Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer erstattete am 6. Juni und 24. Dezember 2019 im Zusammenhang mit der Tätigkeit des Verbands B._ Strafanzeige gegen Unbekannt u.a. wegen ungetreuer Geschäftsbesorgung, Drohung, Nötigung und Erpressung. Die Staatsanwaltschaft nahm das Strafverfahren mit Verfügung vom 7. Januar 2020 nicht an die Hand. Die vom Beschwerdeführer dagegen erhobene Beschwerde wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 30. April 2020 ab, soweit es darauf eintrat.
Der Beschwerdeführer gelangt gegen den Entscheid vom 30. April 2020 mit Beschwerde an das Bundesgericht.
2.
Die Privatklägerschaft ist zur Beschwerde in Strafsachen nur berechtigt, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Bei den Zivilansprüchen im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG geht es in erster Linie um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung gemäss <ref-law>, die üblicherweise vor den Zivilgerichten geltend gemacht werden müssen. Die Privatklägerschaft muss im Verfahren vor Bundesgericht darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderung auswirken kann. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen nicht, kann darauf nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderung es geht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 4 f. mit Hinweisen).
3.
Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, inwiefern ihm aufgrund der angezeigten Sachverhalte Schadenersatz- oder Genugtuungsansprüche im Sinne von <ref-law> zustehen könnten. Genugtuungsforderungen aus Persönlichkeitsverletzung bestehen nur, sofern die Schwere der Verletzung es rechtfertigt (vgl. <ref-law>). Der Eingriff muss aussergewöhnlich schwer sein und in seinen Auswirkungen das Mass einer Aufregung oder einer alltäglichen Sorge klar übersteigen (vgl. etwa Urteile 6B_96/2019 vom 7. Juni 2019 E. 1.2; 6B_798/2018 vom 14. November 2018 E. 4; 6B_555/2017 vom 29. September 2017 E. 3.2; je mit Hinweisen). Dies ist vorliegend weder dargetan noch ersichtlich.
Dies gilt insbesondere auch, soweit der Beschwerdeführer rügt, er sei durch den Erlass eines ungerechtfertigten Hausverbots als statutarisch gewähltes Vorstandsmitglied des Verbands B._ zu Unrecht von den Vorstandssitzungen ausgeschlossen worden. Dass damit ein Schadenersatz- oder Genugtuungsanspruch einhergehen könnte, behauptet der Beschwerdeführer nicht.
4.
Unbekümmert um die fehlende Legitimation in der Sache selbst kann der Privatkläger die Verletzung jener Parteirechte geltend machen, die ihm nach dem Verfahrensrecht, der Bundesverfassung oder der EMRK zustehen und deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung bedeutet. Zulässig sind nur Rügen formeller Natur, die von der Prüfung der Sache getrennt werden können. Nicht zu hören sind Rügen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen (sog. "Star-Praxis"; <ref-ruling> E. 2 S. 79; <ref-ruling> E. 1.1 S. 5 mit Hinweisen).
5.
In formeller Hinsicht rügt der Beschwerdeführer, nicht nachvollziehbar sei, weshalb im angefochtenen Entscheid als Gegenpartei der Schweizerische Verband B._ als Dachverband, vertreten durch den Verband B._, aufgeführt werde. Eine Vertretungsvollmacht des Schweizerischen Verbands B._ zugunsten des Verbands B._ liege nicht vor. Den im angefochtenen Entscheid aufgeführten "Schweizerischen Verband B._" gebe es zudem nicht (Beschwerde S. 2 f.).
Darauf ist nicht einzutreten, da nicht ersichtlich ist, inwiefern die falsche Parteibezeichnung einen Einfluss auf die Gültigkeit der Nichtanhandnahme des Strafverfahrens oder des angefochtenen Entscheids haben könnte. Dies gilt umso mehr, als sich die Strafanzeigen des Beschwerdeführers weder gegen den Schweizerischen Verband B._ noch gegen den Verband B._, sondern gegen Unbekannt bzw. gegen Vorstandsmitglieder des Verbands B._ richteten.
6.
Der Beschwerdeführer beanstandet zudem, der am vorinstanzlichen Entscheid beteiligten Einzelrichterin fehle es an der erforderlichen Unabhängigkeit, da sie Dank der FDP Basel, ihrer politischen Partei, in ihr Richteramt gewählt worden sei (Beschwerde S. 5).
Damit vermag der Beschwerdeführer offensichtlich keinen Ausstandsgrund im Sinne von <ref-law> zu begründen. Der Beschwerdeführer zeigt auch nicht ansatzweise auf, weshalb angesichts der Parteizugehörigkeit der vorinstanzlichen Richterin sein in der EMRK verankerter Anspruch auf einen unabhängigen Richter verletzt sein könnte.
7.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Oktober 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Unseld