Sachverhalt:
A.
A._ wurde am 1. November 2017 verhaftet wegen des Verdachts, seine frühere Lebenspartnerin B._ getötet zu haben. Tags darauf wurde ihm Rechtsanwalt Uffer als amtlicher Verteidiger bestellt. Am 25. Mai 2018 wurde dieser auf Ersuchen von A._ durch Rechtsanwalt Harb ersetzt. Ein erneutes Gesuch um Wechsel des amtlichen Verteidigers wies die Staatsanwaltschaft am 23. Januar 2019 ab.
Am 3. Juli 2019 verurteilte das Bezirksgericht Horgen A._ wegen vorsätzlicher Tötung zu einer 10-jährigen Freiheitsstrafe. Es hielt für erwiesen, dass er zwischen dem 30. Oktober und dem 1. November 2017 B._ zu Tode strangulierte, nachdem er bereits vor dem Tatzeitpunkt wiederholt massive Gewalt gegen sie ausgeübt hatte. Mit separatem Entscheid versetzte das Gericht A._ wegen Wiederholungsgefahr für zunächst drei Monate in Sicherheitshaft.
1B_37/2020
B.
B.a. Am 23. Juli 2019 ersuchte A._ die Staatsanwaltschaft, Rechtsanwalt C._ anstelle von Rechtsanwalt Harb als amtlichen Verteidiger einzusetzen.
Am 9. September 2019 wies das Bezirksgericht Horgen das Gesuch um Wechsel des amtlichen Verteidigers ab. Am 30. September 2019 erhob A._ u.a. Beschwerde gegen die Verfügung vom 9. September 2019.
Am 13. Dezember 2019 wies das Obergericht des Kantons Zürich die Beschwerde von A._ gegen die Verfügung des Bezirksgerichts vom 9. September 2019 ab.
B.b. Mit Beschwerde vom 18. Januar 2020 beantragt A._, diesen Entscheid des Obergerichts aufzuheben und ihm den Anwaltswechsel zu bewilligen oder eventuell die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
B.c. Rechtsanwalt Harb teilt mit, er könne aufgrund des Berufsgeheimnisses keine weitere Angaben zur Sache machen und reicht, ohne einen Antrag zu stellen, seine Eingabe vom 12. August 2019 ans Bezirksgericht Horgen ins Recht. Das Obergericht verzichtet auf Vernehmlassung. A._ hält in seiner Replik an der Beschwerde fest.
1B_87/2020
C.
C.a. Am 2. Oktober 2019 verlängerte das Bezirksgericht die Sicherheitshaft gegen A._ bis zum 3. April 2020.
Am 24. November 2019 stellte A._ ein Haftentlassungsgesuch, welches vom Bezirksgericht am 13. Dezember 2019 abgewiesen wurde. Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht am 20. Januar 2020 ab, soweit es darauf eintrat.
C.b. Mit Beschwerde vom 20. Februar 2020 beantragt A._, dieser Entscheid des Obergerichts sei aufzuheben, der Haftentlassungsantrag sei von der Verfahrensleitung des Bezirksgerichts unter Berücksichtigung der Aufstellung vom 28. Oktober 2019 (Zeitschiene, Gutachten, Bilder, Zeugen) zu würdigen, und die angeforderten Unterlagen seien ihm für eine profunde Begründung des Haftentlassungsgesuchs zur Verfügung zu stellen. Eventuell sei der angefochtene Beschluss aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zu neuer Beurteilung zurückzuweisen. Ausserdem ersucht A._ um unentgeltliche Rechtspflege.
C.c. Die Staatsanwaltschaft und das Obergericht verzichten auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die beiden Beschwerden betreffen das gleiche Strafverfahren und stehen in engem Zusammenhang. Es rechtfertigt sich, sie zu vereinigen.
2.
Angefochten sind ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über einen Wechsel der amtlichen Verteidigung und ein Haftentscheid. Dagegen ist die Beschwerde in Strafsachen nach den <ref-law> gegeben. Der Beschwerdeführer ist sowohl durch die Verweigerung des Anwaltswechsels als auch durch die Verlängerung der Haft in seinen rechtlich geschützten Interessen betroffen und damit zur Beschwerde befugt (<ref-law>). Er macht die Verletzung von Bundesrecht geltend, was zulässig ist (<ref-law>). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass, sodass auf die Beschwerden grundsätzlich einzutreten ist.
Es ist allerdings Sache des Beschwerdeführers darzulegen, dass der angefochtene Entscheid Bundesrecht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.6 S. 130; <ref-ruling> E. 2.1 und 2.2 S. 245 f.; je mit Hinweisen). Dieser Pflicht kommt der Beschwerdeführer nur teilweise nach. Die Beschwerden gehen über weite Strecken an der Sache vorbei, erschöpfen sich in unzulässiger, pauschaler Kritik an den Erwägungen der Vorinstanz oder setzen sich damit nicht oder nicht sachgerecht auseinander. Dies betrifft insbesondere auch den vom Beschwerdeführer vor Bundesgericht wiederholten Vorwurf, er habe sich nicht ausreichend verteidigen können, weil ihm "entscheidende" Dokumente vorenthalten worden seien; dazu kann auf die zutreffenden Ausführungen des Obergerichts verwiesen werden (angefochtenes Urteil vom 20. Januar 2020 E. 3 S. 7 ff.). Soweit im Folgenden auf Ausführungen in den Beschwerdeschriften nicht eingegangen wird, genügen sie den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht.
3.
3.1. Nach der Praxis des Bundesgerichts zu Art. 29 Abs. 3 und Art. 32 Abs. 2 BV hat der amtlich verteidigte Beschuldigte einen grundrechtlichen Anspruch auf sachkundige, engagierte und effektive Wahrnehmung seiner Parteiinteressen (<ref-ruling> E. 2.4 S. 164 mit Hinweis). Darüber hinaus sieht <ref-law> vor, dass die Verfahrensleitung die amtliche Verteidigung einer anderen Person überträgt, wenn das Vertrauensverhältnis zwischen der beschuldigten Person und ihrer amtlichen Verteidigung erheblich gestört oder eine wirksame Verteidigung aus andern Gründen nicht mehr gewährleistet ist. Die gesetzliche Regelung trägt dem Umstand Rechnung, dass eine engagierte und effiziente Verteidigung nicht nur bei objektiver Pflichtverletzung der Verteidigung, sondern bereits bei erheblich gestörtem Vertrauensverhältnis beeinträchtigt sein kann. Dies bedeutet aber nicht, dass allein dessen Empfinden bzw. dessen Wunsch für einen Wechsel der Verteidigung ausreicht. Vielmehr muss die Störung des Vertrauensverhältnisses mit konkreten Hinweisen belegt und objektiviert werden (<ref-ruling> E. 2.4 S. 165 mit Hinweisen). Der amtliche Verteidiger ist indessen nicht bloss das unkritische Sprachrohr seines Mandanten. Für einen Verteidigerwechsel genügt deshalb nicht, wenn die Verteidigung eine problematische, aber von der beschuldigten Person gewünschte Verteidigungsstrategie nicht übernimmt, oder wenn sie nicht bedingungslos glaubt, was die beschuldigte Person zum Delikt sagt, und das nicht ungefiltert gegenüber den Behörden vertritt. Gleiches gilt betreffend die Weigerung, aussichtslose Prozesshandlungen vorzunehmen (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 2.4 S. 166 mit Hinweisen). Im Zweifelsfall liegt es im pflichtgemässen Ermessen des Verteidigers zu entscheiden, welche Beweisanträge und juristischen Argumentationen er als sachgerecht und geboten erachtet (Urteil 1B_211/2014 vom 23. Juli 2014 E. 2.1, in: Pra 2014 Nr. 104 S. 838). Sein Vorgehen muss allerdings in den Schranken von Gesetz und Standesregeln auf die Interessen der beschuldigten Person ausgerichtet (<ref-law>) und in diesem Sinn sachlich begründet sein.
3.2. Der Beschwerdeführer bringt vor, im Verfahren um den Wechsel des amtlichen Verteidigers sei nur er persönlich, nicht aber Rechtsanwalt C._, der ihn in diesem Verfahren vertreten habe, zu einer Stellungnahme eingeladen worden. Das Obergericht hat dargelegt, dass und weshalb dem Beschwerdeführer daraus kein Nachteil erwuchs (E. 2.4). Damit setzt sich der Beschwerdeführer nicht sachgerecht auseinander, sondern wiederholt im Wesentlichen bloss den (zutreffenden) Vorwurf, dass Rechtsanwalt C._ nicht zur Stellungnahme eingeladen worden sei. Das genügt den Anforderungen an die Begründungspflicht nicht.
3.3. Das Obergericht hat im angefochtenen Entscheid (E. 3.2) einen (zweiten) Wechsel des amtlichen Verteidigers abgelehnt, weil der Beschwerdeführer nicht dargetan habe, dass das Vertrauensverhältnis zwischen ihm und Rechtsanwalt Harb objektiv stark gestört war und es keine Anzeichen feststellte, dass dieser ihn nicht effektiv verteidigt hätte. Es hat ihn zudem daraufhin gewiesen, dass es im pflichtgemässen Ermessen des Verteidigers liegt, wie er seine Aufgabe wahrnehmen will, welche Anträge sinnvollerweise zu stellen und welche Rechtsmittel zu ergreifen sind. Die pauschalen Vorwürfe an dessen Adresse, er habe "viele" Rechtsmittel und Beweisanträge nicht eingelegt bzw. gestellt, genügten daher nicht für den Nachweis, dass dieser seinen Pflichten nicht nachgekommen sei.
Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, ist nicht geeignet, diese zutreffenden Ausführungen des Obergerichts zu erschüttern. Dass der Verteidiger das erstinstanzliche Urteil erst dann mit ihm besprechen will, wenn es in begründeter Fassung vorliegt, ist ohne Weiteres nachvollziehbar und üblich, da es ohne Kenntnis der schriftlichen Begründung des Urteils gar nicht möglich ist, es auf allfällige Schwachstellen zu überprüfen und zu entscheiden, ob, in welchem Umfang und mit welcher Strategie es anzufechten ist. Der Beschwerdeführer macht zwar geltend, aufgrund einer "radikal geänderten" Beweislage hätte sich aufgedrängt, sofort ein Haftentlassungsgesuch zu stellen. Davon kann indessen keine Rede sein (vgl. hinten E. 4); die Beweislage hat sich nur insofern - und zwar zu seinen Ungunsten - geändert, als das Bezirksgericht diese als für einen Schuldspruch ausreichend beurteilte. Der Verteidiger hat seine Tätigkeit selbstredend auf die Fakten auszurichten, wie sie sich objektiv präsentieren und nicht darauf, wie sie der Beschwerdeführer aus seinem subjektiv verzerrten Gesichtswinkel sehen möchte. Und er hat seine Bemühungen auch auf das für die Führung seines Mandates notwendige Mass zu beschränken, ist mithin nicht gehalten, stets sofort allen Aufträgen, Weisungen, Wünschen, etc. des Beschwerdeführers nachzukommen, sofern dies den Rahmen der pflichtgemässen Wahrnehmung seines Mandates sprengt. Bereits das Obergericht hat den Beschwerdeführer zu Recht darauf hingewiesen, dass der amtliche Verteidiger keineswegs eine blosse Hilfsperson des Beschuldigten ist, die seine Anweisungen kritiklos zu vollziehen hat.
4.
Untersuchungs- und Sicherheitshaft kann unter anderem angeordnet werden, wenn ein dringender Tatverdacht in Bezug auf ein Verbrechen oder Vergehen sowie Flucht-, Kollusions- oder Wiederholungsgefahr besteht (<ref-law>). Nach der Auffassung des Obergerichts im angefochtenen Entscheid ist nebst dem allgemeinen Haftgrund des dringenden Tatverdachts Wiederholungsgefahr gegeben.
4.1. Der allgemeine Haftgrund ist offenkundig gegeben. Zum einen hat der Beschwerdeführer dessen Vorliegen in den Haftprüfungsverfahren vor seiner erstinstanzlichen Verurteilung gar nicht bestritten, und sowohl das Obergericht als auch das Bundesgericht sind von einer "erdrückenden Beweislage" ausgegangen (vgl. Urteil des Bundesgerichts 1B_19/2019 vom 4. Februar 2019 E. 2.4). Zum andern wurde der Beschwerdeführer erstinstanzlich verurteilt, womit von einem dringenden Tatverdacht auszugehen ist, sofern er keine konkreten Gründe vorbringt, die geeignet sind, den erstinstanzlichen Schuldspruch ernsthaft in Frage zu stellen. Solche Gründe bringt der Beschwerdeführer nicht vor. Seine unbelegte und wenig plausible Behauptung, sein Rechtsbeistand habe in früheren Haftprüfungsverfahren den dringenden Tatverdacht gegen seinen Willen und seine Anweisung anerkannt, genügt von vornherein nicht, den Tatverdacht in Frage zu stellen. Das Obergericht hat kein Bundesrecht verletzt, indem es das Vorliegen des allgemeinen Haftgrundes bejahte.
4.2. Wiederholungsgefahr im Sinne von <ref-law> liegt vor, "wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist und ernsthaft zu befürchten ist, dass sie durch schwere Verbrechen oder Vergehen die Sicherheit anderer erheblich gefährdet, nachdem sie bereits früher gleichartige Straftaten verübt hat". Die Verhütung weiterer schwerwiegender Delikte ist ein verfassungs- und grundrechtskonformer Massnahmenzweck: Art. 5 Ziff. 1 lit. c EMRK anerkennt ausdrücklich die Notwendigkeit, Beschuldigte im Sinne einer Spezialprävention an der Begehung schwerer strafbarer Handlungen zu hindern (<ref-ruling> E. 3.2 S. 85; <ref-ruling> E. 2.2 S. 72 mit Hinweisen).
Nach dem Grundsatzentscheid <ref-ruling> setzt die Annahme von Wiederholungsgefahr Verbrechen oder schwere Vergehen als Vortaten voraus; es müssen Verbrechen oder schwere Vergehen drohen, welche die Sicherheit anderer erheblich gefährden und die Tatwiederholung muss ernsthaft zu befürchten sein (E. 2.5). Drohungen können sowohl das Vortatenerfordernis erfüllen als auch die Anordnung von Präventivhaft begründen, da sie die Sicherheitslage einer Person erheblich beeinträchtigen können (E. 2.7). Massgebliche Kriterien bei der Beurteilung der Rückfallgefahr sind insbesondere die Häufigkeit und Intensität der untersuchten Delikte sowie die einschlägigen Vorstrafen. Bei dieser Bewertung sind allfällige Aggravationstendenzen, wie eine zunehmende Eskalation respektive Gewaltintensität oder eine raschere Kadenz der Taten, zu berücksichtigen. Zu würdigen sind des Weiteren die persönlichen Verhältnisse der beschuldigten Person, d.h. insbesondere ihre psychische Verfassung, ihre familiäre Verankerung, die Möglichkeiten einer Berufstätigkeit und ihre finanzielle Situation (E. 2.8 mit Hinweisen). Je schwerer die drohenden Taten sind und je höher die Gefährdung der Sicherheit anderer ist, desto geringere Anforderungen sind an die Rückfallgefahr zu stellen. Liegen die Tatschwere und die Sicherheitsrelevanz am oberen Ende der Skala, so ist die Messlatte zur Annahme einer rechtserheblichen Rückfallgefahr tiefer anzusetzen. In solchen Konstellationen eine sehr ungünstige Rückfallprognose zu verlangen, setze potenzielle Opfer einer nicht verantwortbaren Gefahr aus. Zugleich ist daran festzuhalten, dass der Haftgrund der Wiederholungsgefahr restriktiv zu handhaben ist. Hieraus folgt, dass eine negative, d.h. eine ungünstige Rückfallprognose zur Annahme von Wiederholungsgefahr unabdingbar ist.
4.3. Das Vorliegen von Wiederholungsgefahr wurde vom Bundesgericht bereits im Urteil 1B_19/2019 vom 4. Februar 2019 eingehend geprüft und bejaht (E. 2.5 f.). Das Obergericht hat unter Bezugnahme auf dieses Urteil und seine eigene frühere Beurteilung Wiederholungsgefahr wiederum bejaht mit der Begründung, der Beschwerdeführer habe nichts vorgebracht, was zu einer geänderten Beurteilung führen würde. Der Beschwerdeführer bringt auch in seiner Beschwerde ans Bundesgericht nichts vor, das gegen die Annahme von Wiederholungsgefahr spricht. Nach der bereits vor dem erstinstanzlichen Urteil bestehenden Verdachtslage ist er gegenüber seiner damaligen Lebensgefährtin zunehmend gewalttätig geworden, bis er sie dann Ende Oktober/Anfang November 2017 umbrachte. Der Beschwerdeführer bestreitet zwar die Übergriffe vor diesem Datum - diese Anschuldigungen würden auf unwahren, auf Hörensagen beruhenden Zeugenaussagen beruhen - und behauptet, es habe gar keine "Tat" gegeben, die er begangen haben könnte. Mit diesen Ausführungen vermag er nicht nachzuweisen, dass die Feststellung des erstinstanzlichen Strafgerichts, wonach er gegenüber seiner ehemaligen Partnerin bereits vor dem 30. Oktober 2017 mehrmals tätlich geworden sei, offensichtlich falsch ist. Angesichts der unzweideutigen gerichtsmedizinischen Beurteilung geradezu trölerisch ist die Behauptung, es habe gar keine "Tat" gegeben, seine Lebensgefährtin sei mithin gar nicht einem Tötungsdelikt zum Opfer gefallen. Zusammenfassend vermag der Beschwerdeführer somit nicht darzutun, dass keine Wiederholungsgefahr mehr besteht.
4.4. Besteht somit nebst dem dringenden Tatverdacht Wiederholungsgefahr, sind die Haftvoraussetzungen grundsätzlich erfüllt. Die bisher erstandene Haft reicht in zeitlicher Hinsicht bei weitem noch nicht an die für den Fall einer Bestätigung des erstinstanzlichen Schuldspruchs zu erwartenden Strafe. Mildere Ersatzmassnahmen, die den Haftzweck - die Bannung der Wiederholungsgefahr - sicherstellen könnten, sind nicht ersichtlich. Somit steht der Fortführung der Haft auch unter Verhältnismässigkeitsgesichtpunkten nichts entgegen.
5.
Damit sind beide Beschwerden abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang der Verfahren wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Er hat zwar in beiden Verfahren Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege gestellt; diese sind indessen abzuweisen, da die Beschwerden aussichtslos waren (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerden 1B_37/2020 und 1B_87/2020 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege werden abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich, dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, und Ivo Harb schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. März 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Störi