Sachverhalt:
A.
A._ studierte an der Medizinischen Fakultät der Universität Basel im Bachelorstudiengang Medizin. Am 13. Juni 2019 bestand sie eine Prüfung zum dritten Mal nicht. Die Prüfungsergebnisse wurden 21 Tage nach der Prüfung veröffentlicht. Vor dieser Bekanntgabe hatte A._ gegenüber der Universität Basel weder eine Prüfungsunfähigkeit geltend gemacht noch eine Annullierung der Prüfung beantragt.
Gemäss dem ärztlichen Attest ihrer Fachärztin für Psychiatrie und Psychotherapie vom 16. Dezember 2019 sei bei A._ diagnostisch von einer emotional-instabilen Persönlichkeitsstörung vom Borderline-Typus auszugehen. Dabei sei es im Verlauf der letzten Jahre zu einem deutlichen Strukturzuwachs gekommen, sodass sie nur noch unter hoher Belastung in Zustände emotionaler Instabilität und hoher aversiver Anspannung gerate, in denen es zu dissoziativen Reak tionen kommen könne. Aufgrund der Persönlichkeitsstörung habe bei ihr eine vulnerable Prädisposition für eine dissoziative Reaktion unter hohem Druck bestanden. Bei der Prüfung vom 13. Juni 2019 sei es unter dem Druck der psychologischen Belastung, die bereits während des ganzen Studiums bestanden habe, und dem Druck, dass es sich um die letzte Prüfungschance gehandelt habe, zu einer dissoziativen Reaktion gekommen. In einem Zustand der Dissoziation sei das logische Denken nicht mehr möglich und der Zugriff auf das angeeignete Wissen stark eingeschränkt bis aufgehoben.
B.
Mit Verfügung vom 11. Juli 2019 schloss die Medizinische Fakultät der Universität Basel A._ vom Studium der Medizin aus. Den dagegen von A._ erhobenen Rekurs wies die Rekurskommission der Universität Basel mit Entscheid vom 11. Februar 2020 ab. Gegen diesen Entscheid gelangte A._ vor das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und beantragte die Neubeurteilung der Angelegenheit und die Gewährung eines weiteren Prüfungsversuchs. Das Appellationsgericht wies den Rekurs mit Urteil vom 7. Mai 2020 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 15. Juni 2020 gelangt A._ an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des Urteils vom 7. Mai 2020. Ihr sei die Möglichkeit für einen weiteren Prüfungsversuch einzuräumen. Eventualtier sei ihr ein weiterer Prüfungsversuch mit der Auflage zu ermöglichen, dass sie nicht zum Masterstudium in Humanmedizin zugelassen werde, damit sie zwecks beruflicher Integration zumindest ihren Bachelorabschluss erlangen könne. In verfahrensrechtlicher Hinsicht stellt A._ ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege sowie den Antrag, das Bundesgerichtsurteil sei nicht öffentlich zu publizieren oder stark zu anonymisieren.

Erwägungen:
1.
1.1. Die frist- (<ref-law>) und formgerecht (<ref-law>) eingereichte Eingabe betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>) und richtet sich gegen das kantonal letztinstanzliche (<ref-law>), verfahrensabschliessende (<ref-law>) Urteil eines oberen Gerichts (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin ist bereits im kantonalen Verfahren als Partei beteiligt gewesen und dort mit ihrem Antrag, ihr sei ein weiterer Prüfungsversuch zu ermöglichen, nicht durchgedrungen. Ausserdem ist sie durch das angefochtene Urteil in ihren schutzwürdigen Interessen besonders berührt. Sie ist somit zur Erhebung des Rechtsmittels legitimiert (<ref-law>).
1.2. Das Rechtsmittel ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig, da kein Ausschlussgrund vorliegt (<ref-law>). Namentlich fällt die vorliegende Angelegenheit nicht unter den Ausschlussgrund von Art. 83 lit. t BGG, da sich die Beschwerdeführerin nicht gegen den Entscheid über das Ergebnis ihrer Prüfung vom 13. Juni 2019 zur Wehr setzt, sondern sinngemäss den Ausschluss vom Medizinstudium an der Universität Basel beanstandet. Soweit sie sich indes beiläufig zum Bewertungsmassstab der Prüfung (Bestehensgrenze) äussert, ist mangels Zulässigkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten darauf nicht weiter einzugehen. Eine subsidiäre Verfassungsbeschwerde macht sie diesbezüglich nicht geltend (<ref-law>).
1.3. Insoweit die Beschwerdeführerin eventualiter beantragt, ihr sei ein weiterer Prüfungsversuch mit der Auflage zu ermöglichen, dass sie nicht zum Masterstudium in Humanmedizin zugelassen werde, fehlt in der Beschwerde eine entsprechende Begründung (<ref-law>). Während auf den Eventualantrag deswegen nicht eingetreten werden kann, ist im Umfang des Hauptantrags auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), wobei es - unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>) - grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen prüft, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.5 S. 144; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Der Verletzung von Grundrechten und kantonalem Recht geht das Bundesgericht nur nach, falls eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232). Diese qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit nach <ref-law> verlangt, dass in der Beschwerde klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt wird, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 5; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Die Anwendung des kantonalen Rechts wird sodann vom Bundesgericht nur daraufhin geprüft, ob dadurch Bundesrecht - namentlich das Willkürverbot - verletzt wurde (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 372; <ref-ruling> E. 2 S. 149 f.).
2.2. Seinem Urteil legt das Bundesgericht den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Der festgestellte Sachverhalt kann nur erfolgreich gerügt sowie berichtigt oder ergänzt werden, wenn er offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.6 S. 144 f.; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.). Rügt die beschwerdeführende Partei eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung, haben ihre Vorbringen den Anforderungen von <ref-law> zu genügen (vgl. <ref-ruling> E. 9.2.3.6 S. 96; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255).
2.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen im bundesgerichtlichen Verfahren nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Echte Noven sind in jedem Fall unzulässig. Folglich bleiben Tatsachen und Beweismittel unberücksichtigt, die erst nach dem angefochtenen Urteil entstanden sind und somit nicht durch diesen veranlasst worden sein können (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 22 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.). Beim Schreiben der Fachärztin der Beschwerdeführerin vom 12. Juni 2020, das als Reaktion auf das Urteil der Vorinstanz vom 7. Mai 2020 verfasst worden ist, handelt es sich um ein echtes Novum, das im bundesgerichtlichen Verfahren nicht zu beachten ist.
3.
Gemäss § 11 Abs. 6 der Ordnung für das Bachelorstudium Medizin an der Medizinischen Fakultät der Universität Basel vom 26. November 2012 (Studienordnung; SG 446.330) kann eine schriftliche Prüfung bei Nichtbestehen zwei Mal wiederholt werden, wobei das dritte Nichtbestehen zum Ausschluss aus dem Studium führt. Bei Verhinderung aus gesundheitlichen Gründen ist dem Studiendekanat ein ärztliches Zeugnis vorzulegen, ansonsten die Prüfung als nicht bestanden gilt und mit der Note 1,0 bewertet wird (vgl. § 23 der Studienordnung).
Die Vorinstanz erwägt, gemäss konstanter kantonaler Praxis würden ärztliche Zeugnisse, die erst nach Erhalt der Prüfungsnoten eingereicht würden, nicht anerkannt. Gesundheitliche Probleme und ein allfälliger Rücktritt von einer Prüfung seien sofort zu melden. Die Prüfung anzutreten und sich erst nach Vorliegen der Prüfungsnote darauf zu beru fen, nicht in der Lage gewesen zu sein, sich der Prüfung zu stellen, verstosse gegen Treu und Glauben und verdiene keinen Rechtsschutz. Deshalb sei ein erst nach der Bekanntgabe des Prüfungsresultats aus gesundheitlichen Gründen gestelltes Gesuch um Zulassung zu einer zusätzlichen Prüfung und Annullierung der absolvierten Prüfung abzuweisen, wenn es der geprüften Person bereits früher möglich und zumutbar gewesen sei, unter Berufung auf die gesundheitlichen Gründe sich von der Prüfung abzumelden oder eine Annullierung der Prüfung zu beantragen (vgl. E. 2.1 des angefochtenen Urteils).
Da die Beschwerdeführerin die besagte Prüfung am 13. Juni 2019 zum dritten Mal nicht bestanden und vor der Veröffentlichung der Prüfungsergebnisse weder eine Prüfungsunfähigkeit geltend gemacht noch eine Annullierung der Prüfung beantragt habe, sei sie in Anwendung von § 11 Abs. 6 der Studienordnung vom Studium auszuschliessen (vgl. E. 2.2 des angefochtenen Urteils).
4.
In tatsächlicher Hinsicht wirft die Vorinstanz der Beschwerdeführerin vor, sich auf Umstände zu berufen, die ihr bereits vor der Prüfung oder zumindest vor dem Erhalt der Prüfungsergebnisse bekannt und bewusst gewesen seien. Dies bestreitet die Beschwerdeführerin.
4.1. Die Vorinstanz stellt fest, dass die Beschwerdeführerin die behauptete psychische Beeinträchtigung zusammen mit ihrer Fachärztin bereits vor der Prüfung gekannt habe (vgl. E. 2.5 des angefochtenen Urteils). Insoweit sich die Beschwerdeführerin darauf berufe, es habe im Vorfeld der Prüfung keine Hinweise darauf gegeben, dass sie in einen dissoziativen Zustand geraten würde, sei ihr nicht zu folgen. Gemäss dem ärztlichen Attest vom 16. Dezember 2019 sei die Beschwerdeführerin unter hoher Belastung auch im Sommer 2019 noch in Zustände emotionaler Instabilität und hoher aversiver Anspannung geraten, in denen es zu dissoziativen Reaktionen kommen könne. Die Beschwerdeführerin und ihre Fachärztin hätten gewusst, dass ein grosses Risiko für eine dissoziative Reaktion bestanden habe (vgl. E. 2.6 des angefochtenen Urteils). Unbehelflich sei auch das Vorbringen, die Beschwerdeführerin habe nicht realisiert, dass ihre Leistungsfähigkeit infolge eines dissoziativen Zustands möglicherweise beeinträchtigt gewesen sei (vgl. E. 2.7 des angefochtenen Urteils).
4.2. Die Beschwerdeführerin bringt in tatsächlicher Hinsicht vor, es sei plausibel, dass bei derart grossem Druck aufgrund des letztmöglichen Prüfungsdurchgangs die Stressreaktion stärker ausgefallen sei als bei vormaligen Prüfungen. Eine dissoziative Reaktion der eingetretenen Art habe sie nicht gekannt. Sie habe jedenfalls nicht bemerkt, dass sie sich in einem dissoziativen Zustand befunden habe, obwohl ihr Denkprozess "verlangsamt" gewesen sei und sie sich "wie unter einer Glocke" gefühlt habe. Sie habe lediglich Stress wahrgenommen.
4.3. Die vorinstanzliche Feststellung, dass die Beschwerdeführerin ihre gesundheitliche Beeinträchtigung während der Prüfung vom 13. Juni 2019 erkannt habe, erweist sich nicht als offensichtlich unrichtig.
4.3.1. Die Beschwerdeführerin befindet sich in langjähriger und regelmässiger Behandlung bei einer Fachärztin. Diese Fachärztin weist in ihrem ärztlichen Attest vom 16. Dezember 2019 darauf hin, dass es bei der Beschwerdeführerin zwar zu einem deutlichen Strukturzuwachs gekommen sei. Das Risiko für eine dissoziative Reaktion sei dennoch "gross" gewesen, da es sich um die letzte Chance gehandelt habe und der Druck, bestehen zu müssen, besonders hoch gewesen sei. Die Beschwerdeführerin ist - entgegen ihrer Auffassung - aufgrund ihrer langjährigen und regelmässigen Behandlung jedenfalls auf das Risiko einer dissoziativen Reaktion sensibilisiert gewesen. In diesem Lichte ist der Beschwerdeführerin nicht zu folgen, wenn sie vorbringt, sie hätte sich zuvor mit den Mechanismen eines dissoziativen Zustands nicht auseinandergesetzt. Nach den Ausführungen der Beschwerdeführerin bedeutet ein dissoziativer Zustand nicht zwingend, das gesamte Wissen zu verlieren, sondern auch nur einen eingeschränkten Teil dessen nicht abrufen zu können. Dieses Vorbringen deutet darauf hin, dass sich die Beschwerdeführerin den Erscheinungsformen einer dissoziativen Reaktion zumindest in den Grundzügen bewusst gewesen ist.
4.3.2. Die Beschwerdeführerin bringt im Weiteren selbst vor, dass die Multiple Choice-Prüfungen zwar Ausdauer benötigten, ihr üblicherweise aber die Zeit reiche, alle Fragen zweimal durchzugehen. Bei der Prüfung vom 13. Juni 2019 habe sie indes gemerkt, dass sie länger brauche, um die einzelnen Fragen zu beantworten. Ihr Vorbringen, sie habe realisiert, sich "wie unter einer Glocke" gefühlt zu haben, jedoch ihre gesundheitliche Beeinträchtigung nicht erkannt, ist nicht konsistent. Es ist jedenfalls nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz in den Aussagen der Beschwerdeführerin eine gewisse Widersprüchlichkeit sieht. Ihre Schilderung, sie habe sich "verlangsamt" und "wie unter einer Glocke" gefühlt, lässt im Lichte ihres Bewusstseins über die Erscheinungsformen einer dissoziativen Reaktion in haltbarer Weise den Schluss der Vorinstanz zu, sie habe ihre gesundheitliche Beeinträchtigung erkannt.
4.3.3. Da die Vorinstanz der Beschwerdeführerin in erster Linie entgegenhält, Letztere hätte sich zumindest vor der Bekanntgabe der Prüfungsergebnisse auf ihre gesundheitliche Beeinträchtigung berufen müssen, ist es für den Ausgang dieses Verfahrens nicht massgebend, ob die Beschwerdeführerin ihre Einschränkung bereits während oder erst kurz nach der Prüfung erkannt hat (vgl. <ref-law>). Soweit die Beschwerdeführerin ausserdem sinngemäss geltend macht, selbst bei gebotener Sorgfalt sei ihre dissoziative Reaktion erst nach Bekanntgabe der Prüfungsergebnisse erkennbar gewesen und sie habe diese daher nicht davor erkennen können und müssen, betrifft dieses Vorbringen eine Rechtsfrage (vgl. E. 5.2 und E. 5.4.2 hiernach).
4.4. Zusammenfassend ergibt sich, dass im bundesgerichtlichen Verfahren keine Veranlassung besteht, vom vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt abzuweichen. Es ist folglich davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerin - jedenfalls noch vor Bekanntgabe der Prüfungsergebnisse - erkannt hat, sich während der Prüfung in einem dissoziativen Zustand befunden zu haben und gesundheitlich beeinträchtigt gewesen zu sein.
Nicht massgebend für den Verfahrensausgang ist unter diesen Umständen die Würdigung der E-Mail-Korrespondenz zwischen der Beschwerdeführerin und einem Mitarbeiter der Administration des De kanats der Medizinischen Fakultät, in der sie sich nach der Prüfung um die Bekanntgabe der Prüfungsergebnisse erkundigt hat (vgl. auch E. 2.7 des angefochtenen Urteils). Die Beschwerdeführerin legt zudem dar, nach der Prüfung habe sie ein gutes Gefühl und bei deutlich mehr Fragen den Eindruck gehabt, sie richtig beantwortet zu haben. Da eine gesundheitliche Beeinträchtigung unabhängig davon geltend zu machen ist, wie die Beschwerdeführerin ihr Abschneiden an der Prüfung in tatsächlicher Hinsicht selber eingeschätzt hat, ist es für den Ausgang des Verfahrens auch nicht massgebend, ob sie bei der Prüfung ein gutes oder ein schlechtes Gefühl hatte (vgl. <ref-law>).
5.
In rechtlicher Hinsicht stellt sich die Frage, ob die Vorinstanz die Beschwerdeführerin zu Recht vom Studium der Medizin an der Universität Basel ausgeschlossen hat.
5.1. Die Vorinstanz erwägt, die Beschwerdeführerin habe das Risiko, die Prüfung wegen einer dissoziativen Reaktion nicht zu bestehen, in Kauf genommen, da sie von der Gefahr einer solchen Reaktion im Vorfeld der Prüfung gewusst habe. Sie hätte eine damit begründete Dispensation oder Abmeldung beantragen können und müssen (vgl. E. 2.5 des angefochtenen Urteils). Unter diesen Umständen habe sie sich missbräuchlich verhalten, indem sie sich erst nach Bekanntgabe des negativen Prüfungsergebnisses auf einen dissoziativen Zustand berufen habe (vgl. E. 2.6 des angefochtenen Urteils). Nach Angaben der Beschwerdeführerin habe sie nach der Prüfung ihrer Fachärztin von ihren ungewöhnlichen Wahrnehmungen berichtet. Bei der Anwendung der zumutbaren Sorgfalt wäre es der Beschwerdeführerin möglich gewesen, den behaupteten dissoziativen Zustand bereits vor der Bekanntgabe des Prüfungsergebnisses geltend zu machen. Unter diesen Umständen sei die nachträgliche Berufung auf eine gesundheitliche Beeinträchtigung nicht schutzwürdig (vgl. E. 2.8 des angefochtenen Urteils).
5.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, auch nachdem sie mit ihrer Fachärztin das Prüfungserleben nachbesprochen habe, seien sie und ihre Fachärztin nicht auf die Idee gekommen, dass ihre Stressreaktion anders als sonst ausgefallen sein könnte. Erst als das Prüfungsergebnis bekannt gewesen sei, habe die Vermutung bestanden, dass es sich einzig mit einem dissoziativen Zustand erklären lasse und das Prüfungserleben retrospektiv anders zu deuten sei. Damit bringt die Beschwerdeführerin sinngemäss vor, ihre gesundheitliche Beeinträchtigung habe sie auch bei gebotener Sorgfalt nicht erkennen können und müssen.
5.3. Die Beschwerdeführerin ist unter Anwendung von § 11 Abs. 6 der Studienordnung vom Studium der Medizin ausgeschlossen worden. Dabei handelt es sich um eine kantonale Bestimmung (vgl. E. 3 hiervor). Kantonales Recht prüft das Bundesgericht im Grundsatz nur auf dessen Vereinbarkeit mit dem Bundesrecht (vgl. E. 2.1 hiervor; <ref-law>). Darunter fällt unter anderem der Schutz vor Willkür nach <ref-law>. Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn das angefochtene Urteil offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (vgl. <ref-ruling> E. 7.1 S. 124; <ref-ruling> E. 4.3 S. 380).
5.4. Die Vorinstanz erwägt, es sei nicht schutzwürdig und missbräuchlich, eine Prüfung anzutreten und sich erst nach Vorliegen der Prüfungsergebnisse darauf zu berufen, nicht in der Lage gewesen zu sein, sich der Prüfung zu stellen. Anders sei allenfalls dann zu entscheiden, wenn eine Person vor und während der Prüfung sowie bis zum Erhalt der Prüfungsergebnisse nicht in der Lage gewesen sei, ihre Prüfungsunfähigkeit zu erkennen und geltend zu machen (vgl. E. 3 hiervor; E. 2.1 des angefochtenen Urteils). Diese vorinstanzliche Anwendung der Bestimmungen der Studienordnung erweist sich als mit dem Willkürverbot vereinbar (vgl. Urteil 2D_7/2011 vom 19. Mai 2011 E. 6; vgl. auch Urteil 2C_497/2016 vom 22. Juli 2016 E. 5).
5.4.1. Nachdem in tatsächlicher Hinsicht davon auszugehen ist, dass die Beschwerdeführerin - jedenfalls noch vor Bekanntgabe der Prüfungsergebnisse - erkannt hat, sich während der Prüfung in einem dissoziativen Zustand befunden zu haben und gesundheitlich beeinträchtigt gewesen zu sein, hat die Vorinstanz den verfügten Ausschluss vom Studium vom 11. Juli 2019 in verfassungskonformer Weise bestätigen dürfen. Die Vorinstanz hat der Beschwerdeführerin demnach nicht die Möglichkeit für einen weiteren Prüfungsversuch einräumen müssen.
5.4.2. Selbst wenn der Auffassung der Beschwerdeführerin gefolgt werden könnte, wonach sie ihre gesundheitliche Beeinträchtigung nicht erkannt habe, erwägt die Vorinstanz in haltbarer Weise, dass die Beschwerdeführerin eine dissoziative Reaktion vor dem Erhalt der Prüfungsergebnisse bei Anwendung der zumutbaren Sorgfalt hätte erkennen können und müssen. Die Beschwerdeführerin wird seit längerem von ihrer Fachärztin betreut und bringt selbst vor, im Nachgang an die Prüfung mit ihrer Fachärztin über das Prüfungserleben gesprochen zu haben. Sodann legt sie im bundesgerichtlichen Verfahren dar, der Druck sei "riesig" gewesen. Aus dem ärztlichen Attest vom 16. Dezember 2019 (vgl. Ziff. A und E. 4.3.3 hiervor) ergibt sich, dass sowohl der Beschwerdeführerin als auch der Fachärztin das bestehende, grosse Risiko für eine dissoziative Reaktion bewusst gewesen ist. Aufgrund der weiteren Schilderungen der Beschwerdeführerin (vgl. E. 4.2 hiervor; "verlangsamt"; "wie unter einer Glocke") erweist sich die vorinstanzliche Auffassung, sie hätte zumindest im gemeinsamen Gespräch mit ihrer Fachärztin darauf kommen können und müssen, sich in einem dissoziativen Zustand befunden zu haben, als mit dem Bundesrecht vereinbar. Folglich geht die Vorinstanz in haltbarer Weise davon aus, dass die Beschwerdeführerin bis zum Erhalt der Prüfungsergebnisse bei der Anwendung der zumutbaren Sorgfalt durchaus in der Lage gewesen wäre, ihre Prüfungsunfähigkeit zu erkennen und geltend zu machen.
5.5. Nach dem Dargelegten ergibt sich, dass die Vorinstanz der Beschwerdeführerin in verfassungskonformer Weise entgegenhält, sie hätte den behaupteten dissoziativen Zustand bereits vor Erhalt der Prüfungsergebnisse geltend machen müssen. Folglich erweist sich die Verweigerung eines erneuten Prüfungsversuchs und der damit einhergehende Ausschluss der Beschwerdeführerin vom Studium der Medizin an der Universität Basel als bundesrechtskonform.
6.
Gemäss § 26 der Studienordnung kann die Studiendekanin oder der Studiendekan in Härtefällen begründete Ausnahmen von den in der Studienordnung genannten Regelungen gewähren, soweit diese in die Kompetenz der Fakultät fallen. Die Vorinstanz verneint das Vorliegen eines Härtefalls (vgl. E. 3 des angefochtenen Urteils). In der Beschwerde sind mit Blick auf die vorinstanzliche Anwendung von § 26 der Studienordnung keine begründeten Beanstandungen ersichtlich. Deshalb erübrigen sich Ausführungen hierzu.
7.
Die Beschwerdeführerin beantragt in prozessualer Hinsicht, das Urteil nicht öffentlich zu publizieren oder - sollte dies nicht möglich sein - das Urteil stark zu anonymisieren.
7.1. Gemäss <ref-law> informiert das Bundesgericht die Öffentlichkeit über seine Rechtsprechung. Die Veröffentlichung der Entscheide hat grundsätzlich in anonymisierter Form zu erfolgen (vgl. <ref-law>). Gemäss Art. 59 Abs. 1 lit. b des Reglements vom 20. November 2006 für das Bundesgericht (BGerR; SR 173.110.131) werden im Internet alle End- und Teilentscheide sowie die vom Abteilungspräsidium bezeichneten Vor- und Zwischenentscheide veröffentlicht. Das Abteilungspräsidium trifft die geeigneten Massnahmen zum Persönlichkeitsschutz der Parteien (vgl. <ref-law>). Diese Bestimmungen gewährleisten das Gebot der Transparenz der Rechtsprechung, das erhebliche Bedeutung hat (vgl. <ref-ruling> E. 8.2 f. S. 108).
7.2. In der vorliegenden Angelegenheit wird dem berechtigten Interesse der Beschwerdeführerin am Persönlichkeits- und Datenschutz mit der Anonymisierung des Urteils im Internet hinreichend Rechnung getragen. Ein Verzicht auf die Veröffentlichung des Urteils rechtfertigt sich im Lichte der Vorbringen der Beschwerdeführerin nicht. Gleiches gilt mit Blick auf <ref-law>. Die Anonymisierung darf indes nicht dazu führen, dass das Urteil nicht mehr verständlich ist. Es kann deshalb nicht ausgeschlossen werden, dass Personen, die mit den Einzelheiten des Falls vertraut sind, erkennen können, um wen es geht. So verhält es sich jedoch bei nahezu allen Urteilen, welche das Bundesgericht der Öffentlichkeit zugänglich macht (vgl. auch <ref-ruling> E. 8.3 S. 109; Urteil 2E_2/2013 vom 30. Oktober 2014 E. 3.2.1). Die nach <ref-law> und <ref-law> bei der Veröffentlichung dieses Urteils zum Persönlichkeitsschutz der Beschwerdeführerin erforderliche Anonymisierung erstreckt sich nach der bundesgerichtlichen Praxis daher insbesondere auf ihren Namen. Der Prozessantrag der Beschwerdeführerin ist daher insoweit abzuweisen, als damit eine Einschränkung der Veröffentlichung des Urteils über die praxisgemässe Anonymisierung im Internet hinaus verlangt wird.
8.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde als unbegründet, weshalb sie abzuweisen ist, soweit darauf eingetreten wird. Ebenso ist der prozessuale Antrag mit Blick auf die Veröffentlichung dieses Urteils abzuweisen. Die Beschwerdeführerin beantragt für den Fall ihres Unterliegens, ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist gutzuheissen, da das Rechtsmittel nicht als von vornherein aussichtslos bezeichnet werden kann und die weiteren Voraussetzungen gegeben sind (Art. 64Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>; <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. August 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Zollinger