Sachverhalt:
A.
A.a. Die B._ AG ist im (......) fachhandel tätig. Ihr Logo besteht aus der Firma "B._" und dem Zusatz "Aus Liebe zum (......) ".
A.b. Der Verein A._ wird durch C._ präsidiert. Er gibt die "A._-Nachrichten" heraus, die mit einer Gesamtauflage von 420'000 Exemplaren als Zeitschrift, im Internet (www.A._.ch) und über Facebook veröffentlicht werden.
A.c. Die A._-Nachrichten vom Juni 2019 (19-2) greifen die Haltung von Kaninchen auf und erläutern, dass die Tiere für eine artgerechte Haltung genügend Platz benötigen, dass unnötige "Spielsachen" und "Leckerbissen" für die Kaninchen zum Kauf angeboten werden und dass Kaninchen für Kinder keine geeigneten Spielsachen sind. Der Beitrag steht unter dem Titel "B._ heisst für uns (......) " und schliesst mit dem Satz, dass das Logo der B._ AG "Aus Liebe zum (......) " wohl eher "aus Liebe zum Profit" heissen sollte. Neben dem Textbeitrag steht das Logo der B._ AG, wobei das "i" in der Firma und der Zusatz "Aus Liebe zum (......) " rot durchkreuzt sind.
B.
Am 3./5. Juli 2019 stellte die B._ AG ein Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen zum Schutz ihrer Persönlichkeit. Der Verein A._ nahm zum Gesuch am 29./30. Juli 2019 Stellung und schloss auf Abweisung. Das Handelsgericht des Kantons Zürich entschied über die verschiedenen Gesuchsbegehren mit Urteil vom 14. August 2019. Dessen Dispositiv-Ziff. 1 hat folgenden Wortlaut:
"Das Gesuch wird in Bezug auf Rechtsbegehren Ziffer 3 teilweise gutgeheissen und dem Gesuchsgegner wird verboten, folgende Passagen im Artikel in den A._ Nachrichten 19-2 auf S. 23 auf seiner Internetseite 'www.A._.ch' zu verbreiten:
- Titel: 'B._ heisst für uns (......) '
- Letzter Satz 'Das Logo von B._ »Aus Liebe zum (......) « sollte wohl eher heissen »aus Liebe zum Profit«'
Ferner wird dem Gesuchsgegner verboten, auf seiner Internetseite 'www.A._.ch' das abgeänderte Logo B._ (Abänderung durch Streichung des 'i' mit einem roten Kreuz und durch Streichung des Zusatzes 'Aus Liebe zum (......) ' ebenfalls mit einem roten Kreuz) zu verwenden.
Mit Bezugnahme auf Rechtsbegehren Ziffer 4 wird dem Gesuchsteller (recte: Gesuchsgegner) befohlen, die Berichterstattung über die Gesuchstellerin auf Facebook zu löschen bzw. löschen zu lassen, soweit sie die oben genannten Persönlichkeitsverletzungen (Titel, letzter Satz und abgewandeltes Logo) enthalten.
Dem Gesuchsgegner bzw. den zuständigen Organen des Gesuchsgegners, insbesondere C._ als Präsident des Gesuchsgegners, wird für den Fall der Widerhandlung gegen die vorsorgliche Massnahme eine Bestrafung nach <ref-law> (Busse bis zu CHF 10'000.00) angedroht."
Das Handelsgericht wies das Gesuch mit Dispositiv-Ziff. 2 hingegen ab, soweit die B._ AG die Verbote beantragte, den Beitrag auf der Internetseite "www.A._.ch" der Öffentlichkeit zugänglich zu machen (Ziffer 1) bzw. darauf Bezug zu nehmen (Ziffer 2) und ihren Namen zu nennen (Ziffer 3 und 4 der Rechtsbegehren). Es setzte der B._ AGeine Frist bis 15. Oktober 2019 an, um den Prozess in der Hauptsache anhängig zu machen (Dispositiv-Ziff. 3 des Urteils vom 14. August 2019).
C.
Mit Eingabe vom 16. September 2019 beantragt der Verein A._ (fortan: Beschwerdeführer) dem Bundesgericht, das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen abzuweisen und der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Die B._ AG (nachfolgend: Beschwerdegegnerin) verlangt die Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung, während das Handelsgericht auf eine Stellungnahme dazu verzichtet hat. Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung hat der Beschwerde keine aufschiebende Wirkung erteilt (Verfügung vom 9. Oktober 2019).
Der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers hat am 17. Februar 2020 seine Kostennote eingereicht und vertritt den Beschwerdeführer gemäss dessen Schreiben vom 24. April 2020 nicht mehr. Dem Beschwerdeführer wurde am 28. April 2020 wunschgemäss die Stellungnahme der Beschwerdegegnerin zum Gesuch um aufschiebende Wirkung zur Kenntnisnahme mitgeteilt. Mit Schreiben vom 27. Mai 2020 hat der Beschwerdeführer eine Kopie seines Strafantrags gegen den Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin wegen Verleumdung, eventuell übler Nachrede zugestellt.
In ihrer Vernehmlassung stellt die Beschwerdegegnerin den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Sie zeigt an, dass sie den Prozess in der Hauptsache anhängig und damit die vorsorglichen Massnahmen prosequiert habe. Das Handelsgericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet.
Der Beschwerdeführer hat die Vernehmlassungen zugestellt erhalten, innert Frist aber keine Gegenbemerkungen dazu eingereicht.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil betrifft den Schutz der Persönlichkeit (<ref-law>) durch vorsorgliche Massnahmen (<ref-law>) und damit eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 403). Es ist kantonal letztinstanzlich (<ref-law>) und lautet zum Nachteil des Beschwerdeführers (<ref-law>).
1.2. Selbstständig eröffnete Massnahmeentscheide, die vor oder während eines Hauptverfahrens erlassen werden und nur für die Dauer des Hauptverfahrens bzw. unter der Bedingung, dass ein Hauptverfahren eingeleitet wird, Bestand haben, sind Zwischenentscheide im Sinne von <ref-law>, gegen die die Beschwerde nur zulässig ist, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 328). Der drohende nicht wieder gutzumachende Nachteil liegt - wie der Beschwerdeführer zutreffend hervorhebt - insoweit auf der Hand, als selbst eine spätere Abweisung des Gesuchs die Nachteile des Publikationsverbots nicht rückwirkend zu beseitigen vermag (Urteile 5A_202/2007 vom 13. Juni 2007 E. 1.1; 5A_706/2010 vom 20. Juni 2011 E. 1.2).
1.3. Mit der Beschwerde gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Der Grundsatz der gerichtlichen Rechtsanwendung von Amtes wegen (<ref-law>) kommt in diesem Bereich nicht zum Tragen (<ref-ruling> E. 2 S. 591; <ref-ruling> E. 1.5 S. 576). Erforderlich sind klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Urteil tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368). Wird im Besonderen die Rüge der Willkür (<ref-law>) erhoben, muss dargelegt werden, inwiefern das angefochtene Urteil nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis offensichtlich unhaltbar ist, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 6.2 S. 239; <ref-ruling> E. 2 S. 146). Der Beschwerdeführer behauptet eine willkürliche Anwendung von <ref-law> und von <ref-law>, Verletzungen seiner Meinungsäusserungs-, Informations- und Medienfreiheit sowie seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (S. 12 f. der Beschwerdeschrift). Auf die formellen Anforderungen an diese Rügen wird im Sachzusammenhang einzugehen sein.
1.4. Der Beschwerdeführer hat das Gesuch der Beschwerdegegnerin vor Handelsgericht mit einer Eingabe von 8 Seiten beantwortet, reicht dem Bundesgericht aber nunmehr eine 63 Seiten umfassende Rechtsschrift ein. Er übersieht, dass neue Vorbringen in Verfahren, die der Kognitionsbeschränkung des <ref-law> unterstehen, nur beschränkt zulässig sind. Für Tatsachen und Beweismittel setzt <ref-law> voraus, dass sie nur so weit vorgebracht werden dürfen, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt. Die Voraussetzung ist in der Beschwerdeschrift darzutun (<ref-ruling> E. 3 S. 395; <ref-ruling> E. 1.2 S. 22). Rechtliche Einwände, die schon vor Handelsgericht bekannt waren, erstmals vor Bundesgericht in das Verfahren einzuführen, verbietet der Grundsatz von Treu und Glauben (Urteil 5A_878/2014 vom 17. Juni 2015 E. 2.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; für handelsgerichtliche Verfahren: Urteile 4A_50/2019 vom 28. Mai 2019 E. 4.3.2; 4A_446/2018 vom 21. Mai 2019 E. 3.4, nicht publ. in: <ref-ruling>). Dass der Beschwerdeführer vor Handelsgericht als Gesuchsgegner teilgenommen hat, ändert daran nichts (Urteile 5A_267/2014 vom 15. September 2014 E. 5.2; 5A_848/2017 vom 15. Mai 2018 E. 6.2; 5A_176/2019 vom 26. Juni 2019 E. 2.2). Auch auf die Zulässigkeit seiner neuen Vorbringen wird im Sachzusammenhang zurückzukommen sein.
1.5. Mit den erwähnten Vorbehalten kann auf die - rechtzeitig (<ref-law>) erhobene - Beschwerde eingetreten werden.
2.
2.1. Das Handelsgericht ist in rechtlicher Hinsicht davon ausgegangen, das Gesetz verlange mit <ref-law> die Prüfung von Persönlichkeitsverletzung (Abs. 1) und Rechtfertigungsgrund (Abs. 2). Eine Verletzung der Ehre als Teil des Persönlichkeitsrechts könne durch Werturteile, bei denen eine Wahrheitsprüfung nicht möglich sei (Meinungsäusserungen, Kommentare, Kritiken), erfolgen. Werturteile seien grundsätzlich zulässig, soweit sie vertretbar seien, hingegen persönlichkeitsverletzend, wenn sie unnötig herabsetzten (E. 4a S. 4 des angefochtenen Urteils).
2.2. Fallbezogen hat das Handelsgericht angenommen, mit dem Titel "B._ heisst für uns (......) " verbreite der Beschwerdeführer ein Werturteil, worin er die Beschwerdegegnerin sinngemäss der Tierquälerei bezichtige. Das sei eine unnötig herabsetzende Meinungsäusserung. Zwar sei die Meinung des Beschwerdeführers vertretbar, dass für eine artgerechte Haltung von Kaninchen genügend Platz erforderlich sei. Die Meinung aber, dass die den massgebenden Normen für die Haltung von Kaninchen entsprechenden Käfige zu einer tierquälerischen Haltung der Kaninchen führten, sei jedoch unnötig polemisch und damit persönlichkeitsverletzend. Auch mit der Äusserung "Das Logo von B._ »Aus Liebe zum (......) « sollte wohl eher heissen »aus Liebe zum Profit«" verbreite der Beschwerdeführer seine Meinung, die Beschwerdegegnerin interessiere sich auf Kosten des Wohls der Tiere nur für ihren eigenen Profit. Auch diese Meinungsäusserung sei unnötig polemisch und für die Verbreitung der vertretbaren Meinung, dass für die Haltung von Kaninchen genügend Platz vorhanden sein müsse, unnötig. Genau gleich verhalte es sich mit der Abänderung des Logos "B._". Mit der Umformulierung zu " (......) " durch die Streichung des "i" mit einem roten Kreuz und durch die Streichung des Zusatzes "Aus Liebe zum (......) " ebenfalls mit einem roten Kreuz bezichtige der Beschwerdeführer die Beschwerdegegnerin der Tierquälerei. Auch diese Meinungsäusserung schiesse über die vertretbare Ansicht hinaus, dass für eine artgerechte Haltung von Kaninchen grössere Käfige förderlich wären (E. 4c/aa-cc S. 5 f. des angefochtenen Urteils).
2.3. In Bezug auf die persönlichkeitsverletzenden Äusserungen könne der Beschwerdeführer, so hat das Handelsgericht dafürgehalten, auch keinen Rechtfertigungsgrund geltend machen. Offensichtlich liege keine Einwilligung des Verletzten vor. Im Übrigen könne sich der Beschwerdeführer auch nicht auf überwiegende öffentliche Interessen (Informationsauftrag eines Mediums, Tierschutz etc.) berufen. Das berechtigte Anliegen, auf die Notwendigkeit hinzuweisen, dass eine artgerechte Haltung von Kaninchen genügend Platz voraussetzt, könne auch mit sachlichen Argumenten und ohne Polemik geäussert werden, weshalb in Bezug auf die genannten Passagen von einer widerrechtlichen Persönlichkeitsverletzung auszugehen sei (E. 4e [recte: d] S. 6 des angefochtenen Urteils).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt eine offensichtlich falsche und damit willkürlich Anwendung von <ref-law>, wonach das Gericht gegen periodisch erscheinende Medien vorsorgliche Massnahmen unter anderem nur dann anordnen darf, wenn offensichtlich kein Rechtfertigungsgrund vorliegt (S. 59 ff. Rz. 61-70). Er räumt dabei ein, dass er diese Rüge vor Handelsgericht nicht erhoben hat, hält sich dazu aber vor Bundesgericht gleichwohl für berechtigt (S. 60 Ziff. 64 der Beschwerdeschrift).
3.2. Das Gericht trifft gemäss <ref-law> die notwendigen vorsorglichen Massnahmen, wenn die gesuchstellende Partei glaubhaft macht, dass (a.) ein ihr zustehender Anspruch verletzt ist oder eine Verletzung zu befürchten ist und (b.) ihr aus der Verletzung ein nicht leicht wieder gutzumachender Nachteil droht. Gegen periodisch erscheinende Medien darf das Gericht eine vorsorgliche Massnahme laut <ref-law> nur anordnen, wenn (a.) die drohende Rechtsverletzung der gesuchstellenden Partei einen besonders schweren Nachteil verursachen kann, (b.) offensichtlich kein Rechtfertigungsgrund vorliegt und (c.) die Massnahme nicht unverhältnismässig erscheint.
Für die besonderen Voraussetzungen vorsorglicher Massnahmen gegenüber Medien sind die Anforderungen an die Glaubhaftmachung nach der Rechtsprechung erhöht (Urteile 5A_956/2018 vom 22. April 2020 E. 2; 5A_641/2011 vom 23. Februar 2012 E. 7.1, in: sic! 2012 S. 444; vgl. zum früheren Recht: Urteil 5A_706/2010 vom 20. Juni 2011 E. 4.2.1, in: sic! 2011 S. 657).
3.3. Das Handelsgericht ist davon ausgegangen, bei den A._-Nachrichten handle es sich um ein periodisch erscheinendes Medium, so dass sich die Anforderungen an die Begründetheit eines Massnahmengesuchs nach <ref-law> und zusätzlich nach <ref-law> richteten (E. 3 S. 3). Es hat festgestellt, die Anforderungen seien erfüllt (E. 4e und E. 4f S. 6 f. des angefochtenen Urteils).
Vor Bundesgericht rügt der Beschwerdeführer, das Handelsgericht habe die erhöhten Anforderungen an die Glaubhaftmachung zu Unrecht als erfüllt betrachtet.
3.4. Welche Anforderungen an die Glaubhaftmachung zu stellen sind, ist durch das Bundesrecht geregelt und damit eine Rechtsfrage. Eine Frage der Beweiswürdigung und damit eine Tatfrage ist hingegen, ob das Gericht davon ausgehen durfte, die Voraussetzungen für den Erlass vorsorglicher Massnahmen seien im konkreten Fall glaubhaft gemacht (vgl. zum Beweismass und dessen Erreichen: <ref-ruling> E. 5 S. 327; <ref-ruling> E. 5.1 S. 364; <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 470).
Letzteres bestreitet der Beschwerdeführer. Da er sich zu dieser Frage vor Handelsgericht nach eigenen Angaben nicht geäussert hat (E. 3.1 oben), sind seine heutigen Sachvorbringen neu und nur zulässig, falls erst das angefochtene Urteil dazu Anlass gegeben hat (<ref-law>). Dass diese Voraussetzung erfüllt ist, tut der Beschwerdeführer nicht dar (vgl. zur diesbezüglichen Begründungspflicht: <ref-ruling> E. 3 S. 395; <ref-ruling> E. 3 S. 346; <ref-ruling> E. 1.2 S. 22). Sie könnte auch nicht als erfüllt betrachtet werden, zumal der Beschwerdeführer selber einräumt, er habe sich vor Handelsgericht zu den Voraussetzungen von <ref-law> überhaupt nicht geäussert. Hat er entsprechende Vorbringen vor Handelsgericht versäumt, ist er damit vor Bundesgericht ausgeschlossen. Denn der vorinstanzliche Verfahrensausgang allein bildet noch keinen hinreichenden Anlass im Sinne von <ref-law> für die Zulässigkeit von Noven, die bereits im kantonalen Verfahren - wie vorliegend - ohne Weiteres hätten vorgebracht werden können (<ref-ruling> E. 4.4.3 S. 129; <ref-ruling> E. 1.2 S. 23).
3.5. Aus den dargelegten Gründen ist auf die Beschwerde nicht einzutreten, soweit damit eine Verletzung von <ref-law> gerügt wird.
4.
4.1. Das Handelsgericht hat auf die Praxis verwiesen, wonach in zwei Schritten zu prüfen ist, ob (1.) eine Persönlichkeitsverletzung und (2.) ein Rechtfertigungsgrund vorliegt (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 413). Es hat weiter darauf abgestellt, dass die Ehre einer Person durch Tatsachenbehauptungen, Werturteile oder gemischte Werturteile verletzt werden kann. Die Verbreitung wahrer Tatsachen ist durch den Informationsauftrag der Presse grundsätzlich gedeckt, die Verbreitung unwahrer Tatsachen hingegen nicht. Meinungsäusserungen, Kommentare und Werturteile sind zulässig, sofern sie aufgrund des Sachverhalts, auf den sie sich beziehen, als vertretbar erscheinen. Sie sind einer Wahrheitsprüfung nicht zugänglich. Soweit sie allerdings zugleich auch Tatsachenbehauptungen darstellen, wie es z.B. in einem sog. gemischten Werturteil der Fall ist, gelten für den Sachbehauptungskern der Aussage die gleichen Grundsätze wie für Tatsachenbehauptungen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 643).
4.2. Eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör erblickt der Beschwerdeführer darin, dass das Handelsgericht sich mit dem Nachvollziehbarkeitsbeweis nicht befasst habe, der im Falle gemischter Werturteile abzunehmen sei (S. 44 Ziff. 32 der Beschwerdeschrift). Der Vorhalt wäre berechtigt, wenn das Handelsgericht die eingeklagten Äusserungen als gemischte Werturteile erfasst hätte. Die Annahme trifft indessen nicht zu. Das Handelsgericht ist von Meinungsäusserungen und damit (reinen) Werturteilen ausgegangen (E. 2.2 oben), die keinen Sachbehauptungskern aufweisen, der einer Wahrheitsprüfung unterzogen werden könnte. Der Beschwerdeführer wendet sich somit gegen die materiell-rechtliche Erfassung seiner Äusserungen als reine anstatt als gemischte Werturteile und rügt damit keine formelle Rechtsverweigerung, sondern die Richtigkeit der Begründung (<ref-ruling> E. 6.1 S. 326; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 564; Urteil 5A_888/2011 vom 20. Juni 2012 E. 4.5, betreffend den Beschwerdeführer).
4.3. Eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör, wie er sich aus <ref-law> und <ref-law> ergibt (<ref-ruling> E. 4.1.1 S. 52), liegt nicht vor. Aus dem gleichzeitig angerufenen Art. 6 Ziff. 1 EMRK kann diesbezüglich nichts Weitergehendes abgeleitet werden (Urteil 5A_693/2008 vom 16. März 2009 E. 1.3, nicht veröffentlicht in: <ref-ruling>, wohl aber in: sic! 2009 S. 713, betreffend den Beschwerdeführer; Urteil 5A_801/2018 vom 30. April 2019 E. 3.3).
5.
5.1. Der Beschwerdeführer räumt ein, das Handelsgericht habe zu Recht erkannt, dass er mit seinen Äusserungen keinen Vorwurf im strafrechtlichen Sinn erhoben, sondern einen tierschutzpolitischen Missstand kritisiert habe. Die Käfige, die die Beschwerdegegnerin in ihrem Angebot führe, erfüllten zwar die Minimalvorschriften der Tierschutzverordnung, seien aber dem Wohl der Kaninchen gleichwohl abträglich (S. 14 ff. Ziff. 6-10). Dessen ungeachtet habe das Handelsgericht lapidar festgehalten, die Werturteile, mit denen er die Beschwerdegegnerin sinngemäss der Tierquälerei und der Profitmaximierung auf Kosten des Wohls der Tiere bezichtige, seien unnötig herabsetzend und damit persönlichkeitsverletzend. Damit habe das Handelsgericht sein subjektives Empfinden an die Stelle des allein massgebenden Verständnisses des Durchschnittslesers der "A._-Nachrichten" im Internet und über Facebook gesetzt (S. 17 Ziff. 11-13). Dieser Durchschnittsleser, meint der Beschwerdeführer, sei ein ihm nahestehender, tierschutzinteressierter, aufmerksamer Leser und würdige seine provokant-polemischen Aussagen vor dem Hintergrund seiner egalitaristischen Weltanschauung, weshalb Begriffe wie "Tierquälerei" und Gröberes keine Persönlichkeitsverletzungen, sondern umgangssprachliche Werturteile darstellten (S. 18 ff. Ziff. 14-20 der Beschwerdeschrift).
5.2. Vor Handelsgericht hat der Beschwerdeführer noch behauptet, der strittige kleine Artikel sei zwar plakativ-satirisch, für die Leserschaft der "A._-Nachrichten" und seiner Facebook-Seite aufgrund seiner regelmässigen und zahlreichen Artikel über die Bedürfnisse von Tieren, insbesondere Kaninchen, sei jedoch klar, was gemeint sei, "nämlich dass B._ dem Tierwohl viel zu wenig Beachtung schenkt bei der Auswahl des Sortimentes und bei der Bertatung (recte: Beratung) und Information der Kunden" (S. 3 Ziff. 4 der Gesuchsantwort vom 29. Juli 2019, act. 8 der kantonalen Akten).
5.3. Der Beschwerdeführer hat damit vor Handelsgericht anerkannt, wie seine Äusserungen vom Durchschnittsleser der "A._-Nachrichten" verstanden werden. Seine heutigen Bestreitungen und Ausführungen zu einem Durchschnittsleser mit egalitaristischer Geisteshaltung hätte er bereits vor Handelsgericht vortragen können und müssen. Sie erweisen sich im Beschwerdeverfahren als neu und unzulässig (E. 1.4 oben).
5.4. Gegen die Bestreitung der Persönlichkeitsverletzung wendet die Beschwerdegegnerin ein, der Beschwerdeführer äussere sich offensichtlich verleumderisch, da er sie wider besseres Wissen eines unehrenhaften Verhaltens bezichtige, obwohl er selber genau wisse, dass sie sämtliche Vorschriften einhalte (S. 5 Rz. 12, 2. Lemma, der Beschwerdeantwort). Sie habe deshalb unter anderem gegen den Beschwerdeführer eine Strafanzeige wegen Verleumdung eingereicht (S. 9 Rz. 31 der Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung und S. 3 Rz. 6, 2. Lemma, der Beschwerdeantwort).
5.5. Der Vorwurf des Beschwerdeführers, die Beschwerdegegnerin schenke "dem Tierwohl viel zu wenig Beachtung", verletzt die Beschwerdegegnerin als eine im (......) fachhandel tätige Firma fraglos in ihrer Geschäftsehre. Der zivilrechtliche Persönlichkeitsschutz umfasst auch das gesellschaftliche und berufliche Ansehen einer Person, also ihre "soziale Geltung", und schützt damit die Ehre weitergehend als das Strafrecht, das nur die Geltung eines Menschen als sittliche Person gewährleistet, d.h. seinen Ruf, ein achtenswerter, ehrbarer Mensch zu sein (<ref-ruling> E. 4.1 S. 722). Die darauf gestützte Rechtsanwendung des Handelsgerichts ist frei von Willkür.
5.6. Soweit sie sich gegen die Bejahung der Persönlichkeitsverletzung richtet, ist die Beschwerde aus den dargelegten Gründen abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
6.
6.1. Für den - nach dem Gesagten (E. 5 oben) eingetretenen - Fall, dass das Handelsgericht willkürfrei eine Persönlichkeitsverletzung bejahen durfte, erhebt der Beschwerdeführer den Vorwurf, das Handelsgericht habe über das Bestehen von Rechtfertigungsgründen im Lichte von <ref-law> willkürlich entschieden (S. 35 Ziff. 21-22). Es habe "kurzen Prozess" gemacht und den von der EMRK und der Verfassung geforderten Nachvollziehbarkeitsbeweis missachtet, wonach für die Beurteilung eines (gemischten) Werturteils zu prüfen sei, ob eine ausreichende Tatsachengrundlage bestehe (S. 35 ff. Ziff. 24-26). Die eingeklagten Äusserungen fielen nicht unter den Begriff der Schmähkritik, sondern gründeten im erkennbaren Anliegen des Tierschutzes bzw. der Käfighaltung von Kaninchen. Diese Tatsachengrundlage lasse den Sachbehauptungskern der Werturteile "Tierquälerei" und "Profit auf Kosten des Tierwohls" als wahr und damit die Werturteile als vertretbar erscheinen (S. 40 ff. Ziff. 27-31). Neben seinem Informationsauftrag beruft sich der Beschwerdeführer auf den Rechtfertigungsgrund der Wahrung höherer öffentlicher Interessen. Die auf dem Spiele stehenden Interessen habe das Handelsgericht einseitig zu seinem Nachteil abgewogen. Es bestehe an den Haltebedingungen von Kaninchen offenkundig ein öffentliches Interesse und am Verhalten der Beschwerdegegnerin ein legitimes Informationsbedürfnis. Die gegenteilige Ansicht verkenne den Geltungsumfang der Meinungsäusserungs- und Medienfreiheit. Aus der Rechtsprechung zur EMRK ergebe sich ein eigentliches Recht auf Beleidigung, das nur vor Schmähkritik oder einem grundlosen persönlichen Angriff zurückzutreten habe. Eine derartige Ausnahme bestehe mit Rücksicht auf den Autor, den Adressaten und den Kontext der beleidigenden Äusserung nicht (S. 44 ff. Rz. 33-60 der Beschwerdeschrift).
6.2. Vor Handelsgericht hat sich der Beschwerdeführer noch darauf berufen, in der Praxis des Bundesgerichts und des EGMR geniesse Satire als Ausdrucksmittel in der öffentlichen Diskussion zu Themen von öffentlichem Interesse (Tierschutz, Konsumentenschutz) einen sehr hohen Schutz im Rahmen der Meinungsäusserungsfreiheit. Das gelte auch für reine Werturteile (S. 7 Ziff. 14). Er habe seine Meinung über die Beschwerdegegnerin auf satirische Weise als reines Werturteil ausgedrückt (S. 8 Ziff. 15). Die Zulässigkeitsgrenze, wonach Spott in Satire oder Karikatur die sittliche Geltung der anvisierten Person unangetastet lassen müsse, sei nicht überschritten worden (S. 8 Ziff. 16). Tierschutz, die ungenügenden Tierschutzvorschriften und die landesweiten Missstände im staatlichen Vollzug des Tierschutzgesetzes seien politische Dauerthemen, welche die Öffentlichkeit stark bewegten. Eine kritische Beurteilung der (......) handlungs-Kette B._ durch die namhafte, landesweit bekannte Tierschutzorganisation wie der A._, mit hoher Fachkompetenz bezüglich Kaninchen und Meerschweinchen, sei nach der dargelegten Sach- und Rechtslage durch die Meinungsäusserungsfreiheit geschützt (S. 8 Ziff. 17 der Gesuchsantwort vom 29. Juli 2019, act. 8 der kantonalen Akten).
6.3. Der Beschwerdeführer hat damit seine ehrverletzenden Äusserungen vor Handelsgericht als reine Werturteile anerkannt und einzig mit der ihm zustehenden Freiheit, seine Meinung in der Form der Satire zu äussern, gerechtfertigt. Seine heutige Bestreitung, es handle sich um gemischte und nicht um reine Werturteile, und seine Ausführungen zu anderen Rechtfertigungsgründen als der Wahrnehmung seiner Meinungsäusserungsfreiheit hätte er bereits vor Handelsgericht vortragen können und müssen. Sie erweisen sich im Beschwerdeverfahren als neu und unzulässig (E. 1.4 oben).
6.4. Gegen den Rechtfertigungsgrund der Satire wendet die Beschwerdegegnerin ein, der Beschwerdeführer stehe nicht unter dem Schutz der Satire, da es gar nicht um einen satirischen Beitrag gehe, sondern einzig darum, sie mit Hilfe von Text und Bildmontage ins Lächerliche zu ziehen und zu verunglimpfen. Es handle sich um reine Schmähkritik und falle nicht mehr in den Bereich des Humoristischen, geschweige denn unter den Begriff der Satire. Der Tatbestand der Satire mit seinen drei Elementen sei nicht erfüllt (S. 5 f. Rz. 12, 3.-6. Lemma, der Beschwerdeantwort).
6.5. Satire ist eine Form der Berichterstattung und dient in einem weiteren Sinn der Information des Publikums, weshalb an ihr ein öffentliches Interesse besteht und sie einen Rechtfertigungsgrund darstellen kann. Weil sie definitionsgemäss überzeichnet oder verfremdet, kann sie nur unter erschwerten Umständen angefochten werden, wenn nämlich die ihrem Wesen eigenen Grenzen in unerträglichem Mass überschritten sind (Urteil 5A_553/2012 vom 14. April 2014 E. 3.2, in: sic! 2014 S. 458 und EuGRZ 2014 S. 549). Die Grenzen sprengt die Polemik bzw. die Schmähkritik, die einen persönlichen Angriff zum Ziel hat und die als Kritik überzieht und unnötig verletzt (Urteil 5A_376/2013 vom 29. Oktober 2013 E. 5.2 und 5.3, in: sic! 2014 S. 292 f.).
Auf die Rechtsprechung hat das Handelsgericht abgestellt. Es ist zum Ergebnis gelangt, dass der Beschwerdeführer die Firma und das Logo der Beschwerdegegnerin in einer Art verballhornt hat, die weit über das an sachlicher Kritik an der Kaninchenhaltung Berechtigte hinausgeht. Der Beschwerdegegnerin, die im (......) fachhandel tätig ist und mit Tieren zu tun hat, werden in ihrer Firma " (......) " ( (......)) statt "Qualität" (B._) und in ihrem Logo "Liebe zum Profit" statt "Liebe zum (......) " unterstellt. Willkürfrei durfte das Handelsgericht schliessen, dass sich die Äusserungen in Polemik bzw. Schmähkritik erschöpfen und daran kein Informationsbedürfnis der Öffentlichkeit besteht. Inwiefern die angefochtene Beurteilung andere Verfassungs- oder Grundrechte verletzen könnte, unterlässt der Beschwerdeführer formell ausreichend darzutun (E. 1.3 oben).
Angefügt werden kann, dass der Beschwerdeführer seine "A._-Nachrichten" selber nicht als Satireblatt versteht, in dessen Rahmen die eingeklagten Äusserungen allenfalls abweichend hätten beurteilt werden müssen (Urteil 5A_267/2017 vom 14. Dezember 2017 E. 4.5 in: SJ 140/2018 I S. 293). Mit Blick auf das Ergebnis nicht entscheidend ist sodann, ob der Beschwerdeführer seine Äusserungen dadurch überzeichnet hat, dass er - wie die Beschwerdegegnerin behauptet (S. 4 Rz. 7 der Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung und S. 4 Rz. 10 der Beschwerdeantwort) - ein Riesenkaninchen (z.B. einen Belgischen Riesen mit einer Grösse von bis zu 80 cm und einem Gewicht von bis zu 10 kg) in Käfigen abbildet, die für Zwergkaninchen (z.B. Farbenzwerge mit einer Grösse von ca. 20-40 cm und einem Gewicht von ca. 1.2 kg) bestimmt sind, genügen doch die eingeklagten Äusserungen für die willkürfreie Annahme von Polemik bzw. Schmähkritik.
6.6. Unter dem Blickwinkel der Willkür kann das angefochtene Urteil aus den dargelegten Gründen auch nicht beanstandet werden, was die Beurteilung der Widerrechtlichkeit der Ehrverletzung angeht.
7.
Insgesamt muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschwerdeführer wird damit kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 4'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. September 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: von Roten