Sachverhalt:
A.
A._ (Mieter, Beschwerdeführer) erwarb am 28. Februar 2014 ein vertraglich als "Mobilheim/Chalet Nr. xxx" bezeichnetes Objekt zum Preis von Fr. 47'000.-- von den vormaligen Besitzern. Das Objekt steht auf der Parzelle Nr. xxx des Campingplatzes C._ in U._.
Mit "Mietvertrag Mobilheimplatz 'C._' U._" vermietete B._ (Vermieter, Beschwerdegegner) A._ per 1. Januar 2014 die "Parzelle Nr. xxx" mit einer Fläche von 143 m 2 zu einem Jahresmietzins von Fr. 2'431.--. Am 21. Juni 2018 beklagte sich A._ zusammen mit anderen Mietern über den in Rechnung gestellten Strompreis. Mit Schreiben vom 25. Juni 2018 kündigte B._ den Mietvertrag per 31. Dezember 2018.
B.
A._ focht die Kündigung bei der Schlichtungsbehörde für Miete und Pacht Thal-Gäu an. Mit Beschluss vom 6. Juli 2018 trat die Schlichtungsbehörde mangels Zuständigkeit darauf nicht ein. Sie hielt dafür, es handle sich nicht um eine Miete von Wohn- oder Geschäftsräumen.
Am 16. November 2018 reichte A._ - erneut bei der Schlichtungsbehörde für Miete und Pacht Thal-Gäu - eine "Klage auf Feststellung der Nichtigkeit der Kündigung" ein. Er machte geltend, B._ habe ihm nicht mit einem Formular nach <ref-law> gekündigt. Die Kündigung sei daher gemäss <ref-law> nichtig. Mit Beschluss vom 20. November 2018 trat die Schlichtungsbehörde auch auf diese Klage mangels Zuständigkeit nicht ein, wiederum mit der Begründung, es handle sich nicht um eine Miete von Wohn- oder Geschäftsräumen.
Gegen diesen Beschluss erhob A._ Beschwerde an das Obergericht des Kantons Solothurn. Dieses wies die Beschwerde mit Urteil vom 13. März 2019 ab.
C.
A._ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und die Schlichtungsbehörde für Miete und Pacht Thal-Gäu sei anzuweisen, auf das Verfahren betreffend Feststellung der Nichtigkeit der Kündigung einzutreten. Eventualiter sei das Verfahren zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Obergericht begehrt die Abweisung der Beschwerde, unter Verzicht auf Vernehmlassung und Hinweis auf die Akten sowie das angefochtene Urteil. Der Beschwerdegegner beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Der Beschwerdeführer replizierte, worauf der Beschwerdegegner eine Duplik eingereicht hat.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil des Obergerichts ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer Vorinstanz im Sinne von <ref-law>.
1.2. Der Beschwerdegegner bringt in der Beschwerdeantwort vor, der Beschwerdeführer habe kein Rechtsschutzinteresse daran, dass ein Schlichtungsverfahren vor der Schlichtungsbehörde für Miete und Pacht Thal-Gäu durchgeführt werde. Der Beschwerdeführer sei im Herbst 2018 betreffend den gleichen Streitgegenstand an das "zuständige" Friedensrichteramt U._ gelangt, ohne dass es in jenem Verfahren zu einer Einigung gekommen sei. Damit sei ein - vom Beschwerdeführer in diesem Verfahren (erneut) angestrebtes - Schlichtungsverfahren bereits durchgeführt worden. Wie es sich damit verhält, braucht nicht beurteilt zu werden. Denn wie nachfolgend aufzuzeigen sein wird, ist die Beschwerde ohnehin abzuweisen.
1.3. Der Streitwert erreicht weder die in <ref-law> vorgesehene allgemeine noch die gemäss <ref-law> in mietrechtlichen Fällen geltende Grenze. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde in Zivilsachen dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>).
Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung liegt vor, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (<ref-ruling> E. 1 S. 165; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.2 S. 210; je mit weiteren Hinweisen). Der Begriff der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung ist restriktiv auszulegen. Soweit es bei der aufgeworfenen Frage lediglich um die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf einen konkreten Fall geht, handelt es sich nicht um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4 mit weiteren Hinweisen). Wenn geltend gemacht wird, dass von den unteren Instanzen viele gleichartige Fälle zu beurteilen sein werden, muss die zu beurteilende Streitsache überdies geeignet sein, die Frage auch mit Bezug auf die anderen Fälle zu klären (<ref-ruling> E. 4 S. 343).
Der vorliegende Fall wirft die Frage auf, ob die Zivilprozessordnung einem Nichteintretensentscheid der paritätischen Schlichtungsbehörde im Sinne von <ref-law> entgegensteht, wenn diese - ausserhalb des Entscheidverfahrens nach <ref-law> - zum Schluss gelangt, dass keine Streitigkeit aus Miete und Pacht von Wohn- und Geschäftsräumen vorliegt. Diese Frage hat das Bundesgericht bisher nicht beantwortet, und es kommt ihr grundsätzliche Bedeutung im eben dargestellten Sinne zu.
2.
2.1. Strittig ist, ob die Schlichtungsbehörde für Miete und Pacht Thal-Gäu das Verfahren durch Nichteintretensentscheid beenden durfte.
2.2. Der Beschwerdeführer vertritt die Ansicht, die Schlichtungsbehörde sei nicht befugt, einen Nichteintretensentscheid zu fällen, und begründet dies insbesondere damit, dass die Art. 59 f. ZPO einzig die Gerichte zur Prüfung der Prozessvoraussetzungen ermächtigten. Auch wenn - so der Beschwerdeführer weiter - eine unzuständige paritätische Schlichtungsbehörde angerufen worden sein sollte, bestehe angesichts deren Erfahrung und Spezialwissen die Chance, eine einvernehmliche Lösung zu finden. Überdies seien Schlichtungsbehörden nicht darauf ausgerichtet, komplexe Rechtsfragen zu beantworten.
2.3. Der Beschwerdegegner ist gegenteiliger Auffassung. Er meint, die Art. 59 f. ZPO seien auch auf Schlichtungsbehörden anwendbar. Der Grundsatz der Prozessökonomie verlange, dass Schlichtungsbehörden die Prozessvoraussetzungen prüfen könnten. Es entspreche dem Wesen des Schlichtungsverfahrens als "kostengünstiges und schlankes" Verfahren, dass offensichtliche Zuständigkeitsmängel berücksichtigt würden. Durch einen Nichteintretensentscheid erleide die klagende Partei keinen Rechtsverlust, denn sie könne den Entscheid anfechten oder die zuständige Schlichtungsbehörde anrufen.
2.4. Die Vorinstanz schützte den Nichteintretensentscheid der Schlichtungsbehörde mit der Begründung, der Beschwerdeführer habe keinen Wohnraum gemietet, weshalb die Schlichtungsbehörde für Miete und Pacht für die eingereichte Klage offensichtlich unzuständig sei.
3.
3.1. Dem Entscheidverfahren geht - abgesehen von bestimmten (hier nicht einschlägigen) Ausnahmefällen - ein Schlichtungsversuch vor einer Schlichtungsbehörde voraus (<ref-law>). Bei Streitigkeiten aus Miete und Pacht von Wohn- und Geschäftsräumen besteht die Schlichtungsbehörde aus einer vorsitzenden Person und einer paritätischen Vertretung (<ref-law>). Die sachliche Zuständigkeit der paritätischen Schlichtungsbehörde ist der Disposition der Parteien entzogen (siehe <ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 5.1 S. 651; vgl. auch <ref-ruling> E. 4.4.3.1 S. 463). Nach § 34sexies des Gesetzes über die Gerichtsorganisation des Kantons Solothurn vom 13. März 1977 (GO/SO; BGS 125.12) ist die Schlichtungsbehörde für Miet- und Pachtverhältnisse bei Streitigkeiten aus Miete und Pacht von Wohn- und Geschäftsräumen sowie aus landwirtschaftlicher Pacht zuständig.
<ref-law> ersetzte a<ref-law>, der eine paritätisch zusammengesetzte Schlichtungsbehörde bei der Miete unbeweglicher Sachen vorsah (Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [nachfolgend: Botschaft ZPO], BBl 2006 S. 7330 zu Art. 197; siehe zum aus aArt. 274a ff. OR abgeleiteten Obligatorium, in allen "Streitigkeiten aus der Miete von Wohn- oder Geschäftsräumen" ein Schlichtungsverfahren durchzuführen: <ref-ruling> E. 3; vgl. auch BGE <ref-ruling> E. 5.1 mit Hinweisen). Die paritätische Schlichtungsbehörde ist - aufgrund ihrer besonderen Zusammensetzung und ihrer Spezialisierung - in besonderem Masse in der Lage, die Parteien bei Streitigkeiten aus Miete und Pacht von Wohn- und Geschäftsräumen zu beraten und zu versöhnen (siehe <ref-law>; Urteil 4A_356/2007 vom 13. Dezember 2007 E. 2; DOLGE/INFANGER, Schlichtungsverfahren nach Schweizerischer Zivilprozessordnung, 2012, S. 31; PETER HIGI, Zürcher Kommentar, 4. Aufl. 1996, N. 17 f. zu <ref-law>). Dieser Umstand verlangt, dass es gerade die paritätische Schlichtungsbehörde ist, die versucht, Streitigkeiten aus Miete und Pacht von Wohn- und Geschäftsräumen zu schlichten, und er schliesst deren Zuständigkeit bei anderen Streitigkeiten umgekehrt aus. Dies zeigen auch verschiedene, auf die paritätische Schlichtungsbehörde zugeschnittene Verfahrensbestimmungen (so Art. 202 Abs. 4, Art. 203 Abs. 2 Satz 2 und Art. 203 Abs. 3 Satz 2 ZPO; vgl. Botschaft ZPO, BBl 2006 S. 7331 zu Art. 199-204).
3.2. Im Schrifttum wird kontrovers diskutiert, ob die Schlichtungsbehörde bei örtlicher oder sachlicher Unzuständigkeit einen Nichteintretensentscheid fällen kann. Für den Fall, dass die Schlichtungsbehörde einzig schlichtet (vgl. <ref-law>) und nicht entscheidet (vgl. Art. 210-212 ZPO) und die sachliche Zuständigkeit in Frage steht, wird wie folgt Stellung bezogen:
3.2.1. Ein Teil der Lehre und der kantonalen Rechtsprechung vertritt die Ansicht, der Schlichtungsbehörde sei es grundsätzlich verwehrt, das Verfahren durch einen Nichteintretensentscheid zu beenden (etwa GLOOR/UMBRICHT LUKAS, in: ZPO, Oberhammer/Domej/Haas [Hrsg.], 2. Aufl. 2014, N. 2 zu <ref-law>; FABIENNE HOHL, Procédure civile, Bd. II., 2. Aufl. 2010, S. 208 Rz. 115; JEAN-MARC REYMOND, Les conditions de recevabilité, la litispendance et les preuves, in: Le Projet de Code de procédure civile fédérale, 2008, S. 27; CLAUDE SCHRANK, Das Schlichtungsverfahren nach der Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 2015, S. 121-125 Rz. 211-216; sodann allgemein TANJA DOMEJ, in: ZPO, Oberhammer/Domej/Haas [Hrsg.], 2. Aufl. 2014, N. 10 zu <ref-law>; BENEDIKT SEILER, Die Berufung nach ZPO, 2013, S. 158 Rz. 375a; STAEHELIN/STAEHELIN/GROLIMUND, Zivilprozessrecht, 2. Aufl. 2013, S. 374 f. § 20 Rz. 43a; THOMAS SUTTER-SOMM, Das Schlichtungsverfahren der ZPO: Ausgewählte Problempunkte, SZZP 2012, S. 77 Fn. 10; SUTTER-SOMM/LÖTSCHER, Der Erbrechtsprozess unter der Schweizerischen ZPO und seine Stolpersteine für die Praxis, successio 2013, S. 363; aus der kantonalen Rechtsprechung: Entscheid des Kantonsgerichts Basel-Landschaft 400 17 308 vom 8. Mai 2018 E. 2.6; Entscheid des Kantonsgerichts St. Gallen vom 18. Mai 2016, in: GVP 2016 Nr. 41 E. 2; Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau ZVE.2011.7 vom 16. November 2011 E. 3.2.1; vgl. auch das im Urteil 4A_592/2013 vom 4. März 2014 E. 3.1 zitierte Urteil des Handelsgerichts des Kantons Aargau, dem das Bundesgericht - allerdings nur, wie aus E. 3.2 erhellt, - im Ergebnis zustimmte). Diese Auffassung teilt auch der Beschwerdeführer.
3.2.2. Andere Autoren meinen, bei fehlender sachlicher Zuständigkeit dürfe die Schlichtungsbehörde auf das Gesuch nicht eintreten (etwa DOLGE/INFANGER, a.a.O., S. 101; DOMINIK INFANGER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 19 f. zu <ref-law>; BORIS MÜLLER, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Kommentar, Brunner/Gasser/Schwander [Hrsg.], Bd. I, 2. Aufl. 2016, N. 32 zu <ref-law> [vgl. aber N. 35]; derselbe, Prüfung der Prozessvoraussetzungen durch Schlichtungsbehörden, AJP 2013, S. 73; MARKUS MÜLLER-CHEN, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Kommentar, Brunner/Gasser/Schwander [Hrsg.], Bd. I, 2. Aufl. 2016, N. 4 und 11 zu <ref-law>; TAPPY/NOVIER, La procédure de conciliation et la médiation dans le Code de procédure civile suisse (art. 197 - 218 CPC), in: Il Codice di diritto processuale civile svizzero, 2011, S. 101; WEINGART/PENON, Ungeklärte Fragen im Schlichtungsverfahren, ZBJV 2015, S. 472-477; vgl. auch SIMON ZINGG, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. I, 2012, N. 28 zu <ref-law> und einschränkend JAMES T. PETER, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. II, 2012, N. 9 f. zu <ref-law>).
3.2.3. Nach einer dritten Auffassung hat ein Nichteintretensentscheid nur, aber immerhin bei offensichtlicher Unzuständigkeit zu ergehen (etwa BAUMGARTNER UND ANDERE, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 10. Aufl. 2018, S. 316 Kap. 11 Rz. 33; FRANÇOIS BOHNET, in: Commentaire romand, Code de procédure civile, 2. Aufl. 2019, N. 17 zu <ref-law>; derselbe, Les défenses en procédure civile suisse, ZSR 2009 II, S. 216; URS EGLI, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Kommentar, Brunner/Gasser/Schwander [Hrsg.], Bd. II, 2. Aufl. 2016, N. 14 f. zu <ref-law>; JACQUES HALDY, Procédure civile suisse, 2014, S. 130 Rz. 426; FRANCESCO TREZZINI, in: Commentario pratico al Codice di diritto processuale civile svizzero [CPC], Trezzini und andere [Hrsg.], Bd. II, 2. Aufl. 2017, N. 15 zu <ref-law>; ALEXANDER ZÜRCHER, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger [Hrsg.], 3. Aufl. 2016, N. 6b zu <ref-law>; siehe sodann JÖRG HONEGGER, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger [Hrsg.], 3. Aufl. 2016, N. 19 zu <ref-law>, der den Entscheid aber ins Ermessen der Schlichtungsbehörde stellen will; aus der kantonalen Rechtsprechung: Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern ZK 18 604 vom 8. April 2019 E. III.9; Urteil des Kantonsgerichts Freiburg 101 2018 142 vom 28. Januar 2019 E. 2.2.1; Urteil des Kantonsgerichts Waadt PT16.016938-170204 216 vom 6. Juni 2017 E. 3.2.2; Urteil des Kantonsgerichts von Graubünden ZK1 16 42 vom 3. Mai 2016 E. 2d f.; Entscheid des Kantonsgerichts Luzern, LGVE 2016 I Nr. 8 vom 24. März 2016 E. 6.3.2.1; Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich LU130001 vom 30. April 2013 E. 3.2; je mit Hinweisen). Dieser Meinung schloss sich die Vorinstanz an.
3.3. Das Bundesgericht hat entschieden, dass es im gerichtlichen Verfahren an einer Prozessvoraussetzung fehle, wenn die erforderliche Klagebewilligung von einer offensichtlich unzuständigen Schlichtungsbehörde ausgestellt wurde (<ref-ruling> E. 2.1 und 2.2; vgl. für weitere Fälle einer ungültigen Klagebewilligung etwa <ref-ruling> E. 5; Urteil 4A_131/2013 vom 3. September 2013 E. 2.2.2.1). Ausgehend von der Prämisse, die Schlichtungsbehörde sei keine einem ordentlichen Gericht vergleichbare Entscheidungsinstanz, hielt das Bundesgericht in <ref-ruling> sodann fest, es widerspreche der derogatorischen Kraft des Bundesrechts, wenn eine Schlichtungsbehörde zufolge nicht rechtzeitiger Einleitung des Schlichtungsverfahrens auf ein Mietzinsherabsetzungsbegehren nicht eintrete, ohne dass eine gerichtliche Instanz zur Verfügung stehe, welche die bundesrechtlichen Verfahrensvorschriften mit voller Kognition prüfe (E. 2b; zu aArt. 274a ff. OR).
Im Urteil 5A_38/2016 vom 21. April 2016 E. 2 wurde die Frage, inwiefern die Schlichtungsbehörde Prozessvoraussetzungen von Amtes wegen zu prüfen hat, ausdrücklich offen gelassen.
4.
4.1. Die Frage, ob eine Streitigkeit in den sachlichen Zuständigkeitsbereich der paritätischen Schlichtungsbehörde fällt, ist regelmässig auch für die Begründetheit des eingeklagten Anspruchs von Bedeutung. So verhält es sich namentlich, wenn sich die klagende Partei auf mietrechtliche Schutzbestimmungen beruft, die - wie <ref-law> - an die Miete von Wohn- und Geschäftsräumen anknüpfen. Bei dieser Ausgangslage hat die Schlichtungsbehörde für die Beurteilung der Zulässigkeit des Schlichtungsgesuchs in tatsächlicher Hinsicht grundsätzlich auf die Behauptungen der klagenden Partei abzustellen. Denn liegt gerade eine Frage im Streit, für deren Schlichtung die paritätische Schlichtungsbehörde besonders geeignet ist (siehe Erwägung 3.1), soll sie eine mögliche Einigung nicht verhindern, indem sie die Frage bereits auf der Ebene der Zulässigkeit selbst entscheidet, statt zu versuchen, die Parteien zu versöhnen. Ausserdem würde die Frage, ob die paritätische Schlichtungsbehörde das Schlichtungsverfahren durchzuführen hat, sonst vom Beweisergebnis in der Sache abhängig gemacht, was nicht richtig wäre (vgl. <ref-ruling> E. 3c). Ist gestützt auf die Sachdarstellung der klagenden Partei auf eine Miete oder Pacht von Wohn- oder Geschäftsräumen zu schliessen, hat die paritätische Schlichtungsbehörde - Rechtsmissbrauch vorbehalten - das Schlichtungsverfahren daher durchzuführen. Dies gilt auch dann, wenn die beklagte Partei das Vorliegen eines Mietvertrags bestreitet (siehe Urteil 4C.347/2000 vom 6. April 2001 E. 2a zu a<ref-law>; BISANG/KOUMBARAKIS, in: Das schweizerische Mietrecht, Kommentar, 4. Aufl. 2018, S. 1159 Rz. 72; BOHNET, a.a.O., N. 5 zu <ref-law>; derselbe, in: Droit du bail à loyer et à ferme, Bohnet/Carron/Montini [Hrsg.], 2. Aufl. 2017, N. 21 zu Art. 3/200 ZPO; HAUSER/SCHWERI/ LIEBER, GOG, Kommentar zum zürcherischen Gesetz über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess, 2. Aufl. 2017, S. 248 N. 3a zu § 52 GOG/ZH; INFANGER, a.a.O., N. 19 zu <ref-law>; vgl. auch HIGI, a.a.O., N. 95 zu <ref-law>; vgl. allerdings Urteil 4P.80/2002 vom 13. Februar 2002 E. 2.1; vgl. für das gerichtliche Verfahren Urteil 4A_186/2017 vom 4. Dezember 2017 E. 2).
Die Frage, ob die paritätische Schlichtungsbehörde das Verfahren mangels sachlicher Zuständigkeit durch Nichteintretensentscheid beenden darf, stellt sich daher grundsätzlich nur, wenn sich bereits aus den tatsächlichen Behauptungen der klagenden Partei ergibt, dass keine Streitigkeit aus Miete und Pacht von Wohn- und Geschäftsräumen vorliegt.
4.2. Unter diesem Vorbehalt ist der dritten Meinung - welche die Zulässigkeit eines Nichteintretensentscheids nur, aber immerhin bei offensichtlicher sachlicher Unzuständigkeit bejaht - beizupflichten, aus folgenden Gründen:
4.2.1. In <ref-law> ist einzig vom "Gericht" die Rede, das auf eine Klage oder auf ein Gesuch nicht eintritt, wenn die Prozessvoraussetzungen nicht erfüllt sind. Gleich trägt <ref-law> dem "Gericht" auf, die Prozessvoraussetzungen von Amtes wegen zu prüfen. Auch ist nicht zu verkennen, dass die ZPO terminologisch grundsätzlich zwischen den "Gerichten" und den "Schlichtungsbehörden" unterscheidet (etwa in Art. 3 und in <ref-law>). Umgekehrt schliessen diese - im "1. Teil: Allgemeine Bestimmungen" eingeordneten - Normen einen Nichteintretensentscheid einer sachlich unzuständigen Schlichtungsbehörde auch nicht ohne Weiteres aus. So hat das Bundesgericht in <ref-ruling> E. 2.3 entschieden, dass etwa der Wortlaut von <ref-law>, der es dem "Gericht" erlaubt, das Verfahren zu sistieren, einem Sistierungsentscheid der Schlichtungsbehörde nicht entgegensteht. Zudem ist anerkannt, dass sich die in <ref-law> verankerte kantonale Kompetenz, die sachliche und funktionelle Zuständigkeit der "Gerichte" zu regeln (soweit die ZPO nichts anderes bestimmt), und die Regeln zur örtlichen Zuständigkeit der "Gerichte" (<ref-law>) auch auf Schlichtungsbehörden beziehen (statt vieler EGLI, a.a.O., N. 16 zu <ref-law>; INFANGER, a.a.O., N. 2f zu <ref-law> und N. 11 zu <ref-law>; vgl. auch <ref-law>).
4.2.2. Sodann ist der Nichteintretensentscheid in den Bestimmungen über den Schlichtungsversuch zwar nicht ausdrücklich genannt (anders als in <ref-law>), was für die Unzulässigkeit eines Nichteintretensentscheids sprechen könnte. Andererseits wird dagegen zu Recht eingewendet, dass das Schlichtungsverfahren in anderen Fällen mit einem Nichteintretensentscheid abgeschlossen werden könne (ein grosser Teil der Lehre bejaht dies etwa dann, wenn der Vorschuss nicht geleistet wurde [etwa HONEGGER, a.a.O., N. 19 zu <ref-law>; STAEHELIN/STAEHELIN/GROLIMUND, a.a.O., S. 374 f. § 20 Rz. 43a; a.A. SEILER, a.a.O., Rz. 375a] oder das Schlichtungsgesuch trotz Möglichkeit zur nachträglichen Verbesserung den formellen Anforderungen nicht genügt [BOHNET, a.a.O., N. 17 zu <ref-law>; STAEHELIN/STAEHELIN/GROLIMUND, a.a.O., S. 375 § 20 Rz. 43a; ZINGG, a.a.O., N. 31 zu <ref-law>; ZÜRCHER, a.a.O., N. 6c zu <ref-law>]).
4.2.3. Die Schlichtungsbehörde ist im Grundsatz keine Entscheidungsinstanz. Ihre primäre Aufgabe besteht im Versuch, die Parteien in formloser Verhandlung zu versöhnen (<ref-law>); in den Angelegenheiten nach <ref-law> ist sie überdies Rechtsberatungsstelle (<ref-law>). Kommt es zu keiner Einigung, so erteilt sie grundsätzlich die Klagebewilligung (<ref-law>). Die Beendigung eines Verfahrens durch Nichteintretensentscheid würde voraussetzen, dass die sachliche Zuständigkeit verlässlich festgestellt werden kann. Hierfür ist das Schlichtungsverfahren nicht angelegt, was etwa in den Art. 201-203 ZPO zum Ausdruck kommt.
Anders muss es sich hingegen bei offensichtlicher sachlicher Unzuständigkeit verhalten, die geradezu Nichtigkeit bewirken würde. Die Vornahme nichtiger Amtshandlungen kann nicht gewollt sein. Eine sachlich offensichtlich unzuständige Schlichtungsbehörde soll nicht dazu gezwungen werden, eine ungültige Klagebewilligung zu erteilen, die im gerichtlichen Verfahren im Rahmen der Prüfung der Prozessvoraussetzungen ohnehin unbeachtlich bliebe (siehe <ref-ruling> E. 2.1 und 2.2, zitiert in Erwägung 3.3). Vielmehr ist angebracht, die Nichteintretenskompetenz der Schlichtungsbehörde in Einklang zu bringen mit der Kompetenz des Gerichts, das Vorliegen einer gültigen (nicht von einer sachlich offensichtlich unzuständigen Schlichtungsbehörde ausgestellten) Klagebewilligung als Prozessvoraussetzung zu prüfen. Soweit die paritätische Schlichtungsbehörde die sachliche Unzuständigkeit in rechtlicher und tatsächlicher Hinsicht verlässlich feststellen kann, ohne den Eigenheiten des Schlichtungsverfahrens widersprechende aufwändige Abklärungen zu tätigen, kann es ihr nicht verwehrt sein, einen Nichteintretensentscheid zu fällen. Für ein solches Vorgehen braucht es auch nicht "die Zustimmung des Gesuchstellers", wie der Beschwerdeführer unter Hinweis auf den Anspruch auf rechtliches Gehör und die Rechtsweggarantie postuliert, denn daraus folgt nicht das Recht, "selbst zu entscheiden, ob das Schlichtungsverfahren trotz einer möglichen Unzuständigkeit durchgeführt werden soll". Die sachliche Zuständigkeit ist der Disposition der Parteien entzogen (siehe Erwägung 3.1).
4.3. Die Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung wird demnach wie folgt beantwortet:
Für die Beurteilung der sachlichen Zuständigkeit der paritätischen Schlichtungsbehörde im Sinne von <ref-law> ist im reinen Schlichtungsverfahren grundsätzlich von den tatsächlichen Behauptungen der klagenden Partei auszugehen. Ergibt sich, dass die paritätische Schlichtungsbehörde sachlich offensichtlich nicht zuständig ist, darf sie das Verfahren durch Nichteintretensentscheid beenden.
5.
Dies bedeutet für den hier zu beurteilenden Fall was folgt:
5.1. Der Beschwerdeführer beruft sich in der Sache auf Art. 266l in Verbindung mit <ref-law>, die - wie <ref-law> - voraussetzen, dass eine Miete von Wohn- oder Geschäftsräumen vorliegt. Er behauptete in seinem Schlichtungsgesuch, die Parteien hätten einen Mietvertrag "für die Parzelle Nr. xxx" abgeschlossen. Im darauf stehenden "Chalet" habe er seinen festen Wohnsitz und er verbringe dort seinen Lebensabend. Das "Chalet" sei auf einem "soliden Betonfundament aufgebaut, unterkellert und fest mit dem Untergrund verbunden" und könne ohne Verletzung der Bausubstanz beziehungsweise des Grundstücks nicht entfernt werden. Es verfüge über Nasszellen sowie sanitäre Anlagen und sei an die Kanalisation angeschlossen. Der Beschwerdegegner habe sämtliche Ausbau- und Renovationsarbeiten "explizit oder implizit" gutgeheissen.
Vor Bundesgericht macht der Beschwerdeführer nun geltend, die "Qualifikation des Vertragsinhalts" führe zu Auslegungsfragen, die nicht ohne aufwändige Abklärungen beantwortet werden könnten. Er betont, aufgrund des Prinzips "zuerst schlichten, dann richten" müsse die Hürde für die Durchführung eines Schlichtungsverfahrens sehr niedrig sein. Im Übrigen wiederholt er im Wesentlichen seine Sachverhaltsdarstellung, wie er sie bereits im Schlichtungsgesuch vorgetragen hat.
5.2. Aus dem Schlichtungsgesuch ergibt sich zweifelsfrei, dass sich der Mietvertrag einzig auf die Grundstücksfläche als solche bezieht. Das darauf stehende Objekt hingegen wurde vom Beschwerdeführer "mit Kaufvertrag vom 28. Februar 2014 zu einem Kaufpreis von CHF 47'000.00" von den vormaligen Besitzern erworben und in der Folge ausgebaut. Die Vorinstanz geht daher zutreffend davon aus, dass mietvertraglich einzig der Mobilheimplatz, das heisst ein unbebautes Grundstück zum Aufstellen eines Mobilheims, erfasst ist. Auch ist nicht zu beanstanden, wenn sie ausführt, ein allfälliger Wille der Parteien, die Parzelle zu Wohnzwecken zu vermieten, ändere daran ebenso wenig wie der Umstand, dass der Beschwerdeführer dort seinen Wohnsitz im Sinne von <ref-law> begründet habe. Nicht von Bedeutung ist ferner, ob es sich um eine Fahrnisbaute handelt und wer deren Eigentümer ist, wie das Obergericht zutreffend erwog. Nur der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass sich aus dem - als Beilage zum Schlichtungsgesuch eingereichten - Mietvertrag ausdrücklich ergibt, dass dieser befristet (für eine Mietdauer von einem Jahr, mit Verlängerungsmöglichkeit) abgeschlossen wurde. Vor diesem Hintergrund steht ohne Weiteres fest, dass es sich nicht um die Miete von Wohnraum handelt (vgl. etwa Urteile 4A_109/2015 vom 23. September 2015 E. 3.2; 4D_136/2010 vom 11. Februar 2011 E. 4.3.3; 4C.128/2006 vom 12. Juni 2006 E. 2; 4C.345/2005 vom 9. Januar 2006 E. 1.3), was sich bereits eindeutig aus dem Schlichtungsgesuch schliessen lässt. Das Obergericht hat zu Recht erkannt, dass die paritätische Schlichtungsbehörde für Streitigkeiten aus derartigen Mietverhältnissen offensichtlich nicht zuständig ist.
Ob die vom Beschwerdeführer angerufenen Kündigungsschutzbestimmungen analog auf die vorliegende Streitigkeit anzuwenden sind, wie dieser mit Verweis auf <ref-ruling> E. 4b geltend macht, erscheint zweifelhaft (vgl. Urteile 4A_109/2015 vom 23. September 2015 E. 4.2; 4C.293/2001 vom 11. Dezember 2001 E. 4c), braucht aber nicht entschieden zu werden, da auch dies nichts daran ändern würde, dass es sich nicht um die Miete von Wohnräumen im Sinne von <ref-law> handelt. Folglich verletzte das Obergericht kein Bundesrecht, wenn es die gegen den Nichteintretensentscheid der paritätischen Schlichtungsbehörde gerichtete Beschwerde abwies.
5.3. Nachdem die Vorinstanz zu Recht nicht darauf abgestellt hat, ob das Objekt fest mit dem Boden verbunden ist (und was der Beschwerdeführer zu diesem Aspekt im Schlichtungsgesuch behauptet hatte), ist auf die diesbezüglichen Sachverhaltsrügen nicht einzugehen. Das Gleiche gilt, da nicht entscheidwesentlich, für die Ausführungen des Beschwerdeführers zu einem von ihm verfassten und dem Schlichtungsgesuch beigelegten Schreiben vom 30. Juni 2018, aus dem das Obergericht auf ein widersprüchliches Verhalten des Beschwerdeführers schloss, da dieser darin von den "Schwierigkeiten und Kosten einer Verschiebung oder eines Verkaufs" gesprochen habe.
6.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (siehe Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. November 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Stähle