Erwägungen:
1.
Am 8. November 2020 reichte der Beschwerdeführer beim Bezirksgericht Zürich eine Klage gegen den Beschwerdegegner ein. Mit Verfügung vom 16. November 2020 setzte das Bezirksgericht dem Beschwerdeführer Frist an, einen Gerichtskostenvorschuss von Fr. 850.-- zu leisten.
Gegen diese Verfügung erhob der Beschwerdeführer Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Das Obergericht kam mit Beschluss vom 5. Januar 2021 zum Schluss, dass sich die Beschwerde als offensichtlich unzulässig erweise und trat auf diese nicht ein.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer mit Eingabe vom 19. Januar 2021 Beschwerde an das Bundesgericht. Mit Verfügung vom 25. Januar 2021 wurde der Beschwerdeführer aufgefordert, einen Gerichtskostenvorschuss von Fr. 300.-- zu leisten. Daraufhin ersuchte er mit Eingabe vom 26. Januar 2021 um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Auf das Einholen von Vernehmlassungen zur Beschwerde wurde verzichtet.
2.
2.1. Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). Dafür muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89). Eine Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer macht eine Rechtsverzögerung oder Rechtsverweigerung geltend.
Nach Eingang der Klage des Beschwerdeführers am 8. November 2020 hat ihn die Erstinstanz mit Verfügung vom 16. November 2020 aufgefordert einen Gerichtskostenvorschuss zu zahlen. Auf die vom Beschwerdeführer dagegen erhobene Beschwerde wurde von der Vorinstanz mit Beschluss vom 5. Januar 2021 nicht eingetreten. Inwiefern der Vorinstanz oder der Erstinstanz unter diesen Umständen eine Verweigerung oder Verzögerung eines anfechtbaren Entscheids vorzuwerfen wäre (vgl. <ref-law>), zeigt der Beschwerdeführer offensichtlich nicht hinreichend auf (Erwägung 2.1) und ist im Übrigen auch nicht ersichtlich.
3.2. Auch im Weiteren erfüllen die Eingaben des Beschwerdeführers die oben genannten Begründungsanforderungen (Erwägung 2) offensichtlich nicht. Er schildert darin bloss den seiner Klage zugrundeliegenden Sachverhalt aus seiner eigenen Sicht und erklärt sinngemäss, dass ihm die unentgeltliche Rechtspflege für das erstinstanzliche Verfahren zu gewähren sei. Er geht indessen nicht hinreichend konkret auf die Ausführungen der Vorinstanz ein, geschweige denn zeigt er nachvollziehbar auf, inwiefern diese seine Rechte verletzt haben soll.
3.3. Auf die Beschwerde ist somit mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (<ref-law>).
4.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen, weil die Beschwerde als von vornherein aussichtslos erscheint (<ref-law>). Darüber musste unter den gegebenen Umständen nicht vorgängig separat entschieden werden (vgl. Urteil 4A_20/2011 vom 11. April 2011 E. 7.2.2).
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Der Beschwerdegegner hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da ihm aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Februar 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Brugger