Sachverhalt:
A.
Mit Bauentscheid vom 10. September 2014 erteilte das Bau- und Gastgewerbeinspektorat des Kantons Basel-Stadt dem Verband Basler Elektro-Installationsfirmen (VBEI) eine Ausnahmebewilligung für die Erschliessung von sieben neu geplanten Parkplätzen auf der rückwärtigen Seite ihrer Liegenschaft an der Bonergasse 22 über die Grünzone (Parzelle Nr. 0055). Bei dieser handelt es sich um eine kleine parkähnliche Grünanlage mit einem gemergelten Platz und gemergelten Wegen zur Schulgasse und zur Friedhofgasse hin.
Gegen diesen Bauentscheid erhob A._ im eigenen Namen und im Namen der Interessengemeinschaft Schulgasse Rekurs bei der Baurekurskommission des Kantons Basel-Stadt. Diese hiess den Rekurs mit Entscheid vom 16. Dezember 2015 gut und hob den angefochtenen Bauentscheid auf.
Der Verband Basler Elektro-Installationsfirmen focht diesen Entscheid mit Rekurs vom 12. Februar 2016 beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht an. Dieses führte am 19. Mai 2017 einen Augenschein vor Ort mit anschliessender Verhandlung im Gerichtssaal durch. Mit Urteil vom gleichen Tag hiess es den Rekurs gut und hob den Entscheid der Baurekurskommission vom 16. Dezember 2015 auf. Es wies das Bau- und Gastgewerbeinspektorat an, in Abänderung des Bauentscheids vom 10. September 2014 die Ausnahmebewilligung für die Zufahrt über die Grünzone unter der Bedingung zu erteilen, dass die Ausnahmebewilligung bei wesentlichen baulichen Änderungen der Liegenschaft an der Bonergasse 22 dahin fällt.
B.
Mit Eingabe vom 8. Juli 2017 führen A._, B._ und C._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht mit dem Hauptantrag auf Aufhebung des angefochtenen Urteils des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt.
Mit Verfügung vom 29. August 2017 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Die Vorinstanz beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Der Verband Basler Elektro-Installationsfirmen stellt Antrag auf Beschwerdeabweisung.
Die Verfahrensbeteiligten halten in weiteren Eingaben an ihrem Standpunkt und an ihren Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Dem angefochtenen Urteil der Vorinstanz liegt eine baurechtliche Streitigkeit und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit zugrunde. Das Bundesgerichtsgesetz enthält auf dem Gebiet des Raumplanungs- und Baurechts keinen Ausschlussgrund von der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 lit. a und Art. 83 BGG).
Die Beschwerdeführerin 1 hatte im kantonalen Verfahren Parteistellung (<ref-law>). Als Nachbarin im baurechtlichen Sinne ist sie durch das angefochtene Urteil besonders berührt (lit. b) und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung (lit. c). Sie ist zur Beschwerdeführung berechtigt. Die Legitimation der Beschwerdeführer 2 und 3 kann offen gelassen werden.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonalen verfassungsmässigen Rechten geltend gemacht werden (Art. 95 lit. a, b und c BGG). Die Verletzung des übrigen kantonalen Rechts kann abgesehen von hier nicht relevanten Ausnahmen vor Bundesgericht nicht gerügt werden. Zulässig ist jedoch die Rüge, die Anwendung dieses Rechts führe zu einer Verletzung von Bundesrecht, namentlich des verfassungsmässigen Willkürverbots (<ref-ruling> E. 2 S. 149 f.). Auch die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig - d.h. willkürlich - ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (<ref-law>). Die betroffene Person hat darzulegen, dass und inwiefern dies klar und eindeutig der Fall ist (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 187 mit Hinweisen).
Nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts liegt Willkür vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.4 S. 5).
1.3. Gemäss <ref-law> dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt.
Auf das Vorbringen der Beschwerdeführer, sie hätten wenige Tage nach dem Augenschein vom 19. Mai 2017 durch einen ehemaligen Mitarbeiter des Vorbesitzers des Gebäudes an der Bonergasse 22 erfahren, dass vor dem Kauf der Liegenschaft durch den Beschwerdegegner eine Durchfahrt in den Hinterhof existiert habe, ist deshalb nicht einzutreten.
2.
2.1. Die Beschwerdeführer rügen eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> und eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung. Sie bringen vor, verschiedene Aspekte (insbesondere die Anpassung der Begegnungszone und die Ausführungen der Schulleiterin anlässlich des Augenscheins vom 19. Mai 2017) hätten mit keinem Wort Aufnahme ins Urteil gefunden.
2.2.
2.2.1. Die Beschwerdeführer konnten sich im Laufe des Verfahrens - insbesondere anlässlich des Augenscheins und der anschliessenden Verhandlung im Gerichtssaal - umfassend zur Sache äussern, was von ihnen auch nicht bestritten wird. Soweit sie der Vorinstanz sinngemäss eine Verletzung der Begründungspflicht als Teilgehalt ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör anlasten, ist ihr Vorbringen nicht stichhaltig.
Der Anspruch auf rechtliches Gehör verlangt von der Behörde, dass sie die Einwände der Betroffenen tatsächlich hört, ernsthaft prüft und in ihrer Entscheidfindung angemessen berücksichtigt. Nicht erforderlich ist, dass sich die Begründung mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt (<ref-ruling> E. 9.2 S. 65; <ref-ruling> E. 3.2 S. 270; je mit Hinweisen).
Im angefochtenen Entscheid sind die wesentlichen Vorbringen und die Voraussetzungen für die Erteilung einer Ausnahmebewilligung hinlänglich geprüft worden, sodass die Beschwerdeführer sich über die Tragweite des Urteils ein Bild machen und dieses sachgerecht anfechten konnten.
2.2.2. Die Beschwerdeführer legen nicht dar, inwiefern die von ihnen behauptete unvollständige Sachverhaltsfeststellung entscheiderheblich sein sollte. Dies ist auch nicht ersichtlich. Vielmehr hat die Vorinstanz im Rahmen der vorgenommenen Interessenabwägung sämtliche relevanten Aspekte gewürdigt (vgl. insoweit nachfolgend E. 4).
3.
3.1. Die Beschwerdeführer rügen eine Verletzung von Art. 24 RPG (SR 700).
3.2. Gemäss Art. 22 Abs. 1 und Art. 24 RPG dürfen Bauten und Anlagen inner- und ausserhalb der Bauzonen nur mit behördlicher Bewilligung errichtet werden. Voraussetzung einer ordentlichen Bewilligung nach Art. 22 Abs. 2 RPG ist, dass die Bauten und Anlagen dem Zweck der Nutzungszone entsprechen (lit. a) und das Land erschlossen ist (lit. b). Die Zonenkonformität einer innerhalb der Bauzone zu erstellenden Anlage beurteilt sich nach Art. 22 RPG bzw. nach dem kantonalen Recht. Ausnahmen innerhalb der Bauzonen regelt das kantonale Recht (Art. 23 RPG).
Art. 23 RPG gilt auch für Grundstücke, die aufgrund ihrer Lage und Zweckbestimmung zu dem durch die Bauzonen umgrenzten Siedlungsbereich gehören, obwohl sie formellrechtlich nicht zur Bauzone zählen. Dies trifft typischerweise für Promenaden, Parkanlagen, Spielplätze oder dem Gemeingebrauch offen stehende Strassen und Plätze im überbauten Gebiet zu (Urteil 1A.31/2003 // 1P.75/2003 vom 18. August 2003 E. 1; Bernhard Waldmann/Peter Hänni, Handkommentar RPG, 2006, N. 1 zu Art. 23 RPG). Namentlich untersteht die Bewilligung für eine Baute auf einer in einem Nutzungsplan festgesetzten, von Bauzonen umgebenen Grünzone dem kantonalen Recht (vgl. <ref-ruling>).
Die Grünzone (Parzelle Nr. 0055) liegt im durch die Bauzonen umgrenzten Siedlungsbereich. Art. 24 RPG findet somit vorliegend keine Anwendung, womit sich die Rüge der Beschwerdeführer als unbegründet erweist.
4.
4.1. Es ist unbestritten, dass die Erschliessung der Parkplätze über die sich in der Grünzone befindliche Parzelle Nr. 0055 nicht zonenkonform ist (vgl. § 40 Abs. 2 des Bau- und Planungsgesetzes des Kantons Basel-Stadt vom 17. November 1999 [BPG/BS; SG 730.100]), weshalb insoweit in Anwendung von § 80 BPG/BS eine Ausnahmebewilligung erforderlich ist.
Nach § 80 Abs. 1 BPG/BS kann das zuständige Departement auf Gesuch hin Abweichungen von Bauvorschriften - wie vorliegend von § 40 Abs. 2 BPG/BS - zulassen, wenn wichtige Gründe dafür sprechen und wenn die öffentlichen Interessen und wesentliche nachbarliche Interessen gewahrt werden.
4.2. Die Beschwerdeführer rügen eine willkürliche Auslegung und Anwendung von § 80 Abs. 1 BPG/BS. Bei der Prüfung von § 80 Abs. 1 BPG/BS sei nicht eine Abwägung verschiedener Interessen vorzunehmen; allein entscheidend sei, ob die Voraussetzungen (wichtige Gründe, Wahrung der öffentlichen und der wesentlichen nachbarlichen Interessen) kumulativ erfüllt seien, was vorliegend nicht der Fall sei.
4.3.
4.3.1. Die Vorinstanz hat erwogen, vorab sei das Vorliegen wichtiger Gründe für die Erteilung einer Ausnahmebewilligung zu prüfen. Der Beschwerdegegner, welcher ein Kurszentrum für die Ausbildung von Lernenden im Elektroinstallationsgewerbe betreibe, könne den Dozierenden und Experten keine freien Parkplätze garantieren. Gerade bei einer Anreise während des Tages erweise sich die Parkplatzsuche als schwierig, wie beim Augenschein habe festgestellt werden können. Parkplätze könnten allenfalls im nahe gelegenen Parkhaus angemietet werden. Wie sich anlässlich des Augenscheins gezeigt habe, sei die Anfahrt zu diesem Parkhaus aber durch einen Durchgang erschwert, dessen Tore zu unterschiedlichen Zeiten geschlossen seien. Damit sei diese Lösung gegenüber Parkplätzen auf dem eigenen Grundstück weniger geeignet. Weiter sei begreiflich, dass die Dozierenden und Experten zum Teil auch schweres und unhandliches (Ausbildungs-) Material mitbrächten, weshalb ein Ausweichen auf den öffentlichen Verkehr keine Alternative darstelle. Es bestehe zusammenfassend ein nachvollziehbares Interesse am Bau der sieben Parkplätze.
Die Erschliessung der geplanten Parkplätze über die Bonergasse sei aufgrund der jetzigen baulichen Situation nicht möglich. Man müsste das Gebäude des Beschwerdegegners durch- oder unterfahren, was einen Einfluss auf die Statik des Gebäudes hätte und kostspielig wäre. Die Erschliessung über die Grünanlage (Parzelle Nr. 0055) sei mithin die einzige Möglichkeit. Bereits heute verfüge der Beschwerdegegner über ein Weg- und Zufahrtsrecht über diese Parzelle.
4.3.2. Die Vorinstanz hat weiter ausgeführt, das entgegenstehende öffentliche Interesse sei mit Blick auf den Zweck der Grünzone zu beurteilen. Grünanlagen bezweckten die Sicherung von Freiräumen. Bei der Grünanlage auf der Parzelle Nr. 0055 handle es sich um einen kleinen Park mit halb wildem Charakter, welcher unter anderem den Kindergarten- und Primarschulkindern als Spielplatz diene; die kleine Freifläche stelle auch einen Rückzugsort für das Quartier dar. Dem Aufenthalt oder Spielen auf dem gemergelten Platz stehe das Parkplatz-Projekt jedoch nicht entgegen, da die Zufahrt nicht über den Platz erfolge. Wenn einige Fahrzeuge von der Schulgasse her über den gemergelten Weg fahren würden, werde der Charakter der Grünanlage nicht in Frage gestellt.
Zudem werde die Situation von der Kantonspolizei aus verkehrssicherheitstechnischer Sicht nicht als problematisch beurteilt, zumal die Parkplätze ausschliesslich durch Angestellte des Beschwerdegegners genutzt würden. Aus diesem Grund entstehe auch kein Suchverkehr. Es sei davon auszugehen, dass die sieben Parkplätze halb- oder ganztags belegt würden, sodass mit höchstens rund 30 Fahrten pro Tag zu rechnen sei. Damit könne nicht von einer starken Verkehrszunahme gesprochen werden. Die Schulgasse liege in der Begegnungszone, in welcher eine Geschwindigkeitsbegrenzung von 20 km/h gelte, womit vorsichtiges Fahren bereits heute vorgeschrieben sei. Auch in der Begegnungszone müsse indes mit Motorfahrzeugen gerechnet werden, weshalb sich die Situation nicht massgeblich ändere. Bei der Überfahrt des ca. 2,8 m breiten Mergelwegs bestehe für Passanten sodann die Möglichkeit, in die Grünfläche auszuweichen, da der Weg über keinen Randabschluss verfüge. Eine Nutzung des Wegs durch die Schulkinder werde damit nicht verunmöglicht. Diese könnten ferner vom Pausenplatz her über den Park in die Friedhofgasse einbiegen, womit ein alternativer Schulweg zur Verfügung stehe, dessen Sicherheit durch die neuen Parkplätze nicht tangiert werde.
4.3.3. Die Vorinstanz hat zusammenfassend geschlossen, die Interessenabwägung ergebe, dass der Beschwerdegegner angesichts der einzig möglichen Erschliessung der Parkplätze über die Grünzone genügende Gründe für eine Ausnahmebewilligung vorbringe, welche die lediglich geringfügigen entgegenstehenden öffentlichen und nachbarlichen Interessen überwiegen würden.
4.4. Abweichungen von den Bauvorschriften werden nach § 80 Abs. 1 BPG/BS, wie erwähnt, nur zugelassen, wenn wichtige Gründe vorliegen und die öffentlichen und wesentlichen nachbarlichen Interessen gewahrt werden. Die Auslegung der Vorinstanz, das Vorliegen der Voraussetzungen für die Erteilung einer Ausnahmebewilligung im Einzelfall sei aufgrund einer Abwägung der entgegenstehenden Interessen zu beurteilen, erscheint vertretbar und ist jedenfalls nicht willkürlich. Dies ergibt sich aus dem Grundsatz der Verhältnismässigkeit, auf welchen sich § 80 BPG/BS stützt. Entgegen dem Wortlaut der Bestimmung müssen demnach die öffentlichen oder privaten Interessen nicht unter allen Umständen gewahrt werden, sondern nur dann, wenn sie gewichtiger sind als die entgegenstehenden Interessen an einer Abweichung von der allgemeinen Regel (Vera Feldges/Caroline Barthe, Raumplanungs- und Baurecht, in: Denise Buser, Neues Handbuch des Staats- und Verwaltungsrechts des Kantons Basel-Stadt, 2008, S. 825 f.; Gebhart/Meyer/Nertz/Piolino, Die Baubewilligung im Kanton Basel-Stadt, 2014, S. 150 f.; vgl. auch Markus Lanter, in: Griffel/Liniger/Rausch/Thurnherr [Hrsg.], Fachhandbuch Öffentliches Baurecht, 2016, Rz. 3.509 ff.; René Wiederkehr/Paul Richli, Praxis des allgemeinen Verwaltungsrechts, Bd. lI, 2014, N. 380; Tschannen/Zimmerli/ Müller, Allgemeines Verwaltungsrecht, 4. Aufl. 2014, S. 430).
Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer hat die Vorinstanz somit bei der Prüfung der Voraussetzungen von § 80 Abs. 1 BPG/BS zu Recht eine Interessenabwägung vorgenommen.
4.5. Die Vorinstanz hat das Vorliegen wichtiger Gründe im Sinne von § 80 Abs. 1 BPG/BS zumindest implizit mit der Begründung bejaht, der Beschwerdegegner habe ein erhebliches Interesse an der Errichtung von Parkplätzen auf seinem Grundstück, da die dozierenden Personen auf einen Parkplatz in der Nähe des Ausbildungszentrums angewiesen seien. Diese Einschätzung ist nachvollziehbar und wird von den Beschwerdeführern auch nicht substanziiert in Frage gestellt. Weiter hat die Vorinstanz gestützt auf den Augenschein und damit in Kenntnis der örtlichen Verhältnisse willkürfrei festgestellt, dass die Anmietung von Parkplätzen im nahe gelegenen Parkhaus keine geeignete Alternative darstellt, weil der Zugang zum Parkhaus (auch) tagsüber nicht durchgehend gewährleistet ist. Plausibel ist zudem, dass eine alternative Erschliessung in Form einer "Durch- oder Unterfahrung" des Gebäudes des Beschwerdegegners - sofern überhaupt realisierbar - sehr kostspielig wäre.
Die Vorinstanz hat die entgegenstehenden Interessen gewürdigt. Ihr gestützt auf die eigene Wahrnehmung vor Ort gezogener Schluss, die Grünanlage werde durch die geplante Zufahrt zu den Parkplätzen kaum beeinträchtigt, da die Nutzung des Parks als Rückzugsort und als Spielplatz nicht in Frage gestellt werde, ist nicht zu beanstanden. Gleiches gilt für die vorinstanzliche Beurteilung der Verkehrssicherheit, welche sich auf die Einschätzung der Kantonspolizei abstützt. Ausgehend von der willkürfrei getroffenen Feststellung, wonach die Schaffung von sieben Parkplätzen zu ungefähr 30 (zusätzlichen) Fahrten pro Tag führt, konnte die Vorinstanz folgern, es ergebe sich keine massgebliche Veränderung der Verhältnisse, sodass die Verkehrssicherheit weiterhin gewährleistet sei.
Die Abwägung der Vorinstanz, das Interesse an der Schaffung der Parkplätze für die Dozenten des Lehrlings-Ausbildungsbetriebs überwiege die lediglich geringfügigen entgegenstehenden Interessen, ist ohne Weiteres vertretbar und verletzt damit kein Bundesrecht.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang haben die Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG) und dem anwaltlich vertretenen Beschwerdegegner eine angemessene Entschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Die kommunalen und kantonalen Behörden haben keinen Anspruch auf Ausrichtung einer Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführer haben dem Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 2'500.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bau- und Gastgewerbeinspektorat Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Januar 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Stohner