Faits :
A.
A.a. A._ mariée et mère de deux enfants (nés en 2004 et 2005), a travaillé au sein de B._ SA du 1 er juillet 2006 au 31 octobre 2007, d'abord à 100 %, puis à 60 % à partir du 1 er juin 2007; elle a ensuite été employée au service de C._SA, à un taux d'occupation de 60 %, dès le mois de novembre 2007, puis pour le compte de D._ S.A., à un taux d'occupation de 50 %, dès le 1 er août 2010. A ce titre, elle a été successivement assurée pour la prévoyance professionnelle auprès de Swica Personalvorsorgestiftung (ci-après: la Fondation Swica), d'Axa Stiftung Berufliche Vorsorge (ci après: la Fondation Axa) et d'Emmi-Vorsorgestiftung (ci-après: la Fondation Emmi).
A.b. Le 3 mai 2011, A._ a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Elle y indiquait être atteinte d'une polymyosite depuis le mois de mars 2007. Entre autres mesures d'instruction, l'Office AI du canton de Fribourg (ci-après: l'office AI) a recueilli des renseignements auprès des médecins traitants de l'assurée. Sur la base de ceux-ci, le docteur E._, médecin au Service médical régional de l'office AI (SMR), a retenu les diagnostics incapacitants de polymyosite et d'hépatopathie sur effets toxiques de l'Imurek; il a fixé le début de l'incapacité de travail à 2007 ("mars 2007 selon l'assurée"), et a conclu à une capacité de travail de 50 % dans une activité adaptée (rapport du 26 septembre 2011). Forte de ces conclusions, l'administration a reconnu à A._ le droit à une demi-rente d'invalidité à compter du 1er novembre 2011 (décision du 22 février 2012).
A.c. Au mois de novembre 2012, une procédure de révision du droit aux prestations a été initiée à la demande de l'assurée; celle-ci indiquait que son état de santé s'était aggravé et qu'elle était dans l'incapacité totale de travailler depuis le 20 août 2012. L'office AI a sollicité des renseignements auprès des médecins traitants de l'intéressée et confié une expertise au docteur F._, spécialiste en médecine interne générale, infectiologie, et allergologie et immunologie clinique. Dans son rapport du 20 août 2014, l'expert a indiqué que l'exercice d'une activité à un taux supérieur à 20-30 % n'était pas envisageable. Ces conclusions ont été confirmées par le docteur E._, qui a retenu une capacité de travail limitée à environ 25 % (rapport du SMR du 9 décembre 2014). Par décisions des 2 juin et 3 juillet 2015, l'office AI a reconnu le droit de l'assurée à une rente entière d'invalidité à partir du 1er novembre 2012.
A.d. Par courrier du 13 juin 2012, A._ s'est adressée à la Fondation Swica en vue d'obtenir le paiement de prestations de la prévoyance professionnelle. L'institution de prévoyance n'est pas entrée en matière sur la requête de l'assurée, au motif que l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité actuelle n'était pas apparue à l'époque où elle était assurée auprès d'elle (courrier du 8 août 2012).
B.
Le 23 février 2015, A._ a ouvert action contre la Fondation Swica devant le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales. Elle a conclu en substance à ce que l'institution de prévoyance soit condamnée à lui verser une demi-rente d'invalidité entre le 1 er novembre 2011 et le 30 octobre 2012, puis une rente entière à partir du 1 er novembre 2012. L'intéressée a également ouvert action, le 2 juin 2015, contre les Fondations Axa et Emmi et sollicité la jonction des causes.
Après avoir joint les procédures, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud a, par jugement du 22 août 2017, condamné la Fondation Swica à verser à l'assurée une demi-rente d'invalidité à compter du 1 er novembre 2011 puis une rente entière dès le 1 er novembre 2012, sous réserve d'indemnités journalières qui auraient été versées postérieurement à ces dates et d'une surindemnisation. Elle a invité la Fondation Swica à fixer le montant des prestations à servir à A._ et rejeté les conclusions de cette dernière contre les Fondations Axa et Emmi.
C.
La Fondation Swica interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Elle conclut principalement à l'annulation de celui-ci et au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouvelles instruction et décision, et, subsidiairement, à la réforme du jugement en ce sens que les conclusions prises par A._ à son encontre sont rejetées.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 313; <ref-ruling> consid 8.1 p. 153) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). La violation peut consister en un état de fait incomplet, car l'autorité précédente viole le droit matériel en n'établissant pas tous les faits pertinents pour l'application de celui-ci (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées. A défaut d'une telle motivation, il n'est pas possible de prendre en considération un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée, ni des faits qui n'y sont pas contenus (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 187; <ref-ruling> consid. 1.4 et 6.2 p. 287 s.).
1.2. Les constatations de la juridiction cantonale relatives à l'incapacité de travail résultant d'une atteinte à la santé (survenance, degré, durée, pronostic) relèvent d'une question de fait et ne peuvent être examinées par le Tribunal fédéral que sous un angle restreint dans la mesure où elles reposent sur une appréciation des circonstances concrètes (art. 97 al. 1 et 105 al. 1 et 2 LTF). Les conséquences que tire l'autorité cantonale de recours des constatations de fait quant à la connexité temporelle sont en revanche soumises au plein pouvoir d'examen du Tribunal fédéral (arrêt 9C_131/2017 du 30 août 2017 consid. 2.2 et les références).
2.
Le litige porte sur l'obligation de la recourante de verser des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle à A._. Il s'agit en particulier de déterminer si cette dernière était affiliée auprès de la recourante au moment où l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de son invalidité est survenue (cf. <ref-law>), et s'il existe une relation de connexité temporelle entre cette incapacité de travail et l'invalidité.
Le jugement entrepris expose de manière complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs au droit à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle ainsi qu'à la notion de survenance de l'incapacité de travail, en relation avec la double condition de la connexité matérielle et temporelle nécessaire pour fonder l'obligation de prester d'une institution de prévoyance (<ref-ruling> consid. 6.2 p. 419; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 68; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 22; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 275 et les références). I l suffit d'y renvoyer.
3.
La juridiction cantonale a constaté, en se fondant sur les conclusions convergentes des médecins qui se sont prononcés sur l'état de santé de l'assurée, que l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de son invalidité était survenue en 2007; l'incapacité de travail s'était par ailleurs maintenue sans interruption depuis lors et avait toujours atteint un taux de 50 % au moins, si bien que la condition de la connexité temporelle nécessaire était réalisée. Dès lors que l'incapacité de travail s'était manifestée durant les rapports d'assurance liant l'intimée à la Fondation recourante, il appartenait à cette dernière de verser les prestations dues au titre de la prévoyance professionnelle. Les premiers juges ont reconnu le droit de l'intéressée à des prestations de la prévoyance professionnelle dans la même mesure que celles octroyées par l'assurance-invalidité, soit une demi-rente d'invalidité à compter du 1er novembre 2011, puis une rente entière dès le 1er novembre 2012. Ils ont rejeté les conclusions de l'assurée contre les Fondations Axa et Emmi.
4.
4.1. Dans un premier grief, la Fondation recourante s'en prend à la valeur probante de l'expertise du docteur F._. Selon elle, ce dernier n'avait pas "l'indépendance requise pour établir une expertise revêtant un standard minimal d'apparence d'impartialité" dès lors qu'il avait déjà examiné la patiente dans un cadre thérapeutique en 2011; il n'aurait par ailleurs pas établi la date de survenance de l'incapacité de travail selon "une approche scientifique" puisqu'il s'est limité à se référer à la date retenue par l'office AI.
4.2. Les griefs de la Fondation formulés à l'encontre de l'expertise du docteur F._ ne résistent pas à l'examen.
4.2.1. Certes, la jurisprudence considère qu'en cas de litige, il ne convient pas de confier une expertise à un médecin traitant étant donné le conflit qui peut résulter de son rôle à la fois de fournisseur de soins, d'une part, et d'expert, d'autre part. Le simple fait qu'un médecin a déjà eu l'occasion d'examiner une personne ne l'empêche cependant pas d'emblée de se voir confier plus tard une expertise. Il n'y a pas non plus de prévention inadmissible lorsque l'expert aboutit à des conclusions défavorables à une partie. Il en va autrement si les circonstances donnent objectivement l'apparence de la prévention et font craindre une activité partiale, comme lorsque le rapport d'expertise n'est pas neutre ni objectif. Dans ce cas, il faut admettre l'existence d'un motif de récusation (<ref-ruling> consid. 2b p. 198 s.; arrêt 8C_160/2009 du 23 décembre 2009 consid. 3.2.2; arrêt du Tribunal fédéral des assurances I 29/04 du 17 août 2004 consid. 2.2 et les références).
En l'espèce, il n'existe aucune circonstance donnant l'apparence objective de la prévention du docteur F._ et faisant redouter une activité partiale de sa part. L 'expertise a eu lieu le 6 août 2014, soit plus de trois ans après que l'assurée a consulté ce médecin. De simples soupçons - ne reflétant en l'occurrence que les impressions subjectives de la Fondation recourante - ne sauraient donc suffire, à défaut d'être étayés par des indices objectifs, à établir que le docteur F._ ne disposait pas de l'indépendance et de l'impartialité nécessaires pour remplir sa tâche. Au demeurant, on peut encore relever que les conclusions de l'expert F._ sont partagées tant par les différents médecins qui ont examiné l'intéressée que par le SMR.
4.2.2. Le défaut d'approche scientifique reproché par la Fondation recourante à l'expert F._ n'est pas non plus pertinent. Il ressort en effet du rapport d'expertise que ce médecin s'est fondé sur l'anamnèse et sur l'ensemble des rapports médicaux transmis par l'office AI pour établir que l'impact de la maladie sur la capacité de travail de l'assurée a débuté au mois d'avril 2007.
5.
5.1. La Fondation recourante fait ensuite valoir que les premiers juges n'auraient pas déterminé avec le degré de précision nécessaire la date à partir de laquelle l'atteinte à la santé, soit la polymyosite, a provoqué une incapacité de travail. Elle soutient que, dans la mesure où l'intimée a été affiliée auprès d'elle durant les mois de janvier à octobre 2007, puis auprès de la Fondation Axa, dès le mois de novembre 2007, les conclusions de la juridiction cantonale selon lesquelles l'assurée avait été "en incapacité de travail à 50% dès 2007" ne permettent pas de désigner l'institution de prévoyance tenue à prestations selon l'<ref-law>.
5.2. On rappellera que le versement des prestations d'invalidité incombe à l'institution de prévoyance auprès de laquelle l'assuré était affilié au moment de la survenance de l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 231 s et les arrêts cités). Ce principe sert à délimiter les responsabilités entre institutions de prévoyance, notamment lorsque le travailleur, déjà atteint dans sa santé dans une mesure propre à influer sur sa capacité de travail, entre au service d'un nouvel employeur en changeant en même temps d'institution de prévoyance, et bénéficie, ultérieurement, d'une rente de l'assurance-invalidité (<ref-ruling> consid. 1c p. 264; <ref-ruling> consid. 2a p. 102; cf. aussi arrêt 9C_797/2013 du 30 avril 2014 consid. 3.4).
5.3. La recourante ne peut pas être suivie lorsqu'elle affirme que les conclusions de la juridiction cantonale sont imprécises. Contrairement à ce qu'elle soutient, on ne saurait "seulement supposer" que les premiers juges se seraient ralliés aux conclusions de l'office AI, qui avait retenu une incapacité de travail de 50 % depuis le mois de mars 2007 (décision de l'office AI du 22 février 2012 et rapport du SMR du 26 septembre 2011); ils ont en effet considéré qu'"[A]u degré de la vraisemblance prépondérante, force est dès lors d'admettre avec l'OAI que la demanderesse est en incapacité de travail à 50 % depuis 2007". S'il est vrai que cette constatation ne porte pas sur un mois précis de l'année 2007 - alors qu'une telle précision est déterminante en l'espèce -, elle ne peut être comprise, en raison du renvoi à la décision de l'office AI et des considérations de la juridiction cantonale sur l'incapacité de travail attestée après coup par les médecins, que comme se rapportant au mois d'avril 2007, voire, au plus tard, au mois de juin 2007.
En particulier, la juridiction de première instance a constaté que l'assurée avait pris la décision de réduire son taux d'activité de 100 % à 60 % au mois de mars 2007, avec effet au 1er juin 2007, et que cette circonstance permettait d'expliquer pourquoi les différents médecins consultés n'avaient pas mentionné d'incapacité de travail en temps réel. A cet égard, l'assurée a en effet indiqué, tout au long de la procédure de demande de prestations de l'assurance-invalidité - alors que la date de la diminution de la capacité de travail n'était pas déterminante dans le contexte de la prévoyance professionnelle -, que la réduction de son taux de travail était intervenue en raison de "l'évolution de sa maladie". Cette affirmation est confirmée par le docteur G._, spécialiste en médecine interne générale, qui a mentionné, dans un rapport du 21 décembre 2007, que l'atteinte à la santé était apparue "au début 2007". Par la suite, ce médecin a également précisé que sa patiente avait d'elle-même "diminué son taux d'activité à 50 % du fait de ses problèmes de santé et ceci depuis plusieurs années"; il a aussi indiqué que l'exercice de l'activité habituelle était exigible à hauteur de "50 % au mieux", que l'on ne pouvait pas s'attendre à une amélioration de la capacité de travail et que ces indications étaient valables depuis le mois de mai 2007 (rapport du 17 juin 2011). Cet avis était partagé par le docteur F._, qui avait mentionné, dans son rapport d'expertise du 20 août 2014, que la maladie avait affecté la capacité de travail de l'assurée à partir du mois d'avril 2007, avec pour conséquence que cette dernière avait été contrainte de réduire son activité à 60 % depuis le 1er juin 2007. Au demeurant, en affirmant que l'hypothèse selon laquelle l'intéressée aurait diminué son taux de travail en raison de difficultés à concilier vie professionnelle et vie familiale à la suite de la naissance de son second enfant en 2005 n'est pas moins vraisemblable que l'hypothèse de la réduction due à la maladie en cause, la Fondation n'établit pas que l'appréciation des preuves de la juridiction cantonale serait insoutenable. On rappellera à ce propos qu'il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une solution autre que celle de l'autorité cantonale semble concevable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 72; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 205).
5.4. A l'inverse de ce que prétend ensuite la recourante, les premiers juges n'ont pas "écarté de manière injustifiée les déclarations des employés de B._ selon lesquelles le départ de B._ était lié à une volonté de réduire le taux d'activité en fonction de considérations familiales". Ils ont en effet tenu compte de cet avis, qu'ils ont jugé "pas crédible" étant donné que l'assurée avait repris un emploi à plein temps en 2006 peu après la naissance de son second enfant. Contrairement à ce que soutient la Fondation recourante, les premiers juges n'ont pas non plus fait preuve d'arbitraire en retenant qu'il n'était pas déterminant que l'employeur n'eût pas constaté de baisse de rendement; ils ont en effet considéré que cette circonstance s'expliquait par le fait que l'employée avait réduit d'elle-même son taux d'activité afin de tenir compte de son état de santé. Cette considération n'est pas insoutenable au regard de l'ensemble des éléments pris en compte par la juridiction cantonale pour établir le début de l'incapacité de travail déterminante.
De surcroît, la recourante ne saurait non plus tirer argument du fait que l'intimée a diminué son taux d'occupation de 100 % à 60 % en juin 2007, alors que l'office AI, suivi par les premiers juges, avait admis une incapacité de travail de 50 % depuis le mois de mars 2007. L'incapacité de travail de l'assurée est en effet demeurée supérieure au taux de 20 % au moins exigé par la jurisprudence pour admettre la présence d'une diminution du rendement sensible et indiscutable (arrêt 9C_147/2017 du 20 février 2018, prévu pour la publication). L'affirmation selon laquelle le dépôt de la demande de prestations de l'assurance-invalidité intervenu en 2011 seulement serait de nature à remettre en cause la présence d'une incapacité de travail au printemps 2007 n'est pas non plus pertinente. L'élément déterminant réside en effet dans la diminution de la capacité de travail; il s'agit d'une question d'ordre médical, dont la réponse ne saurait être influencée par le fait que la personne assurée a ou non déposé une demande de prestations d'assurances sociales. Or, en l'espèce, même si l'incapacité de travail a été établie après 2007, les premiers juges disposaient d'éléments suffisants pour admettre que celle-ci existait déjà depuis le printemps 2007; une détérioration de l'état de santé ainsi qu'une baisse du taux d'activité avaient effectivement été constatées à cette époque, et le diagnostic avait été posé en août 2007 (rapport des docteurs H._ et I._ du Service de neurologie de l'hôpital J._ du 7 août 2007), au terme de plusieurs mois d'investigations médicales.
6.
6.1. La Fondation recourante reproche également à la juridiction cantonale de ne pas avoir examiné si la diminution de la capacité fonctionnelle de rendement de l'assurée avait toujours atteint au moins 20 % dans la profession exercée jusqu'alors depuis l'apparition de l'incapacité de travail.
6.2. Ce reproche est mal fondé. En effet la juridiction cantonale a constaté, en se fondant sur l'ensemble des documents médicaux, qu'une incapacité de travail de 50 % avait perduré "depuis 2007". L'examen de l'instance précédente est dès lors complet. S'interroger sur les effets du traitement d'immunosuppresseur instauré en 2008, comme le fait la recourante, n'y change rien. Si le docteur K._, spécialiste en neurologie, a fait état d'une amélioration des symptômes grâce au traitement, il a indiqué que la situation était fluctuante et attesté d'une incapacité de travail de "50 % de façon prolongée depuis 2007", précisant que celle-ci était "peu susceptible de changement prochainement" (rapport du 17 août 2011).
La recourante ne peut rien non plus tirer en sa faveur en affirmant que l'intimée aurait "tardé [...] à se faire administrer le traitement le plus efficace pour sa maladie, traitement d'immunosuppresseur proposé en juillet 2007 mais accepté seulement dès 2008" et que les premiers juges auraient dû demander aux neurologues de J._ leur "point de vue" sur l'impact de la non-acceptation par l'intimée dudit traitement. D'une part, on ne saurait reprocher à l'assurée d'avoir pris un temps de réflexion avant de commencer ce traitement, au vu des craintes suscitées par "le potentiel d'effets secondaires de ce type de médicament" mis en évidence par ses médecins traitants (rapport du docteur K._ du 14 janvier 2008, notamment). D'autre part, il ressort des différentes pièces médicales versées au dossier que A._ est atteinte d'une maladie auto-immune à l'évolution imprévisible et que le traitement en cause s'est effectivement accompagné de lourds effets secondaires, qui ont notamment nécessité une hospitalisation (rapports des docteurs K._ du 7 janvier 2011, L._, médecin au Service de Médecine interne de J._ du 11 février 2011, G._ du 17 juin 2011, E._ du 26 septembre 2011, M._ du 27 mai 2013 et F._ du 20 août 2014, notamment). L'affirmation de la recourante est dès lors particulièrement peu pertinente pour tenter d'établir que l'incapacité de travail de l'assurée aurait pu être réduite à un taux inférieur à celui de 50 % retenu par la juridiction cantonale.
Dans ces circonstances, le Tribunal fédéral n'a pas à s'écarter de la constatation de la juridiction cantonale selon laquelle l'incapacité de travail de l'assurée n'a jamais diminué en dessous de 50 % (supra consid. 1.1).
7.
La Fondation recourante ne saurait finalement faire grief à l'instance cantonale de ne pas avoir ordonné une expertise judiciaire complémentaire. On rappellera à cet égard que le juge est en droit de renoncer à procéder à des mesures d'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de forger sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, il a la certitude que ces dernières ne pourraient l'amener à modifier son opinion (<ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 298 s. et les références). En l'espèce, l'argumentation de la recourante ne démontre pas que l'appréciation en fonction des pièces au dossier était insoutenable de sorte qu'elle aurait commandé de nouvelles mesures d'instruction. En particulier, les premiers juges ont examiné et répondu à satisfaction de droit aux questions soulevées à nouveau par la recourante en instance fédérale, sous réserve de la question non pertinente de l'incidence du traitement médicamenteux (hypothétiquement) débuté en 2007.
8.
Dans ces conditions, la juridiction cantonale n'a pas violé le droit fédéral, sous l'angle d'une appréciation arbitraire des preuves, en retenant qu'il existait un rapport de connexité temporelle entre l'incapacité de travail qui s'est manifestée durant les rapports de prévoyance avec la recourante et l'invalidité. C'est donc à bon droit qu'elle a conclu à l'obligation de prester de cette dernière.
9.
Vu l'issue du litige, les frais de la présente procédure sont mis à la charge de la recourante qui succombe (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 16 mars 2018
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
La Greffière : Perrenoud