Sachverhalt:
A.
Mit Strafbefehl vom 14. Februar 2018 hat die Staatsanwaltschaft des Kantons Freiburg A._ der üblen Nachrede, der Drohung und weiterer Delikte schuldig gesprochen und unter anderem zu einer bedingten Freiheitsstrafe von 160 Tagen verurteilt. A._ hat dagegen Einsprache erhoben, woraufhin die Staatsanwaltschaft die Akten der Polizeirichterin des Gerichts des Broyebezirks, Sonia Bulliard Grosset, zur Durchführung des Hauptverfahrens zustellte.
Mit Eingaben vom 5. März 2019, 28. März 2019, 3. Mai 2019, 17. Mai 2019 und 27. Mai 2019 stellte A._ Ausstandsgesuche gegen Richterin Bulliard Grosset. Mit Beschluss vom 11. Juni 2019 wies das Kantonsgericht des Kantons Freiburg die Gesuche ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht vom 19. August 2019 beantragt A._, der Beschluss vom 11. Juni 2019 sei aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an das Kantonsgericht zurückzuweisen.
Die Staatsanwaltschaft und die Beschwerdegegnerin beantragen die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Kantonsgericht hat sich vernehmen lassen, ohne einen förmlichen Antrag zu stellen. Der Beschwerdeführer hat dazu Stellung genommen.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer beantragt, das bundesgerichtliche Verfahren sei auf Deutsch zu führen. Dem Antrag kann in Anwendung von <ref-law> entsprochen werden (vgl. die ebenfalls den Beschwerdeführer betreffenden Urteile 1B_226/2019 und 1B_252/2019 vom 11. Juli 2019 E. 1.1).
1.2. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren in einer Strafsache (Art. 78 Abs. 1 und Art. 92 BGG). Das Kantonsgericht hat als letzte und einzige kantonale Instanz entschieden (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer äussert sich nicht zur Ausstandsfrage, sondern macht lediglich eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör geltend, dies in zweierlei Hinsicht.
2.2. Zum einen behauptet er, er habe am 6. Juni 2019 fristgemäss eine Stellungnahme abgesandt, die am 11. Juni 2019 beim Kantonsgericht eingetroffen, von diesem jedoch nicht berücksichtigt worden sei. Zum Beleg reicht er eine Aufgabebestätigung und eine "Sendungsverfolgung" der schweizerischen Post ("Track & Trace") ein.
Das Kantonsgericht hält dagegen in seiner Stellungnahme im bundesgerichtlichen Verfahren daran fest, dass es keine solche Eingabe erhalten habe. Zudem weist es darauf hin, dass am 11. Juni 2019 stattdessen ein an das Bundesgericht gerichtetes Schreiben vom 6. Juni 2019 bei ihm eingegangen sei, das einen Kostenvorschuss im Verfahren 1B_252/2019 betraf.
In seiner Replik legt der Beschwerdeführer dar, er habe am 6. Juni 2019 zwei eingeschriebene Briefe abgeschickt, einen zuhanden des Bundesgerichts und einen zuhanden des Kantonsgerichts. Er reicht zwei entsprechende Aufgabebestätigungen der Post ein und äussert die Vermutung, dass er die Kuverts vertauscht haben könnte.
Die Darstellung des Kantonsgerichts lässt sich aufgrund der Akten des Verfahrens 1B_252/2019 bestätigen. Darin befindet sich ein Schreiben des Beschwerdeführers betreffend Kostenvorschuss, datierend vom 6. Juni 2019. Während auf dem Schreiben die Adresse des Bundesgerichts steht, wurde das Kuvert an das Kantonsgericht adressiert. Dessen Eingangsstempel lautet auf den 11. Juni 2019. Auch die Sendungsnummer entspricht der vom Beschwerdeführer angegebenen. Dessen Rüge, das Kantonsgericht habe den Sachverhalt willkürlich festgestellt, indem es in seinem Beschluss festhielt, es sei keine Stellungnahme eingegangen, ist damit ebenso unbegründet wie die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs. Soweit der Beschwerdeführer seine eigentlich für das Kantonsgericht bestimmte Eingabe am letzten Tag der ihm eingeräumten Frist und wenige Tage vor der Beschlussfällung aufgrund einer Verwechslung von Kuverts an das Bundesgericht sandte, hat er es seiner mangelnden Sorgfalt zuzuschreiben, dass diese Eingabe nicht berücksichtigt werden konnte.
2.3. Zum andern macht der Beschwerdeführer geltend, die vom 21. Mai 2019 datierende Stellungnahme der Beschwerdegegnerin zu seinem Ausstandsgesuch sei ihm nicht zugestellt worden. Die Stellungnahme sei im Schreiben vom 23. Mai 2019 des Kantonsgerichts an seinen amtlichen Verteidiger erwähnt worden. Er selbst habe sie aber nie erhalten. Entweder sei sie von Anfang an nicht beigelegt worden oder sein Verteidiger habe sie ihm nicht weitergeleitet. Da der amtliche Verteidiger im Dienst des Staats stehe, seien seine Handlungen dem Staat zuzurechnen.
Das Kantonsgericht hält fest, die Stellungnahme der Beschwerdegegnerin sei dem amtlichen Verteidiger des Beschwerdeführers mit zwei Schreiben zugestellt worden, mit einem ersten vom 21. Mai 2019 und mit einem zweiten vom 23. Mai. 2019.
Auch diese Rüge des Beschwerdeführers ist unbegründet. Ein amtlicher Verteidiger ist kein Staatsorgan und seine Unterlassungen führen nur ausnahmsweise zu einer Interventionspflicht der Behörden (Urteile des EGMR Andreyev gegen Estland vom 22. November 2011, Nr. 48132/07, Ziff. 65; Kamasinski gegen Österreich vom 19. Dezember 1989, Nr. 9783/82, Ziff. 91). Eine solche Ausnahmesituation ist vorliegend klar zu verneinen. Trifft die Darstellung des Beschwerdeführers zu und übermittelte ihm sein amtlicher Verteidiger das Schreiben vom 23. Mai 2019 versehentlich ohne die fragliche Beilage, so konnte der Beschwerdeführer dem Schreiben doch ohne Weiteres entnehmen, dass eine solche Beilage existierte. Dass er sich nicht umgehend bei seinem amtlichen Verteidiger danach erkundigte, hat er sich selbst zuzuschreiben.
3.
Die Beschwerde ist aus den genannten Gründen abzuweisen.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Da die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind, kann dem Gesuch entsprochen werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft des Kantons Freiburg und dem Kantonsgericht Freiburg, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Oktober 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold