Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl führt eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen gewerbsmässigen Betrugs, ungetreuer Geschäftsbesorgung, Geldwäscherei und weiteren Delikten. Der Beschuldigte wurde am 20. Januar 2021 wegen Kollusionsgefahr in Untersuchungshaft versetzt. Am 12. Mai 2021 beantragte die Staatsanwaltschaft beim kantonalen Zwangsmassnahmengericht die Genehmigung einer Beschränkung des freien Verkehrs zwischen dem Beschuldigten und seiner amtlichen Verteidigerin. Gleichzeitig entzog sie der Verteidigerin vorläufig die Besuchsbewilligung im Untersuchungsgefängnis und ordnete die (oberflächliche) Kontrolle der Anwaltspost an.
B.
Am 17. Juni 2021 verfügte das Bezirksgericht Zürich, Zwangsmassnahmengericht (ZMG), Folgendes: Es genehmigte die beantragte Beschränkung des freien Verteidigerverkehrs insoweit, als die Kontakte zwischen dem Beschuldigten und seiner amtlichen Verteidigerin "für die nächsten sechs Monate, d.h. vorerst bis zum 17. Dezember 2021, in einem Besucherraum mit Trennscheibe des jeweiligen Untersuchungsgefängnisses stattzufinden" hätten. Die darüber hinausgehenden Anträge der Staatsanwaltschaft wies das ZMG ab.
C.
Gegen die Verfügung des ZMG vom 17. Juni 2021 erhob der Beschuldigte am 28. Juni 2021 Beschwerde beim kantonalen Obergericht. Er hielt sich dabei an die Rechtsmittelbelehrung des ZMG (vgl. Art. 49 BGG). Mit Beschluss vom 27. Juli 2021 trat das Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, auf die Beschwerde nicht ein.
D.
Am 19. August 2021 (Posteingang) übermittelte das Obergericht die Beschwerdeeingabe vom 28. Juni 2021 zuständigkeitshalber an das Bundesgericht. Der Beschwerdeführer beantragt im Hauptstandpunkt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides des ZMG und der dort bewilligten Beschränkung des freien Verteidigerverkehrs.
Das ZMG verzichtete am 26. August 2021 auf eine Stellungnahme. Die Staatsanwaltschaft beantragt mit Vernehmlassung vom 6. September 2021 die Abweisung der Beschwerde. Am 7. September 2021 übermittelte das Obergericht die Akten an das Bundesgericht. Mit Eingabe vom 10. September 2021 verzichtete der Beschwerdeführer auf eine Replik.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist eine Beschränkung des freien Verteidigerverkehrs auf Kontakte mit dem inhaftierten Beschwerdeführer im Besuchsraum mit Trennscheibe. Zu prüfen ist, ob und inwieweit die gesetzlichen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind (Art. 78 ff. BGG). Das Bundesgericht beurteilt diese Fragen von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 und Art. 106 Abs. 1 i.V.m. Art. 42 Abs. 1-2 BGG; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1.1; je mit Hinweisen).
1.1. Die Staatsanwaltschaft kann im Vorverfahren Zwangsmassnahmen erlassen (Art. 198 Abs. 1 lit. a StPO). Den strafprozessualen Haftvollzug betreffend ist sie dabei an die Vorschriften von Art. 197 und Art. 235 StPO gebunden. Die inhaftierte Person kann mit der Verteidigung frei und ohne inhaltliche Kontrolle verkehren. Besteht begründeter Verdacht auf Missbrauch, so kann die Verfahrensleitung mit Genehmigung des Zwangsmassnahmengerichts den freien Verkehr befristet einschränken; sie eröffnet die Beschränkungen der inhaftierten Person und der Verteidigung vorgängig (Art. 235 Abs. 4 StPO). Zum weiteren Rechtsschutz gegen Vollzugsmodalitäten der Untersuchungs- und Sicherheitshaft enthält Art. 235 Abs. 5 StPO folgende Verfahrensvorschrift: Die Kantone regeln die Rechte und Pflichten der inhaftierten Personen, ihre Beschwerdemöglichkeiten, die Disziplinarmassnahmen sowie die Aufsicht über die Haftanstalten.
1.2. Vollzugsfragen der strafprozessualen Haft, insbesondere betreffend Briefkontrolle und Verteidigerverkehr, sind in Art. 235 Abs. 1-4 StPO geregelt. Wie die Vorinstanz zutreffend darlegt, sind die materiellen Voraussetzungen der betreffenden Grundrechtseingriffe formellgesetzlich in der StPO normiert, die Einzelheiten sind kantonalrechtlich auf Verordnungsstufe zu regeln. Im Kanton Zürich enthält die Justizvollzugsverordnung vom 6. Dezember 2006 (JVV/ZH [OS 331.1]) - neben Bestimmungen zum Vollzug strafrechtlicher Sanktionen - auch Ausführungsvorschriften zum Vollzug der Untersuchungs- und Sicherheitshaft (§ 1 JVV/ZH) :
Unter Beachtung der Anstaltsordnung ist der freie Verkehr der in der Schweiz ansässigen Anwältinnen und Anwälte mit den inhaftierten Personen zu gewähren (§ 121 Abs. 1 lit. d JVV/ZH). Besuche dieser Personen werden nicht überwacht, in Räumen ohne Trennscheibe durchgeführt und unterliegen keiner zeitlichen Beschränkung, soweit die Verfügbarkeit der Besuchsräume dies zulässt (§ 121 Abs. 2 JVV/ZH). Eine inhaltliche Überprüfung der Korrespondenz mit den Rechtsvertretern der Inhaftierten ist nicht gestattet. Gespräche oder telefonische Kontakte mit den Rechtsvertretern dürfen nicht mitgehört werden (§ 121 Abs. 3 JVV/ZH). Wenn die Kontaktprivilegien gemäss § 121 Abs. 1-3 JVV/ZH missbraucht wurden oder wenn konkrete Anhaltspunkte für einen künftigen Missbrauch vorliegen, kann die Vollzugseinrichtung gemäss § 121 Abs. 4 JVV/ZH eine Kontrolle des Kontakts anordnen (lit. a), die betreffende privilegierte Person vorübergehend oder auf Dauer von Kontakten mit verurteilten Personen ausschliessen (lit. b) oder dem drohenden bzw. weiteren Missbrauch mit anderen verhältnismässigen Massnahmen entgegentreten (lit. c). Diese Bestimmungen sind grundsätzlich auch auf die Durchführung der Untersuchungs- und Sicherheitshaft anwendbar (§ 128 Abs. 1 JVV/ZH).
Die Strafverfolgungsbehörde kontrolliert die Korrespondenz und andere Sendungen. Sie kann zur Sicherung des Untersuchungszwecks einschränkende Anordnungen erlassen oder die Korrespondenz mit bestimmten Personen, nahe Angehörige ausgenommen, vollständig untersagen. Die Strafverfolgungsbehörde kann die Kontrolle ganz oder teilweise an das Gefängnis delegieren (§ 134 Abs. 1 JVV/ZH). Besuche sind nur mit Bewilligung der Verfahrensleitung gemäss Art. 61 StPO zulässig. Diese kann bei Kollusionsgefahr Auflagen erlassen, die Überwachung oder Aufzeichnung der Gespräche anordnen und bestimmte Personen vom Besuch ausschliessen (§ 135 Abs. 2 JVV/ZH). Den zugelassenen Rechtsvertretern steht das Recht auf privilegierte Kontakte und Besuche ohne Überwachung gemäss § 121 JVV/ZH zu (§ 136 lit. a JVV/ZH).
1.3. Ein Verwaltungsrekurs gestützt auf kantonales Vollzugsrecht ist im Kanton Zürich nur gegen sanktionsvollzugsrechtliche Anordnungen des Amts für Justizvollzug und Wiedereingliederung (und seiner Hauptabteilungen) bei der kantonalen Justizdirektion vorgesehen (§ 167 i.V.m. § 2 Abs. 1 JVV/ZH). Strafprozessuale Anordnungen der Staatsanwaltschaft betreffend Beschränkung des freien Verteidigerverkehrs mit Untersuchungs- und Sicherheitshäftlingen sind vom kantonalen Zwangsmassnahmengericht zu genehmigen (Art. 235 Abs. 4 Satz 2 StPO). Sie unterliegen danach, gemäss der Praxis des Zürcher Obergerichtes, keinem kantonalen Rechtsmittel, auch nicht der StPO-Beschwerde an die kantonale Beschwerdeinstanz (vgl. Nichteintretens-Beschluss vom 27. Juli 2021 des Obergerichtes des Kantons Zürich, III. Strafkammer, S. 3, E. 2.1-2.2). Eine StPO-Beschwerde gegen solche haftvollzugsrechtlichen Bewilligungsentscheide der Zwangsmassnahmengerichte ist im Gesetz denn auch nicht vorgesehen (vgl. Art. 20 Abs. 1 lit. c und Art. 393 Abs. 1 lit. c i.V.m. Art. 222 StPO; vgl. auch MIRJAM FREI/SIMONE ZUBERBÜHLER ELSÄSSER, in: Zürcher Kommentar zur StPO, 3. Aufl. 2020, N. 17 zu Art. 235 StPO).
1.4. Der angefochtene haftvollzugsrechtliche Entscheid des ZMG ist kantonal letztinstanzlich (Art. 80 Abs. 2 Satz 3 BGG). Auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen von Art. 78 ff. BGG sind grundsätzlich erfüllt.
2.
Die Vorinstanz stellt im angefochtenen Entscheid einen "Missbrauch des Verteidigerprivilegs" fest, der die verfügte Beschränkung des freien Verteidigerverkehrs rechtfertige. Der Beschwerdeführer bestreitet einen solchen Missbrauch und rügt eine Verletzung von Bundesrecht, insbesondere von Art. 235 StPO.
2.1. Die inhaftierte Person darf in ihrer persönlichen Freiheit nicht stärker eingeschränkt werden, als es der Haftzweck sowie die Ordnung und Sicherheit in der Haftanstalt erfordern (Art. 235 Abs. 1 StPO; s.a. Art. 197 Abs. 1 lit. c StPO). Die Kontakte zwischen der inhaftierten Person und anderen Personen bedürfen der Bewilligung der Verfahrensleitung. Besuche finden wenn nötig unter Aufsicht statt (Art. 235 Abs. 2 StPO). Die Verfahrensleitung kontrolliert die ein- und ausgehende Post, mit Ausnahme der Korrespondenz mit Aufsichts- und Strafbehörden. Während der Sicherheitshaft kann sie diese Aufgabe der Staatsanwaltschaft übertragen (Art. 235 Abs. 3 StPO). Die inhaftierte Person kann mit der Verteidigung frei und ohne inhaltliche Kontrolle verkehren. Besteht begründeter Verdacht auf Missbrauch, so kann die Verfahrensleitung mit Genehmigung des Zwangsmassnahmengerichts den freien Verkehr befristet einschränken (Art. 235 Abs. 4 StPO; zum kantonalen Ausführungsrecht s.a. oben, E. 1.2).
2.2. Zu prüfen ist, ob die Vorinstanz hier von einem begründeten Verdacht auf Missbrauch des freien Verteidigerverkehrs (Art. 235 Abs. 4 StPO) ausgehen durfte und ob die angeordnete Beschränkung zudem verhältnismässig erscheint (Art. 235 Abs. 1 und Art. 197 Abs. 1 lit. c StPO).
2.3. Was den ersten von der Staatsanwaltschaft beanstandeten Fall betrifft, nämlich einen Brief an die Schwester bzw. Nichte des Beschwerdeführers, hat die Vorinstanz einen Missbrauch des freien Verteidigerverkehrs ausdrücklich verneint (vgl. angefochtener Entscheid, S. 7 f. E. 6.2).
2.4. Einen Missbrauch hat das Zwangsmassnahmengericht hingegen - in einem zweiten Fall - darin erkannt, dass die Verteidigerin einen Brief des Beschuldigten vom 23. April 2021 an sich genommen und am 27. April 2021 an eine Drittperson, konkret an den polizeilichen Sachbearbeiter der Kantonspolizei Zürich weitergeleitet habe. Die Verteidigerin habe die Eingabe des Beschuldigten an die Kantonspolizei Zürich mit einem Übermittlungsbrief ergänzt und die Sendung dann der Schweizerischen Post übergeben, "als Einschreiben mit einer Frankierung von Fr. 6.30". Von der Briefkontrolle grundsätzlich ausgenommen sei aber - nach Ansicht der Vorinstanz - einzig der Verkehr zwischen der Verteidigung und dem Beschuldigten.
Wie die Vorinstanz selber einräumt, ist es der Verteidigung unbenommen, Dokumente des inhaftierten Beschuldigten entgegen zu nehmen und in eigene Behördeneingaben zu integrieren bzw. diesen beizulegen (vgl. angefochtener Entscheid, S. 9 E. 6.4). Aber auch die Entgegennahme und postalische Weiterleitung des Briefes des Beschwerdeführers vom 23. April 2021 an die Kantonspolizei Zürich kann nicht als missbräuchliche Umgehung der Briefkontrolle gewertet werden. Nach dem klaren Wortlaut des Gesetzes hat die Verfahrensleitung die Korrespondenz des inhaftierten Beschuldigten mit Aufsichts- und Strafbehörden keiner Briefkontrolle zu unterziehen (Art. 235 Abs. 3 StPO); zu Letzteren gehört auch die Polizei (Art. 12 lit. a StPO). Die kantonalen Instanzen legen denn auch nicht dar, inwiefern in irgend einer Weise eine Kollusionsgefahr zwischen dem Beschwerdeführer und dem polizeilichen Sachbearbeiter der Kantonspolizei Zürich bestanden hätte. Ein Missbrauch des freien Verteidigerverkehrs im Sinne des Gesetzes ist nicht ersichtlich.
2.5. Auch auf eine allfällige unpräzise oder missverständliche Äusserung der Verteidigerin liesse sich kein Vorwurf eines konkreten Missbrauchs des Verteidigerverkehrs stützen. Wie es sich damit verhält, braucht hier nicht näher vertieft zu werden. Selbst wenn gewisse Äusserungen der Verteidigerin missverständlich gewesen wären, hätte einer allfälligen Fehlinterpretation betreffend "Zuständigkeit zur Briefkontrolle" auch mit geeigneten milderen Mitteln ausreichend entgegengewirkt werden können (vgl. Art. 235 Abs. 1 und Art. 197 Abs. 1 lit. c StPO; s.a. § 121 Abs. 4 lit. c JVV/ZH). Da hier keinerlei konkreter Missbrauch des Verteidigerverkehrs dargetan ist, hätte es vollauf genügt, die amtliche Verteidigerin in geeigneter Weise an die Bedeutung der Briefkontrolle bei kollusionsgefährdeten Inhaftierten zu erinnern bzw. an die Zuständigkeit der Verfahrensleitung zur Kontrolle des Briefverkehrs zwischen dem inhaftierten Beschuldigten und dritten Personen. Nötigenfalls hätte hier insbesondere eine schriftliche Ermahnung genügt. Der Beschwerdeführer räumt insofern auch durchaus ein, "dass eine Klarstellung an die Verteidigerin, was sie darf und was nicht, eine geeignete Massnahme" dargestellt hätte (Beschwerdeschrift, S. 6 Rz. 16).
Die hier angefochtene empfindliche Beschränkung des freien Verteidigerverkehrs über ein halbes Jahr hinweg ist demgegenüber klar unverhältnismässig und bundesrechtswidrig.
3.
Die Beschwerde ist gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben.
Es sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Dem Beschwerdeführer bzw. seiner amtlichen Verteidigerin ist eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 i.V.m. Art. 64 Abs. 2 Satz 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und die Verfügung vom 17. Juni 2021 des Bezirksgerichts Zürich, Zwangsmassnahmengericht, aufgehoben.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Zürich (Kasse der Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl) hat an Rechtsanwältin Dr. Patricia Jucker eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.-- (pauschal, inkl. MWST) zu entrichten.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl, dem Bezirksgericht Zürich, Zwangsmassnahmengericht, und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Januar 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Forster