Sachverhalt:
A.
A.a. A._, geboren 1970, wurde ab Januar 2009 (mit einem Unterbruch zwischen Mai 2009 und Juli 2010) durch die Sozialhilfe wirtschaftlich unterstützt. Im Mai 2013 liess er das Einzelunternehmen "B._" in das Handelsregister eintragen. Ab dem Jahr 2014 erwirtschaftete er aus seiner selbstständigen Erwerbstätigkeit im Bereich des Online-Handels mit Nahrungsergänzungsmitteln Nettoerträge, die an die Sozialhilfeunterstützung angerechnet werden konnten. Er erreichte jedoch nie bedarfsdeckende Einnahmen. Im April 2017 beantragte die zuständige Sachbearbeiterin der Sozialhilfe bei der Einzelfallkommission der Sozialhilfe (EFKOS), den Beschwerdeführer trotz seiner (nicht bedarfsdeckenden) selbstständigen Erwerbstätigkeit weiterhin zu unterstützen, was die EFKOS im Mai 2017 jedoch ablehnte. Daraufhin wurde A._ in Aussicht gestellt, dass die Unterstützungsleistungen bei fehlendem Nachweis der Aufgabe der selbstständigen Erwerbstätigkeit eingestellt würden. Nachdem A._ dagegen opponiert hatte, ordnete die Sozialhilfe mit Verfügung vom 25. August 2017 die Einstellung der Unterstützungsleistungen per 30. November 2017 an, sollte A._ seine selbstständige Erwerbstätigkeit nicht innert zweimonatiger Frist bis zum 31. Oktober 2017 gemäss den Anforderungen der Sozialhilfe nachweislich aufgegeben haben. Den gegen diese Verfügung erhobenen Rekurs wies das Departement für Wirtschaft, Soziales und Umwelt (WSU) mit Entscheid vom 7. Mai 2018 ab.
A.b. Den hiergegen geführten Rekurs, mit dem A._ in erster Linie die weitere Ausrichtung von Unterstützungsleistungen der Sozialhilfe unter Weiterführung seiner selbstständigen Erwerbstätigkeit beantragte, hiess das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Urteil vom 22. Oktober 2018 teilweise gut. Es hob den Entscheid des WSU vom 7. Mai 2018 und die Verfügung der Sozialhilfe vom 25. August 2017 auf und entschied, dass die Unterstützungsleistungen der Sozialhilfe auf das Ende des der Nichterfüllung einer Voraussetzung folgenden Kalendermonates eingestellt würden, wenn A._ eine von mehreren näher definierten Voraussetzungen im Zusammenhang mit der Aufgabe seiner selbstständigen Erwerbstätigkeit nicht erfülle. Auf eine dagegen erhobene Beschwerde des A._ trat das Bundesgericht mit Urteil 8D_9/2018 vom 4. Dezember 2018 mangels eines nicht wiedergutzumachenden Nachteils nicht ein.
A.c. Mit Verfügung vom 26. Juni 2019 stellte die Sozialhilfe die Unterstützungsleistungen für A._ - nach vorgängiger Gewährung des rechtlichen Gehörs - per 30. Juni 2019 ein, da dieser den Nachweis der Aufgabe der selbstständigen Erwerbstätigkeit nicht erbracht habe. Einem allfälligen Rekurs entzog sie die aufschiebende Wirkung. Das Gesuch von A._ um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung wies das WSU mit Zwischenentscheid vom 5. August 2019 ab. Nachdem A._ gegen die Verfügung vom 26. Juni 2019 beim WSU Rekurs erhoben hatte, teilte er diesem mit, dass er seine selbstständige Erwerbstätigkeit per 6. August 2019 aufgegeben habe. Daraufhin wurde er ab 1. September 2019 wieder von der Sozialhilfe unterstützt. Mit Entscheid vom 14. Januar 2020 hiess das WSU den Rekurs teilweise gut und wies die Sozialhilfe an, die Unterstützungsleistungen bereits ab 26. August 2019 (inkl. Übernahme der Wohnkosten für den Monat August 2019) wieder aufzunehmen. Allfällige Nachzahlungen seien dem Rekurrenten auszurichten. Im Übrigen wies es den Rekurs ab.
B.
Den hiergegen erhobenen Rekurs, mit dem A._ beantragte, es sei ihm - unter Aufhebung der Verfügung der Sozialhilfe vom 26. Juni 2019 und des Entscheids des WSU vom 14. Januar 2020 - für die Zeit vom 26. Mai bis 26. August 2019 ergänzende Unterstützung zu gewähren und es seien ihm die ergänzenden Zahlungen für die Monate Juni und Juli 2019 im Umfang von Fr. 3050.- nachträglich zu erbringen, wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Urteil vom 14. Oktober 2020 ab.
C.
Mit als subsidiäre Verfassungsbeschwerde bezeichneter Eingabe beantragt A._ zur Hauptsache, es sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sozialhilfe zu verpflichten, ihm die Guthaben per 26. Juni 2019 (Fr. 636.50) und 26. Juli 2019 (Fr. 1266.50) auszuzahlen. Zudem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Das WSU schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
Mit Eingabe vom 2. Februar 2021 nimmt A._ erneut Stellung.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer erhebt subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG). Er rügt mehrere Grundrechtsverletzungen.
1.2. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (Art. 29 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1).
1.3. Das angefochtene Urteil betrifft den Anspruch einer unterstützungsbedürftigen Person auf Sozialhilfe. Es handelt sich somit um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von Art. 82 lit. a BGG.
1.4. Gegen Entscheide letztinstanzlicher kantonaler Gerichte in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG), sofern - wie hier - keine der Ausnahmen gemäss Art. 83 ff. BGG vorliegt. In vermögensrechtlichen Angelegenheiten ist es nicht nötig, dass der Streitwert eine minimale Grenze erreicht, ausser bei Beschwerden betreffend Staatshaftung und öffentlich-rechtliche Arbeitsverhältnisse (Art. 85 Abs. 1 BGG e contrario). Damit ist die subsidiäre Verfassungsbeschwerde unzulässig (Art. 113 BGG) und die Eingabe als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an die Hand zu nehmen, da eine unrichtige Bezeichnung des Rechtsmittels nicht schadet, wenn bezüglich des statthaften Rechtsmittels sämtliche formellen Voraussetzungen erfüllt sind und daher eine Konversion möglich ist (<ref-ruling> E. 1.3; Urteile 8D_7/2020 vom 12. Oktober 2020 E. 1.4; 8D_6/2016 vom 1. Juni 2017 E. 1; 8D_1/2015 vom 31. August 2015 E. 1.4; je mit Hinweisen).
2.
Sodann ist festzuhalten, dass im Rahmen der Beschwerde gegen das Urteil der Vorinstanz vom 14. Oktober 2020 auch Einwendungen gegen deren Zwischenentscheid vom 22. Oktober 2018 zugelassen sind (Art. 93 Abs. 3 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 5.2.3), zumal das Bundesgericht auf die Beschwerde des Beschwerdeführers gegen den Zwischenentscheid mangels eines nicht wiedergutzumachenden Nachteils nicht eingetreten ist (Urteil 8D_9/2018 vom 4. Dezember 2018). Das Bundesgericht wies denn auch darauf hin, dass der Beschwerdeführer die Möglichkeit haben werde, gegen den Endentscheid Beschwerde zu erheben. Zwar war die Sozialhilfe bei dem neu gefällten Entscheid an die Vorgaben im Rückweisungsentscheid gebunden, und ebenso die Vorinstanz, die den Zwischenentscheid erlassen hat (<ref-ruling> E. 4a), nicht aber das Bundesgericht. Es ist deshalb auf die Beschwerde auch insoweit einzutreten, als sie sich gegen den Entscheid der Vorinstanz vom 22. Oktober 2018 richtet.
3.
3.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht mit Einschluss der Bundesverfassung gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), doch prüft es unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 2 BGG) grundsätzlich nur die geltend gemachten Beschwerdegründe (<ref-ruling> E. 1.4.1). Soweit die Vorinstanz kantonales Recht anzuwenden hatte, kann, abgesehen von den hier nicht massgebenden Art. 95 lit. c-e BGG, nur geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verstosse gegen Normen des Bundesrechts oder des Völkerrechts (Art. 95 lit. a und b BGG). Im Übrigen kann die Auslegung und Anwendung des kantonalen Rechts lediglich im Lichte der verfassungsmässigen Rechte und Grundsätze, namentlich des Willkürverbots (Art. 9 BV), geprüft werden (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 4.2.2; <ref-ruling> E. 3). Eine willkürliche Anwendung kantonalen Rechts liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch dessen Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar als zutreffender erscheinen mag, genügt nicht (<ref-ruling> E. 7.1 mit Hinweisen). Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten wie auch von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist; es gilt eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.6; <ref-ruling> E. 3.3).
3.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht; diese Rüge setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 mit Hinweisen).
4.
Die Streitsache dreht sich um die Leistung wirtschaftlicher Sozialhilfe, mithin um einen Bereich, der mangels verfassungsrechtlicher Bundeskompetenz (jenseits der Kollisionsregel in Art. 115 BV) in der Zuständigkeit der Kantone liegt.
5.
5.1. Im Urteil vom 22. Oktober 2018 befasste sich das kantonale Gericht mit dem Anspruch von Selbstständigerwerbenden auf Sozialhilfe. Es erwog, dass grundsätzlich auch bedürftige Selbstständigerwerbende Anspruch auf wirtschaftliche Sozialhilfe hätten, welchem aber der Grundsatz der Wettbewerbsneutralität staatlichen Handelns Schranken setze (E. 2.2.4). Nach ständiger Praxis des Verwaltungsgerichts würden Selbstständigerwerbende deshalb grundsätzlich nur im Sinne einer Überbrückungshilfe unterstützt, bis sie mit dem Geschäftsgewinn den Lebensbedarf (wieder) selber decken könnten. Wenn dies nicht möglich sei, müsse das Geschäft grundsätzlich liquidiert und eine unselbstständige Erwerbstätigkeit angestrebt werden. Über eine solche zeitlich beschränkte Überbrückungshilfe hinaus könne eine Unterstützung nur dann gerechtfertigt werden, wenn die bedürftige Person für eine unselbstständige Erwerbstätigkeit nicht vermittelbar sei und die Fortsetzung ihrer selbstständigen Erwerbstätigkeit der Erhaltung einer Tagesstruktur diene. Die Unterstützung von selbstständig Erwerbstätigen werde in den Unterstützungsrichtlinien des WSU (URL) demnach nur insoweit anders geregelt als diejenige von unselbstständig Erwerbstätigen, als dies aufgrund der Unterschiede dieser Erwerbstätigkeiten durch sachliche und vernünftige Gründe gerechtfertigt sei (E. 2.2.6).
5.2. Fallspezifisch stellte die Vorinstanz in ihrem Urteil vom 22. Oktober 2018 fest, der Beschwerdeführer habe im Januar 2012 eine selbstständige Erwerbstätigkeit in der Form des Betriebs eines Webshops aufgenommen. Seither sei er ergänzend von der Sozialhilfe unterstützt worden. Sein durchschnittlicher monatlicher anrechenbarer Verdienst habe gemäss eigenen Angaben in den 48 Monaten von April 2014 bis April 2018 Fr. 476.70, in den zehn Monaten von Juli 2017 bis April 2018 Fr. 985.45 und in den sechs Monaten von November 2017 bis April 2018 Fr. 1062.45 betragen. Dem hätten gemäss der Budgetverfügung vom 3. November 2016 anerkannte Ausgaben von Fr. 2312.25 gegenübergestanden. Dem Beschwerdeführer sei es somit in mehr als sechs Jahren nicht gelungen, mit seiner selbstständigen Erwerbstätigkeit ein existenzsicherndes Einkommen zu erzielen. Diese Tätigkeit sei demnach nicht geeignet, seinen Lebensbedarf zu decken. Folglich könnte er bei Weiterführung der selbstständigen Erwerbstätigkeit nur dann weiterhin von der Sozialhilfe unterstützt werden, wenn er nicht vermittlungsfähig wäre und seine selbstständige Erwerbstätigkeit geeignet und erforderlich wäre, um seine soziale Desintegration zu verhindern (E. 3.1 des zitierten Urteils). Diese Voraussetzungen verneinte die Vorinstanz. Sie kam deshalb zum Schluss, dass der Beschwerdeführer bei einer Weiterführung seiner selbstständigen Erwerbstätigkeit nicht mehr von der Sozialhilfe zu unterstützen sei. Da das Vermögen einer bedürftigen Person gemäss § 5 Abs. 2 lit. a des Sozialhilfegesetzes des Kantons Basel-Stadt vom 29. Juni 2000 (SHG; SG 890.100) der Sozialhilfe vorgehe, sei bewegliches Vermögen gemäss § 8 Abs. 1 SHG bei der Festlegung der wirtschaftlichen Hilfe zu verwerten. Darin sah die Vorinstanz eine gesetzliche Grundlage dafür, die weitere Unterstützung des Beschwerdeführers durch die Sozialhilfe vom Verkauf seines Warenlagers abhängig zu machen und den Verkaufserlös bedarfsmindernd zu berücksichtigen (E. 3.4). Sie erachtete eine Frist von sechs Monaten für die Liquidation des Warenlagers als angemessen. Die weitere Unterstützung des Beschwerdeführers durch die Sozialhilfe machte das kantonale Gericht deshalb von den Voraussetzungen abhängig, dass er (vgl. E. 4 des Urteils der Vorinstanz vom 22. Oktober 2018) :
a) unter Vorbehalt einzelner, spezifischer Ausnahmen ab der Zustellung des Gerichtsentscheids keine Produkte mehr für seinen Webshop kaufe;
b) allfällige Lieferverträge innerhalb eines Monats ab Zustellung des Entscheids auf den nächstmöglichen Termin kündige und dies der Sozialhilfe mit Kopien nachweise;
c) ab der Zustellung des Entscheids über seinen Webshop nur noch die in seinem Warenlager befindlichen Produkte verkaufe;
d) bis zur Aufgabe seiner selbstständigen Erwerbstätigkeit wie bisher für jeden Kalendermonat eine Erklärung für Selbstständigerwerbende (ESE) ausfülle und der Sozialhilfe einreiche;
e) seine selbstständige Erwerbstätigkeit auf das Ende des sechsten Kalendermonats nach dem Kalendermonat, in dem ihm der Entscheid zugestellt werde, aufgebe und
f) zum Nachweis der Aufgabe seiner selbstständigen Erwerbstätigkeit der Sozialhilfe innert eines Monats nach der Aufgabe den Antrag auf Löschung seines Einzelunternehmens im Handelsregister, die Abmeldung bei der Ausgleichskasse, die Liquidationsschlussabrechnung resp. Bilanz nebst Erfolgsrechnung und die Kündigung seines Domain-Namens bis zum nächstmöglichen Termin einreiche.
5.3. In seinem Urteil vom 14. Oktober 2020 ging das kantonale Gericht unter Verweis auf das am 22. Oktober 2018 Erwogene nicht mehr auf die Rechtmässigkeit der Auflagen ein. Es prüfte - mangels hinreichender Auseinandersetzung des Beschwerdeführers mit den für die Beurteilung der Sozialhilfe entscheidwesentlichen Fragen - lediglich noch den Zeitpunkt der Wiederaufnahme der Zahlungen infolge Aufgabe der selbstständigen Erwerbstätigkeit (vgl. E. 3.4 des Urteils vom 14. Oktober 2020). Dabei kam es zum Schluss, dass dem Beschwerdeführer der Nachweis der Aufgabe seiner Tätigkeit erst am 26. August 2019 gelungen sei, weshalb die Leistungseinstellung vom 1. Juli bis zum 26. August 2019 rechtens sei. Eine Verletzung von Art. 12 BV verneinte die Vorinstanz schliesslich, da der Beschwerdeführer nicht nachgewiesen habe, dass er vor der endgültigen Aufgabe seiner selbstständigen Erwerbstätigkeit mit den von ihm geltend gemachten anrechenbaren Einkommen nicht mehr über die für ein menschenwürdiges Dasein unerlässlichen Mittel habe verfügen können.
6.
Zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie einen Anspruch des Beschwerdeführers auf wirtschaftliche Sozialhilfe für den Zeitraum vom 1. Juli bis 26. August 2019 deshalb verneinte, weil dieser die im Urteil vom 22. Oktober 2018 aufgeführten Auflagen betreffend Aufgabe seiner selbstständigen Erwerbstätigkeit nicht (rechtzeitig) erfüllte.
7.
7.1. Gemäss dem hier anwendbaren kantonalen Recht hat die öffentliche Sozialhilfe die Aufgabe, bedürftige und von Bedürftigkeit bedrohte Personen zu beraten und ihre materielle Sicherheit zu gewährleisten sowie die Selbstständigkeit zu erhalten und zu fördern (§ 2 Abs. 1 SHG). Sie fördert die Möglichkeiten zur Selbsthilfe mit dem Ziel der sozialen und beruflichen Integration; sie vermittelt und ermöglicht den Zugang zu Angeboten, die diesem Ziel dienen (§ 2 Abs. 2 SHG). Als bedürftig gilt, wer ausserstande ist, die Mittel für den Lebensbedarf für sich und die mit ihm zusammen wohnenden Personen, für die er oder sie unterhaltspflichtig ist, hinreichend oder rechtzeitig zu beschaffen (§ 3 SHG). Die Organe der Sozialhilfe haben bei ihrer Tätigkeit vorrangig die zumutbare Selbsthilfe sowie die persönliche und wirtschaftliche Hilfe anderer Institutionen und Dritter zu berücksichtigen, sie zu vermitteln und nötigenfalls anzuregen und zu fördern (§ 5 Abs. 1 SHG). Es gilt das Subsidiaritätsprinzip, in dessen Rahmen das Einkommen der bedürftigen Person der öffentlichen Fürsorge vorgeht (§ 5 Abs. 2 lit. a SHG). Jede unterstützte Person ist verpflichtet, sich um Arbeit zu bemühen und eine angebotene Beschäftigung anzunehmen, sofern nicht schwerwiegende Gründe entgegenstehen (§ 14 Abs. 3 SHG). Die Unterstützungsleistung darf mit Auflagen und Weisungen verbunden werden, die sich auf die richtige Verwendung der Beiträge beziehen oder geeignet sind, die Lage der unterstützten Person und ihrer Angehörigen zu verbessern (§ 14 Abs. 5 SHG). Verstösst die unterstützte Person gegen Auflagen und Weisungen, wird sie unter Androhung der Folgen schriftlich verwarnt (§ 14 Abs. 6 SHG). Nach erfolgloser Verwarnung ist die wirtschaftliche Hilfe zu kürzen, wobei die Deckung des unmittelbaren Lebensbedarfs gesichert bleiben muss (§ 14 Abs. 7 SHG).
7.2.
7.2.1. Nach Rücksprache mit den Gemeinden regelt das zuständige Departement das Mass der wirtschaftlichen Hilfe; es orientiert sich dabei an den Richtlinien der Schweizerischen Konferenz für Sozialhilfe (SKOS; § 7 Abs. 3 SHG). Gestützt darauf hat das WSU die URL erlassen. Nach den im Zeitpunkt des Urteils vom 22. Oktober 2018 anwendbaren URL (ab 1. Januar 2018) gelten grundsätzlich und unter Vorbehalt von Abweichungen in den URL die von der SKOS verabschiedeten Richtlinien für die Ausgestaltung und Bemessung zuhanden der Sozialhilfeorgane in der jeweils aktuellen Version (Ziff. 2 URL). Ziffer 9.1 URL sieht vor, dass die Leistungen grundsätzlich bis zu 15 % des Grundbedarfs zuzüglich Integrationszulagen und Einkommensfreibetrag gekürzt werden können. Kommt die unterstützte Person im fortgesetzten Masse und ohne schwerwiegende Gründe der geforderten zumutbaren Selbsthilfe zur Behebung der Bedürftigkeit oder ihren anderen Mitwirkungspflichten nicht nach, und ist trotz mehrfacher Kürzung gemäss vorstehendem Grundsatz keine Verhaltensänderung erkennbar, kann die Sozialhilfe für die Dauer von maximal 6 Monaten den Kürzungsumfang auf 30 % des Grundbedarfs erhöhen zuzüglich der vorstehend erwähnten Zusatzleistungen, sofern keine mildere Massnahme zum gleichen Ziel führt. Vorbehalten ist eine Leistungseinstellung gestützt auf § 3 SHG.
7.2.2. Gemäss Ziffer 12.3 URL können Personen im Rahmen der materiellen Grundsicherung gemäss Kapitel B der SKOS-Richtlinien unterstützt werden, wenn sie entweder eine selbstständige Tätigkeit ausüben und in eine Notlage geraten oder wenn sie während der Unterstützung und im Einverständnis mit der Sozialhilfe zur Verhinderung der sozialen Desintegration (fehlender Vermittlungsfähigkeit) eine selbstständige Tätigkeit aufnehmen. Die Unterstützung durch die Sozialhilfe darf nicht zu einer Wettbewerbsverzerrung führen. Voraussetzung für die Weiterführung oder die Aufnahme der selbstständigen Erwerbstätigkeit ist, dass ein branchenüblicher Stundenlohn erreicht wird. In diesem Fall erfolgt eine Unterstützung während maximal eines Jahres. Danach ist die Weiterführung der selbstständigen Tätigkeit nur möglich, wenn aufgrund der Umstände (Alter, Arbeitsmarkt) wenig Aussicht besteht, eine Beschäftigung im Angestelltenverhältnis zu finden.
7.3.
7.3.1. Die SKOS-Richtlinien unterscheiden in Kapital H.7 hinsichtlich der Unterstützung von selbstständig Erwerbenden zwischen dem Ziel der wirtschaftlichen Unabhängigkeit und dem Ziel der Erhaltung einer Tagesstruktur. Die finanziellen Leistungen bestehen in der (ergänzenden) Sicherstellung des Lebensunterhalts für eine befristete Zeitdauer (bis 6 Monate). Diese Zeitspanne kann verlängert werden, wenn der "Turnaround" kurz bevorsteht.
7.3.2. Kapitel A.8 der SKOS-Richtlinien hält weiter fest, dass bei Nichteinhaltung von Auflagen und gesetzlichen Pflichten eine angemessene Leistungskürzung zu prüfen sei. Gemäss Kapitel A.8.3 ist die teilweise oder gänzliche Einstellung von Unterstützungsleistungen für die Grundsicherung nur bei Verletzung der Subsidiarität zulässig und sie kann nicht als Sanktion verfügt werden. Eine (Teil-) Einstellung von Unterstützungsleistungen wegen Verletzung des Subsidiaritätsprinzips ist dann zulässig, wenn die unterstützte Person sich in Kenntnis der Konsequenzen ausdrücklich weigert, eine ihr mögliche, zumutbare und konkret zur Verfügung stehende Arbeit anzunehmen oder wenn sie sich weigert, einen ihr zustehenden, bezifferbaren und durchsetzbaren Rechtsanspruch auf Ersatzeinkommen geltend zu machen, wodurch sie in der Lage wäre, ganz oder teilweise für sich selber zu sorgen.
8.
Die Beschwerde richtet sich zum einen gegen die Auflage, wonach der Beschwerdeführer seine selbstständige Erwerbstätigkeit innert einer bestimmten Frist aufgeben muss (vgl. dazu E. 9 f. hiernach). Zum anderen wendet sie sich gegen die Leistungseinstellung als Folge der verspätet eingereichten Belege für die tatsächliche Aufgabe der selbstständigen Erwerbstätigkeit (vgl. dazu E. 11 hiernach). Die gerügten Grundrechtsverletzungen sind entsprechend auseinanderzuhalten.
9.
9.1. In tatsächlicher Hinsicht steht fest, dass der Beschwerdeführer seit Januar 2009 (mit einem Unterbruch zwischen Mai 2009 und Juli 2010) von der Sozialhilfe unterstützt wird und es ihm seit Aufnahme seiner selbstständigen Erwerbstätigkeit im Jahr 2012 nicht gelungen ist, ein existenzsicherndes Einkommen zu erzielen. Der vorinstanzlichen Feststellung, dass die selbstständige Erwerbstätigkeit des Beschwerdeführers nicht geeignet sei, langfristig wirtschaftliche Unabhängigkeit zu vermitteln, hat der Beschwerdeführer nichts Substanzielles entgegenzusetzen. Unbestritten ist im Übrigen, dass der Beschwerdeführer den Nachweis der Aufgabe der selbstständigen Erwerbstätigkeit erst am 26. August 2019 erbracht hat.
9.2. Dass mit dem Betrieb des Webshops die soziale Desintegration verhindert werden soll, macht der Beschwerdeführer nicht geltend und ist auch nicht ersichtlich. Damit bleibt gestützt auf die URL lediglich eine zeitlich befristete Unterstützung (Überbrückungshilfe) denkbar (vgl. E. 6.2.2 hiervor; vgl. auch E. 6.3.1 hiervor), wobei vorliegend die maximale Dauer von einem Jahr gemäss Ziffer 12.3 URL längst überschritten ist. Danach wäre die Weiterführung der selbstständigen Tätigkeit nur möglich, wenn aufgrund der Umstände (Alter, Arbeitsmarkt) wenig Aussicht bestünde, eine Beschäftigung im Angestelltenverhältnis zu finden. Das kantonale Gericht hat in seinem Urteil vom 22. Oktober 2018 eingehend dargelegt, dass aus den bisherigen Arbeitsbemühungen des Beschwerdeführers nicht geschlossen werden könne, es bestünde wenig Aussicht auf eine Beschäftigung im Angestelltenverhältnis, wenn er vermehrt auch Arbeit suchen würde, welche keine besonderen Qualifikationen erfordert (E. 3.2.3 des angefochtenen Urteils). Auch das Alter und der Umstand, dass der Beschwerdeführer seit längerer Zeit einer selbstständigen Erwerbstätigkeit nachgegangen sei, stehe der Anstellung durch einen Arbeitgeber nicht entgegen. Eine fehlende Vermittlungsfähigkeit werde praxisgemäss denn auch erst ab einem Alter von 55 Jahren angenommen. Schliesslich seien auch keine persönlichen Gründe ersichtlich, die gegen die Vermittlungsfähigkeit sprächen. Wenn die Vorinstanz nach Würdigung der gesamten Umstände zum Schluss gelangte, der Beschwerdeführer sei für eine unselbstständige Erwerbstätigkeit vermittelbar und seine Aussichten, eine Beschäftigung im Angestelltenverhältnis zu finden, seien weiterhin intakt, so ist dies nicht zu beanstanden. Mit seinen Vorbringen und dem Verweis auf den Stellenmarkt vermag der Beschwerdeführer jedenfalls keine offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellungen oder eine willkürliche Anwendung von kantonalem Recht aufzuzeigen (vgl. E. 3.1 und E. 3.2 hiervor).
10.
Nach Auffassung des Beschwerdeführers verletzt die Auflage der Aufgabe der selbstständigen Erwerbstätigkeit das Rechtsgleichheitsgebot (Art. 8 Abs. 1 BV) und das Willkürverbot (Art. 9 BV). Langzeitarbeitslose, die als "Crowdworker" von Zuhause aus stundenweise einer selbstständigen Erwerbstätigkeit nachgingen, dürften nicht anders behandelt werden als unselbstständige Teilzeitarbeitnehmer.
10.1. Sofern die Vorbringen des Beschwerdeführers überhaupt dem strengen Rügeprinzip von Art. 106 Abs. 2 BGG genügen, erweisen sie sich als unbegründet, wie sich aus dem Folgenden ergibt.
10.1.1. Das Gleichbehandlungsgebot nach Art. 8 Abs. 1 BV und das Willkürverbot nach Art. 9 BV sind eng miteinander verbunden. Das Gebot der rechtsgleichen Behandlung (Art. 8 Abs. 1 BV) ist verletzt, wenn ein Entscheid hinsichtlich einer entscheidwesentlichen Tatsache rechtliche Unterscheidungen trifft, für die ein vernünftiger Grund in den zu regelnden Verhältnissen nicht ersichtlich ist, oder wenn er Unterscheidungen unterlässt, die sich aufgrund der Verhältnisse aufdrängen. Gleiches muss nach Massgabe seiner Gleichheit gleich und Ungleiches nach Massgabe seiner Ungleichheit ungleich behandelt werden (<ref-ruling> E. 9.1, 153 E. 5.1; je mit Hinweisen). In dieser Hinsicht erscheint ein Verstoss gegen die Rechtsgleichheit als eine besondere Form der Willkür (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweisen).
10.1.2. Nach Ansicht der Vorinstanz können Selbstständigerwerbende grundsätzlich nur im Sinne einer Überbrückungshilfe von der Sozialhilfe unterstützt werden. Sie stützt sich dabei auf Ziffer 12.3 URL (vgl. E. 6.2.2 hiervor). Die darin enthaltene Regelung entspreche dem Grundgedanken der Regelung der SKOS-Richtlinien und bewege sich im Rahmen der Delegation des SHG. Die SKOS-Richtlinien würden bei der Unterstützung von Selbstständigerwerbenden grundsätzlich zwischen dem Ziel der wirtschaftlichen Unabhängigkeit und dem Ziel der Erhaltung einer Tagesstruktur unterscheiden. Die Unterstützung Selbstständigerwerbender könne dementsprechend entweder als Überbrückungshilfe oder zur Verhinderung der sozialen Desintegration erfolgen. Die finanziellen Leistungen bestünden in der (ergänzenden) Sicherstellung des Lebensunterhalts für eine befristete Zeitdauer (bis sechs Monate). Diese Zeitspanne könne verlängert werden, wenn der "Turnaround" kurz bevorstehe.
10.1.3. Die Vorinstanz stellt somit nicht in Frage, dass grundsätzlich auch Selbstständigerwerbende, die ihren Lebensbedarf mit ihrem Erwerbseinkommen nicht zu bestreiten vermögen, Anspruch auf wirtschaftliche Unterstützung der Sozialhilfe haben. Sie ist aber der Ansicht, dass der Grundsatz der Wettbewerbsneutralität, der sich aus der Wirtschaftsfreiheit (Art. 27 BV) und der für die verfassungsrechtliche Wirtschaftsordnung elementaren Bindung an den Grundsatz der Wirtschaftsfreiheit (Art. 94 Abs. 1 BV) ergebe, der Möglichkeit der Unterstützung Selbstständigerwerbender Schranken setze. So würde mit der finanziellen Unterstützung einer selbstständigen Erwerbstätigkeit, die nicht geeignet sei, den Existenzbedarf zu decken, in unzulässiger Weise in den wirtschaftlichen Wettbewerb unter direkten Konkurrenten im Markt eingegriffen. Jede rational denkende vermittlungsfähige Person, die keinen Anspruch auf Sozialhilfe habe und mit ihrer selbstständigen Erwerbstätigkeit ihren Lebensbedarf nicht decken könne, gebe diese auf und suche sich stattdessen eine unselbstständige Erwerbstätigkeit. Damit verschwinde ihr Unternehmen vom Markt. Die Unterstützung durch die Sozialhilfe würde folglich bewirken, dass sich ihre direkten Konkurrenten mit einem zusätzlichen Mitbewerber konfrontiert sähen, mit dem sie ohne die staatliche Unterstützung nicht im Wettbewerb stünden.
10.1.4. Das kantonale Gericht hat damit nachvollziehbar dargelegt, weshalb die Unterstützung Selbstständigerwerbender nur in sehr engen Grenzen möglich sein soll. Es soll verhindert werden, dass Gewerbebetriebe, die ohne Sozialhilfe auskommen müssen, konkurriert werden. Die Sozialhilfe darf nicht Strukturerhaltung betreiben und nicht vom Grundsatz abweichen, dass keine Geschäftsschulden übernommen werden. Die URL sehen entsprechend vor, dass die finanziellen Leistungen lediglich für eine befristete Zeitdauer gewährt werden (vgl. E. 7.2.2 hiervor; vgl. auch E. 7.3.1 hiervor). Inwiefern die vorinstanzliche Beurteilung der Marktmechanismen willkürlich sein soll, ist nicht ersichtlich. Nicht massgebend ist im Übrigen, ob der Beschwerdeführer - was er bestreitet - seine nicht bedarfsdeckende Tätigkeit ohne Sozialhilfe tatsächlich aufgeben würde. Entscheidend ist vielmehr, dass sich die sozialhilferechtliche Ungleichbehandlung von unselbstständig und selbstständig Erwerbstätigen aufgrund der Unterschiede dieser Erwerbsarten durch sachliche und vernünftige Gründe rechtfertigen lässt (vgl. GUIDO WIZENT, Sozialhilferecht, 2020, S. 347 Rz. 949). Ungleiches wird damit nach Massgabe seiner Ungleichheit ungleich behandelt (vgl. E. 10.1.1 hiervor). Demnach verletzt es weder das Gleichbehandlungsgebot noch das Willkürverbot, von Sozialhilfebezügern nach einer bestimmten Zeitdauer zu verlangen, eine nicht bedarfsdeckende selbstständige Erwerbstätigkeit innert einer angemessenen Frist aufzugeben. Dies gilt erst recht für den Fall des Beschwerdeführers, dem es während mehr als sechs Jahren nicht gelungen ist, aus seiner selbstständigen Erwerbstätigkeit bedarfsdeckende Einnahmen zu generieren.
10.2. Soweit im Zusammenhang mit den angeordneten Auflagen die Verletzung weiterer Verfassungsbestimmungen, insbesondere Art. 10 BV (persönliche Freiheit), Art. 13 BV (Schutz der Privatsphäre), Art. 26 BV (Eigentumsgarantie) und Art. 27 BV (Wirtschaftsfreiheit) gerügt wird, genügen die diesbezüglichen Vorbringen in der Beschwerde offensichtlich den qualifizierten Begründungsanforderungen nicht, weshalb nicht weiter darauf einzugehen ist (E. 3.1 hiervor; vgl. <ref-ruling> E. 1.3).
11.
Zu prüfen bleibt somit, ob die Vorinstanz verfassungsmässige Rechte verletzte, indem sie die Leistungseinstellung per 30. Juni 2020 wegen Nichtbefolgens der mit Urteil des Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt vom 22. Oktober 2018 angeordneten Auflagen bestätigte.
11.1. Der Beschwerdeführer macht dabei zu Recht geltend, dass das kantonale Recht für die Verletzung von Auflagen lediglich eine Leistungskürzung, nicht aber eine Leistungseinstellung, vorsieht, wobei die Deckung des unmittelbaren Lebensbedarfs gesichert bleiben muss (vgl. § 14 Abs. 7 SHG; Kapitel A.8.3 der SKOS-Richtlinien). Wer bedürftig ist, hat Anspruch auf unentgeltliche Beratung sowie auf wirtschaftliche Hilfe (§ 4 Abs. 1 SHG). Als bedürftig gilt, wer ausserstande ist, die Mittel für den Lebensbedarf für sich und die mit ihm zusammenwohnenden Personen, für die er oder sie unterhaltspflichtig ist, hinreichend oder rechtzeitig zu beschaffen (§ 3 SHG). Dass der Beschwerdeführer im massgebenden Zeitraum nicht bedürftig gewesen wäre und folglich die Anspruchsvoraussetzungen für den Bezug von wirtschaftlicher Hilfe nicht erfüllt hätte, ist nicht erstellt. Die SKOS-Richtlinien, die kraft Verweises in Ziffer 2 der URL in der jeweils aktuellen Version zur Anwendung kommen, halten zudem explizit fest, dass eine Leistungseinstellung grundsätzlich nur wegen Verletzung der Subsidiarität zulässig ist (vgl. E. 7.3.2 hiervor). Eine solche Verletzung wird dem Beschwerdeführer aber gar nicht vorgeworfen. Aus der Verfügung der Sozialhilfe vom 26. Juni 2019 ergibt sich - entgegen der vom WSU in seiner Vernehmlassung vertretenen Auffassung - unmissverständlich, dass die Unterstützungsleistungen per 30. Juni 2019 eingestellt wurden, weil der Beschwerdeführer den Nachweis der Aufgabe der selbstständigen Erwerbstätigkeit nicht erbracht habe, was zunächst das WSU mit Entscheid vom 14. Januar 2020 und alsdann die Vorinstanz mit Urteil vom 14. Oktober 2020 bestätigt haben. Mithin wird die Leistungseinstellung nicht damit begründet, der Beschwerdeführer sei aufgrund von vorhandenem verwertbarem beweglichem Vermögen nicht als bedürftig zu betrachten, sondern einzig und allein damit, dass der Beschwerdeführer die mit Urteil des Appellationsgerichts vom 22. Oktober 2018 angeordneten Auflagen nicht erfüllt hat. Eine vollständige Leistungseinstellung wegen Verletzung von Auflagen ist im kantonalen Recht indessen - wie der Beschwerdeführer zu Recht geltend macht - nicht vorgesehen. Vielmehr besteht - bei gegebener Bedürftigkeit - selbst bei Verletzung einer an sich zulässigen Auflage Anspruch auf wirtschaftliche Sozialhilfe.
11.2. Nach dem Gesagten hat die Vorinstanz kantonales Recht willkürlich (Art. 9 BV) angewandt, indem sie die vollständige Leistungseinstellung wegen Verletzung der Auflagen bestätigte. Die Sache ist daher an die Sozialhilfe zurückzuweisen, damit sie den Anspruch des Beschwerdeführers auf wirtschaftliche Unterstützung für die Zeit vom 1. Juli bis 26. August 2019 prüfe. Dabei wird sie der Verletzung der Auflagen mittels Leistungskürzung Rechnung zu tragen haben. In diesem Sinne ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen.
11.3. Bei diesem Ausgang erübrigen sich Weiterungen hinsichtlich der gerügten Verletzung von Art. 12 BV (vgl. dazu <ref-ruling> E. 7.2.4) sowie weiterer Grundrechte.
12.
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten zu drei Vierteln der Beschwerdegegnerin und zu einem Viertel dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die unentgeltliche Rechtspflege kann dem nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer im Sinne der unentgeltlichen Prozessführung gewährt werden, da die entsprechenden Voraussetzungen erfüllt sind (Art. 64 Abs. 1 BGG). Es wird indessen auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach er der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn er später dazu in der Lage ist. Der Beschwerdeführer hat hingegen keinen Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 2 BGG), da er nicht anwaltlich vertreten ist und keine besonderen Verhältnisse vorliegen, die eine Entschädigung für weitere Umtriebe rechtfertigen würden (Urteil 9C_103/2016 vom 23. August 2016 E. 8 mit Hinweis).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht vom 14. Oktober 2020, der Rekursentscheid des WSU vom 14. Januar 2020 sowie die Verfügung der Sozialhilfe vom 26. Juni 2019 werden aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Verfügung an die Sozialhilfe Basel-Stadt zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden zu drei Vierteln (Fr. 375.-) der Beschwerdegegnerin und zu einem Viertel (Fr. 125.-) dem Beschwerdeführer auferlegt, wobei der Kostenanteil des Beschwerdeführers vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen wird.
3.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht zurückgewiesen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und dem Departement für Wirtschaft, Soziales und Umwelt des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. Juli 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Wüest