Sachverhalt:
A.
Die 1966 geborene A._ meldete sich am 11. Juli 2018 wegen einem "Burnout Symptom infolge Mobbing" bei der IV-Stelle Appenzell Ausserrhoden (nachfolgend: IV-Stelle) zum Leistungsbezug an. Nachdem diese mehrmals Frühinterventionsmassnahmen und berufliche Massnahmen (Beratung und Unterstützung bei der Stellensuche, Aufbautraining) zugesprochen hatte, schloss sie letztere mit Verfügung vom 16. Januar 2020 mit dem Hinweis ab, es bestehe kein Rentenanspruch. Da A._ aktuell noch keine Anstellung gefunden habe, sei sie als Stellensuchende beim Regionalen Arbeitsvermittlungszentrum eingeschrieben. Diese Verfügung erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
Am 10. September 2020 meldete sich A._ unter Hinweis auf denselben Gesundheitsschaden ("Burnout Symptom infolge Mobbing") erneut bei der IV-Stelle zum Leistungsbezug an. Diese teilte der Versicherten tags darauf mit, eine relevante Änderung des rechtserheblichen Sachverhalts sei nicht ausreichend dokumentiert. Sie gab A._ Gelegenheit, entsprechende Dokumente nachzureichen, anderenfalls auf das Gesuch nicht eingetreten werde. Innert angesetzter Frist reichte A._ keine weiteren Unterlagen ein, weshalb die IV-Stelle mit Verfügung vom 15. Dezember 2020 androhungsgemäss auf das Leistungsbegehren nicht eintrat.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht Appenzell Ausserrhoden mit Urteil vom 21. September 2021 ab.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, es sei das angefochtene Urteil vom 21. September 2021 aufzuheben und die IV-Stelle zu verpflichten, auf die (Neu-) Anmeldung vom 10. September 2020 einzutreten.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; zum Ganzen <ref-ruling> E. 4).
2.
2.1. Die Neuanmeldung wird - wie auch das Gesuch um Leistungsrevision - nur materiell geprüft, wenn die versicherte Person glaubhaft macht, dass sich die tatsächlichen Verhältnisse seit der letzten rechtskräftigen Entscheidung in einem für den Rentenanspruch erheblichen Mass verändert haben (Art. 87 Abs. 3 in Verbindung mit Abs. 2 IVV; <ref-ruling> E. 2.2 mit Hinweisen). Gelingt ihr dies nicht, so wird auf das Gesuch nicht eingetreten. Ist die anspruchserhebliche Änderung glaubhaft gemacht, so ist die Verwaltung verpflichtet, auf das neue Leistungsbegehren einzutreten und es in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht umfassend zu prüfen (SVR 2014 IV Nr. 33 S. 121, 8C_746/2013 E. 2); sie hat demnach in analoger Weise wie bei einem Revisionsfall nach Art. 17 ATSG vorzugehen (vgl. dazu <ref-ruling>; Urteil 9C_152/2021 vom 25. August 2021 E. 2.1).
2.2. Mit dem Beweismass des Glaubhaftmachens sind herabgesetzte Anforderungen an den Beweis verbunden; die Tatsachenänderung muss nicht nach dem im Sozialversicherungsrecht sonst üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 6) erstellt sein. Es genügt, dass für das Vorhandensein des geltend gemachten rechtserheblichen Sachumstands wenigstens gewisse Anhaltspunkte bestehen, auch wenn durchaus noch mit der Möglichkeit zu rechnen ist, bei eingehender Abklärung werde sich die behauptete Änderung nicht erstellen lassen (Urteil 8C_373/2021 vom 25. November 2021 E. 2.2.1 mit Hinweis).
2.3. Bei der Glaubhaftmachung als Beweismass geht es um eine frei überprüfbare Rechtsfrage. Ob der erforderliche Beweisgrad erreicht ist, stellt dagegen eine Tatfrage dar (vgl. SVR 2016 IV Nr. 57 S. 188, 9C_367/2016 E. 2.2 mit Hinweisen). Diesbezügliche Feststellungen des kantonalen Gerichts sind für das Bundesgericht verbindlich, soweit sie nicht offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Die Beschwerde führende Partei kann derart rechtsfehlerhafte Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz rügen, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Dabei kann sie sich grundsätzlich aber nicht darauf beschränken, den bestrittenen Feststellungen des kantonalen Gerichts den nach ihrer Auffassung richtigen Sachverhalt gegenüberzustellen oder ihre eigene Beweiswürdigung zu erläutern. Vielmehr muss sie hinreichend genau angeben, inwiefern die vorinstanzlichen Feststellungen rechtswidrig oder mit einem klaren Mangel behaftet sind. Eine diesen Anforderungen nicht genügende Kritik ist unzulässig (Urteil 9C_688/2007 vom 22. Januar 2008 E. 2.3 mit Hinweisen).
3.
Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie die Nichteintretensverfügung der IV-Stelle vom 15. Dezember 2020 betreffend die Anmeldung vom 10. September 2020 bestätigte.
4.
Das kantonale Gericht gelangte zum Ergebnis, die IV-Stelle habe das Leistungsgesuch der Beschwerdeführerin vom 10. September 2020 richtigerweise als Neuanmeldung und nicht als erstmalige Anmeldung für Invalidenleistungen betrachtet. Zur Begründung führte die Vorinstanz aus, mit der zweiten Anmeldung habe die Beschwerdeführerin keinen andersartigen Leistungsanspruch geltend gemacht als bei der ersten. So habe sie am 11. Juli 2018 wie am 10. September 2020 dasselbe Formular eingereicht und darin dieselbe Krankheit ("Burnout Symptom infolge Mobbing") angeführt. Das kantonale Gericht kam zum Schluss, mit den beigelegten (medizinischen) Akten habe die Beschwerdeführerin keine Verschlechterung des Gesundheitszustands im massgebenden Vergleichszeitraum zwischen dem 16. Januar 2020 und dem 10. September 2020 glaubhaft gemacht.
5.
Die Beschwerdeführerin wendet ein, mit Verfügung vom 16. Januar 2020 seien lediglich berufliche Massnahmen abgeschlossen worden. Am 20. September 2020 habe sie indessen um eine Invalidenrente und damit um einen andersartigen Leistungsanspruch ersucht. Es liege deshalb ein neuer Versicherungsfall vor, weshalb die IV-Stelle das Leistungsgesuch als erstmalige Anmeldung hätte entgegennehmen müssen.
5.1. Mit Art. 87 Abs. 3 IVV soll verhindert werden, dass sich die Verwaltung nach vorangegangener rechtskräftiger Rentenverweigerung immer wieder mit gleichlautenden und nicht näher begründeten, d.h. keine Veränderung des Sachverhalts darlegenden Gesuchen befassen muss (<ref-ruling> E. 5.2.3; <ref-ruling> E. 4b mit Hinweisen). Die von Verordnungsgeber und Rechtsprechung (<ref-ruling>, 119 und 262) entwickelten Regeln zur Behandlung von Neuanmeldungen nach Erlass einer rechtskräftigen leistungsablehnenden Verfügung beziehen sich ihrem Sinn und Zweck nach nur auf gleichlautende Leistungsgesuche (BGE <ref-ruling> E. 4b mit Hinweisen). Dagegen kann bei Geltendmachung eines andersartigen Leistungsanspruchs, mithin eines anderweitigen Versicherungsfalls, die Rechtsbeständigkeit der früheren Leistungsverweigerung der versicherten Person nicht entgegengehalten werden. Verwaltung - und im Beschwerdefall das Gericht - haben ein neuerliches, jedoch andersartiges (vom Gegenstand der vorangegangenen Ablehnungsverfügung nicht erfasstes) Leistungsbegehren in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht einer umfassenden Prüfung zu unterziehen. Es geht daher beispielsweise nicht an, dass die Verwaltung nach einer früheren - mit dem Fehlen einer Invalidität begründeten - Verweigerung beruflicher Eingliederungsmassnahmen auf ein Rentenbegehren nicht eintritt mit der Begründung, die versicherte Person habe im neuen Gesuch keine leistungsrelevante Änderung der tatsächlichen Verhältnisse geltend machen können (Urteil 9C_291/2017 vom 20. September 2018 E. 7.2.1 mit Hinweis auf SVR 1999 IV Nr. 21 S. 63, I 269/97).
5.2. Die Frage nach der Gleich- oder Andersartigkeit zweier Leistungsgesuche lässt sich nicht anhand eines blossen Vergleichs der beiden eingereichten Anmeldungen beantworten. Dies gilt schon deshalb, weil die versicherte Person mit ihrer Anmeldung nicht nur jene Ansprüche wahrt, die sie ausdrücklich auf einem Anmeldeformular aufzählt, sondern alle, die nach Treu und Glauben mit dem angemeldeten Risikoeintritt im Zusammenhang stehen (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 4.3; <ref-ruling> E. 2.; Urteil 9C_40/2020 vom 26. Juni 2020 E. 5.1 mit Hinweisen). Für die Frage nach der Gleich- oder Andersartigkeit zweier Leistungsgesuche ist vielmehr massgebend, ob mit einer neuerlichen Anmeldung um Leistungen ersucht wird, welche bereits Gegenstand einer früheren Verfügung gebildet haben; insoweit greift auch die vorinstanzliche Begründung in E. 2.2 des angefochtenen Urteils zu kurz.
Unbestritten ist, dass die Beschwerdeführerin am 10. September 2020 einzig um eine Invalidenrente ersuchte. Entscheidend für die Frage nach dem Vorliegen eines neuen Versicherungsfalls ist somit, ob ein Rentenanspruch bereits Gegenstand der unangefochten in Rechtskraft erwachsenen Verfügung vom 16. Januar 2020 gebildet hatte. Die Beschwerdeführerin macht diesbezüglich einzig geltend, mit Verfügung vom 16. September 2020 habe die IV-Stelle die gewährten beruflichen Massnahmen aufgrund vollständiger Genesung abgeschlossen. Sofern damit implizit auch geltend gemacht werden sollte, über einen Rentenanspruch sei damals nicht verfügt worden, könnte der Beschwerdeführerin nicht gefolgt werden. Wohl hatte die IV-Stelle in der Verfügung vom 16. September 2020 unter Hinweis auf eine Mitteilung vom 28. August 2019 ("Kostengutsprache Aufbautraining") ausgeführt, die Bemühungen in Sachen beruflicher Eingliederung würden nach Ende des Aufbautrainings abgeschlossen. Die Verfügung vom 16. Januar 2020 wurde (anders als jene vom 15. Dezember 2020) auch nicht durch eine Mitarbeiterin oder einen Mitarbeiter der Sachbearbeitung, sondern der beruflichen Eingliederung unterzeichnet. Sie enthält zudem keinerlei ziffernmässige Angaben zum Invaliditätsgrad oder dessen Berechnung. Obwohl diese Merkmale durchaus für den Standpunkt sprechen, dass damals lediglich über berufliche Massnahmen verfügt worden war, lautet die Betreffzeile der Verfügung wie folgt: "Berufliche Massnahmen werden abgeschlossen, kein Rentenanspruch". In Einklang damit wird in der Begründung der Verfügung ein Rentenanspruch explizit verneint. Wenn die Vorinstanz mit Blick darauf schloss, die Anmeldung vom 10. September 2020 betreffe kein neues Leistungsbegehren, ist dies zumindest im Lichte der eingeschränkten Überprüfungsbefugnis des Bundesgerichts nicht zu beanstanden.
5.3. Es stehen somit zwei gleichlautende Leistungsgesuche auf dem Prüfstand, weshalb die in E. 5.1 dargelegten Regeln zur Behandlung von Neuanmeldungen nach Erlass einer rechtskräftigen leistungsablehnenden Verfügung beachtlich sind. Daran ändern die Hinweise der Beschwerdeführerin auf die Urteile 8C_876/2017 vom 15. Mai 2018 und 8C_801/2018 vom 13. Februar 2019 nichts. Sinngemäss macht sie geltend, gestützt auf diese Urteile wäre das Leistungsgesuch vom 10. September 2020 selbst dann als erstmalige Anmeldung zu behandeln, wenn es als gleichlautend taxiert würde. Auch sie, die Beschwerdeführerin, sei rentenausschliessend eingegliedert worden und habe die (nach vorübergehender Arbeitslosigkeit) neu gefundene Anstellung krankheitsbedingt wieder verloren. Dieser Einwand sticht nicht: Das Bundesgericht hielt in E. 4.1 des Urteils 8C_876/2017 wohl fest, ein erneutes Leistungsbegehren sei nicht als Neuanmeldung im Sinne von Art. 87 Abs. 3 IVV, sondern gleich wie eine erstmalige Anmeldung zu behandeln, wenn eine versicherte Person auf eine erste Anmeldung zum Leistungsbezug hin rentenausschliessend eingegliedert sei und ihre Arbeitsstelle später verliere. Anders als die Vorbringen in der Beschwerde suggerieren, ging das Bundesgericht damals (wie auch im Urteil 8C_801/2018) aber vom Vorliegen eines andersartigen Leistungsbegehrens aus, weshalb die Urteile nicht einschlägig sind. Dies ergibt sich ohne Weiteres aus den dortigen Hinweisen auf die Rz. 127 zu Art. 30-31 IVG in MEYER/REICHMUTH, Bundesgesetz über die Invalidenversicherung (IVG), 3. Aufl. 2014 sowie auf das Urteil 9C_257/2009 vom 6. Juli 2009. Diesem Urteil lag der Sachverhalt zugrunde, dass einer Versicherten eine befristete Rente zugesprochen wurde, nachdem sie nach vorübergehender Arbeitsunfähigkeit ihre berufliche Tätigkeit wieder zu 100 % aufgenommen hatte. Nachdem die Versicherte diese Anstellung wieder verloren hatte, meldete sie sich erneut zum Leistungsbezug an und ersuchte um Übernahme der Kosten für eine berufliche Eingliederung. Das Bundesgericht kam damals zum Schluss, dass ihr Art. 87 Abs. 3 IVV nicht entgegengehalten werden könne, da sich (im Lichte von medizinischen in Verbindung mit beruflichen Veränderungen) nunmehr das Problem der Wiedereingliederung stelle. Mit anderen Worten waren zwei andersartige Leistungsgesuche zu prüfen.
6.
Zu prüfen bleibt damit, ob die Beschwerdeführerin eine relevante Veränderung glaubhaft gemacht hat.
6.1. Wie das kantonale Gericht richtig ausführte, genügt es für das Beweismass des Glaubhaftmachens, dass für das Vorhandensein des behaupteten rechtserheblichen Sachumstands wenigstens gewisse Anhaltspunkte bestehen (vgl. E. 2.2. hievor). Richtig ist auch der vorinstanzliche Hinweis, dass weder eine im Vergleich zu früheren ärztlichen Einschätzungen ungleich attestierte Arbeitsunfähigkeit noch eine unterschiedliche diagnostische Einordnung des geltend gemachten Leidens per se genügt, um auf einen veränderten Gesundheitszustand zu schliessen; notwendig ist vielmehr eine veränderte Befundlage (Urteile 8C_367/2020 vom 4. August 2020 E. 5.2.2; 9C_154/2020 vom 16. Juni 2020 E. 4.3.2; 9C_346/2019 vom 6. September 2019 E. 2.1.1). Mit Blick darauf verfängt der Einwand nicht, die Vorinstanz habe zu hohe Anforderungen an die Glaubhaftmachung gestellt, indem sie insbesondere mit dem fehlenden Nachweis einer veränderten Befundlage argumentiert habe.
6.2. Das kantonale Gericht gelangte zum Ergebnis, mit den der Neuanmeldung beigelegten gänzlich unbegründeten Arbeitsunfähigkeitsattesten der Dres. med. B._, FMH Allgemeine Innere Medizin, und C._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, sei eine Verschlechterung des Gesundheitszustands im massgebenden, relativ kurzen (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2b; Urteil 9C_351/2020 vom 21. September 2020 E. 3.1) Vergleichszeitraum nicht glaubhaft gemacht. Daran ändere auch der vom Taggeldversicherer an die IV-Stelle verschickte Kurzbericht des Hausarztes Dr. med. B._ vom 19. Juli 2020 nichts. Als Diagnose finde sich darin lediglich "F32" und ein "zunehmendes Erschöpfungssyndrom". Indessen enthalte der Bericht keine nähere Begründung oder Erläuterung der Diagnosen oder der attestierten Arbeitsunfähigkeit. Damit würden insgesamt konkrete Angaben zu einer Verschlechterung des Gesundheitszustands seit dem letzten ausführlichen Verlaufsbericht der behandelnden Psychiaterin (Verlaufsbericht der Dr. med. C._ vom 6. August 2019) fehlen.
Die Beschwerdeführerin legt nicht substanziiert dar und es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern diese vorinstanzlichen Tatsachenfeststellungen bundesrechtswidrig sein sollten. Dies umso weniger, als sich die Diagnose einer teilremittierten rezidivierenden depressiven Störung (damals mittelgradige Episode; ICD-10 Ziff. F32.1) sowie der Hinweis auf eine schnelle Erschöpfbarkeit bereits im Bericht der Dr. med. C._ vom 6. August 2019 finden. Nichts zu ihren Gunsten abzuleiten vermag die Beschwerdeführerin aus dem blossen Hinweis, es erschliesse sich ihr nicht, inwiefern eine Verschlechterung des Gesundheitszustands mit Blick auf die Arbeitsunfähigkeitszeugnisse und die Unterlagen des Krankentaggeldversicherers nicht glaubhaft gemacht worden sei. Damit würdigt sie lediglich die Beweise anders und zieht daraus andere Schlüsse als die Vorinstanz, was eine unzulässige appellatorische Kritik darstellt (E. 2.3 in fine).
7.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht Appenzell Ausserrhoden, 3. Abteilung, dem Bundesamt für Sozialversicherungen und der B._, Winterthur, schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. Januar 2022
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Der Gerichtsschreiber: Williner