Erwägungen:
1.
A.A._ (Jahrgang 1980) ist libanesischer Staatsangehöriger. Er reiste am 5. September 1999 als Asylbewerber in die Schweiz ein. Auf sein Asylgesuch wurde am 1. November 1999 nicht eingetreten, und am 29. Juni 2004 musste er in seinen Heimatstaat ausgeschafft werden. Am 18. August 2004 heiratete er eine schweizerische Staatsangehörige (Jahrgang 1955), worauf er am 24. Juni 2005 erneut in die Schweiz einreiste und ihm eine bis letztmals 23. Juni 2009 verlängerte Aufenthaltsbewilligung erteilt wurde. Am 7. April 2007 wurde B.A._ (Schweizer Bürger) geboren, welchen A.A._ als sein (aussereheliches) Kind anerkannte. Mit Verfügung vom 22. April 2009 verweigerte das Migrationsamt des Kantons Zürich eine weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A.A._.
Während hängigem Rekursverfahren liess sich A.A._ von seiner Ehefrau scheiden und heiratete am 20. Februar 2012 eine in der Schweiz aufenthaltsberechtigte marokkanische Staatsangehörige. Am 14. Mai 2012 wurde der gemeinsame Sohn C.A._ geboren. Mit Rekursentscheid vom 27. August 2014 hob der Regierungsrat des Kantons Zürich die Verfügung des kantonalen Migrationsamtes vom 22. April 2009 aufgrund veränderter Sachverhaltsgrundlagen auf und wies die Sache zu weiterer Abklärung an das kantonale Migrationsamt zurück. Am 26. Juni 2015 nahm das Bezirksgericht Dietikon von der Trennung des Ehepaars A._ Vormerk und stellte den gemeinsamen Sohn unter die Obhut der Mutter. Mit Verfügung vom 30. September 2016 verweigerte das kantonale Migrationsamt erneut die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A.A._ und setzte ihm eine Ausreisefrist an. Den dagegen von A.A._ erhobenen Rekurs wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich mit Entscheid vom 29. August 2017 ab und setzte eine neue Ausreisefrist an. Am 10. Januar 2018 wurde die Ehe zwischen A.A._ und seiner zweiten Ehefrau geschieden. Mit Urteil vom 21. März 2018 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die von A.A._, B.A._ und C.A._ gegen den Entscheid vom 29. August 2017 erhobene Beschwerde ebenfalls ab. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 9. Mai 2018 an das Bundesgericht beantragen A.A._, B.A._ und C.A._, Dispositivziffern 1 bis 8 des Urteils des Verwaltungsgerichts Zürich vom 21. März 2018 seien aufzuheben und die Jahresaufenthaltsbewilligung sei A.A._ zu belassen.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 9. Mai 2018, mit der sinngemäss geltend gemacht wird, dem Beschwerdeführer 1 stehe gestützt auf Art. 8 EMRK zumindest hinsichtlich seiner nahen Beziehung zu seinem ausserehelich gezeugten, in der Schweiz gefestigt anwesenheitsberechtigten Kind schweizerischer Staatsangehörigkeit ein Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung zu, ist zulässig (Art. 83 lit. c Ziff. 2 e contrario BGG; <ref-ruling> E. 4 S. 24 ff.). Fraglich ist zwar, ob die Beschwerdeführer sich auf Art. 50 des Bundesgesetzes über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) berufen können, da die zweite geschiedene Ehefrau des Beschwerdeführers 1 lediglich über eine Aufenthaltsbewilligung verfügt. Diese Frage kann offen bleiben, da sich Art. 50 AuG und Art. 8 EMRK in ihrer Anwendung überschneiden und sich erweist, dass so oder anders keine Verletzung vorliegt. Die Beschwerde ist offensichtlich unbegründet, weshalb sie im vereinfachten Verfahren mit summarischer Begründung nach <ref-law> abgewiesen wird. Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, insoweit sie sich gegen die Erteilung einer Härtefallbewilligung im Sinne von Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG vom 16. Dezember 2005 AuG richtet (<ref-law>). Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist - unter Vorbehalt der "Star"-Praxis - mangels eines rechtlich geschützten Interesses der betroffenen Person ebenfalls nicht gegeben (Urteile 2D_14/2018 vom 13. August 2018 E. 1; 2C_1035/2017 vom 20. Juli 2018 E. 1.1; 2C_866/2017 vom 7. März 2018 E. 1 mit weiteren Hinweisen).
2.1. Der Beschwerdeführer bestreitet in seiner Beschwerdeschrift nicht, dass seine Ehegemeinschaft mit seiner aufenthaltsberechtigten zweiten Ehefrau weniger als drei Jahre gedauert hat, weshalb Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG keine Anwendung findet. Nach Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG besteht nach Aufgabe der Ehegemeinschaft vor Ablauf der Dreijahresfrist ein Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen. Solche Gründe können insbesondere in einer schützenswerten, durch Art. 8 EMRK bzw. <ref-law> erfassten Beziehung zu einem in der Schweiz gefestigt anwesenheitsberechtigten Kind bestehen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 96 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 319). Der nicht sorge- bzw. obhutsberechtigte ausländische Elternteil kann die familiäre Beziehung mit seinem Kind jedoch von vornherein nur in beschränktem Rahmen pflegen, nämlich durch Ausübung des ihm eingeräumten Besuchsrechts. Um dieses wahrnehmen zu können, ist es in der Regel nicht erforderlich, dass der ausländische Elternteil dauerhaft im selben Land wie das Kind lebt und dort über ein Anwesenheitsrecht verfügt. Unter dem Gesichtspunkt des Anspruchs auf Familienleben (Art. 8 Ziff. 1 EMRK sowie <ref-law>) ist es grundsätzlich ausreichend, wenn das Besuchsrecht im Rahmen von Kurzaufenthalten vom Ausland her ausgeübt werden kann, wobei allenfalls die Modalitäten des Besuchsrechts entsprechend auszugestalten sind (<ref-ruling> E. 5.3 S. 27 f.). Gemäss der Rechtsprechung des Bundesgerichts kann ein weitergehender Anspruch nur dann in Betracht fallen, wenn in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung zum Kind besteht, diese Beziehung wegen der Distanz zum Heimatland des Ausländers praktisch nicht aufrechterhalten werden könnte und das bisherige Verhalten des Ausländers in der Schweiz zu keinerlei nennenswerten Klagen ("tadelloses Verhalten") Anlass gegeben hat (<ref-ruling> E. 5.2; <ref-ruling> E. 5.2 S. 27; <ref-ruling> E. 2.2 S. 319; Urteil 2C_497/2014 vom 26. Oktober 2015 E. 5.2 S. 97 ff.).
Bei ausländischen Elternteilen eines hier aufenthaltsberechtigten Kindes, welche aufgrund einer inzwischen aufgelösten ehelichen Gemeinschaft über eine Aufenthaltsbewilligung für die Schweiz verfügen, ist das Erfordernis der besonderen Intensität der affektiven Beziehung bereits dann als erfüllt anzusehen, wenn der persönliche Kontakt im Rahmen eines nach heutigem Massstab üblichen Besuchsrechts ausgeübt wird; massgeblich für das bundesgerichtliche Verfahren ist das tatsächlich ausgeübte Besuchsrecht im Zeitpunkt des angefochtenen Urteils (<ref-ruling> E. 5.2 S. 98; Urteil 2C_123/2015 vom 30. September 2015 E. 2.7). Bei der Beurteilung der wirtschaftlichen Verbundenheit können nicht nur Geld-, sondern auch tatsächlich erbrachte Naturalleistungen (in Form von Betreuungsleistungen) eine wesentliche Rolle spielen (<ref-ruling> E. 5.2.2 S. 99, E. 6.1 S. 101; Urteil 2C_402/2018 vom 19. September 2018 E. 2.4, E. 3). Die Praxis, in Bezug auf das Kriterium des tadellosen Verhaltens gewisse "untergeordnete" Vorkommnisse in einer Gesamtbetrachtung etwas weniger stark zu gewichten, kommt in spezifischen Fällen bzw. bei besonderen Umständen infrage; diese müssen es rechtfertigen, allfällige (untergeordnete) Verstösse gegen die öffentliche Ordnung (bspw. untergeordnete ausländer- oder ordnungsrechtliche Delinquenz; kurzer, unverschuldeter Sozialhilfebezug) nicht notwendigerweise so stark zu gewichten, dass sie von vornherein die anderen Kriterien (Grad der tatsächlichen affektiven und wirtschaftlichen Intensität der Beziehung zum Kind, zivilrechtliche Regelung der familiären Verhältnisse, Dauer der Beziehung und des Aufenthalts, Grad der Integration aller Beteiligten, Kindesinteresse usw.) aufzuwiegen vermögen (<ref-ruling> E. 5.2.4 S. 100; Urteile 2C_635/2016 vom 17. März 2017 E. 2.1.3; 2C_1125/2014 vom 9. September 2015 E. 4.4; 2C_723/2014 vom 6. August 2015 E. 2.3; 2C_728/2014 vom 3. Juni 2015 E. 4.1). Im Ergebnis bilden untergeordnete Verstösse gegen die öffentliche Ordnung bei Vorliegen einer nahen Beziehung in affektiver und wirtschaftlicher Hinsicht kein selbstständiges Kriterium mehr, welches einer Verlängerung einer Aufenthaltsbewilligung als solches entgegenstehen könnte, sondern sind als ein Element unter anderen in die Interessenabwägung miteinzubeziehen (<ref-ruling> E. 5.2.4 S. 100, unter Verweis auf <ref-ruling> E. 4.3 S. 150).
2.2. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Urteil erwogen, der Beschwerdeführer 1 unterhalte zwar allenfalls eine affektive Beziehung zu seinen Kindern, den Beschwerdeführern 2 und 3, habe diese jedoch bislang unzureichend alimentiert. Inwieweit die ihm teilweise gerichtlich auferlegten Unterhaltsleistungen durch Naturalleistungen und Geschenke substituiert worden seien, sei durch den dafür beweisbelasteten Beschwerdeführer nicht hinreichend nachgewiesen worden, weshalb von einer engen Beziehung in wirtschaftlicher Hinsicht nicht ausgegangen werden könne.
In der Interessenabwägung würden zudem seine Schuldenwirtschaft und sein mangelhaftes Legalverhalten negativ ins Gewicht fallen: Der Beschwerdeführer sei mit Urteil vom 12. März 2003 des Bezirksgerichts Horgen wegen Diebstahls und Drohung zu einer Gefängnisstrafe von vier Monaten, mit Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Limmattal/ Albis vom 27. Juni 2006 wegen Vergehens gegen das Bundesgesetz vom 3. Oktober 1951 über die Betäubungsmittel und die psychotropen Stoffe (BetmG; SR 812.121) zu einer Gefängnisstrafe von 60 Tagen und Busse von Fr. 150.--, mit Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat vom 8. September 2009 wegen der Vereitelung von Massnahmen zur Feststellung der Fahrunfähigkeit (Motorfahrzeugführer), pflichtwidrigen Verhaltens bei Unfall und Verletzung der Verkehrsregeln zu einer Geldstrafe von 60 Tagessätzen, mit Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland vom 28. Oktober 2010 wegen Fahrens eines Motorfahrzeugs ohne Führerausweis und trotz Entzugs zu einer Geldstrafe von 30 Tagessätzen und mit Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl vom 6. Juli 2012 wegen mehrfacher Drohung zu einer Geldstrafe von 60 Tagessätzen verurteilt worden. Des Weiteren sei der Beschwerdeführer seit einiger Zeit arbeitslos und weise gemäss Betreibungsregisterauszug des Betreibungsamtes Dietikon vom 4. Januar 2016 offene Betreibungen in Höhe von rund Fr. 29'000.-- auf.
Die Rückkehr in seinen Heimatstaat sei dem Beschwerdeführer, welcher dort geboren sowie sozialisiert worden und erst im Erwachsenenalter in die Schweiz eingereist sei, zumutbar, habe er diesen Staat auch häufig besucht und würden noch immer Verwandte von ihm dort leben. Bei einer Gesamtbetrachtung würden die öffentlichen Interessen an seiner Ausreise seine privaten an einem Verbleib überwiegen.
2.3. Was der Beschwerdeführer 1 dagegen vorträgt, vermag nicht zu überzeugen. Seine Beschwerdeschrift enthält über weite Teile eine Darstellung seiner eigenen Sichtweise, womit die Anforderungen an eine Sachverhaltsrüge im Sinne von <ref-law> nicht erfüllt werden, kann doch das Bundesgericht den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt nur auf offensichtliche Unrichtigkeit (d.h. Willkür) oder Rechtsverletzungen hin überprüfen (<ref-law>), falls der gerügte Mangel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Die rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsermittlung und an der Beweiswürdigung genügt den Begründungs- bzw. Rügeanforderungen nicht (vgl. <ref-ruling> E. 10.1 S. 445 mit Hinweisen), weshalb darauf nicht weiter einzugehen ist, und die neu eingereichten Beweismittel können nicht abgenommen werden (<ref-law>).
Die ausführlicher begründeten Sachverhaltsrügen zur dringend benötigten Unterstützung des Beschwerdeführers 1 bei der Erziehung der Beschwerdeführer 2 und 3 finden im angefochtenen Urteil keine Stütze: Die Vorinstanz hatte den Beschwerdeführer 1 mit Präsidialverfügung vom 4. Dezember 2017 unter Hinweis auf seine Mitwirkungspflicht aufgefordert, sämtliche Unterhaltsvereinbarungen mit der Mutter des Beschwerdeführers 2 mittels geeigneter Dokumente zu dokumentieren und zu datieren sowie gerichtliche und vormundschaftliche Entscheide bezüglich seiner diesbezüglichen Unterhaltsverpflichtungen einzureichen, sämtliche Genehmigungsentscheide der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde sowie einen aktuellen Betreibungsregisterauszug einzureichen und seine finanziellen Verhältnisse sowie seine Erwerbstätigkeit seit der Geburt seines zweiten Kindes, des Beschwerdeführers 3, mittels geeigneter Belege (Steuererklärungen und Rechnungen ab Steuerperiode 2012, Lohnausweise, Arbeitsverträge etc.) nachzuweisen. Gemäss dem angefochtenen Urteil hat der Beschwerdeführer 1 bis zum Erlass des angefochtenen Urteils bloss eine Bestätigung der Mutter des Beschwerdeführers 2 eingereicht, wonach der Beschwerdeführer 1 seinen finanziellen Verpflichtungen gegenüber dem Beschwerdeführer 2 nachkomme, sowie die Verfügung und das Urteil des Bezirksgerichts Dietikon vom 10. Januar 2018 betreffend Scheidung des Ehepaars A._; gemäss diesem Urteil wurde der Beschwerdeführer 3 unter der gemeinsamen elterlichen Sorge der Eltern belassen, die Obhut der Kindsmutter zugeteilt sowie der Beschwerdeführer 1 verpflichtet, für den Beschwerdeführer 3 monatliche Unterhaltsbeiträge zu leisten.
Die vorinstanzliche Beweiswürdigung, wonach anhand der eingereichten Beweismittel nicht erstellt sei, dass der Beschwerdeführer 1 seine rechtlich festgesetzten Unterhaltspflichten durch Geld tatsächlich durch Naturalunterhalt in Form von Erziehung oder Pflege substituiert habe (vgl. zur Massgeblichkeit der tatsächlichen Verhältnisse im ausländerrechtlichen Verfahren <ref-ruling> E. 6.1 S. 101), ist, insbesondere unter Willkürgesichtspunkten, nicht zu beanstanden; sollte die Unterstützungsbedürftigkeit der Beschwerdeführer 2 und 3 in erzieherischer Hinsicht tatsächlich das in der Beschwerdeschrift geschilderte Ausmass annehmen, ist nicht nachvollziehbar, weshalb der Beschwerdeführer 1 sich nicht um eine Zuteilung der Obhut seiner Kinder bemüht und es unterlassen hat, entsprechende Nachweise seiner bisherigen erzieherischen Leistungen aufforderungsgemäss in das vorinstanzliche Verfahren einzubringen. Ebenso konnte die Vorinstanz, ohne in Willkür zu verfallen, darauf schliessen, dass durch die Bestätigung der Kindesmutter, der Beschwerdeführer 1 komme seinen finanziellen Verpflichtungen nach, unerklärlich bleibe, weshalb die rechtlich geschuldeten Alimente haben bevorschusst werden müssen. Somit hat auch im bundesgerichtlichen Verfahren als erstellt zu gelten, dass zwischen dem Beschwerdeführer 1 und seinen Kindern, den Beschwerdeführern 2 und 3, allenfalls eine enge Beziehung in affektiver Hinsicht, jedoch nicht in wirtschaftlicher Hinsicht vorliegt. Angesichts dieser fehlenden Voraussetzung (vgl. ausführlich <ref-ruling> E. 5.2 S. 97, <ref-ruling> E. 5.2 S. 27, oben, E. 2.1) vermag die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers 1 seinen aus Art. 8 EMRK und <ref-law> fliessenden Anspruch auf Familienleben nicht zu verletzen, kann er doch sein bisher mit seinen Kindern, den Beschwerdeführern 2 und 3, gepflegtes Familienleben auch über Kurzaufenthalte, Ferienbesuche und moderne Kommunikationsmittel aus dem Ausland aufrecht erhalten (vgl. oben, E. 2.1). Die Beschwerde wegen Verletzung von Art. 8 EMRK, <ref-law> und Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG erweist sich bereits aus diesem Grund als unbegründet, ohne dass weiter zu prüfen wäre, ob das (als kumulative Voraussetzung anzusehende) Kriterium eines bloss untergeordneten Verstosses gegen die öffentliche Ordnung einer Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung zusätzlich entgegenstehen würde.
2.4. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten grundsätzlich den Beschwerdeführern aufzuerlegen (<ref-law>). Ihr für das bundesgerichtliche Verfahren gestellte Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege kann wegen Aussichtslosigkeit nicht gutgeheissen werden (Art. 64 Abs. 1 e contrario BGG). Parteientschädigungen werden nicht gesprochen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Oktober 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Mayhall