Fatti:
A.
Dopo un iter che non è necessario riassumere, il 27 dicembre 2018 A._, ha tra l'altro impugnato davanti alla Camera di diritto tributario del Tribunale d'appello del Cantone Ticino le decisioni su reclamo emanate il 26 novembre precedente dall'Ufficio delle procedure speciali della Divisione delle contribuzioni del Cantone Ticino in ambito di ricupero d'imposta cantonale e comunale ed imposta federale diretta per i periodi fiscali 2003-2005.
Dopo istruttoria, con sentenza del 6 novembre 2020 la Corte adita: (a) ha accolto il ricorso contro le decisioni su reclamo inerenti il recupero d'imposta per i periodi fiscali 2003-2004, siccome il diritto di procedere in tal senso era perento a fine 2018 (2003) rispettivamente a fine 2019 (2004) (cifra 1.2 del dispositivo); (b) ha respinto il ricorso contro la decisione su reclamo inerente al recupero d'imposta per il periodo fiscale 2005, siccome l'agire del fisco risultava corretto e condivisibile (cifra 1.1 del dispositivo); (c) ha ripartito le spese secondo soccombenza (cifra 2 del dispositivo); (d) ha concesso al ricorrente l'assistenza giudiziaria con il beneficio del gratuito patrocinio e l'esonero dal pagamento di tasse e spese fino a miglioramento della sua situazione economica (cifra 3 del dispositivo).
B.
Con ricorso in materia di diritto pubblico del 9 dicembre 2020, A._ ha contestato la decisione relativa al periodo fiscale 2005 davanti al Tribunale federale, domandando: in via principale, che le cifre 1.1 e 2 del dispositivo siano riformate nel senso che il ricorso è accolto e le spese processuali poste integralmente a carico del fisco ticinese; in via subordinata, che le cifre 1.1 e 2 del dispositivo siano annullate e l'incarto rinviato alla Corte cantonale per nuovo giudizio; in entrambi i casi, che al gravame sia concesso l'effetto sospensivo.
Con risposta del 23 dicembre 2020, la Corte cantonale ha chiesto che, nella misura in cui non sia priva di oggetto, la domanda di restituzione dell'effetto sospensivo sia respinta e che respinto sia anche il ricorso. Con risposta del 29 gennaio 2021, il fisco ticinese ha per contro comunicato di rinunciare a formulare osservazioni.

Diritto:
1.
Il ricorso concerne una causa di diritto pubblico che non ricade sotto le eccezioni previste dall'<ref-law> ed è diretto contro una decisione finale resa in ultima istanza cantonale da un tribunale superiore (art. 86 cpv. 1 lett. d e cpv. 2 e <ref-law>). Esso è stato interposto nei termini dal destinatario del giudizio contestato (<ref-law>), con interesse alla sua modifica (<ref-law>), ed è pertanto di principio ricevibile come ricorso in materia di diritto pubblico (art. 82 segg. LTF; al riguardo, cfr. anche l'<ref-law> [RS 642.14]).
2.
2.1. Oggetto principale di litigio sono solo le pretese fatte valere a titolo di recupero d'imposta per il periodo fiscale 2005, che la Corte cantonale ha ritenuto legittime (distribuzione dissimulata di utile relativa a diverse società, di cui il ricorrente è stato ritenuto azionista maggioritario). Tra le richieste formulate nell'impugnativa ve ne è pure una che mira a fare annullare la cifra 1.1 del dispositivo della decisione querelata "in considerazione della perenzione nel frattempo intervenuta, ai sensi dell'<ref-law> e 237 LT".
Quella della perenzione è una questione di diritto materiale, che in fattispecie come la presente il Tribunale federale esamina d'ufficio (<ref-ruling> consid. 3.2) sia in relazione all'imposta federale diretta che in relazione all'imposta cantonale (<ref-ruling> consid. 3.4; sentenze 2C_526/2019 del 12 novembre 2019 consid. 4.1 e 2C_1067/2017 dell'11 novembre 2019 consid. 3.2).
2.2. Giusta l'<ref-law>, il diritto di avviare la procedura di ricupero d'imposta decade dopo dieci anni dalla fine del periodo fiscale per il quale la tassazione è stata indebitamente omessa o per il quale la tassazione cresciuta in giudicato era incompleta (cpv. 1); il diritto di procedere al ricupero d'imposta decade dopo 15 anni dalla fine del periodo fiscale al quale si riferisce (cpv. 3).
Come riportato dalla Corte cantonale, l'art. 237 della legge tributaria del Cantone Ticino del 21 giugno 1994 [LT/TI; RL/TI 640.100]) ha analogo tenore, in conformità a quanto previsto dall'art. 53 cpv. 2 e 3 LAID. La questione della perenzione, sollevata nel ricorso, può essere pertanto esaminata uno actu, sia per l'imposta federale diretta che per le imposte cantonali.
2.3. Il giudizio impugnato (p.to F) indica che la procedura di recupero d'imposta sarebbe stata aperta con diffida del 28 novembre 2012 e complemento del 13 novembre 2015. Come per lo meno implicitamente concluso dall'istanza precedente, il rispetto del termine di cui all'<ref-law> e all'art. 237 cpv. 1 LT/TI non è quindi in discussione.
Con la fine del 2020 - a pochi giorni dall'introduzione del ricorso davanti al Tribunale federale contro la sentenza della Camera di diritto tributario e quando ancora lo scambio di scritti non si era concluso - il termine di quindici anni di cui all'<ref-law> e all'art. 237 cpv. 3 LT/TI rispettivamente all'<ref-law> è invece giunto a scadenza, di modo che, analogamente a quanto è avvenuto per i periodi fiscali 2003 e 2004 davanti all'istanza precedente, a questa Corte federale non resta che constatare la perenzione anche per quanto riguarda le pretese fatte valere a titolo di ricupero d'imposta per il periodo fiscale 2005 (sentenze 2C_41/2020 del 24 giugno 2020 consid. 4.1; 2C_526/2019 del 12 novembre 2019 consid. 4.2; 2C_333/2017 del 12 aprile 2018 consid. 8; 2C_722/2017 del 13 dicembre 2017 consid. 3.1).
2.4. Per quanto precede, la cifra 1.1 della querelata sentenza dev'essere annullata e constatato che il diritto al recupero d'imposta per il periodo fiscale 2005 è perento.
Dato che quando la Corte ticinese ha statuito sulla causa (9 novembre 2020) la perenzione relativa al recupero d'imposta per il periodo fiscale 2005 non era ancora intervenuta (31 dicembre 2020), alla questione della suddivisione delle spese giudiziarie in sede cantonale (oggetto della cifra 2 del dispositivo, del quale pure è chiesta la riforma) va invece risposto procedendo a un esame sommario delle altre censure contenute nel ricorso (sentenza 2C_137/2011 del 30 aprile 2012 consid. 5.2 non pubblicato in <ref-ruling>).
2.5. Simile valutazione porta però a concludere che il gravame sarebbe stato probabilmente destinato all'insuccesso.
2.5.1. Nella lunga parte che precede il capitolo "in diritto" (pag. 5-29 del ricorso), l'insorgente procede infatti a una sorta di commento libero delle varie fasi della procedura, nell'ambito della quale: da un lato, si lamenta a vario titolo della stessa, dall'altro, fornisce una differente lettura di una serie di fatti e prove (segnatamente a sostegno della tesi di non essere stato azionista delle società che avrebbero proceduto alle distribuzioni dissimulate di utili all'origine della procedura di ricupero d'imposta). In base a un esame sommario, in tale ambito non risulta però sostanziare: (a) né l'arbitrio nell'accertamento di fatti e nell'apprezzamento (anche anticipato) delle prove da parte della Camera di diritto tributario (sentenze 2C_9/2017 del 7 agosto 2020 consid. 6.1 e 2C_91/2019 del 12 settembre 2019 consid. 5.1 e 6 con ulteriori rinvii); (b) né la violazione di altri diritti procedurali garantiti a livello costituzionale, che pure dev'essere denunciata in modo preciso e che non può quindi essere solo accennata o affermata (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2.2 e 143 I 1 consid. 1.4).
2.5.2. Con una prima critica "in diritto" (pag. 29-30 del ricorso) si lamenta poi di una violazione dell'<ref-law>, facendo valere che gli sarebbe stato chiesto di provare un fatto negativo (estraneità all'azionariato delle società che hanno proceduto alle distribuzioni dissimulate di utili). Così argomentando, non considera tuttavia che, dal momento in cui un fatto è ritenuto come stabilito - come è il caso anche nella fattispecie, in base ai vari indizi evidenziati dai Giudici ticinesi -, la questione dell'onere della prova non si pone più (<ref-ruling> consid. 4.3 pag. 235; sentenza 2C_9/2017 del 7 agosto 2020 consid. 4.2) e spetta proprio al contribuente "smontare", dimostrando l'arbitrarietà dell'apprezzamento svolto, le conclusioni cui è giunta l'autorità (<ref-ruling> consid. 7.1 p. 66; <ref-ruling> consid. 4.3 pag. 158).
2.5.3. A maggior fortuna non pare infine nemmeno che potesse essere destinato il richiamo all'art. 6 CEDU e al principio "nemo tenetur se ipsum accusare" (pag. 29-30 del ricorso), in relazione ai quali nell'impugnativa si osserva testualmente: (a) che "nella fattispecie, torna applicabile il diritto a rifiutarsi di collaborare"; (b) che "ad ogni modo, il ricorrente non ha mai negato la propria collaborazione, partecipando a otto interrogatori della DAPI, prendendo posizione sui vari rapporti finali e redigendo una dettagliata opposizione". In discussione non è infatti la procedura di cui è stato oggetto il ricorrente davanti alla Divisione affari penali e inchieste dell'Amministrazione federale delle contribuzioni (DAPI), bensì una procedura di recupero d'imposta, nella quale il principio richiamato non trova di regola applicazione e gioca un ruolo solo eccezionalmente. Per quali ragioni una simile costellazione sarebbe data anche nella fattispecie non è d'altra parte spiegato (sentenza 2C_288/2018 del 1° febbraio 2019 consid. 2.2, 2.3 e 2.4).
2.6. Di conseguenza, contrariamente a quella relativa alla modifica della cifra 1.1 del dispositivo (precedente consid. 2.4), la richiesta di modifica della cifra 2 del dispositivo della sentenza cantonale, relativa alla suddivisione delle spese giudiziarie, dev'essere respinta.
3.
3.1. Per quanto precede, il ricorso è parzialmente accolto, nel senso dei considerandi (precedente consid. 2.4). Per il resto è respinto (precedente consid. 2.6).
3.2. Siccome il ricorso è stato introdotto a pochi giorni dalla scadenza del termine di quindici anni previsto dall'<ref-law> e dall'art. 237 cpv. 3 LT/TI, l'intervento della perenzione non può essere imputato al Tribunale federale (al riguardo, cfr. - e contrario - le sentenze 2C_137/2011 del 30 aprile 2012 consid. 5.1, non pubblicato in <ref-ruling> e 2C_1067/2017 dell'11 novembre 2019 consid. 5.2). Ciò nonostante, il Tribunale federale rinuncia a percepire spese (<ref-law>). Soccombente in via preponderante, lo Stato del Cantone Ticino dovrà però corrispondere al patrocinatore del ricorrente un'indennità per ripetibili della sede federale (art. 68 cpv. 1 e 2 LTF).
3.3. Di conseguenza, la domanda di assistenza giudiziaria presentata davanti al Tribunale federale diviene priva di oggetto (sentenze 2C_464/2013 del 19 luglio 2013 consid. 4 e 2C_182/2012 del 18 luglio 2012 consid. 6.3). Con l'evasione del ricorso, stessa cosa vale per la richiesta di conferimento dell'effetto sospensivo al gravame.

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è parzialmente accolto. La cifra 1.1 della querelata sentenza è annullata ed è constatato che il diritto al recupero d'imposta per il periodo fiscale 2005 è perento. Per il resto, il ricorso è respinto.
2.
Non vengono prelevate spese.
3.
Lo Stato del Cantone Ticino verserà al patrocinatore del ricorrente un'indennità di fr. 3'500.-- a titolo di ripetibili per la sede federale.
4.
L'istanza di assistenza giudiziaria e quella di conferimento dell'effetto sospensivo al ricorso sono prive di oggetto.
5.
Comunicazione al patrocinatore del ricorrente, alla Divisione delle contribuzioni del Cantone Ticino, Ufficio delle procedure speciali, alla Camera di diritto tributario del Tribunale d'appello del Cantone Ticino e all'Amministrazione federale delle contribuzioni, Divisione principale imposta federale diretta, imposta preventiva, tasse di bollo.