Sachverhalt:
A.
A.a. Die Eheleute A._ und B._, beide kanadische Staatsangehörige, sind die Eltern der Kinder C._ (geb. 2004) und D._ (geb. 2007). Am 19. Mai 2014 stellte der Amtsgerichtspräsident des Richteramtes Dorneck-Thierstein im Rahmen von Eheschutzmassnahmen fest, dass die Parteien seit September 2013 getrennt leben. Festgehalten wurde ferner, dass die Ehegatten weiterhin über das gemeinsame Sorgerecht über ihre Söhne verfügen. Sodann regelte der Amtsgerichtspräsident die alternierende Obhut der Ehegatten über ihre Kinder und erliess weitere, hier nicht wesentliche Massnahmen.
A.b. Mit Gesuch vom 11. September 2014 beantragte die Mutter eine Abänderung der Eheschutzmassnahmen. Insbesondere verlangte sie die Zuteilung der Obhut über beide Söhne und die Zustimmung zur Ausreise der Kinder mit ihr nach Kanada. In diesem Verfahren holte der Amtsgerichtspräsident bei der Kinder- und Jugendpsychiatrie KJP T._ ein Gutachten ein zur Erziehungsfähigkeit der Eltern, zur Obhutsregelung und Betreuungsaufteilung sowie zur Frage, ob ein allfälliger Wohnsitzwechsel der Kinder nach Kanada dem Kindeswohl und -interesse entgegenstehe. Im Weiteren ordnete er eine Kindesvertretung gemäss <ref-law> an und ernannte Advokatin E._ zur Vertreterin beider Kinder. Das Gutachten wurde am 28. Mai 2015 erstattet. Am 12. August 2015 reichte die KJP T._ eine Stellungnahme zu den Vorbringen der Parteien bzw. einen Ergänzungsbericht zu ihrem Gutachten ein. In diesem Verfahren wurden die Kinder zweimal angehört. Im Anschluss an die erste Einvernahme der Kinder entzog der Amtsgerichtspräsident am 13. August 2015 den Eltern superprovisorisch und mit sofortiger Wirkung bis auf Weiteres das Aufenthaltsbestimmungsrecht über die Kinder (<ref-law>) und verfügte, die Kinder seien per sofort in einer geeigneten sozialpädagogischen Einrichtung zu platzieren. Die KESB brachte sie daraufhin im Durchgangsheim F._ unter. Die Verfügung wurde nach der zweiten Anhörung der Kinder am 19. Oktober 2015 aufgehoben.
A.c. Mit Urteil vom 19. Oktober 2015 änderte der Amtsgerichtspräsident die Verfügung vom 19. Mai 2014 ab: Für die weitere Dauer des Getrenntlebens der Eheleute teilte er die Obhut über den Sohn C._ dem Vater und jene über den Sohn D._ der Mutter zu; überdies genehmigte er den Wechsel des Aufenthaltsortes von D._ nach Kanada (2 und 3). Im Weiteren stellte er fest, dass die Mutter aufgrund ihrer finanziellen Situation nicht in der Lage sei, für ihren Sohn C._ Unterhalt zu bezahlen (9).
A.d. Der Sohn D._ lebt seit Ende Oktober 2015 zusammen mit seiner Mutter in Kanada.
B.
Gegen diesen Entscheid gelangten beide Parteien an das Obergericht des Kantons Solothurn. Strittig vor Obergericht waren - soweit hier relevant - die Obhut über die Kinder sowie die Unterhaltspflicht der Mutter. Mit Urteil vom 26. Februar 2016 hiess die angerufene Instanz die Berufung des Vaters teilweise gut und hob die Unterhaltsregelung bezüglich der Mutter (Ziff. 9 des erstinstanzlichen Entscheids) auf (Dispositiv-Ziff. 1). Die Mutter wurde verpflichtet, für die weitere Dauer des Getrenntlebens an den Unterhalt des Sohnes C._ monatliche und monatlich vorauszahlbare Unterhaltsbeiträge von Fr. 1'000.-- zuzüglich Kinder- und Ausbildungszulagen zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 3). Demgegenüber wurde die Berufung der Mutter abgewiesen (Dispositiv-Ziff. 5). Da die Kindesvertreterin ihr Mandat bezüglich C._ und D._ niedergelegt hatte, ernannte die Berufungsinstanz dem Sohn C._ für die Berufungsverfahren als neuen Kindesvertreter Rechtsanwalt Thomas Schütt und setzte seine Entschädigung auf pauschal Fr. 2'500.-- fest (Dispositiv-Ziff. 8).
C.
C.a. Die Mutter (Beschwerdeführerin) hat am 31. März 2016 (Postaufgabe) durch ihre Anwältin beim Bundesgericht Beschwerde führen lassen (5A_236/2016). Sie beantragt, die Ziffern 1, 3 und 5 des Urteils des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 26. Februar 2016 seien aufzuheben. Es sei ihre Berufung teilweise gutzuheissen und die Obhut über den Sohn C._ sofort und für die weitere Dauer des Scheidungsverfahrens ihr zuzuteilen und ihr gerichtlich zu genehmigen, den Aufenthaltsort von C._ nach U._/Kanada zu verlegen. Ferner sei festzustellen, dass sie ihre Unterhaltspflicht gegenüber C._ durch Pflege und Erziehung und nicht durch Geldleistung zu erbringen habe. Eventuell sei festzustellen, dass sie aufgrund ihrer finanziellen Situation nicht in der Lage sei, einen Beitrag an den Unterhalt von C._ zu bezahlen. Auf die Berufung des Vaters (Beschwerdegegners) sei nicht einzutreten; eventualiter sei sie abzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht die Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege. Ferner hat sie am 23. März 2016 eine persönlich verfasste Eingabe eingereicht. Weitere Eingaben (teilweise samt Beilagen) erfolgten am 18. April 2016, 26. April 2016, 26. Mai 2016, 10. Juni 2016, 25. Juli 2016, 12. August 2016, 21. Oktober 2016, 25. November 2016, 23. Januar 2017, 20. Februar 2017, 24. Februar 2017, 12. April 2017 sowie am 21. Juni 2017.
C.b. Der Vater hat sich am 6. September 2016 vernehmen lassen. Er schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Der Vertreter des Kindes C._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Überdies ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege für das Kind.
C.c. Die Vertreterin der Beschwerdeführerin hat ihr Mandat am 24. November 2016 niedergelegt.
C.d. Bereits mit Präsidialverfügung vom 21. Juli 2017 wurden die Vernehmlassungen der Beschwerdeführerin zugestellt und ihr eine nicht erstreckbare Frist von 30 Tagen ab Erhalt der Verfügung gesetzt, um dazu Stellung zu nehmen. Da ihre Anwältin ihr Mandat niedergelegt hatte, erging überdies die Aufforderung an die Beschwerdeführerin, binnen der nämlichen Frist ein Domizil in der Schweiz zu verzeigen, andernfalls auf die Zustellung gerichtlicher Urkunden verzichtet werde. Abgewiesen wurden ferner ihr Gesuch um vorsorgliche Massnahmen. Die Beschwerdeführerin hat mindestens seit 11. August 2017 Kenntnis von dieser Verfügung.
D.
D.a. Der Vater (Beschwerdeführer) hat seinerseits gegen das Urteil des Obergerichts vom 26. Februar 2016 am 30. März 2016 Beschwerde erhoben (5A_239/2016). Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei dahingehend abzuändern, dass ihm die Obhut über den Sohn D._ zugewiesen werde. Eventuell sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
D.b. Die Mutter hat sich am 17. August 2016 zur Beschwerde des Vaters vernehmen lassen und ersucht um deren Abweisung. Der Vertreter von C._ hat sich am 21. September 2016 zur Beschwerde geäussert; er ersucht um Gutheissung der Beschwerde. Die Vernehmlassungen wurden dem Beschwerdeführer mit Verfügung vom 7. Dezember 2017 übermittelt.
D.c. Der Vertreter des Beschwerdeführers hat sein Mandat am 16. Dezember 2016 niedergelegt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerdeverfahren 5A_236/2016 und 5A_239/2016 betreffen die Obhutsregelung über die Kinder der Parteien bzw. die Unterhaltspflicht der Beschwerdeführerin. Bei dieser Ausgangslage rechtfertigt es sich, beide Verfahren zu vereinigen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
2.
2.1. Angefochten ist ein Entscheid einer oberen kantonalen Instanz als Rechtsmittelinstanz (Art. 75 Abs. 2; Art. 90 BGG) betreffend die Obhutsregelung bzw. die Unterhaltspflicht. Die Beschwerden richten sich somit gegen einen Entscheid über eine Zivilsache (<ref-law>) und beschlagen nicht ausschliesslich vermögensrechtliche Interessen. Die Beschwerdeführer waren je Partei im kantonalen Verfahren; sie sind mit ihren Anträgen unterlegen und verfügen damit über ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung bzw. Abänderung des angefochtenen Entscheides (Art. 76 Abs. 1 lit. a und b BGG). Soweit die Beschwerden fristgerecht eingereicht worden sind (<ref-law>) ist darauf einzutreten. Auf die von der Beschwerdeführerin persönlich verfasste Beschwerdeergänzung vom 23. März 2016 ist nicht einzutreten, zumal sich die Beschwerdeführerin nicht rechtsgenügend mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides auseinandersetzt (<ref-law>).
2.2.
2.2.1. Das angefochtene Urteil ist der Beschwerdeführerin (im Verfahren 5A_236/2016) am 1. März 2016 zugestellt worden. Anfechtungsgegenstand sind vorsorgliche Massnahmen im Sinn von <ref-law> (<ref-ruling> E. 4). Da diesfalls die Gerichtsferien nicht gelten (<ref-law>), lief die Beschwerdefrist am 31. März 2016 ab. Soweit die Beschwerdeführerin ihre Beschwerde nach Ablauf dieser Frist ergänzt hat, ist darauf nicht einzutreten.
2.2.2. Die Beschwerdeführerin hat von der Verfügung des Präsidenten der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 21. Juli 2017 samt den mitgesendeten Vernehmlassungen spätestens am 11. August 2017 Kenntnis erhalten. Die dreissigtägige Frist lief damit infolge des Wochenendes vom 9./10. September 2017 am Montag, 11. September 2017 ab (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin hat sich weder im Schreiben vom 11. August 2017 zum Inhalt der Vernehmlassungen geäussert noch spätere Eingaben dazu eingereicht.
2.3. Im Beschwerdeverfahren 5A_239/2016 hat sich die Mutter am 17. August 2016 durch ihre Anwältin und der Vertreter von C._ am 12. September 2016 vernehmen lassen. Diese Vernehmlassungen wurden dem Beschwerdeführer mit Verfügung vom 7. Dezember 2017 übermittelt.
3.
3.1. Beschwerde 5A_236/2016 Zuständigkeit des Obergerichts
3.1.1. Im vorliegenden Fall ist in tatsächlicher Hinsicht erstellt, dass die Beschwerdeführerin nach dem erstinstanzlichen Entscheid zusammen mit ihrem Sohn D._ nach Kanada gezogen ist, wo beide seit Ende Oktober 2015 leben. Die Vorinstanz hat erwogen, Kanada sei kein Vertragsstaat des Übereinkommens über die Zuständigkeit, das anzuwendende Recht, die Anerkennung, Vollstreckung und Zusammenarbeit auf dem Gebiet der elterlichen Verantwortung und der Massnahmen zum Schutz von Kindern (Haager Kindesschutzübereinkommen; SR 0.211.231.011; HKsÜ). Aus diesem Grund seien die schweizerischen Gerichte zur Regelung der Massnahmen betreffend den Sohn D._ örtlich zuständig.
3.1.2. Die Beschwerdeführerin ist der Ansicht, die Vorinstanz hätte auf die Berufung des Beschwerdeführers nicht eintreten dürfen, habe sie doch mit ihren Ausführungen nicht beachtet, dass das HKsÜ gestützt auf <ref-law> im Verhältnis zu Nichtvertragsstaaten als nationales Recht zur Anwendung gelange; dies habe zur Folge, "dass in Anwendung der perpetuatio fori die Zuständigkeit der kanadischen Gerichte begründet" werde. Der Beschwerdegegner bestreitet die Vorbringen der Beschwerdeführerin und ist der Ansicht, die Zuständigkeit der schweizerischen Gerichte zur Behandlung seiner Berufung sei gestützt auf <ref-law> gegeben.
3.1.3. Kanada zählt nicht zu den Vertragsstaaten des HKsÜ. Nach <ref-law> bestimmt sich indes die Zuständigkeit für den Erlass von Massnahmen im Bereich des Kindesschutzes sowie das dabei anzuwendende Recht unabhängig davon nach den Regeln des genannten Übereinkommens. <ref-law> erklärt grundsätzlich die Behörden und Gerichte am gewöhnlichen Aufenthaltsort des Kindes für zuständig. Sodann sieht <ref-law> vor, dass bei einem Wechsel des gewöhnlichen Aufenthaltes des Kindes in einen anderen Vertragsstaat die dortigen Behörden zuständig werden, womit der Grundsatz der perpetuatio fori in diesem Bereich nicht gilt. Nach der Rechtsprechung gelangt indes <ref-law> im Verhältnis zu Nichtvertragsstaaten nicht zur Anwendung (<ref-ruling> E. 2.1 S. 4) mit der Folge, dass bei einem Wechsel des gewöhnlichen Aufenthaltes des Kindes in einen Nichtvertragsstaat die einmal begründete Zuständigkeit des Staates, in dem das Verfahren hängig war, bestehen bleibt. Ist aber das schweizerische Massnahmegericht trotz des während des hängigen Verfahrens erfolgten Wegzuges des Sohnes nach Kanada weiterhin örtlich zuständig, erweist sich die Beschwerde insoweit als unbegründet.
3.2. Beschwerde 5A_239/2016 Rüge von Verfahrensmängeln
3.2.1. Der Beschwerdeführer hatte vor Obergericht geltend gemacht, die erste Instanz habe gewisse Dokumente in einem roten Ordner abgelegt, der ihm nie zur Einsicht zugestellt worden sei. Er habe diesen Umstand vor Obergericht als Verletzung des rechtlichen Gehörs gerügt. Das Obergericht habe zwar eine Verletzung des verfassungsmässigen Rechts durch die erste Instanz bejaht, jedoch in der weiteren Begründung bemerkt, der Amtsgerichtspräsident habe seinen Entscheid im Wesentlichen auf das Gutachten gestützt; die beanstandeten Erkundigungen hätten ihm zur Abrundung seines Bildes gedient. Aufgrund der vollen Kognition und der in Kinderbelangen geltenden Offizial- und Untersuchungsmaxime hätte der Beschwerdeführer Gelegenheit gehabt, nachträglich umfassend zum Inhalt des Ordners Stellung zu nehmen, weshalb die Verletzung des rechtlichen Gehörs als geheilt zu betrachten sei.
3.2.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, vor erster Instanz hätten ihm wesentliche Beweisstücke des roten Ordners gefehlt. Die Gutachterinnen seien davon ausgegangen, dass der Kinderpsychiater neutral sei. Aus den Dokumenten des roten Ordners habe sich ergeben, dass er eine parteiische Rolle eingenommen und sich mit der Mutter solidarisiert habe. Das gelte ebenso für die frühere Beiständin, Frau G._. Bei entsprechender Kenntnis vom Inhalt des roten Ordners wäre den Gutachterinnen das Fehlverhalten von Dr. H._ nicht verborgen geblieben. Es bestünden erhebliche Zweifel, ob der erstinstanzliche Richter bei Kenntnis der Sachlage den äusserst gewagten Schritt der Trennung der Söhne gewählt hätte. Aus diesem Grund führe die Verletzung des rechtlichen Gehörs zur Aufhebung des Entscheides, und eine Rückweisung an die erste Instanz sei geboten. Mit der Annahme der Heilung des Verfahrensmangels habe das Obergericht <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletzt.
3.2.3. Wie das Obergericht zu Recht bemerkt, gilt in den strittigen Kinderbelangen die Offizial- und Untersuchungsmaxime (<ref-law>), und es trifft ebenso zu, dass die Berufungsinstanz den erstinstanzlichen Entscheid in allen Rechts- und Sachfragen voll überprüfen kann (statt vieler: KARL SPÜHLER, Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 1 zu <ref-law>), d.h. über volle Kognition in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht verfügt (<ref-law>; Urteil 5A_635/2015 vom 21. Juni 2016 E. 5.2). Damit aber hätte der Beschwerdeführer zum Inhalt des Ordners Stellung nehmen und bei dieser Gelegenheit seine Kritik an der Führung des roten Ordners und seine Einwände gegen den Kinderpsychiater und die Beiständin vorbringen können. Nicht zu beanstanden ist daher die Annahme des Obergerichts, der Verfahrensmangel sei als geheilt zu betrachten. Damit ist auf den in der Beschwerde erhobenen Vorwurf, das Obergericht habe trotz parteiischen Verhaltens des Kinderpsychiaters und der Beiständin auf das Gutachten abgestellt, nicht weiter einzugehen.
3.3. Beschwerde 5A_239/2016 Anforderungen an die Begründung
3.3.1. Das Obergericht hat im Weiteren erwogen, der Amtsgerichtspräsident stelle in seinem Entscheid grundsätzlich auf das Gutachten der Kinder- und Jugendpsychiatrie T._ vom 28. Mai 2015 ab und halte dabei zu Recht fest, das Gutachten sei aufgrund intensiver, fundierter und umfassender Abklärungen fachgerecht und schlüssig erstellt worden. In seiner Berufung behaupte der Vater zwar, das Gutachten weise krasse Mängel auf. Dabei begnüge er sich indes mit einem Verweis auf eine Eingabe bei der Vorinstanz, womit er seiner Begründungspflicht nicht genüge.
3.3.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, das Obergericht stütze sich in seiner Begründung auf das Urteil des Bundesgerichts 5A_209/2014 vom 2. September 2014 E. 4.2.1, welches indes ein von der Verhandlungsmaxime beherrschtes Verfahren betroffen habe. Vorliegend gehe es freilich um Kinderbelange, die von der Offizial- und Untersuchungsmaxime getragen seien. Indem die Vorinstanz für dieses Verfahren die gleichen Anforderungen an die Begründung der Eingabe stelle, verletze sie <ref-law> und Art. 6 EMRK.
3.3.3. Die Anforderungen an die Begründung der Berufung (<ref-law>) sind nicht auf die von der Verhandlungsmaxime beherrschten Verfahren beschränkt. Vielmehr gilt der Grundsatz allgemein, dass aus der Rechtsmittelschrift hervorgehen muss, dass und weshalb der Rechtssuchende einen Entscheid anficht und inwieweit dieser abgeändert oder aufgehoben werden soll (<ref-ruling> E. 4.2.2 S. 619). Weder die in Kinderbelangen herrschende Untersuchungsmaxime (<ref-law>; Botschaft zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO] vom 28. Juni 2006, BBl 2006 7221, S. 7373 bei/in Anm. 216; <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 375; für <ref-law>; Urteile 5A_285/2013 vom 24. Juli 2013 E. 4.3 und 5A_141/2014 vom 28. April 2014 E. 3.4) noch die Offizialmaxime (<ref-ruling> E. 4.5.1 S. 620; Urteil 5A_285/2013 vom 24. Juli 2013 E. 4.3) entbinden die Parteien davon, Eingaben an das Gericht förmlich zu begründen. Eine Verletzung von <ref-law> bzw. Art. 6 EMRK ist nicht auszumachen.
4. Beschwerde 5A_236 und 239/2016 Frage der Obhut über die beiden gemeinsamen Kinder der Parteien.
4.1. Für die Zuteilung der Obhut an einen Elternteil im Eheschutzverfahren gelten grundsätzlich dieselben Kriterien wie im Scheidungsfall. Das Wohl des Kindes hat Vorrang vor allen übrigen Überlegungen, insbesondere vor den Wünschen der Eltern. Vorab ist die Erziehungsfähigkeit zu klären. Ist sie bei beiden Elternteilen gegeben, sind vor allem Kleinkinder und grundschulpflichtige Kinder demjenigen Elternteil zuzuteilen, der die Möglichkeit hat und dazu bereit ist, sie persönlich zu betreuen. Erfüllen beide Elternteile diese Voraussetzung ungefähr in gleicher Weise, kann die Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse ausschlaggebend sein. Schliesslich ist - je nach Alter der Kinder - ihrem eindeutigen Wunsch Rechnung zu tragen. Diesen Kriterien lassen sich die weiteren Gesichtspunkte zuordnen, so die Bereitschaft eines Elternteils, mit dem andern in Kinderbelangen zusammenzuarbeiten. Wesentlich sein kann ferner der Grundsatz, Geschwister nach Möglichkeit nicht zu trennen. Ist aber bei Geschwistern, zum Beispiel aufgrund eines Altersunterschiedes, von unterschiedlichen Bedürfnissen und insbesondere von verschiedenen emotionalen Bindungen und Wünschen auszugehen, steht einer Trennung der Kinder nichts entgegen. Von Bedeutung ist sodann auch die Forderung, dass eine Zuteilung der Obhut von einer persönlichen Bindung und echter Zuneigung getragen sein sollte (Urteile 5A_444/2008 vom 14. August 2008 E. 3.1 und 3.6; 5A_911/2012 vom 14. Februar 2013 E. 6.4.2; vgl. <ref-ruling> E. 4.3 und 4.4 S. 615 f.).
4.2. Beim Entscheid über die Obhut verfügen die kantonalen Gerichte über grosses Ermessen (<ref-ruling> E. 2 und 3 S. 319; Urteile 5A_848/2014 vom 4. Mai 2015 E. 2.1.2; 5A_976/2014 vom 30. Juli 2015 E. 2.4; 5A_266/2015 vom 24. Juni 2015 E. 4.2.2.2). Bei der Überprüfung dieses Ermessensentscheides auferlegt sich das Bundesgericht Zurückhaltung. Es schreitet nur ein, wenn die kantonale Instanz von ihrem Ermessen offensichtlich falschen Gebrauch gemacht hat. Das ist insbesondere dann der Fall, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat oder wenn sich der Ermessensentscheid im Ergebnis als offensichtlich unbillig oder ungerecht erweist (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 279; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 5.4 S. 211). Was das vorliegende Verfahren angeht, ist überdies zu beachten, dass die Parteien nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte rügen können (<ref-law>).
4.3. Das Obergericht hat auf die Erwägungen des Amtsgerichtspräsidenten verwiesen. Nach Angaben des erstinstanzlichen Richters ist das zur Frage der Obhut eingeholte Gutachten fachgerecht, schlüssig und ausgewogen, weshalb grundsätzlich der Empfehlung der Gutachterinnen gefolgt werden könnte, wonach die Kinder zusammen mit der Mutter nach Kanada ziehen und das Ferienrecht der Parteien geregelt wird. Die erste Instanz ist indes von der Empfehlung abgewichen, da sich seit der Erstellung des Gutachtens gewisse Veränderungen ergeben haben. Sie hält im Weiteren zusammengefasst dafür, insbesondere sei C._ seit Eröffnung des Gutachtens nicht mehr bei der Mutter gewesen und hätten die Gutachterinnen ihre Empfehlung in einer späteren Stellungnahme relativiert. Im Weiteren gründe das Gutachten darauf, dass der Kindsvater praktisch ausschliesslich im Haus seiner neuen Partnerin im V._ zusammen mit der Grossmutter von C._ wohne und die Kinder bei einer Obhutszuteilung an den Vater im französischen Sprachraum zusammen mit Nachbarskindern aufwachsen könnten. Nunmehr beantrage der Vater aber, nach dem Wegzug der Mutter wieder in die eheliche Wohnung im deutschsprachigen W._ zurückzukehren. Im Hinblick auf die Erziehungsfähigkeit halte das Gutachten fest, dass die Mutter die Hauptbezugsperson der Kinder sei, diesen sehr nahe stehe und auf ihre Bedürfnisse auch in Krisenzeiten adäquat eingehen könne. Aufseiten des Vaters werde positiv vermerkt, dass er sich zurzeit sehr für die Söhne engagiere und deren Wünsche kenne. Auch eine gute Schulbildung sei ihm wichtig. Dank seiner selbständigen Erwerbstätigkeit sowie der Mithilfe seiner Partnerin und der Grossmutter könne er die Zeit mit den Kindern intensiv nutzen. Nachteilig bezüglich der Mutter erwähne das Gutachten deren Probleme mit den Finanzen. Sie verunsichere die Kinder mit ihrer Sehnsucht nach Kanada. Der Vater habe das Thema Kanada dazu ausgenützt, um C._ zu manipulieren. Der Kontakt zwischen der Mutter und C._ sei daher nicht mehr zustande gekommen. C._ sei gemäss den Feststellungen der Gutachterinnen äusserst intelligent, willensstark und weigere sich seit der Bekanntgabe der gutachterlichen Empfehlung, Kontakt mit seiner Mutter zu haben. Es liege eine Eltern-Entfremdung vor, weshalb C._ unter die Obhut des Vaters zu stellen sei.
Demgegenüber sei D._ in die Obhut der Mutter zu geben, zumal sie besser garantiere, dass er sich harmonisch entfalten und in seelischer sowie geistiger Hinsicht entwickeln könne. Da die Mutter praktisch bis zur Heimeinweisung D._ näher gestanden sei als der Vater, sie die Kinder von Anfang an mehr betreut habe als der Vater und zwischen ihr und D._ eine enge Bindung bestehe, sei sie besser geeignet, D._ altersgerecht zu fördern. Sie habe momentan Zeit, sich in Kanada zu akklimatisieren und zu integrieren. Auch das Sprachproblem stelle sich nicht mehr. Finde die Mutter eine neue Stelle, habe sie in etwa die gleichen Betreuungsmöglichkeiten wie der Vater. Zwar dürfte die Trennung für die Kinder zunächst sehr schmerzlich sein. Indes könnten die Eltern die Situation massiv verbessern, indem sie immer mehr miteinander zusammenarbeiten. Eine Trennung der Geschwister sei dann mit dem Bundesrecht vereinbar, wenn beide Elternteile in etwa im gleichen Mass zur Erziehung geeignet seien und die Interessen und das Wohl der Kinder beim Elternteil, dem sie zugewiesen werden, besser gewahrt seien. Da vorliegend unterschiedliche Bedürfnisse und verschiedene emotionale Bindungen bestünden, dürften die Kinder in die Obhut je eines Elternteils gegeben werden. Zwar habe D._ erklärt, er wolle zusammen mit seinem Bruder bei seinem Vater leben. D._ sei indes erst acht Jahre alt, stehe unter dem Einfluss seines Bruders und könne die Tragweite der Situation zu wenig erfassen. Es sei frappant, wie unterschiedlich die beiden Brüder in Bezug auf die geistige Reife seien. Bei C._ und D._ sei bei der Beurteilung der Obhutsfrage von verschiedenen Bedürfnissen auszugehen, was auch der erste Bericht des Durchgangsheims F._ bestätige. Trotz des mehrfach geäusserten Wunsches von D._ sei er in die Obhut der Mutter zu stellen, um dem effektiven Kindeswohl Nachachtung zu verschaffen.
4.4. Die Vorinstanz kam in Würdigung der Erwägungen des erstinstanzlichen Gerichts und der Vorbringen der Parteien zum Schluss, die getroffene Lösung sei mit dem Bundesrecht vereinbar.
4.5. Beschwerde 5A_236/2016
4.5.1.
4.5.1.1. Unter dem Titel willkürliche Beweiswürdigung macht die Beschwerdeführerin geltend, das Gutachten vom 28. Mai 2015 komme zum Schluss, dass die beiden Kinder in ihre Obhut zu geben seien und der Auszug der Kinder nach Kanada bewilligt werden könne. Die Vorinstanz habe in Abweichung von diesem Gutachten die Kinder getrennt, indem sie die Obhut über den Sohn D._ ihr persönlich und jene über C._ dem Vater übertragen habe. Angesichts der ausgewiesenen Zweifel am Gutachten habe die Vorinstanz nicht ohne zusätzliche Beweiserhebungen entscheiden dürfen. Die Beweiswürdigung der Vorinstanz sei willkürlich. Der Vater erachtet die Trennung der Kinder als willkürlich, zumal sie vom Gutachten nicht vorgeschlagen worden sei (5A_236/2016 33/4 Ziff. 11).
4.5.1.2. Eheschutzmassnahmen werden im summarischen Verfahren mit der ihm eigenen Beweismittel- und Beweisstrengebeschränkung angeordnet (<ref-law>). Von aufwändigen Beweismassnahmen ist daher grundsätzlich abzusehen (Urteile 5A_112/2014 vom 11. Juli 2014 E. 1.3; 5A_813/2013 vom 12. Mai 2014 E. 4.3; 5A_742/2008 vom 22. Januar 2009 E. 4.3). Unbesehen davon hat das Sachgericht für die Regelung der Obhut über die Kinder am 21. November 2014 ein Gutachten in Auftrag gegeben.
Wie jedes Beweismittel unterliegen auch Gutachten der freien richterlichen Beweiswürdigung, wobei der Richter in Sachfragen nur aus triftigen Gründen von einer gerichtlichen Expertise abweicht. Die Beweiswürdigung (und die Beantwortung der sich stellenden Rechtsfragen) ist Aufgabe des Richters. Dieser hat zu prüfen, ob sich aufgrund der übrigen Beweismittel und der Vorbringen der Parteien ernsthafte Einwände gegen die Schlüssigkeit der gutachterlichen Darlegungen aufdrängen. Erscheint ihm die Schlüssigkeit eines Gutachtens in wesentlichen Punkten zweifelhaft, hat er nötigenfalls ergänzende Beweise zur Klärung dieser Zweifel zu erheben. Das Abstellen auf eine nicht schlüssige Expertise bzw. der Verzicht auf die gebotenen zusätzlichen Beweiserhebungen kann gegen das Verbot willkürlicher Beweiswürdigung (<ref-law>) verstossen (<ref-ruling> E. 4.3.1 S. 198 f.; <ref-ruling> E. 3.2 S. 547 f.; <ref-ruling> E. 4.2.3 S. 391; <ref-ruling> E. 5.4.2 S. 345 f.; <ref-ruling> E. 4 S. 57; <ref-ruling> E. 2 S. 86; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88, je mit weiteren Hinweisen).
4.5.1.3. Das Gutachten vom 28. Mai 2015 kommt zum Schluss, es sei für die Kinder das Beste, wenn sie mit ihrer Mutter nach Kanada ziehen. In einer vom Sachgericht eingeforderten Stellungnahme zu den Vorbringen der Parteien bzw. der verlangten Ergänzung des Gutachtens, beides vom 12. August 2015, halten die Gutachterinnen dafür, während die Beschwerdeführerin grundsätzlich mit den Empfehlungen des Gutachtens einverstanden sei, stellte sich der Vater dagegen. Die Gutachterinnen skizzieren in der Folge zwei konstruktive Varianten: Nach der Variante A einigen sich die Parteien darauf, dass die Kinder zusammen mit der Beschwerdeführerin nach Kanada ziehen bzw. die Beschwerdeführerin sich nur für mindestens ein Jahr zusammen mit den Kindern dorthin begibt, wo die Kinder eingeschult werden und die Beschwerdeführerin sich eine Arbeit sucht. Für den Fall, dass es den Kindern nicht gefällt, sei die Mutter bereit, einen Umzug der Kinder zu ihrem Vater zu unterstützen. Nach einer Variante B zieht die Beschwerdeführerin vorerst allein nach Kanada, wo sie nach Arbeit sucht, wobei nach einem Jahr die Situation erneut evaluiert werden soll. Eine "schwierige Variante", die für den Fall vorgeschlagen wird, dass sich die Parteien nicht einigen, sieht eine Fremdplatzierung der Kinder vor.
4.5.1.4. Das Obergericht hat darauf hingewiesen, der Amtsgerichtspräsident halte fest, das Gutachten sei aufgrund intensiver sowie fundierter Abklärungen in alle Richtungen fachgerecht und schlüssig erstellt worden. Bei dieser Ausgangslage wäre der erstinstanzliche Richter grundsätzlich verpflichtet gewesen, den Empfehlungen des Gutachtens zu folgen. Ausschlaggebend für ein Abweichen von der Expertenempfehlung seien indes die Entwicklung seit Erstattung des Gutachtens und die Relativierung durch die Gutachterinnen selbst in ihrem Ergänzungsbericht vom 12. August 2015. Der Amtsgerichtspräsident habe in seinem Urteil überzeugend dargelegt, dass eine Zuteilung des damals elfjährigen Sohnes C._ an die Beschwerdeführerin wegen einer "Eltern-Entfremdung" nicht infrage komme. Die kantonalen Instanzen haben damit ausreichend begründet, weshalb sich ihrer Ansicht nach eine Abweichung vom Gutachten aufdrängte. Das Obergericht hat alsdann auf den Umstand hingewiesen, dass angesichts der verfahrenen Situation auf einen raschen Sachentscheid hinzuwirken war. Schliesslich wurde auch dargelegt, dass im summarischen Verfahren auf solch umfassende Beweismassnahmen zu verzichten sei. Die kantonalen Instanzen sind daher mit einer nachvollziehbaren Begründung vom Gutachten abgewichen und haben aufgrund der summarischen Natur des Verfahrens betreffend Abänderung der Eheschutzmassnahmen und angesichts der verfahrenen Situation und damit aus nachvollziehbaren und überzeugenden Gründen von einem Obergutachten abgesehen. Der angefochtene Entscheid verstösst insgesamt nicht gegen das Willkürverbot (<ref-law>).
4.5.2.
4.5.2.1. Die Beschwerdeführerin beanstandet, die Vorinstanz habe die entscheidenden Kriterien für die Zuteilung der Obhut willkürlich gewürdigt. Sie gehe in E. 4.1 davon aus, das Gutachten im Hinblick auf die Erziehungsfähigkeit der Kindsmutter halte fest, dass die Mutter die Hauptbezugsperson der Kinder sei, sie diesen sehr nahe stehe und auf sie eingehen könne. Überdies habe sie in Kanada in einer kinderfreundlichen Umgebung ein Haus gemietet. Bezüglich des Vaters habe es dagegen festgestellt, dass er Druck auf die Kinder ausübe. Die Kinder würden durch die Mutter deutlich weniger instrumentalisiert als durch den Vater. Gestützt auf den vom Vater ausgeübten emotionalen Druck habe C._ den Wunsch geäussert, beim Vater zu bleiben. Die Vorinstanz verhalte sich widersprüchlich, indem sie einerseits die Manipulation der Kinder durch den Vater anerkenne, anderseits aber den Wunsch des Sohnes C._, bei seinem Vater zu bleiben, als bewussten Entscheid des Sohnes heranziehe, um die Obhutszuteilung an den Kindsvater zu begründen. Überdies habe die Vorinstanz die Möglichkeit persönlicher Betreuung nicht berücksichtigt.
4.5.2.2. Aus dem angefochtenen Entscheid ergibt sich nicht, dass die Beschwerdeführerin den Sohn D._ nicht auch beeinflusst hat. Allgemein gehen beide kantonalen Instanzen von einem Loyalitätskonflikt der Kinder aus. Abgesehen davon war nicht ausschliesslich der Wunsch von C._ für die vorgenommene Obhutszuteilung massgebend. Berücksichtigt hat die Vorinstanz insbesondere auch, dass sich der Vater zurzeit sehr für die Söhne engagiert und deren Wünsche kennt und ihm auch die Schulbildung wesentlich sei. Es hat damit die Erziehungsfähigkeit des Vaters als gegeben erachtet. Entscheidend für die Trennung der Obhut war für die kantonalen Instanzen zudem die unterschiedliche Reife beider Kinder und deren verschiedene Bedürfnisse. Die Vorinstanz hat unter Würdigung all dieser Parameter die nunmehr beanstandete Entscheidung getroffen. Abgesehen davon ergibt sich aus dem angefochtenen Entscheid, dass der Vater, der zurzeit mit seiner Lebenspartnerin in deren Haus lebt, durchaus in der Lage ist, den Sohn zu betreuen, zumal er dabei von seiner Lebenspartnerin und von der Grossmutter des Sohnes unterstützt werden kann. Bei den Kindern handelt es sich nicht mehr um Kleinkinder, deren Betreuungsbedarf weit bedeutender ausfällt als im konkreten Fall der 2004 bzw. 2007 geborenen Söhne der Parteien. Der Entscheid der Vorinstanz hat damit die wesentlichen Kriterien der Obhutszuteilung berücksichtigt und hat insbesondere auch begründet, warum von der Zuteilung der Obhut an einen Elternteil abgesehen wird. Insgesamt erweist sich der Entscheid als haltbar und damit nicht willkürlich.
4.5.3. 5A_236/2016 Verletzung von Art. 13 f. BV bzw. 8 EMRK
4.5.3.1. Die Beschwerdeführerin macht weiter geltend, die Vorinstanz habe durch willkürliche Anwendung der Kriterien über die Obhutszuteilung ihr Recht auf Familienleben vereitelt und damit Art. 13 f. BV bzw. Art. 8 EMRK verletzt.
4.5.3.2. Die Beschwerdeführerin legt nicht substanziiert dar, dass sie die entsprechenden Rügen bereits im kantonalen Berufungsverfahren geltend gemacht hat. Der Berufung lässt sich dies jedenfalls nicht entnehmen. Auf die Rügen ist mangels Ausschöpfens des Instanzenzuges nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 2 S. 640).
4.6. Beschwerde 5A_239/2016
4.6.1.
4.6.1.1. Der Beschwerdeführer erachtet die Begründung der Trennung der Kinder als willkürlich und macht dazu im Wesentlichen geltend, der erstinstanzliche Richter habe allein gestützt auf seine eigene Auffassung und ohne Berücksichtigung von Fachmeinungen die Trennung der Kinder befürwortet und die zweite Instanz habe sich dem angeschlossen. Die Überlegungen des Obergerichts gingen dahin, dass die Eltern für ihr unkooperatives Verhalten sanktioniert werden sollen. Damit habe das Obergericht Art. 9 und 14 BV sowie Art. 8 EMRK verletzt.
4.6.1.2. Entgegen den Ausführungen des Beschwerdeführers ging es dem Obergericht nicht darum, die Parteien zu sanktionieren. Entscheidend für die Trennung der Kinder waren nebst den üblichen für die Regelung der Obhut geltenden Parameter insbesondere auch die unterschiedliche Reife beider Kinder und die verschiedenen Bedürfnisse. Aufgrund dieser Überlegungen durfte die Vorinstanz ohne Verletzung von Art. 9, 11, 14 BV sowie Art. 8 EMRK die Obhut über den jüngeren Sohn der Mutter zuweisen.
4.6.2.
4.6.2.1. Der Beschwerdeführer beanstandet des Weiteren die Nichtberücksichtigung des Willens des jüngeren Sohnes, zusammen mit seinem Bruder bei seinem Vater zu bleiben. Im Wesentlichen führt er dazu aus, es sei überspitzt formalistisch auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung abzustellen, welche das Alter von acht Jahren als ungefähre Grenze zur Urteilsfähigkeit bezeichne, obwohl D._ gemäss den Schilderungen der Kinderanwältin und aufgrund des aus den Kindesanhörungen gewonnenen Eindrucks über eine besonders hohe Intelligenz verfüge. Auch insoweit rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung von Art. 9, 14 BV und 8 EMRK.
4.6.2.2. Die Vorinstanz hat nicht nur das Alter von D._, sondern insbesondere auch die Tatsache berücksichtigt, dass er unter dem Einfluss seines Bruders steht und die Tragweite der Situation zu wenig erfassen kann (E. 4.3 hiervor). Von daher ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz dem Wunsch von D._ nicht die entscheidende Bedeutung beigemessen hat. Eine Verletzung von Bundesrecht ist nicht auszumachen.
4.6.3.
4.6.3.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, im vorliegenden Fall sei die Unparteilichkeit der Gutachterinnen mehrfach verletzt worden. Zum einen hätten sie weit mehr Kontakt mit der Mutter gepflegt und insbesondere mit dem Vertreter der Mutter ein Telefongespräch geführt, was mit dem Vertreter des Vaters nicht geschehen sei. Zudem hätten die Gutachterinnen in ihrem ergänzenden Bericht vom 12. August 2015 eingeräumt, dass ihnen diverse Schreiben aus dem Umfeld des Vaters unbekannt waren, die mit der Stellungnahme vom 30. Juni 2015 eingereicht worden seien. Überdies sei das Gutachten insgesamt mangelhaft, sodass die Vorinstanz nicht hätte darauf abstellen dürfen.
4.6.3.2. Wie sich aus den Darlegungen des angefochtenen Entscheides ergibt, haben die kantonalen Instanzen nicht auf die Empfehlungen des Gutachtens abgestellt, sondern eine Trennung der Kinder vorgenommen. Sodann hätte der Beschwerdeführer die Vorbehalte hinsichtlich der Unparteilichkeit der Gutachterinnen im kantonalen Verfahren vorbringen und den Ausstand der Fachpersonen verlangen müssen. Dass er entsprechend verfahren wäre, legt der Beschwerdeführer nicht substanziiert dar. Im vorliegenden bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren sind diese Vorbringen infolge Verletzung des Grundsatzes des Handelns nach Treu und Glauben unbeachtlich (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>; <ref-ruling> E. 4.3.1; <ref-ruling> E. 4.3). Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
4.6.4.
4.6.4.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Annahme, dass die Mutter vor Aufnahme des Getrenntlebens die Kinder hauptsächlich betreut habe, sei falsch. Sie sei bis 2013 immer voll erwerbstätig bzw. wegen ihres Burnouts arbeitsunfähig gewesen. Aus dem Gutachten ergebe sich, dass die Grossmutter väterlicherseits neben den erwerbstätigen Eltern einen Grossteil der Erziehungsarbeit geleistet hätten.
4.6.4.2. Mit diesen Ausführungen widerspricht der Beschwerdeführer ohne klaren Aktenverweis den anderslautenden Feststellungen der Vorinstanz. Auf diese appellatorische Kritik ist nicht einzutreten.
4.6.5.
4.6.5.1. Als weitere Verletzung von <ref-law> rügt der Beschwerdeführer, die Vorinstanz habe das berufliche und finanzielle Umfeld der Mutter in Kanada nicht abgeklärt.
4.6.5.2. Die Vorinstanz hat die Mutter ohne Verletzung verfassungsmässiger Rechte des Beschwerdeführers als erziehungsfähig erachtet. Überdies ist die mütterliche Obhut über den jüngeren Sohn aufgrund dessen Reifegrades und der verschiedenen Bedürfnisse angezeigt. Die Vorinstanz hat daher ohne Verletzung verfassungsmässiger Rechte des Beschwerdeführers die Obhut über den jüngeren Sohn der Mutter zuteilen dürfen. Weiterer Abklärungen bedurfte es nicht.
5. Beschwerde 5A_236/2016 Unterhaltspflicht
5.1. Im Gegensatz zur ersten Instanz hat das Obergericht die Beschwerdeführerin dazu verpflichtet, dem Vater einen Unterhaltsbeitrag für den Sohn C._ zu bezahlen. Zur Begründung seines Entscheides hat es im Wesentlichen erwogen, die Beschwerdeführerin habe in Kenntnis ihrer Unterhaltspflicht gegenüber ihren Kindern die Schweiz verlassen, wo sie bis Ende Juni 2015 Arbeitslosentaggelder von Fr. 8'000.-- pro Monat erhalten habe. Der Bezug von Arbeitslosentaggeldern belege die Vermittlungsfähigkeit der Beschwerdeführerin, was nichts anderes bedeute, als es der Beschwerdeführerin möglich und zumutbar sei, einer Erwerbstätigkeit nachzugehen. Ob sie in Kanada wieder eine Anstellung finde, die für sie zumutbar sei, könne zwar nicht leicht beurteilt werden. Sie habe sich indes die allenfalls schlechteren Erwerbsmöglichkeiten selbst zuzuschreiben, da sie in Kenntnis ihrer Unterhaltspflicht gegenüber den Kindern die Schweiz verlassen habe.
5.2. Was die Beschwerdeführerin dagegen vorbringt, vermag keine Willkür zu belegen. Zum einen stützt sie sich auf Tatsachen (sie bemühe sich um eine Anstellung und nehme alle Anstrengungen in Kauf, um ein Erwerbseinkommen zu erzielen), die sich nicht aus dem angefochtenen Entscheid ergeben, ohne eine den Begründungsanforderungen entsprechende Sachverhaltsrüge vorzutragen. Zum anderen bestreitet die Beschwerdeführerin nicht, einer Erwerbstätigkeit nachgehen zu wollen und zu können, sondern beschränkt sich auf die nicht weiter begründete Behauptung, es sei weder ihr noch dem Sohn D._ zumutbar, in die Schweiz zurückzukehren.
6.
Damit sind beide Beschwerden abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten beiden Beschwerdeführern je zur Hälfte aufzuerlegen (<ref-law>). Die Parteikosten sind demgegenüber wettzuschlagen (<ref-law>).
7.
Dem Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege ist zu entsprechen, zumal sich die Beschwerde nicht als von vornherein aussichtslos erwiesen hat und die Beschwerdeführerin als bedürftig gilt (<ref-law>). Ihr ist ihre frühere Anwältin als amtliche Rechtsbeiständin zu bestellen, die für ihre Bemühungen im bundesgerichtlichen Verfahren aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen ist (<ref-law>).
8.
Gutzuheissen ist schliesslich das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege des Sohnes C._, zumal er sich vor Bundesgericht hat vernehmen lassen und sein Standpunkt nicht von vornherein aussichtslos war. Dem Sohn wird ein amtlicher Rechtsbeistand bestellt, der für seine Bemühungen aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen ist (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 5A_236/2016 und 5A_239/2016 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen. Ihr wird Rechtsanwältin Serife Can als amtliche Rechtsbeiständin bestellt. Das Gesuch des Sohnes C._ um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen. Ihm wird Rechtsanwalt Thomas Schütt als amtlicher Rechtsbeistand bestellt.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden im Umfang von je Fr. 2'000.-- der Beschwerdeführerin und dem Beschwerdeführer auferlegt. Der Anteil der Beschwerdeführerin wird einstweilen auf die Bundesgerichtskasse genommen.
5.
Die Parteikosten werden wettgeschlagen.
6.
Rechtsanwältin Serife Can und der Vertreter des Sohnes C._, Rechtsanwalt Thomas Schütt, werden für ihre Bemühungen je mit Fr. 2'000.-- aus der Bundesgerichtskasse entschädigt.
7.
Dieses Urteil wird den Parteien, C._, Rechtsanwältin Serife Can und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Januar 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden