Sachverhalt:
A.
B._ (Klägerin, Beschwerdegegnerin) war zusammen mit C._ und A._ (Beklagter, Beschwerdeführer) Verwaltungsratsmitglied der D._ AG. Im Sommer 2017 wurde sie zusammen mit C._ (bisheriger Präsident des Verwaltungsrats) abgewählt. A._ wurde zum neuen Verwaltungsratspräsidenten, die Brüder der Klägerin, E.E._ und F.E._, sowie die Söhne der Brüder, G.E._ und H.E._, zu Verwaltungsräten gewählt. Die Klägerin sowie ihre Brüder halten je einen Drittel der 600'000 Namenaktien der Gesellschaft.
Am 11. Oktober 2018 erhob die Klägerin beim Handelsgericht des Kantons Zürich Klage gegen die D._ AG und verlangte die Einberufung der ordentlichen Generalversammlung 2017 und Traktandierung diverser Geschäfte. Nachdem den Aktionären am 7. November 2018 die Einladung zur Generalversammlung 2017 verschickt worden war, schrieb das Handelsgericht das Verfahren am 5. Dezember 2018 zufolge Gegenstandslosigkeit ab. Die Gerichtskosten auferlegte es zu 7/8 (Fr. 7'000.--) der Gesellschaft und zu 1/8 (Fr. 1'000.--) der Klägerin und verpflichtete die Gesellschaft, der Klägerin eine reduzierte Parteientschädigung von Fr. 8'000.-- zu bezahlen.
Am 20. September 2018 ersuchte die Klägerin beim Bezirksgericht Meilen um definitive Rechtsöffnung für Fr. 9'500.-- nebst Zins, weil die Gesellschaft die der Klägerin in einem anderen Verfahren vor Handelsgericht zugesprochene Parteientschädigung in diesem Betrag nicht bezahlt hatte. Mit Urteil vom 14. November 2018 wurde ihr die definitive Rechtsöffnung erteilt. Die Gesellschaft wurde zur Tragung der Kosten des Betreibungs- und Rechtsöffnungsverfahrens sowie zur Bezahlung einer Parteientschädigung an die Klägerin verpflichtet.
B.
Am 14. Februar 2019 reichte die Klägerin gegen den Beklagten beim Bezirksgericht Meilen Klage betreffend aktienrechtliche Verantwortlichkeit ein und verlangte als Prozessstandschafterin der Gesellschaft, er habe einen noch zu beziffernden Betrag, mindestens aber Fr. 15'616.--, an die D._ AG zu bezahlen, da er durch Pflichtversäumnisse als Verwaltungsratspräsident die der Gesellschaft vom Handelsgericht auferlegten Prozesskosten, die Kosten des Vollstreckungsverfahrens sowie die Kosten der eigenen Rechtsvertretung in jenen Prozessen verursacht habe. Mit Urteil vom 11. August 2020 hiess das Bezirksgericht die Klage teilweise gut und verpflichtete den Beklagten, der D._ AG insgesamt Fr. 24'247.90 nebst Zins zu bezahlen.
Gleichentags hiess das Bezirksgericht Meilen eine nämliche Klage betreffend die Einberufung der ordentlichen Generalversammlung 2016 teilweise gut (dazu Verfahren 4A_130/2021).
Der Beklagte erhob Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich und beantragte die Aufhebung des bezirksgerichtlichen Urteils und - eventualiter - die Rückweisung an die Vorinstanz. Mit Urteil vom 26. Januar 2021 wies das Obergericht die Berufung ab, soweit es darauf eintrat, und bestätigte das Urteil des Bezirksgerichts Meilen vom 11. August 2020.
C.
Dagegen erhebt der Beschwerdeführer beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Er beantragt, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und die Klage vollumfänglich abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt Abweisung der Beschwerde in Zivilsachen (begründet allerdings Nichteintreten auf dieselbe) und Abweisung der subsidiären Verfassungsbeschwerde, soweit darauf einzutreten ist.
Die Vorinstanz äusserte sich nicht zur Sache.
Der Beschwerdeführer replizierte.
D.
Mit Präsidialverfügung vom 8. April 2021 wurde das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden war.

Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer beantragt die Vereinigung mit dem Verfahren 4A_130/2021. In jenem Verfahren ficht der Beschwerdeführer den Entscheid des Obergerichts des Kantons Zürich vom 26. Januar 2020 NP200032-O/U an betreffend aktienrechtliche Verantwortlichkeit im Zusammenhang mit der verspäteten Einberufung der Generalversammlung 2016. Zwar sind die gleichen Parteien an beiden Verfahren beteiligt. Jedoch richten sich die Beschwerden gegen zwei verschiedene Urteile, weshalb die Vereinigung der Verfahren nicht angezeigt ist.
2.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (Art. 29 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen).
2.1. Der Streitwert (Fr. 24'247.90) erreicht die Streitwertgrenze für eine Beschwerde in Zivilsachen gemäss Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG nicht. Diese ist daher nur zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG). Eine solche ist nur sehr zurückhaltend anzunehmen. Sie liegt vor, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1.2; je mit Hinweisen). Die Anwendung rechtsprechungsgemässer Prinzipien auf einen Einzelfall stellt keine Grundsatzfrage dar. Der blosse Umstand, dass die aufgeworfene Rechtsfrage noch nie entschieden wurde, genügt nicht. Es muss sich um eine Rechtsfrage handeln, deren Entscheid für die Praxis wegleitend sein kann und die von ihrem Gewicht her nach einer höchstrichterlichen Klärung ruft (<ref-ruling> E. 1.2.1; <ref-ruling> E. 1.3.2; <ref-ruling> E. 1.2.2.1).
Im Rahmen ihrer Begründungspflicht hat die beschwerdeführende Partei darzutun, dass die Voraussetzung nach Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG erfüllt ist (Art. 42 Abs. 2 BGG), ansonsten auf die Beschwerde nicht einzutreten ist (<ref-ruling> E. 2.6; <ref-ruling> E. 2.2.2.1; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.2.1).
2.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, es stelle sich folgende Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung: Führt die Nichteinhaltung der sechsmonatigen Einberufungsfrist gemäss Art. 699 Abs. 2 OR automatisch zu einer Verantwortlichkeit des Verwaltungsrates und besteht damit diesbezüglich eine Kausalhaftung?
Das scheitert bereits daran, dass sich eine solche Frage gar nicht stellt. Weder hat die Vorinstanz bei Nichteinhaltung der sechsmonatigen Einberufungsfrist gemäss Art. 699 Abs. 2 OR "automatisch" eine Verantwortlichkeit angenommen, geschweige denn eine Kausalhaftung begründet. Vielmehr beurteilte sie im Einzelfall, ob die Voraussetzungen einer Verantwortlichkeit nach Art. 754 OR erfüllt sind oder nicht. Dabei wendete sie die dazu ergangene Rechtsprechung auf den Einzelfall an.
Damit stellt sich keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung, und die Voraussetzung nach Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG ist nicht erfüllt, weshalb auf die Beschwerde in Zivilsachen nicht einzutreten ist. Zu behandeln ist die ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 BGG).
3.
3.1. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Das Bundesgericht prüft die Verletzung verfassungsmässiger Rechte jedoch nur, wenn diese Rüge ausdrücklich vorgebracht und hinreichend begründet wird (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.2). Dies bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.2; je mit weiteren Hinweisen).
Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 3.6.2; <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1, 167 E. 2.1; je mit Hinweisen). Dies muss der Beschwerdeführer bei Erhebung einer Willkürrüge im Einzelnen aufzeigen.
3.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 118 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (BGE <ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kam (Art. 118 Abs. 2 und Art. 116 BGG), was der Beschwerdeführer präzise geltend zu machen hat (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.2). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-ruling> E. 7.1, 585 E. 4.1).
Der Beschwerdeführer erhebt keine hinreichend begründete Sachverhaltsrüge, weshalb auf seine Sachverhaltsergänzungen und weiteren Ausführungen, die über den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt hinausgehen, nicht abgestellt werden kann. Massgebend ist damit einzig der Sachverhalt, wie er im angefochtenen Urteil festgestellt ist.
4.
Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde macht der Beschwerdeführer eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) geltend, indem die Erstinstanz nicht zu Schlussvorträgen vorgeladen habe, obwohl er (der Beschwerdeführer) darauf beharrt habe.
4.1. Die Schlussvorträge finden nach Abschluss der Beweisabnahme statt und geben den Parteien die Möglichkeit, zum Beweisergebnis und zur Sache Stellung zu nehmen (Art. 232 Abs. 1 ZPO). Sind im Stadium der Hauptverhandlung keine Beweise abzunehmen, verlangt die Zivilprozessordnung von der Verfahrensleitung nicht, dass sie den Parteien Gelegenheit zu Schlussvorträgen gibt. Zu allfälligen bereits im Vorbereitungsverfahren abgenommenen Beweisen oder zu als Urkunden eingereichten Beweismitteln haben sich die Parteien im Rahmen der ersten Parteivorträge zu äussern. Die ersten Parteivorträge und die Schlussvorträge fallen insofern zusammen. Dies entspricht der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (Urteile 4A_28/2021 vom 18. Mai 2021 E. 3.2.2; 4A_308/2020 vom 5. November 2020 E. 3.3.2 f.; 4A_301/2016 / 4A_311/2016 vom 15. Dezember 2016 E. 7.2.1, nicht publiziert in: <ref-ruling>; 4A_47/2015 vom 2. Juni 2015 E. 3.3; 4A_78/2014 / 4A_80/2014 vom 23. September 2014 E. 9; siehe auch Urteile 5A_31/2020 vom 6. Juli 2020 E. 3.4; 4A_587/2018 vom 16. April 2019 E. 2.2; so auch Eric Pahud, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Kommentar, Brunner/Gasser/Schwander [Hrsg.], Bd. I, 2. Aufl. 2016, N. 2 zu Art. 232 ZPO und N. 4 zu Art. 233 ZPO; Francesco Trezzini, in: Commentario pratico al Codice di diritto processuale civile svizzero (CPC), Trezzini und andere [Hrsg.], Bd. II, 2. Aufl. 2017, N. 4 zu Art. 232 ZPO).
4.2. Es trifft zu, dass die Erstinstanz auf die Einholung der Schlussvorträge verzichtete, obwohl der Beschwerdeführer darauf bestanden hatte. Dennoch hat die Vorinstanz den Vorwurf einer Verletzung des Gehörsanspruchs zu Recht verworfen.
Sie erkannte zutreffend, dass Schlussvorträge nicht in jedem Fall anzuordnen sind. So kann darauf verzichtet werden, wenn an der Hauptverhandlung kein Beweisverfahren mehr stattfindet. Das Bundesgericht hat einen solchen Automatismus trotz vereinzelter gegenläufiger Ansichten in der Lehre verworfen (Urteil 4A_28/2021 vom 18. Mai 2021 E. 3.2.2 mit Hinweisen).
Diese Konstellation lag hier vor: An der Hauptverhandlung wurde kein Beweisverfahren zu den anfänglich strittigen Vertreterkosten mehr durchgeführt. Ein solches erübrigte sich, nachdem die Beweisverfügung vom 28. November 2019 infolge Verzichts der Beschwerdegegnerin auf die Erhebung der von ihr beantragten Beweismittel aufgehoben worden war. Es gab also kein Beweisergebnis, zu dem sich der Beschwerdeführer erst im Rahmen eines Schlussvortrages hätte äussern können. Zu den übrigen Beweismitteln, allesamt Urkunden, konnten sich die Parteien umfassend äussern, was der Beschwerdeführer nicht in Abrede stellt. Ebenso wenig entkräftet er die Erwägung der Vorinstanz, dass jede Partei über zwei umfassende Vorträge verfügt habe, und er auch nicht aufgezeigt habe, welche zulässigen Noven er im Rahmen der Schlussvorträge hätte einbringen wollen. Unter diesen Umständen wurde sein Gehörsanspruch nicht verletzt.
5.
Der Beschwerdeführer macht sodann die "willkürliche Würdigung des Sachverhalts" geltend.
5.1. Eine solche erblickt er zum einen darin, dass die Vorinstanz die Tragweite seines Einwands "volenti non fit iniuria" verkannt habe. Er habe damit nämlich geltend machen wollen, dass, solange der Verwaltungsrat im Einvernehmen aller Aktionäre den Termin für die Generalversammlung verschoben habe, er deswegen infolge Zustimmung aller Betroffenen keinem Rückgriffsrecht ausgesetzt sei.
Das Vorbringen entbehrt bereits der notwendigen tatsächlichen Feststellungen im angefochtenen Urteil. Die Vorinstanz hielt das Vorbringen nicht nur für ungenügend begründet, sie verwarf es sodann in der Erwägung, dass es sich bei der gesetzlichen Einberufungsfrist nach Art. 699 OR um eine zwingend zu beachtende Formvorschrift handle, die nicht einmal statutarisch abgeändert werden könne. Inwiefern sie mit dieser zutreffenden rechtlichen Erwägung in eine "willkürliche Würdigung des Sachverhalts" verfallen wäre, wird nicht aufgezeigt.
5.2. Gleiches gilt für die weiteren Willkürvorwürfe. Die Vorinstanz bejahte mit der Erstinstanz sämtliche Haftungsvoraussetzungen nach Art. 754 Abs. 1 OR. Konkret habe der Beschwerdeführer seine gesetzliche Pflicht als Verwaltungsratspräsident der D._ AG verletzt, weil er es versäumt habe, die ordentliche Generalversammlung innert der sechsmonatigen Frist nach Art. 699 Abs. 2 OR rechtzeitig einzuberufen bzw. abzuhalten. Da er auch nach Aufforderung der Beschwerdegegnerin innert angemessener Frist keine Einladung verschickt habe, habe mit der Einberufungsklage und deren Gutheissung gerechnet werden müssen. Die vor Handelsgericht entstandenen und der Gesellschaft auferlegten Prozesskosten sowie deren Vertretungskosten seien durch sein pflichtwidriges Versäumnis adäquat und schuldhaft verursacht worden. Sodann verneinte sie mit der Erstinstanz, dass die Beschwerdegegnerin die Einberufungsklage rechtsmissbräuchlich erhoben hätte.
Diese in Verwerfung der Berufung schlüssig begründete Erkenntnis der Vorinstanz weist der Beschwerdeführer nicht als willkürlich aus, indem er einmal mehr eine rechtsmissbräuchliche Klageerhebung durch die Beschwerdegegnerin moniert und bemängelt, dass nicht geprüft worden sei, ob der Geschäftsentscheid, sich gegen eine solche rechtsmissbräuchliche Klageerhebung zur Wehr zu setzen, vertretbar gewesen sei. Die Vorinstanz erachtete den Missbrauchsvorwurf als nicht überzeugend. Sie begründete eingehend und folgerichtig, weshalb die Gewinnchancen der Gesellschaft im Einberufungsverfahren deshalb bereits zu Beginn erkennbar als sehr gering einzustufen gewesen seien, und somit der Gesellschaft durch das "sich zur Wehr setzen" gegen die Einberufungsklage unnötige Kosten verursacht worden seien. Das stösst der Beschwerdeführer durch sein blosses Beharren auf der eigenen Sichtweise nicht um.
Ebenso wenig genügt der Beschwerdeführer seiner qualifizierten Rügepflicht (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG), wenn er den adäquaten Kausalzusammenhang bestreitet und dabei in verkürzter Lesart des angefochtenen Urteils der Vorinstanz unterstellt, sie habe auf den falschen Kausalzusammenhang abgestellt, indem ihr Entscheid darauf beruhe, " die Nichteinhaltung der sechsmonatigen Einberufungsfrist sei der adäquate Kausalzusammenhang für den geltend gemachten Schaden ". Eine den strengen Rügeanforderungen genügende Darlegung, weshalb die Kausalität in willkürlicher Weise bejaht worden wäre, lässt sich der Beschwerde nicht entnehmen. Ohnehin handelt es sich bei der Beurteilung der Adäquanz des Kausalzusammenhangs um eine Rechtsfrage, weshalb nicht nachvollzogen werden kann, worin der Beschwerdeführer diesbezüglich eine "willkürliche Sachverhaltswürdigung" erblickt.
Auch zeigt er nicht hinlänglich die Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts - namentlich des Willkürverbots (Art. 9 BV) - auf, indem er in appellatorischer Weise eine "sachfremde Verneinung der Sorgfältigkeit des Geschäftsführungsentscheides, sich auf das Rechtsöffnungsverfahren einzulassen", geltend macht. Darauf kann nicht eingetreten werden.
6.
Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist nicht einzutreten. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist abzuweisen, soweit auf sie überhaupt eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in Zivilsachen wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, E.E._, U._, F.E._, V._, G.E._, W._, und H.E._, X._, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Mai 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Dürst