Sachverhalt:
A.
A._ ist Verfahrensbeteiligte in zwei anwaltsrechtlichen Verfahren gegen Rechtsanwalt B._. Mit Entscheid vom 1. Mai 2019 befreite die Anwaltsaufsichtsbehörde am Obergericht des Kantons Bern B._ im Zusammenhang mit einer Honorarforderung gegenüber A._ vom Berufsgeheimnis. Mit separatem Entscheid vom 6. Mai 2019 sah es im gleichen Zusammenhang von der Eröffnung eines Disziplinarverfahrens ab.
A._ erhob gegen beide Entscheide Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern. Im Verfahren betreffend Befreiung vom Berufsgeheimnis von Rechtsanwalt B._ (kantonales Beschwerdeverfahren 100.2019.195) erging am 7. Juni 2019 eine prozessleitende Verfügung des zuständigen Abteilungspräsidenten Thomas Häberli. Im Anschluss daran äusserte A._ mit Eingabe vom 24. Juni 2019 unter anderem "gegen das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die Besorgnis der Befangenheit". Am 13. September 2019 stellte sie ein ausdrückliches Ausstandsgesuch gegen Thomas Häberli. Mit Urteil des Einzelrichters vom 27. September 2019 trat das Verwaltungsgericht auf das Ablehnungsbegehren und die damit zusammenhängenden Aufhebungsanträge wegen verspäteter Erhebung nicht ein und auferlegte A._ die Kosten des Verfahrens, bestimmt auf eine Pauschalgebühr von Fr. 1'000.-- (kantonales Beschwerdeverfahren 100.2019.312).
B.
Mit Beschwerde vom 4. November 2019 an das Bundesgericht beantragt A._, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die Streitsache einer oberen kantonalen Instanz zur Behandlung zu überweisen, eventuell das Ausstandsbegehren gegen Verwaltungsrichter Thomas Häberli gutzuheissen.
Thomas Häberli reichte keine Stellungnahme ein. Das Verwaltungsgericht schliesst unter Verweis auf sein Urteil auf Abweisung der Beschwerde. B._ verzichtete auf eine Vernehmlassung.
A._ äusserte sich am 27. Dezember 2019 nochmals zur Sache und hielt dabei im Wesentlichen an ihrem Standpunkt fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Im vorliegenden Fall geht es in der Sache um die anwaltsrechtliche Befreiung vom Berufsgeheimnis und damit um ein verwaltungsrechtliches Verfahren. Dafür fällt grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> in Betracht. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen, selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren, gegen den gemäss Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 92 Abs. 2 BGG die Beschwerde an das Bundesgericht zulässig ist. Die Beschwerdeführerin ist nach <ref-law> zur Beschwerde legitimiert.
1.2. Streitgegenstand bildet einzig das Ausstandsbegehren im kantonalen Verfahren 100.2019.195 betreffend die Befreiung vom Berufsgeheimnis. Soweit sich die Beschwerdeführerin auf das ebenfalls vor dem Verwaltungsgericht hängige Parallelverfahren 100.2019.183 im Zusammenhang mit dem Diszplinarverfahren beruft, ist darauf nicht einzutreten. Dies gilt namentlich für die Frage der Verfahrensleitung im Disziplinarverfahren.
1.3. Mit der Beschwerde an das Bundesgericht kann, von hier nicht interessierenden sonstigen Möglichkeiten abgesehen, nur die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Soweit die Beschwerdeführerin kantonales Recht geltend macht, ohne gleichzeitig eine Verletzung von Bundesrecht darzulegen, kann auf die Beschwerde daher nicht eingetreten werden.
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich, ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
2.
Die Beschwerdeführerin wirft verschiedene Fragen zum bundesgerichtlichen Verfahren auf.
2.1. Dass Verfügungen über die Einholung von Vernehmlassungen bei den übrigen Verfahrensbeteiligten den Beschwerdeführern nicht zugestellt werden, ist üblich und verletzt deren Parteirechte nicht.
2.2. Genauso wenig teilt das Bundesgericht den Verfahrensbeteiligten in der Regel die Besetzung des Spruchkörpers vorweg mit. Die Namen der Bundesrichterinnen und -richter sowie der Gerichtsschreibenden sind öffentlich und können wie die Zusammensetzung der Abteilungen dem Staatskalender bzw. der Internetseite des Bundesgerichts entnommen werden. Allfällige Ablehnungsgründe können vorweg geltend gemacht werden.
2.3. Die Beschwerdeführerin verlangt die Zustellung der dem Bundesgericht von der Vorinstanz eingereichten Aktendossiers 100.2019.183, 100.2019.195 sowie 100.2019.312. Im vorliegenden Verfahren unterstehen an sich nur die beiden letzten dem Streitgegenstand. So oder so handelt es sich jedoch nicht um neu beigezogene Verfahrensakten, sondern um solche, welche der an allen diesen Verfahren beteiligten Beschwerdeführerin bereits bekannt sind. Zudem hätte sie die Gelegenheit gehabt, darin im Bedarfsfall bei der Vorinstanz vor Beschwerdeerhebung Einsicht zu nehmen. Es besteht kein Grund, der Beschwerdeführerin diese Akten zuzustellen. Erst recht nicht ersichtlich ist, weshalb ihr ein zusätzliches Exemplar des angefochtenen Entscheids, welches das Bundesgericht von der Vorinstanz verlangt hatte, zuzustellen wäre.
2.4. Da Thomas Häberli, dessen Ausstand die Beschwerdeführerin beantragt, dem Bundesgericht keine Stellungnahme eingereicht hat, kann auch ihrem Anliegen nicht entsprochen werden, ihr eine solche Vernehmlassung zuzustellen.
3.
3.1. Gemäss <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung) geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht grundsätzlich nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4 S. 176; <ref-ruling> E. 1.6 S. 130; <ref-ruling> E. 1.4 S. 254 f.).
3.2. Die Beschwerdeschrift erfüllt diese Anforderungen nur teilweise. Als ungenügend erweist sie sich insbesondere insoweit, als die Beschwerdeführerin die Einzelbesetzung der vorinstanzlichen Richterbank durch Verwaltungsrichter Nils Stohner rügt. Die Beschwerdeführerin legt nicht ausreichend dar, inwiefern dadurch das kantonale Verfahrensrecht verfassungswidrig angewendet worden sein sollte. Die pauschale Behauptung, Art. 9 und 29 BV sowie Art. 6 EMRK seien verletzt, genügt dafür nicht. Analoges gilt für die Rügen, das Verfahren sei in unzulässiger Weise, insbesondere unter Ansetzung rechtsungleicher Fristen, instruiert worden sowie die der Beschwerdeführerin im angefochtenen Entscheid auferlegten Kosten seien zu hoch bzw. ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege sei unbehandelt geblieben. Auf die Beschwerde ist daher nur im nachfolgenden Umfang einzutreten.
4.
Unter Berufung auf <ref-law> macht die Beschwerdeführerin geltend, sie habe Anspruch auf eine doppelte kantonale Gerichtsinstanz. Im vorliegenden Fall handelt es sich jedoch weder um eine zivilrechtliche Angelegenheit, auf die die angerufene Bestimmung anwendbar wäre, noch um einen strafrechtlichen Streit, für den nach <ref-law> ebenfalls der Grundsatz der doppelten Gerichtsbehörde gilt. Vielmehr liegt ein verwaltungsrechtliches Verfahren der Anwaltsaufsicht vor, wofür eine doppelte gerichtliche Vorinstanz bundesrechtlich nicht vorgeschrieben ist. Abgesehen davon kann der fragliche Grundsatz ohnehin nicht für prozessuale Streitfragen gelten, die wie hier die jeweils letzte Vorinstanz des Bundesgerichts betreffen, da sonst die Situation eintreten könnte, dass es nie zu einem kantonal letztinstanzlichen Entscheid käme.
5.
In der Sache ging die Vorinstanz davon aus, die Beschwerdeführerin habe mit ihrer Eingabe vom 24. Juni 2019 an das Verwaltungsgericht kein gültiges Ausstandsbegehren gestellt. Sie habe einzig ganz allgemein ihrer Besorgnis der Befangenheit des Verwaltungsgerichts als solchem Ausdruck gegeben. Dies entspricht dem in den Akten liegenden Schriftstück mit dem Wortlaut: "Die Beschwerdeführerin erhebt gegen das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die Besorgnis der Befangenheit". Nach der Rechtsprechung des Verwaltungsgerichts ist die integrale Ablehnung des Gerichts nicht zulässig. Das ist weder willkürlich, soweit eine solche Rüge überhaupt rechtsgenüglich erhoben sein sollte, noch verstösst es gegen die verfassungsmässigen Parteirechte der Beschwerdeführerin. Vielmehr entspricht dies der Rechtsprechung, die auch für Ausstandsbegehren am Bundesgericht gilt (vgl. ANDREAS GÜNGERICH, in Seiler et al., Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2. Aufl. 2015, Art. 37 Rz. 3). Es trifft zwar zu, dass die Beschwerdeführerin im selben Schreiben - unmittelbar vor der oben zitierten Formulierung - kritisiert hat, Verwaltungsrichter Häberli habe bereits einmal eine Beschwerde in fast gleicher Sache "innert 8 Tagen... abgewiesen". Sie hat bei dieser Gelegenheit aber nicht verlangt, dieser müsse in den Ausstand treten, und der Umstand, bereits einmal in einem andern Verfahren zu Ungunsten einer Partei entschieden zu haben, würde für sich alleine auch keinen Ausstandsgrund darstellen. Erst am 13. September 2019 stellte die Beschwerdeführerin ein persönlich gegen Thomas Häberli gerichtetes Ausstandsgesuch. Es verstösst nicht gegen Verfassungsrecht, dies als verspätet zu beurteilen. Nach dem Grundsatz von Treu und Glauben und dem Verbot des Rechtsmissbrauchs sind formelle Rügen so rasch als möglich vorzubringen (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 336 mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin hätte ihr Ausstandsgesuch geraume Zeit vorher einreichen können und hat damit ohne nachvollziehbaren Grund, der allenfalls eine Ausnahme rechtfertigen könnte, zu lange zugewartet. Der angefochtene Entscheid verletzt mithin Bundesrecht nicht.
6.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Auf die Erhebung von Gerichtskosten kann ausnahmsweise verzichtet werden (vgl. <ref-law>), womit offenbleiben kann, ob die unterliegende Beschwerdeführerin ein rechtsgültiges Gesuch um unentgeltliche Rechtsprechung stellt. Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, Thomas Häberli, B._ und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Januar 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Uebersax