Sachverhalt:
A.
A._, geboren 1974, arbeitete als Geschäftsführerin des Restaurants B._ und war in dieser Eigenschaft bei der SWICA Gesundheitsorganisation (nachfolgend: SWICA) obligatorisch gegen Berufs- und Nichtberufsunfälle versichert. Am 25. Juni 2016 rutschte sie in der Küche ihres Lokals aus und verletzte sich am linken Bein. Die diagnostizierte partielle proximale Harmstringruptur wurde am 4. August 2016 im Spital C._ operativ versorgt. Die SWICA richtete die gesetzlichen Leistungen in Form von Heilbehandlung und Taggeld aus. In der Folge beteiligte sie sich an einer von der Invalidenversicherung beim Zentrum für Medizinische Begutachtung (nachfolgend: ZMB), Basel, veranlassten orthopädisch-psychiatrischen Expertise vom 23. September 2019 (samt ergänzenden Stellungnahmen vom 7. Februar und 24. Juni 2020). Mit Verfügung vom 26. Februar 2020 teilte die SWICA A._ mit, gestützt auf das Gutachten sei aus somatischer Sicht keine namhafte Besserung des Gesundheitszustands mehr zu erwarten. Nachdem es zudem mit Blick auf die psychischen Beschwerden an einem adäquaten Kausalzusammenhang fehle, würden die Versicherungsleistungen per 29. Mai 2019 eingestellt. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 6. November 2020 fest.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde der A._ wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 14. Juni 2021 ab.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, in Aufhebung des angefochtenen Urteils sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen; eventualiter seien die Heilkosten und Taggeldleistungen über den 29. bzw. 31. Mai 2019 hinaus auszurichten. Sodann seien ihr eine angemessene Invalidenrente und Integritätsentschädigung zuzusprechen. Ferner lässt A._ um unentgeltliche Rechtspflege ersuchen.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten eingeholt. Es wurde kein Schriftenwechsel durchgeführt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1 mit Hinweisen).
1.2. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
2.1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hat, indem sie eine Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin für die Zeit nach dem 29. Mai 2019 verneinte.
2.2. Das kantonale Gericht hat die massgeblichen Bestimmungen und Grundsätze über den für die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen Unfallereignis und eingetretenem Schaden im Allgemeinen (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 3.1 f.) sowie betreffend die Adäquanzprüfung bei psychischen Unfallfolgen (<ref-ruling>; <ref-ruling> E. 4; Urteil 8C_41/2016 vom 23. Juni 2016 E. 4.3.1) zutreffend dargelegt. Richtig sind auch die Ausführungen zum Beweiswert medizinischer Berichte und Gutachten - insbesondere was Expertisen externer Spezialärzte anbelangt, welche im Verfahren nach <ref-law> eingeholt wurden (<ref-ruling> E. 1.3.4; <ref-ruling> E. 4.4) - und betreffend den Untersuchungsgrundsatz (Art. 43 Abs. 1 und 61 lit. c ATSG; Urteil 8C_448/2020 vom 3. März 2021 E. 2.4.1 mit Hinweisen). Darauf wird verwiesen.
3.
Die Vorinstanz hat dem bidisziplinären ZMB-Gutachten vom 23. September 2019 mit Ergänzungen vom 7. Februar und 24. Juni 2020 Beweiswert beigemessen, wonach aus somatischer Sicht keine objektivierbaren Unfallfolgen mehr ausgewiesen seien. Alsdann hat das kantonale Gericht erwogen, das Unfallereignis vom 25. Juni 2016 könne nicht anders denn als leicht qualifiziert werden. Somit sei die adäquate Kausalität der organisch nicht objektivierbaren respektive psychischen Beschwerden ohne Weiteres zu verneinen, womit auch eine allfällige Rentenzusprache oder die Gewährung einer Integritätsentschädigung ausgeschlossen seien. Gestützt darauf hat es den Einspracheentscheid vom 6. November 2020 bestätigt.
4.
4.1. Was die Beschwerdeführerin dagegen vorbringt, verfängt nicht. Vorab ist dem Einwand, auf die ZMB-Expertise könne nicht abgestellt werden, weil der orthopädische Gutachter Dr. med. D._ keine Aktualisierung der vorhandenen Bildgebung vorgenommen und bei der Begutachtung nicht sämtliche medizinischen Akten mit einbezogen habe, offenkundig kein Erfolg beschieden. Denn im angefochtenen Urteil wird durchaus einleuchtend dargelegt, weshalb es an Anhaltspunkten für die Notwendigkeit einer weiteren Bildgebung fehlte. Dem ist insbesondere im Hinblick auf die ergänzenden Stellungnahmen des Dr. med. D._ vom 7. Februar respektive 24. Juni 2020 nichts beizufügen. Hat die Vorinstanz zudem berücksichtigt, dass es im Ermessen des medizinischen Sachverständigen liegt, ob (und welche) Zusatzuntersuchungen durchzuführen sind (statt vieler: Urteil 8C_516/2014 vom 6. Januar 2015 E. 6.2), so ist eine diesbezügliche Rechtsverletzung umso weniger zu erkennen. Dass Dr. med. D._ - wie die Beschwerdeführerin meint - von seiner eigenen Auffassung abweichende Beurteilungen ohne Begründung übergangen respektive nur eine "Auswahlsendung" medizinischer Berichte berücksichtigt haben soll, ist weder ersichtlich noch in der Beschwerde (substanziiert) dargelegt. Insoweit deutet nichts auf eine Unvollständigkeit der gutachterlichen Ausführungen hin.
4.2. Will die Beschwerdeführerin sodann aufgrund der abweichenden Angaben der Dres. med. E._ (Berichte vom 29. April und 8. Juli 2020), und F._ (Bericht vom 20. Februar 2020), auf konkrete Zweifel an der Beweiskraft des ZMB-Gutachtens schliessen, so hat die Vorinstanz zu Recht berücksichtigt, dass diese Beurteilungen aufgrund der Stellung der beteiligten Fachpersonen als behandelnde Ärzte mit Vorbehalt zu würdigen sind (vgl. statt vieler: BGE <ref-ruling> E. 4.5; Urteile 8C_370/2019 vom 22. Oktober 2019 E. 3 und 8C_260/2012 vom 27. Juni 2012 E. 3.3). Der Umstand allein, dass die betreffenden Einschätzungen vom Gutachten abweichen, rechtfertigt keine weiteren Beweismassnahmen. Dies gilt umso mehr, als der ZMB-Experte Dr. med. D._ - wie erwähnt - am 7. Februar und 24. Juni 2020 zu den wesentlichen früheren Befunden der behandelnden Ärzte ausführlich Stellung nahm. Demgegenüber sind dem erst im Nachhinein verfassten Bericht des Dr. med. E._ vom 8. Juli 2020 keine nennenswerten neuen Erkenntnisse hinsichtlich einer allfälligen Verschlechterung des Gesundheitszustands der Beschwerdeführerin zu entnehmen. Vielmehr beschränkt sich der behandelnde Neurochirurg in erster Linie darauf, die gutachterliche Einschätzung zu kritisieren, ohne dass sich daraus für die hier interessierenden Belange Entscheidendes ergäbe.
4.3. Wenn die Beschwerdeführerin ferner geltend macht, die Beschwerdeproblematik beschlage ein Fachgebiet, für welches Dr. med. D._ nicht qualifiziert sei, weshalb es aus neurologischer oder neurochirurgischer Sicht ergänzender Abklärungen bedürfe, ist dem entgegenzuhalten, dass es im Ermessen der Gutachter liegt, ob der Beizug weiterer Experten notwendig ist (vgl. statt vieler: Urteil 8C_820/2016 vom 27. Sepember 2017 E. 5.5 mit Hinweisen). Abgesehen davon sind die neurochirurgischen Beurteilungen des Dr. med. E._ vom 29. April und 8. Juli 2020, wie die Vorinstanz zutreffend festgehalten hat, in weiten Teilen an den Schmerzangaben der Beschwerdeführerin orientiert. Dazu stehen die in der Bildgebung wenig ausgeprägten strukturellen Befunde einer recessalen Stenose L4/5 (mit bloss möglicher Kompression der Nervenwurzel L5) im Widerspruch. Die abschliessende Einschätzung des Dr. med. E._, die Beschwerdeführerin sei seit dem Trauma im Jahr 2016 deutlich eingeschränkt und schmerzgeplagt (vgl. Bericht vom 29. April 2020), läuft auf die im gegebenen Kontext beweisrechtlich unzulässige Beweismaxime "post hoc ergo propter hoc" hinaus (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.2.2; <ref-ruling> E. 2b/bb), was für den rechtsgenüglichen Nachweis eines Kausalzusammenhangs nicht ausreicht. Mit anderen Worten ist in Anbetracht der von Dr. med. D._ detailliert gewürdigten Aktenlage und Bildgebung keine spezifisch neurologische oder neurochirurgische Problematik erkennbar, welche der ZMB-Gutachter als Facharzt für orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparats ausser Acht gelassen oder nicht schlüssig beurteilt hätte.
4.4. Die weiteren in der Beschwerde erhobenen Einwände helfen ebenfalls nicht weiter. Dr. med. D._ äusserte sich insbesondere ausführlich zum (Arthro-) Magnetic resonance imaging (nachfolgend: MRI) der Hüfte links vom 4. April 2019 und hielt fest, daraus gehe keine (unfallkausale) Symptomatik seitens der Harmstring-Sehnen mehr hervor (Stellungnahme vom 7. Februar 2020, S. 4 oben). Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin sind auch die Ausführungen des ZMB-Sachverständigen hinsichtlich der in der Klinik G._ Zürich festgestellten Verdachtsdiagnose einer Ruptur der Gluteus-medius-Sehne nicht zu beanstanden. So übernahm Dr. med. D._ lediglich die dortige Beurteilung, wonach es sich allenfalls um einen "frischen", das heisst gerade nicht auf den Unfall vom 25. Juni 2016 zurückzuführenden Befund handelte (vgl. Sprechstundenbericht der Klinik G._ vom 23. August 2019). Ebenso überzeugend sind die Ausführungen in der Stellungnahme vom 24. Juni 2020 zu den MRI-Bildgebungen vom 28. Februar und 11. März 2020. Darin hielt der ZMB-Experte fest, es müsse in der Gesamtschau von einem multifaktoriellen (Schmerz-) Geschehen ausgegangen werden. Als medizinisch relevante Gesichtspunkte benannte er die zunehmende Adipositas der Beschwerdeführerin sowie deren muskuläre Dekonditionierung und Beckenbodenschwäche, schloss aber eine strukturelle Schädigung in Übereinstimmung mit den erwähnten Vorberichten explizit aus ("Im MRI keine fassbare Ursache für die angegebene Schmerzsymptomatik."; vgl. Bericht der Radiologie Spital H._, vom 2. März 2020). Inwieweit diese zentralen Aussagen widersprüchlich sein sollen, ist nicht zu ersehen. Auch was die sonstigen angeblichen Mängel am Gutachten respektive an den dazu erfolgten Ergänzungen des Dr. med. D._ betrifft, sind dessen Schlussfolgerungen nachvollziehbar und ausreichend begründet. Damit durfte die Vorinstanz auf weitere Abklärungen verzichten, ohne Bundesrecht zu verletzen (antizipierende Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 6.5; <ref-ruling> E. 5.3).
5.
Zum psychiatrischen ZMB-Teilgutachten und betreffend die vorinstanzliche Adäquanzprüfung hinsichtlich der organisch nicht objektivierbaren respektive psychischen Einschränkungen ist der Beschwerde nichts zu entnehmen. Folglich hat es, nachdem kein offensichtlicher Rechtsfehler vorliegt (E. 1.1), mit der Schlussfolgerung des kantonalen Gerichts, es fehle an einer adäquaten Kausalität, sein Bewenden.
6.
Ausgangsgemäss hat grundsätzlich die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu bezahlen (<ref-law>). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4a S. 202) kann jedoch entsprochen werden. Es wird indes ausdrücklich auf <ref-law> hingewiesen, wonach sie der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Viktor Estermann als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. März 2022
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Wirthlin
Der Gerichtsschreiber: Grünenfelder