Sachverhalt:
A.
A._ absolvierte am Istituto Superiore di Osteopatia ISO (Milano, Italien) eine Ausbildung in Osteopathie. Am 12. September 2017 ersuchte er die Interkantonale Prüfungskommission in Osteopathie der Schweizerischen Konferenz der kantonalen Gesundheitsdirektorinnen und -direktoren GDK (nachfolgend: Prüfungskommission bzw. PK/GDK) um Anerkennung seiner ausländischen Berufsqualifikation in der Schweiz. Er reichte hierzu den Bachelor of Science in Osteopathy vom 3. August 2015, ausgestellt von der University of Wales, und eine Bestätigung des ISO bezüglich des absolvierten Studienganges und der erworbenen Diplome (inkl. Bewertungsblätter) vom 30. August 2017 sowie eine Praktikumsbescheinigung der Praxis Osteopathie U._ vom 11. September 2017 ein. Die Prüfungskommission wies den Antrag mit Beschluss vom 8. Februar 2018 ab.
B.
Die gegen diesen Beschluss erhobene Beschwerde wies die Rekurskommission der Schweizerischen Konferenz der kantonalen Erziehungsdirektoren (EDK) und der GDK (nachfolgend: Rekurskommission EDK/GDK) mit Entscheid vom 8. Juni 2018 ab.
C.
Am 9. Juli 2018 erhebt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt, der Entscheid der Rekurskommission EDK/GDK sei aufzuheben und sein Antrag auf Anerkennung seiner ausländischen Berufsqualifikation in Osteopathie sei gutzuheissen. Eventualiter sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung zurückzuweisen.
Die Rekurskommission EDK/GDK verweist auf die Begründung im angefochtenen Entscheid und beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Prüfungskommission verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Rekurskommission EDK/GDK ist eine letzte kantonale Instanz im Sinne von <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 472 ff.; Urteil 2D_54/2014 vom 23. Januar 2015 E. 1.2). Ihre Entscheide können mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht angefochten werden (Art. 82 lit. a und <ref-law>; Art. 15 Abs. 2 der Verordnung der GDK vom 22. November 2012 über die Anerkennung und Nachprüfung von ausländischen Berufsqualifikationen in Osteopathie [VO Ausland] i.V.m. Art. 10 Abs. 2 der interkantonalen Vereinbarung vom 18. Februar 1993 über die Anerkennung von Ausbildungsabschlüssen [IVAA; AS 1997 2399]).
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist gemäss Art. 83 lit. t BGG unzulässig gegen Entscheide über das Ergebnis von Prüfungen und anderen Fähigkeitsbewertungen, namentlich auf den Gebieten der Schule, der Weiterbildung und der Berufsausübung. Diese Ausschlussbestimmung umfasst Prüfungsergebnisse im eigentlichen Sinn sowie Entscheide, die auf einer Bewertung der persönlichen Fähigkeiten einer Person beruhen. Dazu zählen auch Entscheide über Berufszulassungen, ausser wenn für den Zulassungsentscheid nicht die persönlichen Fähigkeiten des Bewerbers, sondern andere Umstände ausschlaggebend sind (Urteil 2C_701/2017 vom 18. Juni 2018 E. 1.1 mit Hinweis). Entscheide über die Gleichwertigkeit von Diplomen oder Prüfungen fallen nach der Rechtsprechung dann unter die Ausnahmebestimmung von Art. 83 Bst. t BGG, wenn die Anerkennung von der Beurteilung einer persönlichen Leistung abhängt (Urteil 2C_472/2017 vom 7. Dezember 2017 E. 1.1). Vorliegend hat die Vorinstanz nicht die individuellen Fähigkeiten des Beschwerdeführers beurteilt, sondern die Frage, ob die PK/GDK die Anerkennung seiner ausländischen Berufsqualifikation in der Schweiz zu Recht verweigert hat. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich als zulässig. Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde (Art. 42 Abs. 1-3 und Abs. 5, <ref-law>) des hierzu legitimierten Beschwerdeführers (<ref-law>) ist einzutreten.
1.2. Das Bundesgericht prüft frei die Anwendung von Bundesrecht, Völkerrecht und interkantonalem Recht (Art. 95 lit. a, b und e BGG). Es wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft jedoch unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f.). Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht gilt eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 372). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Dabei gelten, wie bei den in <ref-law> genannten Rügen, strenge Anforderungen an die Begründung (<ref-ruling> E. 9.2.3.6 S. 96 mit Hinweis).
2.
Der Beschwerdeführer rügt eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz sowie eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör.
2.1. Die Vorinstanz sei fälschlicherweise davon ausgegangen, er habe einen Bachelor of Science des ISO - einen Abschluss einer Privatschule - vorgelegt. Das sei aktenwidrig. Aus den Beilagen zum Anerkennungsgesuch vom 12. September 2017 gehe hervor, dass es sich um einen Bachelor der University of Wales und somit um einen staatlichen bzw. durch eine staatlich anerkannte Universität verliehenen Abschluss handle.
Im angefochtenen Entscheid ging die Vorinstanz davon aus, beim eingereichten Diplom aus Italien handle es sich nicht um einen Ausbildungsnachweis einer Behörde im Sinn der Legaldefinition. Es würde einer Umgehung der rechtlichen Bestimmungen gleichkommen, wenn man aufgrund der Diplomausstellung durch eine britische Partneruniversität von dieser Feststellung abweichen würde. Es werde nicht dargetan, dass das private italienische ISO eine eigentliche Filiale einer staatlichen Universität mit entsprechenden Qualitätsstandards wäre oder eine direkte Aufsicht bestanden hätte.
2.2. Der Beschwerdeführer macht im Zusammenhang mit dem genannten vorinstanzlichen Argument geltend, die Vorinstanz habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, indem sie ihm keine Gelegenheit gegeben habe, sich im Rahmen eines zweiten Schriftenwechsels zur Beschwerdeantwort der Prüfungskommission und insbesondere zur Frage des Verhältnisses des ISO zur University of Wales zu äussern.
In ihrer Stellungnahme zur Beschwerde vom 25. Mai 2018 führte die PK/GDK unter anderem aus, für die Anerkennung der Berufsqualifikation sei ausdrücklich vorausgesetzt, dass diese von einer staatlichen Institution ausgestellt worden sei. Diese Voraussetzung diene der Qualitätssicherung der Berufsausübung und solle gewährleisten, dass das Spektrum der Institutionen, deren Diplome anerkannt werden könnten, in qualitativer Hinsicht nicht zu weit gefasst werde. Es sei nicht ausgeschlossen, dass eine private Institution vom Staat zwar anerkannt werde, aber dennoch Abweichungen betreffend Struktur, Organisation und Niveau bestehen würden und insofern keine gleichwertige Qualifikation einer Ausbildung gewährleistet werden könne. Im Beschluss vom 8. Februar 2018 hatte die PK/GDK diesbezüglich einzig darauf verwiesen, es handle sich sowohl beim italienischen Diplom als auch beim Bachelor in Osteopathie um von Privatschulen ausgestellte Diplome.
2.3. Der Anspruch einer Partei, im Rahmen eines Gerichtsverfahrens zu replizieren, bildet einen Teilgehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Die Partei ist vom Gericht nicht nur über den Eingang einer Eingabe zu orientieren, sondern sie muss auch die Möglichkeit zur Replik haben (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 197; <ref-ruling> E. 3.3.3 S. 47 mit Hinweisen, Urteil 2D_39/2018 vom 18. Dezember 2018 E. 3.1). Es steht in erster Linie der Partei und nicht dem Richter zu, darüber zu befinden, ob neu beigebrachte Unterlagen es rechtfertigen, dass hierzu Stellung genommen wird. In diesem Sinne besteht aufgrund von <ref-law> ein eigentliches Replikrecht, und zwar in sämtlichen Gerichtsverfahren, d.h. selbst in jenen, die nicht in den Anwendungsbereich von Art. 6 Ziff. 1 EMRK fallen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 191 f. mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2.1). Hält eine Partei eine Stellungnahme zu einer zur Kenntnis zugestellten Vernehmlassung für erforderlich, so hat sie diese umgehend zu beantragen bzw. einzureichen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 255; <ref-ruling> E. 3.3.4 S. 47). Das Gericht hat mit dem Entscheid so lange zuzuwarten, bis es annehmen darf, der Adressat habe auf eine Eingabe verzichtet (<ref-ruling> E. 4.8 S. 105; Urteil 2C_876/2016 vom 17. Juli 2017 E. 2.2; je mit Hinweisen). Die Rechtsprechung bejaht in der Regel eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, wenn das Gericht weniger als zehn Tage nach Mitteilung der Eingabe entscheidet (Urteile 8C_229/2017 vom 25. Januar 2018 E. 4.1; 2C_469/2014 vom 9. Dezember 2014 E. 2.2; je mit Hinweisen).
Die Rekurskommission EDK/GDK prüft als richterliche Behörde und letzte kantonale Instanz im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.1 S. 472 ff.; vgl. E. 1.1 hiervor) nach den sinngemäss anwendbaren Vorschriften des VGG (SR 173.32) die Anwendung von interkantonalem Recht (Art. 10 Abs. 2 IVAA; Art. 9 des Reglements vom 6. September 2007 über die Rekurskommission der EDK und der GDK; Art. 15 VO Ausland; Art. 24 des Reglements der GDK vom 23. November 2006 für die interkantonale Prüfung von Osteopathinnen und Osteopathen in der Schweiz). Der Beschwerdeführer kann sich für dieses gerichtliche Verfahren auf das Replikrecht berufen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.3 ff. S. 102 ff.; vgl. E. 2.3 hiervor).
2.4. Vorliegend ist nicht bekannt, wann die Stellungnahme der Prüfungskommission vom 25. Mai 2018 beim Beschwerdeführer einging. Wenn davon ausgegangen wird, dass die Postaufgabe gleichentags erfolgte und die Eingabe von der Rekurskommission EDK/GDK umgehend an den Beschwerdeführer weitergeleitet wurde, konnte die Zustellung bestenfalls am 29. Mai 2018 erfolgen. Wird berücksichtigt, dass der Beschwerdeführer bis am Tag vor dem Entscheid - also bis zum 7. Juni 2018 - hätte reagieren müssen, standen ihm längstens neun Tage zur Verfügung, um eine Stellungnahme einzureichen. Diese Frist ist zu kurz. Dass der Beschwerdeführer um eine längere Frist zur Stellungnahme hätte ersuchen können, ändert daran nichts (vgl. Urteil 2C_794/2008 vom 14. April 2009 E. 3.5).
2.5. Der angefochtene Entscheid verletzt aus diesen Gründen den Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Dieser ist formeller Natur; seine Verletzung führt ungeachtet der Erfolgsaussichten in der Sache selbst in der Regel zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids (<ref-ruling> E. 3 S. 563 f). Eine Heilung dieses Verfahrensmangels im bundesgerichtlichen Verfahren ist im vorliegenden Fall nicht möglich, da auch Sachverhaltsrügen erhoben werden, die das Bundesgericht nicht mit freier Kognition überprüfen kann (<ref-ruling> E. 2.8.1 S. 226; <ref-ruling> E. 4.9 S. 105).
3.
Aufgrund dieser Erwägungen ist die Beschwerde gutzuheissen, der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang sind für das bundesgerichtliche Verfahren keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Die Rekurskommission EDK/GDK hat dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird gutgeheissen. Der Entscheid der Rekurskommission EDK/GDK vom 8. Juni 2018 wird aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
2.1. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2. Die Rekurskommission EDK/GDK hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.- zu entschädigen.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und der Rekurskommission EDK/GDK schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Februar 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Straub