Sachverhalt:
A.
A.a. An der Liegenschaft "D._" in U._/SZ (Grundbuch Nr. xxx, Plan yyy besteht Stockwerkeigentum. A._ (Beschwerdeführer) und B._ (Beschwerdegegner 1) waren die Eigentümer von zwei nebeneinander gelegenen Stockwerkeigentumseinheiten. Nach Durchlaufen des Schlichtungsverfahrens - dieses hatte er am 27. April 2017 eingeleitet - reichte A._ am 15. August 2017 beim Bezirksgericht March gegen B._ Klage mit dem Begehren ein, es sei diesem unter Strafandrohung zu verbieten, den Balkon an der Ost-/Südostseite im ersten Obergeschoss ohne seine Zustimmung zu Nutzen oder Dritten die Nutzung zu ermöglichen.
Mit Klageantwort vom 14. Dezember 2017 schlossen B._ sowie die C._ AG (Beschwerdegegnerin 2) auf Klageabweisung. Gleichzeitig erklärte die C._ AG, anstelle von B._ in den Prozess eintreten zu wollen. Hintergrund dieses Antrags ist der Kauf der Stockwerkeigentumseinheit von B._ durch die Gesellschaft am 1. Mai 2017. A._ beantragte, den Parteiwechsel nicht zuzulassen.
A.b. Mit Beschluss vom 28. Mai 2018 nahm das Bezirksgericht vom Parteiwechsel Vormerk und ordnete an, es werde neu die C._ AG als beklagte Partei geführt.
B.
Die dagegen von A._ beim Kantonsgericht Schwyz erhobene Beschwerde wies dieses mit Urteil vom 14. März 2019 (eröffnet am 21. März 2019) ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 30. April 2019 gelangt A._ ans Bundesgericht und stellt folgende Anträge in der Sache:
"1. Der Beschluss des Kantonsgerichts Schwyz [...] sei aufzuheben.
2. Der Beschluss des Bezirksgerichts March [...] sei aufzuheben, dieses Verfahren vor dem Bezirksgericht March sei mit [B._] als beklagte Partei fortzusetzen und es sei das Gesuch der [C._ AG] um Eintritt in das Verfahren vor dem Bezirksgericht March als beklagte Partei abzuweisen.
3. Eventualiter, für den Fall der Abweisung des Rechtsbegehrens Nr. 2 vorstehend, sei die Sache zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
4. Dem Beschwerdeführer sei für das vorinstanzliche Verfahren - direkt durch das Bundesgericht oder, eventualiter, mittels Rückweisung zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz durch die Vorinstanz - eine Parteientschädigung (zzgl. MwSt.) zuzusprechen."
Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Beschluss eines oberen kantonalen Gerichts, das als Rechtsmittelinstanz (<ref-law>) über einen Parteiwechsel in einem Streit über eine vermögensrechtliche Zivilsache nach <ref-law> (Urteil 5A_340/2017 vom 11. Dezember 2018 E. 1, nicht publiziert in: <ref-ruling>) entschieden hat. Dabei handelt es sich um einen Teilentscheid (Art. 91 Bst. b BGG; Urteil 4A_635/2017 und 4A_637/2017 vom 8. August 2018 E. 1.2). Der nach Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG erforderliche Streitwert von Fr. 30'000.-- ist nach der unbestrittenen Feststellung des Kantonsgerichts erreicht. Die Beschwerde in Zivilsachen ist folglich das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt, die er auch fristgerecht erhoben hat (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 Bst. a BGG). Unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen ist auf die Beschwerde einzutreten.
1.2. Unzulässig ist der Antrag, es sei (auch) der Beschluss des Bezirksgerichts aufzuheben. Die Beschwerde nach <ref-law> ist ein devolutives Rechtsmittel (LEUENBERGER/UFFER-TOBLER, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 2. Aufl. 2016, Rz. 12.7 S. 426 f.; STAEHELIN/ STAEHELIN/GROLIMUND, Zivilprozessrecht, 3. Aufl. 2019, § 26 Rz. 29 S. 516 f.). Dieser Beschluss ist daher durch das Erkenntnis des Kantonsgerichts ersetzt worden und bildet im bundesgerichtlichen Verfahren nicht Anfechtungsobjekt (vgl. <ref-ruling> E. 1.4). Auf die Beschwerde ist insoweit nicht einzutreten.
1.3. Dreht sich der Streit vor Bundesgericht um Geld, sind die Begehren (<ref-law>) zu beziffern. Dies gilt auch, wenn die Kosten des kantonalen Verfahrens umstritten sind (<ref-ruling> E. 1.2; zum hier nicht gegebenen Ausnahmefall vgl. Urteil 5A_346/2016 vom 29. Juni 2017 E. 2.1, nicht publiziert in: <ref-ruling>). Der Beschwerdeführer beantragt die Zusprechung einer Parteientschädigung für das kantonale Verfahren und eventuell die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu diesem Zweck (Rechtsbegehren Ziff. 4; vorne Bst. C). Weder beziffert er diesen Antrag noch führt er in der Beschwerdebegründung - diese ist zur Auslegung der Rechtsbegehren beizuziehen (<ref-ruling> E. 6.2) - aus, welchen Betrag er unter diesem Titel zugesprochen erhalten möchte. Auf die Beschwerde ist auch insoweit nicht einzutreten.
2.
2.1. Im angefochtenen Beschluss führt die Vorinstanz zunächst aus, prozessleitende Verfügungen wie die vorliegende seien mitBeschwerde nach Art. 319 Bst. b Ziff. 2 ZPO nur anfechtbar, wenn ein nicht leicht wiedergutzumachender Nachteil drohe. Ein solcher Nachteil sei nicht nachgewiesen, weshalb auf das Rechtsmittel nicht einzutreten sei. Trotzdem setzt die Vorinstanz sich in der Folge mit dem in der Sache strittigen Parteiwechsel auseinander und bestätigt die Einschätzung der Erstinstanz, dass dieser zuzulassen sei. Entsprechend hat sie die bei ihr erhobene Beschwerde abgewiesen, soweit sie darauf eingetreten ist (vgl. vorne Bst. B). Obgleich das Kantonsgericht die Voraussetzungen für das Eintreten auf das Rechtsmittel verneinte, hat es damit einen Sachentscheid gefällt, den es auch begründete. In dieser Situation besteht kein schutzwürdiges Interesse daran, dass das Bundesgericht sich mit den Eintretensvoraussetzungen der Beschwerde nach der ZPO auseinandersetzt, und erübrigt es sich, auf diesen Punkt einzugehen. Obwohl der Beschwerdeführer sich in seiner Rechtsschrift auch zum Nichteintretenspunkt äussert, ist nachfolgend daher einzig zu prüfen, ob das Kantonsgericht den erstinstanzlich zugelassen Parteiwechsel zu Recht bestätigt hat (Urteile 5A_318/2018 vom 18. Juli 2018 E. 1.3; 5A_201/2018 vom 19. Juni 2018 E. 5.3; 5A_698/2017 vom 7. März 2018 E. 1.2, nicht publiziert in: <ref-ruling>; zur Begründung der Beschwerde in Zivilsachen in dieser Konstellation vgl. Urteil 5A_1036/2017 vom 23. März 2018 E. 1.5; vgl. dagegen zum Fall, dass die Vorinstanz auf eine Beschwerde nicht eintritt und sich zur Sache [nur] in einer Eventualbegründung äussert <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 4.1.4).
2.2. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft dessen Anwendung frei. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Dabei ist von der beschwerdeführenden Partei gefordert, dass sie auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt (<ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 2). Wird eine Rechtsfrage aufgeworfen, ist das Bundesgericht aber weder an die von den Parteien geltend gemachten Gründe noch an die rechtliche Würdigung der Vorinstanz gebunden. Es kann die Beschwerde aus einem anderen als dem von der beschwerdeführenden Person angerufenen Grund gutheissen und sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 2.4).
2.3. Im Übrigen legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn diese offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich, ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Dabei gelten die strengen Begründungsanforderungen von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266).
Der Beschwerdeführer äussert sich unter dem Titel "Ausgangslage" ausführlich zu den bisherigen Geschehnissen und der Prozessgeschichte, ohne jedoch dem Kantonsgericht eine qualifiziert unrichtige Sachverhaltsfeststellung vorzuwerfen. Soweit er dabei von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweicht, ist er daher nicht zu hören.
3.
3.1. Mit Einreichung des Schlichtungsbegehrens am 27. April 2017 machte der Beschwerdeführer gegen den Beschwerdegegner 1 ein Verfahren betreffend Abwehr einer ungerechtfertigten Einwirkung auf sein Eigentum rechtshängig (<ref-law>). Die Rechtshängigkeit führt zur Fixierung des Streitgegenstands und der Prozessparteien, wobei Änderungen daran nur noch unter eingeschränkten, durch das Gesetz vorgesehenen Voraussetzungen möglich sind (<ref-ruling> E. 3.1.3.1). Vor Bundesgericht ist strittig, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie nach dem Verkauf der Stockwerkeigentumseinheit des Beschwerdegegners 1 an die Beschwerdegegnerin 2 am 1. Mai 2017 einen Parteiwechsel zuliess.
3.2. Der Parteiwechsel, mithin die Auswechslung einer Partei im laufenden Verfahren, ist in <ref-law> geregelt. Er ist grundsätzlich nur mit Zustimmung der Gegenpartei zulässig (Art. 83 Abs. 4 1. Teilsatz ZPO). Ohne Zustimmung kann ein Parteiwechsel bei Veräusserung des Streitobjekts erfolgen (<ref-law>) oder wenn eine besondere gesetzliche Bestimmung dies vorsieht (Art. 83 Abs. 4 2. Teilsatz ZPO; <ref-ruling> E. 3.2.2; Urteile 4A_560/2015 vom 20. Mai 2015 E. 4.2; 4A_385/2014 vom 29. September 2014 E. 4.1). Allein strittig und zu prüfen ist vorliegend, ob die Voraussetzungen eines Parteiwechsels ohne Zustimmung der Gegenpartei nach <ref-law> erfüllt sind.
Der Begriff der Veräusserung des Streitobjekts nach dieser Bestimmung ist ein solcher des Prozessrechts. Angesprochen ist der Fall der Einzelrechtsnachfolge am Streitobjekt, und zwar unbesehen darum, ob auf Seiten der klagenden oder der beklagten Partei. Das Streitobjekt ist dabei in einem weiten Sinn und rein faktisch zu verstehen. Es erfasst alle Sachen, Rechte und Rechtsbeziehungen, bei denen im Prozess die Sachlegitimation der Parteien durch die Beziehung zu ihnen bestimmt wird. So die eingeklagte Forderung, die Sache, an der Eigentum oder Besitz oder ein beschränktes dingliches Recht geltend gemacht wird, oder die Sache, deren Eigentum oder Besitz mit Verpflichtungen zu einem Tun oder Dulden verbunden ist (Urteil 4A_635/2017 und 4A_637/2017 vom 8. August 2018 E. 4.1.3.2; GRABER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilporzessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 5 zu <ref-law>; GÖKSU, in: Bunner et al. [Hrsg.], Schweizersiche Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2016, N. 11 zu <ref-law>; siehe bereits FRANK/STRÄULI/MESSMER, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 1997, N. 1 zu <ref-law>/ZH). Ein Parteiwechsel kommt dabei nur in Betracht, wenn die Einzelrechtsnachfolge dazu führt, dass die Aktiv- oder Passivlegitimation der betroffenen Partei (in materiellrechtlicher Hinsicht) vollständig dahinfällt (Urteil 4A_635/2017 und 4A_637/2017 vom 8. August 2018 E. 4.1.2 mit Hinweis auf MEIER, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 2010, S. 192, und LEUENBERGER/UFFER-TOBLER, a.a.O., Rz. 3.79 S. 114 f.).
3.3. Der Beschwerdeführer hat vor dem Bezirksgericht gegen den Beschwerdegegner 1 eine Eigentumsfreiheitsklage ( actio negatoria) nach <ref-law> wegen einer (angeblichen) Störung seines Eigentums erhoben (vgl. vorne Bst. A.a; zur Eigentumsfreiheitsklage bei Stockwerkeigentum vgl. <ref-ruling> E. 3.6). Die actio negatoria richtet sich, ebenso wie Abwehransprüche aus Nachbarrecht und Besitzesschutz, grundsätzlich gegen den Störer; dabei ist Verhaltensstörer, wer durch sein eigenes Verhalten oder durch das Verhalten Dritter, für die er einstehen muss, das Eigentum eines anderen unmittelbar stört oder gefährdet, und Zustandsstörer, wer die tatsächliche oder rechtliche Herrschaft über Sachen hat, welche das Eigentum eines anderen unmittelbar stören oder gefährden (<ref-ruling> E. 4.1). Störer in diesem Sinne ist auch, wer die Störung des Eigentums anderer durch Dritte wie z.B. Mieter duldet oder veranlasst (Urteil 5A_884/2012 vom 16. Mai 2013 E. 4.3, in: ZBGR 96/2015 S. 265; WOLF/WIEGAND, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch II, 6. Aufl. 2019, N. 62 zu <ref-law>; SUTTER-SOMM, Eigentum und Besitz, SPR V/1, 2. Aufl. 2014, S. 43).
Nach den Feststellungen der Vorinstanz hat der Beschwerdeführer den Beschwerdegegner 1 in seiner Eigenschaft als Eigentümer der vermieteten nachbarlichen Stockwerkeigentumseinheit belangt. Zwar bestreitet der Beschwerdeführer diese zum Prozesssachverhalt gehörende Feststellung (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1) bzw. den von der Vorinstanz daraus gezogene Schluss, damit habe er zum Ausdruck gebracht, jene Person ins Recht fassen zu wollen, welche die Störung durch die Mieter dulde. Soweit seine diesbezüglichen Ausführungen überhaupt der Begründungspflicht genügen (vgl. vorne E. 2.2 und 2.3), bringt der Beschwerdeführer indes einzig vor, er habe den Beschwerdegegner 1 persönlich belangt und die Identifikation der beklagten Partei nicht von der Erfüllung bestimmter Voraussetzungen abhängig gemacht. Damit macht er freilich nicht geltend, er habe die Klage wegen einer unmittelbar vom Beschwerdegegner 1 ausgehenden Störung erhoben. Mit der Vorinstanz ist folglich davon auszugehen, der Beschwerdeführer wende sich gegen den Beschwerdegegner 1 in seiner Eigenschaft als Eigentümer der Stockwerkeigentumseinheit, deren Mietern er die Nutzung des Balkons ermöglicht. Die Klage richtet sich daher gegen die Unterlassung künftiger (bzw. erneuter) Störungen in diesem Sinne (zur Eigentumsfreiheitsklage als Unterlassungsklage vgl. WOLF/WIEGAND, a.a.O., N. 66 zu <ref-law>; SUTTER-SOMM, a.a.O., S. 43; für eine vergleichbare Ausgangslage vgl. <ref-ruling>).
3.4. Nach dem Ausgeführten bringt der Beschwerdeführer im Prinzip richtig vor, dass Streitobjekt des Verfahrens vor dem Bezirksgericht der eingeklagte Unterlassungsanspruch ist. Hieran misst sich die Sachlegitimation der Parteien im Sinne von <ref-law>. Dagegen kann dem angefochtenen Beschluss nicht gefolgt werden, soweit darin die Stockwerkeigentumseinheit als Streitobjekt und der strittige Abwehranspruch als Anspruchsgrundlage gesehen wird. Dies führt indes nicht zur Gutheissung der Beschwerde: Wie ausgeführt richtet sich der geltend gemachte Anspruch gegen den Vermieter der Stockwerkeigentumseinheit, der den Mietern die beanstandete Balkonnutzung ermöglicht. Dabei kommt nach den unbestrittenen Feststellungen des Kantonsgerichts dem Eigentümer der Stockwerkeigentumseinheit die Stellung als Vermieter zu. Die Passivlegitimation zum Abwehranspruch folgt damit dem Eigentum an der Stockwerkeigentumseinheit. Folglich führt die Veräusserung der Stockwerkeigentumseinheit zu einem Wechsel in der Passivlegitimation zum streitbetroffenen Anspruch, was die Vorinstanz im Ergebnis richtig erkannt, indes verkürzt dargestellt hat (vgl. dazu auch MEIER-HAYOZ, Berner Kommentar, 5. Aufl. 1981, N. 98 zu <ref-law>). Entgegen dem Beschwerdeführer ist es damit sehr wohl entscheidend, wie er den eingeklagten Anspruch begründet hat, mithin wie die im Gesetz notwendigerweise generell umschriebene Anspruchsgrundlage im Einzelfall konkretisiert wird. Dies ist jedoch unausweichliche Folge des dargelegten Verständnisses des Begriffs des Streitobjekts nach <ref-law>, der an die Sachlegitimation anknüpft.
3.5. Gegenteiliges vermag der Beschwerdeführer auch aus dem Hinweis auf <ref-ruling> nicht abzuleiten. Dort hielt das Bundesgericht zu einer gegen einen Eigentümer wegen Erdaufschüttungen auf dem Nachbargrundstück erhobenen Eigentumsfreiheitsklage fest, der Beklagte sei aufgrund von <ref-law> verpflichtet, den Bauschutt zu beseitigen und den ursprünglichen Zustand wiederherzustellen. Dieser Verpflichtung könne er sich durch den Verkauf der Liegenschaft, von der aus er seinerzeit das Aushubmaterial dem Grundstück des Klägers zugeführt habe, nicht entziehen (S. 309). Anders als hier stand in jenem Fall nicht die Abwehr einer künftigen (wiederholten) Störung in Frage, sondern die Beseitigung einer noch andauernden früheren Störung, wozu der ursprünglichen Störer verpflichtet blieb. Anders als jener Beklagte bleibt der Beschwerdegegner 1 entgegen der Darstellung in der Beschwerde nach dem Verkauf der Stockwerkeigentumseinheit bezüglich des geltend gemachten Anspruchs nicht passivlegitimiert (vgl. E. 3.4 hiervor und E. 3.6 hiernach). Folglich stehen keine miteinander vergleichbaren Sachverhalte in Streit und ist der angerufene Entscheid nicht einschlägig.
3.6. Wie dargelegt kommt ein Parteiwechsel aber nur in Betracht, wenn die Passivlegitimation des Beschwerdegegners 1 vollständig dahinfällt (vgl. E. 3.2 hiervor). Dies ist vorliegend der Fall:
Der Beschwerdeführer bringt insoweit vor, der Beschwerdegegner 1 sei unbestritten Mehrheitsaktionär der Beschwerdegegnerin 2 - eine Aktiengesellschaft nach <ref-law> - und ihm komme Organstellung zu. Auch nach dem Verkauf der Stockwerkeigentumseinheit richte sich ein etwaiges Verbot, diese zu vermieten, daher noch an den Beschwerdegegner 1. Indem das Kantonsgericht sich nicht weiter mit dieser Argumentation auseinandergesetzt habe, habe sie nicht nur <ref-law>, sondern auch den Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>; <ref-law>) verletzt. Damit missachtet der Beschwerdeführer die juristische Selbständigkeit der Beschwerdegegnerin 2 (<ref-law>; <ref-law>), die nach einem Verkauf allein Eigentümerin und damit Vermieterin der Stockwerkeigentumseinheit ist (vgl. E. 3.4 hiervor). Hieran ändert eine Beteiligung des Beschwerdegegners 1 an der Aktiengesellschaft grundsätzlich nichts, und zwar auch dann nicht, wenn diesem eine beherrschende Stellung zukommen sollte. Die eigenständige Rechtspersönlichkeit der Beschwerdegegnerin 2 könnte gegebenenfalls ausser Acht bleiben, wenn der Beschwerdegegner 1 sich missbräuchlich darauf berufen würde (<ref-law>; vgl. allgemein dazu <ref-ruling> E. 8.3.1; zu einer vergleichbaren Sachlage vgl. die Urteile 5A_947/2015 vom 11. April 2016 E. 3 und 5A_965/2015 vom 11. April 2016 E. 3). Solches macht der Beschwerdeführer jedoch nicht geltend und er tut auch nicht dar, dass die Voraussetzungen für einen derartigen Durchgriff gegeben wären (vgl. vorne E. 2.2). Das Vorbringen des Beschwerdeführers vermag daher nicht zu überzeugen und das Kantonsgericht trifft keinen Vorwurf, dass es nicht weiter darauf eingegangen ist.
4.
Zusammenfassend ist es im Ergebnis nicht zu beanstanden, dass das Kantonsgericht den Parteiwechsel zugelassen hat, womit der angefochtene Beschluss der Rechtskontrolle standhält und die Beschwerde abzuweisen ist, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Kosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Den obsiegenden Beschwerdegegnern sind mangels Einholens von Vernehmlassungen im bundesgerichtlichen Verfahren keine entschädigungspflichtigen Kosten angefallen. Parteientschädigung ist daher keine zu sprechen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Schwyz, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Dezember 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber