Faits :
A.
A.a. La société B._ SA fabrique des pièces destinées à l'horlogerie et à d'autres produits de luxe. Par contrat de travail du 30 juin 2014, elle a engagé A._ en qualité de directeur général adjoint pour une durée indéterminée. Celui-ci était doté d'une longue expérience professionnelle dans le domaine des produits de luxe, mais n'avait qu'une expérience minime en matière d'horlogerie; l'administratrice de la société l'a engagé pour ses qualités de gestionnaire.
A.b. Par courrier du 26 août 2015, l'employeuse a licencié le prénommé pour le 31 octobre 2015, en le libérant de l'obligation de travailler dès le 31 août 2015.
Dans la foulée, l'employeuse a adressé le communiqué suivant à ses partenaires et fournisseurs: [soulignements et titre en gras à l'instar du texte original, réd.]
" Concerne : Communication adressée à nos partenaires et fournisseurs concernant la résiliation du contrat de travail de Monsieur A._
(...) nous vous communiquons la résiliation du contrat de travail de Monsieur A._ pour le 31 octobre 2015.
Nous vous informons également du fait que Monsieur A._ a été libéré de l'obligation de travailler durant le délai de congé et qu'il ne fait dès lors plus partie du personnel de notre société dès et y compris le 31 août 2015.
Nous nous en remettons au professionnalisme de chacun et nous ne doutons pas que vous tiendrez compte de cette information de manière rigoureuse dans le cadre de vos relations avec notre société.
Nous attirons votre attention sur le fait qu'étant donné la fin des rapports contractuels de cet employé, votre devoir de confidentialité vaut désormais également à l'égard de A._.
La direction de la société se tient bien entendu à votre disposition pour répondre à toute question relative à la présente communication. (...) "
L'employé licencié a à son tour adressé le message électronique suivant aux fournisseurs de l'employeuse:
(...) Le Roi est mort... Longue vie à la Reine!
Chers partenaires et pour certains amis,
Il me plaît à penser que vous avez été surpris de recevoir il y a quelques jours un communiqué annonçant la radiation de mon contrat.
Et bien vous allez rire... étant en arrêt maladie durant cette semaine précisément suite à une intervention chirurgicale, j'ai été informé de cette gentille missive 'en live' par vous-mêmes!
(...)
Beaumarchais avait donc raison... 'Empressons-nous de rire de tout de peur d'être obligé d'en pleurer'!
Après deux années, Madame C._ [administratrice de la société, réd.] a donc décidé de reprendre la barre de son bateau ce qui est finalement dans la normale des choses, seule la méthode est discutable! (...) "
En octobre 2015, une société spécialisée dans le recrutement des cadres a annoncé à l'employé que sa cliente avait souhaité interrompre leurs pourparlers pourtant avancés, suite au communiqué de l'employeuse qui semblait mettre très sérieusement en doute son intégrité.
En novembre 2015, une entreprise a signifié à l'employé qu'elle renonçait à collaborer avec lui en raison de ce même communiqué, qui pouvait être la suite d'une faute professionnelle. Elle n'entendait pas prendre un quelconque risque pour son image.
A.c. Le travailleur congédié s'est trouvé incapable de travailler, de sorte que l'échéance du contrat a été repoussée au 31 janvier 2016. En mars 2016, il a fondé sa propre société de conseils, qu'il prodigue dans le domaine du luxe à l'exclusion de l'horlogerie.
B.
B.a. Par requête de conciliation du 4 mai 2016, l'employé a attrait l'employeuse devant le Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte (VD). Il a ensuite déposé une demande le 11 août 2016.
Selon ses dernières conclusions, il prétendait à l'indemnisation de ses jours de vacances non pris (9'846 fr. 70) ainsi qu'à une indemnité de 40'000 fr. pour le préjudice causé par l'atteinte grave à sa personnalité. Il exigeait en outre qu'un rectificatif fût publié dans diverses revues, et adressé à tous les destinataires du communiqué par lequel l'employeuse avait annoncé son licenciement.
Par jugement du 25 février 2019, le Tribunal civil a rejeté la demande. Tout en concédant que la courtoisie eût peut-être commandé de convier l'employé licencié à une séance pour élaborer un communiqué recueillant l'assentiment de tous, l'instance précitée a jugé que l'employeuse n'avait pas porté atteinte à la personnalité du travailleur; elle avait communiqué des faits réels - même si la manière d'annoncer la fin des relations contractuelles était sèche et abrupte. Par surabondance, l'employé n'avait pas démontré la gravité des souffrances physiques ou psychiques consécutives à la diffusion du communiqué litigieux.
B.b. Statuant le 29 janvier 2020 sur appel de l'employé, le Tribunal cantonal vaudois a confirmé ce jugement. Ses considérants seront évoqués ci-dessous dans la mesure utile à la discussion.
C.
L'employé a exercé un recours un matière civile à l'issue duquel il conclut au paiement de 30'000 fr. "à titre d'indemnité pour préjudice moral", et à la communication d'un rectificatif selon les modalités définies dans la conclusion IV de sa demande.
L'autorité précédente et l'intimée n'ont pas été invitées à déposer une réponse.

Considérant en droit :
1.
Les conditions de recevabilité du recours en matière civile sont réalisées sur le principe, notamment celles afférentes au délai de recours (<ref-law>) et à la valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. (<ref-law>).
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être exercé pour violation du droit fédéral (<ref-law>). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Eu égard, toutefois, aux exigences de motivation découlant de l'<ref-law>, il n'examine d'ordinaire que les griefs invoqués, sauf en cas d'erreurs juridiques manifestes (<ref-ruling> consid. 2 p. 116). Pour la violation des droits constitutionnels tels que la prohibition de l'arbitraire (art. 9 Cst.) prévalent des règles particulières: conformément au principe d'allégation, le recourant doit indiquer quel droit constitutionnel a été violé, en expliquant de façon circonstanciée en quoi consiste la violation (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 3.2).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut rectifier ou compléter ces constatations que si elles sont manifestement inexactes - c'est-à-dire arbitraires - ou découlent d'une violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). En vertu du principe d'allégation évoqué ci-dessus, le recourant qui entend contester l'état de fait de l'arrêt attaqué doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18 et les références). Pour obtenir un complètement, il doit désigner précisément les allégués et offres de preuves censés autoriser cette opération, en se référant aux pièces du dossier (<ref-ruling> consid. 2 p. 90).
3.
L'employé/recourant dénonce une violation des <ref-law> et 28 CC. En diffusant le communiqué relatif à son licenciement, l'employeuse aurait gravement porté atteinte à sa personnalité. Elle devrait de ce fait l'indemniser pour le préjudice (moral) subi et publier un communiqué rectificatif.
C'est le lieu de rappeler quelques principes.
4.
4.1. L'<ref-law> enjoint à l'employeur de respecter la personnalité du travailleur. Cette disposition concrétise en droit du travail la protection qu'offrent les <ref-law> contre les atteintes aux droits de la personnalité.
4.2. L'atteinte, au sens des <ref-law>, est réalisée par tout comportement humain, tout acte de tiers qui cause d'une quelconque manière un trouble aux biens de la personnalité d'autrui en violation des droits qui la protègent (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 302; <ref-ruling> consid. 2 p. 371). Il y a violation de la personnalité notamment lorsque l'honneur d'une personne est terni, lorsque sa réputation sociale et professionnelle est dépréciée (<ref-ruling> consid. 6.4.2 p. 308; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 722).
L'atteinte portée aux biens de la personnalité entraîne une modification de l'état de ces biens, que l'on appelle lésion (Verletzung/lesione; cf. les versions allemande et italienne de l'<ref-law>; PIERRE TERCIER, Le nouveau droit de la personnalité, 1984, n° 573). Il n'est pas nécessaire que l'honneur soit effectivement lésé; il suffit que le comportement incriminé soit propre à ternir celui-ci (FRANZ RIKLIN, Der straf- und zivilrechtliche Ehrenschutz im Vergleich, in RPS 1983 p. 36; en droit pénal, cf. <ref-ruling> consid. 7 p. 23). Cela étant, pour qu'il y ait atteinte au sens de l'<ref-law>, la perturbation doit présenter une certaine intensité (STEINAUER/FOUNTOULAKIS, Droit des personnes physiques et de la protection de l'adulte, 2014, n° 554; ANDREAS MEILI, in Basler Kommentar, 6e éd. 2018, n° 38 ad <ref-law>; THOMAS GEISER, Die Persönlichkeitsverletzung insbesondere durch Kunstwerke, 1990, p. 97 s.; cf. aussi ATF <ref-ruling> consid. 4.1 p. 723).
L'atteinte à la personnalité peut avoir des répercussions sur le patrimoine ou le bien-être de la victime, et lui occasionner ainsi un préjudice. Il sied à cet égard de distinguer l'atteinte à la personnalité du préjudice qu'elle peut entraîner (TERCIER, op. cit., nos 572-575; STEINAUER/FOUNTOULAKIS, op. cit., no 555; MEILI, op. cit., n° 41 ad <ref-law>). La première (atteinte) est l'objet des actions défensives énoncées à l'<ref-law>, tandis que le second (préjudice) est l'objet des actions réparatrices mentionnées à l'<ref-law>. Un rapport de causalité naturelle et adéquate doit être établi entre l'atteinte à la personnalité et le préjudice invoqué (TERCIER, op. cit., nos 1857 ss, 2014 et 2134; STEINAUER/FOUNTOULAKIS, op. cit., nos 555, 601, 608 et 614).
5.
In casu, le communiqué de l'employeuse (cf. let. A.b supra) a inspiré aux juges cantonaux les réflexions suivantes:
- L'employeuse avait mis en exergue le terme "résiliation", et le fait que celle-ci prenait effet "dès et y compris le 31 août 2015"; ce faisant, elle avait insisté sur le fait que l'employé ne faisait plus partie du personnel de l'entreprise, avec effet immédiat. Une telle accentuation pouvait induire toutes sortes de spéculations quant aux motifs du licenciement, et potentiellement porter atteinte à la réputation de la personne concernée. Deux témoins avaient relevé le caractère brutal et surprenant du communiqué. Deux autres témoins avaient attesté de l'influence négative qu'il pouvait exercer sur des employeurs potentiels dans le milieu concerné - soit un milieu relativement fermé dans lequel tout se sait. Cependant, en réaction à ce communiqué, l'employé avait adressé une réponse d'un goût douteux aux fournisseurs. Selon un cinquième témoin, il n'était pas sérieux d'envoyer un tel message dans ce milieu, sauf à "se tirer une balle dans le pied".
- Si le communiqué litigieux de l'employeuse était susceptible de porter atteinte à l'avenir professionnel de l'employé, la réaction pour le moins inadéquate de l'intéressé était aussi de nature à lui causer du tort. Le lien de causalité naturelle entre le comportement de l'employeuse et l'atteinte invoquée n'était pas établi. Le fait que l'employé n'avait jusqu'à son engagement aucune expérience dans l'horlogerie pouvait aussi influer sur son parcours dans le secteur.
- Par surabondance, le travailleur n'avait pas établi avoir subi une atteinte sérieuse à sa personnalité, respectivement à son avenir professionnel. Il n'était pas établi qu'il n'aurait plus pu exercer dans le domaine du luxe comme par le passé. Il n'avait pas non plus démontré, par certificat médical ou autre preuve à l'appui, qu'il aurait subi le dommage allégué.
6.
En s'interrogeant sur le lien de causalité entre le comportement de l'employeuse (diffusion d'un communiqué sur le licenciement) et "l' atteinte invoquée" par le travailleur congédié, l'autorité précédente s'est en réalité placée sur le terrain des actions réparatrices. Il est question d'avenir professionnel, et de l'influence négative du communiqué auprès d'employeurs potentiels. Une atteinte à la réputation professionnelle peut empêcher un travailleur de retrouver un emploi dans le milieu concerné, et justifier le cas échéant des dommages-intérêts. La cour cantonale a toutefois exclu une telle prétention au motif que le lien de causalité naturelle entre la diffusion du communiqué et le prétendu préjudice faisait défaut (pour une affaire de ce type, cf. arrêt 5A_170/2013 du 3 octobre 2013 consid. 7.2). La question de la causalité naturelle ressortit au fait; or, le recourant se borne à mettre en exergue les deux courriers attestant des refus d'emploi imputés au communiqué de l'employeuse (let. A.b supra), sur un mode appellatoire dépourvu du grief d'arbitraire qui exclut déjà toute rediscussion. Au demeurant, on ne voit pas que l'autorité précédente aurait enfreint le droit fédéral en excluant une prétention en dommages-intérêts sur la base d'un état de fait aussi peu étayé. Devant la cour de céans, le recourant lui-même ne parle plus que de préjudice moral.
L'indemnité pour tort moral (<ref-law>) suppose que l'atteinte à la personnalité revête une certaine gravité, objective et subjective. Savoir si l'atteinte est suffisamment importante pour justifier une somme d'argent dépend des circonstances du cas concret; le juge dispose à cet égard d'un vaste pouvoir d'appréciation que le Tribunal fédéral revoit avec retenue (ATF <ref-ruling> consid. 4.4 p. 725; cf. aussi <ref-ruling> consid. 1; arrêt 4A_482/2017 du 17 juillet 2018 consid. 4.1). En l'occurrence, les deux instances vaudoises ont considéré que l'employé n'avait pas établi la gravité des souffrances physiques ou psychiques consécutives à l'atteinte subie par la diffusion du communiqué litigieux. Force est d'admettre qu'une telle analyse n'appelle aucune critique. Pour pouvoir l'infléchir, il eût fallu s'appuyer sur un état de fait autre. Or, une fois encore, le recourant ne le remet pas valablement en question en se bornant à soutenir que les grandes souffrances sont le plus souvent silencieuses et en évoquant des certificats médicaux qui attesteraient d'un état dépressif ou d'une anxiété (cf. consid. 2.2 supra). Dans ces circonstances, une violation de l'<ref-law> ne saurait être retenue - ce qui n'exclut pas encore que le communiqué de l'employeuse ait pu attenter à la personnalité de l'employé, cette question souffrant en l'occurrence de rester indécise.
Le recourant a encore sollicité la publication d'un rectificatif dans diverses revues, et la communication de celui-ci aux destinataires du courrier litigieux émis par l'employée à propos de son licenciement. Cette mesure prévue par l'<ref-law> vise à éliminer les conséquences d'une atteinte illicite à la personnalité; elle est soumise aux principes d'adéquation et de proportionnalité. Le requérant doit justifier d'un intérêt suffisant (ausreichend) à une telle mesure, intérêt qui n'est pas nécessairement émoussé par un long écoulement du temps (cf. <ref-ruling> consid. 5.1 p. 151; <ref-ruling> consid. 4, à propos de la publication d'un jugement; arrêt 5A_639/2014 du 8 septembre 2015 consid. 11.2.1; arrêt précité 5A_170/2013 consid. 5.3; MEILI, op. cit., n° 10 ad <ref-law>; TERCIER, op. cit., n° 1007). En l'espèce, on ne saurait inférer de circonstances aussi nébuleuses que les conditions précitées seraient réalisées. Le recourant s'est plaint essentiellement de l'effet néfaste du communiqué sur son avenir professionnel; il a toutefois fondé sa propre société en mars 2016, un mois après la fin de son délai de congé, sans avoir justifié d'aucune recherche d'emploi. De surcroît, un temps important s'est écoulé, ne serait-ce qu'entre le communiqué litigieux et le prononcé du jugement de première instance. Enfin, on ignore tout du contenu que le rectificatif sollicité devrait revêtir. Pour ce motif déjà, la prétention fondée sur l'<ref-law> pouvait être rejetée.
7.
En définitive, le recours doit être rejeté. Partant, le recourant supportera les frais judiciaires y afférents (<ref-law>), fixés conformément au tarif ordinaire puisque la valeur litigieuse excédait 30'000 fr. à l'ouverture de l'action - ce qui a déjà été précisé en réponse à une interpellation du recourant quant au montant de l'avance de frais (cf. art. 65 al. 4 let. c LTF et arrêts 4A_104/2011 du 27 septembre 2011 consid. 4; 4A_613/2010 du 25 janvier 2011 consid. 8; cf. <ref-ruling> consid. 5b). Aucuns dépens ne sont dus à l'intimée qui n'a pas été invitée à se déterminer.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 30 juillet 2020
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente : Kiss
La greffière : Monti