Sachverhalt:
A.
Mit Zahlungsbefehl Nr. xxx vom 7. Mai 2018 setzte B._ gegen A._ gestützt auf den Eheschutzentscheid des Zivilgerichts Basel-Stadt vom 8. Februar 2013 eine Unterhaltsforderung für Mai 2018 in Höhe von CHF 20'000.- zuzüglich 5 % Zins seit dem 1. Mai 2018 in Betreibung. Hiergegen erhob A._ Rechtsvorschlag, woraufhin B._ am 17. Mai 2018 um definitive Rechtsöffnung ersuchte. Mit Entscheid vom 11. September 2018 erteilte das Zivilgericht Basel-Stadt B._ definitive Rechtsöffnung für die in Betreibung gesetzte Forderung und auferlegte A._ die Prozesskosten.
B.
Gegen diesen Entscheid erhob A._ am 12. September 2018 Beschwerde beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Darin beantragte er die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Abweisung des Gesuchs um Gewährung der definitiven Rechtsöffnung, eventuell die Rückweisung der Angelegenheit an das Zivilgericht. Mit Entscheid vom 13. November 2018 wies das Appellationsgericht die Beschwerde ab und regelte die Kosten- und Entschädigungsfolgen.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 7. Januar 2019 ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Abweisung des von B._ (Beschwerdegegnerin) gestellten Rechtsöffnungsgesuchs.
Das Appellationsgericht und die Beschwerdegegnerin beantragen, auf die Beschwerde in Zivilsachen sei nicht einzutreten; eventuell sei die Beschwerde abzuweisen. Mit Replik vom 17. Oktober 2019 und Duplik vom 28. Oktober 2019 haben die Parteien an ihren Anträgen festgehalten.

Erwägungen:
1.
Die rechtzeitig erhobene Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid eines oberen kantonalen Gerichts, das als Rechtsmittelinstanz über eine Schuldbetreibungssache entschieden hat (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 75, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG). Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist der erforderliche Streitwert von Fr. 30'000.-- nicht erreicht. Gegenstand des vorliegenden Verfahrens ist ausschliesslich die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung für die Unterhaltsforderung für Mai 2018 von Fr. 20'000.-- zuzüglich Zins. Damit ist die Eintretensvoraussetzung von Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG nicht erfüllt und die Beschwerde in Zivilsachen nur zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG).
Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung ist nur zurückhaltend anzunehmen. Sie liegt vor, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse daran besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (<ref-ruling> E. 1 S. 165; <ref-ruling> E. 1.2 S. 185; je mit Hinweisen). Im vorliegenden Fall ist strittig, ob für Unterhaltsbeiträge gestützt auf ein Eheschutzurteil noch definitive Rechtsöffnung erteilt werden kann, wenn das Scheidungsurteil bezüglich des Scheidungspunktes in Rechtskraft erwachsen ist, bezüglich der Unterhaltsbeiträge indes mit Berufung angefochten wurde; mithin geht es um die Frage nach der automatischen Weitergeltung von im Eheschutz- oder vorsorglichen Massnahmeverfahren getroffenen Unterhaltsentscheiden über den Zeitpunkt des Eintritts der Rechtskraft des Scheidungsurteils im Scheidungspunkt hinaus. Diese Frage wird von der bundesgerichtlichen Rechtsprechung und herrschenden Lehre bejaht. Der im Rahmen eines Eheschutzentscheides oder eines vorsorglichen Massnahmeverfahrens zugesprochene Ehegattenunterhalt gilt danach grundsätzlich bis zum Eintritt der formellen Rechtskraft des Scheidungsurteils bezüglich der Unterhaltsregelung fort (vgl. <ref-ruling> E. 2.4 S. 40; Urteile 5A_807/2018 vom 28. Februar 2019 E. 2.2.3, in: FamPra.ch 2019 S. 592; 5A_659/2014 vom 31. Oktober 2014 E. 2.3.2; 5A_933/2012 vom 17. Mai 2013 E. 5.2; 5A_725/2008 vom 6. August 2009 E. 3.1.3; 5C.282/2002 vom 27. März 2003 E. 1.4; 5P.121/2002 vom 12. Juni 2002 E. 3.1, in: Pra 2002 Nr. 169 S. 916; SPYCHER, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. II, 2012, N. 22 zu Art. 276 ZPO; BÄHLER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 10 und 12 zu Art. 276 ZPO; TAPPY, in: Commentaire romand, Code de procédure civile, 2. Aufl. 2019, N. 46 zu Art. 276 ZPO; BAUMGARTNER/DOLGE/ MARKUS/SPÜHLER, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 10. Aufl. 2018, § 51 Rz. 295 und § 52 Rz. 325; VAN DE GRAAF, in: Kurzkommentar ZPO, 2. Aufl. 2014, N. 6 zu Art. 276 ZPO; LEUENBERGER, in: FamKomm Scheidung, Bd. II, 3. Aufl. 2017, N. 13 zu Art. 276 ZPO; BOHNET, in: Commentaire pratique, Actions civiles, Volume 1, 2. Aufl. 2019, § 16 Rz. 9; DOLGE, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Brunner/ Gasser/Schwander [Hrsg.], 2. Aufl. 2016, N. 20 zu Art. 276 ZPO; JEANDIN/PEYROT, Précis de procédure civile, 2015, § 16 Rz. 697; kritisch demgegenüber TSCHUDI/ AMMANN, Eherechtlicher Unterhalt im Berufungsverfahren betreffend die Scheidungsnebenfolgen, in: BJM 2018 S. 329 ff.). Die Vorinstanz hat sich im angefochtenen Entscheid nach eingehender Würdigung der Argumente des Beschwerdeführers der bundesgerichtlichen Rechtsprechung und herrschenden Lehre angeschlossen, indem sie erwogen hat, die im Eheschutz- oder vorsorglichen Massnahmeentscheid autoritativ begründete Pflicht zur Zahlung von Unterhaltsbeiträgen sei von Gesetzes wegen nicht an die Resolutivbedingung des Eintritts der (Teil-) Rechtskraft im Scheidungspunkt, sondern an die Resolutivbedingung des Eintritts der (Teil-) Rechtskraft im Unterhaltspunkt geknüpft. Der Beschwerdeführer vermag für seine gegenteilige Sichtweise einzig Urteile aus der Zeit vor der am 1. Januar 2000 in Kraft getretenen Scheidungsrechtsrevision ins Feld zu führen (<ref-ruling> E. 3 und 4 S. 312 f.; <ref-ruling> E. 2.b S. 2 f.). Diese ändern nichts daran, dass es nach der unter Art. 137 aZGB und Art. 276 ZPO ergangenen konstanten Rechtsprechung für die Weitergeltung des im Eheschutz- oder vorsorglichen Massnahmeentscheid festgesetzten Ehegattenunterhalts nicht darauf ankommt, ob die Ehe bereits durch eine Teilrechtskraft eines erstinstanzlichen Urteils oder ein Teilurteil aufgelöst worden ist oder nicht und der in den genannten Verfahren angeordnete Ehegattenunterhalt insofern die Ehe überdauern kann (vgl. auch Urteil 5D_91/2012 vom 15. November 2012 E. 4). Zumal keine Rechtsfrage vorliegt, die aufgrund der Streitwertgrenze dem Bundesgericht kaum je unterbreitet werden könnte, rechtfertigt sich die Annahme einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung nicht. Die Beschwerde in Zivilsachen steht daher nicht offen.
Das Bundesgericht kann die Eingabe auch nicht als subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne von Art. 113 ff. BGG entgegennehmen, weil mit dieser nur verfassungsmässige Rechte angerufen werden können (Art. 116 BGG), der Beschwerdeführer aber keine solchen Rügen erhebt, sondern ausschliesslich appellatorische Kritik übt.
2.
Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Ausgangsgemäss wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG). Die Parteientschädigung wird unabhängig von der eingereichten Honorarnote bemessen (Urteile 4A_283/2018 vom 9. Juli 2019 E. 7; 4A_592/2010 vom 15. März 2011 E. 4).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 4'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Februar 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss