Faits :
A.
Le 27 janvier 2014, A._, née en 1963, mère de trois enfants (nés en 1996, 1998 et 2009), a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité en raison d'un état dépressif et anxieux, d'une obésité et d'une gonarthrose. Elle indiquait en particulier être femme au foyer depuis le 29 septembre 2000, à savoir depuis son arrivée en Suisse.
Après avoir recueilli les rapports des médecins traitants, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a confié une expertise au docteur B._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Dans son rapport du 8 avril 2016, complété le 13 mai suivant, l'expert a posé les diagnostics de trouble dépressif récurrent, épisode actuel moyen (F33.1), et de trouble de l'anxiété généralisée (F41.1). Il a conclu à une incapacité de travail de 50 % dans l'activité ménagère ainsi que dans une activité professionnelle adaptée. Considérant que l'expertise n'était pas probante, l'office AI a confié une seconde expertise au docteur C._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Ce médecin a posé le diagnostic de trouble dépressif, éventuellement récurrent, de gravité légère à moyenne, qui n'avait cependant pas de répercussion sur la capacité de travail de l'intéressée (rapport d'expertise du 28 juin 2018).
Par projet de décision du 12 octobre 2018, l'office AI a nié le droit de l'assurée à une rente d'invalidité, motif pris de l'absence d'affection entravant de façon durable et importante l'exercice d'une activité lucrative. L'assurée a contesté le refus de rente d'invalidité et a informé l'office AI qu'elle avait été engagée en qualité de coordinatrice pour clients de langue arabe à un taux d'activité de 30 % depuis le 15 octobre 2018.
Sur le vu des nouvelles pièces médicales recueillies, l'office AI a ordonné une expertise orthopédique. L'expert mandaté, le docteur D._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, a rendu son rapport le 9 décembre 2019. Il a posé le diagnostic incapacitant de gonarthrose primaire varisante et conclu que la capacité de travail était totale dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles de l'assurée, à savoir une activité sédentaire, n'impliquant que de courts déplacements à plat, sans nécessité de se mettre à genoux ou accroupie, sans marche en terrain irrégulier, montée ou descente de pentes/escaliers, et sans port de charges lourdes. Dans une telle activité adaptée, une diminution de rendement de 25 % paraissait justifiée en raison des importantes difficultés pour les déplacements.
Après avoir soumis les conclusions de l'expertise à son Service médical régional (ci-après: le SMR), l'office AI a rejeté la demande de rente d'invalidité, toujours au motif que l'assurée ne présentait pas d'atteinte à la santé invalidante (décision du 23 mars 2020).
B.
Par arrêt du 9 février 2021, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté le recours formé par l'assurée contre la décision de l'office AI du 23 mars 2020.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre cet arrêt, dont elle demande la réforme en ce sens qu'elle a droit à une rente entière de l'assurance-invalidité depuis le 27 janvier 2014. Subsidiairement, elle conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour complément d'instruction et nouvelle décision. Elle requiert par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'office AI conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales n'a pas déposé d'observations.
La recourante a répliqué.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (<ref-law>), que le Tribunal fédéral applique d'office (<ref-law>), n'étant limité ni par les arguments de la partie recourante, ni par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que ces faits aient été établis de façon manifestement inexacte - à savoir arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.2) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (cf. 105 al. 2 LTF) et que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause. Conformément à l'<ref-law>, la partie recourante doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (<ref-ruling> consid. 2).
2.
Le litige porte sur le droit de la recourante à une rente d'invalidité, singulièrement sur le point de savoir si la cour cantonale a violé le droit en confirmant l'absence d'atteinte à la santé invalidante au sens de l'assurance-invalidité.
L'arrêt entrepris expose les dispositions légales et la jurisprudence nécessaires à la résolution du litige, en particulier celles relatives à la notion d'invalidité (<ref-law> et art. 6, 7 et 8 al. 1 LPGA) et à son évaluation (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4), aux conditions du droit à une rente (<ref-law>), ainsi qu'à la valeur probante des rapports médicaux (<ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 3a) et à l'évaluation du caractère invalidant des affections psychiques (<ref-ruling>; <ref-ruling>). On peut y renvoyer.
3.
3.1. Sur le plan psychique, les premiers juges ont considéré que le rapport d'expertise du docteur B._ n'avait pas valeur probante, contrairement à celui du docteur C._ aux conclusions duquel ils se sont ralliés. Aussi ont-ils retenu que la recourante n'était pas entravée dans sa capacité à entretenir son ménage, respectivement à travailler, en raison des troubles psychiques.
Sur le plan somatique, ils ont fait leurs les conclusions du docteur D._ relatives aux diagnostics et aux limitations fonctionnelles de la recourante. Par rapport à la diminution du rendement de 25 % retenue par l'expert en raison d'importantes difficultés de déplacement, ils ont toutefois considéré, à l'instar de la doctoresse E._, médecin praticien au SMR, que cette baisse de rendement pouvait être contournée par l'usage de cannes ou d'attelles stabilisatrices pour les genoux, d'autant plus qu'une activité consistant à prendre des rendez-vous médicaux pour des tiers (en référence à l'activité de coordinatrice de l'assurée) pouvait aussi être exercée - à tout le moins partiellement - à domicile.
3.2. Les juges cantonaux ont ensuite constaté que depuis son arrivée en Suisse en 2000, la recourante n'avait jamais exercé d'activité lucrative, sous réserve de l'activité de coordinatrice à 30 % exercée du mois d'octobre 2018 au mois d'avril 2019. Il n'y avait aucune inscription de cotisations à son compte individuel AVS selon l'extrait du 10 février 2014 et la recourante avait elle-même expliqué aux docteurs C._ et D._ qu'elle n'avait jamais travaillé. Elle ne s'était en outre pas inscrite au chômage ni n'avait effectué d'autre recherche d'emploi. Aussi devait-elle être considérée comme une personne non active "par choix personnel". La réalisation d'une enquête ménagère ne se justifiait toutefois pas, faute de limitations fonctionnelles se répercutant significativement sur l'exercice d'une activité adaptée et donc, à plus forte raison, sur le plan ménager. En effet, l'organisation des tâches ménagères (la recourante prenant en charge les tâches légères, ses fils se chargeant des courses et une femme de ménage des tâches plus lourdes) était conforme au principe général de l'obligation de réduire le dommage.
3.3. Enfin, en réponse à un argument de la recourante, les juges cantonaux ont relevé que le point de savoir si l'on pouvait exiger d'elle de mettre en valeur sa capacité résiduelle de travail devait être examiné au moment où il avait été constaté que l'exercice d'une activité lucrative était médicalement exigible. En l'espèce, cet examen devait se faire au plus tard le 7 mai 2019, date à laquelle la doctoresse E._ avait estimé que l'activité habituelle de coordinatrice en langue arabe était exigible à 100 %. A cette date, la recourante était âgée de 55 ans et n'avait donc pas atteint un âge avancé au sens de la jurisprudence. Toujours selon les premiers juges, si les restrictions induites par les limitations fonctionnelles pouvaient limiter dans une certaine mesure les possibilités de retrouver un emploi, on ne pouvait pas considérer qu'elles rendaient cette perspective illusoire dans l'hypothèse d'un marché équilibré du travail. De surcroît, la recourante avait brièvement travaillé comme coordinatrice en langue arabe, ce qui indiquait qu'elle pouvait se reclasser, ceci même en n'ayant pas eu d'autres expériences professionnelles.
4.
4.1. La recourante se plaint de la violation de son droit d'être entendue (art. 29 Cst. et 6 CEDH), soit un grief de nature formelle qu'il convient d'examiner en premier lieu dans la mesure où il est susceptible d'entraîner l'annulation de la décision attaquée indépendamment des chances de succès du recours sur le fond (<ref-ruling> consid. 2.2 et les arrêts cités). Elle reproche, en substance, aux autorités précédentes de n'avoir pas déterminé son statut mixte avec des pourcentages clairement définis entre part active et part ménagère. L'arrêt entrepris n'indiquerait pas non plus son revenu avec et sans invalidité, ni les tâches ménagères qu'elle est ou non en mesure d'accomplir. Aucun rapport médical au dossier ne permettrait finalement de comprendre comment l'autorité intimée, respectivement la cour cantonale, a pu considérer qu'elle ne subissait aucune invalidité.
