Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1980) ist türkischer Staatsangehöriger. Er reiste 1988 mit seinen Eltern und Geschwistern in die Schweiz ein, wo ihnen am 27. Juli 1989 Asyl gewährt wurde. Später erhielt er die Niederlassungsbewilligung. Zwischen August 1999 und August 2013 wurde er neun Mal strafrechtlich verurteilt und u.a. wegen mehrfachen Diebstahls und Hausfriedensbruchs, Raubes und Vergehen gegen das Betäubungsmittelgesetz mit Freiheitsstrafen von insgesamt über sechs Jahren bestraft. Deshalb widerrief das damalige Bundesamt für Migration am 27. Februar 2007 sein Asyl. Das Migrationsamt des Kantons Zürich widerrief am 14. Juni 2013 seine Niederlassungsbewilligung und wies ihn aus der Schweiz weg. Nachdem die kantonalen Instanzen diesen Entscheid bestätigt hatten, trat das Bundesgericht auf die Beschwerde von A._ mit Urteil 2C_567/2014 vom 12. Juni 2014 nicht ein.
B.
A._ wurde am 25. November 2016 u.a. wegen mehrfachen gewerbsmässigen Diebstahls und mehrfachen Hausfriedensbruchs zu einer Freiheitsstrafe von sechs Jahren verurteilt. Er trat den Strafvollzug am 28. Januar 2014 vorzeitig an. Am 1. März 2019 - kurz vor seiner Entlassung - ersuchte er das Migrationsamt um eine Härtefallbewilligung bzw. um vorzeitige Erteilung der Niederlassungsbewilligung. Das Migrationsamt wies das Gesuch am 5. März 2019 ab. Diesen Entscheid bestätigten die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich am 10. Mai 2019 und das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich am 9. Januar 2020.
C.
Mit Beschwerde vom 19./21. Februar 2020 beantragt A._ dem Bundesgericht, die Sache sei an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen mit der Auflage, dass von seiner Ausschaffung abzusehen und seine vorläufige Aufnahme zu beantragen sei, eventualiter sei sein Wiedererwägungsgesuch gutzuheissen. Weiter stellt er diverse Beweisanträge und ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das kantonale Rechtsmittelverfahren und das bundesgerichtliche Verfahren sowie um Erteilung der aufschiebenden Wirkung. Mit Verfügung vom 28. Februar 2020 erkannte der Abteilungspräsident der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu. Die Sicherheitsdirektion und das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich verzichten auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG) und ist form- und fristgerecht eingereicht worden (Art. 42 sowie Art. 100 Abs. 1 BGG).
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist nach <ref-law> unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Ziff. 2), und die Wegweisung (Ziff. 4).
2.1. Der Beschwerdeführer leitet aus dem Anspruch auf Achtung des Privat- und Familienlebens nach Art. 8 Ziff. 1 EMRK und <ref-law> ein Aufenthaltsrecht ab, weil alle seine Familienmitglieder in der Schweiz leben und er sich seit über dreissig Jahren hier aufhalte und gut integriert sei.
2.1.1. Das Verwaltungsgericht hat dem Beschwerdeführer bereits im damaligen Verfahren dargelegt, dass er sich nicht auf den Anspruch auf Achtung des Familienlebens berufen könne, weil lediglich die Kernfamilie geschützt werde, das heisst die Gemeinschaft der Ehegatten mit ihren minderjährigen Kindern. Die Beziehung zwischen erwachsenen Kindern und ihren Eltern falle nur dann in den Anwendungsbereich von Art. 8 Ziff. 1 EMRK bzw. <ref-law>, wenn ein besonderes Abhängigkeitsverhältnis bestehe, was der Beschwerdeführer nicht geltend mache und auch nicht aus den Akten ersichtlich sei (vgl. Urteil des Verwaltungsgerichts vom 2. Mai 2014 E. 3.1). Nachdem sich aus der vorliegenden Beschwerde nicht ergibt, dass der mittlerweile über vierzigjährige Beschwerdeführer in einem besonderen Abhängigkeitsverhältnis zu seinen Familienmitgliedern steht, fällt eine Berufung auf den Anspruch auf Achtung des Familienlebens ausser Betracht.
2.1.2. Was den Anspruch auf Achtung des Privatlebens betrifft, hat das Verwaltungsgericht im damaligen Verfahren offengelassen, ob er überhaupt tangiert sei, weil ein Eingriff nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK bzw. <ref-law> zulässig sei (vgl. Urteil des Verwaltungsgerichts vom 2. Mai 2014 E. 3.2 und E. 4). Der Beschwerdeführer bringt weder Revisionsgründe vor, um diesen rechtskräftigen Entscheid infrage zu stellen, noch macht er geltend, dass sich die Umstände seither entscheidwesentlich verändert haben (vgl. dazu nachfolgend E. 3.2.1). Schliesslich besteht auch kein Anspruch auf eine Neubeurteilung bzw. eine neue umfassende Interessenabwägung (vgl. zu den Voraussetzungen Urteil 2C_13/2020 vom 8. Mai 2020 E. 5.2.2 m.H.). Zwar sind seit dem damaligen Verfahren mehr als fünf Jahre vergangen, doch ist der Beschwerdeführer der Wegweisung weder nachgekommen noch kann von einem Wohlverhalten die Rede sein, nachdem er rund zweieinhalb Jahre nach der Wegweisung zu einer Freiheitsstrafe von sechs Jahren verurteilt wurde. In diesem Zusammenhang ist auch der Verweis auf das Urteil des EGMR El Ghatet gegen die Schweiz vom 8. November 2016 (Nr. 56971/10) unbehelflich, weil die dort geforderte umfassende Interessenabwägung im damaligen Verfahren des Beschwerdeführers vorgenommen wurde (vgl. Urteil des Verwaltungsgerichts vom 2. Mai 2014 E. 4). Damit muss auf sämtliche Ausführungen in der Beschwerde, die sich mit der geforderten neuen Interessenabwägung befassen, und den entsprechenden Beweisanträgen nicht weiter eingegangen werden.
2.1.3. Zusammenfassend kann sich der Beschwerdeführer nicht auf Art. 8 EMRK bzw. <ref-law> berufen. Ein anderer Aufenthaltsanspruch wird nicht vorgebracht und ist auch nicht ersichtlich. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten steht insoweit nicht zur Verfügung.
2.2. Dasselbe gilt, soweit der Beschwerdeführer vorbringt, seine Wegweisung in die Türkei verletze Art. 3 EMRK, Art. 33 Ziff. 1 des Abkommens vom 28. Juli 1951 über die Rechtsstellung der Flüchtlinge (SR 0.142.30) sowie Art. 5 Abs. 1 des Asylgesetzes vom 26. Juni 1998 (AsylG; SR 142.31). Dabei handelt es sich um Vollzugshindernisse, die ausschliesslich die Wegweisung tangieren und im Rahmen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht geprüft werden können. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann damit nicht eingetreten werden.
3.
3.1. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>), wobei eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet werden muss (Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>). In der Beschwerde ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern die angerufenen Rechte verletzt worden sind (<ref-ruling> E. 2.1).
3.2.
3.2.1. Nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung ist eine Verwaltungsbehörde von Verfassungs wegen verpflichtet, auf ein neues Gesuch einzutreten, wenn die Umstände sich seit dem ersten Entscheid wesentlich geändert haben oder wenn der Gesuchsteller erhebliche Tatsachen und Beweismittel namhaft macht, die ihm im früheren Verfahren nicht bekannt waren oder die schon damals geltend zu machen für ihn rechtlich oder tatsächlich unmöglich war oder keine Veranlassung bestand. Die Wiedererwägung von Verwaltungsentscheiden, die in Rechtskraft erwachsen sind, ist nicht beliebig zulässig. Sie darf namentlich nicht bloss dazu dienen, rechtskräftige Entscheide immer wieder infrage zu stellen oder die Fristen für die Ergreifung von Rechtsmitteln zu umgehen (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1).
3.2.2. Der Beschwerdeführer wurde mit Urteil des Verwaltungsgerichts vom 2. Mai 2014 und dem Nichteintretensentscheid des Bundesgerichts 2C_567/2014 vom 12. Juni 2014 rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen. Dabei sind Vollzugshindernisse - namentlich die angebliche Mitgliedschaft des Beschwerdeführers bei der kurdischen Arbeiterpartei (PKK) - geprüft und verworfen worden (vgl. Urteil des Verwaltungsgerichts vom 2. Mai 2014 E. 6). Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, dass sich die Verhältnisse seitdem wesentlich geändert hätten; im Gegenteil hat er noch im Rekursverfahren (vor der kantonalen Sicherheitsdirektion) ausdrücklich auf seine Ausführungen im damaligen Verfahren verwiesen (vgl. S. 6 f. der Rekurseingabe vom 10. April 2019) und sich auf den Standpunkt gestellt, die damalige Beurteilung sei unrichtig erfolgt. Werden aber keine neuen Umstände dargelegt, kann der rechtskräftige Wegweisungsentscheid nicht mehr infrage gestellt werden. Insoweit ist das Migrationsamt auf das Wiedererwägungsgesuch zu Recht nicht eingetreten.
3.2.3. Dasselbe gilt, soweit der Beschwerdeführer mehrere Zeugen anführt, die die Unzulässigkeit des Vollzugs bestätigen sollen, sowie seine eigene persönliche Befragung verlangt. Weder aus der Beschwerde an das Bundesgericht noch aus den Eingaben vor den kantonalen Instanzen geht hervor, weshalb es ihm nicht möglich gewesen sein sollte, diese Beweismittel im damaligen Verfahren zu beantragen. Wiedererwägungsgesuche dienen nicht dazu, prozessuale Versäumnisse aus einem früheren Verfahren zu korrigieren. Bereits aus diesem Grund durfte die Vorinstanz ohne Gehörsverletzung auf die Anhörung der Zeugen und des Beschwerdeführers verzichten und ist auch eine Anhörung im bundesgerichtlichen Verfahren nicht geboten. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde erweist sich insoweit als unbegründet.
3.3. An dieser Beurteilung würde sich selbst dann nichts ändern, wenn der Beschwerdeführer erheblich veränderte Verhältnisse behauptet hätte bzw. die offerierten Anhörungen/Befragungen im damaligen Verfahren nicht hätte beantragen können.
3.3.1. Im Einklang mit Art. 3 EMRK sind Wegweisungen unzulässig, wenn nachweisbar ernsthafte Gründe dafür sprechen, dass die betroffene Person im Falle der Wegweisung bzw. deren Vollzugs tatsächlich Gefahr läuft, sich im Aufnahmeland einer Behandlung ausgesetzt zu sehen, die gegen diese Bestimmung verstösst. Ein solches Risiko muss mit stichhaltigen Gründen konkret und ernsthaft ("real risk") glaubhaft gemacht werden (Urteile 2C_663/2020 vom 2. März 2021 E. 4.1 und 4.2; 2C_192/2017 vom 9. Januar 2018 E. 3.2.1).
3.3.2. Soweit der Beschwerdeführer pauschal auf die aktuelle Lage in der Türkei verweist, vermag er offensichtlich kein Vollzugshindernis aufzuzeigen. Das Bundesverwaltungsgericht als oberste Instanz im Asylrecht geht in konstanter Praxis davon aus, dass in der Türkei - auch unter Berücksichtigung des Wiederaufflammens des türkisch-kurdischen Konfliktes sowie der bewaffneten Auseinandersetzungen zwischen der PKK und staatlichen Sicherheitskräften seit Juli 2015 in verschiedenen Provinzen im Südosten des Landes sowie der Entwicklungen nach dem Militärputschversuch im Juli 2016 - nicht von einer Situation allgemeiner Gewalt oder bürgerkriegsähnlichen Verhältnissen auszugehen sei. Dies gelte auch für Angehörige der kurdischen Ethnie (vgl. Urteile des Bundesverwaltungsgerichts E-912/2021 vom 12. Mai 2021 E. 9.4; E-2182/2020 vom 17. Dezember 2020 E. 12.4.1; E-1716/2020 vom 22. April 2020 E. 7.4.1). Vor diesem Hintergrund hätte der Beschwerdeführer substanziiert darlegen müssen, weshalb er konkret durch die allgemeine Lage in der Türkei gefährdet ist.
3.3.3. Weiter behauptet der Beschwerdeführer, bei der letzten Reise seiner Eltern in ihre alte Heimat habe die türkische Armee oder ein anderer staatlicher Akteur das Wasser der Stadt, aus der seine Familie stamme, vergiften lassen. Als Beweis hierzu offeriert er die Befragung seiner Eltern. Es ist jedoch nicht ersichtlich, inwieweit die Aussage der Eltern in dieser Hinsicht beweiskräftig sein könnte. Selbst wenn die Mutter bei ihrer letzten Reise in die Türkei erkrankt und die Grossmutter des Beschwerdeführers gestorben sein sollte, kann ohne ärztliche Unterlagen, Wasseranalysen etc. nicht glaubhaft gemacht werden, dass die Erkrankung bzw. der Todesfall auf das Trinkwasser zurückzuführen ist, das Wasser absichtlich vergiftet wurde und dies dem türkischen Staat zuzurechnen ist. Auch fällt auf, dass der Beschwerdeführer mit seiner Schilderung bewusst vage bleibt, so dass eine objektive Überprüfung von vornherein nicht möglich oder zumindest stark erschwert wird. So nennt er weder den Zeitpunkt der Reise seiner Eltern noch den Namen der Stadt, in der das Wasser angeblich vergiftet worden sein soll. Ein "real risk" im Sinne der zitierten Rechtsprechung wird dadurch nicht glaubhaft gemacht.
3.3.4. Der Beschwerdeführer bringt vor, er habe Verbindungen zur PKK und sei deshalb gefährdet. Nachdem diese Behauptung im damaligen Verfahren als "in keiner Weise substanziiert" gewürdigt wurde (vgl. Urteil des Verwaltungsgerichts vom 2. Mai 2014 E. 6), beantragt er im Wiedererwägungsverfahren die Einvernahme der Organe des Kurdenvereins U._. Er sei aktives Mitglied in diesem Verein, was in der Türkei als Vergehen oder Verbrechen gelte und dort "zur sofortigen Verhaftung" und "zu seiner Folterung" führen würde. Die Vorinstanz hat anerkannt, dass der Beschwerdeführer Mitglied des Kurdenvereins U._ ist, darin aber keine konkrete oder individuelle Gefährdung für ihn im Falle einer Rückkehr gesehen (vgl. E. 2.5 des angefochtenen Urteils). Dies entspricht auch der Rechtsprechung des Bundesverwaltungsgerichts, wonach sich vom Engagement in einem Kurdenverein in der Schweiz keine staatliche Verfolgung ableiten lasse, wenn die Vereinstätigkeit einen kulturellen oder sozialen Charakter aufweise und keine exilpolitische Betätigung darstelle (vgl. Urteil des Bundesverwaltungsgerichts D-7303/2018 vom 16. Oktober 2019 E. 5.2.1.2). Dass sich der Beschwerdeführer im Kurdenverein exilpolitisch betätigt, bringt er nicht vor und ergibt sich auch nicht aus dem aktenkundigen Schreiben des Vereins vom 3. April 2019. Ebenso gibt es keine Hinweise, dass der Kurdenverein identisch mit der PKK ist bzw. der Beschwerdeführer Verbindungen zur PKK hat oder dort Mitglied ist (vgl. zur diesbezüglichen Substanziierungs- und Mitwirkungspflicht Urteil 2C_588/2019 vom 30. Januar 2020 E. 5.4.4). Inwieweit sich aus der Befragung der Organe des Kurdenvereins - unter strikter Wahrung der Anonymität bzw. Geheimhaltung - etwas anderes ergeben könnte, ist nicht ersichtlich, auch weil eine Überprüfung der Aussagen unter diesen Voraussetzungen nicht möglich ist. Folglich gelingt es dem Beschwerdeführer nicht, eine konkrete Verfolgung glaubhaft zu machen. Vor diesem Hintergrund spielt es keine Rolle, dass er formell noch als Flüchtling gilt. Er hat diesen Status wegen seines Vaters erhalten; vor über 15 Jahren haben sämtliche übrige Familienmitglieder darauf verzichtet.
3.3.5. Erstmals vor Bundesgericht bringt der Beschwerdeführer vor, seine Eltern seien bei einer Türkeireise verhaftet und rund vier Stunden über ihn ausgefragt worden. Dabei handelt es sich um eine neue Tatsache, die nach <ref-law> unzulässig ist. Zudem bleibt der Beschwerdeführer auch hier vage und nennt weder Zeitpunkt noch Ort der angeblichen Verhaftung. Auch die schriftliche Aufzeichnung der Einvernahme hat er trotz Ankündigung in der Beschwerde bis heute nicht eingereicht. Deshalb ist darauf nicht näher einzugehen.
3.3.6. Soweit der Beschwerdeführer schliesslich auf seinen Gesundheitszustand verweist, kann vollumfänglich auf die Ausführungen des Verwaltungsgerichts verwiesen werden (vgl. E. 2.6 des angefochtenen Urteils). Unabhängig davon, dass der Beschwerdeführer auch hier keine wesentliche Verschlechterung seines Gesundheitszustands seit dem Wegweisungsentscheid behauptet, gelingt es ihm bereits angesichts seiner widersprüchlichen Angaben und mangels geeigneter Dokumente nicht, ein Vollzugshindernis aus medizinischen Gründen auch nur glaubhaft zu machen. Darauf ist nicht näher einzugehen.
3.4. Zusammenfassend scheitert das Wiedererwägungsgesuch mit Bezug auf die Vollzugshindernisse bereits daran, dass der Beschwerdeführer keine veränderte Sachlage geltend macht. Zudem gelingt es ihm auch unabhängig davon nicht, eine konkrete Gefahr an Leib und Leben im Falle seiner Rückkehr glaubhaft zu machen.
4.
Der Beschwerdeführer rügt weiter die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung im kantonalen Verfahren. Sowohl die Sicherheitsdirektion als auch das Verwaltungsgericht haben das entsprechende Gesuch wegen Aussichtslosigkeit abgewiesen. Dies ist nicht zu beanstanden, nachdem der Beschwerdeführer mit seinem Wiedererwägungsgesuch hauptsächlich eine Neubeurteilung seines rechtskräftig abgeschlossenen Bewilligungs- und Wegweisungsverfahrens trotz unveränderter Sachlage verlangt hat. Damit ist die subsidiäre Verfassungsbeschwerde vollumfänglich abzuweisen.
5.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren ist aus den vorher genannten Gründen wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG e contrario).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Juli 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Businger