Sachverhalt:
A.
Am 3. Juni 2018 kam es zwischen A._ und B._ in ihrer gemeinsamen Wohnung zu einer Auseinandersetzung. A._ erstattete am Folgetag Strafanzeige wegen Nötigung, Körperverletzung/Tätlichkeiten und geringfügiger Sachbeschädigung und stellte Strafantrag. B._ beantragte dessen Bestrafung wegen Tätlichkeiten.
Am 31. Januar bzw. 5. Februar 2019 schlossen die Parteien unter Mitwirkung ihrer Rechtsvertreter eine Vereinbarung, gemäss welcher beide Parteien ihr Desinteresse an einer Strafverfolgung erklärten und ihre Strafanträge zurückzogen.
Am 11. Februar 2019 erliess die Staatsanwaltschaft See/Oberland eine "Sistierungsverfügung Häusliche Gewalt" und setzte den Parteien eine Frist von 10 Tagen, um sich zu einer allfälligen Kostenauflage zu äussern bzw. um allfällige Entschädigungsansprüche oder Genugtuungsforderungen geltend zu machen.
Bei den Akten der Staatsanwaltschaft befindet sich kein Gesuch um Zusprechung einer Prozessentschädigung oder Genugtuung.
Am 3. September 2019 stellte die Staatsanwaltschaft das Strafverfahren gegen beide Parteien ein, auferlegte ihnen die Verfahrenskosten von insgesamt Fr. 500.-- hälftig (Dispositiv-Ziffer 3) und richtete ihnen keine Entschädigung und keine Genugtuung aus (Dispositiv-Ziffer 5).
B.
A._ erhob Beschwerde mit den Anträgen, die Einstellungsverfügung in den Dispositiv-Ziffern 3 und 5 aufzuheben und die Sache an die Staatsanwaltschaft zurückzuweisen, eventualiter die Verfahrenskosten auf die Staatskasse zu nehmen und ihm eine Entschädigung zuzusprechen.
Das Obergericht des Kantons Zürich hob mit Präsidialverfügung vom 17. Oktober 2019 in teilweiser Gutheissung der Beschwerde die Dispositiv-Ziffer 3 der Einstellungsverfügung bezüglich des Beschwerdeführers auf und nahm die Kosten des Strafverfahrens bezüglich des Beschwerdeführers auf die Staatskasse; im Übrigen wies es die Beschwerde ab. Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung schrieb es als gegenstandslos ab und wies es im Übrigen ab. Die Kosten des Beschwerdeverfahrens von Fr. 250.-- auferlegte es dem Beschwerdeführer zu 4/5 und nahm sie im Übrigen auf die Gerichtskasse. Es entschädigte ihn für das Beschwerdeverfahren mit Fr. 50.-- (zzgl. 7,7% MWSt Fr. 53.85).
C.
A._ beantragt mit Beschwerde in Strafsachen, die Präsidialverfügung aufzuheben, soweit sie nicht die Verfahrenskosten betreffe, und ihm eine Entschädigung von Fr. 1'507.80 (inkl. MWSt) zuzusprechen sowie das Verfahren im Übrigen zur Neuverlegung der Kosten- und Entschädigungsfolgen an die Vorinstanz zurückzuweisen (Rechtsbegehren 1).
Eventualiter seien die Präsidialverfügung in den Dispositiv-Ziffern 3, 4 und 5 aufzuheben, ihm für das vorinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung zu gewähren, ihm die Gerichtskosten zur Hälfte aufzuerlegen, indes zufolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege einstweilen auf die Gerichtskasse zu nehmen, und seinen Rechtsanwalt mit Fr. 1'948.05 (inkl. MWSt) zu entschädigen (Rechtsbegehren 2).
Alles ohne Kosten- und unter Entschädigungsfolgen zzgl. MWSt zulasten der Staatskasse des Kantons Zürich (Rechtsbegehren 3).
Er ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.

Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von <ref-law>.
1.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, zu Unrecht stelle die Vorinstanz nicht auf die Eingabe vom 7. März 2019 seines damaligen Verteidigers (nachfolgend: Verteidiger) ab mit der Begründung, die Eingabe befinde sich nicht in den Akten der Staatsanwaltschaft und der Beschwerdeführer habe keinen Zustellungsnachweis dafür erbracht, dass die Eingabe an die Staatsanwaltschaft versandt worden sei. In dieser Eingabe habe der Verteidiger beantragt, die Verfahrenskosten auf die Staatskasse zu nehmen und dem Beschwerdeführer eine angemessene Entschädigung auszurichten. Der Nachweis der Zustellung sei indes ohne Belang, da im Strafverfahren kein Novenverbot bestehe und der Beschwerdeführer die Eingabe im Beschwerdeverfahren erneut eingereicht habe. Die Vorinstanz hätte darauf abstellen müssen. Da er im Beschwerdeverfahren nicht nur die Eingabe, sondern auch die Honorarnote des Verteidigers über Fr. 1'400.-- (zzgl. 7,7% MWSt) eingereicht habe, sei er seiner Obliegenheit nachgekommen, die Ansprüche zu beziffern und zu belegen. Dass die Parteien einen Vergleich geschlossen hatten, spiele keine Rolle, denn auf den Anspruch auf staatliche Prozessentschädigung habe man darin nicht verzichtet. Der Beizug eines Verteidigers sei geboten gewesen, da er als Kadermitglied einer Bank auf einen einwandfreien Leumund angewiesen sei.
1.2. Die Vorinstanz hält fest, in der Sistierungsverfügung der Staatsanwaltschaft vom 11. Februar 2019 sei der Beschwerdeführer aufgefordert worden, sich zur Kostenauflage und zu den Entschädigungsansprüchen zu äussern. Diese Verfügung habe sein Verteidiger erhalten. In den Untersuchungsakten befinde sich keine Stellungnahme des Beschwerdeführers zu den Entschädigungsansprüchen. Der Beschwerdeführer habe betreffend die per 7. März 2019 datierte Eingabe seines Verteidigers keinen Nachweis erbringen können, dass diese an die Staatsanwaltschaft versandt worden sei. Da der Beschwerdeführer auf die Aufforderung, allfällige Ansprüche zu beziffern und zu belegen, nicht reagiert habe, lasse dies auf einen Verzicht schliessen. Für die Staatsanwaltschaft habe aufgrund der Umstände (Abschluss eines Vergleichs) kein Anlass bestanden, für weitere Aufforderungen oder Abklärungen von Amtes wegen besorgt zu sein. Der Beschwerdeführer könne einen Entschädigungsanspruch nicht erstmals im Beschwerdeverfahren geltend machen.
1.3. Wird das Verfahren eingestellt, so hat die beschuldigte Person u.a. Anspruch auf Entschädigung ihrer Aufwendungen für die angemessene Ausübung ihrer Verfahrensrechte (<ref-law>). Die Strafbehörde prüft den Anspruch von Amtes wegen. Sie kann die beschuldigte Person auffordern, ihre Ansprüche zu beziffern und zu belegen (<ref-law>).
Die Strafbehörde ist nicht verpflichtet, alle für die Beurteilung des Entschädigungsanspruchs bedeutsamen Tatsachen von Amtes wegen abzuklären. Gestützt auf <ref-law> hat sie die beschuldigte Person mindestens anzuhören und gegebenenfalls aufzufordern, ihre Ansprüche zu beziffern und zu belegen. Es obliegt der beschuldigten Person, ihre Ansprüche zu begründen und auch zu belegen. Dies entspricht der zivilrechtlichen Regel (<ref-law>), wonach wer Schadenersatz beansprucht, den Schaden zu beweisen hat (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 240; Urteile 6B_4/2019 vom 19. Dezember 2019 E. 5.2.5; 6B_118/2016 vom 20. März 2017 E. 5.1). <ref-law> dispensiert die beweispflichtige Person nicht von ihrer Mitwirkungspflicht (Urteil 6B_740/2016 vom 2. Juni 2017 E. 3.1). Reagiert die beweispflichtige Person auf die behördliche Aufforderung nicht, ihre Ansprüche zu beziffern und zu belegen (<ref-law>), lässt dies auf ihren Verzicht auf eine Geltendmachung schliessen. Dies gilt zumindest dann, wenn für die Staatsanwaltschaft kein besonderer Anlass für Abklärungen von Amtes wegen bestand (Urteile 6B_531/2019 vom 20. Juni 2019 E. 2.2; 6B_353/2018 vom 30. Mai 2018 E. 1.3). Ebenso wird in der Literatur die Ansicht vertreten, die beschuldigte Person verliere ihre Ansprüche und die Strafverfolgungsbehörde dürfe von einem impliziten Verzicht auf Entschädigung ausgehen, wenn die zur Mitwirkung ausdrücklich aufgeforderte beschuldigte Person eine Geltendmachung, Bezifferung oder Belegung der Ansprüche unterlässt, obwohl sie dies hätte tun können (SCHMID/JOSITSCH, Schweizerische Strafprozessordnung, Praxiskommentar, 3. Aufl. 2018, N. 14 zu <ref-law>; WEHRENBERG/FRANK, in Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 31a und 31b zu <ref-law>).
1.4. Es ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer von der Staatsanwaltschaft mit Verfügung vom 11. Februar 2019 aufgefordert wurde, sich zur Kostenauflage und den Entschädigungsansprüchen zu äussern, sein Verteidiger die Verfügung erhalten hatte und sich in den Untersuchungsakten kein Gesuch um Zusprechung einer Entschädigung befindet. Ein solches Gesuch enthält im Übrigen auch die Eingabe vom 7. März 2019 nicht ("i.V." unterzeichnet vom heutigen Rechtsvertreter; kantonale Akten, act. 3/2), welche gemäss dem Beschwerdeführer an die Staatsanwaltschaft geschickt worden sein soll und wofür er keinen Zustellungsnachweis erbringen kann. Entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers hält die Vorinstanz nicht fest, er hätte in dieser Eingabe beantragt, es sei ihm "eine angemessene Entschädigung für die angemessene Ausübung seiner Verfahrensrechte auszurichten" (Beschwerde Ziff. 20 mit Verweisung auf E. 4.3 der angefochtenen Präsidialverfügung). In der Eingabe vom 7. März 2019 wehrte sich der Beschwerdeführer einzig und allein gegen die Kostenauflage, eine Prozessentschädigung machte er darin nicht geltend. Selbst wenn die Eingabe im Untersuchungsverfahren eingereicht worden wäre, änderte dies nichts an der Tatsache, dass der Beschwerdeführer bei der Staatsanwaltschaft keine Prozessentschädigung beantragt hatte. Die Vorinstanz hält zu Recht fest, dass unter diesen Umständen kein Anlass für Abklärungen durch die Staatsanwaltschaft bestanden habe und von einem Verzicht des Beschwerdeführers auf eine Geltendmachung einer Prozessentschädigung auszugehen sei. Im vorinstanzlichen Beschwerdeverfahren reichte der Beschwerdeführer sodann ohne nähere Begründung eine von ihm als "Honorarnote von Rechtsanwalt Dr. iur. C._" (Verteidiger) bezeichnete Aufstellung ins Recht, nämlich ein "Timesheet" für die Zeitspanne vom 5. Juni 2018 bis 9. Januar 2019 (act. 3/3a; welches den Aufwand für die Eingabe vom 7. März 2019 mithin nicht erfasst). Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, diese Aufstellung wäre bei der Staatsanwaltschaft eingereicht worden. Auf der Eingabe vom 7. März 2019 ist keine entsprechende Beilage vermerkt. Zu Recht nimmt die Vorinstanz an, dass allfällige Entschädigungsansprüche nicht erstmals im Beschwerdeverfahren geltend gemacht werden können (Urteil 6B_531/2019 vom 20. Juni 2019 E. 2.2).
Die Vorinstanz verletzt <ref-law> nicht, indem sie einen Entschädigungsanspruch des Beschwerdeführers für das Strafuntersuchungsverfahren verneint. Die Rüge erweist sich als unbegründet.
2.
Der Beschwerdeführer rügt, die vorinstanzliche Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des Beschwerdeverfahrens verletze Art. 428 Abs. 1 Satz 1 und Art. 436 Abs. 2 StPO.
2.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, die Vorinstanz berücksichtige bei der Bemessung des anteilsmässigen Obsiegens und Unterliegens nicht angemessen, dass er mit der Grundsatzfrage (keine Kostenauflage an ihn) obsiegt habe und dies den Entschädigungsanspruch präjudiziere. Die Vergütung hätte höher ausfallen müssen, da man nicht in einem Zivilprozess sei und nicht einfach vom Streitwert auszugehen sei. Er beantrage für seinen Rechtsvertreter eine Entschädigung von Fr. 1'948.05.
2.2. Die Kosten des Rechtsmittelverfahrens tragen die Parteien nach Massgabe ihres Obsiegens oder Unterliegens (<ref-law>). Ob bzw. inwieweit eine Partei im Sinne dieser Bestimmung obsiegt oder unterliegt, hängt davon ab, in welchem Ausmass ihre vor der zweiten Instanz gestellten Anträge gutgeheissen werden (Urteil 6B_1040/2016 vom 2. Juni 2017 E. 1.1.1).
2.3. Die Vorinstanz bemisst die Höhe der Gerichtsgebühr und der Prozessentschädigung nach den anzuwendenden Bestimmungen der Gebührenverordnung des Obergerichts (GebV OG; LS 211.11) sowie der Verordnung über die Anwaltsgebühren (AnwGebV; LS 215.3) und gelangt (ungekürzt) auf eine Gerichtsgebühr von Fr. 250.-- sowie auf eine Entschädigung von ebenfalls Fr. 250.--.
Im gerichtlichen Verfahren bemisst sich die Entschädigung anders als im Vorverfahren entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers nicht nach Zeitaufwand, sondern nach den von der Vorinstanz berücksichtigten Bestimmungen der kantonalen Anwaltsgebührenverordnung. Die Vorinstanz stellt nicht lediglich auf den Streitwert ab, sondern berücksichtigt die massgeblichen Kriterien für die Bemessung der Entschädigung im Beschwerdeverfahren, nämlich § 19 Abs. 2 i.V.m. § 9 sowie die §§ 4 und 2 AnwGebV/ZH.
Gegenstand des vorinstanzlichen Beschwerdeverfahrens bildeten einzig die strittigen Kosten- und Entschädigungsfolgen der eingestellten Strafuntersuchung. Die Vorinstanz geht bei der Beurteilung des Obsiegens oder Unterliegens zutreffend vom Gesamtstreitwert von Fr. 1'650.-- aus und gelangt zum Schluss, der Beschwerdeführer sei im Beschwerdeverfahren zu 4/5 unterlegen, da er einerseits mit seinem Antrag obsiege, ihm seinen Anteil an den Kosten des Strafverfahrens von Fr. 250.-- nicht aufzuerlegen, und andererseits mit seinem Antrag auf eine Entschädigung von Fr. 1'400.-- (oben E. 1.1 und 1.4) unterliege. Entsprechend auferlegt die Vorinstanz ihm 4/5 der Kosten des Beschwerdeverfahrens und spricht ihm (angesichts seines Unterliegens zu 4/5) eine reduzierte Parteientschädigung zu. Dass die Kostenfrage die Entschädigungsfrage präjudiziert (<ref-ruling> E. 2.4.2 S. 357), rechtfertigt kein für den Beschwerdeführer günstigeres Verhältnis des Obsiegens und Unterliegens, zumal die präjudizierende Wirkung vorliegend ohne Belang war, da die Prozessentschädigung verweigert wurde, weil eine solche im Untersuchungsverfahren nicht beantragt worden war.
Die Vorinstanz bemisst die jeweils reduzierte Parteientschädigung und Gerichtsgebühr im Rahmen des ihr zustehenden Ermessens.
3.
Der Beschwerdeführer beantragte im vorinstanzlichen Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Prozessführung und unentgeltliche Rechtsverbeiständung durch den heutigen Rechtsvertreter. Er rügt vor Bundesgericht eine Verletzung von <ref-law>. Seine Beschwerde sei nicht aussichtslos gewesen.
Die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und somit auch die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands sieht die StPO ausschliesslich für die Privatklägerschaft vor (<ref-law>; SCHMID/JOSITSCH, a.a.O., N. 1 zu <ref-law>), während die beschuldigte Person in jedem Verfahrensstadium, so auch vor der Beschwerdeinstanz, um amtliche Verteidigung nachsuchen kann (<ref-law>; SCHMID/JOSITSCH, a.a.O., N. 2 zu <ref-law>). Die Kosten- und Entschädigungsfolgen richten sich für die amtliche Verteidigung und den unentgeltlichen Rechtsbeistand nach den gleichen Kriterien und wird nach dem Anwaltstarif desjenigen Kantons entschädigt, in dem das Strafverfahren geführt wird (Art. 136 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Denn gemäss <ref-law> richtet sich die Entschädigung des Rechtsbeistands sinngemäss nach <ref-law>.
Die Vorinstanz sprach dem Beschwerdeführer für sein Obsiegen eine reduzierte Entschädigung zu, welche sich sowohl für die erbetene als auch für die amtliche Verteidigung sowie für die unentgeltliche Rechtsverbeiständung im Beschwerdeverfahren nach den gleichen Kriterien und somit nicht nach Zeitaufwand bemisst (§ 23 i.V.m. § 16 Abs. 1 AnwGebV/ZH). Folgerichtig schrieb die Vorinstanz das Gesuch diesbezüglich als gegenstandslos ab. Auch die Bejahung der teilweisen Aussichtslosigkeit ist nicht zu beanstanden. Der Beschwerdeführer hatte trotz Aufforderung bei der Staatsanwaltschaft keinen Entschädigungsanspruch gemäss <ref-law> angemeldet, was nach einhelliger Lehre und Rechtsprechung einem Verzicht gleichkommt (oben E. 1.3), weshalb das erstmals im Beschwerdeverfahren gestellte Begehren von vornherein aussichtslos war (oben E. 1.4 a.E.).
Eine willkürliche Anwendung des kantonalen Verordnungsrechts (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 133; <ref-ruling> E. 3.3.1 S. 79) ist nicht ersichtlich. Indem die Vorinstanz das Gesuch als gegenstandslos abschreibt und im Übrigen abweist, verletzt sie kein Bundesrecht.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen. Entsprechend sind dem Beschwerdeführer die Kosten aufzuerlegen (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist wegen Aussichtslosigkeit des Rechtsbegehrens abzuweisen (<ref-law>; <ref-law>; <ref-ruling> E. 5.1 S. 139 f.; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135 f.). Da sich eine Mittellosigkeit annehmen lässt, ist der finanziellen Lage des Beschwerdeführers trotz Unterliegens praxisgemäss mit herabgesetzten Gerichtskosten Rechnung zu tragen (Art. 66 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. März 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Briw