Faits :
A.
A._ (1982) et B._ (1984) sont les parents non mariés de l'enfant C._, né en 2013. Ils se sont séparés au mois de novembre 2013. La mère a alors quitté l'appartement de D._ (Ain/France), dans lequel elle vivait avec le père, pour s'installer avec C._ dans un appartement à E._ (Genève).
A.a. Le 16 octobre 2014, statuant sur une requête de conciliation introduite par l'enfant C._ représenté par sa mère, le Tribunal de première instance de Genève (ci-après: le Tribunal) a ratifié la transaction des parties et donné acte à A._ de son engagement à verser à B._, à titre de contribution à l'entretien de l'enfant C._, 500 fr. par mois du 1er octobre 2014 au 31 août 2015, puis 600 fr. par mois jusqu'à l'âge de 5 ans, 700 fr. par mois jusqu'à l'âge de 10 ans et 800 fr. par mois jusqu'à la majorité, voire au-delà en cas de formation ou d'études sérieuses et régulières. Les parents sont également convenus que chacun d'eux prendrait en charge la moitié des frais médicaux extraordinaires de l'enfant.
A.b. Par décision du 31 mars 2016, le Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant de Genève (ci-après: le TPAE) a notamment fixé le droit aux relations personnelles du père sur C._ à un week-end sur deux du jeudi à 17h30 au lundi à 7h15, ainsi qu'un jeudi sur deux à partir de 17h30 jusqu'au vendredi à 7h15.
A cette période-là, A._ travaillait à plein temps en qualité de mécanicien automobile. Il a depuis lors été licencié avec effet au 30 septembre 2017 et n'a pas retrouvé d'emploi. Il vivait en couple avec F._ depuis le mois de mai 2014; depuis lors, le couple vit ensemble à D._. Leur fils G._ est né en 2017. A._ a convenu avec sa nouvelle compagne qu'il serait désormais père au foyer.
Pour sa part, lors du prononcé du TPAE, B._ travaillait à 70% dans une étude d'avocats. Depuis mi-juillet 2018, elle est employée à 90% l'Hôpital H._ à E._ et a aménagé ses horaires de manière à pouvoir être présente à la sortie de l'école de C._ à 16 heures.
B.
Suite à une requête de conciliation du 7 janvier 2019, le père a ouvert action en modification de la garde et de la contribution d'entretien auprès du Tribunal par acte du 25 mars 2019. Il a notamment sollicité l'instauration d'une garde alternée s'exerçant une semaine sur deux et requis la suppression de toute contribution d'entretien. La mère a conclu au rejet de la demande.
B.a.
B.a.a. Le Service d'évaluation et d'accompagnement de la séparation parentale (SEASP) a remis son rapport d'évaluation au Tribunal le 27 septembre 2019. Il a en substance préconisé l'instauration d'une garde alternée, qui s'exercerait, sauf accord contraire, une semaine sur deux chez chaque parent, le passage entre les deux domiciles ayant lieu le dimanche à 18 heures, avec une coupure en milieu de semaine, du mardi après l'école jusqu'au mercredi à 18 heures, en ce sens que l'enfant passerait cette journée et cette nuit avec son autre parent, les vacances scolaires devant être partagées par moitié. Rien ne laissait présager qu'une modification de l'organisation en place ne soit négative pour C._. Néanmoins, il était nécessaire que les parents portent ensemble la mise en place de la garde alternée. Le SEASP a relevé qu'il serait préférable que les parents élaborent ensemble, avec l'aide de tiers, des modalités de garde alternée. Il semblait en outre opportun de saisir le moment présent pour travailler la relation parentale, afin que les parents élaborent ensemble une coparentalité sereine.
B.a.b. C._ fréquente une école qui se trouve à 240 mètres du domicile de sa mère et à 7,8 kilomètres de celui de son père. En voiture, la durée du trajet entre l'école et le domicile de son père varie entre 14 minutes et 24 minutes en fonction de l'heure, de la circulation et de l'itinéraire. Son bulletin scolaire du mois de mars 2020 fait état d'une progression très satisfaisante dans tous les domaines, notamment dans ses relations avec les autres élèves et les adultes.
B.b. Par jugement du 14 janvier 2020, le Tribunal a instauré une garde alternée sur C._ et dit que cette garde s'exercerait, sauf accord contraire des parents, de semaine en semaine avec passage le dimanche à 18 heures, étant précisé que la période du mardi après l'école au mercredi à 18 heures serait passée chez l'autre parent, les vacances et jours fériés étant répartis par moitié entre les parents, en alternant les périodes, les années paires et les années impaires (ch. 1 du dispositif). Il a aussi dit que le domicile légal de l'enfant demeurait fixé au domicile de sa mère (ch. 2) et que la bonification éducative selon la LAVS serait répartie par moitié entre les parents (ch. 3), donné acte aux parties de leur engagement d'entreprendre un travail de coparentalité (ch. 4), dit que chacun d'entre eux prendrait en charge les frais courants de l'enfant pendant les périodes où il serait avec lui, dit que chacun des parents prendrait en charge la moitié des frais fixes de l'enfant (assurance-maladie, frais médicaux non couverts, loisirs, restaurant scolaire et accueil parascolaire), dit que les frais extraordinaires (traitements orthodontiques, camps scolaires, séjours linguistiques, etc.) seraient pris en charge par moitié par chaque parent à la condition que l'engagement de ces frais ait fait l'objet d'une décision commune préalable, dit que les allocations familiales et d'études seraient réparties par moitié entre les parties (ch. 5), dit que la contribution due par le père pour l'entretien de C._ selon transaction du 16 octobre 2014 était en conséquence supprimée (ch. 6) et réglé le sort des frais et dépens de première instance (ch. 7).
B.c. Statuant par arrêt du 31 juillet 2020, communiqué aux parties par pli du 13 août 2020, sur l'appel interjeté par la mère contre cette décision, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) a annulé les chiffres 1, 3, 5 et 6 du dispositif du premier jugement. En substance, elle a maintenu la garde exclusive de l'enfant en faveur de la mère ainsi que les modalités du droit aux relations personnelles du père qui prévalaient selon décision du 31 mars 2016 (cf. supra let. A.b), fixé les modalités de partage de la prise en charge de l'enfant par chacun de ses parents durant les vacances scolaires et précisé, dans ses considérants, que la contribution d'entretien prévue par décision du 16 octobre 2014 (cf. supra let. A.a) demeurait due.
C.
Par acte du 11 septembre 2020, A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut à l'annulation de l'arrêt entrepris et à sa réforme, dans le sens du dispositif du prononcé du Tribunal du 14 janvier 2020 (cf. supra let. B.b).
Invités à se déterminer, la Cour de justice s'est référée aux considérants de son arrêt et l'intimée a conclu au rejet du recours. Le recourant a indiqué qu'il renonçait à présenter des observations sur la réponse de l'intimée.

Considérant en droit :
1.
Déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans la forme légale (art. 42 al. 1 LTF), le recours est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) qui concerne la modification de la garde d'un enfant né hors mariage et de la contribution d'entretien en sa faveur, rendue par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 LTF), dans une affaire civile au sens de l'art. 72 al. 1 LTF dès lors qu'elle ne porte pas sur une mesure de protection de l'enfant au sens strict (arrêt 5A_794/2017 du 7 février 2018 consid. 1 et les références), de nature non pécuniaire dans son ensemble (arrêt 5A_844/2019 du 17 septembre 2020 consid. 1 et les références). Le recourant a participé à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt digne de protection à la modification ou l'annulation de la décision entreprise (art. 76 al. 1 let. a et b LTF).
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF); cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés (<ref-ruling> consid. 2.4 et les références). Le recourant doit par conséquent discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (<ref-ruling> consid. 1.7.1; <ref-ruling> consid. 2.4 et la référence). En outre, le Tribunal fédéral ne connaît de la violation de droits fondamentaux que si un tel grief a été invoqué et motivé par le recourant (" principe d'allégation ", art. 106 al. 2 LTF), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.4).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ceux-ci ont été constatés de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.2 et la référence), doit, sous peine d'irrecevabilité, satisfaire au principe d'allégation (cf. supra consid. 2.1).
3.
En raison du domicile du père en France, la cause revêt un caractère international. La Convention de La Haye du 19 octobre 1996 concernant la compétence, la loi applicable, la reconnaissance, l'exécution et la coopération en matière de responsabilité parentale et de mesures de protection des enfants (CLaH96; RS 0.211.231.011; art. 1 al. 1 let. b et art. 15 à 22 CLaH96; cf. aussi art. 85 al. 1 LDIP) s'applique dans les relations entre la Suisse et la France dès lors que les deux Etats l'ont signée et ratifiée. Au vu la résidence de l'enfant C._ en Suisse, c'est à juste titre que la Cour de justice a considéré que les autorités suisses sont compétentes pour connaître du litige (art. 5 CLaH96) et que le droit suisse est applicable (art. 15 CLaH96).
4.
Le recourant conteste le refus de l'autorité cantonale de modifier la prise en charge de C._ dans le sens de l'instauration d'une garde alternée.
4.1. Aux termes de l'art. 298d CC, à la requête de l'un des parents ou de l'enfant ou encore d'office, l'autorité de protection de l'enfant modifie l'attribution de l'autorité parentale lorsque des faits nouveaux importants le commandent pour le bien de l'enfant (al. 1). Elle peut aussi se limiter à statuer sur la garde de l'enfant, les relations personnelles ou la participation de chaque parent à sa prise en charge (al. 2). Toute modification dans l'attribution de l'autorité parentale ou de la garde suppose ainsi que la nouvelle réglementation soit requise dans l'intérêt de l'enfant en raison de la survenance de faits nouveaux essentiels. En d'autres termes, une nouvelle réglementation ne dépend pas seulement de l'existence de circonstances nouvelles importantes; elle doit aussi être commandée par le bien de l'enfant (<ref-ruling> consid. 3 [concernant l'art. 157 aCC]; arrêts 5A_228/2020 du 3 août 2020 consid. 3.1 [concernant l'art. 134 CC]; 5A_756/2019 du 13 février 2020 consid. 3.1.1; 5A_406/2018 du 26 juillet 2018 consid. 3.1). La modification ne peut ainsi être envisagée que si le maintien de la réglementation actuelle risque de porter atteinte au bien de l'enfant et le menace sérieusement; la nouvelle réglementation doit s'imposer impérativement, en ce sens que le mode de vie actuel nuit plus au bien de l'enfant que le changement de réglementation et la perte de continuité dans l'éducation et les conditions de vie qui en est consécutive (arrêts 5A_228/2020 du 3 août 2020 consid. 3.1 [concernant l'art. 134 CC]; 5A_848/2018 du 16 novembre 2018 consid. 5.1 [concernant l'art. 179 al. 1 CC]; 5A_943/2016 du 1er juin 2017 consid. 6.2.1 et la référence).
Savoir si une modification essentielle est survenue par rapport à la situation existant au moment où la décision initiale a été prise doit s'apprécier en fonction de toutes les circonstances du cas d'espèce et relève du pouvoir d'appréciation du juge (art. 4 CC; arrêt 5A_228/2020 du 3 août 2020 et les références). Le Tribunal fédéral s'impose dès lors une certaine retenue en la matière. Il n'intervient que si l'autorité cantonale a pris en considération des éléments qui ne jouent aucun rôle au sens de la loi ou a omis de tenir compte de facteurs essentiels (<ref-ruling> consid. 2.6; <ref-ruling> consid. 5.3.2; <ref-ruling> consid. 6.6).
4.2. La Cour de justice a jugé qu'il n'apparaissait pas judicieux en l'espèce de modifier la prise en charge de l'enfant et d'instaurer une garde alternée.
Elle a relevé que les parents disposaient tous les deux de bonnes compétences parentales, comme en témoignait le rapport du SEASP. Si celui-ci préconisait en conséquence l'instauration d'une garde alternée, il relevait cependant que la communication des parties n'était pas exempte de reproches, en particulier depuis le début du présent procès, et que l'instauration d'une garde alternée supposait un travail de coparentalité important et l'élaboration conjointe de modalités de garde alternée avec l'aide de tiers. Or, si les parties s'étaient engagées devant le Tribunal à entamer un suivi consultatif, rien n'indiquait qu'aujourd'hui tel soit effectivement le cas ni que leur communication présente désormais la sérénité nécessaire à l'exercice d'une garde alternée. Selon la Cour de justice, il n'était pas non plus suffisamment établi que l'instauration d'un tel mode de garde soit en l'espèce conforme à l'intérêt de C._. Si les allégations de la mère selon lesquelles le père aurait parlé à l'enfant de l'instauration d'une garde alternée, ce qui l'aurait perturbé, n'étaient pas formellement démontrées, elles n'en demeuraient pas moins vraisemblables et le Tribunal ne pouvait être suivi lorsqu'il attribuait potentiellement cette réaction à un simple conflit de loyauté ou à une opposition naturelle des jeunes enfants à tout changement de leurs conditions de vie. Un tel conflit de loyauté devait précisément être évité et le besoin de stabilité de l'enfant quant à sa prise en charge ne devait pas être sous-estimé, étant observé que l'organisation actuelle donnait satisfaction de son point de vue et lui assurait un développement harmonieux, comme en témoignait son bulletin scolaire. Partant, le maintien de la situation actuelle devait être privilégié. Par ailleurs, s'il était vrai que la distance entre les domiciles des parties ne constituait pas un obstacle à l'exercice d'une garde alternée, du moins pas plus qu'à celui d'un large droit de visite, il convenait d'observer que le foyer du père se préparait à accueillir un nouvel enfant et que l'espace qui y était dévolu à C._ s'en trouverait de facto réduit. Dans ces conditions, la Cour de justice a jugé qu'il n'était pas judicieux d'augmenter encore le temps que l'enfant passait au domicile de son père, notamment pour la nuit, par le biais d'une garde alternée. La persistance de la situation actuelle, qui permettait de larges et nombreuses relations entre l'enfant et son père, était un gage de stabilité nécessaire pour C._, qui correspondait à son intérêt et permettait de le sauvegarder. Au vu de ce qui précède l'autorité cantonale a refusé d'instaurer une garde alternée. En conséquence, le droit aux relations personnelles du père sur C._, tel que décidé par décision du TPAE du 31 mars 2016, demeurait en vigueur, à savoir un week-end sur deux du jeudi à 17h30 au lundi à 7h15, ainsi qu'un jeudi sur deux, de 17h30 au vendredi à 7h15. Dès lors que ce droit avait été fixé antérieurement à la scolarisation de l'enfant, il ne comprenait pas de réglementation relative aux vacances. Les parties étaient désormais parvenues à un accord sur ce point, dont le caractère conforme à l'intérêt de l'enfant avait été relevé par le SEASP. Partant, la Cour de justice a ajouté ces modalités au droit de visite précité.
4.3. Le recourant fait valoir que l'autorité cantonale a abusé de son pouvoir d'appréciation en refusant de modifier la prise en charge de C._ et d'instaurer une garde alternée, bien qu'il soit désormais nettement plus disponible pour s'occuper de lui puisqu'il est père au foyer. Il considère en substance que la Cour de justice a fait abstraction de certains critères posés par la jurisprudence, tels que celui de la possibilité pour les parents de s'occuper personnellement de l'enfant, des souhaits de celui-ci ou encore du fait qu'il conviendrait de privilégier les liens de C._ avec son demi-frère et sa demi-soeur. L'autorité cantonale aurait en outre accordé, à tort, un poids prépondérant au critère de la stabilité, jugeant que le maintien du statu quo primait l'ensemble des autres critères, violant ainsi les art. 296 ss CC. Enfin, le recourant soutient que la cour cantonale a fondé son appréciation sur des faits établis de manière inexacte, au sens de l'art. 95 al. 1 LTF, en particulier s'agissant de la qualité de la communication entre les parents, de la constatation selon laquelle C._ aurait été perturbé par la perspective d'une garde alternée, de l'espace dévolu à l'enfant dans sa maison.
4.4. Il est vrai qu'on peut se demander si les quelques conflits qui ont émaillé la relation des parties s'agissant de questions relatives à l'enfant (à savoir un conflit à propos de la confection d'un gâteau d'anniversaire, un reproche de la mère concernant quelques oublis du père ainsi que l'omission de celui-ci de lui signaler la présence d'une ecchymose, enfin, un désaccord quant au choix d'une activité extra-scolaire) sont véritablement de nature à retenir que la qualité de la communication entre les parents serait insuffisante pour permettre la mise en place d'une garde alternée (sur cette notion, cf. <ref-ruling> consid. 3.2.3; arrêt 5A_844/2019 du 17 septembre 2020 consid. 3.2.2). Il faut en outre relever que les transferts de l'enfant entre ses parents n'ont pas donné lieu à des difficultés particulières et que la faible distance entre leurs domiciles ne nécessite pas une organisation particulièrement complexe. Contrairement à ce qu'a retenu la cour cantonale, s'il est certes toujours préférable que les parents parviennent à élaborer conjointement les modalités d'exercice de la garde alternée, cela ne constitue pas une condition à l'instauration d'une telle répartition de la prise en charge de l'enfant entre les parents et il appartient au tribunal, en l'absence d'accord des parents sur ce point, de définir lesdites modalités. Par ailleurs, dès lors qu'il prend uniquement en compte la naissance de la petite soeur de C._ en tant qu'elle a pour effet de réduire l'espace dont celui-ci dispose dans l'appartement de son père, sans tenir compte l'importance pour l'enfant d'entretenir des liens réguliers avec sa fratrie, le raisonnement de la Cour de justice apparaît réducteur.
Il n'en demeure pas moins que selon la jurisprudence constante, pour qu'une modification de la réglementation actuelle puisse être envisagée, il faut que cette réglementation risque de porter atteinte au bien de l'enfant et le menace sérieusement (cf. supra consid. 4.1). Or, il ressort des faits de l'arrêt attaqué que tel n'est pas le cas en l'espèce, l'organisation actuelle assurant à C._ un développement harmonieux, ce que les parties ne remettent pas en cause, le recourant exposant uniquement que le passage à une garde alternée ne lui serait pas préjudiciable. Dès lors que la condition précitée, qui constitue une condition sine qua nonen matière de modification de la garde, n'est pas remplie, l'autorité cantonale pouvait sans plus ample examen refuser le passage à une garde alternée et aurait en réalité pu se dispenser d'examiner l'ensemble des critères applicables en matière d' attribution de la garde. En particulier, il ne se justifiait pas de déterminer si l'instauration d'une garde alternée serait possible et compatible avec le bien de l'enfant (sur les critères applicables en la matière, cf. <ref-ruling> consid. 3.2.3), mais seulement de constater qu'une nouvelle réglementation ne s'imposait pas impérativement dès lors que le bien de l'enfant était garanti par son mode de vie actuel (cf. supra consid. 4.1). La critique du recourant ayant trait à la constatation des faits nécessaires pour l'application des critères d'attribution de la garde ainsi qu'à la pondération de ceux-ci (notamment à la prise en compte de sa disponibilité pour s'occuper personnellement de l'enfant), elle n'a en réalité pas d'influence sur l'issue du litige.
Au vu des considérations qui précèdent, la décision entreprise, en tant qu'elle refuse de modifier la réglementation actuelle dans le sens d'une garde alternée, ne procède pas d'un abus du pouvoir d'appréciation.
5.
Citant les art. 276, 285 al. 1, 286 al. 2 et 298d al. 3 CC, le recourant s'en prend au refus de l'autorité cantonale de modifier la contribution qu'il est astreint à payer pour l'entretien de C._, exposant que quel que soit le sort réservé à ses conclusions relatives à la garde, les changements intervenus dans sa situation financière commandaient de supprimer la contribution d'entretien.
La Cour de justice a considéré que le père ne remettait pas en cause les montants entérinés par transaction du 16 octobre 2014 indépendamment de l'octroi d'une garde alternée. Le père contestait d'ailleurs les allégations de la mère selon lesquelles sa demande serait essentiellement motivée par des raisons financières. Quant à l'intimée, elle ne soutenait pas que les montants fixés dans la transaction précitée ne couvriraient pas de manière adéquate les besoins de C._. Par conséquent, l'autorité cantonale a annulé le premier jugement, en tant qu'il prévoyait le partage entre les parents de la bonification éducative selon la LAVS, des allocations familiales et des frais de l'enfant et la suppression de la contribution d'entretien. Elle a précisé que la contribution d'entretien due par le père selon transaction du 16 octobre 2014 demeurait donc en vigueur.
Ce raisonnement ne résiste pas à l'examen. En effet, dans sa requête en modification du 25 mars 2019, le père avait indiqué que depuis la transaction du 16 octobre 2014, il avait perdu son emploi et eu un enfant avec sa nouvelle compagne, avec qui il partageait sa vie, éléments qui avaient un impact considérable sur sa capacité financière, " de sorte que pour ces raisons déjà, il se justifi[ait] de diminuer la contribution d'entretien ". Il avait ajouté que par ailleurs, celle-ci devrait être supprimée dès lors qu'il y aurait lieu d'instaurer une garde alternée. Au vu de ces éléments, l'autorité cantonale ne pouvait retenir que le père n'avait pas remis en cause la contribution d'entretien indépendamment de l'octroi d'une garde alternée. Le fait qu'il se trouve désormais sans emploi et qu'il a fondé une famille avec sa nouvelle compagne constituent indubitablement des faits nouveaux importants et durables, au sens de l'art. 286 al. 2 CC, susceptibles d'entraîner une modification de la contribution d'entretien. L'arrêt entrepris doit ainsi être annulé sur ce point et la cause doit être renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. Il lui appartiendra, le cas échéant, d'actualiser les montants pris en compte dans le calcul de la contribution d'entretien, notamment les revenus du père (en lui imputant éventuellement un revenu hypothétique) ainsi que ses charges, puis de répartir les besoins de C._ entre ses parents en fonction des critères posés par la jurisprudence (voir notamment arrêt 5A_930/2019 du 16 septembre 2020 consid. 6.3), notamment de leurs capacités contributives respectives, étant rappelé que les maximes d'office (art. 296 al. 3 CPC) et inquisitoire illimitée (art. 296 al. 1 CPC) sont applicables - celle-ci ne dispensant toutefois pas les parties de collaborer activement à la procédure (<ref-ruling> consid. 3.2.1; arrêt 5A_361/2019 du 21 février 2020 consid. 5.3 et les références) -, même en instance cantonale, s'agissant d'une procédure qui concerne un enfant mineur (cf. notamment <ref-ruling> consid. 4.2.1). Il conviendra ensuite de vérifier si une modification de la pension s'impose, ce qui n'est le cas que lorsque la différence entre le montant de la contribution d'entretien nouvellement calculée et celle initialement fixée est d'une ampleur suffisante (<ref-ruling> consid. 4.1.1 et 4.1.2; arrêt 5A_230/2019 du 31 janvier 2020 consid. 6.1).
6.
En définitive, le recours est partiellement admis, l'arrêt attaqué est annulé s'agissant de la contribution d'entretien et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants (cf. supra consid. 5). Compte tenu de l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis pour moitié à la charge de chacune des parties, qui ont toutes les deux obtenu partiellement gain de cause (art. 66 al. 1 LTF) et les dépens sont compensés (art. 68 al. 1 LTF). Il appartiendra à la cour cantonale de fixer à nouveau les frais et dépens de la procédure qui s'est déroulée devant elle (art. 68 al. 5 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis, l'arrêt attaqué est annulé s'agissant de la contribution d'entretien et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision sur ce point, dans le sens des considérants.
2.
Les frais judiciaires arrêtés à 2'000 fr., sont mis pour 1'000 fr. à la charge du recourant et pour 1'000 fr. à la charge de de l'intimée.
3.
Les dépens sont compensés.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 9 février 2021
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Dolivo