Erwägungen:
1.
A._ reichte am 24. September 2018 beim Obergericht des Kantons Zürich eine Beschwerde wegen "Rechtsverzögerung im Verfahren UE180226-O" der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich ein. Die III. Strafkammer des Obergerichts überwies mit Schreiben vom 2. Oktober 2018 die Beschwerde zuständigkeitshalber dem Bundesgericht, welches auf die Einholung von Vernehmlassungen verzichtete.
2.
Eine Beschwerde an das Bundesgericht ist zu begründen (<ref-law>). Bei Verfassungsrügen wie der geltend gemachten Rechtsverzögerung (<ref-law>) besteht eine qualifizierte Rügepflicht. Die Rüge muss in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen).
3.
Der Beschwerde lässt sich, soweit verständlich, entnehmen, dass der Beschwerdeführer beim Obergericht am 6. August 2018 gegen eine Nichtanhandnahmeverfügung Beschwerde erhoben hat. Als Beilage zu dieser Beschwerdeschrift seien "dem Obergericht im Dokument Meldung strafbarer Handlungen Delikte zur Kenntnis gebracht" worden. In der Beschwerde sei das Obergericht in Kenntnis gesetzt worden, dass eine Strafanzeige eingereicht werde. Diese sei am 14. September 2018 bei der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat eingereicht worden. Eine Akteneinsicht am 21. September 2018 habe ergeben, dass das Obergericht der Anzeigepflicht gemäss <ref-law> nicht nachgekommen sei, da es die ihm im Dokument "Meldung strafbarer Handlungen" zur Kenntnis gebrachten Delikte nicht zur Anzeige gebracht habe. Dies stelle eine Rechtsverweigerung dar.
Der Beschwerdeführer macht keine näheren Angaben dazu, welche möglichen Straftatbestände er der III. Strafkammer des Obergerichts mit dem Beilagendokument "Meldung strafbarer Handlungen" zur Kenntnis gebracht haben will. Nachdem er der Strafkammer in seiner Beschwerde mitgeteilt hatte, er werde selbst eine Strafanzeige einreichen, ist es im Übrigen nicht nachvollziehbar, weshalb die Strafkammer gleichwohl verpflichtet gewesen sein sollte, das Beilagendokument "Meldung strafbarer Handlungen" in Anwendung von <ref-law> an die zuständige Behörde weiterzuleiten. Insgesamt vermag der Beschwerdeführer nicht in nachvollziehbarer Weise aufzuzeigen, inwiefern die Strafkammer ihm gegenüber eine Rechtsverzögerung begangen haben sollte. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen klarerweise nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Oktober 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli