Faits :
A.
A.a. En date du 13 avril 2011, la Commission du district de la Sarine pour l'aide et les soins à domicile a accordé à A.A._ une indemnité forfaitaire de 25 fr. par jour pour l'assistance fournie à sa soeur impotente B.A._, née en 1979. Leur mère, C.A._, percevait également une indemnité pour l'aide apportée à D.A._, soeur jumelle de B.A._. La mère et les trois filles faisaient ménage commun à U._. Par décisions des 8 octobre 2013 et 15 mars 2016, l'octroi de l'indemnité à A.A._ a été confirmé ensuite de nouvelles évaluations.
A.b. Par décision du 26 septembre 2018 et sur la base notamment d'une évaluation par une infirmière du 5 avril 2018, la Commission des indemnités forfaitaires du Réseau Santé de la Sarine (ci-après: la Commission) a suspendu rétroactivement le versement de l'indemnité forfaitaire à A.A._ dès le 1er septembre 2017, au motif que celle-ci accomplissait ses études à V._ (à l'Ecole B._) et que par conséquent, elle ne remplissait plus les critères pour obtenir l'indemnité; la Commission demandait en outre le remboursement des montants indûment versés depuis le début de la suspension. Sur réclamation, cette décision a été confirmée par la Commission le 28 décembre 2018.
B.
Statuant le 20 janvier 2020 sur recours contre la décision sur réclamation du 28 décembre 2018, la IIIe Cour administrative du Tribunal cantonal de l'État de Fribourg l'a annulée; elle a jugé qu'A.A._ avait droit à une indemnité forfaitaire entière à compter du 1er septembre 2017, pour autant que les conditions n'aient pas changé dans l'intervalle, et a renvoyé la cause à la Commission pour le calcul et le versement du rétroactif dû.
C.
Le Réseau Santé de la Sarine, agissant par son Comité de direction pour la Commission, interjette un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre ce jugement. Il conclut à l'annulation dudit jugement et à la confirmation de sa décision sur réclamation du 28 décembre 2018. A titre subsidiaire, il conclut au renvoi de la cause à la cour cantonale ou à la Commission pour nouvelle décision dans le sens de l'absence du droit à une indemnité depuis le 1er septembre 2017, plus subsidiairement dans le sens de l'octroi d'une indemnité partielle à compter de cette date. Il sollicite par ailleurs l'octroi de l'effet suspensif. Par écriture du 12 mars 2020, le recourant a fait savoir qu'à sa connaissance, A.A._ ne vivait plus avec sa mère et ses soeurs depuis février 2019 et que depuis lors, la mère s'occupait seule de B.A._.
L'intimée conclut à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet, ainsi qu'au rejet de la requête d'effet suspensif. Elle sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire. La juridiction cantonale conclut au rejet du recours. Le recourant a répliqué.
D.
Par ordonnance du 17 juin 2020, le juge instructeur a admis la requête d'effet suspensif.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office (<ref-law>) et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 186; <ref-ruling> consid. 1 p. 358).
1.1. Le jugement attaqué est un arrêt final (<ref-law>), rendu dans une cause de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Dès lors qu'il porte sur l'octroi d'une indemnité à laquelle la législation cantonale donne droit, l'exception de l'art. 83 let. k LTF ne trouve pas application et la voie du recours en matière de droit public est ouverte.
1.2.
1.2.1. Selon l'art. 89 al. 2 let. c LTF, ont qualité pour recourir les communes et les autres collectivités de droit public qui invoquent la violation de garanties qui leur sont reconnues par la constitution cantonale ou la Constitution fédérale. Sont en particulier visés les cas où les communes peuvent invoquer la garantie de leur autonomie communale, ancrée au niveau fédéral à l'art. 50 al. 1 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 92; <ref-ruling> consid. 3.3.1 p. 648 s.). Aux termes de cette disposition, l'autonomie communale est garantie dans les limites fixées par le droit cantonal. Une commune bénéficie ainsi de la protection de son autonomie dans les domaines que le droit cantonal ne règle pas de façon exhaustive, mais qu'il laisse en tout ou partie dans la sphère communale, conférant par là aux autorités municipales une liberté de décision relativement importante. L'existence et l'étendue de l'autonomie communale dans une matière concrète sont déterminées essentiellement par la constitution et la législation cantonales (<ref-ruling> consid. 6.3 p. 557 s.; <ref-ruling> consid. 5.3 p. 42 s.). Le recours est recevable dès lors que la commune ou une autre collectivité de droit public se plaint de la violation d'une garantie constitutionnelle qui lui est reconnue en relation avec son autonomie (<ref-ruling> consid. 1.3.2 p. 149; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 304); savoir si pareille atteinte est réalisée en l'espèce ressortit en revanche au fond (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 268; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 45). Une association intercommunale, en tant que collectivité publique de droit public dotée de la personnalité juridique, a la qualité pour invoquer une telle garantie (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 206).
