Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1971) und B._ (geb. 1975), beide russische Staatsangehörige, heirateten 1995 in Moskau (Russische Föderation). Während der Ehe adoptierten sie drei Kinder: C._ (geb. 2005), D._ (geb. 2006) und den mittlerweile volljährigen E._ (geb. 1999). Seit 2009 wohnen die Beteiligten in der Schweiz. Die Ehe wurde 2012 in Moskau geschieden. A._ erhielt dabei die alleinige elterliche Sorge und die Obhut über die drei Kinder zugeteilt. B._ wurde ein jederzeitiges Besuchsrecht und ein dreiwöchiges Ferienrecht mit den Kindern eingeräumt.
A.b. Mit Verfügung vom 24. Oktober 2013 der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Region St. Gallen (nachfolgend KESB) wurde B._ vorsorglich jeder persönliche Verkehr mit den Kindern verboten. Am 7. April 2014 wies die KESB einen Antrag von B._ auf Einräumung eines Besuchsrechts ab, gewährte ihr jedoch das Recht auf telefonischen Kontakt mit den Kindern unter Aufsicht des Kindsvaters oder einer Hilfsperson. Gleichzeitig ordnete sie ein Erziehungsfähigkeitsgutachten an, welches am 5. November 2014 vom Zentrum für Forensik, KJPD St. Gallen, erstattet wurde.
A.c. A._ reichte Ende 2014 beim Bezirksgericht Kunzewo der Stadt Moskau eine Klage gegen die Kindsmutter auf Aufhebung der Adoption ein. Mit Entscheid vom 10. Februar 2015 hob das russische Bezirksgericht die Adoption in Bezug auf alle drei Kinder auf. Dieser Entscheid erwuchs in Rechtskraft nachdem die von der Kindsmutter eingelegte Berufung am 14. Mai 2015 vom Moskauer Stadtgericht abgewiesen worden war.
A.d. Die KESB verfügte am 1. März 2016, dass das Urteil des Bezirksgerichts Kunzewo der Stadt Moskau vom 10. Februar 2015 betreffend Aufhebung der Adoption vollumfänglich anerkannt werde (Ziffer 1), dass B._ unter dem Titel von <ref-law> keinen Anspruch auf persönlichen Verkehr mit C._, D._ und E._ habe (Ziffer 2) und dass über einen allfälligen Anspruch auf persönlichen Verkehr nach <ref-law> in einem separaten Verfahren entschieden werde (Ziffer 3). Die Kosten des Verfahrens wurden je zur Hälfte den Parteien auferlegt (Ziffer 4); jede Partei habe zudem ihre eigenen Parteikosten zu tragen (Ziffer 5).
B.
B.a. Gegen das Urteil der KESB erhob B._ Beschwerde bei der Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen. Sie beantragte hauptsächlich die Aufhebung des Beschlusses der KESB vom 1. März 2016 sowie die Nichtanerkennung des russischen Urteils, die Anweisung der KESB zur Regelung des persönlichen Verkehrs sowie die superprovisorische Aufhebung des Kontaktverbotes und gleichzeitig Einräumung eines Kontaktrechts. Der Beschwerdeführer beantragte die Abweisung der Beschwerde. Mit Entscheid vom 7. Dezember 2018 schrieb die Verwaltungsrekurskommission das Beschwerdeverfahren in Bezug auf E._ als erledigt ab und hiess die Beschwerde im Übrigen gut, wobei sie Ziffer 1 bis 3 der KESB-Verfügung vollumfänglich aufhob; Ziffer 4 und 5 wurden bestätigt. Weiter entschied die Verwaltungskommission, dass das Urteil des Bezirksgerichts Kunzewo der Stadt Moskau vom 10. Februar 2015 nicht anerkannt werde. Sodann wies es die Streitsache zur Regelung des persönlichen Verkehrs zwischen B._ und den Kindern C._ und D._ an die KESB zurück. Die Kosten auferlegte sie der KESB und A._ je hälftig, wobei diese B._ zu entschädigen hätten.
B.b. Dagegen erhob A._ beim Kantonsgericht St. Gallen Beschwerde. Es sei das Urteil des Bezirksgerichts Kunzewo anzuerkennen und festzuhalten, dass B._ unter dem Titel von <ref-law> keinen Anspruch auf persönlichen Verkehr mit E._, C._ und D._ habe. Das Verfahren betreffend den persönlichen Verkehr sei im Übrigen als gegenstandslos abzuschreiben. B._ beantragte die Abweisung der Beschwerde und die als vorsorgliche Massnahme zu erlassende Anweisung an die KESB zur sofortigen Regelung des persönlichen Verkehrs. Mit Entscheid vom 8. Januar 2020 wies das Kantonsgericht die Beschwerde ab und schrieb das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen zufolge Gegenstandslosigkeit ab.
C.
C.a. Mit Beschwerde vom 17. Februar 2020 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht mit dem Begehren, es sei das Urteil des Bezirksgerichts Kunzewo der Stadt Moskau vom 10. Februar 2015 vorfrageweise anzuerkennen. Weiter sei zu entscheiden, dass B._ unter dem Titel von <ref-law> keinen Anspruch auf persönlichen Verkehr mit C._ und D._ habe. Im Übrigen sei das Verfahren betreffend den persönlichen Verkehr als gegenstandslos abzuschreiben. Die Kosten der vorinstanzlichen Verfahren seien der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen. Letztere sei ferner zur Bezahlung einer angemessenen Prozessentschädigung (zzgl. MWSt) für die vorinstanzlichen Verfahren zu verpflichten. Daneben beantragte der Beschwerdeführer die aufschiebende Wirkung der Beschwerde.
C.b. Mit Verfügung vom 18. Februar 2020 wies der Präsident der urteilenden Abteilung das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung ab.
C.c. Das Kantonsgericht erklärte mit Eingabe vom 26. Februar 2020 seinen Verzicht auf eine Vernehmlassung. Es beantragt jedoch die Abweisung der Beschwerde. Die KESB hat sich nicht vernehmen lassen. Die Beschwerdegegnerin hat sich mit Eingabe vom 1. April 2020 auf Einladung hin geäussert, wobei sie die Abweisung der Beschwerde ohne Erteilung der aufschiebenden Wirkung verlangt. Die Vernehmlassung wurde dem Beschwerdeführer zwecks Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt.
C.d. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob auf eine Beschwerde eingetreten werden kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 143 mit Hinweisen).
1.2. Gegenstand des kantonsgerichtlichen Verfahrens bildete die Anerkennung eines ausländischen Entscheides betreffend die Aufhebung einer Adoption sowie die Regelung des persönlichen Verkehrs zwischen der Kindsmutter und den Kindern (Art. 72 Abs. 1 und Abs. 2 lit. b Ziff. 1 BGG). Das Kantonsgericht hat als letzte kantonale Instanz auf Rechtsmittel hin entschieden (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist an der Aufhebung bzw. Änderung des vorinstanzlichen Urteils interessiert (<ref-law>). Die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Zu prüfen bleibt, inwiefern der angefochtene Entscheid ein beschwerdefähiges Anfechtungsobjekt ist.
1.3. Die Verwaltungsrekurskommission hat auf eigenständiges Begehren des Beschwerdeführers hin separat über die Anerkennung des russischen Urteils einen Entscheid gefällt. Darüber hinaus hat sie die Sache zur Regelung des persönlichen Verkehrs an die KESB zurückgewiesen. Mithin enthält der angefochtene Entscheid einen abschliessenden Entscheid über einen Teil des Streitgegenstandes sowie einen Rückweisungsentscheid. Beim Entscheid betreffend die Anerkennung handelt es sich um einen beschwerdefähigen Teilentscheid gemäss <ref-law>. Dass der Beschwerdegegner vor Bundesgericht lediglich die vorfrageweise Anerkennung verlangt, ändert an dieser Beurteilung nichts, zumal die vorinstanzlich gestellten Begehren vor Bundesgericht nicht abgeändert werden dürfen (vgl. <ref-law>). Auf die Beschwerde gegen den Teilentscheid ist einzutreten.
Beim Rückweisungsentscheid handelt es sich demgegenüber um einen Zwischenentscheid, der unter den Voraussetzungen nach <ref-law> direkt beim Bundesgericht angefochten werden kann. Ob diese Voraussetzungen erfüllt sind, kann indessen offen gelassen werden. Wie sich aus den nachstehenden Erwägungen ergeben wird, kann das Bundesgericht im Falle der Gutheissung der Beschwerde die Frage des persönlichen Verkehrs nicht regeln, da es die Sache an das Kantonsgericht zwecks weiteren Abklärungen zurückweisen muss.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber grundsätzlich nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (<ref-law>), was eine Auseinandersetzung mit dessen Begründung erfordert (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286).
2.2. Sodann ist das Bundesgericht an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (<ref-law>). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann einzig vorgebracht werden, sie seien offensichtlich unrichtig (<ref-law>), das heisst willkürlich (<ref-ruling> E. 1.2 S. 278 mit Hinweisen), oder sie würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) beruhen. Ausserdem muss in der Beschwerde aufgezeigt werden, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22).
3.
Der Streit dreht sich um die Frage, ob das russische Urteil betreffend die Aufhebung der Adoption im Widerspruch zum schweizerischen Ordre public steht. Der Beschwerdeführer macht im Wesentlichen geltend, das Kantonsgericht habe <ref-law> verletzt, indem es zu Unrecht davon ausgegangen sei, das russische Urteil verstosse gegen den schweizerischen Ordre public.
3.1. Gemäss Kantonsgericht hob das russische Gericht mit Auflösung der Adoption das bestehende Kindesverhältnis zur Kindsmutter unter Hinweis auf eine Gefährdung des Kindeswohls auf. In der Schweiz sei die ultima ratio Massnahme bei einer Kindeswohlgefährdung die Entziehung der elterlichen Sorge (<ref-law>), und zwar unter Berücksichtigung des Verhältnismässigkeitsprinzips. Das Kindesverhältnis zu den Eltern und damit das Persönlichkeitsrecht des Kindes sowie sein Recht auf eine Familie werde bei den Schutzmassnahmen für eine Kindeswohlgefährdung nicht berührt. Die Aufhebung der Adoption, wie sie im russischen Urteil erfolgt sei, habe - obschon die Adoption nach Schweizer Recht unauflöslich sei - e contrario zur Folge, dass sämtliche verwandtschaftlichen Beziehungen der Kinder zur Herkunftsfamilie von B._ unwiderruflich gelöst werden. Früher angeordnete Besuchsrechte erlöschten ebenfalls. Die dem Kindsverhältnis in allen Rechtsbereichen seitens der Mutter geschaffenen Wirkungen würden entfallen (z.B. Zeugnisverweigerungsrecht, Sozialversicherungsleistungen, Erbenstellung). Mit dem Ergebnis des russischen Entscheids werde eine für die Kinder elementare, tiefgreifend persönliche Rechtsgrundlage aufgehoben. Die bisherige soziale Mutterschaft werde aus dem Leben der Kinder gelöscht und sie sollten nur noch einen Vater haben. Dies widerspreche dem geschützten Persönlichkeitsrecht auf eine Beziehung zu Mutter und Vater. Die Auswirkungen des Ergebnisses des russischen Aufhebungsentscheids sei im Vergleich mit den in der Schweiz geltenden Leitprinzipien für den Schutz des Kindeswohls ein tiefgreifender, unverhältnismässiger Einschnitt in das Leben der Kinder. Eine Kindeswohlgefährdung sei in der Schweiz kein schwerwiegender Mangel im Sinne des Adoptionsanfechtungsgrundes nach <ref-law>; ihr sei mit anderen Massnahmen zu begegnen. Das Ergebnis sei mit der hiesigen Rechts- und Sittenauffassung offensichtlich unvereinbar und erscheine unerträglich. Selbst wenn die Aufhebung der Kindesverhältnisse mit dem schweizerischen Recht vereinbar wäre, hätten die Abklärungen zum Kindeswohl bei einer solch gewichtigen Entscheidung vertiefter erfolgen müssen, als sie im russischen Entscheid zur Situation in der Schweiz vorgenommen worden seien. Ob der Ordre public verletzt sei, beurteile sich ferner nicht abstrakt. Entscheidend seien die Auswirkungen der Anerkennung und Vollstreckung im Einzelfall. Der materielle Ordre public sei verletzt, wenn ein ausländisches Urteil - wie hier - gegen qualifiziert zwingende Bestimmungen des schweizerischen Rechts verstossse. Damit sei das Ergebnis resp. die Wirkung des russischen Urteils im Sinne von Art. 25 lit. c i.V.m. <ref-law> Ordre public-widrig und dieses könne nicht anerkannt werden. Entstehe dadurch ein hinkendes Rechtsverhältnis zu Russland, so sei es in diesem konkreten Einzelfall zugunsten des Wohls der schon lange in der Schweiz lebenden Kindern hinzunehmen.
3.2. Gemäss <ref-law> wird eine im Ausland ergangene Entscheidung in der Schweiz nicht anerkannt, wenn die Anerkennung mit dem schweizerischen Ordre public offensichtlich unvereinbar wäre. Nicht jeder Verstoss gegen das Rechtsempfinden, die Wertvorstellungen oder zwingendes Recht rechtfertigt den Eingriff mit dem Ordre public. Für die Verletzung ist vielmehr erforderlich, dass die Anerkennung und Vollstreckung des ausländischen Entscheids in der Schweiz mit den hiesigen rechtlichen und ethischen Werturteilen schlechthin unvereinbar wäre. Ob der Ordre public verletzt ist, beurteilt sich nicht abstrakt. Entscheidend sind die Auswirkungen der Anerkennung und Vollstreckung im Einzelfall. Die Anwendung des Ordre public-Vorbehalts ist im Rahmen der Anerkennung und Vollstreckung eines ausländischen Urteils nach dem Wortlaut des Gesetzes ("offensichtlich") restriktiv anzuwenden, denn mit der Weigerung der Anerkennung werden hinkende Rechtsverhältnisse geschaffen. In diesem Sinne wird zur Vermeidung hinkender Rechtsverhältnisse das Eingreifen des Ordre public-Vorbehaltes umso mehr eine Ausnahme bleiben, je loser die Beziehungen zur Schweiz sind und je länger der Zeitraum zwischen der Ausfertigung der Urkunde oder dem Entscheid und der Prüfung ist (<ref-ruling> E. 4 und E. 4.1 S. 316 f. mit zahlreichen Hinweisen). Die Beurteilung dieser Voraussetzung darf nicht auf eine Nachprüfung des ausländischen Entscheids in der Sache hinauslaufen, die kraft Gesetzes ausgeschlossen ist, sondern erfolgt durch vergleichende, ergebnisbezogene Wertung (Urteil 5P.128/2005 vom 11. Juli 2005 E. 2.1). Zu berücksichtigen ist schliesslich die Europäische Menschenrechtskonvention, welche als Bestandteil des Bundesrechts ebenfalls zur Bestimmung des schweizerischen Ordre public beiträgt (<ref-ruling> E. 4c S. 205; Urteil 5A_780/2016 vom 9. Juni 2017 E. 6.2 mit Hinweisen).
3.3. Gemäss Art. 8 EMRK hat jede Person das Recht auf Achtung ihres Privat- und Familienlebens, ihrer Wohnung und ihrer Korrespondenz (Abs. 1). Eine Behörde darf in die Ausübung dieses Rechts nur eingreifen, soweit der Eingriff gesetzlich vorgesehen und in einer demokratischen Gesellschaft notwendig ist für die nationale oder öffentliche Sicherheit, für das wirtschaftliche Wohl des Landes, zur Aufrechterhaltung der Ordnung, zur Verhütung von Straftaten, zum Schutz der Gesundheit oder der Moral oder zum Schutz der Rechte und Freiheiten anderer (Abs. 2). Nach der Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (EGMR) ist der Entzug der elterlichen Verantwortung und die Zulassung einer Adoption mit der Konsequenz, dass die rechtliche Beziehung des Elternteils zum Kind endgültig aufgelöst wird, unter dem Titel von Art. 8 EMRK unter ausserordentlichen Umständen zulässig. Eine solche Massnahme muss dabei durch das übergeordnete Interesse am Kindeswohl gerechtfertigt sein (Urteile Strand Lobben gegen Norwegen vom 10. September 2019 Nr. 37283/13 § 209; Aune gegen Norwegen vom 28. Oktober 2010 Nr. 52502/07 § 66).
3.4. Aus der EGMR-Rechtsprechung folgt, dass die Auflösung der rechtlichen Beziehung zwischen Elternteil und Kind gegen den Willen des betroffenen Elternteils nicht per se konventionswidrig ist, sondern unter bestimmten Voraussetzungen rechtmässig erfolgt. Im Lichte dieser Rechtsprechung betrachtet, überzeugt die kantonsgerichtliche Beurteilung, wonach die Aufhebung der Adoption bzw. die Auflösung der Eltern-Kind-Beziehung gegen den Willen der Kindsmutter gegen den schweizerischen Ordre public verstösst, nicht. Dass das schweizerische Recht einen solchen Aufhebungstatbestand im Adoptionsrecht nicht kennt, vermag an diesem Ergebnis freilich nichts zu ändern, zumal der Ordre public-Vorbehalt nur restriktiv Anwendung findet; eine vom schweizerischen Rechtsverständnis abweichende ausländische Lösung genügt nicht (vgl. E. 3.2). Vielmehr hat das ausländische Urteil für das einheimische Rechtsempfinden unerträglich zu sein. Hält man sich dabei vor Augen, dass auch das schweizerische Recht unter bestimmten Voraussetzungen die gegen den Willen eines Elternteils vorgenommene Aufhebung einer Eltern-Kind-Beziehung kennt, so unter dem Titel der Anfechtung der Anerkennung nach <ref-law>, so lässt sich schwerlich erkennen, inwiefern ein aufgehobenes Adoptionsverhältnis geradezu unerträglich sein soll. Im Übrigen wird die Ungültigerklärung und der Widerruf von Adoptionen in Art. 4 lit. b des Haager Kindesschutzübereinkommens (HKsÜ; SR 0.211.231.011) - wenn auch als Ausnahmetatbestand - genannt, womit dieser Vorgang nicht als aussergewöhnlich erachtet werden kann. Schliesslich sprechen auch die engen Beziehungen der Beteiligten zu Russland (Staatsangehörigkeit, Adoption, Heirat/Scheidung) nicht gegen die Anerkennung eines russischen Entscheids, auch wenn sie in der Schweiz wohnhaft sind.
Entsprechend verstösst das russische Urteil nicht gegen den materiellen Ordre public nach <ref-law>, womit sich die Beschwerde in diesem Punkt als begründet erweist.
3.5. Das Kantonsgericht hat es infolge Bejahung des Verstosses gegen den materiellen Ordre public offen gelassen, ob der formelle Ordre public nach <ref-law> verletzt ist, weshalb die Sache zur Nachholung dieser Prüfung an das Kantonsgericht zurückzuweisen ist. Im Rahmen der Rückweisung wird die Vorinstanz gegebenenfalls auch über die Kosten- und Entschädigungsfolgen der kantonalen Verfahren neu zu befinden haben.
4.
Da die Sache zurück an das Kantonsgericht geht, kann im vorliegenden Beschwerdeverfahren kein Entscheid betreffend den persönlichen Verkehr getroffen werden. Vielmehr hat sich auch das Kantonsgericht hierzu - nach Beurteilung der Anerkennungsfähigkeit des russischen Urteils - erneut zu äussern.
5.
Die Beschwerde erweist sich damit als begründet und der angefochtene Entscheid ist aufzuheben. Die Rückweisung der Angelegenheit zum erneuten Entscheid gilt im Hinblick auf die Gerichtskosten und die Parteientschädigung als Obsiegen des Beschwerdeführers, auch wenn er keinen entsprechenden Antrag gestellt hat und der Ausgang des Verfahrens offen ist (<ref-ruling> E. 11.1 S. 312; Urteile 5A_403/2019 vom 12. März 2020 E. 5.1; 5A_139/2018 vom 25. Juni 2019 E. 3). Folglich sind die Gerichtskosten der unterliegenden Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>). Weiter hat sie dem Beschwerdeführer die Parteikosten zu ersetzen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und die Sache zur neuen Entscheidung im Sinne der Erwägungen an das Kantonsgericht St. Gallen zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 4'200.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Region St. Gallen, C._, D._ und der II. Zivilkammer des Kantonsgerichts des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. August 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Scheiwiller