Sachverhalt:
A.
B._ und A._ sind die nicht verheirateten Eltern des 2007 in den USA geborenen C._. Anfang des Jahres 2008 übersiedelte die Mutter mit C._ ohne Einwilligung des Vaters in die Schweiz. Dieser strengte ein Rückführungsverfahren an, welches zu mehreren Bundesgerichtsurteilen führte (insbesondere Urteile 5A_105/2009 vom 16. April 2009 und 5A_721/2009 vom 7. Dezember 2009).
Nachdem die Rückführung nicht zu vollziehen war, zog der Vater im Jahr 2011 ebenfalls in die Schweiz und wohnte fortan in der gleichen Gemeinde wie Mutter und Kind. Kurz zuvor hatte der Court of Common Pleas of Centre County, Pennsylvania, USA, das Kind mit Urteil vom 16. Februar 2011 unter die gemeinsame elterliche Sorge gestellt und mit Blick auf die Übersiedlung des Vaters auch die hälftige Obhut über das Kind angeordnet. Entsprechend diesem Urteil betreuten die Eltern das Kind seither je zur Hälfte.
B.
Anfangs 2016 stellte der Vater bei der KESB U._ ein Gesuch um Zustimmung zur Verlegung des Aufenthaltsortes von C._ nach V._, Illinois, USA. Die Mutter verlangte ihrerseits die alleinige Obhut und elterliche Sorge für C._. Nach Einholung eines Gutachtens erlaubte die KESB mit Entscheid vom 27. April 2017 die Auswanderung, ebenso mit Entscheid vom 4. Juni 2018 der Bezirksrat U._ in Abweisung der Beschwerde der Mutter.
In der Folge kehrte der Vater im Juli 2018 in die USA zurück, freilich vorerst ohne C._, weil die Mutter den bezirksrätlichen Entscheid an das Obergericht des Kantons Zürich weiterzog. Mit Urteil vom 31. Oktober 2018 hiess dieses die Beschwerde gut und wies den väterlichen Antrag auf Zustimmung zum Aufenthaltswechsel von C._ ab.
C.
Gegen das obergerichtliche Urteil hat der Vater am 7. Dezember 2018 beim Bundesgericht eine Beschwerde eingereicht mit dem Begehren um dessen Aufhebung und Bestätigung der Entscheide der KESB U._ und des Bezirksrats U._. Mit Vernehmlassung vom 21. Dezember 2018 hielt die Kindesvertreterin fest, dass C._ ungebrochen den starken Wunsch habe, mit dem Vater in den USA zu leben, und es folglich dem Willen des Kindes entspreche, die Beschwerde gutzuheissen. Mit Vernehmlassung vom 11. Januar 2019 schloss die Mutter auf Abweisung der Beschwerde. Ferner stellen beide Seiten ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein sich auf <ref-law> stützender kantonal letztinstanzlicher Entscheid betreffend Zustimmung zur Auswanderung eines Kindes, mithin eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache. Die Beschwerde in Zivilsachen steht offen (Art. 72 Abs. 1, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG).
2.
Gemäss den Feststellungen im angefochtenen Urteil haben die Eltern das Kind bis zum Wegzug des Vaters in die USA in Umsetzung des erwähnten amerikanischen Sorgerechtsentscheides je ungefähr zur Hälfte betreut. Bei einem Verbleib in der Schweiz würde C._ weiterhin in W._ leben, wo er auch die Schule besucht. In V._, Illinois, würde er mit seinem Vater leben. Die Mutter verfügt über ein Einkommen von monatlich CHF 7'467.20; der Vater verfügt über eine Kriegsrente von USD 3'015.--, wobei die Lebenshaltungskosten in V._ erheblich tiefer sind als im Kanton Zürich. An beiden Orten wäre C._ in das jeweilige familiäre Umfeld eingebunden. Gemäss Berichten der Beiständin hat C._ zu beiden Elternteilen eine enge und tragfähige Beziehung, wobei er in einem grossen Loyalitätskonflikt steht. Das Gutachten attestiert beiden Elternteilen die Erziehungsfähigkeit, jedoch wird die Zustimmung zur Auswanderung empfohlen, weil C._ beim Vater mehr Wärme, Geborgenheit und Bindung erlebe als bei der Mutter. Der emotionale Zugang zu C._ sei beim Vater klar besser als bei der Mutter und C._ fühle sich diesem emotional stark verbunden. Die Beziehung der Mutter zu C._ sei stark leistungsorientiert und wenig emotional bzw. empathisch. Mit Bezug auf die Bindungstoleranz seien die Voraussetzungen für eine positive Entwicklung von C._ beim Vater besser; auch die Reflexionsfähigkeit sei bei jenem besser gewährleistet. Allerdings wird im Gutachten auch angemerkt, dass es C._ am liebsten wäre, wenn die Situation unverändert bliebe, und dass er als (damals) neunjähriger Junge sich noch keine realistischen Vorstellungen in Bezug auf seine künftige Wohnsituation in den USA wie auch der Schweiz machen könne. Die Kindesvertreterin gab in ihren Stellungnahmen jeweils den klaren und konstanten Wunsch von C._ wieder, mit seinem Vater in die USA zu ziehen; als beste Variante sähe C._ an, wenn sämtliche Bezugspersonen, also auch die Mutter und deren Familie, in den USA leben würden, wobei er wisse, dass dies nicht möglich sei. C._ selbst sprach sich im Verfahren durchwegs und gegenüber allen Beteiligten für ein Leben mit dem Vater in den USA aus.
Ausgehend von diesen Feststellungen, namentlich auch gestützt auf die gutachterliche Empfehlung, hatten die KESB und der Bezirksrat die Zustimmung zur Auswanderung von C._ erteilt. Demgegenüber kam das Obergericht zum Schluss, dass die Zustimmung zu verweigern sei. C._ müsste sich in den Alltag in den USA erst einleben und die dortige Wohnsituation, der Wechsel des Schulsystems sowie eine allfällige Veränderung der Betreuungssituation bei einer möglichen Teilerwerbstätigkeit des Vaters brächten eine wesentliche Veränderung der derzeitigen Lebenssituation mit sich, zumal auch die Freizeitbeschäftigungen und allfällige Therapien neu aufzubauen wären. Auch wenn all diese Veränderungen zumutbar seien, von C._ gewünscht würden und ihm das Umfeld in den USA aus den zahlreichen Ferienaufenthalten bestens bekannt sei, handle es sich doch um einschneidende Veränderungen, welche naturgemäss mit Unsicherheiten verbunden seien, welche nicht nur C._, sondern auch den Vater beträfen. Wie dieser sein Leben künftig gestalte, sei so kurz nach seiner Rückkehr in die USA offen und entsprechend ungewiss. Hingegen würden die Lebensbedingungen von C._ bei einem Verbleib in der Schweiz unverändert bleiben. Die Stabilität der Verhältnisse sei am besten gewahrt, wenn C._ in der Schweiz bleibe. Im Übrigen seien auch die wirtschaftlichen Verhältnisse bei der Mutter leicht besser. Was den konstanten Wunsch von C._ nach einem Wegzug in die USA betreffe, so stehe er in einem massiven Loyalitätskonflikt. Zwar wolle C._ im Fall der Verweigerung der gerichtlichen Zustimmung "weiterkämpfen"; im Rahmen der anzuordnenden Massnahmen werde er aber darin zu unterstützen sein, die Gegebenheiten zu akzeptieren und für seine persönliche Entwicklung positiv zu nutzen.
3.
Beschwerdeweise bringt der Vater in erster Linie vor, dass das Obergericht ohne triftigen Gründe vom Gutachten abgewichen sei; insbesondere habe das Obergericht gar nicht erst behauptet, dass das Gutachten nicht vollständig, nicht nachvollziehbar oder nicht schlüssig wäre, sondern eigene laienhafte Deutungen des konstant geäusserten Kinderwillens an die Stelle der gutachterlichen Folgerungen gesetzt. Sodann macht er geltend, dass der bald zwar 12-jährige C._ sich tatsächlich noch kein realistisches Bild von der zukünftigen Wohnsituation machen könne, dass er aber mit der Situation in den USA verhältnismässig gut vertraut und, was etwas völlig anderes sei, altersbedingt sehr wohl in der Lage sei zu beurteilen, bei welchem Elternteil er künftig leben möchte und zu welchem Teil er eine nähere Bindung habe. Das Obergericht sei auf diese Frage gar nicht erst eingegangen. Weiter verweist der Beschwerdeführer auf die ihm gutachterlich attestierte höhere Selbstreflexion und Bindungstoleranz und weiter auch auf die obergerichtlich nicht wiedergegebene Aussage im Gutachten, wonach beim Vater die Voraussetzungen bedeutend besser seien, dass C._ lerne, mehr und mehr eigene Entscheide für lebensprägende Fragen zu fällen. Schliesslich macht der Beschwerdeführer geltend, man könne nicht veränderte Verhältnisse in den USA gegen stabile Verhältnisse in der Schweiz ausspielen. Der Wegfall der väterlichen Unterstützung werde im Gutachten als gravierender und bedeutender erachtet als die Belastung, die durch einen Wohnortswechsel entstehen würde. Ohnehin würden auch in der Schweiz Wechsel anstehen, weil bei der KESB nach wie vor das mütterliche Gesuch um Unterbringung von C._ in einer Privatschule hängig sei. Sodann bestehe in den USA ein ebenso funktionierendes soziales und familiäres Netz; im Unterschied zur Schweiz habe C._ in V._ sogar viele Cousins und Cousinen. Er kenne auch die Schule, die er besuchen würde und die Ehefrau des Grossvaters, der Arzt ist, arbeite dort. Zunächst würden sie im vertrauten grossväterlichen Haus wohnen. Für die Folge sei ihm eine Baufinanzierung bis USD 400'000.-- zugesichert zum Kauf eines eigenen Hauses oder einer eigenen Wohnung. Sodann hätte er nebst der Veteranenrente auch Anspruch auf Unterhaltszahlungen seitens der Mutter, wenn C._ bei ihm wohnen würde. Die wirtschaftliche Situation zwischen den Elternteilen unterscheide sich also nicht gross und insbesondere könne entgegen dem Obergericht nicht von einer instabilen Situation in den USA gesprochen werden.
Die Mutter macht vernehmlassungsweise geltend, C._ kenne den Alltag in den USA nicht, sondern sei nur mit einer Feriensituation vertraut. Weiter hält sie fest, dass sie den Kontakt zwischen C._ und dem Vater immer ermöglicht und sich im Übrigen seit dem nunmehr über zwei Jahre zurückliegenden Gutachten, welches folglich nicht mehr aktuell sei, persönlich weiterentwickelt habe. Sodann sei die finanzielle Situation in den USA angesichts der kleinen Rente des Vaters prekär. Schliesslich beruft sich die Mutter schwergewichtig darauf, dass C._ sich nach Rücksprache mit seiner Vertreterin dazu entschieden habe, das obergerichtliche Urteil nicht anzufechten und somit zu akzeptieren; dabei müsse es sein Bewenden haben, zumal das angefochtene Urteil insgesamt stimmig sei.
Die Kindesvertreterin weist in ihrer Vernehmlassung darauf hin, dass C._ seinen Vater seit dessen Wegzug sehr vermisse. Sein Alltag habe sich stark verändert, seit er nur noch mit der Mutter lebe, und C._ finde dies nicht gut. Er sei vom obergerichtlichen Entscheid sehr überrascht gewesen, da die KESB und der Bezirksrat ja in seinem Sinn entschieden hätten; er verstehe deshalb nicht, wieso das Obergericht gegenteilig entschieden habe. Es habe seinem Wunsch entsprochen, dass der Vater Beschwerde führe. Vor dem Hintergrund der väterlichen Beschwerdeführung habe sie als Kindesvertreterin bewusst darauf verzichtet, für das Kind selbst Beschwerde zu erheben, um diesem einen noch stärkeren Loyalitätskonflikt zu ersparen. Insgesamt begleite sie C._ seit nunmehr zweieinhalb Jahren und dieser habe konstant und gegenüber allen Fachpersonen festgehalten, mit dem Vater in die USA ziehen zu wollen. Dieser Wunsch sei auch nach dem Wegzug des Vaters unverändert geblieben. In den Gesprächen habe er differenzierte Aussagen zu seiner Haltung gemacht und jeweils auch positive Aspekte seines Lebens in der Schweiz nennen können, ohne aber je von seinem Wunsch abzukommen. C._ seien drei Dinge wichtig: dass das Bundesgericht seinen starken Wunsch, bei seinem Vater zu leben, berücksichtige; dass das Bundesgericht erkenne, dass er das Umfeld seines Vaters in den USA gut kenne, die Schule schon besichtigt habe und das Leben in den USA allgemein kenne; dass es aufgrund des bisherigen Instanzenzuges "2:1 stehe". Insgesamt entspreche es dem Willen von C._, dass die Beschwerde des Vaters gutgeheissen werde.
4.
Üben die Eltern die elterliche Sorge gemeinsam aus und will ein Elternteil den Aufenthaltsort des Kindes wechseln, so bedarf dies der Zustimmung des andern Elternteils oder der Entscheidung des Gerichts oder der Kindesschutzbehörde, wenn der neue Aufenthaltsort im Ausland liegt (<ref-law>).
Bei der Anwendung dieser mit der Sorgerechtsnovelle auf den 1. Juli 2014 in Kraft getretenen Norm geht das Bundesgericht davon aus, dass es tendenziell zum Wohl des Kindes ist, weiterhin von der Hauptbezugsperson betreut zu werden und folglich mit dieser zu bleiben oder wegzuziehen, soweit es nach dem bisher tatsächlich gelebten Betreuungskonzept eine solche gibt, wobei aber auch das Alter und der Wunsch des Kindes eine Rolle spielen, weil sein Wille schrittweise mehr Beachtung finden soll (<ref-ruling> E. 2.7 S. 493; <ref-ruling> E. 4.3 S. 616). Soweit nach dem bisher gelebten Modell beide Elternteile als Hauptbezugspersonen anzusehen sind, wie dies typischerweise bei der alternierenden Obhut der Fall ist, können diese Grundsätze nicht greifen, denn hier ist die Ausgangslage gewissermassen neutral (<ref-ruling> E. 2.7 S. 493; <ref-ruling> E. 2.5 S. 511) und es muss im Wesentlichen anhand der Kriterien, wie sie auch für die Obhutszuteilung gelten - d.h. in erster Linie die Erziehungsfähigkeit, die tatsächliche Betreuungsmöglichkeit, die Stabilität der Verhältnisse, die Sprache und Beschulung des Kindes und je nach Alter auch dessen Äusserungen und Wünsche - über die Frage der Verlegung des Aufenthaltsortes entschieden werden (<ref-ruling> 2.7 S. 492 f.; <ref-ruling> E. 4.4 S. 499 f.; <ref-ruling> E. 2.5 S. 511 f.).
5.
Vorliegend geht es um einen im Zeitpunkt des angefochtenen Urteils rund 111⁄2- und heute fast 12-jährigen Jungen, welcher in der Schweiz von den Eltern je ungefähr zur Hälfte betreut worden ist. Neutral wirkt sich im vorliegenden Einzelfall überdies auch die Frage der Sprache und der Schule aus, weil C._ bislang zweisprachig aufgewachsen ist und deshalb die Beschulung ebenso gut in den USA wie in der Schweiz fortgesetzt werden kann, zumal grundsätzlich von einer ähnlichen Qualität ausgegangen werden darf. Im Übrigen können auch die beruflichen Aussichten in beiden Ländern als adäquat betrachtet werden, wobei mit dem heutigen Entscheid ohnehin nichts darüber ausgesagt ist, wo C._ im Erwachsenenalter eine allfällige Tertiärausbildung absolvieren und wo er sein Berufsleben verbringen wird. Sodann ist die allgemeine Lebensqualität in beiden Ländern vergleichbar, sind grundsätzlich beide Elternteile erziehungsfähig und können auch beide Teile die Betreuung sicherstellen. Schliesslich würde C._ bei der Mutter in der Schweiz wie auch beim Vater in den USA im jeweiligen familiären Umfeld aufwachsen, wobei der Familienkreis in den USA etwas grösser zu sein scheint. Als Kriterien, welche nicht wie die vorstehend genannten als mehr oder weniger neutral zu betrachten sind, verbleiben somit die konkrete Eltern-Kind-Bindung und die elterliche Bindungstoleranz sowie die Wünsche des Kindes, welchen angesichts seines fortgeschrittenen Alters ein erhebliches Gewicht zukommen muss.
Was die Kriterien der Bindungsfähigkeit zum Kind und der Bindungstoleranz gegenüber dem anderen Elternteil anbelangt, stellt das Gutachten dem Vater ein deutlich besseres Zeugnis aus: Die Mutter pflegt den Vater stark abzuwerten, auch in Gegenwart des Sohnes, und sie erachtet jeweils ihre Lösung, die sie dem Umfeld aufzuzwingen versucht, als richtig. Der Vater geht besser auf die Bedürfnisse des Sohnes ein und die beiden haben ein sehr warmes, enges Verhältnis. Ferner wird dem Vater eine höhere Bindungstoleranz und Reflexionsfähigkeit attestiert und sind die Voraussetzungen für eine positive Persönlichkeitsentwicklung des Kindes bei ihm besser gewährleistet. Aufgrund dieser Feststellungen hat das Gutachterteam empfohlen, den Wegzug von C._ mit seinem Vater zu bewilligen. Weil die genannten Faktoren sich primär auf Eigenschaften der Eltern beziehen, kann das seinerzeit von der KESB in Auftrag gegebene Gutachten nach wie vor als aktuell angesehen werden. Zwar unterliegt auch das gerichtliche Gutachten der freien Beweiswürdigung nach <ref-law>; indes muss das Sachgericht triftige Gründe nennen, wenn es vom Gutachten bzw. von den gutachterlichen Schlussfolgerungen abweicht (<ref-ruling> E. 2 S. 86; <ref-ruling> E. 5.4.2 S. 345 f.; <ref-ruling> E. 4.4.1 S. 269; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 198; <ref-ruling> E. 2.1.3 S. 53). Das angefochtene Urteil gibt den Inhalt des Gutachtens wieder, lässt dies aber gewissermassen im Raum stehen und äussert sich insbesondere nicht zu den Voraussetzungen für ein Abweichen bzw. höchstens implizit, indem das Wegzugsverbot vage mit einer Veränderung der Lebensverhältnisse des Kindes begründet wird. Allerdings sind die Argumente entweder an den Haaren herbeigezogen (die Freizeitbeschäftigungen und allfällige Therapien müssten in den USA neu aufgebaut werden) oder nur eine Seite beleuchtend (Hypothese, der Vater könnte möglicherweise eine Teilzeitbeschäftigung aufnehmen und die Betreuungsfrage dann ungeklärt sein, während die real bestehende Arbeitstätigkeit der Mutter ausgeblendet wird). Ebenso wenig scheint der Hinweis auf den Wechsel des Schulsystems und der Umgebung einschlägig, sind doch zentrale Elemente des vorliegenden Einzelfalles gerade, dass C._ bislang zweisprachig aufgewachsen ist, so dass die Beschulung ohne wesentliche Einschnitte ebenso gut in den USA fortgesetzt werden kann, und dass er in beiden Ländern seinen Lebensalltag in einem ihm vertrauten familiären Umfeld verbringen würde. Bei dieser Ausgangslage kommt den vor dem Hintergrund der engen Vater-Sohn-Beziehung und der besseren Prognose in Bezug auf die Entwicklung des Kindes bei einer Betreuung durch den Vater gezogenen gutachterlichen Schlussfolgerungen in Bezug auf die Wegzugsfrage erhebliche Bedeutung zu.
Angesichts des fortgeschrittenen Alters ist sodann dem konstant geäusserten Kindeswillen eine relativ grosse Beachtung zu schenken. Selbstverständlich kommt dem Kind kein Bestimmungsrecht zu, bei welchem Elternteil es zukünftig aufwachsen möchte (ausdrücklich im Zusammenhang mit Rückführungsentscheidungen: <ref-ruling> E. 4S. 91; Urteile 5A_764/2009 vom 11. Januar 2010 E. 5.5; 5A_799/2013 vom 2. Dezember 2013 E. 5.7; 5A_51/2015 vom 25. März 2015 E. 5.1). Indes äussert C._ seit die Rückwanderungsidee des Vaters konkret wurde, seinen Willen konstant, alternativlos und mit Nachdruck gegenüber allen beteiligten Akteuren (erstmals am 29. Oktober 2015 gegenüber der Beiständin; sodann bei der Anhörung durch die KESB am 22. Februar 2017 und wiederholt gegenüber der Beiständin, den Gutachtern, verschiedenen Fachpersonen sowie der Kindesvertreterin). Die Kindesvertreterin schilderte und schildert ihn als reif, indem er sich keineswegs einer Schwarz-Weiss-Malerei hingibt, sondern seine Wünsche begründen und durchaus auch die positiven Aspekte eines Lebens in der Schweiz benennen kann. C._ hat inzwischen ein Alter und eine Reife erreicht, in welchem das Bundesgericht bei Kindesrückführungsfällen bei konstant und mit Nachdruck vertretenem sowie mit plausiblen Gründen unterlegtem Willen, am neuen Ort zu bleiben, gestützt auf Art. 13 Abs. 2 HKÜ (Haager Kindesentführungsübereinkommen, SR 0.211.230.02) regelmässig von einer Rückführung des Kindes absieht (vgl. jüngst Urteile 5A_666/2017 vom 27. September 2017 E. 5 und 5A_475/2018 vom 9. Juli 2018 E. 4, je mit zahlreichen Hinweisen auf die publizierte Rechtsprechung). Entsprechend muss umgekehrt im Zusammenhang mit <ref-law> der Willensäusserung, mit dem Vater auswandern zu wollen, ein erhebliches Gewicht zukommen.
6.
Aus dem Gesagten ergibt sich, dass in Aufhebung des angefochtenen Urteils die Verlegung des Aufenthaltsortes von C._ nach V._, Illinois, USA per sofort zu genehmigen ist.
Gemäss <ref-law> hat bei fehlender Einigung der Eltern das Gericht oder die Kindesschutzbehörde über die Anpassung der elterlichen Sorge, der Obhut, des persönlichen Verkehrs und des Unterhaltsbeitrages zu befinden. Die KESB U._ hat diesbezüglich - mit Ausnahme des Unterhaltes, für dessen Regelung sie von Gesetzes wegen keine autoritative Kompetenz hat - umfassend Anordnungen getroffen, welche der Bezirksrat durch Beschwerdeabweisung geschützt und welche das Obergericht angesichts des neuen Verfahrensausganges nicht mehr thematisiert hat. Es ist aber klar, dass sie aufgrund der Anfechtung des obergerichtlichen Urteils nach wie vor Verfahrensgegenstand sind. Indem sich die Parteien dazu nicht geäussert haben, ist davon auszugehen, dass sie für den Fall der Genehmigung des Wegzuges damit einverstanden sind. Die Regelung der KESB scheint im Übrigen den konkreten Umständen angemessen und zweckmässig, weshalb sie (mit wenigen Präzisierungen) zu übernehmen und im Dispositiv wiederzugeben ist, damit die Eltern nicht über einen zusammengesetzten, sondern einen einzigen rechtskräftigen Titel verfügen.
7.
