Sachverhalt:
A.
Am 10. Januar 2018 wurde eine im Geburtsvorgang befindliche Patientin von einem Zürcher Geburtshaus in das GZO Spital Wetzikon überwiesen, nachdem es zu einem Geburtsstillstand gekommen war. Die Geburt, welche im Spital mittels Kaiserschnitt vorgenommen wurde, endete nach erfolglosen Reanimationsversuchen gleichentags mit dem Tod der Neugeborenen. Zur näheren Abklärung des Sachverhaltes gab die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich am 1. November 2018 bei Prof. Dr.med. B._ ein medizinisches Gutachten in Auftrag. Die betreffende Expertise vom 1. Mai 2019 gelangte zum Schluss, dass es im betroffenen Geburtshaus zu Behandlungsfehlern durch die Hebammen gekommen sei. Am 7. Mai 2019 ersuchte die Staatsanwaltschaft beim Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, um Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung wegen fahrlässiger Tötung, fahrlässiger Körperverletzung und allfälligen weiteren Delikten, namentlich gegen die drei damals anwesenden Hebammen, darunter A._ (nachfolgend: Verfahrensbeteiligte).
B.
Mit Eingabe vom 15. Mai 2019 an die Staatsanwaltschaft liess die Verfahrensbeteiligte (im hängigen Ermächtigungsverfahren) vorbringen, der Sachverständige sei offensichtlich befangen, weshalb sein Gutachten zurückzuweisen sei. Die Staatsanwaltschaft nahm die Eingabe als Ausstandsgesuch entgegen und lud den Sachverständigen zur Vernehmlassung ein. Dieser verneinte mit Stellungnahme vom 5. Juni 2019 den Vorwurf der Befangenheit. Mit Eingaben vom 13. und 21. Juni 2019 hielt die Verfahrensbeteiligte an ihrem Ausstandsbegehren fest. Am 8. Juli 2019 übermittelte die Staatsanwaltschaft die Akten dem Obergericht mit dem Antrag, das Ausstandsgesuch sei abzuweisen.
C.
Mit Beschluss (UA190023) vom 11. Oktober 2019 wies das Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, das Ausstandsbegehren gegen den Sachverständigen ab. Mit separatem Beschluss (TB190068) vom gleichen Tag erteilte die gleiche Kammer des Obergerichtes der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung zum Entscheid über die Untersuchungseröffnung (bzw. Nichtanhandnahme des Strafverfahrens) gegen drei Personen, darunter die Verfahrensbeteiligte.
D.
Gegen den Ausstandsentscheid des Obergerichtes vom 11. Oktober 2019 (UA190023) gelangte die Verfahrensbeteiligte mit Beschwerde vom 14. November 2019 an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des Entscheides.
Das Obergericht hat am 26. November 2019 auf eine Vernehmlassung ausdrücklich verzichtet, während von der Staatsanwaltschaft (innert angesetzter Frist) keine Stellungnahme eingetroffen ist. Der vom Ausstandsgesuch betroffene Sachverständige beantragt mit Stellungnahme vom 16. Januar 2020 die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Die Beschwerdeführerin replizierte am 6. Februar 2020. Der private Beschwerdegegner reichte am 27. Februar 2020 (unaufgefordert) eine Duplik ein. Diese wurde der Beschwerdeführerin am 4. März 2020 zur Kenntnisnahme zugestellt mit dem Hinweis, dass der Schriftenwechsel als abgeschlossen angesehen werde. Am 10. März 2020 reichte die Beschwerdeführerin (unaufgefordert) eine dritte Rechtsschrift ein, welche dem Beschwerdegegner am 12. März 2020 zur Kenntnisnahme zugestellt wurde.

Erwägungen:
1.
Anfechtungsgegenstand ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über ein Ausstandsbegehren gegen einen medizinisch-forensischen Sachverständigen. Dagegen ist die Beschwerde grundsätzlich zulässig (Art. 80 Abs. 2 und Art. 92 Abs. 1 BGG i.V.m. <ref-law>). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen von <ref-law> geben zu keinen Vorbemerkungen Anlass.
2.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, neben dem Ermächtigungsverfahren sei das hier streitige separate Ausstandsverfahren eröffnet worden. In prozessualer Hinsicht rügt sie, die Feststellung im angefochtenen Entscheid, wonach sie sich im Ausstandsverfahren (innert angesetzter Frist) nicht zum Antrag vom 8. Juli 2019 der Staatsanwaltschaft habe vernehmen lassen, sei willkürlich und überspitzt formalistisch. "Bereits mit Verfügung vom 25. Juni 2019" sei ihr, der Beschwerdeführerin, die Stellungnahme des Sachverständigen ("unter der Verfahrensnummer TB190068") zugestellt worden, mit einer Frist von 10 Tagen zur Vernehmlassung. Sie habe diesbezüglich am 3. Juli 2019 ein Fristerstreckungsgesuch gestellt und am 7. August 2019 (ebenfalls unter der Proz.-Nr "TB190068") fristgerecht eine Rechtsschrift mit Beilagen eingereicht. Indem das Obergericht die fraglichen Eingaben falsch abgelegt bzw. unbeachtet gelassen habe, sei es (im Zusammenhang mit einem Schreiben des Gutachters an das bernische kantonale Spitalamt) zu willkürlichen Tatsachenfeststellungen gelangt.
2.1. Aus den Akten ergibt sich Folgendes:
Die Staatsanwaltschaft nahm eine Rechtsschrift der Beschwerdeführerin vom 15. Mai 2019 als Ausstandsbegehren entgegen, worauf sie neben dem damals bereits hängigen Ermächtigungsverfahren (Proz.-Nr. TB190068) ein separates Ausstandsverfahren (Proz.-Nr. UA190023) eröffnete. Die Staatsanwaltschaft lud den Sachverständigen (im hier massgeblichen Ausstandsverfahren) zur Vernehmlassung ein. Dieser verneinte mit Stellungnahme vom 5. Juni 2019 den Vorwurf der Befangenheit. Mit Eingaben vom 13. und 21. Juni 2019 hielt die Beschwerdeführerin an ihrem Ausstandsbegehren fest. Am 8. Juli 2019 übermittelte die Staatsanwaltschaft die relevanten Akten (Auszug aus den Untersuchungsakten) dem Obergericht mit dem Antrag, das Ausstandsgesuch sei abzuweisen. Mit prozessleitender Verfügung vom 26. Juli 2019 ("betreffend Ausstand Sachverständiger", "Geschäfts-Nr. UA190023-O/Z1") setzte das Obergericht der Beschwerdeführerin eine zehntägige Frist "zur freigestellten Stellungnahme" an. Am 20. September 2019 reichte diese bei der Vorinstanz - unaufgefordert und nach Ablauf der angesetzten Frist - eine Rechtsschrift unter der Geschäftsnummer "TB190068" ein. Da die Eingabe Ausführungen zur Frage der Befangenheit des Experten enthielt, nahm das Obergericht sie (samt Beilagen) zu den Akten des Ausstandsverfahrens (UA190023).
2.2. Nach Konsultation der Akten zeigt sich, dass die (anwaltlich vertretene) Beschwerdeführerin zwischen den zwei separaten Verfahren nicht ausreichend differenziert hat. Die von ihr genannte Verfügung vom 25. Juni 2019 betraf nicht das Ausstands-, sondern das separate Ermächtigungsverfahren. Dies gilt umso mehr, als die Verfügung ausdrücklich mit der Verfahrensnummer TB190068 bezeichnet war und die Staatsanwaltschaft ihren Antrag im Ausstandsverfahren erst am 8. Juli 2019 stellte. Die Beschwerdeführerin räumt auch ausdrücklich ein, dass sie ihre Rechtsschrift vom 7. August 2019 (samt Beilagen) "nur unter der Verfahrensnummer des Ermächtigungsverfahrens" eingereicht hat.
Der an das Obergericht gerichtete Vorwurf der falschen Aktenführung im hier zu beurteilenden Ausstandsverfahren erweist sich damit als unbegründet. Ebenso wenig erscheint es überspitzt formalistisch oder willkürlich, wenn die Vorinstanz (in verfahrensrechtlicher Hinsicht) festgestellt hat, die Beschwerdeführerin habe sich im Ausstandsverfahren innert angesetzter Frist nicht zum Antrag vom 8. Juli 2019 der Staatsanwaltschaft vernehmen lassen. Darüber hinaus hätte das von der Beschwerdeführerin beanstandete prozessuale Vorgehen keinen erkennbaren Mangel bewirkt, der für den Ausgang des Verfahrens entscheidend wäre (vgl. <ref-law>). Wie sich aus den nachfolgenden materiellen Erwägungen ergibt, würden auch die (von der Vorinstanz angeblich unbeachtet gebliebenen) Vorbringen der Beschwerdeführerin kein unterschiedliches Ergebnis nach sich ziehen.
3.
In der Ausstandssache selbst macht die Beschwerdeführerin (zusammengefasst) geltend, die Vorinstanz habe eine Befangenheit bzw. Vorbefassung des Sachverständigen zu Unrecht verneint. Dieser habe ein sachkonnexes Gutachten "vorsätzlich falsch" wiedergegeben. Er sei ein "erklärter Gegner der Geburtshäuser" und damit innerlich voreingenommen. Schon in einem anderen (den Kanton Bern betreffenden) Fall habe er einem Geburtshaus einen Todesfall zur Last gelegt. In einem Vorbericht an die Zürcher Gesundheitsdirektion zum vorliegenden Fall habe er präjudizierliche Vorwürfe gemacht, ohne im Besitze der Krankengeschichten gewesen zu sein. Ausserdem habe der Experte fachliche Kontakte mit dem Chefarzt Gynäkologie des mitbetroffenen Zürcher Spitals gehabt, wodurch er in seiner Begutachtung unzulässig beeinflusst worden sein könnte.
4.
4.1. Die Staatsanwaltschaft zieht eine oder mehrere sachverständige Personen bei, wenn sie nicht über die besonderen Kenntnisse und Fähigkeiten verfügt, die zur Feststellung oder Beurteilung eines Sachverhalts erforderlich sind (<ref-law>). Als Sachverständige können natürliche Personen ernannt werden, die auf dem betreffenden Fachgebiet die erforderlichen besonderen Kenntnisse und Fähigkeiten besitzen (<ref-law>). Für Sachverständige gelten die Ausstandsgründe nach Artikel 56 StPO (<ref-law>). Danach tritt eine in einer Strafbehörde tätige Person namentlich in den Ausstand, wenn sie in einer anderen Stellung, insbesondere als Mitglied einer Behörde, als Rechtsbeistand einer Partei, als Sachverständige oder Sachverständiger, als Zeugin oder Zeuge, in der gleichen Sache tätig war (lit. b) oder aus anderen Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand, befangen sein könnte (lit. f). Will eine Partei den Ausstand einer in einer Strafbehörde tätigen Person verlangen, so hat sie der Verfahrensleitung ohne Verzug ein entsprechendes Gesuch zu stellen, sobald sie vom Ausstandsgrund Kenntnis hat; die den Ausstand begründenden Tatsachen sind glaubhaft zu machen (<ref-law>). In der vorliegenden Konstellation ist die Beschwerdeinstanz (<ref-law>) für die Prüfung von Ausstandsgesuchen gegen Sachverständige zuständig (vgl. <ref-law> [analog]; Urteil 1B_148/2017 vom 6. Juli 2017 E. 2.1 mit Hinweisen).
4.2. Schon gestützt auf die Artikel 30 Abs. 1 BV, 6 Ziff. 1 EMRK und 14 Ziff. 1 UNO-Pakt II hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter entschieden wird. Diese Verfahrensgarantie wird nach der Rechtsprechung sinngemäss auf das Erfordernis der Unabhängigkeit und Unparteilichkeit von Sachverständigen übertragen (<ref-ruling> E. 7.1 S. 109; <ref-ruling> E. 3c S. 253; Urteile 1B_141/2017 vom 10. Oktober 2017 E. 4.2; 1B_196/2015 vom 17. Mai 2016 E. 3.3), wobei sich die grundrechtlichen Anforderungen bei administrativ bestellten forensischen Hilfspersonen formell nach Artikel 29 Abs. 1 BV richten. Hinsichtlich der Unparteilichkeit und Unbefangenheit kommt Artikel 29 Abs. 1 BV indessen ein mit Artikel 30 Abs. 1 BV weitgehend übereinstimmender Gehalt zu (<ref-ruling> E. 2b S. 198; zitierte Urteile 1B_141/2017 E. 4.2; 1B_196/2015 E. 3.3).
4.3. Ein Ausstandsgrund im Sinne von Artikel 56 StPO wird nach der Rechtsprechung angenommen, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit des Sachverständigen begründen. Dies wird bei Umständen bejaht, die geeignet sind, Misstrauen in dessen Unparteilichkeit zu erwecken. Solche Umstände können in einem bestimmten Verhalten des Experten oder in gewissen äusseren Gegebenheiten (funktioneller und organisatorischer Natur) liegen. Bei der Beurteilung entsprechender Gegebenheiten ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in sachlich-objektivierter Weise begründet erscheinen. Es genügt allerdings, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit erwecken; für den Ausstand wird nicht verlangt, dass der Sachverständige tatsächlich befangen ist (<ref-ruling> E. 5.2 S. 37-39; 178 E. 3.2.1 S. 179; <ref-ruling> E. 2.2 S. 242; 326 E. 5.1 S. 328; <ref-ruling> E. 2.1 S. 144 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 229; <ref-ruling> E. 7.1 S. 109 f.; je mit Hinweisen).
4.4. Nach der Rechtsprechung kann eine den Ausstand begründende Vorbefassung (i.S.v. <ref-law>) insbesondere vorliegen, wenn der als forensischer technischer Experte bestellte Sachverständige zuvor einen informellen "Vorbericht" zum untersuchten Unfallhergang verfasst hat, worin er sich - ohne nach den Vorschriften von Artikel 184 StPO förmlich bestellt und über seine Pflichten und die Straffolgen bei falschem Gutachten belehrt worden zu sein - in der Sache bereits weitgehend festlegte (zit. Urteil 1B_196/2015 E. 4.4). Demgegenüber steht nichts entgegen, einen gesetzeskonform bestellten forensischen Experten über den gleichen Sachverhalt mehrmals als Gutachter zu befragen bzw. auch für ergänzende oder vertiefende Arbeiten als Sachverständigen beizuziehen. Er gilt nach einer ersten Äusserung als Experte in der gleichen Sache nicht bereits als unzulässig vorbefasst (Urteile 1B_141/2017 E. 4.4; 1B_196/2015 E. 4.4.4; 1B_45/2015 vom 29. April 2015 E. 2.3; 1B_362/2015 vom 10. Dezember 2015 E. 3.2.1; je mit Hinweisen). Abgelehnt werden kann hingegen ein gerichtlich bestellter Experte, der zu einer ähnlichen Thematik und im gleichen Zeitraum bereits ein Gutachten für eine der Parteien erstattet (<ref-ruling> E. 4 S. 544-546) oder der selbst Strafantrag gestellt hat bzw. als Geschädigter in Frage kommt (<ref-ruling> E. 3d S. 39).
4.5. Inhaltliche oder methodische Kritik einer Partei am forensischen Gutachten führt nach der Rechtsprechung des Bundesgerichtes nur in Ausnahmefällen (bzw. bei besonders häufigen oder sehr krassen Fehlern, die sich einseitig zum Nachteil einer Partei auswirken) zum Ausstand der forensischen sachverständigen Person wegen Befangenheit im Sinne von <ref-law> (zit. Urteil 1B_141/2017 E. 4.5 mit Hinweisen). Der blosse Umstand, dass eine Partei (oder eine vom Gutachten beschwerte verfahrensbeteiligte Person) gewisse Feststellungen des von der Verfahrensleitung bestellten Sachverständigen bestreitet, begründet keinen Ausstandsgrund gegen diesen (<ref-ruling> E. 7.2.2 S. 110 f.; Urteil 1B_414/2012 vom 20. September 2012 E. 2.2). Nach Eröffnung einer Strafuntersuchung können die Parteien die ihnen diesbezüglich geboten erscheinenden Beweisanträge stellen (Art. 107 Abs. 1 lit. e und Art. 318 Abs. 1-2 StPO). Angebliche Mängel eines forensischen Gutachtens sind grundsätzlich im gesetzlich vorgesehenen kontradiktorischen Verfahren zu beanstanden (Art. 188-189 StPO; vgl. <ref-ruling> E. 3.8 S. 264 mit Hinweisen). Der Beweiswert und die Überzeugungskraft von gutachterlichen Feststellungen unterliegen im Übrigen der Beweiswürdigung durch das erkennende Sachgericht bzw. die Justizbehörde, welche den Endentscheid zu fällen hat (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 6.5 S. 108 f.).
5.
5.1. Die Einwände der Beschwerdeführerin gegen die Methodik, die inhaltlichen Feststellungen und die fachliche Qualifikation des medizinischen Sachverständigen (einem Chefarzt für Geburtshilfe und feto-maternale Medizin) lassen keinen gesetzlichen Ausstandsgrund im Sinne der oben dargelegten Praxis erkennen. Dies gilt insbesondere für die Vorbringen, der Sachverständige habe die Schlussfolgerungen eines Drittgutachtens (zur Todesursache) falsch wiedergegeben, und für einen vom Opfer angeblich im Geburtshaus erlittenen Sauerstoffmangel gebe es keinerlei Indizien.
5.2. Als Befangenheitsgrund nennt die Beschwerdeführerin sodann eine angeblich negative (bzw. übertrieben kritische) "Einstellung" des Sachverständigen gegenüber Geburtshäusern im Allgemeinen. Im Jahre 2018 sei im Berner Inselspital ein anderes neugeborenes Kind verstorben, nachdem es von einem Berner Geburtshaus dorthin verlegt worden war. Auch damals sei (im Kanton Bern) eine staatsanwaltliche Untersuchung des ausserordentlichen Todesfalls erfolgt. Eine Strafuntersuchung gegen Verantwortliche des betroffenen Geburtshauses sei nicht eröffnet worden. Der Sachverständige habe in einem Brief an das bernische kantonale Spitalamt aber Vorwürfe gegen die medizinisch Verantwortlichen gerichtet, indem er dem Geburtshaus eine schlechte Zusammenarbeit unterstellt und behauptet habe, das Kind sei (nach einer Fehlbehandlung) zu spät ins Spital eingewiesen worden und deshalb gestorben.
5.3. Die Vorinstanz erwägt in diesem Zusammenhang Folgendes:
Der Sachverständige habe nach dem Kindstod im Berner Inselspital weder eine Meldung betreffend "aussergewöhlichen Todesfall" noch Strafanzeige erstattet. Vielmehr habe er (als zuständiger Chefarzt des betroffenen Spitals) Kontakt mit dem bernischen Spitalamt aufgenommen mit dem Ziel, die Zusammenarbeit zwischen dem Inselspital und dem betroffenen Berner Geburtshaus zu verbessern. Die Kooperation sei damals nicht einfach gewesen, da dessen Leitung "nicht gesprächsbereit" gewesen sei. Deshalb habe der Chefarzt die Situation mit der zuständigen kantonalen Behörde besprechen müssen. Auf deren Aufforderung hin habe er ihr einen Kurzbericht über den fraglichen Vorfall (mit anonymisiertem Geburts- und Austrittsbericht) vorgelegt. Der Todesfall im Kanton Bern stehe "in keinerlei innerem oder äusserem Zusammenhang" mit dem hier zu untersuchenden Zürcher Fall. Die hievon abweichenden Behauptungen der Beschwerdeführerin, insbesondere zu den angeblichen Intentionen des Sachverständigen im Berner Fall, habe diese weder belegt noch glaubhaft gemacht. Dass der Experte (als Leiter der Geburtsabteilung eines Spitals) mit Verlegungen aus Geburtshäusern befasst gewesen sei und zu solchen Vorgängen auch kritische Stellungnahmen bzw. Gutachten erstellt habe, vermöge keinen Anschein von Befangenheit und keine unzulässige "Vorbefassung" zu begründen.
Analoges gelte für den Vorwurf, der Sachverständige habe Verantwortlichen des betroffenen (Zürcher) Geburtshauses schon in einem früheren Bericht vom April 2018 (zuhanden der Zürcher Gesundheitsdirektion) medizinische Fehler vorgeworfen, ohne damals die vollständigen Krankenakten gekannt zu haben. Dabei habe es sich um eine Zusammenstellung über ca. 20 Verlegungen dieses Geburtshauses in diverse Spitäler gehandelt. Der Sachverständige habe dort ausdrücklich erwähnt, dass es sich bei diesem Bericht noch "nicht um ein detailliertes Rechtsgutachten" gehandelt habe, zumal die "Aktenlage" damals "noch unvollständig" gewesen sei. Für den hier zu untersuchenden Todesfall habe der Experte darauf hingewiesen, dass zwar "eine detaillierte Beschreibung" des medizinischen Vorgangs bestehe und "Auszüge aus der Dokumentation des Geburtshauses" sowie ein Verlaufsbericht nach der Verlegung ins Spital vorlägen, auch hier hätten (damals) jedoch noch wesentliche Informationen gefehlt (namentlich Angaben über die Schwangerschaftswoche bei Geburt, das Geburtsgewicht oder diverse Laborwerte). Der Sachverständige habe sich deshalb im April 2018 auch noch nicht definitiv festgelegt. Vielmehr habe er zuhanden der Gesundheitsdirektion angemerkt, dass seine vorläufigen Einschätzungen "nur mit Vorbehalt" zu interpretieren gewesen seien und noch "ein vollständiges medizinisches Gutachten" zu erstellen sein werde.
Ebenso wenig lasse sich ein Ausstandsgrund aus einem kritischen "Schlussvotum" des Sachverständigen (zu festgestellten Komplikationen bei Verlegungen von Geburtshäusern in Spitäler) in seinem Bericht vom April 2018 herleiten. Zwar erschienen gewisse Aussagen (gegenüber der Zürcher Gesundheitsdirektion) "pointiert". Diese stünden jedoch im Zusammenhang mit der von der Gesundheitsdirektion aufgeworfenen Frage nach den Erfahrungen des Experten mit "Geburtshäusern im Allgemeinen". Dieser habe diesbezüglich eine legitime Fachmeinung geäussert, die sich noch nicht auf die (erst im Mai 2019 expertisierte) "Qualität der spezifischen Arbeit" im untersuchten Zürcher Fall bezogen habe. Der Sachverständige habe denn auch ausgeführt, es handle sich nicht allein um ein Problem der Geburtshäuser im Kanton Zürich, weshalb er für eine "gesamtschweizerische, durch die Gesundheitsdirektorenkonferenz GDK koordinierte Regelung der fachlichen Vorgaben für Geburtshäuser" plädiert habe. Ebenso wenig lasse sich die objektive Befürchtung einer Befangenheit aus dem Vorbringen der Beschwerdeführerin ableiten, der Sachverständige habe offenbar fachlichen Kontakt gehabt mit dem Chefarzt Gynäkologie des Spitals Wetzikon bzw. diesen über seinen Bericht (vom April 2018) an die Zürcher Gesundheitsdirektion informiert (vgl. angefochtener Entscheid, E. 3.2-3.3, S. 8-11).
5.4. Die Beschwerdeführerin kritisiert zwar diese Erwägungen und wirft dem Obergericht Willkür vor. Sie legt jedoch nicht substanziiert dar, inwiefern die vorinstanzlichen Tatsachenfeststellungen im Ergebnis offensichtlich unrichtig wären (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. Art. 105 Abs. 1 und Art. 42 Abs. 2 Satz 1 BGG). Dies gilt selbst für den Fall, dass die von der Beschwerdeführerin am 7. August 2019 (im separaten Ermächtigungsverfahren) verspätet eingereichten Unterlagen (vgl. oben, E. 2) noch als Noven mitberücksichtigt würden. Dass der Sachverständige (als Chefarzt Geburtshilfe beim Berner Inselspital) mit einem ähnlichen Todesfall im Kanton Bern indirekt fachlich befasst war und sich zum Verhalten der medizinisch Verantwortlichen (des Berner Geburtshauses) in einer Stellungnahme an das kantonale Spitalamt kritisch äusserte, lässt ihn für den hier untersuchten Zürcher Fall nicht als vorbefasst oder befangen (im Sinne von <ref-law>) erscheinen. Auch die übrigen Vorbringen der Beschwerdeführerin begründen bei objektiver Betrachtung keinen gesetzlichen Ausstandsgrund.
6.
Die Beschwerde ist somit abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Die Gerichtskosten sind der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Diese hat dem anwaltlich vertretenen privaten Beschwerdegegner ausserdem eine angemessene Parteientschädigung zu entrichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat dem privaten Beschwerdegegner für das Verfahren vor dem Bundesgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.-- (pauschal, inkl. MWST) zu entrichten.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. August 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Forster