Sachverhalt:
A.
A._ (Beschwerdeführer) arbeitete im Rahmen eines Zwischenverdienstes als Buchhalter bei der Einzelfirma C._ von B._ (Beschwerdegegner). Er trat seine Arbeitsstelle am 15. Juli 2015 an. Am 24. Juli 2015 war er krank. Vom 27. Juli 2015 bis am 14. August 2015 bezog er absprachegemäss Ferien. Am 16. August 2015 kündigte B._ das Arbeitsverhältnis per E-Mail und teilte A._ mit, er brauche nicht mehr zur Arbeit zu kommen.
Am 4. April 2016 bezahlte B._ A._ Fr. 1'304.-- "Lohn 07.2015".
B.
Bereits am 23. Februar 2016 hatte A._ beim Bezirksgericht Frauenfeld Klage gegen B._ eingereicht. An der Hauptverhandlung vom 19. April 2016 beantragte er, B._ sei zu verurteilen, ihm brutto Fr. 3'943.35 zuzüglich Zins zu bezahlen. Ferner ersuchte er um Ausstellung einer Arbeitsbestätigung für die Dauer des Arbeitsverhältnisses vom 15. Juli 2015 bis und mit 30. September 2015 und eines korrigierten Lohnausweises über den Betrag von brutto Fr. 5'385.35 bzw. netto Fr. 4'882.25.
Mit Entscheid vom 19. April 2016 vereinigte das Bezirksgericht das Verfahren mit einem parallel dazu eingeleiteten Verfahren der Arbeitslosenkasse. Es verurteilte B._ in teilweiser Klagegutheissung, A._ brutto Fr. 335.10 zuzüglich Zins zu bezahlen und ihm eine Arbeitsbestätigung für die Dauer des Arbeitsverhältnisses vom 15. Juli 2015 bis 23. August 2015 sowie einen korrigierten Lohnausweis über brutto Fr. 2'949.85 auszustellen. Weiter verurteilte sie B._, der Arbeitslosenkasse brutto Fr. 1'172.75 zuzüglich Zins zu bezahlen.
Am 2. September 2016 bezahlte B._ A._ Fr. 403.-- "Restlohn gms. Gerichtsentscheid" und der Arbeitslosenkasse Fr. 1'236.30 "Schlussrechnung Lohnentschädigung" bzw. "1'172.75 + 63.55 AHV-Nr. xxxx gms BG Frauenfeld".
Die von A._ gegen den Entscheid des Bezirksgerichts vom 19. April 2016 erhobene Berufung erklärte das Obergericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 7. Oktober 2016 für unbegründet.
C.
A._ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Thurgau vom 7. Oktober 2016 und der Entscheid des Bezirksgerichts Frauenfeld vom 19. April 2016 seien aufzuheben und B._ sei zu verurteilen, ihm brutto Fr. 3'608.25 zuzüglich Zins zu 5 % zu bezahlen. Zudem wiederholt er seine Klagebegehren betreffend Arbeitsbestätigung und Lohnausweis.
Das Obergericht beantragt Abweisung der Beschwerde, unter Verweis auf den angefochtenen Entscheid und Verzicht auf Vernehmlassung. B._ begehrt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. A._ replizierte.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil des Obergerichts ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer Vorinstanz im Sinne von <ref-law>. Demgegenüber ist der Entscheid des Bezirksgerichts kein gültiges Anfechtungsobjekt der Beschwerde an das Bundesgericht und die Beschwerde unzulässig, soweit sie sich gegen diesen richtet.
1.2. Der Streitwert erreicht die in arbeitsrechtlichen Fällen geltende Grenze von Fr. 15'000.-- (<ref-law>) nicht. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde in Zivilsachen dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>). Der Beschwerdeführer macht geltend, dies sei der Fall.
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung liegt eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung dann vor, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.2 S. 210, 182 E. 1.2 S. 185; <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 1.2 S. 399). Die Frage muss von allgemeiner Tragweite sein (<ref-ruling> E. 1.2 S. 269). Eine neue Rechtsfrage kann vom Bundesgericht beurteilt werden, wenn dessen Entscheid für die Praxis wegleitend sein kann, namentlich, wenn von unteren Instanzen viele gleichartige Fälle zu beurteilen sein werden (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.3 S. 4).
Streitig und entscheiderheblich ist vorliegend, wie die Probezeit zu berechnen ist, insbesondere hinsichtlich von <ref-law>. Dieser - vom Bundesgericht bisher nicht geklärten - Frage kommt grundsätzliche Bedeutung im eben dargestellten Sinne zu (siehe im Einzelnen Erwägung 4).
1.3. Gemäss <ref-law> ist zur Beschwerde in Zivilsachen berechtigt, wer durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zu dieser Bestimmung erschöpft sich das schutzwürdige Interesse nicht darin, dass einzelnen Begehren nicht oder nicht voll entsprochen wurde; erforderlich ist vielmehr, dass im Zeitpunkt des bundesgerichtlichen Entscheids nach wie vor ein aktuelles und praktisches Interesse an der Gutheissung der Beschwerde besteht, indem der beschwerdeführenden Partei ein wirtschaftlicher, ideeller oder materieller Nachteil durch den angefochtenen Entscheid erspart bleibt (Urteil 4A_83/2016 vom 22. September 2016 E. 1.2 mit Hinweisen).
Der Beschwerdegegner bringt vor, der Beschwerdeführer sei für die Zeit vom 17. Juli 2015 bis und mit 30. September 2015 von der Arbeitslosenkasse finanziell entschädigt worden und habe daher keinen "nennenswerte[n] finanziellen Nachteil durch das Urteil der Vorinstanz erlitten". Es fehle ihm damit an einem "rechtlich geschützte[n] Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung".
Die Klage des Beschwerdeführers wurde vor den Vorinstanzen nur teilweise geschützt, das Begehren auf Lohnzahlung im Umfang von Fr. 335.10 (nebst Zins). Entsprechend verlangt der Beschwerdeführer vor Bundesgericht die Bezahlung des nicht zugesprochenen Betrags von Fr. 3'608.25 (zuzüglich Zins). Der Beschwerdeführer legt dar, die Leistungen der Arbeitslosenversicherung seien in Abzug gebracht, und er klage nur denjenigen Teil seiner Lohnforderung ein, welcher nicht zufolge Subrogation auf die Arbeitslosenkasse übergegangen sei. In diesem Sinn hat er ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung beziehungsweise Änderung des vorinstanzlichen Entscheids.
1.4. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Entgegen dem Beschwerdegegner ist der Beschwerdebegründung ohne weiteres zu entnehmen, welche bundesrechtlichen Vorschriften als verletzt gerügt werden.
1.5. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten, soweit sie gegen den Entscheid des Obergerichts vom 7. Oktober 2016 gerichtet ist.
2.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90).
3.
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104).
4.
4.1. Strittig ist im bundesgerichtlichen Verfahren, ob die Kündigung noch während der Probezeit erfolgte.
4.2. Gemäss <ref-law> kann das Arbeitsverhältnis während der Probezeit jederzeit mit einer Kündigungsfrist von sieben Tagen gekündigt werden; als Probezeit gilt der erste Monat eines Arbeitsverhältnisses (Abs. 1). Durch schriftliche Abrede, Normalarbeitsvertrag oder Gesamtarbeitsvertrag können abweichende Vereinbarungen getroffen werden; die Probezeit darf jedoch auf höchstens drei Monate verlängert werden (Abs. 2).
Die Probezeit soll den Parteien des Arbeitsvertrags ermöglichen, sich kennen zu lernen, damit sie abschätzen können, ob sie die gegenseitigen Erwartungen erfüllen (vgl. <ref-ruling> E. 7.1.1). Hierfür steht ihnen bei unbefristeten Arbeitsverhältnissen von Gesetzes wegen die Dauer eines Kalendermonats zur Verfügung, wobei es grundsätzlich nicht auf die effektiv geleistete Arbeit, sondern die Dauer des Arbeitsverhältnisses ankommt (siehe <ref-ruling> E. 3 S. 563 f. mit Hinweisen). Bei einer effektiven Verkürzung der Probezeit infolge Krankheit, Unfall oder Erfüllung einer nicht freiwillig übernommenen gesetzlichen Pflicht erfolgt immerhin eine entsprechende Verlängerung der Probezeit (<ref-law>).
4.3. A._ trat die Stelle am 15. Juli 2015 an. Mangels abweichender vertraglicher Abrede betrug die Probezeit einen Monat. Sie verlängerte sich infolge Krankheit gemäss <ref-law> um einen Tag. Die Kündigung erfolgte am 16. August 2015.
Die Vorinstanz stellte bei der Berechnung auf <ref-law> ab. Ausgehend vom Tag des Stellenantritts am 15. Juli 2015 schloss sie, die Probezeit hätte grundsätzlich bis am 15. August 2015 gedauert, sei aber bis am 16. August 2015 verlängert worden. Die Kündigung sei damit noch innerhalb der Probezeit erfolgt. Der Beschwerdeführer macht dagegen geltend, <ref-law> sei auf die Berechnung der Probezeit nicht anwendbar, und letztere habe deshalb - unter Berücksichtigung der Verlängerung - bereits am 15. August 2015 geendet.
4.4.
4.4.1. Die Probezeit nach <ref-law> beginnt grundsätzlich am Tag des Stellenantritts, wie es <ref-law> in der Fassung vom 30. März 1911 denn auch noch ausdrücklich normiert hatte (siehe Staehelin, Zürcher Kommentar, 4. Aufl. 2014, N. 5 zu <ref-law>). Massgebend ist dabei der tatsächliche und nicht der vereinbarte Stellenantritt (so Streiff/von Kaenel/Rudolph, Arbeitsvertrag, 7. Aufl. 2012, N. 3 zu <ref-law> mit Hinweis).
Zu entscheiden ist, ob der Tag des Stellenantritts bei der Berechnung der Probezeit mitzuzählen ist oder nicht.
4.4.2. Nach einem Grundprinzip des Fristenrechts, das auf das römische Recht zurückgeht, erfolgt die Fristberechnung nach Kalendertagen, also Zeiträumen zwischen Mitternacht und Mitternacht (sogenannte Zivilkomputation). Damit geht einher, dass nur Tage mitgezählt werden, die voll zur Verfügung stehen (vgl. etwa ERNST/OBERHOLZER, Fristen und Fristberechnung gemäss Zivilprozessordnung [ZPO], 2013, S. 1 Rz. 1; Schraner, Zürcher Kommentar, 3. Aufl. 2000, N. 7 zu <ref-law>; siehe auch Urteil C 26/01 vom 15. Januar 2003 E. 2.3.1).
<ref-law> bestimmt Folgendes: Soll die Erfüllung einer Verbindlichkeit oder eine andere Rechtshandlung mit dem Ablaufe einer bestimmten Frist nach Abschluss des Vertrags erfolgen, so fällt ihr Zeitpunkt, "wenn die Frist nach Monaten oder einem mehrere Monate umfassenden Zeitraume (Jahr, halbes Jahr, Vierteljahr) bestimmt ist, auf denjenigen Tag des letzten Monates, der durch seine Zahl dem Tage des Vertragsabschlusses entspricht, und, wenn dieser Tag in dem letzten Monate fehlt, auf den letzten Tag dieses Monates". Die Bestimmung stellt sicher, dass dem Leistenden ein voller Monat respektive ein voller mehrere Monate umfassender Zeitraum zur Erfüllung einer Verbindlichkeit beziehungsweise zur Vornahme einer Rechtshandlung zur Verfügung steht. Da ihm nur ein Bruchteil des Tags des fristauslösenden Zeitpunkts verbleibt, wird dieser Tag zu seinem Schutz nicht mitgezählt (vgl. <ref-ruling> E. 2a und 2b; <ref-ruling> E. 2 S. 239). Ziffer 3 von <ref-law> bringt in dieser Hinsicht dasselbe Prinzip zum Ausdruck wie Ziffer 1, gemäss der, wenn die Frist nach Tagen bestimmt ist, der Tag, an dem der Vertrag geschlossen wurde, nicht mitgerechnet wird (siehe <ref-ruling> E. 2 S. 137).
Für den Beginn der Frist stellt <ref-law> auf den Tag "des Vertragsabschlusses" ab. <ref-law> präzisiert, dass die Frist in gleicher Weise auch dann berechnet wird, "wenn sie nicht von dem Tage des Vertragsschlusses, sondern von einem andern Zeitpunkte an zu laufen hat."
4.4.3. Wird der Arbeitsvertrag am Tag abgeschlossen, in dessen Verlauf auch noch der Stellenantritt erfolgt, steht dieser Tag nicht voll zur Verfügung. Er wird daher entsprechend dem Prinzip der Zivilkomputation nicht mitgezählt. <ref-law> ist ohne Weiteres anwendbar (siehe etwa Brühwiler, Einzelarbeitsvertrag, 3. Aufl. 2014, N. 1 zu <ref-law>; Streiff/von Kaenel/Rudolph, a.a.O., N. 2 zu <ref-law>; vgl. sodann auch Urteil 4C.386/1994 vom 11. Juli 1995 E. 2, in: JAR 1996 S. 126 f.).
Vorliegend haben die Parteien keinen schriftlichen Arbeitsvertrag unterzeichnet. Dass der Arbeitsvertrag schon vor dem Tag des Stellenantritts mündlich abgeschlossen worden wäre, hat die Vorinstanz nicht festgestellt. Der Beschwerdeführer bringt auch nichts Derartiges vor, und es ist ohnehin nicht erkennbar, inwiefern er zu einer dahingehenden Ergänzung des Sachverhalts berechtigt wäre (siehe Erwägung 2). Entsprechend ist für das Bundesgericht massgeblich, dass der Arbeitsvertrag am Tag des Stellenantritts abgeschlossen wurde. Die Probezeit hätte somit in Anwendung von <ref-law> grundsätzlich am 15. August 2015 geendet, verlängerte sich aber wegen Krankheit gemäss <ref-law> um einen Tag. Die Kündigung ging dem Beschwerdeführer am 16. August 2015 und somit innerhalb der Probezeit zu. Die Vorinstanz hat dies zu Recht erkannt.
Damit kann offenbleiben, wie die Probezeit zu berechnen ist, wenn der Arbeitsvertrag schon vor dem Tag des Stellenantritts abgeschlossen wurde (siehe dazu Chanson, arvonline 2010 Nr. 677; Portmann/Rudolph, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht I, 6. Aufl. 2015, N. 8 zu <ref-law>; Weber, Berner Kommentar, 2. Aufl. 2005, N. 19 zu <ref-law>; vgl. auch Urteil 4C.45/2004 vom 31. März 2004 E. 4.3).
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (siehe Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Februar 2018
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz