Erwägungen:
1.
A._ ist als Beschwerdeführer beteiligt an verschiedenen bundesgerichtlichen Verfahren im Zusammenhang mit strafprozessualen Rechtsstreitigkeiten im Kanton Zürich (bundesgerichtliche Verfahren 1B_395/2020, 1B_403/2020, 1B_409/2020, 1B_413/2020 und 1B_439/2020). Im Rahmen dieser Verfahren ersuchte er um Akteneinsicht durch Zustellung der bundesgerichtlichen Akten. Unter anderem machte er geltend, er könne keine Schutzmaske tragen, weshalb ihm eine Anreise an das Bundesgericht verwehrt sei. In einer ersten Verfügung vom 11. November 2020 informierte die Instruktionsrichterin Monique Jametti über das übliche Vorgehen bei Akteneinsichtsbegehren am Bundesgericht, teilte das Gesuch den übrigen Verfahrensbeteiligten mit und setzte diesen Frist zur Stellungnahme. Mit der zweiten Verfügung vom 26. November 2020 wies die Instruktionsrichterin Monique Jametti das Gesuch um Zustellung der bundesgerichtlichen Akten zwecks Akteneinsicht ab und setzte A._ Frist zur Akteneinsicht am Bundesgericht im Sinne der Erwägungen bis zum 15. Dezember 2020. In den Erwägungen hielt sie namentlich fest, dass A._ am Bundesgericht selbst oder vertreten durch eine schriftlich bevollmächtigte Drittperson Einsicht in die bundesgerichtlichen Akten der rubrizierten Verfahren nehmen könne. Die Akteneinsicht werde unter Präsenz einer Mitarbeiterin oder eines Mitarbeiters des Bundesgerichts sowie unter Beachtung der pandemiebedingten Schutzmassnahmen erfolgen. Der Gesuchsteller habe vorweg mit der Kanzlei der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung Kontakt aufzunehmen, um einen Termin zu vereinbaren. Nach benutztem oder unbenutztem Ablauf der Frist würden die bundesgerichtlichen Verfahren fortgesetzt.
2.
Mit Eingabe vom 27. November 2020 beantragt A._ den Ausstand von Bundesrichterin Monique Jametti. Zur Begründung macht er im Wesentlichen geltend, sie habe verschiedene Verfehlungen zu verantworten. Insbesondere habe sie die beiden genannten Verfügungen unerlaubterweise auch Rechtsanwalt B._ zugestellt und sie unternehme alles, um die Akteneinsicht durch A._ zu verhindern.
3.
3.1. Nach <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> und Art. 6 EMRK hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Dass ein Richter, namentlich im Instruktionsstadium, gegen eine bestimmte Person entscheidet, rechtfertigt für sich allein noch keinen Ausstand. Die Garantie des verfassungsmässigen Richters wird nur verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Wird der Ausstandsgrund aus materiellen oder prozessualen Rechtsfehlern abgeleitet, so sind diese nur wesentlich, wenn sie besonders krass sind und wiederholt auftreten, sodass sie einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkommen und sich einseitig zulasten einer der Prozessparteien auswirken; andernfalls begründen sie keinen hinreichenden Anschein der Befangenheit (zum Ganzen etwa <ref-ruling> E. 2.3 S. 146; <ref-ruling> E. 3.4 S. 116).
3.2. Das Verhalten, das der Antragsteller Bundesrichterin Monique Jametti vorwirft, vermag keinen Ausstandsgrund zu setzen. Rechtsanwalt B._ wurden die Verfügungen zur Kenntnisnahme zugestellt, weil er zumindest teilweise in den fraglichen Strafverfahren im Kanton als amtlicher Verteidiger eingesetzt ist und mithin über die Verfahrensentwicklung informiert zu sein hat, und zwar grundsätzlich unabhängig davon, ob der Antragsteller damit einverstanden ist oder nicht. Besondere Geheimhaltungsinteressen werden nicht ausreichend geltend gemacht und sind jedenfalls nicht ersichtlich. Dass die bundesgerichtliche Instruktionsrichterin die verlangte Akteneinsicht zu verhindern beabsichtigt, ist ebenfalls nicht nachvollziehbar. Im Gegenteil hat sie diese ja bewilligt, wenn auch unter anderen Bedingungen als vom Antragsteller erwünscht. Diesem ist es ohne weiteres zumutbar, nach Lausanne ans Bundesgericht zu reisen oder sich entsprechend vertreten zu lassen, um die von ihm beantragte Einsicht in die bundesgerichtlichen Akten vor Ort vorzunehmen. Das entspricht der Praxis in anderen Fällen und stellt keinen Verfahrensmangel dar. Daran ändert nichts, dass der Antragsteller mit weiterer separater Eingabe, die ebenfalls vom 27. November 2020 datiert ist, nunmehr beliebt machen will, die Akteneinsicht am zweiten Standort des Bundesgerichts in Luzern vorzunehmen. Auch sonst sind keine Anhaltspunkte für einen Ausstandsgrund ersichtlich. Insbesondere ist es üblich und mit Blick auf die erforderliche Unvoreingenommenheit angezeigt, dass Gerichtspersonen mit Verfahrensbeteiligten keine telephonischen Gespräche führen und auch nicht in elektronischen Mailverkehr treten. Es besteht demnach weder Anlass für den Ausstand von Bundesrichterin Monique Jametti noch für eine Abänderung bzw. Konkretisierung der bundesgerichtlichen Verfügung vom 26. November 2020 im Sinne der Eingaben des Antragstellers vom 27. November 2020.
4.
Das Gesuch um Ausstand von Bundesrichterin Monique Jametti ist ohne weiteren Schriftenwechsel abzuweisen. Der Antragsteller ersucht auf einer auf dem Ausstandsbegehren aufgeklebten Post-it-Notiz um unentgeltliche Rechtspflege. Dieses Gesuch ist nicht unterzeichnet und wird nicht weiter begründet. Im Zusammenhang mit dem vorliegenden Entscheid über den Ausstand kann jedoch ausnahmsweise von der Erhebung von Gerichtskosten abgesehen werden (vgl. <ref-law>), weshalb über das Gesuch nicht entschieden zu werden braucht.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Der Antrag um Ausstand von Bundesrichterin Monique Jametti wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Antragsteller, der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich (Besondere Verfahren), der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich, der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich (Cyberkriminalität), dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, dem Bezirksgericht Zürich, Zwangsmassnahmengericht, und B._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Dezember 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Uebersax