Faits :
A.
A.a. Une procédure pénale (cause P/16147/2021) est ouverte contre A._, ressortissant nord-africain sans domicile fixe, pour tentative de brigandage (art. 140 et 22 CP), ainsi que pour entrée illégale en Suisse (art. 115 al. 1 let. a de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers et l'intégration [LEI; RS 142.20]). Dans ce cadre, il est soupçonné d'avoir, le 17 août 2021 à U._, pris part à une tentative de brigandage. Il lui est également reproché d'être entré, ce même jour, en Suisse, sans être titulaire des autorisations nécessaires et sans disposer de moyens légaux de subsistance.
Lors de son audition par la police, le prévenu a reconnu les faits, précisant en particulier avoir agi en compagnie de deux autres comparses, dont un prénommé B._. Interrogé sur le vol d'une mallette perpétré le 16 août 2010 [recte 2021] à U._ (objet de la procédure P_1), le prévenu a expliqué qu'il se trouvait avec le dénommé B._, mais n'avait "rien fait"; B._ ne lui avait "jamais dit qu'il avait volé cette mallette". Selon le prévenu, s'il en avait eu connaissance, il ne serait pas venu en Suisse le lendemain.
Le 19 août 2021, A._ a été entendu par le Ministère public de la République et canton de Genève (ci-après : le Ministère public). Le prévenu a reconnu avoir participé au brigandage du 17 août 2021 et avoir déjà été condamné pour vol, "pour manger et boire, et [s'] habiller". Il a également déclaré qu'à l'issue de la procédure, il se rendrait chez son oncle, à l'étranger, et qu'il ne reviendrait pas en Suisse.
A.b. Dans sa demande de mise en détention provisoire, le Ministère public a notamment indiqué qu'il entendait confronter le prévenu à la victime et que les co-auteurs étaient recherchés, ce qui pourrait impliquer d'autres confrontations.
Par ordonnance du 20 août 2021, le Tribunal des mesures de contrainte (Tmc) a ordonné le placement en détention provisoire de A._ pour une durée de trois mois, soit jusqu'au 18 novembre 2021. Cette autorité a retenu l'existence de charges suffisantes, ainsi que des risques de fuite et de réitération qu'aucune mesure de substitution ne permettait de pallier.
B.
Le 8 septembre 2021, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après : la Chambre pénale de recours) a rejeté le recours formé par A._ contre cette décision.
La cour cantonale a relevé que le recourant ne contestait pas l'existence de charges suffisantes, les risques retenus à son encontre et le défaut de mesures de substitution. Elle a ensuite considéré que la durée de la détention provisoire ordonnée par le Tmc respectait le principe de proportionnalité; il ressortait en effet du dossier que le prévenu pourrait être impliqué dans d'autres vols et que le Ministère public entendait identifier ses comparses afin de préciser le comportement de chacun le jour de la tentative du brigandage, ainsi que d'investiguer pour déterminer l'étendue de l'activité illicite du prévenu (cf. consid. 4 p. 4 s.).
C.
Par acte du 19 septembre 2021, A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre cet arrêt, concluant à la constatation du droit à sa liberté et à son placement en détention provisoire jusqu'au 30 septembre 2021. A titre subsidiaire, il demande sa libération dans un délai de dix jours et, encore plus subsidiairement, le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision. Le recourant sollicite également l'octroi de l'assistance judiciaire.
Le Ministère public a conclu au rejet du recours, relevant la jonction des causes P/16147/2021 et P_1 le 21 septembre 2021, puis la mise en prévention complémentaire du recourant pour les faits perpétrés le 16 août 2021 lors de l'audition du 23 septembre 2021. La cour cantonale s'est référée aux considérants de sa décision, sans formuler d'observations. Le 28 septembre 2021, le recourant a persisté dans ses conclusions.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière pénale est ouvert contre une décision relative à la détention provisoire ou pour des motifs de sûreté au sens des <ref-law> (<ref-ruling> consid. 1 p. 23). En outre, selon l'art. 81 al. 1 let. a et let. b ch. 1 LTF, le recourant, prévenu détenu, a un intérêt juridique à obtenir l'annulation ou la modification de la décision attaquée qui confirme son maintien en détention provisoire pour trois mois. L'arrêt entrepris représente une décision incidente qui peut causer un préjudice irréparable au recourant au sens de l'<ref-law> (arrêt 1B_474/2021 du 22 septembre 2021 consid. 1). Pour le surplus, le recours a été formé en temps utile (<ref-law>) contre une décision rendue en dernière instance cantonale (<ref-law>) et les conclusions qui y sont prises sont recevables (<ref-law>). Partant, il y a lieu d'entrer en matière.
2.
Selon l'<ref-law>, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente. Il en découle que les événements ultérieurs à l'arrêt attaqué dont se prévaut notamment le Ministère public sont irrecevables.
3.
Le recourant ne conteste pas les charges suffisantes pesant à son encontre et les risques de fuite, ainsi que de réitération retenus; il ne prétend pas non plus qu'il existerait des mesures de substitution propres à les réduire. En particulier, le recourant ne soutient pas que les éléments relatifs à la tentative de brigandage du 17 août 2021 (cause P/16147/2021) ne permettraient pas à eux seuls de remplir les condition posées à l'<ref-law> (sur ces notions, <ref-ruling> consid. 2.1 p. 333 s. [charges suffisantes]; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 507 [risque de fuite]; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 328 s. [risque de réitération]).
En revanche, le recourant se plaint d'une violation de l'art. 5 par. 3 CEDH, soutenant en substance que l'instruction relative aux faits du 17 août 2021 serait terminée et, que, faute de mise en prévention pour d'autres faits, son maintien en détention ne se justifierait donc pas. Son argumentation part toutefois de la prémisse erronée que ses aveux en lien avec ces événements mettraient un terme à l'instruction dans la cause P/16147/2021. La procédure pénale impose en effet aux autorités de s'assurer de la crédibilité des déclarations, y compris en cas d'aveux (cf. <ref-law>; arrêt 1B_578/2020 du 30 novembre 2020 consid. 3.2 et les arrêts cités). En outre, les événements précités ont eu lieu moins d'un mois avant le prononcé attaqué; on ne saurait donc reprocher au Ministère public de n'avoir pas terminé l'instruction y relative. Cette constatation s'impose d'autant plus que le recourant ne prétend pas qu'au jour de l'arrêt attaqué, ses deux comparses auraient été formellement identifiés, auraient été interpellés et/ou que le comportement de chacun des trois mis en cause aurait été clarifié, notamment à la suite d'audiences de confrontation. Le recourant ne soutient pas non plus que l'instruction en lien avec ces faits ne serait pas menée de manière diligente, notamment en ne tenant pas compte de son placement en détention (cf. <ref-law>, 10 Cst. et 5 par. 3 CEDH; sur ces dispositions et le principe de célérité, voir arrêt 1B_332/2021 du 6 juillet 2021 consid. 5.1 et les arrêts cités); on rappellera en outre qu'au jour de l'arrêt attaqué, une audience de confrontation avec la partie plaignante avait été fixée. Le recourant ne prétend enfin pas, à juste titre, que la durée de la détention provisoire ordonnée et subie violerait le principe de proportionnalité eu égard à la peine concrètement encourue vu les infractions examinées dans la cause P/16147/2021 (dont une tentative de brigandage, art. 140 et 22 CP), ainsi qu'au regard de ses antécédents (condamnation le 9 juin 2021 à six mois de peine privative de liberté, à dix jours-amende à 10 fr. le jour-amende - ces deux peines étant assorties d'un sursis de trois ans - et à une amende pour vol, tentative de vol, opposition aux actes de l'autorité, entrée et séjour illégaux, ainsi que contravention à la loi fédérale du 3 octobre 1951 sur les stupéfiants et les substances psychotropes [LStup; RS 812.121]; cf. <ref-law>, 31 al. 3 Cst. et 5 par. 3 CEDH; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 180 s., 3.4 et 3.5 p. 182 s.; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 173).
Au vu de ces éléments, le maintien en détention provisoire se justifie eu égard à la seule procédure P/16147/2021, laquelle n'en est qu'à ses débuts; peu importe donc à ce stade le défaut de mise en prévention du recourant au jour de l'arrêt attaqué en lien avec d'éventuelles autres activités délictueuses. La durée de la détention provisoire ordonnée par le Tmc et confirmée par l'autorité précédente ne viole ainsi pas les principes de célérité ou de proportionnalité. Partant, ces griefs peuvent être écartés.
4.
Il s'ensuit que le recours est rejeté.
Le recourant a demandé l'assistance judiciaire (<ref-law>). Son recours était cependant d'emblée dénué de chances de succès et cette requête doit être rejetée. Eu égard à sa situation financière, il peut cependant exceptionnellement être statué sans frais (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires, ni alloué de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Ministère public de la République et canton de Genève et à la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 1er octobre 2021
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Chaix
La Greffière : Kropf