Faits :
A.
A.a. A._ travaillait en temps qu'aide de maison au service des nettoyages de B._. Le 13 juin 1996, elle a été victime d'un accident de la circulation, à la suite duquel elle a souffert de troubles au niveau de l'épaule droite ayant nécessité notamment une arthroscopie le 16 novembre 1996 (cf. protocole opératoire du 16 décembre 1996). Elle a perçu des prestations de son assureur-accidents (la Caisse Vaudoise, à laquelle a succédé Helsana Accidents SA [ci-après: Helsana]) en raison de cet événement.
A.b. Le 3 novembre 1997, A._ a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Après avoir recueilli l'ensemble des avis médicaux, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'Office AI) est parvenu à la conclusion que l'assurée n'était plus en mesure d'exercer son activité habituelle et que seule une activité en milieu protégé était envisageable (rapport initial du 21 décembre 2000). Aussi lui a-t-il a accordé une rente entière d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 83 % à compter du 1 er novembre 1997 (projet de décision du 30 avril 2002 et décision du 13 décembre 2002). De son côté, Helsana a alloué à A._ une rente complémentaire LAA, fondée sur le même taux d'invalidité de 83 %, à compter du 1 er janvier 2001 (décision du 9 octobre 2007).
A.c. Le droit à une rente entière de l'assurance-invalidité a été maintenu à l'issue de plusieurs procédures de révision (communications des 21 septembre 2005, 8 mars 2011 et 31 juillet 2013).
A.d. Par décision du 23 juin 2015, l'Office AI a suspendu le versement de la rente d'invalidité avec effet au 30 juin 2015. La suspension se fondait sur le résultat d'expertises orthopédique et psychiatrique mises en oeuvre par l'assureur-accidents dans le contexte d'une procédure de révision.
Le 9 septembre 2015, l'Office AI a rendu une nouvelle décision par laquelle il a supprimé le droit à la rente entière d'invalidité avec effet au 1 er octobre 2013.
B.
L'assurée a déféré la décision du 9 septembre 2015 à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud. Par jugement du 27 mars 2017, la cour cantonale a admis partiellement le recours en ce sens que le droit à la rente d'invalidité est supprimé avec effet au 1 er novembre 2015 (cause AI 273/15 - 90/2017). Statuant le même jour, le tribunal cantonal a débouté l'assurée dans la cause l'opposant à Helsana (cause AA 80/15 - 26/2017).
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre le jugement AI 273/15 - 90/2017 dont elle demande la réforme en concluant au maintien de son droit à la rente au-delà du 1 er octobre 2013. Subsidiairement, elle conclut au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle instruction dans le sens des considérants. Par ailleurs, elle requiert l'effet suspensif à son recours, dans la mesure où le jugement attaqué lui imposerait de rembourser "les rentes versées prétendument à tort depuis le 1 er novembre 2015", et sollicite l'octroi de l'assistance judiciaire.
L'Office AI forme également un recours en matière de droit public. Il conclut à l'annulation du jugement cantonal AI 273/15 - 90/2017 et à la confirmation de sa décision du 9 septembre 2015. Il requiert en outre l'effet suspensif à son recours. A._ s'est déterminée sur le recours de l'Office AI par écriture du 4 juillet 2017.
La cour cantonale et l'Office fédéral de la santé publique ne se sont pas déterminés sur les recours.
D.
Par ordonnance du 1 er septembre 2017, le juge instructeur a admis les requêtes d'effet suspensif.

Considérant en droit :
1.
Les recours sont dirigés contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Ils ont été déposés dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Ils sont donc recevables.
2.
Les deux recours déposés céans sont dirigés contre le même jugement, concernent des faits de même nature et ils portent sur des questions juridiques communes. Il se justifie par conséquent de joindre les causes et de les liquider en un seul arrêt (<ref-ruling> consid. 1.2 in fine p. 296; <ref-ruling> consid. 1 p. 60 s. et les références).
3.
Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral fonde son raisonnement sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>).
4.
Le jugement entrepris expose de manière complète les règles légales et les principes jurisprudentiels en matière de révision au sens de l'<ref-law>; il suffit d'y renvoyer.
5.
En résumé, la cour cantonale a considéré que l'état de santé de l'assurée s'était amélioré depuis l'attribution de la rente et que les conditions d'une révision au sens de l'<ref-law> étaient réunies. En effet, initialement, la rente entière d'invalidité était justifiée par l'impotence fonctionnelle qui frappait le membre supérieur droit et empêchait toute activité impliquant l'usage de celui-ci. Désormais, il ressortait des conclusions du docteur C._, combinées avec celles du docteur D._, que l'assurée ne présentait plus de trouble incapacitant au niveau de ce membre. La juridiction précédente a retenu en outre que l'analyse de la documentation médicale au dossier ne permettait pas d'aboutir à une autre conclusion.
