Sachverhalt:
A.
A.a. Der Einzelunternehmer A._ (Versicherter, Beschwerdeführer) übernimmt Entsorgungen, Räumungen und Bauarbeiten aller Art. Am 29. August 2014 schloss er mit der B._ AG, (Versicherung, Beschwerdegegnerin) einen Versicherungsvertrag ab, der auch die Betriebshaftpflicht umfasste. Integrierender Bestandteil des Vertrags waren die Allgemeinen Versicherungsbedingungen (AVB) in der Fassung vom 1. Februar 2013.
A.b. Am 18. April 2015 ereignete sich ein Unfall. Der Versicherte beabsichtigte, mit seinem Gabelstapler zwei aufeinander gestapelte Palettenbehälter in die Lagerhalle zu transportieren. Er stiess mit der Ladung am oberen Rand des Tors der Lagerhalle an, fuhr auf der Betonrampe ein wenig zurück und senkte die Gabel. Dabei fielen die Palettenbehälter auf ein fünfjähriges Kind, das schwere Verletzungen erlitt.
A.c. Die Versicherung verweigerte am 21. Juli 2015 unter Hinweis auf die AVB die Deckung des Schadens. Am 21. August 2015 anerkannte die C._ AG als Vertreterin des Nationalen Garantiefonds dem Grundsatz nach die Haftung des Versicherten. Am 21. Oktober 2015 kündigte die Versicherung den Versicherungsvertrag per 5. November 2015. Am 16. Dezember 2015 machte die D._ AG im Namen der E._ AG gegen den Versicherten Regressforderungen von Fr. 36'757.60 geltend. Diesen Betrag erhöhte sie per 8. März 2016 auf Fr. 61'894.45 und per 22. Dezember 2016 auf Fr. 72'079.30.
B.
Am 22. Februar 2016 machte der Versicherte beim Kantonsgericht Zug gegen die Versicherung eine Forderungs- und Feststellungsklage hängig, wobei er die Forderung auf Fr. 72'079.30 bezifferte. Der Versicherte forderte von der Versicherung zudem Fr. 16'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 20. November 2015 als Schadenersatz für die Ersatzmiete eines Gabelstaplers.
Mit Urteil vom 21. Januar 2019 verpflichtete das Kantonsgericht die Versicherung, dem Versicherten Fr. 16'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 21. November 2015 zu bezahlen. Im Übrigen wies es die Klage ab.
C.
Dagegen erhoben der Versicherte Berufung und die Versicherung Anschlussberufung. Mit Urteil vom 21. April 2020 wies das Obergericht des Kantons Zug die Berufung des Versicherten ab. Die Anschlussberufung der Versicherung hiess es teilweise gut, indem es die Klage vollumfänglich abwies. Am 28. April 2020 berichtigte das Obergericht einen Fehler bei den Kosten- und Entschädigungsfolgen.
D.
Der Versicherte beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, das obergerichtliche Urteil sei teilweise aufzuheben. Die Versicherung sei teilklageweise und unter Vorbehalt der Nachklage zu verpflichten, ihn im Umfang von Fr. 72'079.30 von Haftungsansprüchen zu befreien und die entsprechende Summe dem verletzten Kind oder dessen Vertretung zu bezahlen; eventualiter sei die Versicherung zu verpflichten, den Betrag dem Beschwerdeführer zu bezahlen. Ferner sei festzustellen, dass eine Leistungspflicht der Versicherung für die Folgen des Unfalls vom 18. April 2015 besteht. Die Versicherung sei zu verpflichten, dem Beschwerdeführer als Schadenersatz für die Ersatzmiete eines Gabelstaplers Fr. 16'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 20. November 2015 zu bezahlen. Subeventualiter sei die Sache an das Obergericht oder an das Kantonsgericht zurückzuweisen.
Dem Gesuch des Versicherten um aufschiebende Wirkung wurde am 23. Juni 2020 stattgegeben.
Am 17. September 2020 wurde das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gutgeheissen. Dem Versicherten wurde Rechtsanwalt Dr. Patrick Freudiger, Bern, als Rechtsbeistand beigegeben.
In der Sache beantragt die Versicherung in ihrer Stellungnahme vom 2. November 2020, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Das Obergericht verweist auf sein Urteil und beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen.
Die Parteien halten replicando an ihren Rechtsbegehren fest.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>) eines oberen kantonalen Gerichts, das in einer Zivilsache (<ref-law>) als Rechtsmittelinstanz entschieden hat (<ref-law>). Der Streitwert von Fr. 30'000.-- wird überschritten (<ref-law>). Die Rechtsbegehren des Beschwerdeführers sind im kantonalen Verfahren nicht geschützt worden (<ref-law>) und die Beschwerde erging fristgerecht (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Auf die Beschwerde ist unter Vorbehalt einer rechtsgenüglichen Begründung (vgl. E. 2 hiernach) einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer beantragt die Feststellung, dass eine Leistungspflicht der Versicherung für die Folgen des Unfalls vom 18. April 2015 besteht.
2.1. Mit der Feststellungsklage verlangt der Kläger die gerichtliche Feststellung, dass ein Recht oder ein Rechtsverhältnis besteht oder nicht besteht (<ref-law>). Jede Feststellungsklage setzt ein Feststellungsinteresse voraus (<ref-ruling> E. 2a S. 370). Ein solches fehlt in der Regel dem Inhaber eines Rechts, wenn diesem eine Leistungs- oder Gestaltungsklage zur Verfügung steht, die sofort eingereicht werden kann und die es ihm erlauben würde, direkt die Beachtung seines Rechts oder die Erfüllung der Forderung zu erwirken (<ref-ruling> E. 2.2; vgl. auch Urteil 4A_508/2016 vom 16. Juni 2017 E.3.1, nicht publ. in <ref-ruling>). In diesem Sinne ist die Feststellungsklage im Verhältnis zu einer Leistungs- oder Gestaltungsklage subsidiär (<ref-ruling> E. 2.2).
Unter aussergewöhnlichen Umständen kann sich indes auch bei Möglichkeit der Leistungs- oder Gestaltungsklage ein selbständiges Interesse an einer gerichtlichen Feststellung ergeben (vgl. <ref-ruling> E.2.2; Urteile 4A_508/2016 vom 16. Juni 2017 E. 3.1, nicht publ. in <ref-ruling>; 4A_589/2011 vom 5. April 2012 E. 4.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). In der bisherigen Rechtsprechung bejahte das Bundesgericht ein selbstständiges Feststellungsinteresse etwa dann, wenn es darum ging, nicht nur die fällige Leistung zu erhalten, sondern die Gültigkeit des ihr zugrunde liegenden Rechtsverhältnisses auch für dessen künftige Abwicklung feststellen zu lassen (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 2). Ebenso wurde ein selbstständiges Feststellungsinteresse angenommen, wenn für längere Zeit nicht auf Leistung oder nicht auf vollen Schadenersatz geklagt werden kann (<ref-ruling> E. 1a; <ref-ruling> E. 1c; <ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 2). Schliesslich anerkannte das Bundesgericht ein selbstständiges Feststellungsinteresse, wenn die Parteien nur in der grundsätzlichen Frage des Bestehens einer Verpflichtung uneinig sind, aber die Erfüllung der Leistung auf blosse Feststellung hin zweifelsfrei gesichert ist. Das trifft in der Regel dann zu, wenn die beklagte Partei eine öffentlichrechtliche Körperschaft ist (<ref-ruling> E.2.4; <ref-ruling> E.2).
Die Ausnahmen vom Grundsatz der Subsidiarität der Feststellungsklage müssen restriktiv ausgelegt werden, ansonsten eine Ungewissheit über den einzuschlagenden Rechtsweg geschaffen würde. Es gilt der Grundsatz, dass die Feststellungsklage im Verhältnis zum Vollstreckungsweg subsidiär ist, und nicht offen steht, wenn es möglich ist, sofort die Vollstreckung zu verlangen und so die Gesamtheit der streitigen Punkte regeln zu lassen. Nur ganz aussergewöhnliche Umstände können ein genügendes Interesse begründen, materiell auf die Feststellungsklage einzutreten (<ref-ruling> E. 2.4). Das schutzwürdige Interesse an der Feststellung ist vom Kläger darzutun (vgl. <ref-law>) und, soweit es den Sachverhalt betrifft, von ihm nachzuweisen (<ref-ruling> E. 1a). Im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren ist es vom Beschwerdeführer hinreichend zu begründen (Art.42 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. zum Ganzen: Urteil 4A_464/2019 vom 30. April 2020 E. 1.2 ff. mit zahlreichen Hinweisen).
2.2. Der Beschwerdeführer begründet das Feststellungsinteresse damit, dass er, nicht zuletzt mit Blick auf die drohende Verjährung, zusätzlich zum Erhalt einer einzelnen Leistung die Gültigkeit des der Leistung zugrunde liegenden Rechtsverhältnisses für dessen künftige Abwicklung feststellen lassen müsse. Zudem würden prozessökonomische Gründe für eine gemeinsame materielle Beurteilung sprechen.
Die Ausführungen des Beschwerdeführers überzeugen nicht. Er legt nicht hinreichend dar, weshalb aussergewöhnliche Umstände vorliegen sollen, die trotz der Möglichkeit einer Teil-Leistungsklage ausnahmsweise ein besonderes Feststellungsinteresse zu begründen vermöchten. Die Feststellung der Leistungspflicht - resp. die Gültigkeit des dieser zugrunde liegenden Rechtsverhältnisses - ist vielmehr eine Vorfrage zur Behandlung des Leistungsanspruchs. In der Regel, so auch vorliegend, besteht aber kein selbständiges Interesse an der Feststellung von Vorfragen. Dies kann zudem gerade im Rahmen von Teilklagen im Hinblick auf die Rechtskraftwirkung des Teilurteils heikel sein. Es ist ferner nicht ersichtlich, weshalb es dem Beschwerdeführer unmöglich oder unzumutbar sein soll, den geforderten Schadenersatz in Form einer Leistungsklage geltend zu machen und zu begründen. Daran ändert nichts, dass die Folgen des Unfalls ev. noch nicht vollständig absehbar sind, zumal dies vorliegend die Begründung für die Teilklage (oder den Nachklagevorbehalt) sein dürfte. Gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung kann der von einer Schädigung Betroffene auf Ersatz künftigen Schadens klagen, selbst wenn sich dessen Umfang noch nicht sicher ermitteln lässt, weil künftige Ereignisse ihn noch erhöhen oder vermindern können. Der Satz, wonach ein nicht ziffernmässig nachweisbarer Schaden nach Ermessen des Richters mit Rücksicht auf den gewöhnlichen Lauf der Dinge und auf die vom Geschädigten getroffenen Massnahmen abgeschätzt werden soll (<ref-law>), ist nicht nur auf den bereits eingetretenen, aber schwer nachweisbaren Schaden zugeschnitten, sondern auch auf Nachteile, die der Betroffene wegen der schädigenden Handlung voraussichtlich noch erleiden wird. Dies gilt namentlich auch für Schäden aus Körperverletzung. Dafür ist selbst dann Ersatz zuzusprechen, wenn die körperlichen Folgen der Verletzung noch unsicher sind; denn <ref-law> ermächtigt den Richter, bis auf zwei Jahre, vom Tage des Urteils an gerechnet, dessen Abänderung vorzubehalten, wenn die Folgen der Verletzung im Zeitpunkt der Urteilsfällung nicht mit hinreichender Sicherheit festgestellt sind (BGE <ref-ruling> E. 2 <ref-ruling>, 84 II 576, 60 II 130). Die blosse Nicht-Absehbarkeit sämtlicher Unfallfolgen begründet mithin keine ausserordentlichen Umstände, bei deren Vorliegen trotz Möglichkeit einer Leistungsklage eine Feststellungsklage ausnahmsweise zulässig wäre.
Dies gilt grundsätzlich ebenso für die drohende Verjährung, zumal diese auch durch eine unbezifferte Leistungsklage unterbrochen wird.
Aus dem Umstand, dass die Vorinstanzen ein Feststellungsinteresse implizit bejahten, kann der Beschwerdeführer schliesslich nichts für sich ableiten. Sie mussten sich mit dieser Frage nicht befassen, da sie die Klage im Wesentlichen abwiesen. Abgesehen davon ist das Bundesgericht an die Rechtsauffassung der Vorinstanzen nicht gebunden.
Die Vorinstanz erkannte zutreffend, dass auf das Feststellungsbegehren nicht einzutreten ist.
3.
Der Beschwerdeführer reicht dem Bundesgericht eine Urkunde vom 23. Dezember 2019 ein, welche die Geburt seiner Tochter am 18. Dezember 2019 belegt. Ob dieses unechte Novum im bundesgerichtlichen Verfahren zulässig ist, kann offen bleiben, zumal der Beschwerdeführer daraus bloss seinen neuen Wohnsitz herleitet.
4.
4.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>; vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.2 S. 550; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Allerdings prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. Unerlässlich ist im Hinblick auf <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116). Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen. Der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 3.2 S. 400 mit Hinweisen).
4.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den Lebenssachverhalt, der dem Streitgegenstand zugrunde liegt, als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt. Zum Prozesssachverhalt gehören namentlich die Anträge der Parteien, ihre Tatsachenbehauptungen, rechtlichen Erörterungen, Prozesserklärungen und Beweisvorbringen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f. mit Hinweisen). Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117, 264 E. 2.3 S. 266). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Soweit die beschwerdeführende Partei den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
5.
5.1. Es ist unbestritten, dass der Versicherungsvertrag vom 29. August 2014 die Betriebshaftpflicht des Beschwerdeführers aus dem Unfall vom 18. April 2015 zumindest abstrakt deckt. Hingegen ist strittig, ob der Versicherungsvertrag eine Klausel enthält, welche die Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin für diesen Schadensfall ausschliesst. Die Beschwerdegegnerin beruft sich namentlich auf Art. A14 AVB mit der Marginalie "Motorfahrzeuge", dessen Ziffer 1 auszugsweise wie folgt lautet:
"1. Deckung
Die Versicherung deckt die Haftpflicht als Halter oder aus dem Gebrauch von Motorfahrzeugen gemäss Strassenverkehrsgesetz, für die weder ein Fahrzeugausweis noch Kontrollschilder bestehen oder wenn Letztere seit mehr als 6 Monaten bei der zuständigen Behörde hinterlegt sind.
-..]
Ausschluss
Die Haftpflicht in Verbindung mit Fahrzeugen, die zu Fahrten verwendet werden, für die keine behördliche Bewilligung besteht oder die nach der Strassenverkehrsgesetzgebung widerrechtlich (sic!) sind."
5.2. Die Vorinstanz erwog mit der Erstinstanz, der Gabelstapler sei ein Motorfahrzeug gemäss <ref-law>. Daher dürfe der Gabelstapler auf öffentlichen Strassen nur mit Fahrzeugausweis und Kontrollschildern verkehren (Art. 1 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>).
Der Unfall habe sich auf dem Vorplatz einer Lagerhalle mit einer Betonrampe ereignet. Dabei handle es sich um eine öffentliche Strasse im Sinne von <ref-law>.
Der Gabelstapler sei nicht immatrikuliert gewesen. Auch habe keine Bewilligung für den werkinternen Verkehr gemäss Art. 33 der Verkehrsversicherungsverordnung vom 20. November 1959 (VVV; SR 741.31) bestanden. Für die Fahrten mit dem Gabelstapler habe somit die behördliche Bewilligung gefehlt. Deshalb seien sie nach der Strassenverkehrsgesetzgebung widerrechtlich gewesen. Daher schliesse Art. A14 AVB den Versicherungsschutz aus.
6.
6.1. Der Beschwerdeführer beanstandet die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung und macht geltend, der damals bei der Beschwerdegegnerin tätige Versicherungsagent habe ihm einen über die AVB hinausgehenden Versicherungsschutz versprochen. Der Beschwerdeführer und der Versicherungsagent seien bei dessen Besuchen auf dem Werkgelände vor Abschluss des Versicherungsvertrags übereinstimmend davon ausgegangen, dass der Versicherungsvertrag auch Schäden zufolge Nutzung des Gabelstaplers auf dem Betriebsareal abdecke. Der Beschwerdeführer rügt in diesem Zusammenhang eine unzulässige antizipierte Beweiswürdigung.
6.2. Für das Zustandekommen und die Auslegung einer Vereinbarung ist zunächst massgebend, was die Parteien tatsächlich übereinstimmend gewollt haben. Die empirische oder subjektive hat gegenüber der normativen oder objektivierten Vertragsauslegung den Vorrang (<ref-ruling> E. 4.2.1 S. 666; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 148; <ref-ruling> E. 3.1 S. 557).
Erst wenn der übereinstimmende wirkliche Wille der Parteien unbewiesen bleibt, sind die Erklärungen der Parteien aufgrund des Vertrauensprinzips so auszulegen, wie sie nach ihrem Wortlaut und Zusammenhang sowie den gesamten Umständen verstanden werden durften und mussten. Dabei ist vom Wortlaut der Erklärungen auszugehen, welche jedoch nicht isoliert, sondern aus ihrem konkreten Sinngefüge heraus zu beurteilen sind (<ref-ruling> E. 4.2.1 S. 666; <ref-ruling> E. 3a S. 168). Ein objektivierter und damit rechtlicher Konsens bedeutet nicht zwingend, dass die sich äussernde Partei tatsächlich den inneren Willen hatte, sich zu binden; es reicht, wenn die andere Partei aufgrund des objektiv verstandenen Sinns der Erklärung oder des Verhaltens nach Treu und Glauben annehmen konnte, die sich äussernde Partei habe einen Rechtsbindungswillen (<ref-ruling> E. 5.2.3 S. 99; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 159). Das Bundesgericht überprüft diese objektivierte Auslegung von Willenserklärungen als Rechtsfrage, wobei es an Feststellungen des kantonalen Gerichts über die äusseren Umstände sowie das Wissen und Wollen der Beteiligten grundsätzlich (vgl. E. 2.2 hiervor) gebunden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.2.3 S. 99).
Die allgemeinen Bedingungen eines Versicherungsvertrags werden nach den gleichen Grundsätzen ausgelegt wie andere Vertragsbestimmungen (<ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 2 S. 6; je mit Hinweisen). Entscheidend ist demnach in erster Linie der übereinstimmende wirkliche Wille der Vertragsparteien und in zweiter Linie, falls ein solcher nicht festgestellt werden kann, die Auslegung der Erklärungen der Parteien nach dem Vertrauensprinzip (<ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 2.3 S. 398; je mit Hinweisen). Mehrdeutige Klauseln in allgemeinen Versicherungsbedingungen sind nach der Unklarheitenregel gegen den Versicherer als deren Verfasser auszulegen (<ref-ruling> E. 2.2.2.3 S. 69, 607 E. 2.2; <ref-ruling> E. 1b S. 158). Sie gelangt jedoch nur zur Anwendung, wenn sämtliche übrigen Auslegungsmittel versagen (<ref-ruling> E. 2.2.2.3 S. 69; <ref-ruling> E. 2a S. 121 und 2d S. 124; Urteile 4A_650/2017 vom 30. Juli 2018 E. 3.3.1; 4A_327/2015 vom 9. Februar 2016 E. 2.2.1, nicht publ. in <ref-ruling>).
6.3. Das Recht auf Beweis ist in <ref-law> gesetzlich vorgesehen und wird aus <ref-law> abgeleitet (Urteile 4A_66/2018 vom 15. Mai 2019 E. 2.1; 4A_381/2016 vom 29. September 2016 E. 3.1.2). Danach hat die beweispflichtige Partei einen bundesrechtlichen Anspruch darauf, für rechtserhebliche bestrittene Vorbringen zum Beweis zugelassen zu werden, wenn ihr Beweisantrag nach Form und Inhalt den Vorschriften des anwendbaren Prozessrechts entspricht (vgl. <ref-ruling> E. 7.1 S. 299; <ref-ruling> E. 2a S. 290; Urteil 5A_330/2013 vom 24. September 2013 E. 3.5.2). Dieses Recht wird auch vom Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> umfasst (<ref-ruling> E. 3 S. 157 mit Hinweisen). Das Recht auf Beweis schliesst eine vorweggenommene (antizipierte) Würdigung von Beweisen nicht aus (vgl. <ref-ruling> E. 9.3.2 S. 332).
Eine antizipierte Beweiswürdigung liegt vor, wenn das Gericht zum Schluss kommt, ein an sich taugliches Beweismittel vermöge seine Überzeugung von der Wahrheit oder Unwahrheit einer strittigen Tatsache, die es insbesondere aufgrund der bereits abgenommenen Beweismittel gewonnen hat, nicht zu erschüttern (<ref-ruling> E. 9.3.2 S. 332; <ref-ruling> E. 6.3.1 S. 299; <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 376). Bei dieser Überlegung hat das Gericht zu unterstellen, dass das Beweismittel zu Gunsten der Partei ausfällt, die es angerufen hat, und dafür spricht, dass die zu beweisende Behauptung zutrifft (vgl. zit. Urteil 4A_427/2017 E. 5.1.1). Das Gericht kann auf ein beantragtes Beweismittel verzichten, wenn es ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen durfte, eine weitere Beweiserhebung würde seine Überzeugung nicht beeinflussen (<ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 2.1 S. 429; je mit Hinweisen). Der Gehörsanspruch ist jedoch verletzt, wenn einem Beweismittel zum vornherein jede Erheblichkeit abgesprochen wird, ohne dass hierfür sachliche Gründe angegeben werden können (BGE <ref-ruling> E. 2a S. 291). Ob die kantonalen Instanzen diese Grundsätze verletzt haben, prüft das Bundesgericht nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür, da insoweit nicht der Umfang des bundesrechtlichen Anspruchs auf Beweis oder rechtliches Gehör, sondern lediglich eine Frage der Beweiswürdigung zu beurteilen ist (<ref-ruling> E. 3 S. 157; <ref-ruling> E. 5b/bb S. 505 f.).
Von einer antizipierten Beweiswürdigung ist ebenfalls die Rede, wenn das Gericht einem beantragten Beweismittel die Erheblichkeit oder die Tauglichkeit abspricht, um die behauptete Tatsache zu erstellen, zu deren Beweis es angerufen wurde. Das Gericht verzichtet diesfalls darauf, das von ihm als untauglich eingestufte Beweismittel abzunehmen - und zwar losgelöst von seiner Überzeugung hinsichtlich der Verwirklichung der damit zu erstellenden Tatsache, also insbesondere auch bei offenem Beweisergebnis (Urteile 4A_445/2016 vom 16. Februar 2017 E. 4.3; 5A_257/2008 vom 15. April 2009 E. 4.2 sowie zit. Urteil 4A_427/2017 E. 5.1.1).
6.4. Der Beschwerdeführer trägt vor, gemäss Vorinstanz sei nicht zweifelsfrei erstellt, ob der Gabelstapler bei den Vertragsgesprächen erwähnt worden sei. Es verletze sein Recht auf Beweis, wenn bei diesem offenen Beweisergebnis seine Lebenspartnerin nicht einvernommen worden sei. Die Vorinstanz nenne keine sachlichen Gründe für den Verzicht auf die Einvernahme. Weder habe eine Vielzahl von Beweisofferten selektioniert werden müssen, noch sei das Beweisergebnis festgestanden. Für eine antizipierte Beweiswürdigung sei demnach nur noch eine Untauglichkeit des Beweismittels denkbar gewesen.
Geht es nach dem Beschwerdeführer, überzeugen die Ausführungen der Vorinstanz zur Tauglichkeit der Zeugeneinvernahme nicht. Zwar sei die Lebenspartnerin nicht im operativen Geschäft des Beschwerdeführers tätig, doch habe sie in administrativen Fragen geholfen. Die Lebenspartnerin habe den Versicherungsagenten gefragt, ob Schäden zufolge Nutzung des Gabelstaplers auf dem Betriebsareal gedeckt seien. Der Versicherungsagent habe dies vorbehaltlos bejaht. Für die Tauglichkeit der Einvernahme der Lebenspartnerin sei irrelevant, ob sie im Betrieb mitgearbeitet habe oder nicht. Sie habe Kenntnis von der betrieblichen Situation des Beschwerdeführers gehabt. Ihre Nähe zum Beschwerdeführer könne für sich genommen nicht zur Untauglichkeit ihrer Einvernahme führen. Die Frage der Nähe wäre erst bei der Beweiswürdigung zu behandeln, wobei ebenso zu bedenken wäre, dass der Versicherungsagent ein starkes Interesse gehabt habe, sich nicht selbst zu belasten.
Im vorliegenden Fall seien nur drei Personen anwesend gewesen, als der Versicherungsagent die vom Beschwerdeführer behauptete falsche Aussage gemacht habe, wonach Schäden zufolge Nutzung des Gabelstaplers auf dem Betriebsareal gedeckt seien. Die Vorinstanzen hätten daher zwingend alle drei Personen anhören müssen.
6.5. Die Vorinstanz verwies auf die erstinstanzliche Würdigung der Parteibefragung des Beschwerdeführers und der Zeugenbefragung des Versicherungsagenten.
6.5.1. Zur Parteibefragung des Beschwerdeführers hatte die Erstinstanz erwogen, dieser habe ausgesagt, er habe dem Versicherungsagenten vor Vertragsabschluss mitgeteilt, dass er einen Gabelstapler besitze. Der Versicherungsagent habe ihm geantwortet, der Gabelstapler benötige keine Nummer und keine Bewilligung. Alle Schäden seien über die Betriebshaftpflicht gedeckt. Die Erstinstanz hatte festgehalten, aus diesen Aussagen könne nicht geschlossen werden, dass der Versicherungsagent sich speziell zum Versicherungsschutz des Gabelstaplers geäussert habe. Auch auf Nachfrage des erstinstanzlichen Referenten habe der Beschwerdeführer nicht bestätigt, dass über den Versicherungsschutz des Gabelstaplers gesprochen worden war. Erst auf die gleiche Frage seines Rechtsvertreters habe er geantwortet, eine Deckung im Zusammenhang mit dem Gabelstapler sei explizit zugesichert worden. Dieses Aussageverhalten des Beschwerdeführers sei nicht kohärent und lasse an der Glaubhaftigkeit seiner Aussagen grundsätzlich zweifeln.
6.5.2. Was die Zeugenbefragung des Versicherungsagenten betrifft, hatte die Erstinstanz erwogen, dieser habe angegeben, dass er bei Vertragsschluss keine Kenntnis vom Gabelstapler gehabt habe. Die Erstinstanz hatte festgestellt, diese Aussage decke sich mit seinen Angaben gegenüber den Strafverfolgungsbehörden. Auch dort habe er erklärt, der Gabelstapler sei bei der Beratung kein Thema gewesen. Die Erstinstanz hatte festgehalten, der Versicherungsagent habe vor ihren Schranken ausgesagt, er sei davon ausgegangen, ein allenfalls vorhandener Gabelstapler wäre von der Versicherung gedeckt. Dazu hatte die Erstinstanz erwogen, da diese innere Vorstellung des Versicherungsagenten keinen Eingang in die Vertragsverhandlungen gefunden habe, sei kein entsprechender Konsens über den Versicherungsschutz zustande gekommen.
6.5.3. Schliesslich hatte die Erstinstanz erwogen, auf die Zeugeneinvernahme der Lebenspartnerin könne verzichtet werden. Zwar wäre sie allenfalls in der Lage, aus eigener Wahrnehmung zu berichten, worüber sich die Parteien genau ausgetauscht hätten. Als Lebenspartnerin des Beschwerdeführers habe sie jedoch ein Interesse, zu seinen Gunsten auszusagen, zumal auch dessen privates Vermögen auf dem Spiel stehe. Die Beweiskraft ihrer Aussagen sei damit von vornherein beschränkt. Selbst wenn sie bestätigen würde, der Versicherungsagent habe die Versicherungsdeckung für den Gabelstapler ausdrücklich zugesichert, könnte nicht darauf abgestellt werden.
6.6. Nach ihrem Verweis auf die soeben zusammengefassten Erwägungen der Erstinstanz betonte die Vorinstanz, aufgrund der protokollierten Partei- und Zeugenaussagen sei nicht erstellt, dass der Gabelstapler bei den Vertragsgesprächen erwähnt worden sei. Der Prozessausgang sei für den Beschwerdeführer existenziell, weshalb die Beweiskraft seiner Aussagen zu gering sei, als dass sie für sich genommen seine Behauptungen zu beweisen vermöchten. Es falle zudem auf, dass seine Aussagen eher vage ausgefallen seien und er sich offenbar selbst unsicher sei, ob der Gabelstapler vor Vertragsschluss explizit erwähnt worden sei. Demgegenüber habe der Versicherungsagent eine ausdrückliche Erwähnung des Gabelstaplers verneint. Zu dessen Glaubwürdigkeit sei zu bemerken, dass er einen freundschaftlichen Bezug zum Beschwerdeführer habe. Mit der Beschwerdegegnerin sei er hingegen verfeindet und befinde sich mit ihr in einer rechtlichen Auseinandersetzung, in der ihm auch Pflichtverletzungen vorgeworfen würden. Der Versicherungsagent habe also einerseits ein Interesse, dem Beschwerdeführer zum Obsiegen zu verhelfen, während er anderseits daran interessiert sei, sich selbst nicht zu belasten, was die Überzeugungskraft seiner Aussagen ebenfalls erheblich mindere. Unter diesen Umständen sei nicht zweifelsfrei erstellt, dass der Gabelstapler bei den Vertragsgesprächen überhaupt erwähnt worden sei.
Zur beantragten Zeugeneinvernahme erwog die Vorinstanz mit der Erstinstanz, die Lebenspartnerin habe ein Interesse, zu Gunsten des Beschwerdeführers auszusagen, zumal auch dessen privates Vermögen auf dem Spiel stehe. Aufgrund der Aussagen des Beschwerdeführers und des Versicherungsagenten sei nicht erstellt, ob der Gabelstapler bei den Vertragsgesprächen erwähnt worden sei. Insofern liege ein offenes Beweisergebnis vor. Daran könne die Einvernahme der Lebenspartnerin offenkundig nichts ändern. Deren Aussagen käme wegen deren Nähe zum Beschwerdeführer von vornherein nur eine geringe Beweiskraft zu. Weiter sei zu berücksichtigen, dass die Lebenspartnerin keine Mitarbeiterin im Betrieb des Beschwerdeführers gewesen sei und daher kaum habe wissen können, welche Maschinen und Geräte sich damals in der Lagerhalle befanden und wie diese allenfalls eingesetzt wurden. Den Akten lasse sich zudem nicht entnehmen, dass die Lebenspartnerin anwesend gewesen sei, als der Beschwerdeführer zusammen mit dem Versicherungsagenten den Betrieb und die Lagerhalle besichtigt habe. Es bestünden daher ernsthafte Zweifel, dass die Lebenspartnerin verlässliche Angaben zum umstrittenen Sachverhalt geben könnte. Unter diesen Umständen sei nicht zu beanstanden, wenn die Erstinstanz von einer Einvernahme der Lebenspartnerin abgesehen habe.
6.7. Das Zeugnis ist ein gesetzlich vorgesehenes (<ref-law>), objektiv taugliches Beweismittel. Das Gesetz sieht das Zeugnis auch vor, wenn die befragte Person mit einer Partei verheiratet ist oder war oder eine faktische Lebensgemeinschaft führt, und gewährt in diesen Konstellationen ein umfassendes Verweigerungsrecht (<ref-law>).
Das Gericht bildet sich seine Überzeugung nach freier Würdigung der Beweise (<ref-law>). Daraus folgt das Verbot fester Beweisregeln. Soweit diese gesetzliche Pflicht zur freien Beweiswürdigung Platz greift, ist es nicht zulässig, einem bestimmten, gesetzlich vorgesehenen Beweismittel von vornherein jeden Beweiswert, also jede Überzeugungskraft abzusprechen (<ref-ruling> E. 9.3.2 S. 333 mit Hinweisen). Dies gilt nicht nur für die Parteibefragung und Beweisaussage im Sinne von <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 9.3.2), sondern auch für das Zeugnis. Eine geschickte Befragung durch das Gericht kann erfahrungsgemäss ein gutes Mittel sein, die Wahrheit zu erforschen, wenn die befragte Person eindringlich verhört wird und auf unerwartete Fragen Antwort geben muss, vor allem aber, weil das Gericht, das die Befragung durchführt, einen persönlichen Eindruck gewinnt, der ihm gestatten kann, die Glaubwürdigkeit der befragten Person zu beurteilen (<ref-ruling> E. 9.3.2 S. 333 f. mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 1 S. 297 f.). Zur Schlussfolgerung, dass der Beweiswert einer Zeugenaussage zu eigenen Gunsten für sich allein genommen im konkreten Fall als gering einzustufen ist, kann das Gericht erst kommen, wenn es diesen Beweis abgenommen hat.
6.8. Im Ergebnis verwarf die Vorinstanz die Befragung der Lebenspartnerin als Zeugin, ohne aufgrund der Befragung des Beschwerdeführers und des Versicherungsagenten zu einer Überzeugung gelangt zu sein, ob der Gabelstapler bei den Vertragsgesprächen erwähnt worden war (vgl. E. 4.6 hiervor).
Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist das vorinstanzliche Vorgehen unter Willkürgesichtspunkten nicht zu beanstanden. Der Beschwerdeführer fordert aufgrund behaupteter Zusicherungen des Versicherungsagenten einen über die schriftlichen Vereinbarungen hinausgehenden Versicherungsschutz, wofür er beweispflichtig ist. Indes waren offenbar bereits seine eigenen Aussagen hinsichtlich der strittigen Frage, ob der Versicherungsschutz des Gabelstaplers explizit besprochen wurde, nicht kohärent und daher nicht genügend beweiskräftig (oben E. 4.5.1). Davon geht die Vorinstanz jedenfalls willkürfrei aus. Aus den Aussagen des als Zeugen befragten Versicherungsagenten ergibt sich ebenfalls nichts, was die Behauptung des Beschwerdeführers stützen könnte. Jener hat vielmehr explizit ausgesagt, der Gabelstapler sei bei der Beratung kein Thema gewesen. Auch, dass der Zeuge davon ausgegangen sein mag, es bestünde ein Versicherungsschutz, belegt nicht, dass dies in der Beratung besprochen wurde. Unter diesen Umständen ist es nachvollziehbar, wenn die Vorinstanz von der Befragung der Lebenspartnerin des Beschwerdeführers absieht, zumal sie dies überzeugend begründet. So ist ein Eigeninteresse der Zeugin am (für den Beschwerdeführer positiven) Verfahrensausgang angesichts ihrer persönlichen Nähe offensichtlich, was den Beweiswert ihrer Aussage von vornherein mindert. Dies anzunehmen, ist zumindest nicht willkürlich. Daran ändert nichts, dass die Zeugin bereits zum Wohnsitz befragt und ihre Aussage insoweit als glaubhaft eingestuft worden war. Dies muss nicht automatisch auch für Aussagen zur Sache gelten, handelt es sich doch dabei um unterschiedliche Beweisthemen mit verschiedenen Auswirkungen auf den Verfahrensausgang. Gleichfalls nicht willkürlich ist es, wenn die Vorinstanz die Beweiskraft der Zeugenaussagen damit in Frage stellt, dass die Zeugin nicht im Betrieb mitarbeitete und daher kaum habe wissen können, welche Maschinen zum fraglichen Zeitpunkt in der Lagerhalle waren und wie diese eingesetzt wurden. Wesentlich ist schliesslich, dass sich gemäss den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz aus den Akten keine Anhaltspunkte dafür ergeben hätten, dass die Zeugin bei der Besprechung mit dem Versicherungsagenten anwesend war. Die Zeugin könnte somit allenfalls vom Hörensagen berichten, was nicht als selbständiger Beweis taugt. Die Vorinstanz durfte deshalb ohne Verletzung des Beweisführungsanspruchs resp. des rechtlichen Gehörs des Beschwerdeführers auf die Befragung seiner Lebenspartnerin als Zeugin verzichten.
Im Übrigen ist fraglich, ob die beantragte Zeugeneinvernahme als Beweismittel hinsichtlich der strittigen Frage taugt. Selbst wenn der Versicherungsschutz bezüglich der Verwendung des Gabelstaplers zwischen dem Beschwerdeführer und dem Versicherungsagenten besprochen worden wäre, wäre damit nicht automatisch auch der Versicherungsschutz belegt. Es ist nicht dargetan, dass der Versicherungsagent überhaupt befugt war, mündlich einen über den schriftlichen Vertrag hinausgehenden Versicherungsschutz verbindlich zuzusichern. Davon ist auch nicht ohne Weiteres auszugehen, zumal der Vertrag gerade eine entsprechende Ausschlussklausel enthält und von den Versicherungsorganen abgesegnet werden muss. Die Frage kann nach dem Gesagten aber letztlich offen bleiben.
7.
Nachdem die Vorinstanz willkürfrei annimmt, eine über den schriftlich vereinbarten Versicherungsschutz hinausgehende Deckung bezüglich der Benützung eines Gabelstaplers sei nicht besprochen worden, braucht nicht geklärt zu werden, ob dem Versicherungsagenten in diesem Zusammenhang eine irrige Vorstellung über den Vertragsinhalt oder ein Fehlverhalten vorgeworfen werden kann, welches eine Haftung der Beschwerdegegnerin zu begründen vermöchte. Auf die entsprechenden Rügen des Beschwerdeführers ist nicht einzugehen. Dies gilt auch für die von ihm geltend gemachte Beratungspflicht aufgrund des Wissens um den Gabelstapler. Die Vorinstanz geht gestützt auf die Aussagen des Versicherungsagenten nachvollziehbar davon aus, dass dieser nicht darum wusste und bei Vertragsunterzeichnung resp. während der Begehung vor Ort nichts dergleichen feststellte (oben E. 6.5.2).
8.
Ebenfalls nicht weiter einzugehen ist nach dem Gesagten auf die Rüge des Beschwerdeführers, wonach ihm ein Schadenersatz für die Miete eines Ersatzgabelstaplers von Fr. 16'000.-- zuzüglich Zins zustehe. Da die Vorinstanz eine Versicherungsdeckung bezüglich der Benützung des Gabelstaplers nachvollziehbar ablehnt (oben E. 6.8), gilt dies ebenso für die - vom Beschwerdeführer selber unter Hinweis auf das Erstgericht - als Versicherungsnebenleistung bezeichnete Übernahme der Kosten für einen Ersatzgabelstapler.
Im Übrigen prüft das Bundesgericht auch die diesbezüglichen Erwägungen der Vorinstanz nur auf Willkür, was der Beschwerdeführer nicht rechtsgenügend aufzeigt. Er beschränkt sich insoweit darauf, seinen bereits vorinstanzlich eingenommenen Standpunkt zu wiederholen und zu behaupten, entgegen der Vorinstanz habe er um Ausstellung einer grauen Karte für den Gabelstapler ersucht. Dies ist indes nicht geeignet, die von ihm wiedergegebene vorinstanzliche Auffassung, wonach die Beschwerdegegnerin nicht verpflichtet gewesen sei, mit dem Beschwerdeführer einen zusätzlichen Versicherungsvertrag zur Deckung der weitergehenden Haftpflicht abzuschliessen, als unhaltbar erscheinen zu lassen. Gleiches gilt für ihre Einschätzung, dass der Beschwerdeführer nach dem hier beurteilten Unfall mit dem Gabelstapler nicht darauf habe vertrauen dürfen, dass sein allfällig doch gestellter Antrag in einem (neuen) Versicherungsabschluss münden würde. Einen entsprechenden Vertragsabschluss behauptet der Beschwerdeführer denn auch gar nicht, sodass es an einer Anspruchsgrundlage für den behaupteten Schadenersatz fehlt. Mangels eines schützenswerten Vertrauens auf den Vertragsschluss, was die Vorinstanz willkürfrei verneint, besteht schliesslich auch insoweit kein Raum für eine (quasi-vertragliche) Haftung der Beschwerdegegnerin.
9.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens hätte der Beschwerdeführer grundsätzlich die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Indes wurde ihm mit Verfügung vom 17. September 2020 die unentgeltliche Prozessführung bewilligt und Rechtsanwalt Dr. Patrick Freudiger als amtlicher Anwalt beigeordnet. Entsprechend sind keine Gerichtskosten zu erheben und ist Rechtsanwalt Dr. Patrick Freudiger aus der Bundesgerichtskasse angemessen zu entschädigen (Art. 65 Abs. 1 und 2 BGG). Hingegen hat der Beschwerdeführer infolge seines Unterliegens der Beschwerdegegnerin eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Rechtsanwalt Dr. Patrick Freudiger wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 3'000.-- entschädigt.
4.
Der Beschwerdeführer hat der Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- zu bezahlen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zug, I. Zivilabteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Februar 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Matt