Sachverhalt:
A.
Die Kantonspolizei Solothurn nahm A._ am 12. Juni 2017 den Führerausweis ab. Ihm wird vorgeworfen, am 3. Juni 2017 ein Fahrzeug mit 138 km/h gelenkt und so die erlaubte Höchstgeschwindigkeit von 50 km/h um 88 km/h überschritten zu haben. A._ ersuchte in der Folge vergeblich um Wiederaushändigung des Führerausweises (Urteil 1C_90/2018 vom 6. Juli 2018).
Am 24. Januar 2018 verfügte das Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn, vertreten durch die Motorfahrzeugkontrolle des Kantons Solothurn, den vorsorglichen Führerausweisentzug und wies A._ einer Fahreignungsuntersuchung auf seine Kosten zu.
Dagegen erhob A._ am 5. Februar 2018 Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und beantragte (einzig) die Aufhebung der Zuweisung zu einer Fahreignungsuntersuchung. Den vorsorglichen Entzug seines Führerausweises focht er hingegen nicht an. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 12. November 2018 ab.
B.
Gegen das verwaltungsgerichtliche Urteil gelangt A._ mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 10. Dezember 2018 an das Bundesgericht und beantragt die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts oder zumindest dessen teilweise Aufhebung bzw. Anpassung.
Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne, und verzichtet unter Verweis auf das Urteil und die Akten auf eine Vernehmlassung. Das kantonale Bau- und Justizdepartement sowie das Bundesamt für Strassen ASTRA beantragen unter Hinweis auf das verwaltungsgerichtliche Urteil, die Beschwerde sei abzuweisen.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG). Die kantonalen Instanzen haben dem Beschwerdeführer den Führerausweis vorsorglich entzogen und die Abklärung seiner Fahreignung angeordnet. Der angefochtene Entscheid schliesst das Verfahren nicht ab; er stellt einen Zwischenentscheid dar, der rechtsprechungsgemäss anfechtbar ist, da er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> bewirken kann (Urteil 1C_536/2018 vom 30. Januar 2019 E. 2 mit Hinweis). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass, weshalb auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten ist.
1.2. Wie bereits im vorinstanzlichen Verfahren bildet vorliegend einzig die Anordnung der Fahreignungsuntersuchung Gegenstand des Verfahrens, nicht aber der vorsorgliche Führerausweisentzug. Ebenso wenig ist vorliegend das Strafverfahren Streitgegenstand, weshalb auf die in diesem Zusammenhang geltend gemachten Vorbringen des Beschwerdeführers, namentlich seinen Antrag um Einstellung des Strafverfahrens, nicht einzutreten ist.
2.
2.1. Motorfahrzeugführer müssen über Fahreignung und Fahrkompetenz verfügen (<ref-law>). Über keine Fahreignung verfügt insbesondere, wer nach seinem bisherigen Verhalten keine Gewähr bietet, als Motorfahrzeugführer die Vorschriften zu beachten und auf die Mitmenschen Rücksicht zu nehmen (<ref-law>). Wird festgestellt, dass die gesetzlichen Voraussetzungen zur Erteilung nicht oder nicht mehr bestehen, werden Ausweise und Bewilligungen entzogen (<ref-law>). Gemäss <ref-law> werden Führerausweise wegen fehlender Fahreignung auf unbestimmte Zeit entzogen, wenn eine Person auf Grund ihres bisherigen Verhaltens nicht Gewähr bietet, dass sie künftig beim Führen eines Motorfahrzeugs die Vorschriften beachten und auf die Mitmenschen Rücksicht nehmen wird.
Wecken konkrete Anhaltspunkte ernsthafte Zweifel an der Fahreignung einer Person, ist eine Fahreignungsuntersuchung anzuordnen (<ref-law>, Art. 28a Abs. 1 der Verordnung vom 27. Oktober 1976 über die Zulassung von Personen und Fahrzeugen zum Strassenverkehr [Verkehrszulassungsverordnung, VZV; SR 741.51]). Ernsthafte Zweifel an der Fahreignung einer Person bestehen namentlich bei Vorliegen der in der nicht abschliessenden Aufzählung in Art. 15d Abs. 1 lit. a-e SVG genannten Gegebenheiten, unter anderem bei Verkehrsregelverletzungen, die auf Rücksichtslosigkeit schliessen lassen (<ref-law>). In den vom Gesetzgeber in <ref-law> aufgezählten Fällen ist grundsätzlich zwingend und ohne weitere Einzelfallprüfung eine Fahreignungsuntersuchung anzuordnen, selbst wenn die Zweifel im konkreten Fall noch nicht erhärtet oder nur abstrakter Natur sind. Diese Tatbestände begründen mithin einen Anfangsverdacht fehlender Fahreignung, welcher zur Anordnung einer Fahreignungsuntersuchung führt (Urteil 1C_232/2018 vom 13. August 2018 E. 3.2 mit Hinweisen).
Gemäss <ref-law> wird mit Freiheitsstrafe zwischen einem und vier Jahren bestraft, wer durch vorsätzliche Verletzung elementarer Verkehrsregeln das hohe Risiko eines Unfalls mit Schwerverletzten oder Todesopfern eingeht, namentlich durch besonders krasse Missachtung der zulässigen Höchstgeschwindigkeit. In <ref-law> ist aufgelistet, wann eine solche Geschwindigkeitsübertretung in jedem Fall gegeben ist. Wird die zulässige Höchstgeschwindigkeit von 50 km/h um mindestens 50 km/h überschritten, liegt eine qualifiziert grobe Verkehrsregelverletzung im Sinne von <ref-law> vor (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 136 mit Hinweis).
2.2. Vorliegend wird dem Beschwerdeführer vorgeworfen, am 3. Juni 2017 ein Fahrzeug mit 138 km/h statt der erlaubten 50 km/h gelenkt und damit die erlaubte Höchstgeschwindigkeit um 88 km/h überschritten zu haben. Die Vorinstanz verweist auf die sich in den Akten befindlichen umfangreichen Ermittlungen der Untersuchungsbehörden mit Befragungen des Beschwerdeführers und seiner Freundin, Handyauswertungen sowie dem Radarfoto und hält fest, diese liessen zumindest als äusserst wahrscheinlich erscheinen, dass der Beschwerdeführer das Fahrzeug im fraglichen Zeitpunkt selbst gelenkt und dabei die massive Geschwindigkeitsüberschreitung begangen habe. Diese Ausführungen lassen keine offensichtlich falsche Sachverhaltsfeststellung erkennen, auch wenn der Beschwerdeführer behauptet, nicht selber gefahren zu sein. Aus dem von ihm geltend gemachten einwandfreien Leumund vermag er vorliegend sodann nichts zu seinen Gunsten abzuleiten. Unter besonderen Umständen kann auch eine erstmalige massive Geschwindigkeitsüberschreitung Zweifel an der Fahreignung wecken, welche die Anordnung eines vorsorglichen Sicherungsentzugs und einer verkehrspsychologischen Abklärung rechtfertigen (Urteile 1C_154/2018 vom 4. Juli 2018 E. 4.2; 1C_658/2018 vom 20. Juni 2016 E. 2; je mit Hinweisen). Es ist deshalb nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz erwog, es würden hinreichend konkrete Anhaltspunkte vorliegen, die ernsthafte Zweifel an der Fahreignung des Beschwerdeführers wecken. Die Anordnung der Fahreignungsüberprüfung erweist sich damit als bundesrechtskonform.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, dass die Abklärung seiner Fahreignung nicht vor dem Abschluss des strafrechtlichen Verfahrens hätte angeordnet werden dürfen.
Die kantonalen Behörden haben vorliegend insbesondere mit Blick auf einen Sicherungsentzug ein Verfahren eingeleitet. Massgeblich ist dabei, ob der Beschwerdeführer noch fähig ist, ein Motorfahrzeug zu führen, oder ob ihm dies aus Gründen der Verkehrssicherheit untersagt werden soll. Dass entsprechende Schritte sofort einzuleiten sind, versteht sich angesichts der Natur der Sache von selbst. Dem Sicherungsentzug liegen denn auch andere Überlegungen und Gewichtungen zu Grunde als dem Strafverfahren. Die kantonalen Behörden waren daher nicht gehalten, den Abschluss des hängigen separaten Strafverfahrens abzuwarten, um verwaltungsrechtliche Sicherheitsmassnahmen zur vorläufigen Abwehr massiver Gefahren im Strassenverkehr zu ergreifen (<ref-ruling> E. 2b S. 363; Urteil 1C_658/2015 vom 20. Juni 2016 E. 2).
3.2. Weiter macht der Beschwerdeführer geltend, die Verwaltungsbehörden dürften nur auf einen unbestrittenen bzw. eingestandenen Sachverhalt abstellen, es liege nicht in ihrer Kompetenz, die Schuldfrage zu klären.
Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers findet die Unschuldsvermutung beim Sicherungsentzug keine Anwendung. Diese Massnahme erfolgt nicht wegen eines schuldhaften Verhaltens des Ausweisinhabers, sondern - wie bereits erwähnt - im Interesse der Verkehrssicherheit (<ref-ruling> E. 6 S. 393 mit Hinweis). Das Verwaltungsgericht ist denn auch nicht auf die Schuldfrage eingegangen.
4.
Die Beschwerde erweist sich somit als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind keine zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn, Motorfahrzeugkontrolle, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Strassen ASTRA, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Mai 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Die Gerichtsschreiberin: Dambeck