Sachverhalt:
A.
A.a. Der tunesische Staatsangehörige A._ (geb. 1994) ersuchte am 11. Dezember 2019 beim Migrationsamt des Kantons Solothurn (nachfolgend Migrationsamt) um Verlängerung der Kontrollfrist seiner Niederlassungsbewilligung. Aufgrund wiederholter Delinquenz eröffnete das Migrationsamt in der Folge ein Verfahren betreffend den Widerruf der Niederlassungsbewilligung von A._.
A.b. Mit Schreiben vom 20. März 2020 teilte das Migrationsamt A._ mit, aufgrund eines noch hängigen Strafverfahrens, welches im April 2020 verhandelt werden solle, könne das Kontrollverfahren noch nicht abgeschlossen, sondern müsse der Strafentscheid abgewartet werden. Das Migrationsamt informierte A._ gleichzeitig darüber, dass er ungeachtet des abgelaufenen Ausländerausweises weiterhin über eine rechtsgültige Niederlassungsbewilligung verfüge und ihm deshalb für allfällige Auslandreisen ein Rückreisevisum ausgestellt werden könne. Zudem werde ihm eine Bestätigung ausgestellt, dass sich sein Ausländerausweis zwecks Verlängerung der Kontrollfrist beim Migrationsamt in Prüfung befinde, er aber nach wie vor die gleichen Rechte einer niederlassungsberechtigten Person innehabe. Dieses Vorgehen sei üblich, weshalb das Migrationsamt nicht bereit sei, vorgängig eine anfechtbare Verfügung zu erlassen.
B.
Gegen das Schreiben des Migrationsamtes vom 20. März 2020 erhob A._ am 29. April 2020 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Er beantragte, dass ihm unter Aufhebung des (seiner Ansicht nach eine Verfügung darstellenden) Schreibens vom 20. März 2020 sein Ausländerausweis C bzw. die Kontrollfrist zu verlängern sei. Eventualiter beantragte er, das Migrationsamt sei zu verpflichten, in einer beschwerdefähigen Verfügung über die Verlängerung seines Ausländerausweis C bzw. der Kontrollfrist zu entscheiden. Mit Urteil vom 11. Mai 2020 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Es verneinte ein Rechtsschutzinteresse seitens A._ und trat insoweit auf die Beschwerde nicht ein. Soweit die Behandlung als Rechtsverweigerungs- bzw. Rechtsverzögerungsbeschwerde anbegehrt werde, sei die Beschwerde abzuweisen.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 12. Juni 2020 gelangt A._ an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des Urteils der Vorinstanz. Diese sei zu verpflichten auf seine Beschwerde einzutreten. Weiter sei die Vorinstanz anzuweisen, über die Verlängerung der Kontrollfrist seines Ausländerausweises zu entscheiden.
Die Vorinstanz und das Migrationsamt des Kantons Solothurn beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts und richtet sich gegen den kantonal letztinstanzlichen, verfahrensabschliessenden Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts (Art. 42, Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90, Art. 100 Abs. 1 BGG). Die Beschwerde fällt zudem unter keine der in Art. 83 lit. c BGG genannten Ausnahmen.
1.2. Gemäss der Rechtsprechung des Bundesgerichtes ist sodann die Partei, deren Beschwerde von der Vorinstanz für unzulässig erklärt worden ist, im Sinne von Art. 89 BGG beschwerdelegitimiert, wenn sie zur Anfechtung des Entscheids in der Sache berechtigt gewesen wäre, und dies ungeachtet des für den Nichteintretensentscheid als massgeblich erachteten Grundes, der vor dem Bundesgericht strittig ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 148; Urteile 2C_509/2018 vom 24. Juni 2019 E. 1.2, 2C_266/2018 vom 19. September 2018 E. 1.2). Der Beschwerdeführer ist deshalb zur Beschwerdeerhebung berechtigt (vgl. Art. 89 Abs. 1 BGG).
2.
2.1. Das Bundesgericht prüft das Bundesrecht von Amtes wegen (Art. 106 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 2.3 S. 23 f.) und mit uneingeschränkter (voller) Kognition (Art. 95 lit. a BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 236). Die Verletzung von Grundrechten untersucht das Bundesgericht in jedem Fall nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 415; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Eine Berichtigung oder Ergänzung der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen ist von Amtes wegen (Art. 105 Abs. 2 BGG) oder auf Rüge hin (Art. 97 Abs. 1 BGG) möglich.
3.
Strittig ist, ob die Vorinstanz zu Recht nicht auf die Beschwerde des Beschwerdeführers eingetreten ist. Sollte dies zu bejahen sein, so hat es beim Nichteintretensentscheid sein Bewenden. Erweist sich der Nichteintretensentscheid hingegen als bundesrechtswidrig, so ist die Sache zur weiteren Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 41).
3.1. Personen, die vor Bundesgericht beschwerdebefugt sind, sind gemäss Art. 111 Abs. 1 BGG auch berechtigt, sich am Verfahren vor allen kantonalen Vorinstanzen als Partei zu beteiligen. Aus diesem Grundsatz der Einheit des Verfahrens folgt, dass die Beschwerdelegitimation im kantonalen Verfahren mindestens in gleichem Umfang gewährleistet sein muss wie vor Bundesgericht (<ref-ruling> E. 2.1 S. 45). Zu prüfen ist daher, ob der Beschwerdeführer nach den für die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten geltenden Kriterien (Art. 89 Abs. 1 BGG) zur Beschwerde befugt wäre.
3.2. Gemäss Art. 89 Abs. 1 BGG ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung besitzt (lit. c). Nebst der Teilnahme am vorinstanzlichen Verfahren (sog. formelle Beschwer) wird somit verlangt, dass der Beschwerdeführer über eine spezifische Beziehungsnähe zur Streitsache verfügt und einen praktischen Nutzen aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids zieht. (<ref-ruling> E. 4.4 S. 29; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 34).
Ein schutzwürdiges Interesse liegt vor, wenn die tatsächliche oder rechtliche Situation des Beschwerdeführers durch den Ausgang des Verfahrens beeinflusst werden kann. Dies setzt eine eigene Betroffenheit voraus, d.h. der Beschwerdeführer muss im eigenen Interesse - und nicht im Interesse der Allgemeinheit - Beschwerde führen. Der drohende Nachteil bzw. der durch die Beschwerde erstrebte Vorteil braucht nicht zwingend wirtschaftlicher oder materieller Art zu sein, sondern kann auch ideeller Natur sein (<ref-ruling> E. 3.4.1 S. 458; 80 E. 1.4.1 S. 83; je mit Hinweisen; BERNHARD WALDMANN, in: Basler Kommentar BGG, 3. Aufl. 2018, Art. 89 N. 16). Eine unzulässige Popularbeschwerde liegt dagegen vor, wenn einzig das allgemeine öffentliche Interesse an der richtigen Anwendung des Rechts verfolgt wird, ohne dass dem Beschwerdeführer im Falle des Obsiegens ein konkreter Vorteil entsteht (<ref-ruling> E. 2.2 S. 504 mit Hinweisen).
3.3. Ausgangspunkt des vorinstanzlichen Verfahrens bildete das Schreiben des Migrationsamts vom 20. März 2020. Gemäss der für das Bundesgericht verbindlichen Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz (Art. 105 Abs. 1 BGG; vorne E. 2.2) informierte das Migrationsamt den Beschwerdeführer mit diesem Schreiben darüber, dass es gegenwärtig noch nicht über sein Gesuch um Verlängerung der Kontrollfirst entscheiden könne, da noch der Entscheid eines parallel geführten Strafverfahrens abgewartet werden müsse, in welchem im April 2020 eine Verhandlung stattfinden solle (Sachverhalt lit. A.b.). Entgegen der Feststellung der Vorinstanz ergibt sich aus den kantonalen Vorakten (Art. 105 Abs. 2 BGG; vorne E. 2.2), dass das Gesuch zu diesem Zeitpunkt seit dem 11. Dezember 2019 und nicht erst seit dem 13. März 2020 rechtshängig ist. Diese offensichtlich falsche Sachverhaltsfeststellung hat jedoch - wie zu zeigen - keine Auswirkungen auf den den Verfahrensausgang.
3.4. Aus dem genannte Schreiben des Migrationsamts ergibt sich nach dem Dargelegten, dass betreffend die Verlängerung des Ausländerausweis C bzw. der Kontrollfrist (Art. 41 Abs. 3 AIG, Art. 63 VZAE [SR 142.201]) noch gar kein rechtskräftiger Entscheid vorliegt. Vielmehr hat das Migrationsamt den Beschwerdeführer nur - aber immerhin - darüber informiert, dass der diesbezügliche rechtserhebliche Sachverhalt gegenwärtig noch nicht spruchreif sei. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist diese Vorgehensweise des Migrationsamts nach einer damaligen Verfahrensdauer von etwas mehr als drei Monaten bundesrechtlich nicht zu beanstanden. Schliesslich bedarf das Kontrollverfahren wie jedes andere Verwaltungsverfahren naturgemäss einiger Zeit, bis der rechtsrelevante Sachverhalt feststeht und gestützt darauf ein Entscheid in des Sache ergehen kann. Ist nun aber - wie dargelegt - noch gar kein Entscheid betreffend die Verlängerung des Ausländerausweis bzw. der Kontrollfrist ergangen, so hat dies zur Folge, dass das Schreiben des Migrationsamts keinerlei Rechte oder Pflichten begründet, ändert oder aufhebt. Mithin stellt das Schreiben gar keine Verfügung im Sinne von Art. 5 Abs. 1 VwVG (SR 172.021) dar (zum Verfügungsbegriff <ref-ruling> E. 4.3 S. 44 f; <ref-ruling> E. 2a S. 477). Infolgedessen fehlt es im kantonalen Beschwerdeverfahren bereits an einem tauglichen Anfechtungsobjekt. Der angefochtene Nichteintretensentscheid hält bereits deshalb vor Bundesrecht stand.
3.5. Die Tatsache, dass sich die Vorinstanz zur Rechtsnatur des Schreibens des Migrationsamts nicht geäussert bzw. offengelassen hat, ob es sich dabei um eine Verfügung im Sinne von Art. 5 Abs. 1 VwVG handelt, ändert daran nichts, denn wie die Vorinstanz zutreffend ausführt, fehlt es dem Beschwerdeführer überdies auch an einem für die Beschwerdeführung vorausgesetzten schutzwürdigen Interesse (vorne E. 3.2)
3.5.1. In der Sache ging es im vorinstanzlichen Verfahrens um die Verlängerung der Kontrollfrist des Ausländerausweise C des niederlassungsberechtigten Beschwerdeführers (Art. 41 Abs. 3 AIG, Art. 63 VZAE [SR 142.201]). Dieser Ausweis stellt keine Bewilligung dar und zeitigt daher keine Auswirkungen auf den Bestand der Niederlassungsbewilligung des Beschwerdeführers. Er ist somit rein deklaratorischer Natur (Urteile 2C_213/2014 vom 5. November 2014 E. 4.3.1; 2C_733/2012 vom 24. Januar 2013 E. 4.2). Das Kontrollverfahren als solches ist grundsätzlich ein administrativer Vorgang und dient den zuständigen Migrationsbehörden dazu, die Personendaten zu aktualisieren und festzustellen, ob sich die ausländische Person noch in der Schweiz befindet (vgl. Urteile 2C_213/2014 vom 5. November 2014 E. 4.3.1, 2A.284/2001 vom 9. Oktober 2001 E. 3e). Vor dem Hintergrund, dass sich die Ausländerausweise während der Kontrolle durch die zuständige Migrationsbehörde nicht im Besitz ihrer Inhaber befinden, erhalten diese praxisgemäss eine schriftliche Bestätigung, dass sie nach wie vor niederlassungsberechtigt sind (vgl. Urteil 2C_870/2018 vom 13. Mai 2019 E. 5.3.4). Wie sich aus dem Schreiben des Migrationsamts vom 20. März 2020 ergibt und der Beschwerdeführer auch selber vorbringt, besteht während dem behördlichen Kontrollverfahren für allfällige Auslandreisen zudem die Möglichkeit, ein Rückreisevisum zu beantragen (Art. 21 Abs. 2 der Verordnung vom 15. August 2018 über die Einreise und die Visumserteilung [VEV, SR 142.204]).
3.5.2. Aus den dargelegten Grundsätzen (vorne E. 3.5.1) ergibt sich, dass der vorübergehende Nichtbesitz des Ausländerausweises innerstaatlich für den Beschwerdeführer mit keinem Rechtsnachteil verbunden ist. Entgegen den Vorbringen des Beschwerdeführers besteht keine Pflicht, den Ausländerausweis jederzeit auf sich zu tragen (Art. 72 Abs. 1 VZAE; Staatssekretariat für Migration [SEM], Weisungen und Erläuterungen Ausländerbereich [Weisungen AIG], Stand 1. November 2019, Ziff. 3.1.7.3). Sodann wird den ausländischen Personen insbesondere auch im Hinblick auf allfällige polizeiliche Personenkontrollen von der zuständigen Migrationsbehörde eine schriftliche Bestätigung ausgehändigt, dass sich der Ausländerauweis gegenwärtig in Prüfung befinde (vorne E. 3.5.1).
3.5.3. Auch transnational hat der vorübergehende Verlust des Ausländerausweis für den Beschwerdeführer keine Rechtsnachteile zur Folge. Das Bundesgericht stimmt mit der Vorinstanz überein, dass es sowohl bei der Beschwerdeeinreichung wie auch zum Zeitpunkt des angefochtenen Urteils aufgrund der wegen der COVID-19 Pandemie weitgehend geschlossenen Grenzen nur in klar umschriebenen Ausnahmefällen möglich gewesen wäre zu reisen. Der Beschwerdeführer vermag in dieser Hinsicht weder im vorinstanzlichen noch im bundesgerichtlichen Verfahren substanziiert darzutun (vorne E. 2), dass bei ihm in irgendeiner Art und Weise ein solcher Ausnahmefall vorgelegen wäre oder dass er während dem kantonalen Verfahren überhaupt konkret beabsichtigt hätte zu verreisen. Seine diesbezüglichen Ausführungen sind bloss theoretischer, teilweise gar hypothetischer Natur und zielen einzig auf eine Überprüfung der richtigen Rechtsanwendung von Bundesrecht ab, ohne dass ihm im Falle einer Beschwerdegutheissung ein konkreter Rechtsvorteil erwachsen würde, der für die Begründung einer schutzwürdigen Interesses notwendig wäre (vorne E. 3.2). Vor dem Hintergrund, dass das Bundesgericht an den Sachverhalt gebunden ist, wie er sich der Vorinstanz präsentierte bzw. von dieser festgestellt wurde (vorne E. 2.2), ändert an dieser Beurteilung auch der Umstand nichts, dass die Grenzen im Nachgang des angefochtenen Urteils schrittweise wieder geöffnet wurden.
3.5.4. Wie die Vorinstanz zutreffend festhält, wäre es dem Beschwerdeführer zudem ohnehin offen gestanden, eine Reise in sein Heimatland gegebenenfalls auch mit seinem Reisepass anzutreten (vorne E. 3.5.1; vgl. auch E. II Ziff. 1 des angefochtenen Urteils). Es mag zwar stimmen, dass die Beantragung eines Rückreisevisums - wie der Beschwerdeführer vorbringt - grundsätzlich mit einem gewissen administrativen und finanziellen Mehraufwand verbunden ist. Dies alleine vermag jedoch in der vorliegenden Fallkonstellation noch kein schutzwürdiges Interesse zu begründen (vorne E. 3.2), da das Kontrollverfahren erst seit kurzer Zeit beim Migrationsamt rechtshängig ist. Keinen Einfluss auf den Verfahrensausgang hat in diesem Zusammenhang zudem die Tatsache, dass der Grund der vertieften Prüfung der Verlängerung der Kontrollfrist ein parallel geführtes Strafverfahren ist (Sachverhalt lit. A.b). Das Kontrollverfahren (Art. 41 Abs. 3 AIG) ist zwar grundsätzlich unabhängig von einem Widerrufsverfahren (Art. 63 AIG, vgl. vorne E. 3.5.1). Dies heisst aber nicht, dass ein Kontrollverfahren nicht auch mit einer materiellen Prüfung der Bewilligungsvoraussetzungen einhergehen kann (vgl. Urteil 2C_213/2014 vom 5. November 2014 E. 4.3.1), zumal sich ein solches Vorgehen vorliegend zumindest bis zum Vorliegen des gemäss den Ausführungen der Vorinstanz in Kürze zu erwartenden erstinstanzlichen Strafurteils bereits aus prozessökonomischen Gründen rechtfertigt.
3.6. Zusammenfassend hat der Beschwerdeführer somit auch kein hinreichendes aktuelles und konkretes eigenes Interesse und ist deshalb auch nach Art. 89 Abs. 1 i.V.m. Art. 111 Abs. 1 BGG nicht zur Beschwerde gegen das Schreiben des Migrationsamts vom 20. März 2020 befugt. Der angefochtene Nichteintretensentscheid erweist sich auch in dieser Hinsicht als bundesrechtskonform.
4.
Der Vollständigkeit halber bleibt abschliessend festzuhalten, dass der Nichteintretensentscheid der Vorinstanz auch nicht dazu führt, dass dem Beschwerdeführer - wie behauptet - auf Jahre hinaus die Ausstellung eines Ausländerausweises verweigert würde, schliesslich hat das Migrationsamt diesbezüglich noch gar keinen rechtskräftigen Entscheid getroffen (vorne E. 3.4). Bei dieser Ausgangslage ist es der Vorinstanz sodann verwehrt, anstelle des Migrationsamts erstmals über die Verlängerung der Kontrollfrist zu entscheiden, weshalb auch das Eventualbegehren des Beschwerdeführers abzuweisen ist.
5.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen. Nach dem Unterliegerprinzip (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG) sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 1 und Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. September 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hahn