1.2.2. Selon l'art. 1 al. 1 de ses statuts, le Réseau Santé de la Sarine est une association de communes au sens de la loi cantonale fribourgeoise du 25 septembre 1980 sur les communes (LCo; RS/FR 140.1). Représenté envers les tiers par son comité de direction (art. 17 al. 1 let. b des statuts), il a le caractère de personne morale (art. 1 al. 2 des statuts) et est inscrit au registre du commerce du canton de Fribourg en tant qu'entreprise de droit public. Ses statuts ont été approuvés par le Conseil d'Etat du canton de Fribourg le 7 avril 1981.
L'art. 129 al. 2 Cst./FR (RS 131.219) garantit l'autonomie communale dans les limites du droit cantonal et précise qu'elle peut être invoquée par les associations de communes dans leur domaine de compétence. Selon l'art. 4 LCo, la commune exerce librement son activité dans les limites des législations cantonale et fédérale. L'art. 7 de la loi cantonale du 8 septembre 2005 sur l'aide et les soins à domicile (LASD; RS/FR 823.1), abrogée avec effet au 1er janvier 2018, désignait notamment les communes (let. a) et les commissions de district (let. b) comme autorités d'application. L'art. 8 LASD prévoyait que les communes se réunissent en association groupant l'ensemble des communes d'un district, voire l'ensemble des communes de plusieurs districts (al. 1), et que ces associations adoptent un règlement concernant l'octroi de l'indemnité forfaitaire (al. 4). Au 1er janvier 2018, la LASD a été remplacée par la loi du 12 mai 2016 sur l'indemnité forfaitaire (LIF; RS/FR 830.1), qui désigne notamment comme autorités d'application les associations de communes au sens de la loi sur les prestations médico-sociales (art. 2 al. 1 let. a LIF); lesdites associations de communes adoptent un règlement concernant l'octroi de l'indemnité forfaitaire (art. 3 al. 1 let. a LIF).
Selon l'art. 3 al. 1 let. d de ses statuts (modifiés la dernière fois le 3 juin 2015), le Réseau Santé de la Sarine a en particulier pour but de répondre aux tâches et missions qui sont dévolues à ses membres par la législation sur l'aide et les soins à domicile. Le 5 janvier 2010, le Conseil d'Etat du canton de Fribourg a approuvé le règlement du 30 septembre 2009 (adopté par l'Association des communes de la Sarine pour les services médico-sociaux) concernant l'octroi d'une indemnité forfaitaire pour l'aide et les soins à domicile (ci-après: le règlement). Ce règlement s'applique aux parents et aux proches qui fournissent à domicile une aide et des soins à une personne impotente (art. 1 du règlement) et n'a pas été modifié ensuite de l'entrée en vigueur de la LIF.
1.2.3. Au vu de ce qui précède, le Réseau Santé de la Sarine dispose d'une autonomie importante dans le domaine faisant l'objet du présent litige et doit se voir reconnaître la qualité pour recourir devant le Tribunal fédéral, étant rappelé que le point de savoir si cette autonomie a ou non été violée relève du fond et non de la recevabilité (cf. consid. 1.2.1 supra).
1.3. Pour le surplus, le recours en matière de droit public a été déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites (<ref-law>). Il est partant recevable. Par conséquent, le recours constitutionnel subsidiaire formé simultanément par le recourant est irrecevable (<ref-law> a contrario).
2.
2.1. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2 p. 190) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Il n'entre pas en matière sur des critiques appellatoires portant sur l'appréciation des preuves ou l'établissement des faits par l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 2 p. 215; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 266; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356).
2.2. Sauf dans les cas cités expressément à l'<ref-law>, le recours ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal en tant que tel. En revanche, il est toujours possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres principes constitutionnels (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 372; <ref-ruling> consid. 2 p. 149; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 145). Appelé à revoir l'application ou l'interprétation d'une norme cantonale ou communale sous l'angle de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motif objectif et en violation d'un droit certain (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 61). En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale n'est pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution éventuellement plus judicieuse paraît possible (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 372; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 516). En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision critiquée soient insoutenables; encore faut-il que cette dernière soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> et <ref-ruling> précités).
2.3. Lorsqu'elle est reconnue autonome dans un domaine spécifique, une commune, respectivement une association de communes, peut dénoncer tant les excès de compétence d'une autorité cantonale de contrôle ou de recours que l'interprétation et l'application erronées des règles de droit qui régissent la matière. Elle peut faire valoir la violation de ses droits constitutionnels et fondamentaux, telle que l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.). Le Tribunal fédéral examine librement l'interprétation du droit constitutionnel, fédéral comme cantonal, dans les limites des griefs invoqués et motivés conformément à l'<ref-law>. En revanche, il vérifie - dans ces mêmes limites - l'application de règles de rang inférieur à la constitution cantonale sous l'angle restreint de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 7.4.1 p. 201; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 173).
3.
3.1. La cour cantonale a constaté que la décision sur réclamation du 28 décembre 2018 portait sur des faits antérieurs et postérieurs à l'entrée en vigueur de la LIF; elle en a déduit qu'à défaut de dispositions transitoires, il convenait d'appliquer la LIF à la situation postérieure à son entrée en vigueur et la LASD à la situation antérieure.
3.2. Selon les règles générales régissant la détermination du droit applicable, qui s'appliquent en l'absence de dispositions transitoires particulières, l'interdiction de la rétroactivité (proprement dite) fait obstacle à l'application d'une norme à des faits entièrement révolus avant son entrée en vigueur; en revanche, pour les faits ayant pris naissance sous l'empire de l'ancien droit, mais qui déploient encore des effets sous le nouveau droit, il est admissible d'appliquer ce dernier (rétroactivité improprement dite), sous réserve des droits acquis (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 86; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 373 s.).
3.3. La juridiction cantonale a relevé à juste titre que la LIF reprenait les dispositions de la LASD en n'y opérant que des modifications mineures. De surcroît, le règlement dont l'interprétation est litigieuse n'a pas été modifié ensuite de l'entrée en vigueur de la LIF. La question de savoir si seule la LIF ou également la LASD sont applicables au cas d'espèce peut dès lors souffrir de rester indécise.
4.
4.1. Selon l'art. 1 LIF, l'indemnité forfaitaire est une aide financière accordée aux parents et aux proches qui apportent une aide régulière, importante et durable à une personne impotente pour lui permettre de vivre à domicile. Les commissions de district décident de l'octroi de l'indemnité forfaitaire (art. 4 let. a LIF). L'indemnité forfaitaire est accordée conformément au règlement concernant son octroi (art. 7 al. 1 LIF).
L'art. 2 du règlement prévoit qu'une telle indemnité est accordée aux parents et aux proches qui fournissent à domicile une aide régulière, importante et durable à une personne impotente si les conditions des articles 3 à 6 du règlement sont remplies. Les "conditions personnelles" (titre marginal) sont énumérées aux art. 3 à 5 et, en dépit du libellé de l'art. 2, les "conditions matérielles" (titre marginal) aux art. 6 et 7. Aux termes de l'art. 3 al. 2, les parents et les proches doivent faire ménage commun avec la personne impotente ou vivre dans le voisinage immédiat de celle-ci; ils doivent en outre être reconnus aptes à fournir l'assistance nécessaire. Selon l'art. 4, est impotent celui qui, en raison d'une maladie ou d'un handicap, est atteint dans sa santé physique ou mentale et a besoin, de façon importante, régulière et durable, de la surveillance d'autrui ou de l'assistance sous forme d'aide pour accomplir les actes ordinaires de la vie, les soins corporels et d'éventuels soins infirmiers (al. 1); l'aide est régulière lorsqu'elle est respectivement apportée ou exercée quotidiennement (al. 4). Selon l'art. 6 al. 1, les actes ordinaires de la vie consistent à se vêtir, se dévêtir, se lever, s'asseoir, se coucher, manger, faire sa toilette, aller aux toilettes, se déplacer à l'intérieur et à l'extérieur et établir des contacts avec l'entourage. L'art. 7 dispose que l'assistance doit permettre de réduire de façon substantielle l'intervention régulière d'un service d'aide ou de soins à domicile, ou d'éviter respectivement l'hospitalisation et l'hébergement de la personne impotente dans un établissement médico-social ou dans une autre institution. Selon l'art. 8, le montant de l'indemnité forfaitaire complète est arrêté tous les deux ans par le Conseil d'État (al. 1); le montant de l'indemnité forfaitaire est fixé en fonction du degré de l'aide apportée à la personne impotente (al. 2); en cas d'une prise en charge partielle, le montant de l'indemnité peut être diminué (al. 3). Aux termes de l'art. 14 al. 2, lorsque plusieurs personnes ont fourni l'assistance, le montant est versé à celle qui a présenté la demande d'octroi, à charge pour elle de le répartir entre toutes en fonction des journées d'assistance effectuées par chacune d'elles.
4.2. En l'espèce, les juges cantonaux ont retenu que B.A._, qui travaillait à mi-temps, connaissait une impotence grave. La Commission reconnaissait son besoin d'assistance et conditionnait son maintien à domicile à une aide particulièrement intense, raison pour laquelle une indemnité forfaitaire avait été allouée à l'intimée depuis 2011. En raison de la longueur des trajets et des horaires induits par sa formation, l'aide fournie par l'intimée à sa soeur était toutefois fluctuante et réduite lorsqu'elle devait se déplacer à V._ pour la journée ou qu'elle effectuait des stages avec des horaires irréguliers; en revanche, elle pouvait s'en occuper entièrement durant les vacances scolaires, les journées ou demi-journées où elle n'avait pas cours et les week-ends, voire durant ses stages se déroulant à proximité de son domicile. La cour cantonale en a conclu que l'intimée n'était pas, à elle seule, apte à fournir l'entier de l'assistance requise par sa soeur. Elle a toutefois constaté que B.A._ recevait pleinement les soins et l'aide que son état nécessitait, sa mère ou son frère pouvant remplacer l'intimée lorsque celle-ci était absente. L'organisation et la répartition de leurs tâches d'assistance devaient être laissées à leur libre arbitre. Bien que plusieurs proches aidants apportassent des soins à B.A._, l'indemnité restait entièrement due à l'intimée, à charge pour elle de la partager avec les autres personnes contribuant aux soins, en application de l'art. 14 al. 2 du règlement.
5.
5.1.
5.1.1. Le recourant fait grief à l'autorité précédente d'arbitraire dans l'établissement des faits, l'appréciation des preuves et l'application du droit cantonal. A ce titre, les premiers juges auraient en particulier retenu à tort que l'intimée était en mesure d'assister sa soeur, même de manière réduite, lors de ses jours de cours et de stage; ils auraient bien plutôt dû déduire des moyens de preuve produits par le recourant que l'intimée, qui accomplissait une formation à plein temps à V._, n'était pas apte à fournir à sa soeur, installée à U._, les soins justifiant l'octroi d'une indemnité, ceux-ci devant être dispensés tout au long de la journée selon l'évaluation de l'infirmière du 5 avril 2018. En ce sens, les premiers juges auraient appliqué de manière insoutenable l'art. 4 al. 4 du règlement, dès lors que l'intimée n'aurait pas apporté une aide quotidienne à sa soeur. Il en serait allé de même de l'art. 7 du règlement, puisque l'aide prodiguée par l'intimée n'aurait pas suffi, à elle seule, à réduire de façon substantielle l'intervention d'un service d'aide à domicile ou à éviter une hospitalisation ou un placement en institution. Dès lors que l'investissement de l'intimée et de sa mère auprès de leurs soeurs, respectivement filles, ne dépasserait pas la durée normale d'une journée de travail, la décision attaquée serait également en porte-à-faux avec l'art. 8 al. 4 du règlement. L'art. 14 al. 2 du règlement aurait lui aussi été interprété de manière arbitraire par la cour cantonale, du fait que l'intimée n'aurait pas rempli les conditions pour bénéficier de l'indemnité. A tout le moins, seule une prise en charge partielle, au sens de l'art. 8 al. 3 du règlement, aurait dû être reconnue, compte tenu de l'aide réduite de l'intimée.
5.1.2. La juridiction cantonale a constaté que B.A._ se trouvait dans un état d'impotence grave requérant une aide intense. Le recourant ne le conteste pas, de même qu'il ne nie pas que l'intimée remplissait les conditions à l'octroi de l'indemnité forfaitaire avant le début de sa formation à V._. Les premiers juges ont tenu compte de cette formation, dès lors qu'ils ont retenu que l'intimée n'était de ce fait pas en mesure d'assister sa soeur de manière complète et de s'en occuper seule. Il n'apparaît à cet égard pas arbitraire d'avoir retenu qu'une aide réduite était néanmoins fournie les jours où l'intimée avait ses cours à V._ ou lorsqu'elle était en stage, dès lors que selon les faits constatés par l'autorité précédente et non contestés par le recourant, l'intimée rentrait chaque jour à U._. On ajoutera qu'une personne impotente est susceptible de nécessiter une assistance non seulement en journée, mais également en soirée voire la nuit, de sorte qu'il n'est pas insoutenable de retenir que l'aide de l'intimée à sa soeur était quotidienne, importante et durable, étant entendu qu'une assistance complète pouvait être apportée les week-ends, durant les vacances et lors de stages de l'intimée à proximité du domicile familial. Par ailleurs, dans la mesure où la cour cantonale a retenu que B.A._ travaillait à mi-temps, on ne saurait lui reprocher de ne pas avoir considéré que la prénommée devait être assistée durant l'intégralité de la journée par l'intimée pour que le droit à l'indemnité soit admis. Le règlement n'exige pas, au demeurant, que la personne aidante renonce à toute activité propre en dehors du domicile. Il n'est pas non plus arbitraire de considérer que l'art. 14 al. 2 du règlement, malgré le libellé de l'art. 8 al. 4, octroie une certaine souplesse organisationnelle à la personne aidante touchant l'indemnité, et d'en conclure qu'en l'espèce, la mère voire le frère de l'intimée pouvait se substituer à celle-ci lors de ses absences, à charge pour elle de répartir le montant de l'indemnité d'entente avec les membres de sa famille. Dans ces conditions, l'aide apportée par l'intimée - secondée par ses proches - à B.A._ s'avérait bien complète et permettait d'éviter son hospitalisation au sens de l'art. 7 du règlement.
Les griefs du recourant tirés d'une violation de l'interdiction de l'arbitraire se révèlent ainsi mal fondés.
5.2. Le recourant se plaint encore d'une violation du principe de l'égalité de traitement (art. 8 al. 1 Cst.), en ce sens que le jugement attaqué aurait comme résultat que la même indemnité serait allouée à la mère de l'intimée, qui s'occupe entièrement de D.A._, ainsi qu'à l'intimée, qui ne serait pas apte à s'occuper de B.A._. Ce grief tombe à faux; il ressort en effet de ce qui précède (cf. consid. 5.1.2 supra) que les juges cantonaux ont retenu sans arbitraire que l'intimée fournissait bien une aide à sa soeur.
5.3. Au vu de ce qui précède, la juridiction cantonale n'a pas violé la garantie constitutionnelle reconnue au recourant en vertu de son autonomie communale.
6.
Il s'ensuit que le jugement attaqué échappe à la critique et que le recours en matière de droit public doit être rejeté.
7.
Le recourant, qui succombe, devra supporter les frais judiciaires (<ref-law>). S'il peut être assimilé à une organisation chargée de tâches de droit public et qu'il s'est adressé au Tribunal fédéral dans l'exercice de ses attributions officielles découlant de la législation fribourgeoise, son intérêt patrimonial est en cause dès lors que le litige avait pour objet une somme d'argent qu'il devait verser à la partie adverse (BERNARD CORBOZ, in Commentaire de la LTF, 2e éd. 2014, n° 29 ad <ref-law>); il ne peut donc pas être exonéré des frais judiciaires en application de l'<ref-law>. Par ailleurs, le recourant versera à l'intimée une indemnité à titre de dépens (<ref-law>). La demande d'assistance judiciaire de l'intimée est sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2.
Le recours en matière de droit public est rejeté.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le recourant versera à l'avocat de l'intimée la somme de 2800 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la IIIe Cour administrative du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg.
Lucerne, le 8 septembre 2020
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
Le Greffier : Ourny