantonale, sans discuter des circonstances concrètes retenues dans l'arrêt querellé pour justifier une limitation du droit aux relations personnelles. Outre l'insuffisance d'une telle argumentation au regard des exigences minimales de motivation (cf. supra consid. 2.1), la critique du recourant méconnaît la jurisprudence selon laquelle la réglementation du droit aux relations personnelles doit tenir compte des circonstances concrètes de l'espèce (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 474; <ref-ruling> consid. 2.8; arrêt 5A_730/2020 du 21 juin 2021 consid. 4.1 et les références), avec pour conséquence qu'en cas de déménagement à l'étranger, le juge est tenu d'élaborer une réglementation des visites et des contacts adaptée, et donc praticable, à la nouvelle situation résultant de l'éloignement géographique entre le parent non gardien et l'enfant (ATF <ref-ruling> consid. 2.8; MEIER/STETTLER, Droit de la filiation, 6e éd. 2019, p. 647 no 997 et p. 745 s. nos 1123 s.).
En l'occurrence, la cour cantonale a retenu que le recourant avait pu exercer son droit aux relations personnelles à raison d'une semaine en août 2018, d'une dizaine de jours en mai 2019 et de deux semaines en février 2020, en Suisse, en impliquant un important investissement de la part des intervenants, et qu'un contact prévu en août 2020 n'avait pas pu avoir lieu en raison de la pandémie de Covid-19. Elle a rejeté la demande du recourant de pouvoir passer toutes les vacances scolaires avec sa fille, dans la mesure où l'intérêt de celle-ci commandait de pouvoir passer une partie de ses vacances avec chacun de ses parents de manière à ce qu'elle ne vienne pas à assimiler le temps d'école au temps passé avec sa mère. Elle a pris en compte le fait que le recourant habite aux Etats-Unis et ne dispose que de moyens financiers limités. Au vu de ces éléments et compte tenu de la retenue dont doit faire preuve le Tribunal fédéral en matière de fixation du droit aux relations personnelles (cf. supra consid. 5.1), il faut considérer que la cour cantonale n'a pas abusé de son pouvoir d'appréciation en jugeant qu'il apparaissait judicieux de prévoir non pas une multiplication des fréquences des visites, mais plutôt un allongement de leur durée, durant la moitié des vacances scolaires d'été et de Noël. Autant que recevable, la critique du recourant doit ainsi être rejetée.
5.3.4. Quant à ses considérations en lien avec l'exercice de son droit aux relations personnelles aux Etats-Unis, le recourant se limite à nouveau à présenter son appréciation, sans discuter des motifs de l'arrêt querellé. En particulier, il ne remet pas en cause les difficultés de déplacements pour l'enfant pour se rendre aux Etats-Unis et celles liées au fait que l'enfant ne parle pas la langue de ce pays, que les juges cantonaux ont pris en compte dans leur appréciation pour juger que les visites devraient s'exercer en Suisse, à tout le moins jusqu'aux 13 ans de l'enfant. Ses allégations sur l'absence de risques d'enlèvement de l'enfant ne sont à cet égard d'aucune pertinence, dès lors qu'il n'apparaît pas que la cour cantonale a pris en considération cet élément dans son appréciation. Par ailleurs, le recourant ne précise pas plus avant les périodes de contact préconisées aux Etats-Unis. Force est donc de constater que sa critique ne correspond pas aux exigences minimales de motivation de l'<ref-law>, de sorte qu'elle est irrecevable sur ce point.
6.
Le recourant fait valoir que la cour cantonale a violé l'<ref-law> dans la détermination des contributions d'entretien et que cette violation a été faite sur la base d'une constatation erronée, voire arbitraire, des faits. Il estime plus spécifiquement qu'aucun revenu hypothétique ne pouvait lui être imputé et que le montant retenu dans ses charges pour couvrir les frais d'exercice de son droit aux relations personnelles est insuffisant.
6.1.
6.1.1. En lien avec l'imputation d'un revenu hypothétique, la cour cantonale a relevé que les deux parties se prévalaient d'une situation financière précaire, ce qui avait amené les premiers juges à leur imputer un revenu hypothétique. En ce qui concerne le père en particulier, ceux-ci avaient retenu que, dès juillet 2020, il était en mesure de réaliser un revenu mensuel net de 4'015 fr. et avait des charges incompressibles de 3'025 fr., de sorte qu'il avait un solde mensuel de 990 fr. Compte tenu du montant de 90 fr. par mois que les premiers juges avaient ajouté à ses charges pour lui permettre d'exercer son droit de visite, la décision de première instance avait fixé la contribution d'entretien en faveur de l'enfant à 900 fr. par mois dès juillet 2020. Confirmant cette décision s'agissant de l'imputation d'un revenu hypothétique et du montant de celui-ci, la cour cantonale a indiqué que le père, qui travaillait actuellement comme chauffeur de taxi et comme livreur, exerçait précédemment les activités de conseiller en hypothèques et de sténographe judiciaire, ce qui lui assurait un revenu de respectivement 9'000 et 5'000 dollars américains (USD) par mois. De plus, il y avait lieu de relever que, plutôt que de verser la contribution d'entretien de 900 fr. par mois que le père avait été astreint à payer pour sa fille en mesures protectrices de l'union conjugale, voire d'économiser pour couvrir ses frais de voyage, il avait préféré acheter des cadeaux dispendieux pour sa fille et en avait apparemment les moyens, alors même que la décision de première instance retenait qu'il n'avait aucun disponible jusqu'en juillet 2020.
6.1.2. Le recourant fait valoir qu'à la suite d'une dépression, soit pour une raison non volontaire, il a dû cesser l'activité de sténographe qui lui rapportait un revenu de 5'000 fr. par mois et aide désormais sa mère qui est en incapacité de travail à la maison. Il indique qu'il est actuellement chauffeur Uber, et non chauffeur de taxi comme le constaterait à tort l'arrêt querellé, ce qui lui rapporterait un revenu de l'ordre de 1'200 USD par mois. Sur cette base, il soutient qu'on voit mal comment la cour cantonale a considéré qu'il était en mesure de réaliser un revenu mensuel de 4'015 fr., ajoutant que l'arrêt entrepris ne le mentionnait d'ailleurs pas. Seuls ses revenus effectifs devaient ainsi être pris en compte.
6.1.3. Autant que recevable, la critique du recourant doit être rejetée, dès lors qu'elle se fonde en grande partie sur des faits irrecevables (cf. supra consid. 2.2) et qu'elle n'expose pas en quoi la cour cantonale aurait violé le droit fédéral en lui imputant un revenu hypothétique, en discutant des conditions d'imputation d'un tel revenu.
6.2.
6.2.1. Concernant les frais liés à l'exercice du droit aux relations personnelles du père, la cour cantonale a considéré que le montant de 90 fr. par mois, soit 1'080 fr. par année, retenu par les premiers juges ne permettait pas de couvrir les frais de voyage et de séjour du père lors de ses venues en Suisse. Il convenait de retenir un montant de 2'000 fr., soit deux fois 500 fr. par voyage aller-retour et autant pour le séjour en Suisse, ce qui représentait une charge de 166 fr. par mois. Compte tenu de cette charge supplémentaire qui réduisait le solde disponible du père à 824 fr. par mois, la cour cantonale a arrêté la contribution d'entretien en faveur de l'enfant à 800 fr. par mois du 1er juillet 2020 jusqu'à son entrée à l'école secondaire. Elle a en outre précisé que cette contribution ne suffisait pas à couvrir l'entretien convenable de l'enfant de 1'213 fr. par mois dans la mesure où la situation financière de la mère était déficitaire, de sorte que le montant de 413 fr. par mois qui manquait pour couvrir l'entretien convenable de l'enfant était à la charge du père aux conditions de l'<ref-law>. Concernant la contribution mensuelle de 535 fr. dès que l'enfant aurait commencé l'école secondaire et de 350 fr. dès ses 16 ans, il y avait lieu de noter qu'elle n'entamait pas le solde disponible du père et qu'elle couvrait l'entretien convenable de l'enfant, qui serait alors de 763 fr. 70, compte tenu de l'augmentation de la capacité contributive de la mère.
6.2.2. Le recourant expose que si la cour cantonale a indiqué à juste titre qu'il convenait d'ajouter à ses charges les frais effectifs de l'exercice de ce droit aux relations personnelles vu sa situation précaire, c'était en revanche à tort qu'elle avait retenu un montant total de 2'000 fr. par année. L'arrêt contesté n'expliquait pas sur quel élément les juges cantonaux se sont fondés pour évaluer ces frais. Or, il était notoire qu'un billet aller-retour Genève-New-York, hors période de vacances et pris à l'avance, coûte environ 600 fr. et que le solde de 400 fr. du forfait de 1'000 fr. par voyage alloué par la cour cantonale ne lui permettait pas de séjourner en Suisse et de payer des activités, des sorties et la nourriture pour lui et sa fille pendant deux semaines. La cour cantonale aurait ainsi dû retenir un montant largement supérieur pour exercer son droit, correspondant au minimum à son solde disponible mensuel. Le recourant soutient en outre que si la cour cantonale a fixé la contribution d'entretien à 800 fr. par mois dès le 1er juillet 2020, elle ne motive pas le montant des contributions pour les autres périodes.
6.2.3. En tant qu'il soutient qu'il serait notoire qu'un billet d'avion aller-retour Genève-New-York couterait 600 fr., le recourant se méprend sur la notion de faits notoires (cf. sur cette notion: <ref-ruling> consid.1; <ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 3.4), étant relevé au demeurant qu'il ne soulève pas valablement un grief d'arbitraire en lien avec la constatation de ce fait (cf. supra consid. 2.2). Pour le surplus, les considérations émises par le recourant sont essentiellement appellatoires (cf. supra consid. 2.2). Selon la jurisprudence, lorsque - comme ici - les deux parents sont dans une situation économique difficile, il y a lieu de trouver un équilibre entre l'utilité que l'enfant aura aux contacts avec le parent non gardien et son intérêt à voir son entretien couvert par une contribution fixée à ce titre (arrêt 5A_224/2016 du 13 juin 2016 consid. 5.3.2 et la référence); la décision tranchant la question de savoir si et, cas échéant dans quelle quotité, il convient d'accorder une somme au parent débiteur d'une contribution pour exercer son droit aux relations personnelles, relève en grande partie du pouvoir d'appréciation du juge du fait, dans le contrôle duquel le Tribunal fédéral s'impose une certaine retenue (cf. arrêts 5A_994/2018 du 29 octobre 2019 consid. 6.5.4; 5A_224/2016 précité consid. 5.3.2; 5A_693/2014 du 1er décembre 2014 consid. 3.2 et les arrêts cités). En l'occurrence, compte tenu de cette retenue et des circonstances du cas d'espèce, il n'apparaît pas que la cour cantonale a violé le droit fédéral en retenant dans ses charges un montant forfaitaire de 2'000 fr. par année pour ses voyages et séjours en Suisse. Quant à la critique du recourant portant sur l'absence de motivation sur la fixation de la contribution pour les autres périodes, elle est infondée puisqu'il ressort de l'arrêt contesté que le montant de 535 fr. par mois dû à sa fille dès son entrée à l'école secondaire et celui de 350 fr. par mois dû dès ses 16 ans correspondent à ceux arrêtés dans la décision de première instance, la cour cantonale ayant par ailleurs constaté qu'ils couvriraient l'entretien convenable de l'enfant de 763 fr. 70, au vu de l'augmentation de la capacité contributive de la mère, et qu'ils n'entameraient pas le solde disponible du recourant.
Autant que recevables, les critiques du recourant en lien avec les contributions d'entretien en faveur de l'enfant doivent être rejetées.
7.
Le recourant reproche encore à la cour cantonale de n'avoir pas donné droit à sa conclusion tendant à ce que la mère soit contrainte d'entreprendre les démarches pour que l'enfant obtienne la nationalité étasunienne dans un délai d'un mois dès le prononcé du jugement de divorce définitif et exécutoire et, à défaut, à ce qu'il soit autorisé à faire reconnaître seul la qualité de ressortissante étasunienne de l'enfant auprès des autorités compétentes.
7.1. La cour cantonale a relevé en substance que l'enfant bénéficiait de la nationalité étasunienne dès sa naissance dès lors qu'elle était née d'un père de cette nationalité, mais qu'à ce jour aucune démarche n'avait été entreprise pour la faire enregistrer. Il était dans l'intérêt de l'enfant que ces démarches soient entreprises avant sa majorité car celles-ci étaient plus aisées. L'enregistrement de cette nationalité lui permettrait dans le futur de rendre visite à son père aux Etats-Unis sans devoir solliciter de visa, d'aller y faire des études ou de s'y établir si elle le souhaite et d'avoir la protection consulaire des Etats-Unis. Sur cette base, la cour cantonale a jugé qu'il convenait de faire droit, dans leur principe, aux conclusions du père. Dans la mesure où la mère bénéficiait de l'autorité parentale exclusive, elle n'a toutefois pas considéré qu'il y avait lieu d'astreindre la mère à collaborer à la démarche, mais à effectuer ladite démarche auprès des autorités compétentes. Il n'y avait pas lieu, en l'état, d'autoriser le père à entreprendre seul cette démarche si la mère ne devait pas donner suite à la présente injonction.
7.2. Selon le recourant, l'ordre donné à la mère d'entreprendre les démarches, sans fixer de délai ni imposer de sanction en cas de non-respect, serait vide de sens, ce d'autant que celle-ci avait déjà clairement fait part de son intention de ne pas collaborer. La décision rendue serait ainsi inexécutable, de sorte qu'il se justifiait d'imposer un délai d'un mois pour que la mère s'exécute. En outre, dans la mesure où il requérait d'être toujours au bénéfice de l'autorité parentale conjointe sur sa fille, il pourrait tout à fait entreprendre les démarches lui-même, si la mère ne venait pas s'exécuter. Le recourant rappelle que les art. 7 al. 1 et 8 al. 1 de la convention relative aux droits de l'enfant du 20 novembre 1989 (CDE; RS 0.107) prévoient que chaque personne a dès la naissance le droit d'acquérir une nationalité et que celle-ci fait partie de son identité.
7.3. Par son argumentation, le recourant perd de vue que la cour cantonale n'a pas astreint la mère à effectuer les démarches en vue que sa fille obtienne la nationalité, ni ne l'a autorisé à agir à sa place au cas où celle-ci ne s'exécuterait pas, au motif que la mère s'était vue attribuer l'autorité parentale exclusive sur l'enfant (cf. supra consid. 3). Quand bien même les juges cantonaux ont indiqué qu'il était dans l'intérêt de l'enfant que ces démarches soient entreprises avant sa majorité et que l'acquisition de la nationalité étasunienne pouvait lui offrir des facilités, les conditions permettant aux autorités de prendre les mesures nécessaires au sens des <ref-law> pour protéger l'enfant ne sont à l'évidence pas remplies en l'occurrence. On ne voit donc pas en quoi la cour cantonale aurait violé le droit fédéral en jugeant qu'une intervention judiciaire au moyen de mesures contraignantes n'était pas justifiée pour le moment. Quant aux art. 7 al. 1, 8 et 23 al. 1 CDE dont le recourant se prévaut, on ne voit pas non plus en quoi ils seraient violés dès lors que l'enfant a déjà la nationalité suisse (cf. <ref-ruling> consid. 6.4.3; C. GUTZWILLER, Droit de la nationalité et fédéralisme en Suisse, 2008, p. 17), étant relevé au demeurant que l'art. 23 CDE n'a pas d'effet direct (<ref-ruling> consid. 4.8; arrêt 8C_295/2008 consid. 4.2.3). Partant, l'ensemble des griefs soulevés par le recourant en lien avec l'acquisition de la nationalité étasunienne doivent être rejetés, autant que recevables.
8.
Outre les art. 7 al. 1 et 8 CDE analysés ci-dessus (cf. supra consid. 7), le recourant prétend que l'arrêt attaqué violerait d'autres dispositions de cette convention.
À la lecture des écritures d'appel, il apparaît que ces griefs sont formulés pour la première fois devant le Tribunal de céans et ne ressortent pas du mémoire d'appel du recourant du 31 janvier 2020 ou encore de ses déterminations du 15 mai 2020. Cela dit, dès lors que le recourant ne démontre pas en quoi les dispositions de cette convention qu'il invoque auraient une portée particulière en l'espèce par rapport aux dispositions du droit interne appliquées, le sort de ces critiques est réglé par le rejet des griefs de violation du droit fédéral.
9.
En conclusion, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité, aux frais du recourant (<ref-law>), qui versera en outre une indemnité de dépens à l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Les demandes d'assistance judiciaire respectives des parties sont admises, compte tenu de leurs ressources restreintes (<ref-law>). Les frais judiciaires à charge du recourant seront donc provisoirement supportés par la Caisse du Tribunal fédéral (<ref-law>). Le travail déployé par la mandataire du recourant avant la fin de son mandat doit être rémunéré, de sorte que la Caisse du Tribunal fédéral lui versera une indemnité à titre d'avocat d'office. La note d'honoraires qu'elle a produite (art. 12 al. 2 du Règlement sur les dépens; RS 173.110.210.3) n'apparaît pas excessive; elle peut être admise. Puisque l'intimée ne supporte pas les frais judiciaires, sa demande d'assistance judiciaire est sans objet (<ref-ruling> consid. 5; arrêts 5A_403/2019 du 12 mars 2020 consid. 5.2, 5A_154/2019 du 1er octobre 2019 consid. 6.2 et la référence) en tant qu'elle porte sur ce point. Tel n'est en revanche pas le cas en tant qu'elle concerne la désignation d'un avocat d'office et l'indemnisation de celui-ci, vu l'indigence des parties. En effet, bien qu'en principe l'octroi de l'assistance judiciaire ne dispense pas la partie qui en bénéficie de verser des dépens à celle qui l'emporte (<ref-ruling> consid. 2c, avec la jurisprudence citée), on ne saurait toutefois exiger en l'espèce de l'intimée, qui a obtenu gain de cause, qu'elle recherche préalablement (en vain) le recourant avant de s'adresser à la Caisse du Tribunal de céans. Il est donc justifié d'indemniser directement par la Caisse du Tribunal fédéral les deux mandataires successifs de l'intimée (arrêts 5A_403/2019 et 5A_154/2019 précités; cf. ég. <ref-ruling> consid. 3d), qui ont requis à leur tour d'être désigné conseil d'office. La note d'honoraires produite par l'actuelle mandataire de l'intimée n'apparaît pas excessive; elle peut être admise. Le précédent conseil de l'intimée, qui a notamment envoyé les déterminations sur la requête d'effet suspensif, n'a pas adressé de note d'honoraires. Son indemnité sera arrêtée à 500 fr. Les parties sont rendues attentives au fait qu'elles devront rembourser la Caisse du Tribunal fédéral, si elles retrouvent ultérieurement une situation financière leur permettant de le faire (<ref-law>). Il n'y a pas lieu de procéder à la fixation d'une indemnité en faveur de la curatrice de représentation de l'enfant, celle-ci incombant à l'autorité de protection de l'enfant (arrêt 5A_295/2021 du 19 mai 2021 consid. 5).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire du recourant est admise et Me Cléo Buchheim lui est désignée comme avocate d'office.
3.
Autant qu'elles ne sont pas sans objet, les requêtes d'assistance judiciaire de l'intimée sont admises et Me Nicolas Charrière, respectivement Me Aurélie Cornamusaz, lui sont désignés comme avocats d'office.
4.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr. et provisoirement supportés par la Caisse du Tribunal fédéral, sont mis à la charge du recourant.
5.
La Caisse du Tribunal fédéral versera à Me Cléo Buchheim une indemnité de 2'462 fr., à titre d'honoraires d'avocat d'office du recourant.
6.
Des indemnités de 500 fr., respectivement de 1'364 fr. 40, à verser à l'intimée à titre de dépens, sont mises à la charge du recourant. La Caisse du Tribunal fédéral versera provisoirement à Me Nicolas Charrière une indemnité de 500 fr. et à Me Aurélie Cornamusaz une indemnité de 1'364 fr. 40, à titre d'honoraires d'avocats d'office de l'intimée.
7.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à Me Cléo Buchheim, à Me Nicolas Charrière, à C._, par l'intermédiaire de sa curatrice Me Laurence Brand Corsani, et à Ia Cour d'appel civil du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg.
Lausanne, le 14 octobre 2021
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
Le Greffier : Piccinin