Erwägungen:
1.
1.1. Vom 26. Juli bis 11. August 2019 fanden in Lima, Peru, die sog. Pan Am Games 2019 statt. Die Springreitwettkämpfe wurden am 6., 7. und 9. August 2019 abgehalten, wobei Einzel- und Mannschaftswettkämpfe ausgetragen wurden. B._ beteiligte sich sowohl im Einzelwettkampf als auch - für die A._ Nationalmannschaft - im Mannschaftswettkampf an den Pan Am Games 2019. Das Team A._ erreichte im Mannschaftswettkampf den 4. Rang, wobei hierzu unter anderem die Resultate von B._ berücksichtigt wurden.
Mit Entscheid vom 11. Dezember 2019 stellte die Disziplinarkommission der Pan American Sports Organization einen Dopingverstoss von B._ fest, disqualifizierte diese hinsichtlich des Einzelwettkampfs vom 7. und 9. August 2019 an den Pan Am Games 2019 und ordnete im Weiteren an, dass die von B._ im Mannschaftswettkampf am 6. und 7. August 2019 erzielten Resultate aberkannt und durch diejenigen des nächstplatzierten Mannschaftsmitglieds ersetzt werden, so dass die Ergebnisse des Mannschaftswettkampfs neu zu berechnen waren.
Mit Entscheid vom 22. April 2021 wies das Tribunal Arbitral du Sport (TAS) die vom Nationalverband A._ (Beschwerdeführer) und B._ gegen diesen Entscheid erhobenen Berufungen ab. Gleichzeitig hiess das TAS die von der Pan American Sports Organization (Beschwerdegegnerin) gegen den Entscheid der Disziplinarkommission vom 11. Dezember 2019 erhobene Anschlussberufung teilweise gut und erkannte die von Team A._ anlässlich der Pan Am Games 2019 erzielten Resultate ab.
1.2. Nationalverband A._ erhob gegen den Entscheid des TAS vom 22. April 2021 Beschwerde in Zivilsachen und ersuchte gleichzeitig darum, es sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen sowie vorsorgliche Massnahmen in dem Sinne anzuordnen, dass dem Team A._ der an den Pan Am Games 2019 ursprünglich erzielte 4. Rang vorsorglich wieder zuzuerkennen sei. Zur Begründung des Gesuchs machte der Beschwerdeführer insbesondere geltend, es entstehe ihm ein nicht wieder gutzumachender Nachteil, indem er und seine Athleten nicht am Mannschaftswettkampf der bevorstehenden Olympischen Spiele in Tokio teilnehmen könnten.
Mit Eingabe vom 7. Juni 2021 nahm die Beschwerdegegnerin zum Gesuch Stellung und beantragte dessen Abweisung.
Mit Verfügung vom 18. Juni 2021 wurde das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung und um Anordnung vorsorglicher Massnahmen abgewiesen.
2.
2.1. Auf eine Beschwerde kann nur eingetreten werden, wenn die beschwerdeführende Partei durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (<ref-law>). Dabei muss es sich um ein aktuelles und praktisches Rechtsschutzinteresse handeln. Dieses muss nicht nur bei der Beschwerdeeinreichung, sondern auch noch im Zeitpunkt der Urteilsfällung aktuell und praktisch sein. Fehlte es schon bei Beschwerdeeinreichung, tritt das Bundesgericht auf die Beschwerde nicht ein. Fällt das schutzwürdige Interesse demgegenüber im Verlaufe des Verfahrens dahin, wird die Beschwerde nach <ref-law> i.V.m. <ref-law> (SR 273) als gegenstandslos abgeschrieben (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen; Urteile 4A_287/2019 vom 6. Januar 2020 E. 5.3.1; 4A_56/2018 vom 30. Januar 2019 E. 4.1; 4A_426/2017 vom 17. April 2018 E. 3.1). Ausnahmsweise tritt das Bundesgericht unter Verzicht auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses auf eine Beschwerde ein, wenn sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen deren grundsätzlicher Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (<ref-ruling> E. 1.3.1; Urteil 4A_287/2019 vom 6. Januar 2020 E. 5.3.1; je mit Hinweisen).
Das Bundesgericht prüft grundsätzlich von Amtes wegen, ob auf eine Beschwerde eingetreten werden kann (<ref-law>). Immerhin ist die Beschwerde hinreichend zu begründen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), wobei die beschwerdeführende Partei auch darzulegen hat, dass die gesetzlichen Voraussetzungen des Beschwerderechts nach <ref-law> gegeben sind. Soweit diese nicht ohne Weiteres ersichtlich sind, ist es nicht Aufgabe des Bundesgerichts, anhand der Akten oder weiterer, noch beizuziehender Unterlagen nachzuforschen, ob und inwiefern die Beschwerde zulässig ist (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 1; Urteil 5A_273/2020 vom 23. Juni 2020 E. 3.1). Dies gilt auch für die Frage, ob die Voraussetzungen für die ausnahmsweise Behandlung der Beschwerde trotz fehlenden aktuellen Interesses gegeben sind (Urteil 5A_273/2020 vom 23. Juni 2020 E. 3.1 mit Hinweis).
2.2. Der Beschwerdeführer bringt zur Beschwerdelegitimation einzig vor, er habe durch den angefochtenen Entscheid, mit dem ihm die anlässlich der Pan Am Games 2019 erzielten Resultate aberkannt wurden, seine Teilnahmeberechtigung am Mannschaftswettkampf im Rahmen der Olympischen Spiele in Tokio verloren. Ein über die Teilnahme an den Olympischen Spielen hinausgehendes Interesse macht er nicht geltend und ein solches ist auch nicht ohne Weiteres ersichtlich.
Wie der Beschwerdeführer selber darlegt, lief die Frist für die Anmeldung beim Internationalen Olympischen Komitee (IOK) am 5. Juli 2021 ab. Nachdem seinem Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung und um Anordnung vorsorglicher Massnahmen mit Verfügung vom 18. Juni 2021 nicht stattgegeben worden war, fiel eine Teilnahme des Team A._ an den Olympischen Spielen in Tokio (23. Juli - 8. August 2021) ausser Betracht. Damit ist das Rechtsschutzinteresse an der Behandlung der Beschwerde - soweit überhaupt vorhanden - dahingefallen, weshalb das Verfahren 4A_284/2021 von der Instruktionsrichterin nach <ref-law> als gegenstandslos abzuschreiben ist.
3.
Nach der Praxis der Abteilung hinsichtlich der Kosten- und Entschädigungsfolgen wird in Fällen nachträglichen Wegfallens des Rechtsschutzinteresses auf das Verursacherprinzip abgestellt (Art. 66 Abs. 3 und Art. 68 Abs. 4 BGG). Dabei wird in der Regel die beschwerdeführende Partei als Verursacherin betrachtet.
Im vorliegenden Fall, in dem der Beschwerdeführer mit seinem Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung und um Anordnung vorsorglicher Massnahmen nicht durchgedrungen ist, besteht kein Anlass, von dieser Regel abzuweichen. Demnach sind die reduzierten Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1-3 BGG). Der Beschwerdegegnerin, die sich nur zum Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung und um Anordnung vorsorglicher Massnahmen zu äussern hatte, ist für das bundesgerichtliche Verfahren eine reduzierte Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach verfügt das präsidierende Mitglied:
1.
Das Verfahren wird infolge Gegenstandslosigkeit abgeschrieben.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4.
Diese Verfügung wird den Parteien, dem Tribunal Arbitral du Sport (TAS), B._, C._, D._, E._ und F._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. August 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Leemann