Faits :
A.
A._ et B._ sont les parents de C._ (2007), D._ (2012) et E._ (2013).
Par décision du 4 juin 2014, la Justice de paix de l'Ouest lausannois a retiré le droit de garde des parents sur leurs enfants, désigné le Service de protection de la jeunesse (ci-après: SPJ) en qualité de gardien de ceux-ci, fixé un droit de visite surveillé par l'intermédiaire de Point rencontre et laissé d'autres visites à l'appréciation du SPJ.
Par décision du 18 juillet 2017, confirmée par arrêt de la Chambre des curatelles du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: Chambre des curatelles) du 17 novembre 2017, la Justice de paix du district susmentionné a notamment prononcé le retrait de l'autorité parentale, au sens de l'<ref-law>, des parents sur les enfants, institué en conséquence une tutelle au sens des art. 311 et 327a CC en faveur de ceux-ci, nommé la tutrice des enfants et réglé les relations personnelles entre la mère et ceux-ci.
Par décision du 23 novembre 2018, la Justice de paix du district du Jura-Nord vaudois (ci-après: la Justice de paix) a accepté en son for le transfert de la tutelle en faveur des enfants D._ et E._, lesquels étaient domiciliés depuis le 15 décembre 2017 au foyer F._ à U._.
Par courrier à la Justice de paix du 5 juillet 2019, la mère a, par l'intermédiaire de Me Benjamin Schwab, sollicité l'octroi de l'assistance judiciaire afin de voir ses intérêts défendus face aux lourdes mesures mises en place concernant ses enfants et, le cas échéant, que la situation puisse être revue, se tenant à disposition de l'autorité pour produire, le cas échéant, tous les renseignements utiles la concernant.
Par courrier du 19 juillet 2019, le Juge de paix, sans rendre de décision relative à l'octroi ou non de l'assistance judiciaire, a invité Me Schwab à consulter les dossiers relatifs aux enfants de sa mandante afin de pouvoir lui adresser des " déterminations le moment venu ". Selon le procès-verbal des opérations, le dossier a été consulté le 30 juillet 2019.
Par courrier du 17 mars 2020, la mère a à nouveau requis l'assistance judiciaire dans l'optique d'un réexamen des mesures qui portaient atteinte de manière significative à ses rapports avec les enfants. Son conseil précisait qu'afin de procéder de manière opportune, certaines démarches nécessaires devraient être entreprises, à commencer par la consultation du dossier et sa copie, et qu'au vu du volume et de la complexité de celui-ci, il ne lui serait pas possible de prendre connaissance des derniers développements et de conseiller efficacement sa mandante sans l'octroi d'une telle assistance.
B.
B.a. Par courrier du 19 juin 2020, le Juge de paix a informé Me Benjamin Schwab qu'il n'y avait pour l'heure pas d'enquête pendante et qu'en l'absence de tout procédé déposé par lui, il ne lui paraissait pas qu'il y avait matière à ouvrir, en l'état, un dossier d'assistance judiciaire.
Par courrier du 25 juin 2020, au contenu identique à celui du 17 mars 2020, la mère a à nouveau requis le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Par courrier du 4 août 2020, la mère a sollicité une décision formelle sur l'octroi de l'assistance judiciaire avec, le cas échéant, indication des voies de droit, offrant encore de prouver tous les renseignements jugés utiles et nécessaires à la reddition de celle-ci.
Par courrier du 9 septembre 2020, la mère a requis de l'autorité qu'elle lui indique dans quel délai elle pouvait s'attendre à ce qu'une décision soit rendue, indiquant qu'en l'absence de décision d'ici au 17 septembre 2020, elle se plaindrait d'un retard injustifié.
Par courrier du 17 septembre 2020, le Juge de paix a informé la mère qu'il n'entendait pas revenir sur sa position du 19 juin 2020 et qu'il ne donnerait plus suite à d'éventuels courriers ultérieurs sur la même question.
B.b. Par acte du 13 octobre 2020, la mère a adressé à la Chambre des curatelles un recours pour retard injustifié et conclu à ce qu'un délai de dix jours dès réception de l'arrêt à intervenir soit imparti au Juge de paix pour rendre une décision lui accordant l'assistance judiciaire, avec effet au 17 mars 2020. Elle a également requis le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure de recours.
B.c. Par arrêt du 3 décembre 2020, la Chambre des curatelles a rejeté le recours ainsi que la demande d'assistance judiciaire de la recourante.
C.
Par acte du 19 janvier 2021, la mère exerce un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral. Elle conclut à la réforme de l'arrêt querellé en ce sens qu'un délai de dix jours dès réception du présent arrêt est imparti au Juge de paix pour rendre une décision d'octroi de l'assistance judiciaire en sa faveur, avec effet au 17 mars 2020, et qu'elle est mise au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure de recours devant le Tribunal cantonal, à compter du 22 septembre 2020, les frais judiciaires de deuxième instance étant laissés à la charge de l'État. Subsidiairement, elle conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle instruction et nouvelle décision dans le sens des considérants. Plus subsidiairement, elle conclut au renvoi de la cause au Juge de paix, celui-ci étant invité à rendre une décision relative à l'octroi de l'assistance judiciaire. Elle requiert également le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Des déterminations n'ont pas été requises.

Considérant en droit :
1.
Déposé en temps utile (art. 46 al. 1 let. c et 100 al. 1 LTF) et dans la forme légale (<ref-law>), par une partie ayant participé à la procédure devant l'autorité précédente et qui possède un intérêt digne de protection à l'annulation ou la modification de l'arrêt attaqué (<ref-law>), le recours est dirigé contre une décision incidente susceptible de causer un préjudice irréparable (<ref-law>; arrêts 5A_917/2020 du 12 février 2021 consid. 1.1 et la référence; 5A_721/2015 du 20 novembre 2015 consid. 1) rendue par une autorité cantonale de dernière instance ayant statué sur un recours pour retard injustifié (art. 75 al. 1 et 2 LTF en lien avec l'<ref-law>, applicable par renvoi de l'<ref-law>).
L'arrêt attaqué a pour objet le retard à statuer du premier juge sur une requête d'assistance judiciaire formée en lien avec des mesures de protection de l'enfant (<ref-law>), de sorte que la cause est de nature non pécuniaire (arrêt 5A_981/2018 du 29 janvier 2019 consid. 1). La voie du recours en matière civile est donc ouverte, de sorte que le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable (<ref-law>). Ceci étant, l'intitulé erroné d'un recours ne nuit pas à son auteur, pour autant que les conditions de recevabilité du recours qui auraient dû être interjeté soient réunies (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1.2). Les violations du droit constitutionnel qui sont en l'occurrence dénoncées dans le recours irrecevable peuvent aussi l'être dans le recours en matière civile. Le présent recours sera ainsi traité comme un recours en matière civile.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui peuvent se poser, lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2.4 et les références). Le recourant doit par conséquent discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (<ref-ruling> consid. 1.7.1; <ref-ruling> consid. 2.4 et la référence). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, le Tribunal fédéral ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été expressément invoqué et motivé de façon claire et détaillée par le recourant (" principe d'allégation ", <ref-law>; arrêt 5A_392/2021 du 20 juillet 2021 consid. 2.2).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si ceux-ci ont été constatés de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 6.7; <ref-ruling> consid. 2.2 et la référence), doit satisfaire au principe d'allégation susmentionné (<ref-law>; cf. supra consid. 2.1).
Dans le " bref rappel des faits " de son mémoire, la recourante se contente d'exposer sa propre version des faits. En tant que ces éléments s'écartent de ceux constatés dans l'arrêt querellé, ne portent pas directement sur la question de la nullité de la décision du Juge de paix (cf. <ref-ruling> consid. 3) et ne sont pas critiqués sous l'angle de l'établissement arbitraire des faits ou de l'appréciation arbitraire des preuves, il n'en sera pas tenu compte.
3.
La recourante fait grief à la cour cantonale d'avoir violé son droit d'être entendue en n'exposant pas en quoi le courrier du Juge de paix du 19 juin 2020 devait être considéré comme une décision.
3.1. Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. comprend notamment l'obligation pour l'autorité de motiver sa décision. Cette obligation est respectée lorsque le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause (<ref-ruling> consid. 3.4.1; <ref-ruling> consid. 5.2; <ref-ruling> consid. 4.3.2 et les références). L'autorité n'a pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à ceux qui, sans arbitraire, lui paraissent pertinents (ATF <ref-ruling> consid. 5.2; <ref-ruling> consid. 4.2 et les références).
3.2. En l'espèce, sur la base de la motivation de la cour cantonale, la recourante a été en mesure de contester la décision attaquée en connaissance de cause (cf. infra consid. 4). Celle-ci apparaît ainsi suffisamment motivée au regard de la jurisprudence susmentionnée (cf. supra consid. 3.1), de sorte que le grief, infondé, doit être rejeté.
Pour le surplus, le grief de la recourante se confond en réalité avec ses griefs de déni de justice formel et d'arbitraire examinés ci-après (cf. infra consid. 4).
4.
La recourante reproche à la cour cantonale d'avoir commis un déni de justice formel (art. 29 al. 1 Cst.) et considéré de manière arbitraire et contraire aux règles de la bonne foi (art. 5 al. 3 et 9 Cst.) le courrier du Juge de paix du 19 juin 2020 comme une décision sujette à recours.
4.1. La juridiction précédente a estimé qu'il ne faisait pas de doute que le Juge de paix avait rendu une décision le 19 juin 2020 au sujet de l'assistance judiciaire contre laquelle la mère pouvait former recours. Celle-ci pouvait également déposer un procédé écrit accompagné d'une requête d'assistance judiciaire. Le fait que la décision litigieuse ne contienne pas d'indication des voies de droit ne pouvait, en tant que tel, pas amener à considérer qu'il ne s'agissait pas d'une décision, d'autant que la recourante était assistée et que ce courrier était adressé à son conseil. Un examen diligent de cette correspondance aurait dû amener la recourante soit à faire recours, soit à déposer une écriture accompagnée d'une requête d'assistance judiciaire. Par ailleurs, s'agissant d'un recours fondé sur un déni de justice pour retard à statuer et non d'un recours contre une décision refusant l'octroi de l'assistance judiciaire, il n'y avait pas lieu d'examiner si les conditions de l'<ref-law> étaient remplies. Enfin, la recourante ne pouvait tirer de l'art. 39 al. 2 CDPJ/VD un droit à l'assistance judiciaire avant le dépôt de la procédure, cette disposition réglant la compétence du juge pour statuer sur la requête d'assistance judiciaire mais n'instituant pas un droit à son octroi.
4.2. La recourante soutient, en substance, que le courrier du Juge de paix du 19 juin 2020 ne pouvait raisonnablement - même par un avocat expérimenté - être considéré comme une décision sujette à recours, compte tenu des vices dont il était affecté (décision sous forme de simple lettre, emploi du verbe " paraître " dans le texte, absence d'indication des motifs, du dispositif et des voies de recours, notification par courrier A). Par ailleurs, en ne répondant dans un premier temps pas à ses nombreuses sollicitations, puis en y répondant de manière peu claire et succincte, l'autorité de première instance aurait violé les règles de la bonne foi. En tout état de cause, la confiance qu'elle avait placée " dans la forme et le fond de la lettre du Juge de paix " aurait dû être protégée, son erreur ne pouvant être qualifiée de grossière. En l'absence de décision formelle sur sa requête d'assistance judiciaire, l'autorité de première instance aurait commis un déni de justice formel en tardant, voire en refusant de statuer.
4.3.
4.3.1. L'autorité qui se refuse à statuer ou ne le fait que partiellement commet un déni de justice formel et viole l'art. 29 al. 1 Cst. (<ref-ruling> consid. 3.1). Cette disposition consacre également le principe de la célérité ou, en d'autres termes, prohibe le retard injustifié à statuer. L'autorité viole cette garantie constitutionnelle lorsqu'elle ne rend pas la décision qu'il lui incombe de prendre dans le délai prescrit par la loi ou dans un délai que la nature de l'affaire ainsi que toutes les autres circonstances font apparaître comme raisonnable (<ref-ruling> consid. 7.1et les références).
4.3.2. Selon la jurisprudence, la nullité absolue d'une décision peut être invoquée en tout temps devant toute autorité et doit être constatée d'office. Elle ne frappe que les décisions affectées des vices les plus graves, manifestes ou du moins facilement décelables; sa constatation ne doit pas mettre sérieusement en danger la sécurité du droit (<ref-ruling> consid. 7.6; <ref-ruling> consid. 4 et les références). Sauf dans les cas expressément prévus par la loi, il ne faut admettre la nullité qu'à titre exceptionnel, lorsque les circonstances sont telles que le système d'annulabilité n'offre manifestement pas la protection nécessaire (<ref-ruling> consid. 2.4; arrêt 4A_407/2017 du 20 novembre 2017 consid. 2.2.2.1).
Le respect des dispositions relatives à la notification des actes judiciaires n'est pas un but en soi. Partant, les vices de communication, y compris l'absence d'indication des voies de droit, n'entraînent pas nécessairement la nullité de l'acte judiciaire concerné. La notification irrégulière a généralement pour seule conséquence qu'elle ne doit entraîner aucun préjudice pour les parties (cf. <ref-law>). Cela signifie que le délai de recours pour attaquer l'acte notifié irrégulièrement court dès le jour où les parties ont pu en prendre connaissance, dans son dispositif et ses motifs. Dans ces cas, il faut examiner, d'après les circonstances du cas concret, si la partie intéressée a réellement été induite en erreur par l'irrégularité de la communication et a, de ce fait, subi un préjudice. Les règles de la bonne foi (<ref-law>, applicable par renvoi de l'art. 12 al. 1 LVPAE/VD [BLV 211.255]), qui fixent une limite à l'invocation d'un vice de forme, sont décisives (arrêts 5A_699/2019 du 30 mars 2020 consid. 5.1; 5A_476/2017 du 11 septembre 2017 consid. 5.1.2 et les références; 5A_120/2012 du 21 juin 2012 consid. 4.1).
4.4. En l'espèce, les griefs relatifs à l'absence de motivation et de dispositif de la décision du Juge de paix doivent être rejetés. En effet, s'il est vrai que tant la formulation que la forme du courrier du 19 juin 2020 peuvent prêter à discussion, on comprend toutefois de celui-ci que le Juge de paix a refusé d'entrer en matière au motif que la demande était prématurée. La recourante a d'ailleurs saisi le sens et la portée de ce courrier, puisque le présent recours contient des griefs relatifs à son bien-fondé (cf. infra consid. 5).
Les critiques de la recourante concernant l'irrégularité de la communication de l'acte en cause et l'absence d'indication des voies de recours ne portent pas non plus. En effet, il est constant que le courrier litigieux est bien parvenu au conseil de la recourante. Par ailleurs, en tant qu' " avocat expérimenté ", celui-ci pouvait raisonnablement comprendre que le Juge de paix apportait une réponse à la requête d'assistance judiciaire qui influençait la situation de sa mandante. Dans ces circonstances, on pouvait attendre de lui qu'il ne se limite pas à interpeller à nouveau le Juge de paix, mais saisisse également l'autorité de recours. La recourante ne saurait dès lors se prévaloir de bonne foi des vices de forme précités.
Infondés, les griefs de la recourante doivent être rejetés.
5.
La recourante soulève également des griefs de formalisme excessif (art. 21 [sic] al. 1 Cst.), de violation de l'<ref-law> et d'atteinte à sa vie privée et familiale (art. 13 Cst.). Autant que recevables (cf. supra consid. 2.1), ces griefs ont toutefois trait à l'octroi ou non de l'assistance judiciaire et sortent du cadre du présent recours portant sur la question du déni de justice, respectivement du retard injustifié à statuer, étant relevé qu'on ne saurait se servir du recours pour retard injustifié, qui peut être interjeté en tout temps (<ref-law>, applicable par renvoi de l'<ref-law>), pour contourner les règles relatives aux délais de recours.
Quoi qu'il en soit, dès lors que le Juge de paix n'est pas entré en matière sur la demande d'assistance judiciaire, il est loisible à la recourante de lui adresser une nouvelle demande (arrêt 4A_151/2013 du 3 juin 2013 consid. 4.3; cf. ég., sur la requête d'assistance judiciaire avant la litispendance, arrêts 4A_492/2020 du 19 janvier 2021 consid. 4.3; 4A_272/2017 du 1er septembre 2017 consid. 4.2-4.4).
6.
La recourante conclut également à ce qu'elle soit mise au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure de recours devant le Tribunal cantonal, à compter du 22 septembre 2020. Elle n'émet toutefois aucune critique à cet égard dans son recours, de sorte qu'il n'y a pas lieu d'examiner ce point (cf. supra consid. 2.1).
7.
En conclusion, le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité. La requête d'assistance judiciaire pour la procédure fédérale ne saurait être agréée, dès lors que le recours était d'emblée dénué de chances de succès (<ref-law>). Les frais judiciaires sont mis à la charge de la recourante, qui succombe (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire de la recourante est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre des curatelles du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 26 août 2021
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Feinberg