Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1969 geborene B._ arbeitete vom 1. Februar 2008 bis 31. Oktober 2009 als Betriebsmitarbeiter bei der A._ AG und war dadurch bei der Pensionskasse A._ für die berufliche Vorsorge versichert. Während dieser Zeit erlitt der Versicherte am 27. Januar 2009 einen Hirninfarkt. Vom 9. November 2009 bis 22. Mai 2011 bezog B._ Taggelder der Arbeitslosenversicherung und war dadurch bei der Stiftung Auffangeinrichtung BVG vorsorgeversichert. Im Oktober 2010 meldete er sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Im Anschluss an mehrere Eingliederungsmassnahmen fand der Versicherte ab 14. Januar 2013 eine Anstellung bei der C._ AG in einem Pensum von 100 %. Dadurch war er bei der Sammelstiftung Vita für die berufliche Vorsorge versichert. Mit Verfügung vom 10. Juni 2013 stellte die IV-Stelle des Kantons Aargau einen rentenausschliessenden Invaliditätsgrad von 16 % fest und wies das Rentenbegehren des Versicherten ab.
A.b. Im September 2014 wurde beim Versicherten eine Neuroborreliose festgestellt. Die C._ AG reduzierte sein Arbeitspensum ab dem 1. April 2015 auf 50 %. Am 19. Februar 2015 meldete sich B._ erneut bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle sprach ihm mit Verfügung vom 23. Februar 2017 ab dem 1. September 2015 eine halbe Invalidenrente zu (Invaliditätsgrad: 51 %). Auf die von der Sammelstiftung Vita dagegen erhobene Beschwerde trat das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 17. August 2017 mangels Beschwerdelegitimation nicht ein.
A.c. Mit Schreiben vom 23. Oktober 2017 und 6. November 2017 verneinte die Sammelstiftung Vita eine Leistungspflicht aus dem Vorsorgeverhältnis mit dem Versicherten. Ebenso verneinte die Pensionskasse A._ mit Mitteilung vom 2. Mai 2019 eine Leistungspflicht.
B.
B._ erhob am 23. Mai 2019 Klage gegen die Pensionskasse A._, die Sammelstiftung Vita sowie gegen die Stiftung Auffangeinrichtung BVG und beantragte gestützt auf die Verfügung der IV-Stelle vom 23. Februar 2017 Leistungen aus der beruflichen Vorsorge.
Mit Entscheid vom 22. September 2020 hiess das Versicherungsgericht des Kantons Aargau die Klage teilweise gut. Es verpflichtete die Pensionskasse A._, dem Versicherten ab dem 1. September 2015 eine nach den gesetzlichen und reglementarischen Bestimmungen festzulegende Invalidenrente basierend auf einem Invaliditätsgrad von 51 % nebst einem Verzugszins von 1 % ab dem 22. Mai 2019 für die jeweils fälligen Rentenbetreffnisse auszurichten. Im Übrigen wies es die Klage ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die Pensionskasse A._ die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sowie die Abweisung der Klage gegen sie.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.2. Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist. Eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung weist damit die Tragweite von Willkür auf. Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erscheint. Eine Sachverhaltsfeststellung ist etwa dann offensichtlich unrichtig, wenn das kantonale Gericht den Sinn und die Tragweite eines Beweismittels offensichtlich falsch eingeschätzt, ohne sachlichen Grund ein wichtiges und für den Ausgang des Verfahrens entscheidendes Beweismittel nicht beachtet oder aus den abgenommenen Beweisen unhaltbare Schlüsse gezogen hat (<ref-ruling> E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen; Urteil 9C_752/2018 vom 12. April 2019 E. 1.2).
2.
2.1. Das kantonale Gericht gab die gesetzlichen Bestimmungen über den Anspruch auf eine Invalidenrente aus der beruflichen Vorsorge und deren Beginn (Art. 23 und 26 Abs. 1 BVG) sowie die hierzu ergangene Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 3.1 S. 68 mit Hinweisen) zutreffend wieder. Gleiches gilt für die Grundsätze zur Frage der Verbindlichkeit eines Entscheides einer IV-Stelle für eine Einrichtung der beruflichen Vorsorge (<ref-ruling> E. 2.2 S. 437; <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 69). Darauf wird verwiesen.
2.2. Ebenfalls korrekt führte die Vorinstanz aus, dass der Anspruch auf Invalidenleistungen aus beruflicher Vorsorge einen engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhang zwischen der während andauerndem Vorsorgeverhältnis (einschliesslich Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG) bestandenen Arbeitsunfähigkeit und der allenfalls erst später eingetretenen Invalidität voraussetzt. Der sachliche Konnex ist gegeben, wenn der Gesundheitsschaden, der zur Arbeitsunfähigkeit geführt hat, im Wesentlichen derselbe ist, wie er der Erwerbsunfähigkeit zugrunde liegt. Die Annahme eines engen zeitlichen Zusammenhangs setzt voraus, dass die versicherte Person nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, nicht während längerer Zeit wieder arbeitsfähig war (<ref-ruling> E. 3.2 und 3.2.1 S. 22). Eine Unterbrechung des zeitlichen Konnexes ist dann anzunehmen, wenn während mehr als dreier Monate eine Arbeitsfähigkeit von über 80 % in einer angepassten Erwerbstätigkeit gegeben ist (<ref-ruling> E. 4.5 S. 63; Urteil 9C_100/2018 vom 21. Juni 2018 E. 2.2).
3.
3.1. Die IV-Stelle setzte den Beginn der Wartezeit nach <ref-law> in der Verfügung vom 23. Februar 2017 auf den September 2014 fest. Das kantonale Gericht verneinte eine diesbezügliche Bindung für alle drei eingeklagten Vorsorgeeinrichtungen und prüfte deren Leistungspflicht frei. Es stellte fest, dass der Beschwerdegegner nach dem am 27. Januar 2009 erlittenen Hirninfarkt infolge neurologischer Defizite andauernd massgeblich in seiner Leistungsfähigkeit eingeschränkt gewesen sei. Zwar sei mit der Neuroborreliose eine zusätzliche Krankheit (respektive Unfall) aufgetreten; die (bereits bei Stellenantritt eingeschränkte) Leistungsfähigkeit des Beschwerdegegners bei der C._ AG habe sich jedoch bereits vor der Neuroborreliose weiter reduziert. Folglich bejahte es den sachlichen Konnex zwischen der früheren Arbeitsunfähigkeit und der später eingetretenen Invalidität. Weiter erkannte die Vorinstanz, mit dem Beweismass der überwiegenden Wahrscheinlichkeit sei davon auszugehen, dass die Leistungsfähigkeit des Beschwerdegegners seit dem Hirninfarkt am 27. Januar 2009 und insbesondere auch während des Bezugs der Arbeitslosentaggelder sowie während der Tätigkeit bei der C._ AG nie mehr als 80 % betragen habe. Das kantonale Gericht erachtete den zeitlichen Zusammenhang zwischen der während des Vorsorgeverhältnisses mit der Beschwerdeführerin eingetretenen Arbeitsunfähigkeit zur Invalidität ab 1. September 2015 somit nicht als unterbrochen, weshalb sie die Leistungspflicht der Beschwerdeführerin bejahte.
3.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Sammelstiftung Vita sei an die Verfügung der IV-Stelle vom 23. Februar 2017 in Bezug auf den Eintritt der relevanten Arbeitsunfähigkeit im September 2014 - und somit während der Versicherungszeit des Beschwerdegegners bei der Sammelstiftung Vita - gebunden, weshalb die Beschwerdeführerin keine Leistungspflicht treffe. Darüber hinaus stellt sie den von der Vorinstanz festgehaltenen zeitlichen Zusammenhang zwischen der 2009 eingetretenen Arbeitsunfähigkeit und der späteren Invalidität in Abrede.
4.
4.1. Bei der Anmeldung des Beschwerdegegners zum Leistungsbezug bei der Invalidenversicherung im Februar 2015 handelte es sich um eine Neuanmeldung. Die umfassende Neuprüfung infolge der Verschlechterung des Gesundheitszustandes, die gemäss IV-Stelle im September 2014 eingetreten sei, beschlägt den allenfalls geänderten resp. neu entstandenen Rentenanspruch; der Rentenanspruch oder die Arbeits (un) fähigkeit im ursprünglich beurteilten - hier mit Erlass der Verfügung vom 10. Juni 2013 beendeten - Zeitraum war in diesem Zusammenhang nicht erneut zu überprüfen. Wie die Vorinstanz folglich zu Recht zum Schluss kam, hatte die IV-Stelle keinen Anlass dazu, Feststellungen zu einer allfälligen Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdegegners zu einem Zeitpunkt zu treffen, der länger als sechs Monate vor seiner Anmeldung im Februar 2015 und damit vor August 2014 lag. Denn aufgrund der Anmeldung bei der Invalidenversicherung im Februar 2015 konnte der Rentenanspruch gemäss <ref-law> frühestens im August 2015 entstehen (sofern in diesem Zeitpunkt die Wartezeit nach <ref-law> erfüllt war).
So äusserte sich die IV-Stelle denn auch nicht zu einer möglichen Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf im Umfang von mindestens 20 %, wie das kantonale Gericht nicht offensichtlich unrichtig feststellte. Soweit die Beschwerdeführerin vorbringt, die IV-Stelle sei bis September 2014 von einer Arbeitsfähigkeit von 100 % ausgegangen, so bezog sich diese Aussage im Übrigen klar auf eine angepasste Tätigkeit.
4.2. Mithin verletzte das kantonale Gericht kein Bundesrecht, wenn es zum Schluss kam, dass die Verfügung vom 23. Februar 2017 in Bezug auf den Eintritt einer Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf keine Bindungswirkung für eine der eingeklagten Vorsorgeeinrichtungen entfalte.
5.
5.1. Es steht fest (E. 1.1 oben), dass der Beschwerdegegner aufgrund des am 27. Januar 2009 erlittenen Hirninfarktes massgeblich in seiner Leistungsfähigkeit eingeschränkt war. Im Anschluss an das von der A._ AG gekündigte Arbeitsverhältnis war er eineinhalb Jahre arbeitslos. Dazu hielt das kantonale Gericht fest, dass seine Leistungsfähigkeit während des Bezugs der Arbeitslosentaggelder (vom 9. November 2009 bis 22. Mai 2011) nie mehr als 80 % betragen habe. Diese Tatsache wird nicht bestritten, weshalb auch sie für das Bundesgericht verbindlich ist (E. 1.1 oben). Gemäss vorinstanzlichem Entscheid bezifferte im weiteren Verlauf die Stiftung D._, die mit der Durchführung der beruflichen Massnahmen befasst war, die Leistungsfähigkeit des Beschwerdegegners im Rahmen einer leichten Arbeit als Hilfskraft in der Montage mit 70 bis 80 % (Bericht vom 23. Januar 2012), was von der Beschwerdeführerin ebenfalls nicht in Frage gestellt wird.
5.2. Sie macht jedoch geltend, dass der Beschwerdegegner zumindest von Januar 2013 bis Mai 2014 in einem Vollpensum praktisch voll arbeitsfähig gewesen sei und damit während über 16 Monaten von einer Arbeits- und Leistungsfähigkeit von über 80 % ausgegangen werden müsse.
5.2.1. Die C._ AG stellte den Beschwerdegegner nach einem bei ihr absolvierten Arbeitsversuch vom 16. Juli 2012 bis 11. Januar 2013 ab 14. Januar 2013 in einem Pensum von 100 % an. Das kantonale Gericht kam in Anlehnung an den Abschlussbericht Integration vom 23. April 2013 zum Ergebnis, dass es sich bei der C._ AG um eine dem Beschwerdegegner wohlgesonnene und geduldige Arbeitgeberin handle. So war ihr laut ihrem Schreiben an die IV-Stelle vom 2. Mai 2014 bereits bei der Einstellung des Beschwerdegegners bekannt, dass dieser lediglich eine Arbeitsleistung von ca. 80 % erbringen konnte. Die Arbeitgeberin berichtete, sie sei davon ausgegangen, dass sich die Arbeitsfähigkeit bei der Festanstellung noch verbessern werde. Nach über einem Jahr habe sie jedoch bemerken müssen, dass die Arbeitsleistung gar markant gesunken sei. Diese liege heute bei ca. 50 %. Das kantonale Gericht erachtete die Meldung des weiteren Leistungsabfalls des Beschwerdegegners durch die Arbeitgeberin erst knapp 16 Monate nach dem Stellenantritt insofern als schlüssig, als diese den Beschwerdegegner nach einer beruflichen Massnahme in ihrem Betrieb angestellt hatte und so über seine bisherigen Leistungseinschränkungen schon vor dem Leistungsabfall im Bilde war.
Die Vorinstanz stellte fest, angesichts der sozialen Bestrebungen der C._ AG sei die Anstellung des Beschwerdegegners ab Januar 2013 in einem 100 %-Pensum in Bezug auf seine tatsächliche Leistungsfähigkeit wenig aussagekräftig.
5.2.2. Soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, die in Anlehnung an den Bericht der C._ AG getroffene Annahme der Vorinstanz, der Beschwerdegegner sei seit Januar 2013 höchstens 80 % arbeitsfähig gewesen, sei offensichtlich unrichtig, denn ca. 80 % könne auch über 80 % bedeuten, kann sie nichts zu ihren Gunsten ableiten. Es ist daran zu erinnern, dass noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vorliegt, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erscheint (E. 1.2 oben). Wenn die Vorinstanz gestützt auf die Aussage der Arbeitgeberin, der Beschwerdegegner sei ca. 80 % leistungsfähig, auf eine Leistungsfähigkeit von 80 % schliesst, kann von offensichtlicher Unrichtigkeit keine Rede sein.
5.2.3. Die Beschwerdeführerin verweist auf den in der Verfügung der IV-Stelle vom 23. Februar 2017 festgehaltenen Eintritt der Arbeitsunfähigkeit im September 2014. Wie bereits in Erwägung 4.1 ausgeführt, hatte die IV-Stelle keinen Anlass dazu, Feststellungen zu einer allfälligen Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdegegners zu einem Zeitpunkt zu treffen, der länger als sechs Monate vor seiner Anmeldung im Februar 2015 und damit vor August 2014 lag, weshalb diese Rüge der Beschwerdeführerin ins Leere zielt. Dies gilt auch für ihr Vorbringen, gemäss Verfügung der IV-Stelle vom 10. Juni 2013 habe lediglich ein Invaliditätsgrad von 16 % vorgelegen. Einerseits erwog das kantonale Gericht, dass diese Verfügung vom 10. Juni 2013 keine Bindungswirkung entfalte, was die Beschwerdeführerin nicht in Zweifel zieht. Anderseits ist die Tatsache, dass der Beschwerdegegner bei der C._ AG in einem Pensum von 100 % angestellt war, was in die Verfügung der IV-Stelle vom 10. Juni 2013 einfloss, unbestritten. Dies allein vermag jedoch nicht dazu zu führen, dass die vorinstanzliche Feststellung, die sich auf eine Aussage der Arbeitgeberin zur Leistungsfähigkeit des Beschwerdegegners bezieht, offensichtlich unrichtig ist.
5.2.4. Die Vorinstanz erkannte, die Ausführungen der ZIMB-Experten (Zentrum für Interdisziplinäre Medizinische Begutachtungen AG) in ihrem Gutachten vom 22. Juli 2016, wonach der Beschwerdegegner vor der Neuroborreliose offensichtlich nicht in seiner Arbeitsfähigkeit eingeschränkt gewesen sei, seien weder schlüssig noch nachvollziehbar. So hätten sowohl Dr. med. E._, Facharzt für Neurologie (Bericht vom 25. August 2016), wie auch Dr. med. F._, Fachärztin für Neurologie (Expertise der asim [Academy of Swiss Insurance Medicine], Universitätsspital Basel, vom 24. September 2018), davon berichtet, dass der Beschwerdegegner bereits vor der im September 2014 erlittenen Neuroborreliose residuelle Einschränkungen aufgewiesen habe, die gemäss Dr. med. F._ auf den Hirninfarkt im Jahr 2009 zurückzuführen seien. Entgegen der Beschwerdeführerin berücksichtigte die Vorinstanz mithin das Gutachten des ZIMB im Rahmen der Beweiswürdigung. Soweit die Beschwerdeführerin vorbringt, die Berichte von Dr. med. E._ und Dr. med. F._ würden nicht gegen den Schluss sprechen, dass von Januar 2013 bis Mai 2014 eine annähernd vollständige Arbeits- und Leistungsfähigkeit bestanden habe, vermag sie damit keine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung durch das kantonale Gericht aufzuzeigen.
Auch die Aussage des Beschwerdegegners im Rahmen der Begutachtung durch das ZIMB, wonach er die Festanstellung bekommen habe, weil er für die C._ AG eine Entlastung erbringen könne, lässt die vorinstanzlichen Feststellungen nicht erschüttern; kann er dem Betrieb doch auch mit einer reduzierten Leistungsfähigkeit eine Entlastung bieten.
5.3. Unter den genannten Gegebenheiten (E. 5.1 und 5.2) ist es nicht willkürlich, wenn das kantonale Gericht davon ausging, dass die Leistungsfähigkeit des Beschwerdegegners seit dem Hirninfarkt am 27. Januar 2009 nie mehr als 80 % betragen habe. Überdies verletzte es kein Bundesrecht, wenn es den zeitlichen Zusammenhang zwischen der während des Vorsorgeverhältnisses mit der Beschwerdeführerin eingetretenen Arbeitsunfähigkeit zur Invalidität ab 1. September 2015 als nicht unterbrochen erachtete. Die Beschwerde ist unbegründet.
6.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Sammelsftiftung Vita, der Stiftung Auffangeinrichtung BVG, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. Februar 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Huber