Sachverhalt:
A.
A.a. B._ (geb. 2016; Beschwerdegegner) ist das Kind von C._. A._ (Beschwerdeführer) anerkannte B._ am 23. Mai 2016 als Sohn. Die Kindseltern waren und sind nicht miteinander verheiratet.
A.b. Am 22. Februar 2017 klagte B._ beim Bezirksgericht Einsiedeln gegen A._ auf die Zahlung von Kindesunterhalt im Umfang von Fr. 1'800.-- im Monat. Ausserdem ersuchte er darum, A._ vorsorglich zu verpflichten, ihm an den Unterhalt einen angemessenen Beitrag von Fr. 1'100.-- zzgl. Kinderzulagen zu bezahlen. Mit Verfügung vom 31. Oktober 2017 verpflichtete das Bezirksgericht A._ im zwischenzeitlich von der Hauptsache abgetrennten Massnahmeverfahren dazu, an seinen Sohn bzw. die Kindsmutter monatlichen Unterhalt von insgesamt Fr. 1'396.-- (Barunterhalt von Fr. 1'112.-- und Betreuungsunterhalt von Fr. 284.--) zu bezahlen.
B.
Mit Beschluss vom 9. Juli 2018 (eröffnet am 24. Juli 2018) wies das Kantonsgericht Schwyz die hiergegen von A._ eingereichte Berufung ab und verpflichtete diesen zur Zahlung von vorsorglichem Unterhalt an den Sohn bzw. die Kindsmutter von monatlich insgesamt Fr. 1'660.45 (Barunterhalt von Fr. 1'246.20 und Betreuungsunterhalt von Fr. 414.25). Sämtliche Kosten des Berufungsverfahrens auferlegte es A._.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 21. August 2018 ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Er beantragt, er sei zur Zahlung von vorsorglichem Unterhalt von monatlich insgesamt Fr. 400.-- (Barunterhalt von Fr. 400.-- und Betreuungsunterhalt von Fr. 0.--) zu verpflichten. Ausserdem sei vorzumerken, dass der gebührende Unterhalt von B._ nicht gedeckt werden könne und das Manko im Umfang von Fr. 932.-- auf den Barunterhalt und Fr. 414.25 auf den Betreuungsunterhalt entfalle. Eventualiter sei die Sache zur Tatsachenergänzung und zu neuem Entscheid an das Kantonsgericht zurückzuweisen. Sämtliche Kosten des Berufungsverfahrens seien dem Sohn aufzuerlegen. Ausserdem ersucht er darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung und ihm selbst die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Mit Eingabe vom 23. August 2018 beantragt B._ die Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung und stellt seinerseits ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege, sofern nicht primär der Vater die entsprechenden Kosten zu bevorschussen vermöge. Das Kantonsgericht verweist in seiner Stellungnahme vom 28. August 2018 darauf, dass im vorinstanzlichen Verfahren das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen worden sei, und verzichtet im Übrigen auf eine Vernehmlassung. Am 4. September 2018 hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde in Bezug auf die bis und mit Juli 2018 geschuldeten Unterhaltsbeiträge die aufschiebende Wirkung erteilt und das Gesuch um aufschiebende Wirkung im Übrigen abgewiesen.
Am 27. Februar 2019 ersucht A._ erneut darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Eventuell sei er im Sinne einer vorsorglichen Massnahme bis zur Rechtskraft des Unterhaltsentscheids zu verpflichten, der Kindsmutter an den Unterhalt des Sohnes monatlich insgesamt Fr. 400.-- zu bezahlen. Diese Anordnungen seien superprovisorisch zu verfügen. Mit Verfügung vom 5. März 2019 hat der Instruktionsrichter dieses Gesuch ohne Einholen einer Vernehmlassung abgewiesen.
Am 25. Februar 2019 verzichtet das Kantonsgericht auf eine Vernehmlassung in der Sache. Mit Stellungnahme vom 30. April 2019 beantragt B._, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Ausserdem sei A._ zu verurteilen, ihm für die Gerichts- und Anwaltskosten im Beschwerdeverfahren einen Beitrag von Fr. 2'000.-- zu bezahlen. Eventuell sei ihm die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren und sein Rechtsvertreter als unentgeltlicher Rechtsbeistand beizuordnen. Mit Replik vom 20. Mai 2019 und Duplik vom 3. Juni 2019 halten die Parteien an ihren bisherigen Anträgen fest.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Der angefochtene Entscheid verpflichtet den Beschwerdeführer zu vorsorglichen Unterhaltszahlungen während der Dauer des Prozesses um den Kindesunterhalt, wobei das Kindesverhältnis feststeht. Dabei handelt es sich um einen Endentscheid (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2) eines letzten kantonalen Gerichts, das als Rechtsmittelinstanz entschieden hat (<ref-law>). Betroffen ist eine vermögensrechtliche Zivilsache (<ref-law>; Urteil 5A_955/2017 vom 3. Mai 2018 E. 1). Der Streitwert von Fr. 30'000.-- ist erreicht (Art. 74 Abs. 1 Bst. b i.V.m. Art. 51 Abs. 1 Bst. a und Abs. 4 BGG). Damit ist die Beschwerde in Zivilsachen das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist ferner nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und er hat diese fristgerecht erhoben (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 2 BGG). Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Inwiefern dies der Fall ist, ist in der Beschwerde darzulegen (vgl. <ref-law>). Hiervon erfasst sind unechte Noven, also Tatsachen, die im bisherigen Verfahren bereits hätten vorgebracht werden können, aber nicht vorgebracht wurden. Echte Noven, d.h. Tatsachen, die erst entstanden sind, nachdem vor der Vorinstanz keine neuen Tatsachen und Beweismittel mehr vorgetragen werden konnten, sind im Verfahren vor Bundesgericht demgegenüber unbeachtlich (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.1.2). Vorbehalten bleibt der Fall, dass echte Noven nicht die materielle Beurteilung der Beschwerde, sondern prozessuale Aspekte im Verfahren vor dem Bundesgericht betreffen (Urteile 5A_702/2018 vom 1. Februar 2019 E. 2; 2C_50/2017 vom 22. August 2018 E. 3.1).
Soweit die Parteien sich auf Umstände beziehen und Beweismittel beibringen, die nach dem angefochtenen Entscheid datieren, kann dies nach dem Ausgeführten im Zusammenhang mit den Gesuchen um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren, nicht aber mit der in der Sache strittigen Unterhaltsbeiträgen berücksichtigt werden.
1.3. Nicht einzutreten ist auf das Gesuch des Beschwerdegegners, der Beschwerdeführer habe ihm einen Betrag für die Prozesskosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu bezahlen: Die Pflicht eines Elternteils zur Übernahme der Prozesskosten des minderjährigen Kindes gründet in der Unterhaltspflicht der Eltern (Art. 276 und 285 ZGB; <ref-ruling> E. 3d; Urteil 5A_617/2011 vom 18. Oktober 2011 E. 5.3). Das Bundesgericht ist nicht dafür zuständig, als erste Instanz über entsprechende Klagen zu entscheiden (<ref-law>; vgl. betreffend Prozesskostenvorschuss Urteil 5A_239/2017 vom 14. September 2017 E. 3.2).
2.
2.1. Mit der Beschwerde gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.2). Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz solche Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Die rechtsuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266). Wird eine Verletzung des Willkürverbots nach <ref-law> geltend gemacht, reicht es dabei nicht aus, die Lage aus der eigenen Sicht darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Es ist im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 1.4.1; <ref-ruling> E. 2.2).
2.2. Die Sachverhaltsfeststellung oder Beweiswürdigung durch ein Gericht ist willkürlich, wenn dieses den Sinn und die Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat. Dass die Schlüsse nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmen, begründet keine Willkür (<ref-ruling> E. 4.4). Eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung liegt insbesondere dann vor, wenn diese widersprüchlich oder aktenwidrig ist oder auf einem offensichtlichen Versehen beruht bzw. klarerweise den tatsächlichen Verhältnissen widerspricht (<ref-ruling> E. 4.1.2; Urteil 5A_964/2016 vom 19. Februar 2018 E. 4, in: FamPra.ch 2018 S. 471).
Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht; zudem ist erforderlich, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 4.2; <ref-ruling> E. 2.1).
3.
Bei der Festlegung der strittigen Unterhaltsleistungen wandte das Kantonsgericht das (neue) Recht gemäss der auf den 1. Januar 2017 in Kraft getretenen Änderung des Zivilgesetzes betreffend Kindesunterhalt vom 20. März 2017 (AS 2015 4299) an. Demnach stehe dem Kind neben dem Barunterhalt, der die direkten Kinderkosten abdecke, Betreuungsunterhalt für den für die Pflege und Erziehung aufgewendeten Zeitaufwand des betreuenden (und nur noch vermindert erwerbstätigen) Elternteils zu. Der Barunterhalt sei anhand der Bedarfs- und Einkommenswerte der Eltern (Leistungsfähigkeit) und dem konkreten Bedarf des Kindes zu berechnen. In der Folge bestimmte das Kantonsgericht den Bedarf des Kindes sowie den Bedarf und das Einkommen der Eltern. Dabei errechnete es für die Mutter ein Manko von Fr. 414.25 und für den Vater einen Überschuss von Fr. 2'196.65. Damit könne der Beschwerdeführer den Bedarf des Sohnes decken (unter Anrechnung der Familienzulagen). Die Berechnung des Betreuungsunterhalts erfolge nach dem Lebenshaltungskostenansatz. Der zweijährige Beschwerdegegner lebe bei der Mutter, die zu 50 % einer Erwerbstätigkeit nachgehe und damit ihre Lebenskosten nicht decken könne. Da sie aufgrund des Alters des Kindes nicht gehalten sei, ihr Arbeitspensum zu erhöhen, habe sie im Umfang des Fehlbetrages Anspruch auf Betreuungsunterhalt. Auch nach Deckung des Bar- und des Betreuungsunterhalts erwirtschafte der Beschwerdeführer einen Überschuss. An diesem zu partizipieren habe das Kind Anspruch, wobei sein Anteil analog der zweistufigen Berechnungsmethode nach grossen und kleinen Köpfen einen Fünftel umfasse.
4.
Der Beschwerdeführer sieht die Berechnung seines Einkommens verschiedentlich als verfassungswidrig an.
4.1. Unbestritten ist, dass der Beschwerdeführer zusammen mit seinem Vater eine sog. landwirtschaftliche Generationengemeinschaft betreibt und zusätzlich in diesem Umfeld einer unselbständigen Nebenerwerbstätigkeit nachgeht. Beide Tätigkeiten werden von den Jahresrechnungen der Generationengemeinschaft erfasst.
4.1.1. Zur Einkommensberechnung stellte das Kantonsgericht auf das Durchschnittseinkommen der letzten drei Jahre ab, wobei es die in den Jahresrechnungen ausgewiesenen Gewinne der Gemeinschaft bzw. die Gewinnanteile des Beschwerdeführers in den Jahren 2014-2016 berücksichtigte. Zum Gewinn des Jahres 2014 hielt es fest, dieser ergebe sich aus der Jahresrechnung 2015, welche der Beschwerdegegner mit der Klageschrift eingereicht habe. Der Beschwerdeführer habe sich hierzu im erstinstanzlichen Verfahren nicht geäussert, obgleich er mit Blick auf die Untersuchungsmaxime und die Rechtsprechung zur Berechnung des Einkommens bei Selbständigerwerbenden mit dem Beizug der Zahlen des Jahres 2014 habe rechnen müssen. Soweit er sich vor Obergericht gegen die Berücksichtigung des Jahres 2014 wende, handle es sich um nach <ref-law> unzulässige Noven.
4.1.2. Wie bereits vor Obergericht verweist der Beschwerdeführer demgegenüber auf seine Scheidung im Jahre 2015, die von der Erstinstanz als gerichtsnotorisch anerkannt worden sei. Aufgrund der allgemeinen Lebenserfahrung sei ebenfalls gerichtsnotorisch, dass eine Ehefrau in einem Bauernbetrieb gewisse Tätigkeiten übernehme. Nach der Scheidung müsse der Bauer diese Arbeiten selbst ausführen oder entgeltlich einer Drittperson übertragen. Dies beeinträchtige die Produktivität und Rentabilität eines Betriebes. In seinem Fall habe die Generationengemeinschaft während der Ehe einen um 22 % höheren Reingewinn erzielt als im Durchschnitt der auf die Scheidung folgenden Jahre 2015 und 2016. Der Gewinn des Jahres 2014 stelle daher einen klassischen "Ausreisser" dar, der bei der Einkommensberechnung nicht zu berücksichtigen sei. Es sei willkürlich, wenn das Kantonsgericht diese Vorbringen als verspätet zurückweise. Keineswegs habe er damit rechnen müssen, dass das Erstgericht auch auf die Zahlen des Jahres 2014 abstelle, die in der Jahresrechnung 2015 allein als Vorjahresdaten enthalten gewesen seien. Ausserdem habe keine der Parteien auf diese Zahlen abgestellt, sei dem Bezirksgericht die Ehescheidung bekannt gewesen und seien deren Auswirkungen auf den Reingewinn wie ausgeführt notorisch. Auch der richterlichen Parteibefragung seien keine Anhaltspunkte zu entnehmen gewesen, dass die Betriebszahlen 2014 in die Beurteilung einfliessen könnten. Mit Blick auf die richterliche Fragepflicht habe damit folglich nicht gerechnet werden müssen. Die Vorbringen hätten zugelassen werden müssen.
4.1.3. Nach Ansicht des Beschwerdegegners bleiben die Vorbringen des Beschwerdeführers unklar und unbegründet und vermögen sie jedenfalls keine Willkür aufzuzeigen. Ausserdem kämen im vorliegenden Verfahren der Untersuchungs- sowie der Offizialgrundsatz zur Anwendung, und habe der Beschwerdeführer sich zum Jahresabschluss 2015 und den Vorjahreszahlen äussern können. Der Beizug der Betriebszahlen des Jahres 2014 sei damit nicht zu beanstanden.
4.1.4. Wie sich den Ausführungen des Beschwerdeführers selbst entnehmen lässt, war ihm bekannt oder hätte ihm zumindest bekannt sein müssen, dass die Buchhaltungsunterlagen des Jahres 2014 sich bei den Akten befinden. Ebenfalls war ihm die Rechtsprechung bekannt, wonach bei der Bestimmung der Leistungskraft eines Selbständigerwerbenden grundsätzlich auf das Durchschnittseinkommen mehrerer - in der Regel der letzten drei - Jahre abgestellt wird (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 mit zahlreichen Hinweisen). Die Berechnung des Einkommens des Beschwerdeführers war sodann Thema des erstinstanzlichen Verfahrens. Unter diesen Umständen kann es jedenfalls nicht als willkürlich qualifiziert werden, wenn das Kantonsgericht vom Beschwerdeführer erwartet, dass er sämtliche mit der Berücksichtigung des Jahresergebnisses 2014 im Zusammenhang stehenden Tatsachen bereits im erstinstanzlichen Verfahren vorbringt (vgl. etwa Urteile 4A_360/2017 vom 30. November 2017 E. 8.1; 4A_305/2012 vom 6. Februar 2013 E. 3.3). Dies vermag der Beschwerdeführer auch mit der Behauptung nicht in Frage zu stellen, es sei notorisch, dass Ehefrauen im landwirtschaftlichen Gewerbe ihrer Ehemänner mithelfen würden. Selbst wenn dies zutreffen sollte (vgl. dazu <ref-ruling> E. 1.1.1), hätte vom Beschwerdeführer ohne Willkür verlangt werden können, dass er die Tatsachen beibringt, welche die konkreten Auswirkungen seiner Scheidung auf das Jahresergebnis der Generationengemeinschaft aufzeigen. Nichts für sich abzuleiten vermag der Beschwerdeführer sodann aus der richterlichen Fragepflicht. Diese dient nicht dazu, prozessuale Nachlässigkeiten einer Partei auszugleichen (vgl. etwa Urteile 5A_75/2018 vom 18. Dezember 2018 E. 2.4 und 4A_228/2018 vom 5. November 2018 E. 4.3 a.E.), und hat bei einer Partei, die wie der Beschwerdeführer anwaltlich vertreten ist, nur eingeschränkte Tragweite (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.1 [zu <ref-law>] und Urteil 4A_284/2017 vom 22. Januar 2018 E. 3.2 [zu <ref-law>]).
4.1.5. Freilich widerspricht das angefochtene Urteil der neusten Rechtsprechung des Bundesgerichts, wonach die Parteien in Berufungsverfahren, in denen - wie hier - die uneingeschränkte Untersuchungsmaxime nach <ref-law> gilt, Noven auch dann noch vorbringen können, wenn die Voraussetzungen von <ref-law> nicht erfüllt sind (<ref-ruling> E. 4.2.1; Urteil 5A_848/2018 vom 16. November 2018 E. 4.1). Willkür in der Rechtsanwendung liegt indes nicht bereits vor, wenn ein Gericht bei der Anwendung von Bundesrecht von der bundesgerichtlichen Rechtsprechung abweicht. Dies ist nur der Fall, wenn es sich dabei nicht auf sachlich haltbare Gründe stützen kann, die es als vertretbar erscheinen lassen, der Praxis des Bundesgerichts nicht zu folgen (<ref-ruling> E. 7c; <ref-ruling> E. 2a; Urteil 5A_890/2013 vom 22. Mai 2014 E. 4.5, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: FamPra.ch 2014 S. 1030). Zu diesem Problemkreis äussert sich der Beschwerdeführer im Widerspruch zu der ihn treffenden Begründungspflicht indes nicht (vorne E. 2.1). Ohnehin hat das Bundesgericht bereits verschiedentlich festgehalten, auch im Geltungsbereich der uneingeschränkten Untersuchungsmaxime sei es nicht willkürlich, von den Parteien ein Verhalten zu verlangen, das dem sich aus Art. 317 Abs. 1 Bst. b ZPO ergebenden Sorgfaltsmassstab genügt (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.1 und die dortigen Hinweise).
Mit Blick auf den Einbezug des Gewinns des Jahres 2014 in die Einkommensberechnung erweist die Beschwerde sich folglich als unbegründet.
4.2. Der Beschwerdeführer beanstandet weiter die konkrete Berechnung seines Einkommens. Hierbei ging das Kantonsgericht mit Blick auf die Generationengemeinschaft für den Beschwerdeführer von den folgenden Zahlen aus:
2014 2015 2016 Eigenkapital Fr. 50'770.50 68'398.55 59'573.92 Gewinnanteil Fr. 74'923.95 62'034.45 56'949.82 Privatbezug Fr. 57'295.90 70'859.10 83'756.25
4.2.1. Das Kantonsgericht erwog, als Einkommen gelte der Reingewinn, der entweder als Vermögensstandsgewinn (Differenz zwischen dem Eigenkapital am Ende des laufenden und am Ende des vorangegangenen Geschäftsjahres) oder als Gewinn einer ordnungsgemässen Gewinn- und Verlustrechnung ausgewiesen werde. Der Gewinn stelle bei einer betriebswirtschaftlich korrekten Ermittlung denjenigen Betrag dar, welcher der Unternehmung höchstens entzogen werden dürfe, wenn ihre Ertrags- und Leistungsfähigkeit für den Eigentümer erhalten werden solle. Beim Beschwerdeführer falle auf, dass die Privatbezüge in den Jahren 2015 und 2016 gegenüber dem Jahr 2014 wesentlich zu- und die Gewinnanteile abgenommen hätten. Die Privatbezüge hätten die Gewinnanteile in jenen Jahren um einiges überstiegen (2015: Fr. 8'824.65, 2016: Fr. 26'806.43). Der Beschwerdeführer begründe die massive Zunahme seines Verbrauchs im Jahre 2016 nicht. Auch habe er nicht etwa behauptet, gegenüber seiner früheren Ehefrau unterhaltspflichtig zu sein. Da auch kein Kontoauszug seines Privatkontos vorliege, sei nicht ersichtlich, wozu er diese zusätzlichen Bezüge verwendet habe. Klar sei, dass er in den Jahren 2015 und 2016 effektiv ein höheres Einkommen bezogen habe, als es anhand seines Gewinnanteils ausgewiesen sei. Bei Indizien, dass das ausgewiesene nicht dem tatsächlichen Einkommen entspreche, könne das Einkommen anhand der Privatbezüge berechnet werden, welche die vom Geschäftsinhaber effektiv bezogenen geldwerten Leistungen anzeigten und gleichsam als Gewinnvorbezug während des Geschäftsjahres aufgefasst werden könnten.
4.2.2. Dem hält der Beschwerdeführer entgegen, das Kantonsgericht habe Bilanz und Erfolgsrechnung nicht bzw. nicht rechtsgenüglich gewürdigt. Tatsächlich ergebe sich aus den Unterlagen, dass der Gewinn ab dem Jahr 2014 und das Eigenkapital ab dem Jahr 2016 gesunken seien. Die Vorinstanz begründe nicht, weshalb das ausgewiesene nicht dem tatsächlichen Einkommen entsprechen solle. Hierfür ergäben sich trotz der steigenden Privatbezüge keine Indizien. Ganz im Gegenteil zeigten die steuerlichen Veranlagungsverfügungen, dass die Buchhaltung der Generationengemeinschaft ordnungsgemäss geführt werde. Indem das Kantonsgericht unter diesen Umständen zur Einkommensberechnung auf die Privatbezüge abgestellt habe, habe es den Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt und das Einkommen des Beschwerdeführers offensichtlich unrichtig und damit willkürlich festgestellt. Sodann habe das Kantonsgericht aktenwidrig unberücksichtigt gelassen, dass der Beschwerdeführer im Jahre 2016 aus seinen Privatbezügen unbestritten Unterhaltsbeiträge und Erstattungskosten von insgesamt Fr. 7'912.80 an den Beschwerdegegner bezahlt habe. In den Akten befinde sich sodann ein vollständiger Privatkontoauszug des Beschwerdeführers für die Zeit von Januar 2016 bis Januar 2017, womit die gegenteilige Feststellung des Kantonsgerichts aktenwidrig sei.
4.2.3. Der Beschwerdegegner wirft dem Beschwerdeführer vor, einzig unzulässige, appellatorische Kritik am angefochtenen Urteil zu erheben und nicht darzulegen, inwiefern die vorinstanzlichen Berechnungen in willkürlicher Weise falsch sein oder seine verfassungsmässigen Rechte verletzen sollten.
4.2.4. Nach der Rechtsprechung bestimmt sich das Einkommen einer selbständigerwerbenden Person nach dem erzielten Nettogewinn. Sind die Angaben zur Höhe des so verstandenen Einkommens nicht glaubwürdig oder die beigebrachten Belege nicht überzeugend - etwa weil Gewinn- und Verlustrechnung fehlen - kann auf die getätigten Privatbezüge abgestellt werden. Diese widerspiegeln die effektiv von dem Unternehmen bezogenen geldwerten Leistungen und können gleichsam als Gewinnvorbezug während des Geschäftsjahrs aufgefasst werden. Sie ergeben sich einerseits aus dem Bedarf für den Lebensunterhalt und andererseits aus einer Schätzung des zu erwartenden Jahresgewinns. Entsprechen die Privatbezüge dem erzielten Gewinn, wurde der gesamte Gewinn aus der Unternehmung abgezogen. Erreichen die Privatbezüge den erzielten Gewinn nicht, kann dies zur Bildung von Reserven führen, während über den Gewinn hinausgehende Privatbezüge auf die Auflösung von Reserven hindeuten. Hieraus folgt insbesondere, dass nicht ohne weiteres von sinkendem Einkommen auszugehen ist, wenn die Privatbezüge hinter dem Nettogewinn zurückbleiben (vgl. Urteil 5A_24/2018 vom 21. September 2018 E. 4.1 mit zahlreichen Hinweisen; vgl. auch VERENA BRÄM, in: Zürcher Kommentar, 3. Aufl. 1998, N. 75 zu Art. 163). Dementsprechend kann ebenso wenig allein deshalb ein gestiegenes Einkommen angenommen werden, weil die Privatbezüge den bilanzierten Nettogewinn übersteigen. Damit auf die Privatbezüge abgestellt werden kann, müssen vielmehr (weitere) Indizien dafür vorliegen, dass das ausgewiesene nicht mit dem tatsächlichen Einkommen übereinstimmt und dieses deshalb nicht auf der Grundlage der Bilanz ermittelt werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 5.4.2). Das Kantonsgericht vermag keine derartigen Indizien zu nennen. Es verweist zwar darauf, dass der Beschwerdeführer seinen Verbrauch nicht begründe und insbesondere keinen Auszug seines Privatkontos beigebracht habe. Dem hält der Beschwerdeführer freilich richtig entgegen, dass sich ein Auszug für das hier interessierende Jahr 2016 in den kantonalen Akten befindet (Beilage 12 zur Klage vom 22. Februar 2017; in act. 11b).
4.2.5. Indem das Kantonsgericht zur Einkommensbestimmung unter diesen Umständen auf die Privatbezüge abstellt, mutet es dem Beschwerdeführer im Ergebnis zu, auf die Substanz seines Unternehmens zuzugreifen, um seiner Unterhaltspflicht nachzukommen (vgl. BRÄM, a.a.O., N. 75 zu Art. 163). Es war sich dessen bewusst, kam allerdings zum Schluss, es sei dem Beschwerdeführer zumutbar, "in gewissem Mass" auf sein Vermögen bzw. das Eigenkapital des Unternehmens zu greifen. Zutreffend ist, dass bei der Festlegung des Kindesunterhalts auch das Vermögen der unterhaltspflichtigen Person berücksichtigt werden kann (vgl. Urteil 5A_179/2015 vom 29. Mai 2015 E. 5.3, in: FamPra.ch 2015 S. 997). Der Beschwerdeführer bringt nun aber zu Recht vor, dass sich der auf ihn entfallende Eigenkapitalanteil der Generationengemeinschaft im Jahr 2016 noch auf Fr. 59'573.92 belief (E. 4.2 [einleitend] hiervor). Das Abstellen auf die Privatbezüge anstatt den bilanzierten Gewinnanteil des Beschwerdeführers führt dazu, dass diesem im Jahr durchschnittlich ein um rund Fr. 6'000.-- höheres Einkommen angerechnet wird. Damit mutet das Kantonsgericht dem Beschwerdeführer einen Verbrauch von jährlich rund 10 % seines Eigenkapitalanteils zu, was sich zwangsläufig auch auf die Generationengemeinschaft und damit die berufliche Zukunft des Beschwerdeführers auswirken wird. Weshalb dies dem Beschwerdeführer zumutbar sein soll, begründet die Vorinstanz - abgesehen von dem Hinweis, ein Vermögensverzehr "in gewissem Masse" sei hinzunehmen - nicht. Der angefochtene Entscheid erweist sich insoweit als ungenügend begründet (<ref-law>; statt vieler: <ref-ruling> E. 5.2). Das Kantonsgericht äussert sich auch nicht zu der Frage, ob dem Beschwerdeführer unter diesen Umständen sein Existenzminimum verbleibt (vgl. dazu <ref-ruling> E. 6.5).
4.3. Nach dem Ausgeführten ist die Berechnung des Einkommens des Beschwerdeführers durch das Kantonsgericht nicht haltbar und der angefochtene Entscheid in diesem Punkt willkürlich.
5.
Der Beschwerdeführer erachtet den angefochtenen Entscheid weiter deshalb als offensichtlich unhaltbar, weil das Kantonsgericht es ihm nicht zugestand, die Beiträge der Alters- und Hinterlassenenversicherung (AHV) von den Privatbezügen in Abzug zu bringen. Ausserdem verstosse es gegen die Rechtsgleichheit bzw. das Gleichbehandlungsgebot, bei der Berechnung seines Bedarfs anders als bei derjenigen des Bedarfs der Kindsmutter keine Steuern zu berücksichtigen. Da die Vorinstanz das Einkommen des Beschwerdeführers ohnehin willkürlich berechnet hat und dieses sowie den strittigen Unterhalt neu zu bestimmen haben wird (vgl. hinten E. 6.1), braucht auf diese Rügen nicht weiter eingegangen zu werden.
6.
6.1. Nach dem Ausgeführten erweist sich die Berechnung des Einkommens des Beschwerdeführers als nicht haltbar und ist der angefochtene Entscheid aufzuheben. Es ist indessen nicht Sache des Bundesgerichts, die Unterhaltsbeiträge unter Vervollständigung der tatsächlichen Grundlagen erneut festzusetzen, weshalb die Angelegenheit entsprechend dem Eventualantrag des Beschwerdeführers in Gutheissung der Beschwerde an das Kantonsgericht zurückgewiesen wird (<ref-law>). Dieses wird auch erneut über die Prozesskosten des kantonalen Verfahrens zu entscheiden haben.
6.2. Die Rückweisung der Angelegenheit zum erneuten Entscheid gilt im Hinblick auf die Gerichtskosten und die Parteientschädigung als vollständiges Obsiegen des Beschwerdeführers (vgl. <ref-ruling> E. 11.1). Entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdegegner aufzuerlegen (<ref-law>) und hat dieser dem Beschwerdeführer die Parteikosten zu ersetzen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Hierin enthalten sind auch die Kosten der Verfahren betreffend aufschiebende Wirkung der Beschwerde.
Beide Parteien ersuchen für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Beiordnung ihrer Anwälte als unentgeltliche Rechtsvertreter. Die diesbezüglichen Voraussetzungen sind erfüllt (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Dabei ist aktenkundig, dass der Beschwerdeführer nicht über die Mittel verfügt, um für die Prozesskosten seines Sohnes aufzukommen (vgl. dazu vorne E. 1.3). Da der Beschwerdeführer keine Verfahrenskosten zu tragen hat, ist sein Gesuch gegenstandslos geworden, soweit es die Befreiung von den Gerichtskosten betrifft. Hingegen ist es nicht gegenstandslos geworden, soweit es die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands betrifft. Zwar wird dem obsiegenden Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zugesprochen. Angesichts der wirtschaftlichen Verhältnisse des Beschwerdegegners ist indessen nicht anzunehmen, dass der Beschwerdeführer die ihm zustehende Entschädigung erhältlich machen kann. Deshalb ist auch der Anwalt des Beschwerdeführers direkt aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen. Beide Parteien werden darauf hingewiesen, dass sie dieser Ersatz zu leisten haben, falls sie dazu später in der Lage sind (<ref-law>; vgl. zum Ganzen Urteil 5A_295/2016 vom 23. Februar 2017 E. 6.2, nicht publiziert in: <ref-ruling>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Soweit darauf eingetreten wird, wird die Beschwerde gutgeheissen und die Sache in Aufhebung des Urteils des Kantonsgerichts Schwyz vom 9. Juli 2018 zum erneuten Entscheid an dieses zurückgewiesen.
2.
Auf das Gesuch des Beschwerdegegners um Verpflichtung des Beschwerdeführers zur Übernahme der Prozesskosten wird nicht eingetreten.
3.
3.1. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, und ihm wird Rechtsanwalt Peter Züger als unentgeltlicher Rechtsvertreter beigeordnet.
3.2. Das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen und es wird ihm Rechtsanwalt Patrick Schönbächler als unentgeltlicher Rechtsvertreter beigeordnet.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt, indessen vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
5.
Der Beschwerdegegner hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen. Die Entschädigung wird indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen und Rechtsanwalt Züger wird aus dieser mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
6.
Rechtsanwalt Schönbächler wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
7.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Schwyz, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Juni 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber