Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht wies am 1. Dezember 2017 eine vom Gesuchsteller erhobene Beschwerde in Strafsachen gegen das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 15. März 2017 ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 6B_634/2017). Am 16. März 2018 wies es ein Gesuch des Gesuchstellers um Revision des bundesgerichtlichen Urteils ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 6F_1/2018).
2.
Der Gesuchsteller gelangt mit einem erneuten Revisionsbegehren ans Bundesgericht und beantragt zusammengefasst die Revision beider bundesgerichtlicher Urteile und die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz. Er macht geltend, die gegen ihn ergangenen Urteile seien willkürlich, da der verfahrensleitende Staatsanwalt Amtsmissbrauch begangen habe. Zudem seien in allen Verfahrensstadien, namentlich im Vorverfahren, Verfahrensvorschriften und Vorschriften über den Ausstand verletzt worden. Der Gesuchsteller verlangt eine öffentliche Parteiverhandlung; er ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung sowie um aufschiebende Wirkung des Vollzugs des angefochtenen Entscheids.
3.
3.1. Der Gesuchsteller rügt, im Urteil 6B_634/2017 werde verschwiegen, dass die Gesuchsgegnerin das Bundesgericht während des hängigen Beschwerdeverfahrens mit Schreiben vom 7. Juni 2017 ("wahrheitswidrig") informierte, der Gesuchsteller habe dem verfahrensleitenden Staatsanwalt telefonisch mitgeteilt, die ihm vorgeworfenen Straftaten begangen zu haben, worauf er stolz sei, und dass er in der Schweiz bleibe und die schweizerischen Gesetze "ficke". Dass das Schreiben nicht erwähnt wurde, zeige, dass der Präsident der Strafrechtlichen Abteilung, Bundesrichter Denys, und Gerichtsschreiber Held, die die Urteile 6B_634/2017 und 6F_1/2018 "im Namen der Strafrechtliche Abteilung verfasst" hätten, sich gegen ihn hätten aufwiegeln lassen, was den Anschein der Voreingenommenheit begründe.
3.2. Offensichtlich unzulässige oder rechtsmissbräuchliche Ausstandsgesuche, deren Beurteilung keinerlei Ermessensbetätigung erfordert, können nach ständiger bundesgerichtlicher Praxis ohne Durchführung eines Verfahrens gemäss <ref-law> unter Mitwirkung der abgelehnten Gerichtspersonen beurteilt werden (Urteile 6B_1370/2016 vom 11. April 2017 E. 3; 6B_1003/2016 vom 28. Februar 2017 E. 9.2; 5A_533/2016 vom 7. September 2016 E. 1.1 f. mit Hinweisen).
3.3. Unklar ist, ob der Gesuchsteller ein Ausstandsbegehren gegen den Präsidenten der Strafrechtlichen Abteilung und Gerichtsschreiber Held im vorliegenden Revisionsverfahren (6F_11/2018) stellt oder einen Revisionsgrund hinsichtlich des Beschwerdeverfahrens (6B_634/2017) und des ersten Revisionsverfahrens (6F_1/2018) geltend macht. Auf ein allfälliges Ausstandsbegehren ist wegen offensichtlicher Unbegründetheit nicht einzutreten. Inwieweit die Nichterwähnung des erst nach Fällung des obergerichtlichen Urteils verfassten und damit im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren als echtes Novum nicht zu berücksichtigenden Schreibens der Gesuchstellerin (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 22 f. mit Hinweisen), den Anschein der Voreingenommenheit begründen könnte, ist nicht ersichtlich. Dies wäre allenfalls denkbar, wenn es in die Entscheidfindung einbezogen worden wäre, was gerade nicht der Fall ist.
4.
Das Verfahren vor Bundesgericht ist grundsätzlich schriftlich; eine öffentliche Parteiverhandlung findet nur unter ausserordentlichen prozessualen Umständen statt (vgl. <ref-law>). Die Parteien haben grundsätzlich keinen Anspruch auf eine öffentliche Parteiverhandlung.
Der Gesuchsteller begründet seinen Antrag auf eine öffentliche Parteiverhandlung nicht. Eine solche ist vorliegend auch nicht erforderlich, da sich die Sache aufgrund der Akten als spruchreif erweist.
5.
5.1. Entscheide des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (<ref-law>). Das Gericht kann auf seine Urteile nur zurückkommen, wenn einer der in den <ref-law> abschliessend aufgeführten Revisionsgründe vorliegt. Ob im konkreten Fall ein Grund zur Revision vorliegt, ist keine Frage des Eintretens, sondern der materiellen Beurteilung. Der Gesuchsteller hat allfällige Revisionsgründe in gedrängter Form darzulegen (vgl. Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; Urteil 6F_12/2017 vom 4. September 2017 E. 2; <ref-law>).
5.2. Das Revisionsbegehren erweist sich als unbegründet, soweit es den Anforderungen gemäss Art. 42 Abs. 2 i.V.m. Art. 121 - 123 BGG genügt. Der Gesuchsteller macht in seiner 80-seitigen handschriftlichen Eingabe zwar formell verschiedene gesetzliche Revisionsgründe geltend; seine nicht immer leicht verständlichen Ausführungen erschöpfen sich jedoch im Wesentlichen darin, die Angelegenheit erneut aus seiner Sicht zu schildern und die kantonalen Entscheide zu kritisieren, die aber nicht Gegenstand des bundesgerichtlichen Revisionsverfahrens sind. Die gegen die kantonalen Urteile vorgebrachten Rügen hätte der Gesuchsteller im ordentlichen Beschwerdeverfahren erheben müssen. Soweit der Gesuchsteller überhaupt Einwendungen gegen die beiden Entscheide des Bundesgerichts vorbringt, wiederholt er weitgehend seine bereits im ersten Revisionsverfahren 6F_1/2018 vorgebrachten Einwendungen. Er verkennt, dass die Revision der betroffenen Person nicht die Möglichkeit einräumt, einen Entscheid, den sie für unrichtig hält, in der Sache neu beurteilen zu lassen respektive dessen Wiedererwägung zu verlangen (Urteile 6F_16/2017 vom 16. November 2017 E. 4; 5F_23/2017 vom 6. November 2017 E. 2). Die Rüge einer vermeintlich falschen Rechtsanwendung durch das Bundesgericht ist kein Revisionsgrund.
Revisionsgründe gemäss Art. 121 lit. a und c BGG wegen Verletzung von Verfahrensvorschriften liegen nicht vor. Eine allfällige Verletzung der Ausstandsvorschriften ist nicht ersichtlich (vgl. vorstehend E. 3) und wäre ohnehin verspätet. Der Gesuchsteller äusserte sich zum Informationsschreiben der Gesuchgegenerin bereits im Beschwerdeverfahren 6B_634/2017 mit Eingabe vom 29. August 2017 (Poststempel). Das Urteil vom 1. Dezember 2017 wurde ihm am 8. Dezember 2017 zugestellt. Die erstmals im vorliegenden Verfahren gerügte Verletzung der Ausstandsvorschriften erfolgte mithin nicht innert 30 Tagen nach Entdeckung des Ausstandsgrundes (vgl. <ref-law>). Unzutreffend ist, das Bundesgericht habe die Anträge des Gesuchstellers um unentgeltliche Rechtspflege nicht behandelt (vgl. Urteile 6B_634/2017 vom 1. Dezember 2017 E. 4 und Dispositivziffer 2; 6F_1/2018 vom 16. März 2018 E. 5 und Dispositivziffer 2). Der Revisionsgrund gemäss <ref-law> dient entgegen der Ansicht des Gesuchstellers nicht dazu, eine allfällige Verletzung der EMRK zu rügen, und scheidet mangels einer Verurteilung der Schweiz durch den Europäischen Gerichtshof für Menschenrechte im Strafverfahren des Gesuchstellers aus. Das Bundesgericht hat im Urteil 6F_1/2018 vom 16. März 2018 (E. 4) festgehalten, dass das behaupte strafbare Verhalten des verfahrensleitenden Staatsanwaltes im kantonalen Verfahren keinen Revisionsgrund im Sinne von <ref-law> darstellt, da hierdurch nicht zum Nachteil des Gesuchstellers auf den bundesgerichtlichen Entscheid eingewirkt worden ist. Ebenso hat es den Revisionsgrund gemäss <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> mangels eigener Sachverhaltsfeststellungen im Urteil 6B_634/2017 vom 1. Dezember 2017 verneint. Allfällig neue Tatsachen oder Beweismittel sind mit einem Revisionsgesuch im Kanton geltend zu machen (<ref-ruling>; Urteil 6F_31/2016 vom 14. Dezember 2017 E. 1.3).
6.
Das Revisionsgesuch ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist infolge offensichtlicher Aussichtslosigkeit des Rechtsbegehrens abzuweisen (<ref-law>). Dem Gesuchsteller sind reduzierte Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Ausstandsbegehren wird nicht eingetreten.
2.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Mai 2018
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Held