Erwägungen:
1.
Mit Entscheid vom 9. April 2018 (CIV 18 368) erteilte das Regionalgericht Berner Jura-Seeland dem Beschwerdegegner gegenüber dem Beschwerdeführer in der Betreibung Nr. yyy des Betreibungsamtes Seeland, Dienststelle Seeland, gestützt auf einen Eheschutzentscheid vom 20. Oktober 2010 (ausstehender Kindesunterhalt) definitive Rechtsöffnung für Fr. 27'460.-- nebst Zins.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer am 20. April 2018 "Einspruch" an das Obergericht des Kantons Bern. Mit Entscheid vom 1. Mai 2018 trat das Obergericht auf die Beschwerde mangels genügender Begründung nicht ein (ZK 18 182).
Gegen diesen Entscheid sowie zwei weitere Entscheide des Berner Obergerichts (dazu Verfahren 5A_495/2018 und 5D_108/2018) hat der Beschwerdeführer am 11. Juni 2018 (Postaufgabe) beim Bundesgericht einen nicht unterschriebenen "Einspruch" erhoben. Aufforderungsgemäss hat der Beschwerdeführer den Mangel behoben und die Eingabe eigenhändig unterzeichnet (<ref-law>). Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Soweit sich die Eingabe des Beschwerdeführers gegen den obergerichtlichen Entscheid im Verfahren ZK 18 182 richtet, ist sie aufgrund des tiefen Streitwerts (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-law>) als subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) entgegenzunehmen. In einer Verfassungsbeschwerde kann nur die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorgebracht werden (<ref-law>). Diese ist zu begründen (Art. 117 i.V.m. <ref-law>), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids ist klar und detailliert darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399; <ref-ruling> E. 2.4 S. 368).
3.
Der Beschwerdeführer geht nicht auf die obergerichtlichen Erwägungen ein (ungenügende Auseinandersetzung im kantonalen Beschwerdeverfahren mit dem erstinstanzlichen Rechtsöffnungsurteil). Stattdessen äussert sich der Beschwerdeführer zu anderen Sachverhalten und früheren Verfahren, insbesondere einer angeblichen Nichtigerklärung der Ehe und der angeblichen Aufhebung des Kindesverhältnisses zwischen ihm und dem Beschwerdegegner durch philippinische Urteile. Ohne direkten Bezug zum Rechtsöffnungsverfahren bleiben zudem seine diversen Vorwürfe an Behörden, seine ehemalige Arbeitgeberin und Rechtsanwälte, die ihn offenbar in früheren Verfahren vertreten haben. Unzulässig sind auch alle Anträge, die über den Gegenstand des Rechtsöffnungsverfahrens hinausgehen, insbesondere derjenige auf Aufhebung des Eheschutzurteils vom 20. Oktober 2010.
Die Beschwerde enthält damit offensichtlich keine hinreichende Begründung. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten (Art. 117 i.V.m. <ref-law>).
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Juli 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg