Faits :
A.
Le 27 août 2017, A._, né en 1986, a été interpellé par les autorités genevoises dans le cadre d'une enquête pour dommages à la propriété et, à sa demande, il a été ausculté par un médecin qui a diagnostiqué des troubles psychotiques. Au cours de l'instruction, le Ministère public de la République et canton de Genève a notamment entendu le prévenu, son père et sa mère; si les deux derniers ont en particulier fait état des problèmes psychiques de leur fils, ce dernier conteste souffrir de tels problèmes, ainsi que consommer des stupéfiants.
Une expertise psychiatrique a été mise en oeuvre et l'expert psychiatre a été entendu par le Ministère public le 18 décembre 2017 et par le Tribunal correctionnel de la République et canton de Genève le 20 février 2018. Il en ressort en substance que A._ souffre d'une grave schizophrénie paranoïde et de troubles mentaux et du comportement liés à l'utilisation de dérivés du cannabis nocive pour la santé; la responsabilité du prévenu était sévèrement diminuée. L'expert a retenu que l'intéressé présentait un risque de commettre à nouveau des infractions du même type, voire d'autres genres; le danger de récidive - très fortement prévisible pour des violences contre des biens et des menaces (cf. à cet égard les faits d'outrage à un agent d'exploitation des transports publics et les menaces par écrit au père de l'expertisé en lien avec un couteau), moins probable s'agissant de dommages physiques sur une personne - était lié à son mode de vie précaire - qui rendait plus difficile un suivi médical -, ainsi qu'à la coexistence d'un grave trouble psychique et d'une prise de toxiques; un cadre de vie organisée et un contrôle strict de l'abstinence diminueraient la dangerosité, mais, sans traitement, le risque de récidive ne serait pas éliminé. Selon les constatations de l'expert, une prise en charge hospitalière multidisciplinaire contraignante, avec l'introduction d'un traitement médicamenteux adapté, était impérative, soit, au regard du risque de récidive violente, ainsi que de fugue, un placement en établissement fermé comme Curabilis jusqu'à une stabilisation qui pouvait prendre entre un et six mois; une hospitalisation à Belle-Idée n'offrait en revanche pas la sécurité suffisante pour garantir que l'expertisé y reste et y soit soigné vu le refus de tout traitement du prévenu; pour ce même motif, une prise en charge ambulatoire ou en milieu ouvert était exclue et, seulement après la mise en place d'un "traitement neuroleptique injectable dépôt", il pourrait être envisagé un suivi dans un établissement hospitalier ouvert, si possible en France; l'admission de l'expertisé à l'Unité hospitalière de psychiatrie pénitentiaire (UHPP) était préconisée le temps de mettre en place un traitement qui pourrait être poursuivi en détention et, après stabilisation, en milieu hospitalier. L'expert psychiatre a encore relevé que l'emprisonnement pouvait dans un premier temps aggraver les symptômes de la maladie (cf. le sentiment de persécution) - tel semblait d'ailleurs être le cas -, mais celui-ci pourrait avoir à long terme un effet bénéfique en raison de son effet contenant, à savoir un rythme de vie bien organisé.
Figurent notamment aux casiers judiciaires français et suisse de A._ des condamnations pour diverses infractions en lien avec des stupéfiants, pour outrage à agent public et rébellion, ainsi que pour vol.
B.
Le 20 février 2018, le Tribunal correctionnel a reconnu A._ coupable de dommages à la propriété ayant causé un dommage considérable (art. 144 al. 1 et 3 CP) et l'a condamné à une peine privative de liberté de quatre mois, sous déduction des 178 jours de détention avant jugement subis. Un traitement institutionnel (<ref-law>) a été ordonné.
Le prévenu a déposé une déclaration d'appel contre ce jugement, contestant en particulier le prononcé d'une mesure institutionnelle. Au cours de la procédure d'appel, A._ a formé une demande de mise en liberté. Cette requête a été rejetée par ordonnance du 11 avril 2018 au motif qu'il existait des charges suffisantes et des risques de fuite (cf. la nationalité et le domicile en France du prévenu), ainsi que de réitération (cf. le rapport d'expertise); la détention pour des motifs de sûreté se justifiait également par la nécessité d'assurer l'exécution de la mesure contestée, dont une certaine durée était prévisible et dont le bien-fondé n'était pas d'emblée exclu.
Par arrêt du 3 mai 2018, la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice de la République et canton de Genève a rejeté cet appel, confirmant le traitement institutionnel prononcé (cf. consid. 2). Cette décision fait l'objet d'un recours au Tribunal fédéral (cause 6B_608/2018). Dans le prononcé susmentionné, la cour cantonale a également ordonné le maintien du prévenu en détention pour des motifs de sûreté, se référant aux motifs retenus dans son ordonnance du 11 avril 2018 (cf. consid. 3).
C.
Par acte du 7 juin 2018, A._, agissant par son avocat, forme un recours en matière pénale contre la décision relative à son maintien en détention pour des motifs de sûreté, concluant à son annulation, à sa libération immédiate, à la condamnation de la République et canton de Genève à lui verser la somme minimale de 32'000 fr. à titre d'indemnisation du tort moral pour les 160 jours de détention injustifiée (200 fr. le jour) et à l'autorisation d'amplifier ses conclusions en fonction de la durée de la présente procédure. A titre subsidiaire, il demande le constat des violations du principe de proportionnalité quant à la durée de la détention (pour le moins depuis 160 jours) et par rapport au prononcé d'une mesure, ainsi que le renvoi de la cause pour nouvelle décision. Le recourant requiert l'octroi de l'assistance judiciaire.
Le Tribunal pénal fédéral a transmis l'écriture manuscrite du 25 mai 2018 du recourant reçue le 8 juin 2018. Ce dernier s'est encore déterminé spontanément le 2 juin 2018, courrier reçu le 12 suivant par le Tribunal fédéral. La cour cantonale s'est référée aux considérants de sa décision. Quant au Ministère public, il a conclu au rejet du recours. Le 20 juin 2018, le recourant, par le biais de son mandataire, a persisté dans ses conclusions.

Considérant en droit :
1.
Selon l'<ref-law>, le recours en matière pénale est ouvert contre les décisions relatives à la détention provisoire ou pour des motifs de sûreté au sens des <ref-law> (<ref-ruling> consid. 1 p. 23). Le recourant - prévenu actuellement détenu - a qualité pour recourir (art. 81 al. 1 let. a et b ch. 1 LTF). Pour le surplus, le recours, ainsi que les écritures spontanées du recourant reçues le 12 juin 2018 - dans la mesure où elles concerneraient la présente cause - ont été déposés en temps utile (art. 48 al. 3 et 100 al. 1 LTF) contre une décision rendue par une autorité cantonale contre qui le recours direct au Tribunal fédéral est ouvert (art. 231, 232 al. 2, 380 CPP et 80 al. 2 in fine LTF; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 280 s.). Les conclusions prises par le recourant sont en outre recevables au regard de l'<ref-law>. Partant, il y a lieu d'entrer en matière.
2.
Une mesure de détention provisoire ou pour des motifs de sûreté n'est compatible avec la liberté personnelle (art. 10 al. 2 Cst. et 5 CEDH) que si elle repose sur une base légale (art. 31 al. 1 et 36 al. 1 Cst.), soit en l'espèce l'<ref-law>. Elle doit en outre correspondre à un intérêt public et respecter le principe de la proportionnalité (art. 36 al. 2 et 3 Cst.). Pour que tel soit le cas, la privation de liberté doit être justifiée par un risque de fuite, un danger de collusion ou de réitération (cf. art. 221 al. 1 let. a, b et c CPP). Préalablement à ces conditions, il doit exister à l'égard de l'intéressé des charges suffisantes, soit de sérieux soupçons de culpabilité (<ref-law>; art. 5 par. 1 let. c CEDH; <ref-ruling> consid. 2 p. 187 s. et les arrêts cités).
3.
Le recourant ne conteste pas l'existence de charges suffisantes pesant à son encontre, ainsi que celle de dangers de fuite et de réitération (art. 221 al. 1 let. a et c CPP).
Invoquant les <ref-law>, 212 CPP, 10 al. 2, 5 al. 2 Cst. et 5 CEDH, le recourant reproche en revanche à l'autorité précédente d'avoir violé le principe de proportionnalité, notamment quant à la durée de la détention subie par rapport à la peine prévisible encourue. Il soutient également en substance que, eu égard aux infractions commises, le danger que la mesure ordonnée à son encontre chercherait à prévenir ne justifierait pas la grave atteinte à sa liberté personnelle que constitue la détention.
3.1. Une durée excessive de la détention constitue une limitation disproportionnée de ce droit fondamental; il est notamment violé lorsque la durée de la détention préventive dépasse la durée probable de la peine privative de liberté à laquelle il faut s'attendre. L'<ref-law> prévoit ainsi que la détention provisoire ou pour des motifs de sûreté ne doit pas durer plus longtemps que la peine privative de liberté prévisible. Le juge peut dès lors maintenir la détention préventive aussi longtemps qu'elle n'est pas très proche de la durée de la peine privative de liberté à laquelle il faut s'attendre concrètement en cas de condamnation. Il convient d'accorder une attention particulière à cette limite, car le juge - de première instance ou d'appel - pourrait être enclin à prendre en considération dans la fixation de la peine la durée de la détention préventive à imputer selon l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 173; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 275 et les arrêts cités).
Selon l'<ref-law>, le prononcé d'une mesure suppose que l'atteinte aux droits de la personnalité qui en résulte pour l'auteur ne soit pas disproportionnée au regard de la vraisemblance qu'il commette de nouvelles infractions et de leur gravité.
Lorsque l'auteur souffre d'un grave trouble mental, le juge peut ordonner un traitement institutionnel aux conditions suivantes : l'auteur a commis un crime ou un délit en relation avec ce trouble et il est à prévoir que cette mesure le détournera de nouvelles infractions en relation avec ce trouble (art. 59 al. 1 let. a et b CP). Le traitement institutionnel s'effectue dans un établissement psychiatrique approprié ou dans un établissement d'exécution des mesures (<ref-law>). Le traitement s'effectue dans un établissement fermé tant qu'il y a lieu de craindre que l'auteur ne s'enfuie ou ne commette de nouvelles infractions; il peut aussi être effectué dans un établissement pénitentiaire au sens de l'<ref-law>, dans la mesure où le traitement thérapeutique nécessaire est assuré par du personnel qualifié (<ref-law>). La privation de liberté entraînée par le traitement institutionnel ne peut en règle générale excéder cinq ans; si les conditions d'une libération conditionnelle ne sont pas réunies après cinq ans et qu'il est à prévoir que le maintien de la mesure détournera l'auteur de nouveaux crimes ou de nouveaux délits en relation avec son trouble mental, le juge peut, à la requête de l'autorité d'exécution, ordonner la prolongation de la mesure de cinq ans au plus à chaque fois (<ref-law>).
3.2. En l'espèce, il n'est pas contesté que la détention avant jugement subie (9 mois selon le recourant au jour de son recours au Tribunal fédéral) excède la durée de la peine privative de liberté prononcée en première instance (4 mois).
Cela étant, une mesure institutionnelle au sens de l'<ref-law> a également été ordonnée à l'encontre du recourant en première instance et confirmée en appel, mesure, dont la durée maximale - prolongeable au demeurant - est de cinq ans (<ref-law>). Ces prononcés - qui ne sont pas définitifs et exécutoires - constituent un indice important quant à la peine/mesure susceptible de devoir être finalement exécutée (ATF <ref-ruling> consid. 3.1 p. 275 et les arrêts cités), objectif qui peut être garanti par un maintien en détention pour des motifs de sûreté si les conditions y relatives sont réunies (cf. art. 231 al. 1 let. a et 221 al. 1 CPP). La situation du recourant ne saurait ainsi être comparée à celle d'une personne condamnée par un jugement définitif et exécutoire à une mesure institutionnelle et pourtant encore détenue dans un établissement pénitentiaire ordinaire, faute de place dans une institution adaptée (<ref-ruling> consid. 5.8.1 p. 115 ss; arrêts 1B_243/2018 du 5 juin 2018 consid. 2; 6B_842/2016 du 10 mai 2017 consid. 3.1). Peu importe dès lors que l'expert ait pu estimer, lors de son audition par le Ministère public, que le traitement en milieu fermé durerait entre un et six mois (cf. p. 7 du procès-verbal et ad B/d.b p. 8 de l'arrêt attaqué). En effet, cette appréciation ne paraît pas avoir été confirmée dans la suite de la procédure; au contraire, l'expert a relevé devant le tribunal de première instance que l'état du recourant s'était dégradé (cf. p. 7 du procès-verbal y relatif et ad B/d.c p. 9 du jugement entrepris), ce qui peut légitimement laisser à croire que la durée d'un traitement pourrait être supérieure à celle envisagée dans un premier temps par l'expert; cela vaut d'ailleurs d'autant plus que cette constatation quant à la durée - effectuée au regard des circonstances qui prévalaient à un moment donné - ne saurait lier définitivement ses confrères, seuls à même, en cas de traitement, d'apprécier l'évolution de leur patient.
Le recourant soutient encore que la gravité des infractions qui lui sont reprochées (dommages à la propriété), respectivement le danger qu'il réitère de tels actes, ne suffirait pas pour qu'une mesure soit prononcée à son encontre (cf. <ref-law>). Il n'appartient cependant pas au juge de la détention d'apprécier le bien-fondé du jugement au fond sur ce point. Seul est déterminant, dans le cadre du contrôle de la détention, le fait qu'une mesure thérapeutique entrainant une privation de liberté (cf. <ref-law>) - certes contestée - ait été prononcée en première instance, puis confirmée en deuxième instance (arrêt 1B_129/2018 du 3 avril 2018 consid. 4.2). Cela vaut d'autant plus si le prononcé de la mesure ordonnée n'apparaît pas d'emblée exclu. En effet, le recourant ne conteste pas le lien existant entre ses graves troubles psychiques et les infractions commises (cf. <ref-law>); de plus, l'expert psychiatre ne considère pas que l'opposition du recourant à un traitement serait un obstacle à toute amélioration, un tel suivi pouvant, le cas échéant, diminuer le danger de réitération d'infractions du même genre, voire à l'encontre de personnes physiques (cf. <ref-law>; voir p. 14 s. du rapport d'expertise, p. 7 du procès-verbal de l'audience du Ministère public et p. 6 de celui du tribunal de première instance). On ne saurait enfin reprocher aux autorités pénales ou pénitentiaires les modalités d'exécution de la détention provisoire, puis pour motifs de sûreté, puisque l'absence de suivi médical découle du refus en l'état du recourant de s'y soumettre.
Au regard des considérations précédentes, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en retenant que le principe de proportionnalité n'était pas violé, que ce soit par rapport à la durée de la détention avant jugement (cf. celle de la mesure thérapeutique institutionnelle envisagée), par rapport aux raisons justifiant le maintien en détention avant jugement (soit garantir l'exécution de la mesure qui pourrait être ordonnée) ou par rapport aux modalités de son exécution (vu le défaut en l'état de tout suivi médical).
3.3. Le recourant ne soutient pas, à juste titre, qu'il existerait des mesures de substitution propres à pallier les risques de fuite et de récidive retenus à son encontre (<ref-law>).
3.4. Au regard de l'ensemble de ces considérations, la Chambre pénale d'appel et de révision pouvait, sans violer le droit fédéral, confirmer le maintien en détention pour des motifs de sûreté du recourant.
4.
Vu l'issue du litige, le recourant ne saurait donc prétendre à l'obtention d'une indemnité pour détention illicite et les conclusions y relatives - dans la mesure où il appartiendrait au juge de la détention se prononcer sur cette question (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 248) - peuvent également être rejetées.
5.
Il s'ensuit que le recours est rejeté.
Le recourant a demandé l'octroi de l'assistance judiciaire. Au regard de la durée de la détention avant jugement subie, son recours n'était pas d'emblée dénué de chances de succès et cette requête doit être admise (<ref-law>). Il y a lieu de désigner Me William Rappard en tant qu'avocat d'office et de lui allouer une indemnité à titre d'honoraires, qui seront supportés par la caisse du tribunal. Il n'est pas perçu de frais judiciaires (64 al. 1 LTF), ni alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La requête d'assistance judiciaire est admise. Me William Rappard est désigné comme avocat d'office du recourant et une indemnité de 1'500 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Ministère public de la République et canton de Genève et à la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 25 juin 2018
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Merkli
La Greffière : Kropf