Faits :
A.
A.a. A._ a été chargé de cours à l'Ecole polytechnique fédérale de Lausanne (EPFL) à partir de l'année académique 1980/1981. Le 10 mai 2004, l'EPFL l'a informé que sa charge ne serait pas reconduite pour l'année académique 2004/2005. Il s'est ensuivi un litige sur la nature juridique des rapports liant le prénommé à l'EPFL qui a été porté jusqu'au Tribunal fédéral. Dans un arrêt rendu le 28 juin 2006 (cause 2A.658/2005), celui-ci a considéré que la charge de cours de l'intéressé était soumise à la loi fédérale du 24 mars 2000 sur le personnel de la Confédération (LPers; RS 172.220.1) et que A._ devait en conséquence bénéficier d'un contrat de durée indéterminée, dans le respect des règles régissant les assurances sociales.
A.b. Par décision du 27 novembre 2007, l'EPFL a notamment constaté que le contrat de travail la liant à l'intéressé prendrait fin le 30 avril 2008 et que celui-ci aurait dû en principe être affilié à une caisse de pensions depuis le 1 er octobre 1980, date à partir de laquelle il avait été au bénéfice d'un contrat de durée indéterminée; elle a cependant considéré qu'il appartenait à la Caisse fédérale de pensions Publica (ci-après: Publica) d'examiner formellement cette question et que le dossier de A._ devait lui être transmis à cette fin.
A._ a déféré cette décision à la Commission de recours interne des écoles polytechniques fédérales (ci-après: la CRIEPF). Admettant partiellement le recours par décision du 4 novembre 2008, celle-ci a jugé que A._ était affilié à Publica, à qui il incombait de se prononcer sur le caractère éventuellement rétroactif de l'affiliation (ch. 7, première phrase, du dispositif). A._ et l'EPFL ont tous deux interjeté un recours contre cette décision devant le Tribunal administratif fédéral, qui a porté les causes à la connaissance de Publica par décisions incidentes des 17 décembre 2008 et 15 janvier 2009. Le recours de A._, qui ne s'en prenait qu'au ch. 7 du dispositif de la décision du 4 novembre 2008 en concluant à ce que fût ordonnée son affiliation avec effet rétroactif au 1 er octobre 1980, a été rejeté par arrêt du 13 janvier 2010.
A.c. Le 4 mars 2010, Publica a informé A._ qu'elle entamait les démarches administratives en lien avec son affiliation. Après que l'EPFL lui eut versé, le 19 septembre 2011, un montant de 54'695 fr. 70 pour une affiliation rétroactive du prénommé au 1 er janvier 1999 en considérant que les créances de cotisations de plus de dix ans étaient prescrites, Publica a indiqué à A._ que le montant de la rente de vieillesse à laquelle il avait droit à partir du 1 er mai 2008 s'élevait à 412 fr. 35 par mois.
A l'issue de la procédure initiée par A._, qui a saisi le 23 mars 2012 le Tribunal cantonal vaudois d'une demande tendant à son affiliation rétroactive auprès de Publica à partir du 1 er octobre 1980, ainsi qu'au paiement d'arriérés de rentes par l'institution de prévoyance et de cotisations par l'EPFL, le Tribunal fédéral s'est prononcé le 23 avril 2014 (arrêt 9C_640/2013 publié à l'<ref-ruling>). Il a réformé le jugement cantonal (du 22 juillet 2013) en ce sens que la demande formée contre Publica était partiellement admise, celle-ci étant tenue d'affilier A._ à titre rétroactif dès le 1 er octobre 1980; il a rejeté le recours pour le surplus, à savoir en tant que l'intéressé réclamait à l'institution de prévoyance une prestation de vieillesse correspondant à une telle affiliation rétroactive et à son ancien employeur le paiement des cotisations pour la période courant à partir du 1 er octobre 1980 (sous déduction de la somme déjà versée).
A.d. Le 24 décembre 2014, A._ a derechef ouvert action contre Publica et l'EPFL devant le Tribunal cantonal vaudois, afin de réclamer à celles-ci la réparation du dommage résultant selon lui de la violation du contrat d'affiliation.
Statuant le 5 janvier 2017, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois a prononcé l'irrecevabilité de la demande et a transmis celle-ci à Publica et à l'EPFL pour qu'elles procèdent conformément aux considérants. Elle a jugé que l'examen de la demande de réparation du dommage introduite par le recourant ne relevait pas du tribunal prévu par l'art. 73 LPP, mais de la procédure prévue par l'art. 19 al. 3 de la loi fédérale du 14 mars 1958 sur la responsabilité de la Confédération, des membres de ses autorités et de ses fonctionnaires (LRCF; RS 170.32); il appartenait donc à Publica et à l'EPFL de statuer matériellement sur les réclamations de A._ dirigées contre elles. Le recours interjeté par l'intéressé contre cet arrêt a été rejeté par le Tribunal fédéral le 20 novembre 2017 (cause 9C_130/2017).
A.e. Par décision du 17 août 2018, Publica a rejeté la demande de dommages-intérêts de l'intéressé. L'EPFL a fait de même par décision du 18 octobre 2018.
B.
A._ a déféré les décisions susmentionnées au Tribunal administratif fédéral, lequel a joint les causes par décision incidente du 30 novembre 2018.
Par arrêt du 16 décembre 2020, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours contre la décision de Publica du 17 août 2018 (ch. 1 du dispositif) et a partiellement admis le recours contre la décision de l'EPFL du 18 octobre 2018, qu'il a annulée, renvoyant la cause à cette dernière pour nouvelle décision au sens des considérants (ch. 2 du dispositif).
C.
C.a. A._ forme un recours en matière de droit public contre cet arrêt dont il demande la réforme en tant qu'il concerne sa prétention en dommages-intérêts à l'égard de l'EPFL. Reprenant les conclusions formulées devant l'autorité précédente, il demande principalement que l'EPFL soit condamnée à lui verser les sommes de 99'563 fr. 70, avec intérêts à 5 % dès le 1 er septembre 2011, et de 125'979 fr. 60, avec intérêts à 5 % dès le 1 er janvier 2015. A titre subsidiaire, il conclut à l'annulation de l'arrêt entrepris et au renvoi de la cause à la juridiction précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il requiert en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire.
C.b. L'EPFL interjette également un recours en matière de droit public contre l'arrêt du 16 décembre 2020, en concluant principalement à sa réforme dans le sens du rejet de la demande de dommages-intérêts de A._ dirigée contre elle. A titre subsidiaire, elle conclut à son annulation et au renvoi de la cause à la juridiction précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
C.c. Chacune des parties conclut au rejet du recours adverse et A._ s'est déterminé sur la réponse de l'EPFL à son recours. Publica conclut au maintien de l'arrêt attaqué en tant qu'il la concerne. Le Tribunal administratif fédéral a renoncé à formuler des observations.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF) et contrôle librement la recevabilité des recours portés devant lui (<ref-ruling> consid. 2).
1.2. La contestation se fonde sur la LRCF. En règle générale, les recours en matière de droit public dans le domaine de la responsabilité de l'Etat ressortissent à la deuxième Cour de droit public, pour autant qu'une autre cour ne soit pas compétente (art. 22 LTF en relation avec l'art. 30 al. 1 let. c du règlement du Tribunal fédéral du 20 novembre 2006 [RTF; RS 173.110.131]). En l'espèce, le litige porte sur la responsabilité éventuelle de l'EPFL pour le dommage subi par A._ du fait de l'absence d'affiliation à une institution de prévoyance au cours des rapports de service qui le liaient à l'EPFL. Dès lors que le litige présente un rapport de connexité étroit avec le domaine du personnel du secteur public, qui relève de la compétence de la première Cour de droit social (art. 34 let. h RTF), il se justifie que ce soit cette cour qui statue sur les recours (art. 22 LTF en relation avec l'art. 36 al. 1 et 2 RTF; voir aussi arrêt 8C_244/2020 du 15 avril 2021 consid. 1.1 et les arrêts cités).
1.3.
1.3.1. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure (art. 90 LTF), contre les décisions partielles (art. 91 LTF), ainsi que contre les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (art. 92 LTF). Selon l'art. 93 al. 1 LTF, les autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément peuvent faire l'objet d'un recours si elles peuvent causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b).
1.3.2. En règle générale, une décision de renvoi ne met pas fin à la procédure (<ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 4.2) et n'est pas non plus de nature à causer un préjudice irréparable aux parties (<ref-ruling> consid. 2.1, 477 consid. 5.2.2). Néanmoins, si l'arrêt de renvoi ne laisse aucune latitude de jugement à l'autorité administrative appelée à statuer (à nouveau), il est assimilé à une décision finale et peut, de ce fait, faire l'objet d'un recours en matière de droit public (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 1.1).
1.3.3. En l'espèce, le Tribunal administratif fédéral a nié toute responsabilité de Publica pour le dommage allégué par A._, mais a admis la responsabilité de l'EPFL. Il a donc annulé la décision de cette dernière du 18 octobre 2018 et lui a renvoyé la cause pour nouvelle décision au sens des considérants. Il ressort de l'arrêt entrepris (cf. consid. 8.3.1) que l'EPFL est tenue d'indemniser A._ pour le dommage causé du fait de l'absence d'annonce de celui-ci à Publica et de l'absence de paiement des cotisations de prévoyance professionnelle du 1 er octobre 1980 au 31 décembre 1998. S'agissant du montant du dommage sur lequel l'EPFL doit encore se prononcer, les premiers juges ont considéré que, vu la faute propre imputable à A._, celui-ci devrait être indemnisé de la différence entre la prestation de vieillesse qu'il aurait perçue si l'EPFL l'avait annoncé à Publica et avait cotisé pour lui du 1 er octobre 1980 au 30 avril 2008 et la prestation qu'il aurait touchée si la prestation avait été déterminée en fonction de bonifications de vieillesse pour une période d'assurance allant du 1 er août 1996 au 30 avril 2008 (cf. consid. 8.3.2). L'arrêt attaqué ne laisse donc aucune marge de manoeuvre à l'EPFL et doit être assimilé à une décision finale.
Compte tenu des considérations qui précèdent, il convient également d'ouvrir la voie du recours en matière de droit public à A._. En effet, l'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 16 décembre 2020 étant attaqué par plusieurs parties, on ne saurait considérer la nature de l'acte de manière différente en fonction de la partie recourante. En outre, le principe de la responsabilité de l'EPFL, admis par le Tribunal administratif fédéral et discuté dans le recours de celle-ci, implique un lien de causalité naturelle et adéquate entre le comportement dommageable et le dommage. Dans certaines circonstances, le comportement du lésé peut toutefois avoir pour effet de rompre le caractère adéquat du lien de causalité (<ref-ruling> consid. 2b; arrêts 2C_227/2020 du 21 août 2020 consid. 9.1 et 2C_218/2018 du 18 décembre 2018 consid. 4.1; TOBIAS JAAG, Le système général du droit de la responsabilité de l'Etat, in La responsabilité de l'Etat, 2012, p. 34). Or l'existence d'une faute de A._ a été retenue par les premiers juges et est contestée dans le recours de l'intéressé; cette question doit dès lors être examinée dans le cadre de la présente procédure, en même temps que les autres conditions de responsabilité de l'EPFL. Il n'y a donc pas lieu de renvoyer A._ à agir par le biais d'un recours contre la décision finale.
1.4. Pour le surplus, les recours ont été déposés en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) par les destinataires de l'acte attaqué qui ont un intérêt à recourir (art. 89 al. 1 LTF). Ils sont dirigés contre un arrêt rendu par le Tribunal administratif fédéral (art. 86 al. 1 let. a LTF) dans une cause dont la valeur litigieuse dépasse la limite de 30'000 fr. prévue à l'art. 85 al. 1 let. a LTF. Ils sont dès lors recevables.
1.5. Par ailleurs, comme les recours sont dirigés contre le même arrêt, concernent le même complexe de faits et portent sur des questions de droit interdépendantes, il se justifie de joindre les causes et de les liquider en un seul arrêt (<ref-ruling> consid. 1.2 in fine; <ref-ruling> consid. 1).
2.
Le Tribunal fédéral, qui est un juge du droit, fonde son raisonnement juridique sur les faits retenus par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente, il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées et en quoi la correction du vice serait susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF); à défaut, un état de fait divergent de celui de la décision attaquée ne peut pas être pris en compte (<ref-ruling> précité; <ref-ruling> consid. 5.1).
3.
3.1. L'EPFL répond du dommage causé sans droit à un tiers par un employé dans l'exercice de ses fonctions, sans égard à la faute de l'employé (art. 3 al. 1 en lien avec l'art. 19 al. 1 let. a LRCF; art. 5 al. 1 de la loi fédérale du 4 octobre 1991 sur les écoles polytechniques fédérales [Loi sur les EPF; RS 414.110]). L'art. 3 al. 1 LRCF consacre une responsabilité primaire, exclusive et causale de l'Etat, en ce sens que le tiers lésé ne peut rechercher que l'Etat, à l'exclusion du fonctionnaire ou de l'agent responsable, et qu'il n'a pas à établir l'existence d'une faute de ce dernier; il lui suffit d'apporter la preuve d'un acte illicite, d'un dommage ainsi que d'un rapport de causalité entre ces deux éléments. Ces conditions doivent être remplies cumulativement (<ref-ruling> consid. 4.1 et les arrêts cités).
3.2. La condition de l'illicéité au sens de l'art. 3 al. 1 LRCF suppose la violation par l'Etat, au travers de ses organes ou agents, d'une norme protectrice des intérêts d'autrui en l'absence de motifs justificatifs (consentement, intérêt public prépondérant, etc.). La jurisprudence a également considéré comme illicite la violation de principes généraux du droit ou encore, selon les circonstances, un excès ou un abus du pouvoir d'appréciation conféré par la loi. L'illicéité peut d'emblée être réalisée si le fait dommageable découle de l'atteinte à un droit absolu (vie, santé ou droit de propriété). Si, en revanche, le fait dommageable consiste en une atteinte à un autre intérêt (par exemple le patrimoine), l'illicéité suppose que l'auteur ait violé une norme de comportement ayant pour but de protéger le bien juridique lésé (Verhaltensunrecht) (<ref-ruling> consid. 5.5; <ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 3.2). Exceptionnellement, l'illicéité dépend de la gravité de la violation. C'est le cas lorsque l'illicéité reprochée procède d'un acte juridique (une décision, un jugement). Dans ce cas, seule la violation d'une prescription importante des devoirs de fonction est susceptible d'engager la responsabilité de l'Etat (<ref-ruling> précité; <ref-ruling> consid. 4.1).
Une omission peut constituer un acte illicite uniquement s'il existe une disposition la sanctionnant ou imposant de prendre la mesure omise. Ce chef de responsabilité suppose que l'Etat se trouve dans une position de garant à l'égard du lésé et que les prescriptions déterminant la nature et l'étendue de ce devoir aient été violées (<ref-ruling> consid. 5.5; <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 8.1 et les références).
3.3. En ce qui concerne le rapport de causalité, l'acte ou l'omission doit être en relation de causalité naturelle et adéquate avec le dommage. En cas d'omission, l'examen du lien de causalité revient à se demander si le dommage serait également survenu si l'acte omis avait été accompli. On parle alors de lien de causalité hypothétique (<ref-ruling> consid. 8.1; <ref-ruling> consid. 9.2; <ref-ruling> consid. 5a; TOBIAS JAAG, op. cit., p. 34). En cette matière, la jurisprudence n'exige pas une preuve stricte. Il suffit que le juge parvienne à la conviction qu'une vraisemblance prépondérante plaide pour un certain cours des événements (ATF <ref-ruling> précité; <ref-ruling> consid. 3.5 et les références).
4.
4.1. En l'espèce, le Tribunal administratif fédéral a constaté que le dommage invoqué par A._ était de nature patrimoniale et consistait en la non-prise en compte de la période allant du 1 er octobre 1980 au 31 décembre 1998 dans la détermination de sa prestation de vieillesse due en vertu de la prévoyance professionnelle obligatoire. Il a donc recherché l'existence d'une norme de comportement ayant pour but de protéger le patrimoine de A._ et imposant à l'EPFL de prendre en faveur du lésé une mesure qu'elle aurait omis de prendre. Dans ce contexte, il a distingué la période sous l'empire de la LPP de celle précédant l'entrée en vigueur de cette loi.
4.2.
4.2.1. Sous l'empire de la LPP, les premiers juges ont considéré que l'art. 10 al. 1, première phrase, LPP avait notamment pour but de préserver les intérêts patrimoniaux des employés par la constitution d'un avoir de prévoyance sur la base de toutes les années cotisées ou qui auraient dû l'être afin de percevoir une rente complète lors de la survenance du cas d'assurance. A cet égard, l'EPFL avait deux obligations: celle d'annoncer l'intéressé à Publica (art. 10 de l'ordonnance du 18 avril 1984 sur la prévoyance professionnelle vieillesse, survivants et invalidité [OPP 2; RS 831.441.1]) et celle de verser à cette dernière ses propres cotisations et celles de A._ (art. 66 al. 2 LPP). Ces dispositions imposaient à l'EPFL de prendre en faveur de A._ des mesures et, en tant qu'employeur, l'EPFL avait une obligation de garant vis-à-vis de celui-ci. En ne l'annonçant pas à Publica et en ne versant pas pour lui les cotisations dues, elle avait violé ses devoirs de prévoyance. Aucun motif ne justifiait son inaction. En effet, l'erreur dans la qualification des relations juridiques en contrat de mandat de droit public de durée déterminée ne pouvait pas justifier de telles omissions, puisque celles-ci étaient la conséquence d'une violation du droit imputable à l'EPFL. Aussi les premiers juges ont-ils considéré que l'EPFL avait commis un acte illicite du 1 er janvier 1985 (date de l'entrée en vigueur de la LPP) au 30 avril 2008 (date de la fin des rapports de service).
4.2.2. En ce qui concerne la période précédente, les premiers juges ont considéré que l'instauration d'une caisse fédérale d'assurance avait aussi pour but la protection du patrimoine de l'intéressé en lui permettant, en tant qu'employé de l'EPFL au bénéfice d'un contrat de travail de durée indéterminée, de bénéficier à l'âge de la retraite d'une rente permettant de subvenir à ses besoins. Ils ont déduit de diverses dispositions de l'ancienne loi fédérale du 30 septembre 1919 concernant la caisse d'assurance des fonctionnaires, employés et ouvriers fédéraux (RO 36 755) et de l'ancienne loi fédérale du 28 juin 1968 modifiant la loi fédérale du 30 juin 1927 sur le statut des fonctionnaires (RO 1968 1265) que l'assurance était obligatoire pour l'intéressé et qu'il incombait à l'EPFL de prélever les cotisations. Partant, il existait pour la période en cause (du 1 er octobre 1980 au 31 décembre 1984) des dispositions juridiques imposant à l'EPFL de prendre des mesures en faveur de A._ dans le but de protéger ses intérêts patrimoniaux par la constitution d'un avoir de prévoyance, de sorte que l'on devait retenir la réalisation d'un acte illicite pour cette période également.
4.3. S'agissant des délais de péremption/prescription de la demande de dommages-intérêts, le Tribunal administratif fédéral a retenu que le délai absolu de dix ans avait commencé à courir à partir de la cessation du comportement dommageable, aussi bien en appliquant l'art. 20 al. 1 LRCF dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2019 que dans sa teneur actuelle (cf. consid. 6.2.1 infra). En l'occurrence, le comportement dommageable avait consisté en le défaut d'annonce de A._ à Publica et en le non-paiement des cotisations. Les obligations d'agir de l'EPFL avaient pris fin en même temps que le contrat de travail de durée indéterminée, soit le 30 avril 2008. A partir du 1 er mai 2008, celle-ci n'avait plus une position de garant vis-à-vis de A._ et son comportement dommageable avait donc cessé. En déposant sa demande le 24 décembre 2014 devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois, A._ avait ainsi sauvegardé le délai de péremption/prescription absolu de dix ans.
Quant au délai relatif d'une année à compter du jour de la connaissance du dommage, les premiers juges ont considéré qu'il avait également été respecté, A._ ayant acquis la connaissance effective de son dommage au moment où l'arrêt 9C_640/2013 du 23 avril 2014 lui avait été notifié.
4.4. Le Tribunal administratif fédéral a ensuite examiné l'existence d'un lien de causalité entre les omissions de l'EPFL et le dommage de l'intéressé, ainsi que l'existence d'une faute concomitante de A._ (art. 4 LRCF). Il a retenu que si l'EPFL avait effectué les démarches auprès de Publica pour annoncer l'intéressé dès le 1 er octobre 1980, les droits et obligations respectifs des parties auraient été déterminés, l'EPFL aurait cotisé en faveur de l'employé dès le début des relations de travail et les créances originaires de cotisations n'auraient pas été prescrites pour la période allant du 1 er octobre 1980 au 31 décembre 1998. Autrement dit, si l'EPFL avait respecté ses devoirs de prévoyance à l'égard de son employé, ce dernier aurait bénéficié d'une prestation de vieillesse déterminée sur la base de cotisations versées pendant toute la période d'engagement. Les omissions de l'EPFL étaient donc dans un rapport de causalité hypothétique avec le dommage subi par A._.
Cependant, ce dernier avait omis de prendre des mesures raisonnablement exigibles de sa part et propres à diminuer le dommage allégué. En effet, au plus tard à la réception de l'arrêt du 28 juin 2006 (cause 2A.658/2005), par lequel il avait été mis au bénéfice d'un contrat de travail de durée indéterminée dans le respect des règles régissant les assurances sociales, il pouvait être attendu de lui qu'il se renseigne auprès de la caisse de pension de son employeur sur les conséquences pratiques de cet arrêt, d'autant plus que son employeur ne l'avait pas encore annoncé et qu'il était en litige avec lui à ce sujet. Or A._ n'avait pas contacté Publica, pas même lorsqu'il avait atteint l'âge de la retraite le 2 avril 2008. Au contraire, il s'était opposé à ce que son dossier fût transmis à cette institution pour qu'elle se prononce sur la date d'affiliation. Publica avait finalement été informée des rapports de travail le 18 décembre 2008 lorsque la décision incidente du 17 décembre 2008 du Tribunal administratif fédéral lui avait été notifiée. Cette date avait interrompu la prescription (délai absolu) de dix ans des créances originaires de cotisations. Or si l'intéressé s'était renseigné directement auprès de Publica dans le courant du mois de juillet 2006, les créances originaires nées entre le 1 er août 1996 et le 31 décembre 1998 n'auraient pas été prescrites.
4.5. Concernant enfin le montant du dommage, les premiers juges ont retenu qu'il consistait en la non-augmentation de l'actif de A._, du fait qu'il percevait une prestation de vieillesse de la prévoyance professionnelle obligatoire déterminée en fonction des bonifications de vieillesse pour la période d'assurance du 1 er janvier 1999 au 30 avril 2008, alors que si l'EPFL avait respecté ses obligations, sa prestation de vieillesse aurait été déterminée en fonction des bonifications de vieillesse pour la période d'assurance du 1 er octobre 1980 au 30 avril 2008. Vu la faute de A._, son indemnité devait toutefois être réduite et calculée de telle sorte qu'il soit indemnisé pour la différence entre la prestation qu'il aurait perçue si l'EPFL avait cotisé pour lui du 1 er octobre 1980 au 30 avril 2008 et la prestation qu'il aurait touchée si celle-ci avait été déterminée en fonction de bonifications de vieillesse pour une période d'assurance allant du 1 er août 1996 au 30 avril 2008.
5.
Il convient d'examiner les griefs des recours en suivant l'ordre des considérants de l'arrêt attaqué.
5.1. L'EPFL reproche aux premiers juges d'avoir violé l'art. 3 al. 1 LRCF (en lien avec l'art. 19 al. 1 let. a LRCF) en considérant qu'elle avait commis un acte illicite et qu'elle avait une position de garant vis-à-vis de son ancien employé, alors qu'ils auraient selon elle dû exclure l'existence d'une norme de comportement pouvant fonder sa responsabilité. Elle fait valoir à cet égard que l'absence d'annonce d'un salarié par l'employeur ne nuirait pas à son affiliation puisque celle-ci a lieu rétroactivement depuis le début des rapports de travail. En outre, ni la LPP ni l'OPP 2 ne fixeraient le délai dans lequel l'annonce des salariés doit intervenir et, si celle-ci doit en principe être faite immédiatement, ce serait uniquement pour permettre de déterminer rapidement le montant des cotisations. Aussi, selon l'EPFL, l'obligation d'annonce aurait principalement pour but de protéger les intérêts patrimoniaux des caisses de pensions, afin de connaître le montant des cotisations dont l'employeur est l'unique débiteur. Le régime d'affiliation LPP ne viserait qu'indirectement les intérêts patrimoniaux des employés, ce qui ne suffirait pas pour retenir la violation d'une norme de comportement ayant pour but de protéger le bien juridique lésé en l'espèce. Le dommage économique de A._ n'entrerait dès lors pas dans le domaine de protection des dispositions générales de la LPP et de l'OPP 2.
5.2. Sous le titre marginal "But", l'art. 1 al. 1 LPP dispose que la prévoyance professionnelle comprend l'ensemble des mesures prises sur une base collective pour permettre aux personnes âgées, aux survivants et aux invalides, ensemble avec les prestations de l'assurance vieillesse, survivants et invalidité fédérale (AVS/AI), de maintenir leur niveau de vie de manière appropriée lors de la réalisation d'un cas d'assurance vieillesse, décès ou invalidité. Le maintien du niveau de vie lors de la survenance d'un cas d'assurance - et par là les intérêts patrimoniaux des assurés - figure ainsi au premier plan des objectifs poursuivis par la prévoyance professionnelle. Quant aux normes de comportement retenues par les premiers juges, elles ont bel et bien pour but de protéger le bien juridique lésé en l'espèce. Selon l'art. 10 al. 1, première phrase, LPP, l'assurance obligatoire commence en même temps que les rapports de travail. La couverture d'assurance prend donc effet dès le début des rapports de travail. La disposition vise non seulement à une protection immédiate contre les risques de décès et d'invalidité mais également à éviter des lacunes dans la prévoyance vieillesse (Message du 19 décembre 1975 à l'appui d'un projet de loi sur la prévoyance professionnelle vieillesse, survivants et invalidité, FF 1976 I 164 ch. 411.1 et 192 ch. 521.1; BRECHBÜHL/GECKELER HUNZIKER, in LPP et LFLP, 2 e éd. 2020, n° 2 ad art. 10 LPP). Dans ce contexte, il appartient à l'employeur d'annoncer à l'institution de prévoyance tous les salariés soumis à l'assurance obligatoire et de lui fournir les indications nécessaires à la tenue des comptes de vieillesse et au calcul des cotisations (art. 10, première phrase, OPP 2). Celui-ci est en outre débiteur de la totalité des cotisations envers l'institution de prévoyance, laquelle peut majorer d'un intérêt moratoire les cotisations payées tardivement (art. 66 al. 2 LPP). Il suit de là que l'EPFL était responsable d'annoncer A._ à l'institution de prévoyance et de payer l'intégralité des cotisations, soit sa part des cotisations et celle de son employé. Elle avait ainsi une obligation d'agir, dans le cadre de laquelle elle assumait une position de garant envers son employé.
Certes, le défaut d'annonce et de paiement des cotisations pendant les rapports de service découle d'une qualification erronée des relations contractuelles en contrat de mandat. Comme l'ont retenu les premiers juges, cela ne constitue toutefois pas un motif justificatif permettant d'écarter le caractère illicite de l'omission. En effet, sauf exceptions non pertinentes en l'espèce, la responsabilité de l'Etat est causale, ou objective, c'est-à-dire indépendante d'une éventuelle faute de l'auteur du dommage (cf. art. 3 al. 1 LRCF; TOBIAS JAAG, op. cit., p. 35).
On relèvera enfin que l'EPFL ne discute pas la motivation de l'arrêt attaqué en tant qu'elle concerne la période précédant l'entrée en vigueur de la LPP. L'on peut se rallier à cet égard aux considérations pertinentes figurant aux consid. 5.4.1.1 et 5.4.1.2 de l'arrêt attaqué.
Il s'ensuit que la juridiction précédente n'a pas violé le droit fédéral en retenant que la condition de l'illicéité au sens de l'art. 3 al. 1 LRCF était réalisée.
6.
6.1. Invoquant la violation de l'art. 20 al. 1 LRCF en lien avec l'art. 60 al. 1 CO, l'EPFL soutient ensuite que la demande de dommages-intérêts serait prescrite. Selon elle, la juridiction précédente serait sortie du cadre de l'objet du litige en fixant le point de départ du délai de prescription absolu à la fin des rapports de travail (soit au 30 avril 2008), puisque le dommage dont la réparation est demandée concerne exclusivement la période du 1 er octobre 1980 au 31 décembre 1998. Le comportement de l'employeur ne pourrait donc pas être qualifié de dommageable après cette date. En outre, l'EPFL soutient que l'origine du dommage ne serait pas le défaut d'annonce à Publica (lequel serait en réalité une omission ponctuelle induite par la mauvaise qualification initiale des rapports de travail) mais le fait que les cotisations n'ont pas été versées du 1 er octobre 1980 au 31 décembre 1998. Ainsi, le comportement dommageable, de même que le lien de causalité hypothétique, auraient cessé fin décembre 1998, les cotisations ultérieures ayant pu être versées. En conclusion, selon l'EPFL, le délai de prescription absolu aurait commencé à courir dès le 1 er janvier 1999.
6.2.
6.2.1. Dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2019, l'art. 20 al. 1 LRCF prévoyait que la responsabilité de la Confédération (art. 3 ss) s'éteint si le lésé n'introduit pas sa demande de dommages-intérêts ou d'indemnité à titre de réparation morale dans l'année à compter du jour où il a eu connaissance du dommage, et en tout cas dans les dix ans à compter de l'acte dommageable du fonctionnaire. Selon la jurisprudence, il s'agit d'un délai de péremption, et non de prescription, lequel ne peut pas être interrompu, mais uniquement sauvegardé par l'introduction en temps utile de la demande (<ref-ruling> consid. 6; <ref-ruling> consid. 6).
Depuis le 1 er janvier 2020, ensuite de la révision du droit de la prescription (modification du 15 juin 2018 du CO [RO 2018 5343]), les délais de péremption de l'art. 20 al. 1 LRCF ont été modifiés en des délais de prescription (WILDHABER/DEDE, in Berner Kommentar, Die Verjährung Art. 127-142 OR, n° 115 ad Vorbemerkungen zu Art. 127-142 OR et n° 224 ad art. 127 CO). Plus précisément, ils ont été remplacés par les délais généraux de prescription en matière de responsabilité délictuelle (Message du 29 novembre 2013 relatif à la modification du code des obligations [Droit de la prescription], FF 2014 252 ch. 2.2). L'art. 20 al. 1 LRCF dispose désormais que l'action contre la Confédération (art. 3 ss) se prescrit conformément aux dispositions du code des obligations sur les actes illicites. Conformément à l'art. 60 al. 1 CO, l'action en dommages-intérêts ou en paiement d'une somme d'argent à titre de réparation morale se prescrit par trois ans à compter du jour où la partie lésée a eu connaissance du dommage ainsi que de la personne tenue à réparation et, dans tous les cas, par dix ans à compter du jour où le fait dommageable s'est produit ou a cessé.
6.2.2. En matière de droit transitoire, l'art. 49 Tit. fin. CC règle la prescription des droits lorsqu'elle n'est pas encore acquise, d'après la loi ancienne, au moment de l'entrée en force de la loi nouvelle; il est applicable à défaut de dispositions spéciales (cf. FF 2014 230 s. ch. 1.2). Il y a lieu de s'y référer, s'agissant de la modification, au 1 er janvier 2020, de l'art. 20 al. 1 LRCF (WILDHABER/DEDE, op. cit., n° 115 Vorbemerkungen zu Art. 127-142 OR; RAPHAEL MÄRKI, Das neue Verjährungsrecht - Übergangsrechtliche Regeln, in Das neue Verjährungsrecht, Tagung vom 29. Oktober 2019, p. 165 et 187 s.).
Aussi, conformément à l'art. 49 al. 1 Tit. fin. CC, lorsque le nouveau droit prévoit des délais de prescription plus longs que l'ancien droit, le nouveau droit s'applique dès lors que la prescription n'est pas échue en vertu de l'ancien droit; lorsque le nouveau droit prévoit des délais de prescription plus courts que l'ancien droit, l'ancien droit s'applique (al. 2); l'entrée en vigueur du nouveau droit est sans effets sur le début des délais de prescription en cours, à moins que la loi n'en dispose autrement (al. 3). En l'occurrence, l'application du nouveau droit - dont le délai de prescription relatif est plus long - supposerait que la prescription ne soit pas échue à son entrée en vigueur. Or, à suivre le raisonnement des premiers juges sur le point de départ du délai de péremption absolu (cf. consid. 4.3 supra), au 1 er janvier 2020, ce délai était échu. Il n'y avait donc pas de place pour l'application éventuelle du nouveau droit, bien que la question ne joue pas un rôle décisif en l'espèce.
6.2.3. Lorsque l'ampleur du préjudice résulte d'une "situation qui évolue", le délai de prescription ne court pas avant le terme de l'évolution (<ref-ruling> consid. 3c). Tel est le cas lorsqu'un préjudice est causé par des comportements dommageables répétés ou s'inscrivant dans la durée (cf. <ref-ruling> consid. 6.1.2 "Bei wiederholtem oder andauerndem schädigenden Verhalten [...]"; cf. également <ref-ruling> consid. 3c "Finché l'evento dannoso perdura [...]" et <ref-ruling> consid. 3 "solange das schädigende Ereignis andauert"). Autrement dit, en cas de comportements dommageables répétés ou s'inscrivant dans la durée, le délai de prescription absolu commence à courir à partir du dernier acte illicite (<ref-ruling> consid. 5b) ou au moment où la continuité de l'acte est rompue (cf. arrêt de la CourEDH Howald Moor et autres contre Suisse du 11 mars 2014, § 55). Ces considérations sur le dies a quo de délais de prescription des actions de droit privé sont également applicables aux délais de péremption de l'ancien art. 20 al. 1 LRCF (cf. <ref-ruling> consid. 1c; arrêts 8C_244/2020 précité consid. 4.3; 2C_372/2018 du 25 juillet 2018; 5A.3/1999 du 18 janvier 2000 consid. 2a, non publié in <ref-ruling>).
6.2.4. En l'espèce, l'absence d'annonce à l'institution de prévoyance n'a certes pas eu d'effet sur l'affiliation de A._, intervenue de plein droit dès le début des relations de travail (<ref-ruling> consid. 4.2.1). Il n'en reste pas moins qu'elle est étroitement liée à l'absence de paiement des cotisations de prévoyance professionnelle et responsable de la prescription (partielle) des créances originaires de cotisations (cf. consid. 7.4.3 infra). A cet égard, il n'est pas contesté que le défaut de paiement des cotisations de prévoyance professionnelle durant les rapports de service a eu un impact négatif sur l'étendue de la prestation de vieillesse de A._ (<ref-ruling> consid. 7). Le comportement dommageable de l'EPFL, en tant que celle-ci n'a pas porté les rapports de service à la connaissance de l'institution de prévoyance ni payé les cotisations y relatives, s'est inscrit dans la durée et, comme l'ont retenu à juste titre les premiers juges, la continuité de l'acte, respectivement de l'omission, n'a été rompue qu'à l'expiration des rapports de service (au 30 avril 2008), au moment où l'employeur n'était plus tenu de verser des cotisations en faveur de A._. Le fait qu'en septembre 2011, l'EPFL a versé les cotisations pour la période du 1 er janvier 1999 au 30 avril 2008 ne supprime pas rétroactivement le caractère en soi dommageable du comportement adopté jusque-là. On ne saisit d'ailleurs pas en quoi le Tribunal administratif fédéral aurait outrepassé le cadre du litige en fixant le point de départ du délai de péremption absolu hors de la période correspondant aux années de cotisations prescrites. En conclusion, en déposant sa demande de dommages-intérêts le 24 décembre 2014, A._ a agi dans le délai absolu de dix ans. Pour le reste, le respect du délai relatif de péremption n'est pas contesté par l'EPFL et il n'y a pas lieu d'y revenir.
7.
7.1. Les considérations des premiers juges sur l'existence d'un lien de causalité entre l'acte illicite (le défaut d'annonce et de paiement des cotisations) et le dommage ne sont pas davantage discutées par les parties. Il est à cet égard indéniable que la lacune de cotisations a influencé l'étendue de la prestation de vieillesse de A._ - ce qui a été constaté à l'<ref-ruling> - et que si l'EPFL avait respecté ses obligations légales (cf. consid. 5.2 supra), A._ aurait perçu et percevrait encore une prestation de vieillesse plus élevée.
7.2. Il sied maintenant d'examiner la question de la faute propre de l'intéressé.
Sur ce point, A._ invoque la violation de son droit d'être entendu, au motif que les premiers juges ne l'ont pas averti, avant de statuer, qu'ils envisageaient de réduire les dommages-intérêts en raison d'une faute concomitante. Il se plaint également d'un établissement arbitraire des faits, en tant qu'il lui est reproché de ne pas s'être renseigné sur sa situation auprès de Publica. Il fait valoir qu'entre avril 2006 et décembre 2008, il était engagé dans une procédure pour faire reconnaître ses droits en tant qu'employé et que les décisions de l'EPFL du 27 novembre 2007 et de la CRIEPF du 4 novembre 2008 prévoyaient justement la transmission de son dossier à Publica, respectivement son affiliation. A._ conteste par ailleurs s'être opposé à la transmission de son dossier à Publica et soutient que la constatation des premiers juges à ce sujet serait dépourvue de fondement. Il en déduit que la juridiction précédente aurait violé le droit fédéral en matière de responsabilité en retenant une faute concomitante à son encontre.
7.3.
7.3.1. La jurisprudence a déduit de l'art. 29 al. 2 Cst. le droit des parties d'être informées et de s'exprimer sur les éléments pertinents du litige avant qu'une décision touchant leur situation juridique soit prise, d'obtenir l'administration des preuves pertinentes et valablement offertes, de participer à l'administration des preuves essentielles et de se déterminer sur son résultat lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 4.3.2; <ref-ruling> consid. 3.1 et les références). Le droit d'être entendu est à la fois une institution servant à l'instruction de la cause et une faculté de la partie, en rapport avec sa personne, de participer au prononcé de décisions qui lèsent sa situation juridique (arrêt 4A_268/2016 du 14 décembre 2016 consid. 3.1, non publié in <ref-ruling>; <ref-ruling> consid. 2a/aa; <ref-ruling> consid. 3a et les arrêts cités). Le droit de s'exprimer sur tous les points importants avant qu'une décision soit prise s'applique sans restriction pour les questions de fait. Pour ce qui est de la qualification juridique des faits, ce droit ne vaut que lorsqu'une partie change inopinément son point de vue juridique ou lorsque l'autorité a l'intention de s'appuyer sur des arguments juridiques inconnus des parties et dont celles-ci ne pouvaient pas prévoir l'adoption (<ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 2c/aa et 2d/bb; <ref-ruling> consid. 3c); il faut qu'il s'agisse d'un motif juridique non évoqué, dont aucune des parties ne pouvait supputer la pertinence (arrêt 4A_268/2016 précité et les références).
7.3.2. L'objet du litige déféré à l'instance précédente portait sur une demande de dommages-intérêts fondée sur l'art. 3 LRCF. En matière de responsabilité de la Confédération découlant d'un dommage, l'art. 4 LRCF prévoit que l'autorité compétente peut réduire les dommages-intérêts ou même n'en point allouer lorsque la partie lésée a consenti à la lésion ou lorsque des faits dont elle est responsable ont contribué à créer ou à augmenter le dommage. Une admission du principe de la responsabilité impliquait donc pour les premiers juges de se pencher sur la question d'une éventuelle réduction du dommage pour faute propre du lésé. En outre et comme on l'a déjà dit, le lien de causalité entre le comportement dommageable et le dommage est susceptible d'être rompu en cas de faute grave du lésé (cf. consid. 1.3.3 supra). On ne se trouve donc manifestement pas dans un cas où l'autorité se serait fondée sur des normes légales dont la prise en compte ne pouvait pas être raisonnablement prévue par les parties. Le moyen tiré d'une prétendue violation du droit d'être entendu est dès lors mal fondé.
7.4.
7.4.1. L'art. 4 LRCF correspond à l'art. 44 al. 1 CO, de sorte qu'il est possible de s'inspirer de la jurisprudence sur la faute propre du lésé ("Selbstverschulden") selon cette dernière disposition pour examiner les raisons qui, selon la première, justifient une réduction ou une exclusion des dommages-intérêts (<ref-ruling> consid. 3b; AUBRY GIRARDIN, Responsabilité de l'Etat: un aperçu de la jurisprudence, in La responsabilité de l'Etat, 2012, p. 141). En droit civil, une faute concomitante du lésé doit être retenue si ce dernier, par son comportement, a contribué dans une mesure importante à créer ou à aggraver le dommage alors que l'on aurait pu attendre raisonnablement de tout tiers se trouvant dans la même situation qu'il prenne des mesures de précaution, susceptibles d'écarter ou de réduire ce dommage (<ref-ruling> consid. 6.3.2).
En matière de responsabilité de l'employeur pour le non-paiement des cotisations sociales au sens de l'art. 52 LAVS, la jurisprudence admet l'application par analogie des art. 4 LRCF et 44 al. 1 CO, conduisant à la réduction de l'obligation de réparer le dommage en raison d'une faute propre de la caisse de compensation intéressée (<ref-ruling>). Il faut cependant que l'administration ait gravement violé ses devoirs, ce qui sera le cas lorsque la caisse a violé des prescriptions élémentaires en matière de fixation et de perception des cotisations; la violation de ces obligations doit être constitutive de négligence grave et être en relation de causalité avec le dommage subi (<ref-ruling> précité consid. 3c; arrêts 9C_37/2019 du 1 er juillet 2019 consid. 2, in SVR 2019 AHV n° 23 p. 65; H 57/06 du 26 juin 2006 consid. 5.1 et la référence).
7.4.2. En l'espèce, il n'est pas contesté que A._ ne s'est pas renseigné auprès de Publica sur ses droits en matière de prévoyance professionnelle à réception de l'arrêt du Tribunal fédéral du 28 juin 2006 lui reconnaissant son statut d'employé public soumis à la LPers. Sur ce point, on ne saurait reprocher aux premiers juges d'avoir établi les faits de manière arbitraire. En revanche, s'agissant de leur constatation selon laquelle A._ s'est opposé à ce que son dossier soit transmis à Publica pour qu'elle se prononce sur sa date d'affiliation, si en soi cette constatation n'apparaît pas erronée, elle n'en reste pas moins sujette à caution dans la mesure où elle laisse entendre que le prénommé ne souhaitait pas que l'institution de prévoyance fût mise au courant des rapports de service. A l'évidence, tel n'était pas le but poursuivi par A._ en recourant contre les décisions de l'EPFL du 27 novembre 2007 et de la CRIEPF du 4 novembre 2008 en tant qu'elles transmettaient le dossier à Publica pour que celle-ci se prononce sur le caractère éventuellement rétroactif de son affiliation. En effet, si l'intéressé s'y est opposé, c'est parce qu'il considérait qu'il n'appartenait pas à Publica de se prononcer sur la question, mais aux autorités saisies d'ordonner son affiliation avec effet rétroactif au 1 er octobre 1980 (cf. la motivation et les conclusions des actes de recours; voir aussi arrêt A-7976/2008 du Tribunal administratif fédéral du 13 janvier 2010 consid. 3 et arrêt 9C_640/2013 let. A.b). Cela dit, le point de savoir si l'on peut retenir une faute concomitante de l'intéressé sur la base des constatations de fait de l'arrêt attaqué, avec la précision susmentionnée, est une question de droit, que la cour de céans revoit librement.
7.4.3. En l'occurrence, dans l'arrêt 2A.658/2005 du 28 juin 2006, le Tribunal fédéral a considéré que A._ devait être mis au bénéfice d'un contrat de travail de durée indéterminée dans le respect des règles régissant les assurances sociales (consid. 4). Ensuite, dans l'arrêt 9C_640/2013 rendu le 23 avril 2014 (<ref-ruling>), il a examiné la question de la prescription des créances originaires de cotisations en se fondant sur les principes découlant de l'<ref-ruling>, selon lesquels si l'institution de prévoyance n'a pas connaissance de l'existence de rapports de travail soumis à cotisations à cause d'une violation qualifiée de l'obligation de déclarer de l'employeur, l'exigibilité des créances de cotisations est différée jusqu'au moment où l'institution a connaissance de l'existence des rapports de travail déterminants; dans un tel cas, la créance individuelle de cotisation se prescrit cependant de manière absolue par dix ans à compter de sa naissance virtuelle. Aussi le Tribunal fédéral a-t-il confirmé la prescription des créances de cotisations pour la période du 1 er octobre 1980 au 31 décembre 1998, étant donné que Publica avait été informée de l'existence des rapports de service le 18 décembre 2008 seulement (consid. 6.3.1, 6.3.4 et 6.4).
Il suit de là que A._ aurait effectivement pu réduire l'étendue des créances prescrites en portant immédiatement à la connaissance de Publica l'existence des rapports de service ensuite de l'arrêt 2A.658/2005. Cela ne suffit toutefois pas pour retenir un manquement fautif de sa part au sens de l'art. 4 LRCF. Encore faut-il que l'on puisse lui reprocher d'avoir contribué dans une mesure importante à l'aggravation du dommage en adoptant un comportement déraisonnable, autrement dit en ne prenant pas des mesures exigibles de tout un chacun ou en violant des prescriptions élémentaires. En l'espèce toutefois, l'obligation d'annoncer à l'institution de prévoyance l'existence d'un rapport soumis à l'assurance obligatoire incombait à l'EPFL (cf. art. 10, première phrase, OPP 2; cf. consid. 5.2 supra) et on ne pouvait raisonnablement pas attendre de A._ qu'il s'annonce spontanément à Publica à la place de son employeur. Cela reviendrait à lui reprocher de n'avoir pas anticipé l'impact qu'une annonce aurait sur l'exigibilité des créances de cotisations conformément à une jurisprudence dont l'application au cas d'espèce a d'ailleurs fait l'objet d'un arrêt publié. Au surplus, A._ n'est pas resté inactif à la suite de l'arrêt 2A.658/2005, au vu du litige qui s'est ensuivi au sujet précisément de l'affiliation à Publica.
Dans ces conditions, le prénommé ne saurait être tenu pour responsable de faits ayant contribué à augmenter le dommage au sens de l'art. 4 LRCF. En réduisant à ce titre les dommages-intérêts, les premiers juges ont violé le droit fédéral.
8.
8.1. En ce qui concerne finalement le montant du dommage, l'EPFL reproche à la juridiction précédente d'avoir omis de tenir compte des cotisations qui auraient dû être déduites de la rémunération de A._ au cours des années 1980 à 1998. Elle requiert de pouvoir compenser, sur la base de l'art. 120 CO, la prétention en dommages-intérêts de A._ avec sa propre créance relative à la part des cotisations incombant à l'employé.
8.2. A._ soutient qu'un tel moyen ne serait pas recevable dans la mesure où l'EPFL n'a pris aucune conclusion visant à une réduction du dommage devant le Tribunal administratif fédéral. En tout état de cause, il conteste que l'EPFL détienne une créance propre au titre de la part employé des cotisations LPP.
8.3.
8.3.1. Contrairement à ce que soutient le prénommé, l'argumentation de l'EPFL - présentée pour la première fois dans le cadre du recours en matière de droit public - est admissible, même si la question de la prise en considération dans le calcul du dommage des cotisations non payées par l'employé n'a fait l'objet ni de la décision administrative, ni de l'arrêt de l'autorité judiciaire précédente. En effet, dans la mesure où il applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), le Tribunal fédéral n'est pas lié par la motivation retenue par la décision attaquée, ni d'ailleurs par les motifs que les parties invoquent devant lui; en particulier, il peut admettre ou rejeter un recours en adoptant une autre argumentation juridique que celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.3.2; <ref-ruling> consid. 2.1). En outre, l'ampleur du dommage constitue un aspect de l'objet de la procédure, soit le droit de A._ à des dommages-intérêts de la part de l'EPFL en raison de sa prestation de vieillesse lacunaire. L'argumentation juridique nouvelle de l'EPFL se situe donc dans les limites de l'objet du litige et elle ne se fonde pas sur des faits dont on ne pourrait pas tenir compte (soit ceux qui n'ont pas été constatés dans l'arrêt attaqué ou qui ne peuvent pas être ajoutés par un complément conforme à l'art. 105 al. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 8.2; <ref-ruling> consid. 4.1).
8.3.2. Le dommage juridiquement reconnu réside dans la diminution involontaire de la fortune nette; il correspond à la différence entre le montant actuel du patrimoine du lésé et le montant qu'aurait ce même patrimoine si l'événement dommageable ne s'était pas produit. Il peut se présenter sous la forme d'une diminution de l'actif, d'une augmentation du passif, d'une non-augmentation de l'actif ou d'une non-diminution du passif (<ref-ruling> consid. 8.1.1; <ref-ruling> consid. 4.4.2; <ref-ruling> consid. 4 et les références). Le calcul du dommage procède donc d'une comparaison entre la situation patrimoniale actuelle et concrète du lésé et celle qui aurait cours si l'événement dommageable ne s'était pas produit. En l'espèce, si l'EPFL avait respecté ses obligations d'employeur à l'égard de A._ et versé les cotisations LPP à Publica pendant les rapports de service, elle aurait forcément prélevé sur le salaire de A._ la part des cotisations incombant à l'employé. Cette circonstance ne saurait dépendre du point de savoir si l'EPFL dispose actuellement d'une créance propre opposable en compensation à l'encontre de son ancien employé. Il se justifiera donc, comme le requiert l'EPFL, de déduire du montant du dommage fixé conformément aux instructions de l'autorité précédente la somme des cotisations LPP qui auraient été à la charge de A._ pour les années 1980 à 1998. Sur ce point, le recours de l'EPFL se révèle bien fondé.
9.
9.1. Par un dernier grief portant également sur le calcul du dommage, A._ reproche à la juridiction précédente de ne pas l'avoir directement établi alors qu'elle disposait de tous les éléments utiles pour ce faire. Au besoin, il lui appartenait d'instruire la question d'office conformément à l'art. 12 PA (RS 172.021). En renvoyant le dossier à l'EPFL, elle aurait donc violé l'art. 61 al. 1 PA, en vertu duquel l'autorité de recours statue elle-même sur l'affaire ou exceptionnellement la renvoie avec des instructions impératives à l'autorité inférieure. Par ailleurs, invoquant l'art. 107 al. 2 LTF et les nombreuses années depuis lesquelles il tente d'obtenir les moyens financiers pour vivre sa retraite, A._ demande au Tribunal fédéral de statuer lui-même sur ce point.
9.2. La juridiction précédente a justifié le renvoi de la cause en exposant qu'elle n'avait pas à clarifier une question de fait essentielle, de nature technique et nécessitant des connaissances spécifiques en matière de prévoyance professionnelle obligatoire, en se substituant aux autorités inférieures; en outre, elle ne pouvait pas établir l'état de fait pertinent au même titre que ces autorités sous peine de priver la partie d'une instance de recours. Aussi a-t-elle renvoyé la cause à l'EPFL afin qu'elle établisse en collaboration avec Publica le montant des dommages-intérêts à verser à l'intéressé.
9.3. En l'espèce, il est constant que la décision de l'EPFL déférée au Tribunal fédéral administratif ne statuait pas sur le montant du préjudice subi, de sorte qu'en cas d'admission du principe de la responsabilité, les éléments pertinents pour le calcul du dommage auraient dû être établis pour la première fois par la juridiction précédente. Selon les constatations de l'arrêt attaqué, le préjudice subi consiste en la différence entre la prestation de vieillesse que A._ aurait perçue sur la base de bonifications de vieillesse pour une période d'assurance allant du 1 er octobre 1980 au 30 avril 2008 et la prestation de vieillesse déterminée en fonction des bonifications de vieillesse pour la période d'assurance du 1 er janvier 1999 au 30 avril 2008 (cf. consid. 4.5 supra). Dans son acte de recours, A._ expose son calcul du dommage dans une argumentation de type purement appellatoire, ce qui ne suffit pas à démontrer que le Tribunal fédéral administratif disposait en effet de tous les éléments pour statuer sur le montant du dommage et que les raisons invoquées pour justifier le renvoi ne seraient pas fondées. En outre, le prénommé ne conteste pas non plus qu'il s'agisse d'une question technique nécessitant la collaboration de l'institution de prévoyance. Par conséquent, les premiers juges pouvaient considérer, sans violer la maxime inquisitoire (art. 12 PA), que la constellation justifiait exceptionnellement de renvoyer la cause à l'autorité précédente, comme le permet d'ailleurs le texte de l'art. 61 PA (voir à ce sujet MADELEINE CAMPRUBI, in Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren, Kommentar [Auer/Müller/Schindler édit.], 2 e éd. 2019, ad art. 61 PA). Le renvoi se justifie d'autant plus que l'admission du recours de l'EPFL sur la question de l'étendue du dommage impliquera de connaître le montant des cotisations incombant à l'employé durant la période litigieuse.
9.4. Enfin, il n'appartient pas au Tribunal fédéral d'établir les faits sur lesquels l'autorité précédente ne s'est pas prononcée et de statuer en tant que première instance sur le montant du dommage (cf. art. 105 al. 1 LTF; <ref-ruling> consid. 6.1 in fine et les arrêts cités). Il n'y a dès lors pas lieu de faire droit à la requête formulée en ce sens par A._. On relèvera en outre que la durée de la procédure depuis le dépôt de la demande en dommages-intérêts s'explique aussi par le fait que A._ n'a initialement pas choisi la bonne voie de droit pour faire valoir sa prétention (cf. cause 9C_130/2017). On peut néanmoins inviter l'EPFL, respectivement Publica, à donner une suite rapide à la présente procédure.
10.
Vu ce qui précède, les recours des parties se révèlent tous les deux partiellement bien fondés. L'arrêt attaqué sera réformé au sens des considérants 7 et 8.
11.
A._ obtient gain de cause sur un point principal de son recours (réduction pour faute propre), alors que l'EPFL succombe sur des aspects essentiels du sien (absence d'acte illicite et prescription de la demande de dommages-intérêts). Par conséquent, il se justifie de mettre les frais judiciaires pour trois quarts à la charge de l'EPFL et pour un quart à la charge de A._ (art. 66 al. 1 LTF). Celui-ci peut également prétendre à une indemnité de dépens globale réduite à la charge de l'EPFL pour les deux procédures (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Il a en outre déposé une demande d'assistance judiciaire dans la procédure qu'il a initiée. Dès lors que les conditions d'octroi sont réalisées (art. 64 al. 1 et 2 LTF), l'assistance judiciaire lui sera accordée pour cette procédure, dans la mesure où elle n'est pas sans objet. Le recourant est toutefois rendu attentif au fait qu'il devra rembourser la caisse du Tribunal fédéral, s'il retrouve ultérieurement une situation financière lui permettant de le faire (art. 64 al. 4 LTF). De son côté, bien qu'elle obtienne en partie gain de cause, l'EPFL ne peut pas prétendre à une indemnité de dépens (art. 68 al. 3 LTF).
La cause sera renvoyée au Tribunal administratif fédéral pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure précédente (art. 68 al. 5 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 8C_110/2021 et 8C_175/2021 sont jointes.
2.
Le recours de A._ (cause 8C_110/2021) et le recours de l'EPFL (cause 8C_175/2021) sont partiellement admis. Le ch. 2, dernière phrase, du dispositif de l'arrêt du Tribunal administratif fédéral, Cour I, du 16 décembre 2020 est réformé en ce sens que la cause est renvoyée à l'EPFL pour nouvelle décision sur le montant des dommages-intérêts sans réduction au sens de l'art. 4 LRCF mais avec déduction de la part des cotisations de prévoyance professionnelle qui auraient dû être à la charge de A._ du 1 er octobre 1980 au 31 décembre 1998. Les recours sont rejetés pour le surplus.
3.
L'assistance judiciaire est accordée à A._ dans la cause 8C_110/2021, dans la mesure où elle n'est pas sans objet, et Maître Jean-François Dumoulin est désigné comme avocat d'office.
4.
Les frais judiciaires, arrêtés à 4000 fr., sont mis pour 1000 fr. à la charge de A._ et pour 3000 fr. à la charge de l'EPFL. La part des frais mise à la charge de A._ est toutefois supportée provisoirement par la caisse du Tribunal fédéral.
5.
L'EPFL versera à l'avocat de A._ la somme de 4000 fr. à titre de dépens pour les procédures devant le Tribunal fédéral.
6.
Une indemnité de 700 fr. est allouée à l'avocat de A._ à titre d'honoraires à payer par la caisse du Tribunal fédéral.
7.
La cause est renvoyée au Tribunal administratif fédéral, Cour I, pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure antérieure.
8.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Caisse fédérale de pensions PUBLICA et au Tribunal administratif fédéral, Cour I.
Lucerne, le 26 janvier 2022
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Wirthlin
La Greffière : Castella