Sachverhalt:
A.
Am 25. September 2017 wurde der damals in Deutschland wohnhafte und im Kanton Basel-Landschaft als Grenzgänger tätige deutsche Staatsangehörige A._ als Fahrzeuglenker einer Kontrolle unterzogen. Dabei wies er sich mit einem gefälschten litauischen Führerausweis aus. Mit Verfügung vom 4. Januar 2018 aberkannte die Polizei Basel-Landschaft A._ jenen Ausweis und verlangte das Vorweisen eines gültigen Führerausweises für eine Wiederzulassung zum motorisierten Strassenverkehr in der Schweiz.
A._ ersuchte am 18. Oktober 2018 unter Vorlage eines Scans eines polnischen Führerausweises mit Ausstelldatum vom 13. September 2018 um eine entsprechende Wiederzulassung. Am 15. November 2018 teilte das deutsche Kraftfahrt-Bundesamt der Polizei Basel-Landschaft auf Anfrage mit, dass A._ die Fahrerlaubnis in Deutschland am 21. Juni 2010 entzogen und am 31. Juli 2013 sowie am 6. Oktober 2014 wegen Neigung zur Rauschgiftsucht unanfechtbar verweigert worden sei. Mit Schreiben vom 23. November 2018 leitete die basellandschaftliche Polizei das Gesuch zuständigkeitshalber an das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern (SVSA) weiter, weil der Gesuchsteller inzwischen als Grenzgänger im Kanton Bern arbeitete. A._ gab gegenüber dem SVSA an, seit dem 1. Dezember 2018 in U._ (Frankreich) zu wohnen.
Das SVSA verweigerte mit Verfügung vom 19. Dezember 2018 die Wiederzulassung und machte letztere zusätzlich von einer verkehrsmedizinischen und verkehrspsychologischen Fahreignungsuntersuchung abhängig. Die dagegen erhobene Einsprache wies das SVSA am 8. Februar 2019 ab. Dabei wurden die Voraussetzungen für die Zulassung wie folgt präzisiert: A._ habe, sofern er unter Vorlage eines gültigen ausländischen Fahrausweises ein Gesuch um Wiederzulassung zum motorisierten Strassenverkehr stelle, eine verkehrsmedizinische und verkehrspsychologische Fahreignungsuntersuchung abzulegen, sofern das in Deutschland gültige Fahrverbot nicht aufgehoben sei.
B.
Den Einspracheentscheid focht A._ am 4. März 2019 bei der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern an. Diese hiess seine Beschwerde mit Urteil vom 22. Mai 2019 teilweise gut. Sie bestätigte die Verweigerung der Wiederzulassung, d.h. sie anerkannte den behaupteten polnischen Führerausweis wegen Umgehung von Wohnsitzvorschriften nicht. Hingegen verwarf die Rekurskommission das Zulassungserfordernis einer Fahreignungsuntersuchung und hob den unterinstanzlichen Entscheid insoweit auf.
C.
Mit Eingabe vom 21. September 2019 an die Rekurskommission bat A._ diese um Verlängerung der Rechtsmittelfrist und kritisierte ihr Urteil. Die Rekurskommission leitete die Eingabe zuständigkeitshalber an das Bundesgericht weiter. Dieses teilte A._ mit Schreiben vom 26. September 2019 mit, die Beschwerdefrist könne nicht verlängert werden, da es sich bei dieser um eine gesetzliche Frist handle. Am 11. Oktober 2019 liess A._ beim Bundesgericht eine anwaltlich verfasste Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einreichen. Darin wurde im Wesentlichen beantragt, es sei festzustellen, dass die Verfügung des SVSA vom 19. Dezember 2018 nichtig sei, und der Beschwerdeführer sei zum motorisierten Strassenverkehr in der Schweiz zuzulassen.
Das SVSA beantragt Nichteintreten auf die Beschwerde vom 11. Oktober 2019 und eventuell die Abweisung der Beschwerde vom 21. September 2019, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Rekurskommission schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Denselben Antrag stellt das Bundesamt für Strassen (ASTRA) in der Vernehmlassung vom 15. Januar 2020. In der Replik vom 27. Februar 2020 hält der Beschwerdeführer sinngemäss an den gestellten Begehren fest.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (vgl. <ref-law>).
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid auf dem Gebiet des Strassenverkehrsrechts. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich offen. Eine Ausnahme gemäss <ref-law> ist nicht gegeben. Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen, ist vom Entscheid unmittelbar betroffen und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung. Er ist somit zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>).
1.2. Fraglich und unter den Parteien streitig ist, ob und gegebenenfalls wann das angefochtene Urteil dem Beschwerdeführer formgültig eröffnet wurde. Das angefochtene Urteil stammt vom 22. Mai 2019. Das begründete Urteil wurde gemäss den Angaben der Vorinstanz am 21. August 2019 mittels eingeschriebener Post an die Adresse des Beschwerdeführers in Frankreich versandt. Ein offenkundig irrtümlicher Vermerk der Post auf dem Briefumschlag gibt an, die Sendung sei ihm am "24.07" angezeigt worden ("avisé"). Am 18. September 2019 ging die Sendung mit dem Vermerk der Nichtabholung wieder bei der Rekurskommission ein. Daraufhin sandte die Rekurskommission dem Beschwerdeführer das Urteil uneingeschrieben per Post zu und verband dies mit dem Hinweis, dass die Beschwerdefrist mit Ablauf der unbenutzten Abholfrist der ersten Sendung zu laufen begonnen habe. Der Beschwerdeführer übergab am 24. September 2019 die auf den 21. September 2019 datierte Eingabe an die Rekurskommission der Schweizerischen Post. Darin ersuchte er um Verlängerung der Rechtsmittelfrist und brachte Rügen gegen das Urteil der Vorinstanz vor. Weiter führte er aus, dass er die erste Sendung der Rekurskommission wegen einer Abwesenheit vom 23. August bis zum 6. September 2019 nicht habe abholen können. Das Bundesgericht, an das die Eingabe weitergeleitet worden war, wies das Ersuchen um Fristerstreckung mit Schreiben vom 26. September 2019 ab. Am 11. Oktober 2019 reichte der Beschwerdeführer die anwaltlich verfasste Beschwerdeschrift ans Bundesgericht ein.
1.3. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Zustellung des Entscheids der Rekurskommission sei völkerrechtswidrig erfolgt und daher nichtig. Dieser Auffassung kann nicht beigetreten werden, hat er sich doch auf das Verfahren vor der Vorinstanz eingelassen (vgl. zur Einlassung Urteil 2C_478/2017 vom 9. April 2018 E. 5.3, in: ZBl 119/2018 S. 470). Nicht nur äusserte der Beschwerdeführer bei der Anfechtung der Verfügung des SVSA im Verfahren vor der Vorinstanz keine Einwände, dass ihm jene Verfügung direkt per Post nach Frankreich geschickt worden war. Aus den Akten ist weiter ersichtlich, dass er der Zwischenverfügung der Vorinstanz über den Kostenvorschuss, die sie ihm auf dieselbe Weise zustellte, nachkam und den Vorschuss fristgerecht leistete. Unter diesen Umständen kann sich der Beschwerdeführer nach dem Grundsatz von Treu und Glauben (<ref-law>; <ref-ruling> E. 7.1 S. 403) nicht mehr nachträglich auf Zustellmängel im kantonalen Verfahren berufen. Vielmehr hat er sich insbesondere auch die Zustellung des angefochtenen Urteils auf dem Postweg als für ihn wirksam entgegenhalten zu lassen.
1.4. Die Beweislast, wann eine Verfügung zugestellt wurde, obliegt der Behörde (<ref-ruling> E. 2.2 S. 10). Angesichts des oben dargestellten Geschehensablaufs bleibt aber unklar, wann die Zustellung des Entscheids der Vorinstanz an den Beschwerdeführer tatsächlich erfolgt ist. Es muss folglich zu dessen Gunsten davon ausgegangen werden, die am 24. September 2019 der Schweizerischen Post übergebene Eingabe sei rechtzeitig eingereicht worden. Auf die vom Beschwerdeführer aufgeworfenen völkerrechtlichen Fragen betreffend die Zustellung von Entscheiden im Ausland braucht daher nicht eingegangen zu werden.
1.5. In der am 24. September 2019 eingereichten Eingabe vom 21. September 2019 beanstandet der Beschwerdeführer das angefochtene Urteil konkret in der Sache, auch wenn er darin gleichzeitig um Verlängerung der Rechtsmittelfrist ersucht. Unter Formulierung verschiedener Rügen macht er darin zusammenfassend geltend, es werde ihm unrechtmässig verwehrt, Gebrauch von seiner polnischen Fahrerlaubnis zu machen. Aus diesen Vorbringen ergibt sich der Beschwerdewille des Beschwerdeführers, und aus der Begründung der Eingabe geht für eine Laienbeschwerde genügend hervor, weshalb das angefochtene Urteil Bundesrecht verletzen soll (vgl. Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Diese Eingabe ist somit als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegenzunehmen. Auf das Rechtsmittel des Beschwerdeführers ist demzufolge einzutreten.
Hingegen ist die Beschwerdeschrift vom 11. Oktober 2019 nach Ablauf der Beschwerdefrist eingereicht worden. Unter Vorbehalt von hier nicht erfüllten Ausnahmen ist es ausgeschlossen, zusätzliche Rechtsbegehren und Rügen nach Ablauf der Beschwerdefrist vorzubringen (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 21; Urteil 4A_733/2011 vom 16. Juli 2012 E. 1.3). Immerhin kann diese Rechtsschrift zur besseren Verständlichkeit der Eingabe vom 21. September 2019 beigezogen werden.
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht - einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens - gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Bundesrecht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist deshalb nicht an die Begründung der Parteien gebunden, sondern kann die Beschwerde auch aus andern als den geltend gemachten Gründen gutheissen oder den Entscheid mit einer Begründung bestätigen, die von jener der Vorinstanz abweicht (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 23; <ref-ruling> E. 1.3 S. 335 f.; je mit Hinweisen).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat, sofern dieser nicht offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 105 und Art. 97 Abs. 1 BGG). Eine solche Rechtsverletzung liegt auch vor, wenn der Sachverhalt entscheiderheblich unvollständig festgestellt wurde (vgl. <ref-ruling> E. 1.6 S. 24 f.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 373). Neue Tatsachen und Beweismittel können nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt eine unrichtige und unvollständige Abklärung des rechtserheblichen Sachverhalts. Die Vorinstanz habe ihre Feststellungen zu dem von ihm geltend gemachten polnischen Führerausweis unter falschen Annahmen und ohne Erkundigung bei den polnischen Behörden unternommen. Einzig die ausstellende Behörde in Polen könne verifizierte Auskünfte zu der besagten Fahrerlaubnis geben. Ferner macht der Beschwerdeführer geltend, dass die umstrittene Fahrberechtigung sowohl von Deutschland als auch von Frankreich anerkannt werde.
3.2. Wer ein Motorfahrzeug führt, bedarf des Führerausweises (<ref-law> [SR 741.01]). Gemäss <ref-law> erlässt der Bundesrat u.a. Vorschriften über ausländische Motorfahrzeuge und Fahrräder und ihre Führer sowie über internationale Fahrzeug- und Führerausweise.
Nach Art. 41 Abs. 2 lit. a/i des Übereinkommens über den Strassenverkehr vom 8. November 1968 (sog. Wiener Strassenverkehrskonvention; SR 0.741.10), zu deren Vertragsstaaten Deutschland, Frankreich, Polen und die Schweiz gehören, anerkennen die Vertragsparteien jeden gewissen Formanforderungen entsprechenden nationalen Führerschein als gültig, um auf ihrem Gebiet ein Fahrzeug zu führen, vorausgesetzt, dass dieser noch gültig ist und von einer anderen Vertragspartei ausgestellt worden ist. Gemäss Art. 41 Abs. 6 lit. b dieser Konvention sind die Vertragsparteien nicht verpflichtet, nationale Führerscheine anzuerkennen, die für Personen ausgestellt worden sind, die zum Zeitpunkt der Ausstellung ihren ordentlichen Wohnsitz nicht im Hoheitsgebiet hatten, in dem der Führerschein ausgestellt wurde oder deren Wohnsitz seit dieser Ausstellung in ein anderes Hoheitsgebiet verlegt worden ist.
Art. 42 Abs. 1 der Verordnung vom 27. Oktober 1976 über die Zulassung von Personen und Fahrzeugen zum Strassenverkehr (VZV; SR 741.51) sieht vor, dass Personen aus dem Ausland in der Schweiz Motorfahrzeuge führen dürfen, falls sie einen gültigen nationalen oder internationalen Führerausweis besitzen. Gemäss <ref-law> dürfen ausländische Führerausweise, die der Führer unter Umgehung der Bestimmungen dieser Verordnung über den Erwerb des schweizerischen Führerausweises oder der in seinem Wohnsitzstaat geltenden Zuständigkeitsbestimmungen erworben hat, in der Schweiz nicht verwendet werden.
3.3. Das SVSA hatte die (Wieder-) Zulassung des Beschwerdeführers zum motorisierten Strassenverkehr in der Schweiz wegen Zweifeln an seiner Fahreignung verweigert. Es hatte eine Fahreignungsuntersuchung beim Beschwerdeführer vor seiner Zulassung verlangt. Konkret hatte das SVSA den Verdacht einer verkehrsrelevanten Suchtmittelproblematik bei ihm geäussert. Dabei hatte es sich auf eine Auskunft des deutschen Kraftfahrt-Bundesamts vom 15. November 2018 gestützt. Nach jener Auskunft war dem Beschwerdeführer die deutsche Fahrerlaubnis im Jahr 2010 entzogen worden. Weiter entfalte gemäss dieser Auskunft die Erteilung der neu geltend gemachten polnischen Fahrerlaubnis keine Gültigkeit in Deutschland. Dazu sei eine Anerkennung des Rechts, eine ausländische Fahrerlaubnis in Deutschland verwenden zu können, erforderlich. Diese sei jedoch nicht eingetragen, so dass die Versagung weiterhin Gültigkeit habe.
Die Vorinstanz hob im angefochtenen Urteil das Zulassungserfordernis einer Fahreignungsuntersuchung (Art. 14 i.V.m. <ref-law>) gegenüber dem Beschwerdeführer auf. Sie legte dar, soweit ersichtlich bestehe in Deutschland keine Sperrfrist (Fahrerlaubnissperre) mehr. In der Schweiz sei der Beschwerdeführer im Zusammenhang mit Betäubungsmitteln nie auffällig geworden. Die Vorinstanz nahm indessen an, der Beschwerdeführer habe bei seinem Aufenthalt in Polen im Jahr 2018 keinen ordentlichen Wohnsitz begründet, sondern sei während dieser Zeit in Deutschland wohnhaft geblieben. Der von ihm behauptete polnische Führerausweis mit Ausstellungsdatum 13. September 2018 sei unter Umgehung der ausländischen Zuständigkeitsvorschriften am ordentlichen Wohnsitz erworben worden. Die schweizerischen Behörden seien nicht verpflichtet, einen solchen Ausweis anzuerkennen.
3.4. Wie weiter oben erwähnt, ist die Schweiz aufgrund der Wiener Strassenverkehrskonvention grundsätzlich verpflichtet, einen polnischen Führerausweis des Beschwerdeführers anzuerkennen. Diese Regel wird in <ref-law> ausdrücklich übernommen; nach dieser Bestimmung dürfen Motorfahrzeugführer aus dem Ausland in der Schweiz namentlich dann Motorfahrzeuge führen, wenn sie einen gültigen nationalen Führerausweis besitzen. Ob der Beschwerdeführer zum motorisierten Strassenverkehr in der Schweiz zuzulassen ist, hängt somit von seiner Fahrberechtigung gestützt auf den behaupteten polnischen Führerausweis ab. Grundsätzlich richtet es sich nach <ref-law>, von welchem ausländischen Wohnsitzstaat des Beschwerdeführers beim Erwerb des fraglichen Führerausweises - und damit von welchen ausländischen Zuständigkeitsvorschriften - auszugehen ist. Polen und Deutschland sind Mitgliedstaaten der Europäischen Union (EU). Für die EU-Mitgliedstaaten harmonisiert die Richtlinie 2006/126/EG des Europäischen Parlaments und des Rates vom 20. Dezember 2006 über den Führerschein die Ausstellung von Führerausweisen und regelt ihre gegenseitige Anerkennung zwischen den Mitgliedstaaten (vgl. BIEBER/MAIANI, Europäisches Verkehrsrecht, 2015, S. 107). Gemäss Art. 7 Abs. 1 lit. e dieser Richtlinie darf ein Führerschein nur an Bewerber ausgestellt werden, die im Hoheitsgebiet des den Führerschein ausstellenden Mitgliedstaats ihren ordentlichen Wohnsitz haben oder nachweisen können, dass sie während eines Mindestzeitraums von sechs Monaten dort studiert haben. Der Begriff des ordentlichen Wohnsitzes knüpft gemäss Art. 12 der Richtlinie in der Regel an den Ort an, an dem der Führerscheininhaber gewöhnlich, d.h. während mindestens 185 Tagen im Kalenderjahr wohnt (Unterabsatz 1). Bei einem Führerscheininhaber, dessen berufliche Bindungen an einem anderen Ort als dem seiner persönlichen Bindungen liegen, gilt der Ort seiner persönlichen Bindungen als ordentlicher Wohnsitz, sofern er regelmässig dorthin zurückkehrt. Diese letztgenannte Voraussetzung muss nicht erfüllt sein, wenn sich der Führerscheininhaber in einem Mitgliedstaat zur Ausführung eines Auftrags von bestimmter Dauer aufhält. Der Besuch einer Universität oder Schule hat keine Verlegung des ordentlichen Wohnsitzes zur Folge (Unterabsatz 2). Gemäss Art. 7 Abs. 5 der Richtlinie haben die Mitgliedstaaten bei der Erteilung einer Fahrerlaubnis sorgfältig darauf zu achten, dass eine Person die Anforderungen von Art. 7 Abs. 1 der Richtlinie erfüllt, zu denen die Voraussetzung des ordentlichen Wohnsitzes zählt (vgl. Unterabsatz 2). Weiter werden gemäss Art. 2 Abs. 1 der Richtlinie die von den Mitgliedstaaten ausgestellten Führerscheine gegenseitig anerkannt. Im Hinblick auf die Anwendung von <ref-law> kommt es im vorliegenden Fall nicht darauf an, ob Deutschland oder Polen als Anknüpfungspunkt für die Bestimmung des ausländischen Wohnsitzstaats beim Führerausweiserwerb genommen wird, weil in beiden Fällen die Vorgaben der Richtlinie 2006/126/EG über die örtliche Zuständigkeit für die Ausstellung von Führerausweisen zum Zug kommen. Bei einem Wechsel des Wohnsitzes zwischen EU-Mitgliedstaaten kurz vor oder nach dem Erwerb eines Führerausweises vermag es auch keine Rolle zu spielen, dass Art. 41 Ziff. 6 lit. b der Wiener Strassenverkehrskonvention eine Ausnahme von der Pflicht zur Anerkennung von Führerausweisen aus Mitgliedstaaten der Konvention für die Fälle vorsieht, in denen der Ausweis nicht im Wohnsitzstaat ausgestellt oder der Wohnsitz nach der Ausstellung grenzüberschreitend verlegt worden ist. Insoweit sich aus dem angefochtenen Urteil etwas anderes ergibt, kann der Vorinstanz nicht beigepflichtet werden.
3.5. Im angefochtenen Urteil wird das Urteil C-419/10 vom 26. April 2012 ( Hofmann) des EuGH zur Richtlinie 2006/126/EG angesprochen. Dort war die Frage aufgeworfen, ob ein EU-Mitgliedstaat die Gültigkeit eines von einem anderen Mitgliedstaat ausgestellten Führerausweises aberkennen darf, wenn der Ausweis ausserhalb der Sperrfrist des erstgenannten Staats für die Neuerteilung eines Führerscheins erteilt wurde und der Bewerber im Ausstellerstaat ordentlichen Wohnsitz hatte. Diese Frage hat der EuGH verneint (a.a.O., Randnr. 91). Die Überlegungen im genannten EuGH-Urteil flossen in die Beurteilung der Vorinstanz betreffend die Pflicht zur Fahreignungsuntersuchung in der Schweiz ein (vgl. oben E. 3.3).
Hingegen hat sich die Vorinstanz im Hinblick auf die vor Bundesgericht umstrittene Frage des Wohnsitzes bzw. der Zuständigkeitsvorschriften beim Erwerb des behaupteten polnischen Führerausweises mit der europarechtlichen Lehre und Praxis zur Richtlinie 2006/126/EG nicht auseinandergesetzt (vgl. Urteil des EuGH C-467/2010 vom 1. März 2012 [ Akyüz] Randnr. 64 ff.; BIEBER/MAIANI, a.a.O., S. 109; vgl. auch MARKUS KENNTNER, Reichweite und Grenzen des Grundsatzes der gegenseitigen Anerkennung von EU-Führerscheinen, in: Neue Juristische Wochenschrift [NJW] 2020 S. 1556 ff.). Die Vorinstanz ist nicht auf das Argument des Beschwerdeführers eingegangen, dass die polnischen Behörden bei der Ausstellung des fraglichen Führerausweises den von ihm geltend gemachten Wohnsitz in Polen zu prüfen hatten. Vielmehr hat die Vorinstanz in Würdigung des für sie massgeblichen Sachverhalts aufgrund von Unterlagen des Beschwerdeführers und der kantonalen Behörden sowie in eigenständiger Auslegung von Art. 12 der Richtlinie 2006/126/EG die Schlussfolgerung gezogen, der Beschwerdeführer habe damals Wohnsitz in Deutschland gehabt. Deshalb habe er mit einem Führerausweiserwerb in Polen deutsche Zuständigkeitsvorschriften umgangen.
Bei der Anwendung von <ref-law> haben die schweizerischen Behörden die Zuständigkeitsvorschriften des ausländischen Wohnsitzstaats anzuwenden. Dabei können sie sich - namentlich im Hinblick auf die Frage, ob eine Umgehung solcher Vorschriften vorliegt, - nicht davon entbinden, über den Wortlaut der ausländischen Gesetzesbestimmungen hinaus auch die einschlägige Rechtspraxis zu berücksichtigen. Im vorliegenden Zusammenhang ist somit der Gehalt der Vorgaben der Richtlinie 2006/126/EG zum massgeblichen ordentlichen Wohnsitz für den Führerausweiswerb anhand der dazu bestehenden Rechtspraxis zu bestimmen. Damit ist auch der Vorgabe Rechnung zu tragen, dass dem EU-Ausstellerstaat gemäss Art. 7 Abs. 5 Unterabsatz 2 der Richtlinie eine erhebliche Bedeutung für die Prüfung der Einhaltung der Wohnsitzvorschriften zukommt. Indem die Vorinstanz sich bei der Erstellung des Sachverhalts im Rahmen von <ref-law> nicht auf die einschlägige ausländische bzw. europarechtliche Rechtspraxis zum ordentlichen Wohnsitz für die Ausstellung eines Führerausweise gestützt hat, hat sie Bundesrecht verletzt. Demzufolge ist das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache ist zur Klärung dieser Frage an die Vorinstanz zurückzuweisen.
3.6. Sollte im Ergebnis eine Umgehung von Zuständigkeitsvorschriften über den Führerausweiserwerb vorliegen, hätte die Vorinstanz zu prüfen, ob der fragliche Ausweis vom damaligen oder einem späteren Wohnsitzstaat rechtsgültig anerkannt wird. Gemäss <ref-law> erlöschen Aberkennungen, die wegen Umgehung der schweizerischen oder ausländischen Zuständigkeitsbestimmungen verfügt wurden, wenn der Inhaber nachweist, dass er seither einen gültigen Ausweis im neuen Wohnsitzstaat erworben hat. Diese Vorschrift gebietet es, einen unter Umgehung der Wohnsitzvorschriften erhaltenen Ausweis auch in der Schweiz zu anerkennen, sofern er seither nachweislich vom Wohnsitzstaat anerkannt worden ist. Beachtlich wäre im Falle eines Wohnsitzwechsels darüber hinaus auch eine Anerkennung durch den späteren Wohnsitzstaat, auf den <ref-law> ausdrücklich verweist.
3.7. Überdies blieb im kantonalen Verfahren ungeprüft, ob der behauptete polnische Führerausweis des Beschwerdeführers überhaupt gültig bzw. echt ist. Wenn der Ausweis die Grundlage zur (Wieder-) Zulassung des Beschwerdeführers zum motorisierten Strassenverkehr in der Schweiz darstellen sollte, müsste die Gültigkeit bzw. Echtheit des fraglichen Dokuments feststehen. Eine solche Abklärung ist im vorliegenden Fall umso mehr angezeigt, als sich der am 25. September 2017 von ihm vorgewiesene litauische Führerausweis als Fälschung erwies. Bei Zweifeln an der Gültigkeit bzw. Echtheit des Ausweises von Seiten des Ausstellerstaats kann diese Frage durch besondere Polizeidienste oder durch direkte Rückfragen beim Ausstellerstaat abgeklärt werden (vgl. Urteil 1C_277/2017 vom 8. November 2017 E. 5.3).
3.8. Zusammengefasst hat die Vorinstanz den Sachverhalt hinsichtlich der Frage einer allfälligen Umgehung von Zuständigkeitsvorschriften des ausländischen Wohnsitzstaats gestützt auf unzutreffende Rechtsgrundlagen festgestellt. Sodann hat sie die erforderlichen Abklärungen im Hinblick auf die Echtheit des umstrittenen Führerausweises und auf dessen eventuelle Anerkennung durch den tatsächlichen Wohnsitzstaat des Beschwerdeführers nicht vorgenommen.
Die Angelegenheit ist zur ergänzenden Sachverhaltsfeststellung und zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen (<ref-law>). Zwar hat das SVSA nach dem Datum des angefochtenen Urteils eine weitere Auskunft beim deutschen Kraftfahrt-Bundesamt und bei einer weiteren deutschen Amtsstelle zur Fahrerlaubnis des Beschwerdeführers in Deutschland eingeholt. Dieser nimmt vor Bundesgericht auf die soeben genannten Dokumente Bezug. Dabei handelt es sich aber um echte Noven, die im vorliegenden bundesgerichtlichen Verfahren nicht berücksichtigt werden können (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.2.2 S. 548). Im Rahmen der Rückweisung wird sich die Vorinstanz mit den fraglichen neuen Auskünften der deutschen Behörden auseinanderzusetzen zu haben.
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben, und die Sache ist zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Gerichtskosten zu erheben (vgl. Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Bern hat dem Beschwerde führer eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Das Urteil der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern vom 22. Mai 2019 wird aufgehoben. Die Sache wird zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Bern hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern, der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern und dem Bundesamt für Strassen, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. August 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Kessler Coendet