Sachverhalt:
A.
B._ ist Eigentümer des Grundstücks Nr. 775, GB Menznau. Am 28. November 2017 wurde das Bauamt Menznau darauf aufmerksam gemacht, dass B._ Bauarbeiten vornehme. Gleichentags verfügte der Gemeinderat Menznau die sofortige Einstellung der Bauarbeiten. Am 5. Dezember 2017 reichte B._ ein Baugesuch für den Neubau der Trinkwasserversorgung auf dem Grundstück Nr. 775, GB Menznau, ein. A._, Eigentümer des Grundstücks Nr. 774, GB Menznau, erhob gegen das Bauvorhaben Einsprache. Mit Entscheid vom 5. Juli 2018 erteilte der Gemeinderat Menznau B._ die nachträgliche Baubewilligung für den Neubau eines Trinkwasserreservoirs mit Teilschacht und Verlegung von Wasserleitungen. Gleichzeitig eröffnete er den Entscheid der Dienststelle Raum und Wirtschaft des Kantons Luzern (Dienststelle rawi) vom 12. Juni 2018, mit welchem die kantonale Bewilligung für die Erstellung der Bauten und Anlagen ausserhalb der Bauzonen erteilt worden war.
Diese Entscheide focht A._ beim Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, an, welches die Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit Urteil vom 13. März 2019 abwies.
B.
Gegen dieses Urteil gelangt A._ mit Eingabe vom 3. Mai 2019 an das Bundesgericht und beantragt, das kantonsgerichtliche Urteil sei aufzuheben und das Baugesuch abzuweisen.
Das Kantonsgericht Luzern sowie die Dienststelle rawi verzichteten auf eine Vernehmlassung und stellen Antrag auf Abweisung der Beschwerde. Auch der Beschwerdegegner und der Gemeinderat Menznau beantragen im Rahmen ihrer Vernehmlassungen, die Beschwerde sei abzuweisen (soweit darauf einzutreten sei). Das Bundesamt für Raumentwicklung ARE verzichtete auf eine Vernehmlassung.
Zur in der Folge eingegangenen Stellungnahme des Beschwerdeführers äusserte sich der Beschwerdegegner erneut. Diese Stellungnahme wurde den anderen Verfahrensbeteiligten wiederum zugestellt, worauf der Beschwerdeführer noch einmal Stellung nahm, über welche die anderen Verfahrensbeteiligten in Kenntnis gesetzt wurden.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid im Bereich des Baurechts. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG); ein Ausnahmegrund ist nicht gegeben (<ref-law>). Der Beschwerdeführer nahm am vorinstanzlichen Verfahren teil und ist als direkter Nachbar des betroffenen Grundstücks und Adressat des angefochtenen Urteils gemäss <ref-law> zur Beschwerde legitimiert. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Soweit der Beschwerdeführer eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) rügt, weil die Vorinstanz trotz seines entsprechenden Vorbringens keine Interessenabwägung vorgenommen und ihr Urteil insoweit mangelhaft begründet habe, handelt es sich um eine Frage der Rechtsanwendung, auf welche nachfolgend einzugehen ist.
2.2. Weiter macht der Beschwerdeführer geltend, er habe im vorinstanzlichen Verfahren gestützt auf die Abklärungen eines Geologen/ Hydrogeologen vorgebracht, dass infolge der falschen Standortwahl für das neue Reservoir die Zirkulationsverhältnisse des Grundwasserleiters gestört bzw. das Quellwasser abgegraben worden sei. Zudem würden Leitungen im Bereich der Quellwasserfassung verlegt, welche nachteilige Auswirkungen auf die Quelle hätten. Mit diesem Vorbringen habe sich die Vorinstanz jedoch nicht auseinandergesetzt. Auch habe sie auf die Einvernahme des Geologen/Hydrogeologen als Zeugen ohne Begründung verzichtet. Damit habe die Vorinstanz gegen seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verstossen.
Dem vorinstanzlichen Urteil ist zu entnehmen, dass diese Vorbringen die privaten Quellenrechte des Beschwerdeführers betreffen würden und diesbezüglich die Rechtsbehelfe des Privatrechts zu ergreifen wären. Zwar hat sich die Vorinstanz demnach inhaltlich nicht mit den Vorbringen des Beschwerdeführers auseinandergesetzt, jedoch kann ihr nicht vorgeworfen werden, diesen mit seinen Vorbringen nicht gehört zu haben. Vielmehr erachtete sie sich als für die Beurteilung der vom Beschwerdeführer aufgeworfenen Fragen nicht zuständig, was sie entsprechend festhielt. Eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör im Sinne von <ref-law> ist nach dem Gesagten zu verneinen.
3.
Des Weiteren macht der Beschwerdeführer eine Verletzung von Art. 24 RPG (SR 700) und <ref-law> (SR 700.1) geltend.
3.1. Gemäss Art. 24 RPG können Bewilligungen abweichend von Art. 22 Abs. 2 lit. a RPG namentlich zur Errichtung von Bauten und Anlagen ausserhalb der Bauzonen erteilt werden, wenn deren Zweck einen Standort ausserhalb der Bauzone erfordert (lit. a) und keine überwiegenden Interessen entgegenstehen (lit. b). Eine Anlage ist im Sinne von Art. 24 lit. a RPG standortgebunden, wenn sie aus technischen oder betriebswirtschaftlichen Gründen auf einen Standort ausserhalb der Bauzone angewiesen oder wenn die Anlage aus bestimmten Gründen in einer Bauzone ausgeschlossen ist. Nach der bundesgerichtlichen Praxis muss jedoch ein Standort in der Bauzone nicht absolut ausgeschlossen sein. Es genügt vielmehr eine relative Standortgebundenheit, die dann zu bejahen ist, wenn gewichtige Gründe einen Standort in der Nichtbauzone gegenüber Standorten innerhalb der Bauzone als erheblich vorteilhafter erscheinen lassen (<ref-ruling> E. 7.6.1 S. 253 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 218; je mit Hinweisen). Diese beurteilen sich nach objektiven Massstäben, weshalb es grundsätzlich weder auf die subjektiven Vorstellungen und Wünsche des Einzelnen noch auf die persönliche Zweckmässigkeit oder Bequemlichkeit ankommen kann (<ref-ruling> E. 3.1 S. 68; <ref-ruling> E. 4a S. 255 f.; Urteile 1C_292/2019 vom 12. Mai 2020 E. 5.2; 1C_627/2018 vom 4. September 2019 E. 3.2; 1C_131/2019 vom 17. Juni 2019 E. 3.2.1; 1C_39/2017 vom 13. November 2017 E. 3.1; 1C_188/2016 vom 20. Oktober 2016 E. 4.1; je mit Hinweisen). Die Bejahung der relativen Standortgebundenheit setzt eine umfassende Interessenabwägung voraus, die sich mit derjenigen nach Art. 24 lit. b RPG überschneidet (<ref-ruling> E. 7.6.1 S. 253 f.; Urteile 1C_292/2019 vom 12. Mai 2020 E. 5.2; 1C_39/2017 vom 13. November 2017 E. 3.1; je mit Hinweisen). Dabei können nicht nur technische Aspekte, sondern auch Interessen des Natur-, Landschafts- und Ortsbildschutzes berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 4.3.3 S. 325 f.; <ref-ruling> E. 3.3 S. 69 f.; Urteil 1C_39/2017 vom 13. November 2017 E. 3.1 mit Hinweisen).
3.2. Die Vorinstanz führt mit Blick auf die Standortgebundenheit aus, es bedürfe keiner weiteren Erläuterung, dass die Fassung einer Quelle, die ausserhalb der Bauzonen liege, auf einen Standort ausserhalb der Bauzonen angewiesen sei. Darüber hinaus sei gerichtsnotorisch, dass sich der Beschwerdeführer und der Beschwerdegegner gegenseitig mit Rechtsbehelfen behinderten. Angesichts dessen sei das Bedürfnis des Beschwerdegegners nach einer eigenen Trinkwasserfassung ausgewiesen. Auch aus objektiver Sicht sei nicht zu beanstanden, dass der Beschwerdegegner zur Ausübung seines Quellenrechts eine eigene Trinkwasserfassung erstellen wolle. Dabei sei unerheblich, ob sein Grundstück heute noch landwirtschaftlich genutzt werde oder nicht. Die Möglichkeit, dass dieses landwirtschaftlich genutzt werden könne, reiche aus.
3.3. Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass sich das Trinkwasserreservoir in der Nähe der Quelle und daher ausserhalb der Bauzonen befinden müsse. Er macht jedoch geltend, seit über 100 Jahren bestehe ein Trinkwasserreservoir, in welches das gesamte Quellwasser eingeleitet werde. Dieses verfüge über eine einzige Widderanlage, erfülle seinen Zweck vollumfänglich und diene ihm weiterhin zur Wasserversorgung. Dass das bestehende Trinkwasserreservoir veraltet oder mangelhaft wäre, habe der Beschwerdegegner im vorinstanzlichen Verfahren nicht geltend gemacht. Es gehe vorliegend sodann weder um die Erneuerung noch den Ersatz des bestehenden Trinkwasserreservoirs, sondern vielmehr um die eigenmächtige Erstellung eines neuen zusätzlichen Reservoirs durch den Beschwerdegegner. Der Bau eines zweiten Trinkwasserreservoirs erweise sich jedoch als nicht standortgebunden. Zudem sei eine Standortabklärung nie erfolgt.
3.4.
3.4.1. Bereits in seinem Baubeschrieb und seinen Erläuterungen zum Baugesuch hatte der Beschwerdegegner festgehalten, seit dem Leiterwechsel im Betrieb des Beschwerdeführers vor etwa zehn Jahren sei es im Zusammenhang mit der gemeinsamen Wasserversorgung zu verschiedenen Vorkommnissen gekommen und sei die Trinkwasserversorgung seines Betriebs nicht mehr jederzeit gewährleistet. Mit dem Neubau des Trinkwasserreservoirs samt Teilschacht und der Verlegung von Wasserleitungen beabsichtige er, eine unabhängige und genügende Erschliessung seines Betriebs mit Trink- und Brauchwasser sowie eine eigenständige Trinkwasserversorgung sicherzustellen. Aus der Stellungnahme des Gemeinderats Menznau an die Vorinstanz geht hervor, dass dieser eine Lösung bei der Wasserversorgung als Grundlage dafür sehe, dass sich der Beschwerdeführer und der Beschwerdegegner bei geplanten Bauvorhaben nicht weiter gegenseitig blockierten. Ähnlich führte die Dienststelle rawi in ihrer Stellungnahme an die Vorinstanz aus, mit der Ausnahmebewilligung werde die bestehende Situation der Quellfassung und Wasserteilung, die in den letzten Jahren bei verschiedenen Baugesuchen zu Problemen und Verzögerungen geführt habe, entflochten.
Allfällige Unstimmigkeiten zwischen dem Beschwerdeführer und dem Beschwerdegegner und das daraus resultierende Bedürfnis des letzteren nach einer eigenen Trinkwasserfassung vermögen indes keine Standortgebundenheit im Sinne von Art. 24 lit. a RPG zu begründen, handelt es sich dabei doch um subjektive Gründe, welche im Rahmen der Beurteilung der Standortgebundenheit keinen Platz haben (vgl. oben E. 3.1). Solche Unstimmigkeiten hinsichtlich der Ausübung der Quellenrechte wären vielmehr auf zivilrechtlichem Weg statt über die Erteilung einer Ausnahmebewilligung gestützt auf Art. 24 RPG zu lösen.
3.4.2. Zwar hält die Vorinstanz fest, auch aus objektiver Sicht sei nicht zu beanstanden, dass der Beschwerdegegner zur Ausübung seines Quellenrechts eine eigene Trinkwasserfassung erstellen wolle. Jedoch führt sie nicht aus, worin diese objektiven Gründe bestehen sollen. Sie ergeben sich auch nicht aus den Vorbringen des Beschwerdegegners, wonach aufgrund des baulichen Zustands der bestehenden, zum Teil über hundertjährigen Anlagen, und der technisch nicht einwandfrei gelösten Zuteilung des Quellwassers ein unmittelbarer, aktueller Bedarf an der Erstellung der Baute bestehen soll. Auf den Zustand der bestehenden Anlagen kann es nämlich nicht ankommen; auch ein schlechter Zustand würde die Standortgebundenheit für eine neue Anlage nicht zu begründen vermögen, zumal der Beschwerdegegner nicht geltend macht, das bestehende Reservoir könne nicht saniert werden (vgl. Urteil A.259/1982 vom 4. Oktober 1983 E. 3b, in: ZBl 85 1984 S. 80). Im Übrigen hielt er im Rahmen seiner Erläuterungen zum Baugesuch fest, in den Jahren 1910 bis etwa 1950 seien zwei Widder vorhanden gewesen, in den 1950er Jahren habe die Wasserversorgung mit einer gemeinsamen Pumpstation eine Neuerung erfahren, im Jahr 1990 sei ein neues gemeinsames Reservoir eingebaut und im Jahr 2001 die Quellfassung saniert und neu gefasst worden. Mithin wurden weite Teile der Anlage im Lauf der Jahre erneuert. Die bestehende Anlage soll - soweit ersichtlich - denn auch bestehen bleiben und weiterhin der Wasserversorgung des Beschwerdeführers dienen. Mit den vorliegend streitgegenständlichen Bauten soll die bestehende Anlage lediglich um ein neues, dem Beschwerdegegner dienendes Trinkwasserreservoir mit Trennschacht und die dazugehörigen Wasserleitungen ergänzt werden.
3.4.3. Schliesslich führt der Beschwerdegegner im Rahmen seiner Vernehmlassung an das Bundesgericht aus, gemäss Dienstbarkeit aus dem Jahr 1943 bestünden zwei eigenständige Widderanlagen zur unabhängigen Versorgung der Betriebe mit Wasser ab der gemeinsamen Quelle. Mit dem Bau des Reservoirs, des Trennschachts und den dazugehörigen Erschliessungsleitungen werde dieser Sachverhalt mit neuster Technik wiederhergestellt und beide Betriebe hätten wieder eine unabhängige und eigenständige Wasserversorgung. Somit diene die Baute der Sicherung einer unabhängigen und genügenden Erschliessung der beiden Grundstücke mit Trink- und Brauchwasser.
Auch mit diesen Vorbringen vermag der Beschwerdegegner keine objektiven Gründe darzutun, dass die Wasserversorgung mit den bestehenden Anlagen ungenügend wäre und es eines neuen Trinkwasserreservoirs mit Trennschacht und der Verlegung von Wasserleitungen bedürfe. Dies gilt umso mehr, als die Grundstücke des Beschwerdeführers und des Beschwerdegegners seit den 1950er Jahren mittels der gemeinsamen Pumpstation versorgt werden (vgl. oben E. 3.4.2). Soweit der Beschwerdegegner die ungenügende und nicht eigenständige Wasserversorgung in dem für ihn versperrten Zugang zum Pumpschacht sieht, ist er wiederum auf den Zivilweg zu verweisen (vgl. oben E. 3.4.1).
3.5. Nach dem Gesagten ist ein objektiver, aktueller und tatsächlicher Bedarf für den Neubau des Trinkwasserreservoirs mit Teilschacht und Wasserleitungen nicht dargetan. Mit seinen Ausführungen vermag der Beschwerdegegner nicht aufzuzeigen, dass und weshalb die bestehenden Anlagen ihren Zweck nicht mehr zu erfüllen vermögen sollen und inwiefern ein Neubau notwendig ist bzw. die bestehende Anlage nicht revidiert, aufgerüstet oder ersetzt werden kann. Das grundsätzliche Bauverbot ausserhalb der Bauzone verbietet die Bereitstellung von Bauten und Anlagen über die tatsächlich standortgebundenen Bedürfnisse hinaus (RUDOLF MUGGLI, in: AEMISEGGER/MOOR/RUCH/TSCHANNEN [Hrsg.], Praxiskommentar RPG: Bauen ausserhalb der Bauzone, 2017, N. 12 zu Art. 24 RPG; WALDMANN/HÄNNI, Stämpflis Handkommentar, Raumplanungsgesetz, 2006, N. 11 zu Art. 24 RPG). Die Standortgebundenheit im Sinne von Art. 24 lit. a RPG ist daher zu verneinen.
Da die Voraussetzungen gemäss Art. 24 RPG kumulativ erfüllt sein müssen, erübrigt sich die Vornahme einer Interessenabwägung.
4.
Die Beschwerde ist somit gutzuheissen, das angefochtene Urteil des Kantonsgerichts Luzern aufzuheben und das nachträgliche Baugesuch des Beschwerdegegners abzuweisen. Vor diesem Hintergrund erübrigt es sich, die übrigen Vorbringen des Beschwerdeführers zu behandeln. Die Sache ist zur Prüfung der Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands an den Gemeinderat Menznau und die Dienststelle rawi sowie zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen (Art. 67 und Art. 68 Abs. 5 BGG).
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem unterliegenden Beschwerdegegner aufzuerlegen (<ref-law>). Er hat dem Beschwerdeführer zudem eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, das Urteil des Kantonsgerichts Luzern vom 13. März 2019 aufgehoben und das nachträgliche Baugesuch des Beschwerdegegners abgewiesen. Die Sache wird zur Prüfung der Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands an den Gemeinderat Menznau und die Dienststelle Raum und Wirtschaft des Kantons Luzern sowie zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- für das bundesgerichtliche Verfahren werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Der Beschwerdegegner hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gemeinderat Menznau, dem Bau-, Umwelt- und Wirtschaftsdepartement, Dienststelle Raum und Wirtschaft, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, und dem Bundesamt für Raumentwicklung ARE schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juli 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Die Gerichtsschreiberin: Dambeck