Sachverhalt:
A.
A._ erstattete am 18. Dezember 2018 Strafanzeige bzw.- antrag gegen ihre damalige Nachbarin B._ wegen diverser Ehrverletzungsdelikte. Hintergrund des Strafantrags bildete eine nachbarschaftliche Auseinandersetzung betreffend die Benutzungsmodalitäten der gemeinsamen Waschküche. A._ legte B._ unter anderem zur Last, in einem Schreiben an die Hausverwaltung wahrheitswidrig behauptet zu haben, dass sie die gemeinsam benützte Waschküche kaum reinige und dort jeweils ihre nasse Wäsche liegen lasse. Überdies habe B._ behauptet, dass A._ ihre mit Menstruationsblut verschmierte Wäsche sowie ihre verschimmelten Kissen in der Waschküche liegen gelassen habe, weshalb eine andere Mieterin diese habe entfernen müssen.
B.
Die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat erliess am 21. Februar 2019 eine Nichtanhandnahmeverfügung.
C.
Das Obergericht des Kantons Zürich wies die von A._ gegen die Nichtanhandnahmeverfügung erhobene Beschwerde mit Beschluss vom 3. Februar 2020 ab.
D.
A._ beantragt mit Beschwerde in Strafsachen, der Beschluss des Obergerichts sowie die Nichtanhandnahmeverfügung seien aufzuheben und die Staatsanwaltschaft sei anzuweisen, unverzüglich eine Strafuntersuchung gegen B._ zu eröffnen. A._ ersucht um unentgeltliche Rechtspflege.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Privatklägerschaft ist zur Beschwerde in Strafsachen nur berechtigt, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Bei den Zivilansprüchen im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG geht es in erster Linie um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung gemäss <ref-law>, die üblicherweise vor den Zivilgerichten geltend gemacht werden müssen. Die Privatklägerschaft muss im Verfahren vor Bundesgericht darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderung auswirken kann. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen nicht, kann darauf nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderung es geht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 4 f. mit Hinweisen).
Genugtuungsforderungen aus Persönlichkeitsverletzung bestehen nur, sofern die Schwere der Verletzung es rechtfertigt (vgl. <ref-law>). Der Eingriff muss aussergewöhnlich schwer sein und in seinen Auswirkungen das Mass einer Aufregung oder einer alltäglichen Sorge klar übersteigen (vgl. etwa Urteile 6B_971/2019 vom 7. Februar 2020 E. 1; 6B_890/2019 vom 1. Oktober 2019 E. 4; 6B_96/2019 vom 7. Juni 2019 E. 1.2; je mit Hinweisen).
1.2. Die Beschwerdeführerin macht in ihrer Beschwerde pauschal geltend, in ihrer psychischen Integrität verletzt worden zu sein. Dass sie einen finanziellen Schaden erlitten hat oder die geltend gemachte Persönlichkeitsverletzung von einer aussergewöhnlichen Tragweite gewesen wäre, bringt sie indes nicht vor und ist angesichts des angezeigten Sachverhalts auch nicht ersichtlich. Damit ist vorliegend nicht rechtsgenügend dargetan, auf was für eine Zivilforderung sich der angefochtene Beschluss auswirken könnte. In der Sache ist die Beschwerdeführerin somit nicht zur Beschwerde in Strafsachen legitimiert.
2.
2.1. Die Privatklägerschaft kann mit Beschwerde in Strafsachen ungeachtet der Legitimation in der Sache im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG eine Verletzung ihrer Parteirechte rügen, die ihr nach dem Verfahrensrecht, der Bundesverfassung oder der EMRK zustehen und deren Missachtung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft. Zulässig sind Rügen, die formeller Natur sind und von der Prüfung der Sache getrennt werden können. Das nach <ref-law> erforderliche rechtlich geschützte Interesse ergibt sich diesfalls aus der Berechtigung am Verfahren teilzunehmen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 5; <ref-ruling> E. 1.3 S. 79 f.; <ref-ruling> E. 1.9 S. 40).
2.2.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung des Grundsatzes "in dubio pro duriore", des Anspruchs auf rechtliches Gehör, der Untersuchungs- und Offizialmaxime sowie des Willkürverbotes. In diesem Zusammenhang bringt sie insbesondere vor, die Vorinstanz habe fälschlicherweise dem Schreiben an die Hausverwaltung einen notwendigen Sachbezug zugestanden und verneint, dass die Aussagen in diesem Schreiben wider besseren Wissens erfolgt seien. Ihre Rügen sind nicht formeller Natur und können nicht von der Sache getrennt behandelt werden. Dasselbe gilt, wenn die Beschwerdeführerin den vorinstanzlichen Verzicht auf die Befragung des von ihr angegebenen Zeugen C._ beanstandet. Die Vorbringen der Beschwerdeführerin zielen auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids ab. Insoweit kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
2.3. Die Beschwerdeführerin bringt ferner vor, die Vorinstanz habe die sich aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör ergebende Begründungspflicht verletzt, indem sie sich nicht mit der im Schreiben vom 10. November 2018 enthaltenen Aussage befasst habe, wonach die Beschwerdeführerin ansteckende Krankheiten verbreite. Die Beschwerdeführerin legt indes nicht dar, dass diese Aussage Teil des gestützt auf ihr Schreiben vom 18. Dezember 2018 an die Staatsanwaltschaft sowie ihre polizeiliche Befragung vom 10. Januar 2019 festgehaltenen Anzeigesachverhaltes gewesen ist. In diesem Zusammenhang hat die Vorinstanz zutreffend darauf hingewiesen, dass die Überprüfung der Nichtanhandnahmeverfügung und nicht eine allfällige Erweiterung des Anzeigesachverhaltes Gegenstand des Beschwerdeverfahrens bildet. Die Beschwerdeführerin vermag mit ihren Ausführungen keine Verletzung der Begründungspflicht aufzuzeigen.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Die Gerichtskosten sind der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Ihrer finanziellen Lage ist mit einer reduzierten Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. November 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Bianchi