Sachverhalt:
A.
Der 1974 geborene C._ war bei der AXA Stiftung Berufliche Vorsorge, Winterthur (nachfolgend: Axa) für die berufliche Vorsorge versichert, als er im Dezember 2018 starb. Die Axa anerkannte, dass deshalb ein Todesfallkapital fällig geworden war, und zog als Leistungsansprecherinnen - alternativ - A._ als Schwester (und einzige Erbin) des Versicherten und B._ als dessen Lebensgefährtin in Betracht. Eine Einigung konnte nicht gefunden werden.
B.
Am 8. Januar 2020 liess A._ beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Klage gegen die Axa erheben mit folgenden Anträgen:
"1. Es sei festzustellen, dass die Klägerin einziges Geschwister ihres Bruders C._ sel. (...) ist und dementsprechend einzige Erbin in seiner Erbschaftssache.
2. Die Beklagte sei zu verpflichten, ihrer Informations- und Aufklärungspflicht aus dem Vertrag Nr. xxx gegenüber der Klägerin nachzukommen:
2.1 Insbesondere habe sie generell Akteneinsicht zu gewähren;
2.2 Überdies habe die Beklagte über eine allfällige Lebenspartnerin ihres verstorbenen Bruders als Berechtigte auf das Todesfallkapital Auskunft zu erteilen und mit entsprechenden Dokumenten zu belegen.
2.3 Die Beklagte habe mit der Klägerin aufgrund des Todesfalles von C._ sel. (...) über die anfallenden Leistungen aus dem Vertrag Nr. xxx abzurechnen.
2.4 Im Hinblick auf den Unterlassungsfall seien der Beklagten die Straffolgen nach <ref-law> anzudrohen sowie die Klägerin zu berechtigen, Zwangsmassnahmen anzuwenden und Dritte unter Beizug der Polizei auf ihre Kosten zu beauftragen, die Auskünfte und Informationen selber zu beschaffen.
3. Im Sinne vorsorglicher Massnahmen sei der Beklagten unter Androhung von Straffolgen im Sinne von <ref-law> zu verbieten, vor Rechtskraft des vorliegenden Verfahrens die Auszahlung aus dem Vertrag Nr. xxx an eine Drittperson vorzunehmen. Die vorsorgliche Massnahme sei ohne Anhörung der Beklagten superprovisorisch zu verfügen.
4. Die Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin nach Massgabe des Beweisergebnisses das ihr zustehende Guthaben auszuzahlen.
5. Der Klägerin sei das Nachklagerecht zu gewähren.
6. Eventuell habe die Beklagte der Klägerin den Betrag von Fr. 169'200.- nebst 5 % Zins seit 7. Dezember 2018 auszuzahlen.
7. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten der Beklagten."
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies den Antrag Ziff. 3 ab und lud B._ zum Verfahren bei. Sodann hinterlegte die Axa bei der Gerichtskasse Fr. 108'639.- als Todesfallkapital. Mit Replik vom 13. Oktober 2020 liess A._ am Klageantrag Ziff. 1 festhalten, während die Klageanträge Ziff. 2 bis 5 infolge Gegenstandslosigkeit abzuschreiben seien. Antrag Ziff. 6 liess sie wie folgt berichtigen: "Die Beklagte habe ihr den Betrag von Fr. 108'639.- nebst 5 % Zins seit 11. Januar 2019 auszuzahlen." Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die Klage mit Urteil (BV.2020.00001) vom 7. Juli 2021 ab, soweit es darauf eintrat (Dispositiv-Ziff. 1). Gleichzeitig wies es seine Gerichtskasse an, das bei ihr hinterlegte Todesfallkapital in der Höhe von Fr. 108'639.- nach Eintritt der Rechtskraft des Urteils an B._ herauszugeben (Dispositiv-Ziff. 2). Zudem sprach es dieser zu Lasten von A._ eine Parteientschädigung von Fr. 2'800.- zu (Dispositiv-Ziff. 3).
C.
A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, das Urteil (BV.2020.00001) vom 7. Juli 2021 sei aufzuheben und die Gerichtskasse des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich sei anzuweisen, ihr das hinterlegte Todesfallkapital von Fr. 108'639.- herauszugeben; eventuell sei die Sache im Sinne der Beschwerdebegründung zur Neubeurteilung an das Sozialversicherungsgericht zurückzuweisen. Ferner sei ihrer Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Sodann reicht ihr Rechtsvertreter eine Kostennote ein.
Die Axa anerkennt zwar "nach wie vor", dass ein Todesfallkapital zur Auszahlung gelange, schliesst aber sinngemäss auf Abweisung der Beschwerde, indem sie (ohne einen formellen Antrag zu stellen) das angefochtene Urteil verteidigt. B._ beantragt die Abweisung des Rechtsmittels. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Nach Art. 20a Abs. 1 BVG kann die Vorsorgeeinrichtung in ihrem Reglement neben den Anspruchsberechtigten nach den Art. 19 (überlebender Ehegatte), 19a (überlebende eingetragene Partnerin oder überlebender eingetragener Partner) und 20 (Waisen) folgende begünstigte Personen für die Hinterlassenenleistungen vorsehen:
(a.) natürliche Personen, die vom Versicherten in erheblichem Masse unterstützt worden sind, oder die Person, die mit diesem in den letzten fünf Jahren bis zu seinem Tod ununterbrochen eine Lebensgemeinschaft geführt hat oder die für den Unterhalt eines oder mehrerer gemeinsamer Kinder aufkommen muss;
(b.) beim Fehlen von begünstigten Personen nach Buchstabe a: die Kinder des Verstorbenen, welche die Voraussetzungen nach Art. 20 nicht erfüllen, die Eltern oder die Geschwister;
(c.) beim Fehlen von begünstigten Personen nach den Buchstaben a und b: die übrigen gesetzlichen Erben, unter Ausschluss des Gemeinwesens.
Eine Vorsorgeeinrichtung muss nicht alle der in Art. 20a Abs. 1 lit. a BVG aufgezählten Personen begünstigen und kann den Kreis der Anspruchsberechtigten enger fassen als im Gesetz umschrieben. Insbesondere ist sie befugt, von einem restriktiveren Begriff der Lebensgemeinschaft auszugehen. Denn die Begünstigung der in Art. 20a Abs. 1 BVG genannten Personen gehört zur weitergehenden bzw. überobligatorischen beruflichen Vorsorge (Art. 49 Abs. 2 Ziff. 3 BVG und <ref-law>). Die Vorsorgeeinrichtungen sind somit frei zu bestimmen, ob sie überhaupt und für welche dieser Personen sie Hinterlassenenleistungen vorsehen wollen. Zwingend zu beachten sind lediglich die in lit. a-c von Art. 20a Abs. 1 BVG aufgeführten Personenkategorien und die Kaskadenfolge. Umso mehr muss es den Vorsorgeeinrichtungen daher grundsätzlich erlaubt sein, etwa aus Gründen der Rechtssicherheit (Beweis anspruchsbegründender Umstände) oder auch im Hinblick auf die Finanzierbarkeit der Leistungen, den Kreis der zu begünstigenden Personen enger zu fassen als im Gesetz umschrieben (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 3.2; je mit Hinweisen).
2.2. Laut Ziff. 29.1 des hier massgebenden, am 1. Januar 2017 in Kraft getretenen Vorsorgereglements für die BVG-Basisvorsorge der Axa (nachfolgend: Reglement) entsteht der Anspruch auf das Todesfallkapital, wenn die versicherte Person vor dem Erreichen des Rentenalters gemäss Ziff. 7 stirbt. Die Höhe des Todesfallkapitals ist im Vorsorgeplan festgehalten (Ziff. 29.2 Reglement). Ziff. 29.3 Reglement lässt sich folgende Begünstigungsordnung entnehmen:
a) der Ehegatte der versicherten Person; bei dessen Fehlen:
b) die rentenberechtigten Kinder gemäss Ziff. 50; bei deren Fehlen:
c) die natürlichen Personen, die von der verstorbenen Person in erheblichem Masse unterstützt worden sind, und die Person, die mit der versicherten Person eine Lebensgemeinschaft gemäss Ziff. 27.3 a) -c) geführt hat; keinen Anspruch auf das Todesfallkapital haben Personen, die bereits eine Ehegattenrente oder eine Lebenspartnerrente aus einer in- oder ausländischen Vorsorgeeinrichtung beziehen; bei deren Fehlen:
d) die Kinder der versicherten Person, welche nicht gemäss Ziff. 50 rentenberechtigt sind; bei deren Fehlen:
e) die Eltern der versicherten Person; bei deren Fehlen:
f) die Geschwister der versicherten Person (Abs. 1).
Sind keine der unter a) bis f) erwähnten Personen vorhanden, wird das halbe Todesfallkapital an die übrigen gesetzlichen Erben, unter Ausschluss des Gemeinwesens, ausgerichtet (Abs. 2).
Ziff. 27.3 Reglement enthält folgende Vorgaben: Eine anspruchsbegründende Lebenspartnerschaft liegt vor, wenn im Zeitpunkt des Todes
a) beide Lebenspartner unverheiratet und nicht miteinander verwandt sind und
b) sie nicht im Sinne des Bundesgesetzes über die eingetragene Partnerschaft gleichgeschlechtlicher Paare eingetragen sind und
c) beide Lebenspartner in den letzten fünf Jahren bis zum Tod der versicherten Person ununterbrochen eine Lebensgemeinschaft im gemeinsamen Haushalt geführt haben oder der hinterbliebene Lebenspartner von der versicherten Person in erheblichem Masse unterstützt worden ist oder der hinterbliebene Lebenspartner für den Unterhalt eines oder mehrerer gemeinsamer Kinder aufkommen muss (Abs. 1).
Das Vorliegen einer anspruchsbegründenden Lebenspartnerschaft ist mittels einer schriftlichen, von beiden Lebenspartnern unterzeichneten Bestätigung festzuhalten und der Stiftung zu melden (Abs. 2).
3.
Die Vorinstanz hat erkannt, dass die Beschwerdeführerin im Zusammenhang mit der Berichtigung des Klageantrags Ziff. 6 die Verzinsung weiterhin ab dem 7. Dezember 2018 und nicht erst ab dem 11. Januar 2019 verlangt hatte. Auf den Klageantrag Ziff. 1 ist sie mangels Zuständigkeit nicht eingetreten.
Sodann hat sie erwogen, dass die Meldung einer Lebenspartnerschaft im Sinne von Ziff. 27.3 Abs. 2 Reglement nicht aktenkundig sei. Dieser Umstand sei aber mit Blick auf Ziff. 29.3 Abs. 1 lit. c Reglement unerheblich, insbesondere weil die letztgenannte Bestimmung nicht auf Abs. 2 der Ziff. 27.3 Reglement verweise und auch sonst keine solche Meldung voraussetze. Weiter hat sie die Voraussetzungen von Ziff. 27.3 Abs. 1 lit. a und b Reglement bejaht und jene der lit. c (einzig) unter dem Aspekt der mindestens fünf Jahre dauernden Lebensgemeinschaft im gemeinsamen Haushalt näher geprüft.
Dazu hat das kantonale Gericht festgestellt, der verstorbene Versicherte und B._ seien seit dem Sommer 2010 Lebenspartner gewesen, die sich gegenseitig beigestanden und unterstützt hätten. Damit hat es eine mindestens fünf Jahre bis zum Tod des Versicherten dauernde ununterbrochene Lebensgemeinschaft (im Sinne von Art. 20a Abs. 1 lit. a BVG) bejaht.
Das Erfordernis eines gemeinsamen Haushalts hat die Vorinstanz für grundsätzlich zulässig gehalten. Diesbezüglich hat sie erwogen, es sei massgebend, dass die Lebenspartner den manifesten Willen hätten, ihre Lebensgemeinschaft, soweit es die Umstände ermöglichten, als ungeteilte Wohngemeinschaft im selben Haushalt zu leben. Während der Zeit ihrer Partnerschaft habe der Versicherte seinen Wohnsitz in U._ und seine Partnerin den ihren in V._ gehabt. Der Versicherte habe in W._ (als Informatiker) und seine Partnerin in X._ als Anwaltssekretärin gearbeitet. Der Versicherte habe ab 2011 eine Stelle im Raum Oberwallis/Bern gesucht, weil er mit seiner Partnerin habe zusammenziehen wollen. Die Stellensuche sei aber ebenso erfolglos geblieben wie der 2014 unternommene Versuch, in V._ eine Wohnung zu erwerben. Das Pendeln zwischen einem gemeinsamen Wohnort (in U._ resp. V._) und dem jeweiligen Arbeitsort hätte pro Weg jeweils rund 2,75 Stunden beansprucht, was offensichtlich zu zeitaufwendig gewesen wäre. Weil beide Lebenspartner ihre Arbeitsstellen (in W._ resp. X._) behalten mussten oder wollten, hätten sie weiterhin in U._ resp. V._ gewohnt. Damit habe ein sachlicher Grund für die verschiedenen Wohnsitze während der Arbeitstage vorgelegen. Ein gemeinsamer Haushalt sei aber dennoch zu bejahen, weil der Versicherte die Wochenenden jeweils bei seiner Lebenspartnerin verbracht habe. Damit stehe fest, dass B._ mit dem Versicherten in den letzten fünf Jahren vor dessen Tod eine ununterbrochene Lebensgemeinschaft (auch) im Sinne von Ziff. 29.3 Abs. 1 lit. c Reglement geführt habe. Dementsprechend hat das kantonale Gericht einen Anspruch der Beschwerdeführerin aus beruflicher Vorsorge verneint.
Schliesslich hat die Vorinstanz - entsprechend dem Ausgang des Verfahrens - nicht der Beschwerdeführerin, wohl aber B._ eine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
4.1. Es steht fest, dass ein Anspruch der B._ einen solchen der Beschwerdeführerin ausschliesst. Es handelt sich somit (in der Hauptsache) um einen Prätendentenstreit. Die beiden Prätendentinnen stehen sich in gleicher Konstellation im (Parallel-) Verfahren 9C_473/2021 betreffend ein Todesfallkapital aus einer gebundenen Vorsorgeversicherung der Säule 3a gegenüber.
4.2. Die Auslegung des Reglements einer privatrechtlichen Vorsorgeeinrichtung als vorformulierter Inhalt des Vorsorgevertrages geschieht nach dem Vertrauensprinzip. Dabei sind jedoch die den Allgemeinen Versicherungsbedingungen innewohnenden Besonderheiten zu beachten, namentlich die sogenannten Unklarheits- und Ungewöhnlichkeitsregeln. Nach diesen Auslegungsgrundsätzen gilt es, ausgehend vom Wortlaut und unter Berücksichtigung des Zusammenhanges, in dem eine streitige Bestimmung innerhalb des Reglements als Ganzes steht, den objektiven Vertragswillen zu ermitteln, den die Parteien mutmasslich hatten. Dabei hat das Gericht zu berücksichtigen, was sachgerecht ist, weil nicht angenommen werden kann, dass die Parteien eine unvernünftige Lösung wollten (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.2).
4.3.
4.3.1. Die Beschwerdeführerin macht mit Blick auf die fehlende Meldung einer Lebenspartnerschaft geltend, die Vorinstanz habe bei ihrer Auslegung von Ziff. 29.3 Abs. 1 lit. c Reglement das "Merkblatt Todesfallkapital" nicht beachtet. Das sei willkürlich (<ref-law>) und verletze Art. 73 Abs. 2 BVG sowie <ref-law>. Soweit sie unabhängig von <ref-law> eine Verletzung von § 23 Abs. 1 des zürcherischen Gesetzes vom 7. März 1993 über das Sozialversicherungsgericht [GSVGer; ZH-Lex 212.81] geltend macht, ist darauf nicht einzugehen (vgl. <ref-law>; <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 1.2).
4.3.2. Bei der Auslegung von Ziff. 29.3 Abs. 1 lit. c Reglement hat das kantonale Gericht nicht nur dessen Wortlaut, sondern auch dem Unterschied zwischen den Ansprüchen der überlebenden Lebenspartnerin auf eine Rente (Ziff. 27 Reglement) resp. auf das Todesfallkapital (Ziff. 29 Reglement), der unterschiedliche Formvorschriften rechtfertige, Rechnung getragen. Die Beschwerdeführerin geht auf diese - grundsätzlich lege artis erfolgte (vgl. vorangehende E. 4.2) - Ermittlung des objektiven Vertragswillens mit keinem Wort ein, sondern verweist nur auf das nicht datierte "Merkblatt Todesfallkapital (Auszug aus dem Vorsorgereglement) ", das die Axa ihr am 4. Januar 2018 zur Information zugestellt hatte. Es leuchtet indessen nicht ein, weshalb das genannte Merkblatt eine Vertrauensgrundlage zwischen den Vertragspartnern (Axa und Versicherter) gebildet haben soll. Ebenso wenig erhellt, inwiefern die im Merkblatt enthaltene blosse Wiedergabe von Ziff. 27.3 Abs. 2 Reglement auf eine rechtswidrige Auslegung der massgeblichen Reglementsbestimmung durch die Vorinstanz schliessen lassen soll. Das kantonale Gericht hat somit kein Recht verletzt, indem es die Meldung der Lebenspartnerschaft nicht als Voraussetzung für einen Anspruch als Lebenspartnerin betrachtet hat.
4.4. Weiter bestreitet die Beschwerdeführerin das Vorliegen einer Lebensgemeinschaft im Sinne von Art. 20a Abs. 1 lit. a BVG. Im Zusammenhang mit den diesbezüglichen Feststellungen rügt sie Willkür (<ref-law>) sowie eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör und des Untersuchungsgrundsatzes (<ref-law>; Art. 73 Abs. 2 BVG).
Diese (auf weiten Strecken appellatorische) Argumentation ist im Wesentlichen identisch mit jener, die das Bundesgericht in E. 4.3 des Urteils 9C_473/2021 vom heutigen Tag entkräftet hat. Darauf wird verwiesen. Die vorinstanzlichen Feststellungen betreffend die Lebensgemeinschaft (im Sinne von Art. 20a Abs. 1 lit. a BVG) bleiben für das Bundesgericht verbindlich.
4.5.
4.5.1. Sodann stellt die Beschwerdeführerin in Abrede, dass die Lebensgemeinschaft im gemeinsamen Haushalt geführt worden sei. Die Vorinstanz habe bei der Auslegung resp. Anwendung dieses Begriffs Ziff. 27.3 Abs. 1 lit. c Reglement und damit <ref-law> verletzt. Ein gemeinsamer Haushalt setze mehr voraus als nur regelmässige Besuche am Wochenende.
4.5.2. Der Wortlaut der hier massgeblichen reglementarischen Voraussetzungen für einen Leistungsanspruch als Lebenspartnerin ist enger gefasst als jener der Anforderungen gemäss Art. 20a Abs. 1 lit. a BVG oder Art. 2 Abs. 1 lit. b Ziff. 2 der Verordnung vom 13. November 1985 über die steuerliche Abzugsberechtigung für Beiträge an anerkannte Vorsorgeformen (BVV 3; SR 831.461.3). Er ist insoweit klar und unbestritten, als - über die "blosse" Lebensgemeinschaft im Sinne von Art. 20 Abs. 1 lit. a BVG hinaus - die Lebensgemeinschaft im gemeinsamen Haushalt geführt worden sein muss. Dies stellt eine zulässige weitere Voraussetzung für den Anspruch der Lebenspartnerin auf das Todesfallkapital dar (vgl. vorangehende E. 2.1).
4.5.3. Unter dem Titel des gemeinsamen Haushalts kann nicht eine ständige ungeteilte Wohngemeinschaft an einem festen Wohnort verlangt werden. Ein solches Verständnis trüge den gewandelten gesellschaftlichen Verhältnissen und wirtschaftlichen Gegebenheiten nicht Rechnung. Oft können Lebenspartner aus beruflichen, gesundheitlichen oder anderen schützenswerten Gründen nicht die ganze Zeit, sondern beispielsweise nur während eines Teils der Woche zusammenwohnen. Massgebend muss sein, dass die Lebenspartner den manifesten Willen haben, ihre Lebensgemeinschaft, soweit es die Umstände ermöglichen, als ungeteilte Wohngemeinschaft im selben Haushalt zu leben (BGE <ref-ruling> E. 3.3). Der Begriff des gemeinsamen Haushalts ist zeitgemäss weit zu verstehen. Der auf rein praktischen Gründen beruhende Umstand des getrennten Wohnsitzes schliesst indessen eine gemeinsame Haushaltung aus; vielmehr sind besondere Umstände erforderlich, die einen gemeinsamen Wohnsitz (erheblich) erschweren oder verunmöglichen (<ref-ruling> E. 5.1, 5.1.2 und 5.1.3).
Die Frage nach einem ununterbrochen während fünf Jahren geführten gemeinsamen Haushalt ist eine Tatfrage. Diesbezügliche Feststellungen der Vorinstanz sind für das Bundesgericht somit grundsätzlich verbindlich. Dagegen ist frei überprüfbare Rechtsfrage, ob die Vorinstanz von einem richtigen Verständnis des reglementarischen Begriffs "gemeinsamer Haushalt" ausgegangen ist (vgl. BGE <ref-ruling> E. 5.1).
4.5.4. Die vorinstanzliche Feststellung, wonach der Versicherte seit Sommer 2010 bis zu seinem Tod im Dezember 2018 die Wochenenden jeweils bei seiner Lebenspartnerin verbracht habe, bleibt für das Bundesgericht verbindlich (vgl. vorangehende E. 1). Gleiches gilt für die Feststellungen betreffend die jeweiligen beruflichen Umstände der beiden Lebenspartner.
Damit steht fest, dass das Getrenntleben während der Arbeitstage beruflichen - mithin nicht lediglich rein praktischen - Gründen geschuldet war. Soweit es die Umstände ermöglichten, wurde die Lebensgemeinschaft als ungeteilte Wohngemeinschaft im gleichen Haushalt gelebt. Auch wenn sich dies auf Wochenenden und Ferien beschränkte, ist das Erfordernis des gemeinsamen Haushalts erfüllt. Die Beschwerdeführerin bringt denn auch nicht vor, weshalb die konkreten beruflichen Gegebenheiten keine schützenswerten Gründe für das Getrenntleben darstellen sollten, oder warum die (in E. 4.5.3) dargelegte Rechtsprechung geändert werden müsste (vgl. zu den Voraussetzungen einer Praxisänderung <ref-ruling> E. 4.4; <ref-ruling> E. 5.5.1).
4.6. Nach dem Gesagten hat das kantonale Gericht zu Recht einen Anspruch der Beschwerdeführerin auf das Todesfallkapital verneint.
4.7.
4.7.1. Schliesslich macht die Beschwerdeführerin geltend, die Vorinstanz hätte ihr trotz Abweisung der Klage eine Parteientschädigung entrichten müssen. Sie habe gar keine andere Wahl gehabt als zu klagen, um Akteneinsicht zu erhalten. Die gegenteilige Auffassung des kantonalen Gerichts verletze allgemeine Verfahrensgrundsätze, Art. 73 BVG und kantonale Vorschriften, was vor <ref-law> nicht standhalte.
4.7.2. Im Verfahren nach Art. 73 BVG besteht kein bundesrechtlicher Anspruch auf Parteientschädigung, weshalb sowohl die Voraussetzungen als auch die Bemessung der Parteientschädigung ausschliesslich dem kantonalen Recht überlassen sind. Damit hat sich das Bundesgericht grundsätzlich nicht zu befassen. Es darf die Zusprechung respektive Nichtzusprechung und die Höhe einer Parteientschädigung für das vorinstanzliche Verfahren nur daraufhin überprüfen, ob die Anwendung der einschlägigen kantonalen Bestimmungen zu einer Verletzung von Bundesrecht geführt hat (<ref-law>; E. 1). Dabei fällt praktisch nur das Willkürverbot von <ref-law> in Betracht (SVR 2020 BVG Nr. 32 S. 133, 9C_804/2019 E. 9.1; Urteil 9C_89/2021 vom 18. November 2021 E. 1.2).
4.7.3. In diesem Zusammenhang hat die Vorinstanz festgestellt, die Beschwerdeführerin habe wissen müssen, wer die Lebenspartnerin des verstorbenen Versicherten resp. ihre Mitprätendentin auf das Todesfallkapital gewesen sei. Im Übrigen sei nicht ersichtlich, welche anderen Auskünfte ihr die Axa vorenthalten haben soll. Auf diese Feststellungen geht die Beschwerdeführerin nicht ein; sie bleiben für das Bundesgericht verbindlich (vgl. vorangehende E. 1).
Angesichts dieser Gegebenheiten und der Klageabweisung kann von Willkür - soweit die entsprechende Rüge überhaupt genügend substanziiert ist (vgl. <ref-law>) - keine Rede sein, wenn die Vorinstanz der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung verweigert hat. Die Beschwerde ist auch in diesem Punkt unbegründet.
5.
Abgesehen davon, dass Dispositiv-Ziff. 1 des angefochtenen Urteils der beantragten aufschiebenden Wirkung ohnehin nicht zugänglich ist (vgl. JOHANNA DORMANN, Aufschiebende Wirkung des Rechtsmittels in sozialversicherungsrechtlichen Verfahren, SZS 2019 S. 249 f.), wird das entsprechende Gesuch mit diesem Urteil gegenstandslos.
6.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerde führerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Anders als die Axa (<ref-law>) hat B._ Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>; Urteil 9C_874/2007 vom 20. August 2008 E. 8, nicht publ. in: <ref-ruling>; zum entsprechenden Ermessen vgl. Urteile 5A_723/2012 vom 21. November 2012 E. 5.3.5; 5A_195/2012 vom 21. Juni 2012 E. 5.3).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat B._ für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, B._, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 21. Februar 2022
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Dormann