Der Beschwerdeführer ist offensichtlich prozessarm. Bei der Beschwerdegegnerin lässt sich dies aufgrund der heutigen Situation knapp nicht sagen. Indes werden zufolge Auswanderung von C._ - selbst wenn sich die Eltern über die Höhe nicht einigen könnten und darüber noch gerichtlich entschieden werden müsste - ab sofort Unterhaltspflichten und überdies erhebliche Kosten im Zusammenhang mit der Wahrnehmung des Umgangsrechts auf sie zukommen. Vor diesem Hintergrund rechtfertigt es sich, auch ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu erteilen (<ref-law>). Dabei sind beide Parteien je durch die sie vertretenden Rechtsanwältinnen zu verbeiständen, welche für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen sind (<ref-law>). Im Zusammenhang mit der Kindesvertretung erübrigen sich Weiterungen, weil die vertretende Rechtsanwältin als Mitarbeiterin des Amtes für Jugend und Berufsbildung des Kantons Zürich angestellt ist und von der KESB für das gesamte Verfahren eingesetzt wurde. Die Gerichtskosten sind ausgangsgemäss der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>), jedoch zufolge unentgeltlicher Rechtspflege einstweilen auf die Bundesgerichtskasse zu nehmen. Die Neuregelung der kantonalen Kosten wird dem Obergericht übertragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
In Aufhebung des Urteils des Obergerichts des Kantons Zürich vom 31. Oktober 2018 wird die Zustimmung zur sofortigen Verlegung des Aufenthaltsortes von C._, geb. 2007, nach V._, Illinois, USA, erteilt.
C._ steht ab dem Zeitpunkt des tatsächlichen Umzuges (Landung des Flugzeuges in den USA) unter der alleinigen Obhut von A._.
A._ ist sofort mit der Ausfällung dieses Urteils berechtigt und ermächtigt, alle erforderlichen Vorkehrungen im Zusammenhang mit der Verlegung des Aufenthaltsortes von C._ zu treffen, namentlich alle nötigen An- und Abmeldungen (Behörden, Schule, etc.) vorzunehmen.
2.
Soweit sich die Parteien nicht direkt einigen können, hat B._ das Recht, wöchentlich mindestens einmal mit C._ während mindestens 30 Minuten zu skypen oder zu telefonieren, im Streitfall am Samstagvormittag um 11 Uhr Ortszeit V._, Illinois.
B._ hat das Recht, C._ während der Sommerferien jeweils für vier Wochen und im Verlauf des restlichen Jahres für weitere vier Wochen mit oder zu sich in die Ferien zu nehmen. Die Unterhaltskosten während dieser Zeit sind von B._ zu tragen. Die Reisekosten für C._ bei Flügen in die Schweiz sind von den Eltern je hälftig zu finanzieren, die Kosten für andere Reisen vom Elternteil, welcher mit C._ in den Urlaub fährt. Überdies hat B._ das Recht, C._ während zwei Wochen pro Jahr in den USA auf eigene Kosten zu besuchen. Die Ferien mit oder bei B._ können auch die Weihnachtstage betreffen, dies erstmals im Jahr 2019, jedoch nie zwei Jahre in Folge. Ferienaufenthalte sind jeweils vier Monate im voraus anzukündigen.
3.
A._ wird angewiesen, für sich eine therapeutische Begleitung in Anspruch zu nehmen, in deren Rahmen er seine Rolle als alleinerziehender Vater reflektiert.
Weiter wird er angewiesen, für C._ regelmässigen Deutschunterricht zu organisieren, so dass Deutsch für ihn die zweite Muttersprache bleibt.
4.
Beiden Parteien wird die unentgeltliche Rechtspflege erteilt und es wird ihnen je die sie vertretende Rechtsanwältin beigegeben.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt, jedoch einstweilen auf die Bundesgerichtskasse genommen.
Rechtsanwältin Esther Küng und Rechtsanwältin Susanne Raess-Eichenberger werden aus der Bundesgerichtskasse mit je Fr. 3'000.-- entschädigt.
5.
Die Neuregelung der Kosten des kantonalen Verfahrens wird dem Obergericht des Kantons Zürich übertragen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, C._ und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Februar 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Möckli