Erwägungen:
1.
1.1. Das Amtsgericht Thal-Gäu sprach X._ schuldig der fahrlässigen missbräuchlichen Verwendung von Kontrollschildern, des Führens eines Motorfahrzeugs ohne Fahrzeugausweis, des Überschreitens des zulässigen Gewichts um 30,01 bis 30,35 %, des Überschreitens der zulässigen Achslast um 20,01 bis 25 % und des Überschreitens der zulässigen Achslast um 15,01 bis 20 %. Es verurteilte ihn zu einer Geldstrafe von fünf Tagessätzen zu Fr. 40.--, bedingt aufgeschoben bei einer Probezeit von zwei Jahren und zu einer Busse von Fr. 1'500.-- (Urteil vom 26. Februar 2018).
Auf Berufung von X._ hin bestätigte das Obergericht des Kantons Solothurn den erstinstanzlichen Entscheid (Urteil vom 23. Oktober 2018).
1.2. X._ führt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Übertretung sei in Wangen an der Aare, somit auf dem Gebiet des Kantons Bern, polizeilich festgestellt worden. Damit sei der bernische Gerichtsstand gegeben. Keine Rolle spiele, dass die Polizei ihn anschliessend nach Oensingen (SO) geleitet habe. Die Anzeige könne nicht einfach "mit Blaulicht und 'Bitte folgen' in einen anderen Kanton gezogen werden". Aufgrund einer interkantonalen Übereinkunft dürfe die solothurnische Polizei auf dem betreffenden (im Kanton Bern gelegenen) Autobahnabschnitt die Übertretung feststellen, die Verzeigung müsse aber im Kanton Bern erfolgen.
2.2. Die Vorinstanz erwägt, die solothurnische Zuständigkeit ergebe sich sowohl aus dem Gerichtsstand des Ortes, an dem die Tat verübt worden ist, als auch aus demjenigen des Ortes, an dem zuerst Verfolgungshandlungen vorgenommen worden sind. Die Straftaten seien in Oensingen (SO) ausserorts auf der Autobahn A1 in Fahrtrichtung Zürich festgestellt worden. Die erste Verfolgungshandlung - die Gewichtskontrolle - habe im Werkhof Oensingen stattgefunden. Der Beschwerdeführer wendet ein, dass die Zuständigkeit am Ort, an dem zuerst Verfolgungshandlungen vorgenommen worden sind, voraussetzt, dass die Straftat (unter anderem) auch an diesem Ort begangen worden ist. Er anerkennt die kraft einer interkantonalen Vereinbarung bestehende Befugnis der solothurnischen Polizei, auf einem bernischen Autobahnabschnitt Kontrollen durchzuführen.
Nach der Vereinbarung vom 5./15. April 1966 zwischen den Kantonen Bern und Solothurn über die Autobahnpolizei auf der N1 zwischen Koppigen (Kantonsgrenze) und Oensingen (solothurnische Gesetzessammlung 511.551.1) wird u.a. der Ordnungsdienst auf der N1 "im Abschnitt des bernischen Bipperamtes (von km 33,4 bis km 42,5) [...] durch die Autobahnpolizei des Kantons Solothurn ausgeübt" (Art. 1). Diese ist u.a. sachlich zuständig für die Aufsicht über den Verkehr (Art. 4 Ziff. 1) und das Erstellen der Strafanzeigen und Meldungen zuhanden der zuständigen Behörden (Ziff. 3). Die Zuständigkeit folgt nicht aus der Kantonszugehörigkeit der den Ordnungsdienst versehenden Polizeikräfte, sondern aus dem Ort, an dem die strafbare Handlung begangen wurde (vgl. Art. 6 der Vereinbarung). Die strafbaren Handlungen im Abschnitt des Bipperamtes werden "durch den zuständigen Richter des Kantons Bern untersucht und abgeurteilt" (Art. 7). Diese Gerichtsstandsbestimmung verweist auf Bestimmungen des StGB, die mit der Einführung der eidgenössischen Strafprozessordnung ausser Kraft gesetzt worden sind. Sie stimmt indes mit dem geltenden Recht überein (vgl. <ref-law>).
