Sachverhalt:
A.
Die 1959 geborene A._ bezog bei einem Invaliditätsgrad von 80 % eine ganze Rente der Invalidenversicherung ab 1. Februar 2000 (Verfügung vom 8. Oktober 2001, bestätigt am 8. September 2004 und 25. März 2010). Im April 2012 leitete die Staatsanwaltschaft Nidwalden wegen Verdachts auf Straftaten zu Lasten der IV-Stelle (gewerbsmässiger Betrug und Widerhandlungen gegen das IVG) Strafverfahren gegen die Versicherte und ihren Ehemann ein. Im September 2012 sistierte die IV-Stelle Nidwalden die Rentenzahlung. Mit Verfügung vom 30. November 2016 stellte die Staatsanwaltschaft die Strafverfahren gegen A._ und ihren Ehemann ein.
Nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens hob die IV-Stelle Nidwalden mit Verfügung vom 23. Juli 2018 die Invalidenrente der A._ rückwirkend auf den 1. Januar 2007 auf; gleichzeitig verpflichtete sie die Versicherte, seit diesem Zeitpunkt unrechtmässig bezogene Rentenleistungen im Betrag von Fr. 141'453.- zurückzuerstatten.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht Nidwalden mit Entscheid vom 29. April 2019 ab.
C.
A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, der Entscheid vom 29. April 2019 sei aufzuheben und die Sache sei zur Neubeurteilung an das kantonale Gericht zurückzuweisen; eventuell sei ihr über den 1. Januar 2007 hinaus eine ganze Invalidenrente auszurichten; von einer Rückforderung sei in jedem Falle abzusehen. Ferner ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. A._ lässt eine weitere Eingabe einreichen.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG)
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Dennoch prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 2 S. 394; <ref-ruling> E. 1 S. 236 mit Hinweisen).
2.
2.1. Ändert sich der Invaliditätsgrad eines Rentenbezügers erheblich, so wird die Rente von Amtes wegen oder auf Gesuch hin für die Zukunft entsprechend erhöht, herabgesetzt oder aufgehoben (Art. 17 Abs. 1 ATSG [SR 830.1]). Anlass zur Rentenrevision gibt jede wesentliche Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen seit Zusprechung der Rente, die geeignet ist, den Invaliditätsgrad und damit den Anspruch zu beeinflussen. Insbesondere ist die Rente bei einer wesentlichen Änderung des Gesundheitszustandes revidierbar (<ref-ruling> E. 2.3 S. 10 f. mit Hinweisen). Die Herabsetzung oder Aufhebung einer Rente erfolgt rückwirkend ab Eintritt der für den Anspruch erheblichen Änderung, wenn der Bezüger die Leistung zu Unrecht erwirkt hat oder der ihm nach Art. 77 IVV zumutbaren Meldepflicht nicht nachgekommen ist (Art. 88bis Abs. 2 lit. b IVV [SR 831.201], sowohl in der bis Ende 2014 als auch in der seither geltenden Fassung).
2.2. Unrechtmässig bezogene Leistungen sind zurückzuerstatten (Art. 25 Abs. 1 Satz 1 ATSG). Der Rückforderungsanspruch erlischt mit dem Ablauf eines Jahres, nachdem die Versicherungseinrichtung davon Kenntnis erhalten hat, spätestens aber mit dem Ablauf von fünf Jahren nach der Entrichtung der einzelnen Leistung. Wird der Rückerstattungsanspruch aus einer strafbaren Handlung hergeleitet, für welche das Strafrecht eine längere Verjährungsfrist vorsieht, so ist diese Frist massgebend (Art. 25 Abs. 2 ATSG).
3.
Die Vorinstanz hat gestützt auf das polydisziplinäre Gutachten der PMEDA AG Polydisziplinäre Medizinische Abklärungen (nachfolgend: PMEDA) vom 17. November 2017 eine Veränderung der tatsächlichen Verhältnisse festgestellt. Seit dem 1. Januar 2007 sei die Beschwerdeführerin für die bisherige und jede andere angepasste Tätigkeit uneingeschränkt arbeitsfähig (unter Vorbehalt vorübergehender Arbeitsunfähigkeiten während akuter Spitalbehandlung, spinaler Operationen und nachfolgender Rehabilitationen). Sodann hat sie eine Meldepflichtverletzung bejaht und deswegen sowohl die rückwirkende Rentenaufhebung auf den 1. Januar 2007 als auch die entsprechende Rückforderung von Fr. 141'453.- bestätigt.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin rügt, die IV-Stelle habe nicht die vollständigen Strafakten eingeholt. Das trifft zwar zu, ist aber nicht mit einem Verstoss gegen den Untersuchungsgrundsatz (Art. 43 ATSG) oder die Aktenführungspflicht (Art. 46 ATSG) gleichzusetzen. Das im (Straf-) Untersuchungsverfahren eingeholte Gutachten der Academy of Swiss Insurance Medicine, Universitätsspital Basel (asim), vom 24. Dezember 2013 fand ebenso wie die Einstellungsverfügung vom 30. November 2016 Eingang in die Akten der IV-Stelle. Sodann legt (e) die Versicherte nicht dar, was zu ihren Gunsten aus welchen (weiteren) Unterlagen der Staatsanwaltschaft abgeleitet werden könnte (vgl. Art. 42 Abs. 1 f. BGG). Zudem stellt der Verzicht auf zusätzliche Beweiserhebung oder -edition keine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes dar, wenn er - wie hier - in pflichtgemässer antizipierender Beweiswürdigung erfolgte (<ref-ruling> E. 3.1.3 S. 435; <ref-ruling> E. 3.3 S. 64).
4.2.
4.2.1. Weiter moniert die Beschwerdeführerin, der PMEDA-Experte Dr. med. B._, Facharzt für Neurologie sowie für Psychiatrie und Psychotherapie, verfüge nicht über eine Berufsausübungsbewilligung (vgl. dazu Art. 34 f. des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2006 über die universitären Medizinalberufe [Medizinalberufegesetz, MedBG; SR 811.11]). Indessen verlangt Ziff. 3 Abs. 3 des Anhangs 1 zur Mustervereinbarung zwischen dem Bundesamt für Sozialversicherungen und medizinischen Gutachterstellen lediglich, dass die Experten über die zur Ausübung ihrer Tätigkeit notwendigen Bewilligungen verfügen. Mit Blick auf die Begutachtung schreibt das Bundesrecht keine Berufsausübungsbewilligung vor (Urteile 9C_121/2016 vom 27. April 2016 E. 4.3; 9C_526/2014 vom 3. Dezember 2014 E. 5.5; 8C_436/2012 vom 3. Dezember 2012 E. 3.4). Dass der Experte einer solchen aus einem anderen Grund bedurft hätte, wird nicht dargelegt.
4.2.2. In materieller Hinsicht hat das kantonale Gericht zutreffend erkannt, dass für die Beweiskraft des PMEDA-Gutachtens entscheidend ist, ob es insgesamt umfassend, nachvollziehbar und begründet ist (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352 mit Hinweis). Innerhalb dieser Anforderungen liegt es im Ermessen der begutachtenden Fachärztinnen und -ärzte, ob bildgebende Untersuchungsverfahren anzuwenden sind (Urteil 9C_514/2016 vom 18. Januar 2017 E. 4.2). Entgegen der Beschwerdeführerin ist die konkrete diagnostische Einordnung - und damit auch die geforderte "vollständige", "richtige" und "unverkürzte" Wiedergabe von Diagnosen - nicht von ausschlaggebender Bedeutung (Urteil 9C_345/2019 vom 25. September 2019 E. 4.2.1 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 3.1 S. 195 und Urteil 9C_851/2018 vom 23. Mai 2019 E. 4.1.4). Angesichts des Umstandes, dass die PMEDA-Experten - anders als insbesondere die asim-Ärzte - das von der Beschwerdeführerin effektiv geleistete Arbeitspensum (vgl. nachfolgende E. 4.4) mitberücksichtigten, genügt auch deren Auseinandersetzung mit abweichenden Einschätzungen anderer Ärzte.
In Bezug auf das PMEDA-Gutachten beschränkt sich die Beschwerdeführerin ohnehin auf weiten Strecken darauf, in appellatorischer Weise die medizinischen Unterlagen abweichend von der Vorinstanz zu würdigen und daraus andere Schlüsse zu ziehen, was nicht ausreicht (statt vieler Urteil 9C_517/2019 vom 4. November 2019 E. 3.5 mit Hinweisen).
4.3. Nach dem Gesagten bleibt die vorinstanzliche Feststellung betreffend die Arbeitsfähigkeit für das Bundesgericht verbindlich (vgl. E. 1.1). Damit zielen die Vorbringen der Versicherten gegen die Invaliditätsbemessung des kantonalen Gerichts ins Leere.
4.4. Die Beschwerdeführerin bestreitet eine Verletzung der Meldepflicht (vgl. Art. 31 Abs. 1 ATSG und Art. 77 IVV); sie beruft sich dafür auf ihre Meldung eines Erwerbseinkommens und auf die Einstellungsverfügung der Staatsanwaltschaft Nidwalden vom 30. November 2016. Eine Meldepflichtverletzung im Sinne von Art. 88bis Abs. 2 lit. b IVV setzt keine Strafbarkeit der entsprechenden Handlung resp. Unterlassung voraus. Das Strafuntersuchungsverfahren wurde hinsichtlich Art. 88 AHVG i.V.m. Art. 70 IVG wegen Verjährung - und nicht wegen fehlendem Tatverdacht - eingestellt; somit steht die Einstellungsverfügung der Annahme einer Meldepflichtverletzung nicht entgegen.
Zwar meldete die Beschwerdeführerin der IV-Stelle im Januar 2010 eine selbstständige Arbeitstätigkeit und ein entsprechendes Einkommen. Die Tätigkeit wurde aber einzig für das Jahr 2007 und als vorübergehend deklariert; Sozialversicherungsbeiträge wurden denn auch nur für dieses Jahr abgerechnet. Das angegebene Einkommen war ohne Weiteres mit dem damals anerkannten Invaliditätsgrad von 80 % vereinbar, weshalb sich die Verwaltung diesbezüglich zu Recht nicht zu weiteren Abklärungen veranlasst sah. Insoweit, als die Versicherte gegenüber der IV-Stelle verschwieg, dass sie tatsächlich von 2006 bis 2012 ununterbrochen und in beträchtlichem Umfang als Fusspflegerin erwerbstätig war, wie die Staatsanwaltschaft und (für das Bundesgericht verbindlich; E. 1.1) die Vorinstanz feststellten, liegt eine klare Meldepflichtverletzung vor.
Soweit die erst nach Ablauf der Beschwerdefrist vorgebrachte Argumentation der Versicherten, sie habe ihre Einkommen der Steuerbehörde und der Ausgleichskasse gemeldet, überhaupt zulässig ist (vgl. Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 42 Abs. 1 f. BGG), ergibt sich nichts für sie: Aus dem Wortlaut von Art. 31 ATSG und Art. 77 IVV ergibt sich klar, dass ihre Meldepflicht gegenüber der IV-Stelle als zuständigem Durchführungsorgan bestand (vgl. auch Urteil 9C_245/2012 vom 29. Oktober 2012 E. 4.2.2).
4.5. Nach dem Gesagten hat das kantonale Gericht kein Recht verletzt, indem es die Rentenaufhebung per 1. Januar 2007 bestätigt hat.
4.6.
4.6.1. Näher zu betrachten ist die Rückforderung von Fr. 141'453.-. Diesbezüglich hat die Vorinstanz erwogen, es gebe weder Hinweise auf Fehlerhaftigkeit in masslicher Hinsicht noch Anhaltspunkte für eine Verwirkung.
4.6.2. Bei den Fristen von Art. 25 Abs. 2 ATSG handelt es sich um Verwirkungsfristen (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 24; <ref-ruling> E. 2.1 S. 525; <ref-ruling> E. 4.1 S. 77), die im Bereich der Invalidenversicherung mit Erlass des Vorbescheids betreffend die Rückforderung gewahrt werden (SVR 2011 IV Nr. 52 S. 155, 8C_699/2010 E. 2). Was die längere strafrechtliche Verjährungsfrist anbelangt, so ist die über den Rückforderungsanspruch befindende Behörde an die Einstellungsverfügung der zuständigen strafrechtlichen Untersuchungsbehörden gebunden, wenn sie die gleiche definitive Wirkung wie ein freisprechendes Urteil hat (BGE <ref-ruling> E. 6.1 S. 80). Ob resp. inwieweit die Rückforderung verwirkt ist, ist eine Rechtsfrage.
4.6.3. Eine rechtskräftige Einstellungsverfügung kommt einem freisprechenden Endentscheid gleich (Art. 320 Abs. 4 StPO). Dies trifft auf die Einstellungsverfügung vom 30. November 2016 zu, auch wenn die Staatsanwaltschaft darin zum Schluss kam, die Versicherte und ihr Ehemann hätten mit "zivilrechtlich vorwerfbarem Verhalten" die Strafuntersuchungen rechtswidrig und schuldhaft bewirkt, und ihnen deshalb die Verfahrenskosten auferlegte. Die absolute Verwirkungsfrist beläuft sich daher auf fünf Jahre. Die IV-Stelle machte die Rückforderung erstmals mit dem Vorbescheid vom 3. Oktober 2013 geltend. Somit können die Rentenbetreffnisse, die vor dem 3. Oktober 2008 ausgerichtet wurden, nicht mehr zurückgefordert werden. Dementsprechend wird die IV-Stelle den Rückforderungsbetrag erneut festzusetzen haben. Insoweit ist die Beschwerde im Ergebnis (vgl. E. 1.2) begründet.
5.
Hinsichtlich der Prozesskosten gilt die Rückweisung der Sache zu neuem Entscheid praxisgemäss als volles Obsiegen (vgl. statt vieler: Urteil 9C_279/2019 vom 1. Juli 2019 E. 3 mit Hinweisen), weshalb die unterliegende Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten trägt und der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung auszurichten hat (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts Nidwalden vom 29. April 2019 und die Verfügung der IV-Stelle Nidwalden vom 23. Juli 2018 werden aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Verfügung an die IV-Stelle Nidwalden zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht Nidwalden zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht Nidwalden, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 2. Juli 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Dormann