Sachverhalt:
A.
Seit dem Jahr 2008 gehörten sämtliche Gemeinden des Kantons Luzern in die vom Feuerbrand betroffene Befallszone, die vom Bundesamt für Landwirtschaft BLW ausgeschieden wurde. Auf dem Grundstück vom A._ (Parzelle Nr. xxx, Grundbuch U._) in der Gemeinde U._ (Kanton Luzern) stehen drei Hochstammobstbäume (Birnbäume), bei denen anlässlich einer amtlichen Feuerbrandkontrolle im Jahr 2017 ein Befall mit dem Erreger des Feuerbrands festgestellt wurde. Im Oktober 2017 vereinbarten A._ und der zuständige Kontrolleur als Vertreter des Kantons und der Gemeinde, dass die Bäume durch einen Rückschnitt und gegen Entschädigung zu sanieren seien. In der Folge wurde die Sanierung durchgeführt und die Entschädigung mit Verfügung vom 14. Dezember 2017 auf Fr. 180.-- festgelegt. Im Juni 2018 stellte sich im Rahmen einer weiteren Feuerbrandkontrolle heraus, dass die Sanierungsmassnahmen nur bei einem Baum erfolgreich waren.
B.
Mit Verfügung vom 11. Juni 2018 verpflichtete das Bau-, Umwelt- und Wirtschaftsdepartement des Kantons Luzern, Dienststelle Landwirtschaft und Wald (lawa; nachfolgend "Departement"), A._ unter Androhung der Ersatzvornahme, die zwei mit "X" markierten Bäume der Sorte Gelbmöster auf dem Grundstück Nr. xxx innert 14 Tagen zu roden und das befallene Baummaterial zu vernichten. Einer allfälligen Beschwerde entzog das Departement die aufschiebende Wirkung.
Mit Eingabe vom 25. Juni 2018 reichte A._ Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht ein. Mit Zwischenverfügung vom 26. Juni 2018 stellte das Bundesverwaltungsgericht die aufschiebende Wirkung superprovisorisch wieder her und untersagte dem Departement einstweilen die angedrohte Ersatzvornahme. Mit Zwischenverfügung vom 5. September 2018 hiess das Bundesverwaltungsgericht sodann das Gesuch von A._ um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde gut.
Mit Urteil vom 31. Januar 2019 hiess das Bundesverwaltungsgericht die von A._ gegen die Verfügung vom 11. Juni 2018 geführte Beschwerde teilweise gut. Die Verfügung vom 11. Juni 2018 wurde insoweit aufgehoben, als sie den zur Rodung mit "X" markierten, zentral auf der Parzelle Nr. xxx gelegenen Baum der Sorte Gelbmöster betraf (nachfolgend "Baum 1"). Mit Bezug auf den Baum 1wurde die Angelegenheit zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen des Bundesverwaltungsgerichts an das Departement zurückgewiesen. Im Weiteren wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde ab und bestätigte die Verfügung vom 11. Juni 2018 hinsichtlich der Rodung des mit "X" markierten, in der nordwestlichen Ecke der Parzelle Nr. xxx stehenden Baums der Sorte Gelbmöster (nachfolgend "Baum 2").
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 22. Februar 2019 gelangt A._ an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts vom 31. Januar 2019, soweit die Beschwerde abgewiesen wurde. Im Weiteren stellt er den Antrag, nicht nur beim mit "X" markierten, zentral auf der Parzelle Nr. xxx gelegenen Baum (1), sondern bei beiden mit "X" markierten Bäumen (1 und 2) sei von der Rodung und Entsorgung abzusehen. Stattdessen sei anzuordnen, dass A._ die bereits vorgenommenen Sanierungsmassnahmen an beiden Bäumen weiterführe. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an das Bundesverwaltungsgericht oder das Departement zurückzuweisen.
Während die Vorinstanz und das Bundesamt für Landwirtschaft BLW auf eine Vernehmlassung verzichten, äussert sich das Departement mit Schreiben vom 12. März 2019 zum Gesuch um aufschiebende Wirkung und beantragt dessen Abweisung. Der Beschwerdeführer repliziert mit seiner Stellungnahme vom 22. März 2019.
Mit Verfügung vom 28. März 2019 hat der Abteilungspräsident die bereits am 27. Februar 2019 superprovisorisch angeordnete aufschiebende Wirkung unter der Auflage erteilt, dass der Beschwerdeführer den von der Rodungsanordnung betroffenen Baum 2 bis spätestens am 8. April 2019 zurückschneidet.
Mit Schreiben vom 28. März 2019 reicht das Departement eine Stellungnahme in der Sache ein und verlangt die Abweisung der Beschwerde. Das Departement ergänzt seine Stellungnahme mit Schreiben vom 9. April 2019. Der Beschwerdeführer repliziert mit einer Eingabe vom 1. April 2019 sowie mit Schreiben vom 6. Mai 2019.

Erwägungen:
1.
1.1. Die frist- (<ref-law>) und formgerecht (<ref-law>) eingereichte Eingabe betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>) und richtet sich gegen ein verfahrensabschliessendes (<ref-law>) Urteil des Bundesverwaltungsgerichts (<ref-law>). Das Rechtsmittel ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig, da kein Ausschlussgrund vorliegt (<ref-law>). Der Beschwerdeführer ist als Eigentümer des streitbetroffenen Baums 2 bereits im bundesverwaltungsgerichtlichen Verfahren als Partei beteiligt gewesen und dort mit seinen Anträgen nicht durchgedrungen. Ausserdem ist er durch das angefochtene Urteil in seinen schutzwürdigen Interessen besonders berührt. Er ist somit zur Erhebung des Rechtsmittels legitimiert (<ref-law>). Insoweit das Bundesverwaltungsgericht im Urteil vom 31. Januar 2019 im Sinne eines Rückweisungsentscheids über den Baum 1 befunden hat, bringt der Beschwerdeführer zu Recht keine Rügen vor Bundesgericht vor (zur Beschwerde gegen Rückweisungsentscheide vgl. Art. 92 f. BGG; <ref-ruling> E. 1.4 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 23; Urteile 5A_379/2018 vom 11. März 2019 E. 1.2; 1C_636/2017 vom 22. Mai 2018 E. 2.4). Die Ausführungen zum Baum 1 im Rahmen der Vernehmlassung sind damit unbeachtlich, da sie sich nicht auf den hier streitbetroffenen Baum 2 beziehen. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist einzutreten.
1.2. Das Bundesgericht prüft das Bundesrecht von Amtes wegen (vgl. <ref-law>) und mit freier Kognition (vgl. <ref-law>), wobei es - unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (vgl. <ref-law>) - grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen beurteilt, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.5 S. 144; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Seinem Urteil legt es den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (vgl. <ref-law>).
1.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen im bundesgerichtlichen Verfahren nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (vgl. <ref-law>). Echte Noven sind in jedem Fall unzulässig. Folglich bleiben Tatsachen und Beweismittel unberücksichtigt, die erst nach dem angefochtenen Entscheid entstanden sind und somit nicht durch diesen veranlasst worden sein können (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 22 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.).
Im Rahmen der Vernehmlassung reicht der Beschwerdeführer mit Stellungnahme vom 1. April 2019 als Beilage eine Einladung des Bundesamts für Landwirtschaft BLW für die Arbeitsgruppe Feuerbrand vom 29. März 2019 ein. Darauf verweist er auch in seiner Stellungnahme vom 6. Mai 2019. Darin wird die gesetzliche Regelung des Feuerbrands unter dem Pflanzengesundheitsrecht thematisiert, das am 1. Januar 2020 in Kraft treten soll. Bei dieser Einladung des Bundesamts handelt es sich um ein neues Beweismittel, das nach dem vorinstanzlichen Urteil vom 31. Januar 2019 entstanden ist. Zudem reicht der Beschwerdeführer mit Stellungnahme vom 6. Mai 2019 ein Schreiben vom 15. April 2019 ein. Auch dieses entstand nach dem vorinstanzlichen Urteil vom 31. Januar 2019. Aus novenrechtlicher Sicht sind beide Beweismittel im bundesgerichtlichen Verfahren daher unbeachtlich.
2.
2.1. Gestützt auf Art. 149 Abs. 2 des Bundesgesetzes über die Landwirtschaft vom 29. April 1998 (Landwirtschaftsgesetz, LwG; SR 910.1) erlässt der Bundesrat Vorschriften zum Schutz von Kulturpflanzen und Pflanzenmaterial vor besonders gefährlichen Schadorganismen. Um die Ausbreitung von besonders gefährlichen Schadorganismen zu verhindern, kann er insbesondere die Behandlung, Desinfizierung oder Vernichtung von Kulturen, Pflanzenmaterial, Produktionsmitteln und Gegenständen anordnen, die von besonders gefährlichen Schadorganismen befallen sind oder befallen sein könnten (vgl. <ref-law>). Die Verordnung über Pflanzenschutz vom 27. Oktober 2010 (Pflanzenschutzverordnung, PSV; SR 916.20) regelt unter anderem den Umgang mit sowie die Überwachung und Bekämpfung von besonders gefährlichen Schadorganismen (vgl. Art. 1 lit. a und lit. c PSV) und führt die besonders gefährlichen Schadorganismen in den Anhängen 1 und 2 der Verordnung auf (vgl. Art. 3 Abs. 1 PSV). Feuerbrand wird als eine besonders gefährliche Pflanzenkrankheit, die durch das Bakterium Erwinia amylovora verursacht wird, im Anhang 2 der Pflanzenschutzverordnung aufgeführt (vgl. Anhang 2 Teil A Abschnitt II lit. b Ziff. 3 PSV).
2.2. Werden solche im Anhang 2 Teil A der Pflanzenschutzverordnung aufgeführten Schadorganismen festgestellt, muss der zuständige kantonale Dienst die vom zuständigen Bundesamt angewiesenen Massnahmen ergreifen, die zur Tilgung von Einzelherden geeignet sind (vgl. Art. 42 Abs. 1 PSV). Ist eine Tilgung nicht möglich, hat der zuständige kantonale Dienst Vorkehrungen zur Verhinderung einer weiteren Ausbreitung zu treffen (vgl. Art. 42 Abs. 2 PSV). Der Kanton Luzern fördert im Rahmen dieser bundesrechtlichen Vorschriften den Schutz der Kulturpflanzen gegen gemeingefährliche Krankheiten und Schädlinge (vgl. § 76 des kantonalen Landwirtschaftsgesetzes vom 12. September 1995 [KLwG; SRL 902]). Hierzu kann die zuständige Dienststelle zur Verhinderung der Verbreitung meldepflichtiger gemeingefährlicher Krankheiten und Schädlinge für den ganzen Kanton oder für begrenzte Gebiete die erforderlichen Abwehrmassnahmen anordnen. Ist keine andere geeignete und wirtschaftlich tragbare Bekämpfung möglich, kann es die Vernichtung der Befallsherde verfügen (vgl. § 79 KLwG). Bei der zuständigen Dienststelle handelt es sich um die Dienststelle Landwirtschaft und Wald des Bau-, Umwelt- und Wirtschaftsdepartements des Kantons Luzern (vgl. § 1 der kantonalen Landwirtschaftsverordnung vom 3. November 1998 [KLwV; SRL 903]).
2.3. Das zuständige Bundesamt kann nach Anhörung der zuständigen Dienste der betroffenen Kantone für einen in den Anhängen 1 und 2 der Pflanzenschutzverordnung aufgeführten, besonders gefährlichen Schadorganismus Befallszonen ausscheiden (vgl. Art. 45 Abs. 1 PSV). Eine Befallszone ist laut der Richtlinie Nr. 3 vom 30. Juni 2006 des Bundesamts für Landwirtschaft BLW (nachfolgend "Richtlinie Nr. 3 BLW") eine Gemeinde, die von einem starken und/oder wiederholten Feuerbrandbefall betroffen ist (vgl. Ziff. 3 Richtlinie Nr. 3 BLW). Im Gegensatz zu den Gemeinden mit Einzelherden, in denen aufgrund des geringen Ausmasses des Feuerbrandbefalls die Ausrottung des Erregers angestrebt wird (Tilgungsstrategie; vgl. Ziff. 4.2 Abs. 1 lit. a Richtlinie Nr. 3 BLW), erfolgt in einer Befallszone die Bekämpfung des Feuerbrands durch die Reduktion des Infektionspotenzials und Verhinderung der weiteren Ausbreitung ( Eindämmungsstrategie; vgl. Ziff. 4.2 Abs. 1 lit. b Richtlinie Nr. 3 BLW).
2.4. Die Kantone können in einer solchen Befallszone Schutzobjekte ausscheiden (vgl. Art. 46 Abs. 1 PSV). Bei einem Schutzobjekt handelt es sich um wertvolle Wirtspflanzenbestände in der Form der Hochstammobstgärten, Erwerbsobstanlagen und Baumschulen. Im Umkreis von 500 m um das Schutzobjekt besteht ein sogenannter Schutzgürtel (vgl. Ziff. 4.2 Abs. 1 lit. b i.V.m. Ziff. 3 Richtlinie Nr. 3 BLW). Als Grund für die Begrenzung des Schutzgürtels auf 500 m gilt die Übertragung des bakteriellen Erregers durch den Flug der Bienen, der in den meisten Fällen auf diese Distanz beschränkt ist. Dabei handelt es sich nicht um die maximale Reichweite des Bienenflugs, sondern um eine praktikable und vernünftige Annäherung an die Wahrscheinlichkeit der dadurch verursachten Übertragung des Erregers (vgl. Herrmann/Wiedmer, Phytosanitäre Massnahmen gegen Feuerbrand, Evaluation 2000-2014, 2016, S. 81, <https://www.blw.admin.ch> Nachhaltige Produktion > Pflanzenschutz > Eidg. Pflanzenschutzdienst (EPSD) - Pflanzengesundheit > Schutz vor besonders gefährlichen Schadorganismen > Erwinia amylovora [besucht am 23. April 2019]). Für Schutzobjekte werden die Gebietsüberwachung sichergestellt und geeignete Bekämpfungsmassnahmen durchgeführt (vgl. Art. 46 Abs. 2 PSV). Hierzu werden visuelle Kontrollen intensiver und Sanierungsmassnahmen rigoroser als in den übrigen Teilen einer Befallszone durchgeführt (vgl. Ziff. 3 Richtlinie Nr. 3 BLW).
3.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs. Die Begründung für die 500 m umfassende Begrenzung des Schutzgürtels, dass Bienen diese Distanz in den meisten Fällen nicht überfliegen würden, sei falsch, wissenschaftlich entkräftet und daher willkürlich festgelegt. Damit seien auch sämtliche Massnahmen im Zusammenhang mit dem Schutzgürtel willkürlich. Seine Auffassung legt der Beschwerdeführer unter Bezugnahme auf - nach seiner Ansicht - neuste wissenschaftliche Erkenntnisse dar. Unter anderem in diesem Zusammenhang wirft er der Vorinstanz vor, sich nicht ansatzweise mit den neuen wissenschaftlichen Erkenntnissen in der Feuerbrandbekämpfung auseinandergesetzt oder darüber Beweis erhoben zu haben. Das Bundesverwaltungsgericht stelle einseitig auf die Auffassung des Departements und des Bundesamts für Landwirtschaft BLW ab und widersetze sich, die vom Beschwerdeführer beantragten Expertisen einzuholen, welche aufzeigen würden, dass die vorinstanzlich übernommene Auffassung wissenschaftlich nicht haltbar sei.
3.1. Nach <ref-law> haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Dieses Recht ist formeller Natur. Seine Verletzung führt ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels zur Gutheissung der Beschwerde sowie zur Aufhebung des angefochtenen Urteils (vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 17 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 197). Deswegen ist die Rüge vorweg zu behandeln. Das rechtliche Gehör dient einerseits der Sachaufklärung, anderseits stellt es ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheides dar, welcher in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Dazu gehört insbesondere das Recht des Betroffenen, sich vor Fällung eines solchen Entscheids zur Sache zu äussern, erhebliche Beweise beizubringen und Einsicht in die Akten zu nehmen. Wie weit dieses Recht geht, lässt sich nicht generell, sondern nur unter Würdigung der konkreten Umstände beurteilen. Massgebend ist, ob es dem Betroffenen ermöglicht worden ist, seinen Standpunkt wirksam zur Geltung zu bringen (vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 17 f.; <ref-ruling> E. 3.2 S. 272; <ref-ruling> E. 5.1 S. 293). Der Anspruch auf rechtliches Gehör räumt den Betroffenen zwar einen Beweisführungsanspruch ein. Daraus resultiert aber kein genereller Anspruch auf eine Beweisabnahme, wenn eine Behörde aufgrund der bereits abgenommenen oder aktenkundigen Beweise ihre Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener (antizipierter) Beweiswürdigung annehmen kann, dass ihre Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 64; <ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f.).
3.2. Die Vorinstanz geht ausführlich auf die Vorbringen des Beschwerdeführers ein. Sie berücksichtigt seine Auffassung, wonach die Erfahrungen der vergangenen Jahre in der Schweiz gezeigt hätten, dass der Feuerbrand durch Rodungen und Rückschnitte nicht wirksam bekämpft werden könne, da es unmöglich sei, mit diesen Methoden die Bakterienherde auszumerzen. Sodann beachtet sie seine Ansicht, dass die Befallsherde oft unerkannt blieben, weshalb die Rodung befallener Bäume nichts nützen würde. Der bakterielle Erreger lasse sich nicht mehr ausrotten und durch Rodungen könne die Ausbreitung der Krankheit nicht verhindert werden. Des Weiteren seien befallene Hochstammobstbäume in der Lage sich zu regenerieren (vgl. E. 5.1 des Urteils vom 31. Januar 2019).
3.3. Der Beschwerdeführer verbindet seine dargelegte Ansicht mit einem Beweisantrag zur Expertise über die Ursachen, die Ausbreitung und die Bekämpfung des Feuerbrands. Vor Bundesgericht beanstandet der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang, dass die Vorinstanz nicht bereit gewesen sei, sich mit den neuen wissenschaftlichen Erkenntnissen in der Feuerbrandbekämpfung auch nur ansatzweise auseinanderzusetzen. Dieser Vorwurf geht fehl. Die Vorinstanz legt nicht nur die Auffassung des Beschwerdeführers dar, sondern erläutert die Gründe für die etablierte Praxis in ihrer den Feuerbrand betreffenden Rechtsprechung. Sodann führt sie aus, dass die vom Beschwerdeführer vorgebrachten Argumente keinen Anlass dafür gäben, von der bisherigen Praxis des Bundesverwaltungsgerichts und der Beurteilung der Fachbehörden abzuweichen. Sie zeigt in ausführlicher Weise auf, dass ebenso vom Beschwerdeführer abweichende Ansichten und Expertisen bestünden. Ferner weist sie darauf hin, dass die auf das Jahr 2020 geplante Änderung des Pflanzengesundheitsrechts noch höchst ungewiss sei und im geltenden Recht noch keine Umsetzung gefunden habe. Im Ergebnis rechtfertige es sich im heutigen Zeitpunkt daher nicht, die bisherige Bekämpfungsstrategie als obsolet einzustufen und die praktizierte Eindämmungsstrategie - im Sinne des Beschwerdeführers - für ungeeignet und unwirksam zu halten (vgl. E. 5.5.1 des Urteils vom 31. Januar 2019). Der Vorinstanz kann deswegen nicht vorgeworfen werden, sie habe sich nicht mit den neusten wissenschaftlichen Erkenntnissen auseinandergesetzt.
