Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Beschwerdeführerin) und B._ (Beschwerdegegner) heirateten im Jahr 1997. Aus ihrer Ehe gingen die inzwischen volljährigen Kinder C._ und D._ hervor. Die Ehegatten trennten sich im Juni 2017.
Im April 2018 ersuchte B._ das Bezirksgericht Aarau um die Regelung des Getrenntlebens. Mit Eheschutzentscheid vom 25. September 2018 verzichtete dieses soweit hier interessierend darauf, Ehegattenunterhaltsbeiträge festzusetzen. In teilweiser Gutheissung der vom Ehemann hiergegen erhobenen Berufung, verpflichtete das Obergericht des Kantons Aargau A._ mit Entscheid vom 16. September 2019 ab Juli 2019 zur Zahlung eines monatlichen Beitrags von Fr. 3'973.-- an diesen.
A.b. Am 19. November 2019 klagte A._ auf Scheidung der Ehe und am 28. November 2019 beantragte sie beim Bezirksgericht, in Abänderung des Eheschutzentscheids vom 16. September 2019 sei ihre Unterhaltspflicht ersatzlos aufzuheben bzw. sei festzustellen, dass sie B._ keinen persönlichen Unterhalt mehr schulde.
Mit Eingabe vom 6. Dezember 2019 ersuchte B._ das Bezirksgericht, es sei die jeweilige und aktuelle Arbeitgeberin von A._ anzuweisen, von deren Einkommen Fr. 3'973.-- im Monat auf sein Konto zu überweisen.
Nachdem es die beiden Verfahren vereinigt hatte, wies das Bezirksgericht am 12. Juni 2020 das Gesuch um Anpassung der Unterhaltsbeiträge ab und erliess die anbegehrte Schuldneranweisung. Die Gerichtskosten auferlegte es A._, die es ausserdem zur Zahlung einer Parteientschädigung an B._ verpflichtete.
B.
Mit Urteil vom 15. März 2021 (eröffnet am 23. März 2021) hiess das Obergericht die hiergegen von A._ eingereichte Berufung hinsichtlich der Modalitäten der Schuldneranweisung teilweise gut. Es bestimmte, die jeweilige Arbeitgeberin von A._ habe von deren Einkommen " monatlich den [deren] Existenzminimum von Fr. 3'715.-- übersteigenden Betrag, (grundsätzlich) maximal Fr. 3'973.--, in Abzug zu bringen" und an B._ zu überweisen. In Monaten, in denen mangels genügenden Einkommens nicht der volle Unterhaltsbeitrag überwiesen werden könne, sei der jeweilige Differenzbetrag als offen vorzumerken. In Monaten, in denen das Einkommen (inkl. Sonderzahlungen wie Provisionen, Superprovisionen, Courtagen etc.) gross genug sei, habe die Arbeitgeberin die kumulierten offenen Differenzbeträge zusätzlich zum monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 3'973.-- zu überweisen. Im Übrigen wies das Obergericht die Berufung ab. Die Gerichtskosten auferlegte es A._, die es ausserdem zur Zahlung einer Parteientschädigung an B._ verpflichtete.
C.
A._ gelangt mit Beschwerde in Zivilsachen vom 20. April 2021 ans Bundesgericht. Sie beantragt unter Kosten- und Entschädigungsfolge, es sei in Aufhebung des Urteils des Obergerichts festzustellen, dass sie seit November 2019 keinen Ehegattenunterhalt mehr schulde, und es sei das Gesuch um Erlass einer Schuldneranweisung abzuweisen. Die Kosten der kantonalen Verfahren seien B._ aufzuerlegen, der ausserdem zur Zahlung einer Parteientschädigung zu verpflichten sei. Eventuell sei die Angelegenheit zu neuer Entscheidung einschliesslich der Neuverlegung der kantonalen Prozesskosten an das Obergericht zurückzuweisen. A._ sei für das Verfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
Am 16. November 2021 verzichtet das Obergericht auf eine Vernehmlassung und mit Beschwerdeantwort vom 3. Dezember 2021 beantragt B._, die Beschwerde sei abzuweisen. Eine weitere Stellungnahme von A._ ist beim Bundesgericht nicht eingegangen. Die Ehefrau hat mit Eingabe vom 12. Januar 2022 aber weitere Unterlagen zu den Akten gereicht.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Endentscheid (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1) eines oberen kantonalen Gerichts, das als Rechtsmittelinstanz (<ref-law>) im Rahmen der Regelung des Getrenntlebens über den Ehegattenunterhalt sowie eine Schuldneranweisung nach <ref-law> entschieden hat. Der Entscheid über den Unterhalt betrifft eine Zivilsache nach <ref-law> (Urteil 5A_294/2021 vom 7. Dezember 2021 E. 1.1). Bei der Schuldneranweisung handelt es sich um eine privilegierte Zwangsvollstreckungsmassnahme sui generis, die in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht und ebenfalls der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.1). Der Streitwert dieser vermögensrechtlichen Angelegenheit (<ref-ruling> E. 1.1) beträgt nach den unbestritten gebliebenen Feststellungen des Obergerichts mehr als Fr. 30'000.-- (vgl. Art. 51 Abs. 1 Bst. a und Abs. 4 sowie <ref-law>), womit das Streitwerterfordernis von Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG erfüllt ist. Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit das zutreffende Rechtsmittel. Die Beschwerdeführerin ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt, die sie auch fristgerecht eingereicht hat (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 2 Bst. a BGG).
1.2. Die Beschwerdeführerin ersucht mit Blick auf den Ehegattenunterhalt um Feststellung, dass sie seit November 2019 keine Unterhaltsbeiträge mehr schuldet. Feststellungsbegehren sind im bundesgerichtlichen Verfahren nur zulässig, sofern an der Feststellung ein schutzwürdiges Interesse besteht und dieses nicht ebenso gut mit einem Leistungs- oder Gestaltungsbegehren gewahrt werden kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.7; <ref-ruling> E. 3.1). Das Feststellungsinteresse ist von der beschwerdeführenden Partei zu begründen und nachzuweisen (<ref-law>; Urteil 5A_158/2021 vom 19. Mai 2021 E. 1.4). Die Beschwerdeführerin äussert sich nicht zu diesem Interesse. Aus der Begründung der Beschwerde, die zur Auslegung der Begehren beizuziehen ist (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 6.2), ergibt sich jedoch, dass die Beschwerdeführerin letztlich die Aufhebung ihrer Verpflichtung zur Zahlung von Ehegattenunterhalt ab November 2019 erreichen möchte. Die Beschwerde ist entsprechend entgegenzunehmen.
1.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Hiervon erfasst sind unechte Noven, also Tatsachen, die im bisherigen Verfahren bereits hätten vorgebracht werden können, aber nicht vorgebracht wurden. Echte Noven, d.h. Tatsachen, die erst entstanden sind, nachdem vor der Vorinstanz keine neuen Tatsachen und Beweismittel mehr vorgetragen werden konnten, sind im Verfahren vor Bundesgericht demgegenüber unbeachtlich (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.1.2). Im vorliegenden Verfahren unbeachtlich bleibt daher das von der Beschwerdeführerin am 12. Januar 2022 eingereichte Kündigungsschreiben vom 22. Dezember 2021 (act. 19), welches nach dem angefochtenen Entscheid datiert.
1.4. Der Beschwerdegegner wirft dem Obergericht vor, seinen Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt zu haben und verweist auf verschiedene Umstände, die im Falle einer Neufestlegung der Unterhaltspflicht der Beschwerdegegnerin zu berücksichtigen wären. Insoweit ist zu bemerken, dass er selbst keine Beschwerde erhoben hat und im Verfahren vor Bundesgericht auch keine Anschlussbeschwerde möglich ist (<ref-ruling> E. 2.5). Mit seinen Vorbringen kann der Beschwerdegegner damit einzig erreichen, dass es beim Ergebnis des kantonalen Entscheids bleibt (vgl. <ref-ruling> E. 2 [einleitend] und 2.1; <ref-ruling> E. 4a), nicht aber bewirken, dass der angefochtene Entscheid zu seinen Gunsten geändert wird (<ref-ruling> E. 4.1). Letzteres würde gegen das Verschlechterungsverbot (Verbot der r eformatio in peius) verstossen (<ref-law>; vgl. zum Verschlechterungsverbot <ref-ruling> E. 2.1.1; <ref-ruling> E. 3a; Urteil 5A_165/2018 vom 25. September 2018 E. 3.4; zum Ganzen vgl. Urteile 5A_75/2018 vom 18. Dezember 2018 E. 3.2; 5A_894/2017 vom 20. August 2018 E. 4.2). In diesem Rahmen sind die Vorbringen des Beschwerdegegners zulässig (<ref-ruling> E. 2.2.2; <ref-ruling> E. 2.3) und nachfolgend soweit nötig zu berücksichtigen.
2.
2.1. Eheschutzentscheide inklusive Entscheide betreffend die Anweisung an die Schuldner nach <ref-law> gelten als vorsorgliche Massnahmen nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 5). Mit der Beschwerde gegen solche Entscheide kann nach dieser Bestimmung nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz derartige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1). Die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte muss nach dem strengen Rügeprinzip von <ref-law> in der Beschwerde vorgebracht und begründet werden. Die rechtsuchende Partei hat präzise anzugeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darzulegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2.3). Wird eine Verletzung des Willkürverbots nach <ref-law> geltend gemacht, reicht es daher nicht aus, die Lage aus der eigenen Sicht darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Es ist im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 1.4.1; <ref-ruling> E. 2.2).
2.2. Unter den Titeln "Zum Sachverhalt" und "Zur Vorgeschichte" stellt die Beschwerdeführerin die bisherigen Geschehnisse und den Gang der verschiedenen kantonalen Verfahren aus ihrer Sicht dar. Dabei weicht sie teilweise von den tatsächlichen Feststellungen des Obergerichts ab oder ergänzt diese, ohne diesem eine qualifiziert unrichtige Sachverhaltsfeststellung vorzuwerfen oder darzutun, inwiefern die Behebung der (angeblichen) Mängel sich auf den Ausgang des Verfahrens auswirken sollte. Diese Ausführungen der Beschwerdeführerin bleiben unbeachtlich.
3.
Vor Bundesgericht strittig ist vorab die Aufhebung der Unterhaltspflicht der Beschwerdeführerin (vgl. vorne E. 1.2). Als Grund für die diesbezügliche Abänderung des Eheschutzentscheids vom 16. September 2019 (vgl. vorne Bst. A.a) kommt unbestritten einzig eine Reduktion des Einkommens der Ehefrau in Frage.
3.1. Das Obergericht erwog dazu, die Beschwerdeführerin habe nach den Feststellungen im Eheschutzentscheid ein monatliches Durchschnittseinkommen von (rund) Fr. 16'400.-- erzielt. Dabei sei für die letzten Jahre indes von einem "eindeutige[n] Trend nach unten" auszugehen. Eine von der Beschwerdeführerin geltend gemachte Notwendigkeit der Reduktion ihres Arbeitspensums um 20 % aus gesundheitlichen Gründen sei nicht glaubhaft. Gemäss neu eingereichten Unterlagen betrage das Einkommen der Beschwerdeführerin im Jahr 2020 nur noch durchschnittlich Fr. 9'685.80 im Monat. Für die ersten Monate des Jahres 2021 sei sogar ein noch geringeres Einkommen ausgewiesen. Eine Änderung des Eheschutzurteils sei trotzdem aber ausgeschlossen, wenn die neue Sachlage durch ein eigenmächtiges Verhalten der Beschwerdeführerin herbeigeführt worden sei. Die Beschwerdeführerin verweise in diesem Zusammenhang zwar auf gesundheitliche Probleme und eine verminderte Arbeitsfähigkeit. Dieses Vorbringen vermöge die Reduktion des Einkommens aber nicht zu rechtfertigen: Die zu den Akten gegebenen Arztberichte seien nicht geeignet, die geltend gemachte (teilweise) Arbeitsunfähigkeit glaubhaft zu machen. Es sei daher nicht ausgewiesen, dass es der Beschwerdeführerin nicht möglich wäre, ein Einkommen in der ihr im Eheschutzverfahren angerechneten Grössenordnung zu erzielen. Das Abänderungsbegehren sei damit abzuweisen.
3.2. Die Beschwerdeführerin bringt demgegenüber vor, der Beschwerdegegner habe sich im vorinstanzlichen Verfahren inhaltlich nicht mit den vorgelegten Arztberichten auseinandergesetzt. Insbesondere habe er nicht angezweifelt, dass die Beschwerdeführerin gesundheitlich angeschlagen sei, sich ihr Gesundheitszustand massgeblich verschlechtert habe und sich daher ihre Arbeitsfähigkeit und in der Folge ihr Einkommen reduziert hätten. Unter diesen Umständen habe die Beschwerdeführerin keinen Anlass gehabt, sich vertiefter zu dieser Problematik zu äussern oder die Einkommensreduktion weiter zu belegen. Das Obergericht habe die eingereichten Arztberichte von Amtes wegen angezweifelt und als zur Glaubhaftmachung der Arbeitsunfähigkeit ungenügend angesehen. Ebenfalls sei die Vorinstanz von einer selbstverschuldeten Arbeitsunfähigkeit ausgegangen, obgleich der Beschwerdegegner Entsprechendes nie behauptet habe. Damit habe das Obergericht sich über die im Berufungsverfahren geltenden "prozessrechtlichen Regeln" hinweggesetzt und eine Arbeitsunfähigkeit zu Unrecht verneint. Dies verletze die Ansprüche auf ein faires Verfahren und auf rechtliches Gehör. Das Vorgehen führe zudem zu einem krass stossenden Ergebnis und sei willkürlich.
Weiter habe die Beschwerdeführerin sowohl vor der Erstinstanz als auch vor Obergericht aufgezeigt, dass sich ihr Einkommen aufgrund der gesundheitlichen Probleme zukünftig laufend reduzieren werde, was unbestritten geblieben sei. Dennoch hätten die Gerichte diesen Ausführungen keine Rechnung getragen. Vielmehr habe das Obergericht ihr in Verletzung des Gehörsanspruchs eine selbstverschuldete Einkommensreduktion unterstellt. Die Abweisung ihres Begehrens führe zu einer nicht zu rechtfertigenden Einkommensverschiebung zugunsten des Beschwerdegegners. Bei hinreichender Auseinandersetzung mit diesen Vorbringen wäre das Obergericht zum Schluss gelangt, dass ab November 2019 kein Unterhalt mehr geschuldet sei und entsprechend auch keine Schuldneranweisung ausgesprochen werden könne.
3.3. Damit genügt die Beschwerde den im vorliegenden Verfahren geltenden Rüge- und Begründungserfordernissen (vorne E. 2.1) nicht:
Soweit die Beschwerdeführerin die Verletzung "prozessrechtlicher Regeln" des Berufungsverfahrens rügt, macht sie im Ergebnis die Verletzung von Bundesrecht nach Art. 95 Bst. a BGG geltend. Dies ist im vorliegenden Verfahren kein zulässiger Rügegrund. Zwar beruft die Beschwerdeführerin sich sodann auch auf die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, und zwar der Ansprüche auf ein faires Verfahren (<ref-law>) sowie auf rechtliches Gehör (<ref-law>) und des Willkürverbots (<ref-law>). Dabei geht sie in der Beschwerdeschrift aber in keiner Weise auf den Gehalt der angerufenen verfassungsmässigen Rechte ein. Vielmehr bezeichnet sie diese gleichsam im Anhang zu ihren Ausführungen zur angeblichen Verletzung der "prozessrechtlichen Regeln" des Berufungsverfahrens und ohne weitere Auseinandersetzung mit der grundrechtlichen Materie als verletzt. Damit vermag sie eine Verfassungsverletzung nicht mit der nötigen Genauigkeit aufzuzeigen. Ihre Ausführungen erscheinen vielmehr geradezu idealtypisch für rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid, auf welche nicht eingetreten werden kann. Ähnliches gilt mit Blick auf die angebliche Gehörsverletzung im Zusammenhang mit den Ausführungen der Beschwerdeführerin zur gesundheitsbedingten Reduktion ihrer Arbeitstätigkeit. Auch hier geht die Beschwerde in keiner Weise auf das angerufene verfassungsmässige Recht ein. Vielmehr wird einzig die Sicht der Beschwerdeführerin dargelegt und behauptet, das Obergericht hätte diese Sichtweise übernommen, wenn es sich korrekt verhalten hätte. Auf die Beschwerde ist insoweit nicht einzutreten.
4.
Umstritten ist sodann die gegenüber der Beschwerdeführerin erlassene Schuldneranweisung.
4.1. Zur Schuldneranweisung hält die Vorinstanz fest, es sei unbestritten, dass mit dem rechtskräftigen Urteil vom 16. Dezember 2019 für den Betrag von Fr. 3'973.-- ein Unterhaltstitel vorliege und dass die Beschwerdeführerin ihrer Unterhaltspflicht freiwillig nicht nachgekommen sei. Diese Vernachlässigung sei als erheblich zu qualifizieren. Weiter sei das Begehren um Aufhebung der Unterhaltspflicht abzuweisen und es könne nicht davon ausgegangen werden, dass die Beschwerdeführerin ihrer Verpflichtung in Zukunft freiwillig nachkommen werde. Das Existenzminimum der Beschwerdeführerin liege bei Fr. 3'715.-- im Monat und sei jedenfalls zu wahren. Das massiv schwankende Einkommen der Beschwerdeführerin bedinge indessen eine besondere Ausgestaltung der Anweisung (vgl. für Einzelheiten vorne Bst. B).
4.2. Die Beschwerdeführerin gibt an, im kantonalen Verfahren auf verschiedene bedeutende Umstände hingewiesen zu haben. So habe sie sich aufgrund des Urteils vom 16. September 2019 unerwartet auf einen Schlag mit einer erheblichen Unterhaltsverpflichtung konfrontiert gesehen, obgleich erhebliche Steuerforderungen bestanden hätten und sie die mündigen Söhne unterstützt und daher über keine Rückstellungen verfügt habe. Auch habe der Beschwerdegegner aufgrund der aufgelaufenen Unterhaltsleistungen eine Lohnpfändung erwirkt, womit ihr, der Beschwerdeführerin, nur noch das Existenzminimum verbleibe. Weder das Gerichtspräsidium noch das Obergericht habe sich mit diesen wichtigen Punkten befasst. Die Vorinstanz habe sich auch nicht zum Vorbringen geäussert, dass die Abweisung des Abänderungsbegehrens zu einem sehr stossenden Ergebnis führe, weil der Beschwerdeführer neben seinem eigenen Einkommen von Fr. 7'000.-- im Monat Unterhaltsbeiträge von monatlich Fr. 3'973.-- und die Gelder aus der Pfändung erhalte. Bei einer hinreichenden Auseinandersetzung mit diesen Vorbringen wäre dem Obergericht aufgefallen, dass eine massive Bevorzugung des Beschwerdeführers vorliege, die sich unter keinem Titel rechtfertigen oder nachvollziehen lasse. Ebenfalls hätte es erkannt, dass die Schuldneranweisung aufzuheben sei. Indem das Obergericht diese wichtigen Fakten einfach ignoriert habe, habe es den Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt sowie einen willkürlichen Entscheid (<ref-law>) gefällt.
4.3. Auch hier ist der Beschwerdeführerin entgegen zu halten, dass sich ihre Ausführungen letztlich in einer rein appellatorischen Kritik am angefochtenen Entscheid erschöpfen (vgl. bereits vorne E. 3.3). Wiederum geht sie in der Beschwerdeschrift in keiner Weise auf den Gehalt der angeblich verletzten verfassungsmässigen Rechte ein und beschränkt sich auf die Behauptung, die Vorinstanz hätte anders entschieden bzw. anders entscheiden müssen, wenn sie sich korrekt verhalten hätte. Dies genügt den geltenden Rügeerfordernissen (vgl. vorne E. 2.1) abermals nicht. Hieran ändert nichts, dass die Beschwerdeführerin im Fazit ihrer Beschwerde in stereotyper Art und Weise wiederholt, der angefochtene Entscheid leide an offensichtlichen Mängeln und laufe in krasser Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwider.
Auf die Beschwerde ist auch insoweit nicht einzutreten.
5.
Zusammenfassend ist auf die Beschwerde insgesamt nicht einzutreten. Damit rechtfertigt sich auch eine Neuverlegung der Kosten der kantonalen Verfahren nicht, zumal die Beschwerdeführerin den vorinstanzlichen Kostenentscheid nicht unabhängig vom Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahren anficht.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>) und hat diese den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren ist abzuweisen, da die Beschwerde nach dem Ausgeführten als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden muss (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 5. Kammer, mitgeteilt.
Lausanne, 29. März 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber