Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Versicherter, Beschwerdeführer) stand in einem Rahmenarbeitsvertrag mit der Personalverleihunternehmung C._ AG. Aufgrund dieses Vertrags wurde er ab dem 18. Mai 2015 bei der D._ AG und ab dem 3. August 2015 bei der E._ AG als Bauarbeiter eingesetzt. Während dieser Einsätze war er bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (Suva) gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen obligatorisch versichert. Zudem gehörte er zu den Personen, für welche die C._ AG eine kollektive Krankentaggeldversicherung abgeschlossen hatte bei der B._ AG (Versicherung, Beschwerdegegnerin).
A.b. Am 12. August 2015 stürzte der Versicherte bei der Arbeit. Dabei erlitt er eine Verstauchung der Hals- und Lendenwirbelsäule sowie Prellungen des linken Unterschenkels und des linken Fusses. In der Folge blieben Rückenbeschwerden vor allem im Bereich der Lendenwirbelsäule. Deshalb war der Versicherte von Ende April bis Anfang Juni 2016 in der Rehaklinik U._. Die Suva anerkannte ihre Leistungspflicht für die Folgen des Ereignisses vom 12. August 2015, bezahlte die Heilbehandlung und erbrachte Taggelder. Nach der kreisärztlichen Untersuchung vom 19. August 2016 informierte die Suva den Versicherten mit Verfügung vom 13. September 2016, dass die noch bestehenden Beschwerden nicht mehr unfallbedingt seien und sie die Leistungen per 31. August 2016 einstelle.
A.c. Diese Verfügung der Suva focht der Versicherte nicht an, sondern liess der Versicherung am 3. November 2016 durch die C._ AG melden, er sei ab dem 1. September 2016 weiterhin zu 100 % arbeitsunfähig. Die Versicherung holte Berichte der behandelnden Ärzte Dr. med. G._ vom 16. November 2016 und Dr. med. H._ vom 23. November 2016 ein. Zudem erstattete ihr Dr. med. I._ am 17. November 2016 ein psychiatrisches Gutachten. Am 20. Dezember 2016 informierte die Versicherung den Versicherten, sie schliesse eine krankheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit aus und erbringe deshalb keine Versicherungsleistungen. Der Versicherte schickte der Versicherung am 11. Januar 2017 verschiedene medizinische Berichte zum Nachweis seiner Arbeitsunfähigkeit, worauf die Versicherung sich mit Schreiben vom 17. Februar 2017 auf den neuen Standpunkt stellte, der gemeldete Krankheitsfall sei von der kollektiven Krankentaggeldversicherung mit der C._ AG nicht gedeckt.
B.
Am 27. Februar 2018 reichte der Versicherte beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich gegen die Versicherung Klage ein. In der Replik bezifferte er seine Forderung und verlangte Taggeldleistungen im Betrag von Fr. 88'185.10 nebst Zins zu 5 % ab 1. September 2017 (mittlerer Verfall).
Mit Urteil vom 4. März 2020 wies das Sozialversicherungsgericht die Klage ab.
C.
Der Versicherte beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Sozialversicherungsgerichts sei teilweise aufzuheben, und erneuert sein Klagebegehren. Eventuell sei die Sache zur ergänzenden Abklärung und Neubeurteilung an das Sozialversicherungsgericht zurückzuweisen. Er ersucht um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Zu beurteilen ist die Leistungspflicht aus einer Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung. Derartige Zusatzversicherungen unterstehen gemäss den einschlägigen gesetzlichen Bestimmungen (aArt. 12 Abs. 2 und 3 KVG [AS 1995 1331]; seit 1. Januar 2016: Art. 2 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 26. September 2014 betreffend die Aufsicht über die soziale Krankenversicherung; Krankenversicherungsaufsichtsgesetz [KVAG; SR 832.12]) dem Versicherungsvertragsgesetz (VVG; SR 221.229.1). Streitigkeiten aus solchen Versicherungen sind privatrechtlicher Natur, weshalb als Rechtsmittel an das Bundesgericht die Beschwerde in Zivilsachen gemäss <ref-law> in Betracht kommt (<ref-ruling> E. 1.1 S. 3; <ref-ruling> E. 2.1 S. 441 f. mit Hinweis).
1.2. Die Beschwerde richtet sich gegen einen verfahrensabschliessenden Endentscheid (<ref-law>). Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hat nach § 2 Abs. 2 lit. b des Gesetzes vom 7. März 1993 über das Sozialversicherungsgericht (GSVGer/ZH; LS 212.81) als einzige kantonale Instanz im Sinne von <ref-law> und <ref-law> entschieden. Die Beschwerde ist in diesem Fall streitwertunabhängig zulässig (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 4 f., 799 E. 1.1 S. 800). Der Beschwerdeführer unterlag mit seinen Anträgen (<ref-law>), und die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law> und Art. 1 der Verordnung vom 20. März 2020 über den Stillstand der Fristen in Zivil- und Verwaltungsverfahren zur Aufrechterhaltung der Justiz im Zusammenhang mit dem Coronavirus [COVID-19; SR 173.110.4]). Auf die Beschwerde ist - unter Vorbehalt einer genügenden Begründung (vgl. E. 2 hiernach) - einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>; vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Allerdings prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. Unerlässlich ist im Hinblick auf <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 88 f., 115 E. 2 S. 116).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den Lebenssachverhalt, der dem Streitgegenstand zugrunde liegt, als auch jene über den Ablauf des vorinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt. Zum Prozesssachverhalt gehören namentlich die Anträge der Parteien, ihre Tatsachenbehauptungen, rechtlichen Erörterungen, Prozesserklärungen und Beweisvorbringen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f. mit Hinweisen). Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117, 264 E. 2.3 S. 266). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Soweit die beschwerdeführende Partei den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
3.
3.1. Die Vorinstanz wies die Klage mangels Versicherungsdeckung ab. Der Einsatzvertrag mit der E._ AG sei auf drei Monate befristet und daher am 3. November 2015 beendet gewesen. Ab diesem Zeitpunkt sei der Beschwerdeführer nicht mehr bei der Beschwerdegegnerin versichert gewesen. Der Versicherungsfall sei erst am 1. September 2016 eingetreten, als die krankheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit begonnen habe.
3.2. Vorliegend massgebend sind die Allgemeinen Versicherungsbedingungen der Beschwerdegegnerin zur Krankentaggeldversicherung in der Ausgabe vom Juli 2010 (AVB).
Die Klauseln allgemeiner Geschäftsbedingungen sind, wenn sie in Verträge übernommen werden, grundsätzlich nach denselben Prinzipien auszulegen wie andere vertragliche Bestimmungen (<ref-ruling> E. 3.3 S. 675; <ref-ruling> E. 2 S. 6; je mit Hinweisen). Entscheidend ist demnach in erster Linie der übereinstimmende wirkliche Wille der Vertragsparteien und in zweiter Linie, falls ein solcher - wie hier - nicht festgestellt werden kann, die Auslegung der Erklärungen der Parteien aufgrund des Vertrauensprinzips (<ref-ruling> E. 3.3 S. 675; <ref-ruling> E. 2.3 S. 398; je mit Hinweisen). Dabei ist vom Wortlaut der Erklärungen auszugehen, welche jedoch nicht isoliert, sondern aus ihrem konkreten Sinngefüge heraus zu beurteilen sind (BGE <ref-ruling> E. 2.3 S. 398; <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 666; <ref-ruling> E. 3a S. 168). Demnach ist der vom Erklärenden verfolgte Regelungszweck massgebend, wie ihn der Erklärungsempfänger in guten Treuen verstehen durfte und musste (BGE <ref-ruling> E. 2.3 S. 398; <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 666; <ref-ruling> E. 4 S. 28). Das Bundesgericht überprüft diese objektivierte Auslegung von Willenserklärungen als Rechtsfrage, wobei es an Feststellungen des kantonalen Gerichts über die äusseren Umstände sowie das Wissen und Wollen der Beteiligten grundsätzlich gebunden ist (<ref-law>; vgl. E. 2.2 hiervor).
3.3. Gemäss Art. B1 Abs. 1 AVB erbringt die Beschwerdegegnerin die in der Police aufgeführten Leistungen für die wirtschaftlichen Folgen der krankheitsbedingten Arbeitsunfähigkeit. Unfälle sind nicht versichert (Art. B1 Abs. 2 Spiegelstrich 2 AVB). Versichert sind die in der Police aufgeführten Arbeitnehmer im Sinne des AHVG (Art. B3 Abs. 1 Satz 1 AVB). Laut vorliegend massgebender Police umfasst der Kreis der versicherten Personen das gesamte vermittelte und eigene Personal der C._ AG. Der Versicherungsschutz beginnt für den einzelnen Arbeitnehmer am Tag, an dem er in den versicherten Betrieb eintritt, frühestens jedoch an dem in der Police aufgeführten Versicherungsvertragsbeginn (Art. B4 Abs. 1 AVB). Der Versicherungsschutz erlischt für den einzelnen Versicherten mit seinem Ausscheiden aus dem Kreis der versicherten Personen (Art. B4 Abs. 2 Spiegelstrich 2 AVB). Ist der Versicherte nach ärztlicher Feststellung arbeitsunfähig, bezahlt die Beschwerdegegnerin das Taggeld nach Ablauf der vereinbarten Wartefrist längstens während der in der Police aufgeführten Leistungsdauer (Art. B8 Abs. 1 AVB). Nach Erlöschen des Versicherungsschutzes bezahlt die Beschwerdegegnerin das Taggeld für Rückfälle und laufende Krankheiten, die während der Versicherungsdauer eingetreten sind, noch bis zum Ablauf der vereinbarten Leistungsdauer, längstens jedoch bis zum Beginn einer Rente gemäss BVG oder entsprechender ausländischer Versicherungseinrichtungen (Art. B8 Abs. 7 AVB).
4.
4.1. Die Vorinstanz erwog, das versicherte Ereignis trete mit dem Beginn der krankheitsbedingten Arbeitsunfähigkeit ein und nicht schon mit der Krankheit selbst. Sie verwies auf Art. D2 Abs. 1 AVB, worin unterschieden wird zwischen dem Auftreten der Krankheit (Spiegelstrich 1) und dem Eintritt der Arbeitsunfähigkeit (Spiegelstrich 2). Erst beim Eintritt der Arbeitsunfähigkeit sei der Versicherung innert 30 Tagen Mitteilung zu machen.
4.2. Das versicherte Ereignis ist in den AVB selbst nicht ausdrücklich definiert. Die AVB und die Police tragen den Titel "Krankentaggeldversicherung". Wann bei dieser Versicherung der Versicherungsfall eintritt, lässt sich aus dem VVG nicht ableiten (<ref-ruling> E. 3.5 S. 677). Demgegenüber haben sich das Bundesgericht und die Lehre ausführlich mit dem Zweck dieser Versicherung und dem Zeitpunkt des Eintritts des Versicherungsfalls befasst. Das Bundesgericht stellte dabei auf die krankheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit ab. Das versicherte Ereignis tritt somit erst ein, wenn eine Krankheit eine Arbeitsunfähigkeit zur Folge hat (<ref-ruling> E. 3.6 und 3.7 mit zahlreichen Hinweisen).
4.3. Dieses Verständnis herrscht auch im Bereich der sozialen Krankenversicherung. Die AVB der Beschwerdegegnerin verweisen insofern auf das Sozialversicherungsrecht, als die Definitionen der Begriffe "Krankheit" in Art. A4 Abs. 1 AVB und "Arbeitsunfähigkeit" in Art. A4 Abs. 2 AVB dem Art. 3 Abs. 1 und dem <ref-law> (SR 830.1) beinahe wörtlich entsprechen. Im Bereich der obligatorischen Krankenpflegeversicherung tritt der Versicherungsfall nicht schon mit dem Entstehen, dem Ausbruch oder der Diagnose einer Krankheit ein, sondern im Zeitpunkt der erstmaligen Inanspruchnahme medizinischer Hilfe für ein bestimmtes Krankheitsgeschehen. Auch bei der freiwilligen Taggeldversicherung nach <ref-law> besteht das versicherte Risiko im Erwerbsausfall, dessen Deckung Zweck der Versicherung ist (<ref-ruling> E. 3.8 S. 682 mit Hinweisen).
4.4. Nach dem Gesagten legte die Vorinstanz den Versicherungsvertrag im Einklang mit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung und der Mehrheit der Lehre aus. Die Vorinstanz erwog zutreffend, dass der Versicherungsfall nicht bereits mit der Krankheit eintrat, sondern erst mit der krankheitsbedingten Arbeitsunfähigkeit.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe die Police und die AVB der Beschwerdegegnerin falsch ausgelegt. Gemäss Police sei die C._ AG Versicherungsnehmerin. Versicherte Personen seien das gesamte vermittelte Personal. Gemäss Art. B4 Abs. 1 AVB beginne der Versicherungsschutz für den einzelnen Arbeitnehmer am Tag, an dem er in den versicherten Betrieb eintritt. Versicherter Betrieb sei die C._ AG. Folglich sei der Beschwerdeführer mit dem Abschluss des Rahmenarbeitsvertrags bei der C._ AG eingetreten und damit krankentaggeldversichert.
5.2. Die Vorinstanz erwog, für das vermittelte Personal beginne der Versicherungsschutz mit dem Antritt eines vermittelten Arbeitseinsatzes und erlösche mit dessen Beendigung. Daraus schloss sie, eine Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin bestehe nur, wenn der Beschwerdeführer in einem vermittelten Arbeitseinsatz stand, als das versicherte Ereignis eintrat.
5.3. Diese Auslegung ist bundesrechtskonform. Die Police erfasst einerseits das gesamte eigene Personal und anderseits das gesamte vermittelte Personal der C._ AG. Für das vermittelte Personal bedeutet dies, dass nicht schon der Rahmenarbeitsvertrag mit der C._ AG einen Versicherungsschutz begründet, sondern erst der Vertrag mit einem Einsatzbetrieb. Denn von vermitteltem Personal kann erst gesprochen werden, wenn es vermittelt ist. Sonst würde es wenig Sinn machen, in der Police zwei Kategorien zu bilden und zwischen eigenem und vermitteltem Personal überhaupt zu unterscheiden.
6.
6.1. Der Beschwerdeführer beanstandet die vorinstanzlichen Erwägungen zu seinem Gesundheitszustand und macht eine willkürliche Feststellung des Sachverhalts geltend.
6.2. Die Vorinstanz erwog, nach dem Unfall vom 12. August 2015 seien gemäss kreisärztlichem Bericht vom 19. August 2016 die Beschwerden am linken Bein und Fuss rasch zurückgegangen. Hingegen hätten die Schmerzen am unteren Rücken und im Nackenbereich fortgedauert. Der Beschwerdeführer habe angegeben, erst seit dem Unfall an derartigen Beschwerden zu leiden. Zwar habe er schon zuvor Rückenschmerzen gehabt, sei deswegen aber nicht arbeitsunfähig gewesen. Die Verantwortlichen der Rehaklinik U._ hätten die Arbeitsunfähigkeit im Beruf eines Bauarbeiters aus den vorbestehenden degenerativen Veränderungen der Lendenwirbelsäule abgeleitet, und es sei eine langjährige rheumatologische Krankengeschichte dokumentiert. Dessen ungeachtet habe die Suva das Schmerzbild nach dem Unfall vom 12. August 2015 und die damit zusammenhängende Arbeitsunfähigkeit bis zum 31. August 2016 als unfallkausal erachtet und Taggelder erbracht. Bis zu diesem Datum sei somit die Arbeitsunfähigkeit, soweit sie aus dem besagten Schmerzbild resultierte, als unfallbedingt und nicht als krankheitsbedingt zu werten. Eine krankheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit aufgrund des genannten Schmerzbildes habe somit erst am 1. September 2016 auftreten können, nachdem die Suva das letzte Taggeld geleistet habe. Es bestünden keine Anhaltspunkte, dass schon zu einem früheren Zeitpunkt nach dem Unfall vom 12. August 2015 eine Arbeitsunfähigkeit aufgetreten wäre, die durch eine vom Schmerzbild abweichende Erkrankung verursacht worden wäre. Zwar sei im Austrittsbericht der Rehaklinik U._ eine wiederkehrende depressive Störung aufgeführt und werde auch aktuell eine leicht- bis mittelgradig depressive Episode diagnostiziert. Allerdings sei von einer Reaktivierung dieses Leidens durch den Unfall vom 12. August 2015 die Rede. Es sei deshalb davon auszugehen, dass die Suva die Auswirkungen der depressiven Problematik auf die Arbeitsfähigkeit bis Ende August 2016 ebenfalls als unfallkausal anerkannt habe, womit diese Auswirkungen bis dahin durch die Unfalltaggelder gedeckt gewesen seien. Der Zeitpunkt, in dem die krankheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit begonnen habe und der Versicherungsfall eingetreten sei, falle somit auf den 1. September 2016.
6.3. Der Beschwerdeführer verweist auf seine langjährige rheumatologische Krankengeschichte und vorbestehenden degenerativen Veränderungen an der Lendenwirbelsäule. Diese Umstände berücksichtigte die Vorinstanz. Bloss wertete sie diese anders als der Beschwerdeführer, indem sie erwog, er sei wegen dieser Rückenschmerzen nicht arbeitsunfähig gewesen. Zudem habe die Suva das Schmerzbild nach dem Unfall vom 12. August 2015 und die damit zusammenhängende Arbeitsunfähigkeit bis zum 31. August 2016 als unfallkausal erachtet und Taggelder erbracht.
Bei der kollektiven Krankentaggeldversicherung ist der Versicherungsfall grundsätzlich die krankheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit (vgl. E. 4 hiervor). Die Vorinstanz stützte sich zu Recht auf einen ähnlich gelagerten Fall, in dem das Bundesgericht entschieden hatte, dass erst nach der Einstellung der durch die Unfallkausalität begründeten Leistungen eine krankheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit entstehen kann (Urteil 4A_447/2017 und 4A_459/2017 vom 20. Februar 2018 E. 3.7). Wie die Vorinstanz zu Recht erwog, konnte im vorliegenden Fall eine krankheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit, die durch das genannte Schmerzbild verursacht wird, erst am 1. September 2016 auftreten, als die Suva das letzte Taggeld geleistet hatte.
Der Beschwerdeführer übersieht, dass eine Sachverhaltsfeststellung nicht schon dann willkürlich ist, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1 S. 566; <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 9). Die Vorinstanz durfte verneinen, dass zwischen dem Unfall vom 12. August 2015 und dem 1. September 2016 eine Arbeitsunfähigkeit aufgetreten wäre, die durch eine vom Schmerzbild abweichende Erkrankung verursacht worden wäre. Ebenso durfte sie feststellen, dass allfällige Auswirkungen der depressiven Problematik bis am 31. August 2016 durch die Unfalltaggelder gedeckt waren.
7.
7.1. Der Beschwerdeführer wendet sich gegen die vorinstanzlichen Erwägungen, wonach sein Einsatz bei der E._ AG, der am 3. August 2015 begann und auf drei Monate befristet war, am 1. September 2016 beendet gewesen sei. Der versicherte Betrieb, die C._ AG, habe ihm vielmehr über die Dauer der SUVA-Taggeldleistungen hinaus bis im Oktober 2016 den Lohn ausbezahlt. Daher habe er zum Kreis der versicherten Personen gehört. Auch hier macht er eine willkürliche Feststellung des Sachverhalts geltend.
7.2. Die Vorinstanz kam zum Schluss, der Beschwerdeführer habe am 1. September 2016 nicht in einem durch die C._ AG vermittelten Arbeitseinsatz gestanden. Es lägen zwei Einsatzverträge vor. Zuerst sei der Beschwerdeführer ab dem 18. Mai 2015 bei der D._ AG eingesetzt worden. Dann habe er ab 3. August 2015 bei der E._ AG gearbeitet. In beiden Verträgen habe die vorgesehene Einsatzdauer maximal drei Monate betragen. Es stehe fest, dass der Einsatz bei der D._ AG am 18. Mai 2015 begonnen und vor Ablauf der dreimonatigen Frist geendet habe. Ab dem 3. August 2015 habe der Beschwerdeführer bei der E._ AG gearbeitet. Während dieses Einsatzes habe sich am 12. August 2015 der Unfall ereignet.
7.3. Wie die Vorinstanz zutreffend erwog, erfolgte der Einsatz bei der E._ AG im Rahmen eines befristeten Vertrags im Sinne von <ref-law>. Bei einem solchen beendigt der Fristablauf ohne Weiteres die Anstellung. Das entspricht dem Wesen des Vertrags auf Zeit. Daraus folgt, dass der Vertrag am vereinbarten Datum auch endet, wenn der Arbeitnehmer zu diesem Zeitpunkt arbeitsunfähig ist (STREIFF/VON KAENEL/RUDOLPH, Arbeitsvertrag, Praxiskommentar zu Art. 319-362 OR, 7. Aufl. 2012, N. 4 zu <ref-law>). An der Befristung änderte auch der vorangegangene Einsatz bei der D._ AG nichts.
Das Taggeld der obligatorischen Unfallversicherung ist während der ganzen Dauer der Arbeitsunfähigkeit geschuldet, auch wenn das Arbeitsverhältnis während der Arbeitsunfähigkeit aufgelöst wird (<ref-ruling> E. 2.2 S. 467). Daher erwog die Vorinstanz zu Recht, es spreche nicht für eine Verlängerung des Einsatzes, dass die Suva dem Beschwerdeführer über den 3. November 2015 hinaus Taggelder ausgerichtet habe.
Die Vorinstanz erwog, es erscheine aussergewöhnlich, dass die C._ AG dem Beschwerdeführer die Unfalltaggelder bis zu deren Einstellung mittels Lohnabrechnungen überwies. Zwar können die Versicherer gemäss <ref-law> die Auszahlung dem Arbeitgeber übertragen. Doch ist dies im aufgelösten Arbeitsverhältnis unüblich, denn gemäss <ref-law> kommen dem Arbeitgeber Taggelder nur in dem Ausmass zu, als er der versicherten Person trotz der Taggeldberechtigung Lohn zahlt (vgl. dazu Urteil 8C_241/2019 vom 8. Juli 2019 E. 5.1). Auch dem Schrifttum ist zu entnehmen, dass nicht auf eine implizite Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses geschlossen werden kann, nur weil der Arbeitgeber über das vereinbarte Enddatum hinaus Taggelder einer Versicherung ausrichtet (STREIFF/VON KAENEL/ RUDOLPH, a.a.O., N. 6 zu <ref-law>). Die Vorinstanz erwog zutreffend, dass die Auszahlung der Unfalltaggelder durch die C._ AG nicht zwingend für eine Verlängerung des Einsatzes bei der E._ AG spricht. In diesem Sinne entschied das Kantonsgericht Jura in einem ähnlichen Fall (TC JU, in: RJJ 2006 S. 153 ff., E. 3.3 S. 160 f.). Umso mehr muss dies hier gelten, wo weiterhin ein Rahmenarbeitsvertrag zwischen dem Beschwerdeführer und der Personalverleihunternehmung C._ AG bestand.
Was das Schreiben mit der Überschrift "Kündigung - Bestätigung Einsatz beendet" betrifft, so erwog die Vorinstanz, selbst wenn dieses Schreiben vordatiert sein sollte, ändere sich nichts daran, dass der befristete Einsatz bei der E._ AG nicht verlängert wurde. Diese Einschätzung ist vertretbar. Auch hier ist zu beachten, dass eine Erwägung nicht schon deshalb willkürlich ist, weil eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre.
Nach dem Gesagten durfte die Vorinstanz annehmen, der Beschwerdeführer sei beim Eintritt der krankheitsbedingten Arbeitsunfähigkeit am 1. September 2016 nicht mehr bei der Beschwerdegegnerin versichert gewesen. Eine Fortdauer des Taggeldanspruchs über die Dauer des Einsatzes hinaus kommt gemäss Art. B8 Abs. 7 AVB nur zum Zug, wenn der Anspruch vor der Beendigung des Einsatzes entstanden ist. Selbst wenn der Versicherungsschutz nach dem Ende des Einsatzes bis zum Erlöschen des Anspruchs auf Unfalltaggelder angedauert hätte, so wäre er mit dem letzten Unfalltaggeld am 31. August 2016 und damit noch vor dem massgebenden 1. September 2016 erloschen.
Bei diesem Ausgang musste die Vorinstanz nicht mehr auf die Ausführungen der Parteien zur Abtretung der strittigen Taggeldforderung und zum Ausmass der Arbeitsunfähigkeit eingehen.
8.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen, weil die Beschwerde als von vornherein aussichtslos erschien (<ref-law>). Darüber musste unter den gegebenen Umständen nicht vorgängig separat entschieden werden (vgl. Urteile 4A_429/2019 vom 13. November 2019 E. 6; 4A_20/2011 vom 11. April 2011 E. 7.2.2). Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist im bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen, weshalb keine Parteientschädigung zu sprechen ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, I. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Juni 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Luczak