Erwägungen:
1.
Mit Urteil vom 16. Mai 2018 erteilte das Bezirksgericht Horgen der Beschwerdegegnerin gegenüber dem Beschwerdeführer in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes V._ definitive Rechtsöffnung für Fr. 8'919.80 nebst Zins und Kosten. Als Rechtsöffnungstitel dienten das rechtskräftige Scheidungsurteil des Bezirksgerichts Horgen vom 6. Juni 2011, das rechtskräftige Urteil betreffend Abänderung des Scheidungsurteils des Bezirksgerichts Horgen vom 14. August 2017 und die Verfügung betreffend Abänderung des Scheidungsurteils des Bezirksgerichts Horgen vom 24. Januar 2018.
Gegen das Rechtsöffnungsurteil erhob der Beschwerdeführer am 3. Juli 2018 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Mit Urteil vom 16. August 2018 wies das Obergericht die Beschwerde ab. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wies es infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde ab.
Am 8. Oktober 2018 hat der Beschwerdeführer "staatrechtliche Beschwerde" an das Bundesgericht erhoben.
2.
Der Beschwerdeführer erwähnt nebst dem Urteil des Obergerichts vom 16. August 2018 auch eine Betreibung Nr. yyy und einen Entscheid vom 17. September (ohne Jahresangabe), in welchem der Kanton Zürich vom Verwaltungsgericht oder vom Verkehrsamt vertreten werde. Der Beschwerdeführer hat seiner Beschwerde keine Entscheide beigelegt. Eine Nachfrage bei Ober- und Verwaltungsgericht hat keine Klärung ergeben, worauf sich der Beschwerdeführer mit dieser Betreibungs-Nummer oder dem Entscheid vom 17. September beziehen könnte. Mangels Vorliegens anfechtbarer Entscheide sind diesbezüglich keine Verfahren zu eröffnen und es ist einzig das Urteil des Obergerichts vom 16. August 2018 als Anfechtungsobjekt zu betrachten. Die Eingabe ist aufgrund des tiefen Streitwerts (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-law>) als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer hat das angefochtene Urteil ausweislich des Track & Trace-Auszugs der Schweizerischen Post am 23. August 2018entgegengenommen. Die dreissigtägige Beschwerdefrist gemäss <ref-law> ist folglich - nach Fristverlängerung über das Wochenende (<ref-law>) - am Montag, 24. September 2018, abgelaufen. Die Beschwerde vom 8. Oktober 2018 ist damit verspätet.
Im Übrigen genügt die Verfassungsbeschwerde den Rügeanforderungen von Art. 117 i.V.m. <ref-law> offensichtlich nicht. Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Der Beschwerdeführer nennt keine solchen Rechte, die verletzt worden sein sollen. Das Obergericht hat ihm bereits erläutert, dass die Richtigkeit der festgesetzten Alimente im Rechtsöffnungsverfahren nicht überprüft werden kann und es im Rechtsöffnungsverfahren auch nicht darauf ankommt, ob er seine Schulden bezahlen kann. Damit setzt er sich nicht auseinander. Soweit er bestreitet, dass seine Beschwerde aussichtslos gewesen sei, legt er ebenfalls nicht dar, inwiefern mit dieser Beurteilung gegen verfassungsmässige Rechte verstossen worden sein soll.
Die Beschwerde ist damit offensichtlich unzulässig und sie enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG).
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Der Beschwerdeführer ersucht nicht ausdrücklich um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, wäre ein solches Gesuch ohnehin wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen gewesen (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Oktober 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg