Faits :
A.
Le Ministère public de la Confédération (ci-après: MPC) a ouvert une instruction pénale (SV.12.0743) contre A._ et a dressé l'acte d'accusation le 25 mars 2019 devant la Cour des affaires pénales du Tribunal pénal fédéral (ci-après: CAP-TPF), laquelle a informé les parties, par courrier du 17 mai 2019, que les débats auraient lieu du 4 au 6 novembre 2019, et qu'en cas de défaut du prévenu, ils seraient reportés à la période du 25 au 27 novembre 2019.
Alors que la direction de la procédure a refusé de reporter l'audience le 30 octobre 2019, A._ a fait défaut aux débats du 4 au 6 octobre 2019. Une nouvelle requête de renvoi des débats a été rejetée le 21 novembre 2019 par la CAP-TPF, laquelle a informé l'intéressé que les débats prévus le 25 novembre 2019 étaient maintenus. A._ ne s'est à nouveau pas présenté aux débats, auxquels son défenseur d'office était présent.
B.
Par jugement du 17 décembre 2019, la CAP-TPF a condamné par défaut A._, pour faux dans les titres répétés et obtention frauduleuse d'une constatation fausse, à une peine privative de liberté ferme de 24 mois, complémentaire à la peine privative de liberté prononcée le 20 novembre 2017 par la même autorité dans le cadre d'une procédure antérieure. A._ a fait appel de ce jugement auprès de la Cour d'appel du Tribunal pénal fédéral.
Par décision du 1er décembre 2020, la CAP-TPF a rejeté la demande de nouveau jugement (<ref-law>) formée par A._.
C.
Statuant par décision du 16 février 2021 sur le recours formé par A._ contre le rejet de la demande de nouveau jugement, la Cour des plaintes du Tribunal pénal fédéral (ci-après: CP-TPF) l'a rejeté. Elle a considéré en substance que le défaut aux audiences de débats était fautif, aucun des documents médicaux remis ne permettant d'excuser l'absence du prévenu. En outre, selon un rapport de la police judiciaire fédérale du 6 janvier 2021, il avait effectué 9 vols entre la Suisse et U._ en l'espace d'un mois et demi, malgré l'état de santé dont il se prévalait.
D.
A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre la décision du 16 février 2021 de la Cour des plaintes du TPF et conclut, avec suite de frais et dépens, au renvoi de la cause à la CAP-TPF pour qu'elle fixe de nouveaux débats et rende un nouveau jugement au fond. Subsidiairement, il conclut à l'annulation de la décision et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouveau jugement dans le sens des considérants. Il requiert, par ailleurs, l'octroi de l'effet suspensif.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office (<ref-law>) et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 2).
1.1. Le recours au Tribunal fédéral contre les décisions rendues en matière pénale est régi par les <ref-law>.
A teneur de l'<ref-law>, le recours est irrecevable contre les décisions de la cour des plaintes du Tribunal pénal fédéral, sauf si elles portent sur des mesures de contrainte. Cette notion se réfère selon la jurisprudence aux mesures investigatrices ou coercitives prises, à titre incident, au cours du procès pénal, telles que l'arrestation, la détention, le séquestre, la fouille, la perquisition. Le législateur a ainsi désiré éviter que l'effet de décharge voulu par le transfert des compétences au TPF ne soit réduit à néant par l'ouverture systématique du recours au Tribunal fédéral. Ainsi, seules les mesures de contrainte telles que la mise et le maintien en détention provisoire et la saisie de biens peuvent faire l'objet d'un recours car il s'agit là de mesures graves qui portent atteinte aux droits fondamentaux (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 2.1; Message du 28 février 2001 concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale, FF 2001 4030; cf. art. 196 à 298 CPP).
Dans une affaire concernant le recourant, le Tribunal fédéral a considéré que le recours formé contre la décision de la Cour des plaintes du TPF portant sur une demande de nouveau jugement (<ref-law>) est irrecevable, à défaut de porter sur une mesure de contrainte (arrêt 6B_717/2018 du 10 septembre 2018 consid. 1).
Il en va de même dans la présente cause, laquelle ne justifie pas que l'on s'écarte du texte clair de l'<ref-law> et de la jurisprudence constante y relative.
1.2. Le recourant reproche à la Cour des plaintes d'avoir violé son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) au motif qu'elle ne lui aurait fait parvenir le rapport de la police judiciaire sur ses déplacements aériens que "pour information" avant de rendre sa décision, sans lui fixer formellement de délai pour se déterminer. Or la nature (constitutionnelle) du grief invoqué ne change rien à l'irrecevabilité du recours en matière pénale dans la présente cause, le droit d'être entendu n'étant pas une fin en soi (<ref-ruling> consid. 1.4.1; arrêts 6B_249/2021 du 13 septembre 2021 consid. 6.1; 6B_734/2016 du 18 juillet 2017 consid. 1.1 non publié in <ref-ruling>). Au demeurant, il est rappelé qu'au regard de l'art. 29 al. 2 Cst., il suffit que chaque intéressé puisse fournir ses explications ou présenter son point de vue par oral ou par écrit, en personne ou par l'intermédiaire d'un représentant (<ref-ruling> consid. 2a; arrêt 6B_259/2016 du 21 mars 2017 consid. 4.3.1; cf. arrêt 6B_1038/2019 du 30 avril 2020 consid. 4.4.2), ce dont le recourant - qui a été informé du document en cause - ne prétend pas avoir été empêché de faire en l'espèce.
Aussi, le recourant ne saurait justifier la recevabilité de son recours sur la base d'une prétendue violation de son droit d'être entendu. Il en va de même en tant que le recourant invoque une violation de l'interdiction de l'abus de droit, au motif que la Cour des plaintes aurait violé son droit d'être entendu.
1.3. Contrairement à ce que suggère le recourant, en se référant à l'ancienne LTPF (loi fédérale du 4 octobre 2002 sur le Tribunal pénal fédéral, abrogée le 1er janvier 2011), le défaut de recours au Tribunal fédéral ne constitue pas une lacune proprement dite qui trouverait son origine dans le fait que la LTF est antérieure à l'entrée en vigueur du CPP (cf. arrêt 1B_789/2012 du 24 janvier 2013 consid. 2.2).
Sous l'égide de l'ancienne PPF (art. 148 al. 3 de l'ancienne loi fédérale sur la procédure pénale), abrogée lors de l'entrée en vigueur du CPP le 1 er janvier 2011, la Cour des affaires pénales pouvait admettre ou refuser d'annuler une décision de condamnation par défaut. Avec l'entrée en vigueur de la LOAP (loi fédérale du 19 mars 2010 sur l'organisation des autorités pénales de la Confédération; RS 173.71), la décision de refus de nouveau jugement de la CAP-TPF peut faire l'objet d'un recours à la Cour des plaintes du TPF (<ref-law>; cf. Message du Conseil fédéral relatif à la loi fédérale sur l'organisation des autorités pénales de la Confédération du 10 septembre 2008, FF 2008 p. 7408), ce qui garantit un double degré de juridiction. La voie du recours en matière pénale au Tribunal fédéral est exclue dès lors que la décision ne porte pas sur une mesure de contrainte. Cela étant, l'on ne décèle aucune lacune de la loi qu'il conviendrait de combler (cf. sur cette notion <ref-ruling> consid. 3.5).
1.4. En tant que le recourant se prévaut de son droit à un procès équitable relatif à la procédure par défaut, il omet que, conformément à l'art. 6 CEDH (arrêts CourEDH Sejdovic contre Italie du 1er mars 2006, Recueil CourEDH 2006-II p. 201 § 81 ss et les arrêts cités; Medenica contre Suisse du 14 juin 2001, Recueil CourEDH 2001-VI p. 81 § 55 ss; arrêt 6B_1034/2017 du 26 avril 2018 consid. 2.1), il a eu la possibilité de demander un nouveau jugement et que deux autorités judiciaires ont évalué les excuses qu'il a fournies pour conclure que son absence n'était pas justifiée. Un appel est au demeurant pendant auprès de la CAP-TPF, juridiction devant laquelle le recourant peut, selon les circonstances, être jugé en contradictoire. Aussi, il ne saurait se prévaloir d'une exception au texte clair de l'<ref-law> et à la jurisprudence y relative pour ce motif.
1.5. La décision entreprise n'émanant pas d'une autorité cantonale de dernière instance, le recours constitutionnel subsidiaire au sens de l'<ref-law> est exclu également (cf. arrêts 6B_1307/2019 du 5 février 2020 consid. 3; 6B_905/2016 du 28 novembre 2016 consid. 3).
1.6. Les pièces produites par le recourant par plis des 5 mai et 21 septembre 2021 ne résultant pas de la décision entreprise sont nouvelles, partant irrecevables (<ref-law>).
2.
Le recours est irrecevable. La cause étant jugée, la demande d'effet suspensif devient sans objet. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal pénal fédéral, Cour des plaintes.
Lausanne, le 29 octobre 2021
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Denys
La Greffière : Klinke