Sachverhalt:
A.
Am 30. Oktober 1996 unterzeichneten das Kloster St. Katharina, eine öffentlich-rechtliche Körperschaft, und die Politische Gemeinde Wil (nachfolgend: Gemeinde Wil) einen Vertrag (nachfolgend: Schulvertrag) über die Führung einer Mädchensekundarschule durch das Kloster St. Katharina (nachfolgend: Kathi). Der Schulvertrag wurde am 16. September 1997 vom katholischen Administrationsrat und vom Erziehungsdepartement des Kantons St. Gallen genehmigt. Nebst einem Teil der Schülerinnen aus Wil besuchen auch Privatschülerinnen aus anderen Gemeinden das Kathi.
Gemäss dem Schulvertrag wird das Kathi nach dem gesetzlichen Erziehungs- und Bildungsauftrag geführt. Zudem werden Akzente gesetzt, die sich für die Trägerschaft der Schule aus der Zugehörigkeit zu einer Ordensgemeinschaft ergeben (Art. 1 Schulvertrag).
Am 11. Februar 2016 folgte das Stadtparlament der Gemeinde Wil dem Antrag des Stadtrats und stimmte einem modifizierten Schulvertrag (nachfolgend: Vereinbarung) zu. Gemäss der Vereinbarung soll die Stiftung Schule St. Katharina, eine privatrechtliche Stiftung, den Schulvertrag übernehmen und der Gemeinde Wil das Recht eingeräumt werden, über die Aufnahme von Mädchen mit Wohnsitz Wil in das Kathi zu entscheiden.
Gegen die Beschlüsse des Stadtparlaments der Gemeinde Will, mit welchen die Vereinbarung genehmigt worden ist, ist kein Referendum ergriffen worden.
B.
Am 25. Februar 2016 erhoben B._, A._ und die Partei C._ Abstimmungsbeschwerde gegen die Beschlüsse des Stadtparlaments vom 11. Februar 2016 beim Departement des Innern des Kantons St. Gallen (nachfolgend: Departement des Innern). Mit Entscheid vom 6. Februar 2017 trat das Departement des Innern auf die Abstimmungsbeschwerde nicht ein. Eine dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen teilweise gut und wies die Sache an das Departement des Innern zur Neubeurteilung zurück. Mit Entscheid vom 2. Juli 2019 wies das Departement des Innern die Abstimmungsbeschwerde ab.
Die gegen den Entscheid des Departements des Innern durch B._, A._ und die Partei C._ erhobene Beschwerde wurde am 17. Dezember 2019 vom Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen mit der Begründung gutgeheissen, die Parlamentsbeschlüsse entbehrten einer rechtlichen Grundlage.
C.
Mit zwei separaten Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 3. Februar 2020 beantragen die Gemeinde Wil und die Stiftung Schule St. Katharina, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 17. Dezember 2019 aufzuheben; eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen.
B._, A._ und die Partei C._ stellen den Antrag, die Beschwerden seien abzuweisen, eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen.
Den prozessualen Anträgen der Gemeinde Wil sowie der Stiftung Schule St. Katharina, den Schülerinnen im Sinne der streitbetroffenen Vereinbarung den unentgeltlichen Besuch der Mädchensekundarschule auf den Beginn des Schuljahres 2020/2021 bzw. für die Dauer des Beschwerdeverfahrens zu ermöglichen, hat das Bundesgericht nach Durchführung eines Schriftenwechsels mit Präsidialverfügung vom 17. Februar 2020 stattgegeben.
Das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen beantragt die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den angefochtenen kantonalen Erlass sind zulässig, wobei festzuhalten ist, dass es sich nicht um Abstimmungsbeschwerden im Sinne von Art. 82 lit. c BGG handelt, sondern um Beschwerden, welche die inhaltliche Rechtmässigkeit des Beschlusses betreffen (Art. 82 lit. b, Art. 87 Abs. 1 BGG). Die Eingaben der Beschwerdeführerinnen erfolgten fristgerecht (Art. 101 BGG).
1.2. Das Bundesgericht hat für die Beschwerde der Beschwerdeführerin 1 (2C_136/2020) und der Beschwerdeführerin 2 (2C_137/2020) zwei getrennte Dossiers angelegt. Die beiden Verfahren beruhen auf demselben Sachverhalt und richten sich gegen dasselbe Urteil vom 17. Dezember 2019. Sodann stellen sich zusammenhängende Rechtsfragen. Bereits die Vorinstanz hat die Beschwerdeführerin 2 als Mitbeteiligte in das kantonale Beschwerdeverfahren aufgenommen und ein einziges Urteil gefällt. Es rechtfertigt sich deshalb, die Verfahren zu vereinigen und die Beschwerde ist in einem einzigen Urteil zu erledigen (Art. 71 BGG i. V.m. Art. 24 BZP [SR 273]; vgl. Urteile 2C_651/2019 und 2C_700/2019 vom 21. Januar 2020 E. 2; mit Hinweisen).
1.3. Vertieft zu prüfen ist die Legitimation der Beschwerdeführerinnen.
1.3.1. Die Beschwerdeführerin 1 rügt, die Vorinstanz habe ihr in willkürlicher Anwendung des Volksschulgesetzes des Kantons St. Gallen vom 13. Januar 1983 (VSG/SG, sGS 213.1) das Recht aberkannt, die Beschwerdeführerin 2 mit der Beschulung von in Will ansässigen Mädchen zu beauftragen. Damit macht sie sinngemäss geltend, dass sie in ihrer Eigenschaft als Trägerin hoheitlicher Gewalt berührt ist und ihre Autonomie durch den Entscheid verletzt wurde. Ob die Behauptung zutrifft, und die beanspruchte Autonomie tatsächlich besteht, ist keine Frage des Eintretens, sondern der materiellen Beurteilung (vgl. <ref-ruling> E. 1.1.3, Urteil 2C_700/2018 vom 14. November 2019 E. 1.2.1). Die Beschwerdeführerin 1 ist insofern zur Beschwerde legitimiert und auf die Beschwerde ist gestützt auf Art. 89 Abs. 2 lit. c BGG einzutreten.
1.3.2. Zu prüfen ist ferner die Legitimation der Beschwerdeführerin 2. Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung besitzt (Art. 89 Abs. 1 BGG). Verlangt ist somit neben der formellen Beschwer (Art. 89 Abs. 1 lit. a BGG), dass der Beschwerdeführer über eine spezifische Beziehungsnähe zur Streitsache verfügt (Art. 89 Abs. 1 lit. b BGG) und einen praktischen Nutzen aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids zieht (Art. 89 Abs. 1 lit. c BGG).
Die Beschwerdeführerin 2 hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist als Vertragspartnerin der Beschwerdeführerin 1 mit ihren Anliegen vor der Vorinstanz unterlegen. Damit ist sie durch den Entscheid der Vorinstanz in ihren Interessen unmittelbar berührt und zur Einreichung der Beschwerde legitimiert.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht und von kantonalen verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 95 lit. a und c BGG). Soweit im Bereich der kommunalen Autonomie die Handhabung von eidgenössischem Recht oder kantonalen verfassungsmässigen Rechten zur Diskussion steht, prüft das Bundesgericht das Vorgehen der kantonalen Behörden mit freier Kognition, insbesondere ob die Vorinstanz einen in den Anwendungsbereich der Gemeindeautonomie fallenden Beurteilungsspielraum respektiert hat (<ref-ruling> E. 5.4; <ref-ruling> E. 2). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), prüft jedoch unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Die Verletzung von Grundrechten und kantonalem Recht untersucht es gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG in jedem Fall nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht; <ref-ruling>).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat, sofern dieser nicht offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 und Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel (sogenannte Noven) können nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2.3. Soweit die Beschwerdeführerin 2 der Vorinstanz vorwirft, in Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV), der politischen Rechte (Art. 34 BV), des Rechts, Privatschulen zu gründen und zu führen sowie zu besuchen (Art. 3 der Verfassung des Kantons St.Gallen [KV/SG; sGS 11.1]) und der Rechtmässigkeit (Art. 8 KV/SG) gehandelt zu haben, werden ihre Vorbringen den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht gerecht. Auf ihre entsprechenden Vorbringen ist insofern nicht weiter einzugehen.
3.
Zu prüfen gilt es vorab, ob die Beschwerdeführerin 1 über die Autonomie verfügt, der Beschwerdeführerin 2 die Führung einer Mädchensekundarschule zu übertragen und das Schulgeld für die durch die Beschwerdeführerin 2 beschulten Mädchen aus Wil zu übernehmen.
3.1. Nach der Rechtsprechung sind Gemeinden in einem Sachbereich autonom, wenn das kantonale (oder eidgenössische) Recht diesen nicht abschliessend ordnet, sondern ihn ganz oder teilweise der Gemeinde zur Regelung überlässt und ihr dabei eine relativ erhebliche Entscheidungsfreiheit einräumt (<ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 6.1; <ref-ruling> E. 5.2). Der geschützte Autonomiebereich kann sich auf die Befugnis zum Erlass oder Vollzug eigener kommunaler Vorschriften beziehen oder einen entsprechenden Spielraum bei der Anwendung kantonalen oder eidgenössischen Rechts betreffen. Der Schutz der Gemeindeautonomie setzt eine Entscheidungsfreiheit nicht in einem ganzen Aufgabengebiet, sondern lediglich im streitigen Bereich voraus. Im Einzelnen ergibt sich der Umfang der kommunalen Autonomie aus dem für den entsprechenden Bereich anwendbaren kantonalen Verfassungs- und Gesetzesrecht (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.3.1 und 2.3.2; <ref-ruling> E. 2; je mit Hinweisen).
3.2. Der hier infrage stehende Bereich des Schulwesens fällt grundsätzlich in die kantonale Zuständigkeit (vgl. Art. 62 Abs. 1 BV), wobei die interkantonale Vereinbarung über die Harmonisierung der Volksschule vom 14. Juni 2007 (HarmoS-Konkordat; in Kraft seit dem 1. August 2009) gewisse Ziele des Unterrichts und die Schulstrukturen harmonisiert. Im Rahmen, den das kantonale und interkantonale Recht zulässt, können die Gemeinden ihre Angelegenheiten selbst regeln und hierzu eigenes Recht erlassen (Art. 89 Abs. 1 KV/SG). In der Rechtsetzung hat die Gemeinde Entscheidungsfreiheit, wenn das kantonale Gesetz keine abschliessende Regelung trifft oder die Gemeinde ausdrücklich zur Rechtsetzung ermächtigt (Art. 89 Abs. 2 KV/SG). Die politische Gemeinde kommt als öffentlich-rechtliche Gebietskorporation mit eigener Rechtspersönlichkeit als Trägerin der verfassungsrechtlich geschützten Autonomie in Betracht (vgl. Art. 1 Abs. 2 lit. b und Art. 2 Abs. 1 lit. a des Gemeindegesetzes des Kantons St. Gallen vom 21. April 2009 [GG/SG; sGS 151.2]) und Art. 88 Abs. 2 lit. b KV/SG).
3.3. Die Verfassung des Kantons St. Gallen unterscheidet zwischen der politischen Gemeinde, der Schulgemeinde und der Ortsgemeinde (Art. 88 KV/SG). Die Schulgemeinde ist gemäss Art. 88 Abs. 2 KV/SG eine Spezialgemeinde, welche die ihr vom Gesetzgeber zugewiesenen Aufgaben im Schul- und Bildungsbereich erfüllt (Art. 92 KV/SG). Sowohl die Schulgemeinden als auch die politischen Gemeinden sind Träger der Volksschule (Art. 4 Abs. 1 VSG/SG), zu der auch die Sekundarstufe gehört (Art. 2 Abs. 1 VSG/SG). Sie nehmen bei der Realisierung der Bildungs- und Kulturziele eine zentrale Stellung ein (vgl. Botschaft und Entwurf der Verfassungskommission vom 17. Dezember 1999, Amtsblatt des Kantons St. Gallen Nr. 41, Sonderausgabe vom 28. Januar 2000, S. 223). Ihre Aufgaben werden durch das Volksschulgesetz sowie andere Erlasse über die Bildung konkretisiert (Art. 2 Abs. 2 GG/SG). Die Schulgemeinde kann ihre Aufgaben an die politische Gemeinde gegen Entschädigung abtreten (Art. 11 Abs. 1 GG/SG). Dies ist der Fall in Wil, wo die politische Gemeinde die öffentliche Volksschule führt (Art. 43 Gemeindeordnung der Stadt Wil vom 28. Februar 2016 [111.1; GO/WI]).
3.4. Der Kanton St. Gallen hat im Bereich der Volksschule ein dichtes Regelwerk erlassen. Das Volksschulgesetz legt Vorschriften zur Schulorganisation und zum Unterricht fest (Art. 17 ff. VSG/SG), macht Vorgaben zur Schulpflicht, zum Schulbesuch und zum Verhalten der Schüler und Schülerinnen (Art. 45 ff. VSG/SG) und regelt das Lehrerpersonalrecht (Art. 56 ff. VSG/SG). Zudem enthält es Bestimmungen zu Schnittstellen zwischen Schule und Gesellschaft (Art. 92 ff. VSG/SG).
Die Gemeinden sind für die Finanzierung der Volksschule verantwortlich und entscheiden über die Art der Erfüllung der Volksschulaufgaben (Art. 26 Abs. 2 KV/SG). Die Kantone unterstützen die Gemeinden insofern, als sie die Kosten für die obligatorischen und die empfohlenen Lehrmittel der Volksschule übernehmen (Art. 22 Abs. 1 VSG/SG). Gemeinden mit besonders hohen Bildungskosten haben Anspruch auf Beiträge aus dem kantonalen Sonderlastenausgleich (vgl. Art. 18 ff. des Finanzausgleichsgesetzes des Kantons St. Gallen vom 28. Juni 2016 [FAG/SG; sGS 813.1])
3.5. Nebst den Aufgaben der öffentlichen Volksschule regelt das Volksschulgesetz die Aufsicht über die Privatschulen (Art. 1 Abs. 2 VSG/SG). Das Recht, Privatschulen zu gründen und zu führen sowie zu besuchen, wird ausdrücklich von der Kantonsverfassung anerkannt (Art. 3 lit. a KV/SG). Privatschulen, die schulpflichtige Kinder unterrichten, unterstehen wie die öffentlichen Schulen der Aufsicht des Staates (Art. 115 VSG/SG). Sie bedürfen zur Errichtung und Führung einer Bewilligung des Bildungsrates (Art. 116 VSG/SG). Die Bewilligung für Privatschulen wird erteilt, wenn die Schulleitung, fachliche Führung, Organisation und Schulräumlichkeiten einen der öffentlichen Schule gleichwertigen, auf Dauer angelegten Unterricht gewährleisten und die obligatorischen Unterrichtsbereiche der öffentlichen Schule unterrichtet werden (Art. 117 Abs. 1 VSG/SG). Der Bildungsrat kann die Bewilligung mit Auflagen verbinden, um die Gleichwertigkeit des Unterrichts sicherzustellen (Art. 117 Abs. 2 VSG/SG).
3.6. Der Sonderschulunterricht, welcher Angebote für Kinder mit besonders hohem Bildungs- und Förderungsbedarf anbietet, findet sowohl in öffentlichen als auch in anerkannten privaten Sonderschulen statt (Art. 36 Abs. 2 und Art. 51 VSG/SG). Die Betrauung Privater mit Sonderschulaufgaben trägt der Tatsache Rechnung, dass bei Erlass des Volksschulgesetzes Sonderschulen fast ausschliesslich durch private Trägerschaften geführt wurden (vgl. Botschaft der Regierung des Kantons St. Gallen vom 23. Juni 1981 zum Entwurf eines Volksschulgesetzes, Amtsblatt des Kantons St. Gallen 1981, S. 1073, 1113). Der Kanton trägt den Aufwand der anerkannten privaten Sonderschulen, unter Abzug von Beiträgen der Eltern sowie unter Berücksichtigung von Unterhalt und Sanierung der Infrastruktur (Art. 39bis Abs. 1 VSG/SG). Die Finanzierung anerkannter privater Sonderschulen erfolgt gestützt auf eine mit dem kantonalen Bildungsdepartement abgeschlossene Leistungsvereinbarung (Art. 15 ff. Verordnung über die Anerkennung und Finanzierung von privaten Sonderschulen vom 3. Februar 2015; Sonderschulverordnung, sGS 213.951).
3.7. Mit Ausnahme der anerkannten privaten Sonderschulen enthält das Volksschulgesetz keine Vorschriften zur Finanzierung von Privatschulen. Gemäss der Botschaft zum Volksschulgesetz fällt eine solche "ausser Betracht" (Botschaft zum Volksschulgesetz, a.a.O, S. 1073, 1109). Ob damit auch eine Finanzierung von Privatschulen ausgeschlossen werden sollte, welche Volksschulaufgaben wahrnehmen, die ihnen übertragen werden, kann ihr nicht entnommen werden. Gegen ein solches Verbot spricht, dass Art. 24 KV/SG ausdrücklich festhält, dass der Staat Private unterstützen kann, wenn diese Aufgaben von öffentlichem Interesse wahrnehmen.
3.8. Die Bundesverfassung enthält keine Vorschrift, welche die Kantone verpflichten würde, den allgemein zugänglichen Grundschulunterricht einzig und allein in staatlichen Schulen anzubieten (vgl. Bernhard Ehrenzeller, in: Basler Kommentar, Bundesverfassung, 2014, N. 30 zu Art. 62 BV). Die Möglichkeit, Private bei der Wahrnehmung von Aufgaben im Volksschulbereich finanziell zu unterstützen, ist denn auch in gewissen kantonalen Gesetzen ausdrücklich vorgesehen. So bestimmt beispielsweise Art. 52 Abs. 4 des Gesetzes über die Volksschulbildung vom 22. März 1999 des Kantons Luzern (VBG/LU, SRL 400a), dass der Kanton im Bereich der Volksschulbildung Privatschulen Aufgaben übertragen kann und diese im Rahmen der verfügbaren Mittel unterstützt.
3.9. Zusammengefasst kann deshalb festgehalten werden, dass weder das Bundesrecht noch das kantonale Recht einer Übertragung von Aufgaben im Volksschulbereich an Private und ihrer finanziellen Unterstützung durch die Gemeinden des Kantons St. Gallen entgegensteht. Der Beschwerdeführerin 1 steht somit bei der Erfüllung ihrer Aufgaben im Volksschulbereich eine relativ erhebliche Entscheidungsfreiheit zu, so dass es sich rechtfertigt, sie auf diesem Gebiete als autonom im Sinne von Art. 89 KV/SG zu betrachten.
4.
Zu prüfen ist weiter, ob die Vorinstanz in willkürlicher Weise zum Schluss gelangt ist, die Übertragung der Führung von Mädchensekundarschulklassen an das Kathi entbehre einer genügend bestimmten gesetzlichen Grundlage.
4.1. Um die Anforderungen an die gesetzliche Grundlage für den Abschluss der streitbetroffenen Vereinbarung bestimmen zu können, ist vorab ihre Rechtsnatur und Tragweite zu klären.
4.1.1. Das Kathi wurde ursprünglich von einer öffentlich-rechtlichen Korporation, dem Kloster St. Katharina geleitet, das über eine Bewilligung zur Führung einer privaten Mädchensekundarschule verfügte. Im Oktober 1996 wurde zwischen der Stadt Wil und dem Kloster St. Katharina ein Schulvertrag abgeschlossen, gemäss welchem sich das Kloster St. Katharina zur Beschulung von Wiler Mädchen auf Sekundarschulstufe und die Gemeinde Wil zur Bezahlung der Schuldgelder dieser Mädchen verpflichtete. Der Schulvertrag bestimmt insbesondere, dass Streitigkeiten im Verfahren der öffentlich-rechtlichen Klage zu beurteilen seien.
4.1.2. Anfangs 2012 übernahm die Beschwerdeführerin 2, eine vom Kloster St. Katharina errichtete privatrechtliche Stiftung, die Führung des Kathi. Mit der Vereinbarung soll nachträglich dem in der Zwischenzeit erfolgten Führungswechsel der Schule Rechnung getragen und der Schulvertrag den veränderten Verhältnissen angepasst werden. Neu soll die Aufnahme von Wiler Sekundarschulmädchen in das Kathi auf 70 % der Schülerinnen und Schüler mit Wohnsitz Wil begrenzt und der Beschwerdeführerin 1 das Recht eingeräumt werden, die zu beschulenden Schülerinnen selbst auszuwählen. Zudem soll ein Gremium für einen regelmässigen Austausch zwischen den Beschwerdeführerinnen sorgen, das Kathi dem Öffentlichkeitsgesetz unterstellt werden und der Stadtrat sowie die Geschäftsprüfungskommission der Stadt Wil Einsicht in die Rechnungslegung der Stiftung erhalten. Die bestehenden konfessionellen Akzente des Schulbetriebs sollen beibehalten werden (Art. 105 Abs. 2 BGG).
4.1.3. Der Gegenstand der Vereinbarung gehört damit offensichtlich zu den Materien, die öffentlich-rechtlich normiert sind, weshalb sie als öffentlich-rechtlicher Leistungsvertrag zu qualifizieren ist (<ref-ruling> E. 2a und 2b S. 253 f. mit Hinweisen).
4.2. Gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung bedarf die Übertragung einer staatlichen Aufgabe an Private einer formellgesetzlichen Grundlage (<ref-ruling> E. 4.4.3; vgl. im Bund Art. 178 Abs. 3 BV). Die Auslagerung staatlicher Aufgaben an privatrechtlich organisierte Träger mittels öffentlichrechtlichem Leistungsvertrag muss gestützt auf eine kompetenzgemäss erlassene Rechtsnorm erfolgen, welche den Vertrag vorsieht, dafür Raum lässt oder ihn jedenfalls nicht ausdrücklich ausschliesst. Wenn es sich um eine wichtige Regelung handelt, muss der Vertrag auf einem generell-abstrakten, genügend bestimmten Rechtssatz beruhen, der in Form eines Gesetzes erlassen wurde (<ref-ruling> E. 2.6.1).
4.3. Die Beschwerdeführerin 2 macht geltend, die Vereinbarung enthalte keine wichtige Regelung im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung, weshalb es zu ihrem Abschluss keiner formellen gesetzlichen Grundlage bedürfe.
4.3.1. Das Argument überzeugt nicht. Der Entscheid einer Gemeinde, einer privaten Institution die Führung von Sekundarschulklassen anzuvertrauen, hat weitreichende Folgen, sowohl für die betroffenen Schülerinnen und Schüler als auch für den Schulbetrieb der öffentlichen Schule. Wenn auch durch die öffentliche Aufsicht über die Privatschulen grundsätzlich gewährleistet wird, dass die vom Kathi beschulten Schülerinnen einen der öffentlichen Schule gleichwertigen Unterricht erhalten, so tangiert die Vereinbarung wesentliche Grundrechtspositionen der Wiler Schüler und Schülerinnen. Wenn auch keine Verpflichtung seitens der Wiler Schülerinnen besteht, das Kathi zu besuchen, so wirken sich dessen Zugangsbedingungen diskriminierend auf die Schülerinnen und Schüler aus Wil aus, da nur eine beschränkte Anzahl Mädchen und keine Buben Zugang zum Kathi erhalten. Des Weiteren wirft die religiös geprägte Ausrichtung des Kathi die Frage auf, ob der Anspruch der Wiler Schülerinnen auf einen konfessionell neutral geführten Unterricht (Art. 15 Abs. 3 BV) gewährleistet ist. Schliesslich gilt es zu berücksichtigen, dass die staatliche Finanzierung einer Privatschule zur Folge hat, dass der öffentlichen Schule Finanzmittel entzogen werden, was sich negativ auf die Qualität des Leistungsangebots der öffentlichen Schule auswirken kann.
4.3.2. Die Auffassung, es bedürfe keiner formell-gesetzlichen Grundlage, steht ferner im Widerspruch zu Art. 25 Abs. 3 KV/SG, der bestimmt, dass die Voraussetzungen für die Übertragung der Erfüllung von Staatsaufgaben an Private sowie der Rechtsschutz und die Aufsicht in einem formellen Gesetz zu verankern seien.
4.3.3. Des Weiteren vermag auch das Argument nicht zu überzeugen, dass von einer formell-gesetzlichen Grundlage abgesehen werden könne, weil dies einer gängigen Praxis im Kanton St. Gallen bei der Verabschiedung von Leistungsvereinbarungen entspreche. Eine verfassungswidrige Praxis kann nur in Ausnahmesituationen geschützt werden. Die Voraussetzungen für eine Gleichbehandlung im Unrecht sind vorliegend nicht erfüllt (<ref-ruling> E. 7.1).
4.4. Im Ergebnis ist deshalb festzuhalten, dass es zur Übertragung der Führung von Regelklassen der öffentlichen Sekundarschule an eine private Trägerschaft einer genügend bestimmten formell-gesetzlichen Grundlage bedarf. Die Vorinstanz ist in diesem Lichte willkürfrei zum Schluss gekommen, dass weder das Volksschulgesetz noch die Gemeindeordnung der Stadt Wil eine solche Grundlage enthält.
5.
5.1. Die Beschwerdeführerinnen kritisieren jedoch, die Vorinstanz habe verkannt, dass der Nachtrag I dem fakultativen Referendum unterstanden habe und daher nicht bloss ein verwaltungsrechtlicher Vertrag sei, sondern im Sinne von Art. 3 GG/SG selber eine gesetzliche Grundlage bilde. Sodann bestehe auch in Art. 126 lit. b GG/SG eine gesetzliche Grundlage für die Übertragung einer öffentlichen Aufgabe an Private.
5.2. Die Bundesverfassung umschreibt nicht näher, was kantonalrechtlich unter formellgesetzlicher Grundlage bzw. einem formellen Gesetz im Einzelnen zu verstehen ist. Dies richtet sich in erster Linie nach dem kantonalen Staatsrecht (<ref-ruling> E. 4.1). Je nachdem vermag auch ein Vertrag, der dem fakultativen Referendum unterlag, selber als gesetzliche Grundlage zu dienen (vgl. Urteile 2C_518/2012 vom 23. November 2012 E. 2.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; 2C_399/2017 vom 28. Mai 2018 E. 7.6; 2C_1061/2015 vom 9. Januar 2017 E. 3.2.1; 2C_160/2014 vom 7. Oktober 2014 E. 4 und 5.3; 2C_404/2010 vom 20. Februar 2012 E. 4.2). Dasselbe gilt für Konkordate (<ref-ruling> E. 6.3).
5.3. Nach Art. 3 Abs. 1 GG/SG setzt die Gemeinde Recht durch die Gemeindeordnung sowie durch Reglement und Vereinbarungen. Diese ordnen allgemein verbindlich Rechte und Pflichten der Gemeinde und der Bürgerinnen und Bürger sowie die Organisation der Behörden. Allgemein verbindliche Vereinbarungen unterstehen dem fakultativen Referendum (Art. 23 Abs. 1 lit. b und Art. 66 Abs. 1 lit. b GG/SG; vgl. auch Art. 6 Abs. 2 GG/SG, wonach die Referendumsfrist von allgemein verbindlichen Vereinbarungen amtlich bekannt gemacht wird). Nach Art. 126 Abs. 1 lit. b GG/SG kann sodann die Gemeinde mit Leistungsvereinbarung öffentliche Aufgaben Privaten übertragen. Die Vorinstanz hat nicht geprüft, ob Art. 126 GG/SG, allenfalls in Verbindung mit Art. 3 GG/SG, eine ausreichend bestimmte Delgationsnorm zur Übertragung der Schulaufgaben an die Beschwerdeführerin 2 darstellt. Da es sich um eine kantonalrechtliche Bestimmung handelt, die das Bundesgericht grundsätzlich nicht selber anwendet (Art. 189 BV und Art. 95 BGG), rechtfertigt es sich, die Angelegenheit zur Überprüfung dieser Frage an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese wird im Lichte der oben stehenden Erwägungen zu prüfen haben, ob Art. 126 GG/SG, allenfalls in Verbindung mit Art. 3 GG/SG und der Gemeindeordnung der Stadt Wil, eine ausreichend bestimmte gesetzliche Grundlage zur Übertragung der Führung der Mädchensekundarschule an die Beschwerdeführerin 2 darstellt.
6.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde mit Bezug auf die fehlende Abklärung von Art. 126 GG/SG und Art. 3 GG/SG begründet und gutzuheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 17. Dezember 2019 ist deshalb aufzuheben und die Sache zum Entscheid über die gesetzliche Grundlage im Sinne der Erwägungen an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens tragen die Beschwerdegegner die bundesgerichtlichen Gerichtskosten (Art. 65, 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_136/2020 und 2C_137/2020 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden werden gutgeheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 17. Dezember 2019 wird aufgehoben und die Sache zur Neuentscheidung im Sinne der Erwägungen dem Verwaltungsgericht zurückgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdegegnern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensparteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung III, und dem Departement des Innern des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. November 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: de Sépibus