Erwägungen:
1.
1.1. Der 1992 geborene A._, derzeit wohnhaft im Kosovo, verunfallte am 31. Januar 2013 während seiner Arbeitstätigkeit, als er von einer Klapparbeitsbühne 13 Meter in die Tiefe stürzte, nachdem diese aus ihrer rechten Wandhalterung gehoben wurde. Dabei zog er sich schwere Verletzungen zu.
Die im Zusammenhang mit dem Unfallereignis vom 31. Januar 2013 erhobenen Strafverfahren stellte das Kantonsgericht Glarus mit Beschluss vom 19. Februar 2020 ein. Zur Begründung führte es aus, es fehlten für eine Urteilsfällung unabdingbare Beweise und es stehe ausser Zweifel, dass diese vor Ablauf der siebenjährigen Verjährungsfrist nicht mehr beigebracht werden könnten. Das Kantonsgericht hielt zudem fest, es liege eine auf das Verhalten der Staatsanwaltschaft zurückzuführende massive Verletzung des Beschleunigungsverbots dar.
1.2. Mit Entscheid vom 17. August 2021 wies der Regierungsrat des Kantons Glarus ein Staatshaftungsbegehren von A._ ab. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Glarus, I. Kammer, mit Urteil vom 27. Januar 2022 ab.
1.3. Mit einer als "Beschwerde in Strafsachen" bezeichneten Eingabe vom 3. März 2022 (Postaufgabe) gelangt A._ an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 27. Januar 2022 sei aufzuheben und die Sache sei an die Vorinstanz zur neuen Beurteilung zurückzuweisen. Zudem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
2.
2.1. Ansprüche aus Staatshaftung gelten - mit Ausnahme der Fälle der Haftung für medizinische Tätigkeit (Art. 31 Abs. 1 lit. d des Reglements vom 20. November 2006 für das Bundesgericht [BGerR; SR 173.110.131]) - als öffentlich-rechtlich und sind vor Bundesgericht daher mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) geltend zu machen. Zuständig ist innerhalb des Bundesgerichts - bis auf hier nicht relevante Ausnahmen - die II. öffentlich-rechtliche Abteilung (vgl. Urteil 2C_16/2017 vom 17. März 2017 E. 1.1 mit Hinweisen). Die falsche Bezeichnung des Rechtsmittels schadet nicht (vgl. <ref-ruling> E. 3.1). Zu beachten ist sodann <ref-law>, wonach die Beschwerde in vermögensrechtlichen Angelegenheiten auf dem Gebiet der Staatshaftung unzulässig ist, wenn der Streitwert weniger als Fr. 30'000.-- beträgt.
Gemäss dem angefochtenen Urteil wurde vorliegend ein Schaden in der Höhe von Fr. 346'968.-- geltend gemacht. Zudem forderte der Beschwerdeführer durch Versicherungen nicht gedeckte Heilungskosten von Fr. 20'000.-- sowie eine Genugtuung in der Höhe von Fr. 100'000.--. Somit erreicht der Streitwert die erforderliche Streitwertgrenze und die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist grundsätzlich zulässig.
2.2. Nach <ref-law> haben die Rechtsschriften an das Bundesgericht die Begehren, deren Begründung mit Angabe der Beweismittel und die Unterschrift zu enthalten. Die Begründung hat sachbezogen zu sein; die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2 mit Hinweisen). Die Begründung muss sich aus der Rechtsschrift selber ergeben; pauschale Verweise auf frühere Eingaben bzw. Rechtsschriften oder auf die Akten sind nicht zulässig (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 3.2; Urteile 2C_478/2021 vom 15. Juni 2021 E. 3.1; 2C_866/2017 vom 7. März 2018 E. 1.3.1).
Hinzu kommt, dass das Bundesgericht die Anwendung kantonalen Rechts - von hier nicht zutreffenden Ausnahmen (Art. 95 lit. c-e BGG) abgesehen - nur auf Bundesrechtsverletzungen, namentlich auf Willkür hin, prüft (<ref-ruling> E. 6.1; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.3.1), wenn und soweit entsprechende Rügen erhoben und begründet werden (qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht gemäss <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 6.1; <ref-ruling> E. 1.7.2; <ref-ruling> E. 2.3).
2.3. Das angefochtene Urteil beruht auf dem Gesetz des Kantons Glarus vom 5. Mai 1991 über die Haftung der Gemeinwesen und ihrer Amtsträger (Staatshaftungsgesetz/GL; GS II F/2) und somit auf kantonalem Recht.
Die Vorinstanz hat die Rechtsgrundlagen und die Voraussetzungen der Haftung des Gemeinwesens für den Schaden, den seine Amtsträger in amtlicher Tätigkeit Dritten rechtswidrig zufügen, dargelegt. Sodann hat sie die Verletzung des Beschleunigungsgebots durch die Staatsanwaltschaft als widerrechtlich qualifiziert. Sie hat indessen festgehalten, dass der Beschwerdeführer den Bestand und die Höhe des Schadens nicht rechtsgenüglich substanziiert habe, sodass der Staatshaftungsanspruch bereits an der Voraussetzung des Schadens scheitere. Schliesslich hat das Kantonsgericht ausgeführt, dass selbst wenn der Schaden rechtsgenüglich substanziiert worden wäre, das zu beurteilende Staatshaftungsgesuch abzuweisen wäre, da es am adäquaten Kausalzusammenhang fehlen würde. So habe es der Beschwerdeführer versäumt, ihm zumutbare Rechtsmittel zu ergreifen, wie namentlich die Rechtsverzögerungs- oder Rechtsverweigerungsbeschwerde, was als kausalitätsunterbrechendes Selbstverschulden zu betrachten sei und gemäss Art. 10 Abs. 1 Staatshaftungsgesetz/GL die Haftung des Gemeinwesens ausschliesse.
2.4. Der Beschwerdeführer bestreitet die Ausführungen der Vorinstanz, wonach er seinen Schaden nicht genügend substanziiert habe und wirft dieser vor, in Willkür verfallen zu sein. Mit den diesbezüglichen Ausführungen des Verwaltungsgerichts setzt er sich indessen nicht auseinander, sondern verweist auf frühere Eingaben sowie auf die Akten. Dies genügt den Begründungsanforderungen nach dem Gesagten nicht (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>; vgl. E. 2.2 hiervor).
Ebensowenig legt er substanziiert dar, inwiefern die Vorinstanz das kantonale Recht willkürlich angewendet haben soll, indem sie den adäquaten Kausalzusammenhang aufgrund des Selbstverschuldens des Beschwerdeführers verneint hat. Seine Behauptungen, es sei "hanebüchen" und es widerspreche jeglichem Verständnis von stattlichem Handeln, wenn das Unterlassen einer formellen Rechtsverzögerungsbeschwerde als Selbstverschulden beurteilt würde, vermögen nicht den Anforderungen an die qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht zu genügen (<ref-law>; vgl. E. 2.2 hiervor).
2.5. Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>); darauf ist im vereinfachten Verfahren durch die Abteilungspräsidentin als Einzelrichterin nicht einzutreten (<ref-law>).
3.
Dem Verfahrensausgang entsprechend würde der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig. Angesichts seiner offensichtlichen Mittellosigkeit, die von der Vorinstanz anerkannt wurde, wird indessen auf die Erhebung von Gerichtskosten für das bundesgerichtliche Verfahren verzichtet (<ref-law>). Damit wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung ist wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG e contrario). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Glarus, I. Kammer, mitgeteilt.
Lausanne, 8. März 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Die Gerichtsschreiberin: D. Ivanov