Sachverhalt:
A.
Der 1963 geborene, in Deutschland wohnhafte deutsche Staatsangehörige A._ war in den Jahren 1989 bis 1994 und 2001 bis 2004 bei verschiedenen Arbeitgebern in der Schweiz erwerbstätig und leistete Beiträge an die schweizerische Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung (AHV/IV). Zuletzt arbeitete er bis im März 2012 in Deutschland vollzeitig als Personaldisponent im Innen- und Aussendienst, wobei das Arbeitsverhältnis gemäss Angaben des ehemaligen Arbeitgebers aus gesundheitlichen Gründen aufgelöst wurde.
Im November 2014 stellte der Versicherte bei der Deutschen Rentenversicherung einen Rentenantrag zur Feststellung der Erwerbsminderung. Diese leitete im Juli 2017 bei der IV-Stelle für Versicherte im Ausland (IVSTA) das zwischenstaatliche Rentenverfahren ein. Die IVSTA tätigte daraufhin Abklärungen, insbesondere liess sie den Versicherten durch die Dres. med. B._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, und C._, Facharzt für Rheumatologie sowie Allgemeine Innere Medizin, bidisziplinär begutachten (Expertise [B._/C._] vom 8. Oktober 2018). Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach die IVSTA dem Versicherten mit Verfügung vom 20. August 2019 eine vom 1. Februar 2017 bis 31. Dezember 2018 befristete Dreiviertelsrente zu.
B.
Die hiergegen erhobene Beschwerde des Versicherten hiess das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 20. Juli 2021 teilweise gut und sprach ihm in Aufhebung der angefochtenen Verfügung von Juni 2016 bis Dezember 2018 eine Dreiviertelsrente und ab Januar 2019 eine unbefristete Viertelsrente der schweizerischen IV (zuzüglich allfälliger Zinsen) zu. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C.
Die IVSTA beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, es sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Ferner sei auf die Beschwerde einzutreten und diese sei gutzuheissen. In Abänderung des angefochtenen Urteils sei festzustellen, dass der Versicherte über den 31. Dezember 2018 hinaus keinen Anspruch auf eine Viertelsrente der schweizerischen IV habe.
Die Vorinstanz beantragt die Abweisung der Beschwerde, ebenso (zumindest implizit) der Beschwerdegegner. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) ersucht um Gutheissung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Auf die Frage der Zulässigkeit des Feststellungsabegehrens (vgl. dazu das Urteil 8C_560/2016 vom 30. November 2016 E. 3 mit Hinweisen) braucht nicht weiter eingegangen zu werden. Nachdem die Beschwerde sich unter Berücksichtigung ihrer Begründung (vgl. dazu das Urteil 9C_65/2021 vom 17. Juni 2021 E. 1.2 mit Hinweisen) auf einen Leistungsentscheid bezieht, nämlich auf die Abweisung des Anspruchs auf eine Invalidenrente ab 1. Januar 2019, ist darauf einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Streitig und zu prüfen ist, ob Bundesrecht verletzt wurde, indem das Bundesverwaltungsgericht dem Beschwerdegegner ab 1. Januar 2019 weiterhin eine Invalidenrente zugesprochen hat.
2.2.
2.2.1. Die für die Beurteilung der Streitsache massgeblichen rechtlichen Grundlagen wurden im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Es betrifft dies insbesondere die Bestimmungen und Grundsätze zur Invalidität (<ref-law>, <ref-law>; Art. 6 f. ATSG), zum Rentenanspruch (<ref-law>) sowie zur Ermittlung des Invaliditätsgrades bei erwerbstätigen Versicherten nach der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs (<ref-law> i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1 f.; vgl. auch <ref-ruling> E. 2b mit Hinweisen sowie das Urteil 9C_267/2018 vom 29. Juni 2018 E. 4.2 mit Hinweis) und in diesem Zusammenhang zum Valideneinkommen (<ref-ruling> E. 3.3.2; <ref-ruling> E. 4.1). Gleiches gilt hinsichtlich der Grundsätze bei rückwirkender Zusprechung einer abgestuften und/oder befristeten Rente (<ref-law>, <ref-law>; Urteile 8C_71/2017 vom 20. April 2017 E. 3 und 8C_87/2009 vom 16. Juni 2009 E. 2.2, je mit Hinweisen).
2.2.2. Zu ergänzen respektive hervorzuheben ist Folgendes: Das Invalideneinkommen ist dasjenige Einkommen, das die versicherte Person nach Eintritt der Invalidität und nach Durchführung der medizinischen Behandlung und allfälliger Eingliederungsmassnahmen durch eine ihr zumutbare Tätigkeit bei ausgeglichener Arbeitsmarktlage erzielen könnte (vgl. <ref-law>).
Im Gebiet der Invalidenversicherung gilt rechtsprechungsgemäss sodann ganz allgemein der Grundsatz, dass die invalide Person, bevor sie Leistungen verlangt, alles ihr Zumutbare selber vorzukehren hat, um die Folgen ihrer Invalidität bestmöglich zu mildern (Schadenminderungspflicht; <ref-ruling> E. 4a mit Hinweisen).
2.2.3. Die Feststellung der beiden hypothetischen Vergleichseinkommen stellt sich schliesslich als Tatfrage dar, soweit sie auf konkreter Beweiswürdigung beruht, hingegen als Rechtsfrage, soweit sich der Entscheid nach der allgemeinen Lebenserfahrung richtet. Letzteres betrifft etwa die Frage, ob Tabellenlöhne anwendbar sind (<ref-ruling> E. 3.3).
3.
3.1. Das Bundesverwaltungsgericht hat darauf geschlossen, dass sich das Vorliegen einer anspruchserheblichen Invalidität für den im Streit stehenden Zeitraum ausschliesslich nach schweizerischem Recht beurteile. In Würdigung der medizinischen Aktenlage hat es dem bidisziplinären Gutachten B._/C._ vom 8. Oktober 2018 grundsätzlich Beweiskraft zuerkannt. Nach Prüfung der Indikatoren (vgl. <ref-ruling>) ist es auch der Arbeitsfähigkeitsschätzung der Experten gefolgt. Es hat festgestellt, dass der Beschwerdegegner ab mindestens November 2013 in der Ausübung seiner bisherigen Tätigkeit als Personaldisponent sowie einer leidensangepassten Tätigkeit jeweils in gleichem Ausmass eingeschränkt gewesen sei, wobei insbesondere seit 28. September 2018 (Begutachtungszeitpunkt) eine Arbeitsunfähigkeit von 30 % vorliege. Bei einem Rentenanspruch ab Juni 2016 hat die Vorinstanz mittels Einkommensvergleichs zunächst einen Invaliditätsgrad von rund 66 % und infolge Verbesserung per Begutachtungszeitpunkt einen solchen von etwa 41 % ermittelt. Dabei hat sie als Valideneinkommen das vom Beschwerdegegner zuletzt erzielte Einkommen als Personaldisponent herangezogen und beim Invalideneinkommen auf statistische Werte (unter Verneinung eines Tabellenabzuges) abgestellt. Gestützt hierauf hat das Bundesverwaltungsgericht dem Beschwerdegegner von Juni 2016 bis Dezember 2018 eine Dreiviertelsrente und ab Januar 2019 eine unbefristete Viertelsrente (zuzüglich allfälliger Zinsen) zugesprochen.
3.2. Die Beschwerdeführerin beanstandet die Ermittlung des Invalideneinkommens und damit im Ergebnis des Invaliditätsgrades für den Zeitraum ab September 2018.
4.
Die Vorinstanz hat das Invalideneinkommen ab September 2018 auf der Grundlage statistischer Werte berechnet. Dabei scheint sie verkannt zu haben, dass der Beschwerdegegner gemäss unbestritten beweiskräftiger Einschätzung im Gutachten B._/C._ vom 8. Oktober 2018 auch in seiner angestammten Tätigkeit als Personaldisponent zu 70 % arbeitsfähig war. Es wäre daher zu prüfen gewesen, mit welcher Beschäftigung er seine Leistungsfähigkeit am besten verwertet (Schadenminderungspflicht, vgl. E. 2.2.2 hiervor). Dies ist vorliegend nachzuholen (<ref-law>).
In Anbetracht der im angefochtenen Entscheid aufgeführten Berechnung für den Zeitraum ab September 2018, aufgrund welcher ein Invaliditätsgrad von rund 41 % ermittelt wurde, ist darauf zu schliessen, dass der Beschwerdegegner seine Leistungsfähigkeit mit der angestammten Tätigkeit besser verwertet. Denn unter Anrechnung der Tätigkeit als Personaldisponent resultiert bei einer Arbeitsunfähigkeit von 30 % ein entsprechender rentenausschliessender Invaliditätsgrad (vgl. das Urteil 9C_267/2018 vom 29. Juni 2018 E. 4.2 mit Hinweis). Indem das Bundesverwaltungsgericht das Invalideneinkommen dennoch aufgrund statistischer Werte ermittelt und damit auf einen höheren, rentenbegründenden Invaliditätsgrad geschlossen hat, hat es den Grundsatz der Schadenminderungspflicht missachtet und damit Bundesrecht verletzt.
Mit Blick auf das Gesagte bleibt ab 1. Januar 2019 (<ref-law>) - entgegen dem angefochtenen Urteil - in Nachachtung der dem Beschwerdegegner aufzuerlegenden Schadenminderungspflicht kein Raum für die Zusprache einer Invalidenrente. Die Beschwerde ist begründet. Weiterungen erübrigen sich (vgl. zum Verbot der Anschlussbeschwerde Urteil 9C_288/2021 vom 30. November 2021 E. 2.1 mit Hinweisen).
5.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
6.
Auf die Erhebung von Gerichtskosten zu Lasten des unterliegenden Beschwerdegegners wird umständehalber verzichtet (<ref-law>). Der obsiegenden Beschwerdeführerin steht kein Anspruch auf Parteientschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 20. Juli 2021 wird aufgehoben und die Verfügung der IV-Stelle für Versicherte im Ausland IVSTA vom 20. August 2019 bestätigt.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens an das Bundesverwaltungsgericht zurückgewiesen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. Januar 2022
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Nünlist