Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1988 geborene A.A._ und die 1987 geborene B.A._, beide äthiopische Staatsangehörige, reisten am 29. August 2015 illegal in die Schweiz ein und stellten am darauffolgenden Tag ein Asylgesuch. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) lehnte die Gesuche mit Verfügungen vom 24. August 2017 mangels Flüchtlingseigenschaft ab, wies beide Gesuchstellenden aus der Schweiz weg und setzte ihnen eine Ausreisefrist bis 19. Oktober 2017. Am 16. April 2018 gebar B.A._ die Zwillinge C.A._ und D.A._, die A.A._ als seine Kinder anerkannte.
A.b. Mit Entscheiden vom 27. August 2019 wies das Bundesverwaltungsgericht die gegen die Verfügungen des SEM vom 24. August 2017 erhobenen Beschwerden ab, soweit es darauf eintrat. Dabei wurde insbesondere auch die gesundheitliche Situation des Kindes C.A._ gewürdigt und als nicht vollzugshinderlich erachtet. Auf dagegen erhobene Revisionsgesuche trat das Bundesverwaltungsgericht mit Entscheiden vom 25. September 2019 nicht ein. Das SEM hatte bereits mit Schreiben vom 4. September 2019 eine neue Ausreisefrist bis 30. September 2019 angesetzt. Im Rahmen des Ausreisegesprächs vom 30. September 2019 wies das Migrationsamt des Kantons St. Gallen die Familie darauf hin, dass sie sich nunmehr illegal in der Schweiz aufhalte und nur noch Anspruch auf Nothilfe habe. Die Familie teilte mit, nicht freiwillig nach Äthiopien zurückzukehren, und verzichtete auf Nothilfe. Aufgrund eines Wiedererwägungsgesuchs vom 4. Oktober 2019 ersuchte das SEM das Migrationsamt mit Schreiben vom 8. Oktober 2019, den Vollzug der Wegweisung im Sinne einer vorsorglichen Massnahme einstweilen auszusetzen.
A.c. Mit Eingaben vom 3. und 24. Oktober 2019 ersuchten A.A._, B.A._ und ihre Kinder das Migrationsamt um Erlass einer rechtsmittelfähigen Verfügung betreffend Entzug der Sozialhilfe sowie um Zuweisung einer Unterkunft im Sinne des Belassens in der bisherigen Unterkunft in St. Gallen. Das Migrationsamt teilte den Gesuchstellenden mit Schreiben vom 25. Oktober 2019 mit, Personen mit einem rechtskräftig abgewiesenen Asylgesuch seien gestützt auf das Asylgesetz von der Sozialhilfe ausgeschlossen; dies auch bei Sistierung des Wegweisungsvollzugs infolge eines ausserordentlichen Wiedererwägungsgesuchs. Sie hätten daher lediglich noch Anspruch auf Gewährung von Nothilfe, deren Ausrichtung im Kantons St. Gallen ausschliesslich im Ausreise- und Nothilfezentrum F._ in U._ erfolge. Mit Schreiben vom 26. Oktober 2019 ersuchten A.A._, B.A._ und ihre Kinder nochmals um Erlass einer rechtsmittelfähigen Verfügung über den Entzug der Sozialhilfe im engeren Sinn. Am 2. November 2019 liessen sie beim Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen Rechtsverweigerungsbeschwerde gegen das Migrationsamt erheben und beantragen, es sei festzustellen, dass ihnen die Sozialhilfe im engeren Sinn nicht entzogen, sondern weiterhin geschuldet sei, und sie demnach keinen Anspruch auf Nothilfe hätten. Das Sicherheits- und Justizdepartement wies die Rechtsverweigerungsbeschwerde mit Entscheid vom 24. Dezember 2019 ab.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 27. Februar 2020 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bzw. subsidiärer Verfassungsbeschwerde lassen A.A._, B.A._ und ihre Kinder beantragen, in Aufhebung des angefochtenen Entscheids seien die Vorinstanzen anzuweisen, die beantragte formelle Verfügung betreffend Sozialhilfe zu erlassen. Zudem sei vorsorglich anzuordnen, dass ihnen für die Dauer des Verfahrens Sozialhilfe im engeren Sinn zu gewähren sei, und es sei ihnen die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Gestützt auf Art. 82 lit. a BGG beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts. Dieses Rechtsmittel steht somit grundsätzlich auch auf dem Gebiet der kantonalen Sozialhilfe zur Verfügung. Das Bundesgerichtsgesetz enthält dazu in Art. 83 keinen Ausschlussgrund. Da auch alle übrigen Sachurteilsvoraussetzungen vorliegen, ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten. Insofern bleibt kein Raum für die eventualiter eingereichte subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 BGG).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht mit Einschluss der Bundesverfassung gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), doch prüft es unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 2 BGG) grundsätzlich nur die geltend gemachten Rechtswidrigkeiten (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Soweit die Vorinstanz kantonales Recht anzuwenden hatte, kann, abgesehen von den hier nicht massgebenden Art. 95 lit. c-e BGG, nur geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verstosse gegen Normen des Bundesrechts oder des Völkerrechts (Art. 95 lit. a und b BGG). Im Übrigen kann die Auslegung und Anwendung des kantonalen Rechts lediglich im Lichte der verfassungsmässigen Rechte und Grundsätze, namentlich des Willkürverbots (Art. 9 BV), geprüft werden (<ref-ruling> E. 1.2 S. 145; <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 158; <ref-ruling> E. 3 S. 351). Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten wie auch von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist; es gilt eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.6 S. 281; <ref-ruling> E. 3.3 S. 310 f.).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht; diese Rüge setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Offensichtlich unrichtig festgestellt ist ein Sachverhalt, wenn er willkürliche Feststellungen beinhaltet (<ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62). Eine entsprechende Rüge ist rechtsgenüglich substanziiert vorzubringen (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.).
3.
3.1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundes- oder Völkerrecht verletzte, indem sie befand, das Vorliegen einer Rechtsverweigerung seitens des Migrationsamts sei zu Recht verneint worden, da keine explizite Verfügung über den Entzug der Sozialhilfe im engeren Sinn habe erlassen werden müssen. Unbestritten ist, dass die Asylgesuche der Beschwerdeführer abgewiesen wurden und ein rechtskräftiger Wegweisungsentscheid vorliegt, wobei der Vollzug der Wegweisung aufgrund eines Wiedererwägungsgesuchs beim SEM im Sinne einer vorsorglichen Massnahme einstweilen ausgesetzt wurde.
3.2. Die für die Beurteilung der Beschwerde massgebenden Rechtsgrundlagen sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt worden. Darauf wird verwiesen (Art. 109 Abs. 3 BGG).
4.
Die Vorinstanz erwog im Wesentlichen, in Anbetracht des rechtskräftigen Wegweisungsentscheids gegenüber der ganzen Familie und der ungenutzt verstrichenen Ausreisefrist seien die Beschwerdeführer von Gesetzes wegen von der Sozialhilfe ausgeschlossen. Da somit kein Raum für eine diesbezügliche Feststellungsverfügung bestehe, sei das Vorliegen einer Rechtsverweigerung seitens des Migrationsamts zu Recht verneint worden.
5.
Was die Beschwerdeführer mit weitschweifigen und grösstenteils ausserhalb des Streitgegenstands liegenden Argumenten gegen den kantonalen Entscheid vorbringen, verfängt nicht.
5.1. Die Beschwerdeführer rügen in formeller Hinsicht eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör, insbesondere der Begründungspflicht durch die Vorinstanz. Diesbezüglich ist ihnen entgegenzuhalten, dass die aus Art. 29 Abs. 2 BV fliessende grundsätzliche Pflicht der Behörde, ihren Entscheid zu begründen, nicht bedeutet, dass sie sich mit jeder tatbeständlichen Behauptung und jedem rechtlichen Einwand auseinandersetzen muss. Vielmehr genügt es unter dem Gesichtswinkel der Begründungsdichte und hinsichtlich der Wahrung des rechtlichen Gehörs der Parteien, wenn im Entscheid auf die wesentlichen Argumente der Beschwerde eingegangen wird und eine sachgerechte Anfechtung des Entscheids möglich war, was vorliegend zutrifft (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 436 mit Hinweisen).
5.2. Soweit die Beschwerdeführer erneut geltend machen, über den Ausschluss aus der Sozialhilfe im engeren Sinn hätte zumindest eine Feststellungsverfügung ergehen müssen, kann ihnen nicht gefolgt werden:
5.2.1. Gemäss Art. 81 des Asylgesetzes vom 26. Juni 1998 (AsylG; SR 142.31) erhalten Personen, die sich gestützt auf das AsylG in der Schweiz aufhalten und die ihren Unterhalt nicht aus eigenen Mitteln bestreiten können, die notwendigen Sozialhilfeleistungen, sofern nicht Dritte aufgrund einer gesetzlichen oder vertraglichen Verpflichtung für sie aufkommen müssen, beziehungsweise auf Ersuchen hin Nothilfe. Für die Ausrichtung von Sozialhilfeleistungen und Nothilfe gilt gemäss Art. 82 Abs. 1 AsylG kantonales Recht, wobei Personen mit einem rechtskräftigen Wegweisungsentscheid, denen eine Ausreisefrist angesetzt worden ist, gemäss seit 1. Februar 2014 anwendbarer Fassung von der Sozialhilfe ausgeschlossen werden. Wird der Vollzug der Wegweisung für die Dauer eines ausserordentlichen Rechtsmittelverfahrens ausgesetzt, erhalten abgewiesene Asylsuchende auf Ersuchen hin Nothilfe (Art. 82 Abs. 2 AsylG). Aus diesen Bestimmungen ergibt sich, dass Personen mit rechtskräftigem Wegweisungsentscheid, denen eine Ausreisefrist angesetzt worden ist, selbst wenn der Vollzug der Wegweisung einstweilen ausgesetzt ist, keinen Anspruch auf Sozialhilfe mehr haben, sondern nur noch auf die durch Art. 12 BV gewährleistete Nothilfe (<ref-ruling> E. 3.1 S. 115; <ref-ruling> E. 5.3 S. 123; je mit Hinweisen; vgl. auch Urteil 8C_459/2011 vom 5. Oktober 2011 E. 3 f.).
5.2.2. Gegenüber den Beschwerdeführern liegt, was unstreitig ist, ein rechtskräftiger Wegweisungsentscheid vor und es wurde ihnen eine Ausreisefrist bis 30. September 2019 angesetzt. Diese wurde aufgrund eines beim SEM eingereichten Wiedererwägungsgesuchs vom 4. Oktober 2019, das als formloser Rechtsbehelf zu den ausserordentlichen Rechtsmitteln zählt (vgl. Urteil 2C_848/2012 vom 8. März 2013 E. 5.3), im Sinne einer vorsorglichen Massnahme einstweilen ausgesetzt. Bei dieser Sachlage ergibt sich der Ausschluss aus der Sozialhilfe, wie die Vorinstanz zutreffend feststellte, verpflichtend und direkt aus dem Bundesgesetz; es bedarf weder einer eigenständigen kantonalen gesetzlichen Grundlage noch einer Verfügung im Einzelfall. Ein schutzwürdiges Interesse am Erlass einer Feststellungsverfügung im Sinne von Art. 25 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 5 Abs. 1 lit. b VwVG, worunter rechtsprechungsgemäss ein rechtliches oder tatsächliches und aktuelles Interesse an der sofortigen Feststellung des Bestehens oder Nichtbestehens eines Rechtsverhältnisses zu verstehen ist, dem keine erheblichen öffentlichen oder privaten Interessen entgegenstehen und welches nicht durch eine rechtsgestaltende Verfügung gewahrt werden kann (<ref-ruling> E. 1 S. 259; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.1 S. 4; <ref-ruling> E. 6.5 Ingress S. 218 f. mit Hinweisen; vgl. dazu ULRICH HÄFELIN/GEORG MÜLLER/FELIX UHLMANN, Allgemeines Verwaltungsrecht, 7. Aufl. 2016, S. 198 N. 889 mit Hinweisen), ist denn auch weder dargetan noch ersichtlich. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer liegt im angefochtenen Entscheid keine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes, ist doch der für den Ausschluss aus der Sozialhilfe massgebliche Sachverhalt hinreichend erstellt.
5.3. Bestand, wie aus obiger Erwägung hervorgeht, kein Anspruch der Beschwerdeführer auf Erlass einer Feststellungsverfügung über den Ausschluss aus der Sozialhilfe, liegt in der Verneinung einer Rechtsverweigerung seitens des Migrationsamts sowie in der diesbezüglichen Beschwerdeabweisung keine Rechtsverletzung im Sinne des Art. 95 BGG.
5.4. Die Beschwerdeführer rügen verschiedene Verletzungen der Bundesverfassung (BV), der Konvention zum Schutze der Menschenrechte und Grundfreiheiten (EMRK; SR 0.101) sowie des Übereinkommens über die Rechte des Kindes (KRK; SR 0.107). Diesbezüglich ist darauf hinzuweisen, dass der Asylstatus nicht Gegenstand dieses Verfahrens ist. Inwiefern durch die Verneinung des Anspruchs auf eine Feststellungsverfügung bezüglich Ausschluss aus der Sozialhilfe und damit einer Rechtsverweigerung seitens des Migrationsamts Verfassungs- oder Völkerrecht verletzt sein soll, wird in den ausufernden Ausführungen der Beschwerdeschrift nicht dargetan und ist auch nicht ersichtlich.
5.5. Zusammenfassend hat es beim angefochtenen Entscheid sein Bewenden. Es kann an dieser Stelle jedoch darauf hingewiesen werden, dass die Beschwerdeführer jederzeit um Gewährung von Nothilfe im Sinne von Art. 82 Abs. 2 AsylG ersuchen können.
6.
Die offensichtlich unbegründete Beschwerde wird im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG - ohne Durchführung eines Schriftenwechsels, mit summarischer Begründung unter Verweis auf den vorinstanzlichen Entscheid (Art. 102 Abs. 1 und Art. 109 Abs. 3 BGG) - erledigt.
7.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen gegenstandslos.
8.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren ist wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG). Aufgrund der konkreten Umstände wird ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Sicherheits- und Justizdepartement schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. Juni 2020
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Kopp Käch