Sachverhalt:
A.
A.a. A._ war vom 1. Januar xxx bis zu seiner vorzeitigen Pensionierung vollamtlicher Präsident des Bezirksgerichts B._. Für die berufliche Vorsorge war er zuerst bei der Allianz-Suisse, später bei der IntegralStiftung versichert. Diese berechnete die Austrittsleistung per Zeitpunkt der Pensionierung auf Fr. 416'871.60. In der Folge verlangte A._ vom Kanton Graubünden die Erhöhung seines Sparguthabens um 25 %, das heisst um Fr. 104'217.90, wie es das Gesetz über die Gehälter und die berufliche Vorsorge der Mitglieder der kantonalen Gerichte vorsehe.
A.b. Wiederholt betrieb A._ den Kanton Graubünden für den Betrag von Fr. 104'217.90 nebst Zins zu 5 %. Der Kanton Graubünden erhob jeweils Rechtsvorschlag, letztmals am 3. Januar 2017 gegen den am 20. Dezember 2016 ausgestellten Zahlungsbefehl (Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes C._).
A.c. Am 2. November 2017 erhob A._ Klage beim Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden und beantragte, der Kanton Graubünden sei zu verpflichten, ihm Fr. 104'217.90 nebst 5,5 % Zins seit der Pensionierung zu bezahlen. Ausserdem sei in der Betreibung Nr. xxx vom 20. Dezember 2016 der Rechtsvorschlag aufzuheben.
B.
In verfahrensrechtlicher Hinsicht lud das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden die Gemeinden der Region B._ bei, die sich als am Rechtsstreit nicht interessiert erklärten und keine eigenen Anträge stellten. Mit Entscheid vom 10. September 2019 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden die Klage vom 2. November 2017 ab.
C.
Dagegen reicht A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ein. Er verlangt sinngemäss die Aufhebung des Entscheids des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden vom 10. September 2019 und wiederholt die Klageanträge.
Der Kanton Graubünden schliesst in seiner Vernehmlassung auf Nichteintreten, eventualiter auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (vgl. statt vieler Urteil 9C_75/2019 vom 26. Februar 2020 E. 1.1 mit Hinweisen).
2.
2.1. Gemäss Art. 73 Abs. 1 BVG bezeichnet jeder Kanton ein Gericht, das als letzte kantonale Instanz über Streitigkeiten zwischen Vorsorgeeinrichtungen, Arbeitgebern und Anspruchsberechtigten entscheidet. Dieser Klageweg findet u.a. auf den obligatorischen, vor-, unter- und überobligatorischen Bereich registrierter privat- und öffentlich-rechtlicher Vorsorgeeinrichtungen Anwendung. Dabei ist ohne Belang, ob sich die fraglichen Ansprüche aus privatem oder öffentlichem Recht ergeben. Voraussetzung für den Rechtsweg nach Art. 73 Abs. 1 BVG ist, dass die zwischen den Parteien bestehende Streitigkeit die berufliche Vorsorge im engeren oder weiteren Sinn betrifft, das heisst spezifisch diesen Rechtsbereich betrifft und das Vorsorgeverhältnis zwischen dem Beschwerdeführer und dem Beschwerdegegner zum Gegenstand hat (<ref-ruling> E. 1a S. 18). Das ist nicht der Fall und der Rechtsweg nach Art. 73 BVG steht nicht offen, wenn die Streitigkeit ihre rechtliche Grundlage nicht in der beruflichen Vorsorge hat, selbst wenn sie sich vorsorgerechtlich auswirkt (<ref-ruling> E. 1b S. 44). Massgebend namentlich für die Abgrenzung von der sachlichen Zuständigkeit der Zivilgerichte sind die Rechtsbegehren und die zu deren Begründung vorgebrachten Tatsachen. Das Klagefundament ist somit ein entscheidendes Kriterium (<ref-ruling> E. 3 S. 172 mit Hinweisen).
2.2. Der Beschwerdeführer stützt seinen Anspruch in der Klage vom 2. November 2017 auf Art. 5 Abs. 2 bzw. (analog) auf Art. 5 Abs. 3 des kantonalen Gesetzes über die Gehälter und die berufliche Vorsorge der Mitglieder des Kantons- und des Verwaltungsgerichts (GGVG; BR 173.050). Dieses Gesetz wurde auf den 1. Januar 2007 in Kraft gesetzt und ist - zeitlich - unbestritten massgebend. Art. 5 trägt den Titel "Berufliche Vorsorge". Danach werden die Gerichtsmitglieder für die berufliche Vorsorge bei der Kantonalen Pensionskasse Graubünden (KPG) versichert (Abs. 1). Die Sparguthaben werden im Zeitpunkt der Alterspensionierung zu Lasten des Kantons um 25 Prozent erhöht (Abs. 2). Bei Austritt aus der KPG wird die Austrittsleistung erhöht. Der Zuschlag beträgt 2,5 Prozent für jedes erfüllte Altersjahr ab Alter 50, insgesamt jedoch höchstens 25 Prozent. Der Zuschlag geht zu Lasten des Kantons (Abs. 3).
3.
3.1. Der streitige Anspruch resp. die Klage richtet sich gegen den Kanton. Ob dieser (auch) als Arbeitgeber des Beschwerdeführers gilt, blieb vor Vorinstanz - ungeachtet des Umstandes, dass das Gesetz den Kreis der möglichen Parteien eines Berufsvorsorgeprozesses nach Art. 73 BVG beschränkt (vgl. E. 2.1) - unbeleuchtet. Die Frage nach dem resp. den Finanzierungspflichtigen der Leistung gemäss Art. 5 Abs. 2 und 3 GGVG, die das kantonale Gericht offen gelassen hat, weil der Beschwerdeführer als vollamtliches Mitglied eines Bezirksgerichts nicht in den Anwendungsbereich der besagten Bestimmung falle (vgl. vorinstanzliche E. 5.10, insbesondere E. 5.10.2), ist davon zu unterscheiden. Tatsache ist, dass der Beschwerdeführer selber der Klage zwei Aktenstücke beigelegt hat (Beilage 5 ["E-Mail D._ an BGer vom 23.08.2013"] und Beilage 6 ["Beitragsaufteilung Arbeitgeber/Arbeitnehmer 2005"]), aus denen sich das Bezirksgericht B._ als Arbeitgeberin ergibt. Aus den Akten erhellt zudem, dass sich auch der Beschwerdegegner selber nicht als Arbeitgeber des Beschwerdeführers betrachtet (vgl. z.B. Schreiben des Departements für Justiz, Sicherheit und Gesundheit an den Beschwerdeführer vom 18. Dezember 2013 betreffend BVG-Rückzahlung/ GGVG). Einer abschliessenden Klärung bedarf es angesichts des Verfahrensausgangs nicht.
3.2. Ebenso wenig ist an dieser Stelle definitiv darüber zu befinden, ob Art. 5 GGVG tatsächlich vorsorgerechtlicher Natur ist. Dazu sei an dieser Stelle nur, aber immerhin, angefügt: In Art. 5 GGVG ist wohl von Alterspensionierung und Austrittsleistung die Rede, eingebettet ist er aber in ein überwiegend arbeitsrechtliches Themenfeld (Jahresgehalt [Art. 1 GGVG], Sozialzulagen [Art. 2], Auslagenersatz [Art. 4]). Wie aus der Botschaft (der Regierung an den Grossen Rat betreffend Erlass eines Gesetzes über die Gehälter und die berufliche Vorsorge der Mitglieder der kantonalen Gerichte [GGVG], Heft Nr. 9/2006-2007, S. 1079 ff., S. 1081 unten) zudem erhellt, deckt (e) die Altersrente der kantonalen Richter weder in der Vergangenheit noch in Zukunft ausschliesslich das Risiko Alter resp. die typischen Risiken der beruflichen Vorsorge ab, sondern auch solche politischer Natur, namentlich die Gefahr einer Nichtwiederwahl. Solche "Abfindungsansprüche" fallen gemäss Rechtsprechung des Bundesgerichts grundsätzlich in die Zuständigkeit des BVG-Richters, soweit sie reglementarische Leistungen einer öffentlich-rechtlichen Vorsorgeeinrichtung bilden (<ref-ruling> E. I/1b S. 251 f.; vgl. auch Urteile des vormaligen Eidgenössischen Versicherungsgerichts B 18/02 vom 27. Juni 2003 E. 1.1 und B 55/94 vom 11. März 1997, insbesondere aber auch dessen E. 3d). Diese Voraussetzungen sind in concreto jedoch nicht gegeben.
3.3. So oder anders: Entscheidend ist im vorliegenden Fall, dass der juristisch versierte Beschwerdeführer in der Klage die Auszahlung an sich selber und nicht an seine (privatrechtliche) Pensionskasse verlangt (vgl. Sachverhalt lit. A.c), so dass er in den Genuss einer höheren Rente käme. Gleichermassen spricht er in der Klagebegründung davon, dass "ihnen" (den vollamtlichen [kantonalen] Richtern) das zusätzliche Sparguthaben im Zeitpunkt der Alterspensionierung oder des vorzeitigen Austritts "ausbezahlt wird", wobei hier erstere Variante zur Diskussion steht (vgl. Sachverhalt lit. A.a). Mit anderen Worten will der Beschwerdeführer die "Abfindung" gar nicht an die Altersleistung angerechnet haben. Damit entbehrt die Streitsache von vornherein eines vorsorgerechtlichen Charakters. Dass der Beschwerdeführer die Altersleistung zu 100 Prozent in Kapitalform beziehen könnte und eine entsprechende (gültige) Willenserklärung auf das Ganze, auch bezüglich des fraglichen "kantonalen" Anteils, abgegeben hat, so dass sich allenfalls die Frage nach einem direkten Forderungsrecht gegenüber dem Kanton stellte, ist weder rechtsgenüglich dargelegt noch bewiesen (zur klagerechtlichen Substanziierungs- und Beweisführungspflicht vgl. <ref-ruling> E. 5.2.3 S. 97).
3.4. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Vorinstanz wegen fehlender sachlicher Zuständigkeit auf die Klage nicht hätte eintreten dürfen. Auf die Beschwerde ist somit nicht einzutreten.
4.
Gemäss Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner ist aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein entschädigungspflichtiger Aufwand erwachsen, weshalb ihm kein Parteikostenersatz zuzusprechen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden vom 10. September 2019 wird aufgehoben und auf die Klage des Beschwerdeführers vom 2. November 2017 wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, dem Bundesamt für Sozialversicherungen und den Gemeinden der Region B._ schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. September 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Dormann