Sachverhalt:
A.
A._ (Kläger, Beschwerdeführer) war ab dem 8. Mai 2014 als Backwarenverkäufer bei der C._ GmbH mit Sitz in Zürich angestellt und seit dem 1. Juni 2015 bei der B._, Versicherungsgesellschaft AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin) im Rahmen einer kollektiven Krankentaggeldversicherung taggeldversichert. Am 22. Juni 2016 erlitt der Kläger einen Verkehrsunfall und klagte in der Folge über Kopf- und Nackenschmerzen sowie Schwindel.
Die D._ als zuständiger Unfallversicherer erbrachte die gesetzlichen Leistungen. Am 7. November 2016 teilte sie dem Kläger mit, dass ab dem 7. November 2016 infolge Erreichens des Status quo sine vel ante kein Leistungsanspruch mehr aus der Unfallversicherung bestehe. Dagegen setzte sich der Kläger zur Wehr. Am 23. April 2019 hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Beschwerde des Klägers insoweit gut, als es die D._ verpflichtete, die gesetzlichen Leistungen bis zum 22. Dezember 2016 zu erbringen. Das Bundesgericht wies die dagegen vom Kläger erhobene Beschwerde mit Urteil 8C_408/2019 vom 29. August 2019 ab.
B.
Am 30. Oktober 2018 reichte der Kläger am Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Klage gegen die Beklagte ein. Er verlangte die rückwirkende Ausrichtung von Taggeldern ab 8. November 2016 zuzüglich Verzugszinsen. Nach entsprechender Aufforderung des Sozialversicherungsgerichts bezifferte der Kläger seine Forderung mit Fr. 139'659.60 zuzüglich 5 % Verzugszinsen für Taggelder vom 7. November 2016 bis 30. Oktober 2018.
Mit Urteil vom 16. Dezember 2019 wies das Sozialversicherungsgericht die Klage ab.
C.
Dagegen reichte der Beschwerdeführer Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht ein. Er begehrt, es sei das Urteil des Sozialversicherungsgerichts aufzuheben und es sei die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, dem Beschwerdeführer ab dem 22. Dezember 2016 Krankentaggelder auszurichten.
Am 5. Februar 2020 reichte der Beschwerdeführer eine weitere Eingabe samt Beilagen ein.
Auf das Einholen von Vernehmlassungen zur Beschwerde wurde verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 133 mit Hinweisen).
1.2. Die Beschwerde hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (<ref-law>). Da die Beschwerde an das Bundesgericht ein reformatorisches Rechtsmittel ist (<ref-law>), muss die rechtsuchende Partei grundsätzlich einen Antrag in der Sache stellen, das heisst angeben, welche Punkte des Entscheids sie anficht und welche Abänderungen sie beantragt. (<ref-ruling> E. 1.3 S. 383; <ref-ruling> E. 3.1 S. 489 f.). Rechtsbegehren, die eine Geldsumme zum Gegenstand haben, sind dabei zu beziffern und auf eine Beschwerde ist nicht einzutreten, wenn das Bundesgericht den zuzusprechenden Geldbetrag nach dem gestellten Begehren selber festlegen müsste (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2 S. 236 f.; Urteil 4A_107/2008 vom 5. Juni 2008 E. 2.2).
Trotz formell mangelhaftem Begehren ist die Beschwerde ausnahmsweise dennoch an die Hand zu nehmen, wenn sich aus der Beschwerdebegründung, allenfalls in Verbindung mit dem angefochtenen Entscheid, ohne weiteres ergibt, welchen Geldbetrag der Beschwerdeführer von der Gegenpartei verlangt (BGE <ref-ruling> E. 2 S. 236 f. mit Hinweis; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.2). Ansonsten reicht ein nicht bezifferter Antrag nur aus, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung der Beschwerde in der Sache naturgemäss nicht selbst entscheiden könnte (<ref-ruling> E. 1.3 S. 383; <ref-ruling> E. 3.1 S. 489 f.).
1.3. Der Beschwerdeführer wurde bereits im vorinstanzlichen Verfahren aufgefordert, sein Rechtsbegehren zu beziffern (oben Sachverhalt B). Trotz dieser Aufforderung im vorinstanzlichen Verfahren unterlässt er es auch vor Bundesgericht, sein Begehren auf Ausrichtung von Krankentaggelder zu beziffern, obschon es nach dem Gesagten in aller Regel nicht angeht, ein Begehren auf eine bestimmte Geldsumme nicht zu beziffern (dazu Erwägung 1.2). Insbesondere ist es nicht zulässig, bloss die Verpflichtung der Beschwerdegegnerin zu verlangen, Leistungen aus einem bestimmten Versicherungsvertrag zu erbringen (BGE <ref-ruling> E. 2 in fine S. 237; vgl. insbes. für Krankentaggeldleistungen Urteil 4A_107/2008 vom 5. Juni 2008 E. 2.2).
Ob sich vorliegend aus der Beschwerdebegründung und dem angefochtenen Entscheid ohne weiteres ergeben würde, welchen Geldbetrag der Beschwerdeführer fordert, braucht nicht entschieden zu werden, da die Beschwerde - wie nachfolgend gezeigt wird - aus anderem Grund abgewiesen wird.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
2.2. Das Bundesgericht greift in die Beweiswürdigung des Sachgerichts nur ein, wenn diese willkürlich ist. Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft; dabei ist erforderlich, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.).
Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.2.1). Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 4.2). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.3 S. 262). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem eine freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. <ref-ruling> E. 2b).
Kommt das Gericht aufgrund der bereits abgenommenen Beweise ohne Willkür zum Schluss, seine dadurch gewonnene Überzeugung von der Wahrheit oder Unwahrheit einer Tatsache könne durch die Abnahme weiterer Beweise nicht erschüttert werden, kann es von weiteren Beweiserhebungen absehen (sog. antizipierte Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 9.3.2). In diesem Vorgehen liegt weder eine Verletzung des Rechts auf Beweis noch des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-ruling> E. 6.3.1). Eine derartige antizipierte Beweiswürdigung kann vor Bundesgericht nur in Frage gestellt werden, wenn in genügender Art und Weise dargetan wird, dass die Vorinstanz dadurch in Willkür verfallen ist (<ref-ruling> E. 4.3.2).
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (BGE <ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (BGE <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (BGE <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
Der Beschwerdeführer schildert unter dem Titel "Materielles" den Sachverhalt aus seiner eigenen Sicht und geht dabei über die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz hinaus, ohne eine rechtsgenügende Sachverhaltsrüge nach den oben genannten Grundsätzen zu erheben. Darauf kann nicht abstellt werden.
2.4. In der Beschwerde dürfen keine neuen Tatsachen und Beweismittel vorgebracht werden, es sei denn, erst der Entscheid der Vorinstanz habe dazu Anlass gegeben (<ref-law>). Neu sind Tatsachen und Beweismittel, die weder im vorangegangenen Verfahren vorgebracht noch von der Vorinstanz festgestellt wurden (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 364). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Voraussetzungen für eine nachträgliche Einreichung von Tatsachen und Beweismitteln erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 3).
Der Beschwerdeführer stützt sich auf tatsächliche Elemente, die sich aus dem Verlaufsbericht der Klinik E._ vom 9. Dezember 2019 ergeben. Diese Elemente sind im angefochtenen Entscheid nicht festgestellt. Der Beschwerdeführer erhebt weder eine hinreichende Sachverhaltsrüge (Erwägung 2.3), noch zeigt er auf, dass die Voraussetzungen für eine nachträgliche Einreichung im gerade genannten Sinn erfüllt wären. Die Vorbringen gelten damit als neu und bleiben unbeachtlich.
2.5. Der Beschwerdeführer beantragt eine Zeugenbefragung von Herrn F._ des Bundesamts für Sozialversicherungen.
Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, Beweise abzunehmen und Tatsachen festzustellen, über die sich das kantonale Gericht nicht ausgesprochen hat (<ref-law>; <ref-ruling> E. 6.1 S. 214 f.). Sollten sich Sachverhaltsfeststellungen als offensichtlich unrichtig erweisen (Erwägung 2.3), ist die Angelegenheit vielmehr zur Ergänzung und Verbesserung des Sachverhalts an die Vorinstanz zurückzuweisen. Dem Antrag des Beschwerdeführers kann deshalb nicht entsprochen werden.
3.
Die Vorinstanz erwog, Gegenstand der Klage des Beschwerdeführers seien die von ihm geltend gemachten Ansprüche auf Krankentaggelder. Die Vorinstanz beurteilte zunächst, ob der Beschwerdeführer seine Anzeigepflicht gegenüber der Beschwerdegegnerin schuldhaft verletzt hat. Sie kam dabei zusammengefasst zum Schluss, die Anmeldung des Beschwerdeführers bei der Beschwerdegegnerin am 12. September 2017 erweise sich als "klar verspätet". Es handle sich um ein verschuldetes Versäumnis der Anzeigepflicht. Daher erweise sich die Verweigerung der Leistungen der Beschwerdegegnerin gestützt auf Art. 20.1 AVB als rechtens.
Die Vorinstanz führte anschliessend aus, unabhängig von der Frage, ob eine Kürzung oder Verweigerung der Leistungspflicht gestützt auf Art. 20.1 AVB zulässig sei, obliege dem Beschwerdeführer der Hauptbeweis für den Eintritt des Versicherungsfalls. Dieser Beweis hinsichtlich des Eintritts einer krankheitsbedingten Arbeitsunfähigkeit bis zur Auflösung des Arbeitsverhältnisses mit der C._ GmbH per 31. Dezember 2016 sei dem Beschwerdeführer nicht gelungen. Gestützt auf die aktuelle Aktenlage lasse sich eine Arbeitsunfähigkeit nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit feststellen. Auf weitere Beweisabnahmen sei in antizipierter Beweiswürdigung zu verzichten, nachdem sich der Gesundheitszustand des Beschwerdeführers mit der operativen Sanierung der Diskushernie vom 22. Mai 2018 ohnehin in einer Weise verändert habe, welche beweismässige Rückschlüsse auf den gesundheitlichen Zustand Ende 2016 kaum mehr zulasse. Es gelinge dem Beschwerdeführer damit nicht, den Eintritt des Versicherungsfalls bis Ende 2016 zu beweisen. Die Folgen der Beweislosigkeit habe der Beschwerdeführer zu tragen.
4.
4.1. Nach dem Ausgeführten erwog die Vorinstanz für die vom Beschwerdeführer beantragten Taggelder in einer ersten Begründung, dass der Beschwerdeführer seine Anzeigepflicht gegenüber der Beschwerdegegnerin verletzt habe. In einer zweiten, selbstständig tragenden Begründung kam die Vorinstanz in einer Beweiswürdigung zum Ergebnis, dass der Beschwerdeführer den ihm obliegenden Beweis des Eintritts des Versicherungsfalls nicht erbracht habe.
Der Entscheid der Vorinstanz beruht damit auf zwei selbstständig tragenden Begründungen. Der Beschwerdeführer wendet sich vor Bundesgericht richtigerweise gegen beide vorinstanzlichen Begründungen (dazu: <ref-ruling> E. 3.4 S. 735).
4.2. Bezüglich der Beweiswürdigung der Vorinstanz macht der Beschwerdeführer geltend, dass die Vorinstanz die Beweise zu Unrecht antizipiert und willkürlich gewürdigt habe und damit gegen <ref-law> verstosse. Seine Arbeitsunfähigkeit sei entgegen der Auffassung der Vorinstanz "unzweifelhaft ausgewiesen", woran auch das polydisziplinäre Gutachten der Abklärungsstelle E._ nichts ändere, da eine neuropsychologische Begutachtung des Beschwerdeführers erforderlich gewesen wäre.
Vor Bundesgericht würdigt der Beschwerdeführer damit die Beweismittel aus seiner eigenen Sicht und stellt seine Beweiswürdigung derjenigen der Vorinstanz gegenüber. Damit zeigt der Beschwerdeführer zwar auf, dass die vorinstanzliche Beweiswürdigung nicht mit seiner eigenen Würdigung der Beweise übereinstimmt. Inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung, insbesondere auch deren antizipierte Beweiswürdigung, willkürlich, d.h. offensichtlich unhaltbar im oben genannten Sinn wäre (Erwägung 2.2), legt der Beschwerdeführer mit diesen Ausführungen aber nicht hinreichend dar. Es ist im Übrigen nicht ersichtlich, inwiefern die vorinstanzliche Würdigung der Beweise offensichtlich unhaltbar wäre.
4.3. Damit trägt bereits die selbstständige Begründung der Vorinstanz, dass dem Beschwerdeführer der Nachweis des Eintritts des Versicherungsfalls nicht gelungen ist. Entsprechend fehlt das Rechtsschutzinteresse an der Beurteilung der vom Beschwerdeführer gegen die weitere vorinstanzliche Begründung vorgetragene Rüge, wonach die Vorinstanz zu Unrecht eine Verletzung der Anzeigepflicht im Sinne von <ref-law> angenommen habe. Darauf braucht nicht eingetreten zu werden.
5.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie überhaupt eingetreten werden kann.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen, weil die Beschwerde als von vornherein aussichtslos erscheint (<ref-law>). Darüber musste unter den gegebenen Umständen nicht vorgängig separat entschieden werden (vgl. Urteil 4A_20/2011 vom 11. April 2011 E. 7.2.2).
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da ihr aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, V. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. März 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger