Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1996) fuhr am 13. Juli 2018 um 18:50 Uhr mit einem Personenwagen von Eptingen nach Arisdorf auf der Autobahn A2 Fahrtrichtung Basel. Während seiner Fahrt schaltete er in drei Tunnel jeweils nicht das gesetzlich vorgeschriebene Licht an seinem Personenwagen ein. Zudem hielt er mehrfach den minimalen Sicherheitsabstand zum vorausfahrenden Fahrzeug nicht ein und führte mehrere Rechtsüberholmanöver durch. Zusätzlich befuhr er wiederholt den Pannenstreifen. Aufgrund dieses Vorfalls verurteilte ihn die Staatsanwaltschaft Basel-Landschaft mit Strafbefehl vom 6. Juni 2019 wegen mehrfacher grober Widerhandlung gegen das Strassenverkehrsgesetz, des wiederholten Fahrens ohne Licht in einem Tunnel sowie des mehrfachen Fahrens auf einem Pannenstreifen zu einer bedingt vollziehbaren Geldstrafe von 100 Tagessätzen zu Fr. 180.-- sowie zu einer Busse von Fr. 3'000.--. Der Strafbefehl erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
B.
Mit Verfügung vom 18. September 2019 entzog das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern A._ den Führerausweis wegen mehrfacher grober Verkehrsregelverletzung für die Dauer von fünf Monaten. Eine dagegen erhobene Beschwerde von A._ wies die Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern mit Urteil vom 1. April 2020 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 16. Juli 2020 gelangt A._ an das Bundesgericht. Er beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und es sei vom Entzug des Führerausweises abzusehen. Eventuell sei die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen; subeventuell sei der Entzug des Führerausweises auf das gesetzliche Minimum von 3 Monaten zu beschränken. Zudem sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Die Vorinstanz, das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern sowie das Bundesamt für Strassen (ASTRA) beantragen die Abweisung der Beschwerde.
D.
Mit Verfügung vom 1. September 2020 erkannte der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zu.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid über einen Führerausweisentzug gemäss Strassenverkehrsgesetz (SVG, SR 741.01). Dagegen kann grundsätzlich Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten geführt werden (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 und Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer nahm am vorinstanzlichen Verfahren teil und ist als Inhaber des entzogenen Führerausweises sowie als direkter Adressat des angefochtenen Entscheids gemäss <ref-law> zur Beschwerdeführung berechtigt.
1.2. Mit der Beschwerde an das Bundesgericht kann, von hier nicht interessierenden Möglichkeiten abgesehen, nur die Verletzung von Bundesrecht (<ref-law>) sowie die offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>) gerügt werden. Im Übrigen legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>).
1.3.
1.3.1. Neue Tatsachen und Beweismittel können nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>), was in der Beschwerdeschrift näher darzulegen ist. Der vorinstanzliche Verfahrensausgang allein bildet noch keinen hinreichenden Anlass für das Vorbringen von unechten Noven, die bereits im kantonalen Verfahren ohne Weiteres hätten vorgebracht werden können (<ref-ruling> E. 1.2 S. 22 f.).
1.3.2. Das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt hat dem Beschwerdeführer die Möglichkeit gegeben, den entzogenen Führerausweis bei einem vollständigen Besuch des bfu-Kurses "Kurve Warnungsentzug" bereits nach vier Monaten Entzugsdauer zurückzuerhalten. Nach den unbestrittenen Feststellungen der Vorinstanz wurde der Beschwerdeführer aus diesem Kurs jedoch ausgeschlossen, weil er sich nicht an die Regeln gehalten hat, wonach die Teilnehmer aktiv mitarbeiten und sämtliche Aufträge zuverlässig und seriös erledigen müssen.
1.3.3. Der Beschwerdeführer versucht im bundesgerichtlichen Verfahren erstmals geltend zu machen, dass es ihm aufgrund eines Autounfalls und seiner damit verbundenen Arbeitsunfähigkeit vom 14. September 2019 bis zum 30. April 2020 nicht möglich gewesen sei, die für den Kurs notwendigen Hausaufgaben einzureichen. Als Beweis reicht der Beschwerdeführer ein ärztliches Attest mit Datum vom 17. März 2020 ein. Das Arztzeugnis wurde vor dem angefochtenen Entscheid ausgestellt. Das entsprechende Attest oder zumindest der Umstand, dass er die Hausaufgaben des bfu-Kurses aus gesundheitlichen Gründen nicht hat machen können, hätte der Beschwerdeführer demzufolge noch im vorinstanzlichen Verfahren vorbringen müssen. Dies insbesondere vor dem Hintergrund, dass sich aus den Vorakten ergibt, dass das Strassenverkehrsamt die Vorinstanz bereits am 24. Januar 2020 im Rahmen der Beschwerdevernehmlassung über den Kursausschluss des Beschwerdeführers informierte. Trotz Möglichkeit zur Stellungnahme äusserte sich der Beschwerdeführer im vorinstanzlichen Verfahren nicht dazu. Warum das Arztzeugnis bzw. der Umstand seiner Arbeitsunfähigkeit im Zusammenhang mit dem Kursabbruch nunmehr vom Bundesgericht erstmalig berücksichtigt werden sollte, legt der Beschwerdeführer nicht dar. Beim Arztzeugnis und dem damit zusammenhängenden Vorbringen handelt es sich deshalb um ein vor Bundesgericht unzulässiges unechtes Novum (vorne E. 1.3.1).
1.4. Auf die im Übrigen form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde kann eingetreten werden.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt (<ref-law>). Er macht unter Verweis auf <ref-ruling> geltend, die im Strafverfahren als Beweismittel für die ihm vorgeworfenen Verkehrsregelverletzungen herangezogenen Aufzeichnungen der Dashcam einer Privatperson seien in Missachtung von Art. 4 Abs. 4 des Bundesgesetzes über den Datenschutz vom 19. Juni 1992 (DSG; SR 235.1) erstellt worden. Die Aufzeichnungen dürften deshalb gestützt auf Art. 140 f. StPO für die Erstellung des rechtserheblichen Sachverhalts nicht verwertet werden. Das für das Strafverfahren geltende Beweiserhebungsverbot müsse auch im Administrativverfahren Geltung haben.
2.2. Nach ständiger bundesgerichtlicher Rechtsprechung ist die Verwaltungsbehörde grundsätzlich an die Tatsachenfeststellungen des Strafgerichts gebunden. Sie darf davon nur abweichen, wenn sie Tatsachen feststellt und ihrem Entscheid zugrunde legt, die dem Strafgericht unbekannt waren, wenn sie zusätzliche Beweise erhebt oder wenn das Strafgericht bei der Rechtsanwendung auf den Sachverhalt nicht alle Rechtsfragen abgeklärt, namentlich die Verletzung bestimmter Verkehrsregeln übersehen hat (<ref-ruling> E. 3.2 S. 101 f.). Nicht gebunden ist die Verwaltungsbehörde an die rechtliche Beurteilung, namentlich des Verschuldens, des Strafgerichts. Der Warnungsentzug ist eine der Strafe ähnliche, aber von ihr unabhängige Verwaltungsmassnahme mit präventivem Charakter, die primär die Erziehung des fehlbaren Fahrzeuglenkers im Interesse der Verkehrssicherheit und nicht dessen Bestrafung bezweckt, auch wenn sie mitunter vom Betroffenen als Strafe empfunden wird. Die straf- und die verwaltungsrechtliche Beurteilung der Schwere eines strassenverkehrsrechtlich massgeblichen Fehlverhaltens müssen sich daher nicht zwingend decken (<ref-ruling> E. 6.4 S. 350; <ref-ruling> E. 3.1 S. 451; <ref-ruling> E. 4.2 und 4.3 S. 336 f.; <ref-ruling> E. 3b und 3c S. 175 ff.; Urteil 1C_564/2019 vom 28. Mai 2020 E. 3.2).
2.3.
2.3.1. Die Vorinstanz stellte ihren Entscheid auf den von der Staatsanwaltschaft Basel-Landschaft im Strafbefehl vom 6. Juni 2019 festgestellten Sachverhalt ab. Die Staatsanwaltschaft hat den Sachverhalt namentlich aufgrund einer privaten Videoaufzeichnung einer Dashcam erstellt. Vorliegend wirft der Beschwerdeführer der Vorinstanz zu Unrecht vor, den Sachverhalt rechtswidrig festgestellt zu haben. Der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer verkennt, dass der Einwand, ein Beweismittel sei im Sinne von Art. 140 f. StPO nicht verwertbar, nicht erst im verwaltungsrechtlichen Administrativverfahren, sondern bereits im Strafverfahren hätte eingebracht werden müssen (Urteile 1C_468/ 2020 vom 30. Oktober 2020 E. 3; 1C_470/2019 vom 31. Januar 2020 E. 5.3.2; 1C_202/2018 vom 18. September 2018 E. 2.3).
2.3.2. Wie die Vorinstanz zutreffend festhält, kann der Beschwerdeführer mit dem Verweis auf den am 26. September 2019 ergangenen <ref-ruling> auch sonst nichts zu seinen Gunsten ableiten. Der Strafbefehl vom 6. Juni 2019 ist am 6. Juli 2019 in Rechtskraft erwachsen. Die vom Bundesgericht in <ref-ruling> zur Anwendung gebrachten Bestimmungen des DSG hatten schon zum Zeitpunkt des Erlasses des Strafbefehls unverändert Geltung. Bereits zu diesem Zeitpunkt war die Verwertbarkeit von Beweismitteln aus einer privaten Videoüberwachung (z.B. mittels einer Dashcam) äusserst umstritten (vgl. Urteile 6B_911/2017 vom 27. April 2018 E. 1.1; 6B_1241/2016 vom 17. Juli 2017 E. 1.2.2; 6B_786/2015 vom 8. Februar 2016 E. 1.2 und 1.3.1; 1B_22/2012 vom 11. Mai 2012 E. 2). Der im Strafverfahren bereits anwaltlich vertretene Beschwerdeführer hätte seinen Einwand, ein Beweismittel sei unverwertbar im Sinne von Art. 140 f. StPO, somit zwingend bereits im Strafverfahren geltend machen können und müssen (vgl. Urteile 1C_468/2020 vom 30. Oktober 2020 E. 3; 1C_470/ 2019 vom 31. Januar 2020 E. 5.3.2; 1C_202/2018 vom 18. September 2018 E. 2.3 je mit Hinweisen). Dies wäre im vorliegenden Fall umso mehr geboten gewesen, weil das Strassenverkehrsamt den Beschwerdeführer gemäss den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>) sowohl bei der Eröffnung des Administrativverfahrens mit Schreiben vom 6. November 2018 wie auch nochmals vor der zwischenzeitlichen Verfahrenssistierung am 9. Januar 2019 ausdrücklich darauf aufmerksam machte, dass der von den Strafbehörden festgestellte Sachverhalt präjudizielle Wirkung auf das Administrativverfahren habe. Das Strassenverkehrsamt hat den Beschwerdeführer damit noch vor dem Erlass des Strafbefehls mehrmals darauf hingewiesen, dass Einwände und Entlastungsargumente gegen den ihm zur Last gelegten Sachverhalt zwingend bereits im Strafverfahren vorzubringen seien. Indem der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer keine Einsprache gegen den Strafbefehl erhob und den von der Staatsanwaltschaft festgestellten Sachverhalt nicht bestritt, akzeptierte er ausdrücklich den im Strafverfahren festgestellten Sachverhalt (vorne E. 2.3.1).
2.4. Zusammenfassend hat die Vorinstanz kein Bundesrecht verletzt, indem sie ihr Urteil auf der Grundlage des im rechtskräftigen Strafbefehl festgestellten Sachverhalts abstützte. Eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung (<ref-law>) durch die Vorinstanz ist somit nicht dargetan.
3.
3.1. Ausgehend von den für das Bundesgericht verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz (vorne E. 2) steht unzweifelhaft fest, dass der Beschwerdeführer mehrere grobe Widerhandlungen gegen die Strassenverkehrsvorschriften im Sinne von <ref-law> begangen hat. In der Sache beanstandet der Beschwerdeführer denn auch nur noch die Bemessung der Entzugsdauer. Er kritisiert diesbezüglich die vorinstanzliche Würdigung seiner beruflichen Massnahmeempfindlichkeit und die daraus resultierende Warnungsentzugsdauer von fünf Monaten. Er bringt vor, sein automobilistischer Leumund sei einwandfrei und er sei aufgrund des bestehenden Anstellungsverhältnisses bei einer Versicherung dringend auf seinen Führerausweis angewiesen. Er lege als Kundenberater täglich mehrere Kilometer zurück und arbeite bei Kunden, die meist nicht mit dem öffentlichen Verkehr verbunden seien. Die vorinstanzliche Qualifikation seines Verschuldens und die durch sein Fahrverhalten entstandene Gefährdung der Verkehrssicherheit kritisiert der Beschwerdeführer nicht.
3.2. Bei der Festsetzung der Dauer des Führerausweisentzugs sind gemäss <ref-law> die Umstände des Einzelfalls zu berücksichtigen, namentlich die Gefährdung der Verkehrssicherheit, das Verschulden, der Leumund als Motorfahrzeugführer sowie die berufliche Notwendigkeit, ein Motorfahrzeug zu führen. Nach gefestigter Rechtsprechung des Bundesgerichts ist bei der Prüfung der Massnahmeempfindlichkeit dem Grundsatz der Verhältnismässigkeit Rechnung zu tragen und deshalb zu berücksichtigen, in welchem Masse der Fahrzeugführer infolge beruflicher Angewiesenheit auf ein Motorfahrzeug stärker als andere Fahrer vom Entzug des Führerausweises betroffen ist (<ref-ruling> E. 2.4 mit Hinweisen). Die Mindestentzugsdauer darf jedoch, von der hier nicht interessierenden Ausnahme für Vorfälle auf Dienstfahrten gemäss <ref-law> abgesehen, nicht unterschritten werden (<ref-law>). Alle Umstände sind dabei gesamthaft zu würdigen, und es ist im Einzelfall die Entzugsdauer so festzusetzen, dass die mit der Massnahme beabsichtigte erzieherische und präventive Wirkung am besten erreicht wird. Den kantonalen Behörden steht bei der Bemessung der Entzugsdauer ein weiter Spielraum des Ermessens zu. Das Bundesgericht greift nur ein, wenn dieses Ermessen überschritten oder missbraucht worden ist. Dies ist namentlich der Fall, wenn die kantonalen Behörden einzelne Umstände zu Unrecht ganz ausser Acht lassen oder in einer unhaltbaren Weise gewichten (BGE <ref-ruling> E. 4b S. 178; Urteile 1C_589/ 2019 vom 14. April 2020 E. 2.2; 1C_320/2018 vom 14. Januar 2019 E. 3.1; je mit Hinweisen). Massgebend für die Prüfung der Massnahmeempfindlichkeit ist der Zeitpunkt der Entscheidung über die Massnahme, nicht jener des Verkehrsregelverstosses (<ref-ruling> E. 2.4 S. 289 f.).
3.3. Die Entzugsdauer ist vorliegend auf fünf Monate angesetzt worden. Die Mindestdauer von drei Monaten gemäss <ref-law> wurde somit um zwei Monate erhöht. Diesen Entscheid hat die Vorinstanz geschützt, indem sie namentlich das mehrfache schwere Verschulden beim Vorfall vom 13. Juli 2018 (mehrfaches Nichteinhalten eines genügenden Nachfahrabstandes und Rechtsüberholen; wiederholtes Fahren ohne Licht im Tunnel; wiederholtes Fahren auf dem Pannenstreifen) sowie die Massnahmeempfindlichkeit des Beschwerdeführers berücksichtigte. In Bezug auf die Massnahmeempfindlichkeit des Beschwerdeführers hielt die Vorinstanz fest, dass nicht ersichtlich sei, warum seine Berufsausübung durch den Führerausweisentzug in unzumutbarer Weise erschwert oder gar verunmöglicht würde. Vielmehr könne er seine Dienstfahrten zu Kunden in zumutbarer Weise gegebenenfalls auch mittels öffentlichen Verkehrsmitteln oder sonstigen organisatorischen Vorkehrungen bestreiten.
3.4. Diese Argumentation der Vorinstanz ist nicht zu beanstanden. Aus dem dagegen erhobenen Einwand, es sei ihm nicht möglich, auf die öffentlichen Verkehrsmittel zurückzugreifen, da seine Kunden mit diesen meist nicht erreichbar seien, kann der Beschwerdeführer nichts zu seinen Gunsten ableiten. Er macht keine konkreten Angaben darüber, wo sich seine Kundschaft befindet. Aufgrund dessen kann nicht nachvollzogen werden, warum seine Kundenfahrten nicht auch mit den öffentlichen Verkehrsmitteln, einem Taxi oder anderen Fahrdiensten möglich sein sollen. Ausserdem zeigt der Beschwerdeführer nicht auf, welche Tätigkeiten als Kundenberater einer Versicherung, die er nicht auch von Zuhause oder aus dem Geschäft mittels moderner Kommunikationstechnologien erledigen könnte, zwingend seine physische Präsenz bei seinen Kunden erfordern. Selbst wenn eine physische Anwesenheit tatsächlich erforderlich wäre, ist überdies nicht ersichtlich und vom Beschwerdeführer auch nicht dargetan, was dagegen spräche, während der Entzugsdauer einen Fahr- bzw. Taxidienst oder die öffentlichen Verkehrsmittel zu benützen oder zu organisieren (vgl. Urteile 1C_589/2019 vom 14. April 2020 E. 2.3; 1C_204/2008 vom 25. November 2008 E. 3.3.2).
3.5. Nach dem Ausgeführten wird dem Beschwerdeführer die Ausübung seines Berufes durch den Ausweisentzug zwar erschwert, aber nicht verunmöglicht. Seiner Arbeit als Kundenberater einer Versicherung kann er - wenn auch mit gewissen Einschränkungen - auch ohne Führerausweis nachgehen. Insofern trifft seine Behauptung, für die Ausübung seines Berufes wäre er dringend auf seinen Führerausweis angewiesen, nicht zu. Ohnehin ist ein gewisser organisatorischer, zeitlicher oder finanzieller Mehraufwand die Folge eines jeden Führerausweisentzugs und ist hinzunehmen (<ref-ruling> E. 1c S. 24 f.). So hat das Bundesgericht im Zusammenhang mit der Tätigkeit des Versicherungsvertreters wiederholt festgehalten, dass es für die Ausübung dieses Berufs nicht zwingend nötig sei, ein Motorfahrzeug zu führen (Urteil 1C_204/2008 vom 25. November 2008 E. 3.3.1 mit Hinweisen). Die Situation des Beschwerdeführers ist demzufolge weder mit jener eines Berufschauffeurs noch mit jener von Personen vergleichbar, bei denen die Ausübung des Berufes durch die Massnahme sehr stark eingeschränkt wird und dadurch hohe Kosten oder ein hoher Einkommensverlust resultieren (vgl. <ref-ruling> E. 2c S. 574 f.; Urteil 1C_589/2019 vom 14. April 2020 E. 2.4; Bernhard Rütsche, in: Marcel Alexander Niggli/Thomas Probst/Bernhard Waldmann [Hrsg.], Basler Kommentar, Strassenverkehrsgesetz, Basel 2014, N. 130 zu <ref-law>). Die vom Beschwerdeführer hinzunehmenden Mehraufwände und Unannehmlichkeiten in Bezug auf seine Berufsausübung sprengen damit nicht das übliche Mass, welches mit jedem Führerausweisentzug einhergeht. Aufgrund der Schwere der von ihm begangenen Verkehrsregelverletzungen kann der Beschwerdeführer schliesslich auch aus seinem zuvor tadellosen automobilistischen Leumund nichts zu seinen Gunsten ableiten.
3.6. Nach dem Gesagten hat die Vorinstanz den Ausführungen des Beschwerdeführers zu seiner Massnahmeempfindlichkeit genügend Rechnung getragen. Die Vorinstanz ist bei ihrer Würdigung im Rahmen des ihr zustehenden Ermessens geblieben. Sie hat mit der Festsetzung der Entzugsdauer von fünf Monaten somit kein Bundesrecht verletzt.
4.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der unterliegende Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern, der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern und dem Bundesamt für Strassen, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Februar 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Hahn