Sachverhalt:
A.
A._ ist die frühere Lebenspartnerin von E._, der 2010 verstarb. Am 27. Juli 2015 zeigte sie dessen geschiedene Ehefrau, B._, sowie die Söhne C._ und D._ an wegen Unterdrückung von Urkunden, Erschleichung einer falschen Beurkundung und Prozessbetrugs. Sie wirft den Beanzeigten vor, ein Testament beiseite geschafft resp. vernichtet zu haben, das E._ zwischen dem 27./28. Juni und dem 26. Juli 2010 errichtet haben müsse. Darin sei sie, A._, im Umfang der verfügbaren Quote als Erbin eingesetzt.
Die Staatsanwaltschaft See/Oberland stellte das Strafverfahren am 29. Januar 2019 ein.
B.
Das Obergericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wies es ab (Verfügung und Beschluss vom 24. Mai 2019).
C.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen. Sie beantragt, die Sache sei an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese die Staatsanwaltschaft anweise, die Strafuntersuchung durchzuführen. Für die kantonalen Verfahren sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Ausserdem stellt A._ ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.

Erwägungen:
1.
1.1. Nach <ref-law> ist zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Der Privatklägerschaft wird ein rechtlich geschütztes Interesse zuerkannt, wenn sie im kantonalen Verfahren adhäsionsweise Zivilansprüche geltend gemacht hat und der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung dieser Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 1.2.3 S. 439). Nach der Rechtsprechung muss die Privatklägerschaft die Zivilansprüche im Untersuchungsverfahren noch nicht (adhäsionsweise) geltend gemacht haben, damit sie zur Beschwerde gegen definitive Einstellungen befugt ist. Sie hat allerdings darzulegen, aus welchen Gründen sich die angefochtene Einstellung inwiefern auf welche Zivilforderung auswirken kann. Genügt die Beschwerde diesen Anforderungen nicht, tritt das Bundesgericht auf das Rechtsmittel nur ein, wenn aufgrund der Natur der in Frage stehenden Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, welcher Art die Zivilforderung ist (<ref-ruling> E. 1.1 S. 4 f.; <ref-ruling> E. 3 S. 88; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 247; Urteil 6B_336/2019 vom 7. November 2019 E. 1.1).
Die Beschwerdeführerin äussert sich nicht zur Eintretensfrage. Der Zusammenhang zwischen der anbegehrten strafrechtlichen Untersuchung und den erbrechtlichen Ansprüchen der Beschwerdeführerin ist freilich evident. Insoweit ist auf die Beschwerde einzutreten.
1.2. Angesichts eines inzwischen rechtskräftig abgeschlossenen erbrechtlichen Rechtsstreits unter den Parteien ist zu klären, inwieweit noch zivilrechtliche Ansprüche im Raum stehen, d.h. das Rechtsschutzinteresse der Beschwerdeführerin aktuell ist.
Das Bundesgericht hat am 20. Juni 2019 erkannt, dass eine erbrechtliche Klage der Beschwerdeführerin zu Recht abgewiesen worden ist. Darin hatte sie verlangt, die Söhne von E._ seien solidarisch zu verpflichten, ihr "10 Mio. Schweizer Franken gemäss Vermächtnis des Erblassers vom 7. November 2008 zuzüglich 5 % Verzugszinsen seit 30. Juli 2010 zu bezahlen" (Urteil 5A_69/2019 lit. C.a).
Mit im Original erhaltener letztwilliger Verfügung vom 7. November 2008 hatte E._ u.a. den Willen bekundet, seiner Lebenspartnerin A._ ein Vermächtnis von zehn Millionen Franken zu hinterlassen. Gemäss einem vom 17. März 2010 datierenden weiteren Testament, das nur in Kopie vorhanden ist, sollte A._ bis fünf Jahre nach seinem Ableben monatlich den Betrag von Fr. 15'000.-- erhalten. Unter dem Titel "Verhältnis zu früheren Verfügungen" verfügte der Erblasser, das Testament vom 17. März 2010 ersetze alle früheren letztwilligen Verfügungen und Testamente einschliesslich aller Nachträge zu diesen. In einem "Nachtrag zum Testament vom 17. März 2010", der vom 27. Juni 2010 datiert und ebenfalls nur in Kopie vorhanden ist, ergänzte der Erblasser, der Anspruch von A._ solle spätestens am 15. April 2015, das heisst fünf Jahre nach der Trennung, erlöschen.
Das Bundesgericht stellte fest, dass E._ im Testament vom 17. März/27. Juni 2010 seinen Testierwillen erklärte und dieses Testament alle früheren letztwilligen Verfügungen und Testamente einschliesslich aller Nachträge zu diesen ersetzte (Urteil 5A_69/2019 E. 2 und E. 3 Ingress). Weiter galt es zu klären, welche Konsequenzen sich aus dem Umstand ergeben, dass der Erblasser das Testament vom 17. März/27. Juni 2010 gemäss übereinstimmender Auffassung der Parteien in Aufhebungsabsicht vernichtet hatte. Das Bundesgericht hielt fest, es sei nicht gesichert, ob der Erblasser mit der Vernichtung des Testaments vom 17. März/27. Juni 2010 die gesetzliche Erbfolge eintreten lassen wollte oder nicht. Es seien keine Umstände erstellt, aus denen sich ein erklärter rechtsgeschäftlicher Wille ergebe, die letztwillige Verfügung vom 7. November 2008 wieder in Kraft zu setzen. Das Bundesgericht schützte die Entscheide der kantonalen Instanzen, die den Inhalt des Testaments vom 17. März/27. Juni 2010 anhand einer Kopie ermittelten und feststellten, dass dieses Testament alle früheren letztwilligen Verfügungen ersetzen sollte. Durch den Realakt der Vernichtung der Urkunde der letztwilligen Verfügung vom 17. März/27. Juni 2010 allein lebe das Testament vom 7. November 2008, das durch die Verfügung aus dem Jahr 2010 ersetzt wurde, nicht wieder auf. Es sei kein erklärter Wille des Erblassers erstellt, wonach er die ursprüngliche Verfügung wieder in Kraft setzen wollte. Daher bleibe es bei der Abweisung der Vermächtnisklage (Urteil 5A_69/2019 E. 3.5 und E. 4).
Die Beschwerdeführerin ist der Auffassung, im Juni oder Juli 2010 habe E._ ein weiteres Testament errichtet, das die Beschwerdegegner 2-4 beiseitegeschafft resp. vernichtet hätten. Mit diesem neuen Testament habe der Erblasser sie nicht mehr als Vermächtnisnehmerin, sondern als Erbin im Rahmen der verfügbaren Quote eingesetzt. Insofern stehen nach wie vor Zivilansprüche infrage, auf die sich der angefochtene Entscheid auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Das aktuelle Rechtsschutzinteresse der Beschwerdeführerin ist intakt.
2.
2.1. Die Beschwerdeführerin rügt, die Staatsanwaltschaft habe nach ihrer Anzeige keine Untersuchungshandlungen durchgeführt, bevor sie das Verfahren rund dreieinhalb Jahre später eingestellt habe. Sie begründe die Einstellung einzig mit der Würdigung von Zeugenaussagen im Zivilverfahren, wonach nichts auf ein im Sommer 2010 errichtetes Testament hinweise, und lehne weitere Befragungen mit dem blossen Hinweis ab, eine solche Vorkehr vermöge die Beweislage nicht zu verändern. Es sei nicht mit dem Untersuchungsgrundsatz und dem Verfolgungszwang vereinbar, das Vorverfahren abzuschliessen, ohne die beschuldigten Personen und Auskunftspersonen/Zeugen einvernommen zu haben. Ebensowenig sei es statthaft, auf die Akten eines Zivilprozesses mit anderem Thema zu verweisen. Denn dort gehe es darum, ob das Vermächtnis vom 7. November 2008 (Legat von 10 Mio. Franken an die Beschwerdeführerin) oder die dispositive gesetzliche Erbfolge zur Anwendung komme. Während die Beschwerdeführerin im Zivilprozess dafür halte, dass durch die Vernichtung des "Widerrufstestaments" vom 17. März 2010 und die Nichtvernichtung des Legatstestaments vom 7. November 2008 Letzteres wirksam werden sollte, machten die Beschwerdegegner 3 und 4 dort geltend, das nichtvernichtete Legatstestament sei aufgrund des (später vernichteten) Widerrufstestaments bleibend unwirksam geworden. Im vorliegenden Verfahren gehe es, anders als im Zivilprozess, darum, ob der Erblasser in den letzten Wochen seines Lebens - im Zusammenhang mit der Vernichtung des Widerrufstestaments vom 17. März 2010 - ein letztes Testament errichtet habe. Die Vorinstanz antizipiere zu Unrecht, es bestünden keinerlei Hinweise auf ein im Juni oder Juli 2010 errichtetes Testament, mit welchem die Beschwerdeführerin zulasten der Quote der Söhne des Erblassers begünstigt worden sei.
2.2. Nach <ref-law> verfügt die Staatsanwaltschaft unter anderem dann die vollständige oder teilweise Einstellung des Verfahrens, wenn kein Tatverdacht erhärtet ist, der eine Anklage rechtfertigt (lit. a). Eingestellt werden darf grundsätzlich nur bei klarer Straflosigkeit oder offensichtlich fehlenden Prozessvoraussetzungen (Grundsatz in dubio pro duriore). Hingegen ist (sofern die Erledigung mit einem Strafbefehl nicht in Frage kommt) Anklage zu erheben, wenn eine Verurteilung wahrscheinlicher erscheint als ein Freispruch. Ist ein Freispruch genauso wahrscheinlich wie eine Verurteilung, drängt sich in der Regel, insbesondere bei schweren Delikten, eine Anklageerhebung auf (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 243; <ref-ruling> E. 4.1 S. 190).
Gegenstand des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens ist, ob die Vorinstanz einen hinreichenden Tatverdacht verneinen durfte. Auf der Ebene des Sachverhalts greift das Bundesgericht nur ein, wenn die Vorinstanz willkürlich von einer (die Straflosigkeit bewirkenden) "klaren Beweislage" ausgeht. Dies trifft zu, wenn der Schluss, es liege ein klarer Sachverhalt vor, schlechterdings unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 2.3.2 S. 245; Urteil 6B_1308/2018 vom 11. April 2019 E. 2.1.2; zur Anwendung des Grundsatzes in dubio pro duriore als Rechtsregel vgl. <ref-ruling> E. 2.3.3 S. 245).
2.3. Die Staatsanwaltschaft bezog sich in der strittigen Einstellungsverfügung auf Zeugeneinvernahmen, die das Obergericht des Kantons Zürich im erbrechtlichen Prozess am 28. Juni 2018 durchgeführt hat.
2.3.1. So beruft sich die Beschwerdeführerin auf eine Aussage von Dr. F._, der seit vielen Jahren mit dem Erblasser befreundet war. Der Zeuge habe vor Obergericht deponiert, nach dem Tod des Erblassers habe er gewusst, "dass da etwas schief laufe", und, der Erblasser habe ihm noch kurz vor seinem Ableben gesagt, er sei entspannt, habe alles geregelt. Diese Äusserungen machten klar, dass er eine testamentarische Regelung vorgenommen habe. Die Vorinstanz führt aus, es sei nicht damit zu rechnen, dass der Zeuge in einer staatsanwaltschaftlichen Befragung aussagen werde, der Erblasser habe ein weiteres Testament errichtet, mit welchem er die Söhne auf den Pflichtteil setze und der Beschwerdeführerin die verfügbare Quote zuweise. Der Zeuge habe vor Obergericht ausgesagt, das Testament vom März 2010 sei entstanden, als die Beziehung zur Beschwerdeführerin vorbei gewesen sei. So habe sich der Erblasser nicht mehr verpflichtet gesehen, die Beschwerdeführerin dauerhaft abzusichern (angefochtener Beschluss, S. 10 f. E. 4.2.2). Vor diesem Hintergrund weist die Vorinstanz an anderer Stelle darauf hin, dass im Testament vom November 2008 noch ein Vermächtnis von 10 Mio. Franken an die Beschwerdeführerin vorgesehen gewesen sei, im Testament vom März 2010 nur noch ein solches von monatlich Fr. 15'000.-- während fünf Jahren nach seinem Ableben resp. (gemäss Nachtrag vom Juni 2010) während fünf Jahren seit der Trennung, d.h. bis Mitte April 2015. Nach Aussage eines anderen Zeugen habe der Erblasser der Beschwerdeführerin umso weniger zukommen lassen wollen, je länger er von ihr getrennt gewesen sei (a.a.O., S. 14 E. 4.2.6).
Nach Feststellung der Vorinstanz bezogen sich die Aussagen des Zeugen Dr. F._ auf den (im Zivilprozess relevanten) Umstand, dass das Originaltestament von März 2010 nicht gefunden worden war; sie wiesen keinen Zusammenhang zum beanzeigten Sachverhalt auf. Die Beschwerdeführerin hält dagegen, die Aussage des Zeugen Dr. F._, der Verstorbene habe ihm gesagt, er sei entspannt, er habe alles geregelt, sei nicht vereinbar mit der Darstellung der Beschwerdegegner 2-4, der Erblasser habe das Testament vom März 2010 in Aufhebungsabsicht vernichtet und damit keine testamentarische Erbfolge, sondern eine solche nach dispositivem Gesetzesrecht gewollt. Vielmehr habe der Erblasser nach der Vernichtung des Testaments vom 17. März 2010 mit einem kurz vor seinem Tod errichteten Testament bekräftigt, die Beschwerdeführerin entsprechend dem Legatstestament von 2008 oder weitergehend zu begünstigen. Die Behauptung der Beschwerdegegner stehe auch im klaren Gegensatz zur Aussage des Zeugen Dr. G._ - der den Erblasser als Arzt und enger Freund in den letzten Wochen seines Lebens praktisch täglich begleitet hat (Urteil 5A_69/2019 E. 2.1) -, der Verstorbene habe ihm gesagt, alles schriftlich hinterlegt zu haben (vgl. angefochtener Beschluss S. 11 E. 4.2.3). Bezüglich des Testaments vom 17. März 2010 habe der Zeuge Dr. G._ ausgesagt, es sei der erklärte Wunsch des Erblassers gewesen, die Beschwerdeführerin und ihre Tochter H._ abzusichern. Der Zeuge habe sich überrascht gezeigt, dass kein Originaltestament von 2010 vorliege. Es sei offenkundig, dass der Erblasser niemals gewollt haben könne, die gesetzliche Erbfolge ohne jede finanzielle Absicherung der Beschwerdeführerin eintreten zu lassen. Damit liege ein klarer Anhaltspunkt für ein Testament aus dem Jahr 2010 vor. Bei dieser Verdachtslage hätte ein Vorverfahren eröffnet und die Sache strafprozessual näher abgeklärt werden müssen. Das ergebe sich auch aus den Aussagen der Zeugin I._ (Ehefrau des Zeugen Dr. G._) : Der Erblasser habe ihr gegenüber noch im Juli 2010 geäussert, für die Beschwerdeführerin und ihre Tochter vorgesorgt zu haben. Dies lasse wiederum auf eine testamentarische Absicherung schliessen.
Die Beschwerdeführerin geht nicht auf die vorinstanzlichen Erwägungen ein, soweit darin dargetan wird, dass der Erblasser nach der Trennung von der Beschwerdeführerin sich von ihr distanzierte und sich dies in den letztwilligen Verfügungen von März/Juni 2010 niederschlug. Soweit die Beschwerdeführerin ungeachtet dieser Entscheidmotive behauptet, der Erblasser habe sich kurz darauf grundlegend zu ihren Gunsten umbesonnen, kann auf ihre Beschwerde nicht eingetreten werden (vgl. <ref-law>). Im Übrigen sind die in den Zeugenaussagen zitierten mündlichen Willensbekundungen des Erblassers kaum geeignet, die von der Beschwerdeführerin vertretene These zu untermauern: Aus dem Protokoll der obergerichtlichen Einvernahme des Dr. F._ vom 28. Juni 2018 ergibt sich, dass seine Aussage "Da wusste ich, da läuft etwas schief", aus einer Irritation des Zeugen über die Äusserung des Willensvollstreckers J._ entstanden war. Diesem zufolge habe der Erblasser das Original des Testaments (von März 2010) offenbar vernichtet, da er sehr verwirrt gewesen sei. Gemäss dem Zeugen Dr. F._ war der Erblasser im Zeitraum Ende Juni 2010 jedoch keinesfalls verwirrt, als er ihm gegenüber geäussert habe, er sei entspannt und für ihn sei nun alles geregelt. Er habe angefügt, "alles" liege nun bei der Kanzlei des Willensvollstreckers. In diesem Kontext gab der Zeuge zu Protokoll, es scheine ihm unmöglich, dass der Erblasser das Testament in einer Verwirrtheit selbst zerstört habe (Einvernahme Dr. F._, S. 8). Die von der Beschwerdeführerin angeführten Aussagen beziehen sich somit, wie die Vorinstanz richtig erkannt hat, auf den Verbleib des Testaments von März/Juni 2010. Der Zeuge Dr. F._ hätte kaum geäussert, dabei handle es sich seiner Meinung nach immer noch um das "richtige", das "greifende" Testament (a.a.O, S. 6), wenn er Anhaltspunkte für die Existenz eines neuen Testaments gehabt hätte. Auch der Zeuge Dr. G._ bezog sich eindeutig auf das ihm bei der Befragung vom 28. Juni 2018 vorgelegte Testament vom 17. März 2010, als er vor Obergericht bekräftigte, dieses Dokument entspreche dem gefestigten Willen des Erblassers (Einvernahme Dr. G._, S. 7); er sei überrascht, dass kein Originaltestament vorliege, und es wäre eindeutig gegen den Willen des Erblassers gewesen, wenn die Beschwerdeführerin und ihre Tochter leer ausgehen würden (a.a.O., S. 9). Das schliesst aus, dass er um ein weiteres Testament gewusst oder auch nur Entsprechendes vermutet hat. Eine weitergehende Bedeutung hat auch die Aussage der Zeugin I._ nicht, wonach der Erblasser im Juli 2010 gesagt habe, er werde sich um die Beschwerdeführerin kümmern und schauen, dass sie keine Sorgen haben werde und dass ihre Tochter eine gute Ausbildung bekomme (Einvernahme I._, S. 5).
2.3.2. Weiter beruft sich die Beschwerdeführerin auf die Zeugin K._, die im Haus des Erblassers in U._ im Haushalt und als Köchin tätig war. Vor Obergericht habe sie ausgesagt, der Erblasser habe ihr und ihrem Mann gegenüber davon gesprochen, der Beschwerdeführerin eine grosse Geldsumme zu hinterlassen (Einvernahme K._, S. 7). Auch diese Zeugenaussage widerspreche der Behauptung der Söhne, der Erblasser habe die gesetzliche Erbfolge ohne jede Vermögenszuwendung zugunsten der Beschwerdeführerin gewollt; wenn der Erblasser das Testament von März/Juni 2010 vernichtet habe, so habe er unter diesen Umständen ein aktuelleres Testament hinterlassen müssen, dies mindestens in Form eines Verweises auf das Testament vom 7. November 2008. Da nur die Beschuldigten Zugriff auf diese Dokumente hätten, bestehe ein dringender Verdacht, dass sie entsprechende Urkunden beiseite schufen.
Vor dem Hintergrund der weiteren Zeugenaussagen ist auch aus der Deposition der Zeugin K._ nichts abzuleiten, was über den im Testament von März/Juni 2010 ausgedrückten Willen des Erblassers hinausginge. Dem angefochtenen Beschluss ist zu entnehmen, dass die von der Zeugin zitierte Äusserung des Erblassers im Frühjahr 2010 gefallen sein muss. Aus der Aussage K._ kann daher nicht auf ein erst Ende Juni/Juli 2010 aufgesetztes Testament mit einer Erbeinsetzung der Beschwerdeführerin geschlossen werden, dies zumal der Erblasser der Beschwerdeführerin auch im Testament vom März/Juni 2010 eine grosse Geldsumme zugedacht hat.
2.3.3. Weiter macht die Beschwerdeführerin geltend, der Wille des Erblassers, sie durch Errichtung eines Testaments - oder auch eines Trusts - abzusichern, sei durch Einvernahme des Rechtsanwalts Dr. L._ abzuklären. Indem ihn die Staatsanwaltschaft nicht befragt habe, habe sie den Untersuchungsgrundsatz krass verletzt. Auch Rechtsanwalt Dr. M._ habe sich nach dem Ausscheiden seines Praxiskollegen Dr. N._ mit testamentarischen Anordnungen des Erblassers befasst und den Erblasser beraten. Es sei unerfindlich, warum Rechtsanwalt Dr. M._ nur deswegen nicht als Zeuge von der Staatsanwaltschaft befragt werden sollte, weil Praxiskollege Dr. N._ nichts über ein später erstelltes Testament gewusst haben wolle.
Die Vorinstanz hält fest, weder plausibilisiere die Beschwerdeführerin, welche Angaben Rechtsanwalt Dr. L._ zu einem allenfalls vernichteten Testament machen könne, noch sei ersichtlich, was Rechtsanwalt Dr. M._, der den Erblasser zusammen mit seinem Praxiskollegen Dr. N._ im Hinblick auf das Testament von März 2010 und dessen Ergänzung von Juni 2010 beraten hatte, über allfällige spätere Festlegungen des Erblassers aussagen könnte. Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, inwiefern der daraus gezogene Schluss der Vorinstanz, die Staatsanwaltschaft habe die beantragten Einvernahmen zu Recht abgelehnt, unhaltbar sein sollte.
2.3.4. Die Beschwerdeführerin beantragte im kantonalen Verfahren, die Zeugin K._ sowie deren Ehemann und eine weitere Person seien über eine "Aufräumaktion" in der Villa des Erblassers in U._ zu befragen, mit welcher Unterlagen weggeschafft worden seien. Dem hält die Vorinstanz entgegen, die betreffenden Beweismassnahmen versprächen keinen Aufschluss über die Existenz resp. Vernichtung - geschweige denn über den Inhalt - eines Ende Juni/Juli erstellten Testaments. Die Staatsanwaltschaft habe zu Recht auf die Befragungen verzichtet. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern diese Festlegung willkürlich sein sollte, zumal kaum vorstellbar ist, dass die zu befragenden Personen Wahrnehmungen über Natur und Inhalt von allenfalls weggebrachten Dokumenten machen könnten.
2.3.5. Sieht die Vorinstanz keine Hinweise auf ein weiteres Testament, das Gegenstand einer strafbaren Handlung gewesen sein könnte, geht sie des Weitern davon aus, die beantragte Hausdurchsuchung bei der Anwaltskanzlei, die den Verstorbenen in Erbschaftsangelegenheiten beraten hatte, erübrige sich. Es fehle an einem hinreichenden Verdacht auf eine strafbare Handlung und somit an einer Voraussetzung für eine derartige Zwangsmassnahme (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin erhebt auch hier eine Willkürrüge. Sie beruft sich auf die Möglichkeit, dass Unterlagen zutage gefördert werden könnten, die ihre These über das Vorhandensein eines zu ihren Gunsten abgefassten Testaments bestätigten. Dafür verweist die Beschwerdeführerin auf die Aussagen von Zeugen, die den Willen des Erblassers, sie finanziell abzusichern, bestätigen könnten. Nachdem sich die betreffenden Aussagen aber auf das Testament von März/Juni 2010 beziehen (oben E. 2.3.1-2.3.2), verletzt die vorinstanzliche Ablehnung der beantragten Hausdurchsuchung das Untersuchungsprinzip bereits aus diesem Grund nicht.
2.3.6. Schliesslich rügt die Beschwerdeführerin, der Verzicht der Staatsanwaltschaft, die geschiedene Ehefrau und die Söhne des Erblassers als Beschuldigte zu befragen, dürfe nicht mit der blossen Begründung geschützt werden, es sei nicht zu erwarten, dass sich diese Personen selbst belasten würden. Es sei wesentliches Element jeder Strafuntersuchung, im Interesse der materiellen Wahrheit durch gezielte Fragen und Konfrontation des Beschuldigten mit Zeugenaussagen allfällige Ungereimtheiten zutage zu fördern. Auch hier zeige sich, dass die Staatsanwaltschaft trotz des dreieinhalb Jahre dauernden Verfahrens keine Untersuchungshandlungen getätigt und damit kein Vorverfahren durchgeführt habe, sondern die Sache vielmehr nicht an die Hand genommen habe.
Die von der Beschwerdeführerin angerufenen prozessualen Parteirechte in Zusammenhang mit einer Befragung der Beschuldigten (Ergänzungsfragen, Konfrontation) setzen bei einem greifbaren Verdacht an. An einem solchen fehlt es nach dem Gesagten indes.
2.4. Insgesamt schliesst die Vorinstanz willkürfrei auf eine klare Beweislage (vgl. oben E. 2.2), wonach es keine Hinweise auf ein Testament gibt, das die Beanzeigten hätten beiseite schaffen können (angefochtener Beschluss, S. 8 ff. E. 4.1 ff. und S. 15 E. 5). Mangels ersichtlichem Tatobjekt ist daher kein Tatverdacht erhärtet, der eine Anklage rechtfertigt (<ref-law>).
Im Übrigen hat die Staatsanwaltschaft das Verfahren zu Recht mit einer Einstellungsverfügung (<ref-law>) - und nicht durch Nichtanhandnahme (<ref-law>) - beendet: Der Beizug von Akten (hier des erbrechtlichen Prozesses) im Sinne von <ref-law> ist eine Untersuchungshandlung, die grundsätzlich ein eröffnetes Strafverfahren voraussetzt (Urteile 6B_875/2018 vom 15. November 2018 E. 2.2.2 und 1B_731/2012 vom 8. Februar 2013 E. 2).
3.
Die Beschwerdeführerin ficht die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege hinsichtlich des kantonalen Beschwerdeverfahrens an. Mit Blick auf die bereits bei Anhebung des Beschwerdeverfahrens eindeutige Beweislage ist nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz mit der Feststellung, die Beschwerdeführung sei aussichtslos gewesen, Bundesrecht verletzt hätte (vgl. <ref-law>).
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, da die Rechtsbegehren aussichtslos waren (<ref-law>). Der unterliegenden Beschwerdeführerin sind reduzierte Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Den Beschwerdegegnern 2-4 ist keine Entschädigung zuzusprechen, da sie im bundesgerichtlichen Verfahren nicht zur Einreichung einer Vernehmlassung eingeladen wurden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Der Beschwerdeführerin werden Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Dezember 2019
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Traub