Sachverhalt:
A.
Mit Arbeitsvertrag vom 10. Dezember 2013 stellte die A1_ AG (Arbeitgeberin, Beklagte, heute: A._ AG, Beschwerdeführerin) B._ (Arbeitnehmerin, Klägerin, Beschwerdegegnerin) als Allrounderin/Assistentin ein. Nachdem die Arbeitnehmerin am 23. Dezember 2015 auf den 31. März 2016 gekündigt hatte, kam es Ende Januar/Anfang Februar 2016 zur vorzeitigen Beendigung des Arbeitsverhältnisses.
B.
B.a. Nach erfolglosem Schlichtungsverfahren verlangte die Arbeitnehmerin mit Klage vom 3. März 2017 beim Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt von der Arbeitgeberin Fr. 18'720.-- nebst Zins von 5 % seit dem 1. März 2016 (Bruttolohn inklusive Anteil 13. Monatslohn für die Monate Januar bis März 2016) und die Leistung der gesetzlichen und vertraglichen Sozialversicherungs- und Pensionskassenbeiträge auf diesem Betrag. Ausserdem forderte sie eine Pönale wegen ungerechtfertigter fristloser Entlassung von mindestens Fr. 24'960.-- nebst Zins von 5 % seit dem 31. Januar 2016, eine Spesenpauschale von Fr. 400.-- sowie die Ausstellung eines Schlusszeugnisses.
Mit Entscheid vom 22. Juni 2018 verpflichtete das Zivilgericht die Beklagte zur Zahlung von Fr. 13'691.-- (Löhne Januar - März 2016 auf der Basis eines Bruttolohns in der Höhe von Fr. 6'240.-- abzüglich verschiedener Sozialversicherungsbeiträge und Quellensteuer und abzüglich einer Verrechnungsforderung für Minusstunden in Höhe von Fr. 2'696.85) und erklärte die Beklagte für berechtigt, weitergehende ausgewiesene Quellensteuerbeträge in Abzug zu bringen. Zudem hatte die Beklagte eine Entschädigung wegen ungerechtfertigter fristloser Entlassung nach <ref-law> in Höhe von Fr. 6'240.-- zuzüglich Zins von 5 % seit dem 31. Januar 2016 zu leisten. Im übrigen wies es die Klage- und Verrechnungsforderungen ab, soweit sie nicht gegenstandslos geworden seien (Arbeitszeugnis).
B.b. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt hiess die Berufung der Beklagten mit Entscheid vom 23. April 2019 teilweise gut und verpflichtete diese kostenfällig, der Klägerin Lohn in Höhe von Fr. 3'635.81 netto zuzüglich Zins von 5 % seit dem 1. März 2016 und Schadenersatz (<ref-law>) in Höhe von Fr. 9'493.22 netto zuzüglich Zins von 5 % seit dem 1. März 2016 zu bezahlen. Die Beklagte sei sodann berechtigt, über den Satz von 4,5 % hinausgehende, gegenüber der Klägerin ausgewiesene Quellensteuerbeiträge von den vorstehenden Beträgen in Abzug zu bringen (Disp.Ziff. 1). Die Beklagte habe weiter der Klägerin eine Entschädigung in Höhe von Fr. 6'240.-- (<ref-law>) zuzüglich Zins von 5 % seit dem 4. Februar 2016 zu bezahlen (Disp.Ziff. 2). Die weitergehenden Klage-Forderungen und die weiteren Verrechnungsforderungen würden abgewiesen, soweit darauf einzutreten sei und sie zufolge Vergleichs (Arbeitszeugnis) nicht gegenstandslos geworden seien (Disp.Ziff. 3).
Das Appellationsgericht erwog, mit dem Zivilgericht sei davon auszugehen, dass die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis fristlos aufgelöst habe, jedoch nicht per 31. Januar 2016 (wie das Zivilgericht angenommen hatte), sondern per 4. Februar 2016. Mangels diesbezüglicher Anfechtung sei davon auszugehen, die Arbeitnehmerin habe keinen wichtigen Grund für eine fristlose Auflösung gesetzt. Sie habe Anspruch auf eine Pönale in Höhe eines Monatslohns. Ihr stehe für die Zeit vom 1. Januar bis 4. Februar 2016 sodann ein Lohn von netto Fr. 5'862.34 zu. Unter Abzug eines Betrages für zu wenig geleistete Arbeitsstunden ergebe sich eine Nettolohnforderung von Fr. 3'635.81. Für die Zeit vom 5. Februar bis 31. März 2016 betrage der hypothetische Bruttolohn Fr. 11'619.31; unter Berücksichtigung von Fr. 784.49 (16/21.75 x Fr. 431.-- + Fr. 431.--) [recte: Fr. 748.49; vgl. E. 5.2 hiernach] für eingesparte Kosten für den Arbeitsweg und auswärtige Verpflegung ergebe sich ein Betrag von Fr. 10'843.82 [recte bei den angenommenen Fr. 784.49 wie an anderer Stelle des Urteils noch korrekt festgehalten: Fr. 10'834.82]. Von diesen mit Rechnungsfehlern behafteten Fr. 10'843.82 zog die Vorinstanz diverse Sozialversicherungsbeiträge von insgesamt 12.455 % ab (im Gegensatz zum Abzug beim Lohn für die Zeit vom 1. Januar bis 4. Februar 2016 von 17.44 % berücksichtigte sie hier die BVG-Prämie nicht) und kam so zum Nettobetrag von Fr. 9'493.22. Ein Abzug für Arbeitslosentaggelder sei (mangels rechtzeitiger Behauptung) nicht anzubringen; ebensowenig ein solcher wegen ungenügender Suchbemühungen der Arbeitnehmerin, zumal nicht ansatzweise erstellt sei, dass diese es absichtlich unterlassen habe, im Februar und März 2016 ein Einkommen zu erzielen.
Es wies sodann die Verrechnungsforderungen der Arbeitgeberin wegen zuviel bezogener Ferien, zu Unrecht bezahltem Lohn während Krankheit und unbewilligter Rauchpausen ab.
Es nahm Vormerk davon, dass die Beklagte im Laufe des Verfahrens ihre Firma in A._ AG geändert und ihren Sitz von U._ nach V._ verlegt hatte.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 29. Mai 2019 beantragt die Beklagte dem Bundesgericht, der Entscheid des Appelationsgerichts vom 23. April 2019 sei kostenfällig aufzuheben und die Klage abzuweisen; eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Appellationsgericht zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin verlangt die kostenfällige Abweisung der Beschwerde und reicht eine Honorarnote über Fr. 4'706.40 ein. Das Appellationsgericht beantragt, die Beschwerde kostenfällig abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Beschwerdeführerin hat unaufgefordert repliziert. Die Beschwerdegegnerin hat auf Bemerkungen dazu verzichtet.
Mit Präsidialverfügung vom 31. Juli 2019 wurde das Gesuch der Beschwerdeführerin um Erteilung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1.
Der Streitwert von Fr. 15'000.-- (<ref-law>) ist erreicht. Die übrigen Eintretensvoraussetzungen geben keinen Anlass zu Bemerkungen. Auf die Beschwerde ist - unter Vorbehalt einer genügenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 sowie 106 Abs. 2 BGG) - einzutreten.
1.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.7.2 S. 106 mit Hinweis).
Soweit die Beschwerdeschrift den genannten Begründungsanforderungen nicht genügt, ist darauf nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.7.2 S. 106;<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.).
1.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f. mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (BGE <ref-ruling> E. 2 S. 117, 264 E. 2.3 S. 266). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>). Auch für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>), was wiederum näher darzulegen ist (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 226; <ref-ruling> E. 3 S. 395).
2.
Die Beschwerdeführerin bestreitet, dass sie am 4. Februar 2016 eine fristlose Kündigung ausgesprochen habe.
2.1. Die Vorinstanz erwog, ein tatsächlicher Wille der Beschwerdeführerin, das Arbeitsverhältnis der Beschwerdegegnerin fristlos aufzulösen, sei nicht nachweisbar. Die Kündigung als einseitige, empfangsbedürftige Willenserklärung sei aber nach dem Vertrauensprinzip auszulegen, so wie sie der Empfänger nach Treu und Glauben habe verstehen müssen. Massgeblich sei, ob die Arbeitgeberin mit ihrem Verhalten für die Arbeitnehmerin klar und unmissverständlich zum Ausdruck gebracht habe, dass sie fristlos kündigen wolle. Aus der E-Mail der Beschwerdeführerin vom 31. Januar 2016 ergebe sich, dass ihr Betrieb geschlossen werde und sie keine Lohnzahlungen mehr leisten könne. Dass das per 31. März 2016 bereits von der Beschwerdegegnerin ordentlich gekündete Arbeitsverhältnis vorzeitig aufgelöst werden solle, könne dieser E-Mail nicht entnommen werden; ebensowenig daraus, dass C._, die einzelzeichnungsberechtigte Verwaltungsrätin der Beschwerdeführerin, auf Ersuchen der Beschwerdegegnerin am 4. Februar 2016 die E-Mail vom 31. Januar 2016 mit dem Stempel der Beschwerdeführerin versehen und unterzeichnet habe. Als entscheidend qualifizierte die Vorinstanz aber das ebenfalls anlässlich des Treffens vom 4. Februar 2016 von C._ unterzeichnete Formular "Arbeitgeberbescheinigung international". Zwar sei davon auszugehen, dass die Beschwerdegegnerin darin die Rubriken betreffend Dauer des Arbeitsverhältnisses (vom 1. Januar 2014 bis am 31. Januar 2016) und betreffend Kündigungszeitpunkt (am 1. Februar 2016 per 1. Februar 2016) ausgefüllt habe. Im Formular sei ausserdem angekreuzt, dass die Kündigung durch die Arbeitgeberin und schriftlich erfolgt sei. C._ habe als Zeugin ausgesagt, diese Kreuze stammten vermutlich von ihr. Mit ihrer Unterzeichnung dieses Formulars habe C._ bestätigt, dass das Arbeitsverhältnis durch eine schriftliche Kündigung der Beschwerdeführerin "per 31. Januar 2016 bzw. 1. Februar 2016" aufgelöst worden sei. Die Arbeitgeberbescheinigung sei zwar für die Arbeitslosenversicherung bestimmt gewesen. Daraus könne die Beschwerdeführerin aber nichts zu ihren Gunsten ableiten, denn auch dieser gegenüber sei sie zu wahrheitsgemässen Angaben verpflichtet gewesen. Daher ergebe sich, dass die Unterzeichnung der E-Mail vom 31. Januar 2016 vernünftigerweise nur bezweckt haben könne, eine solche - in der "Arbeitgeberbescheinigung international" erwähnte - schriftliche Kündigung zu produzieren. Dabei müsse es sich um eine fristlose Kündigung gehandelt haben, weil eine ordentliche Kündigung der Beschwerdeführerin aufgrund der bereits erfolgten ordentlichen Kündigung der Beschwerdegegnerin sinnlos gewesen wäre. Die Beschwerdegegnerin habe aufgrund der Erklärungen und des Verhaltens von C._ nach Treu und Glauben keinen Zweifel haben dürfen und müssen, dass die Beschwerdeführerin ihr Arbeitsverhältnis fristlos auflösen wolle. Da eine rückwirkende Kündigung auf den 31. Januar 2016 nicht möglich sei, könne die von C._ am 4. Februar 2016 erklärte Kündigung erst auf dieses Datum erfolgt sein.
2.2. Die Kündigung - ob ordentlich oder fristlos - beinhaltet die Ausübung eines Gestaltungsrechts, mit dem eine Partei einseitig ein Vertragsverhältnis auflöst. Sie setzt deshalb eine klare und unmissverständliche Willenserklärung voraus, die keine Zweifel am Kündigungswillen lässt. Die Umstände der Kündigung sind zu würdigen (<ref-ruling> E. 3.3 S. 444; <ref-ruling> E. 2a S. 135; Urteile 4A_328/2014 vom 6. Oktober 2014 E. 3.2; 4A_518/2013 vom 29. Januar 2014 E. 3.3). Auch wenn an die Gestaltungserklärung angesichts ihrer Tragweite für beide Parteien klare Anforderungen gestellt werden, bedeutet dies nicht, dass sie nicht ausgelegt werden darf und muss (zit. Urteil 4A_328/2014 E. 3.2; Urteil 4C.155/2005 vom 6. Juli 2005 E. 2.1). Die Vorinstanz ging daher zutreffend davon aus, der Auffassung der Beschwerdeführerin könne nicht gefolgt werden, wonach eine Kündigungserklärung, die nach Treu und Glauben ausgelegt werden muss, keine unmissverständliche Kündigungserklärung sein könne. Ob sie sich dabei auf das Vertrauensprinzip gemäss <ref-law> berief, welches sich auf die Vertragsauslegung bezieht, ist nicht entscheidend. In der Sache ist der Vorinstanz aber nicht zu folgen:
Nach den Feststellungen der Vorinstanz hatte die Beschwerdegegnerin geltend gemacht, C._ habe ihr am 4. Februar 2016 mitgeteilt, die E-Mail vom 31. Januar 2016 sei als fristlose Kündigung anzusehen. Sie habe darauf die von C._ erhaltene Information "gilt als Kündigung" auf der E-Mail vom 31. Januar 2016 notiert und C._ habe diese Notiz (gemeint: die E-Mail vom 31. Januar 2016) datiert, gestempelt und unterzeichnet. Die Beschwerdeführerin bestritt dies und führte aus, die Beschwerdegegnerin habe den Vermerk "gilt als Kündigung" nach der Unterzeichnung der E-Mail vom 31. Januar 2016 durch C._ angebracht. Die Vorinstanz stellte wie erwähnt nicht auf die unterzeichnete E-Mail vom 31. Januar 2016 als Kündigungserklärung ab, denn durch diese sei einzig erstellt, dass C._ als Vertreterin der Beschwerdeführerin auf Ersuchen der Beschwerdegegnerin hin die E-Mail unterzeichnete. Sie liess entsprechend auch offen, wann der Vermerk "gilt als Kündigung" angebracht worden sei. Damit kann aus dem Schriftstück auch nicht abgeleitet werden, ob die Beschwerdegegnerin selber von einer Kündigung am und per 4. Februar 2016 durch Unterzeichnung der Arbeitgeberbescheinigung ausging. Nur diesfalls ist zu prüfen, ob sie nach Treu und Glauben die mit dem Ausfüllen der Arbeitgeberbescheinigung verbundene Willenserklärung als Kündigung hat verstehen dürfen und müssen.
Die Arbeitgeberbescheinigung selber ist widersprüchlich. Als Datum der Kündigung wird der 1. Februar 2016 angegeben. Nach den Feststellungen der Vorinstanz wurde dieses Datum von der Beschwerdegegnerin eingeführt. Es gibt aber - mindestens wird solches von der Vorinstanz nicht festgestellt und auch von keiner Partei behauptet - keine (schriftliche) Kündigung von diesem Datum. Schliesslich ist die Arbeitgeberbescheinigung selber auf den 28. Januar 2016 datiert, was auch keinen Sinn macht.
Die Vorinstanz würdigt schliesslich mit keinem Wort die E-Mail von C._ an die Beschwerdegegnerin vom 3. Februar 2016, auf welche sich die Beschwerdeführerin gemäss den Feststellungen der Vorinstanz bereits im kantonalen Verfahren berufen hatte. Dort bezog sich C._ auf eine E-Mail vom "letzten Montag" und fuhr fort: "Aus diesem eMail ist ersichtlich, dass keine Löhne mehr bezahlt werden können. Also ist es Ihr Recht, fristlos nicht mehr zur Arbeit zu erscheinen". Die Beschwerdeführerin bezog sich damit auf ihre Zahlungsunfähigkeit, welche gemäss <ref-law> zur Folge hat, dass der Arbeitnehmer das Arbeitsverhältnis fristlos auflösen kann, sofern ihm für seine Forderungen aus dem Arbeitsverhältnis nicht innert angemessener Frist Sicherheit geleistet wird. Diese Erklärung hätte, wie die Beschwerdeführerin zu Recht geltend macht, keinen Sinn gemacht, wenn das Arbeitsverhältnis durch sie selber bereits zuvor, sei es am 31. Januar oder am 1. Februar 2016 aufgelöst worden wäre. Vor dem Hintergrund der E-Mail vom 3. Februar 2016 ist auch nicht ersichtlich, wie die Beschwerdegegnerin die mit der Unterzeichnung der Arbeitgeberbescheinigung verbundene Erklärung der Beschwerdeführerin als fristlose Kündigung durch diese per 4. Februar 2016 hätte verstehen können - auch wenn es sich bei ihr um eine juristische Laiin handelt, wie sie einwendet. Die Vorinstanz stellte darauf ab, dass auf dem Formular angekreuzt sei, die Kündigung sei durch die Arbeitgeberin und schriftlich erfolgt. C._ als Zeugin habe dazu ausgesagt, diese Kreuze stammten vermutlich von ihr, jedoch auch erklärt, die Beschwerdeführerin habe nicht gekündigt und das Formular sei für die Arbeitslosenversicherung gewesen. Die Vorinstanz erachtete es als irrelevant, dass es sich um ein Formular für die Arbeitslosenversicherung gehandelt habe. Zu Unrecht. Das Formular enthält als Alternativen zum Ankreuzen nur die Kündigung durch die Arbeitgeberin einerseits oder die Arbeitnehmerin andererseits, eine dritte Möglichkeit ist nicht vorgesehen. Es ist Grundlage für die versicherungsrechtlichen Ansprüche der Arbeitnehmerin. Diese können eingeschränkt werden, wenn sie selber gekündigt hat und damit ihre Arbeitslosigkeit selber verschuldet hat. Vor diesem Hintergrund könnte die Tatsache, dass nicht die Rubrik "Kündigung durch die Arbeitnehmerin" angekreuzt wurde, auch dadurch bedingt sein, dass das Arbeitsverhältnis zufolge Zahlungsunfähigkeit der Arbeitgeberin nicht fortgesetzt werden konnte und damit ein in der Sphäre der Arbeitgeberin liegender Grund für die Beendigung des Arbeitsverhältnisses verantwortlich war. Daher kann daraus nicht einfach abgeleitet werden, mit dem Kreuz bei "Kündigung durch die Arbeitgeberin" sei ein Kündigungswille per 4. Februar 2016 ausgedrückt worden und die Beschwerdegegnerin habe dies nach Treu und Glauben so verstehen dürfen und müssen. Dies gilt umso mehr, als die entsprechenden Angaben unter dem Titel "Auflösung des Arbeitsverhältnisses" stehen, und dieser Titel handschriftlich ergänzt worden war mit dem Vermerk "Konkurs".
2.3. Zusammenfassend kann nicht von einer fristlosen Kündigung durch die Beschwerdeführerin ausgegangen werden. Die zugesprochene Pönale wegen missbräuchlicher fristloser Kündigung in Höhe eines Monatslohns von Fr. 6'240.-- nebst Zins ist nicht geschuldet. Eine entsprechenden Genugtuung, wie sie in der Beschwerdeantwort eventuell verlangt wird, kann die Beschwerdegegnerin nicht beanspruchen, da sie die Forderungen ohne hinreichende Sachverhaltsrüge mit Behauptungen begründet, die über die Feststellungen im angefochtenen Entscheid hinausgehen. Damit ist sie nicht zu hören. Ziffer 2 des angefochtenen Entscheids ist aufzuheben.
3.
Die Vorinstanz erwog, für die Zeit vom 5. Februar bis 31. März 2016 betrage der hypothetische Bruttolohn Fr. 11'619.31; unter Berücksichtigung verschiedener Abzüge ergebe sich ein Nettobetrag von Fr. 9'493.22. Diesen Betrag (nebst Zins) sprach sie der Beschwerdegegnerin als Schadenersatz für den während der Kündigungsfrist entgangenen Lohn (<ref-law>) zu.
3.1. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz sei in keiner Weise auf ihre Argumentation eingegangen, wonach sich aus der Arbeitgeberbescheinigung ergebe, dass die Beschwerdegegnerin fristlos gekündigt habe. Sie leitet daraus ab, dass auch der zugesprochene Schadenersatz bzw. - aufgrund der vorstehenden Ausführungen - der entsprechende Lohn bis zum Ablauf der Kündigungsfrist nicht geschuldet ist. Selbst wenn man das Verhalten der Beschwerdegegnerin nicht als unmissverständliche fristlose Kündigung werte, sei in jedem Fall klar gewesen, dass keine Arbeitsleistung mehr erfolgen würde und dementsprechend aufgrund des unerlaubten Fernbleibens vom Arbeitsplatz auf jeden Fall kein Lohn mehr geschuldet sei ab 1. Februar 2016.
3.2. Ging die Vorinstanz von einer fristlosen Kündigung durch die Arbeitgeberin aus, verneinte sie damit ohne weiteres auch eine fristlose Kündigung durch die Arbeitnehmerin. Ihr kann keine unterlassene Begründung vorgeworfen werden. Im Übrigen ist das Vorbringen der Beschwerdeführerin widersprüchlich, wenn sie sich einerseits massgeblich - und zu Recht - auf die E-Mail vom 3. Februar 2016 beruft, womit der Beschwerdegegnerin mitgeteilt wurde, es könnten keine Löhne mehr bezahlt werden und sie sei daher berechtigt, fristlos nicht mehr zur Arbeit zu erscheinen, ihr nun aber gleichzeitig ein "unerlaubtes Fernbleiben vom Arbeitsplatz" ab dem 1. Februar 2016 vorwirft.
Ist der Arbeitnehmer aufgrund der Zahlungsunfähigkeit des Arbeitgebers (<ref-law>) zur fristlosen Kündigung berechtigt, richten sich deren Folgen nach <ref-law> (STREIFF/VON KAENEL/RUDOLPH, Arbeitsvertrag Praxiskommentar, 7. Aufl. 2012, N. 2 zu <ref-law>). Gemäss <ref-law> hat der Arbeitgeber vollen Schadenersatz zu leisten, wenn der wichtige Grund zur fristlosen Auflösung eines Arbeitsverhältnisses in seinem vertragswidrigen Verhalten besteht. Will der Arbeitnehmer das Arbeitsverhältnis noch nicht auflösen, so kann er gestützt auf <ref-law> seine Arbeit verweigern (STREIFF/VON KAENEL/RUDOLPH, a.a.O., N. 2 zu <ref-law>; ADRIAN STAEHELIN, Zürcher Kommentar, 4. Aufl. 2014, N. 8 zu <ref-law>). Vorliegend wäre der Beschwerdegegnerin überdies ein Leistungsverweigerungsrecht zugestanden, weil die Beschwerdeführerin bereits für Januar 2016 im Lohnrückstand war. Bei einer in diesem Sinn berechtigten Arbeitsverweigerung bleibt dem Arbeitnehmer in analoger Anwendung von <ref-law> der laufende Lohnanspruch gewahrt, ohne dass er zur Nachleistung verpflichtet wäre (<ref-ruling> E. 6a S. 212 und E. 9a S. 213).
4.
Da sie von einer ungerechtfertigten fristlosen Kündigung seitens der Arbeitgeberin ausging, prüfte die Vorinstanz, was sich die Arbeitnehmerin gestützt auf <ref-law> an den Ersatz des entgangenen Verdienstes anrechnen lassen muss. Nachdem eine ungerechtfertigte fristlose Kündigung verneint wurde, ist <ref-law> nicht direkt anwendbar. Auch wenn aber im Sinn der vorstehenden Ausführungen ein Lohnanspruch bis zum Ablauf der Kündigungsfrist bejaht wird, hat sich die Beschwerdegegnerin im Rahmen ihrer Schadenminderungspflicht entsprechende Leistungen anrechnen zu lassen.
4.1. Umstritten ist, ob Leistungen der Arbeitslosenversicherung anrechenbar sind.
4.1.1. Die Beschwerdeführerin hatte im kantonalen Verfahren geltend gemacht, die Beschwerdegegnerin sei nicht zur Forderung der Löhne für Februar und März 2016 bzw. des entsprechenden Schadenersatzes berechtigt, denn die Ansprüche seien von Gesetzes wegen auf die Arbeitslosenkasse übergegangen. Die Vorinstanz liess offen, in welchem Ausmass die Beschwerdegegnerin Arbeitslosenentschädigung erhalten habe und ob eine Subrogation bzw. Legalzession auch bei einer ausländischen Arbeitslosenkasse anzunehmen wäre. Denn im erstinstanzlichen doppelten Schriftenwechsel habe keine Partei behauptet, die Beschwerdegegnerin habe für Februar und März 2016 Arbeitslosenentschädigung bezogen. In der Hauptverhandlung und nach den Parteivorträgen sei der Beschwerdegegnerin offenbar vom Verfahrensleiter vorgehalten worden, sie habe Arbeitslosengelder bezogen. Aufgrund dieses Vorhalts und einer offenbar ebenfalls vom Verfahrensleiter gestellten Frage habe die Beschwerdegegnerin erklärt, sie habe rückwirkend ab 2. Februar 2016 Arbeitslosengelder bezogen. Ihr Parteivertreter habe zudem erklärt, die Taggelder hätten rund EUR 2'300.-- betragen, die Rückerstattung sei vorbehalten und das Arbeitsamt wolle das Urteil haben. Die Vorinstanz berücksichtigte diese Ausführungen nicht, weil sie annahm, das Zivilgericht habe in Verletzung des (erstinstanzlich anwendbaren) Verhandlungsgrundsatzes (<ref-law>) über die Parteibehauptungen hinausgehende Fragen gestellt. Da die Parteien die Arbeitslosengelder überhaupt nicht thematisiert hätten, habe sich das Zivilgericht für den Vorhalt und die Frage auch nicht auf die richterliche Fragepflicht (<ref-law>) berufen können. Der erst in der Berufung vorgebrachte Beweisantrag auf Edition der Abrechnungen der Arbeitslosenkasse für Februar und März 2016 sei ein gemäss <ref-law> unzulässiges Novum.
4.1.2. Die Beschwerdeführerin beruft sich darauf, dass sie bereits in der Klageantwort unter Ziffer 26 ausgeführt habe, die Beschwerdegegnerin habe im Rahmen ihrer Schadenminderungspflicht zu belegen, dass sie trotz Stellensuche keine Arbeit gefunden habe und es somit nicht absichtlich unterlassen habe, etwas zu verdienen. Zusätzlich habe sie einen Beweisantrag auf Edition der Bemühungen um eine Arbeitsstelle beantragt. Sie anerkennt, dass sie damit nicht direkt die Edition der Unterlagen zur Arbeitslosenversicherung beantragt hat. Die Auffassung der Vorinstanz sei aber überspitzter Formalismus. Auch Editionsanträge seien durch das Gericht auszulegen und gemäss <ref-law> mit richterlicher Fragepflicht zu konkretisieren. Indem das Zivilgericht zwar die Beschwerdegegnerin befragt, diese jedoch nicht verpflichtet habe, die Abrechnungen zur Arbeitslosenversicherung vorzulegen, habe das Gericht vielmehr umgekehrt den Anspruch der Beschwerdeführerin auf rechtliches Gehör verletzt.
4.1.3. Die Begründung der Vorinstanz ist nicht zu beanstanden. Auch der in der Klageantwort gestellte Editionsantrag ("Bemühungen um Arbeitsstelle durch die Beklagte zu edieren") betraf, wie die Vorinstanz in ihrer Vernehmlassung zutreffend ausführt, unmissverständlich eine Edition durch die Beschwerdegegnerin und beschränkte sich auf den Arbeitserwerb, nicht auf die Arbeitslosenentschädigung. Es bestand keine Unklarheit und eine Auslegung durch das Gericht bzw. eine Fragepflicht stand nicht zur Diskussion, zumal die Beschwerdeführerin anwaltlich vertreten war. Schliesslich war die Möglichkeit bzw. sogar Wahrscheinlichkeit, dass die Beschwerdegegnerin Arbeitslosengelder bezog, ohne weiteres erkennbar. Denn einerseits hatte die Beschwerdegegnerin, wie vorstehend dargelegt, von der Beschwerdeführerin das Formular "Arbeitgeberbescheinigung international" zuhanden der Arbeitslosenversicherung unterzeichnen lassen und andererseits hatte sie in ihrer Klage behauptet, sie habe trotz intensiver Bemühungen keine neue Anstellung finden können.
4.2. Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz eine falsche Beweislastverteilung vor hinsichtlich des Nachweises unterlassener Arbeitsbemühungen durch die Beschwerdegegnerin. Zudem liege auch eine Verletzung des rechtlichen Gehörs vor, weil ihrem oben erwähnten Beweisantrag auf Edition der Unterlagen betreffend Suchen einer neuen Stelle nicht stattgegeben wurde.
Mit der Geltendmachung absichtlich unterlassener Arbeitsbemühungen bezweckt der Arbeitgeber eine Kürzung des grundsätzlich gegebenen Lohnanspruchs des Arbeitnehmers. Für die Voraussetzungen einer solchen Kürzung ist er beweispflichtig. Weil dieser Beweis schwierig ist, genügt er in der Regel dieser Pflicht, wenn er dartut, dass im betreffenden Beruf allgemein Nachfrage nach Arbeitskräften bestand, der Arbeitnehmer folglich bei gutem Willen sehr wahrscheinlich eine andere, ungefähr gleichwertige Stelle hätte finden können (<ref-ruling> E. 3 S. 57; 78 II 441 E. 6c S. 444; Urteile 4A_362/2015 vom 1. Dezember 2015 E. 5.2; 4C.158/2002 vom 20. August 2002 E. 4.2). Davon ging zutreffend auch die Vorinstanz aus und sie stellte für das Bundesgericht verbindlich fest, solche Angaben habe die Beschwerdeführerin nicht gemacht. Das wird von der Beschwerdeführerin auch nicht bestritten. Ist sie ihrer eigenen Behauptungs- und Beweispflicht nicht nachgekommen, kann auch keine Verletzung des rechtlichen Gehörs vorliegen, wenn das Gericht die Gegenpartei nicht zum Beweis der von ihr tatsächlich unternommenen Bemühungen verpflichtete. Die Vorinstanz hat zu Recht eine Kürzung der Ansprüche der Beschwerdegegnerin wegen ungenügender Stellensuche verneint.
4.3. Die Beschwerdeführerin stellt einen Antrag auf Verrechnung für Lohn, welchen sie der Beschwerdegegnerin zu Unrecht als Lohn während Krankheit ausbezahlt habe, namentlich auch bereits während der Probezeit.
4.3.1. Die Vorinstanz kam wie das Zivilgericht zum Schluss, bereits ausbezahlter Lohn für Krankheit könne nicht zurückgefordert werden. Spätestens indem die Beschwerdeführerin den Lohn für den Monat, der den Absenzen wegen Krankheit folgte, vollständig und vorbehaltlos zahlte, habe sie die Krankheitsabwesenheit konkludent anerkannt. Dies gelte sowohl für die Absenzen zwischen dem 2. Juni 2014 und dem 13. November 2015 als auch für die Absenz während der Probezeit (3. bis 7. Februar 2014). Zwar sei für diese Zeitspanne der Lohn nach <ref-law> nicht geschuldet gewesen. Diese Bestimmung sei aber nur einseitig zwingend, der Arbeitgeber könne darauf verzichten. Indem die Beschwerdeführerin trotz der Absenz vom 3. bis 7. Februar 2014 die vollständigen Löhne für Februar und März 2014 bezahlt habe, habe sie konkludent die Lohnfortzahlung auch während der Karenzfrist angeboten, was die Beschwerdegegnerin stillschweigend angenommen habe. Diese sei erst ab einer Krankheitsdauer von mehr als drei Tagen verpflichtet gewesen, ein Arztzeugnis vorzulegen. Folglich trage die Beschwerdeführerin die Beweislast dafür, dass die Beschwerdegegnerin am 6. Januar 2016 sowie vom 1. bis 3. Februar 2016 nicht wegen Krankheit abwesend gewesen sei. Diesen Beweis habe sie nicht erbracht. Schliesslich verlange die Beschwerdeführerin die Rückerstattung von 10 % aller für Krankheit ausbezahlten Löhne, weil sie 100 % ausbezahlt habe, aber lediglich zu einer Leistung im Umfang von 90 % verpflichtet gewesen wäre. Auch diese Begründung des Rückerstattungsanspruchs lehnte die Vorinstanz ab.
In einer Eventualbegründung stellte die Vorinstanz sodann fest, eine Forderung auf Rückerstattung des bezahlten Krankenlohns sei ohnehin ausgeschlossen. Denkbar wäre bloss eine Forderung aus ungerechtfertigter Bereicherung gemäss <ref-law>. Die Beschwerdeführerin behaupte, der Lohn für die Krankheitstage sei irrtümlich bezahlt worden. Für den behaupteten Irrtum habe die Beschwerdeführerin keinen einzigen Beweis beantragt. Eine Forderung auf Rückerstattung des Lohns für die Krankheitstage sei daher ausgeschlossen mangels Nachweises eines Irrtums über die Schuldpflicht (<ref-law>).
4.3.2. Die Vorinstanz hat wie dargelegt einen Rückerstattungsanspruch mit einer Doppelbegründung abgewiesen. Beruht der angefochtene Entscheid auf mehreren selbständigen Begründungen, die je für sich den Ausgang des Rechtsstreits besiegeln, so hat der Beschwerdeführer unter Einhaltung der Begründungsanforderungen nach Art. 42 Abs. 2 und 106 Abs. 2 BGG darzulegen, dass jede von ihnen Recht verletzt; andernfalls kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368). Vorliegend äussert sich die Beschwerdeführerin nicht zur zweiten Begründung, jedenfalls nicht gemäss den Anforderungen nach Art. 42 Abs. 2 und 106 Abs. 2 BGG. Sie wiederholt lediglich, die Lohnfortzahlung während der Probezeit und auch jene danach in den Fällen, in welchen die Arbeitsunfähigkeit durch die Beschwerdegegnerin nicht durch Arbeitsunfähigkeitszeugnisse belegt sei, seien irrtümlich erfolgt. Das ist blosse appellatorische Kritik. Darauf ist nicht einzutreten. Entsprechend ist auch auf die zur Hauptbegründung vorgebrachten Rügen nicht einzutreten.
4.4. Schliesslich stellte die Beschwerdeführerin eine Forderung über Fr. 32'477.10 für unbewilligte Rauchpausen zur Verrechnung.
4.4.1. Beide kantonalen Gerichte lehnten eine solche Forderung ab. Sie stützten sich dabei massgeblich auf eine E-Mail vom 4. Oktober 2015, in welcher die Beschwerdeführerin der Beschwerdegegnerin vorwarf, sie mache trotz wiederholter Abmahnungen viele Zigarettenpausen, ohne diese von der Arbeitszeit abzuziehen. Die E-Mail endet mit folgenden Sätzen: " Sehen Sie dies bitte als letzte Abmahnung respektive Verwarnung. Sollten Sie dieses Verhalten nicht per sofort unterlassen, sehe ich mich gezwungen, unser Arbeitsverhältnis aufzukündigen ". Die Vorinstanz erwog, darin werde nicht erwähnt, dass die behaupteten Rauchpausen irgendwelche Schadenersatz- oder Rückerstattungsansprüche zur Folge haben könnten. Die Beschwerdeführerin habe zudem den Lohn bis Ende 2015 vorbehaltlos bezahlt. Mit diesem Verhalten habe sie konkludent auf Ansprüche aus Rauchpausen verzichtet.
In einer Eventualbegründung erwog die Vorinstanz, die Forderung aus Zigarettenpausen wäre auch abzuweisen, weil nicht alle Voraussetzungen einer solchen Forderung erstellt seien. Namentlich könne der Schaden nicht kurzerhand mit dem auf die Pausen entfallenden Lohn gleichgesetzt werden. Die Beschwerdeführerin hätte den Lohn auch dann bezahlen müssen, wenn die Beschwerdegegnerin während der Pausen gearbeitet hätte. Ein Vermögensschaden wäre ihr deshalb nur dann entstanden, wenn sie als Folge der Pausen weniger Einnahmen erzielt hätte. Das habe die Beschwerdeführerin aber nicht behauptet. In Betracht käme somit nur eine Rückerstattungsforderung aus ungerechtfertigter Bereicherung gemäss <ref-law>. Eine solche sei aber ausgeschlossen, weil die Beschwerdeführerin nicht einmal behauptet habe, sie habe sich über ihre Schuldpflicht in einem Irrtum befunden.
4.4.2. Das Bundesgericht nimmt allgemein in Bezug auf Forderungen des Arbeitgebers gegenüber dem Arbeitnehmer aus dem Arbeitsverhältnis an, solche könnten untergehen, wenn der Arbeitnehmer nach den allgemeinen Regeln des Obligationenrechts über den Vertragsabschluss aus dem Verhalten des Arbeitgebers nach Treu und Glauben auf einen vertraglichen Verzicht nach <ref-law> schliessen kann. Der Arbeitnehmer kann von einem Verzicht ausgehen, wenn es der Arbeitgeber unterlässt, Ansprüche, die ihm dem Umfang oder dem Grundsatz nach bekannt sind, vor Beendigung des Arbeitsverhältnisses geltend zu machen, insbesondere unter vorbehaltloser Auszahlung des letzten Lohnes. Die Beweislast für die Tatsachen, die auf einen Verzicht schliessen lassen, trägt der Arbeitnehmer (<ref-ruling> E. 2b S. 345 f.; Urteile 4A_666/2017 vom 17. Mai 2018 E. 4.3 [betreffend nicht geleistete Arbeitszeit], 4A_351/2011 vom 5. September 2011 E. 2.2 [betreffend Schadenersatz]; je mit Hinweisen). In der Lehre bestehen geteilte Meinungen dazu, ob weitergehend vom Arbeitgeber verlangt werden müsse, er habe in Kenntnis aller Voraussetzungen seinen Anspruch bereits bei der nächsten Lohnzahlung geltend zu machen, andernfalls dieser als verwirkt gelte (vgl. die Hinweise in den zit. Urteilen 4A_666/2017 E. 4.3; 4A_351/2011 E. 2.2). Darauf muss hier nicht weiter eingegangen werden, denn der zu beurteilende Fall weist einige Besonderheiten auf: Zwar hat die Beschwerdeführerin den Lohn für Januar 2016 nicht bezahlt, wie sie im Zusammenhang mit der Rückerstattungsforderung für Lohnzahlungen im Krankheitsfall einwendet. Der Januarlohn wurde aber zufolge Zahlungsunfähigkeit nicht bezahlt, und nicht weil die Beschwerdeführerin damit eine eigene Forderung verrechnen wollte. Der letzte Lohn vor Zahlungsunfähigkeit und Beendigung des Arbeitsverhältnisses war derjenige für Dezember 2015. Zwar ist nicht festgestellt, dass sich die Parteien bewusst gewesen wären, dass dies die letzte Lohnzahlung sein würde. Insoweit kann ihr für sich allein vielleicht nicht dieselbe Bedeutung zugemessen werden, wie einer vorbehaltlosen Auszahlung des letzten Lohnes. Die Vorinstanz hielt aber unangefochten fest, D._ von der Beschwerdeführerin habe als Zeugin ausgesagt, sie habe Ende 2015 versucht, die Beschwerdegegnerin zur Rücknahme ihrer Kündigung zu gewinnen. Sie habe dieser dann den vollen Lohn für Dezember 2015 bezahlt, ohne irgendwelche Ansprüche aus Rauchpausen geltend zu machen. Wenn die Vorinstanz annimmt, die Beschwerdeführerin habe mit ihrem Verhalten auf allfällige Ansprüche für Rauchpausen verzichtet, ist das nicht zu beanstanden.
5.
Zusammenfassend bleibt es somit bei einem Lohnanspruch für die Zeit vom 1. Januar bis zum 31. März 2016 abzüglich Sozialversicherungsabzüge und Quellensteuer sowie die unbestrittene Verrechnungsforderung für Minusstunden im Betrag von Fr. 2'696.85 und die Ersparnis für Weg- und Verpflegungskosten, die von der Beschwerdegegnerin vor Bundesgericht nicht mehr in Abrede gestellt wird. Die von der Vorinstanz ihrer Berechnung zugrundegelegten Zahlen wurden nicht bestritten. Davon ist grundsätzlich auch hier auszugehen. Die Vorinstanz stellte einen Bruttolohn von Fr. 6'240.-- fest, von dem sie den Betrag für Minusstunden und die Ersparnis für auswärtige Verpflegung und den Arbeitsweg in Abzug brachte.
5.1. Die Vorinstanz hielt fest, die Beschwerdeführerin sei von einer Ersparnis von Fr. 15.-- pro Arbeitstag für Verpflegung und von Fr. 105.-- pro Monat für die Wegkosten ausgegangen. Dies ergebe Fr. 431.25 monatlich. Diese Behauptungen seien nicht rechtzeitig bestritten worden. Die Vorinstanz errechnete für die Zeit vom 5. Februar bis zum 31. März 2016 nach der Formel 16/21.75 x Fr. 431.25 + Fr. 431.25 den Betrag von Fr. 784.49. Dies beruht auf einem offensichtlichen Versehen (vgl. Sachverhalt B.b hiervor), das zu korrigieren ist, auch wenn der Betrag vor Bundesgericht unbeanstandet blieb. 16 dividiert durch 21.75 ergibt 0.735632184; dies multipliziert mit Fr. 431.25 ergibt Fr. 317.24137931; dies addiert zu Fr. 431.25 ergibt Fr. 748.49137931. Das korrekte Ergebnis lautet also nicht Fr. 784.49, sondern Fr. 748.49.
5.2. Damit ergibt sich für drei Monate ein Bruttolohnanspruch von Fr. 18'720.-- (3 x Fr. 6'240.--) von dem Fr. 2'696.85 Minusstunden und Fr. 748.49 Ersparnis für auswärtige Verpflegung und den Arbeitsweg abzuziehen sind, was einen Bruttolohnanspruch von 15'274.66 ergibt. Bei Annahme eines Nettolohns von Fr. 5'151.75 (die Vorinstanz berücksichtigte anders als die Erstinstanz bei den Abzügen von insgesamt 17.44 % die BVG-Beiträge von monatlich Fr. 311.05) erhält man einen Betrag von rund Fr. 12'610.76 netto (Fr. 15'274.66 - [Fr. 15'274.66 x 17.44 %]).
6.
Die Beschwerdeführerin rügt schliesslich die Kostenverteilung der Vorinstanz. Nachdem die Beschwerde teilweise zu schützen und die Sache zur Neuverteilung der Kosten des kantonalen Verfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen ist, ist darauf nicht weiter einzugehen.
7.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdeführerin zwei Drittel und die Beschwerdegegnerin einen Drittel der Verfahrenskosten zu tragen. Die Beschwerdegegnerin hat (nach Verrechnung) Anspruch auf eine reduzierte Parteientschädigung, wobei vom praxisgemäss zuzusprechenden Betrag von Fr. 2'500.-- für eine volle Parteientschädigung auszugehen ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Appellationsgerichts Basel-Stadt vom 23. April 2019 wird aufgehoben.
Die Beschwerdeführerin wird verpflichtet, der Beschwerdegegnerin Lohn in Höhe von Fr. 12'610.76 netto zuzüglich Zins von 5 % seit dem 1. März 2016 zu bezahlen. Die Beschwerdeführerin ist berechtigt, über den Satz von 4,5 % hinausgehende, gegenüber der Beschwerdegegnerin ausgewiesene Quellensteuerbeträge vom vorstehenden Betrag in Abzug zu bringen. Im Übrigen wird die Klage abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist und sie zufolge Vergleichs (Arbeitszeugnis) nicht gegenstandslos geworden ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden zu zwei Dritteln der Beschwerdeführerin und zu einem Drittel der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 833.35 zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten des kantonalen Verfahrens an das Appellationsgericht Basel-Stadt zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. November 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Luczak