Sachverhalt:
A.
Der 1965 geborene A._ arbeitete ab Februar 2008 als Test Engineer und Test Manager im Bereich Software Factory bei der X._ AG und war dadurch bei der Pensionskasse C._ berufsvorsorgeversichert. Dieses Arbeitsverhältnis kündigte der Versicherte am 22. März 2012 auf Ende Juni 2012. Ab Oktober 2012 nahm er eine neue Tätigkeit bei der Y._ AG auf, wodurch er bei der Bâloise-Sammelstiftung berufsvorsorgeversichert war. Diese Anstellung kündigte A._ auf Ende März 2013. In der Folge ging er keiner Erwerbstätigkeit mehr nach und wurde durch die Sozialhilfe der Stadt Z._ unterstützt.
Am 6. Oktober 2014 wurde A._ von der Stadt Z._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet. Mit Verfügung vom 22. August 2017 sprach ihm die IV-Stelle des Kantons Zürich eine ganze Rente ab dem 1. April 2015 zu (Ablauf Wartejahr 31. März 2014). Auf die dagegen erhobenen Beschwerden des Versicherten traten sowohl das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich (Beschluss vom 2. Oktober 2017) wie auch das Bundesgericht (Urteil 8C_833/2017 vom 5. Dezember 2017) nicht ein.
Mit Schreiben vom 29. März 2018 lehnte die Pensionskasse C._ den Anspruch des A._ auf Invalidenleistungen ab. Zur Begründung führte sie aus, sowohl der Krankheitsbeginn wie auch der Beginn der relevanten Arbeitsunfähigkeit lägen ausserhalb der Versicherungszeit bei ihr.
B.
A._ gelangte mit Klage vom 26. März 2018 an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und beantragte, es sei die Pensionskasse C._ zu verpflichten, ihm die obligatorischen und reglementarischen Leistungen ab 1. April 2015 zuzüglich Zins von 5 % ab Klageanhebung auszurichten. Mit Urteil vom 29. Mai 2020 wies das Sozialversicherungsgericht die Klage ab.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, es sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die Pensionskasse C._ zur Ausrichtung der obligatorischen und reglementarischen Leistungen ab 1. April 2015 zuzüglich Zins von 5 % ab 26. März 2018 (Klageanhebung) zu verpflichten. In verfahrensrechtlicher Hinsicht ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege unter Rechtsverbeiständung.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>) und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
1.2. Entscheidungserhebliche Feststellungen der Vorinstanz zur Art des Gesundheitsschadens und zur Arbeitsfähigkeit, die Ergebnis einer Beweiswürdigung sind, binden das Bundesgericht, soweit sie nicht offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law> sowie Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 3.2). Dies gilt auch für den Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat (SVR 2008 BVG Nr. 31 S. 126, 9C_182/2007 E. 4.1.1). Frei überprüfbare Rechtsfrage ist dagegen, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung über den Zeitpunkt des Eintritts einer rechtserheblichen Arbeitsunfähigkeit erfolgt (Urteil 9C_772/2014 vom 28. April 2015 E. 4.3).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht den Anspruch des Beschwerdeführers gegenüber der Beschwerdegegnerin auf Invalidenleistungen zu Recht verneint hat.
3.
3.1. Invalidenleistungen der obligatorischen beruflichen Vorsorge werden von derjenigen Vorsorgeeinrichtung geschuldet, bei welcher die ansprechende Person bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert war (Art. 23 lit. a BVG; <ref-ruling> E. 2.6). Der Anspruch auf Invalidenleistungen setzt einen engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhang zwischen der während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses bestandenen Arbeitsunfähigkeit und der allenfalls erst später eingetretenen Invalidität voraus (<ref-ruling> E. 3.2; zum Ganzen vgl. etwa Urteil 9C_515/2019 vom 22. Oktober 2019 E. 2.1.1).
