Erwägungen:
1.
B._ klagte am 2. November 2017 beim Regionalgericht Bern-Mittelland gegen A._ auf Bezahlung einer Arbeitslohnforderung von Fr. 2'448.25 brutto und verlangte zudem einen Lohnausweis. An der Verhandlung vom 18. Januar 2018 befragte das Gericht die Parteien. Anschliessend folgten Vergleichsverhandlungen, die zu einem Vergleich führten, mit dem sich A._ zur Zahlung von Fr. 2'000.-- netto sowie zum Ausstellen einer Lohnabrechnung für Mai 2017 und eines Lohnausweises für das Jahr 2017 verpflichtete.
Drei Monate später, am 18. April 2018, reichte A._ beim Regionalgericht ein Revisionsgesuch ein, mit dem er die Aufhebung des genannten Vergleichs und der Abschreibungsverfügung im betreffenden Klageverfahren beantragte. Das Klageverfahren sei wieder zu eröffnen und fortzuführen und die Klage abzuweisen. Zudem lehnte A._ den Spruchkörper des Gerichts ab.
Mit Entscheid vom 25. September 2018 wies das Regionalgericht das Revisionsgesuch ab, soweit es darauf eintrat (Nichteintreten betreffend Ausstandsgesuch). Eine dagegen erhobene Beschwerde wurde vom Obergericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 3. Mai 2019 abgewiesen.
2.
A._ (Beschwerdeführer) erhob gegen den Entscheid vom 3. Mai 2019 am 12. Juni 2019 subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Mit Verfügung vom 13. Juni 2019 wurde der Beschwerdeführer aufgefordert, spätestens am 28. Juni 2019 einen Kostenvorschuss von Fr. 300.-- einzuzahlen. Da der Kostenvorschuss innerhalb der angesetzten Frist nicht eingegangen war, wurde dem Beschwerdeführer mit Verfügung vom 5. Juli 2019 eine nicht erstreckbare Nachfrist zur Vorschussleistung bis zum 22. Juli 2019 angesetzt, unter Hinweis darauf, dass das Bundesgericht bei Säumnis auf das Rechtsmittel nicht eintreten werde (<ref-law>).
Am 22. Juli 2019, dem letzten Tag der Nachfrist zur Vorschussleistung, ersuchte der Beschwerdeführer um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren.
3.
Die Nachfrist zur Bezahlung des Kostenvorschusses kann durch Bezahlung dieses Vorschusses oder durch Stellung eines (hinreichend begründeten und belegten) Gesuches um unentgeltliche Rechtspflege gewahrt werden; Wie dem Beschwerdeführer aus verschiedenen, ihn persönlich betreffenden Urteilen des Bundesgerichts (Urteil 2C_4/2018 vom 21. Februar 2018 E. 2.1 mit Hinweis; ferner Urteil 5A_901/2018 vom 5. März 2019 E. 2.1 und 2.3; 6B_1276/2017 vom 14. Dezember 2017 E. 1) bestens bekannt ist, ist die Fristwahrung durch Stellung eines Gesuches um unentgeltliche Rechtspflege nur dann möglich, wenn das Gesuch tauglich und korrekt begründet und mit ausreichenden Belegen zur wirtschaftlichen Situation der Partei versehen ist (s. ferner die Urteile 6B_518/2016 vom 4. August 2016; 6B_258/2016 vom 3. Mai 2016 E. 1; 6B_703/2013 vom 9. September 2013 E. 1; 2C_499/2009 vom 5. Oktober 2009 E. 2.2; Urteil 2C_758/2008 vom 2. Dezember 2008 E. 2.2.2).
3.1. Die unentgeltliche Rechtspflege nach <ref-law> und <ref-law> dient dem Zugang zum Gericht. Mit dem Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege soll eine nicht über genügend finanzielle Mittel verfügende Partei in den Stand versetzt werden, zur Durchsetzung ihrer Rechte einen Prozess zu führen. Es soll ihr, gleich wie einer vermögenden Partei, der Zugang zum Gericht ungeachtet ihrer Bedürftigkeit gewährleistet sein. Als bedürftig gilt eine Person, wenn sie die Kosten eines Prozesses nicht aufzubringen vermag, ohne jene Mittel anzugreifen, die für die Deckung des eigenen notwendigen Lebensunterhalts und desjenigen ihrer Familie erforderlich sind. Dazu gehören nicht nur die Einkommens-, sondern auch die Vermögensverhältnisse (<ref-ruling> E. 4.1 mit zahlreichen Hinweisen). Grundsätzlich obliegt es dem Gesuchsteller, seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend darzustellen und soweit möglich zu belegen. Diesbezüglich trifft ihn eine umfassende Mitwirkungspflicht (<ref-ruling> E. 4a S. 164 f.; <ref-ruling> E. 3a S. 181 f.).
3.2. Der Beschwerdeführer begnügt sich vorliegend damit, in seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege auszuführen, er werde "ausweislich der beiligenden Anzeige betreffend Verdienstpfändung bis auf das Existenzminimum gepfändet" und (er sei) deshalb finanziell nicht in der Lage, den Kostenvorschuss zu bezahlen. Aus der dem Gesuch beigelegten "Anzeige betreffend Verdienstpfändung" ergibt sich lediglich, dass dem Beschwerdeführer am 3. Juli 2019 (Gültigkeit ab sofort) pro Monat Fr. 1'260.-- von seinem Verdienst gepfändet wurden. Aus der ebenfalls eingereichten Existenzminimumberechnung ergibt sich, dass das Betreibungsamt von einem Verdienst von Fr. 3'500.-- sowie einem Existenzminimum von Fr. 2'240.-- (Grundbedarf Fr. 1'200.--, Mietzins inkl. Nebenkosten Fr. 1'035.--, Freier Eintrag/Rundung Fr. 5.-- [die Krankenkassenprämie von Fr. 330.-- blieb offenbar mangels Zahlung unberücksichtigt]) ausgegangen ist.
Auf die wenigen Angaben aus der Pfändungsanzeige bzw. Existenzminimumsberechnung kann nicht abgestellt werden. Es ist nicht ersichtlich, wie die darin genannten Zahlen zustande gekommen sind. Entsprechende Belege fehlen. Insbesondere das Einkommen dürfte vom Betreibungsamt geschätzt worden sein, wobei auch hier jegliche weiterführenden Angaben und Belege darüber fehlen, auf welcher Grundlage die Schätzung erfolgt ist. Es ist demnach aufgrund der gemachten Angaben und eingereichten Belege keineswegs erstellt, dass der Beschwerdeführer den verlangten Gerichtskostenvorschuss nicht bezahlen könnte bzw. dazu in sein Existenzminimum eingreifen müsste. Unklar ist ferner, wie hoch die Schulden des Beschwerdeführers sind, wie lange die Verdienstpfändung voraussichtlich andauern wird und wie sich seine Vermögenssituation insgesamt darstellt, schliesst die Verdienstpfändung doch das Vorhandensein von Vermögenswerten nicht aus, auf die erst zurückgegriffen wird, wenn die Verdienstpfändung zur Deckung der Betreibungsforderung nicht ausreicht (vgl. <ref-law>). Die für die Beurteilung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege notwendigen Angaben lassen sich der Eingabe vom 22. Juli 2019 und den Beilagen dazu nicht entnehmen.
Dem Beschwerdeführer als patentiertem Rechtsanwalt musste es ohne weiteres klar sein, dass sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege in der vorliegend gestellten Form mit Bezug auf seine Bedürftigkeit nicht tauglich und korrekt begründet und belegt ist, weil damit kein für den Nachweis seiner Bedürftigkeit ausreichender Überblick über seine finanziellen Verhältnisse verschafft wird. Dies gilt umso mehr, als das Bundesgericht in neuerer Zeit schon mehrfach genau gleich begründete und belegte Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege, die der Beschwerdeführer in anderen bundesgerichtlichen Verfahren stellte, abwies, weil der Beschwerdeführer seine Bedürftigkeit damit nicht substanziiert bzw. nicht hinreichend nachgewiesen habe (Verfügungen 2C_473/2019 vom 8. Juli 2019; 5A_901/2018 vom 24. Januar 2019; 5A_742/2018 vom 3. Dezember 2018). Ungeachtet dessen im vorliegenden Verfahren am letzten Tag der Nachfrist zur Bezahlung des Kostenvorschusses ein identisch begründetes und belegtes Gesuch zu stellen, erscheint als rechtsmissbräuchlich. Auf das Gesuch ist nicht einzutreten.
3.3. Da der Beschwerdeführer den ihm auferlegten Kostenvorschuss auch innerhalb der angesetzten Nachfrist nicht geleistet und kein taugliches, korrekt begründetes Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege eingereicht hat, ist gestützt auf <ref-law> auf die Beschwerde nicht einzutreten.
Die Gerichtskosten sind dem Verfahrensausgang entsprechend dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist keine Parteientschädigung zuzusprechen, da ihr im Zusammenhang mit dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist (<ref-law>)

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird nicht eingetreten.
2.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. September 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Widmer