Sachverhalt:
A.
Mit Schreiben vom 3. September 2018 forderte die Motorfahrzeugkontrolle des Kantons Solothurn den damals gut 72-jährigen A._ auf, sich einer ärztlichen Fahreignungsuntersuchung zu unterziehen, wozu sich dieser kritisch äusserte. Gestützt auf das Untersuchungsresultat, wonach er wegen eines insulinpflichten Diabetes mellitus Typ 2 die medizinischen Mindestanforderungen für den Führerausweis gemäss Anhang I der Verkehrszulassungsordnung vom 27. Oktober 1976 (VZV; SR 741.51) nur mit Auflage erfülle, informierte die Motorfahrzeugkontrolle ihn am 6. November 2018 über ihre Absicht, verschiedene Auflagen zu verfügen, und gab ihm Gelegenheit zur Stellungnahme. In der Folge kam es zu einem Schriftenwechsel, in dessen Verlauf die Motorfahrzeugkontrolle weitere Abklärungen vornahm und A._ sich drei Mal äusserte.
Mit Verfügung vom 18. April 2019 verband die Motorfahrzeugkontrolle, handelnd für das Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn, den Führerausweis von A._ mit verschiedenen Auflagen (Dispositiv-Ziff. 1.1-1.7). Sie legte fest, dieser habe im Auto immer rasch verfügbare Kohlenhydrate (z.B. Traubenzucker) mitzuführen, ebenso das Blutzuckermessgerät und den Diabetikerausweis. Die Essenszeiten seien stets einzuhalten und bei Alkoholkonsum sei auf das Führen von Motorfahrzeugen zu verzichten. Vor jeder Fahrt sei der Blutzucker zu messen. Bei tiefen Blutzuckerwerten müsse erst der Anstieg des Blutzuckers abgewartet werden, bevor die Fahrt angetreten werden könne. A._ habe zudem jährlich einen ärztlichen Verlaufsbericht einzureichen, der Aufschluss über den Diabetes gebe und ihm Fahreignung attestiere, wozu er von der Motorfahrzeugkontrolle jeweils ein Aufgebot erhalten werde.
B.
Gegen die Verfügung der Motorfahrzeugkontrolle gelangte A._ an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Mit Urteil vom 28. Juni 2019 wies das Gericht das Rechtsmittel ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 26. Juli 2019 an das Bundesgericht beantragt A._ namentlich, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben. Mit Eingabe vom 21. Au gust 2019 ersucht er für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege.
Die Motorfahrzeugkontrolle beantragt Abweisung der Beschwerde, ebenso das Bundesamt für Strassen ASTRA. Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. A._ hat am 28. Oktober 2019 eine weitere Stellungnahme eingereicht.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzliches Urteil, das die Anordnung verschiedener, mit einem Führerausweis auf Dauer verbundener Auflagen bestätigt. Gegen diesen Endentscheid im Sinne von <ref-law> steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG). Der Beschwerdeführer nahm am vorinstanzlichen Verfahren teil, ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung. Soweit er mit seinen verschiedenen, teilweise nur schwer verständlichen Anträgen solches oder gegebenenfalls die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung verlangt, ist er deshalb nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht und von kantonalen verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 95 lit. a und c BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, welche die beschwerdeführende Person vorbringt und begründet (vgl. <ref-law>). Die Begründung muss sich mit dem angefochtenen Entscheid auseinandersetzen und erkennen lassen, dass und weshalb die Vorinstanz Recht verletzt haben soll; rein appellatorische Kritik ist unzulässig (<ref-ruling> E. 1.7.1 S. 106; <ref-ruling> E. 2 S. 89; <ref-ruling> E. 1.2 S. 308 f.). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten, soweit die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht gerügt wird (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.7.2 S. 106 mit Hinweisen). Soweit die Beschwerdeschrift den Begründungsanforderungen nicht genügt, ist auf die Eingabe nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.7.2 S. 106; <ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 1.1 S. 138).
1.2.1. Der Beschwerdeführer wiederholt in seiner Beschwerde zwar seine bereits vor der Vorinstanz geäusserte Kritik an der strittigen Anordnung. Insbesondere rügt er - teilweise sinngemäss -, diese entbehre einer gesetzlichen Grundlage, sei unverhältnismässig und verstosse gegen den Grundsatz "keine Strafe ohne Gesetz" und die Unschuldsvermutung, ausserdem gegen die strafprozessuale Beweislastregel, die vorsehe, dass die Schuld, nicht die Unschuld zu beweisen sei. Mit der Begründung im angefochtenen Entscheid, wonach die strittige Anordnung gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 6.1 f. S. 251 f. mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 4 S. 31), die namentlich keine ausdrückliche gesetzliche Grundlage verlange, rechtens sei und weder die Bundesverfassung noch den erwähnten Grundsatz und die genannte Beweislastregel verletze, setzt er sich jedoch in keiner Weise auseinander. Insoweit mangelt es deshalb an einer rechtsgenüglichen Beschwerdebegründung.
Dasselbe gilt, soweit der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde <ref-law> im Wortlaut wiedergibt und offenbareine Verletzung des Willkürverbots rügt. Da er sich mit der Begründung des angefochtenen Entscheids nicht auseinandersetzt, erläutert er auch nicht, inwiefern die Vorinstanz dadurch, dass sie die strittige Anordnung geschützt hat, in Willkür verfallen wäre. Eine Begründung, die den insoweit zu beachtenden qualifizierten Begründungsanforderungen (<ref-law>; vorne E. 1.2) genügen würde, liegt daher nicht vor.
1.2.2. Soweit der Beschwerdeführer in seiner Beschwerdebegründung auch Art. 29 und Art. 30 BV im Wortlaut zitiert und offenbar eine Verletzung des Anspruchs auf eine gleiche und gerechte Behandlung im Verfahren nach Abs. 1 und allenfalls auf rechtliches Gehör nach Abs. 2 der ersten Bestimmung sowie des Anspruchs auf ein unabhängiges und unparteiisches Gericht gemäss Abs. 1 der zweiten Bestimmung geltend macht, erläutert er nicht näher, inwiefern diese Ansprüche verletzt sein sollen. Etwas ausführlicher begründet er dagegen seine weitere Rüge, wonach im Verfahren vor der Vorinstanz die Gewaltenteilung nicht gewahrt gewesen sein soll. Die erstgenannten Rügen scheinen zumindest teilweise mit dieser Rüge zusammenzuhängen.
Ob die genannten, verfahrensbezogenen Rügen zumindest teilweise rechtsgenüglich begründet sind, kann offen bleiben. Wenn dem so wäre und im entsprechenden Umfang auf die Beschwerde eingetreten werden könnte, müsste diese abgewiesen werden, sind die Rügen doch offensichtlich unbegründet. Entgegen dem, was der Beschwerdeführer nahe legt, ist die Gewaltenteilung im Kanton Solothurn gewährleistet und ist die Vorinstanz wie die übrigen Gerichte im Kanton in ihrer Rechtsprechung unabhängig (vgl. Art. 58 Abs. 1 und Art. 88 Abs. 1 der Verfassung des Kantons Solothurn vom 8. Juni 1986 [KV/SO; BGS 111.1]). Dass die Motorfahrzeugkontrolle bzw. das Bau- und Justizdepartement in unzulässiger Weise auf den angefochtenen Entscheid Einfluss genommen hätte oder die Mitglieder der Vorinstanz parteiisch, voreingenommen oder befangen gewesen wären (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 328), ist zudem in keiner Weise dargetan oder ersichtlich, ebenso wenig, dass die Vorinstanz die Unterlagen des Beschwerdeführers nicht berücksichtigt und geprüft hätte, wie dieser weiter vorbringt, oder einfach den Standpunkt der Motorfahrzeugkontrolle übernommen hätte, wie er andeutet.
1.3. Nach dem Gesagten kann auf die ansonsten im Grundsatz zulässige Beschwerde insbesondere in Bezug auf die erwähnte Kritik an der strittigen Anordnung der Auflagen mangels rechtsgenüglicher Begründung nicht eingetreten werden. Soweit allenfalls auf die Beschwerde eingetreten werden könnte, müsste diese abgewiesen werden. Abschliessend sei dennoch darauf hingewiesen, dass mit der strittigen Anordnung kein Schuldvorwurf erhoben wird, auch wenn der Beschwerdeführer dies anders empfinden mag.
2.
Demnach ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Zwar stellt er für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Dieses ist jedoch abzuweisen, da sein Begehren nach dem Gesagten aussichtslos war (<ref-law>). Seiner finanziellen Lage ist bei der Festsetzung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind keine zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Strassen, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juli 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Baur