Erwägungen:
1.
Zwischen dem Gesuchsteller und der weiteren Verfahrensbeteiligten ist vor dem Bezirksgericht Bülach seit dem 26. Juni 2019 ein arbeitsrechtliches Verfahren hängig.
Das Bezirksgericht trat mit Beschluss vom 7. Juli 2020 auf ein Ausstandsbegehren des Gesuchstellers gegen die Gerichtsschreiberin MLaw C. Gurtner (Gesuchsgegnerin 2) nicht ein und überwies das Begehren dem Arbeitsgericht Bülach, I. Abteilung, zur Behandlung. Gleichzeitig wies es ein Ausstandsbegehren gegen Bezirksrichter lic.iur. Michael Peterhans (Gesuchsgegner 1) ab. Die Gerichtsgebühr setzte es auf Fr. 150.-- fest und auferlegte die Kosten dem Gesuchsteller, der ferner verpflichtet wurde, der weiteren Verfahrensbeteiligten eine Parteientschädigung von Fr. 200.-- zu bezahlen.
Am 8. Oktober 2020 wies das Obergericht des Kantons Zürich eine vom Gesuchsteller gegen diesen Beschluss erhobene Beschwerde mit einlässlicher Begründung ab und auferlegte die zweitinstanzliche Entscheidgebühr dem Gesuchsteller.
Das Bundesgericht trat mit Urteil 4A_596/2020 vom 8. Januar 2021 auf eine vom Gesuchsteller mit Eingaben vom 13. und vom 21. November 2020 (Postaufgabe der letzteren am 23. November 2020) gegen den Entscheid des Obergerichts und den Beschluss des Bezirksgerichts erhobene Beschwerde nicht ein.
Mit Eingabe vom 19. April 2021 ersuchte der Gesuchsteller um Revision dieses Urteils.
2.
Der Gesuchsteller beruft sich zur Begründung seines Revisionsgesuchs zunächst auf den Revisionsgrund nach <ref-law>.
Ein Revisionsbegehren gestützt auf diese Bestimmung ist innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des angefochtenen Entscheids einzureichen und innerhalb dieser Frist zu begründen (<ref-law>; Urteil 5F_9/2009 vom 2. Februar 2010 E. 1.1.1 mit Hinweis).
Die vollständige Ausfertigung des Bundesgerichtsurteils vom 8. Januar 2021 wurde dem Gesuchsteller am 13. Januar 2021 zugestellt. Damit begann die dreissigtägige Frist nach <ref-law> zur Einreichung eines auf <ref-law> gestützten Revisionsgesuchs am 14. Januar 2021 zu laufen (<ref-law>) und endete am 15. Februar 2021 (<ref-law>). Diese Frist wurde mit dem Gesuch vom 19. April 2021 offensichtlich verpasst.
Auf das Revisionsgesuch kann somit wegen Verspätung nicht eingetreten werden, soweit darin der Revisionsgrund nach <ref-law> geltend gemacht wird.
3.
Der Gesuchsteller macht als weiteren Revisionsgrund geltend, er sei im Sinne von <ref-law> in den Besitz von entscheidenden Beweismitteln gelangt, die er im früheren Verfahren nicht habe beibringen können.
Nach der angerufenen Bestimmung kann die Revision in Zivilsachen und öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten verlangt werden, wenn die ersuchende Partei nachträglich erhebliche Tatsachen erfährt oder entscheidende Beweismittel auffindet, die sie im früheren Verfahren nicht beibringen konnte, unter Ausschluss der Tatsachen und Beweismittel, die erst nach dem Entscheid entstanden sind.
3.1. Das Bundesgericht begründete seinen Entscheid vom 8. Januar 2021 u.a. damit, dass die am 13. November 2020 eingereichte Eingabe des Gesuchstellers keine sachdienliche Begründung der gegen den angefochtenen Entscheid des Obergerichts gestellten Anträge enthalte, sondern lediglich eine Beschwerdeerklärung darstelle, die - abgesehen von verschiedenen Anträgen und Ausführungen über die Sachurteilsvoraussetzungen der Beschwerde - lediglich einen kurz begründeten Antrag auf Erstreckung der Frist zur Beschwerdebegründung enthalte. Die am 23. November 2020 eingereichte Beschwerdeergänzung könne grundsätzlich nicht berücksichtigt werden, da sie nach Ablauf der nicht erstreckbaren Beschwerdefrist eingereicht worden sei.
Das Bundesgericht prüfte sodann, ob die Frist zur Begründung der Beschwerde gestützt auf <ref-law> wiederhergestellt werden könnte, was es indessen verneinte. Es führte dazu aus, mit der allgemeinen Angabe des Gesuchstellers und einem von ihm eingereichten Arztzeugnis, wonach er vom 12. bis zum 20. November 2020 zu 100 % arbeitsunfähig sei, werde nicht hinreichend konkret dargetan, inwiefern der Gesuchsteller unverschuldeterweise abgehalten worden wäre, fristgerecht eine Beschwerde einzureichen; der Gesuchsteller vermöge damit nicht aufzuzeigen, dass es ihm unmöglich gewesen wäre, innert der gesetzlichen Frist eine Beschwerde zu verfassen oder verfassen zu lassen.
3.2. Das Bundesgericht hat nach dem Ausgeführten im Urteil vom 8. Januar 2021 die Frage der Fristwiederherstellung geprüft. Ist die Frage der Fristwiederherstellung damit bereits Gegenstand des Endentscheides gewesen, steht auch betreffend allfälliger Fristversäumnisse lediglich noch das ausserordentliche Rechtsmittel der Revision offen, um die Wiederaufnahme des (abgeschlossenen) Verfahrens zu erwirken (Urteil 8F_2/2011 vom 21. Dezember 2011 E. 1; AMSTUTZ/ARNOLD, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 15 zu <ref-law>). Der Gesuchsteller hat daher mit seinem Revisionsgesuch den zutreffenden Rechtsbehelf gewählt.
3.3. Für das Bundesgericht bestimmte Rechtsschriften haben die Begehren und deren Begründung zu enthalten (<ref-law>). Namentlich in einem Gesuch um Revision eines bundesgerichtlichen Urteils muss ein vom Gesetz vorgesehener Revisionsgrund (<ref-law>) genannt und aufgezeigt werden, inwiefern das zu revidierende Urteil an einem entsprechenden Mangel leide, ansonsten auf das Gesuch nicht einzutreten ist (Urteile 4F_3/2014 vom 18. Februar 2014; 4F_12/2012 vom 18. September 2012; 2F_12/2008 vom 4. Dezember 2008 E. 2.1).
Der Gesuchsteller bringt zur Begründung des Revisionsgrundes nach <ref-law> vor, es hätten ihm bis zum 12. Februar 2021 keine medizinische Akten zu Verfügung gestanden, um die Unverschuldetheit der verspätet eingereichten Begründung zu beweisen. Dies zumal er davon habe ausgehen dürfen, dass das Bundesgericht aufgrund des eingereichten Arbeitsunfähigkeitszeugnisses des Kantonsspitals Winterthur bereits davon in Kenntnis gesetzt gewesen sei, dass es ihm offensichtlich unverschuldeterweise nicht möglich gewesen sei, die Begründung der Beschwerde am 13. November 2020 einzureichen. Bei den nachträglich erfahrenen medizinischen Sachverhalten handle es sich um erhebliche Tatsachen und entscheidende Beweismittel, die er im früheren Verfahren krankheitsbedingt und aufgrund der kurzen zur Verfügung stehenden Zeit nicht habe beibringen können.
Mit diesen Vorbringen vermag der Gesuchsteller nicht darzutun, dass er die weiteren medizinischen Akten im Verfahren 4A_596/2020, das zum angefochtenen Entscheid geführt hat, nicht im Sinne von <ref-law> hätte beibringen können. Zu beachten ist dabei, dass sich die geltend gemachte Arbeitsunfähigkeit lediglich über die Zeitspanne vom 12. bis zum 20. November 2020 erstreckte und dass der Gesuchsteller mit Eingabe vom 21./23. November 2020 die Begründung seiner Beschwerde einreichte. Weshalb es ihm unter diesen Umständen im Verfahren 4A_596/2020 vor dem erst am 8. Januar 2021 ergangenen Urteil (und innerhalb der Frist nach <ref-law>) nicht möglich gewesen wäre, die angerufenen medizinischen Akten einzureichen und zu kommentieren, zeigt der Gesuchsteller nicht auf und ist auch nicht ersichtlich. So reicht es dafür namentlich nicht aus, wenn er sich bloss auf seine subjektive (Falsch) Einschätzung beruft, wonach die pauschale Berufung auf eine Arbeitsunfähigkeit zu 100 % und ein Arbeitsunfähigkeitszeugnis, das eine Arbeitsunfähigkeit zu 100 % wegen "Krankheit" attestiert, geeignet sein sollte, hinreichend konkret darzutun, inwiefern der Gesuchsteller im Sinne von <ref-law> unverschuldeterweise abgehalten worden wäre, fristgerecht eine mit einer Begründung versehene Beschwerde gegen das Urteil des Obergerichts vom 8. Oktober 2020 einzureichen oder einreichen zu lassen, und es nicht erforderlich sei, dazu konkretere Angaben zu machen und weitere Beweismittel einzureichen. Dies gilt umso mehr, als die bundesgerichtliche Praxis, die sich durch zahlreiche, auf Internet zugängliche Entscheide und die Literatur erschliessen lässt, die von <ref-law> aufgestellte Voraussetzung, wonach die Partei ohne ihre Schuld von der fristgerechten Handlung abgehalten worden ist, sehr streng handhabt (vgl. dazu AMSTUTZ/ARNOLD, a.a.O., N. 5 zu <ref-law> mit zahlreichen Hinweisen), was den Gesuchsteller dazu hätte veranlassen müssen, die unverschuldete Unmöglichkeit der fristgerechten Einreichung der Beschwerdebegründung vor dem Abschluss des Verfahrens 4A_596/2020 (bzw. innerhalb der Frist nach <ref-law>) zu konkretisieren und zu belegen. Die Revision dient nicht dazu, Fehler und Unterlassungen der Prozessparteien nachträglich korrigieren zu können (Urteil 8F_2/2011 vom 21. Dezember 2011 E. 2).
Soweit sich der Gesuchsteller auf den Revisionsgrund nach Art. 123 Abs. 2 lit. a beruft, ist sein Revisionsgesuch damit abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
4.
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten dem Gesuchsteller aufzuerlegen (<ref-law>).
Parteientschädigungen sind nicht zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, und der B._ AG schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. August 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Widmer