Sachverhalt:
A.
A.a. A._ stellte am 1./9. Februar 2016 beim Bezirksgericht Zürich ein Arrestbegehren gegen die C._ Ltd., mit Sitz in Singapur, zur Sicherung von Forderungen aus Auftrag sowie ungerechtfertigter Bereicherung im Umfang von (insgesamt) Fr. 626'255.80 zuzüglich Zinsen und Verfahrenskosten. Mit Arrestbefehlen Nr. 25'790 vom 5. Februar 2016 sowie Nr. 25'793 vom 9. Februar 2016 an das Betreibungsamt Zürich 1 wurden sämtliche Vermögensgegenstände, die auf die C._ International AG, namentlich zwei (näher bezeichnete) Konten bei der Bank B._ AG verarrestiert. Mit Arresteinspracheentscheid vom 29. Juli 2016 wurden die Arreste im reduzierten Umfang von (insgesamt) Fr. 496'835.95 inkl. Kosten bestätigt.
A.b. Am 2. September 2016 teilte die UBS dem Betreibungsamt mit, dass sie an den verarrestierten Bankkonten ein Verrechnungs- und Pfandrecht bis zum Betrag von USD 2'565'000.-- gestützt auf eine Rahmenkreditvereinbarung geltend mache.
A.c. Mit Verfügungen vom 21. September 2016 zeigte das Betreibungsamt A._ als Gläubiger die von der Bank B._ AG geltend gemachten Rechte an und setzte ihm
(1) eine Frist von 10 Tagen zur Bestreitung des Verrechnungsrechts an, sowie
(2) eine Frist von 20 Tagen, um Klage auf Aberkennung des Pfandanspruchs gemäss <ref-law> zu erheben.
B.
B.a. Gegen die Verfügungen des Betreibungsamtes erhob A._ betreibungsrechtliche Beschwerden. Er beantragte im Wesentlichen, dass sowohl hinsichtlich des Verrechnungsrechts als auch des Pfandrechts ein Widerspruchsverfahren durchzuführen sei, wobei die Klägerrolle für beide Ansprachen der Bank B._ AG zuzuweisen sei.
B.b. Mit Entscheiden (CB160132 und CB160132) vom 6. Februar 2017 wies das Bezirksgericht Zürich als untere Aufsichtsbehörde über die Betreibungsämter die Beschwerden ab.
B.c. Gegen die Entscheide der unteren Aufsichtsbehörde gelangte A._ an das Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als obere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs, welches die Beschwerden mit Urteilen vom 12. Juli 2017 abwies.
C.
Mit Eingaben vom 26. Juli 2017 hat A._ Beschwerden in Zivilsachen erhoben. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung der obergerichtlichen Entscheide vom 12. Juli 2017 und der betreibungsamtlichen Verfügungen vom 21. September 2016. In der Sache sei das Betreibungsamt anzuweisen, sowohl hinsichtlich des Verrechnungsrechts als auch des Pfandrechts ein Widerspruchsverfahren durchzuführen und die Klägerrolle für beide Ansprachen der Bank B._ AG (Beschwerdegegnerin) zuzuweisen.
Weiter verlangt der Beschwerdeführer aufschiebende Wirkung.
Mit Präsidialverfügungen vom 23. August 2017 ist den Beschwerden aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.
Es sind die kantonalen Akten, indes keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten sind Entscheide einer oberen kantonalen Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibung und Konkurssachen, welche eine betreibungsamtliche Verfügung betreffend Arrestvollzug bzw. Widerspruchsverfahren zum Gegenstand haben. Dem Beschwerdeführer kommt ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Abänderung des Beschwerdeentscheides zu (<ref-law>). Die Beschwerde in Zivilsachen ist unabhängig eines Streitwertes gegeben (<ref-law> i.V.m. Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 2 lit. c BGG).
1.2. Vor Bundesgericht kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1). Die Missachtung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen (<ref-law>), wobei hier das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 1.2.2).
1.3. Die Verfahren 5A_559/2017 und 5A_560/2017 betreffen die gleichen Parteien und die angefochtenen Urteile und Beschwerden entsprechen sich. Die Verfahren können vereinigt werden (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
2.
2.1. Die obere Aufsichtsbehörde hat zunächst erwogen, dass die Beschwerdegegnerin mit ihrer Drittansprache zuwarten durfte, bis der Arrest bzw. Arresteinspracheentscheid rechtskräftig war. Dies sei ihr am 18. August 2016 mitgeteilt worden, so dass mit ihrer Drittansprache vom 2. September 2016 kein treuwidriges Zuwarten verbunden sei.
2.2. Nach Auffassung der Vorinstanz hat das Betreibungsamt auf die Einrede der Beschwerdegegnerin hin, dass die verarrestierte Forderung durch Verrechnung getilgt sei, zu Recht kein Widerspruchsverfahren eingeleitet. Daran ändere nichts, dass mit Arresteinsprache das Vorliegen des Arrestgegenstandes (der Bestand der verarrestierten Forderung) beurteilt werden könne. Es sei "nicht unrechtmässig", dass das Betreibungsamt im Fall, dass der Gläubiger (Beschwerdeführer) das Verrechnungsrecht der Drittschuldnerin (Beschwerdegegnerin) bestreite, die verarrestierte Forderungen als bestrittene Guthaben erfasse.
2.3. Mit Bezug auf das Pfandrecht, welches die Beschwerdegegnerin an den verarrestierten Forderungen geltend mache und für welches das Widerspruchsverfahren zur Anwendung komme, seien der Rahmenkreditvertrag zwischen der Bank und der C._ International AG vom 3. Oktober 2014 sowie die AGB der Bank ausschlaggebend, weil sich damit der äussere Anschein eines Pfandrechts an den verarrestierten Forderungen ergebe. Die Zuteilung der Klägerrolle an den Beschwerdeführer als Gläubiger sei richtig.
3.
Anlass zur Beschwerde gibt das Vorgehen des Betreibungsamtes, nachdem die Beschwerdegegnerin (Bank) ein Verrechnungs- sowie Pfandrecht an den verarrestierten Forderungen (Guthaben) geltend gemacht hat.
3.1. Für den Arrestvollzug gelten sinngemäss die Art. 91-109 SchKG betreffend die Pfändung (<ref-law>). Auf betreibungsrechtliche Beschwerde hin kann die Aufsichtsbehörde die Verfügung des Betreibungsamtes über die (Nicht-) Einleitung des Widerspruchsverfahrens (<ref-ruling> E. 4.2) und die Parteirollenverteilung (<ref-ruling> S. 127) überprüfen. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz eine Verletzung der Regeln über das Widerspruchsverfahren (<ref-law>) im Arrestvollzug vor.
3.2. Der Beschwerdeführer als Gläubiger kritisiert, dass die Vorinstanz gestützt auf das Verrechnungsrecht der Beschwerdegegnerin die verarrestierten Forderungen als "bestrittene Guthaben" bezeichne. Werde das Verrechnungsrecht geltend gemacht, müsse vielmehr das Widerspruchsverfahren durchgeführt werden.
3.2.1. Das Widerspruchsverfahren gemäss <ref-law> bezweckt, die Begründetheit eines Drittanspruchs für die laufende Vollstreckung zu klären; je nach Entscheidung darf ein bestimmter Gegenstand in die Zwangsvollstreckung gegen den Schuldner einbezogen werden oder nicht (BGE 44 III 205 E. 2; Urteil 5A_671/2017 vom 23. Januar 2018 E. 5.1.1, zur amtl. Publ. bestimmt). Das Widerspruchsverfahren ist hingegen ausgeschlossen, wenn der Drittschuldner - hier die Beschwerdegegnerin - die Verrechnung behauptet und damit der Bestand oder die Höhe der verarrestierten Forderung umstritten ist (<ref-ruling> E. 4; u.a. TSCHUMY, in: Commentaire romand, Poursuite et faillite, 2005, N. 5 zu Art. 106; KREN KOSTKIEWICZ, Schuldbetreibungs- und Konkursrecht, 3. Aufl. 2018, Rz. 798, S. 232). Dies hat die Vorinstanz zu Recht festgehalten. Der Beschwerdeführer verkennt, dass über das Bestehen der verarrestierten Forderung (nicht das Betreibungsamt, sondern) nur der Richter entscheiden kann, und zwar dann, wenn derjenige, der die in der Folge gepfändete Forderung ersteigert hat oder dem sie gemäss <ref-law> überwiesen wurde, sie geltend macht (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 4; bereits JAEGER, Bundesgesetz betreffend Schuldbetreibung und Konkurs, 1911, N. 7 zu Art. 99).
3.2.2. Bestreitet der Drittschuldner - wie hier die Beschwerdegegnerin durch Verrechnungseinrede - den Bestand oder die Höhe der verarrestierten bzw. gepfändeten Forderung, so hat dies lediglich zur Folge, dass die Verarrestierung bzw. Pfändung eine bestrittene Forderung betrifft (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 4; u.a. ROHNER, in: Kurzkommentar SchKG, 2. Aufl. 2014, N. 5 zu Art. 106 mit Hinweisen). Da - wie dargelegt (E. 3.2.1) - über das Verrechnungsrecht kein Widerspruchsverfahren durchgeführt wird, ist folglich keine Frist zur Bestreitung nach <ref-law> anzusetzen (FRITZSCHE/WALDER, Schuldbetreibung und Konkurs, Bd. I, 1984, § 23 Rz. 41). Eine Fristansetzung, innert welcher der Beschwerdeführer (als Gläubiger) das Verrechnungsrecht der Beschwerdegegnerin zu bestreiten habe, wird vom Obergericht "mangels Zuständigkeit des Betreibungsamtes für weitergehende Vorkehrungen" zu Recht abgelehnt. Bleibt - im Folgenden - zu prüfen, welche Bedeutung die Fristansetzung des Betreibungsamtes im konkreten Fall hat.
3.2.3. Eine Pfändung (Verarrestierung) als "bestrittene Forderung" könnte immerhin dann ausser Betracht fallen, wenn der Gläubiger nachträglich selber zur Überzeugung gelangt, dass die von ihm als Pfändungs- (Arrest-) objekt bezeichnete Forderung nicht besteht und alle Beteiligten die Nichtexistenz der Forderung anerkennen (<ref-ruling> S. 19; FRITZSCHE/WALDER, a.a.O.; LEBRECHT, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 12 zu Art. 99). In diesem Sinne kann die Fristansetzung des Betreibungsamtes verstanden werden. Entsprechend hat die Vorinstanz festgehalten, dass der Gläubiger (Beschwerdeführer) durch eine "Bestreitung" des Verrechnungsrechts "signalisiere", dass er nicht einverstanden sei, dass "das angebliche Verrechnungsrecht der Arrestierung und späteren Pfändung vorgehe". Das von der Vorinstanz bestätigte Vorgehen des Betreibungsamtes wird insoweit nicht kritisiert. Weitere Ausführung zum Vorgehen erübrigen sich, weil die Fristansetzung dem Beschwerdeführer - wie die Vorinstanz festgehalten hat - ohnehin "nicht geschadet" hat, d.h. er insoweit nicht beschwert ist: Bereits die Erstinstanz hat festgehalten, dass der Beschwerdeführer das Verrechnungsrecht der Beschwerdegegnerin "bestritten", d.h. auf dem Arrestbeschlag bestanden hat. Dass eine Aufhebung der Verarrestierung zur Diskussion steht, behauptet der Beschwerdeführer selber nicht.
3.2.4. Nach dem Dargelegten ist entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers für das Verrechnungsrecht der Beschwerdegegnerin kein Widerspruchsverfahren durchzuführen. Die Vorinstanz hat zu Recht bestätigt, dass das Betreibungsamt die verarrestierte Forderung als bestrittenes Guthaben zu bezeichnen hat, wenn die Beschwerdegegnerin sich auf die Tilgung durch Verrechnung beruft.
3.2.5. An diesem Ergebnis ändert nichts, wenn der Beschwerdeführer vorbringt, dass die Beschwerdegegnerin als Drittschuldnerin das Recht auf Verrechnung "verwirkt" habe, weil sie keine Arresteinsprache erhoben habe. Die Verarrestierung oder Pfändung einer Forderung kann die Stellung des Drittschuldners nicht verschlechtern (<ref-ruling> E. 4; REISER, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 87 zu Art. 275). Über das Verrechnungsrecht des Drittschuldners wird (wie erwähnt) im Falle einer nachfolgenden Verwertung durch Forderungsüberweisung (<ref-law>) in einem materiellen Prozess entschieden (<ref-ruling> E. 1.1; AMBERG, in: Kurzkommentar SchKG, 2. Aufl. 2014, N. 21 zu Art. 131). Von einer "Verletzung des rechtlichen Gehörs" des Beschwerdeführers (Gläubigers), weil die Einreden des Drittschuldners erhalten bleiben, kann daher keine Rede sein, und die Rüge des Beschwerdeführers einer "unrichtigen Sachverhaltsfeststellung" mit dem Hinweis, dass die Beschwerdegegnerin tatsächlich keine Arresteinsprache erhoben habe, geht mangels Rechtserheblichkeit fehl.
3.3. Sodann rügt der Beschwerdeführer das Vorgehen des Betreibungsamtes mit Bezug auf das Pfandrecht, welches die Beschwerdegegnerin an den verarrestierten Forderungen geltend macht. Zu Recht steht nicht in Frage, dass die Abklärung eines Pfandrechts (vgl. <ref-law>) an einer verarrestierten Forderung im Widerspruchsverfahren vorgenommen wird (BGE 29 I 262 E. 6; Urteil 5A_702/2014 vom 31. August 2015 E. 3; DALLÈVES, Revendication, SJK Nr. 985, 1999, S. 8).
3.4. Der Beschwerdeführer macht indes geltend, dass die Beschwerdegegnerin das Pfandrecht an den verarrestierten Forderungen bereits im Februar 2016 hätte anmelden sollen, weshalb die Drittansprache (vom 2. September 2016) verwirkt sei.
3.4.1. Die Rechte an einem verarrestierten Gegenstand sind nach Treu und Glauben innert nützlicher Frist geltend zu machen, ansonsten das Anmelderecht - die Berücksichtigung des Pfandrechts im weiteren Vollstreckungsverfahren - verwirkt (<ref-ruling> E. 2a). Der Beschwerdeführer erblickt eine verspätete Geltendmachung des Pfandrechts im Zusammenhang mit dem Arrest.
3.4.2. Eine Drittansprache ist erst nach Ablauf der Arresteinsprachefrist bzw. nach rechtskräftiger Erledigung einer Arresteinsprache innert nützlicher Frist zu erheben (<ref-ruling> E. 1b). Die Vorinstanz hat festgehalten, dass der Beschwerdegegnerin am 18. August 2016 die rechtskräftige Erledigung der Arresteinsprache mitgeteilt worden sei. Wenn sie geschlossen hat, dass die Drittansprache der Beschwerdegegnerin vom 2. September 2016 nicht treuwidrig verzögert, sondern rechtzeitig erhoben worden sei, liegt insoweit keine Rechtsverletzung vor. Der Hinweis des Beschwerdeführers auf das Verrechnungsrecht des Drittschuldners geht von vornherein fehl, weil für jene Einrede - wie erwähnt (E. 3.2.1) - das Widerspruchsverfahren ausgeschlossen ist.
3.5. Schliesslich bringt der Beschwerdeführer mit Bezug auf das Pfandrecht an den verarrestierten Forderungen vor, dass das Betreibungsamt im Rahmen der Parteirollenverteilung im Widerspruchsprozess die Klägerrolle der Beschwerdegegnerin (als Drittansprecherin) hätte zuweisen müssen.
3.5.1. Bei Forderungen und sonstigen Rechten, die nicht in ein Wertpapier gekleidet sind, wird für das einzuschlagende Widerspruchsverfahren und insbesondere für die Parteirollenverteilung im Widerspruchsprozess nicht auf den Gewahrsam, sondern auf die grössere Wahrscheinlichkeit der materiellen Berechtigung des Schuldners oder des Dritten abgestellt (vgl. <ref-ruling> E. 1; TSCHUMY, a.a.O., N. 5 zu Art. 107). Das Betreibungsamt hält sich dabei an die Erklärungen des Schuldners oder des Drittansprechers und hat die Triftigkeit des Anspruchs - d.h. die Frage, ob die Sachlage mit der Rechtslage übereinstimmt - nicht zu überprüfen (<ref-ruling> E. 3b; zit. zur amtl. Publ. bestimmtes Urteil 5A_671/2017 vom 23. Januar 2018 E. 5.1.2.2).
3.5.2. Die Beklagtenrolle ist dem Drittansprecher zuzuweisen, wenn er für sein behauptetes Pfandrecht an einer gepfändeten bzw. verarrestierten Forderung eine zu seinen Gunsten ausgestellte schriftliche Verpfändungserklärung, die sich nicht schon auf den ersten Blick als ungültig erweist, vorzulegen vermag (A. STAEHELIN, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 4 zu Art. 108). Nach dem Sachverhalt im angefochtenen Urteil steht fest, dass die Beschwerdegegnerin gemäss Rahmenkreditvertrag zwischen ihr und der C._ International AG vom 3. Oktober 2014 sowie gemäss den AGB der Bank (gleichlautende Ausgaben 2012 und 2015) "an allen Vermögenswerten, die sie auf Rechnungen des Kunden bei sich anderswo aufbewahrt, wie auch an allen Forderungen des Kunden gegen sie ein Pfandrecht hat". Zu Recht wird nicht in Frage gestellt, dass Forderungen, die sich gegen den Pfandgläubiger richten, diesem verpfändet werden können (<ref-ruling> E. 2a). Der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern die Vorinstanz die Regeln über die Parteirollenverteilung verkannt habe, wenn sie angenommen hat, dass die Beschwerdegegnerin als Drittansprecherin eine zu ihren Gunsten ausgestellte schriftliche Verpfändungserklärung vorzulegen vermag, die sich nicht schon auf den ersten Blick als ungültig erweist, und deshalb dem Beschwerdeführer die Klägerrolle zugewiesen hat.
3.5.3. Aus dem Arresteinspracheverfahren und -entscheid kann der Beschwerdeführer nichts für sich ableiten. Entgegen seiner Auffassung präjudiziert das Arresteinspracheverfahren das Widerspruchsverfahren nicht und ist der Dritte zur Arresteinsprache nicht verpflichtet (u.a. MEIER-DIETERLE, in: Kurzkommentar SchKG, 2. Aufl. 2014, N. 8 zu Art. 278; GASSER, Das Abwehrdispositiv der Arrestbetroffenen [...], ZBJV 1994 S. 618 f.). Es bleibt dabei, dass das Betreibungsamt in Anwendung von <ref-law> dem Beschwerdeführer als betreibendem Gläubiger eine Frist von 20 Tagen zur Klage auf Aberkennung des Pfandanspruchs der Beschwerdegegnerin ansetzen durfte.
4.
Nach dem Dargelegten ist der Beschwerde kein Erfolg beschieden. Bei diesem Ausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zu leisten, da der Beschwerdegegnerin kein ersatzpflichtiger Aufwand entstanden ist.
Das Bundesgericht hat der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt. Der Fristenlauf zur Erhebung der Widerspruchsklage beginnt damit nach Beendigung der Aufschiebung von neuem, so dass die Zustellung des Urteils als neue Klagefristansetzung gilt (vgl. <ref-ruling>; Urteil 5A_1023/2015 vom 6. September 2016 E. 4).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 5A_559/2017 und 5A_560/2017 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Dem Beschwerdeführer läuft die gemäss Verfügungen des Betreibungsamtes Zürich 1 vom 21. September 2016 angesetzte Frist von 20 Tagen zur Klage auf Aberkennung des Pfandanspruchs neu ab Zustellung des Urteils.
4.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 6'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Eine Parteientschädigung ist nicht zu leisten.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Betreibungsamt Zürich 1 und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Mai 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierendes Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante