Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 2007) besuchte im Schuljahr 2020/2021 eine 1. Sekundarklasse A in der Stadt Zürich. Seine Eltern, C._ und B._, stellten am 22. November 2020 ein Gesuch um Querversetzung ihres Sohnes wegen Mobbings. Am 14. Dezember 2020 erschienen A._s Eltern auf dem Schulareal, um ihren Sohn gemäss ihrer Darstellung vor mobbenden Schülerinnen zu schützen und diese zurechtzuweisen. In der Folge kam es gemäss der Darstellung des eingreifenden Schulleiters zu einem verbalen und handgreiflichen Angriff auf seine Person, welche zur Festnahme von C._ durch die hinzugerufene Polizei führte.
1.2. Im Anschluss hieran wurde A._ vom 16. Dezember 2020 bis zum 29. Januar 2021 vom obligatorischen Schulunterricht ausgeschlossen. A._ und seine Eltern gelangten hiergegen an den Bezirksrat Zürich. Nachdem es am 12. Januar 2021 zu einem klärenden Gespräch gekommen war, wurde A._ in eine andere Zürcher Schule versetzt. Der Bezirksrat schrieb am 29. Juli 2021 deshalb den bei ihm hängigen Rekurs "zufolge Gegenstandslosigkeit" ab; er erhob keine Kosten und sprach keine Parteientschädigung zu. Hiergegen gelangten A._ und seine Eltern am 10. September 2021 an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, welches am 25. November 2021 die Abschreibung des Rekursverfahrens schützte, die Beschwerde jedoch insofern teilweise guthiess, als der Bezirksrat den anwaltlich vertretenen Beschwerdeführern keine Parteientschädigung zugesprochen hatte. Es setzte diese auf Fr. 1'500.-- fest und auferlegte seine Verfahrenskosten dem Bezirksrat.
1.3. Hiergegen gelangten A._ und seine Eltern mit einer identischen Beschwerdeschrift, welche an zwei unterschiedlichen Daten eingingen (14. bzw. 17. Januar 2022) an das Bundesgericht, wo die Verfahren 2C_37/2022 und 2C_46/2022 eröffnet wurden. Am 14. Januar 2022 teilte die Präsidialgerichtsschreiberin den Beschwerdeführern im Verfahren 2C_37/2022 mit, dass ihre Eingabe den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht genügen dürfte, sie diese aber während der Beschwerdefrist noch verbessern könnten. Am 25. Januar 2022 ergänzten sie ihre Eingabe.
2.
2.1. Die Verfahren 2C_37/2022 und 2C_46/2022 beruhen auf einer identischen Beschwerdeschrift; es stellen sich damit die gleichen Sachverhalts- und Rechtsfragen. Sie können deshalb vereinigt und im Rahmen eines gemeinsamen Urteils erledigt werden.
2.2. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 des Bundesgerichtsgesetzes (BGG; SR 173.110) haben Rechtsschriften an das Bundesgericht die Begehren und die Begründung zu enthalten. Diese muss sachbezogen sein und sich auf den Gegenstand des angefochtenen Entscheids beziehen. Die beschwerdeführende Partei muss in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Urteils massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form plausibel darlegen, inwiefern die Vorinstanz Rechte oder Rechtsnormen verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2). Betrifft die Beschwerde kantonales Recht kann das Bundesgericht dessen Auslegung und Anwendung nur auf Willkür und auf die Vereinbarkeit mit anderen verfassungsmässigen Rechten hin überprüfen (<ref-ruling> E. 3.3.1); dabei besteht eine qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>).
2.3.
2.3.1. Die vorliegenden Eingaben genügt diesen Anforderungen nicht: Die Beschwerdeführer beantragen, das Urteil vom 25. November 2021 "zu prüfen", legen aber nicht dar, inwiefern der angefochtene Entscheid rechtswidrig sein soll. Sie kritisieren, dass die Wegweisung von der Schule nicht geprüft und zum Nachteil des Kindes gehandelt worden sei. Es seien ihnen - in Bezug auf die "Querversetzung" und wegen der Suspendierung ihres Sohnes - Kosten entstanden. Die Beschwerdeführer legen indessen nicht dar, was hier einzig Verfahrensgegenstand bildet, inwieweit die gestützt auf das kantonale Verfahrensrecht vorgenommene Abschreibung verfassungsmässige Rechte verletzen würde; dies ist auch nicht ersichtlich.
2.3.2. Hinsichtlich des Kostenpunktes hat die Vorinstanz die Beschwerde gutgeheissen und den Beschwerdeführern für das Verfahren vor dem Bezirksrat eine Parteientschädigung von Fr. 1'500.-- zugesprochen. Auch diesbezüglich legen sie nicht dar, inwiefern dies offensichtlich unhaltbar wäre (<ref-law>). In ihrer Beschwerdeergänzung kritisieren sie noch einmal das Verhalten der Zürcher Schulbehörden und dass sie eine "offizielle Stellungnahme bzw. ein offizielles Entschuldigungsschreiben" in Bezug auf die Wegweisung erwarteten. Dies bildet indessen wiederum nicht Gegenstand des Verfahrens, in dem es nur um die Rechtmässigkeit des Abschreibungsbeschlusses im Rekursverfahren vor dem Bezirksrat und die entsprechende Kostenregelung gehen kann. Im Übrigen wurde ihnen durch die Vorinstanz - wie von ihnen beantragt - gerade wegen des Beizugs eines Rechtsanwalts eine Parteientschädigung zugesprochen.
3.
3.1. Auf die Beschwerden in den vereinigten Verfahren 2C_46/2022 und 2C_37/2022 ist durch die Abteilungspräsidentin nicht einzutreten (<ref-law>).
3.2. Die Beschwerdeführer ersuchen darum, keine Kosten zu erheben. Falls dies als Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu verstehen wäre, könnte diesem bereits wegen Aussichtslosigkeit der Begehren nicht entsprochen werden (<ref-law>). Als unterliegende Partei haben sie die Verfahrenskosten zu tragen (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Die Verfahren 2C_37/2022 und 2C_46/2022 werden vereinigt.
2.
Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
3.
3.1. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.2. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, mitgeteilt.
Lausanne, 27. Januar 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar