Sachverhalt:
A.
A.a. A._ bezog vom 1. Juli 2010 bis 31. März 2012 Sozialhilfegelder der Gemeinde Aeugst am Albis. Zudem sprach ihr die IV-Stelle des Kantons Zürich mit Verfügung vom 11. April 2011rückwirkend ab 1. Juli 2010 eine ganze Rente zu. Nach Ansicht der Gemeinde Aeugst am Albis bestand nach Verrechnung der an sie ausbezahlten IV-Renten noch eine offene Sozialhilfeschuld von Fr. 24'708.45 (Verfügung der Gemeinde Aeugst am Albis vom 3. Mai 2012). Dagegen opponierte A._.
A.b. Das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Gemeinde Affoltern am Albis (Amt für ZL) gewährte A._ mit Verfügung vom 10. Mai 2012 bzw. Einspracheentscheid vom 7. Juni 2012rückwirkend ab Juli 2010 monatliche Ergänzungsleistungen und Beihilfen. Diese zahlte es im Umfang von Fr. 21'991.60 an die Gemeinde Aeugst am Albis aus (vgl. Verfügungen vom 10. Mai 2012, 8. und 14. Juni 2012 sowie 21. Oktober 2013).
Gegen den Einspracheentscheid des Amts für ZL vom 7. Juni 2012 erhob die Versicherte Beschwerde, welche das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 2. Oktober 2013 abwies. A._ führte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Diese hiess das Bundesgericht teilweise gut und wies die Sache zur Neuberechnung der Ergänzungsleistungen an das Amt für ZL zurück (Urteil 9C_884/2013 vom 9. April 2014). In der Folge setzte das Amt für ZL die Ergänzungsleistungen neu fest. Daraus resultierte unter Berücksichtigung der bereits ausgerichteten Leistungen eine Nachzahlung an die Versicherte von Fr. 3'047.- (Verfügung vom 12. Mai 2014, Einspracheentscheid vom 25. November 2014).
A.c. Am 28. Januar 2016 entschied das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich betreffend die Verfügung vom 3. Mai 2012 der Gemeinde Aegust am Albis (Sozialhilfe). Es stellte ausbezahlten Sozialhilfeleistungen von Fr. 47'821.30 vereinnahmte Drittauszahlungen (IV-Renten und Ergänzungsleistungen) von Fr. 45'562.80 gegenüber und reduzierte die noch offene, von der Bezügerin zurückzuerstattende Sozialhilfe auf Fr. 2'258.-.
A.d. Mit Blick auf diesen Entscheid des Verwaltungsgerichts forderte A._ mit Eingabe vom 7. Mai 2016 eine Revision bzw. Neuberechnung der Ergänzungsleistungen. Dieses Gesuch wies die nun für die Ergänzungsleistungen zuständige Sozialversicherungsanstalt des Kantons Zürich ab (Verfügung vom 5. September 2016, Einspracheentscheid vom 12. September 2017).
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 20. März 2019 ab.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben. Die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten, die gesetzlichen Leistungen zu erbringen.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Der Beschwerdebegründung ist sinngemäss im Wesentlichen zu entnehmen, dass die Beschwerdeführerin der Ansicht ist, es seien mit den Verfügungen vom 10. Mai 2012, 7., 8. und 14. Juni 2012 zu hohe Zahlungen an die Gemeinde Aeugst am Albis im Rahmen der Verrechnung von Ergänzungsleistungen mit der Sozialhilfe erfolgt. Sie verweist auf den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 28. Januar 2016, mit welchem die Rückerstattungsforderung betreffend Sozialhilfe auf Fr. 2'258.50 herabgesetzt worden sei. Sie wirft der Vorinstanz vor, diese habe ihre diesbezüglichen Vorbringen nicht entgegengenommen und das rechtliche Gehör verletzt.
2.1. Der Anspruch auf rechtliches Gehör nach <ref-law> gebietet, dass die Behörde die Vorbringen der betroffenen Person tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung angemessen berücksichtigt (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 188). Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.1 S. 503). Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich die betroffene Person über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinn müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 5.1 S. 237).
Der Anspruch auf rechtliches Gehör ist formeller Natur. Seine Verletzung führt ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids (<ref-ruling> E. 5.3 S. 17 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 2.2 S. 197). Nach der Rechtsprechung kann eine nicht besonders schwerwiegende Verletzung des rechtlichen Gehörs als geheilt gelten, wenn die betroffene Person die Möglichkeit erhält, sich vor einer Instanz zu äussern, welche sowohl die Tat- als auch die Rechtsfragen uneingeschränkt überprüft (<ref-ruling> E. 2.8.1 S. 226 f.; <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 197 f.; <ref-ruling> E. 2.6.1 S. 285; je mit Hinweisen). Unter dieser Voraussetzung ist selbst bei einer schwerwiegenden Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör von einer Heilung des Mangels auszugehen, wenn die Rückweisung der Sache zu einem formalistischen Leerlauf und damit zu unnötigen Verzögerungen führen würde, die mit dem Interesse der betroffenen Partei an einer beförderlichen Beurteilung der Sache nicht zu vereinbaren wären (<ref-ruling> E. 2.8.1 S. 226 f.; <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 197 f.; je mit Hinweisen).
2.2. Die Vorinstanz stellte zutreffend fest, dass erst mit dem rechtskräftigen Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 28. Januar 2016 Gewissheit über Bestand und Höhe der Rückerstattungspflicht gegenüber der Sozialhilfebehörde erlangt werden konnte. Dies, so das kantonale Gericht weiter, "sei im März 2016" der Fall gewesen, weshalb "kein Raum" bleibe, die Ergänzungsleistungen vor März 2016 neu zu berechnen. Die Vorinstanz befasste sich jedoch nicht mit der Frage, ob angesichts der erheblichen Reduktion der Rückerstattungspflicht der Beschwerdeführerin gegenüber der Sozialhilfebehörde auf die EL-Verfügungen zurückzukommen ist. Dies, obwohl die Beschwerdeführerin die mit Einspracheentscheid der Beschwerdegegnerin vom 12. September 2017 bestätigte Zulässigkeit der vorgenommenen Drittauszahlungen im Hinblick auf den Verwaltungsgerichtsentscheid monierte und insbesondere darlegte, es sei zu viel abgerechnet worden. Der angefochtene Entscheid verletzt somit den Anspruch auf rechtliches Gehör, da ihm nicht entnommen werden kann, weshalb dieses Vorbringen der Beschwerdeführerin unbegründet ist.
Da die Rüge einer Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör formeller Natur ist, führt das - wobei auf einen Schriftenwechsel verzichtet wird (<ref-law>; Urteil 9C_527/2018 vom 25. Januar 2019 E. 3.2) - zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids und zur Rückweisung der Sache an die Vorinstanz, ohne dass die von der Beschwerdeführerin geltend gemachten materiell-rechtlichen Einwände zu prüfen wären. Das kantonale Gericht hat die Vorbringen der Beschwerdeführerin betreffend Drittauszahlung zu prüfen und neu zu entscheiden.
3.
Hinsichtlich der Prozesskosten gilt die Rückweisung der Sache zu neuem Entscheid praxisgemäss als volles Obsiegen (vgl. statt vieler: Urteil 9C_527/2018 vom 25. Januar 2019 E. 4.1 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 7.1 S. 271 mit Hinweisen), weshalb die unterliegende Beschwerdegegnerin die Verfahrenskosten trägt (<ref-law>). Damit ist das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege im Sinne der Kostenbefreiung gegenstandslos. Die nicht anwaltlich vertretene Beschwerdeführerin hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung, da die Interessenwahrung keinen Arbeitsaufwand verursacht hat, der den Rahmen dessen überschreitet, was die Einzelne üblicher- und zumutbarerweise zur Besorgung ihrer persönlichen Angelegenheiten auf sich zu nehmen hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 116).

Das Bundesgericht erkennt:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 20. März 2019 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 1. Juli 2019
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Möckli