Faits :
A.
A.a. A la suite du dépôt d'une demande de prestations le 21 mai 2013, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a octroyé à A.A._ (né en octobre 2009) des mesures médicales de l'assurance-invalidité en raison d'une infirmité congénitale, par décision du 28 octobre 2013. Accordées du 1er février 2013 au 31 janvier 2018 (prolongées par la suite au 31 janvier 2023), ces mesures consistaient en un suivi au Centre B._ à U._ et au Service C._ à V._. L'office AI s'est fondé sur l'avis de la doctoresse D._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie et cheffe de clinique auprès du Centre E._, selon lequel l'assuré souffrait d'un trouble envahissant du développement, sans précision. Entre autres renseignements, le médecin a répondu positivement à la question de savoir s'il y avait un besoin d'aide supplémentaire ou de surveillance personnelle comparativement à une personne du même âge en bonne santé, ce depuis la naissance et en raison de mises en danger de lui-même et d'autrui (rapport non daté, indexé par l'administration le 5 juillet 2013).
A.b. Le 13 septembre 2017, par l'intermédiaire de sa mère, B.A._, A.A._ a présenté une demande d'allocation pour impotent. Après avoir pris des renseignements médicaux et mis en oeuvre une enquête à domicile (rapport du 28 novembre 2018), l'office AI a reconnu le droit de l'assuré à une allocation pour impotent de degré moyen à partir du 13 septembre 2016 (décision du 20 février 2019).
B.
A.A._ a recouru contre cette décision au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, en contestant le début du droit à la prestation accordée, qui devait être fixé selon lui au 19 octobre 2009, ou subsidiairement au 21 mai 2012, voire au 13 septembre 2012. Statuant le 13 septembre 2019, le Tribunal cantonal a rejeté le recours.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A.A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler le jugement cantonal et de reconnaître son droit à une allocation pour impotent de degré moyen dès le 19 octobre 2009, ou, à titre subsidiaire, dès le 21 mai 2012 voire le 13 septembre 2012; encore plus subsidiairement, il requiert le renvoi du dossier à l'office AI pour complément d'instruction et décision dans le sens des considérants.
L'office AI conclut au rejet du recours en se référant au jugement cantonal, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public (<ref-law>) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>).
2.
Le litige porte uniquement sur le point de savoir si le recourant a droit à l'allocation pour impotent (de degré moyen) pour une période antérieure au 13 septembre 2016 (en fait au 1er septembre 2016 [cf. <ref-law>]), singulièrement à partir de sa naissance, voire dès le 21 mai 2012 ou encore du 13 septembre 2012.
Le jugement entrepris expose de manière complète les conditions légales du droit à une allocation pour impotence dans le cas des mineurs (<ref-law>, art. 42 et 42bis al. 3 LAI, <ref-law>) et la jurisprudence y relative (<ref-ruling>). Il rappelle également les normes et les principes jurisprudentiels sur le début du droit à une telle prestation en relation avec la date de la présentation de la demande à l'assurance-invalidité (<ref-law>; <ref-ruling>; arrêt 9C_92/2008 du 24 novembre 2008 consid. 3), ainsi que sur le degré de la vraisemblance prépondérante (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 186). Il suffit d'y renvoyer.
3.
Examinant les circonstances qui prévalaient au moment où la demande initiale tendant à l'octroi de mesures médicales avait été déposée, le 21 mai 2013, la juridiction cantonale a considéré qu'il ne pouvait être reproché à l'office AI de n'avoir pas invité les parents du recourant à présenter alors une demande d'allocation pour impotent. Au vu des renseignements dont disposait l'intimé (avant tout le rapport de la doctoresse D._), le besoin d'aide n'apparaissait pas clairement et son caractère durable n'aurait pas pu être admis. Il en allait de même du besoin de surveillance personnelle, dans la mesure où celle-ci ne devait en règle générale pas être prise en considération avant l'âge de huit ans.
Quant à la seconde demande de prestations du 13 septembre 2017, les premiers juges ont retenu que les problèmes de santé présentés par le recourant étaient objectivement reconnaissables pour sa mère depuis plusieurs années, de sorte qu'elle n'était pas dans la situation - visée par l'<ref-law> - où elle ne pouvait connaître les faits ouvrant le droit à une allocation pour impotent. Il n'était pas décisif que le diagnostic de trouble de la sphère autistique n'avait été posé qu'en mai 2018. Le recourant ne pouvait dès lors se prévaloir avec succès de l'exception prévue par l'<ref-law> et avait droit à l'allocation pour impotent pour les douze mois précédant le dépôt de sa demande, soit à compter du 1er septembre 2016.
4.
4.1. En ce qui concerne tout d'abord les conclusions du recourant visant à l'octroi de l'allocation pour impotent à partir du 19 octobre 2009 ou du 21 mai 2012, elles sont d'emblée mal fondées compte tenu de l'<ref-law> et de la jurisprudence y relative (rendue à propos de cette disposition dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007 et réintroduite [avec la nouvelle systématique de l'al. 2 let. a et b] à partir du 1er janvier 2012 [RO 2011 5659; FF 2010 1647, p. 1733 ch. 2 ad art. 48]). Comme l'a rappelé la juridiction cantonale, la demande adressée à un assureur social sauvegarde en principe le droit aux prestations de celui qui la présente et comprend toutes les prétentions qui, de bonne foi, sont liées à la survenance du risque annoncé. Toutefois, même si l'administration a omis fautivement de donner suite à une demande initiale de prestations, qui était bien fondée, le paiement des prestations arriérées est soumis au délai de péremption absolu de cinq ans à compter de la date du dépôt de la nouvelle demande; les prestations antérieures sont éteintes (<ref-law> en relation avec <ref-ruling> consid. 7 p. 438 [9C_452/2011 du 15 novembre 2011 consid. 3.3]; <ref-ruling> consid. 5d p. 201 ss; arrêts 8C_233/2010 du 7 janvier 2011 consid. 5.1 et 9C_92/2008 du 24 novembre 2008 consid. 3.3).
En l'espèce, cela signifie que les prestations ne pourraient être dues que pour les cinq dernières années à partir de la nouvelle demande du 13 septembre 2017, soit au plus tôt dès le 13 septembre 2012. Le recourant invoque à cet égard l'application de l'<ref-law> à la première demande de prestations pour en déduire un droit dès sa naissance voire dès le 21 mai 2012 (en citant de manière incomplète l'arrêt 9C_532/2011 du 7 mai 2012 consid. 4.3, qui rappelle la jurisprudence en cause). Il méconnaît cependant que même dans l'éventualité où il aurait préservé tous ses droits par sa demande initiale (du 21 mai 2013), les prestations arriérées ne pourraient être allouées que pour les cinq ans précédant sa seconde demande. Seul entre donc en considération le droit à l'allocation pour impotent à partir du 13 septembre 2012, comme il le demande dans sa conclusion "à titre plus subsidiaire". C'est dans ce cadre temporel que doivent être examinés ses griefs.
4.2. Invoquant une constatation manifestement inexacte des faits et une violation du droit fédéral en relation avec sa première demande de prestations, le recourant fait valoir que le rapport de la doctoresse D._ (indexé le 5 juillet 2013) comprenait plusieurs éléments importants que les premiers juges n'auraient à tort pas retenus. Ainsi, depuis tout petit, le recourant se frappait et frappait également sa mère ou d'autres enfants, pouvait se mettre en danger et présentait des troubles du sommeil nécessitant la présence d'un adulte à ses côtés jusqu'à 3 heures du matin. Il avait donc un besoin accru de surveillance personnelle comparativement à un enfant du même âge en bonne santé, comme en avait attesté le médecin du Centre E._ et ces indices justifiaient que l'office AI élargît ses investigations à l'allocation pour impotent.
En ce qui concerne un éventuel besoin de surveillance personnelle, la juridiction cantonale a retenu que selon les recommandations de l'OFAS une surveillance particulièrement intense ne doit en règle générale pas être prise en considération avant l'âge de huit ans et en a déduit qu'aucune omission ne pouvait être reprochée à l'office AI. Ce faisant, elle n'a toutefois pas pris en considération que la règle générale mentionnée (et se rapportant, en 2013, à l'âge de 6 ans) est assortie d'un complément selon lequel les enfants éréthiques et autistes doivent être évalués selon la gravité de leur handicap (Annexe III à la Circulaire de l'OFAS sur l'invalidité et l'impotence dans l'assurance-invalidité [CIIAI], Recommandations concernant l'évaluation de l'impotence déterminante chez les mineurs, p. 197; état au 1 er janvier 2013). Or le diagnostic mentionné dans le rapport médical du Centre E._ est celui de trouble envahissant du développement, sans précision (F84.9). Il a été repris par le médecin du Service médical régional de l'assurance-invalidité Suisse romande (SMR), selon lequel la prise en charge des mesures médicales pouvait être admise en relation avec le trouble envahissant du développement (manifestation des symptômes avant la fin de la 5ème année de vie) sous couvert du chiffre OIC 405 (avis du 24 octobre 2013). Aussi, l'office AI a-t-il admis une infirmité congénitale selon le ch. 405 de l'ordonnance du 9 décembre 1985 (OIC; RS 831.232.21), qui se rapporte aux "Troubles du spectre autistique, lorsque leurs symptômes ont été manifestes avant l'accomplissement de la cinquième année".
Dans ces circonstances, le besoin de surveillance dont a fait état la doctoresse D._ ne pouvait être écarté au seul motif de l'âge du recourant. En relation avec la description du comportement de l'enfant (agitation, violence, risque de blessures) et du trouble du spectre autistique reconnu alors par l'intimé, l'attestation du médecin quant au besoin de surveillance constituait un indice suffisant qui permettait de croire qu'une prestation en relation avec ce besoin pouvait entrer en considération et obligeait l'intimé à instruire d'office la question d'une éventuelle impotence de l'assuré (cf. <ref-law>). Sur ce point, l'office AI s'est contenté de mentionner en instance cantonale qu'en mai 2013 aucun indice ne permettait de justifier une aide pour au moins deux actes (ordinaires de la vie), sans se prononcer sur la nécessité d'une surveillance personnelle. Il convient dès lors de retenir que l'office AI a omis fautivement de donner suite à la demande du 21 mai 2013 concernant l'allocation pour impotent. Par conséquent, il reste à examiner si cette demande était fondée et, le cas échéant, dans quelle mesure, dans le cadre temporel décrit ci-dessus (consid. 4.1 in fine).
4.3. Dans sa décision du 20 février 2019, l'office AI a admis que le recourant avait besoin, en raison de son état de santé et par rapport à un enfant valide du même âge, d'un surcroît d'aide et de soins pour accomplir cinq actes courants de la vie: se vêtir/dévêtir dès l'âge de 3 ans (octobre 2012), déplacements/contacts sociaux dès l'âge de 5 ans (octobre 2014), manger, se laver et aller aux WC dès l'âge de 6 ans (octobre 2015). Il s'est fondé sur le rapport d'enquête du 28 novembre 2018, selon lequel - en plus de l'aide mentionnée - "s'agissant d'un TSA [trouble du spectre autistique], un surcroît de temps de 2h relatif à une surveillance permanente peut être admise dès 4 ans (10.2013) jusqu'à 12.2014". Par le passé, l'enfant avait eu besoin d'une surveillance permanente en raison d'un comportement agité avec agressivité et incapacité à comprendre les interdits; depuis l'arrivée dans l'appartement actuel en 2014 et le début de l'école, une surveillance n'était plus nécessaire.
Compte tenu de ces éléments - et il convient ici de compléter les faits constatés par la juridiction cantonale (consid. 1 supra) -, il y a lieu d'admettre que le recourant nécessitait un surcroît d'aide pour un acte ordinaire de la vie (se vêtir/dévêtir) depuis octobre 2012, pour deux actes de la vie (en plus, déplacements/contacts sociaux) à partir d'octobre 2014 et pour cinq actes à partir d'octobre 2015. Par ailleurs, d'octobre 2013 à décembre 2014, il avait besoin d'une surveillance permanente. En conséquence, le délai d'attente d'une année pour ouvrir le droit à l'allocation pour impotent a débuté en octobre 2013 au moment où est apparu le besoin de surveillance (<ref-law>; <ref-ruling>). Une année plus tard, en octobre 2014, le besoin de surveillance était toujours présent, ce qui ouvrait le droit à une allocation pour impotent de degré faible (<ref-law>). Au début de l'année 2015, alors que le besoin de surveillance n'existait plus, l'assuré nécessitait en revanche de l'aide pour un deuxième acte ordinaire de la vie (depuis octobre 2014), qui s'ajoutait à celle concernant l'acte de se vêtir/dévêtir présente depuis octobre 2012. Le droit à l'allocation pour impotent de degré faible était dès lors maintenu (<ref-law> en relation avec l'<ref-law>). Trois mois après l'apparition du besoin d'aide pour les trois autres actes ordinaires de la vie en octobre 2015, soit en janvier 2016, le droit à l'allocation pour impotent correspondait à un degré moyen (<ref-law> en relation avec l'<ref-law>). En conséquence, il convient de constater que le recourant a droit à une allocation pour impotent de degré faible à partir du 1er octobre 2014 et de degré moyen dès le 1er janvier 2016.
Il s'ensuit que le recours doit être admis dans cette mesure et le jugement entrepris ainsi que la décision du 20 février 2019réformés en ce sens.
5.
Vu l'issue de la procédure, les frais de justice sont mis à la charge de l'intimé, de même que l'indemnité de dépens que peut prétendre le recourant (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis. Le jugement du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, du 13 septembre 2019 et la décision de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud du 20 février 2019 sont réformés en ce sens que le recourant a droit à une allocation pour impotent de degré faible à partir du 1er octobre 2014 et de degré moyen à partir du 1er janvier 2016. Les ch. III et IV du dispositif dudit jugement sont annulés. Le recours est rejeté pour le surplus.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3.
L'intimé versera au recourant la somme de 2800 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
La cause est renvoyée au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, pour nouvelle décision sur les frais et les dépens de la procédure antérieure.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 27 mai 2020
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Berthoud