Faits :
A.
A.a. L'Association C._ a pour but l'exploitation d'un collège en vue d'y installer des oeuvres de charité, d'instruction publique générale et de religion. Elle exploite l'école privée D._ (ci-après: l'Ecole privée).
A.b. A.A._ et B.A._ sont les parents de E.A._ et F.A._, nées respectivement en 2011 et en 2015. Elles ont été scolarisées au sein de l'Ecole privée, la première dès l'année scolaire 2014-2015 et la deuxième dès l'année 2018-2019.
E.A._ et F.A._ ont toutes deux été victimes de comportements agressifs et d'actes de violence de la part de deux de leurs camarades. Les époux A._ ont signalé ces faits à la direction de l'Ecole privée à plusieurs reprises à partir d'octobre 2017.
B.
B.a. Le 2 juillet 2020, les époux A._ ont interpellé le Département de l'instruction publique, de la formation et de la jeunesse de la République et canton de Genève (ci-après: le Département) afin de lui faire part de la situation, déplorant que l'Ecole privée n'ait mis en place aucun suivi des élèves dont le comportement était dénoncé, ni pris aucune mesure adéquate à leur encontre ou dans le but de protéger les autres élèves. Ils ont sollicité l'ouverture d'une instruction.
Le 1er septembre 2020, le Département, agissant par le Service de l'enseignement privé, a expliqué avoir été informé qu'un certain nombre de démarches avaient été entreprises par la direction de l'Ecole privée et que, sur la base des éléments transmis par celle-ci, il avait estimé que les dispositions légales et réglementaires relatives à l'enseignement privé avaient été respectées.
B.b. Le 23 septembre 2020, les époux A._ ont contesté l'appréciation du Département et ont demandé que la violation par l'Ecole privée de ses obligations soit constatée.
Par décision du 28 octobre 2020, le Département a constaté que l'Ecole privée n'avait pas violé ses obligations légales et réglementaires relatives à l'enseignement privé dans le cadre de la prise en charge et de la gestion de la situation dénoncée par les époux A._ en juillet 2020.
B.c. Le 30 novembre 2020, les époux A._ ont recouru auprès de la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) contre la décision du Département. Lors des échanges d'écritures, l'Association C._ a notamment sollicité le prononcé d'une obligation de garder le secret à l'égard des recourants et de leur conseil s'agissant de tous les faits et éléments relatifs à la situation personnelle des enfants mis en cause, amenés dans le cadre de la procédure à compter du dépôt de la dénonciation le 2 juillet 2020.
Par arrêt du 20 avril 2021, la Cour de justice a déclaré irrecevable le recours formé par les époux A._ et a fait obligation aux parties à la procédure de garder secret dès le prononcé de l'arrêt, tous les éléments permettant de déterminer l'identité des mineurs, les intervenants et l'établissement concernés, sous les menaces de la peine prévue par l'<ref-law>.
C.
A.A._ et B.A._ déposent un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. Ils concluent, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt de la Cour de justice du 20 avril 2021 et au renvoi de la cause à cette juridiction afin qu'elle statue sur le fond.
La Cour de justice s'en rapporte à justice quant à la recevabilité du recours et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. Le Département se rallie au dispositif de l'arrêt attaqué. L'Association C._ conclut, sous suite de frais et dépens, au rejet du recours et à la confirmation de l'arrêt attaqué. Les recourants persistent intégralement dans les conclusions de leur recours.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1).
1.1. L'arrêt attaqué prononce l'irrecevabilité du recours formé par les recourants, d'une part. D'autre part, il fait obligation aux parties de garder secret tous les éléments permettant de déterminer l'identité des mineurs, des intervenants et de l'établissement concernés, sous les menaces de la peine prévue par l'<ref-law>. La Cour de justice a ainsi rendu deux prononcés distincts et indépendants.
Dans leur mémoire, les recourants développent des griefs à l'encontre de ces deux aspects de la décision attaquée. La recevabilité du recours doit donc être examinée au regard de ces deux objets.
1.2. Est à l'origine de la présente affaire la décision constatant que l'Ecole privée n'a pas violé ses obligations légales et réglementaires dans le cadre de la situation dénoncée par les recourants. Cette décision a été prise par le Département, agissant par le Service de l'enseignement privé, qui est l'autorité cantonale de surveillance des écoles privées conformément aux art. 7 et 43 de la loi genevoise du 17 septembre 2015 sur l'instruction publique (LIP; RSG C 1 10) et aux art. 11 et 12 du règlement du 27 août 2008 relatif à l'enseignement privé (REPriv; RSG C 1 10.83). Quant à la décision de la Cour de justice faisant obligation aux parties de garder le secret, elle a été prise en application de l'art. 20A de la loi genevoise du 12 septembre 1985 sur la procédure administrative (LPA/GE; RSG E 5 10).
Le fond des deux prononcés de la Cour de justice relève donc du droit public au sens de l'<ref-law> et ne tombe pas sous le coup d'une des exceptions prévues à l'<ref-law>. La voie du recours en matière de droit public est en principe ouverte.
1.3. En vertu de l'<ref-law>, a qualité pour former un recours en matière de droit public quiconque a pris part à la procédure devant l'autorité précédente ou a été privé de la possibilité de le faire (let. a), est particulièrement atteint par la décision attaquée (let. b) et a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (let. c). Dans une procédure administrative, l'auteur d'un recours déclaré irrecevable pour défaut de qualité pour agir est habilité à contester l'arrêt d'irrecevabilité par un recours en matière de droit public lorsque l'arrêt au fond de l'autorité intimée aurait pu être déféré au Tribunal fédéral par cette voie (<ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 1b; arrêts 2C_709/2020 du 18 juin 2021 consid. 1.1; 2C_990/2020 du 4 juin 2021 consid. 1.1).
En l'espèce, les recourants, qui ont pris part à la procédure devant l'autorité précédente, ont un intérêt digne de protection à demander l'annulation de l'arrêt attaqué afin d'obtenir qu'il soit statué sur le fond de leur cause, cela indépendamment et sans préjudice du motif d'irrecevabilité retenu en procédure administrative, qui constitue l'objet de la contestation devant le Tribunal fédéral, et à l'exclusion du fond de l'affaire (<ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 4 et les arrêts cités; arrêts 2C_709/2020 du 18 juin 2021 consid. 1.2; 2C_990/2020 du 4 juin 2021 consid. 1.2). Par ailleurs, ils ont aussi un intérêt digne de protection à obtenir l'annulation de l'injonction qui leur a été faite de garder secret certains faits.
Ainsi, les recourants ont qualité pour recourir.
1.4. Pour le surplus, dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en dernière instance cantonale par une autorité judiciaire supérieure (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), le recours a été déposé en temps utile (<ref-law>), ainsi que dans les formes prescrites (<ref-law>).
Le recours est, dès lors, recevable.
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), alors qu'il ne revoit le droit cantonal, sous réserve d'exceptions non réalisées en l'espèce (cf. <ref-law>), que sous l'angle de la violation des droits fondamentaux - en particulier l'arbitraire. Les griefs de violation de ces droits sont soumis à des exigences de motivation accrue (cf. <ref-law>). La partie recourante doit indiquer les principes constitutionnels qui n'auraient pas été respectés et expliquer de manière claire et précise en quoi ces principes auraient été violés (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1.3; arrêt 2C_294/2020 du 15 mars 2021 consid. 2).
2.2. En l'espèce, les recourants exposent que l'arrêt attaqué restreindrait leur droit d'accès au juge de manière contraire à l'art. 12 al. 2 de la Convention des Nations Unies du 20 novembre 1989 relative aux droits de l'enfant (CDE; RS 0.107) et à l'art. 11 Cst., sans dire en quoi ces dispositions auraient été violées. Leur argumentation ne répond pas aux exigences de motivation qualifiées de l'<ref-law>. Il n'y a donc pas lieu d'examiner la question plus avant.
3.
Les recourants font grief à la Cour de justice d'avoir nié leur qualité pour recourir contre la décision rendue par le Département. Ils invoquent la violation de l'<ref-law> en lien avec l'<ref-law>.
3.1. En substance, la Cour de justice a retenu que les recourants devaient être considérés comme des dénonciateurs et que la qualité de parties à la procédure ne pouvait pas leur être reconnue, car ils ne bénéficiaient pas d'un intérêt digne de protection. Elle a également relevé que les recourants disposaient d'autres moyens de défense pour faire valoir leurs droits, sur la base du droit privé et du droit pénal. En conséquence, elle a prononcé l'irrecevabilité de leur recours.
3.2. Aux termes de l'<ref-law>, la qualité de partie à la procédure devant toute autorité cantonale précédente doit être reconnue à quiconque a qualité pour recourir devant le Tribunal fédéral (al. 1); l'autorité qui précède immédiatement le Tribunal fédéral doit pouvoir examiner au moins les griefs visés aux art. 95 à 98 LTF (al. 3). Il résulte de cette disposition que la qualité pour recourir devant les autorités cantonales ne peut pas s'apprécier de manière plus restrictive que la qualité pour recourir devant le Tribunal fédéral, les cantons demeurant libres de concevoir cette qualité de manière plus large (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 5; arrêt 2C_709/2020 du 18 juin 2021 consid. 4.2).
3.3. La qualité pour recourir au sens de l'<ref-law> exige que la partie recourante ait pris part à la procédure devant l'autorité précédente (let. a), qu'elle soit particulièrement atteinte par la décision attaquée (let. b) et qu'elle ait un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de celle-ci (let. c). L'intérêt digne de protection suppose que la personne qui l'invoque soit touchée de manière directe, concrète et dans une mesure et avec une intensité plus grandes que la généralité des administrés (cf. <ref-ruling> consid. 4.2; arrêt 2C_709/2020 du 18 juin 2021 consid. 4.3). La partie recourante doit se trouver dans une relation spéciale, étroite et digne d'être prise en considération avec l'objet de la contestation. Elle doit en outre retirer un avantage pratique de l'annulation ou de la modification de la décision contestée qui permette d'admettre qu'elle est touchée dans un intérêt personnel se distinguant nettement de l'intérêt général, de manière à exclure l'action populaire (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.2; arrêt 2C_214/2018 du 7 décembre 2018 consid. 4.3). En outre, cet intérêt doit être actuel et exister tant au moment du dépôt du recours qu'à celui où l'arrêt est rendu (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.1; arrêt 2C_793/2020 du 8 juillet 2021 consid. 1.4).
3.4. La jurisprudence considère en lien avec l'<ref-law> que la seule qualité de plaignant ou de dénonciateur ne donne en principe pas le droit de recourir contre la décision prise à la suite de la dénonciation et ne confère donc pas la qualité de partie dans cette procédure (<ref-ruling> consid. 6.1; <ref-ruling> consid. 2; arrêts 2C_214/2018 du 7 décembre 2018 consid. 4.5; 2C_519/2017 du 28 novembre 2017 consid. 4.3). En effet, la procédure disciplinaire a pour but d'assurer l'exercice correct de l'activité soumise à surveillance - en l'espèce l'enseignement dans les écoles privées - dans l'intérêt public et non de défendre des intérêts privés des particuliers (cf. <ref-ruling> consid. 6.1; <ref-ruling> consid. 4.4, à propos de la profession d'avocat; ATF <ref-ruling> consid. 2, concernant la profession de notaire; arrêt 2C_79/2021 du 17 juin 2021 consid. 3.4, s'agissant de la surveillance des marchés financiers). Pour jouir de la qualité pour recourir, le dénonciateur doit non seulement se trouver dans un rapport étroit et spécial avec la situation litigieuse, mais aussi pouvoir invoquer un intérêt digne de protection à ce que l'autorité de surveillance intervienne (<ref-ruling> consid. 6.1; <ref-ruling> consid. 2; arrêts 2C_214/2018 du 7 décembre 2018 consid. 4.5; 2C_519/2017 du 28 novembre 2017 consid. 4.3). Savoir si un dénonciateur remplit les conditions précitées et donc jouit de la qualité de partie doit être résolue différemment selon les matières et les circonstances d'espèce. Afin d'opérer une délimitation raisonnable avec le "recours populaire", la jurisprudence reconnaît restrictivement la qualité de partie au dénonciateur, lorsque celui-ci pourrait sauvegarder ses intérêts d'une autre manière, notamment par le biais d'une procédure pénale ou civile (cf. <ref-ruling> consid. 2.3 et références citées; arrêt 2C_214/2018 du 7 décembre 2018 consid. 4.5).
3.5. En l'espèce, les recourants ont initié la procédure en rapportant au Département les situations problématiques auxquelles auraient été confrontées leurs filles au sein de l'Ecole privée et en sollicitant l'ouverture d'une instruction. A ce titre, ils sont donc intervenus en qualité de dénonciateurs, ainsi que l'a retenu la Cour de justice. Reste à déterminer si, dans le cas d'espèce, la qualité pour recourir pourrait leur être reconnue sur la base de l'<ref-law> aux conditions restrictives fixées par la jurisprudence précitée.
3.6. Pour démontrer qu'ils se trouvent dans un rapport étroit et spécial avec la situation litigieuse, les recourants font valoir qu'ils sont les destinataires de la décision du Département. Ce seul élément n'est toutefois pas suffisant pour créer un rapport spécial avec la situation litigieuse, la décision leur ayant certes été adressée, mais ne les touchant pas dans leurs droits et obligations. Les recourants soutiennent également qu'ils disposeraient d'un intérêt digne de protection, à titre personnel et en qualité de représentants de leurs filles mineures, notamment à faire établir et connaître les éventuels manquements de l'Ecole privée afin, le cas échéant, de s'en prévaloir pour intenter d'autres actions contre l'Ecole privée ou des tiers concernés. Ils n'établissent cependant pas l'avantage pratique que leurs filles ou eux-mêmes obtiendraient si le Département constatait que la direction de l'Ecole privée avait enfreint les règles applicables. Les recourants ne démontrent pas non plus en quoi ils disposeraient d'un intérêt personnel concret et actuel digne de protection, ce d'autant plus que leurs filles ne sont plus scolarisées à l'Ecole privée et qu'elles ne seraient en aucune manière concernées directement par les mesures que pourrait prendre le Département s'il constatait des infractions au sein de l'Ecole privée.
3.7. Au surplus, comme l'a relevé à juste titre la juridiction précédente, les recourants disposent d'autres moyens de préserver leurs intérêts, sur la base du contrat qui les liait à l'établissement scolaire concerné, voire, s'ils s'y estiment fondés, en saisissant les autorités pénales. Il sied de préciser à ce propos que l'arrêt 2C_214/2018 du 7 décembre 2018 mentionné par les recourants portait sur un cas particulier dans lequel le Tribunal fédéral a reconnu au dénonciateur un intérêt digne de protection et a considéré que la faculté théorique d'agir par d'autres biais ne permettait pas de lui dénier la qualité de partie en raison de la particularité et de la complexité de la réglementation genevoise sur les établissements publics et du risque que les autorités se renvoient la balle. Une telle complexité n'existe pas dans le cas d'espèce et n'est d'ailleurs pas alléguée par les recourants.
Par conséquent, la Cour de justice n'a pas enfreint l'<ref-law> en lien avec l'<ref-law> en niant aux recourants la qualité pour recourir contre la décision rendue le 28 octobre 2020 par le Département.
3.8. Au surplus, les recourants n'invoquent pas l'application arbitraire de règles de droit cantonal qui iraient au-delà des exigences de l'<ref-law> en lien avec la qualité pour recourir des dénonciateurs (cf. <ref-law>).
3.9. Dès lors que l'irrecevabilité prononcée par la Cour de justice relève d'une application correcte des règles relatives à la qualité pour recourir, l'arrêt entrepris ne méconnaît pas la garantie de l'accès au juge figurant à l'art. 29a Cst. (cf. <ref-ruling> consid. 8.2; <ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 4.3; arrêts 2C_229/2018 du 15 mars 2019 consid. 5.2.2; 2C_977/2018 du 14 janvier 2019 consid. 8.1), contrairement à ce que soutiennent les recourants. Le recours doit donc être rejeté sur ce point.
4.
S'agissant de l'injonction qui leur a été faite de garder secrets certains éléments factuels, les recourants invoquent une application arbitraire de l'art. 20A LPA/GE.
4.1. La cour cantonale a retenu que les enfants mineurs en cause avaient un intérêt privé à ce que tous les éléments à même de les identifier, notamment leur identité (nom, prénom, date de naissance), ainsi que celle de tous les intervenants et le nom de l'établissement scolaire concernés restent confidentiels. Elle a par ailleurs considéré que l'obligation de garder le secret faite aux parties sur la base de l'art. 20A LPA/GE ne devait exceptionnellement pas être limitée dans le temps en raison de la nature des incidents dénoncés par les recourants et du fait que ceux-ci concernaient des enfants mineurs.
4.2. Une décision est arbitraire lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou lorsqu'elle contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Le Tribunal fédéral n'a pas à déterminer quelle est l'interprétation correcte que l'autorité cantonale aurait dû donner des dispositions applicables; il doit uniquement examiner si l'interprétation qui a été faite est défendable. Par conséquent, si celle-ci ne se révèle pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation cantonale en cause, elle sera confirmée, même si une autre solution paraît également concevable, voire préférable. De plus, il ne suffit pas que les motifs de la décision attaquée soient insoutenables, encore faut-il que cette dernière soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 7.3; arrêt 2C_595/2021 du 30 septembre 2021 consid. 4.1).
4.3. En vertu de l'art. 20A LPA/GE, la juridiction administrative notamment peut obliger tous les participants à la procédure, ainsi que le conseil juridique, le mandataire professionnellement qualifié ou la personne de confiance à garder le secret sur les informations auxquelles elle a eu accès dans le cadre de la procédure, lorsque la manifestation de la vérité ou la protection d'un autre intérêt public ou privé prépondérant l'exigent. Cette obligation se fait sous la commination de la peine prévue à l'<ref-law>. Elle doit, en principe, être limitée dans le temps.
L'art. 20A LPA/GE est entré en vigueur le 7 septembre 2019. Il a été adopté afin de répondre au besoin de protection des victimes et des employés poursuivis, lors d'enquêtes administratives portant sur des harcèlements et des abus sexuels par des enseignants envers des élèves (Rapport du 20 mai 2019 de la commission judiciaire et de la police chargée d'étudier les projets de lois PL 12392-A et 12350-A modifiant la loi sur la procédure administrative, Mémorial des séances du Grand Conseil de la République et canton de Genève [en ligne], séance 6 du 6 juin 2019, p. 2). Il vise à permettre aux autorités chargées de conduire l'enquête, ou une procédure administrative, de pouvoir demander aux participants de garder le secret sur les informations acquises dans le cadre de celle-ci (Rapport du 20 mai 2019 précité, p. 56), étant précisé que cet article ne signifie pas que le mineur n'a pas le droit de raconter ce qui lui est arrivé et ce qui lui arrive, mais qu'il doit juste s'abstenir de révéler des informations ou des faits dont il aura eu connaissance durant la procédure (Rapport du 20 mai 2019 précité, p. 58).
4.4. En l'occurrence, l'arrêt litigieux fait interdiction aux parties de dévoiler tous les éléments permettant de déterminer l'identité des mineurs, des intervenants et de l'établissement concernés, alors que ces identités étaient connues des recourants avant qu'ils ne dénoncent l'affaire au Département. Partant, l'injonction prononcée par la Cour de justice va au-delà de ce que le texte clair de l'art. 20A LPA/GE, confirmé par les travaux parlementaires, autorise. De plus, l'arrêt attaqué ne mentionne aucune raison justifiant d'aller au-delà des termes de la loi.
Par ailleurs, en étendant la portée de l'art. 20A LPA/GE, l'arrêt attaqué impose une injonction aux recourants en contradiction avec sa propre motivation. En effet, la Cour de justice renvoie à juste titre les recourants à faire valoir leurs droits par le biais de procédures civiles ou pénales et non par la voie de la dénonciation. Il se trouve qu'elle les prive de la possibilité de le faire en leur interdisant de révéler les identités des personnes contre lesquelles ces procédures devraient être ouvertes.
4.5. Sur le vu de ce qui précède, la Cour de justice a effectué une application de l'art. 20A LPA/GE dépassant la portée de cette disposition et en contradiction avec sa propre argumentation, sans indiquer aucune raison qui permettrait de procéder de la sorte. Partant, son raisonnement est arbitraire et conduit à un résultat insoutenable en ce qu'il empêche les recourants de faire valoir leurs droits par d'autres moyens. Le recours doit donc être admis sur ce point et l'arrêt litigieux annulé en tant qu'il ordonne aux parties de garder le secret.
5.
Sur le vu de ce qui précède, le recours est partiellement admis. L'arrêt attaqué est confirmé s'agissant de l'irrecevabilité; il est annulé en ce qu'il fait injonction aux parties de garder secret tous les éléments permettant de déterminer l'identité des mineurs, les intervenants et l'établissement concernés, sous les menaces de la peine prévue par l'<ref-law>.
6.
Au vu de l'issue du litige, des frais réduits seront mis par moitié à la charge des recourants, solidairement entre eux (art. 66 al. 1 et 5 LTF), l'autre moitié étant mise à la charge de l'Association C._ qui, ayant conclu au rejet du recours, succombe partiellement (<ref-law>). Aucun frais ne peut être mis à la charge du Département qui succombe aussi partiellement, dans la mesure où il s'est rallié au dispositif de l'arrêt attaqué (<ref-law>). Le Département versera aux recourants et à l'Association C._ une indemnité réduite à titre de dépens (<ref-law>). Il n'a pas droit à des dépens (<ref-law>). Pour le reste, les dépens sont compensés.
La Cour de céans ne fera pas usage de la possibilité offerte par les art. 67 et 68 al. 5 LTF et renverra la cause à la Cour de justice afin qu'elle fixe à nouveau les frais et dépens de la procédure qui s'est déroulée devant elle.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis. L'arrêt attaqué est confirmé s'agissant de l'irrecevabilité; il est annulé en ce qu'il fait injonction aux parties de garder secret tous les éléments permettant de déterminer l'identité des mineurs, les intervenants et l'établissement concernés, sous les menaces de la peine prévue par l'<ref-law>.
2.
La cause est renvoyée à la Cour de justice pour qu'elle statue à nouveau sur les frais et dépens de la procédure antérieure.
3.
Les frais judiciaires réduits, arrêtés à 1'000 fr., sont mis par 500 fr. à la charge des recourants, solidairement entre eux, et par 500 fr. à la charge de l'Association C._.
4.
Le Département versera aux recourants, créanciers solidaires, ainsi qu'à l'Association C._ une indemnité de 500 fr. chacun, à titre de dépens. Pour le reste, les dépens sont compensés.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux recourants, à l'Association C._, au Département de l'instruction publique, de la formation et de la jeunesse de la République et canton de Genève, ainsi qu'à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative, 2ème section.
Lausanne, le 19 octobre 2021
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Wiedler