Faits :
A.
A.a. Par contrat du 21 septembre 2005, A._ a été engagé par la Direction de l'économie et de l'emploi du canton de Fribourg (DEE) en qualité de professeur spécialisé à la Haute école B._ de Fribourg. A l'occasion de l'évaluation périodique de 2014, ses supérieurs ont conclu que l'employé ne répondait pas aux exigences de la fonction. Ce dernier a demandé une réévaluation, laquelle a eu lieu à l'occasion d'une séance qui s'est tenue entre divers intervenants le 1er juillet 2014. A la suite de cette séance, le directeur général de la Haute école spécialisée de Suisse occidentale//Fribourg (ci-après: la HES-SO//FR) a demandé à l'autorité d'engagement d'ouvrir une procédure de renvoi pour justes motifs (lettre du 15 juillet 2014). Il était notamment reproché à l'intéressé d'avoir enfreint les procédures en vigueur, en particulier en parvenant, en octobre 2013, à engager sans autorisation une collaboratrice dans le cadre d'un des projets de l'école, sans informer ses supérieurs que cette dernière se trouvait être son épouse. Il lui était aussi fait grief de n'avoir pas respecté les règles relatives aux déplacements professionnels à l'étranger.
Le 18 juillet 2014, la DEE a informé A._ qu'elle ouvrait à son endroit une procédure de renvoi pour de justes motifs. Après divers échanges de correspondances, une entrevue a eu lieu le 21 janvier 2015 entre le collaborateur et un représentant de l'autorité. Le même jour, le médecin traitant de l'employé a mis celui-ci en arrêt de travail à raison d'une incapacité de travail de 100 % jusqu'au 8 février 2015. L'incapacité totale de travailler a été prolongée par le médecin le 4 février 2015 jusqu'au 31 mars 2015.
A.b. Par courrier du 17 mars 2015, la DEE a informé A._ qu'une décision de renvoi lui serait prochainement communiquée. Le lendemain, la DEE a été avertie par la direction de la Haute école spécialisée de Suisse occidentale (HES-SO) que l'intéressé dispensait un enseignement à l'étranger auprès de l'Ecole C._ de U._ depuis le semestre de printemps 2015, tous les vendredis et les samedis. Par courriel du même jour, l'autorité d'engagement s'est adressée au mandataire de l'employé en lui demandant de fournir des explications au sujet de cet emploi. Le mandataire n'a pas donné suite à cette demande.
Par décision du 23 mars 2015, la DEE a suspendu l'intéressé de son activité avec effet immédiat, cette mesure entrainant la suspension du traitement. Le 25 mars 2015, A._ a produit une attestation médicale faisant état d'une incapacité de travail à 100 % pour une durée indéterminée. Cette attestation précisait: "Cette incapacité de travail est secondaire aux difficultés rencontrées en lien avec l'employeur actuel, Monsieur A._ est toutefois en mesure d'exercer une activité non lucrative lui permettant d'exprimer ses compétences professionnelles si elle n'est pas en lien avec l'employeur actuel".
Par décision du 30 mars 2015, la DEE a prononcé le renvoi immédiat de A._ avec effet au 31 mars 2015 et exigé la restitution du salaire versé pour le mois de février 2015. Outre les reproches déjà formulés dans la lettre du 15 juillet 2014, il était fait grief au collaborateur d'avoir dispensé un enseignement à l'Ecole C._, à U._, alors qu'il était déclaré totalement incapable de travailler durant la période correspondante. La DEE a considéré que l'intéressé, pour ce motif, avait une fois de plus violé son contrat d'engagement avec l'Etat de Fribourg.
A.c. A._ a recouru contre cette décision devant le Conseil d'Etat, qui l'a débouté par décision du 19 septembre 2016.
B.
A._ a recouru contre la décision du Conseil d'Etat devant le Tribunal cantonal du canton de Fribourg (Ie Cour administrative). Il a conclu, principalement, à l'annulation de la décision attaquée et, subsidiairement, au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision.
Par arrêt du 27 octobre 2017, le Tribunal cantonal a partiellement admis le recours. Il a modifié la décision du Conseil d'Etat en ce sens que l'intéressé ne devait pas restituer le traitement du mois de février 2015. Il a rejeté le recours pour le surplus.
C.
A._ forme un recours en matière de droit public dans lequel il conclut, principalement, à l'annulation de l'arrêt cantonal et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision (ch. 2). Subsidiairement, il conclut à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens que la DEE est astreinte à lui verser une indemnité correspondant à six mois de salaire, attendu que sa réintégration "n'est en l'état plus possible" (ch. 2/II). Il demande enfin que les heures supplémentaires "constatées par la Convention du 17 novembre 2011" lui soient payées (ch. 2/III).
La DEE conclut au rejet du recours. A._ a répliqué.

Considérant en droit :
1.
La Haute école B._ fait partie de la HES-SO//FR. Cette dernière est un établissement autonome de droit public, doté de la personnalité juridique (art. 1er et 2 de la loi du canton de Fribourg du 15 mai 2014 sur la Haute Ecole spécialisée de Suisse occidentale//Fribourg [LHES-SO//FR; RSF 432.12.1]). Le personnel de la HES-SO//FR est régi par la législation sur le personnel de l'Etat (sous réserve de dispositions particulières non pertinentes en l'espèce), à savoir la loi du canton de Fribourg du 17 octobre 2001 sur le personnel de l'Etat (LPers/FR; RSF 122.70.1). Le jugement entrepris a donc été rendu en matière de rapports de travail de droit public au sens de l'art. 83 let. g LTF.
2.
La conclusion tendant au paiement par l'Etat de Fribourg d'heures supplémentaires est nouvelle et, partant, irrecevable (art. 99 al. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 22). Du reste, le recours ne contient aucune motivation à l'appui de cette conclusion, de sorte que celle-ci est également irrecevable au regard des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF. Toute aussi nouvelle - et donc irrecevable - est la conclusion, prise seulement devant le Tribunal fédéral, relative au versement d'une indemnité correspondant à six mois de salaire.
3.
3.1. Cela dit, la seule question qui se pose à ce stade est de savoir si le recourant a un intérêt digne de protection (art. 89 al. 1 LTF) à ce que la cause soit renvoyée à l'autorité pour qu'elle rende une nouvelle décision, conformément à sa conclusion principale, seule recevable (ch. 2). Le recourant - qui a affirmé en procédure cantonale qu'il ne souhaitait pas retourner exercer au sein de la Haute école B._ - n'indique pas en quoi consisterait, dans le cas d'espèce, cet intérêt digne de protection. Les premiers juges, quant à eux, ont retenu que l'intéressé disposait encore d'un intérêt digne de protection, bien qu'il ne demandât pas - ou plus - sa réintégration. Ils ont considéré que si le recours porté devant eux devait être admis et le licenciement déclaré injustifié, l'art. 41 LPers/FR serait applicable, indépendamment des conclusions prises par le recourant. Selon cette disposition, lorsque les motifs de licenciement se révèlent injustifiés, le collaborateur ou la collaboratrice est maintenu-e dans sa fonction; toutefois, s'il y a eu cessation de fait des rapports de service et qu'une réintégration du collaborateur ou de la collaboratrice ne soit plus possible, celui-ci ou celle-ci a droit à une indemnité dont le montant maximal est égal à une année de traitement.
3.2. La question de savoir si le recourant justifie d'un intérêt digne de protection au présent recours peut toutefois rester ouverte. En effet, le recours, à supposer également qu'il soit recevable au regard du seuil requis de la valeur litigieuse (cf. art. 85 al. 1 let. b LTF), devrait de toute façon être rejeté pour les motifs qui suivent.
4.
Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Selon l'art. 97 al. 1 LTF, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-ruling> consid. 6 p. 358; <ref-ruling> consid. 1.6 p. 377).
5.
La cour cantonale constate que l'employeur a ouvert successivement deux procédures de renvoi avec effet immédiat, pour des motifs différents, intervenues à des moments bien distincts et qu'il a ensuite regroupées dans une seule et même décision de renvoi. S'agissant de la procédure initiale, ouverte le 18 juillet 2014, il fallait considérer que le renvoi pour de justes motifs était intervenu tardivement, en violation du principe d'immédiateté. En revanche, le fait - découvert le 18 mars 2015 - d'exercer une activité accessoire pendant une incapacité de travail justifiait, à lui seul, la mesure de licenciement prise par l'employeur.
6.
6.1. Le recourant invoque une appréciation arbitraire des faits. Le Tribunal cantonal aurait retenu à tort qu'il avait violé son obligation de fidélité en se fondant uniquement sur une publication du site internet de l'Ecole C._ à U._, où son nom apparaissait en tant qu'intervenant. En outre, la cour cantonale n'aurait tenu aucun compte de ses objections concernant son activité à U._. Il avait pourtant exposé que celle-ci n'était pas rémunérée, qu'il s'était rendu à l'Ecole C._ uniquement à titre d'intervenant et cela pour une courte durée. Enfin, son médecin traitant lui avait permis d'exercer une telle activité, afin de favoriser sa guérison.
6.2. Ces griefs ne sont pas fondés. Tout d'abord, le recourant ne conteste pas avoir exercé une activité à l'Ecole C._. Il n'est dès lors pas déterminant de savoir si l'information à ce sujet provenait de la seule consultation du site internet de l'école. Ensuite, le Tribunal cantonal a tenu compte des objections du recourant. Il a considéré, en particulier, qu'il importait peu de savoir si le recourant était engagé comme enseignant responsable ou simple intervenant, rémunéré ou non. Il s'est aussi déterminé sur l'avis exprimé par le médecin traitant de l'intéressé. Il a jugé à ce propos que l'élément déterminant résidait dans le fait que le collaborateur exerçait une activité accessoire à l'insu de son employeur, alors même qu'il était au bénéfice d'un arrêt de travail complet. Peu importaient, en définitive, les activités visées par l'attestation médicale, dès lors que le recourant exerçait à l'étranger une fonction qui nécessitait les mêmes compétences que celles pour laquelle il était engagé en Suisse (sur ces points cf. consid. 6a du jugement attaqué).
6.3. Par ailleurs, le recourant s'en prend vainement aux constatations de fait de la cour cantonale, lorsqu'il soutient qu'elle n'a pas pris en considération le mobbing dont il prétend avoir fait l'objet. Le recourant ne démontre pas en quoi le prétendu mobbing était de nature à justifier son comportement. Au demeurant, le reproche de mobbing repose sur de simples allégations, qui n'ont pas été étayées. Dans ses écritures à l'autorité cantonale, le recourant n'y a consacré aucun développement qui puisse faire apparaître comme crédibles ses affirmations. On comprend dès lors que les juges cantonaux ne se soient pas attardés sur le sujet.
7.
7.1. Le recourant conteste l'existence d'un juste motif de licenciement. Il soutient que le comportement reproché consistait en un événement unique et isolé et fait grief à la cour cantonale d'avoir comparé son cas à celui qui a fait l'objet de l'arrêt 8C_548/2012 du 18 juillet 2013. Il se plaint d'une application arbitraire du droit cantonal, singulièrement de l'art. 44 LPers/FR.
7.2. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Sauf exceptions non réalisées en l'espèce, le recours devant le Tribunal fédéral ne peut pas être interjeté pour violation du droit cantonal en tant que tel, mais il est possible de faire valoir qu'une mauvaise application du droit cantonal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 387; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 69). Une décision est arbitraire lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou lorsqu'elle contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Le Tribunal fédéral n'a pas à déterminer quelle est l'interprétation correcte que l'autorité cantonale aurait dû donner des dispositions applicables; il doit uniquement examiner si l'interprétation qui a été faite est défendable. Par conséquent, si celle-ci ne se révèle pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation cantonale en cause, elle sera confirmée, même si une autre solution paraît également concevable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 516).
7.3. L'art. 44 LPers/FR prévoit ceci:
1 En cas de manquements graves ou répétés aux devoirs de service, ou pour d'autres circonstances qui, selon les règles de la bonne foi, ne permettent pas d'exiger de l'autorité d'engagement le maintien des rapports de service, l'autorité d'engagement peut décider du renvoi pour de justes motifs du collaborateur ou de la collaboratrice.
2 La décision de renvoi a un effet immédiat.
Selon la jurisprudence, les justes motifs de renvoi des fonctionnaires ou employés de l'Etat peuvent procéder de toutes les circonstances qui, selon les règles de la bonne foi, excluent la poursuite des rapports de service, même en l'absence de faute. De toute nature, ils peuvent relever d'événements ou de circonstances que l'intéressé ne pouvait éviter, ou au contraire d'activités, de comportements ou de situations qui lui sont imputables (arrêts 8C_638/2016 du 18 août 2017 consid. 4.2; 8C_585/2014 du 29 mai 2015 consid. 5.2; 8C_621/2014 du 4 février 2015 consid. 5.2; 8C_780/2012 du 11 février 2013 consid. 5.2.1; 8C_70/2010 du 20 décembre 2010 consid. 2.2 non publié in <ref-ruling>).
7.4. Dans son appréciation juridique, la cour cantonale a retenu que le fait d'exercer une activité accessoire - pendant une incapacité de travail de 100 % déclarée à l'employeur - constituait une violation grave du devoir de fidélité. Cette appréciation doit être confirmée. Elle échappe en tout cas au grief d'arbitraire. Le fait d'avoir dissimulé l'activité en question, dans le même domaine pour lequel le recourant était réputé être incapable de travailler, constitue indéniablement une violation grave du devoir de fidélité, entrainant une rupture du lien de confiance et justifiant un licenciement avec effet immédiat (sur le devoir de fidélité en relation avec la dissimulation d'une activité accessoire, voir MOOR/BELLANGER/TANQUEREL, Droit administratif, vol. III, 2e éd. 2018, p. 601; arrêt 8C_548/2012 du 18 juillet 2013 consid. 4.4).
Le recourant tente vainement de minimiser les faits reprochés en affirmant, en particulier, qu'il s'agissait d'un manquement unique et isolé. Il oublie que son activité à l'Ecole C._ ne s'est pas limitée à un seul cours ou à une seule intervention, puisqu'elle s'est déroulée - cela est incontesté - les vendredis et samedis depuis le semestre de printemps 2015 et alors même qu'il était, pendant toute cette période, jugé totalement incapable de travailler par son médecin. Le fait que celui-ci a indiqué que le patient était en mesure d'exercer une activité (non lucrative), qui ne soit pas en lien avec l'employeur actuel n'apparaît guère crédible. Cette attestation faisait suite à la découverte par l'employeur des faits incriminés et à la mesure de suspension prise par celui-ci. Si véritablement l'activité en cause pouvait être dissociée, sous l'angle de la capacité de travail, de l'emploi au service de la Haute école B._, le recourant n'aurait pas eu de véritable motif d'en dissimuler l'existence.
7.5. Contrairement à ce que soutient le recourant, la présente cause ne diffère guère des faits qui sont à la base de l'arrêt 8C_548/2012 du 18 juillet 2013, dans laquelle le Tribunal fédéral a reconnu l'existence d'un juste motif de résiliation. Dans cette affaire, une fonctionnaire, engagée comme conseillère en personnel auprès d'un Office régional de placement avait travaillé dans un magasin de vêtements les mercredis après-midi à trois reprises au moins, de septembre à octobre 2011 à l'insu de son employeur et alors qu'elle se déclarait absente pour cause de maladie. Il n'était pas contesté qu'elle n'était alors plus autorisée à exercer cette activité compte tenu de son incapacité de travail de longue durée pour laquelle elle s'était d'ailleurs vue allouer une rente d'invalidité depuis le 1er janvier 2011.
Au demeurant, il ne s'impose pas de comparer la présente situation avec d'autres affaires tranchées par la jurisprudence, chaque cas devant être apprécié concrètement au regard de l'ensemble des circonstances. Sous l'angle de l'arbitraire, des situations qui présentent des différences peuvent néanmoins conduire à des solutions identiques. Ainsi qu'on l'a vu, une décision n'est pas arbitraire du seul fait qu'une solution autre que celle de l'autorité cantonale apparaitrait concevable, voire préférable (supra consid. 7.2).
7.6. Le grief tiré d'une application arbitraire du droit cantonal doit ainsi être écarté.
8.
Il suit des considérants qui précèdent que le recours doit être rejeté. Le recourant supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Bien qu'elle obtienne gain de cause, l'intimée n'a pas droit aux dépens qu'elle prétend (art. 68 al. 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour administrative, et au Conseil d'Etat du canton de Fribourg.
Lucerne, le 11 octobre 2018
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Paris