Faits :
A.
Par jugement du 31 mai 2017, le Tribunal de police de l'arrondissement de La Côte a condamné X._, pour tentative de contrainte, à une peine pécuniaire de 180 jours-amende à 150 fr. le jour, avec sursis pendant trois ans, ainsi qu'à une amende de 5'000 fr., et a en outre condamné le prénommé à payer à A._ la somme de 6'458 fr. 40 pour ses dépenses dans la procédure. Il a par ailleurs rejeté les conclusions de ce dernier tendant à l'allocation d'une indemnité pour tort moral à charge de X._.
B.
Par jugement du 15 novembre 2017, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud a partiellement admis l'appel formé par X._ contre ce jugement et a réformé celui-ci en ce sens que le prénommé est acquitté et qu'il doit payer une somme de 1'728 fr. à A._ pour ses dépenses dans la procédure. Elle a confirmé le jugement pour le surplus.
La cour cantonale a retenu les faits suivants.
X._, né en yy._, exploite à V._ un bureau d'architecture, Z._ SA, dont il est l'administrateur unique.
L'avocat A._, en qualité de représentant de B._ SA, a émis à l'encontre de Z._ SA des prétentions concernant des malfaçons dans la construction d'un immeuble, dont les travaux avaient été dirigés par cette dernière société. Le 27 décembre 2013, A._ a fait notifier à Z._ SA un commandement de payer la somme de 1'000'000 fr., dont la cause était désignée en ces termes : "Défauts affectant l'immeuble PPE P._ - Interruption de la prescription". Le 12 décembre 2014, A._ a fait notifier une nouvelle poursuite à Z._ SA, pour un montant de 1'000'000 francs. Le 20 février 2015, il a transmis à la société précitée un rapport d'expertise concluant à l'existence de défauts de l'ouvrage et précisant que le coût de remise en état à la charge de Z._ SA s'élevait à 13'000 fr., montant que cette dernière était mise en demeure de payer, avec intérêts à 5% l'an dès le 1er janvier 2010. Le 3 mars 2015, Z._ SA a fait notifier à B._ SA une poursuite, portant sur un montant de 100'000 fr., dont la cause était : "acte interruptif de prescription, dommages et intérêts". Par lettre du 26 février 2016, Z._ SA, agissant sous la plume de X._, a imparti à A._ un délai de 10 jours pour retirer les deux poursuites dirigées contre elle en échange de la délivrance d'une renonciation à se prévaloir de la prescription. X._ a précisé que s'il n'obtenait pas satisfaction, il lui ferait notifier, à titre personnel, un commandement de payer, indiquant que "ces agissements [n'étaient] pas tolérables". Le 4 avril 2016, Z._ SA a fait notifier à A._, à titre personnel, à son domicile privé, un commandement de payer le montant de 200'000 fr., indiquant la cause suivante : "acte interruptif de prescription, dommages et intérêts". Dans une lettre du 21 avril 2016, X._ a critiqué le "manque de déontologie" de A._. Il a ajouté qu'en lui faisant notifier deux commandements de payer de plus de 1'000'000 fr. chacun, alors que la valeur litigieuse était limitée à 14'000 fr., celui-ci lui avait causé du tort en portant atteinte à son crédit.
C.
A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 15 novembre 2017, en concluant, avec suite de frais et dépens, principalement à sa réforme en ce sens que X._ est condamné, pour contrainte ou tentative de contrainte, à une peine pécuniaire de 180 jours-amende à 150 fr. le jour, avec sursis pendant trois ans, ainsi qu'à une amende de 5'000 fr., que le prénommé doit lui payer la somme de 6'458 fr. 40 pour ses dépenses dans la procédure de première instance, ainsi qu'une indemnité à titre de réparation du tort moral. Subsidiairement, il conclut à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
D.
Invités à se déterminer sur la question d'une violation du droit d'être entendu de A._, le ministère public a conclu à l'admission du recours, tandis que la cour cantonale a en substance contesté l'existence d'une telle violation et que X._ a conclu au rejet du recours.

Considérant en droit :
1.
1.1. Selon l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 5 LTF, la partie plaignante qui a participé à la procédure de dernière instance cantonale est habilitée à recourir au Tribunal fédéral, si la décision attaquée peut avoir des effets sur le jugement de ses prétentions civiles. Constituent des prétentions civiles celles qui sont fondées sur le droit civil et doivent en conséquence être déduites ordinairement devant les tribunaux civils. Il s'agit principalement des prétentions en réparation du dommage et du tort moral au sens des art. 41 ss CO (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 4).
Lorsque, comme en l'espèce, la cause fait l'objet d'une procédure au fond, la partie plaignante doit avoir expressément pris des conclusions civiles. Le cas échéant, s'il ne lui est juridiquement et raisonnablement pas possible de prendre des conclusions civiles, il lui incombe d'expliquer quelles prétentions elle entend faire valoir, dans quelle mesure la décision attaquée a une incidence sur elles et pourquoi elle n'a pas été en mesure d'agir dans le cadre de la procédure pénale. La notion d'influence du jugement pénal sur les prétentions civiles est conçue strictement. La partie plaignante ne peut pas s'opposer à une décision parce que celle-ci ne facilite pas son action sur le plan civil. Il faut que la décision attaquée ait pour conséquence qu'elle rencontrera plus de difficultés à faire valoir ses prétentions civiles (<ref-ruling> consid. 1a p. 188; arrêt 6B_1115/2017 du 15 mars 2018 consid. 1.1).
1.2. En l'espèce, les prétentions émises par le recourant concernant le remboursement de ses dépenses dans la procédure de première instance, fondées sur l'art. 433 CPP, ne constituent pas des prétentions civiles au sens de l'art. 81 al. 1 let. b ch. 5 LTF (cf. arrêts 6B_1350/2017 du 26 avril 2018 consid. 1.2; 6B_1071/2017 du 6 avril 2018 consid. 1.2).
Pour le reste, il ressort du jugement de première instance que le recourant a conclu, devant le Tribunal de police, à l'allocation d'une indemnité de 5'000 fr. à titre de réparation de son tort moral, laquelle lui a été refusée (cf. jugement de première instance, p. 20). Dans le cadre de la procédure de deuxième instance, le recourant a uniquement pris une conclusion relative à ses dépens et a conclu, pour le surplus, au maintien de la décision de première instance (cf. pièce 26 du dossier cantonal, p. 3). Durant sa plaidoirie devant la cour cantonale, le recourant a enfin conclu au rejet de l'appel ainsi qu'à "l'octroi d'une indemnité en sa faveur pour les dépenses obligatoires occasionnées par la procédure d'appel" (jugement de la cour cantonale, p. 5). Devant le Tribunal fédéral, celui-ci conclut à l'allocation d'une "indemnité pour tort moral". Or, compte tenu de ce qui précède, une telle indemnité, outre qu'elle n'a pas fait l'objet d'une conclusion devant l'autorité précédente, n'aurait de toute manière pas pu être allouée au recourant par la cour cantonale - laquelle était saisie exclusivement d'un appel de l'intimé -, eu égard à l'interdiction de la reformatio in pejus (cf. art. 391 al. 2 CPP). Ainsi, l'objet de l'appel était circonscrit à la question de la culpabilité de l'intimé et de ses conséquences en matière de frais et dépens dans la procédure, à l'exclusion de toute question relative à un éventuel tort moral du recourant.
En définitive, le recourant n'établit aucunement avoir un intérêt juridique au recours et n'a pas qualité pour recourir sur le fond au sens de l'art. 81 al. 1 let. b ch. 5 LTF. Le recours est à cet égard irrecevable.
2.
Indépendamment des conditions posées par l'art. 81 al. 1 LTF, la partie plaignante est habilitée à se plaindre d'une violation de ses droits de partie équivalant à un déni de justice formel, sans toutefois pouvoir faire valoir par ce biais, même indirectement, des moyens qui ne peuvent être séparés du fond (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 5).
En l'espèce, le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir violé son droit d'être entendu, en libérant l'intimé de l'infraction pour laquelle il avait été condamné par le tribunal de première instance en raison d'une irrégularité dans l'acte d'accusation, sans lui avoir préalablement donné l'occasion de se déterminer sur ce point.
2.1. Le droit d'être entendu, tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., comprend notamment pour le justiciable le droit de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique, d'obtenir l'administration des preuves pertinentes et valablement offertes, de participer à l'administration des preuves essentielles et de se déterminer sur son résultat lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 222 s.; <ref-ruling> consid. 4.1.1 p. 53 s.). Le droit d'être entendu est une garantie de nature formelle, dont la violation entraîne en principe l'annulation de la décision attaquée, indépendamment des chances de succès du recours sur le fond (<ref-ruling> consid. 1.4.1 p. 386; <ref-ruling> consid. 2.8.1 p. 226).
Le droit d'être entendu porte avant tout sur les questions de fait (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 505; arrêts 6B_1368/2016 du 15 novembre 2017 consid. 2.1 non publié aux <ref-ruling>; 6B_2/2014 du 26 juin 2014 consid. 2.1). De manière générale, en vertu de la règle "jura novit curia", le juge n'a ainsi pas à soumettre à la discussion des parties les principes juridiques sur lesquels il va fonder son jugement. Il peut appliquer d'office, sans avoir à attirer préalablement l'attention des parties sur l'existence de tel ou tel problème juridique, une disposition de droit matériel (<ref-ruling> consid. 2b p. 102 s.; arrêts 6B_1368/2016 précité consid. 2.1 non publié aux <ref-ruling>; 6B_111/2017 du 17 octobre 2017 consid. 1.1). Selon la jurisprudence, les parties doivent cependant être entendues sur les questions de droit lorsque l'autorité concernée entend fonder sa décision sur une norme ou un motif juridique non évoqué dans la procédure antérieure et dont aucune des parties en présence ne s'est prévalue et ne pouvait supputer la pertinence (<ref-ruling> consid. 5.4.1 p. 26; <ref-ruling> consid. 5 p. 39; <ref-ruling> consid. 5b/bb p. 278; arrêt 6B_1335/2015 du 23 septembre 2016 consid. 2.2).
2.2. En l'espèce, la cour cantonale a considéré que l'acte d'accusation du 13 mars 2017 ne décrivait pas de manière suffisamment précise les actes reprochés à l'intimé ainsi que leurs conséquences, pas plus qu'il n'énonçait tous les éléments constitutifs objectifs et subjectifs de l'infraction envisagée par le ministère public. En particulier, l'acte d'accusation n'évoquait pas le résultat concret espéré par l'intimé.
Il ne ressort pas du jugement de première instance ni du jugement attaqué que la question d'une irrégularité de l'acte d'accusation aurait été soulevée par une partie ni discutée devant les autorités cantonales. Cet aspect n'a en particulier pas été évoqué par l'intimé dans sa déclaration d'appel du 5 juillet 2017 (cf. pièce 23 du dossier cantonal). Le recourant ne pouvait raisonnablement s'attendre à une décision de l'autorité précédente fondée sur une irrégularité de l'acte d'accusation ni faire valoir spontanément ses arguments en la matière. Conformément à l'art. 329 CPP, il appartenait à la direction de la procédure d'appel d'examiner la régularité de l'acte d'accusation (cf. <ref-ruling> consid. 1.5.4 p. 33). Si celle-ci entendait fonder sa décision sur une irrégularité constatée au terme de cet examen, elle devait, en l'absence de tout élément ayant par ailleurs permis aux parties de supputer une telle irrégularité, en informer préalablement ces dernières et leur donner l'occasion de se déterminer sur le sujet.
Il découle de ce qui précède que la cour cantonale a violé le droit d'être entendu du recourant. Le recours doit être admis sur ce point, le jugement attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
3.
Le recours doit être admis dans la mesure où il est recevable. Le recourant, qui n'obtient que partiellement gain de cause, supportera une partie des frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il peut prétendre à des dépens réduits. Dès lors que le recours doit être admis en raison d'une violation des droits de partie du recourant par la cour cantonale, ceux-ci seront mis à la charge du canton de Vaud (art. 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis, le jugement attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. Pour le surplus, le recours est irrecevable.
2.
Une partie des frais judiciaires, arrêtée à 1'500 fr., est mise à la charge du recourant.
3.
Le canton de Vaud versera au recourant une indemnité de 1'500 fr. à titre de dépens réduits pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 31 juillet 2018
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Graa