Faits :
A.
A.a. A._, né en 1989, a travaillé dès avril 2011 à temps plein en qualité de menuisier pour une entreprise sise à B._. Le 1 er juin 2011, il s'est blessé à l'index de la main gauche en utilisant un rabot électrique. La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA), auprès de laquelle il était assuré obligatoirement contre le risque d'accidents, a pris en charge le cas. L'assuré a été suivi par plusieurs médecins ainsi que par un ergothérapeute.
Dans son rapport du 10 octobre 2013, le docteur C._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur et médecin d'arrondissement de la CNA, a retenu que l'activité de menuisier de l'assuré n'était plus exigible au vu de la survenance d'un syndrome algodystrophique et de la persistance de douleurs allodyniques ensuite de l'accident; en revanche, il était apte à exercer à temps plein une activité mono-manuelle, uniquement de la main droite, sans limitation de port de charges à droite et sans devoir monter sur une échelle. Par estimation du même jour, ce médecin a évalué le taux de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité (IPAI) à 10 %.
A.b. Par décision du 11 novembre 2015, la CNA - retenant un taux d'invalidité inférieur à 10 % - a refusé d'allouer à l'assuré une rente d'invalidité et lui a octroyé une IPAI d'un montant de 12'600 fr., fondée sur un taux de 10 %.
Saisie d'une opposition contre cette décision, la CNA a confié une expertise pluridisciplinaire aux médecins suivants: le docteur D._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur ainsi qu'en chirurgie de la main; le docteur E._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie; le docteur F._, spécialiste en neurologie. Ceux-ci ont rendu leurs rapports respectifs le 28 avril 2017.
Par décision sur opposition du 23 juin 2017, la CNA a rejeté l'opposition de l'assuré et a ramené le taux de l'IPAI à 5 %, pour un montant de 6300 fr.
B.
Saisie d'un recours contre la décision sur opposition, la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Chambre des assurances sociales) a notamment ordonné une expertise neurologique, confiée au docteur G._ et à la doctoresse H._, spécialistes en neurologie. Ceux-ci ont rendu leur rapport, daté du 24 avril 2018, le 15 octobre 2018. Ils ont notamment exposé que l'assuré s'était opposé à une électroneuromyographie (ENMG) du membre supérieur gauche par crainte d'une douleur insupportable. Dans un rapport complémentaire daté du 12 septembre 2019 et remis le 1er octobre 2019, les experts ont répondu aux questions de la cour cantonale et des parties.
L'assuré a ensuite sollicité l'audition des deux experts ainsi que celle de son ergothérapeute; il estimait que certaines de ses questions complémentaires adressées aux experts étaient restées sans réponse et que certaines de leurs réponses étaient lacunaires, en particulier concernant les circonstances l'ayant amené à refuser une ENMG ainsi que la nécessité d'un tel examen.
Par jugement du 17 février 2020, la Chambre des assurances sociales a rejeté le recours, renonçant par appréciation anticipée des preuves aux auditions requises par l'assuré.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant à sa réforme en ce sens qu'une rente d'invalidité complète ainsi qu'une IPAI fondée sur un taux de 40 % lui soient octroyées. A titre subsidiaire, il conclut à l'annulation du jugement attaqué et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Il est donc recevable.
1.2. S'agissant d'une procédure concernant l'octroi de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par la juridiction précédente (<ref-law>).
2.
2.1. Le jugement entrepris expose de manière complète les dispositions relatives aux conditions d'octroi d'une rente d'invalidité (art. 6 al. 1 et 18 al. 1 LAA) et d'une IPAI (<ref-law> et 36 al. 1 OLAA [RS 832.202]), ainsi qu'à l'évaluation du taux d'invalidité (<ref-law> [RS 830.1]) et au calcul de l'IPAI (<ref-law> et <ref-law>). Il en va de même des normes et de la jurisprudence en matière d'appréciation des preuves, en particulier des rapports médicaux (<ref-ruling> consid. 4.4 p. 469 s.; <ref-ruling> consid. 3 p. 352 ss), ainsi que concernant la nécessité d'observations médicales concluantes pour confirmer l'allégation de douleurs (<ref-ruling> consid. 2.2.2 p. 353). Il suffit d'y renvoyer.
2.2. La cour cantonale a retenu que l'expertise des docteurs G._ et H._ avait pleine valeur probante, à l'inverse des rapports médicaux du docteur F._ ainsi que de ceux des différents médecins traitants et de l'ergothérapeute du recourant. Elle a relevé que les docteurs G._ et H._ avaient diagnostiqué un syndrome douloureux régional complexe (SDRC ou complex regional pain syndrome [CRPS], également appelé maladie de Sudeck) de l'index gauche, associé à une propagation au membre supérieur gauche d'origine indéterminée, ainsi que des douleurs chroniques avec allodynie de l'hémicorps gauche également d'origine indéterminée. Dès lors qu'en dehors du SDRC de l'index gauche, ces douleurs n'étaient objectivées par aucun substrat organique et que leur origine demeurait indéterminée, elles n'étaient pas en lien de causalité naturelle avec l'accident du 1 er juin 2011. En outre, il n'y avait pas de lien de causalité adéquate entre cet accident et les douleurs chroniques du recourant si celles-ci devaient être assimilées à un trouble somatoforme douloureux. Par conséquent, l'intimée devait prendre en charge les suites du SDRC de l'index gauche mais ne répondait pas des douleurs s'étendant au membre supérieur gauche voire à l'hémicorps gauche. La juridiction cantonale a ensuite constaté que les experts n'avaient retenu aucune limitation fonctionnelle liée à l'atteinte à l'index gauche et que l'activité de menuisier à temps plein était compatible avec cette lésion; le taux d'invalidité était ainsi nul. Au demeurant, même s'il fallait retenir que seule une activité adaptée était envisageable, la comparaison des revenus avec et sans invalidité conduisait à un taux d'invalidité inférieur à 10 % et donc à la négation du droit à une rente. Les premiers juges ont enfin estimé que l'absence de limitations fonctionnelles découlant de l'atteinte à l'index gauche excluait l'octroi d'une IPAI; il n'y avait toutefois pas lieu de revenir sur l'allocation par l'intimée d'une telle indemnité fondée sur un taux de 5 %, dès lors qu'elle n'avait pas conclu à la réforme de sa décision sur opposition sur ce point.
S'agissant de l'audition des experts, l'autorité précédente a considéré que ceux-ci avaient répondu de manière satisfaisante aux questions du recourant; ils avaient en particulier implicitement nié la nécessité d'une ENMG en exposant que l'examen clinique suffisait à écarter des lésions neurologiques au membre supérieur gauche.
3.
3.1. Dans un grief d'ordre formel, le recourant reproche aux premiers juges d'avoir violé son droit d'être entendu et d'avoir mal apprécié les preuves en refusant d'auditionner les experts G._ et H._ ainsi que son ergothérapeute. Il soutient ne pas avoir refusé une ENMG, mais avoir demandé de la pratiquer sous anesthésie; les neurologues auraient alors décidé de lui épargner cet examen. Interpellés par ses soins, ils ne se seraient toutefois pas positionnés à ce propos dans leur rapport complémentaire. Or cette question serait déterminante pour l'issue du litige, dès lors que selon les médecins en cause, une ENMG aurait permis d'objectiver les douleurs et l'allodynie de son hémicorps gauche et donc de confirmer leur origine neurologique, de telle manière à faire admettre le lien de causalité entre ces atteintes et l'accident. Par ailleurs, les experts auraient admis que le lien de causalité entre le SDRC de l'index gauche et l'allodynie de l'hémicorps gauche était possible, tout en semblant exclure l'influence de facteurs étrangers à l'accident sur cette dernière atteinte. Dans ces conditions, il aurait été nécessaire de les interroger sur la nécessité d'une ENMG, sur sa faisabilité sous anesthésie et sur les circonstances les ayant conduits à renoncer à cet examen. Le recourant explique en outre qu'il aurait fallu entendre son ergothérapeute sur le recours à d'autres types d'examens médicaux aux fins d'objectiver l'allodynie.
3.2. Le droit d'être entendu, tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., comprend notamment celui de produire ou de faire administrer des preuves, à condition qu'elles soient pertinentes et de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 72; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 222; <ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 229 et les références). Le juge peut renoncer à accomplir certains actes d'instruction, sans que cela n'entraîne une violation du droit d'être entendu, s'il est convaincu, en se fondant sur une appréciation consciencieuse des preuves (voir ATF <ref-ruling> consid. 3a p. 352), que certains faits présentent un degré de vraisemblance prépondérante et que d'autres mesures probatoires ne pourraient plus modifier cette appréciation (sur l'appréciation anticipée des preuves en général: <ref-ruling> consid. 3.1.3 p. 435; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 64).
3.3.
3.3.1. Les docteurs G._ et H._ ont rendu un premier rapport complet et détaillé, puis ont répondu de manière circonstanciée à plusieurs questions supplémentaires de la cour cantonale et des parties dans un rapport complémentaire. Dans le cadre de l'examen neurologique, une ENMG et un sudoscan des pieds et des mains ont été pratiqués à titre d'examens complémentaires. Si le recourant s'est effectivement opposé à une ENMG du "membre supérieur gauche (membre symptomatique) " par peur d'une "douleur insupportable", cet examen a en revanche pu être effectué sur les "nerfs médian et ulnaire à droite"; les valeurs mesurées étaient dans les normes, de même que celles du sudoscan. Sur la base de l'examen clinique et des résultats des examens complémentaires, les spécialistes ont expliqué n'avoir relevé aucune lésion neurologique objectivable, en dehors du SDRC de l'index gauche, lequel n'avait pas pu se propager sur le reste de l'hémicorps gauche. Interrogés par le recourant sur l'ENMG, ils ont indiqué qu'un tel examen sur le membre supérieur gauche aurait pu permettre de confirmer leur examen clinique qui excluait des lésions des nerfs périphériques, après avoir concédé dans leur premier rapport que l'exploration électrophysiologique refusée par le recourant aurait pu permettre d'objectiver d'éventuels déficits neurologiques à l'origine de l'allodynie de l'hémicorps gauche. Si, au vu de leurs explications, une ENMG du membre symptomatique leur aurait permis d'affiner leurs constatations, il n'en demeure pas moins qu'ils ont rendu une expertise circonstanciée, ensuite d'un examen complet, et que le recourant ne nie pas s'être opposé à la seule analyse qui n'a pas pu être effectuée, à tout le moins dans les conditions proposées par les experts. Or en cas de manque de collaboration de sa part, l'assuré supporte l'absence de preuves (cf. arrêt 8C_211/2020 du 23 septembre 2020 consid. 4.3).
Par ailleurs, il ne ressort ni du rapport d'expertise principal ni du rapport complémentaire qu'une ENMG sous anesthésie ait été évoquée lors de l'examen et qu'elle soit envisageable, ni qu'un autre type d'examen pourrait remplacer l'ENMG. Interrogés sur la nécessité d'une ENMG sur le membre supérieur gauche, les experts se sont limités à constater qu'elle aurait permis de valider leur examen clinique; on peut en conclure sans arbitraire qu'ils n'estimaient pas que cet examen s'avérait indispensable pour valider leur expertise. A cela s'ajoute que les valeurs du sudoscan - également susceptible d'objectiver une pathologie - pratiqué sur les mains étaient normales, et que les médecins ont clairement exclu une propagation du SDRC sur le reste de l'hémicorps gauche. Enfin, le recourant ne se dit pas prêt à se soumettre à une ENMG du membre supérieur gauche dans les conditions qui lui étaient proposées lors de l'expertise.
3.3.2. Il s'ensuit que la cour cantonale n'a pas violé le droit en refusant d'auditionner les experts sur la thématique de l'ENMG du membre supérieur gauche, compte tenu du contenu de leurs rapports et du refus du recourant de se soumettre à cet examen. Elle pouvait s'estimer suffisamment renseignée par le rapport d'expertise et le rapport complémentaire, lesquels ont force probante.
3.3.3. S'agissant de l'ergothérapeute du recourant, force est de constater que les juges cantonaux ont écarté ses rapports médicaux au motif qu'ils n'avaient pas force probante. On ne saurait donc considérer qu'ils auraient violé le droit en refusant de l'auditionner.
3.4. Le grief tiré d'une violation du droit d'être entendu et d'une mauvaise appréciation (anticipée) des preuves s'avère donc infondé.
4.
4.1. Se plaignant d'une violation du droit fédéral, le recourant soutient encore être dans l'impossibilité d'utiliser l'intégralité de son hémicorps gauche dans une activité professionnelle, de sorte qu'il ne serait pas envisageable qu'il retrouve un emploi. Dès lors, son invalidité serait totale et il aurait droit à une rente d'invalidité complète. En raison de son handicap, il devrait en outre se voir allouer une IPAI fondée sur un taux de 40 %. Il renvoie à son argumentation développée à l'appui de son grief tiré d'une violation de son droit d'être entendu et d'une mauvaise appréciation des preuves.
4.2. Se fondant sur l'expertise judiciaire des docteurs G._ et H._, la juridiction cantonale a retenu que l'intimée devait prendre en charge les suites du SDRC de l'index gauche mais non les atteintes s'étendant au reste de l'hémicorps gauche. Par conséquent, elle s'est prononcée sur le droit du recourant à une rente d'invalidité et à une IPAI en prenant uniquement en considération l'atteinte à l'index gauche. Le recourant fonde ses prétentions à une rente d'invalidité et à une IPAI plus élevée sur l'atteinte à l'ensemble de son hémicorps gauche. Toutefois, les experts ont exclu tout lien de causalité entre cette atteinte et l'accident et les juges cantonaux ont à bon droit reconnu la valeur probante de leurs rapports et mis un terme à l'instruction de la cause sans requérir d'autres avis médicaux. Dès lors qu'aucune pièce médicale probante n'étaye un lien de causalité entre l'accident et les atteintes à l'hémicorps gauche, celles-ci ne sauraient être prises en compte pour déterminer le droit à une rente d'invalidité et à une IPAI. Les griefs du recourant s'avèrent ainsi infondés et son recours doit être rejeté.
5.
Le recours étant dépourvu de chances de succès, la demande d'assistance judiciaire doit être rejetée (<ref-law>). Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 12 novembre 2020
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
Le Greffier : Ourny