Erwägungen:
1.
1.1. Die Steuerverwaltung des Kantons Luzern (KSTV/LU; nachfolgend: die Veranlagungsbehörde) verpflichtete A._ (nachfolgend: der Steuerpflichtige) mit Verfügung vom 23. Juni 2021 zur Leistung von Nachsteuern und Strafsteuern im Bereich der Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Luzern und der direkten Bundessteuer, Steuerperioden 2012 bis und mit 2018. Auf Einsprache hin bestätigte sie dies grundsätzlich, indem es nur zu geringfügigen Korrekturen kam (Einspracheentscheid vom 16. Juli 2021).
1.2.
1.2.1. Dagegen gelangte der Steuerpflichtige am 19. Juli 2021 über die Veranlagungsbehörde an das Kantonsgericht des Kantons Luzern. In der Folge forderte das Kantonsgericht den Steuerpflichtigen in den Verfahren 7W 21 63 / 7W 21 64 / 7W 21 65 / 7W 21 66 zur Leistung eines Kostenvorschusses von je Fr. 500.-- auf, zu erbringen bis zum 28. September 2021, ansonsten auf die Rechtsmittel nicht eingetreten werde.
1.2.2. Der Steuerpflichtige holte die mit eingeschriebener Briefpost versandten Verfügungen nicht ab. Nachdem die zweite Zustellung am 23. September 2021 erfolgreich verlaufen war, meldete er sich mit Schreiben vom 18. Oktober 2021 (Postaufgabe: 19. Oktober 2021) beim Kantonsgericht, wobei er ankündigte, die Kostenvorschüsse umgehend zu begleichen. Er machte geltend, berufsbedingt und aufgrund der Covid-19-Pandemie längerfristig auslandabwesend gewesen zu sein, weshalb er das erste Schreiben nicht habe entgegennehmen können. Aus den genannten Gründen ersuche er um Wiedereinsetzung in den früheren Stand.
1.2.3. Mit einzelrichterlicher Verfügung vom 22. Oktober 2021 in den vereinigten Verfahren 7W 21 63 / 7W 21 64 / 7W 21 65 / 7W 21 66 trat das Kantonsgericht auf die Rechtsmittel nicht ein. Die Begründung ging dahin, dass der Steuerpflichtige die fristgerechte Bezahlung der vier Kostenvorschüsse, die bis zum 28. September 2021 zu leisten gewesen wäre, versäumt habe. Wenn der Steuerpflichtige vorbringe, erst am 18. Oktober 2021 von den Verfügungen erfahren zu haben, dann habe er sich dies selbst zuzuschreiben. Er habe sich in einem Prozessrechtsverhältnis befunden, weswegen er mit fristauslösenden Schreiben zu rechnen bzw. das Kantonsgericht auf die bevorstehende Abwesenheit hinzuweisen gehabt habe. Andere Wiederherstellungsgründe als die Ortsabwesenheit bringe der Steuerpflichtige nicht vor. Der Vorwurf, dass auch eine Benachrichtigung per E-Mail vorzunehmen gewesen wäre, sei unbegründet, da die Behörden des Kantons Luzern mit den Rechtsunterworfenen einzig schriftlich verkehrten.
1.3. Mit Eingabe vom 10. November 2021 (Postaufgabe: 11. November 2021) erhebt der Steuerpflichtige beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt, in Aufhebung der angefochtenen Verfügung sei die Wiedereinsetzung in den früheren Stand anzuordnen. Die Begründung geht im Wesentlichen dahin, dass er als "gerichtsunerfahrener Laie" mit einer Zahlungsfrist von lediglich sieben Tagen nicht habe rechnen müssen. Es handle sich um ein "ganz unübliches Zahlungsziel". Pandemiebedingt sei er von einer (Rück-) Reiseverhinderung betroffen worden. Ausgehend von der zweiten Zustellung und unter Berücksichtigung einer "normalen Zahlungsfrist von vier Wochen" habe er die Zahlungen fristgerecht ausgelöst.
1.4. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (<ref-law> [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen, insbesondere einem Schriftenwechsel (<ref-law>), abgesehen.
2.
2.1. Die Vorinstanz hat ihre Überlegungen zur Anordnung eines Kostenvorschusses verfassungsrechtlich haltbar auf das rein kantonale Verfahrensrecht gestützt. Gemäss § 195 Abs. 1 des Gesetzes des (Kantons Luzern) vom 3. Juli 1972 über die Verwaltungsrechtspflege (VRG/LU; SRL 40) kann die Behörde von der Partei, die ein Verfahren einleitet und kostenpflichtig werden kann, einen angemessenen Vorschuss zur Sicherstellung der amtlichen Kosten verlangen. Das Gesetz sieht hierzu keine Fristenregelung vor, weshalb es im pflichtgemässen Ermessen der jeweiligen Behörde liegt, eine angemessene Frist zu bestimmen. Der Steuerpflichtige bemängelt das "ganz unübliches Zahlungsziel" von sieben Tagen und nimmt an, dass eine "normale Zahlungsfrist von vier Wochen" am Platz gewesen wäre. Dies findet im zitierten Gesetzestext keine Grundlage: Wenngleich eine Frist von sieben Tagen eher kurz ist, kann der Vorinstanz jedenfalls keine verfassungsrechtlich unhaltbare Auslegung und/oder Anwendung von § 195 Abs. 1 VRG/LU angelastet werden. Der Steuerpflicht trägt ohnehin keine Einwände vor, mit welchen er der ihn treffenden qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit (<ref-law>) genügen könnte. In der Beschwerde wäre klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen gewesen, dass und inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.4; <ref-ruling> E. 1.; <ref-ruling> E. 7.2.3). Bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid, wie der Steuerpflichtige sie übt, ist nicht zu hören und führt zum Nichteintreten auf die Eingabe (<ref-ruling> E. 1.3.1).
2.2. Nicht anders verhält es sich im Bereich der Fristwiederherstellung. Die Wiedereinsetzung in den früheren Stand erfährt in Art. 48 StHG keine ausdrückliche Regelung. Die Fristwiederherstellung ist daher Sache des kantonalen Rechts (Urteil 2C_886/2017 vom 2. November 2017 E. 3; Martin Zweifel/Silvia Hunziker, in: Martin Zweifel/Michael Beusch [Hrsg.], StHG, Kommentar, 3. Aufl. 2017, N. 24 zu Art. 48 StHG). Gemäss dem hier interessierenden § 36 Abs. 1 VRG/LU ist auf eine verspätete Rechtsvorkehr nur einzutreten, wenn die steuerpflichtige Person einerseits nachweist, dass sie oder ihre Vertretung unverschuldet - etwa durch Militär- oder Zivildienst, Krankheit, Landesabwesenheit oder andere erhebliche Gründe - an der rechtzeitigen Einreichung verhindert war (materielle Voraussetzung) und anderseits das Rechtsmittel innert zehn Tagen nach Wegfall der Hinderungsgründe eingereicht wurde (formelle Voraussetzung; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 2a). Keine materiell-objektiven Hinderungsgründen bilden namentlich Arbeitsüberlastung, organisatorische Unzulänglichkeit oder Ferienabwesenheit (zum Ganzen: Urteil 2C_788/2021 vom 27. Oktober 2021 E. 3.4.1). Vor diesem Hintergrund hat die Vorinstanz erwogen, dass eine Auslandabwesenheit, die bloss mit den Argumenten "berufsbedingt und pandemiebedingt" begründet werde, keine Schuldlosigkeit aufzuzeigen vermöge. Zudem bezog sie sich auf die "Aufmerksamkeitsdauer" von bis zu einem Jahr während des hängigen Rechtsmittelverfahrens und zur Mitwirkungspflicht im Fall einer bevorstehenden längeren Ortsabwesenheit (zu beidem: Urteil 2C_543/2021 vom 27. Juli 2021 E. 2.2.2). Dem vermag der Steuerpflichtige keine hinreichend begründeten Argumente entgegenzusetzen, ebenso wenig zur Frage der Benachrichtigung per E-Mail (§ 26 Abs. 1 VRG/LU). Darauf ist nicht weiter einzugehen.
2.3. Die Beschwerde erweist sich damit als offensichtlich unzureichend begründet, weshalb darauf mit einzelrichterlichem Entscheid des Abteilungspräsidenten als Instruktionsrichter nicht einzutreten ist (<ref-law>).
3.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Steuerpflichtigen aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Dem Kanton Luzern, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Entschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung mitgeteilt.
Lausanne, 19. November 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher