Erwägungen:
1.
A._ wurde aufgrund seines renitenten Verhaltens am 7. Februar 2020 vom Zentralgefängnis Lenzburg in die Sicherheitsabteilung des Gefängnisses Pfäffikon versetzt. Das Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich, Direktion der Untersuchungsgefängnisse Zürich, verlängerte mit Verfügung vom 7. April 2020 rückwirkend per 7. März 2020 den Aufenthalt von A._ in der Sicherheitsabteilung des Gefängnisses Pfäffikon für weitere drei Monate bzw. bis zu seiner Versetzung in eine geeignete Massnahmenanstalt.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 8. Juni 2020 Beschwerde in Strafsachen gegen die Verfügung des Amts für Justizvollzug des Kantons Zürich, Direktion der Untersuchungsgefängnisse Zürich, vom 7. April 2020. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Das Bundesgericht beurteilt Beschwerden gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen (vgl. <ref-law>), welche bei ihm innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung angefochten werden (vgl. <ref-law>). Bei der Verfügung des Amts für Justizvollzug vom 7. April 2020 handelt es sich indessen nicht um einen letztinstanzlichen kantonalen Entscheid. Wie der Rechtsmittelbelehrung der angefochtenen Verfügung entnommen werden kann, besteht eine Rekursmöglichkeit innert 30 Tagen bei der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich. Mangels eines letztinstanzlichen kantonalen Entscheids ist somit auf die Beschwerde nicht einzutreten.
Hinzu kommt, dass die Beschwerde verspätet eingereicht worden ist. Nach <ref-law> ist die Beschwerde innert 30 Tagen nach Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des angefochtenen Entscheids beim Bundesgericht einzureichen. Diese gesetzliche Frist ist nicht erstreckbar (<ref-law>). Die angefochtene Verfügung des Amts für Justizvollzug ist dem Beschwerdeführer gemäss Notizen auf dem von ihm dem Bundesgericht eingereichten Exemplar der angefochtenen Verfügung am 14. April 2020 zugestellt worden. Die Beschwerdefrist begann somit aufgrund des Fristenstillstandes gemäss <ref-law> am 20. April 2020 zu laufen und endete am 19. Mai 2020. Die Beschwerde vom 8. Juni 2020 ist daher offensichtlich verspätet eingereicht worden, womit sich auch eine Überweisung an die Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich erübrigt.
Auf die Beschwerde ist demnach nicht einzutreten. Die genannten Mängel sind offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
4.
Auf die Erhebung von Gerichtsgebühren kann verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich, Untersuchungsgefängnisse Zürich, Direktion, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juni 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli