Sachverhalt:
A.
A._ bezog seit 1. August 2007 eine ganze Rente der Invalidenversicherung (Verfügung der IV-Stelle des Kantons Appenzell-Ausserrhoden vom 5. Dezember 2007, bestätigt mit Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Appenzell-Ausserrhoden vom 17. September 2008, und Mitteilung vom 13. Januar 2010). Ab 1. Januar 2011 wurde ihr zudem Hilflosenentschädigung für leichte Hilflosigkeit ausgerichtet (Verfügung der IV-Stelle des Kantons Appenzell-Ausserrhoden vom 22. März 2013). Nach einem Wohnsitzwechsel 2012 leitete die neu zuständige IV-Stelle des Kantons St. Gallen ein Revisionsverfahren ein. Im Rahmen ihrer Abklärungen liess sie A._ im Zeitraum vom 30. Juni bis 25. Juli 2014, 6. August bis 11. September 2014 sowie vom 9. Januar bis 13. April 2015 observieren und nach einem Standortgespräch am 24. Juni 2015 psychiatrisch untersuchen und begutachten (Expertise med. pract. Berger, Psychiatrie und Psychotherapie, vom 12. März 2016). Nach durchgeführten Vorbescheidverfahren verfügte die IV-Stelle am 22. Juni 2016 die Aufhebung der Rente und am 15. September 2016 die Einstellung der Hilflosenentschädigung. Mit Verfügung vom 31. August 2016 hatte sie zudem die Gesuche der Versicherten um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtsverbeiständung für die beiden Verwaltungsverfahren abgewiesen.
B.
A._ erhob gegen alle drei Verfügungen Beschwerde (Verfahren IV 2016/273, IV 2016/330 und IV 2016/342). Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen holte die Vernehmlassung der Gegenpartei ein, vereinigte die Verfahren und führte einen zweiten Schriftenwechsel durch. Mit Entscheid vom 29. Mai 2018 verpflichtete es die IV-Stelle, das rechtswidrig beschaffte Observationsmaterial und dessen Wiedergabe in anderen Unterlagen im Sinne der Erwägungen aus den Akten zu entfernen (Dispositiv-Ziffer 1). Im Weitern hiess es die Beschwerden in allen drei Verfahren gut und hob die betreffenden Verfügungen auf, wobei sie die unentgeltliche Rechtsverbeiständung für die Verwaltungsverfahren betreffend Rente und Hilflosenentschädigung ab Datum der Gesuchstellung bewilligte (Dispositiv-Ziffern 2-4).
C.
Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid des kantonalen Versicherungsgerichts vom 29. Mai 2018 sei in allen Punkten aufzuheben und die Verfügungen vom 22. Juni, 31. August und 15. September 2016 seien zu bestätigen. In verfahrensrechtlicher Hinsicht beantragt sie, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
A._ ersucht um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei, ebenso des Gesuchs um aufschiebende Wirkung des Rechtsmittels, unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem wegen Verletzung von Bundesrecht erhoben werden (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig (willkürlich; <ref-ruling> E. 4.4 S. 444) ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>; zur Rüge- und Begründungspflicht der Parteien: Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG sowie <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.6 S. 280; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
2.
Die Beschwerde führende IV-Stelle rügt in erster Linie, Dispositiv-Ziffer 1 des angefochtenen Entscheids, wonach das rechtswidrig beschaffte Observationsmaterial und dessen Wiedergabe in anderen Unterlagen im Sinne der Erwägungen aus den Akten zu entfernen sei, verletze Bundesrecht.
3.
Nach Auffassung des kantonalen Versicherungsgerichts war die Anordnung einer Observation unbegründet und unverhältnismässig. Es habe kein ausreichender Anfangsverdacht bestanden. Die Massnahme scheine die blosse Verdachtsgewinnung bezweckt zu haben. Darauf wiesen auch die Ausführungen von Dr. med. B._, Mitarbeiterin der IV-Stelle, in ihrer Medizinischen Stellungnahme vom 10. Juni 2014 hin. Zweifel an der Verhältnismässigkeit der Observation wecke deren Aussage, dass unabhängig davon eine psychiatrische Begutachtung dringendst indiziert sei. Im Übrigen seien die Aktivitäten wie selbständiges Einkaufen, Nach-Draussen-Gehen mit dem Hund oder der Gebrauch eines Fahrzeugs, welche Anlass zu Abklärungen geben konnten, aktenkundig gewesen. Eine Observation sei daher - sinngemäss - nicht erforderlich gewesen, da damit keine Informationen erhältlich gemacht werden konnten, welche nicht auch auf legalem Weg hätten beschafft werden können. Die Beschwerdeführerin sieht mit dieser Begründung Bundesrecht verletzt.
4.
4.1.
4.1.1. Die Observierung der Beschwerdegegnerin stellt einen dem Staat zuzurechnenden Eingriff in das Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens nach Art. 8 Abs. 1 EMRK und <ref-law> dar. Dafür fehlt es an einer genügenden gesetzlichen Grundlage. Nach der Rechtsprechung können die betreffenden Unterlagen aufgrund einer sorgfältigen Interessenabwägung jedoch verwertbar sein. Art. 6 Ziff. 1 EMRK steht dem nicht zwingend entgegen. Daraus ergibt sich nur, aber immerhin der Anspruch auf ein insgesamt faires Verfahren (Urteil 9C_221/2018 vom 16. Oktober 2018 E. 4.2 mit Hinweis auf <ref-ruling> und <ref-ruling>). Die Interessenabwägung hat namentlich unter dem Gesichtspunkt der Verhältnismässigkeit zu erfolgen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4 S. 330 und E. 5.4 S. 332). Die Observierung muss zur Erreichung des angestrebten Zieles (wirksame Bekämpfung von Missbräuchen) geeignet und erforderlich sein, und die eingesetzten Mittel haben dazu in einem vernünftigen Verhältnis zu stehen (<ref-ruling> E. 5.6 S. 174; zur Bedeutung des Begriffs "Anfangsverdacht" im Kontext <ref-ruling> E. 5.4.2.1 S. 332).
4.1.2. Eine Observierung kann als Mittel der unmittelbaren Wahrnehmung in Bezug auf die Arbeitsfähigkeit bzw. die funktionellen Einschränkungen einen anderen Erkenntnisgewinn bringen als eine alternativ in Betracht fallende medizinische Begutachtung (<ref-ruling> E. 5.4.1 S. 332). Das Observationsmaterial ist indessen grundsätzlich keine genügende Grundlage, um allein gestützt darauf Leistungen (hier: Rente, Hilflosenentschädigung) definitiv einzustellen. Hierfür bedarf es zusätzlich einer fachärztlichen Beurteilung von Gesundheitszustand und Einschätzung der Arbeitsfähigkeit (Art. 3 Abs. 1 und Art. 6 ATSG; <ref-ruling> E. 7.1 S. 337; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.2 S. 195). Dies gilt namentlich im Kontext von <ref-law> ("Revision von Invalidenrenten und anderen Dauerleistungen"), wenn es um den Revisionsgrund einer gesundheitlichen Änderung geht (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 10), wie auch die Beschwerdeführerin festhält. Divergieren die aus Begutachtung und Observation zu ziehenden Schlüsse erheblich, sind grundsätzlich weitere medizinische Abklärungen vorzunehmen (<ref-ruling> E. 7.3 S. 338).
4.2. Die Beschwerdeführerin bringt vor, es sei zu bezweifeln, dass eine Begutachtung, die sich nur auf die Akten und die Untersuchung der Beschwerdegegnerin gestützt hätte, zu den gleichen Erkenntnissen geführt hätte wie eine Observation. Sie legt indessen nicht dar, inwiefern die in der Medizinischen Stellungnahme von Dr. med. B._ vom 10. Juni 2014 und im "Antrag Personenobservation" vom 26. Juni 2014 erwähnten Umstände es als besonders (ausserordentlich) schwierig erscheinen liessen, fachärztlich den Gesundheitszustand festzustellen und hieraus eine Arbeitsfähigkeitsschätzung abzuleiten (Urteil 8C_272/2011 vom 11. November 2011 E. 1.4, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2012 IV Nr. 26 S. 107). Dass die Versicherte allein im Dorfladen einkaufen, den ganzen Haushalt mit Unterstützung durch ihren Freund erledigen und mit ihrem Hund nach draussen gehen konnte, dies bei geltend gemachter phobischer Panik vor Männern, war aktenkundig, insbesondere auch der behandelnden Psychiaterin bekannt. Darin kann kein widersprüchliches Verhalten erblickt werden, welches eine Observation erfordert hätte. Die erwähnten Aktivitäten der Beschwerdegegnerin konnten allenfalls Zweifel an der Beurteilung von Gesundheitszustand (Diagnose und Ausprägung der Befunde) und Einschätzung der Arbeitsfähigkeit durch die behandelnde Fachärztin wecken, welche jedoch grundsätzlich im Rahmen einer Begutachtung geklärt werden konnten. Eine solche erachtete Dr. med. B._ denn auch als "dringendst indiziert", und zwar unabhängig von einer Observation. Mit den erwähnten aktenkundigen Verhaltensweisen in Widerspruch stehende anamnestische Angaben hätten von der Gutachterin oder vom Gutachter entsprechend gewürdigt werden können.
4.3. Unter den gegebenen Umständen verletzt es kein Bundesrecht, dass das kantonale Versicherungsgericht die Anordnung einer Observation als unverhältnismässig und damit rechtswidrig erachtet und die Ergebnisse als unverwertbar bezeichnet hat.
5.
5.1. Das kantonale Versicherungsgericht hat alle Akten, die sich auf die Observation beziehen, aus dem Recht gewiesen, da deren Verwendung einer neuerlichen Grundrechtsverletzung gleichkäme. Sämtliche Inhalte bzw. Textstellen der übrigen Aktenlage, die Observationsergebnisse wiedergeben würden, seien unwiderruflich unkenntlich zu machen. Das psychiatrische Gutachten vom 12. März 2016 hat es nicht gänzlich aus dem Recht gewiesen. Zur Begründung hat es angeführt, die Observationen bildeten keine tragende Grundlage der Begutachtung, sondern hätten lediglich als fremdanamnestische Angaben, welche die fachärztliche Einschätzung bestätigten, Eingang in die Expertise gefunden.
5.2. Die Beschwerdeführerin äussert sich nicht zu diesen Erwägungen. Wie sie jedoch mit ihrem Vorbringen, das Observationsmaterial sei für die Würdigung des Sachverhalts unverzichtbar, sinngemäss geltend macht, kann auf die davon bereinigte Expertise nicht abgestellt werden. Vorab handelt es sich bei fremdanamnestischen Angaben um Auskünfte Dritter auf bestimmte Fragen der sachverständigen Person. Dies trifft auf die Ergebnisse einer Observation nicht zu. Es kommt dazu, dass der Gutachterin das Observationsmaterial vorlag und sie darin Einsicht nahm. Ihre Beurteilung von Gesundheitszustand und Einschätzung der Arbeitsfähigkeit beruhte somit auch auf diesen Unterlagen, woran eine (nachträgliche) Unkenntlichmachung oder Streichung von Aussagen im Gutachten, die darauf Bezug nehmen, nichts änderte.
6.
Die Akten ohne die Unterlagen über die Observation und das psychiatrische Gutachten vom 12. März 2016 bilden keine tragfähige Grundlage für die Beurteilung der Frage, ob die ganze Rente und die Hilflosenentschädigung für leichte Hilflosigkeit gestützt auf <ref-law> aufzuheben bzw. einzustellen sind. Die Feststellung des kantonalen Versicherungsgerichts, wonach eine revisionsrechtlich relevante Sachverhaltsänderung seit der Verfügung vom 5. Dezember 2007 nicht nachgewiesen sei und aufgrund der Akten sich der Gesundheitszustand und der davon abhängige Unterstützungsbedarf seit der Verfügung vom 22. März 2013 nicht wesentlich und dauerhaft verändert hätten, beruht somit auf unvollständiger Beweisgrundlage, was eine Rechtsverletzung im Sinne von Art. 97 Abs. 1 und <ref-law> darstellt.
7.
Wo die Verhältnisse es erfordern, wird der gesuchstellenden Person ein unentgeltlicher Rechtsbeistand bewilligt (<ref-law>). Voraussetzung sind Bedürftigkeit, Nichtaussichtslosigkeit der Rechtsbegehren sowie sachliche Gebotenheit der Vertretung (<ref-ruling> E. 4.1 S. 200 f.; zum letzten Kriterium im Besonderen Urteil 9C_52/2015 vom 3. Juli 2015 E. 4.1 mit Hinweisen).
7.1. Das kantonale Versicherungsgericht hat die Voraussetzungen für die unentgeltliche Rechtsverbeiständung in den Vorbescheidverfahren betreffend Rentenaufhebung und Einstellung der Hilflosenentschädigung als gegeben erachtet. Die Erforderlichkeit einer anwaltlichen Rechtsvertretung hat es damit begründet, es gehe um eine revisionsweise Leistungsanpassung, die schwierigere verfahrensrechtliche und materiellrechtliche Fragen mit sich bringe. Es sei darum gegangen, ein äusserst komplexes psychisches Leidensbild und dessen Auswirkungen und Entwicklung zu beurteilen. Ausserdem habe die IV-Stelle in Verletzung der Grundrechte Abklärungen vorgenommen. Die rechtlich erforderliche Würdigung sowohl dieses Verhaltens als auch des Observationsmaterials seien schwierig und einem Laien kaum zugänglich.
Die Beschwerdeführerin bestreitet das Vorliegen eines äusserst komplexen psychischen Leidensbildes. Nach gutachterlicher Ein-schätzung sei die Beschwerdegegnerin nicht mehr krank. Es lägen bewusstseinsnahe Täuschungshandlungen vor. Die Schwierigkeit resultiere einzig aus ihrem Bemühen, ein Krankheitsbild vorzutäuschen. Aus ihrer hier relevanten Sicht "lag also eine klare Situation vor". Sodann sei die Rechtmässigkeit der Observation im Vorbescheidverfahren nicht diskutiert worden. Dieses Thema habe daher keine Bedeutung für den Verbeiständungsanspruch.
7.2. Wie in E. 5.2 dargelegt, hat das psychiatrische Gutachten vom 12. März 2016 ausser Acht zu bleiben. Die offene Frage, ob die Beschwerdegegnerin bewusst (seinsnah) die mit ihr befassten Ärzte allenfalls seit jeher getäuscht hat, wovon die Beschwerdeführerin auszugehen scheint, ist von entscheidender Bedeutung und verliehe bejahendenfalls dem vorliegenden Fall eine Komplexität, welche für die Erforderlichkeit einer unentgeltlichen anwaltlichen Rechtsverbeiständung bereits im Vorbescheidverfahren spräche. Ergäben - umgekehrt - die notwendigen weiteren Abklärungen, dass die Versicherte bewusst unwahre Angaben machte oder Krankheitssymptome vortäuschte, stellte sich die Frage, ob der Tatbestand rechtsmissbräuchlichen Prozessierens gegeben ist, was die Anwendung von <ref-law> ausschlösse (vgl. Urteil 8C_272/2011 vom 11. November 2011 E. 8.4, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2012 IV Nr. 26 S. 107). Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtsverbeiständung im Verwaltungsverfahren ist somit offen zu lassen, da die Sache auch insoweit nicht spruchreif ist.
8.
Nach dem Gesagten wird das kantonale Versicherungsgericht ein psychiatrisches Gutachten einzuholen haben und danach über die Aufhebung der ganzen Rente, die Einstellung der Hilflosenentschädigung für leichte Hilflosigkeit sowie den Anspruch auf unentgeltliche Rechtsverbeiständung im Verwaltungsverfahren neu entscheiden. In diesem Sinne ist die Beschwerde begründet.
9.
Mit dem Entscheid in der Sache ist die Frage der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
10.
Die Gerichtskosten werden den Parteien nach Massgabe ihres Unterliegens auferlegt (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin im Umfang ihres Obsiegens eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>). Dem Gesuch der Versicherten um unentgeltliche Rechtspflege, soweit nicht gegenstandslos, kann im Übrigen entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Sie hat indessen der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 29. Mai 2018 wird mit Ausnahme von Dispositiv-Ziffer 1 aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an dieses zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Der Beschwerdegegnerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt, und Rechtsanwältin lic. iur. Stephanie Schwarz wird als unentgeltlicher Rechtsbeistand bestellt.
3.
Von den Gerichtskosten von Fr. 800.- werden drei Viertel (Fr. 600.-) der Beschwerdegegnerin und ein Viertel (Fr. 200.-) der Beschwerdeführerin auferlegt; der Anteil der Versicherten wird einstweilen auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 600.- zu entschädigen.
5.
Der Rechtsvertreterin der Beschwerdegegnerin wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'800.- ausgerichtet.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 21. November 2018
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Der Gerichtsschreiber: Fessler