Faits :
A.
A.a. Le 15 février 2011, A._ a déposé une demande tendant à l'octroi d'une allocation pour impotent, que l'Office cantonal de l'assurance-invalidité du Valais (ci-après: l'office AI) a rejetée par décision du 31 octobre 2012.
Statuant sur le recours de A._ contre cette décision, le Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour des assurances sociales, a, par jugement du 29 novembre 2013 (S1 12 238), rejeté le recours (ch. 1 du dispositif), renvoyé le dossier à l'Office cantonal AI pour qu'il procède conformément au considérant 4 (ch. 2), mis les frais arrêtés à 500 fr. à la charge de A._ (ch. 3), sans allocation de dépens (ch. 4). Dans le considérant 4 dudit jugement, le tribunal cantonal a admis que A._ remplissait les conditions d'assurance compte tenu de l'acquisition de la nationalité suisse le 29 septembre 2003 et que l'office AI devait par conséquent examiner si les autres conditions pour avoir droit à une allocation pour impotent étaient satisfaites à partir de cette date.
Estimant avoir obtenu gain de cause, A._ a contesté la répartition des frais et dépens devant le Tribunal fédéral; son recours a été déclaré irrecevable, faute de préjudice irréparable. Le recours de l'office AI contre le même jugement cantonal a été rejeté (arrêt 9C_924/2013 et 9C_50/2014 du 20 août 2014).
A.b. Par décision du 24 mars 2016, l'office AI a octroyé une allocation pour impotent de degré faible à A._ à compter du 1er janvier 2007 et nié le droit du prénommé à l'assistance juridique gratuite pour la procédure administrative.
B.
A._ a recouru contre la décision du 24 mars 2016. A titre principal, il a conclu à l'octroi d'une allocation pour impotent de degré moyen ainsi qu'à l'assistance juridique pour la procédure administrative; à titre subsidiaire, il a conclu au renvoi de la cause à l'office AI pour complément d'instruction. Il a pris ses conclusions avec suite de frais et dépens, en sollicitant par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure cantonale de recours.
Par jugement du 18 décembre 2017 (S1 16 83), le tribunal cantonal a réformé la décision du 24 mars 2016 en ce sens qu'il a reconnu le droit de A._ à une allocation pour impotent de degré moyen à partir du 1er janvier 2007 (ch. 1 et 2 du dispositif). Le refus de l'assistance juridique gratuite a été confirmé (ch. 3). Les frais, arrêtés à 700 fr. au total, ont été répartis entre l'office AI (500 fr.) et l'assuré (200 fr.) (ch. 4). Une indemnité de dépens de 2'000 fr. a été accordée à ce dernier, à charge de l'office AI (ch. 5).
Dans un autre jugement rendu le même jour (S3 17 115), le tribunal cantonal a modifié la répartition des frais et dépens décidée dans le jugement du 29 novembre 2013 (S1 12 238), à la lumière de l'arrêt du 20 août 2014. Les frais de la cause S1 12 238 ont été fixés à 500 fr. et mis à la charge de chaque partie par moitié (ch. 1 du dispositif). L'office AI a été condamné à verser 1'200 fr. à titre de dépens à l'assuré pour la cause S1 12 238 (ch. 2).
C.
L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre le jugement rendu dans la cause S3 17 115, dont il demande l'annulation. Il sollicite l'attribution de l'effet suspensif à son recours.
L'intimé conclut au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité, ainsi qu'au rejet de la requête d'effet suspensif.
L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
Le litige porte uniquement sur la modification, à teneur du jugement attaqué du 18 décembre 2017 (S3 17 115), de la répartition des frais et dépens qui avait été décidée dans le jugement de renvoi du 29 novembre 2013 (S1 12 238).
Le jugement du 18 décembre 2017 (S1 16 83), par lequel le tribunal cantonal a admis le recours de l'assuré, en ce sens qu'il a reconnu son droit à une allocation pour impotent de degré moyen à partir du 1er janvier 2007, n'a pas été contesté. Il constitue une décision finale.
2.
L'office recourant fait grief à la juridiction cantonale d'avoir procédé d'office à la modification de la répartition des frais et dépens fixée dans le jugement du 29 novembre 2013. Il se prévaut de l'absence de base légale autorisant pareille modification. Conformément à la jurisprudence (cf. <ref-ruling>), il aurait incombé à l'assuré intimé de contester les frais et dépens du jugement du 29 novembre 2013, cela dans le délai de trente jours (<ref-law>) qui avait commencé à courir depuis la date de la notification du jugement du 18 décembre 2017 rendu dans la cause S1 16 83.
De son côté, l'intimé est d'avis, notamment, que la jurisprudence (<ref-ruling>) ne permet pas de nier la compétence de l'autorité inférieure pour revenir (d'office) sur sa précédente décision relative aux frais et dépens.
Cette question peut toutefois rester indécise, car le recours doit être admis pour le motif qui suit.
3.
3.1. Le Tribunal fédéral examine d'office les conditions formelles de validité et de régularité de la procédure de première instance (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 127; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 95 et les références; cf. aussi ULRICH MEYER/JOHANNA DORMANN in Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 3ème éd. 2018, n° 8 ad art. 106), parmi lesquelles figure la composition - régulière ou pas - du tribunal qui a statué (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 337).
Le Tribunal fédéral a admis de façon constante que la composition irrégulière d'une autorité de recours constitue une cause d'annulabilité du jugement qui a été rendu (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 39 et les références). C'est à la lumière des règles cantonales applicables à l'organisation et à la procédure qu'il examine, sous l'angle restreint de l'arbitraire, si une autorité judiciaire a statué dans une composition conforme à la loi (<ref-ruling> consid. 2.1.2.1 p. 34 et les références).
3.2. En l'occurrence, le jugement du 29 novembre 2013 (S1 12 238) ainsi que le premier jugement du 18 décembre 2017 (S1 16 83) émanent de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal qui a statué dans une composition à trois juges. En revanche, le second jugement du 18 décembre 2017 (S3 17 115), qui est seul attaqué, a été rendu par la Présidente de la Cour en qualité de juge unique.
Il n'existe pas de norme cantonale prévoyant une délégation à un juge unique dans un cas semblable (cf. art. 65 al. 3 de la loi valaisanne sur la procédure et la juridiction administratives [RS VS 172.6; LPJA]), de sorte que le consid. 2.8 du premier jugement (S1 16 83) ne constitue pas une délégation conforme à la loi. La composition de l'autorité judiciaire qui a statué dans la cause S3 17 115 était donc irrégulière, puisque la Présidente de la Cour n'était pas autorisée à revenir seule sur une précédente décision émanant d'un collège. La violation de la garantie constitutionnelle de l'art. 30 al. 1 Cst. entraîne l'annulation du second jugement prononcé par le juge unique (S3 17 115).
3.3. En principe, la cause devrait être renvoyée à l'autorité cantonale afin qu'elle statue à nouveau dans une composition correcte (voir par ex. arrêt 9C_585/2014 du 8 septembre 2015 consid. 4.3). Toutefois, il y a lieu de prendre en considération le fait que le Tribunal cantonal du Valais a déjà statué dans une composition conforme à la loi sur la répartition des frais et dépens, décidée initialement dans le jugement de renvoi du 29 novembre 2013. En effet, au consid. 2.8 du jugement non attaqué du 18 décembre 2017 (S1 16 83), il a modifié la répartition des frais précédemment fixée le 29 novembre 2013 et a accordé à l'assuré intimé des dépens réduits de moitié à la charge de l'office recourant. Le fait qu'au lieu d'agir par une décision présidentielle séparée, le tribunal aurait dû indiquer cette nouvelle répartition dans le dispositif de son jugement S1 16 83, est une incohérence que les parties auraient éventuellement pu soulever par la voie de l'interprétation ou de la rectification (art. 64 LPJA), ce qu'elles n'ont pas fait.
4.
Compte tenu de l'issue du procès, la requête d'effet suspensif n'a plus d'objet.
5.
Eu égard aux circonstances particulières du cas d'espèce, il sied de renoncer à percevoir des frais pour la procédure fédérale (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis au sens des considérants. Le jugement du Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour des assurances sociales, du 18 décembre 2017 (S3 17 115), est annulé.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du Valais, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 17 décembre 2018
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
Le Greffier : Berthoud