Sachverhalt:
A.
A._ ist Miteigentümer von 7/8 der ausserhalb der Bauzone gelegenen Parzelle KTN 4967 in Einsiedeln (SZ), die mit einem Wohnhaus überbaut ist. Im Jahr 1992 hatten ihm die kantonalen Behörden die Bewilligung für den teilweisen Abbruch des Hauses und die Errichtung eines Anbaus erteilt, was mit der Erweiterung der bestehenden Bruttogeschossfläche um ca. 33% einher ging. A._ stellte im Januar 2014 ein Gesuch für den Abbruch eines bestehenden Autounterstandes und den Neubau einer Garage. Im Rahmen dieses Verfahrens stellte das kantonale Amt für Raumentwicklung fest, dass A._ auf seinem Grundstück ohne Baubewilligung verschiedene bauliche Änderungen vorgenommen hatte. In der Folge wurde ihm die Bewilligung für die geplante neue Garage verweigert; zudem wurde er angewiesen, ein illegal erstelltes Gartenhaus und einen Autounterstand, zusammen im Ausmass von 58 m2, zurückzubauen und die Flächen wieder zu begrünen, ebenso den Zugangsweg.
Eine Beschwerde von A._ gegen diesen Entscheid wies der Regierungsrat des Kantons Schwyz ab; das Verwaltungsgericht hiess die dagegen von A._ erhobene Beschwerde mit Urteil vom 21. April 2016 teilweise gut. Es befand, der Autounterstand in den Dimensionen der ursprünglich bewilligten Pergola wäre bewilligungsfähig gewesen. Es korrigierte daher die unterinstanzlichen Entscheide, soweit im vorliegenden Zusammenhang von Interesse, wie folgt (Dispositiv-Ziff. 1.1) :
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der angefochtene RRB Nr. 1117/2015 vom 24. November 2015 sowie die Verfügung des ARE vom 29. Oktober 2014 und der Beschluss der Baubehörde Einsiedeln vom 10. November 2014 werden im Sinne der Erwägungen insoweit aufgehoben, als von den angeordneten Rückbaumassnahmen auch der Autounterstand betroffen ist.
Im Übrigen werden der angefochtene RRB Nr. 1117/2015 vom 24. November 2015 sowie die Verfügung des ARE vom 29. Oktober 2014 und der Beschluss der Baubehörde Einsiedeln vom 10. November 2014 bestätigt.
Dieses Urteil erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
B.
Im Rahmen der Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands ersuchte A._ am 18. Juli 2016 um eine nachträgliche Baubewilligung für den östlichen Teil des Gartenhauses (im Verfahren teils auch als Gartensitzplatz bezeichnet) mit einer Fläche von 17,85 m2.
Dieses Gesuch wurde von den kantonalen Behörden abgewiesen, zuletzt vom Verwaltungsgericht mit Urteil vom 27. Juli 2018.
C.
Mit Eingabe vom 20. September 2018 führt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts vom 27. Juli 2018 und die Rückweisung der Angelegenheit an das Schwyzer Amt für Raumentwicklung zur Erteilung der Baubewilligung «für den Gartensitzplatz gemäss Baugesuch... vom 18. Juli 2016».
Das Verwaltungsgericht und das kantonale Amt für Raumentwicklung beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen. Der Regierungsrat des Kantons Schwyz beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das ARE hat sich vernehmen lassen, ohne einen konkreten Antrag zu stellen.
Mit Verfügung vom 15. Oktober 2018 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (Art. 82 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG); ein Ausschlussgrund nach <ref-law> liegt nicht vor. Der Beschwerdeführer ist Miteigentümer und direkt betroffener Verfügungsadressat; er hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und verfügt als Eigentümer über ein aktuelles, schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Er ist daher zur Beschwerdeführung legitimiert (<ref-law>).
Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde kann eingetreten werden.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verletze Bundesrecht, Völkerrecht oder kantonale verfassungsmässige Rechte (Art. 95 lit. a, b und c BGG). Die Verletzung des übrigen kantonalen Rechts kann abgesehen von hier nicht relevanten Ausnahmen gemäss <ref-law> vor Bundesgericht nicht gerügt werden; zulässig ist jedoch die Rüge, die Anwendung dieses Rechts führe zu einer Verletzung von Bundesrecht, namentlich des verfassungsmässigen Willkürverbots (<ref-ruling> E. 2 S. 149 f.). Nach der Praxis des Bundesgerichts verstösst ein Entscheid gegen dieses Verbot, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, weil er zum Beispiel eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar erscheint, genügt nicht. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch dessen Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 2.2 S. 72 mit Hinweisen).
1.3. Gemäss <ref-law> legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Die vorinstanzlichen Feststellungen können nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig (d.h. willkürlich) sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (Art. 97 Abs. 1 bzw. <ref-law>).
2.
Das Wohnhaus des Beschwerdeführers liegt ausserhalb der Bauzone und ist damit nicht zonenkonform (Art. 22 Abs. 2 lit. a RPG). Gemäss Art. 24c Abs. 1 RPG sind allerdings bestimmungsgemäss nutzbare Bauten und Anlagen ausserhalb der Bauzonen, die nicht mehr zonenkonform sind, in ihrem Bestand grundsätzlich geschützt. Sie dürfen mit Bewilligung der zuständigen Behörde erneuert, teilweise geändert, massvoll erweitert oder wiederaufgebaut werden, sofern sie rechtmässig erstellt oder geändert worden sind (Art. 24c Abs. 2 RPG). Das Wohnhaus des Beschwerdeführers wurde unstreitig vor dem 1. Juli 1972 erstellt und gilt damit als altrechtlich («nicht mehr zonenkonform») im Sinne dieser Norm.
Was unter dem Begriff der massvollen Erweiterung zu verstehen ist, wird in <ref-law> näher definiert. Demnach darf diese sowohl bezüglich der anrechenbaren Bruttogeschossfläche als auch bezüglich der Gesamtfläche (Summe von anrechenbarer Bruttogeschossfläche und Brutto-Nebenfläche) weder 30 Prozent noch 100 m2 überschreiten, wobei die Erweiterungen innerhalb des bestehenden Gebäudevolumens nur halb angerechnet werden (<ref-law>).
Der oben umschriebene rechtliche Rahmen ist unbestritten. Uneinig sind sich die kantonalen Behörden und der Beschwerdeführer aber in der Frage, inwieweit er die Möglichkeit der Erweiterung der Bruttogeschossfläche um (maximal) 100 m2 bereits konsumiert hat. Diese Uneinigkeit rührt daher, dass die Beteiligten das verwaltungsgerichtliche Urteil vom 21. April 2016 unterschiedlich interpretieren.
3.
Der Beschwerdeführer wirft dem Verwaltungsgericht zunächst eine willkürliche Missachtung rechtskräftiger Entscheide und Verfügungen vor. Sodann bemängelt er eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör, eine willkürliche Berechnung der Erweiterungsfläche und damit eine Verletzung von <ref-law>. Schliesslich macht der Beschwerdeführer eine Verletzung von Art. 24c Abs. 4 RPG durch die Vorinstanz geltend.
3.1. Wenn der Beschwerdeführer der Vorinstanz vorwirft, ihre Flächenberechnungen seien fehlerhaft bzw. willkürlich, verkennt er die beschränkte Überprüfungsbefugnis des Bundesgerichts (vgl. oben E. 1.3). Die Feststellungen und Berechnungen des Verwaltungsgerichts betreffend die Bruttogeschossflächen sind für das Bundesgericht verbindlich und es könnte davon nur abweichen, wenn der Beschwerdeführer deren offensichtliche Unrichtigkeit aufzeigen würde. Dies gelingt ihm auch nicht ansatzweise, beschränkt er sich doch darauf, seine eigenen Kalkulationen darzulegen, dies teils gestützt auf durch nichts belegte sachverhaltliche Behauptungen. Die Feststellungen des Verwaltungsgerichts bleiben damit für das Bundesgericht verbindlich. Gestützt darauf ist auch eine fehlerhafte Anwendung von <ref-law> nicht ersichtlich.
Offensichtlich haltlos ist die vom Beschwerdeführer erhobene Rüge der Verletzung von Art. 24c Abs. 4 RPG, weil an seinem Wohnort auch sommers regelmässig eine «kalte Brise» blase, weshalb ein gedeckter Sitzplatz zum zeitgenössischen Wohnkomfort gehöre. Abgesehen davon, dass die Vorinstanz diesen Umstand sachverhaltlich nicht festgestellt hat, ist nicht erkennbar, weshalb als Windschutz für einen Sitzplatz eine Überdeckung nötig sein sollte.
3.2. Das Verwaltungsgericht hat im angefochtenen Urteil mithilfe einer detaillierten Flächenberechnung aufzuzeigen versucht, dass bei der Liegenschaft des Beschwerdeführers keine Nutzungsreserve nach <ref-law> mehr besteht. Dieser erblickt darin eine Verletzung seines Gehörsanspruchs (<ref-law>), weil weder das Amt für Raumentwicklung des Kantons Schwyz noch der Regierungsrat solche Berechnungen angestellt, sondern das Fehlen einer Nutzungsreserve bloss behauptet hätten und das Verwaltungsgericht ihm seine Berechnung zudem erst im Rahmen des Urteils eröffnet habe. Damit habe es seinen Anspruch, sich vor dem Entscheid zu den wesentlichen Tatsachen zu äussern, verletzt.
Dieser Einwand ist unbegründet. In beiden Verfahren - sowohl im ersten, das ins Urteil der Vorinstanz vom 21. April 2016 gemündet hat, als auch im zweiten, vorliegenden Verfahren betreffend die Wiederherstellung bzw. die Bewilligung eines Gartenhauses - wurden mehrmals Flächenberechnungen vorgenommen. Insbesondere hat dies auch der Beschwerdeführer in seiner Verwaltungsgerichtsbeschwerde an die Vorinstanz vom 23. April 2018 getan. Es war also offensichtlich, dass der Berechnungsweise entscheidende Bedeutung für den Verfahrensausgang zukam, ging es doch darum, die gesetzlichen Kriterien für die Einhaltung der Wesensgleichheit der Baute im Sinne von <ref-law> zu ermitteln. Wenn der Beschwerdeführer der Auffassung gewesen wäre, das kantonale Amt für Raumentwicklung oder der Regierungsrat hätten durch eine mangelhafte Kalkulation seine Verfahrensrechte verletzt, hätte er dies vor dem Verwaltungsgericht rügen können und müssen. Dass die Vorinstanz in ihrem Urteil eine detaillierte Berechnung der relevanten Geschossflächen vorgenommen hat, ist sodann nicht zu beanstanden, stellt dies doch den Kern ihrer Urteilsbegründung dar. Der Beschwerdeführer hatte insbesondere im Rahmen seiner Beschwerdebegründung die Möglichkeit, von seinem Gehörsanspruch Gebrauch zu machen und seine Sicht der Dinge vorzutragen. Die Flächenberechnung, die das Verwaltungsgericht vorgenommen hat, beruht auf der gerichtlichen Würdigung des relevanten Sachverhalts und ist Voraussetzung für die korrekte Anwendung der Bestimmung von <ref-law>. Die Vorinstanz war nicht verpflichtet, dem Beschwerdeführer ihre entscheidwesentlichen Überlegungen vorweg zu unterbreiten. Diesem Zweck dient vielmehr die Urteilsbegründung selbst.
3.3. Im Kern dreht sich der vorliegende Streit um die Bestimmung der Tragweite des ersten, vom 21. April 2016 datierenden Urteils des Verwaltungsgerichts betreffend die Liegenschaft des Beschwerdeführers. Diese Frage bedarf einer vertieften Klärung.
3.3.1. Der Beschwerdeführer stellt sich auf den Standpunkt, die Vorinstanz habe in ihrem ersten Urteil vom 21. April 2016 den ihn betreffenden Regierungsratsbeschluss sowie die Entscheide des kantonalen Amts für Raumentwicklung bzw. der Baubehörde Einsiedeln bestätigt, soweit sie seine Beschwerde nicht gutgeheissen und auf einen Rückbau des Autounterstandes verzichtet habe. Dies ergebe sich aus dem zweiten Abschnitt der Dispositiv-Ziffer 1.1 dieses Urteils, wonach diese Erkenntnisse «im Übrigen» bestätigt würden. Das Verwaltungsgericht sei von diesen somit nur insoweit abgewichen, als - gemäss dem ersten Abschnitt der Dispositiv-Ziffer 1.1 - von den angeordneten Rückbaumassnahmen auch der Autounterstand betroffen sei. Mit anderen Worten habe es die Entscheide der unterinstanzlichen kantonalen Behörden insoweit bestätigt, als diese die nachträgliche Bewilligung für das Gartenhaus lediglich bis auf eine zulässige Restfläche von 18 m2 verweigert hätten. Diese Anordnung sei dadurch ebenfalls rechtskräftig geworden. Daraus ergebe sich, dass er Anspruch habe auf die Bauerlaubnis für ein Gartenhaus in der Grösse von 18 m2 habe. Dagegen verstosse die Vorinstanz in ihrem zweiten, hier angefochtenen Urteil vom 27. Juli 2018, indem sie neu die vollständige Entfernung des Gartenhauses verlange.
3.3.2. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Urteil erwogen, eine Behörde müsse vor Erlass eines Entscheids prüfen, ob in der gleichen Sache nicht bereits ein Entscheid ergangen sei. In Rechtskraft erwachse zwar grundsätzlich nur das Dispositiv, doch seien die Erwägungen als Auslegungshilfe beizuziehen, wenn ein Entscheiddispositiv für sich alleine betrachtet nicht eindeutig sei. Gestützt auf diese Überlegungen hat das Verwaltungsgericht zunächst die Entscheide des kantonalen Amts für Raumentwicklung und der Baubehörde Einsiedeln vom 29. Oktober 2014 bzw. vom 10. November 2014 analysiert. Diese Behörden seien damals zum Schluss gekommen, der Beschwerdeführer müsse das Gartenhaus (in der Grösse von 36 m2) und den Autounterstand (in der Grösse von 40,16 m2) im Ausmass von 58 m2 zurückbauen, also bis auf eine Restfläche von 18 m2. Diese Entscheide habe es, das Verwaltungsgericht, in seinem ersten Urteil in dieser Sache vom 21. April 2016 teilweise korrigiert. Es habe damals nämlich angeordnet, der Autounterstand müsse nicht zurückgebaut werden, da der Beschwerdeführer diesen in guten Treuen habe als bewilligt erachten dürfen. Deshalb seien die Entscheide ihrer Vorinstanzen «im Sinne der Erwägungen insoweit aufgehoben» worden, «als von den angeordneten Rückbaumassnahmen auch der Autounterstand betroffen» sei (Ende des ersten Abschnitts von Ziff. 1.1 des Urteilsdispositivs vom 21. April 2016). Zugleich habe es aber festgehalten, die maximal zulässige Erweiterung von 100 m2 Bruttogeschossfläche sei bereits aufgrund früherer Erweiterungen kompensiert. Deshalb habe es entschieden, weder das Gartenhaus noch eine Erweiterung des Autounterstandes seien bewilligungsfähig. Es habe mit anderen Worten den vollständigen Rückbau des nicht bewilligungsfähigen Gartenhauses verlangt. Dies gehe womöglich aus dem Urteilsdispositiv nicht ganz klar hervor, ergebe sich aber eindeutig aus seinen damaligen Erwägungen, namentlich aus E. 4.5 seines Urteils vom 21. April 2016.
3.3.3. Vorweg ist festzuhalten, dass der Beschwerdeführer keine Verletzung von kantonalen Verfahrensbestimmungen geltend macht, sondern bloss einen Verstoss gegen das Willkürverbot nach <ref-law> rügt. Als willkürlich erachtet er den Umstand, dass sich die Vorinstanz über das rechtskräftige Dispositiv ihres ersten Urteils hinweggesetzt habe. Beiläufig erwähnt er in diesem Zusammenhang auch einen Verstoss gegen Treu und Glauben, ohne dies aber näher zu begründen oder daraus weiter gehende Schlüsse zu ziehen.
Der formellen und materiellen Rechtskraft einer Verfügung oder eines Urteils zugänglich sind einzig die Entscheidformel (das Dispositiv), nicht aber die Sachverhaltsfeststellungen oder die Erwägungen zur Rechtslage (die Motive). Aus diesem Grund kann nur das Dispositiv Bindungswirkung entfalten (vgl. <ref-ruling> S. 120 E. 2.4.2 mit Hinweisen). Allerdings ist es zuweilen unvermeidlich, auf die Entscheidbegründung zurückzugreifen, um den genauen Sinn, die Natur und die genaue Tragweite des Dispositivs zu verstehen (<ref-ruling> S. 195 E. 4a mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer macht geltend, das Urteil vom 21. April 2016 sei «vor allem aufgrund des Dispositivs» für ihn «klar und deutlich» gewesen. Daran mag man zweifeln, hat er doch nach Rechtskraft dieses Urteils (zurecht) im Sinne eines Rückführungsprojekts um eine nachträgliche Baubewilligung für den östlichen Teil des Gartenhauses nachgesucht, was nicht erforderlich gewesen wäre, wenn er tatsächlich davon ausgegangen wäre, es sei ihm ein solches in der Grösse von 18 m2 im ersten Beschwerdeverfahren rechtskräftig erlaubt worden. Wie dem auch sei: Das Dispositiv des ersten verwaltungsgerichtlichen Urteils war alleine aus sich heraus nicht verständlich, und zwar aus zwei Gründen: Zum einen wurde die Beschwerde (im ersten Abschnitt der Ziff. 1.1 des Dispositivs) «im Sinne der Erwägungen» gutgeheissen, zum andern wurden der Beschluss des Regierungsrats und die erstinstanzlichen Entscheide «im Übrigen» bestätigt. Eine der beiden Anordnungen des Verwaltungsgerichts verweist mithin auf die Erwägungen, die andere auf unterinstanzliche Erkenntnisse. Sie bedürfen der Auslegung, um ihre wahre Tragweite zu erfassen. Inwieweit die unterinstanzlichen Entscheide bestätigt werden, ist nur verständlich, wenn klar ist, in welchem Umfang die Beschwerde gutgeheissen wird, was die Konsultation der Urteilserwägungen nötig macht. Aus diesen ergibt sich ohne weiteres und mit aller Klarheit, dass das Verwaltungsgericht das Gartenhaus samt Gartensitzplatz infolge Überschreitung der zulässigen Flächenerweiterung als nicht bewilligungsfähig erachtete. Der Beschwerdeführer konnte somit bei Lektüre der Urteilsbegründung des Urteils vom 21. April 2016 nicht ernsthaft das Gegenteil annehmen und es erweist sich auch nicht als willkürlich, sondern geradezu als unerlässlich, dass die Vorinstanz im Rahmen des zweiten Rechtsmittelverfahrens die Erwägungen ihres ersten Urteils berücksichtigt hat, um dessen wahre Tragweite zu erkennen. Auch diese Rüge ist somit unzutreffend.
4. Damit erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Bau- und Umweltbehörde Einsiedeln, dem Amt für Raumentwicklung des Kantons Schwyz, dem Regierungsrat des Kantons Schwyz, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, und dem Bundesamt für Raumentwicklung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. August 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Baur