Sachverhalt:
A.
A._ lenkte am 25. April 2016 in Saas-Grund (VS) in angetrunkenem Zustand (1.80 Gewichtspromille) einen Personenwagen. Deswegen entzog die Dienststelle für Strassenverkehr und Schifffahrt (DSUS) des Kantons Wallis ihm am 4. Mai 2016 den Führerausweis vorsorglich für unbestimmte Zeit. Zugleich ordnete sie an, er habe sich zur Abklärung seiner Fahreignung einer vertrauensärztlichen Eignungsuntersuchung beim Zentrum für medizinische Expertisen des Spitals Wallis zu unterziehen.
Am 21. November 2016 fand die verkehrsmedizinische Untersuchung im Spital Wallis statt. Dabei wurden unter anderem Urin- und Haarproben von A._ genommen. Im verkehrsmedizinischen Gutachten vom 21. Dezember 2016 wird seine Fahreignung hauptsächlich aufgrund einer verkehrsrelevanten Alkoholproblematik verneint.
B.
Mit Verfügung vom 10. Januar 2017 ordnete die DSUS gegenüber A._ rückwirkend ab dem 25. April 2016 einen Sicherungsentzug des Führerausweises auf unbestimmte Zeit an. Die Wiedererteilung des Führerausweises wurde von der Einhaltung einer mindestens einjährigen fachtherapeutisch betreuten und mittels Haar- und Blutanalyse kontrollierten Alkoholabstinenz abhängig gemacht.
Der Staatsrat des Kantons Wallis wies die Beschwerde von A._ hiergegen am 6. September 2017 ab.
C.
Mit Urteil vom 25. Mai 2018 wies das Kantonsgericht Wallis die Beschwerde von A._ gegen den Entscheid des Staatsrats ab.
D.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht mit den folgenden Rechtsbegehren:
"1. Es seien die B-Probe von Urin und Haarentnahme vom 21.11.2016 vom Institut für Rechtsmedizin Zürich auf ihren Gehalt des Alkoholabbauprodukts Ethylglucuronid (EtG) und ihren Morphin-Wert zu untersuchen.
2. Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Kantonsgerichts Wallis vom 25.05.2018 aufgehoben.
3. Primär:
Der Sicherungsentzug sei umgehend aufzuheben, dem Beschwerdeführer sei der Führerausweis unter Auferlegung eines Warnungsentzugs von 6 Monaten gemäss <ref-law>, gerechnet ab dem 25.04.2016, zu entziehen und die Dienststelle für Strassenverkehr sei anzuweisen, den Führerausweis umgehend auszuhändigen.
Subsidiär:
Der Sicherungsentzug sei umgehend aufzuheben und die Angelegenheit zur Festsetzung der Dauer des Warnungsentzugs an die Vorinstanz bzw. die Dienststelle für Strassenverkehr zurückzuweisen.
Subsubsidiär:
Die Angelegenheit sei zur weiteren Ermittlung der Umstände zur Klärung der Fahreignung an die Vorinstanz bzw. die Dienststelle für Strassenverkehr zurückzuweisen.
4. Die Kosten des vorliegenden Verfahrens sowie der vorinstanzlichen Verfahren gehen zu Lasten des Staates Wallis.
5. Dem Beschwerdeführer ist zu Lasten des Staates Wallis für das vorliegende sowie die vorinstanzlichen Verfahren eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen."
Das Kantonsgericht, der Staatsrat und die DSUS schliessen auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über einen Führerausweisentzug. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> offen; ein Ausnahmegrund ist nicht gegeben (<ref-law>). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer beanstandet eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung (<ref-law>). Er bringt vor, er habe zwei Haaranalysen eines privaten Labors in Deutschland vom 21. Oktober 2016 bzw. dem 26. Januar 2017 ins Recht gereicht. Für Erstere habe seine ehemalige Sekretärin ihm ungefähr Mitte Oktober 2016 eine Haarprobe entnommen, für Letztere sein Hausarzt am 18. Januar 2017. Entgegen den Erwägungen des angefochtenen Entscheids sei die Haarentnahme beim Hausarzt nicht über ein Jahr, sondern nur zwei bis drei Monate nach denjenigen für die private Haaranalyse vom 21. Oktober 2016 und das verkehrsmedizinische Gutachten vom 21. November 2016 erfolgt.
2.2. Bei den vorinstanzlichen Akten befinden sich Befundberichte zu Haaranalysen vom 21. Oktober 2016 und dem 26. Januar 2017. Ersterer gibt als Ergebnis einen EtG-Gehalt von 20.3 pg/mg an, gemäss Letzterem wurden die betreffende Haarprobe mit negativem Ergebnis auf Rückstände von Morphin sowie weiteren Drogen untersucht. Das verkehrsmedizinische Gutachten erwähnt zwar, dass die dafür vorgenommene Urinanalyse positiv auf Morphin ausgefallen sei; weder die Gutachter noch die Vorinstanzen knüpfen aber weiter an diesen Umstand an. Insbesondere besteht einzig in Bezug auf Alkohol eine Abstinenzauflage für die Wiederzulassung zum Strassenverkehr. Die angeblich am 18. Januar 2017 entnommenen Haare können nur Gegenstand des späteren Berichts vom 26. Januar 2017 gewesen sein und wurden somit soweit ersichtlich gar nicht auf Alkohol untersucht. Die Dauer zwischen der hausärztlichen und den früheren Haarentnahmen und ein diesbezüglicher Berechnungsfehler können demnach für den Ausgang des Verfahrens nicht entscheidend sein. Die Rüge dringt nicht durch (vgl. <ref-law>).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt weiter eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Er macht geltend, die Vorinstanz habe davon abgesehen, die beantragten Analysen der Zweitproben (so genannte B-Proben) der für das verkehrsmedizinische Gutachten verwendeten Proben von Haar und Urin einzuholen, obwohl massive Zweifel an deren Identität bestehen würden und die privat in Auftrag gegebenen Haaranalysen ihnen widersprechen würden.
3.2. Diese Rüge erweist sich als nicht stichhaltig. Die Vorinstanz hat ihren Entscheid hinreichend begründet und sich mit den entscheiderheblichen Vorbringen des Beschwerdeführers auseinandergesetzt. Aus dem angefochtenen Entscheid geht namentlich hervor, weshalb die Vorinstanz eine Analyse der jeweiligen Zweitprobe von Haar und Urin (sog. B-Probe) nicht als erforderlich betrachtete. Dadurch, dass sie nicht ausdrücklich auf sein Argument, es bestehe ein voraussetzungsloser Anspruch auf eine B-Probe, eingegangen ist, hat sie seinen Anspruch auf rechtliches Gehör nicht verletzt. Die Begründung des angefochtenen Entscheids ermöglichte dem Beschwerdeführer mithin, diesen sachgerecht anzufechten. Wie die nachstehenden Erwägungen aufzeigen, konnte die Vorinstanz gestützt auf die bereits abgenommenen Beweise ihre Überzeugung bilden und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen, weitere Beweiserhebungen würden diese nicht ändern (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 5.2 S. 70 f.; <ref-ruling> E. 3.3 S. 64; je mit Hinweisen). Folglich ist die Untersuchung der B-Proben von Urin und Haar vom 21. November 2016 entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers nicht geeignet, den zu beurteilenden Sicherungsentzug wesentlich zu beeinflussen. Der Antrag, diese seien auf ihren EtG- und Morphinwert zu analysieren, ist daher abzuweisen. Bei diesem Ergebnis kann offen bleiben, ob im Rahmen von Sicherungsentzügen grundsätzlich ein voraussetzungsloser Anspruch auf eine unabhängige Analyse der B-Probe besteht und welche Tragweite eine allfällige Verletzung der Erläuterungen "Bestimmung von Ethylglucuronid (EtG) in Haarproben" der Arbeitsgruppe Haaranalytik der Schweizerischen Gesellschaft für Rechtsmedizin hat.
4.
Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz zur Hauptsache eine falsche Anwendung von Art. 16d Abs. 1 lit. b und <ref-law> sowie eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) vor.
4. Motorfahrzeugführer müssen über Fahreignung verfügen (<ref-law>). Voraussetzung hierfür ist, dass die Person frei von einer Sucht ist, die das sichere Führen von Motorfahrzeugen beeinträchtigt (<ref-law>). Führerausweise sind zu entziehen, wenn festgestellt wird, dass die gesetzlichen Voraussetzungen zur Erteilung nicht oder nicht mehr bestehen (sog. Sicherungsentzug; vgl. <ref-law>). Wegen fehlender Fahreignung wird einer Person der Führerausweis auf unbestimmte Zeit entzogen, wenn sie an einer Sucht leidet, welche die Fahreignung ausschliesst (<ref-law>). Der auf unbestimmte Zeit entzogene Führerausweis kann bedingt und unter Auflagen wiedererteilt werden, wenn eine allfällige gesetzliche oder verfügte Sperrfrist abgelaufen ist und die betroffene Person die Behebung des Mangels nachweist, der die Fahreignung ausgeschlossen hat (<ref-law>). Zum Nachweis der Heilung wird bei Suchtkrankheiten in der Regel eine mindestens einjährige kontrollierte Abstinenz verlangt (<ref-ruling> E. 4.1 S. 250 mit Hinweis).
4. Die Rechtsprechung bejaht eine Trunksucht, wenn die betroffene Person regelmässig so viel Alkohol konsumiert, dass ihre Fahrfähigkeit vermindert wird und sie diese Neigung zum übermässigen Alkoholgenuss durch den eigenen Willen nicht zu überwinden oder zu kontrollieren vermag. Auf eine fehlende Fahreignung darf geschlossen werden, wenn die Person nicht mehr in der Lage ist, Alkoholkonsum und Strassenverkehr ausreichend zu trennen, oder wenn die nahe liegende Gefahr besteht, dass sie im akuten Rauschzustand am motorisierten Strassenverkehr teilnimmt. Die Person muss mithin in einem Mass abhängig sein, dass sie mehr als jede andere Person der Gefahr ausgesetzt ist, sich in einem Zustand ans Steuer eines Fahrzeugs zu setzen, der das sichere Führen nicht mehr gewährleistet. Der Suchtbegriff des Verkehrsrechts deckt sich nicht mit dem medizinischen Begriff der Alkoholabhängigkeit. Auch bloss suchtgefährdete Personen, bei denen aber jedenfalls ein Alkoholmissbrauch vorliegt, können vom Führen eines Motorfahrzeugs ferngehalten werden. Entsprechende Anhaltspunkte ergeben sich etwa aus den Konsumgewohnheiten der Betroffenen, ihrer Vorgeschichte, dem bisherigen Verhalten im Strassenverkehr und ihrer Persönlichkeit (vgl. zum Ganzen: <ref-ruling> E. 4.1 S. 86 f.; Urteil 1C_384/2017 vom 7. März 2018 E. 2.1; je mit Hinweisen).
4. Ist die Fahreignung nicht mehr gegeben, muss ein Sicherungsentzug zwingend angeordnet werden. Als schwerwiegender Eingriff in den Persönlichkeitsbereich des Betroffenen setzt er eine sorgfältige Abklärung aller wesentlichen Gesichtspunkte voraus (<ref-ruling> E. 3.1 S. 387 f.). Der Umfang der Nachforschungen richtet sich nach den Umständen des Einzelfalls und liegt im pflichtgemässen Ermessen der Entzugsbehörde (<ref-ruling> E. 2.2 S. 84). Zu den Abklärungen die sich vor einem allfälligen Sicherungsentzug regelmässig aufdrängen, gehören die einlässliche Prüfung der persönlichen Verhältnisse (welche in begründeten Fällen auch die Einholung von Fremdberichten einschliessen kann), die gründliche Aufarbeitung allfälliger Trunkenheitsfahrten, eine spezifische Alkoholanamnese (betreffend Trinkverhalten bzw. Muster und Motivationen des Alkoholkonsums) sowie eine umfassende medizinische körperliche Untersuchung mit besonderem Augenmerk auf mögliche alkoholbedingte Veränderungen oder gesundheitliche Störungen (vgl. <ref-ruling> E. 6.2.2 S. 91 f.; Urteil 1C_150/2010 vom 25. November 2010 E. 5.5).
4. Die bundesgerichtliche Rechtsprechung anerkennt die Haaranalyse als geeignetes Mittel zum Nachweis eines übermässigen Alkoholkonsums. Die Vornahme der Haaranalyse ist dafür qualifizierten Labors vorzubehalten. Die von ihnen gefundenen Ergebnisse sind Gutachten, von denen die zuständigen Behörden nicht ohne triftige Gründe abweichen dürfen. Ein Abweichen ist nur zulässig, wenn die Glaubwürdigkeit des Gutachtens durch die Umstände ernsthaft erschüttert ist (<ref-ruling> E. 3 S. 337 f. mit Hinweisen). Ob ein Gericht die in einem Gutachten oder Fachbericht enthaltenen Erörterungen für überzeugend hält oder nicht und ob es dementsprechend den Schlussfolgerungen der Experten folgen soll, ist eine Frage der Beweiswürdigung, in die das Bundesgericht nur eingreift, sofern sie offensichtlich unrichtig ist (vgl. Art. 105 Abs. 1 und <ref-law>; Urteil 1C_320/2017 vom 9. Januar 2018 E. 2.3).
4.3.
4.1.1. Das verkehrsmedizinische Gutachten des Kantonsspitals Wallis vom 21. Dezember 2016 zieht seine Schlussfolgerungen aus der Vorgeschichte, den Untersuchungsbefunden der verkehrsmedizinischen Abklärung vom 21. November 2016, den Resultaten der Blut- und Urinanalyse vom 21. November 2016, dem Ergebnis der forensisch-toxikologischen Analyse einer am 21. November 2016 asservierten Haarprobe und dem Austrittsbericht des Psychiatriezentrums Oberwallis vom 20. März 2013, wo der Beschwerdeführer wegen Alkoholproblemen hospitalisiert gewesen ist.
4.1.2. Dem Gutachten ist unter anderem zu entnehmen, dass dem Beschwerdeführer der Führerausweis im Jahr 2006 wegen Vereitelung der Blutprobe entzogen wurde. Als der Beschwerdeführer in der verkehrsmedizinischen Abklärung vom 21. November 2016 zu seinen Alkoholgewohnheiten befragt worden sei, habe er angegeben, bereits in den Studienjahren "sicher viel Bier" konsumiert zu haben. Zwischen dem 30. und dem 40. Lebensjahr habe er "über den Durst getrunken". Bei Problemen trinke er eher Alkohol. Wenn er trinke, könne er den Alkoholkonsum nicht kontrollieren respektive nicht bremsen. Gemäss dem psychiatrischen Austrittsbericht aus dem Jahr 2013 bestehe beim Beschwerdeführer eine rezidivierende depressive Störung und eine jahrelange Alkoholabhängigkeit mit episodischem Substanzgebrauch sowie biopsychosozialen Folgeschäden. Im Computertomogramm des Schädels seien bereits Folgen des jahrelang chronisch betriebenen Alkoholkonsums festgestellt worden. In den therapeutischen Gesprächen seien enorme Konzentrations- und Gedächtnisstörungen bemerkt worden. Für das Gutachten sei eine Haaranalyse bei der Unité de toxicologie et chimie forensique du Centre Universitaire Romand de Médicine Légale in Lausanne vorgenommen worden. Diese habe einen EtG-Wert von 100 pg/mg ergeben, was für einen durchschnittlich übermässigen Alkoholkonsum im vorangegangenen halben Jahr spreche.
4.1.3. Das Gutachten schliesst, beim Beschwerdeführer liege eine Alkoholabhängigkeit mit sozialen und körperlichen Folgeschäden vor. Mit der aktuellen Haaranalyse könne die von ihm geltend gemachte Änderung des Alkoholkonsumverhaltens nicht beweiskräftig bestätigt werden. Ohne längerfristige Verhaltensänderung sei die Gefahr erhöht, dass der Beschwerdeführer erneut unter Alkoholeinfluss ein Fahrzeug lenke. Daher könne dessen Fahreignung aus verkehrsmedizinischer Sicht nicht befürwortet werden.
4.4. Unabhängig von der Haarprobe ergeben sich aus dem Gutachten ein langjähriger hoher Alkoholkonsum sowie eine Unfähigkeit zur Kontrolle des Trinkverhaltens. Diese Umstände legen nahe, dass der Beschwerdeführer seit geraumer Zeit immer wieder in einem die Fahrfähigkeit vermindernden Ausmass Alkohol konsumiert und diese Neigung durch den eigenen Willen nicht zu überwinden oder zu beherrschen vermag. Aus der Vorgeschichte geht zudem hervor, dass er nicht durchwegs in der Lage ist, Alkoholkonsum und Strassenverkehr ausreichend zu trennen. Folglich liegen auch unabhängig von der Haaranalyse mehrere Indizien für das Bestehen einer verkehrsrelevanten Alkoholproblematik vor. Dementsprechend schliesst das Gutachten aus der Haaranalyse lediglich, die geltend gemachte Änderung des Konsumverhaltens könne durch die Haarprobe nicht bestätigt werden. Weiter ist zu berücksichtigen, dass es schon vor dem zu beurteilenden Führerausweisentzug mehrmonatige alkoholabstinente Phasen gegeben hat.
4.5. Die Vorbringen des Beschwerdeführers sind nicht geeignet, das Gutachten zu erschüttern. Sein Argument, dieses nehme keine genügende Gesamtbetrachtung vor, sondern begründe die fehlende Fahreignung einzig mit der Haaranalyse, trifft offenkundig nicht zu. Namentlich da der Beschwerdeführer sich auch nach abstinenten Phasen wieder in alkoholisiertem Zustand ans Steuer eines Fahrzeugs setzte, verursacht der Nachweis einer vorübergehenden Mässigung des Konsums noch keine wesentlichen Zweifel an der Schlüssigkeit der Expertise. Der Befundbericht zur privaten Haaranalyse vom 21. Oktober 2016, der einen - für einen moderaten Alkoholkonsum in den Monaten vor der verkehrsmedizinischen Untersuchung sprechenden - Wert von 20 pg/mg EtG ausweist, stellt das Gutachten somit nicht ernsthaft in Frage. Obwohl der alkoholbedingte Spitalaufenthalt sich dreieinhalb Jahre vor der Fahreignungsuntersuchung ereignete, verletzt es kein Bundesrecht, die diesbezüglichen Unterlagen miteinzubeziehen. Die weiteren Einwände des Beschwerdeführers wie sein guter Allgemein- und Ernährungszustand und seine regelmässigen sportlichen Aktivitäten können die Schlussfolgerungen des Gutachtens ebenfalls nicht entkräften.
4.6. Nach dem Gesagten konnte die Vorinstanz ohne Bundesrecht zu verletzen aus dem verkehrsmedizinischen Gutachten folgern, der Beschwerdeführer leide an einer Alkoholsucht, welche seine Fahreignung ausschliesse. Den Nachweis einer mindestens einjährigen Totalabstinenz hat dieser bislang unbestrittenermassen nicht erbracht. Daher ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz einen Sicherungsentzug auf unbestimmte Zeit bestätigt hat.
5.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind keine zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Dienststelle für Strassenverkehr und Schifffahrt, dem Staatsrat des Kantons Wallis und dem Kantonsgericht Wallis, Öffentlichrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. März 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Schoch