Sachverhalt:
A.
A.a. C.C._ sel. (verstorben 1992) und D.C._ sel. (verstorben 1999) waren die Eltern der fünf gemeinsamen Kinder E.C._, F.C._, G.C._, H.C._ und I._. G.C._ und H.C._ sind nachverstorben. Im Nachlass des G.C._ amtet A._ als Willensvollstrecker.
A.b. Am 23. August 2001 ordnete die zuständige Teilungsbehörde für die Erbengemeinschaften C.C._ und D.C._ eine Erbenvertretung an. Seither wurden drei Erbenvertreter eingesetzt, zuletzt die B._ AG (Verfügung der Teilungsbehörde vom 5. Mai 2011; Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern vom 27. Februar 2012).
A.c. Mit Gesuch vom 2. September 2016 erhob A._ bei der zuständigen Teilungsbehörde Aufsichtsbeschwerde und beantragte, die B._ AG als Erbenvertreterin in den beiden Nachlässen abzusetzen und diese dazu anzuhalten, über sämtliche Tätigkeiten Auskunft zu erteilen, namentlich mit Bezug auf deren Honorarrechnungen. Die Teilungsbehörde wies die Aufsichtsbeschwerde mit Entscheid vom 24. November 2016 ab.
B.
Die von A._ dagegen beim Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern ergriffene Verwaltungsbeschwerde blieb erfolglos (Entscheid vom 20. April 2017), ebenso wie der Weiterzug an das Obergericht des Kantons Luzern (Urteil vom 16. November 2017).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 22. Dezember 2017 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht, dem er beantragt, die B._ AG (Beschwerdegegnerin) als Erbenvertreterin abzusetzen und die Sache im Übrigen an die Teilungsbehörde zurückzuweisen, damit diese die nachgesuchten Auskünfte einhole und die Tätigkeit der Erbenvertreterin gesamthaft prüfe, namentlich die Richtigkeit der bisherigen Honorarrechnungen; alles unter Kosten- und Entschädigungsfolge zulasten der Teilungsbehörde, eventuell zulasten der B._ AG.

Erwägungen:
1.
1.1. Rechtzeitig (<ref-law>) angefochten ist der kantonal letztinstanzliche Entscheid in einer Angelegenheit betreffend Aufsicht über den Erbenvertreter (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 5 und <ref-law>), welche grundsätzlich vermögensrechtlicher Natur ist, so dass ein Mindeststreitwert von Fr. 30'000.-- vorliegen muss (<ref-law>; Urteile 5A_395/2010 vom 22. Oktober 2010 E. 1.2; 5A_794/2011 vom 16. Februar 2012 E. 1). Im angefochtenen Entscheid gibt das Kantonsgericht mit Blick auf die streitigen Honorare den Streitwert als Fr. 30'000.-- übersteigend an; es besteht kein Anlass, von etwas anderem auszugehen.
1.2.
1.2.1. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts ist der Willensvollstrecker in Prozessen um Aktiven und Passiven der Erbschaft Partei, soweit ihm gemäss <ref-law> die Verwaltung der betreffenden Erbschaftswerte zusteht (<ref-ruling> E. 3a mit Hinweisen); er ist befugt, Prozesse selbständig in eigenem Namen, aber auf Rechnung des Nachlasses zu führen. Dies gilt auch für vermögensrechtliche Streitigkeiten innerhalb einer Erbengemeinschaft, wenn der Willensvollstrecker für Erbeserben handelt. Der Beschwerdeführer ist folglich berechtigt, im eigenen Namen die Interessen des Nachlasses G.C._ geltend zu machen.
1.2.2. Die Einsetzung einer Erbenvertretung erfolgt mit Wirkung für die Erbengemeinschaft (Urteil 5D_133/2010 vom 12. Januar 2011 E. 1.4; allgemein: <ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 2.1). Dasselbe gilt auch für die Absetzung der Erbenvertretung. Grundsätzlich sind daher alle Miterben in das (Absetzungs-) Verfahren einzubeziehen. Indessen hat das Kantonsgericht sämtliche an den Nachlässen des C.C._ und der D.C._ berechtigten Erben über das hängige Verfahren informiert und diese angefragt, ob sie sich als Partei beteiligen möchten. Keiner hat von dieser Möglichkeit Gebrauch gemacht (Sachverhalt C des angefochtenen Entscheids). Wer vor der Vorinstanz des Bundesgerichts keine Anträge gestellt hat, ist nicht zur Beschwerde berechtigt (<ref-ruling> E. 1.1; Urteil 4A_387/2012 vom 9. Oktober 2012 E. 4) und kann auch als Beschwerdegegner keine Anträge mehr stellen. Folglich ist vorliegend nicht zu beanstanden, dass der Beschwerdeführer lediglich die Erbenvertreterin ins Recht gefasst hat.
1.3. Weil schon die Einsetzung eines Erbenvertreters eine vorsorgliche Massnahme gemäss <ref-law> ist (Urteil 5A_781/2017 vom 20. Dezember 2017 E. 1.1 mit Hinweisen), gilt dies auch für Entscheide im Zusammenhang mit diesem Amt (vgl. Urteil 5D_65/2014 vom 9. September 2014 E. 1 mit Hinweis). Gerügt werden kann deshalb einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte (vgl. <ref-law>). Für die Geltendmachung der Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Das bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.2 mit Hinweis). Der Beschwerdeführer muss anhand der Subsumtion im Einzelnen darlegen, inwiefern das kantonale Gericht verfassungswidrig entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 mit Hinweis). Der Beschwerdeführer übersieht diese gesetzlichen Vorgaben, indem er auch die Verletzung von Bundesrecht geltend macht. Das Bundesgericht prüft die Beschwerde nachfolgend nur, insofern verfassungsmässige Rechte angerufen werden.
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Neu im Sinne dieser Bestimmung sind Tatsachen und Beweismittel, die weder im vorangegangenen Verfahren vorgebracht noch von der Vorinstanz festgestellt worden sind. Eine Tatsache, die sich aus den vorinstanzlichen Akten ergibt, ist nicht neu (<ref-ruling> E. 3.3.1). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Voraussetzung für eine nachträgliche Einreichung von Tatsachen und Beweismitteln erfüllt sein soll (<ref-ruling> E. 3).
Der Beschwerdeführer macht neue Tatsachen geltend und legt neue Beweismittel vor. Er macht Ausführungen zu einem Fragebogen, den die Erbenvertreterin jährlich zuzustellen habe und legt dazu drei Beweismittel ins Recht. Dabei handelt es sich um neue Vorbringen im Sinne von <ref-law>; sie bleiben unberücksichtigt.
1.5. Beruht das angefochtene Urteil auf zwei oder mehreren voneinander unabhängigen, den Entscheid tragenden Begründungen, müssen unter Nichteintretensfolge alle Begründungslinien angefochten werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.4 mit Hinweisen), denn der Beschwerdeführer hat keinen Anspruch auf Beurteilung einer Rechtsfrage, die sich nicht auf das Ergebnis auswirkt; es fehlt diesfalls das schützenswerte Interesse an der Beschwerde (<ref-law>). Dies gilt nicht nur, wenn die mehreren Begründungen ausschliesslich Prozessvoraussetzungen (vgl. Urteil 2P.114/2000 vom 24. Juli 2000 E. 2c/cc) oder ausschliesslich materiellrechtliche Grundlagen beschlagen, sondern auch, wenn die Vorinstanz formell nicht auf das Rechtsmittel eintritt, aber im Sinne einer Eventualerwägung begründet, weshalb das Rechtsmittel unbegründet wäre, wenn darauf eingetreten werden könnte (<ref-ruling> E. 2). Tritt die Vorinstanz indes - trotz Bedenken bezüglich der Eintretensvoraussetzungen - auf ein Rechtsmittel ein, braucht sich der Beschwerdeführer im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren nicht mit diesen Bedenken zu befassen (Urteil 5A_698/2017 vom 7. März 2018 E. 1.2).
1.6. Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens ist das Urteil des Kantonsgerichts Luzern vom 16. November 2017 (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.2 S. 156 mit Hinweis). Soweit der Beschwerdeführer den Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements des Kantons Luzern vom 20. April 2017 beanstandet (Ziff. I/2.1 der Beschwerde), ist darauf nicht einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer meldet an, offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz zu rügen (Ziff. I/6 der Beschwerde).
Eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt in Verfahren nach <ref-law> nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat. Wird Letzteres geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese verfassungswidrig, insbesondere willkürlich (<ref-law>), namentlich offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, auf einem offenkundigen Versehen beruhe oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lasse (<ref-ruling> E. 4.1 mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer erklärt, dass sich die Erbenvertreterin um die Ablösung von Schuldbriefen habe kümmern müssen, sei sachverhaltswidrig (Ziff. II/6.2 der Beschwerde). Mit seinen Beanstandungen beschränkt sich der Beschwerdeführer darauf, seine eigene Sicht der Dinge darzulegen, und das Gegenteil davon als falsch zu qualifizieren. Damit kommt er den spezifischen Begründungsanforderungen nicht nach.
3.
Sodann erachtet der Beschwerdeführer die aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör fliessende Begründungspflicht als verletzt; das Kantonsgericht habe völlig pauschal und willkürlich die Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör durch das Justiz- und Sicherheitsdepartement verneint (Ziff. II/4.4 der Beschwerde).
Der Anspruch auf rechtliches Gehör verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.2 mit Hinweisen).
Diesen Voraussetzungen genügt das angefochtene Urteil ohne Zweifel; namentlich hat das Kantonsgericht dargelegt, weshalb der gegenüber den beiden kantonalen Vorinstanzen erhobene Vorwurf der Verletzung des rechtlichen Gehörs nicht zutrifft. In der Tat zielen die Ausführungen des Beschwerdeführers nicht auf die fehlende, sondern eine falsche Begründung, mithin auf die unrichtige Rechtsanwendung, was aber nichts mit einer Verletzung der Begründungspflicht zu tun hat. Darauf ist nicht einzutreten.
4.
Ausserdem rügt der Beschwerdeführer die Verletzung seines Rechts auf Beweis (Ziff. II/4.7 der Beschwerde).
Das verfassungsmässige Recht auf Beweis ergibt sich aus <ref-law> (<ref-ruling> E. 3.2 mit Hinweisen). Danach hat die beweispflichtige Partei einen verfassungsrechtlichen Anspruch darauf, für rechtserhebliche bestrittene Vorbringen zum Beweis zugelassen zu werden, wenn ihr Beweisantrag nach Form und Inhalt den Vorschriften des anwendbaren Prozessrechts entspricht. Beweise zu nicht rechtserheblichen Tatsachenbehauptungen ebenso wie solche, die als solche ungeeignet sind, die Tatsachenbehauptung zu beweisen, brauchen vom Gericht nicht abgenommen zu werden.
Der Beschwerdeführer begründet seinen Vorwurf damit, er habe in den vorinstanzlichen Verfahren jeweils die Befragung von I._ beantragt, diesem Antrag sei aber keine Folge gegeben worden.
Die Vorinstanz ist auf diese Rüge nicht eingetreten, weil sich der Beschwerdeführer nicht mit der Erwägung des Justiz- und Sicherheitsdepartements des Kantons Luzern (wonach der Antrag gestellt wurde, weil die Zeugin den Erbschaftsverlauf besser kenne, dieser indes für die Beurteilung der Beschwerde genügend klar sei und daher auf die beantragte Zeugeneinvernahme verzichtet werden könne) auseinandergesetzt habe. Im Übrigen habe das Justiz- und Sicherheitsdepartement zu Recht auf die Befragung der Miterbin verzichtet, denn ihre Befragung hätte am Ausgang des Verfahrens nichts geändert.
Auch im Verfahren vor Bundesgericht setzt sich der Beschwerdeführer nicht klar und detailliert mit den Erwägungen der Vorinstanz auseinander. Namentlich äussert er sich mit keinem Wort zur vorinstanzlichen Erkenntnis, mangels rechtsgenüglicher Begründung sei gar nicht auf die Rüge einzutreten. Damit tritt auch das Bundesgericht nicht auf diese Rüge ein (E. 1.5).
5.
In der Sache will der Beschwerdeführer die Beschwerdegegnerin abgesetzt sehen, weil sie überhöhte Honorarrechnungen stelle; zum einen würden diesen übersetzte Stundenansätze zu Grunde gelegt und zum anderen überhaupt Aufwendungen verrechnet, die nichts mit dem Vertretungsmandat zu tun hätten, in casu die Ablösung von Schuldbriefen. Der Vorwurf an die kantonalen Instanzen lautet dahin, die Tätigkeit der Beschwerdegegnerin materiell nicht geprüft zu haben.
Das Kantonsgericht erwog in diesem Zusammenhang, die Aufsicht beschränke sich auf eine Überprüfung der formellen Korrektheit und Vertretbarkeit der Handlungen des Erbenvertreters; materielle Rechtsfragen seien demgegenüber durch das ordentliche Gericht zu entscheiden (E. 3.1 des angefochtenen Entscheids). Was die Entschädigung des Erbenvertreters angehe, könne sich die Aufsichtsbehörde nur mit der Art und Weise der Abrechnung, nicht aber zur Entschädigung als solche äussern. Vorliegend habe die Beschwerdegegnerin periodisch, unter Angabe der Daten, der verrichteten Tätigkeiten, der aufgewendeten Zeit, des Stundenansatzes, des in Rechnung gestellten Betrages, der eingesetzten Mitarbeiter und der Barauslagen in jeder Hinsicht nachvollziehbar abgerechnet (E. 3.6 des angefochtenen Entscheids).
Auch zu diesem Fragenkomplex beschränkt sich der Beschwerdeführer darauf, die hiervor geschilderte Beschränkung der Überprüfungsbefugnis der Aufsichtsbehörden zu bestreiten und eine materielle Prüfung der Tätigkeiten der Erbenvertreterin zu fordern (namentlich die Frage, ob die Ablösung von Schuldbriefen "korrekt und vertretbar" gewesen sei), ohne aufzuzeigen, inwiefern die vorinstanzliche Auslegung bzw. Anwendung des Rechts verfassungswidrig sein soll (E. 1.3).
6.
Aus den dargelegten Gründen kann auf die Beschwerde insgesamt nicht eingetreten werden. Der Beschwerdeführer unterliegt und wird kosten- (<ref-law>), nicht aber entschädigungspflichtig, zumal der Beschwerdegegnerin kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Teilungsbehörde der Gemeinde U._, dem Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. März 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Gutzwiller