Sachverhalt:
A.
A.a. Die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich führte gegen A._ eine Strafuntersuchung wegen versuchter schwerer Körperverletzung, mehrfacher einfacher Körperverletzung, mehrfacher Drohung, mehrfacher Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte sowie weiterer Delikte. Ausgangspunkt für die Strafuntersuchung bildete ein Vorfall vom 28. Juni 2017, der sich im Rahmen des Vollzugs des Freiheitsentzugs aufgrund eines früher gefällten Strafurteils ergeben hatte. Bis am 27. September 2017 befand sich A._ im entsprechenden Strafvollzug. Auf den 28. September 2017 wurde er aufgrund der neuen Vorwürfe vorläufig festgenommen. Das Bezirksgericht Zürich verfügte am 29. September 2017 wegen Wiederholungsgefahr die Anordnung von Untersuchungshaft. Nachdem das Amt für Justizvollzug und Wiedereingliederung des Kantons Zürich (früher: Amt für Justizvollzug) den Vollzug der Untersuchungshaft in der Justizvollzugsanstalt Pöschwies (nachfolgend: JVA Pöschwies) genehmigt hatte, wurde A._ am 17. August 2018 dorthin verlegt und in die dortige Sicherheitsabteilung eingewiesen. Am 25. April 2019 ordnete das Bezirksgericht Dielsdorf als Zwangsmassnahmengericht für A._ Sicherheitshaft an.
A.b. Am 4. Oktober 2018 ersuchte A._ erfolglos um Verlegung aus der Sicherheitsabteilung der JVA Pöschwies in ein Untersuchungsgefängnis. Mit Urteil 1B_52/2021 vom 24. März 2021 (zur Publ. bestimmt; nachfolgend: Verlegungsentscheid) wies das Bundesgericht eine in diesem Zusammenhang von A._ erhobene Beschwerde ab.
A.c. Zu Beginn der Berufungsverhandlung vom 26. Mai 2021 am Obergericht des Kantons Zürich stellte A._ vorweg ein Gesuch um sofortige Entlassung aus der strafprozessualen Haft. Zur Begründung machte er im Wesentlichen geltend, die Haftbedingungen, denen er in der JVA Pöschwies unterliege, verstiessen gegen das Verbot der Folter bzw. der unmenschlichen Behandlung. Mit Präsidialverfügung vom 26. Mai 2021 wies der zuständige Abteilungspräsident am Obergericht das Gesuch ab und ordnete die Verlängerung der Sicherheitshaft bis zur mündlichen Eröffnung des Berufungsentscheids an. Mit Urteil 1B_326/2021 vom 5. Juli 2021 hiess das Bundesgericht eine dagegen von A._ eingereichte Beschwerde unter Abweisung des Gesuchs um sofortige Haftentlassung teilweise gut, hob die Präsidialverfügung des Obergerichts auf und wies die Sache an dieses zurück zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen. Zur Begründung führte es im Wesentlichen aus, die Präsidialverfügung verstosse gegen den Anspruch von A._ auf rechtliches Gehör (nachfolgend: Haftentlassungsentscheid).
B.
Bereits vorher, am 16. Juni 2021, verfügte das Präsidium des Obergerichts des Kantons Zürich, I. Strafkammer, die Verlängerung der Sicherheitshaft von A._ bis zum Antritt des Strafvollzugs.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 16. Juli 2021 an das Bundesgericht beantragt A._, die Präsidialverfügung vom 16. Juni 2021 aufzuheben und ihn sofort aus der Sicherheitshaft zu entlassen; eventuell sei die Haftentlassung mit Ersatzmassnahmen zu verbinden; subeventuell sei die Sache zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an das Obergericht zurückzuweisen.
Die Staatsanwaltschaft reichte keine Stellungnahme ein. Das Obergericht verzichtete auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen einen kantonal letztinstanzlichen (vgl. Art. 80 BGG) Entscheid über die Fortsetzung von Sicherheitshaft während eines Verfahrens vor dem Berufungsgericht (vgl. Art. 232 StPO) steht die Beschwerde in Strafsachen nach Art. 78 ff. BGG an das Bundesgericht offen. Bei der angefochtenen Präsidialverfügung handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid (vgl. Art. 222 i.V.m. Art. 232 StPO) nach Art. 80 BGG, weshalb sich die Beschwerde in Strafsachen als zulässig erweist.
1.2. Mit der Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht unter Einschluss von Bundesverfassungsrecht sowie von Völkerrecht, namentlich der Europäischen Menschenrechtskonvention, gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Der Beschwerdeführer erhebt solche zulässigen Rügen.
1.3. Gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und b BGG ist zur Beschwerde legitimiert, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Der Beschwerdeführer war am vorinstanzlichen Verfahren beteiligt und ist als betroffener Häftling vom angefochtenen Entscheid besonders berührt und mithin zur Beschwerde berechtigt.
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz auf Antrag hin oder von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 BGG beruht (vgl. Art. 97 Abs. 1 und 105 Abs. 2 BGG).
1.5. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, die von den Beschwerdeführern geltend gemacht und begründet werden (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG). Besondere Anforderungen gelten bei der Rüge einer Grundrechtsverletzung (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.
2.1. Nach den Grundvoraussetzungen von Art. 221 StPO ist Sicherheitshaft insbesondere zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist und ein im Gesetz genannter Haftgrund vorliegt. Die Haft muss überdies verhältnismässig sein (vgl. Art. 5 Abs. 2 und Art. 36 Abs. 3 BV, Art. 197 Abs. 1 lit. c und Art. 212 Abs. 2 lit. c StPO). Weder ein dringender Tatverdacht noch das Vorliegen eines Haftgrundes sind hier strittig. Die Beschwerdeschrift enthält insofern auch keine ausreichende Begründung. Im Wesentlichen wird darin einzig die Verhältnismässigkeit der Haft aufgrund der bestehenden Haftbedingungen beanstandet.
2.2. Der Beschwerdeführer befindet sich noch immer gestützt auf die angefochtene Präsidialverfügung in Haft. Im Unterschied zum Haftentlassungsentscheid vom 5. Juli 2021, wo bereits ein abgelaufener Hafttitel zu beurteilen war und der neue noch nicht wie hier Streitgegenstand bildete, ist sein Gesuch um sofortige Haftentlassung daher zulässig.
2.3. Nach Art. 235 Abs. 1 StPO darf die inhaftierte Person in ihrer persönlichen Freiheit nicht stärker eingeschränkt werden, als es der Haftzweck sowie die Ordnung und Sicherheit in der Haftanstalt erfordern. Der Beschwerdeführer sieht in den ihm auferlegten restriktiven Haftbedingungen einen Verstoss gegen das Verbot der Folter bzw. von unmenschlicher und erniedrigender Behandlung nach Art. 3 EMRK und Art. 7 UNO-Pakt II sowie eine Verletzung der staatlichen Gewährleistungspflichten gemäss Art. 1-4 EMRK, der Offizialmaxime nach Art. 7 StPO sowie des Verhältnismässigkeitsgebots von Art. 197 StPO. Dafür beruft er sich insbesondere auf zwei von ihm eingeholte private Gutachten zu den ihm auferlegten Haftbedingungen und deren Auswirkungen. In diesem Zusammenhang macht er auch einen Verstoss gegen den Anspruch auf rechtliches Gehör nach Art. 29 BV, Art. 6 EMRK und Art. 14 Abs. 1 UNO-Pakt II geltend, weil das Obergericht die von ihm eingereichten Privatgutachten nicht genügend gewürdigt und sich dazu nicht zureichend geäussert habe.
2.4. Es ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer persönlich auf ihn zugeschnittenen, sehr restriktiven Haftbedingungen unterliegt, wovon auch jeweils bereits das Bundesgericht im Verlegungs- sowie im Haftentlassungsentscheid ausging. Insbesondere befindet sich der Beschwerdeführer 23 Stunden am Tag in Isolationshaft und hat auch bei seinem täglichen einstündigen Aufenthalt im Spazierhof keine sozialen Kontakte zu anderen Häftlingen. Ein solches Haftregime wirft auf die Dauer die Frage eines menschenwürdigen Haftvollzugs auf. Dass eine vergleichbare Isolationshaft über längere Zeit menschen- und verfassungsrechtlich bedenklich und besonders zu begründen ist, stellte das Bundesgericht erst kürzlich in einem anderen Fall fest (vgl. das Urteil 6B_587/2021 vom 24. Juni 2021 E. 2). Sollte es bei einem längeren Freiheitsentzug bleiben, müssten die Behörden daher alle möglichen Anstrengungen für angepasste und grundsätzlich zunehmend zu lockernde Haftbedingungen unternehmen. Im Verlegungs- wie auch im Haftverfahren steht allerdings eine kurzfristige Sichtweise im Vordergrund. Im vorliegenden Zusammenhang sind die Auswirkungen der Haftbedingungen in persönlicher, sozialer und insbesondere psychischer Hinsicht bis heute nicht abschliessend geklärt, was namentlich auf die vom Beschwerdeführer angerufenen zwei Privatgutachten zutrifft. Auch dass der UNO-Sonderberichterstatter über Folter und andere grausame, unmenschliche oder erniedrigende Behandlung oder Bestrafung Fragen zu den Haftbedingungen des Beschwerdeführers in Aussicht gestellt hat, bedeutet zwar noch nicht, dass dessen Haftregime bereits deswegen unrechtmässig wäre. Die aktenkundige Sachlage indiziert aber einen entsprechenden Abklärungsbedarf, der erneut insbesondere in einer mittel- bis längerfristigen Sicht beachtlich werden könnte, wie das Bundesgericht ebenfalls bereits im Haftentlassungsentscheid festgehalten hat.
2.5. Darin berücksichtigte das Bundesgericht allerdings auch, dass über die Anordnung von Sicherheitshaft beförderlich zu entscheiden ist. Das gilt ebenfalls für die Verlängerung des Freiheitsentzugs, wie sie hier zur Diskussion steht. Unter solchen Umständen ist es der für den Haftentscheid zuständigen Verfahrensleitung des Berufungsgerichts nicht möglich, im Rahmen der Beurteilung der Verhältnismässigkeit der Haft umfassende Abklärungen über die Auswirkungen eines dem Angeklagten auferlegten Haftregimes vorzunehmen. Vielmehr muss es im Wesentlichen bei einer vorläufigen Einschätzung aufgrund jener Aktenlage sein Bewenden haben, die dem Haftgericht vorliegt bzw. sich mit vernünftigem und überschaubarem Aufwand erheben lässt. Das ist grundsätzlich nicht zu beanstanden, soweit die Parteirechte des Betroffenen gewahrt bleiben. Eine umfassende Beurteilung der Haftbedingungen unter Abklärung sämtlicher Umstände hat allenfalls in einem besonderen separaten Verfahren zu erfolgen, in das bei Bedarf auch die Vollzugsbehörden in geeigneter Weise einzubeziehen sind. Ein solches Verfahren kann sich gegebenenfalls sowohl auf strafprozessuale (in Anwendung von Art. 234 ff. StPO) als auch auf strafvollziehende (vgl. Art. 372 ff. StGB) Haftbedingungen erstrecken. Im vorliegenden Fall dürften dadurch künftig vor allem die für den Vollzug des Strafurteils befassten Behörden angesprochen sein. Dennoch darf das Haftgericht nicht einfach von der Würdigung der Haftbedingungen absehen, sondern hat diese im Rahmen der Möglichkeiten zu prüfen und beim Haftentscheid mit abzuwägen.
3.
