Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Kläger, Beschwerdeführer) war über seinen Arbeitgeber (den Kanton Aargau) bei der B._ AG nach VVG krankentaggeldversichert.
Die im Recht liegenden "Allgemeinen Versicherungsbedingungen für die kollektive Taggeldversicherung nach VVG" ("AVB") enthalten folgende Klausel:
"Art. 13 Anspruch auf Taggeldleistungen
1. Ist die versicherte Person nach ärztlicher Feststellung arbeitsunfähig, be zahlt B._ bei voller Arbeitsunfähigkeit das im Vertrag aufgeführte Taggeld bis zur Höhe des nachgewiesenen Erwerbsausfalls.
2. Bei teilweiser Arbeitsunfähigkeit von mindestens 25 % wird das Taggeld entsprechend dem Grad der Arbeitsunfähigkeit ausgerichtet."
A._ arbeitete zuletzt als Primarlehrer in einem Pensum von 65 %. Per 31. März 2019 wurde das Anstellungsverhältnis infolge (ordentlicher) Pensionierung aufgelöst.
A.b. Bereits mit Meldung des Arbeitgebers vom 18. Mai 2018 wurde die B._ AG darüber informiert, dass A._ seit 21. November 2017 krankheitsbedingt vollständig arbeitsunfähig sei. Die B._ AG richtete nach Ablauf der Wartefrist von 180 Tagen Taggelder aus.
Auf Veranlassung der B._ AG wurde A._ in der Folge von Dr. med. C._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH und Facharzt für Neurologie FMH, sowie von Dr. sc. hum. D._, Diplompsychologin, begutachtet.
Mit Schreiben vom 17. Oktober 2018 teilte die B._ AG A._ mit, dass die Taggeldleistungen per 31. Oktober 2018 eingestellt würden. Die medizinische Beurteilung habe eine Arbeitsunfähigkeit von weniger als 25 % ergeben, was nicht mehr zu Taggeldern berechtige (Art. 13 Abs. 2 AVB).
B.
Am 20. Mai 2020 klagte A._ beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit dem Begehren, die B._ AG sei zu verurteilen, ihm den Betrag von Fr. 78'857.95 nebst Zins zu bezahlen.
Mit Urteil vom 28. Mai 2021 wies das Sozialversicherungsgericht die Klage ab.
C.
A._ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Sozialversicherungsgerichts sei aufzuheben. Die Beschwerdegegnerin sei zu verurteilen, ihm "Krankentaggeldleistungen für den Zeitraum vom 1.11.2018 bis zum 11.8.2019 im Umfang von Fr. 78'857.95" nebst Zins zu bezahlen. Eventualiter sei die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Sozialversicherungsgericht verzichtete auf Vernehmlassung. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Sozialversicherungsgerichts hat eine Streitigkeit aus einer Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung gemäss <ref-law> zum Gegenstand. Es ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer einzigen kantonalen Instanz im Sinne von <ref-law>. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in Zivilsachen offen, gemäss <ref-law> unabhängig vom Streitwert (<ref-ruling> E. 1.1, 2 E. 1.2.2; siehe auch <ref-ruling> E. 1.2).
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90).
2.3. Kritisieren die Parteien die vorinstanzliche Beweiswürdigung, ist zu beachten, dass das Bundesgericht in diese nur eingreift, wenn sie willkürlich ist. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern bloss, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 4.2.1). Dies ist dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 4.2). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (BGE <ref-ruling> E. 2.2). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266 f.; <ref-ruling> E. 2b).
2.4. Soweit die in der Beschwerde formulierte Kritik diesen Begründungsanforderungen nicht genügt, kann darauf von vornherein nicht eingetreten werden. So nennt der Beschwerdeführer verschiedentlich Beweismittel, die er anders gewürdigt haben möchte, ohne aber Willkür geltend zu machen und zu begründen. Damit ist er nicht zu hören.
3.
3.1. Die Vorinstanz erwog, Art. 13 Abs. 2 AVB setze eine Arbeitsunfähigkeit von mindestens 25 % für das Bestehen eines Taggeldanspruchs voraus. Die ärztlichen Beurteilungen hätten eine Arbeitsunfähigkeit von 50 % in seiner bisherigen Tätigkeit ergeben, bezogen auf ein (hypothetisches) Arbeitspensum von 100 %, was auch von der Beschwerdegegnerin nicht bestritten werde. Da der Beschwerdeführer zuletzt in einem Pensum von 65 % gearbeitet habe und auch für ein solches Pensum versichert gewesen sei, resultiere eine effektive Arbeitsunfähigkeit von 23 % (statt bisher 65 % könne er nur noch 50 % arbeiten; Differenz von 15 Prozentpunkten [absolut] respektive 23 % [relativ]). Eine darüber hinausgehende Arbeitsunfähigkeit wäre vom Beschwerdeführer zu beweisen gewesen. Dieser Beweis sei ihm mit Blick auf die verschiedenen in den Akten liegenden ärztlichen Berichte und die übrigen von ihm angerufenen Beweismittel nicht gelungen.
Von der (vom Beschwerdeführer) beantragten Einholung eines Gerichtsgutachtens zur Feststellung der Arbeitsunfähigkeit sah die Vorinstanz in antizipierter Beweiswürdigung ab, da die vorhandene echtzeitliche medizinische Aktenlage keine taugliche Grundlage bilde, gestützt auf welche ein Gutachter rückwirkend auf eine Arbeitsunfähigkeit von über 50 % (bezogen auf ein Vollzeitpensum) schliessen könnte.
3.2. Der Beschwerdeführer erhebt folgende Rügen: Er erblickt im angefochtenen Urteil in erster Linie eine Verletzung seines Rechts auf Beweis im Sinne von <ref-law> (dazu Erwägung 4) "inkl. willkürliche Sachverhaltsfeststellung" (dazu Erwägung 5). Er kritisiert sodann, ihm sei keine "Übergangsfrist" gewährt worden (dazu Erwägung 6). Schliesslich moniert er, die Teilarbeitsunfähigkeit müsse bei Teilzeitangestellten anders berechnet werden (dazu Erwägung 7).
4.
Der Beweisführungsanspruch nach <ref-law>, <ref-law> beziehungsweise <ref-law> verschafft der beweispflichtigen Partei in allen bundesrechtlichen Zivilrechtsstreitigkeiten einen Anspruch darauf, für rechtserhebliche Vorbringen zum Beweis zugelassen zu werden, soweit entsprechende Anträge im kantonalen Verfahren form- und fristgerecht gestellt worden sind (vgl. <ref-ruling> E. 9.3.2 S. 332; <ref-ruling> E. 7.1; je mit Hinweisen). Diese Bestimmungen schreiben jedoch dem Gericht nicht vor, mit welchen Mitteln es den Sachverhalt abzuklären hat (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 291 mit Hinweis), und sie schliessen namentlich die antizipierte Beweiswürdigung nicht aus. Wenn ein Gericht darauf verzichtet, beantragte Beweise abzunehmen, weil es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde, ist der Beweisführungsanspruch nicht verletzt (<ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen). Das Bundesgericht ordnet die antizipierte Beweiswürdigung, soweit seine Kognition betreffend, der Sachverhaltsfeststellung respektive Beweiswürdigung zu und greift in diese entsprechend nur ein, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 376 mit Hinweis).
Der Beschwerdeführer meint, der vorinstanzliche Verzicht auf ein Gerichtsgutachten sei "nicht nachvollziehbar"; insbesondere erscheine "nicht ohne Weiteres einsichtig", weshalb ein gerichtliches Gutachten "mit retrospektivem Charakter" keine Aufschlüsse geben könne. Den Erwägungen im angefochtenen Urteil fehle es "an einem relevanten 'Zusammenspiel'". Dass der vorinstanzliche Schluss, ein Gerichtsgutachten vermöchte am Beweisergebnis ohnehin nichts zu ändern, offensichtlich unhaltbar (mithin willkürlich) wäre - wie er nach dem Gesagten einzig rügen könnte -, legt er indes nicht dar (vgl. auch Erwägung 2.2 f.). Damit hat es sein Bewenden.
5.
Der Beschwerdeführer moniert unter Hinweis auf das Willkürverbot, es sei unbestritten, dass bei ihm ein Intelligenzquotient von 76 Punkten diagnostiziert worden sei. Ein derart tiefes intellektuelles Niveau entspreche einer "Lernbehinderung". Es sei klar, dass er bei einem solchen intellektuellen Leistungsvermögen in der Tätigkeit als Primarlehrer vollständig arbeitsunfähig sei, zumal ihn sogar der Arbeitgeber nicht mehr habe unterrichten lassen wollen.
Die Vorinstanz nahm zu diesem Intelligenzquotienten ausdrücklich Stellung. Dr. D._habe darauf hingewiesen, dass sich die Ergebnisse des Intelligenztests nicht mit dem im Gespräch gewonnenen Eindruck und dem Ausbildungsgrad des Beschwerdeführers deckten. Dr. C._ habe ausgeführt, die Freizeitaktivitäten des Beschwerdeführers ("Singen, Cello und Klavier spielen, Auto fahren, Lösen von Kreuzworträtseln, Hüten der Enkel") liessen sich nicht mit einer Lernbehinderung in Einklang bringen. Auch ein neuropsychologischer Untersuchungsbericht der E._ AG widerspreche in diesem Zusammenhang der Darstellung des Beschwerdeführers. Ärztlich festgestellt seien - so die Vorinstanz - einzig kognitiv leichte bis mittelschwere Einbussen, denen Rechnung getragen werde, indem dem Beschwerdeführer eine Arbeitsunfähigkeit von 50 % (bezogen auf ein Vollzeitpensum) attestiert werde.
Diesen Überlegungen setzt der Beschwerdeführer nichts entgegen. Willkür ist nicht auszumachen (siehe im Übrigen zum Beweismass für den Nachweis der Arbeitsunfähigkeit: Urteil 4A_117/2021 vom 31. August 2021 E. 3.3.1, zur Publikation vorgesehen).
6.
Der Beschwerdeführer ist ferner der Meinung, es hätte ihm eine "Übergangsfrist" gewährt werden müssen.
Nach <ref-law> ist der Anspruchsberechtigte verpflichtet, nach Eintritt des befürchteten Ereignisses tunlichst für Minderung des Schadens zu sorgen. Zur Erfüllung der Schadenminderungsobliegenheit kann insbesondere die Wiederaufnahme der Berufstätigkeit notwendig sein. Nach der Rechtsprechung ist dabei als Ausdruck des Grundsatzes von Treu und Glauben von einem Versicherer, der einem Versicherten zunächst Taggelder ausrichtet, dann jedoch davon ausgeht, dessen Arbeitsunfähigkeit sei beendet, zu erwarten, dass er den Versicherten darüber informiert und er die Leistungen während der Frist weiterzahlt, welche zur tatsächlichen Wiederaufnahme der Berufstätigkeit erforderlich ist. Diese Rechtsprechung bezieht sich in erster Linie auf Berufswechsel und hat zum Ziel, dem Versicherten Zeit zu verschaffen, um sich anzupassen und eine neue Stelle zu finden (zum Ganzen: Urteil 4A_1/2020 vom 16. April 2020 E. 4.1 mit Hinweisen).
Die Vorinstanz beanstandete die mit Schreiben vom 17. Oktober 2018 mitgeteilte Einstellung der Taggeldleistungen per 31. Oktober 2018 auch unter diesem Gesichtspunkt nicht. Sie begründete dies damit, dass sich beim Beschwerdeführer gerade kein Berufswechsel aufgedrängt habe, zumal das Arbeitsverhältnis im fraglichen Zeitpunkt noch bestanden habe. Es wäre ihm - so hielt das Sozialversicherungsgericht fest - möglich und zumutbar gewesen, seine Restarbeitsfähigkeit bei seinem damaligen Arbeitgeber im bisherigen Beruf zu verwerten. Daher sei die Beschwerdegegnerin nicht gehalten gewesen, ihn unter dem Titel der Schadenminderungspflicht zum Berufswechsel anzuhalten und ihm eine Übergangsfrist zwecks Anpassung und Stellensuche einzuräumen.
An diesen Erwägungen geht der Beschwerdeführer vorbei, wenn er beklagt, es sei für ihn im Alter von 64 Jahren und 8 Monaten im betreffenden Zeitpunkt unmöglich gewesen, eine neue Stelle als Lehrer zu finden. Nachdem die Obliegenheit des Versicherers, dem Versicherten eine angemessene Übergangsfrist einzuräumen, ihre Grundlage in <ref-law> findet, hätte der Beschwerdeführer darlegen müssen, weshalb es unter den konkreten Umständen treuwidrig wäre, ihm per Datum der Einstellung der Taggeldleistungen eine Wiederaufnahme der Berufstätigkeit zuzumuten (siehe auch Urteil 4A_384/2019 vom 9. Dezember 2019 E. 5.4.3). Dies unterlässt er; insbesondere geht er nicht hinreichend auf das Argument ein, er hätte seine Arbeitsleistung (in reduziertem Umfang) beim bisherigen Arbeitgeber erbringen können (oder diesem seine Arbeitskraft jedenfalls anbieten müssen). Zu Recht wies die Vorinstanz im Übrigen darauf hin, dass sich vorliegend die Frage eines Berufswechsels nicht stelle.
7.
Schliesslich wirft der Beschwerdeführer die Frage auf, wie sich eine ärztlich festgestellte teilweise Arbeitsunfähigkeit bei Arbeitnehmern in Teilzeitpensen verhält. Konkret bemängelt er Folgendes: Unbestrittenermassen liege eine Arbeitsunfähigkeit von 50 % "bezogen auf ein Arbeitspensum von 100 %" vor. Die Vorinstanz verlange, dass er die noch verbleibende Arbeitskraft von 50 % vollumfänglich dem Arbeitgeber zur Verfügung stelle (woraus sie - mit Blick auf das Pensum von 65 % - eine Arbeitsunfähigkeit von 15 Prozent[-punkten] herleite) und "verschiebe" die Arbeitsunfähigkeit auf die Freizeit. Richtigerweise sei die Arbeits (un) fähigkeit proportional auf Arbeits- und Freizeit zu verteilen. Entsprechend müsse von einer höheren effektiven Arbeitsunfähigkeit ausgegangen werden, als ihm das Sozialversicherungsgericht zugestanden habe.
Die vom Beschwerdeführer vorgeschlagene Berechnungsweise wird in der Tat zumindest sinngemäss im arbeitsrechtlichen Schrifttum zu <ref-law> vertreten (vgl. THOMAS GEISER, Fragen im Zusammenhang mit der Lohnfortzahlungspflicht bei Krankheit, AJP 2003, S. 324 f.; PORTMANN/RUDOLPH, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht I, 7. Aufl. 2019, N. 19 zu <ref-law>; R EHBINDER/STÖCKLI, Berner Kommentar, 2010, N. 12 zu <ref-law>; STREIFF/VON KAENEL/RUDOLPH, Arbeitsvertrag, 7. Aufl. 2012, N. 15 zu Art. 324a/b OR; ferner GILLES BRUGGER, Die Arbeitsverhinderung bei Teilzeiterwerbstätigen und Mehrfachbeschäftigten, 2017, Rz. 345-352). Sie ist vom Bundesgericht für die Ermittlung der Arbeitsunfähigkeit betreffend den Taggeldanspruch im Unfallversicherungsrecht (siehe <ref-law>) indes ausdrücklich verworfen worden (<ref-ruling> E. 4).
Darauf braucht nicht im Einzelnen eingegangen zu werden, denn die Kritik des Beschwerdeführers ist aus anderen Gründen nicht zu hören: Erstens ist die Frage, wie sich eine ärztlich festgestellte - und in der Regel pauschal in Prozentpunkten bezifferte - Arbeitsunfähigkeit (von beispielsweise 50 %) auf die Arbeitsleistung und die Arbeitszeit einerseits sowie die Freizeit andererseits auswirkt, Gegenstand der Interpretation des fraglichen Arztzeugnisses, wie auch die zitierte Doktrin zum Arbeitsrecht betont. Dass die Vorinstanz in diesem Zusammenhang in Willkür verfallen wäre, behauptet der Beschwerdeführer nicht. Zweitens: Steht fest, wie sich die Arbeitsunfähigkeit konkret auf die Arbeitsleistung auswirkt, ist Thema der Auslegung des Versicherungsvertrags und somit der allgemeinen Versicherungsbedingungen, wie die dort definierte, zu Taggeldern berechtigende Mindestarbeitsunfähigkeit bei Teilzeitbeschäftigten zu berechnen ist. Diesbezüglich hielt die Vorinstanz fest, dass Art. 13 Abs. 2 AVB vorliegend "offenkundig" so zu verstehen sei, dass die (Rest-) Arbeitsfähigkeit (ausschliesslich) auf das effektiv ausgeübte Pensum anzurechnen (und nicht etwa "proportional zu verteilen") sei. Der Beschwerdeführer legt nicht gestützt auf die massgebenden Vertragsauslegungsregeln (siehe <ref-ruling> E. 3.3) dar, inwiefern das vorinstanzliche Verständnis von Art. 13 Abs. 2 AVB nicht mit Bundesrecht in Einklang zu bringen wäre, sondern beschränkt sich darauf, allgemein eine Verletzung des "Äquivalenzprinzips" zu rügen.
Das angefochtene Urteil hält auch in diesem Punkt der bundesgerichtlichen Überprüfung stand.
8.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat sich durch ihren eigenen Rechtsdienst vernehmen lassen. Praxisgemäss ist daher keine Parteientschädigung zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, V. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. November 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Stähle