Sachverhalt:
A.
B._ (Beschwerdegegner) leitete am 9. August 2018 wegen einer Schadenersatzforderung ein Schlichtungsverfahren vor der Mieterschlichtungsstelle AachThurLand gegen seine Vermieterin A._ GmbH (Beschwerdeführerin) ein. Die A._ GmbH erschien nicht zur Schlichtungsverhandlung vom 26. September 2018, weshalb die Mietschlichtungsstelle B._ die Klagebewilligung ausstellte.
Am 14. November 2018 erhob B._ beim Bezirksgericht Weinfelden Klage im vereinfachten Verfahren über Fr. 10'040.35 zuzüglich Zins. Dabei verwendete er ein Formular gemäss <ref-law>, wobei er unter "Rechtsbegehren" vermerkte: "ich bin im Recht, da es sich um einen Baufehler handelt. Durch diesen Baufehler wurden meine persönlichen Gegenstände im Kellerraum verschimmelt". Der Einzelrichter des Bezirksgerichts lud die Parteien mit Schreiben vom 14. Dezember 2018 auf den 1. Februar 2019 "zur Hauptverhandlung" vor. In der Vorladung war unter anderem der Wortlaut von Art. 147 und <ref-law> wiedergegeben. Am 27. Januar 2019 ersuchte die A._ GmbH um Verschiebung des Termins wegen einer dringlichen geschäftlichen Auslandreise und bezeichnete C._ als ihren Stellvertreter. Am 28. Januar 2019 beantragte auch C._ eine Verschiebung der Verhandlung, worauf der Einzelrichter die Parteien neu auf den 13. März 2019 vorlud. Zu diesem Termin erschien lediglich B._, wogegen ihm die A._ GmbH unentschuldigt fernblieb. Am 15. März 2019 fällte der Einzelrichter unter Verweis auf <ref-law> und gestützt auf die Akten sowie die Vorbringen von B._ einen Entscheid in der Sache. Ausgehend von einem Schaden von total Fr. 12'767.15 und unter Berücksichtigung der von B._ anlässlich der Hauptverhandlung anerkannten ausstehenden zwei Monatsmieten von je Fr. 1'800.-- verurteilte er die A._ GmbH zur Zahlung eines Betrages von Fr. 9'167.15. Im Übrigen wies er die Klage ab.
Diesen Entscheid focht die A._ GmbH mit Berufung beim Obergericht des Kantons Thurgau an, wobei sie eine Verletzung ihres rechtlichen Gehörs rügte. Mit Entscheid vom 19. Dezember 2019 beurteilte das Obergericht die Berufung als unbegründet.
B.
Die A._ GmbH verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, der Entscheid des Obergerichts sei aufzuheben und die Klage von B._ sei abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht, subeventualiter an das Bezirksgericht, zurückzuweisen.
Mit Präsidialverfügung vom 26. Februar 2020 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer Vorinstanz im Sinne von <ref-law>.
1.2. Der Streitwert erreicht die gemäss <ref-law> in mietrechtlichen Fällen geltende Grenze von Fr. 15'000.-- nicht. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde in Zivilsachen dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>). Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist diese Voraussetzung dann erfüllt, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (<ref-ruling> E. 1 S. 165; <ref-ruling> E. 1.2 mit weiteren Hinweisen). Die Frage muss von allgemeiner Tragweite sein (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.2 S. 269 mit weiteren Hinweisen). Eine neue Rechtsfrage kann unter dem Aspekt von <ref-law> vom Bundesgericht beurteilt werden, wenn dessen Entscheid für die Praxis wegleitend sein kann, namentlich, wenn von unteren Instanzen viele gleichartige Fälle zu beurteilen sein werden (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.3 S. 4).
Das Bundesgericht hat bisher nicht entschieden, wie bei Säumnis der beklagten Partei an der Verhandlung nach <ref-law> vorzugehen ist. Die Frage wird in der Lehre unterschiedlich beantwortet, und die kantonale Gerichtspraxis dazu ist uneinheitlich (siehe im Einzelnen Erwägung 2.2). Zu beachten ist ausserdem, dass im vereinfachten Verfahren die Streitwertgrenzen von <ref-law> oft nicht erreicht werden (siehe <ref-law>). Das Vorliegen einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung ist unter diesen Umständen zu bejahen.
1.3. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Im vereinfachten Verfahren muss die Klage im Zeitpunkt der Einreichung nicht begründet werden (<ref-law>). Enthält sie wie vorliegend keine den Anforderungen von <ref-law> genügende Begründung, so stellt das Gericht sie nach <ref-law> der beklagten Partei zu und lädt die Parteien zugleich zur Verhandlung vor (siehe zum Ablauf des vereinfachten Verfahrens allgemein <ref-ruling> E. 3.1). Wie vorzugehen ist, wenn die beklagte Partei nicht zur Verhandlung erscheint, sagt das Gesetz nicht ausdrücklich. Zu beachten ist immerhin <ref-law>, laut dem die Bestimmungen zum ordentlichen Verfahren sinngemäss für sämtliche anderen Verfahren gelten, soweit das Gesetz nichts anderes bestimmt.
2.2. Die Auffassungen zu dieser Frage sind zweigeteilt:
Nach der einen Meinung ist in dieser Situation <ref-law> anzuwenden (so BERTI, Einführung in die schweizerische Zivilprozessordnung, 2011, S. 86 Rz. 262; GRÜTTER, Das vereinfachte Verfahren in seiner mündlichen Variante, in: Jusletter vom 14. November 2011, Rz. 36; HAUCK, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger [Hrsg.], 3. Aufl. 2016, N. 18 vor <ref-law>; HOHL, Procédure civile, Bd. II, 2. Aufl. 2010, S. 243 Rz. 1319; PAHUD, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Bd. II, Brunner/Gasser/Schwander [Hrsg.], 2. Aufl. 2016, N. 14 zu <ref-law>; TAPPY, in: Commentaire romand, Code de procédure civile, 2. Aufl. 2019, N. 34 zu Art. 234 und N. 21 zu <ref-law>; WILLISEGGER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 40 zu <ref-law>). Gemäss dieser Bestimmung berücksichtigt das Gericht bei Säumnis einer Partei an der Hauptverhandlung die Eingaben, die nach Massgabe der Zivilprozessordnung eingereicht worden sind. Im Übrigen kann es seinem Entscheid unter Vorbehalt von <ref-law> (Beweiserhebung von Amtes wegen) die Akten sowie die Vorbringen der anwesenden Partei zu Grunde legen. Die Vorinstanz hat sich dieser Auffassung angeschlossen und das Vorgehen des Einzelrichters gemäss <ref-law> geschützt.
Ein anderer Teil der Lehre spricht sich für eine analoge Anwendung von <ref-law> aus, gemäss dem das Gericht bei versäumter Klageantwort der beklagten Partei eine kurze Nachfrist setzt. Auf das vereinfachte Verfahren übertragen bedeute dies, dass bei unentschuldigter Abwesenheit der beklagten Partei an der mündlichen Verhandlung ein zweites Mal vorzuladen sei (in diesem Sinne etwa BRUNNER/STEININGER, IN: SCHWEIZERISCHE ZIVILPROZESSORDNUNG [ZPO], BD. II, BRUNNER/GASSER/SCHWANDER [HRSG.], 2. Aufl. 2016, N. 7-9 zu <ref-law>; LEUENBERGER/UFFER-TOBLER, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 2. Aufl. 2016, S. 380 Rz. 11.159a; MAZAN, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 15 zu <ref-law>; MEIER, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 2010, S. 412; SCHEIWILLER, Säumnisfolgen nach der Schweizerischen Zivilprozessordnung, 2016, S. 174 f. Rz. 425 f.; TREZZINI, in: Commentario pratico al Codice di diritto processuale civile svizzero [CPC], Bd. II, 2. Aufl. 2017, N. 8 zu <ref-law>; siehe auch FRAEFEL, in: ZPO, Oberhammer/Domej/Haas [Hrsg.], 2. Aufl. 2014, N. 9 zu <ref-law>; KILLIAS, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 8 zu <ref-law>). Diese Meinung hat sich insbesondere das Kantonsgericht St. Gallen zu eigen gemacht (Entscheid BE.2018.12 vom 26. Juni 2018 E. 4a).
2.3. Gemäss <ref-law> (Säumnis und Säumnisfolgen) ist eine Partei säumig, wenn sie eine Prozesshandlung nicht fristgerecht vornimmt oder zu einem Termin nicht erscheint (Abs. 1). Das Verfahren wird ohne die versäumte Handlung weitergeführt, sofern das Gesetz nichts anderes bestimmt (Abs. 2). Die säumige Partei ist also grundsätzlich mit der versäumten Prozesshandlung ausgeschlossen, ohne dass ihr zunächst Gelegenheit eingeräumt würde, diese nachzuholen (siehe dazu Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [nachfolgend: Botschaft ZPO], BBl 2006 S. 7309 zu Art. 145-147). Die strengen Säumnisfolgen tragen dem Umstand Rechnung, dass die Parteien im Zivilprozess regelmässig ein unterschiedlich grosses Interesse an der gerichtlichen Beurteilung ihres Streits haben. Sie verhindern, dass eine Partei - typischerweise die beklagte - das Verfahren zu Lasten der Gegenpartei verzögern kann. Vorbehalten bleibt immerhin die Wiederherstellung nach <ref-law> für den Fall, dass die säumige Partei kein oder nur ein leichtes Verschulden trifft (siehe allgemein etwa STAEHELIN/STAEHELIN/GROLIMUND, Zivilprozessrecht, 3. Aufl. 2019, S. 283 § 17 Rz. 11). <ref-law> konkretisiert die Verwirkungsfolge für die Säumnis einer Partei an der Hauptverhandlung des ordentlichen Verfahrens, wogegen <ref-law> für die versäumte Klageantwort eine Ausnahme vom Grundsatz der Präklusion statuiert.
2.4. Mit dem vereinfachten Verfahren wollte der Gesetzgeber einen gegenüber dem ordentlichen Verfahren beschleunigten Rechtsweg schaffen. Dieser soll es den Parteien ermöglichen, in Fällen mit vergleichsweise kleinem Streitwert und insbesondere in den Materien des sogenannten sozialen Privatrechts mit vertretbarem Aufwand und innert überschaubarer Frist eine gerichtliche Beurteilung ihres Rechtsstreits zu erlangen. Das vereinfachte Verfahren ist auf Angelegenheiten zugeschnitten, für die "der ordentliche Prozess zu schwer wäre", und soll damit auch zur Entlastung der Gerichte beitragen (siehe Botschaft ZPO, S. 7245 f. und 7345 f.). <ref-law> schreibt dem Gericht vor, die notwendigen Verfügungen zu treffen, damit die Streitsache möglichst am ersten Termin erledigt werden kann. Dieser Vorgabe liefe es aber offensichtlich zuwider, wenn bei unentschuldigtem Nichterscheinen der beklagten Partei zur Verhandlung nach <ref-law> neu vorgeladen werden müsste. Dagegen trägt es zur angestrebten Verfahrensbeschleunigung bei, wenn in diesem Fall direkt die Säumnisfolgen eintreten, so wie es denn auch bereits in kantonalen Verfahrensbestimmungen zum ehemaligen einfachen und raschen Verfahren vorgesehen war (siehe z.B. § 129 Abs. 2 Ziff. 1 des Gesetzes des Kantons Zürich über den Zivilprozess vom 13. Juni 1976). Andererseits ist zu beachten, dass die Säumnisfolge im vereinfachten Verfahren durch die Regeln zur Feststellung des Sachverhalts gemäss <ref-law> (verstärkte Fragepflicht nach Abs. 1 und soziale Untersuchungsmaxime nach Abs. 2) gemildert wird (vgl. MAZAN, a.a.O., N. 15 zu <ref-law>).
2.5. Gegen ein Vorgehen nach <ref-law> wird in der Literatur vorgebracht, der unmittelbare Eintritt der Säumnisfolge widerspreche der Absicht des Gesetzgebers, dass das vereinfachte Verfahren auch der schwächeren Partei gerecht werden müsse (so etwa BRUNNER/STEININGER, a.a.O., N. 9 zu <ref-law>; MEIER, a.a.O., S. 412). In der Tat ist das vereinfachte Verfahren durch seine vereinfachten Formen, die weitgehende Mündlichkeit und die richterliche Hilfestellung bei der Sachverhaltsermittlung grundsätzlich laientauglich ausgestaltet (siehe im Einzelnen <ref-ruling> E. 3.2.3; <ref-ruling> E. 3.1 mit weiteren Hinweisen). Diese Erleichterungen bei der Prozessführung greifen allerdings nur, wenn die Parteien zur Verhandlung erscheinen. Auch von einer rechtsunkundigen und nicht anwaltlich vertretenen Partei kann aber ohne Weiteres erwartet werden, dass sie der Vorladung zu einem Gerichtstermin Folge leistet, jedenfalls, wenn ihr diese rechtzeitig (<ref-law>) und in vorgeschriebener Form (<ref-law>) zugestellt und sie auf die Säumnisfolgen hingewiesen worden ist (Art. 133 lit. f und Art. 147 Abs. 3 ZPO). Dies gilt umso mehr, als dem Entscheidverfahren eine Schlichtungsverhandlung vor der Schlichtungsbehörde vorausgeht, zu welcher die Parteien bereits persönlich erscheinen müssen (<ref-law>). Die Rücksichtnahme auf die schwächere Partei verlangt somit nicht, dass im Falle der Säumnis erneut zur Verhandlung vorgeladen wird (vgl. TAPPY, a.a.O., N. 21 zu <ref-law>).
2.6. Ferner weisen mehrere Autoren darauf hin, dass die beklagte Partei im vereinfachten Verfahren an der Verhandlung nach <ref-law> zum ersten Mal überhaupt Gelegenheit zur Äusserung erhalte. Demgegenüber gehe der Hauptverhandlung im ordentlichen Verfahren ein Schriftenwechsel voraus, in dem die säumige beklagte Partei nach <ref-law> eine zweite Chance erhalte (so insbesondere BRUNNER/STEININGER, a.a.O., N. 8 zu Art. 245; LEUENBERGER/UFFER-TOBLER, a.a.O., S. 380 Rz. 11.159a; SCHEIWILLER, a.a.O., S. 174 f. Rz. 425). Aus <ref-law> darf jedoch nicht abgeleitet werden, dass die beklagte Partei im Zivilverfahren generell Anspruch darauf hätte, eine allfällige Säumnis bei ihrer ersten Äusserungsmöglichkeit ohne Rechtsnachteile zu beheben. Im Gegenteil hat das Bundesgericht in seiner publizierten Rechtsprechung entschieden, dass dem Betriebenen bei versäumter Stellungnahme zum Rechtsöffnungsbegehren keine Nachfrist anzusetzen ist. Zur Begründung erwog es, die im Gesetz vorgesehene Beschleunigung des Rechtsöffnungsverfahrens bedinge, die Rechte des Gesuchsgegners in dieser Situation enger zu fassen als im ordentlichen Zivilverfahren und daher <ref-law> in diesem summarischen Verfahren nicht anzuwenden (<ref-ruling> E. 3.2; vgl. auch Urteil 4A_224/2017 vom 27. Juni 2017 E. 2.4.2 mit Hinweisen). Entsprechendes muss auch für den hier zu beurteilenden Fall gelten, dass die beklagte Partei nicht zur Verhandlung gemäss <ref-law> erscheint. Wohl geht dem Ziel der Prozessbeschleunigung im vereinfachten Verfahren die spezifisch zwangsvollstreckungsrechtliche Bedeutung ab, die ihm im Rechtsöffnungsverfahren zukommt. Indessen weist die Vorinstanz mit Recht darauf hin, dass die Vorladung zu einer neuen mündlichen Verhandlung im Gegensatz zur Nachfrist für eine schriftliche Eingabe nicht nur eine Verfahrensverzögerung zur Folge hat, sondern auch bedeutet, dass das Gericht einen weiteren Termin festlegen und freihalten muss und auch die anwesende Partei erneut vor Gericht zu erscheinen hat. Dass aber eine Partei dem Gericht und der Gegenpartei durch ihre Säumnis solchen Aufwand verursachen kann, widerspricht Sinn und Zweck des vereinfachten Verfahrens (Erwägung 2.4).
2.7. Bleibt die beklagte Partei im vereinfachten Verfahren der Verhandlung nach <ref-law> unentschuldigt fern, ist somit nicht in analoger Anwendung von <ref-law> zu einem neuen Gerichtstermin vorzuladen. Das Bezirksgericht hat die ZPO richtig angewendet, wenn es die Verhandlung vom 13. März 2019 in Abwesenheit der säumigen Beschwerdeführerin durchführte. Unter diesen Umständen erweist sich aber auch die Gehörsrüge der Beschwerdeführerin (<ref-law> und <ref-law>) als unbegründet.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten gemäss <ref-law> der Beschwerdeführerin aufzuerlegen. Dem Beschwerdegegner ist im bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand entstanden, für den er nach <ref-law> zu entschädigen wäre.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Mai 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz