Sachverhalt:
A.
A._ besitzt seit Mai 2012 den Führerausweis für die Kategorien A1 und B. Mit Gesuch vom 12. Februar 2016 bat er um die Erteilung eines Lernfahrausweises für die Kategorie A bis 25 kW. Dabei gab er an, im Jahr 2015 in einer Heilstätte für Alkoholkranke und in einer Klinik für psychische Erkrankungen hospitalisiert gewesen zu sein. Das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons St. Gallen (STVA) ordnete daraufhin eine verkehrsmedizinische Untersuchung durch das Institut für Rechtsmedizin des Kantonsspitals St. Gallen (IRM St. Gallen) an. Im Gutachten vom 16. Juni 2016 wurde festgestellt, dass die Fahreignung aufgrund einer Alkoholabhängigkeit mit noch nicht ausreichend langer Alkoholabstinenz zurzeit nicht bejaht werden könne und vor einer Neubeurteilung eine mindestens sechsmonatige kontrollierte und betreute Alkoholabstinenz empfohlen werde. Gestützt auf dieses Gutachten stellte das STVA am 22. Juni 2016 einen Entzug des Führerausweises auf unbestimmte Zeit in Aussicht und gab A._ Gelegenheit zur Stellungnahme. Gleichzeitig verbot es ihm ab sofort vorsorglich das Führen von Motorfahrzeugen. Einen dagegen erhobenen Rekurs wies die Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen am 5. September 2016 ab. Daraufhin gelangte A._ mit Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen. Mit Präsidialentscheid vom 7. November 2016 wies dieses das Rechtsmittel ebenfalls ab.
Mit Verfügung vom 17. November 2016 ordnete das STVA eine verkehrsmedizinische Oberbegutachtung durch das Institut für Rechtsmedizin der Universität Zürich (IRM Zürich) an. Das Obergutachten vom 16. Februar 2017 bejahte ab sofort die Fahreignung von A._ unter Auflagen (regelmässige Kontrolle und Behandlung der psychischen Erkrankung, Verlaufskontrolle nach einem Jahr). Daraufhin hob das STVA am 22. Februar 2017 den vorsorglichen Führerausweisentzug auf und versah den Führer- bzw. Lernfahrausweis mit Auflagen.
Am 16. Mai 2017 reichte A._ dem Verwaltungsgericht eine mit "Wiederaufnahmebegehren und/oder Wiederaufnahmegesuch" bezeichnete Eingabe ein. Er verlangte unter anderem, der Entscheid vom 7. November 2016 sei aufzuheben.
Mit Entscheid vom 5. Oktober 2018 trat das Verwaltungsgericht auf das Gesuch nicht ein.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 8. November 2018 beantragt A._, der Entscheid des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und dieses anzuweisen, auf sein Wiederaufnahme- sowie Feststellungsbegehren einzutreten und die Kosten- und Entschädigungsfolgen in den kantonalen Verfahren zu seinen Gunsten neu zu verlegen.
Die Verwaltungsrekurskommission, das Verwaltungsgericht und das STVA haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Dagegen steht die Beschwerde ans Bundesgericht zur Verfügung. Zu prüfen ist jedoch einzig, ob das Verwaltungsgericht zu Recht einen Nichteintretensentscheid fällte (<ref-ruling> E. 1.2 S. 41). Soweit der Beschwerdeführer darüber hinausgehend verlangt, das Verwaltungsgericht sei anzuweisen, die Kosten- und Entschädigungsfolgen der kantonalen Verfahren zu seinen Gunsten neu zu verlegen, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe im vorinstanzlichen Verfahren nicht nur um Wiederaufnahme und Wiedererwägung ersucht, sondern auch ein Feststellungsbegehren betreffend die Widerrechtlichkeit des vorsorglichen Führerausweisentzugs und ein Begehren betreffend die Kosten- und Entschädigungsfolgen der kantonalen Verfahren gestellt. Bei wortgetreuer Auslegung des Entscheiddispositivs sei davon auszugehen, dass die Vorinstanz diese Begehren nicht behandelt habe, was eine Rechtsverweigerung darstelle.
2.2. Der Beschwerdeführer hatte seine Eingabe an die Vorinstanz mit "Wiederaufnahmebegehren und/oder Wiedererwägungsgesuch" betitelt. Das Verwaltungsgericht legte dar, dass gegen seine Entscheide die Wiedererwägung nicht zur Verfügung stehe und dass das Wiedererwägungsgesuch die Voraussetzungen von Art. 81 Abs. 1 lit. c des Gesetzes des Kantons St. Gallen vom 16. Mai 1965 über die Verwaltungsrechtspflege (VRP; sGS 951.1) nicht erfülle. Aus dem Entscheid geht ohne Weiteres hervor, dass das Verwaltungsgericht auch bezüglich des Feststellungsbegehrens und des Begehrens auf Änderung der Kosten- und Entschädigungsfolgen eine gesetzliche Grundlage für das Eintreten verneinte. Dass vorliegend eine andere als die vom Verwaltungsgericht erwogene Bestimmung von Art. 81 Abs. 1 lit. c VRP in Frage käme, behauptet der Beschwerdeführer denn auch nicht. Seine Kritik geht deshalb fehl. Ob das Verwaltungsgericht bei der Anwendung von Art. 81 Abs. 1 lit. c VRP Bundesrecht verletzte, ist im Folgenden zu untersuchen (E. 4 hiernach).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV). Er habe im vorinstanzlichen Verfahren unter Verweis auf eine Lehrmeinung dargelegt, weshalb das neue Gutachten des IRM Zürich einen Revisionsgrund darstelle. Das Verwaltungsgericht sei nicht darauf eingegangen.
3.2. Der Anspruch auf rechtliches Gehör verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 5.2 S. 70 f. mit Hinweisen).
3.3. Der angefochtene Entscheid genügt diesen Anforderungen. Das Verwaltungsgericht hat unter Hinweis auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung dargelegt, weshalb beim vorsorglichen Entzug des Führerausweises aufgrund eines späteren Gutachtens nicht rückwirkend auf die Widerrechtlichkeit der Massnahme geschlossen werden könne und das Obergutachten des IRM Zürich deshalb keinen Revisionsgrund darstelle. Der Beschwerdeführer konnte sich gestützt auf diese Begründung über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an das Bundesgericht weiterziehen. Das rechtliche Gehör erweist sich somit als nicht verletzt.
4.
4.1. Gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. c VRP kann gegen Verfügungen und Entscheide die Wiederaufnahme des Verfahrens mit der Begründung verlangt werden, die Behörde habe wesentliche Tatsachen oder Beweismittel, die zur Zeit des Erlasses der Verfügung oder des Entscheids bestanden hätten, nicht gekannt. Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, das Verwaltungsgericht habe diese Bestimmung willkürlich ausgelegt. Das Obergutachten des IRM Zürich habe nachgewiesen, dass das Gutachten des IRM St. Gallen qualifiziert fehlerhaft sei. Wenn sich erweise, dass ein Gutachten, auf das in einem Verfahren massgebend abgestellt wurde, in tatsächlicher Hinsicht fehlerhaft sei, müsse ein neues Gutachten als Revisionsgrund zugelassen werden. Massgebend sei, dass das neue Beweismittel nicht bloss der Tatbestandswürdigung, sondern der Tatbestandsermittlung diene (URS PETER CAVELTI/THOMAS VÖGELI, Verwaltungsgerichtsbarkeit im Kanton St. Gallen - dargestellt an den Verfahren vor dem Verwaltungsgericht, 2. Aufl., 2003, Rn. 1194).
4.2. Gemäss der ständigen Praxis des Bundesgerichts ist ein Entscheid willkürlich, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 7.3 S. 174 f. mit Hinweisen).
4.3. Das Verwaltungsgericht stützte die Begründung seines Entscheids im Wesentlichen auf das Urteil des Bundesgerichts 1C_544/2016 vom 20. März 2017. Daraus geht hervor, dass ein vorsorglicher Entzug des Führerausweises nicht allein wegen einer besseren Kenntnis des Sachverhalts nachträglich widerrechtlich wird. In jenem Fall war der Beschwerdeführer in einem Strafverfahren vom Vorwurf des Führens eines motorlosen Fahrzeugs in fahrunfähigem Zustand freigesprochen worden, worauf der zuvor angeordnete Entzug des Führerausweises widerrufen wurde. Das Bundesgericht erwog, die Behörden hätten aufgrund des jeweils bekannten Sachverhalts korrekt entschieden. Es sei zudem nicht willkürlich, in Bezug auf die Parteientschädigung vom Unterliegen des Beschwerdeführers auszugehen (a.a.O., E. 3.6 f.).
4.4. Zwar ist das vorliegende Verfahren teilweise anders gelagert, doch geht es im Wesentlichen um dasselbe. Der Entscheid über den vorsorglichen Vollzug ist - von Gesetzes wegen - vorläufiger Natur und basiert auf dem jeweils aktuellen Kenntnisstand. Entsprechend lässt Art. 30 der Verordnung vom 27. Oktober 1976 über die Zulassung von Personen und Fahrzeugen zum Strassenverkehr (VZV; SR 741.51) für den vorsorglichen Führerausweisentzug ernsthafte Zweifel an der Fahreignung genügen. Eine verbesserte Kenntnis der Sachumstände, sei es aufgrund der Beweiserhebungen in einem Strafverfahren, sei es, wie vorliegend, gestützt auf ein (neues) Gutachten, stellt die Rechtsmässigkeit des ursprünglichen Entscheids deshalb nicht in Frage. Das vom Beschwerdeführer neu vorgelegte Beweismittel war vor diesem Hintergrund von vornherein ungeeignet, an der Entscheidgrundlage etwas zu ändern. Es erscheint deshalb nicht als willkürlich, wenn das Verwaltungsgericht einen Revisionsgrund im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. c VRP verneinte bzw. auf das Gesuch schon gar nicht eintrat.
5.
Die Beschwerde ist deshalb abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt, der Verwaltungsrekurskommission, Abteilung IV, und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung III, Abteilungspräsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Januar 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Dold