Faits :
A.
Par testament public instrumenté le 28 septembre 2012, C._, décédé le 26 novembre 2019 à Genève, a institué héritiers ses deux enfants, B._ et A._, et attribué plusieurs legs à son épouse D._.
B.
B.a. Par décision du 27 janvier 2020, la Justice de paix du canton de Genève (ci-après: justice de paix) a nommé la notaire E._ pour procéder à l'inventaire civil de la succession de feu C._.
B.b.
B.b.a. Par acte expédié le 10 février 2020 au greffe de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: cour de justice), B._, représentée par l'avocat Eric Hess, a formé appel contre cette décision et a sollicité la nomination d'un autre notaire n'officiant pas au sein de l'Etude F._ aux fins de procéder à l'inventaire civil de la succession de feu son père.
B.b.b. Dans sa réponse, A._ a formé une requête préalable tendant à faire interdiction à Eric Hess de postuler, un nouveau délai devant être fixé à B._ pour former appel contre la décision de la Justice de paix, et a conclu, sur le fond, au rejet de l'appel.
Il a allégué que l'activité d'un avocat, déployée en lien avec la fortune personnelle des parties ainsi que du défunt et dans le cadre des successions de l'oncle et la tante par alliance des parties, qui avait rejoint l'étude dans laquelle exerçait Eric Hess, engendrait un conflit d'intérêts. Par courrier du 12 février 2020, il avait requis d'Eric Hess la cessation immédiate de son mandat dans la présente procédure, ainsi que dans celles relatives aux successions de l'oncle et la tante des parties, dans le cadre desquelles celles-ci étaient également en litige. Eric Hess avait refusé de donner suite à ces injonctions.
B.b.c. B._ a conclu, principalement, à l'irrecevabilité de la requête préalable en interdiction de postuler de son conseil, subsidiairement, au déboutement de A._ de toutes ses conclusions et, plus subsidiairement encore, au renvoi de la cause à la Commission du barreau du canton de Genève pour statuer sur le conflit d'intérêts allégué.
Entre autres arguments, elle a contesté la compétence de la cour de justice pour statuer sur l'incapacité de postuler de son conseil, celle-ci étant du ressort de la Commission du barreau.
B.b.d. Dans leurs réplique et duplique, les parties ont persisté dans leurs conclusions. En particulier, A._ a fait valoir que la cour de justice était compétente pour statuer sur la capacité de postuler d'Eric Hess, dès lors qu'il s'agissait d'une question de recevabilité au sens de l'<ref-law>.
B.b.e. Par arrêt du 7 mai 2020, la cour de justice a déclaré recevable l'appel interjeté le 10 février 2020 par B._ contre la décision du 27 janvier 2020 et déclaré irrecevable la requête préalable formée le 2 mars 2020 par A._ dans cette cause. Elle a ensuite réservé la suite de la procédure au fond.
C.
Par acte posté le 9 juin 2020, A._ interjette un recours en matière civile contre cet arrêt. Il conclut à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants.
Invitées à déposer leurs observations, l'autorité cantonale s'est référée à son arrêt et l'intimée s'en est rapportée à justice, par courriers postés les 18 novembre et 7 décembre 2020.
L'affaire a été délibérée en séance publique le 25 mars 2021.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1).
1.1. La décision attaquée se prononce sur la compétence de l'autorité cantonale pour statuer sur la requête visant à l'interdiction de postuler signifiée à un avocat.
1.2. Le Tribunal fédéral examine la décision sur la capacité de postuler de l'avocat dans le cadre de la voie de recours ouverte dans la matière en cause (arrêts 2C_642/2011 du 20 février 2012 consid. 1.2, non publié aux <ref-ruling>, publié in Pra 2012 p. 743; 1B_434/2010 et 1B_566/2011 du 14 novembre 2011 consid. 3; cf. aussi arrêts 4A_349/2015 du 5 janvier 2016 consid. 1.1; 4D_58/2014 du 17 octobre 2014 consid. 1.2). Dès lors qu'il s'agit en l'espèce d'une procédure civile, c'est la voie du recours en matière civile qui est ouverte, en application des <ref-law>.
1.3.
1.3.1. Le recours en matière civile est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure (<ref-law>), les décisions partielles (<ref-law>) ainsi que les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (<ref-law>). Les autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément peuvent faire l'objet d'un recours si elles peuvent causer un préjudice irréparable (<ref-law>) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (<ref-law>).
1.3.2. A teneur de l'<ref-law>, les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence peuvent faire l'objet d'un recours.
La loi requiert que la décision soit notifiée séparément, et donc indépendamment du jugement au fond. Pour qu'une décision puisse être qualifiée de décision incidente sur la compétence au sens de l'<ref-law>, il faut que la question de la compétence soit effectivement et définitivement tranchée (<ref-ruling> consid. 1.1.2; arrêt 4A_264/2018 du 7 juin 2018 consid. 2.1 et les références).
Tel n'est pas le cas de la décision par laquelle un tribunal rejette une demande tendant à limiter la procédure à la question de sa compétence, même si le refus repose sur la théorie des faits doublement pertinents (arrêt 4A_619/2020 du 17 février 2021 consid. 3, destiné à la publication). Tel ne l'est pas non plus de la décision rendue dans une procédure de mesures provisionnelles dépendante, par laquelle le juge saisi de la requête refuse d'entrer en matière faute de compétence. En effet, dans cette situation, le tribunal peut revoir sa décision sur la compétence dans le cadre de la procédure au fond et le demandeur se trouve dans la même situation que celui dont la requête est rejetée, en ce sens que la mesure provisionnelle n'est pas ordonnée (<ref-ruling> consid. 1.1). Il s'agit donc là de décisions incidentes au sens de l'<ref-law>, et non de l'<ref-law>.
1.3.3. En l'espèce, l'autorité cantonale est entrée en matière sur la requête préalable du recourant tendant à l'interdiction de postuler de l'avocat de l'intimée. Elle a rendu une décision d'irrecevabilité, en vertu de laquelle elle a tranché effectivement et définitivement sa compétence sur ce point du litige. En effet, les questions dont elle est encore saisie relativement à l'inventaire civil de la succession ne l'amèneront plus à se pencher sur celle de sa compétence pour statuer sur la capacité de postuler de l'avocat. Il s'agit donc d'une décision incidente au sens de l'<ref-law>, susceptible d'un recours immédiat.
1.4. Les autres conditions de recevabilité étant remplies, il y a lieu d'entrer en matière sur le recours.
2.
2.1. Dès lors que la décision incidente attaquée s'insère dans une procédure au fond portant sur un inventaire civil de la succession, plus particulièrement sur la nomination d'un notaire pour y procéder, elle constitue une décision de mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law>. En conséquence, seule peut être dénoncée la violation de droits constitutionnels (arrêts 5D_159/2017 du 6 septembre 2017 consid. 3; 5A_610/2013 du 1er novembre 2013 consid. 1.2; 5A_434/2012 du 18 décembre 2012 consid. 1.2, publié in PJA 2013 p. 1534).
2.2. Dans les recours formés contre des décisions portant sur des mesures provisionnelles (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine que les griefs expressément soulevés et motivés conformément au principe d'allégation (<ref-law>). Le recourant doit indiquer quel droit ou principe constitutionnel a été violé par l'autorité précédente et dans quelle mesure, en présentant une argumentation claire et circonstanciée; des critiques purement appellatoires ne sont pas admissibles (<ref-ruling> consid. 1.2.2; <ref-ruling> consid. 2.4; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 2.2). En particulier, pour qu'une décision soit considérée comme arbitraire au sens de l'art. 9 Cst., il faut qu'elle soit manifestement insoutenable, méconnaisse gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité, cela non seulement dans sa motivation mais aussi dans son résultat. Elle ne l'est en revanche pas du seul fait qu'elle apparaît discutable ou même critiquable (<ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 4.3).
3.
Pour déterminer si elle était compétente pour statuer sur une requête visant à interdire au conseil d'une partie de postuler, la cour de justice a examiné la norme constitutionnelle et les dispositions légales pertinentes (art. 49 al. 1 Cst.; 59 CPC; 12 et 34 al. 1 LLCA; 43 de la loi genevoise sur la profession d'avocat [RS/GE E 6 10; ci-après: LPAv/GE]), la jurisprudence fédérale et cantonale ainsi que la doctrine. Se fondant sur les arrêts publiés aux <ref-ruling> et 135 II 145, ainsi que sur l'arrêt 2C_755/2010 du 10 décembre 2010 et différents auteurs, elle a considéré que, en l'absence d'une disposition du CPC exhaustive et univoque à cet égard, les cantons demeuraient habilités à légiférer sur la compétence des autorités de surveillance des avocats pour statuer sur les situations de conflit d'intérêts et à prononcer une éventuelle interdiction de postuler. Elle a alors jugé que l'art. 43 al. 3 LPAv attribuait à la Commission du barreau le pouvoir de prononcer des injonctions destinées à imposer à l'avocat le respect des usages professionnels, parmi lesquelles figurait le respect de l'interdiction d'agir en cas d'existence d'un conflit d'intérêts, de sorte que cette commission était compétente pour se prononcer sur la capacité de postuler de l'avocat. La requête préalable du recourant était par conséquent irrecevable.
4.
Le recourant se plaint tout d'abord de la violation arbitraire de l'art. 118a de la loi genevoise sur l'organisation judiciaire (RS/GE E 2 05; ci-après: LOJ/GE).
4.1. Il reproche à l'autorité cantonale de n'avoir pas procédé à un échange de vues avec la Chambre administrative de la cour de justice avant de rendre l'arrêt attaqué, alors que celui-ci s'écarte de la jurisprudence de cette chambre.
4.2. En l'espèce, la norme cantonale invoquée instaure un mécanisme pour assurer la constance et l'unité de la jurisprudence. En revanche, elle ne confère aucun droit au justiciable, de sorte que le recourant ne peut pas s'en prévaloir.
Le grief doit donc être rejeté, de même que, pour autant que recevable, celui de violation de l'art. 9 Cst. dans l'établissement des faits que le recourant soulève également en lien avec cette critique.
5.
Le recourant se plaint de la violation des art. 30 Cst. et 49 al. 1 Cst. (en lien avec les art. 122 Cst. et 4, 59 al. 2 let. c, 60 et 124 CPC), ainsi que d'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'application des art. 12, 14, 17 et 34 al. 1 LLCA. Il soutient que la capacité de postuler de l'avocat est une question relevant de la recevabilité qui doit être tranchée par l'autorité saisie du fond du litige, sans possibilité de délégation à une autre autorité (art. 59 al. 2 let. c et 60 CPC). S'appuyant à son tour sur plusieurs auteurs, il affirme ensuite que la position de l'autorité cantonale relève d'une doctrine minoritaire.
6.
La question qui se pose est de savoir si l'interprétation selon laquelle l'art. 43 al. 3 LPav/GE fonde la compétence de la Commission du barreau pour se prononcer sur la capacité de postuler d'un avocat dans une procédure civile pendante viole l'art. 49 al. 1 Cst.
6.1.
6.1.1. Selon l'art. 49 al. 1 Cst., le droit fédéral prime le droit cantonal qui lui est contraire. Ce principe de la primauté du droit fédéral fait obstacle à l'adoption ou à l'application de règles cantonales qui éludent des prescriptions de droit fédéral ou qui en contredisent le sens ou l'esprit, notamment par leur but ou par les moyens qu'elles mettent en oeuvre, ou qui empiètent sur des matières que le législateur fédéral a réglementées de façon exhaustive (<ref-ruling> consid. 4.2.2; arrêt 2C_425/2019 du 26 février 2020 consid. 4.1).
Le Tribunal fédéral examine librement la conformité d'une règle de droit cantonal au droit fédéral lorsqu'il est appelé à examiner cette question au regard du grief de violation de l'art. 49 al. 1 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 3.2).
6.1.2. L'art. 122 Cst., tout en posant à son alinéa 1 que la législation en matière de droit civil et de procédure civile relève de la compétence de la Confédération, réserve expressément, à son alinéa 2, la compétence des cantons dans le domaine de l'organisation judiciaire et de l'administration de la justice en matière de droit civil sauf disposition contraire de la loi. Cette réserve implique que l'on ne peut parler d'une véritable autonomie des cantons, mais plutôt de compétences parallèles; les cantons demeurent souverains tant que le droit fédéral n'a pas réglé la question de manière exhaustive. Il n'en demeure pas moins que, lorsque le droit fédéral comporte des règles qui portent atteinte à la compétence cantonale en matière d'organisation judiciaire, il doit être interprété restrictivement et se limiter à ce qui est nécessaire, en particulier s'agissant de l'application du droit de procédure civile (<ref-ruling> consid. 7.2).
6.1.3. Aux termes de l'art. 12 let. c LLCA, l'avocat évite tout conflit entre les intérêts de son client et ceux des personnes avec lesquelles il est en relation sur le plan professionnel ou privé. Celui qui, en violation de cette obligation, accepte ou poursuit la défense d'intérêts contradictoires doit se voir dénier par l'autorité la capacité de postuler. L'interdiction de plaider est, en effet, la conséquence logique du constat de l'existence d'un tel conflit (<ref-ruling> consid. 2.5.1).
La LLCA ne désigne pas l'autorité compétente habilitée à empêcher de plaider l'avocat confronté à un conflit d'intérêts, lorsqu'une procédure est en cours. L'<ref-law> prévoit au contraire que les cantons règlent la procédure. Selon les cantons, la décision initiale à ce sujet peut émaner soit de l'autorité disciplinaire compétente, soit de l'autorité judiciaire saisie du fond (<ref-ruling> consid. 2.5.1). Le législateur genevois a confié les compétences dévolues à l'autorité de surveillance par la loi sur les avocats à la Commission du barreau (art. 14 LPAv/GE).
6.2. Si la LLCA laisse aux cantons le droit de régler la procédure, il reste à examiner si le CPC leur impose en revanche des règles sur la compétence pour statuer sur la capacité de postuler de l'avocat dans une procédure pendante.
6.2.1. En procédure civile, le Tribunal fédéral ne s'est pas encore prononcé sur la nature de la capacité de postuler de l'avocat, ni sur l'autorité compétente pour en juger. Il a néanmoins déjà eu l'occasion de relever que la capacité de postuler en général, soit la faculté d'accomplir des actes de procédure en la forme juridique pertinente, fait partie des conditions de recevabilité, au sens de l'<ref-law> (arrêts 5A_469/2019 du 17 novembre 2020 consid. 3.2; 5A_618/2012 du 27 mai 2013 consid. 3.1; 4A_410/2017 du 24 août 2017; sur la notion: BOHNET, Les parties et leur capacité (d'être partie, d'ester et de postuler) en procédure civile suisse, in RSPC 1/2018 p. 69 ss [78]). Il a également précisé que, faute de capacité de postuler du représentant, le tribunal ou le juge délégué à l'instruction doit fixer un délai à la partie pour qu'elle désigne un représentant satisfaisant aux conditions légales (arrêt 4A_87/2012 du 10 avril 2012 consid. 3.2.3, publié in SJ 2012 I p. 443). En effet, la nature de la capacité de postuler, purement technique et portant sur l'accomplissement formel des actes de procédure (BOHNET, op. cit., loc cit.), induit l'octroi d'un tel délai.
6.2.2. Dans un arrêt publié aux <ref-ruling>, le Tribunal fédéral a jugé que l'interdiction de postuler dans un cas concret ne relève en principe pas du droit disciplinaire, mais du contrôle du pouvoir de postuler de l'avocat. S'agissant de la compétence pour statuer, il a certes réaffirmé le principe selon lequel, la LLCA ne désignant pas l'autorité compétente habilitée à empêcher de plaider l'avocat confronté à un conflit d'intérêts, les cantons sont compétents pour le faire. Néanmoins, il a émis l'hypothèse que, en procédure pénale, étant donné que l'<ref-law> confie les mesures nécessaires au bon déroulement et à la légalité de la procédure à l'autorité investie de la direction de la procédure (cf. <ref-law>), l'ordre consistant en l'interdiction de plaider pourrait ne plus pouvoir revenir à l'autorité de surveillance.
Par la suite, le Tribunal fédéral a affirmé qu'en procédure pénale, il appartenait à l'autorité en charge de la procédure de statuer d'office et en tout temps sur la capacité de postuler d'un mandataire professionnel au motif que l'hypothèse d'un conflit d'intérêts peut survenir au cours de la procédure, notamment en raison de son évolution ou d'un changement de circonstances, et que l'autorité doit pouvoir agir (<ref-ruling> consid. 2.2; arrêts 1B_191/2020 du 26 août 2020 consid. 4.1.2; 1B_582/2019 du 20 mars 2020 consid. 4 et 5.1).
6.2.3. En doctrine, certains auteurs estiment que, en procédure civile, même après l'entrée en vigueur du CPC le 1er janvier 2011, les cantons restent libres d'octroyer la compétence de traiter de l'interdiction de postuler aux autorités de surveillance des avocats (CHAPPUIS/PELLATON, Conflit d'intérêts: autorité compétente pour en juger et voies de recours, in Revue de l'avocat 2012 p. 316 ss [320 s.]; CHAPPUIS, in La profession d'avocat, tome I, 2ème éd., 2016, p. 151 s.; JORDAN, Conflit d'intérêts de l'avocat et compétence, in Plaidoyer 2018/6 p. 38 ss; REISER/VALTICOS, Il faut sauver l'art. 43 al. 3 LPAv/GE! Les conflits d'intérêts et la commission du barreau, in La lettre du Conseil, 66/2018 p. 56 ss; moins affirmatif, JEQUIER, La délégation de la conduite du procès civil à une autre autorité, spécialement en matière de capacité de postuler de l'avocat, in RSPC 2/2019 p. 203 ss [203]). Ils avancent les arguments suivants: la capacité de postuler relève de la mise en oeuvre des règles de la profession d'avocat instituée par la LLCA dont le CPC ne règle pas l'application; le CPC ne règle pas exhaustivement toutes les questions de procédure, notamment à l'<ref-law>; il ressort de l'<ref-ruling> consid. 7.2, que la capacité de représenter les parties touche également à l'organisation judiciaire cantonale, de sorte qu'une compétence parallèle des cantons doit être reconnue; à l'arrêt 5A_710/2016 du 2 mars 2017, le Tribunal fédéral a admis une délégation à une autorité fonctionnellement différente de celle chargée de se prononcer sur la décision au fond; la composition de l'autorité de surveillance permet plus de distance et d'indépendance que le magistrat chargé de la procédure, elle garantit plus d'uniformité dans le domaine, elle peut intervenir de manière préventive et peut statuer en connaissance de faits couverts par le secret professionnel.
D'autres, en revanche, considèrent que cette compétence doit être exercée par le tribunal chargé de l'affaire au fond (BOHNET, Conflits d'intérêts de l'avocat et qualité pour recourir du client et de son adversaire: derniers développements, in RSJ 110/2014 p. 234 ss [236]; FELLMANN, Anwaltsrecht, 2ème éd. 2017, n° 691; FELLMANN/BURGER, Das Verbot von Interessenkollisionen und seine Durchsetzung im Prozess, in Anwaltsrevue 2020 p. 14 ss [17]; GRODECKI/JEANDIN, Approche critique de l'interdiction de postuler chez l'avocat aux prises avec un conflit d'intérêts, in SJ 2015 II p. 107 ss [131 s.]). Ils avancent comme argument que le CPC règle exhaustivement la procédure civile et que le contrôle de la capacité de postuler de l'avocat est un examen procédural réglé pour les uns à l'<ref-law>, pour les autres à l'<ref-law>, de sorte que les cantons ne peuvent plus adopter de règles particulières en matière d'autorité compétente.
6.3. Au vu de la jurisprudence précitée, il faut retenir que, en procédure civile, la décision sur la capacité de postuler de l'avocat vise à garantir la bonne marche du procès. Elle entre donc dans la catégorie des décisions relatives à la conduite du procès, au sens de l'<ref-law> (cp. <ref-law>). Pour l'acte introductif d'instance, la capacité de postuler est en outre une condition de recevabilité de la demande (<ref-law>). Partant, si la capacité de postuler est déniée à l'avocat, un délai doit être fixé à la partie concernée pour remédier à l'irrégularité (<ref-law> par analogie; cf. supra 6.2.1: arrêt 4A_87/2012 du 10 avril 2012 consid. 3.2.3). Il s'ensuit que, dans une procédure pendante, l'autorité qui doit statuer sur la capacité de postuler de l'avocat est le tribunal compétent sur le fond de la cause ou, sur délégation, un membre de ce même tribunal (<ref-law>), à l'exclusion de l'autorité de surveillance.
Les arguments de la doctrine qui prône la compétence de l'autorité de surveillance ne convainquent pas. L'exclusion de l'avocat des débats relève du contrôle de la capacité de postuler de celui-ci, soit d'une question de procédure. Or, à ses art. 124 et 59, le CPC règle exhaustivement la question et fonde la compétence du tribunal qui conduit le procès au fond ou, sur délégation, d'un de ses membres. En conséquence, la primauté du droit fédéral interdit aux cantons de consacrer la compétence d'une autre autorité. A l'<ref-ruling>, le Tribunal fédéral a traité de la question de la représentation professionnelle des avocats, qui ne se recoupe pas avec celle de l'interdiction de postuler en raison d'un conflit d'intérêts. En outre, retenir de l'arrêt 5A_710/2016 du 2 mars 2017 que le Tribunal fédéral aurait admis, en application de l'<ref-law>, une délégation à une autorité fonctionnellement différente de celle chargée de se prononcer sur la décision au fond procède d'une lecture erronée de cette décision. Dans cette affaire, il a jugé que le terme de " tribunal " figurant à l'<ref-law>, consacré à l'assistance judiciaire, instaure seulement l'exigence d'une autorité judiciaire, à l'exclusion d'une règle fédérale de compétence fonctionnelle en la matière, de sorte que les cantons sont libres de choisir une autre autorité que le juge saisi de la cause au fond. Tel n'est en revanche pas le cas des décisions relatives à la recevabilité de la demande ou à la conduite de la procédure, qui prévoient la compétence du juge du fond de la cause.
6.4. En l'espèce, en niant sa compétence au profit de celle de la Commission du barreau en application de l'art. 43 al. 3 LPav/GE, l'autorité cantonale a violé l'art. 49 al. 1 Cst., en lien avec l'<ref-law>.
7.
En définitive, le recours est admis. L'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour qu'elle entre en matière sur la requête préalable du recourant. Bien qu'elle s'en soit remise à justice sur le sort du recours, l'intimée doit être considérée comme partie succombante à la procédure fédérale, dans la mesure où la décision attaquée est modifiée à son détriment (<ref-ruling> consid. 3). Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont ainsi mis à sa charge (<ref-law>). L'intimée versera en outre au recourant une indemnité de 1'500 fr. à titre de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3.
L'intimée versera au recourant une indemnité de 1'500 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Justice de paix du canton de Genève et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 25 mars 2021
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Achtari