Sachverhalt:
A.
Mit Schreiben vom 18. Juli 2020 und 18. August 2020 erstattete A.A._ bei der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat Strafanzeige gegen unbestimmte Mitarbeiter der Psychiatrischen Universitätsklinik (PUK) Zürich. In der Folge beauftragte sie einen Rechtsanwalt, der in ihrem Namen am 19. Februar 2021 der Staatsanwaltschaft ein weiteres Schreiben einreichte und erklärte, sie beteilige sich am Strafverfahren als Privatklägerin. Im Wesentlichen machte A.A._ in ihren Eingaben geltend, ihr am 10. Mai 2018 verstorbener Ehemann, B.A._, sei in der PUK gegen seinen Willen medikamentiert und während längerer Zeit im Isolierzimmer eingesperrt worden. Verschiedene Massnahmen und Vorkommnisse seien nicht oder falsch dokumentiert worden und es sei unklar, ob die erforderlichen Verfügungen ergangen seien.
Am 10. Mai 2021 überwies die Staatsanwaltschaft die Akten zum Entscheid über die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung an das Obergericht des Kantons Zürich. Mit Beschluss vom 11. August 2021 verweigerte dieses die Ermächtigung (Dispositiv-Ziffer 1). Es erhob keine Kosten und richtete keine Entschädigung aus (Dispositiv-Ziffern 2 und 3).
B.
Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht vom 16. September 2021 beantragt A.A._, Dispositiv-Ziffer 1 des obergerichtlichen Beschlusses sei aufzuheben und die Ermächtigung zur Strafverfolgung zu erteilen. Eventualiter sei die Sache zum neuen Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die weiteren Verfahrensbeteiligten haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Die Ermächtigung zur Strafverfolgung stellt eine Prozessvoraussetzung für das Strafverfahren dar, wird jedoch in einem davon getrennten Verwaltungsverfahren erteilt. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> ist deshalb das zutreffende Rechtsmittel (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Die unrichtige Bezeichnung des Rechtsmittels als subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss <ref-law> schadet der Beschwerdeführerin nicht (<ref-ruling> E. 1.1).
Angefochten ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, der das Verfahren abschliesst (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Eine Ausnahme von der Zulässigkeit der Beschwerde nach <ref-law> besteht nicht. Lit. e dieser Bestimmung, wonach Entscheide über die Verweigerung der Ermächtigung zur Strafverfolgung von Behördenmitgliedern oder von Bundespersonal von der Beschwerdemöglichkeit ausgenommen sind, ist nur auf die obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden anwendbar, denn nur bei diesen dürfen politische Gesichtspunkte in den Entscheid einfliessen (<ref-ruling> E. 1.3.2 mit Hinweis). Die nicht namentlich bezeichneten Mitarbeiter der PUK fallen nicht in diese Kategorie.
Die Beschwerdeführerin hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen. Sie ist die Ehegattin des Geschädigten und deshalb direkt erbberechtigt. Die Verfahrensrechte des Geschädigten gehen deshalb gestützt auf <ref-law> auf sie über (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3; je mit Hinweisen). Somit ist sie nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt.
2.
2.1. Nach <ref-law> sind die Strafbehörden verpflichtet, im Rahmen ihrer Zuständigkeit ein Verfahren einzuleiten und durchzuführen, wenn ihnen Straftaten oder auf Straftaten hinweisende Verdachtsgründe bekannt werden. Gemäss <ref-law> können die Kantone allerdings vorsehen, dass die Strafverfolgung der Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen von der Ermächtigung einer nicht richterlichen oder richterlichen Behörde abhängt. Diese Möglichkeit steht den Kantonen für sämtliche Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden offen. Dazu gehören auch die Mitarbeiter der PUK, bei der es sich um eine Anstalt des kantonalen öffentlichen Rechts handelt (§ 1 des Gesetzes des Kantons Zürich vom 11. September 2017 über die Psychiatrische Universitätsklinik Zürich [PUKG; LS 813.17]). Die kantonalgesetzliche Grundlage für das Ermächtigungsverfahren ist § 148 des Gesetzes des Kantons Zürich vom 10. Mai 2010 über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess (GOG; LS 211.1).
2.2. Das Ermächtigungserfordernis soll namentlich dem Zweck dienen, Behördenmitglieder und Beamte vor mutwilliger Strafverfolgung zu schützen und damit das reibungslose Funktionieren staatlicher Organe sicherzustellen. Ein Strafverfahren soll erst durchgeführt werden können, wenn die zuständige Behörde vorher ihre Zustimmung erteilt hat. Der förmliche Entscheid über die Eröffnung oder die Nichtanhandnahme obliegt kraft ausdrücklicher bundesrechtlicher Regelung der Staatsanwaltschaft (Art. 309 und 310 StPO; <ref-ruling> E. 2.3).
3.
Die Beschwerdeführerin macht zunächst eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör geltend (<ref-law>). Das Obergericht sei nicht auf ihr Argument eingegangen, wonach es widersprüchlich sei, dass die Staatsanwaltschaft zunächst von der PUK die Krankenakte verlangt und in der Folge trotz deren Fehlens dem Gericht beantragt habe, die Ermächtigung zu verweigern.
Dieser Vorwurf ist unbegründet. Das Obergericht hielt ausdrücklich fest, dass es im Ergebnis nicht von Bedeutung sei, ob die komplette Krankengeschichte von B.A._ vorliege. Damit genügte es der Begründungspflicht. Ob die Auffassung zutrifft, ist eine Frage der inhaltlichen Beurteilung (s. dazu sogleich), nicht eine solche des rechtlichen Gehörs.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin bringt weiter vor, die Zwangsmedikation und Isolation ihres verstorbenen Ehemanns in der PUK sei als rechtswidrig anzusehen, solange kein Rechtfertigungsgrund dargetan sei. Aus den edierten Verlaufseinträgen ergebe sich, dass er die Medikamente vehement abgelehnt habe. Eine schriftliche Anordnung, wie sie in einem solchen Fall gesetzlich erforderlich wäre (<ref-law>), liege nicht vor. Dasselbe gelte für die Isolation, die gemäss den Verlaufseinträgen zwischen dem 5. und dem 20. Februar 2018 stattgefunden habe. Daraus ergebe sich zumindest ein deliktsrelevanter Verdacht. Die Staatsanwaltschaft habe zudem mit einer Editionsverfügung vom 6. April 2021 von der PUK die vollständige, nicht zensierte Krankengeschichte herausverlangt und zur Begründung angeführt, dass dies unerlässlich sei und die Aufzeichnungen als Beweismittel dienten. Indem sie in der Folge trotzdem darauf verzichtet habe, sei sie ihrer Verpflichtung zur Sachverhaltsabklärung nicht nachgekommen.
4.2. Das Obergericht legte dar, in den Akten befänden sich medizinische Unterlagen der PUK zum Patienten B.A._, insbesondere Verlaufseinträge aus dem Jahr 2018. Daraus gehe hervor, dass B.A._ zwischen 1969 und 2018 insgesamt 22 Mal in der PUK hospitalisiert worden sei. Der Eintritt zum letzten Aufenthalt am 1. Februar 2018 sei als fürsorgerische Unterbringung auf Zuweisung des Spitals U._ erfolgt, gemäss Austrittsbericht "bei akuter Selbst- und Fremdgefährdung vor dem Hintergrund einer bekannten bipolaren affektiven Störung".
Dass die PUK gegenüber der Staatsanwaltschaft die Herausgabe der kompletten Krankengeschichte von B.A._ verweigert habe, sei nicht relevant. Jedenfalls ergebe sich aus den Anzeigen der Beschwerdeführerin und den bereits vorhandenen, umfangreichen Unterlagen kein deliktsrelevanter Verdacht. In der Psychiatrie bzw. im Rahmen einer fürsorgerischen Unterbringung könne es definitionsgemäss zu Zwangsmassnahmen kommen. Anzeichen dafür, dass diese widerrechtlich erfolgt seien, gebe es nicht.
Aus den vorhandenen Akten gehe hervor, dass B.A._ nach jeweils wenigen Tagen bis Wochen immer wieder nach Hause entlassen worden sei. Was die mutmasslich 15 Tage dauernde Zimmerisolation während seines (letzten) Aufenthalts in der PUK im Jahr 2018 betreffe, so sei diese soweit ersichtlich damit begründet worden, dass der Patient das Stationsmilieu zuvor massiv gestört und selber keine Ruhe gefunden habe, nachdem er wiederholt laut und perseverierend geschrien und gebrüllt habe. Aus dem Verlaufsbericht gehe zudem hervor, dass rund zwei Stunden nach Anordnung der Isolation das fragliche Zimmer wieder geöffnet worden sei. Inwiefern diese Massnahme unter den genannten Umständen und unter Berücksichtigung des damaligen Gesundheitszustands von B.A._ das notwendige Mass offensichtlich überschritten haben solle, sei nicht ersichtlich. Schliesslich sei dem Austrittsbericht zum letzten Aufenthalt von B.A._ in der PUK zu entnehmen, welche Medikamente ihm verabreicht worden seien.
Insgesamt ergäben sich gestützt auf die vorliegenden Akten keine strafrechtlichen Verdachtsmomente. Dies gelte selbst dann, wenn die medizinische Behandlung im Einzelfall den gesetzlichen Bestimmungen nicht exakt entsprochen habe sollte. Die Beschwerdeführerin hätte solches nach <ref-law> auf dem zivilrechtlichen Weg geltend machen können.
4.3. Im Ermächtigungsverfahren dürfen - ausser bei obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden - nur strafrechtliche Gesichtspunkte berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 2.4 mit Hinweis). Allerdings begründet nicht jeder behördliche Fehler die Pflicht zur Ermächtigungserteilung. Erforderlich ist vielmehr ein Mindestmass an Hinweisen auf ein strafrechtlich relevantes Verhalten; ein solches muss in minimaler Weise glaubhaft erscheinen (Urteil 1C_395/2018 vom 21. Mai 2019 E. 2 mit Hinweisen). Zu beachten ist allerdings auch, dass der Entscheid, ob die Strafverfolgungsbehörden zur Strafverfolgung zu ermächtigen sind, demjenigen über die Anhandnahme eines Strafverfahrens bzw. über die Einstellung eines eröffneten Strafverfahrens vorangestellt ist. Die Ermächtigung muss daher bereits bei einer geringeren Wahrscheinlichkeit der strafrechtlichen Verantwortlichkeit erteilt werden, als sie für die Einstellung eines schon eröffneten Strafverfahrens erforderlich ist. Hinzu kommt, dass die Schwelle für die Erteilung der Ermächtigung praxisgemäss tiefer anzusetzen ist, wenn schwere Delikte in Frage stehen und/oder sich der Betroffene in der Obhut des Staates befand (zur Publ. vorgesehenes Urteil 1F_29/2020 vom 27. April 2021 E. 3.1 mit Hinweis).
4.4. Die Beschwerdeführerin legte ihrer Strafanzeige einen Auszug aus dem Verlaufsbericht der Hospitalisierung ihres verstorbenen Ehemanns vom 1. Februar bis zum 9. April 2018 bei. Aus den Akten geht hervor, dass sie bei der PUK die Herausgabe sämtlicher Akten beantragt hatte, die Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich jedoch mit Schreiben vom 12. November 2020 die dafür erforderliche Entbindung von der beruflichen Schweigepflicht ablehnte. Gestützt auf die Strafanzeige und die nachgereichten Ergänzungen erliess die Staatsanwaltschaft deshalb am 6. April 2021 eine Editionsverfügung (<ref-law>). Sie forderte die PUK auf, ihr innerhalb von 30 Arbeitstagen die vollständige und nicht zensierte Krankengeschichte von B.A._ betreffend Klinik-Aufenthalte von 2011 bis 2014 herauszugeben. Zur Begründung führte sie aus, für die Beurteilung der Anzeige sei der Beizug der Krankengeschichte für den Zeitraum von 2011 bis 2018 unerlässlich. Nachdem die PUK der Staatsanwaltschaft unter Hinweis auf das Urteil 1B_26/2016 vom 29. November 2016 erklärte hatte, dass sie ihr gegenüber keine Editionsverfügung erlassen dürfe, stellte die Staatsanwaltschaft stattdessen ein Gesuch um Aktenherausgabe gestützt auf <ref-law>, dem die PUK allerdings ebenfalls nicht nachkam.
Den erwähnten Auszügen aus dem Verlaufsbericht ist zu entnehmen, dass es während des Aufenthalts in der PUK zu verschiedenen Konfliktsituationen kam und dass B.A._ zeitweise in einem Zimmer eingesperrt und zwangsmedikamentiert wurde. Zwar hält das Obergericht zu Recht fest, dass dies allein keinen konkreten Anhaltspunkt für ein strafbares Verhalten darstellt. Jedoch ist zu berücksichtigen, dass die Beschwerdeführerin keine Einsicht in die Krankenakte ihres verstorbenen Ehemannes nehmen konnte und es ihr somit stark erschwert war, ihre Behauptungen zu belegen. Falls zutrifft, dass Zwangsbehandlungen entgegen <ref-law> nicht schriftlich angeordnet und mit einer Rechtsmittelbelehrung versehen mitgeteilt worden waren, stellte dies immerhin eine Amtspflichtverletzung dar, was für die Erteilung der Ermächtigung zur Strafverfolgung sprechen würde (Urteil 1C_23/2021 vom 31. Mai 2021 E. 3.1.2 mit Hinweisen).
Im Ergebnis handelt es sich um einen Grenzfall. Ausschlaggebend erscheint, dass sich der Betroffene in der Obhut des Staats, nämlich der PUK als Anstalt des kantonalen öffentlichen Rechts, befand. Unter diesen Umständen ist eine Ermächtigung zur Strafverfolgung nach dem Ausgeführten nur mit Zurückhaltung zu verweigern. Zu berücksichtigen ist zudem auch, dass die PUK - notabene als von der Strafanzeige direkt betroffene Anstalt - die Herausgabe der Krankenakte verweigerte, obwohl von dieser Aufschluss darüber erwartet werden kann, ob die Behauptungen der Beschwerdeführerin zutreffen. Vor diesem Hintergrund hätte das Obergericht die Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens erteilen müssen.
Dass somit angesichts des im vorliegenden Fall geltenden Massstabs ein minimaler Anfangsverdacht nicht von Vornherein verneint werden kann, bedeutet keine Vorverurteilung der angezeigten Mitarbeiter der PUK. Diese stehen unter dem Schutz der Unschuldsvermutung (<ref-law>). Es geht lediglich darum, dass die gegen sie erhobenen Vorwürfe näher abgeklärt werden (vgl. zur Publ. vorgesehenes Urteil 1F_29/2020 vom 27. April 2021 E. 3.3).
5.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, Ziff. 1 des Dispositivs des angefochtenen Beschlusses aufgehoben und die Ermächtigung zur Strafverfolgung erteilt.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Zürich hat der Beschwerdeführerin eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>). Das mit der Beschwerde gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und Ziffer 1 des Beschlusses des Obergerichts des Kantons Zürich vom 11. August 2021 aufgehoben. Die Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens gegen die Beschwerdegegner wird erteilt.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Zürich hat der Beschwerdeführerin für das Verfahren vor Bundesgericht eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, den unbekannten Mitarbeitern der Psychiatrischen Universitätsklinik Zürich, der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat, der Oberstaatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Dezember 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Dold