Faits :
A.
Par jugement du 26 juin 2020, le Tribunal de police du Littoral et du Val-de-Travers a reconnu A._ coupable de lésions corporelles simples commises au moyen d'un objet dangereux au sens de l'art. 123 ch. 1 et 2 CP et l'a condamné à une peine pécuniaire de 100 jours-amende à 400 fr. le jour, avec sursis pendant 2 ans. Il a par ailleurs reconnu C._ coupable de lésions corporelles simples commises au moyen d'un objet dangereux, d'injures et de menaces au sens des art. 123 ch. 1 et 2, 177 et 180 CP et l'a condamné à une peine pécuniaire de 120 jours-amende à 20 fr. le jour, avec sursis pendant 4 ans. Il a condamné les intéressés solidairement entre eux, outre aux frais de la procédure, à verser une indemnité à B._ de 1'534 fr. 75 au sens de l'<ref-law> et une indemnité pour tort moral de 1'000 fr.
B.
Par jugement du 23 mars 2021, la Cour pénale du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel a rejeté les appels formés par A._ et C._.
En substance, elle a retenu les faits suivants: lors d'une soirée, le 2 septembre 2018, vers 1h30 à la rue X._ à Y._, C._ a menacé, insulté et donné un coup de tête à B._, tandis que A._ l'a agressé physiquement en le frappant plusieurs fois à la tête avec un tesson de bouteille, lui occasionnant des blessures ayant nécessité 21 points de suture.
C.
A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 23 mars 2021, en concluant, avec suite de frais et dépens, à sa réforme en ce sens qu'il est acquitté. Subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause à la cour cantonale afin qu'elle "rende un jugement en ce sens". Il conclut en outre à ce qu'une indemnité à titre de l'<ref-law> lui soit octroyée, dont la quotité est laissée à l'appréciation du Tribunal fédéral et sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire.

Considérant en droit :
1.
Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir rejeté sa réquisition de preuve tendant à l'audition de D._, autre convive de la soirée.
1.1. Selon l'<ref-law>, la procédure de recours se fonde sur les preuves administrées pendant la procédure préliminaire et la procédure de première instance. L'<ref-law> règle les preuves complémentaires. Ainsi, la juridiction de recours administre, d'office ou à la demande d'une partie, les preuves complémentaires nécessaires au traitement du recours. Conformément à l'<ref-law>, il n'y a pas lieu d'administrer des preuves sur des faits non pertinents, notoires, connus de l'autorité ou déjà suffisamment prouvés. Cette disposition codifie, pour la procédure pénale, la règle jurisprudentielle déduite de l'art. 29 al. 2 Cst. en matière d'appréciation anticipée des preuves (arrêt 6B_249/2021 du 13 septembre 2021 consid. 1.1.2 et les références citées).
1.2. Le recourant soutient que l'audition de D._ était indispensable dès lors que celle-ci avait eu une conversation téléphonique de 22 minutes avec l'intimé la veille de l'audience de première instance. En outre, son comparse aurait déclaré qu'il avait eu une relation sentimentale avec la prénommée au moment des faits et qu'ils étaient en froid d'octobre 2018 à janvier 2019. Il prétend ainsi que l'audition de D._ aurait permis "d'apprécier en toute connaissance de cause la crédibilité de [l'intimé] quant à sa version". Or la cour cantonale a considéré que, mis à part les déclarations de C._, rien au dossier ne permettait de retenir que l'intéressée aurait eu une liaison avec celui-ci. En outre, s'il était possible que D._ eût gardé des liens avec l'intimé depuis la soirée en question et qu'elle l'eût appelé la veille de l'audience de première instance, cela ne signifiait pas encore que ses déclarations à la police n'avaient pas de valeur ou qu'elle aurait eu l'intention d'exercer une quelconque influence sur la procédure pénale, d'autant qu'elle ne devait pas être ré-entendue. Le recourant ne fait ainsi qu'opposer son appréciation de la pertinence du moyen de preuve à celle de la cour cantonale dans une démarche appellatoire, partant irrecevable. Pour le reste, c'est sans arbitraire que la cour cantonale a considéré que, dès lors que D._ n'était pas un témoin direct des faits de la cause, son audition n'était pas nécessaire. Le grief doit ainsi être rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2.
Le recourant fait grief à la cour cantonale d'avoir apprécié les preuves et établi les faits de manière arbitraire. Il invoque le principe de la présomption d'innocence.
2.1. Le Tribunal fédéral n'est pas une autorité d'appel, auprès de laquelle les faits pourraient être rediscutés librement. Il est lié par les constatations de fait de la décision entreprise (<ref-law>), à moins que celles-ci n'aient été établies en violation du droit ou de manière manifestement inexacte au sens des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, à savoir pour l'essentiel de façon arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. Une décision n'est pas arbitraire du seul fait qu'elle apparaît discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable et cela non seulement dans sa motivation, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 2.3.1). Le Tribunal fédéral n'entre en matière sur les moyens fondés sur la violation de droits fondamentaux, dont l'interdiction de l'arbitraire, que s'ils ont été invoqués et motivés de manière précise (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.1). Les critiques de nature appellatoires sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 1.1).
En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il n'y a arbitraire que lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 3.6.2; <ref-ruling> consid. 1.1 et les références citées). Lorsque l'appréciation des preuves et la constatation des faits sont critiquées en référence à la présomption d'innocence (art. 6 par. 2 CEDH, 32 al. 1 Cst. et 10 CPP), le principe "in dubio pro reo" n'a pas de portée plus large que l'interdiction de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 1.1).
2.2. Les déclarations de la victime constituent un élément de preuve. Le juge doit, dans l'évaluation globale de l'ensemble des éléments probatoires rassemblés au dossier, les apprécier librement (arrêts 6B_330/2021 du 15 septembre 2021 consid. 2.3; 6B_892/2020 du 16 février 2021 consid. 6.1; 6B_238/2020 du 14 décembre 2020 consid. 1.3 et les références citées), sous réserve des cas particuliers où une expertise de la crédibilité des déclarations de la victime s'impose (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 184). Les cas de "déclarations contre déclarations", dans lesquels les déclarations de la victime en tant que principal élément à charge et les déclarations contradictoires de la personne accusée s'opposent, ne doivent pas nécessairement, sur la base du principe "in dubio pro reo", conduire à un acquittement. L'appréciation définitive des déclarations des participants incombe au tribunal du fond (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 127; arrêts 6B_330/2021 précité consid. 2.3; 6B_892/2020 précité consid. 6.1).
2.3. La cour cantonale a acquis la conviction que le recourant avait infligé à l'intimé plusieurs blessures à la tête en le frappant avec une bouteille cassée. Pour ce faire, elle s'est fondée sur les déclarations de ce dernier qu'elle a tenues pour crédibles; il avait notamment décrit les faits de manière circonstanciée, sans invraisemblance, ni contradictions et n'avait pas cherché à les présenter d'une façon particulièrement défavorable au recourant et à son comparse. Il ne connaissait pas ces derniers de sorte qu'il n'avait aucune raison de porter de fausses accusations contre eux, qu'il craignait par ailleurs. Sa version des faits se recoupait en outre partiellement avec la première version du comparse du recourant et était compatible avec les blessures qu'il avait subies. D'un autre côté, les versions du recourant et de son comparse étaient moins convaincantes. Les déclarations du recourant étaient notamment contradictoires entre elles et n'étaient corroborées ni par le rapport de police, ni par les autres convives de la soirée entendus par la police. Elles apparaissaient en outre invraisemblables sur certains points et étaient stéréotypées. Quant à son comparse, son récit tardif apparaissait en grande partie dénué de toute vraisemblance.
2.4. Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir arbitrairement écarté sa version des faits au détriment de celle de l'intimé.
Son argumentation procède cependant d'une large rediscussion des faits et de l'appréciation des preuves à laquelle a procédé la cour cantonale. Cette démarche est essentiellement appellatoire, partant irrecevable. On se limitera à répondre aux griefs dans la mesure où ils n'apparaissent pas d'emblée manifestement irrecevables pour ce motif.
Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir considéré qu'il s'était contredit, arguant n'avoir fait que préciser ses propos en révélant ultérieurement l'identité de l'auteur de sa prétendue agression au couteau. Son argumentation est dénuée de toute pertinence. La cour cantonale pouvait sans arbitraire retenir que la déclaration du recourant - lors de deux interrogatoires consécutifs - selon laquelle il aurait été agressé au couteau par "un homme" qui aurait pris la fuite avec ses amis à l'arrivée de la police, entrait en contradiction manifeste avec son explication ultérieure selon laquelle l'intimé - resté sur place, blessé à la tête et venu spontanément à la rencontre des policiers - était l'auteur de ladite agression. Par ailleurs, dans la mesure où le recourant fait grief à la cour cantonale de n'avoir pas tenu compte des propos de C._ selon lesquels il n'aurait fait que se défendre, il ne discute pas la motivation de la juridiction précédente l'ayant conduite à écarter le récit de son comparse ni, a fortiori, ne démontre que celle-ci serait arbitraire. De plus, selon le recourant, le fait que le rapport de police ne mentionnait pas la fuite des amis de l'intimé qu'il avait relatée, ne permettrait pas d'affaiblir sa version des faits, le groupe ayant pu partir avant que la police ne soit effectivement arrivée sur les lieux. Cet élément ne change toutefois rien au constat de la juridiction cantonale selon lequel ledit rapport ne venait pas corroborer le récit du recourant. Enfin, en tant que le recourant estime que les déclarations de l'intimé selon lesquelles deux personnes auraient vu le recourant se blesser tout seul seraient invraisemblables, il se prévaut d'éléments qui ne ressortent pas de l'arrêt attaqué, sans alléguer qu'ils auraient été arbitrairement omis par la cour cantonale, de sorte que le moyen est irrecevable (art. 97 al. 1 et 105 al. 1 LTF).
En définitive, le recourant échoue à démontrer que la cour cantonale aurait fait preuve d'arbitraire en se fondant sur les déclarations de l'intimé pour retenir que le recourant l'avait blessé à la tête en le frappant avec une bouteille cassée. Son grief est rejeté dans la faible mesure de sa recevabilité.
2.5. En outre, le recourant ne conteste pas, sous réserve de sa participation à l'infraction, la réalisation des éléments constitutifs de l'infraction de lésions corporelles simples commises au moyen d'un objet dangereux (art. 123 ch. 1 et 2 CP), qui apparaissent au demeurant réalisés.
3.
Le recourant conclut à l'octroi d'une indemnité fondée sur l'<ref-law> en lien avec l'acquittement qu'il réclame. Comme il n'obtient pas celui-ci, sa conclusion est sans objet.
4.
Il s'ensuit que le recours doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable. Comme il était dénué de chance de succès, la demande d'assistance judiciaire doit être rejetée (<ref-law>). Le recourant, qui succombe, supporte les frais judiciaires, dont le montant sera fixé en tenant compte de sa situation financière, laquelle n'apparaît pas favorable (art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'200 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour pénale du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 1er décembre 2021
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Jacquemoud-Rossari
La Greffière : Paris