Sachverhalt:
A.
Der 1962 geborene A._ trat am 16. März 2020 eine Arbeitsstelle als Produktionsmitarbeiter Level 2 im Werk U._ der Schweizerischen Bundesbahnen (SBB) an und war dort in der Folge mit der Demontage und Kontrolle von Stossdämpfern betraut. Sein unbefristeter Arbeitsvertrag vom 16. März 2020 sah eine Probezeit von drei Monaten vor. Am 5. Juni 2020 teilte die SBB A._ ihre Absicht mit, das Arbeitsverhältnis wegen Mängeln in der Arbeitsleistung auf den 22. Juni 2020 aufzulösen, nachdem sein Vorgesetzter bereits am 25. Mai 2020 ein Gespräch mit ihm hierüber geführt hatte. A._ äusserte sich am 10. Juni 2020 zur in Aussicht gestellten Kündigung. Mit Verfügung vom 12. Juni 2020 beendete die SBB das Arbeitsverhältnis auf den 22. Juni 2020. Die Verfügung versandte sie mit eingeschriebener Post am 13. Juni 2020 (Postquittung) an A._ und an seinen Rechtsvertreter. Beide nahmen die eingeschriebenen Dokumente nicht in Empfang und holten sie in der Folge auch nicht bei der Post ab. A._ war vom 15. bis 19. Juni 2020 krank geschrieben. Am 22. Juni 2020 nahm er seine Arbeit wieder auf. Die SBB händigte ihm gleichentags eine auf 22. Juni 2020 datierte Kündigungsverfügung aus, worin sie festhielt, das Arbeitsverhältnis auf den 29. Juni 2020 zu beenden.
B.
Das Bundesverwaltungsgericht wies die dagegen geführte Beschwerde mit Urteil vom 16. März 2021 ab.
C.
A._ lässt dagegen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils seien die SBB zu verpflichten, ihm eine Entschädigung von nicht unter acht Monatslöhnen netto (Fr. 6166.65 x 8) wegen fehlender sachlich hinreichender Gründe für die Kündigung sowie Fortzahlung des Lohnes in der Höhe von drei Monatslöhnen netto (Fr. 6166.65 x 3) bis zum Ablauf der ordentlichen Kündigungsfrist Ende September 2020 zuzusprechen. Eventualiter seien ihm eine angemessene Entschädigung sowie Lohn für die Kündigungsfrist vom 30. Juni bis 30. September 2020 zuzusprechen. Subeventualiter sei die Sache zur Bezifferung der Entschädigungshöhe und des Lohnfortzahlungsanspruchs an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diesfalls sei auch eine Weiterbeschäftigung zu prüfen.
Die SBB schliessen auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Bundesverwaltungsgerichts betrifft ein öffentlich-rechtliches Arbeitsverhältnis, d.h. eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit (<ref-law>). Aufgrund der geltend gemachten Lohn- und Entschädigungsansprüche handelt es sich um eine vermögensrechtliche Angelegenheit und es liegt kein Ausschlussgrund vor (<ref-law>). Die Lohn- und Entschädigungsforderungen übersteigen die Streitwertgrenze von Fr. 15'000.- (Art. 51 Abs. 1 lit. a, Art. 85 Abs. 1 lit. b BGG). Die Beschwerde ist somit grundsätzlich zulässig. Der Beschwerdeführer ist als Adressat des angefochtenen Urteils besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung (<ref-law>).
2.
2.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweis).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat; es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz auf entsprechende Rüge hin oder von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Offensichtlich unrichtig bedeutet dabei willkürlich (<ref-ruling> E. 1.2.2). Sachverhaltsrügen unterliegen deshalb dem qualifizierten Rügeprinzip (<ref-law>). Dazu genügt es nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten oder die eigene Beweiswürdigung zu erläutern (<ref-ruling> E. 5.1). Dass die von der Vorinstanz gezogenen Schlüsse nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmen, belegt keine Willkür. Auf ungenügend begründete Rügen oder bloss allgemein gehaltene appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid geht das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3 mit Hinweisen).
3.
3.1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie von einer innerhalb der Probezeit erfolgten, rechtmässigen Kündigung ausging.
3.2.
3.2.1. Auf das Personal der SBB finden gemäss Art. 15 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 20. März 1998 über die Schweizerischen Bundesbahnen (SBBG; SR 742.31) die Bestimmungen des Bundespersonalgesetzes vom 24. März 2000 (BPG; SR 172.220.1) Anwendung. Ergänzend ist der gestützt auf <ref-law> und Art. 38 Abs. 1 BPG erlassene Gesamtarbeitsvertrag 2019 der SBB (GAV) anwendbar. Finden sich weder in den genannten Vorschriften noch in diesem GAV Regelungen, so ist das Obligationenrecht (OR; SR 220) subsidiär anwendbar (Ziff. 1 Abs. 3 GAV).
3.2.2. Nach Ziff. 22 GAV gelten die ersten drei Monate des Arbeitsverhältnisses bei der Unternehmung als Probezeit (Abs. 1). Ausnahmsweise kann auf die Probezeit verzichtet werden (Abs. 2).
3.2.3. Gemäss <ref-law>, dessen Anwendbarkeit gestützt auf Ziff. 1 Abs. 3 GAV hier streitig ist, kann das Arbeitsverhältnis während der Probezeit jederzeit mit einer Kündigungsfrist von sieben Tagen gekündigt werden; als Probezeit gilt der erste Monat eines Arbeitsverhältnisses (Abs. 1). Durch schriftliche Abrede, Normalarbeitsvertrag oder Gesamtarbeitsvertrag können abweichende Vereinbarungen getroffen werden; die Probezeit darf jedoch auf höchstens drei Monate verlängert werden (Abs. 2). Bei einer effektiven Verkürzung der Probezeit infolge Krankheit, Unfall oder Erfüllung einer nicht freiwillig übernommenen gesetzlichen Pflicht erfolgt eine entsprechende Verlängerung der Probezeit (Abs. 3: "le temps d'essai est prolongé d'autant" bzw. "è prolungato di un periodo equivalente").
4.
4.1. In Würdigung der Umstände erkannte die Vorinstanz, es sei zu prüfen, wann die dreimonatige Probezeit gemäss Arbeitsvertrag und Ziff. 22 Abs. 1 GAV abgelaufen sei. Weder das BPG noch der GAV enthielten eine Regelung zur Berechnung und zur Verlängerung der Probezeitdauer bei Krankheit. Mit der Änderung des BPG vom 31. August 2011 sei die Absicht verbunden gewesen, die Bestimmungen zur Probezeit grundsätzlich denjenigen des Privatrechts anzugleichen (vgl. Botschaft des Bundesrates vom 31. August 2011 zu einer Änderung des Bundespersonalgesetzes, BBl 2011 6712, 6715). Die betreffenden Ausführungsbestimmungen gemäss Art. 27 und Art. 30a der Bundespersonalverordnung (PBV; SR 172.220.111.3) seien jedoch für das SBB-Personal nicht einschlägig. Nach Ziff. 1 Abs. 3 des stattdessen anwendbaren GAV gelangten daher die Bestimmungen des OR, hier dessen Art. 335b Abs. 1 und 3, subsidiär zur Anwendung. Die Probezeit beginne grundsätzlich am Tag des Stellenantritts. Bei einem Abschluss des Arbeitsvertrags am Tag des Stellenantritts sei dieser Tag nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 4) für die Ermittlung der Dauer der Probezeit nicht mitzuzählen. Der Beschwerdeführer habe den Arbeitsvertrag am Tag seines Stellenantritts am 16. März 2020 unterzeichnet. Dieser Tag zähle daher nicht mit, weshalb die Probezeit grundsätzlich am 16. Juni 2020 abgelaufen sei (<ref-law>). Nachdem der Beschwerdeführer jedoch vom 15. bis 19. Juni 2020 krank gewesen und erst am Montag (22. Juni 2020) wieder zur Arbeit erschienen sei, verlängerte das Bundesverwaltungsgericht die Probezeit um die Anzahl ganzer Krankheitstage innerhalb derselben (15. und 16. Juni 2020). Zudem hielt es dafür, dass sich die Probezeit auch um jene Anzahl ganzer Krankheitstage (17., 18. und 19. Juni 2020) erstrecke, die in die wegen Krankheit verlängerte Probezeit fielen (<ref-law>). Da die Verlängerung nur um die Anzahl Tage mit effektivem Arbeitsausfall erfolge und ohnehin arbeitsfreie Tage unbeachtet blieben, seien hier der 21. und 22. Juni 2020 (Samstag und Sonntag) nicht mitzuzählen, sodass die Probezeit am 23. Juni 2020 geendet habe. Der Beschwerdeführer habe somit die am 22. Juni 2020 persönlich entgegengenommene Kündigung innerhalb der Probezeit erhalten. Die siebentägige Kündigungsfrist sei am 29. Juni 2020 abgelaufen.
4.2. Die Vorinstanz verneinte weiter, dass es sich um eine Vereitelungskündigung im Sinne von <ref-law> gehandelt habe. Es lasse sich keine Rechtsmissbräuchlichkeit darin erkennen, dass das Arbeitsverhältnis kurz vor Ablauf der Probezeit beendet worden und dem Beschwerdeführer nur mehr eine Zeit von knapp zwei Wochen zur Verbesserung seiner mangelhaften Leistung geblieben sei. Bei den anlässlich des Gesprächs am 25. Mai 2020 festgehaltenen Punkten habe es sich um relativ einfache sowie leicht und zeitnah überprüfbare Vorkehren gehandelt (Meldungen zu Taktzeiten, Notizen machen, Fehlermeldungen vornehmen). Diese habe er in der Folge ungenügend umgesetzt und einen aus Sicherheitsgründen als gewichtig eingestuften Fehler erneut begangen, indem er wiederum Kratzer an einer Kolbenstange übersehen habe.
Die Kündigung sei auch nicht rechtsmissbräuchlich, weil die Beschwerdegegnerin in Verletzung ihrer Fürsorgepflicht zu wenig unternommen habe, um einen vom Beschwerdeführer angezeigten Mitarbeiterkonflikt zu entschärfen. Die Beschwerdegegnerin habe die Kündigung auf ihre während der Probezeit gewonnenen Eindrücke und die vom Beschwerdeführer abgelieferten Arbeitsergebnisse gestützt und nicht wegen des Mitarbeiterkonflikts ausgesprochen. Nachdem die Vertragsparteien das gesamte Arbeitsverhältnis vollkommen unterschiedlich wahrnehmen und die Verhältnisse grundlegend anders einschätzen würden, so die Vorinstanz weiter, erscheine es kaum möglich, dass ein Vertrauensverhältnis hätte aufgebaut und eine reibungslose Zusammenarbeit hätte realisiert werden können. Bei somit rechtmässiger und innerhalb der Probezeit erfolgter Kündigung verneinte die Vorinstanz Lohn- und Entschädigungsansprüche des Beschwerdeführers aus dem beendeten Arbeitsverhältnis.
5.
5.1.
5.1.1. Der Beschwerdeführer rügt zunächst eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) im Zusammenhang mit der Frage, ob hinreichend sachliche Gründe für die Kündigung während der Probezeit vorliegen würden. Die Vorinstanz habe sich mit seinen Einwänden hierzu nicht auseinandergesetzt. Namentlich habe er dargelegt, dass ihm zu Beginn kein iPad ausgehändigt worden sei und dass es nach Erhalt nicht richtig funktioniert habe. Überdies sei er ungenügend instruiert worden. Die Kündigung allein mit einer fehlenden Übereinstimmung der Sichtweisen unabhängig von ihrer objektiven Nachvollziehbarkeit zu begründen, wie dies die Vorinstanz getan habe, verletze ebenso <ref-law>.
5.1.2. Die aus dem verfassungsmässigen Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) fliessende Verpflichtung zur Begründung verlangt nicht, dass sich die Behörde mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr liegt keine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör resp. der Begründungspflicht vor, wenn eine sachgerechte Anfechtung des vorinstanzlichen Entscheids möglich war (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2 mit Hinweisen; Urteil 9C_255/2020 vom 13. August 2020 E. 3.1). Dies trifft hier zu.
Anzumerken ist, dass die Vorinstanz durchaus die Problematik mit dem iPad in ihre Erwägungen aufnahm. So hielt sie fest, es seien dem Beschwerdeführer diesbezüglich keine Vorwürfe gemacht worden; der Gruppenleiter (als "superuser") habe ihn bei der Behebung der Probleme unterstützt. Dass diese Feststellungen und der damit einhergehende Verzicht auf weitere Sachverhaltsabklärungen im Sinne antizipierter Beweiswürdigung willkürlich sein sollen (vgl. <ref-ruling> E. 6.5; <ref-ruling> E. 5.3), legt der Beschwerdeführer nicht dar. Im Übrigen begründete die Vorinstanz die Rechtmässigkeit der Kündigung nicht bloss mit der Feststellung einer nicht übereinstimmenden Sichtweise der Dinge. Wie erwähnt (E. 4.2), waren gemäss angefochtenem Urteil vielmehr die mangelhafte Leistung sowie das Verhalten des Beschwerdeführers ausschlaggebend für die Kündigung. Dass die Parteien gemäss vorinstanzlicher Feststellung den gesamten Verlauf des Arbeitsverhältnisses vollkommen unterschiedlich wahrnahmen und die Verhältnisse grundlegend anders einschätzten (einschliesslich der Schwere der Fehler oder der Frage, welches Arbeitsumfeld und welche Instruktionshilfen dem Beschwerdeführer zu gewähren seien), wertete die Vorinstanz einzig als schwierige Umstände für den Aufbau eines Vertrauensverhältnisses und einer reibungslosen Zusammenarbeit. Dies verletzt kein Bundesrecht, insbesondere auch nicht den Gehörsanspruch des Beschwerdeführers.
5.2.
5.2.1. Weiter wendet sich der Beschwerdeführer gegen die Auslegung von Ziff. 22 GAV im angefochtenen Urteil. Die dreimonatige Probezeit nach Ziff. 22 Abs. 1 GAV sei bei der Aushändigung der Kündigung am 22. Juni 2020 bereits abgelaufen gewesen. Zwar komme das OR subsidiär zum Tragen, jedoch nur, wenn eine Regelung im GAV fehle (Ziff. 1 Abs. 3 GAV). Der GAV sei bezüglich der Probezeit ein in sich geschlossenes Konstrukt; wo nötig, enthalte dieser explizite Hinweise. Ziff. 22 GAV sei weder ein expliziter noch impliziter Hinweis auf eine Verlängerung der Probezeit zu entnehmen. Angesichts dieses klaren Wortlauts brauche es triftige Gründe, um die Probezeit nach <ref-law> zu verlängern. Der fehlende Verweis auf <ref-law> bzw. die unterlassene Regelung einer Verlängerung der Probezeit im GAV sei als Verzicht auf eine Verlängerung zu werten.
5.2.2. Die Parteien sind sich einig, dass die Kündigung dem Beschwerdeführer am 22. Juni 2020 ausgehändigt wurde. Es erübrigen sich somit Ausführungen zur Zustellung der eingeschrieben am 13. Juni 2020 versandten, nicht abgeholten Kündigungsverfügung, insbesondere zur sog. Zustellungsfiktion (vgl. <ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 3.). Ob ihm die Kündigung zusätzlich mittels fiktiver Zustellung eröffnet worden ist - gemäss vorinstanzlicher Berechnung ebenfalls am 22. Juni 2020 oder am 23. Juni 2020, wie der Beschwerdeführer anhaltend behauptet, aber erst letztinstanzlich durch die eingereichte Sendungsverfolgung zu belegen sucht -, bleibt daher ohne Belang. Es braucht somit auch nicht geklärt zu werden, wie es sich mit diesem neu eingereichten Aktenstück unter novenrechtlichen Gesichtspunkten verhält (vgl. <ref-law>).
5.2.3.
5.2.3.1. Zu beurteilen bleibt die Frage der Probezeitverlängerung wegen Krankheit. Was den Beginn der Probezeit betrifft, vermag der Beschwerdeführer nicht darzulegen, weshalb die von der Vorinstanz vorgenommene Berechnungsweise in Anwendung von <ref-law> i.V.m. <ref-law> gemäss <ref-ruling> E. 4 nicht zum Zuge gelangen oder Bundesrecht verletzen sollte. Nachdem weder das SBBG noch das BPG oder der GAV (vgl. Ziff. 22 GAV) eine Regelung hinsichtlich des Beginns der dreimonatigen Probezeit enthalten, kommt nach Ziff. 1 Abs. 3 GAV das OR subsidiär zur Anwendung. Demnach lassen sich der vorinstanzlich festgestellte Beginn der Probezeit am 16. März 2020 und damit auch ihres grundsätzlichen Endes nach Ablauf von drei Monaten am 16. Juni 2020 nicht beanstanden. Namentlich vermag nicht einzuleuchten, weshalb die Probezeit - ungeachtet der im Zeitpunkt des Stellenantritts (16. März 2020) auch nach Darstellung des Beschwerdeführers noch offenen Vertragspunkte - bereits am 15. März 2020 begonnen haben sollte.
5.2.3.2. Was sodann die im kantonalen Urteil ermittelte krankheitsbedingte Verlängerung der Probezeit angeht, verfängt zunächst insbesondere der Einwand des Beschwerdeführers nicht, wonach der klare Wortlaut von Ziff. 22 GAV gegen eine solche Verlängerung gemäss <ref-law> spreche. Es trifft zu, dass Ziff. 22 GAV lediglich die grundsätzliche Dauer der Probezeit bestimmt, aber keine Ausführungen zu einer allfälligen Verlängerung derselben enthält (vorstehende E. 3.2.2). Damit wird die Verlängerung der Probezeit grammatikalisch von der Bestimmung gerade nicht erfasst. Inwiefern damit die vorinstanzliche Rechtsanwendung dem klaren Wortlaut von Ziff. 22 GAV entgegenstehen soll, ist nicht ersichtlich. Insbesondere vermag der Beschwerdeführer auch nicht aufzuzeigen, dass der darin fehlende Hinweis auf eine Verlängerung als qualifiziertes Schweigen und Ziff. 22 GAV in dieser Hinsicht als abschliessende Regel zu verstehen wären. Die Vorinstanz verletzte mithin kein Bundesrecht, wenn sie die Rechtsfrage der Probezeitverlängerung ebenfalls gestützt auf Ziff. 1 Abs. 3 GAV folglich nach den Bestimmungen des OR, insbesondere nach <ref-law>, beantwortete.
An diesem Ergebnis nichts zu ändern vermag der Beschwerdeführer mit dem Hinweis auf Ziff. 129 GAV, der sich mit dem Kündigungsschutz nach Ablauf der dreimonatigen Probezeit befasst und bestimmt, dass die SBB das Arbeitsverhältnis aus gesundheitlichen Gründen frühestens auf das Ende des Anspruchs auf Lohnfortzahlung auflösen dürfen. Zutreffend ist zwar sein hieraus gezogener Schluss, dass ein zeitlicher Kündigungsschutz während der Probezeit nicht besteht. Damit ist aber nichts gesagt über die Dauer der Probezeit (und deren Verlängerung bei Krankheit), zumal auch gemäss OR die Sperrfristen bei Krankheit und Unfall erst nach Ablauf der Probezeit greifen (<ref-law>). Nicht anders verhält es sich mit den in der Beschwerde angerufenen Ziff. 170 Abs. 4, 174 und 175 GAV. Aus Ziff. 170 Abs. 4 GAV, der sich mit der nach Ablauf der Probezeit bei einer ordentlichen Kündigung erforderlichen Kündigungsandrohung befasst, ergibt sich einzig, dass es einer solchen bei einer Kündigung während der Probezeit nicht bedarf. Diese Regelung beschlägt die zu beurteilende Frage nicht. Ziff. 174 GAV regelt die Kündigungsfristen während und nach Ablauf der Probezeit, Ziff. 175 GAV die Verlängerung der Kündigungsfristen. Hieraus lässt sich ebenfalls nichts ableiten zur Frage einer Verlängerung der Probezeit bei Krankheit. Dass der GAV zumindest im Bereich der Probezeit ein in sich geschlossenes Konstrukt an Regelungen sein soll und dabei auch die nötigen Verweise auf das OR explizit und abschliessend regle, ist nicht ersichtlich. Ebenfalls nicht schlüssig ist ferner, weshalb Ziff. 22 Abs. 2 GAV, der den ausnahmsweisen Verzicht auf eine Probezeit zulässt (vorstehende E. 3.2.2), kategorisch eine Verlängerung der (grundsätzlich dreimonatigen) Probezeit ausschliessen soll, wie der Beschwerdeführer weiter einwendet.
5.2.4. Nach dem Erwogenen verlängerte sich die Probezeit im vorliegenden Fall um die Krankheitstage. In dieser Hinsicht stellte das Bundesverwaltungsgericht verbindlich und im Übrigen auch unbestritten fest, dass der Beschwerdeführer vom 15. bis 19. Juni 2020, mithin an fünf Arbeitstagen (Montag bis Freitag) krank war. Die Vorinstanz zog dabei, wie bereits gezeigt (vgl. E. 4.1), nicht nur den 15. und 16. Juni, sondern darüber hinaus auch die Tage vom 17. bis 19. Juni 2020 in die Berechnung der Verlängerung mit ein. Weiter erwog sie unter Hinweis auf den Zweck der Probezeit, dass die dafür zur Verfügung stehende Zeit im Falle eines der in <ref-law> genannten Gründe nicht "effektiv verkürzt" werden dürfe. Daher sei nur die tatsächliche Arbeitszeit als Probezeit anrechenbar. Diese verlängere sich deshalb um diejenige Anzahl ganzer Arbeitstage, um die sie wegen des effektiven Arbeitsausfalls verkürzt werde. Ohnehin arbeitsfreie Arbeitstage - so die Vorinstanz weiter unter Hinweis auf das Schrifttum - führten nicht zu einer Verlängerung (REHBINDER/STÖCKLI, in: Berner Kommentar, 2. Aufl., 2014, N. 5 zu <ref-law>; STREIFF/ VON KAENEL/RUDOLPH, Arbeitsvertrag, 7. Aufl., 2012, N. 13 zu <ref-law>; ANUSANAN SAMBASIVAM, Probezeit im schweizerischen Arbeitsrecht, 2018, S. 28). Gemäss <ref-law> seien somit die Krankheitstage während der vereinbarten Probezeit (15. und 16. Juni 2020) als tatsächliche Arbeitstage in die Berechnung der Verlängerung einzubeziehen bzw. "abzuarbeiten" (vgl. Urteil A-4284 des Bundesverwaltungsgerichts vom 4. November 2007 E. 5.3 f.). Andernfalls bliebe die Probezeit effektiv verkürzt und nicht "entsprechend" verlängert. Daraus folge, dass die für den Beschwerdeführer arbeitsfreien Tage des 20. und 21. Juni 2020 (Samstag und Sonntag) bei der Verlängerung der Probezeit nicht mitzuzählen seien, sodass diese somit nicht an einem dieser Tage, sondern erst in der folgenden Arbeitswoche am 23. Juni 2020 (Dienstag) geendet habe.
5.2.5. Der Beschwerdeführer beanstandet diese Sichtweise als bundesrechtswidrig. Soweit laut Vorinstanz die ohnehin arbeitsfreien Tage hinsichtlich Verlängerung der Probezeit ausser Acht zu lassen seien, beziehe sich diese in der Rechtsliteratur zu findende Wendung auf die Frage, welche Tage überhaupt eine Verlängerung auszulösen vermöchten. Dies treffe in seinem Fall auf die Arbeitstage des 15. und (sofern nach bestrittener vorinstanzlicher Auffassung noch zur Probezeit zählend) den 16. Juni 2020 zu. Bei ihm gehe es jedoch um etwas ganz Anderes, nämlich welche Tage für die Berechnung der zu verlängernden Probezeit überhaupt in Frage kämen. Wenn das Bundesverwaltungsgericht hier den Samstag und den Sonntag (20. und 21. Juni 2020) einfach unbeachtet lasse, da ansonsten die Probezeit effektiv verkürzt würde, verletze es Bundesrecht. Hier müsse auch berücksichtigt werden, dass die Probezeit für einen Arbeitnehmer mit einschneidenden Nachteilen verbunden sei. Genau dem trage die in der Lehre anzutreffende Aussage zu Gunsten des Arbeitnehmers Rechnung, indem arbeitsfreie Tage nicht zur Verlängerung der Probezeit führten. Demgegenüber ergebe sich im vorliegenden Fall eine zusätzliche Verlängerung der Probezeit, wenn bei der Berechnung des Fristendes nur auf Arbeitstage abgestellt werde. Richtig sei vielmehr, die Anzahl verlängerter Probezeittage nach Kalendertagen zu bestimmen. Selbst wenn mit der Vorinstanz der Tag des Arbeitsbeginns vom 16. März 2020 nicht mitgezählt würde, ergäbe dies, dass die Probezeit am 21. Juni 2020 (Sonntag) abgelaufen gewesen wäre. Dies finde sich, entgegen der Vorinstanz, auch in <ref-ruling> bestätigt.
5.2.6. Dem Beschwerdeführer ist insofern beizupflichten, als der vorinstanzliche Bezug auf die im Schrifttum geäusserte Auffassung, arbeitsfreie Tage bei der Berechnung der Verlängerung unbeachtet zu lassen, nicht auf die hier gegebene Konstellation abzielt (vgl. nebst den unter E. 5.2.4 bereits zitierten auch Adrian Staehelin, Zürcher Kommentar, 3. Aufl., 1996, N. 6 zu Art. 335b; Jürg Brühwiler, Einzelarbeitsvertrag, Kommentar zu den Art. 319-343 OR, 3. Aufl., 2014, N. 7 zu Art. 335b; ETTER/STUCKY in: Etter/Facincani/Sutter (Hrsg.), Arbeitsvertrag, 2021, N. 6f. zu <ref-law>). Sie bezieht sich vielmehr auf diejenige, in der sich die in <ref-law> umschriebenen Tatbestände (Krankheit, Unfall, Erfüllung einer nicht freiwillig übernommenen gesetzlichen Pflicht) an arbeitsfreien Tagen innerhalb der Probezeit verwirklichen. Dies wäre hier bspw. bei einer Erkrankung des Beschwerdeführers bereits am 14. Juni 2020 (Sonntag) der Fall gewesen. Nicht dieser (ohnehin arbeitsfreie) Krankheitstag, sondern die krankheitsbedingt weggefallenen Arbeitstage wären diesfalls in die Berechnung der Verlängerung einzubeziehen (vgl. illustrativ: Ronald Pedergnana, Überblick über die neuen Kündigungsbestimmungen im Arbeitsvertragsrecht, in: recht 1989 Heft 2 S. 36, insbesondere auch Fn. 29, mit weiteren Hinweisen). Dies entspricht nicht nur dem bereits angesprochenen Zweck, sondern auch dem Wortlaut von <ref-law> (vgl. E. 3.2.3 hiervor), wobei die verschiedenen Sprachfassungen des Gesetzes trotz des etwas anders formulierten französischen Texts wenigstens im Gehalt übereinstimmen. Die Verlängerung berechnet sich somit nicht einfach nach Kalendertagen, sondern nach der Anzahl eigentlicher ganzer Arbeitstage, an denen der oder die Arbeitnehmende ("effektiv") an einer Arbeitsleistung verhindert war. Dabei greift sie auch bei kurzen Absenzen (vgl. REHBINDER/STÖCKLI, a.a.O., N. 5 zu <ref-law>; STREIFF/VON KAENEL/RUDOLPH, a.a.O., N. 13 zu <ref-law>; PORTMANN/RUDOLPH, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht I, 7. Aufl., 2019, N. 8 zu <ref-law>; ANUSANAN SAMBASIVAM, a.a.O., S. 28).
5.2.7. Damit ist noch nicht gesagt, dass die Vorinstanz auch im Ergebnis Bundesrecht verletzte, indem sie erkannte, dass die krankheitsbedingt versäumten Arbeitstage innerhalb der Probezeit (15. und 16. Juni 2020) "effektiv abzuarbeiten" gewesen wären. Dazu sah sich der Beschwerdeführer - nachdem er bis und mit 19. Juni 2020 (Freitag) krank gewesen und am 20. und 21. Juni 2020 (Samstag und Sonntag) arbeitsfrei war - erst am 22. und 23. Juni 2020 (Montag und Dienstag der Folgewoche) in der Lage. Soweit das Bundesverwaltungsgericht dies als ausschlaggebend erachtete, vermag dies mit Blick auf den Gesetzeszweck ("ratio legis") jedoch zu überzeugen (vgl. zur Auslegungsmethodik: <ref-ruling> E. 4.5.1, 95 E. 4.3.1 und 51 E. 8.1; je mit Hinweisen). Die Probezeit soll es den Parteien ermöglichen, einander kennenzulernen und ein Vertrauensverhältnis aufzubauen bzw. abzuschätzen, ob sie die gegenseitigen Erwartungen erfüllen, sodass sie über die in Aussicht genommene langfristige Bindung in Kenntnis der konkreten Umstände befinden können (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.2 und vor allem <ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 7.1.1 mit Hinweisen; ETTER/STUCKY, A.A.O., N. 6 f. zu <ref-law>; Wyler/Heinzer, Droit du travail, 4. Aufl., 2019, S. 634; Boris Heinzer, in: Commentaire du contrat de travail [Hrsg. Dunand/Mahon), Bern 2013, N. 11 zu <ref-law>). Rechtsprechungsgemäss kommt es dabei zwar grundsätzlich nicht auf die tatsächlich geleistete Arbeit an, sondern auf die Dauer des Arbeitsverhältnisses (<ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweis). Soweit jedoch <ref-law> bei einer effektiven Verkürzung infolge Krankheit, Unfall oder Erfüllung einer gesetzlichen Pflicht immerhin eine entsprechende Verlängerung der Probezeit vorsieht, liegt es aus Sicht des geschilderten Gesetzeszwecks her näher, wenn die Verlängerung auf tatsächliche Arbeitstage umgelegt, mithin real "abgearbeitet" wird. Anders gewendet liefe es Sinn und Zweck der hievor erkannten Verlängerung um die effektiv verpassten Arbeitstage zuwider, wenn die Probezeit im Fall des Beschwerdeführers nach seinen krankheitshalber verpassten Arbeitstagen vom 15. und 16. Juni 2020 und der bis 19. Juni 2020 anhaltenden Krankheitsabsenz bereits am Sonntag (21. Juni 2020) enden würde. Dies mag sich im vorliegenden Fall nachteilig für den Beschwerdeführer auswirken, was allerdings in grundsätzlicher Hinsicht nichts daran ändert, dass die Probezeit und deren reale Erfüllung dem Interesse beider Vertragsparteien dient. Auch dem Arbeitnehmenden liegt daran, Klarheit über die konkreten Umstände zu erlangen, die es zur Eingehung einer langfristigen vertraglichen Bindung braucht. Ein rechtsmissbräuchliches Verhalten (<ref-law> und <ref-law>) der Beschwerdegegnerin durch die Annahme einer Probezeitverlängerung bis 22. Juni 2020 liegt demnach, entgegen dem Einwand des Beschwerdeführers, nicht vor. Daran ändert nichts, dass er an diesem Tag nur noch für wenige Arbeiten eingesetzt wurde, wie er behauptet.
5.2.8. Wie die Vorinstanz richtig erkannte, steht diesem Ergebnis auch <ref-ruling> E. 4.4.3 nicht entgegen. Das Bundesgericht erwog darin, dass die Probezeit im betreffenden Fall in Anwendung von <ref-law> grundsätzlich am 15. August 2015 (Samstag) geendet hätte, wobei sie sich zufolge eines Krankheitstages um einen Tag verlängerte. Da die Kündigung dem betroffenen Arbeitnehmer am 16. August 2015 (Sonntag) bereits zugegangen war, musste nicht weiter nach dem rechtlich massgebenden Ende der Probezeit gefragt werden.
5.2.9. Da nach dem Gesagten die Probezeit im vorliegenden Fall mit der Vorinstanz erst am 23. Juni 2020 endete und die Kündigung dem Beschwerdeführer am 22. Juni 2020 noch vor deren Ende eröffnet wurde, braucht auch nicht weiter geprüft zu werden, ob bei einem Ablauf bereits am 21. Juni 2020 (Sonntag), wie er beschwerdeweise verfochten wird, die für das Fristende geltende Sonderregel des <ref-law> zum Tragen käme (in diesem Sinne: ANUSANAN SAMBASIVAM, a.a.O., S. 18).
5.2.10. Bei diesem Ergebnis ist auf die weiteren Vorbringen in der Beschwerde, die sich auf eine Auflösung des Arbeitsverhältnisses nach Ablauf der Probezeit beziehen, nicht näher einzugehen.
5.3. Zusammenfassend vermag der Beschwerdeführer mit seinen Vorbringen keine Verletzung von Bundesrecht darzutun. Da sich derlei auch nicht ersehen lässt, hat es beim angefochtenen Urteil sein Bewenden.
6.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Die Zusprechung einer Parteientschädigung fällt ausser Betracht (<ref-law>; Urteil 8C_151/2010 vom 31. August 2010 E. 6.1 mit Hinweisen).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bundesverwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. März 2022
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Wirthlin
Die Gerichtsschreiberin: Polla