Faits :
A.
Par jugement du 4 septembre 2018, le Tribunal de police de l'arrondissement de Lausanne a constaté que A._ s'était rendu coupable de lésions corporelles simples qualifiées, injure, menaces qualifiées et mauvais traitements infligés aux animaux, l'a condamné à une peine pécuniaire de 90 jours-amende à 30 fr. le jour, avec sursis pendant deux ans, a renoncé à révoquer le sursis accordé le 24 janvier 2013 par le Ministère public de l'arrondissement de Lausanne, a alloué à B._ la somme de 1'000 fr., valeur échue, à titre d'indemnité pour tort moral et déclaré que A._ en était le débiteur, a rejeté les conclusions en indemnité de l'<ref-law> et a dit qu'il serait statué par un jugement séparé sur la question de l'indemnité de conseil d'office de la partie plaignante et sur celle des frais judiciaires.
B.
Par jugement du 11 mars 2019, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois a partiellement admis l'appel formé par A._ et réformé le jugement attaqué en se cens qu'elle a libéré ce dernier du chef d'accusation de mauvais traitements infligés aux animaux et l'a condamné à une peine pécuniaire de 80 jours-amende à 30 fr. le jour, avec sursis pendant deux ans. Pour le surplus, elle a maintenu le jugement attaqué.
En substance, elle a retenu les faits suivants:
B.a. En 2011, A._, né en 1987, a rencontré B._. Ils se sont rapidement installés ensemble et ont eu un enfant, C._, né en 2013. Des tensions sont apparues au sein du couple en rapport notamment avec la prise en charge de l'enfant et les droits relatifs à ce dernier. Le couple s'est séparé à plusieurs reprises, des disputes et des dépôts de plaintes pénales émaillant chaque séparation. En parallèle, plusieurs procédures civiles ont été menées par la justice de paix afin de régler les questions d'autorité parentale et de droit de visite de A._ sur son fils.
B.b. A D._, au domicile du couple, le 1er juin 2015, A._ a saisi violemment B._ par le bras et l'a poussée et tirée à plusieurs reprises, ce qui l'a fait tomber au sol. Il a ensuite saisi un couteau dans la cuisine et l'a regardée de façon menaçante en lui disant « tu vas dire à tout le monde que je suis violent hein ? ». Apeurée, B._ a répondu par la négative et A._ a quitté les lieux après avoir posé le couteau.
B._, qui a souffert de plusieurs abrasions et ecchymoses, a déposé une plainte pénale.
B.c. A D._, le 26 septembre 2015, alors qu'ils étaient dans la voiture pour se rendre aux courses, A._ a insulté B._ en lui disant « espèce de saloperie ».
B._ a porté plainte pénale.
B.d. A E._, le 13 décembre 2015, vers 16h30, A._ et B._ ont eu une altercation au cours de laquelle A._ a déclaré à deux reprises « Je vais te tuer » et a fait un doigt d'honneur à B._.
B._ a déposé une plainte pénale.
C.
Contre ce dernier jugement cantonal, A._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Il conclut, principalement, à la réforme du jugement attaqué en ce sens qu'il est libéré des chefs d'accusation de lésions corporelles simples qualifiées, injure et menaces qualifiées et qu'il lui est alloué une indemnité de 26'057 fr. 30 en application de l'<ref-law>. A titre subsidiaire, il requiert que le jugement attaqué soit réformé en ce sens qu'il est libéré des chefs d'accusation de lésions corporelles simples qualifiées et de menaces qualifiées, qu'il est exempté de toute peine s'agissant du chef d'accusation d'injure et qu'une indemnité de 26'057 fr. 30 lui est allouée en application de l'<ref-law>. A titre plus subsidiaire, il demande l'annulation du jugement attaqué et le renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle instruction et nouvelle décision dans le sens des considérants. En outre, il sollicite l'assistance judiciaire.

Considérant en droit :
1.
Invoquant l'art. 6 CEDH, l'art. 30 Cst. et les <ref-law>, le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir violé la garantie d'un tribunal indépendant et impartial. Selon lui, le jugement attaqué donnerait une apparence de prévention en affirmant que " les plaintes pénales ont toutes été déposées après un épisode de violence " (jugement attaqué p. 21). Il retiendrait également que la plaignante a " expliqué qu'elle se serait disputée avec A._, qui l'aurait à cette occasion saisie par le bras et secouée jusqu'à ce qu'elle tombe sur le côté gauche " (jugement attaqué p. 11), faits qui ne ressortiraient toutefois pas des déclarations de l'intimée. Le recourant en déduit que la cour cantonale a pris fait et cause pour les différentes versions racontées par l'intimée au cours de ses auditions, au mépris des nombreux éléments au dossier démontrant des incohérences.
1.1. La garantie d'un tribunal indépendant et impartial instituée par les art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH, qui ont, de ce point de vue, la même portée, permet de demander la récusation d'un juge dont la situation ou le comportement est de nature à susciter des doutes quant à son impartialité. Elle vise à éviter que des circonstances extérieures à l'affaire puissent influencer le jugement en faveur ou au détriment d'une partie. Il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat, mais seules des circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération; les impressions purement individuelles du plaideur ne sont pas décisives (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 162 et les arrêts cités). Les <ref-law> règle la récusation en procédure pénale.
1.2. Le recourant n'invoque pas de circonstances extérieures à la cause qui aurait pu influer le jugement en sa défaveur ou en faveur de l'intimée (comme par exemple un lien de parenté ou un rapport d'amitié ou d'inimitié avec une des parties). Le seul fait que la cour cantonale aurait retenu les faits de manière arbitraire ou mal appliqué le droit fédéral ne saurait établir une apparence de prévention et justifier la récusation des juges cantonaux. Il appartient dans un tel cas au recourant de recourir à l'autorité supérieure pour se plaindre de l'établissement arbitraire des faits ou d'une mauvaise application du droit fédéral. Le grief tiré de la violation des art. 30 Cst., 6 CEDH et 56 ss CPP est donc infondé.
2.
Le recourant qualifie d'arbitraire l'établissement des faits sur plusieurs points.
2.1.
2.1.1. Le Tribunal fédéral n'est pas une autorité d'appel, auprès de laquelle les faits pourraient être rediscutés librement. Il est lié par les faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que ceux-ci n'aient été constatés en violation du droit ou de manière manifestement inexacte au sens des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, à savoir, pour l'essentiel, de façon arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 98).
En bref, une décision n'est pas arbitraire du seul fait qu'elle apparaît discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable, et cela non seulement dans sa motivation mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 503 et les références citées). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il n'y a arbitraire que lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (ibid.).
Le Tribunal fédéral n'entre en matière sur les moyens fondés sur la violation de droits fondamentaux, dont l'interdiction de l'arbitraire, que s'ils ont été invoqués et motivés de manière précise (<ref-law>; ibid.). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 30; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 368).
2.1.2. La présomption d'innocence, garantie par les <ref-law>, 32 al. 1 Cst., 14 par. 2 Pacte ONU II et 6 par. 2 CEDH, ainsi que son corollaire, le principe " in dubio pro reo ", concernent tant le fardeau de la preuve que l'appréciation des preuves au sens large (<ref-ruling> consid. 2.2.3.1 p. 348 s.; <ref-ruling> consid. 2a p. 40 s.). Lorsque l'appréciation des preuves et la constatation des faits sont critiquées en référence au principe " in dubio pro reo ", celui-ci n'a pas de portée plus large que l'interdiction de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.2.3.3 p. 351 s.; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 503; <ref-ruling> consid. 7 p. 82).
2.1.3. Les déclarations de la victime constituent un élément de preuve. Le juge doit, dans l'évaluation globale de l'ensemble des éléments probatoires rassemblés au dossier, les apprécier librement (arrêts 6B_346/2019 du 29 mai 2019 consid. 2.2; 6B_1283/2018 du 14 février 2019 consid. 1.3 et les références citées), sous réserve des cas particuliers où une expertise de la crédibilité des déclarations de la victime s'impose (cf. <ref-ruling> consid. 2.4 p. 184). Les cas de " déclarations contre déclarations ", dans lesquels les déclarations de la victime en tant que principal élément à charge et les déclarations contradictoires de la personne accusée s'opposent, ne doivent pas nécessairement, sur la base du principe " in dubio pro reo ", conduire à un acquittement. L'appréciation définitive des déclarations des participants incombe au tribunal du fond (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 127).
2.2. Le recourant soutient que la cour cantonale a retenu de manière arbitraire qu'il aurait violemment saisi l'intimée par le bras et l'aurait poussée et tirée à plusieurs reprises, ce qui l'aurait fait tomber au sol. Il lui reproche également d'avoir arbitrairement retenu qu'il avait menacé l'intimée (consid. B.b ci-dessus). Il fait valoir que les déclarations de l'intimée sont contradictoires alors que les siennes ont toujours été constantes. Il a ainsi reconnu avoir pris l'intimée par le bras et l'avoir couchée brusquement sur la table à langer de leur fils, puis lui avoir dit d'arrêter de lui faire du mal et être parti.
2.2.1. La cour cantonale n'a pas méconnu l'étendue du conflit conjugal et parental existant entre les parties et le fait que les déclarations de l'intimée étaient variables sur plusieurs points. Elle a toutefois retenu les déclarations de l'intimée, dans la mesure où celles-ci étaient corroborées par deux autres éléments, à savoir les déclarations du recourant lui-même et un certificat médical.
Ainsi, elle a relevé que les deux protagonistes s'accordaient pour dire qu'une dispute s'était déroulée le 1er juin 2015; à cet égard, le recourant avait admis qu'il avait bousculé sa compagne et qu'il l'avait plaquée sur la table à langer (procès-verbal d'audition 1, lignes 155-156).
La cour cantonale a en outre noté que les déclarations de l'intimée étaient corroborées par le rapport médical établi le 5 juin 2015 par l'Unité de médecine des violences (UMV) du CHUV. C'est en vain que le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir constaté de manière arbitraire que les lésions constatées dans ce certificat médical étaient compatibles avec les faits relatés par l'intimée (cf. jugement attaqué p. 12). Certes, les auteurs du certificat médical n'ont pas pu établir que les lésions avaient été causées par le recourant. Le certificat constate néanmoins que l'intimée souffrait d'abrasions cutanées rougeâtres sur le bras gauche et d'ecchymoses sur les cuisses quatre jours après la dispute intervenue entre les parties. Ces blessures sont objectives et il n'est pas arbitraire de retenir qu'elles sont compatibles avec les déclarations de l'intimée. La cour cantonale n'a ainsi pas versé dans l'arbitraire en retenant que, le 1er juin 2015, le recourant avait frappé l'intimée, ce qui lui avait occasionné des abrasions et des ecchymoses.
2.2.2. S'agissant des menaces proférées par le recourant, la cour cantonale a retenu ces faits comme étant établis au motif que les déclarations de l'intimée avaient été constantes. L'intimée a exposé ces faits auprès des médecins de l'Unité de médecine des violences (UMV) du CHUV le 5 juin 2015, puis les a confirmés à la police le 26 septembre 2015, lors de l'audience du 1er décembre 2015 devant le Ministère public et lors des débats de première instance du 4 septembre 2018. Compte tenu de la constance des déclarations de l'intimée, la cour cantonale n'a pas versé dans l'arbitraire en retenant que celles-ci étaient crédibles, et ce malgré les dénégations du recourant. Les griefs soulevés par le recourant sont infondés.
2.3. Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir retenu de manière arbitraire qu'il avait traité l'intimée d'" espèce de saloperie " (cf. consid. B.c ci-dessus).
La cour cantonale a retenu ces faits sur la base des déclarations du recourant lui-même qui a admis, lors de l'audition de confrontation du 1er décembre 2015, que la seule chose qu'il avait faite était d'avoir dit " espèce de saloperie " à l'intimée, alors que cette dernière venait de lui dire qu'elle allait déposer une plainte contre lui.
C'est en vain que le recourant fait valoir que l'intimée l'aurait accusé de l'avoir " saisie à la gorge " pour se raviser et préciser qu'il l'aurait en réalité seulement " prise par la veste au niveau du cou " ou encore que l'intimée aurait d'abord déclaré que les faits se seraient déroulés " une fois de retour au domicile ", puis aurait affirmé qu'ils se seraient produits " dans un endroit isolé ". En effet, ces faits ne concernent pas directement l'infraction d'injure, de sorte que les variations dans les déclarations de l'intimée ne sont pas déterminantes. Au vu des déclarations du recourant lui-même, c'est donc sans arbitraire que la cour cantonale a retenu que le recourant avait injurié l'intimée. Les griefs soulevés doivent être rejetés.
2.4. Le recourant soutient que la cour cantonale a retenu de manière arbitraire qu'il a déclaré à l'intimée à deux reprises « je vais te tuer » le 13 décembre 2015 à E._ (consid. B.d ci-dessus). Il reproche à la cour cantonale d'avoir suivi les accusations de l'intimée à défaut de toute preuve venant les corroborer. Il relève que le fait qu'il a reconnu qu'une dispute a eu lieu entre lui et l'intimée ne signifie pas encore que toutes les accusations de l'intimée soient véridiques, comme l'affirme le jugement attaqué. Il fait grief à l'intimée d'avoir instrumentalisé la procédure pénale pour l'empêcher de voir son fils; ainsi, à la suite du dépôt de plainte de l'intimée, la justice de paix aurait rejeté sa requête pour pouvoir voir son fils pendant les vacances de Noël; par la suite, le 10 mars 2016, l'intimée aurait déposé une requête de mesures provisionnelles et superprovisionnelles tendant à instaurer un droit de visite uniquement médiatisé.
L'intimée s'est rendue au poste le 13 décembre 2015 pour dénoncer des faits survenus le même jour entre 16h30 et 18h à E._. Elle a déclaré que le recourant lui avait dit " je vais te tuer " à deux reprises et qu'il lui avait fait un doigt d'honneur. Elle a confirmé sa déposition devant le tribunal de première instance, ajoutant qu'elle avait pris au sérieux ces menaces, car le souvenir de l'événement du mois de juin 2015 était encore présent dans son esprit. L'intimée n'a ainsi pas varié dans ses déclarations, de sorte que la cour cantonale n'a pas versé dans l'arbitraire en la tenant pour crédible et en retenant que le recourant avait menacé l'intimée de la tuer le 13 décembre 2015. Les griefs soulevés par le recourant doivent être rejetés.
2.5. Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir constaté de manière arbitraire que l'intimée n'avait pas instrumentalisé la procédure pénale pour restreindre ses droits sur l'enfant.
La cour cantonale n'a pas méconnu les liens entre les procédures pénale et civile. Elle a complété l'état de fait afin de tenir compte de la procédure civile parallèle à la procédure pénale (jugement attaqué p. 21 consid. 4.2). Elle a constaté que l'intimée avait eu des difficultés à faire confiance au recourant dans son rôle de père (jugement attaqué p. 21 consid. 4.3). On ne peut toutefois pas en déduire que l'intimée aurait faussement dénoncé le recourant au pénal dans le seul et unique but de parvenir à restreindre ou à supprimer ses droits sur leur enfant. La cour cantonale n'a ainsi pas versé dans l'arbitraire en retenant que l'intimée n'avait pas instrumentalisé la procédure pénale pour limiter les droits du recourant sur l'enfant. Le grief soulevé par le recourant doit être rejeté.
3.
Le recourant conteste sa condamnation pour lésions corporelles simples (<ref-law>). Il soutient que les lésions subies par l'intimée constituent uniquement des voies de fait.
3.1. L'<ref-law> réprime les lésions du corps humain ou de la santé qui ne peuvent être qualifiées de graves au sens de l'<ref-law>. Cette disposition protège l'intégrité corporelle et la santé tant physique que psychique. Elle implique une atteinte importante aux biens juridiques ainsi protégés. A titre d'exemples, la jurisprudence cite l'administration d'injections, la tonsure totale et tout acte qui provoque un état maladif, l'aggrave ou en retarde la guérison, comme les blessures, les meurtrissures, les écorchures ou les griffures, sauf si ces lésions n'ont pas d'autres conséquences qu'un trouble passager et sans importance du sentiment de bien-être (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 191).
Les voies de fait, réprimées par l'<ref-law>, se définissent comme des atteintes physiques qui excèdent ce qui est socialement toléré et qui ne causent ni lésions corporelles, ni dommage à la santé. Une telle atteinte peut exister même si elle n'a causé aucune douleur physique (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 191).
La distinction entre lésions corporelles et voies de fait peut s'avérer délicate, notamment lorsque l'atteinte s'est limitée à des meurtrissures, des écorchures, des griffures ou des contusions. La question peut parfois être résolue de manière satisfaisante par l'application de l'<ref-law>, qui permet une atténuation libre de la peine dans les cas de peu de gravité. Dans les cas limites, il faut tenir compte de l'importance de la douleur provoquée, afin de déterminer s'il s'agit de lésions corporelles simples ou de voies de fait (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 192).
Comme les notions de voies de fait et d'atteinte à l'intégrité corporelle, qui sont décisives pour l'application des art. 123 et 126 CP, sont des notions juridiques indéterminées, la jurisprudence reconnaît, dans ces cas, une certaine marge d'appréciation au juge du fait car l'établissement des faits et l'interprétation de la notion juridique indéterminée sont étroitement liés. Dans ces circonstances, le Tribunal fédéral s'impose une certaine réserve dans la critique de l'interprétation faite par l'autorité cantonale, dont il ne s'écarte que si cela s'avère nécessaire (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 192).
3.2. La cour cantonale a considéré que les atteintes subies par l'intimée étaient constitutives de lésions corporelles simples, au vu des nombreuses marques constatées par l'UMV ainsi que des douleurs ressenties par l'intimée.
3.3. Le certificat médical a retenu plusieurs ecchymoses (" bleus "). Il y a donc eu rupture de vaisseaux sanguins avec épanchement sous-cutané. Ces ecchymoses étaient encore visibles quatre jours après les faits et l'une d'elles mesurait 8 cm de large et 4,5 cm de haut. En outre, l'intimée se plaignait de douleurs à la jambe gauche. Au vu de ces constatations, la cour cantonale n'a pas excédé la marge d'appréciation dont elle bénéficiait à cet égard et, partant, n'a pas violé le droit fédéral en condamnant le recourant pour lésions corporelles simples. Le grief doit être rejeté.
4.
Le recourant se plaint d'une violation de l'<ref-law>. Il soutient qu'il aurait dû être exempté de toute peine, puisque l'intimée aurait proféré des injures à son encontre et qu'il n'aurait fait que riposter.
L'<ref-law> prévoit que le juge pourra exempter le délinquant de toute peine si l'injurié a directement provoqué l'injure par une conduite répréhensible. Le juge ne peut faire usage de cette faculté que si l'injure a consisté en une réaction immédiate à un comportement répréhensible de l'injurié, lequel peut consister en une provocation ou en tout autre comportement blâmable (<ref-ruling> consid. 2c p. 173). La notion d'immédiateté doit être comprise comme une notion de temps dans le sens que l'auteur doit avoir agi sous le coup de l'émotion provoquée par la conduite répréhensible de l'injurié, sans avoir eu le temps de réfléchir tranquillement (<ref-ruling> p. 151 s.).
La cour cantonale a retenu que les faits allégués par le recourant n'étaient pas établis. Le recourant aurait d'abord déclaré le 26 septembre 2015 que l'intimée l'avait traité de " gros connard " et de " sale chien ", puis, le 1er décembre 2015, que l'intimée voulait déposer une plainte pénale contre lui et, à l'audience du 4 septembre 2018, qu'il y avait eu des injures des deux côtés (jugement de première instance p. 14). Dans la mesure où les déclarations du recourant ne sont pas constantes et qu'elles ne sont confirmées par aucun autre élément du dossier, la cour cantonale n'a pas versé dans l'arbitraire en refusant de retenir que l'intimée avait injurié le recourant. Le grief soulevé, qui se fonde sur un autre état de fait que celui retenu par la cour cantonale, est irrecevable.
5.
Le recourant conclut à l'allocation d'une indemnité en application de l'<ref-law>. Cette conclusion doit être rejetée, compte tenu de l'issue du recours.
6.
Le recours doit être rejeté.
Comme ses conclusions étaient vouées à l'échec, l'assistance judiciaire ne peut être accordée (<ref-law>). Le recourant devra donc supporter les frais judiciaires (<ref-law>), dont le montant sera toutefois fixé en tenant compte de sa situation financière.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'200 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 21 janvier 2020
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
La Greffière : Kistler Vianin