Faits :
A.
A.a. A._ était propriétaire d'une importante collection d'art dont les pièces majeures étaient exposées dans sa maison de... (GE), sous alarme, et dans le jardin. Une partie était stockée dans une remise dépourvue d'alarme jouxtant le garage. Un grand portail haut d'un mètre huitante permettait d'accéder à la propriété; il était surplombé par une caméra de surveillance.
Le 28 juin 2005, le prénommé (l'assuré) a souscrit auprès de Z._ SA (ci-après: la compagnie d'assurances) une police d'assurance "Art privé" couvrant le vol jusqu'à 5'000'000 fr. par événement. Les objets d'art assurés étaient recensés dans une liste précisant pour chacun d'eux la "valeur agréée" qui devait être remboursée à l'assuré en cas de sinistre.
A.b. Le 5 avril 2007, l'assuré est parti en vacances à Palma de Majorque en Espagne. Il devait y séjourner jusqu'au 21 avril 2007.
Son majordome qui logeait habituellement dans la propriété était en congé du 4 au 16 avril 2007. L'entreprise de surveillance S._ SA devait effectuer des rondes de nuit.
Le 11 avril 2007, l'assuré a demandé à une personne de confiance de se rendre chez lui. L'intéressée a trouvé la porte du garage grande ouverte et en a avisé l'assuré. Elle n'a rien constaté d'anormal mais n'a pu accéder à la remise contiguë au garage qui était obstruée par des sacs de jardinage.
Le 12 avril 2007, l'assuré a demandé à sa secrétaire de contrôler la remise. Elle a constaté que la porte avait été fracturée, qu'un des deux cylindres manquait et que l'autre avait été endommagé. Les étagères censées contenir la collection d'art africain avaient été vidées. Il subsistait un carton vide portant l'inscription "photos ".
A.c. L'assuré a porté plainte pénale le 12 avril 2007 et annoncé le vol à la compagnie d'assurances le jour suivant, en déplorant la disparition d'une centaine de statuettes d'art africain.
Le Ministère public genevois a classé la procédure le 15 février 2008.
A.d. Le 27 février 2008, l'assuré s'est rendu à Paris auprès de E1._, expert reconnu en art africain qui avait estimé plus d'une centaine de ses sculptures. Dans son cabinet se trouvaient plusieurs cartons contenant des objets d'art qu'un dénommé M._ avait confiés à l'expert pour qu'il procède à leur estimation et leur vente. L'assuré a reconnu trois objets qui lui avaient été volés.
A.e. La police française a arrêté M._ le 6 mars 2008 et l'a mis en examen pour recel en état de récidive. Celui-ci a livré plusieurs versions des faits au cours de la procédure pénale française et des commissions rogatoires diligentées par la Suisse.
Alors qu'il était entendu les 29 avril et 9 septembre 2008 par la juge d'instruction française, il a expliqué qu'un ami de longue date dénommé N._ lui avait vendu une centaine de pièces d'art africain pour 15'000 euros. Il ne connaissait pas l'origine frauduleuse des pièces et n'imaginait pas que son ami ait pu le trahir en lui vendant des pièces volées.
N._ venait d'être assassiné le 7 avril 2008.
En septembre 2008, l'assuré s'est plaint auprès de la magistrate française d'appels téléphoniques émanant prétendument de l'avocat du détenu, qui disait posséder la clé du petit portail ayant permis d'accéder dans sa propriété genevoise et l'informait que son client modifierait sa version des faits si l'assuré ne retirait pas sa plainte pénale.
Lors d'un nouvel interrogatoire le 30 septembre 2008, M._ a fait les révélations suivantes:
- Il s'était rendu en Suisse à trois reprises avec N._, entre octobre 2006 et mars 2007. Lors de la première venue en Suisse, N._ lui avait dit qu'un proche voulait organiser une escroquerie à l'assurance. M._ avait fait la connaissance de l'assuré, qui les attendait dans une voiture Twingo de couleur foncée, munie de trois portes. L'assuré avait plus de 70 ans, mesurait environ un mètre septante, portait des lunettes, avait un ventre bedonnant et des cheveux blancs légèrement dégarnis. Il conduisait très mal, voire dangereusement. Il se disait fragile depuis le décès de son épouse quelques années auparavant. Il s'était présenté comme l'inventeur de... [invention], ajoutant que sa situation financière était beaucoup moins prospère qu'auparavant: il s'était fait escroquer de nombreuses fois et copier, raison pour laquelle il envisageait cette escroquerie à l'assurance. Dans l'entrepôt de l'assuré se trouvaient des caisses en bois contenant les moules ayant servi à fabriquer [l'invention]. Ils avaient compté une centaine de pièces d'art. M._ avait expliqué à l'assuré qu'il ne toucherait aucune somme des assureurs car il n'y avait pas de système d'alarme dans son entrepôt, mais l'intéressé n'était pas du même avis. Il avait recommandé aux deux acolytes de détruire ou de vendre les oeuvres, mais d'attendre au moins huit mois, le temps qu'il touche l'argent de l'assurance.
