Faits :
A.
A.a. A._ était employé au service de l'entreprise B._ SA à V._ et à ce titre assuré auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA).
Le 12 avril 2015, il a participé à une course de moto tout-terrain (enduro) à W._, en France. A cette occasion, il a fait une chute à moto. Son employeur a annoncé le cas à la CNA en indiquant "Chute à moto (course de moto) ". L'assuré a subi plusieurs lésions vertébrales et a été hospitalisé à l'Hôpital C._ du 13 au 17 avril 2015, où il a subi une intervention chirurgicale. Il a été en incapacité de travail durant plusieurs mois.
Par lettre du 22 avril 2015, la CNA a informé l'employeur qu'elle n'était pas encore en mesure de se prononcer sur le droit aux prestations d'assurance. Dans l'intervalle, elle verserait 50 % de la pleine indemnité journalière à partir du 15 avril 2015.
Répondant le 7 mai 2015 à un questionnaire de la CNA, A._ a déclaré que l'accident était survenu vers 13h00, après qu'il eut remis de l'essence et qu'il fut reparti; il avait chuté sur un chemin blanc à cause d'un trou qui l'avait propulsé de la moto. Il a répondu par la négative à la question lui demandant si l'accident avait eu lieu lors d'une compétition de motocross (course ou entraînement). Le 11 juin 2015, une employée de la CNA s'est entretenue par téléphone avec D._, représentant de l'organisateur de la manifestation. Celui-ci a indiqué que A._ était tombé durant une "spéciale (circuit chronométré) ". Les samaritains, qui portaient secours à une autre personne dans les environs sont directement allés vers lui et l'ont ramené à son fourgon. Il se plaignait de mal de dos et de tête. Il était rentré par ses propres moyens. Il n'y avait pas eu de rapport d'accident. D._ a indiqué qu'il allait confirmer par courriel les circonstances de l'accident (notice d'entretien téléphonique du 11 juin 2015). Le 24 juillet 2015, D._ a adressé à l'employée de la CNA un courriel ainsi libellé:
"En tant qu'organisateur suisse de l'Enduro de W._ du 12 avril 2015, j'atteste que Monsieur A._ a bien fait une chute après le ravitaillement de carburant. Son assistance est venue me chercher pour constater son état à sa chute. Dès lors, je suis allé prendre des nouvelles à son bus et il s'est plaint de fortes douleurs à la tête et à la nuque. De ce fait, j'ai demandé à l'assistance médicale de venir apporter les premiers soins".
Le 29 juillet 2015, A._ a été entendu par un inspecteur de la CNA. Il a confirmé ses précédentes déclarations en insistant sur le fait qu'au moment de la chute, il ne se trouvait pas sur le circuit pour parcourir une épreuve spéciale chronométrée ni ne devait parcourir une distance en un temps donné. Un employé de la CNA a alors repris contact par téléphone avec D._ le 26 août 2015 pour lui faire part de son étonnement quant au fait que la version décrite dans son courriel ne correspondait pas à ses déclarations du 11 juin 2015. D._ a répondu qu'il avait confondu l'assuré avec un autre coureur tombé dans la première spéciale. Quant à A._ il était bien tombé juste avant le départ d'une spéciale après avoir fait le plein. D._ a enfin déclaré ne pas comprendre la raison pour laquelle la CNA faisait une distinction entre les épreuves spéciales et les épreuves de transition, dès lors que celles-ci sont également chronométrées. En effet, lorsqu'il se déplace entre deux spéciales, le coureur ne doit pas dépasser un temps maximum (notice d'entretien téléphonique du 26 août 2015).
Selon une information recueillie ultérieurement par la CNA auprès de E._, de l'entreprise F._, qui avait chronométré la course, A._ avait bien pris le départ de la spéciale SP2-T2 comme en attestaient les listes de classement qui faisaient état de son abandon. E._ a précisé que l'intéressé était entré dans la spéciale à 12h59'33''. Il avait pris le départ entre le numéro 33 et le numéro 32. Lors d'un abandon entre deux spéciales, il n'en était pas fait mention dans le classement d'une spéciale, mais uniquement sous la rubrique "Total" (notice d'entretien téléphonique du 7 septembre 2015, confirmée par courriel du 24 septembre 2015).
Confronté à ces nouveaux éléments du dossier, l'assuré a maintenu sa version des faits au cours d'un entretien du 22 septembre 2015 avec un inspecteur de la CNA. Ce dernier a attiré son attention sur les conséquences d'une fausse déclaration et lui a accordé un délai de réflexion jusqu'au 25 septembre 2015 pour éventuellement revenir sur sa déposition.
A.b. Par décision du 16 octobre 2015, confirmée sur opposition le 30 décembre 2015, la CNA a refusé au recourant tout droit aux prestations d'assurance au motif qu'il avait à plusieurs reprises fait de fausses déclarations bien qu'il eût été rendu attentif aux art. 113 et 46 LAA. La CNA lui demandait le remboursement des prestations versées à tort jusqu'alors, soit 8'010 fr. 25 au titre d'indemnités journalières et 31'559 fr. au titre de frais de traitement, soit au total 39'569 fr. 25.
B.
A._ a recouru contre la décision sur opposition en concluant à la prise en charge par la CNA des suites de l'accident du 12 avril 2015 et au versement de prestations au-delà du 16 octobre 2015.
Par arrêt du 18 avril 2017, le Tribunal cantonal de la République et canton du Jura (Cour des assurances) a modifié la décision attaquée en ce sens qu'il a réduit à 8'010 fr. 25 (indemnités journalières) le montant soumis à restitution. Suivant en cela une proposition de la CNA, il a estimé qu'il était conforme au principe de proportionnalité de renoncer à exiger la restitution des prestations en nature déjà versées (soit 31'559 fr.).
C.
A._ forme un recours en matière de droit public dans lequel il conclut à l'annulation de l'arrêt cantonal et reprend ses précédentes conclusions. Il requiert en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.

Considérant en droit :
1.
La présente procédure concernant l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par l'autorité précédente (art. 97 al. 2 et 105 al. 3 LTF).
2.
L'art. 46 al. 2 LAA permet à l'assureur de réduire ou de refuser les prestations à titre de sanction en cas de fausses informations données intentionnellement. Cette disposition vise à réprimer un comportement dolosif tendant à obtenir de l'assurance plus que ce à quoi l'on aurait droit (ALEXANDRA RUMO-JUNGO, Die Leistungskürzung oder -verweigerung gemäss Art. 37-39 UVG, 1993, p. 13; GHÉLEW/RAMELET/RITTER, Commentaire de la loi sur l'assurance-accidents [LAA], 1992, p. 176; ALFRED MAURER, Schweizerisches Unfallversicherungsrecht, 1989, pp. 239-240). L'assureur doit examiner une telle éventualité pour chaque prestation en particulier en respectant l'interdiction de l'arbitraire, ainsi que les principes de l'égalité de traitement et de proportionnalité. Une condamnation pénale, en particulier pour escroquerie, n'est pas une condition nécessaire pour faire usage de l'art. 46 al. 2 LAA (arrêt 8C_392/2017 du 26 octobre 2017 consid. 6.2 et 7.3, destiné à la publication; arrêt 8C_68/2017 du 4 septembre 2017 consid. 4.3).
3.
En l'occurrence, la question est de savoir si le recourant a fait une fausse déclaration en prétendant que l'accident dont il a été victime est survenu alors qu'il se rendait au départ d'une course dite "spéciale" (soit une compétition chronométrée sur une portion du parcours) et non au cours de celle-ci. Le fait revêt une importance sous l'angle du droit aux prestations d'assurance. En effet, la participation à des courses motorisées est considérée comme une entreprise téméraire absolue qui motive dans l'assurance des accidents non professionnels le refus de toutes les prestations ou la réduction des prestations en espèces (art. 39 LAA en corrélation avec l'art. 50 OLAA [RS 832.202]). Il en est ainsi, par exemple, de la participation à une course automobile de côte ou en circuit (<ref-ruling>; <ref-ruling>), à une compétition de moto-cross (RAMA 1991 n o U 127 p. 221, U 5/90) ou encore de la pratique dans certaines conditions de la moto sur circuit, même en dehors de toute compétition officielle (SVR 2012 UV n o 21 p. 77, 8C_472/2011).
4.
4.1. Sur la base des éléments recueillis par la CNA, les premiers juges ont retenu comme étant établi au degré de vraisemblance requis que l'accident en cause était survenu alors que le recourant participait à une spéciale.
Le recourant conteste avoir fait de fausses déclarations. Il fait valoir qu'il n'a jamais varié dans celles-ci, à savoir qu'il a chuté sur un chemin blanc avant la spéciale. La notice téléphonique du 11 juin 2015, rapportant les déclarations de D._, contiendrait des erreurs (par exemple, D._ est désigné comme responsable pour les coureurs suisses de l'enduro, alors qu'en réalité il était l'organisateur de la manifestation). A l'issue de cet entretien téléphonique, l'employée de l'intimée n'aurait pas été sûre d'avoir bien compris le déroulement des faits. Preuve en serait le fait qu'elle a demandé à son interlocuteur de lui confirmer les circonstances de l'accident par courriel. D._ aurait été très clair dans son courriel du 24 juillet 2015, puis lors de l'entretien téléphonique du 26 août 2015. Quant au fait que le résultat final de la course indique que l'assuré aurait abandonné durant la spéciale SP2-T2, il résulterait d'une erreur. Selon lui, des erreurs de chronométrage se produisent fréquemment. Il en veut pour preuve qu'il ressort du classement établi par l'organisateur qu'un autre coureur aurait abandonné aussi bien la spéciale SP2-T1 que la SP2-T2. Or, ce même concurrent a pris part à la SP3-T1 et SP3-T2. Dès lors, selon le recourant, de deux choses l'une: soit il y a effectivement une erreur de l'organisateur; soit ce pilote a abandonné la SP2-T1 ou la SP2-T2 et ne pouvait donc pas participer aux deux autres spéciales. Le recourant relève en outre que son nom a été mal dactylographié dans la liste des résultats.
4.2. En l'occurrence, il n'y a pas de raison de mettre en doute la conclusion à laquelle est parvenue la cour cantonale, qui s'est fondée sur un faisceau d'éléments de preuve et d'indices concordants. Les premières déclarations de D._ sont à cet égard dépourvues de toute ambiguïté. Dans son courriel du 24 juillet 2015, il était certes moins catégorique et a cherché à les relativiser pour finalement, dans un troisième temps, déclarer avoir confondu le recourant et un autre coureur. Cette dernière version apparaît toutefois peu crédible eu égard aux modifications successives de la présentation des faits par ce témoin. De manière plus générale, indépendamment de ce manque de crédibilité, les premiers juges ont considéré à juste titre qu'il convenait d'accorder la préférence aux premières déclarations de D._, données alors qu'il en ignorait peut-être les conséquences juridiques, les explications nouvelles pouvant, consciemment ou non, être le fruit de réflexions ultérieures (voir <ref-ruling> consid. 5.2 p. 594 s.; <ref-ruling> consid. 2a p. 47). De plus, comme l'a relevé la juridiction cantonale, la première version de D._ est corroborée par les déclarations du chronométreur qui a confirmé que selon les listes de classement, le recourant avait bel et bien abandonné lors de la spéciale. Les listes de classement déposées au dossier font d'ailleurs clairement état de l'abandon du recourant dans la spéciale SP2-T2.
4.3. Les objections du recourant n'autorisent pas une autre conclusion. Ainsi, le fait que la notice téléphonique du 11 juin 2015 contenait une erreur sur le rôle de D._ dans la manifestation est un détail sans importance qui ne permet pas de douter de l'exactitude des déclarations précises qui y sont par ailleurs rapportées. Du reste, si la transcription de la conversation ne correspondait pas aux déclarations de D._, on comprendrait mal pourquoi ce dernier aurait par la suite affirmé qu'il avait confondu avec un autre coureur pour justifier son revirement dans ses déclarations. Pour cette même raison, on ne peut pas accorder crédit à l'allégation du recourant selon laquelle l'employée n'était pas sûre d'avoir bien compris le déroulement des faits, ce qui l'aurait incitée à demander une confirmation par courriel. Au demeurant, le fait de demander une confirmation écrite d'un entretien téléphonique n'a rien d'inhabituel et ne suggère pas un défaut de compréhension de l'interlocutrice. Quant à l'allégation selon laquelle le résultat final de la course indiquerait erronément que le recourant aurait abandonné durant la spéciale, elle ne repose sur aucun indice sérieux et, partant, relève de la simple hypothèse. Le fait qu'une erreur a pu être commise s'agissant d'un autre concurrent n'est pas apte à établir une erreur du même type en ce qui concerne le recourant, pas plus d'ailleurs que la circonstance que son nom a mal été orthographié dans la liste des résultats.
4.4. Comme l'ont retenu les premiers juges, le recourant a déclaré à l'intimée - et confirmé après que son attention eut été attirée sur les conséquences légales - que l'accident était survenu en dehors d'une course chronométrée. On doit ainsi admettre qu'il a fait intentionnellement une fausse déclaration, justifiant l'application de l'art. 46 al. 2 LAA.
4.5. Pour le reste, le recourant ne discute pas l'obligation, comme telle, de restituer les indemnités journalières perçues. Il n'y a dès lors pas lieu d'examiner cette question. Si de nouvelles prestations devaient entrer en considération à raison du même accident, il appartiendrait à l'intimée de procéder, pour l'octroi éventuel de celles-ci, à un nouvel examen, notamment sous l'angle de la proportionnalité (supra consid. 2).
5.
Le recours doit ainsi être rejeté. Comme il était dénué de chances de succès, la requête d'assistance judiciaire doit également être rejetée (art. 64 al. 1 LTF). Le recourant devra donc supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 6 février 2018
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Castella