Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich führt gegen A._ ein Strafverfahren wegen Menschenhandels etc. A._ befindet sich seit seiner Verhaftung am 28. Februar 2017 ununterbrochen in Haft. Der Staatsanwalt für amtliche Mandate der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich bestellte am 28. Februar 2017 Rechtsanwalt Fraefel als amtlichen Verteidiger des Angeschuldigten. Auf Antrag von A._ entliess der Staatsanwalt mit Verfügung vom 15. Juni 2017 Rechtsanwalt Christian Fraefel als amtlichen Verteidiger und bestellte Rechtsanwalt David Gibor als neuen amtlichen Verteidiger. Nachdem A._ erneut ein Gesuch um Wechsel der amtlichen Verteidigung gestellt hatte, wies der Staatsanwalt für amtliche Mandate das Gesuch mit Verfügung vom 27. Juni 2017 ab. Dagegen erhob A._ am 28. Juni 2017 Beschwerde und stellte den Antrag, es sei Rechtsanwalt Forrer als amtlicher Verteidiger zu bestellen. Tags darauf stellte er bei der Staatsanwaltschaft erneut ein Gesuch um Wechsel der amtlichen Verteidigung. Der Staatsanwalt für amtliche Mandate wies das Gesuch mit Verfügung vom 13. Juli 2017 ab. A._ erhob auch dagegen Beschwerde mit dem Antrag, es sei ihm Rechtsanwalt Landshut als neuer amtlicher Verteidiger zu bestellen. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich wies die Beschwerde mit Beschluss vom 28. August 2017 ab. A._ erhob gegen den Beschluss Beschwerde in Strafsachen, auf welche das Bundesgericht mit Urteil vom 20. September 2017 nicht eintrat (Verfahren 1B_399/2017).
Bereits am 10. September 2017 ersuchte A._ abermals um Wechsel der amtlichen Verteidigung. Der Staatsanwalt für amtliche Mandate trat auf das Gesuch mit Verfügung vom 18. September 2017 nicht ein. Dagegen erhob A._ am 24. September 2017 Beschwerde, welche die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich mit Beschluss vom 18. Oktober 2017 abwies. Auf eine dagegen von A._ erhobene Beschwerde in Strafsachen trat das Bundesgericht mit Urteil vom 14. November 2017 nicht ein (Verfahren 1B_481/2017). Am 13. Oktober 2017 verfügte der Staatsanwalt für amtliche Mandate erneut die Abweisung eines Wechselgesuchs. Mit weiteren Schreiben vom 30. Oktober 2017 und vom 14. November 2017 teilte der Staatsanwalt für amtliche Mandate A._ mit, dass seine erneuten Wechselgesuche angesichts der unveränderten Sachlage sowie einer hängigen Beschwerde beim Bundesgericht nicht behandelt würden. Dagegen erhob A._ Beschwerde mit dem Antrag, es sei ihm Rechtsanwalt Sutter als amtlicher Verteidiger zu bestellen. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich wies die Beschwerde mit Beschluss vom 6. Dezember 2017 ab, soweit sie darauf eintrat. Auf weitere ähnliche Wechselgesuche trat die Staatsanwaltschaft für amtliche Mandate jeweils nicht ein. Im Folgenden ersuchte A._ unter anderem auch um Bestellung von Rechtsanwalt Fraefel als amtlichen Verteidiger. Auch auf dieses Gesuch trat die Staatsanwaltschaft für amtliche Mandate nicht ein. Mit Schreiben vom 17. Juli 2018 teilte der Staatsanwalt für amtliche Mandate A._ auf seine abermaligen Gesuche um Beigabe eines zweiten amtlichen Verteidigers mit, dass hierauf kein Anspruch bestehe und überdies kein Grund für einen Wechsel des aktuellen amtlichen Verteidigers vorliege. Am 13. August 2018 ersuchte Rechtsanwalt Gfeller im Namen von A._ um Bestellung von ihm als neuen amtlichen Verteidiger. Der Staatsanwalt für amtliche Mandate wies das Gesuch mit Verfügung vom 31. August 2018 ab. Eine dagegen erhobene Beschwerde wies die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich mit Beschluss vom 8. Oktober 2018 ab. A._ erhob dagegen Beschwerde in Strafsachen, auf welche das Bundesgericht mit Urteil vom 21. Dezember 2018 nicht eintrat (Verfahren 1B_515/2018).
A._ ersuchte mit Schreiben vom 12. und 25. November 2018 sowie vom 9., 19., 23. und 30. Januar 2019 erneut um Wechsel der amtlichen Verteidigung. Der Staatsanwalt für amtliche Mandate trat mit Verfügung vom 4. Februar 2019 auf die Gesuche nicht ein. Gegen diese Verfügung erhob A._ mit Eingabe vom 20. Februar 2019 Beschwerde und stellte das Gesuch, es sei ihm Rechtsanwalt Diego Gfeller als amtlicher Verteidiger zu bestellen. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich wies die Beschwerde mit Beschluss vom 26. April 2019 ab. Zur Begründung führte sie zusammenfassend aus, dass ein Gesuch um Wechsel der amtlichen Verteidigung nicht dazu diene, Gerichtsentscheide immer wieder in Frage zu stellen. Eine Gutheissung eines erneuten Gesuchs setze voraus, dass neue Umstände geltend gemacht würden, die im früheren Entscheid noch nicht berücksichtigt werden konnten und die zur Folge haben, dass der Wechsel notwendig wird. In seiner Beschwerdeschrift habe der Beschwerdeführer keine neuen Umstände vorgebracht, die im früheren Entscheid nicht berücksichtigt werden konnten und die zur Folge hätten, dass ein Wechsel der amtlichen Verteidigung notwendig würde. Bereits im letzten Entscheid sei der Beschwerdeführer erneut darauf hingewiesen worden, dass sein Verhalten (Herabwürdigung seines amtlichen Verteidigers durch ehrverletzende Äusserungen und Versuch der Blockierung der Verteidigung und des ordentlichen Fortgangs des Verfahrens durch laufend neue Eingaben zur gleichen Thematik) rechtsmissbräuchlich sei. Eine ungenügende Verteidigung ergebe sich weder aus den Akten noch aus den Vorbringen des Beschwerdeführers.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 18. Mai 2019 (Postaufgabe 28. Mai 2019) Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 26. April 2019. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer schildert in weitschweifiger Weise das Verhältnis zu seinem amtlichen Verteidiger und dessen Arbeit aus seiner Sicht. Mit der Begründung der III. Strafkammer, die zur Abweisung seiner Beschwerde führte, setzt er sich indessen nicht rechtsgenüglich auseinander. Aus seiner Beschwerde ergibt sich nicht nachvollziehbar, welche in der Beschwerde an die III. Strafkammer geltend gemachten neuen Umstände im angefochtenen Beschluss in rechtswidriger Weise nicht berücksichtigt worden sind. Mit seinen nicht sachbezogenen Ausführungen vermag der Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer bzw. deren Beschluss selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (<ref-law>). Indessen ist davon abzusehen, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich, Rechtsanwalt David Gibor und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Juni 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli