Erwägungen:
1.
Mit Entscheid vom 9. Februar 2021 wies das Regionalgericht Bern-Mittelland in einem vom Beschwerdeführer gegen die Verfahrensbeteiligte angestrengten Zivilprozess das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ab.
Das Obergericht des Kantons Bern trat mit Entscheid vom 16. April 2021 auf eine vom Beschwerdeführer gegen den regionalgerichtlichen Entscheid vom 9. Februar 2021 erhobene Beschwerde infolge unzureichender Begründung des Rechtsmittels nicht ein.
Mit Eingabe vom 26. Mai 2021 erklärte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern vom 16. April 2021 mit Beschwerde anfechten zu wollen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
2.1. Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann. Dazu muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2, 115 E. 2). Eine allfällige Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im vorinstanzlichen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2). Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen und der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 1.2.3; <ref-ruling> E. 2 S. 116). Stützt sich der angefochtene Entscheid auf mehrere selbständige Begründungen, so muss sich die Beschwerde mit jeder einzelnen auseinandersetzen, sonst wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.4 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.4).
2.2. Der Beschwerdeführer setzt sich in seiner Beschwerdeeingabe vom 26. Mai 2021 nicht hinreichend mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids des Obergerichts des Kantons Bern vom 16. April 2021 auseinander und zeigt auch nicht auf, inwiefern die Vorinstanz mit ihrem Nichteintretensentscheid Bundesrecht verletzt hätte. Vielmehr kritisiert er lediglich in appellatorischer Weise die vorinstanzliche Eventualbegründung, nach der die Beschwerde, selbst wenn auf sie einzutreten wäre, abgewiesen werden müsste. Die Eingabe erfüllt damit die erwähnten Begründungsanforderungen offensichtlich nicht.
Auf die Beschwerde ist somit mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (<ref-law>).
3.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner und der Verfahrensbeteiligten steht keine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 2 und 3 BGG).

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, und der Verfahrensbeteiligten schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Juni 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Leemann