Sachverhalt:
A.
Aufgrund einer Strafanzeige von A._ wegen übler Nachrede bzw. Verleumdung führt das Untersuchungsamt St. Gallen ein Strafverfahren gegen B._. In seiner Stellung als Privatkläger stellte A._ am 21. Februar 2019 ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Am 27. Februar 2019 wies das Untersuchungsamt dieses ab. Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde schützte die Anklagekammer des Kantons St. Gallen am 8. Mai 2019 teilweise. Sie bejahte seinen Anspruch auf unentgeltliche Rechtpflege (Art. 136 Abs. 2 lit. a und b StPO) mit Wirkung ab dem 21. Februar 2019, nicht hingegen auf die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands (<ref-law>). Auf die von A._ hiergegen eingereichte Beschwerde trat das Bundesgericht am 19. Juni 2019 nicht ein, da sie den gesetzlichen Formerfordernissen nicht genügte (Urteil 1B_299/2019).
Am 8. Juli 2019 ersuchte A._ erneut um die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands. Am 9. Juli 2019 wies das Untersuchungsamt das Gesuch ab. Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde wies die Anklagekammer am 15. August 2019 ab. Die hiergegen eingereichte Beschwerde wies das Bundesgericht am 23. Juni 2020 ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 1B_473/2019).
B.
Noch bevor das Bundesgericht im Verfahren 1B_473/2019 ein Urteil fällte, reichte A._ am 4. Oktober 2019 ein weiteres Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung ein. Dieses Gesuch wies das Untersuchungsamt am 9. Oktober 2019 ab. Dagegen erhob A._ mit Eingabe vom 24. Oktober 2019 Beschwerde bei der Anklagekammer. Diese teilte ihm mit Schreiben vom 12. November 2019 mit, seine Beschwerde werde erst nach Abschluss des vor Bundesgericht hängigen Verfahrens 1B_473/2019 beurteilt. Im Nachgang zum genannten Bundesgerichtsurteil wies die Anklagekammer die Beschwerde von A._ mit Entscheid vom 25. August 2020 ab; ebenso wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren. Sie auferlegte ihm zudem die Entscheidgebühr von Fr. 1'000.--.
C.
Mit Eingabe vom 15. Oktober 2020 führt A._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht mit dem Antrag, den Entscheid der Vorinstanz vom 25. August 2020 aufzuheben und ihm für das Strafverfahren vor dem Untersuchungsamt die unentgeltliche Rechtsverbeiständung zu gewähren. Überdies stellt er Eventualanträge.
Die Anklagekammer hat (unter Verweis auf den angefochtenen Entscheid) auf Vernehmlassung verzichtet; stillschweigend ebenso das Untersuchungsamt.

Erwägungen:
1.
Der vom Beschwerdeführer angefochtene Entscheid betrifft eine Strafsache im Sinne von <ref-law> und wurde von einer letzten kantonalen Instanz gefällt (Art. 80 Abs. 1 und 2 BGG). Es handelt sich um einen das Strafverfahren nicht abschliessenden Zwischenentscheid, der geeignet ist, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> zu bewirken (<ref-ruling> E. 4 S. 338; Urteil 1B_505/2019 vom 5. Juni 2020 E. 1). Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Auf die Beschwerde ist daher grundsätzlich einzutreten.
2.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern die angerufenen Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 579). Es ist fraglich, ob die schwer verständliche Beschwerdeschrift, die überdies in weiten Teilen am Thema vorbei geht, diesen Anforderungen überhaupt genügt. Wie es sich damit verhält, kann aufgrund der nachstehenden Erwägungen aber offengelassen werden.
3.
3.1. In der Sache geht es um die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands nach <ref-law>. Die Vorinstanz hat die Notwendigkeit einer Rechtsverbeiständung des Beschwerdeführers zur Wahrung seiner Interessen in ihren Entscheiden vom 8. Mai 2019 sowie vom 15. August 2019 verneint. Die dagegen erhobenen Beschwerden wies das Bundesgericht ab bzw. trat darauf nicht ein (Urteile 1B_473/2019 vom 23. Juni 2020; 1B_ 299/2019 vom 19. Juni 2019). Damit sind die genannten Entscheide der Vorinstanz in Rechtskraft erwachsen. Infolgedessen hatte die Vorinstanz im hier angefochtenen Entscheid einzig darüber zu befinden, ob sich seither eine rechtserhebliche Änderung der Verhältnisse ergeben hatte. Sie führt hierzu aus, die vom Beschwerdeführer zwischenzeitlich eingereichte Staatshaftungsklage sei nicht geeignet, eine rechtsrelevante Änderung der Verhältnisse zu begründen, da dies das Strafverfahren gegen B._ nicht betreffe. Eine rechtserhebliche Änderung der Sachlage ergebe sich im Übrigen weder aus den Akten noch gehe dies sonstwie aus der teils schwer verständlichen Beschwerdeschrift hervor.
3.2. Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was geeignet wäre, diese Beurteilung der Vorinstanz als bundesrechtswidrig erscheinen zu lassen. Wie die Vorinstanz zutreffend in Erwägung gezogen hat, sind die Strafgerichte nicht zuständig für die Beurteilung allfälliger Ansprüche im Zusammenhang mit einer Staatshaftungsklage. Dasselbe gilt, soweit der Beschwerdeführer für die Begründung geänderter Verhältnisse sinngemäss arbeits- und kirchenrechtliche Ansprüche geltend zu machen scheint. Solche Aspekte werden im Strafverfahren - wenn überhaupt - nur soweit herangezogen, wie es für die Beurteilung des strafrechtlich relevanten Sachverhalts notwendig ist. Ebenfalls keine rechtsrelevante Änderung der Verhältnisse begründet die verschiedentliche Medienberichterstattung über das laufende Strafverfahren, stellt dies den Beschwerdeführer in seiner Stellung als Geschädigten bzw. Privatkläger doch vor keine zusätzlichen Schwierigkeiten. Eine Verletzung von <ref-law> liegt somit nicht vor, zumal die Notwendigkeit einer Rechtsverbeiständung der Privatklägerschaft rechtsprechungsgemäss ohnehin nur zurückhaltend bejaht wird (<ref-ruling> E. 2b/bb f. S. 147 f.; Urteil 1B_39/2019 vom 20. März 2019 E. 2.4).
3.3. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers hat die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid auch keine Grundrechte verletzt. Wenn sie sich im Rahmen ihrer Begründung auf das Wesentliche beschränkt und dabei nicht jedes einzelne Vorbringen des Beschwerdeführers ausdrücklich widerlegt hat, stellt dies keine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) dar (<ref-ruling> E. 5.2 S. 70 f.). Nicht ersichtlich ist sodann, inwieweit den kantonalen Instanzen im vorliegenden Verfahren eine formelle Rechtsverweigerung (hierzu <ref-ruling> E. 2.1 S. 9) vorzuwerfen ist, sind sie doch auf das erneute Gesuch des Beschwerdeführers um die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistand eingetreten und haben die Sache innert nützlicher Frist beurteilt. Auch eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung oder sonstige Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) durch die Vorinstanz ist nicht ansatzweise dargetan. Nicht zu beanstanden ist es schliesslich, wenn die Vorinstanz dem Beschwerdeführer die Verfahrenskosten auferlegte, da sie die bei ihr erhobene Beschwerde als aussichtslos beurteilt und deshalb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren abgewiesen hat. Der Umstand, dass die Vorinstanz dem Beschwerdeführer im hängigen Strafverfahren mit Entscheid vom 8. Mai 2019 die unentgeltliche Rechtspflege gewährt hat, ändert daran nichts, hat dies doch nur Auswirkungen auf den Kostenentscheid des eigentlichen Strafverfahrens.
4.
Die Beschwerde erweist sich nach dem Dargelegten als offensichtlich unbegründet. Sie ist deshalb abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann. Da sie aussichtslos war, kann die unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gemäss <ref-law> nicht bewilligt werden. Unter den gegebenen Umständen rechtfertigt es sich jedoch, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Untersuchungsamt St. Gallen und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Dezember 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Hahn