Sachverhalt:
A.
Der Stadtrat Aarau legte vom 3. März bis 3. April 2017 das Baugesuch der B._ für den Umbau und die Erneuerung beim Parkhaus Kasinopark mitsamt dem neuen Treppenhauspavillon öffentlich auf. Dagegen erhob unter anderem A._ Einwendungen. Der Stadtrat Aarau erteilte am 21. August 2017 die Baubewilligung und trat auf die Einwendungen von A._ nicht ein.
Eine von A._ dagegen erhobene Verwaltungsbeschwerde wies das Departement Bau, Verkehr und Umwelt des Kantons Aargau (BVU) mit Entscheid vom 31. Oktober 2017 ab.
A._ reichte am 1. Dezember 2017 Verwaltungsgerichtsbeschwerde gegen den Departementsentscheid ein. Am 6. Dezember 2017 ersuchte die B._ um Erteilung der vorzeitigen Baufreigabe nach § 65 Abs. 2 des Gesetzes über Raumentwicklung und Bauwesen (Baugesetz, BauG; SAR 713.100). Das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau wies mit Teilentscheid vom 13. Dezember 2017 die Beschwerde ab, soweit damit beantragt wurde, "die Baubewilligung sei an den Stadtrat, eventualiter an den Regierungsrat zurückzuweisen". Über weitere Anträge wie die unentgeltliche Rechtspflege für das Verwaltungsgerichtsverfahren werde zu gegebener Zeit separat entschieden. Zur Begründung führte das Verwaltungsgericht zusammenfassend aus, die Beschwerde sei hinsichtlich der Erteilung der Baubewilligung offenkundig unbegründet und ohne Einholung von Beschwerdeantworten in einem Teilentscheid abzuweisen. Damit werde das Gesuch um vorzeitige Baufreigabe hinfällig. Es genüge somit, dem Beschwerdeführer das Gesuch zusammen mit dem Teilentscheid zur Kenntnisnahme zuzustellen. Demgegenüber erweise sich die Beschwerde im Kostenpunkt nicht als offensichtlich unzulässig oder unbegründet und sei den Parteien zur allfälligen Beschwerdeantwort zuzustellen.
Diesen Entscheid hat A._ beim Bundesgericht angefochten. Er hat dabei einzig eine Verletzung des Replikrechts (<ref-law>) geltend gemacht, da ihm das Gesuch um vorzeitige Baufreigabe nur zur Kenntnisnahme und nicht zur Stellungnahme zugestellt worden war. Mit Urteil 1C_65/2018 vom 21. Februar 2018 trat das Bundesgericht mangels genügender Begründung nicht auf die Beschwerde ein.
B.
Mit Urteil vom 8. März 2018 entschied das Verwaltungsgericht über die weiteren Anträge. Es erteilte A._ die unentgeltliche Rechtspflege, soweit die Beschwerde sich gegen den Kostenspruch des BVU richtete und hiess das Rechtsmittel hinsichtlich des Antrags auf Herabsetzung der Verfahrenskosten gut. In Bezug auf die beantragte Rückweisung der Baubewilligung erachtete das Verwaltungsgericht die Beschwerde hingegen als aussichtslos. Deshalb gewährte es dem Beschwerdeführer insoweit keine unentgeltliche Rechtspflege und gelangte im Ergebnis zu einer teilweisen Gutheissung. Diesem Verfahrensausgang entsprechend auferlegte es A._ die Hälfte der Kosten für das verwaltungsgerichtliche Verfahren.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 7. Mai 2018 beantragt A._, der Entscheid des Verwaltungsgerichts solle dahin korrigiert werden, dass ihm die unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor diesem vollständig zu gewähren sei.
Die B._ und der Stadtrat Aarau haben auf eine Stellungnahme verzichtet.
Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
Der Beschwerdeführer hat repliziert und hält an seinem Antrag fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, die unter keinen Ausschlussgrund gemäss <ref-law> fällt und daher mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden kann (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer ist durch den angefochtenen Entscheid beschwert und zu dessen Anfechtung befugt (<ref-law>). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht und von kantonalen verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 95 lit. a und c BGG). Das Bundesgericht prüft Rechtsverletzungen im Sinne von <ref-law> frei, die Anwendung kantonalen Rechts dagegen in der Regel nur auf Bundesrechtsverletzungen, d.h. namentlich auf Willkür hin (<ref-ruling> E. 2 S. 149 f.). Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht prüft es aber nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer macht einzig geltend, ihm sei die unentgeltliche Rechtspflege für den Antrag auf Rückweisung der Baubewilligung zu gewähren. Zur Begründung bringt er vor, seine vor der Vorinstanz erhobene Rüge, wonach das BVU sein unbedingtes Replikrecht missachtet habe, sei nicht aussichtslos gewesen.
2.2. Der Umfang des Anspruchs auf unentgeltliche Rechtspflege richtet sich zunächst nach den Vorschriften des kantonalen Rechts. Erst wenn sich dieser Rechtsschutz als ungenügend erweist, greifen die bundesverfassungsrechtlichen Minimalgarantien (<ref-ruling> E. 3.1.1 S. 98 mit Hinweisen). Nach § 34 Abs. 1 des Gesetzes des Kantons Aargau über die Verwaltungsrechtspflege vom 4. Dezember 2007 (VRPG; SAR 271.200) befreit die zuständige Behörde natürliche Personen auf Gesuch von der Kosten- und Vorschusspflicht, wenn die Partei ihre Bedürftigkeit nachweist und das Begehren nicht aussichtslos erscheint. Damit deckt sich die kantonale Regelung im Wesentlichen mit den verfassungsrechtlichen Mindestanforderungen an die unentgeltliche Rechtspflege. Deshalb ist zwar primär § 34 Abs. 1 VRPG anwendbar, für dessen Auslegung ist jedoch die Praxis des Bundesgerichts zu <ref-law> zu berücksichtigen. Aussichtslos sind nach dieser Rechtsprechung Prozessbegehren, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 9.1 S. 537 mit Hinweisen).
In Verfahren vor Verwaltungs- und Gerichtsbehörden ergibt sich aus dem verfassungsmässigen Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) das Recht, sich zu Eingaben von Vorinstanz oder Gegenpartei zu äussern, soweit die darin vorgebrachten Noven prozessual zulässig und materiell geeignet sind, den Entscheid zu beeinflussen. Von diesem so genannten Replikrecht im engeren Sinn zu unterscheiden ist die - nur in den Art. 6 Ziff. 1 EMRK unterliegenden - Gerichtsverfahren bestehende Möglichkeit, zu jeder Eingabe von Vorinstanz oder Gegenpartei Stellung zu nehmen, und zwar unabhängig davon, ob diese neue und erhebliche Gesichtspunkte enthält (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 2.3.2 f. S. 156 f. mit Hinweisen).
2.3. Der Teilentscheid vom 13. Dezember 2017 ist mit dem Nichteintretensentscheid des Bundesgerichts vom 21. Februar 2018 auf die gegen diesen erhobene Beschwerde in Rechtskraft erwachsen. Daher ist zweifelhaft, ob der Beschwerdeführer die Aussichtslosigkeit der damit entschiedenen Rechtsbegehren im vorliegenden Verfahren überhaupt noch zur Diskussion stellen kann. Diese Frage kann aber offen bleiben, denn die Rüge der Verletzung des Replikrechts ist jedenfalls unbegründet. Nach den - vom Beschwerdeführer nicht bestrittenen und daher für das Bundesgericht verbindlichen - Feststellungen der Vorinstanz enthielt weder die Eingabe der Bauherrschaft noch die Antwort der BVU ein Novum. Diese Schreiben waren daher nicht geeignet, den Entscheid zu beeinflussen (oben E. 2.2). Weil das BVU keine Gerichtsbehörde im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK ist, war es nicht verpflichtet, dem Beschwerdeführer hierzu ein Replikrecht zu gewähren. Aus dem Umstand, dass gemäss dem "Merkblatt über das Beschwerdeverfahren vor dem Regierungsrat" vor dieser Behörde ein unbedingtes Replikrecht gilt, kann nicht abgeleitet werden, ein solches bestehe in sämtlichen Verwaltungsverfahren. Dass der Beschwerdeführer - aufgrund einer anscheinend fehlerhaften Rechtsmittelbelehrung - zunächst beim Regierungsrat Beschwerde erhob und dieser sie in der Folge zuständigkeitshalber an das BVU überwies, vermag daran nichts zu ändern.
Nach dem Gesagten hatte der Beschwerdeführer im Verfahren vor dem BVU kein Recht auf Stellungnahme zum Gesuch um vorzeitige Baufreigabe. Deshalb hat dieses seinen Gehörsanspruch nicht verletzt, indem es ihm das Gesuch nur zur Kenntnisnahme zustellte. Folglich ist aus diesem Blickwinkel nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege für die Rückweisung des Baugesuchs wegen Aussichtslosigkeit verweigerte.
3.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen. Da sie einzig auf dem nicht gegebenen Replikrecht des Beschwerdeführers zum Gesuch um vorzeitige Baufreigabe beruht, ist sie ebenfalls als aussichtslos zu beurteilen. Demnach ist sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren abzuweisen und sind ihm reduzierte Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 64 und Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Stadtrat Aarau, dem Departement Bau, Verkehr und Umwelt des Kantons Aargau, und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. September 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Schoch