Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Kläger, Beschwerdeführer) erhob am 18. April 2019 beim Bezirksgericht Brugg Klage gegen B._ (Beklagter). Er beantragte, der Beklagte sei zur Zahlung von Fr. 21'388.70 zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 1. Mai 2018 sowie der Friedensrichterkosten von Fr. 300.-- zu verpflichten. Daneben stellte er ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Mit Verfügung vom 28. Juni 2019 bewilligte der Präsident des Bezirksgerichts Brugg die unentgeltliche Rechtspflege unter Einsetzung von Rechtsanwalt Peter Steiner als unentgeltlichen Rechtsvertreter.
A.b. Mit Eingabe vom 7. August 2019 stellte der Beklagte aufgrund einer zwischen Schlichtungsverfahren und Klageerhebung stattgefundenen Abtretung der klägerischen Forderung von der C._ GmbH an A._ ein Gesuch um Sicherstellung der Parteientschädigung in Höhe von Fr. 10'000.--
Nachdem er dem Kläger den Widerruf der unentgeltlichen Rechtspflege in Aussicht gestellt und ihm Gelegenheit zur Stellungnahme gegeben hatte, widerrief der Präsident des Bezirksgerichts Brugg die unentgeltliche Rechtspflege mit Verfügung vom 2. März 2020 rückwirkend per 28. Juni 2019. Er ging davon aus, die Forderung sei an den mittellosen Kläger abgetreten worden, um unentgeltlich prozessieren zu können, was missbräuchlich sei.
A.c. Gegen diese Verfügung erhob der Kläger mit Eingabe vom 13. März 2020 beim Obergericht des Kantons Aargau Beschwerde.
Mit Entscheid vom 20. April 2020 wies das Obergericht die Beschwerde ab.
B.
Mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde ans Bundesgericht beantragt der Kläger, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau vom 20. April 2020 sei aufzuheben, der vom Präsidenten des Bezirksgerichts Brugg verfügte Widerruf der unentgeltlichen Rechtspflege sei aufzuheben und die unentgeltliche Rechtspflege sei - unter Einsetzung von Rechtsanwalt Peter Steiner - für das Verfahren vor dem Obergericht zu gewähren.
Auch für das bundesgerichtliche Verfahren beantragt der Kläger die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen).
Nach <ref-law> ist die Beschwerde gegen selbstständig eröffnete Zwischenentscheide zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können. Mit dem angefochtenen Entscheid verweigerte die Vorinstanz die unentgeltliche Rechtspflege für das erst- und zweitinstanzliche Verfahren. Derartige Entscheide bewirken in der Regel einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 4 S. 338; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131).
Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens sind Zwischenentscheide mit dem in der Hauptsache zulässigen Rechtsmittel anzufechten (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382;<ref-ruling> E. 2.2, Urteile 4A_396/2009 vom 5. August 2009 E. 1.2 [nicht publiziert in 135 I 288], 4A_34/2012 vom 23. Februar 2012 E. 1.1). In der Hauptsache macht der Beschwerdeführer eine Werklohnforderung von Fr. 21'388.70 zzgl. Zins gegen den Beklagten geltend. Folglich ist der für die Beschwerde in Zivilsachen - unter Vorbehalt von <ref-law> - erforderliche Streitwert von Fr. 30'000 (<ref-law>) nicht erreicht. Weil keine Ausnahme von <ref-law> vorliegt, ist auf die Beschwerde in Zivilsachen nicht einzutreten. Zu prüfen bleibt die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>).
2.
2.1. Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Die beschwerdeführende Partei muss angeben, welches verfassungsmässige Recht verletzt wurde, und substanziiert darlegen, worin die Verletzung besteht (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.2 mit Hinweis). Das Bundesgericht kann die Verletzung eines Grundrechtes nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens ist klar und detailliert darzutun, inwiefern diese verfassungswidrig, insbesondere willkürlich (<ref-law>) sein soll (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 589 mit Hinweisen).
2.2. Folglich kann dem Beschwerdeführer nicht gefolgt werden, wenn er in Zusammenhang mit der Zulässigkeit der von ihm angebotenen Beweismittel eine Verletzung von <ref-law> geltend macht, wird doch damit keine Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt. Nichts anderes gilt in Bezug auf die Rüge des Beschwerdeführers, wonach das Obergericht gewisse seiner Vorbringen "zu Unrecht" als verspätet erachtet habe.
2.3.
2.3.1. Der Beschwerdeführer rügt Verletzungen von Art. 9, 29 Abs. 1-3 und <ref-law> sowie von Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Er bringt vor, der Gerichtspräsident habe nicht davon ausgehen dürfen, dass der klägerische Parteivertreter zunächst von der C._ GmbH beauftragt worden sei, ohne in Willkür zu verfallen und den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör zu verletzen. Dabei betont er, er habe stets ausgeführt, dass nur er am Verfahren beteiligt gewesen sei und seinen Parteivertreter beauftragt habe. Der Umstand, dass die mit der Klage eingereichte Vollmacht von der C._ GmbH ausgestellt wurde, beruhe offensichtlich auf einem Irrtum bzw. Missverständnis. Er sei von Anfang an der faktische Vertragspartner des Beklagten gewesen und habe an der Schlichtungsverhandlung teilgenommen, was das Obergericht in Verletzung seines Anspruches auf rechtliches Gehör und des Willkürverbotes verkannt habe. Willkürlich sei ebenfalls der Schluss der Vorinstanz, die Abtretung der Forderung sei rechtsmissbräuchlich gewesen. Der Beschwerdeführer führt zudem aus, das Obergericht habe gegen Art. 6 Ziff. 1 EMRK verstossen, indem es trotz des Antrages des Beschwerdeführers auf die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung verzichtet habe.
2.3.2. Ob die weitgehend appellatorische Kritik des Beschwerdeführers überhaupt die erhöhten Anforderungen von <ref-law> erfüllt, ist fraglich. Jedenfalls ist sie offensichtlich unbegründet.
Hinsichtlich der öffentlichen Verhandlung hält <ref-law> fest, dass das Gericht im summarischen Verfahren auf die Durchführung einer solchen verzichten kann, sofern das Gesetz nichts anderes bestimmt. Nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat zwar jede Person ein Recht darauf, dass über Streitigkeiten mit Bezug auf ihre zivilrechtlichen Ansprüche und Verpflichtungen von einem unabhängigen und unparteiischen, auf Gesetz beruhenden Gericht in einem fairen Verfahren, öffentlich und innerhalb angemessener Frist verhandelt wird. Der Beschwerdeführer verkennt jedoch, dass Art. 6 Ziff. 1 EMRK keine Anwendung auf Verfahren findet, in welchen nicht über den dem Streit zugrunde liegenden Anspruch entschieden wird (<ref-ruling> E. 5.1 mit Hinweisen; vgl. zur unentgeltlichen Rechtspflege Urteil 2C_443/2012 vom 27. November 2012 E. 4.4) Zudem gilt die Verpflichtung zur Durchführung einer öffentlichen Verhandlung nicht absolut. Eine Ausnahme vom Grundsatz der Öffentlichkeit ist nach der Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte etwa gegeben, wenn eine Streitsache keine Tat- oder Rechtsfragen aufwirft, die nicht adäquat aufgrund der Akten und der schriftlichen Parteivorbringen gelöst werden können (vgl. Urteile 5D_192/2013 vom 30. April 2014 E. 4.3.1; 5A_208/2011 vom 24. Juni 2011 E. 5.2 mit Hinweisen). Auch bei einer restriktiven Handhabung dieser Ausnahme ist vorliegend nicht ersichtlich, welche Fragen im Rahmen einer öffentlichen Verhandlung hätten angemessener behandelt werden können. Nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz begründete der Beschwerdeführer in seiner kantonalen Beschwerde auch mit keinem Wort, weshalb eine öffentliche Verhandlung durchgeführt werden sollte. In seiner Beschwerde scheint er davon auszugehen, dass die Parteien stets und ausnahmslos einen Anspruch auf eine öffentliche Verhandlung haben, was - wie soeben ausgeführt - nicht zutrifft.
Der Beschwerdeführer vermag keine Verletzungen von weiteren verfassungsmässigen Rechten darzutun. Dass seine Behauptung, wonach faktisch stets nur er - und nicht die C._ GmbH - am Verfahren beteiligt gewesen sei, als plausibel erscheint, begründet keine Willkür im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (zum Willkürbegriff vgl. etwa <ref-ruling> E. 7.1). Es ist unbestritten, dass nicht der Beschwerdeführer, sondern die C._ GmbH formell als Vertragspartnerin des Beklagten auftrat, dass die mit der Klage eingereichte Vollmacht von ihr ausgestellt wurde, und dass ihr Geschäftsführer am Schlichtungsverfahren teilgenommen hat. Zwar kann nicht ausgeschlossen werden, dass der Beschwerdeführer von Anfang an faktisch der einzige Vertragspartner des Beklagten war. Dies bedeutet indes nicht, dass der vorinstanzliche Schluss, wonach die fragliche Forderung an den mittellosen Beschwerdeführer abgetreten wurde, um unentgeltlich prozessieren zu können, offensichtlich unhaltbar ist. Hinsichtlich der vom Beschwerdeführer beantragten Beweise erwog die Vorinstanz einerseits - zu Recht -, dass die vom Beschwerdeführer erstmals im Beschwerdeverfahren eingereichten Beweismittel unbeachtlich seien. Andererseits verwies sie hinsichtlich der beantragten Zeugeneinvernahme und Parteibefragung auf die in <ref-law> im summarischen Verfahren vorgesehene Beweismittelbeschränkung. Wie bereits erläutert (s. oben, E. 2.2), darf in einer subsidiären Verfassungsbeschwerde die falsche Anwendung dieser Rechtsnorm nicht gerügt werden. Indem sie in Anwendung von <ref-law> nur Urkunden zuliess, verletzte die Vorinstanz jedenfalls nicht den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör. Inwiefern der angefochtene Entscheid Art. 29 Abs. 1 und 3 sowie <ref-law> verletzen soll, wird in der Beschwerde nicht dargelegt.
3.
Aus den dargelegten Gründen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschwerdeführer wird bei diesem Verfah rensausgang kostenpflichtig (<ref-law>).
Da sie von vornherein als aussichtslos erschien, kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren nicht entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Juli 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Curchod