Faits :
A.
X._ exerce la profession d'avocat à Genève. Il est associé de l'étude "Avocats X._ SA" (ci-après: l'étude). A._ a été engagé par l'étude le 4 avril 2017 en qualité d'avocat stagiaire, sous la responsabilité de X._.
Le 19 avril 2017, A._ a transmis à la Commission du barreau du canton de Genève (ci-après: la Commission du barreau) la preuve du paiement de la somme de 100 fr. en vue de son inscription dans le registre des avocats stagiaires genevois. Le 20 avril 2017, la Commission du barreau a indiqué à X._ qu'elle ne pouvait pas inscrire A._ dans le registre précité, en raison du fait qu'un avocat ne pouvait pas avoir sous sa responsabilité plus de deux avocats stagiaires en même temps. Or, tel était le cas de l'intéressé, qui était déjà le maître de stage de B._ et C._. Le 21 avril 2017, X._ a contesté le point de vue de la Commission du barreau et a demandé à celle-ci d'inscrire A._ dans le registre des avocats stagiaires.
B.
Par décision du 27 avril 2017, la Commission du barreau a maintenu sa position et refusé d'inscrire A._ dans le registre des avocats stagiaires genevois. Le 29 mai 2017, X._ a recouru contre cette décision auprès de la Chambre administrative de la Cour de Justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de Justice), en concluant à son annulation. Le recours était signé par A._, excusant son maître de stage. Interpellé par la Cour de justice sur ce point, X._ a précisé que son collaborateur avait été inscrit au registre des avocats stagiaires le 29 mai 2017. En effet, B._ avait terminé son stage sous la responsabilité de X._ le 26 mai 2017, ce qui avait permis à A._ de commencer le sien le 29 mai 2017.
Par arrêt du 21 novembre 2017, la Cour de Justice a déclaré irrecevable le recours formé par X._. Les juges cantonaux ont considéré, en substance, que l'intéressé n'avait plus aucun intérêt actuel à recourir, dans la mesure où A._ avait été inscrit au registre des avocats stagiaires le 29 mai 2017.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'art. 12 al. 3 du règlement d'application de la loi genevoise sur la profession d'avocat, de le "modifier dans le sens des considérants du TF", d'annuler l'arrêt de la Cour de Justice du 21 novembre 2017 et de renvoyer la cause à cette autorité pour qu'elle se prononce sur le fond de l'affaire.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours portés devant lui (<ref-ruling> consid. 2 p. 59).
1.1. L'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>). Il peut donc en principe faire l'objet d'un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral, aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'étant réalisée.
1.2. Le recourant, qui était le destinataire de l'arrêt entrepris, a un intérêt digne de protection à en demander l'annulation, dès lors que ledit arrêt refuse d'entrer en matière sur son recours du 29 mai 2017; cela indépendamment et sans préjudice du motif d'irrecevabilité retenu par la Cour de justice, qui constitue l'objet de la contestation devant le Tribunal fédéral (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 148). Partant, il faut reconnaître à l'intéressé la qualité pour recourir dans la présente procédure au sens de l'<ref-law>.
Au surplus, le recours a été déposé en temps utile, compte tenu des féries (art. 46 al. 1 let. c et 100 al. 1 LTF), et dans les formes prescrites (<ref-law>). Il est donc recevable, sous réserve de ce qui suit.
1.3. Le dispositif de l'arrêt attaqué prononce l'irrecevabilité de la cause. Par conséquent, conformément à l'exigence d'épuisement des instances cantonales, le présent recours ne peut porter que sur cette question (cf. art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF; arrêt 2C_841/2016 du 25 août 2017 consid. 1.1.5). Le fond, à savoir l'inscription de A._ dans le registre des avocats stagiaires genevois, n'a en revanche pas à être traité (arrêt 2C_776/2016 du 17 juillet 2017 consid. 1.4). Au demeurant, la conclusion du recourant relative à l'annulation et à la modification de "l'art. 12 al. 3 du règlement d'application de la loi genevoise sur la profession d'avocat" est de toute façon irrecevable, car la contestation ne porte pas sur le contrôle abstrait du règlement en question, mais sur son application au cas d'espèce.
2.
Est litigieux le point de savoir si la Cour de Justice était en droit de déclarer irrecevable le recours déposé par l'intéressé le 29 mai 2017, faute d'intérêt actuel à recourir de celui-ci. Concernant cette question, le recourant invoque une application arbitraire de l'art. 60 al. 1 de la loi genevoise sur la procédure administrative du 12 septembre 1985 (LPA/GE; RS/GE E 5 10), ainsi qu'une violation de l'<ref-law>.
2.1. Aux termes de l'<ref-law>, la qualité de partie à la procédure devant toute autorité cantonale précédente doit être reconnue à quiconque a qualité pour recourir devant le Tribunal fédéral. Il en résulte que la qualité pour recourir ne peut pas s'apprécier de manière plus restrictive devant les autorités cantonales que devant le Tribunal fédéral, les cantons demeurant libres de concevoir cette notion de manière plus large (<ref-ruling> consid. 2.1.1 p. 164). En l'occurrence, le recourant ne prétend pas que le droit cantonal définissant la qualité pour recourir (art. 60 LPA/GE) serait plus large que le droit fédéral (<ref-law>) sur ce point. Il convient donc d'analyser la qualité pour recourir de l'intéressé sous l'angle de l'<ref-law> (cf. arrêt 1C_476/2015 du 3 août 2016 consid. 3.1 et 1C_33/2011 du 12 juillet 2011 consid. 2.1). S'agissant de droit fédéral, le Tribunal fédéral examine cette question librement.
2.2. L'<ref-law> exige notamment que le recourant ait un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (let. c). Selon la jurisprudence tirée de cette disposition, cet intérêt doit être actuel et exister tant au moment du dépôt du recours qu'à celui où l'arrêt est rendu (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 41; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 299). Cela dit, il y a lieu de faire exceptionnellement abstraction de l'exigence d'un intérêt actuel, lorsque la contestation peut se reproduire en tout temps dans des circonstances identiques ou analogues, que sa nature ne permet pas de la trancher avant qu'elle ne perde son actualité et que, en raison de sa portée de principe, il existe un intérêt public suffisamment important à la solution de la question litigieuse (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 208; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 103).
2.3. En l'espèce, le recourant soutient qu'il y aurait lieu de faire abstraction de l'exigence d'un intérêt actuel à l'examen de la question litigieuse. Il fonde ses critiques sur la "portée de principe" de celle-ci et relève que la problématique en question, relative à l'engagement d'un troisième avocat stagiaire sous sa responsabilité, est susceptible de se représenter ultérieurement, car il aurait "l'intention de continuer dans le futur à former des avocats stagiaires" (recours, p. 11). Bien qu'il expose ensuite les conditions pour renoncer à l'exigence d'un intérêt actuel, l'intéressé n'explique pas en quoi, au cas où la contestation devait se reproduire dans des circonstances analogues, la nature de celle-ci ne permettrait pas de la trancher avant qu'elle ne perde son actualité (cf. supra consid. 2.2 in fine). A ce sujet, il n'apparaît pas que les autorités judiciaires compétentes seraient nécessairement empêchées de statuer à temps sur la question en cas d'engagement d'un troisième collaborateur par le recourant. En effet, il est bien possible que l'avocat concerné engage à nouveau dans le futur plus de deux avocats stagiaires sous sa responsabilité et que cette situation perdure pendant un certain temps, en tout cas au moins pendant la durée du stage des collaborateurs en question. En réalité, dans le présent cas, c'est uniquement en raison du fait que B._ avait terminé son stage sous la responsabilité de X._ le 26 mai 2017, que A._ a pu être inscrit au registre des avocats stagiaires le 29 mai 2017 (cf. supra let. B). Or, rien ne permet de présumer - et le recourant ne le démontre pas non plus - que cette circonstance, qui a enlevé tout intérêt actuel au recours, se reproduirait également en cas de nouveau litige relatif à l'engagement d'un (troisième) avocat stagiaire par l'intéressé.
Dans ces circonstances, c'est à juste titre que la Cour de justice n'a pas dérogé à l'exigence d'un intérêt actuel au recours. Mal fondé, le grief y relatif doit être rejeté.
3.
Au regard de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable, ce qui rend sans objet la requête du recourant relative à "l'apport de l'entier des dossiers" des instances cantonales. Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, à la Commission du Barreau du canton de Genève et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre administrative, 1ère section.
Lausanne, le 27 mars 2018
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Ermotti