Erwägungen:
1.
Das Amt für Justizvollzug des Kantons Basel-Stadt, Abteilung Straf- und Massnahmenvollzug (SMV), verweigerte am 4. August 2020 die bedingte Entlassung des Beschwerdeführers aus der Verwahrung und sah von einem Antrag an das zuständige Gericht auf Anordnung einer stationären therapeutischen Behandlung ab. Ein dagegen erhobener Rekurs wies das Appellationsgericht Basel-Stadt am 29. Oktober 2020 ab. Das Bundesgericht wies die dagegen gerichtete Beschwerde am 13. September 2021 ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 6B_1420/2020).
Der Beschwerdeführer ersucht am 24. November 2021 um Revision des bundesgerichtlichen Urteils vom 13. September 2021. Zur Begründung weist er - wie bereits in den vorangehenden Sachverfahren - auf angeblich grundlegende Unstimmigkeiten im Gutachten vom 2. April 2019 hin, welche weder im appellationsgerichtlichen Urteil vom 29. Oktober 2020 noch im bundesgerichtlichen Urteil vom 13. September 2021 beachtet worden sein sollen.
2.
Gemäss <ref-law> erwachsen Entscheide des Bundesgerichts am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft. Das Gericht kann auf ein eigenes Urteil lediglich zurückkommen, wenn einer der vom Gesetz in Art. 121-123 BGG abschliessend aufgezählten Revisionsgründe vorliegt. Der Revisionsgrund muss sich auf den Gegenstand des zu revidierenden Urteils beziehen. Die Revision dient nicht der Korrektur einer angeblich unrichtigen rechtlichen Würdigung oder Rechtsauffassung des Bundesgerichts. Der Revisionsgrund ist frist- und formgerecht geltend zu machen (<ref-law>). Gemäss <ref-law> hat der Gesuchsteller in gedrängter Form darzulegen, welcher Revisionsgrund inwiefern erfüllt sein soll (Urteil 6F_21/2019 vom 12. Juli 2019 E. 2). Fehlt es an einer rechtsgenüglichen Begründung, tritt das Bundesgericht auf ein Revisionsbegehren nicht ein.
3.
Was der Gesuchsteller vorbringt, beschränkt sich auf Kritik an der Rechtsanwendung bzw. der rechtlichen Würdigung im angeblich revisionsbedürftigen bundesgerichtlichen Urteil vom 13. September 2021. Dass das Bundesgericht Anträge unbeurteilt gelassen (<ref-law>) und/oder in den Akten liegende Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt (<ref-law>) hätte, macht er hingegen (zu Recht) nicht geltend. Seine Ausführungen erschöpfen sich darin, auf angebliche Unstimmigkeiten im Gutachten vom 2. April 2019 hinzuweisen und zu rügen, damit habe sich weder das Appellationsgericht noch das Bundesgericht befasst, was indessen nachweislich nicht zutrifft. Im Ergebnis stellt er sich mithin erneut - wie zuvor bereits in den Verfahren 6B_1169/2020 und 6B_1420/2020 - auf den Standpunkt, dass das Gutachten vom 2. April 2019 an einem offensichtlichen und entscheidrelevanten Mangel leide, weshalb ein Obergutachten zur Neueinschätzung der Legalprognose einzuholen sei. In der Sache zielt er mit seiner Kritik auf die Wiederwägung des bundesgerichtlichen Urteils ab und verkennt damit offensichtlich Wesen und Tragweite der Revision nach <ref-law>. Diese dient nicht dazu, bereits Erwogenes einer neuerlichen Diskussion zuzuführen, und sie eröffnet auch nicht die Möglichkeit, einen Entscheid, den die gesuchstellende Person für unrichtig hält, neu beurteilen zu lassen. Die rechtliche Beurteilung eines Sachverhalts kann von den Prozessparteien noch so als falsch empfunden werden, zu einer Revision berechtigt sie nicht (vgl. Urteil 6F_21/2020 vom 3. Februar 2021 E. 2.4 mit Hinweis). Aus der Eingabe des Gesuchstellers ergibt sich mithin nicht, dass und inwiefern das Bundesgericht mit seinem Urteil vom 13. September 2021 und den dieses begründenden Erwägungen einen Revisionsgrund gemäss <ref-law> gesetzt haben könnte. Das Revisionsgesuch entbehrt einer tauglichen Begründung (<ref-law>), weshalb darauf nicht eingetreten werden kann.
4.
Unter diesen Umständen kann offenbleiben, ob das Revisionsgesuch an das Bundesgericht fristgerecht erfolgt ist (<ref-law>) bzw. eine Fristwiederherstellung nach <ref-law> möglich wäre.
5.
Auf eine Kostenauflage kann ausnahmsweise verzichtet werden (<ref-law>). Das Gesuch um Kostenerlass in Bezug auf das Verfahren 6B_1420/2020 wird an den Finanzdienst des Bundesgerichts weitergeleitet.
6.
Das Bundesgericht behält sich vor, weitere offensichtlich unzulässige Revisionsgesuche in dieser Angelegenheit ohne förmliche Behandlung abzulegen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Januar 2022
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Jacquemoud-Rossari
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill