Faits :
A.
A.a. La parcelle no ****, feuillet ** de la Commune de Genève-Eaux-Vives, abrite un immeuble constitué en propriété par étages. L'un des lots du rez-de-chaussée, propriété de la société C._ SA, est loué à la société D._ Sàrl. Au premier étage, un autre lot, situé directement au-dessus du précédent, appartient à A._, qui y exploite une étude d'avocats.
Le 20 août 2013, le Service du commerce de la République et canton de Genève, devenu depuis lors le Service de police du commerce et du travail au noir (ci-après : le Service cantonal), a autorisé B._ à exploiter un café-restaurant à l'enseigne "D._" dans les locaux précités loués par la société D._ Sàrl.
A.b. Le 29 août 2014, la communauté des copropriétaires de la propriété par étages (ci-après : la PPE) s'est plainte auprès du Service cantonal des nuisances olfactives et sonores provenant du café-restaurant "D._". Elle s'opposait à la poursuite de l'exploitation de ce restaurant et sollicitait sa fermeture. Elle a renouvelé cette demande par courrier des 27 novembre 2014 et 22 janvier 2015.
Le 9 février 2015, le Service cantonal a écrit à la PPE. Il indiquait notamment que le café-restaurant "D._" était dûment autorisé par ses soins et qu'il n'était pas possible de donner à la PPE accès au dossier relatif à la surveillance de cet établissement, car un dénonciateur n'avait jamais qualité de partie à la procédure.
A.c. Le 1er janvier 2016 est entrée en vigueur une nouvelle loi cantonale genevoise sur la restauration, le débit de boissons, l'hébergement et le divertissement.
A.d. Le 30 mars 2016, la PPE s'est adressée au Conseiller d'État en charge du Département de la sécurité et de l'économie, devenu depuis lors le Département de la sécurité, de l'emploi et de la santé (ci-après : le Département cantonal) pour se plaindre du fait que ses membres souffraient des émissions sonores et olfactives provenant de l'établissement "D._" et pour demander la révocation de l'autorisation d'exploiter délivrée à B._. Elle se référait à la nouvelle loi cantonale sur la restauration, les débits de boissons, l'hébergement et le divertissement.
S'en sont ensuite suivis plusieurs échanges de courriers entre, d'un côté, le Conseiller d'Etat et, de l'autre, la PPE, ainsi que A._, qui a également requis la fermeture de l'établissement public "D._". Le Conseiller d'Etat a déclaré, en substance, que ses services instruisaient les plaintes déposées avec toute la diligence requise et que les mesures administratives qui s'imposaient seraient ordonnées, mais qu'aucune information plus précise sur les éléments constatés ne pouvait être transmise en raison du fait, notamment, que la PPE n'avait pas qualité de partie en matière de surveillance des établissements publics.
A.e. Le 30 août 2016, le Service cantonal a autorisé B._ à exploiter le café-restaurant "D._" conformément à la nouvelle législation cantonale. Cette décision n'a été notifiée ni à la PPE ni à A._.
A.f. Le 15 mai 2017, l'avocat de la PPE a indiqué au Conseiller d'Etat qu'il représentait aussi A._. Il requérait une décision formelle, susceptible de recours, portant sur la qualité de parties de ses deux mandants dans les procédures de dénonciation relatives à l'établissement "D._".
Le 6 juillet 2017, le Service cantonal a décidé de ne pas octroyer la qualité de partie à A._ et à la PPE dans les procédures fondées sur la loi cantonale sur la restauration concernant l'établissement "D._". Les intéressés ont interjeté recours contre cette décision. Par arrêt du 23 janvier 2018, la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) a déclaré les deux recours déposés irrecevables pour défaut de qualité pour recourir.
Par arrêt du 7 décembre 2018 (cause 2C_214/2018), le Tribunal fédéral a admis le recours déposé par A._ contre l'arrêt de la Cour de justice et a annulé celui-ci. Il a reconnu que l'intéressé pouvait se prévaloir de la qualité de partie s'agissant de la procédure d'instruction de la plainte ouverte contre le café-restaurant "D._".
B.
Le 20 mars 2019, après avoir obtenu le droit de consulter le dossier relatif à la procédure de dénonciation ouverte contre l'établissement "D._", A._ a pris connaissance de la décision du 30 août 2016 par laquelle le Service cantonal avait autorisé B._ à exploiter le café-restaurant précité conformément à la nouvelle législation cantonale.
Par acte du 6 mai 2019, la PPE et A._ ont recouru auprès de la Cour de justice contre la décision du Service cantonal précitée. Par arrêt du 10 décembre 2019, la Cour de justice a déclaré irrecevable chacun des deux recours. Elle a considéré que la PPE ne disposait de toute manière pas de la qualité pour recourir et que les deux recours intervenaient pour le reste trop tardivement. Selon elle, les recourants ne pouvaient pas recourir contre une autorisation d'exploiter un café-restaurant trois ans après sa délivrance, même si cette décision ne leur avait jamais été formellement notifiée, dès lors qu'ils en connaissaient - ou du moins auraient dû en soupçonner - l'existence bien avant.
C.
A._ (ci-après : le recourant) dépose un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral contre l'arrêt précité de la Cour de justice. Il conclut, en substance, à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à la Cour de justice, afin que celle-ci entre en matière sur le recours déposé devant elle contre l'autorisation d'exploiter l'établissement "D._" délivrée le 20 août 2016 à B._.
La Cour de justice a renoncé à se prononcer sur le recours, renvoyant aux considérants et dispositif de son arrêt. Le Service cantonal a, pour sa part, déposé de brèves observations au terme desquelles il conclut au rejet du recours. B._ (ci-après : l'intimé) prend la même conclusion dans sa réponse.
Le recourant a répliqué.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le présent litige concerne la possibilité pour le recourant de recourir au niveau cantonal contre une autorisation d'exploiter un café-restaurant octroyée en application de la loi cantonale genevoise sur la restauration. Il relève donc du droit public au sens de l'<ref-law> (cf. arrêts 2C_214/2018 du 7 décembre 2018 consid. 1.1 et 2C_956/2016 du 7 avril 2017 consid. 1). Aucune des exceptions mentionnées à l'<ref-law> n'entre en ligne de compte en la cause. La décision contestée, qui déclare irrecevable le recours cantonal du recourant, a par ailleurs été prise par la Cour de justice, soit un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). Elle met un terme à la procédure, de sorte qu'elle constitue une décision finale susceptible de recours en matière de droit public au Tribunal fédéral (<ref-law>).
1.2. Le recourant, dont le recours cantonal a été déclaré irrecevable pour cause de tardiveté, est particulièrement atteint par la décision entreprise et a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification. Il a ainsi qualité pour recourir en ce qui le concerne (cf. <ref-law>). Pour le surplus, le présent recours en matière de droit public a été déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites (<ref-law>). Il convient par conséquent d'entrer en matière.
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Sauf dans les cas cités expressément à l'<ref-law>, le recours devant le Tribunal fédéral ne peut en revanche pas être formé pour violation du droit cantonal en tant que tel. Il est uniquement possible de faire valoir que l'application du droit cantonal viole le droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels (cf. <ref-ruling> consid. 2.5 p. 156; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 387; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 69). Le Tribunal fédéral n'examine cependant la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (cf. <ref-law>), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 368; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 41; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 234; aussi arrêt 2C_528/2019 du 5 décembre 2019 consid. 2.1).
2.2. En l'occurrence, dans ses écritures, le recourant se plaint - sous une forme extrêmement lapidaire - d'une violation de son droit d'être entendu, en ce sens que l'arrêt attaqué lui reprocherait à tort de ne pas avoir recouru immédiatement contre une décision dont il ignorait le contenu. Il n'y a pas lieu d'entrer en matière sur ce grief qui n'est pas motivé à suffisance (cf. <ref-law>), étant précisé que le recourant se méprend de toute manière sur la portée de l'arrêt attaqué, qui ne retient aucunement qu'il aurait dû recourir contre une décision qui lui était inconnue, mais simplement entreprendre plus tôt des démarches pour en connaître l'existence et le contenu.
2.3. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Selon l'<ref-law>, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si celles-ci ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-ruling> consid. 6 p. 358; <ref-ruling> consid. 1.6 p. 377). La partie recourante doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (cf. <ref-law>). A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 6.2 p. 288).
Selon l'<ref-law>, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté devant le Tribunal fédéral, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente. Sont visés par cette exception les faits et preuves - existants avant l'arrêt attaqué (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 344) - qui sont rendus pertinents pour la première fois par la décision attaquée. Il peut s'agir, notamment, de faits et moyens de preuve qui se rapportent à la procédure conduite devant l'instance précédente, telle une prétendue irrégularité affectant la composition de l'autorité ayant rendu la décision querellée ou une violation du droit d'être entendu lors de mesures probatoires (<ref-ruling> consid. 3.1.2 p. 123). De même, lorsque la décision de l'instance précédente a été fondée sur un nouvel argument juridique auquel les parties n'avaient pas été confrontées précédemment, les recourants peuvent avancer devant le Tribunal fédéral les faits nouveaux qui démontrent que l'argumentation de l'instance précédente est contraire au droit. En revanche, ne peuvent être allégués devant le Tribunal fédéral les faits que le recourant a négligé de présenter devant les autorités cantonales et qui, par conséquent, n'ont pas pu être examinés par les instances inférieures (<ref-ruling> consid. 4.4.3 p. 129; aussi arrêt 2C_14/2020 du 18 juin 2020 consid. 2.1).
2.4. Sur le vu de ce qui précède, il convient de ne pas tenir compte de l'extrait du journal " Le Temps " que le recourant a produit en annexe de son mémoire et dont il prétend qu'il a paru le 13 janvier 2020. L'intéressé affirme que cette pièce démontrerait qu'à la fin 2016, le Service cantonal n'avait pas encore délivré toutes les nouvelles autorisations d'exploiter rendues nécessaires par la nouvelle loi cantonale genevoise sur la restauration. Il s'agit toutefois là d'une preuve qui ne répond à aucun nouvel argument juridique de l'autorité précédente, quoi que prétende le recourant. Ayant recouru contre une décision trois ans après sa délivrance, celui-ci devait s'attendre à ce que la Cour de justice se demande s'il en connaissait ou devait en soupçonner l'existence auparavant, en tenant compte de l'ensemble des circonstances d'espèce et de la réglementation légale pertinente. Aucun autre motif reconnu par la jurisprudence ne justifie enfin de prendre en compte l'extrait de journal produit. Relevons pour le surplus que cet extrait ne date pas du 13 janvier 2020, contrairement à ce qu'allègue le recourant dans son mémoire, mais du 11 octobre 2018 (art. 105 al 2 LTF, pièce 2 du recours), et qu'il en ressort qu'à l'automne 2018, 90 % des établissements publics genevois avaient obtenu leur nouvelle autorisation d'exploiter. On ne comprend dès lors pas ce que le recourant entend en retirer en sa faveur. Cette pièce semble au contraire démontrer qu'il devait savoir avant la fin 2018 que l'énorme majorité des autorisations liées à la nouvelle loi cantonale, dont celle de l'intimé, avaient déjà été délivrées.
3.
Sur le fond, le présent litige porte sur le caractère tardif du recours cantonal que le recourant a déposé le 6 mai 2019 contre l'autorisation d'exploiter le café-restaurant "D._" délivrée le 30 août 2016 à B._. Dans son arrêt, la Cour de justice a constaté que cette autorisation, qui remplaçait une précédente octroyée en 2013, n'avait jamais été notifiée au recourant. Elle a cependant relevé que celui-ci avait commencé dès 2014 à dénoncer l'établissement public en raison de prétendus non-respects de la législation cantonale, soit en tant que membre de la PPE, soit à titre personnel. L'un des objectifs de ces dénonciations était d'obtenir la révocation de l'autorisation d'exploitation du café-restaurant et, donc, sa fermeture. La Cour de justice en a déduit que le recourant savait depuis 2015 au moins que l'établissement était au bénéfice d'une première autorisation délivrée sous l'ancien droit. Elle a également retenu que le recourant, qui était représenté par un avocat, tout en exerçant lui-même cette profession, ne pouvait pas ignorer que la nouvelle loi cantonale sur la restauration entrée en vigueur au 1er janvier 2016 (cf. loi cantonale genevoise sur la restauration, le débit de boissons, l'hébergement et le divertissement du 19 mars 2015 [LRDBHD/GE; RSG I 2 22]) exigeait que tout établissement obtienne une nouvelle autorisation avant la fin 2016. Sur la base de ces circonstances, elle a conclu que le recourant aurait forcément dû soupçonner l'existence d'une nouvelle autorisation à partir du 1er janvier 2017 et, partant, se renseigner sur l'état des choses auprès de l'autorité compétente dès cette date. Il ne pouvait en tout cas pas attendre d'avoir pris connaissance de cette autorisation dans le cadre de la consultation du dossier intervenue en 2019 pour la contester.
4.
Dans son mémoire, le recourant reproche à la Cour de justice d'avoir considéré qu'il avait recouru tardivement contre l'autorisation d'exploiter le café-restaurant "D._" délivrée le 30 août 2016 à l'intimée. Se référant à la jurisprudence fédérale, il affirme que l'arrêt cantonal violerait le principe de protection de la bonne foi, car la décision contestée ne lui a jamais été notifiée. Il n'en aurait en réalité eu connaissance qu'en date du 20 mars 2019, après que le Service cantonal lui avait accordé le droit de consulter le dossier relatif à la procédure de plainte engagée contre l'établissement public.
4.1. On relèvera d'emblée que le recourant ne prétend pas dans ses écritures que la Cour de justice aurait appliqué de manière arbitraire le droit cantonal en déclarant son recours irrecevable pour cause de tardiveté, admettant au contraire avoir agi en dehors des délais de recours (cf. art. 62 de la loi genevoise sur la procédure administrative du 12 septembre 1985 [LPA/GE; RSG E 5 10]). Il n'y a dès lors pas lieu de se demander si le droit genevois offre au justiciable qui prétend avoir connu tardivement l'existence d'une décision une protection allant au-delà du principe de protection de la bonne foi reconnu en droit fédéral. Il s'agit en l'espèce uniquement d'apprécier si l'arrêt cantonal attaqué respecte ce principe consacré aux art. 5 al. 3 et 9 al. 1 Cst.
4.2. Selon la jurisprudence, toute personne concernée par l'issue d'une procédure a l'obligation de se renseigner sur l'existence et le contenu de la décision qui la clôt dès qu'elle peut en soupçonner l'existence, sous peine de se voir opposer l'irrecevabilité d'un éventuel recours dirigée contre elle pour cause de tardiveté (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 232; arrêt 2C_309/2018 du 10 septembre 2018 consid. 4.1). Il convient à cet égard de s'en tenir aux règles de la bonne foi qui s'appliquent non seulement à l'administration, mais aussi aux justiciables (<ref-ruling> consid. 3a/aa p. 99); ainsi, l'intéressé doit agir dans un délai raisonnable dès qu'il a connaissance de quelque manière que ce soit de la décision qu'il entend contester (<ref-ruling> consid. 4c p. 150; arrêt 9C_202/2014 du 11 juillet 2014 consid. 4.2). Attendre passivement est en effet contraire au principe de la bonne foi (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 232; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 313; <ref-ruling> consid. 4a p. 76; aussi arrêts 2C_1021/2018 du 26 juillet 2019 consid. 4.2; 1C_15/2016 du 1er septembre 2016 consid. 2.2 et 9C_202/2014 du 11 juillet 2014 consid. 4.2).
4.3. Déterminer ce qu'une personne sait ou ce dont elle est consciente relève de l'établissement des faits (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 184 et 123 III 165 consid. 3a p. 168) et les constatations opérées à cet égard par l'instance précédente lient le Tribunal fédéral (<ref-law>). En l'occurrence, dans son arrêt, la Cour de justice a constaté que le recourant savait pertinemment que l'intimé avait reçu une autorisation d'exploiter le café-restaurant litigieux sous l'empire de l'ancien droit cantonal. Elle a également retenu que l'intéressé avait conscience que cette autorisation devait être remplacée par une nouvelle avant la fin 2016, ainsi que le prévoyait la loi genevoise sur la restauration entrée en vigueur au 1 er janvier 2016 (cf. art. 70 al. 3 LRDBHD/GE). Sur la base de ces constats, dont le recourant ne prétend pas qu'ils seraient arbitraires (cf. supra consid. 2.3), on peut assurément retenir que l'intéressé aurait dû savoir ou, du moins, fortement soupçonner, à un moment donné entre 2017 et 2018, que l'intimé avait obtenu une nouvelle autorisation d'exploiter son café-restaurant, d'autant que les autorités n'ont jamais envisagé d'ordonner la fermeture de l'établissement malgré les multiples dénonciations enregistrées à son encontre. La Cour de justice pouvait en particulier considérer de manière soutenable qu'au-delà des délais transitoires prévus par la nouvelle loi genevoise sur la restauration, le recourant, avocat de profession et assisté d'un mandataire, devait envisager qu'une nouvelle autorisation avait été délivrée à l'intimé. Ce faisant, elle n'a pas appliqué arbitrairement le droit cantonal, contrairement à ce que le recourant allègue lapidairement dans son mémoire, mais simplement tenu compte du cadre légal existant pour déterminer la diligence qui pouvait être attendue de sa part. Elle n'a pas non plus violé le principe de la bonne foi en considérant que l'échéance à la fin 2016 des délais fixés par le droit cantonal pour remplacer les anciennes autorisations d'exploiter aurait dû conduire l'intéressé à se renseigner au plus vite - en tout cas avant la fin 2018 - sur l'existence d'une autorisation en cours de validité pour le café-restaurant "D._", comme l'y autorisait du reste expressément le nouveau droit cantonal (cf. art. 7 al. 3 let. a du règlement cantonal d'exécution de la LRDBHD/GE; RS/GE I 2 22.01), d'autant plus s'il entendait véritablement la contester. N'ayant pas fait preuve d'une telle diligence, le recourant ne peut plus invoquer l'éventuel défaut de notification entachant l'autorisation d'exploiter litigieuse pour justifier le dépôt d'un recours contre cette dernière presque trois ans après sa délivrance.
4.4. Le fait que le recourant se soit toujours montré actif afin d'obtenir la fermeture du café-restaurant de l'intimé ne permet pas d'aboutir à une autre solution, quoi que prétende l'intéressé dans son recours. Les plaintes qu'il a déposées, soit à titre individuel, soit en tant que membre de la PPE, de même que les nombreuses autres démarches procédurales qu'il a entreprises dans la foulée, afin d'obtenir le droit d'intervenir comme partie dans ces procédures, illustrent certes les difficultés malheureuses auxquelles sont confrontés les riverains d'établissements publics lorsqu'ils entendent faire valoir leurs intérêts auprès des autorités genevoises, compte tenu d'un contexte particulièrement propice au renvoi de responsabilités (cf. arrêt 2C_214/2018 du 7 décembre 2018 consid. 4.8). Les différentes actions entreprises par le recourant tendent cependant aussi à démontrer que celui-ci est toujours parti de l'idée que l'intimé avait reçu depuis longtemps une autorisation d'exploiter le café-restaurant "D._". D'après l'arrêt attaqué, l'intéressé n'a en effet jamais remis en cause l'existence d'une autorisation d'exploiter dans ses diverses plaintes, ni demandé la fermeture de l'établissement en raison d'un éventuel défaut d'autorisation d'exploiter. Il semble ainsi qu'il ait choisi de manière délibérée la voie de la plainte - dans le cadre de laquelle il a obtenu la qualité de partie - afin d'obtenir une révocation ultérieure de l'autorisation octroyée à l'intimé, plutôt que celle du recours pour en contester la délivrance initiale. Cela étant dit, rappelons que cette voie procédurale - qui n'a pour l'heure abouti à aucune décision au fond malgré les nombreuses années écoulées - pourrait effectivement conduire à une fermeture du café-restaurant "D._" ou à une modification de son autorisation d'exploiter, s'il devait s'avérer que l'établissement provoque des nuisances sonores et/ou olfactives excessives (cf. arrêt 2C_214/2018 du 7 décembre 2018 consid. 4.6). La tardiveté du recours directement dirigé contre l'autorisation d'exploiter n'y change rien, de sorte que l'on peut s'attendre à ce que les autorités genevoises examinent enfin les griefs que le recourant soulève depuis des années à l'encontre de l'établissement de l'intimé.
4.5. Partant, la Cour de justice n'a pas violé le principe de la bonne foi consacré par l'art. 5 al. 3 et l'art. 9 al. 1 Cst. en considérant que le recourant avait recouru tardivement contre l'autorisation d'exploitation le café-restaurant "D._" délivré le 30 août 2016 à l'intimé.
5.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours.
6.
Les frais seront donc mis à la charge du recourant, qui succombe (<ref-law>). L'intimé, qui a obtenu gain de cause avec l'aide d'un mandataire professionnel, a droit à une équitable indemnité de partie (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Il ne sera en revanche pas alloué de dépens à la République et canton de Genève (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Une indemnité de 1'500 fr. est allouée à l'intimé à titre de dépens, à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires du recourant et de l'intimé, au Service de police du commerce et de lutte contre le travail au noir de la République et canton de Genève et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative.
Lausanne, le 14 septembre 2020
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Jeannerat