Sachverhalt:
A.
Am 22. Dezember 2020 erteilte die Kantonale Baukommission des Kantons Wallis dem Spital Wallis die Baubewilligung für den Umbau und die Erweiterung des Spitalzentrums Oberwallis am Standort Brig-Glis. Die gegen das Bauvorhaben erhobenen Einsprachen, darunter jene von A._, wies sie ab, soweit sie darauf eintrat. Gegen den Entscheid der Baukommission erhob A._ am 25. Januar 2021 Beschwerde beim Staatsrat des Kantons Wallis. Bereits am 31. Dezember 2020 hatte er dort darum ersucht, seinem (künftigen) Rechtsmittel die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Mit Entscheid vom 17. März 2021 wies der Staatsrat unter anderem das Gesuch von A._ um aufschiebende Wirkung ab.
B.
Gegen die Abweisung des Gesuchs gelangte A._ an das Kantonsgericht des Kantons Wallis. Mit Urteil vom 25. Mai 2021 wies das Gericht seine Beschwerde ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 25. Juni 2021 an das Bundesgericht beantragt A._, den Entscheid des Kantonsgerichts aufzuheben und seinem Rechtsmittel gegen den Bauentscheid der Kantonalen Baukommission vom 22. Dezember 2020 die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Das Spital Wallis beantragt Nichteintreten auf die Beschwerde, jedenfalls aber deren Abweisung. Die Kantonale Baukommission schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Der Staatsrat und das Kantonsgericht beantragen die Abweisung der Beschwerde. Die Stadtgemeinde Brig-Glis hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. A._ hat am 11. September 2021 eine weitere Stellungnahme eingereicht.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1).
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG). Mit dem angefochtenen Entscheid hat die Vorinstanz geschützt, dass der Staatsrat dem Rechtsmittel des Beschwerdeführers gegen die Bewilligung des Umbaus und der Erweiterung des Spitalzentrums Oberwallis am Standort Brig-Glis die aufschiebende Wirkung nicht erteilt hat. Es handelt sich um einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law>, gegen den nach Abs. 1 lit. a dieser Bestimmung die Beschwerde an das Bundesgericht nur zulässig ist, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann. Dies ist grundsätzlich der Fall, rügte der Beschwerdeführer in seinem Rechtsmittel an den Staatsrat doch im Wesentlichen eine übermässige Lärmbelastung durch den voraussichtlichen Helikopterverkehr vom und zum künftigen Spitalzentrum sowie einen unzulässigen Entzug von Licht und Sonne durch den geplanten Erweiterungsbau (Nordtrakt). Mit Blick auf die nachfolgenden Erwägungen in der Sache kann indessen offen bleiben, ob die Voraussetzung von <ref-law> erfüllt ist. Soweit der Beschwerdegegner auf Nichteintreten schliesst, weil der Beschwerdeführer den nicht wieder gutzumachenden Nachteil nicht begründet habe, ist daher nicht weiter darauf einzugehen.
1.2. Der Beschwerdeführer ist als Nachbar des strittigen Bauvorhabens nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Er ist zudem fristgerecht an das Bundesgericht gelangt (vgl. <ref-law>). Entgegen dem Vorbringen des Beschwerdegegners genügt die Beschwerde teilweise den Rüge- und Begründungsanforderungen (vgl. nachfolgend E. 2). Vorbehältlich der vorstehenden Erwägungen zum nicht wiedergutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> kann damit im Grundsatz auf die Beschwerde eingetreten werden.
2.
Bei einem Zwischenentscheid über die aufschiebende Wirkung handelt es sich um eine vorsorgliche Massnahme gemäss <ref-law> (BGE 134II 192 E. 1.5). Mit der Beschwerde kann somit nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden. Insoweit gelten die qualifizierten Rüge- und Begründungsanforderungen nach <ref-law>. Die beschwerdeführende Person muss darlegen, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze der angefochtene Entscheid inwiefern verletzen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 1.3; je mit Hinweisen).
3.
Der Beschwerdeführer rügt in formeller Hinsicht, die Vorinstanz habe seine Verfahrensrechte in grober Weise verletzt. Sie habe bei ihrer Hauptsachenprognose über einen Wissensvorsprung verfügt, da ihr die Beschwerdeantwort inklusive Beilagen, die der Beschwerdegegner im beim Staatsrat hängigen Beschwerdeverfahren gegen das strittige Bauvorhaben eingereicht habe, vorgelegen habe, während ihm diese Eingabe im Zeitpunkt seiner Beschwerde gegen den Entscheid über die aufschiebende Wirkung an die Vorinstanz nicht bekannt gewesen sei. Welche Verfahrensrechte die Vorinstanz verletzt haben soll, erläutert der Beschwerdeführer allerdings nicht. Insoweit genügt seine Beschwerde den erwähnten Rüge- und Begründungsanforderungen nicht. Ergänzend sei darauf hingewiesen, dass die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid nicht auf die erwähnte Stellungnahme des Beschwerdegegners abgestellt hat. Es ist deshalb nicht ersichtlich, dass sich ihre Kenntnis dieser Eingabe für den Beschwerdeführer nachteilig ausgewirkt hätte.
4.
Materiell rügt der Beschwerdeführer im Wesentlichen, der angefochtene Entscheid sei in mehrfacher Hinsicht willkürlich. Er bringt dabei als Erstes vor, die Vorinstanz habe verkannt, dass sein Gesuch um aufschiebende Wirkung grundsätzlich gutzuheissen sei. Dies sei willkürlich und verletze das Prinzip der Rechtsstaatlichkeit.
4.1. Gemäss Art. 51 Abs. 1 des Gesetzes über das Verwaltungsverfahren und die Verwaltungsrechtspflege vom 6. Oktober 1976 des Kantons Wallis (VVRG/VS; SGS 172.6) hat die Verwaltungsbe-schwerde (grundsätzlich) aufschiebende Wirkung. Dies gilt indessen nicht für Verwaltungsbeschwerden gegen Bauentscheide. Solche Beschwerden haben nach Art. 52 Abs. 2 Satz 1 des Baugesetzes vom 15. Dezember 2016 des Kantons Wallis (BauG/VS; SGS 705.1) vielmehr keine aufschiebende Wirkung. Diese kann jedoch von Amtes wegen oder auf Gesuch hin angeordnet werden (Art. 52 Abs. 2 Satz 2 BauG/VS). Ein entsprechendes Gesuch ist innert einer Frist von zehn Tagen zu stellen (Art. 52 Abs. 3 Satz 1 BauG/VS), mithin klar vor Ablauf der für die Beschwerde geltenden Rechtsmittelfrist von dreissig Tagen (vgl. Art. 52 Abs. 1 BauG/VS). Bis zur rechtskräftigen Erledigung des Gesuchs darf mit den Bauarbeiten nicht begonnen werden (Art. 52 Abs. 3 Satz 2 BauG/VS).
4.2. Der kantonale Gesetzgeber ist somit für Verwaltungsbeschwerden gegen Bauentscheide in Bezug auf die aufschiebende Wirkung von der allgemeinen Regelung des kantonalen Gesetzes über das Verwaltungsverfahren und die Verwaltungsrechtspflege abgewichen. Soweit ersichtlich, hat er damit dem Interesse, ein erstinstanzlich geprüftes und bewilligtes Baugesuch rasch umsetzen und Verzögerungen vermeiden zu können, ein erhöhtes Gewicht zumessen wollen. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid festgehalten, die Entscheidung des kantonalen Gesetzgebers sei im Rahmen der Interessenabwägung zu berücksichtigen. Inwiefern sie damit in Willkür (<ref-law>) verfallen sein sollte, mithin ihr Entscheid im Ergebnis offensichtlich unhaltbar sein, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzen oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderlaufen sollte (<ref-ruling> E. 7.3; <ref-ruling> E. 3.6.2), ergibt sich aus den Ausführungen des Beschwerdeführers nicht. Er setzt sich auch nicht mit der Regelung des kantonalen Baugesetzes auseinander. Seine entsprechende Rüge erweist sich demnach als unbegründet, soweit sie überhaupt den Begründungsanforderungen genügt. Soweit der Beschwerdeführer zudem eine Verletzung des Grundsatzes der Rechtsstaatlichkeit (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4 mit Hinweisen) geltend macht, genügt die Beschwerde den erwähnten Rüge- und Begründungsanforderungen nicht.
5.
Der Beschwerdeführer rügt ausserdem, die Vorinstanz habe entgegen der geltenden Rechtspraxis unterlassen, die erforderliche Interessenabwägung vorzunehmen, welche gezeigt hätte, dass seine Interessen an der Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenteilige Interessen überwögen. Stattdessen habe sie ihren Entscheid ausschliesslich aufgrund einer falschen Prozessausgangsprognose getroffen. Ersteres sei willkürlich und rechtsverletztend. Letzteres sei ebenfalls willkürlich und verstosse zudem gegen zahlreiche rechtsstaatliche Prinzipien.
5.1. Die Vorinstanz hat sich im angefochtenen Entscheid ausführlich zur Kritik geäussert, die der Beschwerdeführer in seinem Rechtsmittel an den Staatsrat gegen das strittige Bauvorhaben im Wesentlichen vorgebracht hat (vgl. vorne E. 1.1). Hinsichtlich der strittigen Frage des Entzugs von Licht und Sonne hat sie nach einlässlicher summarischer Prüfung festgehalten, die Schlussfolgerung des Staatsrats, die geplante Gebäudehöhe scheine prima facie die privaten Interessen der Anwohner nicht übermässig zu beeinträchtigen, sei nicht zu beanstanden. Nach summarischer Prüfung bestünden begründete Zweifel, dass der Beschwerdeführer mit der Rüge des übermässigen Schattenwurfs im vor dem Staatsrat hängigen Rechtsmittelverfahren durchdringen werde. Es sei zudem der Auffassung des Staatsrats zuzustimmen, dass es sich beim geltend gemachten Entzug der Besonnung - sollte sich diese Rüge als zutreffend erweisen - um einen durch allfällige Wiederherstellungsmassnahmen leicht wiedergutzumachenden Nachteil handle. Der Beschwerdeführer bringe in seiner Beschwerde an den Staatsrat nicht substanziiert vor, weshalb es sich beim behaupteten Entzug von Sonnenlicht um einen nicht leicht wiedergutzumachenden Nachteil handeln sollte, der das öffentliche Interesse am raschen Baubeginn überwiegen würde. Es sei nicht ersichtlich, aus welchen Gründen Anpassungen des Erweiterungsbaus bzw. Wiederherstellungsmassnahmen nach Baubeginn nicht mehr möglich sein sollten.
Bezüglich der strittigen Frage des (Helikopter-) Fluglärms ist die Vorinstanz gestützt auf eine längere summarische Prüfung zum Schluss gekommen, es sei keine Verletzung des Umweltschutzgesetzes vom 7. Oktober 1983 (USG; SR 814.01) und der Lärmschutz-Verordnung vom 15. Dezember 1986 (LSV; SR 814.41) zu befürchten, welche die Interessen des Beschwerdeführers derart beeinträchtigen könnten, dass sich angesichts des grossen öffentlichen Interesses am raschen Baubeginn die Erteilung der aufschiebenden Wirkung rechtfertigen würde. Sie hat dabei im Rahmen ihrer Ausführungen auch festgehalten, der zu erwartende Fluglärm würde erst nach Abschluss der Bauarbeiten und Inbetriebnahme des Spitalneubaus auftreten.
5.2. Die Vorinstanz hat sich somit zwar einlässlich zur summarischen Hauptsachenprognose für das Rechtsmittel geäussert, das der Be-schwerdeführer beim Staatsrat gegen das strittige Bauvorhaben eingereicht hat, und ihren Entscheid auch auf diese Prognose gestützt. Sie hat daneben - teilweise unter Einbezug dieser Prognose, teilweise ergänzend dazu - aber auch eine Interessenabwägung vorgenommen zwischen dem öffentlichen Interesse an einem raschen Baubeginn und den Interessen des Beschwerdeführers an einer Vermeidung jener Nachteile, die ihm bei einem Baubeginn während des beim Staatsrat hängigen Rechtsmittelverfahrens durch die gerügten Projektmängel allenfalls entstehen könnten. Ihre Interessenabwägung ist vom Umfang her zwar sehr kurz; dies ändert indessen nichts daran, dass sie stattgefunden hat. Soweit der Beschwerdeführer vorbringt, die Vorinstanz habe die Interessenabwägung unterlassen, ist dies demnach unzutreffend. Sein Vorwurf, diese Unterlassung sei willkürlich und - in nicht weiter bestimmter Weise - rechtsverletzend, geht daher fehl.
5.3. Soweit der Beschwerdeführer auch die vorinstanzliche Interessenabwägung als willkürlich rügen sollte, kann ihm ebenfalls nicht gefolgt werden. Aus seinen Vorbringen geht nicht hervor, dass die Vorinstanz bei ihrer Interessenabwägung (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3; Urteile des Bundesgerichts 1C_121/2016 vom 27. April 2016 E. 4.2; 2C_309/2008 vom 13. August 2008 E. 3.1) in Willkür verfallen wäre. Entgegen dem, was der Beschwerdeführer nahe legt, hat sie hinsichtlich des öffentlichen Interesses an einem raschen Baubeginn nicht auf die Vorbringen des Beschwerdegegners abgestellt, sondern ihrem Entscheid die ausführlich zitierten Erwägungen des Staatsrats zugrunde gelegt. Dieser hatte in seinem Entscheid über die aufschiebende Wirkung die öffentlichen Interessen an der Umsetzung der 2014 beschlossenen Konzentrierung der Spitalaktivität am Standort Brig-Glis sowie an der Gewährleistung einer ausreichenden Gesundheitsversorgung angeführt. Die Berücksichtigung dieser Interessen ist unter Willkürgesichtspunkten nicht zu beanstanden, zumal entgegen dem Vorbringen des Beschwerdeführers nicht lediglich polizeiliche Interessen berücksichtigt werden dürfen. Auch die vorinstanzliche Bewertung dieser öffentlichen und der erwähnten privaten Interessen des Beschwerdeführers sowie die Höherbewertung ersterer Interessen hält vor dem Willkürverbot stand. Daran ändert nichts, dass der Beschwerdeführer in seiner Stellungnahme vom 11. September 2021 vorbringt, die von ihm gerügten Mängel des Bauvorhabens könnten nach Bau-beginn ohne Einsatz sehr hoher finanzieller Mittel der öffentlichen Hand nicht mehr korrigiert werden. Inwiefern dies der Fall wäre, substanziiert er nicht. Obschon er in der Beschwerde weitere Interessen anführt, die zugunsten der Erteilung der aufschiebenden Wirkung sprechen sollen, ist weiter nicht ersichtlich, dass die Vorinstanz wesentliche Interessen ausser Acht gelassen hätte. Soweit der Beschwerdeführer die Interessenabwägung in unbestimmter Weise auch als rechtsverletztend rügen sollte, genügt seine Beschwerde den erwähnten Rüge- und Begründungsanforderungen nicht.
5.4. Auch die Rüge, die Vorinstanz sei dadurch in Willkür verfallen, dass sie ausschliesslich auf eine falsche, da nicht eindeutige Hauptsachenprognose abgestellt habe, ist unbegründet. Zwar ist die Entscheidprognose gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung grundsätzlich nur zu berücksichtigen, wenn sie eindeutig ist (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3; Urteile 2C_595/2021 vom 30. September 2021 E. 4.3; 1C_121/2016 vom 27. April 2016 E. 4.2). Das Bundesgericht hat in seiner Rechtsprechung teilweise aber auch festgehalten, dass der Entscheidprognose in Fällen, in denen mit einer längeren Verfahrensdauer gerechnet werden müsse, vermehrte Bedeutung zukomme und nicht leichthin davon abgesehen werden dürfe (vgl. Urteile 1A.302/2005 vom 29. März 2006 E. 3; 1A.172/2004 vom 21. September 2004 E. 3; vgl. auch HANSJÖRG SEILER, in: Praxiskommentar Verwaltungsverfahrensgesetz, 2. Aufl. 2016, N. 98 zu <ref-law>). Vorliegend legen namentlich die Vorbringen des Beschwerdeführers selbst nahe, dass das beim Staatsrat hängige Rechtsmittelverfahren länger dauern könnte. So hebt er hervor, dass gegen den Bauentscheid diverse Einsprechende Beschwerde erhoben hätten und das Beschwerdeverfahren vor dem Staatsrat noch längst nicht abgeschlossen sei. Auch wenn der Beschwerdeführer geltend macht, die Entscheidprognose sei keineswegs eindeutig, setzt er sich sodann mit der vorinstanzlichen Argumentation nicht näher auseinander. Deren Hauptsachenprognose erscheint bei summarischer Prüfung jedenfalls als auf ernsthaften Gründen beruhend. Die Vorinstanz hat weiter bei ihrem Entscheid, wie erwähnt, nicht ausschliesslich auf ihre Entscheidprognose abgestellt, sondern vielmehr auch eine Interessenabwägung vorgenommen. Im Zusammenhang damit hat sie namentlich erwogen, der zu erwartende Fluglärm würde erst nach Abschluss der Bauarbeiten und Inbetriebnahme des Spitalneubaus auftreten. Unter diesen Umständen erscheint es unter Willkürgesichtspunkten vertretbar, dass die Vorinstanz ihren Entscheid auch auf eine Entscheidprognose gestützt hat.
5.5. Soweit der Beschwerdeführer die Hauptsachenprognose der Vorinstanz auch deshalb als willkürlich erachtet, weil bei Beschwerden gegen Bauentscheide gemäss Art. 52 Abs. 3 Satz 1 BauG/VS das Gesuch um aufschiebende Wirkung innert einer Frist von zehn Tagen gestellt werden muss, die Beschwerdefrist hingegen dreissig Tage beträgt (vgl. Art. 52 Abs. 1 BauG/VS), kann ihm ebenfalls nicht gefolgt werden. Inwiefern sich aus dieser Regelung ein Verbot ergeben sollte, im Verfahren betreffend die aufschiebende Wirkung eine Hauptsa-chenprognose zu stellen, bzw. aus der Regelung folgen sollte, dieses Verfahren und jenes in der Hauptsache seien inhaltlich zu trennen, wie der Beschwerdeführer vorbringt, erschliesst sich nicht. Aus dessen Vorbringen ergibt sich daher auch nicht, dass die Vorinstanz Art. 52 BauG/VS willkürlich angewandt hätte, indem sie eine Hauptsachenprognose vorgenommen hat. Soweit der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang auch einen Verstoss gegen zahlreiche rechtsstaatliche Prinzipien rügt, ohne diese zu benennen oder sein Vorbringen sonst zu substanziieren, genügt seine Beschwerde den erwähnten Rüge- und Begründungsanforderungen nicht.
6.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Dem nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdegegner steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Stadtgemeinde Brig-Glis, der Kantonalen Baukommission des Kantons Wallis, dem Staatsrat des Kantons Wallis und dem Kantonsgericht Wallis, Öffentlichrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Dezember 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Baur