Sachverhalt:
A.
Mit Entscheid vom 4. November 2020 lehnte das Migrationsamt des Kantons Thurgau das Gesuch des deutschen Staatsangehörigen A._ um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA ab und wies ihn an, innert 30 Tagen ab Rechtskraft des Entscheids die Schweiz zu verlassen. Dagegen erhob A._ vertreten durch Rechtsanwalt B._ am 25. November 2020 Rekurs beim Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau (nachfolgend: das kantonale Departement).
Das kantonale Departement forderte A._ mit Schreiben vom 27. November 2020 zur Leistung eines Kostenvorschusses im Betrag von Fr. 900.-- bis 21. Dezember 2020 auf. Am 21. Dezember 2020 liess A._ um Bewilligung der Ratenzahlung ersuchen. Mit Schreiben vom 23. Dezember 2020 lehnte das kantonale Departement dieses Gesuch ab und erstreckte die Frist für die Leistung des Kostenvorschusses bis am 25. Januar 2021. Am 25. Januar 2021 liess A._ erneut um Fristerstreckung ersuchen. Diese gewährte ihm das kantonale Departement mit Schreiben vom 26. Januar 2021 bis am 28. Februar 2021. Am 26. Februar 2021, vorab per E-Mail, liess A._ ein weiteres Mal um Erstreckung der Frist bis 20. März 2021 ersuchen. Das kantonale Departement bewilligte auch dieses Gesuch antragsgemäss.
B.
Nachdem der eingeforderte Kostenvorschuss bis am 20. März 2021 nicht eingegangen war, trat das kantonale Departement auf den Rekurs vom 25. November 2020 mit Entscheid vom 24. März 2021 nicht ein. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau (nachfolgend: das Verwaltungsgericht) schützte diesen Entscheid mit Urteil vom 29. September 2021.
C.
Mit Eingabe vom 3. November 2021 erhebt A._ Beschwerde an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts vom 1. Oktober 2021 und die Anweisung an das kantonale Departement, auf sein Rechtsmittel einzutreten; eventualiter sei die Sache zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen.
Das Bundesgericht hat auf Instruktionsmassnahmen verzichtet.

Erwägungen:
1.
Die Vorinstanz erwog gestützt auf das anwendbare kantonale Verfahrensrecht, dass für die Fristerstreckung die schriftliche Eröffnung in Form eines Entscheids nicht vorausgesetzt sei. Weiter stellte sie fest, es sei dem Beschwerdeführer bewusst gewesen, dass er für die Leistung des Kostenvorschusses bis am 20. März 2021 Zeit gehabt habe, andernfalls auf den Rekurs nicht eingetreten werde; in seiner Beschwerdeeingabe vom 14. April 2021 habe er explizit bestätigt, dass das Fristerstreckungsgesuch vom 26. Februar 2021 telefonisch und per e-Mail bewilligt worden sei (vgl. E. 2.3 des angefochtenen Entscheids).
2.
Der Beschwerdeführer beanstandet in seiner Eingabe an das Bundesgericht nur die vorinstanzliche Feststellung, wonach ihm die Bewilligung der Fristerstreckung für die Bezahlung des Kostenvorschusses vom Departement per e-Mail zugestellt worden sei. Wie es sich damit verhält, ist nach der von der Vorinstanz eingenommenen Rechtsauffassung jedoch nicht entscheidend; für die Vorinstanz war vielmehr ausschlaggebend, dass der Beschwerdeführer überhaupt Kenntnis von der gewährten Fristerstreckung erhielt (vgl. E. 1 hiervor). In Bezug auf die tragende Argumentationsschiene der Vorinstanz enthält die Beschwerde damit offensichtlich keine hinreichende Begründung. Darauf ist nicht einzutreten (<ref-law>).
3.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Verfahrenskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. November 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner