Sachverhalt:
A.
A.a. Auf Begehren des Steueramtes der Stadt U._ stellte das Betreibungsamt Zürich 3 A._ in der Betreibung Nr. xxx am 21. Januar 2020 den Zahlungsbefehl für Forderung von insgesamt Fr. 1'515.70 (Fr. 1'487.30 plus Zins, Fr. 6.45 und Fr. 21.95) zu. Als Forderungsgrund wurde "Staats- und Gemeindesteuern 2018, Steuerbetrag gemäss Schlussrechnung vom 12. August 2019" angegeben. A._ erhob am 23. Januar 2020 Rechtsvorschlag.
A.b. Mit Schreiben vom 24. Januar 2020 gewährte das Steueramt A._ auf dessen Gesuch hin eine Tilgung des Ausstandes in drei Raten (Ende Januar, Ende Februar und Ende März). Am 2. Juni 2020 sandte das Steueramt dem Betreibungsamt eine Zahlungsmeldung.
B.
B.a. Am 26. Mai 2020 ging beim Betreibungsamt das Gesuch von A._ um Nichtbekanntgabe der Betreibung Nr. xxx an Dritte ein. Mit Verfügung vom 25. Juni 2020 wurde das Gesuch abgewiesen.
B.b. Dagegen gelangte A._ an das Bezirksgericht Zürich als untere kantonale Aufsichtsbehörde über Betreibungsämter, welches seine Beschwerde mit Beschluss vom 13. Juni 2020 abwies. Dem Beschwerdeweiterzug an das Obergericht des Kantons Zürich als obere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs war mit Urteil vom 19. August 2020 kein Erfolg beschieden.
C.
Mit Eingabe vom 1. September 2020 erhob A._ Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und erneuert sein im vorinstanzlichen Verfahren gestelltes Rechtsbegehren. Eventualiter verlangt er die Rückweisung der Angelegenheit an die Vorinstanz zur neuen Entscheidung.
Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Betreibungsamt sowie das Bundesamt für Justiz, Dienststelle Oberaufsicht SchKG, schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hat daraufhin repliziert.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den Entscheid der kantonalen Aufsichtsbehörde, welcher die Nichtbekanntgabe einer Betreibung zum Gegenstand hat, ist die Beschwerde in Zivilsachen unabhängig eines Streitwertes gegeben (Art. 19 SchKG i.V.m. Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG). Damit entfällt die vom Beschwerdeführer ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 BGG).
1.2. Als Schuldner, der um die Nichtbekanntgabe einer Betreibung ersucht, ist der Beschwerdeführer vom angefochtenen Entscheid besonders berührt und daher zur Beschwerde berechtigt (Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG). Auf die rechtzeitig erhobene Beschwerde gegen den letztinstanzlich ergangenen Entscheid ist einzutreten (Art. 75 Abs. 1, Art. 100 Abs. 2 lit. a BGG).
1.3. Mit der vorliegenden Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 2). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen, wobei hier das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2.4).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel sind nur zulässig, soweit der angefochtene Entscheid dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2.
Nach Ansicht der Vorinstanz kann der Beschwerdeführer die Bekanntgabe der Betreibung an Dritte vorliegend nicht verhindern. Der Behelf nach Art. 8a Abs. 3 lit. d SchKG ermögliche dem Schuldner zwar auf einfachem Wege gegen einen kreditschädigenden Eintrag im Betreibungsregister vorzugehen, sofern der Betreibende keine Anstalten mache, die Betreibung fortzusetzen. Da die in Betreibung gesetzte Forderung vom Beschwerdeführer inzwischen beglichen worden sei, bestehe diese Möglichkeit nicht mehr. Die Entstehungsgeschichte des neuen Art. 8a Abs. 3 lit. d SchKG bestätige zudem, dass die Nichtbekanntgabe der Betreibung nur möglich sei, solange die Forderung noch bestritten werde. Damit entspreche die Weisung der Dienststelle Oberaufsicht für Schuldbetreibung und Konkurs Nr. 5 vom 18. Oktober 2018 dem gesetzgeberischen Willen.
3.
Anlass zur Beschwerde geben das Einsichtsrecht in das Betreibungsregister und die Schranken der Kenntnisgabe einer Betreibung. Gestützt auf den seit 1. Januar 2019 geltenden Art. 8a Abs. 3 lit. d SchKG kann der betriebene Schuldner mittels Antrag an das Betreibungsamt verhindern, dass ein Eintrag im Betreibungsregisterauszug sichtbar wird. Der Beschwerdeführer wendet sich gegen die Auffassung der Aufsichtsbehörde, wonach die Zahlung der Forderung nach Einleitung der Betreibung die Kenntnisgabe der Betreibung nicht verhindern kann. Er vertritt den Standpunkt, dass in seinem Fall eine nicht gerechtfertigte Betreibung vorliege, da die Forderung im Zeitpunkt des Gesuchs nicht mehr bestanden habe.
3.1. Dem Auskunftsinteresse des Dritten stehen persönliche Interessen des Schuldners gegenüber. Da die Betreibungsdaten Hinweise über die Kreditwürdigkeit einer Person geben, muss sich diese vor einem falschen Eindruck schützen und den Zugang zu den sie betreffenden Informationen begrenzen können. Es handelt sich dabei um eine klassische Datenschutzproblematik, welcher die Regelung von Art. 8a SchKG angemessen Rechnung tragen soll. Sie ist allerdings abschliessend und lässt als Spezialregelung keinen Raum für eine Anwendung des Bundesgesetzes über den Datenschutz vom 19. Juni 1992 (DSG, SR 235.1; Art. 2 Abs. 2 lit. d DSG) sowie allfälliger kantonaler Regelungen (vgl. PETER, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 2 zu Art. 8a SchKG; MEIER, Protéction des données, 2011, Rz. 399 f.; STOFFEL/CHABLOZ, Voies d'exécution, 3. Aufl. 2016, § 2 Rz. 27, Fn. 16). Damit ist auf die Vorbringen des Beschwerdeführers nicht einzugehen, soweit er zwar anerkennt, dass das DSG vorliegend nicht anwendbar ist, aber dann zum Gesetz über die Information und den Datenschutz vom 12. Februar 2007 des Kantons Zürich Stellung nimmt.
3.2. Gemäss Art. 8a Abs. 3 SchKG gibt das Betreibungsamt Dritten unter bestimmten Voraussetzungen keine Kenntnis von einer Betreibung (lit. a-d). Dies ist unter anderem der Fall, wenn der Schuldner nach Ablauf von drei Monaten seit der Zustellung des Zahlungsbefehls ein entsprechendes Gesuch gestellt hat, sofern der Gläubiger nach Ablauf einer vom Betreibungsamt angesetzten Frist von 20 Tagen den Nachweis nicht erbringt, dass rechtzeitig ein Verfahren zur Beseitigung des Rechtsvorschlags (Art. 79-84) eingeleitet wurde; wird dieser Nachweis nachträglich erbracht oder wird die Betreibung fortgesetzt, wird sie Dritten wieder zur Kenntnis gebracht (lit. d; eingefügt durch Ziff. I des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2016, in Kraft seit 1. Januar 2019; AS 2018 4583). Massgebend ist demnach, ob der Gläubiger innert dem gesetzten Zeitrahmen Anstalten getroffen hat, um die Begründetheit seiner Forderung darzutun, d.h. ein Verfahren zur Beseitigung des Rechtsvorschlages einleitet (<ref-ruling> E. 3.3.4, 3.4.2). Dies muss vor dem Hintergrund erfolgen, dass eine Betreibung ohne Nachweis des Bestandes einer Forderung eingeleitet werden und damit zu ungerechtfertigten Eintragungen im Betreibungsregister führen kann (<ref-ruling> E. 2.1). Keine Rolle spielt indessen, ob der Gläubiger z.B. mit seinem Rechtsöffnungsgesuch einen Erfolg erzielen konnte. War dies nicht der Fall, so kann der Schuldner die Bekanntgabe der Betreibung an einen Dritten nicht verhindern (<ref-ruling> E. 3.5).
3.3. Der Beschwerdeführer hat das Gesuch um Nichtbekanntgabe der Betreibung nach Ablauf der Frist von drei Monaten seit der Zustellung des Zahlungsbefehls gestellt. Damit hat er eine erste Voraussetzung für die Gutheissung seines Gesuchs durch das Betreibungsamt erfüllt. Unstrittig ist auch, dass der Schuldner zwar Rechtsvorschlag erhoben hat, dann aber die in Betreibung gesetzte Forderung getilgt hat. Damit bestand für den Gläubiger kein Anlass, Vorkehren zur Beseitigung des Rechtsvorschlags zu treffen.
3.4. Es bleibt zu prüfen, welche Folge die Tilgung der Forderung nach Zustellung des Zahlungsbefehls betreffend Nichtbekanntgabe hat.
3.4.1. Eine ausdrückliche Antwort hierzu fehlt im Gesetzestext. Dies dürfte daher rühren, dass die Zahlung einer in Betreibung gesetzten Forderung als deren Anerkennung verstanden wird, womit die Betreibung als gerechtfertigt erscheint und sich das Verfahren nach Art. 8a Abs. 3 lit. d SchKG erübrigt (vgl. BERNAUER, Der neue Art. 8a Abs. 3 lit. d SchKG in der Praxis, AJP 2019 S. 702; RÜETSCHI, Das neue Verfahren zur "Löschung ungerechtfertigter Betreibungen", Plädoyer 6/2018 S. 46). Zudem galt bereits vor dieser Gesetzesrevision, dass ein Eintrag im Betreibungsregister nicht entfernt werden kann, wenn die Forderung mittels Zahlung an das Betreibungsamt getilgt worden ist (Urteil 7B.224/2006 vom 22. Februar 2007, Pra 2007 Nr. 72 S. 478, E. 2.2.4; Urteil 7B.145/1999 vom 21. Juli 1999, BlSchK 2000 S. 88, E. 1; AMONN/WALTHER, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 9. Aufl. 2013, § 4 Rz. 23; MARCHAND, Précis de droit des poursuites, 2. Aufl. 2013, S. 42; MUSTER, Les renseignements [article 8a LP], BlSchK 2014 S. 168/169; MÖCKLI, in: Kurzkommentar SchKG, 2. Aufl. 2014, N. 26 zu Art. 8a SchKG).
3.4.2. Aus den Beratungen zur Parlamentarischen Initiative Abate vom 11. Dezember 2011 "Löschung ungerechtfertigter Zahlungsbefehle" geht indes hervor, wie aufgrund der neuen Regelung in einem solchen Fall zu verfahren ist. So wurde betont, dass nach geltendem Recht die Betreibung im Register nicht gelöscht werde, wenn die Forderung bezahlt worden sei. Dies geschehe nur, wenn der Gläubiger gegenüber dem Betreibungsamt erkläre, dass er die Betreibung zurückziehe. Daran solle sich durch die vorliegende Revision nichts ändern. Der Schuldner könne nicht in den Genuss des neuen Verfahrens kommen, wenn er nach Zustellung des Zahlungsbefehls die Forderung begleiche. Er könne sich nur auf Art. 8a Abs. 3 lit. d SchKG berufen, solange die Forderung bestritten sei (AB 2016 N 2021, Votum Flach, für die Kommission). Diese Ansicht wird auch in der Lehre bestätigt (RODRIGUEZ/GUBLER, Die Abwehr von Betreibungsregistereinträgen ab dem 1. Januar 2019, ZBJV 2019 S. 26/27).
3.4.3. Vor dem Hintergrund der Entstehungsgeschichte fehlt dem Vorwurf des Beschwerdeführers jede Grundlage, wonach dem neuen Art. 8a Abs. 3 lit. d SchKG keine Regelung zum Fall der anerkannten oder getilgten Forderung zu entnehmen sei. Soweit er von einem fehlenden Konsens zum Votum Flach spricht, ist er darauf hinzuweisen, dass aus dem Amtlichen Bulletin hervorgeht, dass dessen Stellungnahme in den Beratungen des Nationalrates kein Widerspruch erwachsen ist. Damit erweist sich der gesetzgeberische Wille hinsichtlich der vorliegend strittigen Fallkonstellation als klar und massgebend.
3.5. Schliesslich kann dem Beschwerdeführer nicht gefolgt werden, soweit er sich gegen die Weisung Nr. 5 der Dienstelle Oberaufsicht für Schuldbetreibung und Konkurs vom 18. Oktober 2018 richtet. Konkret kritisiert er deren Anwendung (Ziff. 4.2 "Bezahlung der beanstandeten Forderung") in seinem Fall als unverhältnismässig.
3.5.1. Die beim Bundesamt für Justiz angesiedelte Dienststelle hat unter anderem die Aufgabe, Weisungen an die kantonalen Aufsichtsbehörden und die Vollstreckungsorgane zur korrekten und einheitlichen Anwendung des SchKG zu erlassen, welche für die Adressaten grundsätzlich bindend sind und auf welche sich allfällige Betroffene berufen können (vgl. Art. 15 SchKG; Art. 1 lit. a der Verordnung betreffend die Oberaufsicht über Schuldbetreibung und Konkurs; OAV-SchKG, SR 281.11; vgl. DALLÈVES, in: Commentaire romand, Poursuite et faillite, 2005, N. 8 zu Art. 15 SchKG). Damit werden die kantonalen Aufsichtsbehörden und auch das Bundesgericht freilich noch nicht von der Aufgabe entbunden, eine Weisung der Oberaufsicht auf ihre Vereinbarkeit mit dem Bundesrecht zu prüfen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.2.2).
3.5.2. Konkret macht der Beschwerdeführer geltend, die Anwendung von Ziff. 4.2 der Weisung sei vorliegend unverhältnismässig. Sie führe nur zu einer Verfälschung des Betreibungsregisters. Mit der Bekanntgabe der gegen ihn gerichteten Betreibung - obwohl die Forderung zwischenzeitlich beglichen sei - entstehe der Eindruck, dass er nicht zahlungsfähig und nicht zahlungswillig sei. Ein solches Ergebnis verletze nicht nur den Grundsatz der Verhältnismässigkeit (Art. 5 Abs. 2, Art. 36 Abs. 3 BV) und das Gleichheitsgebot (Art. 8 Abs. 1 BV), sondern erweise sich auch als willkürlich (Art. 9 BV).
3.5.3. Mit diesen Vorbringen legt der Beschwerdeführer seine Einschätzung dar, wie die Eintragungen im Betreibungsregister von Dritten wahrgenommen werden. Damit widerspricht er einzig dem Gesetzgeber, der aus der Begleichung einer in Betreibung gesetzten Forderung auf die Anerkennung der Schuldpflicht schliesst und daher nicht von einer ungerechtfertigten Betreibung ausgeht, deren Bekanntgabe mit einem Gesuch nach Art. 8a Abs. 3 lit. d SchKG verhindert werden kann. Eine Verletzung der vom Beschwerdeführer angerufenen verfassungsmässigen Rechten ist nicht erkennbar, und die Kritik des Beschwerdeführers an der Weisung Nr. 5 der Dienststelle Oberaufsicht ist unbehelflich.
3.6. Nach dem Gesagten ist der Vorinstanz keine Verletzung von Bundesrecht vorzuwerfen, wenn sie die Abweisung des Gesuchs des Beschwerdeführers um Nichtbekanntgabe der Betreibung an Dritte bestätigt hat.
4.
Der Beschwerde ist kein Erfolg beschieden. Ausgangsgemäss werden die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind nicht zu leisten (Art. 68 Abs. 3 BGG)

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Betreibungsamt Zürich 3, dem Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement, Bundesamt für Justiz, Dienst Oberaufsicht SchKG, und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juli 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Levante