Sachverhalt:
A.
A.a. Der in Thailand wohnhafte Schweizer Bürger A._ erhielt für die ersten beiden Ausbildungsjahre (Untergymnasium) seiner Tochter B._ (geb. 2005), die seit 2016 das United World College in Thailand (Gymnasium) besucht, Stipendien von insgesamt Fr. 10'000.-- zugesprochen.
Mit Verfügung vom 23. August 2018 wies das Amt für Jugend und Berufsberatung des Kantons Zürich (nachfolgend: Jugendamt) das Stipendien-Wiederholungsgesuch für das Ausbildungsjahr 2018/2019 ab. Es begründete seinen Entscheid damit, dass keine Belege vorlägen, wonach die oberen Schulstufen des United World College staatlich anerkannt seien und die Ausbildung derjenigen einer Staatsschule entspreche. Die Bedingungen für die Ausrichtung von Stipendien an Auslandschweizer seien daher nicht erfüllt.
Die hiergegen erhobene Einsprache von A._ hiess das Jugendamt mit Einspracheverfügung vom 1. November 2018 gut und berechnete für das Ausbildungsjahr 2018/2019 einen Stipendienanspruch von Fr. 2'731.--.
A.b. Gegen die Einspracheverfügung rekurrierte A._ mit Schreiben vom 3. Dezember 2018 an die Bildungsdirektion des Kantons Zürich. In der Folge zog das Jugendamt die angefochtene Verfügung in Wiedererwägung, hob sie mit Verfügung vom 24. Januar 2019 auf und setzte den Stipendienanspruch für das Jahr 2018/19 neu auf Fr. 3'261.-- fest. Die Bildungsdirektion schrieb das Rekursverfahren mit Verfügung vom 28. Januar 2019 als gegenstandslos ab.
Einen gegen den Wiedererwägungsentscheid vom 24. Januar 2019 erhobenen Rekurs von A._ hiess die Bildungsdirektion des Kantons Zürich mit Entscheid vom 16. Dezember 2019 gut. Der Stipendienanspruch von B._ wurde neu auf Fr. 8'700.-- festgesetzt. Die Kosten des Verfahrens wurden auf die Staatskasse genommen. Eine Parteientschädigung wurde dem nicht anwaltlich vertretenen A._ nicht zugesprochen.
B.
Mit Beschwerde vom 19. Januar 2020 gegen die Verfügung der Bildungsdirektion vom 16. Dezember 2019 gelangte A._ an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und beantragte die Leistung einer angemessenen Parteientschädigung für das Rekursverfahren unter Entschädigungsfolge sowie die unentgeltliche Rechtspflege.
Mit Urteil vom 23. Juli 2020 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, die Beschwerde gut. Unter Änderung von Dispositiv-Ziffer III des angefochtenen Rekursentscheids verpflichtete es den Staat Zürich, A._ eine Umtriebsentschädigung von Fr. 100.-- für das Rekursverfahren zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer I).
C.
Mit Eingabe vom 27. August 2020 reicht A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und eventualiter subsidiäre Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht ein. Er beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 23. Juli 2020 sei aufzuheben und es sei ihm eine angemessene Parteientschädigung sowohl für das Rekursverfahren vom 3. Dezember 2018 als auch für den Rekurs vom 26. Februar 2019 und das Beschwerdeverfahren vom 28. Januar 2020 zu leisten. Die Höhe der Parteientschädigung sei für die drei Verfahren auf jeweils Fr. 1'120.-- und damit auf insgesamt Fr. 3'360.-- festzusetzen.
Ferner beantragt A._, der Beschwerdegegner sei zu verpflichten, ihm im Urteil vom 23. Juli 2020 die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Schliesslich ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich verzichtet auf Vernehmlassung. Die Bildungsdirektion des Kantons Zürich schliesst auf Abweisung der Beschwerde und verzichtet im Übrigen ebenfalls auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), welcher die Regelung der Parteientschädigung in einem Verfahren betreffend die Ausrichtung von Ausbildungsbeiträgen zum Gegenstand hat. Im Streit um Nebenpunkte, namentlich hinsichtlich Kosten- und Entschädigungsfolgen, folgt der Rechtsweg ans Bundesgericht grundsätzlich demjenigen in der Hauptsache (<ref-ruling>, nicht publ. E. 1; <ref-ruling> E. 1.1 S. 160; <ref-ruling> E. 3 S. 143 f.).
1.2.
1.2.1. Der angefochtene Entscheid betrifft Geldleistungen des Staates an eine Privatperson und damit eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten steht somit grundsätzlich offen (<ref-law>). Indessen ist dieses Rechtsmittel unzulässig gegen Entscheide betreffend Subventionen, auf welche kein Anspruch besteht (<ref-law>). Unter den Subventionsbegriff fallen auch Stipendien (Urteil 2C_1000/2014 vom 7. Juli 2015 E. 1.1 mit Hinweisen).
Ob ein (grundsätzlicher) Anspruch auf Subvention im Sinn von <ref-law> besteht, hängt davon ab, ob der betreffende Erlass genügend konkret umschreibt, unter welchen Bedingungen die im Einzelfall beantragte Unterstützung zu gewähren ist, ohne dass es im Ermessen der Behörde läge, ob sie einen Beitrag gewähren will oder nicht (Urteile 2C_1181/2014 vom 19. Januar 2016 E. 1.2; 2C_1000/2014 vom 7. Juli 2015 E. 1.2).
1.2.2. Gemäss § 16 des Bildungsgesetzes des Kantons Zürich vom 1. Juli 2002 (BiG/ZH; LS 410.1) unterstützt der Kanton in Ausbildung stehende Personen mit Beiträgen, sofern ihre eigenen Mittel und diejenigen ihrer nächsten Angehörigen oder anderer Leistungspflichtiger nicht ausreichen. In besonderen Fällen können auch Ausbildungsbeiträge an Auslandschweizer mit Zürcher Bürgerrecht ausgerichtet werden (§ 17 Abs. 2 BiG/ZH). Die Details werden in der Stipendienverordnung des Kantons Zürich vom 15. September 2004 (Stipendienverordnung/ZH; LS 416.1) geregelt. Gemäss deren § 4 Abs. 1 können Auslandschweizer unterstützt werden, wenn diese selber oder ihre Eltern ausgewandert sind und (lit. a) sie Bürger des Kantons sind und nach dem Erwerb des Zürcher Bürgerrechts keine weiteren Schweizer Bürgerrechte erworben haben (lit. b). Nach § 16 Stipendienverordnung/ZH werden an Auslandschweizer Beiträge für den Besuch staatlicher Mittelschulen, universitärer Hochschulen oder Fachhochschulen im Wohnsitzstaat ausgerichtet (Abs. 1). Für Ausbildungen an Privatschulen werden Beiträge ausgerichtet, wenn die Schule staatlich anerkannt ist und die Ausbildung derjenigen einer staatlichen Schule entspricht (Abs. 2). Die Bemessung richtet sich nach §§ 27-33 Stipendienverordnung/ZH.
1.2.3. Die "Kann-Formulierungen" in § 17 Abs. 2 BiG/ZH und § 4 Abs. 1 Stipendienverordnung/ZH sprechen gegen das Vorliegen eines Anspruchs auf Ausbildungsbeiträge für Auslandschweizer. Für das Bestehen eines solchen Anspruchs spricht demgegenüber der Umstand, dass die Voraussetzungen klar umschrieben sind. Ob gegen das angefochtene Urteil die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unter dem Gesichtswinkel von <ref-law> zulässig ist oder ob allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) gegeben ist, kann indessen offen bleiben, weil der Beschwerdeführer ohnehin nur Verfassungsrügen erhebt, was im Rahmen beider Rechtsmittel zulässig ist (vgl. Art. 95 lit. a bzw. <ref-law>). Zudem richtet sich die Kostenverteilung im kantonalen Rechtsmittelverfahren, einschliesslich der Parteientschädigung, nach kantonalem Recht (vgl. Urteil 2C_507/2013 vom 18. September 2013 E. 1.2 mit Hinweisen), dessen Anwendung das Bundesgericht nur daraufhin überprüft, ob dadurch Bundesrecht mit Einschluss der Bundesverfassung verletzt ist (<ref-law>), wozu namentlich auch die willkürliche Anwendung kantonalen Rechts gehört (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3 S. 41; <ref-ruling> E. 2 S. 149; Urteil 2C_60/2011 vom 12. Mai 2011 E. 2.1). Die Zulässigkeit des ordentlichen Rechtsmittels würde nichts daran ändern, dass im Wesentlichen bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann.
1.3. Zur Erhebung der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist der Beschwerdeführer, dem im vorinstanzlichen Verfahren eine tiefere Parteientschädigung zugesprochen wurde, als von ihm verlangt, ohne Weiteres legitimiert (<ref-law>). Ebenfalls gegeben ist die Legitimation zur subsidiären Verfassungsbeschwerde nach <ref-law>. Das rechtlich geschützte Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Urteils ergibt sich vorliegend aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) und dem Willkürverbot (<ref-law>), deren Verletzung gerügt wird. Letzteres verschafft zwar nach ständiger Praxis des Bundesgerichts für sich allein keine geschützte Rechtsstellung; die Rechtsprechung nimmt bei der Anfechtung der Kostenauflage jedoch generell ein rechtlich geschütztes Interesse im Sinn von <ref-law> an (<ref-ruling> E. 2.2 S. 300; Urteile 2C_262/2020 vom 16. Juli 2020 E. 6.1; 2C_1088/2016 vom 2. Juni 2017 E. 1.4; 2C_901/2013 vom 20. Januar 2014 E. 1.2.1).
1.4. Im Übrigen wurde die Beschwerde frist- und formgerecht eingereicht (Art. 42 und Art. 100 Abs. 1 BGG; <ref-law>).
2.
Der Beschwerdeführer rügt zunächst eine offensichtlich unrichtige bzw. ungenügende Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz. Zur Begründung macht er im Wesentlichen geltend, das Verwaltungsgericht habe seine Vorbringen zu den Auslagen praktisch nicht berücksichtigt. Ebensowenig habe es dem Umstand Rechnung getragen, dass seine effektiven Auslagen bzw. allein die Barauslagen die ihm zugesprochene Umtriebsentschädigung übersteigen würden.
2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 bzw. <ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> bzw. von <ref-law> beruht (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 118 Abs. 2 BGG), was der Beschwerdeführer präzise geltend zu machen hat (<ref-law>; <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 10.1 S. 445; <ref-ruling> E. 3.2 S. 445).
2.2. Aus dem angefochtenen Urteil ergibt sich, dass die Vorinstanz auf die vom Beschwerdeführer erwähnten (bezifferten) Auslagen nicht speziell eingegangen ist. Allerdings hat sie bei der Beurteilung seines Anspruchs auf Zusprechung einer Parteientschädigung den vom ihm geltend gemachten Aufwand (Beizug eines Rechtsanwalts, Telefongespräche, Komplexität der Angelegenheit) berücksichtigt (vgl. E. 2.7 des angefochtenen Urteils). Ob der gestützt darauf festgesetzte Betrag der Parteientschädigung vor dem Willkürverbot standhält, ist eine Frage der materiellen Rechtsanwendung (vgl. E. 4 hiernach).
3.
Der Beschwerdeführer rügt ferner eine Verletzung seines rechtlichen Gehörs (<ref-law>). Weder die Bildungsdirektion noch die Vorinstanz habe sich mit seinen Vorbringen betreffend den Stipendienanspruch und den von ihm eingereichten Beweismitteln auseinandergesetzt. Daraus sei ihm ein erheblicher Aufwand entstanden, der ihm zu Unrecht auferlegt worden sei.
In der Beschwerdebegründung bezieht der Beschwerdeführer die gerügten Verletzungen des rechtlichen Gehörs vorwiegend auf die Rekursverfahren betreffend den (materiellen) Stipendienanspruch. Seine Vorbringen sind wohl in dem Sinn zu verstehen, dass dem Beschwerdeführer aus angeblichen Verletzungen seines rechtlichen Gehörs ein zusätzlicher Aufwand entstanden sei, welcher im vorinstanzlichen Urteil nicht hinreichend berücksichtigt worden sei.
3.1. Das rechtliche Gehör (<ref-law>) verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt (<ref-ruling> E. 9.2 S. 65; <ref-ruling> E. 5.2 S. 236; Urteil 2C_562/2019 vom 12. November 2019 E. 3.2). Dazu gehört, dass die Behörde alle erheblichen und rechtzeitigen Vorbringen der Parteien würdigt und die ihr angebotenen Beweise abnimmt, wenn diese zur Abklärung des Sachverhalts tauglich erscheinen (<ref-ruling> E. 3.3 S. 64; Urteil 2C_866/2017 vom 7. März 2018 E. 3.1.1).
3.2. Die Frage, ob in der Hauptsache Verletzungen des rechtlichen Gehörs erfolgt seien, kann im vorliegenden bundesgerichtlichen Verfahren, welches lediglich die Höhe der zugesprochenen Parteientschädigung zum Gegenstand hat, nicht mehr aufgeworfen werden. Der Beschwerdeführer ist mit seinen materiellen Anliegen durchgedrungen, wurde doch sein Rekurs an die Bildungsdirektion gutgeheissen. Der dem Beschwerdeführer durch das Ergreifen mehrerer Rechtsmittel allenfalls entstandene Aufwand kann jedoch bei der Bestimmung der Höhe der Parteientschädigung berücksichtigt werden (vgl. hierzu sogleich E. 4.4 und 4.5).
4.
Mit Blick auf die Frage der Zulässigkeit der Höhe der dem Beschwerdeführer zugesprochenen Parteientschädigung ist zunächst zu prüfen, ob das angefochtene Urteil hinsichtlich der Höhe der für die Rekursverfahren vor der Bildungsdirektion zugesprochenen Parteientschädigung das Willkürverbot (<ref-law>) verletzt.
4.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, die ihm zugesprochene Parteientschädigung laufe in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwider und sei somit willkürlich. Zur Begründung führt er im Wesentlichen aus, die Vorinstanz habe seinen tatsächlichen Aufwand bzw. seine effektiven Auslagen nicht berücksichtigt. Er weist unter anderem auf eine reduzierte Honorarnote von Fr. 350.-- des von ihm beratend beigezogenen Rechtsanwalts sowie auf Gebühren hin, die für die Zustellung der Rekurse und Telefongespräche angefallen seien. So habe allein die Zustellung des ersten Rekurses vom 3. Dezember 2018 angesichts des Umstandes, dass er in Thailand wohnhaft sei, Kosten von umgerechnet ca. Fr. 114.-- verursacht, was bereits den Betrag der ihm zugesprochenen Entschädigung überschreite. Zudem seien Zustell- und Telefongebühren aus dem Ausland sowie Bürospesen angefallen. Schliesslich sei ihm namentlich durch das Verfassen des 22-seitigen Rekurses vom 26. Februar 2019 an die Bildungsdirektion sowie durch eine umfangreiche E-Mail-Korrespondenz mit den zuständigen Behörden ein erheblicher Aufwand entstanden, welcher in einem offensichtlichen Missverhältnis zu der ihm zugesprochenen "Umtriebsentschädigung" stehe.
4.2. Eine Parteientschädigung ist dann willkürlich, wenn sie eine Norm oder einen klaren und unumstrittenen Rechtsgrundsatz offensichtlich schwer verletzt, sich mit sachlichen Gründen schlechthin nicht vertreten lässt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkür liegt jedoch nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheids, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 6.1 S. 205; <ref-ruling> E. 7.1 S. 51; <ref-ruling>, nicht publ. E. 9.1.1).
Bei der Bemessung der Parteientschädigung steht dem Richter ein weiter Ermessensspielraum zu (<ref-ruling> E. 4a S. 49; Urteil 2D_35/2016 vom 21. April 2017 E. 6.1). Das Bundesgericht greift in diesen nur ein, wenn in willkürlicher Weise besondere Umstände verneint wurden, welche die Zusprechung einer Parteientschädigung nahe gelegt hätten, oder der Entscheid in anderer Weise stossend und schlechterdings unhaltbar erscheint (<ref-ruling> E. 2b S. 134; <ref-ruling> E. 2c S. 109; <ref-ruling> E. 1 S. 13; Urteile 2D_35/2016 vom 21. April 2017 E. 6.1; 2C_580/2014 vom 13. Februar 2015 E. 3.2; 2P.83/1998 vom 5. Januar 1999 E. 3b/aa).
4.3. Die Parteientschädigung wird in § 17 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes des Kantons Zürich vom 24. Mai 1959 (VRG/ZH; LS 175.2) geregelt. Gemäss dessen Abs. 1 werden in Verfahren vor den Verwaltungsbehörden keine Parteientschädigungen zugesprochen. Im Rekursverfahren und im Verfahren vor Verwaltungsgericht kann die unterliegende Partei oder Amtsstelle zu einer angemessenen Entschädigung für die Umtriebe ihres Gegners verpflichtet werden, namentlich wenn die rechtsgenügende Darlegung komplizierter Sachverhalte und schwieriger Rechtsfragen besonderen Aufwand erforderte oder den Beizug eines Rechtsbeistandes rechtfertigte (§ 17 Abs. 2 lit. a), oder ihre Rechtsbegehren oder die angefochtene Anordnung offensichtlich unbegründet waren (§ 17 Abs. 2 lit. b).
4.4. Die Vorinstanz hält zunächst fest, dass ein bedingter Anspruch auf Parteientschädigung bestehe, sobald die Voraussetzungen gemäss § 17 Abs. 2 lit. a oder lit. b VRG/ZH erfüllt seien; ausschliesslich unter besonderen Umständen lasse sich eine Parteientschädigung verweigern (vgl. E. 2.4 des angefochtenen Urteils). Weiter führt das Verwaltungsgericht aus, dass eine nicht durch einen Rechtsbeistand vertretene Person - wie der Beschwerdeführer - grundsätzlich auch entschädigungsberechtigt sei, allerdings nur für den das übliche Mass erheblich übersteigenden Rechtsverfolgungsaufwand. Von einem besonderen Aufwand sei dann auszugehen, wenn aufgrund der Umstände eines Prozesses im Rahmen einer fehlenden oder einer internen Vertretung objektiv notwendiger, nicht bloss geringfügiger Aufwand entstehe (vgl. E. 2.5 des angefochtenen Urteils).
Im Falle des Beschwerdeführers kommt die Vorinstanz zum Schluss, dass ihm für die Rekursverfahren vor der Bildungsdirektion ein besonderer Aufwand entstanden sei. Zur Begründung führt sie aus, er habe zwar für das erste Rekursverfahren selber eine Rechtsschrift verfasst, doch sei die ursprüngliche Verfügung vom 1. November 2018 vom Jugendamt in Wiedererwägung gezogen und es sei eine neue Verfügung erlassen worden. Die neue Verfügung vom 24. Januar 2019 habe eine falsche Rechtsmittelbelehrung enthalten (Einsprache an das Jugendamt anstatt Rekurs an die Bildungsdirektion). Anschliessend sei das erste Rekursverfahren als gegenstandslos geworden abgeschrieben worden, ohne dass die Vorbringen des Beschwerdeführers materiell geprüft worden seien.
Für den Beschwerdeführer als juristischen Laien hätten sich - so die Vorinstanz weiter - schwierige prozessuale Fragen gestellt. Gemäss dem Verwaltungsgericht habe der Beschwerdeführer in nachvollziehbarer Weise vorbringen können, dass er nicht verstanden habe, weshalb der Rekurs ohne materielle Prüfung abgeschrieben worden sei und wie er weiter habe vorgehen müssen, sodass er in der Folge einen Rechtsanwalt kontaktiert habe, der ihm beratend zur Seite gestanden sei. Zudem habe der Beschwerdeführer mehrere Telefongespräche mit Mitarbeitenden der Bildungsdirektion und des Jugendamtes bezüglich der falschen Rechtsmittelbelehrung geführt. Für die zweite Rekursschrift habe er sich sodann mit der neuen Verfügung auseinandersetzen müssen und nicht ohne Weiteres die Ausführungen der ersten Rekursschrift übernehmen können (vgl. E. 2.7 des angefochtenen Urteils).
Bezugnehmend auf das weite Ermessen der Behörden bei der Bestimmung der Höhe der Parteientschädigung spricht das Verwaltungsgericht dem Beschwerdeführer für die Rekursverfahren vor der Bildungsdirektion eine Umtriebsentschädigung von Fr. 100.-- zu.
4.5. Vorliegend ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer juristischer Laie ist und in den beiden Rekursverfahren vor der Bildungsdirektion nicht anwaltlich vertreten war. Sodann sind die Voraussetzungen für die Zusprechung einer Parteientschädigung (§ 17 Abs. 2 lit. a oder lit. b VRG/ZH) gemäss den vorinstanzlichen Erwägungen erfüllt.
Dem angefochtenen Urteil kann indessen in keiner Weise entnommen werden, wie das Verwaltungsgericht die Höhe der zugesprochenen Parteientschädigung bestimmt hat.
4.5.1. Der bloss allgemeine Hinweis auf das erhebliche Ermessen der Behörden bei der Festsetzung der Parteientschädigung reicht als Begründung nicht aus. Das Bundesgericht hat betreffend § 17 VRG/ZH bereits anerkannt, dass der entscheidenden Behörde bei der Zusprechung einer Parteientschädigung zwar ein weiter Ermessensspielraum zusteht; dies bedeutet jedoch nicht, dass sie in dieser Frage völlig frei wäre. Sie hat vielmehr nach pflichtgemässem Ermessen zu entscheiden. Bei der Begründung ihres Ermessens ist sie insbesondere an die sich aus Sinn und Zweck der gesetzlichen Ordnung ergebenden Kriterien gebunden (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 204; vgl. ferner Urteile 2P.31/1999 vom 20. April 1999 E. 6; 2D_35/2016 vom 21. April 2017 E. 6.2).
4.5.2. In seinen Beschwerden an die Vorinstanz und an das Bundesgericht legt der Beschwerdeführer ausführlich dar, weshalb er einen besonderen Aufwand gehabt hat und reicht Belege für seine Auslagen ein (vgl. auch E. 4.1 hiervor). Allein die Honorarnote des von ihm beigezogenen Rechtsanwalts in der Höhe von Fr. 350.-- sowie die Versandkosten von Fr. 114.-- übersteigen die ihm zugesprochene Parteientschädigung. Zudem anerkennt die Vorinstanz, dass sich im Falle des Beschwerdeführers - insbesondere aufgrund einer falschen Rechtsmittelbelehrung - schwierige prozessuale Fragen stellten.
Zwar deckt die "angemessene" Parteientschädigung gemäss § 17 Abs. 2 VRG/ZH regelmässig nicht sämtliche einer Partei entstandenen Kosten, sondern nur einen Teil des nötigen Prozessaufwands, wobei der Entscheidinstanz bei der Frage, wie gross der Kostenanteil ist, den eine entschädigungsberechtigte Partei selber zu tragen hat, ein grosses Ermessen zusteht (Urteil 2C_172/2016 und 2C_173/2016 vom 16. August 2016 E. 4.5; KASPAR PLÜSS, in: Alain Griffel [Hrsg.], Kommentar zum Verwaltungsrechtspflegegesetz des Kantons Zürich, 3. Aufl. 2014, N. 63 und 80 f. zu § 17 VRG/ZH. mit zahlreichen Verweisen auf die Zürcher Praxis). Dennoch bilden die objektiv notwendigen Kosten, die der entschädigungsberechtigten Partei im Prozess entstanden sind, Ausgangspunkt für die Berechnung einer angemessenen Entschädigung (PLÜSS, a.a.O., N. 64 zu § 17 VRG/ZH) und hat die zuständige Behörde ihr Ermessen pflichtgemäss auszuüben (vgl. E. 4.5.1 hiervor).
4.5.3. Vorliegend ist nicht nachvollziehbar, gestützt auf welche Kriterien die Vorinstanz, nachdem sie ausführlich begründet, dass und weshalb dem Beschwerdeführer ein besonderer Aufwand für die Rekursverfahren vor der Bildungsdirektion entstanden ist (vgl. E. 4.4 hiervor), die Parteientschädigung auf Fr. 100.-- festsetzt. Dieser Betrag erscheint mit Blick auf die Ausführungen des Verwaltungsgerichts, namentlich zur Komplexität der sich stellenden prozessualen Fragen für einen juristischen Laien, als offensichtlich unhaltbar und somit als willkürlich (vgl. auch Urteile 2C_772/2019 vom 4. Februar 2020 E. 4.3; 2D_35/2016 vom 21. April 2017 E. 6.2). Das angefochtene Urteil verletzt in diesem Punkt das Willkürverbot (<ref-law>) und ist aufzuheben.
Angesichts des Umstandes, dass sich die Festsetzung der Parteientschädigung nach kantonalem Recht richtet und vor dem Hintergrund des weiten Ermessensspielraums der zuständigen Behörde, rechtfertigt es sich, die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese wird die Höhe der dem Beschwerdeführer zuzusprechenden angemessenen Parteientschädigung in pflichtgemässer Ausübung ihres Ermessens neu festzusetzen haben.
5.
Der Beschwerdeführer beantragt ferner die Zusprechung einer Parteientschädigung für das vorinstanzliche Beschwerdeverfahren.
Das Verwaltungsgericht sprach dem Beschwerdeführer keine Parteientschädigung für das verwaltungsgerichtliche Verfahren zu. In seiner sehr knappen Begründung führt es lediglich aus, für dieses Verfahren sei kein besonderer Aufwand ersichtlich.
Den Akten kann entnommen werden, dass der Beschwerdeführer in seiner Beschwerdeschrift an die Vorinstanz seinen Antrag auf Zusprechung einer Parteientschädigung nicht weiter begründet hat. Auch in seiner Beschwerde an das Bundesgericht legt er nicht konkret dar, inwiefern das angefochtene Urteil in diesem Punkt willkürlich sein soll. Indem er der Vorinstanz in allgemeiner Weise vorwirft, sie habe den wahren Aufwand für die Vorbereitung der Beschwerde verkannt, welcher sich faktisch für ihn gestellt habe, vermag er der ihm obliegenden Substanziierungspflicht in Bezug auf Verletzungen verfassungsmässiger Rechte (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 232) nicht nachzukommen. Die Beschwerde erweist sich in diesem Punkt als unbegründet und ist abzuweisen.
6.
Soweit der Beschwerdeführer für das Verfahren vor dem Verwaltungsgericht um unentgeltliche Rechtspflege ersucht, ist ihm entgegenzuhalten, dass ihm als obsiegende Partei keine Verfahrenskosten auferlegt wurden (vgl. Dispositiv-Ziffern 1 und 3 des angefochtenen Urteils). Daher wurde sein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung zu Recht als gegenstandslos geworden abgeschrieben (vgl. Dispositiv-Ziff. 4 und E. 4 des angefochtenen Urteils). Auf den entsprechenden Antrag des Beschwerdeführers ist deshalb nicht einzutreten.
7.
7.1. Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde in Bezug auf die Höhe der Parteientschädigung für die Verfahren vor der Bildungsdirektion als begründet, im Übrigen aber als unbegründet. Die Beschwerde ist deshalb teilweise gutzuheissen, Ziff. 1 des Dispositivs des vorinstanzlichen Urteils aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich zurückzuweisen. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
7.2. Da der Beschwerdeführer vor Bundesgericht vorwiegend obsiegt, sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Damit ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gegenstandslos.
7.3. Der Beschwerdeführer beantragt auch für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung.
Nach der Rechtsprechung wird nicht anwaltlich vertretenen Parteien im bundesgerichtlichen Verfahren grundsätzlich keine Parteientschädigung zugesprochen (vgl. BGE <ref-ruling> E. 4 S. 446; Urteil 2C_262/ 2020 vom 16. Juli 2020 E. 7), ausser wenn es sich um eine komplizierte Sache mit hohem Streitwert handelt und die Interessenwahrung einen hohen Arbeitsaufwand notwendig macht, der den Rahmen dessen überschreitet, was der Einzelne üblicher- und zumutbarer Weise nebenbei zur Besorgung der persönlichen Angelegenheiten auf sich zu nehmen hat. Sodann können besondere Verhältnisse es im Ausnahmefall rechtfertigen, eine Entschädigung für die durch den Prozess verursachten Umstände zuzusprechen (<ref-ruling> ff.; <ref-ruling> E. 6b S. 357; Urteil 4C.44/2006 vom 8. August 2007 E. 5; vgl. auch <ref-law> sowie Art. 1 und 11 des Reglements vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht [SR 173.110.210.3]).
Im vorliegenden Fall liegen solche besondere Verhältnisse vor. Der Beschwerdeführer konnte angesichts des teilweise konfusen kantonalen Verfahrens und des willkürlichen Kostenentscheids des Verwaltungsgerichts nicht anders, als das vorinstanzliche Urteil anzufechten. Er hat sich mit dem angefochtenen Urteil auseinandergesetzt und eine neue Beschwerdeschrift verfasst, die er sorgfältig begründet hat. Auch wenn im vorliegenden Verfahren nur noch die Entschädigungsfrage streitig war, stellten sich schwierige juristische Fragen, deren Beantwortung für den Beschwerdeführer als Laien - insbesondere mit Blick auf das (eher) verworrene bisherige Verfahren - mit einem erheblichem Aufwand verbunden war. Es rechtfertigt sich deshalb, dem Beschwerdeführer für seine Umtriebe auch im bundesgerichtlichen Verfahren eine Entschädigung zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Die Dispositiv-Ziffer 1 des Urteils des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 23. Juli 2020 wird aufgehoben und die Sache zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Zürich hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. November 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Ivanov