4.2. Le droit d'être entendu, au sens invoqué par la recourante, impose à l'autorité le devoir de motiver sa décision afin que le justiciable puisse en saisir la portée et, le cas échéant, l'attaquer en connaissance de cause. Pour satisfaire à cette exigence, il suffit que l'autorité mentionne au moins brièvement les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé sa décision (<ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 5.2). Elle n'a pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à ceux qui, sans arbitraire, peuvent être tenus pour pertinents (<ref-ruling> consid. 4.2).
4.3. A la lecture de l'arrêt attaqué, on peine à saisir le statut reconnu par les juges cantonaux à la recourante au regard de l'<ref-law>. En effet, s'ils ont expressément indiqué que celle-ci devait être considérée comme une personne non active par choix personnel, ils ont à plusieurs reprises évoqué sa capacité de travail dans une activité professionnelle adaptée et ont ainsi fait référence au statut d'une personne active (du moins partiellement). Cela dit, une motivation peu claire, voire même incohérente, ne signifie pas encore que l'autorité a violé son obligation de motiver au sens de la jurisprudence citée plus haut.
En l'espèce, se fondant sur les rapports d'expertise des docteurs C._ et D._, ainsi que sur l'avis de la doctoresse E._ du 16 décembre 2019, les juges cantonaux ont exposé les motifs pour lesquels ils concluaient à l'absence d'atteinte invalidante, à savoir en raison de l'absence de limitations fonctionnelles se répercutant significativement à la fois sur l'exercice d'une activité adaptée et sur le plan ménager. Aussi, pouvaient-ils renoncer à procéder à une comparaison des revenus, respectivement à une comparaison des activités. Sous l'angle du devoir de motivation, l'arrêt attaqué n'apparaît donc pas critiquable.
5.
5.1. Sur le fond, la recourante se plaint d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits. Elle reproche aux juges cantonaux de n'avoir pas constaté qu'elle est mère au foyer et d'avoir reconnu une pleine valeur probante au rapport d'expertise du docteur C._, lequel contiendrait des contradictions et des appréciations personnelles non étayées scientifiquement. L'expert aurait par ailleurs manifesté un parti pris en indiquant avoir appris "insidieusement" qu'elle bénéficiait de l'aide d'une femme de ménage et d'une voisine, alors qu'elle affirmait faire tout toute seule. A ce sujet, la recourante fait valoir que l'aide en question est également rapportée par les autres médecins consultés et reproche à l'expert d'avoir considéré, malgré le bénéfice de l'aide, que rien n'indiquait qu'elle n'était pas en mesure de réaliser ses tâches ménagères. En outre, en tant que l'expert est d'avis qu'elle ne souffre d'aucun isolement, son appréciation entrerait en contradiction avec les observations de son médecin traitant, le docteur F._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Enfin, la recourante se plaint de ce que l'expert voit dans ses siestes une conséquence de son surpoids là où les autres médecins verraient un signe de fatigabilité et une expression de sa dépression.
5.2. En l'occurrence, les juges cantonaux ont constaté que la recourante n'avait jamais travaillé avant sa demande de prestations d'assurance-invalidité et qu'elle s'était occupée de ses trois enfants. Se référant au rapport d'expertise du docteur C._, ils ont relevé les difficultés qu'elle avait invoquées en relation avec l'éducation de ses enfants (cf. arrêt attaqué p. 15 s.). Il n'y a dès lors pas lieu de compléter l'état de fait dans le sens requis par la recourante.
En ce qui concerne les critiques relatives au rapport d'expertise du docteur C._, elles ne suffisent pas à démontrer le manque d'objectivité de ce dernier ou l'absence de valeur probante de son expertise. Si, pris à la lettre, le terme insidieusement peut évoquer la tromperie, le fait d'avoir appris insidieusement une nouvelle - comme mentionné par le docteur C._ - se rapporte à l'expert et donne plutôt à penser que celui-ci a eu connaissance du bénéfice de l'aide ménagère au détour de la conversation. Quoi qu'il en soit, l'expert ne fait pas mention d'exagération des symptômes; il indique d'ailleurs que la recourante apparaît authentique, qu'elle n'est pas quérulente ni revendicatrice (rapport d'expertise p. 14). L'impartialité de l'expert ne saurait donc être remise en cause par l'emploi isolé du terme susmentionné. Ensuite, on ne peut déduire du seul fait que la recourante bénéficie d'une aide pour la tenue de son ménage qu'elle est limitée dans l'accomplissement de ses tâches ménagères en raison de ses troubles psychiques. Quant au fait que le docteur F._ a indiqué qu'elle vivait de manière isolée du fait qu'elle passait ses journées dans la majorité des cas seule à la maison (rapport du 25 avril 2018), il ne remet pas en question les conclusions notamment diagnostiques du docteur C._, d'autant moins que dans ce même rapport, le psychiatre traitant a également mentionné des contacts familiaux. Au demeurant le docteur C._ a reconnu un certain isolement en dehors du cercle familial dû à l'absence de maîtrise du français (rapport d'expertise p. 21 et 23). En outre, en tant que la recourante soutient que l'expert n'est pas crédible lorsqu'il rapporte d'excellentes relations avec une de ses soeurs qui lui rend visite au moins deux fois par semaine, elle perd de vue que le passage en question relève de l'anamnèse et repose donc en principe sur ses propres déclarations (rapport d'expertise p. 6). Enfin, contrairement à ce que soutient la recourante dans son mémoire, en indiquant que l'existence d'une obésité morbide ne contribuait pas à un certain dynamisme l'expert n'a pas considéré que les personnes souffrant d'obésité auraient besoin de plus de sommeil. Quant au fait que les siestes seraient un signe de fatigabilité et l'expression de sa dépression, il repose, aux dires de la recourante, sur le rapport du docteur B._, lequel a toutefois été écarté par les premiers juges, ce qu'elle ne critique pas. Pour le reste, il n'appartient pas au Tribunal fédéral d'aller rechercher lui-même dans le dossier les pièces permettant d'appuyer les allégations de la recourante, qui en tout état de cause ne fait pas état d'éléments objectivement vérifiables qui auraient été ignorés dans le cadre de l'expertise psychiatrique et qui seraient suffisamment pertinents pour en remettre en cause les conclusions. Le grief tiré de l'arbitraire est dès lors mal fondé.
6.
6.1. Invoquant la violation des art. 7, 8 et 16 LPGA, des art. 5 et 28a LAI, ainsi que de l'<ref-law>, la recourante soutient que l'invalidité, respectivement l'absence d'invalidité, n'a pas été appréciée de manière conforme au droit. A l'appui de ce moyen, elle développe une argumentation largement similaire à celle formulée au titre de la violation de son droit d'être entendue (absence de détermination des parts active et ménagère, de description des tâches ménagères et de l'impact de ses troubles dans la réalisation de ces tâches), et se plaint en particulier de l'absence d'enquête ménagère.
6.2.
