Faits :
A.
A._ et B._ sont les parents d'une fille, née en 2016. Depuis leur séparation, un conflit les oppose quant à la garde et aux relations personnelles avec l'enfant.
Par deux décisions de mesures provisionnelles du 26 novembre 2020, l'Autorité de protection de l'enfant et de l'adulte [...] (ci-après : APEA) a, dans un premier prononcé, confirmé l'interdiction faite à la mère de déplacer le domicile ou le lieu de résidence habituelle de l'enfant et de quitter le territoire suisse avec sa fille; dans la seconde décision, l'APEA a confirmé le retrait du droit de déterminer le lieu de résidence de l'enfant et ordonné le placement de celle-ci dans un centre médical ou tout autre lieu approprié en vue de l'évaluation générale de son état de santé, ainsi que le retrait de l'autorité parentale à A._, confirmant la tutelle au sens de l'<ref-law> et la curatelle au sens de l'art. 308 al. 1 et 2 CC ordonnées précédemment.
Le 15 septembre 2021, l'Autorité de recours en matière de protection de l'enfant et de l'adulte du Tribunal cantonal valaisan a annulé les deux décisions précitées de l'APEA et lui a renvoyé la cause pour instruction complémentaire.
Les deux parents ont formé des recours en matière civile au Tribunal fédéral contre ce prononcé (causes 5A_865/2021 et 5A_858/2021). Par ordonnance du 11 novembre 2021, le Président de la IIe Cour de droit civil du Tribunal fédéral a admis la requête d'effet suspensif déposée par le père dans la cause 5A_858/2021 (<ref-law>).
B.
A la suite de plaintes pénales du père, ainsi que du tuteur de l'enfant, le Ministère public du canton du Valais (ci-après : le Ministère public) instruit une enquête contre A._ pour violation du devoir d'assistance et d'éducation (<ref-law>), ainsi que pour enlèvement de mineur (<ref-law>; cause MPC_1).
Dans ce cadre, le Ministère public a demandé, le 20 septembre 2021, l'entraide internationale en matière pénale aux autorités d'un Etat européen X._ afin d'obtenir un rapport actualisé et complet de l'École d'enseignement "C._", établissement où était scolarisé l'enfant.

Le 28 octobre 2021, A._ a indiqué au Ministère public être "retenue contre sa volonté, vraisemblablement en raison d'un mandat délivré par le Ministère public"; elle a notamment sollicité la "levée" immédiate de ce mandat. Par décision du 29 suivant, le Ministère public a refusé de révoquer le mandat d'arrêt émis le 10 mai 2021, à tout le moins tant que le Tribunal fédéral n'aurait pas statué sur la requête d'effet suspensif dans la cause 5A_858/2021; il était encore précisé que, selon les informations en possession du Ministère public, A._ aurait été interpellée à l'aéroport de U._ dans le pays X._ en possession d'un aller simple pour l'Amérique du Nord et que, si elle souhaitait contester la procédure initiée, elle pourrait, le cas échéant, le faire valoir auprès des autorités de l'État européen X._. Ce même jour, A._ a sollicité du Ministère public qu'il reconsidère "le maintien et l'exécution de [son] mandat d'arrêt afin que cesse la détention illicite". Par courrier du 2 novembre 2021, le Ministère public a pris note de cette position.
C.
Le 12 novembre 2021, la Chambre pénale du Tribunal cantonal valaisan (ci-après : la Chambre pénale) a rejeté le recours formé par A._ contre l'ordonnance du 29 octobre 2021 du Ministère public refusant de révoquer le mandat d'arrêt émis en mai 2021.
D.
Par acte du 15 décembre 2021, A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre cet arrêt, concluant à son annulation et à la révocation du mandat d'arrêt - et de l'éventuel mandat d'amener - du 10 mai 2021 ou émis à toute autre date par le Ministère public à son encontre. A titre subsidiaire, elle demande le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision.
Invités à se déterminer, l'autorité précédente et le Ministère public ont renoncé à déposer des observations.
Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office (<ref-law>) et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 2 p. 188).
1.1. Le recours au sens des <ref-law> est ouvert contre les décisions rendues en matière pénale. Cette notion comprend tous les prononcés qui se fondent sur le droit pénal matériel ou le droit de procédure pénale. Elle s'étend donc à une décision relative à un mandat d'arrêt ou d'amener. En tant que mesure de contrainte pouvant porter atteinte à la liberté de la personne concernée, un tel mandat est susceptible de causer un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law> (arrêt 1B_51/2021 du 31 mars 2021 consid. 1).
1.2. Selon l'<ref-law>, a qualité pour former un recours en matière pénale quiconque a pris part à la procédure devant l'autorité précédente ou a été privé de la possibilité de le faire (let. a) et a un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (let. b).
Lorsqu'exceptionnellement une personne a connaissance de l'existence d'un mandat d'arrêt ou d'amener décerné à son encontre, elle dispose d'un intérêt actuel à recourir tant que ce mandat n'est pas encore exécuté puisque son exécution est de nature à porter atteinte aux droits fondamentaux de l'intéressé (art. 10 al. 2 Cst.; arrêts 1B_51/2021 du 31 mars 2021 consid. 1; 1B_451/2017 du 7 décembre 2017 consid. 2.2 et 2.3). Lorsque le mandat a été exécuté, un recours peut toutefois tendre à une décision de constatation de son illicéité, notamment sous l'angle de la proportionnalité (arrêts 1B_451/2017 du 7 décembre 2017 consid. 2.2; 1B_160/2012 du 20 septembre 2012 consid. 2.3).
En l'occurrence, il peut tout d'abord être rappelé que l'existence d'un intérêt de pur fait ou la simple perspective d'un intérêt juridique futur ne suffit pas pour démontrer la qualité pour recourir (<ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 85). Il s'ensuit que, dans la mesure où la conclusion principale de la recourante tend à obtenir de manière générale l'annulation ou la modification de mandat (s) d'arrêt ou d'amener émis à d'autre (s) date (s) que celui concerné par la décision du 29 octobre 2021, elle est irrecevable. L'objet du litige est ainsi limité à la confirmation du refus du Ministère public de révoquer le mandat d'arrêt émis le 10 mai 2021.
A la suite de l'exécution du mandat précité, la recourante se trouve actuellement en détention dans le pays européen X._ (cf. ad C/1.2 p. 7 du recours). Le fait d'être détenue en raison d'un mandat d'arrêt ne suffit pas pour considérer, sans autre explication, que l'intéressée disposerait toujours d'un intérêt actuel et pratique à l'annulation ou la modification du mandat d'arrêt litigieux; elle peut en effet en principe faire valoir ses droits contre une décision de placement en détention avant jugement, cadre dans lesquels elle peut remettre en cause tant l'existence de soupçons suffisants que la proportionnalité de la mesure. Eu égard aux obligations en matière de motivation (cf. <ref-law>), il appartenait donc à la recourante de motiver sa qualité pour recourir, ce qu'elle n'a pas fait, se limitant à invoquer son maintien en détention. Cela étant, vu l'issue du litige, il n'y a pas lieu de déterminer si le contexte international, la détention dans le pays européen X._ résultant a priori du mandat d'arrêt suisse litigieux et l'éventualité d'une demande d'extradition appuyée notamment sur ce mandat (cf. <ref-law> [RS 351.1]) suffiraient, sans la moindre invocation, pour établir la qualité pour recourir.
1.3. En application de l'<ref-law>, les pièces ultérieures à l'arrêt attaqué sont irrecevables (cf. en particulier le certificat médical du 10 décembre 2021).
2.
La recourante reproche à l'autorité précédente une violation de l'<ref-law>. Elle soutient en substance que les conditions posées par cette disposition n'auraient plus été réalisées en octobre 2021 et que, par conséquent, la cour cantonale ne pouvait pas confirmer le refus du Ministère public de révoquer le mandat d'arrêt du 10 mai 2021. La recourante soutient en particulier qu'il n'existerait pas de soupçons suffisants de la violation du devoir d'assistance et d'éducation (<ref-law>), respectivement de l'infraction d'enlèvement d'enfant (<ref-law>). A cet égard, la recourante se plaint notamment d'un établissement inexact des faits; la juridiction précédente n'aurait en particulier pas tenu compte des certificats médicaux figurant au dossier.
2.1. L'autorité qui ordonne une mesure de contrainte, telle qu'un mandat d'arrêt ou d'amener, doit s'assurer que celle-ci est prévue par la loi, que les soupçons sont suffisants, que les buts poursuivis ne peuvent pas être atteints par des mesures moins sévères et qu'elle apparaît justifiée au regard de la gravité de l'infraction (art. 197 al. 1 let. a à d CPP). Elle n'a pas en revanche à s'interroger sur l'ensemble des conséquences qu'une telle mesure peut revêtir pour la personne concernée dès lors qu'au moment de rendre sa décision, elle ne dispose en principe pas des renseignements sur la situation personnelle de l'intéressé (arrêt 1B_51/2021 du 31 mars 2021 consid. 3.1 et l'arrêt cité).
Selon l'<ref-law>, si le prévenu est fortement soupçonné d'avoir commis un crime ou un délit et qu'il y a lieu de présumer des motifs de détention, l'autorité peut lancer un avis de recherche pour l'arrêter et le faire amener devant l'autorité compétente. Cette disposition renvoie aux conditions de la détention provisoire ou pour motifs de sûreté (arrêt 1B_51/22021 du 31 mars 2021 consid. 3.1 et les références citées).
A teneur de l'<ref-law>, la détention provisoire et la détention pour des motifs de sûreté ne peuvent être ordonnées que lorsque le prévenu est fortement soupçonné d'avoir commis un crime ou un délit et qu'il y a sérieusement lieu de craindre qu'il se soustraie à la procédure pénale ou à la sanction prévisible en prenant la fuite (risque de fuite). Ce danger doit s'analyser en fonction d'un ensemble de critères tels que le caractère de l'intéressé, sa moralité, ses ressources, ses liens avec l'État qui le poursuit ainsi que ses contacts à l'étranger, qui font apparaître le risque de fuite non seulement possible mais également probable. Le fait que le risque de fuite puisse se réaliser dans un pays qui pourrait donner suite à une requête d'extradition de la Suisse n'est pas déterminant pour nier le risque de fuite. La gravité de l'infraction ne peut pas, à elle seule, justifier la prolongation de la détention, même si elle permet souvent de présumer un danger de fuite en raison de l'importance de la peine dont le prévenu est menacé (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 507; arrêt 1B_51/2021 du 31 mars 2021 consid. 3.1 et les nombreux arrêts cités).
2.2. A teneur de l'<ref-law>, celui qui aura violé son devoir d'assister ou d'élever une personne mineure dont il aura ainsi mis en danger le développement physique ou psychique, ou qui aura manqué à ce devoir, sera puni d'une peine privative de liberté de trois ans au plus ou d'une peine pécuniaire.
Pour que cette disposition soit applicable, il faut d'abord que l'auteur ait eu envers une personne mineure un devoir d'assistance, c'est-à-dire de protection, ou un devoir d'éducation, c'est-à-dire d'assurer le développement - sur le plan corporel, spirituel et psychique - du mineur. Cette obligation et, partant, la position de garant de l'auteur, peut être fondée sur la loi, sur une décision de l'autorité ou sur un contrat, voire sur une situation de fait; ainsi, sont notamment des garants, les parents naturels ou adoptifs ou le tuteur. Il faut ensuite que l'auteur ait violé son devoir d'assistance ou d'éducation ou qu'il ait manqué à ce devoir. Le comportement délictueux peut donc consister en une action ou en une omission; dans le premier cas, l'auteur viole positivement son devoir, par exemple en maltraitant le mineur ou en l'exploitant par un travail excessif ou épuisant; dans le second cas, l'auteur manque passivement à son obligation, par exemple en abandonnant l'enfant, en négligeant de lui donner des soins ou en ne prenant pas, face à un danger, les mesures de sécurité qui s'imposent. Il faut encore, sur le plan objectif, que la violation du devoir d'assistance ou d'éducation ou le manquement à ce devoir ait eu pour effet de mettre en danger le développement physique ou psychique du mineur (<ref-ruling> consid. 1a p. 68 s.; arrêts 6B_586/2021 du 26 janvier 2022 consid. 1.2; 6B_1220/2020 du 1er juillet 2021 consid. 1.2).
L'infraction réprimée par l'<ref-law> est un délit de mise en danger concrète; il n'est donc pas nécessaire que le comportement de l'auteur aboutisse à un résultat, c'est-à-dire à une atteinte à l'intégrité corporelle ou psychique du mineur; la simple possibilité abstraite d'une atteinte ne suffit cependant pas; il faut que cette atteinte apparaisse à tout le moins vraisemblable dans le cas concret (<ref-ruling> consid. 1b p. 138 s.; arrêts 6B_586/2021 du 26 janvier 2022 consid. 1.2; 6B_138/2021 du 23 septembre 2021 consid. 4.1.2).
2.3. La cour cantonale a tout d'abord rappelé les éléments retenus par le Ministère public en mai 2021 : la recourante était alors seule détentrice de l'autorité parentale; dès la fin du mois de janvier 2020 et à l'insu du père de l'enfant, elle avait mis un terme, de manière abrupte et unilatérale, à la prise en charge médicale et pluridisciplinaire mise en place en Valais autour de l'enfant, laquelle souffrait de troubles autistiques (suivis éducatif, logopédiste, psychomoteur et pédopsychiatrique); après avoir annoncé son départ de V._ à destination d'un pays de la région balkanique - ce qui s'était ensuite avéré un mensonge -, la recourante avait prétendu s'être domiciliée en Asie; depuis le début de la procédure, elle refusait de communiquer aux autorités civiles et pénales son lieu de résidence, ainsi que celui de sa fille; la recourante n'avait pas non plus déposé de certificat médical attestant que sa fille était suivie en mai 2021 par des professionnels de la santé, alors que la pathologie dont elle souffrait nécessitait une prise en charge.
Selon la Chambre pénale, cette appréciation conservait son actualité : le dossier ne présentait pas de rapport médical récent décrivant l'état de santé et de développement de l'enfant, ce que n'apportait pas l'attestation du 30 octobre 2021 de la doctoresse C._; sous l'angle de la vraisemblance, il existait ainsi un faisceau d'indices suffisant pour retenir de forts soupçons de violation du devoir d'assistance ou d'éducation (<ref-law>); il n'était ainsi pas nécessaire d'examiner cette situation sous l'angle de l'infraction d'enlèvement de mineur (<ref-law>) ou d'apprécier le caractère exécutoire de la décision civile du Tribunal cantonal du 15 septembre 2021.
Au vu des informations mises en évidence par l'instruction quant à ses lieux de résidence (défaut de prise de domicile dans la région balkanique ou en Asie) et de ses déplacements dans plusieurs pays (vraisemblables vacances en Asie en janvier 2020, localisation en Suisse en février et en mai 2020, interpellation dans l'Etat européen X._ en possession d'un billet aller simple pour l'Amérique du Nord) pour échapper aux autorités civiles et pénales suisses, la cour cantonale a considéré qu'il y avait à craindre que, si la recourante n'avait pas été arrêtée par les autorités de l'État européen X._, elle aurait continué à fuir, ce d'autant plus au regard de la peine encourue. La Chambre pénale a également confirmé que le mandat d'arrêt fondé notamment sur l'<ref-law> était proportionné : d'une part, le mandat était apte à permettre de retrouver l'enfant et à arrêter la recourante; d'autre part, aucune mesure moins incisive ne permettait d'aboutir au même résultat. Selon la juridiction précédente, l'intérêt public au bon déroulement de la procédure pénale l'emportait largement sur la privation de liberté de la recourante; si cette dernière faisait grand cas de l'effet dramatique de son arrestation sur sa fille, celle-ci avait été confiée dès le 4 novembre 2021 à sa grand-mère maternelle.
2.4. Ce raisonnement ne prête pas le flanc à la critique. La recourante ne remet tout d'abord pas en cause le fait d'avoir subitement mis un terme aux traitements suivis par sa fille en Valais et d'avoir dissimulé ou donné des indications erronées, tant aux autorités pénales que civiles, sur ses lieux de résidence. Elle ne soutient pas non plus qu'elle aurait pu être localisée dans l'État européen X._ sans les mesures d'instruction entreprises à cette fin.
En lien avec l'infraction de violation du droit d'assistance et d'éducation qui lui est notamment reprochée, la recourante prétend en substance que le Ministère public disposait au 29 octobre 2021 d' "éléments extrêmement rassurants sur l'état de santé de l'enfant et de son développement" (cf. ad ch. 2.2.1.1 p. 13 du recours; voir également ch. 2.2.2. p. 16 de cette même écriture). Elle ne fait toutefois référence, dans son mémoire au Tribunal fédéral, à aucune pièce précise ou à l'un ou l'autre des certificats médicaux produits - relatifs en outre pour la majorité à des périodes antérieures à mai 2021 (cf. le bordereau des opérations p. 2, ainsi que celui produit devant le Tribunal fédéral) - dont le contenu permettrait d'étayer cette affirmation. Contrairement ensuite à ce que semble soutenir la recourante, il n'est pas démontré, notamment par le bordereau des opérations, que le procès-verbal de l'audition par commission rogatoire de la directrice de l'école de sa fille le 14 octobre 2021 figurait déjà au dossier à disposition du Ministère public le 29 suivant (cf. également la date de transmission du procès-verbal y relatif [le 28 octobre 2021] et le destinataire de ce document [Parquet de N._, dans le pays européen X._]); la recourante ne prétend en tout état de cause pas que le Ministère public aurait eu, au moment de statuer, connaissance du certificat médical du 30 octobre 2021 de la doctoresse C._ et du "Document médical" émis le 12 novembre suivant. Il est incontesté que l'état de santé de la fille de la recourante nécessite des soins appropriés et un suivi régulier. Or, au vu des considérations précédentes, il apparaît que le Ministère public ne disposait pas, au moment où il s'est prononcé, des éléments suffisants permettant de considérer que l'enfant bénéficiait d'une telle prise en charge. Cela suffit, au stade de la vraisemblance, pour retenir l'existence de soupçons suffisants en lien avec l'infraction prévue à l'<ref-law>. Quant au risque de fuite, les circonstances de l'interpellation de la recourante - qui s'ajoutent aux difficultés pour la localiser - suffisent pour le confirmer (aéroport et possession d'un billet aller simple pour l'Amérique du Nord); la recourante ne reprend au demeurant pas, devant le Tribunal fédéral, les explications avancées à cet égard devant l'instance précédente.
Pour ce dernier motif, on peine également à voir quelle autre mesure moins incisive aurait permis de s'assurer que la recourante ne tente pas de se soustraire encore une fois aux autorités, y compris en mettant un terme aux suivis a priori mis en place dans l'État européen X._; la recourante n'en propose au demeurant aucune. Si un prévenu peut faire usage de son droit de ne pas collaborer, il ne saurait cependant ensuite reprocher aux autorités de prendre les mesures qu'elles estiment dès lors nécessaires pour faire progresser l'enquête. S'agissant en outre de l'avancement de l'instruction et de l'éventuelle découverte d'éléments à décharge (cf. notamment peut-être les résultats de la commission rogatoire dans l'État européen X._), cela ne suffit pas non plus en soi pour considérer - a posteriori - qu'au moment où le mandat d'arrêt litigieux a été émis ou confirmé, il était disproportionné. Enfin, il ne semble pas relever de la compétence des autorités suisses d'apprécier les conditions de l'exécution du mandat d'arrêt par les autorités de l'État européen X._ (interpellation et placement en détention en lieu et place d'éventuelles mesures de substitution).
2.5. Eu égard aux considérations précédentes, il n'y a pas lieu d'examiner plus avant s'il existe des soupçons suffisants en lien avec l'infraction d'enlèvement de mineur (cf. <ref-law>).
3.
Il s'ensuit que le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
La recourante, qui succombe, supporte les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, fixés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, à l'Office régional du Ministère public du Valais central et à la Chambre pénale du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 8 février 2022
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant : Jametti
La Greffière : Kropf