Sachverhalt:
A.
Im Herbstsemester 2018 trat A._ das Bachelorstudium an der Rechtswissenschaftlichen Fakultät der Universität Luzern an. Die Prüfung "Einführung in die Rechtswissenschaft" bestand er sowohl im Herbstsemester 2018 als auch im zweiten Versuch vom 10. Juni 2020 im Frühjahrssemester 2020 nicht.
B.
Am 15. Juni 2020 reichte A._ dem Dekanat und dem Fakultätsmanager der Rechtswissenschaftlichen Fakultät der Universität Luzern per E-Mail ein Härtefallgesuch betreffend Assessmentprüfungen ein. Die Studienberatung der Universität Luzern teilte ihm daraufhin mit, dass er erst nach Veröffentlichung der Prüfungsresultate ein begründetes Härtefallgesuch einreichen könne. Am 31. Juli 2020 informierte der Dekan der Rechtswissenschaftlichen Fakultät (nachfolgend: der Dekan) A._ darüber, dass er das Bachelorstudium definitiv nicht bestanden habe. Daraufhin reichte A._ erneut ein Härtefallgesuch ein, wobei er um Wiederholung der Prüfung "Einführung in die Rechtswissenschaft" ersuchte. Mit Verfügung vom 3. August 2020 entschied der Dekan, dass kein dritter Versuch in der Prüfung "Einführung in die Rechtswissenschaft" gewährt werde und wies das Härtefallgesuch vom 31. Juli 2020 ab. Ein daraufhin eingereichtes Wiedererwägungsgesuch A._s wurde vom Dekan mit Schreiben vom 4. August 2020 negativ beschieden.
Die Entscheide des Dekans vom 3. bzw. 4. August 2020 wurden von den kantonalen Instanzen geschützt (vgl. Entscheid des Bildungs- und Kulturdepartements des Kantons Luzern vom 10. November 2020; Urteil des Kantonsgerichts Luzern vom 26. August 2021).
C.
C.a. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 2. September 2021 gelangte A._ an das Bundesgericht. Er stellte folgende Anträge:
"1. Das Urteil des Kantonsgericht Luzern vom 26. August 2021 sei gestützt auf Chancengleichheit (<ref-law>) Prinzip, Art. 2 Abs. 1 des Behindertengleichstellungsgesetzes vom 13. Dezember 2002 (BehiG; SR 151.3), UN-Behindertenkonvention Art. 24 Abs. 5 und gestützt Statuten der Universität Luzern, dass in Art. 39a Abs. 1 geregelt/festhält aufzuheben und mir noch für die Assessmentprüfungen vom 8. Juni, 10. Juni. 12. Juni sowie 16. Juni 2020 eine Chance zur Wiederholung gegeben werden sollen. Falls nicht akzeptiert wird, dann mindestens noch eine Prüfungschance für den Fach "Einführung in die Rechtswissenschaft" gewährleistet werden sollen.
2. Eventualiter das Urteil des Kantonsgericht Luzern vom 26. August 2021 aufzuheben und die Sache sei zur neuen Beurteilung an Vorinstanz zurückzuweisen.
3. Das Urteil des Kantonsgericht Luzern vom 26. August 2021 ist mangelhaft, zudem, das Gericht sowohl gestützt Art. 133 Abs. 1 VRG (SRL 40-VRG) der kantonalen Normen zum Rechtsmittelverfahren als auch gestützt aus <ref-law> oder Art. 6 Ziff. 1 EMRK die Prinzipien der Allgemeinen Verfahrensgarantien verletzt hatte. Anlässlich, obwohl ich vom Gericht ein Recht für die Replik/Nachbesserung/Ergänzung verlangt/beantragt hatte."
Prozessual ersucht er ausserdem um unentgeltliche Rechtspflege und Beiordnung eines amtlichen Rechtsbeistands.
C.b. Mit Schreiben vom 13. September 2021 machte das Bundesgericht A._ darauf aufmerksam, dass seine Eingabe vom 2. September 2021 den Begründungsanforderungen für Eingaben an das Bundesgericht mutmasslich nicht genügen dürfte; zugleich wurde A._ darauf hingewiesen, dass er seine Eingabe innert laufender Beschwerdefrist verbessern und den gesetzlichen Begründungsanforderungen anpassen könne.
Daraufhin reichte A._ am 30. September 2021 eine Beschwerdeverbesserung ein.
C.c. Weitere Instruktionsmassnahmen hat das Bundesgericht nicht angeordnet.

Erwägungen:
1.
Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften an das Bundesgericht die Begehren und deren Begründung zu enthalten. Die Begründung hat sachbezogen zu sein und sich auf den Gegenstand des angefochtenen Entscheids zu beziehen. Die beschwerdeführende Partei muss in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form plausibel darlegen, inwiefern die Vorinstanz Rechte bzw. Rechtsnormen verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2 mit Hinweisen). An den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt ist das Bundesgericht gebunden (<ref-law>), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3). Inwiefern die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung klarerweise unhaltbar sein soll, muss in der Beschwerdeschrift detailliert aufgezeigt und damit qualifiziert (<ref-law>) begründet werden (<ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweisen).
2.
2.1. Die Anträge des Beschwerdeführers im vorliegenden Verfahren beziehen sich nicht nur auf die Prüfung "Einführung in die Rechtswissenschaft", sondern auch auf weitere Prüfungen der Assessmentstufe an der Universität Luzern. Auf entsprechende Anträge im kantonalen Verfahren ist das Bildungs- und Kulturdepartement des Kantons Luzern in seinem Entscheid vom 10. November 2020 nicht eingetreten. Die Vorinstanz hat den Entscheid des Bildungs- und Kulturdepartements (auch) insoweit bestätigt (vgl. E. 2.2 des angefochtenen Urteils). Inwiefern ihr in dieser Hinsicht eine Rechtsverletzung vorgeworfen werden könnte, geht aus der Beschwerde nicht einmal im Ansatz hervor. Die Beschwerdeanträge sind insoweit nicht hinreichend begründet.
2.2. Soweit der Beschwerdeführer der Vorinstanz unter Hinweis auf <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK vorwirft, sein Replikrecht missachtet zu haben, ist darauf hinzuweisen, dass im vorinstanzlichen Verfahren gar kein Schriftenwechsel durchgeführt worden ist. Unter diesen Umständen ist nicht ersichtlich, inwiefern die erwähnten Verfahrensgarantien vorliegend verletzt sein könnten. Auch insoweit fehlt es der Beschwerde an einer hinreichenden Begründung.
2.3. In der Sache erwog die Vorinstanz in Anwendung von §§ 9-11 der Studien- und Prüfungsordnung der Rechtswissenschaftlichen Fakultät der Universität Luzern (StuPO/LU; SRL Nr. 540b), dass der Beschwerdeführer das Assessment des rechtswissenschaftlichen Bachelorstudiengangs an der Universität Luzern definitiv nicht bestanden habe, nachdem er im Modul "Einführung in die Rechtswissenschaft" sowohl im ersten als auch im zweiten Versuch die Bewertung "failed" erzielt habe. Dies habe folgerichtig (§ 14 Abs. 1 lit. a StuPO/LU) zu seinem Ausschluss aus dem Studium geführt. Ein Härtefall im Sinne von § 55 StuPO/LU, bei dessen Vorliegen ausnahmsweise von einzelnen Bestimmungen der StuPO/LU abgewichen werden könne, liege nach der Rechtsprechung dann vor, wenn es sich aufgrund der persönlichen Situation der betroffenen Person rechtfertige, vom Regelfall abzuweichen. Der Entscheid hierüber liege im pflichtgemässen Ermessen des Dekans, denn die Bestimmung von § 55 StuPO/LU sei als Kann-Vorschrift formuliert (E. 5.2 des angefochtenen Urteils). Im vorliegenden Fall vermöge die persönliche Situation des Beschwerdeführers keinen Härtefall zu begründen (E. 7.2 des angefochtenen Urteils); an dieser Einschätzung würden auch die mit der Covid-19-Pandemie zusammenhängenden speziellen Prüfungsmodalitäten nichts ändern (E. 8.2 des angefochtenen Urteils).
Soweit der Beschwerdeführer unter Hinweis auf eine chronische Krankheit (insbesondere eine beidseitige hochgradige Innenohrschwerhörigkeit rechts) nachträglich formale Prüfungserleichterungen verlange, lege er nicht dar, inwiefern die mit der Krankheit zusammenhängenden Einschränkungen Auswirkungen auf seine Leistungserbringung bei der schriftlichen Prüfung "Einführung in die Rechtswissenschaft" gehabt hätten; überdies habe er um die Krankheit gewusst und es versäumt, rechtzeitig ein Gesuch um Gewährung eines Nachteilsausgleichs zu stellen (E. 6.3 und 6.4 des angefochtenen Urteils). Soweit er nachträglich ein Arztzeugnis beibringe, gemäss welchem er am 8. Juni 2020 an Fieber, Kopfschmerzen Schwindel sowie einem respiratorischen Infekt gelitten habe, sei nicht erstellt, dass er auch am 10. Juni 2020 - dem Datum der Prüfung "Einführung in die Rechtswissenschaft" - noch Beschwerden gehabt habe; ausserdem sei der Beschwerdeführer damit nicht mehr zu hören, zumal er es versäumt habe, nach der Prüfung sofort ein Arztzeugnis beizubringen (E. 6.4 des angefochtenen Urteils).
2.4. Mit der vorstehend wiedergegebenen Begründung der Vorinstanz setzt sich der Beschwerdeführer nicht substanziiert auseinander. Er beruft sich zwar erneut auf seine chronische Erkrankung und die Diagnose vom 8. Juni 2020. Aus der Beschwerdeschrift geht jedoch nicht hervor, inwiefern die Vorinstanz Recht verletzt hätte, indem sie diesen Erkrankungen eine Relevanz für das Ergebnis der Prüfung "Einführung in die Rechtswissenschaft" abgesprochen hat. Ausserdem setzt sich der Beschwerdeführer auch nicht hinreichend mit der vorinstanzlichen Erwägung auseinander, wonach er seine gesundheitlichen Beschwerden verspätet vorgebracht habe; selbst wenn zutreffen sollte, dass er von der genauen medizinischen Ursache für sein Unwohlsein in der Prüfungsphase erst im September 2020 erfahren habe (vgl. Beschwerdeverbesserung, S. 4), erklärt dies noch nicht, warum er die gesundheitlichen Beschwerden an sich nicht rechtzeitig melden konnte. Schliesslich enthält die Beschwerde auch in Bezug auf die Frage, ob die Vorinstanz zu Recht davon ausgegangen ist, dass im vorliegenden Fall kein Härtefall im Sinne von § 55 StuPO/LU vorliege, keine substanziierte Rüge. Die Beschwerde genügt damit auch insoweit den Begründungsanforderungen (vgl. E. 1 hiervor) nicht.
2.5. Nach dem Gesagten enthält die Beschwerde offensichtlich unter keinem Aspekt eine hinreichende Begründung. Darauf ist nicht einzutreten (<ref-law>).
3.
Dem prozessualen Antrag des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Beiordnung eines amtlichen Rechtsbeistands kann nicht stattgegeben werden, zumal seine materiellen Anträge im Lichte ihrer Begründung als aussichtslos erscheinen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).
4.
Bei diesem Verfahrensausgang (vgl. E. 2.5 hiervor) würde der Beschwerdeführer an sich kostenpflichtig; auf die Erhebung von Verfahrenskosten kann jedoch angesichts der Umstände verzichtet werden (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gesuche um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und um amtliche Verbeiständung werden abgewiesen.
3.
Es werden keine Verfahrenskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Bildungs- und Kulturdepartement des Kantons Luzern und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Oktober 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: F. Aubry Girardin
Der Gerichtsschreiber: Brunner