Sachverhalt:
A.
Mit Gesuch vom 29. Juni 2016 stellte A._ (Gesuchsteller, Beschwerdeführer) als Verwaltungsrat der B._ AG (Gesuchsgegnerin, Beschwerdegegnerin) beim Kantonsgerichtspräsidium Obwalden verschiedene Begehren. U.a. und soweit hier von Bedeutung beantragte er mit Rechtsbegehren Ziffer 7, die Gesuchsgegnerin sei kostenfällig zu verpflichten, ihm Einsicht in ihre Bücher und Akten zu gewähren, insbesondere in: das Aktienbuch; das Register über die wirtschaftlich berechtigten Personen; die Übertragungsdokumente sämtlicher A ktien der Gesuchsgegnerin; sämtliche Protokolle und Protokollauszüge der Generalversammlungen und von Sitzungen des Verwaltungsrats seit dem 25. September 2015; Bücher über den Geschäftsgang seit dem 25. September 2015, insbesondere bezüglich der Vertragsverhandlungen, Vertragsabschlüsse, Vertragsauflösungen, Zahlu ngen an Dr. C._ und Dr. D._ und Auftragserteilungen; die Unterlagen, die gemäss Schreiben von Dr. C._ vom 24. März 2016 die Vorwürfe der Gesuchsgegnerin gegenüber ihm untermauern sollen.
B.
Mit Entscheid vom 20. Dezember 2016 wies der Kantonsgerichtspräsident das Rechtsbegehren Ziffer 7 des Gesuchs ab, da für eine Leistungsklage auf Informationserteilung keine Rechtsgrundlage bestehe.
Gegen diesen Entscheid erhob der Gesuchsteller Berufung beim Obergericht des Kantons Obwalden.
Er beantragte, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben (Rechtsbegehren Ziff. 1) und es sei ihm die Akteneinsicht in dem im Gesuch beantragten Umfang zu gewähren (Rechtsbegehren 2). Eventualiter zu Rechtsbegehren Ziffer 2 sei festzustellen, dass Informationsrechte eines Verwaltungsrats mit Leistungsklage im summarischen Verfahren geltend gemacht werden können, und der Entscheid sei zur Neubeurteilung zurückzuweisen; subeventualiter sei festzustellen, dass Informationsrechte eines Verwaltungsrats mit Leistungsklage im ordentlichen Verfahren geltend gemacht werden können, und der Kantonsgerichtspräsident sei anzuweisen, anstelle eines Sach- einen Nichteintretensentscheid mit Verweis auf die Perpetuierungsmöglichkeit der Rechtshängigkeit (<ref-law>) zu treffen; subsubeventualiter sei der Entscheid zurückzuweisen und der Kantonsgerichtspräsident anzuweisen, anstelle eines Sach- einen Nichteintretensentscheid mit Verweis auf die Perpetuierungsmöglichkeit der Rechtshängigkeit (<ref-law>) zu treffen (Rechtsbegehren Ziff. 3-5).
Ausserdem beantragte er neu, es seien die in der Verwaltungsratssitzung der Gesuchsgegnerin vom 13. Januar 2016 vom Verwaltungsrat gefassten Beschlüsse (Traktanden Nr. 1-5) für nichtig zu erklären (Rechtsbegehren Ziff. 6).
Das Obergericht des Kantons Obwalden wies mit Entscheid vom 24. Mai 2017 die Berufung ab. Es war in Übereinstimmung mit dem Kantonsgerichtspräsidenten der Auffassung, das Recht eines Verwaltungsrats auf Auskunft und Einsicht nach <ref-law> könne nicht gerichtlich durchgesetzt werden, mit welcher Begründung es die Rechtsbegehren Ziff. 1 und 2 abwies. Da die Ansprüche des Gesuchstellers auf gerichtliche Durchsetzung seiner Einsichtsrechte vom Kantonsgerichtspräsidenten zu Recht verneint worden seien, könne sodann offenbleiben, ob die Sache im ordentlichen und nicht im Summarverfahren hätte behandelt werden müssen. Die beantragte Rückweisung an den Kantonsgerichtspräsidenten zur Fällung eines Nichteintretensentscheids aufgrund falscher Verfahrensart würde an der Klärung der Rechtsfrage nichts ändern und zu einem formalistischen Leerlauf führen. Daher seien auch die Rechtsbegehren Ziff. 3-5 abzuweisen.
Immerhin - so das Obergericht weiter - bestehe eine gerichtliche Rechtskontrolle in dem Sinne, als dass das Gericht die Nichtigkeit eines Verwaltungsratsbeschlusses feststellen könne. Nichtigkeit sei von Amtes wegen zu beachten; es sei daher nicht relevant, ob der Gesuchsteller die Nichtigkeit schon im erstinstanzlichen Verfahren geltend gemacht habe. Nichtigkeit liege aber nicht vor, weshalb auch Rechtsbegehren Ziff. 6 abzuweisen sei.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht unter Aufrechterhaltung seiner vor Vorinstanz gestellten Begehren, der Entscheid des Obergerichts vom 24. Mai 2017 sei kostenfällig aufzuheben.
Die Beschwerdegegnerin trägt auf kostenfällige Abweisung der Beschwerde an. Eventualiter sei der Entscheid der Vorinstanz aufzuheben und die Sache an die erste Instanz zurückzuweisen sowie diese anzuweisen, anstelle eines Sach- einen Nichteintretensentscheid zu treffen. Die Vorinstanz hat auf eine Stellungnahme verzichtet, stellt aber den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als Rechtsmittelinstanz (<ref-law>) in einer Zivilsache (<ref-law>) entschieden hat. Es handelt sich um eine vermögensrechtliche Streitigkeit, da auch mit dem Gesuch um Herausgabe und Einsicht in Geschäftsdokumente letztlich ein wirtschaftliches Ziel verfolgt wird (Urteile 4A_36/2010 vom 20. April 2010 E. 1.1; 4C.9/2003 vom 4. April 2003 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; je mit Hinweisen). Der Streitwert beträgt gemäss Angabe der Vorinstanz mehr als Fr. 30'000.-- (<ref-law>), welche Feststellung nicht offensichtlich unrichtig ist (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.1.1 S. 62; Urteil 4A_273/2012 vom 30. Oktober 2012 E. 1.2.2, nicht publ. in: <ref-ruling>).
2.
Die Beschwerdegegnerin hat über die Abweisung hinaus den Antrag gestellt, eventualiter sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache an die erste Instanz zurückzuweisen sowie diese anzuweisen, anstelle eines Sach- einen Nichteintretensentscheid zu treffen. Dies ist vorliegend zulässig, obwohl bei Einreichung der Beschwerdeantwort die Rechtsmittelfrist (<ref-law>) abgelaufen war und das BGG keine Anschlussbeschwerde kennt (Urteil 4A_61/2017 vom 31. August 2017 E. 1). Denn einer Beschwerdegegnerin ist es im Beschwerdeverfahren unbenommen, den angefochtenen Entscheid mit zulässigen Rügen gegen Gründe zu unterstützen, welche die Vorinstanz verworfen hat, für den Fall, dass der Beschwerdeführer mit seinen Argumenten durchdringen sollte (<ref-ruling> E. 6.2 S. 503, vgl. auch <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 458 mit Hinweisen). Ficht der Beschwerdeführer eine Klageabweisung an, muss es der Beschwerdegegnerin infolgedessen grundsätzlich möglich sein, in ihrer Beschwerdeantwort nebst ihrem Hauptbegehren auf Abweisung der Beschwerde eventualiter ein Nichteintreten auf die Klage zu beantragen.
3.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f. mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei willkürlich (<ref-ruling> E. 2 S. 117 mit Hinweis). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die genannten Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90 mit Hinweisen). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
Der Beschwerdeführer macht unter Ziffer 3 (Materielles) und auch im Rahmen seiner rechtlichen Begründung lange Ausführungen zum Sachverhalt, ohne dass die oben dargestellten Voraussetzungen für eine Sachverhaltsergänzung gegeben wären bzw. von ihm dargelegt werden. Darauf ist nicht einzutreten. Entsprechend bleiben auch die diesbezüglichen Ausführungen der Beschwerdegegnerin unbeachtlich.
4.
Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.3 S. 129 mit Hinweisen), was in der Beschwerde ebenfalls näher darzulegen ist (<ref-ruling> E. 3 S. 395). Das Einbringen echter Noven, d.h. von Tatsachen, die erst nach der Fällung des angefochtenen Entscheides entstanden sind, ist vor Bundesgericht grundsätzlich ausgeschlossen (vgl. <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123 mit Hinweis). Die Vorbringen des Beschwerdeführers zu verschiedenen Tatsachen nach dem 24. Mai 2017 sind daher zum vornherein unbeachtlich.
5.
Das Recht auf Auskunft und Einsicht der Verwaltungsräte wird in <ref-law> geregelt. Diese Bestimmung statuiert als Grundsatz, dass jedes Mitglied des Verwaltungsrats Auskunft über alle Angelegenheiten der Gesellschaft verlangen kann (Abs. 1). Im Einzelnen wird insbesondere vorgesehen, dass jedes Mitglied des Verwaltungsrats ausserhalb der Sitzungen von den mit der Geschäftsführung betrauten Personen Auskunft über den Geschäftsgang verlangen (Abs. 3) und, soweit es für die Erfüllung einer Aufgabe erforderlich ist, dem Präsidenten beantragen kann, dass ihm Bücher und Akten vorgelegt werden (Abs. 4).
Das Bundesgericht hat die Frage, ob das Recht der Verwaltungsräte auf Auskunft und Einsicht nach <ref-law> gerichtlich durchgesetzt werden kann, ausdrücklich offengelassen (<ref-ruling> E. 3.4 S. 502). Die Frage ist nun zu entscheiden.
5.1. In der Lehre sind die Auffassungen dazu geteilt (für die Zulässigkeit einer solchen Leistungsklage: JEAN-NICOLAS DRUEY, Unternehmensinterne Informationsversorgung [nachfolgend: Informationsversorgung], in: Informationspflichten des Unternehmens im Gesellschafts- und Börsenrecht, Christoph B. Bühler [Hrsg.], 2003, S. 6 ff.; derselbe, Die Informationsrechte des einzelnen Verwaltungsratsmitglieds, SZW 1993 S. 53; THOMAS CHRISTIAN BÄCHTOLD, Die Information des Verwaltungsrats, 1997, S. 178 ff.; CARBONARA/VON DER CRONE, Aushändigung von Jahresabschlüssen, Entscheid des Schweizerischen Bundesgerichts 4C.9/2003 [<ref-ruling>], SZW 2004 S. 93 f.; WERNLI/RIZZI, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht, Bd. II, 5. Aufl. 2016, N. 13 zu <ref-law>; KATJA ROTH PELLANDA, Organisation des Verwaltungsrates, 2007, Rz. 698 ff.; PASCAL MONTAVON, Droit Suisse de la SA, 3. Aufl. 2004, S. 572; RUDOLF KUNZ, Die Annahmeverantwortung von Mitgliedern des Verwaltungsrats, 2004, S. 225 f.; MIRJAM SIMONE RHEIN, Die Nichtigkeit von VR-Beschlüssen, 2001, S. 92; GUHL/KOLLER/SCHNYDER/DRUEY, Das Schweizerische Obligationenrecht, 9. Aufl. 2000, § 71 Rz. 45; MAJA DOMENICA JÖSLER, Rechtsstreit zwischen Organen und Organmitgliedern, 1998, S. 66 ff.; JEANNETTE WIBMER, in: Aktienrecht, Kommentar, Jeannette K. Wibmer [Hrsg.], 2016, N. 6 zu <ref-law>. A.M.: PETER BÖCKLI, Schweizer Aktienrecht, 4. Aufl. 2009, § 13 Rz. 222 ff.; PETER/CAVADINI, in: Commentaire romand, Code des obligations, Bd. II, 2. Aufl. 2012, N. 36 zu <ref-law>; ERIC HOMBURGER, Zürcher Kommentar, 1997, N. 470 zu <ref-law>; PETER V. KUNZ, Die Klagen im Schweizer Aktienrecht, 1997, S. 155; MARKUS AFFOLTER, Die Durchsetzung von Informationspflichten im Zivilprozess, 1993, S. 6 und bei Fn. 5; DOMINIK REUST, Kontrolle des Verwaltungsrates, 2014, S. 149 f. Ohne eigene Stellungnahme: MÜLLER/LIPP/PLÜSS, Der Verwaltungsrat, 4. Aufl. 2014, S. 107 f.; ROLAND VON BÜREN, in: Grundriss des Aktienrechts, von Büren/Stoffel/Weber [Hrsg.], 2. Aufl. 2007, Rz. 624; FORSTMOSER/MEIER-HAYOZ/NOBEL, Schweizerisches Aktienrecht, 1996, § 28 Rz. 107).
Für die Gegner ist namentlich entscheidend, dass <ref-law> im Gegensatz zur Regelung der Informationsansprüche des Aktionärs (<ref-law>) keine Klagemöglichkeit erwähnt. Sie gehen somit von einem qualifizierten Schweigen des Gesetzgebers aus. Dass Informationsansprüche in andern Rechtsgebieten (z.B. im Auftragsrecht) klageweise durchgesetzt werden können, auch wenn die entsprechenden Bestimmungen das Klagerecht nicht explizit erwähnen, sei nicht entscheidend, denn dabei gehe es um individuelle schuldrechtliche Ansprüche. <ref-law> sei jedoch eine körperschaftsrechtliche Regelung; die Gewährung einer Leistungsklage auf Information würde eine verkappte Anfechtungsklage gegen Verwaltungsratsbeschlüsse darstellen und damit gegen den Grundsatz verstossen, dass solche Beschlüsse nicht angefochten werden können (statt aller: BÖCKLI, a.a.O., § 13 Rz. 222). Demgegenüber sehen die Befürworter einer Leistungsklage im Informationsanspruch nach <ref-law> ein unentziehbares Individualrecht, das als solches auch ohne explizite Bestimmung immer eingeklagt werden kann. Zu begründen wäre daher umgekehrt, weshalb dieser Anspruch - ausnahmsweise und trotz im Gesetzestext nicht statuiertem Ausschluss der Klagemöglichkeit - nicht gerichtlich soll geltend gemacht werden können. Klärungsbedürftig wäre mit Blick auf die Gesetzessystematik also, was das Motiv für die spezielle Erwähnung der Klagemöglichkeit des Aktionärs in <ref-law> sei (statt aller: DRUEY, Informationsversorgung, a.a.O., S. 6 f.; WERNLI/RIZZI, a.a.O., N. 13 zu <ref-law>).
5.2. Das Gesetz muss in erster Linie aus sich selbst heraus, das heisst nach dem Wortlaut, Sinn und Zweck und den ihm zu Grunde liegenden Wertungen auf der Basis einer teleologischen Verständnismethode ausgelegt werden. Die Gesetzesauslegung hat sich vom Gedanken leiten zu lassen, dass nicht schon der Wortlaut die Norm darstellt, sondern erst das an Sachverhalten verstandene und konkretisierte Gesetz. Gefordert ist die sachlich richtige Entscheidung im normativen Gefüge, ausgerichtet auf ein befriedigendes Ergebnis der ratio legis. Dabei befolgt das Bundesgericht einen pragmatischen Methodenpluralismus und lehnt es namentlich ab, die einzelnen Auslegungselemente einer hierarchischen Prioritätsordnung zu unterstellen. Insbesondere bei jüngeren Gesetzen sind auch die Gesetzesmaterialien zu beachten, wenn sie auf die streitige Frage eine klare Antwort geben und dem Gericht damit weiterhelfen (<ref-ruling> E. 4.2 S. 156, 481 E. 3.2.3 S. 485; <ref-ruling> E. 3.1 S. 5; je mit Hinweisen).
5.2.1. Aus der Entstehungsgeschichte von <ref-law> lässt sich nichts Entscheidendes ableiten. Die bisher in Art. 713 aOR (1936) enthaltenen Rechte der Mitglieder des Verwaltungsrates sollten mit der Revision 1991 erweitert werden. Die Mittel (Auskunft und Einsicht), mit denen der Verwaltungsrat seine Pflichten erfüllt, sollten "griffiger" gestaltet werden, weil mit der Revision auch die Aufgaben der Verwaltungsräte genauer umschrieben wurden, womit "ein gewisses Mass an Mehrverantwortung verbunden" sei (Botschaft vom 23. Februar 1983 über die Revision des Aktienrechts, BBl 1983 II 842 Ziff. 215.2 f.). In den Beratungen erfuhren die Auskunfts- und Einsichtsrechte gewisse inhaltliche Änderungen (vgl. im Einzelnen die Darstellung bei BÄCHTOLD, a.a.O., S. 38 ff.). Weder für noch gegen die gerichtliche Durchsetzung der Informationsrechte gegen einen ablehnenden Entscheid des Verwaltungsrats ergibt sich daraus etwas. Dass das Instrumentarium "griffiger" gestaltet werden sollte, bedeutet nicht ohne weiteres eine Rechtskontrolle, sondern kann sich ebenso auf die detailliertere inhaltliche Regelung und Abstufungen der Möglichkeiten beziehen.
5.2.2. <ref-law> hat den Zweck sicherzustellen, dass der Verwaltungsrat seine Aufgaben als Führungs- und Aufsichtsgremium wirksam und effizient wahrnehmen kann und die Bestimmung ist auch das Gegenstück zur individuellen Verantwortlichkeit der Verwaltungsratsmitglieder (<ref-ruling> E. 3.3 S. 137 f.; <ref-ruling> E. 3.3 S. 501; je mit Hinweisen). Wenn der Gesetzgeber davon ausging, die von <ref-law> geschützten Informationsrechte seien notwendig, damit ein Verwaltungsrat seine Führungs- und Aufsichtsaufgaben wirksam erfüllen kann, spricht vor allem dieser Zweck für die Klagemöglichkeit (ebenso: CARBONARA/VON DER CRONE, a.a.O., S. 94; ROTH PELLANDA, a.a.O., Rz. 699). Denn es ist eben nicht auszuschliessen, dass auch der (Gesamt-) Verwaltungsrat - namentlich wenn es zu einer "Parteienbildung" im Verwaltungsrat kommt - als letzte "interne" Instanz eine Auskunft zu Unrecht verweigert, womit das einzelne Mitglied seine Aufsichtsfunktion, die es im Interesse der Gesellschaft auszuüben hat, nicht wahrnehmen kann (i.d.S. auch DRUEY, Informationsversorgung, a.a.O., S. 8). Zudem kann das Wissen darum, dass Informationsrechte nicht klagbar sind, der Verweigerung zu Unrecht Auftrieb geben. Die Klage auf Feststellung der Nichtigkeit eines Verwaltungsratsbeschlusses ist keine Alternative. Folge daraus wäre nämlich nur die Nichtigkeit des Beschlusses, aber noch nicht die Informationsgewährung. Dafür braucht es eine Leistungsklage. Zudem ist Nichtigkeit die Ausnahme und nur mit Zurückhaltung anzunehmen (<ref-ruling> E. 3b S. 474; Urteil 4A_516/2016 vom 28. August 2017 E. 6.1.3). Da eine offensichtlich grundlose Verweigerung von Information praktisch nicht existiere (DRUEY, Informationsversorgung, a.a.O., S. 9), dürfte Nichtigkeit im Zusammenhang mit <ref-law> kaum je in Frage kommen.
5.2.3. Entscheidendes ergibt sich aus der Rechtsnatur des Informationsanspruchs und aus seiner systematischen Einbettung.
5.2.3.1. Ein zentrales Argument gegen die Klage auf Durchsetzung der Informationsansprüche nach <ref-law> ist, dass <ref-law> für die Informationsansprüche der Aktionäre ausdrücklich die gerichtliche Durchsetzung vorsieht, während eine solche explizite Nennung bei <ref-law> fehlt.
Wenn das Gesetz einen Anspruch gewährt, ist grundsätzlich davon auszugehen, dass dieser auch gerichtlich durchgesetzt werden kann, auch wenn dies nicht ausdrücklich gesagt wird. So erwähnt das Gesetz beispielsweise für die Informationsrechte des von der Geschäftsführung ausgeschlossenen einfachen Gesellschafters keine Klagemöglichkeit (<ref-law>), diese besteht aber unbestritten (z.B. Urteile 4A_4/2011 vom 20. Juli 2011 E. 7.2; 4A_38/2011 vom 6. April 2011 E. 4.1). Soll eine gerichtliche Durchsetzung ausnahmsweise nicht möglich sein, wird dies umgekehrt in der Regel ausdrücklich gesagt (<ref-law>; <ref-law>). Der Wortlaut, genauer der fehlende Ausschluss der Klagbarkeit, spricht somit für die Möglichkeit der gerichtlichen Durchsetzung. Wie nachfolgend dargelegt, lässt sich zudem erklären, weshalb in <ref-law> die Klagemöglichkeit speziell erwähnt wird.
Das Bundesgericht hat bereits zu Art. 697 aOR (1936) erkannt, das dort geregelte (noch inhaltlich beschränktere) Recht auf Auskunftserteilung sei ein selbstständiges Mitgliedschaftsrecht des Aktionärs; es könne folglich für sich allein in einem Verfahren durchgesetzt werden, das insbesondere nicht mit einem Anfechtungsverfahren gemäss <ref-law> zusammenhängen müsse (<ref-ruling> E. 2 S. 48; <ref-ruling> E. 4 S. 161 f. mit Hinweis). Damit wich es von einem früheren Entscheid (BGE 53 II 74) ab, in dem es erwogen hatte, das Einsichtsrecht sei kein selbstständiger Anspruch, sondern diene lediglich der Durchführung anderer, dem Aktionär aus der Mitgliedschaft erwachsender Rechte (Stimmrecht, Vertretungs- und Minderheitsrechte, Recht auf Schadenersatz etc.) und sei deshalb von diesen Rechten abhängig. Mit der gesetzlichen Regelung, dass das Recht der Aktionäre auf Auskunft und Einsicht gerichtlich eingefordert werden kann, wurde somit diese von der Rechtsprechung entwickelte Selbstständigkeit in Abgrenzung zu anderen Klagen - namentlich zur Geltendmachung von Schadenersatzansprüchen im Rahmen der Verantwortlichkeit (<ref-law>) und zur Anfechtung von Generalversammlungsbeschlüssen (<ref-law>) - bestätigt und die frühere Rechtsprechung abgelehnt. Beim Recht auf Information der Verwaltungsräte gemäss <ref-law> bestand demgegenüber kein solcher Abgrenzungsbedarf, da dem einzelnen Mitglied des Verwaltungsrats keine vergleichbaren rechtlichen Mittel zustehen.
5.2.3.2. Gegen die Zulässigkeit einer Leistungsklage wird wie erwähnt weiter vorgebracht, dass sie den körperschaftlichen Grundsatz verkenne, wonach Beschlüsse des Verwaltungsrats nicht anfechtbar sind. Eine Leistungsklage auf Information wäre eine verkappte Anfechtungsklage (BÖCKLI, a.a.O., § 13 Rz. 223; diesem folgend HOMBURGER, a.a.O., N. 470 zu <ref-law>).
Der Ausschluss der Anfechtbarkeit von Verwaltungsratsbeschlüssen geht zurück auf BGE 76 II 51 E. 2 f. S. 61 ff. und wurde seither wiederholt bestätigt (<ref-ruling> E. 3b S. 243 f.; Urteil 4P.236/1988 vom 23. Januar 1989 E. 4b/bb; unter Hinweis auf die vorinstanzliche Begründung auch das Urteil C.70/87 vom 13. Juli 1987 E. 2a, nicht publ. in: <ref-ruling>). Nach dieser Rechtsprechung schliesst indessen die Verneinung der Anfechtungsklage nicht aus, dass gegenüber der Gesellschaft selber eine Leistungsklage (Erfüllungsklage) erhoben werden kann, wenn die Gesellschaft - handelnd durch den Verwaltungsrat - einen ihr gegenüber erhobenen gesetzlichen Anspruch verweigert (BGE 76 II 51 E. 4 S. 67 ff.). In diesem Entscheid ging es um den Anspruch eines Aktionärs, ins Aktienbuch eingetragen zu werden. In gleichem Sinn entschied das Bundesgericht, ein Aktionär könne gegen die Gesellschaft auf Herausgabe der Aktien klagen, unabhängig davon, dass die Verweigerung dieser Herausgabe auf einem Beschluss des Verwaltungsrats beruhe und dieser Beschluss selber nicht anfechtbar sei (<ref-ruling> E. 2b S. 276; vgl. aber zit. Urteil 4P.236/1988 E. 4b/bb).
Daraus, dass die Anfechtung von Beschlüssen des Verwaltungsrats ausgeschlossen ist, kann daher nichts Entscheidendes abgeleitet werden. Damit soll nämlich nicht die gerichtliche Durchsetzung von gesetzlich eingeräumten Rechten ausgeschlossen werden. Vielmehr konnte auf eine Anfechtbarkeit von Verwaltungsratsbeschlüssen gerade deshalb verzichtet werden, weil anderweitig Rechte bestehen und auch durchgesetzt werden können (BGE 76 II 51 E. 2 S. 62 f.). Oben (E. 5.2.2) wurde dargelegt, dass der Zweck des Informationsanspruchs vor allem in der Erfüllung der Aufgaben des Verwaltungsrats liegt. Die sorgfältige Erfüllung der übertragenen Aufgaben ist als Pflicht des Verwaltungsrats gegenüber der Gesellschaft zu verstehen. Umgekehrt ist es letztlich die Gesellschaft, welche die Informationen nach <ref-law> schuldet. Zutreffend wird daher in der Lehre die Auffassung vertreten, aus dieser funktionalen Perspektive sei nicht der Verwaltungsrat bzw. die übrigen Verwaltungsräte passivlegitimiert; vielmehr treffe der Verwaltungsrat einen abschlägigen Entscheid betreffend einen geltend gemachten Informationsanspruch für die Gesellschaft und sei daher diese passivlegitimiert (CARBONARA/VON DER CRONE, a.a.O., S. 94; WERNLI/RIZZI, a.a.O., N. 13 zu <ref-law>; BÄCHTOLD, a.a.O., S. 184 f.). Nicht zu folgen ist deshalb dem Einwand von BÖCKLI (a.a.O, § 13 Rz. 225), die Bejahung einer Leistungsklage auf Information beachte auch nicht, dass es hier keineswegs um das Verhältnis des Aktionärs zur Gesellschaft gehe, sondern um dasjenige eines Einzelmitglieds zur Mehrheit des Gesamtgremiums.
Ebenso wie die Rechtsprechung (andere) Leistungsklagen gegen die Gesellschaft nach einem ablehnenden Beschluss des Verwaltungsrates zuliess, kann daher auch der Informationsanspruch des Verwaltungsratsmitglieds klageweise gegen die Gesellschaft durchgesetzt werden, ohne dass dem die Nicht-Anfechtbarkeit von solchen Beschlüssen entgegenstünde.
Die Vorinstanz hat somit die grundsätzliche Klagemöglichkeit zu Unrecht verneint.
Das Gericht hat auf entsprechendes Gesuch des Verwaltungsrats zu prüfen, ob die geltend gemachten Ansprüche auf Einsicht bestehen, namentlich ob die verlangten Informationen zur Erfüllung des Verwaltungsratsmandats erforderlich sind, ob nach allfälliger Beendigung des Mandats ein hinreichender Zusammenhang (etwa aufgrund strittiger Verantwortlichkeits- oder Honoraransprüche) noch besteht, der die Einsichtsgewährung in einem selbstständigen Verfahren rechtfertigt (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 501 f.), oder ob der Einsicht durch das (ehemalige) Verwaltungsratsmitglied überwiegende (Geheimhaltungs-) Interessen der Gesellschaft entgegenstehen.
6.
Beide kantonalen Instanzen liessen offen, ob das Gesuch um Einsicht in die Akten richtigerweise nicht im summarischen, sondern im ordentlichen Verfahren zu behandeln gewesen wäre. Der Beschwerdeführer macht aber zutreffend geltend, implizit hätten die kantonalen Gerichte ihre (sachliche) Zuständigkeit bejaht und damit auch die Verfahrensart, denn das Dispositiv laute auf Abweisung, was Eintreten auf das Gesuch voraussetze. Darauf bezieht sich denn auch der Eventualantrag der Beschwerdegegnerin.
Der Geltungsbereich des summarischen Verfahrens wird in den Artikeln 248 ff. ZPO geregelt. Danach gilt das summarische Verfahren insbesondere für die in Artikel 250 ZPO aufgezählten Angelegenheiten im Bereich des Obligationenrechts. Für das Gesellschaftsrecht werden in <ref-law> dreizehn Angelegenheiten genannt, für die das summarische Verfahren anwendbar ist. Das Recht des Verwaltungsratsmitglieds auf Auskunft und Einsicht nach <ref-law> ist darin nicht aufgeführt, was sich zwanglos damit erklären lässt, dass auch die gerichtliche Durchsetzung dieses Rechts im OR selbst nicht ausdrücklich vorgesehen ist und die Klagbarkeit in der Lehre umstritten war (oben E. 5). Der Katalog von <ref-law> ist indes nicht abschliessend, wie das den Artikel einleitende Wort "insbesondere" zeigt (vgl. auch Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, BBl 2006 7349 Ziff. 5.17). In der Praxis des Bundesgerichts ist denn auch erkannt worden, dass das summarische Verfahren für die aktienrechtliche Auflösungsklage nach <ref-law> gilt, die in <ref-law> nicht ausdrücklich erwähnt ist (<ref-ruling> E. 3.3 S. 169 und E. 3.9 S. 172 f.).
Im Rahmen der gesellschaftsrechtlichen Angelegenheiten weist <ref-law> dem summarischen Verfahren namentlich die Anordnung der Auskunftserteilung an Aktionäre (<ref-law>) und Gläubiger (<ref-law>) zu. Dabei handelt es sich ebenso wie beim Recht auf Auskunft und Einsicht eines Verwaltungsratsmitglieds um einen materiellen (Auskunfts- und Einsichts-) Anspruch, der in einem streitigen Zivilverfahren zu beurteilen ist. Bei dem darüber ergehenden Entscheid handelt es sich um einen Endentscheid, der in materielle Rechtskraft erwächst. Daher gelangt auch das Regelbeweismass - immerhin mit seinen allgemeingültigen Durchbrechungen - zur Anwendung; blosse Glaubhaftmachung genügt nicht (noch vor Erlass der ZPO Urteil 4C.234/2002 vom 4. Juni 2003 E. 4.2.2 und 4.3.2; ferner zum Einsichtsrecht der Gläubiger gemäss Art. 697h Abs. 2 aOR [nunmehr in <ref-law> erfasst] <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 257 f.; <ref-ruling> E. 2b S. 355). Zudem kann diesfalls der Verfahrenszweck erfordern, andere Beweismittel als Urkunden zuzulassen (vgl. Art. 254 Abs. 1 und 2 lit. b ZPO; noch vor der ZPO zu Art. 697h aOR BGE <ref-ruling> E. 2b S. 355). Das bei <ref-law> zur Anwendung gelangende Summarverfahren kann infolgedessen als "atypisch" bezeichnet werden - der summarische Charakter erschöpft sich bei ihm in der Verfahrensbeschleunigung (STEPHAN MAZAN, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 7 vor Art. 248-256 ZPO; ihm folgend ANDREAS GÜNGERICH, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. II, 2012, N. 9 Vorbemerkungen zu Art. 248-270 ZPO; vgl. auch FRANCESCA PESENTI, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, Sutter-Somm et al. [Hrsg.], 3. Aufl. 2016, N. 7 zu <ref-law>). Der Grund für die Zuweisung von <ref-law> zum Summarverfahren ist denn auch in der Raschheit und Flexibilität dieses Verfahrens zu sehen (u.a. Wegfall des Schlichtungsverfahrens [<ref-law>], Möglichkeit des Gerichts, von einer Verhandlung abzusehen [<ref-law>], sowie verkürzte Berufungsfristen [<ref-law>]). Diese Auskunfts- und Einsichtsrechte, die der Ausübung der Aktionärsrechte dienen (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 75; zit. Urteil 4C.234/2002 E. 4.2.1), sind regelmässig auf eine zügige gerichtliche Durchsetzung angewiesen, um ihren Zweck verwirklichen zu können. Nicht zu übersehen ist allerdings, dass das Gericht dabei - obwohl im summarischen Verfahren zu entscheiden ist - zuweilen diffizile Interessenprüfungen und Abwägungen vorzunehmen hat, wobei erst noch unterschiedliche Prüfungstiefen einerseits für die Auskunft (Art. 697 Abs. 1 und 2 OR) und andererseits für die Einsicht (<ref-law>) zur Anwendung gelangen (illustrativ zu alledem zit. Urteil 4C.234/2002 E. 4.2.3 betr. Auskunftsinteresse des Aktionärs, E. 4.3.3 betr. Geheimnisbegriff, E. 5 betr. Umfang des Informationsanspruchs und E. 6.4 betr. Ermessensausübung des Verwaltungsrats).
Die Gründe für die Geltung des Summarverfahrens beim Auskunfts- und Einsichtsrecht der Aktionäre und Gläubiger im Sinne von <ref-law> gelten sinngemäss auch für die Auskunfts- und Einsichtsrechte der Verwaltungsratsmitglieder nach <ref-law>. Das summarische Verfahren zeichnet sich aus durch Flexibilität und Schnelligkeit. Es wird in der Botschaft des Bundesrates als flexibel in der Form bezeichnet, weil es mündlich oder schriftlich geführt werden kann. Und die Schnelligkeit wird namentlich erwartet dank der Beweismittelbeschränkung auf liquide Beweismittel sowie der gerichtlichen Kognition auf Evidenz (vgl. BBl 2006 7349 Ziff. 5.17). Diese Gründe sprechen für die Beurteilung auch des Auskunfts- und Einsichtsrechts des Verwaltungsratsmitglieds im Summarverfahren. Zwar sind diese Auskunfts- und Einsichtsrechte umfassender als diejenigen von Aktionären oder Gläubigern, so dass auch hier mit diffizilen Interessenprüfungen und Abwägungen zu rechnen ist. Allerdings erscheint die Beschränkung der gerichtlichen Kognition auf Evidenz für das Auskunfts- und Einsichtsrecht von Verwaltungsratsmitgliedern angesichts der gebotenen richterlichen Zurückhaltung als sachgerecht und das für die Ausübung des Verwaltungsratsmandats erforderliche Einsichts- und Auskunftsrecht ist auf ein rasches, flexibel gestaltbares Verfahren angewiesen. Der Anspruch des Verwaltungsratsmitglieds auf Einsicht und Auskunft nach <ref-law> ist daher in einem - allerdings "atypischen" - summarischen Verfahren nach Art. 252-256 ZPO zu beurteilen.
Die Sache ist demnach an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie prüfe, ob und gegebenenfalls inwieweit die vom Beschwerdeführer geltend gemachten Einsichtsrechte materiell bestehen und die formellen Voraussetzungen (innergesellschaftliche Verweigerung) vorliegen. Da das kantonale Verfahren zulässigerweise als Summarverfahren geführt wurde, sind die Beschwerdeanträge Ziffer 3-5 gegenstandslos und der Eventualantrag der Beschwerdegegnerin dringt nicht durch.
7.
Gemäss <ref-law> gelten für Beschlüsse des Verwaltungsrats sinngemäss die gleichen Nichtigkeitsgründe wie für Generalversammlungsbeschlüsse. Nichtig sind namentlich Verwaltungsratsbeschlüsse, die in schwerwiegender Weise gegen zwingende und grundlegende Normen des Aktienrechts verstossen. Gegen einen nichtigen Beschluss kann eine Klage auf Feststellung der Nichtigkeit erhoben werden (<ref-ruling> E. 4.2 S. 212 mit Hinweisen); die Nichtigkeit kann auch einredeweise gegenüber einer auf einen entsprechenden Beschluss des Verwaltungsrats gestützten Klage geltend gemacht werden (BGE 74 II 41 E. 4a S. 43).
7.1. Das in der Berufung gestellte Rechtsbegehren Ziffer 6, welches der Beschwerdeführer auch im Beschwerdeverfahren (Ziff. 7) wiederholt, ist sinngemäss ein solches auf Feststellung der Nichtigkeit der an der Verwaltungsratssitzung vom 13. Januar 2016 gefassten Beschlüsse. Erstinstanzlich hatte er keinen solchen Antrag gestellt. Die Vorinstanz erachtete dies entgegen der Auffassung der Beschwerdegegnerin als nicht relevant; es sei auch nicht zu beurteilen, ob neue Tatsachen und Beweismittel vorliegen, da Nichtigkeit von Amtes wegen immer zu beachten sei. Entsprechend sei der Berufungsantrag Ziffer 6 zu prüfen.
7.2.
7.2.1. Zum Hinweis der Vorinstanz, dass offenbleiben könne, ob neue Tatsachen und Beweismittel vorlägen, ist vorweg festzustellen, dass das Bundesgericht bis anhin nicht entschieden hat, ob Nichtigkeit auch in tatsächlicher Hinsicht von Amtes wegen zu prüfen ist, sodass <ref-law> unbeachtlich wäre. Es hat die Frage vielmehr ausdrücklich offengelassen (Urteile 5A_351/2015 vom 1. Dezember 2015 E. 4.3; 5A_482/2014 vom 14. Januar 2015 E. 5). Auch vorliegend muss die Frage nicht entschieden werden.
7.2.2. Zwar trifft es zu, dass Nichtigkeit jederzeit und von sämtlichen staatlichen Instanzen von Amtes wegen zu beachten ist und auch im Rechtsmittelweg festgestellt werden kann (<ref-ruling> E. 2.4.3 S. 226; zit. Urteil 5A_351/2015 E. 4.2). Die Prüfung bzw. Feststellung der Nichtigkeit von Amtes wegen setzt aber voraus, dass der Entscheid/Beschluss, dessen Nichtigkeit in Frage steht, überhaupt Gegenstand des Verfahrens ist. Wird etwa ein Beschluss der Generalversammlung als ungültig angefochten (Art. 706 f. OR) und ergibt sich, dass das Klagerecht hinsichtlich bestimmter Anfechtungsgründe verwirkt ist, so kann die Nichtigkeit des Beschlusses (<ref-law>) von Amtes wegen hinsichtlich der im Rahmen von Art. 706 f. OR nicht mehr zu prüfenden Sachverhalte beurteilt werden (Urteil 4A_10/2012 vom 2. Oktober 2012 E. 3 und 4). In gleicher Weise entschied das Bundesgericht, die Nichtigkeit eines Vereinsbeschlusses kann von Amtes wegen festgestellt werden, nachdem sich im Rahmen der Anfechtungsklage ergeben hat, dass die Anfechtungsfrist (<ref-law>) verpasst wurde (zit. Urteil 5A_482/2014 E. 2 und 5). Die Nichtigkeit eines Entscheids kann aber nicht von Amtes wegen überprüft werden, wenn dieser nicht Gegenstand des Verfahrens ist und sich dessen allfällige Nichtigkeit auch nicht auf die Beschwerdesache auswirken kann (Urteil 5A_150/2012 vom 28. März 2012 E. 6 betreffend Nichtigkeit eines früheren familienrechtlichen Urteils in einem späteren Abänderungsverfahren).
Vorliegend hat der Beschwerdeführer sein Rechtsbegehren auf Feststellung der Nichtigkeit des Verwaltungsratsbeschlusses vom 13. Januar 2016 erst im Berufungsverfahren gestellt. Dass die Voraussetzungen für eine Klageänderung im Rechtsmittelverfahren erfüllt gewesen wären (<ref-law>), stellte die Vorinstanz nicht fest und macht auch der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde nicht geltend. Soweit die Nichtigkeit also zum Gegenstand einer eigentlichen Feststellungsklage gemacht wurde, wäre die Vorinstanz als obere kantonale Instanz zu deren Behandlung funktionell nicht zuständig gewesen, was von Amtes wegen zu berücksichtigen gewesen wäre und auch vom Bundesgericht von Amtes wegen berücksichtigt werden kann (<ref-ruling> E. 2.1 S. 276 mit Hinweisen). Anders als die Nichtigkeit von Verfügungen und anderen staatlichen Akten, die auch ohne entsprechendes Begehren dispositivmässig festgestellt werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 349), setzt die in Rechtskraft erwachsende Feststellung der Nichtigkeit von Verwaltungsratsbeschlüssen im Dispositiv ein dahingehendes Begehren voraus (vgl. <ref-law>), auch wenn Nichtigkeit als solche von Amtes wegen zu beachten ist. Die Vorinstanz hat sich nicht zu dieser prozessualen Frage geäussert bzw. ihr Vorgehen ist widersprüchlich. So hält sie einleitend zu ihren Erwägungen betreffend Nichtigkeit fest, das Berufungsbegehren Ziffer 6 (d.h. das Feststellungsbegehren) sei zu prüfen. Gemäss Dispositiv hat sie jedoch lediglich die Berufung abgewiesen, mithin das neu bei ihr anhängig gemachte Feststellungsbegehren gar nicht behandelt bzw. - jedenfalls sinngemäss - ist sie darauf zu Recht nicht eingetreten.
Gegenstand des Verfahrens war, soweit hier interessierend, einzig das Rechtsbegehren auf Einsicht (erstinstanzlich Ziffer 7, im Berufungsverfahren Ziffer 2). Die Vorinstanz konnte die Nichtigkeit des Verwaltungsratsbeschlusses nur im Rahmen dieses Streitgegenstands beurteilen und soweit sich eine allfällige Nichtigkeit auf diesen Streitgegenstand auswirken konnte. Voraussetzung wäre also, dass die vom Beschwerdeführer gerügte Versetzung in den "Ausstand" anlässlich der Verwaltungsratssitzung vom 13. Januar 2016 - d.h. sein Ausschluss von der Teilnahme an weiteren Sitzungen des Verwaltungsrats - Einfluss auf das Einsichtsrecht hatte, wie es in seinen Rechtsbegehren verlangt wurde. Der Ausschluss von der Teilnahme an Sitzungen des Verwaltungsrats kann aber nur insoweit von Bedeutung sein, als damit Auskunftsbegehren innerhalb solcher Sitzungen gemäss <ref-law> entfallen. Vorliegend verlangt der Beschwerdeführer aber mit seinem Rechtsbegehren nicht Auskunft, sondern Einsicht in verschiedene Bücher und Akten. Dieser Anspruch ist in <ref-law> geregelt und hängt nicht von der Teilnahme an Sitzungen des Verwaltungsrats ab (BBl 1983 921 Ziff. 332.2). Die allfällige Nichtigkeit des Ausschlusses an der Sitzung vom 13. Januar 2016 war daher ohne Bedeutung für das streitgegenständliche Informationsbegehren und hätte deshalb auch nicht von Amtes wegen geprüft werden dürfen. Dieser Ausschluss ist auch im Rahmen der Rückweisung bei der Beurteilung des Einsichtsbegehrens nicht zu prüfen.
8.
Die Beschwerde ist teilweise gutzuheissen, nämlich soweit sie sich auf die Aufhebung des angefochtenen Entscheids bezieht. Die Sache ist zu neuer Begründung und Beurteilung des Einsichtsrechts an die Vorinstanz zurückzuweisen. Insbesondere bezüglich Feststellung der Nichtigkeit des Verwaltungsratsbeschlusses vom 13. Januar 2016 ist der Beschwerde aber kein Erfolg beschieden. Bei diesem Ausgang des Verfahrens rechtfertigt es sich, die Kosten des Beschwerdeverfahrens den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen und keine Parteientschädigungen zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der angefochtene Entscheid wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Begründung und Beurteilung an das Obergericht des Kantons Obwalden zurückgewiesen. Im Übrigen werden die Beschwerde sowie der Eventualantrag der Beschwerdeantwort abgewiesen, soweit sie nicht gegenstandslos sind.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt.
3.
Es werden für das bundesgerichtliche Verfahren keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Obwalden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Februar 2018
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Lüthi