6.
L'assurée conteste toute amélioration de son état de santé et se plaint d'une mauvaise appréciation des pièces médicales. Elle reproche aux premiers juges de s'être ralliés à l'avis du docteur C._, dont les constatations "hasardeuses et partiales" seraient contredites par plusieurs médecins, à savoir par le docteur E._, spécialiste en médecine interne générale (rapport du 5 mars 2015), le docteur F._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur (rapport 20 février 2015), la doctoresse G._, spécialiste en radiologie (rapport d'IRM du 10 février 2015), ainsi que par la physiothérapeute H._ (rapport du 22 septembre 2014). Cela étant, elle invoque également la violation de son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.) en faisant grief à l'instance précédente d'avoir refusé de compléter l'instruction, notamment en auditionnant les médecins précités et en soumettant leurs rapports au docteur C._ pour qu'il se détermine sur leur contenu.
7.
La violation du droit d'être entendu dans le sens invoqué par l'assurée est une question qui n'a pas de portée propre par rapport au grief tiré d'une mauvaise appréciation des preuves (voir arrêt 8C_15/2009 du 11 janvier 2010 consid. 3.2, in SVR 2010 IV n° 42 p. 132, et les arrêts cités). Le juge peut en effet renoncer à accomplir certains actes d'instruction, sans que cela n'entraîne une violation du droit d'être entendu, s'il est convaincu, en se fondant sur une appréciation consciencieuse des preuves (cf. <ref-ruling> consid. 3a p. 352), que certains faits présentent un degré de vraisemblance prépondérante et que d'autres mesures probatoires ne pourraient plus modifier cette appréciation (<ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 299; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 429). Il s'agit par conséquent d'un grief qu'il convient d'examiner avec le fond du litige.
8.
8.1. En l'occurrence, dans son rapport d'expertise, le docteur C._ retient une autolimitation et des incohérences manifestes et massives entre les plaintes de l'assurée, d'une part, et une certaine réalité fonctionnelle d'utilisation de son membre supérieur droit, d'autre part. A cet égard, il se dit "frappé par un status dans les limites de la norme à part une restriction de la mobilité active et passive, largement en-dessous de l'horizontale, alors que les amplitudes articulaires décrites par le médecin traitant en octobre 2012 [selon un rapport du docteur E._ du 26 octobre 2012] montrent des valeurs d'adduction à 110° (60° à ma consultation), une antépulsion à 100° (70° à ma consultation) ". Le docteur C._ ajoute n'avoir pas pu obtenir de rotation externe de l'épaule droite, passivement ou activement, de plus de 10°, contrairement au médecin traitant et alors que les mesures étaient pratiquement normales dans un autre rapport établi dix ans plus tôt. Compte tenu de la péjoration des valeurs de mobilité active et passive, il s'étonne de la conservation d'une excellente musculature brachiale et antébrachiale, de même que thénarienne et hypothénarienne "contrastant totalement avec la quasi impossibilité d'utiliser le bras droit et la main droite en raison des douleurs". Il oppose en outre les valeurs mesurées (au Jamar et au Pinch), proches de celles d'une main paralytique, à la poignée de main de l'assurée, au fait qu'elle porte son sac pour le passer de la main droite à la main gauche et à la présence de callosités à l'intérieur de la main droite témoignant d'une bonne utilisation de celle-ci. Cela étant, il préconise de mesurer la mobilité passive de l'épaule droite sous narcose et conclut qu'il existe une ankylose séquellaire certaine de l'épaule droite mais dont il peine à expliquer l'importance. Enfin, aux questions d'Helsana (rapport d'expertise p. 13), il répond qu'il lui est impossible de déterminer clairement les limitations fonctionnelles actuelles de l'intéressée, compte tenu des incohérences et de l'autolimitation constatée, et qu'il ne peut, pour les mêmes raisons, attester que l'état de santé de cette dernière s'est amélioré.
8.2. Contrairement à ce qu'on retenu les premiers juges, on ne peut pas déduire de ce rapport d'expertise, singulièrement du reproche d'autolimitation, l'absence de tout trouble incapacitant et le recouvrement par l'assurée d'une pleine capacité de travail dans son activité habituelle. En effet, le rapport ne permet pas de statuer en connaissance de cause sur les limitations fonctionnelles de l'intéressée. Il laisse également subsister d'autres incertitudes quant à la situation médicale. En particulier, on ignore si les diagnostics posés par le docteur C._ (contusion de l'épaule droite, avec possible lésion du tendon du sus-épineux et probable désinsertion partielle du bourrelet antérosupérieur de l'épaule droite, probable capsulite rétractile ou arthrofibrose postopératoire après chirurgie arthroscopique) se rapportent à la situation médicale antérieure ou actuelle. En outre, les diagnostics qualifiés de "possible" ou "probable" n'ont pas donné lieu à des investigations complémentaires, alors que l'IRM la plus récente datait de l'année 2002 selon le rapport d'expertise et comme le souligne à juste titre l'assurée. Enfin, le docteur C._ n'a pas eu l'occasion de se prononcer sur la nouvelle IRM de l'épaule droite pratiquée en février 2015, laquelle a pourtant mis en évidence une amyotrophie de grade II à III du sus-épinieux, du sous-épineux et du petit rond. Dans ces conditions, la cour cantonale a fait preuve d'arbitraire en refusant, par une appréciation anticipée des preuves, de compléter l'instruction, cela d'autant moins que l'Office AI n'avait lui-même entrepris aucune mesure médicale lors de la procédure de révision.
8.3. Le rapport complémentaire du 24 avril 2015 ne permet pas d'aboutir à une autre conclusion. Si, après avoir visualisé les images ressortant d'un mandat de surveillance de l'assurée (rapport d'observation du 15 octobre 2013), le docteur C._ fait état, cette fois, d'une nette amélioration de l'état de santé et d'une pleine capacité de travail comme aide de maison, il n'en reste pas moins qu'il indique n'être toujours pas en mesure de décrire exactement les limitations actuelles de l'intéressée. A ce propos, il renvoie à son expertise du 11 octobre 2013 en rappelant que "concernant la mobilité de l'épaule droite, seule la mesure des amplitudes de l'articulation sous narcose permettrait d'objectiver la réelle restriction articulaire passive". En outre, le rapport d'observation permet tout au plus de constater que le bras droit de l'assurée n'est pas figé. Aux dires mêmes du détective, cette dernière n'a jamais été vue en effectuant de grands mouvements avec son bras, respectivement avec son épaule droite. Par conséquent, on ne peut pas en déduire que son état de santé se soit amélioré au point d'entraîner la suppression pure et simple de sa rente d'invalidité.
8.4. A l'inverse, il n'est pas possible d'exclure une modification notable de la situation médicale. En effet, le rapport d'expertise orthopédique fait état de signes patents d'utilisation du membre supérieur droit, ce que les rapports invoqués par l'assurée ne sont pas susceptibles de mettre en doute. Seul le docteur F._ évoque une impotence fonctionnelle "quasi complète" (rapport du 20 février 2015), mais l'avis de ce médecin, peu étayé, doit être pris avec circonspection, compte tenu du reproche d'autolimitation formulé par le docteur C._ et de l'appréciation de l'expert psychiatre, qui évoque la possibilité d'une simulation (cf. rapport d'expertise du 9 décembre 2014 p. 16).
8.5. Il y a lieu par conséquent d'annuler le jugement attaqué et de renvoyer la cause à la cour cantonale pour qu'elle ordonne la mise en oeuvre d'une expertise judiciaire, dans le but de clarifier la question de la capacité résiduelle de travail de l'assurée à l'aune des séquelles physiques constatées et des limitations qu'elles entraînent. Pour ce faire, il lui est loisible de coordonner ou non le complément d'instruction médical avec l'assureur-accidents (voir arrêt du Tribunal fédéral de ce jour dans la cause 8C_339/2017 qui oppose l'assurée à l'assureur-accidents). Dans cette mesure, le recours de l'assurée se révèle bien fondé.
9.
Il s'ensuit que le recours de l'Office AI - portant sur le moment où la suppression de la rente devait prendre effet - devient en l'état sans objet.
10.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires seront mis à la charge de l'Office AI (<ref-law>). La recourante a droit à une indemnité de dépens dont il convient de fixer le montant en tenant compte du fait que les griefs soulevés dans la cause 8C_340/2017 sont similaires dans la cause parallèle 8C_339/2017, dans laquelle elle a également droit à des dépens (<ref-law>).
La demande d'assistance judiciaire est dès lors sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 8C_340/2017 et 8C_341/2017 sont jointes.
2.
Le recours de A._ (8C_340/2017) est partiellement admis. Le jugement attaqué est annulé. La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle rende une nouvelle décision. Le recours est rejeté pour le surplus.
3.
La cause 8C_341/2017, devenue sans objet, est rayée du rôle.
4.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'200 fr., sont mis à la charge de l'Office AI.
5.
L'Office AI versera à A._ la somme de 2'000 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 1er février 2018
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Castella