Sachverhalt:
A.
Am 18. Dezember 2017 erteilte der Gemeinderat Lachen der B._ AG die Baubewilligung für den Abbruch und Neubau eines Einfamilienhauses auf dem Grundstück Nr. 874 in Lachen. Der Regierungsrat des Kantons Schwyz hiess die dagegen von A._ erhobene Beschwerde am 13. November 2018 teilweise gut und knüpfte die Baubewilligung an folgende Bedingung:
"Die B._ AG wird im Sinne einer Bedingung aufgefordert, dem Gemeinderat Lachen einen Dienstbarkeitsvertrag einzureichen, in welchem die Eigentümer der Liegenschaft GB 912 auf einen Grenzabstand von mindestens 0.97 m verzichten. Vor Erfüllung dieser Bedingung kann keine Baufreigabe erfolgen."
B.
Am 18. Juli 2019 reichte die B._ AG ein überarbeitetes Baugesuch ein. Dieses wurde als "Projektänderung beim bewilligten Bauprojekt Abbruch und Neubau Einfamilienhaus mit Nebenbauten" publiziert. Dagegen erhob A._ Einsprache. Am 17. Dezember 2019 wies der Gemeinderat Lachen die Einsprache ab und erteilte die Baubewilligung im Sinne der Projektänderung.
C.
Gegen diesen Beschluss erhob A._ Verwaltungsbeschwerde beim Regierungsrat. Dieser wies die Beschwerde am 10. März 2020 ab, soweit darauf eingetreten werden könne.
Dagegen gelangte A._ am 7. April 2020 mit Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz. Dieses hiess die Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne, am 16. Juli 2020 im Sinne der Erwägungen teilweise gut und im Übrigen ab. Die Bauherrschaft wurde verpflichtet:
(...) vor und als Voraussetzung für die Baufreigabe
- das Vordach beim Hauseingang auf die gesetzlich zulässige Ausladung zurückzuführen oder ein gesetzmässiges Vordach anderswie vorzusehen, damit der Grenzabstand auch auf der Nordseite gewahrt wird,
- die Frage der Markisen (Lokalisierung, Gestaltung u.ä.) von der Baubewilligungsbehörde prüfen zu lassen."
D.
Gegen den verwaltungsgerichtlichen Entscheid erhob A._ am 14. September 2020 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Dieses trat am 3. Mai 2021 auf die Beschwerde nicht ein, weil es sich um einen nicht selbstständig anfechtbaren Zwischenentscheid handle (Urteil 1C_513/2020).
E.
Mit Schreiben vom 14. Juni 2021 teilte die Gemeinde Lachen, Abteilung Bau und Umwelt, A._ mit, dass die Bauherrschaft mit Eingabe vom 30. Mai 2021 auf das Vordach beim Hauseingang und auf Markisen verzichtet habe; die Gemeinde habe deshalb am 14. Juni 2021 der Baufreigabe zugestimmt.
Gegen die Baufreigabe erhob A._ am 17. Juni 2021 Beschwerde/Aufsichtsanzeige beim Regierungsrat Schwyz mit der Begründung, es liege noch keine rechtskräftige Baubewilligung vor.
Vorsorglich, für den Fall, dass doch bereits ein Endentscheid vorliege, erhob er am 16. August 2021 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und das Baugesuch der Beschwerdegegnerin sei abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. In verfahrensrechtlicher Hinsicht beantragt er die Sistierung des Verfahrens, bis der Regierungsrat über die Beschwerde/Aufsichtsanzeige rechtskräftig entschieden habe.
F.
Die B._ AG (Beschwerdegegnerin) beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Der Regierungsrat un d der Gemeinderat Lachen beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Verwaltungsgericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet.
Der Beschwerdeführer hat am 25. Oktober 2021 repliziert. Es wurde keine Duplik eingereicht.
G.
Mit Verfügung vom 6. Dezember 2021 hat der Instruktionsrichter das Gesuch um Sistierung des Verfahrens abgewiesen.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid des Verwaltungsgerichts Schwyz. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen (Art. 82 lit. a, 86 Abs. 1 lit. d BGG). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist als Eigentümer der an das Baugrundstück angrenzenden Liegenschaft grundsätzlich zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>).
1.1. Zu prüfen ist, ob nunmehr ein Endentscheid im Sinne von <ref-law> vorliegt, der das Verfahren abschliesst.
Ausschlaggebend für die Bejahung eines Zwischenentscheids im Verfahren 1C_513/2020 war der Umstand, dass die Bauherrschaft verpflichtet war, vor Baufreigabe noch das Vordach beim Hauseingang auf die gesetzlich zulässige Ausladung zurückzuführen oder ein gesetzmässiges Vordach anderswie vorzusehen. Die Nebenbestimmung war so formuliert, dass der Bauherrschaft noch ein architektonischer Spielraum verblieb, mit der Folge, dass die Baubewilligungsbehörde die Umsetzung der Nebenbestimmung erst gestützt auf entsprechend überarbeitete Pläne beurteilen konnte. Das Baubewilligungsverfahren war somit zum damaligen Zeitpunkt noch nicht abgeschlossen.
Zwischenzeitlich hat die Beschwerdegegnerin jedoch auf ein Vordach vollständig verzichtet. Dies hat zur Folge, dass das Baubewilligungsverfahren insoweit gegenstandslos geworden ist. Alle anderen (aufrechterhaltenen) Teile des Baugesuchs wurden bereits vom Verwaltungsgericht beurteilt, weshalb der angefochtene Entscheid nunmehr als Endentscheid qualifiziert werden kann. Daran ändert auch der Umstand nichts, dass die bewilligten Baupläne hinsichtlich des Vordachs korrigiert werden müssen, da es sich insoweit nur um eine formelle Anpassung handelt und der Baubewilligungsbehörde kein Entscheidspielraum mehr zusteht.
Im Urteil 1C_513/2021 E. 2 wurde ausdrücklich offengelassen, ob Farbwahl und Lage der Markisen für die Qualifikation als End- oder Zwischenentscheid massgeblich seien. Da die Bauherrschaft auf die Markisen verzichtet hat, braucht dieser Frage auch im vorliegenden Verfahren nicht nachgegangen zu werden.
1.2. Die Beschwerdefrist begann frühestens mit der Mitteilung der Gemeinde Lachen vom 14. Juni 2021 und wurde somit eingehalten (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Es kann daher offenbleiben, ob zur Fristauslösung eine erneute Zustellung der Baubewilligung und/oder der Baufreigabe mit Rechtsmittelbelehrung erforderlich gewesen wäre.
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Bundesrecht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich die willkürliche Anwendung von kantonalem Recht) prüft es dagegen nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und genügend begründet worden ist (<ref-law>). Hierfür gelten qualifizierte Begründungsanforderungen (<ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen).
Beruht der angefochtene Entscheid auf mehreren selbstständigen Begründungen, muss die beschwerdeführende Partei sich mit jeder dieser Begründungen in rechtsgenügender Weise auseinandersetzen, ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 4.1.4 S. 100 mit Hinweisen).
3.
Das Verwaltungsgericht hielt fest, angefochten sei eine Projektänderung. Der Regierungsratsbeschluss vom 13. November 2018 zum ursprünglichen Baugesuch sei grundsätzlich in Rechtskraft erwachsen; dieses sei daher, soweit es keine Veränderungen erfahren habe, keiner Prüfung mehr zu unterziehen (E. 2.3.1 des angefochtenen Entscheids). Zwar erscheine der vom Gemeinderat aufgelistete Katalog der Änderungen erheblich; bei genauer Betrachtung handle es sich jedoch im Wesentlichen nur um Reduktionen. Insofern liege kein als "aliud" zu qualifizierendes Baugesuch vor, sondern die Projektänderung sei als "in maiore minus" zu qualifizieren (E. 2.3.2 S. 9 unten). Zu prüfen sei die Zulässigkeit der Projektänderungen; dies gelte auch, soweit es sich um nur geringfügig veränderte Bauteile handle; insoweit könne nicht von einer res iudicata ausgegangen werden (E. 2.3.2, S. 10).
Als neu und noch nicht beurteilt qualifizierte es die Verschiebung des Veloraums von der Ost- auf die Nordseite der Baute (E. 3.4.1 des angefochtenen Entscheids). Dagegen liege hinsichtlich der Einhaltung des Grenz- bzw. Strassenabstands zum Appertweg kein veränderter Sachverhalt vor, weil die Projektänderung - eine Reduktion der Höhe von 9.87 m auf 9.49 m - keine Auswirkungen auf die vorinstanzliche Beurteilung zur Anwendbarkeit des Strassenabstandes zeitige (E. 3.2.1 des angefochtenen Entscheids). Auch beim Carport könne nicht von einem veränderten Sachverhalt gesprochen werden (E. 3.3.1 des angefochtenen Entscheids). Das Verwaltungsgericht trat daher auf diese Rügen nicht ein, führte aber - im Sinne einer Eventualbegründung - aus, weshalb sie unbegründet wären, sofern auf sie einzutreten wäre. In dieser Konstellation liegen zwei selbstständige Begründungen vor.
Der Beschwerdeführer legt ausführlich dar, weshalb die materiell-rechtlichen Eventualbegründungen des Verwaltungsgerichts Art. 8 und 9 BV verletzten. Dagegen legt er nicht - oder jedenfalls nicht rechtsgenügend - dar, inwiefern auch die erste Begründung, wonach es sich um res iudicatae handle, Bundesrecht verletze. Er behauptet (in Abschnitt A. "Sachverhalt"), aufgrund der zahlreichen Projektänderungen sei von einem neuen Bauvorhaben auszugehen, ohne darzulegen, weshalb die gegenteilige Auffassung des Verwaltungsgerichts willkürlich sei. Ergänzend verweist er auf die Aussage des Verwaltungsgerichts, wonach auch leicht veränderte bzw. reduzierte Bauteile angefochten werden könnten, ohne indessen zu begründen, weshalb es willkürlich sei, in Bezug auf den Abstand zum Appertweg bzw. den Carport von einem unveränderten Sachverhalt auszugehen.
4.
Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde mangels genügender Begründung nicht einzutreten (Art. 106 Abs. 2 und 42 BGG). Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 und 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gemeinderat Lachen, dem Amt für Raumentwicklung des Kantons Schwyz, dem Regierungsrat des Kantons Schwyz und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Dezember 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Die Gerichtsschreiberin: Gerber