Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft IV des Kantons Zürich führte eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen vorsätzlicher Tötung. Am 31. Oktober 2017 habe er massive Gewalt gegen seine frühere Konkubinatspartnerin ausgeübt, unter anderem gegen ihren Kopf und Oberkörper. Anschliessend habe er das Opfer stranguliert. Der Beschuldigte wurde am 1. November 2017 verhaftet und in Untersuchungshaft versetzt. Am 21. Januar 2019 erhob die Staatsanwaltschaft gegen ihn Anklage wegen vorsätzlicher Tötung.
B.
Mit Urteil vom 3. Juli 2019 sprach das Bezirksgericht Horgen, III. Abteilung, den Beschuldigten der vorsätzlichen Tötung schuldig und bestrafte ihn mit zehn Jahren Freiheitsstrafe. Am 26. November 2019 erklärte der Beschuldigte beim Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, die Berufung.
C.
Am 27. Mai 2020 stellte der Beschuldigte (zuletzt) ein Haftentlassungsgesuch, welches vom Obergericht des Kantons Zürich, Präsident der II. Strafkammer, am 9. Juni 2020 abgewiesen wurde.
D.
Dagegen gelangte der Beschuldigte mit Beschwerde vom 26. Juni 2020 an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und seine unverzügliche Haftentlassung.
Die Staatsanwaltschaft und das Obergericht haben am 3. Juli bzw. 30. Juni 2020 je ausdrücklich auf Stellungnahmen verzichtet.

Erwägungen:
1.
Anfechtungsobjekt ist ein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid über ein Gesuch um Entlassung aus der Sicherheitshaft im hängigen Berufungsverfahren (Art. 222 Satz 2 i.V.m. <ref-law>). Dagegen ist die Beschwerde an das Bundesgericht zulässig (Art. 80 Abs. 1 und Abs. 2 Satz 3 BGG). Die Sachurteilsvoraussetzungen von <ref-law> sind grundsätzlich erfüllt und geben zu keinen Vorbemerkungen Anlass.
2.
Der Beschwerdeführer bestreitet zunächst den dringenden Tatverdacht eines Verbrechens oder Vergehens.
2.1. Im Gegensatz zum erkennenden Sachrichter hat das Bundesgericht bei der Überprüfung des allgemeinen Haftgrundes des dringenden Tatverdachtes (Art. 221 Abs. 1 Ingress StPO) keine erschöpfende Abwägung sämtlicher belastender und entlastender Beweisergebnisse vorzunehmen. Macht ein Inhaftierter geltend, er befinde sich ohne ausreichenden Tatverdacht in strafprozessualer Haft, ist vielmehr zu prüfen, ob aufgrund der bisherigen Untersuchungsergebnisse genügend konkrete Anhaltspunkte für ein Verbrechen oder Vergehen und eine Beteiligung des Beschwerdeführers an dieser Tat vorliegen, die Strafbehörden somit das Bestehen eines dringenden Tatverdachts mit vertretbaren Gründen bejahen durften. Im Haftprüfungsverfahren genügt dabei der Nachweis von konkreten Verdachtsmomenten, wonach das untersuchte Verhalten mit erheblicher Wahrscheinlichkeit die fraglichen Tatbestandsmerkmale erfüllen könnte (<ref-ruling> E. 3.1 S. 318; 330 E. 2.1 S. 333; je mit Hinweisen). Das Beschleunigungsgebot in Haftsachen (Art. 31 Abs. 3-4 BV, <ref-law>) lässt hier nur wenig Raum für Beweismassnahmen. Zur Frage des dringenden Tatverdachtes bzw. zur Schuldfrage hat das Bundesgericht weder ein eigentliches Beweisverfahren durchzuführen, noch dem erkennenden Strafrichter vorzugreifen. Vorbehalten bleibt allenfalls die Abnahme eines liquiden Alibibeweises (<ref-ruling> E. 3.1 S. 318; 330 E. 2.1 S. 333 f.; je mit Hinweisen).
2.2. Der dringende Tatverdacht muss sich im Verlauf des Strafverfahrens grundsätzlich verdichten (bzw. ausreichend hoch verbleiben). Dabei kommt es nach der Praxis des Bundesgerichtes auch auf die Art und Intensität der bereits vorbestehenden konkreten Verdachtsgründe an (vgl. Urteile 1B_514/2018 vom 3. Dezember 2018 E. 3.2; 1B_176/2018 vom 2. Mai 2018 E. 3.2). Zu Beginn der Strafuntersuchung sind die Anforderungen an den dringenden Tatverdacht geringer als in späteren Prozessstadien. Im Laufe des Strafverfahrens ist in der Regel ein zunehmend strengerer Massstab an die Erheblichkeit und Konkretheit des Tatverdachts zu legen. Nach Durchführung der gebotenen Untersuchungshandlungen muss eine Verurteilung als wahrscheinlich erscheinen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 318 f. mit Hinweisen). Wenn bereits ein Urteil des erstinstanzlichen Strafgerichts vorliegt, hat jene Partei, welche den dringenden Tatverdacht in Widerspruch zum Gerichtsurteil bestreitet, darzulegen, inwiefern das auf Schuldspruch lautende Urteil klarerweise fehlerhaft erscheint bzw. inwiefern eine entsprechende Korrektur im Berufungsverfahren mit erheblicher Wahrscheinlichkeit zu erwarten ist (Urteile 1B_514/2018 E. 3.2; 1B_176/2018 E. 3.2; 1B_171/2015 vom 27. Mai 2015 E. 5.3; je mit Hinweisen).
2.3. Es kann offen bleiben, ob die vom Beschwerdeführer erhobene Rüge, es fehle an einem dringenden Tatverdacht für ein Verbrechen, ausreichend substanziiert erscheint (vgl. <ref-law>). Dies gilt insbesondere für seine Vorbringen, er lebe "in geordneten privaten und beruflichen Verhältnissen", eine Strangulation des Opfers, welche zu einem Kehlkopfbruch geführt hätte, sei nicht bewiesen, und Tatmotive seien ebenfalls nicht ersichtlich. Das Bundesgericht hatte schon anlässlich einer früheren Haftprüfung erwogen, die Beweislage gegen den Beschuldigten erscheine erdrückend (Urteil 1B_19/2019 vom 4. Februar 2019 E. 2.4). Nach der Anklageerhebung am 21. Januar 2019 und der unterdessen erfolgten erstinstanzlichen Verurteilung vom 3. Juli 2019 durch das Bezirksgericht Horgen wegen vorsätzlicher Tötung hat sich der dringende Tatverdacht eines Schwerverbrechens noch zusätzlich erhärtet. Was der Beschwerdeführer vorbringt, lässt den erstinstanzlichen Schuldspruch aus haftrichterlicher Sicht nicht als offensichtlich fehlerhaft (im Sinne der oben dargelegten Praxis) erscheinen. Mit seiner appellatorischen Interpretation der Beweisergebnisse wird sich die zuständige Berufungsinstanz im hängigen Berufungsverfahren zu befassen haben.
3.
Der Beschwerdeführer bestreitet weiter den besonderen Haftgrund der Wiederholungsgefahr. Diesbezüglich hätten sich (seit den letzten Haftprüfungen) "grundlegende Dinge geändert". Insbesondere gebe es "keine Anzeichen für eine ungünstige Prognose" mehr. Der psychiatrische Gutachter sei von einem "tendenziell geringen" Rückfallrisiko für schwere Gewaltdelikte ausgegangen.
3.1. Nach <ref-law> sind drei Elemente für das Vorliegen von Wiederholungsgefahr konstitutiv. Erstens muss grundsätzlich das Vortatenerfordernis erfüllt sein und es müssen schwere Vergehen oder Verbrechen drohen. Zweitens muss hierdurch die Sicherheit anderer erheblich gefährdet sein. Drittens muss die Tatwiederholung ernsthaft zu befürchten sein, was anhand einer Rückfallprognose zu beurteilen ist (<ref-ruling> E. 2.5 S. 14).
Bei der Beurteilung der Schwere der drohenden Delikte sind neben der abstrakten Strafdrohung gemäss Gesetz insbesondere auch das betroffene Rechtsgut und der Kontext, namentlich die konkret vom Beschuldigten ausgehende Gefährlichkeit bzw. das bei ihm vorhandene Gewaltpotenzial, einzubeziehen. Die erhebliche Gefährdung der Sicherheit anderer durch drohende Verbrechen oder schwere Vergehen kann sich grundsätzlich auf Rechtsgüter jeder Art beziehen. Im Vordergrund stehen Delikte gegen die körperliche und sexuelle Integrität (<ref-ruling> E. 2.6-2.7 S. 14-16 mit Hinweisen).
Massgebliche Kriterien bei der Beurteilung der Rückfallprognose sind nach der Praxis des Bundesgerichtes insbesondere die Häufigkeit und Intensität der fraglichen Delikte. Bei dieser Bewertung sind allfällige Aggravationstendenzen, wie eine zunehmende Eskalation respektive Gewaltintensität oder eine raschere Kadenz der Taten, zu berücksichtigen. Zu würdigen sind des Weiteren die persönlichen Verhältnisse der beschuldigten Person. Liegt bereits ein psychiatrisches Gutachten vor, ist dieses ebenfalls in die Beurteilung miteinzubeziehen. In der Regel erscheint die Gefährdung der Sicherheit anderer umso höher, je schwerer die drohende Tat wiegt. Betreffend die Anforderungen an die Rückfallgefahr gilt hingegen eine umgekehrte Proportionalität. Dies bedeutet, je schwerer die drohenden Taten sind und je höher die Gefährdung der Sicherheit anderer ist, desto geringere Anforderungen sind an die Rückfallgefahr zu stellen. Liegen die Tatschwere und die Sicherheitsrelevanz am oberen Ende der Skala, so ist die Messlatte zur Annahme einer rechtserheblichen Rückfallgefahr tiefer anzusetzen. Zugleich ist daran festzuhalten, dass der Haftgrund der Wiederholungsgefahr restriktiv zu handhaben ist. Hieraus folgt, dass eine negative, d.h. eine ungünstige Rückfallprognose zur Annahme von Wiederholungsgefahr notwendig, grundsätzlich aber auch ausreichend ist (<ref-ruling> E. 2.8-2.10 S. 16 f. mit Hinweisen). Besonders bei drohenden schweren Gewaltverbrechen ist dabei auch dem psychischen Zustand der beschuldigten Person bzw. ihrer Unberechenbarkeit oder Aggressivität Rechnung zu tragen (<ref-ruling> E. 2.8 S. 16; <ref-ruling> E. 2.1.1 S. 21 f.).
Was das Vortatenerfordernis betrifft, können die bereits begangenen Straftaten sich zunächst aus rechtskräftig abgeschlossenen Strafverfahren ergeben. Sie können jedoch auch Gegenstand eines noch hängigen Strafverfahrens bilden, in dem sich die Frage der Untersuchungs- bzw. Sicherheitshaft stellt, sofern mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit feststeht, dass die beschuldigte Person solche Straftaten begangen hat. Der haftrechtliche Nachweis, dass die beschuldigte Person eine Straftat verübt hat, gilt bei einem glaubhaften Geständnis oder einer erdrückenden Beweislage als erbracht (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 13; <ref-ruling> E. 3.2 S. 86 mit Hinweisen). Die Gefährlichkeit des Täters lässt sich in diesem Sinne sowohl aufgrund von bereits abgeurteilten Vortaten beurteilen als auch im Gesamtkontext der ihm neu vorgeworfenen Delikte, sofern mit ausreichender Wahrscheinlichkeit erstellt ist, dass er diese begangen hat (<ref-ruling> E. 2.6 S. 15 mit Hinweis). Erweisen sich die Risiken als untragbar hoch (sogenannte "qualifizierte Wiederholungsgefahr"), kann vom Vortatenerfordernis sogar vollständig abgesehen werden. Aufgrund einer systematisch-teleologischen Auslegung von <ref-law> ist das Bundesgericht zum Schluss gekommen, es habe nicht in der Absicht des Gesetzgebers gelegen, mögliche Opfer von schweren Gewaltdelikten einem derart hohen Rückfallrisiko auszusetzen (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 13; <ref-ruling> E. 3 f. S. 18 ff.).
3.2. Bei Beschwerden, die gestützt auf das Recht der persönlichen Freiheit (Art. 10 Abs. 2, Art. 31 BV) wegen strafprozessualer Haft erhoben werden, prüft das Bundesgericht im Hinblick auf die Schwere des Eingriffes die Auslegung und Anwendung der StPO frei. <ref-law> gelangt bei strafprozessualen Zwangsmassnahmen nicht zur Anwendung (<ref-ruling> E. 2.1 S. 334 mit Hinweisen). Soweit jedoch reine Sachverhaltsfragen und damit Fragen der Beweiswürdigung zu beurteilen sind, greift das Bundesgericht nur ein, wenn die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 334 mit Hinweis).
3.3. In seinem (oben bereits erwähnten) konnexen Urteil 1B_19/2019 vom 4. Februar 2019 hat das Bundesgericht den Haftgrund der Wiederholungsgefahr im Falle des Beschwerdeführers bejaht. Es erwog dabei (zusammengefasst) Folgendes:
Angesichts der erdrückenden Beweislage für ein Tötungsdelikt verletzten die kantonalen Instanzen kein Bundesrecht, wenn sie das sogenannte "Vortatenerfordernis" (im Sinne der einschlägigen Rechtsprechung) bejahen. Der medizinische Sachverständige habe betont, dass seine Risikoprognose auf "unvollständiger Grundlage" bzw. gestützt auf die Strafakten habe erfolgen müssen, da der Beschwerdeführer die psychiatrische Exploration verweigert habe. Auch ein ergänzender Beizug der IV-Akten sei an dessen mangelnder Kooperation gescheitert. Zwar sei unbestritten, dass der Experte in seinem Aktengutachten kein "hohes" einschlägiges Rückfallrisiko für Tötungsdelikte habe bestätigen können. Nach der einschlägigen Rechtsprechung setze der Haftgrund der Wiederholungsgefahr bei drohenden schweren Gewaltverbrechen jedoch kein hohes Rückfallrisiko voraus. Es genüge in solchen schwerwiegenden Fällen grundsätzlich eine ungünstige Legalprognose. Diese liege vor. Insbesondere befürchte der Experte, dass der Beschwerdeführer sich erneut sehr aggressiv verhalten werde, dies "am ehesten gegenüber Partnerinnen" und unter Alkoholeinfluss. Die kantonalen Instanzen hätten die bekannten Risikofaktoren einer Gesamtbetrachtung unterzogen, darunter die ausgeprägte Neigung des Beschwerdeführers zu Gewalttätigkeiten, eine diesbezügliche Aggravationstendenz sowie Anzeichen für chronischen Alkoholmissbrauch. Dass sie von einer ungünstigen Rückfallprognose für weitere schwere Gewaltverbrechen ausgehen und den Haftgrund der Wiederholungsgefahr bejahen, halte vor dem Bundesrecht stand (vgl. Urteil 1B_19/2019 E. 2.4-2.6).
3.4. Die Vorinstanz verweist im angefochtenen Entscheid auf diese Erwägungen (im Urteil 1B_19/2019) sowie auf analoge Überlegungen in unterdessen erfolgten weiteren Haftprüfungen (Entscheide des kantonalen Zwangsmassnahmengerichtes vom 4. Februar und 6. Mai 2019, des Bezirksgerichtes Horgen vom 3. Juli, 2. Oktober und 13. Dezember 2019, bzw. des Obergerichtes vom 20. Januar und 9. März 2020). Diesbezüglich hätten sich die haftrelevanten Umstände nicht verändert. Aufgrund der erdrückenden Beweislage sei das Vortatenerfordernis erfüllt. Angesicht der Schwere der Tatvorwürfe gegen den Beschuldigten und seines Alkoholproblems sei die Gefährdung der Sicherheit anderer als erheblich einzustufen. Derzeit müsse damit gerechnet werden, dass er nach einer Freilassung erneut massive Gewaltverbrechen unter Alkoholeinfluss verüben könnte (vgl. angefochtener Entscheid, S. 4).
3.5. Was der Beschwerdeführer dagegen einwendet, lässt den Haftgrund der Wiederholungsgefahr nicht dahinfallen. Dies gilt namentlich für seine Vorbringen, er habe das Opfer "pflegehalber" bei sich einquartiert und in der Tatnacht nur "umgebettet", es müsse als offen gelten, "wo und wodurch" das Opfer die tödlichen Verletzungen erlitt, der Vorwurf häuslicher Gewalt oder früherer Tätlichkeiten stimme nicht, und der gutachterliche Befund, wonach weitere Aggressionen des Beschwerdeführers gegen andere Personen nicht ausgeschlossen werden könnten, sei so zu interpretieren, dass der Sachverständige "Gewalttaten explizit ausgeschlossen" habe.
Die Rügen der Verletzung von <ref-law> bzw. der persönlichen Freiheit (<ref-law>) erweisen sich als unbegründet. Soweit der Beschwerdeführer von den Tatsachenfeststellungen der kantonalen Instanzen (insbesondere des erstinstanzlichen Strafgerichtes) abweicht, aber nicht nachvollziehbar darlegt, weshalb die betreffenden Erwägungen offensichtlich unzutreffend seien, erhebt er keine ausreichend substanziierten Rügen (vgl. Art. 42 Abs. 2 Satz 1 i.V.m. Art. 97 Abs. 1BGG). Die weiteren von ihm angerufenen Normen haben im vorliegenden Zusammenhang keine über das bereits Dargelegte hinausgehende selbstständige Bedeutung.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung. Da die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind, ist das Gesuch zu bewilligen (<ref-law>) und sind keine Gerichtskosten zu erheben. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdeschrift persönlich unterzeichnet und eingereicht. Im Verfahren vor dem Bundesgericht war er nicht durch seinen amtlichen Verteidiger vertreten, weshalb das Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung hinfällig ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Strafkammer, und Rechtsanwalt Ivo Harb schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Juli 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Forster