Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1981) und B._ (geb. 1980) sind die geschiedenen Eltern von C._ (geb. 2012) und D._ (geb. 2014). Die Kinder stehen unter der gemeinsamen elterlichen Sorge sowie unter der Obhut der Mutter.
B.
B.a. Im Februar 2019 erstattete der Vater eine Gefährdungsmeldung bei der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde E._ (KESB). Er begründete diese hauptsächlich mit Verhaltensauffälligkeiten der Kinder, gestörtem Essverhalten, fehlender Hygiene sowie einer Instrumentalisierung der Kinder im Elternkonflikt.
B.b. Daraufhin beantragte die Mutter am 12. April 2019 superprovisorisch und vorsorglich die Sistierung des persönlichen Verkehrs zwischen Vater und Kindern.
B.c. Die KESB sistierte am 17. April 2019 superprovisorisch den persönlichen Verkehr.
B.d. Am 17. Juni 2019 erstattete die Mutter bei der Kantonspolizei eine Strafanzeige gegen den Vater, da dieser dem Sohn anlässlich zweier Besuche Körperverletzungen zugefügt bzw. Tätlichkeiten begangen habe. Im darauffolgenden Monat ergänzte sie die Strafanzeige mit dem Vorwurf von im Jahr 2016 begangenen sexuellen Handlungen mit dem Sohn.
B.e. Am 29. Juli 2019 entschied die KESB vorsorglich über den persönlichen Verkehr, indem sie jeweils zweistündige, begleitete Kontakte alle vierzehn Tage während zweier Monate anordnete. Anschliessend sei die Dauer der Kontakte während zweier Monate auf vier Stunden zu erhöhen und für die Zeit danach auf sechs Stunden. Sodann errichtete sie eine Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB und erteilte der Beiständin den Auftrag, den Kontakt zwischen den Kindern und ihrem Vater zu organisieren. Einer allfälligen Beschwerde entzog sie die aufschiebende Wirkung.
B.f. Zwischen dem Vater und den Kindern fanden seither keine Kontakte statt.
C.
C.a. Die Mutter focht den Entscheid vom 29. Juli 2019 mit Beschwerde beim Bezirksrat F._ an und beantragte unter anderem, es sei die aufschiebende Wirkung ihres Rechtsmittels wiederherzustellen.
C.b. Dieses Begehren wies die Präsidentin des Bezirksrats mit Verfügung vom 2. September 2019 ab.
D.
Dagegen erhob die Mutter am 16. September 2019 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich, welches diese mit Urteil vom 25. September 2019 ebenfalls abwies.
E.
E.a. Mit Beschwerde vom 14. Oktober 2019 gelangt A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie verlangt, es sei das obergerichtliche Urteil aufzuheben und dem Entscheid der KESB [ recte wohl: der Beschwerde dagegen] die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Ferner beantragt sie die aufschiebende Wirkung ihrer Beschwerde ans Bundesgericht sowie die unentgeltliche Rechtspflege.
E.b. Mit Eingaben vom 30. Oktober 2019 beantragt B._ (Beschwerdegegner) die Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung der Beschwerde ans Bundesgericht und stellt seinerseits ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
E.c. Der Präsident der urteilenden Abteilung hat das Gesuch der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung ihrer Beschwerde ans Bundesgericht mit Verfügung vom 6. November 2019 abgewiesen.
E.d. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, jedoch keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin (<ref-law>) über die Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung einer Beschwerde betreffend vorsorgliche Massnahmen zum persönlichen Verkehr entschieden hat. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, welcher rechtsprechungsgemäss einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; Urteil 5A_514/2018 vom 20. Februar 2019 E. 1.2.2 in fine mit Hinweis). Die Angelegenheit ist nicht vermögensrechtlicher Natur, denn bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382). Die Beschwerdeführerin ist zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>) und hat die Beschwerdefrist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen ist die Beschwerde gemäss <ref-law> grundsätzlich zulässig.
1.2. Die Beschwerdeführerin bietet zum Beweis ihrer Sachverhaltsdarstellung eine Partei- sowie eine Zeugenbefragung an. Im Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht werden Beweismassnahmen indessen nur ausnahmsweise angeordnet. Voraussetzung hierfür ist im hiesigen Verfahren, dass die Vorinstanz den Sachverhalt unter Verletzung verfassungsmässiger Rechte festgestellt hat (vgl. hinten E. 2.3). Dies darzutun obliegt der Beschwerdeführerin (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 104), was ihr nicht gelingt (vgl. hinten E. 2.3), sodass ihre Beweisanträge abzuweisen sind.
2.
2.1. Beim Entscheid über die aufschiebende Wirkung handelt es sich um eine vorsorgliche Massnahme im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2 S. 477 mit Hinweisen). Ohnehin beschlägt bereits das Hauptverfahren vorsorgliche Massnahmen, sodass auch im Beschwerdeverfahren gegen den Zwischenentscheid nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden kann (vgl. Urteil 5A_726/2017 vom 23. Mai 2018 E. 2.1 mit Hinweis).
Die Beschwerdeführerin kann sich deshalb nicht auf eine Verletzung von <ref-law> berufen, zumal sie keine willkürliche Anwendung dieser bundesrechtlichen Bestimmung rügt. Ohnehin beschlüge dieses Vorbringen nicht die Thematik der aufschiebenden Wirkung, sondern jene des persönlichen Verkehrs und somit den Entscheid in der Hauptsache, welcher vorliegend nicht Anfechtungsobjekt bildet (<ref-ruling> E. 4.4.2 S. 156 mit Hinweisen). Ebenfalls unzulässig sind der Vorwurf der Ermessensüberschreitung (<ref-law>) sowie die implizite Rüge der Verletzung der Offizial- und Untersuchungsmaxime.
2.2. Für die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin muss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte in der Beschwerde präzise vorbringen und begründen. Im Schriftsatz ist im Einzelnen substanziiert darzulegen, worin die Verletzung besteht (<ref-ruling> E. 2.5 S. 210). Dies setzt voraus, dass sich die Beschwerde mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt (<ref-ruling> E. 3.2 S. 579 mit Hinweis). Das Bundesgericht beurteilt nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368 mit Hinweis).
Die Beschwerdeführerin macht eine Verletzung des rechtlichen Gehörs geltend, da der angefochtene Entscheid "ohne weitere Anhörung" der beteiligten Parteien, insbesondere des Kindesvertreters, getroffen worden sei. Dessen Stellungnahme vom 26. August 2019, in welcher er die weitere Sistierung des Besuchsrechts befürwortet und beantragt habe, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen, sei in keiner Weise berücksichtigt worden. Die Beschwerdeführerin präzisiert nicht, welchen Teilgehalt ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör sie hier als verletzt erachtet. Sie schweigt sich darüber aus, ob sie die fragliche Stellungnahme bei der Vorinstanz einreichte, jene die Eingabe aber ungerechtfertigterweise nicht zuliess (Verletzung des Beweisanspruchs) bzw. die Ausführungen der Beschwerdeführerin dazu ausser Acht liess, obwohl sich eine Auseinandersetzung damit aufgedrängt hätte (Verletzung der Begründungspflicht), ob sie einen Beweisantrag auf Edition der Stellungnahme stellte, welchem zu Unrecht nicht stattgegeben wurde (Verletzung des Beweisanspruchs) oder ob die Stellungnahme von Amtes wegen beigezogen worden war, die Vorinstanz in ihrer Entscheidbegründung indessen nicht ausführte, dass und weshalb sie dem Antrag des Kindesvertreters kein entscheidendes Gewicht beimass (Verletzung der Begründungspflicht). Die behauptete Gehörsverletzung ist damit nicht genügend substanziiert. Willkürliche Sachverhaltsfeststellung behauptet die Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang nicht.
Nebst ihrem eigenen Gehörsanspruch erachtet die Beschwerdeführerin auch jenen ihres Sohnes als verletzt. Ferner rügt sie eine Verletzung des Rechts beider Kinder auf persönliche Freiheit (<ref-law>). Es kann offen gelassen werden, ob sie zur Geltendmachung dieser verfassungsmässigen Rechte ihrer Kinder befugt ist, da sie hier an der Sache vorbei zielt. Ihre Argumentation richtet sich inhaltlich gegen den Entscheid in der Sache, nicht gegen jenen über die aufschiebende Wirkung. Wie die Beschwerdeführerin selbst ausführt, hatte der Kindesvertreter zur Frage der aufschiebenden Wirkung offenbar bereits in ihrem Sinne Stellung bezogen. Inwiefern das rechtliche Gehör des Sohnes (wohl in seinem Teilaspekt des Äusserungsrechtes) mit Bezug auf die Thematik der aufschiebenden Wirkung durch das Ausbleiben einer weiteren Anhörung verletzt worden sein soll, tut sie nicht dar. Auch mit der Begründung, die Kinder wollten den Vater nicht sehen, weshalb die Anordnung von Kontakten zum Zwang werde und ihr Recht auf persönliche Freiheit verletze, bezweckt sie vielmehr die Rechtsfehlerhaftigkeit des Entscheids in der Sache selbst darzutun. Im Übrigen ergibt sich der angerufene Kindeswille nicht aus dem angefochtenen Entscheid, wo lediglich die entsprechende Behauptung der Beschwerdeführerin wiedergegeben wird. Unter diesen Umständen hätte es ihr oblegen nachzuweisen, dass der angebliche Kindeswille aktenkundig ist. Sodann fehlen Ausführungen dazu, weshalb die Voraussetzungen (<ref-law>) für den behaupteten Eingriff in das Recht der Kinder auf persönliche Freiheit nicht erfüllt sein sollten. Damit ist die Beschwerdeführerin schon ihrer Rügepflicht nicht nachgekommen.
Insofern sie schliesslich vorbringt, der Entzug der aufschiebenden Wirkung präjudiziere den Endentscheid in der Sache, macht sie in diesem Zusammenhang keine Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend, sodass hierauf nicht einzugehen ist. Überhaupt setzt sie sich mit der entscheidenden Überlegung der Vorinstanz, es müsse einer Entfremdung der Kinder gegenüber dem Vater entgegengewirkt werden und die Anordnung von begleiteten Besuchen trüge den Bedenken der Staatsanwaltschaft genügend Rechnung, in keiner Weise auseinander.
2.3. Das Bundesgericht ist an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (<ref-law>). Eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt in Verfahren nach <ref-law> nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588 f. mit Hinweisen). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (Urteil 4A_50/2019 vom 28. Mai 2019 E. 1.3 mit Hinweis).
Soweit die Beschwerdeführerin sich darauf beschränkt, ihre eigene Darstellung der Geschehnisse (etwa bezüglich der behaupteten roten Striemen auf der Haut der Tochter nach Besuchen beim Vater) vorzutragen, ohne Willkür in der Sachverhaltsfeststellung zu rügen, bleiben ihre Ausführungen von vornherein unbeachtlich. Aber auch dort, wo sie willkürliche Sachverhaltsfeststellung rügt, erweisen sich ihre Ausführungen als ungenügend. Hinsichtlich der vorinstanzlichen Feststellung, es sei seit der Sistierung des Besuchsrechts zu keinem Kontakt mehr zwischen den Kindern und dem Vater gekommen, bringt sie vor, aus der Stellungnahme des Beschwerdegegners vom 26. August 2019 (Ziff. 25 ff.) ergebe sich, dass es seither zu zwei Begegnungen mit den Kindern gekommen sei. Indessen unterlässt sie es aufzuzeigen, inwiefern sich ein in ihrem Sinne festgestellter Sachverhalt auf das Entscheidergebnis auswirken könnte. Entsprechendes hat zu gelten, wo sie die fehlende Anhörung ihres Sohnes bezüglich der gegenüber dem Beschwerdegegner neu erhobenen Vorwürfe, insbesondere betreffend die angeblich im Wald stattgefundenen Schiessübungen in Anwesenheit des Sohnes, bemängelt. Hier zeigt sie ebenso wenig auf, welche entscheidrelevante Sachverhaltsergänzung sie sich von einer Anhörung erhofft. Damit genügt sie ihrer Rügepflicht nicht.
2.4. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Neu im Sinne dieser Bestimmung sind Tatsachen und Beweismittel, die weder im vorangegangenen Verfahren vorgebracht noch von der Vorinstanz festgestellt worden sind (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 364). Echte Noven, das heisst Tatsachen, die erst nach dem Ergehen des angefochtenen Entscheids aufgetreten sind, sind unzulässig (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123 mit Hinweis). Dasselbe gilt für Tatsachen, die nach dem Zeitpunkt eingetreten sind, in welchem zuletzt Noven vor der Vorinstanz vorgebracht werden konnten (Urteil 5A_524/2017 vom 9. Oktober 2017 E. 2.3 mit Hinweis). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Voraussetzungen für eine nachträgliche Einreichung von Tatsachen und Beweismitteln erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 3 S. 346).
Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, dass die als Beilage 3 zur Beschwerdeschrift eingereichte Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts vom 20. September 2019 noch vor Beginn der Urteilsberatung im kantonalen Beschwerdeverfahren ergangen bzw. der Vorinstanz eingereicht worden wäre. Die Verfügung bleibt deshalb unberücksichtigt und die Beschwerdeführerin kann nicht gestützt darauf willkürliche Sachverhaltsfeststellung behaupten. Ohnehin erläutert sie in diesem Zusammenhang nicht, inwiefern die Vorinstanz den Sachverhalt falsch festgestellt haben soll, sondern beschränkt sich auf die Behauptung, jener sei nicht richtig ermittelt worden (Beschwerde, Ziff. 47 S. 22). Ihre diesbezüglich an anderer Stelle vorgetragene Kritik erschöpft sich in der Aussage, die Vorinstanz übersehe, dass allein die aufgezwungene Gegenwart des Vaters den Sohn erneut beeinflusse und traumatisiere und dass beide Kinder unter Alpträumen und Angstzuständen litten (Beschwerde, Ziff. 44 S. 21), was den Rügeanforderungen ebenfalls nicht genügen würde.
2.5. Im Ergebnis erweisen sich sämtliche in der Beschwerdeschrift vorgetragenen Rügen als ungenügend, sodass auf die Beschwerde insgesamt nicht eingetreten werden kann.
3.
Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Sie hat dem Beschwerdegegner für dessen Stellungnahme zu ihrem Gesuch um aufschiebende Wirkung eine Parteientschädigung von Fr. 500.-- zu entrichten. Damit wird das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos. Da nicht anzunehmen ist, dass er die Parteientschädigung bei der Beschwerdeführerin wird erhältlich machen können, wird sein Rechtsvertreter aus der Bundesgerichtskasse entschädigt. Wie die vorigen Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin als von Anfang an aussichtslos gelten, sodass ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden kann (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.-- zu entschädigen. Die Entschädigung wird indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen und Rechtsanwalt Fidel Cavelti aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 500.-- entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, C._ und D._, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, Beiständin G._, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde E._ und der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich, Büro A-3, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. März 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Gutzwiller