Fatti:
A.
A.a. Il 26 maggio 2017 A._, nata nel 1984, attiva per il 50% come badante e per il 40-50% come impiegata in una sartoria (contratto a ore), assicurata contro gli infortuni anche presso Vaudoise Generale Compagnia di Assicurazioni SA (di seguito: la Vodese), è stata vittima di un incidente della circolazione (tamponamento mentre era in colonna), riportando una distorsione cervicale di grado II. Il 2 aprile 2019 A._ si è sottoposta a una artro risonanza magnetica della spalla sinistra che ha messo in evidenza una lesione parziale profonda del sovraspinato sul versante articolato, mentre gli altri tendini si rappresentavano regolarmente. Il 10 ottobre 2019 ha subito un'operazione alla spalla sinistra.
A.b. Il 3 dicembre 2019 sono stati comunicati alla Vodese l'evento del 26 maggio 2017 e l'inabilità al lavoro al 100% dal 2 ottobre 2019 a causa di una lacerazione alla spalla. Esperiti gli accertamenti medico-assicurativi, la Vodese con decisione del 27 maggio 2020, confermata su opposizione il 17 agosto 2020, ha negato l'esistenza di un nesso di causalità naturale tra l'infortunio del 26 maggio 2017 e i disturbi alla spalla sinistra.
B.
Con sentenza del 22 marzo 2021 il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino ha respinto il ricorso presentato da A._ contro la decisione su opposizione.
C.
A._ insorge con un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale chiedendo sostanzialmente la riforma della sentenza cantonale nel senso che il caso sia assunto dalla Vodese e la concessione dell'assistenza giudiziaria.
La Vodese postula la reiezione del ricorso, mentre la Corte cantonale rinuncia a presentare osservazioni. A._ ha ulteriormente replicato.

Diritto:
1.
1.1. Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto, conformemente a quanto stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. L'accertamento dei fatti può venir censurato solo se è stato svolto in modo manifestamente inesatto o in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF e se l'eliminazione del vizio può essere determinante per l'esito del procedimento (art. 97 cpv. 1 e 105 cpv. 1 e 2 LTF). Se, tuttavia, il ricorso è presentato contro una decisione d'assegnazione o rifiuto di prestazioni pecuniarie dell'assicurazione militare o dell'assicurazione contro gli infortuni può essere censurato qualsiasi accertamento inesatto o incompleto dei fatti giuridicamente rilevanti (art. 97 cpv. 2 LTF); il Tribunale federale in tal caso non è vincolato dall'accertamento dei fatti operato dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 3 LTF).
1.2. Benché in queste controversie il Tribunale federale abbia un pieno potere d'esame nell'accertamento dei fatti, non è comunque possibile allegare liberamente nuove prove (art. 99 cpv. 1 LTF; <ref-ruling>). Prove che sono emerse soltanto nel momento in cui dinanzi all'autorità precedente non era più possibile addurre nuovi fatti o mezzi di prova, in concreto successivamente all'emanazione della sentenza cantonale del 22 marzo 2021, sono per contro irrilevanti dinanzi al Tribunale federale (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 3.2.2.2; <ref-ruling> consid. 3.1.2). Il referto del 31 marzo 2021 del Dr. med. B._ presentato con il ricorso e il certificato del Dr. med. C._ del 21 giugno 2021, entrambi successivi all'emanazione della sentenza cantonale, non possono essere in ogni caso considerati.
2.
Oggetto del contendere è sapere se sia lesiva del diritto federale la sentenza cantonale, che ha confermato la decisione su opposizione con cui è stato negato un nesso di causalità tra l'infortunio del 26 maggio 2017 e i disturbi della ricorrente alla spalla sinistra.
3.
3.1. Il Tribunale cantonale delle assicurazioni ha presentato innanzitutto lo svolgimento del processo, le normative legali applicabili e i parametri di valutazione dei referti medici. La Corte cantonale ha quindi richiamato la diagnosi al momento dell'incidente e gli atti del Dr. med. D._, il messaggio di quest'ultimo del 28 novembre 2019 e il certificato del Dr. med. C._ del 29 gennaio 2020. Essi hanno concluso per la causalità tra l'evento del 26 maggio 2017 e i disturbi alla spalla. Tale fattore è stato invece negato dal Dr. med. E._, interpellato dall'assicuratore, con apprezzamenti del 16 aprile 2020 e del 26 maggio 2020. I giudici ticinesi hanno poi riportato ampi stralci dal parere del Prof. Dr. med. F._ del 13 agosto 2020 e del Dr. med. G._ del 26 ottobre 2020. Da ultimo ha ancora citato l'attestato del Dr. med. C._ del 22 ottobre 2020.
La Corte cantonale ha dato piena valenza probante al parere del Dr. med. G._. I giudici cantonali non hanno ignorato le valutazioni del Dr. med. D._, che però sono antecedenti al referto del Dr. med. E._. Analogamente vale per l'esame del Prof. Dr. med. F._, che era antecedente all'esame del Dr. med. G._. Se la spalla fosse stata lesa dall'infortunio, tale circostanza sarebbe dovuta inoltre risultare dalla risonanza magnetica. La ricorrente non ha lamentato dolori nell'immediatezza dell'evento. Sino al 25 marzo 2019 la spalla non ha subito trattamenti né provocato incapacità lavorativa (attestato dalla lista prestazioni dell'assicuratore malattie). Secondo la Corte cantonale a ciò si deve aggiungere che più il tempo passa e più occorre essere severi sulla causalità naturale. Il disturbo è stato segnalato quale ricaduta e tale circostanza viene assunta dall'assicuratore solo quando la sintomatologia tra l'infortunio e la problematica è evidente, aspetto che deve essere negato nella fattispecie.
3.2. La ricorrente rimprovera al Tribunale cantonale delle assicurazioni di aver dato più peso ai pareri espressi dai medici di fiducia dell'assicuratore. La Corte cantonale si sarebbe limitata inoltre a farne una questione di date e precedenze. Il Dr. med. F._ non avrebbe un rapporto di fiducia con la ricorrente, ma avrebbe svolto la sua attività alla stregua di un perito indipendente.
4.
4.1. Nell'ambito del libero apprezzamento delle prove è in linea di principio consentito che l'assicuratore e il giudice delle assicurazioni sociali fondino la loro decisione esclusivamente su basi di giudizio interne dell'istituto assicuratore, il quale è parte solo dopo l'instaurazione della controversia giudiziale, mentre nella fase che precede la decisione è un organo amministrativo incaricato di attuare il diritto oggettivo (cfr. <ref-ruling> consid. 4). Per quanto riguarda l'imparzialità e l'attendibilità di simili prove, devono tuttavia essere poste esigenze severe (<ref-ruling>). Per la giurisprudenza del Tribunale federale, nel caso in cui sussista anche il minimo dubbio sull'affidabilità e sulla concludenza dei pareri medici interni dell'assicurazione, occorrerà sottoporre l'assicurato a una perizia medica esterna (<ref-ruling> consid. 4.4). Giova altresì ricordare che di principio deve essere considerato con la necessaria prudenza il referto dei medici curanti a causa dei particolari legami che essi hanno con il paziente, per cui, secondo l'esperienza comune, il medico curante tende generalmente, in caso di dubbio, a pronunciarsi in favore del proprio paziente in ragione del rapporto di fiducia che lo unisce a quest'ultimo (cfr. <ref-ruling> consid. 3b/cc).
4.2. Le tesi della ricorrente sono infondate. La Corte cantonale non si è limitata a valutare le valutazioni in base alla cronologia. È vero che essa ha dato maggior peso al referto del Dr. med. G._, ma ha considerato la risonanza magnetica, l'assenza di dolori alla spalla sinistra nell'immediatezza dell'incidente del 26 maggio 2017, l'assenza di trattamenti medici alla spalla sinistra e il tempo trascorso. In tali condizioni, invano la ricorrente richiama il parere del Prof. Dr. med. F._. Il Dr. med. G._ nel proprio apprezzamento del 26 settembre 2020 ha spiegato in maniera convincente perché la causalità dovesse essere esclusa: non solo l'incidente non poteva causare la problematica alla spalla sinistra, ma anche le risultanze mediche depongono chiaramente a sfavore di questa tesi. In queste condizioni il Tribunale cantonale delle assicurazioni poteva fondarsi su quest'ultimo parere, sulla cui affidabilità non sussiste neanche il minimo dubbio.
5.
Ne discende che il ricorso deve essere respinto. La domanda di assistenza giudiziaria non può trovare accoglimento siccome il ricorso era sin dall'inizio sprovvisto di ogni possibilità di successo (art. 64 cpv. 1 LTF). Le spese giudiziarie seguono quindi la soccombenza e sono poste a carico della ricorrente (art. 66 cpv. 1 LTF).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è respinto.
2.
La domanda di assistenza giudiziaria è respinta.
3.
Le spese giudiziarie di fr. 800.- sono poste a carico della ricorrente.
4.
Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale della sanità pubblica.