Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1936 geborene A.A._ sel. arbeitete vom 4. Dezember 1961 bis zum 31. Januar 1998 als Schlosser und Allrounder bei der E._ AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin) in den Werkstätten U._. Ab November 1996 musste er sein Arbeitspensum aus gesundheitlichen Gründen auf 50 % reduzieren und wurde per 1. Februar 1998 vorzeitig pensioniert. Im Jahr 2003 wurde bei ihm ein malignes Pleuramesotheliom (Brustfellkrebs) diagnostiziert. Am 10. Juli 2004 verstarb A.A._. Gemäss Akten der SUVA war der Tod ausschliesslich durch das berufsbedingte maligne Pleuramesotheliom bedingt. Die Beklagte räumte eine schädigende Einwirkung durch Asbest ein, jedoch nur bis 1988.
A.b. Am 21. Juni 2004 gab die Beklagte erstmals einen Verjährungseinredeverzicht ab. Dieser enthielt folgende Klausel: " Ohne Anerkennung einer Rechtspflicht und ohne Präjudiz verzichtet die E._ AG, soweit überhaupt noch arbeitsvertragliche Ansprüche von Herrn A.A._ bestehen - was ausdrücklich bestritten wird - und soweit die Verjährung derselben bis heute nicht bereits eingetreten ist, bis am 31. Mai 2005 auf die Einrede der Verjährung". Mit analoger Klausel wurde der Verjährungseinredeverzicht jährlich wiederholt, letztmals im November 2008.
B.A._, die Witwe des Verstorbenen (Klägerin 1, ehemals Beschwerdeführerin 1), leitete im Mai 2010 eine Betreibung gegen die Beklagte über Fr. 850'000.-- nebst Zins ein; mit der Bemerkung "Schadenersatz gemäss <ref-law> - verjährungsunterbrechende Massnahme".
B.
B.a. Am 29. März 2010 reichten die Klägerin 1 und die beiden Kinder des A.A._ sel. (Kläger 2 und Klägerin 3, ehemals Beschwerdeführer 2 und Beschwerdeführerin 3) beim Gerichtskreis XI Interlaken-Oberhasli (nunmehr Regionalgericht Oberland) Klage gegen die Beklagte ein. In ihren als Teilklage formulierten Rechtsbegehren beantragten sie, die Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerschaft Fr. 55'000.-- zzgl. Zins als Schadenersatz (Ziff. 1) und Fr. 150'000.-- zzgl. Zins als Genugtuung (Ziff. 2) zu bezahlen. Ferner sei sie zu verpflichten, der Klägerin 1 Fr. 80'000.-- zzgl. Zins (Ziff. 3) und dem Kläger 2 und der Klägerin 3 je Fr. 60'000.-- zzgl. Zins als Genugtuung (Ziff. 4) sowie der Klägerschaft einen Betrag von Fr. 70'000.-- zzgl. Zins als vorprozessuale Anwaltskosten (Ziff. 5) zu bezahlen. Bei den Rechtsbegehren Ziffer 1 und 2 handelt es sich um Ansprüche des Verstorbenen, welche die Kläger als dessen Erben geltend machen. Die Rechtsbegehren Ziffer 3-5 betreffen eigene Ansprüche der Kläger.
Die Beklagte beantragte, die Klage sei vollumfänglich abzuweisen (Ziff. 1) und verlangte widerklageweise, es sei gerichtlich festzustellen, dass die von der Klägerin 1/Widerbeklagten 1 in der Klage vom 29. März 2010 behaupteten, über die Teilklage hinausgehenden Ansprüche, insbesondere der geltend gemachte Versorgerschaden (gemäss Betreibungs-Nr. xxx im Betrag von Fr. 850'000.-- nebst Zins) sowie die von der Klägerschaft vorbehaltene Nachklage keinen Bestand haben (Ziff. 2). Es sei zudem die gegen sie angehobene Betreibung über Fr. 850'000.-- nebst Zins aufzuheben und das Betreibungsamt anzuweisen, Dritten von dieser Betreibung keine Kenntnis zu geben (Ziff. 3).
Das Regionalgericht beschränkte das Verfahren auf drei Fragen: die Asbestexpositionen von Herrn A.A._ sel. bzw. die Kausalität solcher Expositionen für dessen tödliche Erkrankung ab 1989, insbesondere ab 1994; die Verjährung sowie das Feststellungsinteresse an den widerklägerischen Rechtsbegehren Ziff. 2 und 3.
Mit Urteil vom 24. November 2011 wies es die Klage ab. In Gutheissung der Widerklage der Beklagten stellte es fest, die von den Klägern/Widerbeklagten über die Teilklage hinausgehenden Ansprüche infolge Schädigung bzw. Tod von Herrn A.A._ sel. hätten keinen Bestand und die in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Bern-Mittelland geltend gemachte Forderung bestehe nicht und die fragliche Betreibung sei mithin grundlos. Soweit weitergehend wies es die Widerklage ab.
B.b. Das Obergericht des Kantons Bern wies die von den Klägern erhobene Berufung mit Urteil vom 25. April 2013 ab. Es verpflichtete die Kläger unter solidarischer Haftbarkeit zur Zahlung der erst- und zweitinstanzlichen Gerichtskosten und einer Parteientschädigung für beide Instanzen.
