Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt führt gegen A._ ein Strafverfahren u.a. wegen Körperverletzung und Gewalt gegen Behördenmitglieder und Beamte. Mit Schreiben vom 27. Februar 2018 beauftragte sie Dr. med. Carlos Canela mit der psychiatrischen Begutachtung des Angeschuldigten. Dagegen erhob A._ am 12. März 2018 Beschwerde beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Dieses wies die Beschwerde mit Entscheid vom 26. März 2018 ab.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 23. Mai 2018 Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 26. März 2018. Zur Begründung macht er u.a. eine Verletzung des Replikrechts und damit des Anspruchs auf rechtliches Gehör geltend. Weder die Vernehmlassung der Staatsanwaltschaft vom 19. März 2018 zu seiner Beschwerde noch die Stellungnahme des Gutachters vom 16. März 2018 zu Handen der Staatsanwaltschaft seien ihm zugestellt worden, weshalb er dazu auch nicht habe Stellung nehmen können.
Das Appellationsgericht und die Staatsanwaltschaft haben auf eine Vernehmlassung verzichtet, wobei das Appellationsgericht Abweisung der Beschwerde beantragt.
3.
Gegen den angefochtenen kantonal letztinstanzlichen Entscheid steht die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht gemäss <ref-law> offen. Der Beschwerdeführer nahm am vorinstanzlichen Verfahren teil und hat als Beschuldigter sowie als direkter Adressat des angefochtenen Entscheids ein rechtlich geschütztes Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung. Er ist damit zur Beschwerde legitimiert (vgl. <ref-law>).
4.
4.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law>. Dieses Recht ist formeller Natur. Eine Verletzung führt ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids (<ref-ruling> E. 2.2 S. 197), wenn eine Heilung in oberer Instanz ausser Betracht fällt (zu den Voraussetzungen s. <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 197).
4.2. Gemäss Art. 29 Abs. 1 und 2 BV sowie nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK haben die Parteien eines Gerichtsverfahrens Anspruch auf rechtliches Gehör und auf ein faires Gerichtsverfahren, unter Beachtung des Grundsatzes der Waffengleichheit. Diese Garantien enthalten auch das Recht, von den beim Gericht eingereichten Stellungnahmen Kenntnis zu erhalten und sich dazu äussern zu können (sog. Replikrecht: <ref-ruling> E. 2.1 S. 99). Das Replikrecht hängt nicht von der Entscheidrelevanz der Eingaben ab (<ref-ruling> E. 2.3.3 S. 157). Die Wahrnehmung des Replikrechts setzt voraus, dass die von den übrigen Verfahrensbeteiligten eingereichten Eingaben der Partei zugestellt werden (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 197). Es ist Sache der Partei zu beurteilen, ob eine Entgegnung erforderlich ist oder nicht. Hingegen zählt es zu den Aufgaben des Gerichts, in jedem Einzelfall ein effektives Replikrecht der Parteien zu gewährleisten. Dazu gehört insbesondere, dass diese auch in zeitlicher Hinsicht die Gelegenheit wahrnehmen können.
4.3.
Im vorliegenden Fall setzte das Appellationsgericht der Staatsanwaltschaft mit Verfügung vom 14. März 2018 eine Frist bis 16. April 2018, um zur Beschwerde des Beschwerdeführers Stellung zu nehmen. Die Staatsanwaltschaft liess sich mit Schreiben vom 19. März 2018 vernehmen und beantragte Abweisung der Beschwerde. Ausserdem verwies sie auf eine Vernehmlassung von Dr. med. Carlos Canela vom 16. März 2018 zum Ablehnungsgesuch des Beschwerdeführers. Weder aus der Sachverhaltsfeststellung im angefochtenen Entscheid noch aus den dem Bundesgericht zur Verfügung gestellten kantonalen Akten ergibt sich, dass der Beschwerdeführer Gelegenheit erhielt, sich zu den beiden erwähnten Stellungnahmen vor der Entscheidfällung des Appellationsgerichts zu äussern. Etwas Anderes machen die kantonalen Behörden vorliegend auch nicht geltend. Damit verletzte das Appellationsgericht das Replikrecht des Beschwerdeführers. Eine Heilung dieses Verfahrensmangels im bundesgerichtlichen Verfahren fällt nur schon deshalb ausser Betracht, weil das Bundesgericht jedenfalls in tatsächlicher Hinsicht nicht über volle Kognition verfügt (vgl. <ref-law>) und tatsächliche Gesichtspunkte hier massgeblich sein könnten.
4.4. Das Appellationsgericht wird dem Beschwerdeführer die Gelegenheit zur Replik einzuräumen und danach über die allfällige Fortsetzung des Schriftenwechsels zu befinden haben, bevor es gestützt darauf erneut in der Sache entscheiden muss.
5.
Die Beschwerde ist gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Die Sache ist an das Appellationsgericht zurückzuweisen zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen.
Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Kosten zu erheben (vgl. <ref-law>). Hingegen hat der Kanton Basel-Stadt den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (<ref-law>). Über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist unter diesen Umständen nicht zu entscheiden. Mit dem vorliegenden Entscheid wird das vom Beschwerdeführer gestellte Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, und der Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, vom 26. März 2018 wird aufgehoben.
Die Sache wird an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt zurückgewiesen zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Der Kanton Basel-Stadt hat dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Dr. Martin Kaiser, eine Parteientschädigung von Fr. 1'000.-- zu entrichten.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Juni 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli