Erwägungen:
1.
Die A._ GmbH ersuchte das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Eingabe vom 28. Oktober 2019, ihr die "vollständige Liste (oder mindestens die Zahl) des laufenden Gerichtsverfahrens (...), in dem die Firma B._ KLG in Liquidation (...) die Partei ist", zuzustellen bzw. mitzuteilen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich wies das Gesuch um Akteneinsicht mit Verfügung der Abteilungspräsidentin der 4. Abteilung vom 27. November 2019 ab. In der Rechtsmittelbelehrung wurde die Gesuchstellerin auf die Möglichkeit eines Rekurses an die Verwaltungskommission des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich hingewiesen.
Mit Eingaben vom 27. und 28. November 2019 erhob die A._ GmbH bei der Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich Rekurs. Die Verwaltungskommission des Obergerichts orientierte die A._ GmbH mit Schreiben vom 28. November 2019, dass eine Zuständigkeit des Obergerichts nicht ersichtlich sei, und bat um Mitteilung, ob am Rekurs festgehalten werde. Die A._ GmbH ersuchte mit Schreiben vom 30. November 2019 die Verwaltungskommission, ihren Rekurs als Beschwerde im Sinne von Art. 43 Abs. 2 lit. a VRG entgegenzunehmen. Mit Beschluss vom 20. Dezember 2019 trat die Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich mangels Zuständigkeit des Obergerichts auf die Beschwerde nicht ein.
2.
Die A._ GmbH führt mit Eingabe vom 10. Februar 2020 Beschwerde beim Bundesgericht gegen den Beschluss der Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich vom 20. Dezember 2019. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt.
Anfechtungsobjekt ist vorliegend der Nichteintretensentscheid der Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich vom 20. Dezember 2019. Darin legte die Verwaltungskommission ausführlich dar, weshalb die Zuständigkeit des Obergerichts bzw. dessen Verwaltungskommission nicht gegeben sei, um auf das Rechtsmittel der Beschwerdeführerin einzutreten. Die Beschwerdeführerin setzt sich mit ihren nicht sachbezogenen Ausführungen überhaupt nicht mit der Begründung der Verwaltungskommission des Obergerichts auseinander, die zum Nichteintreten auf die Beschwerde führte. Sie vermag folglich nicht aufzuzeigen, inwiefern die Begründung der Verwaltungskommission des Obergerichts bzw. deren Beschluss selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Obergericht des Kantons Zürich, Verwaltungskommission, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Februar 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli