Sachverhalt:
A.
A.a. Am 4. Januar 2019 stellte die Stiftung C._ in der gegen die D._ GmbH laufenden Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Basel-Stadt beim Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt das Konkursbegehren. Die D._ GmbH wurde betrieben für den Betrag von Fr. 1'007.55 nebst Zinsen, Fr. 100.-- Betreibungskosten, Fr. 50.-- Mahnkosten und Fr. 9.65 Verzugszins.
A.b. Am 9. Januar 2019 bezahlte die D._ GmbH die in Betreibung gesetzte Forderung samt Zinsen und Kosten beim Betreibungsamt.
A.c. Die Anteile der D._ GmbH wurden am 18. März 2019 von B._ übernommen, der die Statuten der Gesellschaft ändern liess. Neu lautet der Firmennamen A._ GmbH. Die bisherige Gesellschafterin und Geschäftsführerin E._ schied aus der Gesellschaft aus und ihre Unterschrift erlosch.
A.d. Am 19. März 2019 nahm E._ die Vorladung zur Konkursverhandlung entgegen. Die Publikation der Statutenänderung im Schweizerischen Handelsamtsblatt erfolgte am 25. März 2019.
A.e. Zur Konkursverhandlung vor dem Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt vom 2. April 2019 war niemand erschienen. Der Konkursrichter sprach gleichentags den Konkurs über die A._ GmbH aus.
B.
Mit Beschwerde vom 26. April 2019 gelangte die A._ GmbH in Liquidation an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Sie beantragte die Aufhebung des Konkurserkenntnisses und legte die Abrechnung des Betreibungsamtes vom 9. Januar 2019 in der Betreibung Nr. xxx bei, woraus sich ergibt, dass die in Betreibung gesetzte Forderung samt Zinsen und Kosten von B._ bezahlt worden ist. Das Appellationsgericht hiess die Beschwerde mit Entscheid vom 23. Mai 2019 gut und hob das Konkurserkenntnis vom 2. April 2019 auf. Es auferlegte der A._ GmbH die Gerichtskosten von Fr. 600.-- und sprach ihr keine Parteientschädigung zu.
C.
Die A._ GmbH ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 26. Juni 2019 an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin beantragt sinngemäss, der Entscheid des Appellationsgerichts sei hinsichtlich der Verfahrenskosten aufzuheben.
Das Appellationsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Stiftung C._ (Beschwerdegegnerin) schliesst ebenfalls auf Abweisung der Beschwerde.
Die Vernehmlassungen sind der Beschwerdeführerin zur Kenntnisnahme zugestellt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Entscheid einer Rechtsmittelbehörde, die als oberes kantonales Gericht über die Konkurseröffnung entschieden hat. Dagegen ist die Beschwerde in Zivilsachen gegeben (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 2 lit. d und Art. 75 Abs. 2 BGG). Die umstrittenen kantonalen Gerichtskosten sind blosser Nebenpunkt, weshalb grundsätzlich das in der Hauptsache zulässige - streitwertunabhängige - Rechtsmittel offensteht (Urteil 5A_380/2014 vom 30. September 2014 E. 1).
1.2. Die Beschwerdeführerin ist als Schuldnerin vom Entscheid über die aufgehobene Konkurseröffnung wegen der Kostenauflage hinreichend berührt und daher zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>).
1.3. Mit der vorliegenden Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen, wobei hier das Rügeprinzip gilt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.4).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel sind nur zulässig, soweit der vorinstanzliche Entscheid dazu Anlass gibt (<ref-law>).
2.
2.1. Die Vorinstanz hat zwar das Konkurserkenntnis über die Beschwerdeführerin aufgehoben, ihr indes die Verfahrenskosten (unter Hinweis auf <ref-law>) auferlegt und keine Parteientschädigung zugesprochen, da sie ihrer Pflicht zur Klärung des Sachverhaltes gegenüber dem Konkursgericht nicht nachgekommen sei und stattdessen eine erfolgreiche, aber unnötig verursachte Beschwerde geführt habe.
2.2. Nach Ansicht der Beschwerdeführerin wäre es zu keinem Beschwerdeverfahren gekommen, wenn die Behörden richtig reagiert und ihre Zahlung berücksichtigt hätten.
3.
Anlass zum vorliegenden Verfahren gibt die Regelung der Prozesskosten bei der Gutheissung einer Beschwerde des Schuldners gegen das Konkurserkenntnis.
3.1. Das Konkurserkenntnis kann innert zehn Tagen mit Beschwerde nach ZPO angefochten werden (<ref-law>; <ref-law>). Dabei können neue Tatsachen geltend gemacht werden, wenn sie vor Erlass des erstinstanzlichen Entscheides eingetreten sind (<ref-law>, "unechte Noven"), sowie bestimmte Konkursaufhebungsgründe (<ref-law>; "echte Noven"). Die Prozesskosten werden nach Verfahrensausgang (<ref-law>) oder nach Ermessen festgelegt (<ref-law>). Unnötige Kosten trägt, wer sie verursacht (<ref-law>).
3.2. Im vorliegenden Fall wies die Beschwerdeführerin die Vorinstanz darauf hin, dass sie die in Betreibung gesetzte Forderung samt Zinsen und Kosten am 9. Januar 2019 - vor Konkurseröffnung (am 2. April 2019) - an das Betreibungsamt bezahlt habe. Als Beweis legte sie die Abrechnung des Betreibungsamtes vom selben Tage bei. Gestützt auf dieses unechte Novum hob die Vorinstanz das Konkurserkenntnis zu Recht auf. Mit der Zahlung an das Betreibungsamt ist die Forderung nämlich bereits getilgt worden, auch wenn dem Gläubiger sein Guthaben später oder gar nicht überwiesen wird (<ref-law>; BGE 73 III 69 E. 1; <ref-ruling> E. 2b). Die Betreibung muss nicht aufgehoben werden (insoweit ungenau BGE 72 III 6 E. 2), sondern sie erlischt unmittelbar mit dem Eingang des gesamten Forderungsbetrages samt Zinsen und Kosten (BGE <ref-ruling> E. 2b; EMMEL, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 20 zu Art. 12; GILLIÉRON, Poursuite pour dettes, faillite et concordat, 5. Aufl. 2012, Rz. 169).
3.3. Zwar erwies sich die Anfechtung des Konkurserkenntnisses als erfolgreich, gleichwohl auferlegte die Vorinstanz der Beschwerdeführerin die Gerichtskosten und sprach ihr keine Parteientschädigung zu. Sie wies darauf hin, dass es die Aufgabe der Beschwerdeführerin gewesen sei, gegenüber dem Konkursgericht darzulegen und durch Urkunden zu beweisen, dass sie die Forderung bereits vor der Konkursverhandlung bezahlt hatte. Durch ihr Versäumnis habe die Beschwerdeführerin ein unnötiges Verfahren veranlasst.
3.3.1. Wie bereits im kantonalen Verfahren erläutert die Beschwerdeführerin, weshalb sie an der Konkursverhandlung vom 2. April 2019 nicht teilnehmen konnte. Ihrer Ansicht nach wurde sie nicht ordnungsgemäss vorgeladen. Das Konkursgericht habe sich nicht an B._ als neuen Geschäftsführer gewandt, sondern an E._, welche diese Funktion nur bis am 18. März 2019 wahrgenommen hatte und hernach nicht mehr berechtigt war, die Vorladung entgegenzunehmen. Da B._ von seiner Vorgängerin über die Gerichtssitzung nicht orientiert worden sei, habe er daran nicht teilnehmen können und insbesondere das Konkursgericht über die bereits am 4. Januar 2019 erfolgte Zahlung an das Betreibungsamt nicht informieren können. Stattdessen habe die Schuldnerin gegen das Konkurserkenntnis Beschwerde führen müssen.
3.3.2. Wie die Vorinstanz der Beschwerdeführerin im angefochtenen Entscheid eingehend erläutert hat, richtet sich die Vertretungsbefugnis für juristische Person nach den Angaben im Handelsregister. Ist ein Eintrag im Handelsregister geändert worden, so bestimmt sich die Wirksamkeit nach dem Zeitpunkt der Publikation im Schweizerischen Handelsamtsblatt. Die zutreffende Begründung der Vorinstanz braucht nicht weiter erörtert zu werden.
3.3.3. Die Vorladung des Konkursgerichts erging an E._, die in diesem Moment noch als einzelzeichnungsberechtigte Geschäftsführerin im Handelsregister eingetragen und daher zur Entgegennahme der Sendung berechtigt gewesen war. Damit kann es - entgegen den Ausführungen der Beschwerdeführerin - keine Rolle spielen, ob die gegenseitige Information der Beteiligten bei der Anpassung der Vertretungsbefugnis genügend war. Von einer nicht ordnungsgemässen Vorladung zur Konkursverhandlung kann jedenfalls im konkreten Fall keine Rede sein. Wohl werden nach der Praxis im Fall, dass der Konkurs aufgrund eines formellen Fehlers aufgehoben wird, die Verfahrenskosten in der Regel nach <ref-law> auf die Staatskasse genommen (TALBOT, in: Schulthess Kommentar SchKG, 2017, N. 12 zu Art. 174). Daraus kann die Beschwerdeführerin indes nichts ableiten, weil kein formeller Fehler Anlass zur Gutheissung ihrer Beschwerde war.
3.4. Im Weiteren weist die Beschwerdeführerin darauf hin, dass das Betreibungsamt ihr zugesichert habe, dass mit der Zahlung vom 9. Januar 2019 "alles erledigt" sei. Damit erweise sich die Mitteilung an das Konkursamt als falsch.
3.4.1. Zutreffend ist, dass bereits mit der vollständigen Zahlung der Forderung samt Zinsen und Kosten die Betreibung erloschen ist (E. 3.2). Damit ist es Sache des Betreibungsamtes, oder auf Beschwerde hin der Aufsichtsbehörde, im Rahmen ihres Aufgabenbereiches dafür zu sorgen, dass die Betreibung für den getilgten Betrag nicht weitergeht. So müsste das Betreibungsamt beispielsweise eine Konkursandrohung nach Entgegennahme der Zahlung zurückweisen. Hingegen macht es keine Mitteilung an das Konkursamt, wie die Beschwerdeführerin meint.
3.4.2. Zudem kann der Konkurs ohnehin nur vom Konkursrichter und nicht vom Konkursamt ausgesprochen werden (Art. 166 Abs. 1, Art. 171 SchKG). Das Betreibungsamt ist nicht verpflichtet - falls es überhaupt von einem Konkursbegehren Kenntnis hat - von sich aus den Konkursrichter über die erhaltene Zahlung zu orientieren. Dies ist Sache der Parteien (FRITSCHI, Verfahrensfragen bei der Konkurseröffnung, 2010, S. 294). Schuldner und Gläubiger haben bzw. erhalten Kenntnis von der Zahlung (vgl. GILLIÉRON, a.a.O., Rz. 201; <ref-ruling>; vgl. <ref-law>).
3.4.3. Der Konkursrichter hat die Parteien zur Verhandlung über das Konkursbegehren vorzuladen (<ref-law>). Zudem hat er den Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2a). Er hat indes den Sachverhalt nicht zu erforschen, da es Aufgabe der Parteien ist, das Tatsächliche beizubringen und die Beweismittel zu nennen (Urteil 5A_300/2016 vom 14. Oktober 2016 E. 5.1, sog. beschränkter Untersuchungsgrundsatz). Zudem hat er durch Nachfrage und Belehrung darauf hinzuwirken, dass der relevante Sachverhalt vorgetragen wird (TALBOT, a.a.O., N. 4 zu Art. 171 mit Hinw.). Da die Parteien zur Teilnahme an der Sitzung nicht verpflichtet sind, wird durch deren Nichterscheinen die Untersuchungsmaxime jedoch relativiert (DIGGELMANN, in: Kurzkommentar SchKG, 2. Aufl. 2014, N. 2 zu Art. 171). Der vorsichtige Schuldner wird daher die Meldung über die Zahlung an das Betreibungsamt beim Konkursrichter vornehmen, weil sonst der Konkurs über ihn eröffnet werden kann (FRITSCHI, a.a.O.).
3.4.4. Im vorliegenden Fall wurde die Beschwerdeführerin (mit am 19. März 2019 entgegengenommener Verfügung) ordnungsgemäss zur Konkursverhandlung vorgeladen. Indes konnte sie aufgrund interner Probleme in der Gesellschaft an der Konkursverhandlung nicht teilnehmen (E. 3.3.3). Damit war ihr der Hinweis auf die bereits erfolgte Zahlung an das Betreibungsamt nicht möglich und das Konkurserkenntnis erging in diesem Zeitpunkt zu Recht. Die Gutheissung der Beschwerde war einzig aufgrund der Novenregelung möglich (E. 3.1), ohne dass dem Konkursrichter ein Vorwurf gemacht werden könnte. Anders als die Beschwerdeführerin meint, kann sie insoweit nichts für sich (bzw. für eine Kostenpflicht des Staates) ableiten.
3.5. Damit bleibt die Frage, ob die Beschwerdeführerin durch die Anfechtung des Konkurserkenntnisses unnötige Kosten verursacht hat (<ref-law>). Um solche Kosten geht es in erster Linie, wenn sie durch ein Verhalten einer Partei innerhalb des Prozesses entstanden sind und auf diese Weise zu den ohnehin anstehenden Prozesskosten zusätzliche hinzukommen. Zu denken ist dabei etwa an weitschweifige Eingaben oder trölerische Begehren. Indes kommen als unnötige Kosten auch solche in Frage, die durch ein bestimmtes Verhalten ausserhalb des Prozesses veranlasst worden sind. Unnötig sind Kosten selbst dann, wenn sie vom Verursacher nicht durch ein vorwerfbares Verhalten verursacht worden sind (<ref-ruling> E. 2.4.3 und 2.4.4). Zwar handelt es sich dem Wortlaut von <ref-law> gemäss hierbei nicht um eine Kann-Vorschrift. Indes wird bestätigt, dass dem Gericht auch hier ein gewisses Ermessen zusteht (Urteile 5D_69/2017 vom 14. Juli 2017 E. 3.3.1; 5A_195/2013 vom 9. Juli 2013). Zu prüfen bleibt im Folgenden, ob die Vorinstanz ihr Ermessen gesetzwidrig ausgeübt hat (vgl. <ref-ruling> E. 5.4), wenn sie im konkreten Fall der Beschwerdeführerin als Verursacherin des Verfahrens die Pflicht zur Kostentragung auferlegt hat.
3.5.1. Die Praxis betrachtet im Fall, dass der Schuldner vor der Konkurseröffnung bezahlt, aber dies dem Konkursgericht nicht mitteilt, die entstandenen Verfahrenskosten noch als adäquate Folge der Zahlungssäumnis (DIGGELMANN, Rechtsmittel gegen die Konkurseröffnung, ZZZ 2016 S. 104). Danach rechtfertigt dieses Verhalten des Schuldners die Kostentragungspflicht gestützt auf <ref-law> (Entscheid [KSK 17 40] des Kantonsgerichts Graubünden vom 16. August 2017 E. 4.1; Urteil [PS110095] des Kantonsgerichts Zürich vom 6. Juli 2011 E. 2.2). Der Grundsatz (Kostentragungspflicht des Schuldners zufolge Zahlungssäumnis) wird auch angewandt, wenn eine Gutheissung der Beschwerde gestützt auf echte Noven gemäss <ref-law> erfolgt (Urteil [102 2018 210] des Kantonsgerichts Freiburg vom 7. September 2018 E. 4; Urteil [PS180216] des Obergerichts Zürich vom 23. November 2018 E. 5; vgl. ferner Urteil 5A_786/2012 des Bundesgerichts vom 18. Dezember 2012 E. 5).
3.5.2. Die Vorinstanz hält der Beschwerdeführerin vor, ihrer Mitwirkungspflicht bei der Feststellung des Sachverhaltes gegenüber dem Konkursgericht (mit Blick auf die Konkursverhandlung vom 2. April 2019) nicht nachgekommen zu sein. Statt dem Konkursgericht mitzuteilen, dass bereits am 9. Januar 2019 die Zahlung an das Betreibungsamt erfolgt war und die entsprechende Abrechnung beizulegen, habe sie eine Beschwerde gegen das Konkurserkenntnis eingereicht, um diesen Sachverhalt vorzubringen. Durch ihr Versäumnis habe die Beschwerdeführerin das Beschwerdeverfahren verursacht. Trotz Gutheissung der Beschwerde habe sie daher die zweitinstanzlichen Gerichtskosten und die Kosten der eigenen Vertretung zu tragen.
3.5.3. Die Beschwerdeführerin hat die Konsequenzen dafür zu tragen, dass ihrem Geschäftsführer die (korrekt zugestellte) Anzeige der Konkursverhandlung von seiner Vorgängerin nicht weitergeleitet worden ist. Eine Verpflichtung zur Teilnahme besteht jedoch für die Parteien nicht: Die Konkurseröffnung in Abwesenheit der Beschwerdeführerin als Schuldnerin ist nicht zu beanstanden (GIROUD, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 3 zu Art. 171). Soweit die Vorinstanz die Kostentragungspflicht der Beschwerdeführerin in der Säumnis bzw. Nichtteilnahme an der Konkursverhandlung erblickt, kann ihr nicht gefolgt werden. Entscheidend ist, ob sich die Pflicht zur Kostentragung zu Lasten der Beschwerdeführerin als Schuldnerin noch als adäquate Folge der Zahlungssäumnis rechtfertigen lässt.
3.5.4. Im Allgemeinen erscheint es - wie die Vorinstanz annehmen durfte - nicht gerechtfertigt, einem Gläubiger die Kosten im Verfahren gegen die Konkurseröffnung aufzubürden mit der Begründung, er hätte dem Konkursgericht von der Zahlung Mitteilung machen und damit die Konkurseröffnung verhindern können und müssen. Zwar erhält der Gläubiger Kenntnis von der Zahlung; oft vergisst er indes die Meldung an das Konkursgericht über die Bezahlung des Schuldners - bewusst oder unbewusst (FRITSCHI, a.a.O., S. 294). Der Schuldner hat ein weitaus grösseres Interesse an der Meldung, insbesondere, wenn möglich ist, dass der Gläubiger noch gar keine Kenntnis von der Zahlung beim Betreibungsamt hat, weil ihm die Gutschrift noch gar nicht angezeigt worden ist. Soweit die Vorinstanz von der allgemeinen Praxis ausgeht, dass im Fall, dass der Schuldner vor der Konkurseröffnung bezahlt, aber dies dem Konkursgericht nicht mitteilt, die entstandenen Verfahrenskosten mit der Zahlungssäumnis begründet, stellt dies keine gesetzwidrige Ermessensbetätigung dar.
3.5.5. Im konkreten Fall kann allerdings nicht übersehen werden, dass die Beschwerdeführerin kurz nachdem die Beschwerdegegnerin das Konkursbegehren (am 4. Januar 2019) gestellt hatte, die Betreibung (am 9. Januar 2019) beim Betreibungsamt bezahlte. Anhaltspunkte dafür, dass die Beschwerdegegnerin eine Gutschriftsanzeige nicht nach üblicher Frist erhalten hätte und sie bei Erlass bzw. Zustellung der Vorladung zur Konkursverhandlung (per 2. April 2019) nicht hinreichende Kenntnis vom Eingang der Zahlung gehabt hätte, sind nicht ersichtlich. Unter diesen zeitlichen Umständen erscheint es als Überschreitung des Ermessens und daher als Gesetzesverletzung, wenn die Vorinstanz als Ursache für das Verfahren gegen die Konkurseröffnung allein in der Zahlungssäumnis der Beschwerdeführerin erblickt hat und völlig unberücksichtigt liess, dass - z.B. nach Erlass der Vorladung zur Konkursverhandlung - eine Meldung an das Konkursgericht von seiten der Beschwerdegegnerin (als Gesuchstellerin) über die Bezahlung durchaus möglich gewesen wäre.
3.6. Nach dem Dargelegten kann der Vorinstanz nicht gefolgt werden, wenn sie der Beschwerdeführerin vorwirft, die Beschwerde gegen das Konkurserkenntnis sei einzig durch die Zahlungssäumnis der Beschwerdeführerin verursacht, weshalb eine Kostenauflage gestützt auf <ref-law> nicht gerechtfertigt ist. Die Beschwerde ist insoweit begründet und gutzuheissen.
4.
Der Beschwerde ist Erfolg beschieden. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben, soweit er die Kostentragung betrifft. Die Sache wird an die Vorinstanz zur Prüfung und Festlegung einer allfälligen Parteientschädigung zurückgewiesen.
Die Beschwerdegegnerin, welche sich dem Antrag der Beschwerdeführerin widersetzt hat, gilt im bundesgerichtlichen Verfahren als unterliegend (<ref-law>). Der Beschwerdeführerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 23. Mai 2019 wird aufgehoben, soweit der Beschwerdeführerin die Gerichtskosten von Fr. 600.-- auferlegt wurden. Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit die Parteientschädigung an die Beschwerdeführerin für das kantonale Verfahren festgelegt werden kann.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Oktober 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante