Sachverhalt:
A.
Die A._ AG ist Betreiberin der Klinik A._ (fortan: Klinik) in Zürich. Diese war bis Ende 2011 im Abschnitt B der unterteilten Spitalliste des Kantons Zürich aufgeführt (d.h.: in der Halbprivat- und Privatabteilung zur Tätigkeit zulasten der sozialen Krankenversicherung zugelassen und ohne Anspruch auf Staatsbeiträge). Ab 1. Januar 2012 wurde die Klinik in die neue, ungeteilte Spitalliste des Kantons Zürich aufgenommen mit einem befristeten Leistungsauftrag für bestimmte Leistungsgruppen (Regierungsratsbeschluss vom 21. September 2011). Mit Schreiben vom 3. Mai 2016 verlangte die A._ AG vom Kanton Zürich (Gesundheitsdirektion) für Patientinnen und Patienten aus dem Kanton Zürich, die im Jahr 2011 in die Klinik eingetreten, aber erst im Jahr 2012 wieder ausgetreten waren (fortan: Übergangsfälle 2011/2012), zunächst die Bezahlung eines hälftigen Kantonsanteils von Fr. 412'328.20, analog der mit zwei anderen Kantonen getroffenen Lösung. Mit Schreiben vom 8. November 2016 forderte sie einen ungekürzten Kantonsanteil von insgesamt Fr. 824'656.36. Die Gesundheitsdirektion lehnte eine Kostenübernahme mit Verfügung vom 25. April 2017 ab, was der Regierungsrat des Kantons Zürich mit Beschluss vom 11. März 2020 bestätigte.
B.
Die hiergegen gerichtete Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 3. November 2020 teilweise gut. Es hob den Beschluss des Regierungsrates vom 11. März 2020 sowie die Verfügung der Gesundheitsdirektion vom 25. April 2017 auf und wies die Angelegenheit zur Festsetzung des Kantonsanteils an die Gesundheitsdirektion zurück.
C.
Der Kanton Zürich führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt, es sei das vorinstanzliche Urteil vom 3. November 2020 aufzuheben und es seien der Regierungsratsbeschluss vom 11. März 2020 sowie die Verfügung der Gesundheitsdirektion vom 25. April 2017 zu bestätigen. Eventualiter sei die Sache an letztere zurückzuweisen zur Festsetzung des Kantonsanteils für die bis 31. Dezember 2011 in die Klinik A._ ein- und ab 1. Januar 2012 ausgetretenen Halbprivat- und Privatpatientinnen und -patienten mit Wohnsitz im Kanton Zürich, wobei die Vergütung auf die Hälfte des Kantonsanteils für alle Übergangsfälle 2011/2012 (ohne Allgemeinpatientinnen und -patienten) festzulegen sei.
Die A._ AG beantragt die Abweisung der Beschwerde und die Verpflichtung des Kantons Zürich, ihr den Kantonsanteil an den Kosten der stationären Behandlung ihrer sämtlichen Übergangsfälle 2011/ 2012 - unabhängig von deren Versicherungsdeckung (allgemein, halbprivat, privat) - zu bezahlen.
Die Parteien äussern sich abschliessend mit Eingaben vom 28. Januar 2021 (des Kantons Zürich) bzw. vom 15. Februar 2021 (der A._ AG).

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen Rückweisungsentscheid und damit formell um einen Zwischenentscheid. Materiell hat das kantonale Gericht im grundsätzlichen Streitpunkt entschieden, der Kanton Zürich habe für die Übergangsfälle 2011/2012 Kostenanteile zu leisten nach dem neuen, ab 1. Januar 2012 geltenden, Finanzierungsmodell. Es stellte indes fest, die Gesundheitsdirektion habe die geltend gemachten Behandlungskosten, an denen sie sich zu beteiligen habe, noch nicht näher geprüft, was sie im Rahmen der Bestimmung des von ihr zu tragenden Kostenanteils nachzuholen habe. Mithin liegt - entgegen der Beschwerdeführerin - auch materiell ein Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> vor.
1.2. Beschwerden an das Bundesgericht gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide sind zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (<ref-law>) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (<ref-law>). Vorliegend ist offensichtlich (zur Prüfung der Zulässigkeit einer Beschwerde von Amtes wegen und mit freier Kognition vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1), dass der Kanton Zürich durch den angefochtenen Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil erleidet: Das angefochtene Urteil verpflichtet ihn zur Übernahme eines Kantonsanteils in den Übergangsfällen 2011/2012 für den gesamten Behandlungszeitraum nach den ab 1. Januar 2012 geltenden Finanzierungsregeln. Ein Entscheidungsspielraum kommt ihm einzig noch insofern zu, als er die geltend gemachten Behandlungskosten im Rahmen der Berechnung und Festlegung des geschuldeten Anteils zu überprüfen hat.
2.
Strittig ist, ob das kantonale Gericht Bundesrecht verletzt hat, indem es den Kanton Zürich verpflichtete, für die Übergangsfälle 2011/2012 einen (vollen) Kantonsbeitrag gemäss Art. 41 Abs. 1bis i.V.m. Art. 49 Abs. 1 und Art. 49a Abs. 1 KVG zu entrichten. Hintergrund der Streitigkeit bildet die Anfang 2009 in Kraft getretene Änderung der bundesrechtlichen Vorschriften zur Spitalfinanzierung (Bundesgesetz über die Krankenversicherung [KVG; Spitalfinanzierung], Änderung vom 21. Dezember 2007, AS 2008 2049), die der Kanton Zürich per 1. Januar 2012 im kantonalen Recht umgesetzt hat.
2.1. Wie bereits das Verwaltungsgericht darlegte, war bis Ende 2008 in aArt. 49 Abs. 1 Satz 2 KVG einzig geregelt, dass zwischen Versicherern und Leistungserbringern Pauschalen zu vereinbaren waren, die für Kantonseinwohnerinnen und -einwohner bei öffentlichen oder öffentlich subventionierten Spitälern höchstens 50 Prozent der anrechenbaren Kosten je Patient oder Patientin oder je Versichertengruppe in der allgemeinen Abteilung zu decken hatten. Wie die übrigen Kosten zu tragen waren, war im KVG nicht geregelt, wenngleich der Bundesgesetzgeber aufgrund der Verpflichtung der Kantone zur Sicherstellung der Versorgung grundsätzlich von deren Beteiligung an den Kosten der von ihnen geschaffenen bzw. geförderten stationären Infrastruktur ausging. Der Kanton Zürich führte eine unterteilte Spitalliste, auf der er die öffentlichen und privaten Spitäler aufführte, die in der allgemeinen Abteilung (Abschnitt A) bzw. in der Halbprivat- und Privatabteilung (Abschnitt B) zur Tätigkeit zulasten der sozialen Krankenversicherung zugelassen waren. Die privaten Spitäler auf dem Abschnitt B der Spitalliste hatten (auch) nach kantonalem Recht keinen Anspruch auf Kantonsbeiträge. In diesem System gingen die dort anfallenden Behandlungskosten vollumfänglich zulasten der Grund- und Zusatzversicherer (vgl. MARCO DONATSCH, Die Stellung der öffentlichen Hand bei der Spitalfinanzierung nach KVG, Jusletter vom 28. August 2017, Rz. 5; DANIA TREMP, Stationäre Spitaltarife 2012: Eine Herausforderung für die Spitalwelt, Jusletter vom 28. Januar 2013, Rz. 2). Die hier betroffene Klinik gehörte - insoweit unbestritten - nicht zu den öffentlichen oder öffentlich subventionierten Spitälern und hatte nach bis Ende 2011 anwendbarem Recht keinen Anspruch auf Kantonsbeiträge.
2.2. Mit der Neuregelung erfolgte ein Wechsel von der Objektfinanzierung (d.h. Mitfinanzierung der Spitäler über kantonalrechtliche Kantonsbeiträge) zur leistungsbezogenen Finanzierung (Fallkostenpauschale nach dem System der Diagnosis Related Groups [DRG]). Mit den neuen Art. 41 Abs. 1bis i.V.m. Art. 49 Abs. 1 und Art. 49a Abs. 1 KVG entstand für Spitäler, die mit einem Leistungsauftrag auf einer Spitalliste figurieren (<ref-law>; zum Zusammenhang zwischen Leistungsauftrag und Spitalliste unter neuem Recht vgl. eingehend hinten E. 5.2.1), von Bundesrechts wegen Anspruch auf einen Kantonsanteil an der Fallkostenpauschale (vgl. zusammenfassend etwa GEBHARD EUGSTER, Krankenversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Bd. XIV, Soziale Sicherheit, 3. Aufl. 2016, S. 712 f. Ziff. 1018 ff.). Diese neuen Bestimmungen lauten wie folgt:
Art. 41 Wahl des Leistungserbringers und Kostenübernahme
1bis Die versicherte Person kann für die stationäre Behandlung unter den Spitälern frei wählen, die auf der Spitalliste ihres Wohnkantons oder jener des Standortkantons aufgeführt sind (Listenspital). Der Versicherer und der Wohnkanton übernehmen bei stationärer Behandlung in einem Listenspital die Vergütung anteilsmässig nach Artikel 49a höchstens nach dem Tarif, der in einem Listenspital des Wohnkantons für die betreffende Behandlung gilt.
Art. 49 Tarifverträge mit Spitälern
1 Für die Vergütung der stationären Behandlung einschliesslich Aufenthalt und Pflegeleistungen in einem Spital (Art. 39 Abs. 1) oder einem Geburtshaus (Art. 29) vereinbaren die Vertragsparteien Pauschalen. (...)
Art. 49a Abgeltung der stationären Leistungen
1 Die Vergütungen nach Artikel 49 Absatz 1 werden vom Kanton und den Versicherern anteilsmässig übernommen.
2.3. Zur neuen Spitalfinanzierung wurden insbesondere folgende Übergangsbestimmungen erlassen:
Übergangsbestimmungen zur Änderung vom 21. Dezember 2007 (Spitalfinanzierung)
1 Die Einführung der leistungsbezogenen Pauschalen nach Artikel 49 Absatz 1 sowie die Anwendung der Finanzierungsregelung nach Artikel 49a mit Einschluss der Investitionskosten müssen spätestens am 31. Dezember 2011 abgeschlossen sein.
4 Kantone und Versicherer beteiligen sich bis zum Einführungszeitpunkt nach Absatz 1 entsprechend der vor der Gesetzesänderung geltenden Finan zierungsregelung an den Kosten der stationären Behandlungen. Während der Frist zur Anpassung der Spitallisten gemäss Absatz 3 haben die Kantone ihren Kostenanteil in allen Spitälern, die auf den aktuell gültigen Spitallisten aufgeführt sind, zu übernehmen.
Gemäss Abs. 1 der Übergangsbestimmungen (fortan: UeB) hatten die Kantone für die Anwendung der neuen Finanzierungsregelung bis spätestens am 31. Dezember 2011 Zeit. Bis dahin hatten sowohl sie als auch die (Kranken-) Versicherer sich entsprechend der vor der Gesetzesänderung geltenden Regelung an den Kosten der stationären Spitalbehandlung zu beteiligen (Abs. 4 Satz 1 UeB).
2.4. Der Kanton Zürich setzte sowohl die neue Spitalfinanzierung als auch die angepassten - nunmehr ungeteilten - Spitallisten gleichzeitig per 1. Januar 2012 in Kraft.
3.
Das Verwaltungsgericht erwog, nach welchem Recht sich die Finanzierung richte, wenn Patientinnen und Patienten bei (Fort-) Geltung des alten - bis 31. Dezember 2011 übergangsweise weiterhin anwendbaren - Rechts in die Klinik ein-, aber erst nach Umsetzung der neuen Spitalfinanzierung (zum 1. Januar 2012) ausgetreten seien, werde weder durch die Übergangsbestimmungen zur Spitalfinanzierung geregelt, noch ergebe es sich aus den übrigen Bestimmungen des KVG. Weder der Gesetzestext noch die Materialien wiesen auf einen Willen des Gesetzgebers hin, im Wissen um die Problematik der Übergangsfälle 2011/2012 auf die Regelung von deren Finanzierung zu verzichten. Es sei demnach von einer echten Lücke (vgl. zu diesem Begriff et wa <ref-ruling> E. 2.5 Ingress mit Hinweisen) auszugehen, die sachgerecht zu schliessen sei.
Bei der Lückenfüllung sei insbesondere den Zielsetzungen der vorhandenen Übergangsbestimmung Rechnung zu tragen. Diese sehe in ihrem Abs. 1 vor, dass die Anwendung der neuen Finanzierungsregelung bis spätestens am 31. Dezember 2011 abgeschlossen sein müsse. Eine Regelung für Übergangsfälle, die dazu führte, dass nach dem 31. Dezember 2011 erbrachte Leistungen noch nach alter Finanzierungsregelung vergütet würden, stünde damit im Widerspruch. Eine zeitliche Abgrenzung per 31. Dezember 2011 - d.h. eine Vergütung der bis zu diesem Datum erbrachten Leistungen nach alter und der danach erbrachten nach neuer Finanzierungsregelung - komme nicht in Frage. Eine Aufteilung pro rata temporis sei einem System der Fallpauschalen wesensfremd und wenig praktikabel, zumal das pauschalisierte Entgelt erst beim Austritt festgelegt werden könne, wenn die endgültige Diagnose feststehe. Damit verwirkliche sich der massgebliche Sachverhalt erst unter dem neuen Recht, was gemäss allgemeinen intertemporalrechtlichen Grundsätzen zur Anwendung des neuen Rechts führe (mit Verweis auf <ref-ruling> E. 4.3.1; <ref-ruling> E. 6.2). Es dränge sich deshalb auf, die Übergangsfälle 2011/2012 für die gesamte Behandlungsdauer der neuen Spitalfinanzierung zu unterstellen. Damit werde auch ein Gleichlauf hergestellt zur Übergangsbestimmung gemäss Ziffer 3.10 der Regeln und Definitionen zur Fallabrechnung unter SwissDRG (in der Version vom April 2011; fortan: SwissDRG-Regeln). Diese sieht Folgendes vor: "Ein Fall mit Eintrittsdatum vor dem SwissDRG Einführungszeitpunkt (1.1.2012) wird Ende 2011 nicht abgeschlossen und per 1.1.2012 neu eröffnet. Die Abrechnung erfolgt bei Austritt nach SwissDRG über die gesamte Aufenthaltsdauer". Nicht relevant sei in diesem Zusammenhang die zwischen den Parteien abgeschlossene Staatsbeitragsvereinbarung 2012 (betreffend die Abgeltung der stationären Leistungen für Zürcher KVG-Patienten, vgl. dazu unten E. 5.1). Sie vermöge an der von Bundesrechts wegen zwingenden Geltung der neuen Finanzierungsregelung (spätestens) ab dem 1. Januar 2012 zum vornherein nichts zu ändern. Demnach seien die in den Übergangsfällen 2011/2012 erbrachten stationären Behandlungsleistungen in ihrer Gesamtheit durch den Kanton Zürich nach dem neuen Finanzierungsmodell zu entschädigen, wobei die Gesundheitsdirektion den geltend gemachten Kostenanteil noch zu prüfen habe.
4.
4.1.
4.1.1. Der Kanton Zürich macht im Wesentlichen geltend, das Verwaltungsgericht habe Bundesrecht verletzt, indem es ihn verpflichtet habe, Spitalleistungen bereits für einen Zeitraum vor Erteilung des Leistungsauftrags an die Klinik bzw. deren Aufnahme auf die kantonale Spitalliste (mit) zu finanzieren. Er weist zudem darauf hin, dass sich übergangsrechtliche Fragen nicht nur hinsichtlich der Übergangsfälle 2011/2012 der Klinik stellen würden, sondern bei allen späteren Anpassungen einzelner Leistungsaufträge und periodischen Neufestsetzungen der Spitallisten, sowohl bei Neuerteilung als auch bei Beschränkung oder Entzug eines Leistungsauftrags. Entgegen der Vorinstanz liege bezüglich der Behandlung von Übergangsfällen wie den vorliegend strittigen keine Gesetzeslücke vor. Das KVG knüpfe eine Leistungspflicht des Kantons klar am Vorliegen eines Leistungsauftrags an (mit Verweis auf Art. 35 und 39 KVG). Über einen solchen habe die Klinik bis Ende 2011 nicht verfügt. Damit habe nach altem Recht kein Anspruch auf einen Kantonsbeitrag bestanden, sondern einzig auf sogenannte Sockelbeiträge aus der Grundversicherung (vgl. dazu <ref-ruling> E. 6 ff.). Weiter komme die Finanzierungsgarantie der bisherigen Listenspitäler gemäss Abs. 4 Satz 2 UeB nicht zum Tragen, da der Kanton Zürich seine Spitallisten zeitgleich mit der Umsetzung der neuen Finanzierungsregelung per 1. Januar 2012 angepasst habe. Es gelte, durch Auslegung des KVG eine Lösung des vorliegenden intertemporalrechtlichen Problems zu finden, die verallgemeinerungsfähig sei und auch in anderen Konstellationen zu einem zweckmässigen Resultat führe. So etwa, wenn ein Spital seinen Leistungsauftrag verliere. Im Interesse der Rechtssicherheit für die Patientinnen und Patienten dränge es sich auf, für die Frage nach der Vergütungspflicht jeweils auf den Zeitpunkt des Spitaleintritts abzustellen.
4.1.2. Im Falle der Bejahung seiner grundsätzlichen Kostenpflicht für die Übergangsfälle 2011/2012 habe - so der Beschwerdeführer weiter - die Beschwerdegegnerin auf entsprechende Vergütung mit der Staatsbeitragsvereinbarung 2012 rechtsgültig verzichtet. Werde durch das Bundesrecht die Frage nach der Leistungspflicht nicht für alle möglichen Konstellationen lückenlos beantwortet, sei es zulässig, diese mit einem Leistungserbringer einvernehmlich zu regeln.
In jedem Fall sei eine allfällige Kostenpflicht auf den Behandlungszeitraum ab 1. Januar 2012 zu begrenzen: Die SwissDRG-Regeln äusserten sich zum vornherein nicht zur Übernahme des Kantonsanteils. Die SwissDRG AG wäre auch nicht zuständig gewesen, hierzu für die Kantone verbindliche Regeln zu erlassen. Eine Abgrenzung per 31. Dezember 2011 sei durchaus möglich. Sie sei erfolgt gegenüber den Spitälern, die bereits bis Ende 2011 auf dem sogenannten Abschnitt A der kantonalen Spitalliste gestanden und mithin bereits damals Anspruch auf einen Kantonsbeitrag gehabt hätten. Ihre Leistungen seien in den Übergangsfällen für den Zeitraum bis Ende 2011 nach dem bis dahin geltenden Finanzierungssystem (mit Defizitabgeltung und Mitfinanzierung durch die Gemeinden) abgegolten worden und erst für den Zeitraum ab dem 1. Januar 2012 nach neuem Finanzierungsregime (mit leistungsbezogener Abgeltung allein durch den Kanton). Da die Aufteilung im DRG-Bereich mangels vorgesehenem Fallsplitting nicht einfach sei, habe man dabei die Leistungen des Zeitraums ab 2012 unter Zustimmung des Verbandes der Zürcher Krankenhäuser (VZK) mit 50 % der Fallpreispauschale und unter Berücksichtigung des damaligen Kantonsanteils von 51 % entschädigt. Unzutreffend sei die Auffassung der Vorinstanz, wonach sich der massgebende Sachverhalt erst mit dem Austritt erfülle. Vielmehr sei der Kantonsanteil grundsätzlich mit Erfüllung der einzelnen Teilleistungen einer Behandlung geschuldet. Dass er erst einige Tage oder Wochen nach dem Spitalaustritt geltend gemacht werde, sei rein den rechnungstechnischen Vorgängen geschuldet, da zuerst eine Codierung erfolgen müsse.
4.2. Die Beschwerdegegnerin stellt sich auf den Standpunkt, mit dem kantonalen Gericht habe eine echte Gesetzeslücke vorgelegen, welche dieses unter Beizug der allgemeinen intertemporalrechtlichen Grundsätze korrekt gefüllt habe. Weiter verwahrt sie sich gegen die Rechtsauffassung des Beschwerdeführers, wonach für Allgemeinpatientinnen und -patienten zum vornherein kein Kantonsanteil geschuldet sei. Dabei handelt es sich nicht um ein eigenständiges Rechtsbegehren, sondern um eine - zulässige - rechtliche Stellungnahme zum Eventualbegehren des Beschwerdeführers.
5.
5.1. Der Anspruch auf einen Kantonsbeitrag beruht im Kanton Zürich seit dem 1. Januar 2012 auf Bundesrecht (Art. 41 Abs. 1bis i.V.m. Art. 49 Abs. 1 und Art. 49a Abs. 1 KVG; vgl. oben E. 2.2) und gründet mithin als solcher nicht mehr - wie zuvor die kantonalrechtlichen Subventionen - in einer Staatsbeitragsvereinbarung zwischen Kanton und Leistungserbringerin. Die Vereinbarung der Modalitäten der Leistungsabgeltung und der Vergütung mittels Staatsbeitragsvereinbarung 2012 stützen die Parteien nach deren Ziff. 3.1.1 auf <ref-law> und damit ebenfalls auf Bundesrecht. Ob dabei die Beschwerdegegnerin - wie dies der Beschwerdeführer geltend macht - zulässigerweise auf allfällig von Bundesrechts wegen geschuldete Kantonsbeiträge für die Übergangsfälle 2011/2012 verzichtet hat, ist vorab zu klären, da sich bejahendenfalls die weitere Anspruchsprüfung erübrigt.
Die Staatsbeitragsvereinbarung 2012 zwischen dem Kanton Zürich (Gesundheitsdirektion) und der A._ AG sieht zur Vereinbarungsdauer vor: "Diese Vereinbarung gilt für die Abgeltung von Leistungen der Klinik A._ AG (nachfolgend A._) im Zeitraum vom 1. Januar bis 31. Dezember 2012, für Fälle mit Eintritt ab dem 1. Januar 2012."
5.1.1. Für die Auslegung verwaltungsrechtlicher Verträge ist wie bei einem privatrechtlichen Vertrag in erster Linie auf den übereinstimmenden wirklichen Willen der Parteien abzustellen (sog. subjektive Vertragsauslegung). Die subjektive Vertragsauslegung bezieht sich auf den Willen der Vertragsparteien im Zeitpunkt des Vertragsschlusses. Lässt sich ein übereinstimmender Parteiwille nicht feststellen, ist der Vertrag so auszulegen, wie er nach dem Vertrauensgrundsatz verstanden werden durfte und musste (sog. objektive Vertragsauslegung). Die objektive Vertragsauslegung ergibt sich nicht allein aus dem Wortlaut, sondern kann sich namentlich auch aus dem verfolgten Ziel, der Interessenlage der Parteien oder aus den Gesamtumständen ergeben (vgl. <ref-ruling> E. 6.2.1). Was die Parteien beim Vertragsabschluss gewusst, gewollt oder tatsächlich verstanden haben, ist eine Tatfrage. Die tatsächliche Ermittlung des subjektiven Parteiwillens beruht auf einer Beweiswürdigung, die der bundesgerichtlichen Überprüfung nur in den Schranken von <ref-law> zugänglich ist. Die Vertragsauslegung nach dem Vertrauensgrundsatz ist hingegen eine Rechtsfrage. Entsprechend <ref-law> werden öffentlich-bundesrechtliche Verträge frei überprüft (vgl. etwa zit. <ref-ruling> E. 6.2.2; Urteil 2C_1085/2019 vom 8. Mai 2020 E. 4).
5.1.2. Der Kanton Zürich macht im Wesentlichen geltend, gemäss klarem Wortlaut der Staatsbeitragsvereinbarung 2012, welche die Beschwerdegegnerin unterschrieben habe, bestehe ein Anspruch auf den Kantonsanteil nur in Fällen mit Spitaleintritt ab 1. Januar 2012. Hätten die Parteien die Übernahme des Kantonsanteils auch für die Übergangsfälle 2011/2012 vorsehen wollen, hätten sie diese nicht aus ihrer Vereinbarung ausgeschlossen, zumal bei Vertragsabschluss im Februar 2012 die Problematik der Übergangsfälle bereits bekannt gewesen sei. Derweil beruft sich die Beschwerdegegnerin auf die SwissDRG-Regeln für die Fakturierung von Aufenthalten über zwei Rechnungsperioden (die auf das Austrittsdatum abstellen) und behauptet, fast alle Kantone hätten den Kantonsanteil für die Übergangsfälle gesamthaft bezahlt.
Dass die Übergangsfälle 2011/2012 von den Vertragsparteien explizit thematisiert, geschweige denn dass diesbezüglich eine Einigung erzielt worden wäre, hat weder die Vorinstanz festgestellt, noch wird es von den Parteien geltend gemacht. Diese beschränken sich vielmehr darauf, darzulegen, wovon sie im Zeitpunkt des Vertragsschlusses ausgingen, und geltend zu machen, dass ihre Auffassung für die Ge genpartei erkennbar gewesen sei. Damit kommt die objektive Vertragsauslegung zum Zuge.
5.1.3. Die Auslegung der Staatsbeitragsvereinbarung 2012 nach Vertrauensprinzip prüft das Bundesgericht frei, weil diese mit <ref-law> ("Die Modalitäten werden zwischen Spital und Kanton vereinbart") eine bundesrechtliche Grundlage hat (vgl. oben E. 5.1.1 sowie Urteil 2C_828/2013 vom 24. März 2014 E. 2.3 mit Hinweisen; HANSJÖRG SEILER, in: Handkommentar BGG, 2. Auflage 2015, N. 37 zu <ref-law>).
Im Rahmen einer objektiven Auslegung ist zu berücksichtigen, dass die Staatsbeitragsvereinbarung 2012 sich ihrem Wortlaut nach einzig auf Fälle bezieht, in denen Spitaleintritt und Leistungserbringung (ganz) im Jahr 2012 erfolgten ( vgl. oben E. 5.1 i.f.). Für diese werden die Abwicklungsmodalitäten (Berechnung, Vergütung, Berichterstattung; vgl. <ref-law>) geregelt. Beides - sowohl der Wortlaut der Vertragsklausel zur Vereinbarungsdauer als auch der weitere Vertragsinhalt - spricht sowohl gegen eine Auslegung der Staatsbeitragsvereinbarung im Sinne der Anerkennung eines Leistungsanspruchs durch den Kanton für die Übergangsfälle 2011/2012 als auch gegen einen Verzicht der A._ AG auf einen Teil ihrer Kantonsbeitragsansprüche. In dieselbe Richtung weist die Berufung der Parteien auf <ref-law>, der lediglich Abwicklungsmodalitäten, nicht aber den Anspruch an sich beschlägt. Die Übergangsfälle 2011/ 2012 sind bei objektiver Betrachtung schlicht nicht Gegenstand der Staatsbeitragsvereinbarung 2012. Im Ergebnis mit dem Verwaltungsgericht und der Beschwerdegegnerin vermag damit die Staatsbeitragsvereinbarung 2012 insofern nichts beizutragen zur Beantwortung der Frage nach einem Anspruch der Beschwerdegegnerin auf Kantonsbeiträge für die Übergangsfälle 2011/2012, als ihr kein Verzicht auf allfällige diesbezügliche Ansprüche entnommen werden kann.
5.2. Ob in den Übergangsfällen 2011/2012 ein Anspruch besteht auf (volle oder anteilige) Kantonsbeiträge, richtet sich demnach (allein) nach dem Gesetz. Zu untersuchen ist insbesondere, ob sich diesem eine auf die Übergangsfälle 2011/2012 anwendbare Übergangsregelung entnehmen lässt.
5.2.1. Wie bereits vorstehend in Erwägung 2.2 erläutert, hängt der (bundesrechtliche) Anspruch auf einen Kantonsanteil gemäss klarem Wortlaut der <ref-law> i.V.m. Art. 49 Abs. 1 und Art. 49a Abs. 1 KVG davon ab, ob die Leistungserbringerin auf der kantonalen Spitalliste verzeichnet ist. Das Verhältnis zwischen Leistungsauftrag und Spitalliste nach neuem Recht erhellt aus <ref-law>, gemäss dem Anstalten oder deren Abteilungen, die der stationären Behandlung akuter Krankheiten oder der stationären Durchführung von Massnahmen der medizinischen Rehabilitation dienen (Spitäler), zugelassen sind, wenn sie auf der nach Leistungsaufträgen in Kategorien gegliederten Spitalliste des Kantons aufgeführt sind.
Demnach besteht nach der im Kanton Zürich per 1. Januar 2012 umgesetzten neuen Spitalfinanzierung ein Zusammenhang zwischen Leistungsauftrag und Aufnahme auf die Spitalliste (vgl. etwa auch GEBHARD EUGSTER, a.a.O., S. 665 f. Rz. 840 f.; RÜTSCHE/PICECCHI, Basler Kommentar Krankenversicherungsgesetz/Krankenversicherungsaufsichtsgesetz, 2020, N. 1 und 5 zu <ref-law>; UELI KIESER, KVG/UVG Kommentar, 2018, N. 13 ff. zu <ref-law>). Soweit die Beschwerdegegnerin das Gegenteil behauptet, bleibt sie der altrechtlichen Regelung verhaftet. Sie stützt ihre Auffassung denn auch auf unter dem alten Recht ergangene Rechtsprechung sowie auf ein aus dem Kontext gerissenes Zitat aus der Botschaft des Bundesrates vom 15. September 2004 betreffend die Änderung des Bundesgesetzes über die Krankenversicherung (Spitalfinanzierung, BBl 2004 5551, 5575 ad Art. 39 Abs. 1 lit. d sowie Abs. 2 und 4), in dem ebenfalls die Rede von der früheren Rechtslage ist. So oder anders vermag sie daraus nichts für sich abzuleiten: Auch mit Blick auf Abs. 4 Satz 2 UeB (vgl. E. 2.3 hiervor) ist unmassgeblich, dass die Klinik als Spital auf der B-Liste bereits altrechtlich zur Tätigkeit zulasten der OKP zugelassen war (in der halbprivaten und privaten Abteilung). Dieser Tatsache käme nur dann Relevanz zu, wenn der Kanton Zürich seine Spitalliste erst nach Einführung der leistungsbezogenen Finanzierung den Anforderungen des <ref-law> angepasst hätte, was unbestritten nicht zutrifft (oben E. 2.4).
5.2.2. Dem Wortlaut der <ref-law> i.V.m. Art. 49 Abs. 1 und Art. 49a Abs. 1 KVG (oben E. 2.2) lässt sich (auch in den französischen und italienischen Sprachfassungen) keine explizite Regelung der Übergangsfälle 2011/2012 entnehmen, genauso wenig wie den Übergangsbestimmungen zur Änderung vom 21. Dezember 2007 (Spitalfinanzierung, UeB). Deren Absatz 1 (E. 2.3 hiervor) besagt nur - aber immerhin -, dass der Systemwechsel in der Spitalfinanzierung spätestens zum 1. Januar 2012 zu vollziehen ist, woraus indes für die Beantwortung der hier strittigen Frage unmittelbar nichts gewonnen ist. Hierüber besteht denn auch zwischen den Parteien Einigkeit. Aus den Materialien erhellt - mit der Vorinstanz -, dass im Gesetzgebungsprozess die hier zutage getretene Problematik nicht erörtert wurde (siehe etwa Botschaft Spitalfinanzierung, a.a.O., 5571 Ziff. 2.6 und 5582 f. ad Übergangsbestimmungen Abs. 1 bis 5; AB 2007 N 528 ff.; AB 2007 S 763 f.; AB 2007 N 1943 f.; AB 2007 S 1196; AB 2007 N 2050). Auch der Blick auf das Verhältnis der einschlägigen Normen zu anderen Gesetzesvorschriften (systematische Auslegung) gibt keinen Aufschluss über die Leistungspflicht in den Übergangsfällen 2011/ 2012, genauso wenig wie Sinn und Zweck der (Neu) Regelung. Diese zielte darauf ab, zu einer leistungsorientierteren Finanzierung überzugehen und dabei für miteinander im Wettbewerb stehende private und öffentliche Spitäler gleich lange Spiesse zu schaffen, indem auch den auf den Spitallisten aufgenommenen privaten Spitälern die Möglichkeit eröffnet wurde, von den Kantonsbeiträgen zu profitieren (vgl. zum Grundsatz bereits Botschaft Spitalfinanzierung, a.a.O., 5569 f. Ziff. 2.3).
5.3. Mangels expliziter oder durch Auslegung herleitbarer übergangsrechtlicher Regelung für den hier strittigen Fall sind die allgemeinen intertemporalrechtlichen Grundsätze heranzuziehen.
5.3.1. Ausgangspunkt ist dabei die Anknüpfung der Forderung der Leistungserbringerin gegenüber dem Kanton an einer stationären Behandlung in einem Listenspital (u.a., nebst weiteren, hier nicht weiter zu vertiefenden, Voraussetzungen wie etwa Wohnsitz im Kanton). Eine solche Behandlung beginnt grundsätzlich mit dem Spitaleintritt und setzt sich danach als zeitlich offener Dauersachverhalt fort, der erst mit dem Spitalaustritt abgeschlossen wird. Eine Sacheinheit in dem Sinne, als dass die stationäre Behandlung zwingend nur in ihrer Gänze entweder dem neuen oder dem alten Recht unterstellt werden könnte, liegt nicht vor (vgl. WIEDERKEHR/RICHLI, Praxis des allgemeinen Verwaltungsrechts, 2012, Band I, Nr. 793 mit Verweis auf Urteil des Verwaltungsgerichts Graubünden S 09 175 vom 16. Februar 2010 E. 3; zur Kategorisierung der Sachverhalte in der Lehre [abgeschlossener Einzelsachverhalt, zeitlich offener Dauersachverhalt mit oder ohne Sacheinheit sowie zusammengesetzter Tatbestand] vgl. nebst WIEDERKEHR/RICHLI, a.a.O., Nr. 783 ff., etwa MATTHIAS KRADOLFER, Intertemporales öffentliches Recht, 2020, Nr. 680, 687 ff.; kritisch Nr. 689 ff. und MADELEINE CAMPRUBI, Ungeschriebene Grenzen der Rückwirkung von Rechtssätzen in der Schweiz, 2020, S. 154 ff., je mit Hinweisen). Nicht gefolgt werden kann demnach der Auffassung des Verwaltungsgerichts, wonach sich der massgebende Sachverhalt erst mit dem Spitalaustritt und der hernach erfolgenden Festlegung des pauschalisierten Entgelts nach SwissDRG verwirklicht: Anspruchserhebliche Tatsache ist vielmehr die Leistungserbringung in einem Listenspital, die fortlaufend erfolgt. Allein darauf ist bei der Ermittlung des jeweils anwendbaren Rechts abzustellen, nicht auf die zu einem späteren Zeitpunkt erfolgende tarifliche oder rechtliche Einordnung.
Daran vermag - entgegen Vorinstanz und Beschwerdegegnerin - die grundsätzlich unteilbare Natur der Fallpauschalen gemäss SwissDRG nichts zu ändern. Ihre Anwendung auf die gesamte Behandlung in den Übergangsfällen 2011/2012 - also auch bezüglich des bereits im Jahr 2011 erfolgenden Behandlungsanteils - käme einer Rückwirkung gleich. Für eine solche besteht keine Grundlage, wie sogleich aufzuzeigen ist.
5.3.2. Nach allgemeiner Regel ist ein zeitlich offener Dauersachverhalt mangels Übergangsbestimmungen nach den jeweils geltenden rechtlichen Grundlagen zu beurteilen. Das heisst, es ist grundsätzlich bis zum Inkrafttreten einer Rechtsänderung das alte Recht, nachher das neue Recht anwendbar. Die Anwendung des neuen Rechts erfolgt, mit anderen Worten, lediglich ex nunc et pro futuro für die Zeit ab seinem Inkrafttreten. Als unechte Rückwirkung (Rückanknüpfung) zulässig ist es immerhin, bei der Anwendung des neuen Rechts auf Verhältnisse abzustellen, die schon unter der Herrschaft des alten Rechts entstanden sind und beim Inkrafttreten des neuen Rechts noch andauern (etwa: <ref-ruling> E. 7.1 mit Hinweisen).
Fallbezogen bedeutet das: Ist ein Teil der Behandlung vor dem Zeitpunkt erfolgt, in dem die neue Finanzierungsregelung (mit leistungsbezogener Finanzierung entsprechend SwissDRG-Tarif und unter Kostenbeteiligung der Kantone bei Behandlung in Listenspitälern, vgl. oben E. 2.2) im Kanton Zürich anwendbar geworden ist (1. Januar 2012), könnte sie einen Anspruch nach neuem Recht nur dann begründen, wenn dieses echte Rückwirkung entfaltet. Die echte Rückwirkung steht indes zumindest potenziell in einem Spannungsverhältnis zu den verfassungsrechtlichen Geboten der Rechtssicherheit, des Vertrauensschutzes und der Gesetzmässigkeit. Sie ist verfassungsrechtlich nur dann unbedenklich, wenn sie ausdrücklich in einem Gesetz vorgesehen ist oder sich daraus klar ergibt, in einem vernünftigen Rahmen zeitlich limitiert ist, nicht zu stossenden Ungleichheiten führt, einem schutzwürdigen öffentlichen Interesse dient und wohlerworbene Rechte respektiert (vgl. jeweils mit weiteren Hinweisen: <ref-ruling> E. 7.2.1; <ref-ruling>, a.a.O.; H ÄFELIN/MÜLLER/UHLMANN, Allgemeines Verwaltungsrecht, 8. Aufl. 2020, N. 266, 270). Hier ist eine echte Rückwirkung weder im Gesetz selber klar vorgesehen (oben E. 5.2.2) noch ist ersichtlich, welchem schutzwürdigen öffentlichen Interesse eine rückwirkende Anwendung der neuen Finanzierungsregel auf vor ihrer Anwendbarkeit erbrachte Leistungen dienen würde. Die von der Vorinstanz genannten praktischen Überlegungen (Festlegung des pauschalisierten Entgelts nach SwissDRG erst bei Austritt) genügen diesbezüglich nicht.
5.3.3. Der Ausschluss einer Abrechnung von Zeit- oder Einzelleistungstarifen neben den Pauschaltarifen gemäss SwissDRG (vgl. WALDNER/EGLI, Basler Kommentar Krankenversicherungsgesetz/Krankenversicherungsaufsichtsgesetz, 2020, N. 16 zu <ref-law>) steht einer Aufteilung letzterer pro rata temporis nicht entgegen, weil diese nicht auf einer Vermischung zweier Tarife oder gar einer über einen vertraglichen oder behördlichen Tarif hinausgehenden Vergütung (in Verletzung des Tarifschutzes nach <ref-law>) beruht, sondern Resultat einer zeitlichen Aufteilung zufolge Änderung des Finanzierungssystems (Tarif und Kostenträgerschaft) ist. Dass eine solche Aufteilung nicht nur möglich sein muss, sondern auch mit Blick auf die Fallpauschalen nach SwissDRG praktisch umsetzbar ist, zeigt der Blick auf Ziffer 3.6 der von der Vorinstanz beigezogenen SwissDRG-Regeln. Sie regelt ebenfalls eine zeitliche Aufteilung der Fallkostenpauschalen bei Änderung der Kostenträgerschaft, nämlich bei Wechsel des Trägers der sozialen Krankenversicherung, wobei die Rechnungsaufteilung pro rata temporis zwischen den Versicherern erfolgt.
5.3.4. Zusammenfassend ergibt die Anwendung der allgemeinen intertemporalrechtlichen Grundsätze, dass vor dem 1. Januar 2012 erbrachte Leistungen keinen Anspruch auf einen Kantonsbeitrag begründen, ein solcher hingegen - unabhängig vom Datum des Spitaleintritts - besteht, soweit Leistungen nach diesem Zeitpunkt erbracht wurden.
5.4. Es bleibt die Frage zu beantworten, wie der Kantonsanteil in den Übergangsfällen 2011/2012 für den Zeitraum ab 1. Januar 2012 anteilig zu bemessen ist. Die Beschwerdeführerin stellt den Eventualantrag, dieser sei auf 50 % der jeweiligen Fallpreispauschalen festzusetzen.
5.4.1. Wie bereits ausgeführt, unterscheidet sich die rechnungstechnische Aufteilung einer Behandlung im Zuge einer intertemporalen Abgrenzung von Finanzierungszuständigkeit und anwendbarer Finanzierungsregelung von einer Vermischung verschiedener Tarifsysteme bezüglich derselben Leistungen (E. 5.3.3 hiervor) und findet vorliegend eine Kostenpflicht des Kantons Zürich für vor dem 1. Januar 2012 erbrachte Leistungen keine bundesrechtliche Grundlage (oben E. 5.2.2). Weiterungen zur Finanzierung des Behandlungsanteils bis Ende Dezember 2011 erübrigen sich. Zu bemerken ist immerhin, dass hier strittig allein Behandlungskosten für in der halbprivaten und privaten Abteilung versicherte Patientinnen und Patienten sowie allgemein versicherte, gesunde Neugeborene - die grundsätzlich zu Lasten der Versicherung der Mutter abgerechnet werden (<ref-law>) - sind, so dass eine Kostendeckung durch eine Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung in Betracht fällt. Dass verschiedene der in diesem Sinne betroffenen Versicherungsgesellschaften ihre Kostenübernahme offenbar unter Verweis auf eine vermeintliche Kostenbeteiligung des Kantons abgelehnt haben, vermag den diesbezüglichen Anspruch nicht zu präjudizieren.
5.4.2. Demnach schuldet der Kanton Zürich der Beschwerdegegnerin grundsätzlich für den Behandlungszeitraum ab 1. Januar 2012 einen Anteil an der Fallkostenpauschale nach SwissDRG. Diese ist für jeden betroffenen Fall zu ermitteln. Mit Blick auf das oben in E. 5.3.2 zur Rückanknüpfung Ausgeführte kann dazu der Spitalaufenthalt als Gesamtes zugrunde gelegt werden. Intertemporalrechtlich (vgl. oben E. 5.3) ist dabei - im Rahmen des möglichen - zu ermitteln, welcher Anteil der Fallkostenpauschale dem Zeitraum ab 1. Januar 2012 zuzuordnen ist. Dabei besteht Einigkeit darüber, dass ein eigentliches Fallsplitting unter den SwissDRG-Regeln mit Fallpauschalen (die unabhängig von den im Einzelfall tatsächlich erbrachten Behandlungsleistungen zur Anwendung kommen) nicht möglich ist. Angesichts dessen drängt es sich auf, die Fallpauschale analog der Ziffer 3.6 SwissDRG-Regeln (vgl. oben E. 5.3.3) pro rata temporis auf die Aufenthaltstage aufzuteilen. Der Kanton hat sich an der Fallpauschale zu beteiligen im Umfang des Anteils der Aufenthaltstage, die auf den Zeitraum ab 1. Januar 2012 entfallen. Im Gegensatz zum pauschalen Lösungsvorschlag der Beschwerdeführerin kann diese Lösung für sich beanspruchen, am massgeblichen, zeitlichen, Element anzuknüpfen. Für dieses Vorgehen spricht, dass es Vorbilder sowohl in der Aufteilung unter verschiedenen Versicherungsträgern der sozialen Krankenversicherung als auch in der buchhalterischen Abgrenzung der Übergangsfälle zum Bilanzstichtag findet (vgl. zu letzterem HERZOG/WIDMER/THALMANN, Umstellung auf Swiss GAAP FER im Spitalumfeld, Der Schweizer Treuhänder 3/2015 S. 163 ff., 165). Den Parteien bleibt es selbstredend unbenommen, im Interesse einer einfacheren und rascheren Abwicklung eine Vereinbarung zu treffen.
5.4.3. Soweit der Kanton Zürich geltend macht, es sei dem Interesse insbesondere der Patientinnen und Patienten an Rechtssicherheit Rechnung zu tragen, führt dies nicht zu einem anderen Resultat. Ein während laufender Behandlung neu hinzutretender Leistungsauftrag entlastet grundsätzlich die private Zusatzversicherung des Patienten oder der Patientin und stellt diese damit zum vornherein nicht vor Probleme. Im umgekehrten Fall des Verlusts eines Leistungsauftrags führt die vorzunehmende zeitliche Abgrenzung mit bloss anteiliger Beteiligung des Kantons dagegen - jedenfalls bei lediglich obligatorisch versicherten Patienten und Patientinnen - potenziell zu einer Finanzierungslücke. Zu verweisen ist indes in diesem Zusammenhang auf zweierlei: Einerseits entfallen Leistungsaufträge regelhaft nicht von einem Tag auf den anderen, sondern mit einer gewissen Vorlaufzeit; ggf. kommen gar Übergangsfristen zum Tragen (im Kanton Zürich läuft etwa aktuell bereits die Spitalplanung 2023, vgl. https://www.zh.ch/de/gesundheit/spitaeler-kliniken/spitalplanung/spitalplanung-2023.html [zuletzt besucht am 25. August 2021]). Damit dürfte es sich weitgehend vermeiden lassen, dass Behandlungen erst nach Entzug eines Leistungsauftrags abgeschlossen werden müssen. Zum andern sieht <ref-law> vor, dass Versicherer und Wohnkanton die Vergütung anteilsmässig nach Artikel 49a KVG übernehmen, wenn die versicherte Person aus medizinischen Gründen ein nicht auf der Spitalliste des Wohnkantons aufgeführtes Spital beansprucht, wobei mit Ausnahme des Notfalls dafür eine Bewilligung des Wohnkantons notwendig ist. Ob und gegebenenfalls unter welchen Voraussetzungen der Abschluss einer Behandlung erst nach Entzug des Leistungsauftrags als medizinischer Grund im Sinne der <ref-law> in Frage kommt, braucht an dieser Stelle mangels Entscheidwesentlichkeit nicht erörtert zu werden (zum medizinischen Grund des fehlenden Angebots vgl. etwa GEBHARD EUGSTER, a.a.O., S. 776 ff. Ziff. 1240 ff.; DERSELBE, Rechtsprechung des Bundesgerichts zum KVG, 2. Aufl. 2018, N. 29 ff. zu <ref-law>; MANUELA GEBERT, Basler Kommentar Krankenversicherungsgesetz/Krankenversicherungsaufsichtsgesetz, 2020, N. 25 ff. zu <ref-law>). Einen solchen Anwendungsfall vorausgesetzt, eröffnete die in <ref-law> vorgesehene Bewilligungspflicht dem Wohnkanton auch die Möglichkeit, allfälligem rechtsmissbräuchlichem, auf eine faktische Ausdehnung des Leistungsauftrags abzielenden, Verhalten einzelner Leistungserbringer, wie es der Beschwerdeführer befürchtet, Einhalt zu gebieten.
5.5. Nach dem Gesagten hat der Kanton Zürich die Übergangsfälle 2011/2012 betreffend für die Behandlung ab 1. Januar 2012 anteilsmässige Kantonsbeiträge gemäss den Art. 49 Abs. 1 und 49a Abs. 1 KVG zu leisten basierend auf der jeweiligen Fallpauschale nach SwissDRG, die pro rata temporis der auf das Jahr 2012 entfallenden Aufenthaltstage zu berücksichtigen ist. Mit der Beschwerdegegnerin ist nicht ersichtlich, weshalb hiervon die betroffenen Allgemeinpatientinnen und -patienten (gesunde Neugeborene) eine Ausnahme bilden sollten. Auch für diese sind demnach die Kantonsbeiträge geschuldet, soweit sich ihr Aufenthalt über den 31. Dezember 2011 hinaus erstreckt hat. Die Sache ist der Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich zurückzuweisen, damit sie - vorbehältlich anderweitiger Einigung mit der Beschwerdegegnerin - die entsprechenden Berechnungen vornehme und alsdann neu verfüge.
6.
Die Beschwerde ist teilweise begründet. Das vorinstanzliche Urteil vom 3. November 2020, der Beschluss des Regierungsrates vom 11. März 2020 sowie die Verfügung der Gesundheitsdirektion vom 25. April 2017 sind aufzuheben und es ist die Sache zur Festlegung der Kantonsanteile im Sinne der Erwägungen an die Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich zurückzuweisen.
7.
Entsprechend dem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten vom beschwerdeführenden Kanton Zürich, der hier eigene Vermögensinteressen vertritt, und der Beschwerdegegnerin je hälftig zu tragen (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Zürich schuldet der Beschwerdegegnerin überdies für das bundesgerichtliche Verfahren eine reduzierte Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG) von Fr. 3500.-. Der Kanton Zürich hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 3. November 2020, der Beschluss des Regierungsrats des Kantons Zürich vom 11. März 2020 sowie die Verfügung der Gesundheitsdirektion vom 25. April 2017 werden aufgehoben. Der Beschwerdeführer schuldet der Beschwerdegegnerin anteilsmässig im Sinne der Erwägungen für das Jahr 2012 den Kantonsanteil für die Übergangsfälle 2011/2012. Zu deren rechnerischer Festsetzung wird die Sache an seine Gesundheitsdirektion zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 14'000.- werden den Parteien je zur Hälfte (Fr. 7000.-) auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer schuldet der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung von Fr. 3500.-.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten sowie der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, dem Regierungsrat des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. November 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Oswald