Sachverhalt:
A.
B.A._ (geb. 1973) ist geistig behindert (Trisomie 21), weshalb er unter erstreckter elterlicher Sorge stand. Am 18. September 2006 wurde er von der Vormundschaftsbehörde Thun unter Vormundschaft gestellt. Am 26. Mai 2016 änderte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Bern Mittelland (im Folgenden: KESB) die Massnahme ab und errichtete für ihn eine Vertretungsbeistandschaft mit Einkommens- und Vermögensverwaltung gemäss Art. 394 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>. Als Beiständin wurde seine Schwester C._ bestimmt, die bereits zuvor für ihren Bruder als Beiständin und Vormundin amtete.
B.
B.a. Am 30. Dezember 2016 meldete C._ der KESB persönliche Differenzen mit ihrem Bruder A.A._, die es ihr verunmöglichen würden, ihre Verantwortung als Beiständin weiterhin wahrzunehmen. Deshalb könnten auch keine weiteren Besuche von B.A._ bei seinem Bruder A.A._ und seiner Mutter mehr stattfinden.
B.b. Die KESB eröffnete in der Folge ein Erwachsenenschutzverfahren und regelte vorsorglich den Kontakt zwischen B.A._ und seinem Bruder A.A._ sowie seiner Mutter. Weiter beauftragte die KESB den Sozialdienst U._ mit Sachverhaltsabklärungen.
B.c. Am 20. Januar 2017 beantragten die Mutter von B.A._ sowie die drei Brüder D.A._, E.A._ und A.A._ bei der KESB, es sei ein Mandatswechsel vorzunehmen und als Beistand neu A.A._ einzusetzen.
B.d. Mit Schreiben vom 14. Juni 2017 lud die KESB die Familienangehörigen für den 28. Juni 2017 zum Gespräch ein. Die Brüder und die Mutter verzichteten auf eine Teilnahme. Die Schwester erklärte sich mit der Niederlegung ihres Amtes als Beiständin einverstanden.
B.e. Mit Entscheid vom 6. Juli 2017 entliess die KESB C._ per 30. September aus dem Amt und bestimmte F._ zur neuen Beiständin ab 1. Oktober 2017. Gleichzeitig wurde der Aufgabenbereich der Beiständin erweitert.
B.f. Gegen diesen Entscheid erhoben D.A._, E.A._ und A.A._ Beschwerde beim Obergericht des Kantons Bern. Sie ersuchten um Aufhebung des KESB-Entscheides und um Einsetzung von A.A._ als neuen Mandatsträger.
B.g. Mit Entscheid vom 8. November 2017 (eröffnet am 14. November 2017) wies das Obergericht die Beschwerde ab und auferlegte den Beschwerdeführern die Gerichtskosten von Fr. 900.-- zu je einem Drittel.
C.
Mit Beschwerde vom 14. Dezember 2017 (Datum Postaufgabe) wendet sich A.A._ an das Bundesgericht. Er verlangt sinngemäss, zum Beistand seines Bruders B.A._ bestimmt zu werden. Zudem stellt der Beschwerdeführer ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob die Eintretensvoraussetzungen gegeben sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1).
2.
Angefochten ist ein Endentscheid (<ref-law>) des Obergerichts bezüglich der Person des Beistands. Dabei handelt es sich um einen öffentlich-rechtlichen Entscheid ohne Streitwert, der in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht. Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel (<ref-law>). Der rechtzeitig angefochtene Entscheid stammt von einem oberen kantonalen Gericht und ist kantonal letztinstanzlich (Art. 75 und 100 BGG). Insofern sind die Eintretensvoraussetzungen erfüllt.
3.
3.1. Gegen Entscheide der Erwachsenenschutzbehörde können Personen, die der von einer Massnahme betroffenen Person nahe stehen, gestützt auf <ref-law> im kantonalen Verfahren Beschwerde führen. Hingegen richtet sich das Beschwerderecht vor Bundesgericht ausschliesslich nach <ref-law> (Urteile 5A_116/2017 vom 12. September 2017 E. 1.3; 5A_729/2015 vom 17. Juni 2016 E. 2.2.2; 5A_911/2015 vom 21. Januar 2016 E. 3.1; 5A_295/2015 vom 29. Juni 2015 E. 1.2.1; 5A_310/2015 vom 20. April 2015 E. 2; 5A_683/2013 vom 11. Dezember 2013 E. 1.2; kritisch zu dieser Rechtsprechung: Philippe Meier/Estelle de Luze, Le recours des proches au Tribunal fédéral en matière de protection de l'adulte - une Prozesshandschaft? in: Das Zivilrecht und seine Durchsetzung, Festschrift für Thomas Sutter-Somm, 2016, S. 847 ff., insbes. S. 855 ff.). Danach ist zur Beschwerde berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (Bst. a) und wer durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (Bst. b). Das schutzwürdige Interesse setzt voraus, dass die beschwerdeführende Person einen praktischen Nutzen an der Gutheissung der Beschwerde hat, wobei dieser Nutzen materieller oder ideeller Natur sein kann (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 539; Urteil 5A_295/2015 vom 29. Juni 2015 E. 1.2.1). Mit der Beschwerde geht es sodann nicht darum, Interessen Dritter geltend zu machen. Vorausgesetzt wird vielmehr grundsätzlich ein eigenes schutzwürdiges Interesse der Beschwerde führenden Person (Urteile 5A_310/2015 vom 20. April 2015 E. 2; 5A_238/2015 vom 16. April 2015 E. 2).
3.2. Vor diesem Hintergrund sprach das Bundesgericht einer Beschwerdeführerin das Beschwerderecht ab, die verhindern wollte, dass ihrer Schwester ein in ihren Augen ungeeigneter Beistand bestellt wurde. Daran änderte auch nichts, dass sich die Beschwerdeführerin bereit erklärte, die Beistandschaft zumindest teilweise selber zu übernehmen (Urteil 5A_911/2015 vom 21. Januar 2016 E. 3.2). Auch verneinte das Bundesgericht das schutzwürdige Interesse einer Tochter, die sich gegen die fürsorgerische Unterbringung ihrer Mutter zur Wehr setzte (Urteil 5A_238/2015 vom 16. April 2015 E. 2). Gleich entschied das Bundesgericht im Fall einer Mutter, die nicht wollte, dass ihrer Tochter ein Beistand bestellt wurde (Urteil 5A_345/2015 vom 3. Juni 2015 E. 1.2.2; vgl. auch Urteile 5A_729/2015 vom 17. Juni 2016 E. 2.2.4; 5A_295/2015 vom 29. Juni 2015 E. 1.2.3.1).
4.
Gestützt auf das Gesagte ist der Beschwerdeführer nicht legitimiert, Beschwerde ans Bundesgericht zu führen: Erklärtermassen verfolgt er mit seiner Beschwerde im Wesentlichen Interessen seines Bruders, zu deren Geltendmachung er von vornherein nicht legitimiert ist. Auch schützenswerte eigene Interessen sind nicht auszumachen. Zwar möchte der Beschwerdeführer selber Beistand seines behinderten Bruders werden (und auf diese Weise dem Wunsch seiner anderen Brüder und seiner Mutter entsprechen). Er hat auch die Bereitschaft bekundet, seinen behinderten Bruder später allenfalls selber zu betreuen, wenn letzterer dies wünsche und es dessen Wohl entspreche. Diese letzte Möglichkeit erscheint im Augenblick aber als zu abstrakt, als dass sie geeignet wäre, ein aktuelles und konkretes Interesse an der Beschwerdeführung zu begründen. Ist der Beschwerdeführer nicht zur Beschwerde berechtigt, kann offen bleiben, ob sich die Vorinstanz zu Recht über den Wunsch der (im Übrigen zerstrittenen Familie) hinwegsetzte, den Beschwerdeführer zum Beistand des behinderten Bruders einzusetzen (vgl. <ref-law>).
5.
Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Den besonderen Umständen des Falls entsprechend wird darauf verzichtet, Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Parteientschädigungen sind keine zu sprechen (<ref-law>). Damit erweist sich auch das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>) als gegenstandslos. Abzuweisen ist das Gesuch des Beschwerdeführers, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren einen Anwalt beizuordnen: Von dieser Möglichkeit (<ref-law>) macht das Bundesgericht nur in Ausnahmefällen Gebrauch, d.h. wenn feststeht, dass der Beschwerdeführer nicht in der Lage ist, seine Sache vor dem Bundesgericht selber zu vertreten und er auch nicht in der Lage ist, selber einen Anwalt zu organisieren. Wie die umfangreiche Beschwerde zeigt, ist zumindest die letztere Voraussetzung im vorliegenden Fall nicht erfüllt.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Mittelland Süd, B.A._ und dem Obergericht des Kantons Bern, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Juni 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber