Faits :
A.
A.a. A._, né en 1961, était engagé à titre de commis de cuisine auprès de la fondation B._ à U._, et était par ce biais assuré de manière obligatoire contre le risque d'accident auprès de Helsana SA (ci-après: Helsana). Le 27 août 2012, il est tombé sur un chemin caillouteux et s'est blessé à l'épaule droite. Cet accident s'est soldé par une déchirure transfixiante du tendon du sus-épineux, laquelle a été traitée par voie chirurgicale le 14 décembre 2012. Une incapacité de travail a été attestée depuis la date de l'opération jusqu'au 9 janvier 2013.
A.b. Alors qu'il travaillait toujours pour le compte du même employeur, lequel avait dorénavant assuré ses employés contre le risque d'accident auprès de la Generali Assurances Générales SA (ci-après: Generali), A._ a glissé le 4 janvier 2018 sur la neige et s'est réceptionné sur son épaule droite. Le 28 juin 2018, l'assuré a subi une arthroscopie de l'épaule droite.
Se fondant sur les conclusions du rapport d'expertise du docteur C._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, du 19 décembre 2018, Generali a rendu le 10 janvier 2019 une décision par laquelle elle a mis un terme au versement des prestations avec effet au 31 mai 2018, au motif que le statu quo sine était atteint. Au-delà de cette date, cette affaire ne relevait donc plus de sa compétence, mais de celle de Helsana, laquelle était intervenue ensuite de l'accident du 27 août 2012. Cette décision a été confirmée le 4 décembre 2019 sur oppositions de l'assuré et de son assurance-maladie.
A.c. Le 15 janvier 2019, l'assuré a annoncé une rechute à Helsana. Après avoir consulté son médecin-conseil, le docteur D._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, qui a rendu son évaluation le 21 janvier 2019, Helsana a rendu le 12 mars 2019 une décision par laquelle elle a refusé d'allouer des prestations d'assurance, au motif que les troubles annoncés n'étaient pas, au degré de la vraisemblance prépondérante, en relation de causalité avec l'accident du 27 août 2012. Cette décision a été confirmée le 9 mai 2019 sur opposition de l'assuré.
B.
Par arrêt du 8 avril 2020, la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève a admis le recours interjeté par l'assuré contre la décision sur opposition du 9 mai 2019, qu'elle a réformée en ce sens que Helsana devait verser ses prestations en lien avec les troubles à l'épaule droite dès le 1er juin 2018.
C.
Helsana exerce un recours en matière de droit public contre cet arrêt, en concluant à sa réforme dans le sens de la confirmation de sa décision sur opposition du 9 mai 2019.
L'intimé a intégralement acquiescé au recours. L'Office fédéral de la santé publique ne s'est pas déterminé.
Sur réquisition du juge instructeur, Generali a produit le dossier complet de l'assuré concernant l'accident du 4 janvier 2018; elle a précisé qu'elle n'avait participé à aucune procédure judiciaire relative à ce dossier.

Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
2.1. En droit privé, lorsque la cause est soumise à la maxime de disposition, l'acquiescement devant un tribunal est considéré comme un acte de procédure unilatéral par lequel la partie intimée reconnaît le bien-fondé de la prétention de la partie recourante et admet les conclusions de celle-ci (cf. arrêt 5A_667/2018 du 2 avril 2019 consid. 3.2, publié in SJ 2019 I 344). En droit des assurances sociales, dans lequel prévaut la maxime d'office (cf. art. 43 al. 1 et art. 61 let. c LPGA), l'acquiescement de la partie intimée ne permet pas au Tribunal fédéral de rayer la cause du rôle conformément à l'<ref-law>; en d'autres termes, des conclusions de la partie intimée tendant à l'admission du recours ne dispensent pas le Tribunal de céans d'examiner la cause au fond, en vérifiant que la situation résultant de l'admission du recours soit conforme au droit fédéral et en rendant une décision sur le fond (cf. FLORENCE AUBRY GIRARDIN, in: Commentaire de la LTF, 2e éd. 2014, n° 23a ad <ref-law>; arrêts 9C_149/2017 du 10 octobre 2017 consid. 1; 2C_299/2009 du 28 juin 2010 in RDAF 2010 II 494, consid. 1.3.4).
2.2. Il sied par conséquent d'examiner si, comme le soutient la recourante, la cour cantonale a violé le droit fédéral en entrant en matière sur le recours de l'intimé et en enjoignant à la recourante de verser des prestations d'assurance dès le 1er juin 2018.
S'agissant d'une procédure concernant l'octroi de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par la juridiction précédente (<ref-law>).
3.
La cour cantonale a exposé correctement les dispositions légales et les principes jurisprudentiels applicables au cas, s'agissant notamment de la notion d'accident (<ref-law> et <ref-law>), de la notion de rechutes et de séquelles tardives (<ref-law>), de l'exigence d'un lien de causalité naturelle et adéquate entre l'événement dommageable et l'atteinte à la santé (<ref-ruling> consid. 1 p. 438; <ref-ruling> consid. 3.1 et 3.2 p. 181), de la cessation des prestations d'assurance lorsque le statu quo sine vel ante est atteint (arrêt 8C_421/2018 du 28 août 2018 consid. 3.2, publié in SVR 2019 UV n° 9 p. 26), du principe de la libre appréciation des preuves (art. 61 let. c LPGA) et de la valeur probante des rapports médicaux (<ref-ruling> consid. 3a p. 352). Il suffit d'y renvoyer.
4.
4.1. Par un premier grief, la recourante reproche à la juridiction cantonale d'avoir statué sur un rapport juridique qui n'avait pas été contesté dans la procédure cantonale et qui était dès lors entré en force.
4.2. Par décision sur opposition du 9 mai 2019, la recourante a nié le droit de l'intimé à des prestations d'assurance pour les troubles annoncés à titre de rechute de l'accident du 27 août 2012. Dans son mémoire de recours du 11 juin 2019, l'intimé a conclu à la mise en oeuvre d'une expertise médicale et au versement de prestations d'assurance pour les suites de son accident du 4 janvier 2018. La cour cantonale a constaté que la motivation du recours de l'intimé apparaissait erronée, dans la mesure où celui-ci faisait valoir des prestations d'assurance dont il estimait qu'elles étaient en lien de causalité avec l'accident du 4 janvier 2018, soit avec un accident qui n'était pas couvert par la recourante. Considérant qu'elle n'était toutefois pas liée par les motifs avancés par les parties, la cour cantonale a conclu que le recours était recevable.
4.3. Cette appréciation n'apparaît pas critiquable. Certes, le juge n'entre pas en matière, sauf exception, sur des conclusions qui vont au-delà de l'objet de la contestation (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 362 et ses références). Néanmoins, il convient de constater qu'en réclamant des prestations d'assurance au titre de "l'accident du 4 janvier 2018", l'intimé n'a pas dépassé l'objet de la contestation, tel qu'il était circonscrit par la décision du 9 mai 2019, même si la motivation de son recours apparaissait d'emblée erronée. D'ailleurs, en procédure administrative, la recourante avait bien compris que l'intimé entendait annoncer une rechute pour les suites de son accident du 27 août 2012, puisqu'elle a rendu, le 12 mars 2019, une décision intitulée "Annonce de rechute" par laquelle elle a précisément nié l'existence d'un lien de causalité naturelle entre l'accident du 27 août 2012 et les troubles annoncés. Par la suite, la recourante est également entrée en matière sur l'opposition de l'intimé, à l'appui de laquelle celui-ci se prévalait de l'accident du 4 janvier 2018, et a rendu la décision du 9 mai 2019 attaquée devant la cour cantonale. Dans ces conditions, et compte tenu de la maxime inquisitoire (art. 61 let. c LPGA) ainsi que des dispositions cantonales applicables (art. 69 al. 1, 2e phrase, et 89A de la loi genevoise sur la procédure administrative du 12 septembre 1985), c'est à bon droit que la cour cantonale est entrée en matière sur le recours de l'intimé.
5.
5.1. Sur le fond, les juges cantonales ont retenu, sur la base de l'expertise du docteur C._, que les troubles à la santé de l'intimé dès le 1er juin 2018 étaient en rapport de causalité naturelle avec l'événement du 27 août 2012 et qu'il appartenait dès lors à la recourante de couvrir les suites de l'accident. Selon cet expert, l'accident du 4 janvier 2018 avait cessé de déployer ses effets cinq mois après sa survenance, soit le 31 mai 2018, et au-delà de cette date, la symptomatologie qui perdurait était en lien de causalité naturelle avec l'événement du 27 août 2012 et les lésions dégénératives. Quant à l'avis médical du docteur D._, sur lequel se fondait la recourante et selon lequel les troubles actuels étaient en lien de causalité seulement possible avec l'accident du 27 août 2012, la juridiction cantonale a considéré que ses conclusions n'emportaient pas la conviction.
5.2. Pour sa part, la recourante soutient que l'existence d'un rapport de causalité naturelle entre l'atteinte à l'épaule droite et l'accident du 27 août 2012 n'est pas établi au degré de la vraisemblance prépondérante, soit à plus de 50 %. Se référant à l'expertise du docteur C._, elle allègue que celui-ci aurait indiqué à maints endroits que la relation de causalité naturelle entre l'accident du 27 août 2012 et la rechute annoncée en 2018 serait de 50 %, respectivement même moins de 50 %, puisqu'une relation de causalité entre la rechute annoncée en 2018 et l'état dégénératif serait plus probable qu'avec l'accident de 2012.
5.3. La recourante ne saurait être suivie lorsqu'elle soutient, de manière générale, qu'un lien de causalité ne serait établi au degré de la vraisemblance prépondérante que lorsqu'il serait supérieur à un taux de probabilité de 50 %. Selon la jurisprudence du Tribunal fédéral, le seuil du degré de la vraisemblance prépondérante est atteint si les motifs de tenir une allégation pour exacte sont, d'un point de vue objectif, tellement impérieux que les autres possibilités hypothétiques n'entrent pas sérieusement en considération (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 612 et les références citées). La simple possibilité d'un certain état de fait ne suffit pas pour remplir cette exigence de preuve (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 429; <ref-ruling> consid. 6 p. 221). Aussi, il sied de relever que la jurisprudence renonce à utiliser des taux de probabilité, contrairement à la doctrine, laquelle évoque pour la vraisemblance prépondérante un taux de probabilité sensiblement supérieur à 51 % (arrêt 4A_424/2020 du 19 janvier 2021 consid. 4.1, destiné à la publication).
5.4. En l'espèce, le docteur C._ a retenu dans son rapport d'expertise que l'événement du 4 janvier 2018 avait entrainé une contusion simple de l'épaule droite. Quant à la reprise chirurgicale - non pas d'une nouvelle rupture, mais d'une tendinopathie correspondant à une cicatrisation incomplète du tendon du sus-épineux -, elle était en relation de causalité avec les suites de l'événement du 27 août 2012 et avec une tendinopathie dégénérative, telle qu'elle avait clairement été montrée du côté opposé. Par rapport à l'accident du 4 janvier 2018, l'expert a fixé un statu quo sine au 31 mai 2018, soit à cinq mois de l'événement, date au-delà de laquelle la symptomatologie qui perdurait était en relation de causalité naturelle avec l'événement du 27 août 2012 et les lésions dégénératives. Il a en outre précisé qu'il n'était pas possible de déterminer la part relative de ces deux éléments dans le status opératoire du 28 juin 2018. De façon subjective, faute de réels éléments probants entre le status cicatriciel du tendon lié à la rupture de 2012 et les facteurs dégénératifs, le docteur C._ a considéré que la part dégénérative était prédominante par rapport aux suites de l'événement de 2012 en raison de l'âge de l'assuré (plus de 55 ans), des facteurs de risque métabolique tels que l'hypercholestérolémie de longue date, de la très probable bilatéralité des lésions et d'une utilisation fonctionnelle peu douloureuse, voire indolente, durant près de cinq ans après cicatrisation. Invité à se prononcer sur le degré de la vraisemblance pour chaque diagnostic, l'expert a indiqué que la tendinopathie était en relation de causalité probable avec la cicatrisation de la suture chirurgicale en 2012 et hautement probable avec une pathologie dégénérative du tendon du sus-épineux.
S'il est vrai, comme les premières juges l'ont relevé, que pour admettre l'existence d'un lien de causalité naturelle, il suffit que la part traumatique, associée éventuellement à d'autres facteurs, ait provoqué l'atteinte à la santé, il n'en demeure pas moins que cette part traumatique doit être établie au degré de la vraisemblance prépondérante. Or le docteur C._ a précisément retenu qu'une relation de causalité entre la tendinopathie et l'accident du 27 août 2012 n'était que probable, ce qui ne suffit pas pour admettre l'existence d'un lien de causalité (cf. consid. 5.3 supra). Ses conclusions concordent en outre avec celles du docteur D._, lequel a confirmé dans son rapport du 21 janvier 2019 que la part dégénérative était prédominante par rapport à une éventuelle séquelle traumatique, dont il estimait que le lien de causalité avec l'accident du 27 août 2012 n'était que possible.
6.
Il résulte de ce qui précède que le recours doit être admis. L'intimé, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>; cf. arrêt 2C_299/2009 du 28 juin 2010 in RDAF 2010 II 494 consid. 1.3.4 et 4). Par ailleurs, la recourante n'a pas droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. La décision de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 8 avril 2020 est annulée et la décision sur opposition de Helsana SA du 9 mai 2019 confirmée.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 4 mars 2021
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Elmiger-Necipoglu