Sachverhalt:
A.
A.A._ und B.A._ sind Eigentümer der Grundstücke Kat-Nr. SE8753 und SE10204 an der C._-Strasse in Winterthur, auf denen sich ein Wohnhaus befindet. Die Grundstücke befinden sich in der Wohnzone W2/1.2 gemäss Bau- und Zonenordnung der Stadt Winterthur (BZO). Neben Wohnungen sind in der betreffenden Zone nicht störende Gewerbe sowie Läden und Gaststätten zur Quartierversorgung zulässig.
In ihrem Wohnhaus betreiben A.A._ und B.A._ seit 2002 eine Hundezucht mit den Kleinhunderassen Papillon und Phalène. Dabei werden rund 15 Tiere zur Zucht gehalten und pro Jahr etwa 5 Würfe mit 13 Welpen verkauft. Daneben halten A.A._ und B.A._ privat einen Schäferhund der Rasse Malinois.
B.
B.a. Die Stadt Winterthur forderte A.A._ und B.A._ aufgrund von Lärmklagen aus der Nachbarschaft am 29. Juli 2015 auf, für die gewerbliche Hundezucht eine Baueingabe einzureichen. Ihr Gesuch um teilweise Nutzungsänderung des Wohnhauses zu einer Kleinhundezucht wies der Bauausschuss der Stadt Winterthur mit Bauverweigerung und Wiederherstellungsbefehl vom 12. August 2016 ab.
Dagegen gelangten A.A._ und B.A._ an das Baurekursgericht des Kantons Zürich. Nachdem dieses eine Gutheissung des Rekurses in Aussicht gestellt hatte, zog der Bauausschuss den Entscheid vom 12. August 2016 in Wiedererwägung und erteilte am 14. Juni 2017 gestützt auf ein durch die Gesuchsteller eingereichtes Betriebsreglement unter Bedingungen und Auflagen nachträglich die baurechtliche Bewilligung für den Hundezuchtbetrieb.
Gegen den Entscheid vom 14. Juni 2017 gelangten A.B._ und B.B._ an das Baurekursgericht des Kantons Zürich. Dieses hiess den Rekurs mit Entscheid vom 25. Oktober 2018 teilweise gut, hob den Wiedererwägungsbeschluss auf und wies die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an den Bauausschuss der Stadt Winterthur zurück. Das erste, von A.A._ und B.A._ angestrebte Rekursverfahren schrieb das Baurekursgericht im selben Entscheid vom 25. Oktober 2018 als durch den Wiedererwägungsbeschluss vom 14. Juni 2017 gegenstandslos geworden ab.
B.b.
Mit Beschluss vom 12. August 2019 erteilte der Bauausschuss der Stadt Winterthur A.A._ und B.A._ die baurechtliche Bewilligung für den Zuchtbetrieb der Hunderassen Papillon und Phalène und genehmigte das angepasste Betriebskonzept.
Gegen den Entscheid des Bauausschusses gelangten A.B._ und B.B._ erneut an das Baurekursgericht des Kantons Zürich. Sie beantragten die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Verweigerung der Baubewilligung respektive der Nutzungsänderung. Das Baurekursgericht hiess das Rechtsmittel mit Entscheid vom 11. März 2020 teilweise gut und passte das Betriebsreglement unter anderem in Bezug auf die maximal zulässige Anzahl der Hunde an.
B.c.
A.B._ und B.B._ legten gegen den Entscheid des Baurekursgerichts vom 11. März 2020 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich ein. Dieses hiess das Rechtsmittel mit Urteil vom 3. Dezember 2020 gut, hob den Entscheid des Baurekursgerichts vom 11. März 2020 sowie den Beschluss des Bauausschusses der Stadt Winterthur vom 12. August 2019 auf und verweigerte A.A._ und B.A._ die nachträgliche Bewilligung für die teilweise Nutzungsänderung zu einer Kleinhundezucht gemäss Gesuch vom 30. November 2015.
C.
Gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 3. Dezember 2020 gelangen A.A._ und B.A._ (Beschwerdeführer) mit Beschwerde vom 1. Februar 2021 an das Bundesgericht. Sie beantragen, das angefochtene Urteil aufzuheben und den Beschluss der Stadt Winterthur vom 12. August 2019 zu bestätigen. Eventualiter sei die Bewilligung für die Umnutzung zur Hundezucht zu verweigern, die Stadt Winterthur aber anzuweisen, auf die Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands zu verzichten.
A.B._ und B.B._ (Beschwerdegegner) sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich beantragen die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Der Bauausschuss der Stadt Winterthur verzichtet auf ausdrückliche Anträge, vertritt aber den Standpunkt, das vorinstanzliche Urteil weise insbesondere in Bezug auf die kantonalen Verfahrenskosten Unklarheiten auf. Er ersucht um sachgerechte Verteilung der Kosten für das bundesgerichtliche und das kantonale Verfahren.
Zu diesen Vernehmlassungen reichen die Beschwerdeführer mit Eingabe vom 12. April 2021 eine Stellungnahme ein.
Mit Präsidialverfügung vom 2. März 2021 wurde der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil hat eine baurechtliche Bewilligung zum Gegenstand. Für Rechtsmittel in Bausachen gelten vor den Behörden des Bundes die allgemeinen Bestimmungen über die Bundesrechtspflege (Art. 34 Abs. 1 RPG [SR 700]). Der Rechtsstreit gilt als öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von <ref-law>, für den die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen steht (<ref-law>).
Beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich handelt es sich um eine zulässige Vorinstanz des Bundesgerichts (<ref-law>). Mit dem angefochtenen Urteil hat es das Gesuch der Beschwerdeführer um Nutzungsänderung ihrer Grundstücke definitiv verweigert. Entsprechend liegt ein verfahrensabschliessender Entscheid vor, gegen den die Beschwerde an das Bundesgericht gemäss <ref-law> zulässig ist.
Unter Vorbehalt der nachfolgenden E. 5.4 ist auf das im Übrigen form- und fristgerecht eingereichte Rechtsmittel (Art. 42 und Art. 100 Abs. 1 BGG) einzutreten, zumal die Beschwerdeführer gemäss <ref-law> als direkte Adressaten des angefochtenen Urteils und unterliegende Parteien im vorinstanzlichen Verfahren zur Beschwerde legitimiert sind.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (<ref-law>). Unter Vorbehalt der hier nicht einschlägigen Art. 95 lit. c-e BGG kann bezüglich des kantonalen Rechts im Wesentlichen beanstandet werden, der angefochtene Entscheid verstosse gegen das übergeordnete (Bundes-) Recht (vgl. <ref-ruling> E. 2; Urteile 1C_457/2020 vom 17. Februar 2021 E. 2.1; 1C_429/2019 vom 23. März 2020 E. 1.2).
2.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Nach Massgabe der allgemeinen Anforderungen an die Beschwerdebegründung (<ref-law>) prüft es jedoch nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel des angefochtenen Entscheids nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. <ref-ruling> E. 2; Urteile 2C_8/2016 vom 17. Oktober 2016 E. 2.1 [nicht publ. in: <ref-ruling>]; 1C_786/2013 vom 8. Oktober 2014 E. 1.3 [nicht publ. in: <ref-ruling>]). Der Verletzung von Grundrechten sowie von kantonalem und interkantonalem Recht geht das Bundesgericht ausserdem nur insofern nach, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
2.3. Seinem Urteil legt das Bundesgericht den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Von Amtes wegen oder auf ausreichend begründete Rüge hin (vgl. zu den Anforderungen an Sachverhaltsrügen <ref-ruling> E. 9.2.3.6 S. 96; <ref-ruling> E. 1.4.3; Urteil 2C_8/2016 vom 17. Oktober 2016 E. 2.2 [nicht publ. in: <ref-ruling>]) korrigiert das Bundesgericht die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen, wenn diese offensichtlich unrichtig sind oder sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen. Eine Richtigstellung des Sachverhalts erfolgt, sofern sie für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
In ihrer Beschwerde legen die Beschwerdeführer ausführlich den Sachverhalt dar, wie er sich aus ihrer Sicht zugetragen hat. Soweit ihre Darstellung von den vorinstanzlichen Feststellungen abweicht, kann das Bundesgericht jedoch nicht darauf abstellen, da eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung dabei weder dargetan noch ersichtlich ist.
3.
Die Beschwerdeführer rügen eine Verletzung von <ref-law> durch die Vorinstanz. Nach dieser Bestimmung ist die Beschwerde an das Bundesgericht unter anderem zulässig gegen einen Entscheid, der nur einen Teil der gestellten Begehren behandelt, soweit diese Begehren unabhängig von den anderen beurteilt werden können (<ref-law>).
3.1. Dabei vertreten die Beschwerdeführer die Auffassung, das Baurekursgericht habe mit dem Entscheid vom 25. Oktober 2018 einen Teilentscheid über die Zonenkonformität der Hundezucht getroffen. Bloss in Bezug auf Bestimmungen des Betriebsreglements sei eine Rückweisung an den Bauausschuss der Stadt Winterthur erfolgt. Die Ausgestaltung des Betriebsreglements sei von der Frage der Zonenkonformität zu trennen. Den Teilentscheid über die Zonenkonformität hätten die Beschwerdegegner demnach bereits mit einer Beschwerde gegen den Entscheid des Baurekursgerichts vom 25. Oktober 2018 anfechten müssen, was sie versäumt hätten.
3.2. Ein Urteil, das nur über einen Teilaspekt einer Streitsache, nicht aber über eines der Beschwerdebegehren abschliessend entscheidet, gilt unter dem Blickwinkel des Bundesgerichtsgesetzes nicht als Teilentscheid gemäss <ref-law>, sondern als Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 4.2 und E. 4.3). Streitgegenstand des zweiten Verfahrens vor dem Baurekursgericht bildete die Bewilligung einer Nutzungsänderung durch den Bauausschuss der Stadt Winterthur. Mit dem Entscheid des Baurekursgerichts vom 25. Oktober 2018 wurde zwar die Zonenkonformität im Grundsatz bejaht, das Betriebsreglement der Beschwerdeführer indes in verschiedenen Punkten für ungenügend befunden und die Angelegenheit zur neuen Beurteilung an den Bauausschuss der Stadt Winterthur zurückgewiesen. Über die beantragte Nutzungsänderung als solche hatte das Baurekursgericht nicht abschliessend befunden, zumal ihre Zulässigkeit nach Auffassung des Baurekursgerichts von der konkreten Ausgestaltung des Betriebsreglements abhängig war. Somit fällte das Baurekursgericht im Entscheid vom 25. Oktober 2018 kein Urteil über ein Teilbegehren im Sinne von <ref-law>, das unabhängig von weiteren Anträgen der Beschwerdeführer beurteilt werden konnte.
3.3. Die Aufgabe des Bauausschusses der Stadt Winterthur, an den die Angelegenheit mit dem Entscheid des Baurekursgerichtes vom 25. Oktober 2018 zurückgewiesen wurde, erschöpfte sich auch nicht in einer bloss rechnerischen Umsetzung des Urteils. Namentlich hatte sich das Baurekursgericht nicht abschliessend zur Anzahl der zulässigen Hunde und über die Nutzung des Aussenbereichs geäussert. Entsprechend lag kein Endentscheid im Sinne von <ref-law> vor (vgl. <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.3), sondern ein Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law>, der gemäss <ref-law> auch noch mit der Beschwerde gegen den Endentscheid angefochten werden konnte.
3.4. Zu beachten bleibt, dass die soeben dargelegten Bestimmungen über die anfechtbaren Entscheide gemäss <ref-law> in erster Linie für das Bundesgericht gelten. Dies scheinen die Beschwerdeführer zu verkennen, wenn sie sich in ihrer Eingabe an das Bundesgericht ohne Weiteres auf die unmittelbare Anwendbarkeit von <ref-law> im verwaltungsgerichtlichen Verfahren berufen. Im kantonalen Verfahren kommen die <ref-law> bloss zum Tragen, soweit dies bundesrechtlich vorgegeben ist. Gestützt auf den Grundsatz der Einheit des Verfahrens (vgl. <ref-law>) ist das insoweit der Fall, als die Anfechtung von Entscheiden im kantonalen Instanzenzug mindestens in jenem Rahmen möglich sein muss, der gemäss <ref-law> für das Verfahren vor dem Bundesgericht gilt (vgl. <ref-ruling> E. 5.4.5; Urteil 2C_596/2014 vom 6. März 2015 E. 3.3.2). Den Kantonen steht es dabei grundsätzlich frei, die Anfechtbarkeit von Entscheiden in weitergehendem Mass zuzulassen (vgl. in Bezug auf die Legitimation <ref-ruling> E. 2.1.1; Urteil 1C_363/2020 vom 30. November 2020 E. 3.3). Unter dem Blickwinkel des Bundesgerichtsgesetzes handelte es sich beim Entscheid des Baurekursgerichts vom 25. Oktober 2018 wie gezeigt um einen Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law>. Somit war das Verwaltungsgericht entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer nicht bloss berechtigt, sondern gestützt auf Art. 111 i.V.m. <ref-law> vielmehr verpflichtet, die Frage der Zonenkonformität auf den Einwand der Beschwerdegegner hin aufzugreifen. Die Rüge einer Verletzung von <ref-law> durch die Vorinstanz ist daher unbegründet.
4.
Weiter machen die Beschwerdeführer geltend, das Verwaltungsgericht habe ihr rechtliches Gehör verletzt. Die Vorinstanz habe zu Unrecht auf einen Augenschein verzichtet, mit dem sie sich von der Zonenkonformität des Betriebs hätte überzeugen können. Sodann rügen die Beschwerdeführer eine Verletzung des rechtlichen Gehörs mit Blick auf die ihrer Auffassung nach unbelegte Einschätzung des Verwaltungsgerichts, dass es ihnen in Bezug auf die Bewilligungspflicht der Hundezucht am guten Glauben fehle.
4.1. Der Anspruch auf rechtliches Gehör räumt dem Betroffenen das Recht ein, erhebliche Beweise beizubringen, mit solchen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise mitzuwirken. Diesem Mitwirkungsrecht entspricht die Pflicht der Behörden, die Argumente und Verfahrensanträge der Parteien entgegenzunehmen und zu prüfen, sowie die ihr rechtzeitig und formrichtig angebotenen Beweismittel abzunehmen (<ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen; Urteil 2C_807/2015 vom 18. Oktober 2016 E. 2.3.1). Keine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt vor, wenn ein Gericht auf die Abnahme beantragter Beweismittel verzichtet, weil es auf Grund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 3 mit Hinweisen; Urteil 1C_45/2020 vom 5. Januar 2021 E. 4.1). Die Parteien haben im Rahmen von <ref-law> somit grundsätzlich Anspruch auf die Abnahme von Beweismitteln, soweit sie rechtserheblich sind. Welche Beweismittel rechtserheblich sind, entscheidet sich danach, über welche Sachverhaltselemente und Tatsachen für die Anwendung der in Frage stehenden Normen der Beweis zu führen ist. Dies ergibt sich wiederum aus dem materiellen Recht (vgl. <ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 3.2).
4.2. Die Vorinstanz kam zum Schluss, dass die Hundezucht mangels funktionalen Zusammenhangs zur Wohnnutzung nicht zonenkonform sei. Die Hundezucht diene keinem täglichen Bedürfnis von Quartierbewohnern. Die Vorinstanz nahm eine abstrakte Beurteilung danach vor, ob mit der Nutzungsänderung typischerweise Belästigungen verbunden sind, die über das normalerweise mit dem Wohnen verbundene Mass hinausgeht. Wie sich aus den nachfolgenden Ausführungen ergibt, ist dieses Vorgehen des Verwaltungsgerichts nicht zu beanstanden (vgl. unten, E. 5). Aus einem (erneuten) Augenschein wären bei dieser Ausgangslage jedenfalls keine entscheiderheblichen Erkenntnisse zu erwarten gewesen. Entsprechend durfte die Vorinstanz auf eine Besichtigung der Liegenschaft verzichten, ohne das rechtliche Gehör der Beschwerdeführer zu verletzen.
4.3. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs ist auch nicht im Umstand zu erblicken, dass die Vorinstanz den Beschwerdeführern in Bezug auf die Bewilligungspflicht ihrer Hundezucht den guten Glauben absprach. Den Beschwerdeführern ist zwar darin zuzustimmen, dass sich die Vorinstanz diesbezüglich bloss auf die allgemein sehr restriktiven Bedingungen für gewerbliche Nutzungen in der Wohnzone stützte. Die vorinstanzliche Begründung, wieso die Beschwerdeführer nicht gutgläubig gewesen seien, fällt somit eher knapp aus. In Bezug auf die Zonenkonformität ist die Frage nach dem guten Glauben jedoch nicht entscheidend. Sie kann im Hinblick auf die Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands von Bedeutung sein (vgl. <ref-ruling> E. 7.1; Urteile 1C_469/2019, 1C_483/2019 vom 28. April 2021 E. 4.1 [zur Publikation vorgesehen]; 1C_205/2019 vom 21. Februar 2020 E. 4), was jedoch nicht Streitgegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens bildete (vgl. auch hinten, E. 5.4). Sodann setzen sich die Beschwerdeführer jedenfalls nicht rechtsgenüglich mit dem Argument der Vorinstanz auseinander, wonach das zürcherische Recht keine stillschweigende Genehmigung eines Bauprojekts oder einer Umnutzung kenne. Ob die Beschwerdeführer gut- oder bösgläubig waren, erweist sich für den Verfahrensausgang auch unter diesem Blickwinkel als unerheblich. Indem das Verwaltungsgericht auf zusätzliche Erhebungen zum guten Glauben der Beschwerdeführer verzichtete, liegt mangels Entscheiderheblichkeit dieses Umstands keine Verletzung ihres rechtlichen Gehörs vor.
5.
In der Sache rügen die Beschwerdeführer eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>). Sie zielen dabei auf die Anwendung von Vorschriften des Planungs- und Baugesetzes des Kantons Zürich vom 7. September 1975 (PBG/ZH; LS 700.1) sowie der kommunalen Bau- und Zonenordnung der Stadt Winterthur ab. Sofern wie hier keine anderen Normen in rechtsgenüglicher Weise (vgl. dazu E. 2.2) als verletzt gerügt werden, überprüft das Bundesgericht die Auslegung dieser kantonalen und kommunalen Zonenvorschriften grundsätzlich nur unter dem Blickwinkel des Willkürverbots (<ref-law>). Nach der Rechtsprechung liegt Willkür nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder sogar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht weicht vom Entscheid der kantonalen Instanz vielmehr nur ab, wenn dieser offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.2.2; Urteile 1C_22/2019 vom 6. April 2020 E. 3.1 [nicht publ. in: <ref-ruling>]; 1C_555/2018 vom 29. August 2019 E. 4.3).
5.1. Im Einzelnen machen die Beschwerdeführer geltend, die Vorinstanz habe die "Berner Praxis" zur Hundehaltung in Wohnzonen bloss schematisch angewandt, ohne Rücksicht auf die konkreten Gegebenheiten. Ihr Betrieb diene der Zucht von Kleinhunden, was in Bezug auf die Emissionen nicht mit der Haltung von grösseren Tieren vergleichbar sei. Die Vorinstanz ignoriere mithin die von ihren Zuchthunden ausgehenden Emissionen, was zu einem stossenden Ergebnis führe. Entscheidend sei, ob mit der konkret beantragten Nutzungsänderung tatsächlich typischerweise Belästigungen verbunden seien, die über das Mass hinausgingen, was normalerweise mit dem Wohnen verbunden sei. Hier treffe das nicht zu. Weiter lasse das Verwaltungsgericht ausser Acht, dass die bisher im Rahmen der "Berner Praxis" beurteilten Fälle jeweils keine bestehenden, sondern erst noch zu realisierende Projekte betroffen hätten. Der "Berner Praxis" liege der Gedanke zugrunde, die Wohnzonen von neuen Betrieben zu entlasten, die ein übermässiges Immissionspotenzial aufwiesen. Dieser Aspekt sei im vorliegenden Fall nicht entscheidend, weil der Betrieb schon seit bald zwanzig Jahren bestehe. Hinzu kommt nach den Beschwerdeführern, dass ihr Betrieb mit den Vorgaben des Umweltschutzgesetzes vereinbar sei und die Zucht von Kleinhunden dazu diene, die Bedürfnisse der Quartierbewohner abzudecken. Die beantragte Nutzungsänderung sei entsprechend als zonenkonform zu beurteilen und der gegenteilige Schluss des Verwaltungsgerichts offensichtlich unhaltbar.
5.2. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer durfte das Verwaltungsgericht vorab eine abstrakte Beurteilung der Zonenkonformität ihres Vorhabens vornehmen.
5.2.1. Zonenvorschriften sind generell und abstrakt formuliert. Welche Arten von Nutzungen nach ihrer Immissionsstärke in einer bestimmten Zone zugelassen bzw. verboten sind, wird in typisierten, der allgemeinen Erfahrung entsprechenden Umschreibungen ausgesagt. Die Beurteilung der Zonenkonformität erfolgt daher in einem ersten Schritt abstrakt, losgelöst von den konkreten Einwirkungen in der Nachbarschaft. Entscheidend ist, ob mit der betreffenden Nutzung typischerweise Belästigungen verbunden sind, die über das hinausgehen, was normalerweise mit dem Wohnen verbunden ist (vgl. Urteile 1C_555/2018 vom 29. August 2019 E. 6.3; 1C_538/2011 vom 25. Juni 2012 E. 5.1.1; 1P.160/2004 vom 27. Januar 2005 E.4.4). Erst in einer zweiten Beurteilungsstufe ist zu prüfen, ob der Betrieb auch hinsichtlich der konkreten, für die Umgebung resultierenden Immissionen mit der Wohnnutzung vereinbar ist (vgl. Urteil 1C_538/2011 vom 25. Juni 2012 E. 5.1.1).
5.2.2. Die Vorinstanz führte aus, dass die Haltung von 15 bzw. 10 Hunden typischerweise unabhängig von der Hunderasse zu Immissionen führe, die über das hinausgehen, was normalerweise mit einer Wohnnutzung verbunden sei. Das vom Baurekursgericht gewählte Vorgehen, jeweils nur drei erwachsene Hunde auf einmal nach draussen zu lassen, führe zu länger dauernden Immissionen. Im Unterschied zu stillen Gewerben müssten die Hunde sodann auch an den Wochenenden und Feiertagen betreut und nach draussen gelassen werden.
Die vorinstanzliche Einschätzung, wonach eine Hundezucht, wie sie von den Beschwerdeführern betrieben wird, typischerweise zu grösseren Belästigungen führt als ein in der Wohnzone W2/1.2 gemäss Art. 54 Abs. 4 BZO zulässiges, nicht störendes Gewerbe, ist unter Willkürgesichtspunkten nicht zu beanstanden. Wohl mag zutreffen, dass die Emissionen einer Hundezucht, namentlich in Bezug auf Lärm und Geruch, je nach Hunderasse unterschiedlich sind. Allerdings ging auch das Baurekursgericht davon aus, dass die Hunde der Beschwerdeführer namentlich die für eine Hundehaltung typischen Lärmimmissionen verursachen, sodass die Nachbarschaft eine Gruppe von mehr als drei Hunden im Garten nicht tolerieren müsse. Zu beachten ist weiter, dass die untere Instanz die Hundezucht nur bei gleichzeitigem Erlass eines detaillierten Betriebsreglements für bewilligungsfähig hielt. Die Notwendigkeit einer ausführlichen Regelung macht deutlich, dass der Betrieb der Beschwerdeführer offenbar durchaus Immissionen verursacht, die typischerweise mit einer Hundezucht einher gehen. Dass die Vorinstanz unter diesen Umständen zum Schluss kam, der Betrieb der Beschwerdeführer stelle kein zonenkonformes Gewerbe im Sinne von Art. 54 Abs. 4 BZO dar, ist nicht schlechterdings unhaltbar. Entsprechend durfte sie die Zonenkonformität unter abstrakter Betrachtung verneinen.
5.2.3. Soweit die Beschwerdeführer sodann geltend machen, die Vorinstanz hätte auf eine abstrakte Beurteilung verzichten müssen, weil ihr Betrieb schon seit bald zwanzig Jahren bestehe, kann ihnen nicht gefolgt werden. Der seit längerem andauernde Betrieb der Hundezucht ohne Bewilligung zur Nutzungsänderung führt nicht dazu, dass eine abstrakte Prüfung der Zonenkonformität wegfällt und sie bloss noch auf ihre konkrete (umweltrechtliche) Zulässigkeit hin zu prüfen ist. Ob ein baurechtliches Gesuch vor oder nach einer bewilligungspflichtigen Nutzungsänderung gestellt wird, hat auf die Frage der Zonenkonformität keinen Einfluss. Alles andere würde in einer unterschiedlichen Beurteilung von Nutzungsänderungen münden, die sich sachlich nicht rechtfertigen lässt.