- L'assuré leur avait expliqué que les enregistrements de la caméra de surveillance n'étaient pas conservés; au bout de quelques heures, les données étaient effacées et l'enregistrement se poursuivait sur la même bande. Il avait remis à N._ une clé destinée à ouvrir le petit portail situé à côté de l'entrée des voitures.
- M._ jugeait possible de récupérer cette clé que N._ affirmait avoir conservée.
- Le faux cambriolage aurait dû avoir lieu entre le 25 et le 31 décembre 2006, pendant que l'assuré serait en vacances et son majordome en visite dans son pays (le Pakistan ou l'Inde). Finalement, celui-ci n'avait pas pu partir. Le faux cambriolage avait été repoussé au lundi de Pâques 9 avril 2007. M._ n'y avait pas participé car il ne voulait prendre aucun risque. En revanche, il était d'accord d'acheter les pièces. Le forfait avait eu lieu entre 7 h 00 et 7 h 15. La société S._ SA devait passer à la villa entre 6 h 30 et 7 h 00 au plus tard, raison pour laquelle l'assuré avait demandé à N._ de ne pas intervenir avant 7 h 00.
- M._ avait ensuite rencontré N._ à Paris, qui lui avait confirmé la survenance du cambriolage. Il avait vu dans le garage une Bentley jaune paille, une Ferrari rouge des années 60, une ancienne Alfa Romeo et un break BMW.
A.f. Le 31 octobre 2008, la juge d'instruction française a reçu un courrier d'un tiers non identifié contenant une clé "ayant servi à perpétrer le vol simulé le lundi de Pâques 2007 entre 7 h 15 et 9 h 30", qui était présentée comme une copie de la clé du petit portail d'accès à la propriété de l'assuré.
A.g. Entendu par la juge d'instruction française le 19 janvier 2009 et informé des déclarations de M._, l'assuré a livré les explications suivantes:
- il s'était fait dérober en juin 2008 une sacoche contenant les clés de sa propriété, ce qui l'avait conduit à changer les serrures de son domicile. Il avait conservé l'ancienne clé servant à ouvrir le petit portail, qu'il a présentée à la juge d'instruction.
Cette dernière a pu constater qu'elle coïncidait parfaitement avec la clé reçue par courrier; elle a jugé "tout à fait probable que M._ ou son ami [ait] ét[é] en possession d'une clé d'accès au jardin de [l'assuré]".
- L'assuré a nié avoir rencontré M._ et N._. Il a tout au plus concédé l'exactitude de certains renseignements fournis par le premier nommé: il était bel et bien propriétaire d'une voiture Twingo de couleur foncée et des voitures de collection décrites. Les moules de [l'invention] qu'il avait inventée étaient entreposés dans la remise. Son employé de maison était de nationalité indienne.
Il est en outre avéré que l'assuré était un mauvais conducteur, que son garage abritait les quatre autres véhicules évoqués par M._, que les images de la caméra de surveillance n'étaient pas stockées mais "écrasées" au fur et à mesure pour être remplacées par des nouvelles, et que son majordome était indien.
A.h. M._ n'a pas eu de contact avec la compagnie d'assurances avant février 2009. Le 24 avril 2009, il lui a livré le récit du faux cambriolage commandité par l'assuré. Cette version se recoupait en substance avec les déclarations précitées (let. A.g), si ce n'est que le comparse niait désormais avoir assisté aux trois rencontres avec l'assuré à son domicile genevois.
A.i. La compagnie d'assurances a refusé d'indemniser l'assuré, qui avait compris dès septembre 2007 qu'elle le soupçonnait d'être à l'origine du sinistre.
Le 14 avril 2009, l'Office des poursuites du canton de Genève a reçu une réquisition de poursuite émanant de l'assuré, datée du 8 avril 2009, réclamant 1'000'000 fr. à la compagnie d'assurances. Celle-ci a reçu un commandement de payer le 14 mai 2009, dressé par l'Office des poursuites du canton de Zurich. Elle y a fait opposition.
A.j. Par courrier du 25 mai 2009, la compagnie d'assurances a maintenu son refus d'indemniser l'assuré et déclaré, au surplus, que la créance était prescrite depuis le 13 avril 2009.
A.k. Le 7 décembre 2010, le Tribunal de Grande Instance de Paris a reconnu M._ coupable du recel de 98 objets d'art africain qu'il savait provenir d'un crime ou d'un délit commis au préjudice de l'assuré dans le courant du mois d'avril 2007. Il l'a condamné à quatre ans d'emprisonnement avec sursis partiel et a alloué un euro symbolique à l'assuré en guise de dédommagement. Les 98 objets lui ont été restitués ultérieurement.
Le Ministère public genevois, qui avait réouvert l'enquête, a classé la procédure compte tenu du décès de N._ et de la condamnation prononcée contre M._; aucun élément ne suggérait l'existence d'autres auteurs ou complices.
B.
B.a. Peu avant, soit le 12 octobre 2010, l'assuré avait assigné la compagnie d'assurances en conciliation devant le Tribunal de première instance du canton de Genève. Il a ensuite déposé une demande en paiement dont les conclusions s'élevaient en dernier lieu à 895'000 fr.
La défenderesse a soulevé l'exception de prescription.
Par décision incidente du 15 septembre 2011, le Tribunal a rejeté ce moyen qui procédait d'un abus de droit: la défenderesse avait laissé accroire qu'elle indemniserait l'assuré. La Cour de justice genevoise a annulé cette décision pour le double motif que l'abus de droit ne pouvait être retenu d'office à défaut d'allégations topiques et n'était au demeurant pas réalisé.
Le Tribunal a repris l'instruction. Il a entendu les parties et des témoins, organisé un transport sur place et ordonné l'apport des procédures pénales suisses. La procédure pénale française a été versée au dossier par l'assuré.
Le 26 juin 2018, le Tribunal a rejeté la demande en paiement en reprochant à son auteur de ne pas avoir rapporté la preuve du sinistre.
L'assuré est mort le 20 juillet 2018.
B.b. Ses héritiers, soit ses fils B._, C._et D._, ont interjeté appel auprès de la Cour de justice, sans succès. Un résumé des considérants utiles à la discussion du litige sera présenté ci-dessous (consid. 4.2 et 5.1).
C.
Les hoirs de l'assuré (ci-après: les recourants) ont interjeté un recours en matière civile au Tribunal fédéral, visant à ce que la compagnie d'assurances (l'intimée) leur paie 889'600 fr.
L'intimée a conclu au rejet du recours tandis que l'autorité précédente s'est référée à son arrêt.

Considérant en droit :
1.
L'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>) rendue en matière civile (<ref-law>) par un tribunal supérieur statuant sur recours en dernière instance cantonale (<ref-law>) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse excède largement 30'000 fr. (<ref-law>). Le recours a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prescrits. Il est dès lors recevable sur le principe, sous réserve de l'examen des griefs particuliers.
2.
2.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits retenus par l'autorité précédente (<ref-law>). Le recourant peut objecter que les faits ont été établis de façon manifestement inexacte (c'est-à-dire arbitraire selon l'art. 9 Cst.) ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>; il doit cependant cibler des éléments pertinents pour l'issue du litige (<ref-law>).
S'il entend critiquer l'appréciation des preuves, le recourant doit soulever le grief d'arbitraire (art. 9 Cst.) et expliquer de façon circonstanciée en quoi un tel vice entacherait l'appréciation portée par l'autorité précédente (principe de l'allégation, consid. 2.2 infra; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 266; <ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 255). L'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait défendable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266; <ref-ruling> consid. 4.2).
Les griefs doivent être formulés dans le mémoire de recours lui-même; un renvoi à d'autres écritures, en particulier à celles produites en instance cantonale, n'est pas admissible (<ref-ruling> consid. 3.2 i.f.; <ref-ruling> consid. 2.3). Cette précision scelle le sort du procédé des recourants consistant à renvoyer à leurs précédentes écritures.
2.2. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit fédéral (<ref-law>), qui est en principe appliqué d'office. Eu égard, toutefois, à l'exigence générale de motivation énoncée à l'<ref-law>, l'autorité de céans n'examine d'ordinaire que les griefs soulevés, sauf en cas d'erreurs juridiques manifestes (<ref-ruling> consid. 2 p. 116). En outre, la dénonciation d'une violation des droits constitutionnels doit répondre à des exigences plus strictes: le principe d'allégation impose au recourant d'indiquer quel droit constitutionnel a été violé et d'expliquer par le détail en quoi consiste la violation (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 3.2).
3.
La Cour de justice a discerné deux raisons indépendantes de rejeter la demande en paiement:
- d'une part, la prescription de l'obligation de verser les prestations convenues à raison de l'événement assuré;
- d'autre part, l'absence de preuve suffisante du vol déclaré.
Comme il se doit, les recourants contestent les deux pans de cette argumentation (<ref-ruling> consid. 2.4 i.f. p. 368), qui seront traités successivement.
4.
4.1. Il est acquis que A._ a contracté une assurance régie par la loi fédérale sur le contrat d'assurance (LCA; RS 221.229.1). Dans sa teneur antérieure au 1er janvier 2022, l'art. 46 al. 1 aLCA contenait la règle suivante sur la prescription:
"Les créances qui dérivent du contrat d'assurance se prescrivent par deux ans à dater du fait d'où naît l'obligation. [...]"
Le système de la LCA a ceci de particulier que la créance peut se prescrire avant d'être exigible (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 265).
En matière d'assurance contre le vol, le délai de prescription commence à courir dès la survenance du sinistre (<ref-ruling> consid. 7b i.f. p. 281). Il peut être interrompu aux conditions de l'<ref-law> (applicable par renvoi de l'<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.3.1), soit notamment "lorsque le créancier fait valoir ses droits par des poursuites" (art. 135 ch. 2 ab initio CO, dont la formulation précitée n'a pas été modifiée par la novelle de 2011).
Une réquisition de poursuite conforme à l'<ref-law> interrompt la prescription dès sa remise à la poste ou sa transmission électronique (<ref-ruling> consid. a p. 262; <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 2c i.f.; arrêts 5D_101/2020 du 28 mai 2020 consid. 3 et 5P.339/2000 du 13 novembre 2000 consid. 3c; PASCAL PICHONNAZ, in Commentaire romand, Code des obligations I, 3e éd. 2021, n° 12 ad <ref-law>; SABINE KOFMEL EHRENZELLER, in Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 3e éd. 2021, n° 48 ad <ref-law>; ROBERT DÄPPEN, in Basler Kommentar, Obligationenrecht I, 7e éd. 2020, nos 5d et 6 ad <ref-law>; DANIEL WUFFLI, Verjährungsunterbrechung durch Betreibung, in Die Verjährung [...], [REAS/Krauskopf éd.] 2018, p. 170 s.; GEORGES VONDER MÜHLL, Verjährungsunterbrechung durch Schuldbetreibung und Konkurs, in BlSchK 1991 2 s. et 4 i.f. -5). Une réquisition adressée à un office incompétent ratione loci interrompt aussi la prescription, pour autant que le commandement de payer soit finalement notifié au débiteur et ne soit pas annulé sur plainte (<ref-ruling> consid. 5 et 69 II 162 consid. 2b spéc. p. 175, contra ATF 57 II 462 consid. 4 i.f. p. 465; PICHONNAZ, op. cit., n° 12b ad <ref-law>; KOFMEL EHRENZELLER, op. cit., nos 6 et 48 ad <ref-law>; DÄPPEN, op. cit., n° 6a ad <ref-law>; WUFFLI, op. cit., p. 173 s.; VONDER MÜHLL, op. cit., p. 3 i.f. -4 et sous-note 11).
La prescription est interrompue à concurrence de la somme réclamée en poursuite (<ref-ruling> consid. 3.3.3 p. 283; <ref-ruling> consid. 1c).
4.2. Les juges genevois ont fait les réflexions suivantes:
- La date du vol remontait au 9 avril 2007. Le délai de prescription avait ainsi commencé à courir le 10 avril 2007 pour expirer le 9 avril 2009 (cf. <ref-law>) - sauf à avoir été valablement interrompu.
- L'assuré avait formé une réquisition de poursuite contre la compagnie d'assurances. Il importait peu qu'il l'eût adressée à un office incompétent ratione loci (Genève, alors que l'intimée était sise à Zurich), puisque l'acte avait manifestement été transmis à l'office compétent, qui avait finalement notifié un commandement de payer à la compagnie sans que cet acte ne fût ensuite annulé.
