Faits :
A.
Par jugement du 7 avril 2020, la Chambre patrimoniale cantonale du canton de Vaud a notamment condamné le défendeur A._ à verser à la demanderesse B._ SA la somme de 929'075 dollars américains (ch. I), intérêts en sus, a dit que les frais judiciaires arrêtés à 22'384 fr. étaient provisoirement laissés à la charge de l'État pour A._ (ch. II) et a condamné ce dernier à verser à son adverse partie la somme de 2'272 fr. au titre des frais de la procédure de conciliation (ch. VI) et le montant de 31'500 fr. à titre de dépens (ch. VII). Elle a en outre prononcé que le défendeur A._, bénéficiaire de l'assistance judiciaire, était, dans la mesure de l'<ref-law>, tenu au remboursement des frais judiciaires et de l'indemnité de son conseil d'office mis à la charge de l'État.
B.
Le 25 novembre 2020, A._ a saisi le Tribunal cantonal du canton de Vaud d'un appel dans lequel il a conclu, principalement, à la réforme des chiffres I, II, VI et VII du dispositif de la décision attaquée et, subsidiairement, à l'annulation du jugement entrepris.
Le 9 décembre 2020, l'appelant a présenté une requête d'assistance judiciaire pour la procédure d'appel. Afin d'établir sa situation financière, il a produit trois pièces, soit sa déclaration d'impôts 2019, ses fiches de salaire du mois de juin à novembre 2020 ainsi que ses relevés bancaires pour la période comprise entre le 7 juin et le 6 décembre 2020.
Par ordonnance du 13 janvier 2021, la Juge déléguée de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois a rejeté la requête d'assistance judiciaire présentée par l'appelant et lui a imparti un délai pour effectuer une avance de frais de 9'389 fr.
C.
Le 18 février 2021, A._ (ci-après: le recourant) a formé un recours en matière civile en vue d'obtenir l'annulation de l'ordonnance précitée et le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il a requis simultanément, à titre de mesures superprovisionnelles et provisionnelles, la suspension du délai fixé pour effectuer l'avance des frais judiciaires de la procédure d'appel jusqu'à droit connu sur le présent recours. L'intéressé a également sollicité sa mise au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Par ordonnance du 24 mars 2021, la Présidente de la Ire Cour de droit civil du Tribunal fédéral a admis la requête de mesures provisionnelles et a suspendu le délai imparti par l'autorité précédente pour effectuer l'avance de frais requise jusqu'à droit jugé sur le présent recours.
La requête d'assistance judiciaire présentée par le recourant pour la procédure fédérale a été rejetée par ordonnance du 8 avril 2021, au motif que l'intéressé jouissait de ressources suffisantes au sens de l'<ref-law> pour assumer les frais de la procédure fédérale.
Le Tribunal fédéral n'a pas requis le dépôt d'une réponse au recours.

Considérant en droit :
1.
Le refus par l'instance cantonale de l'assistance judiciaire est une décision incidente qui est susceptible de causer un préjudice irréparable et, partant, sujette à recours en vertu de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4; <ref-ruling> consid. 1.1; arrêt 4A_44/2018 du 5 mars 2018 consid. 1.2). En vertu du principe de l'unité de la procédure, la voie de recours contre une décision incidente est déterminée par le litige principal (<ref-ruling> consid. 1.4; <ref-ruling> consid. 1.2). En l'espèce, le refus de l'assistance judiciaire a été prononcé dans le cadre d'une contestation de nature civile et pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. fixé à l'<ref-law> pour la recevabilité du recours en matière civile. Dès lors, le présent recours sera traité comme tel.
2.
Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Le Tribunal fédéral ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes ou découlent d'une violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3 et les références). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 et les références). Si elle souhaite obtenir un complètement de l'état de fait, elle doit aussi démontrer, par des renvois précis aux pièces du dossier, qu'elle a présenté aux autorités précédentes, en conformité avec les règles de la procédure, les faits juridiquement pertinents à cet égard et les moyens de preuve adéquats (<ref-ruling> consid. 2). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (<ref-ruling> consid. 1.3.1). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 1.3).
3.
Aux termes de l'<ref-law>, une personne a droit à l'assistance judiciaire si elle ne dispose pas de ressources suffisantes (let. a) et que sa cause ne paraît pas dépourvue de toute chance de succès (let. b).
3.1. Une personne est indigente lorsqu'elle n'est pas en mesure d'assumer les frais de la procédure sans porter atteinte au minimum nécessaire à son entretien et à celui de sa famille (<ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 5.1). Pour déterminer l'indigence, il convient de prendre en considération l'ensemble de la situation financière du requérant au moment où la demande est présentée. Il y a lieu de mettre en balance, d'une part, la totalité de ses revenus (gains accessoires compris), sa fortune, ses éventuelles créances contre des tiers et, d'autre part, les charges d'entretien et les engagements financiers auxquels il ne peut échapper (ATF <ref-ruling> consid. 5.1). Seules les charges réellement acquittées sont susceptibles d'entrer dans le calcul du minimum vital (ATF <ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 3a; arrêts 5A_181/2019 du 27 mai 2019 consid. 3.1.1 et les arrêts cités). De manière générale, il n'est tenu compte des dettes du requérant que lorsque ce dernier établit qu'il les rembourse par acomptes réguliers (arrêts 4D_69/2016 du 28 novembre 2016 consid. 5.7.3; 4D_19/2016 du 11 avril 2016 consid. 5.5).
La part des ressources excédant ce qui est nécessaire à la couverture des besoins personnels doit être comparée aux frais prévisibles de l'instance. L'assistance judiciaire n'est pas accordée lorsque la part disponible permet de couvrir les frais judiciaires et d'avocat en une année au plus, pour les procès relativement simples, et en deux ans pour les autres (ATF <ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 5.1; arrêt 4A_4/2019 du 7 mai 2019 consid. 6).
3.2. Applicable à la procédure portant sur l'octroi ou le refus de l'assistance judiciaire, la maxime inquisitoire est limitée par le devoir de collaborer des parties (Message du 28 juin 2006 relatif au code de procédure civile suisse, FF 2006 p. 6914 in initio; arrêt 4A_51/2016 du 11 octobre 2016 consid. 2.2.2 et les arrêts cités). Ce devoir de collaborer ressort en particulier de l'<ref-law> qui prévoit que le requérant doit justifier de sa situation de fortune et de ses revenus et exposer l'affaire et les moyens de preuve qu'il entend invoquer. Il doit ressortir clairement des écritures de la partie requérante qu'elle entend solliciter le bénéfice de l'assistance judiciaire et il lui appartient de motiver sa requête s'agissant des conditions d'octroi de l'<ref-law> et d'apporter, à cet effet, tous les moyens de preuve nécessaires et utiles (arrêt 4D_22/2020 du 29 juin 2020 consid. 4.2.2).
Le juge doit inviter la partie non assistée d'un mandataire professionnel dont la requête d'assistance judiciaire est lacunaire à compléter les informations fournies et les pièces produites afin de pouvoir vérifier si les conditions de l'<ref-law> sont valablement remplies (arrêt 5A_327/2017 du 2 août 2017 consid. 4). Ce devoir d'interpellation du tribunal, déduit de l'<ref-law>, vaut avant tout pour les personnes non assistées et juridiquement inexpérimentées. Il est en effet admis que le juge n'a pas, de par son devoir d'interpellation, à compenser le manque de collaboration qu'on peut raisonnablement attendre des parties pour l'établissement des faits, ni à pallier les erreurs procédurales commises par ces dernières. Or, le plaideur assisté d'un avocat ou lui-même expérimenté voit son obligation de collaborer accrue dans la mesure où il a connaissance des conditions nécessaires à l'octroi de l'assistance judiciaire et des obligations de motivation qui lui incombent pour démontrer que celles-ci sont remplies. Le juge n'a de ce fait pas l'obligation de lui octroyer un délai supplémentaire pour compléter sa requête d'assistance judiciaire lacunaire ou imprécise (arrêts 4A_100/2021 du 10 mai 2021 consid. 3.2; 4A_622/2020 du 5 février 2021 consid. 2.4; 4A_44/2018, précité, consid. 5.3 et les arrêts cités).
Ces principes sont applicables lorsque l'assistance judiciaire est requise pour la procédure de recours (arrêt 5A_502/2017 du 15 août 2017 consid. 3.2 et les arrêts cités).
4.
En l'espèce, l'autorité précédente a rejeté la requête d'assistance judiciaire, au motif que la condition de l'indigence du recourant n'était pas réalisée. Elle a rappelé que, selon la jurisprudence, elle n'avait aucune obligation d'interpeller le recourant, assisté d'un mandataire professionnel, ni de lui accorder un délai supplémentaire pour compléter sa requête d'assistance judiciaire, celle-ci devant être complète déjà lors de son dépôt. Sur la base des pièces produites devant elle, elle a retenu que l'intéressé percevait un salaire mensuel vraisemblablement supérieur à 8'480 fr. S'agissant des charges du recourant, l'autorité précédente a estimé que celui-ci aurait aisément pu les établir en produisant des pièces, ce qu'il n'avait pourtant pas fait, raison pour laquelle il devait assumer les conséquences de son manque de collaboration. Elle n'a ainsi pas tenu compte des montants allégués par l'intéressé au titre de ses frais de déplacement professionnels (325 fr. par mois) et de sa prime d'assurance-maladie (370 fr. par mois). Elle a en outre souligné que les frais de téléphone étaient compris dans le montant de base du minimum vital LP. En ce qui concerne la dette de 35'000 fr. du recourant envers un établissement bancaire, l'autorité cantonale a estimé que le recourant n'avait pas établi qu'il la remboursait effectivement par acomptes réguliers, raison pour laquelle il n'était pas possible d'en tenir compte. Quant aux allégations du recourant relatives au paiement mensuel de la somme de 2'767 fr. à titre d'arriérés d'impôts, l'intéressé avait uniquement démontré avoir versé à quatre reprises la somme de 2'767 fr. entre le 30 juin et le 26 novembre 2020. Il n'avait ainsi établi ni l'existence ni le remboursement régulier de sa dette d'impôts. En ce qui concerne ses impôts courants, le recourant avait prétendu, sans en apporter la preuve, verser le montant de 2'305 fr. par mois. Faute de preuves, il n'était toutefois pas possible de prendre ledit montant en considération.
Dans ces circonstances, l'autorité précédente a considéré que le disponible du recourant, compte tenu de son salaire mensuel net qui était d'au moins 8'480 fr., s'élevait, après déduction de ses charges mensuelles établies (1'500 fr. [minimum vital LP : 1'200 fr. x 125 %] + 1'870 fr. [loyer mensuel versé effectivement selon les relevés bancaires produits]), à 5'110 fr. (8'480 fr. - 3'370 fr.), ce qui suffisait à couvrir les frais judiciaires et d'avocat de la procédure de deuxième instance.
5.
Dans un premier moyen, le recourant soutient que les constatations de fait de l'autorité précédente sont lacunaires et arbitraires.
5.1. En premier lieu, le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir omis de préciser qu'il avait sollicité et obtenu sa mise au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure de première instance en produisant les mêmes pièces que celles qu'il a remises à la cour cantonale.
Il ne s'agit toutefois pas là d'un élément décisif pour l'issue du litige. Selon l'<ref-law>, le justiciable doit en effet présenter une nouvelle requête s'il entend bénéficier de l'assistance judiciaire pour la procédure de recours. Le recourant ne peut dès lors rien tirer, y compris sous l'angle du principe de la bonne foi, du fait qu'il a bénéficié de l'assistance judiciaire devant l'autorité de première instance.
5.2. En deuxième lieu, le recourant fait grief à l'autorité précédente d'avoir retenu qu'il n'avait produit aucune pièce permettant d'établir ses frais de déplacement professionnels et sa prime mensuelle d'assurance-maladie. A cet égard, il fait valoir que de telles charges sont mentionnées dans la déclaration d'impôts 2019 qu'il a produite à l'appui de sa demande d'assistance judiciaire.
Le grief est infondé. En effet, le seul fait que de telles charges sont mentionnées dans la déclaration d'impôts 2019 ne suffit pas à démontrer l'existence et le caractère actuel de telles charges ni à établir que le recourant s'acquitterait effectivement des montants dus à ce titre. L'autorité cantonale n'a ainsi pas constaté les faits de manière arbitraire en retenant que le recourant n'avait établi ni ses frais de déplacement professionnels ni le montant de sa prime d'assurance-maladie. Au demeurant, même à supposer qu'il faille tenir compte de ces deux postes, la solution retenue par l'autorité précédente ne s'en trouverait pas modifiée (cf. consid. 6.2 infra).
5.3. En troisième et dernier lieu, le recourant soutient que l'autorité précédente aurait dû admettre l'existence d'une dette fiscale remboursée par acomptes mensuels de 2'767 fr.
Il n'en est rien. L'autorité précédente a certes retenu que le recourant avait démontré avoir effectué quatre versements de 2'767 fr. (en date des 30 juin, 1er septembre, 30 septembre et 26 novembre 2020) en lien avec cette dette. Elle a toutefois considéré que le recourant n'avait pas prouvé avoir remboursé sa dette par acomptes réguliers. Une telle appréciation ne saurait être taxée d'arbitraire. En tout état de cause, la prise en compte dudit montant ne serait pas de nature à influer sur le sort de la cause (cf. consid. 6.2 infra).
6.
6.1. Dans un deuxième moyen, le recourant dénonce la violation des art. 29 al. 3 Cst. et 117 CPC. L'autorité précédente aurait considéré à tort que les pièces produites ne permettaient pas de conclure à l'indigence du recourant. Ce dernier fait valoir que la cour cantonale aurait dû tenir compte de ses frais de déplacement professionnels (325 fr. par mois), de sa prime d'assurance-maladie (370 fr. par mois) et des acomptes mensuels versés pour payer ses arriérés d'impôts (2'767 fr.). Il estime en outre qu'un montant de 1'000 fr. retenu sur son salaire à titre de " retenue prêt " aurait dû être pris en considération. Son disponible s'élèverait ainsi à 648 fr. par mois (5'110 fr. [montant retenu par l'autorité précédente] - 325 fr. - 370 fr. - 2'767 fr. - 1'000 fr.).
6.2. En l'espèce, le recourant s'est contenté de produire, à l'appui de sa demande d'assistance judiciaire, quelques fiches de salaire, ses relevés bancaires et un exemplaire de sa déclaration d'impôts 2019. Dans ces conditions, on ne saurait reprocher à l'autorité précédente d'avoir considéré qu'il n'y avait pas lieu de déduire la somme de 1'000 fr. des revenus du recourant, dès lors que celui-ci n'avait fourni aucune information relative à la nature de cette retenue sur salaire. De même est-ce en vain que l'intéressé fait grief à la juge précédente de ne pas avoir pris en considération les frais de déplacement professionnels ainsi que le montant de la prime d'assurance-maladie qu'il avait allégués dans sa requête d'assistance judiciaire. En effet, le recourant n'a produit aucune pièce établissant qu'il s'acquittait effectivement de telles charges. A cet égard, la seule production de la déclaration d'impôts 2019 ne suffit nullement à établir l'existence d'éventuels versements opérés à ce titre. Faute pour le recourant d'avoir produit le moindre document établissant le montant de sa dette fiscale, on ne saurait en outre faire grief à l'autorité précédente d'avoir retenu que le recourant n'avait pas démontré l'existence de cette dette. En tout état de cause, l'autorité cantonale était en droit de retenir que les quatre versements effectués par l'intéressé entre le 30 juin et le 26 novembre 2020 ne permettaient pas d'établir le remboursement régulier de la dette d'impôts.
Indépendamment de ce qui précède, et même dans l'hypothèse où l'on tiendrait compte des montants prétendument versés mensuellement par le recourant au titre de ses frais de déplacement professionnels, de sa prime d'assurance-maladie et de ses arriérés d'impôt, force est de relever que ce dernier disposerait encore d'un revenu mensuel disponible de 1'648 fr. (5'110 fr. [montant retenu par l'autorité précédente] - 325 fr. - 370 fr. - 2'767 fr.), ce qui lui permettrait d'assumer les frais de la procédure d'appel dans le délai fixé par la jurisprudence.
7.
7.1. Dans un troisième et dernier moyen, le recourant dénonce une violation du principe de la bonne foi. Il relève que les pièces qu'il a produites à l'appui de sa demande d'assistance judiciaire pour la procédure d'appel étaient identiques à celles qui lui avaient permis d'obtenir le bénéfice de l'assistance judiciaire devant l'autorité de première instance. A l'en croire, la décision par laquelle la première juge lui avait octroyé l'assistance judiciaire aurait fait naître chez lui une confiance légitime méritant d'être protégée. Dans ces conditions, l'autorité précédente aurait dû l'interpeller et lui impartir un délai pour compléter sa requête d'assistance judiciaire et produire des pièces supplémentaires.
7.2. Semblable argumentation tombe à faux. Aux termes de l'<ref-law>, l'assistance judiciaire doit faire l'objet d'une nouvelle requête pour la procédure de recours. Par conséquent, la décision accordant au justiciable le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure de première instance n'est pas de nature à faire naître des attentes légitimes chez l'intéressé quant au fait qu'il pourra nécessairement bénéficier de l'assistance judiciaire lors de la procédure de recours. A cet égard, la jurisprudence a reconnu que le requérant assisté d'un mandataire professionnel ne remplit pas son devoir de collaboration qui découle de l'<ref-law> lorsqu'il se borne à renvoyer à la décision d'assistance judiciaire de première instance (arrêt 5A_502/2017, précité, consid. 3). Il ne saurait en aller différemment lorsque, comme ici, le requérant se borne à produire les mêmes pièces que celles qu'il avait fournies à l'autorité de première instance. En l'occurrence, ni l'<ref-law> ni le principe de la bonne foi ne justifiaient d'interpeller le recourant ou de lui fixer un délai pour compléter sa demande dès lors qu'il était assisté d'un avocat (arrêts 4A_100/2021, précité, consid. 3.2; 5A_502/2017, précité, consid. 2.3).
8.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté. Vu l'issue du recours, il appartiendra à l'autorité précédente d'impartir un nouveau délai au recourant pour effectuer l'avance de frais requise.
Le recourant, qui succombe, devra payer les frais de la procédure fédérale (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à B._ SA.
Lausanne, le 21 juin 2021
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Hohl
Le Greffier : O. Carruzzo