Fatti:
A.
A._, nata nel 1956, di cittadinanza italiana, in possesso di un permesso di soggiorno B, ha lavorato dal 2000 prevalentemente nella ristorazione. Da agosto 2014 è stata attiva come aiuto cucina nell' "Albergo B._" di C._. Dal 1° luglio 2015 ha svolto a titolo accessorio la funzione di custode di un palazzo a D._. Il 21 ottobre 2016 A._ si è annunciata per la ricerca di un lavoro a tempo pieno come cameriera, aiuto cucina, donna di servizio, aiutante alla ricezione o attività analoghe. La Cassa di disoccupazione OCST ha stabilito il periodo di riferimento dal 1° novembre 2016 al 31 agosto 2020 e ha fissato il guadagno assicurato a fr. 3'790.-. Con decisione del 17 marzo 2017 la Sezione del lavoro del Cantone Ticino ha negato il diritto alle indennità di disoccupazione dal 1° novembre 2016, poiché A._ deve essere considerata come una vera frontaliera. Il 10 ottobre 2017 con decisione su opposizione l'amministrazione ha confermato il proprio operato.
B.
Il 19 febbraio 2018 il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino ha respinto il ricorso di A._ contro la decisione su opposizione.
C.
La Segreteria di Stato dell'economia (SECO) presenta un ricorso di diritto pubblico al Tribunale federale con cui chiede l'annullamento del giudizio cantonale. In via subordinata postula il rinvio della causa al Tribunale cantonale delle assicurazioni, affinché sia valutato il diritto alle prestazioni sotto il profilo della protezione della buona fede. Formula altresì una domanda di effetto sospensivo.
La Sezione cantonale del lavoro e il Tribunale cantonale delle assicurazioni propongono di respingere il ricorso. A._ chiede che il ricorso sia accolto.
La domanda di effetto sospensivo è stata respinta con decreto del 7 giugno 2018.

Diritto:
1.
1.1. Il Tribunale federale esamina d'ufficio e con piena cognizione l'ammissibilità dei ricorsi che gli vengono sottoposti (<ref-ruling> consid. 1 pag. 43; <ref-ruling> consid. 1.1 pag. 3 con riferimenti).
La legittimazione della SECO a presentare ricorso risulta chiaramente dall'<ref-law> in relazione con l'<ref-law> <ref-ruling> consid. 4.2 pag. 542). Gli altri presupposti processuali sono anche adempiuti.
1.2. Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto, conformemente a quanto stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Pur applicando d'ufficio il diritto (<ref-law>), tenuto conto dell'esigenza di motivazione posta dall'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, il Tribunale federale esamina solamente le censure sollevate (<ref-ruling> consid. 2.2 pag. 550), mentre non è tenuto a vagliare, come lo farebbe un'autorità di primo grado, tutte le questioni giuridiche che si pongono, se queste ultime non sono (più) debitamente presentate in sede federale (<ref-ruling> consid. 1.4.1 pag. 254). Per quanto attiene invece all'accertamento e all'apprezzamento dei fatti operati dal giudice precedente, esso può essere censurato unicamente se è avvenuto in modo manifestamente inesatto, ovvero arbitrario (<ref-ruling> consid. 4.3 pag. 62), oppure in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> e se l'eliminazione del vizio può essere determinante per l'esito del procedimento (<ref-law>).
1.3. Esigenze di motivazione più severe valgono poi in relazione alla violazione di diritti fondamentali; simili critiche vengono in effetti trattate unicamente se sono state motivate in modo chiaro, circostanziato ed esaustivo (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.3 pag. 41; <ref-ruling> consid. 2.2 pag. 232; <ref-ruling> consid. 3.2 pag. 228). Nella misura in cui l'autorità federale ricorrente invoca una tutela della buona fede, il ricorso è insufficientemente motivato. Essa infatti, in maniera del tutto generica e non circostanziata non spiega, in quale misura l'assicurata avrebbe potuto appellarsi con successo all'<ref-law>
2.
2.1. Oggetto del contendere è sapere se il Tribunale cantonale delle assicurazioni abbia a ragione negato il diritto dell'assicurata alle indennità di disoccupazione in Svizzera dal 1° novembre 2016.
2.2.
2.2.1. Nella pronuncia impugnata sono citate correttamente le condizioni legali per il diritto all'indennità di disoccupazione (<ref-law>) e in modo particolare quelle relative al domicilio in Svizzera.
2.2.2. Non è più oggetto di contestazione il fatto che l'assicurata abbia residenza in Italia e che sia una frontaliera in senso proprio. Il Tribunale cantonale ha esposto correttamente che la controversia dal profilo materiale, personale e temporale rientra nel campo di applicazione dell'Accordo concluso il 21 giugno 1999 tra la Confederazione Svizzera, da una parte, e la Comunità europea ed i suoi Stati membri, dall'altra, sulla libera circolazione delle persone, in vigore dal 1° giugno 2002 (ALC; RS 0.142.112.681). È inoltre applicabile con effetto dal 1° aprile 2012 il regolamento (CE) n. 883/2004 del Parlamento europeo e del Consiglio del 29 aprile 2004 relativo al coordinamento dei sistemi di sicurezza sociale (di seguito: regolamento n. 883/2004; RS 0.831.109.268.1). Questa normativa è stata modificata dal regolamento (CE) n. 988/2009 del Parlamento europeo e del Consiglio del 16 settembre 2009 (GU L 284 del 30.10.2009, pag. 43). A ciò si aggiunge altresì la modifica secondo il regolamento (UE) n. 465/2012 del Parlamento europeo e del Consiglio del 22 maggio 2012 (RU 2015 345), che è entrato in vigore in Svizzera il 1° gennaio 2015. Anche in tale evenienza si può rinviare ai considerandi del giudizio cantonale.
2.2.3. Occorre pertanto valutare, se si realizza un caso di disoccupazione parziale o accidentale secondo l'art. 65, paragrafo 1 del regolamento n. 883/2004 e se l'assicurata possa vantare in Svizzera il diritto alle indennità di disoccupazione, benché ella sia residente in Italia.
2.3.
2.3.1. L'art. 65 paragrafo 1 del regolamento n. 883/2004 ha il seguente tenore:
"La persona che si trova in disoccupazione parziale o accidentale e che, nel corso della sua ultima attività subordinata o autonoma, risiedeva in uno Stato membro diverso dallo Stato membro competente si mette a disposizione del suo datore di lavoro o degli uffici del lavoro nello Stato membro competente. Egli beneficia delle prestazioni in base alla legislazione dello Stato membro competente, come se risiedesse in tale Stato membro. Tali prestazioni sono erogate dall'istituzione dello Stato membro competente."
2.3.2. A norma dell'art. 16 cpv. 2 ALC nella misura in cui l'applicazione dell'Accordo implica nozioni di diritto comunitario, si terrà conto della giurisprudenza pertinente della Corte di giustizia delle Comunità europee precedente alla data della sua firma. La giurisprudenza della Corte successiva alla firma del presente Accordo verrà comunicata alla Svizzera. Per garantire il corretto funzionamento dell'Accordo, il Comitato misto determina, su richiesta di una delle parti contraenti, le implicazioni di tale giurisprudenza. Per prassi invalsa il Tribunale federale si scosta dall'interpretazione delle disposizioni del diritto comunitario data dalla Corte di giustizia europea soltanto in presenza di giustificati motivi, affinché per quanto possibile sia garantita una situazione giuridica analoga fra gli Stati membri dell'UE da una parte e la Svizzera dall'altra parte (<ref-ruling> consid. 3.6 pag. 61 con riferimenti; <ref-ruling> consid. 3.1 pag. 38).
2.3.3. La Corte cantonale ha ritenuto che l'assicurata poteva richiamarsi allo statuto di parzialmente disoccupata secondo l'<ref-law>. Ha rifiutato però ogni prestazione con la motivazione che l'assicurata è una vera frontaliera. Ella doveva quindi formulare la richiesta di indennità al suo domicilio in Italia. I giudici ticinesi hanno rilevato che secondo la <ref-ruling> l'art. 65 cpv. 1 del regolamento n. 883/2004 trova applicazione unicamente ai casi, non realizzati in concreto, di lavoro ridotto secondo gli art. 31 segg. LADI. Sulla questione qui controversa, il Tribunale cantonale delle assicurazioni ha concluso che la nuova giurisprudenza della Corte di giustizia europea sull'art. 65 cpv. 1 del regolamento n. 883/2004 non sarebbe vincolante, poiché essa comporta un cambiamento sostanziale tale da comportare notevoli conseguenze finanziarie sull'assicurazione contro la disoccupazione. Potrà essere soltanto il Comitato misto a stabilire in quale misura la giurisprudenza della Corte di giustizia europea debba essere fatta propria dalla Svizzera.
2.3.4. L'autorità federale ricorrente fa valere per contro che il pensum lavorativo dell'assicurata si sia ridotto al 50% presso il medesimo datore di lavoro durante la stagione invernale. Il 7 marzo 2017 ella ha concluso, sempre dal medesimo datore di lavoro, un nuovo contratto stagionale dal 1° aprile al 31 ottobre 2017. L'assicurata deve pertanto essere considerata a tutti gli effetti come lavoratore in disoccupazione parziale a norma dell'art. 65 cpv. 1 del regolamento n. 883/2004, ciò che comporta la concessione delle indennità di disoccupazione in Svizzera.
2.4.
2.4.1. La Corte di giustizia dell'Unione europea (di seguito: Corte di giustizia europea) nella sentenza del 15 marzo 2001, C-444/98, De Laat, si è confrontata con l'interpretazione dei concetti di disoccupazione parziale o accidentali di cui all'art. 71 del regolamento (CE) n. 1408/71, il quale corrisponde in sostanza all'art. 65 cpv. 1 del regolamento n. 883/2004. Si trattava di decidere del caso di un cittadino dei Paesi Bassi, residente nel medesimo paese, il quale era stato assunto a tempo pieno da una società in Belgio dal 1° dicembre 1994 al 29 novembre 1996. Il 2 dicembre 1996 egli ha ripreso l'attività presso il medesimo datore di lavoro con un nuovo contratto a tempo parziale (sentenza C-444/98 punti 8 segg.). Occorreva sapere se si trattasse di un caso di disoccupazione parziale o totale. La Corte di giustizia europea ha stabilito che i concetti di disoccupazione totale o parziale di cui all'art. 71 del regolamento n. 1408/71 fossero da chiarire secondo il diritto comunitario. Per determinare i criteri la Corte di giustizia europea si è basata sulla funzione dello statuto di frontaliere. La generale preminenza dello Stato di residenza si fonda sulla circostanza che di massima è proprio in questo Stato in cui sono offerte al lavoratore migliori possibilità di collocamento (MAXIMILIAN FUCHS in: NomosKommentar, Europäisches Sozialrecht, 7. Aufl., 2018, N. 4 zu Art. 65 VO [EG] Nr. 883/2004; sentenza C-444/98 nota a margine 31 segg.). Per contro, il fine teso alla difesa del lavoratore contenuta nell'art. 71 del regolamento n. 1408/71 non sarebbe realizzato se un lavoratore, il quale è attivo a tempo parziale dal medesimo datore di lavoro in un altro Stato membro rispetto a quello di residenza e rimane nell'aspettativa di un'assunzione a tempo pieno, debba rivolgersi all'istituzione del suo luogo di residenza per trovare sostegno nella ricerca dell'ulteriore attività lavorativa da esercitare accanto a quella già svolta. Irrilevante a tal proposito è la circostanza che l'attività a tempo pieno sia passata a tempo parziale a causa della sottoscrizione di un nuovo contratto. In modo particolare, l'istituzione del luogo di residenza sarebbe meno in grado rispetto a quella dello Stato di competenza ad aiutare il lavoratore a trovare per lui un'ulteriore occupazione. In altre parole, sarebbe più probabile in tali condizioni trovare un lavoro ulteriore nel territorio dello Stato di competenza. Soltanto quando il lavoratore non ha più nessuna relazione con lo Stato di competenza ed è totalmente disoccupato, dovrà rivolgersi per un sostegno nelle ricerche di impiego all'istituzione del luogo di residenza (sentenza C-444/98 punti 34 segg.; cfr. anche <ref-ruling> consid. 7.3 pag. 147).
2.4.2. La Corte di giustizia europea ha confermato questi principi nella sentenza C-655/13 del 5 febbraio 2015, Mertens. La differenza rispetto al caso precedente consiste nel cambiamento di datore di lavoro. La Corte non ha visto alcun motivo per decidere diversamente. Essa ha ribadito l'irrilevanza del cambiamento da impiego a tempo pieno con un nuovo contratto a impiego a tempo parziale (FUCHS, N 4 ad Art. 65 regolamento n. 883/2004; sentenza C-655/13 punti 17 segg.). La Corte di giustizia europea ha stabilito inoltre che una disoccupazione completa presuppone necessariamente che il lavoratore interessato abbia smesso di lavorare completamente. L'art. 71, paragrafo 1, lett. a punto i del regolamento n. 1408/71 va interpretato nel senso che un frontaliere, il quale immediatamente dopo il termine del suo rapporto di impiego a tempo pieno da un datore di lavoro di uno Stato membro assume un lavoro a tempo parziale da un altro datore di lavoro nel medesimo Stato membro deve essere considerato come frontaliere disoccupato parzialmente a norma di quella disposizione (sentenza C-655/13 cifra marginale 26 segg.).
2.4.3. La Commissione amministrativa per il coordinamento dei sistemi di sicurezza sociale nella Decisione U3 del 12 giugno 2009 ha chiarito la portata del concetto di "disoccupazione parziale" (Decisione U3 del 12 giugno 2009 riguardante la portata del concetto di «disoccupazione parziale» applicabile ai disoccupati di cui all'articolo 65, paragrafo 1, del regolamento [CE] n. 883/2004 del Parlamento europeo e del Consiglio; di seguito: Decisione U3; RS 0.142.112.681, Allegato II, Sezione B, n. 20; cfr. anche Raccolta dei testi giuridici riguardanti gli accordi bilaterali sezione n. 7.2.2, Sezione B: Atti di cui le parti contraenti tengono debito conto). In base a questa risoluzione (considerando n. 2) per stabilire se una persona si trovi in uno stato di disoccupazione parziale o completa ai sensi dell'articolo 65, paragrafi 1 e 2, del regolamento n. 883/2004 occorre applicare criteri uniformi a livello comunitario. Tale valutazione non può avvenire in base a criteri tratti dalle legislazioni nazionali. La valutazione dell'esistenza o del mantenimento di un rapporto di lavoro (considerando n. 5) è effettuata esclusivamente in base alla legislazione nazionale dello Stato di occupazione. Nel dispositivo n. 1 della Decisione U3 si precisa che la natura della disoccupazione (parziale o completa) è determinata in base all'esistenza o al mantenimento di un rapporto contrattuale di lavoro tra le parti e non alla durata di un'eventuale sospensione temporanea dell'attività del lavoratore. Secondo il dispositivo n. 2 della Decisione U3 la persona occupata presso un'impresa in uno Stato membro diverso da quello in cui risiede, la cui attività sia sospesa pur potendo tornare al suo posto in qualunque momento, è considerata in stato di disoccupazione parziale; l'indennità corrispondente sarà versata dall'istituzione competente dello Stato membro di occupazione ai sensi dell'articolo 65, paragrafo 1, del suddetto regolamento. Il dispositivo n. 3 afferma che in mancanza di un rapporto contrattuale di lavoro, una persona priva di qualunque legame con lo Stato membro d'occupazione (per esempio perché il legame rappresentato dal rapporto contrattuale di lavoro è terminato o è scaduto), sarà considerata in stato di disoccupazione totale ai sensi dell'articolo 65, paragrafo 2, del suddetto regolamento; l'indennità sarà versata dall'istituzione del luogo di residenza.
2.4.4. La Decisione U3 è entrata in vigore in Svizzera con effetto al 1° aprile 2012 (RU 2012 2345/2356 seg.). Contrariamente all'opinione della Corte cantonale la giurisprudenza della Corte di giustizia europea, che è legata alla Decisione U3, è vincolante per la Svizzera e bisogna tenerne debito conto. Dubbia permane la questione se in applicazione dell'art. 16 cpv. 2 ALC debba essere ritenuta vincolante per il Tribunale federale anche la sentenza C-655/13 della Corte di giustizia europea, che è stata resa posteriormente alla Decisione U3, e la quale stabilisce che una disoccupazione parziale può realizzarsi perfino quando il nuovo contratto di lavoro è sottoscritto non con il medesimo, ma con un altro datore di lavoro. La questione può rimanere aperta, poiché nel caso concreto l'assicurata ha concluso i contratti sempre con il medesimo datore di lavoro. La sentenza della Corte di giustizia europea C-444/98 è già stata applicata dal Tribunale federale in <ref-ruling>, caso in cui occorreva confrontarsi con l'aspetto della disoccupazione parziale secondo l'art. 71 paragrafo 1 lett. a cifra i del regolamento n. 1408/71. In tale massima è stato stabilito, che secondo il diritto comunitario disoccupazione totale significa una perdita della capacità lavorativa in seguito allo scioglimento del rapporto di lavoro, mentre per disoccupazione parziale si intende una perdita temporanea lavorativa in un contratto di lavoro continuativo, segnatamente in caso di lavoro ridotto. Effettivamente una disoccupazione parziale secondo l'<ref-law> può a determinate condizioni coincidere con quella del regolamento n. 1408/71. Il Tribunale federale nel caso appena citato è giunto alla conclusione che l'assicurato non ha sofferto di una perdita temporanea lavorativa presso l'impresa ove era impiegato, bensì il 1° febbraio 2004 ha sottoscritto un contratto a tempo parziale presso V. SA. Ella doveva pertanto essere considerata disoccupata totalmente nel senso dell'art. 71 paragrafo 1 lett. a punto ii del regolamento n. 1408/71 e sottostare conseguentemente alla prassi dello Stato di residenza (<ref-ruling> consid. 7.3 pag. 147 con riferimenti).
2.5.
2.5.1. Il 21 ottobre 2016 l'assicurata, quando si è annunciata in disoccupazione, era impiegata all'Albergo B._ di C._. Il contratto di lavoro del 12 febbraio 2016 era a tempo determinato dal 1° marzo 2016 al 30 ottobre 2016. Il pensum lavorativo ammontava al 100%, eccezion fatta per i mesi di marzo e aprile 2016 che era al 50%. Il 2 novembre 2016 ha concluso con il medesimo datore di lavoro un contratto a tempo determinato dal 1° novembre 2016 al 30 marzo 2017 con un pensum di 22 ore settimanali. Con il contratto del 7 marzo 2017 a tempo determinato dal 1° aprile 2017 al 31 ottobre 2017 l'occupazione è stata di nuovo innalzata a 100%. Già in precedenza l'assicurata ha concluso con il datore di lavoro soltanto contratti a tempo determinato. Secondo il dispositivo n. 2 della Decisione U3 e la giurisprudenza della Corte di giustizia europea l'applicazione dell'art. 65 paragrafo 1 del regolamento n. 883/2004 presuppone l'esistenza o il mantenimento di un rapporto contrattuale tra le parti. Una disoccupazione parziale o un'analoga sospensione temporanea dell'attività lavorativa si realizza soltanto se la persona assicurata può continuare a lavorare presso un'impresa e temporaneamente non vi lavora, mantenendo tuttavia la possibilità di tornare al proprio posto di lavoro in ogni momento. Per contro, secondo il dispositivo n. 3 della Decisione U3 una persona sarà considerata in stato di disoccupazione totale ai sensi dell'articolo 65, paragrafo 2, quando non esiste più una relazione contrattuale di lavoro, in modo particolare quando il contratto è stato risolto o perché la sua durata è terminata.
2.5.2. È vero che l'assicurata ha lavorato senza interruzione presso il medesimo datore di lavoro. Ella ha però sempre sottoscritto soltanto contratti di lavoro a tempo determinato. Il contratto del 12 febbraio 2016 si è estinto il 30 ottobre 2016. Quando l'assicurata si è annunciata il 21 ottobre 2016 in disoccupazione, era per l'appunto impiegata all'Albergo B._ di C._. A causa della natura determinata del contratto di lavoro in quel momento però non era chiaro, che ella potesse essere ancora attiva presso il medesimo datore di lavoro. L'assicurata al momento dell'annuncio in disoccupazione doveva pertanto essere considerata in disoccupazione totale. Coerentemente ha dichiarato di cercare un posto di lavoro a tempo pieno. In queste condizioni non si può affermare che al momento dell'annuncio la Svizzera offrisse all'assicurata migliori possibilità di collocamento rispetto all'Italia, Stato di residenza. È vero, che l'assicurata il 2 novembre 2016 ha concluso con il medesimo datore di lavoro un nuovo contratto di lavoro con un pensum del 50%, ma è anche vero che lo stesso era nuovamente limitato temporalmente. In presenza di un contratto di lavoro a tempo determinato la durata dello stesso non è più garantita, quando il periodo contrattualmente previsto è decorso. In queste condizioni il requisito che la persona assicurata possa tornare al suo posto di lavoro in ogni momento, non è manifestamente dato. Questi assicurati devono essere considerati in definitiva come in disoccupazione totale nel senso dell'art. 65 paragrafo 2 del regolamento n. 883/2004. Essi sottostanno all'ordinamento dello Stato di residenza. Il risultato sarebbe potuto essere differente se al momento dell'annuncio in disoccupazione l'assicurata fosse stata in possesso di un contratto di lavoro a tempo indeterminato. Nei casi concernenti le sentenze citate della Corte di giustizia europea (consid. 2.4.1 e 2.4.2) sono stati invero sottoscritti nuovi contratti di lavoro con pensum ridotti. Tuttavia, dalla fattispecie di quei casi non risulta che i contratti di lavoro fossero a tempo determinato. Soltanto in presenza di contratti di lavoro a tempo indeterminato ricorrono le condizioni del dispositivo n. 2 della Decisione U3, ove la persona assicurata continua a lavorare presso la medesima impresa e solo in via transitoria non esercita attività lavorativa, ma ha la possibilità di tornare in ogni momento alla propria attività. Il giudizio cantonale pertanto nel suo risultato non lede il diritto federale.
3.
Ne segue che il ricorso deve essere respinto, nella misura della sua ammissibilità. Si può prescindere dalla riscossione di spese (<ref-law>). Non sono dovute indennità per ripetibili ad autorità vincenti e all'assicurata che, pur essendo patrocinata, si è allineata alle conclusioni dell'autorità federale (art. 68 cpv. 1 e 3 LTF).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è respinto.
2.
Non si prelevano spese giudiziarie.
3.
Comunicazione alle parti, ad A._ e al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino.