Fatti:
A.
In data 6 settembre 2018 la Società svizzera di radiotelevisione, succursale RSI Radiotelevisione svizzera di lingua italiana, ha diffuso un servizio riguardante l'esercizio della consulenza legale da parte di persone prive delle necessarie qualifiche, nel quale ha dato la notizia che il Procuratore pubblico del Cantone Ticino aveva emesso un decreto d'accusa contro la titolare della ditta individuale "B._" di X._, accusata di aver esercitato la propria attività lasciando intendere di essere avvocato senza però disporre del relativo titolo. Sul sito Internet della predetta succursale è inoltre stato pubblicato un riassunto del servizio.
Mediante istanza 30 agosto/20 settembre 2019 A._ (titolare della "B._") ha convenuto in causa dinanzi al Pretore del Distretto di Lugano la Società svizzera di radiotelevisione chiedendo di esercitare il diritto di risposta (art. 28l CC). A._ ha anche chiesto l'adozione di misure cautelari e la concessione del gratuito patrocinio.
Con decisione 13 dicembre 2019 il Pretore ha respinto la domanda cautelare e l'istanza di gratuito patrocinio. Mediante decisione 16 marzo 2020 egli ha respinto anche l'istanza di merito, ponendo a carico di A._ fr. 500.-- a titolo di spese processuali e fr. 2'800.-- a titolo di spese ripetibili.
B.
Con sentenza 18 agosto 2020 la III Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino ha respinto, nella misura della sua ricevibilità, il "reclamo" 26 marzo 2020 introdotto da A._. I Giudici cantonali hanno respinto la sua istanza di gratuito patrocinio e posto a suo carico fr. 400.-- a titolo di spese processuali.
C.
Con ricorso datato 22 settembre 2020 A._ ha impugnato la sentenza cantonale dinanzi al Tribunale federale, chiedendo, previa concessione dell'effetto sospensivo al rimedio, di annullarla e di rinviare la causa all'autorità inferiore per riesame e nuova decisione. La ricorrente chiede anche di essere posta al beneficio del gratuito patrocinio per la sede federale.
Non è stato ordinato uno scambio di scritti, ma è stato richiamato l'incarto cantonale.

Diritto:
1.
1.1. Il ricorso è stato interposto tempestivamente (art. 100 cpv. 1 LTF) da una parte soccombente nella sede cantonale (art. 76 cpv. 1 LTF) contro una decisione finale (art. 90 LTF) pronunciata su ricorso dall'autorità ticinese di ultima istanza (art. 75 LTF) in materia civile (art. 72 cpv. 1 LTF) di natura non pecuniaria (sentenza 5A_275/2011 dell'8 agosto 2011 consid. 2, non pubblicato in <ref-ruling>; <ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 1b). Il gravame all'esame può pertanto essere trattato quale ricorso in materia civile.
Sia tuttavia precisato che, nella misura in cui la ricorrente censura anche un decreto con il quale il Pretore del Distretto di Lugano l'ha invitata a fornire una cauzione per spese ripetibili in una parallela causa risarcitoria da lei incoata contro la medesima opponente, il rimedio esula manifestamente dall'oggetto del presente litigio e risulta inammissibile.
1.2. Il Tribunale federale applica il diritto d'ufficio (art. 106 cpv. 1 LTF). Nondimeno, tenuto conto dell'onere di allegazione e motivazione posto dall'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, la cui mancata ottemperanza conduce all'inammissibilità del gravame, il Tribunale federale esamina di regola solo le censure sollevate (<ref-ruling> consid. 2.4 con rinvii). Il ricorrente deve pertanto spiegare nei motivi del ricorso, in modo conciso e confrontandosi con i considerandi della sentenza impugnata, perché quest'ultima viola il diritto (<ref-ruling> consid. 1.2.2; <ref-ruling> consid. 2.4). Per le violazioni di diritti fondamentali e di disposizioni di diritto cantonale e intercantonale le esigenze di motivazione sono più severe; il ricorrente deve indicare in modo chiaro e dettagliato i diritti che sono stati violati e spiegare in cosa consista la violazione (art. 106 cpv. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 1.2.2; <ref-ruling> consid. 2.4).
1.3. Il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento dei fatti svolto dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 1 LTF); può scostarsene o completarlo solo se è stato effettuato in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF o in modo manifestamente inesatto (art. 105 cpv. 2 LTF). L'accertamento dei fatti contenuto nella sentenza impugnata può essere censurato alle stesse condizioni; occorre inoltre che l'eliminazione dell'asserito vizio possa influire in maniera determinante sull'esito della causa (art. 97 cpv. 1 LTF). Se rimprovera all'autorità inferiore un accertamento dei fatti manifestamente inesatto - ossia arbitrario (<ref-ruling> consid. 2) - il ricorrente deve sollevare la censura e motivarla in modo preciso, come esige l'art. 106 cpv. 2 LTF.
2.
La ricorrente si duole innanzitutto della violazione degli art. 30 cpv. 1 Cost. e 6 n. 1 CEDU, osservando che la sentenza cantonale è stata emanata dal Presidente della III Camera civile del Tribunale d'appello, che è anche membro della Commissione per l'avvocatura del Cantone Ticino "che protegge la categoria degli avvocati iscritti nel registro cantonale", per cui egli non godrebbe di adeguate garanzie di imparzialità e indipendenza nella presente vertenza.
Per prassi costante, sulla base del principio della buona fede la parte che ha conoscenza di un motivo di ricusazione deve invocarlo senza indugio e non soltanto qualora l'esito di una procedura le sia sfavorevole, pena la decadenza del diritto di avvalersene (<ref-ruling> consid. 3.2.1; <ref-ruling> consid. 2.2 in fine; <ref-ruling> consid. 3.2.2). La composizione ordinaria delle Camere civili del Tribunale d'appello figura sul sito internet della Repubblica e Cantone Ticino - ed era quindi nota alla ricorrente già prima dell'emanazione della sentenza 18 agosto 2020. La ricorrente non poteva pertanto attendere l'esito a lei sfavorevole del gravame per ricusare poi il magistrato solo in un secondo tempo, ma doveva procedervi tempestivamente, rendendo verosimili i relativi fatti (v. art. 49 CPC [RS 272]). La censura risulta quindi di primo acchito inammissibile.
3.
3.1. Nel giudizio impugnato la Corte cantonale ha osservato che, optando per il rimedio del reclamo, la ricorrente aveva scelto di contestare unicamente la decisione in materia di spese (v. art. 110 CPC), per cui la conclusione volta ad annullare la decisione in materia di diritto di risposta, impugnabile mediante appello, era inammissibile.
3.2. La ricorrente rimprovera ai Giudici cantonali una violazione del divieto del formalismo eccessivo (art. 29 cpv. 1 Cost.) e della buona fede (art. 5 e 9 Cost.), sostenendo di aver indicato il rimedio in modo errato per mera svista e rilevando come non era patrocinata da un difensore professionista. A suo dire, anche il suo diritto di essere sentita (art. 29 cpv. 2 Cost.) sarebbe stato leso dai Giudici cantonali per non "aver prima interpellato la ricorrente" in proposito.
3.3.
3.3.1. Commette un eccesso di formalismo, costitutivo di un diniego formale di giustizia proibito dall'art. 29 cpv. 1 Cost., l'autorità che applica una regola di procedura con rigidità esagerata, ponendo esigenze eccessive, non giustificate da alcun interesse degno di protezione, così da diventare fine a sé stessa, complicando in maniera inammissibile la realizzazione del diritto materiale o ostacolando in modo inammissibile l'accesso ai tribunali (<ref-ruling> consid. 4.2.1 con rinvii). Nella misura in cui sanziona un comportamento dell'autorità nella gestione delle relazioni con l'amministrato, il divieto del formalismo eccessivo persegue il medesimo scopo del principio della buona fede (art. 5 cpv. 3 e 9 Cost.; <ref-ruling> consid. 4.2.1).
Secondo la giurisprudenza, la conversione di un mezzo di impugnazione del CPC errato in quello corretto è possibile a condizione che i presupposti del rimedio che avrebbe dovuto essere utilizzato siano soddisfatti e che sia possibile convertire il rimedio nel suo insieme. La conversione è invece esclusa se l'insorgente, patrocinato da un difensore professionista, ha volutamente scelto una via di diritto, benché non potesse ignorare che era errata (v. sentenza 5A_221/2018 del 4 giugno 2018 consid. 3).
Dalla sentenza impugnata e dagli atti emerge che la qui ricorrente ha effettuato studi giuridici in Italia ed è attiva quale consulente legale sul mercato ticinese, "come da essa stessa pubblicizzato". In tali condizioni, si giustifica pertanto equipararla a una parte patrocinata da un difensore professionista (v., in caso di indicazione errata dei rimedi giuridici, <ref-ruling> consid. 1.2.2.2; sentenza 6B_1366/2017 del 27 aprile 2018 consid. 1.6.2). Ora, contrariamente a quanto afferma la ricorrente, l'indicazione della via del reclamo invece della via dell'appello non appare una svista manifesta: il fatto che ella volesse agire proprio con un reclamo emerge infatti esplicitamente non solo dal titolo ("reclamo"), ma anche dal capitolo "In ordine" ("il termine di dieci giorni [art. 321 cpv. 2 CPC]"), dal capitolo "In fatto" ("con l'odierno reclamo"), dal capitolo "Diritto" ("decisione impugnata che è da ritenersi, ad avviso della reclamante, censurabile per l'applicazione errata del diritto e l'accertamento manifestamente errato dei fatti") e pure dalle conclusioni ("in accoglimento del proposto reclamo"). È quindi a ragione che la Corte cantonale ha ritenuto che la ricorrente avesse deliberatamente scelto di non seguire la via di diritto peraltro correttamente indicata nella decisione pretorile, ovvero quella dell'appello, ma di introdurre invece un reclamo (v. sentenza 5A_221/2018 del 4 giugno 2018 consid. 3.3.2). La sentenza qui impugnata non può quindi essere considerata eccessivamente formalista.
Oltre a ciò, non si vede quale diniego di giustizia avrebbe subito la ricorrente per la mancata conversione del rimedio, dato che i Giudici cantonali non si sono comunque limitati a esaminare la censura in materia di spese proposta dalla qui ricorrente (v. infra consid. 4.1 e 5.1), ma hanno verificato anche altre sue censure, segnatamente la censura di violazione del diritto di essere sentita per il fatto che il Giudice di prime cure avrebbe ammesso quale prova il decreto d'accusa prodotto dalla controparte senza emanare un'ordinanza sulle prove e senza permetterle di prendere posizione al riguardo (v. infra consid. 6.1) e la censura di carenza di motivazione della decisione pretorile in relazione alle domande di rettifica, di rimozione e di scuse pubbliche (v. infra consid. 7.1). Nemmeno la ricorrente pretende che l'esito processuale avrebbe potuto essere per lei più favorevole se la Corte cantonale avesse trattato il suo rimedio quale appello.
La censura di diniego di giustizia appare pertanto infondata.
3.3.2. Anche la censura di violazione dell'art. 29 cpv. 2 Cost. non merita accoglimento, già per il fatto che la ricorrente, come visto, non pretende di essere stata gravata dalla mancata conversione del suo reclamo in appello e non è quindi ravvisabile l'influenza che la pretesa lesione del diritto di essere sentita potrebbe avere avuto sulla procedura (v. <ref-ruling> consid. 1.4.1 con rinvii).
4.
4.1. La Corte cantonale ha osservato che il Pretore aveva respinto la domanda di gratuito patrocinio già con decisione 13 dicembre 2019, negando l'esistenza di entrambi i presupposti dell'art. 117 CPC, per cui la contestazione di tale decisione era ormai tardiva. I Giudici cantonali hanno in ogni modo tutelato tale decisione pretorile, osservando che sia l'istanza provvisionale sia quella di merito apparivano prive di probabilità di successo (art. 117 lett. b CPC) e che la ricorrente nel reclamo si era del resto unicamente confrontata con la condizione dell'indigenza (art. 117 lett. a CPC).
4.2. La ricorrente sostiene che la contestazione della reiezione del gratuito patrocinio non era tardiva "perché è stata impugnata direttamente con la decisione di merito del 16 marzo 2020". Ella rimprovera ai Giudici cantonali la violazione degli art. 9 e 29 cpv. 1 Cost.
4.3. Quando la sentenza impugnata (o parte di essa) si fonda su più motivazioni indipendenti (alternative o sussidiarie), la parte ricorrente deve confrontarsi con ognuna di esse in modo conforme agli art. 42 cpv. 2 e 106 cpv. 2 LTF, pena l'inammissibilità (<ref-ruling> consid. 2.4 con rinvii). Ora, nel caso concreto la ricorrente contesta l'argomentazione principale dei Giudici cantonali fondata sulla tardività dell'impugnazione del rifiuto del gratuito patrocinio, ma omette del tutto di misurarsi con la loro argomentazione sussidiaria di inadempimento delle condizioni dell'art. 117 CPC per la procedura di prima istanza. La censura risulta quindi inammissibile.
5.
5.1. In relazione alle spese di prima istanza, i Giudici cantonali hanno osservato che le spese processuali di fr. 500.-- messe a carico della ricorrente si situavano nella parte inferiore della tariffa cantonale per le cause con un valore litigioso non determinabile e non potevano quindi essere ritenute eccessive. Quanto alle spese ripetibili, i Giudici cantonali hanno osservato che la ricorrente non si era confrontata con il calcolo del Pretore (il quale aveva tenuto conto di un dispendio di tempo del patrocinatore della convenuta di 10 ore alla tariffa di fr. 280.-- all'ora), ma si era limitata ad avanzare inammissibilmente un argomento nuovo, ossia l'asserita inutilità per la controparte di farsi rappresentare da un avvocato (argomento comunque infondato in considerazione dell'attività di consulente legale svolta dalla stessa ricorrente).
5.2. La ricorrente lamenta una violazione del divieto dell'arbitrio (art. 9 Cost.) nella messa a suo carico delle spese ripetibili. Ritiene che il suo argomento non era nuovo e che, per equità, non le si dovevano addossare spese legali di una controparte "che ben poteva autorappresentarsi in udienza così come è stata costretta a fare la ricorrente", la quale "è un consulente e non un avvocato".
5.3. La censura si esaurisce in un'apodittica e generica contestazione di quanto stabilito dai Giudici cantonali e non soddisfa le esigenze di motivazione degli art. 42 cpv. 2 e 106 cpv. 2 LTF. Essa è pertanto inammissibile.
6.
6.1. I Giudici cantonali hanno respinto il rimprovero mosso al Pretore di aver ammesso un mezzo di prova "illecito", e meglio il decreto d'accusa prodotto dalla controparte, rilevando che il solo fatto che tale decreto non era destinato alla controparte non significava che essa ne fosse entrata in possesso illecitamente né che lo stesso non fosse utilizzabile come mezzo di prova. I Giudici cantonali hanno inoltre negato una violazione del diritto di essere sentita della ricorrente, osservando che la produzione del decreto d'accusa da parte della controparte unitamente alle sue osservazioni non richiedeva l'emanazione di un'ordinanza sulle prove da parte del Pretore e avrebbe potuto essere contestata dalla ricorrente con una replica spontanea, che però ha omesso di presentare.
6.2. La ricorrente si duole della violazione degli art. 5, 9 e 29 cpv. 2 Cost. e 154 e 155 cpv. 3 CPC, censurando nuovamente - in buona sostanza - l'illiceità del decreto d'accusa quale mezzo di prova, la mancata emanazione di un'ordinanza sulle prove e la negata possibilità di esprimersi al riguardo.
6.3. Nella sua inutilmente prolissa e ripetitiva argomentazione, la ricorrente dimentica di confrontarsi con i dettagliati e pertinenti argomenti sviluppati dai Giudici cantonali. Pure questa censura va dichiarata irricevibile per insufficiente motivazione.
7.
7.1. La Corte cantonale ha scartato la censura di carenza di motivazione della decisione pretorile in relazione alle domande di rettifica, di rimozione e di scuse pubbliche, spiegando che, respingendo il 13 dicembre 2019 l'istanza intesa all'adozione di provvedimenti cautelari, il Pretore aveva evaso anche tali domande di natura, appunto, provvisionale.
7.2. La ricorrente ritiene che le domande di rettifica, di rimozione e di scuse pubbliche dovevano essere evase anche nel merito. Ella lamenta la violazione degli art. 9 e 29 cpv. 1 e 2 Cost.
7.3. Anche questa censura, vaga e superficiale, si palesa inammissibile in ragione della sua carente motivazione.
8.
8.1. I Giudici cantonali hanno, infine, negato alla ricorrente il gratuito patrocinio per la procedura di seconda istanza, dato che il reclamo difettava sin dall'inizio di probabilità di esito favorevole (v. art. 117 lett. b CPC), e posto quindi a suo carico le spese giudiziarie di fr. 400.--.
8.2. La ricorrente lamenta la violazione degli art. 5, 9, 29 cpv. 3, 29ae 30 Cost. e 117 CPC. A suo dire, sia il presupposto dell'indigenza economica sia il "requisito della fondatezza del diritto di risposta" risultavano adempiuti, per cui ella avrebbe avuto diritto alla gratuità della causa e alla designazione di un patrocinatore d'ufficio.
8.3. Nemmeno mediante questa argomentazione la ricorrente si misura a sufficienza con la sentenza impugnata. La censura è irricevibile.
9.
Da quanto precede risulta che il ricorso va respinto nella misura della sua ammissibilità. Con l'evasione del ricorso, l'istanza di concedere effetto sospensivo allo stesso diventa priva di oggetto.
La domanda di assistenza giudiziaria per la procedura federale, indipendentemente dalla pretesa indigenza della ricorrente, va respinta facendo difetto il requisito delle possibilità di esito favorevole dell'impugnativa (art. 64 cpv. 1 LTF). Le spese giudiziarie sono pertanto poste a suo carico (art. 66 cpv. 1 LTF). Non si giustifica assegnare spese ripetibili all'opponente, che non è stata invitata a esprimersi sul ricorso (art. 68 cpv. 1 LTF).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2.
La domanda di assistenza giudiziaria della ricorrente è respinta.
3.
Le spese giudiziarie di fr. 2'000.-- sono poste a carico della ricorrente.
4.
Comunicazione alle parti e alla III Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.