Sachverhalt:
A.
Am 7. Mai 2018 ersuchten die rumänischen Behörden um Festnahme und Auslieferung von A._, zum Vollzug von Freiheitsstrafen (von 16 Monaten bzw. drei Jahren und vier Monaten), welche das Regionalgericht von Braila am 28. Juni und 23. November 2017 (wegen Vermögensdelikten und missbräuchlicher Verwendung einer Datenverarbeitungsanlage) gegen den Verfolgten ausgefällt hatte. Am 27. Mai 2019 wurde der Verfolgte beim Bahnhof Bern polizeilich verhaftet und in Auslieferungshaft versetzt. Am 31. Mai 2019 erliess das Bundesamt für Justiz den förmlichen Auslieferungshaftbefehl gegen den Verfolgten.
B.
Eine vom Verfolgten am 7. Juni 2019 gegen den Auslieferungshaftbefehl erhobene Beschwerde wies das Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, mit Entscheid vom 13. Juni 2019 ab.
C.
Gegen den Entscheid des Bundesstrafgerichtes vom 13. Juni 2019 gelangte der Verfolgte mit Beschwerde vom 21. Juni 2019 an das Bundesamt für Justiz, welches die Unterlagen am 24. Juni 2019 zuständigkeitshalber an das Bundesgericht weiterleitete.
D.
Es wurde kein Schriftenwechsel durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Erachtet das Bundesgericht eine Beschwerde in Rechtshilfesachen als unzulässig, weil kein besonders bedeutender Fall im Sinne von <ref-law> gegeben ist, so fällt es innert 15 Tagen seit Abschluss eines allfälligen Schriftenwechsels einen Nichteintretensentscheid (<ref-law>). Dieser Entscheid wird - unter Vorbehalt der allgemeinen Unzulässigkeitsgründe nach <ref-law> - im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> in Dreierbesetzung auf dem Zirkulationsweg getroffen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 127).
Soweit <ref-law> das Erfordernis des " besonders bedeutenden Falles" betrifft, handelt es sich (im Verhältnis zu Art. 20 und Art. 108 BGG) um eine "lex specialis" für Verfahren betreffend die internationale Rechtshilfe in Strafsachen. Daher ist <ref-law> (Dreierbesetzung) grundsätzlich auch bei offensichtlich fehlendem besonders bedeutendem Fall anwendbar. Davon zu unterscheiden sind die allgemeinen Unzulässigkeitsgründe, welche bei Offensichtlichkeit im Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. a-c BGG zu beurteilen sind. Dazu gehören etwa das eindeutige Versäumen der Beschwerdefrist (<ref-law>) oder die offensichtlich ungenügende Beschwerdebegründung im Sinne von Art. 108 Abs. 1 lit. b i.V.m. <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.2 S. 127 f.). Nicht ausreichend begründet ist die Beschwerde in Rechtshilfesachen insbesondere dann, wenn nicht ausgeführt wird, warum ein besonders bedeutender Fall nach <ref-law> vorliege (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 128). Offensichtlich nicht substanziiert (im Sinne von <ref-law>) sind zudem auch Beschwerden, die sich mit dem Gegenstand und den Erwägungen des angefochtenen Entscheides nicht auseinandersetzen. Diese Verfahrensregelung gilt auch für Beschwerden gegen Auslieferungshaft (Bundesgerichtsurteile 1C_223/2018 vom 17. Mai 2018; 1C_380/2015 vom 31. Juli 2015 E. 1; 1C_489/2010 vom 3. November 2010 E. 1).
Liegt offensichtlich ein solcher allgemeiner Unzulässigkeitsgrund vor, ist im einzelrichterlichen Verfahren ein Nichteintretensentscheid zu fällen (<ref-law>). In diesen Fällen erübrigt sich die zusätzliche Prüfung des besonderen Eintretenserfordernisses von <ref-law> (besonders bedeutender Fall), selbst wenn sein Vorliegen geltend gemacht wird. <ref-law> kommt somit nur - aber immer dann - zum Zug, wenn die dort genannte Eintretensvoraussetzung für das Nichteintreten entscheidend ist. In diesem Fall erweist sich <ref-law> (im Verhältnis zu <ref-law>) als "lex specialis" und hat insoweit Vorrang (<ref-ruling> E. 1.2 S. 128).
2.
Die Beschwerdeschrift enthält keine (auch keine sinngemässen) Ausführungen zur Sachurteilsvoraussetzung des besonders bedeutenden Falles (<ref-law>). Schon aus diesem Grund ist auf die Beschwerde im einzelrichterlichen Verfahren nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 128).
Hinzu kommt, dass die Beschwerdeschrift sich weder mit dem Gegenstand noch mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides nachvollziehbar auseinandersetzt (Art. 108 Abs. 1 lit. b i.V.m. <ref-law>). Der Beschwerdeführer wendet sich gegen seine rechtshilfeweise "Ausschaffung" nach Rumänien. Ausserdem bringt er vor, mit der in Rumänien gegen ihn verhängten "Strafe nicht einverstanden" zu sein. Der der Beschwerdeschrift beigelegte angefochtene Entscheid vom 13. Juni 2019 des Bundesstrafgerichtes betrifft demgegenüber ausschliesslich den Auslieferungshaftbefehl vom 31. Mai 2019 des Bundesamtes für Justiz. Das Auslieferungsverfahren ist noch hängig, und ein materieller Entscheid über das rumänische Auslieferungsersuchen liegt noch nicht vor. Auch die in Rumänien ausgefällten strafrechtlichen Sanktionen bilden nicht Gegenstand des angefochtenen Haftentscheides.
3.
Auf die Beschwerde ist wegen offensichtlich ungenügender Beschwerdebegründung im vereinfachten einzelrichterlichen Verfahren nicht einzutreten (<ref-law>).
Auf die Erhebung von Gerichtskosten kann hier ausnahmsweise verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt der Einzelrichter:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Juli 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Forster