Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1978) und C._ (geb. 1981) sind die seit 18. Dezember 2014 geschiedenen Eltern der B._ (geb. 2010).
A.b. Am 17. März 2017 ordnete das Familiengericht des Bezirksgerichts Bremgarten in seiner Funktion als Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde eine Erziehungsbeistandschaft im Sinne von Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB an, umschrieb den Aufgabenbereich der Beistandschaft und ernannte einen Beistand. Gestützt auf einen zwischen den Eltern abgeschlossenen Vergleich ergänzte das Familiengericht Bremgarten am 6. Juni 2017 den Aufgabenbereich der Beistandschaft.
A.c. Mit Klage vom 16. Oktober 2017 beantragte A._ dem Bezirksgericht Horgen, es sei ihm in Abänderung des Scheidungsurteils vom 18. Dezember 2014 per sofort das alleinige Sorgerecht zuzusprechen und B._ unter seine Obhut zu stellen. Das Gericht stellte B._ einen Kindesvertreter bei.
A.d. Mit Verfügung vom 4. Mai 2018 entzog das Bezirksgericht Horgen im Sinne einer vorsorglichen Massnahme der Mutter das Aufenthaltsbestimmungsrecht und übertrug dieses dem Vater. Es befristete die Wirksamkeit der vorsorglichen Massnahme auf den 14. Juli 2018 (Beginn der Schulsommerferien).
A.e. Am 3. Juli 2018 fand vor dem Bezirksgericht Horgen eine Verhandlung statt, und am 5. Juli 2018 erliess das Bezirksgericht vorsorgliche Massnahmen. Unter anderem teilte es die Obhut über B._ wieder der Mutter zu (Dispositiv-Ziff. 3) und regelte das Besuchsrecht des Vaters (Dispositiv-Ziff. 6). Ausserdem übertrug es "die Entscheidbefugnis in Bezug auf sämtliche Belange, welche die Schule/Ausbildung - inklusive Übernachtungen in der Schule - sowie die psychiatrischen/psychologischen Abklärungen und Therapien für das Kind B._" betreffen, dem am 17. März 2017 bzw. 26. Januar 2018 vom Familiengericht Bremgarten eingesetzten Beistand. Sodann schränkte es die elterliche Sorge "entsprechend" ein (Dispositiv-Ziff. 4). Ferner wies das Bezirksgericht das Familiengericht Bremgarten an, "die mit Entscheid vom 17. März 2017 angeordnete Erziehungsbeistandschaft weiterzuführen und diese im Sinne von Dispositivziffer 4 dieses Entscheides auszuweiten" (Dispositiv-Ziff. 5). Schliesslich erklärte das Bezirksgericht, der Entscheid erwachse in Rechtskraft, sofern nicht innert 10 Tagen seit Zustellung von einer Partei eine Begründung verlangt werde (Dispositiv-Ziff. 12).
A.f. Der Vater hat am 10. Juli 2018 eine Begründung verlangt.
A.g. Am 12. Juli 2018 beantragte der Kindesvertreter von B._ dem Bezirksgericht Horgen, dem Beistand "unverzüglich ohne Anhörung der Parteien die Entscheidungsbefugnis in Bezug auf sämtliche Belange, welche die Schule/Ausbildung inkl. Übernachtungen in der Schule sowie die psychiatrischen/psychologischen Abklärungen und Therapien für das Kind B._" betreffen, zu übertragen sowie das Familiengericht Bremgarten anzuweisen, die mit Entscheid vom 17. März 2017 angeordnete Erziehungsbeistandschaft weiterzuführen und im Sinne des Antrages auszuweiten. Das Bezirksgericht gab diesen Begehren mit Verfügung vom 16. Juli 2018 statt (Dispositiv-Ziff. 1 und 2) und setzte den Eltern eine Frist von 20 Tagen zur Stellungnahme zum Gesuch vom 12. Juli 2018 (Dispositiv-Ziff. 3).
A.h. Am 18. Juli 2018 verfügte das Familiengericht Bremgarten unter ausdrücklicher Bezugnahme und Wiedergabe des Inhalts der Verfügung des Bezirksgerichts Horgen vom 16. Juli 2018 die Erweiterung der Befugnisse des Beistandes.
A.i. Weil die Verfügung keine Rechtsmittelbelehrung enthielt, wandte sich der Vater am 29. Juli 2018 an die Präsidentin des Familiengerichts Bremgarten. Diese liess ihm am 2. August 2018 mitteilen, der Entscheid enthalte bewusst keine Rechtsmittelbelehrung, weil es sich nicht um einen materiellen Entscheid handle.
B.
B.a. Am 6. August 2018 führte der Vater Beschwerde beim Obergericht des Kantons Aargau. Dieses trat mit Entscheid vom 28. August 2018 darauf nicht ein.
B.b. Das Bezirksgericht Horgen hat das schriftlich begründete Urteil vom 5. Juli 2018 am 15. August 2018 zugestellt. Der Vater führte auch gegen dieses Urteil Berufung, auf welche das Obergericht des Kantons Zürich nach Abweisung des Gesuches um unentgeltliche Rechtspflege mangels Leistung des Kostenvorschusses nicht eintrat (Beschluss vom 12. Oktober 2018). Gegen diesen Nichteintretensentscheid hat der Vater kein Rechtsmittel ergriffen.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 8. Oktober 2018 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht, dem er beantragt, den Nichteintretensentscheid des Obergerichts des Kantons Aargau vom 28. August 2018 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an dieses zurückzuweisen. Eventualiter sei die Nichtigkeit des Entscheides des Familiengerichts Bremgarten vom 18. Juli 2018 festzustellen.
D.
Der Instruktionsrichter hat die Parteien mit Verfügung vom 8. Januar 2019 eingeladen, zur Frage der Gegenstandslosigkeit Stellung zu nehmen. Der Beistand verneint ein aktuelles Interesse an der Beurteilung des Vollstreckungsentscheids vom 18. Juli 2018 und der Beschwerdeführer äussert sich dazu nicht, will aber die Sache bei der Kostenregelung berücksichtigt wissen. Die Beschwerdegegnerin hat sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
1.1. Nach <ref-law> ist zur Beschwerde in Zivilsachen nur berechtigt, wer ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheides bzw. an der Prüfung der gegen diesen erhobenen Rügen hat. Die Beschwerdebefugnis setzt ein aktuelles und praktisches Interesse an der Gutheissung der Beschwerde voraus, das auch im Zeitpunkt des bundesgerichtlichen Urteils noch vorhanden sein muss (<ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweis). Fällt das Rechtsschutzinteresse nach der Rechtshängigkeit dahin, schreibt der Instruktionsrichter als Einzelrichter das Verfahren zufolge Gegenstandslosigkeit ab (<ref-law>).
1.2. In der Sache geht es um die Anfechtung eines Entscheides des Familiengerichts Bremgarten, mit welchem dieses die vom Bezirksgericht Horgen am 16. Juli 2018 angeordnete superprovisorische Massnahme am 18. Juli 2018 vollstreckt hat. Der Erlass superprovisorischer Massnahmen ist auch für das Kindesschutzrecht vorgesehen (Art. 314 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Nach dem gesetzgeberischen Konzept hat das Gericht die betroffenen Parteien nach dem Erlass einer superprovisorischen Massnahme unverzüglich anzuhören und danach ebenso unverzüglich im Sinne einer vorsorglichen Massnahme über das Gesuch zu befinden (<ref-ruling> E. 2.6.1). Im kontradiktorischen Verfahren überprüft das Massnahmengericht nicht die superprovisorische Anordnung; es fällt vielmehr seinen Entscheid über das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen, der die zuvor ergangene superprovisorische Anordnung ersetzt und dahinfallen lässt (<ref-ruling> E. 1.1.1).
Im vorliegenden Sachzusammenhang hat das Bezirksgericht Horgen die einverlangte schriftliche Begründung des Massnahmeentscheids vom 5. Juli 2018 am 15. August 2018 zugestellt (Sachverhalt lit. B.b). Das Obergericht des Kantons Zürich trat mit Beschluss vom 12. Oktober 2018 auf die vom Beschwerdeführer eingereichte Berufung nicht ein. Damit wurde die vorsorgliche Massnahme vom 5. Juli 2018 am 12. Oktober 2018 rechtskräftig und sie ersetzte die superprovisorische Massnahme vom 16. Juli 2018. Zufolge des Wegfalls des Superprovisoriums hat der Beschwerdeführer kein aktuelles Interesse mehr an der Anfechtung des das Superprovisorium vollstreckenden Entscheids. Damit ist das Verfahren zufolge Gegenstandslosigkeit durch den Instruktionsrichter abzuschreiben.
2.
2.1. Erklärt das Bundesgericht einen Rechtsstreit als erledigt, entscheidet es mit summarischer Begründung über die Prozesskosten aufgrund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrunds (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Es steht ihm dabei ein weites Ermessen zu. In erster Linie ist auf den mutmasslichen Verfahrensausgang abzustellen (<ref-ruling> E. 8.2; <ref-ruling> E. 2a; je mit Hinweisen).
2.2. Das Obergericht des Kantons Aargau trat auf das gegen den Vollstreckungsentscheid gerichtete Rechtsmittel mit Entscheid vom 28. August 2018 nicht ein, im Wesentlichen mit der Begründung, es liege kein begründeter Entscheid vor, so dass es kein Anfechtungsobjekt gebe. Im Übrigen sei die Frist für ein Begehren um Begründung bereits vor Beschwerdeerhebung abgelaufen.
Hier genügt die Bemerkung, dass das Familiengericht Bremgarten mit seinem Entscheid vom 18. Juli 2018 die superprovisorisch angeordnete Massnahme des Bezirksgerichts Horgen vom 16. Juli 2018 auftragsgemäss umgesetzt und damit vollstreckt hat. In Ziffer 1 des Entscheids nimmt das Familiengericht Bremgarten ausdrücklich Bezug auf die superprovisorische Verfügung des Bezirksgerichts Horgen vom 16. Juli 2018. Damit hat das Familiengericht Bremgarten die Grundlage für seinen Vollstreckungsentscheid angegeben und sein Vorgehen begründet. Insofern erweist sich die Feststellung des Obergerichts des Kantons Aargau, der Entscheid des Familiengerichts Bremgarten vom 18. Juli 2018 enthalte keine Begründung, als offensichtlich unzutreffend.
2.3. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet; der geleistete Vorschuss von Fr. 1'000.-- ist dem Beschwerdeführer zu erstatten. Sodann wird Rechtsanwalt Daniel U. Walder mit Fr. 2'000.-- aus der Bundesgerichtskasse entschädigt. Dem Beistand und Rechtsanwalt Willy Bolliger ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.

Demnach verfügt der Einzelrichter:
1.
Das Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Rechtsanwalt Daniel U. Walder wird mit Fr. 2'000.-- aus der Bundesgerichtskasse entschädigt.
4.
Diese Verfügung wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksgericht Bremgarten, Familiengericht, B._, C._, Rechtsanwalt Dr. D._ und dem Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Februar 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Gutzwiller