Sachverhalt:
A.
B._ (Beschwerdegegner) war über seine Arbeitgeberin bei der A._ AG (Beschwerdeführerin) nach VVG (SR 221.229.1) krankentaggeldversichert. Für die Zeit ab dem 16. Februar 2015 wurde er zunächst ganz und danach teilweise krankgeschrieben. Die A._ AG erbrachte ab dem 16. März 2015 Taggeldleistungen.
Mit Schreiben vom 11. Juli 2016 teilte die A._ AG B._ mit, sie werde noch bis am 31. August 2016 Taggeldleistungen erbringen und den Leistungsfall danach abschliessen. Diese Mitteilung erfolgte gestützt auf eine Stellungnahme der Konsiliarärztin für Psychiatrie der A._ AG vom 22. Juni 2016, wonach die Arbeitsunfähigkeit von B._ nicht mehr medizinisch begründet sei.
Im April 2017 veranlasste die A._ AG eine Begutachtung von B._. Mit psychiatrischem Gutachten vom 29. Mai 2017 bescheinigte die Ärztin C._ eine Arbeitsfähigkeit von 100 % ab September 2016. Mit Schreiben vom 2. Juni 2017 bestätigte die A._ AG die Einstellung der Taggeldleistungen per 1. September 2016. In einer ergänzenden Stellungnahme vom 29. Januar 2018 hielt C._ an ihrer Einschätzung fest.
B.
Bereits am 11. Dezember 2017 hatte B._ beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit dem Begehren geklagt, die A._ AG sei zu verurteilen, ihm den Betrag von Fr. 29'993.60 nebst Zins zu 5 % seit 21. Dezember 2016 zu bezahlen. Anlässlich der Hauptverhandlung vom 11. Juni 2018 änderte er sein Rechtsbegehren insoweit, als er den eingeklagten Betrag auf Fr. 19'404.15 reduzierte und den Beginn der Verzinsung auf den 23. Dezember 2016 datierte.
Mit Urteil vom 11. Juni 2018 hiess das Sozialversicherungsgericht die Klage gut und verurteilte die A._ AG, B._ Taggeldleistungen in Höhe von Fr. 19'404.15 nebst Zins zu 5 % seit 30. Dezember 2016 zu erbringen.
C.
Die A._ AG verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Sozialversicherungsgerichts sei aufzuheben. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Vornahme von weiteren Abklärungen an das Sozialversicherungsgericht zurückzuweisen.
Der Beschwerdegegner beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen. Das Sozialversicherungsgericht liess sich vernehmen, ohne einen Antrag zu stellen.
Mit Präsidialverfügung vom 6. Dezember 2018 wurde das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil des Sozialversicherungsgerichts hat eine Streitigkeit aus einer Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung gemäss <ref-law> zum Gegenstand (siehe dazu Urteil 4A_12/2016 vom 23. Mai 2017 E. 1.2 mit Hinweisen). Es ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer einzigen kantonalen Instanz im Sinne von <ref-law>. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in Zivilsachen offen, gemäss <ref-law> unabhängig vom Streitwert (<ref-ruling> E. 1.1, 2 E. 1.2.2; siehe auch <ref-ruling> E. 1.2).
1.2. Die Beschwerdeführerin beantragt einzig die Aufhebung des angefochtenen Urteils beziehungsweise "eventualiter" die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz. Einen materiellen Antrag, wie er nach <ref-law> erforderlich ist, stellt sie nicht. Indessen geht aus der Beschwerdebegründung mit genügender Klarheit hervor, dass die Beschwerdeführerin in der Sache die vollständige Klageabweisung verlangt.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden.
Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90).
2.3. Soweit die Parteien die vorinstanzliche Beweiswürdigung kritisieren, ist zu beachten, dass das Bundesgericht in diese nur eingreift, wenn sie willkürlich ist. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern bloss, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 4.2.1). Dies ist dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 4.2). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (BGE <ref-ruling> E. 2.2). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266 f.; <ref-ruling> E. 2b).
3.
Die Vorinstanz erwog, es sei unumstritten, dass der Versicherungsfall im Februar 2015 eingetreten sei und der Beschwerdegegner in der Folge zu Recht bis Ende August 2016 Taggeldleistungen der Beschwerdeführerin erhalten habe. Streitig sei hingegen, ob dem Beschwerdegegner ein Taggeldanspruch für die Zeit ab 1. September 2016 zustehe. Dabei liege gemäss den Allgemeinen Versicherungsbedingungen der Beschwerdeführerin eine zu Taggeldleistungen berechtigende Arbeitsunfähigkeit vor, wenn die versicherte Person (infolge Krankheit, Unfall oder Geburt) ganz oder teilweise ausserstande sei, ihren Beruf oder eine andere zumutbare Erwerbstätigkeit auszuüben.
Hierzu führte die Vorinstanz im Wesentlichen aus, C._ sei in ihren Gutachten vom 29. Mai 2017 und vom 29. Januar 2018 zwar zum Schluss gekommen, dass sich nach Vollremission der depressiven Symptome und Beschwerden sowie der gegebenenfalls phobischen Symptome ab September 2016 keine Arbeitsunfähigkeit mehr begründen lasse. Auf diese Gutachten sei indes - so die Vorinstanz - nicht abzustellen:
So hätten die behandelnden Ärzte Dr. med. D._, Dr. med. E._ und F._ dem Beschwerdegegner vom 16. Februar 2015 bis 30. November 2016 fast durchgehend eine volle Arbeitsunfähigkeit attestiert, was aus diversen Arztzeugnissen hervorgehe. Eine Beurteilung der Psychologin G._ vom 4. Januar 2017 weise darauf hin, dass der Beschwerdegegner in seinen bisherigen Tätigkeiten weiterhin arbeitsunfähig sei. Mit Arztberichten vom 17. Februar 2017 und vom 25. August 2017 habe F._ eine weiter bestehende Arbeitsunfähigkeit attestiert. Auch hinsichtlich der Diagnosen weiche C._ von den Beurteilungen der behandelnden Ärzte ab, ohne sich explizit mit diesen auseinanderzusetzen. Insbesondere erkläre sie die grosse Diskrepanz nicht, die zwischen diesen Beurteilungen und ihrer Einschätzung bestehe. Weiter habe sie im Gutachten vom 29. Mai 2017 - ebenfalls ohne Begründung - den Beginn der von ihr attestierten vollen Arbeitsfähigkeit über neun Monate rückwirkend auf September 2016 datiert. Schliesslich sei der Beschwerdegegner im Zeitraum, für den er über den 31. August 2016 hinaus Taggeldleistungen beantragt habe, von C._ nie (echtzeitlich) gesehen und untersucht worden. Da die Allgemeinen Versicherungsbedingungen der Beschwerdeführerin eine ärztliche Bescheinigung über die Arbeitsunfähigkeit als Grundlage für einen Taggeldanspruch genügen liessen und die Gutachten von C._ nicht massgebend seien, müsse von einer vollen Arbeitsunfähigkeit ausgegangen werden. Unter Berücksichtigung der von der Beschwerdeführerin bereits erbrachten Taggelder seien für 227 Tage, mithin bis am 15. April 2017, Taggeldleistungen auszurichten (abzüglich Taggelder der Invalidenversicherung).
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin rügt die Beweiswürdigung der Vorinstanz als willkürlich. Sie meint, C._ habe sich ausführlich mit den früheren Diagnosen und Beurteilungen auseinandergesetzt und den Beschwerdegegner am 18. Mai 2017 auch untersucht. Ihre Stellungnahme vom 29. Januar 2018, die eine besonders substanziierte Parteibehauptung darstelle, sei nicht substanziiert bestritten worden. Es sei daher darauf abzustellen. Die Vorinstanz habe sich stattdessen ausschliesslich auf die Beurteilungen der behandelnden Ärzte gestützt, was unzulässig sei. Eventualiter sei die Arbeitsfähigkeit angesichts der sich widersprechenden Parteibehauptungen durch ein Gerichtsgutachten abzuklären.
4.2. Die Kritik der Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe den Gutachten von C._ einerseits und den Beurteilungen der behandelnden Ärzte andererseits eine zivilprozessual unrichtige beweisrechtliche Bedeutung zugemessen, verfängt nicht. Insbesondere ist nicht zu beanstanden, wenn sich die Vorinstanz gestützt auf die (Arzt-) Zeugnisse von Dr. med. D._, Dr. med. E._, F._ und G._ mit der Einschätzung von C._ kritisch auseinandersetzte. Entgegen der Annahme der Beschwerdeführerin besteht auch keine starre Regel zur Würdigung von Angaben der behandelnden Ärzte. Ob Willkür vorliegt, entscheidet sich vielmehr an der konkret erfolgten Beweiswürdigung (vgl. Urteile 4A_544/2017 vom 30. April 2018 E. 4.2; 4A_571/2016 vom 23. März 2017 E. 4.2). Gegen diese wendet sie sich gerade nicht.
Sie trägt im Gegenteil einzig pauschal vor, C._ habe sich "entgegen der Auffassung der Vorinstanz" ausführlich mit den früheren Diagnosen und Beurteilungen auseinandergesetzt und zitiert aus dem Gutachten vom 29. Januar 2018, worin sich C._ auf die Befunde von F._ bezogen habe. Damit übersieht die Beschwerdeführerin, dass die Vorinstanz ausdrücklich festhielt, C._ habe sich in der Stellungnahme vom 29. Januar 2018 zur Beurteilung von F._ geäussert. Die Vorinstanz schloss aber, dies ändere angesichts der übrigen ins Gewicht fallenden Umstände nichts daran, dass auf die Gutachten von C._ nicht abgestellt werden könne. Eine willkürliche Feststellung des Prozesssachverhalts ist damit nicht dargetan. Die vorinstanzliche Beweiswürdigung erweist sich auch nicht deshalb als unhaltbar, weil die Beschwerdeführerin die Aussagekraft der Gutachten von C._ anders als die Vorinstanz einschätzt (siehe Erwägung 2.2).
Die Vorinstanz gelangte gestützt auf die den Akten zu entnehmenden Tatsachen zur Überzeugung, es liege die behauptete Arbeitsunfähigkeit vor, und sah im Sinne einer antizipierten Beweiswürdigung von der Einholung eines Gerichtsgutachtens zur Frage der Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdegegners ab. Inwiefern diese Vorgehensweise offensichtlich unhaltbar wäre, wie die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht (einzig) rügen könnte (siehe <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 376 mit Hinweis), wird nicht dargelegt. Sie bringt zwar vor, die Beurteilungen von C._ und diejenigen der behandelnden Ärzte stimmten nicht überein. Damit allein begründet sie indes keinen Anspruch auf Einholung eines gerichtlichen Gutachtens, den die Vorinstanz willkürlich missachtet hätte, woran auch der blosse Hinweis der Beschwerdeführerin auf das Urteil 4A_558/2015 vom 25. Februar 2016 E. 4 nichts ändert (siehe im Übrigen Urteile 4A_9/2018 vom 31. Oktober 2018 E. 5.3; 4A_544/2017 vom 30. April 2018 E. 4.2).
4.3. Nach dem Gesagten hat die Vorinstanz willkürfrei eine über den 31. August 2016 hinausgehende Arbeitsunfähigkeit festgestellt.
5.
5.1. Die Vorinstanz nahm die für die Monate Juli und August 2016 ausgerichteten, von der Beschwerdeführerin als "freiwillige Zusatzleistungen" bezeichneten Krankenttaggelder zum Anlass für Ausführungen zur Dauer einer Übergangsfrist, die dem Beschwerdegegner für einen Berufswechsel zur Erfüllung seiner Schadenminderungsobliegenheit allenfalls einzuräumen gewesen wäre. Diese Erwägungen sind nicht entscheidwesentlich, wie auch die Vorinstanz einleitend festhielt. Auf die unter dem Titel "Übergangsfrist" erhobene Kritik der Beschwerdeführerin ist somit nicht einzugehen.
5.2. Die Beschwerdeführerin macht schliesslich geltend, die Vorinstanz habe die Klausel in ihren Allgemeinen Versicherungsbedingungen, welche das Verhältnis von Wartefrist und Leistungsdauer regle, zu Unrecht als ungewöhnlich und folglich als nicht anwendbar qualifiziert. Sie führt zur Begründung indes einzig aus, die gegenständliche Vertragsbestimmung sei im Bereich der Zusatzversicherungen nach VVG "durchaus üblich" und habe sich "einigermassen standardisiert", was aber vorinstanzlich nicht festgestellt wurde. Die Rüge der Beschwerdeführerin ist damit nicht hinreichend begründet. Ohnehin ist mit diesen Behauptungen allein nicht dargetan, dass die Klausel - in objektiver oder subjektiver Hinsicht - ungewöhnlich wäre, zumal auch branchenübliche Klauseln für einen Branchenfremden ungewöhnlich sein können und die (Un-) Gewöhnlichkeit einer Klausel in allgemeinen Geschäftsbedingungen bezogen auf den Einzelfall zu beurteilen ist (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 412; <ref-ruling> E. 2.1 S. 7; Urteil 4A_499/2018 vom 10. Dezember 2018 E. 3.3.3 mit Hinweisen).
6.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (siehe Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Januar 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Stähle