Sachverhalt:
A.
Das Strassenverkehrsamt des Kantons Luzern verfügte nach dem Eingang einer ärztlichen Meldung eine Fahreignungsuntersuchung von A._. Das daraufhin erstellte fachärztliche Gutachten verneinte die Fahreignung von A._, worauf ihm das Strassenverkehrsamt mit Verfügung vom 14. Dezember 2016 den Führerausweis auf unbestimmte Zeit entzog.
Gegen diesen Entscheid erhob A._ Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Kantonsgericht des Kantons Luzern. Mit Urteil vom 4. Juli 2017 hob das Kantonsgericht die Verfügung des Strassenverkehrsamts vom 14. Dezember 2016 auf und wies die Sache zur Neubeurteilung an das Strassenverkehrsamt zurück.
B.
Am 4. Oktober 2017 verfügte das Strassenverkehrsamt eine verkehrsmedizinische Untersuchung von A._ und kündigte den vorsorglichen Entzug des Führerausweises an, falls innert zweier Monate noch kein Untersuchungsergebnis vorliege. Nachdem A._ sich innert Frist keiner verkehrsmedizinischen Untersuchung unterzogen hatte, verfügte das Strassenverkehrsamt am 12. April 2018 den vorsorglichen Entzug des Führerausweises. Einer allfälligen Verwaltungsgerichtsbeschwerde wurde die aufschiebende Wirkung entzogen.
Gegen diese Verfügung erhob A._ Verwaltungsgerichtsbeschwerde ans Kantonsgericht und beantragte die Aufhebung der Verfügung sowie die Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Kantonsgericht wies den Antrag auf Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung mit Verfügung vom 1. Juni 2018 ab, wobei noch kein Entscheid über die Zulässigkeit des vorsorglichen Führerausweisentzugs erfolgte.
C.
Mit Eingabe vom 4. Juli 2018 (Datum der Postaufgabe) führt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt, die Verfügung der Vorinstanz sei aufzuheben und es sei ihm der Führerausweis wieder auszuhändigen.
Das Strassenverkehrsamt sowie die Vorinstanz beantragen die Abweisung der Beschwerde. Mit Eingabe vom 10. August 2018 hat der Beschwerdeführer an den Beschwerdeanträgen festgehalten.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Dagegen steht gemäss Art. 82 lit. a BGG grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid, der das Verfahren noch nicht abschliesst. Ein solcher ist unter anderem anfechtbar, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG). Dies ist hier zu bejahen, da dem Beschwerdeführer durch die Ablehnung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung der Führerausweis für die Dauer des kantonsgerichtlichen Verfahrens entzogen bleibt. Als Adressat der angefochtenen Verfügung ist der Beschwerdeführer zur Beschwerde berechtigt (Art. 89 Abs. 1 BGG). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde vorbehältlich zulässiger und genügend begründeter Rügen (vgl. E. 1.2) einzutreten.
1.2. Der angefochtene Entscheid über das Gesuch zur Erteilung der aufschiebenden Wirkung stellt einen Entscheid über vorsorgliche Massnahmen im Sinne von Art. 98 BGG dar (<ref-ruling> E. 2 S. 477; <ref-ruling> E. 1.5 S. 196 f.). Der Beschwerdeführer kann somit nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte rügen. Das Bundesgericht wendet das Bundesrecht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG prüft es die Verletzung von Grundrechten jedoch nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist. Das bedeutet, dass das Bundesgericht insoweit nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen prüft, während es auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt (<ref-ruling> E. 1.1 S. 503; <ref-ruling> E. 2.4 S. 368; je mit Hinweisen). Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der angefochtene Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53 mit Hinweisen). Es genügt nicht, wenn der Beschwerdeführer bloss behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich (Urteil 1C_232/2018 vom 13. August 2018 E. 1.3).
1.3. Gegenstand der angefochtenen Verfügung bildet einzig die Abweisung des Gesuchs um Erteilung der aufschiebenden Wirkung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Darauf beschränkt sich auch der Streitgegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens und nur in diesem Rahmen ist auf die Ausführungen des Beschwerdeführers einzugehen. Nicht abschliessend zu befinden ist über die Zulässigkeit des vom Strassenverkehrsamt verfügten vorsorglichen Führerausweisentzugs, da hierzu noch kein kantonal letztinstanzlicher Entscheid vorliegt.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt sinngemäss eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV), weil die Verfügung der Vorinstanz ungenügend begründet sei. Gemäss ständiger Rechtsprechung hat das Gericht seinen Entscheid zu begründen, doch ist nicht erforderlich, dass es sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt. Vielmehr kann es sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann (<ref-ruling> E. 3.2.4 S. 41; <ref-ruling> E. 5.1 S. 237; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; je mit Hinweisen). Die Vorinstanz hat sich mit den Vorbringen des Beschwerdeführers in genügender Weise auseinandergesetzt und ist ihrer Begründungspflicht nachgekommen. Soweit der Beschwerdeführer diese Rüge überhaupt in genügender Weise vorgebracht und begründet hat (vgl. Art. 106 Abs. 2 i.V.m. Art. 42 Abs. 2 BGG), dringt er damit nicht durch.
2.2. Weiter macht der Beschwerdeführer geltend, die Abweisung des Gesuchs um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung sei willkürlich. Nach ständiger Rechtsprechung des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 4.2 S. 516; <ref-ruling> E. 2.2 S. 72; je mit Hinweisen). Das Kantonsgericht nahm eine Interessenabwägung vor, in deren Rahmen es in nachvollziehbarer Weise - und jedenfalls ohne in Willkür zu verfallen - das öffentliche Interesse an der einstweiligen Fernhaltung des Beschwerdeführers vom Strassenverkehr höher gewichtete als das private Interesse des Beschwerdeführers an der Aushändigung des Führerausweises für die Dauer des kantonsgerichtlichen Verfahrens. Das Kantonsgericht hielt sich damit an den Grundsatz, wonach die aufschiebende Wirkung bei vorsorglichen Sicherungsentzügen in der Regel nicht gewährt wird (Urteil 1C_526/2016 vom 21. Dezember 2016 E. 7.6). Soweit überhaupt genügend begründet (vgl. Art. 106 Abs. 2 i.V.m. Art. 42 Abs. 2 BGG), vermag die Rüge des Beschwerdeführers somit nicht durchzudringen.
3.
3.1. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
3.2. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde wird mit dem Entscheid in der Sache gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrsamt des Kantons Luzern, Abteilung Massnahmen, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, und dem Bundesamt für Strassen, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. September 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Mattle