3.2. Das kantonale Gericht erkannte, die Verfügung der IV-Stelle vom 22. August 2017 entfalte für die Beschwerdegegnerin keine Bindungswirkung, weshalb die entscheidende Frage nach dem Zeitpunkt des Eintritts der relevanten Arbeitsunfähigkeit selbständig zu prüfen sei. Die Vorinstanz stellte diesbezüglich fest, es stehe gestützt auf die Akten ausser Frage, dass beim Beschwerdeführer seit vielen Jahren erhebliche Gesundheitsbeeinträchtigungen bestünden. Entscheidend sei aber nicht, seit wann eine solche Beeinträchtigung bestehe oder wann sich diese manifestiert habe, sondern einzig, wann die relevante Arbeitsunfähigkeit eingetreten sei und ob eine zeitliche und sachliche Konnexität gegeben sei. Diesbezüglich sei festzuhalten, dass es an echtzeitlichen Arztberichten fehle, aus welchen eine relevante Arbeitsunfähigkeit während der Tätigkeit bei der X._ AG hervorginge. Auch aus den übrigen Akten - namentlich aus den retrospektiv verfassten medizinischen Berichten sowie aus den Dokumenten betreffend diverse vom Beschwerdeführer initiierte Justizverfahren - vermöge dieser nichts zu seinen Gunsten abzuleiten. Als mitentscheidend erweise sich, dass die X._ AG offensichtlich keine krankheitsbedingte Leistungseinbusse habe feststellen können. Im Gegenteil habe sie dem Beschwerdeführer gute bis sehr gute Zeugnisse ausgestellt und seine Arbeitsleistungen mit Lohnerhöhungen und Bonuszahlungen gewürdigt. Hinzu komme, dass die Folgetätigkeit bei der Y._ AG, wo der Beschwerdeführer während sechs Monaten (Oktober 2012 bis März 2013) bei unauffälligen Arbeitsleistungen gearbeitet habe, einen allfälligen zeitlichen Konnex ohnehin unterbrochen hätte.
4.
4.1. Zwar bedarf es zum rechtsgenüglichen Nachweis einer berufsvorsorgerechtlich relevanten Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen nicht zwingend einer echtzeitlich attestierten Arbeitsunfähigkeit, jedoch muss sich bei deren Fehlen die gesundheitliche Beeinträchtigung sinnfällig auf das Arbeitsverhältnis auswirken oder ausgewirkt haben. Die Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen muss mit anderen Worten arbeitsrechtlich in Erscheinung getreten sein, zum Beispiel etwa durch einen Abfall der Leistungen mit entsprechender Feststellung oder gar Ermahnung des Arbeitgebers oder durch gehäufte aus dem Rahmen fallende gesundheitlich bedingte Arbeitsausfälle (Urteile 9C_333/2018 vom 25. Januar 2019 E. 6.2.1 und 9C_856/2017 vom 7. September 2018 E. 4.3 mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer bestreitet die vorinstanzliche Feststellung nicht, er könne sich zur Untermauerung seines Standpunkts auf keinerlei echtzeitliche (oder retrospektive) Arztberichte stützen. Er stellt auch nicht in Abrede, dass er bei der X._ AG ohne krankheitsbedingte Leistungseinbusse gute Arbeitsleistungen erbracht habe und dafür vom Arbeitgeber mit entsprechenden Zeugnissen und monetär gewürdigt worden sei. Im Gegenteil räumt er solche guten Leistungen ausdrücklich ein. Damit ist der vorinstanzliche Schluss nicht zu beanstanden, es fehle für die Dauer der Arbeitstätigkeit bei der X._ AG nicht nur an echtzeitlich ärztlich attestierten Arbeitsunfähigkeiten, sondern auch an einer arbeitsrechtlich in Erscheinung getretenen Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen. Daran ändert die blosse Behauptung des Beschwerdeführers nichts, seine Leistungsfähigkeit und Angepasstheit seien Ausdruck der Erkrankung gewesen.
4.2. Der Beschwerdeführer verweist auf die Rechtsprechung, wonach arbeitsunfähig nicht nur sei, wer gesundheitsbedingt die bisherige Tätigkeit nicht mehr oder nur noch beschränkt ausüben könne, sondern auch eine Person, welcher die weitere Verrichtung ihrer Berufsarbeit nur unter der Gefahr, ihren Gesundheitszustand zu verschlimmern, möglich sei (vgl. dazu SVR 2008 BVG Nr. 34 S. 143; 9C_127/2008 E. 3.3 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 3.1). In derlei Fällen beginne die massgebliche Arbeitsunfähigkeit mit der Beendigung des Arbeitsverhältnisses, ohne dass vorher eine Leistungsminderung eingetreten sein müsse. Für seinen Fall bedeute dies, dass er spätestens mit dem Ende des Arbeitsverhältnisses mit der X._ AG zu 100 % arbeitsunfähig gewesen sei. Ein Verharren an diesem Arbeitsplatz sei ihm nicht zumutbar gewesen.
Mit diesen Einwänden lässt der Beschwerdeführer ausser Acht, dass die Annahme einer relevanten Arbeitsunfähigkeit auch in dieser Konstellation Anzeichen bedarf, welche auf eine - zwar nicht während, aber doch im Zeitpunkt der Beendigung des Vorsorgeverhältnisses - eingetretene relevante Arbeitsunfähigkeit schliessen lassen. So wurde die Versicherte beim Sachverhalt, wie er SVR 2008 BVG Nr. 34 zugrunde gelegen hatte und auf welchen sich der Beschwerdeführer beruft, unmittelbar nach Beendigung des Vorsorgeverhältnisses invalid. Für den Eintritt der relevanten Arbeitsunfähigkeit kam damals notgedrungen allein der Zeitpunkt vor Beendigung des Arbeitsverhältnisses in Frage. Im vorliegenden Fall verhält es sich indessen anders: Der Beschwerdeführer kündigte das Arbeitsverhältnis mit der X._ AG am 22. März 2012 auf Ende Juni 2012. Gemäss den verbindlichen (vgl. E. 1.2 hievor) vorinstanzlichen Feststellungen fehlen Hinweise auf eine relevante Arbeitsunfähigkeit sowohl in Bezug auf die Dauer dieses Arbeitsverhältnisses als auch für den Zeitraum danach einschliesslich der Dauer des Arbeitsverhältnisses mit der Y._ AG. Bei diesem Schluss berücksichtigte die Vorinstanz nicht nur die medizinische Aktenlage, sondern explizit auch die vom Beschwerdeführer angestrengten Justizverfahren. Sie räumte ein, aus diesen möge das Vorliegen einer psychischen Beeinträchtigung hervorgehen, nicht aber eine relevante Arbeitsunfähigkeit. Inwiefern darin eine unhaltbare Beweiswürdigung zu erblicken sein sollte, ist weder ersichtlich noch in der Beschwerde substanziiert dargetan. Unverfänglich ist namentlich die Behauptung des Beschwerdeführers, aus dem Schreiben an die Staatsanwaltschaft vom 24. September 2012 beziehungsweise aus den Strafanzeigen vom 14. Dezember 2013 würde sich zweifellos eine psychische Erkrankung ergeben. So hat die Vorinstanz eine solche (auch retrospektiv) nie in Abrede gestellt. Mehr noch führte sie aus, gestützt auf den Untersuchungsbericht des med. pract. D._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, vom 19. Oktober 2014 sowie den gutachterlichen Bericht des PD Dr. med. E._, FMH Neurologie, vom 10. Januar 2017 sei davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer bereits seit sehr vielen Jahren an einer Gesundheitsbeeinträchtigung leide, wahrscheinlich schon seit 1990. Darauf, dass aus dem Vorliegen einer solchen nicht ohne Weiteres auf eine relevante Arbeitsunfähigkeit geschlossen werden kann, hat die Vorinstanz hingewiesen (vgl. im Übrigen <ref-ruling> E. 3.1 zur fehlenden Korrelation zwischen ärztlich gestellter Diagnose und Arbeitsunfähigkeit). Weiterungen dazu erübrigen sich.
4.3. Aus den eben dargelegten Gründen verfängt auch die Behauptung des Beschwerdeführers nicht, aus dem Kündigungsschreiben vom 22. März 2012 gehe das Vollbild einer psychischen Störung/Schizophrenie hervor. Nicht stichhaltig ist auch sein Einwand, die Vorinstanz habe dieses Schreiben gar nicht in ihre Beweiswürdigung miteinbezogen. So kam das kantonale Gericht zum Schluss, auch die weiteren (nichtmedizinischen) Unterlagen liessen den Schluss auf eine relevante Arbeitsunfähigkeit nicht zu. Inwiefern das Fehlen einer ausdrücklichen Bezugnahme auf das Kündigungsschreiben vom 22. März 2012 willkürlich sein soll, ist mit Blick auf das Dargelegte nicht ersichtlich.
4.4. Mangels Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin erübrigen sich Weiterungen zur vorinstanzlichen Eventualbegründung betreffend Unterbruch des zeitlichen Konnexes infolge der sechsmonatigen Tätigkeit des Beschwerdeführers bei der Y._ AG.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer grundsätzlich die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Seinem Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege kann jedoch entsprochen werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4a). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> hingewiesen, wonach die begünstigte Partei der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Sebastian Lorentz als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indessen vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Bâloise-Sammelstiftung für die obligatorische berufliche Vorsorge, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. Juni 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Der Gerichtsschreiber: Williner