Faits :
A.
A.a. A._ (ci-après: l'employée), née en 1974, a été engagée par l'Hôpital X._ (ci-après: l'Hôpital X._) en qualité d'infirmière dès le 1 er janvier 2008 et promue infirmière-cheffe d'unité de soins (ICUS) le 1er juin 2012. Elle a été licenciée avec effet immédiat par décision du 13 septembre 2016 et le versement de son traitement a cessé dès le 14 septembre 2016. Saisie d'un recours contre la décision de licenciement, la Ire Cour administrative du Tribunal cantonal du canton de Fribourg (ci-après: la Ire Cour administrative) l'a annulée et a ordonné la réintégration de l'employée au sens des considérants (arrêt du 18 août 2017, confirmé par arrêt de la cour de céans 8C_670/2017 du 19 juillet 2018).
A.b. L'employée a été réintégrée le 1er octobre 2018 au sein du service de chirurgie de l'Hôpital X._, avec reprise du versement de son traitement dès cette date. Entre le 14 septembre 2016 et le 1er octobre 2018, elle avait bénéficié du chômage et avait travaillé à un taux d'activité variable pour divers employeurs.
A.c. Le 15 novembre 2018, estimant qu'elle devait être replacée dans la position qui aurait été la sienne si elle avait pu conserver son poste, l'employée a réclamé à l'Hôpital X._ le versement d'un montant de 51'787 fr. 75, correspondant à la perte salariale qu'elle avait subie du 1er octobre 2016 au 31 août 2018 plus les allocations familiales qu'elle n'avait pas touchées durant cette même période. Par courrier du 6 juin 2019, l'Hôpital X._ lui a répondu que "nous n'entrerons pas en matière sur la demande d'indemnité, l'affaire ayant été tranchée définitivement par les Tribunaux, qui ont ordonné la réintégration, excluant par la même occasion l'octroi d'une quelconque indemnité".
Par courriers du 16 juillet 2019, du 17 septembre 2019 et du 14 novembre 2019, l'employée a demandé qu'une décision formelle fût rendue. Le 28 novembre 2019, l'Hôpital X._ lui a répondu qu'il avait refusé d'entrer en matière sur la demande d'indemnité par décision du 6 juin 2019, laquelle était désormais entrée en force.
B.
L'employée a interjeté recours auprès de la Ire Cour administrative, en concluant à l'annulation de la "décision" du 28 novembre 2019 et, principalement, à la reconnaissance et à l'octroi du montant brut de son traitement pour la période du 14 septembre 2016 au 1er octobre 2018, allocations familiales et cotisations LPP en sus, avec intérêts à 5 % l'an dès la date moyenne du 22 septembre 2017. L'Hôpital X._ a conclu principalement à l'irrecevabilité du recours et subsidiairement à son rejet.
Par arrêt du 16 juillet 2021, la cour cantonale a partiellement admis le recours dans le sens des considérants; elle a renvoyé l'affaire à l'Hôpital X._ pour qu'il calcule, en exécution des décisions judiciaires, la rémunération à laquelle l'employée peut prétendre pour la période comprise entre la résiliation des rapports de travail et sa réintégration puis rende une décision.
C.
L'Hôpital X._ interjette un recours en matière de droit public contre cet arrêt, en concluant principalement à sa réforme en ce sens que le recours cantonal soit déclaré irrecevable, subsidiairement rejeté. A titre subsidiaire, il conclut à l'annulation de l'arrêt entrepris et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il sollicite en outre l'octroi de l'effet suspensif au recours. L'intimée conclut principalement à l'irrecevabilité du recours et subsidiairement à son rejet, ainsi qu'au rejet de la requête d'effet suspensif. La cour cantonale a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
1.1. L'arrêt attaqué concerne des rapports de travail de droit public au sens des art. 83 let. g et 85 al. 1 let. b LTF. Il tranche une contestation pécuniaire (cf. art. 83 let. g LTF) et la valeur litigieuse dépasse largement le seuil de 15'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et 85 al. 1 let. b LTF) ouvrant la voie du recours en matière de droit public en ce domaine. La voie du recours en matière de droit public est donc en principe ouverte.
1.2.
1.2.1. Le recours est recevable contre les décisions finales, à savoir contre les décisions qui mettent fin à la procédure (art. 90 LTF), et contre les décisions partielles, soit celles qui statuent sur un objet dont le sort est indépendant de celui qui reste en cause (art. 91 let. a LTF) ou qui mettent fin à la procédure à l'égard d'une partie des consorts (art. 91 let. b LTF).
1.2.2. Les décisions préjudicielles et incidentes autres que celles concernant la compétence ou les demandes de récusation (cf. art. 92 LTF) ne peuvent faire l'objet d'un recours que si elles peuvent causer un préjudice irréparable (art. 93 al. 1 let. a LTF) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (art. 93 al. 1 let. b LTF). En règle générale, une décision de renvoi ne met pas fin à la procédure (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 2) et n'est pas non plus de nature à causer un préjudice irréparable aux parties (<ref-ruling> consid. 5.2.2). Néanmoins, si l'arrêt de renvoi ne laisse aucune latitude de jugement à l'autorité administrative appelée à statuer (à nouveau), il est assimilé à une décision finale et peut, de ce fait, faire l'objet d'un recours en matière de droit public (<ref-ruling> consid. 1.2 précité; <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 1.1).
1.2.3. En l'espèce, l'arrêt entrepris, qui renvoie la cause au recourant pour qu'il procède au calcul de la rémunération à laquelle l'intimée peut prétendre pour la période comprise entre la résiliation des rapports de travail et sa réintégration, ne laisse aucune marge de manoeuvre au recourant et doit donc être assimilé à une décision finale (cf. arrêt 8C_546/2020 du 25 janvier 2021 consid. 1.2.3).
1.3. La jurisprudence concernant la recevabilité du recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF, notamment art. 89 al. 1 LTF) admet que la collectivité publique, en tant qu'employeur, n'agit certes pas au même titre qu'un particulier dans une contestation découlant de rapports de travail régis par le droit public, mais qu'elle a néanmoins un intérêt spécifique digne de protection à l'annulation ou à la modification d'une décision d'un tribunal favorable à son agent; la collectivité publique se trouve en effet dans une situation juridique analogue à celle d'un employeur privé parce que les prestations pécuniaires qu'elle conteste devoir fournir (notamment un salaire ou une indemnité pour licenciement abusif) pourraient être dues par tout employeur dans une situation comparable (<ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 2.3 et les références).
1.4. Il s'ensuit que l'arrêt entrepris, rendu par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF), peut être attaqué par la voie du recours en matière de droit public. Il y a donc lieu d'entrer en matière sur le recours, lequel a été interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises par la loi (art. 42 LTF).
2.
2.1. Le Tribunal fédéral, qui est un juge du droit, conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente, il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées et la correction du vice susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
2.2. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Toutefois, il n'examine la violation de droits fondamentaux ainsi que celle de dispositions de droit cantonal et intercantonal que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF). Sauf exceptions non pertinentes en l'espèce (cf. art. 95 let. c, d et e LTF), on ne peut pas invoquer la violation du droit cantonal ou communal en tant que tel devant le Tribunal fédéral (art. 95 LTF a contrario). En revanche, il est toujours possible de faire valoir que sa mauvaise application constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2). Appelé à revoir l'application ou l'interprétation d'une norme cantonale ou communale sous l'angle de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motif objectif et en violation d'un droit certain (<ref-ruling> consid. 5.2). En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale n'est pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution éventuellement plus judicieuse paraît possible (<ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 7.1).
3.
La cour cantonale a exposé qu'était litigieux le point de savoir si l'intimée, dont le licenciement immédiat avait été annulé et la réintégration ordonnée par arrêt du tribunal cantonal du 18 août 2017 (confirmé par arrêt du Tribunal fédéral du 19 juillet 2018), pouvait prétendre au versement de son salaire pour la période comprise entre son licenciement prononcé le 13 septembre 2016 et sa réintégration au sein de l'établissement hospitalier le 1er octobre 2018.
Se référant à un arrêt genevois rendu dans un cas similaire (arrêt de la Cour de justice de la République et canton de Genève ATA/648/2020 du 7 juillet 2020), confirmé par le Tribunal fédéral (arrêt 8C_546/2020 du 25 janvier 2021), dont ils ont déclaré partager les considérants, les juges cantonaux ont considéré que comme la décision de licenciement immédiat avait été annulée, les rapports de travail de l'intimée avec le recourant n'avaient pas cessé. L'intimée pouvait donc en principe prétendre au versement de son salaire durant la phase comprise entre la résiliation des rapports de travail et sa réintégration, et le recourant se devait, en exécution des arrêts du 18 août 2017 et du 19 juillet 2018, de régler la situation salariale de sa collaboratrice pour la période précitée. Partant, le refus du recourant d'entrer en matière sur ce qu'il avait considéré comme une demande d'indemnité relevait d'une erreur d'interprétation des décisions judiciaires précitées. Cela étant, force était de constater que malgré les demandes répétées de l'intimée tendant au versement de son salaire, le recourant n'avait pas statué sur cet objet et avait ainsi commis un déni de justice au sens de l'art. 111 du Code de procédure et de juridiction administrative du 23 mai 1991 (CPJA; RS/FR 150.1).
L'instance précédente a ainsi considéré que le recours de l'intimée devait être admis en tant qu'il portait sur le défaut de décision et qu'il devait être constaté que l'intimée avait droit au versement de son salaire durant la phase comprise entre son licenciement et sa réintégration. L'affaire devait être renvoyée au recourant pour qu'il calcule la rémunération à laquelle l'intimée pouvait prétendre, étant entendu que les gains qu'elle avait réalisés durant la période où elle s'était trouvée libérée de son obligation de travailler au service du recourant devraient être rapportés, déduction faite des indemnités journalières perçues qui devraient le cas échéant être remboursées à l'assurance-chômage.
4.
4.1. Dans un grief d'ordre formel qu'il sied de traiter en premier lieu, le recourant reproche aux premiers juges d'avoir violé son droit d'être entendu en ne se déterminant pas suffisamment sur son argumentation relative aux motifs pour lesquels le recours cantonal de l'intimée serait irrecevable, à savoir que le courrier du 6 juin 2019 ne pourrait être compris que comme une décision de refus de prestations, fondée sur l'autorité de chose jugée des décisions judiciaires antérieures, qui serait entrée en force faute d'avoir été attaquée.
4.2. La jurisprudence a notamment déduit du droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. l'obligation pour l'autorité de motiver sa décision, afin que le justiciable puisse en saisir la portée et, le cas échéant, l'attaquer en connaissance de cause. Pour satisfaire à cette exigence, il suffit que l'autorité mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé sa décision (<ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 5.2). Elle n'a pas l'obligation de discuter tous les moyens invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter aux questions décisives (<ref-ruling> consid. 4.2).
4.3. En l'espèce, il ressort de la motivation de l'arrêt attaqué qu'aux yeux de la juridiction cantonale, le courrier du 6 juin 2019 - dans lequel le recourant s'est borné à indiquer que "nous n'entrerons pas en matière sur la demande d'indemnité, l'affaire ayant été tranchée définitivement par les Tribunaux, qui ont ordonné la réintégration, excluant par la même occasion l'octroi d'une quelconque indemnité" - ne constituait pas une décision, mais un refus de statuer sur les prétentions en paiement de l'intimée. Force est de constater que les juges cantonaux ont ainsi suffisamment exposé les motifs pour lesquels l'argumentation du recourant relative à la prétendue irrecevabilité du recours cantonal de l'intimée - argumentation qu'ils ont rappelée dans leur arrêt - devait être écartée. Il s'ensuit que le grief de violation du droit d'être entendu doit être rejeté, sans qu'il y ait lieu d'examiner la pertinence de la motivation en question. En effet, le recourant n'expose pas en quoi la cour cantonale aurait fait une application arbitraire du droit cantonal (cf. consid. 2.2 supra) en considérant que le courrier du 6 juin 2019 ne constituait pas une décision, étant rappelé que selon l'art. 66 al. 1 CPJA, la décision doit notamment contenir une motivation, un dispositif et l'indication des voies de droit.
5.
5.1. Le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir violé le principe de l'autorité de la chose jugée de manière crasse, par une interprétation arbitraire du droit cantonal - en particulier de la loi sur le personnel de l'État du 17 octobre 2001 (LPers; RS/FR 122.70.1) - et en contradiction avec les considérants des décisions judiciaires précédentes, en ne retenant pas que les arrêts des 18 août 2017 et 19 juillet 2018 avaient tranché exhaustivement le litige l'opposant à son employée. Il fait valoir que dans son arrêt du 18 août 2017, le tribunal cantonal n'a pas constaté une quelconque nullité de la décision de renvoi avec effet immédiat, mais a annulé cette décision et a ordonné la réintégration de l'intimée au sens des considérants, soit en impartissant au recourant un délai de deux mois dès l'entrée en force de cet arrêt pour procéder à la réintégration de l'intimée au sein de l'un de ses services. Il en déduit que le litige entre les parties aurait été définitivement tranché par l'arrêt de la juridiction cantonale, confirmé par le Tribunal fédéral, en ce sens que la réintégration était ordonnée "pro futuro", et non rétroactivement, et que le recourant n'avait pas à payer une quelconque rémunération à l'intimée pour la période comprise entre le prononcé du licenciement et la date effective de sa réintégration. Ce serait ainsi à raison que le recourant a refusé d'entrer en matière sur les prétentions pécuniaires de l'intimée, le droit fribourgeois ne permettant pas un cumul de prétentions en réintégration et en paiement d'une indemnité pour renvoi injustifié selon l'art. 41 LPers (cf. arrêt 8C_265/2018 du 29 novembre 2018 consid. 1.3).
5.2. L'autorité de la chose jugée (ou force de chose jugée au sens matériel [materielle Rechtskraft]) interdit de remettre en cause, dans une nouvelle procédure, entre les mêmes parties, une prétention identique qui a été définitivement jugée (<ref-ruling> consid. 2.1 et les références). Il y a identité de l'objet du litige quand, dans l'un et l'autre procès, les parties soumettent au tribunal la même prétention, en reprenant les mêmes conclusions et en se basant sur le même complexe de faits (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 3.2.3). Pour savoir si ces conclusions ont été définitivement tranchées dans un jugement précédent, il convient de se fonder sur le dispositif dudit jugement, qui définit l'étendue de la chose jugée au sens matériel (<ref-ruling> consid. 4.2 précité; <ref-ruling> consid. 2.2; arrêt 9C_292/2019 du 29 janvier 2020 consid. 3.2 et les références). Selon la jurisprudence, l'autorité de la chose jugée relève du droit fédéral pour autant que les prétentions déduites en justice se fondent sur ce droit (<ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 2) et du droit cantonal lorsque les prétentions en cause reposent sur le droit cantonal (<ref-ruling> consid. 4.2 précité; arrêt 8C_816/2015 du 12 septembre 2016 consid. 3.2).
5.3. En l'espèce, les prétentions litigieuses se fondent indiscutablement sur le droit cantonal, lequel régit donc la question de l'autorité de la chose jugée. Or le recourant ne démontre nullement en quoi la juridiction précédente aurait fait une application arbitraire de ce droit (cf. consid. 2.2 supra) en considérant, par renvoi aux motifs retenus dans une affaire genevoise similaire (cf. consid. 3 supra), que les décisions de justice antérieures ne tranchaient que la question de la réintégration - laquelle excluait certes une indemnité pour licenciement injustifié selon l'art. 41 LPers, comme les juges cantonaux l'ont eux-mêmes relevé dans l'arrêt entrepris - et non celle de la situation salariale de l'intimée pendant la période comprise entre son licenciement et sa réintégration.
6.
6.1. Sur le fond, le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir retenu que les rapports de travail n'avaient pas cessé en se référant à une jurisprudence rendue dans une affaire genevoise dont les faits seraient largement différents de ceux du cas d'espèce. Selon le recourant, le raisonnement des premiers juges procéderait d'une constatation arbitraire des faits en tant qu'il omettrait de prendre en compte plusieurs éléments décisifs. Premièrement, dans son arrêt du 18 août 2017, le tribunal cantonal aurait ordonné la réintégration "pro futuro" de l'intimée, alors que dans le cas genevois, la juridiction cantonale aurait ordonné la réintégration avec effet rétroactif. Deuxièmement, le Tribunal fédéral avait accordé l'effet suspensif au recours formé contre l'arrêt du 18 août 2017 en relevant expressément, dans son ordonnance d'effet suspensif du 8 novembre 2017, que l'intimée n'avait pas été réintégrée dans ses fonctions pendant la durée de la procédure cantonale, faute d'avoir formulé une requête en ce sens. Troisièmement, au contraire du cas genevois, l'intimée n'aurait pas offert ses services au recourant entre son licenciement et sa réintégration, ayant bien plutôt travaillé à un taux d'activité variable pour divers employeurs.
6.2. Dans l'affaire qui a donné lieu à l'arrêt 8C_546/2020 du 25 janvier 2021, la Cour de justice genevoise avait ordonné par arrêt du 2 avril 2019 la réintégration au sein de l'Hôpital Y._ d'un infirmier qui avait été licencié par décision du 13 octobre 2017. Ensuite de ce jugement, l'intéressé avait été réintégré à compter du 6 août 2019. Le 24 septembre 2019, il avait formulé auprès de l'Hôpital Y._ notamment des prétentions financières de 244'217 fr. 15 à titre d'arriéré de salaire. L'Hôpital Y._ ayant rejeté ses prétentions, il avait recouru auprès de la Cour de justice genevoise. Par arrêt du 7 juillet 2020, celle-ci a considéré que l'employé, qui avait été rétabli dans son statut de fonctionnaire de l'Hôpital Y._ ensuite de sa réintégration ordonnée par arrêt du 2 avril 2019, était réputé avoir continué à exercer sa fonction d'infirmier après le 13 octobre 2017 dans les mêmes conditions qu'auparavant et avait donc droit à son traitement notamment pour la période comprise entre le 13 octobre 2017 (date de la résiliation des rapports de service) et le 28 mai 2019 (date de l'entrée en force du jugement ordonnant sa réintégration).
Le Tribunal fédéral a rejeté le recours interjeté par l'Hôpital Y._ contre l'arrêt du 7 juillet 2020. Il a relevé qu'on ne voyait pas en quoi les juges cantonaux auraient fait une application arbitraire du droit cantonal en admettant les prétentions de l'employé en paiement de son salaire pour la période allant de la date de la résiliation des rapports de service à celle de l'entrée en force du jugement ordonnant sa réintégration; en effet, la reconnaissance d'un droit au paiement du traitement qui aurait été dû si les rapports de service n'avaient jamais cessé découlait de la notion même de réintégration, en l'absence de disposition qui exclurait le droit à un traitement rétroactif en cas de réintégration ordonnée par l'autorité judiciaire (arrêt 8C_546/2020 du 25 janvier 2021 consid. 6.3.4).
6.3. Au vu de cette jurisprudence, on ne voit pas en quoi la juridiction précédente aurait fait une application arbitraire du droit cantonal en admettant les prétentions de l'intimée en paiement de son salaire pour la période comprise entre le prononcé du licenciement et la date effective de sa réintégration, en l'absence de disposition qui exclurait le droit à un traitement rétroactif en cas de réintégration ordonnée par l'autorité judiciaire. Les griefs de constatation arbitraire des faits soulevés à cet égard par le recourant (cf. consid. 6.1 supra) tombent à faux. En effet, dans le cas genevois, contrairement à ce que soutient le recourant, la cour cantonale n'avait pas ordonné la réintégration de l'intéressé avec effet rétroactif. D'ailleurs, un ordre de réintégration ne peut être exécuté qu'ex nunc, à tout le moins, en droit fribourgeois, lorsqu'il y a eu cessation de fait des rapports de service (cf. art. 41 LPers) en l'absence d'effet suspensif (cf. art. 84 CPJA) du recours contre la décision de licenciement. Ainsi, que l'intimée n'ait pas été réintégrée dans ses fonctions pendant la durée de la procédure cantonale ne change rien au fait qu'une fois la réintégration ordonnée par arrêt entré en force, elle a droit au paiement du salaire qui aurait été dû si les rapports de service n'avaient jamais cessé. Pour les mêmes motifs, le fait que l'intimée n'aurait pas offert ses services au recourant après avoir été licenciée apparaît dénué de pertinence.
7.
Il résulte de ce qui précède que le recours, mal fondé, doit être rejeté. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). L'intimée a droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF). Son mandataire conclut à ce qu'ils soient fixés à 5000 fr. sans produire de note d'honoraires. Les dépens doivent être fixés en application des art. 1, 2, 3, 4 et 12 du règlement du 31 mars 2006 sur les dépens alloués à la partie adverse et sur l'indemnité pour la représentation d'office dans les causes portées devant le Tribunal fédéral (RS 173.110.210.3); au vu - en particulier - de la valeur litigieuse de la cause et de son absence de complexité, les dépens seront fixés en l'espèce au forfait usuel de 2800 fr., TVA comprise. Le présent arrêt sur le fond rend sans objet la demande d'effet suspensif présentée par le recourant.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'effet suspensif est sans objet.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le recourant versera à l'intimée la somme de 2800 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la I re Cour administrative du Tribunal cantonal du canton de Fribourg.
Lucerne, le 13 janvier 2022
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Wirthlin
Le Greffier : Ourny