Sachverhalt:
A.
Die IV-Stelle des Kantons Zürich wies das Leistungsbegehren der A._ mit Verfügung vom 13. Oktober 2020 ab.
B.
Die Versicherte erhob dagegen Beschwerde und verlangte die Aufhebung der angefochtenen Verfügung, die Zusprache einer Dreiviertels- oder mindestens einer halben Rente und eventualiter die Rückweisung der Sache an die IV-Stelle zu weiteren Abklärungen. Mit Eingabe vom 26. November 2020 teilte die IV-Stelle dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit, dass sie die Verfügung vom 13. Oktober 2020 wiedererwägungsweise am 20. November 2020 aufgehoben habe und ersuchte um Abschreibung des Verfahrens. Damit erklärte sich A._ am 23. November 2020 als einverstanden.
In der Folge schrieb das Sozialversicherungsgericht das Verfahren mit Verfügung vom 3. Dezember 2020 als gegenstandslos geworden ab (Dispositiv-Ziffer 1) und verpflichtete die IV-Stelle, der Versicherten eine Prozessentschädigung von Fr. 3200.- (inkl. Barauslagen und MWSt) zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 3).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._ die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids. Ihr sei für das kantonale Verfahren eine Prozessentschädigung von Fr. 12'598.05 (inkl. MWSt und Auslagen) zu bezahlen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur erneuten Entscheidfindung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sodann ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege.

Erwägungen:
1.
Streitig und zu prüfen ist, ob die vorinstanzliche Bemessung der Parteientschädigung Bundesrecht verletzt (<ref-law>).
2.
Vorab ist darauf hinzuweisen, dass die Beschwerdeführerin im vorinstanzlichen Verfahren zwar ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege stellte. Dieses wurde jedoch entsprechend dem Verfahrensausgang (Obsiegen) gegenstandslos. Im kantonalen Gerichtsverfahren besteht gemäss <ref-law> im Umfang des Obsiegens ein Anspruch auf Parteientschädigung. Dieser Anspruch steht der Partei selber und nicht der Rechtsvertretung zu, weshalb hier die Versicherte legitimiert ist, eine (behaupteterweise) zu tiefe Parteientschädigung anzufechten (Urteil 9C_991/2008 vom 18. Mai 2009 E. 2.2.2 mit weiteren Hinweisen, in: SVR 2009 IV Nr. 48 S. 144).
3.
3.1. Nach <ref-law> hat die obsiegende Beschwerdeführerin im Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht Anspruch auf Ersatz der Parteikosten; diese werden vom Versicherungsgericht festgesetzt und ohne Rücksicht auf den Streitwert nach der Bedeutung der Streitsache und nach der Schwierigkeit des Prozesses bemessen. Der (tatsächliche und notwendige) zeitliche Aufwand der Rechtsvertretung wird zwar nicht ausdrücklich als Bemessungskriterium aufgeführt, ist aber ebenfalls zu berücksichtigen, soweit er, was regelmässig der Fall ist, von der Schwierigkeit des Prozesses mitbestimmt wird (Urteil 9C_787/2014 vom 7. Juli 2015 E. 4 mit Hinweis; vgl. auch <ref-ruling> E. 4b S. 87). Im Übrigen ist die Bemessung der Parteientschädigung für das erstinstanzliche Beschwerdeverfahren in Sozialversicherungsangelegenheiten dem kantonalen Recht überlassen (Art. 61 Ingress ATSG).
3.2. Das Bundesgericht prüft frei, ob die vorinstanzliche Festsetzung der Parteientschädigung den in <ref-law> statuierten bundesrechtlichen Anforderungen genügt, darüber hinaus nur, ob die Anwendung des kantonalen Rechts zu einer in der Beschwerde substanziiert gerügten (<ref-law>) Verfassungsverletzung geführt hat, wegen seiner Ausgestaltung oder aufgrund des Ergebnisses im konkreten Fall. Dabei fällt praktisch nur das Willkürverbot in Betracht (<ref-law>; Urteil 9C_412/2015 vom 23. Oktober 2015 E. 5.1 mit weiteren Hinweisen). Eine Entschädigung ist willkürlich, wenn sie eine Norm oder einen klaren und unumstrittenen Rechtsgrundsatz offensichtlich schwer verletzt, sich mit sachlichen Gründen schlechthin nicht vertreten lässt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 1.2 S. 177). Zudem muss nicht nur die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar sein (<ref-ruling> E. 7.1 S. 124 mit Hinweisen). Das Bundesgericht hebt die Festsetzung eines Anwaltshonorars nur auf, wenn sie ausserhalb jedes vernünftigen Verhältnisses zu den mit Blick auf den konkreten Fall notwendigen anwaltlichen Bemühungen steht und in krasser Weise gegen das Gerechtigkeitsgefühl verstösst (zitiertes Urteil 9C_787/2014 E. 5.2 mit Hinweis; Urteil 8C_11/2016 vom 22. Februar 2016 E. 3.2 mit Hinweisen, in: SVR 2016 IV Nr. 14 S. 43).
4.
4.1. Die Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin reichte im vorinstanzlichen Verfahren mit einfachem Schriftenwechsel eine Honorarnote über den Betrag von Fr. 12'598.05 (einschliesslich Mehrwertsteuer und Auslagen) ein. Das kantonale Gericht führte dazu aus, dass der geltend gemachte Aufwand von 43,05 Stunden und Fr. 473.20 Barauslagen der Bedeutung der Streitsache sowie der Schwierigkeit des Prozesses nicht angemessen seien. Namentlich erscheine ein Aufwand von 8 Stunden und 50 Minuten für das Aktenstudium - von zum Teil auch andere Versicherungsträger betreffenden Verfahren - sowie 15 Stunden und 50 Minuten für das Verfassen der Beschwerdeschrift als überhöht, zumal sich darin zahlreiche Ausführungen finden würden, die - aus der Feder der Juristin stammend - nicht relevant seien. Auch die Kosten für Recherchen im Umfang von 11 Stunden und 25 Minuten seien nicht gerechtfertigt, gelte doch der Stundenansatz von Fr. 220.- für versierte Rechtsanwältinnen und Rechtsanwälte. Wissenslücken könnten nicht zu Lasten der Parteien geschlossen werden. Auch die - nebst der Instruktion erfolgten - verschiedenen Kontakte zur Beschwerdeführerin seien nicht zu entschädigen.
Das kantonale Gericht gewährte der Beschwerdeführerin gestützt auf das kantonale Gesetz über das Sozialversicherungsgericht (GSVGer; LS 212.81) in Verbindung mit der Verordnung über die Gebühren, Kosten und Entschädigungen vor dem Sozialversicherungsgericht (GebV SVGer; LS 212.812) angesichts der zu studierenden Aktenstücke der IV-Stelle, des gerechtfertigten Anteils der 54-seitigen Beschwerdeschrift, der Aufwendungen im Zusammenhang mit dem Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung sowie mit Blick auf die in ähnlichen Fällen zugesprochenen Beträge bei Anwendung des gerichtsüblichen Stundenansatzes von Fr. 220.- eine Prozessentschädigung von Fr. 3200.- (inkl. Mehrwertsteuer und Auslagen).
4.2. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe viele der in Rechnung gestellten Arbeiten als nicht erforderlich oder als nicht relevant bezeichnet und sei deshalb zum Schluss gelangt, dass diese nicht zu entschädigen seien. Damit beschränke das kantonale Gericht in erheblichem Mass das Recht auf ein faires Verfahren (<ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK) sowie den Gehörsanspruch (<ref-law>). Würde den Überlegungen der Vorinstanz gefolgt, wäre eine effiziente Verteidigung der Interessen der Versicherten künftig nicht mehr möglich.
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin zeigt nicht auf, worin die Gehörsverletzung (<ref-law>) durch die Vorinstanz liegen soll. Eine solche ist denn auch nicht ersichtlich.
5.2.
5.2.1. Die Beschwerdeführerin stellt sich auf den Standpunkt, bei einem Streitwert von über Fr. 40'000.- pro Jahr handle es sich um eine bedeutende Streitsache für eine vermögenslose Mutter von drei Kindern. Dieser Umstand ist grundsätzlich zu berücksichtigen; ausschlaggebend ist er jedoch nicht. Denn dieses Kriterium hat mit Blick darauf, dass der Streitwert nach <ref-law> ausdrücklich keinen Einfluss auf die Höhe der Parteientschädigung haben soll, weniger Gewicht als die Schwierigkeit des Prozesses, die auf der Grundlage des tatsächlichen Arbeitsaufwandes messbar ist (Urteil 9C_470/2007 vom 6. März 2008 E. 3.2 mit Hinweisen).
5.2.2. In Bezug auf die Schwierigkeit des Prozesses macht die Beschwerdeführerin geltend, dass auf dieses Kriterium nicht abgestellt werden könne, denn ausgeschlossen sei nur die Entschädigung für unnötigen oder geringfügigen Aufwand. Für die Frage, was zweckmässig sei und was unnötig erscheine, sei die anwaltliche Sorgfaltspflicht als Massstab heranzuziehen. Diese Rüge zielt ins Leere, denn dem in <ref-law> explizit vorgesehenen Bemessungskriterium der Schwierigkeit des Prozesses kommt seit jeher vorrangige Bedeutung zu (SUSANNE BOLLINGER, in: Basler Kommentar, Allgemeiner Teil des Sozialversicherungsrechts, 2020, N. 84 zu <ref-law>).
5.2.3. Es ist festzuhalten, dass nicht der geltend gemachte, sondern nur der notwendige Aufwand zu entschädigen ist (bereits zitiertes Urteil 8C_727/2014 E. 4.1). Die Beschwerdeführerin weist zwar zu Recht auf das Rügeprinzip hin und moniert, danach sei die Rechtsvertretung verpflichtet, immer alles zu rügen. Trotzdem haben sich die Vorbringen - insbesondere auch mit Blick auf die im Sozialversicherungsprozess herrschende Untersuchungsmaxime (vgl. Urteile 9C_688/2009 vom 19. November 2009 E. 5.2.3, in: SVR 2010 IV Nr. 27 S. 83; 8C_723/2009 vom 14. Januar 2010 E. 3.2) - auf die relevanten Fragen zu beschränken. Materiell-rechtlich war der Rentenanspruch der Versicherten umstritten. Die Rechtsfragen, die sich stellten, können nicht als besonders schwierig oder komplex bezeichnet werden. Es ging bei der erstmaligen Leistungsprüfung im Wesentlichen um die Frage der Beweiskraft eines bei den Akten liegenden Gutachtens und um die Abklärungspflicht der IV-Stelle. So ist im Sinne der Vorinstanz nicht nachvollziehbar, inwiefern die über viele Seiten gehenden ausführlichen medizinischen Erläuterungen mit Bezug zur Fachliteratur wie auch das Studium der Akten anderer Versicherungsträger notwendig waren.
Die Beschwerdeführerin kritisiert in diesem Zusammenhang weiter, ein Einwand einer Juristin sei nicht per se weniger relevant als der einer medizinischen Fachperson, selbst wenn eine medizinische Frage Grundlage des Einwandes bilde. Hierzu ist festzuhalten, dass die Rechtsprechung seit jeher die Aufgaben von Rechtsanwender und Arztperson im Rahmen der Invaliditätsbemessung so verteilt, dass es Sache des (begutachtenden) Mediziners ist, den Gesundheitszustand zu beurteilen und wenn nötig seine Entwicklung im Laufe der Zeit zu beschreiben, d.h. mit den Mitteln fachgerechter ärztlicher Untersuchung unter Berücksichtigung der subjektiven Beschwerden die Befunde zu erheben und gestützt darauf die Diagnose zu stellen. Hiermit erfüllt der Sachverständige seine genuine Aufgabe, wofür Verwaltung und im Streitfall Gericht nicht kompetent sind (<ref-ruling> E. 3.2 S. 195). Nichts anderes gilt hier in Bezug auf die ausführlichen medizinischen Erläuterungen der Rechtsvertreterin.
5.2.4. Weiter erachtete das kantonale Gericht die Instruktionsbesprechung der Rechtsvertreterin mit der Beschwerdeführerin sowie die Aufwendungen der Anwältin im Zusammenhang mit dem Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung als notwendig. Inwiefern darüber hinaus für das schriftlich durchgeführte vorinstanzliche Verfahren weitere Besprechungen notwendig gewesen sein sollen, vermag die Beschwerdeführerin nicht aufzuzeigen.
5.3. Es ist festzuhalten, dass der Schutzbereich des Rechts auf ein faires Verfahren hier nicht tangiert ist. Es steht nicht in Frage, dass der Versicherten als obsiegender Partei ein Anspruch auf Ersatz der Parteikosten zusteht. Eine Überprüfung der Höhe einer solchen Entschädigung liegt jedoch auch unter dem Aspekt des fairen Verfahrens im Interesse der Prozessierenden (vgl. Urteil 8C_727/2014 vom 4. März 2015 E. 3.2). Der bundesrechtliche Rahmen (<ref-law>) gibt einzig eine Bemessung nach der Bedeutung der Streitsache und nach der Schwierigkeit des Prozesses vor (E. 3.1 oben). Eine Verletzung des in <ref-law> vorgegebenen Rahmens ist mit Blick auf das Gesagte (E. 5.2 oben) zu verneinen.
5.4. Inwiefern das kantonale Gericht bei der Zusprache der Parteientschädigung von Fr. 3200.- in Willkür verfallen sein soll (vgl. E. 3.2 oben), ist - soweit überhaupt substanziiert dargelegt, was offen bleiben kann - nicht ersichtlich. Denn das Abstellen der Vorinstanz zwecks Überprüfung der Angemessenheit im konkreten Fall auf einen Ansatz von Fr. 220.- verstösst nicht gegen Bundesrecht, kann die Parteientschädigung für das Verfahren vor den kantonalen Versicherungsgerichten doch rechtsprechungsgemäss willkürfrei innerhalb einer Bandbreite von Fr. 160.- bis 320.- in der Stunde festgelegt werden (zitiertes Urteil 9C_787/2014 E. 6.2 mit Hinweisen). Damit bleibt es bei der von der Vorinstanz für das kantonale Verfahren zugesprochenen Parteientschädigung.
6.
Ausgangsgemäss wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung) kann entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 4a S. 202). Sie hat der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>).
Der von der Rechtsvertreterin persönlich verlangte und von ihr geleistete Kostenvorschuss im Umfang von Fr. 1000.- wird ihr zurückerstattet (vgl. E. 2 oben).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Fernanda Pontes Clavadetscher wird als unentgeltliche Anwältin bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Der Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. März 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Huber