Sachverhalt:
A.
Die Baudirektion des Kantons Zugs legte im Jahr 2015 das Baugesuch, den Sondernutzungsplan (Baulinienplan), den Landerwerbs- und Enteignungsplan, die Signalisations- und Markierungspläne mit den dazugehörigen Verkehrsanordnungen, den Umweltverträglichkeitsbericht sowie die Bewilligungen für den Umweltbereich (Rodungen, Wiederaufforstungen, Beseitigung von Hecken und Feldgehölzen, Beseitigung von Ufervegetation, technische Eingriffe in Gewässer, temporäre und definitive Eingriffe in Gewässer) für das Projekt "Umfahrung Cham-Hünenberg" öffentlich auf.
B.
Am 6. Juli 2015 reichte A._ bei der Baudirektion des Kantons Zug gegen das Auflageprojekt eine Einsprache ein. Gleichentags erhob er Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zug, das die Eingabe als "zweite Einsprache" an die Baudirektion weiterleitete. Mit Beschluss vom 19. Dezember 2017 wies die Baudirektion die Einsprachen ab, soweit sie darauf eintrat.
Eine dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zug ab.
C.
Mit Eingabe vom 8. August 2019 hat A._ gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Er beantragt sinngemäss die Aufhebung des Entscheids und Nichterteilung der Baubewilligung. Er stellt ausserdem ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
Die Baudirektion und die Einwohnergemeinde Cham beantragen die Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
Der Beschwerdeführer hat am 18. November 2019 repliziert.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (<ref-law>). Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen; ein Ausschlussgrund gemäss <ref-law> liegt nicht vor.
Der Beschwerdeführer ist als Adressat des angefochtenen Entscheids und regelmässiger Benutzer der Strassen und Plätze in der Gemeinde Cham ohne weiteres zur Beschwerde befugt. Die Beschwerde wurde ausserdem rechtzeitig erhoben (<ref-law>).
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht - einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens - gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Bundesrecht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten - einschliesslich die willkürliche Anwendung von kantonalem und kommunalem Recht - prüft es dagegen nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und genügend begründet worden ist (<ref-law>). Dabei gelten qualifizierte Begründungsanforderungen (<ref-ruling> E. 1.5 S. 144 mit Hinweisen). Soweit diese nicht eingehalten sind, ist auf die Rügen nicht einzutreten.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat, sofern dieser nicht offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 105 und Art. 97 Abs. 1 BGG).
3.
Der Beschwerdeführer kritisiert verschiedene Aspekte des Auflageverfahrens und des Bauprojekts. Wie im Folgenden ausgeführt wird, genügt seine Beschwerde den erhöhten Begründungsanforderungen jedoch nicht und liegt ausserdem teilweise ausserhalb des Streitgegenstands. Soweit sich seiner Rechtsschrift hinreichend klar formulierte Rügen entnehmen lassen, verhält es sich dazu wie folgt:
3.1. Der Beschwerdeführer kritisiert zunächst die Profilierung und das Auflageverfahren. Er macht sinngemäss geltend, das Verwaltungsgericht habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt und sein rechtliches Gehör verletzt (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer wiederholt jedoch lediglich seine bereits in der Einsprache und der Beschwerde ans Verwaltungsgericht geäusserten Rügen. Er zeigt dabei weder auf, dass die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz zur Profilierung und zum Auflageverfahren willkürlich sind, noch inwiefern er durch die angeblichen Mängel in seiner Einsprache behindert wurde. Seine Beschwerde zu den beiden Punkten genügt daher den erhöhten Begründungsanforderungen nicht; auf diese Rügen ist nicht einzutreten.
3.2. Des Weiteren kritisiert der Beschwerdeführer mehrmals und in verschiedener Form das im Auflageprojekt vorgesehene Pfortensystem inkl. Kamera-Erfassungssystem und Mindestaufenthaltsdauer im Stadtkern zur Verkehrsberuhigung in Cham und macht sinngemäss offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellungen geltend. Er ist der Ansicht, die Mindestaufenthaltsdauer sowie das Bussensystem seien "abzuweisen". Wenn eine Mindestaufenthaltsdauer vorgeschrieben werde, müsse man auch genügend Parkplätze zur Verfügung stellen. Dies sei nicht der Fall.
Er zeigt jedoch auch hier nicht auf, inwiefern die Sachverhaltsfeststellungen des Verwaltungsgerichts zu diesen Punkten offensichtlich unrichtig sind oder inwiefern das Pfortensystem kantonales oder Bundesrecht verletzt. Die Beschwerde ist auch in diesem Punkt nicht genügend begründet, weshalb auf diese Rügen nicht einzutreten ist.
3.3. Betreffend die geplanten Strassenverengungen, den Tempo-30-Bereich und die Schaffung von Hindernissen führte das Verwaltungsgericht aus, die Strassenraumgestaltung im Zentrum von Cham erfolge unter der Federführung der Gemeinde Cham in einem separaten Projekt, das nicht Gegenstand des Projekts "Umfahrung Cham-Hünenberg" sei. Die entsprechenden Massnahmen würden zu einem späteren Zeitpunkt öffentlich aufgelegt und der Beschwerdeführer werde die Möglichkeit haben, dagegen Einsprache zu erheben.
Der Einwand des Beschwerdeführers, es habe eine Abstimmung über diese Massnahmen stattzufinden, liegt somit ausserhalb des Streitgegenstands. Auf diese Rüge ist nicht einzutreten.
4.
Nach dem Gesagten ist nicht auf die Beschwerde einzutreten.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung. Das Gesuch ist wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen (<ref-law>). Angesichts seiner finanziellen Lage sind dem Beschwerdeführer reduzierte Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt der Einzelrichter:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung wird abgewiesen.
3.
Dem Beschwerdeführer werden Gerichtskosten von Fr. 500.-- auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Gemeinderat Cham, dem Gemeinderat Hünenberg, der Baudirektion des Kantons Zug und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Verwaltungsrechtliche Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juli 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Kneubühler
Die Gerichtsschreiberin: Hänni