Sachverhalt:
A.
Der 1968 geborene A._, alleiniger Gesellschafter und Geschäftsführer mit Einzelunterschrift der im Fensterbau tätigen B._ GmbH, meldete sich am 31. Dezember 2012 unter Hinweis auf Beschwerden nach einem Verkehrsunfall vom 29. August 2011 zum Leistungsbezug bei der Invalidenversicherung an. Gemäss Schadenmeldung vom 25. September 2011 an die zuständige Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (Suva) wurde er am 29. August 2011, nachdem er aus seinem defekten Lieferwagen ausgestiegen war, auf dem Pannenstreifen einer Autobahn gehend, vom rechten Seitenspiegel eines mit ca. 85 km/h fahrenden Lastwagens touchiert und auf den Normalstreifen geschleudert. Nach einer Wundversorgung und neurologischer Überwachung aufgrund der u.a. erlittenen Commotio cerebri konnte er anderntags das Spital wieder verlassen. Bei einem zweiten Unfall am 15. Oktober 2015 erlitt A._ Verbrennungen an beiden Händen. Die IV-Stelle Solothurn klärte den Sachverhalt in erwerblicher und gesundheitlicher Hinsicht ab, zog die Unfallakten der Suva bei (worunter ein polydisziplinäres Gutachten des Spitals C._ vom 6. Juli 2016) und liess A._ psychiatrisch bei Dr. med. D._ abklären (Gutachten vom 4. Februar 2019), nachdem sie zuvor an der Notwendigkeit einer Begutachtung festgehalten hatte (Verfügung vom 25. Mai 2018, bestätigt durch das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 26. September 2018 [VSBES.2018.148]). Mit Verfügung vom 5. Mai 2020 wies die IV-Stelle das Leistungsbegehren bei einem Invaliditätsgrad von 3 % ab.
B.
Die dagegen eingereichte Beschwerde hiess das Versicherungsgericht mit Urteil vom 19. April 2021 teilweise gut und hob die Verfügung vom 5. Mai 2020 auf. Es sprach A._ für die Zeit vom 1. Juli 2013 bis 31. März 2018 eine halbe Rente der Invalidenversicherung zu. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils sei die Verfügung vom 5. Mai 2020 vollumfänglich zu bestätigen. Eventualiter sei die vorinstanzlich zugesprochene Invalidenrente herabzusetzen. Ferner sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
A._ lässt auf Nichteintreten schliessen; eventualiter auf Abweisung, soweit auf die Beschwerde einzutreten sei. Der Antrag auf Erteilung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde sei abzuweisen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen hat auf eine Stellungnahme verzichtet.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz zu Recht die Verfügung der IV-Stelle vom 5. Mai 2020 aufgehoben und die Verwaltung verpflichtet hat, vom 1. Juli 2013 bis 31. März 2018 eine halbe Rente der Invalidenversicherung zu leisten.
2.2.
2.2.1. Das kantonale Gericht hat die Grundsätze über die für den Rentenanspruch nach <ref-law> vorausgesetzte Invalidität (<ref-law>) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt hinsichtlich der bei der Beurteilung des Beweiswerts eines ärztlichen Berichts oder Gutachtens zu beachtenden allgemeinen Regeln (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 3a). Es wird darauf verwiesen.
2.2.2. Geht es um psychische Erkrankungen wie eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung, ein damit vergleichbares psychosomatisches Leiden (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.1.3) oder depressive Störungen (<ref-ruling> und 418), so sind für die Beurteilung der Arbeitsfähigkeit systematisierte Indikatoren (Beweisthemen und Indizien) beachtlich, die es - unter Berücksichtigung von leistungshindernden äusseren Belastungsfaktoren wie auch von Kompensationspotentialen (Ressourcen) - erlauben, das tatsächlich erreichbare Leistungsvermögen einzuschätzen (<ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweisen).
2.2.3. Sowohl die medizinischen Sachverständigen als auch die Organe der Rechtsanwendung haben sich bei ihrer Einschätzung des Leistungsvermögens an den normativen Vorgaben zu orientieren; die Gutachter im Idealfall gemäss der entsprechend formulierten Fragestellung (<ref-ruling> E. 5.2). Die Rechtsanwender prüfen die medizinischen Angaben frei, insbesondere daraufhin, ob die Ärzte sich an die massgebenden normativen Rahmenbedingungen gehalten haben. Es stellt sich aus rechtlicher Sicht die Frage, ob und in welchem Umfang die ärztlichen Feststellungen anhand der rechtserheblichen Indikatoren auf eine Arbeitsunfähigkeit schliessen lassen, wie sie vom medizinisch-psychiatrischen Experten abschliessend eingeschätzt worden ist. Eine davon losgelöste Parallelüberprüfung "nach besserem juristischen Wissen und Gewissen" darf nicht stattfinden (<ref-ruling> E. 3.2.2 mit Hinweisen; Urteil 8C_407/2020 vom 3. März 2021 E. 5.1). Im Zuge der Anwendung von <ref-ruling> sowie <ref-ruling> und 418 bestätigte das Bundesgericht mehrfach, dass nicht von einer unzulässigen juristischen Parallelüberprüfung auszugehen ist, wenn das kantonale Gericht anhand der medizinischen Indikatorenprüfung die massgeblichen Beweisthemen im Rahmen einer umfassenden Betrachtung eines stimmigen Gesamtbildes schlüssig abgehandelt und nachgewiesen hat, wo die ärztlichen Darlegungen nicht mit den normativen Vorgaben übereinstimmen (<ref-ruling> E. 4.1.1 mit Hinweisen).
3.
3.1. Die Vorinstanz mass dem Gutachten des Dr. med. D._, Psychiatrie und Psychotherapie, vom 4. Februar 2019 vollen Beweiswert zu. Dieser habe keine Diagnose mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit gestellt, weshalb von einer Prüfung gemäss den Standardindikatoren nach <ref-ruling> abgesehen werden könne. Gestützt auf dessen Darlegungen nahm die Vorinstanz in Bezug auf seine retrospektive Beurteilung der Arbeitsfähigkeit an, dass der Beschwerdegegner aus psychiatrischer Sicht vom 29. August 2011 bis mindestens Mitte Juni 2016 zu 50 % arbeitsunfähig gewesen sei. Ab Mitte 2016 könne die Arbeitsfähigkeit nicht mehr beurteilt werden, wobei der Beschwerdegegner seit Anfang 2018 in der angestammten wie in einer leidensangepassten Tätigkeit wieder vollständig arbeitsfähig sei.
Was die erwerblichen Auswirkungen des Gesundheitsschadens betrifft, stellte die Vorinstanz zur Ermittlung von Validen- und Invalideneinkommen auf Tabellenlöhne der vom Bundesamt für Statistik herausgegebenen Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE) des Jahres 2012 ab. Die Gegenüberstellung von Validen- und Invalideneinkommen ergab einen Invaliditätsgrad von 52 %, was zur Bejahung eines vom 1. Juli 2013 bis 31. März 2018 befristeten Anspruchs auf Invalidenrente führte. Im Rahmen der revisionsweisen Neubeurteilung des Rentenanspruchs aufgrund des verbesserten Gesundheitszustands ab 1. Januar 2018 errechnete die Vorinstanz - wiederum durch Einkommensvergleich anhand tabellarischer Werte der LSE - einen Invaliditätsgrad von rund 2 %, womit sie einen Anspruch auf Invalidenrente ab 1. April 2018 verneinte.
3.2. Die Beschwerdeführerin wendet dagegen ein, die Vorinstanz habe Bundesrecht verletzt, weil sie den Grundsatz missachtet habe, dass es zur Annahme einer Invalidität aus psychischen Gründen einer einwandfreien Diagnose bedürfe. So müsse nachvollziehbar sein, ob die klassifikatorischen Vorgaben der ICD-10 tatsächlich eingehalten worden seien, insbesondere was den diagnoseinhärenten Schweregrad betreffe. Überdies habe die Vorinstanz die Anwendung des indikatorengeleiteten Beweisverfahrens nach <ref-ruling> generell verneint, obwohl eine psychiatrische Diagnose Grundlage für die befristete Rentenzusprache gebildet habe. Dr. med. E._, Fachärztin für Neurologie, Psychiatrie und Psychotherapie, habe im Rahmen der polydisziplinären Begutachtung im Spital C._ in ihrem Teilgutachten vom 5. Juli 2016 die diagnostizierte posttraumatische Belastungsstörung (PTBS; ICD-10: F43.1) als nicht sehr ausgeprägt eingeschätzt. Dr. med. D._ habe wohl die PTBS im Gutachtenszeitpunkt als remittiert angesehen. Für den vorangehenden Zeitraum sei diese jedoch nicht nachvollziehbar hergeleitet und ohne kritische Prüfung der Diagnosekriterien von ihm übernommen worden, indem er lediglich angegeben habe, Dr. med. E._ habe die PTBS sozialmedizinisch plausibel und fachlich gut begründet. Im Hinblick darauf, dass die Vorinstanz dem Beschwerdegegner eine vom 1. Juli 2013 bis 31. März 2018 befristete halbe Invalidenrente zugesprochen habe, sei die Nichtvornahme der Indikatorenprüfung bundesrechtsverletzend. Ein stimmiges Gesamtbild liege nicht vor. Es fehle an einer Folgeabschätzung und Plausibilitätsprüfung, die der Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> standhalte. Weiter moniert die Beschwerdeführerin, gestützt auf die Ausführungen des Gutachters Dr. med. D._ habe die Vorinstanz eine bereits seit Mai 2015 bestehende gesundheitliche Verbesserung festgestellt, weshalb ein Revisionsgrund vorliege. Die Auswirkungen der verbesserten gesundheitlichen Situation auf die funktionelle Leistungsfähigkeit bzw. die Arbeitsfähigkeit des Beschwerdegegners habe die Vorinstanz jedoch nicht geprüft und unbeantwortet gelassen, welche Arbeitsleistungen diesem noch zumutbar seien. Die Vorinstanz habe überdies festgestellt, dass ab Mitte 2016 bis 2018 die Arbeitsfähigkeit nicht beurteilt werden könne. Eine entsprechende Beweiswürdigung und Beurteilung der Arbeitsfähigkeit habe sie aber nicht vorgenommen und namentlich auch hier unberücksichtigt gelassen, dass der Beschwerdegegner seine selbstständige Geschäfts- und Erwerbstätigkeit aufrechterhalten konnte. Ein durchgehender Rentenanspruch über fünf Jahre, trotz ausgewiesener gesundheitlicher Verbesserung, könne daher nicht nachvollzogen werden und sei nicht rechtens.
4.
4.1. Wie bei jeder geltend gemachten gesundheitsbedingten Erwerbsunfähigkeit setzt auch bei psychischen Erkrankungen eine leistungs-, insbesondere rentenbegründende Invalidität eine lege artis gestellte Diagnose mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit voraus (<ref-ruling> E. 4.5.2; SVR 2021 IV 47 151, 8C_407/2020 E. 4.1). Es braucht in jedem Fall zur Annahme einer Invalidität ein medizinisches Substrat, das (fach) ärztlicherseits schlüssig festgestellt wird und nachgewiesenermassen die Arbeits- und Erwerbsfähigkeit wesentlich einschränkt (<ref-ruling> E. 5a; Urteil 8C_582/2017 vom 22. März 2018 E. 5.1). Massgebend ist in erster Linie der lege artis erhobene psychopathologische Befund und der Schweregrad der Symptomatik sowie die damit verbundenen Funktionseinschränkungen (Urteile 9C_536/2020 vom 15. Februar 2021 E. 4.2; 9C_273/2018 vom 28. Juni 2018 E. 4.2 mit Hinweisen; so schon <ref-ruling> E. 4c). Die Beschwerdeführerin wies zutreffend darauf hin, dass die Herleitung und Begründung der Diagnose einer PTBS dabei einer besonderen Achtsamkeit bedarf. Ob im vorliegenden Fall die für die Bejahung einer PTBS bedeutsame Schwere des Belastungskriteriums und die weiteren Kriterien nach ICD-10 gegeben sind, braucht indessen nicht abschliessend beurteilt zu werden, wie sich aus den nachfolgenden Erwägungen ergibt:
4.2.
4.2.1. Wie dargelegt, bedarf es bei der Folgenabschätzung einer psychischen Erkrankung, so auch einer PTBS, auf das Leistungsvermögen bzw. die Arbeitsfähigkeit eines konsistenten Nachweises mittels sorgfältiger Plausibilitätsprüfung im Rahmen eines strukturierten Beweisverfahrens unter Verwendung der Standardindikatoren (vorstehende E. 2.2). Die Vorinstanz trug diesen Vorgaben insgesamt nicht hinreichend Rechnung, wie die Beschwerdeführerin zu Recht rügt.
4.2.2. Zur gesundheitlichen Situation und zur Arbeitsfähigkeit führte die Vorinstanz aus, im polydisziplinären Gutachten des Spitals C._ vom 6. Juli 2016 sei weder der Gesundheitszustand noch die Arbeitsfähigkeit umfassend geklärt worden, wie sie bereits im Urteil vom 26. September 2018 festgestellt habe. Namentlich habe es die psychiatrische Expertin Dr. med. E._ unterlassen, sich mit dem zweiten Unfall vom 15. Oktober 2015 und der damit vom behandelnden Psychiater Dr. med. F._ im Schreiben vom 16. Dezember 2015 festgehaltenen Retraumatisierung zu befassen. Mit Blick auf den gesundheitlichen Verlauf stellte die Vorinstanz sodann auf die gutachterliche Einschätzung des Dr. med. D._ ab, wonach es im Rahmen der entwickelten posttraumatischen psychischen Symptomatik und belastenden psychosozialen Situation zum Ausbruch einer PTBS mit nachfolgender Anpassungsstörung mit längerer depressiver Reaktion gekommen sei. Es sei aber ab dem Jahr 2015 eine zunehmende Verbesserung der psychischen Situation festzustellen. Dr. med. D._ habe diese Einschätzung gestützt auf die Ausführungen des behandelnden Psychiaters Dr. med. F._ in seinem Bericht vom 22. Juni 2015 getroffen. Die Vorinstanz folgte sodann den Feststellungen zur Arbeitsfähigkeit des Dr. med. D._, wobei sich dessen Beurteilung der verbliebenen Arbeitsfähigkeit auf die angestammte wie auf eine leidensangepasste Tätigkeit bezogen habe.
4.2.3. Hinsichtlich des Beginns der Arbeitsfähigkeit ging der Experte von einer seit dem Unfall bis Mitte 2016 bestehenden 50%-igen Arbeitsfähigkeit aus, die er jedoch nicht weiter begründete. Weshalb die Vorinstanz dieser Einschätzung einer 50%-igen Einschränkung der Arbeitsfähigkeit und nicht jener des behandelnden Dr. med. F._ folgte, ergibt sich aus dem angefochtenen Urteil nicht. Ebenso wenig wird darin überzeugend begründet, weshalb sich diese Angaben sowohl auf die angestammte als auch auf eine leidensadaptierte Tätigkeit beziehen sollen. Dr. med. F._ erachtete nämlich in seinem Bericht vom 22. Juni 2015 eine um 30 bis 40%-ige Leistungsminderung in der angestammten Tätigkeit aufgrund der depressiven Symptomatologie und der beschriebenen Verlangsamung sowie der Antriebsminderung als gegeben. Eine Leistungseinschränkung aus psychiatrischer Sicht bezüglich einer (somatisch) angepassten Tätigkeit formulierte er nicht.
Einer vorinstanzlichen Befassung mit der unterschiedlichen Einschätzung der zu diesem Zeitpunkt bestehenden Arbeitsfähigkeit aus psychiatrischer Sicht durch die Dres. med. D._ und F._ hätte es umso mehr bedurft, als die Vorinstanz annahm, dass Dr. med. D._ sich bezüglich der festgestellten gesundheitlichen Verbesserung auf den Bericht des Dr. med. F._ vom 22. Juni 2015 gestützt habe. Ebenso wenig befasste sich die Vorinstanz mit der im Gutachten des Spitals C._ vom 6. Juli 2016 davon abweichenden Arbeitsfähigkeitsschätzung, wonach die angestammte Tätigkeit als Fenstermonteur aufgrund der unfallbedingten psychischen Beschwerden in Kombination mit der psychosomatischen Beeinträchtigung überhaupt nicht mehr zumutbar sei. Als Geschäftsführer sei der Beschwerdegegner, gemäss dieser gutachterlichen Einschätzung, aufgrund der kognitiven Defizite und wegen der Spannungskopfschmerzen zeitlich und leistungsmässig um 50 % eingeschränkt. In einer ideal leidensadaptierten Tätigkeit bestehe eine 50 %-ige Arbeitsfähigkeit mit einer Leistungsminderung von zusätzlich 10 % wegen des verminderten Arbeitstempos und des vermehrten Pausenbedarfs. Das aktuelle Funktionsniveau sei ein Endzustand, eine relevante Verbesserung des Gesamtzustands sei nicht zu erwarten.
4.2.4. Die von der Vorinstanz festgestellten Diagnosen und Befunde legen für sich gesehen noch keine besondere Schwere der Gesundheitsschädigung nahe. Sie vermögen die von ihr gestützt auf das Gutachten des Dr. med. D._ angenommene Arbeitsunfähigkeit von 50 % in der angestammten wie in einer leidensangepassten Tätigkeit für die Zeit vom 29. August 2011 bis (mindestens) Mitte Juni 2016 bzw. bis Anfang 2018, wie soeben aufgezeigt, nicht ohne Weiteres zu erklären. Was den Verlauf der gesundheitlichen Beeinträchtigungen betrifft, steht darüber hinaus fest, dass der Beschwerdegegner weiterhin in seiner eigenen Unternehmung arbeitet und die Geschäftstätigkeit insofern sogar ausbauen konnte, als er, gemäss seinen Angaben gegenüber Dr. med. D._, seit 2009 mit dem Geschäftsgang sehr zufrieden sei, wobei er fünf und im Sommer bis zu zehn Angestellte beschäftige.
4.3. Zusammenfassend geht hieraus hervor, dass sich die Arbeitsfähigkeit des Beschwerdegegners im relevanten Zeitraum rechtlich nicht zuverlässig beurteilen lässt, ohne die Vorgaben des indikatorengeleiteten Beweisverfahrens zu beachten. Unter den gegebenen Umständen durfte es die Vorinstanz nicht dabei belassen, ohne strukturierte Prüfung nach <ref-ruling> eine Einschränkung des funktionalen Leistungsvermögens um 50 % anzunehmen. Denn mit den gestellten Diagnosen im Gutachten des Dr. med. D._, die der befristeten Rentenzusprache für die Zeit vom 1. Juli 2013 bis 31. März 2018 zugrunde liegen (Anpassungsstörung mit längerer depressiver Reaktion, gegenwärtig vollständig remittiert [ICD 10 F43.21]; PTBS, gegenwärtig weitgehend remittiert [ICD 10 F45.1]), kann nicht ohne nähere Befassung im Rahmen des strukturierten Beweisverfahrens eine schwergradige Beeinträchtigung angenommen werden, die die bescheinigte Arbeitsunfähigkeit von 50 % im angegebenen Zeitraum für den Rechtsanwender ausreichend erklärt. Die vorinstanzliche Würdigung des Gutachtens vermag die diesbezüglich bundesrechtlich geforderte hinreichende Plausibilisierung der Folgenabschätzung durch den Experten nicht zu erbringen. In diesem Punkt verletzt das vorinstanzliche Urteil Bundesrecht, wie die Beschwerdeführerin stichhaltig einwendet (vgl. SVR 2020 IV Nr. 42 S. 148, 8C_423/2019 E. 6.4). Entgegen den Rügen des Beschwerdegegners handelt es sich somit bei den Vorbringen in der Beschwerde namentlich weder um eine rein appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Urteil noch wurden unzulässige Noven vorgebracht (<ref-law>).
4.4. Sodann liegt es nicht am Bundesgericht, die hier gebotene umfassende Beurteilung der Arbeitsfähigkeit anhand der Standardindikatoren, was den Zeitraum der Rentenzusprache betrifft, von sich aus vorzunehmen. Dafür ist die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie - allenfalls nach Rücksprache mit dem Gutachter - anhand des strukturierten Beweisverfahrens mittels Standardindikatoren prüfen kann, ob sich die aufgezeigten Widersprüchlichkeiten auflösen lassen und sich ein stimmiges Gesamtbild ergibt, um die Frage der funktionellen Auswirkungen einer Störung aus juristischer Sicht abschliessend zu beantworten (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 4.3 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 6; ferner bereits <ref-ruling> E. 5.2.2, 6 und 7 sowie 143 V 409 E. 4.5.2, je mit Hinweisen; Urteile 8C_423/2019 vom 7. Februar 2020 E. 3.2.2; 8C_703/2018 vom 13. Juni 2019 E. 3.2.2.2.2). Die Beschwerde ist begründet.
5.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung der Beschwerde wird mit diesem Urteil gegenstandslos.
6.
Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Beschwerdegegner auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und das Urteil des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 19. April 2021 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 13. Oktober 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Polla