Faits :
A.
A.a. Le 6 septembre 2004, A._, ressortissant français né en 1970, est entré en Suisse. Ayant conclu un contrat de travail en tant que vendeur à plein temps avec une entreprise installée dans la région de Montreux, il a été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour UE/AELE d'une durée de cinq ans, valable jusqu'au 30 septembre 2009, dans le but d'exercer une activité lucrative.
A.b. En date du 29 août 2009, A._ a demandé au Service de la population de l'Etat de Vaud (ci-après: le Service cantonal) de prolonger son autorisation de séjour, indiquant qu'il était à la recherche d'un emploi.
Le 22 décembre 2009, le Service cantonal a prolongé l'autorisation de séjour de A._ pour une durée d'une année, l'avisant que s'il ne regagnait pas dans l'intervalle son autonomie financière, son autorisation pourrait être révoquée. Selon une attestation du Centre social intercommunal de Montreux du 9 décembre 2009, il avait bénéficié de prestations d'aide sociale (incluant un revenu minimum de réinsertion du 1 er octobre au 30 novembre 2005 et un revenu d'insertion du 1 er août 2008 au 30 novembre 2009) pour un montant global de 47'690 fr. 80.
A.c. En date du 4 juin 2010, A._ a déposé une demande de prestations auprès de l'Office d'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après : l'Office AI). Il indiquait souffrir d'anxiété et de dépression et se trouvait, selon les constatations de son médecin traitant, en incapacité de travail depuis le 28 janvier 2009.
A.d. Le 14 septembre 2010, A._ a une nouvelle fois requis la prolongation de son autorisation de séjour, indiquant que, malgré les démarches entreprises, il n'avait pas été en mesure de retrouver un emploi. Il précisait qu'il était suivi médicalement depuis deux ans par un médecin et qu'il avait déposé un dossier auprès de l'assurance-invalidité pour une réinsertion professionnelle.
En date du 30 décembre 2010, le Service cantonal a renouvelé l'autorisation du prénommé pour une durée d'une année, l'invitant à transmettre à cette échéance la décision qui serait rendue par l'Office AI et à lui communiquer les circonstances de la survenance de l'événement qui avait entraîné son incapacité de travail.
A.e. Le 23 décembre 2011, A._ a demandé au Service cantonal de prolonger son autorisation de séjour, indiquant que le but de celui-ci était un "Séjour dans un home/hôpital/de cure". Il déclarait être en traitement et suivi par un médecin pour une durée indéterminée.
Par décision du 2 août 2012, le Service cantonal a refusé la prolongation de l'autorisation de séjour de l'intéressé et lui a imparti un délai de trois mois, dès notification de la décision, pour quitter la Suisse. Le 5 septembre 2012, A._ a recouru contre cette décision auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal de l'Etat de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal). Par arrêt du 22 mai 2013, celle-ci a rejeté le recours et confirmé la décision attaquée.
Le 24 juin 2013, A._ a interjeté recours contre l'arrêt cantonal précité devant le Tribunal fédéral. Dans un arrêt 2C_587/2013 du 30 octobre 2013, celui-ci a admis le recours et annulé le jugement cantonal attaqué, renvoyant la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il était principalement reproché à la juridiction cantonale de n'avoir pas attendu la fin de la procédure ouverte auprès de l'Office AI avant de statuer sur une éventuelle prolongation de l'autorisation de séjour.
A.f. Le 9 décembre 2013, le Service cantonal a prolongé l'autorisation de séjour de l'intéressé jusqu'au 9 décembre 2014, dans l'attente d'une décision de la part de l'Office AI. Il précisait qu'il procéderait à un nouvel examen de son dossier à l'échéance de l'autorisation. Par décision de 18 décembre 2013, le Tribunal cantonal a pour sa part constaté que le recours pendant devant lui après renvoi du Tribunal fédéral était désormais sans objet et a radié la cause du rôle.
A.g. Par décision du 2 avril 2014, l'Office AI a octroyé à A._ une rente ordinaire mensuelle (quart de rente) de 118 fr., du 1 er mai 2013 au 31 juillet 2013, ainsi qu'une rente ordinaire mensuelle (rente entière) de 470 fr., du 1 er août 2013 au 28 février 2014. Conformément à son projet de décision du 8 octobre 2013, l'Office AI avait en effet constaté chez l'intéressé une incapacité de travail totale effective (dans toute activité) depuis le 1 er février 2013. Par décision du 19 mai 2014, la Caisse cantonale vaudoise de compensation AVS a par ailleurs mis le prénommé au bénéfice de prestations complémentaires d'un montant mensuel de 1'981 fr. depuis le 1 er janvier 2014.
Selon une attestation du Centre social intercommunal de Montreux, le montant global des prestations d'aides sociales allouées jusqu'au 30 avril 2014 à A._ s'élevait à 133'242 fr. 65.
B.
Le 3 décembre 2014, A._ a requis la prolongation de son autorisation de séjour ainsi que la transformation de cette autorisation en une autorisation d'établissement. En date du 13 juin 2016, le Service cantonal l'a informé qu'après examen de son dossier, il était favorable à la poursuite de son séjour, ainsi qu'à la délivrance d'une autorisation d'établissement en application du droit de demeurer prévu par l'Accord de libre circulation des personnes convenu avec l'Union européenne. Il l'a toutefois rendu attentif que cette autorisation ne serait valable que si le Secrétariat d'Etat aux migrations (ci-après : le SEM), auquel il transmettait le dossier, l'approuvait.
Par décision du 9 février 2017, le SEM a refusé d'approuver l'octroi d'une autorisation de séjour en faveur de A._ et lui a imparti un délai de départ au 31 mai 2017 pour quitter la Suisse. Dans les considérants de sa décision, le SEM a en outre constaté que, dans la mesure où le requérant n'obtenait pas d'autorisation de séjour, la question de l'octroi d'une autorisation d'établissement en sa faveur devenait sans objet.
A._ a déposé un recours contre la décision précitée du SEM auprès du Tribunal administratif fédéral. Celui-ci a rejeté ledit recours par arrêt du 30 juillet 2019. Il invitait cependant l'autorité compétente à fixer un délai de départ de Suisse tenant compte de l'état de santé du recourant, ainsi que du temps nécessaire à la préparation d'un retour sur le territoire français.
C.
Le 11 septembre 2019, A._ (ci-après : le recourant) dépose un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral contre l'arrêt du Tribunal administratif fédéral précité. Outre l'octroi de l'effet suspensif à son recours, il demande que l'arrêt attaqué soit modifié en ce sens que l'octroi d'une autorisation de séjour en sa faveur soit approuvé et que le délai de départ qui lui a été imparti au 30 novembre 2019 pour quitter le pays soit annulé. Il conclut subsidiairement à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause au Tribunal administratif fédéral pour que celui-ci rende un nouvel arrêt dans le sens des considérants.
Le juge présidant de la Cour de céans a admis la requête d'effet suspensif.
Le 7 octobre 2019, le recourant a déposé une requête d'assistance judiciaire, qu'il a encore complétée par courrier du 17 octobre 2019.
Le Tribunal administratif fédéral et le SEM ont renoncé à déposer des observations sur le recours, dont ils concluent au rejet.

Considérant en droit :
1.
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, la voie du recours en matière de droit public n'est pas ouverte contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit, sous l'angle de la recevabilité, qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et que, partant, la voie du recours en matière de droit public soit ouverte. La question de savoir si les conditions d'un tel droit sont effectivement réunies relève du fond (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 332 et les références citées). En l'occurrence, en sa qualité de ressortissant français, le recourant peut en principe prétendre à un titre de séjour en Suisse en vertu de l'Accord sur la libre circulation des personnes (ALCP; RS 0.142.112.681; cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 179 et les références citées). La présente cause ne tombe ainsi pas sous le coup de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, ni d'aucune autre clause d'irrecevabilité figurant à l'<ref-law>. Partant, la voie du recours en matière de droit public est ouverte.
1.2. Dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue par le Tribunal administratif fédéral (<ref-law>), le présent recours a enfin été déposé en temps utile, compte tenu des féries estivales (art. 100 al. 1 en lien avec <ref-law>), et dans les formes prescrites par la loi (<ref-law>), par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (<ref-law>). Il est ainsi recevable.
2.
Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral contrôle librement le respect du droit fédéral et international, qui comprend les droits de nature constitutionnelle (cf. art. 95 let. a et b et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'<ref-law>.
Le Tribunal fédéral conduit par ailleurs son raisonnement juridique sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>), hormis dans les cas prévus à l'<ref-law>. Selon l'<ref-law>, le recours ne peut critiquer les constatations de fait de l'arrêt attaqué que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (cf. <ref-ruling> consid. 6 p. 358; <ref-ruling> consid. 1.6 p. 377 s.). Conformément à l'<ref-law>, la partie recourante doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356).
3.
Le litige porte en l'occurrence sur le refus du SEM, confirmé par le Tribunal administratif fédéral, d'approuver l'octroi d'une autorisation de séjour au recourant en application du droit de demeurer prévu à l'<ref-law>. Avant de traiter du bien-fondé d'un tel refus, il convient d'examiner si le SEM et, partant, le Tribunal administratif fédéral pouvaient se prononcer sur le droit de demeurer du recourant, quand bien même cette question avait déjà fait l'objet d'une procédure judiciaire ayant abouti, le 30 octobre 2013, à un arrêt du Tribunal fédéral renvoyant l'affaire au Tribunal cantonal.
3.1. En vertu de l'art. 26 de l'ordonnance du 22 mai 2002 sur l'introduction progressive de la libre circulation des personnes entre, d'une part, la Confédération suisse et, d'autre part, l'Union européenne et ses Etats membres, ainsi qu'entre les Etats membres de l'Association européenne de libre échange (OLCP, RS 142.203), les autorités cantonales sont compétentes pour délivrer les autorisations de séjour et d'établissement découlant de l'ALCP, sous réserve de la compétence de la Confédération d'approuver certaines autorisations (cf. <ref-law>).
En l'occurrence, l'art. 99 al. 1 de la loi fédérale sur les étrangers (LEtr, RS 142.20), intitulée, depuis le 1er janvier 2019, loi fédérale sur les étrangers et l'intégration (LEI, RO 2017 6521), prévoit que le SEM peut refuser d'approuver une décision prise par une autorité administrative cantonale qui lui a été soumise conformément à l'art. 99 al. 1 LEI, mais aussi toute décision prise par une autorité cantonale de recours pour laquelle il existe un devoir d'approbation fédérale. Cette nouvelle disposition, qui n'est entrée en vigueur que le 1er juin 2019, n'existait toutefois pas lorsque le SEM a refusé d'approuver la prolongation de séjour du recourant, soit le 9 février 2017. L'ancien droit disposait alors que le SEM pouvait refuser d'approuver la "décision cantonale". La jurisprudence avait précisé à cet égard que lorsqu'un titre de séjour avait été octroyé sur recours par une autorité cantonale (en principe judiciaire) et que cette décision pouvait être portée jusqu'au Tribunal fédéral au moyen d'un recours en matière de droit public, c'était cette voie de droit qui devait être utilisée par le SEM et non pas la procédure d'approbation (cf. art. 89 al. 2 et 111 LTF; <ref-ruling> consid. 4.4.3 p. 177; arrêts 2C_739/2016 du 31 janvier 2017 consid. 4.1.1; 2C_401/2015 du 12 novembre 2015 consid. 2.1 et les arrêts cités). Cette restriction des compétences d'approbation du SEM ne s'appliquait toutefois pas lorsque l'autorité de recours avait uniquement renvoyé la cause à l'autorité administrative cantonale, sans traiter matériellement de la nouvelle décision que celle-ci devait rendre (cf. arrêts 2C_361/2018 du 21 janvier 2019 consid. 2.1; 2C_401/2015 du 12 novembre 2015 consid. 2.2).
3.2. En l'occurrence, comme déjà mentionné, la question de la prolongation de l'autorisation de séjour du recourant a fait l'objet d'une précédente procédure de recours judiciaire entre 2012 et 2013. Le Tribunal cantonal avait à cette époque confirmé le refus du Service cantonal de reconnaître un droit de demeurer en Suisse sur la base de l'ALCP, avant que le Tribunal fédéral ne lui renvoie le dossier par arrêt 2C_587/2013 du 30 octobre 2013 en lui reprochant d'avoir statué en la cause sans avoir attendu qu'une décision relative à l'incapacité de de travail du recourant n'ait été prise par l'Office AI. Après cet arrêt de renvoi, l'instance judiciaire cantonale n'en a pas moins rayé la cause du rôle, sans que cette décision ne soit contestée, attendu que le Service cantonal avait dans l'intervalle prolongé de son propre mouvement l'autorisation du recourant jusqu'à droit connu dans la procédure AI.
Il en résulte qu'au moment où le dossier a été transmis pour approbation au SEM, aucune autorité judiciaire ne s'était encore prononcée matériellement et définitivement sur le droit de demeurer du recourant, de sorte que la jurisprudence fédérale rendue avant l'entrée en vigueur du nouvel art. 99 al. 1 LEI, qui aurait empêché une telle procédure dans l'hypothèse inverse, ne s'applique assurément pas en l'espèce. Le Service cantonal pouvait donc soumettre sans autres considérations le dossier à l'autorité fédérale précitée pour approbation, en application des art. 99 al. 1 LEI et 85 al. 3 de l'ordonnance du 24 octobre 2007 relative à l'admission, au séjour et à l'exercice d'une activité lucrative (OASA, RS 142.201; cf. 141 II 169 consid. 4.4.3 p. 177; arrêt 2C_634/2014 du 24 avril 2015 consid. 3.1).
3.3. Il s'ensuit que le SEM et, par voie de conséquence, le Tribunal administratif fédéral étaient compétents pour se prononcer sur le droit de demeurer du recourant.
4.
Le recourant soutient avoir droit à la prolongation de son autorisation de séjour d'après l'<ref-law> et reproche au Tribunal administratif fédéral d'avoir mal appliqué cette disposition.
4.1. Selon l'<ref-law>, les ressortissants d'une partie contractante ont le droit de demeurer sur le territoire d'une autre partie contractante après la fin de leur activité économique. L'<ref-law> renvoie à cet égard, conformément à l'art. 16 de l'Accord, au règlement (CEE) 1251/70 (ci-après: le règlement 1251/70) et à la directive 75/34/CEE, "tels qu'en vigueur à la date de la signature de l'Accord".
L'art. 2 par. 1 let. b du règlement 1251/70, dans sa version au moment de la signature de l'ALCP, prévoit qu'a le droit de demeurer sur le territoire d'un Etat membre le travailleur qui, résidant d'une façon continue sur le territoire de cet Etat depuis plus de deux ans, cesse d'y occuper un emploi salarié à la suite d'une incapacité permanente de travail. Si cette incapacité résulte d'un accident du travail ou d'une maladie professionnelle ouvrant droit à une rente entièrement ou partiellement à charge d'une institution de cet Etat, aucune condition de durée de résidence n'est requise. Dans tous les cas, pour pouvoir prétendre à demeurer en Suisse sur la base de l'<ref-law> en relation avec l'art. 2 par. 1 let. b du règlement 1251/70, il est indispensable qu'au moment où survient l'incapacité permanente de travail, le travailleur ait encore effectivement ce statut et que celui-ci ait ainsi été perdu pour cette raison (cf. <ref-ruling> consid. 4 p. 11 ss; arrêts 2C_134/2019 du 12 novembre 2019 consid. 3.3, destiné à la publication; 2C_567/2017 du 5 mars 2018 consid. 3.1; 2C_289/2017 du 4 décembre 2017 consid. 4.5.1 et 2C_1034/2016 du 13 novembre 2017 consid. 2.2 et 4.2). L'art. 5 par. 1 du règlement 1251/70 précise encore que le bénéficiaire dispose d'un délai de 2 ans pour exercer son droit de demeurer depuis le moment où le droit a été ouvert en application de l'art. 2 par. 1 let. b. Enfin, l'<ref-law> dispose que les ressortissants de l'UE qui ont le droit de demeurer en Suisse selon l'accord sur la libre circulation des personnes reçoivent une autorisation de séjour UE/AELE.
4.2. Dans le cas particulier, le recourant réside en Suisse de façon continue depuis le 6 septembre 2004. Initialement, il a été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour valable jusqu'au 30 septembre 2009. Ce permis a ensuite été renouvelé à plusieurs reprises, la dernière fois jusqu'au 9 décembre 2014. Le recourant remplit ainsi sans conteste la première condition nécessaire à la reconnaissance d'un éventuel droit de demeurer en Suisse au sens de l'art. 2 par. 1 let. b du règlement 1251/70, à savoir un séjour dans le pays de plus de deux ans. Reste à déterminer s'il remplit la seconde condition exigée par cette disposition, c'est-à-dire s'il a cessé son activité salariée en raison d'une incapacité permanente de travail. Conformément à la jurisprudence exposée ci-avant, cette question suppose de s'interroger, en tout état de cause, sur le moment à partir duquel l'intéressé a commencé à souffrir d'une incapacité permanente de travail (cf. infra consid. 4.3) et de se demander s'il bénéficiait alors toujours du statut de travailleur salarié au sens de l'<ref-law> (cf. infra consid. 4.4).
4.3. Dans son arrêt, le Tribunal administratif fédéral a en l'occurrence admis que le recourant souffrait d'une incapacité permanente de travail, tout en retenant que celle-ci avait débuté le 1er février 2013 au plus tôt. Le recourant conteste cette appréciation de l'instance inférieure qui se fonderait à tort sur la décision rendue par l'Office AI pour arrêter la date à laquelle son incapacité permanente de travail est survenue. Le Tribunal administratif fédéral aurait, selon lui, dû retenir une incapacité permanente de travail depuis 2009 au moins.
4.3.1. Ni l'ALCP, ni le règlement 1251/70, ni la directive 75/34/CEE ne se prononcent sur la question de savoir à partir de quel moment une incapacité permanente de travail commence au sens de l'art. 2 par. 1 let. b du règlement précité. Dans son arrêt 2C_587/2013 du 30 octobre 2013 qui concernait le présent recourant, le Tribunal fédéral a cependant jugé que, pour trancher cette question, il y avait en principe lieu de se fonder sur les résultats de la procédure AI généralement engagée parallèlement par l'intéressé, cette procédure ayant précisément pour but d'établir l'existence d'une incapacité permanente de travail et d'en déterminer le début. Cette jurisprudence, qui reconnaît une sorte d'effet préjudiciel à la procédure menée par l'Office AI, a été confirmée maintes fois (<ref-ruling> consid. 4.2.1 p. 11 s.; arrêts 2C_134/2019 du 12 novembre 2019 consid. 4.5, destiné à la publication, et 2C_1102/2013 du 8 juillet 2014 consid. 4.4). Tout au plus convient-il de reconnaître qu'une incapacité permanente de travail a débuté à un autre moment que celui constaté par l'Office AI lorsque les faits permettent clairement d'établir que l'étranger est devenu durablement incapable de travailler avant la date fixée dans la décision d'octroi de rente (cf. arrêt 2C_1034/2016 du 13 novembre 2017 consid. 4.2). Exceptionnellement, il est également possible de ne pas attendre l'issue de la procédure AI lorsqu'il n'existe aucun doute quant à la réalité de l'incapacité de travail et de son commencement (cf. <ref-ruling> consid. 4.2.1 p. 11 s.; aussi arrêt 2C_771/2014 du 27 août 2015 consid. 2.3.3).
4.3.2. En l'occurrence, il ressort de l'arrêt attaqué, d'une manière qui lie la Cour de céans (cf. <ref-law>), que le recourant a déposé une demande de prestations auprès de l'Office AI en date du 4 juin 2010, indiquant qu'il souffrait d'anxiété et de dépression et qu'il se trouvait en incapacité de travail depuis le 28 janvier 2009. La procédure a finalement abouti à une décision de l'Office AI du 2 avril 2014, qui octroie à l'intéressé une rente ordinaire mensuelle (quart de rente) de 118 fr., du 1er mai 2013 au 31 juillet 2013, ainsi qu'une rente ordinaire ordinaire mensuelle (rente entière) de 470 fr., depuis le 1er août 2013. Cette décision se fonde en l'occurrence sur un projet de décision du 8 octobre 2013, non contesté, dans lequel l'Office AI constate qu'après avoir présenté une incapacité de travail durable à raison de 20% dès le 1er juillet 2010, le recourant a commencé à souffrait d'une incapacité de travail totale, dans toute activité, à partir du 1er février 2013.
Dès lors que l'Office AI a considéré que le recourant n'était devenu incapable de travailler de manière permanente qu'à partir de février 2013 au plus tôt, on ne voit pas en quoi le Tribunal administratif fédéral aurait mal appliqué le droit en considérant que cette date était également déterminante s'agissant d'un éventuel droit de demeurer en Suisse. Comme on l'a vu, en l'absence d'éléments probants démontrant l'existence d'une incapacité permanente de travail antérieure, cette manière de faire est parfaitement conforme à la jurisprudence fédérale. Le recourant, qui a accepté la décision de l'Office AI, tout en connaissant son importance pour la présente procédure, se prévaut sous cet angle en vain des avis contraires de ses médecins traitants, lesquels étaient au demeurant connus de l'Office AI. Quant aux différents projets de décisions rendus par celui-ci, ils sont toujours partis, quoi qu'en dise l'intéressé, de la prémisse constante selon laquelle celui-ci jouissait d'une capacité de travail d'au moins 80% jusqu'à fin janvier 2013. Il importe dès lors peu que l'Office AI ait pu, selon le recourant, tergiverser avant de rendre une décision définitive. Enfin, une incapacité de travail de 20%, telle que celle dont souffrait le recourant avant le 1er février 2013, ne l'empêchait pas d'exercer un emploi rémunéré adapté à sa situation - ce qu'il a d'ailleurs fait durant de courtes périodes - et n'équivaut ainsi pas à une incapacité de travail permanente au sens de l'art. 2 par. 1 let. b du règlement 1251/70 (cf. dans ce sens, à propos d'une obligation de reconversion, arrêt 2C_134/2019 du 12 novembre 2019 consid. 4.6, destiné à la publication).
4.3.3. Il s'ensuit que le Tribunal administratif fédéral n'a pas violé le droit fédéral en retenant que le recourant présentait une incapacité de travail permanente depuis le 1er février 2013 au plus tôt.
4.4. Comme déjà dit, pour savoir si le recourant jouit ou non d'un droit de demeurer en Suisse malgré son incapacité de travail permanente en application de l'<ref-law>, il faut encore déterminer si, au moment de la survenance de celle-ci le 1er février 2013, l'intéressé jouissait au moins toujours du statut de travailleur au sens de l'ALCP, ce que le Tribunal administratif fédéral a nié dans son arrêt. Le recourant prétend à cet égard qu'il n'aurait jamais perdu le statut de travailleur depuis son arrivée en Suisse, car un tel statut ne s'éteint pas en cas d'interruption non volontaire de l'activité professionnelle, comme ce serait le cas en l'espèce.
4.4.1. Reprenant la jurisprudence de la CJUE, le Tribunal fédéral rappelle de manière constante que la notion de travailleur contenue à l'ALCP - et en particulier à son art. 6 - doit être interprétée de façon extensive. Doit ainsi être considérée comme un "travailleur" la personne qui accomplit, pendant un certain temps, en faveur d'une autre personne et sous la direction de celle-ci, des prestations en contrepartie desquelles elle touche une rémunération (existence d'une prestation de travail, d'un lien de subordination et d'une rémunération). Cela suppose l'exercice d'activités réelles et effectives, à l'exclusion d'activités tellement réduites qu'elles se présentent comme purement marginales et accessoires (cf. arrêt de la CJCE du 23 mars 1982 Levin C-53/81, par. 17; <ref-ruling> consid. 2.2.4 p. 6 et consid. 3.3.2 p. 9; arrêts 2C_716/2018 du 13 décembre 2018 consid. 3.3 et 2C_289/2017 du 4 décembre 2017 consid. 4.2.1). Le Tribunal fédéral considère ainsi qu'un étranger au bénéfice d'une autorisation de séjour UE/AELE peut perdre le statut de travailleur au sens de l'ALCP et par conséquent se voir refuser la prolongation, respectivement se voir révoquer l'autorisation de séjour dont il est titulaire si 1) il se trouve dans un cas de chômage volontaire; 2) on peut déduire de son comportement qu'il n'existe (plus) aucune perspective réelle qu'il soit engagé à nouveau dans un laps de temps raisonnable ou 3) il adopte un comportement abusif, notamment en se rendant dans un autre État membre pour y exercer un travail fictif ou d'une durée extrêmement limitée dans le seul but de bénéficier de prestations sociales meilleures que dans son État d'origine ou que dans un autre État membre (<ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 4; <ref-ruling> consid. 3.4 p. 347; arrêts 2C_761/2015 du 21 avril 2016 consid. 4.3; 2C_412/2014 du 27 mai 2014 consid. 3.2; 2C_390/2013 du 10 avril 2014 consid. 3.2, 4.3). Devant se prononcer sur la question de savoir à partir de quel moment une personne perdait le statut de travailleur une fois au chômage involontaire, le Tribunal fédéral a considéré qu'une période de 18 mois de chômage involontaire pouvait aboutir à un tel résultat (cf. arrêt 2C_390/2013 du 10 avril 2014 consid. 4.3 et les références citées; aussi art. 61a al. 4 LEI, en vigueur depuis le 1er juillet 2018, selon lequel, en cas de cessation involontaire de travail, le droit de séjour des travailleurs européens qui ont déjà séjourné douze mois en Suisse prend fin dans les six mois ou dans les six mois après la fin d'éventuelles indemnités de chômage).
4.4.2. En l'occurrence, il ressort de l'arrêt attaqué, d'une manière qui lie la Cour de céans (cf. <ref-law>), que le recourant n'avait travaillé que cinq mois durant les cinq années qui ont précédé la survenance de son incapacité permanente de travail, laquelle a débuté, comme on l'a dit, le 1er février 2013. A cette date, son dernier emploi rémunéré, qui n'avait du reste duré que trois mois, remontait à plus de 19 mois. Les différents stages suivis par l'intéressé en 2012, puis en 2013 n'ont abouti pour leur part à aucune réinsertion professionnelle. Au regard de la période d'inactivité professionnelle du recourant entre 2008 et 2012 et de l'absence de pronostic favorable quant à une éventuelle réinsertion professionnelle à l'issue de cette période, le Tribunal administratif fédéral pouvait assurément retenir que le recourant ne jouissait plus du statut de travailleur en date du 1er février 2013, soit au moment où son incapacité permanente de travail a débuté.
4.4.3. Dans ses écritures, le recourant ne conteste pas véritablement le constat qui précède, mais reproche au Tribunal administratif fédéral d'avoir fait abstraction des directives du SEM, suivant lesquelles "l'interruption de l'activité lucrative suite à une maladie, à un accident ou à une période de chômage involontaire dûment constatée par l'autorité compétente (...) sont considérées comme des périodes d'activité" (Directives SEM OLCP, novembre 2019, ch. 10.3.2). Selon lui, les juges précédents auraient dû considérer, en application de cette règle, qu'il n'avait jamais cessé son activité professionnelle, dès lors que son incapacité de travailler pour cause de maladie avait été toujours été dûment constatée "de manière quasi-ininterrompue" par un médecin et, partant, lui reconnaître la qualité de travailleur jusqu'au mois de février 2013 au moins. Un tel grief tombe toutefois à faux.
Le Tribunal administratif fédéral a établi que le recourant avait toujours été capable de travailler avant février 2013; il ressort en outre de l'arrêt attaqué qu'il a occupé différents emplois en 2010 et 2011, même si ce n'est que très brièvement. Ce constat, dont l'intéressé ne prétend pas qu'il serait arbitraire, lie la Cour de céans (cf. <ref-law>). On discerne dès lors mal la pertinence de l'extrait de la directive du SEM cité par le recourant qui, d'ailleurs, constitue simplement une reprise de l'art. 4 par. 2 du règlement 1251/70 (" Les périodes de chômage involontaire, dûment constatées par le bureau de main-d'oeuvre compétent, et les absences pour cause de maladie ou accident sont considérées comme périodes d'emploi au sens de l'art. 2 par. 1. "). Pour être assimilées à des périodes d'emploi et fonder une éventuelle qualité de travailleur au sens de l'ALCP, les périodes d'inactivité professionnelle doivent correspondre à l'une des situations mentionnées dans le règlement précité. Tel n'est manifestement pas le cas en l'espèce, dès lors que le recourant a épuisé son droit au chômage en 2008 déjà et n'a pas perdu ni quitté ses emplois postérieurs pour cause de maladie ou d'accident.
4.5. Sur le vu de ce qui précède, force est d'admettre que le recourant ne bénéficiait plus du statut de travailleur au moment où son incapacité de travail permanente est intervenue. Le Tribunal fédéral administratif a dès lors considéré à bon droit que l'intéressé ne pouvait de toute manière se prévaloir d'aucun droit de demeurer en Suisse au sens de l'<ref-law>, sans avoir à examiner, entre autres questions, si ce droit avait été exercé dans le délai de deux ans prévu à l'art. 5 par. 1 du règlement 1251/70. Le recours doit être rejeté dans la mesure où il invoque une violation de cette norme internationale.
5.
Reste encore à examiner si l'arrêt attaqué viole le droit au respect de la vie privée du recourant, comme celui-ci l'affirme dans son recours, respectivement si son autorisation de séjour aurait dû être prolongée en application de ce droit fondamental consacré à l'art. 8 CEDH.
5.1. Dans l'<ref-ruling>, le Tribunal fédéral a précisé et structuré sa jurisprudence relative au droit à une autorisation de séjour fondée sur le droit au respect de la vie privée garantie à l'art. 8 CEDH. Il a en particulier reconnu que lorsqu'un étranger résidait légalement depuis plus de dix ans en Suisse, il y avait lieu de partir de l'idée que les liens sociaux qu'il avait développés dans ce pays étaient suffisamment étroits pour qu'il puisse se prévaloir de l'art. 8 CEDH et que le refus de prolonger son autorisation de séjour ne devait être prononcé, sous cet angle, que pour des motifs sérieux (<ref-ruling> consid. 3 p. 271 ss et les références; aussi arrêt 2C_398/2019 du 1er mai 2019 consid. 3.1). En l'occurrence, le recourant est arrivé en Suisse en septembre 2004 et a immédiatement reçu une autorisation de séjour UE/AELE d'une durée de cinq ans. Cette autorisation s'est vue ensuite prolongée plusieurs fois, la dernière fois jusqu'au 9 décembre 2014, dans l'attente du résultat de la procédure AI entamée dans l'intervalle. Le recourant peut donc se prévaloir d'un séjour "légal" de dix ans en Suisse et, sur cette base, prétendre valablement qu'un renvoi risquerait de porter atteinte au respect de sa vie privée protégée par l'art. 8 CEDH.
5.2. Une ingérence dans l'exercice du droit au respect de la vie privée garanti par l'art. 8 par. 1 CEDH est possible aux conditions de l'art. 8 par. 2 CEDH. L'examen de proportionnalité imposé par cette disposition se confond avec celui prévu par l'art. 96 al. 1 LEI (cf. arrêts 2C_20/2019 du 13 mai 2019 consid. 7.2; 2C_158/2019 du 12 avril 2019 consid. 5.2 et 2C_151/2019 du 14 février 2019 consid. 5.2), lequel est également applicable au domaine régi par l'ALCP (cf. arrêt 2C_158/2019 du 12 avril 2019 consid. 5.2). De jurisprudence constante, la question de la proportionnalité du non-renouvellement d'une autorisation de séjour doit être tranchée au regard de toutes les circonstances du cas d'espèce. Dans ce cadre, il y a lieu de prendre en considération la gravité de l'éventuelle faute commise par l'étranger, son degré d'intégration, la durée de son séjour en Suisse et les conséquences d'un renvoi (cf. <ref-ruling> consid. 2.4 p. 149; arrêts 2C_20/2019 du 13 mai 2019 consid. 7.3; 2C_158/2019 du 12 avril 2019 consid. 5.3 et 2C_633/2018 du 13 février 2019 consid. 7.1).
5.3. Il ressort de l'arrêt attaqué que le recourant, qui n'a pas d'enfant, ni de conjoint, séjourne en Suisse depuis fin 2004, de sorte qu'il s'est construit un réseau d'amis et de connaissances dans le pays. Il n'a toutefois jamais réussi à s'intégrer professionnellement et s'est rapidement retrouvé à la charge de l'Etat. Selon l'arrêt attaqué, l'intéressé avait ainsi perçu jusqu'en 2014 des prestations d'aide sociale pour un montant total de 133'242 fr. 65. L'obtention d'une rente AI cette année-là n'a pas mis terme à cette dépendance financière vis-à-vis de l'Etat. L'intéressé perçoit depuis des prestations complémentaires à raison de 1'981 fr. par mois en sus de sa rente, laquelle correspond à 476 fr. mensuels seulement. Il faut donc admettre qu'une prolongation de l'autorisation de séjour du recourant en Suisse continuerait de peser de manière importante sur les finances publiques (cf. dans ce sens arrêt 2C_98/2018 du 7 novembre 2018 consid. 4.4). Il n'apparaît en outre pas déraisonnable d'exiger du recourant qu'il retourne en France, où il a d'ailleurs vécu la majorité de sa vie jusqu'à l'âge de 34 ans. Relevons que l'intéressé avait déjà été averti en 2009 du risque de devoir rentrer dans son pays d'origine s'il ne regagnait pas son autonomie financière et qu'il savait, dès 2013, qu'il ne se verrait pas forcément reconnaître de droit de demeurer en Suisse à l'issue de la procédure AI qu'il avait entamée. Un départ ne le privera du reste pas de la rente finalement obtenue, qu'il continuera de percevoir à l'étranger. De même pourra-t-il bénéficier, ainsi que cela a été souligné par le Tribunal administratif fédéral, d'un suivi médical et psychiatrique et d'un traitement médicamenteux similaires à ceux qu'il reçoit actuellement en Suisse. Il s'ensuit que son renvoi en France, qui, conformément à l'arrêt attaqué, devra être ordonné dans un délai raisonnable et dûment préparé avec le concours de ses médecins, n'entraînera pas une mise en danger de sa santé. L'intéressé ne prétend au demeurant pas le contraire dans son recours.
Partant, il faut admettre que le refus de prolonger l'autorisation de séjour du recourant respecte le principe de proportionnalité et ne viole pas le droit au respect de la vie privée consacré à l'art. 8 CEDH.
5.4. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté en tant qu'il invoque la violation de l'art. 8 CEDH et du principe de proportionnalité.
6.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours dans son ensemble.
7.
S'agissant des frais et dépens, le recourant a déposé une demande d'assistance judiciaire. Cette demande peut être admise au vu de l'indigence manifeste de l'intéressé et dans la mesure où les conclusions du recours n'étaient pas d'emblée dépourvues de chances de succès (<ref-law>). Me Philippe Chaulmontet lui sera donc désigné comme défenseur d'office, rétribué par la caisse du Tribunal fédéral. Il ne sera pas perçu de frais judiciaires (art. 64 al. 1 et 2 LTF) ni alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est admise.
2.1. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
2.2. Me Philippe Chaulmontet est désigné comme avocat d'office du recourant et une indemnité de 2'000 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Secrétariat d'Etat aux migrations, au Tribunal administratif fédéral, Cour VI, et au Service de la population de l'Etat de Vaud.
Lausanne, le 6 février 2020
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Jeannerat