Sachverhalt:
A.
A.A._ ist ein im Jahr 1962 geborener Staatsangehöriger Trinidad und Tobagos. Am 27. August 2010 heiratete er in Wellington (Neuseeland) die Schweizerin B.A._. Von September 2010 bis Dezember 2012 lebten die Ehegatten im Kanton Freiburg. In der Folge zogen sie nach Grossbritannien, bevor sie am 13. September 2014 wieder in die Schweiz zurückkehrten. A.A._ erhielt am 31. Juli 2015 eine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA.
B.
Mit Gesuch vom 9. August 2019 ersuchte A.A._ um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA sowie um Erteilung der Niederlassungsbewilligung EU/EFTA. Am 17. Oktober 2019 verlängerte das Migrationsamt des Kantons Zürich seine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA bis am 12. September 2024 und lehnte gleichzeitig die Erteilung der Niederlassungsbewilligung EU/EFTA mangels ausreichender Sprachkompetenzen ab. Mit Blick auf die Nichterteilung der Niederlassungsbewilligung EU/EFTA verlangte A.A._ eine anfechtbare Verfügung, welche das Migrationsamt am 31. Oktober 2019 erliess. Dagegen erhoben A.A._ und B.A._ Rekurs bei der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich. Letztere wies das Rechtsmittel mit Rekursentscheid vom 30. April 2020 ab. Die dagegen erhobene Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich blieb ohne Erfolg (Urteil vom 1. September 2020).
C.
Mit Eingabe vom 16. Oktober 2020 gelangen A.A._ und B.A._ an das Bundesgericht. Sie beantragen sinngemäss die Aufhebung des Urteils vom 1. September 2020. Es sei A.A._ die Niederlassungsbewilligung EU/EFTA zu erteilen. Ausserdem sei ihnen ein Schadenersatz infolge Einkommensverlust in der Höhe von Fr. 6'000.-- pro Monat seit dem 31. Oktober 2019 zuzusprechen. Zudem sei ihnen für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Im Rahmen des bundesgerichtlichen Verfahrens ist von Instruktionsmassnahmen - namentlich vom Schriftenwechsel (<ref-law>) - abgesehen worden.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (vgl. <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1).
1.1. Die frist- (<ref-law>) und formgerecht (<ref-law>) eingereichte Eingabe betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>) und richtet sich gegen das kantonal letztinstanzliche (<ref-law>), verfahrensabschliessende (<ref-law>) Urteil eines oberen Gerichts (<ref-law>). Der Beschwerdeführer ist bereits im kantonalen Verfahren als Partei beteiligt gewesen und dort mit seinen Anträgen nicht durchgedrungen. Ausserdem ist er durch das angefochtene Urteil in seinen schutzwürdigen Interessen besonders berührt. Er ist somit zur Erhebung des Rechtsmittels legitimiert (<ref-law>). Demgegenüber hat die Beschwerdeführerin ihre Parteistellung im vorinstanzlichen Verfahren mit Schreiben vom 18. Juni 2018 ausdrücklich aufgegeben. Sodann ist nicht ersichtlich, inwiefern sie als Schweizerin vom ausländerrechtlichen Urteil der Vorinstanz in ihren schutzwürdigen Interessen besonders berührt wäre. Die Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA ihres Ehemanns ist unbestritten, sodass die Beschwerdeführerin ihre Ehe weiterhin uneingeschränkt leben kann und mit dem vorinstanzlichen Urteil keine Einschränkung ihres Anspruchs auf Achtung des Familienlebens einherginge. Sie ist gemäss <ref-law> nicht zur Beschwerde berechtigt.
1.2. Das Rechtsmittel ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig, da sich der Beschwerdeführer als Ehegatte einer Schweizerin in vertretbarer Weise auf den in Art. 42 Abs. 3 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer und über die Integration (Ausländer- und Integrationsgesetz, AIG; SR 142.20) geregelten Anspruch auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung EU/EFTA beruft (<ref-law>). Ob die Voraussetzungen für die Erteilung der Niederlassungsbewilligung EU/EFTA vorliegen, ist indes nicht Gegenstand der Eintretensfrage, sondern der materiellen Beurteilung (vgl. <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.1). Insoweit der Beschwerdeführer die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils vom 1. September 2020 und die Erteilung der Niederlassungsbewilligung EU/EFTA verlangt, ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten.
1.3. Der Beschwerdeführer verlangt überdies einen Schadenersatz im Umfang von Fr. 6'000.-- pro Monat seit dem 31. Oktober 2019. Im bundesgerichtlichen Verfahren kann der Streitgegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens zwar eingeschränkt (minus), nicht aber ausgeweitet (plus) oder geändert (aliud) werden (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 3.4). Der geltend gemachte Schadenersatzanspruch von Fr. 6'000.-- pro Monat seit dem 31. Oktober 2019 war nicht Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens. Dementsprechend ist dieses neue Rechtsbegehren unzulässig und ist darauf nicht einzutreten.
2.
Mit der Beschwerde kann namentlich die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), wobei es - unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>) - grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen prüft, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.5; <ref-ruling> E. 1.4.1). Der Verletzung von Grundrechten geht das Bundesgericht nur nach, falls eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2; <ref-ruling> E. 2.2). Diese qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit nach <ref-law> verlangt, dass in der Beschwerde klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt wird, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.4.2). Seinem Urteil legt es den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>).
3.
Gegenstand des vorliegenden Verfahrens ist die Frage, ob dem Beschwerdeführer ein Anspruch auf die Erteilung einer Niederlassungsbewilligung EU/EFTA zukommt.
3.1. Der Beschwerdeführer stützt seinen Anspruch nicht nur auf <ref-law>, sondern auch auf das Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (Freizügigkeitsabkommen, FZA; SR 0.142.112.681). Da der Beschwerdeführer und seine Schweizer Ehefrau in den Jahren 2013 und 2014 in Grossbritannien gelebt haben, kann er sich grundsätzlich auch auf das Freizügigkeitsabkommen berufen (vgl. <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 4.2; Urteil 2C_688/2017 vom 29. Oktober 2018 E. 3.1). Die Anwendbarkeit des Freizügigkeitsabkommens ist für die vorliegende Angelegenheit indes nicht von Bedeutung, da dieses Abkommen die Niederlassungsbewilligung als Bewilligungsart nicht kennt (vgl. Urteil 2C_938/2018 vom 24. Juni 2019 E. 4.1 und E. 5.2; vgl. auch Urteile 2C_116/2017 vom 3. Oktober 2017 E. 3.4.1; 2C_831/2010 vom 27. Mai 2011 E. 2.2). Für die Erteilung der Niederlassungsbewilligung EU/EFTA ist allein das Ausländer- und Integrationsgesetz massgebend, da es diesbezüglich günstigere Bestimmungen enthält (vgl. <ref-law>).
3.2. Vor diesem Hintergrund ist auf die Vorbringen des Beschwerdeführers zur Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofs nicht weiter einzugehen. Auch die Rüge einer Verletzung der Unionsbürgerrichtlinie (Richtlinie 2004/38/EG des Europäischen Parlaments und des Rates vom 29. April 2004) stösst ins Leere. Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens bildet daher lediglich die Frage, ob die Vorinstanz <ref-law> rechtmässig angewendet hat, indem es dem Beschwerdeführer aufgrund mangelnder Sprachkompetenzen die Erteilung einer Niederlassungsbewilligung EU/EFTA verweigert hat.
4.
Der Anspruch ausländischer Ehegatten von Schweizerinnen und Schweizern auf Aufenthalt in der Schweiz wird in <ref-law> geregelt.
4.1. Gemäss <ref-law> haben die ausländischen Ehegatten zunächst Anspruch auf die Erteilung und Verlängerung einer Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit ihrem Schweizer Ehegatten zusammenwohnen. Nach einem ordnungsgemässen und ununterbrochenen Aufenthalt von fünf Jahren haben die ausländischen Ehegatten sodann Anspruch auf die Erteilung einer Niederlassungsbewilligung, wenn die Integrationskriterien nach <ref-law> erfüllt sind (vgl. <ref-law>).
4.1.1. <ref-law> bestimmt, dass bei der Beurteilung der Integration die zuständige Behörde folgende Kriterien berücksichtigt: die Beachtung der öffentlichen Sicherheit und Ordnung (lit. a); die Respektierung der Werte der Bundesverfassung (lit. b); die Sprachkompetenzen (lit. c); und die Teilnahme am Wirtschaftsleben oder am Erwerb von Bildung (lit. d). Art. 73b der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit (VZAE; SR 142.201) präzisiert die Anforderungen an die Sprachkompetenzen bei der Erteilung einer Niederlassungsbewilligung im Rahmen des Familiennachzugs: Damit Ehegatten von Schweizerinnen und Schweizern und Ehegatten von Personen mit einer Niederlassungsbewilligung eine Niederlassungsbewilligung nach <ref-law> oder <ref-law> erteilt wird, müssen sie nachweisen, dass sie in der am Wohnort gesprochenen Landessprache über mündliche Sprachkompetenzen mindestens auf dem Referenzniveau A2 und schriftliche Sprachkompetenzen mindestens auf dem Referenzniveau A1 des Referenzrahmens verfügen (vgl. auch <ref-law> zur Delegationsnorm; <ref-law> zu den formellen Anforderungen an den Nachweis der Sprachkompetenzen im Sinne von <ref-law>).
4.1.2. Gleiches sieht <ref-law> auch ausserhalb des Familiennachzugs bei der unmittelbaren Erteilung der Niederlassungsbewilligungen EU/EFTA an EU- und EFTA-Angehörige vor. Die EU- und EFTA-Angehörigen haben ebenso nachzuweisen, dass sie in der am Wohnort gesprochenen Landessprache über mündliche Sprachkompetenzen mindestens auf dem Referenzniveau A2 und schriftliche Sprachkompetenzen mindestens auf dem Referenzniveau A1 des Referenzrahmens verfügen (vgl. auch Art. 5 der Verordnung vom 22. Mai 2002 über den freien Personenverkehr zwischen der Schweiz und der Europäischen Union und deren Mitgliedstaaten, zwischen der Schweiz und dem Vereinigten Königreich sowie unter den Mitgliedstaaten der Europäischen Freihandelsassoziation [Verordnung über den freien Personenverkehr, VEP; SR 142.203]).
4.1.3. Bei der Beurteilung der Integrationskriterien von <ref-law> trägt die zuständige Behörde den persönlichen Verhältnissen der ausländischen Person angemessen Rechnung (vgl. <ref-law>). Eine Abweichung von diesen Integrationskriterien ist gemäss <ref-law> möglich, wenn die Ausländerin oder der Ausländer sie aufgrund einer körperlichen, geistigen oder psychischen Behinderung, wegen einer schweren oder lang andauernden Krankheit oder infolge anderer gewichtiger persönlicher Umstände - namentlich wegen einer ausgeprägten Lern-, Lese- oder Schreibschwäche, Erwerbsarmut oder der Wahrnehmung von Betreuungsaufgaben - nicht oder nur unter erschwerten Bedingungen erfüllen kann.
4.2. Der Beschwerdeführer beanstandet die vorinstanzlichen Feststellungen zu seinen sprachlichen Kompetenzen nicht. Er bringt vor, er halte es nicht für notwendig, Ausführungen und Eingaben zu seinen sprachlichen Fähigkeiten zu machen. In tatsächlicher Hinsicht ist auf die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz abzustellen (vgl. <ref-law>). Die Vorinstanz berücksichtigt eine Rechnung der Klubschule Migros für einen Sprachkurs "Deutsch Niveau A1" (vgl. E. 2.3.1 i.f. des angefochtenen Urteils). Ausserdem übernehme der Beschwerdeführer die Betreuung der beiden Töchter, während seine Ehefrau in einem Vollzeitpensum arbeite (vgl. E. 2.3.2 des angefochtenen Urteils).
4.3. In rechtlicher Hinsicht kommt die Vorinstanz zu Recht zum Schluss, dass der Beschwerdeführer die Voraussetzungen für die Erteilung der Niederlassungsbewilligung EU/EFTA nicht erfüllt.
4.3.1. Der Beschwerdeführer erbringt keinen Nachweis für mündliche Sprachkompetenzen auf dem Referenzniveau A2 sowie für schriftliche Sprachkompetenzen auf dem Referenzniveau A1 in der Landessprache Deutsch. Er weist im bundesgerichtlichen Verfahren auch nicht auf einen Nachweis hin, den die Vorinstanz unberücksichtigt gelassen hätte (vgl. <ref-law>). Folglich erfüllen seine deutschen Sprachkompetenzen nicht das Integrationserfordernis von <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> und <ref-law>.
4.3.2. Die massgebenden Umstände rechtfertigen auch kein Abweichen vom Erfordernis an die Sprachkompetenzen aufgrund seiner persönlichen Verhältnisse. Der Beschwerdeführer betreut zwar seine beiden Töchter, während seine Ehefrau einer Vollzeiterwerbstätigkeit nachgeht. Es ist aber nicht ersichtlich, weshalb es dem Beschwerdeführer nicht möglich sein sollte, am Abend oder an den Wochenenden einen Sprachkurs zu belegen, um die sprachlichen Erfordernisse von <ref-law> zu erfüllen. Eine Doppelbelastung durch Kinderbetreuung und Erwerbstätigkeit liegt beim Beschwerdeführer nicht vor. Ausserdem sind auch keine physischen oder psychischen Einschränkungen erstellt, die dem Beschwerdeführer das Erlernen der deutschen Sprache erschwerten. Die Vorinstanz erwägt daher zutreffend, dass auch unter Berücksichtigung der zeitintensiven Arbeiten im Haushalt und der Betreuung seiner Töchter, ausreichend Zeit verbleibe, um die erforderlichen Sprachkompetenzen zu erwerben und die Integrationskriterien zu erfüllen (vgl. E. 2.3.2 des angefochtenen Urteils).
4.4. Zusammenfassend ergibt sich, dass der Beschwerdeführer die Voraussetzungen für die Erteilung der Niederlassungsbewilligung EU/EFTA zurzeit nicht erfüllt. Demzufolge ist das vorinstanzliche Urteil nicht zu beanstanden.
5.
Insoweit der Beschwerdeführer eine Verletzung von Art. 8 EMRK in Verbindung mit Art. 14 EMRK rügt, ist ihm nicht zu folgen. Art. 8 EMRK räumt kein Recht auf einen bestimmten Aufenthaltstitel ein, solange die bestehende Aufenthaltsregelung eine weitestgehend ungehinderte Ausübung des Privat- und Familienlebens ermöglicht (vgl. <ref-ruling> E. 3a; Urteile 2C_175/2020 vom 24. November 2020 E. 4.1, zur Publikation vorgesehen; 2C_939/2020 vom 18. November 2020 E. 2). Dies wird vorliegend mit der auf fünf Jahre befristeten Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA ohne Weiteres gewährleistet. Ausserdem wird der Beschwerdeführer auch nicht im Vergleich mit den EU- und EFTA-Angehörigen diskriminiert, da Letztere dieselben sprachlichen Kompetenzen vorweisen müssen, um in den Genuss einer Niederlassungsbewilligung EU/EFTA zu gelangen (vgl. <ref-law>; E. 4.1.2 hiervor). Ferner genügt das vorinstanzliche und vorliegende Verfahren den Anforderungen des Rechts auf eine wirksame Beschwerde im Sinne von Art. 13 EMRK. Auch die diesbezügliche Rüge des Beschwerdeführers stösst ins Leere.
6.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde als unbegründet, weshalb sie abzuweisen ist, soweit darauf eingetreten wird. Der Beschwerdeführer beantragt, ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann nicht entsprochen werden, da das Rechtsmittel von vornherein als aussichtslos bezeichnet werden muss (<ref-law>). Diesem Verfahrensausgang entsprechend sind die umständehalber reduzierten Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Januar 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Zollinger