Erwägungen:
1.
Mit Urteil 1C_295/2019, 1C_357/2019 vom 16. Juli 2020 trat das Bundesgericht auf die Beschwerde von A._ betreffend den Wahlvorschlag der Interfraktionellen Konferenz des Kantonsrats Zürich für die Wahl bzw. Wiederwahl der Mitglieder des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich für die Amtsperiode 2019-2025 nicht ein (Verfahren 1C_295/2019; Dispositivziffer 2 des Urteils). Die Beschwerde gegen den entsprechenden Wahlakt des Kantonsrats Zürich vom 24. Juni 2019 wies es ab, soweit es darauf eintrat (Verfahren 1C_357/2019; Dispositivziffer 3 des Urteils). Ausgangsgemäss auferlegte es A._ weiter die Gerichtskosten (Dispositivziffer 4 des Urteils).
Mit Revisionsgesuch vom 7. September 2020 an das Bundesgericht beantragt A._, die Dispositivziffern 3 und 4 des bundesgerichtlichen Urteils aufzuheben und ihn - bei entsprechender Anpassung der Kosten- und Entschädigungsfolge - für die Amtsperiode 2019-2025 als zum vollamtlichen Mitglied des Verwaltungsgerichts gewählt zu erklären oder den Kantonsrat anzuweisen, ihn für diese Amtsperiode als vollamtliches Mitglied wiederzuwählen, beides wenn nötig unter Kassation der Wahl der beiden neuen, mit dem Wahlakt des Kantonsrats vom 24. Juni 2019 gewählten teilamtlichen Mitglieder des Verwaltungsgerichts. Eventuell sei festzustellen, dass seine Nichtwiederwahl auf einer diskriminierenden bzw. rechtsungleichen Praxis des Kantonsrats bei der Wiederwahl von Gerichtsmitgliedern beruhe.
2.
2.1. Entscheide des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (<ref-law>). Eine nochmalige Überprüfung der vom Bundesgericht beurteilten Streitsache ist grundsätzlich ausgeschlossen. Das Gericht kann auf seine Urteile nur zurückkommen, wenn einer der in den <ref-law> abschliessend aufgeführten Revisionsgründe vorliegt. Revisionsgesuche haben den Begründungsanforderungen von <ref-law> zu genügen, weshalb die gesuchstellende Partei in gedrängter Form darzulegen hat, inwiefern der von ihr behauptete Revisionsgrund vorliegen soll. Fehlt es an einer rechtsgenüglichen Begründung, tritt das Bundesgericht auf das Revisionsgesuch nicht ein (zum Ganzen: Urteile 1F_7/2020 vom 4. Mai 2020 E. 3.1; 1F_14/2018 vom 5. Juli 2018 E. 3 mit Hinweis).
2.2. Der Gesuchsteller beruft sich auf den Revisionsgrund von <ref-law> und begründet in rechtsgenüglicher Weise, wieso er der Meinung ist, dieser liege vor. Er hat weiter zumindest teilweise ein schutzwürdiges Interesse an der beantragten Revision (vgl. Urteil 1C_295/2019, 1C_357/2019 vom 16. Juli 2020 E. 3.4) und ist insoweit zur Einreichung des Revisionsgesuchs legitimiert (vgl. Urteil 9F_5/2016 vom 23. September 2016 E. 2.2; ELISABETH ESCHER, in: Basler Kommentar Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 2 zu <ref-law>). Er hat das Revisionsgesuch zudem rechtzeitig eingereicht (<ref-law>). Auch sonst steht einem Eintreten auf dieses grundsätzlich nichts entgegen.
3.
3.1. Gemäss <ref-law> kann die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts verlangt werden, wenn das Gericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat. Eine unzutreffende beweismässige oder rechtliche Würdigung von Tatsachen unterliegt nicht der Revision (<ref-ruling> E. 3 S. 18 f.; Urteile 1F_7/2020 vom 4. Mai 2020 E. 3.2; 2F_26/2019 vom 14. November 2019 E. 3.1 mit Hinweisen; ESCHER, a.a.O., N. 9 zu <ref-law>). Der Revisionsgrund kann zudem nur angerufen werden, wenn die unberücksichtigten Tatsachen als erheblich zu beurteilen sind. Davon ist auszugehen, wenn deren Berücksichtigung zugunsten der gesuchstellenden Partei zu einem anderen Entscheid hätte führen müssen (<ref-ruling> E. 3 S. 19; Urteil 2F_26/2019 vom 14. November 2019 E. 3.1 mit Hinweisen; ESCHER, a.a.O., N. 10 zu <ref-law>).
3.2. Der Gesuchsteller macht geltend, er habe mehrfach vorgebracht, dass der Kantonsrat am 24. Juni 2019 anlässlich der Wahl der Mitglieder des Obergerichts für die Amtsperiode 2019-2025 zwei gerade noch nicht 65-jährige Oberrichter wiedergewählt habe. Diesen Umstand dürfte das Bundesgericht versehentlich nicht berücksichtigt haben. Er sei erheblich, woran nichts ändere, dass einer der beiden Oberrichter inzwischen seinen vorzeitigen Abschied genommen habe. Mit der Wiederwahl habe der Kantonsrat den beiden Oberrichtern eine Amtszeit bis zu einem Alter von 70 Jahren und über 8 Monaten gestattet, während er ihm am gleichen Tag eine Verlängerung der Amtszeit über ein Alter von 67 Jahren und knapp 2 Monate hinaus verwehrt habe. Dies bedeute eine Differenz von mehr als drei Jahren und sechs Monaten. Auch eine solche, aus der strittigen Wahlpraxis resultierende Differenz sei übermässig und verletze das Gleichbehandlungsgebot. Bezüglich des altersbedingten Amtsendes dürfe er die gleiche Behandlung beanspruchen wie die Mitglieder des Obergerichts.
3.3. Das Bundesgericht ist im erwähnten Urteil zum Schluss gekommen, Unterschiede von bis zu fast sechs Jahren bei der Dauer der Amtsausübung, die einzig aus dem gesetzlich nicht vorgesehenen Abstellen auf das Alter zu Beginn der neuen Amtsperiode beim Wiederwahlentscheid resultierten, seien übermässig und hielten vor dem Gleichbehandlungsgebot gemäss <ref-law> nicht stand. Im vorliegenden Fall führe die strittige Wahlpraxis des Kantonsrats allerdings nicht zu einer verfassungswidrigen Ungleichbehandlung des Gesuchstellers. Für die Frage des Vorliegens einer solchen Ungleichbehandlung hat es dabei - wie aus seinen Erwägungen in diesem Zusammenhang deutlich wird - als massgeblich erachtet, ob für die Amtsperiode 2019-2025 wiedergewählte Mitglieder des Verwaltungsgerichts übermässig viel länger im Amt bleiben könnten als der nicht wiedergewählte Gesuchsteller. Es hat mithin darauf abgestellt, ob der auf der Grundlage der strittigen Wahlpraxis ergangene angefochtene Wahlakt zur Bestellung des Verwaltungsgerichts für die erwähnte Amtsperiode dazu führt, dass der Gesuchsteller (wegen seiner Nichtwiederwahl) gegenüber wiedergewählten Mitgliedern dieses Gerichts in Bezug auf die mögliche Dauer der Amtsausübung in gegen das Gleichbehandlungsgebot verstossender Weise schlechter gestellt wird (vgl. Urteil 1C_295/2019, 1C_357/2019 vom 16. Juli 2020 E. 6.3). Ob mit separatem Wahlakt des Kantonsrats für die gleiche Amtsperiode wiedergewählte Mitglieder des Obergerichts länger in ihrem Amt bleiben könnten als der Gesuchsteller, der für das Amt des Oberrichters nicht kandidierte, hat es dagegen nicht als massgeblich erachtet. Es ist daher auch nicht auf den im Revisionsgesuch erwähnten Umstand eingegangen.
Entgegen dem, was der Gesuchsteller mutmasst, hat das Bundesgericht somit den im Revisionsgesuch genannten Umstand nicht versehentlich unberücksichtigt gelassen. Es hat vielmehr, wie aus dem erwähnten Urteil hervorgeht, allein die mögliche Dauer der Amtsausübung der für die Amtsperiode 2019-2025 wiedergewählten Mitglieder des Verwaltungsgerichts als rechtserheblich beurteilt. Der Gesuchsteller mag mit dieser rechtlichen Beurteilung nicht einverstanden sein; der von ihm angerufene Revisionsgrund läge jedoch auch dann nicht vor, wenn diese Beurteilung unzutreffend wäre (vgl. vorne E. 3.1). Das Revisionsgesuch erweist sich daher ungeachtet dieser Frage als unbegründet, weshalb auf diese nicht einzugehen ist.
4.
Demnach ist das Revisionsgesuch ohne Durchführung eines Schriftenwechsels abzuweisen (<ref-law>).
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Gesuchsteller kostenpflichtig (<ref-law>). Parteientschädigungen für das bundesgerichtliche Verfahren sind keine auszurichten (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. September 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Baur