Sachverhalt:
A.
Am 21. Januar 2019 trat das Staatssekretariat für Migration (SEM) auf das Asylgesuch von A._ nicht ein und ordnete dessen Wegweisung aus der Schweiz mit Überstellung in den zuständigen Dublin-Staat Schweden an. Zugleich hielt es fest, im Zentralen Migrationsinformationssystem (ZEMIS) laute das Geburtsdatum auf den 1. Januar 2000 mit Bestreitungsvermerk. Dagegen erhob A._ Beschwerd beim Bundesverwaltungsgericht. Dieses wies die Beschwerde gegen den Nichteintretensentscheid in Asylsachen mit Urteil D-455/2019 vom 27. Februar 2019 ab und führte dazu im Wesentlichen aus, das eingeholte, auf einer kombinierten Methode beruhende Altersgutachten belege die Volljährigkeit von A._ in Übereinstimmung mit einer in Schweden durchgeführten Altersbestimmung ausreichend; im Übrigen verwies das Bundesverwaltungsgericht die Anträge zum Geburtsdatum und zur Anpassung des entsprechenden Eintrags im ZEMIS in ein separates Verfahren unter der Nummer D-1012/2019. A._ ersuchte dafür um unentgeltliche Rechtspflege. In diesem Verfahren traf der Instruktionsrichter am Bundesverwaltungsgericht am 4. März 2019 folgende Zwischenverfügung:
"1. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung wird abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführer hat einen Kostenvorschuss von Fr. 500.-- einzuzahlen. Dieser Betrag ist mittels beigelegtem Einzahlungsschein bis zum 25. März 2019... zu überweisen. Wird der Kostenvorschuss nicht innert der angesetzten Frist bezahlt, wird auf die Beschwerde nicht eingetreten.
3....
4. Der Rechtsvertreter hat bis zum 25. März 2019 den Aufenthaltsort des Beschwerdeführers bekannt zu geben und eine aktuelle, von diesem unterzeichnete Erklärung einzureichen, aus welcher ein fortbestehendes Rechtsschutzinteresse hervorgeht. Bei ungenutzter Frist wird vom Wegfall des Rechtsschutzinteresses des Beschwerdeführers ausgegangen und das Verfahren als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
5...."
Zur Begründung wird im Wesentlichen ausgeführt, die Rechtsbegehren von A._ seien aussichtslos, was die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege rechtfertige. Da sein Aufenthaltsort den Behörden nicht bekannt sei, habe er zudem darüber Aufschluss zu erteilen und das Weiterbestehen eines massgeblichen Rechtsschutzinteresses zu belegen.
B.
Dagegen reichte A._ am 2. April 2019 beim Bundesgericht Beschwerde mit den folgenden Anträgen ein:
"1. Der Beschwerdeführer ersucht um unentgeltliche Rechtspflege.
2. Der Rechtsvertreter ersucht darum, auf die Bekanntgabe und das Einreichen einer neuen unterzeichneten Erklärung zum Nachweis des fortbestehenden Rechtsschutzinteresses des Beschwerdeführers zu verzichten oder die Frist zu verlängern.
3. Der Beschwerdeführer ersucht... um aufschiebende Wirkung.
4. Eintrag des vom Beschwerdeführer angegebenen Geburtsdatums im ZEMIS oder zumindest die Rückweisung an die Vorinstanz zur erneuten Begutachtung und zum Erstellen eines Gutachtens, das den Mindeststandards genügt."
Zur Begründung wird im Wesentlichen geltend gemacht, die erhobenen Rechtsbegehren seien nicht aussichtslos. Die Nichtanerkennung des behaupteten Geburtsdatums beruhe auf einem unfair geführten Verfahren und verstosse deswegen gegen Art. 6 und 14 EMRK. Überdies sei die angesetzte Frist für die Bezahlung des Kostenvorschusses und die Bekanntgabe des Aufenthaltsortes "verwirrlich", da sie vor der Frist zur Beschwerdeerhebung abgelaufen sei, was unzulässig sei.
Das Staatssekretariat für Migration und das Bundesverwaltungsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
A._ äusserte sich am 21. Juni 2019 nochmals zur Sache.
C.
Mit verfahrensleitender Verfügung vom 8. Mai 2019 wies der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist eine Zwischenverfügung des Bundesverwaltungsgerichts (vgl. <ref-law>).
1.1.1. Soweit damit die unentgeltliche Rechtspflege verweigert wurde, handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131 mit Hinweis). Davon ist auszugehen, wenn nicht nur die unentgeltliche Rechtspflege verweigert, sondern wie hier zugleich auch die Anhandnahme des Rechtsmittels von der Bezahlung eines Kostenvorschusses durch die gesuchstellende Partei abhängig gemacht wird (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 202 mit Hinweisen).
1.1.2. Soweit der Beschwerdeführer die ihm mit der Zwischenverfügung auferlegten Verpflichtungen, d.h. die Bekanntgabe des Aufenthaltsorts sowie die Bestätigung des Rechtsschutzinteresses, anficht, ist zu differenzieren. In inhaltlicher Hinsicht erleidet er keinen irreversiblen Nachteil. Zwar muss er aufgrund der Androhung eines Nichteintretens im negativen Fall diese Verpflichtungen erfüllen, damit die Vorinstanz seine Beschwerde behandelt, obwohl er der Auffassung ist, diese seien ihm entgegen der eigenen Rechtsprechung des Bundesverwaltungsgerichts auferlegt worden (er verweist dabei auf das Urteil E-891/2017 vom 8. August 2018 E. 1.2 [nicht publiziert in: BVGE 2018 VI/3]). Die Rechtswidrigkeit des Nichteintretens bzw. der ihm auferlegten Obliegenheiten kann er aber ohne Nachteil auch bei der Anfechtung des Sachentscheids noch geltend machen. Er gewärtigt jedoch insofern einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil, als ihm dazu eine kürzere Frist als die Rechtsmittelfrist gesetzt wurde. Das führt dazu, dass er die Verpflichtungen bereits vor einem definitiven Entscheid über die Anfechtung der Zwischenverfügung erfüllen muss, um einen Nichteintretensentscheid des Bundesverwaltungsgerichts zu vermeiden. An der Überprüfung der Rechtmässigkeit dieser zeitlichen Abfolge besteht ein berechtigtes Rechtsschutzinteresse.
1.1.3. Nachdem der Antrag des Beschwerdeführers auf Erteilung der aufschiebenden Wirkung im bundesgerichtlichen Verfahren abgewiesen worden ist, könnte die Beschwerde gegenstandslos geworden sein, falls die Vorinstanz inzwischen einen Entscheid in der Sache, namentlich einen als solchen anfechtbaren Nichteintretensentscheid, gefällt hätte. Dass dies geschehen wäre, ist dem Bundesgericht freilich nicht bekannt. Es ist daher davon auszugehen, dass die Beschwerde weiterhin aktuell ist.
1.1.4. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache. Im vorliegenden Fall geht es nicht um einen von der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossenen Rechtsstreit in Asylsachen (vgl. <ref-law>), sondern um eine datenschutzrechliche Streitigkeit im Zusammenhang mit einem Eintrag im ZEMIS, weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offensteht (vgl. das Urteil des Bundesgerichts 1C_709/2017 vom 12. Februar 2019 E. 1).
1.2. Der Beschwerdeführer war am vorinstanzlichen Verfahren beteiligt und ist als Gesuchsteller hinsichtlich der unentgeltlichen Rechtspflege und im Übrigen als Träger der fraglichen ZEMIS-Daten sowie als von den angeordneten prozessualen Obliegenheiten Verpflichteter zur Beschwerdeerhebung legitimiert (vgl. <ref-law>).
1.3. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht unter Einschluss des Bundesverfassungsrechts sowie von Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG).
1.4. Gemäss <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Der Beschwerdeführer muss sich wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzen. Rein appellatorische Kritik ohne Bezug zum angefochtenen Entscheid genügt nicht. Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht grundsätzlich nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4 S. 176; <ref-ruling> E. 1.6 S. 130; <ref-ruling> E. 1.4 S. 254 f.).
2.
In der Sache beanstandet der Beschwerdeführer zunächst die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege durch die Vorinstanz.
2.1. Es erscheint fraglich, ob die Beschwerdebegründung in diesem Punkt den gesetzlichen Anforderungen genügt. Soweit er sich dabei auf Art. 6 und 14 EMRK beruft, legt er nicht ausreichend dar, inwiefern ihn diese menschenrechtlichen Bestimmungen im vorliegenden Zusammenhang schützen sollten. Art. 6 EMRK gilt nach herrschender Rechtsprechung nicht für Asylstreitigkeiten (vgl. etwa GRABENWARTER/ PABEL, Europäische Menschenrechtskonvention, 6. Aufl. 2016, S. 475) und der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, weshalb dies hier im datenschutzrechtlichen Zusammenhang anders sein sollte. Er äussert sich nicht dazu, inwiefern ein massgeblicher zivilrechtlicher Streit vorliegen sollte. Art. 14 EMRK wiederum enthält kein allgemeines Rechtsgleichheitsgebot, sondern nur ein beschränktes akzessorisches Diskriminierungsverbot im Zusammenhang mit einem spezifischen, auf eine andere Bestimmung der EMRK gestützten Menschenrecht (GRABENWARTER/PABEL, a.a.O., S. 627 ff.). Welches spezifische Recht er anrufen will, legt der Beschwerdeführer nicht dar.
2.2. In der Sache ist die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit jedenfalls nicht zu beanstanden. Die Beurteilung der Prozesschancen beruht auf einer summarischen Prüfung der Sach- und Rechtslage. Das Alter des Beschwerdeführers ist gutachterlich mit überwiegender Wahrscheinlichkeit bestimmt und so im Asylverfahren übernommen worden; dieser Entscheid ist rechtskräftig. Bei dieser Sachlage genügt es zur Annahme von ernstlichen Prozesschancen in datenschutzrechtlicher Hinsicht nicht, sich ohne hinreichende Substanziierung darauf zu berufen, das Gutachten sei falsch bzw. für die Ethnie des Beschwerdeführers gälten andere Werte. Um ernsthafte Prozesschancen zu bejahen, wären klare Hinweise darauf erforderlich, dass das Gutachten nicht nur diskutabel, sondern mit erheblicher Wahrscheinlichkeit mangelhaft wäre. Solche vermag der Beschwerdeführer nicht darzutun.
2.3. Im Übrigen ist die Beschwerdebegründung hinsichtlich der Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege appellatorischer Natur. Der Beschwerdeführer legt ausführlich dar, weshalb die im Asylverfahren vorgenommene Altersbestimmung nach seiner Ansicht falsch sein soll. Dabei vermischt er letztlich das Asyl- mit dem datenschutzrechtlichen Verfahren. Das Asylverfahren ist im datenschutzrechtlichen Zusammenhang jedoch nicht unmittelbar von Belang (vgl. das Urteil des Bundesgerichts 1C_709/2017 vom 12. Februar 2019 E. 2) und überdies rechtskräftig abgeschlossen. Die Beschwerdebegründung äussert sich nicht dazu, welche nationale Bestimmung oder welcher Grundsatz des Bundesrechts durch die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege verletzt sein sollte. Der Beschwerdeführer behauptet lediglich, seine datenschutzrechtlichen Begehren seien nicht aussichtslos, beruft sich aber einzig auf Argumente, die im Asylverfahren rechtskräftig beurteilt worden sind. Dies genügt den Anforderungen von <ref-law> nicht.
2.4. Demnach ist die Beschwerde abzuweisen, soweit der Beschwerdeführer die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege anficht.
3.
3.1. Soweit der Beschwerdeführer die Frist zur Bekanntgabe des Aufenthaltsorts und zur Bestätigung des Rechtsschutzinteresses anficht, genügt die Beschwerdebegründung hingegen knapp den gesetzlichen Anforderungen.
3.2. Grundrechte ruft der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang nicht an, weshalb einzig die Vorgaben von <ref-law> und nicht diejenigen von <ref-law> Anwendung finden. Erneut nennt der Beschwerdeführer zwar keine gesetzliche Bestimmung ausdrücklich. Sinngemäss ergibt sich jedoch, dass er die festgelegte Frist im Verhältnis zur Rechtsmittelfrist als gesetzwidrig beurteilt. Insoweit erweist sich die Beschwerde mithin als zulässig.
3.3. Gemäss der hier einschlägigen Bestimmung von <ref-law> ist die Beschwerde beim Bundesgericht innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des angefochtenen Entscheids einzureichen. Den Beschwerdeberechtigten bzw. -willigen steht es zu, diese Frist zu nutzen, um sich für eine Beschwerde zu entscheiden und diese zu begründen. Es handelt sich um eine gesetzliche Frist, die weder von der Behörde, die den angefochtenen Entscheid gefällt hat, noch vom Bundesgericht gekürzt oder erstreckt werden kann (vgl. <ref-law>). Eine Beschwerde kann zwar vor Fristablauf gegenstandslos werden, was unter Umständen auch auf behördlichen Entscheiden wie solchen über vorsorgliche Massnahmen beruhen kann. Dafür braucht es aber entsprechende überwiegende Interessen wie insbesondere Dringlichkeit der Massnahme. Andernfalls darf das Ausnutzen einer Frist nicht durch behördliche Vorgänge verhindert werden. Ein derartiges Vorgehen würde gegen den Gesetzeszweck und damit gegen die entsprechende Regelung der Frist verstossen.
3.4. Im vorliegenden Fall erging der angefochtene Zwischenentscheid am 4. März 2019. Gemäss den vorinstanzlichen Akten wurde er am 6. März 2019 gegen Unterschrift dem Vertreter des Beschwerdeführers zugestellt, weshalb er als an diesem Tag eröffnet gilt. Die 30-tägige Frist begann mithin am 7. März 2019 zu laufen (vgl. <ref-law>) und dauerte bis zum 5. April 2019. Im angefochtenen Entscheid setzte das Bundesverwaltungsgericht dem Beschwerdeführer eine richterliche und damit frei festlegbare Frist zur Bekanntgabe des Aufenthaltsorts und zur Einreichung einer Erklärung über das Fortbestehen des Rechtsschutzinteresses bis zum 25. März 2019. Der Beschwerdeführer hätte diese in der Zwischenverfügung selbst angeordneten Verpflichtungen also erfüllen müssen, bevor die Frist zur Anfechtung der Zwischenverfügung abgelaufen ist. Das läuft auf eine Verkürzung der Beschwerdefrist hinaus, weil dem Beschwerdeführer die Möglichkeit genommen wird, die ganze Frist für die Beschwerdeerhebung zu nutzen, da er bereits vor Fristablauf den ihn belastenden Obliegenheiten, über deren Anfechtung er zu befinden hat, nachkommen muss. Eine besondere Dringlichkeit der Erfüllung dieser Verpflichtungen wird vom Bundesverwaltungsgericht nicht geltend gemacht und ist auch nicht ersichtlich. Die fragliche Frist verstösst demnach gegen <ref-law>. Damit wird freilich nichts über die inhaltliche Rechtmässigkeit der strittigen Verpflichtungen ausgesagt.
3.5. Die Vorinstanz wird über die Ansetzung einer neuen einschlägigen Frist zu befinden haben, welche die gesetzlichen Vorgaben einhält.
4.
Die Beschwerde erweist sich als teilweise begründet und ist insoweit gutzuheissen. Ziffer 4 des Dispositivs des angefochtenen Entscheids ist aufzuheben und die Sache ist insoweit an die Vorinstanz zurückzuweisen zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang rechtfertigt es sich, auf die Erhebung von Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren zu verzichten (Art. 66Abs. 1 und 4 BGG). Damit ist das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren als gegenstandslos abzuschreiben. Eine Parteientschädigung wird weder beantragt noch fällt sie praxisgemäss in Betracht, nachdem der Beschwerdeführer nicht anwaltlich vertreten ist und im vorliegenden Fall kein besonderer Aufwand angefallen und belegt ist (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 446; <ref-ruling> E. 4.1 S. 116).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, und Ziffer 4 der Zwischenverfügung des Bundesverwaltungsgerichts vom 4. März 2019 wird aufgehoben. Die Streitsache wird in diesem Umfang an das Bundesverwaltungsgericht zurückgewiesen zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Das Gesuch um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege wird als gegenstandslos abgeschrieben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Staatssekretariat für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung IV, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. August 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Uebersax