Sachverhalt:
A.
A._ (Vermieterin, Beschwerdeführerin) hatte ihre 2 1⁄2 -Zimmerwohnung an der Strasse X._ in U._ an B._ (Mieter, Beschwerdegegner) vermietet. Am 23. Juli 2012 kündigte sie den Mietvertrag auf den 31. März 2013. Der Mieter focht die Kündigung am 17. August 2012 an.
Anlässlich der Schlichtungsverhandlung schlossen die Parteien einen Vergleich, indem sie unter anderem festhielten, dass die Kündigung vom 23. Juli 2012 gültig sei, das Mietverhältnis letztmals bis zum 31. März 2016 erstreckt werde und der Mieter berechtigt sei, mit einer einmonatigen Frist das Mietverhältnis auf Ende jeden Monats aufzulösen.
Mit nicht unterzeichnetem Schreiben vom 26. September 2014 kündigte der Mieter das erstreckte Mietverhältnis auf den 31. Oktober 2014. Die Vermieterin bestätigte den Erhalt der Kündigung mit Schreiben vom 2., 14. und 30. Oktober 2014 und forderte vom Mieter die Behebung angeblicher Mängel am Mietobjekt. Die Wohnungs- und Schlüsselübergabe werde erst nach entsprechender Mängelbehebung stattfinden. Mit Schreiben vom 27. Oktober 2014 kündigte der Mieter der Vermieterin an, ihr die Wohnung bzw. die Schlüssel zur Wohnung am 31. Oktober 2014 zu übergeben. Die Vermieterin bestätigte den Erhalt dieses Schreibens, erschien jedoch nicht an den angekündigten Übergabetermin. Der Mieter zog a uf diesen Termin aus der Wohnung aus und sandte der Vermieterin die Schlüssel mit eingeschriebener Postsendung zu. Die Vermieterin nahm diese Sendung mit der handschriftlichen Bemerkung "Schlüssel Annahme verweigert" nicht entgegen. Nachdem die Vermieterin die ihrer Ansicht nach für eine erneute Vermietung notwendigen Arbeiten am Mietobjekt vornehmen liess, vermietete sie die Wohnung per 1. März 2015 neu. In der Folge forderte sie den Mieter auf, die durch die vorgenommenen Arbeiten entstandenen Kosten von Fr. 4'982.35 zu übernehmen sowie den entgangenen Mietzins für die Monate November 2014 bis Februar 2015 in der Höhe von Fr. 5'340.-- zu ersetzen. Der Mieter kam der Aufforderung, insgesamt Fr. 10'322.35 zu zahlen, nicht nach.
B.
Mit Eingabe vom 21. Juni 2016 reichte die Vermieterin Klage beim Mietgericht des Bezirksgerichts Meilen ein und stellte im Wesentlichen das Rechtsbegehren, der Mieter sei zu verpflichten, ihr Schadenersatz in der Höhe von Fr. 10'322.35 zuzüglich Zins zu bezahlen.
Das Mietgericht des Bezirksgerichts Meilen wies die Klage mit Urteil vom 30. Mai 2017 ab. Es begründete das Urteil zusammengefasst damit, dass die Vermieterin die formungültige Kündigung akzeptiert habe bzw. sich rechtsmissbräuchlich verhalte, wenn sie sich nunmehr auf den Formmangel berufe. Sodann sei es einerseits nicht möglich, Mängel vor Rückgabe des Mietobjekts zu rügen. Andererseits sei die nach Rückgabe des Mietobjekts erhobene Mängelrüge verspätet erfolgt. Deshalb schulde der Mieter weder Schadenersatz für den entgangenen Mietzins noch für die angeblich notwendig gewordenen Mängelbehebungen.
Die gegen den Entscheid des Mietgerichts des Bezirksgerichts Meilen erhobene Berufung wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 4. Oktober 2017 ab.
C.
Die Beschwerdeführerin stellt mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 13. November 2017 im Wesentlichen die Anträge, (1.) es sei das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 4. Oktober 2017 aufzuheben, (2.) es sei der Sachverhalt zu korrigieren bzw. zu ergänzen und es sei neu zu entscheiden, (3.) eventuell sei das Obergericht anzuweisen, das vereinfachte Verfahren mit einer Neuerstellung des Sachverhalts erneut durchzuführen bzw. zu wiederholen und neu zu entscheiden, (4.) es sei festzustellen, dass die Kündigung des Beklagten vom 26. September 2014 nichtig sei, (5.) im Falle der Rückweisung an das Obergericht sei dieses anzuweisen, auf die klägerische Schadenersatzforderung einzutreten und diese gutzuheissen.
Der Beschwerdegegner hat sich zum Gesuch um aufschiebende Wirkung vernehmen lassen. Auf die Einholung von Vernehmlassungen zur Hauptsache wurde verzichtet.
D.
Die Präsidentin der ersten zivilrechtlichen Abteilung wies mit Verfügung vom 15. Dezember 2017 das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung ab.
Mit Eingaben vom 6. und 7. Januar 2018 beanstandet die Beschwerdeführerin die Zuständigkeit der ersten zivilrechtlichen Abteilung zur Behandlung der subsidiären Verfassungsbeschwerde.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen).
1.1. Angefochten ist der Endentscheid (<ref-law>) eines oberen kantonalen Gerichts in seiner Eigenschaft als Rechtsmittelinstanz (Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG). Der für mietrechtliche Streitigkeiten erforderliche Streitwert für die Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>) ist nicht erreicht. Somit ist die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegen das Urteil einer letzten kantonalen Instanz das zulässige Rechtsmittel (<ref-law>). Die Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin sind im kantonalen Verfahren nicht geschützt worden (<ref-law>). Auf die form- und fristgerecht eingereichte subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist - vorbehältlich zulässiger Anträge und einer hinreichenden Begründung (Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>) - einzutreten.
1.2. Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin ändert die Zulässigkeit der subsidiären Verfassungsbeschwerde mangels Erreichens des Streitwerts für die Beschwerde in Zivilsachen nichts daran, dass die erste zivilrechtliche Abteilung für die schuldrechtliche Streitigkeit zuständig ist (<ref-law> i.V.m. Art. 31 Abs. 1 lit. a des Reglements für das Bundesgericht vom 20. November 2006 [BGerR; SR 173.110.131]).
1.3. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Diesbezüglich gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht prüft die Verletzung verfassungsmässiger Rechte nur, wenn diese Rüge gemäss den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law> ausdrücklich vorgebracht und klar und detailliert begründet wird (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im vorinstanzlichen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89; <ref-ruling> E. 2a S. 400; je mit Hinweisen).
2.
2.1. Die Beschwerdeführerin rügt vorab, die Vorinstanz habe mehrfach <ref-law> verletzt, da sie wiederholt eine formelle Rechtsverweigerung begangen habe.
2.1.1. Die Beschwerdeführerin führt zur Begründung lediglich aus, die Vorinstanz sei weder auf ihr Begehren, die Kündigung des Beschwerdegegners für ungültig zu erklären noch auf ihre Schadenersatzforderung bezüglich entgangenen Mietzinses eingetreten.
Aus dieser rechtsungenüglichen Begründung erhellt nicht, worin die Beschwerdeführerin ein Nichteintreten sieht und inwiefern die Vorinstanz eine formelle Rechtsverweigerung begangen haben soll. Die Vorinstanz hat die Rechtsbegehren vielmehr jeweils in der Sache behandelt. So führte die Vorinstanz in Bezug auf die Kündigungserklärung aus, weshalb sie das nachträgliche Berufen der Beschwerdeführerin auf den Formmangel als widersprüchliches und damit rechtsmissbräuchliches Verhalten betrachte. Betreffend den geforderten Schadenersatz aufgrund des entgangenen Mietzinses erwog die Vorinstanz, der Mieter habe die verspätete Rückgabe des Mietobjekts nicht zu vertreten und habe die Mietsache nicht weiter gebraucht, womit er weder einen Mietzins über den Rückgabetermin hinaus noch Schadenersatz aus verspäteter Rückgabe schulde.
2.1.2. Soweit die Beschwerdeführerin schliesslich in Bezug auf die Behandlung ihrer Schadenersatzforderung aufgrund vorgenommener Mängelbehebung ebenfalls eine formelle Rechtsverweigerung (<ref-law>) rügt, legt sie mit keinem Wort dar und es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern der Vorinstanz Rechtsverweigerung vorzuwerfen sein soll, wenn sie den Anspruch auf Ersatz der Kosten der Mängelbehebung mangels rechtzeitiger Rüge als verwirkt erachtete.
2.2. Die Beschwerdeführerin rügt in diesem Zusammenhang ausserdem, die Vorinstanz habe unter Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) nicht rechtsgenüglich begründet, weshalb sie die Schadenersatzansprüche betreffend die erwachsenen Kosten der Mängelbehebung als verwirkt betrachtete.
Nach konstanter Rechtsprechung zu <ref-law> kann sich das Gericht auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss jedoch so abgefasst sein, dass sich die Betroffenen über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen können (<ref-ruling> E. 3.2.4 S. 41; <ref-ruling> E. 3.2.1; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; je mit Hinweisen). Die Vorinstanz hat über Seiten hinweg begründet, weshalb die Mängel als verspätet gerügt zu gelten hätten, was zur Verwirkung der Mängelrüge geführt habe. Damit ist die Vorinstanz ihrer Begründungspflicht nachgekommen.
3.
3.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann davon nur abweichen, wenn die Sachverhaltsfeststellung unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kam (Art. 118 Abs. 2 und <ref-law>). Diesfalls ist klar und detailliert darzutun, inwieweit der Sachverhalt verfassungswidrig, insbesondere willkürlich festgestellt worden sein soll und inwiefern eine Korrektur für den Ausgang des Verfahrens rechtserheblich sein soll (BGE <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 7.1, 585 E. 4.1; je mit Hinweisen). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18; <ref-ruling> E. 1.3, 393 E. 7.1).
3.2. Die Beschwerdeführerin stellt dem vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt über weite Strecken ihre eigene Darstellung gegenüber und behauptet an verschiedenen Stellen eine offensichtlich falsche, eine willkürliche oder eine wahrheitswidrige Feststellung des Sachverhalts. Indessen zeigt sie nicht im Einzelnen auf, worin sie eine willkürliche Feststellung sieht und inwiefern eine Korrektur für den Ausgang des Verfahrens rechtserheblich sein sollte. Die Beschwerdeführerin kann mit diesen Ausführungen nicht gehört werden.
Insoweit die Beschwerdeführerin sodann die Feststellungen des Sachverhalts durch das Mietgericht beanstandet sowie hierbei angeblich begangene Verletzungen von Bundesrecht rügt, verkennt sie, dass der Entscheid des Obergerichts Anfechtungsobjekt bildet und das Bundesgericht seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde legt (<ref-law>).
3.3. Die Beschwerdeführerin rügt zudem mehrere willkürliche Verletzungen von Verfahrensrecht (Art. 154, Art. 247 und <ref-law>) bei der Feststellung des Sachverhalts.
3.3.1. Die Vorinstanz grenzte die unbeschränkte Untersuchungsmaxime, nach welcher der Sachverhalt von Amtes wegen zu erforschen ist (<ref-law>), von der beschränkten/sozialen Untersuchungsmaxime ab, gemäss welcher der Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen ist (<ref-law>). In der Folge wies die Vorinstanz die Rüge der angeblich rechtsungenüglich ausgeübten Fragepflicht durch das Mietgericht unter anderem mit der Begründung ab, es läge entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin auch im Rahmen der sozialen Untersuchungsmaxime nicht einzig am Gericht, den Sachverhalt zu untersuchen.
Der Beschwerdeführerin ist insoweit zu folgen als sie einwendet, die Fragepflicht des Gerichts im Rahmen der Untersuchungsmaxime gehe weiter als die allgemeine Fragepflicht nach <ref-law>. Entgegen ihrem Standpunkt hat die Vorinstanz indessen zutreffend geschlossen, dass sich das Gericht im Rahmen der beschränkten Untersuchungsmaxime im Falle anwaltlicher Vertretung entsprechende Zurückhaltung auferlegen kann und muss; zumal die Parteien nicht von ihrer jeweiligen Behauptungs- und Beweislast befreit sind (<ref-ruling> E. 2.3 mit zahlreichen Hinweisen).
3.3.2. Im Zusammenhang mit den weiteren behaupteten willkürlichen Verletzungen von Verfahrensrecht erfüllt die Beschwerdeführerin die Anforderungen an eine rechtsgenügliche Rüge nicht. Anstatt zu begründen, worin sie eine willkürliche Verletzung von <ref-law> sieht, würdigt sie in Abweichung vom vorinstanzlichen Ergebnis der Beweiswürdigung die Beweise aus ihrer Sicht. Sodann legt sie mit keinem Wort dar, inwiefern <ref-law> in willkürlicher Weise verletzt worden sein soll. Auf die rechtsungenüglichen Rügen ist nicht einzutreten.
4.
Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe es in willkürlicher Verletzung von Bundesrecht (wohl Art. 266l i.V.m. <ref-law>) unterlassen, die Kündigung durch den Beschwerdegegner als nichtig zu erklären. Ausserdem habe die Vorinstanz ihre Schlussfolgerung nicht rechtsgenüglich begründet. Damit habe sie den Anspruch der Beschwerdeführerin auf rechtliches Gehör verletzt (<ref-law>).
4.1. Die Vorinstanz erachtete den Mietvertrag als gültig aufgelöst. Zur Begründung verwies die Vorinstanz auf die Klagebegründung der Beschwerdeführerin, in welcher diese ausgeführt habe, sie habe gewusst, dass der Beschwerdegegner mit seiner Kündigung vom 26. September 2014 die Wohnung auf den 31. Oktober 2014 habe kündigen wollen und dass sie diese Kündigung denn auch angenommen habe. Die Vorinstanz schloss, die Beschwerdeführerin habe hiermit nicht nur die Kündigung trotz fehlender Unterschrift dem Beschwerdegegner zugeordnet, sondern auch zum Ausdruck gebracht, mit der Vertragsauflösung einverstanden zu sein. Indem die Beschwerdeführerin sich nunmehr im Berufungsverfahren auf die Formungültigkeit der Kündigung berufe, stelle sie sich in einen offensichtlichen Widerspruch mit ihrem vorherigen Verhalten, womit sie gegen Treu und Glauben verstosse (<ref-law> und <ref-law>). Ihrem offensichtlich rechtsmissbräuchlichen Verhalten könne kein Rechtsschutz zukommen.
Die Begründung der Vorinstanz ist rechtsgenüglich. Die Beschwerdeführerin konnte den Entscheid in voller Kenntnis an das Bundesgericht weiterziehen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.4 S. 41; <ref-ruling> E. 3.2.1; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; je mit Hinweisen). Dies ergibt sich aus der in diesem Zusammenhang ausserdem erhobenen Rüge der willkürlichen Verletzung materiellen Bundesrechts.
4.2. Der Vorinstanz kann auch keine willkürliche Verletzung materiellen Bundesrechts vorgeworfen werden. Denn indem die Beschwerdeführerin in der Sache vorbringt, sie habe in ihrer Klageschrift klar gemacht, dass sie die nichtige Kündigung vor Gericht nicht angefochten habe, weil sie froh gewesen sei, den schwierigen Mieter loszuwerden, gesteht sie auch vor Bundesgericht ein, mit der Kündigung einverstanden gewesen zu sein. Insoweit sie in ihrer Beschwerde weiterhin darauf beharrt, nur eine Kündigung auf den von ihr als nächsten Kündigungstermin erachteten 31. März 2015 akzeptiert zu haben, verkennt sie, dass es eine Rechtsfrage ist zu eruieren, auf welchen Zeitpunkt der Beschwerdegegner das Mietverhältnis ordentlich beenden konnte. Ihre (unrichtige) Einschätzung der Rechtslage ändert nichts an ihrem grundsätzlichen Einverständnis mit der Auflösung des Mietvertrags. Jedenfalls hält der Schluss der Vorinstanz, die Beschwerdeführerin habe die Kündigung akzeptiert, einer Willkürprüfung stand. Sodann betrachtete die Vorinstanz das nachträgliche Berufen auf die Formungültigkeit zu Recht als rechtsmissbräuchlich.
5.
Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe in willkürlicher Weise Bundesrecht verletzt, indem sie die Kündigung des Beschwerdegegners als fristgerecht betrachtete. Die vereinbarte einmonatige Kündigungsfrist in der Erstreckungsvereinbarung sei ungültig, da sie der gesetzlichen Regelung gemäss <ref-law> widerspreche.
Der Beschwerdeführerin ist insoweit zu folgen, als sie vorbringt, die Kündigung des Beschwerdegegners sei während eines erstreckten Mietverhältnisses nach <ref-law> erfolgt. Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin gilt indessen die für ein unbefristetes Mietverhältnis vorgesehene Einschränkung der Vertragsfreiheit aufgrund einer gesetzlichen Minimalfrist gemäss <ref-law> für ein erstrecktes und damit auch befristetes Mietverhältnis nicht. So kann nach <ref-law> auch eine kürzere als die gesetzlich vorgesehene Kündigungsfrist abgemacht werden. Demnach ist die im Erstreckungsvergleich vereinbarte einmonatige Kündigungsfrist entgegen dem Standpunkt der Beschwerdeführerin bundesrechtskonform. Die Vorinstanz ging zutreffend davon aus, der Beschwerdegegner habe mit Schreiben vom 26. September 2014 innert Frist auf den 31. Oktober 2014 gekündigt.
6.
Die Beschwerdeführerin behauptet schliesslich, der Beschwerdegegner habe <ref-law> verletzt und sich im Sinne von <ref-law> schadenersatzpflichtig gemacht. Insoweit die Beschwerdeführerin hiermit neue Tatsachenbehauptungen und neue Begehren aufstellt, kann sie nicht gehört werden (<ref-law>). Im Übrigen lässt sieeine sachbezogene Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Urteils vermissen. Auf ihre appellatorische Kritik ist nicht einzutreten (vgl. <ref-ruling> E. 2.4 S. 368; <ref-ruling> E. 2 S. 116, 264 E. 2.3 S. 266; je mit Hinweisen).
7.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Die Beschwerdeführerin wird ausgangsgemäss kostenpflichtig (<ref-law>). Die Beschwerdeantwort des Beschwerdegegners beschränkt sich auf eine Stellungnahme zum Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung. Der diesbezüglich erwachsene Aufwand rechtfertigt die Zusprache einer reduzierten Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. März 2018
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Hug