Faits :
A.
A.a. A._, né en 1968, a travaillé en tant que directeur d'une entreprise active dans le commerce et le service d'appareils électroniques à compter du 1 er février 2008. Le 31 août 2008, une chute à vélo lui a causé une fracture du gros orteil gauche ainsi qu'une entorse de la cheville gauche accompagnée d'une mononeuropathie subaiguë du rameau calcanéen interne. AXA Assurances SA (ci-après: AXA), auprès de laquelle il était assuré obligatoirement contre le risque d'accidents, a pris en charge le cas.
AXA a confié une expertise médicale au docteur B._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, qui a rendu un premier rapport le 10 juillet 2012 et un rapport complémentaire le 14 mai 2014.
Par décision du 6 novembre 2014, confirmée sur opposition le 8 avril 2015, AXA a reconnu le droit de l'assuré à percevoir des indemnités journalières jusqu'au 31 janvier 2015 afin qu'il puisse trouver une activité professionnelle adaptée, exigible à temps plein. L'assureur a en outre refusé de lui allouer une rente d'invalidité mais lui a octroyé une indemnité pour atteinte à l'intégrité (IPAI) d'un montant de 6300 fr., correspondant à un taux de 5 %, en raison d'une allodynie de la cheville gauche. En revanche, aucune IPAI ne lui a été accordée s'agissant de l'atteinte au gros orteil gauche, en l'absence de douleur et de limitation fonctionnelle. Par jugement du 7 juin 2016, la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: la Cour de droit public) a rejeté le recours formé contre la décision sur opposition, en dépit d'une nouvelle intervention chirurgicale pratiquée le 11 janvier 2016 en raison de douleurs au talon gauche.
A.b. Ensuite d'une nouvelle incapacité de travail de l'assuré consécutive à l'intervention du 11 janvier 2016, AXA a confié une nouvelle expertise médicale au docteur C._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur. Celui-ci a rendu son rapport d'expertise le 11 août 2017. L'assuré en a contesté les conclusions en s'appuyant sur les avis médicaux de certains de ses médecins traitants et l'expert a complété son rapport le 28 mars 2018 en tenant notamment compte d'opérations effectuées les 1 er juin 2017 ("ostéotomie soustraction P1 bilatérale") et 3 octobre 2017 ("AMO matériel enfoui P1 et ténolyse extenseurs gros orteils deux pieds") par le docteur D._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur.
Sur la base de l'expertise du docteur C._, AXA a rendu le 12 avril 2018 une nouvelle décision par laquelle elle a exclu tout droit de l'assuré à des prestations d'assurance dès le 1 er janvier 2017, sauf concernant l'hypoesthésie du versant plantaire du talon gauche, précisant qu'aucune IPAI n'était due. Saisie d'une opposition de l'assuré qui concluait à l'octroi d'une IPAI à un taux de 10 % et à la prise en charge des suites de son accident jusqu'au 31 janvier 2018, AXA l'a partiellement admise par décision du 26 juin 2019, en ce sens qu'une IPAI de 5 % - qui correspondait à celle octroyée le 6 novembre 2014 pour l'atteinte à la cheville gauche - lui a été allouée. Dans ses considérants, l'assureur a relevé qu'il n'était pas tenu de prendre en charge les frais liés à l'intervention chirurgicale de janvier 2016.
B.
L'assuré a recouru contre la décision sur opposition auprès de la Cour de droit public, en concluant à l'octroi d'une IPAI fondée sur un taux de 10 % au motif de l'apparition d'une arthrose au niveau du gros orteil gauche fondant une indemnité supplémentaire de 5 %, à la prise en charge par AXA des opérations du pied gauche subies les 11 janvier 2016 et 1 er juin 2017, ainsi qu'à ce qu'il soit dit que l'intervention du 1 er juin 2017 sur son pied droit constituait un nouvel accident devant être pris en charge par AXA. Par jugement du 28 mai 2020, la Cour de droit public a rejeté le recours dans la mesure où il était recevable, réformant néanmoins la décision sur opposition du 26 juin 2019 en ce sens que l'opposition à la décision du 12 avril 2018 était rejetée.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant à sa réforme en ce sens qu'il soit ordonné à AXA de prendre en charge, d'une part, les suites de son accident du 31 août 2008 au-delà du 1 er janvier 2017, en particulier l'opération du 1 er juin 2017, ses suites et les indemnités journalières, et d'autre part les suites de son accident du 1 er juin 2017 consécutif à l'opération de son pied droit du même jour. A titre subsidiaire, il conclut à l'annulation du jugement attaqué et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour qu'il soit statué sur le caractère accidentel de l'opération du 1 er juin 2017 sur son pied droit.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Il est donc recevable.
1.2. Lorsque la décision qui fait l'objet d'un recours concerne l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>); le recours peut alors porter sur toute constatation incomplète ou erronée des faits (<ref-law>). Lorsque le jugement entrepris porte à la fois sur des prestations en espèces et en nature de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral constate avec un plein pouvoir d'examen les faits communs aux deux objets litigieux et se fonde sur ces constatations pour statuer, en droit, sur ces deux objets. En revanche, les faits qui ne seraient pertinents que pour statuer sur le droit aux prestations en nature ne sont revus que dans les limites définies aux art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF (arrêt 8C_416/2019 du 15 juillet 2020 consid. 2 et les références).
En l'espèce, l'admission éventuelle des conclusions du recourant peut ouvrir droit à des prestations aussi bien en espèces qu'en nature, de sorte que le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par la juridiction précédente, à tout le moins s'agissant des faits communs à ces deux objets.
2.
2.1. Le litige porte sur le point de savoir si la cour cantonale a violé le droit fédéral en confirmant le refus de l'intimée de prendre en charge les opérations des 11 janvier 2016 et 1 er juin 2017, ainsi que l'intervention du 1 er juin 2017 en tant qu'elle constituerait un nouvel accident.
2.2. L'<ref-law> prévoit que les prestations de l'assurance-accidents obligatoire sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle. Le droit aux prestations suppose notamment qu'il existe, entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé, un lien de causalité naturelle. Cette condition est réalisée lorsqu'il y a lieu d'admettre que, sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière. Il n'est pas nécessaire que l'accident soit la cause unique ou immédiate de l'atteinte à la santé: il suffit qu'associé éventuellement à d'autres facteurs, il ait provoqué l'atteinte à la santé, c'est-à-dire qu'il apparaisse comme la condition sine qua non de cette atteinte. Savoir si l'événement assuré et l'atteinte en question sont liés par un rapport de causalité naturelle est une question de fait que l'administration, ou le cas échéant le juge, examine en se fondant essentiellement sur des renseignements d'ordre médical, et qui doit être tranchée à la lumière de la règle du degré de vraisemblance prépondérante, appliquée généralement à l'appréciation des preuves dans l'assurance sociale (<ref-ruling> consid. 1 p. 438 et les références citées).
2.3. L'élément déterminant pour la valeur probante d'un rapport médical n'est ni son origine, ni sa désignation comme rapport ou comme expertise, mais bien son contenu. A cet égard, il importe que les points litigieux aient fait l'objet d'une étude circonstanciée, que le rapport se fonde sur des examens complets, qu'il prenne également en considération les plaintes exprimées par la personne examinée, qu'il ait été établi en pleine connaissance de l'anamnèse, que la description du contexte médical et l'appréciation de la situation médicale soient claires et enfin que les conclusions de l'expert soient dûment motivées (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 232; <ref-ruling> consid. 3a p. 352). Cela étant, la jurisprudence a considéré qu'il était compatible avec le principe de la libre appréciation des preuves d'édicter des lignes directrices à l'égard de certaines formes de rapports médicaux et d'expertises. S'agissant d'une expertise mise en oeuvre dans le cadre d'une procédure administrative au sens de l'<ref-law> (RS 830.1), la jurisprudence a considéré que le tribunal pouvait lui accorder une pleine valeur probante aussi longtemps qu'aucun indice concret ne permettait de douter de son bien-fondé (<ref-ruling> consid. 4.4 p. 470; <ref-ruling> précité consid. 3b/bb p. 353).
2.4. La cour cantonale a relevé que l'octroi d'une IPAI fondée sur un taux de 5 % en raison de l'allodynie à la cheville gauche, par décision du 6 novembre 2014, était définitif et exécutoire, de sorte que la décision sur opposition du 26 juin 2019 sur ce point n'avait pas de portée juridique. S'agissant du gros orteil gauche, le docteur B._ avait indiqué en 2014 que la question d'une IPAI pourrait être rediscutée en cas de développement au long cours d'une arthrose secondaire entraînant un hallux rigidus (lequel désigne généralement une arthrose due à des blessures ou des sollicitations excessives, par opposition à un hallux valgus qui se développe en raison de facteurs héréditaires ou ensuite d'une maladie). Or le docteur C._ avait fait état dans son expertise d'une arthropathie dégénérative débutante métatarso-phalangienne du gros orteil aux deux pieds, sans phénomène rigidus et très probablement sans lien avec l'accident du 31 août 2008; la fracture du gros orteil gauche n'était du reste plus visible et ne laissait pas de séquelles significatives. Par la suite, l'assuré avait subi une "ostéotomie soustraction P1 bilatérale" en raison d'une "instabilité MP1 bilatérale sur hallux valgus bilatéral". En l'absence d'hallux rigidus consécutif à une arthrose secondaire, le point de savoir pour quel motif le docteur D._ avait pratiqué cette opération pouvait rester indécis et il n'y avait pas de raison de revenir sur l'atteinte à l'intégrité estimée à 0 % en 2014.
Les juges cantonaux ont par ailleurs retenu qu'en rendant sa décision sur opposition, l'intimée avait confirmé sa décision du 12 avril 2018 en tant qu'elle fixait au 1 er janvier 2017 le moment à partir duquel le droit aux prestations d'assurance était exclu; dès lors, elle était tenue de prendre en charge l'intervention chirurgicale du 11 janvier 2016. En revanche, tel n'était pas le cas de l'opération du 1 er juin 2017 et de ses suites. Le docteur C._ avait diagnostiqué une arthrose dégénérative bilatérale aux deux pieds, qui n'avait rien d'exceptionnel au vu de l'âge de l'assuré, et qualifié de hautement improbable le lien de causalité naturelle entre l'arthrose au pied gauche et l'accident du 31 août 2008. Cette appréciation médicale n'était pas remise en cause par les autres avis médicaux au dossier. Enfin, la juridiction cantonale a considéré que la question du caractère éventuellement accidentel de l'ostéotomie effectuée par le docteur D._ sur le pied droit de l'assuré - prétendument asymptomatique - était exorbitante de l'objet de la contestation, qui concernait uniquement le sinistre lié à l'accident du 31 août 2008; le recours était sur ce point irrecevable.
3.
3.1. Dans un premier grief, le recourant reproche à l'instance précédente d'avoir, sur la base de l'expertise du docteur C._, nié le lien de causalité naturelle entre son accident du 31 août 2008 et l'arthrose de son pied gauche qui serait à l'origine des interventions chirurgicales du docteur D._ des 1er juin et 3 octobre 2017. Le docteur C._ aurait lui-même noté une discrète asymétrie du premier métatarsien en défaveur du côté gauche et son appréciation ne serait pas conforme aux autres avis médicaux figurant au dossier. A ce titre, le recourant cite des extraits de rapports médicaux, de courriers et de courriels de certains de ses médecins traitants, dont les premiers juges n'auraient pas tenu compte et qui parleraient pourtant en faveur d'une arthrose précoce à gauche, consécutive à l'accident de 2008, et en défaveur d'un tableau similaire à droite. Il appartiendrait ainsi à l'intimée d'assumer les frais médicaux liés aux opérations des 1 er juin et 3 octobre 2017 et de verser les indemnités journalières qui seraient dues.
3.2.
3.2.1. Dans son premier rapport du 11 août 2017, le docteur C._ a fait état d'une arthropathie dégénérative débutante bilatérale sur les avant-pieds, sans phénomène rigidus et sans lien avec l'accident. Aucune séquelle significative au gros orteil gauche n'a été décelée et la démarche du recourant était symétrique, malgré une discrète asymétrie d'appui du premier métatarsien en défaveur du côté gauche. Dans son rapport complémentaire du 28 mars 2018 qui faisait suite aux interventions du docteur D._, le docteur C._ a confirmé les observations et conclusions figurant dans son premier rapport, qualifiant de "hautement improbable" le lien de causalité naturelle entre l'accident du 31 août 2008 et l'arthrose développée au pied gauche. Le docteur C._ est intervenu comme expert au sens de l'<ref-law>. Ses rapports sont complets, détaillés et convaincants et les avis médicaux de ses confrères figurant au dossier ne sont pas de nature à mettre en doute la valeur probante de son expertise.
3.2.2. Selon le rapport opératoire du 1 er juin 2017, le docteur D._ a opéré le recourant au motif d'un hallux valgus des deux pieds et il a appliqué la même technique opératoire à gauche et à droite sans différencier les deux pieds. Ce médecin a bien évoqué par la suite un "pied avec un varus calcanéen" ainsi qu'une "évolution arthrogène" de la fracture du gros orteil gauche et a constaté un léger pincement de l'interligne métatarso-phalangien à gauche. Il n'a toutefois pas fait mention d'un hallux rigidus ni d'une arthrose plus marquée ou uniquement visible à gauche. Il ne s'est pas non plus exprimé clairement sur le lien de causalité naturelle entre l'accident et l'atteinte arthrosique au membre inférieur gauche.
3.2.3. Les autres médecins cités par le recourant ne se sont pas non plus prononcés sur ce lien de causalité et n'ont pas fait état d'un hallux rigidus. Leurs rapport médicaux s'avèrent au demeurant partiels et succincts et rien n'indique qu'ils aient soumis l'intéressé à des examens complets, notamment radiologiques. Ainsi, il ressort du rapport du 6 mars 2015 du docteur E._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, que ce médecin s'est limité à examiner le pied gauche du recourant, constatant certes un mauvais déroulement dudit pied avec des séquelles post traumatiques et post opératoires; il n'a toutefois pas fait état de problèmes d'arthrose et son examen est intervenu au demeurant plus de deux ans avant l'examen du docteur C._ et antérieurement à l'opération du 11 janvier 2016, de sorte qu'il ne saurait s'avérer déterminant. Dans son rapport du 15 septembre 2017, le docteur F._, spécialiste en chirurgie plastique, reconstructive et esthétique, s'est référé à l'ostéotomie pratiquée par le docteur D._ "en raison d'une arthrose précoce liée à la fracture de son gros orteil à gauche". Il n'a cependant pas diagnostiqué lui-même une telle arthrose, se contentant de décrire des douleurs et des limitations fonctionnelles du talon gauche ou plus largement du membre inférieur gauche; certaines de ces limitations fonctionnelles ne sont d'ailleurs pas contestées puisqu'elles ont abouti à l'octroi d'une IPAI fondée sur un taux de 5 %. Dans son courrier du 10 mai 2017 adressé au docteur D._, le docteur F._ s'est limité à valider l'ostéotomie à venir. Enfin, le docteur G._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, s'est exprimé dans son rapport du 20 juin 2018 sur les opérations des 1 er juin et 3 octobre 2017 et leurs suites, mettant en évidence une "pseudarthrose de la première phalange du gros orteil droit", sans allusion à une arthrose à gauche. Son courriel du 16 août 2018 s'attache uniquement à critiquer l'opération pratiquée par le docteur D._ sur le pied droit du recourant. Les autres appréciations invoquées par le recourant - comme celles du mandataire de l'assurance responsabilité civile du docteur D._ - n'émanent pas de médecins et n'ont donc aucune force probante.
3.3. Au vu de ce qui précède, c'est à bon droit que la cour cantonale s'est fondée sur l'expertise du docteur C._ pour nier le lien de causalité naturelle entre l'accident du 31 août 2008 et les affections du recourant à l'origine de l'intervention chirurgicale du 1 er juin 2017 ainsi que ses suites médicales. On notera encore que l'hypothèse - défendue par le recourant - selon laquelle le docteur D._ aurait opéré à tort son pied droit le 1 er juin 2017 ne suffirait pas en soi à faire admettre l'existence d'une arthrose hallux rigidus d'origine accidentelle au pied gauche, en l'absence d'un diagnostic en ce sens. Les griefs du recourant se révèlent ainsi mal fondés.
4.
4.1. Dans un second grief, le recourant reproche aux juges cantonaux d'avoir déclaré irrecevable sa conclusion tendant à qualifier d'accident l'opération de son pied droit du 1 er juin 2017. Dès lors qu'antérieurement à la décision sur opposition du 26 juin 2019, il aurait évoqué auprès de l'intimée la possibilité de percevoir des indemnités journalières au-delà du mois de juin 2017 au motif de l'erreur médicale du docteur D._, l'intimée aurait pu se prononcer à ce sujet dans sa décision sur opposition.
4.2.
4.2.1. En procédure juridictionnelle administrative, ne peuvent en principe être examinés et jugés que les rapports juridiques à propos desquels l'autorité administrative compétente s'est prononcée préalablement d'une manière qui la lie sous la forme d'une décision. Dans cette mesure, la décision détermine l'objet de la contestation qui peut être déféré en justice par la voie d'un recours. Le juge n'entre donc pas en matière, sauf exception, sur des conclusions qui vont au-delà de l'objet de la contestation (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 362 s.; <ref-ruling> consid. 5.2.1 p. 426 et les références).
L'objet du litige dans la procédure de recours est le rapport juridique réglé dans la décision attaquée dans la mesure où, d'après les conclusions du recours, il est remis en question par la partie recourante. L'objet de la contestation (Anfechtungsgegenstand) et l'objet du litige (Streitgegenstand) sont identiques lorsque la décision administrative est attaquée dans son ensemble. En revanche, les rapports juridiques non litigieux sont compris dans l'objet de la contestation, mais pas dans l'objet du litige (<ref-ruling> consid. 4.3 précité p. 363; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 14). L'objet du litige peut donc être réduit par rapport à l'objet de la contestation. Il ne peut en revanche pas, sauf exception (consid. 4.2.2 infra), s'étendre au-delà de celui-ci (<ref-ruling> consid. 4.3 précité p. 363; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 463).
4.2.2. Selon une jurisprudence constante rendue dans le domaine des assurances sociales, la procédure juridictionnelle administrative peut être étendue pour des motifs d'économie de procédure à une question en état d'être jugée qui excède l'objet de la contestation, c'est-à-dire le rapport juridique visé par la décision, lorsque cette question est si étroitement liée à l'objet initial du litige que l'on peut parler d'un état de fait commun et à la condition que l'administration se soit exprimée à son sujet dans un acte de procédure au moins (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 503 et les références; <ref-ruling> consid. 2a p. 36; arrêt 8C_619/2019 du 3 juillet 2020 consid. 4.2.2).
4.3. En l'espèce, la décision sur opposition déférée à la juridiction cantonale portait sur le droit du recourant à des prestations d'assurance découlant de son accident du 31 août 2008. Le recourant n'explique pas à quel moment il aurait soulevé pour la première fois l'existence d'un prétendu nouvel accident qui serait survenu le 1 er juin 2017. En tout état de cause, rien n'indique que l'intimée se soit exprimée à ce propos dans un quelconque acte de procédure. Par conséquent, l'autorité précédente était fondée à ne pas entrer en matière sur cette question. Cela étant, rien n'empêche le recourant de requérir des prestations à ce titre auprès de l'intimée et le prononcé d'une décision en la matière.
5.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours.
6.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 27 janvier 2021
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
Le Greffier : Ourny