Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich führt ein Strafverfahren gegen den kosovarischen Staatsangehörigen A._ wegen des Verdachts der mehrfachen Vergewaltigung, der mehrfachen sexuellen Handlungen mit einem Kind und der mehrfachen Pornographie. Sie wirft ihm hauptsächlich vor, im April 2019 an einem damals 13-jährigen Mädchen (im Folgenden: Privatklägerin) gegen deren Willen zweimal den Geschlechtsverkehr vollzogen zu haben.
Am 22. Juni 2020 wurde A._ festgenommen. Er befindet sich seither in Untersuchungs- bzw. in Sicherheitshaft. Am 11. Juni 2021 erhob die Staatsanwaltschaft gegen ihn Anklage beim Bezirksgericht Winterthur. Ein Haftentlassungsgesuch vom 30. Juni 2021 wies das Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Winterthur ab. Die in der Folge von A._ beim Obergericht des Kantons Zürich und dem Bundesgericht eingelegten Rechtsmittel blieben erfolglos. Das Bundesgericht bejahte in seinem Urteil den dringenden Tatverdacht und die Kollusionsgefahr. Ob zusätzlich Fluchtgefahr bestehe, liess es offen. Zur gerügten Verletzung des Beschleunigungsgebots in Haftsachen hielt es fest, eine solche wäre zu bejahen, falls das Bezirksgericht die Hauptverhandlung erst im nächsten Jahr durchführen würde; im Zeitpunkt der Beurteilung stand dies jedoch noch nicht fest, weshalb es die Rüge als derzeit unbegründet erachtete (Urteil des Bundesgerichts 1B_482/2021 vom 1. Oktober 2021).
Am 22. Oktober 2021 ersuchte A._ ein weiteres Mal um Haftentlassung. Mit Verfügung vom 28. Oktober 2021 wies das Zwangsmassnahmengericht das Gesuch ab. Eine von A._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht mit Beschluss vom 23. November 2021 ebenfalls ab. Die Gerichtsgebühr setzte es auf Fr. 1'000.-- fest und behielt die Regelung der Kostenauflage und der Entschädigung dem Endentscheid vor.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht vom 13. Dezember 2021 beantragt A._, der Beschluss des Obergerichts sei aufzuheben und er selbst unverzüglich aus der Haft zu entlassen. Eventualiter seien Ersatzmassnahmen anzuordnen.
Das Obergericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Die Staatsanwaltschaft hat sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
Die Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass (vgl. das den Beschwerdeführer betreffende Urteil 1B_482/2021 vom 1. Oktober 2021 E. 1.1).
2.
Der Beschwerdeführer rügt einzig eine Verletzung des Beschleunigungsgebots in Haftsachen und in diesem Zusammenhang eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör. Das Obergericht habe sich mit seinen Argumenten nicht auseinandergesetzt.
Der Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden (<ref-ruling> E. 5.2 mit Hinweisen).
Das Obergericht setzte sich auf mehreren Seiten seines Beschlusses mit dem Beschleunigungsgebot in Haftsachen auseinander. Es wog das Interesse des Beschwerdeführers an seiner Freiheit gegen dasjenige des Staats an der wirksamen Verfolgung schwerer Straftaten ab. Zudem führte es unter anderem aus, dass es neben dem Beschwerdeführer sechs weitere Beschuldigte gebe, dass die Verfahren zu koordinieren seien und dass das Sachgericht kurz nach Eingang der Anklageschrift die Verwaltungskommission des Obergerichts um zusätzliche personelle Ressourcen ersucht habe. Die betreffenden Ausführungen genügen der Begründungspflicht. Ob sie das Beschleunigungsgebot in Haftsachen respektieren, ist eine Frage der inhaltlichen Beurteilung. Der Beschwerdeführer war gestützt darauf jedenfalls ohne Weiteres in der Lage, den Entscheid sachgerecht anzufechten.
3.
3.1. Mit Verfügung vom 13. Oktober 2021 lehnte die Verfahrensleitung des Bezirksgerichts Winterthur (als Sachgericht) den Antrag des Beschwerdeführers, die Hauptverhandlung sei spätestens am 11. Dezember 2021 durchzuführen, ab. Der Beschwerdeführer bringt vor, das Bezirksgericht habe die Hauptverhandlung nun für die zweite Hälfte des Monats Mai vorgesehen. Vor dem Hintergrund der Ausführungen des Bundesgerichts im Urteil 1B_482/2021 vom 1. Oktober 2021 sei dies als krasse Verletzung des Beschleunigungsgebots zu betrachten, was zur Haftentlassung führen müsse.
