Faits :
A.
A._, né en 2015, est le fils de B._ (1973) et de C._ (1973). Ses parents n'ont jamais fait ménage commun. Au moment de la naissance de A._, sa mère était encore mariée avec D._, dont elle a divorcé par jugement du 17 novembre 2016.
A l'issue d'une procédure en désaveu de paternité, il a été constaté que D._ n'était pas le père de l'enfant. C._ - qui a aussi un autre enfant né d'une précédente union - a reconnu A._ devant l'officier de l'état civil de Morges le 13 février 2017.
Par convention partielle ratifiée judiciairement le 5 juillet 2019, les parents de l'enfant ont prévu l'attribution de l'autorité parentale exclusive et de la garde de fait à la mère et fixé un droit aux relations personnelles en faveur du père.
B.
Statuant par ordonnance de mesures provisionnelles du 2 décembre 2019 sur une requête introduite par l'enfant le 31 juillet 2019, le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte a notamment astreint C._ à contribuer à l'entretien de A._ par le versement de 2'440 fr. par mois, éventuelles allocations familiales en sus, dès le 1er juillet 2019. Cette contribution d'entretien comprenait une contribution de prise en charge permettant de couvrir le déficit de la mère (soit 2'382 fr. par mois).
Par arrêt du 15 mai 2020, le Juge délégué de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Juge délégué) a admis l'appel interjeté par le père contre cette décision et fixé la contribution d'entretien due à compter du 1er juillet 2019 à 440 fr. par mois, considérant en substance qu'il n'y avait pas lieu de tenir compte d'une contribution de prise en charge au vu de l'incapacité totale de travail de la mère.
C.
Agissant par mémoire du 18 juin 2020, l'enfant A._, représenté par sa mère, exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut à l'annulation de l'arrêt cantonal et principalement à sa réforme, en ce sens que son père est astreint à contribuer à son entretien par le versement de 2'440 fr. par mois, à compter du 1er juillet 2019. A titre subsidiaire, il demande le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. Il sollicite aussi le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Invité à se déterminer sur la requête d'effet suspensif du recourant, l'intimé a conclu a son rejet. Il a aussi requis l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Il n'a pas été demandé d'observations sur le fond du recours.
D.
Par ordonnance présidentielle du 8 juillet 2020, la requête d'effet suspensif du recourant a été rejetée.

Considérant en droit :
1.
Déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans la forme légale (art. 42 al. 1 LTF), le recours est dirigé contre une décision qui porte sur des mesures provisionnelles ordonnant le versement d'une contribution d'entretien en faveur d'un enfant né hors mariage, à savoir une décision finale (art. 90 LTF; <ref-ruling> consid. 1.2; arrêt 5A_955/2017 du 3 mai 2018 consid. 1) rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 LTF), dans une affaire civile (art. 72 al. 1 LTF) de nature pécuniaire dont la valeur litigieuse dépasse 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et al. 4 et 74 al. 1 let. b LTF). Le recourant a participé à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt digne de protection à la modification ou l'annulation de la décision entreprise (art. 76 al. 1 LTF).
2.
Comme la décision attaquée porte sur des mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF, la partie recourante ne peut dénoncer que la violation de droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés par le recourant (" principe d'allégation "; art. 106 al. 2 LTF), c'est-à-dire s'ils ont été expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.4). Le recourant ne peut se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en procédure d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition, notamment en se contentant d'opposer sa thèse à celle de l'autorité précédente; les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF <ref-ruling> consid. 2.4 et la référence).
En particulier, une décision ne peut être qualifiée d'arbitraire (art. 9 Cst.) que si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité (<ref-ruling> consid. 7.3; <ref-ruling> consid. 4.1); il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 7.1, 170 consid. 7.3; <ref-ruling> consid. 4.3). En particulier, le choix d'une solution opéré par l'autorité cantonale sur une question qui est controversée en doctrine ne peut en principe pas être qualifié d'arbitraire (arrêt 5A_20/2020 du 28 août 2020 consid. 4.2 et les références).
3.
Il ressort de l'arrêt entrepris que compte tenu de l'âge de l'enfant (qui est enfant unique), le parent gardien - soit sa mère - serait actuellement tenu de travailler à 50%. Dans ces conditions, l'entier de son déficit ne saurait de toute manière être pris en compte pour déterminer une éventuelle contribution de prise en charge. Quoi qu'il en soit, la mère était incapable de travailler pour des raisons médicales et l'était déjà avant la naissance de l'enfant, ce que les parties admettaient. Ce n'était donc pas la prise en charge de l'enfant qui l'empêchait de subvenir à ses propres besoins. Peu importait que les parents aient, un temps, prévu de vivre ensemble - projet qui n'avait au demeurant jamais été mis à exécution. Ils n'avaient pas envisagé que la mère renonce à des revenus pour s'occuper de l'enfant et celle-ci n'avait effectivement pas renoncé à une activité lucrative, ni réduit son taux d'activité, à cette fin. Certes, si le parent gardien travaillait, des frais de garde par des tiers devraient être engagés et viendraient augmenter les coûts directs de l'enfant. La contribution de prise en charge ne constituait toutefois pas un salaire ou une compensation donnés au parent gardien pour le temps consacré à l'enfant, mais contrebalançait, dans la limite des besoins fondamentaux de ce parent, sa perte de revenu consécutive au fait qu'il avait renoncé à tout ou partie de son activité lucrative pour s'occuper de l'enfant. Dès lors qu'en l'espèce, la mère se consacrait à l'enfant sans avoir renoncé pour ce faire à une activité lucrative, il n'y avait pas lieu d'ajouter aux coûts directs de l'enfant une contribution de prise en charge destinée à couvrir le déficit de celle-ci. Pour ces motifs, la contribution d'entretien a été fixée à 440 fr. par mois, montant correspondant aux coûts directs de l'enfant, déduction faite des allocations familiales.
4.
Sous le titre " de la motivation de l'arrêt entrepris ", le recourant fait valoir que les sources citées dans la décision cantonale, à savoir la jurisprudence du Tribunal cantonal vaudois et l'avis d'un seul auteur, sont insuffisantes au vu de l'importance de la question jugée. Pour autant qu'il entende par là soulever le grief de violation de son droit d'être entendu, sous l'angle du droit à une décision motivée (art. 29 al. 2 Cst.; cf. sur cette notion <ref-ruling> consid. 5.2; <ref-ruling> consid. 4.2), son grief doit toutefois être rejeté. En premier lieu, lorsque le recourant soutient que le Juge délégué aurait cité un nombre insuffisant de sources à l'appui de son raisonnement, il omet que pour satisfaire à son devoir de motivation, il suffit que l'autorité mentionne au moins brièvement les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé sa décision (<ref-ruling> consid. 5.2; <ref-ruling> consid. 4.). En second lieu, force est de constater que l'autorité cantonale a clairement expliqué les raisons pour lesquelles elle estimait qu'il n'y avait pas lieu de tenir compte d'une contribution de prise en charge, de sorte qu'elle ne peut se voir reprocher d'avoir failli à son devoir de motiver sa décision, étant rappelé que le point de savoir si la motivation présentée est convaincante est une question distincte de celle du droit à une décision motivée (parmi plusieurs, cf. arrêts 5D_83/2020 du 28 octobre 2020 consid. 4.1; 4A_344/2018 du 27 février 2019 consid. 2.3.1). Le recourant a d'ailleurs parfaitement été en mesure de comprendre et d'attaquer le raisonnement de la cour cantonale, comme le démontre le contenu de son argumentation (cf. infra consid. 5).
5.
Se plaignant de violation arbitraire (art. 9 Cst.) de l'art. 285 al. 2 CC, le recourant soutient qu'il est contraire au but de cette disposition de nier tout droit à contribution de prise en charge aux enfants dont le parent gardien se trouve en incapacité de travailler.
En particulier, il fait valoir que l'arrêt entrepris aboutit au résultat choquant que l'enfant de parents non mariés dont le parent gardien est incapable de travailler et ne perçoit pas (encore) de rente AI est privé de toute contribution de prise en charge - partant, est condamné à émarger à l'aide sociale -, alors que la prise en charge de l'enfant de parents mariés, dans la même situation, aurait été financée par la contribution d'entretien due au parent gardien, qui aurait permis de couvrir le déficit de celui-ci. La décision querellée serait contraire au but du nouveau droit de l'entretien de l'enfant, à savoir: d'une part, la suppression des inégalités de traitement entre les enfants de parents mariés et ceux de parents non mariés; d'autre part, la possibilité pour chaque enfant d'être pris en charge personnellement par l'un de ses parents dans les cas où cette solution est conforme à son intérêt. Le recourant relève aussi qu'en pratique, ses parents n'auraient pas pu se marier, puisque sa mère était encore mariée avec un tiers pendant toute la durée de sa relation avec son père.
Selon le recourant, l'arrêt entrepris semble indiquer qu'une contribution de prise en charge aurait été allouée si ses parents avaient envisagé ensemble que sa mère ne travaille pas pour s'occuper personnellement de lui - comme celle-ci l'avait allégué. Il soutient qu'un projet commun de répartition traditionnelle des rôles était pourtant probable, puisque son père travaillait à 100% et que sa mère ne travaillait pas. La cour cantonale n'aurait à tort pas tenu compte du fait que ses parents n'avaient jamais vécu ensemble et s'étaient séparés avant sa naissance, étant relevé que selon le Message du Conseil fédéral, " si les parents n'ont jamais vécu ensemble, la question de la continuité de la prise en charge ne se posera pas de la même manière " (FF 2014 511, spéc. p. 522). Or seule sa mère, titulaire de l'autorité parentale exclusive, pouvait prendre une décision s'agissant de sa prise en charge, et son père n'avait jamais allégué qu'une prise en charge personnelle par sa mère aurait été contraire à son bien-être.
En tenant compte de ce qui précède et du fait que sa mère se trouve en incapacité totale de travail, le recourant soutient que le principe d'une contribution de prise en charge devait être admis, ceci au-delà de son entrée à l'école. Se référant au Message du Conseil fédéral (FF 2014 511, spéc. p. 522), le recourant relève que le coût des enfants " se traduit non seulement par une baisse du revenu professionnel, mais également par une hausse des heures consacrées au travail domestique et familial non rémunéré occasionné par la présence des enfants ", le coût de cette augmentation du travail domestique étant cependant difficile à chiffrer, raison pour laquelle il préconise l'application d'une méthode de calcul spécifique aux situations dans lesquelles le parent gardien ne renonce pas à une activité lucrative pour s'occuper de l'enfant. Il conviendrait selon lui d'avoir recours, dans ces situations, à la méthode des frais de subsistance. Il ajoute que nonobstant son âge, il ne peut être attendu de sa mère qu'elle reprenne une activité lucrative puisqu'elle se trouve en incapacité totale de travail; partant, l'entier du déficit de celle-ci devrait être couvert par la contribution de prise en charge, correspondant en l'espèce à 2'382 fr. par mois. Dès lors cependant que le disponible de son père (2'441 fr.) ne permet pas à celui-ci de s'acquitter de l'entier de la contribution de prise en charge (2'382 fr.) et des coûts directs (440 fr.), la pension devrait être fixée à 2'440 fr. par mois.
6.
En premier lieu, il s'agit de relever que la question de la continuité de la prise en charge et de la manière dont elle devrait être envisagée lorsque des parents n'ont jamais vécu ensemble n'a pas d'incidence sur l'issue du présent litige, puisque la prise en charge personnelle du recourant par sa mère n'a pas été remise en cause. Peu importe en outre de savoir s'il s'agit en l'occurrence d'un choix commun des parents ou d'une décision unilatérale de la mère.
En second lieu, en tant que le recourant soutient que la décision cantonale serait contraire au but du nouveau droit de l'entretien de l'enfant, il omet que celui-ci ne vise pas à assurer aux parents non mariés la même situation économique que celle des parents mariés. Il a pour but de permettre de traiter à égalité les enfants de parents mariés et ceux de parents non mariés s'agissant de la possibilité pour leurs parents de s'en occuper personnellement, étant encore précisé qu'il ne s'agit pas de rémunérer le parent qui s'occupe de l'enfant (pour davantage de détails, voir <ref-ruling> consid. 7.1 et 7.1.2.2 et les références). En outre, la prise en charge de l'enfant ne donne droit à une contribution que si elle a lieu à un moment où le parent pourrait sinon exercer une activité rémunérée (<ref-ruling> consid. 7.1.3 et la référence). La méthode retenue par la jurisprudence comme étant la plus adéquate pour calculer la contribution de prise en charge, à savoir celle des frais de subsistance, qui vise à compenser la perte de capacité de gain du parent gardienen se basant sur des besoins concrets, réalise pleinement le mandat donné par le législateur (<ref-ruling> consid. 7.1.2 in fine). Au vu de ce qui précède, la solution retenue par l'autorité cantonale - qui correspond au demeurant à celle que préconisent plusieurs auteurs (PATRICK STOUDMANN, La contribution de prise en charge, in Entretien de l'enfant et prévoyance professionnelle, 9e Symposium en droit de la famille 2017, 2018, p. 94; CHRISTIANA FOUNTOULAKIS, in Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 6e éd. 2018, n° 39 ad art. 285 CC; MEIER/STETTLER, Droit de la filiation, 6e éd. 2019, p. 938 n° 1418) - ne prête pas le flanc à la critique (cf. supra consid. 2 in fine) et le grief du recourant est ainsi infondé. Il n'est en effet pas insoutenable de dénier le droit du recourant à une contribution de prise en charge, dès lors que l'impossibilité de sa mère d'assumer ses propres frais de subsistance ne résulte nullement du fait qu'elle le prend en charge personnellement, mais de son incapacité de travail. Il sera au surplus relevé que contrairement à ce que soutient le recourant, ce n'est pas lui mais bien sa mère qui ne voit pas ses frais de subsistance couverts, partant, qui se voit contrainte à avoir recours à l'aide sociale, l'ensemble des coûts directs de l'enfant étant quant à eux couverts par la contribution d'entretien qui lui a été allouée.
7.
En conclusion, le recours doit être rejeté, aux frais du recourant (art. 66 al. 1 LTF). Sa requête d'assistance judiciaire est admise, dès lors que le recours n'était pas dénué de chances de succès et que l'indigence du recourant est établie (art. 64 al. 1 LTF). En principe, l'octroi de l'assistance judiciaire ne dispense pas la partie qui en bénéficie de verser des dépens à celle qui l'emporte (<ref-ruling> consid. 2c, avec la jurisprudence citée). En l'espèce, vu l'indigence du recourant, on ne saurait toutefois exiger de l'intimé, qui a droit à des dépens pour ses déterminations sur la requête d'effet suspensif, qu'il recherche préalablement (en vain) le recourant avant de s'adresser à la Caisse du Tribunal de céans, de sorte qu'il est justifié de prévoir d'emblée la rétribution des avocats des parties. Le recourant est toutefois rendu attentif au fait qu'il devra rembourser la Caisse du Tribunal fédéral, s'il retrouve ultérieurement une situation financière lui permettant de le faire (art. 64 al. 4 LTF). Vu ce qui précède, la requête d'assistance judiciaire de l'intimé est sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La requête d'assistance judiciaire du recourant est admise et Me Anaïs Brodard lui est désignée comme conseil d'office.
3.
La requête d'assistance judiciaire de l'intimé est sans objet.
4.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant; ils sont provisoirement supportés par la Caisse du Tribunal fédéral.
5.
Une indemnité de 1'500 fr., supportée par la Caisse du Tribunal fédéral, est allouée au conseil du recourant à titre d'honoraires d'avocat d'office.
6.
Une indemnité de 500 fr., à verser à l'intimé à titre de dépens, est mise à la charge du recourant. La Caisse du Tribunal fédéral indemnise provisoirement le conseil de l'intimé; une indemnité de 500 fr. lui est allouée à titre d'honoraires.
7.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Juge délégué de la cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 16 décembre 2020
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Dolivo