Faits :
A.
A.A._, né en 1973 et B.A._, née en, se sont mariés en 2011 à U._ (VD). Une enfant est issue de cette union: C._, née en 2012. A.A._ est également le père d'un autre enfant, issu d'une précédente union, lequel est aujourd'hui majeur.
B.
B.a. Le mari a ouvert action en divorce par le dépôt d'une demande unilatérale le 31 janvier 2017.
Par réponse du 20 septembre 2017, l'épouse a, s'agissant notamment des contributions d'entretien dues à sa fille et à elle-même, pris les conclusions suivantes:
" V.-
A.A._ contribuera à l'entretien de sa fille à titre de coûts directs par le versement d'une pension mensuelle, allocations familiales en sus, payable en mains de B.A._ d'avance le 1er jour de chaque mois dès et y compris le 1er jour du mois qui suivra le jugement de divorce d'un montant de:
- CHF 853.95 jusqu'à l'âge de 10 ans révolus puis;
- CHF 935.95 jusqu'à l'âge de 16 ans révolus puis;
- CHF 1'053.95 depuis lors et jusqu'à ce que C._ ait atteint la majorité ou la fin d'une formation appropriée au sens de l'art. 277 al. 2 CC.
VI.-
A.A._ contribuera à l'entretien de sa fille à titre de contribution de prise en charge par le versement d'une pension mensuelle, allocations familiales en sus, payable en mains de B.A._ d'avance le 1er jour de chaque mois dès et y compris le 1er jour du mois qui suivra le jugement de divorce d'un montant de:
- CHF 1'550.20 jusqu'à l'âge de 16 ans révolus;
VII.-
Les contributions d'entretien fixées sous chiffre V et VI permettent d'assurer l'entretien convenable de l'enfant C._.
(...)
Subsidiairement à VI :
XI.-
A.A._ contribuera à l'entretien de B.A._ par le versement d'une pension mensuelle, d'avance le 1er jour de chaque mois dès et y compris le 1er jour du mois qui suivra le jugement de divorce d'un montant de CHF 1'550.20, jusqu'au 1er juin 2028, date à laquelle toute contribution d'entretien prendra fin. "
B.b. Par jugement du 1er octobre 2018, le Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois a notamment prononcé le divorce des époux (I), a ratifié pour valoir jugement la convention partielle sur les effets accessoires du divorce signée par ceux-ci à l'audience du 25 janvier 2018 (II), a dit que le père contribuerait à l'entretien de sa fille par le versement d'une pension mensuelle, éventuelles allocations familiales en sus, de 1'500 fr. jusqu'à l'âge de 16 ans, puis de 860 fr. jusqu'à la majorité ou l'achèvement d'une formation professionnelle appropriée au sens de l'art. 277 al. 2 CC (III), a dit que le montant assurant l'entretien convenable de l'enfant était de 1'500 fr. 55 par mois, allocations familiales par 250 fr. déduites (IV), a dit que le mari contribuerait à l'entretien de l'épouse par le versement, dès jugement de divorce définitif et exécutoire, d'une pension mensuelle, d'un montant de 570 fr. jusqu'au 1er juin 2028 (V), enfin, a dit que les contributions fixées sous chiffres III et V seraient indexées (VI).
B.c. Par acte du 1er novembre 2018, le demandeur a interjeté appel contre ce jugement, concluant à sa réforme en ce sens que le chiffre V du dispositif est annulé, aucune contribution d'entretien n'étant due entre les époux, et que le chiffre VI du dispositif est modifié, en tant que la clause d'indexation qu'il comprend ne s'applique qu'à la pension fixée sous chiffre III, soit celle due en faveur de l'enfant. L'appel concernait uniquement la portée des conclusions prises par la défenderesse, le demandeur soutenant que les premiers juges avaient statué ultra petita.
Par arrêt du 21 février 2019, expédié le lendemain, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté l'appel et confirmé le jugement entrepris.
C.
Par acte posté le 27 mars 2019, A.A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 21 février 2019. Il conclut principalement à sa réforme dans le sens de ses conclusions prises en appel. Subsidiairement, il sollicite le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants. Le recourant requiert en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Des déterminations n'ont pas été requises.

Considérant en droit :
1.
Le recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans la forme légale (art. 42 al. 1 LTF), contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 LTF), dans une affaire civile (art. 72 al. 1 LTF) de nature pécuniaire, dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a, 51 al. 4 et 74 al. 1 let. b LTF). Le recourant, qui a partiellement succombé devant la juridiction précédente, a qualité pour recourir (art. 76 al. 1 let. a et b LTF). Le recours est donc en principe recevable.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être lié ni par les motifs de l'autorité précédente, ni par les moyens des parties; il peut donc admettre le recours en se fondant sur d'autres motifs que ceux invoqués par le recourant, comme il peut le rejeter en opérant une substitution de motifs (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 2). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés (<ref-ruling> consid. 2.4 et les références). Le recourant doit par conséquent discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (<ref-ruling> consid. 1.7.1; <ref-ruling> consid. 2.4 et la référence). Le Tribunal fédéral ne connaît par ailleurs de la violation de droits fondamentaux que si un tel grief a été expressément invoqué et motivé de façon claire et détaillée par le recourant ("principe d'allégation", art. 106 al. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.4).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ceux-ci ont été constatés de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.2 et la référence), doit satisfaire au principe d'allégation susmentionné (art. 106 al. 2 LTF; cf. supra consid. 2.1). Il ne saurait dès lors se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; il doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.4.3). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (<ref-ruling> consid. 1.3.1 et la référence).
En l'occurrence, l'acte de recours contient une partie intitulée "Faits" comportant vingt-trois allégués, dont certains repris tels quels des écritures d'appel. En tant que les éléments qui y sont exposés divergent de ceux constatés dans l'arrêt querellé et qu'ils ne sont pas discutés sous l'angle de l'établissement arbitraire des faits ou de l'appréciation arbitraire des preuves, il n'en sera pas tenu compte.
3.
Le recourant se plaint d'une violation de l'art. 58 al. 1 CPC. Il estime en substance qu'en allouant à l'intimée une contribution à son propre entretien sur la base de sa conclusion subsidiaire n° XI, les juges précédents ont statué ultra petita.
3.1. Il n'est pas contesté que la pension post-divorce est soumise au principe de disposition (art. 58 al. 1 CPC; arrêt 5A_169/2012 du 18 juillet 2012 consid. 3.3 et les références) : le juge ne peut l'octroyer que si l'époux concerné la réclame et il est lié par la somme demandée (arrêt 5A_361/2011 du 7 décembre 2011 consid. 5.3.1 et 5.3.3, publié in FamPra.ch 2012 p. 447). En particulier, il ne peut pas d'office augmenter la contribution due à l'épouse pour compenser le fait que celle allouée aux enfants est plus faible que celle qu'elle avait requise pour eux (arrêts 5A_704/2013 du 15 mai 2014 consid. 3.4 non publié in <ref-ruling>, mais in FamPra.ch 2014 p. 699; 5A_906/2012 du 18 avril 2013 consid. 6.2.2, publié in FamPra.ch 2013 p. 713; 5C.108/2003 du 18 décembre 2003 consid. 4 non publié in <ref-ruling>). Ainsi, pour éviter de se faire opposer les conséquences du principe de disposition et de l'interdiction des conclusions nouvelles, par exemple pour le cas où les calculs du juge différeraient des siens et permettraient en définitive de lui allouer une pension plus élevée, le parent qui réclame des montants tant pour lui-même que pour un enfant doit prendre des conclusions subsidiaires pour chaque crédirentier d'entretien au cas où les conclusions principales ne devaient pas être admises (<ref-ruling> consid. 3.5; arrêts 5A_245/2019 du 1er juillet 2019 consid. 3.1.1 et les références; 5A_204/2018 du 15 juin 2018 consid. 4.1; 5A_97/2017 du 23 août 2017 consid. 3.3.1).
3.2. Le recourant est d'avis que la cour cantonale a fait entièrement droit à la conclusion principale n° VI de l'intimée portant sur le versement d'une contribution de prise en charge. Le fait que le montant alloué soit inférieur à celui qui avait été "allégué" par l'intimée n'y changeait rien, dès lors que la finalité de cette conclusion était la couverture totale des coûts indirects de l'enfant. Les juges cantonaux n'étaient dès lors pas en droit de se pencher sur la conclusion n° XI prise à titre subsidiaire.
Le recourant ajoute que la "systématique de la formulation des conclusions ne permet pas à deux fondements légaux pris à titre subsidiaire d'être alloués de manière concomitante". Or l'arrêt entrepris allouait à la fois la conclusion principale et la conclusion subsidiaire prises par l'intimée nonobstant le fait que ces conclusions reposaient sur des "fondements légaux" différents. Si l'intimée considérait que tant les conditions pour l'allocation d'une contribution de prise en charge que celles pour l'allocation d'une contribution à son propre entretien étaient réalisées, elle aurait dû former à titre principal des conclusions portant sur ces deux questions. En ne le faisant pas, l'intimée avait volontairement renoncé au versement d'une contribution à son propre entretien. La jurisprudence ne lui permettait pas de s'épargner la prise d'une conclusion principale en versement d'une contribution à son propre entretien et de reléguer celle-ci au chapitre des conclusions subsidiaires. Elle aurait ainsi dû prendre une conclusion principale en versement d'une contribution à son entretien puis une conclusion subsidiaire visant à ce que cette même conclusion soit d'un montant supérieur pour l'éventualité où la contribution à l'entretien de l'enfant serait inférieure à celle envisagée. Par ses conclusions nos VI et XI, l'intimée avait au contraire indiqué au tribunal qu'elle renonçait au versement d'une contribution à son entretien pour autant que les coûts indirects de sa fille soient couverts. Or le jugement de première instance condamnait l'époux au paiement d'une contribution à l'entretien de la fille des parties couvrant entièrement ses coûts indirects, de sorte qu'il n'y avait pas lieu d'examiner la conclusion subsidiaire de l'intimée.
3.3. Un tel point de vue ne saurait être suivi. S'il est vrai que le tribunal ne peut examiner des conclusions subsidiaires que lorsque les conclusions principales se révèlent infondées (DONZALLAZ, Commentaire de la LTF, art. 107, n° 4307 p. 1559 et la référence à un arrêt du Tribunal cantonal neuchâtelois du 1er juin 1970, publié in RJN 5 I 55, p. 60, et cité par BOHNET, in CPCN annoté, 2ème éd. 2005, n° 4 ad art. 56), force est de constater qu'en l'occurrence la conclusion litigieuse a été considérée comme partiellement infondée, respectivement fondée dans une moindre mesure que ce que l'intimée espérait. Un tel cas de figure justifie précisément la prise d'une conclusion subsidiaire (cf. ROGNON, Les conclusions, 1974, p. 57), comme la jurisprudence rappelée ci-dessus l'a spécifiquement énoncé en matière matrimoniale (cf. supra consid. 3.1). Le premier pan de l'argumentation du recourant tombe donc à faux.
Pour le reste, le recourant oublie que le principe de disposition n'interdit pas au tribunal de déterminer le sens véritable des conclusions et de statuer sur cette base, plutôt que selon leur libellé inexact (arrêts 5A_657/2014 du 27 avril 2015 consid. 8.1; 5A_621/2012 du 20 mars 2013 consid. 4.3.1 et la référence); les conclusions doivent en effet être interprétées selon le principe de la confiance, à la lumière de la motivation de l'acte (<ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 2a; 4A_375/2012 du 20 novembre 2012 consid. 1.2 non publié in <ref-ruling> et les références). Or, en l'occurrence, comme la cour cantonale l'a constaté à raison, il apparaît clairement que l'intimée a conclu à une contribution d'entretien de 1'550 fr. 20 par mois pour elle-même dans la mesure où une contribution de prise en charge d'un montant équivalent n'était pas allouée. Toute autre interprétation, qui reviendrait en définitive à ne pas tenir compte des conclusions subsidiaires de l'intimée, consacrerait un formalisme excessif prohibé par la jurisprudence (cf. <ref-ruling> consid. 6.2).
Cela étant, il est admis que, pour décider si le juge a statué ultra petita, il faut comparer la somme globale accordée avec le montant des conclusions (arrêt 5A_667/2015 du 1er février 2016 consid. 6.1 et 6.2). En l'espèce, le jugement de première instance, confirmé en appel, a retenu une contribution de prise en charge d'un montant de 646 fr. 60 par mois et une pension post-divorce de 570 fr. par mois, ces montants étant dus jusqu'aux 16 ans révolus de l'enfant, respectivement jusqu'au 1er juin 2028. L'on ne saurait dès lors à l'évidence considérer que la juridiction cantonale aurait statué ultra petita au regard du montant de 1'550 fr. 20 réclamé par l'intimée. Par ailleurs, contrairement à ce que prétend le recourant, la prétention de l'épouse n'a pas été admise sur la base d'un "autre fondement": les juges précédents ont alloué un certain montant à titre de contribution de prise en charge, et un autre à titre de pension post-divorce, sur la base des conclusions prises séparément par l'épouse, l'une à titre principal, et l'autre dans l'éventualité où la première serait rejetée. Conformément à l'interprétation qui doit être donnée aux conclusions litigieuses, ce n'est que si l'intégralité du montant de la contribution de prise en charge avait été alloué qu'il n'y aurait alors plus eu lieu de statuer sur la conclusion subsidiaire en paiement d'une contribution post-divorce.
4.
En définitive, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Faute de chances de succès du recours, la demande d'assistance judiciaire doit être rejetée (art. 64 al. 1 LTF). Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont donc mis à la charge du recourant, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 25 septembre 2019
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Mairot