Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt führt seit Mitte 2017 eine Strafuntersuchung gegen A._ unter anderem wegen des Verdachts des Betrugs, der Teilnahme an gewerbsmässigem Betrug, mehrfacher Urkundenfälschung, gewerbsmässiger Geldwäscherei etc. In einer ersten Phase wird ihm vorgeworfen, an einem grossen Kreditbetrugskomplex beteiligt gewesen zu sein. Er soll einerseits Gesellschaften, die sich unter seiner Kontrolle befanden, für gefälschte Dokumente zwecks Erlangung von betrügerischen Krediten zur Verfügung gestellt und andererseits Kreditnehmende für die Beantragung von betrügerischen Krediten an den mitbeschuldigten Kreditvermittler weitervermittelt haben. A._ wurde in diesem Zusammenhang am 12. September 2017 in Untersuchungshaft genommen und per 28. Februar 2018 entlassen.
Aufgrund neuer Tatverdachtsmomente, wonach A._ nach seiner Entlassung in weitere unrechtmässige Handlungen involviert sein könnte, wurde er am 17. Juni 2020 erneut verhaftet und in Untersuchungshaft versetzt. Ihm wird vorgeworfen, unter anderem in einen gewerbsmässigen, international ausgerichteten Anlagebetrug zum Nachteil einer Vielzahl von mehrheitlich deutschen Anlegern involviert gewesen zu sein, wobei er in diesem Zusammenhang insbesondere das von den Geschädigten auf die Konten eingezahlte Geld (gemäss dem aktuellen Stand der Ermittlungen ca. EUR 2'999'577.--) bar abgehoben bzw. weiter transferiert haben soll (Geldwäscherei). Neben der Beteiligung am Anlagebetrugskomplex soll A._ auch in die betrügerische Erlangung von Covid-19-Krediten durch fünf verschiedene Firmen in einem Gesamtbetrag von ca. Fr. 1'576'000.-- involviert gewesen sein. Zudem wird ihm vorgeworfen, unter Zuhilfenahme von gefälschten Kapitalbescheinigungen an der Gründung und Eintragung von mind. 39 Gesellschaften mit einem (Schein-) Kapital von gesamthaft 5,3 Millionen Franken beteiligt gewesen zu sein. Sodann soll er seine faktische Kontrolle über mehrere Gesellschaften und deren Konten auch für Geldwäschereihandlungen im Zusammenhang mit dem Verkauf von gefälschten Briefmarken im Wert von ca. Fr. 350'000.-- ausgenutzt haben, mehrfache Urkundenfälschungen im Zusammenhang mit Jahresabschlüssen begangen sowie mehrere Kreditkarten missbraucht haben.
Das Zwangsmassnahmengericht des Kantons Basel-Stadt hat die Untersuchungshaft von A._ mehrfach verlängert, zuletzt am 5. November 2021 bis zum 11. März 2022. Die dagegen von diesem erhobene Beschwerde hiess das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 20. Dezember 2021 gut und verfügte dessen unverzügliche Entlassung aus der Untersuchungshaft.
B.
Mit Eingabe vom 28. Januar 2022 führt die Staatsanwaltschaft Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Sie beantragt, es sei festzustellen, dass der angefochtene Entscheid des Appellationsgerichts vom 20. Dezember 2021 <ref-law>, <ref-law> und <ref-law> verletze. Eventualiter sei der Entscheid des Appellationsgerichts wegen Verletzung von Bundesrecht, namentlich <ref-law>, <ref-law> und <ref-law>, zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Der Beschwerdegegner beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Appellationsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung und beantragt die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Gegen den angefochtenen Entscheid ist gemäss <ref-law> die Beschwerde in Strafsachen gegeben. Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist somit nach <ref-law> zulässig. Die Staatsanwaltschaft ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und lit. b Ziff. 3 BGG zur Beschwerde befugt. Die Beschwerdeschrift ist mitunterzeichnet vom baselstädtischen Ersten Staatsanwalt; die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt ist zudem für Strafverfolgungen im ganzen Kanton grundsätzlich zuständig. Die Beschwerdelegitimation ist damit gegeben (vgl. <ref-ruling> E. 1.5 ff.; Urteil 1B_38/2021 vom 20. April 2021 E. 1; je mit Hinweisen).
Der Beschwerdegegner wurde von der Vorinstanz gegen den Willen der Staatsanwaltschaft aus der Untersuchungshaft entlassen und befindet sich seither in Freiheit. Daher stellt sich die Frage nach dem aktuellen praktischen Rechtsschutzinteresse (<ref-law>). Gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung kann die Staatsanwaltschaft auch nach Haftentlassungen noch ein rechtlich geschütztes Interesse an der Prüfung eines Feststellungsbegehrens haben, wonach die Haftentlassung bundesrechtswidrig erfolgt sei. (<ref-ruling> E. 1). Wird ein Untersuchungsgefangener aus der Haft entlassen, obwohl ein Haftgrund besteht, kann das die Fortführung des Strafverfahrens erschweren oder gar vereiteln (<ref-ruling> E. 1). Den gegenteiligen Ausführungen des Beschwerdegegners kann mithin nicht gefolgt werden. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Die beschwerdeführende Staatsanwaltschaft beantragt nicht die Aufhebung des vorinstanzlichen Haftentlassungsbeschlusses, sondern das Bundesgericht habe festzustellen, dass der angefochtene Entscheid bundesrechtswidrig sei. Die Staatsanwaltschaft wirft der Vorinstanz vor, sie sei aufgrund einer willkürlichen Sachverhaltsfeststellung und Beurteilung des Sachverhalts sowie unter Verletzung ihrer Begründungspflicht zum Schluss gekommen, es bestehe keine Fortsetzungs- und Fluchtgefahr mehr, und sie habe dadurch Bundesrecht verletzt.
2.2. Gemäss <ref-law> sind Untersuchungs- und Sicherheitshaft zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist und ernsthaft zu befürchten ist, dass sie durch schwere Verbrechen oder Vergehen die Sicherheit anderer erheblich gefährdet, nachdem sie bereits früher gleichartige Straftaten verübt hat.
Nach der Rechtsprechung kann die Anordnung von Untersuchungs- oder Sicherheitshaft wegen Wiederholungsgefahr gemäss <ref-law> dem Verfahrensziel der Beschleunigung dienen, indem verhindert wird, dass sich der Strafprozess durch immer neue Delikte kompliziert und in die Länge zieht. Auch die Wahrung des Interesses an der Verhütung weiterer schwerwiegender Delikte ist nicht verfassungs- und grundrechtswidrig. Vielmehr anerkennt Art. 5 Ziff. 1 lit. c EMRK ausdrücklich die Notwendigkeit, Beschuldigte an der Begehung strafbarer Handlungen zu hindern, somit Spezialprävention, als Haftgrund (<ref-ruling> E. 2.2 mit Hinweis). Die Aufrechterhaltung von Haft wegen Wiederholungsgefahr ist zulässig, wenn einerseits die Rückfallprognose ungünstig und anderseits die zu befürchtenden Delikte von schwerer Natur sind. Die rein hypothetische Möglichkeit der Verübung weiterer Delikte sowie die Wahrscheinlichkeit, dass nur geringfügige Straftaten verübt werden, reichen dagegen nicht aus, um eine Präventivhaft zu begründen (<ref-ruling> E. 2.2 mit Hinweisen).
2.2.1. <ref-law> ist entgegen dem deutschsprachigen Gesetzeswortlaut dahin auszulegen, dass "Verbrechen oder schwere Vergehen" drohen müssen (<ref-ruling> E. 2.2 mit Hinweis). Die Annahme des Haftgrundes der Wiederholungsgefahr verlangt unter Vorbehalt besonderer Fälle (<ref-ruling> E. 4), dass die beschuldigte Person bereits früher gleichartige Vortaten verübt hat. Auch bei den Vortaten muss es sich um Verbrechen oder schwere Vergehen gegen gleiche oder gleichartige Rechtsgüter gehandelt haben (<ref-ruling> E. 2.2 mit Hinweis). Die früher begangenen Straftaten können sich aus rechtskräftig abgeschlossenen Strafverfahren ergeben. Sie können jedoch auch Gegenstand eines noch hängigen Strafverfahrens bilden, in dem sich die Frage der Untersuchungs- und Sicherheitshaft stellt. Das Gesetz spricht von verübten Straftaten und nicht bloss einem Verdacht, so dass dieser Haftgrund nur bejaht werden kann, wenn mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit feststeht, dass die beschuldigte Person solche Straftaten begangen hat. Neben einer rechtskräftigen Verurteilung gilt der Nachweis auch bei einem glaubhaften Geständnis oder einer erdrückenden Beweislage als erbracht (<ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 2.3.1).
2.2.2. Die drohenden Verbrechen oder schweren Vergehen müssen die Sicherheit anderer erheblich gefährden. Sicherheit bedeutet die Abwesenheit von Gefahr oder Beeinträchtigung. Mit dem Begriff "Sicherheit" ist damit noch nichts über die betroffenen Rechtsgüter gesagt. Auch das Wort "anderer" drückt einzig aus, dass es sich um Rechtsgüter von Personen handeln muss. Die erhebliche Gefährdung der Sicherheit anderer durch drohende Verbrechen oder schwere Vergehen kann sich daher grundsätzlich auf Rechtsgüter jeder Art beziehen. Im Vordergrund stehen Delikte gegen die körperliche und sexuelle Integrität. Vermögensdelikte sind zwar unter Umständen in hohem Mass sozialschädlich, betreffen aber grundsätzlich nicht unmittelbar die Sicherheit der Geschädigten. Anders kann es sich in der Regel nur bei besonders schweren Vermögensdelikten verhalten. Die Bejahung der erheblichen Sicherheitsgefährdung setzt voraus, dass die Vermögensdelikte die Geschädigten besonders hart bzw. ähnlich treffen wie ein Gewaltdelikt (<ref-ruling> E. 2.2 mit Hinweisen und E. 2.4).
Ob ein besonders schweres Vermögensdelikt droht, das den Geschädigten besonders hart bzw. ähnlich trifft wie ein Gewaltdelikt, kann nicht abstrakt bestimmt werden. Es kommt auf die Umstände des Einzelfalles an. Für die erhebliche Sicherheitsgefährdung spricht es, wenn konkrete Anhaltspunkte dafür bestehen, dass die beschuldigte Person bei künftigen Vermögensdelikten Gewalt anwenden könnte. So verhält es sich insbesondere, wenn sie bei früheren Vermögensstraftaten eine Waffe mit sich geführt oder gar eingesetzt hat. Zu berücksichtigen ist sodann die Schwere der von der beschuldigten Person begangenen Vermögensdelikte. Je gravierender diese sind, desto eher spricht dies für die Sicherheitsgefährdung. Ist der Deliktsbetrag - wie zum Beispiel bei Anlagebetrug - sehr hoch, lässt das befürchten, dass die beschuldigte Person auch künftig schwere Vermögensdelikte begehen wird. Rechnung zu tragen ist weiter der persönlichen, namentlich finanziellen Lage der Geschädigten. Zielen die Taten der beschuldigten Person beispielsweise insbesondere auf schwache und finanziell in bescheidenen Verhältnissen lebende Geschädigte, braucht es für die Bejahung der Sicherheitsgefährdung weniger und genügt ein geringerer Deliktsbetrag. Eine Rolle spielen auch die Verhältnisse der beschuldigten Person. Hat sie z.B. weder Einkommen noch Vermögen und gleichwohl einen grossen Finanzbedarf, etwa weil sie einen luxuriösen Lebensstil pflegt oder an Spielsucht leidet, lässt das darauf schliessen, dass sie schwere Vermögensdelikte begehen könnte. Ob die erhebliche Sicherheitsgefährdung zu bejahen ist, ist aufgrund einer Gesamtwürdigung der im Einzelfall gegebenen Umstände zu entscheiden (<ref-ruling> E. 2.5).
2.2.3. Eine ungünstige Rückfallprognose genügt für die Bejahung der Wiederholungsgefahr nicht, da dem Kriterium der erheblichen Sicherheitsgefährdung eine eigenständige Tragweite zukommt. Für eine ungünstige Prognose spricht insbesondere, wenn die beschuldigte Person bereits zahlreiche Vortaten verübt und sich auch durch Vorstrafen nicht von der Fortsetzung ihrer deliktischen Tätigkeit hat abhalten lassen. Ist die Prognose zwar ungünstig, sind von der beschuldigten Person aber keine Vermögensdelikte zu erwarten, welche die Geschädigten besonders hart bzw. ähnlich treffen wie ein Gewaltdelikt, lässt sich keine Präventivhaft rechtfertigen (<ref-ruling> E. 2.6).
2.3.
2.3.1. Wie die Vorinstanz festgestellt hat, ist der Beschwerdegegner (einschlägig) vorbestraft. In Deutschland wurde er wegen Urkundenfälschung in vier Fällen, davon in einem Fall in Tateinheit mit versuchtem Betrug, verurteilt. In der Schweiz ist er unter anderem wegen Fälschen von Ausweisen, Erschleichung einer falschen Beurkundung, versuchter schwerer Körperverletzung und einfacher Körperverletzung sowie Vergehen gegen das Waffengesetz vorbestraft. Die ihm im jetzigen Verfahren vorgeworfenen Betrugshandlungen, die Teilnahme an gewerbsmässigem Betrug, die mehrfache Urkundenfälschung sowie die gewerbsmässige Geldwäscherei gibt er im Wesentlichen zu. Das Vortatenerfordernis ist daher offensichtlich erfüllt (vgl. E. 2.2.1 hiervor).
2.3.2. Trotz der einschlägigen Vorstrafen und des hängigen Verfahrens hat der Beschwerdegegner unstreitig mehrfach in gleicher Weise weiter delinquiert. Dies spricht grundsätzlich für seine Uneinsichtigkeit. Gemäss dem aktenkundigen psychiatrischen Gutachten vom 18. Mai 2021 ist die lange, wiederholte und über einen langen Zeitraum fortgesetzte Delinquenz, die bisherige Kriminalitätsentwicklung sowie der Umstand, dass der Beschwerdegegner nach seiner Entlassung aus der ersten Untersuchungshaft weiter delinquiert habe, als ungünstig zu werten. Der Gutachter hält fest, zum gegenwärtigen Zeitpunkt und unter Berücksichtigung der vorliegenden Erkenntnisse ergebe sich ein ungünstiges Bild hinsichtlich des Rückfallrisikos für ähnliche Straftaten. Die Staatsanwaltschaft rügt, die Vorinstanz habe sich mit dem psychiatrischen Gutachten und insbesondere dieser Schlussfolgerung überhaupt nicht auseinandergesetzt.
Dies trifft zu. Weder hat die Vorinstanz das von der Staatsanwaltschaft in Auftrag gegebene Gutachten erwähnt noch dargelegt, aus welchen (sachlichen) Gründen sie von diesem bei ihrer Prognosebeurteilung abgewichen ist. Sie hat einzig festgehalten, der einschlägig vorbestrafte Beschwerdegegner habe zwar nach seiner ersten Haft zunächst unbeeindruckt weiter delinquiert, nun zeige er sich aber sehr kooperativ und weitgehend geständig. Die Prognose erscheine daher "im Rahmen einer vorläufigen, summarischen Würdigung nicht als besonders getrübt".
2.3.3. Dieser Auffassung kann nicht gefolgt werden. Es erscheint wenig plausibel, dass aufgrund der Geständnisse des Beschwerdegegners und seiner grundsätzlichen Kooperation nicht mehr, wie im nachvollziehbaren Gutachten aufgezeigt, von einer ungünstigen Prognose hinsichtlich neuer Delikte auszugehen wäre. Daran ändert auch die unzutreffende Behauptung des Beschwerdegegners nichts, das noch nicht einmal einjährige Gutachten sei "veraltet" und diesem komme aufgrund der Geständnisse und seiner Kooperation "bloss noch eine untergeordnete Bedeutung zu". Die weitgehenden Geständnisse und die Kooperation des Beschwerdegegners allein sind angesichts der langjährigen deliktischen Laufbahn des Beschwerdegegners jedenfalls nicht geeignet, dessen ernsthaften und beständigen Willen zur Besserung zu belegen. Andere Anhaltspunkte, weshalb die Schlussfolgerungen im Gutachten als nicht mehr aktuell bezeichnet werden könnten, sind weder dargetan noch ersichtlich. Dies gilt im Übrigen umso mehr, als die bisherigen strafrechtlichen Verurteilungen (vgl. E. 2.3.1 hiervor) den Beschwerdegegner ebenfalls nicht davon abgehalten haben, wieder straffällig zu werden. Zudem hat der Beschwerdegegner direkt nach seiner (ersten) Entlassung aus der Untersuchungshaft im vorliegenden Verfahren per 28. Februar 2018 in noch grösserem Umfang weiter delinquiert. Entgegen der Auffassung der Vorinstanz ist unter diesen Umständen von einer ungünstigen Prognose auszugehen.
2.3.4. Diese allein reicht aber, wie erwähnt (vgl. E. 2.2.3 hiervor), nicht aus, um eine Fortsetzungsgefahr im Sinne von <ref-law> zu bejahen. Vielmehr muss auch von einer erheblichen Sicherheitsgefährdung Dritter durch die drohenden Delikte ausgegangen werden. Dies gilt es nachfolgend zu prüfen. Die dem Beschwerdegegner vorgeworfenen und von ihm grundsätzlich eingestandenen Taten, namentlich der teilweise gewerbsmässig begangene (Anlage-) Betrug, die Geldwäscherei etc., richten sich vordergründig gegen das Vermögen. Die Vorinstanz erwog, diese Delikte hätten die Betroffenen nicht ähnlich hart getroffen wie ein Gewaltdelikt. Zwar sei von einem sehr hohen Deliktsbetrag auszugehen, andererseits bestünden aber keine Anhaltspunkte, dass der Beschwerdegegner eine Waffe eingesetzt oder es insbesondere auf schwache und finanziell in bescheidenen Verhältnissen lebende Geschädigte abgesehen gehabt habe. Eine erhebliche Sicherheitsgefährdung sei daher zu verneinen. Dem widerspricht die Staatsanwaltschaft. Ihrer Auffassung nach habe die Vorinstanz die gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung verlangte Gesamtwürdigung unterlassen und insbesondere offensichtlich unrichtig festgestellt, es bestünden keine Hinweise, dass es der Beschwerdegegner vor allem auf schwache und finanziell in bescheidenen Verhältnissen lebende Geschädigte abgesehen habe, welche um ihr erarbeitetes Alterskapital betrogen worden seien.
2.3.5. Dem Beschwerdegegner werden gewerbsmässiger Betrug (unter anderem ein gross angelegter Anlagebetrug zum Nachteil von über 100 Privatpersonen mit einer Schadenssumme von ca. EUR 2'999'577.--) und weitere Vermögensdelikte mit einer Gesamtdeliktssumme von mehr als fünf Millionen Franken vorgeworfen. Ihm werden damit schwerwiegende Vermögensdelikte angelastet. Die im Raum stehende Deliktssumme erweist sich als sehr hoch und den vorgeworfenen Vermögensdelikten ist - unter Berücksichtigung der weiteren, nachfolgend aufgezeigten Umstände des vorliegenden Falles - eine erhebliche Sicherheitsgefährdung zuzusprechen (vgl. E. 2.2.2 hiervor; zur Deliktshöhe und Bejahung der Fortsetzungsgefahr auch Urteile 1B_182/2021 vom 28. April 2021 E. 3.2; 1B_43/2020 vom 14. Februar 2020 E. 2.2; 1B_514/2021 vom 27. Oktober 2021 E. 3.7).
Soweit aus den Akten und dem angefochtenen Entscheid ersichtlich ist, hat der Beschwerdegegner bei der Begehung der ihm vorgeworfenen Vermögensdelikte bisher nie Gewalt angewandt. Indessen gilt es zu berücksichtigen, dass er wegen versuchter schwerer Körperverletzung und einfacher Körperverletzung vorbestraft ist. Er ist, anders als in <ref-ruling>, somit bereits wegen Gewalttätigkeiten auffällig geworden. Damit besteht jedenfalls ein Indiz, wonach der Beschwerdegegner ein gewisses Gewaltpotential aufweist, was bei der Beurteilung der drohenden erheblichen Sicherheitsgefährdung Dritter ebenfalls zu seinen Ungunsten zu berücksichtigen ist.
Hinzu kommt, dass der Beschwerdegegner, obschon er, wie den Akten entnommen werden kann, erhebliche finanzielle Probleme hat (32 Betreibungen in der Höhe von total Fr. 81'914.25 sowie 39 offene Verlustscheine in der Höhe von total Fr. 142'215.15), einen luxuriösen Lebensstil bzw. (unangemessen) hohen Lebensstandard mit teuren Autos, Uhren, Kleidern etc. pflegt (e). Dieser Umstand lässt ebenfalls darauf schliessen, der Beschwerdegegner, der seit mehreren Jahren keiner legalen, regelmässigen Erwerbstätigkeit nachging, könnte erneut schwere Vermögensdelikte begehen (vgl. E. 2.2.2 hiervor). Dafür spricht denn auch die von ihm nicht bestrittene Tatsache, dass er über seine Mutter zwei seiner Gesellschaften, die er bisher ausschliesslich für illegale Aktivitäten nutzte, weiterhin aktiv behält. Eine Rückkehr in ein deliktnahes Milieu kann unter diesen Umständen nicht ausgeschlossen werden, was ebenfalls auf eine drohende erhebliche Sicherheitsgefährdung Dritter schliessen lässt.
Soweit die Staatsanwaltschaft allerdings auch die finanzielle Lage der Geschädigten heranzieht, um eine erhebliche Sicherheitsgefährdung zu begründen, kann ihr nicht gefolgt werden. Die Staatsanwaltschaft bringt zwar vor, die Täterschaft habe es bewusst auf Geschädigte fortgeschrittenen Alters und deren hart erarbeitetes Vermögen abgesehen. Sie belegt diese Behauptungen aber nicht rechtsgenüglich. Ihr Verweis, woraus sich dies aus den in den Akten enthaltenen Listen der Geschädigten und deren Anzeigen in den "Ordnern 5-7, 92-93" ergebe, ist ungenügend. Es ist nicht Sache des Bundesgerichts, diese Ordner zu durchforsten, um allenfalls nachvollziehen zu können, welche Geschädigten, wie von der Staatsanwaltschaft behauptet, tatsächlich um ihr hart erarbeitetes Vermögen bzw. Alterskapital betrogen wurden. Dies aufzuzeigen wäre Aufgabe der beschwerdeführenden Staatsanwaltschaft gewesen. Dass es in der Natur des Anlagebetrugs liege, dass dieser darauf abziele, vor allem ältere und unkundige Personen um ihr erspartes Vermögen zu betrügen, lässt sich jedenfalls nicht in allgemeiner Weise sagen.
2.4. Zusammenfassend ergibt sich, dass aufgrund der sehr hohen Deliktssumme, der Schwere der zur Diskussion stehenden Straftaten, insbesondere des Anlagebetrugs, der langjährigen deliktischen Laufbahn des Beschwerdegegners, seiner Vorstrafe wegen Körperverletzung und seiner persönlichen Lebensverhältnisse, das Kriterium der erheblichen Sicherheitsgefährdung zu bejahen ist. Damit erweist sich die Beschwerde als begründet und es ist festzustellen, dass die Vorinstanz das Vorliegen der Fortsetzungsgefahr in bundesrechtswidriger Weise verneint hat. Die allenfalls ebenfalls vorhandene Fluchtgefahr braucht demzufolge nicht geprüft zu werden.
3.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und es wird festgestellt, dass der angefochtene Entscheid Bundesrecht verletzt.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der unterliegenden Beschwerdegegner kostenpflichtig (<ref-law>). Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, da die finanzielle Bedürftigkeit nicht belegt wird (<ref-law>). Der obsiegenden Staatsanwaltschaft ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Es wird festgestellt, dass der Entscheid des Appellationsgerichts Basel-Stadt, datierend vom 20. Dezember 2021, <ref-law> verletzt.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 2'000.-- werden dem privaten Beschwerdegegner auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Februar 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier