Faits :
A.
Entre le 29 décembre 2010 et le 21 mars 2018, A._, ressortissant suisse actuellement âgé de 28 ans, célibataire sans profession, a été condamné à cinq reprises, notamment pour vol d'usage, dommages à la propriété, violation de domicile et opposition aux actes de l'autorité; en particulier, le 21 mars 2018, il a été reconnu coupable par le Ministère public de la République et canton de Genève de dommages à la propriété en raison de tags de vitrine perpétrés entre le 23 et le 24 février 2018 et condamné à une peine pécuniaire de 60 jours-amende à 50 fr. le jour, avec sursis pendant trois ans, ainsi qu'au paiement d'une amende de 600 francs.
Dans le cadre d'une autre instruction menée par le Ministère public genevois, A._ est soupçonné, dans dix-sept cas de dommages à la propriété d'importance considérable (<ref-law>), de violation de domicile (<ref-law>), de contrainte (<ref-law>) et d'empêchement d'accomplir un acte officiel (<ref-law>). Il lui est reproché d'avoir, en différents lieux, entre le 22 janvier et le 21 novembre 2018 - conjointement avec différents protagonistes et à divers degrés - effectué des tags et brisé des vitrines, notamment en lien avec des restaurants (cas nos 1, 7 et 14), des boucheries (cas nos 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 et 13), des panneaux publicitaires (cas nos 15 et 16) et des bâtiments officiels situés dans un autre canton (cas no 18). Il lui est également fait grief d'avoir, à P._, mis à sac un abattoir de volailles - en endommageant notamment un véhicule (cas no 17) -, ainsi que d'avoir pénétré, à O._, sans autorisation dans les locaux d'une société de production de viande (cas no 19); dans ce cadre, il aurait occupé ces locaux dans le but d'empêcher l'abattage d'animaux, opération effectuée avec succès puisque l'abattage avait été paralysé et que la direction de la société avait été obligée de rediriger les animaux vers d'autres abattoirs; lors de cet événement, le prévenu aurait refusé d'obtempérer aux injonctions de la police l'invitant à quitter les lieux et aurait opposé une résistance contre cette dernière lorsqu'elle avait procédé à une évacuation des lieux, certains membres du mouvement antispéciste s'étant enchaîné volontairement sur place.
Le 29 novembre 2018, A._ a été interpellé et placé en détention provisoire par ordonnance du 2 décembre 2018 du Tribunal des mesures de contrainte (Tmc). Cette mesure a ensuite été valablement prolongée, la dernière fois le 2 août 2019 pour une durée de deux mois, en raison de l'existence de soupçons suffisants, ainsi que d'un risque de réitération qu'aucune mesure de substitution ne permettait de réduire.
Au cours de la procédure, le prévenu s'est refusé à toute déclaration.
B.
Le 29 août 2019, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève a rejeté le recours formé par A._ contre l'ordonnance du 2 août 2019 du Tmc.
C.
Par acte du 25 septembre 2019, A._ forme un recours en matière pénale contre cet arrêt. Il conclut, principalement, à la constatation du caractère illicite de la détention dès le 29 juillet 2019 (ch. 4), à celle de la violation du droit à la liberté de croyance et d'opinion (ch. 5), à l'annulation du jugement entrepris (ch. 6), à sa libération immédiate (ch. 7), au paiement d'une indemnité de 200 fr. par jour de détention illicite dès le 29 juillet 2019, ainsi qu'à l'octroi d'une indemnité équitable de 3'000 fr. pour la procédure fédérale (ch. 9). A titre subsidiaire, il demande sa mise en liberté immédiate avec mesures de substitution (ch. 11), ainsi que l'allocation des indemnités précitées (ch. 13) et, encore plus subsidiairement, le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision (ch. 15). Le recourant sollicite l'octroi de l'assistance judiciaire. Le 7 octobre 2019, il a produit des informations sur sa situation financière.
Le Ministère public a conclu au rejet du recours et la cour cantonale n'a pas formé d'observations. Le 8 octobre 2019, le recourant a renoncé à répliquer.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière pénale (<ref-law>) est ouvert contre une décision relative à la détention provisoire ou pour des motifs de sûreté au sens des <ref-law>.
Vu l'acte d'accusation du 23 septembre 2019 et l'ordonnance du Tmc du 24 septembre 2019, le recourant prévenu se trouve actuellement en détention pour des motifs de sûreté. Il conserve cependant un intérêt juridiquement protégé à la vérification de la décision attaquée qui confirmait la prolongation de sa détention provisoire (art. 81 al. 1 let. a et b ch. 1 LTF; arrêt 1B_426/2019 du 19 septembre 2019 consid. 1 et les arrêts cités). Un prononcé ordonnant le maintien en détention est une décision incidente susceptible de causer un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law> (arrêt 1B_420/2018 du 8 octobre 2018 consid. 1). Le recours a été formé en temps utile (<ref-law>) contre une décision rendue par une autorité statuant en tant que dernière instance cantonale (<ref-law>). Indépendamment de savoir si la détention ordonnée était licite ou pas, la conclusion tendant à obtenir une indemnité par jour de détention allégué illicite (cf. ch. 9 et 13) est irrecevable, n'entrant pas dans la compétence du juge de la détention de statuer sur cette question (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 248). Pour le surplus, les autres conclusions sont recevables (<ref-law>).
Partant, dans les limites susmentionnées, il y a lieu d'entrer en matière.
2.
Le recourant ne remet pas en cause l'existence de soupçons suffisants de la commission d'infractions (<ref-law>).
Il soutient en revanche en substance que les chefs de prévention retenus à son encontre ne constitueraient pas des crimes ou des délits graves compromettant la sécurité d'autrui au sens de l'art. 221 al. 1 let. c CPP.
2.1. En vertu de l'art. 221 al. 1 let. c CPP, la détention provisoire peut être ordonnée lorsqu'il y a sérieusement lieu de craindre que le prévenu "compromette sérieusement la sécurité d'autrui par des crimes ou des délits graves après avoir déjà commis des infractions du même genre". Cette disposition pose trois conditions pour admettre un risque de récidive. En premier lieu, le prévenu doit en principe déjà avoir commis des infractions du même genre et il doit s'agir de crimes ou de délits graves. Deuxièmement, la sécurité d'autrui doit être sérieusement compromise. Troisièmement, une réitération doit, sur la base d'un pronostic, être sérieusement à craindre (<ref-ruling> consid. 2.5 p. 14).
Bien qu'une application littérale de l'art. 221 al. 1 let. c CPP suppose l'existence d'antécédents, le risque de réitération peut être également admis dans des cas particuliers alors qu'il n'existe qu'un antécédent, voire aucun dans les cas les plus graves. La prévention du risque de récidive doit en effet permettre de faire prévaloir l'intérêt à la sécurité publique sur la liberté personnelle du prévenu (<ref-ruling> consid. 3 et 4 p. 18 ss). Le risque de récidive peut également se fonder sur les infractions faisant l'objet de la procédure pénale en cours, si le prévenu est fortement soupçonné - avec une probabilité confinant à la certitude - de les avoir commises (<ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 12 s.).
La gravité de l'infraction dépend, outre de la peine menace prévue par la loi, de la nature du bien juridique menacé et du contexte, notamment la dangerosité présentée concrètement par le prévenu, respectivement son potentiel de violence. La mise en danger sérieuse de la sécurité d'autrui par des crimes ou des délits graves peut en principe concerner tout type de biens juridiquement protégés. Ce sont en premier lieu les délits contre l'intégrité corporelle et sexuelle qui sont visés (<ref-ruling> consid. 2.6 et 2.7 p. 14 s.). S'agissant des infractions contre le patrimoine, si celles-ci perturbent la vie en société en portant atteinte de manière violente à la propriété, elles ne mettent cependant pas systématiquement en danger l'intégrité physique ou psychique des victimes. En présence de telles infractions, une détention n'est ainsi justifiée - en raison d'un danger de récidive - que lorsque l'on est en présence de crimes ou de délits particulièrement graves (<ref-ruling> consid. 2.7 p. 15; voir pour des exemples, les arrêts 1B_219/2019 du 4 juin 2019 consid. 3.2 et 1B_32/2017 du 4 mai 2017 consid. 3.3.5).
Pour établir le pronostic de récidive, les critères déterminants sont la fréquence et l'intensité des infractions poursuivies. Cette évaluation doit prendre en compte une éventuelle tendance à l'aggravation telle qu'une intensification de l'activité délictuelle, une escalade de la violence ou une augmentation de la fréquence des agissements. Les caractéristiques personnelles du prévenu doivent en outre être évaluées (<ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 13; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 86; arrêt 1B_413/2019 du 11 septembre 2019 consid. 3.1).
En général, la mise en danger de la sécurité d'autrui est d'autant plus grande que les actes redoutés sont graves. En revanche, le rapport entre gravité et danger de récidive est inversement proportionnel. Cela signifie que plus l'infraction et la mise en danger sont graves, moins les exigences seront élevées quant au risque de réitération. Lorsque la gravité des faits et leurs incidences sur la sécurité sont particulièrement élevées, on peut ainsi admettre un risque de réitération à un niveau inférieur. Il demeure qu'en principe le risque de récidive ne doit être admis qu'avec retenue comme motif de détention. Dès lors, un pronostic défavorable est nécessaire (et en principe également suffisant) pour admettre l'existence d'un tel risque (<ref-ruling> consid. 2.9 p. 17).
2.2. La cour cantonale a retenu que, sans préjudice des autres infractions reprochées et eu égard aux factures produites par les lésés (dont le décompte d'une assurance à hauteur de 60'000 fr. et celui d'un canton pour la remise en état des bâtiments s'élevant à 70'000 fr.), les nombreux dommages à la propriété occasionnés apparaissaient à ce stade considérables au sens de la jurisprudence (soit supérieurs à 10'000 fr. [<ref-ruling> consid. 4.3.1 p. 119; arrêt 6B_959/2018 du 24 mai 2019 consid. 2.2.2]); "l'infraction à l'<ref-law>, [...] pouvant aller jusqu'à cinq ans de privation de liberté, [était] donc un crime (<ref-law>) ". L'autorité précédente a ensuite considéré que les faits reprochés étaient suffisamment graves pour fonder un risque de réitération, indépendamment de toute mise en danger de la sécurité d'autrui; vu la multiplicité des infractions en cause (17 cas recensés sur une période de dix mois et liés au mouvement antispéciste auquel le recourant appartient) et les nombreux antécédents de ce dernier pour dommages à la propriété (sa condamnation du 21 mars 2018 portant également sur des faits revendiqués par les antispécistes), ce risque de récidive était concret. Selon la cour cantonale, les actes allaient de plus crescendo dans leur gravité : tags, puis pavés dans des vitrines de boucheries et enfin mise à sac d'un abattoir; il n'était de plus pas déterminant que ce dernier acte ait pu être commis trois mois avant l'arrestation du recourant. Les juges cantonaux ont également relevé que le danger de réitération était accentué par l'absence de prise de conscience et de regrets du recourant. La juridiction précédente a précisé que ce n'était pas l'idéologie du recourant qui fondait le risque retenu, mais les moyens mis en oeuvre pour l'exprimer, constitutifs d'infractions pénales; la "liberté d'opinion [...] ne saurait justifier la commission de crimes", celle-ci n'ayant ainsi pas été violée (cf. consid. 3.2 p. 8 s.).
2.3. Ce raisonnement ne prête pas le flanc à la critique. Le recourant ne développe d'ailleurs aucune argumentation propre à le remettre en cause. En particulier, il ne conteste pas l'existence en soi d'un risque de récidive. Celui-ci paraît d'ailleurs élevé vu les cinq condamnations précédentes du recourant notamment pour des dommages à la propriété, prononcés qui ne semblent au demeurant pas avoir dissuadé le recourant de commettre de nouvelles infractions. Sa dernière condamnation, en mars 2018, concerne en outre des faits commis dans un cadre similaire à ceux qui lui sont actuellement reprochés; ils ont de plus été perpétrés en février 2018, soit durant la période examinée dans la présente cause (janvier à novembre 2018).
Il y a également lieu de relever que le recourant ne remet pas en cause l'importance des dommages causés et la qualification juridique pouvant en découler (<ref-law>). Il ne conteste pas non plus le nombre élevé des actes qui lui sont reprochés (17 cas) et l'aggravation de ceux-ci au cours de la période litigieuse (tags en janvier 2018, mise à sac d'un abattoir en août 2018 et occupation sans droit des locaux d'une société avec opposition aux forces de l'ordre en novembre 2018). Cette escalade dans les actes de violence - certes uniquement dirigés contre des biens matériels - ne manque pas d'inquiéter, que ce soit tant vis-à-vis de l'ordre public que de la protection des biens d'autrui. Eu égard à ces circonstances et à l'intensité du risque de récidive existant, on ne saurait donc considérer que les dommages à la propriété reprochés et ceux qui pourraient être réitérés seraient dénués de la gravité nécessaire permettant au sens de la jurisprudence d'appliquer l'art. 221 al. 1 let. c CPP en matière de crimes ou délits contre le patrimoine. Cela vaut d'autant plus que le chef de prévention de dommages considérables à la propriété n'est pas le seul reproché au recourant.
Toute violation de la liberté de penser, d'opinion et/ou de croyance - que ce soit par le Tmc et/ou l'autorité précédente - peut être écartée. En effet, il n'est nullement fait reproche au recourant d'appartenir à un mouvement antispéciste; en revanche, il lui est fait grief d'avoir, dans ce cadre - ce qui n'est pas contesté - commis des infractions pénales, ce que les libertés invoquées ne sauraient justifier. Il ressort enfin de l'arrêt attaqué que la cour cantonale s'est également prononcée sur la violation du droit d'être entendu soulevée par le recourant devant elle; elle a ainsi relevé les possibilités offertes au recourant de se déterminer au cours de la procédure de recours sur la pertinence des arguments soulevés par le Ministère public et la motivation retenue ensuite par le Tmc sur le risque de récidive (cf. consid. 3.2 in fine p. 8 s.).
3.
Le recourant soutient ensuite que des mesures de substitution - dont une assignation à résidence couplée au port d'un bracelet électronique - permettraient de réduire le risque existant.
3.1. A teneur de l'<ref-law>, les mesures de contrainte ne peuvent en particulier être ordonnées que si les buts poursuivis ne peuvent pas être atteints par des mesures moins sévères (let. c) et si elles apparaissent justifiées au regard de la gravité de l'infraction (let. d). Le principe de proportionnalité implique donc que la détention provisoire doit être en adéquation avec la gravité de l'infraction commise et la sanction prévisible (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 395). La détention avant jugement ne doit en outre pas durer plus longtemps que la peine privative de liberté prévisible (<ref-law>).
Le principe de proportionnalité impose également d'examiner les possibilités de mettre en oeuvre d'autres solutions moins dommageables que la détention (règle de la nécessité; cf. art. 36 Cst. et 212 al. 2 let. c CPP). Cette exigence est concrétisée par l'<ref-law>, qui prévoit que le tribunal compétent ordonne une ou plusieurs mesures moins sévères en lieu et place de la détention si ces mesures permettent d'atteindre le même but que la détention. Selon l'<ref-law>, font notamment partie des mesures de substitution la fourniture de sûretés (let. a), la saisie des documents d'identité et autres documents officiels (let. b), l'assignation à résidence ou l'interdiction de se rendre dans un certain lieu ou un certain immeuble (let. c), l'obligation de se présenter régulièrement à un service administratif (let. d), l'obligation d'avoir un travail régulier (let. e), l'obligation de se soumettre à un traitement médical ou à des contrôles (let. f) et/ou l'interdiction d'entretenir des relations avec certaines personnes (let. g).
Cette liste est exemplative et le juge de la détention peut également, le cas échéant, assortir les mesures de substitution de toute condition propre à en garantir l'efficacité (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 370). S'agissant du port d'un bracelet électronique, cette mesure ne permet généralement qu'un contrôle rétroactif, n'ayant ainsi qu'un effet préventif (arrêts 1B_362/2019 du 17 septembre 2019 consid. 3.3.1 destiné à la publication; 1B_344/2017 du 20 septembre 2017 consid. 5.2 [risque de fuite]). Dans le contexte d'une assignation à résidence, ce type de surveillance permet notamment de s'assurer que la personne sous surveillance est bien à l'emplacement prescrit aux heures prévues (arrêt 1B_142/2018 du 5 avril 2018 consid. 2.1 [danger de réitération]). En tout état de cause, son adéquation doit être évaluée en fonction de toutes les circonstances d'espèce, en particulier l'intensité du risque en cause, la gravité des infractions examinées, la nécessité de garantir la présence des parties dans la procédure et la durée de la détention provisoire et pour des motifs de sûreté (arrêts 1B_362/2019 du 17 septembre 2019 consid. 3.3.2 destiné à la publication).
3.2. En l'occurrence, il a été constaté ci-dessus que le risque de récidive au sens de l'art. 221 al. 1 let. c CPP peut être réalisé en présence du chef de prévention posé à l'<ref-law>P (cf. consid. 2.3). Cela étant, il faut également prendre en compte que cette infraction tend à protéger le patrimoine, soit des biens matériels, et non pas une atteinte à la vie, à l'intégrité corporelle ou sexuelle de tiers. Une appréciation plus stricte, du point de vue du principe de proportionnalité, s'impose donc au moment d'examiner une éventuelle restriction à la liberté personnelle que constitue le maintien en détention avant jugement. Dans ce contexte particulier, entre également en considération dans le cas d'espèce la durée de la détention provisoire subie, soit neuf mois au jour de l'arrêt attaqué, respectivement presque onze à ce jour; cela même si le recourant ne prétend pas que cette durée dépasserait la peine concrètement encourue.
Au regard de ces circonstances (type d'infraction en cause et durée de la détention avant jugement subie), il paraît adéquat de mettre en place des mesures de substitution afin de réduire le danger de récidive existant. Pourrait ainsi entrer en considération une assignation à résidence. Le respect d'une telle obligation paraît pouvoir en outre être assuré en partie par le port d'un bracelet électronique; cette mesure permettrait en effet de vérifier - même si peut-être uniquement a posteriori - les endroits où le recourant pourrait s'être rendu, en violation d'une éventuelle obligation de résidence. Il ne paraît pas non plus exclu d'envisager que le recourant doive à certaines heures de la journée se présenter aux autorités. Pour diminuer la crainte - évoquée par la cour cantonale (cf. consid. 4.2 de l'arrêt attaqué) - que le recourant fomente de nouveaux actes répréhensibles avec les militants de son mouvement, une interdiction d'entretenir des relations avec certaines personnes pourrait aussi entrer en considération. Ces mesures peuvent également être cumulées, le cas échéant, à toutes autres mesures qui pourraient apparaître adéquates eu égard aux circonstances d'espèce.
Partant, en considérant qu'aucune mesure de substitution ne permettait de pallier le danger de réitération existant, la cour cantonale viole le droit fédéral, notamment eu égard au principe de proportionnalité, et ce grief doit être admis.
Au demeurant, une violation des obligations imposées peut engendrer la révocation des mesures de substitution et un nouveau placement du recourant en détention (<ref-law>).
3.3. Il n'appartient cependant pas au Tribunal fédéral de prononcer, en première instance et sans autre débat, les mesures de substitution adéquates dans le cas d'espèce (arrêts 1B_108/2018 du 28 mars 2018 consid. 3.4; 1B_344/2017 du 20 septembre 2017 consid. 5.3). Il convient dès lors de renvoyer la cause à l'instance précédente pour qu'elle examine, au regard des considérations précédentes, quelles mesures de substitution sont adéquates pour réduire le risque de récidive existant. Elle devra décider jusqu'à quel point ces mesures doivent être combinées entre elles afin d'assurer les meilleures garanties que le recourant ne réitère pas ses comportements délictueux. Il lui appartiendra ainsi de déterminer, cas échéant, le rythme et les modalités d'une éventuelle annonce auprès d'une autorité. Enfin, la cour cantonale devra organiser, si elle l'estime nécessaire, la mise en oeuvre d'une surveillance électronique de l'assignation à résidence qu'elle pourrait prononcer, respectivement ordonner toute (s) mesure (s) qu'elle estimera dans le cas d'espèce adéquate (s) afin de réduire le danger existant.
Pour éviter toute critique relative à la violation du principe de célérité prévalant tout particulièrement en matière de détention (<ref-law>), l'instance précédente devra statuer dans de très brefs délais.
4.
Il ne découle cependant pas du présent arrêt que le recourant doive être remis immédiatement en liberté, dès lors que le maintien en détention reste fondé sur le danger retenu, en attendant que l'autorité précédente statue - à très brève échéance - sur des mesures de substitution à la détention. La conclusion relative à la mise en liberté immédiate prise par le recourant doit donc être rejetée.
Il en va de même de celle visant la constatation de la détention illicite depuis le 29 juillet 2019, prise au demeurant uniquement à titre principal, soit en lien avec une éventuelle libération immédiate. Le recourant ne fait d'ailleurs pas état d'un autre motif permettant, le cas échéant, d'examiner cette question au cours de la présente procédure, soit par exemple le défaut de titre de détention durant une certaine période.
5.
Le recours est partiellement admis dans la mesure où il est recevable. L'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle procède au sens des considérants.
Le recourant, qui obtient partiellement gain de cause avec l'assistance d'un mandataire professionnel, a droit à des dépens à la charge de la République et canton de Genève (<ref-law>); cette indemnité sera cependant réduite, l'admission du recours n'étant que partielle. Pour le surplus, le recourant a demandé l'assistance judiciaire et cette requête doit être admise, le recourant ayant en particulier apporté, pour la procédure fédérale, la démonstration de son indigence (cf. l'extrait du registre des poursuites du 2 octobre 2019). Il y a donc lieu de désigner Me Olivier Peter en tant qu'avocat d'office du recourant et de lui allouer une indemnité à titre d'honoraires, qui sera supportée par la caisse du Tribunal fédéral. Il n'est pas perçu de frais judiciaires (art. 64 al. 1 et 66 al. 4 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis dans la mesure où il est recevable. L'arrêt du 29 août 2019 de la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle procède au sens des considérants.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Une indemnité de dépens, fixée à 1'500 fr., est allouée au mandataire du recourant à la charge de la République et canton de Genève.
4.
La demande d'assistance judiciaire est admise. Me Olivier Peter est désigné comme avocat d'office du recourant et une indemnité de 1'000 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral.
5.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Ministère public de la République et canton de Genève et à la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 16 octobre 2019
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Chaix
La Greffière : Kropf