3.1. Im vorliegenden Verfahren stellt sich erneut, wie bereits im Haftentlassungsverfahren, die Frage, ob das Obergericht die vom Beschwerdeführer angerufenen und eingereichten Privatgutachten ausreichend gewürdigt und seinen Haftentscheid genügend begründet und damit den Anspruch auf rechtliches Gehör des Beschwerdeführers beachtet hat. Der angefochtene Entscheid enthält im Wesentlichen eine einseitige, im Vergleich zur im Haftentlassungsentscheid angefochtenen Verfügung noch kürzere Begründung, mit dem das Obergericht hauptsächlich auf die frühere Präsidialverfügung verweist. Da diese vom Bundesgericht als nicht ausreichend begründet beurteilt worden ist, enthält jedoch auch die hier angefochtene Präsidialverfügung zwangsläufig keine genügende Begründung. Dass heute die Haftbedingungen vorerst noch immer zulässig wären, erscheint zwar nicht ausgeschlossen, müsste aber vertiefter begründet werden und lässt sich nicht damit rechtfertigen, es habe keine wesentlichen, für den Beschwerdeführer nachteiligen Änderungen im Haftregime gegeben. Zu prüfen wäre vielmehr, weshalb es sich rechtfertigen liesse, dass in der Zwischenzeit keine für ihn vorteilhaften Erleichterungen vorgenommen worden sind. Überdies wäre zu erwarten, dass die Vollzugsbehörden inzwischen grundsätzliche Überlegungen zum Haftvollzug angestellt haben und zumindest ein Konzept vorlegen könnten, wie sich die Lockerung der Haftbedingungen angehen liesse. Eine solche Perspektive, für deren Umsetzung es auch zureichende realistische Hinweise gäbe, könnte die Haftverlängerung allenfalls selbst dann als zulässig erscheinen lassen, wenn das Haftregime nicht unverzüglich, sondern erst künftig, aber doch innert vernünftiger Frist angepasst würde. Das Obergericht hätte zumindest prüfen müssen, ob eine solche Perspektive vorliegt bzw. sich ausreichend abzeichnet.
3.2. Auch was die beiden Privatgutachten betrifft, hat das Bundesgericht bereits im Haftentlassungsentscheid festgehalten, es liege ein Verfahrensmangel vor. Solche Privatgutachten sind nach den von der Rechtsprechung aufgestellten Richtlinien für die Beweiswürdigung zu berücksichtigen (vgl. etwa <ref-ruling> E. 3c S. 354; Urteil des Bundesgerichts 8C_28/2021 vom 9. April 2021 E. 4.2), was das Obergericht nicht ausreichend getan hat. Auch insofern erweist sich der Verweis auf die frühere Präsidialverfügung im angefochtenen Entscheid als untauglich. Der frühere Verfahrensmangel schlägt in diesem Sinne auf die angefochtene Verfügung durch.
3.3. Aufgrund der festgestellten formellen Unzulänglichkeiten ist der angefochtene Entscheid aufzuheben. Das heisst aber noch nicht, dass er auch inhaltlich bundesrechtswidrig ist. Wegen der formellen Natur des Gehörsanspruchs ist darüber hier nicht zu entscheiden. Es ist nicht Sache des Bundesgerichts, an die Stelle der als erstinstanzlicher Haftrichter handelnden Verfahrensleitung des Obergerichts zu treten, deren Verfahrensmängel zu korrigieren und dabei namentlich die angebotenen Beweismittel angemessen zu würdigen und den Haftentscheid ausreichend zu begründen. Vielmehr ist die Angelegenheit dafür an die Vorinstanz zurückzuweisen. Damit kann im jetzigen Zeitpunkt auch nicht über eine sofortige Haftentlassung entschieden werden bzw. ist das entsprechende Gesuch abzuweisen.
4.
Demnach ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben. Die Sache geht zurück an das Obergericht zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen. Das Gesuch um sofortige Haftentlassung ist abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang obsiegt der Beschwerdeführer teilweise. Insoweit wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung mit seinem Rechtsvertreter gegenstandslos. Im Übrigen ist es zu bewilligen (vgl. Art. 64 BGG). Unter diesen Umständen sind für das bundesgerichtliche Verfahren keine Kosten zu erheben (Art. 64 Abs. 1 und Art. 66 Abs. 4 BGG). Der Kanton Zürich hat dem Beschwerdeführer eine reduzierte Parteientschädigung zu entrichten (vgl. Art. 68 BGG). Im Übrigen ist der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen (Art. 64 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und die Präsidialverfügung des Obergerichts des Kantons Zürich, I. Strafkammer, vom 16. Juni 2021 wird aufgehoben. Die Sache wird an das Obergericht des Kantons Zürich, I. Strafkammer, zurückgewiesen zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen. Das Gesuch um sofortige Entlassung des Beschwerdeführers aus der Haft wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird dem Beschwerdeführer Rechtsanwalt Thomas Häusermann als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Der Kanton Zürich hat dem Beschwerdeführer eine reduzierte Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- auszurichten.
5.
Im Übrigen wird Rechtsanwalt Thomas Häusermann aus der Gerichtskasse mit Fr. 1'000.-- entschädigt.
6.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. August 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Uebersax