Erwägungen:
1.
B._ (Beklagte, Beschwerdegegnerin) war ab Mai 2009 für A._ (Kläger, Beschwerdeführer) als Rechtsanwältin tätig. Das Mandat stand im Zusammenhang mit der Geltendmachung von Krankentaggeldansprüchen und endete im Jahr 2011.
Am 6. Dezember 2019 reichte A._ beim Bezirksgericht Meilen eine Klage ein, mit der er verlangte, B._ sei zur Bezahlung von insgesamt Fr. 7'260.30 unter den Titeln "Honorarminderung" und "Schadenersatz" zu verurteilen, "unter Vorbehalt weiterer Schadenersatzansprüche". Er machte geltend, B._ habe ihre Anwaltstätigkeit nicht korrekt und nicht sorgfältig ausgeübt.
B._ bestritt Sorgfaltspflichtverletzungen und erhob Widerklage.
Mit Teilurteil vom 5. November 2020 wies das Bezirksgericht (Einzelgericht) die Klage von A._ ab. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Beschluss und Urteil vom 31. Januar 2022 ab, soweit es darauf eintrat.
A._ hat mit Eingabe an das Bundesgericht vom 16. März 2022 erklärt, dieses Urteil mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde anzufechten.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
2.1. Da der Streitwert nach der Feststellung der Vorinstanz den Mindestbetrag von <ref-law> nicht erreicht, steht die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen (siehe <ref-law>).
Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>).
Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). Dafür muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2, 86 E. 2). Eine Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Insoweit gelten qualifizierte Begründungsanforderungen. Dies bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.2; je mit weiteren Hinweisen).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann davon nur abweichen, wenn die Sachverhaltsfeststellung unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande gekommen ist (Art. 118 Abs. 2 und <ref-law>), was die beschwerdeführende Partei mit einer genügenden Begründung geltend zu machen hat (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.2 mit Hinweis). Soweit die beschwerdeführende Partei den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit weiteren Hinweisen).
2.2. In der Beschwerde wird dem Obergericht vorgeworfen, "das Gebot der Wahrheitsfindung unter systematischer Verletzung der verfassungsmässigen Rechte des Beschwerdeführers in das Gegenteil verkehrt" zu haben. Die Vorinstanz habe es geschafft, die "Sachverhalte dermassen zu verdrehen [...], dass am Schluss eine (Schein-) Wahrheit resultiert[e]", die es ihr erlaubt habe, "der Beschwerdegegnerin unter dem Anschein eines rechtsstaatlichen Vorgehens Recht geben zu können". Der Beschwerdeführer nennt verschiedene Gesetzes-, Verfassungs- und Konventionsbestimmungen, deren Missachtung er moniert (darunter Art. 152, Art. 222, Art. 320, Art. 326 und Art. 327 ZPO; Art. 8, Art. 9, Art. 29 und Art. 30 BV; Art. 6 EMRK), und er behauptet, das Obergericht habe wiederholt aktenwidrig entschieden. Er kritisiert zahlreiche angebliche Verletzungen seines Gehörsanspruchs, überspitzten Formalismus und eine "Absicht des Gerichts, die Beschwerdegegnerin systematisch zu bevorzugen". Die Vorinstanz argumentiere "zirkulär" und "nicht nachvollziehbar", zitiere "bewusst selektiv" aus den Akten, verwickle sich "in unauflösbare Widersprüche" und habe "wider bessere[s] Wisse[n] versucht", ihn "in ein schlechtes Licht zu rücken". Im angefochtenen Urteil werde "die ganze Absurdität der Vorgehensweise des Obergerichts exemplarisch deutlich".
Der Beschwerdeführer unterlässt es, in einer den dargelegten erhöhten Begründungsanforderungen genügenden Weise und gestützt auf den massgebenden (Prozess-) Sachverhalt präzise darzulegen, in welcher Hinsicht seine verfassungsmässigen Rechte verletzt sein sollen. Soweit er im Übrigen Willkür beklagt, verkennt er, dass es nicht genügt, ausführlich seine eigene Sicht der Dinge zu schildern, um anschliessend zu behaupten, die Vorinstanz sei in Willkür verfallen, indem sie anders entschieden habe (vgl. <ref-ruling> E. 2.3). Die Beschwerde enthält auch insoweit offensichtlich keine hinreichende Begründung.
2.3. Der Beschwerdeführer beanstandet sodann, dass die Vorinstanz die Gerichtsgebühr unter Hinweis auf den gerichtlichen Zeitaufwand sowie die Schwierigkeit des Falls um einen Drittel erhöht habe. Der Beschwerdeführer meint, die "Wahrheitsfindung wäre einfach gewesen, wenn sich das Obergericht an die tatsächlichen Sachverhalte gehalten bzw. diese von der 1. Instanz richtig ermittelt worden wären. Der einfache zugrunde liegende Fall ist nur deshalb komplex geworden, weil die Gerichte vorliegend systematisch die verfassungsmässigen Rechte des Beschwerdeführers verletzen, um der Beschwerdegegnerin Recht geben zu können". Er könne nicht nachvollziehen, weshalb er dafür "extra bezahlen" solle.
Dies stellt keine hinreichend begründete Verfassungsrüge dar.
3.
Die Beschwerde genügt den erwähnten Begründungsanforderungen offensichtlich nicht, weshalb im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht auf sie einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten gemäss <ref-law> dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Für die von ihm beantragte Umtriebsentschädigung besteht keine Grundlage (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. April 2022
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Stähle