Sachverhalt:
A.
A._ arbeitete ab dem 1. Dezember 2017 mit einem 50 %-Pensum im Sekretariat der Reformierten Kirchgemeinde Opfikon. Im Juni 2019 kündigte die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis per Ende September 2019. A._ focht die Kündigung mit Rekurs bei der Bezirkskirchenpflege Bülach an. Am 25. September 2019 reichte die Reformierte Kirchgemeinde Opfikon eine Rekursantwort ein. Am 28. Oktober 2019 erstattete A._ bei der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich Strafanzeige gegen B._ und C._, Präsidentin bzw. Vizepräsident der Kirchenpflege der Reformierten Kirchgemeinde Opfikon. Er beanstandete gewisse Äusserungen in der Rekursantwort, ausserdem den Umstand, dass ihm während seiner Anstellung bei der Reformierten Kirchgemeinde Opfikon der Zugang zum Archiv der Kirchenpflege entzogen worden sei, und erhob die Tatvorwürfe der üblen Nachrede, der Verleumdung, der Beschimpfung, der Begünstigung, des Amtsmissbrauchs und der ungetreuen Amtsführung.
Mit Verfügung vom 29. Oktober 2019 überwies die Staatsanwaltschaft II die Strafanzeige samt dazugehörigen Akten zum Entscheid über die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung an das kantonale Obergericht. Sie hielt fest, nach summarischer Prüfung liege kein deliktsrelevanter Verdacht vor, weshalb beantragt werde, die Ermächtigung nicht zu erteilen. Mit Beschluss vom 23. Dezember 2019 erteilte das Obergericht die Ermächtigung nicht.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 4. Februar 2020 an das Bundesgericht beantragt A._, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung gegen die beiden angezeigten Personen zu erteilen sowie die Staatsanwaltschaft II anzuweisen, ein Vorverfahren zu eröffnen. Eventuell sei die Angelegenheit im Sinne der Erwägungen an das Obergericht zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren sei ihm weiter die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Die beiden angezeigten Vertreter der Kirchenpflege haben sich nicht geäussert. Die Staatsanwaltschaft II und die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich sowie das Obergericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. A._ hat keine weitere Stellungnahme eingereicht.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit dem angefochtenen Beschluss hat die zuständige Vorinstanz die Erteilung der Ermächtigung verweigert, die es nach dem Recht des Kantons Zürich für die Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen die Beschwerdegegner braucht (vgl. § 148 des Gesetzes vom 10. Mai 2010 über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess des Kantons Zürich [GOG/ZH; OS 211.1]). Der Beschluss kann als kantonal letztinstanzlicher Endentscheid grundsätzlich mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden. Die Strafanzeige betrifft nicht Mitglieder der obersten kantonalen Vollziehungs- und Gerichtsbehörden, weshalb der Ausschlussgrund von <ref-law> nicht zur Anwendung kommt (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG; <ref-ruling> E. 1.3.1 f. S. 272 f.).
1.2. Gegenstand des angefochtenen Entscheids bildet die Frage, ob hinsichtlich der Tatvorwürfe gemäss der Strafanzeige des Beschwerdeführers die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung zu erteilen ist. Soweit der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde neue Tatvorwürfe erhebt, die gewisse Vorbringen in der Duplik der Reformierten Kirchgemeinde Opfikon im erwähnten Rekursverfahren betreffen, und, soweit ersichtlich, sinngemäss auch diesbezüglich die Erteilung der Ermächtigung verlangt, geht er über den angefochtenen Entscheid und damit den zulässigen Streitgegenstand des vorliegenden Beschwerdeverfahrens hinaus. Insoweit ist daher nicht auf die Beschwerde einzutreten.
Über den Streitgegenstand des vorliegenden Beschwerdeverfahrens hinaus geht auch der Antrag, die Staatsanwaltschaft II sei anzuweisen, ein Vorverfahren zu eröffnen. Im Ermächtigungsverfahren wird nicht über die Eröffnung einer Untersuchung oder die Nichtanhandnahme entschieden; dieser Entscheid obliegt kraft ausdrücklicher bundesrechtlicher Regelung vielmehr der Staatsanwaltschaft (Art. 309 und 310 StPO; <ref-ruling> E. 2.3 S. 277). Insoweit ist daher ebenfalls nicht auf die Beschwerde einzutreten.
1.3. Gemäss <ref-law> ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wer am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. c). Das Rechtsschutzinteresse muss aktuell und praktisch sein (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 143 mit Hinweisen). Die beschwerdeführende Partei muss aus dem beantragten Verfahrensausgang einen praktischen Nutzen dergestalt ziehen, dass ihre tatsächliche oder rechtliche Situation beeinflusst werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 6.2 S. 312 mit Hinweis).
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist die Möglichkeit, bei erfolgreicher Beschwerdeführung an der Strafuntersuchung teilzunehmen und Parteirechte auszuüben, ein praktischer Nutzen der genannten Art. Eine Person, die Strafanzeige erstattet, ist deshalb zur Beschwerde gegen einen Entscheid legitimiert, mit dem die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung verweigert wird, soweit sie hinsichtlich der beanzeigten Straftaten als geschädigte Person im Sinne von <ref-law> gilt. Insoweit könnte sie sich bei einer Gutheissung der Beschwerde in der erwähnten Weise an der Strafuntersuchung beteiligen. Dies ist hingegen nicht der Fall, soweit ihr in Bezug auf eine beanzeigte Straftat die Geschädigtenstellung fehlt (Art. 301 Abs. 2 und 3 StPO). Insoweit mangelt es ihr daher am Rechtsschutzinteresse nach Art. 89 Abs. 1 lit. b und c BGG und ist auf die Beschwerde nicht einzutreten (zum Ganzen: Urteile 1C_3/2017 vom 14. März 2017 E. 1.2.2 f.; 1C_270/2016 vom 16. Februar 2017 E. 1.2.1 ff.; 1C_344/2012 vom 31. Oktober 2012 E. 2.1 ff.).
Als geschädigte Person gilt nach <ref-law> die Person, die durch die Straftat in ihren Rechten unmittelbar verletzt worden ist. Die zur Stellung eines Strafantrags berechtigte Person gilt in jedem Fall als geschädigte Person (<ref-law>). Unmittelbar verletzt ist, wer Träger des Rechtsguts ist, das durch die fragliche Strafbestimmung vor Verletzung oder Gefährdung geschützt oder zumindest mitgeschützt werden soll. Im Zusammenhang mit Strafnormen, die nicht primär Individualrechtsgüter schützen, gelten praxisgemäss nur diejenigen Personen als Geschädigte, die durch die darin umschriebenen Tatbestände in ihren mitgeschützten Rechtsgütern beeinträchtigt werden, sofern diese Beeinträchtigung unmittelbare Folge der tatbestandsmässigen Handlung ist. Werden durch Delikte, die (nur) öffentliche Rechtsgüter verletzen, private Interessen auch, aber bloss mittelbar beeinträchtigt, ist die betroffene Person nicht Geschädigte im Sinne von <ref-law> (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 457; <ref-ruling> E. 2.3 S. 263; je mit Hinweisen).
1.3.1. In Bezug auf die geltend gemachte üble Nachrede (<ref-law>), Verleumdung (gemeint sein dürfte <ref-law>) und Beschimpfung (<ref-law>) gilt der Beschwerdeführer nach <ref-law> als geschädigte Person.
1.3.2. Der Straftatbestand des Amtsmissbrauchs (<ref-law>) schützt sekundär auch das Interesse der Bürger, nicht unkontrollierter und willkürlicher staatlicher Machtentfaltung ausgesetzt zu werden (<ref-ruling> E. 1b S. 212 f.; Urteile 6B_214/2019 vom 15. Mai 2019 E. 4.7; 6B_1318/2017 vom 9. Februar 2018 E. 7.2.3 und 7.3). Als Geschädigte gelten dabei nur Personen, die durch die tatbestandsmässige Handlung unmittelbar beeinträchtigt worden sind (vgl. Urteile 6B_297/2018 vom 6. September 2018 E. 4.6.2; 1C_270/2016 vom 16. Februar 2017 E. 1.2.2; vorne E. 1.3). Der Beschwerdeführer macht unter dem Titel Amtsmissbrauch zum einen geltend, es sei gegen ihn eine "Zwangsmassnahme" ergriffen worden. Zum anderen bringt er vor, die Mitarbeitenden der Beschwerdegegnerin 1 seien als Zeugen instrumentalisiert worden, um ihn in Misskredit zu bringen. Jedenfalls teilweise käme es somit in Betracht, ihn im Rahmen der Eintretensprüfung in Bezug auf den Tatvorwurf des Amtsmissbrauchs als geschädigte Person zu betrachten. Mit Blick auf die nachfolgenden Erwägungen (vgl. E. 5.2, ist darauf jedoch nicht weiter einzugehen).
1.3.3. Der Straftatbestand der ungetreuen Amtsführung (<ref-law>) dient dem Schutz öffentlicher Interessen, insbesondere des öffentlichen Vermögens. Geschädigt ist nur das betroffene Gemeinwesen (vgl. Urteile 6B_1318/2017 vom 9. Februar 2018 E. 7.2.4; 6B_602/2017 vom 28. November 2017 E. 2.2; 6B_761/2016 vom 16. Mai 2017 E. 3.4.1; MAZZUCHELLI/POSTIZZI, in: Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 85 zu <ref-law>). Insoweit ist der Beschwerdeführer daher von vornherein nicht Geschädigter im Sinne von <ref-law> (vgl. Urteil 6B_761/2016 vom 16. Mai 2017 E. 3.4.1). Dasselbe gilt hinsichtlich der geltend gemachten Begünstigung (<ref-law>). Dieser Straftatbestand schützt lediglich das Funktionieren der Strafrechtspflege, das heisst ein kollektives Rechtsgut, und keine individuellen Rechtsgüter (vgl. Urteile 6B_297/2018 vom 6. September 2018 E. 4.5.2; 6B_761/2016 vom 16. Mai 2017 E. 3.4.1; 1C_382/2012 vom 10. Oktober 2012 E. 2.6).
1.3.4. Dem Beschwerdeführer mangelt es somit jedenfalls hinsichtlich der Tatvorwürfe der ungetreuen Amtsführung und der Begünstigung an der Geschädigtenstellung im Sinne von <ref-law> und damit an der Beschwerdelegitimation. Bezüglich dieser Tatvorwürfe ist daher ebenfalls nicht auf die Beschwerde einzutreten.
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, welche die beschwerdeführende Person vorbringt und begründet (vgl. <ref-law>). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten namentlich, soweit die Verletzung von Grundrechten gerügt wird (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil weiter den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, deren Sachverhaltsfeststellung sei offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62), oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (Art. 42 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>).
3.
Das Ermächtigungserfordernis dient namentlich dem Zweck, Behördenmitglieder und Beamte vor mutwilliger Strafverfolgung zu schützen und damit das reibungslose Funktionieren staatlicher Organe sicherzustellen. Ein Strafverfahren soll erst durchgeführt werden können, wenn die zuständige Behörde vorher ihre Zustimmung erteilt hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 277). Beim Entscheid über die Erteilung der Ermächtigung dürfen - ausser bei obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden - nur strafrechtliche Gesichtspunkte berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 2.4 S. 277 f.). Nicht jeder behördliche Fehler begründet dabei die Pflicht zur Ermächtigungserteilung. Erforderlich ist vielmehr ein Mindestmass an Hinweisen auf ein strafrechtlich relevantes Verhalten; ein solches muss in minimaler Weise glaubhaft erscheinen (Urteile 1C_395/2018 vom 21. Mai 2019 E. 2; 1C_57/2018 vom 19. November 2018 E. 2.2; 1C_584/2017 vom 1. Juni 2018 E. 2). In Zweifelsfällen ist die Ermächtigung zu erteilen; es gilt der Grundsatz "in dubio pro duriore". Ist zum Zeitpunkt des Ermächtigungsentscheids die Sach- oder Rechtslage nicht von vornherein klar, darf die zuständige Behörde die Ermächtigung zur Strafverfolgung nicht mit der Begründung verweigern, es mangle an einem hinreichenden Tatverdacht (Urteile 1C_395/2018 vom 21. Mai 2019 E. 2; 1C_57/2018 vom 19. November 2018 E. 2.2; 1C_584/2017 vom 1. Juni 2018 E. 2).
4.
4.1. Der Beschwerdeführer rügt in formeller Hinsicht, die Vorinstanz habe sich im angefochtenen Entscheid nur vage zu den in der Strafanzeige vorgebrachten Verdachtsmomenten und nicht weiter zur Frage geäussert, inwiefern die Voraussetzungen für die Erteilung der Ermächtigung vorlägen. Damit habe sie ihre Begründungspflicht verletzt.
4.2. Im Ermächtigungsverfahren kommen die allgemeinen Verfahrensgrundsätze der BV und der EMRK zur Anwendung. Die Beteiligten haben daher insbesondere Anspruch auf rechtliches Gehör nach <ref-law> und damit auch darauf, dass der Entscheid über die Erteilung der Ermächtigung rechtsgenüglich begründet wird (<ref-ruling> E. 2.6 S. 278 mit Hinweisen). Die Vorinstanz ist auf die Tatvorwürfe des Beschwerdeführers eingegangen und hat sowohl die von diesem beanstandeten Vorbringen in der Rekursantwort der Reformierten Kirchgemeinde Opfikon als auch den Entzug des Zugangs zum Archiv der Kirchenpflege als strafrechtlich irrelevant beurteilt. Sie hat ausgeführt, die fraglichen Äusserungen begründeten insbesondere kein Ehrverletzungsdelikt. Es gehe nicht an, dass der Beschwerdeführer die Rekursgegnerschaft mittels Strafanzeigen daran hindere, ihren Standpunkt in der personalrechtlichen Auseinandersetzung zu vertreten und ihre diesbezügliche Sichtweise einzubringen (mit Verweis auf <ref-ruling> [recte: 211] E. 4a S. 213 ff.). Der Beschwerdeführer habe weiter keinen Anspruch auf Zugang zum Archiv. Ob der Entzug gewisser Aufgaben zulässig gewesen sei, sei eine rein personalrechtliche Frage, die im entsprechenden Rekursverfahren zu behandeln sei. Die Begründung der Vorinstanz ermöglichte dem Beschwerdeführer, sich über die Tragweite des angefochtenen Entscheids Rechenschaft zu geben und diesen in voller Kenntnis der Sache an das Bundesgericht weiterzuziehen. Die Vorinstanz hat die Begründungspflicht bzw. den Anspruch auf rechtliches Gehör des Beschwerdeführers daher nicht verletzt (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 70 f. mit Hinweisen).
5.
5.1. Der Beschwerdeführer rügt in materieller Hinsicht, die Staatsanwaltschaft habe den Sachverhalt unvollständig und aktenwidrig festgestellt. Die Vorinstanz habe auf diese Sachverhaltsfeststellung abgestellt und die Erteilung der Ermächtigung verweigert, obschon er mehrere, mindestens minimale Hinweise auf ein strafrechtlich relevantes Verhalten glaubhaft gemacht habe.
5.2. Die Vorinstanz hat, wie erwähnt, die vom Beschwerdeführer beanzeigten Sachverhalte als strafrechtlich irrelevant beurteilt. Dass diese Beurteilung auf einer aktenwidrigen oder sonst offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung beruhen würde (vgl. dazu vorne E. 2; <ref-ruling> E. 3.6.2 S. 287; <ref-ruling> E. 3.2.2 S. 296) oder entscheidrelevante Umstände bzw. Verdachtsmomente ausser Acht liesse (vgl. <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62), ergibt sich aus den Vorbringen des Beschwerdeführers nicht. Ebenso wenig geht daraus hervor, dass die Vorinstanz einen mit der Rechtsprechung nicht zu vereinbarenden strengen Massstab angewandt und trotz eines Mindestmasses an Hinweisen auf ein strafrechtlich relevantes Verhalten die Erteilung der Ermächtigung verweigert hätte. Der Beschwerdeführer äussert sich insbesondere nicht dazu, wieso die von ihm beanstandeten Äusserungen in der Rekursantwort der Reformierten Kirchgemeinde Opfikon trotz der von der Vorinstanz zitierten bundesgerichtlichen Rechtsprechung (vgl. vorne E. 4.2) ein Ehrverletzungsdelikt begründen sollten. Ebenso wenig ergibt sich aus seinen Vorbringen, dass der Entzug des Zugangs zum Archiv entgegen der Beurteilung der Vorinstanz strafrechtlich relevant wäre. Soweit in materieller Hinsicht auf die Beschwerde eingetreten werden kann, erweist sich diese demnach ungeachtet der Frage, inwieweit die entsprechenden Rügen den Begründungsanforderungen genügen, ebenfalls als unbegründet.
6.
Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Zwar stellt er für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Dieses ist jedoch abzuweisen, da sein Rechtsbegehren aussichtslos war (vgl. <ref-law>). Seiner finanziellen Lage ist bei der Festsetzung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind keine zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. November 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Baur