Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Abteilung 2 Emmen des Kantons Luzern (nachfolgend Staatsanwaltschaft) führt eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen des Verdachts der Gehilfenschaft zu mehrfachem Diebstahl, mehrfacher Sachbeschädigung und mehrfachem Hausfriedensbruch. In diesem Zusammenhang wurde ihm Rechtsanwalt B._ als a.o. amtlicher Verteidiger zugeteilt. Am 25. März 2020 ersuchte Rechtsanwalt C._, der von A._ als privater Verteidiger beauftragt worden war, um seine Einsetzung als dessen amtlicher Verteidiger und um Entlassung des a.o. amtlichen Verteidigers. Die Staatsanwaltschaft wies das Gesuch um Wechsel der amtlichen Verteidigung mit Verfügung vom 30. März 2020 ab.
B.
Dagegen erhob A._, vertreten durch seinen privaten Verteidiger C._, Beschwerde. Mit Beschluss vom 8. Juni 2020 wies das Kantonsgericht des Kantons Luzern diese ab.
C.
Mit Eingabe vom 17. August 2020 führt A._, vertreten durch C._, gegen diesen Beschluss Beschwerde in Strafsachen beim Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids, die Entlassung des amtlichen Verteidigers B._ aus dem Amt und die Einsetzung von C._ als amtlicher Verteidiger. Ausserdem sei eine öffentliche Verhandlung durchzuführen. Eventualiter sei das Verfahren an das Kantonsgericht zu neuem Entscheid zurückzuweisen. Schliesslich stellt er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Kantonsgericht und der a.o. amtliche Verteidiger B._, beantragen die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Staatsanwaltschaft beantragt die Abweisung der Beschwerde und die Bestätigung des angefochtenen Entscheids. Die Oberstaatsanwaltschaft verzichtet auf eine Stellungnahme und schliesst sich der Vernehmlassung der Staatsanwaltschaft an.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Beschluss handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Zwischenentscheid in einem strafprozessualen Untersuchungsverfahren (<ref-law>). Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht nach <ref-law> offen. Der Beschwerdeführer hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen und hat als beschuldigte Person ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids. Er ist damit zur Beschwerde legitimiert (Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 1 BGG).
1.2. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde gegen einen Zwischenentscheid unter anderem dann zulässig, wenn dieser einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann. Dies trifft im Fall der Ablehnung eines Gesuchs um Wechsel des amtlichen Verteidigers insbesondere dann zu, wenn dieser seine Pflichten erheblich vernachlässigt oder zwischen ihm und der beschuldigten Person keine Vertrauensbasis mehr besteht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 115 f.; Urteile 1B_297/2015 vom 26. Oktober 2015; 1B_127/2015 vom 8. Juni 2015 E. 1; je mit Hinweisen).
Vorliegend hat der Beschwerdeführer in vertretbarer Weise aufgezeigt, weshalb seines Erachtens zwischen ihm und dem amtlichen Verteidiger keine Vertrauensbasis mehr bestehe und inwiefern dieser seine Pflichten vernachlässigt habe. Damit ist die Sachurteilsvoraussetzung von <ref-law> erfüllt.
1.3. Auf die fristgerecht eingereichte Beschwerde (vgl. <ref-law>) ist somit unter Vorbehalt der nachfolgenden E. 2 einzutreten.
2.
2.1. Gemäss <ref-law> legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>).
Der Beschwerdeführer stellt in seiner Beschwerde über weite Strecken seine eigene Sicht der Dinge dar, ohne sich substantiiert mit den Erwägungen der Vorinstanz auseinanderzusetzen. Die rein appellatorische Kritik am Sachverhalt genügt den Rügeanforderungen nicht. Auf die Beschwerde ist insoweit nicht einzutreten.
2.2. Der Beschwerdeführer beantragt ausserdem eine öffentliche Verhandlung vor Bundesgericht, begründet diesen Antrag jedoch in keiner Weise. Da die Begründungsanforderungen (<ref-law>) somit nicht erfüllt sind, ist darauf nicht einzutreten. Im Übrigen ist darauf hinzuweisen, dass die Parteien vor Bundesgericht grundsätzlich weder Anspruch auf eine Parteiverhandlung noch Anspruch auf eine öffentliche Sitzung haben (Art. 57 und 58 BGG; vgl. Urteil 5A_880/2011 vom 20. Februar 2012 E. 1.5).
3.
Der Beschwerdeführer macht geltend, der angefochtene Beschluss verletze <ref-law>, weil die Vorinstanz zu Unrecht davon ausgegangen sei, dass kein Grund für einen Wechsel der amtlichen Verteidigung vorliege.
3.1. Nach der Praxis des Bundesgerichts zu Art. 29 Abs. 3 und Art. 32 Abs. 2 BV hat die amtlich verteidigte beschuldigte Person einen grundrechtlichen Anspruch auf sachkundige, engagierte und effektive Wahrnehmung ihrer Parteiinteressen (<ref-ruling> E. 2.4 S. 164 mit Hinweis). Ein Begehren um Auswechslung der amtlichen Verteidigung ist zu bewilligen, wenn aus objektiven Gründen eine sachgemässe Vertretung der Interessen der beschuldigten Person durch die bisherige Rechtsvertretung nicht mehr gewährleistet ist (<ref-ruling> E. 4b/aa S. 105 mit Hinweisen).
Über diesen grundrechtlichen Anspruch hinausgehend sieht <ref-law> vor, dass die Verfahrensleitung die amtliche Verteidigung einer anderen Rechtsvertretung überträgt, wenn das Vertrauensverhältnis zwischen der beschuldigten Person und ihrer amtlichen Verteidigung erheblich gestört oder eine wirksame Verteidigung aus andern Gründen nicht mehr gewährleistet ist. Diese Regelung trägt dem Umstand Rechnung, dass eine engagierte und effiziente Verteidigung nicht nur bei objektiver Pflichtverletzung der Verteidigung, sondern bereits bei einem erheblich gestörten Vertrauensverhältnis beeinträchtigt sein kann. Dahinter steht die Idee, dass eine amtliche Verteidigung in jenen Fällen auszuwechseln ist, in denen auch eine privat verteidigte beschuldigte Person einen Wechsel der Verteidigung vornehmen würde (<ref-ruling> E. 2.4 S. 165 mit Hinweis auf die Botschaft).
Wird die subjektive Sichtweise der beschuldigten Person in den Vordergrund gestellt, bedeutet dies aber nicht, dass allein deren Empfinden bzw. deren Wunsch für einen Wechsel der Verteidigung ausreicht. Vielmehr muss die Störung des Vertrauensverhältnisses mit konkreten Hinweisen belegt und objektiviert werden (<ref-ruling> E. 2.4 S. 165 mit Hinweisen). Bei der Behandlung eines Gesuchs um Wechsel der amtlichen Verteidigung berücksichtigt die Verfahrensleitung, dass der amtliche Rechtsbeistand nicht bloss das unkritische Sprachrohr seines Mandanten oder seiner Mandantin ist. Für einen Verteidigungswechsel genügt deshalb nicht, wenn die Rechtsvertretung eine problematische, aber von der beschuldigten Person gewünschte Verteidigungsstrategie nicht übernimmt, oder wenn sie nicht bedingungslos glaubt, was die beschuldigte Person zum Delikt sagt, und das nicht ungefiltert gegenüber den Behörden vertritt. Der Anspruch auf eine wirksame Verteidigung ist hingegen verletzt, wenn die amtliche Verteidigung einer nicht geständigen beschuldigten Person andeutet, sie halte ihren Mandanten oder ihre Mandantin für schuldig (<ref-ruling> E. 2.4 S. 166). Diese Andeutung muss gegenüber der Strafbehörde bzw. dem Gericht erfolgen. Die Rechtsvertretung hat die beschuldigte Person über Chancen und Risiken des Prozesses aufzuklären. Wenn sie ihren Mandanten oder ihre Mandantin entsprechend informiert und die Konsequenzen einer Bestreitung des Anklagevorwurfs bzw. eines Geständnisses aufzeigt, ist das Teil der anwaltlichen Fürsorgepflicht und nicht zu beanstanden (<ref-ruling> E. 2.5.4 S. 167 f. mit Hinweisen; Urteil 1B_127/2015 vom 8. Juni 2015 E. 2.2).
3.2. Die Vorinstanz führt in ihrem Urteil aus, der Beschwerdeführer werde seit dem 5. Dezember 2019 durch Rechtsanwalt B._ amtlich verteidigt. Das Strafverfahren sei schon sehr weit fortgeschritten: die Staatsanwaltschaft habe am 26. März 2020 die Anklageschrift im Rahmen eines abgekürzten Verfahrens beim Kriminalgericht eingereicht. Der a.o. amtliche Verteidiger habe umfassende und vertiefte Kenntnis der Akten. Es sei keine Sorgfaltspflichtsverletzung des a.o. amtlichen Verteidigers ersichtlich.
Gemäss den glaubhaften Ausführungen des a.o. amtlichen Verteidigers habe er den Beschuldigten bislang nach bestem Wissen und Gewissen offen beraten. Es werde von ihm insbesondere in Abrede gestellt, dass er den Beschuldigten für schuldig gehalten und ihm gesagt habe, wie er aussagen solle. Für eine objektive Beeinträchtigung des Vertrauensverhältnisses reiche es nicht, dass der a.o. amtliche Verteidiger dem Beschuldigten intern mögliche Szenarien darlege und in diesem Rahmen im Hinblick auf die Durchführung des abgekürzten Verfahrens auch die Anerkennung der Tatvorwürfe zur Diskussion stelle. Unbestrittenermassen habe der Beschuldigte unwiderruflich der Anklageschrift mit Urteilsdispositiv im abgekürzten Verfahren zugestimmt. Der Beschwerdeführer habe nicht aufgezeigt, dass die Zustimmung auf Willensmängeln bzw. auf einem Irrtum beruhe und dies ergebe sich auch nicht aus den Akten. Es sei ausserdem nicht erstellt, dass der a.o. amtliche Verteidiger den Beschuldigten falsch informiert habe. Ein Verteidigungswechsel vermöge aufgrund der gegen ihn sprechenden Aktenlage, die Prozesssituation kaum zu verändern. Entscheidend sei, dass der Beschuldigte freiwillig und unbestrittenermassen ein Geständnis abgelegt habe, das aufgrund der objektiven Beweislage in rechtlicher Hinsicht die Annahme von zumindest Gehilfenschaft zu den vorgeworfenen Straftaten wahrscheinlich erscheinen lasse. Anhaltspunkte für eine unzureichende a.o. amtliche Verteidigung seien nicht ersichtlich in diesem Punkt.
Der Beschuldigte selber habe sich zudem gegenüber dem a.o. amtlichen Verteidiger nie dahingehend geäussert, er sei mit der Prozessführungsstrategie nicht einverstanden. Auch habe er gegenüber dem a.o. amtlichen Verteidiger nie den Wunsch geäussert, er möchte die Rechtsvertretung wechseln. In diesem Zusammenhang äussert die Vorinstanz ihren Eindruck, dass der Antrag auf Wechsel des a.o. amtlichen Verteidigers nicht in dessen Person und/oder Engagement begründet sei, sondern auf ausdrücklichen Wunsch der Familie des Beschuldigten erfolgt sei.
Schwere Pflichtverletzungen seien vorliegend nicht erkennbar und seien auch nicht geltend gemacht worden. Der Beschuldigte sei durch seinen a.o. amtlichen Verteidiger sachgemäss und wirksam vertreten. Daran ändere der Umstand nichts, dass der a.o. amtliche Verteidiger den als Touristen eingereisten Beschwerdeführer, dem in der Schweiz die Begehung von Straftaten vorgeworfen würden, gegenüber dem privaten Verteidiger als "Kriminaltourist" bezeichnet haben soll.
3.3. Was der private Verteidiger dagegen vorbringt, vermag nicht zu überzeugen. Er macht im Wesentlichen geltend, es liege eine erhebliche Störung des Vertrauensverhältnisses vor, weil der a.o. amtliche Verteidiger den Beschuldigten für schuldig halte. Entgegen der Ansicht des privaten Verteidigers geht dies jedoch weder aus den Eingaben des a.o. amtlichen Verteidigers an das Kantonsgericht hervor noch aus dem Umstand, dass ein abgekürztes Verfahren eingeleitet worden ist. Nach den Sachverhaltsfeststellungen des Kantonsgerichts hat der a.o. amtliche Verteidiger vielmehr den Beschuldigten über die verschiedenen Prozessführungsstrategien aufgeklärt und sich gemeinsam mit diesem - insbesondere angesichts der vom Beschwerdeführer getätigten Aussagen - für das abgekürzte Verfahren gemäss <ref-law> entschieden. Aus diesem für das Bundesgericht verbindlichen Sachverhalt (vgl. oben E. 2.1) ergibt sich in keiner Weise, dass der a.o. amtliche Verteidiger gegenüber den Strafbehörden angedeutet hat, er halte seinen Mandanten für schuldig. Vielmehr hat der a.o. amtliche Verteidiger dadurch seine anwaltliche Fürsorgepflichten erfüllt.
Die Vorinstanz hat sodann für das Bundesgericht verbindlich ausgeführt, der Beschuldigte habe gegenüber dem a.o. amtlichen Verteidiger nie den Wunsch auf Wechsel der Verteidigung geäussert. Der private Verteidiger bestreitet dies, begnügt sich jedoch damit zu behaupten, die Vorinstanz habe zu Unrecht vermutet, der Antrag auf Wechsel der Verteidigung sei auf Wunsch der Familie erfolgt. Er unterlässt es, in substantiierter Weise darzulegen, dass - wie er behauptet - der Beschuldigte tatsächlich den Wunsch des Verteidigungswechsels geäussert hatte.
Im Übrigen hat die Vorinstanz das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers nicht verletzt, indem sie ihn nicht im Rahmen einer öffentlichen Verhandlung zum Verteidigungswechsel angehört hat. Aufgrund der Aktenlage durfte die Vorinstanz davon ausgehen, dass sich der Beschuldigte selbst nicht dahingehend geäussert hat, es liege ein gestörtes Vertrauensverhältnis vor.
Dem Beschwerdeführer ist zwar zuzustimmen, wenn er vorbringt, die Vorinstanz hätte in ihrem Urteil vom 8. Juni 2020 fälschlicherweise geschrieben, das Verfahren sei bereits vor dem Kriminalgericht hängig. Gemäss Staatsanwaltschaft ist dies erst seit dem 30. Juni 2020 der Fall. Dies ändert aber nichts an der Tatsache, dass das Verfahren im Moment des Gesuchs auf Wechsel der Verteidigung bereits sehr weit fortgeschritten war und der Beschwerdeführer der Anklage vor Beschlussfassung des Kantonsgerichts zugestimmt hat.
Die Vorinstanz hat somit zu Recht festgehalten, es lägen keine konkreten und objektiven Hinweise vor, die zur Annahme eines erheblich gestörten Vertrauensverhältnisses führen könnten. Mit der Vorinstanz ist im Übrigen auch darin einig zu gehen, dass der a.o. amtliche Verteidiger keine Pflichtverletzungen begangen hat.
4.
Nach dem Gesagten unterliegt der Beschwerdeführer und trägt somit grundsätzlich die Gerichtskosten (<ref-law>). Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist aufgrund Aussichtslosigkeit abzuweisen (<ref-law>). Unter den gegebenen Umständen rechtfertigt es sich jedoch, auf die Erhebung von Kosten zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern, Abteilung 2 Emmen, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Luzern, B._ und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Dezember 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Die Gerichtsschreiberin: Hänni