Erwägungen:
1.
Mit Urteil vom 10. Januar 2019 hat das Bundesgericht eine Beschwerde von A._ gegen die am 30. August 2018 beschlossene Änderung des Organisationsreglements des Appellationsgerichts Basel-Stadt abgewiesen, soweit darauf einzutreten war (Verfahren 1C_549/2018).
2.
Mit Schreiben vom 20. August 2019 ersuchte A._ um Revision des bundesgerichtlichen Urteils vom 10. Januar 2019. Er berief sich auf den Revisionsgrund von <ref-law>. Nach dieser Bestimmung kann die Revision in Zivilsachen und öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten verlangt werden, wenn die ersuchende Partei nachträglich erhebliche Tatsachen erfährt oder entscheidende Beweismittel auffindet, die sie im früheren Verfahren nicht beibringen konnte, unter Ausschluss der Tatsachen und Beweismittel, die erst nach dem Entscheid entstanden sind.
3.
A._ machte geltend, die Änderungen des Organisationsreglements beruhten auf einem gesetzwidrigen Beschluss. Zuständig sei das Gesamtgericht gewesen und dieses sei bei Anwesenheit von wenigstens 14 Mitgliedern beschlussfähig. Beim Beschluss vom 30. August 2018 seien jedoch nur neun Mitglieder anwesend gewesen.
4.
Mit Urteil 1F_42/2019 vom 28. August 2019 trat das Bundesgericht auf das Revisionsgesuch nicht ein, da A._ seiner Begründungsobliegenheit nicht nachgekommen war. Er hatte nicht dargelegt, weshalb er sich erst nach Ergehen des bundesgerichtlichen Urteils vom 10. Januar 2019 nach dem zum Erlass des Organisationsreglements führenden Verfahren erkundigt hatte.
5.
Mit Schreiben vom 26. September 2019 ersucht A._ erneut um Revision des bundesgerichtlichen Urteils vom 10. Januar 2019, wobei er dafür wiederum geltend macht, das Appellationsgericht sei nicht beschlussfähig gewesen. Neu bringt er darüber hinaus vor, er habe keinen Anlass gehabt, die Beschlussfassung des höchsten Gerichts des Kantons zu hinterfragen. Erst als Richter Gelzer als Strafrichter im Verfahren SB.2015.9 eingesetzt worden sei, hätten die Zweifel zu wachsen begonnen, ob sich das Appellationsgericht an seine eigenen Reglemente und Regeln halte, denn Richter Gelzer sei nicht Mitglied der Strafabteilung, sondern der Zivilabteilung.
6.
Wie das Bundesgericht bereits in seinem Urteil vom 28. August 2019 dargelegt hat, ist die Revision ein ausserordentliches Rechtsmittel und dient nicht einfach der Weiterführung des Verfahrens. Es obliegt den Prozessparteien, rechtzeitig und prozesskonform zur Klärung des Sachverhaltsentsprechend ihrer Beweispflicht beizutragen. Dass es ihnen unmöglich war, Tatsachen und Beweismittel bereits im früheren Verfahren beizubringen, ist nur mit Zurückhaltung anzunehmen. Entsprechend hat der Gesuchsteller im Revisionsgesuch darzutun, dass er die Tatsachen oder Beweismittel im früheren Verfahren trotz hinreichender Sorgfalt nicht beibringen konnte (a.a.O., E. 4 mit Hinweisen). Weshalb sich der Gesuchsteller erst nach Ergehen des bundesgerichtlichen Urteils vom 10. Januar 2019 nach dem zum Erlass des Organisationsreglements führenden Verfahren erkundigt hat, legt er auch im vorliegenden Verfahren nicht nachvollziehbar dar. Die Einsetzung eines einer anderen Abteilung zugeteilten Richters in einem Strafverfahren gibt dafür, objektiv betrachtet, keine Erklärung. Auf das Gesuch ist deshalb erneut nicht einzutreten.
7.
Selbst wenn auf das Gesuch eingetreten werden könnte, wäre ihm kein Erfolg beschieden. Der vorsitzende Präsident des Gerichts, Dr. Wullschleger, sandte dem Gesuchsteller mit Schreiben vom 26. Juni 2019 eine auszugsweise Abschrift des gerichtsinternen Protokolls vom 30. August 2018. Darin und später mit Verfügung vom 16. August 2019 erklärte er ihm, dass das Protokoll zwar nur die Präsidenten namentlich aufführe, dass aber auch die nebenamtlichen Richter anwesend gewesen seien. Dies bestätigte auch Gerichtspräsident Gelzer mit Eingabe vom 16. Juli 2019 im Rahmen des bundesgerichtlichen Verfahrens 1B_207/2019. Vor diesem Hintergrund bestehen keine hinreichenden Hinweise darauf, dass am 30. August 2018 das Organisationsreglement des Appellationsgerichts reglementswidrig statt an einer Plenarsitzung an einer blossen Präsidialsitzung geändert worden war.
8.
Auf das Revisionsgesuch ist ohne Schriftenwechsel (<ref-law>) nicht einzutreten.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Gesuchsteller aufzuerlegen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 f. BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Gesuchsteller und dem Appellationsgericht Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Oktober 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Dold