Fatti:
A.
A.a. A._ ha svolto dei lavori per B._ SA dal primo trimestre del 2015 fino al 2017. Egli aveva domandato alla Cassa cantonale di compensazione AVS/AI/IPG di essere affiliato come indipendente, senza ricevere risposta. Per quei lavori egli ha fatturato alla B._ SA nel 2015 fr. 56'700.--, nel 2016 fr. 60'810.-- e nei primi mesi del 2017 fr. 19'725.--. Il 1° maggio 2017 le parti hanno concluso un contratto di lavoro a tempo pieno con un salario lordo orario di fr. 27.80 (in cui erano comprese tredicesima, e indennità per giorni festivi e vacanze). Il 27 febbraio 2018 A._ si è licenziato con effetto dal 31 marzo 2018.
A.b. A seguito di un'analisi a posteriori della situazione lavorativa per il periodo dal 1° gennaio 2013 al 31 dicembre 2016, il 5 giugno 2018 la Cassa cantonale di compensazione ha accertato la qualità di salariato della società di A._, negandogli quella di indipendente, ha quantificato gli oneri assicurativi non versati nel periodo in questione in fr. 18'842.-- e ne ha chiesto il pagamento alla B._ SA. Tale decisione è stata confermata con decisione su opposizione del 14 agosto 2018. Il 31 agosto successivo e poi con sollecito dell'8 febbraio 2019 la società ha rivendicato da A._ la rifusione di quanto nel frattempo pagato. In seguito la società ha fatto spiccare contro quest'ultimo un precetto esecutivo n. 2733693 per il medesimo credito oltre interessi e accessori, cui il debitore ha interposto opposizione.
B.
Raccolta la necessaria autorizzazione ad agire, il 1° ottobre 2019 B._ SA ha convenuto A._ davanti alla Pretura del distretto di Lugano per ottenerne la condanna al pagamento di fr. 9'421.30 oltre interessi, corrispondenti alla quota parte di oneri sociali a carico del lavoratore dipendente per il periodo dal 1° marzo 2013 al 31 dicembre 2016, e postulato il rigetto dell'opposizione in via definitiva. Con risposta del 25 ottobre 2019 il convenuto, patrocinato dal Sindacato C._, si è opposto alla petizione e ha chiesto in via riconvenzionale la condanna dell'attrice al pagamento in suo favore di fr. 11'431.68 lordi oltre interessi e l'annullamento dell'esecuzione. Egli ha pure proposto, in subordine e per il caso di un accoglimento della petizione, che la pretesa dell'attrice fosse compensata con quella da lui fatta valere per ferie non godute, con obbligo dell'attrice di rifondergli il saldo di fr. 2'177.17 (netti) oltre interessi. Il 3 dicembre 2019 l'attrice si è opposta alla domanda riconvenzionale e ha mutato l'azione nel senso di postulare in via principale la condanna del convenuto al pagamento di fr. 18'842.60 oltre interessi e in subordine di fr. 9'421.30 oltre interessi. Al dibattimento del 21 febbraio 2020 le parti hanno mantenuto le proprie domande di giudizio e proposto dei mezzi di prova.
Il 5 marzo 2021 il Pretore ha respinto tutte le prove offerte dalle parti al dibattimento e ha emanato la sentenza. Da un lato, in parziale accoglimento della petizione, ha condannato il convenuto a versare all'attrice fr. 10'064.-- oltre interessi; dall'altro ha respinto l'azione riconvenzionale. La relazione instauratasi dal 2013 in avanti tra le parti, ha spiegato, presentava i tratti tipici del contratto di lavoro, onde l'obbligo per entrambe di pagare gli oneri sociali in misura paritaria. Secondo il primo giudice il convenuto avrebbe dovuto percepire una retribuzione oraria lorda di fr. 27.80 come indicato nel contratto del 1° maggio 2017 anche per il periodo precedente: di conseguenza, rispetto ai fr. 137'235.-- incassati netti, egli avrebbe dovuto ricevere un salario di fr. 127'171.--, comprensivi di tredicesima, giorni festivi e vacanze, da cui occorreva dedurre gli oneri sociali a carico del lavoratore e aggiungere quelli a carico del datore di lavoro. Il quale, secondo il primo giudice, aveva maturato verso il convenuto un credito a saldo di fr. 10'064.--. Il Pretore ha quindi respinto l'azione riconvenzionale, giacché le indennità per vacanze e giorni festivi e la tredicesima erano comprese nei predetti fr. 127'171.--.
C.
Con reclamo del 20 aprile 2020 il convenuto, sempre patrocinato dal Sindacato C._, ha chiesto, in riforma del giudizio impugnato, da una parte di respingere la petizione o, in subordine, di accoglierla limitatamente all'importo di fr. 7'093.93 oltre interessi, e dall'altra di accogliere l'azione riconvenzionale, obbligando l'attrice a versargli fr. 11'431.68 lordi oltre interessi. Il 27 maggio 2020 l'attrice ha proposto il rigetto del gravame. Il 27 gennaio 2021 la II Camera civile del Tribunale d'appello ha dichiarato irricevibile il reclamo in virtù dell'<ref-law> e ha accordato fr. 500.- per ripetibili alla B._ SA. In sostanza la Corte cantonale ha considerato che il mezzo di impugnazione dell'insorgente non poteva essere convertito in appello (via di ricorso di concreto aperta), avendo egli consapevolmente depositato un reclamo, malgrado l'indicazione corretta dei rimedi di diritto nella decisione del Pretore. In via abbondanziale ha rilevato che il gravame sarebbe pure irricevibile per la sua carente motivazione.
D.
Con atto del 5 marzo 2021, denominato "ricorso in materia civile e ricorso sussidiario in materia costituzionale", A._ postula l'annullamento della decisione impugnata con rinvio degli atti al Tribunale di appello e l'emissione di una nuova sentenza.
Con risposta 20 aprile 2021 l'opponente ne ha proposto il rigetto. L'autorità cantonale ha rinunciato a presentare osservazioni.
Il 6 maggio 2021 il ricorrente ha replicato spontaneamente, memoria alla quale ha fatto seguito una duplica spontanea del 26 maggio 2021 della B._ SA.

Diritto:
1.
Il ricorrente presenta contemporaneamente un ricorso in materia civile e uno sussidiario in materia costituzionale.
1.1. Il Tribunale federale esamina liberamente, con piena cognizione e senza essere vincolato dalle motivazioni delle parti l'ammissibilità del rimedio esperito (<ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 1).
1.2. In concreto la controversia trae il suo fondamento da un contratto di lavoro. Si tratta di una causa pecuniaria in materia civile ai sensi dell'<ref-law>. Nelle cause di carattere pecuniario il ricorso in materia civile è inammissibile nelle controversie in materia di diritto del lavoro se il valore litigioso è inferiore a fr. 15'000.-- (<ref-law>). Quando il valore litigioso non raggiunge l'importo di fr. 15'000.--, il ricorso è nondimeno ammissibile se si pone una questione di diritto di importanza fondamentale (<ref-law>). In caso di ricorso contro una decisione finale il valore litigioso è determinato dalle conclusioni rimaste controverse dinanzi all'autorità inferiore (<ref-law>). Gli interessi, i frutti, le spese giudiziarie e ripetibili fatti valere come pretese accessorie, i diritti riservati e le spese di pubblicazione della sentenza non entrano in linea di conto nella determinazione del valore litigioso (<ref-law>). L'importo della domanda riconvenzionale non è sommato con quello della domanda principale (<ref-law>).
Nella fattispecie davanti al Pretore l'attrice aveva postulato in via principale la condanna al pagamento di fr. 18'842.60 oltre interessi e, in subordine, di fr. 9'421.30 oltre interessi; il convenuto, da parte sua, aveva fatto valere in via riconvenzionale un credito di fr. 11'431.68.--. Il Pretore ha parzialmente ammesso l'azione principale limitatamente alla somma di fr. 10'064.-- e respinto l'azione riconvenzionale. Con il reclamo il ricorrente ha chiesto il rigetto della petizione e la condanna dell'opponente a versargli fr. 11'431.68. Ne deriva che secondo l'<ref-law> il ricorso in materia civile non è ricevibile.
1.3. Per il ricorrente la controversia concernerebbe una questione giuridica di importanza fondamentale. La Corte cantonale, afferma, avrebbe considerato a torto la rappresentanza professionale di un sindacato alla stessa stregua di quella di un avvocato, derivando le stesse conseguenze giuridiche in caso di errore nella scelta di un rimedio di diritto (vale a dire la sua inammissibilità). A suo avviso andrebbe fatta una differenziazione se un simile errore del sindacato "è basato esclusivamente su questioni prettamente tecniche e procedurali". La rappresentanza ai sensi dell'art. 68 cpv. 2 lett. d CPC con rinvio all'art. 12 della Legge (ticinese) di applicazione del Codice di diritto processuale civile svizzero del 24 giugno 2010 (LACPC; R.L. 270.100) non sarebbe paragonabile a quella generale dell'<ref-law>. Sarebbe poi contraria al principio della buona fede procedurale e al divieto del formalismo eccessivo la prassi cantonale secondo cui la Camera del Tribunale di appello non competente trasmette d'ufficio il gravame a quella competente e quest'ultima "lo considera a tutti gli effetti come il rimedio di impugnazione aperto", prima di dichiararlo irricevibile.
1.4. Secondo la giurisprudenza, una vertenza pone una questione giuridica d'importanza fondamentale quando, per risolvere il caso concreto, è necessario decidere una questione di diritto che solleva un'incertezza particolarmente grave; una tale incertezza esige una chiarificazione urgente da parte del Tribunale federale, autorità giudiziaria suprema investita del compito di sviluppare un'interpretazione uniforme del diritto federale (<ref-ruling> consid. 1.4.1; <ref-ruling> consid. 1.2). La connotazione di questione giuridica d'importanza fondamentale va ammessa in maniera restrittiva (<ref-ruling>consid. 1.1.2) e non viene riconosciuta se la medesima questione può riproporsi in qualsiasi momento in un caso con un valore di lite sufficiente (v.<ref-ruling>consid. 1.1;<ref-ruling>consid. 1.2.3). La parte ricorrente, che si prevale della natura fondamentale della questione sollevata, deve esporre perché ciò sia il caso (<ref-law>;<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling>consid. 1.2).
Nella fattispecie, la connotazione di questione giuridica d'importanza fondamentale non può essere riconosciuta, poiché la medesima questione potrebbe riproporsi anche in un caso con un valore di lite sufficiente secondo l'<ref-law>. Secondariamente l'argomentazione proposta dal ricorrente a fondamento dell'ammissibilità del ricorso in materia civile non è sufficientemente motivata. Il ricorrente, infatti, si limita a sostenere che in generale l'errore nella scelta del mezzo di impugnazione in una procedura di diritto del lavoro commesso da un sindacato dovrebbe avere conseguenze diverse da quelle che colpiscono un avvocato. Anche la critica del ricorrente con cui egli mira a evidenziare il carattere contrario al principio della buona fede e al divieto del formalismo eccessivo della prassi della Camera del Tribunale di appello non competente di trasmettere d'ufficio da un lato il gravame a quella competente, la quale lo considererebbe "a tutti gli effetti come il rimedio di impugnazione aperto", è rimasta allo stadio di mera enunciazione. Simili apodittiche opinioni non sono supportate da alcuna motivazione compiuta, talché il rimedio si avvera inammissibile.
1.5. Può per contro essere esaminato nel merito il ricorso sussidiario in materia costituzionale. Il gravame è stato interposto tempestivamente (<ref-law>) dalla parte soccombente in sede cantonale (<ref-law>) contro una decisione finale (<ref-law>) pronunciata dall'autorità ticinese di ultima istanza (art. 114 combinato con l'<ref-law>). La domanda di annullamento e di rinvio (almeno nella misura in cui non riguarda il giudizio sulle ripetibili; cfr. sotto, consid. 6) soddisfa di per sé i requisiti formali, poiché la Corte di appello ha emanato un verdetto di inammissibilità del rimedio di diritto a lei presentato e non si è pronunciata sul merito della decisione di prima istanza. Se annulla una sentenza d'inammissibilità, il Tribunale federale non si pronuncia lui stesso sul merito, ma rinvia l'incarto all'autorità cantonale, affinché l'insorgente non sia privato di un grado di giurisdizione (<ref-ruling> consid. 1.2 con rimandi).
1.6. Con il ricorso sussidiario in materia costituzionale può solo essere censurata una violazione dei diritti costituzionali (<ref-law>). Il ricorrente deve indicare quale diritto costituzionale è stato violato e motivare in cosa consiste la violazione. Il Tribunale federale può esaminare la violazione di un diritto fondamentale solo se una tale censura è stata sollevata in modo preciso e motivata nel ricorso (art. 117 e 106 cpv. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 2.2). Le critiche di natura appellatoria sono irricevibili (<ref-ruling> consid. 2.4 e riferimenti).
1.7. Il Tribunale federale fonda la sua sentenza sui fatti accertati dall'autorità inferiore (<ref-law>). Può rettificare o completare d'ufficio l'accertamento dei fatti operato dall'autorità inferiore se è stato svolto in violazione di un diritto costituzionale (art. 118 cpv. 2 e 116 LTF). Conformemente al principio di allegazione appena richiamato, il ricorrente deve quindi spiegare con precisione perché l'accertamento di un fatto rilevante per l'esito del procedimento è manifestamente insostenibile, cioè è in chiara contraddizione con la situazione di fatto, si basa su una svista manifesta o è privo di qualsiasi giustificazione oggettiva (art. 117 in rel. con l'<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 3.2 con rinvii).
1.8. Nel caso concreto la narrazione dei fatti introdotta dopo le considerazioni di ammissibilità del ricorso (cfr. pag. 5-7) e il riepilogo della decisione impugnata (cfr. ricorso, pag. 7-9) saranno ignorati nella misura in cui si scostano dai fatti accertati dai giudici cantonali senza che il ricorrente invochi, men che meno dimostri, un loro arbitrario accertamento e nella misura in cui le critiche sommarie al giudizio della Corte cantonale non sono sviluppate conformemente ai principi appena enunciati.
2.
La Corte cantonale ha considerato che il convenuto, rappresentato da un'organizzazione sindacale, cui compete la rappresentanza professionale in giudizio, aveva coscientemente introdotto un rimedio di diritto di cui, usando la dovuta diligenza, non poteva ignorare il carattere errato. Ha quindi escluso una conversione del mezzo di impugnazione, qualora un mandatario professionista scelga coscientemente una via di ricorso che non poteva ignorare essere errata, a maggior ragione ove, come in concreto, la decisione di prima istanza indicava dei rimedi di diritto corretti. Il gravame era comunque irricevibile poiché insufficientemente motivato e poiché l'interessato s'era limitato a opporre una propria versione dei fatti a quella del Pretore senza confrontarsi con le motivazioni contenute nella decisione impugnata.
3.
Il ricorrente rimprovera alla Corte cantonale di non aver eseguito o di aver operato un accertamento manifestamente inesatto dei fatti, che avrebbe comportato un'errata applicazione del diritto. La Corte cantonale, egli argomenta, non avrebbe distinto la rappresentanza professionale offerta dal sindacato, assai limitata poiché ammissibile solo in materia di diritto del lavoro, da quella esercitata dagli avvocati. A suo avviso ciò giustificava in sostanza un rigore diverso nel vagliare il comportamento del rappresentante del sindacato durante il processo civile. Un sindacato, soggiunge, pur conoscendo la specifica materia del diritto del lavoro, "non per forza è altrettanto esperto nella procedura giudiziaria".
Lamentando una mancata distinzione tra la rappresentanza professionale garantita dal sindacato e quella offerta dall'avvocato e asserendo che un sindacato non sarebbe esperto nella procedura giudiziaria e non andrebbe posto sullo stesso piano di un avvocato, il ricorrente presenta una critica di natura appellatoria che è inammissibile. Certo, la rappresentanza professionalmente qualificata riconosciuta a un sindacato (alle condizioni previste dal diritto cantonale) è limitata alle cause in procedura semplificata o sommaria davanti al giudice del lavoro (cfr. art. 68 cpv. 2 lett. d CPC in relazione con l'art. 12 LACPC). In quelle procedure, tuttavia, i poteri di rappresentanza d'un sindacato sono analoghi a quelli di un avvocato, e non soffrono di alcuna restrizione. La tesi ricorsuale per cui "nell'accertare la responsabilità nella corretta applicazione del CPC, non è possibile mettere un avvocato (che detiene una rappresentanza generale) sullo stesso piano di un sindacato", non concerne - contrariamente a quanto pare ritenere il ricorrente - l'accertamento dei fatti e si esaurisce in una considerazione di parte che non suffraga alcun arbitrio da parte dei giudici cantonali. In proposito, pertanto, il ricorso è votato all'insuccesso.
4.
Il ricorrente rimprovera ai giudici cantonali di non aver speso una parola sulla trasmissione del "reclamo/appello" tra le diverse Camere del Tribunale d'appello e sulla risposta della controparte. Ciò sarebbe di importanza fondamentale nell'applicazione della giurisprudenza e della dottrina pertinente. A suo avviso la Corte cantonale avrebbe dovuto accertare la trasmissione del ricorso alla Camera competente, che lo avrebbe trattato "come se fosse stata intrapresa la corretta via ricorsuale". La controparte nulla avrebbe eccepito in proposito nella sua risposta, non accusando così pregiudizi di sorta. Egli fa quindi valere una violazione del diritto di essere sentito, perché i giudici cantonali non avrebbero motivato le ragioni che li avrebbero spinti a dichiarare irricevibile il gravame al posto della Camera civile dei reclami, e perché avrebbero trattato il "ricorso come se fosse un appello" prima di pronunciarne l'inammissibilità. Costoro, prima di dichiarare irricevibile il gravame, dovevano permettergli di esprimersi al riguardo, specie in concreto ove il reclamo è stato inoltrato quasi tre settimane prima della scadenza del termine di impugnazione.
4.1. Il diritto di essere sentito garantito dall'<ref-law> impone all'autorità di motivare la sua decisione. Secondo la giurisprudenza, è sufficiente che il giudice menzioni, almeno brevemente, le ragioni che lo hanno guidato e sulle quali ha basato la sua decisione, affinché l'interessato possa apprezzare la portata della decisione e contestarla con piena cognizione di causa (cfr. sentenze 4D_76/2020 del 2 giugno 2021 consid. 4.2; 4A_400/2019 del 17 marzo 2020 consid. 5.7.3, non pubblicato in <ref-ruling>; <ref-ruling> consid. 5.2). L'autorità non è obbligata a esporre e discutere tutti i fatti, i mezzi di prova e le censure presentati dalle parti, ma può invece limitarsi a quelli che ritiene rilevanti (cfr. sentenze 4D_76/2020 citata consid. 4.2; 4A_400/2019 citata consid. 5.7.3; 4A_215/2017 del 15 gennaio 2019 consid. 3.2).
In concreto la sentenza impugnata soddisfa tali requisiti. I giudici cantonali hanno illustrato le ragioni della loro decisione di inammissibilità, evidenziando come il ricorrente, rappresentato da un'organizzazione sindacale, aveva coscientemente introdotto un rimedio di diritto di cui, usando la dovuta diligenza, non poteva ignorare il carattere errato. Sapere se tale motivazione sia convincente è una questione distinta dal diritto a una decisione motivata; se le ragioni che hanno guidato il giudice possono essere individuate, il diritto a una decisione motivata è rispettato, anche se la motivazione è errata (cfr. ad es. sentenza 4D_76/2020 citata consid. 4.2). Nella fattispecie il ricorrente ha ben compreso il significato e la portata della sentenza citata, avendola impugnata in modo articolato. Che il giudizio impugnato non contenesse una dettagliata motivazione sulla trasmissione del "reclamo/ appello" tra le diverse Camere del Tribunale d'appello e sulla risposta della controparte, è possibile. Il ricorrente, però, doveva spiegare quale rilevanza quella circostanza potesse avere per l'esito del suo gravame. Insufficientemente motivato, in proposito il ricorso è irricevibile.
4.2. Quanto al mancato annuncio di un possibile verdetto di inammissibilità, la doglianza, espressa in termini perentori, non rispetta le esigenze accresciute di motivazione sgorganti dal principio dell'allegazione (cfr. sopra, consid. 1.6), dato che il ricorrente non espone con precisione i motivi per cui avrebbe dovuto essere previamente consultato. L'interessato non pretende neppure che l'autorità cantonale si sarebbe avvalsa di argomenti giuridici a lui sconosciuti di cui non poteva prevedere l'adozione (cfr. <ref-ruling> consid. 4.1 con riferimento; sentenza 5A_953/2020 del 9 agosto 2021, consid. 3.5). In un processo civile la parte che introduce un mezzo di impugnazione non può dirsi sorpresa di fronte a un verdetto di inammissibilità, giacché chi si rivolge a un'autorità giudiziaria di seconda istanza, a maggior ragione se patrocinata, deve assicurarsi che il proprio gravame adempia tutti i requisiti per essere vagliato nel merito. In particolare, in controversie patrimoniali le decisioni finali di prima istanza sono impugnabili mediante appello se il valore litigioso secondo l'ultima conclusione riconosciuta nella decisione è di almeno fr. 10'000.-- (art. 308 cpv. 1 e 2 CPC). Il ricorrente, infine, non fa valere che la causa dell'irricevibilità fosse riconducibile a un vizio di forma che giustificava l'assegnazione di un termine per ripararlo (<ref-law>). Ne deriva che il rimedio si avvera inammissibile.
5.
Rammentato parzialmente il consid. 3.3.1 della decisione del Tribunale federale 5A_221/2018 del 4 giugno 2018, il ricorrente lamenta una "manifesta violazione del diritto federale". La Corte cantonale non avrebbe esaminato se erano adempiute le condizioni per trattare il ricorso, erroneamente intitolato "reclamo" al posto di "appello", né avrebbe spiegato se e perché la trattazione del ricorso come appello poteva in qualche modo ledere i diritti della controparte. Ciò che non si è avverato, poiché le critiche sviluppate con il reclamo potevano formare anche oggetto di un appello e poiché in concreto la controparte non avrebbe sollevato alcuna censura sull'ammissibilità del gravame. La fattispecie sarebbe diversa da quella vagliata dal Tribunale federale nella sentenza 5A_221/2018, in cui alla controparte non fu nemmeno chiesto di determinarsi sul gravame introdotto in modo irrito e il ricorrente era patrocinato da un avvocato. La Corte cantonale, che avrebbe trattato il rimedio di diritto da lui interposto come appello, avrebbe violato anche il principio della buona fede processuale. Il ricorrente sostiene altresì di non aver scelto scientemente la via del reclamo e di essere incorso in un'inavvertenza manifesta: un errore di tipo processuale commesso da un sindacato, in ultima analisi, va scusato specie se la svista non ha conseguenze per la procedura di ricorso e se il valore litigioso indicato nel reclamo di fr. 10'064.-- è prossimo alla soglia di fr. 10'000.--. Egli precisa infine di non essere intervenuto per rettificare il reclamo in appello, giacché la Corte cantonale l'avrebbe trattato come tale.
5.1. Se una parte presenta un mezzo di impugnazione di cui non sono date le condizioni di ammissibilità il giudice non entra in linea di principio nel merito del rimedio di diritto. Secondo la giurisprudenza, la conversione di un mezzo di impugnazione del CPC errato in quello corretto è in taluni casi possibile a condizione che i presupposti del rimedio che avrebbe dovuto essere utilizzato siano soddisfatti e che sia possibile convertire il rimedio nel suo insieme. Tale conversione risulta dall'applicazione del principio del divieto del formalismo eccessivo (<ref-law>; FABIENNE HOHL, Procédure civile, vol. II, 2a ed. 2010, n. 2228 pag. 408 seg.; YVES DONZALLAZ, Commentaire de la LTF, n. 1021 pag. 444; MARTIN H. STERCHI, inBerner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, vol. II, n. 2 ad <ref-law>). Vi è in particolare la tendenza a considerare il rifiuto di conversione come contrario al divieto di eccessivo formalismo, quando la scelta del mezzo di impugnazione ammissibile presenta delle difficoltà e non è facilmente riconoscibile. Detto altrimenti, la conversione è ammessa se le condizioni per l'ammissibilità del rimedio giuridico corretto sono soddisfatte, se l'atto può essere convertito nel suo insieme, se la conversione non pregiudica i diritti della parte avversa e se l'errore non è il risultato di una scelta deliberata della parte rappresentata da un avvocato di non seguire il rimedio giuridico menzionato in calce alla decisione di prima istanza o di un errore grossolano. Una conversione è invece esclusa se l'insorgente, patrocinato da un difensore professionista, ha volutamente scelto una via di diritto, benché non potesse ignorare che era errata (sentenze 5A_46/2020 del 17 novembre 2020 consid. 4.1.2 con rimandi; 5A_786/2020 del 26 ottobre 2020 consid. 3.3.1; 5A_221/2018 del 4 giugno 2018 consid. 3.1.1).
5.2.
5.2.1. Nella fattispecie la Corte cantonale ha esaminato l'adempimento delle condizioni per ammettere il gravame e per trattarlo nel merito. Ha accertato che l'insorgente ha introdotto alla Camera civile dei reclami un rimedio intitolato "Reclamo", di cui ha chiesto l'accoglimento e in cui ha affermato di aver rispettato il termine di reclamo e ha richiamato l'<ref-law> relativo ai motivi di reclamo. In quell'atto, poi, l'insorgente è stato designato più volte quale reclamante. Ciò posto, la Corte cantonale ha dedotto che il sindacato, un rappresentante professionale in giudizio, aveva coscientemente introdotto un rimedio di diritto che, con la dovuta diligenza, non poteva ignorare essere errato, onde la sua inammissibilità. Il ricorrente contesta tale conclusione, ma non spiega in modo articolato, come doveva (cfr. sopra, consid. 1.6), perché essa sia frutto di un'arbitraria constatazione dei fatti e applicazione del diritto. Carente di motivazione, in proposito il ricorso è inammissibile.
È vero che in concreto una conversione di un reclamo in un appello poteva anche non arrecare dei pregiudizi alla controparte, la quale davanti alla Corte cantonale si era espressa liberamente nella sua risposta e nulla aveva eccepito sull'ammissibilità del gravame. L'introduzione di un reclamo invece di un appello, tuttavia, non è figlia di un'inavvertenza manifesta del mandatario del ricorrente, né il rappresentante si è limitato a un "copia/incolla delle indicazioni di forma (titolo, termine per il ricorso e redazione del petitum) ". La volontà di agire proprio con un reclamo, infatti, emerge chiaramente non solo dal titolo ( "reclamo"), dalle domande di giudizio ( "Il reclamo è accolto, di conseguenza la sentenza del 5 marzo della Pretura della Giurisdizione di Lugano e così riformata... ") e dalle considerazioni "in ordine" ( "il termine del reclamo è ampiamente ossequiato"), ma anche dai motivi di reclamo da lui espressamente richiamati (pag. 2: "a norma della disposizione <ref-law> con il reclamo possono essere censurati l'applicazione errata del diritto come pure un accertamento manifestamente errato dei fatti. Nella fattispecie in esame si ritengono date entrambe le censure") e dalle motivazioni di quel mezzo di impugnazione, in cui l'estensore si è riferito solo a un "reclamante" (cfr. ad es. pag. 3: "il 'modello' assunto da questo Pretore per statuire nella causa si rivela pertanto censurabile alla stregua della tesi stante la quale il reclamante ne avrebbe addirittura tratto un vantaggio finanziario"; pag. 4: "nel denegato caso il reclamante venga chiamato a rispondere del pagamento della parte di contributi sociali spettanti al dipendente [...] la parte dei contributi sociali da porre all'eventuale carico del reclamante doveva quindi ammontare a CHF 7'097.63"; pag. 5: "nessun conteggio salariale è mai stato consegnato al reclamante poiché indiscriminatamente occupato in qualità di pseudo indipendente [...] la richiesta di affiliazione da indipendente inizialmente avviata dal reclamante non poteva essere attivata dalla Cassa cantonale di compensazione"). In condizioni del genere la decisione della Corte cantonale di ammettere una scelta deliberata di non voler seguire la via dell'appello illustrata in calce alla decisione del Pretore e di introdurre al suo posto un reclamo, non presta il fianco a critiche (cfr. sopra, consid. 5.1).
5.2.2. Per il ricorrente le conseguenze di un errato patrocinio da parte di un sindacato, la cui condotta processuale andrebbe valutata con maggiore magnanimità, dovrebbero divergere da quelle riconducibili a una negligenza di un avvocato. La tesi, invero formulata in termini apodittici, non convince. Secondo l'art. 68 cpv. 2 lett. d CPC sono autorizzati a esercitare la rappresentanza professionale in giudizio dinanzi al giudice del lavoro, i rappresentanti professionalmente qualificati, se il diritto cantonale lo prevede. In Ticino, limitatamente alle cause condotte in procedura semplificata (art. 243 seg. CPC) e in quella sommaria (art. 248 seg. CPC), la rappresentanza processuale professionale in materia di contratto di lavoro è pure riconosciuta ai rappresentanti o impiegati di associazioni professionali o di categoria (art. 12 cpv. 1 lett. b LACPC). A tali persone è riconosciuta la rappresentanza processuale solo a tre condizioni: devono avere una procura scritta del loro rappresentato, essere in possesso dell'esercizio dei diritti civili ed essere ritenute dal giudice capaci di proporre e discutere la causa con la necessaria chiarezza (art. 12 cpv. 2 LACPC). Le norme di procedura relative alla rappresentanza professionale in giudizio (art. 68 cpv. 2 lett. d CPC e 12 LACPC) non prevedono, in caso di negligenze o inadempimento, un trattamento diverso tra un rappresentante (o un impiegato) di un'associazione professionale e un avvocato (o un'altra persona autorizzata a esercitare la rappresentanza professionale secondo l'art. 68 cpv. 1 lett. b e lett. c CPC). Il ricorrente, poi, non pretende, prima ancora di dimostrare, che in concreto non fossero date le premesse per autorizzare il sindacato a rappresentarlo: questo, infatti, era munito di una procura scritta da lui firmata, con cui gli ha conferito l'incarico di procedere "in tutte le azioni giuridiche proprie di un mandatario generale", di rappresentarlo di fronte a "tutti i tribunali "e anche di ricorrere "a rimedi giuridici" (art. 12 cpv. 2 lett. a LACPC; cfr. doc. 1). Che il sindacato e il suo rappresentante fossero in possesso dell'esercizio dei diritti civili (art. 12 cpv. 2 lett. b LACPC), e che il suo rappresentante sia stato in grado di proporre e discutere la causa con la necessaria chiarezza, sono premesse che il ricorrente non mette in discussione. Non vi è pertanto alcuna applicazione arbitraria delle predette norme né vi sono dunque ragioni per trattare in modo diverso la parte rappresentata da sindacato rispetto a quella patrocinata da un avvocato (cfr. sulla relazione fra il principio della parità di trattamento, che impone di trattare in modo identico ciò che è simile e in modo diverso ciò che non lo è, e il divieto dell'arbitrio <ref-ruling> consid. 7.1). Su questo punto, il ricorso è da respingere.
5.2.3. Giova poi aggiungere che in concreto il sindacato ha dato prova di conoscere le norme di procedura, servendosi di strumenti idonei per far valere i diritti del proprio cliente (ad es. un'azione riconvenzionale), e che chi esercita la rappresentanza professionale operando "copia/ incolla delle indicazioni di forma legati al reclamo", senza verificare se il valore minimo per un appello è o no raggiunto, si assume dei rischi tali da qualificare il suo (negligente) operato siccome errore grossolano. In ultima analisi il valore litigioso determinante di fr. 18'842.60, equivalente all'ultima conclusione riconosciuta nella decisione del primo giudice (<ref-law>; sentenza 5A_782/2020 del 23 agosto 2021 consid. 5.2 con riferimenti), non poteva far sorgere dubbi sulla soglia necessaria per l'appello, giacché l'importo di fr. 10'000.-- previsto dall'<ref-law> è chiaro e non soffre di eccezioni. In condizioni simili la Corte cantonale poteva ritenere una negligenza grossolana del rappresentante professionalmente qualificato atta a giustificare il rifiuto di convertire il rimedio giuridico in questione senza incorrere in un formalismo eccessivo.
5.2.4. Riguardo al comportamento della Corte cantonale prima dell'emanazione della decisione, il ricorrente non poteva fare affidamento nella sua intima convinzione su una conversione del suo reclamo in un appello. Certo, la II Camera civile del Tribunale di appello ha assegnato all'opponente un termine per rispondere al mezzo di impugnazione introdotto dal ricorrente e per proporre appello incidentale conformemente agli art. 312 e 313 CPC. Tale modo di agire non ha violato il diritto federale in modo manifesto: essendo il valore litigioso della controversia superiore a fr. 10'000.--, il rimedio di diritto andava notificato alla controparte con l'invito a presentare le proprie osservazioni scritte (<ref-law>) e con l'avvertenza che era possibile introdurre un appello incidentale (<ref-law>). Non si misconosce che il rimedio era denominato " reclamo "e che una conversione poteva apparire d'acchito improponibile con la conseguenza che il mezzo di impugnazione poteva anche non essere intimato per osservazioni. In concreto, tuttavia, non si era confrontati con una rappresentanza professionale garantita da un avvocato, in relazione alla quale il Tribunale federale si era già espresso in più occasioni e in svariati ambiti (cfr. sentenza 5A_221/2018 del 4 giugno 2018consid. 3; <ref-ruling> consid. 1.1.4 in fine; <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 3d; <ref-ruling> consid. 3, citate nella recente sentenza 5A_953/2020 del 9 agosto 2021 consid. 3.4.3), bensì con una rappresentanza professionale offerta da un sindacato in virtù dell'art. 68 cpv. 2 let. d CPC. Riguardo a eventuali errori commessi da un sindacato nell'introduzione di un rimedio di diritto, non vi era una giurisprudenza specifica, men che meno pubblicata. In simili condizioni il comportamento della Corte cantonale non era ancora tale da poter destare nel ricorrente un legittimo affidamento a che essa trattasse il suo rimedio quale appello, né essa ha agito in modo contrario alla buona fede. Su questo punto, pertanto, il ricorso è da respingere.
5.2.5. Così stando le cose non occorre esaminare le critiche dirette contro la motivazione abbondanziale della Corte cantonale, secondo cui il gravame sarebbe pure stato inammissibile a causa della sua carente motivazione (<ref-ruling> consid. 2.4, con rinvii).
6.
Il ricorrente contesta il giudizio impugnato con riferimento alle ripetibili accordate alla controparte, perché la Corte cantonale avrebbe dovuto entrare nel merito del gravame e perché i costi di rappresentanza dell'opponente sarebbero stati inutilmente cagionati dalla Corte cantonale che le ha assegnato un termine per rispondere.
Le critiche si esauriscono in un'apodittica e generica contestazione di quanto stabilito dai Giudici cantonali e non soddisfano le esigenze di motivazione degli art. 42 cpv. 2 e 106 cpv. 2 LTF. Inoltre, secondo l'<ref-law> gli atti scritti devono contenere tra l'altro le conclusioni. Se la controversia riguarda una somma di denaro, questa deve essere quantificata, esigenza che vale anche per la contestazione delle spese ripetibili cantonali (<ref-ruling> consid. 1.2 con riferimenti). Nella fattispecie il ricorrente non propone alcuna modifica del dispositivo sulle spese ripetibili contenuto nella decisione impugnata, né dalla motivazione del suo gravame si desume come debba essere riformata la decisione impugnata. Carente di motivazione, il ricorso è in proposito inammissibile.
7.
In conclusione il ricorso sussidiario, nella misura in cui si rivela ammissibile, si palesa infondato e come tale va respinto. Le spese giudiziarie e le ripetibili seguono la soccombenza (art. 65 cpv. 4 lett. c, 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 LTF).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso in materia civile è inammissibile.
2.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso sussidiario in materia costituzionale è respinto.
3.
Le spese giudiziarie di fr. 700.-- sono poste a carico del ricorrente.
4.
Il ricorrente verserà all'opponente la somma di fr. 1'800.-- a titolo di ripetibili per la procedura innanzi al Tribunale federale.
5.
Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.