6.2.1. Lors de l'examen initial du droit à la rente, il convient d'examiner quelle est la méthode d'évaluation de l'invalidité qu'il s'agit d'appliquer. Le choix de l'une des trois méthodes reconnues (méthode générale de comparaison des revenus [<ref-law> en corrélation avec l'<ref-law>], méthode spécifique [<ref-law> en corrélation avec les <ref-law> et 8 al. 3 LPGA], méthode mixte [<ref-law> en corrélation avec l'<ref-law>]) dépendra du statut du bénéficiaire potentiel de la rente: assuré exerçant une activité lucrative à temps complet, assuré non actif, assuré exerçant une activité lucrative à temps partiel. Pour déterminer la méthode applicable au cas particulier, il faut à chaque fois se demander ce que l'assuré aurait fait si l'atteinte à la santé n'était pas survenue. Lorsqu'il accomplit ses travaux habituels, il convient d'examiner, à la lumière de sa situation personnelle, familiale, sociale et professionnelle, s'il aurait consacré, étant valide, l'essentiel de son activité à son ménage ou s'il aurait vaqué à une occupation lucrative. Pour déterminer voire circonscrire le champ d'activité probable de l'assuré, il faut notamment tenir compte d'éléments tels que la situation financière du ménage, l'éducation des enfants, l'âge de l'assuré, ses qualifications professionnelles, sa formation ainsi que ses affinités et talents personnels. Selon la pratique, la question du statut doit être tranchée sur la base de l'évolution de la situation jusqu'au prononcé de la décision administrative litigieuse, encore que, pour admettre l'éventualité de l'exercice d'une activité lucrative partielle ou complète, il faut que la force probatoire reconnue habituellement en droit des assurances sociales atteigne le degré de la vraisemblance prépondérante (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 3.2 et les références).
6.2.2. L'évaluation de l'invalidité des assurés pour la part qu'ils consacrent à leurs travaux habituels nécessite l'établissement d'une liste des activités que la personne assurée exerçait avant la survenance de son invalidité, ou qu'elle exercerait sans elle, qu'il y a lieu de comparer ensuite à l'ensemble des tâches que l'on peut encore raisonnablement exiger d'elle, malgré son invalidité, après d'éventuelles mesures de réadaptation. Pour ce faire, l'administration procède à une enquête sur place et fixe l'ampleur de la limitation dans chaque domaine entrant en considération, conformément aux chiffres 3079 ss de la Circulaire de l'OFAS sur l'invalidité et l'impotence dans l'assurance-invalidité (CIIAI; ATF <ref-ruling> consid. 4.2 et les références).
En vertu du principe général de l'obligation de diminuer le dommage, l'assuré qui n'accomplit plus que difficilement ou avec un investissement temporel beaucoup plus important certains travaux ménagers en raison de son handicap doit en premier lieu organiser son travail et demander l'aide de ses proches dans une mesure convenable (<ref-ruling> consid. 4.2). La jurisprudence pose comme critère que l'aide ne saurait constituer une charge excessive du seul fait qu'elle va au-delà du soutien que l'on peut attendre de manière habituelle sans atteinte à la santé (<ref-ruling> consid. 4.2 précité; <ref-ruling> consid. 3.3.3 et les références). En ce sens, la reconnaissance d'une atteinte à la santé invalidante n'entre en ligne de compte que dans la mesure où les tâches qui ne peuvent plus être accomplies le sont par des tiers contre rémunération ou par des proches et qu'elles constituent à l'égard de ces derniers un manque à gagner ou une charge disproportionnée (<ref-ruling> consid. 4.2 précité et les références; arrêts 8C_748/2019 du 7 janvier 2020 consid. 5.3; 9C_491/2008 du 21 avril 2009 consid. 3).
6.3. En l'espèce, l'évaluation de l'invalidité par la cour cantonale ne peut pas être confirmée. Premièrement et comme on l'a relevé plus haut (consid. 4.3 supra), le statut reconnu à la recourante par la cour cantonale (statut de personne non active, voire statut mixte) est pour le moins confus. Quant à l'office intimé, si dans sa décision du 23 mars 2020 il a retenu implicitement le statut de personne active, dans sa réponse au recours, il ne se prononce toutefois pas non plus clairement sur la question. Il considère que le statut de personne sans activité lucrative retenu par les premiers juges se défend mais évoque un changement de statut courant 2018 si l'activité de coordinatrice est toujours exercée actuellement. De son côté, la recourante part du principe que son statut est mixte, sans réellement motiver son point de vue.
En l'occurrence, compte tenu de l'absence d'activité lucrative jusqu'en octobre 2018 et du fait que la recourante a elle-même indiqué être femme au foyer depuis son arrivée en Suisse dans sa demande de prestations, il y a lieu de confirmer son statut de personne non active en tout cas jusqu'en 2017. Pour la période ultérieure, il appartiendra à l'office intimé de clarifier le statut, en procédant aux mesures d'instruction nécessaires au sens du consid. 6.2.1 ci-dessus. On peut néanmoins déjà relever que dans la mesure où la recourante se prévaut elle-même d'un statut mixte, le statut de personne active à plein temps n'entre pas en considération. Or, que l'on reconnaisse à l'intéressée un statut de personne non active ou mixte, il n'était pas possible en l'espèce de faire l'impasse sur la mise en oeuvre d'une enquête ménagère. En effet, selon les constatations des premiers juges, il a été établi sur le plan somatique que la recourante souffre de gonarthrose primaire varisante entraînant des limitations fonctionnelles. Dans son rapport d'expertise, le docteur D._ a ainsi considéré qu'une activité adaptée devait être sédentaire, n'impliquer que de courts déplacements à plat, sans nécessité de se mettre à genoux ou accroupie, sans marche en terrain irrégulier, sans montée et descente de pentes/escaliers et sans port de charges lourdes. Cela étant, vu l'étendue et la nature des limitations, la juridiction cantonale ne pouvait pas exclure d'emblée un quelconque impact sur la capacité de l'assurée à tenir son ménage, d'autant moins qu'elle a constaté que la recourante bénéficiait de l'aide de ses fils pour les courses et d'une femme de ménage pour les tâches les plus lourdes. Or, si l'aide des proches peut dans une certaine mesure être exigée au titre de l'obligation de diminuer le dommage, tel n'est en tout cas pas le cas du recours à une femme de ménage rémunérée pour des tâches qui ne peuvent plus être accomplies (supra consid. 6.2.2 in fine).
En conclusion, dans la mesure où l'incidence des troubles somatiques sur l'accomplissement des tâches ménagères n'a jamais été examinée, il convient d'annuler l'arrêt cantonal ainsi que la décision administrative et de renvoyer la cause à l'office intimé pour qu'il complète l'instruction (détermination précise du statut, enquête ménagère et examen de l'impact des atteintes à la santé dans la sphère ménagère, évaluation précise du taux d'invalidité selon les méthodes reconnues) et rende une nouvelle décision.
6.4. C'est le lieu de préciser, pour autant que cette question reste pertinente au regard de l'éventuel statut mixte, que le grief de la recourante relatif à l'exigibilité de la mise en valeur de sa capacité résiduelle de travail dans une activité adaptée compte tenu de la jurisprudence "sur l'âge avancé" n'est pas fondé. Il suffit en effet de constater qu'au moment déterminant qu'elle invoque (le 16 décembre 2019), elle avait 56 ans, ce qui est loin de l'âge pertinent au sens de la jurisprudence (cf. <ref-ruling>).
7.
En ce qui concerne la répartition des frais judiciaires et des dépens, le renvoi de la cause pour nouvel examen et décision revient à obtenir gain de cause au sens des art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF, indépendamment du fait qu'une conclusion ait ou non été formulée à cet égard, à titre principal ou subsidiaire (ATF <ref-ruling> consid. 11.1). Les frais judiciaires ainsi que les dépens auxquels peut prétendre la recourante seront dès lors mis à la charge de l'intimé, qui succombe, ce qui rend la demande d'assistance judiciaire sans objet. La cause sera renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure antérieure (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis. L'arrêt du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, du 9 février 2021 et la décision de l'intimé du 23 mars 2020 sont annulés. La cause est renvoyée à l'intimé afin qu'il complète l'instruction et rende une nouvelle décision. Le recours est rejeté pour le surplus.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3.
L'intimé versera à l'avocate de la recourante la somme de 2800 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
La cause est renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure cantonale.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 25 novembre 2021
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
La Greffière : Castella