L'assuré affirmait avoir posté cette réquisition le 8 avril 2009, alors que le délai de prescription courait toujours. Il devait apporter la preuve stricte d'un tel fait. Or, il n'y était pas parvenu. Ni la date apposée sur la réquisition (8 avril 2009), ni les deux mémos et le courrier qu'avait établis l'avocat de l'assuré en les datant de ce jour-là, ni les témoignages des deux collaborateurs dudit conseil n'attestaient du fait allégué. Etait tout au plus avérée la date de réception de la réquisition par l'office genevois, soit le 14 avril 2009.
Partant, la prescription était acquise.
4.3. Les juges genevois ont respecté les préceptes rappelés ci-dessus (consid. 4.1) en faisant primer la date de l'envoi postal de la réquisition de poursuite et en n'attachant aucune importance à l'erreur commise quant à l'office de poursuite compétent ratione loci.
Les recourants contestent que le cambriolage soit survenu le 9 avril 2007: ils le situent au 11 avril 2007. Comme l'a souligné la Cour de justice, cette divergence n'influe pas sur le sort de la cause, puisqu'il faudrait encore établir que l'assuré a posté l'acte avant l'expiration de la prescription censée intervenue le 11 avril 2009 à 23 h 59 selon les recourants. Le noeud du litige se situe bien au niveau de la date d'envoi de la réquisition de poursuite. L'autorité précédente aurait versé dans l'arbitraire en refusant de retenir une remise de l'acte à la Poste Suisse le 8 avril 2009.
4.4. On relèvera au préalable que la cour cantonale était fondée à exiger le degré de preuve stricte quant à la date d'envoi de l'acte, émanant au demeurant d'un avocat qu'elle disait conscient du risque de prescription proche.
La preuve stricte suppose que le juge soit convaincu d'un fait sans aucun doute sérieux; tout au plus de légers doutes peuvent-ils subsister (cf. par ex. <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 573).
Lorsqu'elle concerne un envoi postal, ladite preuve résulte en général de preuves "préconstituées" telles que le sceau postal, le récépissé d'un envoi recommandé ou l'accusé de réception en cas de dépôt pendant les heures de bureau. En revanche, la date d'affranchissement ou le code-barres pour lettres imprimés au moyen d'une machine privée ne prouvent pas la date de remise de l'envoi à la poste. D'autres modes de preuves sont admissibles, en particulier l'attestation de la date de l'envoi par un ou plusieurs témoins mentionnés sur l'enveloppe. L'apposition de signature (s) sur l'enveloppe n'établit pas encore le dépôt en temps utile, la preuve résidant dans le témoignage du ou des signataires; aussi l'intéressé doit-il offrir cette preuve dans un délai adapté aux circonstances, en indiquant l'identité et l'adresse du ou des témoins (cf. arrêts 5A_965/2020 du 11 janvier 2021 consid. 4.2.3; 5A_972/2018 du 5 février 2019 consid. 4.1).
4.5. En l'espèce, il faut bien admettre que les recourants n'ont produit aucune preuve de cet ordre.
Certes, l'avocat de l'assuré avait daté la réquisition du 8 avril 2009 et, à en croire ses deux collaborateurs, l'étude avait pour règle d'indiquer dans ses correspondances la date d'expédition effective, quitte à modifier la date de la missive lorsqu'elle ne pouvait être postée que le lendemain.
En outre, l'avocat avait rédigé deux mémos et un courrier destiné à la compagnie d'assurances, datés du 8 avril 2009 et qui mentionnaient tous l'envoi d'une réquisition de poursuite ce jour-là.
Ceci dit, la cour cantonale pouvait conclure sans arbitraire que ces éléments n'apportaient pas la preuve stricte d'une remise à la poste le 8 avril 2009 - ni même le 11 avril 2009. En effet, les événements s'inscrivaient dans un week-end pascal, le Vendredi Saint 10 avril 2009, le dimanche de Pâques 12 avril 2009 et le lundi de Pâques 13 avril 2009 étant des jours fériés dans le canton de Genève notamment. Un courrier posté le mercredi 8 avril 2009 avec un affranchissement prioritaire (courrier A) - qu'utilisait l'étude en règle générale, selon la secrétaire de l'avocat - aurait déjà pu parvenir à l'office des poursuites le jeudi 9 avril ou le samedi 11 avril 2009 (étant entendu que l'office était très vraisemblablement fermé ce jour-là). En effet, le courrier A doit normalement être distribué le jour ouvrable suivant (plus récemment, cf. art. 29 al. 1 let. a ch. 1 de l'Ordonnance du 29 août 2012 sur la poste [OPO; RS 783.01]). On ne peut exclure que le courrier ait été déposé dans une boîte aux lettres le dimanche 12 ou lundi 13 avril 2009 - alors que la prescription était déjà échue, même en épousant la thèse des recourants -, dès lors qu'il pouvait parvenir à l'office le mardi 14 avril 2009. Il importe peu qu'une autre appréciation des preuves eût été possible, voire préférable, puisque la jurisprudence constante n'y voit pas matière à retenir un arbitraire.
4.6. Les recourants reprochent encore à la Cour de justice d'avoir omis de se prononcer sur la prétendue reconnaissance de dette opérée par l'intimée, qui aurait aussi permis d'interrompre la prescription (<ref-law>).
Ils s'abstiennent toutefois d'indiquer le (s) passage (s) topique (s) de leurs écritures contenant des allégations au sujet de cette reconnaissance qui, à les croire, ressortirait de "multiples correspondances". S'y ajoute que les déductions juridiques tirées de ce fait font figure de deus ex machina, dont rien n'indique qu'il aurait préalablement été soumis à l'autorité précédente. Partant, ce grief est irrecevable.
4.7. Pour en finir sur ce chapitre, les recourants tiennent rigueur à l'autorité précédente de n'avoir pas traité la question de l'abus de droit (<ref-law>) qu'ils avaient pourtant soulevée. A tort. La Cour de justice s'était en effet prononcée sur cet aspect dans un arrêt incident du 11 mai 2012 (let. B.a supra), et ses considérants corrélatifs pouvaient être attaqués par un recours au Tribunal fédéral, au plus tard en même temps que l'arrêt final (<ref-law>). Il ne saurait donc y avoir de déni de justice.
Sur le fond, la démonstration pour établir un prétendu abus de droit se résume à effectuer un copié-collé des considérants que le Tribunal de première instance avait consacrés à ce sujet dans son jugement incident du 15 septembre 2011. Les recourants ne s'essaient pas à contredire les motifs qu'avait articulés la Cour de justice pour contrer l'analyse des premiers juges, qu'elle avait refusé d'adouber. Ce grief est donc irrecevable.
4.8. En définitive, la Cour de justice n'a pas enfreint le droit fédéral en considérant que la prétention de l'assuré en paiement de la prestation d'assurance était prescrite. Le sort du recours s'en trouve déjà scellé. L'autorité précédente a cependant fourni une motivation alternative qui préserve l'ancien avocat de l'assuré du risque d'une action en responsabilité civile. C'est le lieu de l'examiner.
5.
5.1. Les juges d'appel ont reproché à l'assuré de n'avoir pas établi la thèse du vol au degré de la vraisemblance prépondérante: il était tout aussi vraisemblable qu'il ait lui-même commandité le vol. A défaut de preuve du sinistre, la compagnie d'assurances n'avait pas à entrer en matière.
En substance, les juges cantonaux se sont appuyés sur les informations données par M._, qui concordaient avec les faits mis en lumière dans les diverses procédures. Ils ont pointé l'importance des détails factuels que le prénommé avait fournis au sujet de l'assuré et de sa propriété (apparence physique; configuration des lieux; présence des photos de la collection dans la remise, ainsi que des moules de [l'invention] rangés dans des caisses dépourvues d'inscription; présence du majordome - et origine de celui-ci - durant les vacances de fin d'année, puis absence lors des vacances pascales; manière de conduire de l'assuré; marques, modèles et couleurs des voitures stationnées dans le garage). Il ne pouvait détenir ces informations de la compagnie d'assurances, avec laquelle il n'avait entretenu aucun contact avant février 2009. En fin de compte, il n'avait pu apprendre tous ces détails que grâce à sa propre visite des lieux, ou par l'intermédiaire de N._ ou de l'assuré lui-même. M._ savait en outre que les enregistrements de la caméra de surveillance ne permettraient pas de remonter aux auteurs ni de fournir une quelconque information; or, ce fait connu du seul assuré et de son entourage s'était révélé exact.
Qui plus est, l'assuré ne s'était pas montré des plus coopératifs durant la procédure, tant avec l'intimée qu'avec les autorités. Si ce n'est quelques démarches effectuées pour récupérer les photos auprès des anciens assureurs, il s'était d'abord refusé à répondre aux questions qui lui étaient posées. Il avait ensuite indiqué à la juge d'instruction qu'il s'opposait à ce que l'intimée participe à la procédure pénale française. Puis il avait affirmé à celle-ci que la juge d'instruction refusait de lui transmettre le dossier pénal, alors que cette magistrate avait autorisé l'intimée à se rendre à Paris pour consulter les objets retrouvés, sous réserve de l'accord de l'assuré qui ne l'avait jamais donné.
L'assuré avait en outre prétendu ne pas avoir des doubles des photographies relatives aux objets d'art ayant disparu de la remise où elles étaient stockées. Or, d'après les déclarations de son fils, ces photos se trouvaient dans son bureau. Qui plus est, il avait soutenu avoir pris de nouvelles photos.
Finalement, il fallait avoir égard au fait que les oeuvres d'art de l'assuré, aux dires des experts E1._ et E2._ - spécialiste en ethnologie pour l'Afrique et le Pacifique -, avaient subi une grande dépréciation depuis plusieurs années. Dès lors qu'elles étaient assurées à la "valeur agréée", correspondant au prix d'achat, l'assuré pouvait obtenir un montant plus important en déclarant ces oeuvres volées plutôt qu'en les vendant. L'assuré était à même de distinguer la valeur plus ou moins importante de ses biens, qu'il stockait dans la chambre forte de la villa pour les plus précieux d'entre eux, et dans la remise non sécurisée pour les autres. Il était en outre curieux que les voitures de collection parquées dans un garage dépourvu d'alarme n'aient pas été volées.
5.2. Les juges genevois se sont conformés au droit fédéral en considérant que la preuve du vol devait être apportée au degré de la vraisemblance prépondérante (cf. <ref-ruling> consid. 4.2.2 p. 88; <ref-ruling> consid. 3.2 i.f. p. 325; arrêt 4A_327/2018 du 23 mai 2019 consid. 3.1 et 3.3.2). Celle-ci suppose que des motifs importants plaident pour l'exactitude d'une allégation, sans que d'autres possibilités ne revêtent une importance significative ou n'entrent raisonnablement en considération. Pour ébranler la preuve principale, il suffit à la partie adverse de démontrer que les allégations principales n'apparaissent pas comme les plus vraisemblables (cf. par ex. <ref-ruling> consid. 4.2.2 p. 89). Savoir si une telle preuve a été fournie relève de l'appréciation, que la cour de céans contrôle sous le prisme très restreint de l'arbitraire.
Or, il faut bien admettre que les recourants échouent à insuffler le moindre sentiment d'arbitraire.
Ainsi, l'initiative prise par l'assuré de se rendre au cabinet de E1._ le 27 février 2008 ne démontre pas de manière éclatante qu'il n'était pas impliqué. Que la police française soit, grâce au prénommé, remontée à M._ puis à N._, pouvait facilement se concevoir, mais rien n'indique que l'assuré ait lui-même anticipé que cette démarche se retournerait contre lui. On peut même se demander s'il savait que M._ s'était adressé à E1._ pour écouler certains objets. Il a certes présenté spontanément un double de la clé du petit portail à la juge d'instruction française, qui a pu constater qu'elle coïncidait parfaitement avec celle qui lui avait été adressée grâce à l'intervention probable de M._. Ceci dit, il est étonnant que l'assuré se soit fait dérober les clés de sa propriété en juin 2008 et ne l'ait annoncé à la juge française qu'en janvier 2009 (et non déjà en septembre 2008, cf. let. A.e supra), sachant que les révélations de M._ et la production de la clé n'étaient que de peu postérieures à la date du prétendu vol. Il est difficile d'y voir une pure coïncidence.
Quant à savoir si l'assuré avait ou non des difficultés financières, il ne s'agit pas là d'un élément crucial, n'en déplaise aux recourants. Car un autre mobile indépendant pouvait aussi animer l'assuré. Comme l'a expliqué l'expert E2._, les objets prétendument volés à l'assuré avaient été payés beaucoup trop cher, au contraire des autres pièces qui étaient d'une valeur avérée. Que le vol ait précisément porté sur ces objets-là ne peut que laisser songeur. D'autant que, selon ce même expert, le vol de collections entières d'ethnologie est très rare. Il s'agit le plus souvent de vols ou de destructions maquillés, notamment par des personnes ayant collectionné des objets de piètre qualité ou les ayant acquis à un prix surfait. A l'évidence, on ne saurait minimiser le poids de ces explications.
Les recourants jugent naturel que les voleurs se soient attachés à couvrir leurs traces et qu'ils aient pris le temps de remettre en place les sacs de jardinage qui obstruaient la porte de la remise dévalisée. Mais quel voleur prendrait la peine de ranger les lieux après son forfait, surtout si l'endroit n'est pas visible de l'extérieur de la propriété, comme l'a constaté l'autorité précédente? Et comment les recourants expliquent-ils qu'un carton vide portant l'inscription "photos" avait été laissé dans la remise après avoir été vidé de son contenu? A moins qu'il ne se soit agi d'attirer l'attention de l'assureur sur le fait que lesdites photos avaient également été volées... Toutes ces incongruités sont en tout cas de nature à mettre en doute la thèse d'un vol sans pour autant verser dans l'arbitraire.
5.3. Les recourants se plaignent que l'assuré ait été privé d'une confrontation avec N._. Ce dernier ayant été assassiné le 7 avril 2008, soit peu avant que M._ ne dénonce son implication, il est bien clair que la confrontation voulue était impossible ab ovo. Si un grief se loge derrière cette remarque des recourants, il est lui aussi voué au rejet.
5.4.
5.4.1. Plusieurs motifs, à suivre les recourants, auraient dû conduire la Cour de justice à ne pas s'appuyer sur les déclarations de M._: il aurait considérablement varié dans ses exposés sur le déroulement des événements; il aurait été motivé par la perspective d'une récompense de la compagnie d'assurances, voire par la volonté de faire pression sur l'assuré pour qu'il retire sa plainte pénale; finalement, il ne serait qu'un témoin indirect qui n'aurait fait que relater les propos que N._ lui avait confiés.
5.4.2. La Cour de justice a pris en compte tous ces éléments. A en juger les versions successives qu'il a livrées à la juge d'instruction française, M._ a d'abord tenté de faire accroire qu'il avait acheté les oeuvres d'art de manière légale, avant d'évoquer la possibilité que N._ les ait volées, tout en lui cachant leur origine criminelle. Ce n'est qu'à compter du 30 septembre 2008 qu'il a finalement évoqué la thèse d'une escroquerie à l'assurance, dont N._ lui aurait exposé le plan et les détails. Par la suite, il a encore modifié sa version en prétendant ne pas avoir participé aux rencontres avec l'assuré. Mis à part ce dernier point, sa version des faits n'a plus varié depuis lors.
Certes, il s'est employé à contacter la compagnie d'assurances en caressant certainement l'espoir d'obtenir une récompense. Ce qui peut expliquer qu'il ait cherché à minimiser son implication. Et l'on peut fort bien imaginer qu'il ait tenté de faire pression sur l'assuré pour qu'il retire sa plainte pénale. De là à croire qu'il ait inventé toute l'histoire, il y a un pas qu'il n'était pas arbitraire de refuser de franchir.
Certes encore, si M._ était le témoin direct des explications livrées par N._, il n'était que le témoin indirect des faits relatés par ce dernier. La cour cantonale a cependant retenu que ces déclarations étaient corroborées par d'autres faits, en soulignant notamment la précision des détails livrés par l'intéressé. On renverra au surplus à la décision attaquée, qui n'a été présentée ici que sous une forme résumée.
5.5. Pour le reste, les recourants ne font que livrer leur propre appréciation des preuves, ce qui ne saurait apporter la démonstration d'un quelconque arbitraire. Sans compter qu'ils allèguent moult faits s'écartant des constatations effectuées par l'autorité précédente, qui lient la cour de céans. Ce procédé est doublement irrecevable.
5.6. En bref, on ne discerne nulle once d'arbitraire dans le constat selon lequel les recourants n'ont pas prouvé avec une vraisemblance prépondérante le déroulement de l'événement assuré tel qu'ils l'avaient allégué. La Cour de justice tenait effectivement là un second motif de rejeter la demande.
6.
Mal fondé, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Ses auteurs supporteront solidairement les frais judiciaires (art. 66 al. 1 et 5 LTF) et verseront à l'intimée une indemnité pour ses frais d'avocat (art. 68 al. 1, 2 et 4 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 11'000 fr., sont mis à la charge des recourants, solidairement entre eux.
3.
Les recourants sont condamnés solidairement à verser à l'intimée une indemnité de 12'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 8 février 2022
Au nom de la I re Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Hohl
La Greffière : Monti