Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ und B._ sind die nicht miteinander verheirateten und getrennt lebenden Eltern von C.A._ (geb. 2014) und D.A._ (geb. 2016). Sie sind gemeinsam sorgeberechtigt.
A.b. Seit September 2018 ist vor der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Biel/Bienne (nachfolgend KESB) ein Verfahren betreffend Regelung der Betreuungsanteile der Eltern über ihre Kinder hängig. Seit Januar 2019 sind auf Antrag der Kindsmutter nun auch die Zuteilung der elterlichen Sorge und der Obhut, die allfällige Regelung des persönlichen Verkehrs sowie der Erlass von Weisungen Gegenstand des Verfahrens.
A.c. Mit Entscheid vom 21. Januar 2019 teilte die KESB der Kindsmutter vorsorglich die Obhut über die beiden Kinder zu und traf eine vorsorgliche Regelung des persönlichen Verkehrs des Vaters mit den Kindern. Sodann ordnete die KESB eine Kindesvertretung im Sinne von Art. 314a bis ZGB an und setzte einen Vertretungsbeistand ein.
A.d. Am 28. Januar 2019 stellte A.A._ für das KESB-Verfahren ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Die KESB wies dieses Gesuch mit Entscheid vom 31. Januar 2019 ab.
B.
Die von A.A._ beim Kindes- und Erwachsenenschutzgericht des Obergerichts des Kantons Bern dagegen geführte Beschwerde wurde mit Entscheid vom 29. Mai 2019 abgewiesen.
C.
C.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 11. Juli 2019 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung der kantonalen Entscheide vom 31. Januar 2019 bzw. 29. Mai 2019 betreffend Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege (Ziff. 1) bzw. die Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das vorinstanzliche Verfahren (per 13. November 2018) (Ziff. 2), wobei Rechtsanwalt Wüthrich bis 9. Dezember 2018 und der unterzeichnende Rechtsanwalt ab 10. Dezember 2018 als Anwälte beizuordnen seien (Ziff. 3). Eventualiter seien die kantonalen Entscheide betreffend Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege aufzuheben und an die KESB zwecks Sachverhaltserstellung und materiellen Neubeurteilung zurückzuweisen (Ziff. 4). Auch für das vorinstanzliche Verfahren (Ziff. 5) sowie für das Verfahren vor Bundesgericht (Ziff. 1 und 2 gemäss separatem Gesuch gleichen Datums) verlangt die Beschwerdeführerin die unentgeltliche Rechtspflege samt Verbeiständung.
C.b. Am 23. August 2019, 3. Oktober 2019 und 27. November 2019 folgten seitens der Beschwerdeführerin unaufgefordert weitere Eingaben mit Beilagen.
C.c. Die KESB wie auch das Obergericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), mit dem diese sowohl eine gegen die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor der KESB gerichtete Beschwerde als auch das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das oberinstanzliche Verfahren abgewiesen hat (vgl. zur Ausnahme vom Erfordernis der double instance <ref-ruling> E. 1.2 S. 144 mit Hinweisen). Insoweit die Beschwerdeführerin zusätzlich die Aufhebung des (erstinstanzlichen) Entscheides der KESB vom 31. Januar 2019 verlangt, ist dieses Begehren unter Berücksichtigung des Erfordernisses des doppelten Instanzenzuges (Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG) unbeachtlich.
1.2. Der Entscheid über die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege ist ein Zwischenentscheid, der praxisgemäss einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 403; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131; siehe auch Urteil 5A_734/2015 vom 17. Dezember 2015 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>; je mit Hinweisen). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382). Dort stehen Kinderbelange ohne Streitwert (elterliche Sorge, Obhut, persönlicher Verkehr, Weisungen) und damit eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache (<ref-law>) im Streit. Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit auch gegen die Zwischenverfügung gegeben. Die Beschwerdeführerin ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt.
1.3. Die Beschwerdeführerin hat mit Eingabe vom 11. Juli 2019 fristgerecht Beschwerde erhoben (<ref-law>). Nicht zu berücksichtigen sind die Eingaben vom 23. August 2019, 3. Oktober 2019 und 27. November 2019, welche nach Fristablauf und damit verspätet eingingen.
1.4. Keine der kantonalen Instanzen hat die Frage der Bedürftigkeit geprüft. Sollte sich die Beschwerde als begründet erweisen, könnte das Bundesgericht daher nicht reformatorisch entscheiden, sondern müsste die Sache im Sinne des Eventualbegehrens (Ziff. 4) an die kantonalen Instanzen zurückweisen. Auf die Hauptbegehren (Ziff. 1-3) ist daher nicht einzutreten.
2.
2.1. Zentraler Streitpunkt ist, ob die KESB der Beschwerdeführerin zu Recht die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters für das erstinstanzliche Verfahren verweigert hat. Die Beschwerdeführerin macht die Verletzung von <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK geltend.
2.2. Die bundesrechtlichen Bestimmungen über das Verfahren vor den Kindesschutzbehörden und der gerichtlichen Beschwerdeinstanz (Art. 314 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) regeln die unentgeltliche Rechtspflege nicht. Einschlägig sind die Bestimmungen der Zivilprozessordnung, soweit die Kantone nichts anderes bestimmen (<ref-law>). Im Kanton Bern ist Art. 72 des Gesetzes über den Kindes- und Erwachsenenschutz (KESG/BE; BSG 213.316) i.V.m. Art. 111 ff. des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege (VRPG/BE; BSG 155.21) massgebend, wobei das kantonale Recht (vgl. auch Art. 26 Abs. 3 der Verfassung des Kantons Bern [KV/BE, BSG 101.1]) sich mit den Mindestanforderungen von <ref-law> deckt (Urteil 5A_795/2014 vom 14. April 2015 E. 5.2). Während die Anwendung von kantonalem Recht letztinstanzlich nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür (<ref-law>) beurteilt werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 149; Urteile 5A_795/2014 vom 14. April 2015 E. 5.2; 5A_130/2014 vom 20. März 2014 E. 2.2), überprüft das Bundesgericht rechtliche Fragen im Zusammenhang mit der Verfahrensgarantie von <ref-law> frei (Urteil 5A_795/2014 vom 14. April 2015 E. 5.2).
Auch Art. 6 Ziff. 1 EMRK gewährt in Zivilprozessen keinen über das verfassungsmässige Recht (<ref-law>) hinausgehenden Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege (<ref-ruling> E. 3 S. 264; Urteile 5A_941/2014 vom 19. Februar 2015 E. 2.1; 5A_446/2009 vom 19. April 2013 E. 3.3; je mit weiteren Hinweisen). Mit Bezug auf die Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege ist die Beschwerde nachfolgend ausschliesslich im Blickwinkel von <ref-law> zu behandeln.
2.3.
2.3.1. Nach <ref-law> hat eine Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und deren Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint, Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung, soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist. Letzteres ist der Fall, wenn die Interessen der Partei in schwerwiegender Weise betroffen sind und der Fall in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bietet, welche die Beiziehung eines Rechtsvertreters erforderlich machen. Droht das in Frage stehende Verfahren besonders stark in die Rechtsposition der Partei einzugreifen, ist die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters grundsätzlich geboten, sonst nur dann, wenn zur relativen Schwere des Falles besondere tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeiten hinzukommen, denen die Partei auf sich alleine gestellt nicht gewachsen wäre (<ref-ruling> E. 2.2 S. 182). Dabei sind neben der Komplexität der Rechtsfragen und der Unübersichtlichkeit des Sachverhalts auch in der Person der Partei liegende Gründe zu berücksichtigen, so das Alter, die soziale Situation, Sprachkenntnisse und allgemein die Fähigkeit, sich im Verfahren zurechtzufinden (<ref-ruling> E. 2.5.2 S. 233; <ref-ruling> E. 2b/cc S. 147).
2.3.2. Die Anwendbarkeit des Offizial- oder Untersuchungsgrundsatzes (vgl. Art. 314 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) schliesst die Notwendigkeit einer Verbeiständung durch einen Rechtsvertreter zwar nicht aus, rechtfertigt es aber, an die Voraussetzungen, unter denen diese ge-boten ist, einen strengen Massstab anzulegen (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 36 mit Hinweisen; Urteil 1C_199/2017 vom 3. August 2017 E. 3.2; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.2 S. 183 f.; Urteil 5A_511/2016 vom 9. Mai 2017 E. 4.2).
2.3.3. Massgebend ist sodann das Prinzip der Waffengleichheit (<ref-ruling> E. 2 S. 28; Urteile 5A_395/2012 vom 16. Juli 2012 E. 4.3; 4D_35/2017 vom 10. Oktober 2017 E. 4.2).
2.4. Zusammengefasst erwog die Vorinstanz, die Beschwerdeführerin beantrage die Zuteilung der Alleinsorge und die alleinige Obhut über die Kinder. Dieser Streitgegenstand weise für die Eltern - etwa im Vergleich zu einem Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts - nur eine relative Schwere auf. Sodann sei im Verfahren vor der KESB gemäss eigener Rechtsprechung die gerichtliche Bestellung eines Rechtsbeistandes in aller Regel nicht notwendig. Es handle sich vorliegend um einen zwar erbittert geführten, aber doch "gewöhnlichen" Elternkonflikt. Die Regelung der Kinderbelange sei weniger eine rechtliche als vielmehr eine praktische Angelegenheit. Inwiefern sich der vorliegende Sachverhalt als komplex erweisen solle, werde überdies nicht näher ausgeführt. Dass in der Person der Kindsmutter liegende Gründe eine anwaltliche Vertretung notwendig machen, ergebe sich weder aus den Akten noch würden solche geltend gemacht.
Soweit die Kindsmutter den Grundsatz der Waffengleichheit anrufe, sei einzuwenden, dass selbst bei anwaltlicher Vertretung der Gegenpartei kein Automatismus bestehe, sondern aufgrund der gesamten Umstände entschieden werden müsse, ob eine unentgeltliche Rechtsverbeiständung zur Herstellung der Waffengleichheit notwendig sei. Vorliegend erscheine aus den vorgenannten Gründen eine Rechtsverbeiständung eben gerade nicht notwendig. Die Teilnahme am Verfahren vor der KESB, welches von der Untersuchungs- und Offizialmaxime beherrscht werde, sei auch für einen Laien einfach verständlich, und es würden keine komplexen tatsächlichen Verhältnisse vorliegen, so dass die anwaltliche Vertretung dem Kindsvater keinen Vorteil verschaffe. Im Übrigen sei für die Kinder auf der Ebene Sozialarbeit durch die Beiständin und in juristischer Hinsicht durch den Kinderanwalt gesorgt. Die Befürchtungen der Kindsmutter, für das Kindeswohl werde nicht genügend gesorgt, wenn kein Anwalt im Verfahren vor der KESB tätig sei, seien damit nicht begründet. Der angefochtene Entscheid sei nicht zu beanstanden.
2.5.
2.5.1. Die Beschwerdeführerin erhebt zahlreiche Vorwürfe gegen das Urteil der Vorinstanz.
2.5.2. Unter dem Titel "Waffengleichheit" wehrt sich die Beschwerdeführerin gegen die vorinstanzliche Beurteilung, wonach der Beizug eines Anwalts mangels Komplexität vorliegend nicht erforderlich sei, weshalb die anwaltliche Vertretung dem Kindsvater keinen Vorteil verschaffe. So habe sie in ihrer Eingabe hinreichend dargelegt, dass beim jetzigen Verfahrensstand "zweifelsohne" eine Komplexität vorliege, welche den Beizug eines Anwalts erforderlich mache, gerade mit Blick u.a. auf die "Verrechtlichung" des Verfahrens infolge der Ernennung einer Kindesvertretung. Sie beanstandet diesbezüglich auch, dass die Vorinstanz mit dem Hinweis auf die Kindesvertretung und die Beiständin nur die Kindesinteressen im Auge habe und die Interessen der Eltern, indem sie einen unentgeltlichen Rechtsbeistand verwehre, als Interessen "zweiter Klasse" behandle.
In der Tat berücksichtigt die Vorinstanz zwar, dass für die Kinder durch die Ernennung eines Kinderanwalts und Einsetzung einer Beiständin in rechtlicher bzw. sozialer Hinsicht gesorgt ist. Sie lässt jedoch den Umstand ausser Acht, dass neben den Kindern auch der Kindsvater anwaltlich vertreten ist. Die Beschwerdeführerin müsste sich in dieser Konstellation - ohne unentgeltliche Verbeiständung - gegen zwei Rechtsbeistände, welche selbstredend abweichende Ziele verfolgen, durchzusetzen wissen. Dabei handelt es sich vorliegend entgegen den vorinstanzlichen Erwägungen nicht um eine rein praktische Angelegenheit. Vielmehr ist gerade in Bezug auf die elterliche Sorge entscheidend, dass die Parteien die nach der Rechtsprechung entscheidwesentlichen Tatsachen in das Verfahren einbringen. Entsprechend könnte die Beschwerdeführerin gegenüber dem anwaltlich vertretenen Kindsvater sehr wohl Nachteile erleiden. Daran vermag auch die Geltung des Untersuchungs- bzw. Offizialgrundsatzes nichts ändern, zumal den Parteien - wie die Beschwerdeführerin zu Recht betont - selbst unter Geltung dieser Verfahrensgrundsätze bei der Aufarbeitung des Sachverhalts Mitwirkungspflichten obliegen. Dass die Beschwerdeführerin rechtskundig und einem solchen Prozess, in dem sie mehreren Rechtsbeiständen entgegentreten müsste, gewachsen wäre, kann den vorinstanzlichen Erwägungen nicht entnommen werden. Unter dem Gesichtspunkt des Prinzips der Waffengleichheit drängt sich daher die Rechtsverbeiständung der Beschwerdeführerin auf. Indem die Vorinstanz das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Verbeiständung mangels Notwendigkeit mit ihrem Entscheid abwies, hat sie somit <ref-law> verletzt.
2.5.3. Die Beschwerde erweist sich in dieser Hinsicht als begründet. Zu den weiteren von der Beschwerdeführerin im Zusammenhang mit der unentgeltlichen Verbeiständung im erstinstanzlichen Verfahren erhobenen Rügen braucht sich das Bundesgericht bei diesem Ergebnis nicht zu äussern.
3.
Alsdann wehrt sich die Beschwerdeführerin dagegen, dass ihr die Vorinstanz die unentgeltliche Rechtspflege auch für das Beschwerdeverfahren versagt hat. Die Vorinstanz begründet ihren Entscheid damit, dass angesichts ihrer Ausführungen und der eigenen, im Internet zugänglichen Rechtsprechung betreffend die Notwendigkeit einer anwaltlichen Vertretung vor einer KESB die kantonale Beschwerde als von Vornherein aussichtslos bezeichnet werden müsse. Diese Schlussfolgerung der Vorinstanz erweist sich jedoch angesichts der vorstehenden Erwägungen als unzutreffend (vgl. E. 2.5.2). Die Vorinstanz hat das bei ihr eingelegte Rechtsmittel somit zu Unrecht als aussichtslos beurteilt.
4.
4.1. Die Beschwerde ist also begründet und gutzuheissen. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben und die Sache an die KESB Biel/Bienne, welche die übrigen Voraussetzungen zur Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ausdrücklich nicht geprüft hat, zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen zurückzuweisen.
4.2. Dem Kanton Bern sind keine Gerichtskosten aufzuerlegen (vgl. Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Hingegen hat der Kanton den Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin für das kantonal oberinstanzliche und das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (<ref-law> und <ref-law>; Urteil 5A_389/2014 vom 9. September 2014 E. 4 mit Hinweisen, in: SJ 2015 I S. 17). Aus Gründen der Prozessökonomie legt das Bundesgericht die dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin für das oberinstanzliche Verfahren zustehende Parteientschädigung zulasten des Kantons Bern gleich selbst fest (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Der Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht, v om 29. Mai 2019 wird aufgehoben. Die Sache wird zur neuen Beurteilung des Gesuchs um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das vor der KESB hängige Kindesschutzverfahren im Sinne der Erwägungen an die KESB Biel/Bienne zurückgewiesen.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Der Kanton Bern hat Rechtsanwalt Mario Stegmann, Biel, für das kantonal oberinstanzliche und das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 4'000.-- zu bezahlen.
5.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Biel/Bienne und dem Obergericht des Kantons Bern, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Dezember 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Scheiwiller