Faits :
A.
A.a. A._ travaille à temps partiel (40 %) comme aide-vendeuse pour le compte de B._ et est, à ce titre, assurée contre le risque d'accidents auprès de AXA Assurances SA (ci-après: AXA).
Le 23 février 2018, elle a fait une chute dans les escaliers, se réceptionnant sur le genou gauche et l'épaule droite. Elle s'est immédiatement rendue aux urgences de l'Hôpital C._, où la doctoresse D._ a fait état d'une plaie profonde du genou de 7 cm de longueur et d'une contusion de l'épaule droite sans fracture, précisant que A._ présentait au niveau de cette épaule "une impotence fonctionnelle sur douleur" (rapport du 23 février 2018). AXA a versé des indemnités journalières dès le 5 mars 2018 et a pris en charge le traitement médical (séances de physiothérapie).
Une imagerie par résonance magnétique [IRM] de l'épaule droite réalisée le 3 mai 2018 a mis en évidence une tendinopathie sévère du sous-épineux s'étendant jusqu'à la jonction musculo-tendineuse, une fissure transfixiante de 3 mm à l'insertion du bord antérieur du sus-épineux, une bursite sous-acromiale, ainsi qu'une probable entorse d'un os acromial. En juin 2018, l'assurée a été adressée au docteur E._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, qui a notamment retenu une déchirure transfixiante des tendons des sus-épineux et sous-épineux et posé l'indication d'une intervention chirurgicale. Le 14 août 2018, A._ a subi une arthroscopie avec ténotomie du biceps, synovectomie, décompression sous-acromiale sans acromioplastie et reconstruction de la coiffe (2 tendons double rangée; 4 ancres).
Requis de se prononcer sur le lien de causalité entre l'accident et les troubles à l'origine de l'intervention, le docteur F._, médecin-conseil de AXA, a déclaré que l'assurée présentait très certainement un état préexistant précaire de son épaule droite. Selon lui, en raison de l'action vulnérante de l'événement et de la documentation radiologique et d'imagerie, la symptomatologie avait seulement été révélée - et non pas causée - par la contusion subie le 23 février 2018 et aurait pu débuter n'importe quand, soit spontanément, soit en réponse à d'autres événements ordinaires ou extraordinaires de la vie tels que des efforts ou des contusions bénignes; pour une contusion, le statu quo sine était atteint un mois après l'accident (appréciation du 23 août 2018).
Sur cette base, AXA a mis fin au versement de ses prestations avec effet au 23 mars 2018, par décision du 2 octobre 2018.
A.b. L'assurée a formé opposition contre cette décision en produisant un rapport du docteur E._ du 11 décembre 2018. Ce praticien y indiquait que l'IRM de l'épaule droite du 3 mai 2018 montrait "un mélange de signes dégénératifs et de signes d'un traumatisme aigu avec rupture traumatique et accidentelle des deux tendons de la coiffe des rotateurs". Il contestait l'avis du docteur F._ pour les raisons suivantes: premièrement, A._ était jeune (43 ans) et avait subi une chute majeure; deuxièmement, elle n'avait pas de problème à l'épaule avant l'accident, si bien que dans une telle constellation, une déchirure transfixiante de la coiffe des rotateurs était très peu vraisemblable malgré quelques signes dégénératifs coexistants; troisièmement, plusieurs tendons de la coiffe des rotateurs présentaient une trophicité normale et il existait une infiltration graisseuse partielle de moins de 25 % du muscle sous-épineux associé à un état oedémateux du tendon du sous-épineux du foot print jusqu'à la jonction musculo-tendineuse, ce qui était un signe spécifique pour des lésions du muscle et du tendon décrits par la littérature et était compatible avec une lésion à la suite d'un accident survenu en février 2018.
AXA a alors soumis le dossier de l'assurée au docteur G._, également médecin-conseil auprès d'elle. Dans une appréciation du 8 avril 2019, ce médecin a réfuté les arguments du docteur E._: il ne s'agissait pas d'un accident avec une énergie cinétique élevée, l'assurée ayant fait une simple chute de sa hauteur; l'existence de calcifications intra-tendineuses correspondait à des lésions de tendinite chronique et ancienne, soit à une pathologie dégénérative qui, en dépit du jeune âge de l'assurée, préexistait à l'accident; des lésions diffuses des tendons de la coiffe et une infiltration graisseuse du corps musculaire témoignaient de la survenue d'une rupture bien antérieure. L'ensemble de ces lésions constituait un état antérieur que la contusion de l'épaule avait déstabilisé de façon temporaire. Eu égard à cet état dégénératif préexistant, le docteur G._ a fixé à trois mois la durée de récupération fonctionnelle de la contusion.
Le 29 avril 2019, AXA a partiellement admis l'opposition en ce sens qu'elle a prolongé la prise en charge du cas jusqu'au 23 mai 2018.
B.
Saisie d'un recours de l'assurée, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois l'a admis et a annulé la décision sur opposition du 29 avril 2019 par arrêt du 10 mai 2021.
C.
AXA interjette un recours en matière de droit public contre cet arrêt, en concluant à sa réforme dans le sens de la confirmation de la décision sur opposition du 29 avril 2019, et subsidiairement à son annulation suivie du renvoi de la cause à la cour cantonale pour instruction complémentaire.
A._ conclut au rejet du recours; elle sollicite en outre l'assistance judiciaire. La cour cantonale déclare se référer à son arrêt, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue en matière de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
Le litige porte sur le point de savoir si la cour cantonale a violé le droit fédéral en reconnaissant le droit de l'intimée à des prestations de la recourante au-delà du 23 mai 2018 pour les suites de l'événement du 23 février 2018.
Les prestations en question pouvant être en espèces (cf. <ref-law>) et en nature (cf. <ref-law>), le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par l'autorité précédente (cf. art. 97 al. 2 et 105 al. 3 LTF) en ce qui concerne les faits communs aux deux types de prestations (cf. arrêt 8C_416/2019 du 15 juillet 2020 consid. 2 et les références).
3.
3.1. Le 1er janvier 2017 est entrée en vigueur la modification du 25 septembre 2015 de la LAA. Dans la mesure où l'accident assuré est survenu après cette date, le nouveau droit s'applique.
Aux termes de l'<ref-law> dans sa teneur en vigueur depuis le 1er janvier 2017, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle (al. 1); l'assurance alloue aussi ses prestations pour les lésions corporelles suivantes, pour autant qu'elles ne soient pas dues de manière prépondérante à l'usure ou à une maladie: [a. à e.]; f. les déchirures de tendons; [g. à h.] (al. 2); l'assurance alloue en outre ses prestations pour les lésions causées à l'assuré victime d'un accident lors du traitement médical (al. 3).
Dans un arrêt publié aux <ref-ruling>, le Tribunal fédéral a examiné les répercussions de la modification législative relative aux lésions corporelles assimilées à un accident. Il s'est notamment penché sur la question de savoir quelle disposition était désormais applicable lorsque l'assureur-accidents avait admis l'existence d'un accident au sens de l'<ref-law> [RS 830.1] et que l'assuré souffrait d'une lésion corporelle au sens de l'<ref-law>. Le Tribunal fédéral a admis que dans cette hypothèse, l'assureur-accidents devait prendre en charge les suites de la lésion en cause sur la base de l'<ref-law>; en revanche, en l'absence d'un accident au sens juridique, le cas devait être examiné sous l'angle de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 9.1, résumé dans la RSAS 1/2020 p. 33 ss.; arrêt 8C_169/2019 du 10 mars 2020 consid. 5.2).
3.2. En l'espèce, il est admis que la chute de l'intimée dans les escaliers du 23 février 2018 répond à la définition légale de la notion d'accident dans le domaine des assurances sociales. Par ailleurs, les investigations médicales ont mis à jour (entre autres) une déchirure transfixiante de deux tendons de la coiffe des rotateurs. Ces lésions constituent des lésions assimilées à un accident au sens de l'<ref-law>. Au vu de la jurisprudence susmentionnée, c'est à juste titre que la cour cantonale a examiné la question du droit aux prestations de l'intimée à l'aune de l'<ref-law> et on peut renvoyer à son arrêt en ce qui concerne le rappel, dans ce contexte, de l'<ref-law> ainsi que des notions de statu quo ante/statu quo sine applicables lorsque l'atteinte à la santé n'est que partiellement imputable à l'accident en raison d'un état maladif préexistant (cf. <ref-ruling> consid. 5.1 in fine).
3.3. On ajoutera encore que lorsqu'une décision administrative s'appuie exclusivement sur l'appréciation d'un médecin interne à l'assureur social et que l'avis d'un médecin traitant ou d'un expert privé auquel on peut également attribuer un caractère probant laisse subsister des doutes même faibles quant à la fiabilité et la pertinence de cette appréciation, la cause ne saurait être tranchée en se fondant sur l'un ou sur l'autre de ces avis et il y a lieu de mettre en oeuvre une expertise par un médecin indépendant selon la procédure de l'<ref-law> ou une expertise judiciaire (<ref-ruling> consid. 4.6 et 4.7; voir aussi l'arrêt 8C_796/2016 du 14 juin 2017 consid. 3.3).
4.
4.1. La cour cantonale a considéré qu'aussi bien les médecins-conseils de AXA que le docteur E._ avaient exprimé un avis circonstancié quant à la question de savoir si les lésions constatées relevaient d'un processus dégénératif ou d'un événement traumatique. Elle n'a toutefois pas été convaincue par les explications du docteur F._, selon lequel le mécanisme de l'accident n'était pas approprié pour solliciter les tendons de la coiffe des rotateurs au-delà de leur point de rupture. Ce dernier avait sous-estimé l'importance de l'événement accidentel: l'assurée n'était pas simplement tombée de sa hauteur mais avait fait une chute dans les escaliers qui lui avait occasionné une contusion et une dermabrasion au niveau de l'épaule ainsi qu'une plaie profonde au genou gauche. Une telle chute comportait en soi un risque potentiel de blessures graves, notamment à l'épaule, et ne pouvait pas être qualifiée de bénigne. Par ailleurs, les deux médecins-conseils de AXA avaient passé sous silence que l'assurée avait présenté une impotence immédiate de son épaule droite. Or, d'après la littérature médicale la plus récente (ALEXANDRE LÄDERMANN ET CONSORTS, Lésions transfixiantes dégénératives ou traumatiques de la coiffe des rotateurs, in Swiss Medical Forum, 2019, p. 263), une atteinte immédiate de la mobilité active en élévation ou en rotation externe, ou encore le développement d'une épaule pseudoparalytique était classiquement retrouvée après un accident. Toujours selon la cour cantonale, il n'était certes pas contestable que l'assurée présentait un certain nombre de lésions dégénératives préexistantes, ce que reconnaissait d'ailleurs également le docteur E._. Toutefois, tant le docteur F._ que le docteur G._ avaient fourni une appréciation médicale indifférenciée de la situation de l'assurée, sans procéder à une analyse détaillée de chaque lésion constatée. Leur raisonnement, fondé sur la seule présence d'atteintes dégénératives préexistantes, ne permettait pas d'exclure que certaines lésions aient pu trouver leur origine dans l'événement traumatique subi, d'autant que le docteur E._ avait précisé que l'infiltration graisseuse partielle de moins de 25 % du muscle, observée en mai 2018, était compatible avec une lésion survenue en février 2018. En conclusion, la cour cantonale a retenu qu'il existait une relation de causalité probable entre l'accident et la déchirure transfixiante des tendons des sus-épineux et sous-épineux. Au vu de l'<ref-law>, c'était donc à tort que AXA avait refusé de prester au-delà du 23 mai 2018.
4.2. La recourante reproche aux juges cantonaux d'avoir apprécié les avis médicaux et constaté les fait pertinents de manière arbitraire. Il serait inexact de retenir, comme ils l'ont fait, que le docteur F._ a sous-estimé l'importance de l'accident. Il importerait peu que l'événement ait pu comporter "un risque potentiel de blessures graves" dès lors que ce risque ne s'est pas réalisé comme cela résulterait des constatations initiales de la doctoresse D._. Par ailleurs, les docteurs F._ et G._ ont également fondé leurs conclusions sur l'imagerie, qui décrivait une série de lésions constitutionnelles et dégénératives (notamment un os acromial et des tendinopathies fissuraires de tous les tendons de la coiffe). De plus, les radiographies effectuées en février 2018 montraient un CSA [critical shoulder angle] à 40° favorisant les ruptures de surcharge de la coiffe supérieure. Quant à l'infiltration graisseuse visible sur l'IRM, elle est, selon le docteur G._, le témoin indiscutable de la survenue d'une déchirure bien antérieure à la chute. L'avis du docteur E._ ne contiendrait donc aucun élément propre à faire douter de la fiabilité des appréciations des docteurs F._ et G._. Enfin, la recourante fait valoir qu'un choc direct sur l'épaule ne serait pas susceptible de causer une lésion de la coiffe des rotateurs, à l'instar de ce qu'aurait relevé le Tribunal fédéral dans plusieurs arrêts en se référant à la doctrine médicale. Par conséquent, ce serait à tort que la cour cantonale a fait grand cas de l'existence d'une impotence initiale en s'appuyant sur un article du docteur LÄDERMANN (cf. consid. 4.1 supra). Au demeurant, l'avis de ce médecin ne ferait pas autorité, dans la mesure où d'autres auteurs retiennent que la présence d'une impotence ne signifie pas que l'on se trouve en présence d'une déchirure accidentelle de la coiffe des rotateurs (LUZI DUBS, BRUNO SOLTERMANN, JOSEF E. BRANDENBERG, PHILIPPE LUCHSINGER, Evaluation médicale ciblée après traumatisme de l'épaule - Causes des lésions isolées de la coiffe des rotateurs et leur diagnostic médical d'assécurologie, in Infoméd/Medinfo, n° 2021/1, p. 2 ch. 2).
4.3. Contrairement à ce que soutient la recourante, il ne ressort pas de la jurisprudence fédérale qu'un traumatisme consistant en un choc direct sur l'épaule ne serait jamais de nature à causer une lésion de la coiffe des rotateurs. Dans l'arrêt le plus récent cité par la recourante (8C_59/2020 du 14 avril 2020), le Tribunal fédéral a justement souligné que la question faisait l'objet d'une controverse dans la littérature médicale récente (voir le consid. 5.4 de cet arrêt). Il a considéré qu'il n'y avait pas lieu de donner une trop grande importance au critère du mécanisme accidentel pour l'examen du lien de causalité, eu égard aux difficultés à reconstituer avec précision le déroulement de l'accident sur la base des déclarations de la victime. Il convenait bien plutôt, sous l'angle médical, de mettre en présence et de pondérer entre eux les différents critères pertinents plaidant en faveur ou en défaveur du caractère traumatique de la lésion, de manière à déterminer l'état de fait présentant une vraisemblance prépondérante (voir également l'arrêt 8C_672/2020 du 15 avril 2021 consid. 4.1.3 et 4.5).
En l'occurrence, les médecins-conseils de la recourante et le docteur E._ ne s'accordent que sur un seul point, à savoir que l'intimée présente des signes dégénératifs à son épaule droite; on peut également noter qu'aucun d'entre eux n'a mentionné l'atteinte fonctionnelle initiale chez l'intimée en tant qu'élément à prendre en compte pour se prononcer sur le lien de causalité. Leurs prises de position respectives quant à l'importance et à la portée à donner, dans leur examen de cette question, à l'état antérieur préexistant associé à d'autres facteurs tels que l'action vulnérante de l'événement, l'âge et l'absence de problèmes à l'épaule avant l'accident, de même que l'interprétation de l'imagerie (en particulier relative au pourcentage d'infiltration graisseuse du muscle sous-épineux), sont tellement divergentes qu'il apparaît difficile de les départager sans connaissances médicales spécialisées. En effet, on ne voit pas, dans les explications avancées de part et d'autre, de motifs reconnaissables pour le juge qui justifieraient d'écarter d'emblée un avis au profit de l'autre en raison d'une valeur probante insuffisante. On ignore également si tous les facteurs médicalement déterminants ont effectivement été pris en compte.
4.4. Aussi, dans la mesure où le cas de l'intimée a été réglé sans avoir recours à une expertise et où il existe bien des doutes sur la fiabilité et la validité des constatations des médecins-conseils de la recourante, on se trouve dans la situation visée par la jurisprudence mentionnée au consid. 3.3 ci-dessus, qui impose de mettre en oeuvre une expertise par un médecin indépendant. Vu qu'il appartient en premier lieu à l'assureur-accidents de procéder à des instructions complémentaires pour établir d'office l'ensemble des faits déterminants et, le cas échéant, d'administrer les preuves nécessaires avant de rendre sa décision (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 5; arrêt 8C_412/2019 du 9 juillet 2020 consid. 5.4 et ses références), la cause ne sera pas renvoyée à l'autorité précédente, comme le requiert la recourante, mais à cette dernière, afin qu'elle mette en oeuvre une expertise dans une procédure au sens de l'<ref-law> et rende une nouvelle décision sur le droit aux prestations de l'intimée au-delà du 23 mai 2018. En ce sens, le recours se révèle bien fondé.
5.
Vu le sort du litige, les frais judiciaires seront mis à charge de l'intimée (<ref-law>). Celle-ci a cependant déposé une demande d'assistance judiciaire. Dès lors que les conditions en sont réalisées (art. 64 al. 1 et 2 LTF), l'assistance judiciaire lui sera accordée. L'intimée est toutefois rendue attentive au fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal fédéral, si elle retrouve ultérieurement une situation financière lui permettant de le faire (<ref-law>). La cause sera renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure antérieure (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis. L'arrêt de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois du 10 mai 2021 et la décision sur opposition de AXA du 29 avril 2019 sont annulés. La cause est renvoyée à la recourante pour instruction complémentaire et nouvelle décision. Le recours est rejeté pour le surplus.
2.
L'assistance judiciaire est accordée et M e Guy Longchamp est désigné comme avocat d'office de l'intimée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimée. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal fédéral.
4.
Une indemnité de 2800 fr. est allouée à l'avocat de l'intimée à titre d'honoraires à payer par la caisse du Tribunal fédéral.
5.
La cause est renvoyée à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure antérieure.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 14 janvier 2022
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Wirthlin
La Greffière : von Zwehl