Faits :
A.
A.a. Par contrat de travail du 27 septembre 2016, A._ SA (ci-après: l'employeuse) a engagé B._ (ci-après: l'employé) en qualité de directeur administratif et financier, pour une durée indéterminée. Le salaire mensuel convenu s'élevait à 12'308 fr. brut, versé treize fois l'an. Le délai de congé était de trois mois dès l'expiration du temps d'essai.
Le 19 avril 2018, l'employeuse a résilié les rapports de travail pour le 20 juillet 2018, en invoquant des divergences de vues. Elle n'a pas dispensé l'employé de travailler durant le délai de congé.
A.b. Dès le début du mois de juin 2018, l'employé s'est rendu à plusieurs consultations médicales en raison de problèmes avec un genou. Le 14 juin 2018, il s'est présenté à un rendez-vous à la Clinique C._ pour ce motif. Une opération a alors été envisagée pour le 22 juin 2018, avec une pré-visite la veille.
A.c. Le 14 juin 2018, l'employé a adressé un courriel à Z._ pour annuler sa participation à un séminaire prévu le 21 juin 2018. Il a par la suite précisé qu'il n'assisterait pas non plus à la session du 26 juin 2018.
A.d. Devant le tribunal de première instance, D._, collaboratrice du département de l'employé, a déclaré que ce dernier lui avait fait part de plusieurs consultations médicales en lien avec un genou, notamment celle du 14 juin 2018. Elle n'avait pas transmis l'information car elle n'avait pas de " tâches RH ". L'employé ne devait pas noter ses absences dans le système informatique de l'entreprise, du fait de sa fonction de directeur. Il était prévu qu'elle reprenne certaines de ses tâches après son départ. Elle y avait été formée.
L'employé n'a pas communiqué à D._ qu'une opération était envisagée le 22 juin 2018, après une pré-visite le 21 juin 2018.
A.e. Le 15 juin 2018, l'employé est retourné à la clinique pour effectuer un nouvel examen radiologique.
Le même jour, il s'est renseigné auprès de M._ au sujet des effets d'une absence pour cause de maladie durant le délai de congé. Par la suite, il a demandé à l'assureur de l'employeuse des formules d'annonce de maladie pour une durée supérieure à trente jours.
A.f. Par courrier recommandé du 20 juin 2018, reçu le 22 juin 2018 à 8 h 20 par l'employé, E._, directrice générale de l'employeuse, a relevé qu'il annonçait depuis plusieurs semaines son départ aux clients et fournisseurs pour le 29 juin 2018. En parallèle, elle avait appris fortuitement qu'il s'était rendu à plusieurs consultations médicales. Tout arrêt de travail éventuel serait considéré comme abusif. Une absence autre que pour une recherche d'emploi d'ici à la fin du délai de préavis de licenciement serait considérée comme un abandon de poste.
A.g. Dans l'intervalle, le matin du 21 juin 2018, l'employé s'est rendu à son travail. Il a écrit un courriel à une collaboratrice, avec copie à ses collègues D._ et F._, indiquant qu'en raison de son départ imminent de l'entreprise, elle serait en contact avec D._ s'agissant des salaires de juin et des mois suivants.
Sur sa boîte de courrier électronique, il a activé un message automatique faisant état de son absence dès le 21 juin 2018 pour cause de maladie. Il a précisé que " [son] retour " n'était actuellement pas connu.
L'employé a rangé son bureau, en y laissant des effets personnels. Il a informé D._ qu'il allait peut-être se faire opérer le lendemain.
Il s'est ensuite rendu à son rendez-vous à la clinique, fixé à 14 h 00, et a signé son accord pour l'opération prévue le lendemain. Une fois revenu à son domicile, il a écrit un courriel à D._ et E._ pour les aviser de cette intervention, en précisant qu'il serait en arrêt de travail pendant trois à six semaines.
A.h. Le matin du 22 juin 2018, l'employé a retiré le courrier recommandé que lui avait adressé son employeuse le 20 juin 2018. Il a écrit un SMS à E._, se disant choqué par la teneur de ce courrier.
L'employé s'est fait opérer le même jour.
Toujours le 22 juin 2018, E._ lui a envoyé un courrier recommandé dans lequel elle lui faisait part de sa surprise d'avoir découvert, la veille, qu'il avait pris l'ensemble de ses effets personnels et qu'il avait souhaité " bon courage " à ses collègues. Il avait activé un message d'absence alors qu'il n'avait pas notifié un arrêt maladie à la société. Il avait envoyé des courriels à des clients leur annonçant son départ pour fin juin, alors que le préavis courait jusqu'au 20 juillet 2018. Elle prenait acte de sa volonté de mettre un terme immédiat au contrat de travail en date du 21 juin 2018. Subsidiairement, elle interprétait son comportement comme un abandon d'emploi. La cour cantonale a considéré que l'employeuse avait, par ce courrier recommandé, signifié à l'employé son licenciement immédiat.
A.i. L'employé est resté hospitalisé jusqu'au 25 juin 2018. De retour à son domicile, il a répondu à la lettre du 20 juin 2018 de l'employeuse, en expliquant notamment que si son contrat devait se terminer le 20 juillet 2018, il avait des vacances agendées du 7 au 20 juillet 2018, de sorte qu'il avait informé les tiers de son départ à fin juin 2018.
A.j. Le 27 juin 2018, il a adressé à l'employeuse un certificat médical attestant d'une incapacité de travail jusqu'au 31 août 2018.
Le même jour, au soir, sa compagne a retiré à la poste le courrier recommandé envoyé par l'employeuse le 22 juin 2018.
Le lendemain, par courriel, l'employé a contesté qu'il aurait décidé de mettre un terme au contrat ou d'abandonner son poste. Il a ajouté qu'à son retour d'arrêt maladie, le 3 septembre 2018, il lui resterait quatre semaines de contrat de travail, dont deux de vacances.
A.k. Le 29 juin 2018, E._ a envoyé un troisième courrier recommandé à l'employé. Elle lui indiquait le montant qui restait dû pour solde de tous comptes pour le travail effectué jusqu'au 21 juin 2018 et lui demandait de restituer un téléphone portable et des clés. Un décompte de salaire pour juin 2018 faisait état d'un montant de 13'612 fr. 80 net.
Le 30 juin 2018, l'employé a contesté la " reclassification en abandon de poste de [ son] arrêt maladie ".
A.l. Le 22 octobre 2018, l'employeuse a adressé à l'employé une lettre dans laquelle elle se prévalait a posteriori de motifs découverts après juin 2018 et qui, selon elle, auraient justifié un licenciement immédiat. Il s'agissait d'une activité effectuée pour des tiers pendant le préavis contractuel. L'employé a contesté le motif de licenciement invoqué.
A.m. L'incapacité de travail de l'employé s'est prolongée jusqu'au 15 janvier 2019.
B.
B.a. Après une tentative infructueuse de conciliation, l'employé a saisi le Tribunal régional des Montagnes et du Val-de-Ruz d'une demande dirigée contre l'employeuse, visant à obtenir le paiement de plusieurs montants à titre de salaire et de vacances non prises, de manque à gagner LPP et d'indemnité pour licenciement immédiat injustifié.
L'employeuse a déposé une réponse et une demande reconventionnelle. Dans le dernier état de ses conclusions, elle a conclu au rejet de la demande et, à titre reconventionnel, à ce que l'employé soit notamment condamné à lui verser la somme de 3'333 fr. 40 à titre d'indemnité pour abandon de poste.
Par jugement du 14 juillet 2020, le tribunal a condamné l'employeuse à verser à l'employé les montants, avec intérêts, de 19'526 fr. 50 brut sous déduction des charges sociales et conventionnelles, à titre de salaire et de vacances non prises, ainsi que de 6'903 fr. 40 net à titre de cotisations LPP. Il a rejeté la demande pour le surplus (ch. 3) et rejeté la demande reconventionnelle dans toutes ses conclusions.
B.b. L'employeuse a interjeté appel à l'encontre de ce jugement auprès de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal neuchâtelois. L'employé a formé un appel joint.
Par arrêt du 29 décembre 2020, la cour cantonale a rejeté l'appel et a admis partiellement l'appel joint. Elle a réformé le chiffre 3 du dispositif du jugement entrepris dans le sens que l'employeuse était condamnée à payer à l'employé le montant brut de 12'308 fr., dont à déduire les charges sociales et conventionnelles, avec intérêts. Elle a confirmé le jugement pour le surplus. Elle a retenu que l'employeuse, par son courrier du 22 juin 2018, avait procédé à un licenciement immédiat injustifié et a octroyé à l'employé une indemnité à ce titre.
C.
L'employeuse (ci-après: la recourante) a formé un recours en matière civile au Tribunal fédéral, assorti d'une requête d'effet suspensif. Elle a conclu, en substance, à la réforme de l'arrêt de la cour cantonale dans le sens que la demande de l'employé (ci-après: l'intimé) soit rejetée et que ce dernier soit condamné à lui payer la somme de 3'333 fr. 40 avec intérêts.
Dans sa réponse postée le 2 mars 2021, l'intimé a conclu implicitement au rejet du recours. Il a également conclu à la réforme de l'arrêt entrepris en ce sens que le montant de 26'667 fr. avec intérêts lui soit octroyé à titre d'indemnité pour licenciement immédiat injustifié. Il a encore pris des conclusions en lien avec la répartition des frais et des dépens opérée dans l'arrêt cantonal. Par la suite, il a conclu au rejet de la requête d'effet suspensif.
L'autorité précédente s'est référée aux considérants de l'arrêt attaqué et s'en est remise à justice concernant dite requête.
La demande d'effet suspensif a été rejetée par ordonnance présidentielle du 5 mars 2021.
La recourante a déposé une réplique spontanée, suscitant une duplique de l'intimé.

Considérant en droit :
1.
Les conditions de recevabilité du recours en matière civile sont réalisées sur le principe, notamment celles afférentes à la valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. (<ref-law>) et au délai de recours de trente jours (<ref-law>).
Dans son mémoire de réponse, l'intimé a conclu à la réforme de l'arrêt attaqué s'agissant du montant de l'indemnité pour licenciement immédiat injustifié et de la répartition des frais et dépens. Il s'agit là d'un recours joint, qui n'est pas autorisé devant le Tribunal fédéral. Celui qui conteste l'arrêt entrepris doit lui-même recourir à son encontre dans le délai de recours (<ref-law>). Ensuite, le Tribunal fédéral ne peut pas aller au-delà des conclusions déposées par les parties dans ce délai (<ref-law>) (<ref-ruling> consid. 2.1). Il ne sera ainsi pas tenu compte de ces conclusions.
2.
2.1. Le recours peut être formé pour violation du droit fédéral (<ref-law>). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Eu égard, toutefois, à l'exigence de motivation qu'impose l'<ref-law>, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), il n'examine que les griefs invoqués, sauf en cas d'erreurs juridiques manifestes (<ref-ruling> consid. 2).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes ou découlent d'une violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). " Manifestement inexactes " signifie ici " arbitraires " (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.5). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3 et les références). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi les conditions précitées seraient réalisées. Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (<ref-ruling> consid. 1.3.1 et les références citées).
En matière d'appréciation des preuves, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables. L'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait envisageable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 4.2).
3.
La recourante dénonce tout d'abord une violation de l'<ref-law>. Elle soutient que l'intimé a abandonné son emploi sans justes motifs le 21 juin 2018.
3.1. Un abandon d'emploi au sens de l'<ref-law> est réalisé lorsque le travailleur refuse consciemment, de façon intentionnelle et définitive, d'entrer en service ou de poursuivre l'exécution du travail qui lui a été confié. Dans ce cas, le contrat prend fin immédiatement et l'employeur a droit à une indemnité (<ref-ruling> consid. 3a; arrêt 4A_35/2017 du 31 mai 2017 consid. 4.2). Lorsque ce refus ne ressort pas d'une déclaration explicite du travailleur, le juge doit examiner si l'employeur a pu de bonne foi, en considération de l'ensemble des circonstances, comprendre son attitude comme un abandon de poste; le principe de la confiance, relatif à l'interprétation des déclarations et autres manifestations de volonté entre cocontractants (cf. <ref-ruling> consid. 5.2.3; <ref-ruling> consid. 3.2) est ici déterminant (arrêts 4A_337/2013 du 12 novembre 2013 consid. 3; 4C.339/2006 du 21 décembre 2006 consid. 2.1). Lorsque l'attitude du travailleur est équivoque, il incombe à l'employeur de le mettre en demeure de reprendre son activité. Dans le procès, il lui incombe de prouver les faits propres à dénoter un abandon de poste (arrêts 4A_337/2013 précité consid. 3; 4C.169/2001 du 22 août 2001 consid. 3b/aa).
3.2.
3.2.1. En l'occurrence, la cour cantonale a écarté la thèse d'un abandon de poste. Elle a relevé que dans la mesure où il était prévu que l'employé prenne des vacances dès le 6 juillet 2018 et jusqu'à la fin du délai de congé, le 20 juillet 2018, informer des fournisseurs qu'il allait partir à la fin du mois de juin 2018 ne trahissait pas l'intention de quitter son poste prématurément. Ce léger décalage entre le départ annoncé et le départ effectif n'avait pas de signification. En outre, celui qui planifiait une opération chirurgicale pendant un délai de congé, même sans en informer son employeur, ne manifestait pas qu'il aurait l'intention de ne plus revenir à son poste après la fin de la période d'incapacité de travail en lien avec cette intervention. Le message automatique que l'employé avait créé sur sa boîte de courrier électronique faisait état d'une absence pour une durée indéterminée et non d'un départ définitif. Il n'avait pas entièrement vidé son bureau, mais l'avait rangé et y avait laissé certains effets personnels. Son message du 21 juin 2018, annonçant son opération et la durée probable de l'arrêt de travail, avait été envoyé avant qu'il prenne connaissance de la lettre du 20 juin 2018 de la directrice générale. La teneur de ce message ne pouvait pas être interprétée comme traduisant la volonté de son auteur de quitter définitivement son poste, mais bien plutôt l'intention de revenir au travail après la fin de l'incapacité de travail.
Les magistrats cantonaux ont conclu qu'au vu des circonstances et d'après le principe de la confiance, l'employeuse ne pouvait pas, de bonne foi, comprendre l'attitude du travailleur comme un abandon de poste. Tout au plus aurait-elle pu considérer, s'agissant de l'abandon d'emploi, que cette attitude était peut-être équivoque, mais elle aurait alors dû mettre l'employé en demeure de reprendre son poste après la fin de la période d'incapacité, ce qu'elle n'a pas fait. Par ailleurs, les réactions de l'intimé à réception des courriers des 20 et 22 juin 2018 de la directrice générale avaient démontré qu'il n'avait aucune intention d'abandonner son poste.
3.2.2. L'argumentation de la recourante mêle les faits et le droit. Elle se prévaut des déclarations d'un témoin, selon lesquelles l'intimé serait parti le 21 juin 2018 en emportant tous ses effets personnels. Or, la cour cantonale a précisément écarté ces déclarations, au terme d'une appréciation des preuves, et a retenu que l'employé avait laissé certains effets personnels dans son bureau (cf. consid. 6 let. u de l'arrêt attaqué, p. 17). La recourante fonde son argument sur des faits qui n'ont pas été retenus par la cour cantonale, sans pour autant invoquer, ni a fortiori démontrer, l'arbitraire de l'appréciation des juges précédents. Cette critique est ainsi irrecevable. Il en va de même lorsque la recourante soutient, en lien avec l'information donnée par l'intimé aux fournisseurs quant à son départ à la fin du mois de juin 2018, que le contrat " ne se terminait pas avant la fin du mois de juillet 2018 "; en effet, selon les constatations de la cour cantonale, le terme du contrat était prévu pour le 20 juillet 2018 et l'intimé avait planifié des vacances à partir du 6 juillet 2018.
Par ailleurs, si le message automatique d'absence fait certes état d'un départ sans date de retour connue, il mentionne néanmoins l'existence d'un retour. En outre, il n'est pas déterminant que l'intimé ait, le 21 juin 2018, écrit à une collaboratrice qu'elle devait s'adresser à D._ pour les salaires du mois de juin et des mois suivants. Cette dernière avait été formée à cet égard et il ne restait à l'intimé que deux semaines de travail effectives. De plus, au vu des éléments du cas d'espèce, la cour cantonale était fondée à retenir que le fait que l'intimé a planifié une opération pendant le délai de congé sans en informer la recourante ne manifestait pas d'emblée une intention d'abandonner son poste.
Enfin, la recourante se prévaut de circonstances survenues bien après le prétendu abandon de poste, comme le fait que l'intimé n'est pas retourné travailler en janvier 2019, à l'issue de son arrêt de travail. Ces circonstances n'ont toutefois pas à être prises en compte dans le cadre d'une interprétation selon le principe de la confiance, telle qu'effectuée par la cour cantonale (<ref-ruling> consid. 5.2.3 et les références citées).
Au vu de ce qui précède, la cour cantonale a jugé à bon droit que l'intimé n'avait pas abandonné son poste.
4.
Ensuite, la recourante fait valoir une violation de l'<ref-law>. Elle reproche à la cour cantonale d'avoir considéré que le licenciement immédiat signifié le 22 juin 2018 était injustifié.
4.1. L'<ref-law> autorise l'employeur à résilier immédiatement le contrat en tout temps pour de justes motifs (al. 1). Sont notamment considérées comme de justes motifs toutes les circonstances qui, selon les règles de la bonne foi, ne permettent pas d'exiger de celui qui a donné le congé la continuation des rapports de travail (al. 2).
Selon la jurisprudence, la résiliation immédiate pour " justes motifs " est une mesure exceptionnelle qui doit être admise de manière restrictive (<ref-ruling> consid. 2.1.1). Seul un manquement particulièrement grave peut justifier une telle mesure (<ref-ruling> consid. 4.2). Par manquement du travailleur, on entend généralement la violation d'une obligation découlant du contrat de travail, mais d'autres incidents peuvent aussi justifier une telle mesure (<ref-ruling> consid. 2.1.1; <ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 2.2; arrêt 4A_393/2020 du 27 janvier 2021 consid. 4.1.1).
Ce manquement doit être objectivement propre à détruire le rapport de confiance essentiel au contrat de travail ou, du moins, à l'atteindre si profondément que la continuation des rapports de travail ne peut raisonnablement pas être exigée; de surcroît, il doit avoir effectivement abouti à un tel résultat. Lorsqu'il est moins grave, le manquement ne peut entraîner une résiliation immédiate que s'il a été répété malgré un avertissement (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 3.1).
Un manquement au devoir de fidélité du travailleur peut constituer un juste motif de congé. En vertu de l'<ref-law>, le travailleur doit sauvegarder fidèlement les intérêts légitimes de son employeur et, par conséquent, s'abstenir d'entreprendre tout ce qui pourrait lui nuire économiquement (<ref-ruling> consid. 7.2.1; <ref-ruling> consid. 3a). Il ne doit pas faire concurrence à l'employeur pendant la durée du contrat (<ref-law>). Par ailleurs, il doit aviser immédiatement son employeur en cas d'absence imprévisible, due par exemple à une maladie (arrêt 4A_521/2016 du 1er décembre 2016 consid. 3.5 et les références), et l'informer spontanément et sans délai des absences à prévoir (arrêt 4C.359/2006 du 12 janvier 2007 consid. 6).
4.2. Déterminer les motifs du congé est une question de fait. En revanche, ressortit au droit le point de savoir si le congé est fondé sur de justes motifs (arrêts 4A_246/2020 du 23 juin 2020 consid. 3.2; 4A_35/2017 du 31 mai 2017 consid. 4.1 et les références citées).
Le juge apprécie librement s'il existe de justes motifs (<ref-law>); il applique les règles du droit et de l'équité (<ref-law>). Savoir si le comportement incriminé atteint la gravité nécessaire dépend des circonstances du cas concret (<ref-ruling> consid. 4.2 et les arrêts cités). Dans son appréciation, le juge doit notamment tenir compte de la position et de la responsabilité du travailleur, du type et de la durée des rapports contractuels, de la nature et de l'importance des manquements (<ref-ruling> consid. 2.1.1; <ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 4a), ou encore du temps restant jusqu'à l'échéance ordinaire du contrat (<ref-ruling> consid. 4.2). A cet égard, l'importance du manquement doit être d'autant plus grande que ce laps de temps est court (arrêt 4A_393/2020 précité consid. 4.1.1). La position du travailleur, sa fonction et les responsabilités qui lui sont confiées peuvent entraîner un accroissement des exigences quant à sa rigueur et à sa loyauté; le comportement des cadres doit ainsi être apprécié avec une rigueur accrue en raison du crédit particulier et de la responsabilité que leur confère leur fonction dans l'entreprise (ATF <ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 2c; arrêt 4A_393/2020 précité consid. 4.1.1).
4.3. Le Tribunal fédéral ne revoit qu'avec réserve la décision d'appréciation prise en dernière instance cantonale. Il n'intervient que lorsque l'autorité précédente s'est écartée sans raison des règles établies par la doctrine et la jurisprudence en matière de libre appréciation, lorsqu'elle s'est appuyée sur des faits qui ne devaient jouer aucun rôle ou, à l'inverse, a méconnu des éléments qui auraient absolument dû être pris en considération; il sanctionnera en outre les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (<ref-ruling> consid. 2.1.1; <ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 2 et les arrêts cités).
5.
En l'espèce, les magistrats cantonaux ont jugé que l'employeuse ne disposait pas de justes motifs pour résilier le contrat de travail avec effet immédiat. Ils ont écarté les deux motifs avancés par celle-ci. Il s'agissait d'une part de la planification par l'intimé d'une opération non urgente pendant le délai de congé et non annoncée à l'employeuse, et d'autre part l'exercice, par l'intimé, d'une activité pour un autre employeur.
5.1.
5.1.1. S'agissant du premier motif, l'autorité précédente a retenu que selon le protocole médical établi le 21 juin 2018, l'opération visait à diminuer, voire éliminer des douleurs et éviter des dommages consécutifs à l'affection dont souffrait le patient et qui auraient pu se produire si l'opération n'était pas pratiquée. Ainsi, la manière adéquate de traiter cette affection consistait en une opération, telle que celle qui avait été pratiquée. Les juges cantonaux ont ajouté que les éléments au dossier ne démontraient pas que l'opération aurait été urgente. Toutefois, aucune règle du droit du travail ne pouvait empêcher un travailleur de se faire soigner par des traitements correspondant aux affections dont il souffrait, ceci au moment où il l'estimait nécessaire. On ne pouvait donc reprocher à l'intimé d'avoir accepté de se faire opérer le 22 juin 2018, soit à un moment qui l'arrangeait, alors qu'il était encore lié par un contrat de travail. L'" avertissement " donné par l'employeuse par courrier du 20 juin 2018 visait à interdire à l'intimé de se faire opérer, voire même de tomber en arrêt maladie, ce qui n'était pas admissible. L'intimé aurait néanmoins dû aviser la directrice générale de sa prochaine absence prolongée, ceci dès qu'elle devenait très probable, soit à partir du 14 juin 2018. En omettant de le faire, il ne s'était pas conformé à son devoir de fidélité. Cependant, même si l'employeuse en avait été informée, elle n'aurait pas pu exiger que l'opération soit reportée. En outre, elle ne soutenait pas que l'avis très tardif donné le 21 juin 2018 lui aurait posé des problèmes d'organisation. A cette date, il ne restait à l'intimé que deux semaines de travail effectif jusqu'à la fin du contrat de travail et des mesures avaient déjà été prises pour que des collègues soient familiarisés avec au moins une partie des tâches qu'il accomplissait.
En conclusion, la cour cantonale a retenu, en envisageant la situation globalement, que la violation du devoir de fidélité et le comportement général du travailleur n'étaient pas d'une gravité telle qu'une résiliation immédiate aurait été justifiée. Le rapport de confiance avait certes pu être atteint dans une certaine mesure, mais il ne restait de toute manière que deux semaines de travail à l'intimé et, objectivement, la continuation très temporaire des rapports de travail jusqu'à l'échéance du contrat pouvait être attendue de la part de l'employeuse.
5.1.2. La cour cantonale a constaté que l'opération était utile et appropriée, ce qui relève des faits. Les développements que consacre la recourante à démontrer que l'opération n'était pas urgente et que l'intimé aurait dû en l'informer dès le 14 juin 2018 ne sont pas pertinents, dès lors que ces éléments ont précisément été retenus par la cour cantonale. S'agissant de l'annonce très tardive de cette intervention, elle a d'ailleurs jugé que l'intimé avait violé son devoir de fidélité.
La cour cantonale a considéré que ce comportement ne justifiait pas un licenciement avec effet immédiat. Les éléments qui l'ont amenée à cette conclusion, notamment le fait qu'il ne restait qu'un laps de temps limité jusqu'à la fin du contrat, sont pertinents. La cour cantonale a pris en compte le fait que l'intimé était déjà licencié. En outre, la recourante ne saurait être suivie lorsqu'elle soutient que l'intimé, en planifiant durant le délai de congé une opération non urgente - mais, tel que constaté ci-dessus, nécessaire médicalement -, aurait détourné le but d'un tel délai dans une démarche purement chicanière. De plus, au vu des circonstances particulières du cas d'espèce, la position dirigeante de l'intimé ne permet pas au Tribunal fédéral, qui s'impose une retenue dans l'appréciation d'une décision prise en équité par la cour cantonale, d'admettre que cette dernière aurait outrepassé son large pouvoir d'appréciation conféré par les <ref-law> et 4 CC.
Partant, il n'y a pas lieu de s'écarter de la solution adoptée par l'instance précédente, soit que le premier motif de licenciement invoqué n'était pas suffisamment grave pour justifier une résiliation immédiate, même si la solution inverse semblait aussi défendable. L'appréciation de la cour cantonale n'aboutit pas à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante.
5.2.
Le second manquement reproché à l'intimé consistait en l'exercice d'une activité pour un autre employeur.
La cour cantonale a constaté que l'intimé avait eu des contacts avec des représentants d'une association mettant à disposition des mentors afin d'aider des entrepreneurs. Des courriels avaient été échangés à propos de l'élaboration, par l'intimé, d'un business plan pour l'entreprise G._. Un rendez-vous avait été fixé le 12 juin 2018 à 17 h 00. La cour cantonale a retenu qu'il n'était pas établi que l'intimé aurait accompli des tâches pour un tiers pendant ses heures normales de travail, ni qu'il aurait fait autre chose que les éléments précités (il ne résultait pas du dossier qu'il aurait effectivement élaboré un business plan), ni qu'il aurait été rémunéré pour ses conseils, ni même qu'une rémunération aurait été prévue. Ainsi, l'employé n'avait pas violé son devoir de fidélité. Il n'y avait donc pas lieu de s'interroger sur la possibilité d'invoquer a posteriori des motifs de licenciement immédiat (à cet égard, cf. <ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 3c).
La recourante se prévaut d'abord de l'arrêt 4A_559/2016 du 18 janvier 2017 pour critiquer le raisonnement de la cour cantonale. Or, ce cas concernait un employé qui, pendant les rapports de travail, avait créé sa propre société, au sein de laquelle il était actif, et y exerçait des tâches qui entraient en concurrence avec un domaine d'activité de l'employeuse (consid. 5.2 de l'arrêt précité). Les circonstances ayant donné lieu à cet arrêt ne sont en aucun cas comparables à la présente cause. Il s'agit ici d'une activité très limitée, non rémunérée, dont il n'apparaît pas qu'elle concurrencerait les activités de la recourante, ce que cette dernière n'a d'ailleurs pas allégué. Contrairement à ce que semble soutenir la recourante, une telle activité est admissible même si elle employait l'intimé à un taux de 100 %. Pour finir, la recourante ne saurait tirer argument du fait que l'intimé ne possédait pas d'horaire de travail fixe. Cela n'empêchait pas, par exemple, de considérer qu'un rendez-vous fixé à 17 h 00 l'avait été en dehors de ses heures de travail.
Ainsi, le second motif de licenciement invoqué ne suffisait pas non plus à justifier une résiliation du contrat de travail avec effet immédiat.
6.
Enfin, la recourante reproche à la cour cantonale d'avoir alloué à l'intimé une indemnité pour résiliation immédiate injustifiée équivalente à un mois de salaire, en violation de l'<ref-law>. Elle soutient qu'aucune indemnité ne devait être due.
6.1. L'<ref-law> prévoit qu'en cas de résiliation immédiate injustifiée, le juge peut allouer au travailleur une indemnité dont il fixera librement le montant, en tenant compte de toutes les circonstances, mais sans dépasser l'équivalent de six mois de salaire. Cette indemnité, qui s'ajoute aux droits découlant de l'<ref-law>, est à la fois réparatrice et punitive, s'apparentant à une peine conventionnelle (<ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 3c). Elle est en principe due dans tous les cas de licenciement immédiat et injustifié; une éventuelle exception doit répondre à des circonstances particulières, qui ne dénotent aucune faute de l'employeur et qui ne lui sont pas non plus imputables pour d'autres raisons (<ref-ruling> consid. 3.2 et les arrêts cités) ou encore lorsque la faute concomitante de l'employé est grave (<ref-ruling> consid. 3e in fine; arrêt 4A_431/2017 du 2 mai 2018 consid. 6.1).
L'indemnité est fixée d'après la gravité de la faute de l'employeur, la mesure de l'atteinte portée aux droits de la personnalité du travailleur et la manière dont la résiliation a été annoncée; d'autres critères tels que la durée des rapports de travail, l'âge du lésé, sa situation sociale, une éventuelle faute concomitante et les effets économiques du licenciement entrent aussi en considération (<ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 3.3.3; arrêt 4A_255/2020 du 25 août 2020 consid. 3.3.1). Statuant selon les règles du droit et de l'équité (<ref-law>), le juge dispose d'un large pouvoir d'appréciation à cet égard. Aussi le Tribunal fédéral ne revoit qu'avec réserve la décision d'appréciation prise en dernière instance cantonale (ATF <ref-ruling> consid. 4.1; arrêt précité 4A_255/2020 consid. 3.3.1).
6.2. En l'espèce, les magistrats cantonaux ont considéré que la faute de l'employeuse n'était pas très importante. Elle pouvait se sentir frustrée de constater que l'intimé allait se faire opérer pour une affection non urgente et que le délai de congé allait de ce fait être prolongé. L'intimé avait déjà été licencié en avril 2018 pour le 20 juillet 2018 et au moment de la résiliation immédiate, il ne lui restait que deux semaines de travail effectif. Il avait cependant pu ressentir comme injuste qu'on le licencie abruptement au moment précis où il entrait à l'hôpital. La manière dont le congé avait été donné n'était pas particulièrement blâmable. Les rapports de travail n'avaient pas duré longtemps. La situation sociale de l'intimé devait être bonne, puisqu'il réalisait un salaire très confortable. A sa charge, il fallait retenir une faute concomitante, dans la mesure où il n'avait pas informé la direction de l'entreprise de l'opération prévue. Cette faute devait toutefois être relativisée dans ses conséquences, car l'absence à envisager correspondait à deux semaines de travail effectif et des mesures avaient déjà été prises pour le remplacer, en tout cas dans certains domaines. Les conséquences économiques n'avaient pas été lourdes pour l'intimé. A l'issue de leur analyse, les juges cantonaux ont estimé qu'une indemnité correspondant à un mois de salaire était justifiée.
L'argumentation de la recourante ne permet pas de discerner une violation du droit fédéral dans l'indemnité allouée par les magistrats cantonaux. Cette indemnité repose sur des critères pertinents. En particulier, l'instance précédente a pris en compte le fait que l'intimé avait déjà été licencié en avril 2018. Dans les circonstances du cas d'espèce, et au vu de la réserve que s'impose le Tribunal fédéral en la matière, il ne peut que constater que la cour cantonale n'a pas outrepassé son large pouvoir d'appréciation en jugeant que la faute de l'intimé n'était pas telle qu'elle justifierait de déroger à la règle et de renoncer à toute indemnité, ou que la recourante n'était pas exempte de toute faute. La solution inverse apparaît toutefois également défendable. Au final, le Tribunal fédéral ne peut que confirmer l'indemnité allouée, laquelle n'aboutit pas à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante.
7.
La recourante ne formule aucune critique quant aux autres conséquences pécuniaires du congé injustifié (<ref-law>), de sorte qu'il n'y a pas lieu d'y revenir.
8.
En définitive, le recours doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable.
La recourante, qui succombe, prendra en charge les frais judiciaires (<ref-law>).
Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimé, dès lors qu'il n'est pas représenté par un mandataire professionnel et ne réalise pas les conditions permettant l'octroi exceptionnel de dépens dans ce cas (art. 68 al. 1 et 2 LTF; <ref-ruling> consid. 4; <ref-ruling> consid. 5b).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 19 juillet 2021
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Hohl
La Greffière : Raetz