Faits :
A.
Le 30 juillet 2018, A._ a déposé une demande d'asile en Suisse, à l'appui de laquelle il a produit une attestation délivrée le 13 août 2013 par les autorités congolaises de " perte des pièces d'identité ", à savoir sa " carte d'élève ". Lors de son enregistrement, il a mentionné, sur le formulaire qui lui avait été remis, être originaire de la République démocratique du Congo (RDC).
Il ressort de la comparaison des empreintes dactyloscopiques de A._ dans le système central d'information sur les visas CS-VIS que ce dernier a obtenu, le 29 septembre 2017, un visa Schengen délivré par les autorités portugaises à U._ (Angola), sur présentation d'un passeport angolais émis à U._ le 12 décembre 2014. D'après ce passeport, valable jusqu'au 12 décembre 2019, le prénommé serait un ressortissant angolais, né à U._.
Entendu les 10 et 28 août 2018, A._ a notamment déclaré avoir pour seule et unique nationalité la nationalité congolaise; il aurait quitté la RDC en novembre 2013 et aurait vécu à U._ jusqu'en janvier 2018, où il aurait obtenu un faux passeport angolais.
B.
Le 28 février 2020, le Secrétariat d'Etat aux migrations (SEM) a rejeté la demande d'asile de A._, a prononcé son renvoi de Suisse et ordonné l'exécution de cette mesure. Il a notamment considéré que le prénommé était de nationalité angolaise et non pas congolaise.
Après avoir rendu une décision incidente le 21 avril 2020 constatant qu'il n'était pas compétent sur la demande de A._ tendant à la rectification de sa nationalité dans le système d'information central sur la migration (SYMIC), le Tribunal administratif fédéral (TAF) a, par arrêt E-1823/2020 du 25 mai 2020, rejeté son recours formé le 31 mars 2020 contre la décision du 28 février 2020 du SEM. Il a en particulier considéré que A._ n'avait pas rendu sa nationalité congolaise vraisemblable et qu'il était très probablement d'origine angolaise. Il a estimé qu'un passeport angolais constituait un moyen de preuve plus probant que l'attestation de " perte des pièces d'identité " produite, relevant par ailleurs que la carte d'étudiant ne constituait pas un document d'identité au sens de l'art. 1a let. c de l'Ordonnance 1 du 11 août 1999 sur l'asile relative à la procédure (OA 1; RS 142.311).
C.
Le 28 avril 2020, A._ a demandé au SEM de rectifier sa nationalité dans le SYMIC. Le SEM a rejeté cette requête par décision du 5 juin 2020.
Par arrêt E-3174/2020 du 17 septembre 2020, le TAF, qui a en substance repris les motifs évoqués dans son arrêt E-1823/2020 du 25 mai 2020, a rejeté le recours interjeté le 18 juin 2020 par le prénommé contre la décision précitée, de même que sa requête tendant à la nomination d'un mandataire d'office; il a toutefois admis partiellement sa demande d'assistance judiciaire en ce sens qu'il n'a pas perçu de frais de procédure.
D.
Agissant le 18 octobre 2020 par la voie du recours en matière de droit public, le recourant demande au Tribunal fédéral de " juger l'affaire sur le fond et ordonner l'annulation et/ou la réformation de l'arrêt du 17 septembre 2020 et/ou renvoyer l'affaire aux autorités précédentes pour y statuer au sens des considérants ". Il sollicite également l'assistance judiciaire et la désignation de son représentant Ange Sankieme Lusanga comme mandataire d'office.
Le TAF conclut au rejet du recours. Le recourant a répliqué le 24 novembre 2020.

Considérant en droit :
1.
Dirigé contre l'arrêt du TAF confirmant le refus du SEM d'ordonner la modification du SYMIC dans le sens souhaité par le recourant, le recours est recevable comme recours en matière de droit public (art. 82 let. a et 86 al. 1 let. a LTF). Les exceptions prévues à l'art. 83 let. c et d LTF ne s'appliquent pas puisque le litige est limité à la question de l'application de la loi fédérale du 19 juin 1992 sur la protection des données (LPD; RS 235.1). La modification refusée portant sur la question de la nationalité du recourant, celui-ci est particulièrement touché par la décision attaquée et bénéficie d'un intérêt digne de protection à son annulation. Il jouit partant de la qualité pour recourir au sens de l'<ref-law>. En outre, et indépendamment de la formulation peu claire des conclusions prises, celles-ci sont recevables dès lors que l'on comprend que le recourant entend obtenir la rectification de sa nationalité dans le SYMIC, en ce sens qu'il est de nationalité congolaise. Le recours a pour le surplus été déposé en temps utile (<ref-law>). Partant, il y a lieu d'entrer en matière.
2.
Aux termes de l'<ref-law>, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente. Il est toutefois possible d'alléguer et de prouver des faits se rapportant à un vice de procédure que la partie recourante ne pouvait invoquer avant que ne soit rendue la décision attaquée (arrêt 4A_490/2013 du 28 janvier 2014 consid. 2.2, non publié in <ref-ruling>; BERNARD CORBOZ, in Commentaire de la LTF, 2 ème éd. 2014, n° 23 ad <ref-law>). Dans cette mesure, il y a lieu de tenir pour recevables les pièces nouvelles que le recourant a produites à l'appui de son recours en lien avec son grief tiré d'une notification irrégulière de l'arrêt du 17 septembre 2020. En revanche, la copie certifiée conforme de l'acte de naissance du recourant doit être écartée de la procédure. Ce document est certes daté du 19 novembre 2020. Il se fonde toutefois sur l'" ancien extrait d'acte de naissance " du recourant du 9 octobre 2000, soit un document établi antérieurement à l'arrêt attaqué; compte tenu de sa pertinence éventuelle, il aurait dû être produit devant l'instance précédente (à ce sujet, voir <ref-ruling> consid. 1.2). En tout état, il appartenait au recourant d'exposer les raisons pour lesquelles il considère être en droit de présenter exceptionnellement ce moyen de preuve nouveau, ce qu'il n'a pas fait (cf. <ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 3.1.2).
3.
3.1. Selon l'<ref-law>, les mémoires de recours au Tribunal fédéral doivent indiquer les conclusions, les motifs et les moyens de preuves, et être signés. En particulier, le recourant doit motiver son recours en exposant succinctement en quoi la décision attaquée viole le droit (cf. <ref-law>). Pour satisfaire à cette exigence, il appartient au recourant de discuter au moins brièvement les considérants de la décision litigieuse et d'expliquer en quoi ceux-ci seraient contraires au droit (<ref-ruling> consid. 1.7.1); la motivation doit être topique, c'est-à-dire se rapporter à la question juridique tranchée par l'autorité cantonale (<ref-ruling>; arrêt 1B_28 septembre 2021 consid. 3). De plus, le Tribunal fédéral est lié par les faits retenus par l'arrêt entrepris (<ref-law>), sous les réserves découlant des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, soit pour l'essentiel de l'arbitraire (art. 9 Cst.; sur cette notion v. <ref-ruling> consid. 4.1.2; <ref-ruling> consid. 1.3.1) dans la constatation des faits. Le Tribunal fédéral ne connaît de la violation des droits fondamentaux que si ce moyen est invoqué et motivé par le recourant (<ref-law>), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de manière claire et détaillée. Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 4.1.2).
3.2. Dès lors, en tant que l'exposé des faits figurant au début du mémoire de recours diverge des faits constatés dans l'arrêt attaqué et que ceux-ci ne sont pas critiqués sous l'angle de l'arbitraire, il n'en sera pas tenu compte.
Par ailleurs, le principe de l'invocation signifie que la partie recourante ne peut pas, comme en l'espèce, se borner à citer en vrac différentes dispositions légales et des références de jurisprudence de la CourEDH ou encore à parler d'arbitraire ou de violations du droit (cf. BERNARD CORBOZ, op. cit., n° 34 ad <ref-law>). En l'occurrence, le recourant, qui ne discute pratiquement pas les motifs de la décision attaquée, se limite à émettre des développements juridiques abstraits ou des considérations d'ordre général. Il cite pêle-mêle différentes dispositions légales, en particulier l'art. 6 par. 1 CEDH, qui garantit le droit à un procès équitable, les principes de la légalité (art. 5 Cst.), de l'égalité de traitement (art. 8 Cst.) et de la bonne foi (art. 9 Cst.), sans toutefois expliquer en quoi ces dispositions, qui sont des normes de rang conventionnel ou constitutionnel (<ref-ruling> consid. 1.3.1), seraient violées. A cet égard, le recours ne satisfait pas aux exigences de motivation posées par les art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF et est irrecevable. Le Tribunal fédéral n'entrera dès lors en matière que sur les moyens suffisamment motivés par le recourant.
4.
Le recourant se prévaut de l'irrégularité de la notification de l'arrêt attaqué, qui ne lui aurait jamais été communiqué personnellement ni à son mandataire actuel, Ange Sankieme Lusanga.
4.1. En principe, une décision irrégulièrement notifiée n'est pas nulle, ni n'empêche en soi un délai de recours de commencer à courir. D'après l'<ref-law>, elle ne peut cependant entraîner aucun préjudice pour les parties. Il y a lieu d'examiner, d'après les circonstances du cas concret, si la partie intéressée a réellement été induite en erreur par l'irrégularité de la notification et a, de ce fait, subi un préjudice (arrêts 2C_374/2020 du 28 août 2020 consid. 1.4; 1C_422/2018 du 4 novembre 2019 consid. 3.2). Il convient à cet égard de s'en tenir aux règles de la bonne foi qui imposent une limite à l'invocation du vice de forme (cf. <ref-ruling> consid. 6; <ref-ruling> consid. 3a/aa; arrêts 2C_1010/2020 du 26 février 2021 consid. 4.3; 2C_374/2020 du 28 août 2020 consid. 1.4). Par exemple, dans l'hypothèse où une décision a été communiquée à tort à l'ancien mandataire d'une partie, il s'agit de se demander si celle-ci a pu prendre connaissance de la décision à un moment donné. La partie en question ne pouvant se prévaloir indéfiniment de l'irrégularité de notification, elle est tenue d'agir dans un délai de trente jours à partir de cette connaissance (arrêt 2C_374/2020 du 28 août 2020 consid. 1.4; JEAN-MAURICE FRÉSARD, in Commentaire de la LTF, 2e éd. 2014, no 15 ad <ref-law>; cf. aussi YVES DONZALLAZ, Loi sur le Tribunal fédéral, Commentaire, 2008, no 1297 ad <ref-law>).
4.2. En l'espèce, l'irrégularité alléguée n'a pas empêché le recourant, respectivement son nouveau mandataire, Ange Sankieme Lusanga, de prendre connaissance de l'arrêt rendu par le TAF le 17 septembre 2020. En effet, dans un courriel adressé le 25 septembre 2020 au SEM produit à l'appui du recours, le nouveau mandataire du recourant précise que l'arrêt en question lui est parvenu mais qu'il ne mentionne pas son nom, respectivement qu'il a été notifié à l'ancien mandataire du recourant. Ainsi, quoi qu'en dise le recourant, ce dernier a eu, par l'intermédiaire de son nouveau mandataire, connaissance du contenu de dite décision qu'il a d'ailleurs pu attaquer devant le Tribunal fédéral dans le délai légal de recours (cf. <ref-law>). Au vu de ces circonstances, il apparaît que l'invocation de l'irrégularité de notification contrevient aux règles de la bonne foi. Le grief doit ainsi être rejeté.
5.
Le recourant s'en prend ensuite au refus des autorités précédentes de rectifier ses données personnelles, à savoir sa nationalité, dans le SYMIC.
5.1. Tout d'abord, et comme l'a relevé le TAF, celui-ci s'est déjà déterminé sur la nationalité du recourant dans son arrêt E-1823/2020 du 25 mai 2020 auquel il a expressément renvoyé. C'est ainsi dans le cadre de cette procédure que le recourant aurait dû faire valoir l'ensemble de ses moyens à cet égard; il ne saurait en effet, par la voie de la procédure de rectification des données qu'il a introduite selon l'art. 6 de la loi fédérale du 20 juin 2003 sur le système d'information commun aux domaines des étrangers et de l'asile (LDEA; RS 142.51), remettre en cause l'arrêt du TAF précité. Quoi qu'il en soit, son grief, pour autant que recevable, doit être rejeté au vu de ce qui suit.
5.2. L'arrêt attaqué précise que la carte d'étudiant censée établir la nationalité congolaise du recourant ne constitue pas une pièce d'identité ou un papier d'identité au sens de l'art. 1a let. c OA 1, de sorte que l'attestation de perte de ce document n'est pas de nature à prouver la nationalité alléguée. Le recourant se borne à cet égard à reprocher aux autorités précédentes de n'avoir pas pris des mesures d'instruction en lien avec le document attestant de la perte de sa carte d'étudiant, respectivement de n'avoir pas vérifié son authenticité. S'agissant de son passeport angolais, le recourant allègue que les autorités suisses devraient savoir " que des personnes en quête de protection contre les persécutions, utilisent souvent des documents falsifiés ". Ce faisant, le recourant se contente d'une argumentation d'ordre général, de surcroît appellatoire. Il ne discute pas les considérations du TAF et ne démontre a fortiori pas, conformément aux exigences de motivation posées par les art. 42 al. 1 et 2 ainsi que 106 al. 2 LTF (cf. supra consid. 3.1), en quoi celles-ci violeraient le droit. Au demeurant, il perd de vue que c'est à lui, et non au TAF ou au SEM, qu'il incombait de prouver l'exactitude de la modification demandée et, partant, de démontrer sa nationalité congolaise et qu'il n'était pas ressortissant angolais, malgré le fait qu'il avait produit un passeport de la République d'Angola. En effet, comme l'indique l'arrêt attaqué (consid. 2.2), auquel on peut renvoyer (cf. <ref-law>), celui qui demande la rectification d'une donnée doit prouver l'exactitude de la modification demandée (cf. <ref-law> en lien avec l'<ref-law>; voir également les arrêts 1C_240/2012 du 13 août 2012 consid. 3.1; 1C_114/2012 du 25 mai 2012 consid. 2.1). Or, le recourant ne fournit pas d'explications suffisantes démontrant qu'il aurait la nationalité congolaise, respectivement justifiant de mettre en doute l'authenticité de son passeport angolais.
Dans ces circonstances, le TAF pouvait, sans violer le droit fédéral, considérer que le prénommé n'était pas parvenu à démontrer l'exactitude de la modification requise, respectivement qu'il ne se justifiait pas de procéder à la rectification demandée. Il est pour le surplus précisé, ainsi que l'a constaté le TAF dans son arrêt entrepris (cf. consid. 4.3), que le caractère litigieux de la nationalité du recourant est déjà mentionné dans le SYMIC, ce qui est conforme à l'<ref-law>.
6.
Les considérants qui précède conduisent au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. Compte tenu de la situation du recourant, il sera statué sans frais (art. 66 al. 1 deuxième phrase LTF). La demande d'assistance judiciaire s'agissant des frais (cf. <ref-law>) est dès lors sans objet.
Le recourant a également sollicité l'assistance judiciaire sous la forme d'une nomination d'office de son mandataire. L'assistance judiciaire peut comprendre l'attribution d'un avocat (cf. <ref-law>). Le représentant du recourant n'est pas avocat. Il ne peut donc être désigné par le Tribunal fédéral comme défenseur d'office du recourant. Indépendamment des chances de succès (cf. <ref-law>), la demande d'assistance judiciaire doit donc être rejetée sur ce point (cf. arrêts 2C_560/2021 du 3 août 2021 consid. 9; 2C_552/2018 du 19 juillet 2018 consid. 3).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée dans la mesure où elle n'est pas sans objet.
4.
Le présent arrêt est communiqué au représentant du recourant, au Secrétariat d'Etat aux migrations et au Tribunal administratif fédéral, Cour V, ainsi que, pour connaissance, à l'Office des migrations du canton de Lucerne.
Lausanne, le 11 novembre 2021
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Kneubühler
La Greffière : Nasel