Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 6. November 2019 verpflichtete das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern A._ dazu, sich auf eigene Kosten einer verkehrspsychologischen Fahreignungsuntersuchung bei einem Gutachter seiner Wahl zu unterziehen. Zur Begründung führte es aus, aufgrund von drei ihm im Rahmen eines laufenden Strafverfahrens vorgeworfenen Widerhandlungen gegen das Strassenverkehrsgesetz (SVG; SR 741.01) bestünden bei A._ berechtigte Zweifel an seiner charakterlichen Eignung zum Führen eines Motorfahrzeugs.
Eine von A._ gegen diese Verfügung erhobene Einsprache wies das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt mit Entscheid vom 20. Dezember 2019 ab. Die dagegen erhobene Beschwerde wies die Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern mit Urteil vom 22. April 2020 ab.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 9. Juli 2020 gelangt A._ an das Bundesgericht. Er beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und es sei von einer verkehrspsychologischen Fahreignungsuntersuchung abzusehen. Eventualiter beantragt er sinngemäss, das Verfahren betreffend die Administrativmassnahme sei bis zum Abschluss des laufenden Strafverfahrens zu sistieren. Ausserdem sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Die kantonalen Vorinstanzen sowie das Bundesamt für Strassen ASTRA beantragen die Abweisung der Beschwerde.
Mit Präsidialverfügung vom 28. August 2020 wurde der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (Art. 82 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG), mit dem die Vorinstanz eine verkehrsmedizinische Untersuchung zur Abklärung der Fahreignung des Beschwerdeführers bestätigte. Dieser schliesst das Verfahren nicht ab, sondern stellt einen Zwischenentscheid dar, der nach der Rechtsprechung anfechtbar ist, weil er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> bewirkt, indem der Beschwerdeführer einen Kostenvorschuss für die Abklärung leisten muss, der ihm möglicherweise nicht zurückerstattet wird, und er sich einer Untersuchung zu unterziehen hat (Urteile 1C_282/2019 vom 12. September 2019 E. 1.1; 1C_569/2018 vom 19. März 2019 E. 1.1). Der Beschwerdeführer ist als zur Fahreignungsabklärung Verpflichteter zur Beschwerde befugt (<ref-law>). Ihm wurde die Begründung des angefochtenen Urteils am 12. Juni 2020 zugestellt, weshalb die Beschwerdefrist gemäss <ref-law> eingehalten ist. Auf die Beschwerde ist daher grundsätzlich einzutreten.
1.2. Wie bereits vor der Vorinstanz bildet einzig die Anordnung der Fahreignungsuntersuchung Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens, nicht aber das hängige Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer wegen mehrfacher Widerhandlung gegen das Strassenverkehrsgesetz. Nicht einzutreten ist deshalb auf sämtliche Vorbringen des Beschwerdeführers, die im Ergebnis auf eine rechtliche Überprüfung der gegen ihn im laufenden Strafverfahren erhobenen Deliktsvorwürfe abzielen.
1.3. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Dieses wendet das Bundesgericht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht allerdings nur insoweit geprüft, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Hierzu gelten qualifizierte Begründungsanforderungen: In der Beschwerde ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern die angerufenen Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 579).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und zudem die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und <ref-law>). Das Bundesgericht prüft in diesem Fall nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3 S. 30; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266; je mit Hinweisen). Diesen Anforderungen genügt die vorliegende Rechtsschrift nicht. Der Beschwerdeführer beschränkt sich darauf, die sachverhaltlichen Feststellungen der Vorinstanz pauschal als falsch zu bezeichnen und ihnen eine eigene Version gegenüber zu stellen. Auf derartige, ungenügend begründete Rügen oder bloss allgemein gehaltene appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 4.2 S. 53).
1.5. Der Beschwerdeführer hat dem Bundesgericht sodann ein Schreiben der Bildungs- und Kulturdirektion des Kantons Bern eingereicht, in dem ihm der Kanton Bern wegen seinen Leistungen als Lehrer an der Berufsschule während der Coronakrise dankt. Dieses Dokument trägt den Vermerk "im Juni 2020" und wurde somit zu einem Zeitpunkt verfasst, als das angefochtene Urteil vom 22. April 2020 bereits gefällt war. Es handelt sich deshalb um ein neues und damit unzulässiges Beweismittel (<ref-law>). Inwiefern erst das Urteil der Vorinstanz zur Einreichung des Schreibens Anlass gegeben haben soll, ist nicht ersichtlich. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers liesse das Schreiben im Übrigen ohnehin keine Rückschlüsse auf seinen automobilistischen Leumund zu.
2.
In der Sache rügt der Beschwerdeführer keine konkrete Verletzung von Bestimmungen des Strassenverkehrsrechts oder sonstigem Bundesrecht, erachtet das angefochtene Urteil aber als willkürlich (<ref-law>). Es ist fraglich, ob die Beschwerdeschrift den qualifizierten Anforderungen von <ref-law> für die Rüge von Verfassungsverletzungen überhaupt genügt (vgl. vorne E. 1.3). Wie es sich damit verhält, kann aufgrund der nachstehenden Erwägungen aber offengelassen werden.
2.1. Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht; zudem ist erforderlich, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 372 mit Hinweisen). Die Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen hat oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat. Dass die vom Gericht gezogenen Schlüsse nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmen, belegt noch keine Willkür (<ref-ruling> E. 3.6.2 S. 287 mit Hinweisen).
2.2. Gemäss <ref-law> müssen Motorfahrzeugführer über Fahreignung und Fahrkompetenz verfügen. Die Fahreignung fehlt namentlich dann, wenn eine Person auf Grund ihres bisherigen Verhaltens nicht Gewähr bietet, dass sie künftig beim Führen eines Motorfahrzeugs die Vorschriften beachten und auf Mitmenschen Rücksicht nehmen wird (vgl. <ref-law>). Eine Fahreignungsuntersuchung ist anzuordnen, wenn konkrete Anhaltspunkte ernsthafte Zweifel an der Fahreignung einer Person wecken (<ref-law>, Art. 28a Abs. 1 der Verordnung vom 27. Oktober 1976 über die Zulassung von Personen und Fahrzeugen zum Strassenverkehr [Verkehrszulassungsverordnung, VZV; SR 741.51]). Ernsthafte Zweifel an der Fahreignung einer Person bestehen namentlich bei Vorliegen der in der nicht abschliessenden Aufzählung in Art. 15d Abs. 1 lit. a-e SVG genannten Gegebenheiten, unter anderem bei Verkehrsregelverletzungen, die auf Rücksichtslosigkeit schliessen lassen (<ref-law>). In den in <ref-law> aufgezählten Fällen ist grundsätzlich zwingend und ohne weitere Einzelfallprüfung eine Fahreignungsuntersuchung anzuordnen, selbst wenn die Zweifel im konkreten Fall noch nicht erhärtet oder nur abstrakter Natur sind. Diese Tatbestände begründen mithin einen Anfangsverdacht fehlender Fahreignung, welcher zur Anordnung einer Fahreignungsuntersuchung führt (Urteile 1C_282/2019 vom 12. September 2019 E. 3.3; 1C_648/ 2018 vom 10. Mai 2019 E. 2.1). Ein strikter Beweis fehlender Fahreignung ist nach dem Gesagten für die Rechtfertigung der Anordnung einer Fahreignungsuntersuchung nicht erforderlich (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 495 f.; Urteile 1C_282/2019 vom 12. September 2019 E. 3.3; 1C_658/2015 vom 20. Juni 2016 E. 2).
Wie in anderen administrativmassnahmerechtlichen Verfahren, steht sodann weder die strafprozessuale Unschuldsvermutung der Anordnung einer Fahreignungsuntersuchung entgegen, noch muss der Abschluss eines hängigen separaten Strafverfahrens abgewartet werden, bevor verwaltungsrechtliche Sicherheitsmassnahmen ergriffen werden können, die im Interesse der Verkehrssicherheit liegen (<ref-ruling> E. 2b-c S. 363 f.; Urteile 1C_199/2019 vom 12. September 2019 E. 2.2; 1C_658/2015 vom 20. Juni 2016 E. 2).
2.3. Dem Beschwerdeführer wird vorgeworfen, am 22. September 2018 infolge Nichtwahrens eines ausreichenden Abstandes beim Hintereinanderfahren sowie mangelnder Aufmerksamkeit bei der Ausfahrt aus dem Kreisverkehr mit einem ihn zuvor überholenden Rollerfahrer kollidiert zu sein. Als der Rollerfahrer seine Fahrt nach der Kollision fortsetzte, soll der Beschwerdeführer mit seinem Personenwagen erneut zu ihm aufgeschlossen haben, woraufhin der Rollerfahrer aus Angst anhielt und sein Fahrzeug abstellte. In der Folge soll es zu einem Wortgefecht zwischen dem Rollerfahrer und dem Beschwerdeführer gekommen sein. Danach soll der Beschwerdeführer mindestens einmal absichtlich in den abgestellten Roller gefahren sein, ehe er die Unfallstelle ohne Angaben seiner Personalien verlassen habe. Ihm wird weiter vorgeworfen, am 23. September 2018 wegen mangelnder Aufmerksamkeit sowie Nichtbeherrschens des Fahrzeugs einen Verkehrsunfall verursacht zu haben, als er in einer unübersichtlichen Rechtskurve entlang einer Strasse hinauf zum Mont Vully eine Joggerin überholte. Nach der Kollision soll der Beschwerdeführer die Joggerin sowie die weiteren Beteiligten verbal angefeindet und sich aggressiv verhalten haben. Der Beschwerdeführer bestreitet seine Beteiligung an diesen beiden Vorfällen nicht, erhebt jedoch Sachverhaltsrügen, die im Rahmen des separaten Strafverfahrens zu prüfen sein werden (vorne E. 1.2).
Schliesslich wird dem Beschwerdeführer vorgeworfen, am 21. Februar 2019 mit einem Firmenwagen seiner Arbeitgeberin einer sich auf einem Fussgängerstreifen befindlichen Person den Vortritt genommen zu haben, indem er zunächst vor dem Fussgängerstreifen anhielt, in der Folge jedoch wiederholt in ruckartiger Fahrweise auf den passierenden Fussgänger zufuhr. Damit soll er den Fussgänger dazu genötigt haben, auf die Seite zu treten um sich zu schützen. Der Beschwerdeführer bestreitet seine Beteiligung an diesem Vorfall. Die Vorinstanz hält jedoch unter Verweis auf die sich in den Akten befindlichen umfassenden Ermittlungen der Untersuchungsbehörden fest, aufgrund der Befragungen des Beschwerdeführers sowie mehreren übereinstimmenden Aussagen von Zeugen und Auskunftspersonen sei es äusserst wahrscheinlich, dass der Beschwerdeführer das involvierte Firmenfahrzeug im fraglichen Zeitpunkt selber gelenkt habe. Diese Ausführungen lassen keine offensichtlich falsche Sachverhaltsfeststellung erkennen, auch wenn der Beschwerdeführer behauptet, nicht selber gefahren zu sein.
2.4. Wie die Vorinstanz nachvollziehbar dargestellt hat, erlauben es die geschilderten Vorfälle zwar nicht, die Eignung des Beschwerdeführers zum Führen eines Motorfahrzeugs zu verneinen und ihm den Führerausweis vorsorglich zu entziehen. Sie werfen bezüglich seiner Fahreignung aber durchaus gewisse Fragen auf, die es verkehrspsychologisch zu untersuchen gilt. So erwägt die Vorinstanz mit Recht, dass dem Beschwerdeführer anlässlich der genannten Vorfälle jeweils ein impulsives und aggressives Verhalten vorgeworfen wird, was auf eine geringe Frustrationstoleranz hindeutet. Damit bestehen bereits berechtigte Zweifel, ob der Beschwerdeführer über die für die Teilnahme am Strassenverkehr notwendige Selbstbeherrschung verfügt. Die Vorinstanz führt weiter zutreffend aus, dass die verbalen Anfeindungen gegenüber den an den genannten Vorfällen beteiligten Personen sowie das Verlassen der Unfallstelle ohne Angabe der Personalien zudem aufzeigen, dass es dem Beschwerdeführer auch an Selbstreflexion und Einsichtsfähigkeit hinsichtlich seiner eigenen Fehler zu mangeln scheint. Ob der Beschwerdeführer über ein genügendes Verantwortungsbewusstsein verfügt, welches für das Führen von Motorfahrzeugen unabdingbar ist, erscheint somit ebenfalls fraglich zu sein (vgl. Urteil 1C_199/2019 vom 12. September 2019 E. 3.3). Erschwerend kommt hinzu, dass dem Beschwerdeführer der Führerausweis gemäss den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz in der Vergangenheit bereits zweimal vorübergehend entzogen wurde. Sein automobilistischer Leumund ist somit getrübt.
2.5. Die vorinstanzliche Annahme, dass unter diesen Umständen mehrere konkrete Anhaltspunkte bestehen, die berechtigte Zweifel an der charakterlichen Fahreignung des Beschwerdeführers erwecken, ist im Lichte der dargelegten Gesetzgebung und Praxis (vorne E. 2.2) nicht zu beanstanden. Vor dem Hintergrund, dass die strafprozessuale Unschuldsvermutung der Anordnung einer Fahreignungsuntersuchung nicht entgegensteht (vorne E. 2.2), ändert daran auch das Vorbringen des Beschwerdeführers nichts, es sei im laufenden Strafverfahren noch kein rechtskräftiges Urteil ergangen. Ebenso wenig ist es zu beanstanden, wenn die Vorinstanz für die Rechtfertigung der Administrativmassnahme auf die vorläufigen Untersuchungsergebnisse des Strafverfahrens abstellte, ist hierfür doch kein strikter Beweis notwendig (vorne E. 2.2). Nichts zu seinen Gunsten ableiten kann der Beschwerdeführer sodann aus dem Umstand, dass die Fahreignungsuntersuchung nicht sofort nach den genannten Vorfällen angeordnet wurde. Wie sich aus den Vorakten ergibt (<ref-law>), mussten wegen der strittigen Beteiligung des Beschwerdeführers am letzten ihm vorgeworfenen Vorfall vom 21. Februar 2019 zunächst die Untersuchungsergebnisse des Strafverfahrens abgewartet werden, bevor die Fahreignungsuntersuchung angeordnet werden konnte. Das vorläufige Zuwarten des Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt ist somit nicht zu beanstanden. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist die Vorinstanz somit nicht in Willkür (<ref-law>) verfallen, wenn sie den Beschwerdeführer gestützt auf <ref-law> zu einer Fahreignungsuntersuchung verpflichtet hat.
2.6. Ausgehend von den genannten Grundsätzen (vorne E. 2.2) waren die kantonalen Behörden schliesslich auch nicht gehalten, den Abschluss des hängigen Strafverfahrens abzuwarten, bevor sie den Beschwerdeführer dazu verpflichteten, sich einer verkehrspsychologischen Begutachtung zu unterziehen. Soweit der Beschwerdeführer deshalb sinngemäss beantragt, das Verfahren betreffend die Anordnung einer Fahreignungsuntersuchung sei bis zum Abschluss des laufenden Strafverfahrens zu sistieren, ist die Beschwerde ebenfalls als unbegründet abzuweisen.
3.
Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind keine geschuldet (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern, der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern und dem Bundesamt für Strassen ASTRA schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Dezember 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Hahn