Faits :
A.
C._ est décédée le 14 mai 2017 à Thônex (Genève). Elle a laissé pour seuls héritiers ses fils A._ et B._.
B.
B.a. Par requête du 15 novembre 2017, A._ a sollicité la désignation d'un représentant de la communauté héréditaire, au vu de la relation difficile avec son frère. B._ s'est déclaré favorable à cette requête et a proposé que soit désigné le notaire José-Miguel Rubido. A._ a répondu ne pas s'opposer à la désignation de ce notaire, indiquant souhaiter que celui-ci " ne sous-traite pas tout ou partie de son mandat à la faveur d'une des parties héritières ou de son représentant exclusif ".
Par décision du 28 décembre 2017, la Justice de paix du canton de Genève (ci-après: Justice de paix) a désigné le notaire Rubido aux fonctions de représentant de la communauté héréditaire de feu C._.
B.b. Par courrier du 4 mai 2018 adressé à la Justice de paix, le représentant de l'hoirie a exposé que la défunte était titulaire de comptes bancaires non déclarés en Nouvelle-Zélande, qu'il fallait régulariser la situation à Genève et obtenir la libération de ces fonds. Pour ce faire, B._ avait déjà mandaté l'avocat Grégoire Uldry, lequel s'était adressé à un confrère en Nouvelle-Zélande. A._ n'avait pas été consulté à l'époque. Cependant, ces conseils agissaient dans l'intérêt de la succession, et leur travail étant déjà bien avancé, une note d'honoraires pour le travail d'ores et déjà effectué ainsi qu'une demande de provisions pour le travail à effectuer avaient été sollicitées. Les deux héritiers avaient accepté les demandes de provisions mais A._ refusait que soient acquittées les notes d'honoraires concernant le travail déjà effectué. Le représentant de l'hoirie a ainsi requis de la Justice de paix l'autorisation de payer lesdites notes d'honoraires par le débit des comptes de la défunte, ce qui a été accepté par décision du 7 mai 2018 de la Justice de paix qui a apposé son timbre humide sur le courrier. Cette décision n'a été communiquée qu'au représentant de l'hoirie.
B.c. Par courrier du 28 mai 2018, le représentant de l'hoirie a requis de la Justice de paix l'autorisation de recevoir l'intégralité des actions d'une société immobilière, dont la défunte était titulaire de son vivant et de les déposer dans le coffre de son Etude, en raison d'un risque fiscal inhérent au fait qu'une proportion desdites actions excédant la part de A._ dans la succession était en mains de celui-ci. Par décision du 29 mai 2018, la Justice de paix a accepté par apposition de son timbre humide sur ce courrier. Cette décision a été communiquée au représentant de l'hoirie et aux deux héritiers.
B.d. Par arrêt du 28 août 2018, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a rejeté l'appel, en tant que recevable, formé par A._ à l'encontre de ces deux décisions.
B.e. Par courrier du 5 mars 2019, le notaire Rubido a sollicité de la Justice de paix d'être relevé de ses fonctions dans la mesure où les deux héritiers s'étaient accordés sur le fait qu'ils n'avaient plus besoin d'un représentant de l'hoirie et qu'ils souhaitaient mandater la notaire Liesel Glaser Keller pour régler la suite de la succession de leur mère.
B.f. Par décision du 11 mars 2019, la Justice de paix a relevé le notaire Rubido de ses fonctions.
C.
C.a. Par courrier du 5 juillet 2019, le conseil de B._ a interpellé la Justice de paix afin qu'elle désigne un représentant de la communauté héréditaire conformément à l'<ref-law>. Mandatée communément par les deux héritiers, la notaire Glaser Keller avait établi un avant-projet de convention de partage qui n'avait pas abouti, A._ refusant de le signer. Ce dernier refusait également de donner suite à la requête d'UBS SA qui sollicitait sa signature pour le renouvellement des hypothèques grevant les immeubles de la succession. L'avocat néo-zélandais attendait également de recevoir une instruction signée des deux héritiers afin de transférer les fonds qu'il avait récupérés en Nouvelle-Zélande.
C.b. Par avis du 10 juillet 2019, la Justice de paix a cité les parties à comparaître à une audience appointée le 16 août 2019.
C.c. Par courrier du 31 juillet 2019, A._ a sollicité la récusation de la juge C._. Il lui reprochait en substance d'avoir autorisé le représentant de l'hoirie à déléguer une partie importante de ses tâches à l'avocat Grégoire Uldry, alors qu'elle ne pouvait ignorer qu'il s'était formellement opposé à une telle délégation. Il lui faisait également grief de l'avoir privé de ses droits de procédure en ne communiquant pas à dessein la décision y relative.
Par ordonnance du 1er novembre 2019, la Justice de paix a, dans la mesure de sa recevabilité, rejeté la demande de récusation.
C.d. Par acte du 6 décembre 2019 A._ a recouru auprès de la Chambre de surveillance de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: Chambre de surveillance) contre cette ordonnance. Il a conclu à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité de première instance pour que celle-ci fasse droit à sa demande de faire citer à comparaître le notaire Rubido.
Par courrier du 6 janvier 2020, la présidente de l'autorité de première instance a indiqué à la Chambre de surveillance que, dans la mesure où les fonctions de la juge C._ avaient pris fin le 30 novembre 2019, le recours lui semblait dépourvu d'objet.
Par décision du 20 mai 2020, la Chambre de surveillance a rejeté le recours.
D.
D.a. Par acte posté le 2 juillet 2020, A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre la décision du 20 mai 2020. Il prend les conclusions suivantes:
" 1. Déclarer le présent recours recevable.
2. Admettre que le présent recours soulève une question juridique de principe au sens de l'article 20, al. 2 LTF;
3. Joindre le présent recours à la demande de révision déposée ce jour et portant sur l'arrêt 5A_6/2020;
4. Accorder l'effet suspensif audit recours en application de l'article 103 LTF;
5. Accorder au recourant l'assistance judiciaire à teneur de l'article 64 LTF;
6. Annuler la décision rendue par la Cour de justice de Genève le 20 mai 2020;
7. Admettre le présent recours et prononcer la récusation de Mme C._;
8. Allouer au recourant conformément à l'article 67 LTF le remboursement des frais judiciaires perçus par l'autorité cantonale de recours et s'élevant à CHF 400,--;
9. Allouer au recourant conformément à l'article 68 LTF une indemnité pour les dépens cumulés de la cause estimés à CHF 5'000,-- (dont CHF 3'000,-- relatifs au recours cantonal). "
Dans l'hypothèse où son recours en matière civile devait ne pas être recevable, le recourant indique qu'il " déclare par avance déposer également un recours constitutionnel subsidiaire au sens des articles 113 et suivants LTF ".
D.b. Par ordonnance présidentielle du 8 juillet 2020, tant la requête de jonction avec la cause 5F_22/2020 (demande de révision de l'arrêt 5A_6/2020) que celle d'effet suspensif ont été rejetées.
D.c. Par courrier du 15 juillet 2020, A._ a requis, en vertu de l'<ref-law>, l'annulation de l'ordonnance du 8 juillet 2020.
Par courrier du 16 juillet 2020, la Juge présidant la IIe Cour de droit civil a informé A._ que par arrêt du 13 juillet 2020 (5F_22/2020), sa demande de révision de l'arrêt 5A_6/2020 avait été rejetée et celle tendant à la récusation des juges fédéraux ayant statué dans ladite cause déclarée irrecevable. Sa demande du 15 juillet 2020 n'avait dès lors plus d'objet.
D.d. Des déterminations sur le recours n'ont pas été requises.

Considérant en droit :
1.
1.1. La décision de la Chambre de surveillance est une décision incidente relative à une demande de récusation; elle peut être attaquée indépendamment de la décision finale en vertu de l'<ref-law> (arrêt 5A_843/2019 du 8 avril 2020 consid. 1 et les références). La voie de droit contre une décision incidente suit celle ouverte contre la décision sur le fond. En l'espèce, le juge dont la récusation est requise était en charge d'une procédure en désignation d'un représentant de la communauté héréditaire (<ref-law>), à savoir une affaire de nature pécuniaire sujette au recours en matière civile (<ref-law>; arrêts 5A_979/2017 du 21 mars 2018 consid. 1.1; 5A_267/2012 du 21 novembre 2012 consid. 1). Cette voie est donc également ouverte contre l'arrêt querellé, pour autant que la valeur litigieuse minimale de l'<ref-law> soit atteinte. Le point de savoir si tel est le cas en l'espèce peut rester indécis, l'incertitude quant à la valeur litigieuse restant sans conséquence. En effet, le recours en matière civile et le recours constitutionnel subsidiaire connaissent une limitation identique des griefs pouvant être invoqués contre une décision de désignation d'un représentant de la communauté héréditaire, dès lors qu'il s'agit d'une mesure provisionnelle au sens de l'<ref-law> (cf. infra consid. 2.1; arrêts 5A_781/2017 du 20 décembre 2017 consid. 1.1; 5A_787/2008 du 22 janvier 2009 consid. 1.1).
Le présent recours a pour le surplus été interjeté en temps utile (<ref-law>) et dans la forme requise (<ref-law>) par une partie qui a succombé devant l'autorité précédente et a un intérêt à la modification ou à l'annulation de l'arrêt entrepris (<ref-law>), contre une décision rendue sur recours en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (<ref-law>).
1.2. Est d'emblée irrecevable la conclusion tendant à ce qu'il soit admis que le recours soulève une question juridique de principe au sens de l'<ref-law> au motif qu'il n'existerait pas de " références jurisprudentielles ou doctrinales traitant spécifiquement " du problème de la perte d'objet d'une demande de récusation ensuite du départ de la magistrature du juge visé, ce qui " nécessiterait (...) une Cour fédérale composée de cinq juges ". Comme déjà rappelé au recourant (arrêt 5F_22/2020 du 13 juillet 2020 consid. 6.1), la composition de la section du tribunal amenée à statuer est déterminée en fonction d'une appréciation du fond relevant de la seule compétence du Tribunal fédéral.
2.
2.1. Dès lors que l'arrêt attaqué s'inscrit dans le cadre d'une procédure en désignation d'un représentant de la communauté héréditaire, soit de mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law>, le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral est limité à l'examen des griefs tirés de la violation de droits constitutionnels (arrêts 5A_979/2017 précité consid. 1.2; 5A_796/2014 du 3 mars 2015 consid. 2; 5A_241/2014 du 28 mai 2014 consid. 1.2; 5A_267/2012 précité consid. 2). Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés par le recourant (" principe d'allégation "; <ref-law>), c'est-à-dire s'ils ont été expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1.3 et les références). Par ailleurs, le grief doit être développé dans le recours même, un renvoi à d'autres écritures ou à des pièces n'étant pas admissible (<ref-ruling> consid. 3.2). Il doit exister un lien entre la motivation du recours et la décision attaquée. Le recourant doit se déterminer par rapport aux considérants de l'arrêt entrepris; il ne peut se contenter de reprendre presque mot pour mot l'argumentation formée devant l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 2.1 et 2.3).
En application de ces principes, la Cour de céans ne tiendra pas compte, en l'espèce, des nombreuses considérations formulées par le recourant sur un mode purement appellatoire, ni de celles fondées, à tort, sur une " violation du droit fédéral au sens de l'<ref-law> ". Elle se bornera, bien plutôt, à rechercher si les seuls griefs articulés en lien avec la violation de droits constitutionnels sont recevables au regard des exigences susrappelées et, le cas échéant, s'ils sont fondés (cf. infra consid. 3).
Peut ainsi d'emblée être écartée la critique que le recourant formule sous couvert de l'existence d'une question juridique de principe pour s'en prendre à l'opinion de la Chambre de surveillance selon laquelle la demande de récusation a perdu son objet à compter du 30 novembre 2019, date du départ à la retraite de la juge C._. Les craintes du recourant qu' " un jour ou l'autre il puisse être à nouveau soumis à [l']autorité [de ladite juge] " apparaissent quoi qu'il en soit difficilement compréhensibles dans la mesure où l'intéressée a pris sa retraite et n'a pas démissionné dans le but de " mettre en échec " la procédure de récusation ouverte à son encontre. Quant au prétendu risque de réitération des actes que le recourant dénonce, on peine à en saisir la pertinence dans le présent contexte, dès lors qu'il ne pourrait viser que la future activité du juge nouvellement en charge de la procédure.
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que s'il démontre la violation de droits constitutionnels, conformément au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1). Le Tribunal fédéral ne corrige les constatations de fait que si elles sont arbitraires (art. 9 Cst.) et ont une influence sur le résultat de la décision (<ref-ruling> consid. 1.2.2).
En l'espèce, citant derechef l'art. 95, ainsi que l'<ref-law>, le recourant se méprend manifestement sur la nature du litige et omet de soulever un grief d'ordre constitutionnel, dûment motivé. Sa critique des faits retenus par la Chambre de surveillance, au demeurant purement appellatoire, est partant irrecevable.
3.
3.1. La Chambre de surveillance a rappelé qu'aux termes de sa demande de récusation du 31 juillet 2019, le recourant reprochait à la juge de paix d'avoir manqué d'impartialité en autorisant le notaire, qu'elle venait de nommer représentant de l'hoirie, à déléguer une partie importante de ses tâches à l'avocat Uldry, malgré son opposition liée au conflit d'intérêts existant - ledit avocat étant celui de son frère - et sans décision formelle. Or, le recourant avait formé recours le 9 juin 2018 contre la décision de la Justice de paix du 7 mai 2018 autorisant le représentant de l'hoirie à payer la note d'honoraires de l'avocat Uldry et à lui verser une provision pour le travail à venir, de sorte qu'il savait, dès cette date, que la magistrate concernée avait autorisé une délégation du notaire en faveur dudit avocat, dont il connaissait le nom et savait qu'il était l'avocat de son frère. Même si l'on devait admettre que le recourant, comme il le soutenait, n'avait appris que le 12 décembre 2018 lors d'un échange de courriels avec ledit notaire l'existence de cette délégation, il aurait dû solliciter la récusation de la magistrate dans les jours ayant suivi la connaissance de ces faits, soit au plus tard dans le courant du mois de décembre 2018, s'il estimait qu'un motif de récusation était rempli. Ne l'ayant pas fait, il n'était pas fondé, le 31 juillet 2019, à solliciter la récusation de la magistrate pour ce motif, étant précisé qu'il n'avait pas non plus sollicité dans les dix jours de la connaissance des faits l'annulation des actes de procédure en découlant, ni la répétition de ces derniers. En conséquence, c'était à bon droit que l'autorité précédente avait rejeté la requête de récusation.
3.2. Invoquant une violation des art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH, ainsi qu'une application arbitraire (art. 9 Cst. et 17 Cst./GE) de l'art. 47 al. 1 let. f CPC, le recourant revient largement sur les motifs qui justifieraient selon lui la récusation de la juge C._. Ces considérations - au demeurant fondées sur des faits ne résultant pas de l'arrêt attaqué - sont toutefois sans pertinence, dès lors que la décision de première instance a été confirmée par la Chambre de surveillance au seul motif que la demande de récusation était tardive. A cet égard, force est de constater que le recourant ne soulève aucun grief d'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'application des art. 49 al. 1 et 51 al. 1 CPC, qui imposent à la partie qui entend obtenir la récusation d'un magistrat de déposer une demande au tribunal aussitôt qu'elle a eu connaissance du motif de récusation et, s'il y a lieu, réclamer dans les dix jours de cette connaissance l'annulation des actes de procédure auxquels le juge récusé a pris part. La recevabilité du moyen apparaît ainsi douteuse. Quoi qu'il en soit, les explications que le recourant propose pour justifier qu'il n'était pas en mesure de demander la récusation de la juge C._ à la date où il soutient avoir eu connaissance de l'existence de la délégation qu'il conteste, soit le 12 décembre 2018, s'épuisent en des considérations appellatoires impropres à démontrer l'arbitraire du raisonnement subsidiaire des juges cantonaux. Alors que le recourant admet que la " révélation en décembre 2018 de l'existence d'une autorisation introuvable devenait concrètement un réel motif de récusation " et que le mandat du notaire Rubido n'a pris fin que le 11 mars 2019, on ne voit pas en quoi les motifs qu'il avance permettraient de considérer qu'un délai d'attente de plus de sept mois pour solliciter la récusation de la juge concernée respecte les réquisits de l'<ref-law>. Comme l'a correctement rappelé la Chambre de surveillance, si la loi ne prévoit aucun délai particulier, il est admis que la récusation doit être formée dans les jours qui suivent la connaissance de la cause de la récusation (cf. arrêts 4A_172/2019 du 4 juin 2019 consid. 4.1.3 et les arrêts cités; 1B_277/2008 du 13 novembre 2008 consid. 2.3 in fine; TAPPY, in Commentaire romand, CPC, 2ème éd. 2019, n° 12 ad <ref-law>; AUBRY GIRARDIN, in Commentaire de la LTF, 2ème éd. 2014, n° 11 ad <ref-law>).
Autant que recevable, la critique est infondée.
4.
En définitive, le recours est rejeté dans la (faible) mesure de sa recevabilité. Le recours étant d'emblée voué à l'échec, la requête d'assistance judiciaire ne saurait être agréée (<ref-law>) et l'intéressé supportera les frais de la procédure (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant du canton de Genève et à la Chambre de surveillance de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 29 septembre 2020
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Hildbrand