Faits :
A.
Par jugement du 11 octobre 2018, la Juge pénale du Tribunal de première instance du canton du Jura a déclaré A._ coupable de lésions corporelles simples, de voies de fait, de diffamation, d'injure, de menaces et d'infractions à la LCR. Elle l'a condamné à une peine pécuniaire de 90 jours-amende à 10 fr. le jour, ainsi qu'à une amende de 300 fr., avec peine privative de liberté de substitution de 3 jours en cas de non-paiement fautif.
Selon le même jugement, B._, le frère de A._, a été libéré des préventions de soustraction d'une chose mobilière, de voies de fait, de vol, de dommages à la propriété et de diffamation. Il a en revanche été reconnu coupable d'injure et de menaces et condamné à une peine pécuniaire de 20 jours-amende à 20 fr. le jour.
B.
Par jugement du 30 juin 2020, la Cour pénale du Tribunal cantonal du canton du Jura a partiellement modifié le jugement du 11 octobre 2018 en ce sens que A._ est libéré des préventions d'injure et de menaces et condamné pour voies de fait, diffamation, tentative de menaces et infractions à la LCR à une peine pécuniaire de 80 jours-amende à 10 fr. le jour, ainsi qu'à une amende de 500 fr. avec une peine privative de substitution de 5 jours.
Il en ressort notamment ce qui suit s'agissant des infractions encore contestées devant le Tribunal fédéral.
B.a. A._, D._ et B._ et leur mère formaient une communauté de propriétaires par étages de l'immeuble feuillet n°aaa du ban de E._. Suite à la faillite de l'entreprise individuelle de A._, prononcée le 10 juillet 2014, sa part de copropriété par étages a été vendue aux enchères à la société F._ Sàrl, dont B._ est l'associé unique et gérant. L'expulsion de A._ a été prononcée par le juge civil le 16 septembre 2015. Aux termes de cette décision, A._ devait quitter et libérer son appartement jusqu'au 5 octobre 2015. Il s'y est semble-t-il conformé même s'il n'est pas exclu qu'il ait ensuite occupé le logement de sa mère. Cette dernière a été hospitalisée en novembre 2015 après avoir été victime d'une chute et est décédée en 2016.
Il ressort globalement du dossier de la cause que les parties évoluent depuis plusieurs années dans un environnement familial extrêmement conflictuel.
B.b. Par courrier du 11 novembre 2015, B._ a déposé plainte contre A._ en réaction aux courriers que ce dernier avait adressés le 11 septembre 2015 à l'Autorité de protection de l'enfant et de l'adulte (APEA) et au juge civil du Tribunal de première instance. Le courrier envoyé à l'APEA impute notamment les faits suivants à B._: " Depuis le printemps, il a fracturé des portes de l'app. de notre maman, il a à nouveau fait des menaces de tuer son chien, parqué de manière à ce qu'elle se sente enfermée sous sa tonnelle, coupé des câbles électriques, laissé la porte principale du bâtiment ouverte pour que notre maman prenne froid, coupé des plantes à ras du sol [...] séquestré les médicaments vitaux, etc. " Finalement, A._ demandait à l'APEA de prononcer une mesure d'éloignement et d'instituer une curatelle en faveur de son frère pour qu'il soit soigné. En outre, il ressort du courrier qu'il a adressé au juge civil dans le cadre de la procédure d'expulsion qui l'opposait à la société gérée par son frère que A._ a qualifié ce dernier de " fieffé menteur " et de " hors-la-loi "; à ses dires, il aurait trompé la justice et fait de faux témoignages en affirmant qu'il n'était pas dans l'immobilier. Il aurait également commis des vols et pourrait compter sur la complicité de G._ qui aurait proposé aux membres de la PPE de commettre une escroquerie à l'assurance.
Dans le cadre de son audition du 13 mai 2016 par le ministère public, A._ a admis être l'auteur des deux courriers datés du 11 septembre 2015 et a confirmé leur contenu.
B.c. Le 16 octobre 2015, B._ a déposé plainte contre A._ pour menaces en produisant diverses captures d'écran comportant notamment le message suivant adressé par A._ le 15 octobre 2015 à G._, administrateur de la PPE. " Salut garçon, la police, l'APEA sont avertis de la mesure d'éloignement en cours. Ne plus pénétrer dans la propriété de notre maman. Ni conseiller les vols de portes et autres dégâts Milliers de francs de dégâts. Drame en préparation. Mon conseil, ne vient pas et conseille à B._ de ramener les portes qu'il a volées ainsi que les clefs et les serrures. Interdiction de pénétrer sans notre autorisation dans sa propriété pour éviter l'hospitalisation. Salut et à bientôt. A._ ".
B.d. Le 28 février 2017, A._ a déposé plainte pénale contre B._ pour vol sans effraction d'un buffet contemporain qui se trouvait dans l'appartement de leur mère défunte; cette infraction étant censée avoir été commise entre le 15 et le 29 décembre 2016.
B._ a admis avoir déplacé un buffet appartenant à A._, sans requérir son autorisation, pour l'entreposer dans une remise faisant partie des locaux communs de la PPE. Ce buffet, ainsi que d'autres biens appartenant à l'intéressé, ont ensuite été chargés dans une remorque pour être remis au Service social des Franches-Montagnes. A._ a récupéré son buffet dans le courant du mois d'octobre 2017.
B.e. Le 11 avril 2017, B._ a déposé plainte en son nom et au nom de son fils, C._, à raison de faits qui se sont produits le 14 janvier 2017 au sein de la PPE. En substance, le jour en question, son fils lui a donné un coup de main pour déplacer l'armoire de A._ qui se trouvait dans la chambre de feue H._. A._, qui était venu voir ce qu'il se passait, s'est mis en colère et l'a chargé - ce qui l'a fait lâcher l'armoire et trébucher - puis lui a enserré la tête. Son fils l'a aidé à se dégager et ils sont tous deux sortis de la chambre. Il a cependant été contraint d'y retourner sans tarder après avoir constaté qu'il avait oublié ses clefs. Durant ce laps de temps, A._ s'en est pris à son fils et a tenté de le pousser dans les escaliers. Ce dernier est toutefois parvenu à se défendre en donnant un coup de pied à A._. A son retour, son fils et lui ont décidé de ne pas céder à cette provocation et ils ont décampé.
Le rapport médical du 17 janvier 2017 de la Dre I._ atteste que B._ a signalé des douleurs à la nuque et présentait une coupure superficielle au niveau de l'arête nasale ainsi que des dermabrasions au niveau de la tempe gauche, respectivement au-dessus et en dessous du genou droit.
B.f. Dans le cadre de sa plainte du 11 avril 2017, B._ a également fait grief à A._ d'avoir porté atteinte à son honneur le 27 février 2017 en le traitant d'assassin. A ses dires, celui-ci aurait tenu de tels propos à deux reprises en présence de J._, locataire d'un appartement de la PPE.
A._ a admis avoir dit à J._ que B._ était responsable de la mort de leur mère.
A.g. Le 1er juin 2017, A._ a déposé plainte contre B._ pour dommages à la propriété. Il reprochait à ce dernier d'avoir coupé sans son accord plusieurs arbres et arbustes qui se trouvaient sur le terrain de la PPE.
Il ressort du chiffre 7 du procès-verbal de l'assemblée générale ordinaire du 13 mai 2016 que les copropriétaires avaient décidé de confier l'entretien des alentours de la PPE à B._.
A.h. A teneur de l'extrait de son casier judiciaire, A._ a été condamné à deux reprises : le 29 août 2011 à une peine pécuniaire de 5 jours-amende avec sursis pour non restitution de permis et/ou de plaques de contrôle et le 19 mars 2015 à une peine pécuniaire de 10 jours-amende avec sursis pour menaces et injure.
B.
A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 30 juin 2020. On comprend de son écriture qu'il conclut, avec suite de frais et dépens, à la réforme de ce jugement en ce sens qu'il est libéré des préventions de voies de fait, de diffamation et de tentative de menaces et que l'amende pour les infractions à la LCR est réduite à 300 francs. Il conclut également à ce que B._ soit condamné " pour soustraction d'une chose mobilière ou appropriation illégitime " et dommages à la propriété et qu'il lui verse 2'000 fr. à titre d'indemnité. Il demande en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire.
C.
Invités à se déterminer sur la question de la peine, le ministère public y a renoncé tandis que la cour cantonale s'est référée aux considérants de son jugement et a conclu au rejet du recours.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 197).
1.1. Selon l'<ref-law>, a qualité pour former un recours en matière pénale quiconque a pris part à la procédure devant l'autorité précédente ou a été privé de la possibilité de le faire (let. a) et a un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (let. b), à savoir en particulier l'accusé (art. 81 al. 1 let. b ch. 1) et la partie plaignante, si la décision attaquée peut avoir des effets sur le jugement de ses prétentions civiles (art. 81 al. 1 let. b ch. 5 LTF). Constituent de telles prétentions celles qui sont fondées sur le droit civil et doivent en conséquence être déduites ordinairement devant les tribunaux civils. Il s'agit principalement des prétentions en réparation du dommage et du tort moral au sens des <ref-law> (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 82; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 4). En vertu de l'<ref-law>, il incombe au recourant d'alléguer les faits qu'il considère comme propres à fonder sa qualité pour recourir à moins que l'on puisse le déduire directement et sans ambiguïté compte tenu notamment de la nature de l'infraction alléguée (ATF <ref-ruling> consid. 1.1 p. 4 et les arrêts cités).
Lorsque, comme en l'espèce, la cause fait l'objet d'une procédure au fond, la partie plaignante doit avoir expressément pris des conclusions civiles. Le cas échéant, s'il ne lui est juridiquement et raisonnablement pas possible de prendre des conclusions civiles, il lui incombe d'expliquer quelles prétentions elle entend faire valoir, dans quelle mesure la décision attaquée a une incidence sur elles et pourquoi elle n'a pas été en mesure d'agir dans le cadre de la procédure pénale. La notion d'influence du jugement pénal sur les prétentions civiles est conçue strictement. La partie plaignante ne peut pas s'opposer à une décision parce que celle-ci ne facilite pas son action sur le plan civil. Il faut que la décision attaquée ait pour conséquence qu'elle rencontrera plus de difficultés à faire valoir ses prétentions civiles (<ref-ruling> consid. 1a p. 188; arrêt 6B_741/2020 du 11 novembre 2020 consid. 2.1).
1.2. En l'espèce, le recourant a participé à la procédure cantonale. En tant qu'il conteste sa condamnation pour voies de fait, diffamation et tentative de menaces ainsi que le montant de l'amende prononcée, il a manifestement un intérêt personnel et juridique à obtenir l'annulation ou la modification de la décision attaquée, de sorte qu'il a qualité pour recourir auprès du Tribunal fédéral sur ces points en tant que prévenu au sens de l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 1 LTF.
Par ailleurs, au terme du jugement de première instance, les conclusions civiles du recourant ont été rejetées. Dans le cadre de son appel, il a conclu à ce que l'intimé 2 soit condamné à lui verser 2'000 fr., avec intérêts à 5% dès le 1er septembre 2017, à titre de dommages et intérêts. Le recourant ne formule pas de conclusions civiles claires dans son recours au Tribunal fédéral. On comprend néanmoins de son écriture qu'il entend à tout le moins obtenir le montant de 2'000 fr. qui a été rejeté en instance cantonale. Il y a donc lieu de lui reconnaître la qualité pour recourir au sens de l'art. 81 al. 1 let. b ch. 5 LTF.
1.3. Le recourant conclut à la révocation des sursis assortissant les peines prononcées à l'encontre de l'intimé 2. En qualité de partie plaignante, il n'a cependant pas qualité pour recourir sur ce point, qui n'a aucun effet sur ses conclusions civiles.
1.4. Dans son écriture, le recourant reproche au procureur d'avoir rendu de " nombreuses ordonnances de non-entrée en matière " relatives à des actes qui auraient été commis par l'intimé 2 notamment à l'égard de leur mère. Son grief est insuffisamment motivé et n'est pas dirigé contre la décision de la dernière instance cantonale (cf. <ref-law>). Il est partant irrecevable.
1.5. Le recourant produit, à l'appui de son recours, de nombreuses pièces. Les documents qui ne figurent pas au dossier cantonal sont des pièces nouvelles et, partant, irrecevables (cf. <ref-law>).
2.
Le recourant, qui procède sans avocat, se plaint d'une violation de son droit d'être entendu et reproche à la cour cantonale de ne pas avoir donné suite à ses réquisitions de preuves tendant à l'audition de quatre témoins.
2.1. Le droit d'être entendu, garanti à l'art. 29 al. 2 Cst., comprend notamment celui de produire ou de faire administrer des preuves, à condition qu'elles soient pertinentes et de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 7.2.2.1 p. 103; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 72; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 222; <ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 299 et les références citées). Le droit d'être entendu n'empêche pas le juge de mettre un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de se forger une conviction et que, procédant de manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, il a la certitude qu'elles ne pourraient pas l'amener à modifier son opinion. Le refus d'instruire ne viole ainsi le droit d'être entendu des parties que si l'appréciation anticipée de la pertinence du moyen de preuve offert, à laquelle le juge a procédé, est entachée d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 3.1.3 p. 435; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 64; <ref-ruling> consid. 5.3 p. 236).
Selon l'<ref-law>, la procédure de recours se fonde sur les preuves administrées pendant la procédure préliminaire et la procédure de première instance. L'<ref-law> règle les preuves complémentaires. Ainsi, la juridiction de recours administre, d'office ou à la demande d'une partie, les preuves complémentaires nécessaires au traitement du recours. Le droit d'être entendu, consacré par l'<ref-law>, garantit aux parties le droit de déposer des propositions relatives aux moyens de preuves (al. 1 let. e). Conformément à l'<ref-law>, il n'y a pas lieu d'administrer des preuves sur des faits non pertinents, notoires, connus de l'autorité ou déjà suffisamment prouvés. Cette disposition codifie, pour la procédure pénale, la règle jurisprudentielle déduite de l'art. 29 al. 2 Cst. en matière d'appréciation anticipée des preuves (arrêts 6B_812/2020 du 16 juillet 2020 consid. 2.2; 6B_344/2020 du 9 juillet 2020 consid. 1.1; 6B_1237/2019 du 3 juillet 2020 consid. 2.1).
2.2. En l'espèce, la cour cantonale a refusé l'audition de K._, du Dr L._, de M._ et de N._ au motif qu'aucune de ces personnes n'avait assisté, de manière directe, aux faits litigieux et qu'au demeurant N._ était décédé. En outre, les éléments du dossier étaient largement suffisants pour apprécier les faits en tenant compte de la situation personnelle de l'ensemble des parties. S'agissant en particulier du témoignage du Dr L._, de nombreux certificats figuraient déjà au dossier de sorte qu'il n'apparaissait absolument pas nécessaire de l'entendre.
2.3. Le recourant conteste que les témoins cités n'auraient pas assisté aux délits, soulignant que leur mère se serait confiée à plusieurs reprises au Dr L._ et que les trois autres auraient " vu bon nombre de choses ". Il échoue toutefois à démontrer en quoi l'appréciation anticipée des preuves à laquelle s'est livrée la cour cantonale serait entachée d'arbitraire. S'agissant du témoignage de K._, il se contente de soutenir que celui-ci aurait " assisté aux faits du 16 octobre 2015 " sans indiquer quels faits précis et infractions seraient concernés, étant au demeurant relevé que les faits reprochés au recourant dans la présente procédure ont notamment eu lieu les 11 septembre 2015 et 15 octobre 2015. Concernant M._, le recourant soutient qu'il s'agit d'un " témoin essentiel des atteintes à la santé de sa maman ". Il n'explique cependant pas en quoi son audition aurait pu contribuer à l'établissement des faits, étant précisé que les " atteintes " à sa mère qu'il mentionne ne concernent pas directement les faits qui lui sont reprochés. Enfin, le recourant prétend que le témoignage du Dr L._ était primordial pour parler des " dommages " que l'intimé 2 causait à la santé de leur mère. A nouveau, en se contentant de souligner que " ces délits ont contribué au décès de [leur] maman ", le recourant n'explique ni à quelles infractions il se réfère ni en quoi le Dr L._ serait un témoin direct des faits qui lui sont reprochés dans la présente procédure, étant au demeurant précisé que, s'agissant des infractions de diffamation, le recourant n'a pas été admis à apporter les preuves libératoires en application de l'<ref-law>, dès lors qu'il avait agi sans motif suffisant principalement dans le but de dire du mal de son frère (cf. infra consid. 5.3). Par ailleurs, le recourant ne soutient pas qu'une audition du Dr L._ aurait pu apporter d'autres éléments déterminants pour l'issue du litige qui ne figurent pas dans les certificats de ce médecin déjà versés au dossier.
Le grief doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
3.
Le recourant s'en prend à l'établissement des faits et à l'appréciation des preuves.
3.1. Le Tribunal fédéral n'est pas une autorité d'appel, auprès de laquelle les faits pourraient être rediscutés librement. Il est lié par les constatations de fait de la décision entreprise (<ref-law>), à moins qu'elles n'aient été établies en violation du droit ou de manière manifestement inexacte au sens des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, à savoir, pour l'essentiel, de façon arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. Une décision n'est pas arbitraire du seul fait qu'elle apparaît discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable et cela non seulement dans sa motivation mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 155 s.; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 503; sur la notion d'arbitraire v. <ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 244). Le Tribunal fédéral n'entre en matière sur les moyens fondés sur la violation de droits fondamentaux, dont l'interdiction de l'arbitraire, que s'ils ont été invoqués et motivés de manière précise (<ref-law>; ATF <ref-ruling> consid. 1.1 p. 503). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 92; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 156).
3.2. Dans une partie de son écriture, le recourant " reprend " les faits du jugement attaqué pour " signaler tout ce qu'[il] trouve incorrect et mensonger " (recours, p. 9 à 14). Ce faisant, il ne soulève aucun grief d'arbitraire et se contente, dans une démarche purement appellatoire, d'opposer sa propre version des faits et sa propre appréciation des preuves à celle de la cour cantonale. Ces développements, qui ne répondent pas aux exigences de motivation accrues déduites de l'<ref-law>, sont irrecevables (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 91 s.). Quant aux éléments qu'il cite et qui ne résultent pas de la décision entreprise, notamment le fait qu'il aurait occupé les locaux de sa mère avec son autorisation écrite ou le fait que c'était " contre une indemnité " qu'une partie de ses affaires se trouvait chez celle-ci ou encore le fait que l'intimé 2 aurait proféré des menaces de mort lors de l'audience du 30 juin, on ne distingue pas en quoi ceux-ci seraient propres à influer sur le sort de la cause (cf. <ref-law>).
4.
Le recourant conteste sa condamnation pour voies de fait commis au préjudice des intimés 2 et 3. On comprend du recours qu'il reproche à la cour cantonale de ne pas l'avoir mis au bénéfice du motif justificatif de la légitime défense. Il invoque également l'état de défense excusable.
4.1. Aux termes de l'<ref-law>, celui qui se sera livré sur une personne à des voies de fait qui n'auront causé ni lésion corporelle ni atteinte à la santé sera, sur plainte, puni d'une amende.
4.2. A teneur de l'<ref-law>, quiconque, de manière contraire au droit, est attaqué ou menacé d'une attaque imminente a le droit de repousser l'attaque par des moyens proportionnés aux circonstances; le même droit appartient aux tiers. Si l'auteur, en repoussant une attaque, a excédé les limites de la légitime défense au sens de l'<ref-law>, le juge atténue la peine (<ref-law>).
La légitime défense suppose une attaque, c'est-à-dire un comportement visant à porter atteinte à un bien juridiquement protégé, ou la menace d'une attaque, soit le risque que l'atteinte se réalise. Il doit s'agir d'une attaque actuelle ou à tout le moins imminente, ce qui implique que l'atteinte soit effective ou qu'elle menace de se produire incessamment (arrêt 6B_600/2014 du 23 janvier 2015 consid. 5.1 non publié in <ref-ruling>; cf. également <ref-ruling> consid. 2a p. 14). L'acte de celui qui est attaqué ou menacé de l'être doit tendre à la défense. Un comportement visant à se venger ou à punir ne relève pas de la légitime défense. Il en va de même du comportement qui tend à prévenir une attaque certes possible mais encore incertaine, c'est-à-dire à neutraliser l'adversaire selon l'adage que la meilleure défense est l'attaque (<ref-ruling> p. 83; plus récemment: arrêt 6B_782/2020 du 7 janvier 2021 consid. 4.1.1 et la référence citée).
4.3. En l'espèce, il ressort des faits retenus par la cour cantonale que le recourant s'est mis en colère après avoir constaté que son frère débarrassait ses affaires sans l'en avoir averti, et s'en est pris physiquement à l'intimé 2 puis à l'intimé 3, dans le but de les faire sortir prestement de la maison. Le recourant ne conteste pas avoir saisi la tête de l'intimé 2 et être l'auteur des dermabrasions que cet acte a causées à l'intéressé. En revanche, il conteste avoir poussé l'intimé 3 et soutient que celui-ci n'a présenté aucun certificat médical et qu'il n'avait pas de bleu ni d'égratignure. Sur ce point, il oppose sa propre appréciation à celle de la cour cantonale sans démontrer en quoi celle-ci serait insoutenable, de sorte que son argumentation est irrecevable.
4.4. S'agissant de la légitime défense, le recourant ne prétend pas avoir reçu des coups de la part des intimés 2 et 3 mais soutient tout au plus que l'intimé 2 lui aurait proféré " des menaces de mort " et que, lorsque ce dernier se serait baissé, il se serait précipité sur lui pour " éviter et prévenir les mauvais coups ". Outre que ces éléments de faits n'ont pas été retenus par l'autorité précédente, le recourant, par son argumentation, perd de vue que l'attaque visée à l'<ref-law> doit être imminente, actuelle et concrète; il ne doit pas s'agir d'une attaque possible que l'on tenterait de prévenir (cf. supra consid. 4.2). En outre, même à supposer que l'intimé 2 l'avait menacé de mort s'il s'en prenait à son fils puis s'était baissé rapidement, ces comportements ne constituaient pas une attaque au sens de la jurisprudence, qui aurait justifié que le recourant saisisse la tête de l'intimé 2 lui causant des douleurs et des dermabrasions.
Le grief de violation des art. 15 et 16 CP est infondé.
Pour le surplus, le recourant ne revient pas sur la non-application par l'instance précédente de l'<ref-law> au motif que ce dernier avait fait usage de violence physique à deux reprises de manière indue et disproportionnée.
5.
Le recourant conteste sa condamnation pour diffamation. Il invoque l' "exceptio veritatis ".
5.1. Aux termes de l'<ref-law>, celui qui, en s'adressant à un tiers, aura accusé une personne ou jeté sur elle le soupçon de tenir une conduite contraire à l'honneur, ou de tout autre fait propre à porter atteinte à sa considération, celui qui aura propagé une telle accusation ou un tel soupçon, sera, sur plainte, puni d'une peine pécuniaire de 180 jours-amende au plus (ch. 1). L'inculpé n'encourra aucune peine s'il prouve que les allégations qu'il a articulées ou propagées sont conformes à la vérité ou qu'il avait des raisons sérieuses de les tenir de bonne foi pour vraies (ch. 2). L'inculpé ne sera pas admis à faire ces preuves et il sera punissable si ses allégations ont été articulées ou propagées sans égard à l'intérêt public ou sans autre motif suffisant, principalement dans le dessein de dire du mal d'autrui, notamment lorsqu'elles ont trait à la vie privée ou à la vie de famille (ch. 3).
5.2. Cette disposition protège la réputation d'être un individu honorable, c'est-à-dire de se comporter comme une personne digne a coutume de le faire selon les conceptions généralement reçues. Il faut donc que l'atteinte fasse apparaître la personne visée comme méprisable (<ref-ruling> consid. 2.1.1 p. 315). L'honneur protégé par le droit pénal est conçu de façon générale comme un droit au respect, qui est lésé par toute assertion propre à exposer la personne visée au mépris en sa qualité d'être humain (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 115). Pour apprécier si une déclaration est attentatoire à l'honneur, il faut se fonder non pas sur le sens que lui donne la personne visée, mais sur une interprétation objective selon la signification qu'un destinataire non prévenu doit, dans les circonstances d'espèce, lui attribuer (<ref-ruling> consid 2.1.3 p. 315 s.; arrêt 6B_178/2020 du 20 mars 2020 consid. 4.1).
L'auteur d'une atteinte à l'honneur doit se voir refuser le droit d'apporter des preuves libératoires lorsqu'il s'est exprimé sans motif suffisant et a agi principalement dans le dessein de dire du mal d'autrui. Déterminer le dessein de l'auteur (en particulier s'il a agi pour dire du mal d'autrui) relève de l'établissement des faits. En revanche, la notion de motif suffisant est une question de droit. Le juge examine d'office si les conditions de la preuve libératoire sont remplies, mais c'est à l'auteur du comportement attentatoire à l'honneur de décider s'il veut apporter de telles preuves (<ref-ruling> consid. 2.4.2 et 2.4.4 p. 320 ss). Pour que les preuves libératoires soient exclues, il faut, d'une part, que le prévenu ait tenu les propos attentatoires à l'honneur sans motif suffisant (d'intérêt public ou privé) et, d'autre part, qu'il ait agi principalement dans le dessein de dire du mal d'autrui. Ces deux conditions doivent être réalisées cumulativement pour refuser les preuves libératoires. Ainsi, le prévenu sera admis aux preuves libératoires s'il a agi pour un motif suffisant - et ce, même s'il a agi principalement pour dire du mal d'autrui - ou s'il n'a pas agi pour dire du mal d'autrui - et ce, même si sa déclaration n'est pas fondée sur un motif suffisant (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 116; arrêt 6B_1254/2019 du 16 mars 2020 consid. 6.4.1).
5.3. S'agissant des courriers que le recourant a adressés le 11 septembre 2015 à l'APEA, respectivement au juge civil du tribunal de première instance, la cour cantonale a considéré que le premier courrier faisait passer l'intimé 2 pour une personne qui n'avait aucun égard pour sa mère et qui n'hésitait pas à exploiter sa faiblesse, due à l'âge, voire à mettre sa vie en danger. Elle a relevé que ce type de considération était objectivement de nature à exposer la personne visée au mépris. Quant au courrier au juge civil du tribunal de première instance, il apparaissait d'emblée attentatoire dans la mesure où le recourant traitait notamment l'intimé 2 de menteur, de voleur et d'escroc ou l'accusait d'avoir commis des faux témoignages.
Par ailleurs, elle a jugé qu'en informant l'APEA de la situation de son frère, le recourant n'avait assurément pas pour intention de lui porter secours mais au contraire de lui imputer des faits déshonorants, voire de le priver de son autonomie. De même, les allégations dans son courrier au juge civil du tribunal de première instance dépassaient très largement ce qui était nécessaire à la défense de ses intérêts. Elle en a conclu que le recourant avait rédigé les deux courriers et les avait adressés à des tiers sans motifs suffisants, principalement dans le but de dénigrer son frère. Il ne pouvait se prévaloir d'aucun fait justificatif et ne devait par ailleurs pas être admis à faire les preuves libératoires.
5.3.1. Le raisonnement de la cour cantonale ne prête pas le flanc à la critique. Le recourant se contente de dire que tout ce qu'il affirme dans ses deux courriers du 11 novembre 2015 est conforme à la vérité. Il n'établit cependant pas que la cour cantonale serait tombée dans l'arbitraire en considérant qu'il avait agi dans le dessein de dire du mal d'autrui, ni qu'elle aurait violé le droit fédéral en excluant l'existence d'un motif suffisant (cf. <ref-law>). En effet, dans son courrier à l'APEA, le recourant ne s'est clairement pas limité à exposer que son frère aurait potentiellement besoin de son intervention mais a tenu des propos inutilement blessants. Il en va de même de son courrier au juge civil du tribunal de première instance dans lequel il traite notamment son frère de " fieffé menteur " et l'accuse de tromper la justice et de faire des faux témoignages. A cet égard, c'est en vain que le recourant soutient qu'il a tenu ces propos et notamment traité son frère de " catatonique " à l'adolescence afin de " démontrer à la justice qu'il y a une pathologie ". On ne voit en effet pas que de tels propos auraient été rendus nécessaires par la procédure civile d'expulsion qui l'opposait à son frère ni par un autre motif suffisant.
5.3.2. Compte tenu de ce qui précède, c'est à bon droit que la cour cantonale a considéré que le recourant ne pouvait pas être admis à apporter les preuves libératoires de l'<ref-law>.
5.4. La cour cantonale a également reconnu le recourant coupable de diffamation pour avoir dit à un tiers que son frère était responsable de la mort de leur mère. Elle a relevé à juste titre que la preuve de la vérité ne pouvait se faire qu'en produisant un jugement de condamnation de la personne visée (cf. <ref-ruling> consid. 4.3 p. 119) et qu'en l'occurrence aucune procédure pénale n'avait été ouverte contre l'intimé 2 pour homicide ou assassinat. Elle a également confirmé l'exclusion des preuves libératoires, relevant que le recourant avait agi principalement dans le dessein de dire du mal de son frère.
Le recourant n'expose pas, même succinctement, en quoi ce raisonnement violerait le droit fédéral (<ref-law>).
5.5. La cour cantonale pouvait donc, sans violer le droit fédéral, condamner le recourant pour diffamation. Le grief est rejeté dans la mesure où il est recevable.
6.
Le recourant conteste sa condamnation pour tentative de menaces.
Dans son jugement, la cour cantonale a considéré que le message rédigé par le recourant le 15 octobre 2015 visait essentiellement et prioritairement l'intimé 2, même s'il n'en avait pas été le destinataire direct. En outre, son contenu était objectivement de nature à alarmer ou effrayer celui-ci. Cependant, dès lors que l'intimé 2 ne semblait pas avoir obtempéré aux injonctions du recourant, il se justifiait de déclarer ce dernier coupable de tentative de menaces.
En rapport avec cette infraction, le recourant se contente essentiellement de dire que le message litigieux évoquait l'hospitalisation de sa mère, opposant ainsi sa propre appréciation à celle de la cour cantonale, sans démontrer en quoi celle-ci serait arbitraire (cf. supra consid. 3). Par ailleurs, il n'indique pas en quoi le raisonnement de la cour cantonale violerait l'<ref-law> (<ref-law>). Le grief est dès lors irrecevable.
7.
Le recourant s'en prend au montant de l'amende qui lui a été infligée. Il soutient qu'une amende d'un montant de 300 fr., telle que celle qui a été prononcée par le tribunal de première instance, était " largement suffisante compte tenu de [son] indigence et des faits [qui sont] de peu de gravité ". Dans la mesure où le recourant agit sans l'assistance d'un mandataire et qu'il se plaint d'être finalement condamné à une sanction plus sévère que celle prononcée en première instance, on comprend par là qu'il invoque une violation du principe de l'interdiction de la reformatio in pejus.
7.1. A teneur de l'<ref-law>, sauf disposition contraire de la loi, le montant maximum de l'amende est de 10'000 francs. Selon l'<ref-law>, le juge fixe l'amende et la peine privative de liberté de substitution en tenant compte de la situation de l'auteur afin que la peine corresponde à la faute commise.
7.2. Aux termes de l'art. 391 al. 2, 1re phrase, CPP, l'autorité de recours ne peut modifier une décision au détriment du prévenu ou du condamné si le recours a été interjeté uniquement en leur faveur.
7.2.1. Le but de l'interdiction de la reformatio in pejus est de permettre au prévenu d'exercer son droit de recours sans craindre de voir le jugement modifié en sa défaveur (<ref-ruling> consid. 3.1.1 p. 43 et les références citées; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 90; <ref-ruling> consid. 2.4.3 p. 287). L'interdiction de la reformatio in pejus se rapporte aussi bien à la quotité de la peine infligée qu'à la qualification juridique retenue, qui ne sauraient être aggravées au détriment du prévenu ayant fait usage des voies de droit à sa disposition (<ref-ruling> consid. 3.3.3 p. 182; <ref-ruling> consid. 2.5 p. 288).
Pour déterminer si l'on se trouve en présence d'une reformatio in pejus prohibée, il convient de se référer au dispositif du dernier arrêt en cause, qui ne doit pas avoir été modifié en défaveur du prévenu par le biais d'un verdict de culpabilité plus sévère ou par le prononcé d'une peine plus lourde que ceux résultant du dispositif de l'arrêt préalablement querellé. Il n'est toutefois pas interdit à l'autorité de recours de s'exprimer dans ses considérants sur la qualification juridique, lorsque l'autorité précédente s'est fondée sur un autre état de fait ou des considérations juridiques erronées (<ref-ruling> consid. 3.1.1 p. 44; <ref-ruling> consid. 4.5 p. 136; <ref-ruling> consid. 2.6 p. 289). Une restriction liée à l'interdiction de la reformatio in pejus ne se justifie pas lorsque, pris dans son ensemble, le nouveau jugement n'aggrave pas le sort du condamné (<ref-ruling> consid. 3.1.1 p. 44; cf. <ref-ruling> consid. 4c p. 106; arrêt 6B_67/2019 du 16 décembre 2020 consid. 8.1).
7.2.2. Selon la jurisprudence, les amendes et les peines pécuniaires sont considérées comme des sanctions de même valeur quantitative (cf. ATF <ref-ruling> consid. 2.3 p. 288). Ces deux sanctions touchent l'auteur dans son bien protégé qu'est le patrimoine. Elles se distinguent toutefois par leur mode de calcul respectif et par le fait que seule la peine pécuniaire, et non l'amende, peut être assortie du sursis ou du sursis partiel. Lorsqu'une peine pécuniaire ferme doit être comparée à une amende (ferme), c'est le montant de la contribution pécuniaire calculé concrètement qui est déterminant. Toutefois, la peine pécuniaire, si elle est assortie du sursis (<ref-law>), est considérée comme moins lourde. En principe, cela vaut indépendamment de la question de savoir si le montant de la peine pécuniaire est plus élevé que celui de l'amende car une peine assortie du sursis est toujours une sanction plus favorable qu'une peine de même nature prononcée de façon ferme (<ref-ruling> consid. 7.2.4 p. 91; arrêts 6B_523/2014 du 15 décembre 2014 consid. 4.3 et 6B_312/2007 du 15 mai 2008 consid. 4.5).
7.3. Il ressort du jugement attaqué que le recourant a été condamné en première instance à une peine pécuniaire de 90 jours-amende à 10 fr. le jour, ainsi qu'à une amende de 300 francs. Dans le cadre de son appel, la cour cantonale a réduit la peine pécuniaire à 80 jours-amende en tenant compte du fait que le recourant a été libéré des préventions d'injure et de menaces et qu'il a été déclaré coupable de voies de fait au détriment de l'intimé 2 en lieu et place de lésions corporelles simples. S'agissant de l'amende, elle l'a augmentée à 500 fr. pour tenir compte des voies de fait précitées commises au préjudice de l'intimé 2, qui s'ajoutaient aux voies de fait commises à l'encontre de l'intimé 3 et aux deux infractions à la LCR, infractions déjà retenues en première instance.
7.4. En l'espèce, contrairement à ce que semble penser le recourant, la cour cantonale n'a pas augmenté le montant de l'amende en raison des infractions à la LCR qu'il a commises, mais parce que l'amende visait également à sanctionner la seconde infraction de voies de fait, retenue en appel. Le jugement attaqué n'est pas critiquable sous cet angle. Cependant, on constate, à la lecture du dispositif du jugement d'appel, en le comparant à celui du jugement de première instance, que si le recourant a été acquitté de deux infractions et a bénéficié d'une qualification juridique plus favorable, le montant total de la contribution pécuniaire a concrètement augmenté. En effet, la cour cantonale a augmenté le montant de l'amende de 300 fr. à 500 fr., alors que la peine pécuniaire n'a été réduite que de 100 fr. (10 jours-amende à 10 fr.). Il s'ensuit que, pris dans son ensemble, le jugement attaqué aggrave la peine infligée au recourant, ce qui contrevient à l'interdiction de la reformatio in pejus consacrée par l'<ref-law>. Le recours doit donc être admis sur ce point.
8.
Le recourant soutient que l'intimé 2 devrait être condamné pour appropriation illégitime ou soustraction d'une chose mobilière.
8.1. Conformément à l'<ref-law>, celui qui, sans dessein d'appropriation, aura soustrait une chose mobilière à l'ayant droit et lui aura causé par là un préjudice considérable sera, sur plainte, puni d'une peine privative de liberté de trois ans au plus ou d'une peine pécuniaire.
Selon l'<ref-law>, celui qui, pour se procurer ou procurer à un tiers un enrichissement illégitime, se sera approprié une chose mobilière appartenant à autrui sera puni d'une peine privative de liberté de trois ans au plus ou d'une peine pécuniaire, en tant que les conditions prévues aux art. 138 à 140 CP ne seront pas réalisées (ch.1). Si l'auteur a trouvé la chose ou si celle-ci est tombée en son pouvoir indépendamment de sa volonté, s'il a agi sans dessein d'enrichissement ou si l'acte a été commis au préjudice des proches ou des familiers, l'infraction ne sera poursuivie que sur plainte (ch. 2).
Cette disposition présuppose notamment l'appropriation d'une chose mobilière appartenant à autrui, ainsi qu'un dessein d'enrichissement illégitime de la part de l'auteur (cf. arrêt 6B_375/2020 du 9 juillet 2020 et les références citées).
8.2. La cour cantonale a retenu que l'intimé avait, sans dessein d'appropriation, soustrait un buffet du recourant et lui avait, partant, causé un certain préjudice puisque ce dernier avait été privé dudit buffet pendant plusieurs mois. Elle a toutefois confirmé l'appréciation des premiers juges selon laquelle le préjudice n'était pas considérable au sens de l'<ref-law>. En effet, le recourant, qui avait provisoirement entreposé le buffet dans le logement de sa mère décédée, n'avait pas besoin de celui-ci au moment où il lui avait été soustrait. Il n'avait pas dû engager des frais pour le remplacer, ni d'ailleurs pour retrouver son bien ou le rapatrier dans son nouvel appartement.
8.3. Le recourant prétend, de manière peu compréhensible, que cette " appropriation illégitime ou soustraction d'une chose mobilière " aurait engendré des frais, sans toutefois indiquer lesquels, ni exposer en quoi la cour cantonale aurait versé dans l'arbitraire ou violé le droit fédéral en considérant qu'il n'avait pas subi de préjudice considérable au sens de l'<ref-law> (cf. art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF).
8.4. Pour le surplus, pour autant que l'on comprenne, le recourant ne semble pas contester la libération de l'intimé 2 du chef de prévention de vol, éventuellement appropriation illégitime, pour avoir démonté une armoire lui appartenant et l'avoir déplacée dans l'optique de vider la pièce dans laquelle elle était stockée. En tout état de cause, c'est à bon droit que la cour cantonale a retenu que le double dessein d'appropriation et d'enrichissement illégitime faisait défaut, de sorte que les conditions de l'<ref-law>, respectivement de l'<ref-law> n'étaient pas remplies.
9.
Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir libéré l'intimé 2 de la prévention de dommages à la propriété.
9.1. La cour cantonale a relevé qu'il était établi qu'à l'issue de l'assemblée générale ordinaire du 13 mai 2016, l'intimé 2 avait été expressément chargé par l'ensemble des autres copropriétaires de procéder à l'entretien des alentours de la PPE. Il était également établi que la taille ou la coupe des arbres faisait partie de cette tâche et qu'il était nécessaire d'abattre certains spécimens. L'instance précédente a dès lors considéré que, dans ces conditions et compte tenu du fait que la dite tâche devait jusqu'alors être accomplie par chaque copropriétaire (en application de l'art. 15 du règlement d'administration et d'utilisation de la PPE), l'intimé 2 pouvait légitimement croire qu'il lui appartenait désormais de prendre seul toutes les mesures indispensables au maintien de la valeur de la PPE, soit notamment de tailler ou d'abattre les plantations la privant de son ensoleillement normal dans une mesure excessive, respectivement d'éliminer les plantations endommagées. En outre, dès lors que l'enquête n'avait pas permis de déterminer ni le nombre exact, ni l'emplacement, ni l'état antérieur des plantations taillées ou abattues, il ne pouvait être retenu que l'intimé 2 avait agi de manière illicite, respectivement qu'il avait sciemment outrepassé son mandat dans le but de porter préjudice aux copropriétaires desdites plantations.
9.2. Le raisonnement de la cour cantonale est convaincant. Le recourant soutient essentiellement que l'intimé 2 a agi " pour porter préjudice à sa famille " et que les arbres et arbustes ne gênaient en rien le bâtiment. Il prétend en outre que les propos tenus par l'intimé 2 et G._ n'étaient " que des mensonges ". Par son argumentation, le recourant se contente d'opposer sa propre version des faits à celle retenue par la cour cantonale, sans démontrer en quoi l'appréciation de celle-ci serait insoutenable (cf. supra consid. 3.1). Son grief est donc irrecevable.
Partant, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en libérant l'intimé 2 du chef de prévention de dommages à la propriété.
10.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être être partiellement admis (cf. supra consid. 7.4), le jugement attaqué annulé s'agissant de la peine et la cause renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision. Pour le surplus, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens au recourant qui a agi sans l'assistance d'un mandataire (<ref-law>). La demande d'assistance judiciaire du recourant est sans objet dans la mesure où celui-ci obtient gain de cause; elle doit être rejetée pour le reste, dès lors que le recours était dénué de chances de succès s'agissant des aspects sur lesquels le recourant a succombé (<ref-law>).
Le recourant, qui succombe partiellement, supportera une partie des frais judiciaires, fixés en tenant compte de sa situation financière qui n'apparaît pas favorable (art. 65 al. 2 et 66 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis. Le jugement attaqué est annulé et la cause renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision. Pour le surplus, le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée dans la mesure où elle n'est pas sans objet.
3.
Une partie des frais judiciaires, arrêtée à 600 fr., est mise à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour pénale.
Lausanne, le 10 mars 2021
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Jacquemoud-Rossari
La Greffière : Thalmann