Erwägungen:
1.
1.1. A._ verlangt vom Kanton Schwyz Schadenersatz in unbestimmter Höhe bzw. in der Höhe von Fr. 120'000'000.00. Das Vermittleramt Schwyz lud die Parteien am 7. Oktober 2021 zur Schlichtungsverhandlung ein. Es trat gleichentags auf das Schlichtungsgesuch nicht ein, schrieb das Verfahren als erledigt am Protokoll ab und auferlegte A._ die Verfahrenskosten von Fr. 500.--, nachdem diese den Kostenvorschuss von Fr. 500.-- nicht bezahlt hatte. Das Kantonsgericht Schwyz wies die hiergegen eingereichte Beschwerde am 15. Dezember 2021 ab und bestätigte die Verfügung des Vermittleramts.
1.2. A._ gelangt hiergegen an das Bundesgericht; sie macht geltend, den Entscheid des Kantonsgerichts Schwyz nicht zu akzeptieren. Mit Schreiben vom 19. Januar 2022 wies die Abteilungskanzlei sie darauf hin, dass ihre Eingabe den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht genügen dürfte, sie aber noch bis zum Ablauf der Beschwerdefrist Gelegenheit habe, ihre Eingabe zu verbessern. A._ ergänzte ihre Beschwerde am 27. Januar 2022.
2.
2.1. Die Rechtsschriften an das Bundesgericht haben die Begehren und deren Begründung zu enthalten; dabei ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2 BGG [SR 173.110]). Die Begründung muss sachbezogen sein, d.h. den Gegenstand des angefochtenen Entscheids betreffen. Es ist in gezielter Form auf die für das Ergebnis massgeblichen Ausführungen der Vorinstanz einzugehen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 - 2.3).
2.2. Die vorliegende Eingabe genügt diesen Anforderungen nicht: Die Beschwerdeführerin bringt zum Ausdruck, dass sie mit dem vorinstanzlichen Entscheid nicht einverstanden ist. Sie schildert ihre Verhältnisse und die Umstände, die ihrer Forderung zugrunde liegen. Sie legt indessen - auch in ihrer Beschwerdeergänzung - nicht in Auseinandersetzung mit der Begründung des Verwaltungsgerichts dar, inwiefern dessen Entscheid bezüglich des Nichteintretens auf das Schlichtungsgesuch Recht verletzen würde. Dies ist auch nicht ersichtlich, nachdem sie selber ausführt, das sie verstanden habe, dass sie einen Kostenvorschuss zu leisten hatte; dies aber so berücksichtigt habe, wie sie es für "richtig fand". Die Beschwerde enthält offensichtlich keine rechtsgenügende Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG); es ist darauf mit Entscheid der Abteilungspräsidentin im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2.3. Dem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens entsprechend würde die unterliegende Beschwerdeführerin kostenpflichtig; es kann jedoch ausnahmsweise davon abgesehen werden, Kosten zu erheben (vgl. Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben und keine Parteientschädigungen zugesprochen.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Kantonsgericht Schwyz, 2. Zivilkammer, mitgeteilt.
Lausanne, 1. Februar 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar