Sachverhalt:
A.
A.a. A._, geb. 1987, libanesische Staatsangehörige, heiratete im September 2005 im Libanon einen ursprünglich von dort stammenden Schweizer Bürger und reiste am 13. November 2006 in die Schweiz ein, wo sie eine auf ein Jahr befristete Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei ihrem Ehemann erhielt. Anfang Juli 2007 verliess A._ ohne ihren Ehemann die Schweiz und gebar im März 2008 in Libanon den Sohn B._, welcher auch die schweizerische Staatsangehörigkeit besitzt. Am 23. Oktober 2008 wurde die Ehe durch ein Schariagericht in Libanon geschieden. Der Sohn blieb im Libanon, wo er von seiner Mutter und deren Eltern betreut wurde.
A.b. Am 21. Juni 2013 reiste B._ zum Vater in die Schweiz, wo er seither mit diesem, seiner Stiefmutter und seinen beiden Stiefschwestern lebt. Mit Verfügung vom 14. September 2017 stellte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde der Stadt Zürich B._ unter die gemeinsame elterliche Sorge und die alleinige Obhut des Vaters. Die Mutter A._ wurde für berechtigt erklärt, ihren Sohn jährlich während der Sommerferien für fünf Wochen zu sich oder mit sich in den Libanon zu nehmen oder, wenn sie in der Schweiz zu Besuch ist, so oft wie möglich zu sehen, mindestens an vier Tagen pro Woche. Ergänzend wurde Vormerk genommen, dass die Eltern für den Fall, dass die Mutter in der Schweiz Wohnsitz begründen sollte, eine paritätische alternierende Obhutsregelung getroffen haben.
B.
Am 14. Juni 2018 ersuchte A._ um eine Aufenthaltsbewilligung im Rahmen des umgekehrten Familiennachzugs zum Verbleib bei ihrem Sohn. Mit Verfügung vom 14. September 2018 wies das Migrationsamt des Kantons Zürich das Gesuch ab. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel wurden unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung abgewiesen (Rekursentscheid der Sicherheitsdirektion vom 25. Juni 2019; Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 31. Oktober 2019).
C.
Mit Eingabe vom 9. Dezember 2019 erhebt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht mit dem Antrag, in Aufhebung des angefochtenen Entscheids sei das Verfahren zwecks rechtsgenüglicher Feststellung des Sachverhalts und Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen, eventualiter sei das Migrationsamt anzuweisen, ihr im Rahmen des Familiennachzugs eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei ihrem Sohn auszustellen. Die Vorinstanzen verzichten auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG) betreffend eine ausländerrechtliche Bewilligung ist nur zulässig, wenn das Bundes oder das Völkerrecht einen Anspruch auf diese Bewilligung gewährt. Ein landesrechtlicher Anspruch ist nicht ersichtlich und wird zu Recht nicht geltend gemacht. Die Beschwerdeführerin beruft sich aber in vertretbarer Weise auf einen Anspruch gestützt auf Art. 8 EMRK, was für das Eintreten genügt; ob der geltend gemachte Anspruch tatsächlich besteht, ist Sache der materiellen Beurteilung (<ref-ruling> E. 1.1). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (<ref-law>). Die beschwerdeführende Person muss rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern der festgestellte Sachverhalt in diesem Sinn mangelhaft erscheint und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law> i.V.m. Art. 42 Abs. 2 und 106 Abs. 2 BGG). Rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsermittlung und an der Beweiswürdigung genügt den Begründungs- und Rügeanforderungen nicht (vgl. <ref-ruling> E. 10.1 S. 445 mit Hinweisen).
3.
Die Beschwerdeführerin rügt unter dem Titel "offensichtlich unrichtige bzw. unvollständige Feststellung des Sachverhalts" einerseits, dass zu Unrecht das Kind nicht angehört worden sei und dass die Vorinstanz sich nur summarisch mit ihren Vorbringen zum Kindswohl auseinandergesetzt habe. Die Beschwerdeführerin rügt unter Hinweis auf Art. 8 EMRK sowie die Art. 3 und 12 KRK, ihr Sohn hätte persönlich angehört werden müssen, um die Kindsinteressen zu ergründen. Dies ist zusammen mit der Rüge der Verletzung von Art. 12 KRK vorab zu behandeln.
3.1. Aus Art. 8 EMRK folgt ein Anspruch bzw. eine Verpflichtung der staatlichen Behörden, in allen Belangen, welche das Familienleben und das Kindeswohl betreffen, diese Aspekte gebührend in die Beurteilung einzubeziehen (<ref-ruling> E. 5.5.4). Ein Anspruch auf persönliche Anhörung ergibt sich zudem aus Art. 6 EMRK, der jedoch in ausländerrechtlichen Angelegenheiten nicht zum Tragen kommt (<ref-ruling> E. 4.4.2). Inwiefern sich aus Art. 8 EMRK ein Anspruch auf persönliche Anhörung ergeben sollte, wird von der Beschwerdeführerin nicht dargelegt.
3.2. Nach Art. 12 Abs. 1 KRK sichern die Vertragsstaaten dem Kind, das fähig ist, sich eine eigene Meinung zu bilden, das Recht zu, diese Meinung in allen das Kind berührenden Angelegenheiten frei zu äussern, und berücksichtigen die Meinung des Kindes angemessen und entsprechend seinem Alter und seiner Reife. Nach Art. 12 Abs. 2 KRK wird dem Kind zu diesem Zweck insbesondere Gelegenheit gegeben, in allen das Kind berührenden Gerichts- oder Verwaltungsverfahren entweder unmittelbar oder durch einen Vertreter oder eine geeignete Stelle im Einklang mit den innerstaatlichen Verfahrensvorschriften gehört zu werden. Art. 12 KRK stellt einen direkt anwendbaren Rechtssatz dar, dessen Verletzung beim Bundesgericht angefochten werden kann (<ref-ruling> E. 3a S. 92). Wie sich aus dem Wortlaut von Art. 12 Abs. 2 KRK ergibt, ist allerdings eine persönliche Anhörung nicht in jedem Fall unerlässlich; wenn die Kinder durch ihre Eltern vertreten werden und beider Interessen gleichläufig sind, kann die Ansicht der Kinder auch ohne persönliche Anhörung durch ihre Eltern eingebracht werden, sofern der rechtserhebliche Sachverhalt auch ohne diese Anhörung rechtsgenüglich festgestellt werden kann (<ref-ruling> E. 6.5).
3.3. Die Vorinstanz hat angenommen, die Interessen der Beschwerdeführerin deckten sich mit denjenigen des Kindes. Das ist in ausländerrechtlichen Situationen in der Regel der Fall, wenn der ausländerrechtliche Entscheid das Aufenthaltsrecht sowohl der Eltern als auch der Kinder betrifft (<ref-ruling> E. 6.5 S. 14 f.; 124 I 361 E. 3c S. 368). In der vorliegenden Konstellation ist dies indessen - gerade durch die aktuelle Betreuungssituation des Kindes - unklar. Der Sohn hatte durch den Verzicht auf seine Anhörung gar keine Möglichkeit, seine allenfalls differenzierten Standpunkte zum Verhältnis zu seinen Eltern einzubringen, die aber entscheidend zur Feststellung des rechtserheblichen Sachverhaltes hätten beitragen können, dies umso mehr als das Verhältnis zwischen Mutter und Sohn hier ausschlaggebend ist für einen allfälligen Bewilligungsanspruch der Mutter.
Es drängt sich daher in der vorliegenden besonderen Konstellation auf, gestützt auf Art. 12 KRK den Sohn persönlich anzuhören. Die Vorinstanz wird dies nachzuholen haben.
4.
Die Beschwerde ist aber auch aus einem anderen Grund gutzuheissen:
Die Beschwerdeführerin leitet ihren Anspruch aus Art. 8 EMRK ab, nämlich auf den umgekehrten Familiennachzug zu ihrem in der Schweiz lebenden Sohn mit Schweizer Bürgerrecht. Dieser steht unter der Obhut des Vaters, doch hat die Beschwerdeführerin nebst der gemeinsamen elterlichen Sorge ein Besuchsrecht. Die diesbezügliche Rechtsprechung hat das Bundesgericht vor kurzem in <ref-ruling> zusammengefasst. Danach ist es zur Wahrnehmung des Besuchsrechts grundsätzlich nicht erforderlich, dass der ausländische Elternteil über ein dauerndes Aufenthaltsrecht in der Schweiz verfügt, da das Besuchsrecht im Rahmen von Kurzaufenthalten vom Ausland her ausgeübt werden kann, wobei allenfalls die Modalitäten des Besuchsrechts entsprechend auszugestalten sind. Ein weitergehender Anspruch fällt in Betracht, wenn in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung zum Kind besteht, diese Beziehung wegen der Distanz zum Heimatland des Ausländers praktisch nicht aufrecht erhalten werden könnte und dessen bisheriges Verhalten in der Schweiz zu keinerlei Klagen Anlass gegeben hat, wobei eine Gesamtbeurteilung zu erfolgen hat (<ref-ruling> E. 5.1 und 5.2 S. 97 f.). Diese Anforderungen müssen gerichtlich abgeklärt werden. Zu beachten ist zudem, dass bei einem gemeinsamen Sorgerecht die Beziehungen der Eltern zum Kind weitergehen und faktisch die Form einer alternierenden Obhut annehmen können (<ref-ruling> E. 5.5 und 6). Vorliegend hat die Vorinstanz zwar in allgemeiner Weise die Voraussetzungen für eine auf Art. 8 EMRK gestützte "Obligation positive" zur Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung dargestellt; sie hat aber nicht spezifisch die Voraussetzungen im Lichte der dargelegten Rechtsprechung geprüft. Namentlich für die Abklärung des faktisch bisher ausgeübten persönlichen Kontakts zwischen Mutter und Sohn (s. zu diesen Anforderungen <ref-ruling> E. 2.5) ist die Befragung des Sohnes, die sich ohnehin schon aufgrund von Art. 12 KRK aufdrängt, zweckdienlich. Auch aus diesem Grund besteht Anlass zur Rückweisung zu neuem Entscheid.
5.
Die Beschwerde ist gutzuheissen, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich zurückzuweisen.
Bei diesem Ausgang werden keine Gerichtskosten erhoben (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird damit hinfällig. Der Kanton Zürich hat keinen Anspruch auf Parteikostenersatz (<ref-law>); hingegen hat er die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 31. Oktober 2019 aufgehoben und die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Zürich hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juli 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein