Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft Kreuzlingen erhob am 23. Januar 2015 beim Bezirksgericht Kreuzlingen Anklage gegen A._ wegen vorsätzlicher Tötung, versuchter schwerer Körperverletzung, mehrfacher qualifizierter Erpressung, mehrfachen qualifizierten Drogendelikten und weiteren Straftaten. Sie beantragte dafür eine Freiheitsstrafe von 20 Jahren und die Verwahrung des Beschuldigten (<ref-law>). Dieser befindet sich (mit zwei Unterbrüchen während ca. 10 Monaten) seit 13. März 2011 in strafprozessualer Haft.
Mit Urteil vom 22. Januar 2018 bzw. 7. Juni 2019 sprach das Bezirksgericht Kreuzlingen den Beschuldigten der mehrfachen qualifizierten Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz, der Anstiftung zum Raub, der mehrfachen versuchten qualifizierten Erpressung, der versuchten Erpressung, der qualifizierten Förderung der rechtswidrigen Ein- und Ausreise sowie des rechtswidrigen Aufenthalts, der Nötigung, der Widerhandlung gegen das Waffengesetz, der Sachbeschädigung und der groben Verletzung von Verkehrsregeln schuldig. Es verurteilte ihn dafür zu einer Freiheitsstrafe von 14 Jahren (unter Anrechnung einer erstandenen strafprozessualen Haft von 2'258 Tagen). Vom Vorwurf der Beteiligung am Tötungsdelikt und von gewissen anderen Anklagepunkten sprach das Bezirksgericht den Beschuldigten frei; von seiner Verwahrung sah es ab.
Gegen das Strafurteil des Bezirksgerichtes erhoben sowohl der Beschuldigte als auch die Staatsanwaltschaft je Berufung beim Obergericht des Kantons Thurgau. Der Beschuldigte beantragte, er sei von Schuld und Strafe vollumfänglich freizusprechen. Die Staatsanwaltschaft verlangte (neben der Bestätigung der erfolgten Schuldsprüche) zusätzliche Verurteilungen in weiteren Anklagepunkten und sie beantragte eine entsprechende Strafschärfung nebst einer Verwahrung (<ref-law>) des Beschuldigten.
Am 3. Dezember 2019 beantragte der Beschuldigte beim kantonalen Obergericht seine sofortige Entlassung aus dem vorzeitigen Strafvollzug, eventualiter unter Anordnung von Ersatzmassnahmen für strafprozessuale Haft. Mit Verfügung vom 17. Dezember 2019 wies das Obergericht des Kantons Thurgau das Gesuch um Entlassung aus dem vorzeitigen Strafvollzug ab; gleichzeitig verfügte es die sofortige Versetzung des Beschuldigten in Sicherheitshaft. Eine dagegen erhobene Beschwerde hiess das Bundesgericht mit Urteil 1B_55/2020 vom 21. Februar 2020 insofern teilweise gut, als es eine Verletzung des rechtlichen Gehörs von A._ feststellte. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
2.
A._ ersuchte am 30. November 2020 erneut um Haftentlassung. Die Präsidentin des Obergerichts des Kantons Thurgau wies das Gesuch mit Verfügung vom 23. Dezember 2020 ab. Sie bejahte das Vorliegen eines dringenden Tatverdachts sowie der Fluchtgefahr und erachtete die Haftdauer nach wie vor als verhältnismässig.
3.
A._ wandte sich mit Eingabe vom 3. Januar 2021 ans Obergericht des Kantons Thurgau. Dieses wies ihn darauf hin, dass es die Eingabe ohne Gegenbericht innert sieben Tagen ans Bundesgericht weiterleiten werde. Mit Schreiben vom 20. Januar 2020 überwies das Obergericht die Eingabe vom 3. Januar 2021 ans Bundesgericht. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Ausführungen des Obergerichts, die zur Abweisung seines Haftentlassungsgesuchs führten, nicht auseinander. Er vermag nicht ansatzweise aufzuzeigen, inwiefern die Begründung des Obergerichts bzw. dessen Verfügung selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
5.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Thurgau und dem Obergericht des Kantons Thurgau, Präsidentin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Januar 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli