Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Versicherter, Beschwerdeführer) war ab dem 1. Oktober 2008 als Executive IT-Supporter bei der C._ AG tätig. Über dieses Anstellungsverhältnis war er bei der B._ AG (Versicherung, Beschwerdegegnerin) durch Kollektivvertrag gegen Lohnausfall bei Krankheit versichert. Aufgrund einer betrieblichen Umstrukturierung wurde der Versicherte mit Freisetzungsvereinbarung vom 22. Februar 2018 ab 1. April 2018 bis zum voraussichtlichen Ende des Arbeitsverhältnisses am 31. Januar 2019 freigestellt. Tatsächlich endete das Arbeitsverhältnis am 31. Dezember 2018.
A.b. Der Hausarzt des Versicherten, Dr. med. D._, attestierte ihm vom 26. März 2018 an eine Arbeitsunfähigkeit von 100 %, vorübergehend von 75 %. Eine volle Arbeitsunfähigkeit bis auf Weiteres wurde ihm zudem am 12. Dezember 2018 vom Neurologen Dr. med. E._ und am 13. September 2019 vom Facharzt für Allgemein- und Arbeitsmedizin Dr. med. F._ bescheinigt.
A.c. Nach der Krankmeldung am 23. April 2018 und dem Ablauf der Wartefrist von 90 Tagen erbrachte die Versicherung ab dem 24. Juni 2018 Taggeldleistungen mit einem Tagesansatz von Fr. 258.63. Im September 2018 liess sie den Versicherten durch Dr. med. G._, Fachärztin für Psychiatrie und Psychotherapie, explorieren. Gestützt auf deren Bericht teilte sie dem Versicherten mit Schreiben vom 16. Januar 2019 mit, ihre Leistungen längstens bis zum 31. Januar 2019 zu erbringen.
B.
Am 22. November 2019 erhob der Versicherte beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Klage gegen die Versicherung. Darin beantragte er, diese sei zu verpflichten, ihm bis auf Weiteres Krankentaggelder nebst Zins zu bezahlen. Konkret begehrte er Taggelder in Höhe von Fr. 78'364.89 (303 Tage à Fr. 258.63) abzüglich Fr. 24'468.30 wegen erhaltener Arbeitslosentaggelder, insgesamt Fr. 53'896.59 zuzüglich Zins. Diesen Betrag änderte er anlässlich der Hauptverhandlung auf Fr. 76'840.78 (274 Tage à Fr. 284.45 [= Fr. 77'939.30] + 364 Tage à Fr. 227.56 [= 82'831.84] - Fr. 57'415.86 [bereits erhaltene Taggeldleistungen] - Fr. 26'514.50 [erhaltene Arbeitslosentaggelder]) zuzüglich Zins.
Mit Urteil vom 23. Februar 2021 wies das Sozialversicherungsgericht die Klage ab. Es erwog, dem Versicherten sei der Nachweis für die von der Versicherung bestrittene volle beziehungsweise mindestens 75 %-ige Arbeitsunfähigkeit ab dem 1. Februar 2019 misslungen.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 28. April 2021 verlangt der Beschwerdeführer, den Entscheid des Sozialversicherungsgerichts kostenfällig aufzuheben und die Klage gutzuheissen; jedenfalls sei die Versicherung zur Leistung einer Nachzahlung von Fr. 5'706.22 nebst Zins zu verpflichten. Eventualiter sei die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde kostenfällig abzuweisen. Die Vorinstanz verzichtete auf Vernehmlassung. Die Parteien replizierten und duplizierten unaufgefordert.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Versicherungsgerichts ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer einzigen kantonalen Instanz im Sinne von <ref-law> in einem Verfahren, das eine Streitigkeit aus einer Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung gemäss <ref-law> zum Gegenstand hat (siehe dazu Urteil 4A_12/2016 vom 23. Mai 2017 E. 1.2 mit Hinweisen). Dagegen steht die Beschwerde in Zivilsachen offen, gemäss <ref-law> unabhängig vom Streitwert (<ref-ruling> E. 1.1, 2 E. 1.2.2; siehe auch <ref-ruling> E. 1.2).
2.
Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2, 86 E. 2).
3.
Umstritten ist zunächst, ob dem Beschwerdeführer wegen Arbeitsunfähigkeit ein Anspruch auf Leistung von Taggeldern nach dem 31. Januar 2019 zusteht.
3.1. Die Vorinstanz erwog, gemäss den Vertragsbedingungen gelte als Arbeitsunfähigkeit "die durch eine Beeinträchtigung der körperlichen, geistigen oder psychischen Gesundheit bedingte, volle oder teilweise Unfähigkeit, im bisherigen Beruf oder Aufgabenbereich zumutbare Arbeit zu leisten". Im Rahmen des Versicherungsvertrags habe - so die Vorinstanz mit Verweis auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 3.1) - der Anspruchsberechtigte die Tatsachen zur Begründung des Versicherungsanspruchs zu behaupten und zu beweisen, wobei er insofern eine Beweiserleichterung geniesse, als er nur eine überwiegende Wahrscheinlichkeit darzutun habe. Die Versicherung treffe demgegenüber die Beweislast für Tatsachen, die sie zu einer Kürzung oder Verweigerung der vertraglich vorgesehenen Leistung berechtigten.
In der Folge prüfte die Vorinstanz, ob es dem Beschwerdeführer gelinge, eine Arbeitsunfähigkeit ab dem 1. Februar 2019 nachzuweisen. Dazu ging sie einzeln auf die von ihm eingereichten Arztzeugnisse, Berichte und anderen medizinischen Unterlagen ein und würdigte diese. Dabei gelangte sie zum Schluss, es sei dem Beschwerdeführer trotz früher aufgetretener Leiden bis zur Freisetzungsvereinbarung möglich gewesen, über mehrere Jahre das 80%-Arbeitspensum ohne nennenswerte krankheitsbedingte Ausfälle und zur Zufriedenheit der damaligen Arbeitgeberin auszuüben.
Im Zusammenhang mit den körperlichen Beschwerden lägen als objektive Befunde eine Daumensattelgelenksarthrose sowie Dupuytren-Kontrakturen neben geringfügigen degenerativen Veränderungen an der Halswirbelsäule ohne Tangierung von Nebenwurzeln vor. Keiner dieser Befunde vermöge indes eine abrupt einsetzende höhere Arbeitsunfähigkeit als IT-Supporter zu erklären. Insbesondere entwickelten sich degenerative Befunde wie etwa die Dupuytren-Kontraktur für gewöhnlich langsam. Bezüglich der geltend gemachten Schmerzen in der linken Schulter und dem linken Bein fänden sich keine klinischen oder bildgebenden Befunde in den Akten. Zudem lasse der Schmerz bei einer adhäsiven Kapsulitis in der Regel nach einigen Wochen bis Monaten nach. Die geklagten langjährigen Schmerzen passten daher nicht ins Bild. Ein Herzleiden und ein Tinnitus hätten bereits während der Arbeitstätigkeit bestanden. Eine Verschlechterung des Tinnitus habe er nicht geltend gemacht. Eine kardiologisch eingeschränkte Leistungsfähigkeit in der bisherigen Tätigkeit werde weder vom Beschwerdeführer hinreichend erörtert noch ärztlich bescheinigt.
Betreffend die psychischen Beschwerdenerwog die Vorinstanz, diese würden in den medizinischen Unterlagen aus den Jahren 2018-2020 zwar erwähnt aber nicht weiter begründet. Die Beschwerdegegnerin habe den Beschwerdeführer am 4. September 2018 durch Dr. med. G._ psychiatrisch explorieren lassen. Diese sei zum Schluss gelangt, der Beschwerdeführer habe am ehesten an einer Anpassungsstörung mit längerer depressiver Reaktion (ICD-10: F43.2) gelitten. Eine Arbeitsunfähigkeit von vier Monaten ab Erhalt der Kündigung sei gemäss Dr. med. G._ psychiatrisch nachvollziehbar. Es fänden sich, so die Ärztin weiter, jedoch keine psychiatrischen Befunde, die eine weitere Krankschreibung begründen könnten, weshalb der Beschwerdeführer ab dem 1. September 2018 in einer durchschnittlichen Tätigkeit ohne Bereitschaftsdienst und in einem wohlwollenden Arbeitsklima wieder zu 80 % arbeitsfähig sei. Diese Beurteilung erachtete die Vorinstanz als nachvollziehbar und schlüssig, wohingegen die Bestreitungen des Beschwerdeführers ins Leere liefen und unbelegt seien. Es könne deshalb auf die besonders substanziierten Behauptungen der Beschwerdegegnerin im Rahmen des von ihr eingeholten Privatgutachtens abgestellt werden, wonach keine psychische Störung mit Krankheitswert vorgelegen habe.
Im Ergebnis sei dem Beschwerdeführer der Nachweis für die substanziiert bestrittene volle - beziehungsweise mindestens 75 %-ige - Arbeitsunfähigkeit ab 1. Februar 2019 misslungen.
3.2. Der Beschwerdeführer rügt zunächst eine Verletzung seines rechtlichen Gehörs, da die Vorinstanz sich nicht mit sämtlichen seiner Vorbringen auseinandergesetzt habe.
3.2.1. Der Anspruch auf rechtliches Gehör verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.2 mit Hinweisen).
3.2.2. Der Beschwerdeführer beanstandet, die Vorinstanz sei auf die in Ziff. 12 der Klageschrift geltend gemachte Vertragsverletzung durch die Beschwerdegegnerin überhaupt nicht eingegangen beziehungsweise habe dieses Thema lediglich in E. 5 und E. 9.3 gestreift. Der Beschwerdegegnerin sei aufgrund der ihr von ihm, dem Beschwerdeführer, vorprozessual eingereichten ärztlichen Zeugnisse und Berichte sowie dem von ihr selbst in Auftrag gegebenen Gutachten von Dr. med. G._ bekannt gewesen, dass bei ihm nicht nur psychische Beschwerden, sondern auch solche somatischer Natur im Raum gestanden hätten. Dies betreffe insbesondere die Daumensattelgelenksarthrose. Indem die Beschwerdegegnerin es in Kenntnis dieser Tatsachen unterlassen habe, die vertraglich gebotenen Abklärungsmassnahmen fortzusetzen beziehungsweise solche in die Wege zu leiten, um den Sachverhalt zu klären, habe sie eine Vertragsverletzung begangen. Gemäss Ziff. 63 der Allgemeinen Vertragsbedingungen der Beschwerdegegnerin (nachfolgend: AVB) sei die versicherte Person nämlich " verpflichtet, sich den von B._ AG angeordneten Abklärungsmassnahmen zu unterziehen, insbesondere zumutbaren medi zinischen Untersuchungen, die der Diagnose und der Bestimmung der Leistungen dienten". Sodann sei auch <ref-law> zu beachten, demzufolge der anspruchsberechtigten Person bei der Feststellung des Sachverhalts keine erheblichen Kosten erwachsen dürften.
Bereits in Ziff. 12 der Klageschrift habe er, so der Beschwerdeführer weiter, unter Verweis auf HÄBERLI/HUSMANN (Krankentaggeld, versicherungs- und arbeitsrechtliche Aspekte, Bern 2015, Rz. 205) ausgeführt, die Beweislast liege nicht beim Versicherten, sondern beim Versicherer, wenn Letzterer Tatsachen geltend machen wolle, die ihn zu einer Kürzung oder Verweigerung der vertraglichen Leistung berechtigen sollten.
3.2.3. Diese Rüge verfängt nicht. Die Vorinstanz nahm die erwähnten Vorbringen des Beschwerdeführers in Ziff. 12 der Klageschrift zur Kenntnis, was sich aus ihrer E. 2.2 ergibt. In E. 5 hielt sie fest, seine Argumentation, die Beschwerdegegnerin müsse die vorgelegten Atteste gegen sich gelten lassen, weil sie den medizinischen Sachverhalt nicht hinreichend abgeklärt habe, gehe fehl. Vielmehr sei zu prüfen, ob die Beschwerdegegnerin die konkreten Behauptungen des Beschwerdeführers zum medizinischen Sachverhalt hinreichend bestritten und seine Beweise zu erschüttern vermocht habe. Daraus wird ersichtlich, dass die Vorinstanz die Rüge der angeblichen Vertragsverletzung nicht überging, sondern annahm, selbst wenn eine solche erstellt wäre - was sie offenliess -, wäre der Beschwerdeführer dadurch nicht davon entbunden, seine Anspruchsberechtigung nachzuweisen. Die vom Beschwerdeführer behauptete Beweislast für Tatsachen, die zu einer Verweigerung oder Kürzung der vertraglichen Leistungen berechtigen, kam vorliegend überhaupt nicht zum Tragen, da die Vorinstanz den dem Beschwerdeführer obliegenden Beweis des Eintritts des Versicherungsfalls nicht als erbracht erachtete.
Einer eingehenderen Auseinandersetzung mit den Vorbringen des Beschwerdeführers bedurfte es nicht. So legte dieser im Verfahren vor der Vorinstanz nämlich nicht dar, inwiefern das Vorgehen der Beschwerdegegnerin, keine fachärztliche Abklärung einzuleiten, eine Vertragsverletzung darstellen soll. Eine derartige Pflicht ergibt sich auch nicht aus der erstmals im bundesgerichtlichen Verfahren vorgebrachten Ziff. 63 der AVB, die bloss die Obliegenheiten des Anspruchsberechtigten im Versicherungsfall festhält und keine Pflicht des Versicherers statuiert, Abklärungen zu tätigen. Auch der erwähnte <ref-law> ist nicht einschlägig. Darin wird lediglich festgehalten, der Versicherungsvertrag könne verfügen "dass der Anspruchsberechtigte bestimmte Belege, deren Beschaffung ihm ohne erhebliche Kosten möglich ist, insbesondere auch ärztliche Bescheinigungen, beizubringen hat". Eine Abklärungspflicht des Versicherers wird darin nicht statuiert.
Schliesslich ist der Verweis auf HÄBERLI/HUSMANN unbehelflich. An der erwähnten Stelle erläutern die Autoren lediglich - im Einklang mit der (von der Vorinstanz zitierten) bundesgerichtlichen Rechtsprechung - die Beweislastverteilung. Der vom Beschwerdeführer daraus zitierte Auszug ("Den Versicherer trifft dann die Beweislast für Tatsachen, die ihn zu einer Kürzung oder Verweigerung der vertraglichen Leistung berechtigen. Zieht er die ärztliche Bescheinigung in Zweifel, hat er auf seine Kosten entsprechende Abklärungen zu veranlassen.") betrifft lediglich den Fall, da der Versicherte den Eintritt des Versicherungsfalls nachgewiesen hat, was - wie von der Vorinstanz festgestellt - vorliegend nicht zutraf. Entgegen dem, was der Beschwerdeführer suggeriert, halten HÄBERLI/ HUSMANN nämlich keineswegs fest, bei einer Vertragsverletzung seitens des Versicherers gelte der Anspruch des Versicherten als erstellt.
3.3. Ferner beanstandet der Beschwerdeführer die vorinstanzliche Beweiswürdigung in mehrfacher Hinsicht.
3.3.1. Das Bundesgericht greift in die Beweiswürdigung des Sachgerichts nur ein, wenn diese willkürlich ist. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern bloss, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 4.2.1). Dies ist dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 4.2). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (BGE <ref-ruling> E. 2.2). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 2b).
3.3.2. Erstens wendet sich der Beschwerdeführer gegen die Würdigung des Berichts von Dr. med. D._ vom 21. Juni 2018.
3.3.2.1. Die Vorinstanz erwog hierzu, Dr. med. D._ habe eine Fibromatose (ICD-10: M72.0) sowie eine mittelgradige depressive Episode (ICD-10: F32.1) diagnostiziert und dem Beschwerdeführer wegen einer Stimmungsminderung und diffusen körperlichen Schmerzen volle Arbeitsunfähigkeit vom 26. März bis 31. Juli 2018 attestiert. Die Beschwerdegegnerin anerkenne in diesem Zusammenhang eine psychisch bedingte volle Arbeitsunfähigkeit bis zum 1. September 2018. Im Übrigen habe sie aber zu Recht moniert, Dr. med. D._ habe die körperlichen Schmerzen als diffus beschrieben und keine konkreten Auswirkungen auf die Arbeitsunfähigkeit aufgezeigt.
3.3.2.2. Der Beschwerdeführer moniert zunächst, die Folgerung, Dr. med. D._ habe keine konkreten Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit aufgezeigt, sei unzulässig, da das Zeugnis auf einem Formular der Beschwerdegegnerin ausgefüllt worden sei, wo sich keine Rubrik finde, worin nach dem Grund der Erkrankung gefragt werde. Überdies sei die Folgerung falsch, da gemäss den Ausführungen des Arztes sehr wohl Anhaltspunkte vorlägen die auf eine volle beziehungsweise allenfalls auch bloss teilweise Arbeitsunfähigkeit hindeuten. So habe der Arzt neben den Schmerzen im Bereich der Halswirbelsäule und der linken Schulter sowie der linken Hand auch von einer Schlafstörung, einer schnellen Ermüdbarkeit sowie einer depressiven Verstimmung berichtet. Wenn die Beschwerdegegnerin diese Diagnosen nicht gegen sich gelten lassen wolle, hätte sie, so der Beschwerdeführer, unverzüglich weitere Abklärungen veranlassen müssen. Angesichts der massgeblichen versicherungsvertraglichen Bestimmungen habe die Vorinstanz dem Arztbericht jedwede Bedeutung zu Unrecht abgesprochen.
3.3.2.3. Soweit der Beschwerdeführer die Beweiswürdigung als "unzulässig" oder "falsch" rügt, sei daran erinnert, dass das Bundesgericht in die vorinstanzliche Beweiswürdigung nur dann eingreift, wenn diese willkürlich ist (vgl. E. 3.3.1 hiervor). Vorliegend vermag der Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen, inwiefern die Vorinstanz den erwähnten Bericht willkürlich gewürdigt hätte. Auf die Frage nach der Arbeitsunfähigkeit (Nr. 8a: "Welche körperlichen, geistigen, psychischen Einschränkungen bestehen und welche konkreten Auswirkungen haben diese Einschränkungen auf die aktuelle Tätigkeit [Arbeitsaufgaben]?") antwortete der Arzt lediglich "Stimmungsminderung und diffusen [sic] körperlichen [sic] Schmerzen". Bereits aus der vagen Formulierung "diffus" durfte die Vorinstanz, ohne in Willkür zu verfallen, ableiten, Dr. med. D._ sei nicht in der Lage gewesen, die vom Beschwerdeführer geklagten Beschwerden zu erklären.
Inwiefern diese Folgerung falsch sein sollte, ist nicht ersichtlich. Die Vorinstanz hielt mit keinem Wort fest, dass die vom Beschwerdeführer geltend gemachten Beschwerden nicht bestünden. Vielmehr erachtete sie den erwähnten Bericht von Dr. med. D._ nicht als geeignet, um eine Arbeitsunfähigkeit ab dem 1. September 2018 aufgrund dieser Beschwerden nachzuweisen. Mit Blick auf das vorstehend Gesagte, ist diese Auffassung keineswegs willkürlich.
