Faits :
A.
A.a. A._ perçoit des prestations complémentaires depuis 1991. Le Service genevois des prestations complémentaires (SPC) lui a réclamé le remboursement de 437'854 fr. 05 versés à tort depuis le mois de juin 2001 dès lors qu'elle avait omis de déclarer certains faits déterminants pour calculer ses prestations (décisions du 24 mai 2016 confirmées sur opposition le 4 mai 2017). La Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève a partiellement admis le recours de l'assurée contre la décision du 4 mai 2017. Elle a annulé la décision et a renvoyé la cause à l'administration pour nouvelle décision qui tienne compte de la prescription du droit de réclamer la restitution de prestations antérieures au 1er juin 2009 (arrêt du 23 juillet 2018). Le Tribunal fédéral a déclaré irrecevable le recours de l'intéressée contre l'arrêt du 23 juillet 2018 dès lors qu'il s'agissait d'une décision incidente ne causant pas de préjudice irréparable (arrêt 9C_616/2018 du 10 octobre 2018).
A.b. Conformément à l'arrêt du 23 juillet 2018, l'administration a requis de A._ qu'elle lui restitue 168'782 fr. versés indûment du 1er juin 2009 au 30 avril 2016 et a recalculé le montant des prestations dues à compter du mois de janvier 2017 (décision du 13 juin 2019 confirmée sur opposition le 27 mai 2020). La juridiction cantonale a partiellement admis le recours de l'assurée contre la décision du 27 mai 2020. Elle a annulé la décision et a renvoyé la cause au SPC pour qu'il rende une nouvelle décision qui tienne compte d'un loyer partagé (en deux et plus en trois). Elle a aussi rejeté une partie du raisonnement de l'assurée (portant en particulier sur l'audition de témoins ou la production de témoignages écrits) qu'il avait interprété comme une demande de révision de l'arrêt du 23 juillet 2018 (arrêt du 4 mai 2021). Le Tribunal fédéral a déclaré irrecevable le recours de l'intéressée contre l'arrêt du 4 mai 2021 dès lors qu'il s'agissait une nouvelle fois d'une décision incidente ne causant pas de préjudice irréparable et qu'aucune conclusion n'avait été prise en relation avec le rejet de la demande de révision de l'arrêt du 23 juillet 2018 (arrêt 9C_351/2021 du 22 juillet 2021).
B.
Par acte du 30 juillet 2021, A._ dépose une demande de révision de l'arrêt 9C_351/2021. Elle en requiert l'annulation et conclut à la reprise de l'instruction de son recours du 16 juin 2021 en tant qu'il était dirigé contre le rejet de la demande de révision de l'arrêt cantonal du 23 juillet 2018. Elle sollicite en outre l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.

Considérant en droit :
1.
1.1. La révision d'un arrêt du Tribunal fédéral peut être demandée pour les motifs énumérés aux art. 121 à 123 LTF.
1.2. En particulier, selon l'art. 121 let. d LTF, la révision d'un arrêt du Tribunal fédéral peut être demandée, notamment, si, par inadvertance, le tribunal n'a pas pris en considération des faits pertinents qui ressortent du dossier. L'inadvertance au sens de cette disposition suppose, selon la jurisprudence, que le juge ait omis de prendre en considération une pièce déterminée, versée au dossier, ou l'ait mal lue, s'écartant par mégarde de sa teneur exacte; elle se distingue de la fausse appréciation soit des preuves administrées devant le Tribunal fédéral, soit de la portée juridique des faits établis. La révision n'est pas possible lorsque c'est sciemment que le juge a refusé de tenir compte d'un certain fait, parce qu'il le tenait pour non décisif, car un tel refus relève de l'application du droit. En outre, ce motif de révision ne peut être invoqué que si les faits qui n'ont pas été pris en considération sont "pertinents": il doit s'agir de faits susceptibles d'entraîner une décision différente de celle qui a été prise et plus favorable au requérant (cf. arrêt 1F_16/2008 du 11 août 2008 consid. 3, in SJ 2008 I p. 465; <ref-ruling> consid. 3 et les références).
2.
A l'appui de sa demande de révision, la requérante allègue que le Tribunal fédéral a par inadvertance procédé à une lecture erronée de son acte de recours du 16 juin 2021 en concluant qu'elle n'avait pas pris de conclusions concernant le rejet de la demande de révision de l'arrêt cantonal du 23 juillet 2018. Elle soutient en substance avoir contesté valablement les raisons pour lesquelles le tribunal cantonal avait rejeté sa demande de révision en démontrant que celui-ci avait apprécié les preuves en relation avec l'audition de témoins et la production de témoignages écrits d'une manière incompatible avec la maxime inquisitoire et le droit à la preuve.
3.
Au contraire de ce que prétend l'assurée, dans son arrêt 9C_351/2021 du 22 juillet 2021, le Tribunal fédéral n'a aucunement par inadvertance mal compris une partie de son acte de recours du 16 juin 2021. Outre le fait que la requérante n'avait pas formellement pris des conclusions concernant le rejet de la demande de révision de l'arrêt cantonal du 23 juillet 2018, comme elle l'admet du reste implicitement en reproduisant une partie des conclusions de son recours, on relèvera que son argumentation d'alors portait substantiellement sur la violation par les premiers juges de la maxime inquisitoire et du droit à la preuve en lien avec l'audition de témoins et la production de témoignages écrits, même si elle citait la disposition légale cantonale relative à la révision. Or ce genre d'argumentation relève de l'appréciation des preuves (non d'une procédure de révision procédurale) qui, étant donné le caractère incident d'une décision de renvoi, peut être contestée dans le recours contre la décision finale uniquement, ainsi que l'a indiqué le Tribunal fédéral tant dans son arrêt 9C_616/2018 du 10 octobre 2018 que son arrêt 9C_351/2021 du 22 juillet 2021. Partant, il a été répondu aux griefs de l'assurée. Sa demande de révision est dès lors mal fondée et doit être rejetée.
4.
Il est exceptionnellement renoncé à percevoir des frais judiciaires (art. 66 al. 1 seconde phrase LTF). L'échec prévisible des conclusions de la requérante commande en outre le rejet de sa demande d'assistance judiciaire (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
La demande de révision est rejetée.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée, dans la mesure où elle n'est pas sans objet.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 23 septembre 2021
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Cretton