Sachverhalt:
A.
Am 24. September 2017 fand in der Einwohnergemeinde Biberist eine Urnenabstimmung statt. Die Abstimmungsfrage lautete: "Wollen Sie die flächendeckende Einführung von Tempo-30-Zonen zwischen der Haupt- und Solothurnstrasse sowie im Bleichenberg (Gebiet Bleichenberg-Giriz) annehmen?" Das Stimmvolk lehnte die Vorlage mit 1'717 zu 1'040 Stimmen ab.
Am 17. September 2018 beschloss der Gemeinderat Biberist die Umsetzung der Tempo-30-Zonen Bleichenberg West und Bleichenberg-Giriz; davon ausgenommen blieben die Bleichenbergstrasse, die Poststrasse und die Unterbiberiststrasse. Weiter beschloss er, die Aesplistrasse in die Tempo-30-Zone Bleichenberg West zu integrieren.
Am 3. April 2019 wurde zuhanden des Gemeinderats eine Petition mit dem Titel "Urnenentscheide sind auch vom Biberister Gemeinderat zu respektieren" eingereicht. Am 30. August 2019 ging sodann eine Solidaritätsbekundung zuhanden des Gemeindepräsidiums ein, welche sich für die rasche Umsetzung der Einführung von Tempo 30 auf allen Quartierstrassen in Biberist aussprach. Aufgrund der eingegangenen unterschiedlichen Forderungen entschloss sich das Gemeindepräsidium, den Beschluss des Gemeinderats vom 17. September 2018 zur allfälligen Wiedererwägung zu traktandieren. Anlässlich der Gemeinderatssitzung vom 25. Mai 2020 entschied der Gemeinderat jedoch, auf das Traktandum "Tempo-30-Zone Bleichenberg West und Bleichenberg Giriz: Anfrage Wiedererwägung Gemeinderats Beschluss vom 17. September 2018" nicht einzutreten.
B.
Gegen diesen Nichteintretensbeschluss vom 25. Mai 2020 erhoben A._ und B._, beide Mitglieder des Biberister Gemeinderats, Beschwerde an das Volkswirtschaftsdepartement des Kantons Solothurn. Dieses trat am 19. Oktober 2020 auf die Beschwerde nicht ein. Die dagegen von A._ und B._ erhobene Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn wies dieses am 27. Januar 2021 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Eingabe vom 26. Februar 2021 führen A._ und B._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Sie stellen folgende Anträge:
1. Es sei festzustellen, dass der Urnenentscheid vom 24. September 2017 rechtmässig und gültig sei.
2. Der Beschluss des Biberister Gemeinderats vom 25. Mai 2020, wonach die Biberister Bauverwaltung mit der Umsetzung der Tempo 30 Massnahmen in Bleichenberg beauftragt werde, sei aufzuheben.
3. Eventualiter sei der Nichteintretensbeschluss zum Wiedererwägungsantrag des Gemeinderats vom 25. Mai 2020 aufzuheben.
4. In der Konsequenz seien auch alle anderen vom Gemeinderat zuvor gefällten Beschlüsse aufzuheben, insofern sie dem Entscheid der Urnenabstimmung vom 24. September 2017 widersprächen.
5. Das Bundesgericht habe festzustellen, dass die Delegation der Entscheidkompetenz vom Gemeinderat, basierend auf der kantonalen Verordnung über den Strassenverkehr und der Ausführungen des kantonalen Verwaltungsgerichts im Urteil VWBES.2017.81, an den Souverän rechtens gewesen sei.
6. Die Rechtmässigkeit der Urnenabstimmung vom 24. September 2017 und die Rechtskraft des entsprechenden Entscheids sei festzustellen.
7. Der Gemeinderat sei mit dem materiellen Vollzug des Urnenentscheids vom 24. September 2017 zu beauftragen, allenfalls mit der Androhung einer Ersatzvornahme.
8. Unter Kosten- und Entschädigungsfolge.
Das Volkswirtschaftsdepartement und das Verwaltungsgericht beantragen die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweis), ohne Bindung an die vorinstanzlichen Erwägungen.
1.2. Angefochten ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 86 Abs. 1 lit. d i.V.m. <ref-law>). Gemäss <ref-law> beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts (lit. a), gegen kantonale Erlasse (lit. b) sowie betreffend die politische Stimmberechtigung der Bürger und Bürgerinnen sowie betreffend Volkswahlen und -abstimmungen (lit. c).
1.3.
1.3.1. Die Beschwerdeführer bezeichnen ihre Beschwerde als Stimmrechtsbeschwerde nach <ref-law>. Sie machen geltend, der Nichteintretensbeschluss des Gemeinderats vom 25. Mai 2020 verletze das Stimmrecht des Stimmvolks der Gemeinde Biberist, da er den Beschluss des Gemeinderats vom 17. September 2018 über die Einführung der Tempo-30-Zonen bestätige. Dies obschon das Stimmvolk die Einführung der Tempo-30-Zonen an der Urnenabstimmung vom 24. September 2017 klar abgelehnt habe.
1.3.2. Mit der Beschwerde betreffend die politische Stimmberechtigung der Bürger und Bürgerinnen sowie betreffend Volkswahlen und Abstimmungen nach <ref-law> kann die Verletzung politischer Rechte gerügt werden. Diese Beschwerde in Stimmrechtssachen will den Rechtsschutz in Bezug auf die demokratische Beteiligung und Willensbildung sicherstellen und soll lediglich dort erhoben werden können, wo ein direkter Zusammenhang mit der Ausübung des Stimmrechts besteht (vgl. Urteile 1C_353/2020 vom 4. Januar 2021 E. 3.1.2; 1C_495/2010 vom 24. März 2011 E. 2.2; je mit Hinweisen). Verlangt wird, dass die unmittelbare Ausübung politischer Rechte von Stimmberechtigten in Frage steht (vgl. Urteil 1C_353/2020 vom 4. Januar 2021 E. 3.1.2 mit Hinweis).
1.3.3. Vorliegend haben die Beschwerdeführer den Nichteintretensbeschluss des Gemeinderats vom 25. Mai 2020 betreffend Wiedererwägung des rechtskräftigen Gemeinderatsbeschlusses vom 17. September 2018 angefochten. Streitgegenstand ist mithin einzig der Nichteintretensbeschluss vom 25. Mai 2020, nicht aber die Urnenabstimmung vom 24. September 2017. Mangels eines direkten, unmittelbaren Bezugs zur Ausübung der politischen Rechte der Stimmberechtigten steht dafür die Stimmrechtsbeschwerde nicht zur Verfügung. Der angefochtene Nichteintretensbeschluss befindet sich insofern ausserhalb des sachlichen Anwendungsbereichs von <ref-law>, weshalb die Eingabe nicht als Beschwerde in Stimmrechtssachen behandelt werden kann.
1.4.
Es bleibt zu prüfen, ob die Beschwerde als Beschwerde gegen einen Entscheid in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts nach <ref-law> entgegenzunehmen ist.
1.4.1. Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist nach <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit dazu erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. c). Entsprechend wird verlangt, dass die beschwerdeführende Partei über eine spezifische Beziehungsnähe zur Streitsache verfügt (<ref-ruling> E. 2.1). Eine solche ergibt sich indes nicht bereits daraus, dass die beschwerdeführende Partei den Beschluss einer Behörde anficht, welcher sie selbst angehört (<ref-ruling> E. 2.1). Die beschwerdeführende Partei hat ihre spezifische Beziehungsnähe darzulegen (<ref-law>).
1.4.2. Die Beschwerdeführer haben am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen. Es stellt sich jedoch die Frage, ob sie durch den Nichteintretensentscheid auch in ihren schutzwürdigen Interessen betroffen sind. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer ist ihre Zugehörigkeit zum Gemeinderat hierfür jedenfalls nicht ausreichend (vgl. Urteil 1C_665/2013 vom 24. März 2014 E. 3.2). Inwiefern sie sonstwie durch den Nichteintretensentscheid betroffen sein könnten, erscheint fraglich. Allerdings ist das Volkswirtschaftsdepartement nicht auf ihre Beschwerde eingetreten, was die Vorinstanz zumindest teilweise geschützt hat. Soweit darin eine Rechtsverweigerung erblickt werden kann, sind die Beschwerdeführer jedenfalls aus verfahrensrechtlichen Gründen beschwerdelegitimiert (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen). Da die Beschwerde abzuweisen ist, braucht die Frage nicht abschliessend geklärt zu werden. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt, weshalb auf die Beschwerde, unter Vorbehalt der nachstehenden Erwägung, grundsätzlich einzutreten ist.
1.5. Streitgegenstand bildet, wie bereits im vorinstanzlichen Verfahren, einzig die Frage, ob der Gemeinderat anlässlich der Gemeinderatssitzung vom 25. Mai 2020 auf den Wiedererwägungsantrag hätte eintreten und somit auf seinen Beschluss vom 17. September 2018 zurückkommen müssen. Nicht einzutreten ist somit auf die diversen Anträge, insbesondere die Feststellungsbegehren, welche über diese Frage hinausgehen. Dies betrifft namentlich die Anträge, dass der die Tempo-30-Zonen ablehnende Urnenentscheid vom 24. September 2017 "rechtmässig und gültig" und die Delegation vom Gemeinderat an das Stimmvolk rechtens gewesen sei (vgl. Sachverhalt C). Dasselbe gilt auch für den Antrag, wonach alle anderen vom Gemeinderat zuvor gefällten Beschlüsse aufzuheben seien, insofern sie dem Entscheid der Urnenabstimmung vom 24. September 2017 widersprächen. Diese Anträge gehen allesamt über den Streitgegenstand hinaus; darauf ist nicht einzutreten.
2.
2.1. In der Sache bringen die Beschwerdeführer vor, der Gemeinderat sei zu Unrecht nicht auf die Wiedererwägungsanfrage eingetreten. Die Zuständigkeit für den Erlass der Tempo-30-Zonen liege gemäss § 10 Abs. 1 der Verordnung vom 3. März 1978 über den Strassenverkehr des Kantons Solothurn (Strassenverkehrsverordnung/SO; BGS 733.11) beim Gemeinderat. Diese Zuständigkeit sei rechtsgültig an die Gemeindeversammlung bzw. an das Stimmvolk delegiert worden. Das Stimmvolk habe die Einführung der Tempo-30-Zonen an der Urne abgelehnt. Dass der Gemeinderat die Einführung dieser Tempo-30-Zonen daraufhin, entgegen dem Abstimmungsresultat, dennoch beschlossen habe, sei willkürlich. Der Gemeinderat hätte daher auf die beantragte Wiedererwägung des Beschlusses vom 17. September 2018 anlässlich der Gemeinderatssitzung vom 25. Mai 2020 eintreten müssen.
2.2. Rechtskräftige Verwaltungsentscheide können unter bestimmten Voraussetzungen, die das kantonale Recht näher umschreiben kann, in Wiedererwägung gezogen werden. Sieht das kantonale Recht keine Regelung vor, so besteht gestützt auf der zu Art. 4 aBV entwickelten bundesgerichtlichen Praxis - die im Rahmen von <ref-law> weiter gilt - ein Anspruch auf Wiedererwägung eines Verwaltungsentscheids, wenn die Umstände sich seit dem ursprünglichen Entscheid wesentlich geändert haben oder wenn der Gesuchsteller erhebliche Tatsachen und Beweismittel namhaft macht, die ihm im früheren Verfahren nicht bekannt waren oder die schon damals geltend zu machen für ihn rechtlich oder tatsächlich unmöglich war oder keine Veranlassung bestand. Die Wiedererwägung von rechtskräftigen Verwaltungsentscheiden ist jedoch nicht beliebig zulässig. Sie darf namentlich nicht bloss dazu dienen, rechtskräftige Verwaltungsentscheide immer wieder infrage zu stellen oder die Fristen für die Ergreifung von Rechtsmitteln zu umgehen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1; Urteil 1C_428/2021 vom 28. Februar 2022 E. 4.3).
Ein Anspruch auf Neubefassung wegen einer wesentlichen Änderung der rechtserheblichen Sachumstände besteht praxisgemäss nur, wenn die geltend gemachten Veränderungen geeignet sind, zu einem anderen Resultat zu führen; gestützt auf die neuen Elemente muss für die betroffene Person ein günstigeres Ergebnis ernsthaft in Betracht fallen (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 181; Urteil 1C_428/2021 vom 28. Februar 2022 E. 5.1 mit Hinweisen). Ob dies der Fall ist, prüft das Bundesgericht grundsätzlich frei. Allerdings ist es an die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz gebunden, soweit dieser nicht offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 BGG beruht (Art. 105 und Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel können nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
2.3. Das kantonale Recht sieht in § 28 Abs. 1 des Gesetzes vom 15. November 1970 über den Rechtsschutz in Verwaltungssachen des Kantons Solothurn (Verwaltungsrechtspflegegesetz; VRG/SO; BGS 124.11) vor, dass auf schriftliches Gesuch einer Partei eine Verfügung oder ein Entscheid durch diejenige Behörde, die rechtskräftig verfügt oder entschieden hat, in Wiedererwägung gezogen werden kann, sofern neue erhebliche Tatsachen oder Beweismittel vorliegen oder geltend gemacht werden.
Darüber hinaus können gemäss § 22 Abs. 1 VRG/SO Verfügungen und Entscheide durch die zuständige Behörde oder die Aufsichtsbehörde abgeändert oder widerrufen werden, falls sich die Verhältnisse geändert haben oder, sofern Rückkommensgründe bestehen, überwiegende Interessen dies erfordern.
2.4. Wie die Vorinstanz zutreffend erwog, machen die Beschwerdeführer weder geltend, die Umstände hätten sich seit dem Beschluss des Gemeinderats vom 17. September 2018 wesentlich geändert noch machen sie erhebliche neue Tatsachen oder Beweismittel namhaft. Dies ist auch nicht ersichtlich. Es ist weder dargetan noch erkennbar, inwiefern sich der entscheidende Sachverhalt betreffend die Tempo-30-Zonen wesentlich verändert hätte oder in diesem Zusammenhang neue Vorschriften erlassen worden wären. Etwas anderes lässt sich auch nicht daraus ableiten, dass nach Ansicht der Beschwerdeführer erst mit dem Nichteintretensbeschluss des Gemeinderats vom 25. Mai 2020 definitiv festgestanden habe, dass das Stimmrecht des Stimmvolks verletzt worden sei. Dies trifft nicht zu. Bereits mit der gemeinderätlichen Beschlussfassung vom 17. September 2018 stand fest, dass auf gewissen Strassen des Gemeindegebiets - entgegen dem Abstimmungsergebnis vom 24. September 2017 - Tempo-30-Zonen eingeführt werden sollen. Inwiefern erst mit dem Nichteintreten auf das Traktandum betreffend die Wiedererwägung anlässlich der Gemeinderatssitzung vom 25. Mai 2020 eine wesentliche Änderung der Sachlage bzw. eine neue Tatsache vorliegen soll, ist nicht erkennbar. Folglich bestand für den Gemeinderat auch kein Anlass, seinen Beschluss in Wiedererwägung zu ziehen bzw. allenfalls zu widerrufen.
Die Beschwerdeführer hatten als Mitglieder des Gemeinderats sodann seit dem Beschluss vom 17. September 2018 Kenntnis von der beabsichtigten Einführung der Tempo-30-Zonen. Daran ändert nichts, dass sie anlässlich dieser Beschlussfassung im Gemeinderat mit ihrer Auffassung möglicherweise unterlegen sind. Sie hätten mithin gegen den Beschluss vom 17. September 2018 Beschwerde erheben müssen.
2.5. Nach dem Gesagten ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz keine Anhaltspunkte für eine allfällige Wiedererwägung erkannt und das Nichteintreten des Gemeinderats auf das Traktandum "Tempo-30-Zone" anlässlich der Gemeinderatssitzung vom 25. Mai 2020 geschützt hat. Der vorinstanzliche Entscheid hält vor dem Recht stand.
3.
Demzufolge ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens werden die Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG) und es sind keine Parteientschädigungen zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Einwohnergemeinde Biberist, dem Volkswirtschaftsdepartement und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. April 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier