Faits :
A.
Par ordonnance du 28 avril 2020, le Ministère public vaudois a refusé d'entrer en matière sur la plainte pénale déposée par A._, médecin spécialiste en chirurgie, contre la cheffe du Département de la santé et de l'action sociale du canton de Vaud (ci après: le DSAS), B._. Il lui reprochait en substance de l'avoir atteint dans son honneur et de lui avoir refusé son droit d'être entendu dans le cadre de la décision du 16 décembre 2019 par laquelle le DSAS lui a retiré définitivement son autorisation de pratique à titre indépendant.
Par arrêt du 29 juin 2020, la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal vaudois a rejeté dans la mesure de sa recevabilité le recours formé par A._ contre la décision de non-entrée en matière, et a confirmé l'ordonnance du 28 avril 2020. La cour cantonale a également rejeté, dans la mesure de sa recevabilité, la demande de récusation du Procureur général en charge de l'affaire.
B.
Par arrêt du 11 mars 2021 (6B_1369/2020), le Tribunal fédéral a rejeté dans la mesure de sa recevabilité le recours en matière pénale interjeté par A._ contre l'arrêt cantonal précité. Sur le fond de la cause pénale, il ne disposait pas de la qualité pour recourir au regard de l'art. 81 al. 1 let. b ch. 5 LTF, faute de prétentions civiles à faire valoir contre la personne dénoncée. S'agissant de la demande de récusation, le Tribunal fédéral a confirmé que celle-ci était tardive donc irrecevable d'une part, et a retenu qu'en tout état, les motifs de récusation n'étaient pas réalisés en l'espèce.
C.
A._ forme un "recours" contre l'arrêt du Tribunal fédéral du 17 (recte: 11) mars 2021, au motif notamment que cet arrêt n'aurait pas respecté les art. 397 et 398 CO concernant l'exécution du mandat. Il évoque certaines dispositions de la LTF relatives à la révision et prétend que ses droits fondamentaux ont été violés et des faits nouveaux pertinents seraient apparus. Sous couvert de l'<ref-law>, il demande au Tribunal fédéral de se prononcer sur les contradictions de l'arrêt fédéral. En guise de conclusion, A._ dépose plainte contre différentes autorités.
En référence à l'<ref-law>, A._ demande l'octroi de l'effet suspensif "en fonction de la Charte des droits fondamentaux de l'UE art. 15, afin de [lui] permettre de travailler".

Considérant en droit :
1.
Les arrêts du Tribunal fédéral entrent en force dès leur prononcé (<ref-law>) et ne peuvent faire l'objet d'aucun recours ordinaire sur le plan interne. Seule la voie extraordinaire de la révision prévue aux <ref-law> entre en considération pour obtenir l'annulation d'un arrêt du Tribunal fédéral.
En tant que le requérant dépose un " recours " contre l'arrêt du Tribunal fédéral du 11 mars 2021 et demande une "révision de la position du Procureur général vaudois dans sa plainte contre la cheffe du DSAS et sa position dans le Conseil de santé", il semble requérir la révision de l'arrêt 6B_1369/2020, de sorte que son mémoire sera traité comme une telle demande. Il n'y a pas lieu de considérer l'écriture comme une demande d'interprétation, respectivement de rectification au sens de l'<ref-law>, seul le dispositif de l'arrêt pouvant en faire l'objet, notamment en cas de contradictions entre les motifs de la décision et le dispositif ou lors d'erreurs de rédaction ou de calculs, ce qui n'est pas invoqué en l'espèce.
Faute pour l'arrêt 6B_1369/2020 de porter sur l'autorisation de pratiquer du requérant, et dans la mesure où l'arrêt est entré en force, sa demande d'effet suspensif visant à lui "permettre de travailler"est irrecevable.
2.
La révision des arrêts du Tribunal fédéral ne peut être requise que pour l'un des motifs énoncés de manière exhaustive aux <ref-law>.
2.1. En vertu de l'<ref-law>, la révision d'un arrêt du Tribunal fédéral peut être demandée si les dispositions concernant la composition du tribunal ou la récusation n'ont pas été observées (let. a); si le tribunal a accordé à une partie soit plus ou, sans que la loi ne le permette, autre chose que ce qu'elle a demandé, soit moins que ce que la partie adverse a reconnu devoir (let. b); si le tribunal n'a pas statué sur certaines conclusions (let. c) et si, par inadvertance, le tribunal n'a pas pris en considération des faits pertinents qui ressortent du dossier (let. d).
Les conclusions qui sont visées par l'art. 121 let. c LTF sont principalement celles qui portent sur le fond. En revanche, il n'y a pas omission lorsqu'une conclusion est déclarée irrecevable, sans objet, qu'elle a été implicitement tranchée par le sort réservé à une autre conclusion ou que le tribunal s'est déclaré incompétent pour le faire. Ne constitue pas davantage une omission le fait de ne pas statuer sur un grief ou de ne pas traiter tous les moyens invoqués dans le recours (arrêts 2F_7/2019 du 21 mars 2019 consid. 4.3; 2F_8/2017 du 19 septembre 2017 consid. 3.1 et les références).
L'inadvertance au sens de l'art. 121 let. d LTF suppose que le tribunal ait omis de prendre en considération une pièce déterminée, versée au dossier, ou l'ait mal lue, s'écartant par mégarde de sa teneur exacte, en particulier de son vrai sens littéral; cette notion se rapporte au contenu même du fait, et non à son appréciation juridique (arrêts 6F_16/2020 du 3 juin 2020 consid. 2.1; 6F_13/2020 du 24 avril 2020 consid. 1.1; 6F_5/2019 du 9 avril 2019 consid. 1.1). En outre, ce motif de révision ne peut être invoqué que si les faits qui n'ont pas été pris en considération sont "importants": il doit s'agir de faits pertinents, susceptibles d'entraîner une décision différente de celle qui a été prise et plus favorable au requérant (<ref-ruling> consid. 3; arrêts précités 6F_16/2020 consid. 2.1; 6F_13/2020 consid. 1.1). Enfin, pour que l'on puisse parler d'inadvertance, il faut que le Tribunal fédéral ait pu prendre en considération le fait important dont on lui reproche de ne pas avoir tenu compte. Or, lorsqu'il connaît d'un recours, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que le recourant parvienne à lui démontrer qu'une constatation déterminante de l'autorité cantonale a été établie de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Dès lors, hormis ces exceptions, le Tribunal fédéral, lorsqu'il est saisi d'un recours, ne peut pas revoir l'état de fait de la décision attaquée. Partant, lorsque l'une de ces exceptions n'a pas été invoquée dans la procédure de recours, il ne saurait se voir reprocher, dans la procédure de révision subséquente, de ne pas avoir rectifié par inadvertance une erreur affectant une constatation faite par les juges cantonaux (arrêts précités 6F_16/2020 consid. 2.1; 6F_13/2020 consid. 1.1; 2F_21/2019 du 7 février 2020 consid. 3.1).
2.2. Aux termes de l'<ref-law>, la révision d'un arrêt du Tribunal fédéral peut être demandée dans les affaires pénales si les conditions fixées à l'art. 410 al. 1 let. a et b et 2 CPP sont remplies. L'<ref-law>, permet une demande de révision s'il existe des faits ou des moyens de preuves qui étaient inconnus de l'autorité inférieure et qui sont de nature à motiver l'acquittement ou une condamnation sensiblement moins sévère ou plus sévère du condamné ou encore la condamnation de la personne acquittée.
Sous réserve des faits déterminant la recevabilité du recours en matière pénale au Tribunal fédéral, la révision pour faits nouveaux ou preuves nouvelles d'un arrêt rendu par le Tribunal fédéral dans une affaire pénale n'entre en considération que dans les cas où, dans l'arrêt sujet à révision, le Tribunal fédéral a rectifié ou complété l'état de fait sur la base de l'<ref-law>. Ce n'est que dans ces cas que des faits nouveaux ou preuves nouvelles au sens de l'<ref-law> sont propres à entraîner une modification de l'état de fait de l'arrêt du Tribunal fédéral sujet à révision. Dans les autres cas, c'est en réalité une modification de l'état de fait de la décision cantonale que les faits nouveaux ou preuves nouvelles sont susceptibles d'entraîner, de sorte qu'ils doivent être invoqués dans une demande de révision dirigée contre le jugement cantonal (cf. <ref-ruling> consid. 1; arrêts 6F_16/2020 précité consid. 1.1; 6F_1/2019 du 13 mai 2019 consid. 4 et les références citées).
2.3. Les exigences de motivation découlant de l'<ref-law> s'appliquent également aux demandes de révision (<ref-ruling> consid. 1.2.1). Il incombe ainsi à la partie requérante de mentionner le motif de révision dont elle se prévaut et d'expliquer en quoi ce motif serait réalisé sous peine de voir sa demande déclarée irrecevable (arrêts 2F_13/2020 du 23 juillet 2020 consid. 3; 1F_43/2019 du 27 août 2019 consid. 3).
3.
Le requérant évoque les art. 121 let. a, c et d et 123 let. a LTF, sans expliciter sur quel (s) motif (s) de révision il fonde ses différentes argumentations. Faute de développement topique pour chaque motif invoqué, son recours apparaît irrecevable (<ref-law>). Il en va ainsi en tant qu'il conteste chaque paragraphe des faits présentés dans l'arrêt 6B_1369/2020, en reprochant notamment au Tribunal fédéral de ne pas avoir "vérifié les faits et l'établissement de la vérité" s'agissant des propos qu'il qualifie de diffamatoires.
3.1. Le requérant prétend que le Tribunal fédéral ne fait pas montre d'indépendance, qu'il est strictement règlementé quant à la composition des cours (en référence à l'<ref-law>) et il s'étonne que "dans le volet de fond de [s]on affaire, il y ait eu mélange des juges au niveau du Tribunal cantonal vaudois, l'un des juges intrus ne faisant même pas partie du collège ayant jugé [s]on affaire le 04.05.2020". Faute de tout développement concernant l'arrêt sujet à révision, ces affirmations ne permettent pas de distinguer l'existence d'un motif de révision déduit de la composition de la Cour de droit pénal, laquelle a statué à trois juges conformément à l'<ref-law>; ou de la récusation de ceux-ci (cf. <ref-law>). En outre, l'on ne voit pas ce qu'il entend tirer en sa faveur de l'<ref-law>, qui prévoit l'anonymisation, l'arrêt le concernant ayant été publié de façon anonymisée sur le site internet officiel du Tribunal fédéral.
3.2. Signalant un entretien qu'aurait eu le médecin cantonal neuchâtelois avec l'un de ses anciens patients en juillet 2016, le requérant invoque un "fait nouveau pertinent". Il ne tente toutefois d'aucune manière de démontrer que cet élément aurait un lien avec la cause traitée dans l'arrêt 6B_1369/2020 et serait de nature à en modifier l'état de fait conformément aux exigences de l'<ref-law> (cf. supra consid. 2.2). Aussi, il ne fait pas valoir de motif de révision sous cet angle.
3.3. Le requérant se plaint du fait que le Tribunal fédéral serait "passé comme chat sur braises, sur le viol de [s] es droits fondamentaux par cinq instances politiques et judiciaires". Ce faisant, il ne se prévaut pas explicitement d'une omission de statuer au sens de l'art. 121 let. c LTF (cf. su pra consid. 2.1). En tout état, trois des autorités auxquelles il fait référence n'ont pas rendu de décision faisant l'objet de la procédure pénale ayant abouti à l'arrêt du 11 mars 2021 (Conseiller d'État neuchâtelois, Tribunal cantonal neuchâtelois, médecin cantonal vaudois), de sorte que le Tribunal fédéral n'avait pas à entrer en matière sur les conclusions y relatives, ainsi qu'il l'a précisé dans son arrêt. S'agissant de l'ordonnance de refus d'entrer en matière sur la plainte du requérant dirigée contre la cheffe du DSAS, confirmée par la cour cantonale vaudoise, le Tribunal fédéral a exposé les motifs de l'irrecevabilité du recours dont il a été saisi. Aussi, le requérant, qui se contente de critiquer la motivation juridique de l'arrêt fédéral en lien avec l'exigence de prétentions civiles au sens de l'art. 81 al. 1 let. b ch. 5 LTF, échoue à démontrer une omission de statuer sur ce point.
En tant que le requérant prétend que le Tribunal fédéral, tout comme les instances précédentes, n'auraient pas tenu compte, de manière générale, des moyens de preuves fournis, de son droit à un procès équitable, de son droit d'être entendu publiquement, de l'audition publique de tous les témoins, du principe de proportionnalité et de son droit au travail, sans autre précision, son argumentation ne satisfait pas aux exigences minimales de motivation de l'<ref-law>. Le renvoi au contenu de ses différents mémoires adressés à diverses autorités pénales et administratives est irrecevable, dès lors qu'il n'appartient pas au Tribunal fédéral de rechercher lui-même dans les pièces versées au dossier les éléments pertinents à l'appui des manquements invoqués (cf. arrêt 6B_387/2021 du 13 août 2021 consid. 2.2). En tout état, ces affirmations ne sont pas de nature à mettre en évidence l'existence d'un motif justifiant la révision de l'arrêt.
3.4. S'agissant en particulier de la question de la récusation du Procureur général, le Tribunal fédéral a exposé dans sont arrêt les motifs pour lesquels il ne pouvait être donné suite à la requête en ce sens (tardiveté de la demande et défaut de réalisation des conditions de l'<ref-law>; arrêt 6B_1369/2020 du 11 mars 2021 consid. 4.2.3). N'en déplaise au requérant, la voie de la révision ne permet pas de contester une motivation juridique. C'est donc en vain qu'il reproche au Tribunal fédéral de "ne pas avoir répondu avec des arguments juridiques adéquats, au devoir du procureur de se récuser" ou d'avoir mis du temps à statuer sur son recours (cf. supra consid. 2.1 en lien avec l'art. 121 let. c LTF).
3.5. Le requérant estime que le Tribunal fédéral se contredit, que ses "arguments, sont souvent incohérents"et "ne sont pas recevables du point de vue épistémologique". Une telle opinion personnelle ne constitue pas un motif de révision, pas plus qu'elle ne rend nécessaire une interprétation ou une rectification de l'arrêt fédéral (cf. <ref-law>).
3.6. Le Tribunal fédéral n'est pas compétent pour traiter les "plaintes" dirigées contre l'État de Neuchâtel, l'État de Vaud, le Tribunal cantonal neuchâtelois, le Tribunal cantonal vaudois et contre lui même. En tout état, celles-ci ne sauraient faire l'objet d'une procédure de révision d'un arrêt fédéral.
3.7. En définitive, pour autant que ses critiques soient recevables, le requérant ne se prévaut valablement d'aucun motif de révision au sens des <ref-law>.
4.
La demande de révision doit être rejetée dans la mesure où elle est recevable. Le requérant, qui succombe, supporte les frais de la procédure de révision (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
La demande de révision est rejetée dans la mesure où elle est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du requérant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Chambre des recours pénale.
Lausanne, le 1er octobre 2021
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Denys
La Greffière : Klinke