Faits :
A.
A._ SA et B._ SA (ci-après: les sociétés) exploitent plusieurs cliniques privées (Clinique C._, Clinique D._, Clinique E._) dans le canton de Vaud. Ces cliniques sont membres de l'Association vaudoise des cliniques privées. Elles figurent sur la liste vaudoise des établissements hospitaliers admis à pratiquer à la charge de l'assurance obligatoire des soins, édictée par l'arrêté du Conseil d'Etat du canton de Vaud du 29 juin 2011. Cet arrêté prévoit, notamment, le type de mandats de prestations ou les missions médicales générales confiés aux différents établissements figurant sur la liste. L'Etat de Vaud et les cliniques ont convenu d'un mandat particulier de prestations fixant pour une période déterminée notamment le type de missions médicales attribuées à celles-ci et le nombre maximal de cas pouvant être traité par celles-ci chaque année.
La Direction générale de la santé (DGS) de la République et canton de Genève, pour le Département des affaires régionales, de l'économie et de la santé (désormais: Département de l'emploi, des affaires sociales et de la santé [DEAS]), a pris contact avec les trois cliniques prénommées le 2 octobre 2013. Elle leur a signalé qu'à l'avenir, elle n'assumerait les factures relatives aux cas de patients genevois hospitalisés dans leurs différents services que si le Service de la santé publique du canton de Vaud (SSP) avait attesté, au préalable, que ces patients entraient dans le quota d'hospitalisations fixé par leurs mandats de prestations. Les démarches (sur le plan administratif et judiciaire) effectuées par la suite par les trois cliniques pour contester les conditions mises par la DGS à la prise en charge de leurs factures ont conduit le DEAS à rendre des décisions formelles le 12 juin 2015. En sus du refus de rembourser des factures particulières (ch. 1-2 du dispositif de la décision), l'autorité saisie a précisé que, dorénavant, toute demande de garantie de paiement et toute facture portant sur l'hospitalisation de patients genevois dans l'une des cliniques citées se verraient refusées si lesdits établissements n'apparaissaient pas sur la liste genevoise de planification hospitalière (ch. 3 du dispositif de la décision).
B.
A._ SA et B._ SA ont saisi la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative, le 15 juillet 2015, de deux recours contre les décisions du 12 juin précédent. Elles concluaient en substance, d'abord, à ce qu'il soit constaté qu'elles étaient habilitées à facturer à la charge de l'assurance obligatoire des soins et à encaisser la part que doit verser le canton de Genève pour toutes les prestations fournies par les cliniques qu'elles exploitaient respectivement (Clinique C._ et Clinique D._, Clinique E._) aux patients genevois hospitalisés dans les services visés par leurs mandats de prestations et, également, à ce que l'Etat de Genève soit condamné à payer les factures déjà produites. Elles ont également requis une telle constatation "à l'avenir" en fonction d'un complément futur des mandats de prestations.
Par jugement du 4 juillet 2017, le tribunal cantonal a joint les causes et partiellement admis les deux recours. Pour l'essentiel, annulant les décisions du 12 juin 2015, il a accédé aux conclusions des sociétés recourantes. Toutefois, il a précisé que sa reconnaissance du droit de facturer des prestations à charge de l'assurance obligatoire des soins et de percevoir la part due par l'Etat de Genève était liée à l'existence d'un mandat de prestations accordé par l'Etat de Vaud et qu'il n'y avait pas lieu de constater la possibilité d'adapter le droit reconnu en fonction d'une éventuelle évolution future du mandat de prestations.
C.
Le DEAS a interjeté un recours en matière de droit public contre ce jugement. Il en requiert l'annulation et conclut, principalement et en substance, à la confirmation de sa décision ou, subsidiairement, au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouveau jugement au sens des considérants.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public (au sens des <ref-law>) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par celle-ci (<ref-law>), mais peut les rectifier et les compléter d'office si des lacunes et des erreurs manifestes apparaissent d'emblée (<ref-law>). En principe, il n'examine que les griefs motivés (<ref-law>), surtout s'ils portent sur la violation des droits fondamentaux (<ref-law>). Il ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Le recourant peut critiquer la constatation des faits qui ont une incidence sur le sort du litige seulement s'ils ont été établis en violation du droit ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>).
2.
En l'espèce, est litigieuse la constatation par la juridiction cantonale du droit des sociétés intimées de facturer à la charge de l'assurance obligatoire des soins les coûts relatifs aux hospitalisations des patients genevois dans les services de leurs cliniques respectives désignés par les mandats respectifs de prestations et de percevoir la part due par le canton de Genève.
L'acte attaqué cite les dispositions légales et règlementaires, ainsi que la jurisprudence concernant la planification hospitalière (<ref-law>; art. 58a à 58e OAMal), le libre choix du fournisseur de prestations (<ref-law>), les conventions tarifaires et la rémunération des prestations (art. 49 et 49a LAMal) ainsi que l'admissibilité des quotas de prestations (<ref-ruling>; <ref-ruling>; arrêt 9C_151/2016 du 27 janvier 2017, in SVR 2017 KV n° 11 p. 49). Il suffit d'y renvoyer.
3.
Le tribunal cantonal a considéré que le litige qui lui était soumis était similaire à celui tranché par le Tribunal fédéral dans son arrêt 9C_151/2016 du 27 janvier 2017 à propos de patients vaudois hospitalisés dans des cliniques privées genevoises, de sorte que les principes développés à cette occasion étaient applicables au cas d'espèce. Il a constaté qu'en tant qu'exploitantes de leurs cliniques vaudoises, les intimées étaient intégrées dans la planification hospitalière vaudoise, mais pas genevoise en fonction des instruments de planification en vigueur en 2012-2013. Les instruments genevois de planification, qui ne s'appliquaient qu'aux patients domiciliés dans le canton de Genève, ne leur étaient dès lors pas opposables. Le canton de Genève devait en conséquence prendre en charge la part cantonale des frais d'hospitalisation des patients genevois dans les établissements privés vaudois, dans la mesure où ces derniers étaient reconnus par leur canton de résidence comme pouvant facturer à la charge de l'assurance obligatoire des soins, indépendamment du point de savoir s'ils avaient épuisé les quotas fixés dans leurs mandats de prestations. Les premiers juges ont toutefois précisé que le droit de percevoir la part cantonale genevoise restait lié à l'existence d'un mandat de prestations avec le canton de Vaud. Ils ont en outre condamné l'Etat de Genève au paiement des factures produites.
4.
Le département recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir fait preuve d'arbitraire en concluant que, dans la mesure où un patient genevois s'était fait hospitaliser dans une clinique privée vaudoise reconnue par le canton de Vaud comme étant un établissement pouvant facturer à la charge de l'assurance obligatoire des soins, le canton de Genève ne pouvait refuser de rembourser la part cantonale des frais d'hospitalisation indépendamment du point de savoir si l'établissement en question avait épuisé - ou non - les quotas prévus par le mandat de prestations le liant au canton dans lequel il se trouvait. Il soutient que le tribunal cantonal ne pouvait pas appliquer les principes développés par le Tribunal fédéral dans son arrêt 9C_151/2016 du 27 janvier 2017 dès lors que la situation genevoise en matière d'hospitalisations extra-cantonales était différente de la situation vaudoise sur des points essentiels. Il considère à cet égard que le canton de Vaud a étendu sa planification hospitalière aux personnes domiciliées hors canton tant que les quota fixés n'étaient pas atteints, ce qui n'était pas le cas du canton de Genève. Il semble prétendre qu'à la suite du courrier de la DGS du 2 octobre 2013, le SSP avait concrètement attesté que les cas de certains patients genevois entraient - ou n'entraient plus - dans les quotas d'hospitalisations vaudois, de sorte que la DGS pouvait octroyer - ou refuser - la garantie de paiement de la part du canton de Genève aux traitements prodigués à ces patients par les cliniques vaudoises, au contraire du canton de Genève qui n'avait jamais délivré de telles attestations. Il déduit de cette pratique différente que les patients genevois peuvent être décomptés des quotas délivrés aux cliniques privées vaudoises par le canton de Vaud mais qu'à l'inverse, les patients vaudois ne peuvent être décomptés des quotas délivrés par le canton de Genève aux cliniques privées genevoises.
5.
5.1. Dans son arrêt 9C_151/2016 du 27 janvier 2017, le Tribunal fédéral s'est attaché à déterminer si les quotas d'hospitalisations fixés dans les mandats de prestations liant le canton de Genève et certaines cliniques privées genevoises pouvaient s'appliquer aux assurés résidant dans le canton de Vaud et ayant choisi de se faire hospitaliser dans le canton de Genève. Il a répondu par la négative à cette question (cf. consid. 7.3 de l'arrêt cité). Pour parvenir à ce résultat, il a rappelé que les traitements volontaires extracantonaux devaient être qualifiés de prestations de l'assurance obligatoire des soins depuis la révision partielle de la LAMal entrée en vigueur le 1er janvier 2009 (cf. consid. 6.1 de l'arrêt cité) et que l'introduction dans la planification hospitalière cantonale d'une limitation du volume de prestations par l'octroi de mandats de prestations fixant un nombre maximal de cas par an à des établissements hospitaliers figurant sur la liste cantonale au sens de l'art. 39 al. 1 let. c LAMal était une pratique légale (cf. consid. 6.2 de l'arrêt cité). Il a analysé la notion de mandat (cf. consid. 7.1 de l'arrêt cité) et constaté que ceux signés par l'Etat de Genève et certaines cliniques privées genevoises se référaient uniquement aux prestations de la LAMal à l'égard des personnes domiciliées dans le canton de Genève (cf. consid. 7.2 de l'arrêt cité). Il en a déduit que seuls les besoins en soins des habitants du canton de Genève avaient été pris en considération et que les quotas d'hospitalisations prévus par les mandats de prestations ne pouvaient concerner d'autres assurés que les personnes domiciliées dans le canton de Genève (cf. consid. 7.3 de l'arrêt cité).
5.2. Le même raisonnement doit s'appliquer aux quotas d'hospitalisations fixés dans les mandats de prestations liant le canton de Vaud aux cliniques intimées dans la mesure où ces mandats ne concernent que les assurés domiciliés dans le canton de Vaud.
5.2.1. Les mandats de prestations accordés par l'Etat de Vaud en faveur de B._ SA d'une part (contrat de prestations 2013) et des Cliniques C._ et D._ d'autre part (Mandat de prestations 2012-2014, établi le 13 juin 2012) sont fondés sur l'arrêté du Conseil d'Etat vaudois du 29 juin 2011 édictant la liste vaudoise 2012 des établissements hospitaliers admis à pratiquer à charge de l'assurance obligatoire des soins (AListeLAMal; RS VD 832.11.1). Cet acte se réfère au rapport de Planification hospitalière vaudoise 2012 adopté par le Conseil d'Etat vaudois le 29 juin 2011 et modifié le 7 décembre 2011. Selon ce rapport (p. 6), le canton de Vaud a planifié les besoins en prestations hospitalières stationnaires de sa population résidente en prenant en compte les données relatives aux nombres des patients résidant dans le canton qui ont été hospitalisés dans le canton de Vaud et dans d'autres cantons, ainsi que des patients soignés dans le canton de Vaud, provenant d'autres cantons ou de l'étranger. Compte tenu des discussions entre les autorités compétentes du canton de Vaud et celles des cantons limitrophes concernant l'effet de l'introduction du libre choix de l'hôpital par le patient, le gouvernement vaudois a retenu que les flux des patients ("Vaudois hospitalisés dans d'autres cantons et les non Vaudois hospitalisés dans le canton de Vaud") étaient restés stables et ne justifiaient pas une adaptation à la hausse ou à la baisse de l'offre nécessaire (rapport cité, p. 9). Cette offre a été définie pour couvrir l'ensemble des besoins en prestations LAMal de la population vaudoise (rapport cité, p. 9), en fonction d'une planification élaborée par le seul canton de Vaud.
Dès lors, les mandats de prestations que celui-ci a accordés aux établissements hospitaliers sur cette base ont pour but d'assurer les besoins en soins des personnes résidant dans le canton de Vaud, sans que n'existe une planification établie par plusieurs cantons (cf. art. 39 al. 1 let. d LAMal). Ils ne comprennent par ailleurs aucune indication selon laquelle la limitation de l'activité médicale à un nombre défini de cas trouverait application à l'hospitalisation de patients provenant d'autres cantons que celui de leur implantation. Aussi, lesdites limites ne peuvent pas être appliquées à des assurés ne résidant pas dans le canton de Vaud pour la prise en charge par un autre canton - en l'espèce, Genève - de la part cantonale correspondant à la rémunération des prestations hospitalières (au sens de l'<ref-law>) choisies par les assurés extra-cantonaux conformément au libre choix prévu par l'<ref-law>. C'est en vain que le recourant se prévaut d'une "extension de sa planification hospitalière" par le canton de Vaud, au motif que celui-ci aurait admis les patients genevois en déduction de ses propres quotas, ce qui équivaudrait à une pratique cantonale différente de celle du canton de Genève dans la cause précédemment jugée par la Cour de céans. En effet, il ressort de l'arrêt 9C_151/2016 (let. A.b.) et des constatations de la juridiction cantonale (consid. 13 p. 24 du jugement entrepris), qui ne sont pas remises en cause par le recourant et lient le Tribunal fédéral (consid. 1 supra) que le SSP, dans sa lettre du 26 août 2013, avait adopté la même pratique que la DGS, dans son courrier du 2 octobre 2013, en demandant aux cliniques privées genevoises d'apporter la preuve que les cas de patients vaudois hospitalisés dans le canton de Genève mais facturés dans le canton de Vaud entraient dans leurs quotas d'hospitalisations en faisant contrôler et valider par la DGS les factures qu'elles lui avaient transmises et que cette pratique n'avait eu à l'époque aucune incidence sur le sort du litige. Une telle pratique ne correspond pas à une planification cantonale établie conjointement par plusieurs cantons au sens de l'art. 39 al. 1 let. d LAMal, qui suppose le respect des critères de planification prévus aux <ref-law> (sur ces dispositions, arrêt du Tribunal administratif fédéral C-1966/2014 du 23 novembre 2015 consid. 3 à 4.1.4).
5.2.2. Il convient de constater au demeurant que selon le ch. 2.4 al. 1 et 2 ("Non-respect des conditions") du mandat de prestations établi entre l'Etat de Vaud et B._ SA, la conséquence du non respect des conditions générales ou spécifiques du mandat confié à la Clinique E._ consiste en une "correction [...] applicable sur la part Etat pour l'activité totale: Décote de -10 % sur la part Etat pour chaque condition du mandat de prestations non respectée". Le mandat de prestations concernant les Cliniques C._ et D._ prévoit notamment qu'"en cas de dépassement [de l'activité limitée à 1200 cas A somatique], l'établissement perd la subvention cantonale" (mandat, p. 18 ch. VI). A cet égard, le canton de Vaud a apparemment suivi les recommandations de la Conférence suisse des directrices et directeurs cantonaux de la santé (CDS) selon lesquelles lorsqu'un canton choisit la gestion directe des quantités, les conséquences en cas de dépassement de la quantité des prestations fixée sont définies dans le mandat de prestations. Selon la CDS, une retenue sur les forfaits par cas entre en premier lieu en ligne de compte (tarif dégressif), pour laquelle, en l'absence de base légale de droit fédéral, l'examen de la création d'une base légale cantonale est recommandé (ch. 2.4 des Recommandations de la CDS sur la planification hospitalière d'après la révision de la LAMal sur le financement hospitalier du 21.12.2007, adoptées le 14 mai 2009 [révisées entre-temps, le 18 mai 2017]). Compte tenu des règles convenues en cas de dépassement du nombre prévu de cas attribués aux établissements hospitaliers concernés, il est douteux qu'un refus de toute participation à la prise en charge des traitements en cause eût pu être opposé aux intimées. Si, en règle générale, l'établissement hospitalier perd le droit au remboursement de la part cantonale s'il fournit une prestation qui n'est pas couverte par le mandat de prestations (ATF <ref-ruling> consid. 3.10.3 p. 426 s.; cf. le consid. 3.10 de cet arrêt sur la possibilité de sanctions en général), il n'est pas évident qu'une telle conséquence s'applique aussi lorsque le mandat de prestations prévoit des effets moins drastiques.
5.3. Ensuite de ce qui précède, le recours est rejeté.
6.
Compte tenu de l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge du Département recourant (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'600 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 28 mai 2018
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
Le Greffier : Cretton