Sachverhalt:
A.
A._ legte im Jahr 2009 in Indien die Führerprüfung ab und erhielt den indischen Führerausweis. Zudem verfügt er über eine kanadische Fahrerlaubnis ("driver's license Class G1" der Provinz Ontario).
Am 7. September 2020 absolvierte er erfolglos eine Kontrollfahrt für den Umtausch des indischen Führerausweises in einen schweizerischen Führerausweis. Mit Verfügung vom 22. September 2020 verweigerte das Strassenverkehrsamt des Kantons Luzern (SVA) die Umschreibung des ausländischen Führerausweises und untersagte A._ das Führen von Motorfahrzeugen aller Kategorien ab dem Zeitpunkt der Verfügung. Ferner wurde diesem das Recht zur Verwendung des ausländischen nationalen und allenfalls internationalen Führerausweises in der Schweiz aberkannt. Diese Verfügung erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
B.
Im März 2021 gelangte A._ mit verschiedenen Schreiben an das SVA, mit denen er um Erlaubnis bat, mit seinem ausländischen Führerausweis fahren zu dürfen. Nachdem ihn das SVA zunächst auf die rechtskräftige Verfügung vom 22. September 2020 hingewiesen hatte, nahm es ein Schreiben von A._ vom 17. März 2021 als Gesuch im Sinne von § 116 des Gesetzes des Kantons Luzern vom 3. Juli 1972 über die Verwaltungsrechtspflege (VRG/LU; SRL Nr. 40) um Aufhebung der Verfügung vom 22. September 2020 entgegen. Mit Entscheid vom 6. April 2021 trat es auf das Gesuch nicht ein.
Parallel dazu machte A._ beim SVA und der kantonalen Rechtsmittelinstanz weitere Verfahren anhängig, die unter anderem die Gebühr für eine nicht durchgeführte, praktische Führerprüfung betrafen.
C.
Gegen den Entscheid des SVA vom 6. April 2021 gelangte A._ an das Kantonsgericht des Kantons Luzern. Dieses wies die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Die beantragte Vereinigung des Verfahrens mit dem Verfahren betreffend Gebührenauferlegung für die praktische Führerprüfung lehnte es ab.
D.
A._ erhebt mit englischer Eingabe vom 7. Juni 2021 und, nach entsprechender Aufforderung durch die Bundesgerichtskanzlei, mit deutscher Eingabe vom 15. Juni 2021 Beschwerde an das Bundesgericht. Er verlangt sinngemäss die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils und den Widerruf der Verfügung vom 22. September 2020. Ausserdem beantragt er "eine Zuerkennung, die dem Kläger eine andere und weitere Entlastung gewährt, die das Gericht für richtig [...] hält."
Das SVA und das Kantonsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist.
A._ lässt sich jeweils mit auf Deutsch und Englisch verfassten, unaufgeforderten Eingaben vom 16. Juli, 29. Juli, 28. August, 7. September und 19. September 2021 vernehmen.
Mit Verfügung des präsidierenden Mitglieds vom 21. Juli 2021 wurde ein Gesuch von A._ um aufschiebende Wirkung bzw. Erlass einer vorsorglichen Massnahme abgewiesen.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1).
1.1. Mit der Beschwerde vom 7. Juni 2021 angefochten ist ein kantonal letztinstanzliches, verfahrensabschliessendes Urteil eines oberen Gerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90 BGG).
1.2. Zu prüfen ist, ob das vorinstanzliche Urteil mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten angefochten werden kann. Ausgeschlossen ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss Art. 83 lit. t BGG gegen Entscheide über das Ergebnis von Prüfungen und andere Fähigkeitsbewertungen. Als Entscheid über eine Prüfung gilt auch das negative Ergebnis einer Kontrollfahrt im Sinne von Art. 44 Abs. 1 der Verkehrszulassungsverordnung vom 27. Oktober 1976 (VZV; SR 741.51; <ref-ruling> E. 1.1; Urteil 1C_45/2020 vom 5. Januar 2021 E. 1.1).
1.2.1. Ausgangspunkt des kantonalen Verfahrens war ein Gesuch des Beschwerdeführers vom 17. März 2021, in dem er um Aufhebung der bereits rechtskräftigen Verfügung des Strassenverkehrsamts vom 22. September 2020 ersuchte. Nach erfolgloser Kontrollfahrt vom 7. September 2020 hatte das SVA die Umschreibung des ausländischen Führerausweises mit dieser Verfügung verweigert und dem Beschwerdeführer das Recht zur Verwendung des ausländischen nationalen und allenfalls internationalen Führerausweises auf unbestimmte Zeit aberkannt (Dispositiv-Ziff. 1). Weiter hatte es die Bedingungen für die Aufhebung der Massnahme festgelegt (Dispositiv-Ziff. 2). Mit Entscheid vom 6. April 2021 verneinte das SVA einen Anspruch auf Wiedererwägung der Verfügung vom 22. September 2020 und trat auf das Gesuch vom 17. März 2021 nicht ein, was die Vorinstanz mit dem hier angefochtenen Urteil vom 17. Mai 2021 geschützt hat.
1.2.2. Der Streitgegenstand kann im Laufe eines Verfahrens eingeschränkt, aber nicht ausgedehnt oder verändert werden (vgl. Art. 99 Abs. 2 und Art. 107 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 4.4.2; Urteil 1C_697/2020 vom 30. März 2021 E. 1.2). Mit Blick auf den Gegenstand des kantonalen Verfahrens kann das Bundesgericht daher bloss prüfen, ob die Wiedererwägung der Verfügung des Strassenverkehrsamts vom 22. September 2020 zu Recht verweigert wurde. Das Ergebnis der Kontrollfahrt vom 7. September 2020 ist hingegen nicht Thema des vorliegenden Verfahrens. Der Ausschlussgrund gemäss Art. 83 lit. t BGG ist demnach nicht gegeben und die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich als zulässig.
1.3. Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist dort mit seinen Anträgen nicht durchgedrungen. Als direkter Adressat des Entscheids vom 6. April 2021 ist er vom Ausgang des Verfahrens zudem besonders berührt und weist er ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Urteils auf. Der Beschwerdeführer ist daher berechtigt, mit vorliegendem Rechtsmittel an das Bundesgericht zu gelangen (vgl. <ref-law>). Auf die im Übrigen rechtzeitig eingereichte Beschwerde (<ref-law>) ist unter Vorbehalt der nachfolgenden Erwägung einzutreten.
1.4. In seinen stellenweise schwer verständlichen Eingaben unterbreitet der Beschwerdeführer dem Bundesgericht verschiedene Anträge, die sich nicht gegen die verweigerte Wiedererwägung der Verfügung des Strassenverkehrsamts vom 22. September 2020 richten, sondern auf die unmittelbare Erteilung der Fahrerlaubnis abzielen. Seine diesbezüglichen Begehren gehen über den Streitgegenstand hinaus. Darauf ist nicht einzutreten (vgl. <ref-law> und E. 1.2.2 hiervor). Soweit der Beschwerdeführer seine Eingaben vom 16. Juli, 29. Juli, 28. August, 7. September und 19. September 2021 zudem so verstanden haben will, dass sie mit weiteren, über die Anträge seiner Beschwerde vom 7. Juni 2021 hinausgehenden Begehren verbunden sind, ist darauf ebenfalls nicht einzutreten. Anträge, die bereits in der Beschwerde hätten gestellt werden können, sind nach Ablauf der Beschwerdefrist gemäss <ref-law> verspätet (vgl. <ref-ruling> E. 1.7; Urteil 2C_384/2016 vom 6. März 2017 E. 1.3.2 [nicht publ. in: <ref-ruling>]).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (<ref-law>). Unter Vorbehalt der hier nicht einschlägigen Art. 95 lit. c-e BGG kann bezüglich des kantonalen Rechts im Wesentlichen beanstandet werden, der angefochtene Entscheid verstosse gegen das übergeordnete (Bundes-) Recht (vgl. <ref-ruling> E. 2; Urteile 1C_457/2020 vom 17. Februar 2021 E. 2.1; 1C_429/2019 vom 23. März 2020 E. 1.2). Das Bundesgericht wendet das Recht dabei von Amtes wegen an (<ref-law>). Nach Massgabe der allgemeinen Anforderungen an die Beschwerdebegründung (<ref-law>) prüft es jedoch nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel des angefochtenen Entscheids nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. <ref-ruling> E. 2; Urteile 2C_8/2016 vom 17. Oktober 2016 E. 2.1 [nicht publ. in: <ref-ruling>]; 1C_786/2013 vom 8. Oktober 2014 E. 1.3 [nicht publ. in: <ref-ruling>]). Der Verletzung von Grundrechten sowie von kantonalem und interkantonalem Recht geht das Bundesgericht ausserdem nur insofern nach, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
2.2. Seinem Urteil legt das Bundesgericht den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Von Amtes wegen oder auf ausreichend begründete Rüge hin (vgl. zu den Anforderungen an Sachverhaltsrügen <ref-ruling> E. 9.2.3.6 S. 96; <ref-ruling> E. 1.4.3; Urteil 2C_8/2016 vom 17. Oktober 2016 E. 2.2 [nicht publ. in: <ref-ruling>]) korrigiert das Bundesgericht die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen, wenn diese offensichtlich unrichtig sind oder sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen. Eine Richtigstellung des Sachverhalts erfolgt, sofern sie für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
3.
3.1. Die Vorinstanz erwog, das kantonale Recht lasse die Aufhebung von bereits rechtskräftigen Verfügungen unter dem Titel der "fakultativen Wiedererwägung" sowie unter dem Titel der "obligatorischen Wiedererwägung oder Revision" zu (vgl. angefochtenes Urteil, E. 3.2).
3.1.1. Die Revision sei in § 174 ff. VRG/LU geregelt. Die Voraussetzungen für eine Revision gemäss § 174 Abs. 1 VRG/LU (strafbare Handlung) und § 175 Abs. 1 VRG/LU (nachträgliche Entdeckung neuer Tatsachen und Beweismittel) seien hier offenkundig nicht erfüllt, sodass eine Revision der Verfügung des Strassenverkehrsamts vom 22. September 2020 gestützt auf § 174 ff. VRG/LU nicht in Frage komme (angefochtenes Urteil, E. 3.4). Der Tatbestand der "fakultativen Wiedererwägung" im Sinne von § 116 VRG/LU verleihe sodann keinen Anspruch auf materielle Prüfung eines Wiedererwägungsgesuchs. Die Änderung oder Aufhebung eines Entscheids im Rahmen von § 116 VRG/LU setze weiter wichtige Gründe voraus, die hier nicht gegeben seien (vgl. angefochtenes Urteil, E. 3.5 und E. 4).
3.1.2. Die Auslegung von § 174 ff. und § 116 VRG/LU durch die kantonale Vorinstanz kann das Bundesgericht nicht als solche prüfen, sondern nur unter dem Blickwinkel eines Verstosses gegen das übergeordnete (Bundes-) Recht (vgl E. 2.1 hiervor). Im Vordergrund steht das Verbot einer willkürlichen Rechtsanwendung im Sinne von <ref-law>. Da es sich beim Willkürverbot indes um einen grundrechtlichen Anspruch handelt, greifen diesbezüglich erhöhte Anforderungen an die Begründung des Rechtsmittels (vgl. <ref-law>; E. 2.1 hiervor). Diesen Vorgaben werden die Eingaben des Beschwerdeführers nicht gerecht. Es mangelt ihnen an einer sachbezogenen Auseinandersetzung mit den Erwägungen der Vorinstanz. Namentlich zeigt der Beschwerdeführer nicht auf, inwieweit ihm entgegen den Überlegungen der Vorinstanz gestützt auf § 174 ff. oder § 116 VRG/LU ein Anspruch auf Wiedererwägung der Verfügung des Strassenverkehrsamts vom 22. September 2020 zustehen soll. Jedenfalls gelingt es dem Beschwerdeführer nicht, die vorinstanzliche Auslegung des kantonalen Verwaltungsrechtspflegegesetzes als schlechterdings unhaltbar auszuweisen.
3.2. Neben dem kantonalen Recht verleiht <ref-law> einen (bundes-) verfassungsrechtlichen Anspruch auf Wiedererwägung und Revision (vgl. <ref-ruling> E. 4.3; <ref-ruling> E. 2.1).
3.2.1. Danach kann insbesondere um Wiedererwägung oder Revision ersucht werden, wenn sich die Umstände wesentlich geändert haben oder wenn erhebliche Tatsachen und Beweismittel namhaft gemacht werden, die in einem früheren Verfahren nicht bekannt waren, die früher aus rechtlichen oder tatsächlichen Gründen nicht geltend gemacht werden konnten oder die mangels Veranlassung nicht geltend gemacht werden mussten (<ref-ruling> E. 4.3; <ref-ruling> E. 6; <ref-ruling> E. 3a; je mit Hinweisen). Auch in Bezug auf diese Wiedererwägungs- und Revisionsgründe greifen im bundesgerichtlichen Verfahren indes erhöhte Anforderungen an die Beschwerdebegründung (vgl. <ref-law>; E. 2.1 hiervor).
3.2.2. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, welche vorbestehenden Tatsachen oder Beweismittel den Entscheid vom 22. September 2020 als unzutreffend erscheinen lassen. Seine Behauptung, er sei vom 24. Januar 2020 bis 28. Mai 2020 in Indien gewesen und er hätte daher mit Blick auf <ref-law> gar keinen schweizerischen Führerausweis benötigt, finden im angefochtenen Urteil keine Stütze (vgl. <ref-law>). Die im bundesgerichtlichen Verfahren soweit ersichtlich erstmals aufgelegten Kopien seines Reisepasses wurden zudem verspätet eingebracht (vgl. <ref-law>). Ohnehin würden sie nicht zum Beweis taugen, dass sich der Beschwerdeführer in der gesamten Zeit vom 24. Januar 2020 bis 28. Mai 2020 in Indien aufhielt, weil es sich bloss um Auszüge aus einem Reisepass handelt, die nicht sämtliche Grenzübertritte abbilden. Weiter zeigt der Beschwerdeführer nicht auf, dass er den Umstand seiner angeblichen Abwesenheit vom 4. Januar 2020 bis 28. Mai 2020 nicht bereits im Vorfeld des Entscheids vom 22. September 2020 hätte geltend machen können.
3.2.3. Seinen Eingaben lassen sich ferner auch keine Anhaltspunkte entnehmen, wonach seit dem Erlass der Verfügung des Strassenverkehrsamts vom 22. September 2020 rechtserhebliche Umstände eingetreten seien, die dem Beschwerdeführer unter verfassungsrechtlichen Gesichtspunkten einen Anspruch auf Neubeurteilung verleihen. Eine Verletzung von <ref-law> ist mithin nicht ersichtlich.
3.3. Der Beschwerdeführer bezieht sich sodann verschiedentlich auf internationales Recht, so unter anderem auf das Internationale Abkommen vom 24. April 1926 über Kraftfahrzeugverkehr (SR 0.741.11) und das Übereinkommen vom 8. November 1968 über den Strassenverkehr (SR 0.741.10). Allerdings mangelt es seinen Eingaben auch diesbezüglich an sachbezogenen Rügen, indem er sich nicht mit der hier massgeblichen Frage nach einem Anspruch auf Wiedererwägung der Verfügung des Strassenverkehrsamts vom 22. September 2020 auseinandersetzt. Dass sich aus den von ihm angerufenen Bestimmungen ein über das Landesrecht hinausgehender Anspruch auf Wiedererwägung ergeben könnte, ist nicht ohne Weiteres ersichtlich (vgl. E. 2.1 hiervor). Desgleichen weist der Beschwerdeführer auch nicht nach, dass sich aufgrund einer Behebung seines Mangels an Fahrkünsten ein Anspruch auf Wiedererteilung des Führerausweises gestützt auf <ref-law> ergibt. Bei dieser Ausgangslage ist der Beschwerde kein Erfolg beschieden.
4.
Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie einzutreten ist. Die Gerichtskosten sind vom Beschwerdeführer zu tragen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. November 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Baur