Sachverhalt:
A.
Mit Strafantrag vom 8. Februar 2013 beantragte Rechtsanwalt B._ für A._ bei der Staatsanwaltschaft Höfe Einsiedeln die Eröffnung einer Strafuntersuchung und die Bestrafung von X._ wegen Beschimpfung. Gegenstand der Eingabe war ein Schlichtungsverfahren vor dem Vermittleramt Höfe vom 5. Februar 2013, im Rahmen dessen X._ A._ als "Idioten" bezeichnet haben soll. Dem Strafantrag lag eine undatierte und von A._ unterschriebene Generalvollmacht bei.
Die Staatsanwaltschaft Höfe Einsiedeln sprach X._ mit Strafbefehl vom 23. Oktober 2015 der Beschimpfung schuldig. Sie auferlegte ihm eine bedingte Geldstrafe von zehn Tagessätzen zu Fr. 190.-- bei einer Probezeit von zwei Jahren sowie eine Busse von Fr. 470.-- als Zusatzstrafe zu einem Strafbefehl aus dem Jahre 2015.
Auf Einsprache hin bestätigte das Bezirksgericht Höfe am 7. Juni 2016 den Strafbefehl im Schuldpunkt. Es bestrafte X._ mit einer bedingten Geldstrafe von acht Tagessätzen zu Fr. 310.-- bei einer Probezeit von zwei Jahren sowie einer Busse von Fr. 620.-- als Zusatzstrafe zu einem Strafbefehl aus dem Jahre 2015.
Auf Berufung von X._ bestätigte das Kantonsgericht Schwyz am 25. April 2017 den Entscheid des Bezirksgerichts Höfe, wobei es die Geldstrafe auf vier Tagessätze festlegte und auf eine Busse verzichtete.
B.
X._ führt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt, das Urteil des Kantonsgerichts sei aufzuheben, und auf die Anklage sei mangels Strafantrag nicht einzutreten. Eventualiter sei er vom Vorwurf der Beschimpfung freizusprechen, subeventualiter sei er von Strafe zu befreien.
C.
Das Kantonsgericht und die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Schwyz verzichten auf Vernehmlassung, ebenso A._ nach zweimaliger Fristerstreckung.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz unter Hinweis auf <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung vor (Beschwerde S. 4 ff.).
1.2. Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; vgl. auch Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Offensichtlich unrichtig im Sinne von <ref-law> ist die Sachverhaltsfeststellung, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 244; <ref-ruling> E. 2.2 S. 313; je mit Hinweis; vgl. zum Begriff der Willkür <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 244; <ref-ruling> E. 4.1 S. 566; je mit Hinweisen).
1.3. Der Beschwerdeführer stellt sich zusammengefasst auf den Standpunkt, es liege nur eine standardisierte Generalvollmacht vor. Es sei nicht erstellt, ob und gegebenenfalls wann A._ (Beschwerdegegner 2) Rechtsanwalt B._ bevollmächtigt habe, gegen ihn (den Beschwerdeführer) Strafantrag einzureichen. Die Vorinstanz habe weder Abklärungen vorgenommen noch Zeugen befragt. Beweise lägen keine vor. Vielmehr würden die vorinstanzlichen Schlussfolgerungen einzig auf Vermutungen und Hypothesen beruhen und seien willkürlich. Aus der undatierten Vollmacht könne nicht geschlossen werden, diese sei im Hinblick auf den konkreten Strafantrag erteilt worden. Könne nicht nachvollzogen werden, wann eine Vollmacht unterzeichnet worden sei und was diese umfasse, habe der Antragsteller respektive der Staat und nicht der Beschuldigte die Folgen der Beweislosigkeit zu tragen (Beschwerde S. 4 ff.).
1.4. Die Vorinstanz stellt fest, der Beschwerdegegner 2 habe durch seinen Kanzleimitarbeiter Rechtsanwalt B._ Strafantrag gegen den Beschwerdeführer einreichen wollen und Rechtsanwalt B._ entsprechend bevollmächtigt. Diesen Schluss zieht die Vorinstanz einzig aus einer in den Akten liegenden Vollmacht (Untersuchungsakten act. 3.3.02), ohne auf weitere Beweismittel abzustellen. Sie unterstreicht, die Vollmacht werde durch die Zusätze "in Sachen: X._" und "betreffend Schlichtungsverhandlung vom 5. Februar 2013" konkretisiert. Sie erwägt, es sei nicht ersichtlich, zu welch anderem Zweck als zur Einleitung des Strafverfahrens wegen Beschimpfung die Vollmacht hätte erteilt werden sollen. Es könne davon ausgegangen werden, dass die undatierte Vollmacht nach der Schlichtungsverhandlung ausgestellt worden sei. Andernfalls wäre kaum nur der Beschwerdeführer aufgeführt worden. Die Vollmacht könne nur eine Sache betreffen, welche sich anlässlich der Schlichtungsverhandlung ereignet habe (Entscheid S. 5 ff.).
Der Beschwerdeführer bezeichnet die entsprechenden vorinstanzlichen Erwägungen zu Recht als blosse Vermutungen und Hypothesen. Ob ein gültiger Strafantrag vorliegt, ist eine Prozessvoraussetzung. Dazu trifft die Vorinstanz keine genügenden Feststellungen (vgl. Urteil 6B_1404/2016 vom 13. Juni 2017 E. 1.1.3). Vielmehr geht der vorinstanzliche Entscheid in Bezug auf die Frage, ob der Strafantrag vom 8. Februar 2013 tatsächlich auf einer speziellen Ermächtigung zurückgeht, nicht über blosse Interpretationen und Vermutungen hinaus. Dies gilt etwa, soweit die Vorinstanz das Interesse an einer Mandatierung von (unter anderem) Rechtsanwalt B._ einzig in einer Strafverfolgung des Beschwerdeführers sieht. Dies gilt aber auch, soweit die Vorinstanz festhält, mit Blick auf den schriftlichen Strafantrag müsse der Beschwerdegegner 2 Rechtsanwalt B._ über den Verlauf der Schlichtungsverhandlung und seine Absichten zur Erhebung eines Strafantrags informiert haben. Dazu hält der Beschwerdeführer fest, der Beschwerdegegner 2 müsse zwar seinen Rechtsvertreter vor der Eingabe vom 8. Februar 2013 über den Verlauf der Schlichtungsverhandlung informiert haben. Dass aber beim Instruktionsgespräch gleichzeitig der Auftrag erteilt worden wäre, Strafantrag zu erheben, könne daraus nicht gefolgert werden. Es stelle sich die Frage, weshalb der als Rechtsanwalt tätige Beschwerdegegner 2 einen Strafantrag nicht ausdrücklich erwähnt habe, wenn er einen solchen gewollt hätte. Insbesondere dürfe aus dem Strafantrag vom 8. Februar 2013 nicht rückwirkend geschlossen werden, dass die Vollmacht diesen Strafantrag umfasse. Diese Ausführungen sind zutreffend. Indem die Vorinstanz einzig durch die Interpretation der in den Akten liegenden undatierten Generalvollmacht davon ausgeht, der Strafantrag vom 8. Februar 2013 beruhe auf einer speziellen Ermächtigung, ohne in ihrer Beweiswürdigung allfällige weitere Beweismittel zu berücksichtigen, stellt sie den Sachverhalt offensichtlich unrichtig fest.
1.5. Das Recht, Strafantrag zu stellen, ist grundsätzlich höchstpersönlicher Natur und unübertragbar (<ref-ruling> E. 2.3.4 S. 387; <ref-ruling> E. 2.1 S. 98 f.; je mit Hinweisen). Daraus folgt aber nicht, dass das Antragsrecht nicht auch von einem Vertreter ausgeübt werden kann. Wo immaterielle höchstpersönliche Rechtsgüter betroffen sind, welche dem Berechtigten naturgemäss innewohnen oder von ihrem Status herrühren, bedarf es nicht nur einer generellen, sondern einer speziellen, auf den konkreten Fall zugeschnittenen ausdrücklichen oder konkludenten Ermächtigung (<ref-ruling> E. 3c S. 208 f.; Urteil 6B_334/2012 vom 26. September 2012 E. 2.2; je mit Hinweisen).
Die willkürliche Sachverhaltsfeststellung betrifft deshalb entscheidrelevante Sachverhaltselemente.
2.
2.1. Es stellt sich die Frage, ob das vorinstanzliche Sachverhaltsfundament eine Prüfung des einschlägigen Bundesrechts ermöglicht. Aus prozessökonomischen Gründen ist darauf unabhängig von der Problematik einer rechtsgenügenden Ermächtigung einzugehen.
Wer jemanden in anderer Weise durch Wort, Schrift, Bild, Gebärde oder Tätlichkeiten in seiner Ehre angreift, wird, auf Antrag, mit Geldstrafe bis zu 90 Tagessätzen bestraft (<ref-law>). Hat der Beschimpfte durch sein ungebührliches Verhalten zu der Beschimpfung unmittelbar Anlass gegeben, so kann der Richter den Täter von Strafe befreien (<ref-law>). Ist die Beschimpfung unmittelbar mit einer Beschimpfung oder Tätlichkeit erwidert worden, so kann der Richter einen oder beide Täter von Strafe befreien (<ref-law>). Die Kundgabe der Verachtung kann gegenüber dem Betroffenen wie auch gegenüber Drittpersonen erfolgen. Im Fall von <ref-law> muss der Täter noch in der durch das ungebührliche Verhalten erregten Gemütsbewegung gehandelt haben (ANDREAS DONATSCH, Delikte gegen den Einzelnen, 10. Aufl. 2013, S. 392 und 395). Ein ungebührliches Verhalten kann etwa in einer Provokation liegen durch unberechtigte Vorwürfe (BERNARD CORBOZ, Les infractions en droit suisse, Vol. I, 3. Aufl. 2010, N. 34 zu <ref-law>; TRECHSEL/LIEBER, in: Schweizerisches Strafgesetzbuch, Praxiskommentar, 3. Aufl. 2018, N. 7 zu <ref-law>).
2.2. Die Vorinstanz geht in tatsächlicher Hinsicht davon aus, dass der Beschwerdeführer den Beschwerdegegner 2 als "Idioten" bezeichnete und ihm gegenüber damit seine Missachtung ausdrücken wollte. Entweder habe sich der Beschwerdeführer anlässlich der Schlichtungsverhandlung zu C._ umgedreht und ihm gesagt: "C._, lass den Idioten (sein) ". Oder der Beschwerdeführer habe den Beschwerdegegner 2 direkt als "Idioten" bezeichnet. Damit ist betreffend das dem Beschwerdeführer vorgeworfene Verhalten genügend klar umschrieben, auf welchem festgestellten Sachverhalt der vorinstanzliche Entscheid beruht. Der Beschwerdeführer bringt demgegenüber vor, es sei das Wort "Idiot" gefallen, mit welcher Wortwahl und gegenüber wem sei aber nicht klar und der Sachverhalt deshalb nicht genügend erstellt. Die Rüge ist unbegründet. Die genaue Wortwahl wie auch der Adressat der gegen den Beschwerdegegner 2 gerichteten Äusserung (C._ oder der Beschwerdegegner 2) können dahingestellt bleiben.
Weitere tatsächliche Feststellungen, welche die Vorinstanz unter den Ziffern 2 und 3 ihres Urteils vermischt mit rechtlichen Erwägungen bruchstückhaft trifft, lassen sich nicht ohne Weiteres herauslesen. Eine Trennung von Tat- und Rechtsfragen ist nicht klar gegeben. So sei der fragliche Ausdruck eine "Reaktion auf das Verhalten des Privatklägers" gewesen. Den Beschwerdeführer habe "das seiner Einschätzung nach herablassende Verhalten des Privatklägers" nicht überraschend getroffen (Entscheid S. 12). Die als Zeugin befragte Vermittlerin habe die Situation als sehr emotional beschrieben. Sie habe aber "nicht den Eindruck gehabt, dass der Privatkläger vor dem Fallen dieses Wortes aggressiv gewesen sei" (Entscheid S. 16). Zudem habe "auch D._ den Privatkläger ihr gegenüber als aggressiv und herablassend" empfunden. Dennoch "nahm sie ihn nicht als 'Idioten' wahr". Die "angebliche Arroganz" des Privatklägers habe sich gegen sie gerichtet (E ntscheid S. 17 f.). Diese Erwägungen sind nicht nur teilweise widersprüchlich. Sie gehen auch nicht über bloss vage formulierte und in diesem Sinne interpretationsbedürftige Erwägungen hinaus. Es bleibt unklar, was die Vorinstanz zur Situation feststellt, bevor der Beschwerdeführer den Beschwerdegegner 2 mit "Idiot" bezeichnete.
2.3. Nach <ref-law> müssen beim Bundesgericht anfechtbare Entscheide die massgebenden Gründe tatsächlicher und rechtlicher Art enthalten. Der vorinstanzliche Entscheid hat eindeutig aufzuzeigen, auf welchem festgestellten Sachverhalt und auf welchen rechtlichen Überlegungen er beruht (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 245 f. mit Hinweisen). Die Begründung ist insbesondere mangelhaft, wenn der angefochtene Entscheid jene tatsächlichen Feststellungen nicht trifft, die zur Überprüfung des eidgenössischen Rechts notwendig sind oder wenn die rechtliche Begründung des angefochtenen Entscheids so lückenhaft oder unvollständig ist, dass nicht geprüft werden kann, wie das eidgenössische Recht angewendet wurde. Die Begründung ist ferner mangelhaft, wenn einzelne Tatbestandsmerkmale, die für die Subsumtion unter eine gesetzliche Norm von Bedeutung sind, von der Vorinstanz nicht oder nicht genügend abgeklärt wurden (<ref-ruling> E. 5b S. 287 mit Hinweis).
2.4. Der angefochtene Entscheid genügt den Anforderungen von <ref-law> nicht. Das vorinstanzliche Sachverhaltsfundament ist unzureichend. Eine Prüfung des einschlägigen Bundesrechts ist nicht möglich. Es erübrigt sich, auf die weiteren Rügen des Beschwerdeführers näher einzugehen, soweit er meint, mit der Bezeichnung "Idiot" nur seinem Ärger Luft verschafft und sich nicht tatbestandsmässig verhalten zu haben. Die Vorinstanz wird die Sachverhaltsfeststellung - soweit eine rechtsgenügende Ermächtigung bejaht werden muss (E. 1) - ergänzen und klar darlegen müssen.
3.
Der Beschwerdeführer obsiegt, soweit er eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung rügt. Deshalb und in Anwendung von <ref-law> ist der angefochtene Entscheid aufzuheben. Die Sache ist an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese einen Entscheid trifft, der den Anforderungen von <ref-law> genügt.
Die Parteien werden im Umfang ihres Unterliegens kostenpflichtig (<ref-law>). Der Beschwerdegegner 2 stellte keine Anträge und beteiligte sich nicht am Verfahren, weshalb ihm praxisgemäss keine Kosten aufzuerlegen sind. Dem Kanton Schwyz sind keine Verfahrenskosten aufzuerlegen (<ref-law>). Die vom Beschwerdeführer für das Bundesgerichtsverfahren verlangte pauschale Entschädigung von Fr. 6'000.-- (zuzüglich Spesen) erscheint mit Blick auf den nach der Aktenlage gebotenen Aufwand überhöht. Sein Anspruch ist praxisgemäss auf Fr. 3'000.-- festzusetzen. Diese Parteientschädigung hat der Kanton Schwyz als unterliegende Partei zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Kantonsgerichts Schwyz vom 25. April 2017 wird aufgehoben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Der Kanton Schwyz hat dem Beschwerdeführer eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Schwyz, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Juli 2018
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Faga