Sachverhalt:
A.
Mit Eingabe vom 25. Juni 2020 stellte A._ bei der Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn ein Gesuch um Wiederherstellung der Rechtsvorschlagsfrist in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Olten-Gösgen.
B.
Mit Urteil vom 17. August 2020 wies die Aufsichtsbehörde das Fristwiederherstellungsgesuch ab. Es wurden keine Gerichtskosten erhoben.
C.
A._ ist mit Eingabe vom 24. August 2020 an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Wiederherstellung der Frist zur Erhebung des Rechtsvorschlags.
Am 28. Januar 2021 hat das Betreibungsamt dem Bundesgericht mitgeteilt, dass die Beschwerdeführerin die betreffende Betreibung bezahlt habe und die Betreibung auf Veranlassung der Gläubigerin im Register gelöscht worden sei. Die Beschwerdeführerin hat mit Schreiben vom 11. Februar 2021 an der Beschwerde festgehalten. Die Bezahlung könne nicht als Schuldeingeständnis gewertet werden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Entscheid der kantonalen Aufsichtsbehörde, mit welchem ein Gesuch um Wiederherstellung der Frist zur Erhebung des Rechtsvorschlags beurteilt worden ist. Entscheide kantonaler Aufsichtsbehörden in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
1.2. Zur Beschwerde in Zivilsachen ist nur berechtigt, wer durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Abänderung hat (<ref-law>). Ein solches Interesse ist gegeben, wenn die Beschwerdelegitimation ("schutzwürdiges Interesse") nach Art. 17 f. SchKG vorhanden ist (<ref-ruling> E. 1.2 S. 582). Bei nachträglichem Wegfall des aktuellen und praktischen Interesses ist das Verfahren als gegenstandslos abzuschreiben (<ref-ruling> E. 1.1 S. 93 f.).
1.3. Ein schutzwürdiges Interesse an der Beschwerde gemäss Art. 17 f. SchKG bzw. der Beschwerde gemäss <ref-law> i.V.m. <ref-law> ist nicht (mehr) gegeben, wenn sich im Falle ihrer Gutheissung keine vollstreckungsrechtlich wirksame Berichtigung des gerügten Verfahrensfehlers erreichen, sondern nur noch feststellen liesse, dass die Vollstreckungsbehörde fehlerhaft gehandelt habe (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 108 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 60; Urteil 7B.11/2002 vom 5. März 2002 E. 3c).
1.4. Vorliegend steht fest, dass die Beschwerdeführerin die Forderungssumme zuzüglich Betreibungskosten an das Betreibungsamt bezahlt hat. Die Betreibung ist damit erloschen (vgl. <ref-law>; BGE 74 III 23 S. 25). Dies wiederum bedeutet, dass ein vollstreckungsrechtlich relevantes Interesse an der Behandlung der Beschwerde gegen den Entscheid der Aufsichtsbehörde, mit welchem die Wiederherstellung der Frist zur Erhebung des Rechtsvorschlags abgelehnt wurde, nicht mehr vorliegt (vgl. Urteil 5A_641/2017 vom 19. September 2017 E. 2). Entgegen der Meinung der Beschwerdeführerin kann das Verfahren auch nicht etwa zur Prüfung der Frage fortgeführt werden, ob ihr ein öffentlich-rechtlicher Rückforderungsanspruch für die - nach ihrer Darstellung - lediglich unter dem Druck des Betreibungsverfahrens erfolgte Zahlung zusteht (vgl. GILLIÉRON, Poursuite pour dettes, faillite et concordat, 4. Aufl. 2005, S. 174 Rz. 881).
1.5. Das Verfahren ist damit durch die Instruktionsrichterin als Einzelrichterin (<ref-law>) infolge Gegenstandslosigkeit der Beschwerde und in Anwendung von <ref-law> i.V.m. <ref-law> [SR 273] abzuschreiben.
2.
2.1. Über die Prozesskosten eines als gegenstandslos erklärten Rechtsstreits entscheidet das Bundesgericht mit summarischer Begründung aufgrund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). In erster Linie ist somit auf den mutmasslichen Ausgang des Prozesses abzustellen. Dabei geht es nicht darum, die Prozessaussichten im Einzelnen zu prüfen. Vielmehr soll es bei einer knappen, summarischen Beurteilung der Aktenlage sein Bewenden haben. Auf dem Weg über den Kostenentscheid soll nicht ein materielles Urteil gefällt werden (vgl. <ref-ruling> E. 8.2 S. 568 mit Hinweisen).
2.2. Nach ständiger Rechtsprechung setzt <ref-law> das Fehlen jedes Verschuldens voraus. Die Wiederherstellung einer Frist ist deshalb - anders als im Rahmen von <ref-law> - bereits bei leichter Fahrlässigkeit ausgeschlossen (Urteile 5A_890/2019 vom 9. Dezember 2019 E. 5; 4A_163/2015 vom 12. Oktober 2015 E. 4.1, in: SJ 2016 I S. 114). Weil am 22. Mai 2020 die Mutter der Beschwerdeführerin verstarb, hat sich die Frist zur Erhebung des Rechtsvorschlags gestützt auf Art. 58 i.V.m. <ref-law> bis am 10. Juni 2020 verlängert. Zutreffend hat die Vorinstanz daher als Zwischenfazit festgehalten, dass die Erhebung des Rechtsvorschlags im Zeitpunkt der Heimkehr der Beschwerdeführerin (3. Juni 2020) grundsätzlich immer noch möglich gewesen wäre. Praxisgemäss genügt sodann die blosse Behauptung, der Hausgenosse habe den ihm gestützt auf <ref-law> ersatzweise zugestellten Zahlungsbefehl nicht oder nicht rechtzeitig ausgehändigt, für die Annahme eines absolut unverschuldeten Hindernisses nicht. Vielmehr muss die betriebene Person durch Indizien dartun, dass sie wirklich keine Kenntnis von der betreffenden Betreibungsurkunde erhielt und sie insbesondere auch kein Mitverschulden an der Unkenntnis trifft (Urteil 5A_87/2018 vom 21. September 2018 E. 3.1, in: BlSchK 2019 S. 89; NORDMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 11 zu <ref-law>). Dass sie im vorinstanzlichen Verfahren solche Indizien präsentiert hätte, welche die Vorinstanz übergangen hat, macht die Beschwerdeführerin nicht geltend und ist auch nicht ersichtlich. Die Beschwerdeführerin hat (ohne Einreichung einer entsprechenden Bestätigung) einzig vorgebracht, dass ihr Wohnpartner sie erst "einige Tage" nach ihrer Heimkehr ausdrücklich auf die von ihm entgegengenommene Betreibungsurkunde aufmerksam gemacht habe. Dabei hat sie weder geltend gemacht, dass der Zahlungsbefehl von ihrem Wohnpartner nicht zu ihrer übrigen Post gelegt worden wäre noch behauptet, dass sie die während ihrer rund zweieinhalbmonatigen Landesabwesenheit angesammelte Post nach ihrer Heimkehr umgehend durchgesehen hätte (vgl. dazu GIRSBERGER, Der nachträgliche Rechtsvorschlag im schweizerischen Schuldbetreibungs- und Konkursrecht, Diss. Zürich 1990, S. 45). Hinzu kommt, dass das erst mit Eingabe vom 25. Juni 2020 gestellte Gesuch um Wiederherstellung der Frist zur Erhebung des Rechtsvorschlags verspätet erfolgt wäre, wenn das unverschuldete Hindernis vor dem 15. Juni 2020 weggefallen wäre. Dass die Beschwerdeführerin am 14. Juni 2020 immer noch keine Kenntnis von der gegen sie angehobenen Betreibung gehabt hat bzw. hätte haben können, hat sie im vorinstanzlichen Verfahren aber nicht einmal behauptet. Der bundesgerichtlichen Beschwerde hätte aus den dargelegten Gründen mutmasslich kein Erfolg beschieden sein können.
2.3. Damit hat die Beschwerdeführerin die (reduzierten) Kosten des vorliegenden Beschwerdeverfahrens zu tragen (<ref-law>).

Demnach verfügt die Einzelrichterin:
1.
Das Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Diese Verfügung wird der Beschwerdeführerin, dem Betreibungsamt Olten-Gösgen und der Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Februar 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Einzelrichterin: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss