Faits :
A.
A.a. A._ a été engagé le 12 février 2002 en qualité de "chef de service B, au personnel" par l'établissement médico-social (EMS) Maison B._, avant d'être nommé directeur administratif et ressources humaines à compter du 1er septembre 2002, puis directeur général adjoint dès le 1er juin 2003.
A.b. Le 10 décembre 2015, le service d'audit interne de la République et canton de Genève a rendu un rapport n° xxx portant sur le contrôle des comptes arrêtés au 31 décembre 2014 de la Maison B._. L'"appréciation générale" indiquait que ledit service ne relevait pas de problèmes majeurs; néanmoins, la sous-évaluation de la valeur comptable de certains bâtiments et des durées d'amortissement trop longues participaient à améliorer le résultat de l'EMS; par ailleurs, la création d'une société par l'EMS ne reposait pas sur une base légale, ce qui pouvait remettre en cause l'existence et la validité des engagements de cette société. Le 22 juin 2016, la fiduciaire C._ SA a présenté au conseil d'administration les résultats préliminaires d'un audit de gestion. D'un point de vue opérationnel, il y avait un risque majeur sur la gestion financière courante et sur le projet de construction en cours. Sur le plan de la gouvernance, il existait un "virage entre le Conseil d'administration actuel et les précédents". La responsabilité du conseil d'administration était engagée; un plan d'action était proposé. Le 13 juillet 2016, la fiduciaire D._ SA, organe de révision de l'EMS, a rendu un rapport détaillé au conseil d'administration pour l'exercice arrêté au 31 décembre 2015. Le 28 août 2016, la Maison B._ a accepté la mise à la retraite anticipée complète de A._ au 1er janvier 2018. Le 12 octobre 2016, C._ SA a fait une présentation au conseil d'administration des constats détaillés, des actions en cours et des actions futures. Elle retenait notamment que la Maison B._ avait été "laissée à l'abandon depuis longtemps par manque flagrant de management et de leadership".
A.c. Par décision du 31 octobre 2016, la Maison B._ a suspendu A._ de ses fonctions avec effet immédiat. L'audit de gestion avait révélé diverses irrégularités et de nombreux manquements répétés dans l'accomplissement de ses tâches en tant que directeur général adjoint en charge notamment de la gestion des finances et des travaux au sein de la Maison B._. Cette dernière a ouvert une enquête administrative à l'encontre de A._. Le 19 décembre 2016, C._ SA a rendu un rapport détaillant les constatations sur les problématiques d'organisation et de fonctionnement dans les services de comptabilité, accueil et achats de la Maison B._, avant de rendre un rapport final le 26 avril 2017.
A.d. A la suite d'un vote du conseil d'administration du 24 mai 2017, la Maison B._ a, par décision du 7 juin 2017, suspendu le traitement de A._ avec effet immédiat. L'enquêteur a pour sa part adressé son rapport le 17 novembre 2017. Il a conclu que 9 des 13 griefs retenus à l'encontre de A._ étaient avérés, à savoir: la signature, le 1er janvier 2008, d'une convention de partenariat avec E._, F._, d'une part, et la Maison B._, A._, d'autre part, sans double signature, en violation des règles du contrôle interne (1er grief); la signature, le 27 janvier 2015, d'une convention de partenariat avec E._, représenté par F._, et la Maison B._, représentée par A._, sans double signature ni appel d'offres (2e grief); la violation de l'accord intercantonal sur les marchés publics en tant que A._ avait signé en décembre 2011 un contrat avec une blanchisserie du Léman, sans appel d'offres (3e grief); l'absence de consolidation des comptes entre la Maison B._ et G._ Sàrl, bien que recommandée par le département dans un courrier du 12 mars 2012 (4e grief); l'opacité de la dette et une documentation lacunaire (5e grief); un surplus de facturation aux pensionnaires (6e grief); l'absence ou l'insuffisance d'entretiens d'évaluation (7e grief); l'absence de gestion des achats entraînant une incapacité à établir un contrôle du disponible budgétaire correct (8e grief); la faible protection des intérêts financiers de la Maison B._, la gestion lacunaire des débiteurs et l'absence de rappels (9e grief); la récupération d'heures saisies sur le planning en sus de l'indemnité annuelle forfaitaire de 2 % prévue dans le règlement sur les cadres supérieurs de l'administration cantonale (RCSAC; RS/GE B 5 05.03), de 2003 à 2016 (12e grief).
A.e. Se fondant sur les constats de l'enquête administrative, la Maison B._ a, par décision du 26 décembre 2017, révoqué A._ avec effet au 16 novembre 2016.
B.
Par jugement du 19 mars 2019, la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève a rejeté le recours interjeté par A._ contre cette décision.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant principalement à sa réforme en ce sens que la décision de révocation du 26 décembre 2017 soit annulée et que la Maison B._ soit condamnée à lui allouer une indemnité de 24 mois de son dernier traitement brut et à lui rembourser les arriérés de traitement qui lui reviennent ensuite de sa suspension provisoire sans traitement. A titre subsidiaire, il conclut à l'annulation du jugement entrepris et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour qu'elle statue dans le sens des considérants. Il sollicite en outre l'octroi de l'effet suspensif à son recours.
L'autorité cantonale déclare s'en remettre à justice quant à la recevabilité du recours et persister dans les considérants et le dispositif de son arrêt. L'intimée conclut au rejet du recours.
D.
Par ordonnance du 6 septembre 2019, le juge instructeur a admis la requête d'effet suspensif.

Considérant en droit :
1.
Le jugement entrepris a été rendu en matière de rapports de travail de droit public. Dans la mesure où la contestation porte sur une décision de révocation, il s'agit d'une contestation de nature pécuniaire, de sorte que le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF ne s'applique pas (voir par exemple l'arrêt 8C_24/2017 du 13 décembre 2017, consid. 1.1). En outre la valeur litigieuse atteint manifestement le seuil de 15'000 fr. ouvrant la voie du recours en matière de droit public en ce domaine (art. 51 al. 1 let. a et 85 al. 1 let. b LTF). Pour le surplus, déposé en temps utile et dans les formes requises, le recours est recevable au regard des art. 42, 90 et 100 al. 1 LTF.
2.
2.1. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 503) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). En bref, il ne suffit pas, pour qu'il y ait arbitraire, que la décision attaquée apparaisse discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable, et cela non seulement dans sa motivation mais aussi dans son résultat. Par conséquent, le recourant doit exposer, de manière détaillée et pièces à l'appui, que les faits retenus l'ont été d'une manière absolument inadmissible, et non seulement discutable ou critiquable. Il ne saurait se borner à plaider à nouveau sa cause, contester les faits retenus ou rediscuter la manière dont ils ont été établis comme s'il s'adressait à une juridiction d'appel (<ref-ruling> consid. 3 p. 352). Le Tribunal fédéral n'entre ainsi pas en matière sur des critiques appellatoires portant sur l'appréciation des preuves ou l'établissement des faits par l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 253).
2.2. Sauf exceptions non pertinentes en l'espèce (cf. art. 95 let. c, d et e LTF), on ne peut invoquer la violation du droit cantonal ou communal en tant que tel devant le Tribunal fédéral (<ref-law> a contrario). Il est néanmoins possible de faire valoir que son application consacre une violation du droit fédéral, comme la protection contre l'arbitraire (art. 9 Cst.) ou la garantie d'autres droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine alors de tels moyens que s'ils sont formulés conformément aux exigences de motivation qualifiée prévues à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 579 et la référence).
3.
Selon l'art. 16 al. 1 de loi générale [du canton de Genève] relative au personnel de l'administration cantonale, du pouvoir judiciaire et des établissements publics médicaux du 4 décembre 1997 (LPAC; RS/GE B 5 05), les fonctionnaires et les employés qui enfreignent leurs devoirs de service, soit intentionnellement soit par négligence, peuvent faire l'objet, selon la gravité de la violation, des sanctions suivantes: a) prononcé par le supérieur hiérarchique, en accord avec sa hiérarchie: 1° le blâme; b) prononcées, au sein de l'administration cantonale, par le chef du département ou le chancelier d'Etat, d'entente avec l'office du personnel de l'Etat; au sein des services centraux et des greffes du pouvoir judiciaire, par le secrétaire général du pouvoir judiciaire; au sein de l'établissement, par le directeur général : 2° la suspension d'augmentation du traitement pendant une durée déterminée, 3° la réduction de traitement à l'intérieur de la classe; c) prononcées, à l'encontre d'un fonctionnaire, au sein de l'administration cantonale, par le Conseil d'Etat; au sein des services centraux et des greffes du pouvoir judiciaire, par la commission de gestion du pouvoir judiciaire; au sein de l'établissement, par le conseil d'administration: 4° le retour au statut d'employé en période probatoire pour une durée maximale de 3 ans, 5° la révocation. En cas de révocation, le Conseil d'Etat, respectivement la commission de gestion du pouvoir judiciaire ou le conseil d'administration de l'établissement, peut stipuler que celle-ci déploie un effet immédiat si l'intérêt public le commande (al. 2). L'art. 28 al. 4 LPAC dispose qu'à l'issue de l'enquête administrative, il est veillé à ce que l'intéressé ne subisse aucun préjudice réel autre que celui qui découle de la décision finale; une décision de révocation avec effet immédiat peut cependant agir rétroactivement au jour de l'ouverture de l'enquête administrative.
4.
La cour cantonale a fait siennes les conclusions du rapport d'enquête, dont elle a retenu qu'il se fondait sur un établissement des faits détaillés et fouillés, après audition de nombreux témoins et production de pièces. L'analyse du bien-fondé des griefs était convaincante et aucun des arguments développés par le recourant ne le remettait valablement en cause. L'autorité cantonale a écarté le grief de violation de la primauté du droit fédéral, considérant que l'a rt. 336c al. 1 let. b CO - qui protège le travailleur contre un licenciement pendant une période d'incapacité de travail - ne trouvait pas application en cas de révocation par renvoi de l'art. 44A du règlement d'application de la loi générale relative au personnel de l'administration cantonale, du pouvoir judiciaire et des établissements publics médicaux du 24 février 1999 (RPAC; RS/GE B 5 05.01), lequel ne visait que les cas de résiliation des rapports de service. Elle a considéré que les griefs n° 2, 5, 8 et 9 retenus à l'encontre du recourant n'étaient pas touchés par la prescription de l'art. 27 al. 7 LPAC, laquelle intervenait un an après la découverte de la violation des devoirs de service et en tout cas cinq ans après la dernière violation. En effet, l'ampleur des difficultés avait commencé à pouvoir être définie au plus tôt le 22 juin 2016, lors de la première présentation par C._ SA des résultats préliminaires de l'audit de gestion devant le conseil d'administration; il pouvait ainsi être considéré que c'était à cette date que l'intimée avait eu connaissance des faits pertinents. Cela étant, sans juger nécessaire d'examiner la prescription des griefs n° 3 et 4, les juges cantonaux ont considéré que le recourant avait fautivement violé ses obligations découlant des art. 20, 21 let. a et c, 22 al. 1 RPAC et 3 RCSAC et que le prononcé d'une sanction était conforme à la loi. Par ailleurs, la décision de révocation avec effet rétroactif apparaissait nécessaire, apte à atteindre le but voulu et proportionnée au sens étroit au vu de la gravité des manquements, du poste à hautes responsabilités, de l'absence délibérée de transparence sur des problématiques d'importance pour la gestion de l'établissement et de la durée desdits agissements.
5.
5.1. Se plaignant tout d'abord d'arbitraire dans l'établissement des faits relatifs à la prescription, le recourant reproche aux premiers juges d'avoir omis certains faits déterminants. Ainsi, le rapport n° xxx du 10 décembre 2015 - que la cour cantonale n'aurait pas assez détaillé - aurait déjà mis en évidence l'absence de comptes consolidés entre G._ Sàrl et la Maison B._ ainsi que l'ignorance des prescriptions de l'accord intercantonal sur les marchés publics s'agissant des procédures d'achat auprès des fournisseurs. Le rapport de gestion sur les comptes 2014 aurait en outre déjà révélé un "montant des débiteurs" de 1'585'672 fr. Par ailleurs, le jugement du Tribunal cantonal ne mentionnerait pas l'audition de H._, membre du conseil d'administration jusqu'au 30 septembre 2012 entendue dans le cadre d'une autre affaire, laquelle aurait pourtant précisé que le conseil d'administration avait toujours été très attentif aux dossiers des débiteurs douteux et qu'il demandait régulièrement des situations financières. Aussi, selon le recourant, les griefs n° 8 (absence de gestion des achats entraînant une incapacité à établir un contrôle du disponible budgétaire correct) et n° 9 (gestion lacunaire des débiteurs) seraient-ils prescrits.
Force est de constater que les éléments invoqués ne permettent nullement de démontrer en quoi la cour cantonale aurait fait preuve d'arbitraire en considérant que le rapport n° xxx du 10 décembre 2015 ne permettait pas encore à l'intimée de connaître l'ampleur des difficultés de l'établissement et des responsabilités imputables au recourant. Le témoignage de l'ancienne membre du conseil d'administration n'est d'aucun secours au recourant. En effet, celui-ci ne démontre pas en quoi les premiers juges auraient considéré de manière arbitraire, sur la base d'une motivation circonstanciée que le recourant ne discute pas, qu'on ne pouvait pas reprocher à l'intimée de n'avoir pas pris conscience de l'implication personnelle du recourant dans la débâcle des comptes alors même qu'elle lui faisait encore confiance et que celui-ci lui avait caché des éléments déterminants pour la compréhension de la situation notamment financière de l'institution.
5.2. Le recourant se plaint ensuite d'arbitraire dans l'application des règles relatives à la révocation, notamment en raison d'un état de fait établi de manière arbitraire.
5.2.1. Ainsi, s'agissant du grief n° 2 (signature d'une convention de partenariat avec E._ et la Maison B._ sans double signature ni appel d'offres), il soutient que le document en question n'aurait pas impliqué d'engagement pour l'intimée dès lors qu'il n'y aurait pas eu d'obligation de travailler et pas de chiffre d'affaires minimal à réaliser. Il aurait donc été envisageable qu'aucun intérimaire de E._ ne soit engagé et, dans cette hypothèse, le seuil prévu par la réglementation sur les marchés publics n'aurait pas été dépassé. Le recourant estime donc que révoquer quelqu'un pour un "non-sujet" comme celui-ci serait parfaitement arbitraire. Par son argumentation, le recourant ne discute toutefois pas la motivation de la cour cantonale, laquelle a considéré la faute comme établie en raison du lien que le recourant entretenait avec le directeur de E._ et de la favorisation de la société de ce dernier.
5.2.2. En outre, le recourant considère parfaitement insoutenable de devoir payer les manquements de sa hiérarchie, s'agissant du grief n° 5 (opacité de la dette et documentation lacunaire). Il ressortirait selon lui de l'audition de l'ancien Président du conseil d'administration I._ - que la cour cantonale n'aurait pas détaillée - que la situation de l'intimée était devenue délicate en relation avec le projet B._ 2010 qui avait été pensé et décidé par le conseil d'administration. Toutefois, là encore, le recourant ne démontre pas en quoi le Tribunal cantonal aurait retenu de manière insoutenable qu'on ne pouvait en aucun cas déduire de la lecture du témoignage de l'ancien Président du conseil d'administration, nuancé et détaillé, une exonération des responsabilités du recourant.
5.2.3. Il en va de même lorsque le recourant soutient que ce seraient des décisions politiques du conseil d'administration, et non un manquement de sa part, qui auraient conduit la Maison B._ à gérer les débiteurs douteux (grief n° 9). Le fait que la Présidente de la Commission des finances depuis le 1er juin 2014 aurait été au courant de cette problématique ne suffit pas à démontrer qu'aucun manquement ne peut être reproché au recourant, pas plus que la prétendue information de H._ selon laquelle les dossiers auraient été délégués à un avocat externe, ni la déclaration de celle-ci selon laquelle "tout cela était délicat car ils ne pouvaient pas mettre les résidents à la porte lorsque les pensions n'étaient pas payées".
5.2.4. Concernant le grief n° 8 (absence de gestion des achats entraînant une incapacité à établir un contrôle du disponible budgétaire correct), le recourant ne saurait rien déduire en sa faveur du fait que le rapport du service d'audit interne aurait révélé que les appels d'offres étaient faits très sérieusement. En effet, la cour cantonale a précisément retenu que ce rapport ne permettait pas encore de connaître l'ampleur des difficultés, mais que c'étaient les audits subséquents qui avaient permis de révéler la défaillance de la gestion des achats. Pour le surplus, le recourant se borne à donner sa propre version des faits de manière purement appellatoire, notamment lorsqu'il soutient que le nouveau chef des achats aurait été nommé en 2012 et non en 2015. En tout état de cause, même à le suivre, cet élément ne suffit pas à démontrer que sa gestion n'était pas critiquable comme retenu par l'enquêteur et confirmé par la cour cantonale.
5.3. En tant que le recourant invoque une violation du principe de la primauté du droit fédéral, l'unique argument qui n'est pas la reprise mot pour mot du recours cantonal consiste à soutenir que l'intimée aurait dû prononcer un licenciement et qu'en choisissant la voie de la révocation, elle aurait contourné les dispositions impératives du droit du travail. Ce faisant, le recourant ne critique toutefois pas directement le jugement cantonal en tant qu'il explique pourquoi l'<ref-law> ne trouve pas application en l'espèce, ni ne démontre en quoi l'autorité précédente aurait fait preuve d'arbitraire dans son appréciation.
5.4. Enfin, se plaignant d'une violation du principe de la proportionnalité, le recourant soutient qu'aucun intérêt public ne commandait une fin des rapports de travail avec effet immédiat et encore moins avec effet rétroactif. A cet égard, il se contente toutefois d'estimer un peu courte l'affirmation de la cour cantonale selon laquelle le seul intérêt public au bon fonctionnement de l'institution suffisait à considérer qu'il existait un intérêt public pour une révocation rétroactive. Or une telle argumentation ne suffit pas à démontrer le caractère arbitraire de l'appréciation des premiers juges. La cour cantonale s'est par ailleurs assurée, compte tenu de la retraite partiellement anticipée du recourant au moment de la révocation, que "les conséquences financières sur la rente de sa retraite n'induiraient pas de conséquences disproportionnées".
6.
Vu ce qui précède, le recours s'avère en tous points mal fondé et doit être rejeté. Les frais judiciaires seront mis à la charge du recourant, qui succombe (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimée (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative.
Lucerne, le 25 juillet 2020
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Paris