Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1999) ist tunesischer Staatsangehöriger. Am 15./16. März 2018 wies das Staatssekretariat für Migration sein Asylgesuch ab und hielt ihn an, das Land zu verlassen. A._ war in der Folge vorerst unbekannten Aufenthalts. Nachdem er in eine kurzfristige Ausschaffungshaft genommen worden war, weigerte er sich, am 19. Februar 2020 und am 10. März 2020 den Rückflug nach Tunesien anzutreten.
B.
Am 25. März 2020 nahm das Migrationsamt des Kantons Thurgau A._ für drei Monate in Ausschaffungshaft. Am 30. März 2020 ersuchte A._ beim Zwangsmassnahmengericht des Kantons Thurgau darum, aus der Haft entlassen zu werden. Dieses befand am 31. März 2020 die Festhaltung für rechtmässig und angemessen. Die hiergegen gerichtete Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau am 27. Mai 2020 ab. Am 19. Juni 2020 verlängerte das Migrationsamt des Kantons Thurgau die Ausschaffungshaft ab dem 28. Juni 2020 um weitere drei Monate.
C.
A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 27. Mai 2020 insoweit aufzuheben, als es die Beschwerde abgewiesen hat und er in der Ausschaffungshaft belassen wurde. Er sei unverzüglich auf freien Fuss zu setzen; allenfalls sei die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für den Fall des Unterliegens ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. A._ macht geltend, dass der Vollzug seiner Wegweisung coronabedingt nicht absehbar sei. Die Aufrechterhaltung der Haft sei unverhältnismässig. Im Übrigen sei das Beschleunigungsgebot verletzt worden.
Mit Verfügung vom 19. Juni 2020 sah der Abteilungspräsident davon ab, A._ im Rahmen einer vorsorglichen Massnahme aus der Ausschaffungshaft zu entlassen.
Das Verwaltungsgericht, das Zwangsmassnahmengericht und das Migrationsamt des Kantons Thurgau beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Das Staatssekretariat für Migration hat am 29. Juni 2020 den von ihm angeforderten Amtsbericht eingereicht. A._ hat an seinen Ausführungen und Anträgen festgehalten.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den kantonal letztinstanzlichen Entscheid über eine Zwangsmassnahme im Ausländerrecht kann die betroffene Person mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht gelangen (Art. 82 i.V.m. <ref-law>; vgl. die Urteile 2C_386/2020 vom 9. Juni 2020 E. 1.1; 2C_65/2020 vom 18. Februar 2020 E. 1 und 2C_312/2018 vom 11. Mai 2018 E. 1). Wegen des mit der Anordnung ausländerrechtlicher Administrativhaft verbundenen schweren Eingriffs in die persönliche Freiheit kommt dem entsprechenden Freiheitsentzug eigenständige Bedeutung zu; die Haft erscheint nicht als bloss untergeordnete Vollzugsmassnahme zur Wegweisung, weshalb der Ausschlussgrund von <ref-law> der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht entgegensteht (<ref-ruling> E. 1.1.3 S. 139 f.; <ref-ruling> E. 5.5 S. 101 f.; Urteil 2C_466/2018 vom 21. Juni 2018 E. 1.1).
1.2.
1.2.1. Das Bundesgericht tritt - trotz Haftentlassung oder eines Verlängerungsentscheids, welcher den ursprünglich angefochtenen Haftentscheid ablöst (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.1 - 1.2.3 S. 208 ff.) - auf Beschwerden gegen die Genehmigung der ausländerrechtlichen Festhaltung durch den Haftrichter bzw. den entsprechenden kantonalen Rechtsmittelentscheid ein, wenn der Betroffene rechtsgenügend begründet (<ref-law>) und in vertretbarer Weise ("griefs défendables") die Verletzung einer Garantie der EMRK rügt (vgl. die Urteile 2C_386/ 2020 vom 9. Juni 2020 E. 1.2.1 und 2C_548/2011 vom 26. Juli 2011 E. 1.3).
1.2.2. Dies ist hier der Fall: Zwar wurde die Ausschaffungshaft des Beschwerdeführers im Streitgegenstand bildenden Haftprüfungsverfahren nur bis zum 27. Juni 2020 genehmigt; dieser Entscheid ist durch einen neuen ersetzt worden, der nunmehr eine Festhaltung bis zum 27. Oktober 2020 vorsieht. Der Beschwerdeführer macht in vertretbarer Weise geltend, unter Verletzung von Art. 5 Ziff. 1 lit. f EMRK in Haft belassen worden zu sein (Absehbarkeit des Vollzugs der Wegweisung; vgl. das EGMR-Urteil Jusic gegen Schweiz vom 2. Dezember 2010 [Nr. 4691/06], §§ 67 ff.). An der Beurteilung der Konventionskonformität seiner administrativen Festhaltung hat er ein fortbestehendes Interesse, ohne dass er erst noch den Haftverlängerungsentscheid anfechten müsste (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.1 - 1.2.3 S. 208 ff.).
1.3. Da neben der Beschwerdelegitimation auch alle weiteren Prozessvoraussetzungen gegeben sind, ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten (vgl. Art. 82 lit. a i.V.m. Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG).
2.
2.1. Wurde ein erstinstanzlicher Weg- oder Ausweisungsentscheid eröffnet bzw. eine erstinstanzliche Landesverweisung ausgesprochen, kann die zuständige Behörde den betroffenen Ausländer zur Sicherstellung von deren Vollzug unter anderem in Ausschaffungshaft nehmen bzw. in dieser belassen, wenn konkrete Anzeichen befürchten lassen, dass er sich der Ausschaffung entziehen will oder sein bisheriges Verhalten darauf schliessen lässt, dass er sich behördlichen Anordnungen widersetzt (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 und 4 AIG). Der Haftgrund muss prioritär dem zulässigen Haftzweck, nämlich der Sicherstellung des Vollzugs der Wegweisung bzw. der Landesverweisung dienen ("Zweckgebundenheit").
2.2. Der Beschwerdeführer ist nach dem negativen Asylentscheid untergetaucht und hat sich zweimal geweigert, den Rückflug nach Tunesien anzutreten, obwohl er vorgab, mit den Behörden kooperieren zu wollen. Gestützt auf dieses Verhalten durften die kantonalen Behörden davon ausgehen, dass er sich künftig für den Vollzug der Wegweisung nicht zu ihrer Verfügung halten dürfte; mildere Massnahmen (Meldepflicht, Ein- oder Ausgrenzung usw.) waren nicht geeignet, sicherzustellen, dass er sich beim Vollzug der Wegweisung bzw. der Wiederaufnahme des Luftverkehrs nicht erneut den Behörden entziehen und sich absetzen wird. Die Haftanordnung war deshalb - entgegen der Kritik des Beschwerdeführers - verhältnismässig.
2.3. Der Beschwerdeführer hat in seiner Eingabe an das Bundesgericht erklärt, dass er bereit sei, nach Tunesien zurückzukehren, da er dort noch eine kranke Tochter habe, um die er sich sorge. Seine Erklärung steht im Widerspruch zu seinem bisherigen Verhalten: Gemäss dem - entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers - detaillierten Amtsbericht des Staatssekretariats für Migration hätte er die Möglichkeit gehabt, sich an seine Botschaft in der Schweiz zu wenden und seine Heimreise zu planen. Die tunesischen Behörden haben am 1. April und am 30. April 2020 "Rescue-Flights" durchgeführt; das Staatssekretariat für Migration war an diesen beteiligt, um die Heimreise von tunesischen Staatsangehörigen zu ermöglichen. Der Beschwerdeführer hätte vor Monaten freiwillig und ohne Zwangsmassnahme in seine Heimat zurückkehren können.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer wendet ein, der Vollzug seiner Wegweisung sei wegen der Reisebeschränkungen im Rahmen der Bekämpfung der Corona-Pandemie nicht (mehr) absehbar und verstosse deshalb gegen <ref-law>; diese Bestimmung sieht vor, dass die Ausschaffungshaft zu beenden ist, wenn sich der Vollzug der Weg- oder Landesverweisung aus rechtlichen oder tatsächlichen Gründen als undurchführbar erweist.
3.2.
3.2.1. Das Bundesgericht hat im Zusammenhang mit der Vollziehbarkeit der Ausschaffung bzw. der Landesverweisung im Hinblick die Corona-Pandemie entschieden, dass jeder Einzelfall gestützt auf die konkreten Umstände zu beurteilen sei. Dies entspricht der Praxis in der EU: Danach soll aus den vorübergehenden Beschränkungen während der Pandemie nicht automatisch darauf geschlossen werden, dass in allen Fällen keine hinreichende Aussicht auf Abschiebung mehr besteht; die Kommission fordert die Mitgliedstaaten auf, jeden Fall einzeln zu prüfen, um festzustellen, ob noch eine hinreichende Aussicht auf Abschiebung besteht oder nicht (Mitteilung der Kommission, COVID-19: Hinweise zur Umsetzung der einschlägigen EU-Bestimmungen im Bereich der Asyl- und Rückführungsverfahren und zur Neuansiedlung, ABl vom 17. April 2020, C 126/12 ff. [2020/C 126/02], C 126/26).
3.2.2. Der Vollzug der Wegweisung lässt sich - nach der Praxis des Bundesgerichts - nur als innert absehbarer Frist möglich und damit durchführbar bezeichnen, wenn dem Haftrichter hinreichend konkrete Hinweise hierfür - insbesondere seitens des SEM - vorliegen; andernfalls fehlt es an der ernsthaften Aussicht auf den Vollzug der Wegweisung (vgl. die Urteil 2C_414/2020 vom 12. Juni 2020 E. 3.3.1, 2C_386/2020 vom 9. Juni 2020 E. 4. 4.2.2 und 2C_312/2020 vom 25. Mai 2020 E. 2.3.1). Zur Beurteilung ist auf den Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids abzustellen; die Absehbarkeit der Ausschaffung ist aus dieser Optik abzuschätzen (Urteile 2C_386/2020 vom 9. Juni 2020 E. 4.2.2 und 2C_442/2020 vom 24. Juni 2020 E. 5.3.1). Die bloss vage Möglichkeit, dass ein Vollzugshindernis potentiell in absehbarer Zeit entfallen könnte - wie dies etwa bei den Luftangriffen der NATO im ehemaligen Jugoslawien der Fall war -, genügt nicht, um die Ausschaffungshaft aufrechtzuerhalten (<ref-ruling> E. 3b/bb S. 223 f.; Urteil 2C_386/2020 vom 9. Juni 2020 E. 4.2.4).
3.3. Die Ausführungen des Beschwerdeführers zur Absehbarkeit des Vollzugs seiner Wegweisung überzeugen nicht:
3.3.1. Seine Identität ist erstellt; die Rückkehr nach Tunesien scheiterte bisher einzig an seinem unkooperativen Verhalten. Die coronabedingten Einschränkungen wurden zum hier massgeblichen Zeitpunkt (vgl. E. 3.2.2) gelockert, nachdem die "Tunisair" wegen der behördlichen Massnahmen im Hinblick auf die COVID-Pandemie im März 2020 noch den Flugbetrieb weitgehend eingestellt hatte. Inzwischen war gemäss des Amtsberichts des Staatssekretariats für Migration die Wiederaufnahme der Flugtätigkeit ab dem 27. Juni 2020 vorgesehen. Unter diesen Umständen teilt das Bundesgericht die Annahme des Staatssekretariats, dass aufgrund der derzeitigen Entwicklungen und insbesondere der Lockerung der behördlichen Pandemie-Massnahmen davon ausgegangen werden konnte, dass nebst Linienflügen in absehbarer Zeit auch Sonderflüge nach Tunesien wieder möglich sein würden, falls sich der Beschwerdeführer weiter weigern sollte, in seine Heimat zurückzukehren.
3.3.2. Die Schweiz hat bis anhin regelmässig Sonderflüge organisiert; diese können gemäss Amtsbericht in der Regel innerhalb von rund drei Wochen geplant werden. Das Migrationsamt des Kantons Thurgau hält in seiner Stellungnahme vom 24. Juni 2020 fest, dass gemäss aktuellem Stand der Übersicht über Flugverfügbarkeiten des Staatssekretariats für Migration vom 23. Juni 2020 unbegleitete Linienflüge (DEPU) mit "Tunisair" ab dem 27. Juni 2020 möglich sein sollten. Eine Anmeldung bei swissRepat sei bereits erfolgt; es fehle noch deren formelle Flugbestätigung.
3.4.
3.4.1. Zwar kann sich die Situation rund um die COVID-19-Pandemie rasch ändern. Zum Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids hatte die Ausschaffung des Beschwerdeführers aber als in einem vernünftigen Zeitraum möglich zu gelten. Nur falls keine oder bloss eine höchst unwahrscheinliche, rein theoretische Möglichkeit besteht, die Wegweisung zu vollziehen, ist die Haft aufzuheben, nicht indessen bei einer ernsthaften, wenn auch allenfalls (noch) geringen Aussicht hierauf (<ref-ruling> E. 4.1.3 S. 61). Der Vollzug der Wegweisung des Beschwerdeführers kann gestützt auf die Akten nicht als rein theoretisch bezeichnet werden. Sollte sich die sanitäre Lage künftig erneut zuspitzen und eine Verbringung des Beschwerdeführers nach Tunesien nicht mehr innerhalb einer vernünftigen Frist (im Rahmen von Art. 79 Abs. 1 und 2 AIG) möglich sein, wird es an den kantonalen Behörden und insbesondere dem Migrationsamt liegen, die Situation mit dem Staatssekretariat für Migration neu zu beurteilen und die sich dannzumal gebietenden Konsequenzen zu ziehen.
3.4.2. Die deutsche Botschaft in Tunis bestätigt die Angaben des Staatssekretariats für Migration in seinem Amtsbericht: Der internationale Flugverkehr und der grenzüberschreitende Verkehr zu See und zu Lande waren ab dem 27. Juni 2020 wieder möglich. Reisende aus der Schweiz stehen auf der "grünen" Liste; sie unterstehen grundsätzlich weder einer Quarantänepflicht noch einer Pflicht zur Vorlage eines negativen PCR-Tests; es sind einzig die allgemeinen Hygienevorschriften einzuhalten ( https://tunis.diplo.de/tn-de/-/2318254 [letztmals besucht am 2. Juli 2020]). Die Welle der Corona-Epidemie hat Tunesien einige Wochen nach Europa erfasst; die Anzahl infizierter Personen bzw. die Anzahl Todesfälle nahm zum hier massgeblichen Zeitpunkt tendenziell ab; die Neuinfizierungen betrugen unter 20 Personen ( https://www.worldometers.info/coronavirus/country/tunisia/ [letztmals besucht am 2. Juli 2020]).
3.5. Es liegen im vorliegenden Fall somit hinreichend konkretisierte Hinweise seitens des Staatssekretariats für Migration vor, um davon ausgehen zu können, dass der Vollzug der Wegweisung derzeit in einer den Umständen angemessenen Frist möglich sein wird.
4.
Entgegen dem Einwand des Beschwerdeführers verletzt der Umstand, dass es in gewissen Kantonen oder in einzelnen Fällen zu Haftentlassungen gekommen ist, weder das Rechtsgleichheitsgebot (<ref-law>) noch das Willkürverbot (<ref-law>) : Das Bundesgericht geht in seiner Praxis davon aus, dass die Corona-Epidemie kein Grund für eine allgemeine Entlassung von administrativ festgehaltenen ausländischen Personen bildet; es ist vielmehr jeweils aufgrund der konkreten Umstände in jedem Einzelfall zu prüfen, ob die Haftvoraussetzungen erfüllt sind. Kein Kanton ist grundsätzlich verpflichtet, weggewiesene Ausländer in Ausschaffungshaft zu nehmen ("Kann"-Bestimmung), weshalb es ihnen freisteht, die Situation aufgrund der gesamten Umstände im Einzelfall allenfalls anders einzuschätzen als dies die kantonalen Behörden hier getan haben.
5.
Entgegen der Kritik des Beschwerdeführers ist auch das Beschleunigungsgebot nicht verletzt worden:
5.1. Dieses verlangt, dass der Vollzug der Wegweisung mit dem nötigen Nachdruck verfolgt wird. Die für den Wegweisungsvollzug notwendigen Vorkehrungen sind umgehend zu treffen. Das Beschleunigungsgebot gilt als missachtet, wenn während mehr als zwei Monaten keinerlei sachgerechte Vorkehren im Hinblick auf den Vollzug der Wegweisung getroffen werden, ohne dass die Verzögerung in erster Linie auf das Verhalten ausländischer Behörden oder des Betroffenen selber zurückzuführen ist (<ref-ruling> E. 2.1 S. 211).
5.2. Im vorliegenden Fall haben das kantonale Migrationsamt und das Staatssekretariat für Migration versucht, die Rückführung auch gegen den Willen des Beschwerdeführers zu organisieren, was sich aus der entsprechenden Übersicht im Amtsbericht des Staatssekretariats für Migration ergibt. Dass aufgrund der COVID-19-Pandemie die Zusammenarbeit mit den tunesischen Behörden vorübergehend eingestellt werden musste, ist bei der Anwendung des Beschleunigungsgebots mitzuberücksichtigen; damit verbundene Verzögerungen können grundsätzlich nicht den schweizerischen Behörden angelastet werden (vgl. das Urteil 2C_368/2020 vom 4. Juni 2020 E. 4), sofern trotz der damit verbundenen Schwierigkeiten die Ausschaffung beförderlich vorangetrieben wird.
6.
Zu prüfen bleibt der Einwand, dass die Haftbedingungen im Rahmen der Corona-Pandemie nicht den gesetzlichen Vorgaben genügt hätten. Auch diese Kritik ist unberechtigt: Das Haftregime wurde zwar aufgrund der "ausserordentlichen Lage" im Zusammenhang mit dem Coronavirus verschärft; die entsprechenden Massnahmen trafen indessen nicht nur inhaftierte Personen, sondern die ganz Bevölkerung. Mag das entsprechende Regime die Administrativhäftlinge zwar stärker betroffen haben als andere Bürger, so galt es doch (auch) zu ihrem Schutz. Inzwischen sind im Flughafengefängnis Zürich die Haftbedingungen wieder gelockert worden. Besuche sind schon seit dem 18. Mai 2020 wieder möglich; die Inhaftierten konnten während der ganzen Zeit auch (eingeschränkt) Sport betreiben. Eine aussergewöhnliche, sanitarisch bedingte Situation hat vorübergehend zu einer Verschärfung des Haftregimes geführt; dieses wurde in der Folge parallel zu den allgemeinen Lockerung der COVID-Massnahmen - soweit wie möglich - wieder normalisiert.
7.
7.1. Die Beschwerde ist unbegründet und deshalb abzuweisen. Es besteht keine Veranlassung, die Sache im Sinne des Eventualantrags zu ergänzenden Abklärungen und neuem Entscheid an die Vorinstanz oder an das Migrationsamt des Kantons Thurgau zurückzuweisen (vgl. <ref-law>).
7.2.
7.2.1. Für diesen Fall ersucht der bedürftige Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Dem Gesuch kann entsprochen werden, nachdem seine Beschwerde nicht zum Vornherein als aussichtslos gelten konnte (<ref-law>).
7.2.2. Die Rechtsvertreterin hat eine Honorarnote über Fr. 3'408.80 eingereicht; diese ist überhöht: Rechtsanwältin Lea Hungerbühler hat beim Bundesgericht mehrere, inhaltlich praktisch identische Beschwerden bezüglich der Auswirkung der Corona-Pandemie auf die Administrativhaft eingereicht; ihr Aufwand war im Hinblick auf die jeweils analogen Ausführungen vorliegend beschränkt. Es rechtfertigt sich, sie aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'800.-- zu entschädigen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen:
2.1. Es werden keine Kosten erhoben.
2.2. Dem Beschwerdeführer wird Rechtsanwältin Lea Hungerbühler, Zürich, als unentgeltliche Rechtsbeiständin beigegeben. Dieser wird eine Entschädigung von Fr. 1'800.-- aus der Bundesgerichtskasse zugesprochen.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Zwangsmassnahmengericht des Kantons Thurgau, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Juli 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar