Sachverhalt:
A.
A.a. A._ reichte am 1. Dezember 2017 beim Bezirksgericht Zürich eine Klage wegen Persönlichkeitsverletzung gegen die Stiftung B._ und gegen C._ ein. Dieser Klage war eine Kollokationsstreitigkeit zwischen der Stiftung B._ und der Konkursmasse von A._ am Bezirksgericht Zürich und ein Gesuch von A._ um Kraftloserklärung von zwei Schuldbriefen vor dem Bezirksgericht Kreuzlingen vorausgegangen. Mit Urteil vom 2. April 2012 hiess das Bezirksgericht Zürich die Kollokationsklage der Stiftung B._ praktisch vollumfänglich gut. Das Bezirksgericht Kreuzlingen wies das Begehren von A._ mit Entscheid vom 19. Januar 2011 ab. A._ ist der Ansicht, dass ihm in den beiden Verfahren strafbare Handlungen vorgeworfen worden seien.
A.b. Im Laufe des erstinstanzlichen Verfahrens stellte A._ ein (erstes) Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege, welches das Bezirksgericht - nach einer Rückweisung durch das Obergericht des Kantons Zürich - mit Beschluss vom 3. Oktober 2019 wiederum abwies. Dem Beschwerdeweiterzug an das Obergericht war diesmal kein Erfolg beschieden. Das Bundesgericht wies die Beschwerde von A._ ebenfalls ab, soweit es darauf eintrat, und setzte ihm (erneut) Frist zur Leistung des Kostenvorschusses an (Urteil 5A_954/2019 vom 19. Oktober 2020).
A.c. Am 7. Dezember 2020 stellte A._ innert dieser Frist ein (zweites) Gesuch um (rückwirkende) unentgeltliche Rechtspflege. Mit Beschluss vom 25. Februar 2021 trat das Bezirksgericht auf das Gesuch nicht ein und setzte A._ eine Nachfrist an, um den Kostenvorschuss zu leisten, unter Androhung des Nichteintretens bei Säumnis. Das Obergericht wies die dagegen erhobene Beschwerde mit Urteil am 14. Mai 2021 ab, soweit es darauf eintrat, und setzte A._ eine Nachfrist von fünf Tagen zur Überweisung des Kostenvorschusses von Fr. 5'170.-- an die Bezirksgerichtskasse an. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren wies es mit Beschluss vom gleichen Tag ab.
B.
Mit Eingabe vom 20. März 2021 ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und Beschlusses sowie die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das kantonale Verfahren. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Das Gesuch um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung zur Leistung des Kostenvorschusses an das Bezirksgericht ist am 21. Mai 2021 gutgeheissen worden.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, indes keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in Zivilsachen betrifft die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege in einer Zivilsache. Sie richtet sich gegen einen anfechtbaren Zwischenentscheid und ist daher ohne weiteres gegeben (Art. 93 Abs. 1 lit. a und Art. 72 Abs. 1 BGG; vgl. Urteil 5A_954/2019 vom 19. Oktober 2020 E. 1.1). Der Beschwerdeführer ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und daher zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>).
1.2. Mit der vorliegenden Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der Entscheid Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen, wobei hier das Rügeprinzip gilt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.4). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel sind nur zulässig, soweit der vorinstanzliche Entscheid dazu Anlass gibt (<ref-law>), was in der Beschwerde darzulegen ist (<ref-ruling> E. 3).
2.
Die Vorinstanz hat sich eingehend mit der Abweisung des erneuten Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege durch die Erstinstanz befasst. Sie hat eine Verletzung der Begründungspflicht durch das Bezirksgericht verneint. In der Sache gelangte sie zum Schluss, dass der Beschwerdeführer nicht rechtsgenüglich dargetan habe, inwiefern die neu eingereichte Bilanz der D._ A.G. per 31. Dezember 1998 in wesentlichen Punkten von der von ihm früher eingereichten Bilanz für das Jahr 2002 abweiche, welche im Rahmen des ersten Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege miteinbezogen worden war. Damit lege er nicht dar, inwiefern der Entscheid des Bezirksgerichts vom 14. Juni 2017 falsch sein sollte. Im Übrigen haben sich die entscheidwesentlichen Grundlagen für die Gewinnaussichten der Klage nach Ansicht des Obergerichts durch die neu eingereichten Unterlagen nicht verbessert.
3.
Der Beschwerdeführer besteht nach wie vor darauf, dass seine Persönlichkeit durch die Beklagten verletzt worden sei und ihm zur Geltendmachung seiner Ansprüche das Recht auf unentgeltliche Rechtspflege zustehe. Er wirft der Vorinstanz mehrfach die Verletzung der Begründungspflicht sowie einer Reihe weiterer verfassungsmässiger Rechte vor.
3.1. Nach <ref-law> hat eine Person Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (lit. a) und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (lit. b). Mit dieser Bestimmung wird der verfassungsmässige Anspruch nach <ref-law> auf Gesetzesstufe konkretisiert (<ref-ruling> E. 4.1). Der Zugang zum Gericht wird der bedürftigen Partei nur für Rechtsansprüche gewährt deren Erfolgsaussichten aufgrund summarischer Beurteilung mindestens nur wenig geringer sind als die Verlustgefahren (<ref-ruling> E. 3.4).
3.2. Im vorliegenden Fall hat sich das Bezirksgericht und die Vorinstanz im Verfahren betreffend Verletzung der Persönlichkeit durch die Stiftung B._ und C._ bereits mit einem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege befasst. Es ist unstrittig, dass jederzeit ein neues Gesuch gestellt werden kann, sofern sich die tatsächlichen Verhältnisse seit dem letzten Entscheid wesentlich geändert haben. Das erneute Gesuch ist allerdings unverzüglich nach Kenntnis der (echten) Noven zu stellen. Dieser Grundsatz (<ref-law>) gilt auch im summarischen Verfahren, welches für die Beurteilung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege zur Anwendung gelangt (Urteil 5A_745/2020 vom 21. Januar 2021 E. 2.2 mit Hinweisen auf die Lehre).
3.3. Der Beschwerdeführer macht die Verletzung seines rechtlichen Gehörs geltend, da die Vorinstanz den Standpunkt des Bezirksgerichts geschützt habe, welches sich mit der Tragweite der Bilanz der D._ A.G. per 31. Dezember 1998 nicht genügend auseinander gesetzt habe.
3.3.1. Aus dieser Bilanz gehe hervor, wie die Bauabrechnungen der fünf Häuser, welche die D._ A.G. in U._ gebaut habe, erstellt wurde. Insbesondere werde dadurch belegt, wie die D._ A.G. in strafbarer Weise ihre fünf Schuldbriefe verwendet habe und ihn des Diebstahls daran beschuldige, was seine Ehre schwer verletze.
3.3.2. Mit dieser Rüge vermengt der Beschwerdeführer offensichtlich die Begründungspflicht mit der Würdigung der vorgelegten Beweise. Erstere betrifft die Pflicht der Behörde, sich mit den Vorbringen der Parteien auseinanderzusetzen und anhand der massgeblichen Elemente ihren Entscheid so zu begründen, dass der Adressat sich über dessen Tragweite Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache anfechten kann (<ref-ruling> E. 5.1 und 5.2). Welche Bedeutung die Behörde dem vorhandenen Beweismaterial einräumt und zu welchem Ergebnis sie gelangt, beschlägt hingegen die Beweiswürdigung, welche das Bundesgericht nur auf Willkür hin überprüfen kann (<ref-ruling> E. 2.3). Eine Verletzung der Begründungspflicht durch die Vorinstanz ist an dieser Stelle nicht zu erkennen.
3.4. Zudem wirft der Beschwerdeführer der Vorinstanz vor, die Bilanz und Jahresrechnung der D._ A.G. per 31. Dezember 1998 willkürlich gewürdigt zu haben.
3.4.1. Die Vorinstanz kam zum Schluss, dass sich bezüglich der hier relevanten Positionen keine Abweichungen zwischen der Bilanz per 31. Dezember 1998 und derjenigen per 31. Dezember 2002 ergeben. Sie nahm zu verschiedenen Positionen Stellung. So erwähnte sie die Passiven B._, das Baukonto B._ und das Darlehen Bank E._. Daraus folgerte die Vorinstanz, dass sich durch die neu eingereichte Bilanz der D._ A.G. für die Beurteilung des zweiten Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege gegenüber dem ersten Gesuch nichts geändert habe. Damit habe der Beschwerdeführer nicht dartun können, inwiefern die Erstinstanz die Berechtigung an den fünf Schuldbriefen falsch beurteilt und insbesondere nicht bereits im ersten Verfahren die Prozessaussichten für seine Zivilklage zutreffend eingeschätzt habe.
3.4.2. Konkret macht der Beschwerdeführer geltend, dass die Vorinstanz die Bilanzen der D._ A.G. nicht als Gesamtheit gewürdigt habe. Daher sei es nicht möglich gewesen, die Frage nach den Schuldbriefen und der Verpflichtungen der D._ A.G. gegenüber der Stiftung B._ abschliessend zu beurteilen. Er nimmt zu einzelnen Positionen in den beiden Bilanzen Stellung und wirft der Vorinstanz dann vor, in willkürlicher Weise die Baukostenabrechnung nicht geprüft und damit eine falsche Beurteilungsgrundlage geschaffen zu haben. Die Beklagten hätten durch ihr strafbares Tun ein Lügengebäude geschaffen und die Gerichte in die Irre geführt. Durch die falschen Anschuldigungen betreffend den Verbleib der Schuldbriefe werde er in seiner Persönlichkeit schwer verletzt, weshalb ihm für die Geltendmachung seiner Ansprüche die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen sei.
3.4.3. Vorab ist festzuhalten, dass die Vorinstanz nicht Aspekte vertieft zu beleuchten hatte, die allenfalls im Hauptverfahren eine Rolle spielen können. Sie musste einzig in summarischer Weise prüfen, ob sich seit der Abweisung des ersten Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege wesentliche Änderungen ergeben haben, welche die Prozessaussichten in einem anderen für den Beschwerdeführer günstigeren Lichte erscheinen lassen (E. 3.2). Keinesfalls musste die Vorinstanz die beiden Bilanzen der D._ A.G. einer eingehenden Analyse unterziehen, wie der Beschwerdeführer offenbar meint. Seine Darstellungen einzelner Positionen in den Bilanzen stellen bloss seine eigene Sicht der Dinge dar und lassen die diesbezügliche Würdigung der Vorinstanz nicht als willkürlich erscheinen.
3.5. Nach dem Gesagten ist nicht ersichtlich, inwiefern das Obergericht Recht verletzt haben soll, wenn es das Nichteintreten der Erstinstanz auf das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege bestätigt hat.
4.
Der Beschwerde ist, soweit darauf einzutreten ist, keine Erfolg beschieden. Da ihr die aufschiebende Wirkung erteilt worden ist, wird dem Beschwerdeführer eine neue (10tägige) Fr ist zur Leistung des Kostenvorschusses an das Bezirksgericht angesetzt. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist infolge Aussichtslosigkeit der Anträge abzuweisen (<ref-law>). Ausgangsgemäss werden die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Dem Beschwerdeführer wird eine Frist von zehn Tagen ab Zustellung des vorliegenden Urteils angesetzt, um für die Gerichtskosten des erstinstanzlichen Verfahrens einen Vorschuss von Fr. 5'170.-- an die Bezirksgerichtskasse Zürich (PC 80-4713-0) zu überweisen.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, mitgeteilt.
Lausanne, 21. Februar 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Levante