Daraus, dass der Bericht auf einem Formular der Beschwerdegegnerin verfasst wurde, vermag der Beschwerdegegner nichts zu seinen Gunsten abzuleiten. In der zitierten Frage 8a wird explizit nach "konkreten Auswirkungen" auf die Arbeitsfähigkeit gefragt. Trotzdem führte der Arzt lediglich die (angeblichen) Einschränkungen des Beschwerdeführers auf und beantwortete damit bloss einen Teil der Frage. Folglich muss sich der Beschwerdeführer den Vorwurf gefallen lassen, dass sich der Bericht nicht zu den konkreten Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit äussert.
Nicht erkennbar ist ferner, welche "massgeblichen versicherungsvertraglichen Bestimmungen" die Vorinstanz dazu hätten veranlassen müssen, dem Bericht einen anderen Beweiswert zuzusprechen als sie es getan hat. Soweit der Beschwerdeführer damit die unter E. 3.2.2 hiervor angesprochene angebliche Vertragsverletzung der Beschwerdegegnerin erneut aufgreifen will, kann auf die dortigen Ausführungen verwiesen werden.
3.3.3. Der Beschwerdeführer beanstandet sodann die vorinstanzliche Würdigung des Berichts von Dr. med. D._ vom 1. November 2018.
3.3.3.1. Hierzu hielt die Vorinstanz fest, Dr. med. D._ habe eine Fibromatose, eine Spondolyse, eine mittelgradige depressive Episode und sonstige abnorme Hörempfindungen (Tinnitus) diagnostiziert und den Beschwerdeführer bis Ende 2018 als arbeitsunfähig eingestuft. Allerdings habe Dr. med. D._ keine eigenen Befunde erhoben, sondern auf radiologische Berichte verwiesen. Damit sei keine Arbeitsunfähigkeit belegt. Es fehle - wie die Beschwerdegegnerin substanziiert und zutreffend eingewendet habe - an einem psychopathologischen Befund beziehungsweise einer psychiatrischen Diagnostik und bezüglich des Tinnitus bestünden keine objektivierbaren Befunde. Dieser habe die Arbeitsfähigkeit bis anhin nicht beeinflusst und eine Verschlimmerung sei nicht behauptet worden. Wenn Dr. med. D._ die Arbeitsunfähigkeit damit begründe, dass dem Beschwerdeführer Sitzen auf Dauer nicht möglich sei und schmerzhafte Bewegungseinschränkungen bestünden, sei dies mit der Daumensattelgelenksarthrose nicht zu erklären. Die Vorinstanz folgte sodann den Ausführungen der Beschwerdegegnerin, wonach die Befunde betreffend die Halswirbelsäule lediglich leichter Natur seien, wobei Tätigkeiten im Backoffice sitzend wie stehend als auch wechselbelastend ausgeübt werden könnten.
3.3.3.2. Die Vorinstanz habe, so der Beschwerdeführer, damit die Einschätzung der Beschwerdegegnerin kritiklos übernommen und eine nicht zulässige antizipierte Beweiswürdigung vorgenommen. Denn selbst wenn die Einwendungen zutreffend wären, würde dies keinesfalls heissen, dass eine volle Arbeitsfähigkeit angenommen werden dürfte. Der Hausarzt habe damals eine Arbeitsunfähigkeit von 75 % attestiert. Weshalb diese differenzierte Anschauung von der Vorinstanz nicht übernommen worden sei, sei nicht nachvollziehbar.
3.3.3.3. Dem Beschwerdeführer ist nicht zu folgen, wenn er davon ausgeht, die Vorinstanz habe damit eine antizipierte Beweiswürdigung vorgenommen. Es ist nicht ersichtlich, und wird vom Beschwerdeführer auch nicht dargetan, welches angebotene, taugliche Beweismittel die Vorinstanz nicht erhoben hat. Des Weiteren bringt der Beschwerdeführer keine Einwände vor, welche die vorinstanzliche Beweiswürdigung als willkürlich erscheinen liessen. Dass Dr. med. D._ damals eine Arbeitsunfähigkeit von 75 % attestiert haben soll, ist kein Argument gegen die Erwägung der Vorinstanz, wonach es an einem psychopathologischen Befund beziehungsweise einer psychiatrischen Diagnostik fehle.
3.3.4. Der Beschwerdeführer rügt weiter, in E. 6.6 habe sich die Vorinstanz mit dem Bericht der Physiotherapeutin vom 8. Februar 2019 befasst und festgehalten, massgebende Beschwerden seien nicht mehr vorhanden gewesen. Dies sei aktenwidrig.
Diese Rüge verfängt nicht. Betreffend den fraglichen Bericht erwog die Vorinstanz, für eine Arbeitsunfähigkeit infolge der Halswirbelsäulenbeschwerden ergäben sich keine Anhaltspunkte. Die Physiotherapeutin habe festgehalten, die Therapie sei beendet. Die Nackenschmerzen seien rückläufig, das Kribbeln in den Fingern praktisch nicht mehr vorhanden. Der Beschwerdeführer habe starke Triggerpunkte im Musculus Infraspinatus beidseits, die das Kribbeln in den Fingern auslösten. Entgegen dem Vorbringen des Beschwerdeführers hielt die Vorinstanz nicht fest, massgebende Beschwerden seien nicht mehr vorhanden gewesen. Vielmehr stellte sie durch Wiedergabe des Berichts der Physiotherapeutin die verbliebenen Beschwerden fest und würdigte diesen dahingehend, dass dieser nicht für die Annahme einer Arbeitsunfähigkeit zufolge Halswirbelsäulenbeschwerden spreche. Folglich sind die Feststellungen der Vorinstanz nicht aktenwidrig.
3.3.5. Der Beschwerdeführer beanstandet ferner die vorinstanzliche Würdigung des Berichts von Dr. med. F._ vom 13. September 2019.
3.3.5.1. Betreffend diesen Bericht hielt die Vorinstanz fest, dieser beruhe auf einer einmaligen Abklärung im Herbst 2019. Dies sei zwar innerhalb der eingeklagten Leistungsperiode, jedoch weit nach Beendigung des Arbeitsverhältnisses am 31. Dezember 2018 und erlaube somit von vornherein nicht mit dem erforderlichen Beweismass der überwiegenden Wahrscheinlichkeit, Rückschlüsse auf eine psychisch bedingte volle Arbeitsunfähigkeit mindestens ab dem 31. Dezember 2018 zu ziehen. Zudem enthalte (auch) dieser Bericht keinen psychopathologischen Befund. Objektive Anhaltspunkte für eine massive Zunahme der depressiven Symptomatik zwischen April 2018 und September 2019 bestünden keine. Im Gegenteil habe der Beschwerdeführer gemäss Dr. med. D._ im Sommer 2019 sogar eine minimale Arbeitsfähigkeit von 25 % erlangt. Nicht vereinbar mit der angegebenen schweren Ausprägung der Symptomatik sei der Eintrag im (dem Bericht beigelegten) Patiententagebuch, wonach der Beschwerdeführer an einem Tag mehrmals das Haus verlassen habe, Auto gefahren sei, Einkäufe erledigt und sich im Haushalt betätigt habe, konzentriert am Computer gearbeitet, Testfragebogen ausgefüllt und Interesse am aktuellen Geschehen wie auch an sozialen Interaktionen gezeigt habe, indem er die Zeitung gelesen und sich an einer Diskussion im Chat beteiligt habe.
3.3.5.2. Der Beschwerdeführer moniert, diese Argumentation verfange nicht. Einerseits gehe es ihm nicht einzig darum, eine volle Arbeitsunfähigkeit geltend zu machen, sondern allenfalls auch eine geringere. Andererseits erscheine die Auffassung verfehlt, aufgrund des Zeitpunkts der Konsultation könnten keine Rückschlüsse für das Jahr 2018 gezogen werden. Im Gegenteil sei dies sehr wohl der Fall, da auch noch die Berichte von Dr. med. D._ und jener von Dr. med. E._ bei den Akten lägen.
3.3.5.3. Damit vermag der Beschwerdeführer keine willkürliche Beweiswürdigung darzutun. Obgleich die Vorinstanz von einer Untauglichkeit des Beweismittels, eine "psychisch bedingte volle Arbeitsunfähigkeit" zu belegen sprach, ergibt sich aus dem Kontext der Aussage, dass Nämliches auch für eine teilweise Arbeitsunfähigkeit gilt, legte die Vorinstanz doch den Fokus auf den Berichtszeitpunkt ("weit nach Beendigung des Arbeitsverhältnisses"). Insofern geht der Vorwurf ins Leere, die Vorinstanz hätte bei der Beweiswürdigung unberücksichtigt gelassen, dass der Beschwerdeführer (teilweise) auch eine geringere Arbeitsunfähigkeit geltend gemacht hat. Nicht nachvollziehbar ist sodann, wie die Berichte von Dr. med. D._ und Dr. med. E._ dazu beitragen könnten, dass aus jenem von Dr. med. F._ Rückschlüsse auf das Jahr 2018 gezogen werden könnten. Und selbst wenn solche möglich wären, wären diese vorliegend irrelevant, da lediglich noch umstritten ist, ob der Beschwerdeführer vom 1. Februar 2019 an arbeitsunfähig war (vgl. E. hiervor).
3.3.6. Der Beschwerdeführer moniert überdies, die Vorinstanz hätte das von der Beschwerdegegnerin in Auftrag gegebene Gutachten von Dr. med. G._ nicht verwerten dürfen, da es unvollständig sei. Es sei nicht umfassend, was sich bereits daraus ergebe, dass die Gutachterin insbesondere Vorbehalte betreffend die somatischen Beschwerden angebracht habe. Das Gutachten sei eine reine Parteibehauptung. Aufgrund der Vorbehalte liege kein vollständiges Gutachten und mithin auch keine valable Entscheidungsgrundlage vor.
Soweit der Beschwerdeführer das Gutachten zufolge angeblicher Unvollständigkeit nicht als Beweismittel anerkennen will, ist ihm entgegenzuhalten, dass dieses als Urkunde gemäss Art. 168 Abs. 1 lit. b und Art. 177 ff. ZPO ohne Weiteres ein taugliches Beweismittel darstellt. Daran würde selbst dann nichts ändern, wenn das Gutachten tatsächlich unvollständig wäre. Insofern ist dessen Verwertbarkeit nicht eingeschränkt. Ob und - falls ja - inwiefern dieses zum Beweis einer rechtserheblichen Tatsache beiträgt, ist eine Frage der (freien) Beweiswürdigung (<ref-law>). Entgegen dem Beschwerdeführer brachte die Gutachterin keine Vorbehalte an, sondern hielt bloss fest, als Psychiaterin könne sie sich nicht zu den somatischen Aspekten äussern. Die Vorinstanz hat in E. 7.5 einlässlich dargelegt, welche Schlüsse sie aus dem Gutachten für die Beweiswürdigung zieht. Der Beschwerdeführer legt mit seiner Kritik jedoch nicht dar, inwiefern diese Würdigung willkürlich wäre. Folglich dringt er mit seiner Rüge nicht durch.
3.4. Der Beschwerdeführer rügt weiter eine Verletzung des Dispositionsgrundsatzes.
3.4.1. In E. 6.7 befasse sich die Vorinstanz mit dem Bericht von Dr. med. E._ vom 12. Dezember 2018 und folge bei dessen Würdigung (wiederum) vollumfänglich der Beschwerdegegnerin. In Ziff. 32 der Klageantwort habe diese diesbezüglich lediglich gerügt, bei der Diagnosestellung von Dr. med. E._ handle es sich um eine reine Vermutung respektive einen Verdacht, der nicht weiter abgeklärt und plausibilisiert worden sei. Mit diesem Einwand habe die Beschwerdegegnerin die Behauptung verbunden, eine überwiegende Wahrscheinlichkeit für ein Leiden sei damit nicht erstellt. Die Schlussfolgerung der Vorinstanz gehe weit über das hinaus, was von der Beschwerdegegnerin eingewendet worden sei. Dies treffe insbesondere in materieller Hinsicht zu, wenn die Vorinstanz auf einen Bericht vom 15. Januar 2020 Bezug nehme, um damit Elemente zu gewinnen, die gegen die Position des Beschwerdeführers sprächen, obwohl dies so nicht behauptet worden sei.
3.4.2. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz, indem sie bei der Würdigung des Berichtes von Dr. med. E._ auf den erwähnten Bericht vom 15. Januar 2020 Bezug nahm, den in <ref-law> verankerten Dispositionsgrundsatz verletzt haben soll. Gemäss diesem darf das Gericht einer Partei nicht mehr und nichts anderes zusprechen, als sie verlangt, und nicht weniger, als die Gegenpartei anerkannt hat. Die Vorinstanz hatte - da die Beschwerdegegnerin die Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdeführers bestritt - zu prüfen, ob der Beschwerdeführer mit überwiegender Wahrscheinlichkeit nachzuweisen vermochte, dass er ab dem 1. Februar 2019 arbeitsunfähig war. Hierzu durfte sie auf den bei den Akten liegenden Bericht der Invalidenversicherung vom 15. Januar 2020 zurückgreifen. Durch dieses Vorgehen wird der Dispositionsgrundsatz in keiner Weise tangiert, da dieser dem Gericht nicht verbietet, andere als die von den Parteien vorgebrachten Argumente bei der Entscheidfindung zu berücksichtigen, zumal es das Recht nach <ref-law> von Amtes wegen anzuwenden hat.
3.5. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass der Beschwerdeführer mit seinen Rügen gegen das vorinstanzliche Ergebnis, wonach ihm der Nachweis der Arbeitsunfähigkeit ab dem 1. Februar 2019 nicht gelungen sei, nicht durchzudringen vermag.
4.
Umstritten ist schliesslich die Berechnung der Höhe des Taggelds.
4.1.1 Die Vorinstanz erachtete den von der Beschwerdegegnerin errechneten Taggeldansatz von Fr. 258.63 bezogen auf 100 % des versicherten Verdienstes als zutreffend (Fr. 94'400.-- / 365 Tage). Die Vertragsparteien hätten ein Taggeld für einen Kranken-Lohnausfall in Höhe von zuerst 100 % und später 80 % des gemäss Unfallversicherungsgesetzgebung versicherten Verdienstes wie auch des darüber liegenden Lohnanteils bis zum Höchstbetrag von insgesamt Fr. 500'000.-- pro Person und Jahr vereinbart. Diese Einzelabrede sei indessen im Kontext von Art. 15 und 16 der Vertragsbedingungen "Kranken-Lohnausfallversicherung nach VVG" (nachfolgend: VB) der Beschwerdegegnerin zu sehen. Gemäss Art. 15 VB sei für die Bemessung der Versicherungsleistung das vereinbarte Basissalär massgebend. Art. 16 VB sehe vor, dass als versicherter Verdienst je nach Vereinbarung der " UVG-Lohn, d.h. der Bruttolohn bis zum UVG-Höchstbetrag " oder der " Überschusslohn, d.h. der den UVG-Höchstbetrag übersteigende Teil des Bruttolohnes bis zum in der Police erwähnten Höchstbetrag pro Versicherten und Jahr " gelte. Mit der Einzelabrede sei also eine dieser zwei Möglichkeiten gewählt worden. Es sei weder dargetan noch ersichtlich, dass die Vertragsparteien tatsächlich oder nach dem Vertrauensprinzip darüber hinaus abweichend von Art. 15 VB Boni und Zulagen entsprechend <ref-law> i.V.m. Art. 22 Abs. 2 und 3 UVV (SR 832.202) sowie <ref-law> (SR 831.101) berücksichtigen wollten.
4.1.2 Der Beschwerdeführer wendet dagegen ein, diese Auffassung sei klar aktenwidrig und entsprechend nur schwer verständlich. Sie könne am ehesten mit einem Übersehen der Fussnote auf S. 4 der Beilagen zur Versicherungspolice (Abschnitt "Leistungen") erklärt werden. Korrekterweise hätte die Beschwerdegegnerin ab dem 91. bis und mit dem 365. Tag mit einem Ansatz von Fr. 284.45 und danach bis zum 730. Tag mit einem solchen von Fr. 227.56 (80 %) zu rechnen, da sein versicherter Verdienst nach UVG Fr. 103'825.-- betragen habe (Fr. 103'825.-- / 365 Tage = Fr. 284.45 pro Tag).
4.1.3 Auch diese Argumentation überzeugt nicht. In den Vertragsbedingungen finden sich unter dem Titel "Versicherter Verdienst" die Art. 15-17 VB. Ersterer steht unter der Überschrift "Bemessungsgrundlagen" und hält fest, dass für die Bemessung der Versicherungsleistung das vereinbarte Basissalär massgebend ist. Dieses betrug gemäss der von der Vorinstanz geschützten Berechnung der Beschwerdegegnerin Fr. 94'400.-- (Bruttolohn). Die Art. 16 f. VB tragen die Überschrift "Versicherter Verdienst / Versicherter Betrag". Gemäss Art. 16 VB gilt als versicherter Verdienst je nach Vereinbarung der UVG-Lohn, das heisst der Bruttolohn bis zum UVG-Höchstbetrag, oder der Überschusslohn, das heisst der den UVG-Höchstbetrag übersteigenden Bruttolohn bis zum in der Police erwähnten Höchstbetrag pro Versicherten und Jahr. Abweichend von Art. 16 VB sieht Art. 17 VB vor, dass für namentlich aufgeführte Personen als versicherter Verdienst der in der Police erwähnte Betrag gilt.
Daraus erhellt, dass sich die Taggeldhöhe nach dem vereinbarten Basissalär bemisst. Die Art. 16 f. VB dienen demgegenüber (bloss) dazu, den maximal versicherten Verdienst zu begrenzen, wie ein Blick auf die vom Beschwerdeführer angerufene S. 4 der Vertragsbedingungen verrät. Unter dem Titel "Versicherter Verdienst (nachfolgend Verdienst genannt) " wird dort ein Maximalbetrag von Fr. 500'000.-- genannt. Anschliessend wird festgehalten, dass das Taggeld maximal 100 % des Verdienstes ab dem 91. Tag bis zum 365. Tag und 80 % des Verdienstes ab dem 366. Tag bis zum 730. Tag beträgt. Betreffend den Verdienst findet sich die vom Beschwerdeführer erwähnte Fussnote. Darin werden die beiden in Art. 16 VB genannten Möglichkeiten erwähnt, den versicherten Verdienst zu vereinbaren. Damit wird implizit auf diese Bestimmung verwiesen und eine Verbindung zwischen den Ausführungen auf S. 4 und Art. 16 VB hergestellt. Da vorliegend gemäss der tabellarischen Darstellung auf S. 4 offenbar sowohl der UVG-Lohn als auch der diesen übersteigende Betrag als versicherter Verdienst vereinbart wurde, weshalb der Betrag nach oben hin offen ist, erklärt sich die Nennung eines Maximalbetrags von Fr. 500'000.--. Die Ausführungen auf S. 4 betreffen mithin ausschliesslich den versicherten Verdienst, der im Unterschied zum Basissalär nicht Bemessungsgrundlage für die Taggeldleistungen ist, sondern diese (lediglich) nach oben hin begrenzt. Dass die Parteien eine andere Bemessungsgrundlage vereinbart hätten, sah die Vorinstanz nicht als erwiesen an und der Beschwerdeführer wendet sich nicht gegen diese Feststellung. Folglich ist die Beschwerde auch in diesem Punkt abzuweisen.
5.
Im Ergebnis ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 5'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, V. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. August 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Bittel