Fatti:
A.
Con un'istanza di conciliazione del 18 febbraio 2020 alla Pretura della Giurisdizione di Mendrisio-Sud, A._ ha chiesto la condanna del Comune di X._ al pagamento di fr. 37'893.-- a titolo di risarcimento danni e riparazione morale, oltre alle spese esecutive aggiuntive, in conseguenza della cancellazione d'ufficio della sua residenza nel Comune a partire dal 22 luglio 2018. Secondo l'interessata, la cancellazione sarebbe stata indebita e le avrebbe impedito di beneficiare di prestazioni assistenziali.
B.
All'udienza di conciliazione del 12 maggio 2020, preso atto che il Comune di X._ aveva avversato la pretesa e che le parti non erano giunte ad un accordo, il Pretore aggiunto supplente ha fissato a A._ un termine di dieci giorni per versare un anticipo di fr. 300.-- delle spese processuali presumibili, con l'avvertenza che in caso di mancato pagamento entro un termine suppletorio ulteriore, non sarebbe entrato nel merito della procedura.
C.
A._ ha impugnato la decisione del 12 maggio 2020 sulla richiesta di anticipo delle spese giudiziarie con un reclamo alla III Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino. Ha sostanzialmente addotto di non disporre dei mezzi necessari per fare fronte al pagamento dell'anticipo richiesto. La reclamante ha inoltre chiesto di conferire l'effetto sospensivo al gravame. Statuendo sul reclamo con sentenza dell'8 luglio 2020, la III Camera civile del Tribunale d'appello lo ha respinto, dichiarando priva d'oggetto la domanda di effetto sospensivo. La Corte cantonale ha rinunciato in via eccezionale a prelevare spese processuali per la procedura di reclamo ed ha conseguentemente dichiarato priva d'oggetto la domanda di assistenza giudiziaria presentata in quella sede.
D.
Frattanto, con decisione del 25 maggio 2020, constatato il mancato pagamento dell'anticipo entro il termine stabilito il 12 maggio 2020, il Pretore aggiunto supplente ha fissato a A._ un termine suppletorio di cinque giorni per versare l'importo di fr. 300.--, con l'avvertenza che, in caso di mancato pagamento, non sarebbe entrato nel merito della procedura. Con decisione del 9 luglio 2020, constatato che l'istante non aveva provveduto al pagamento dell'anticipo richiesto nemmeno entro il termine suppletorio e preso atto della sentenza dell'8 luglio 2020 della Corte cantonale, il Pretore della Giurisdizione di Mendrisio-Sud ha stralciato dai ruoli la procedura. Ha contestualmente rinunciato, in via eccezionale, a prelevare spese processuali a carico dell'istante.
E.
Contro la decisione di stralcio del 9 luglio 2020 A._ ha adito la II Camera civile del Tribunale d'appello, che con sentenza del 28 agosto 2020 ha respinto l'appello. La Corte cantonale ha rinunciato a prelevare spese processuali ed ha quindi rilevato che la domanda di gratuito patrocinio per quella sede diveniva senza oggetto.
F.
A._ impugna questa sentenza con un ricorso del 29 settembre 2020 al Tribunale federale, chiedendo di annullarla. Chiede contestualmente di annullare il decreto di stralcio e di rinviare gli atti alla Pretura, affinché le conceda l'assistenza giudiziaria e le rilasci l'autorizzazione ad agire. La ricorrente postula inoltre di essere ammessa al beneficio dell'assistenza giudiziaria per la sede federale. Fa essenzialmente valere la violazione degli art. 5, 9, 29, 29a e 30 Cost.
G.
La Corte cantonale comunica di rinunciare a presentare osservazioni. Il Comune di X._ si rimette al giudizio del Tribunale federale.
Con decreto presidenziale del 6 ottobre 2020 è stata respinta la domanda di conferimento dell'effetto sospensivo contenuta nel gravame.

Diritto:
1.
Il Tribunale federale esamina d'ufficio se e in che misura un ricorso può essere esaminato nel merito (<ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1 e rispettivi rinvii).
1.1. Il presente litigio trae origine da una richiesta di risarcimento danni fondata sulla legge ticinese del 24 ottobre 1988 sulla responsabilità civile degli enti pubblici e degli agenti pubblici (LResp/TI; RL 166.100), ossia su norme di diritto pubblico cantonale (cfr. <ref-law>). La causa non concerne inoltre la responsabilità dello Stato per attività medica, nell'ambito della quale la via del ricorso in materia civile è eccezionalmente aperta (cfr. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.5; sentenza 2C_337/2019 del 4 marzo 2021 consid. 1.2). L'impugnativa è diretta contro una decisione finale (<ref-law>) resa in ultima istanza cantonale da un tribunale superiore (art. 86 cpv. 1 lett. d e cpv. 2 LTF), in una causa che non ricade sotto nessuna delle eccezioni previste dall'<ref-law> e il cui valore litigioso è superiore all'importo minimo di fr. 30'000.-- previsto dalla legge nel campo della responsabilità dello Stato (<ref-law>). La via del ricorso in materia di diritto pubblico è dunque aperta (cfr. sentenze 2C_337/2019, citata, consid. 1.2; 2C_241/2015 del 3 luglio 2015 consid. 1.1). Malgrado il fatto che, sul piano cantonale, la causa sia stata esaminata dalla II Camera civile del Tribunale d'appello, la competenza per trattare il ricorso spetta alla II Corte di diritto pubblico del Tribunale federale (art. 30 cpv. 1 lett. c n. 1 del regolamento del Tribunale federale del 20 novembre 2006 [RTF; RS 173.110.131]; cfr. sentenze 2C_337/2019, citata, consid. 1.2; 2C_34/2017 del 24 agosto 2018 consid. 1.1, non pubblicato in <ref-ruling>).
1.2. Per il resto, l'impugnativa è stata presentata tempestivamente (<ref-law>) dalla destinataria del giudizio contestato, con interesse a insorgere (<ref-law>). Il gravame può dunque essere esaminato come ricorso in materia di diritto pubblico.
2.
2.1. Conformemente a quanto stabilito dagli art. 95 e 96 LTF, il ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale può essere presentato per violazione del diritto, nel quale rientra pure il diritto costituzionale (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 1.4.1). Secondo l'<ref-law>, nel ricorso occorre spiegare per quali ragioni l'atto impugnato viola il diritto. La ricorrente deve quindi confrontarsi con le considerazioni esposte nella sentenza impugnata, spiegando per quali motivi tale giudizio lede il diritto (<ref-ruling> consid. 1.7.1). II Tribunale federale esamina inoltre le censure di violazione di diritti costituzionali solo se adempiono le rigorose esigenze di motivazione dell'<ref-law>. Ciò significa che, con riferimento ai motivi della decisione impugnata, la ricorrente deve indicare in modo chiaro e dettagliato in che modo sarebbero stati violati i suoi diritti costituzionali (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1.2.2; <ref-ruling> consid. 2.2).
Nella misura in cui la ricorrente elenca una serie di diritti costituzionali che ritiene essere stati violati dalla Corte cantonale, senza tuttavia spiegare puntualmente in che consiste la violazione, il gravame non adempie i requisiti di motivazione dell'<ref-law> e non può quindi essere vagliato nel merito.
2.2. Quando, come in concreto (cfr. <ref-law>/TI), il legislatore cantonale sottopone la pretesa di diritto pubblico in esame ai tribunali civili e questi ultimi applicano il Codice di diritto processuale civile svizzero (CPC), il diritto federale viene applicato a titolo di diritto cantonale suppletivo (sentenza 2C_241/2015, citata, consid. 2.2 e rinvii). Considerato che, fatta eccezione per i casi citati dall'<ref-law>, non è possibile fare valere la violazione del diritto cantonale in quanto tale, anche chi intende formulare una critica relativa all'applicazione di disposti che rientrano nella categoria del diritto cantonale suppletivo deve dimostrare, sempre con una motivazione conforme all'<ref-law>, una violazione del divieto d'arbitrio o di altri diritti costituzionali (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 2.3; sentenza 2C_241/2015, citata, consid. 2.2).
Nella misura in cui la ricorrente si limita a criticare genericamente la sentenza impugnata, senza sostanziare un'applicazione manifestamente insostenibile, e quindi arbitraria, delle specifiche disposizioni del CPC concretamente applicate dai giudici cantonali, il gravame non adempie le citate esigenze di motivazione e non può essere vagliato nel merito. Tantomeno, il ricorso le rispetta laddove la ricorrente lamenta la violazione di norme del previgente Codice di procedura civile ticinese, del 17 febbraio 1971 (CPC/TI), che è stato abrogato e non è quindi stato applicato nella causa in questione. Esulano inoltre dall'oggetto del litigio, e non devono essere esaminate in questa sede, le censure relative alla fattispecie sulla quale la ricorrente fonda una pretesa responsabilità del Comune di X._.
3.
3.1. La ricorrente impugna esclusivamente la sentenza del 28 agosto 2020 della II Camera civile del Tribunale d'appello. Nelle conclusioni del ricorso chiede di annullare tale giudizio e il decreto di stralcio del 9 luglio 2020 del Pretore. Non impugna per contro la decisione incidentale dell'8 luglio 2020 della III Camera civile del Tribunale d'appello concernente la richiesta di anticipo delle spese processuali di fr. 300.--. In tale decisione, la Corte cantonale si è altresì pronunciata sulla questione del gratuito patrocinio nella procedura dinanzi al Pretore. La ricorrente avrebbe potuto impugnare il giudizio incidentale dell'8 luglio 2020 contestualmente con quello finale del 28 agosto 2020, in quanto ha influito su quest'ultimo (<ref-law>; cfr. <ref-ruling> consid. 2.3; sentenza 2C_85/2019 del 23 gennaio 2019 consid. 2). Qualora ne fossero date le condizioni avrebbe altresì potuto presentare un ricorso direttamente contro la decisione incidentale (cfr. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 2).
3.2. Nel gravame in esame la ricorrente solleva essenzialmente argomentazioni relative alla sua asserita situazione di indigenza e al fatto che il Pretore avrebbe dovuto ammetterla al beneficio del gratuito patrocinio. Tuttavia, tali questioni erano state da lei sollevate con il reclamo contro la decisione relativa all'anticipo delle spese giudiziarie e sono quindi state oggetto della sentenza dell'8 luglio 2020 della III Camera civile del Tribunale d'appello. Come visto, tale decisione incidentale non è però impugnata dalla ricorrente in questa sede. Dal profilo formale non le era precluso di fare valere le sue argomentazioni con il ricorso contro la sentenza del 28 agosto 2020 (cfr. consid. 3.1). La ricorrente avrebbe tuttavia dovuto sollevare e motivare le sue censure in modo conforme alle esposte esigenze. Il gravame in esame non le adempie: la ricorrente non si confronta infatti in modo specifico con i considerandi della decisione incidentale dell'8 luglio 2020, spiegando per quali ragioni violerebbero il diritto, in particolare perché disattenderebbero manifestamente le disposizioni del CPC applicate dalla Corte cantonale a titolo di diritto cantonale suppletivo. Adducendo semplicemente di avere presentato oralmente all'udienza di conciliazione del 12 maggio 2020 dinanzi al Pretore una domanda di gratuito patrocinio, la ricorrente non sostanzia d'arbitrio l'accertamento della Corte cantonale secondo cui ella, in realtà, non ha presentato una simile istanza. Tale accertamento è peraltro conforme al contenuto del verbale di udienza, dal quale non risulta che la ricorrente abbia formulato una domanda in tal senso al primo giudice, ed è vincolante per il Tribunale federale (<ref-law>). L'argomentazione della ricorrente secondo cui in concreto sarebbero adempiute le condizioni per ammetterla al beneficio del gratuito patrocinio giusta l'<ref-law> non considera tale accertamento e non può quindi essere vagliata in questa sede, siccome disattende le esposte esigenze di motivazione. La stessa conclusione vale riguardo al rimprovero mosso al Pretore di avere violato il suo diritto di essere sentita per non avere esaminato l'adempimento delle condizioni dell'<ref-law>.
3.3. Quanto alla contestata sentenza del 28 agosto 2020 relativa allo stralcio dai ruoli della procedura, la ricorrente sostiene che, a seguito dell'inoltro del reclamo (con domanda di effetto sospensivo) contro la decisione del 12 maggio 2020, il Pretore avrebbe dovuto sospendere il termine per il pagamento dell'anticipo ed esaminare lui stesso i motivi addotti nel reclamo, che avrebbero giustificato la concessione del gratuito patrocinio.
La ricorrente disattende tuttavia che il reclamo non preclude l'efficacia e l'esecutività della decisione impugnata (<ref-law>) e che la Corte cantonale non aveva concesso l'effetto sospensivo al rimedio. La richiesta di pagamento dell'anticipo e i relativi termini fissati dal Pretore continuavano pertanto ad essere vincolanti. La ricorrente non sostanzia al riguardo un'applicazione arbitraria delle norme del CPC, applicate in concreto a titolo di diritto cantonale suppletivo. In tali circostanze, il giudizio della Corte cantonale di tutelare la decisione pretorile di stralcio della procedura a causa del mancato versamento dell'anticipo entro il termine suppletorio non è criticabile (cfr. <ref-law>; cfr. sentenza 2C_230/2007 del 17 ottobre 2007 consid. 3).
4.
Ne segue che il ricorso deveessere respinto nella misura della sua ammissibilità. Le spese giudiziarie seguono la soccombenza e sono quindi poste a carico della ricorrente (<ref-law>). La domanda di assistenza giudiziaria per la sede federale deve essere respinta, essendo il gravame fin dall'inizio privo di possibilità di successo (<ref-law>). Non si assegnano ripetibili al Comune di X._ (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2.
La domanda di assistenza giudiziaria è respinta.
3.
Le spese giudiziarie di fr. 1'000.-- sono poste a carico della ricorrente.
4.
Comunicazione alla ricorrente, al Comune di X._ e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.