Faits :
A.
A.a. B._ (ci-après: l'employé) a été engagé par A._ SA en qualité de chef de rang au restaurant " xxx " de C._, à compter du 1er septembre 2011. Son salaire mensuel brut s'est élevé en dernier lieu à 4'900 fr. versé treize fois l'an, auquel s'ajoutaient diverses indemnités.
Pendant plus de sept ans, l'employé a exercé son activité avec professionnalisme, ce qui était apprécié des clients. D._, maître d'hôtel du restaurant, et E._, directeur adjoint de C._ au moment des faits litigieux, étaient les supérieurs de l'employé.
A.b. Le 12 juin 2018, F._, un des directeurs de A._ SA, a déjeuné au restaurant " xxx ". Au moment de régler l'addition, F._ a fait une réflexion à l'employé s'agissant du prix du plat. Mécontent de la réponse de celui-ci, F._ a jeté l'addition et un stylo en l'air.
Le témoin D._, présent au moment des faits, a déclaré devant le tribunal de première instance que l'employé n'avait pas réagi. Lui-même n'avait pas davantage réagi car il connaissait le caractère très fort de F._, lequel était ensuite simplement parti. Ce n'était pas l'employé, mais F._ qui avait mal agi; ce dernier créait des tensions dès qu'il arrivait dans le restaurant et était connu pour son fort caractère.
A.c. Le 25 juin 2018, venu au restaurant pour y déjeuner, F._ a reproché à l'employé de ne l'avoir ni salué ni approché pendant tout son repas.
Lors de son audition, D._ a expliqué qu'à la suite du premier incident, il avait conseillé à l'employé de ne pas gérer la table de F._ et d'éviter toute discussion avec lui. L'employé avait salué F._ à son arrivée.
A.d. Le 28 juin 2018, l'employé a été convoqué par D._ et E._ à un entretien, au cours duquel il s'est vu communiquer un avertissement écrit, signé de ses deux supérieurs. Ce document avait la teneur suivante:
" En date du 12 juin 2018, vous avez manqué d'égard et de considération envers Monsieur F._ lorsqu'il a pointé une erreur dans l'addition de son repas au restaurant xxx. Au lieu de lui présenter vos excuses et d'effectuer la correction, votre réponse a été sèche et maladroite, obligeant ainsi votre responsable à intervenir. Le 26 juin dernier, à l'annonce d'une nouvelle réservation de Monsieur F._, vous avez ouvertement protesté et fait part de votre intention de ne pas le servir. A ces propo s, Monsieur E._ vous a rappelé votre devoir de servir sans distinction tous les clients du restaurant, chose que vous vous êtes engagé à faire. Néanmoins, à l'issue de son repas le même jour, Monsieur F._ s'est de nouveau plaint de votre manque de considération. Vous ne l'auriez en effet ni salué ni approché pendant tout son repas, en l'ignorant volontairement.
Nous ne pouvons tolérer ce genre de comportements irrespectueux qui portent atteinte à l'image de C._et de notre restaurant. Nous souhaitons qu'une telle situation ne se reproduise pas et vous rappelons ainsi votre devoir d'avoir une attitude irréprochable envers tous les clients, et ce indépendamment de vos affinités personnelles. [...] "
Devant le tribunal de première instance, D._ a expliqué qu'il n'adhérait pas au contenu de ce document. Il n'avait rien à reprocher à l'employé et estimait que cet avertissement était injustifié. Il avait eu le sentiment que cette affaire allait être compliquée pour l'employé car c'était " une évidence, à [s]es yeux, que si F._ voulait licencier quelqu'un, c'était lui qui décidait et personne ne pouvait s'y opposer. Selon [lui], le véritable motif de licenciement [de l'employé] était le fait qu'il s'était " grillé " dans l'entreprise suite à cet événement. "
Lors de son audition, E._ a pour sa part déclaré qu'après avoir entendu la version des faits de l'employé, il avait été pris de doutes quant au bien-fondé de cet avertissement.
A.e. Par courriel du 2 juillet 2018 adressé à E._, l'employé a contesté le contenu de l'avertissement. Il a ajouté qu'après sept années d'activité, au cours desquelles il avait obtenu des évaluations irréprochables, il pensait qu'il serait davantage protégé lorsqu'il ferait face à une personne qui avait " décidé d'avoir [s]a tête coûte que coûte simplement parce que le montant d'une addition ne lui convenait pas ". Il a invité son supérieur à respecter l'<ref-law>.
Le 3 juillet 2018, E._ a relevé que lors de l'entretien en présence de D._, l'employé avait reconnu ne pas avoir eu une attitude appropriée et n'avait pas contesté le contenu de l'avertissement. Le même jour, l'employé a répondu qu'il devait y avoir un malentendu.
A.f. Dans l'intervalle, à la fin du mois de juin 2018, l'employé a signalé à G._, réceptionniste à C._, qu'il avait entendu qu'elle serait la prochaine sur la liste des licenciements.
Le 6 juillet 2018, G._ a été surprise en larmes à son poste de travail. Interrogée par sa supérieure hiérarchique, H._, G._ a expliqué qu'elle pensait être licenciée avant son départ en vacances le jour-même. Elle a précisé que l'information de son prochain licenciement lui avait été rapportée par l'employé.
H._ a communiqué l'incident à E._, en précisant qu'à ses yeux, cela était grave. Ce dernier a ensuite invité G._, puis l'employé, à lui exposer leur version des faits.
Le même jour, l'employé a à nouveau été convoqué par E._. Il s'est vu reprocher d'avoir manqué de considération à l'égard d'une collaboratrice, d'avoir ainsi violé son obligation de diligence et de fidélité envers son employeur et rompu le lien de confiance qui les liait. Il a reçu une lettre l'informant de la fin de son contrat pour le 6 septembre 2018, avec libération de l'obligation de travailler. Il était expliqué qu'il avait transmis à une collègue une information erronée, qui l'avait placée dans une détresse émotionnelle importante. En agissant de la sorte, il avait violé son devoir de fidélité et rompu le lien de confiance qu'il entretenait avec son employeur.
A.g. Par courrier du 19 juillet 2018, l'employé a contesté les assertions de A._ SA quant aux motifs de licenciement invoqués. Il a soutenu que le véritable motif constituerait un congé-représailles pour satisfaire F._.
A._ SA a contesté ces allégations.
A.h. Dans l'intervalle, le 31 juillet 2018, G._ a transmis à E._ un compte rendu concernant la discussion qu'elle avait eue au sujet de son prétendu licenciement avec l'employé. Ce dernier lui avait expliqué que H._ avait communiqué cette information à D._. G._ en avait discuté avec l'une de ses collègues, laquelle lui avait confié que l'employé avait déjà agi ainsi avec une autre collaboratrice, I._.
A.i. L'employé s'est trouvé en incapacité totale de travail du 20 août au 23 septembre 2018, de sorte que le contrat de travail a pris fin le 11 octobre 2018.
A.j. Devant le tribunal de première instance, l'employé a déclaré avoir informé G._ par sympathie. Les employés allaient travailler dans un climat de peur car ils pouvaient être licenciés le jour-même. Il avait appris l'information concernant G._ de D._, qui l'aurait lui-même détenue de H._.
Lors de leur audition, ces derniers ont contesté ce point, en affirmant qu'ils n'avaient jamais entendu que G._ allait être licenciée. H._ a expliqué qu'elle n'en avait parlé avec personne. D._ a contesté s'être mis d'accord avec l'employé pour informer G._ et I._ qu'elles allaient être licenciées.
G._ a pour sa part indiqué qu'elle avait cru à l'information car le temps était aux licenciements à C._. Cela l'avait mise dans tous ses états. Lorsqu'elle avait discuté avec H._, cette dernière lui avait indiqué qu'aucun licenciement n'était prévu à son encontre. Elle n'avait jamais été licenciée.
E._ a quant à lui déclaré qu'aux yeux de A._ SA, il était inadéquat de dire à une collègue qu'elle allait être licenciée sur la base d'une rumeur, sans en vérifier la véracité auprès de la hiérarchie. Il considérait ce comportement comme une faute. Le caractère aggravant résidait dans la durée qui s'était écoulée entre le moment où l'employé avait transmis l'information et celui où G._ avait été surprise en larmes, soit d'après lui environ trois semaines. Il avait été fâché par le manque de considération dont l'employé avait fait preuve à l'égard d'une mère de famille seule. C'était cette indifférence qui l'avait poussé à qualifier le comportement de l'employé de grave au point de justifier son licenciement.
A.k. I._ a été employée par A._ SA de janvier à juillet 2018.
Devant le tribunal de première instance, I._ a déclaré que le personnel de C._ craignait pour sa place, surtout les collaborateurs du restaurant et de la réception. D._ lui avait rapporté qu'elle allait être licenciée. Il lui avait dit détenir cette information de E._. D._ lui demandait presque tous les jours ce qu'elle faisait encore là. Elle s'en était ouverte à H._, qui lui avait répondu qu'il s'agissait de bruits de couloir et qu'elle ne devait pas s'inquiéter. Elle avait reçu son congé un mois plus tard.
Pour sa part, D._ a expliqué qu'il ne se souvenait pas avoir informé I._ de son prochain licenciement, mais qu'il avait appris de H._ qu'elle allait être licenciée. Il en avait ensuite discuté avec l'employé.
B.
B.a. Après une tentative infructueuse de conciliation, l'employé a saisi le Tribunal des prud'hommes de l'arrondissement de Lausanne d'une demande à l'encontre de A._ SA en vue d'obtenir le paiement d'un montant net de 30'000 fr. avec intérêts.
Par jugement du 7 janvier 2020, le tribunal a rejeté la demande. Il a considéré qu'en transmettant une information erronée à une collègue, plongeant cette dernière dans un état d'anxiété profonde pendant trois semaines, l'employé avait failli à son devoir de diligence et de fidélité envers A._ SA. Son comportement pouvait constituer un motif licite de licenciement. Il n'avait pas été démontré que le congé était en réalité lié à des événements antérieurs.
B.b. Statuant le 29 octobre 2020, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois a admis l'appel formé par l'employé. En substance, elle a réformé le jugement attaqué dans le sens que la demande est partiellement admise et que A._ SA doit verser à l'employé la somme de 21'300 fr. nette, avec intérêts, à titre d'indemnité pour licenciement abusif.
C.
A._ SA (ci-après: la recourante) a formé un recours en matière civile au Tribunal fédéral, en concluant à l'annulation de l'arrêt du Tribunal cantonal et à la confirmation du jugement du Tribunal des prud'hommes. Subsidiairement, elle a conclu à l'annulation dudit arrêt et à sa condamnation à verser à l'employé (ci-après: l'intimé) une indemnité nette n'excédant pas 10'650 fr. avec intérêts.
L'intimé a proposé le rejet du recours, dans la mesure de sa recevabilité.
La cour cantonale s'est référée à son arrêt.
Les parties ont spontanément déposé une réplique et une duplique, dans lesquelles elles ont maintenu leurs conclusions respectives.

Considérant en droit :
1.
Les conditions de recevabilité du recours en matière civile sont réalisées sur le principe, notamment celles afférentes à la valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. (<ref-law>) et au délai de recours (<ref-law>).
2.
2.1. Le recours peut être formé pour violation du droit fédéral (<ref-law>). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Eu égard, toutefois, à l'exigence de motivation qu'impose l'<ref-law>, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), il n'examine que les griefs invoqués, sauf en cas d'erreurs juridiques manifestes (<ref-ruling> consid. 2).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes ou découlent d'une violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). " Manifestement inexactes " signifie ici " arbitraires " (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.5). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3 et les références). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi les conditions précitées seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 et les références). Si elle souhaite obtenir un complètement de l'état de fait, elle doit aussi démontrer, par des renvois précis aux pièces du dossier, qu'elle a présenté aux autorités précédentes en conformité avec les règles de procédure les faits juridiquement pertinents à cet égard et les moyens de preuve adéquats (<ref-ruling> consid. 2). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (<ref-ruling> consid. 1.3.1).
En matière d'appréciation des preuves, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables. L'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait envisageable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 4.2).
3.
Le litige porte sur la question de savoir si le congé donné par la recourante à l'intimé était abusif et, cas échéant, sur le montant de l'indemnité fondée sur l'<ref-law>.
4.
Chaque partie peut décider unilatéralement de mettre fin à un contrat de travail de durée indéterminée (<ref-law>). Ce droit est toutefois limité par les dispositions sur le congé abusif (<ref-law>). L'<ref-law> énonce une liste non exhaustive de cas de résiliation abusive, concrétisant l'interdiction générale de l'abus de droit (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 2.1).
Est notamment abusif le congé donné par une partie parce que l'autre partie fait valoir de bonne foi des prétentions résultant du contrat de travail (art. 336 al. 1 let. d CO). Le fait que l'employé se plaigne d'une atteinte à sa personnalité ou à sa santé et sollicite la protection de l'employeur peut aussi constituer une telle prétention (cf. <ref-law>) (arrêt 4A_42/2018 du 5 décembre 2018 consid. 3.1). L'émission de ces prétentions doit avoir joué un rôle causal dans la décision de licenciement; à tout le moins doit-il s'agir du motif déterminant (<ref-ruling> consid. 2.6; arrêt 4A_310/2019 du 10 juin 2020 consid. 5.2). Savoir s'il existe un rapport de causalité naturelle est une question de fait (<ref-ruling> consid. 2.6; arrêt 4A_652/2018 du 21 mai 2019 consid. 4.1).
Pour dire si un congé est abusif, il faut se fonder sur son motif réel (arrêts précités 4A_652/2018 consid. 4.1 et 4A_42/2018 consid. 3.1). Déterminer le motif d'une résiliation est une question de fait (<ref-ruling> consid. 2.3). En revanche, savoir si le motif ainsi établi donne lieu à un congé abusif ou non relève du droit (arrêts 4A_266/2020 du 23 septembre 2020 consid. 3.1; 4A_310/2019 précité consid. 5.2).
La partie qui résilie abusivement le contrat doit verser à l'autre une indemnité (<ref-law>). Celle-ci est fixée par le juge, compte tenu de toutes les circonstances; toutefois, elle ne peut dépasser le montant correspondant à six mois de salaire du travailleur (<ref-law>).
5.
En l'espèce, la cour cantonale a relevé qu'il ressortait de plusieurs témoignages que les faits litigieux s'étaient déroulés dans un climat tendu s'agissant de l'emploi au sein de C._. Les rumeurs concernant les licenciements allaient bon train et leur propagation ne semblait pas être le seul fait de l'intimé. Il était cependant le seul à avoir été congédié. En particulier, D._ s'était adressé à plusieurs reprises à I._ pour évoquer son licenciement et pourtant il n'avait pas reçu d'avertissement ni été congédié. La cour cantonale a ainsi retenu que le motif invoqué par la recourante ne constituait pas la véritable raison du licenciement de l'intimé.
Selon la cour cantonale, ce motif était lié aux événements des 12 et 25 juin 2018 ayant opposé l'intimé à F._. Ce dernier était dépeint par D._, I._ et E._ comme une personnalité puissante, dotée d'un caractère particulier. En outre, depuis l'altercation entre l'intimé et F._, D._ avait eu le sentiment que cela allait être compliqué pour l'intimé et que le véritable motif de licenciement était le fait qu'il s'était " grillé " dans l'entreprise à la suite de cet épisode. Il ressortait des déclarations de D._ que le comportement de l'intimé lors des événements des 12 et 25 juin 2018 ne prêtait pas le flanc à la critique. L'intimé s'était néanmoins vu communiquer un avertissement le 28 juin 2018. Les 2 et 3 juillet 2018, il avait demandé que sa personnalité soit protégée face au comportement irrespectueux de F._. La recourante a résilié le contrat peu après, le 6 juillet 2018. Ainsi, la recourante avait préféré s'épargner un conflit de personnes et mettre fin aux revendications de l'intimé plutôt que de déplaire à F._. Cette situation était constitutive d'un licenciement abusif.
6.
6.1. La recourante se prévaut d'abord d'une constatation manifestement inexacte des faits, dans la mesure où la cour cantonale a retenu que le véritable motif de résiliation résidait dans les altercations survenues entre l'intimé et F._. Elle fait valoir que le motif réel avait trait à l'information donnée par l'intimé à G._.
6.2. Pour appuyer ses assertions, la recourante se fonde uniquement sur le contenu de certaines auditions, en écartant sans justification d'autres éléments de l'instruction sur lesquels s'est fondée la cour cantonale. Ce faisant, la recourante substitue sa propre appréciation des preuves à celle opérée par l'autorité précédente, sans parvenir à démontrer que cette dernière aurait sombré dans l'arbitraire.
En particulier, la recourante soutient que la cour cantonale aurait fait preuve d'arbitraire en retenant que les faits s'étaient déroulés dans un climat tendu s'agissant de l'emploi, que les rumeurs concernant les licenciements allaient bon train et que leur propagation ne semblait pas être le seul fait de l'intimé. Elle affirme, en se basant sur les témoignages de E._ et de I._, que seules trois personnes avaient été licenciées dans le courant de l'année 2018. Elle ajoute que les déclarations de I._ et de l'intimé quant au fait qu'ils auraient été informés des différents licenciements par D._, respectivement H._, ont été infirmées par ces derniers. Toutefois, il ressort tant des témoignages de G._, de I._, que de l'intimé, que les employés craignaient d'être licenciés. Par ailleurs, le seul fait que les déclarations d'un témoin, sur lesquelles s'est fondée la cour cantonale, ont été contestées par un autre, ne permet en aucun cas de conclure que la version retenue par la cour cantonale serait arbitraire. Un semblable vice n'est de surcroît pas décelable. I._ a expliqué que D._ avait abordé à de nombreuses reprises son prochain licenciement. Ce dernier a reconnu en avoir été informé par H._ et en avoir discuté avec l'intimé. Ainsi, en retenant que le climat était tendu s'agissant de l'emploi et que la propagation de rumeurs ne semblait pas être le seul fait de l'intimé, la cour cantonale n'a pas sombré dans l'arbitraire. Il en va de même s'agissant du fait que seul l'intimé avait été licencié pour ce motif. En particulier, D._, qui avait également colporté des rumeurs, n'avait pas été sanctionné pour ce comportement. Sur ce point, on ne voit pas en quoi le fait que le contrat de travail de celui-ci aurait pris fin en septembre 2018 aurait empêché l'employeuse de prendre de quelconques mesures à son égard.
Par ailleurs, en se référant à un passage de l'arrêt attaqué, la recourante se limite à affirmer qu'il " est établi " que l'intimé a donné une information qu'il " savait fausse " à G._. Or, tel n'est pas le cas. L'arrêt litigieux ne retient pas ce fait. La recourante fournit en réalité sa propre interprétation des différents témoignages exposés dans ce passage de l'arrêt attaqué.
S'agissant du motif de résiliation retenu par la cour cantonale, la recourante se prévaut, en particulier, du témoignage de E._, qui aurait déclaré que F._ n'avait pas requis le licenciement de l'intimé et que les faits des 12 et 25 juin 2018 n'avaient aucun lien avec la décision de licenciement. La recourante allègue également que selon H._, il n'était pas usuel que les membres de la direction générale se prononcent sur les décisions de licenciement et qu'elle-même n'avait pas entendu que F._ aurait sollicité le licenciement de l'intimé. Cependant, la cour cantonale a expliqué avec soin que plusieurs témoins avaient décrit F._ comme une personne puissante et que selon D._, l'intimé s'était " grillé " dans l'entreprise à la suite du premier incident avec F._. En outre, malgré un comportement exempt de toute critique lors des incidents des 12 et 25 juin 2018, l'intimé s'était vu communiquer un avertissement faisant état d'une attitude irrespectueuse envers F._. De plus, quelques jours après que l'intimé a requis que sa personnalité soit protégée face aux accusations infondées de F._, la recourante l'a licencié. Ainsi, les éléments dont se prévaut la recourante ne sauraient faire apparaître comme arbitraire l'appréciation des preuves au terme de laquelle la cour cantonale a retenu que le motif réel de licenciement avait trait aux événements impliquant F._ et aux revendications de l'intimé à cet égard. Il convient de rappeler que l'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait envisageable, voire préférable.
Dès lors, le grief de la recourante doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable.
7.
7.1. Ensuite, sous le couvert d'une prétendue violation de l'<ref-law>, la recourante conteste l'existence d'un lien de causalité entre les événements des 12 et 25 juin 2018 et le licenciement.
7.2. Déterminer s'il existe un rapport de causalité naturelle est une question de fait, que le Tribunal fédéral ne peut corriger que si elle se révèle arbitraire. Or, la recourante n'invoque pas l'arbitraire. En outre, elle se limite à opposer sa propre appréciation à celle de l'autorité cantonale, sans parvenir à démontrer que celle-ci aurait versé dans l'arbitraire en retenant un lien de causalité entre, d'une part, le licenciement de l'intimé et, d'autre part, le conflit avec F._ et les revendications de l'intimé à cet égard.
Pour le surplus, la recourante ne prétend pas que le congé donné pour les motifs établis dans l'arrêt attaqué ne serait pas abusif.
8.
Enfin, la recourante dénonce une violation de l'<ref-law> en lien avec le montant de l'indemnité fixé par la cour cantonale. Toutefois, les arguments développés par la recourante se rapportent au motif du congé qu'elle a invoqué, et non à celui retenu par la cour cantonale. Cette discussion est donc impropre à mettre en évidence une violation du droit.
9.
En définitive, le recours doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable.
La recourante, qui succombe, prendra en charge les frais judiciaires (<ref-law>). Elle versera en outre une indemnité de dépens à l'intimé (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à l'intimé une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 7 mai 2021
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Hohl
La Greffière : Raetz