3.4. Aus dem Dargelegten ergibt sich, dass der Gehörsanspruch des Beschwerdeführers nicht verletzt wurde. Seine Auffassung wurde von der Vorinstanz in den entscheidwesentlichen Aspekten berücksichtigt und diskutiert. Es war ihm damit möglich, seinem Standpunkt Ausdruck zu verleihen und sich rechtsgenüglich zu äussern. Im Weiteren ist auch sein Beweisführungsanspruch nicht verletzt. Der Beschwerdeführer konnte Beweise in das vorinstanzliche Verfahren einbringen und Beweisanträge stellen. Der Beschwerdeführer stützt seine Ansicht im Wesentlichen auf die gestellten Beweisanträge. Indem die Vorinstanz die Argumente des Beschwerdeführers bewusst diskutierte, durfte sie davon ausgehen, dass sich aus den beantragten Expertisen keine neuen - nicht bereits vom Beschwerdeführer dargelegten - Auffassungen und Ansichten ergeben würden. Der Beschwerdeführer konnte seinen Standpunkt auch ohne die Abnahme dieser Expertisen zum Ausdruck bringen. Folglich verletzte die Vorinstanz seinen Anspruch auf die Abnahme - nach seiner Auffassung - relevanter und rechtsgenüglich angebotener Beweismittel nicht. Im Weiteren genügte die Vorinstanz auch dem Begründungsanspruch, da sie in ihrem Urteil eingehend ihr Festhalten an der bisherigen Praxis begründete und darlegte, weshalb die Vorbringen des Beschwerdeführers darauf keinen Einfluss hätten. Der Anspruch auf rechtliches Gehör ist demzufolge nicht verletzt.
4.
Der Beschwerdeführer rügt im Weiteren die Verletzung des Verhältnismässigkeitsgrundsatzes (vgl. <ref-law>). Er beanstandet, dass die Fällung des Baums nicht geeignet sei, um den Feuerbrand zu bekämpfen, da dies die Ausbreitung der bakteriellen Pflanzenkrankheit nicht verhindere, sich infizierte Bäume regelmässig vom Feuerbrand erholen würden und das benachbarte Schutzobjekt ebenso von der Krankheit befallen sei. Die Rodung sei sodann auch nicht erforderlich, da der Baum mittels Rückschnitt saniert werden könne. Letztlich sei die Baumfällung auch nicht zumutbar, da er private wirtschaftliche Interessen am Baum habe. Mit seinem Ertragspotenzial sei sein wirtschaftlicher Wert beträchtlich, da der Baum noch während Jahrzehnten Erträge abliefere und über 50 Jahre benötigt würden, um einen gleichwertigen Ersatz heranzuziehen. Aufgrund dessen Landschaftsprägung und Bedeutung für die biologische Vielfalt in der Region bestehe auch ein öffentliches Interesse am Verzicht auf die Rodung.
4.1. Die Vorinstanz erwägt mit Blick auf die Geeignetheit der verfügten Massnahme, dass die Fällung und fachgerechte Entsorgung bei hoch anfälligen Kernobstsorten die einzige Massnahme sei, die den Infektionsdruck für andere wertvolle Pflanzen bedeutend eindämmen könne. Für einen Rodungsentscheid sei daher nicht massgebend, ob die befallenen Bäume überleben könnten. Sodann werde die Eignung der Rodung auch durch die damit betrauten Fachbehörden wie das Bundesamt für Landwirtschaft BLW bestätigt (vgl. E. 5.5.1 des Urteils vom 31. Januar 2019).
4.1.1. Die vorinstanzliche Auffassung hinsichtlich der Geeignetheit der Rodung ist zutreffend. Zwar mag es richtig sein, dass die Rodung die Ausbreitung des Feuerbrands nicht gänzlich verhindern kann. Ohne Zweifel trägt eine Baumfällung jedoch zur Eindämmung der Verbreitung bei. Im Sinne der vom Bund verfolgten Eindämmungsstrategie in den Befallszonen ist eine Rodung befallener Bäume geeignet, den Infektionsdruck und das Infektionspotenzial der umliegenden Vegetation zu reduzieren. Dass die Verbreitung nicht gänzlich verhindert werden kann, hat auf die grundsätzliche Geeignetheit der Massnahme indes keinen Einfluss. Eine Baumfällung steht damit im Einklang mit Ziff. 4.2 Abs. 2 lit. b Richtlinie Nr. 3 BLW und stellt eine geeignete Bekämpfungsmassnahme im Sinne von Art. 46 Abs. 2 PSV dar.
4.1.2. Gleiches gilt für die Auffassung des Beschwerdeführers, die befallenen Bäume würden sich regelmässig vom Feuerbrand erholen. Die Fällung betrifft zwar jeweils den einzelnen befallenen Baum, wird aber mit Blick auf die gesunden oder nur schwach befallenen Pflanzen angeordnet. Selbst wenn sich der infizierte Baum vom Feuerbrand erholen würde, ist die Rodung geeignet, andere Pflanzen vor einem Feuerbrandbefall besser zu schützen, als wenn darauf vertraut würde, dass sich sämtliche betroffenen Pflanzen nach einer gewissen Zeit wieder von selbst regenerieren. Damit ist zugleich in Frage gestellt, ob es für die Beurteilung der Geeignetheit überhaupt darauf ankommt, dass das benachbarte Schutzobjekt nach Auffassung des Beschwerdeführers möglicherweise ebenfalls von der bakteriellen Krankheit befallen ist. Die Rodung als Massnahme zur Reduktion des Infektionsdrucks und zur Eindämmung der Verbreitung verliert ihre Wirksamkeit nicht allein dadurch, dass ein maximal 500 m entferntes Schutzobjekt ebenfalls vom Feuerbrand befallen ist. Wie der Beschwerdeführer selbst vorbringt, ist es auch denkbar, dass der Infektionsdruck weit über den Schutzgürtel von 500 m hinausreiche. Der behauptete gleichzeitige Feuerbrandbefall eines Schutzobjekts, in dessen Schutzgürtel der Baum 2 fällt, hat auf die Geeignetheit der Rodung als generelle Bekämpfungsmassnahme daher keinen Einfluss. Der Vollständigkeit halber sei in diesem Zusammenhang erwähnt, dass das Departement in der Vernehmlassung vom 12. März 2019 an das Bundesgericht den vom Beschwerdeführer behaupteten starken Befall des benachbarten Schutzobjekts bestreitet.
4.1.3. Die vom Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 31. Januar 2019 bestätigte Rodung des Baums 2 erweist sich folglich als geeignet, um den Feuerbrand im Rahmen der Eindämmungsstrategie zu bekämpfen.
4.2. Zur Erforderlichkeit der verfügten Baumfällung erwägt die Vorinstanz, dass ein Rückschnitt von hoch anfälligen Sorten in den meisten Fällen nicht erfolgreich sei und er nur an schwachwüchsigen Bäumen sowie bei geringem Feuerbrandbefall empfohlen werde. Das Departement habe dem Beschwerdeführer bereits die Möglichkeit eingeräumt, beim Baum 2 eine Sanierungsmassnahme in Form des Rückschnitts vorzunehmen. Dass die Wirkung des Rückschnitts nicht hinreichend gewesen sei, zeige, dass eine Rodung nun erforderlich sei. Eine wiederholte Sanierungsmassnahme erscheine daher nicht erneut als mildere, ebenso geeignete Massnahme zur Eindämmung des Feuerbrands (vgl. E. 5.5.2 bis E. 5.5.4 des Urteils vom 31. Januar 2019).
4.2.1. Im bundesgerichtlichen Verfahren bringt der Beschwerdeführer erneut vor, die Rodung des Baums sei nicht erforderlich, da der Baum durch das Entfernen der befallenen Äste saniert werden könne. Wie von der Vorinstanz bereits ausführlich und zutreffend erwogen, handelt es sich bei der Baumfällung im vorliegenden Fall um die mildeste Massnahme, da eine Sanierung bereits ohne Erfolg angeordnet wurde. Der Beschwerdeführer bringt keine überzeugenden Beanstandungen vor, in deren Lichte die vorinstanzlichen Ausführungen zur Erforderlichkeit der verfügten Massnahme mangelhaft erscheinen würden.
4.2.2. Aus der ergänzenden Stellungnahme des Departements vom 9. April 2019 geht sodann hervor, dass der mit der Erteilung der aufschiebenden Wirkung für das bundesgerichtliche Verfahren vom 28. März 2019 auferlegte Rückschnitt des Baums 2 wenig zielorientiert, nicht fachgerecht und jeweils zu wenig weit im Bauminnern erfolgte. Würde der Beschwerdeführer den Rückschnitt für die mildeste geeignete Massnahme zur Bekämpfung des Feuerbrands halten, hätte er diese Sanierungsmassnahme mit einer gewissen Ernsthaftigkeit verfolgt, um der Erforderlichkeit einer Rodung entgegen zu wirken. Durch den ungenügenden Rückschnitt sinken jedoch die Erfolgschancen für eine Regeneration, womit die Rodung noch notwendiger wird.
4.2.3. Die Rodung des Baums 2 stellt nach den erfolglosen Sanierungsmassnahmen das mildeste Mittel im Sinne der Erforderlichkeit dar, um den Feuerbrand im Rahmen der Eindämmungsstrategie zu bekämpfen.
4.3. Im Hinblick auf die Zumutbarkeit der umstrittenen Baumfällung berücksichtigt die Vorinstanz das erhebliche öffentliche Interesse an einer möglichst effizienten Bekämpfung des Feuerbrands und an der Erhaltung des betroffenen Schutzobjekts. Im Weiteren beschränke sich die Rodung vorliegend auf einen von insgesamt über 100 Hochstammobstbäume des Beschwerdeführers. Angesichts dessen relativiere sich die Beeinträchtigung der örtlichen Landschaftsqualität, der Biodiversität und der privaten wirtschaftlichen Interessen des Beschwerdeführers. In einer Gesamtbetrachtung stünden den privaten Interessen des Beschwerdeführers am Erhalt des Baums überwiegende öffentliche und private Interessen an einer Eindämmung des Feuerbrands entgegen. Im Übrigen sei anzumerken, dass für jeden gerodeten Baum eine Entschädigung vorgesehen sei (vgl. E. 5.5.5 des Urteils vom 31. Januar 2019).
4.3.1. Nach der Auffassung des Beschwerdeführers bagatellisiert die Vorinstanz sowohl die wirtschaftlichen als auch die ökologischen Folgen der Fällung des Baums 2. Der Aufwand und der Schaden des Beschwerdeführers seien viel grösser als ein möglicher Nutzen für die Allgemeinheit, zumal er einen wertvollen und ertragsreichen Baum verliere. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers sind die vorinstanzlichen Ausführungen auch unter diesem Gesichtspunkt der Verhältnismässigkeit nicht zu beanstanden. Worin eine Bagatellisierung in den vorinstanzlichen Ausführungen bestünde, legt der Beschwerdeführer nicht dar. Die konkreten Umstände des vorliegenden Falls erscheinen nicht unverhältnismässig im engeren Sinne, da die Rodung eines Baums nur einen geringen Eingriff in die Rechtsstellung des Beschwerdeführers darstellt. Insbesondere ist zu beachten, dass aufgrund der erfolglosen und ungenügenden Sanierungsmassnahmen ebenso geringe Erfolgschancen auf eine selbständige Regeneration des Baums bestehen. Die durch den Feuerbrand verursachten Schäden würden daher auch das künftige Ertragspotenzial des Baums erheblich mindern. Vor diesem Hintergrund erscheinen die privaten wirtschaftlichen Interessen des Beschwerdeführers, die der Rodung entgegen stehen, als gering. Mit Blick auf die Bedeutung des Baums für die Landschaftsprägung und Biodiversität ist zudem relativierend zu berücksichtigen, dass der zu entfernende Baum nicht frei bzw. allein in der Landschaft steht, sondern sich in einer Gruppe von Hochstammobstbäumen befindet. Diesen Interessen steht ein überwiegendes öffentliches Interesse an der Eindämmung des Feuerbrands gegenüber.
4.3.2. Die hier umstrittene Rodung des Baums 2 stellt in einer Gesamtbetrachtung der betroffenen privaten und öffentlichen Interessen folglich eine zumutbare Massnahme dar, um den Feuerbrand im Rahmen der Eindämmungsstrategie zu bekämpfen.
4.4. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Rodung des Baums 2 verhältnismässig ist, da sie sich als geeignete, erforderliche und zumutbare Massnahme zur Bekämpfung des Feuerbrands herausstellt.
5.
Ferner bringt der Beschwerdeführer vor, die Schutzobjekte, in deren Schutzgürtel der Baum 2 stehe, seien ebenfalls seit Jahren sehr stark von Feuerbrand befallen und wiesen immer noch Feuerbrand auf. Damit erfülle der benachbarte, im Jahr 2008 als Schutzobjekt ausgeschiedene Obstbaumbestand aufgrund des Feuerbrandbefalls die Voraussetzungen für die Unterschutzstellung nicht mehr. Es liege eine fehlerhafte Ausscheidung eines Schutzobjekts im Sinne von Art. 46 PSV vor, die einer Rodung des Baums 2 entgegenstehe.
5.1. Hinsichtlich des Schutzobjekts, in dessen Umkreis sich der zu rodende Baum 2 befindet, erwägt die Vorinstanz, dass dieses im Jahr 2008 ausgeschieden wurde. Das Schutzobjekt sei dem Beschwerdeführer korrekt bekannt gemacht worden und für ihn deshalb verbindlich. Der Beschwerdeführer hätte aufgrund der konkreten Umstände spätestens mit persönlicher Kenntnis der Lage im Schutzgürtel direkt gegen die Ausscheidung des Schutzobjekts vorgehen können und müssen. Zudem sei in einem anderen durch das Bundesverwaltungsgericht beurteilten Verfahren (vgl. Abschreibungsentscheid des BVGer B-7277/2015 vom 26. Februar 2016; vgl. auch Urteile des BVGer B-7296/2015, B-7301/2015, B-7288/2015 vom 23. Februar 2016) das exakt gleiche Schutzobjekt massgebend gewesen. Dabei sei zu beurteilen gewesen, ob seine damals betroffenen Bäume im Umkreis von 500 m lägen (vgl. E. 2.5 und E. 3.8.1 des Urteils vom 31. Januar 2019).
5.2. Ob die Auffassung des Beschwerdeführers und seine Behauptung des Feuerbrandbefalls beim benachbarten Schutzobjekt zutreffen, ist unter Berücksichtigung der anders lautenden Stellungnahme des Departements vom 12. März 2019 fraglich. Eine umfassende diesbezügliche Abklärung kann jedoch aus den nachfolgenden Gründen unterbleiben.
Die Anordnung einer Rodung des Baums 2 ist ebenso möglich, wenn dieser nicht im Umkreis eines Schutzobjekts liegt. Zwar werden bei einem Feuerbrandbefall im Umkreis eines Schutzobjekts die Sanierungsmassnahmen rigoroser als in den übrigen Teilen einer Befallszone durchgeführt (vgl. Art. 46 Abs. 2 PSV i.V.m. Ziff. 3 Richtlinie Nr. 3 BLW; E. 2.3 f. hiervor). Indessen ist unbestritten, dass sämtliche Gemeinden des Kantons Luzern in der Befallszone im Sinne von Art. 45 PSV liegen und in den Befallszonen unabhängig von den ausgeschiedenen Schutzobjekten eine Eindämmungsstrategie verfolgt wird (vgl. Ziff. 4.2 Abs. 1 lit. b Richtlinie Nr. 3 BLW). Da beim streitbetroffenen Baum zuerst mildere Sanierungsmassnahmen angeordnet worden sind, ist nicht ersichtlich, dass die Sanierungsmassnahmen rigoroser durchgeführt wurden als in den übrigen Teilen einer Befallszone. Ferner werden Sanierungsmassnahmen auch ausserhalb einer Befallszone - in Gemeinden mit Einzelherden - im Rahmen der Tilgungsstrategie angeordnet (vgl. Ziff. 4.2 Abs. 1 lit. a i.V.m. Anhang Ziff. 2 Richtlinie Nr. 3 BLW). Die hier umstrittene Fällung des Baums 2 ist daher nicht mehr Bestandteil einer kantonalen Nulltoleranz-Strategie, die vom Bundesverwaltungsgericht in früheren Fällen im Schutzgürtel eines Schutzobjekts für zulässig befunden wurde (vgl. E. 2.3 des Urteils vom 31. Januar 2019 unter anderem mit Hinweis auf das Urteil des BVGer B-7296/2015 vom 23. Februar 2016 E. 4.3). Vielmehr ist die Vernichtung der Befallsherde unabhängig vom Bestehen eines Schutzobjekts möglich, sofern keine andere Massnahme zur Verhinderung der Verbreitung geeignet ist (vgl. <ref-law> i.V.m. Art. 45 Abs. 3 PSV sowie Ziff. 4.2 Abs. 1 lit. b Richtlinie Nr. 3 BLW; vgl. auch § 79 KLwG; E. 2.2 hiervor). Die Verhältnismässigkeitsprüfung hat gezeigt, dass die Baumfällung unabhängig von einem allfälligen Befall des benachbarten Schutzobjekts eine geeignete Massnahme zur Eindämmung des Feuerbrands darstellt. Sodann sind die bisher ergriffenen Sanierungsmassnahmen ohne Erfolg geblieben (vgl. E. 4 hiervor). Eine allfällige Unrechtmässigkeit des Schutzobjekts, in dessen Umkreis sich der Baum 2 befindet, steht einer Rodung im vorliegenden Fall daher nicht entgegen. Zusammenfassend ergibt sich, dass die angeordnete Fällung des Baums 2 bundesrechtskonform ist.
6.
Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde als unbegründet abzuweisen. Diesem Verfahrensausgang entsprechend trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, und dem Bundesamt für Landwirtschaft schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Mai 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Zollinger