Sachverhalt:
A.
Im Jahr 2005 übergab A._ (Kläger, Beschwerdeführer) seiner Schwester und Ehefrau von B._ (Beklagter, Beschwerdegegner) drei Patek Philippe Uhren, Goldschmuck und diverse Dokumente zur Aufbewahrung, weil er nach Thailand auswanderte. Im Mai 2013 kehrte der Kläger in die Schweiz zurück. Er holte die Wertgegenstände bei seiner Schwester ab, wobei eine Herrenarmbanduhr Patek Philippe und Goldschmuck bei der Schwester des Klägers verblieben. Im Juli 2017 benachrichtigte der Beklagte den Kläger, dass seine Schwester schwer erkrankt und im Spital sei. Am 11. August 2017 übergab der Beklagte dem Kläger die restlichen Wertgegenstände. Gleichentags verstarb die Schwester des Klägers und Ehefrau des Beklagten.
B.
Der Kläger stellt sich auf den Standpunkt, die am 11. August 2017 übergebene Patek Philippe Uhr sei während der Hinterlegung beschädigt worden. Am 15. Mai 2018 reichte er dafür beim Bezirksgericht Luzern Klage ein und verlangte vom Beklagten als Erbe die Bezahlung von Fr. 1'033.-- Schadenersatz nebst 5 % Zins seit 10. Oktober 2017.
Mit Urteil vom 22. Februar 2019 wies die Einzelrichterin des Bezirksgerichts die Klage ab. Die dagegen vom Kläger erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Luzern mit Entscheid vom 3. September 2019 ab.
C.
Gegen den Entscheid des Kantonsgerichts erhob der Beschwerdeführer Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht, eventualiter subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Er beantragte, der Entscheid der Vorinstanz sei aufzuheben und der Beklagte sei zu verpflichten, dem Kläger den Betrag von Fr. 1'033.-- nebst Zins zu 5 % seit 10. Oktober 2017 zu bezahlen. Eventualiter sei die Angelegenheit zwecks Feststellung des Sachverhalts an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Es wurden keine Vernehmlassungen zur Beschwerde eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (Art. 29 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen).
1.2. In vermögensrechtlichen Angelegenheiten, wie hier eine vorliegt, ist die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG).
Die Vorinstanz bezifferte den Streitwert mit Fr. 1'033.--, was der Beschwerdeführer nicht beanstandet. Die Streitwertgrenze für die Beschwerde in Zivilsachen wird damit nicht erreicht.
1.3. Erreicht der Streitwert den massgebenden Betrag wie in casu nicht, ist die Beschwerde in Zivilsachen dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG).
Der Begriff der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG ist restriktiv auszulegen (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.2). Soweit es bei der aufgeworfenen Frage lediglich um die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf einen konkreten Fall geht, handelt es sich nicht um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.3 S. 4, 397 E. 1.2 S. 399). Die Voraussetzung von Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG ist hingegen erfüllt, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (<ref-ruling> E. 1 S. 165; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.3). Der blosse Umstand, dass die aufgeworfene Rechtsfrage noch nie entschieden wurde, genügt nicht. Es muss sich um eine Rechtsfrage handeln, deren Entscheid für die Praxis wegleitend sein kann und die von ihrem Gewicht her nach einer höchstrichterlichen Klärung ruft (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 428; <ref-ruling> E. 1.2.2.1 S. 21; Urteil 4A_251/2019 vom 26. November 2019 E. 1.2).
Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, so ist in der Beschwerde auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist (Art. 42 Abs. 2 Satz 2 BGG), ansonsten die Beschwerde in Zivilsachen unzulässig ist (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.3 S. 5).
1.4. Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe in der Klageschrift ausgeführt, dass er die streitbetroffene Patek Philippe-Armbanduhr nie getragen habe, sodass sie im Zeitpunkt der Übergabe an seine Schwester ungebraucht bzw. neuwertig gewesen sei. Der beklagte Beschwerdegegner habe diese Behauptung in der Klageantwort nicht bestritten. Erstmals in der Duplik an der Instruktionsverhandlung habe der Beschwerdegegner bestritten, dass die Patek Philippe-Armbanduhr im Zeitpunkt der Übergabe neuwertig gewesen sei. Die Vorinstanz sei von einer zulässigen und rechtzeitigen Bestreitung ausgegangen. Die Bestimmungen von Art. 221 ZPO und Art. 222 ZPO stünden aber in einer Wechselbeziehung. Die Klageantwort befasse sich abschliessend mit der Klage. Der zweite Sachvortrag unterliege der gleichen Regel: Die Duplik befasse sich mit der Replik. Der beklagte Beschwerdegegner sei daher für jeden Rechtschriftenwechsel separat verpflichtet, die Tatsachenbehauptungen des klagenden Beschwerdeführers ausdrücklich zu bestreiten. Die Eventualmaxime sei nicht dazu da, um in der Duplik das in der Klageantwort Versäumte oder Unterlassene nachzuholen. Eine Tatsache, die in der Klage vorgetragen worden sei, erst in der Duplik zu bestreiten, sei demzufolge verspätet und unbeachtlich. In diesem Fall habe das Gericht die Tatsache als unbestritten zu betrachten und dürfe darüber keinen Beweis abnehmen. Es stelle sich daher die Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung, ob die beklagte Partei eine im ersten Sachvortrag (Klageantwort) nicht bestrittene Tatsachenbehauptung im zweiten Sachvortrag (Duplik) noch rechtzeitig bestreiten könne. Diese Frage des Zeitpunktes der Bestreitung sei bis dato nicht höchstricherlich entschieden worden.
1.5. Damit vermag der Beschwerdeführer keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung aufzuzeigen.
Es ist zwar zutreffend, dass das Bundesgericht die vom Beschwerdeführer aufgeworfene spezifische Rechtsfrage noch nicht ausdrücklich beantwortet hat. Die Antwort auf die Frage ergibt sich aber unmittelbar aus dem Grundsatz, wonach die Parteien nach gefestigter bundesgerichtlicher Rechtsprechung im ordentlichen und im vereinfachten Verfahren zweimal die Möglichkeit haben, sich unbeschränkt zur Sache zu äussern (<ref-ruling> E. 2.1 S. 69, 117 E. 2.2; <ref-ruling> E. 6.6; <ref-ruling> E. 6.3.2.3; Urteil 4A_70/2019 vom 6. August 2019 E. 2.3.1, zur Publ. vorgesehen). Aus dieser unbeschränkten doppelten Äusserungsmöglichkeit folgt, dass die Parteien in ihrem zweiten unbeschränkten Sachvortrag vorbehaltlos neue Tatsachen und Beweismittel in das Verfahren einbringen können. Der beklagte Beschwerdegegner konnte damit in seiner zweiten, unbeschränkten Äusserungsmöglichkeit in der Instruktionsverhandlung ohne Weiteres neue Tatsachen, und damit auch neue Bestreitungen, vorbringen.
1.6. Dem Beschwerdeführer steht demnach die Beschwerde in Zivilsachen nicht offen.
2.
2.1. Die Beschwerde ist daher als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln (Art. 113 BGG).
Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Diesbezüglich gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten nicht von Amtes wegen, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG). Dies bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.2; je mit weiteren Hinweisen).
Macht die beschwerdeführende Partei eine Verletzung des Willkürverbots von Art. 9 BV geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich (<ref-ruling> E. 3 S. 352; <ref-ruling> E. 5.5). Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.2.5 S. 339). Dass die von Sachgerichten gezogenen Schlüsse nicht mit der eigenen Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmen, belegt keine Willkür (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Erforderlich ist zudem, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 2.1 S. 19 mit Hinweisen).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 118 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kam (Art. 118 Abs. 2 und Art. 116 BGG), was die beschwerdeführende Partei mit einer genügenden Begründung geltend zu machen hat (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.2 S. 445 mit Hinweis). Soweit die beschwerdeführende Partei den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
2.3.
2.3.1. Der Beschwerdeführer rügt die Verletzung von Art. 150 Abs. 1 ZPO, Art. 221 Abs. 1 lit. d und e ZPO, Art. 222 Abs. 2 ZPO, Art. 229 Abs. 2 ZPO und des Verhandlungsgrundsatzes sowie von Art. 2 Abs. 1 ZGB und Art. 8 ZGB. Darauf ist von vornherein nicht einzutreten, da es sich nicht um verfassungsmässige Rechte handelt.
2.3.2. Er moniert sodann, der Prozess laufe dem "Gerechtigkeitsgedanken" zu wider, verletze seine "normative Erwartung" in den Zivilprozess und die Schlussfolgerungen der Vorinstanz seien "haltlos". Damit zeigt er nicht rechtsgenüglich auf, dass verfassungsmässige Rechte, insbesondere das Willkürverbot, verletzt wären (Erwägung 2.1). Auch darauf ist nicht einzutreten.
2.3.3. Er wendet sich im Weiteren gegen die Erwägungen des Bezirksgerichts Luzern. Darauf ist ebenfalls nicht einzutreten, da es sich nicht um einen letztinstanzlichen Entscheid handelt (Art. 75 Abs. 1, Art. 114 BGG).
2.3.4. Der Beschwerdeführer beruft sich sodann auf den E-Mail Verkehr zwischen dem Beschwerdegegner und C._. Er geht dabei über den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt hinaus, ohne rechtsgenüglich darzulegen, dass die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande gekommen wäre (Erwägung 2.2).
2.3.5. Er beanstandet den Entscheid der Vorinstanz alsdann in mehrfacher Weise als willkürlich. Die Vorinstanz konstruiere bezüglich der Frage Nr. 24 seiner Parteibefragung einen Sachverhalt, der so nicht erstellt sei. Sie offenbare sodann bezüglich der Interpretation der E-Mail vom 12. August 2017 ein "willkürliches Textverständnis" und urteile willkürlich, wenn sie dem Beschwerdegegner zugestehe, den Zustand der Uhr zum Zeitpunkt der Übergabe mit Nichtwissen zu bestreiten.
Der Beschwerdeführer zeigt damit nicht hinreichend auf, dass der Entscheid der Vorinstanz im oben genannten Sinne offensichtlich unrichtig wäre (Erwägung 2.1). Insbesondere zeigt er nicht auf, inwiefern der Entscheid auch im Ergebnis willkürlich wäre. Auf diese Ausführungen ist nicht einzutreten.
2.3.6. Der Beschwerdeführer rügt schliesslich eine Verletzung des Gleichbehandlungsgebots nach Art. 8 BV, eine Verletzung des rechtlichen Gehörs nach Art. 29 Abs. 2 BV und des "Gesichtspunkts von Treu und Glauben". Auch diesbezüglich zeigt er nicht rechtsgenüglich auf (Erwägung 2.1), inwiefern die jeweiligen Verfassungsbestimmungen verletzt wären.
2.4. Auf die Beschwerde ist somit auch als subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten.
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegner hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da ihm aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist (Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Februar 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger