Sachverhalt:
A.
Das Bezirksgericht Laufenburg verurteilte X._ am 16. März 2017 wegen mehrfachen Betrugs, Misswirtschaft, mehrfacher Falschbeurkundung und mehrfacher ungetreuer Geschäftsbesorgung zu einer Freiheitsstrafe von 30 Monaten.
B.
B.a. X._ erklärte am 25. April 2017 die Berufung und beantragte, er sei von Schuld und Strafe freizusprechen. Zugleich stellte er den Beweisantrag, es seien die Treuhänder B._ und C._ zu befragen.
Mit prozessleitender Verfügung vom 27. April 2017 wies das Obergericht des Kantons Aargau die Beweisanträge mangels Begründung einstweilen ab. Gleichzeitig fragte es die Parteien unter Hinweis auf <ref-law> an, ob sie mit der Durchführung des schriftlichen Verfahrens einverstanden seien.
Mit Schreiben vom 2. Mai 2017 teilte X._ mit, er sei mit dem schriftlichen Verfahren einverstanden, allerdings mit dem Hinweis, dass die Zeugen befragt werden müssten. Es werde dem Obergericht überlassen, nach Eingang der schriftlichen Begründungen darüber zu entscheiden. Die Staatsanwaltschaft und die Privatklägerin erklärten sich mit der Durchführung des schriftlichen Verfahrens einverstanden.
B.b. Das Obergericht des Kantons Aargau ordnete am 22. Mai 2017 das schriftliche Berufungsverfahren an. Es wies darauf hin, dass über die Beweisanträge von X._ nach Vorliegen der Berufungsbegründung und -antworten entschieden werde. Vorbehalten bleibe die Durchführung einer Verhandlung zudem, wenn sich die aufgrund der schriftlichen Berufungsbegründung oder -antworten als notwendig erweisen sollte. Weiter setzte das Obergericht X._ Frist bis zum 12. Juni 2017 an, um die Berufungsanträge schriftlich zu begründen. Es wies darauf hin, dass ein allfälliges Erstreckungsgesuch vor Ablauf der Frist zu stellen und hinreichend zu begründen sei. Sodann hielt es unter Hinweis auf <ref-law> fest, die Berufung gelte als zurückgezogen, wenn innert Frist keine schriftliche Eingabe eingereicht werde.
Mit Eingabe vom 9. Juni 2017 begründete X._, warum B._ und C._ einzuvernehmen seien. Ferner ersuchte er darum, der Verteidigung sei die Möglichkeit einer schriftlichen Berufungsbegründung zu gewähren und es sei die notwendige Verteidigung zu verfügen.
Am 14. Juni 2017 erliess das Obergericht des Kantons Aargau den Beschluss, das Berufungsverfahren sei als durch Rückzug der Berufung erledigt abzuschreiben.
C.
X._ führt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt, der Beschluss des Obergerichts des Kantons Aargau vom 14. Juni 2017 sei aufzuheben und es sei die Vorinstanz anzuweisen, das Berufungsverfahren weiterzuführen.
Sodann reichte X._ mit Bezug auf eine Verfügung des Obergerichts des Kantons Aargau vom 22. Juni 2017 im Parallelverfahren gegen seine Ehefrau eine weitere Eingabe als "Noveneingabe" ein.
D.
Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Aargau beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne eine Stellungnahme einzureichen. A._ verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das Obergericht des Kantons Aargau beantragt die Abweisung der Beschwerde. X._ wurde das Replikrecht gewährt.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer rügt, der Beschluss der Vorinstanz sei rechtswidrig und daher aufzuheben. Das Berufungsverfahren sei grundsätzlich mündlich. Er habe dem schriftlichen Berufungsverfahren nur mit dem Vorbehalt zugestimmt, dass die beantragten Zeugen befragt werden müssten. Er habe bereits in der Berufungserklärung die Einvernahme dieser Zeugen beantragt. Eine Zeugeneinvernahme schliesse von vorneherein ein vollständiges schriftliches Verfahren aus. Deswegen habe er auch nicht definitiv auf ein mündliches Verfahren verzichten können. Er habe es der Vorinstanz überlassen, nach Eingang der schriftlichen Begründung darüber zu befinden. Damit sei selbstverständlich die schriftliche Begründung über den Beweisantrag gemeint, denn alles andere mache keinen Sinn. Selbst wenn die Vorinstanz die Zeugen zwar einvernehmen, den Rest des Verfahrens aber hätte schriftlich durchführen wollen, wäre dies nur dann sinnvoll, wenn eine schriftliche Berufungsbegründung nach der Einvernahme der Zeugen eingefordert würde. Daher habe er konsequenterweise mit der Eingabe vom 9. Juni 2017 begründet, warum diese Zeugen angehört werden sollten. Das wäre prozessökonomisch auch sinnvoll gewesen. Weiter habe er in der Eingabe vom 9. Juni 2017 auch eine persönliche Anhörung beantragt und somit explizit die von der Vorinstanz angenommene Zustimmung zum schriftlichen Verfahren widerrufen.
Ferner rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung von <ref-law>. Eine Berufung gelte als zurückgezogen, wenn der Berufungskläger keine schriftliche Eingabe einreiche. Das bedeute, dass eine vollständige Säumnis vorliegen müsse. Er habe eine Berufungserklärung und sodann eine begründete Eingabe gemacht. Das sei in keiner Art und Weise vergleichbar mit einer Partei, die sich am Verfahren überhaupt nicht mehr beteilige. Es sei übertriebener Formalismus, wenn das Verfahren als durch Rückzug für beendet erklärt werde und verletze <ref-law>. Man könne die Stossrichtung der Berufungsbegründung aus seiner Eingabe vom 9. Juni 2017 erkennen. Er bestreite nämlich, dass man ihn als Organ strafrechtlich haftbar mache für etwas, was in die Zuständigkeit der beiden Buchhalter gefallen sei. Das möge zwar keine abschliessende Berufungsbegründung sein, aber die Vorinstanz könne - ohne in Willkür zu verfallen - nicht behaupten, es sei keine schriftliche Eingabe erfolgt. Die vorliegenden prozessualen Begebenheiten seien somit nicht vergleichbar mit einer Partei, die sich am Verfahren überhaupt nicht mehr beteilige. Da die Abschreibung des Verfahrens für die betroffene Person fatale Wirkungen habe und überdies in <ref-law> nicht vorgesehen sei, dürfe sie nur erfolgen, wenn tatsächlich keine Eingabe erfolgt sei. Solches hier anzunehmen sei willkürlich.
1.2. Mit Verfügung vom 22. Mai 2017 ordnete die Vorinstanz die Durchführung des schriftlichen Verfahrens an, da alle Parteien ihre Zustimmung dazu erteilt hätten. In der Verfügung wies sie darauf hin, dass über die Beweisanträge des Beschwerdeführers nach Vorliegen der Berufungsbegründung und -antworten entschieden werde. Vorbehalten bleibe die Durchführung einer Verhandlung zudem, wenn sich dies aufgrund der schriftlichen Berufungsbegründung oder -antworten als notwendig erweisen sollte.
1.3. Das Berufungsverfahren ist grundsätzlich mündlich. Schriftliche Berufungsverfahren sollen nach der Absicht des Gesetzgebers die Ausnahme bleiben. <ref-law> regelt abschliessend, wann Ausnahmen zulässig sind (<ref-ruling> E. 2.1.1 mit Hinweisen). Die Berufung kann unter anderem im schriftlichen Verfahren behandelt werden, wenn ausschliesslich Rechtsfragen zu entscheiden sind (<ref-law>). Mit dem Einverständnis der Parteien kann die Verfahrensleitung sodann das schriftliche Verfahren anordnen, wenn die Anwesenheit der beschuldigten Person nicht erforderlich ist oder wenn Urteile eines Einzelgerichts Gegenstand der Berufung sind (<ref-law>). Immer dann, wenn dem persönlichen Eindruck entscheidendes Gewicht zukommt, muss mindestens ein Teil des Verfahrens mündlich durchgeführt werden (<ref-ruling> E. 2.1.1 mit Hinweis). <ref-law> ist als "Kann-Vorschrift" ausgestaltet. Die Bestimmung entbindet das Berufungsgericht nicht davon, im Einzelfall zu prüfen, ob der Verzicht auf die öffentliche Verhandlung auch mit Art. 6 Ziff. 1 EMRK vereinbar ist (a.a.O. E. 2.1.2 mit Hinweisen).
1.4. Der Beschwerdeführer erklärte am 25. April 2017 die Berufung und beantragte, er sei von Schuld und Strafe freizusprechen. Zugleich stellte er den Beweisantrag, es seien die Treuhänder B._ und C._ zu befragen.
Mit prozessleitender Verfügung vom 27. April 2017 wies die Vorinstanz die Beweisanträge des Beschwerdeführers mangels Begründung einstweilen ab. Dabei wurde festgehalten, dass auf diese nach Vorliegen der mündlichen oder schriftlichen Berufungsbegründung zurückgekommen werden könne. Zugleich fragte die Vorinstanz die Parteien unter Hinweis auf <ref-law> an, ob sie mit der Durchführung des schriftlichen Verfahrens einverstanden seien.
Das Schreiben des Anwalts des Beschwerdeführers vom 2. Mai 2017 lautet:
"Sehr geehrter Herr Präsident
Ich danke Ihnen für die Zustellung der Verfügung vom 27.04.17. Mein Mandant ist mit einem schriftlichen Verfahren einverstanden, allerdings mit dem Hinweis, dass die beantragten Zeugen befragt werden müssten. Es wird dem Obergericht überlassen, nach Eingang der schriftlichen Begründung darüber zu befinden."
Angesichts dieser unklar formulierten Eingabe durfte die Vorinstanz nicht davon ausgehen, der Beschwerdeführer habe sich unmissverständlich mit der Durchführung des schriftlichen Verfahrens einverstanden erklärt, denn damit hätte er auch auf die Befragung der Zeugen verzichtet, zumindest einstweilen, obwohl er "seine Zustimmung" zum schriftlichen Verfahren ausdrücklich mit dem Hinweis erteilte, die Zeugen müssten befragt werden. Indem die Vorinstanz trotz dieser widersprüchlichen, möglicherweise mit einer Bedingung versehenen Erklärung des Beschwerdeführers von einem gültigen sowie unwiderruflichen Verzicht auf ein mündliches Verfahren ausgeht (vgl. Urteil 6B_1204/2016 vom 24. Mai 2017 E. 2.2.1), hat sie Bundesrecht verletzt. Die Beschwerde ist gutzuheissen, der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
2.
Da sich das Vorgehen der Vorinstanz bereits hinsichtlich der Anordnung des schriftlichen Verfahrens als bundesrechtswidrig erweist, ist auf die weiteren Rügen des Beschwerdeführers nicht einzugehen.
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Kosten zu erheben und hat der Kanton Aargau dem obsiegenden Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Entschädigung zu bezahlen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Beschluss des Obergerichts des Kantons Aargau vom 14. Juni 2017 wird aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Der Kanton Aargau hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Strafgericht, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. März 2018
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Pasquini