Sachverhalt:
A.
Der 1988 geborene A._ meldete sich anfangs 2018 unter Hinweis auf zahlreiche gesundheitliche Beeinträchtigungen (u.a.: Hüftgelenksfehlstellung mit Schmerzen, posttraumatische Belastungsstörung nach wiederholtem Missbrauch in der Kindheit, Verdacht auf kombinierte Persönlichkeitsstörung, rezidivierende depressive Störung, Aufmerksamkeitsdefizit-/Hyperaktivitätsstörung [ADHS], Migräneanfälle, Nacken- und Rückenschmerzen nach Schleudertrauma 2013 sowie Substanzabhängigkeiten) bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Solothurn (fortan: IV-Stelle) traf erwerbliche und medizinische Abklärungen. Insbesondere holte sie einen Bericht der Psychiatrischen Klinik B._ vom 16. Mai 2018 ein sowie ein orthopädisch-psychiatrisches Gutachten der ABI Ärztliches Begutachtungsinstitut GmbH, Basel (Expertise vom 15. Oktober 2018), wozu in der Folge der Regionale Ärztliche Dienst (RAD) sowie die behandelnden Ärzte und der Psychologe der Psychiatrischen Klinik B._ Stellung nahmen (der RAD am 12. Dezember 2018 und die Psychiatrische Klinik B._ am 11. April 2019). Die Stellungnahme der Psychiatrischen Klinik B._ wurde den Gutachtern nach Rücksprache mit dem RAD nicht vorgelegt. Gestützt auf das ABI-Gutachten lehnte die IV-Stelle mit Verfügung vom 7. Januar 2020 einen Leistungsanspruch (berufliche Massnahmen, Invalidenrente) ab (Invaliditätsgrad: 15 %).
B.
Die hiergegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 10. Februar 2021 ab.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt, es sei das vorinstanzliche Urteil vom 10. Februar 2021 aufzuheben und die IV-Stelle zu verpflichten, ihm die gesetzlichen Leistungen auszurichten. Ausserdem sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>) und kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; zum Ganzen <ref-ruling> E. 4).
1.2. Die konkrete Beweiswürdigung durch die Vorinstanz stellt eine Tatfrage dar; dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln frei überprüfbare Rechtsfrage (statt vieler: <ref-ruling> E. 3.2 und E. 4.1; Urteil 9C_617/2020 vom 13. Januar 2021 E. 1.2), ebenso wie die Frage nach der Erfüllung der Anforderungen an den Beweiswert ärztlicher Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 3a; Urteil 9C_568/2020 vom 25. März 2021 E. 1.2). Frei überprüfbare Rechtsfrage ist auch, ob und inwieweit die medizinischen Experten ihre Arbeitsfähigkeitsschätzung unter Beachtung der massgebenden Indikatoren (Beweisthemen) hinreichend und nachvollziehbar begründet haben. Ärztlicherseits ist insbesondere substanziiert darzulegen, aus welchen medizinisch-psychiatrischen Gründen die erhobenen Befunde das funktionelle Leistungsvermögen und die psychischen Ressourcen in qualitativer, quantitativer und zeitlicher Hinsicht (nicht) zu schmälern vermögen (<ref-ruling> E. 4.3; <ref-ruling> E. 6).
2.
Strittig ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hat, indem sie die leistungsablehnende Verfügung der IV-Stelle vom 7. Januar 2020 bestätigt hat. Der Versicherte bejaht dies im Wesentlichen mit Verweis auf eine nicht rechtsgenügliche Abklärung des medizinischen Sachverhalts (Art. 61 lit. c bzw. <ref-law>). Das psychiatrische Teilgutachten der ABI berücksichtige weder die Vorakten, noch sei es umfassend; es beruhe zudem nicht auf alllseitigen Untersuchungen und leuchte in der Darstellung der medizinischen Zusammenhänge sowie der Beurteilung der medizinischen Situation nicht ein.
3.
Das kantonale Gericht erwog zum Beweiswert der bidisziplinären Expertise des ABI, diese sei in Kenntnis der vorhandenen Aktenlage, nach eingehender Untersuchung des Beschwerdeführers und von ausgewiesenen Fachärzten auf den entsprechenden Gebieten erstellt worden. Soweit eine unvollständige Aktenlage bemängelt werde, sei nicht ersichtlich, inwiefern die Ausforschung weiterer Berichte zielführend gewesen wäre, zumal auch im Beschwerdeverfahren kaum weitere Unterlagen zu psychiatrischen Behandlungen eingereicht worden seien und nicht ersichtlich sei, dass es dem psychiatrischen Gutachter nicht möglich gewesen wäre, im Rahmen der Begutachtung eine komplette Anamnese und Befunderhebung durchzuführen. Inhaltlich lege er seine Befunde und Diagnosen nachvollziehbar dar; eine Indikatorenprüfung sei auf der Grundlage des Gutachtens möglich.
4.
4.1. Im Einzelnen macht der Beschwerdeführer zu Recht geltend, dass sich nicht nachvollziehen lässt, wenn der psychiatrische Gutachter des ABI das Vorliegen einer posttraumatischen Belastungsstörung allein aufgrund der Tatsache verneint hat, dass der Versicherte im Untersuchungsgespräch gut über die erlittenen Traumatisierungen habe reden können, keine Erregtheit oder emotionale Abstumpfung gezeigt habe und emotional sehr gut zugänglich gewesen sei. Dies gilt umso mehr, als er richtig darauf hinweist, dass sich dem Gutachten weder eine Auseinandersetzung entnehmen lässt mit den im Bericht der Psychiatrischen Klinik B._ vom 16. Mai 2018 in diesem Zusammenhang erhobenen Befunden (etwa: Flashbacks, Albträume, starke emotionale Belastungen und emotionale Abstumpfung, regelhafte zwischenmenschliche Konflikte sowie impulsive Durchbrüche) - was der psychiatrische Gutachter unter der Überschrift "7.3.3 Diskussion zu den Akten und früheren Untersuchungen aus psychiatrischer Sicht" darlegt, stellt entgegen dem verwendeten Titel jedenfalls keine solche dar - noch eine diesbezügliche Nachfrage beim Exploranden. Ebensowenig lässt sich die Diagnose einer im Gutachtenszeitpunkt leichten depressiven Episode nachvollziehen, zumal etwa unklar bleibt, ob der psychiatrische Gutachter eine Konzentrationsstörung objektiviert haben will und inwieweit er Befunde wie vermehrte Müdigkeit und Verstimmungen unter Verweis auf den Substanzabusus ausklammert oder auf das depressive Geschehen zurückführt. Schliesslich lässt sich - mit dem Versicherten - auch die gutachterliche Einordnung der Substanzkonsumstörung als ohne Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit nicht nachvollziehen, zumal der psychiatrische Gutachter gleichzeitig festhält, es seien im Zusammenhang damit der Führerschein entzogen worden, der Versicherte in einem betreuten Wohnangebot der Organisation C._ untergebracht, und berufliche Massnahmen erst dann sinnvoll, wenn er sich (erneut) in eine suchtspezifische Behandlung begebe und in einem Substitutionsprogramm kein Beikonsum stattfinde.
4.2. Es kommt hinzu, dass sich der psychiatrische Gutachter bei der Begutachtung augenfällig nicht an den Indikatoren gemäss <ref-ruling> orientiert und entsprechend wesentliche Entscheidgrundlagen gar nicht erhoben hat. So fehlen in der Kategorie "funktioneller Schweregrad" nicht nur nähere Ausführungen zu den gesundheitlichen Beeinträchtigungen, insbesondere zur konkreten Ausprägung der diagnoserelevanten Befunde und Symptome, sondern auch eine Auseinandersetzung mit dem bisherigen Behandlungs- und Eingliederungserfolg, den - offensichtlich vorhandenen und im Vorbericht der Behandler angesprochenen - Komorbiditäten sowie mit dem Komplex der "Persönlichkeit" (letzteres trotz bereits in der Anmeldung zum Leistungsbezug erwähnten Verdachts auf eine kombinierte Persönlichkeitsstörung). Diesen Mangel an Tatsachenfundament vermag die Vorinstanz durch erstmalige Vornahme einer Indikatorenprüfung (vorinstanzliche Erwägung 7.3) nicht zu beheben.
4.3. Nach dem Gesagten erlaubte das bidisziplinäre ABI-Gutachten vom 17. Oktober 2018 keine schlüssige Beurteilung der Arbeitsfähigkeit des Versicherten auf objektivierter Grundlage im Lichte der massgeblichen Indikatoren gemäss <ref-ruling>. Die Vorinstanz hat Bundesrecht verletzt, indem sie gestützt auf diese unvollständige Beweislage entscheiden hat.
Vorliegend fehlt eine beweiswertige medizinische Entscheidgrundlage. Mit Blick auf die Invaliditätsbemessung (<ref-law>) drängt sich zudem die Frage nach einer allenfalls bestehenden Frühinvalidität auf, die gegebenenfalls weiterer Klärung bedarf. Offensichtlich zu kurz greift in diesem Zusammenhang der Schluss der Vorinstanz, da der Versicherte fast 10 Jahre im Arbeitsleben gestanden habe, bestünden bei ihm die gleichen Verdienstmöglichkeiten wie bei einer nicht invaliden Person mit der gleichen nicht abgeschlossenen Ausbildung. Einerseits ist damit nichts gesagt dazu, ob es dem Versicherten aufgrund einer gesundheitlichen Beeinträchtigung nicht möglich war, zureichende berufliche Kenntnisse zu erwerben, was umso schwerer wiegt, da - entgegen der offensichtlich unrichtigen Feststellung der Vorinstanz - durchaus Anhaltspunkte für gesundheitliche Beeinträchtigungen bereits im Kindes- und Jugendalter aktenkundig sind (vgl. so gemäss Bericht der Psychiatrischen Klinik B._ vom 16. Mai 2018 ein ADHS diagnostiziert in Kindheit und Adoleszenz und ein Missbrauchstrauma 2001/2002; selbst der psychiatrische Gutachter geht von bereits in der Kindheit bestehendem ADHS aus, wie die Vorinstanz in ihrer Erwägung 7.2 insoweit richtig wiedergibt). Anderseits lässt sich eine Fähigkeit des Versicherten, näherungsweise den durchschnittlichen statistischen Verdienst eines ungelernten Hilfsarbeiters zu erzielen, offensichtlich nicht aus seiner bisherigen Arbeitstätigkeit ableiten. Dem Auszug aus seinem individuellen Konto ist vielmehr zu entnehmen, dass er nach Ende der - gemäss Feststellung der Vorinstanz nicht bestandenen - Ausbildung als Betriebspraktiker zwar immer wieder erwerbstätig war, jedoch mitunter nur für relativ kurze Zeit und mit (sehr) tiefen Einkommen (von durchschnittlich unter Fr. 20'000.- pro Jahr zwischen 2008-2016; zuletzt als Selbständigerwerbender jährlich ca. Fr. 20'000.- bis Fr. 25'000; demgegenüber betrug gemäss der schweizerischen Lohnstrukturerhebung des Bundesamtes für Statistik der monatliche Bruttolohn für Männer in einfachen Hilfstätigkeiten über sämtliche privaten Wirtschaftssektoren hinweg im Jahr 2016 Fr. 5340.- entsprechend jährlich Fr. 64'080.-). Der Sachverhalt kann diesbezüglich ergänzt werden (oben E. 1.1).
Angesichts des umfassenden weiteren Abklärungsbedarfs ist die Sache an die Verwaltung zurückzuweisen. Sie wird eine erneute polydisziplinäre Begutachtung einzuleiten, weitere erwerbliche Abklärungen zu treffen und alsdann neu zu verfügen haben. Die einzuholende Expertise wird sich unter Berücksichtigung der massgeblichen Indikatoren gemäss <ref-ruling> insbesondere mit den wechselseitigen Einflüssen der verschiedenen psychischen und physischen Gebrechen (etwa: Substanzkonsumstörung im Verhältnis zur Schmerzproblematik, zur Medikation der depressiven Störung sowie der Aktivitäts- und Aufmerksamkeitsstörung) auseinanderzusetzen und gegebenenfalls auch aufzuzeigen haben, inwiefern hinsichtlich des Substanzkonsums die Auflage einer Schadenminderungspflicht in Frage kommt.
4.4. Gebricht es bereits am Beweiswert des ABI-Gutachtens vom 15. Oktober 2018, erübrigen sich Weiterungen dazu, ob die im Verlauf des vorinstanzlichen Verfahrens eingereichten medizinischen Akten - insbesondere der Bericht der Psychiatrischen Klinik B._ vom 11. April 2019 - nachträglich Anlass gaben, an dessen Schlüssen zu zweifeln.
5.
Die Beschwerde ist nach dem Gesagten insofern begründet, als der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben ist. Eine Leistungszusprache kommt bei unvollständiger Tatsachengrundlage nicht in Frage. Das darauf abzielende Begehren wird in der Beschwerde denn auch nicht begründet, so dass darauf zum vornherein nicht einzutreten ist (<ref-law>).
6.
Hinsichtlich der Prozesskosten gilt die Rückweisung der Sache zu neuem Entscheid praxisgemäss als volles Obsiegen, unabhängig davon, ob sie beantragt oder ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder im Eventualbegehren gestellt wird (<ref-ruling> E. 11.1). Die Gerichtskosten sind daher der unterliegenden Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>). Diese schuldet dem Beschwerdeführer zudem eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG), die direkt an seine Rechtsvertreterin auszurichten ist. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ist bei diesem Prozessausgang gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Das Urteil des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 10. Februar 2021 und die Verfügung der IV-Stelle Solothurn vom 7. Januar 2020 werden aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Abklärung und Verfügung an die IV-Stelle Solothurn zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. Juni 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Oswald