Es erwog, die intensive Asbestexposition im Betrieb der Beklagten habe zwischen 1961 und 1985 stattgefunden. Mit grösster Wahrscheinlichkeit sei die Krankheit durch diese Exposition ausgelöst worden, auch wenn später noch weitere Expositionen erfolgt seien. Auch für Forderungen aus Vertrag gegenüber der ehemaligen Arbeitgeberin beginne die zehnjährige Verjährungsfrist im Zeitpunkt der schädigenden Handlung, mithin spätestens 1985. Die Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung seien somit absolut verjährt. Der Beklagten könne auch keine pflichtwidrige Unterlassung vorgeworfen werden. Eine solche läge vor, wenn sie die dem damaligen Wissensstand entsprechenden Schutzmassnahmen bei Arbeiten mit Asbest nicht getroffen hätte. Der Beklagten könne nicht vorgeworfen werden, dass sie grössere Schutzvorkehren hätte treffen sollen als allgemein und im Besonderen von der SUVA gefordert worden seien. Das Obergericht bejahte sodann - wie bereits das Regionalgericht - das Feststellungsinteresse der Beklagten an der negativen Feststellungswiderklage.
B.c. Am 3. September 2017 verstarb die Klägerin 1 (ehemals Beschwerdeführerin 1). Ihre Erben sind ihr Sohn, der Kläger 2, und ihre Tochter, die Klägerin 3 (ehemals Beschwerdeführer 2 und Beschwerdeführerin 3, nun Beschwerdeführer 1 und Beschwerdeführerin 2, gemeinsam die Beschwerdeführer).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 5. Juni 2013 beantragen die Beschwerdeführer - unter Aufrechterhaltung ihrer erstinstanzlichen KIagebegehren - die kostenfällige Aufhebung des Urteils des Obergerichts vom 25. April 2013 (Rechtsbegehren Ziff. 1-6 und 8). Auf die Widerklage sei nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen (Ziff. 7). Eventualiter sei die Streitsache zur materiellen Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen (Ziff. 9). Subeventualiter sei die vorinstanzliche Verpflichtung des Beschwerdeführers 1 und der Beschwerdeführerin 2 zur solidarischen Haftbarkeit für die gesamten erst- und vorinstanzlichen Gerichtskosten und Entschädigungen an die Beschwerdegegnerin aufzuheben und es seien die Kosten- und Entschädigungsbeträge für diese Parteien nur aufgrund der von ihnen eingeklagten Forderungen ohne Berücksichtigung des Streitwerts der negativen Feststellungswiderklage zu ermitteln, resp. die Vorinstanz anzuweisen, dies zu tun (Ziff. 10).
Die Beschwerdegegnerin verlangt, die Beschwerde sei kostenfällig abzuweisen und der angefochtene Entscheid zu bestätigen. Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet.
Mit Präsidialverfügung vom 8. April 2014 wurde das Verfahren sistiert bis zum Entscheid der eidgenössischen Räte über die Anträge in der Botschaft vom 29. November 2013 zur Änderung des Obligationenrechts (Verjährungsrecht), BBl 2014 235 ff. Mit Präsidialverfügung vom 6. November 2018 wurde das Verfahren wieder aufgenommen, da der Gesetzgeber zwischenzeitlich definitiv über die Neuregelung des Verjährungsrechts entschieden habe und damit der Grund für die Sistierung dahingefallen sei.
Die Parteien haben im Folgenden weitere vom Bundesgericht angeordnete Stellungnahmen eingereicht.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Mit Blick auf die Begründungspflicht der beschwerdeführenden Partei (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind; es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 1.3 S. 584).
1.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f. mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5 S. 405). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
2.
Da der Entscheid der Erstinstanz nach dem Inkrafttreten der Schweizerischen Zivilprozessordnung (1. Januar 2011) eröffnet wurde, war auf das Berufungsverfahren vor der Vorinstanz das neue Recht anwendbar (<ref-law>), imerstinstanzlichen Verfahren aber noch die frühere Zivilprozessordnung des Kantons Bern.
3.
Das eidgenössische Parlament hat am 15. Juni 2018 über eine Änderung des Obligationenrechts (Revision des Verjährungsrechts) entschieden (Beschluss der Bundesversammlung vom 15. Juni 2018, BBl 2018 3537 ff.). Das neue Recht wird am 1. Januar 2020 in Kraft treten. Die Parteien gehen denn auch zutreffend davon aus, dass es für die vorliegende Streitigkeit nicht unmittelbar anwendbar ist.
Immerhin sei erwähnt, dass der Gesetzgeber am Konzept der relativen und absoluten Verjährungsfristen festhielt und den Beginn der absoluten Frist umschrieb als " [...] vom Tage an gerechnet, an welchem das schädigende Verhalten erfolgte oder aufhörte " (Art. 60 Abs. 1bis nOR). Für Ansprüche aus vertragswidriger Körperverletzung oder Tötung wurde eine parallele Bestimmung geschaffen (Art. 128a nOR). Dies ausdrücklich als Präzisierung im Sinn der herrschenden Lehre und Rechtsprechung zum geltenden Recht, denn die bisherige Formulierung passe nicht auf jene Fälle, in denen das schädigende Ereignis wiederholt eintrete oder in einer dauerhaften Handlung bestehe (vgl. BBl 2014 252 Ziff. 2.1). Die beiden zentralen Elemente der Revision des Verjährungsrechts sind zu einem die Verlängerung der relativen Verjährungsfrist von bisher einem auf neu drei Jahre im Delikts- und Bereicherungsrecht. Zum andern wird neu eine zwanzigjährige absolute Verjährungsfrist bei Personenschäden geschaffen (vgl. im Einzelnen Urteil 4A_554/2013 vom heutigen Datum E. 3 und 3.1). Ferner wurde am 28. März 2017 die Stiftung Entschädigungsfonds für Asbestopfer (EFA) gegründet, welche die Entschädigung von Personen bezweckt, die nachweislich infolge eines in der Schweiz durch Asbest verursachten Mesothelioms geschädigt wurden (vgl. im Einzelnen zit. Urteil 4A_554/2013 E. 3.3).
4.
Die Beschwerdeführer bestreiten die Auffassung der Vorinstanz, wonach sowohl die vertragliche wie auch die ausservertragliche absolute Verjährung durch das schadenstiftende Ereignis bzw. das schädigende Verhalten ausgelöst wird. Sie machen geltend, das Bundesgericht habe in jüngeren Urteilen (<ref-ruling> E. 5.4.2 S. 319; Urteile 4A_558/2017 vom 29. Mai 2018 E. 5.3.1 und 4A_280/2013 vom 20. September 2013 E. 5.3) in Übereinstimmung mit dem Urteil des EGMR in Sachen Howald Moor und andere gegen Schweiz vom 11. März 2014 (nachfolgend: Urteil Howald Moor) entschieden, die absolute Verjährungsfrist könne nicht zu laufen beginnen, solange der Schaden nicht bekannt sei.
Es trifft nicht zu, dass das Bundesgericht seine Rechtsprechung nach dem Urteil Howald Moor geändert hat. Das ergibt sich allein schon daraus, dass es andernfalls zum Vornherein keinen Sinn gemacht hätte, das Verfahren bis zum Entscheid der eidgenössischen Räte betreffend die Revision des Verjährungsrechts (allfällige rückwirkende Regelung) zu sistieren. Das zitierte Urteil 4A_280/2013 erging ohnehin zeitlich vorher und betraf im Übrigen die hier nicht relevante Verjährungsbestimmung in <ref-law>. <ref-ruling> betraf die Auslegung von <ref-law>, der (ausnahmsweise) eine verlängerte Nachzahlungspflicht der Invalidenversicherung für Vorleistungen eines anderen Versicherungsträgers vorsieht, "wenn die versicherte Person [...] den anspruchsbegründenden Sachverhalt nicht kennen konnte [...]". Anders als bei der vorliegenden Problematik bestand folglich eine ausdrückliche Regelung, welche eine Fristwiederherstellung an die fehlende Kenntnis des Sachverhalts knüpfte und ging das Bundesgericht in systematischer Auslegung daher davon aus, es handle sich um einen Spezialfall allgemeiner Regeln des Sozialversicherungsrechts zur Fristwiederherstellung bei fehlendem Verschulden (<ref-ruling> E. 5.4.1 S. 318). Zu beurteilen war einzig, ob sich auch der vorleistungspflichtige Versicherungsträger - wie die versicherte Person selber - auf <ref-law> berufen kann. Daraus kann nichts für die vorliegende Frage betreffend die vertragliche und ausservertragliche Verjährung abgeleitet werden. Schliesslich bestätigte das Bundesgericht im zitierten Urteil 4A_558/2017 E. 5.3.1 unter Hinweis auf <ref-ruling> (Urteil i.S. Moor) seine ständige Rechtsprechung, wonach Forderungen auf Schadenersatz und Genugtuung aus vertragswidriger Körperverletzung sogleich mit der Verletzung der vertraglichen Pflicht fällig werden und ab diesem Zeitpunkt die Verjährung läuft. Im Übrigen wurde lediglich festgestellt, das Urteil Howald Moor sei in diesem Fall, wo es nicht um eine Körperverletzung gehe, nicht anwendbar.
Entsprechend gingen auch die Räte bei der Beratung der Revision des Verjährungsrechts ohne weiteres davon aus, gemäss dem aktuellen Recht werde die absolute Verjährungsfrist durch das schädigende Ereignis bzw. das schädigende Verhalten ausgelöst und bestätigten dies mit den präziser formulierten Bestimmungen für die ausservertragliche (Art. 60 Abs. 1bis nOR) und die vertragliche (Art. 128a nOR) Haftung (vgl. E. 3 hiervor).
5.
Die Beschwerdeführer stützen ihre eigenen Ansprüche auf <ref-law>; soweit sie als Rechtsnachfolger von A.A._ sel. Forderungen erheben, stützen sie sich auf Arbeitsvertrag.
5.1. Im Hinblick auf vertragliche Ansprüche hat das Bundesgericht in <ref-ruling> E. 2.4.3 S. 22 dargelegt, massgeblich sei die Verletzung der vertraglichen Pflichten. Vertragliche Pflicht sei das Ergreifen der dem damaligen Wissensstand entsprechenden Schutzmassnahmen bei Arbeiten mit Asbest.
Wer Schadenersatz aus <ref-law> beansprucht, hat den Schaden, die widerrechtliche Handlung, den Kausalzusammenhang sowie das Verschulden zu beweisen. Ergibt sich die Rechtswidrigkeit aus der Verletzung eines absoluten Rechts, so hat die geschädigte Person insbesondere den - für die widerrechtliche Schädigung kausalen - Mangel an objektiv gebotener Sorgfalt zu beweisen. Die Sorgfaltswidrigkeit ergibt sich aus dem Vergleich des tatsächlichen Verhaltens des Schädigers mit dem hypothetischen Verhalten eines durchschnittlich sorgfältigen Menschen in der Situation des Schädigers (<ref-ruling> E. 5.2 S. 544 mit zahlreichen Hinweisen). Die Berücksichtigung der möglichen Schädigung eines Dritten stellt die Erfüllung der Sorgfaltspflicht dar, die dem Fahrlässigkeitsbegriff zugrunde liegt. Sorgfaltswidrig verhält sich insbesondere, wer einen gefährlichen Zustand schafft oder unterhält, ohne die zur Vermeidung eines Schadens erforderlichen Schutzmassnahmen zu ergreifen (vgl. zum Gefahrensatz <ref-ruling> E. 7.2 S. 204, 255 E. 4.2.2 S. 260 f.; <ref-ruling> E. 2a/aa S. 115; Urteile 4A_38/2018 vom 25. Februar 2019 E. 4.1; 4A_604/2017 vom 30. April 2018 E. 3.1; je mit Hinweisen). Auch im Rahmen der Verschuldenshaftung kommt es daher wie bei der vertraglichen Haftung darauf an, ob die verantwortlichen Personen die für den damaligen Wissensstand erforderlichen Schutzmassnahmen unterlassen haben und damit - im Hinblick auf den Verjährungsbeginn - wann dies war.
5.2. Bei beiden Haftungsgrundlagen ist somit entscheidend, ob die Beschwerdegegnerin die nach dem damaligen Kenntnisstand erforderlichen Schutzmassnahmen getroffen hat. Insofern sind die Ausführungen der Vorinstanz nicht recht nachvollziehbar. Sie unterscheidet unter dem Titel "IV. Rechtliches" zwischen der "Verjährung aus positiver Vertragsverletzung (aktives Tun) " und der "Dauerschädigung, andauernde Unterlassung (Kausalität) ". Eine Pflichtverletzung durch das Unterlassen notwendiger Schutzmassnahmen verneint sie in der Folge; die Beschwerdegegnerin habe das von der SUVA Geforderte eingehalten.
Wäre es so, dass eine Pflichtwidrigkeit grundsätzlich zu verneinen wäre, hätte aber die Frage der Verjährung gar nicht (mehr) geprüft werden müssen. Anderseits ist auch nicht ersichtlich, inwiefern die Verjährung überhaupt losgelöst von der Frage der Pflichtwidrigkeit beurteilt werden konnte, da jedenfalls ab dem Zeitpunkt, in dem die Beschwerdegegnerin die nach dem damaligen Kenntnisstand erforderlichen Massnahmen ergreift, keine schädigende Handlung - im Sinne einer pflichtwidrigen Einwirkung - mehr vorliegt, mithin die Verjährung beginnt. Die Parteien gehen aber ohne weiteres davon aus, dass die Vorinstanz mit ihren Ausführungen nicht die Pflichtwidrigkeit im Zusammenhang mit der Asbestexposition verneinen wollte, sonst würden ihre Ausführungen zur Verjährung keinen Sinn machen. Die Beschwerdegegnerin weist zudem explizit darauf hin, Asbestexposition sei nicht als Synonym für eine allfällige Pflichtverletzung zu verstehen. Eine solche sei durch die Beschwerdeführer nachzuweisen. Allfällige andere Unterlassungen (z.B. unterlassene medizinische Abklärungen) werden im Beschwerdeverfahren nicht gerügt.
6.
6.1. Die Beschwerdeführer machen geltend, sie hätten bereits im vorinstanzlichen Verfahren Parallelen zum "Dauerdelikt" gezogen. Sie hätten dabei insbesondere auf die Praxis betreffend die strafrechtliche Verjährung (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.4. S. 311 ff.) aufmerksam gemacht, wonach bei unrechtmässigem Dauerverhalten zur Bestimmung des Beginns der Verjährung das Ende des beanstandeten Verhaltens als relevantes Datum zu betrachten sei. Zudem verweisen sie auf einen älteren Entscheid betreffend Verantwortlichkeit des Grundeigentümers bei Überschreitung seines Eigentumsrechts gemäss <ref-law> (<ref-ruling> E. 2 S. 445). Die Beschwerdegegnerin ihrerseits macht geltend, die Asbestexposition entspreche gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung zivilrechtlich keinem Dauerdelikt.
6.1.1. Die Beschwerdeführer machen - wie bereits ausgeführt (vgl. hiervor E. 5) - vertragliche und ausservertragliche Ansprüche geltend. Die absolute Frist von <ref-law> für ausservertragliche Ansprüche beginnt mit dem Tag der schädigenden Handlung ( dies a quo). Für die vertraglichen Ansprüche läuft die zehnjährige allgemeine Verjährungsfrist von der Fälligkeit der Forderung an (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Die Pflicht des Schuldners, Schadenersatz und Genugtuung zu leisten, und das Recht des Gläubigers, sie zu verlangen, entstehen nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts nicht erst, wenn dieser die Folgen der Pflichtverletzung erkennen kann. Beruhen sie auf einer Körperverletzung, so erwachsen sie im Zeitpunkt, in dem der Schuldner pflichtwidrigerweise auf den Leib des anderen einwirkt (<ref-ruling> E. 2.2 und 2.3 S. 19 f. mit Hinweisen; vgl. bereits hiervor E. 4).
6.1.2. Massgebend für den Beginn der zehnjährigen Verjährungsfrist ist somit sowohl für die vertraglichen wie die ausservertraglichen Ansprüche der Zeitpunkt des schädigenden Verhaltens.
In der Regel stellt eine schädigende Handlung ein kurzes, einmaliges und mit ihrem Eintritt abgeschlossenes Ereignis dar, das schädigende Verhalten kann sich aber auch über einen grösseren Zeitraum erstrecken (WERNER SCHWANDER, Die Verjährung ausservertraglicher und vertraglicher Schadenersatzforderungen, 1963, S. 24). Bei wiederholtem oder andauerndem schädigenden Verhalten ist der Tag, an dem dieses Verhalten aufhört, für den Beginn des Fristenlaufs massgebend (<ref-ruling> E. 5b S. 7; vgl. auch <ref-ruling> E. 2f S. 140, wobei allerdings in diesem Fall zwischen der Beendigung der Tätigkeit, während der die Beschwerdeführerin ionisierenden Strahlen ausgesetzt war, und der Klageeinleitung bereits mehr als 10 Jahre vergangen waren; REY/WILDHABER, Ausservertragliches Haftpflichtrecht, 5. Aufl. 2018, S. 326 § 1866; FRANZ WERRO, in: Commentaire romand, Code des obligations, Bd. I, 2. Aufl. 2012, N. 26 zu <ref-law>; OFTINGER / STARK, Schweizerisches Haftpflichtrecht, Besonderer Teil, Bd. II/1, 1987, S. 111 § 16 bei Fn. 528; FELLMANN/KOTTMANN, Schweizerisches Haftpflichtrecht, Bd. I, 2012, S. 1076 § 10 Rz. 3058; HONSELL/ISENRING/ KESSLER, Schweizerisches Haftpflichtrecht, 5. Aufl. 2013, S. 143 § 12 Rz. 4; andere Meinung offenbar KARL SPIRO, Die Begrenzung privater Rechte durch Verjährungs-, Verwirkungs- und Fatalfristen, Bd. I, 1975, S. 141 § 66; vgl. betreffend <ref-law>: <ref-ruling> E. 2b/bb S. 260 f. sowie <ref-ruling> E. 3 und 4 S. 445 ff. [vgl. diesbezüglich aber hiernach E. 6.1.4. Abs. 2]). So nun explizit auch das neue Verjährungsrecht in Art. 60 Abs. 1bis nOR bzw. Art. 128a nOR (vgl. hiervor E. 3).
6.1.3. Das der Beschwerdegegnerin von den Beschwerdeführern vorgeworfene schädigende Verhalten besteht darin, A.A._ sel. Asbeststaub ausgesetzt zu haben, ohne die nach dem damaligen Kenntnisstand notwendigen Schutzmassnahmen ergriffen zu haben (vgl. hiervor E. 5). Die Vorinstanz unterschied betreffend die Asbestexposition - wie bereits die Erstinstanz - eine erste (1961-1985) und eine zweite Phase (1985-1998). In der ersten Phase seiner Tätigkeit habe A.A._ sel. besonders intensiven Kontakt mit Asbest gehabt, in den späteren Jahren sei er einer geringeren Asbestexposition ausgesetzt gewesen.
Wie schon zuvor das Regionalgericht bezog sich die Vorinstanz im Hinblick auf die Unterteilung des Arbeitsverhältnisses in diese zwei Phasen auf <ref-ruling>. Dort habe das Bundesgericht (unter Sachverhalt B.) ebenfalls nur auf einen ersten Zeitraum (1966-1978) abgestellt und ausgeführt: " Dass nach diesem Zeitpunkt ein weiterer für die Erkrankung kausaler Kontakt erfolgt sei, hielt das Obergericht für nicht erwiesen, ebenso wenig wie eine Pflichtverletzung in diesem Zeitpunkt." Entscheidend sei also gemäss <ref-ruling> die Kausalität, nicht die reine Tatsache des Kontakts mit Asbest.
Die Berufung auf <ref-ruling> geht fehl. Trotz der etwas verkürzten Formulierung "kausaler Kontakt " ging es darum, dass nach 1978 überhaupt kein Kontakt mehr nachgewiesen war. Das ergibt sich mit aller Deutlichkeit aus der Sachverhaltszusammenfassung des in diesem Fall ergangenen Urteils Howald Moor (vgl. E. 4 hiervor). Der EGMR erwähnte dort unter "circonstances de l'espèce", der Geschädigte habe 1978 in den Innendienst als Direktor gewechselt, mache aber geltend, noch zweimal bei Reisen (1992 und 1996) mit Asbest in Kontakt gekommen zu sein (Urteil Howald Moor § 10: "[...] avoir encore été en contact avec de l'amiante [...]"). Dieser spätere Kontakt wurde im kantonalen Verfahren und entsprechend auch vor Bundesgericht als nicht erwiesen erachtet.
Anders als in <ref-ruling> ist - gemäss den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz - somit vorliegend davon auszugehen, dass A.A._ sel. während der ganzen Dauer des Arbeitsverhältnisses Asbest ausgesetzt war, wenn auch in einer zweiten Phase in geringerer Intensität.
6.1.4. Rechtfertigung für das Institut der Verjährung ist das gemeinsame Interesse aller Rechtssubjekte an Klarheit und Sicherheit im Rechtsverkehr, das verlangt, dass ab einem bestimmten oder jedenfalls objektiv bestimmbaren Zeitpunkt die Individualinteressen des Schuldners höher als diejenigen des Geschädigten eingestuft werden (vgl. REY/WILDHABER, a.a.O., S. 323 § 1850; vgl. diesbezüglich auch <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.; <ref-ruling> E. 2c S. 138). Dies bedingt aber, dass der Beginn der absoluten Frist an einen bestimmten bzw. objektiv bestimmbaren Zeitpunkt geknüpft wird, zumal die Verjährung weitgehende Folgen bewirkt.
Vorliegend dauerte die Asbestexposition während des gesamten Arbeitsverhältnisses von A.A._ sel an. Während dieser gesamten Zeitspanne besteht die Möglichkeit einer Schädigung; es erfolgt mithin eine mutmasslich pflichtwidrige Einwirkung auf das Rechtsgut der körperlichen Integrität von A.A._ sel. durch die Beschwerdegegnerin (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 19; <ref-ruling> E. 2d S. 139; <ref-ruling> E. 3b S. 162). Denn es kann nicht festgestellt werden, wann innerhalb dieser Zeitspanne die Krankheit ausgelöst worden ist (Zeitpunkt der kausalen Einwirkung). Die schädigende Handlung dauert somit - unter Vorbehalt der Pflichtwidrigkeit - während des gesamten Arbeitsverhältnisses an. Erst mit dessen Beendigung bildet die schädigende Handlung ein abgeschlossenes Ereignis.
Die Entscheide betreffend <ref-law> (namentlich auch der von den Beschwerdeführern zitierte <ref-ruling>) liegen insofern anders, als mit dem Zeitpunkt des Schadeneintritts die schädigende Handlung bereits abgeschlossen war, der Schaden sich aber nach Abschluss dieser Handlung fortentwickelt bzw. angedauert hat. In <ref-ruling>, der präzisierend auf <ref-ruling> Bezug nimmt, wird denn auch klar unterschieden zwischen Handlungsabschluss einerseits und Auswirkungen der schädigenden Handlung andererseits; der Einbau einer Sickerleitung bildet die für den Fristbeginn massgebende einmalige schädigende Handlung, welche mit Beendigung der Bautätigkeit abgeschlossen war; dass es später als Folge des Einbaus der Sickerleitung zum Absinken des Grundwassers und infolgedessen zu Bauschäden auf Nachbargrundstücken gekommen war, ist für den Fristbeginn unmassgeblich. Fortwährend war somit nicht die schädigende Handlung, sondern deren Auswirkungen (<ref-ruling> E. 2b/aa und bb S. 260 f.).
Vorliegend ist die Situation anders. Es ist zu berücksichtigen, dass es medizinisch nicht möglich ist, einen genauen Zeitpunkt zu bestimmen, in dem die Krankheit ausgelöst worden ist (Zeitpunkt der kausalen Einwirkung). Die Vorinstanz verwies (im Zusammenhang mit der Beweislastverteilung) auf die Aussage von Prof. Dr. med. F._, wonach man "[b]ei einer langjährigen beachtlichen Asbestexposition [...] aus medizinischer Sicht keinen bestimmten Zeitpunkt der Ursache, der Grundlage für die spätere Entstehung eines Pleuramesothelioms festsetzen [könne]". Auch Dr. med. G._ habe Folgendes ausgesagt: "Man kann nicht genau zurückverfolgen, welche Asbestfaser aus welcher Zeit letztlich die Entzündung, die die Grundlage für die Brustfellkrebsbildung war, ausgelöst hat". Solange A.A._ sel. Asbeststaub ausgesetzt war, bestand die Möglichkeit, dass er Asbestfasern einatmet, welche in die Lungenbläschen gelangen, von dort durch das Gewebe wandern und in das Brustfell eindringen können, wo sie eine Entzündung verursachen, welche dann wiederum zur Entstehung eines Pleuramesothelioms führen kann. Während der ganzen Phase der Asbestexposition war eine schädigende Einwirkung im konkreten Einzelfall potentiell möglich bzw. jedenfalls nicht schlechthin ausgeschlossen. In diesem Sinne ist von einer Dauereinwirkung während der Asbestexposition auszugehen.
Ein Zeitpunkt der kausalen Einwirkung lässt sich im konkreten Einzelfall auch nicht anhand der theoretischen Latenzzeit bestimmen, zumal es sich bei den Latenzzeiten um statistische Durchschnittswerte handelt und diese erheblich variieren. Diesbezüglich gab Dr. med. H._ an, die kürzeste ihm bekannte Latenzzeit betrage 12-15 Jahre. Dr. med. G._ führte aus, durchschnittlich betrage die Latenzzeit 20 Jahre, der Ausbruch unter 10 Jahren sei ganz ungewöhnlich. Die kürzeste Latenzzeit, die er erfahren habe, habe bei 12 Jahren gelegen. Auch Prof. Dr. med. F._ verwies auf "breite Streuwerte". Daher kann und darf zur Bestimmung der absoluten Verjährung im Falle von ununterbrochenen Asbestexpositionen aufgrund der breiten Streuung der Werte nicht auf die Latenzzeiten abgestellt werden. Daran ändert - zumindest im Falle einer ununterbrochenen Asbestexposition - auch der Umstand nichts, dass aufgrund der statistischen Latenzzeiten (Rückrechnung vom Zeitpunkt der Diagnose) eine kausale Einwirkung in einer gewissen Phase sehr unwahrscheinlich sein mag. Somit braucht nicht auf die Rüge der Beschwerdeführer eingegangen zu werden, wonach die Vorinstanz im Zusammenhang mit den Latenzzeiten die Regeln zum Beweismass verletzt haben soll.
6.1.5. Vor dem Hintergrund, dass A.A._ sel. ununterbrochen - wenn auch mit unterschiedlichen Intensitäten - dem Asbeststaub ausgesetzt war (vgl. hiervor E. 6.1.3) und sich aus medizinischer Sicht der genaue Zeitpunkt, in dem die Krankheit ausgelöst wurde (Einatmen der für den Schaden kausalen Asbestfaser), nicht bestimmen lässt (vgl. hiervor E. 6.1.4), entspricht im Hinblick auf die Verjährung das schädigende Verhalten der Asbestexposition. Vorbehalten bleibt die Möglichkeit, dass die Beschwerdegegnerin ab einem gewissen Zeitpunkt fortan die nach dem damaligen Kenntnisstand erforderlichen Schutzmassnahmen ergriffen hat, sodass von da an keine pflichtwidrige Einwirkung mehr vorläge. Der Beginn der absoluten Verjährungsfrist kann somit nicht unabhängig von der Pflichtverletzung beurteilt werden. Die Vorinstanz hat jedoch nicht beurteilt, ob - und bis zu welchem Zeitpunkt - eine Pflichtverletzung vorliegt (vgl. hiervor E. 5.2). Unter der Annahme, dass während der ganzen Dauer des Arbeitsverhältnisses keine nach dem damaligen Kenntnisstand erforderlichen Schutzmassnahmen ergriffen worden sind, stellt die Asbestexposition eine andauernde schädigende Handlung dar, sodass die absolute Verjährung zu dem Zeitpunkt beginnt, in dem A.A._ sel. nicht mehr dem Asbest ausgesetzt war, mithin die schädigende Handlung abgeschlossen war (vgl. hiervor E. 6.1.2). Dies entspräche vorliegend dem Ende des Arbeitsverhältnisses am 31. Januar 1998. Zu diesem Zeitpunkt würde die absolute Verjährungsfrist beginnen und zwar sowohl für die vertraglichen wie auch für die ausservertraglichen Ansprüche. Damit wäre die absolute Verjährungsfrist zum Zeitpunkt der erstmaligen Abgabe des Verjährungsverzichts durch die Beschwerdegegnerin am 21. Juni 2004 noch nicht abgelaufen. Die geltend gemachten Ansprüche der Beschwerdeführer sind somit - unter dem dargelegten Vorbehalt - nicht absolut verjährt. Dass sie relativ verjährt gewesen wären, wurde nicht behauptet. Die Vorinstanz hat somit die absolute Verjährung im Sinne der Erwägungen erneut zu prüfen.
7.
Mit ihrer Widerklage verlangte die Beschwerdegegnerin im Wesentlichen die gerichtliche Feststellung, dass die über die Teilklage hinausgehenden Ansprüche der Beschwerdeführer, insbesondere der geltend gemachte Versorgerschaden (gemäss Betreibungs-Nr. xxx im Betrag von Fr. 850'000.-- nebst Zins), sowie die von den Beschwerdeführern vorbehaltene Nachklage nicht bestehen (Ziff. 2). Die Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Bern-Mittelland über diesen Betrag sei aufzuheben und das Betreibungsamt anzuweisen, Dritten gemäss <ref-law> keine Kenntnis zu geben (Ziff. 3). Das Verfahren wurde wie erwähnt - neben anderem - auf das Feststellungsinteresse beschränkt. Die Beschwerdeführer beantragen nach wie vor, auf die Widerklage sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen.
7.1. Die Vorinstanz unterschied und prüfte zuerst das Feststellungsinteresse betreffend die negative Feststellungsklage und sodann unter dem Titel " [d]ie in Betreibung gesetzte Forderung von CHF 850'000.- -" das Feststellungsinteresse gestützt auf <ref-ruling> betreffend die Aufhebung der Betreibung. Hinsichtlich der negativen Feststellungsklage erwog sie, es sei unklar, ob in Fällen von Teilklagen ein Feststellungsinteresse der Gegenpartei an einer negativen Feststellungswiderklage ohne weitere Prüfung zu bejahen sei. Entsprechend prüfte sie die allgemeinen Voraussetzungen einer Feststellungsklage, namentlich ob eine erhebliche Ungewissheit über die Rechtslage besteht, die mit dem Feststellungsurteil beseitigt werden kann, sowie die Unzumutbarkeit der Fortdauer der Ungewissheit. Sie bejahte diese in Hinblick auf die Höhe der Forderung, das Reputationsrisiko für die Beschwerdegegnerin und die präjudizierende Wirkung.
7.2.
7.2.1. Gemäss <ref-law> - in der vor dem 1. Januar 2019 bestehenden Fassung - kann der Betriebene jederzeit vom Gericht des Betreibungsortes feststellen lassen, dass die Schuld nicht oder nicht mehr besteht oder gestundet ist (Abs. 1). Heisst das Gericht die Klage gut, so hebt es die Betreibung auf oder stellt sie ein (Abs. 3). Die Klage nach <ref-law> weist eine Doppelnatur auf. Wie die Aberkennungsklage bezweckt sie einerseits als materiellrechtliche Klage die Feststellung der Nichtschuld bzw. der Stundung; anderseits hat sie aber auch betreibungsrechtliche Wirkung, indem der Richter mit ihrer Gutheissung die Betreibung aufhebt oder einstellt (<ref-ruling> E. 1.1 S. 93 mit Hinweisen). Die Widerklage wurde am 3. September 2010 eingereicht. Seinerzeit war die Feststellungsklage nach <ref-law> nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung als "Notbehelf" konzipiert und konnte demnach nur angehoben werden, wenn der Betriebene es unterliess, rechtzeitig Rechtsvorschlag zu erheben, bzw. nachdem der Rechtsvorschlag rechtskräftig beseitigt wurde, nicht dagegen wenn der Lauf der Betreibung - wie vorliegend - durch Rechtsvorschlag gehemmt worden ist (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 43 f.; <ref-ruling> S. 335; <ref-ruling> E. 2c S. 152 ff.). Am 1. Januar 2019 ist im Übrigen der revidierte <ref-law> in Kraft getreten, der nun explizit vorsieht, dass der Betriebene "ungeachtet eines allfälligen Rechtsvorschlages" jederzeit vom Gericht des Betreibungsortes feststellen lassen kann, dass die Schuld nicht oder nicht mehr besteht oder gestundet ist.
7.2.2. Die negative Feststellungsklage der Beschwerdegegnerin ist einerseits eine Reaktion auf die Teilklage der Beschwerdeführer und andererseits gleichzeitig eine Reaktion auf die von diesen erhobene Betreibung. Die Rechtsbehelfe des Betreibungsrechts schliessen eine negative Feststellungsklage des Betriebenen nicht aus (<ref-ruling> E. 3d/cc S. 27; <ref-ruling> E. 2a S. 357). <ref-ruling>, auf den sich die Vorinstanz bezog, äussert sich zum schutzwürdigen Interesse des Betriebenen, der zwecks Unterbrechung der Verjährung betrieben wird. Der Entscheid bejaht ein solches, wenn bei Abwägung der gegenseitigen Interessen von Gläubiger und Schuldner jene des Schuldners sich als schutzwürdig erweisen (<ref-ruling> E. 2a S. 357 f.). Dieser Entscheid betrifft daher nur die Situation einer gewöhnlichen negativen Feststellungsklage des Betriebenen, der zwecks Unterbrechung der Verjährung betrieben wird, und zu prüfen sind dabei die spezifischen Gläubiger- und Schuldnerinteressen. Darauf muss nicht weiter eingegangen werden.
Vorliegend ist nämlich ohnehin entscheidend, dass die Widerklage eine Reaktion auf eine Teilklage ist. Das Bundesgericht bejaht in konstanter Praxis das rechtliche Interesse der mit einer Teilklage konfrontierten beklagten Partei, durch Widerklage den Nichtbestand des behaupteten Anspruchs oder des Schuldverhältnisses feststellen zu lassen (<ref-ruling> E. 4.3.1 S. 516; Urteile 4A_255/2010 vom 29. Juni 2010 E. 5.5; 2C_110/2008 vom 3. April 2009 E. 7; 5C.252/2006 vom 1. Mai 2007 E. 5.1). Diese Rechtsprechung begründete es noch unter Geltung der kantonalen Zivilprozessordnungen damit, dass die Erhebung einer Leistungsklage die Anmassung nicht nur des eingeklagten Teilanspruchs selbst, sondern zugleich des gesamten Forderungsrechts als deren notwendige Grundlage bedeutet und deshalb die Beklagte in diesem vollen Umfang durch die gegen sie erhobene Klage in ihrer Privatrechtssphäre beeinträchtigt wird (zit. Urteil 5C.252/2006 E. 5.1 mit Hinweis auf BGE 42 II 696 E. 4 S. 701). Der Bundesrat erwähnte denn auch im Zusammenhang mit der vorgeschlagenen Regelung der Teilklage im heutigen Artikel 86 ZPO ausdrücklich, die beklagte Partei könne der Teilklage mit einer Widerklage auf Feststellung des Nichtbestehens des gesamten Anspruches begegnen (Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], BBl 2006 7288 Ziff. 5.6 zu Art. 84 E-ZPO). In der Folge hat das Bundesgericht nach Inkrafttreten der ZPO an seiner Rechtsprechung festgehalten (<ref-ruling> E. 4.3.1 S. 516; Urteile 4A_111/2016 vom 24. Juni 2016 E. 4.6; 4A_414/2013 vom 28. Oktober 2013 E. 3.3; 4A_80/2013 vom 30. Juli 2013 E. 6.4; vgl. auch <ref-ruling> E. 2 S. 300 ff.). Das Feststellungsinteresse der Beschwerdegegnerin auf Beurteilung aller Ansprüche der Beschwerdeführer ergibt sich somit bereits daraus, dass diese Teilklage erhoben haben.
Stets vorbehalten bleibt ein rechtsmissbräuchliches Vorgehen (<ref-law>). Die Beschwerdeführer machen geltend, die Beschwerdegegnerin habe per 1. Juni 2009 keinen Verjährungsverzicht mehr abgeben wollen. Sie (bzw. die ehemalige Beschwerdeführerin 1) seien deshalb gezwungen gewesen, zur Verjährungsunterbrechung die Betreibung über Fr. 850'000.-- einzuleiten. Diese habe die Beschwerdegegnerin dann zum Anlass für die negative Feststellungswiderklage genommen. Ein rechtsmissbräuchliches Verhalten der Beschwerdegegnerin begründen sie damit aber nicht; sie berufen sich denn auch nicht auf <ref-law>.
Die Vorinstanz hat somit das Interesse an der widerklageweise begehrten Feststellung, dass keine über die Teilklage hinausgehende Forderung der Beschwerdeführer bestehe, zu Recht bejaht. Nachdem vorliegend die Verjährung in Bezug auf die Teilklage verneint wurde, bleibt es beim Eintreten auf das Widerklagebegehren Ziffer 2 und ist die Sache zur diesbezüglichen materiellen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Über das Widerklagebegehren Ziffer 3 (keine Kenntnisgabe an Dritte gemäss <ref-law>) kann im jetzigen Zeitpunkt noch nicht entschieden werden.
7.3. Der für die Berechnung der Gerichtskosten und Parteientschädigungen massgebende Betrag bestimmt sich daher nach dem gesamten Wert des in Abrede gestellten Rechtsverhältnisses. Der Kläger hat insoweit hinzunehmen, dass das Motiv für die Erhebung der Teilklage - nämlich das geringere Kostenrisiko - im Ergebnis durchkreuzt wird (zit. Urteile 4A_255/2010 E. 5.5; 2C_110/2008 E. 7; 5C.252/2006 E. 5.2). Es ist daher auch im vorliegenden Fall, in dem die Beschwerdegegnerin eine negative Feststellungsklage erhoben hat, für die Bemessung der Gerichtskosten auf den Interessenwert abzustellen.
8.
Die Beschwerdeführer haben obsiegt in der Hauptfrage betreffend die Verjährung der Ansprüche, womit ihr Eventualantrag zu schützen und die Sache zur materiellen Beurteilung des Anspruchs (sowie zur erneuten Beurteilung der absoluten Verjährung) an die Vorinstanz zurückzuweisen ist. Sie sind dagegen unterlegen mit ihrem Begehren, auf die negative Feststellungswiderklage sei nicht einzutreten. Das Obsiegen in der Hauptfrage der Verjährung ist stärker zu gewichten. Es rechtfertigt sich daher, den Beschwerdeführern einen Zehntel und der Beschwerdegegnerin neun Zehntel der Gerichtskosten des Beschwerdeverfahrens zu auferlegen und ihnen eine entsprechend reduzierte Parteientschädigung zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Das Urteil des Obergerichts des Kantons Bern wird aufgehoben und die Sache wird zur Fortführung des Verfahrens an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 7'000.-- werden zu einem Zehntel unter solidarischer Haftbarkeit den Beschwerdeführern und zu neun Zehnteln der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'400.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Zivilabteilung, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. November 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Gross