Die vorinstanzlichen Feststellungen betreffend den Verübungsort erfassen die Aktenlage nur unvollständig. Die Vorinstanz führt aus, die Straftaten seien "gemäss Strafanzeige in Oensingen ausserorts, auf der Autobahn A1 in Fahrtrichtung Zürich festgestellt" worden, "was der Rapportierende vor der Vorinstanz als Zeuge auch bestätigte mit der Bemerkung, wenn er (im Polizeirapport) nichts weiter zum Ort geschrieben habe, habe die Kontrolle in Oensingen stattgefunden" (S. 4 E. 3). Tatsächlich hat der kontrollierende Polizeibeamte vor dem Amtsgericht am 26. Februar 2018 aber Folgendes zu Protokoll gegeben: " Wenn ich nichts weiter zum Ort geschrieben habe, fand die Kontrolle in Oensingen statt. So wie ich es geschrieben habe, sind wir direkt nach Oensingen gefahren. Wir stehen oft vorher in Wangen und schauen, welche Fahrzeuge durchfahren. Wir schauen auch viele Fahrzeuge auf dem Rastplatz in Oberbipp an. Wir sind aufgrund des Abkommens zuständig " (erstinstanzliche act. 86 Rz. 54-58). " Wenn wir in Oensingen wägen, ist Übertretungsort in Oensingen. Wenn z.B. ein Rechtsüberholen in Niederbipp passiert ist, ist Niederbipp der Übertretungsort. Aber beim Wägen wie hier ist es Oensingen " (act. 87 Rz. 125-127). Die Vorinstanz hat daraus offenbar abgeleitet, schon der Begehungsort liege in Oensingen. Gesichert ist aber nur der Ort, an dem die ordnungswidrige Beladung festgestellt worden ist, nämlich der Werkhof in Oensingen (SO). Der Verübungsort befindet sich jedoch auf der Autobahn. Dafür kommen die vom Zeugen erwähnten Kontrollorte im Kanton Bern ausdrücklich infrage. Trotzdem fällt eine ausschliessliche Strafverfolgungszuständigkeit der bernischen Behörden ausser Betracht. Im Unterschied etwa zu einem unzulässigen Überholen oder einer Geschwindigkeitsübertretung handelt es sich beim Fahren mit einem überladenen Fahrzeug um ein strafbares Handeln, das sich auf die gesamte Dauer der Fahrt erstreckt. Die Fahrt auf der Autobahn A1, bei welcher der Beschwerdeführer am 31. Januar 2016 polizeilich angehalten worden ist, führte unbestrittenermassen auch über das Gebiet des Kantons Solothurn. Die Straftat ist mithin im Sinne von <ref-law> an mehreren Orten verübt worden. In einem solchen Fall sind die Behörden des Ortes zuständig, an dem zuerst Verfolgungshandlungen vorgenommen worden sind. Der bei der Kontrolle im Bereich der Autobahn entstandene Verdacht auf eine Überladung des Fahrzeugs hat zur Wägung auf dem Werkhof in Oensingen (SO) mit anschliessender Strafanzeige geführt. Darin liegt, wie die Vorinstanz richtig festgehalten hat, eine Verfolgungshandlung. Die vorinstanzliche Feststellung, dass die Strafverfolgungsbehörden des Kantons Solothurn zuständig sind, verletzt somit kein Bundesrecht.
3.
In der Sache strittig sind einzig die Schuldsprüche betreffend Überschreiten des zulässigen Gewichts resp. der zulässigen Achslast (Art. 96 Abs. 1 lit. c und Art. 30 Abs. 2 SVG, Art. 67 VRV).
3.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe den Lieferwagen erst wenige Tage vor der Anhaltung erworben mit der Zusicherung des Verkäufers, das Eigengewicht des Fahrzeugs betrage 2500 Kilogramm. So sei es auch im Fahrzeugausweis eingetragen gewesen. Der Chef der Garage habe ihm bestätigt, dass es unterlassen worden sei, Änderungen am Fahrzeug, die ein zusätzliches Gewicht von 400 Kilogramm gebracht hätten, im Fahrzeugausweis zu vermerken. Am auf die Anhaltung und Wägung (Sonntag, 31. Januar 2016) folgenden Montag habe er das Fahrzeug an gleicher Stelle leer wägen lassen. Danach wiege das Fahrzeug allein effektiv 2900 Kilogramm. Er habe aber weder einen Waagschein noch eine Quittung erhalten. Der Verkäufer habe ihn wegen der Abweichung vom ausgewiesenen Eigengewicht mit Fr. 1'000.-- entschädigt. Trotz seiner Beweisanträge vor den Vorinstanzen sei diesen Umständen im bisherigen Verfahren nicht Rechnung getragen worden. Das verletze sein rechtliches Gehör. Hinzu komme, dass seitens der Apotheke, die ihn mit dem Transport beauftragt habe, das Gewicht des Transportgutes "um einiges" unterschätzt worden sei.
3.2. Gemäss Vorinstanz gibt es keine Anhaltspunkte, dass das Leergewicht des Lieferwagens effektiv 2900 (statt wie im Fahrzeugausweis eingetragen 2500) kg betragen habe. Es sei auf den Waagschein und das Wägeprotokoll abzustellen, wonach das zulässige Gesamtgewicht von 3500 kg (Leergewicht plus Nutz-/Sattellast von 1000 kg) um 1146 kg resp. 32,74 % überschritten wurde. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, dass die vorinstanzliche Beweiswürdigung willkürlich wäre. Im Einspracheverfahren hat er, wie nun wieder vor Bundesgericht, geltend gemacht, eine Nachwägung habe ein Leergewicht von 2900 kg ergeben, was ihm vorher wegen fehlender Nachführung im Fahrzeugausweis nicht habe bekannt sein können. Er habe keinen Waagschein erhalten. Der Beschwerdeführer hat sich vor Obergericht indes nicht über die Schlussfolgerung der ersten Instanz beschwert, es sei nirgends ersichtlich, dass das Leergewicht effektiv 2900 kg beträgt (vgl. Urteil des Amtsgerichts Thal Gäu vom 26. Februar 2018, S. 8). Jedenfalls konnte er sich vor Vorinstanz nicht mit einem pauschalen Hinweis auf Beweisanträge im Einsprache- oder im erstinstanzlichen Gerichtsverfahren begnügen (vgl. <ref-law>). Abgesehen davon ist nicht nachvollziehbar, weshalb der Beschwerdeführer auf eine Bescheinigung des allfälligen Ergebnisses einer Nachwägung verzichtet hat. Im Übrigen ist er für die Einhaltung des im Fahrzeugausweis festgehaltenen zulässigen Gesamtgewichts selber verantwortlich. Diese Verantwortung kann er nicht auf den Auftraggeber der Transportfahrt abwälzen.
4.
Die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Januar 2019
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Traub