Sachverhalt:
A.
Mit Entscheid vom 8. Juni 2018 erteilte das Regionalgericht Bern-Mittelland der B._ in der gegen A._ eingeleiteten Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts Bern-Mittelland die definitive Rechtsöffnung für Fr. 7'159.80.
B.
Das Obergericht des Kantons Bern wies die von A._ dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 23. Juli 2018 ab.
C.
Am 22. August 2018 (Postaufgabe) wandte sich A._ an das Bundesgericht. Der Beschwerdeführer beantragt, das Gesuch um Rechtsöffnung sei abzuweisen.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Streitwert der vorliegenden Rechtsöffnungssache liegt unter Fr. 30'000.-- (<ref-law>). Dass eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-law>) vorliegen würde, macht der Beschwerdeführer nicht geltend und solches ist auch nicht ersichtlich. Die Eingabe ist demnach als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (<ref-law>).
1.2. In einer Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 117 i.V.m. <ref-law> in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 399; <ref-ruling> E. 2.4 S. 368).
2.
Die Vorinstanz hat die Beschwerde gegen die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung über Fr. 7'159.80 abgewiesen, weil der deutsche Vollstreckungsbescheid vom 25. Juni 1999 eine gerichtliche Entscheidung im Sinne des LugÜ in der Fassung vom 16. September 1988 (SR 0.275.11; AS 1991 2436) darstelle. Als solche könne er in der Schweiz vollstreckt werden. Der Umstand, dass im Rahmen des deutschen Insolvenzverfahrens versucht worden sei, völkerrechtswidrig direkte Vollstreckungshandlungen vorzunehmen, sei vorliegend nicht von Bedeutung, nachdem die Gläubigerin nun den richtigen Weg der Einleitung eines Vollstreckungsverfahrens in der Schweiz gewählt habe. Auch sonst sei das Insolvenzverfahren nicht relevant, da eine Anerkennung in der Schweiz fehle. Gründe, welche der Erteilung der Rechtsöffnung entgegenstehen, seien weder dargetan noch ersichtlich.
3.
Der Beschwerdeführer schildert einzig Umstände, welche das deutsche Insolvenzverfahren betreffen und kritisiert in diesem Zusammenhang die deutschen Behörden. Namentlich macht er geltend, dass im deutschen Insolvenzverfahren kein rechtsverbindlicher Pfändungsfreibetrag ermittelt und das deutsche Insolvenzverfahren ohne Restschuldbefreiung eingestellt worden sei. Vorliegend geht es jedoch um das Schweizer Vollstreckungsrecht, konkret um die definitive Rechtsöffnung. Die Einkommens- und Vermögensverhältnisse des Beschwerdeführers sind im Rechtsöffnungsverfahren nicht von Belang. Erst im späteren Verfahrensabschnitt der Pfändung wird es Aufgabe des zuständigen Betreibungsamts sein, das sog. betreibungsrechtliche Existenzminimum zu bestimmen und die pfändbare Quote festzusetzen. Die Ausführungen des Beschwerdeführers zielen daher am Gegenstand des vorliegenden Verfahrens vorbei. Ausserdem erhebt er keine einzige Verfassungsrüge. Damit kann auf die Beschwerde mangels rechtsgenüglicher Begründung nicht eingetreten werden.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kosten-, nicht hingegen entschädigungspflichtig, da keine Vernehmlassungen eingeholt wurden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 750.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. März 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss