Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1962; Beschwerdeführerin) und B._ (geb. 1959; Beschwerdegegner) sind die miteinander verheirateten Eltern von C._ (geb. 2005). Im Rahmen eines Eheschutzverfahrens übertrug das Bezirksgericht Horgen am 7. Juli 2009 die Obhut über den Sohn für die Dauer des Getrenntlebens der Eheleute der Kindsmutter und genehmigte eine Vereinbarung von demselben Datum betreffend das Besuchs- und Ferienrecht des Vaters. Die (gemeinsame) elterliche Sorge verblieb bei beiden Elternteilen. Am 5. September 2011 klagte B._ auf Scheidung der Ehe.
A.b. Der persönliche Verkehr zwischen B._ und dem Sohn gab immer wieder Anlass zu Streitigkeiten zwischen den Eltern, weshalb die damalige Vormundschaftsbehörde U._ verschiedene Massnahmen traf, darunter die Errichtung einer Besuchsrechtsbeistandschaft. Ausserdem erfuhr die Besuchs- und Ferienrechtsregelung verschiedene Änderungen und Ergänzungen durch die zuständigen Behörden.
Im Sommer 2014 unternahm A._ mit C._ eine Reise in Honduras. Aufgrund eines familiären Notfalls verzögerte sich die Rückreise in die Schweiz, weshalb B._ in diesem Sommer nur einige Tage mit dem Sohn verbringen konnte. Am 3. Oktober 2014 entschied die Beiständin, dass dieser Ausfall mit zwei zusätzlichen Ferienwochen im Sommer 2015 kompensiert würde. Da sich die Eltern nicht einigen konnten, legte die Beiständin am 24. April 2015 die Besuchsregelung für den Sommer 2015 fest.
A.c. Hiergegen erhob A._ Beschwerde bei der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde V._ (KESB). Mit Beschluss vom 9. Juli 2015 wies die KESB die Beschwerde ab und hielt fest, dass C._ die Sommerferien vom 11. bis 26. Juli 2015 bei der Mutter und vom 26. Juli bis 16. August 2015 beim Vater verbringt. Ausserdem wies sie A._ unter Hinweis auf <ref-law> an, C._ entsprechend dem Vater zu übergeben. Einer allfälligen Beschwerde entzog sie die aufschiebende Wirkung.
Die gegen diesen Beschluss von A._ erhobene Beschwerde wies der Bezirksrat Horgen mit Urteil vom 13. Oktober 2016 ab.
B.
Gegen dieses Urteil beschwerte sich A._ beim Obergericht des Kantons Zürich. Dieses wies die Beschwerde mit Urteil vom 23. Mai 2017 (eröffnet am 30. Mai 2017) ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen sowie subsidiärer Verfassungsbeschwerde ist A._ am 29. Juni 2017 an das Bundesgericht gelangt. Sie stellt die folgenden Anträge:
"1. Das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 23. Mai 2017 sei aufzuheben und es sei
2. die Beschwerde [von A._] gegen den KESB Beschluss [...] vom 14. August 2015 gutzuheissen und den darin gemachten Anträgen statt zu geben.
3. Eventualiter sei das angefochtene Urteil aufzuheben und zur Sachverhaltsergänzung und neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
4. Es sei auf einen Kostenvorschuss zu verzichten.
5. Eventualiter sei der Kostenvorschuss angemessen zu reduzieren.
6. Es sei die Bezahlung des Kostenvorschusses aufzuschieben.
7. Eventualiter sei die Bezahlung des Kostenvorschusses in Teilbeträgen [anzuordnen].
8. Es sei eine Nachfrist zu[r] weitere[n] Begründung der Beschwerde zu gewähren.
9. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen (zzgl. 8 % MWSt.) zu Lasten [von B._]."
Am 3. Juli 2017 erhob das Bundesgericht einen Kostenvorschuss und wies A._ darauf hin, dass sie ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege stellen könne. Weiter wies es das Gesuch um eine Nachfrist zur Beschwerdebegründung unter Hinweis darauf ab, dass gesetzliche Fristen nicht verlängerbar sind (<ref-law>). Am 18. August 2017 bezahlte die Beschwerdeführerin den Kostenvorschuss.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist der Endentscheid eines oberen kantonalen Gerichts, das auf Rechtsmittel hin kantonal letztinstanzlich über den persönlichen Verkehr zwischen dem Beschwerdegegner und dessen Sohn sowie über die Durchsetzung der entsprechenden Anordnung der KESB und damit eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache entschieden hat (Art. 72 Abs. 1, Art. 75 und 90 BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist folglich das zutreffende Rechtsmittel. Die ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist nicht zulässig (<ref-law>). Die Beschwerde erfolgte fristgerecht (<ref-law>).
2.
2.1. Nach Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG ist zur Beschwerde in Zivilsachen nur berechtigt, wer ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Die Beschwerdebefugnis setzt ein aktuelles und praktisches Interesse an der Beschwerdeführung voraus, das auch im Zeitpunkt des bundesgerichtlichen Urteils noch vorhanden sein muss. An einem derartigen Interesse fehlt es insbesondere, wenn der Nachteil auch bei Gutheissung der Beschwerde nicht mehr behoben werden kann (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2b; Urteil 5A_619/2016 vom 23. März 2017 E. 1, nicht publiziert in: <ref-ruling>). Ausnahmsweise verzichtet das Bundesgericht auf das Erfordernis des aktuellen und praktischen Interesses, wenn die gerügte Rechtsverletzung sich jederzeit wiederholen könnte und eine rechtzeitige gerichtliche Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre (sog. virtuelles Interesse; <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.1).
2.2. Strittig ist vorab das Besuchsrecht des Beschwerdegegners in den Sommerferien 2015. Nachdem diese Ferien schon lange vorbei sind, besteht heute kein aktuelles Interesse mehr daran, die konkrete Ausgestaltung der Besuchsregelung prüfen zu lassen, zumal die KESB der Beschwerde gegen ihren Beschluss die aufschiebende Wirkung entzogen hatte (vgl. vorne Bst. A.c). Auch besteht kein Anlass, auf das Erfordernis des virtuellen Interesses zu verzichten. Die Beschwerdeführerin bringt denn auch nichts anderes vor. Damit ist auf die Beschwerde insoweit nicht einzutreten.
Demgegenüber hat die Beschwerdeführerin, wie bereits das Obergericht zutreffend ausführte, insoweit ein (auch aktuelles und praktisches) Interesse an der Beschwerdeführung, als ihr noch heute ein Strafverfahren wegen Ungehorsams gegen eine amtliche Verfügung (<ref-law>) droht (vgl. Urteil 5A_259/2010 vom 26. April 2012 E. 2.3.1).
3.
3.1. Gemäss <ref-law> haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten. In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken. Die beschwerdeführende Person hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2; 115 E. 2).
3.2. Hinsichtlich der hier noch interessierenden Strafandrohung nach <ref-law> ist strittig, ob die KESB zu deren Erlass zuständig war. Diesbezüglich wiederholt die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerde an das Bundesgericht teils wörtlich und teils sinngemäss ihre bereits vor der Vorinstanz gemachten Ausführungen (vgl. Akten Obergericht, act. 2 S. 3 f.). Abschliessend führt sie in allgemeiner Art und Weise aus, die Argumentation des Obergerichts "vermag nicht zu überzeugen und steht nicht nur im krassen Widerspruch zur Rechtsprechung, sondern auch im konkreten Fall zur schriftlichen behördlichen Information". Eine Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid findet damit nicht statt. Nicht zu hören ist die Beschwerdeführerin sodann, soweit sie ihre Sicht der Geschehnisse abweichend von den für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlichen tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>) darlegt, ohne dieser Willkür oder eine rechtswidrige Sachverhaltsfeststellung vorzuwerfen (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266). Auf die Beschwerde ist damit auch insoweit nicht einzutreten.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt die Beschwerdeführerin vollständig, weshalb ihr die Gerichtskosten aufzuerlegen sind (<ref-law>). Ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>) hat sie nicht gestellt. Dem obsiegenden Beschwerdegegner sind keine ersatzpflichtigen Kosten entstanden, da keine Vernehmlassungen eingeholt wurden. Entsprechend ist keine Parteientschädigung zu sprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Parteientschädigung wird keine gesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Februar 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber