Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Verfügung vom 25. März 2003 sprach die IV-Stelle des Kantons Thurgau der 1959 geborenen A._ ab dem 1. Juli 2002 eine ganze Invalidenrente zu. Dieser Anspruch wurde im Oktober 2005 von der mittlerweile zuständigen IV-Stelle des Kantons Zürich revisionsweise bestätigt. Im Jahr 2010 leitete die IV-Stelle erneut ein Revisionsverfahren ein. Mit Verfügung vom 24. Mai 2013 hob sie die ganze Invalidenrente auf Ende Juli 2013 auf. Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 25. November 2014 gut und stellte fest, die Versicherte habe weiterhin Anspruch auf eine ganze Invalidenrente.
A.b. Im Jahr 2016 leitete die IV-Stelle ein weiteres Revisionsverfahren ein. Dazu sandte sie A._ am 8. März 2016 den Fragebogen "Revision der Invalidenrente" zu und bat diese, unter anderem über ihre Einkommensverhältnisse Auskunft zu geben. Weiter führte die IV-Stelle medizinische und erwerbliche Abklärungen durch. Mit Verfügung vom 26. Oktober 2017 hob sie die ganze Invalidenrente, wegen einer Meldepflichtverletzung rückwirkend per 1. Januar 2014, auf. Einer Beschwerde entzog sie die aufschiebende Wirkung.
B.
Die von der Versicherten dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich teilweise gut. Es änderte die Verfügung vom 26. Oktober 2017 dahingehend ab, dass die Invalidenrente rückwirkend per 1. Januar 2015 aufgehoben werde. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab (Entscheid vom 19. Juni 2019).
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 19. Juni 2019 sei aufzuheben und die Verfügung vom 26. Oktober 2017 zu bestätigen.
A._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen; eventualiter sei die Sache zur weiteren Abklärung, insbesondere der genauen Arbeitsfähigkeit, und zu neuem Entscheid zurückzuweisen; subeventualiter sei die Rente nicht rückwirkend, sondern nur für die Zukunft aufzuheben. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>), die Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz nur, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
2.
2.1. Die Vorinstanz hat in Bestätigung der Verfügung vom 26. Oktober 2017 eine Aufhebung der Invalidenrente nach <ref-law> gestützt auf einen Revisionsgrund in erwerblicher Hinsicht bejaht. Anders als die IV-Stelle ging sie indes - aufgrund einer abweichenden Beurteilung der Meldepflicht - davon aus, dass die Rente erst per 1. Januar 2015 aufzuheben sei.
Die Beschwerde der IV-Stelle richtet sich gegen den Zeitpunkt der Rentenaufhebung. Die Verwaltung beantragt die Bestätigung der Verfügung vom 26. Oktober 2017, wonach die Invalidenrente (bereits) per 1. Januar 2014 aufzuheben sei. Demgegenüber beantragt die Versicherte - nebst Beschwerdeabweisung - die Weiterausrichtung der Rente, eventualiter die Rückweisung der Sache zur weiteren Abklärung, subeventualiter die Aufhebung der Rente nur für die Zukunft.
2.2. Im Verfahren vor Bundesgericht gibt es keine Anschlussbeschwerde (<ref-ruling> E. 2.1 S. 110; <ref-ruling> E. 2.5 S. 335). Wer mit dem angefochtenen Entscheid nicht einverstanden ist, muss diesen innert der Beschwerdefrist (<ref-law>) selbst anfechten. Sodann kann das Bundesgericht nicht über die fristgerecht gestellten Rechtsbegehren der Parteien hinausgehen (<ref-law>), wobei Ausgangspunkt der Bindungswirkung das Rechtsbegehren der beschwerdeführenden Partei, nicht jenes des Beschwerdegegners ist (JOHANNA DORMANN, in: Basler Kommentar zum BGG, 3. Aufl. 2018, N. 2 zu <ref-law>). Gibt die Vorinstanz - wie hier - beiden Parteien teilweise Recht und erhebt nur eine Partei Beschwerde ans Bundesgericht mit dem Antrag, es sei ihr vollumfänglich Recht zu geben, kann deshalb die andere Partei nicht im Rahmen der Vernehmlassung zu dieser Beschwerde wieder diejenigen Anträge stellen, mit denen sie vor der Vorinstanz unterlegen ist (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 2.1 S. 110; Urteile 9C_639/2019 vom 12. Februar 2020 E. 2.3.1 und 8C_829/2016 vom 30. Juni 2017 E. 3.1).
Die Versicherte hat darauf verzichtet, den kantonalen Entscheid innert der Beschwerdefrist anzufechten. Somit ist auf ihre Begehren nicht einzutreten, soweit sie über ihren Antrag auf Beschwerdeabweisung hinausgehen.
3.
Das kantonale Gericht hat erwogen, ab Juli 2013 habe die Versicherte ihre Erwerbstätigkeit ausgeweitet. Das ab Januar 2014 tatsächlich erzielte rentenausschliessende Einkommen stelle einen Revisionsgrund dar, der zur umfassenden Überprüfung der Rente und der Verneinung eines Rentenanspruchs führe. Die Versicherte habe die IV-Stelle erst am 10. März 2016 über das Anstellungsverhältnis bei der B._ AG informiert; die anderen Arbeitsverhältnisse, welche sie ab Juli 2013 eingegangen sei, seien unerwähnt geblieben. Beschwerdeweise habe die Versicherte geltend gemacht, dass vom 1. August 2013 bis 9. April 2015 keine Meldepflicht bestanden habe, da die IV-Stelle die Rente per Ende Juli 2013 aufgehoben habe und sie ab August 2013 bis 9. April 2015 keine Rente mehr erhalten habe. Dieser Argumentation sei insoweit zu folgen, so die Vorinstanz weiter, als die Versicherte solange nicht meldepflichtig gewesen sei, als sie nicht als Berechtigte zu qualifizieren gewesen sei, welcher eine Leistung zugekommen sei. Dies sei vom 1. August 2013 bis zur Zustellung des sozialversicherungsrechtlichen Entscheides vom 25. November 2014 der Fall gewesen. Mit der Zustellung im Dezember 2014 habe die Versicherte Kenntnis davon erhalten, dass sie wieder eine Invalidenrente ausgerichtet erhalte. Ab diesem Zeitpunkt habe eine Meldepflicht bestanden, welcher die Versicherte zumindest fahrlässig nicht nachgekommen sei. Als langjährige Leistungsbezügerin sei sie wiederholt über ihre Meldepflicht aufgeklärt worden. Trotzdem sei sie der ihr zumutbaren Meldepflicht ab Dezember 2014 nicht nachgekommen, "was zur unrichtigen Ausrichtung von Invalidenrenten ab dem 1. Januar 2015 (und nicht bereits ab dem 1. Januar 2014) " geführt habe.
4.
4.1. Die Herabsetzung oder Aufhebung einer Rente erfolgt rückwirkend ab Eintritt der für den Anspruch erheblichen Änderung, wenn der Bezüger die Leistung zu Unrecht erwirkt hat oder der ihm nach <ref-law> zumutbaren Meldepflicht nicht nachgekommen ist (<ref-law>, sowohl in der bis Ende 2014 als auch in der seither geltenden Fassung). Mit <ref-law> wurde auf Gesetzesstufe eine zu <ref-law> inhaltlich analoge Meldepflicht geschaffen, ohne die Verordnungsbestimmung aufzuheben (vgl. Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 622/05 vom 14. August 2006 E. 2).
4.2. Jede wesentliche Änderung in den für eine Leistung massgebenden Verhältnissen ist von den Bezügerinnen und Bezügern, ihren Angehörigen oder Dritten, denen die Leistung zukommt, dem Versicherungsträger oder dem jeweils zuständigen Durchführungsorgan zu melden (<ref-law>).
Der Berechtigte oder sein gesetzlicher Vertreter sowie Behörden oder Dritte, denen die Leistung zukommt, haben jede für den Leistungsanspruch wesentliche Änderung, namentlich eine solche des Gesundheitszustandes, der Arbeits- oder Erwerbsfähigkeit, des Zustands der Hilflosigkeit, des invaliditätsbedingten Betreuungsaufwandes oder Hilfebedarfs, des für den Ansatz der Hilflosenentschädigung und des Assistenzbeitrages massgebenden Aufenthaltsortes sowie der persönlichen und gegebenenfalls der wirtschaftlichen Verhältnisse des Versicherten unverzüglich der IV-Stelle anzuzeigen (<ref-law>).
5.
5.1. Die Vorinstanz verneinte eine Meldepflicht für den Zeitraum von August 2013 bis zur Zustellung des rentenzusprechenden Entscheides im Dezember 2014 damit, dass die Beschwerdegegnerin in dieser Zeit keine Invalidenrente ausgerichtet erhalten habe. Demzufolge sei sie nicht als Berechtigte zu qualifizieren gewesen, welcher eine Leistung zugekommen sei.
5.2.
5.2.1. Die beschwerdeführende IV-Stelle wendet gegen diese Argumentation zu Recht ein, <ref-law> sei nicht in der Weise zu verstehen, dass zum Kreis der meldepflichtigen Personen nur "Berechtigte" gehören, denen die Leistung (auch tatsächlich) zukommt. Zutreffenderweise bezieht sich der Teilsatz "denen die Leistung zukommt" lediglich auf die in dieser Bestimmung unmittelbar zuvor erwähnten Behörden und Dritte, was die französische Fassung von <ref-law> noch deutlicher zum Ausdruck bringt als die deutsche und italienische Sprachversion: "L'ayant droit ou son représentant légal, ainsi que toute personne ou autorité à qui la prestation est payée [...].". Für eine Meldepflicht nach <ref-law> genügt es somit bereits, dass eine versicherte Person leistungsberechtigt ist.
Etwas anderes ergibt sich auch nicht aus der in <ref-law> statuierten Meldepflicht. Diese Bestimmung spricht zwar in der deutschen Fassung von "Bezügerinnen und Bezügern". In der französischen und italienischen Sprachversion wird indes übereinstimmend vom Leistungsberechtigten ("L'ayant droit", "l'avente diritto") gesprochen, was sich mit der Formulierung in <ref-law> deckt.
5.2.2. Der Auffassung, bei der Meldepflicht an die tatsächliche Ausrichtung von Leistungen anzuknüpfen, kann auch unter dem Gesichtswinkel von Treu und Glauben (Art. 5 Abs. 3 und Art. 9 BV) nicht gefolgt werden: Die Meldepflicht stellt eine Konkretisierung dieses Grundsatzes dar (<ref-ruling> E. 7.3.4. S. 150). Die versicherte Person, die Leistungen beziehen will oder solche bezieht, hat zur Ermittlung des anspruchsrelevanten Sachverhalts beizutragen. Sie weiss am besten, wie es um sie steht. Durch die Erfüllung der Meldepflicht wird dem Versicherungsträger die Abklärung des massgeblichen Sachverhalts erleichtert. Dieser muss beurteilen können, ob und bejahendenfalls im welchem Umfang einer versicherten Person Leistungen zustehen (<ref-law>; Urteile 9C_221/2018 vom 16. Oktober 2018 E. 6.1 und 8C_26/2018 vom 27. September 2018 E. 4.3.2 mit Hinweis; vgl. auch Urteil 8C_735/2014 vom 3. März 2015 E. 3.2.1 zur Auskunfts- und Meldepflicht in der Arbeitslosenversicherung). Eine Verletzung der Meldepflicht kann dazu führen, dass Versicherungsleistungen zu Unrecht weiterhin ausgerichtet und bezogen werden. Die Meldepflicht dient in diesen Fällen den Interessen des Versicherungsträgers, indem sie diesen vor ungerechtfertigten Zahlungen und damit vor Schaden bewahren soll (<ref-ruling> E. 2.4.4 S. 17).
Es ist nicht einsehbar, weshalb eine Meldepflicht von vornherein nicht gelten soll, wenn Rentenleistungen eingestellt wurden und die Rechtmässigkeit dieser Einstellung im Rahmen eines Beschwerdeverfahrens überprüft wird. Insbesondere unter Berücksichtigung, dass Renten als Dauerleistungen konzipiert sind, kann der Versicherungsträger auch in diesen Fällen ein berechtigtes Interesse daran haben, der Gefahr missbräuchlicher Beanspruchung der Invalidenversicherung vorzubeugen.
5.3. Mit Blick auf diese Ausführungen stellt sich die Frage, ab welchem Zeitpunkt die Beschwerdegegnerin unter Würdigung der konkreten Umstände des Einzelfalles als meldepflichtige Person im Sinne von <ref-law> resp. <ref-law> zu qualifizieren ist.
5.3.1. Die IV-Stelle hat mit Verfügung vom 24. Mai 2013 die ganze Invalidenrente auf das Ende des nach der Zustellung der Verfügung folgenden Monats aufgehoben und einer Beschwerde gegen diesen Entscheid die aufschiebende Wirkung entzogen (<ref-law> und <ref-law>), womit die Rentenleistungen per 31. Juli 2013 eingestellt wurden. Gegen die verfügungsweise Aufhebung der Invalidenrente hat die Versicherte innert Frist Beschwerde erhoben und mit ihrem "Einwand gegen die Einstellung der Invalidenrente" zumindest sinngemäss beantragt, es sei ihr weiterhin eine (volle) Invalidenrente auszurichten. Damit aber erachtete sich die Versicherte in Bezug auf die im Streit liegende Invalidenrente nach wie vor als leistungsberechtigt. Indem das kantonale Gericht mit Entscheid vom 25. November 2014 die Beschwerde guthiess und feststellte, es bestehe weiterhin Anspruch auf eine ganze Rente, bestätigte sie die von der Versicherten vertretene Auffassung einer Leistungsberechtigung. Vor diesem Hintergrund war die Versicherte, ungeachtet der Tatsache, dass ihr ab 1. August 2013 keine Invalidenrente mehr ausgerichtet wurde, auch während des Beschwerdeverfahrens "Berechtigte" im Sinne von <ref-law> resp. <ref-law> und damit zur Meldung einer für den Leistungsanspruch wesentlichen Änderung verpflichtet.
5.3.2. Gemäss Vorinstanz trat im Januar 2014 die anspruchserhebliche Veränderung des Invalideneinkommens und damit ein Revisionsgrund im Sinne von <ref-law> ein (vgl. E. 3 in initio). Demzufolge war die Beschwerdegegnerin spätestens zu diesem Zeitpunkt verpflichtet, der IV-Stelle ihre neue Einkommenssituation anzuzeigen. Indem sie dies unterlassen hat, verletzte sie ihre Meldepflicht nach <ref-law> resp. <ref-law>, weshalb die Rente gestützt auf Art. 88 bis Abs. 2 lit. b IVV per 1. Januar 2014 aufzuheben ist.
5.3.3. Daran nichts zu ändern vermag der Einwand der Beschwerdegegnerin, es sei für sie nicht erkennbar gewesen, dass trotz Renteneinstellung eine Meldepflicht bestanden haben soll. Für den Tatbestand der Meldepflichtverletzung genügt nach ständiger Rechtsprechung bereits eine leichte Fahrlässigkeit (<ref-ruling> E. 2a S. 218). Eine solche liegt hier zweifelsfrei vor, war die Versicherte nach dem bereits Dargelegten (vgl. E. 5.3.1 und 5.3.2) doch auch nach der Einstellung der Invalidenrente per 31. Juli 2013 weiterhin davon ausgegangen, dass sie anspruchsberechtigt sei. Gleichzeitig erzielte sie ab Januar 2014 ein rentenausschliessendes Einkommen. Es konnte ihr nicht entgangen sein, dass sich dieses Einkommen auf den von ihr geltend gemachten Rentenanspruch auswirkt.
5.4. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie eine Meldepflichtverletzung der Beschwerdegegnerin erst ab der Zustellung des vorinstanzlichen Entscheides im Dezember 2014 und demzufolge eine rückwirkende Aufhebung der Rente erst per 1. Januar 2015 bejahte. Folglich ist der angefochtene Entscheid als bundesrechtswidrig aufzuheben und die Verfügung der IV-Stelle vom 26. Oktober 2017 auch diesbezüglich zu bestätigen.
6.
Als unterliegende Partei hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 19. Juni 2019 wird aufgehoben und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 26. Oktober 2017 bestätigt.
2.
Auf die Anschlussbeschwerde der Beschwerdegegnerin wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Pensionskasse Unilever Schweiz, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. April 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Stanger