Faits :
A.
A._ est né en 1980. Il travaillait comme chauffeur de taxi indépendant. Il a requis des prestations de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) le 17 août 2009. Il indiquait souffrir des séquelles incapacitantes de troubles somatique (arthrite psoriasique) et psychique.
Entre autres mesures d'instruction, l'administration a recueilli l'avis des médecins traitants et, devant les difficultés à obtenir des informations fiables, a réalisé un examen clinique par l'intermédiaire de son Service médical régional (SMR). Les docteurs B._, spécialiste en médecine interne générale, et C._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, ont fait état d'un rhumatisme psoriasique, de rachialgies, d'un excès pondéral, d'un épisode dépressif léger et de phobies spécifiques prohibant l'exercice de l'activité de chauffeur de taxi depuis le mois de juillet 2008 mais autorisant la pratique de toute autre activité adaptée à 70 % dès cette même date (rapport du 30 août 2011). L'office AI a aussi collecté des renseignements concernant la situation professionnelle et économique de l'assuré. Sur la base des éléments rassemblés, il a rejeté la demande de prestations (décision du 21 octobre 2011).
B.
B.a. A._ a déféré la décision administrative à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève. En cours de procédure, la juridiction cantonale a ordonné une expertise et en a confié la mise en oeuvre aux docteurs D._, spécialiste en médecine interne générale et en rhumatologie, et E._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Selon les experts, le rhumatisme psoriasique, les rachialgies chroniques et l'épisode dépressif sévère observés avaient engendré une incapacité totale de travail depuis le 1er juillet 2008 (rapport du 12 septembre 2012).
Se fondant sur les conclusions de l'expertise, le tribunal cantonal a admis le recours, annulé la décision attaquée et octroyé à l'assuré une rente entière à compter du 1er février 2010 (jugement du 3 décembre 2012). Saisi d'un recours de l'administration, le Tribunal fédéral a considéré que l'expertise judiciaire ne remplissait pas les conditions pour se voir reconnaître une pleine valeur probante. Il a dès lors admis le recours, annulé le jugement du 3 décembre 2012 et renvoyé la cause à l'autorité judiciaire précédente pour complément d'instruction au sens des considérants et nouveau jugement (arrêt 9C_66/2013 du 1er juillet 2013).
B.b. La Cour cantonale a repris l'instruction et ordonné une nouvelle expertise bidisciplinaire. Elle en a confié la réalisation aux docteurs F._, spécialiste en médecine interne générale et en rhumatologie, et G._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Le premier a constaté l'existence d'un rhumatisme psoriasique, de rachialgies dorso-lombaires, d'une tendinopathie de l'épaule droite et d'un psoriasis cutané (rapport du 26 mai 2014 complété le 29 octobre suivant). Le second a fait état d'un trouble dépressif récurrent, épisode actuel léger, avec syndrome somatique (rapport du 11 juin 2014 complété le 6 octobre suivant). Tous deux ont estimé que le métier de chauffeur de taxi n'était plus exigible depuis le mois de mai 2008 mais qu'une activité adaptée l'était depuis le mois de mai 2014, à un taux de 70 %, sous réserve d'une nouvelle exacerbation de la maladie rhumatismale.
Sur la base de cette expertise, la juridiction cantonale a rejeté le recours de l'assuré (jugement du 19 janvier 2015). Saisi d'un recours de l'intéressé, le Tribunal fédéral a considéré que le docteur F._ avait procédé à une évaluation momentanée de la situation et n'avait pas pris en compte l'évolution fluctuante du rhumatisme psoriasique. Il a dès lors partiellement admis le recours, annulé le jugement du 19 janvier 2015 et renvoyé la cause à l'autorité judiciaire précédente pour complément d'instruction au sens des considérants et nouveau jugement (arrêt 9C_153/2015 du 3 novembre 2015).
B.c. La cour cantonale a repris l'instruction de la cause et sollicité des informations complémentaires du docteur F._. Celui-ci a attesté une situation stable du rhumatisme psoriasique entre 2008 et 2015, permettant l'exercice d'une activité adaptée à 70 % durant les périodes calmes mais interdisant toute activité en périodes de crises, puis une aggravation de la maladie en 2015, engendrant une incapacité totale de travail. Il ne pouvait pas se prononcer sur la fréquence et la durée des crises malgré les informations recueillies auprès des médecins traitants (rapports des 23 mai, 6 septembre et 11 novembre 2016 ainsi que 24 février 2017).
Eu égard aux investigations complémentaires entreprises, la juridiction cantonale a rejeté le recours et confirmé la décision litigieuse. Elle a cependant étendu l'objet du litige à la période postérieure à la décision et nié le droit de A._ à des prestations pour la période du 22 octobre 2011 au 31 août 2015 mais lui a accordé une rente entière à partir du 1er septembre 2015 (jugement du 14 février 2018).
C.
L'assuré a interjeté un recours en matière de droit public contre ce jugement. Il en sollicite l'annulation et conclu à l'octroi d'un quart de rente dès le 1er juillet 2009 et d'une rente entière dès le 1er novembre 2011 ou au renvoi de la cause au tribunal cantonal pour instruction complémentaire et nouveau jugement. Il a aussi requis l'allocation de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
D.
Le Tribunal fédéral a rejeté la demande d'assistance judiciaire au motif que le recours paraissait dénué de chances de succès (ordonnance du 20 avril 2018). Par écriture du 8 mai 2018, l'intéressé a requis la récusation de la Présidente de la IIe Cour de droit social du Tribunal fédéral dans la mesure où celle-ci avait déjà exprimé son opinion sur le fond du litige dans l'ordonnance mentionnée.

Considérant en droit :
1.
La demande de récusation formulée par le recourant n'est pas fondée. En effet, celui-ci invoque l'art. 34 al. 1 let. e LTF selon lequel les juges ou les greffiers se récusent s'ils pouvaient être prévenus de toute autre manière, notamment en raison d'une amitié étroite ou d'une inimitié personnelle avec une partie ou son mandataire. Il soutient que l'ordonnance du 20 avril 2018 fonde une apparence objective de prévention qui ne permet pas de garantir que le procès demeure ouvert. Cependant, aux termes de l'<ref-law>, la participation à une procédure antérieure devant le Tribunal fédéral ne constitue pas à elle seule un motif de récusation. Le Tribunal fédéral a eu l'occasion d'expliquer que, par procédure antérieure, il fallait comprendre une cause qu'il avait déjà tranchée et qui présentait des liens avec la procédure pendante. Il a ainsi considéré que la composition de la cour qui s'était prononcée dans l'arrêt initial pouvait être la même que celle qui statuait sur la demande de révision (cf. arrêts 2C_853/2017 du 13 décembre 2017 consid. 2.1; 2F_23/2013 du 25 novembre 2013 consid. 3.1; 2F_19/2013 du 4 octobre 2013 consid. 2; 6F_10/2013 du 30 août 2013 consid. 1.3; 2F_20/2012 du 25 septembre 2012 consid. 1.2.2; 6F_3/2012 du 16 mars 2012 consid. 1.2) ou que celle qui était amené à se prononcer à nouveau à la suite d'un premier arrêt de renvoi à l'instance précédente (cf. arrêts 6F_19/2016 du 28 février 2017 consid. 2; 6F_27/2016 du 29 novembre 2016 consid. 2; 5A_482/2007 du 17 décembre 2007 consid. 2). Il en a déduit que les décisions incidentes rendues dans le cadre de la même procédure bénéficiaient a fortiori du même régime. Le fait pour un juge d'avoir participé à la décision sur effet suspensif ou en matière d'assistance judiciaire dans la cause qui est pendante devant le Tribunal fédéral, comme en l'occurrence, ne suffit donc pas à justifier sa récusation (cf. arrêts 1G_3/2011 du 7 juin 2011 consid. 3; 2E_1/2008 du 29 mai 2008 consid. 2.1.3). A défaut d'autres griefs de nature à faire naître une apparence de prévention, la Cour de céans peut en conséquence rejeter la demande de récusation sans devoir passer par la procédure visée à l'<ref-law> (cf. FLORENCE AUBRY GIRARDIN, in Commentaire de la LTF, 2e éd. 2014, n° 13 ad art. 37 et les références jurisprudentielles citées).
2.
Le recours en matière de droit public (au sens des <ref-law>) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par celle-ci (<ref-law>), mais peut les rectifier et les compléter d'office si des lacunes et des erreurs manifestes apparaissent d'emblée (<ref-law>). En principe, il n'examine que les griefs motivés (<ref-law>), surtout s'ils portent sur la violation des droits fondamentaux (<ref-law>). Il ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Le recourant peut critiquer la constatation des faits qui ont une incidence sur le sort du litige seulement s'ils ont été établis en violation du droit ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>).
3.
Le litige s'inscrit en l'occurrence dans le contexte du droit du recourant à une rente de l'assurance-invalidité. Il porte sur le taux d'invalidité déterminant la quotité du droit aux prestations pour la période antérieure au 1er septembre 2015, plus particulièrement sur la capacité résiduelle de travail de l'assuré durant la période litigieuse et sur le revenu sans invalidité qui doit être retenu pour la comparaison des revenus prévue par l'<ref-law>. L'octroi d'une rente entière à partir du 1er septembre 2015 n'est pas contesté.
4.
Le jugement entrepris expose les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs à la notion d'invalidité (<ref-law> et 4 LAI) et à son évaluation (<ref-law> et 28a LAI), au rôle des médecins (<ref-ruling> consid. 4 p. 261 s.), au principe de libre appréciation des preuves et à la valeur probante des rapports médicaux (<ref-ruling> consid. 4.6 p. 471; <ref-ruling> consid. 3 p. 352 ss; arrêt 9C_542/2011 du 26 janvier 2012 consid. 4.1), au degré de la preuve en matière d'assurances sociales (<ref-ruling> consid. 5b p. 360 s.), à la maxime inquisitoire et à l'appréciation anticipée des preuves (<ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 269), à la naissance du droit à la rente (art. 28 et 29 LAI), ainsi qu'à la méthode ordinaire de comparaison des revenus (<ref-ruling> consid. 1 p. 30 s.; <ref-ruling>), y compris à la détermination des revenus sans invalidité (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 593; <ref-ruling> consid. 4.3.1 p. 224) et d'invalide (<ref-ruling>). Il suffit d'y renvoyer.
5.
Conformément aux injonctions du Tribunal fédéral, le tribunal cantonal s'est attaché à déterminer les fluctuations du rhumatisme psoriasique dans le temps. Il a constaté que, malgré plusieurs demandes dans ce sens, le docteur F._ s'était déclaré incapable de se prononcer étant donné les informations parcellaires transmises par le docteur H._, médecin traitant, spécialiste en médecine interne générale et en rhumatologie, et la variabilité de la durée ainsi que l'intensité des poussées inflammatoires de la maladie. Pour trancher cette question, il a procédé à une appréciation de tous les documents médicaux disponibles relatifs à la période allant jusqu'à la décision litigieuse du 21 octobre 2011 puis à la période postérieure - couverte par l'extension de l'objet du litige - jusqu'au 1er septembre 2015, date à partir de laquelle l'octroi d'une rente entière n'était plus contesté. S'agissant de la période allant du 1er juillet 2008 au 21 octobre 2011, la juridiction cantonale a déduit du dossier médical que le rhumatisme psoriasique était peu actif avec peu ou pas de poussées inflammatoires, de sorte que la capacité résiduelle de travail de 70 % retenue dans la décision litigieuse pouvait être confirmée. Elle a en outre constaté que le revenu réalisé en tant que chauffeur de taxi indépendant pour les années 2006-2007 pouvait servir de base de calcul pour le revenu sans invalidité dans la mesure où rien ne démontrait que la maladie avait influencé la capacité de travail durant ces années. Elle a dès lors confirmé la comparaison des revenus effectuée par l'office intimé, en retenant toutefois un abattement de 15 % au lieu de 10 %, et est parvenue à un taux d'invalidité de 0 %. Elle a par conséquent nié le droit du recourant à des prestations pour cette période et entériné la décision litigieuse. S'agissant de la seconde période allant du 22 octobre 2011 au 31 août 2015, les premiers juges ont relevé que l'état de santé de l'assuré s'était aggravé. Au terme de leur analyse des documents médicaux disponibles, ils ont estimé que la capacité résiduelle de travail du recourant était de 70 % hors périodes de crises, qui survenaient entre sept et quatorze jours par mois et durant lesquelles la capacité de travail était nulle, de sorte que la capacité moyenne de 50 % depuis le 14 novembre 2011 évoquée par la doctoresse I._, médecin du SMR, dans un avis du 25 juillet 2017 pouvait être retenue. Considérant qu'une telle capacité était exploitable sur le marché équilibré du travail, ils ont procédé à une comparaison des revenus au terme de laquelle ils ont abouti à un taux d'invalidité de 27 % ne donnant pas non plus droit à des prestations pour cette période.
6.
6.1. Le recourant reproche d'abord au tribunal cantonal d'avoir retenu une capacité résiduelle de travail moyenne de 50 % dans une activité adaptée depuis le mois de novembre 2011. S'il acquiesce aux constatations cantonales qui ont abouti à la conclusion selon laquelle la mise en évidence d'une nette aggravation de sa maladie justifiait une nouvelle évaluation de son invalidité depuis le mois de novembre 2011, il estime en revanche que la fixation d'une capacité résiduelle de travail moyenne est un procédé arbitraire et contraire au droit qui ne trouve aucun fondement dans le dossier médical. Il soutient que, dans la mesure où sa capacité de travail fluctue entre 0 % et 70 % selon les poussées inflammatoires, il convient plutôt de se demander s'il est encore à même d'exploiter sa capacité de travail sur le marché équilibré du travail. Il répond à cette question par la négative dès lors que les organismes professionnels consultés par la juridiction cantonale à ce propos s'étaient aussi exprimés par la négative et que l'expérience générale de la vie conduit également à cette conclusion. Il prétend en outre que les premiers juges n'ont nullement motivé leur affirmation selon laquelle il existait des emplois compatibles avec les circonstances particulières (horaires de travail irréguliers et non prévisibles) sur le marché équilibré du travail.
6.2. L'argumentation de l'assuré n'est pas fondée. Celui-ci se contente d'abord d'affirmer que le fait de fixer une capacité de travail moyenne de 50 % est un procédé arbitraire et contraire au droit qui ne trouve au demeurant aucun fondement dans le dossier médical. Il ne le démontre toutefois pas. Il n'invoque aucune disposition légale ni aucun principe jurisprudentiel qui l'interdirait expressément. On relèvera à cet égard que le Tribunal fédéral a déjà eu l'occasion de tenir compte d'une capacité de travail moyenne en raison du caractère cyclique d'une maladie (cf. p. ex. arrêt 9C_953/2008 du 5 octobre 2009 consid. 3.2) et que c'est la doctoresse I._ qui avait fixé une telle capacité de travail dans son avis du 25 juillet 2017. On ajoutera que, compte tenu de la fluctuation du taux de capacité de travail (0 % en cas de crises et 70 % hors des périodes de crises) et du nombre de jours de crises par mois (entre sept et quatorze jours), le recourant dispose d'une capacité de travail de 70 % dans une activité adaptée (évitant l'élévation du bras droit ou l'appui des deux poignets, ainsi que les positions statiques debout, accroupies ou agenouillées, limitant le périmètre de marche à quinze minutes, offrant la possibilité de se lever au moins une fois par heure) entre quinze et vingt-trois jours par mois, ce qui n'est pas négligeable.
Par ailleurs, en se fondant sur les prises de position des organismes professionnels interrogés par les premiers juges ou sur l'expérience générale de la vie pour nier toute possibilité de réinsertion sur le marché du travail, l'assuré argumente en fonction du marché concret du travail. Or on rappellera que l'invalidité consiste en une diminution des possibilités de gain sur le marché équilibré du travail si cette diminution résulte d'une atteinte à la santé et si elle persiste après les traitements et les mesures de réadaptation exigibles (cf. art. 7 al. 1 et 8 al. 1 LPGA). La notion de marché équilibré du travail est une notion théorique et abstraite qui sert de critère de distinction entre les cas tombant sous le coup de l'assurance-chômage et ceux qui relèvent de l'assurance-invalidité. Elle implique, d'une part, un certain équilibre entre l'offre et la demande de main d'oeuvre et, d'autre part, un marché du travail structuré de telle sorte qu'il offre un éventail d'emplois diversifiés, tant au regard des exigences professionnelles et intellectuelles qu'au niveau des sollicitations physiques (<ref-ruling> consid. 4b p. 276; arrêt I 350/89 du 30 avril 1991 consid. 3b, in RCC 1991 p. 329). Il n'y a donc pas lieu d'examiner la question de savoir si le recourant peut être placé eu égard aux conditions concrètes du marché du travail, mais uniquement de se demander s'il pourrait encore exploiter économiquement sa capacité résiduelle de travail sur un marché où les places de travail disponibles correspondent à l'offre de main d'oe uvre (arrêt I 198/97 du 7 juillet 1998 consid. 3b et les références, in VSI 1998 p. 293). On ne saurait certes se fonder sur des possibilités de travail irréalistes, c'est-à-dire envisager une activité qui ne pourrait être exercée que sous une forme tellement restreinte qu'elle n'existerait pratiquement pas sur le marché général du travail ou que son exercice supposerait de la part de l'employeur des concessions irréalistes (cf. arrêts 9C_984/2008 du 4 mai 2008 consid. 6.2; I 350/89 du 30 avril 1991 consid. 3b, in RCC 1991 p. 329; I 329/88 du 25 janvier 1989 consid. 4a, in RCC 1989 p. 328), mais tel n'est toutefois pas le cas en l'occurrence dans la mesure où, comme indiqué supra, l'assuré dispose - concrètement - d'une capacité résiduelle de travail de 70 % entre quinze et vingt-trois jours par mois ou - d'un point de vue médico-théorique - d'une capacité résiduelle de travail moyenne de 50 % dans une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles. Dans ces circonstances, ainsi que l'a relevé le tribunal cantonal, il existe des possibilités réelles d'insertion sur le marché équilibré de l'emploi, tant au regard du taux d'incapacité de travail qu'au regard des limitations fonctionnelles, compte tenu de l'éventail d'emplois diversifiés disponibles sur le marché équilibré du travail, sans qu'il ne soit nécessaire de motiver plus avant cette conclusion.
7.
7.1. Le recourant reproche également à la juridiction cantonale d'avoir procédé à une appréciation arbitraire du dossier médical pour parvenir à la conclusion que le rhumatisme psoriasique n'avait pas influencé sa capacité de travail en 2006-2007 et que le revenu perçu à l'époque en tant que chauffeur de taxi indépendant pouvait par conséquent servir de base de calcul pour déterminer le revenu sans invalidité. Il soutient en substance que sa maladie existe depuis 1995, même si le diagnostic n'a été posé qu'en 2001, et que les déclarations du docteur F._ démontrent une incidence de la maladie sur sa capacité de travail avant l'année 2008 déjà.
7.2. Cette argumentation est infondée. Contrairement à ce qu'affirme l'assuré, le docteur F._ n'a jamais attesté un quelconque impact du rhumatisme psoriasique sur la capacité de travail avant 2008. Au contraire, ce médecin a toujours indiqué ne pas pouvoir se prononcer sur les fluctuations de la maladie avant sa première intervention dans la procédure en 2014. La fixation de l'incapacité de travail dans l'activité habituelle au mois de juillet 2008 résulte de l'appréciation des pièces médicales disponibles à l'époque. Celles-ci constataient uniquement l'apparition d'un syndrome inflammatoire depuis l'arrêt de travail en juillet 2008 et évoquaient une maladie peu active avec peu ou pas de crises avant l'année 2011. Dans ces circonstances, on ne saurait reprocher au tribunal cantonal d'avoir fait preuve d'arbitraire (sur cette notion, cf. notamment <ref-ruling> consid. 2.1 p. 18) en retenant l'absence d'influence de la maladie sur la capacité de travail durant les années 2006-2007.
8.
Le recours est donc entièrement mal fondé.
9.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge du recourant (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
La demande de récusation est rejetée.
2.
Le recours est rejeté.
3.
Les frais judiciaires arrêtés à 800 fr. sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 19 septembre 2018
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
Le Greffier : Cretton