Sachverhalt:
A.
Die Eheleute A.A._ und B.A._ geb. C._ hatten in der Steuerperiode 2014 steuerlichen Wohnsitz in U._/LU. Der Ehemann ging hauptberuflich einer unselbständigen Erwerbstätigkeit nach und betätigte sich daneben als selbständig erwerbender Landwirt. Zu seinem Geschäftsvermögen zählte namentlich das aus einer Abparzellierung hervorgegangene, am Ort gelegene Grundstück Nr. xxx, das eine Fläche von rund 600 Quadratmetern umfasst. Dieses war in der Steuerperiode 2014 vollumfänglich der Bauzone zugeteilt und wies keinerlei Bebauung auf. Mit öffentlich beurkundetem Kaufvertrag vom 25. November 2014 und Grundbucheintrag vom 22. Dezember 2014 veräusserte der Ehemann das in seinem Alleineigentum stehende Grundstück zum Preis von Fr. 160'000.-- an einen unabhängigen Dritten. Das Grundstück war aufgrund einer Gewinnbeteiligungsabrede mit einem Gewinnanteilsrecht zugunsten der Miterben belastet. Der realisierte Wertzuwachsgewinn führte zu einem Anspruch der Miterben von insgesamt Fr. 86'738.40.
B.
Mit Verfügungen vom 5. Dezember 2017 veranlagte die Steuerverwaltung des Kantons Luzern (KSTV/LU; nachfolgend: die Veranlagungsbehörde) die Eheleute zur Steuerperiode 2014. In Abweichung von der Steuererklärung rechnete sie sowohl für die direkte Bundessteuer als auch die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Luzern Einkünfte aus selbständiger (Neben-) Erwerbstätigkeit von Fr. 143'620.-- auf. Das Betreffnis ergab sich aus dem Erlös von Fr. 160'000.-- abzüglich des Einkommenssteuerwerts bzw. Buchwerts von Fr. 430.-- und einer Rückstellung für AHV-Beiträge von Fr. 15'950.--. Dagegen erhoben die Eheleute Einsprache. Sie beantragten, in Aufhebung der Veranlagungsverfügungen sei mit der Veranlagung zuzuwarten, bis der Treuhänder die Steuererklärung eingereicht habe und die Rechtslage (Motion Leo Müller, Geschäft 12.3172, Besteuerung von land- und forstwirtschaftlichen Grundstücken) geklärt sei. Sollte dies nicht möglich sein, sei der Erlös aus dem Landverkauf auf Fr. 11'400.-- herabzusetzen. Am 28. Mai 2018 fand eine Einspracheverhandlung statt, anlässlich welcher die Steuerpflichtigen eingeladen wurden, die geltend gemachten Aufwendungen zu belegen. Die Einspracheverhandlung, zu der kein Protokoll erstellt wurde, verlief ergebnislos. Nach zwei weiteren Aufforderungen, die erforderlichen Belege beizubringen, reichten die Eheleute schliesslich Unterlagen zu verschiedenen Aufwendungen ein. Mit Entscheiden vom 5. September 2018 wies die Veranlagungsbehörde die Einsprachen ab.
C.
C.a. Dagegen gelangten die Eheleute an das Kantonsgericht des Kantons Luzern, dessen 4. Abteilung die Beschwerden mit Entscheid 7W 18 77 / 7W 18 78 vom 19. November 2019 abwies. Die Begründung ging hauptsächlich dahin, dass die Veranlagungsbehörde es zwar unterlassen habe, die in der Einspracheverhandlung gestellten Rechtsbegehren und Beweisanträge zu protokollieren, wodurch sie der ihr obliegenden Aktenführungspflicht insofern nicht nachgekommen sei. Es käme aber, so das Verwaltungsgericht, einem prozessualen Leerlauf gleich, wenn die Einspracheentscheide einzig aufgrund der Gehörsverletzung aufgehoben würden, da die Veranlagungsbehörde ihren Standpunkt im kantonsgerichtlichen Verfahren deutlich gemacht und aufgezeigt habe, weshalb sie die Aufrechnung vorgenommen und die Anschlussgebühren nicht berücksichtigt habe. Insgesamt sei die Verfahrensposition der Eheleute nicht beeinträchtigt worden.
C.b. In der Sache selbst sei, so das Verwaltungsgericht weiter, der Gewinnanspruch der Miterben zu behandeln, als ob ein Erbgang eingetreten wäre. Der Gewinnanspruch stelle keinen geschäftsmässig begründeten Aufwand dar, weshalb er in den Büchern des Ehemannes nicht zum Abzug gebracht werden könne. Zum angeblichen Anspruch des Vaters auf (Rück-) Zahlung der von ihm geleisteten Kanalisationsanschlussgebühren sei festzuhalten, dass die Überweisung vermutlich am 16. Januar 2015 erfolgt sei. In den Bilanzen der Geschäftsjahre 2013 und 2014 sei keine Verbindlichkeit gegenüber dem Vater passiviert gewesen, ebenso wie sich der Erfolgsrechnung 2014 keine damit zusammenhängende Zahlung entnehmen lasse. Eine substanziierte Darstellung der Sachumstände hätten die Eheleute unterlassen. Was schliesslich die geltend gemachten Beratungskosten von Fr. 7'649.50 angehe, handle es sich, erwägt das Verwaltungsgericht, um die Mäklergebühren sowie die weiteren Unkosten, die bei Veräusserung des streitbetroffenen Grundstücks angefallen seien. Wiederum gelte, dass keine Verbindlichkeit passiviert und in der Erfolgsrechnung keine entsprechende Zahlung verbucht worden sei. Eine quittierte Rechnung bzw. ein Kontoauszug fehle. Es sei anzunehmen, dass die Begleichung erst nach dem 25. August 2015 erfolgt und daher von vornherein aperiodisch sei.
D.
Mit Eingabe vom 6. Januar 2020 erheben die Eheleute beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben. Die Veranlagung sei auf Grundlage eines Erlöses von Fr. 11'500.-- vorzunehmen, abzüglich der Kanalisationsanschlussgebühren von Fr. 8'340.80 und Fr. 2'389.05 sowie der Beratungskosten von Fr. 7'649.50.--. Eventualiter sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Veranlagungsbehörde zurückzuweisen.
E.
Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (<ref-law> [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen, insbesondere einem Schriftenwechsel gemäss <ref-law>, abgesehen.

Erwägungen:
I. Prozessuales
1.
1.1. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten liegen vor (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG in Verbindung mit <ref-law> [SR 642.11] und Art. 73 StHG [SR 642.14]).
1.2. Das Bundesgericht prüft das Bundesrecht von Amtes wegen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 328) und mit uneingeschränkter (voller) Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 241).
1.3. Im Unterschied zum Bundesgesetzesrecht geht das Bundesgericht der Verletzung verfassungsmässiger Individualrechte (einschliesslich der Grundrechte) und des rein kantonalen und kommunalen Rechts nur nach, soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit gemäss <ref-law>). In der Beschwerde ist daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, dass und inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 305 f.). Auf bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid geht das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.1 S. 133).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 217). Die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen können von Amtes wegen oder auf Rüge hin berichtigt werden (<ref-ruling> E. 6.5 S. 296), wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 105 Abs. 2 und Art. 97 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 217). "Offensichtlich unrichtig" ist mit "willkürlich" gleichzusetzen (<ref-ruling> E. 2.3.3 S. 42 f.). Tatfrage ist auch die Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 3 S. 112). Die Anfechtung der vorinstanzlichen Feststellungen unterliegt der qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit (<ref-ruling> E. 4.1 S. 52 f.; vorne E. 1.3). Wird die Beschwerde diesen Anforderungen nicht gerecht, bleibt es beim vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
II. Formelle Rügen
2.
2.1. Formelle Rügen und Sachverhaltsrügen sind vorab zu behandeln (<ref-ruling> E. 3 S. 563; <ref-ruling> E. 5.1 S. 237). Die Eheleute erblicken im angefochtenen Entscheid eine umfassende Verletzung ihres verfassungsmässigen Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Die Kritik geht zunächst dahin, dass die Vorinstanz "die Protokolle verweigert und auch die Rechnung für die Treuhandkosten und Ausführungen zu Anschlussgebühren nicht als Beweise zugelassen" habe, obwohl die Eheleute sich bezüglich der "beiden Kostenträger 'Treuhand' und 'Darlehen'" in einer Beweisnot befunden hätten.
2.2. Die vorgebrachten formellen und Sachverhaltsrügen gründen auf <ref-law>, mithin auf einem verfassungsmässigen Individualrecht und haben mehrheitlich einen beweisrechtlichen Hintergrund, der der Gegenstand des kantonalen (Verfahrens-) Rechts bildet. Aus diesem Grund herrscht die qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit (<ref-law>; vorne E. 1.3). Die auch diesbezüglich eher knappen Vorbringen bleiben insgesamt an der Oberfläche und erschöpfen sich, soweit überhaupt näher dargelegte Kritik geäussert wird, in rein appellatorischen Überlegungen. Auf die sich stellende Verfassungsfrage, deren Behandlung unerlässlich ist, gehen die Steuerpflichtigen auch nicht zumindest beiläufig ein. Dass und inwiefern die vorinstanzlichen Feststellungen offensichtlich unhaltbar sein sollten (<ref-law>; vorne E. 1.4) und inwieweit in beweisrechtlicher Hinsicht gegen verfassungsmässige Individualrechte verstossen worden sein könnte, vermögen sich daher von vornherein nicht aufzuzeigen. Folglich hat es beim vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt zu bleiben.
III. Direkte Bundessteuer
3.
3.1. Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz war das streitbetroffene Grundstück in der Steuerperiode 2014 raumplanungsrechtlich der Bauzone zugehörig. Es befanden sich darauf keine Bauten, namentlich auch keine landwirtschaftlichen Gebäude und Anlagen (Sachverhalt, lit. A). Ebenso wenig hat die Vorinstanz festgestellt, das Grundstück bilde "angemessenen Umschwung" eines Grundstückes mit landwirtschaftlichen Gebäuden und Anlagen. Wie die Steuerpflichtigen anerkennen und die Vorinstanz bundesrechtskonform angenommen hatte, unterstand die Parzelle daher keinem bodenrechtlichen Schutz (Art. 2 Abs. 2 lit. a des Bundesgesetzes vom 4. Oktober 1991 über das bäuerliche Bodenrecht [BGBB; SR 211.412.11 e contrario]). Vielmehr handelte es sich um eine reine Baulandparzelle. Für die Zwecke der direkten Bundessteuer liegt folglich kein "land- oder forstwirtschaftliches Grundstück" vor. Dies schliesst auf eidgenössischer Ebene die Anwendung von <ref-law> aus, weshalb über den konjunkturellen Wertzuwachsgewinn mit der Einkommenssteuer abzurechnen ist (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 36 ff. zum harmonisierten Steuerrecht von Kantonen und Gemeinden, der in gleicher Weise auf die direkte Bundessteuer anwendbar ist: Urteil 2C_217/2018 vom 17. Juli 2018 E. 2.2.1, in: ASA 87 S. 70, RDAF 2019 II 343).
3.2.
3.2.1. Das streitbetroffene Grundstück, das bei Veräusserung im Alleineigentum des Ehemannes stand, war nach den vorinstanzlichen Feststellungen mit einem Gewinnanspruch zugunsten der Miterben belastet. Aufgrund des erzielten Gewinns ergab sich zu deren Gunsten ein Gewinnanteilsrecht von insgesamt Fr. 86'738.40 (auch dazu Sachverhalt, lit. A). Die Eheleute vertreten die Ansicht, der "eigentliche Veräusserungsgewinn" belaufe sich auf lediglich Fr. 11'400.--. Wie dieser Betrag zustande kommt, bleibt mindestens im bundesgerichtlichen Verfahren unklar. Zur Stützung ihres Standpunkts bringen sie <ref-law> ins Spiel (Entschädigung für die Nichtausübung eines Rechtes), der aufseiten der Beteiligten greife, während der Restbetrag aufseiten der beschwerdeführenden Eheleute unter <ref-law> falle. Weiter halten sie eine blosse Vermögensumschichtung für gegeben. Schliesslich legen sie dar, dass "keine eigentliche, sondern lediglich eine potentielle bzw. zukünftige Erbengemeinschaft" vorliege.
3.2.2. Die dargestellten Ausführungen könnten möglicherweise von einer gewissen Bedeutung sein, falls am streitbetroffenen Grundstück gemeinschaftliches Eigentum bestanden hätte. Dies ist offenkundig nicht der Fall: Die Parzelle Nr. xxx wurde von der Stammparzelle Nr. yyy abparzelliert, die sich ihrerseits seit dem 4. Mai 1993 im Alleineigentum des Ehemannes befunden hatte, wie die Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich feststellte. Anders, als die Eheleute dies annehmen, tritt der anteilsmässige Gewinn auch nicht etwa an die Stelle eines bereits bestehenden "ursprünglichen Rechtes". Wenn der Gewinnanspruch im Sinne von <ref-law> gesichert wird, worauf die Eheleute verweisen, was vorinstanzlich aber nicht festgestellt ist, könnte auch dies die Eigentumsverhältnisse nicht beeinträchtigen. Das Grundstück wäre unverändert dem ungeschmälerten Alleineigentum und - aufgrund der Nutzung - dem Geschäftsvermögen des Ehemannes zugehörig. Entsprechend vermag einzig der Ehemann über Zeitpunkt und Konditionen der Veräusserung zu entscheiden, worauf alleine er den Wertzuwachsgewinn realisiert und einzig er den Gewinn zu versteuern hat (dazu FELIX RICHNER/WALTER FREI/STEFAN KAUFMANN/ HANS ULRICH MEUTER, Kommentar zum Zürcher Steuergesetz, 3. Aufl. 2013, N. 9 zu § 222 StG/ZH).
3.2.3. Die Vorinstanz hat für das Bundesgericht verbindlich festgestellt, dass "kein Erbfall vorliegt, zumal sich aus den Akten kein Ableben einer Person ergibt". Die Vorinstanz spricht weiter davon, dass die Grundlage für die Auszahlung der Gewinnbeteiligung von insgesamt Fr. 86'738.40 in einer "Gewinnbeteiligungsabrede unter den Miterben" zu finden sei. Es dränge sich daher eine analoge Anwendung von <ref-law> auf. Das Bundesgericht qualifiziert die Erfüllung gesetzlicher, auf <ref-law> beruhender Gewinnanteilsansprüche der Miterben als Tilgung privater Schulden, die daher keinen geschäftsmässig begründeten Aufwand darstellen kann (zuerst Urteil 2C_162/2016 / 2C_163/2016 vom 29. September 2016 E. 4.4.2, in: ASA 85 S. 323, RDAF 2017 II S. 261). Ob der Anspruch gesetzlicher oder möglicherweise vertraglicher Natur ist, spielt indes keine Rolle: So oder anders soll mit dem Gewinnanteilsrecht ein Ausgleich unter den Berechtigten herbeigeführt werden. Im Fall von <ref-law> beruht dieser darauf, dass das landwirtschaftliche Gewerbe dem selbstbewirtschaftenden Erben zum Ertragswert an den Erbteil angerechnet wird (<ref-law>; Urteil 2C_1155/2014 vom 1. Februar 2016 E. 3.5.2, in: ASA 84 719, RDAF 2017 II 392, StE 2016 B 23.43.2 Nr. 19, StR 71/2016 S. 719). Im vertraglichen Bereich kann dies andere Gründe haben, was aber am Charakter (Ausgleich) nichts ändert (vgl. Urteil 2C_559/2019 vom 22. August 2019 E. 3.2).
3.2.4. Die Lehre teilt die Sichtweise des Bundesgerichts und zieht die Parallele zu der aus dem Veräusserungserlös getätigten Amortisation einer Grundpfandschuld (MARIANNE KLÖTI-WEBER, in: Marianne Klöti-Weber/Dave Siegrist/Dieter Weber [Hrsg.], Kommentar zum Aargauer Steuergesetz, 4. Aufl. 2015, N. 2a zu § 104 StG/AG). Die Gewinnansprüche der Miterben sind Ausfluss der Erbteilung (MADELEINE SIMONEK, Steuerrechtliche Qualifikation des Gewinnanspruchs der Miterben im bäuerlichen Bodenrecht, in: Festschrift für Paul Richli, 2006, S. 432). Diese Anteile bewegen sich ausserhalb des betriebswirtschaftlichen Umfelds und stellen daher private Schulden der belasteten Person dar. Anders als ein Schuldzins vermag die Tilgung einer Schuld weder im Geschäfts- noch im Privatvermögen einen geschäftsmässig begründeten Aufwand (<ref-law>) bzw. einen Abzug (<ref-law>) zu begründen.
3.2.5. Die Vorinstanz hat den Anspruch der Miterben von insgesamt Fr. 86'738.40 im Ergebnis weder als Aufwand (Geschäftsvermögen) noch als Abzug (Privatvermögen) zugelassen. Dies ist bundesrechtlich einwandfrei. Wer ein Objekt des Geschäftsvermögens veräussert und mit dem Gegenwert Miterben oder andere Dritte abfinden muss, tätigt im entsprechenden Umfang eine steuerneutrale Privatentnahme aus dem Geschäftsvermögen, mit deren Hilfe er anschliessend im Privatvermögen eine ebenso steuerneutrale Schuldentilgung vornimmt.
3.3.
3.3.1. Weiter streitig sind die Beratungskosten von Fr. 7'649.50 und die Rückvergütung der Kanalisationsanschlussgebühren - Fr. 8'340.80 und Fr. 2'389.05 vom 18. Januar 1993 bzw. 13. Juli 1995 nebst Zins von insgesamt Fr. 6'938.36 (3,0 Prozent für 22 bzw. 20 Jahre) - an den Vater des Ehemannes (Sachverhalt, lit. C.b). Im bundesgerichtlichen Verfahren räumen die Eheleute ein, dass die Beratungskosten erst im Jahr 2015 fakturiert und die Rückvergütung der Kanalisationsanschlussgebühren an den Vater erst mit Valuta vom 31. Januar 2015 ausgeführt worden sei. Nach den Feststellungen der Vorinstanz ist eine periodengerechte Abgrenzung sowohl der Grundeigentümerbeiträge als auch der Beratungskosten in den Büchern zum Geschäftsjahr 2014 unterblieben. Dies bestreiten die Eheleute nicht.
3.3.2. Als Steuerperiode gilt das Kalenderjahr (<ref-law>). In Konkretisierung hierzu geht aus <ref-law> hervor, dass das steuerbare Einkommen sich "nach den Einkünften in der Steuerperiode" bemesse. Eine periodenübergreifende Möglichkeit der Berücksichtigung von Aufwand- oder Abzugpositionen sieht das Gesetz nicht vor. Dies schliesst eine periodenfremde Berücksichtigung von vornherein aus. Ebenso ist eine "Verteilung" von Erträgen oder Aufwänden auf zwei oder mehrere Steuerperioden unzulässig (Urteil 2C_1082/2019 vom 8. Januar 2020 E. 3.2.2). Mit Blick auf die fehlende transitorische Verbuchung handelt es sich vorliegend um aperiodischen und jedenfalls nicht in der Steuerperiode 2014 zu berücksichtigenden Aufwand.
3.4. Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet. Sie ist im Haupt- und im Eventualantrag abzuweisen.
IV. Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Luzern
4.
4.1. Das Steuerrecht des Kantons Luzern folgt im Bereich der Besteuerung von Grundstückgewinnen dem dualistischen System. Gewinne aus der Veräusserung von Geschäftsvermögen unterliegen an sich der Einkommens- oder Gewinnsteuer (§ 1 Abs. 1 des Gesetzes [des Kantons Luzern] vom 31. Oktober 1961 über die Grundstückgewinnsteuer [GGStG/LU; SRL 647]; Urteil 2C_217/2018 vom 17. Juli 2018 E. 2.2.7). Anders verhält es sich mit den Gewinnen aus der Veräusserung land- und forstwirtschaftlicher Grundstücke durch natürliche Personen. Solche werden mit der Grundstückgewinnsteuer erfasst (Art. 12 Abs. 1 in Verbindung mit Abs. 4 e contrario StHG; § 1 Abs. 2 Ziff. 1 GGStG/LU). Als "land- und forstwirtschaftlich" gelten Grundstücke freilich auch für die Zwecke der harmonisierten Steuern von Kantonen und Gemeinden nur, soweit sie bodenrechtlich geschützt sind (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 36 ff.; vorne E. 3.1).
4.2. Wie zum Recht der direkten Bundessteuer dargelegt, geniesst das streitbetroffene Grundstück keinen bodenrechtlichen Schutz. Mit Blick auf das dualistische System findet daher die Einkommenssteuer Anwendung. Im Ergebnis ergeben sich keinerlei Unterschiede zur direkten Bundessteuer, weshalb in allen Teilen - auch bezüglich der Beratungskosten und der Kanalisationsanschlussgebühren - auf das Gesagte verwiesen werden kann. Die Beschwerde ist auch insoweit unbegründet und daher im Haupt- und Eventualantrag abzuweisen.
V. Kosten und Entschädigung
5.
Nach dem Unterliegerprinzip (<ref-law>) sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens den Steuerpflichtigen aufzuerlegen, wobei diese die Kosten zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung tragen (<ref-law>). Dem Kanton Luzern, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Entschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer, Steuerperiode 2014, wird abgewiesen.
2.
Die Beschwerde betreffend die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Luzern, Steuerperiode 2014, wird abgewiesen.
3.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt. Diese tragen ihren Anteil zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Januar 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher