Sachverhalt:
A.
Im März 2015 unterzog sich B.A._ einer Behandlung am Universitätsspital Zürich. Die Behandlungskosten von Fr. 19'324.30 wurden in der Folge dem damaligen Ehemann von B.A._, A.A._, in Rechnung gestellt. Nachdem A.A._ die Rechnung trotz mehrfacher Mahnungen nicht beglichen hatte, wurde er am 21. September 2016 betrieben. Hierauf erhob er am 28. September 2016 Rechtsvorschlag.
Mit Verfügung vom 30. September 2016 ordnete die Direktion Finanzen des Universitätsspitals Zürich an, dass A.A._ dem Spital Fr. 19'324.30 nebst Zins von 5 % seit dem 8. September 2015 zu bezahlen habe. Zugleich hob sie den Rechtsvorschlag in der genannten Betreibung in diesem Umfang zuzüglich Betreibungskosten von Fr. 103.30 sowie Mahnspesen von Fr. 20.-- auf.
B.
Die hiergegen gerichteten kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg (Beschluss der Spitaldirektion des Universitätsspitals Zürich vom 11. Oktober 2017 und Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 13. Dezember 2018).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 21. Januar 2019 beantragt A.A._, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 13. Dezember 2018 sei aufzuheben. Zudem fordert er, es sei zu erkennen, dass er nicht für die Kosten der Behandlung seiner ehemaligen Gattin hafte.
Die Direktion Finanzen des Universitätsspitals Zürich schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
Mit Eingabe vom 28. Februar 2019 hat der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers aufforderungsgemäss eine Vollmacht nachgereicht.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den kantonal letztinstanzlichen Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig (Art. 82 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. d sowie Art. 90 BGG), da keine Ausnahme nach <ref-law> vorliegt. Die Beschwerde wurde fristgerecht erhoben (vgl. Art. 46 Abs. 1 lit. c in Verbindung mit <ref-law>). Nach der Einreichung der Vollmacht des Rechtsvertreters des Beschwerdeführers erscheint das Rechtsmittel auch als formgerecht (vgl. <ref-law>).
Der Beschwerdeführer ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten. Nicht einzutreten ist hingegen auf den selbstständigen Antrag, es sei festzustellen, dass der Beschwerdeführer nicht für die Kosten der Behandlung seiner Ehefrau hafte. Diesbezüglich fehlt es dem Beschwerdeführer an einem schutzwürdigen Feststellungsinteresse, da dem vorliegenden Verfahren ein Leistungsentscheid (insbesondere mit der Verpflichtung zur Bezahlung der genannten Behandlungskosten) zugrunde liegt (zur Subsidiarität von Feststellungs- gegenüber Leistungsbegehren vgl. <ref-ruling> E. 6.5 S. 218 f.; <ref-ruling> E. 2b und 2c S. 303; Urteile 2C_67/2015 vom 12. November 2015 E. 1.2; 2C_336/2011 vom 29. September 2011 E. 1.1).
1.2. Mit der Beschwerde kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), wobei es unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>) grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen prüft, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.5 S. 144; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Der Verletzung von Grundrechten sowie kantonalem und interkantonalem Recht geht das Bundesgericht nur nach, falls eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und ausreichend be-gründet worden ist (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232). Die Anwendung kantonalen Rechts wird sodann vom Bundesgericht nur daraufhin geprüft, ob dadurch Bundesrecht - namentlich das Willkürverbot - verletzt wurde (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 372; <ref-ruling> E. 2 S. 149 f.; Urteil 2C_747/2018 vom 11. März 2019 E. 1.2).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zu Grunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (<ref-law>). Offensichtlich unrichtig festgestellt ist ein Sachverhalt, wenn er willkürliche Feststellungen beinhaltet (<ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62).
2.
2.1. Es wird vorliegend nicht in Abrede gestellt, dass für die im März 2015 durchgeführte Behandlung von B.A._ am Universitätsspital Zürich Gebühren von Fr. 19'324.40 geschuldet sind und diese Schuld nicht durch die Sozialversicherer oder die öffentliche Hand gedeckt ist. Ebenso wenig wird bestritten, dass die dem Beschwerdeführer auferlegte Leistungspflicht (mitsamt den ihm in den vorangegangenen Verfahren auferlegten Gebühren) und die streitbetroffene Aufhebung des Rechtsvorschlages bundesrechtskonform wären, wenn der Beschwerdeführer für diesen, von seiner ehemaligen Gattin B.A._ geschuldeten Betrag solidarisch haften würde.
Hinsichtlich der genannten Punkte ist auch nicht ersichtlich, dass die Würdigung der Vorinstanz an offensichtlichen Mängeln leiden würde.
Streitig und zu klären ist hingegen, ob die Vorinstanz zu Recht eine solidarische Haftung des Beschwerdeführers gegenüber dem Universitätsspital bejaht hat. Nach Auffassung des Beschwerdeführers haftet er nicht, weil er und seine damalige Ehefrau bereits seit dem 10. Mai 2014 in rechtserheblicher Weise getrennt gewesen seien. Zu diesem Zeitpunkt sei seine frühere Gattin bereits in die Dominikanische Republik abgereist gewesen, ohne dass sie eine Adresse hinterlassen hätte, unter welcher sie erreichbar gewesen wäre.
2.2. Gemäss § 16 Abs. 1 des Spitalplanungs- und -finanzierungsgesetzes des Kantons Zürich vom 2. Mai 2011 (SPFG; LS 813.20) sind die Leistungen der vom Kanton und den Gemeinden betriebenen öffentlich-rechtlichen Spitäler gebührenpflichtig. Soweit die Vergütung nicht ausschliesslich von den Sozialversicherern oder der öffentlichen Hand geschuldet ist, haften gemäss § 16 Abs. 3 lit. a SPFG nebst den Patientinnen sowie Patienten die "in rechtlich ungetrennter Ehe lebenden Ehegatten" (zu weiteren Personen, welche solidarisch haften, vgl. § 16 Abs. 3 lit. b-d SPFG).
Das Universitätsspital Zürich, das eine Anstalt des kantonalen öffentlichen Rechts mit eigener Rechtspersönlichkeit bildet (vgl. § 1 des Gesetzes des Kantons Zürich vom 19. September 2005 über das Universitätsspital Zürich [USZG; LS 813.15]), verfügt über eine ge-stützt auf das USZG erlassene Taxordnung (Taxordnung des Universitätsspitals Zürich vom 25. März 2009, TO USZ; LS 813.155). Danach haftet der "in rechtlich ungetrennter Ehe lebende Ehegatte" neben der Patientin oder dem Patienten dem Spital solidarisch für die Taxen (§ 26 lit. a TO USZ; zu weiteren, solidarisch haftenden Subjekten vgl. § 26 lit. b und c TO USZ).
Für die kantonalen Spitäler ohne eigene Rechtspersönlichkeiterlässt der Regierungsrat nach § 16 Abs. 4 SPFG eine Taxordnung. Die Verordnung über Leistungen und Gebühren der kantonalen Spitäler vom 20. Oktober 2004 (Taxordnung; LS 813.111) sieht vor, dass für die Taxen nebst der Patientin oder dem Patienten "der in rechtlich und tatsächlich ungetrennter Ehe lebende Ehegatte" dem Spital solidarisch haftet (vgl. § 26 lit. a Taxordnung; zum Kreis der weiteren solidarisch haftenden Personen vgl. § 26 lit. b und c Taxordnung).
2.3. Die Vorinstanz erklärte im angefochtenen Urteil, § 16 Abs. 3 lit. a SPFG bilde eine genügende gesetzliche Grundlage für die Solidarhaftung von Ehegatten der Patientinnen und Patienten. Diese Bestimmung sei dahingehend auszulegen, dass eine bloss faktische Trennung die Solidarhaftung des Ehegatten für die Spitalgebühren der Patientin oder des Patienten nicht wegzubedingen vermöge. Vielmehr sei hierfür eine rechtliche Trennung erforderlich. Eine Trennung der letzteren Art habe im Fall des Beschwerdeführers und seiner damaligen Ehefrau im Zeitpunkt der Spitalbehandlung vom März 2015 und im Zeitpunkt des Erlasses der Verfügung der Direktion Finanzen des Universitätsspitals Zürich vom 30. September 2016 nicht vorgelegen. Zwar sei B.A._ nach Angaben der Einwohnerkontrolle U._ per 10. Mai 2014 nach V._ in der Dominikanischen Republik weggezogen. Eine rechtliche Trennung der Ehe habe aber vorliegend erst mit Scheidungsurteil des Bezirksgerichts W._ vom 21. Oktober 2016 stattgefunden. Hieran könne auch nichts ändern, dass die Ehe gestützt auf <ref-law> geschieden worden sei und ein hinreichendes Getrenntleben im Sinne dieser Bestimmung unter Umständen auch bei einem bloss faktischen Getrenntleben vorliegen könne. Ebenso wenig seien die Aufhebung des gemeinsamen Haushaltes oder die faktische Trennung mit Abmeldung bei der Einwohnerkontrolle als die Solidarhaftung aufhebende rechtliche Trennung zu qualifizieren.
2.4. Der Beschwerdeführer rügt insbesondere, die Vorinstanz habe § 16 Abs. 3 lit. a SPFG und § 26 TO USZ in offensichtlich unrichtiger - und damit willkürlicher - Art und Weise ausgelegt und angewendet.
2.4.1. Eine willkürliche Anwendung kantonalen Rechts liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Dabei hebt das Bundesgericht einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch dessen Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar als zutreffender erscheinen mag, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.2 S. 72; <ref-ruling> E. 5.1 S. 17; <ref-ruling> E. 3a S. 409; Urteile 2C_67/2015 vom 12. November 2015 E. 3.4; 9C_284/2012 vom 18. Mai 2012 E. 2; je mit Hinweisen).
2.4.2. Die hier massgebende Gesetzesvorschrift von § 16 Abs. 3 lit. a SPFG, mit welcher die vorliegend einschlägige Verordnungsregelung übereinstimmt (vgl. § 26 lit. a TO USZ), setzt nach ihrem klaren Wortlaut für eine solidarische Haftung des Ehegatten (soweit hier interessierend) eine rechtlich ungetrennte Ehe, nicht aber eine rechtlich und faktisch ungetrennte Ehe voraus. Ein Ausschluss der Solidarhaftung des Ehegatten aufgrund (lediglich) faktischer, nicht aber rechtlicher Trennung der Ehe wäre daher entsprechend den herkömmlichen Regeln der Gesetzesauslegung nur anzunehmen, wenn triftige Gründe für die Annahme bestehen, der klare Wortlaut bzw. das Ergebnis der grammatikalischen Auslegung ziele am "wahren Sinn" der Regelung vorbei (vgl. <ref-ruling> E. 2.5.3 S. 87; <ref-ruling> E. 1.5.4 S. 74; <ref-ruling> E. 2.2 S. 68; <ref-ruling> E. 5.1 S. 153; <ref-ruling> E. 4.1 S. 562; <ref-ruling> E. 3 S. 234 f.; <ref-ruling> E. 5.1 S. 94; Urteil 2C_207/2013 vom 28. April 2014 E. 3.2.2). Insoweit sind die vorinstanzlichen Erwägungen zutreffend.
Entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers hat sich die Vorinstanz nicht damit begnügt, bei der Auslegung allein auf den Gesetzeswortlaut abzustellen. Vielmehr zog sie insbesondere in Erwägung, dass die Materialien zum SPFG keinen Aufschluss über die hier interessierende Voraussetzung der Solidarhaftung der Ehegatten geben würden, aber nach der früheren Taxordnung der kantonalen Krankenhäuser vom 1. April 1992 und der dazu ergangenen Rechtsprechung (insbesondere Urteil des VGer ZH VB.2000.00250 vom 8. Dezember 2000, E. 2c) eine bloss faktische Trennung für einen Ausschluss der solidarischen Haftung des Ehegatten für Spitaltaxen nicht genügt habe. Ferner wies sie darauf hin, dass § 26 lit. a Taxordnung die Solidarhaftung an den Bestand einer "rechtlich und tatsächlich" ungetrennten Ehe knüpfe, diese Bestimmung indessen für das Universitätsspital als öffentlich-rechtliche Anstalt mit eigener Rechtspersönlichkeit nicht zur Anwendung gelange und ohnehin nur auf Verordnungsstufe angesiedelt sei.
Mit den erwähnten Ausführungen ist die Vorinstanz willkürfrei zum Schluss gelangt, dass der Wortlaut von § 16 Abs. 3 lit. a SPFG ihren wahren Sinn wiedergibt und damit (e contrario) für den Ausschluss der Solidarhaftung eine rechtliche Trennung der Ehe erforderlich ist. Dass sich aus Sinn und Zweck dieser Bestimmung (teleologisches Auslegungselement) ein triftiger Grund ergibt, vom Wortlaut abzuweichen, ist nicht ersichtlich:
Die solidarische Haftung des Ehegatten ermöglicht es der für den Bezug der Spitaltaxen zuständigen Stelle des Universitätsspitals Zürich, sich bei der Eintreibung der Forderungen an einen der beiden Ehegatten zu halten, selbst wenn der ins Recht gefasste Ehepartner nicht Patient ist. Die Regelung bezweckt damit, die Arbeit dieser Stelle zu vereinfachen und die Chancen eines erfolgreichen Bezuges zu erhöhen (vgl. [für Steuerschulden] Hans Peter Derksen/Hans Hegetschweiler, Haftung der Ehegatten für Steuerschulden, in: Der Treuhandexperte [TREX] 4/2006, S. 224 ff., S. 225 f.). Es steht mit diesem Zweck in Einklang, wenn die Solidarhaftung an das Vorliegen einer rechtlich ungetrennten Ehe geknüpft wird. Denn für die Behörden ist eine bloss faktische Trennung regelmässig schwieriger festzustellen als eine rechtliche Trennung. Zudem erfolgt eine rechtliche Trennung oder Scheidung häufig erst nach einer tatsächlichen Trennung, wie sich nicht zuletzt auch beim vorliegenden Fall zeigt. Aus diesem Grund ist eine Anknüpfung der Solidarhaftung an eine rechtlich ungetrennte Ehe für die erfolgreiche Eintreibung offener Spitaltaxen (etwa beim Hauptverdiener) günstiger, als wenn diese Haftung einen rechtlichen und tatsächlichen Bestand der Ehe voraussetzen würde.
2.4.3. Die Vorinstanz hat implizit angenommen, dass nach § 16 Abs. 3 lit. a SPFG die Solidarhaftung des Ehegatten für die während der rechtlich ungetrennten Ehe entstandenen Spitaltaxenschulden bei einer Scheidung bestehen bleibt. Auch dies erscheint nicht als willkürlich (vgl. auch Urteil 2C_306/2007 vom 13. Dezember 2007 E. 3.1 und 3.2, wonach eine steuerrechtliche Vorschrift, wonach die in rechtlich und tatsächlich ungetrennter Ehe lebenden Ehegatten solidarisch für die Gesamtsteuer haften, willkürfrei dahingehend ausgelegt werden kann, dass eine Scheidung die Solidarhaftung für die in diesem Zeitpunkt noch offenen, während des Zusammenlebens entstandenen Steuern nicht entfallen lässt; vgl. dazu auch hinten E. 3.1.4).
Die von der Vorinstanz vorgenommene Auslegung von § 16 Abs. 3 lit. a SPFG ist somit im Ergebnis verfassungskonform.
2.4.4. Ebenso wenig willkürlich ist, dass die Vorinstanz beim hier zu beurteilenden Fall das Vorliegen einer rechtlich ungetrennten Ehe im Sinne von § 16 Abs. 3 lit. a SPFG und damit die Solidarhaftung des Beschwerdeführers bejaht hat. Denn nach den für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz (vgl. <ref-law>; E. 1.3) war der Beschwerdeführer während der Spitalbehandlung im März 2015 sowie im Zeitpunkt des Erlasses der Verfügung vom 30. September 2016 noch mit der Patientin B.A._ verheiratet und war bis zu letzterem Zeitpunkt keine gerichtliche Trennung im Sinne von <ref-law> erfolgt; zudem lag damals unbestrittenermassen kein Eheschutzurteil vor (vgl. Beschwerde, S. 4).
Jedenfalls unter Willküraspekten ist auch nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz im Ergebnis den Umstand, dass das faktische Getrenntleben der Ehegatten bereits gewisse Rechtswirkungen entfaltet hat oder entfaltet haben könnte, nicht als ausreichend für eine die Solidarhaftung nach § 16 Abs. 3 lit. a SPFG e contrario ausschliessende rechtlich getrennte Ehe erachtet hat. Die Vorinstanz hat namentlich in vertretbarer Weise den Standpunkt des Beschwerdeführers verworfen, es habe allein aufgrund des Umstandes, dass B.A._ bei der Einwohnerkontrolle per 10. Mai 2014 abgemeldet worden sei und das Getrenntleben der beiden Ehegatten damit zu einer getrennten Besteuerung geführt habe, eine rechtlich getrennte Ehe vorgelegen. Anders als der Beschwerdeführer mit seinen Ausführungen zur "rechtlich relevante[n] [faktisch] getrennte[n] Ehe" (Beschwerde, S. 3) und auch mit seinen Hinweisen zum angeblich für die Ausrichtung einer individuellen AHV-Rente massgebenden Trennungszeitpunkt suggeriert, erscheint es nicht als willkürlich, bei einer Anwendung von § 16 Abs. 3 lit. a SPFG unberücksichtigt zu lassen, ob eine mit Rechtswirkungen verbundene (bloss) faktische Trennung vorliegt, und stattdessen entsprechend dem Wortlaut der Bestimmung als massgebend zu erachten, ob die Ehe im Rechtssinne getrennt ist oder nicht.
3.
Wie im Folgenden aufgezeigt wird, vermögen die weiteren Vorbringen in der Beschwerde nichts daran zu ändern, dass die Vorinstanz vorliegend zu Recht gestützt auf § 16 Abs. 3 lit. a SPFG (und § 26 lit. a TO UZH) die Solidarhaftung des Beschwerdeführers bejaht hat.
3.1.
3.1.1. Der Beschwerdeführer stellt sich auf den Standpunkt, es sei ein unzulässiger Eingriff in die Eigentumsgarantie, wenn er trotz der faktischen Trennung der Ehe für Spitaltaxen für eine Behandlung seiner (früheren) Ehefrau für haftbar erklärt werde. Dabei falle insbesondere ins Gewicht, dass der Forderungsbetrag von rund Fr. 19'000.-- über vier Monatslöhne des Beschwerdeführers ausmache. Zwar spreche nichts gegen eine solidarische Haftung, solange zwischen den Ehegatten eine Schicksalsgemeinschaft bestehe. Sei eine Ehe aber (faktisch) aufgelöst, rechtfertige es das rein fiskalische Interesse des Staates am Eintreiben der Schuld nicht, den Ehegatten des Patienten als solidarisch Haftenden ins Recht zu fassen. Der angefochtene Entscheid verstosse deshalb gegen das Verhältnismässigkeitsprinzip.
3.1.2. Die Eigentumsgarantie nach <ref-law> bezweckt in ihrer Funktion als Institutsgarantie den Schutz der Eigentumsordnung in ihren Grundzügen (<ref-ruling> E. 3a S. 140). Der absolut geschützte Kernbereich der Garantie umfasst die Wahrung des Vermögens in seiner Substanz und die Erhaltung der Möglichkeit der Neubildung von Vermögen (<ref-ruling> E. 10b/bb S. 126).
Die Institutsgarantie ist vorliegend nicht tangiert, kann doch trotz der Höhe der vorliegenden Abgabe bzw. Gebühr unter Berücksichtigung ihres einmaligen Charakters von einer konfiskatorischen Wirkung im Sinne der Rechtsprechung (vgl. <ref-ruling> E. 6a S. 348 f.; <ref-ruling> E. 3a S. 140 f.; Urteil 2P.139/2004 vom 30. November 2004 E. 4) nicht die Rede sein.
3.1.3. Die Eigentumsgarantie gemäss <ref-law> schützt als Bestandesgarantie konkrete Vermögenswerte des Einzelnen vor staatlichen Eingriffen. Nicht in den Schutzbereich der Eigentumsgarantie fällt indes das Vermögen an sich (vgl. <ref-ruling> E. 7.1 S. 205; Urteil 2C_123/2016 vom 21. November 2017 E. 5.2.4). Soweit der Beschwerdeführer eine Verletzung der Bestandesgarantie rügen wollte, stösst er somit ins Leere.
3.1.4. Das Verhältnismässigkeitsprinzip von <ref-law> kann zwar im Rahmen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten direkt und unabhängig von einem Grundrecht angerufen werden. Indessen prüft das Bundesgericht dessen Wahrung bei der Anwendung von kantonalem Recht unter dem Blickwinkel des Willkürverbots, soweit es nicht um die Verletzung spezieller Grundrechte geht (vgl. <ref-ruling> E. 5.3.2 S. 7 f.; Urteile 2C_682/2018 / 2C_684/2018 / 2C_685/2018 vom 14. Mai 2019 E. 7.3; 2C_837/2018 vom 15. Februar 2019 E. 4).
Zu prüfen bleibt daher, ob sich die vorliegende Anwendung kantonalen Rechts willkürfrei mit dem Verhältnismässigkeitsprinzip von <ref-law> vereinbaren lässt.
Während einer rechtlich ungetrennten Ehe erscheint es jedenfalls unter Willküraspekten als gerechtfertigt, bei offenen Spitaltaxenforderungen eines Patienten dessen Ehegatten als Haftungssubjekt heranzuziehen. Denn damit wird, wie erwähnt, die Arbeit der für den Bezug der Spitaltaxen zuständigen Stelle des Universitätsspitals vereinfacht, da sie sich einfach an einen der beiden Ehegatten halten kann (vgl. E. 2.4.2). Bei einer auf Willkür beschränkten Prüfung erscheint die fragliche Haftung dem betroffenen Ehegatten zumutbar.
Soweit hier zu prüfen, ist das Verhältnismässigkeitsprinzip bei der Anwendung des kantonalen Rechts vorliegend auch insoweit gewahrt, als die Vorinstanz davon ausgeht, dass die einmal begründete solidarische Haftung des Ehegatten für noch offene Spitaltaxenschulden durch die spätere rechtliche Trennung nicht entfällt. Denn solange die Ehe noch nicht rechtlich getrennt ist, obliegt es beiden Ehegatten gemeinsam, den Eintritt der Haftung abzuwenden oder die Folgen einer allfälligen Haftung des Ehepartners des Patienten zu regeln. Der Beschwerdeführer muss sich daher das Verhalten seiner Ehefrau anrechnen lassen und kann sich nicht darauf berufen, er habe gar keine Möglichkeit gehabt, rechtzeitig von der Spitalbehandlung Kenntnis zu erhalten (vgl. dazu Beschwerde, S. 6). Unter den gegebenen Umständen ist es unter dem Blickwinkel des Willkürverbotes verhältnismässig, ihn als Haftungssubjekt zu behandeln.
3.2.
3.2.1. Nach Auffassung des Beschwerdeführers würde es gegen das Verbot des überspitzen Formalismus verstossen, wenn ein Eheschutzurteil oder eine Ehetrennung im Sinne von <ref-law> verlangt würde, damit getrennte Ehegatten nicht mehr solidarisch füreinander haften.
3.2.2. <ref-law> verbietet überspitzten Formalismus. Beim Verbot des überspitzten Formalismus handelt es sich um eine besondere Form der Rechtsverweigerung. Überspitzter Formalismus liegt vor, wenn für ein Verfahren rigorose Formvorschriften aufgestellt werden, ohne dass die Strenge sachlich gerechtfertigt wäre, oder wenn die Behörde formelle Vorschriften mit übertriebener Schärfe handhabt (<ref-ruling> E. 4b S. 417; Urteil 6B_668/2018 vom 1. November 2018 E. 3).
Das Tatbestandsmerkmal einer rechtlich ungetrennten Ehe in § 16 Abs. 3 lit. a SPFG (und § 26 lit. a TO USZ) bildet eine materiell-rechtliche Voraussetzung der Solidarhaftung eines Ehegatten für Spitaltaxen, die der andere Ehegatte als Patient des Universitätsspitals Zürich schuldet. Da damit keine Formvorschrift in Frage steht, greift der Beschwerdeführer mit seiner Berufung auf das Verbot des überspitzten Formalismus ins Leere.
3.3. Der Beschwerdeführer weist zutreffend darauf hin, dass aus dem Zivilrecht entstammende Begriffe im öffentlichen Recht nicht zwingend gleich auszulegen sind wie im Zivilrecht (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 542). Erst durch Auslegung der verwaltungsrechtlichen Norm ergibt sich, ob die zivilrechtskonforme Anwendung der ratio legis entspricht (Max Imboden/René A. Rhinow, Schweizerische Verwaltungsrechtsprechung, 6. Aufl. 1986, Nr. 25 B I).
Die Vorinstanz hat die hier massgebende Gesetzesbestimmung von § 16 Abs. 3 lit. a SPFG vorliegend - wie ausgeführt - namentlich unter Berücksichtigung des Wortlautes und des historischen Auslegungselements willkürfrei dahingehend ausgelegt, dass diese Bestimmung an den Bestand einer rechtlich ungetrennten Ehe anknüpft, also eine bloss faktische Trennung oder die Aufhebung der Lebensgemeinschaft der Eheleute die solidarische Haftung des Gatten des behandelten Partners nicht zu beseitigen vermag. Aus diesem Grund nicht stichhaltig ist das Vorbringen des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe zu Unrecht den massgebenden öffentlich-rechtlichen Begriff der rechtlich ungetrennten Ehe ohne Weiteres entsprechend der zivilrechtlichen Terminologie interpretiert und damit die rechtliche Trennung, welche eine Solidarhaftung für die Spitaltaxen ausschliesst, ohne Auslegung der verwaltungsrechtlichen Norm mit der zivilrechtlichen Ehetrennung im Sinne von Art. 117 ZBG gleichgesetzt.
3.4.
3.4.1. Der Beschwerdeführer macht sodann eine Verletzung des Gleichbehandlungsgebotes von <ref-law> geltend. Er erklärt dazu, es bestehe kein Grund, dass im Falle von Behandlungen des Universitätsspitals Zürich eine Solidarhaftung des Ehegatten bei rechtlich ungetrennter, aber faktisch getrennter Ehe bestehe und demgegenüber bloss faktisch, nicht aber rechtlich getrennt lebende Ehegatten bei anderen kantonalen Spitälern nach § 26 lit. a Taxordnung keine Solidarhaftung zu gewärtigen hätten.
3.4.2. Das verfassungsmässige Gebot der rechtsgleichen Behandlung (<ref-law>) ist verletzt, wenn Gleiches nicht nach Massgabe seiner Gleichheit gleich oder Ungleiches nicht nach Massgabe seiner Ungleichheit ungleich behandelt wird. Dies ist insbesondere der Fall, wenn hinsichtlich einer wesentlichen Tatsache rechtliche Unterscheidungen getroffen werden, für die ein vernünftiger Grund in den zu regelnden Verhältnissen nicht ersichtlich ist, oder wenn Unterscheidungen unterlassen werden, die aufgrund der Verhältnisse hätten getroffen werden müssen (statt vieler: <ref-ruling>53 E. 5.1 S. 157; <ref-ruling> E. 6.1 S. 237; <ref-ruling> E. 6b S. 178). Das Gleichbehandlungsgebot ist sowohl in der Rechtssetzung als auch in der Rechtsanwendung zu berücksichtigen (vgl. HÄFELIN/HALLER/KELLER/THURNHEER, Schweizerisches Bundesstaatsrecht, 9. Aufl. 2016, Rz. 750 ff. und 765 ff.).
3.4.3. Eine unterschiedliche Behandlung der Ehegatten von Patienten in Bezug auf die Solidarhaftung für Spitaltaxen ergibt sich hier nach den im vorliegend massgebenden Zeitraum einschlägigen kantonalen Regelungen nur im Verhältnis zwischen Ehegatten von Patienten, welche sich einer Behandlung am Universitätsspital Zürich oder an einem allfälligen anderen kantonalen Spital mit eigener Rechtspersönlichkeit unterziehen, und Ehegatten von Patienten, welche sich von einem kantonalen Spital ohne eigene Rechtspersönlichkeit behandeln lassen: Während die erstere Gruppe von Ehegatten der Solidarhaftung durch eine bloss faktische Trennung nicht entgeht, verhält es sich bei der zweiten Gruppen von Ehegatten nach der Kantonalzürcher Regelung anders (vgl. E. 2.2 hiervor).
Aufgrund der Vorbringen des Beschwerdeführers stellt sich die Frage, ob es sich bei der Benutzung eines als selbständige öffentlich-rechtliche Anstalt ausgestalteten Spitals zum einen und der Benutzung eines kantonalen Spitals ohne eigene Rechtspersönlichkeit zum anderen in den rechtswesentlichen Punkten um vergleichbare Sachverhalte handelt, welche hinsichtlich der Solidarhaftung der Ehegatten von Patienten nach <ref-law> gleich zu behandeln sind. Aus Sicht der betroffenen Patienten und ihrer Ehegatten mag die Organisations-form des in Anspruch genommenen kantonalen Spitals eine untergeordnete Rolle spielen. Indessen erscheint es nicht als ausgeschlossen, dass die rechtliche Verselbständigung eines Spitals Besonderheiten für den Finanzhaushalt der Einrichtung mit sich bringt, welche eine Sonderordnung in Bezug auf die Haftung für Spitaltaxen erfordern. Entsprechende Besonderheiten könnten unter Umständen auch den Gesetzgeber dazu veranlasst haben, mit Einräumung der Verordnungsbefugnis in § 16 Abs. 4 SPFG die prinzipielle Möglichkeit einer abweichenden Ordnung für kantonale Spitäler ohne eigene Rechtspersönlichkeit vorzusehen.
Die aufgeworfene Frage muss aber im vorliegenden Fall aus den nachfolgend genannten Gründen nicht abschliessend geklärt werden.
3.4.4. Die vom Beschwerdeführer geltend gemachte Ungleichbehandlung ergibt sich auf Erlassstufe daraus, dass die lediglich eine Verordnung bildende Taxordnung für die kantonalen Spitäler ohne eigene Rechtspersönlichkeit in Bezug auf die Solidarhaftung eine vom später erlassenen Gesetz (bzw. § 16 Abs. 3 lit. a SPFG) abweichende Regelung vorsieht. Gäbe es keinen sachlichen Grund, welcher diese Ungleichbehandlung rechtfertigen würde, wäre es Sache des Regierungsrates des Kantons, die Regelung der Taxordnung im Rahmen der ihm mit § 16 Abs. 4 SPFG eingeräumten Verordnungskompetenz in verfassungskonformer Weise anzupassen bzw. die verfassungswidrige Ungleichbehandlung durch eine Angleichung der Taxordnung an die Regelung von § 16 Abs. 3 lit. a SPFG zu beseitigen. Hingegen liesse sich selbst bei Annahme einer sachlich nicht zu rechtfertigenden Ungleichbehandlung im Rahmen der Rechtsetzung nicht ableiten, dass die vorliegend massgebende Gesetzesbestimmung (§ 16 Abs. 3 lit. a SPFG) nicht anzuwenden wäre.
3.4.5. Der Beschwerdeführer stützt seine Rüge der Verletzung des Rechtsgleichheitsgebotes im Wesentlichen einzig auf die voneinander abweichenden Erlasse. Er legt nicht substantiiert dar und es ist auch nicht dem angefochtenen Urteil zu entnehmen, dass die Haftungsregelung der Taxordnung im hier interessierenden Zeitraum faktisch in dem Sinne angewendet worden ist, dass in bloss tatsächlich getrennter Ehe lebende Ehegatten von Patienten öffentlich-rechtlicher Spitäler ohne eigene Rechtspersönlichkeit keiner Haftung unterliegen. Es ist durchaus denkbar, dass im Einzelfall auch bei unselbständigen öffentlich-rechtlichen Spitälern für die Haftung (anstelle der Regelung der Taxordnung) § 16 Abs. 3 SPFG herangezogen wurde.
Vor diesem Hintergrund kann der Beschwerdeführer aus dem Gebot der Gleichbehandlung in der Rechtsanwendung nichts zu seinen Gunsten ableiten. Insbesondere ist auch ein Anspruch des Beschwerdeführers auf Gleichbehandlung im Unrecht ausgeschlossen, da hierfür nach der Rechtsprechung namentlich eine (vorliegend nicht nachgewiesene) ständige rechtswidrige Praxis erforderlich ist (vgl. <ref-ruling> E. 7.1 S. 61; <ref-ruling> E. 5.6 S. 78).
Zudem kann der Anspruch auf Gleichbehandlung in der Rechtsanwendung praxisgemäss nur verletzt sein, wenn dieselbe Behörde Gleiches nicht nach Massgabe seiner Gleichheit oder Ungleiches nicht nach Massgabe seiner Ungleichheit behandelt. Dies gilt auch für einen allfälligen Anspruch auf Gleichbehandlung im Unrecht (vgl. Urteil 2C_345/2012 vom 27. September 2012 E. 3.2, mit weiteren Hinweisen). Vorliegend würde es sich gegebenenfalls zum einen um die Anwendung von § 16 Abs. 3 lit. a SPFG durch das Universitätsspital Zürich bzw. deren Direktion Finanzen und zum anderen um die Rechtsanwendung durch unselbständige öffentlich-rechtliche Spitäler handeln, so dass keine von der gleichen Behörde ausgehende Ungleichbehandlung vorliegen würde.
Ein Anspruch auf Gleichbehandlung im Unrecht würde sodann zusätzlich voraussetzen, dass die rechtsanwendende Behörde zu erkennen gibt, dass sie auch in Zukunft nicht von ihrer rechtswidrigen Praxis abzuweichen gedenke (vgl. <ref-ruling> E. 7.1 S. 61; <ref-ruling> E. 5.6 S. 78). Beim hier zu beurteilenden Fall wurde aber behördlicherseits unbestrittenermassen nicht bekundet, dass eine allenfalls rechtswidrige praxisgemässe Privilegierung von Ehegatten von Patienten öffentlich-rechtlicher Spitäler ohne eigene Rechtspersönlichkeit weitergeführt werden soll. Nach der Darstellung der Direktion Finanzen des Universitätsspitals Zürich kommt die Haftungsregelung der Taxordnung ohnehin nicht mehr zum Tragen, bringt sie doch vor dem Bundesgericht vor, es würden im Kanton Zürich zwischenzeitlich keine öffentlich-rechtlichen Spitäler ohne eigene Rechtspersönlichkeit mehr existieren.
Vor diesem Hintergrund stösst der Beschwerdeführer mit seiner Rüge der Verletzung des Gleichbehandlungsgebotes (<ref-law>) ins Leere.
4.
Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist, unbegründet und abzuweisen. Diesem Verfahrensausgang entsprechend trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Oktober 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: König