Erwägungen:
1.
A._ erhob am 25. August 2020 Beschwerde gegen die Kantonspolizei Zürich wegen Rechtsverweigerung. Er machte geltend, dass er im Juli 2020 dem Kantonspolizisten B._ ein Ausstandsgesuch gesendet habe. Dieses liege ihm seit dem 20. Juli 2020 vor. B._ weigere sich, Stellung zu nehmen und das Ausstandsgesuch zusammen mit einer Stellungnahme der Staatsanwaltschaft vorzulegen. Mit Beschluss der I. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 27. Oktober 2020 wurde ein von A._ am 4. Oktober 2020 gegen Oberrichter Andreas Flury eingereichtes Ausstandsbegehren als durch Rückzug erledigt abgeschrieben. Mit Eingabe vom 1. Januar 2021 ersuchte A._ erneut um Ausstand von Oberrichter Andreas Flury. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich trat mit Beschluss vom 21. Januar 2021 auf das Ausstandsgesuch nicht ein und wies die Beschwerde ab. Zur Begründung führte die III. Strafkammer zusammenfassend aus, dass es rechtsmissbräuchlich sei und keine taugliche Begründung darstelle, wenn A._ nach dem durch Rückzug erledigten Ausstandsbegehren durch eigenes Verhalten versuche, nachträglich neue Gründe für einen Ausstand zu schaffen. Eine Rechtsverweigerung liege nicht vor, wenn eine Eingabe nicht unmittelbar - A._ habe seine Rechtsverweigerungsbeschwerde schon nach fünf Wochen erhoben, nachdem die Kantonspolizei, das Ausstandsgesuch erhalten haben soll - weitergeleitet werde bzw. die betroffene Person hierzu nicht sofort Stellung nehme. Je mehr Eingaben A._ den Behörden zukommen lasse, desto länger daure die Bearbeitung seiner Anliegen.
2.
A._ führt mit Eingaben vom 27. und 28. Januar 2021 Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer beanstandet, dass der abgelehnte Oberrichter Flury am angefochtenen Beschluss mitgewirkt habe. Er legt indessen nicht dar, weshalb es der besagten Gerichtsperson rechtlich verwehrt gewesen sein sollte, über ein missbräuchliches oder untaugliches Ausstandsgesuch zu befinden. Er vermag im Übrigen auch nicht nachvollziehbar aufzuzeigen, inwiefern überhaupt ein Ausstandsgrund vorliegen sollte. Eine rechtsgenügliche Auseinandersetzung mit der Begründung der III. Strafkammer, die zur Abweisung der Beschwerde führte, unterbleibt. Der Beschwerdeführer zeigt nicht im Einzelnen und konkret auf, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer bzw. deren Beschluss selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (<ref-law>). Indessen ist davon abzusehen, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben.

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Kantonspolizei Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Februar 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli