Faits :
A.
A._ a intégré le cursus de formation conduisant à la maîtrise universitaire disciplinaire en enseignement secondaire (ci-après: la maîtrise) proposé par l'Institut universitaire de formation des enseignants de l'Université de Genève (ci-après: l'Institut) lors de l'année académique 2016-2017. La discipline choisie était la géographie. Dans ce cadre, A._ a demandé et obtenu le bénéfice d'une formation complémentaire consistant en des mesures dites " compensatoires ", dès lors que la Conférence des Directeurs cantonaux de l'Instruction publique avait reconnu son diplôme et son expérience professionnelle acquis au Pérou (cf. <ref-law>). Elle a ainsi signé, le 2 novembre 2016, un plan d'études personnalisé prévoyant un atelier de " didactique secondaire II en géographie " comptant 6 crédits ECTS ( European Credits Transfer System ou Système européen de transfert et d'accumulation de crédits), ainsi qu'un stage pratique portant sur un enseignement en géographie accompagné et analysé en secondaire II valant 19 crédits ECTS. Ce stage devait avoir lieu au Collège C._.
A la session d'examens du mois de juin 2017, A._ n'a pas réussi à obtenir l'attestation relative au stage accompagné précité. Elle a également échoué à l'atelier de didactique secondaire II en géographie. Ces échecs n'ont pas été contestés.
Durant le second semestre de l'année 2017-2018, A._ a effectué un stage de rattrapage en duo au Collège C._. Elle était accueillie par B._, maître de géographie.
B.
A la session d'examens de juin 2018, A._ a échoué pour la seconde fois à l'atelier de didactique secondaire II en géographie. Elle n'a pas réussi non plus à obtenir l'attestation relative au stage accompagné. Le 9 juillet 2018, sur la base du préavis du Comité de direction, la Direction de l'Institut a notifié à l'intéressée son élimination du programme de maîtrise au regard des deux échecs précités.
Les 10 et 25 juillet 2018, A._ a formé opposition contre le compte-rendu de l'atelier de didactique et demandé la validation de celui-ci, respectivement l'annulation de la décision d'élimination.
Le 4 février 2019, le Comité de direction de l'Institut a rejeté l'opposition et confirmé la décision d'élimination du 9 juillet 2018.
Par acte du 5 mars 2019, A._ a interjeté recours contre la décision sur opposition du Comité de direction de l'Institut auprès de la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de justice). Celle-ci a rejeté le recours par arrêt du 28 janvier 2020, confirmant ainsi la décision attaquée.
C.
A._ (ci-après: la recourante) dépose un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal précité. Outre le bénéfice de l'assistance judiciaire, elle demande l'annulation de l'arrêt attaqué et le renvoi de la cause à la Cour de justice pour qu'elle statue à nouveau dans le sens des considérants.
La Cour de justice a renoncé à formuler des observations sur le recours. Elle s'en rapporte à justice quant à sa recevabilité et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. L'Institut a pour sa part répondu au recours, concluant à son irrecevabilité, subsidiairement à son rejet.
La recourante a répliqué.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 397; <ref-ruling> consid. 2 p. 59).
1.1. En vertu de l'art. 83 let. t LTF, la voie du recours en matière de droit public n'est pas ouverte à l'encontre des décisions qui concernent le résultat d'examens ou d'autres évaluations des capacités, notamment en matière de scolarité obligatoire, de formation ultérieure ou d'exercice d'une profession. Un recours en matière de droit public est donc exclu lorsque la décision attaquée porte matériellement sur l'évaluation des aptitudes intellectuelles ou physiques du candidat et que celle-ci demeure litigieuse devant le Tribunal fédéral (cf. <ref-ruling> consid. 1 p. 231; arrêt 2C_113/2019 du 6 mai 2019 consid. 1).
En l'espèce, la recourante a déclaré déposer un " recours en matière de droit public " contre un arrêt cantonal confirmant son élimination définitive du cursus de formation tendant à l'obtention d'une maîtrise universitaire disciplinaire en enseignement secondaire proposé par l'Institut. Cette élimination résulte du fait que l'intéressée n'a pas reçu l'attestation de réussite de son stage accompagné en gymnase et a échoué à son atelier de didactique secondaire II en géographie. La recourante conteste cette décision en prétendant que les autorités cantonales ont mal jugé ses performances en lien avec le stage et l'atelier en question. Son recours en matière de droit public concerne ainsi, sur le fond, deux évaluations de capacités, de sorte qu'il est irrecevable en tant que tel.
1.2. Reste à déterminer si la voie du recours constitutionnel subsidiaire est ouverte en la cause contre l'arrêt attaqué (<ref-law> a contrario). L'intitulé erroné du recours ne nuit en effet pas à son auteur, pour autant que les conditions de recevabilité du recours qui aurait dû être interjeté soient réunies et que le recours soit convertible dans son ensemble (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 370; <ref-ruling> consid. 1.6 p. 275; aussi 2C_952/2015 du 15 juillet 2016 consid. 1.1).
En l'occurrence, la recourante se plaint de la violation de plusieurs droits constitutionnels dans son mémoire (<ref-law>) et dispose d'un intérêt juridique à obtenir l'annulation ou la modification de la décision attaquée, afin de poursuivre sa formation (<ref-law>; cf. arrêt 2D_42/2019 du 25 mars 2020 consid. 1.2). En outre, son recours est dirigé contre une décision finale (art. 117 et 90 LTF), rendue par une autorité judiciaire supérieure qui statue en dernière instance cantonale (<ref-law>). Il a enfin été déposé en temps utile (<ref-law>; art. 117 et 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (<ref-law>). Il est précisé à ce dernier égard qu'en l'espèce, la recourante pouvait exceptionnellement se dispenser de prendre des conclusions en réforme de l'arrêt attaqué et ne conclure qu'à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité précédente, dès lors que le Tribunal fédéral, dans l'hypothèse où il admettrait le recours, ne serait de toute manière pas en mesure de statuer lui-même sur le fond (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 135 s.; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 383; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 139; arrêt 2C_544/2019 du 21 avril 2020 consid. 1.3). Le recours est donc recevable en tant que recours constitutionnel subsidiaire.
2.
Le recours constitutionnel subsidiaire ne peut être formé que pour violation des droits constitutionnels (<ref-law>). En vertu de l'<ref-law>, applicable par renvoi de l'<ref-law>, les griefs y relatifs doivent être invoqués et motivés de façon détaillée en précisant en quoi consiste la violation, sous peine d'irrecevabilité (<ref-ruling> consid. 3 p. 237).
Le Tribunal fédéral statue pour le reste sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente si les faits ont été établis en violation du droit au sens de l'art. 116 (<ref-law>), ce que la partie recourante doit également démontrer d'une manière circonstanciée et précise, conformément aux exigences de motivation posées à l'<ref-law> (par renvoi de l'<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 444 s.).
3.
Dans son mémoire, la recourante se plaint de plusieurs violations de son droit d'être entendue garanti à l'art. 29 Cst. qui se recoupent partiellement. De tels griefs doivent être examinés en premier lieu dès lors qu'ils sont de nature à entraîner l'annulation de la décision attaquée indépendamment des chances de succès du recours au fond (cf. notamment <ref-ruling> consid. 3 p. 563 et arrêt 2D_54/2014 du 23 janvier 2015 consid. 4).
3.1. La recourante se plaint en particulier d'une motivation insuffisante de l'arrêt attaqué qui, d'après elle, ne dit rien sur la " discrépance manifeste " entre les critiques formulées à l'égard de ses prestations par les évaluateurs et la réalité des cours qu'elle a donnés durant son stage. Elle indique avoir pourtant déposé un mémoire de quarante-cinq pages démontrant, pièces à l'appui, que les évaluations, telles qu'effectuées, se fondent sur des faits inexacts. D'après elle, la Cour cantonale a ainsi violé son droit d'être entendue en n'examinant aucun des arguments soulevés et aucune des pièces produites, quand bien même celles-ci démontraient que les examinateurs avaient fondé leurs appréciations sur des " a priori manifestement inexacts ". Elle relève que ces évaluateurs jouissaient certes d'un large pouvoir d'appréciation au moment d'évaluer ses performances, mais que la Cour de justice n'en avait pas moins le pouvoir d'intervenir dès lors que les intéressés s'étaient laissé guider par des motifs sans rapport avec les examens. Elle reproche ainsi à l'autorité précédente de ne pas avoir examiné l'ensemble de ses griefs, en plus de n'avoir pas suffisamment motivé son arrêt.
3.2. Selon la jurisprudence, l'autorité qui ne traite pas un grief relevant de sa compétence, motivé de façon suffisante et pertinent pour l'issue du litige, commet un déni de justice formel proscrit par l'art. 29 al. 1 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9; <ref-ruling> consid. 3a p. 117 et les références). Il en va de même lorsqu'elle restreint sa cognition à l'arbitraire alors même qu'elle dispose d'un plein pouvoir d'examen (cf. arrêt 1A.25/2006 du 13 mars 2007 consid. 4.1). S'agissant d'une autorité judiciaire, le déni de justice, tel qu'il vient d'être décrit, peut constituer une violation de la garantie de l'accès au juge ancrée à l'art. 29a Cst. Cette disposition donne en effet le droit d'accès à une autorité judiciaire exerçant un pouvoir d'examen complet sur les faits et du droit (cf. <ref-ruling> consid. 2.5 p. 239 et consid. 2.5.2 p. 140 s.). Lorsque, comme en l'espèce, une seule autorité judiciaire est appelée à se prononcer dans une cause avant le Tribunal fédéral, une restriction de sa cognition à l'arbitraire représente aussi une violation de l'<ref-law>, auquel renvoie aussi l'<ref-law>. Il découle en effet de ces dispositions qu'une telle autorité doit examiner librement les faits et appliquer d'office le droit déterminant non seulement lorsque ses jugements peuvent faire l'objet d'un recours ordinaire au Tribunal fédéral, mais également lorsqu'ils ne sont susceptibles que d'un recours constitutionnel subsidiaire. Dans ces cas, il est exclu que, dans l'examen des faits ou du droit, le juge cantonal, statuant en tant que seule autorité judiciaire précédente, se borne à examiner si la décision attaquée est arbitraire (cf. notamment arrêt 2D_54/2014 du 23 janvier 2015 consid. 5.6).
Les principes qui précèdent s'appliquent aux décisions qui concernent le résultat d'examens ou d'autres évaluations des capacités. Dans sa jurisprudence, le Tribunal fédéral admet certes que l'autorité judiciaire précédente fasse preuve d'une certaine retenue (" gewisse Zurückhaltung "), voire d'une retenue particulière (" besondere Zurückhaltung "), lorsqu'elle est amenée à vérifier le bien-fondé d'une note d'examen (<ref-ruling> consid. 5.4.1 p. 237; arrêts 2C_632/2013 du 8 juillet 2014 consid. 3.2 et 2D_6/2013 du 19 juin 2013 consid. 3.2.2). Faire preuve de retenue ne signifie toutefois pas limiter sa cognition à l'arbitraire. Une telle limitation n'est compatible ni avec l'art. 29a Cst., ni avec l'<ref-law>, qui garantissent pour tous les litiges l'accès à au moins un tribunal qui peut contrôler exhaustivement les questions de fait et de droit (arrêt 2C_180/2013 du 5 novembre 2013 consid. 8.1).
3.3. En l'occurrence, dans l'arrêt attaqué, la Cour de justice a d'emblée précisé qu'elle devait faire preuve d'une certaine retenue lorsqu'elle vérifiait le bien-fondé d'une décision prise par une autorité jouissant d'une marge d'appréciation très large, de sorte que son pouvoir d'examen était " extrêmement restreint " en la cause. Elle a ensuite ajouté qu'elle n'annulait des résultats d'examen que si l'autorité intimée s'était laissé guider par des motifs sans rapport avec l'examen ou d'une autre manière " manifestement insoutenable ", avant de re prendre un vaste extrait de la jurisprudence fédérale définissant la notion de l'arbitraire. Sur la base de ces éléments, il apparaît ainsi que la Cour de justice est partie de l'idée qu'elle devait analyser la décision de l'Institut entreprise par la recourante sous l'angle de l'arbitraire uniquement, alors même qu'une telle limitation de cognition n'était pas permise à l'aune du droit fédéral, ainsi qu'on l'a vu. Il n'y a par ailleurs pas lieu de penser que la Cour de justice ait commis une simple erreur de rédaction ne reflétant pas le contrôle qu'elle aurait concrètement effectué (cf. en comparaison arrêt 2C_537/2018 du 24 janvier 2019 consid. 2.4). Rien n'indique en effet qu'elle aurait en réalité exercé un pouvoir d'examen plein et entier en la cause, en s'imposant seulement une certaine retenue. Dans les considérants de son arrêt, l'autorité précédente reproche au contraire clairement à la recourante - qui avait contesté de nombreux constats de fait opérés par ses évaluateurs - de formuler des griefs de type appellatoire seulement (cf. aussi infra consid. 3.5) et de ne pas avoir démontré que " l'évaluation de ses performances serait arbitraire ".
Ainsi, après avoir évoqué à juste titre la retenue qu'elle devait s'imposer lorsqu'elle vérifiait le bien-fondé d'une note d'examen, la Cour de justice a, dans les faits, apprécié la décision entreprise sous l'angle de l'arbitraire, ce qui constitue une limitation excessive de son pouvoir d'examen et, partant, une violation du droit d'être entendu de la recourante.
3.4. A cela s'ajoute que le droit d'être entendu consacré à l'art. 29 Cst. comprend également l'obligation pour l'autorité judiciaire saisie de motiver sa décision, afin que son destinataire puisse la comprendre, l'attaquer utilement s'il y a lieu et que l'autorité de recours puisse exercer son contrôle (<ref-ruling> consid. 2.6 p. 73; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 88). Le juge doit ainsi mentionner, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision. Il n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à l'examen des questions décisives pour l'issue du litige (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 564 s.; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 88 et les arrêts cités). S'agissant des autorités qui statuent juste avant le Tribunal fédéral, l'<ref-law>, auquel renvoie également l'<ref-law>, prévoit aussi que leurs décisions doivent indiquer les motifs déterminants de fait et de droit sur lesquels elles se sont fondées. Si la décision attaquée ne satisfait pas à ces exigences, le Tribunal fédéral peut soit la renvoyer à l'autorité cantonale en invitant celle-ci à la parfaire, soit l'annuler (<ref-law>).
3.5. En l'occurrence, dans l'arrêt attaqué, après avoir limité à tort son pouvoir d'examen à l'arbitraire et reproché à la recourante de n'avoir pas démontré le caractère manifestement insoutenable de la décision de l'Institut (cf. supra consid. 3.3), la Cour de justice n'a évoqué aucun des différents griefs formulés par l'intéressée. Dans ses considérants, elle se contente de résumer, sur moins d'une page, les différentes étapes de l'évaluation du stage et de l'atelier didactique de la recourante et de relever que divers comptes-rendus et rapports du dossier font état d'insuffisances, sans décrire leur contenu ou leur nature, ni préciser l'évaluation à laquelle ils se rapportent (cf. arrêt attaqué p. 10 ch. 10). Une motivation aussi succincte, qui se réfère de manière générale aux rapports fournis par l'autorité de décision de première instance, sans explication précise, alors même que la recourante prétendait, pièces à l'appui, que les appréciations de ses examinateurs découlaient de constats manifestement inexacts, n'est pas suffisante. En l'état, il est impossible de discerner les faits sur lesquels la Cour de justice s'est fondée pour rejeter le recours de la recourante, ni donc de déterminer si ce rejet procède de l'arbitraire ainsi que le prétend cette dernière devant la Cour de céans. La Cour de justice aurait dû exposer, au moins dans les grandes lignes, les exigences que l'intéressée devait remplir pour réussir son stage et son atelier didactique, avant d'expliquer pourquoi, selon les rapports, la recourante n'y avait pas satisfait, et, enfin et surtout, répondre de manière plus spécifique aux griefs formulés par celle-ci dans son recours. En tant qu'unique autorité judiciaire de recours jouissant d'un plein pouvoir d'examen, il ne lui était en tout cas pas loisible d'écarter de manière générale et extrêmement lapidaire toutes les critiques soulevées contre la décision attaquée en arguant seulement que la recourante ne faisait qu'" oppose[r] aux évaluations de l'[Institut] sa propre appréciation de son travail ". Ayant procédé de la sorte, l'autorité précédente a rendu une décision qui ne respecte pas le niveau de motivation minimal attendu par l'art. 29 al. 2 Cst.
4.
Sur le vu de ce qui précède, il convient d'admettre le recours, sans même examiner les autres griefs soulevés par la recourante dans son mémoire. L'arrêt attaqué, qui viole sur plusieurs points le droit d'être entendu de l'intéressée, doit être annulé et le dossier renvoyé à la Cour de justice afin que celle-ci statue à nouveau en exerçant pleinement son pouvoir d'examen et motive suffisamment son jugement.
5.
Le présent arrêt sera rendu sans frais (<ref-law>). La recourante étant représentée par un avocat, des dépens peuvent lui être alloués à la charge de l'Université de Genève (<ref-law>). La demande d'assistance judiciaire devient par là même sans objet, étant précisé que les dépens octroyés doivent être directement versés au mandataire de la recourante.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours, traité comme un recours constitutionnel subsidiaire, est admis.
2.
L'arrêt du 28 janvier 2020 de la Cour de justice est annulé et la cause renvoyée à celle-ci pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
L'Université de Genève versera au mandataire de la recourante la somme de 2'000 fr. à titre de dépens.
5.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, à l'Institut de formation des enseignants de l'Université de Genève (IUFE) et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative, en section.
Lausanne, le 17 août 2020
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Jeannerat