Sachverhalt:
A.
Die 1966 geborene A._ war ab Juni 2004 mit einem Pensum von 90 % als Nachtwache mit Morgendienst bei der Genossenschaft X._ tätig gewesen, bevor sie aus gesundheitlichen Gründen das Arbeitspensum mit Wirkung ab 1. November 2017 auf 15 % reduzierte. Zudem ist A._ seit September 2008 als Asylbetreuerin mit monatlich schwankendem Arbeitseinsatz bei der Einwohnergemeinde Y._ tätig. Am 27. September 2017 meldete sie sich zum Bezug von Arbeitslosenentschädigung ab 1. November 2017 an. Die Öffentliche Arbeitslosenkasse des Kantons Solothurn verneinte mit Verfügung vom 25. Januar 2018 einen Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung ab 1. November 2017 bis auf Weiteres mangels anrechenbaren Arbeitsausfalls. Das in den Monaten November und Dezember 2017 erzielte Einkommen übersteige die Höhe der ihr bei einem versicherten Verdienst von Fr. 4'692.- zustehenden Arbeitslosenentschädigung. Daran hielt die Arbeitslosenkasse mit Einspracheentscheid vom 12. April 2018 fest.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn in dem Sinne gut, als es den Einspracheentscheid der Arbeitslosenkasse vom 12. April 2018 aufhob und die Sache an diese zurückwies, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre. In diesem Rahmen setzte es den versicherten Verdienst auf Fr. 4'865.80 fest. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C.
Die Arbeitslosenkasse führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei der versicherte Verdienst von A._ auf Fr. 4'692.- festzulegen und die Sache zur Abklärung der Anspruchsberechtigung an die Arbeitslosenkasse zurückzuweisen (Anträge 1 bis 3). Eventualiter seien der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Sache zur Neuberechnung des versicherten Verdienstes und zur Beurteilung des Anspruchs auf Arbeitslosenentschädigung an die Arbeitslosenkasse zurückzuweisen (Antrag 4).
A._ schliesst in Bezug auf die Anträge 1 bis 3 auf Abweisung der Beschwerde. Sinngemäss macht sie ferner geltend, eventuell sei dem Rückweisungsantrag der Kasse zu entsprechen. Das Staatssekretariat für Wirtschaft (SECO) hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Rückweisungsentscheid handelt es sich, da das Verfahren noch nicht abgeschlossen wird und die Rückweisung auch nicht einzig der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient (SVR 2008 IV Nr. 39 S. 131, 9C_684/2007 E. 1.1), um einen - selbstständig eröffneten - Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG (<ref-ruling> E. 4.2 S. 481 f. mit Hinweisen). Die Zulässigkeit der Beschwerde setzt somit - alternativ - voraus, dass der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a BGG) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b BGG).
1.2. Nach der Rechtsprechung liegt bei einem Rückweisungsentscheid, welcher - wie vorliegend bezüglich des versicherten Verdienstes - der Verwaltung Vorgaben für den Erlass einer ihres Erachtens rechtswidrigen Verfügung macht, für diese ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG vor (<ref-ruling> E. 5.2 S. 483; Urteil 8C_682/2007 vom 30. Juli 2008 E. 1.2.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Auf die Beschwerde der Arbeitslosenkasse ist demnach einzutreten.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweis). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
3.
3.1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz zu Recht den versicherten Verdienst auf Fr. 4'865.80 erhöht und im Übrigen die Sache an die Arbeitslosenkasse zurückgewiesen hat, damit diese die ab 1. November 2017 erzielten Einkommen und die Unterhaltspflichten der Versicherten (weiter) abkläre.
3.2. Der Anspruch auf Taggelder der Arbeitslosenversicherung setzt u.a. voraus, dass die versicherte Person ganz oder teilweise arbeitslos ist (Art. 8 Abs. 1 lit. a in Verbindung mit Art. 10 AVIG) und einen anrechenbaren Arbeitsausfall erlitten hat (Art. 8 Abs. 1 lit. b in Verbindung mit Art. 11 AVIG). Der Arbeitsausfall ist gemäss Art. 11 Abs. 1 AVIG anrechenbar, wenn er einen Verdienstausfall bewirkt und mindestens zwei aufeinanderfolgende volle Arbeitstage dauert. Die gesetzliche Normierung des anrechenbaren Arbeitsausfalls stellt auch eine Regelung über die Entschädigungsbemessung dar, indem sich Dauer und Ausmass des Arbeitsausfalls auf den Umfang des Taggeldanspruchs auswirken (<ref-ruling> E. 6b S. 58 f. mit Hinweisen; Urteil C 359/01 vom 16. August 2002 E. 2.2).
3.3.
3.3.1. Als versicherter Verdienst gilt der im Sinne der AHV-Gesetzgebung massgebende Lohn, der während eines Bemessungszeitraums aus einem oder mehreren Arbeitsverhältnissen normalerweise erzielt wurde (Art. 23 Abs. 1 AVIG). Nicht versichert ist gemäss Abs. 3 dieser Bestimmung ein Nebenverdienst. Darunter fällt jener Verdienst, den ein Versicherter ausserhalb der normalen Arbeitszeit als Arbeitnehmer oder ausserhalb des ordentlichen Rahmens seiner selbstständigen Erwerbstätigkeit erzielt. Ein solcher bleibt bei der Anrechnung eines Zwischenverdienstes grundsätzlich unberücksichtigt (Art. 24 Abs. 3 AVIG). Eine erhebliche Steigerung des Nebenverdienstes kann aber zur Annahme von Zwischenverdienst führen (<ref-ruling>; ARV 2014 S. 215, 8C_265/2014 E. 2 mit Hinweis; zum Verhältnis von Zwischen- und Nebenverdienst: <ref-ruling>, 123 V 230 E. 3c S. 233).
3.3.2. Rechtsprechungsgemäss stellt neben der Überzeit- und Überstundenentschädigung (<ref-ruling> E. 3 S. 107 ff.; vgl. Urteil 8C_370/2008 vom 29. August 2008 E. 3.2) auch die Ferienentschädigung nicht Bestandteil des versicherten Verdienstes dar, soweit der Ferienanspruch in Form eines Lohnzuschlages abgegolten wird und in den relevanten Monaten keine Ferien bezogen werden. Im Falle der Abgeltung des Ferienanspruchs mittels Lohnzuschlages kann die Ferienentschädigung deshalb nur als versicherter Verdienst derjenigen Monate angerechnet werden, in denen Ferien, zusammenhängend oder an einzelnen Tagen, tatsächlich bezogen werden (<ref-ruling> E. 4.6.2 S. 201; <ref-ruling> E. 5b S. 48).
4.
4.1. Die Vorinstanz erkannte, bei einem Pensum von 90 % stelle die Tätigkeit bei der Genossenschaft X._ die Haupttätigkeit dar und jene bei der Einwohnergemeinde Y._ sei als Nebenverdienst zu qualifizieren. Mit der Haupttätigkeit habe die Versicherte in den letzten zwölf Monaten vor Beginn der Leistungsrahmenfrist (November 2016 bis Oktober 2017) im Monat durchschnittlich Fr. 4'218.80 verdient, mit der Nebentätigkeit Fr. 1'180.15. Der Verdienst aus der Haupttätigkeit sei vollständig in die Berechnung des versicherten Verdiensten einzubeziehen. In der Nebentätigkeit sei sie pro Monat durchschnittlich 33,65 Arbeitsstunden tätig gewesen, was bei einer betrieblichen Normalarbeitszeit von 42,5 Wochenstunden ein Arbeitspensum von 18,24 % ergebe. Anzurechnen sei ihr daher aus dieser Beschäftigung ein Bruchteil von 10/18,24, was Fr. 647.- pro Monat entspreche. Damit resultiere ein versicherter Verdienst von Fr. 4'865.80. Weiter abzuklären sei, ob die Beschwerdegegnerin Kindesunterhalt zu leisten habe, womit allenfalls Anspruch auf ein Taggeld in der Höhe von 80 anstatt 70 % des versicherten Verdienstes bestehe. Nicht nachvollziehbar sei zudem, wie die Beschwerdeführerin den anrechenbaren Zwischenverdienst ermittelt habe, da nur ein Einkommen aus Krankentaggeld belegt sei. Die übrigen angerechneten Einkünfte seien mangels vorliegender Arbeitgeberbescheinigungen über Zwischenverdienste nicht ersichtlich. Weder das Lohnkonto noch das Kumulativjournal der Beschwerdegegnerin weise ab November 2017 Einkommen aus, weshalb auch nicht beurteilt werden könne, ob sie den Nebenverdienst merklich ausgedehnt habe und dieser daher als Zwischenverdienst abgerechnet werden müsse.
4.2. Die Beschwerdeführerin wendet sich gegen die vorinstanzliche Berechnung des versicherten Verdienstes und des prozentualen Umfangs der Nebentätigkeit. Entgegen der Sichtweise des kantonalen Gerichts seien die ausbezahlten Gratifikationen, Boni und der Anteil des 13. Monatslohnes nicht jeweils dem Auszahlungsmonat anzurechnen, sondern denjenigen Monaten, für die sie ausgerichtet würden. Gleiches gelte für die Berechnung des Einkommens aus der Nebentätigkeit. Die Einwohnergemeinde Y._ habe jeweils im Folgemonat die geleistete Arbeit des Vormonats vergütet, weshalb auch hier nach dem Entstehungsprinzip der im Folgemonat ausgerichtete Lohn dem Vormonat zuzuschreiben sei. Sodann habe es das kantonale Gericht unterlassen, bei der Pensumsberechnung der Nebentätigkeit die bezahlten Ferien- und Feiertage einzubeziehen und in unzutreffender Weise einzig auf die tatsächlich geleisteten Stunden abgestellt.
5.
5.1. Mit Blick auf die vorinstanzlichen Feststellungen steht die Qualifikation der Tätigkeit im Umfang von 90 % bei der Genossenschaft X._ als Haupt- und diejenige bei der Einwohnergemeinde Y._ als Nebenbeschäftigung fest, wovon ein Pensum von 10 % bei der Berechnung des versicherten Verdienstes zu berücksichtigen ist.
5.2. Unbestritten ist ferner, dass regelmässige Zulagen (Art. 23 Abs. 1 Satz 1 AVIG) wie 13. Monatslohn, Treueprämien, Orts- und Teuerungszulagen und Gratifikationen als massgebender Lohn zum versicherten Verdienst hinzuzurechnen sind. Diese sind anteilsmässig auf jene Monate anzurechnen, auf die sie sich beziehen, weshalb unerheblich ist, wann sie (innerhalb des Bemessungszeitraums) zur Auszahlung gelangten (Urteil 8C_757/2011 vom 21. Dezember 2011 E. 3; THOMAS NUSSBAUMER, Arbeitslosenversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht, Band XIV: Soziale Sicherheit, 3. Aufl., 2016, S. 2376 Rz. 365 mit Hinweis in Fn. 850 auf <ref-ruling>, ARV 2001 Nr. 4 S. 75, C 254/99 und <ref-ruling> E. 4 S. 330). Damit ist die anteilsmässige Anrechnungsweise der Gratifikation der Beschwerdegegnerin korrekt. Zutreffend ist auch, dass nach dem gleichen Prinzip die erzielten Einkommen denjenigen Beitragsmonaten anzurechnen sind, auf die sie sich beziehen und nicht in den Monaten zu berücksichtigen sind, in denen sie zur Auszahlung gelangen (vgl. Weisung des SECO gemäss AVIG-Praxis ALE, Rz. C2 vom Januar 2013). Dies hat die Vorinstanz bei der Auflistung der monatlichen Verdienste von November 2016 bis Oktober 2017 übersehen.
5.3. Ebenso trifft die Ansicht der Beschwerdeführerin zu, dass der vom kantonalen Gericht errechnete versicherte Verdienst aus folgendem Grund vor Bundesrecht nicht standhält:
Bei der Ermittlung des Arbeitspensums der Nebentätigkeit geht es von der falschen Annahme aus, die Versicherte habe im Monat Oktober 2017 überhaupt nicht gearbeitet. Das zugrunde gelegte Lohnkonto 2017 der Einwohnergemeinde Y._ datiert vom 29. September 2017 und erfasst damit die ab Oktober 2017 geleisteten Arbeitsstunden und die entsprechenden Monatseinkommen von vornherein nicht, weshalb es zur Berechnung des Arbeitspensums der Nebentätigkeit und des versicherten Verdienstes in der hier relevanten Zeitspanne von November 2016 bis Oktober 2017 nicht herangezogen werden kann. Die Ausführungen hierzu basieren auf einer offensichtlich falschen Tatsachenfeststellung, weshalb das Bundesgericht hieran nicht gebunden ist. Geeignete Unterlagen, die die monatlich geleisteten Arbeitsstunden und die gestützt darauf erzielten Einkommen bei der Nebentätigkeit für sämtliche zwölf Monate zu bestimmen erlauben, legt die Arbeitslosenkasse jedoch ohne Begründung erst letztinstanzlich auf. Selbst wenn sie vom Bundesgericht zu berücksichtigen wären (Art. 99 Abs. 1 BGG), soll es im vorliegenden Verfahren mit der Feststellung sein Bewenden haben, dass sich der versicherte Verdienst somit - entgegen der Auffassung des kantonalen Gerichts - nicht auf Fr. 4865.80 beläuft. Da der Berechnungsweise der Arbeitslosenkasse aber ebenso wenig gefolgt werden kann, wie sich aus den nachstehenden Erwägungen ergibt, ist die Beschwerde im Sinne des Eventualantrags begründet.
5.4. Im Rahmen der vorinstanzlich angeordneten Rückweisung zur neuen Ermittlung des versicherten Verdienstes wird die Arbeitslosenkasse Folgendes zu berücksichtigen haben:
5.4.1. Bezüglich des geleisteten Pensums bei der Einwohnergemeinde kann an der vorinstanzlich aufgezeigten Berechnungsweise insofern festgehalten werden, als das kantonale Gericht die effektiv im jeweiligen Monat geleisteten Arbeitsstunden in den hier massgebenden zwölf Monaten addiert, hieraus das monatliche Mittel eruiert und in Beziehung setzt zu den ebenfalls zutreffend festgestellten betriebsüblichen 184,45 Arbeitsstunden im Monat bei einem 100%igen Pensum (8,5 Stunden pro Tag x 21,7 Arbeitsstunden).
5.4.2. Nicht nachvollziehbar ist in diesem Zusammenhang indessen, weshalb die Beschwerdeführerin bei der Berechnung des Arbeitspensums und des versicherten Verdienstes diejenigen Arbeitsstunden, die die Einwohnergemeinde der Versicherten mit einem höheren Stundenansatz (Nachtdienstzuschlag) vergütete, nicht berücksichtigte, zumal sie dazu lediglich ausführt, diese seien ausschliesslich als Nebenverdienst anzusehen. Sie sind demnach sowohl beim Arbeitspensum als auch beim versicherten Verdienst hinzuzurechnen.
5.4.3. Bei der Festlegung des versicherten Verdienstes wird sodann der in E. 3.3.2 wiedergegebenen Praxis Rechnung zu tragen sein, wonach die Ferienentschädigung als versicherter Verdienst nur derjenigen Monate angerechnet wird, in denen Ferien, zusammenhängend oder an einzelnen Tagen, tatsächlich bezogen werden. Die zusätzlich zum Grundlohn ausgerichtete Feiertagsentschädigung ist praxisgemäss bei der Ermittlung des versicherten Verdienstes zu berücksichtigen (vgl. dazu BGE <ref-ruling> E. 8 S. 50).
5.4.4. Die Beschwerdegegnerin bringt ferner zu Recht vor, dass ein für das zweite Halbjahr 2017 ausgerichteter Bonus (anteilsmässig für die Monate Juli bis Oktober 2017) in die Berechnung des versicherten Verdienstes einzufliessen hat, was die Vorinstanz und die Beschwerdeführerin unbeachtet liessen.
5.5. Unbestritten geblieben sind die vorinstanzlichen Darlegungen zur Höhe des Taggeldes (70 oder 80 % des versicherten Verdienstes; Art. 22 ATSG; E. 4.1 hiervor). Weiter wies das kantonale Gericht auf fehlende Angaben hinsichtlich des erzielten Einkommens in den Monaten Oktober und November 2017 und der damit zusammenhängenden Frage der Anrechnung von Zwischenverdiensten, namentlich in Bezug auf eine eventuelle relevante Ausdehnung des Nebenerwerbs ab November 2017, hin. Die Arbeitslosenkasse wird daher die notwendigen Aktenergänzungen vornehmen, gestützt darauf im Sinne der Erwägungen den versicherten Verdienst neu berechnen und hernach über den Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung ab 1. November 2017 erneut verfügen.
6.
6.1. Das Verfahren ist grundsätzlich kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 4 lit. a BGG). Da es ausgangsgemäss bei der vorinstanzlichen Rückweisung der Sache an die Arbeitslosenkasse zur neuen Entscheidung bleibt und nur die Vorgaben für den versicherten Verdienst geändert werden, ohne diesen im beantragten Sinn festzulegen, werden die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin auferlegt (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 sowie Abs. 3 BGG). Die Beschwerdegegnerin hat Anspruch auf eine reduzierte Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 2 BGG).
6.2. Unter den gegebenen Umständen rechtfertigt es sich nicht, die Vorinstanz die Parteientschädigung für das vorangegangene Verfahren neu festsetzen zu lassen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Ziff. 1 des Dispositivs des Entscheides des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 31. Januar 2019 wird insoweit abgeändert, als die Beschwerdeführerin den versicherten Verdienst neu zu ermitteln hat. Die Sache wird an die Öffentliche Arbeitslosenkasse des Kantons Solothurn zurückgewiesen, damit sie über den Anspruch der Beschwerdegegnerin auf Arbeitslosenentschädigung neu verfüge. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'400.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Staatssekretariat für Wirtschaft (SECO) schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. Juli 2019
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Polla