Sachverhalt:
A.
A.a. Am 27. September 2017 leitete A._ beim Betreibungsamt Appenzeller Vorderland gegen B._ die Betreibung Nr. xxx auf Zahlung von Fr. 660'000.-- plus Zinsen ein. Gleichzeitig erwirkte sie beim Kantonsgericht Appenzell Ausserrhoden die Verarrestierung der Forderung von B._ gegenüber der Swisslos Interkantonalen Landeslotterie in der Höhe von Fr. 650'000.-- netto (Fr. 1 Mio. abzüglich Verrechnungssteuer von 35 %).
A.b. B._ erhob in der Betreibung Nr. xxx Rechtsvorschlag. A._ ersuchte den Einzelrichter des Kantonsgerichts Appenzell Ausserrhoden um Gewährung der definitiven Rechtsöffnung. Als Rechtsöffnungstitel legte sie das rechtskräftige Strafurteil des Obergerichts des Kantons Appenzell Ausserrhoden vom 24. Juni 2003 vor, mit welchem B._ adhäsionsweise zur Begleichung einer Zivilforderung von Fr. 660'000.-- verpflichtet worden war. B._ erhob die Einrede der Verjährung. Das Rechtsöffnungsgesuch wurde am 5. März 2018 abgewiesen. Der anschliessenden Beschwerde an das Obergericht war kein Erfolg beschieden. Das Bundesgericht wies die von A._ erhobene Beschwerde in Zivilsachen mit Urteil 5A_730/2018 vom 25. März 2019 ebenfalls ab.
B.
B.a. Mit Eingabe vom 5. Juni 2019 ersuchte A._ beim Kantonsgericht erneut um Bewilligung eines Arrestes betreffend den beim Betreibungsamt verarrestierten Betrag von einer Million Franken (brutto) und um Erlass des entsprechenden Arrestbefehls. Die Einzelrichterin wies das Gesuch am 7./11. Juni 2019 ab.
B.b. Mit Verfügung vom 11. Juni 2019 stellte das Betreibungsamt fest, dass der Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. xxx von keiner Gerichtsinstanz beseitigt war und innert zehn Tagen seit Erlass des Bundesgerichtsurteils vom 25. März 2019 von der Gläubigerin keine Klage erhoben worden war. Demzufolge hob es den Arrestbeschlag auf und stellt die sofortige Auszahlung des Betrages von netto Fr. 650'000.-- an B._ in Aussicht.
B.c. Gegen die Aufhebungsverfügung des Betreibungsamtes reichte A._ Beschwerde beim Obergericht als Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs ein. Sie beantragte die Aufhebung der Arrestaufhebungsverfügung und die Vormerkung des erneuten Arrestgesuchs. Die Beschwerde wurde vom Obergericht am 25. Juni 2019 abgewiesen.
C.
A._ ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 15. Juli 2019 an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheides und erneuert ihre im kantonalen Verfahren gestellten Rechtsbegehren. Am 15. August 2019 hat sie ihre Beschwerde ergänzt.
Mit Verfügung vom 11. September 2019 ist der Beschwerde - entgegen Stellungnahme und Antrag von B._ (Beschwerdegegnerin) - die aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.
Es sind die kantonalen Akten, indes keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Entscheid einer kantonalen Aufsichtsbehörde, die als Rechtsmittelinstanz über eine betreibungsamtliche Verfügung befunden hat. Dagegen ist die Beschwerde in Zivilsachen gegeben (<ref-law> i.V.m. Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 2 lit. c und Art. 75 Abs. 1 BGG).
1.2. Die Beschwerdeführerin ist als Gläubigerin von der Aufhebung des Arrestes besonders berührt und daher ohne weiteres zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>).
1.3. Die vom Betreibungsamt verfügte Aufhebung des Arrestes ist ein Endentscheid und stellt keine vorsorgliche Massnahme im Sinne von <ref-law> dar. Damit kommt der vom 15. Juli bis und mit dem 15. August geltende Fristenstillstand für die gesetzliche Beschwerdefrist von zehn Tagen zum Tragen (Art. 46 Abs. 1 lit. b und Abs. 2 e contrario BGG, <ref-law>). Die Beschwerde samt Ergänzung ist somit fristgerecht eingereicht worden.
1.4. Mit der vorliegenden Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen, wobei hier das Rügeprinzip gilt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.4).
1.5. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel sind nur zulässig, soweit der vorinstanzliche Entscheid dazu Anlass gibt (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin weist auf den Entscheid des Obergerichts vom 15. Juli 2019 hin, mit welchem in Gutheissung der Beschwerde der Entscheid des Arrestgerichts vom 7. Juni 2019 (betreffend Abweisung des Arrestbegehrens vom 5. Juni 2019; Verfahren Nr. SV 19 103) aufgehoben und gleichzeitig ein Arrestbefehl an das Betreibungsamt erlassen worden ist. Das Vorbringen ist unbeachtlich, da erst nach dem angefochtenen Entscheid (vom 25. Juni 2019) entstandene Tatsachen nicht durch diesen veranlasst worden und daher unzulässig sind (<ref-ruling> E. 2.1).
2.
2.1. Nach Ansicht der Vorinstanz sind die Voraussetzungen für das Dahinfallen des am 29. September 2017 auf Ersuchen der Beschwerdeführerin vollzogenen Arrestes offensichtlich erfüllt, weshalb das Betreibungsamt den Arrestbeschlag zu Recht aufgehoben habe.
2.2. Die Beschwerdeführerin verweist demgegenüber auf ihr erneutes Arrestgesuch vom 5. Juni 2019, womit eine Aufhebung des bereits bestehenden Arrestesbeschlags nicht zulässig sei.
3.
Anlass zum vorliegenden Verfahren gibt das Dahinfallen eines Arrestes.
3.1. Der Arrest fällt ex lege dahin, wenn der Gläubiger ihn nicht fristgerecht prosequiert, wenn er die Klage oder die Betreibung zurückzieht oder erlöschen lässt oder wenn er mit seiner Klage vom Gericht endgültig abgewiesen wird (<ref-law>). Das Betreibungsamt stellt zu gegebener Zeit das Dahinfallen des Arrestes fest und gibt die verarrestierten Gegenstände frei. Geschieht dies nicht, so kann der Schuldner jederzeit verlangen, dass die Freigabe nachgeholt wird (<ref-ruling> E. 1; Urteil 5A_308/2011 vom 8. September 2011 E. 1.3). Es handelt sich dabei nicht um eine (eigentliche) Aufhebung des Arrestes, sondern vielmehr um die Freigabe der Arrestgegenstände von Amtes wegen, da der Arrest nicht prosequiert wurde oder das Gericht dem Gläubiger die Vollstreckung definitiv versagt hat (<ref-ruling> E. 4.3; REISER, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 1 zu Art. 280).
3.2. Im vorliegenden Fall erliess das Betreibungsamt am 11. Juni 2019 eine Verfügung, in welcher es festhielt, dass die Beschwerdeführerin keine definitive Rechtsöffnung für die in Betreibung gesetzte Forderung von Fr. 660'000.-- plus Zinsen erlangen konnte. Im Anschluss an das (abschlägige) Urteil des Bundesgerichts vom 25. März 2019 habe sie innert der Frist von zehn Tagen beim zuständigen Gericht keine Anerkennungsklage erhoben. Somit sei der Arrestbeschlag über den Betrag von Fr. 650'000.-- aufzuheben und der Arrestschuldnerin nach Rechtskraft dieser Verfügung auszuzahlen. Die Vorinstanz schützte diesen Standpunkt und wies darauf hin, dass es vorliegend einzig um den am 27. September 2017 angeordneten Arrest (Nr. SV 17 194) gehe. Das zweite Arrestgesuch vom 5. Juni 2019 habe keinen Einfluss auf das vorliegende Verfahren, so dass dessen derzeitiger Verfahrensstand (Abweisung des Arrestgesuchs mit Entscheid [Nr. SV 19 103] des Arrestgerichts vom 7. Juni 2019) keine Rolle spiele.
3.3. Die Beschwerdeführerin macht vorab eine Verletzung verschiedener Regeln des Bundesrechts geltend. So beruft sie sich auf <ref-law> und betont, dass der Richter die Verjährung nicht von Amtes wegen berücksichtigen dürfe. Weiter beruft sie sich auf <ref-law>, wonach eine Betreibung voraussetzungslos angehoben werden könne, was ihr verwehrt worden sei. Schliesslich bringt sie vor, es sei ihr nicht möglich gewesen, eine gemäss den Anforderungen von <ref-law> entsprechende Betreibung anzuheben, was obligationenrechtlich zu einer Missachtung von <ref-law> geführt habe.
3.3.1. Diese Vorbringen der Beschwerdeführerin sind nur teilweise verständlich. Soweit dies überhaupt der Fall ist, beziehen sie sich auf ihr Gesuch um Gewährung der definitiven Rechtsöffnung. Die Beschwerdeführerin äussert sich vorliegend erneut zur Frage der Verjährung und nimmt nicht zur Kenntnis, dass das Bundesgericht in seinem Urteil 5A_730/2018 vom 25. März 2019 dazu eine Antwort gegeben hat. Es hat insbesondere die Auffassung des Obergerichts in seinem Entscheid vom 2. August 2018 bestätigt, dass die Verjährung in der Betreibung Nr. xxx eingetreten und die definitive Rechtsöffnung daher zu Recht verweigert worden ist. Darauf ist vorliegend nicht zurückzukommen.
3.3.2. Zudem ist kein Zusammenhang zwischen dem im Rechtsöffnungsverfahren geprüften Einwand der Verjährung der Betreibungsforderung und der vorliegend strittigen Freigabe der verarrestierten Vermögenswerte erkennbar, womit auf das Vorbringen nicht einzutreten ist.
3.4. Nach Auffassung der Beschwerdeführerin kommt <ref-law> gar nicht zur Anwendung, da es um ein erneutes Arrestgesuch gehe. Das Betreibungsamt sei im Vorfeld - d.h. bei der Beurteilung der Frage, ob der Arrest Nr. SV 17 194 dahingefallen sei - auf die Rechtshängigkeit des neuen Gesuchs hingewiesen worden, was von diesem nicht richtig eingeordnet worden sei. Darin liege eine Rechtsverweigerung im Sinne von <ref-law>.
3.4.1. Mit dieser Sichtweise berücksichtigt die Beschwerdeführerin nicht, dass es vorliegend einzig um die Rechtmässigkeit der betreibungsamtlichen Verfügung vom 11. Juni 2019 geht. Das Betreibungsamt hatte von Amtes wegen zu prüfen, ob der am 29. September 2017 vollzogene Arrest Nr. SV 17 194 dahingefallen war. Die Erwägung der Vorinstanz, dass dieser Arrest dahingefallen ist, stellt die Beschwerdeführerin gar nicht in Frage. Hingegen musste das Betreibungsamt nicht berücksichtigen, ob ein erneutes Arrestbegehren beim Richter eingereicht worden war. Gegenstand der betreibungsamtlichen Verfügung vom 11. Juni 2019 ist das Dahinfallen des Arrestes Nr. SV 17 194, nicht die Frage eines Arrestes im Verfahren Nr. SV 19 103. Ob die Voraussetzungen für die Bewilligung eines Arrestes gegeben sind, befindet nämlich einzig das Arrestgericht (<ref-law>); dabei kommt das summarische Verfahren zur Anwendung (<ref-law>). Dem Betreibungsamt und der Aufsichtsbehörde kommt demgegenüber die Rolle der Vollzugsbehörde zu, weshalb sie dem Arrestbefehl Folge zu leisten haben. Sie sind nicht befugt, den Arrestbefehl auf seine materielle Begründetheit hin zu überprüfen. Der Vollzug darf nur verweigert werden, wenn sich der Arrestbefehl als offensichtlich nichtig erweisen sollte (<ref-ruling> E. 3.1). So wie das Betreibungsamt einen Arrestbefehl zu vollziehen hat, so kann es - umgekehrt - Massnahmen eines dahingefallenen Arrestes nicht von sich aus weiterführen (<ref-ruling> E. 3 a.E.) oder gar ohne Arrestbefehl vollziehen.
3.4.2. Demnach durfte die Vorinstanz sich als Aufsichtsbehörde zum Dahinfallen des Arrestes und der Freigabe des verarrestierten Vermögenswertes äussern, ohne einen Bezug zum erneuten Arrestgesuch herstellen zu müssen. Zwar lässt die Abweisung eines Arrestbegehrens durch die Arrestbehörde eine spätere Wiederholung des Gesuches grundsätzlich zu (vgl. BGE 60 I 253 E. 2; <ref-ruling> E. 3.2.2; u.a. KREN KOSTKIEWICZ, Schulthess-Kommentar SchKG, 2017, N. 29 zu Art. 272). Diese Möglichkeit verschafft dem Arrestgläubiger indes kein Recht auf "Vormerkung" des erneuten Gesuches beim Betreibungsamt mit dem Ziel und der Wirkung, die Freigabe der verarrestierten Vermögenswerte zu verhindern. Sofern das Arrestgericht das erneute Gesuch bewilligt, wird es einen Arrestbefehl erlassen, und das Betreibungsamt wird diesen vollziehen.
3.5. Nach dem Gesagten ist der Vorinstanz keine Verletzung von Bundesrecht vorzuwerfen, wenn sie die vom Betreibungsamt angeordnete Freigabe der verarrestierten Forderung geschützt hat.
4.
Der Beschwerde ist kein Erfolg beschieden. Ausgangsgemäss trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin, die mit ihrem Antrag um Abweisung des Gesuches um aufschiebende Wirkung unterlegen ist, ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Betreibungsamt Appenzeller Vorderland und dem Obergericht Appenzell Ausserrhoden, Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Oktober 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Levante