Sachverhalt:
A.
A._ (Beschwerdeführer) und C._ (Beschwerdegegnerin) sind die nicht miteinander verheirateten Eltern von B._ (geb. 2013; Beschwerdegegner). Mit Urteil vom 19. Mai 2017 verurteilte das Zivilgericht Basel-Stadt A._ zu monatlichen Unterhaltszahlungen an seinen Sohn von Fr. 750.-- zwischen Juni und Dezember 2014, von Fr. 270.-- zwischen Januar und September 2015 sowie von Fr. 750.-- ab Oktober 2015 bis zum Abschluss einer Erstausbildung, mindestens bis zur Volljährigkeit (jeweils zuzüglich Kinderzulagen und unter Anrechnung der effektiv bereits geleisteten Unterhaltsbeiträge).
B.
Gegen diesen Entscheid reichte A._ Berufung beim Obergericht des Kantons Basel-Stadt ein. Mit Entscheid vom 4. März 2017 stellte das Obergericht fest, der Entscheid des Zivilgerichts sei bezüglich monatlicher Unterhaltszahlungen von Fr. 270.-- ab dem 1. Juni 2014 bis zur Volljährigkeit von B._ in Rechtskraft erwachsen. Zusätzlich verpflichtete es den Vater zu monatlichen Unterhaltszahlungen von Fr. 530.-- zwischen Juni und Dezember 2014 sowie Oktober 2015 und Dezember 2016 (ausmachend insgesamt Fr. 800.-- im Monat), von Fr. 50.-- zwischen Januar und September 2015 (ausmachend insgesamt Fr. 320.-- im Monat), von Fr. 830.-- ab Januar 2017 bis zur Volljährigkeit des Sohnes (ausmachend insgesamt Fr. 1'100.--) und von Fr. 1'100.-- ab Volljährigkeit des Sohnes bis zum Abschluss einer Erstausbildung (jeweils zuzüglich Kinderzulagen und unter Anrechnung der effektiv bereits geleisteten Unterhaltsbeiträge).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde ist A._ an das Bundesgericht gelangt und hat beantragt, was folgt:
"Concernant la pension et la décision présente commentée au long de ce recours, je demande donc au Tribunal Fédéral d'examiner ma demande de recours ordinaire et de recours constitutionnel et vous prie, dans l'attente, de croire en ma confiance en la justice suisse, et de mon désir de faire tout au mieux pour le bien de mon fils."
Ausserdem ersucht A._ um unentgeltliche Rechtspflege und Bestellung eines Rechtsbeistandes.
Mit Eingabe vom 14. Juli 2017 beantragt A._, das Verfahren sei in französischer Sprache zu führen. Am 25. November 2017 hat er weitere Unterlagen eingereicht und ein Ausstandsbegehren gegen ein Mitglied des Zivilgerichts gestellt.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer bedient sich in seinen Eingaben an das Bundesgericht zulässigerweise der französischen Sprache (<ref-law>). Das Verfahren vor Bundesgericht wird allerdings in der Sprache des angefochtenen Entscheids und damit auf Deutsch geführt (<ref-law>). Ein Grund, hiervon abzuweichen, besteht nicht. Das entsprechende Gesuch wird abgewiesen.
2.
2.1. Angefochten ist der Endentscheid eines oberen kantonalen Gerichts, das auf Rechtsmittel hin kantonal letztinstanzlich über die Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers gegenüber seinem Sohn und damit eine vermögensrechtliche Zivilsache entschieden hat (Art. 72 Abs. 1, Art. 75 und 90 BGG). Der Streitwert übersteigt den erforderlichen Betrag von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b sowie Art. 51 Abs. 1 Bst. a und Abs. 4 BGG). Damit ist die Beschwerde in Zivilsachen das zutreffende Rechtsmittel. Die ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist nicht zulässig (<ref-law>).
2.2. Die Beschwerdeschrift hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (<ref-law>). Es ist ein Antrag in der Sache zu stellen und anzugeben, welche Punkte des Entscheids angefochten sind und welche Änderungen beantragt werden (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 3.1). Soweit das Begehren auf eine Geldzahlung lautet, muss es beziffert sein. Fehlt es an hinreichend bezifferten Begehren, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.2). Trotz formell mangelhaftem Rechtsbegehren ist die Beschwerde ausnahmsweise dennoch an die Hand zu nehmen, wenn sich aus der Begründung, allenfalls in Verbindung mit dem angefochtenen Entscheid, ergibt, welcher Geldbetrag zugesprochen werden soll (<ref-ruling> E. 2; Urteil 5A_275/2017 vom 2. Oktober 2017 E. 1.2).
Strittig ist die Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers gegenüber seinem Sohn. Der Beschwerdeführer beantragt vor Bundesgericht einzig, seine Beschwerde sei zu prüfen, ohne einen Antrag in der Sache zu stellen. Auch aus der Beschwerdeschrift ergibt sich nicht, welche Änderung des obergerichtlichen Erkenntnisses er mit der Beschwerde erreichen möchte: Zwar wirft der Beschwerdeführer der Vorinstanz vor, den Sachverhalt unrichtig festgestellt und dadurch zahlreiche verfassungsmässige Rechte verletzt zu haben. Entgegen der Annahme des Obergerichts habe er nur geringe Einkünfte. Aufgrund seiner schlechten Gesundheit könne er kein höheres Einkommen erzielen. Er sei überschuldet und seit einiger Zeit auf die Unterstützung durch seine Familie angewiesen. Hieraus ergibt sich, dass der Beschwerdeführer jedenfalls mit der Höhe der festgelegten Unterhaltsbeiträge nicht einverstanden ist. Es bleibt jedoch offen, in welchem Umfang er seiner Ansicht nach an den Unterhalt seines Sohnes beitragen kann. Auch bleibt unklar, ob der Beschwerdeführer mit dem Hinweis auf seine angeblich schlechte finanzielle Lage die Unterhaltspflicht als solche bestreiten will. Zumal er sich nicht zur Feststellung des Obergerichts äussert, er habe den Unterhaltsanspruch im Umfang von Fr. 270.-- im Monat anerkannt. Damit fehlt es an einem hinreichenden Rechtsbegehren, weshalb auf die Beschwerde nicht einzutreten ist.
3.
Mangels Zuständigkeit des Bundesgerichts von vornherein nicht einzutreten ist auf das gegen ein Mitglied des Zivilgerichts gerichtete Ausstandsgesuch des Beschwerdeführers (vgl. <ref-law>).
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Aufgrund der Umstände des Falls wird auf das Erheben von Gerichtskosten verzichtet (<ref-law>). Der obsiegenden Beschwerdegegnerin sind keine ersatzpflichtigen Kosten entstanden, da keine Vernehmlassungen eingeholt wurden. Entsprechend ist keine Parteientschädigung zu sprechen (<ref-law>). Die Beschwerde muss nach dem Ausgeführten von vornherein als aussichtlos beurteilt werden, womit das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen ist (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG), soweit es mangels Kostenpflicht des Beschwerdeführers nicht als gegenstandslos abzuschreiben ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Auf das Ausstandsgesuch vom 25. November 2017 wird nicht eingetreten.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im Verfahren vor Bundesgericht wird abgewiesen, soweit es nicht als gegenstandslos abgeschrieben wird.
4.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
5.
Parteikosten werden keine gesprochen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, und dem Zivilgericht Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Januar 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber