Sachverhalt:
A.
A._ (Beschwerdeführer) mietete für sein Fahrradgeschäft Geschäftsräume zu einem monatlichen Mietzins von Fr. 1'200.-- netto. Am 19. Dezember 2017 kündigte die Vermieterschaft den Mietvertrag per 30. Juni 2018.
B.
B.a. Nach erfolglosem Schlichtungsversuch klagte der Beschwerdeführer am 20. April 2018 beim Richteramt Bucheggberg-Wasseramt gegen B._ (Beschwerdegegner). Er beantragte, die Kündigung vom 19. Dezember 2017 sei als missbräuchlich zu erklären. Eventualiter sei das Mietverhältnis um mindestens vier Jahre zu erstrecken.
Mit Urteil vom 23. Januar 2019 wies das Richteramt die Klage wegen mangelnder Passivlegitimation ab (Dispositiv-Ziffer 1). Es verpflichtete den Beschwerdeführer, dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung von Fr. 5'645.20 zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 2), und auferlegte ihm die Gerichtskosten von Fr. 2'700.-- (Dispositiv-Ziffer 3).
Das Richteramt verneinte die Passivlegitimation zusammengefasst mit folgender Begründung:
Auf dem Mietvertrag erscheine unter der Rubrik "Vermieter" der Beschwerdegegner. Allerdings seien dessen Eltern auf der nächsten Zeile unter der Rubrik "vertreten durch" aufgeführt. Im amtlichen Kündigungsformular seien unter "Vermieterschaft" der Beschwerdegegner und dessen Eltern aufgeführt. Das vom Beschwerdeführer selbst verfasste Schlichtungsgesuch nenne lediglich das Mietobjekt und verweise auf die Kündigung sowie den Mietvertrag; gegen wen sich das Schlichtungsgesuch richte, sei nicht ersichtlich. Die Klagebewilligung nenne als Beklagten den Beschwerdegegner und dessen Eltern. Gemäss Grundbuch seien der Beschwerdegegner und dessen Eltern Miteigentümer der fraglichen Liegenschaft.
Das Richteramt verwies auf <ref-law> und argumentierte, der Abschluss eines Mietvertrags sei keine untergeordnete, gewöhnliche Verwaltungshandlung, die ein Miteigentümer allein vornehmen könne. Bereits aus diesem Grund habe der Mietvertrag nur zwischen dem Beschwerdeführer und dem Beschwerdegegner sowie dessen Eltern abgeschlossen werden können. Die Eltern seien auf dem Mietvertrag nur aus Platzgründen auf der unteren Zeile eingetragen worden. Schliesslich habe der Beschwerdeführer an der Hauptverhandlung ausgesagt, er sei davon ausgegangen, dass der Beschwerdegegner und dessen Eltern seine Vermieter seien.
B.b. Der Beschwerdeführer erhob gegen das Urteil des Richteramts Berufung. Er beantragte dem Obergericht des Kantons Solothurn, das Urteil des Richteramts sei aufzuheben und die Sache zur Beurteilung der Erstreckung des Mietverhältnisses an das Richteramt zurückzuweisen. Eventualiter sei das Mietverhältnis erstmals bis zum 31. März 2020 zu erstrecken.
In der Folge änderte der Beschwerdeführer sein Hauptbegehren und verlangte, das Mietverhältnis sei bis zum 31. Oktober 2019 zu erstrecken. Nachdem dieses Datum verstrichen war, stellte das Obergericht mit Präsidialverfügung vom 6. November 2019 fest, dass die Berufung des Beschwerdeführers gegenstandslos geworden sei.
Das Obergericht schrieb das Berufungsverfahren mit Beschluss vom 5. Dezember 2019 zufolge Gegenstandslosigkeit ab (Dispositiv-Ziffer 2). Es auferlegte dem Beschwerdeführer die Kosten des Berufungsverfahrens von Fr. 500.-- (Dispositiv-Ziffer 3) und verpflichtete ihn, dem Beschwerdegegner für das Berufungsverfahren eine Parteientschädigung von Fr. 1'908.75 zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 4).
C.
Der Beschwerdeführer beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde, Dispositiv-Ziffern 3 und 4 des obergerichtlichen Beschlusses vom 5. Dezember 2019 seien aufzuheben. Die Kosten des erstinstanzlichen Verfahrens sowie des Berufungsverfahrens seien dem Beschwerdegegner aufzuerlegen und dieser sei zu verpflichten, ihm für das erstinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 4'046.55 und für das Berufungsverfahren eine solche von Fr. 3'063.60 zu bezahlen.
Das Sicherstellungsgesuch des Beschwerdegegners wurde am 18. März 2020 präsidialiter gutgeheissen, und in der Folge wurde die Sicherheitsleistung durch den Beschwerdeführer erbracht.
Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde und beantragte gleichzeitig, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
In der Sache beantragt der Beschwerdegegner, auf die Beschwerde in Zivilsachen sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen, und die subsidiäre Verfassungsbeschwerde sei abzuweisen.
Die Parteien replizierten und duplizierten unaufgefordert.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 2.1 S. 397 mit Hinweisen). Der angefochtene Beschluss des Obergerichts des Kantons Solothurn ist ein Endentscheid im Sinne von <ref-law> (vgl. Urteil 4A_249/2018 vom 12. Juli 2018 E. 1.1).
1.1. Vor Bundesgericht ist nur noch der vorinstanzliche Kostenentscheid streitig. Die Zulässigkeit der Beschwerde gegen einen solchen Nebenpunkt richtet sich - entgegen der Ansicht des Beschwerdegegners - nach der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.2.3 S. 48).
Die Hauptsache betrifft die Erstreckung des Mietverhältnisses; sie ist für die Frage des Eintretens massgebend. In mietrechtlichen Fällen ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig, sofern der Streitwert mindestens Fr. 15'000.-- beträgt (<ref-law>). Der Streitwert bestimmt sich nach den vor der Vorinstanz streitig gebliebenen Begehren (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 48). Der Beschwerdeführer beantragte ursprünglich, die Kündigung per 30. Juni 2018 sei als missbräuchlich zu erklären. Dies führte unter Berücksichtigung von <ref-law> und der einschlägigen Praxis zu einem Streitwert von Fr. 43'200.-- (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2.2 f. S. 348 f.). Im Berufungsverfahren beantragte der Beschwerdeführer zuletzt, das Mietverhältnis sei bis zum 31. Oktober 2019 zu erstrecken, was einen Streitwert von Fr. 19'200.-- ergibt. Dieses Begehren blieb vor der Vorinstanz streitig, bis das Berufungsverfahren am 6. November 2019 als gegenstandslos abgeschrieben wurde. Somit ist der erforderliche Streitwert erreicht.
1.2. Die übrigen Eintretensvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist - unter Vorbehalt gehöriger Begründung (vgl. E. 2 hiernach) - einzutreten.
Folglich ist auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten (<ref-law>).
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f. mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5 S. 401). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
2.3. Die Beschwerde ist innert der Beschwerdefrist vollständig begründet einzureichen (vgl. <ref-law>). Vor Bundesgericht findet in der Regel nur ein Schriftenwechsel statt (<ref-law>). Kommt es zu einem zweiten Schriftenwechsel, darf die beschwerdeführende Partei die Replik nicht dazu verwenden, ihre Beschwerde zu ergänzen oder zu verbessern (<ref-ruling> E. 1.7 S. 162; <ref-ruling> E. 3.3.4 S. 47). Mit Rügen, welche die beschwerdeführende Partei bereits in der Beschwerde hätte erheben können, ist sie nach Ablauf der Beschwerdefrist ausgeschlossen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 21; <ref-ruling> E. 1.7 S. 162; <ref-ruling> E. 3.3.4 S. 47 mit Hinweisen). Die Replik ist nur zu Darlegungen zu verwenden, zu denen die Ausführungen in der Vernehmlassung eines anderen Verfahrensbeteiligten Anlass geben (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 21).
3.
Der Beschwerdeführer beanstandet den Kostenentscheid der Vorinstanz. Er rügt eine Verletzung von <ref-law>.
3.1. Das Gericht kann von den Verteilungsgrundsätzen nach <ref-law> abweichen und die Prozesskosten nach Ermessen verteilen, wenn das Verfahren als gegenstandslos abgeschrieben wird und das Gesetz nichts anderes vorsieht (<ref-law>). Dabei ist etwa zu berücksichtigen, welche Partei Anlass zur Klage gegeben hat, welches der mutmassliche Prozessausgang gewesen wäre und bei welcher Partei die Gründe eingetreten sind, die dazu geführt haben, dass das Verfahren gegenstandslos wurde (Urteile 4A_667/2015 vom 22. Januar 2016 E. 2.2; 4A_346/2015 vom 16. Dezember 2015 E. 5; 5A_885/2014 vom 19. März 2015 E. 2.4).
Das Bundesgericht überprüft Ermessensentscheide gemäss ständiger Praxis nur mit Zurückhaltung. Es ersetzt namentlich das Ermessen der Vorinstanz nicht durch sein eigenes, sondern schreitet nur ein, wenn die Vorinstanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Tatsachen berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt Umstände ausser Betracht gelassen hat, die zwingend hätten beachtet werden müssen. Ausserdem greift das Bundesgericht in Ermessensentscheide ein, falls sich diese als offensichtlich unbillig bzw. als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 11.2 S. 98; <ref-ruling> E. 2.1 S. 254; <ref-ruling> E. 2.2.1. S. 279).
3.2. Die Vorinstanz erwog, der Beschwerdeführer wäre mit seinen Rechtsbegehren im Berufungsverfahren mutmasslich nicht durchgedrungen. Auf den ersten Blick überzeugten die Erwägungen der Erstinstanz, wonach die Klage abzuweisen sei, weil der Beschwerdegegner nicht passivlegitimiert sei. Der Grundbucheintrag weise den Beschwerdegegner und dessen Eltern als Miteigentümer des Mietobjekts aus. Der Beschwerdeführer habe ausgesagt, er sei davon ausgegangen, der Beschwerdegegner und dessen Eltern seien seine Vermieter. Die Klagebewilligung führe ebenfalls den Beschwerdegegner und dessen Eltern als Vermieter auf. Zwar erscheine im Mietvertrag unter der Rubrik "Vermieter" nur der Name des Beschwerdegegners. Dieser habe aber nachvollziehbar ausgeführt, seine Eltern seien nur deshalb nicht unter dieser Rubrik geführt, weil dort bloss sein Name Platz gefunden habe.
3.3. Die Vorinstanz hat damit auf die mutmasslichen Prozessaussichten abgestellt und so bei ihrem Kostenentscheid die zutreffenden Kriterien berücksichtigt, die bei einer Abschreibung des Verfahrens zufolge Gegenstandslosigkeit anzuwenden sind (vgl. E. 3.1 hiervor).
Doch der Beschwerdeführer beanstandet zu Recht, dass die Vorinstanz bei der Beurteilung der Passivlegitimation auf den Grundbucheintrag abstellte. Damit übernahm die Vorinstanz den falschen Standpunkt der Erstinstanz, wonach die Miteigentümer ihre Liegenschaft nur gemeinsam vermieten könnten. Beide Vorinstanzen übersahen, dass der Abschluss eines Mietvertrags kein Eigentum an der Mietsache voraussetzt (Urteile 4A_212/2018 vom 22. Mai 2018 E. 2.2; 4A_35/2008 vom 13. Juni 2008 E. 2.3; 4C.245/1993 vom 19. April 1994 E. 5b).
Allerdings scheint der Beschwerdeführer aus den Augen zu verlieren, dass die Vorinstanz nicht nur auf den Grundbuchauszug abstellte. Vielmehr würdigte sie auch die Aussage des Beschwerdeführers, er habe selbst angenommen, der Beschwerdegegner und dessen Eltern seien seine Vermieter. Zwar ist der Beschwerdeführer - wie seine Rechtsvertreterin bemerkt - kein Jurist, sondern Fahrradmechaniker, doch durfte die Vorinstanz seine Aussage dennoch berücksichtigen, ohne in Willkür zu verfallen.
Die Vorinstanz verwies zudem auf die Klagebewilligung, welche den Beschwerdegegner und dessen Eltern als Vermieter aufführe. Es liegt auf der Hand, dass dieser Umstand für sich allein nicht den Schluss erlaubt, die Eltern des Beschwerdegegners seien auch Vermieter. Allerdings stellte die Klagebewilligung in der vorinstanzlichen Beurteilung nur einen von mehreren Punkten dar, weshalb nicht gesagt werden kann, die Vorinstanz hätte blindlings nur auf die Klagebewilligung abgestellt.
Sodann setzte sich die Vorinstanz mit dem Mietvertrag auseinander, auf dem unter der Rubrik "Vermieter" nur der Name des Beschwerdegegners erscheint. Sie wies darauf hin, dass die Namen der Eltern des Beschwerdegegners nur deshalb auf der nächsten Zeile unter der Rubrik "vertreten durch" aufgeführt worden seien, weil das Vertragsformular unter der Rubrik "Vermieter" keinen Platz für drei Namen geboten habe.
Zusätzlich nahm die Vorinstanz Bezug auf die Erwägungen der Erstinstanz. Diese hatte sich damit auseinandergesetzt, dass der Vertrag auf Vermieterseite nur vom Beschwerdegegner unterzeichnet worden war. Allerdings wies sie darauf hin, dass im amtlichen Kündigungsformular der Beschwerdegegner und dessen Eltern als "Vermieterschaft" aufgetreten waren. Zudem hatte die Erstinstanz auch das Schlichtungsgesuch des Beschwerdeführers gewürdigt.
Der Beschwerdeführer scheint zu übersehen, dass das Bundesgericht in vorinstanzliche Ermessensentscheide nur eingreift, wenn diese als offensichtlich unbillig oder in stossender Weise ungerecht erscheinen. Dass dies hier der Fall wäre, zeigt der Beschwerdeführer nicht auf und ist auch nicht ersichtlich.
Das Bundesgericht hat somit keinen hinreichenden Anlass, in den Ermessensentscheid der Vorinstanz einzugreifen.
Schliesslich reichen die vorinstanzlichen Erwägungen aus, um die sich stellenden Rechtsfragen zu beantworten. Insbesondere berücksichtigte sie, entgegen den Ausführungen des Beschwerdeführers, dass der Mietvertrag nur vom Beschwerdegegner unterzeichnet wurde. Die Vorinstanz hat den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör nicht verletzt (<ref-law>, <ref-law>).
4.
Nach dem Gesagten ist auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten.
5.
Die Beschwerde in Zivilsachen ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer zu überbinden (<ref-law>). Er hat den Beschwerdegegner, der sich mit einer anwaltlich verfassten Beschwerdeantwort und Duplik vernehmen liess, für das Verfahren vor Bundesgericht zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Der Beschwerdeführer hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen. Diese Entschädigung wird aus der an die Bundesgerichtskasse bezahlten Sicherheitsleistung ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Oktober 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Gross