Sachverhalt:
A.
A.a. A._ ist ausgebildete Dentalhygienikerin und arbeitete bis 1997 in Connecticut/USA sowie im Engadin in ihrem Beruf. Nachdem im Jahr 1997 ein beidseitiges (als Berufskrankheit qualifiziertes) Carpaltunnelsyndrom sie zur Aufgabe dieser Tätigkeit gezwungen hatte, meldete sie sich im März 1998 bei der Invalidenversicherung an. Diese sprach A._ berufliche Massnahmen (Umschulung zur Sprachlehrerin) zu, wobei die Versicherte die Diplomausbildung, anschliessend an den besuchten Einführungskurs, wegen Schmerzen am ganzen Körper nicht in Angriff nahm. In der Folge bezog A._ vom 15. Februar bis 31. Mai 1998 eine ganze Rente der Invalidenversicherung (Verfügung vom 20. Dezember 2005). Die IV-Stelle Graubünden stützte sich dabei (u.a.) auf ein Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS) des Universitätsspitals B._ vom 29. September 2005 in den Disziplinen Allg. Innere Medizin, Rheumatologie, Psychiatrie und Neurologie, das im Auftrag des Unfallversicherers erstattet worden war. Danach blieb die diagnostizierte anhaltende somatoforme Schmerzstörung ohne Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit, während die eingeschränkte Einsatzmöglichkeit der rechten Hand sowie die chronischen Kopfschmerzen nurmehr eine adaptierte Tätigkeit im Umfang von 80 % erlaubten.
A.b. Am 9. Dezember 2008 meldete sich A._ erneut bei der Invalidenversicherung an, da sich ihr Gesundheitszustand gemäss Gutachten des Universitätsspitals C._ (Rheumaklinik und Institut für Physikalische Medizin) vom 31. März 2008 verschlechtert habe. Im Rahmen der Abklärungen erfolgte - im Auftrag des Unfallversicherers und bei Beteiligung der IV-Stelle - eine weitere Begutachtung am Universitätsspital B._ (rheumatologisches Ergänzungsgutachten des Prof. Dr. med. D._ vom 7. September 2012 sowie psychiatrisches Gutachten des Dr. med. E._ und des Prof. Dr. med. univ. F._ vom 16. Oktober 2014). Mit Verfügung vom 16. Juli 2015 verneinte die IV-Stelle einen Rentenanspruch.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 3. Kammer als Versicherungsgericht, gut, hob die Verfügung der IV-Stelle vom 16. Juli 2015 auf und stellte fest, dass A._ mit Wirkung ab 1. Juni 2009 Anspruch auf eine halbe Rente der Invalidenversicherung habe (Entscheid vom 17. August 2017).
C.
A._ gelangt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht und beantragt hauptsächlich, es sei ihr rückwirkend ab 1. Juni 2009 eine ganze Rente zuzusprechen. Ausserdem sei ihr die unentgeltliche Prozessführung zu bewilligen und Rechtsanwalt André Largier als unentgeltlicher Rechtsbeistand beizugeben.

Erwägungen:
1.
Erster Streitpunkt bildet die Ausprägung der bestehenden Arbeitsunfähigkeit:
1.1. Es ist unbestritten, dass die Beschwerdeführerin in ihrer angestammten Tätigkeit als Dentalhygienikerin vollständig arbeitsunfähig ist. In Bezug auf eine adaptierte Tätigkeit verneinte die Vorinstanz eine Einschränkung aus somatischen Gründen. Dagegen schloss sie aus dem diagnostizierten chronischen Schmerzsyndrom auf eine 50 %-ige Einschränkung der Arbeitsfähigkeit in adaptierter Tätigkeit. Die Beschwerdeführerin ist der Auffassung, diese sei auch somatischer Natur, was sich auf die Höhe des Invalideneinkommens auswirke.
1.2.
1.2.1. Feststellungen der Vorinstanz zur gesundheitlich bedingten Arbeitsunfähigkeit (Eintreten, Grad, Dauer, Prognose etc.) betreffen Tatfragen, soweit sie auf der Würdigung konkreter Umstände beruhen, und sind daher lediglich unter eingeschränktem Blickwinkel überprüfbar (<ref-law> sowie Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 398).
1.2.2. Es kann offen bleiben, ob und inwieweit es sich bei der Einschätzung des Prof. Dr. med. D._ - nach Angewöhnung an das Arbeitspensum von 50 % sei mit einer weiteren Steigerung auf 100 % zu rechnen - bloss um eine Prognose handelt, wie die Beschwerdeführerin behauptet. Zum einen ist eine ärztliche Prognose zur Arbeitsfähigkeit zulässig und üblich. Zum andern kommt es nicht auf die Bezeichnung, sondern den Gehalt der Äusserung an. So hat der Gutachter unmissverständlich und nachvollziehbar - der Beweiswert des rheumatologischen Ergänzungsgutachtens vom 7. September 2012 wird zu Recht nicht in Frage gestellt - sowie wortwörtlich zum Ausdruck gebracht, dass einer 100 %-igen Arbeitsfähigkeit in angepasster Tätigkeit (unter Ausschluss des Überkopfarbeitens und feinmanueller Tätigkeiten) grundsätzlich nichts im Wege steht, wie es auch im angefochtenen Entscheid richtig wiedergegeben wird. Dass die Vorinstanz die Arbeitsfähigkeit in einer adaptierten Beschäftigung - somatisch - auf 100 % festsetzte, ist daher nicht willkürlich oder sonstwie bundesrechtswidrig (zum Begriff der Willkür vgl. zum Beispiel Urteil 9C_635/2016 vom 14. Dezember 2016 E. 4.1 mit Hinweisen). Dies gilt umso mehr, als Dr. med. D._ ausdrücklich von einer kurzen Anpassungszeit (3-4 Monate) sprach. Im Übrigen meint Dr. med. D._ damit nicht die Angewöhnung an die Leiden, sondern an das Arbeiten, weshalb es nicht des Nachweises eines verbesserten Gesundheitszustandes zwischen Untersuchung (am 27. August 2012) und Verfügungserlass (am 16. Juli 2015) bedarf.
1.3. Nach dem Gesagten ist die Arbeitsfähigkeit der Beschwerdeführerin in einer angepassten Tätigkeit allein aus psychischen Gründen um 50 % reduziert.
2.
Zweiter Streitpunkt stellt die Wahl des Tabellenlohnes (Invalideneinkommen) dar:
2.1. Es ist unbestritten, dass das Invalideneinkommen der Beschwerdeführerin gestützt auf die Tabellenlöhne gemäss der vom Bundesamt für Statistik periodisch herausgegebenen Lohnstrukturerhebungen (LSE) für das Jahr 2008 festzusetzen ist (Rentenanspruch ab 1. Juni 2009 [vgl. <ref-law>]). Die Vorinstanz erwog, dass es der Beschwerdeführerin aufgrund ihrer Ausbildung und Berufserfahrung, insbesondere wegen ihrer Englischkenntnisse, möglich wäre, im Unterrichtswesen sowie Gesundheits- und/oder Sozialwesen auf dem Anforderungsniveau 3 (das Berufs- und Fachkenntnisse voraussetzt) eine geeignete Tätigkeit auszuüben. Die Beschwerdeführerin will vom (Frauen-) Total des Anforderungsniveaus 4 (einfache und repetitive Tätigkeiten) ausgehen.
2.2.
2.2.1. Die Frage nach der bei einem Einkommensvergleich anzuwendenden Tabelle der LSE stellt eine vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage dar. Dasselbe gilt für die Wahl der zutreffenden Stufe (Anforderungsniveau [seit 2012 Kompetenzniveau] 1, 2, 3 oder 4) und des zu berücksichtigenden Wirtschaftszweigs oder Totalwertes. Soweit es hingegen um das Vorliegen von Voraussetzungen geht, die - wie eine spezifische Ausbildung oder weitere Qualifikationen - für die Wahl einer bestimmten LSE-Tabelle bedeutsam sein können, handelt es sich um Feststellungen tatsächlicher Art, an die das Bundesgericht grundsätzlich gebunden ist (vgl. E. 1.2.1 vorne; zum Ganzen Urteil 8C_477/2017 vom 21. November 2017 E. 6.3.1.1 mit weiteren Hinweisen).
2.2.2. Die Umschulung zur Sprachlehrerin konnte wohl nicht mit einem Diplom abgeschlossen werden. Wie die Vorinstanz jedoch für das Bundesgericht verbindlich (<ref-law>) festgestellt hat, hat die Beschwerdeführerin immerhin den Einführungskurs, der verschiedene Ausbildungsmöglichkeiten für den angestrebten Diplomabschluss eröffnete, besucht. Zudem ist Englisch ihre Muttersprache. Weitere Fremdsprachenkenntnisse bestehen in Deutsch und Italienisch. Ferner lehrte die Beschwerdeführerin in den USA an einer Universität (im angestammten Gebiet als Dentalhygienikerin mit Spezialisierung auf Parodontose). In der Schweiz unterrichtete sie während dreier Monate eine Klasse in Poschiavo und gab Einzelstunden. Teilweise erteilt sie noch einzelne Englischlektionen via Skype.
In Anbetracht der erwähnten sprachlichen Kenntnisse, der gesammelten didaktischen Erfahrungen und erlangten methodischen Fertigkeiten sowie angesichts des doch abgeschlossenen Sprachlehrer-Vorkurses kann in der vorinstanzlichen Subsumtion unter den Wirtschaftszweig "Unterrichtswesen" keine Rechtsverletzung gesehen werden. Ebenso wenig ist mit Blick auf die verwertbare Berufserfahrung rechtsfehlerhaft, dass die Vorinstanz die Beschwerdeführerin in das Anforderungsniveau 3, das Berufs- und Fachkenntnisse voraussetzt, eingestuft hat. Der vorliegende Fall ist nicht vergleichbar mit dem Sachverhalt, der dem Urteil 9C_780/2016 vom 3. Oktober 2017 zugrunde lag. Dort mangelte es der versicherten Person - anders als hier - sowohl an hinreichend qualifizierter Erfahrung in der Verweistätigkeit als auch an persönlichen Ressourcen, um in das Anforderungsniveau 3 (der LSE 2010) eingeordnet werden zu können (zitiertes Urteil 9C_780/2016 E. 4.2 und 4.3).
2.2.3. Soweit die Beschwerdeführerin einwirft, dass sie ohne eidgenössisches Diplom an einer öffentlichen Schule gar nicht zugelassen werde, übersieht sie, dass die Vorinstanz auf die monatlichen Bruttolöhne im privaten Sektor (Tabelle TA1) abgestellt hat. Dass die Tätigkeit als Sprachlehrerin zwingend ein entsprechendes Diplom voraussetzt, kann dem Bericht der Berufsberaterin vom 18. Januar 2001 - entgegen dem, was die Beschwerdeführerin glauben zu machen versucht - nicht entnommen werden. Abgesehen davon beinhaltet das Unterrichtswesen weit mehr als die klassische Lehrertätigkeit. Zu denken ist auch an Aufgaben- oder Nachhilfeunterricht (vgl. beispielsweise Urteil I 486/05 vom 10. Oktober 2005 E. 4.2), der regelmässig von nicht diplomierten Fachkräften erteilt wird, oder etwa an den Unterricht von Fachenglisch an einer Höheren Fachschule für Dentalhygiene. Der statistische Zentralwert in der Höhe von Fr. 6'208.- (LSE 2008, Tabelle TA1, Wirtschaftszweig Unterrichtswesen, Anforderungsniveau 3, Frauen) ist denn auch kein "Extremwert" (Lohn einer diplomierten [Sprach-]Lehrerin), sondern ein Richtwert; für die einen liegt der Lohn darüber, für die anderen darunter (LSE 2008 S. 18). Dabei ist jeder Anwendung statistischer Werte die Abstrahierung, das heisst die Ausblendung der konkreten Gegebenheiten des Einzelfalles, immanent (<ref-ruling> E. 2.5.7 Abs. 2 S. 188). Der Einwand, den höheren Lohn, der einer diplomierten Lehrerin bezahlt werde, nicht erhältlich machen zu können, verfängt daher nicht.
Eine Tätigkeit als Lehrerin kann auch nicht deshalb ausgeschlossen werden, weil aufgrund der ausgeprägten chronischen Beschwerden keine konstante Arbeitsleistung bestehe, wie die Beschwerdeführerin meint. Ihre diesbezüglichen Verweise auf das psychiatrische Gutachten vom 16. Oktober 2014 sind nicht geeignet, ihre Behauptung zu untermauern, zumal es sich bei den Beschreibungen auf den zitierten Seiten (S. 23, 50 und 71) ausschliesslich um eine Wiedergabe ihrer eigenen Angaben handelt.
Letztlich ist darauf hinzuweisen, dass keine Verletzung des rechtlichen Gehörs gegeben ist, nur weil das kantonale Gericht nicht auf alle vorgebrachten Argumente eingegangen ist. Es reicht, wenn wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf welche sie ihren Entscheid stützt, so dass dieser sachgerecht angefochten werden kann (statt vieler: Urteil 9C_25/2017 vom 11. Mai 2017 E. 2.4 mit Hinweisen). Dies ist hier der Fall.
2.2.4. Weshalb die Vorinstanz für die Bestimmung des Invalideneinkommens auch den Wirtschaftszweig "Gesundheits- u. Sozialwesen" (Anforderungsniveau 3), miteinbezogen hat, bleibt im Dunkeln. Jedenfalls ist der Beschwerdeführerin zuzustimmen, dass der Umstand allein, bis Ende 1997 in ihrem angestammten Beruf als diplomierte Dentalhygienikerin gearbeitet zu haben, eine solche Einordnung kaum zu rechtfertigen vermag. Indes erübrigen sich Weiterungen hierzu. Das vorinstanzliche Vorgehen, auf das arithmetische Mittel zweier Medianwerte abzustellen ([Unterrichtswesen + Gesundheits- u. Sozialwesen]: 2), ist ohnehin unzulässig (<ref-ruling> E. 2.5.7 Abs. 2 S. 188 mit Hinweisen).
2.3. Zusammenfassend ist von einem Invalideneinkommen von Fr. 39'551.40 auszugehen (Fr. 6'208.- x 12 : 40 x 41,6 x 0,5 x 1,021). Eine "Parallelisierung mit dem Valideneinkommen", wie dies die Beschwerdeführerin verlangt, entbehrt jeglicher Grundlage. Anhaltspunkte für ein deutlich unterdurchschnittliches Valideneinkommen fehlen und werden auch nicht geltend gemacht (<ref-ruling> E. 3.4.3 S. 62). Im übrigen sind die einzelnen Berechnungsfaktoren unbestritten.
3.
Dritter Streitpunkt ist der Tabellenlohnabzug:
3.1. Während das kantonale Gericht keinen "Leidensabzug" gewährt hat, reklamiert die Beschwerdeführerin für sich den Maximalabzug von 25 %.
3.2.
3.2.1. Die Frage, ob ein (behinderungsbedingt oder anderweitig begründeter) Abzug vorzunehmen sei, ist eine Rechtsfrage, während jene nach der Höhe des Abzuges eine typische Ermessensfrage darstellt (statt vieler: Urteil 8C_434/2017 vom 3. Januar 2018 E. 7.3.1 mit Hinweisen).
3.2.2. Die Beschwerdeführerin beruft sich vorab auf die somatischen Einschränkungen: kein Überkopfarbeiten, keine feinmanuellen Tätigkeiten, nur gelegentliches Heben bis 10 kg. Inwieweit diese körperlichen Restriktionen sie im Rahmen der ihr noch zumutbaren Tätigkeit (vgl. E. 2 vorne) lohnmässig benachteiligen, ist nicht ersichtlich.
3.2.3. Sodann macht die Beschwerdeführerin einen Abzug geltend, da sie auf eine erhöhte Rücksichtnahme des Arbeitgebers auf ihre psychischen Behinderungen angewiesen sei. Ob dies in einzelnen Fällen einen Tabellenlohnabzug zu rechtfertigen vermag, kann vorliegend offen bleiben, da die Versicherte jedenfalls übersieht, dass ihren Defiziten bezüglich Anpassung an Regeln und Routinen, bezüglich Planung und Strukturierung von Aufgaben sowie bezüglich Flexibilität und Durchhaltefähigkeit bereits mit der reduziert attestierten Arbeitsfähigkeit Rechnung getragen wurde. Ausserdem wirken sich die genannten Defizite nach Auffassung der Gutachter Dr. med. E._ und Prof. Dr. med. univ. F._ gerade in einer Tätigkeit als Sprachlehrerin weniger aus.
3.2.4. Soweit die Beschwerdeführerin - unter Verweis auf die Besoldungsverordnung für Lehrpersonal - einen lohnmässigen Nachteil darin erblickt, dass sie sich mangels Dienstjahren nie in den Bereich eines durchschnittlichen Einkommens hocharbeiten könne, ist einerseits auf das in E. 2.2.3 in initio Gesagte hinzuweisen. Anderseits steht fest, dass die Beschwerdeführerin den Sprachunterricht nie ganz aufgegeben hat (vgl. E. 2.2.2 Abs. 1 in fine).
3.3. Insgesamt fehlen Anzeichen dafür, dass die Beschwerdeführerin ihre gesundheitlich bedingte Restarbeitsfähigkeit auch auf einem ausgeglichenen Arbeitsmarkt nur mit unterdurchschnittlichem Erfolg erwerblich verwerten kann (vgl. hierzu etwa Urteil 8C_477/2017 vom 21. November 2017 E. 6.3.2.1 mit Hinweisen).
4.
Damit bleibt es im Ergebnis bei der vorinstanzlich zugesprochenen halben Rente (aus dem unbestrittenen Valideneinkommen von Fr. 92'232.68 und dem ermittelten Invalideneinkommen von Fr. 39'551.40 ergibt sich ein Invaliditätsgrad von 57 %). Die Beschwerde ist unbegründet.
5.
Ausgangsgemäss wird die Beschwerdeführerin grundsätzlich kostenpflichtig (<ref-law>). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann entsprochen werden (<ref-law>), da ihre Bedürftigkeit aufgrund der Akten ausgewiesen ist und das Verfahren nicht zum Vornherein aussichtslos erschien. Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> hingewiesen, wonach sie der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen und es wird der Beschwerdeführerin Rechtsanwalt Dr. André Largier als Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. Februar 2018
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Oswald