Faits :
A.
Statuant sur opposition à une ordonnance pénale par jugement du 17 décembre 2019, le Tribunal de police de la République et canton de Genève a déclaré A._ coupable de vol et l'a condamné à une peine pécuniaire de 60 jours-amende à 30 fr. l'unité, avec sursis durant trois ans, ainsi qu'aux frais de la procédure, arrêtés à 1'561 francs.
B.
Statuant sur appel de A._, par arrêt du 4 juin 2020, la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice genevoise l'a partiellement admis, a déclaré A._ coupable d'appropriation illégitime et l'a condamné à une peine pécuniaire de 60 jours-amende à 30 fr. l'unité, avec sursis d'une durée de trois ans. Les 2/3 des frais d'appel ont été mis à la charge de A._, le solde étant laissé à la charge de l'État. Une indemnité pour ses frais de défense en appel lui a été allouée, à hauteur de 430 fr. 80, laquelle a été compensée avec la créance de l'État portant sur les frais de procédure.
En substance, il était reproché à A._ d'avoir, le 15 décembre 2018 vers 10h00, à la gare de l'aéroport de Genève, dérobé le sac à main de B._, qui avait été oublié à un distributeur de billets CFF et qui contenait un porte-monnaie, la somme de 300 euros, un iPhone 5 ainsi que d'autres objets.
C.
A._ forme un recours en matière pénale contre l'arrêt cantonal et conclut, avec suite de frais et dépens, à son annulation, au constat d'une violation de la présomption d'innocence et à la mise des frais de procédure à la charge de l'État de Genève.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière pénale est une voie de réforme (<ref-law>). Le recourant ne peut se borner à demander l'annulation de la décision et le renvoi de la cause à l'autorité cantonale, mais doit également, sous peine d'irrecevabilité, prendre des conclusions sur le fond du litige. Il n'est fait exception à ce principe que lorsque le Tribunal fédéral, s'il admettait le recours, ne serait pas en mesure de statuer lui-même sur le fond et ne pourrait que renvoyer la cause à l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 317; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 383; arrêts 6B_422/2020 du 9 juin 2020 consid. 1; 6B_160/2020 du 26 mai 2020 consid. 3; 6B_1341/2019 du 20 février 2020 consid. 1).
En l'espèce, le recourant conclut uniquement à l'annulation de l'arrêt attaqué et, dans le corps du texte de son mémoire de recours, au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision. Une telle manière de faire n'est en principe pas admissible. Les motifs du recours permettent toutefois de comprendre que le recourant souhaite être acquitté du chef d'appropriation illégitime, ou à tout le moins, voir sa peine réduite. En outre, il fait valoir une violation du droit en ce qui concerne la répartition des frais de première instance. Cela suffit tout juste pour satisfaire aux exigences de forme déduites de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 317; arrêts 6B_160/2020 précité consid. 3; 6B_1463/2019 précité consid. 1).
2.
Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir établi les faits de manière arbitraire et incompatible avec la présomption d'innocence en retenant que le sac contenait la somme de 300 euros.
2.1. Le Tribunal fédéral est lié par les constatations de fait de la décision entreprise (<ref-law>), à moins qu'elles n'aient été établies en violation du droit ou de manière manifestement inexacte au sens des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, soit pour l'essentiel de façon arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. Une décision n'est pas arbitraire du seul fait qu'elle apparaît discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable et cela non seulement dans sa motivation mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 155 s.). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il n'y a arbitraire que lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 503). Lorsque l'appréciation des preuves et la constatation des faits sont critiquées en référence à la présomption d'innocence ou à son corollaire, le principe "in dubio pro reo", ceux-ci n'ont pas de portée plus large que l'interdiction de l'arbitraire (voir <ref-ruling> consid. 1.1 p. 155 s.). Le Tribunal fédéral n'entre en matière sur les moyens fondés sur la violation de droits fondamentaux, dont l'interdiction de l'arbitraire, que s'ils ont été invoqués et motivés de manière précise (<ref-law>); il n'entre ainsi pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 92 et les arrêts cités).
La présomption d'innocence, garantie par les <ref-law>, 32 al. 1 Cst., 14 par. 2 Pacte ONU II et 6 par. 2 CEDH, ainsi que son corollaire, le principe "in dubio pro reo", concernent tant le fardeau de la preuve que l'appréciation des preuves au sens large (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 156; <ref-ruling> consid. 2.2.3.1 p. 349; <ref-ruling> consid. 2a p. 40 s.). En tant que règle sur le fardeau de la preuve, elle signifie, au stade du jugement, que ce fardeau incombe à l'accusation et que le doute doit profiter au prévenu. Comme règle d'appréciation des preuves (sur la portée et le sens précis de la règle sous cet angle, cf. ATF <ref-ruling> consid. 2.2.3.3 p. 351), la présomption d'innocence signifie que le juge ne doit pas se déclarer convaincu de l'existence d'un fait défavorable à l'accusé si, d'un point de vue objectif, il existe des doutes quant à l'existence de ce fait. Il importe peu qu'il subsiste des doutes seulement abstraits et théoriques, qui sont toujours possibles, une certitude absolue ne pouvant être exigée. Il doit s'agir de doutes sérieux et irréductibles, c'est-à-dire de doutes qui s'imposent à l'esprit en fonction de la situation objective. Lorsque l'appréciation des preuves et la constatation des faits sont critiquées en référence au principe "in dubio pro reo", celui-ci n'a pas de portée plus large que l'interdiction de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 156 et les références citées).
2.2. La cour cantonale a relevé que le montant du butin n'exerçait aucune influence sur la réalisation de l'infraction d'appropriation illégitime (<ref-law>), dès lors qu'il s'agit d'un délit formel consommé par l'acte d'appropriation, sans exigence d'un quelconque enrichissement ou encore de dommage.
Relevant que le montant du butin pouvait avoir un impact sur la fixation de la peine, la cour cantonale a considéré, en tout état, que rien ne permettait de remettre en question la véracité des déclarations de la lésée concernant le montant de l'argent liquide qui lui avait été dérobé. L'intégralité des objets énumérés à la police se trouvaient dans le sac retrouvé, hormis les 300 euros dont elle avait par ailleurs décrit les coupures avec précision. La cour cantonale a écarté l'hypothèse soulevée par le recourant, selon laquelle la lésée n'avait pas d'euros, alors qu'elle voyageait depuis Bruxelles, étant relevé qu'il s'agissait de l'unité monétaire de son pays de résidence, très facilement acceptée en Suisse. Ainsi, le recourant, qui avait admis s'être approprié le sac pour arrondir ses fins de mois à l'approche des fêtes et l'avoir fouillé, ne pouvait qu'avoir vu et pris les billets qui s'y trouvaient. Cela expliquait aussi la raison pour laquelle il avait préféré se débarrasser du sac discrètement, au lieu de l'amener à la police, comme il l'avait d'ailleurs admis. Le fait que l'argent n'eût pas été retrouvé sur lui n'était pas pertinent, dès lors qu'il avait eu tout le loisir de le cacher lorsqu'il était rentré à son domicile, avant de retourner à l'aéroport.
2.3. Le recourant ne tente pas de démontrer dans quelle mesure l'admission de son grief d'arbitraire aurait une influence sur sa condamnation, et ne critique pas la motivation cantonale topique à cet égard. Il ne tente pas davantage d'en déduire une peine plus clémente. En tout état, en tant qu'il se contente d'opposer sa propre version des faits à celle de la cour cantonale, son procédé est purement appellatoire, partant irrecevable. En outre, le recourant ne démontre pas que la cour cantonale aurait dû éprouver un doute et violé les règles régissant le fardeau de la preuve (cf. supra consid. 2.1), et ne saurait rien déduire en sa faveur de la jurisprudence (et de la doctrine) concernant le fardeau de la preuve du dommage prévalant en matière de droit privé des assurances.
3.
Le recourant ne formule aucune critique au regard de la peine prononcée, de sorte qu'il n'y a pas lieu de s'y arrêter.
4.
Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir confirmé la mise à sa charge de l'intégralité des frais de procédure de première instance. Selon lui, seuls les frais liés à l'instruction peuvent lui être imputés, à l'exclusion de l'émolument complémentaire de motivation du jugement de première instance, dans la mesure où celle-ci était erronée.
4.1. La répartition des frais de procédure de première instance repose sur le principe, selon lequel celui qui a causé les frais doit les supporter. Ainsi, le prévenu doit supporter les frais en cas de condamnation (art. 426 al. 1, 1ère phrase CPP), car il a occasionné, par son comportement, l'ouverture et la mise en oeuvre de l'enquête pénale (<ref-ruling> consid. 4.4.1 p. 254).
En cas d'opposition, l'ordonnance pénale et le jugement forment une unité qui peut être qualifiée de procédure de première instance de sorte que les frais doivent être répartis de la même manière que si le ministère public avait déposé un acte d'accusation (arrêts 6B_956/2019 du 19 novembre 2019 consid. 1.6; 6B_1185/2018 du 14 janvier 2019 consid. 3.2; 6B_811/2014 du 13 mars 2015 consid. 1.4; 6B_1025/2014 du 9 février 2015 consid. 2.3.2).
A teneur de l'<ref-law>, le prévenu ne supporte pas les frais que la Confédération ou le canton ont occasionnés par des actes de procédure inutiles ou erronés. Ces actes doivent être considérés a priori ( ex tunc) objectivement comme inutiles ou erronés (arrêts 6B_1255/2016 du 24 mai 2017 consid. 1.3; 6B_523/2014 du 15 décembre 2014 consid. 5.3; SCHMID/JOSITSCH, Schweizerische Strafprozessordnung [StPO], Praxiskommentar, 3e éd. 2018, n° 9 ad <ref-law>; THOMAS DOMEISEN, in Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung/Jugendstrafprozessordnung, 2e éd. 2014, n° 15 ad <ref-law>).
Selon la jurisprudence, une ordonnance pénale "erronée" n'entre pas dans le champ d'application de l'<ref-law> (arrêts 6B_877/2018 du 16 janvier 2019 consid. 4; 6B_90/2017 du 22 novembre 2017 consid. 5.1; 6B_1025/2014 du 9 février 2015 consid. 2.3.2).
4.2. La cour cantonale a considéré que, dans la mesure où le recourant a été reconnu coupable, il n'y avait pas lieu de revoir la répartition des frais de la procédure préliminaire et de première instance.
4.3. Le recourant ne motive pas précisément son grief déduit de l'<ref-law>. On comprend toutefois qu'il estime que l'émolument du jugement de première instance arrêté à 600 fr. correspondrait aux frais de motivation du jugement le reconnaissant coupable de vol (plutôt que d'appropriation illégitime) et résulterait dès lors d'un acte erroné ou inutile au regard de l'<ref-law>.
Si, en l'espèce, la cour cantonale s'est écartée de la qualification juridique des faits de première instance, en retenant que les desseins d'appropriation et d'enrichissement illégitime du recourant étaient apparus non pas concomitamment à la soustraction du sac à main, mais peu après, elle n'en a pas moins condamné le recourant et confirmé la peine prononcée en première instance. Aussi, par son comportement, le recourant a occasionné des frais relatifs à sa condamnation en première instance, indépendamment de la qualification juridique retenue. Le recourant échoue à démontrer que le jugement de première instance doit être considéré de manière objective et d'entrée de cause ( ex tunc) comme un acte inutile ou erroné au sens de l'<ref-law>.
Aussi, la cour cantonale pouvait, sans violer le droit fédéral, confirmer la mise à la charge du recourant des frais de première instance en vertu de l'art. 426 al. 1, 1ère phrase, CPP.
Pour le surplus, le recourant ne conteste pas la répartition des frais en appel, ni ne prétend à l'octroi d'une indemnité pour ses frais de défense en première instance, pas plus qu'il ne conteste le montant de l'indemnité allouée en appel et la compensation, de sorte qu'il n'y a pas lieu de s'arrêter sur ces aspects.
5.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre pénale d'appel et de révision.
Lausanne, le 22 février 2021
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Jacquemoud-Rossari
La Greffière : Klinke