Erwägungen:
1.
Am 14. Januar 2018 leitete A._ (Beschwerdeführer) beim Regionalgericht Oberland ein Verfahren betreffend vorsorgliche Massnahmen ein, in welchem er von der B._ Versicherung AG (Beschwerdegegnerin) zusammengefasst die Übernahme des Einarbeitungsaufwandes seines neuen Rechtsanwalts beziehungsweise eine entsprechende Kostengutsprache für drei Streitigkeiten verlangt. Zudem ersuchte A._ in diesem Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und stellte weitere Verfahrensanträge. In einem als "Entwurf" bezeichneten Schreiben vom 23. Januar 2019 präzisierte und begründete A._ seine Anträge und ersuchte um Fristansetzung, um seinen Entwurf in vollständiger und definitiver Form einreichen zu können. Weiter stellte er erneut ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege, über das vorab zu entscheiden sei.
Mit Verfügung und Entscheid vom 31. Januar 2019 wies das Regionalgericht das Gesuch von A._ um Fristansetzung, seinen Antrag auf Vorabentscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und ebenso sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab. In der Sache wies es das vorsorgliche Massnahmengesuch von A._ ab.
Hiergegen erhob A._ "Beschwerde (und/oder soweit und sofern zulässig Berufung) und Rechtsverweigerungsbeschwerde" an das Obergericht des Kantons Bern und ersuchte um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren. Mit Entscheid vom 13. Juni 2019 trat das Obergericht auf die Rechtsverweigerungsbeschwerde nicht ein. Die Beschwerde gegen den erstinstanzlichen Entscheid betreffend unentgeltliche Rechtspflege wies es ab, diejenige gegen den erstinstanzlichen Entscheid betreffend vorsorgliche Massnahmen schrieb es "teilweise als gegenstandslos" ab und wies sie im Übrigen ab, soweit es darauf eintrat. Schliesslich wies es auch das Gesuch von A._ um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren ab.
Mit Eingaben vom 17. Juli 2019 hat A._ erklärt, diesen Entscheid mit Beschwerde in Zivilsachen und Verfassungsbeschwerde anzufechten, und um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren sowie Erteilung der aufschiebenden Wirkung ersucht.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). Dafür muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89). Eine Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90).
3.
Unzulässig ist die Beschwerde von vornherein, soweit sie sich direkt gegen die Verfahrensführung und den Entscheid des Regionalgerichts richtet (siehe Art. 75 Abs. 1 BGG). Im Übrigen genügt sie den genannten Anforderungen an die Begründung offensichtlich nicht:
Die Vorinstanz erwog zusammengefasst, für eine Rechtsverweigerungsbeschwerde gemäss Art. 319 lit. c ZPO verbleibe nach dem Entscheid in der Sache kein Raum, weshalb darauf nicht einzutreten sei. Die Beschwerde betreffend vorsorgliche Massnahmen sei gestützt auf Art. 242 ZPO als gegenstandslos abzuschreiben, soweit die Beschwerdegegnerin den eingeklagten Anspruch inzwischen mittels Kostengutsprache erfüllt habe. Im Übrigen genüge die Beschwerde den Begründungsanforderungen in weiten Teilen nicht. Einzutreten sei darauf einzig insoweit, als der Beschwerdeführer die Abweisung seines Fristansetzungsantrages vom 23. Januar 2019 und die erstinstanzliche Kostenregelung beantrage. Insofern erweise sich die Beschwerde aber als unbegründet. Als unbegründet beurteilte die Vorinstanz ferner auch die Beschwerde gegen die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege. Dass das Regionalgericht nicht vorweg über das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege entschieden habe, sondern erst im Endentscheid vom 31. Januar 2019, sei nicht zu beanstanden, da keine weiteren Vorkehren der Parteien mehr erforderlich gewesen seien.
Der Beschwerdeführer geht auf die genannten Entscheidgründe nicht hinreichend ein, sondern unterbreitet dem Bundesgericht ausführlich und frei seine eigene Sicht der Dinge, wonach ihm im erstinstanzlichen Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege hätte gewährt und seinem Gesuch um vorsorgliche Massnahmen hätte stattgegeben werden müssen. Statt sich mit den einzelnen Erwägungen der Vorinstanz auseinanderzusetzen und nachvollziehbare Kritik an diesen zu üben, beschränkt er sich über mehrere Seiten darauf, seine Ausführungen aus dem kantonalen Verfahren sowie den angefochtenen Entscheid im Wortlaut wiederzugeben. Im Übrigen ergänzt und korrigiert er den Sachverhalt nach Belieben, ohne aufzuzeigen, dass die Voraussetzungen von Art. 105 Abs. 2 BGG erfüllt wären.
Im Einzelnen ist die Beschwerde insbesondere nicht nachvollziehbar, soweit sie sich dagegen richtet, dass die Vorinstanz die Beschwerde teilweise als gegenstandslos beurteilte, zumal nicht erkennbar ist, inwiefern der Beschwerdeführer ein schutzwürdiges Interesse an einer abweichenden Beurteilung haben könnte (siehe Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG). Unzureichend begründet ist die Kritik sodann auch insofern, als sie sich gegen Erwägung 9.3 des angefochtenen Entscheids richtet, worin das Obergericht eine Gehörsverletzung durch die Erstinstanz verneinte. Denn aus der Beschwerde geht nicht im Ansatz hervor, wozu er sich im erstinstanzlichen Verfahren konkret nicht hätte äussern können.
4.
Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten.
Mit dem Entscheid in der Sache wird die Frage der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
5.
Ausnahmsweise werden keine Gerichtskosten erhoben (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG), womit das Gesuch des Beschwerdeführers um Befreiung von diesen Kosten gegenstandslos wird.

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. August 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz