Erwägungen:
1.
A._ erhob gegen die Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich vom 16. Mai 2018 Beschwerde und beantragte dabei u.a., es sei ihm ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich wies mit Verfügung vom 4. Juni 2018 das Gesuch um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes ab und forderte A._ auf, innerhalb einer einmaligen, nicht erstreckbaren Nachfrist von fünf Tagen die Beschwerdeschrift zu verbessern, ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten werde. Zur Begründung führte die III. Strafkammer zusammenfassend aus, dass der Beschwerdeführer zur Wahrung seiner Interessen im vorliegenden Verfahren keinen Rechtsvertreter benötige. Ausserdem sei nicht ersichtlich, über welche Zivilansprüche im vorliegenden Strafverfahren adhäsionsweise befunden werden könnte.
2.
Mit Eingabe vom 6. Juli 2018 führt A._ Beschwerde in Strafsachen gegen die Verfügung der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Der Beschwerdeführer führt aus, die Eingabe sei "vorderhand nicht als eigentliche Beschwerde entgegen zu nehmen". Er wolle zuerst die weitere Entwicklung abwarten. Da die Eingabe, wie nachfolgende Ausführungen ergeben, den gesetzlichen Formerfordernissen von <ref-law> nicht zu genügen vermag und eine Beschwerdeergänzung aufgrund der abgelaufenen Beschwerdefrist nicht mehr möglich ist, kann sofort über die vorliegende Beschwerde entschieden werden.
4.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
5.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Ausführungen der III. Strafkammer nicht auseinander und vermag nicht ansatzweise aufzuzeigen, inwiefern ihm die III. Strafkammer in rechts- bzw. verfassungswidriger Weise die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes verweigert haben sollte. Er legt nicht dar, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer bzw. deren Verfügung selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein sollte. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
6.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juli 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli