Sachverhalt:
A.
Am 7. Oktober 2019 erhob Staatsanwältin Claudia Wiederkehr (Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis) beim Bezirksgericht Zürich Anklage gegen Rechtsanwalt A._. Sie wirft ihm vor, er habe an Gerichtsverhandlungen, an denen er als amtlicher Verteidiger teilgenommen habe, sich ehrverletzend gegenüber Staatsanwälten geäussert und diese falsch angeschuldigt.
B.
Am 15. Oktober 2019 erstattete A._ Strafanzeige gegen Staatsanwältin Wiederkehr. Darin brachte er vor, diese habe es abgelehnt, die Akten der Verfahren, in denen er die ihm zur Last gelegten Äusserungen gemacht haben soll, vollständig beizuziehen; ebenso, die Staatsanwälte, die Gerichtsvorsitzenden und die Beschuldigten jener Verfahren einzuvernehmen. Darin liege eine krasse Missachtung des Rechts auf Verteidigung. Es bestehe der Verdacht, dass sich Staatsanwältin Wiederkehr des Amtsmissbrauchs, der falschen Anschuldigung, der Irreführung der Rechtspflege, der Unterdrückung von Urkunden und der Ehrverletzung schuldig gemacht habe.
Am 2. Dezember 2019 übermittelte die Oberstaatsanwaltschaft die Akten dem Obergericht des Kantons Zürich mit dem Antrag, über die Ermächtigung zur Strafverfolgung von Staatsanwältin Wiederkehr zu entscheiden.
Mit Beschluss vom 20. Januar 2020 lehnte das Obergericht (III. Strafkammer) die Ermächtigung ab.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, den Beschluss des Obergerichts aufzuheben. Der Oberstaatsanwaltschaft sei die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung gegen Staatsanwältin Wiederkehr zu erteilen. Eventualiter sei die Sache an das Obergericht zurückzuweisen mit der Anweisung, der Oberstaatsanwaltschaft die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung gegen Staatsanwältin Wiederkehr zu erteilen.
D.
Das Obergericht und die Oberstaatsanwaltschaft haben auf Gegenbemerkungen verzichtet. Staatsanwältin Wiederkehr hat sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den angefochtenen Beschluss ist gemäss <ref-law> die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegeben (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 272). Die Beschwerdegegnerin gehört nicht den obersten kantonalen Vollziehungs- und Gerichtsbehörden an. Der Ausschlussgrund von <ref-law> kommt daher nicht zur Anwendung (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 272 f.). Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist nach <ref-law> zulässig. Der Beschwerdeführer ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde befugt. Der vorinstanzliche Beschluss stellt einen nach <ref-law> anfechtbaren Endentscheid dar (Urteil 1C_395/2019 vom 19. Oktober 2020 E. 1.1 mit Hinweisen). Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen sind grundsätzlich ebenfalls erfüllt. Auf die Beschwerde ist - unter Vorbehalt der folgenden Erwägungen - einzutreten.
1.2. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten beigezogen. Dem entsprechenden Verfahrensantrag ist damit Genüge getan.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt, der angefochtene Entscheid verletze <ref-law>.
2.2. Gemäss <ref-law> können die Kantone vorsehen, dass die Strafverfolgung der Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen von der Ermächtigung einer nicht richterlichen Behörde abhängt. Nach der Rechtsprechung können die Kantone auch eine richterliche Behörde als Ermächtigungsbehörde einsetzen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 276).
Gemäss § 148 des Gesetzes vom 10. Mai 2010 des Kantons Zürich über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess (GOG/ZH; LS 211.1) entscheidet das Obergericht über die Ermächtigung zur Strafverfolgung von Beamten gemäss <ref-law> wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen. Vorbehalten bleibt die Zuständigkeit des Kantonsrates. Letztere ist hier nicht gegeben (§ 131 Abs. 1 des Kantonsratsgesetzes vom 25. März 2019 des Kantons Zürich [LS 171.1]). Mit § 148 GOG/ZH sollen Staatsbedienstete vor mutwilliger Strafverfolgung geschützt werden. Das Strafverfahren soll daher erst durchgeführt werden können, wenn das Obergericht vorher seine Zustimmung dazu erteilt hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 277).
Da es sich bei der Beschwerdegegnerin um kein Mitglied der obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden handelt, dürfen im Ermächtigungsverfahren keine politischen, sondern einzig strafrechtliche Gesichtspunkte berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 2.4 S. 277 f.). Für die Erteilung der Ermächtigung müssen minimale Hinweise auf ein strafrechtlich relevantes Verhalten vorliegen. Nicht jeder Fehler eines Beamten begründet die Pflicht zur Erteilung der Ermächtigung zur Strafverfolgung. Hierfür bedarf es vielmehr genügender Anhaltspunkte für ein strafbares Verhalten (Urteil 1C_563/2018 vom 20. August 2019 E. 3.1 mit Hinweis).
2.3. Der Beschwerdeführer wirft der Beschwerdegegnerin Amtsmissbrauch gemäss <ref-law> vor. Danach werden Mitglieder einer Behörde oder Beamte bestraft, die ihre Amtsgewalt missbrauchen, um sich oder einem andern einen unrechtmässigen Vorteil zu verschaffen oder einem andern einen Nachteil zuzufügen. Nach der Rechtsprechung ist der hinsichtlich der Tathandlung sehr allgemein umschriebene Straftatbestand einschränkend dahin auszulegen, dass nur derjenige die Amtsgewalt missbraucht, welcher die Machtbefugnisse, die ihm sein Amt verleiht, unrechtmässig anwendet, d.h. kraft seines Amtes verfügt oder Zwang ausübt, wo es nicht geschehen dürfe. Amtsmissbrauch ist der zweckentfremdete Einsatz staatlicher Macht (<ref-ruling> E. 1a/aa S. 211 und 1b S. 212).
Dies kann der Beschwerdegegnerin offensichtlich nicht vorgeworfen werden. Wenn sie die Anträge des Beschwerdeführers auf Beizug sämtlicher Akten der Verfahren, in denen er die ihm zur Last gelegten Äusserungen gemacht haben soll, und auf Einvernahme der Staatsanwälte sowie der Gerichtsvorsitzenden und Beschuldigten jener Verfahren abgelehnt hat, hat sie nicht verfügt und noch weniger Zwang ausgeübt, wo es nicht geschehen durfte. Dass die Ablehnung der Anträge des Beschwerdeführers allenfalls als diskutabel erscheinen mag, genügt für die Annahme von Amtsmissbrauch nicht. Ein zweckentfremdeter Einsatz staatlicher Macht liegt klar nicht vor. Wenn die Vorinstanz minimale Hinweise auf Amtsmissbrauch verneint hat, verletzt das daher kein Bundesrecht.
2.4. Die Vorinstanz verneint derartige Hinweise ebenso in Bezug auf die Tatbestände der falschen Anschuldigung (<ref-law>), der Irreführung der Rechtspflege (<ref-law>), der Unterdrückung von Urkunden (<ref-law>) und der Ehrverletzung (<ref-law>). Inwiefern die Vorinstanz damit Bundesrecht verletzt haben soll, legt der Beschwerdeführer in der Beschwerde nicht dar. Er äussert sich zu diesen weiteren Tatbeständen nicht. Damit genügt er seiner Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 f. BGG) nicht, weshalb auf die Beschwerde insoweit nicht einzutreten ist. Der Verweis des Beschwerdeführers auf seine Strafanzeige und Stellungnahme im vorinstanzlichen Verfahren ist unzulässig, da die Begründung der Beschwerde in dieser selber enthalten sein muss (<ref-ruling> E. 1.2.3 S. 286). Wäre auf die Beschwerde im vorliegenden Punkt einzutreten gewesen, hätte das dem Beschwerdeführer im Übrigen nicht geholfen, da ernsthafte Anhaltspunkte für die Erfüllung dieser weiteren Tatbestände ebenfalls fehlen. Die Vorinstanz legt das zutreffend dar, worauf verwiesen werden kann (<ref-law>).
3.
Die Beschwerde ist deshalb abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien sowie der Oberstaatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Zürich (III. Strafkammer) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. November 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Härri