Faits :
A.
Par ordonnance du 17 octobre 2018, le Ministère public de la République et canton de Genève a refusé d'ordonner une défense d'office en faveur de A._. Le recours formé contre cette décision a été rejeté le 12 mars 2019 par la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève, l'intéressé n'ayant pas rendu vraisemblable son indigence. Cette décision a été confirmée le 22 juillet 2019 par le Tribunal fédéral (cause 1B_179/2019).
Le 18 janvier 2019, A._ a été reconnu coupable de brigandage et de lésions corporelles simples par le Tribunal de police de la République et canton de Genève. Il a été condamné à une peine privative de liberté de deux ans, peine assortie du sursis avec un délai d'épreuve de trois ans.
Dans le cadre de sa déclaration d'appel du 1er avril 2019, le prévenu a sollicité l'octroi de l'assistance judiciaire. Le 16 avril 2019, la Présidente de la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice de la République et canton de Genève a rejeté cette demande; cette autorité a considéré qu'il "ressort[ait] du rapport du 15 avril 2019 du greffe de l'assistance juridique, sollicité pour préaviser sur les conditions de l'indigence de A._, que celui-ci "n'a[vait] pas rendu vraisemblable qu'il se trouvait dans l'indigence".
B.
Par acte du 10 mai 2019, A._ forme un recours en matière pénale contre cet arrêt, concluant à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité précédente.
Invités à se déterminer, le Ministère public et l'autorité précédente ont conclu au rejet du recours. Ces écritures ont été communiquées au recourant qui n'a pas déposé de déterminations complémentaires.

Considérant en droit :
1.
Conformément à l'<ref-law>, une décision relative à la défense d'office dans une cause pénale peut faire l'objet d'un recours en matière pénale. Le recourant, prévenu et auteur de la demande de désignation d'un défenseur d'office, a qualité pour recourir (<ref-law>). Le refus de désigner un avocat d'office au prévenu est susceptible de lui causer un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 205; <ref-ruling> consid. 4 p. 338). Eu égard au grief invoqué - violation du droit d'être entendu -, la conclusion tendant au renvoi de la cause à l'autorité précédente est recevable (<ref-law>). Pour le surplus, les autres conditions de recevabilité étant remplies, il y a lieu d'entrer en matière.
2.
Le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir fondé son appréciation sur le rapport du 15 avril 2019 du greffe de l'assistance juridique, soit un document qui ne lui avait pas été transmis et sur lequel il n'avait ainsi pas pu se déterminer préalablement au prononcé attaqué.
2.1. Compris comme l'un des aspects de la notion générale de procès équitable au sens de l'art. 29 Cst., le droit d'être entendu garantit notamment au justiciable le droit de s'expliquer avant qu'une décision ne soit prise à son détriment, d'avoir accès au dossier, de prendre connaissance de toute argumentation présentée au tribunal et de se déterminer à son propos, dans la mesure où il l'estime nécessaire, que celle-ci contienne ou non de nouveaux éléments de fait ou de droit, et qu'elle soit ou non concrètement susceptible d'influer sur le jugement à rendre (<ref-ruling> consid. 7.2.2.1 p. 103 et les arrêts cités). Il appartient en effet aux parties, et non au juge, de décider si une prise de position ou une pièce nouvellement versée au dossier appelle des observations de leur part. Celles-ci doivent dès lors être communiquées aux parties pour leur permettre de décider si elles veulent ou non faire usage de leur faculté de se déterminer (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 192).
Le droit d'être entendu comprend également l'obligation pour l'autorité de motiver sa décision, afin que le justiciable puisse apprécier la portée de celle-ci et exercer son droit de recours à bon escient. Pour satisfaire à cette exigence, il lui suffit d'exposer, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé son raisonnement (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 157).
2.2. En l'occurrence, il n'est pas contesté que l'autorité précédente, en tant que direction de la procédure (art. 61 let. c et 133 al. 1 CPP), pouvait faire instruire la demande du recourant par le greffe de l'assistance juridique (cf. art. 8 al. 1 du règlement genevois du 28 juillet 2010 sur l'assistance juridique et l'indemnisation des conseils juridiques et défenseurs d'office en matière civile, administrative et pénale [RAJ; RS/GE E 2 05.04]). Il est également établi que ce service a rendu un rapport le 15 avril 2019 qui n'a pas été transmis au recourant. Enfin, il ressort de l'ordonnance attaquée que l'autorité précédente a fondé l'entier de son raisonnement sur ce document, sans en rappeler le contenu et/ou apporter la moindre considération supplémentaire. Eu égard aux principes rappelés ci-dessus, cette manière de procéder viole le droit d'être entendu du recourant, qui doit pouvoir, le cas échéant, se déterminer préalablement sur les éléments figurant au dossier et sur lesquels l'autorité entend fonder - de manière même exclusive en l'occurrence - son appréciation.
Sauf à violer ce même droit sous l'angle du devoir de motivation - effectuée en l'occurrence uniquement par renvoi implicite au rapport (cf. arrêt 1B_25/2016 du 18 février 2016 consid. 2.1) -, on ne saurait donc considérer dans le cas particulier que celui-ci serait un "document interne de travail" auquel le recourant n'aurait pas de droit d'accès (cf. notamment les art. 25 et 26 de la loi genevoise du 5 octobre 2001 sur l'information du public, l'accès aux documents et la protection des données personnelles [LIPAD; RS/GE A 2 08]). En l'absence d'indication quant à une éventuelle transmission du rapport au recourant lors de la notification de la décision attaquée, il n'y a pas lieu d'examiner si cette manière de procéder serait admissible pour réparer un éventuel vice, notamment lorsque le recours n'est ouvert que devant le Tribunal fédéral.
2.3. En l'état, le Tribunal fédéral ne disposant pas d'une pleine cognition en fait et en droit, le vice constaté ne peut pas être réparé au cours de la procédure fédérale; le recourant ne prend au demeurant aucune conclusion sur le fond. La violation du droit d'être entendu entraîne donc l'annulation de la décision entreprise, indépendamment des chances de succès du recours sur le fond (<ref-ruling> consid. 2.8.1 p. 226).
3.
Le recours est admis. L'ordonnance attaquée est annulée et la cause est renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle transmette le rapport du greffe de l'assistance juridique au recourant, lui octroie un délai pour se déterminer, puis rende une nouvelle décision.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires (<ref-law>). Le recourant, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un mandataire professionnel, a droit à des dépens pour la procédure fédérale à la charge du canton de Genève (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. L'ordonnance du 16 avril 2019 de la Présidente de la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice de la République et canton de Genève est annulée et la cause est renvoyée à cette autorité pour qu'elle procède au sens des considérants.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Une indemnité de dépens, fixée à 2'000 fr., est allouée au recourant à la charge de la République et canton de Genève.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Ministère public de la République et canton de Genève et à la Présidente de la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 11 octobre 2019
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Chaix
La Greffière : Kropf