Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft Appenzell Ausserrhoden führt gegen A._ ein Strafverfahren. Am 26. November 2019 teilte sie dem Beschuldigten mit, dass sie das wegen Diebstahl, Sachbeschädigung und Sachentziehung geführte Verfahren mittels Strafbefehl abschliessen werde. Mit Schreiben vom 3. Dezember 2019 erklärte sich A._ mit dem Abschluss des Strafverfahrens mittels Strafbefehl nicht einverstanden und beantragte die "unentgeltliche Rechtspflege und Übernahme der Prozesskosten". Mit Verfügung vom 17. Dezember 2019 wies der leitende Staatsanwalt das Gesuch um amtliche Verteidigung ab. Er beurteilte die vorgeworfenen Tatbestände als Bagatellen, weshalb eine mögliche Freiheits- oder Geldstrafe von deutlich unter vier Monaten bzw. 120 Tagessätzen zu erwarten sei. Am 20. Dezember 2019 erhob A._ Beschwerde gegen die Verfügung der Staatsanwaltschaft. Das Obergericht Appenzell Ausserrhoden wies mit Beschluss vom 29. Juni 2020 die Beschwerde ab. Zur Begründung führte das Obergericht zusammenfassend aus, dass es gemäss der angefochtenen Verfügung nur noch um die Tatbestände der Sachbeschädigung und Sachentziehung gehe. Der Staatsanwalt gehe von einem Bagatellfall aus. Die Voraussetzungen für eine notwendige oder eine amtliche Verteidigung seien nicht gegeben. Der Fall biete keine besonderen Schwierigkeiten. Dem Beschuldigten sei daher eine Verteidigung auch ohne juristisches Fachwissen möglich und zumutbar.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 31. Juli 2020 Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss des Obergerichts Appenzell Ausserrhoden. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Begründung des Obergerichts überhaupt nicht auseinander. Er vermag mit seinen Ausführungen nicht ansatzweise aufzuzeigen, inwiefern die Begründung des Obergerichts, die zur Abweisung der Beschwerde führte, bzw. der Beschluss des Obergerichts selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (<ref-law>). Indessen ist davon abzusehen, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Appenzell A.Rh. und dem Obergericht Appenzell Ausserrhoden, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. August 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli