Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ (geb. 1977) und B.A._ (geb. 1980) haben 2007 geheiratet. Sie sind die Eltern der Kinder C.A._ (geb. 2012) und D.A._ (geb. 2015) und leben seit 2014 getrennt. Im Rahmen eines Eheschutzverfahrens schlossen die Eltern eine Vereinbarung über das Getrenntleben. A.A._ verpflichtete sich zu Unterhaltszahlungen an die Kinder von je Fr. 350.-- (zzgl. Kinderzulagen). Im Bedarf des Vaters waren u.a. Schuldentilgungsraten berücksichtigt.
A.b. Am 31. März 2017 ist A.A._ Vater einer weiteren Tochter geworden.
A.c. Mit Urteil vom 22. Mai 2018 schied das Bezirksgericht Zürich die Ehe der Parteien und regelte die Nebenfolgen. A.A._ wurde verpflichtet, seinen beiden Kindern C.A._ und D.A._ Unterhaltsbeiträge von je Fr. 700.-- zuzüglich allfälliger Kinderzulagen zu bezahlen. Das Gericht stellte zudem fest, dass damit der Unterhalt der Kinder nicht gedeckt sei. Schliesslich erteilte es beiden Parteien die unentgeltliche Rechtspflege.
B.
A.A._ führte Berufung. Er beantragte, die den Kindern geschuldeten Unterhaltsbeiträge auf je Fr. 160.-- (zzgl. Kinderzulagen) festzusetzen. Ausserdem ersuchte er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das oberinstanzliche Verfahren. Mit Urteil vom 6. August 2018 wies das Obergericht des Kantons Zürich die Berufung wie auch das Rechtspflegegesuch ab. Es auferlegte A.A._ Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- und sprach ihm keine Entschädigung zu.
C.
Mit Eingabe vom 14. September 2018 gelangt A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, es sei ihm für das obergerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und der Kostenpunkt des angefochtenen Urteils entsprechend anzupassen; sodann ersucht er auch für das bundesgerichtliche Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung.
Das Bundesgericht hat die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), mit welchem diese die Abweisung des Armenrechtsgesuchs des Beschwerdeführers für das kantonale Berufungsverfahren abgewiesen hat. Da der Entscheid zusammen mit dem Urteil in der Hauptsache ergangen ist, handelt es sich nicht um einen Zwischenentscheid (vgl. Urteil 5A_428/2015 vom 9. Oktober 2015 E. 1.2 mit Hinweisen), sondern um einen selbständig anfechtbaren Nebenpunkt des Endentscheides in der Hauptsache (Urteil 5A_174/2016 vom 26. Mai 2016 E. 1 mit Hinweisen; vgl. zur Ausnahme vom Erfordernis der double instance <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.2; je mit Hinweisen). Nebenpunkte können, wie Zwischenentscheide, mit dem für die Hauptsache zulässigen Rechtsmittel angefochten werden (<ref-ruling> E. 1.2). Dort dreht sich der Streit um die finanziellen Nebenfolgen der Ehescheidung, also um eine Zivilsache (<ref-law>) vermögensrechtlicher Natur. Der Streitwert der Begehren, die diesbezüglich vor der Vorinstanz streitig waren, übersteigt den gesetzlichen Mindestbetrag von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 lit. b i.V.m. Art. 51 Abs. 1 und 4 BGG). Die Beschwerdefrist (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) ist eingehalten und der Beschwerdeführer zur Beschwerde in Zivilsachen berechtigt (<ref-law>). Die Beschwerde in Zivilsachen steht grundsätzlich offen.
2.
Das Obergericht befasste sich mit den in der Berufung vorgetragenen Beanstandungen des Beschwerdeführers, erachtete diese mit Ausnahme einer Position (E. II/8.2 des angefochtenen Entscheids: Krankenkassenprämien von Fr. 365.50 anstelle von Fr. 361.05; Differenz: Fr. 4.45) als unbegründet und erwog, aus seinen Erwägungen ergebe sich, dass sich die Berufungsbegehren sofort als unbegründet erwiesen und jedenfalls bei Ergreifung des Rechtsmittels die Verlustgefahren überwogen hätten, weshalb das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege trotz ausgewiesener Mittellosigkeit abzuweisen sei.
Im Einzelnen beurteilte das Obergericht sieben Positionen: Streitig war zunächst die erstinstanzlich vorgenommene Kürzung des Grundbetrages um Fr. 170.--. Das Obergericht erwog dazu, der Beschwerdeführer erhalte eine nicht zum Einkommen zu zählende monatliche Spesenpauschale von Fr. 500.--. Diese Pauschale übersteige allerdings den gemäss Kreisschreiben der Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich betreffend die Richtlinien für die Berechnung des betreibungsrechtlichen Existenzminimums vom 16. September 2009 vorgesehenen Höchstbetrag von Fr. 330.-- um Fr. 170.--. Gemäss Zusatzreglement für Aussendienstmitarbeitende der Arbeitgeberin des Beschwerdeführers seien mit der Spesenpauschale sämtliche Verpflegungsauslagen während der Arbeitszeit gedeckt, weshalb es nicht zu beanstanden sei, wenn das Bezirksgericht bei den finanziell engen Verhältnissen beim Grundbetrag, der insbesondere den gesamten Nahrungsbedarf umfasse, einen Abzug von Fr. 170.-- mache (E. II/5 des angefochtenen Urteils). Sodann beurteilte das Obergericht den Einwand, die erste Instanz habe nicht von einem fixen Bonus ausgehen dürfen und auch keine bonusbezogene Mehrverdienstklausel vorsehen dürfen. Zum ersten Punkt erwog das Obergericht, im Durchschnitt der letzten sieben Jahre habe die Sondervergütung Fr. 130.-- pro Monat ausgemacht, weshalb die Einrechnung dieses Betrages in das Einkommen des Beschwerdeführers nicht zu beanstanden sei, selbst wenn die Sondervergütung gemäss Arbeitsvertrag nach freiem Ermessen der Geschäftsleitung ausbezahlt werde. Mit Bezug auf die Mehrverdienstklausel meinte das Obergericht, der Einwand des Beschwerdeführers, wonach eine bonusbezogene Mehrverdienstklausel nur im Rahmen einer Scheidungsvereinbarung, nicht aber für den Urteilsfall zulässig sei, sei nicht haltbar (E. II/6 des angefochtenen Urteils). Ferner befasste sich das Obergericht mit der vom Beschwerdeführer aufgeworfenen Frage, ob der Beschwerdegegnerin eine Erwerbstätigkeit von 60 % zugemutet werden müsste. Sie verneinte dies mit der Überlegung, die dem erstinstanzlichen Urteil zu Grunde liegende Erwerbstätigkeit von 50 % entspreche der heutigen Betreuungsregelung. Zwar treffe zu, dass die Mutter im Herbst 2017 zu 60 % gearbeitet habe, allerdings im Rahmen eines Beschäftigungsprogramms und nur für einen Monat (E. II/7 des angefochtenen Urteils). Ausserdem wollte der Beschwerdeführer Fr. 1'800.--, eventuell Fr. 1'600.--, anstelle der Fr. 932.-- an Mietkosten in seinem Bedarf berücksichtigt wissen. Das Obergericht führte aus, der Beschwerdeführer behaupte nicht, dass die aktuelle Wohnsituation unangemessen sei. Im Übrigen erweise sich die Wohnung als geeignet für die Beherbergung der Kinder im Rahmen eines Besuchsrechts und bei den gegebenen finanziellen Verhältnissen könne es nicht angehen, dem Beschwerdeführer mehr anzurechnen, als er effektiv zu bezahlen habe. Sollte sich aus zwingenden Gründen eine Veränderung der Wohnverhältnisse ergeben, bliebe eine Abänderung vorbehalten (E. II/8.1 des angefochtenen Urteils). Ferner ging es dem Beschwerdeführer um die Berücksichtigung von Mobilitätskosten von Fr. 250.--. Das Obergericht verwarf dieses Ansinnen mit der Begründung, der Beschwerdeführer setze sich mit dem Argument des Bezirksgerichts, wonach die Mobilitätskosten aus dem Grundbetrag zu bestreiten seien, nicht auseinander. Ausserdem stelle ihm seine Arbeitgeberin ein Fahrzeug zur Verfügung, das er auch privat gebrauchen könne. Ohnehin mache der Beschwerdeführer nur geltend, dass er das Monatsabonnement vor allem benötige, um seine aussereheliche Tochter zu besuchen, die in der Stadt wohne (E. II/8.3 des angefochtenen Urteils). Streitig war sodann, ob dem Beschwerdeführer anstelle der jährlichen Fr. 360.-- für einen Parkplatz in der blauen Zone monatlich Fr. 122.-- für einen Parkplatz in einer Einstellhalle anzurechnen seien. Dazu erwog das Obergericht, es fehle ein Hinweis oder gar Beleg dafür, dass die Miete eines Parkplatzes in der Einstellhalle notwendig oder von der Arbeitgeberin verlangt wäre (E. II/8.4 des angefochtenen Urteils). Schliesslich wollte der Beschwerdeführer Schuldentilgungsraten von monatlich Fr. 384.30, eventuell Fr. 200.--, in seinem Bedarf berücksichtigt wissen. Das Obergericht führt dazu aus, der Beschwerdeführer habe vereinbarungswidrig ein Fahrzeug nicht verkauft, weshalb die Steuerschulden aus den Jahren 2013 und 2014 nicht zu berücksichtigen seien. Sodann hätten die im Rahmen der Trennungsvereinbarung berücksichtigten Fr. 190.-- pro Monat bei regelmässiger Bezahlung dazu ausgereicht, um die Schulden bei E._ und F._ bis auf Fr. 145.-- abzuzahlen. Im Übrigen sei den neu begründeten Schulden eine nicht unerhebliche Erhöhung des Einkommens ab Januar 2016 gegenübergestanden, und mit der blossen Wiederholung seines Standpunktes im Berufungsverfahren komme er seiner Begründungslast nicht nach (E. II/8.5 des angefochtenen Urteils).
3.
Der Beschwerdeführer ist im Allgemeinen der Ansicht, der erstinstanzliche Richter habe bei der Bemessung des Unterhaltsbeitrages über ein erhebliches Ermessen verfügt, und es müsse ihm möglich sein, die Ausübung dieses Ermessens von der oberen kantonalen Instanz, welcher freie Kognition zukomme, überprüfen zu lassen. Eine Berufung könne von vornherein nicht als aussichtslos bezeichnet werden, wenn einzelne Punkte bei der Bemessung von Unterhaltsbeiträgen gerügt werden. Dabei bezieht er sich namentlich auf das Urteil 5A_107/2010 vom 30. April 2010; die Aussichtslosigkeit müsse bereits dann verneint werden, wenn gewisse Chancen auf teilweise Gutheissung des Berufungsbegehrens bestünden. Er habe mehrere Rechts- und Tatfragen aufgeworfen.
Im Zusammenhang mit der Kürzung des Grundbetrages um Fr. 170.-- handle es sich um eine ausgesprochene Ermessensfrage, die oberinstanzlich überprüfen zu lassen möglich sein müsse. Hinsichtlich der Zulässigkeit einer Mehrverdienstklausel gebe es keine gefestigte Rechtsprechung. Mit Bezug auf den Umfang des zumutbaren Arbeitspensums der Mutter habe das Obergericht für das neue Unterhaltsrecht auch noch keine Praxis entwickelt. Die aktuelle Wohnung biete zwar Platz für die Ausübung des Besuchsrechts, aber die erste Instanz habe über ein grosses Ermessen verfügt, als sie ihm lediglich die Kosten für die sehr kleine Wohnung angerechnet habe. Sodann habe sich sein Einwand bezüglich der Krankenkassenprämien als berechtigt erwiesen und bei den übrigen Positionen (Mobilitätskosten und Schuldentilgungsraten) habe die Erstinstanz über ein erhebliches Ermessen verfügt.
4.
4.1. Nach <ref-law> hat eine Person Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (lit. a) und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (lit. b). Sofern es zur Wahrung der Rechte notwendig ist, umfasst die unentgeltliche Rechtspflege die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands (<ref-law>). Strittig ist vorliegend die Voraussetzung der Aussichtslosigkeit (<ref-law>).
Die vom Bundesgericht zum Begriff der Aussichtslosigkeit gemäss <ref-law> entwickelte Praxis ist auch für die Auslegung von <ref-law> zu berücksichtigen. Als aussichtslos sind demnach Begehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten, wobei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgebend sind (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.2.4 mit Hinweisen).
Geht es - wie hier - um die Beurteilung der Erfolgsaussichten eines Rechtsmittels, ist zu beachten, dass ein erstinstanzliches Urteil vorliegt, das mit den gestellten Rechtsmittelanträgen verglichen werden kann. Der Rechtsmittelinstanz wird dadurch die summarische Prüfung der Erfolgsaussichten erleichtert. Nur wenn die Rechtsmittelkläger dem erstinstanzlichen Entscheid nichts Wesentliches entgegensetzen können, laufen sie Gefahr, dass ein Rechtsmittel als aussichtslos eingestuft wird, namentlich wenn eine eingeschränkte Kognition oder eine Rügepflicht gilt (Urteile 4A_375/2016 vom 8. Februar 2017 E. 3.1; 5A_265/2012 vom 30. Mai 2012 E. 2.3 mit Hinweis). Rechtsfrage ist in diesem Zusammenhang, welche Umstände bei der Beurteilung der Prozessaussichten in Betracht fallen und ob sie für oder gegen eine hinreichende Erfolgsaussicht sprechen, Tatfrage hingegen, ob und wieweit einzelne Tatumstände erstellt sind (<ref-ruling> E. 2c in fine).
4.2. In finanzieller Hinsicht sind vorliegend die Verhältnisse eng. Reichen die vorhandenen Mittel nicht aus, um den zuletzt gelebten Standard, auf dessen Fortführung bei genügenden Mitteln alle Anspruch haben, aufrecht zu erhalten, haben Kinder und Ehegatten Anspruch auf den gleichen Lebensstandard (<ref-ruling> E. 4.2.1 in fine mit Hinweis). Nach den - unbestritten gebliebenen - Feststellungen des Obergerichts decken die zugesprochenen Unterhaltsbeiträge den Bedarf der Kinder nicht (E. A.c des angefochtenen Urteils) und würde sich dieses Defizit bei Übernahme des beschwerdeführerischen Standpunktes erhöhen. Ist ein unterhaltspflichtiger Elternteil ausserstande, den Unterhalt seiner Kinder zu decken, kann er selber keinen über dem eigentlichen Existenzminimum liegenden Bedarf für sich beanspruchen (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.2). Angesichts dessen war das Ermessen des erstinstanzlichen Gerichts eingeschränkt. Es hat den Verhältnissen entsprechend die geltend gemachten Bedarfspositionen genau unter die Lupe genommen und einen Ausgleich der gegenläufigen Interessen gesucht (und gefunden). Bei dieser Ausgangslage kann sich der Beschwerdeführer nicht darauf berufen, er habe grundsätzlich Anspruch auf eine gerichtliche Überprüfung von Ermessensentscheiden. Vielmehr hätte er im vorinstanzlichen Verfahren aufzeigen müssen, inwiefern das Gericht sein Ermessen unterschritten hat und die geltend gemachten Bedarfspositionen zwingend zu berücksichtigen gewesen wären. Das hat der Beschwerdeführer nicht getan, und das Obergericht konnte ohne Bundesrecht zu verletzen darauf schliessen, bei Ergreifung des Rechtsmittels hätten die Verlustgefahren überwogen.
5.
Der Beschwerde ist nach dem Ausgeführten kein Erfolg beschieden. Damit wird der Beschwerdeführer kosten- (<ref-law>), nicht aber entschädigungspflichtig (<ref-law>). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, konnte der Beschwerde von Anfang an kein Erfolg beschieden sein, weshalb es an den materiellen Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege fehlt (<ref-law>) und das betreffende Gesuch abzuweisen ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Dezember 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Gutzwiller