3.2. Jede Person hat in Verfahren vor Gerichts- und Verwaltungsinstanzen Anspruch auf gleiche und gerechte Behandlung sowie auf Beurteilung innert angemessener Frist (<ref-law>). Haftsachen müssen gestützt auf Art. 31 Abs. 3-4 BV, Art. 5 Abs. 3-4 EMRK und <ref-law> mit besonderer Beschleunigung behandelt werden. Bei der Beurteilung, ob das besondere Beschleunigungsgebot in Haftsachen verletzt wurde, sind die konkreten Umstände des Einzelfalles massgeblich. Zu berücksichtigen ist insbesondere die Komplexität des Falles und das Verhalten des Betroffenen bzw. seines Anwalts (<ref-ruling> E. 3; Urteil 1B_434/2021 vom 14. September 2021 E. 3.2 mit Hinweisen).
Die Verletzung des besonderen Beschleunigungsgebots führt nur dann zu einer Haftentlassung, wenn sie derart gravierend ist, dass deshalb die Rechtmässigkeit der Haft zu verneinen ist. Dies ist der Fall, wenn die Verfahrensverzögerung besonders schwer wiegt und zudem die Strafverfolgungsbehörden, z.B. durch eine schleppende Ansetzung der Termine für die anstehenden Untersuchungshandlungen, erkennen lassen, dass sie nicht gewillt oder nicht in der Lage sind, das Verfahren mit der für Haftfälle gebotenen Beschleunigung voranzutreiben und zum Abschluss zu bringen. Bei weniger gravierenden Verletzungen des Beschleunigungsgebots kann unter Umständen angezeigt sein, die zuständige Behörde zur besonders beförderlichen Weiterführung des Verfahrens anzuhalten und die Haft gegebenenfalls nur unter der Bedingung der Einhaltung bestimmter Fristen zu bestätigen. Zudem ist die Verletzung des Beschleunigungsgebots im Dispositiv des Urteils festzustellen und bei den Kosten- und Entschädigungsfolgen zu berücksichtigen. Im Übrigen ist die Frage dem Sachrichter vorzubehalten, der sie unter der gebotenen Gesamtwürdigung beurteilen und auch darüber befinden kann, in welcher Weise - z.B. durch eine Strafreduktion - eine allfällige Verletzung des Beschleunigungsgebots wieder gut zu machen ist (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 3.1; Urteile 1B_490/2016 vom 24. Januar 2017 E. 5.4; 1B_175/2018 vom 9. Mai 2018 E. 2.5; 1B_482/2021 vom 1. Oktober 2021 E. 4.2; je mit Hinweisen).
3.3. Das Obergericht legte dar, es sei unbestritten, dass bis zur Durchführung der Hauptverhandlung eine Verletzung des Beschleunigungsgebots in Haftsachen eintreten werde. Die "vorweggenommene" Verfahrensverzögerung sei erheblich. Sie sei aber, unter Abwägung zwischen den Interessen des Beschwerdeführers an der Wiederherstellung seiner Freiheit und den entgegenstehenden Interessen des Staats an der wirksamen Verfolgung mutmasslich schwerer Straftaten noch nicht derart krass, dass sie - zumindest zum heutigen Zeitpunkt - eine unmittelbare Haftentlassung rechtfertigen würde. Das Sachgericht lasse nicht erkennen, dass es nicht gewillt sei, das Verfahren mit der für Haftfälle gebotenen Beschleunigung voranzutreiben und zum Abschluss zu bringen. Zu berücksichtigen sei in dieser Hinsicht, dass dem Hauptbeschuldigten B._ im Kern vorgeworfen werde, die ihm alters- und entwicklungsmässig komplett unterlegene Privatklägerin emotional abhängig und gefügig gemacht und eine Machtposition über sie erlangt beziehungsweise aufgebaut zu haben. Er solle die Privatklägerin unter anderem dem Beschwerdeführer für sexuelle Handlungen zur Verfügung gestellt haben. Somit würden gemäss Anklageschrift die dem Beschwerdeführer vorgeworfenen Taten (wie auch die den weiteren Beschuldigten vorgeworfenen Handlungen) jeweils sehr eng mit dem Vorgehen des Haupttäters und insbesondere dessen Verhalten gegenüber der Privatklägerin zusammenhängen. Das Sachgericht beabsichtige daher, die Verfahren gegen die sieben Beschuldigten (vier davon in jugendgerichtlicher Kompetenz) unter Mitwirkung zusätzlicher personeller Ressourcen zu koordinieren. Diese Koordination mit gleicher Gerichtsbesetzung erscheine zur Vermeidung sich widersprechender Entscheide sowie zur allfälligen Vermeidung der Problematik der Vorbefasstheit und damit letztlich auch aus Effizienzgründen nachvollziehbar. Im Übrigen erweise sich dieses Vorgehen angesichts des sehr jungen Alters der Privatklägerin wohl auch mit Blick auf den Opferschutz als durchaus gerechtfertigt, könne doch so deren mehrfache Befragung durch das Gericht vermieden werden. Die Verfahrensleitung habe in ihrer Verfügung vom 13. Oktober 2021 sodann auch dargelegt, bereits kurz nach Eingang der Anklageschrift bei der Verwaltungskommission des Obergerichts um personelle Ressourcen ersucht zu haben, die dem Sachgericht faktisch jedoch erst ab dem 1. Dezember 2021 und dabei zuerst für einen anderen dringlichen Straffall mit Verhandlung im Februar 2022 zur Verfügung stehen würden. Ein erhebliches Versäumnis des Sachgerichts bei der Bestellung der für die Behandlung dieser Verfahren erforderlichen zusätzlichen Ressourcen sowie der Organisation und Koordination der Verfahren sei damit nicht auszumachen.
Zusammenfassend hielt das Obergericht fest, dass derzeit noch keine Verletzung des Beschleunigungsgebots in Haftsachen vorliege und sich weder derzeit noch bei dem in Aussicht gestellten Zeitrahmen für eine Hauptverhandlung eine Haftentlassung rechtfertige. Auch von einer Feststellung der Verletzung des Beschleunigungsgebots sei derzeit noch abzusehen.
3.4. Gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung verletzt es das besondere Beschleunigungsgebot in Haftsachen, wenn in einem weder besonders schwierigen noch komplexen Fall zwischen der Anklageerhebung und der angesetzten erstinstanzlichen Hauptverhandlung mehr als sechs Monate liegen (Urteil 1B_330/2015 vom 15. Oktober 2015 E. 4.4.6 f.; s. auch die Übersicht über die Rechtsprechung in Urteil 1B_419/2011 vom 13. September 2011 E. 2.1 mit Hinweisen, in: Pra 2012 S. 389).
3.5. Im Zeitpunkt der letztmaligen bundesgerichtlichen Beurteilung hatte das Bezirksgericht das Datum der Hauptverhandlung noch nicht festgesetzt, aber in Aussicht gestellt, sie könne voraussichtlich nicht mehr im Jahr 2021 stattfinden. Das Bundesgericht hielt dazu fest, dass in diesem Fall zwischen der Anklageerhebung vom 11. Juni 2021 und der Hauptverhandlung mehr als sechs Monate liegen würden. Zudem erwog es, die Angelegenheit sei weder in tatsächlicher noch rechtlicher Hinsicht komplex. Die Vorinstanz weise zwar darauf hin, dass im vorliegenden Zusammenhang gegen weitere Mitbeschuldigte mehrere Verfahren geführt würden, die das Bezirksgericht wohl koordinieren müsse. Weshalb dies eine nennenswerte zeitliche Verzögerung rechtfertigen sollte, sei jedoch nicht erkennbar. Der Fall des Beschwerdeführers erscheine als spruchreif. Sollte dies für die gegen die Mitbeschuldigten separat geführten Verfahren noch nicht zutreffen, dürfte das nicht zulasten des Beschwerdeführers gehen. Es sei ihm nicht zumutbar, in Haft zuzuwarten, bis auch in den Fällen der Mitbeschuldigten die Hauptverhandlung durchgeführt werden könne. Falls das Bezirksgericht die Hauptverhandlung gegen den Beschwerdeführer erst im nächsten Jahr durchführen sollte, werde damit das besondere Beschleunigungsgebot in Haftsachen verletzt (Urteil 1B_482/ 2021 vom 1. Oktober 2021 E. 4.3).
3.6. Bei der neusten Beurteilung durch das Zwangsmassnahmengericht und das Obergericht stand gestützt auf die erwähnte Verfügung des Bezirksgerichts vom 13. Oktober 2021 fest, dass die Hauptverhandlung nicht mehr im Jahr 2021 stattfinden würde. Das Bezirksgericht erwähnte in der Begründung, dass es sich ab März 2022 dem Verfahren werde widmen können.
Ist ein Verhandlungstermin festgesetzt worden, der voraussehbar eine nicht zu vertretende Verfahrensverzögerung bewirkt, darf sich das Haftgericht nicht auf die Feststellung beschränken, dass im Zeitpunkt seines Entscheids die Verletzung des Beschleunigungsgebots noch nicht eingetreten sei. Das Recht auf persönliche Freiheit gebietet, in einem solchen Fall rechtzeitig einzugreifen, um weitere Verzögerungen möglichst zu vermeiden. Entsprechend stellte das Bundesgericht im bereits zitierten Urteil 1B_330/2015 vom 15. Oktober 2015 eine Verletzung des Beschleunigungsgebots fest, obwohl die zu spät angesetzte Hauptverhandlung in jenem Fall ebenfalls noch bevorstand (a.a.O., E. 4.4.6). Indem die Vorinstanz dies unberücksichtigt liess, verletzte sie Bundesrecht.
Die vorinstanzlichen Einwände geben zudem keinen Anlass, auf die Erwägungen im Urteil 1B_482/2021 vom 1. Oktober 2021 zurückzukommen. Wie aus den obigen Ausführungen hervorgeht, hat das Bundesgericht darin bereits berücksichtigt, dass es neben dem Beschwerdeführer weitere Beschuldigte gibt. Ergänzend ist festzuhalten, dass <ref-law> zwar bei Mittäterschaft oder Teilnahme eine gemeinsame Verfolgung der Straftaten vorsieht (Grundsatz der Verfahrenseinheit), die Staatsanwaltschaft oder das Gericht gemäss <ref-law> jedoch aus sachlichen Gründen Strafverfahren ausnahmsweise trennen kann. Dass die Einhaltung des Beschleunigungsgebots einen sachlichen Grund im Sinne dieser Bestimmung darstellt, hat das Bundesgericht bereits mehrfach entschieden (<ref-ruling> E. 3.2; Urteile 1B_428/2018 vom 7. November 2018 E. 3.2; 6B_353/ 2017 vom 24. November 2017 E. 3.2 f.; 1B_150/2017 vom 4. Oktober 2017 E. 3.3, in: Pra 2018 S. 185; je mit Hinweisen). Eine Verfahrenstrennung drängt sich umso mehr auf, je grösser die Verfahrensverzögerung ist (vgl. Urteil 1B_684/2011 vom 21. Dezember 2011 E. 3.2, wo die Vertagung der Hauptverhandlung die bereits zuvor vom Bundesgericht festgestellte Verletzung des Beschleunigungsgebots noch verschlimmerte). Eine unzulässige Vorbefassung der am abgetrennten Verfahren beteiligten Richter resultiert daraus zudem grundsätzlich nicht (Urteil 1B_440/2016 vom 6. Juni 2017 E. 4.7 und 6.2 mit Hinweisen). Für die Wahrung der Opferrechte von Kindern sieht schliesslich <ref-law> besondere Massnahmen vor.
3.7. Das Obergericht hat somit das Beschleunigungsgebot in Haftsachen verletzt. Dies ist im Dispositiv festzuhalten und bei den Kosten- und Entschädigungsfolgen zu berücksichtigen. Weitere Verfahrensverzögerungen sind zu vermeiden, weshalb das Bezirksgericht Winterthur anzuhalten ist, die Hauptverhandlung gegen den Beschwerdeführer vor Ende Februar durchzuführen. Ein Zuwarten bis in die zweite Hälfte des Monats Mai würde bedeuten, dass die Hauptverhandlung fast ein ganzes Jahr nach der Anklageerhebung erfolgen würde. Dies würde im konkreten Fall eine besonders schwerwiegende Verfahrensverzögerung darstellen, welche die Haftentlassung zur Folge haben müsste. Dagegen ist eine solche derzeit noch zu verneinen, weshalb der Antrag auf sofortige Haftentlassung abzuweisen ist. Die Berücksichtigung der Verletzung des Beschleunigungsgebots durch den Sachrichter bleibt vorbehalten (Urteil 1B_175/2018 vom 9. Mai 2018 E. 2.5 mit Hinweis).
4.
Die Beschwerde ist somit im Sinne der Erwägungen teilweise gutzuheissen. Der angefochtene Entscheid wird insoweit abgeändert, als eine Verletzung des Beschleunigungsgebots in Haftsachen festgestellt wird. In Bezug auf die Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens wird er aufgehoben, und Rechtsanwalt Ninos Jakob wird eine Entschädigung zugesprochen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Zürich hat dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>). Damit wird dessen Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen teilweise gutgeheissen. Der angefochtene Entscheid wird insoweit abgeändert, als eine Verletzung des Beschleunigungsgebots in Haftsachen festgestellt wird. In Bezug auf die Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens wird der angefochtene Entscheid aufgehoben, und Rechtsanwalt Ninos Jakob wird eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- zugesprochen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Zürich hat dem Vertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Ninos Jakob, für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Dezember 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Dold