Faits :
A.
A._, ressortissant russe anciennement domicilié dans son pays d'origine, est entré en Suisse le 30 septembre 2011. Il bénéficie depuis cette date d'un titre de séjour (permis B), renouvelé à plusieurs reprises par l'Office cantonal de la population et des migrations du canton de Genève (ci-après : OCPM).
Le 14 août 2018, A._ a déposé une demande d'asile. A l'appui de celle-ci, il a produit divers documents, dont une "décision du 12 juillet 2018 de mise en liberté provisoire sous caution" rendue par l'Office fédéral de la justice (ci-après : OFJ) assortie d'une convention de mise en liberté sous caution portant la même date, des copies apostillées de son passeport russe et de son titre de séjour en Suisse, une attestation de l'OCPM et la copie d'un bail à loyer. Cette demande a été complétée le 2 octobre 2018 par son avocate; cinquante-six pièces ont été déposées. Le Service d'État aux migrations (ci-après : SEM) a entendu l'intéressé les 22 octobre et 12 novembre 2018. Lors de la relecture du procès-verbal de la seconde audition, le 19 novembre 2018, A._, assisté d'une interprète, a apporté plusieurs précisions et compléments à ses déclarations, ce qui a été consigné dans un nouveau procès-verbal. A cette même date, il a versé au dossier un article du 18 mars 2015 issu de son blog Internet. Par courrier du 28 novembre 2018, l'avocate du requérant a retourné les procès-verbaux des séances du 22 octobre et du 12 novembre 2018 révisés après lecture; elle a joint à cet envoi une transcription, au moyen d'un logiciel de traitement de texte, des principales adaptations opérées. A également été produite une écriture datée du 27 novembre 2018, rédigée a priori par A._ en langue russe et intitulée "complément à la demande d'asile", document pour lequel une traduction en français certifiée conforme à l'original a été fournie.
Il ressort de ces différents éléments que A._ soutient craindre être l'objet, par le biais de la procédure pénale russe ouverte le 17 décembre 2014 à son encontre pour escroquerie contre les intérêts de la banque E._ - qu'il dirigeait jusqu'en décembre 2014 -, d'un "procès politique fantoche". En substance, il serait devenu "persona non grata" aux yeux de certains hauts dirigeants étatiques et de la classe politique à la suite de dénonciations d'un système de dilapidation des biens publics dont les fonctionnaires précités auraient bénéficié; il en aurait notamment découlé la prise de contrôle de son établissement bancaire par les autorités russes, l'ouverture de la procédure pénale et un mandat d'arrêt émis à son encontre le 24 juillet 2015. Selon A._, son refus de taire ces détournements en ferait un opposant au régime "malgré lui" et, dans l'hypothèse d'un retour en Russie, il craignait de subir le même sort que le conseil russe de B._ - C._ - ou D._, décédé en détention préventive.
Dans sa décision du 12 décembre 2019 - notifiée le 17 suivant -, le SEM a dénié à A._ la qualité de réfugié et a rejeté sa demande d'asile. Il a également constaté que le prononcé d'un renvoi relevait de la compétence des autorités cantonales en matière de police des étrangers puisque A._ bénéficiait d'une autorisation de séjour délivrée par les autorités genevoises, seules dès lors compétentes pour la prolonger, la modifier ou la révoquer.
B.
Précédemment, par décision du 29 novembre 2019, l'OFJ a admis la demande d'extradition formulée le 18 avril 2016 par l'Ambassade de la Fédération de Russie pour les infractions, commises d'entente avec des individus non identifiés, de détournements de fonds, d'abus de pouvoir et de blanchiment d'argent, ce sous réserve de la décision du Tribunal pénal fédéral relative à l'objection de délit politique (art. 55 al. 2 de la loi fédérale du 20 mars 1981 sur l'entraide internationale en matière pénale [EIMP; RS 351.1]) et de l'octroi du statut de réfugié par les autorités suisses compétentes en matière d'asile.
Dans un même arrêt du 11 août 2020, la Cour des plaintes du Tribunal pénal fédéral a rejeté l'objection du délit politique (cause RR.2019), ainsi que le recours formé contre la décision du 29 novembre 2019 de l'OFJ (cause RR.2020). Un recours en matière de droit public contre cette décision a été déposé auprès du Tribunal fédéral (cause 1C_444/2020).
C.
Le 21 septembre 2020, la Cour IV du Tribunal administratif fédéral a rejeté, dans la mesure de sa recevabilité, le recours formé par A._ contre la décision du SEM du 12 décembre 2019.
Faute d'être dans la compétence du SEM et l'objet du litige, la conclusion tendant au refus de l'extradition a été déclarée irrecevable (cf. consid. 2). Le Tribunal administratif fédéral a ensuite écarté les griefs de violation du droit d'être entendu soulevés à l'encontre du SEM (dont les défauts allégués de prise en compte de la procédure pénale russe, de l'affaire C._ et des arrêts de la Cour européenne des droits de l'homme [ci-après : CourEDH; cf. consid. 4]). Il a considéré que le préjudice financier éventuellement subi par A._ n'était pas déterminant, vu la situation financière de celui-ci (cf. consid. 7.1). Cette autorité a également estimé que A._ n'avait pas établi l'existence d'une crainte de persécution future en cas de retour en Russie, que ce soit du fait des autorités étatiques (cf. consid. 7.2 et 7.4) ou de tiers (cf. consid. 7.3 et 7.4). Selon le Tribunal administratif fédéral, la non-reconnaissance de la qualité de réfugié et le refus de l'asile pouvaient donc être confirmés, sans qu'il soit nécessaire d'examiner l'éventuelle violation du principe de non-refoulement (cf. consid. 7.5).
D.
Par acte du 23 octobre 2020, A._ forme un recours en matière de droit public contre cet arrêt, concluant à son annulation et au renvoi de la cause au SEM. A titre subsidiaire, il demande la constatation de son statut de réfugié et l'octroi de l'asile. Le recourant sollicite également l'octroi de l'effet suspensif.
L'autorité précédente ne s'est pas opposée à l'octroi de l'effet suspensif et a renoncé à se déterminer sur le fond. Quant au SEM, il a en substance conclu au rejet du recours. Le 27 novembre 2020, le recourant a persisté dans ses conclusions.
Par ordonnance du 16 novembre 2020, le Président de la Ire Cour de droit public a rejeté la demande d'effet suspensif.

Considérant en droit :
1.
1.1. Selon l'art. 83 let. d ch. 1 LTF, le recours au Tribunal fédéral est exceptionnellement ouvert contre les décisions en matière d'asile rendues par le Tribunal administratif fédéral concernant des personnes visées par une demande d'extradition déposée par l'État dont ces personnes cherchent à se protéger.
1.2. En l'occurrence, le recourant fait l'objet d'une demande d'extradition de la part de la Fédération de Russie. Le 11 août 2020, le Tribunal pénal fédéral a rejeté l'objection de délit politique et le recours formé par A._ contre la décision de l'OFJ accordant son extradition. Par arrêt séparé rendu ce jour, le Tribunal fédéral a admis, dans la mesure de sa recevabilité, le recours en matière de droit public formé contre ce prononcé, qui a été annulé dans la mesure où il confirmait l'extradition moyennant le prononcé de garanties diplomatiques (cause 1C_444/2020). La cause a été renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle détermine si les assurances demandées sont suffisantes eu égard en particulier à la situation prévalant dans la Fédération de Russie afin notamment de prévenir d'éventuels risques de torture, de peines ou traitements cruels, inhumains ou dégradants (cf. en particulier les art. 3 CEDH, 25 al. 3 Cst., 2 et 37 al. 3 EIMP; cf. consid. 3 de l'arrêt précité).
Il s'ensuit que la procédure d'extradition n'est pas terminée et, partant, le recours en matière de droit public contre le refus de l'asile est ouvert.
1.3. Vu l'issue du présent litige - respectivement celle dans la cause 1C_444/2020 -, il n'y a cependant pas lieu de joindre les deux causes et la conclusion y relative du recourant peut être rejetée.
1.4. Pour le surplus, les autres questions de recevabilité étant réalisées, il y a lieu d'entrer en matière.
2.
Le recourant se plaint de violations de son droit d'être entendu, notamment en raison de l'absence de prise en compte de certains des arguments avancés dans sa demande d'asile, à savoir en particulier (i) les similitudes de son cas avec celui de feu C._ (cf. ad 4.5 p. 12 du recours), (ii) les violations récurrentes des droits fondamentaux des prévenus en détention provisoire, (iii) la primauté du droit russe rendant inopérants les arrêts de la CourEDH (cf. ad ch. 4.6 p. 12 s. du recours), (iv) la nature "prétexte" de la procédure pénale russe intentée à son encontre (cf. ad ch. 4.7 p. 13 du recours) et (v) le lien de causalité entre celle-ci et les détournements de fonds dénoncés (cf. ad ch. 4.8 p. 13 ss du recours).
Il ressort cependant de l'arrêt attaqué que l'autorité précédente a tout d'abord traité les violations similaires soulevées à l'encontre du SEM (cf. consid. 4 p. 10 ss). Quant au contenu des arguments, ils ont également été pris en considération lors du contrôle effectué par la juridiction précédente. Ainsi, elle a examiné si les poursuites entamées contre le recourant constituaient des persécutions déterminantes au regard du droit d'asile (cf. notamment consid. 7.2.2, 7.2.3 p. 17 ss [existence d'une poursuite pénale pour des infractions économiques sans lien avec une activité notamment politique], 7.2.5.1 p. 19 [poursuite pénale sans lien avec une répression fondée sur une appartenance à un groupe ethnique ou en raison de la personnalité du recourant], 7.2.5.2 p. 19 s. [absence d'indice que la procédure ne serait pas équitable et conforme aux principes de l'État de droit pour l'un des motifs découlant du droit de l'asile], 7.2.5.3 p. 20 [défaut de risque que la peine encourue soit aggravée de manière injuste]), aboutissant cependant à la conclusion que tel n'était pas (cf. consid. 7.2.5.4 p. 21). Le seul fait que l'appréciation diverge de celle attendue ne constitue pas une violation du droit d'être entendu (cf. <ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 565).
Une telle violation ne résulte pas non plus de l'absence de considération en lien avec le principe de non-refoulement. En effet, l'autorité précédente s'est prononcée sur les motifs lui permettant - ainsi qu'au SEM - de ne pas statuer sur cette question; elle a estimé en substance que, vu le refus du statut de réfugié, cette problématique, sous l'angle notamment de l'art. 3 CEDH, n'entrait en considération que dans le cadre de l'exécution du renvoi, ce qui n'était pas l'objet du litige (cf. consid. 2.3 p. 9 et 7.5 p. 22 de l'arrêt attaqué). Cette appréciation - qui exclut tout déni de justice (cf. ad ch. 6 p. 16 ss du recours) - peut d'ailleurs être confirmée sur le fond (voir GIUSEPPE AUFIERO, Asile-Extradition : de la coordination à l'unification, thèse 2018, n° 435 p. 175, n° 827 p. 306, n° 831 p. 307 s., n° 864 p. 321 et n° 886 p. 327 s.; OLIVIA LE FORT, La preuve et le principe de non-refoulement, Entre droit international des réfugiés, protection des droits humains et droit suisse des migrations, thèse 2018, n° 75 p. 34 et n° 169 p. 74; Organisation suisse d'aide aux réfugiés [ci-après : OSAR; édit.], Manuel de la procédure d'asile et de renvoi, 2e éd. 2016, ad chap. 2 p. 232; POSSE-OUSMANE/PROGIN-THEUERKAUF, in AMARELLE/ NGUYEN [édit.], Code annoté de droit des migrations, vol. IV : Loi sur l'asile [LAsi], 2015, n° 45 ad art. 3 LAsi et n° 20 s. ad art. 5 LAsi). En effet, le recourant ne conteste pas disposer en l'état d'un permis de séjour en Suisse (cf. let. A p. 2 de l'arrêt attaqué), situation ne permettant pas le prononcé du renvoi (cf. art. 32 al. 1 let. a de l'Ordonnance 1 du 11 août 1999 sur l'asile relative à la procédure [OA 1; RS 142.311]).
3.
Le recourant reproche ensuite à l'autorité précédente une violation de l'art. 3 de la loi fédérale du 26 juin 1998 sur l'asile (LAsi; RS 142.31).
3.1. Sont des réfugiés les personnes qui, dans leur État d'origine ou dans le pays de leur dernière résidence, sont exposées à de sérieux préjudices ou craignent à juste titre de l'être en raison de leur race, de leur religion, de leur nationalité, de leur appartenance à un groupe social déterminé ou de leurs opinions politiques (art. 3 al. 1 LAsi; cf. également art. 1 let. A ch. 2 de la Convention du 28 juillet 1951 relative au statut des réfugiés [ci-après : Convention sur les réfugiés; RS 0.142.30]). Sont notamment considérées comme de sérieux préjudices la mise en danger de la vie, de l'intégrité corporelle ou de la liberté, de même que les mesures qui entraînent une pression psychique insupportable; il y a lieu de tenir compte des motifs de fuite spécifiques aux femmes (art. 3 al. 2 LAsi). Ne sont pas des réfugiés les personnes qui, au motif qu'elles ont refusé de servir ou déserté, sont exposées à de sérieux préjudices ou craignent à juste titre de l'être; les dispositions de la Convention sur les réfugiés sont réservées (art. 3 al. 3 LAsi). Ne sont pas des réfugiés les personnes qui font valoir des motifs résultant du comportement qu'elles ont eu après avoir quitté leur pays d'origine ou de provenance s'ils ne constituent pas l'expression de convictions ou d'orientations déjà affichées avant leur départ ni ne s'inscrivent dans leur prolongement; les dispositions de la Convention sur les réfugiés sont réservées (art. 3 al. 4 LAsi).
3.2. Le recourant ne prétend pas qu'un motif d'asile résulterait en l'occurrence de raisons liées à la race, à la religion, à la nationalité ou à l'appartenance à un groupe social déterminé (cf. consid. 7.2.3 p. 18 de l'arrêt attaqué), respectivement que la procédure pénale à son encontre serait motivée ou aggravée pour l'un de ces motifs (cf. consid. 7.2.5.1 p. 19 de l'arrêt attaqué). Il ne soutient pas non plus avoir exprimé, dans le passé, des opinions critiques à l'égard du pouvoir.
En revanche, le recourant fait grief à l'autorité précédente d'avoir retenu que la procédure pénale ouverte à son encontre serait légitime. Il soutient en substance que cette instruction - relative certes à des infractions de droit commun - ne viserait aucun intérêt public, mais chercherait à l'atteindre pour des motifs politiques ou analogues, soit en raison de ses dénonciations de détournements de fonds publics de la part de hauts fonctionnaires; la crainte fondée de persécution serait notamment démontrée par la chronologie des événements, les vices de procédure ayant conduit à un ordre de mise en détention le concernant, les violations récurrentes des droits fondamentaux des détenus préventifs en Russie, la primauté du droit national russe rendant inopérant les arrêts de la CourEDH, ainsi que les similitudes entre sa situation et la cause de feu C._. En particulier, il se plaint d'un établissement arbitraire des faits (cf. ad ch. 3 de son recours p. 5 ss).
3.3. Une persécution au sens du droit de l'asile comprend cinq éléments (SPESCHA/BOLZLI/DE WECK/PRIULI, Handbuch zum Migrationsrecht, 4e éd. 2020, ad 1.1.2 p. 418; CARONI/SCHEIBER/PREISIG/ZOETEWEIJ, Migrationsrecht, 4e éd. 2018, ad d p. 444; POSSE-OUSMANE/PROGIN-THEUERKAUF, op. cit., n° 9 ad art. 3 LAsi; voir également UEBERSAX/PETRY/HRUSCHKA/FREI/ERRASS, Migrationsrecht in a Nutshell, 2021, ad 2/a/aa p. 240 s., CONSTANTIN HRUSCHKA, in SPESCHA/ZÜND/BOLZLI/HRUSCHKA/DE WECK [édit.], Migrationsrecht, Kommentar, 5e éd. 2019, n° 3 ad art. 3 LAsi; OSAR, op cit., ad chap. 2 p. 165) : elle doit être
1. actuelle, respectivement une "crainte fondée" d'une persécution future (AUFIERO, op. cit., n° 460 ss p. 186 ss; CARONI/SCHEIBER/PREISIG/ZOETEWEIJ, op. cit., ad d/hh p. 462 ss; POSSE-OUSMANE/PROGIN-THEUERKAUF, op. cit., n° 24 ss ad art. 3 LAsi; OSAR, op. cit., ad ch. 2.5 p. 194 ss);
2. sérieuse;
3. ciblée;
4. découler d'un motif relevant en matière d'asile;
5.et cela sans protection de l'État en cause.
S'agissant des éléments précités, il y a lieu de relever que l'intensité/ le sérieux de la persécution est notamment réalisé (e) en cas de menaces directes et sérieuses à la vie, de torture et de traitements inhumains et dégradants (SPESCHA/BOLZLI/DE WECK/PRIULI, op. cit., ad 1.1.2/b p. 418; HRUSCHKA, op. cit., n° 9 ad art. 3 LAsi; AUFIERO, op. cit., n° 831 p. 307 et n° 401 p. 163; POSSE-OUSMANE/PROGIN-THEUERKAUF, op. cit., n° 71 s. ad art. 3 LAsi; OSAR, op. cit., ad ch. 2.2.2 p. 168 ss). La persécution doit être en principe ciblée, soit viser personnellement le requérant d'asile (HRUSCHKA, op. cit., n° 10 ad art. 3 LAsi; POSSE-OUSMANE/PROGIN-THEUERKAUF, op. cit., n° 34 ad art. 3 LAsi; OSAR, op. cit., ad ch. 2.2.3 p. 171). Il ne suffit ainsi pas d'invoquer la mauvaise situation des droits de l'Homme en général dans le pays d'origine (POSSE-OUSMANE/PROGIN-THEUERKAUF, op. cit., n° 34 ss ad art. 3 LAsi, ces auteurs sont cependant critiques lorsqu'il s'agit d'atteintes graves aux droits fondamentaux : les atteintes à la vie, à l'intégrité corporelle ou à la liberté qui, dans l'absolu, sont suffisamment intenses en elles-mêmes devraient également constituer une persécution lorsqu'elles touchent de nombreuses personnes) ou de se trouver dans une situation de danger touchant de nombreuses personnes telle une guerre, notamment civile (SPESCHA/BOLZLI/DE WECK/PRIULI, op. cit., ad 1.1.2/c p. 419; AUFIERO, op. cit., n° 434 p. 174 s.; OSAR, op. cit., ad ch. 2.2.3.3 p. 173).
Quant aux cinq motifs déterminants au sens des art. 3 al. 1 LAsi et 1 let. A ch. 2 de la Convention sur les réfugiés, ils sont exhaustifs (AUFIERO, op. cit., n° 435 p. 175; POSSE-OUSMANE/PROGIN-THEUERKAUF, op. cit., n° 44 ad art. 3 LAsi; OSAR, op. cit., ad ch. 2.4 p. 180). Si des persécutions - y compris des tortures - découlent d'autres raisons, cela n'est en principe pas déterminant en matière d'asile (AUFIERO, op. cit., n° 435 p. 175, n° 827 p. 306 et n° 831 p. 307; POSSE-OUSMANE/ PROGIN-THEUERKAUF, op. cit., n° 44 s. ad art. 3 LAsi). En ce qui concerne en particulier les "opinions politiques", cette notion est entendue de manière large : il peut s'agir de critiques manifestes, d'une simple prise de distance par rapport à l'ordre étatique, social ou économique, voire même de la défense d'un point de vue neutre; en d'autres termes, est politique tout ce que l'État estime contraire à son existence, à son ordre intérieur, voire à sa légitimité. Ce motif peut être retenu indépendamment des véritables idées politiques de la personne persécutée, dans la mesure où il est déterminant que les idées lui soient attribuées par l'auteur de la persécution (AUFIERO, op. cit., n° 450 p. 181 s.; CARONI/SCHEIBER/PREISIG/ZOETEWEIJ, op. cit., ad d/dd p. 452 s.; POSSE-OUSMANE/PROGIN-THEUERKAUF, op. cit., n° 57 ad art. 3 LAsi; OSAR, op. cit., ad ch. 2.4.4 p. 186 s.).
3.4. Le Tribunal administratif fédéral a tout d'abord retenu que le recourant avait été mis en prévention à la suite des déboires rencontrés par la banque qu'il dirigeait, ce qui avait abouti à la prise de contrôle de cet établissement par les autorités russes, à son assainissement et à l'injection de fonds publics; dans ce contexte, il ne pouvait être exclu que les agissements du recourant - à la tête de l'établissement bancaire en cause - aient donné lieu à l'ouverture d'enquêtes administratives et pénales pour des faits de fraude. L'autorité précédente a ensuite relevé qu'en l'absence d'indice d'actes de répression mis en oeuvre pour des raisons de race, de religion, de nationalité, d'appartenance à un groupe social déterminé ou d'opinions politiques, elle ne saurait donc voir dans la mise en oeuvre des poursuites pénales et administratives des persécutions déterminantes en matière d'asile; de plus, le dossier ne démontrait pas que le recourant ait exercé des activités politiques en Russie ou exprimé des opinions critiques à l'égard du pouvoir. Selon l'autorité précédente, l'intervention des autorités russes ne saurait donc être assimilée à une tentative de réprimer les opinions politiques personnelles du recourant et les procédures ouvertes notamment à son encontre avaient donc été initiées pour des motifs relevant du droit commun (cf. consid. 7.2.3 p. 17 s. de l'arrêt attaqué).
Ce raisonnement ne prête pas le flanc à la critique. La brève argumentation développée par le recourant - dans la mesure où elle remplirait les exigences en matière de motivation découlant de l'art. 42 al. 2 LTF - tend en outre uniquement à substituer sa propre appréciation des événements - dont le déroulement des faits - à celle de l'autorité précédente - respectivement à celle effectuée par le SEM (cf. ad ch. 3.4 p. 7 s. du recours) - afin de démontrer que l'ouverture de procédure pénale serait en réalité motivée par ses prétendues dénonciations ("procédure pénale prétexte"). Le recourant ne développe cependant aucun élément visant à remettre en cause les motifs retenus par l'autorité précédente pour expliquer l'ouverture de procédures à son encontre, à savoir son statut de dirigeant de la banque en cause, les déboires de celle-ci et son assainissement par l'État; en particulier, le recourant ne soutient pas que ces circonstances ne seraient pas propres à motiver une poursuite pénale, cela indépendamment de ses éventuelles dénonciations. Il ne conteste pas non plus que les infractions retenues relèvent du droit commun. Au regard de ces circonstances et de la compétence répressive appartenant aux autorités d'un État (UEBERSAX/PETRY/HRUSCHKA/FREI/ERASS, op. cit., ad 2/a/dd p. 243; CARONI/SCHEIBER/PREISIG/ZOETEWEIJ, op. cit., ad d/dd p. 454; POSSE-OUSMANE/PROGIN-THEUERKAUF, op. cit., n° 79 ad art. 3 LAsi; OSAR, op. cit., ad ch. 2.4.5 p. 189), il n'était pas contraire au droit fédéral ou à l'interdiction de l'arbitraire de retenir que les poursuites pénales et/ou administratives ouvertes contre le recourant étaient justifiées par des motifs légitimes.
3.5. L'autorité précédente a ensuite fait état de sa jurisprudence. Selon celle-ci - non remise en cause par le recourant, notamment par le biais de références jurisprudentielles ou de doctrine -, une poursuite pénale légitime dans le pays d'origine peut exceptionnellement constituer une persécution sous l'angle de l'art. 3 LAsi. Tel est le cas en particulier (i) lorsque la norme pénale s'en prend à un groupe ethnique en raison de caractéristiques externes ou internes indissociables de celui-ci ("wegen unverzichtbarer äusserer oder innerer Merkmale"; voir OSAR, op. cit., ad ch. 2.4.5 p. 189 [norme pénale illégitime]), (ii) lorsqu'un individu se voit reprocher un délit de droit commun à raison de caractéristiques individuelles externes ou internes, ou (iv) lorsque la durée ou la nature de la sanction encourue, ou encore la situation procédurale de l'intéressé qui s'est effectivement rendu coupable d'un délit de droit commun se trouve sensiblement aggravée pour un motif déterminant en droit d'asile ("polit malus"). Un tel "polit malus" doit être admis principalement dans trois situations : (1) lorsque la procédure pénale n'est manifestement pas conforme aux exigences de l'État de droit (voir OSAR, op. cit., ad ch. 2.4.5 p. 190 [procédure pénale contraire aux droits humains]), (2) lorsque le requérant d'asile est exposé à une sanction constituant une violation de ses droits fondamentaux - notamment parce qu'elle l'expose à des actes de torture ou à des traitements inhumains -, et (3) lorsque sa peine est aggravée par rapport à celles d'autres auteurs dans une situation comparable ("malus relatif") ou lorsque la sanction encourue, mise en rapport avec la gravité des actes reprochés, apparaît en soi démesurément sévère et partant excessive ("malus absolu"; voir OSAR, op. cit., ad ch. 2.4.5 p. 190 s. [nature ou quotité de la peine]). Cela dit, même dans ces dernières hypothèses, la qualité de réfugié ne serait reconnue au requérant que si le caractère disproportionné de la sanction encourue repose sur un motif pertinent en matière d'asile (cf. consid. 7.2.4 p. 19 de l'arrêt attaqué et les arrêts du Tribunal administratif fédéral E-2188/2019 du 30 juin 2020 consid. 6, ATAF 2014/28 consid. 8.3.1 p. 461 s.).
3.5.1. Dans le cadre de l'application de ces éléments au cas d'espèce, le Tribunal administratif fédéral a tout d'abord écarté un motif de persécution par le biais de la procédure pénale eu égard à une appartenance à un groupe ethnique ou à la personnalité du recourant (cf. consid. 7.2.5.1 p. 19), ce qui n'est pas remis en cause.
Il a ensuite estimé qu'en cas de remise aux autorités russes, aucun élément tangible et concret ne permettait de considérer que le recourant ne bénéficierait pas d'une procédure équitable et conforme aux principes de l'État de droit pour l'un des motifs énoncés à l'art. 3 LAsi; le recourant avait en effet été en mesure de saisir plusieurs degrés de juridictions russes, notamment afin de faire procéder à l'examen de la légalité de l'ordre de mise en détention. Selon l'autorité précédente, des garanties diplomatiques spécifiques avaient au demeurant été requises par les autorités suisses dans le cadre de l'extradition, circonstances qui permettaient donc de distinguer le cas du recourant des affaires portées devant la CourEDH dont il se prévalait pour établir un risque concret et avéré de traitements contraires aux droits fondamentaux pour l'un des motifs de l'art. 3 LAsi (cf. consid. 7.2.5.2 p. 19 s.). Les Juges précédents ont enfin relevé que la sanction encourue était une peine d'emprisonnement dont la quotité n'apparaissait pas excessive vu les infractions examinées; rien ne permettait en outre de retenir que cette peine serait aggravée injustement notamment pour des motifs ayant trait à ses opinions politiques (cf. consid. 7.2.5.3 p. 20).
3.5.2. Cette appréciation peut également être confirmée. En effet, il ressort tant de la jurisprudence du Tribunal administratif fédéral que de la doctrine qu'en matière d'asile, deux éléments sont nécessaires pour qu'une procédure pénale légitime puisse être considérée comme une persécution : (1) la procédure pénale en cause ne doit manifestement pas satisfaire les exigences d'un État de droit, la sanction encourue, respectivement prononcée, doit apparaître disproportionnée eu égard à l'infraction reprochée et/ou son exécution pourrait porter atteinte aux droits fondamentaux; et (2) ce caractère illégitime doit découler d'un motif relevant selon le droit de l'asile (ATAF 2014/28 consid. 8.3.1 p. 462, voir également l'arrêt D-1709/2013 du Tribunal administratif fédéral du 11 mai 2016 consid. 3.3; CARONI/SCHEIBER/ PREISIG/ZOETEWEIJ, op. cit., ad d/dd p. 455; OSAR, op. cit., ad ch. 2.4.5 p. 189 s.; ainsi que l'arrêt 2C_766/2019 du 14 septembre 2020 consid. 7.1). Dans le cadre de l'examen du statut de réfugié, le recourant ne saurait donc se prévaloir de manière générale de la situation qui prévaut en Russie, y compris en cas de détention. Il lui appartenait de démontrer en quoi sa situation procédurale serait manifestement aggravée en raison de ses prétendues dénonciations, ce qu'il ne fait pas. En particulier, il ne remet pas en cause le fait d'avoir pu défendre ses droits contre l'ordre de mise en détention, ce qui permet en l'état de considérer que les éventuels vices de procédure - qu'on ne saurait assimiler à de graves violations des droits fondamentaux - peuvent, le cas échéant, être réparés. Il ne développe pas non plus d'argumentation en lien avec la sanction encourue.
L'issue de la procédure d'extradition et le renvoi de la cause pour un nouvel examen des garanties diplomatiques ne permet pas, dans le cadre du refus du statut de réfugié, d'avoir une appréciation différente. Certes, ces assurances peuvent, le cas échéant, apporter des garanties supplémentaires quant au déroulement de la procédure, au prononcé de la sanction et à son exécution (AUFIERO, op. cit., n° 1258 p. 467). Elles ne permettent en revanche pas d'étayer l'existence d'un motif déterminant au sens de l'asile, ce que le recourant ne prétend d'ailleurs pas. Il ne soutient pas non plus que, dans le cas d'espèce, il y aurait un risque de décision contradictoire (cf. pour un exemple de défaut de coordination, arrêt 1C_246/2017 du 29 janvier 2018 consid. 2). En effet, un éventuel refus de l'extradition eu égard notamment au principe de non-refoulement garanti par les art. 3 de la Convention du 10 décembre 1984 contre la torture et autres peines ou traitements cruels, inhumains ou dégradants (RS 0.105), 3 CEDH, 7 Pacte ONU II (RS 0.103.2) et 25 al. 3 Cst. - qui s'applique alors indépendamment d'une menace de violations des droits humains reposant sur un motif de persécution déterminant au sens de l'asile (arrêt 2C_766/2019 du 14 septembre 2020 consid. 4.6 in fine; POSSE-OUSMANE/PROGIN-THEUERKAUF, op. cit., n° 15 ad art. 5 LAsi; voir également arrêts CourEDH N.d. et N.T. c. Espagne du 13 février 2020, requêtes nos 8675/15 et 8697/15, § 188; Ilias et Ahmed c. Hongrie du 2 décembre 2019, requête n° 47287/15, § 126) - ne s'opposerait pas à une décision de renvoi en matière d'asile, faute pour celle-ci d'exister. AUFIERO relève d'ailleurs que, dans une telle situation, le SEM - respectivement les autorités cantonales qui seraient compétentes - ne pourrait ignorer la décision de refus en matière d'extradition lorsqu'il devra statuer sur la question de l'exécution du renvoi (AUFIERO, op. cit., n° 1236 p. 459 s.). En l'espèce, ce raisonnement vaut a fortiori vu l'absence de prononcé sur le principe même du renvoi. Dans l'hypothèse inverse, à savoir l'admission de la demande d'extradition, il n'y aurait pas non plus de décision contradictoire. Faute d'avoir obtenu le statut de réfugié, le recourant ne saurait donc bénéficier du principe de non-refoulement au sens de l'art. 5 LAsi; quant à celui - plus large - découlant notamment des art. 25 al. 3 Cst. et 3 CEDH, l'examen y relatif n'entre pas en l'occurrence dans la compétence des autorités en matière d'asile, faute à ce jour de décision de renvoi, mais dans celle des autorités statuant sur la demande d'extradition. Dans ce cadre, l'obtention de garanties diplomatiques tend à éviter que la personne extradée ne soit exposée à des mauvais traitements dans l'État requérant et permet ainsi en principe à l'État requis de se mettre à l'abri d'un reproche d'avoir méconnu le droit international (a contrario cf. arrêt CourEDH Al-Saadoon et Mufdhi c. Royaume-Uni du 2 mars 2010, requête n° 61498/08, Recueil 2010-II p. 151, § 142-144 et 162; ROBERT ZIMMERMANN, La coopération judiciaire internationale en matière pénale, 5e éd. 2019, n° 654 p. 709 s.), soit notamment les engagements découlant de l'interdiction de la torture, des traitements cruels, inhumains et dégradants.
4.
Il s'ensuit que le recours doit être rejeté.
Le recourant, qui succombe, supporte les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, fixés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué à la mandataire du recourant, au Secrétariat d'État aux migrations, à la Cour IV du Tribunal administratif fédéral et, pour information, à l'Office fédéral de la justice et à la Cour des plaintes du Tribunal pénal fédéral.
Lausanne, le 23 décembre 2020
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Chaix
La Greffière : Kropf