Sachverhalt:
A.
Mit E-Mail vom 15. Februar 2017 meldete B.A._ seinen Sohn, A.A._ (geb. am 15. Mai 2004), bei der Kreisschule U._ für die Sportschule an (Schuljahr 2017/18). A.A._ besuchte zu jenem Zeitpunkt die 6. Klasse der Primarschule in V._. Er übt die Sportart "Kickboxing" aus.
Mit Entscheid vom 10. März 2017 lehnte die Kreisschulpflege U._ die Aufnahme von A.A._ in die Sportschule U._ ab. Gegen diesen Entscheid erhoben die Eltern von A.A._ Beschwerde beim Schulrat des Bezirks Aarau und beantragten die Aufnahme von A.A._ in die Sportschule U._ ab Schuljahr 2017/18. Der Schulrat wies die Beschwerde mit Entscheid vom 12. Juni 2017 ab.
Mit Beschluss vom 1. November 2017 wies der Regierungsrat des Kantons Aargau die gegen den Entscheid des Schulrats erhobene Beschwerde von A.A._ ab.
Gegen diesen Beschluss des Regierungsrats reichte A.A._ am 8. Januar 2018 Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Aargau ein. Diese wurde mit Urteil vom 22. Mai 2018 abgewiesen.
B.
Mit Eingabe vom 4. Juli 2018 (Postaufgabe) lässt A.A._, vertreten durch seine Eltern B.A._ und C.A._, Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sowie, subsidiär, Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht erheben. Er beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 22. Mai 2018 sei aufzuheben. Ferner sei er - ohne Bedingungen und / oder Auflagen - in die Sportschule U._ aufzunehmen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht, der Schulrat des Bezirks Aarau und die Kreisschulpflege U._ verzichten auf Vernehmlassung. Das Departement Bildung, Kultur und Sport des Kantons Aargau schliesst in seiner Vernehmlassung auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG) in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich offen steht (<ref-law>). Die Ausnahme gemäss Art. 83 lit. t BGG greift nicht, da es vorliegend nicht um eine Fähigkeitsbewertung geht, sondern um den Anspruch auf einen den Fähigkeiten angepassten Unterricht (Urteile 2C_10/2016 vom 18. Juli 2016 E. 1.1; 2C_249/2014 vom 27. März 2015 E. 1.1; 2C_971/2011 vom 13. April 2012 E. 1.1, nicht publiziert in: <ref-ruling>). Für die eventualiter erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) bleibt daher kein Raum.
1.2. Der Beschwerdeführer, der am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen hat, ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt (Art. 89 Abs. 1 lit. a und b BGG). Die Legitimation setzt zusätzlich ein aktuelles und praktisches Rechtsschutzinteresse an einer Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Urteils voraus (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 41 ff.; <ref-ruling> E. 1.1 S. 81). Fällt das aktuelle Interesse im Verlaufe des Verfahrens dahin, wird die Sache als erledigt erklärt; fehlte es schon bei Beschwerdeeinreichung, ist auf die Eingabe nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 143).
Vorliegend ersuchte der Beschwerdeführer um Aufnahme in die Sportschule U._ ab Schuljahr 2017/18, welches inzwischen abgelaufen ist. Es erscheint allerdings nicht ausgeschlossen, dass - im Fall einer Gutheissung der Beschwerde - eine spätere Aufnahme in die Sportschule noch möglich wäre. Etwas anderes wird im Übrigen auch von keiner Seite behauptet. Folglich ist davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer nach wie vor über ein aktuelles und praktisches Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids verfügt.
1.3. Auf die im übrigen frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist einzutreten (Art. 100 Abs. 1 und Art. 42 BGG).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Bei der Prüfung wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.5 S. 157) und verfügt über volle Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 236). Die Anwendung kantonalen Rechts prüft das Bundesgericht hingegen - abgesehen von den Fällen gemäss Art. 95 lit. c-e BGG - nur auf Bundesrechtsverletzungen, namentlich auf Willkür, hin (<ref-ruling> E. 1.3 S. 41; <ref-ruling> E. 2 S. 149).
2.2. Die Verletzung von verfassungsmässigen Individualrechten (einschliesslich der Grundrechte) prüft das Bundesgericht nur, soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht gemäss <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.7.2 S. 106). In der Beschwerde ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 372). Auf bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid geht das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 6.3 S. 375; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, sofern sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>).
3.
Der Beschwerdeführer macht zunächst eine formelle Rechtsverweigerung und eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtmässige Zusammensetzung der Entscheidbehörde (<ref-law>) geltend. Zur Begründung führt er im Wesentlichen aus, im Entscheid des Schulrats des Bezirks Aarau vom 12. Juni 2017 seien die mitwirkenden Personen nicht angegeben worden. Im Nachhinein habe er auch feststellen müssen, dass ein Mitglied in den Ausstand getreten sei.
3.1. Gemäss <ref-law> hat jede Person in Verfahren vor Gerichts- und Verwaltungsinstanzen Anspruch auf gleiche und gerechte Behandlung sowie auf Beurteilung innert angemessener Frist. Daraus ergibt sich ein Anspruch auf richtige Zusammensetzung der Verwaltungsbehörde bzw. darauf, dass diese vollständig und ohne Anwesenheit Unbefugter entscheidet. Die Besetzung richtet sich im Rahmen der Zuständigkeitsordnung nach dem Verfahrensrecht (<ref-ruling> E. 3.2 S. 173 f.; <ref-ruling> E. 3c S. 130; Urteile 1C_546/2017 vom 26. Januar 2018 E. 2.3; 2P.26/2003 vom 1. September 2003 E. 3.4; vgl. auch HÄFELIN/MÜLLER/UHLMANN, Allgemeines Verwaltungsrecht, 7. Aufl. 2016, Rz. 979; GEROLD STEINMANN, in: BV Kommentar, 3. Aufl. 2014, N. 34 zu <ref-law>). Besteht eine Behörde aus einer bestimmten Zahl von Mitgliedern, so müssen - unter Vorbehalt abweichender Ordnung - beim Entscheid alle mitwirken. Die Behörde, die in unvollständiger Besetzung entscheidet, ohne dass das Gesetz ein entsprechendes Quorum vorsieht, begeht eine formelle Rechtsverweigerung. Wenn einzelne Mitglieder aus triftigem Grund in Ausstand treten wollen oder müssen, sind sie, soweit möglich, zu ersetzen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 174; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 342). Der Ersatz eines in Ausstand getretenen Mitglieds ist namentlich dann nicht möglich, wenn es sich um eine politisch gewählte Behörde handelt, die über keine Ersatzmitglieder verfügt.
Der Anspruch auf eine unparteiische und unbefangene Behörde bzw. auf ein durch Gesetz geschaffenes, zuständiges, unabhängiges und unparteiisches Gericht setzt ferner die Bekanntgabe der personellen Zusammensetzung der Behörde voraus, denn nur so können die Betroffenen feststellen, ob ihr verfassungsmässiger Anspruch auf richtige Besetzung der Verwaltungsbehörde beziehungsweise des Gerichts und eine unparteiische Beurteilung ihrer Sache gewahrt ist (vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 279 f.; HÄFELIN/MÜLLER/UHLMANN, a.a.O., Rz. 980). Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung bedeutet dieser Anspruch nicht, dass die Namen der mitwirkenden Personen im Rubrum des Entscheids selbst aufgeführt werden müssen. Der Anspruch ist selbst dann gewahrt, wenn die Namen der entscheidenden Richter oder Behördenmitglieder dem Betroffenen gar nicht persönlich mitgeteilt werden, sondern einer allgemein zugänglichen Publikation wie etwa einem Staatskalender entnommen werden können (<ref-ruling> E. 2b S. 85; <ref-ruling> E. 1c S. 323; <ref-ruling> E. 3c S. 280).
3.2. Gemäss § 76 Abs. 1 des Schulgesetzes vom 17. März 1981 des Kantons Aargau (Schulgesetz/AG; SAR 401.100) wird in jedem Bezirk durch Volkswahl ein Schulrat von sieben Mitgliedern bestellt. Der Rat konstituiert sich selbst (§ 76 Abs. 2 Schulgesetz/AG). Der Schulrat des Bezirks beurteilt Beschwerden gegen Entscheide der Schulpflegen des Bezirks, wenn es sich nicht um solche des Strafverfahrens gemäss § 37a handelt (§ 77 Abs. 3 Schulgesetz/AG). Das Schulgesetz/AG enthält weder Bestimmungen über Ersatzmitglieder noch ein bestimmtes Quorum für die Verhandlungsfähigkeit der Schulräte.
3.3. Vorliegend hätte der Schulrat - mangels besonderer Quorumsvorschriften - grundsätzlich in vollständiger Besetzung entscheiden müssen. Der Entscheid ist jedoch in der Besetzung mit sechs Mitgliedern ergangen, weil ein Mitglied in den Ausstand getreten ist (vgl. E. 1.3.1 und 1.3.3 des angefochtenen Urteils). Aufgrund des Umstandes, dass es sich beim Schulrat um eine politisch gewählte Behörde handelt, die über keine Ersatzmitglieder verfügt, ist davon auszugehen, dass der Ersatz des in Ausstand getretenen Mitglieds nicht möglich gewesen wäre (vgl. E. 3.1 hiervor). Dass eine Behörde, die auch als Beschwerdeinstanz fungiert, über keine Ersatzmitglieder verfügt, mag bedauerlich sein, doch ist im konkreten Fall mit der Vorinstanz davon auszugehen, dass die Verhandlungs- und Beschlussfähigkeit des Schulrats durch den Ausstand eines Mitglieds nicht in Frage gestellt wurde, so dass keine Verletzung von <ref-law> vorliegt (vgl. E. 1.3.3 des angefochtenen Urteils).
Ebenfalls unbestritten ist der Umstand, dass die Mitglieder des Schulrats nicht im Rubrum des Entscheids aufgeführt wurden (vgl. E. 1.3.2 des angefochtenen Urteils). Wie bereits dargelegt, werden die Schulräte in den Bezirken durch Volkswahl bestellt (vgl. E. 3.2 hiervor). Gemäss § 26 Abs. 1 des Gesetzes vom 10. März 1992 des Kantons Aargau über die politischen Rechte (GPR/AG; SAR 131.100) werden namentlich die Ergebnisse der Bezirks- und Kreiswahlen durch die Staatskanzlei im Amtsblatt veröffentlicht. Folglich wäre es dem anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer möglich gewesen, die Namen der Mitglieder des Schulrats einem amtlichen Publikationsorgan zu entnehmen, was dem Anspruch auf Bekanntgabe der am Entscheid mitwirkenden Personen genügt (vgl. E. 3.1 hiervor).
3.4. Im Ergebnis liegt weder eine formelle Rechtsverweigerung noch eine Verletzung des Anspruchs des Beschwerdeführers auf Bekanntgabe der personellen Zusammensetzung der Behörde (<ref-law>) vor.
4.
Der Beschwerdeführer rügt weiter eine Verletzung des Legalitätsprinzips (<ref-law>). Er behauptet im Wesentlichen, das kantonale Recht enthalte keine genügende gesetzliche Grundlage, um ihm die Zulassung zur Sportschule zu verweigern.
4.1. Gemäss <ref-law> bedarf jedes staatliche Handeln einer gesetzlichen Grundlage. Das Legalitätsprinzip besagt, dass ein staatlicher Akt sich auf eine materiellgesetzliche Grundlage stützen muss, die hinreichend bestimmt und vom staatsrechtlich hierfür zuständigen Organ erlassen worden ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 171; <ref-ruling> E. 3c S. 121). Der Grad der erforderlichen Bestimmtheit lässt sich nicht abstrakt festlegen, sondern hängt unter anderem von der Vielfalt der zu ordnenden Sachverhalte, von der Komplexität und der Vorhersehbarkeit der im Einzelfall erforderlichen Entscheidung, von den Normadressaten, von der Schwere des Eingriffs in Verfassungsrechte und von der erst bei der Konkretisierung im Einzelfall möglichen und sachgerechten Entscheidung ab (<ref-ruling> E. 10 S. 252; <ref-ruling> E. 5.4.1 S. 173; <ref-ruling> E. 6.5.1 S. 29). Im Bereich der Leistungsverwaltung sind die Anforderungen an die Bestimmtheit der formell-gesetzlichen Grundlage im Allgemeinen weniger streng (vgl. <ref-ruling> E. 7.2 S. 392; HÄFELIN/MÜLLER/UHLMANN, a.a.O., Rz. 381).
Das Legalitätsprinzip stellt - ausserhalb des Abgaberechts und des Strafrechts - kein selbständiges verfassungsmässiges Recht, sondern ein Verfassungsprinzip dar. Im Rahmen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann das Legalitätsprinzip - wie im Übrigen auch der Grundsatz der Verhältnismässigkeit - grundsätzlich direkt und unabhängig von einem Grundrecht angerufen werden (<ref-ruling> E. 4.1 S. 156 f. mit Hinweisen; Urteil 2C_741/2009 vom 26. April 2010 E. 3.1). Allerdings hat das Bundesgericht präzisiert, dass das Legalitätsprinzip als Verfassungsgrundsatz - analog zum Verhältnismässigkeitsgebot - im Rahmen einer Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bei der Anwendung kantonalen Rechts (ausserhalb des Schutzbereichs spezieller Grundrechte) nur unter dem Gesichtswinkel des Willkürverbots (<ref-law>) überprüft werden kann (<ref-ruling> E. 4.4 S. 386; <ref-ruling> E. 1.3 S. 46; Urteile 2C_134/2018 vom 24. September 2018 E. 4.1; 2C_18/2012 vom 17. Oktober 2012 E. 2.1). Eine willkürliche Anwendung kantonalen Rechts liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.2 S. 72; <ref-ruling> E. 4.1 S. 566; <ref-ruling> E. 7.1 S. 51).
4.2. Gemäss § 15 Abs. 4 Schulgesetz/AG sind Schülerinnen und Schüler, die durch den ordentlichen Unterricht nicht genügend gefordert werden können und für die das Überspringen von Klassen oder eine andere Massnahme nicht angezeigt ist, in der Regelklasse mit geeigneter Unterstützung zu fördern. Der Regierungsrat regelt die Einzelheiten, insbesondere die Ressourecenzuteilung und die Modalitäten der Unterstützung durch Verordnung (§ 15 Abs. 6 Schulgesetz/AG). Unter anderem gestützt auf § 15 Abs. 6 Schulgesetz/AG hat der Regierungsrat des Kantons Aargau die Verordnung vom 28. Juni 2000 über die Förderung von Kindern und Jugendlichen mit besonderen schulischen Bedürfnissen (V Förderung bei besonderen schulischen Bedürfnissen/AG; SAR 421.331) erlassen. Gemäss deren § 20 Abs. 3 kann die Schulpflege in Ergänzung zur bestehenden Schulorganisation Gruppen- und Einzelangebote für Schülerinnen und Schüler mit besonderen Begabungen einrichten. Das Departement Bildung, Kultur und Sport teilt aus dem für Fördermassnahmen bereitgestellten Kredit den ein Gesuch stellenden Schulpflegen die entsprechenden Ressourcen zu. Bei seinem Entscheid berücksichtigt es unter anderem die Bereitschaft der Gemeinde oder des Gemeindeverbands, Schülerinnen und Schüler mit besonderen Begabungen aus anderen Gemeinden ohne Überbindung von Schulgeldern in ihr Förderprogramm aufzunehmen (§ 23 Abs. 1 und Abs. 2 lit. b der V Förderung bei besonderen schulischen Bedürfnissen/AG).
Der Betrieb der Sportschule U._ sowie die Aufnahmebedingungen sind im Konzept "Schule und Spitzensport" der Kreisschule U._ (in der im angefochtenen Urteil zitierten Fassung vom 5. April 2017, vgl. E. 2.4.3 des angefochtenen Urteils) geregelt. Danach ist die Sportschule eine Abteilung der Kreisschule U._. Sie schliesst mit Sportvereinen und nationalen Sportverbänden vertragliche Regelungen und Partnerschaften ab. Darin wird die sportliche Aus- und Weiterbildung der qualifizierten jugendlichen Spitzensportlerinnen und Spitzensportler nach den Vorgaben der Abteilung Sport des Kantonalen Departements für Bildung, Kultur und Sport und von Swiss Olympic geregelt (vgl. Ziff. 6.2 des Konzepts). Der Schulbetrieb wird durch die Standortschule "Kreisschule U._" getragen. Das Departement bewilligt aus dem für Fördermassnahmen bereitgestellten Kredit die personellen Ressourcen für ergänzende schulische Massnahmen gemäss § 23 der V Förderung bei besonderen schulischen Bedürfnissen/AG. Die Kreisschule U._ ist als Trägerverband verantwortlich für den Schulbetrieb und die ergänzenden Förder- und Betreuungsangebote (Ziff. 2.1 des Konzepts). Die Verantwortung für den Trainingsbetrieb tragen die beteiligten Verbände und Vereine, die in Ziff. 2.2 des Konzepts aufgeführt werden. Gemäss Ziff. 2.4 des Konzepts bedingt die Erweiterung des Angebots "Schule und Spitzensport" an der Kreisschule U._ mit anderen Sportarten oder mit anderen Begabungsdomänen eine Neubeurteilung durch das Departement als bewilligende Instanz. Als Grundlagen der Schule gelten die Richtlinien der "Jugend und Sport"-Nachwuchsförderung des Bundesamtes für Sport und von Swiss Olympic (Ziff. 1 des Konzepts). Im Rahmen der Anerkennung der Schule als "Swiss Olympic Partner School" ist die Zusammenarbeit zwischen der Kreisschule U._ und den beteiligten Sportpartnern vertraglich festgelegt (Ziff. 4.3 des Konzepts).
4.3. Daraus ergibt sich, dass im kantonalen Recht - mit Blick auf die reduzierten Anforderungen an das Legalitätsprinzip im Bereich der Leistungsverwaltung (vgl. E. 4.1 hiervor) - eine genügende Grundlage für die Förderung von Schülern mit besonderen Begabungen besteht. Die massgebenden Bestimmungen der Schulgesetzgebung vermitteln dem Einzelnen jedoch keinen Anspruch auf bestimmte staatliche Leistungen bzw. Förderangebote, die über den normalen Grundschulunterricht hinausgehen. Vielmehr haben die Schulpflegen die Möglichkeit, im Rahmen der vom Departement bewilligten Ressourcen, entsprechende Förderangebote bereitzustellen (vgl. § 20 Abs. 3 und § 23 Abs. 1 und Abs. 2 lit. b V Förderung bei besonderen schulischen Bedürfnissen/AG). Dabei stellen beide Verordnungsbestimmungen "Kann-Vorschriften" dar, die den zuständigen Behörden erhebliche Entscheidungsspielräume belassen. Zu berücksichtigen ist zudem, dass die gesetzliche Regelung auch der Autonomie der Gemeinden bzw. Gemeindeverbände als Träger der Volksschulen (vgl. § 29 Abs. 1 der Verfassung des Kantons Aargau vom 25. Juni 1980 [KV/AG; SR 131.227]) Rechnung trägt. Bei der Gewährung oder Verweigerung einer Fördermassnahme haben die Behörden jedoch insbesondere die Grundsätze der Rechtsgleichheit (<ref-law>), des Willkürverbots und von Treu und Glauben (<ref-law>) zu beachten (vgl. auch E. 5 hiernach).
5.
Der Beschwerdeführer rügt schliesslich Verletzungen der Rechtsgleichheit und des Diskriminierungsverbots (Art. 8 Abs. 1 und 2 BV) sowie des Willkürverbots (<ref-law>). Indem die Sportschule nur bestimmte Sportarten fördere und nur mit bestimmten Verbänden zusammenarbeite, verletzte sie das Gleichheitsgebot. Als Sportler mit grossem Potential habe der Beschwerdeführer Anspruch darauf, zu dieser Sportschule, die aus öffentlichen Mitteln finanziert werde, zugelassen zu werden.
5.1. Vorab ist festzuhalten, dass der Beschwerdeführer keine Verletzung seines Anspruchs auf ausreichenden und unentgeltlichen Grundschulunterricht im Sinne von <ref-law> geltend macht. Ein darüber hinausgehendes Mass an individueller Betreuung, das theoretisch immer möglich wäre, kann mit Rücksicht auf das staatliche Leistungsvermögen nicht eingefordert werden (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 13 mit Hinweisen). Das Bundesgericht hat im Zusammenhang mit Zulassungsbeschränkungen an Universitäten einen Anspruch auf eine willkürfreie und rechtsgleiche Regelung bei der Zulassung zu den vorhandenen Studienplätzen bejaht; ein Anspruch darauf, dass die Kantone jedem Studienwilligen den gewünschten Studienplatz zur Verfügung stellen, besteht nach der Rechtsprechung jedoch nicht (vgl. <ref-ruling> E. 3c S. 176). Diese Grundsätze können auf den vorliegenden Fall analog angewendet werden: Zu berücksichtigen ist insbesondere der Umstand, dass es die Sportvereine sind, welche die persönlichen Ressourcen für die Ausbildung sicherstellen und die Trainingsmöglichkeiten organisieren (vgl. Ziff. 2.2 des Konzepts und E. 4.2 hiervor), was voraussetzt, dass es Sportvereine gibt, die diese Aufgaben übernehmen wollen. Zudem ist die Anzahl an Ausbildungsplätzen beschränkt (vgl. Ziff. 3.3 des Konzepts). Folglich hat der Beschwerdeführer keinen unbedingten verfassungsrechtlichen Anspruch auf Zulassung an der Sportschule.
5.2. Nach ständiger Rechtsprechung ist der Grundsatz der rechtsgleichen Behandlung verletzt (<ref-law>), wenn rechtliche Unterscheidungen getroffen werden, für die ein vernünftiger Grund in den zu regelnden Verhältnissen nicht ersichtlich ist, oder wenn Unterscheidungen unterlassen werden, welche sich aufgrund der Verhältnisse aufdrängen. Die Rechtsgleichheit wird insbesondere dann verletzt, wenn Gleiches nicht nach Massgabe seiner Gleichheit gleich oder Ungleiches nicht nach Massgabe seiner Ungleichheit ungleich behandelt wird. Vorausgesetzt ist, dass sich die ungerechtfertigte Gleich- bzw. Ungleichbehandlung auf eine wesentliche Tatsache bezieht (<ref-ruling> E. 3.4.2).
Gemäss <ref-law> darf niemand diskriminiert werden, namentlich nicht wegen der Herkunft, der Rasse, des Geschlechts, des Alters, der Sprache, der sozialen Stellung, der Lebensform, der religiösen, weltanschaulichen oder politischen Überzeugung oder wegen einer körperlichen, geistigen oder psychischen Behinderung. Eine Diskriminierung liegt vor, wenn eine Person ungleich behandelt wird allein aufgrund ihrer Zugehörigkeit zu einer bestimmten Gruppe, welche historisch oder in der gegenwärtigen sozialen Wirklichkeit tendenziell ausgegrenzt oder als minderwertig behandelt wird. Die Diskriminierung stellt eine qualifizierte Ungleichbehandlung von Personen in vergleichbaren Situationen dar, indem sie eine Benachteiligung von Menschen bewirkt, die als Herabwürdigung oder Ausgrenzung einzustufen ist, weil sie an Unterscheidungsmerkmalen anknüpft, die einen wesentlichen und nicht oder nur schwer aufgebbaren Bestandteil der Identität der betroffenen Personen ausmachen; insofern beschlägt das Diskriminierungsverbot auch Aspekte der Menschenwürde nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 3.3.2 S. 221; <ref-ruling> E. 4.1 S. 53).
5.3. Wie die Vorinstanz ausgeführt hat, wurde die Abweisung des Gesuchs des Beschwerdeführers um Aufnahme in die Sportschule in erster Linie damit begründet, dass zwischen dem Verein des Beschwerdeführers bzw. dem Kickbox-Verband und der Sportschule unbestrittenermassen keine vertragliche Vereinbarung besteht. Wie bereits dargelegt, tragen die Partnervereine und -verbände der Sportschule die Verantwortung für den Trainingbetrieb und stellen die personellen Ressourcen für die qualifizierte Ausbildung der jugendlichen Sportler sicher. Zudem müssen die vertraglichen Vereinbarungen zwischen der Sportschule und den Vereinen und Verbänden vom Departement genehmigt werden, welches auch die Fördergelder ausspricht. Dadurch wird sichergestellt, dass die sportliche Aus- und Weiterbildung der qualifizierten jugendlichen Spitzensportler nach den Vorgaben des Departements und von Swiss Olympic geregelt wird (vgl. E. 4.2 hiervor; E. 3.4.2 des angefochtenen Urteils). Folglich stellt das Bestehen einer Vereinbarung zwischen der Sportschule und dem Verein, dem der gesuchstellende Sportler angehört, ein sachliches Kriterium für eine Differenzierung dar. Dass diese Anforderung nicht gegenüber allen Bewerbern zur Anwendung gelangen würde, wird nicht geltend gemacht. Eine Verletzung der Rechtsgleichheit im Sinne von <ref-law> liegt somit nicht vor. Bei diesem Ergebnis braucht nicht weiter geprüft zu werden, ob der Beschwerdeführer die weiteren Voraussetzungen für eine Aufnahme in die Sportschule erfüllen würde.
Im Übrigen ist vorliegend nicht ersichtlich und wird vom Beschwerdeführer auch nicht substantiiert gerügt (vgl. E. 2.2 hiervor), inwiefern ein Verstoss gegen das Diskriminierungsverbot (<ref-law>) im Sinne einer Benachteiligung, die als Herabwürdigung oder Ausgrenzung einzustufen ist, vorliegen soll (vgl. E. 5.2 hiervor). Ebensowenig gelingt es dem Beschwerdeführer, substantiiert darzulegen, dass das angefochtene Urteil willkürlich im Sinne der Rechtsprechung (vgl. E. 4.1 hiervor) ist. Schliesslich begründet der Beschwerdeführer nicht, inwiefern ihm § 41 Abs. 6 KV/AG, wonach der Kanton Turnen und Sport fördert, einen Anspruch auf Aufnahme in die Sportschule einräumen soll.
6.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als unbegründet und ist abzuweisen. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, und dem Departement Bildung, Kultur und Sport des Kantons Aargau, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Februar 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Ivanov