Sachverhalt:
A.
A._, Jahrgang "...", fuhr am 25. Januar 2019, um ca. 19:45 Uhr, mit seinem Personenwagen auf der Undo-endo-Strasse in Bern und befand sich gemäss eigenen Angaben auf der Suche nach einem bestimmten Restaurant. In der Folge bog er, in Missachtung eines allgemeinen Fahrverbots, nach links auf den Fussgängerweg ab, der spiralförmig zu der auf einem kleinen Hügel gelegenen sog. Luft-Station hinaufführt. Auf dem sich mehr und mehr verengenden Weg fuhr er weiter, bis sein Fahrzeug, beinahe zuoberst bei der Luft-Station, in Schräglage in der Hecke steckenblieb. Da er nicht mehr allein aus dem Auto aussteigen konnte, telefonierte er einem Kollegen. Dieser verständigte die Polizei und half ihm beim Verlassen des Fahrzeugs, das am Tag darauf mit einem Kran vom Hügel entfernt werden musste.
Mit Strafbefehl vom 8. Mai 2019 erklärte die Staatsanwaltschaft des Kantons Bern (Region Bern-Mittelland) A._ wegen dieses Vorfalls der einfachen Verkehrsregelverletzung schuldig und bestrafte ihn mit einer Busse von Fr. 300.--. Am 16. Juli 2019 eröffnete das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern ein Administrativverfahren gegen ihn und ordnete an, er habe sich einer verkehrsmedizinischen Fahreignungsuntersuchung durch einen Arzt der Stufe 3 zu unterziehen. Seine dagegen erhobene Einsprache wies es mit Entscheid vom 30. August 2019 ab.
B.
Gegen den Einspracheentscheid des Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamts gelangte A._ an die Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern. Mit Urteil vom 20. November 2019, begründet eröffnet am 11. Mai 2020, wies die Rekurskommission das Rechtsmittel ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 8. Juni 2020 an das Bundesgericht beantragt A._, den Entscheid der Rekurskommission bzw. den damit bestätigten Einspracheentscheid des Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamts aufzuheben und auf den Erlass einer Administrativmassnahme gegen ihn, namentlich die Anordnung einer Fahreignungsuntersuchung, zu verzichten.
Das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt sowie die Rekurskommission haben auf eine ausführliche Vernehmlassung verzichtet und schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Dasselbe beantragt unter Verweis auf den angefochtenen Entscheid, der zutreffend erscheine, das Bundesamt für Strassen ASTRA. A._ hat mit Eingabe vom 11. August 2020 zwei neue Beweismittel und am 28. August 2020 eine weitere Stellungnahme eingereicht.
Das präsidierende Mitglied der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat der Beschwerde mit Verfügung vom 9. Juli 2020 die aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über die Anordnung einer verkehrsmedizinischen Fahreignungsuntersuchung im Rahmen eines strassenverkehrsrechtlichen Administrativverfahrens und damit in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (Art. 82 lit. a und Art. 86 BGG; Art. 76 Abs. 1 lit. c des Gesetzes vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Bern [VRPG/BE; BGS 155.21]). Der die Anordnung bestätigende Entscheid schliesst das hängige Verfahren nicht ab. Es handelt sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid, der mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten anfechtbar ist, da er für den zur Fahreignungsuntersuchung verpflichteten Beschwerdeführer einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> bewirken würde (vgl. Urteile 1C_405/2020 vom 8. Dezember 2020 E. 1.1; 1C_569/2018 vom 19. März 2019 E. 1.1). Der Beschwerdeführer ist entsprechend nach <ref-law> auch zur Beschwerde legitimiert. Er ist zudem innert Frist (<ref-law>) an das Bundesgericht gelangt. Vorbehältlich zulässiger und genügend begründeter Rügen ist somit auf das Rechtsmittel einzutreten, soweit es sich gegen die Anordnung der Fahreignungsuntersuchung richtet.
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, welche die beschwerdeführende Person vorbringt und begründet (vgl. <ref-law>). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten namentlich, soweit die Verletzung von Grundrechten gerügt wird (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil weiter den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, deren Sachverhaltsfeststellung sei offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (vgl. dazu <ref-ruling> E. 7.3 S. 174 f.; <ref-ruling> E. 3.6.2 S. 287), oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (Art. 42 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Das Vorbringen von Tatsachen, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid ereignet haben oder erst danach entstanden sind (echte Noven), ist unzulässig (<ref-ruling> E. 1.2 S. 23 mit Hinweisen).
3.
3.1. Bestehen Zweifel an der Fahreignung einer Person, so wird diese gemäss <ref-law> einer Fahreignungsuntersuchung unterzogen, namentlich in den in lit. a-e dieser Bestimmung in nicht abschliessender Aufzählung genannten Fällen. Die Untersuchung hat bei verkehrsmedizinischen Fragestellungen durch einen Arzt bzw. eine Ärztin nach Art. 5abis der Verkehrszulassungsverordnung vom 27. Oktober 1976 (VZV; SR 741.51) zu erfolgen, der bzw. die in den Fällen von Art. 15d Abs. 1 lit. a und b SVG über eine Anerkennung der Stufe 4 und in den Fällen von Art. 15 Abs. 1 lit. d und e SVG mindestens über eine der Stufe 3 verfügen muss (<ref-law>). Die Voraussetzungen für die Anordnung einer Fahreignungsuntersuchung sind gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung nicht dieselben wie für den vorsorglichen Führerausweisentzug, obschon diese beiden Massnahmen häufig zusammen ergehen. Während Letzterer voraussetzt, dass - wie etwa bei konkreten Hinweisen auf eine Alkoholabhängigkeit - ernsthafte Zweifel an der Fahreignung einer Person bestehen, genügen für erstere Anordnung hinreichende Anhaltspunkte, welche die Fahreignung in Frage stellen (Urteile 1C_384/2017 vom 7. März 2018 E.2.2; 1C_531/2016 vom 22. Februar 2017 E. 2.4.2 mit Hinweisen). Ob derartige Anhaltspunkte bestehen, hat die zuständige Behörde unter Berücksichtigung der Umstände des Einzelfalls nach pflichtgemässem Ermessen zu entscheiden (vgl. Urteil 1C_458/2019 vom 25. März 2020 E. 2.1 mit Hinweis).
3.2. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid ausgeführt, es sei bereits schwer nachvollziehbar, weshalb der Beschwerdeführer am 25. Januar 2019 überhaupt von der breiteren Undo-endo-Strasse auf den schmalen Fussweg in Richtung Luft-Station abgebogen sei, nachdem er eigenen Angaben zufolge das Fahrverbotsschild wahrgenommen gehabt habe. So hätte ihm ungeachtet seiner Vorbringen von Anfang an klar sein müssen, dass er diesen Weg nicht befahren sollte. Abgesehen vom Verbotsschild habe bereits bei der Einfahrt die geringe Breite mit beidseitig hohen Hecken klar darauf hingedeutet, dass der Weg nicht für Personenwagen geeignet sei. Vor allem aber sei nicht nachvollziehbar, weshalb der Beschwerdeführer auf dem immer schmaler werdenden Weg immer weiter gefahren sei. Aus der polizeilichen Fotodokumentation ergebe sich klar, dass er schon nach kurzer Zeit für die Weiterfahrt linksseitig die Wiese habe befahren müssen, weil der gepflasterte Weg nicht mehr breit genug gewesen sei. Wenig später habe sich die linksseitige Wiese zu einer relativ steilen Böschung entwickelt, sodass er in Schräglage habe weiterfahren müssen. Spätestens zu diesem Zeitpunkt hätte er anhalten und abklären müssen, ob Weiterfahren eine valable Option sei. Er hätte etwa aussteigen und die Lage zu Fuss erkunden können. Falls ihm weder dies noch vorsichtiges Zurückfahren möglich gewesen sein sollte, hätte er bereits zu diesem Zeitpunkt Hilfe beziehen müssen. Er habe jedoch nichts dergleichen getan, sondern sei bis zur Manövrierunfähigkeit seines Fahrzeugs (und bis er allein nicht mehr daraus habe aussteigen können) weitergefahren. Er sei demnach offensichtlich nicht in der Lage gewesen, in der schwierigen Situation, in die er sich hineinmanövriert gehabt habe, angemessen zu reagieren.
Die Polizei habe - so die Vorinstanz weiter - als mögliche Ursache für das unerklärliche Fahrverhalten des Beschwerdeführers eine Bewusstseinsstörung vermutet. Wahrscheinlicher sei allerdings das Vorliegen kognitiver Defizite. Jedenfalls bestünden aufgrund des Vorfalls konkrete Anhaltspunkte, dass die Fahreignung des Beschwerdeführers nicht mehr gegeben sein könnte. Dessen guter automobilistischer Leumund und das Ergebnis der rund sechs Monate vor dem Unfall durchgeführten verkehrsmedizinischen Kontrolluntersuchung, wonach die Fahreignung unter Auflagen zu bejahen sei, änderten daran nichts. Von einer Zeugenbefragung des erst nach dem Unfall herbeigerufenen Kollegen seien weiter keine entscheidwesentlichen neuen Erkenntnisse zu erwarten, weshalb der entsprechende Beweisantrag des Beschwerdeführers in antizipierter Beweiswürdigung abzuweisen sei.
3.3. Der Beschwerdeführer rügt, es bestünden keinerlei konkrete Anhaltspunkte, die ernsthafte Zweifel an seiner Fahreignung begründen würden. Der Unfallhergang, sein Fahrmanöver wie auch sein Verhalten am 25. Januar 2019 seien aus der subjektiven ex ante-Betrachtung durchaus erklärbar. So sei für ihn als Ortsunkundiger nicht vorauszusehen gewesen, dass der Weg schneckenhausförmig verlaufe, schmaler werde und Wenden keine Option sei. Sich rückwärts herauszumanövrieren sei aufgrund der Kurve, des schmalen Wegs, der Dunkelheit und des gefrorenen Bodens nicht seine erste Wahl gewesen, weshalb er, in der Hoffnung, später wenden zu können, weitergefahren sei. Auch der Kollege, den er nach dem Unfall angerufen habe und der kurz danach vor Ort gewesen sei, habe im eingereichten "Wahrnehmungsbericht" vom 2. Juni 2020 bestätigt, dass er nicht den Eindruck erweckt habe, seine kognitiven Fähigkeiten seien eingeschränkt oder sein Bewusstsein sei in irgendeiner Art getrübt. Dass die Vorinstanz eine Zeugenbefragung dieses Kollegen abgelehnt habe, sei nicht nachvollziehbar und widersprüchlich. Gemäss der verkehrsmedizinischen Kontrolluntersuchung vom 11. Juli 2018 lägen bei ihm, abgesehen von einer schwachen Diabeteserkrankung, welche die Fahreignung nicht einschränke, ebenfalls keine verkehrsmedizinisch relevanten Erkrankungen oder Zustände vor. Sofern er eine Sehhilfe trage und sich der normalen regelmässigen ärztlichen Kontrolle unterziehe, erfülle er die medizinischen Mindestanforderungen an die Fahreignung. Das gleiche Resultat habe die verkehrsmedizinische Kontrolluntersuchung vom 5. August 2020 ergeben, zu der er vom Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt mit Schreiben vom 20. Juli 2020 aufgefordert worden sei. Er sei mithin anlässlich des Unfalls vom 25. Januar 2019 weder physisch noch psychisch in seiner Fahreignung beeinträchtigt gewesen und sei es auch heute nicht.
3.4. Soweit die Vorbringen des Beschwerdeführers überhaupt den Rüge- und Begründungsanforderungen genügen (vgl. vorne E. 2), kann ihm nicht gefolgt werden.
3.4.1. Es mag zwar sein, dass er den weiteren Verlauf des Fusswegs, auf den er in Missachtung eines allgemeinen Fahrverbots abgezweigt war, mangels Ortskenntnissen nicht von Beginn an voraussehen konnte und er ein Rückwärtsfahrmanöver aus den von ihm genannten Gründen vermeiden wollte. Die Vorinstanz hat jedoch, auch wenn dies berücksichtigt wird, zutreffend dargelegt, wieso aufgrund der konkreten Umstände der Unfallfahrt vom 25. Januar 2019 hinreichende Anhaltspunkte im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung bestehen, welche seine Fahreignung in Frage stellen. Aus den erwähnten wie auch aus seinen weiteren Erklärungen für das (Fahr-) Verhalten am Unfallabend ergibt sich nicht, dass ihre Beurteilung auf einer offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung (vgl. vorne E. 2) oder einer willkürlichen oder sonst wie bundesrechtswidrigen Ermessensausübung (vgl. vorne E. 2 und 3.1) beruhen würde.
3.4.2. Dasselbe gilt, soweit der Beschwerdeführer auf das Ergebnis der verkehrsmedizinischen Kontrolluntersuchung vom 11. Juli 2018 verweist. Die Beurteilung der Vorinstanz, wonach das Resultat dieser Untersuchung nichts am Bestehen von hinreichenden Anhaltspunkten im erwähnten Sinn ändert, ist bundesrechtlich nicht zu beanstanden. Namentlich ist - wie sie zutreffend ausgeführt hat - möglich, dass ein allfälliger verkehrsrelevanter Gesundheitszustand des Beschwerdeführers anlässlich dieser periodischen Untersuchung nicht erkannt wurde. Unbehelflich ist auch dessen Verweis auf das Ergebnis der verkehrsmedizinischen Kontrolluntersuchung vom 5. August 2020. Zum einen handelt es sich beim entsprechenden, von ihm erst im Verfahren vor Bundesgericht eingereichten Dokument - wie auch beim gleichzeitig eingereichten Schreiben des Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamts vom 20. Juli 2020, mit dem er zu dieser Untersuchung aufgefordert wurde - nicht um ein zulässiges neues Beweismittel nach <ref-law>, sondern um ein unzulässiges echtes Novum, da es aus der Zeit nach dem Ergehen des angefochtenen Entscheids stammt (vgl. vorne E. 2). Zum anderen gälte für diese periodische Untersuchung das Gleiche wie für die verkehrsmedizinische Kontrolluntersuchung vom 11. Juli 2018.
3.4.3. Nichts zu seinen Gunsten abzuleiten vermag der Beschwerdeführer ferner aus dem ebenfalls erst im Verfahren vor Bundesgericht eingereichten "Wahrnehmungsbericht" des Kollegen vom 2. Juni 2020. Auch dabei handelt es sich um ein unzulässiges echtes Novum. Soweit der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang zudem eine nicht nachvollziehbare und widersprüchliche antizipierte Beweiswürdigung der Vorinstanz rügt, ist dies im Weiteren unbegründet. Die Beurteilung der Vorinstanz, wonach von der beantragten Zeugeneinvernahme des Kollegen keine entscheidwesentlichen neuen Erkenntnisse zu erwarten seien, da dieser zum Unfallhergang sowie zum Zustand des Beschwerdeführers vor und während der Unfallfahrt keine Angaben machen könne, ist durchaus nachvollziehbar. Sie steht auch nicht im Widerspruch dazu, dass die Vorinstanz die Anordnung der Fahreignungsuntersuchung bestätigt hat, obschon diese längere Zeit nach dem Unfall erfolgen würde. Die angeordnete Untersuchung betrifft die Frage, ob die Fahreignung des Beschwerdeführers heute gegeben ist, nicht jene, ob sie es damals war. Die Vorinstanz durfte demnach den Beweisantrag des Beschwerdeführers ohne Willkür in antizipierter Beweiswürdigung abweisen. Der eingereichte Wahrnehmungsbericht ist somit auch aus diesem Grund unbehelflich (vgl. vorne E. 2). Der vom Beschwerdeführer vor Bundesgericht wiederholte Beweisantrag ist abzuweisen.
3.4.4. Soweit der Beschwerdeführer vorbringt, es bestünden keine konkreten Anhaltspunkte, die ernsthafte Zweifel an seiner Fahreignung begründen würden, verkennt er, dass für die Anordnung einer Fahreignungsuntersuchung im Unterschied zu einem vorsorglichen Führerausweisentzug lediglich hinreichende Anhaltspunkte erforderlich sind, welche die Fahreignung in Frage stellen (vgl. vorne E. 3.1). Solche Anhaltspunkte durfte die Vorinstanz, wie ausgeführt, bejahen. Auch aus diesem Vorbringen des Beschwerdeführers ergibt sich somit nicht, dass die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hätte, indem sie aufgrund der konkreten Umstände der Unfallfahrt vom 25. Januar 2019 die Voraussetzungen für die Anordnung einer Fahreignungsuntersuchung durch einen Arzt der Stufe 3 als erfüllt betrachtet und die vom Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt angeordnete Massnahme bestätigt hat. Solches ergibt sich auch nicht aus den übrigen Vorbringen des Beschwerdeführers. Ebenso wenig ist es sonst ersichtlich, zumal die angeordnete Massnahme - wie die Vorinstanz zutreffend ausgeführt hat - auch verhältnismässig ist. Die Beschwerde erweist sich daher als unbegründet.
4.
Demnach ist die Beschwerde abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren kostenpflichtig (<ref-law>). Parteientschädigungen sind keine auszurichten (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern, der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern und dem Bundesamt für Strassen, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. März 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Baur