Sachverhalt:
A.
A.A._ (geb. 12. März 1974) stammt aus dem Kosovo und reise am 5. Februar 1994 in die Schweiz ein. Er ist im Besitz einer Niederlassungsbewilligung. In zweiter Ehe war er mit B._ verheiratet. B._ verstarb am 10. Oktober 2017. Aus der Ehe gingen die Kinder B.A._ (geb. 2002), C.A._ (geb. 2003), D.A._ (geb. 2005), E.A._ (geb. 2007) und F.A._ (geb. 2010) hervor. Die Mutter und die gemeinsamen Kinder lebten bzw. leben im Kosovo.
Am 20. Dezember 2017 stellte A.A._ ein Nachzugsgesuch für die Kinder. Gleichentags erliess das Migrationsamt des Kantons Zürich einen negativen Vorentscheid. Mit Schreiben vom 16. Januar 2018 wiederholte A.A._ das Nachzugsgesuch. Mit Schreiben vom 17. Januar 2018 verlangte das Migrationsamt die Beantwortung diverser Fragen bzw. Einreichung von Unterlagen. Am 28. März 2018 teilte das Migrationsamt A.A._ mit, dass das Nachzugsgesuch zufolge Nichtbeantwortens des Schreibens vom 17. Januar 2018 als gegenstandslos abgeschrieben worden sei.
B.
Am 21. November 2019 stellte A.A._ erneut ein Nachzugsgesuch für die Kinder. Das Migrationsamt lehnte dieses Gesuch mit einem als "Vorentscheid" bezeichneten Schreiben vom 13. Dezember 2019 ab. Nachdem A.A._ eine rekursfähige Verfügung verlangt und das Nachzugsgesuch wiederholt hatte, wies das Migrationsamt das Gesuch mit Verfügung vom 23. Februar 2021 ab. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Rekursentscheid der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich vom 14. Juni 2021; Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 20. Oktober 2021).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 1. Dezember 2021 beantragen A.A._ und seine Kinder, dass der Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 20. Oktober 2021 aufzuheben und das Migrationsamt anzuweisen sei, B.A._, C.A._, D.A._, E.A._ und F.A._ die Einreise in die Schweiz zwecks Verbleibs beim Vater zu gestatten und ihnen eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. In prozessualer Hinsicht beantragen sie die unentgeltliche Prozessführung unter Bestellung von Rechtsanwalt Bernhard Jüsi als unentgeltlicher Rechtsvertreter und den Verzicht auf die Erhebung eines Kostenvorschusses.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Zusammenhang mit Bewilligungen ausgeschlossen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Ob die jeweiligen Bewilligungsvoraussetzungen erfüllt sind, ist eine Frage der materiellen Beurteilung; für das Eintreten genügt, dass ein entsprechender Anwesenheitsanspruch in vertretbarer Weise geltend gemacht wird (vgl. <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.1).
Die Beschwerdeführer berufen sich in vertretbarer Weise auf Art. 43 und 47 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer und über die Integration (AIG; SR 142.20) sowie - in Bezug auf die noch nicht volljährigen Kinder (in Bezug auf die volljährigen Kinder vgl. <ref-ruling> E. 5.3 und 6.7) - auf Art. 8 EMRK.
1.2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wurde unter Einhaltung der gesetzlichen Frist (Art. 100 Abs. 1 BGG) und Form (Art. 42 BGG) eingereicht und richtet sich gegen einen Endentscheid einer letzten, oberen kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG). Die Beschwerdeführer sind zur Beschwerde legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG). Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist einzutreten.
1.3. Die Beschwerdeführer machen geltend, es seien "die Voraussetzungen eines schwerwiegenden Härtefalls" erfüllt. Damit berufen sie sich auf Art. 30 Abs. 1 lit. b AIG, wonach in schwerwiegenden persönlichen Härtefällen von den Zulassungsvoraussetzungen abgewichen werden kann. Diesbezüglich steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten jedoch nicht offen (Art. 83 lit. c Ziff. 5 BGG). Zur subsidiären Verfassungsbeschwerde sind die Beschwerdeführer nur legitimiert, sofern sie ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Urteils haben (Art. 115 lit. b BGG). Da vorliegend bereits im Rahmen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zu prüfen ist, ob die Beschwerdeführer aus Art. 8 EMRK und Art. 13 BV einen Anspruch auf den Familiennachzug ableiten können, ist die subsidiäre Verfassungsbeschwerde diesbezüglich ausgeschlossen (Art. 113 BGG). Andere verfassungsmässige Rechte, welche nach ihrem Gehalt den Beschwerdeführern unmittelbar eine rechtlich geschützte Position verschaffen könnten (insb. Parteirechte; vgl. <ref-ruling> E. 6.2; Urteile 2C_580/2021 vom 4. Oktober 2021 E. 1.2; 2C_388/2021 vom 14. Mai 2021 E. 5), machen die Beschwerdeführer nicht geltend. Sie sind nicht zur subsidiären Verfassungsbeschwerde legitimiert. Damit erweist sich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde als unzulässig, sodass darauf nicht einzutreten ist.
2.
2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.3.1; <ref-ruling> E. 2). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Sie hat deshalb substanziiert darzulegen, weswegen diese Voraussetzungen gegeben sein sollen; wird sie dieser Anforderung nicht gerecht, bleibt es beim vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1).
2.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist daher weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann die Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (Motivsubstitution; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 3). Die Verletzung von Grundrechten und kantonalem Recht überprüft das Bundesgericht allerdings nur, wenn eine konkrete Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht gem. Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 1.2.2; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.6).
3.
Die Beschwerdeführer rügen unter anderem, die Vorinstanz und das Migrationsamt "haben in ihren Rechtsanwendungsakten das Willkürverbot verletzt, indem sie Bundesrecht, namentlich Art. 47 Abs. 4 AIG willkürlich anwendeten." Die Ausführungen der Beschwerdeführer zielen allerdings schwergewichtig auf die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz und nur am Rande auf die Anwendung von Art. 47 Abs. 4 AIG, welche das Bundesgericht ohnehin nicht bloss auf die Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV) hin, sondern frei überprüfen kann (Art. 95 lit. a BGG; vgl. dazu näher unten E. 4).
Soweit sich die Kritik der Beschwerdeführer gegen die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz richtet, ist sie unbegründet. Statt aufzuzeigen, inwiefern die Feststellungen der Vorinstanz insbesondere bezüglich der Betreuung der Beschwerdeführer 2-6 im Kosovo offensichtlich unrichtig im Sinne von Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG sein sollen, belassen es die Beschwerdeführer dabei, ihre eigene Sicht der tatsächlichen Verhältnisse darzulegen. Auch wenn es naturgemäss schwierig ist, die Qualität der Betreuungsmöglichkeiten im Ausland exakt festzustellen, lässt sich jedenfalls nicht sagen, dass die betreffenden Feststellungen der Vorinstanz offensichtlich unrichtig sind. Das gilt auch in Bezug auf die gesundheitliche Situation der Schwester des Beschwerdeführers 1 und Tante der Beschwerdeführer 2-6, zumal die Beschwerdeführer auch vor Bundesgericht nicht näher erläutern, weshalb diese Betreuungsmöglichkeit gerade im Sommer 2019 entfallen sein soll.
4.
Die Vorinstanz hat einen Anspruch auf Familiennachzug aus Art. 43 in Verbindung mit Art. 47 AIG verneint, weil die Nachzugsfrist gemäss Art. 47 Abs. 1 AIG unbestrittenermassen verpasst worden sei und keine wichtigen familiären Gründe für einen nachträglichen Nachzug gemäss Art. 47 Abs. 4 AIG vorlägen. Die Beschwerdeführer sind der Auffassung, sich für den Familiennachzug auf wichtige familiäre Gründe stützen zu können.
4.1. Wichtige familiäre Gründe gemäss Art. 47 Abs. 4 AIG sind gegeben, wenn das Kindswohl nur durch einen Nachzug in die Schweiz sachgerecht gewahrt werden kann (Art. 75 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit [VZAE; SR 142.201]). Dabei ist jedem Einzelfall angemessen Rechnung zu tragen (vgl. unter anderem auch zum Kindeswohl Art. 3 der UNO-Kinderrechtskonvention vom 20. November 1989 [KRK; SR 0.107]). Entgegen dem Wortlaut von Art. 75 VZAE ist allerdings nicht ausschliesslich auf das Kindswohl abzustellen; es bedarf vielmehr einer Gesamtschau unter Berücksichtigung aller relevanten Elemente im Einzelfall. Die Bewilligung des Nachzugs nach Ablauf der Fristen hat nach dem Willen des Gesetzgebers die Ausnahme zu bleiben; dabei ist Art. 47 Abs. 4 AIG (bzw. Art. 75 VZAE) praxisgemäss jeweils aber dennoch so auszulegen, dass der Anspruch auf Schutz des Familienlebens nach Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV nicht verletzt wird (<ref-ruling> E. 7.1.1 mit Hinweisen; Urteile 2C_347/2020 vom 5. August 2020 E. 3.4; 2C_325/2019 vom 3. Februar 2020 E. 3.3; 2C_259/2018 vom 9. November 2018 E. 4.1).
Nach Art. 8 Ziff. 1 EMRK hat jede Person ein Recht auf Achtung ihres Privat- und Familienlebens. Art. 8 EMRK vermittelt jedoch keinen absoluten Anspruch an Familienmitglieder auf Einreise und Aufenthalt in der Schweiz und kein Recht auf Wahl des Familiendomizils (Urteil 2C_865/2021 vom 2. Februar 2022 E. 3.7 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 6.1; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.1). Unter den Voraussetzungen von Art. 8 Ziff. 2 EMRK kann die Ausübung des Rechts auf Achtung des Privat- und Familienlebens gemäss Art. 8 Ziff. 1 EMRK eingeschränkt werden. Dazu ist eine umfassende Interessenabwägung vorzunehmen und die privaten Interessen der betroffenen Personen an einem (gemeinsamen) Aufenthalt in der Schweiz den entgegenstehenden Interessen gegenüberzustellen. Bei dieser Interessenabwägung steht den nationalen Behörden ein gewisser Beurteilungsspielraum zu (<ref-ruling> E. 3.7 mit Hinweisen auf die Rechtsprechung des EGMR). Dabei ist das Interesse an einer Kontrolle und Steuerung der Zuwanderung (Art. 121a BV) bzw. an der Erhaltung eines ausgewogenen Verhältnisses zwischen schweizerischer und ausländischer Wohnbevölkerung ein legitimes Interesse, das im Rahmen der Verhältnismässigkeit Eingriffe in den Schutzbereich von Art. 8 EMRK rechtfertigen kann (<ref-ruling> E. 3.7; <ref-ruling> E. 3.2.2; <ref-ruling> E. 4.1.2; Urteile des EGMR M.A. gegen Dänemark vom 9. Juli 2021 § 142; Biao gegen Dänemark vom 24. Mai 2016 § 117 mit weiteren Hinweisen).
4.2. Die Praxis nimmt einen wichtigen Grund im Sinne von Art. 47 Abs. 4 AIG insbesondere dann an, wenn die notwendige Betreuung der Kinder im Herkunftsland beispielsweise wegen des Todes oder einer Krankheit der betreuenden Person nicht mehr gewährleistet ist und keine sinnvolle andere Alternative in der Heimat gefunden werden kann (vgl. etwa Urteil 2C_347/2020 vom 5. August 2020 E. 3.5 und 3.6). Für den Nachweis der fehlenden Betreuungsmöglichkeit im Heimatland bestehen umso höhere Anforderungen, je älter das nachzuziehende Kind ist und je grösser die Integrationsschwierigkeiten erscheinen, die ihm in der Schweiz drohen. Es obliegt im Rahmen ihrer Mitwirkungspflichten der nachzugswilligen Person, die entsprechenden Umstände nicht nur zu behaupten, sondern auch zu belegen (<ref-ruling> E. 2.3.1 und 2.2; Urteile 2C_493/2020 vom 22. Februar 2021 E. 2.5.2; 2C_347/2020 vom 5. August 2020 E. 3.4; 2C_555/2019 vom 12. November 2019 E. 6.1).
4.3. Die Vorinstanz hat erwogen, dass die drei älteren Kinder (Beschwerdeführer 2, 3 und 4) angesichts ihres Alters kaum mehr einer Betreuung bedürften und sich vielmehr bei der Betreuung der jüngeren Geschwister unterstützend einbringen könnten, was sie auch täten. Die beiden ältesten, mittlerweile erwachsenen Söhne arbeiteten auf dem Bau und trügen auf diese Weise an den Unterhalt bei. Zudem lebten weitere ältere Verwandte (namentlich die Brüder des Beschwerdeführers 1 sowie die Tante), die bei der Erziehung unterstützend wirken könnten, vor Ort bzw. sogar im gleichen Haus. Die Beschwerdeführer 2-6 lebten seit jeher getrennt vom Beschwerdeführer 1 in ihrer Heimat. Sie seien mit den dortigen Begebenheiten bestens vertraut, besuchten bzw. besuchen dort die Schulde und seien entsprechend verwurzelt. Sie stünden mit den Mitteln der modernen Kommunikation in regem Kontakt zum Beschwerdeführer 1, der zudem seine Ferien regelmässig im Kosovo verbringe und sich auf diese Weisen erzieherisch einbringen könne, wie er dies schon früher getan habe.
Die schlechte wirtschaftliche Situation im Heimatland vermöge derweil nicht zur Bewilligung des Nachzugsgesuchs führen, jedenfalls soweit die vor dem Schulabschluss stehenden oder bereits arbeitstätigen Beschwerdeführer 2-4 betroffen seien. Aber auch für die jüngeren Beschwerdeführer 5 und 6 wäre eine Übersiedlung in die Schweiz mit erheblichen integrativen Nachteilen verbunden. Die Schuldbildung im Heimatland würde jäh unterbrochen und die Kinder würden von ihrem vertrauten Beziehungsnetz, schlimmstenfalls auch von den älteren Geschwistern, getrennt. Zudem sei unklar, wer sie betreuen würde, wenn der voll berufstätige Beschwerdeführer 1 bei der Arbeit sei. Ein Vergleich der Lebensperspektiven der Kinder in der Schweiz mit jenen im Ausland erübrige sich daher. Auf dieses Basis kam die Vorinstanz zum Schluss, dass kein wichtiger familiärer Grund für einen nachträglichen Familiennachzug gegeben sei.
4.4. In rechtlicher Hinsicht (vgl. zur Kritik der Beschwerdeführer an der Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz oben E. 3) machen die Beschwerdeführer geltend, dass das Kindeswohl einzig mittels Familiennachzug gewahrt werden könne. Das überzeugt nicht. Wie die Vorinstanz dargelegt hat, bestehen im Kosovo für die noch betreuungsbedürftigen Kinder (v.a. Beschwerdeführer 5 und 6) hinreichende Betreuungsmöglichkeiten. Zudem hat die Vorinstanz überzeugend erwogen (vgl. angefochtenes Urteil E. 3.5), dass die Kinder bei einem Familiennachzug in die Schweiz ihrem gewohnten Umfeld entrissen würden und dass ihre Betreuung unter der Woche gemäss den Feststellungen der Vorinstanz nicht gesichert wäre, zumal der Beschwerdeführer 1 laut der Vorinstanz gemäss seinem Arbeitsvertrag 60 Stunden pro Woche bei der Arbeit ist und keine glaubwürdigen Betreuungsalternativen in der Schweiz bestehen. Damit ist insgesamt davon auszugehen, dass dem Kindeswohl besser gedient ist, wenn die Kinder in ihrem Heimatstaat verbleiben. Die privaten Interessen am Aufenthalt in der Schweiz beschränken sich im Wesentlichen darauf, als Familie zusammen leben zu können, was praxisgemäss noch kein wichtiger Grund gemäss Art. 47 Abs. 4 AIG ist und für sich genommen das in dieser Bestimmung zum Ausdruck kommende öffentliche Interesse an der Steuerung der Einwanderung nicht zu überwiegen vermag (vgl. <ref-ruling> E. 7.1.1).
4.5. Bei einer konventions- und verfassungskonformen Auslegung von Art. 47 Abs. 4 AIG ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz keinen wichtigen familiären Grund angenommen hat. Ist die Auslegung und Anwendung von Art. 47 Abs. 4 AIG auf die Beschwerdeführer konventionskonform, kann dem Vorbringen der Beschwerdeführer, wonach sie einen Aufenthaltsanspruch aus Art. 8 EMRK haben sollen, von vornherein kein Erfolg beschieden sein. Den volljährigen Beschwerdeführern 2 und 3 könnte das in Art. 8 EMRK verankerte Recht auf Familienleben ohnehin von vornherein keinen Anspruch auf Familiennachzug mehr vermitteln (vgl. <ref-ruling> E. 6.7; Urteil 2C_865/2021 vom 2. Februar 2022 E. 3.6).
4.6. Die Beschwerdeführer machen ferner eine Verletzung von Art. 3 KRK geltend. Es wurde jedoch bereits aufgezeigt, dass die Würdigung der Vorinstanz, dem Kindeswohl sei besser gedient, wenn die Kinder in ihrem Heimatstaat verblieben, nicht zu beanstanden ist (vgl. oben E. 4.4). Eine Verletzung dieser Norm des Völkerrechts ist demnach nicht ersichtlich. Die Kinder sind selbst Verfahrensparteien und hatten ausreichend Gelegenheit, sich über ihren Vater, dessen Interessen mit den ihrigen übereinstimmen, sowie über den gemeinsamen Rechtsvertreter zum Verfahren zu äussern; unter diesen Umständen verlangt Art. 12 KRK entgegen den Ausführungen der Beschwerdeführer keine zusätzliche Anhörung der Kinder (vgl. <ref-ruling> E. 6.5 mit Hinweisen; Urteil 2C_865/2021 vom 2. Februar 2022 E. 2.4).
5.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unbegründet und abzuweisen; auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist nicht einzutreten. Das Rechtsmittel der Beschwerdeführer muss als aussichtslos bezeichnet werden, sodass sie keinen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung haben (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Das betreffende Gesuch ist demgemäss abzuweisen. Normalerweise hätten die unterliegenden Beschwerdeführer die Kosten solidarisch zu gleichen Teilen zu tragen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Da die Beschwerdeführer 2-6 teilweise noch minderjährig sind und allesamt im Ausland wohnen, drängt es sich hier jedoch auf, die Kosten ausschliesslich ihrem Vater, dem Beschwerdeführer 1, aufzuerlegen. Es ist keine Parteientschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer 1 auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. April 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Der Gerichtsschreiber: Seiler