5.3. Die Vorinstanz erwog ferner, dass die Beschwerdeführer hauptsächlich mit den von ihrem Betrieb ausgehenden Immissionen argumentierten. Sie würden dabei ausser Acht lassen, dass ihr Gewerbe auch von der raumplanerischen Zweckbestimmung her in eine bestimmte Zone passen müsse. Ein funktionaler Zusammenhang zur Wohnnutzung sei bei der Hundezucht der Beschwerdeführer indes nicht zu erkennen, da sie keinem täglichen Bedürfnis der Quartierbewohner/-innen diene. Dem setzen die Beschwerdeführer bloss entgegen, dass sich ihre Liegenschaft in einem Quartier befinde, in dem eine grosse Zahl an Haustieren gehalten werde. Dies deute auf eine entsprechende Nachfrage nach den von ihnen gezüchteten Hunde hin.
5.3.1. Dass die Vorinstanz für die in der Wohnzone W2/1.2 gemäss Bau- und Zonenordnung der Stadt Winterthur zulässigen, "nicht störende[n] Gewerbe sowie Läden und Gaststätten zur Quartierversorgung" einen funktionalen Zusammenhang zur Wohnnutzung verlangt, ist angesichts des Wortlauts von Art. 54 Abs. 4 BZO nicht zu beanstanden. Dies gilt besonders vor dem Hintergrund, dass die BZO im Lichte der Planungsgrundsätze gemäss Art. 3 RPG auszulegen ist und diese nach einer Siedlungsgestaltung verlangen, die den Bedürfnissen der Bevölkerung entspricht und Wohngebiete vor schädlichen oder lästigen Einwirkungen möglichst verschont (vgl. Art. 3 Abs. 3 lit. b RPG; vgl. Urteile 1C_555/2018 vom 29. August 2019 E. 4.2; 1C_538/2011 vom 25. Juni 2012 E. 5.1.1). Die Vorinstanz durfte entsprechend willkürfrei einen funktionalen Konnex zwischen der Kleinhundezucht der Beschwerdeführer und der betroffenen Nutzungszone verlangen.
5.3.2. Ebenso durfte die Vorinstanz das Vorliegen eines derartigen funktionalen Zusammenhangs verneinen, ohne in Willkür zu verfallen. Der von der Vorinstanz nicht festgestellte und von den Beschwerdeführern im Übrigen unbelegte Umstand, dass zahlreiche Bewohner/-innen des betroffenen Quartiers über Hunde und Katzen verfügen sollen, zieht keineswegs nach sich, dass dem Zuchtbetrieb der Beschwerdeführer ohne Weiteres eine Funktion bei der Befriedigung der Nachfrage nach Haustieren im Quartier zukommt. Jedenfalls legen die Beschwerdeführer nicht dar, dass sich die von ihnen gezüchteten Hunde gerade in der näheren Umgebung einer grösseren Beliebtheit erfreuen. In der Verneinung eines funktionalen Zusammenhangs zwischen dem Betrieb der Beschwerdeführer und der Quartierversorgung kann daher keine Willkür erblickt werden.
5.4. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer hat die Vorinstanz die Zonenkonformität ihrer Kleinhundezucht somit zu Recht verneint. Darüber hinaus machen die Beschwerdeführer eine Verletzung von Treu und Glauben durch die kantonalen Instanzen geltend. Sie begründen damit ihren Eventualantrag, wonach die Stadt Winterthur auf die Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands zu verzichten habe. Die Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands bildete indes nicht Streitgegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens, was die Beschwerdeführer in ihrer Eingabe vom 12. April 2021 denn auch anerkennen. Auf den Eventualantrag kann daher nicht eingetreten werden (vgl. <ref-law>), sodass sich Weiterungen dazu erübrigen.
6.
Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Die Beschwerdeführer tragen die Gerichtskosten und haben den Beschwerdegegnern eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (vgl. Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 BGG). Da der angefochtene Entscheid keine Änderung erfährt, besteht entgegen der Stadt Winterthur keine Grundlage, die Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorangegangenen Verfahrens anzupassen (vgl. Art. 67 und Art. 68 Abs. 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden unter solidarischer Haftbarkeit den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführer haben den Beschwerdegegnern unter solidarischer Haftbarkeit eine Parteientschädigung von gesamthaft Fr. 2'500.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Juni 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Baur