Sachverhalt:
A.
A.a. Am 19. September 1991 erteilte der Gesundheitsrat des Kantons St. Gallen A._ zunächst eine örtlich und zeitlich befristete sowie am 19. September 1996 eine für den ganzen Kanton gültige, unbefristete Ausnahmebewilligung zur selbstständigen Berufsausübung als Zahnarzt. Am 31. Januar 2012 eröffnete das Gesundheitsdepartement des Kantons St. Gallen ein Disziplinarverfahren gegen A._. In der Folge wurde ihm prozessual die Berufsausübungsbewilligung entzogen. Nach einem für ihn günstigen Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 24. August 2017 erteilte das Gesundheitsdepartement A._ am 6. November 2017 wieder die Berufsausübungsbewilligung.
Während der Hängigkeit des Disziplinarverfahrens erteilten der damalige Generalsekretär des Gesundheitsdepartements des Kantons St. Gallen, B._, und der damalige Leiter des Rechtsdienstes des Gesundheitsdepartements, C._, im Juni/Juli sowie im November 2012 dem Medienunternehmen Obersee Nachrichten AG Auskünfte über A._. B._ und C._ traten in der Folge altersbedingt in den Ruhestand. Am 1. Dezember 2015 erhob A._ bei der Anklagekammer des Kantons St. Gallen Strafanzeige gegen die beiden früheren Kantonsangestellten wegen mutmasslicher Verletzung des Amtsgeheimnisses. Am 30. März 2016 erteilte die Anklagekammer des Kantons St. Gallen die Ermächtigung zur Eröffnung von Strafverfahren gegen B._ und C._.
A.b. In der Folge ersuchten B._ und C._ die Vorsteherin des Gesundheitsdepartements des Kantons St. Gallen um schriftliche Bestätigung, dass sie ihnen im Jahre 2012 mündlich gestattet habe, der Obersee Nachrichten AG über den Fall von A._ Auskunft zu erteilen. Am 1. Juli 2016 verfasste die Departementschefin die gewünschte schriftliche Bestätigung der mündlichen Ermächtigung vom Juni 2012.
B.
Dagegen erhob A._ am 25. Juli 2016 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen mit den Antrag, es sei festzustellen, dass die Verfügung über die schriftliche Bestätigung nichtig sei; eventuell sei diese aufzuheben. Mit Entscheid vom 18. April 2018 trat das Verwaltungsgericht auf die Beschwerde nicht ein. Zur Begründung führte es im Wesentlichen aus, es handle sich bei der Bestätigung nicht um eine anfechtbare Verfügung, womit es an einer Prozessvoraussetzung mangle. Überdies sei A._ davon mangels Rechtswirkungen nicht beschwert, weshalb er nicht zur Beschwerdeerhebung berechtigt sei.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 24. Mai 2018 beantragt A._, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an dieses zurückzuweisen; eventuell sei die Nichtigkeit der fraglichen schriftlichen Bestätigung festzustellen. Zur Begründung beruft er sich im Wesentlichen darauf, das Verwaltungsgericht habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt und dessen Entscheid sei willkürlich und verletze seinen Anspruch auf rechtliches Gehör.
C._ und B._ schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Gesundheitsdepartement ersucht darum, den Entscheid des Verwaltungsgerichts zu schützen und damit sinngemäss um Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht beantragt unter Verweis auf seinen Entscheid ausdrücklich die Abweisung der Beschwerde.
Im zweiten Schriftenwechsel halten A._, C._ und B._ an ihren Standpunkten fest. A._ äusserte sich am 27. Juni 2019 nochmals zur Sache.

Erwägungen:
1.
1.1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid im Zusammenhang mit der Erfüllung öffentlicher Aufgaben durch zwei Staatsangestellte. Dabei handelt es sich um eine öffentlich-rechtliche Materie. Grundsätzlich steht daher die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen (vgl. <ref-law>).
1.2. Streitgegenstand vor Bundesgericht kann nur sein, worüber die Vorinstanz kantonal letztinstanzlich entschieden hat (vgl. <ref-law>). Hier bildet der Nichteintretensentscheid des Verwaltungsgerichts im Zusammenhang mit einer Beschwerde gegen die schriftliche Bestätigung der Vorsteherin des Gesundheitsdepartements über eine früher erteilte Ermächtigung den Streitgegenstand.
1.3. Der Beschwerdeführer war am vorinstanzlichen Verfahren beteiligt und ist als Beschwerdeführer vor dem Verwaltungsgericht sowie als direkter Adressat des angefochtenen Entscheids zur Beschwerde ans Bundesgericht legitimiert (vgl. <ref-law>).
1.4. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere, von hier nicht interessierenden weiteren Möglichkeiten abgesehen, die Verletzung von Bundesrecht unter Einschluss des Bundesverfassungsrechts gerügt werden (<ref-law>). Soweit die Vorinstanz kantonales Recht anzuwenden hatte, kann im Wesentlichen geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verstosse gegen Bundesrecht bzw. gegen die verfassungsmässigen Rechte und Grundsätze. Das Bundesgericht prüft kantonales Recht somit nur auf Bundesrechtsverletzung, namentlich Willkür, hin (<ref-ruling> E. 2 S. 149 f.).
1.5. Zu prüfen ist hier nur, ob die Vorinstanz gemessen an den vom Beschwerdeführer erhobenen Rügen (vgl. <ref-law>) zu Recht auf die bei ihr erhobene Beschwerde nicht eingetreten ist. Ein Entscheid in der Sache ist nicht zu fällen; wäre die Beschwerde gutzuheissen, wäre die Streitsache an das Verwaltungsgericht zur weiteren Behandlung zurückzuweisen. Eine Ausnahme könnte einzig gelten, falls die Nichtigkeit der Bestätigungserklärung festzustellen wäre, wie das der Beschwerdeführer ebenfalls geltend macht.
1.6. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt die offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts in Verbindung mit einer willkürlichen Beweiswürdigung durch das Verwaltungsgericht. Er erachtet es als nicht erstellt, dass die Vorsteherin des Gesundheitsdepartements des Kantons St. Gallen ihre beiden Mitarbeiter im Juni 2012 ermächtigt habe, gegenüber der Presse Auskünfte über seinen Fall zu erteilen.
2.2. Offensichtlich unrichtig ist die Sachverhaltsfeststellung, wenn sie willkürlich im Sinne von <ref-law> ist (<ref-ruling> E. 2.3.1; <ref-ruling> E. 2.2; je mit Hinweis). Willkür liegt nach ständiger Rechtsprechung nur vor, wenn die vorinstanzliche Beweiswürdigung schlechterdings unhaltbar ist, d.h. wenn die Behörde in ihrem Entscheid von Tatsachen ausgeht, die mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen, aktenwidrig sind oder auf einem offenkundigen Fehler beruhen. Dass eine andere Lösung ebenfalls möglich erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.3.1; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; je mit Hinweisen).
2.3. Das Verwaltungsgericht ging davon aus, die Vorsteherin des Gesundheitsdepartements habe den damaligen Generalsekretär sowie den damaligen Leiter des departementalen Rechtsdienstes im Juni 2012 mündlich ermächtigt, einem bestimmten Presseorgan Auskunft über den Fall des Beschwerdeführers zu erteilen. Es konnte sich dafür auf die Aussagen der zwei beteiligten Mitarbeiter sowie auf den Inhalt der hier angefochtenen schriftlichen Bestätigung der Departementschefin stützen. Die Darstellungen der Beteiligten, wie die Ermächtigung genau erteilt wurde, sind zwar im Detail nicht genau deckungsgleich. Das ist aber durch den Zeitablauf durchaus nachvollziehbar erklärbar. Auch wurde die Ermächtigung offenbar nicht protokolliert oder anderweitig schriftlich festgehalten. Der Beschwerdeführer vermag jedoch nicht darzutun, weshalb das zwingend erforderlich gewesen sein sollte. Insgesamt beruht die Einschätzung der Vorinstanz nicht auf einem klaren Widerspruch oder einem offenkundigen Fehler und ist auch nicht aktenwidrig. Im Übrigen stellte der Beschwerdeführer die Berechtigung der zwei fraglichen Mitarbeiter, sich gegenüber der Presse in seiner Sache zu äussern, im Jahre 2012 offenbar auch gar nicht in Frage. Erst mehr als drei Jahre später, als er gegen die beiden Betroffenen Strafanzeige wegen Verletzung des Amtsgeheimnisses einreichte, bezweifelte er, dass sie überhaupt zur Auskunftserteilung ermächtigt worden seien. Warum er so lange zugewartet hat, obwohl er nun behauptet, im Jahre 2012 sei keine Ermächtigung ausgesprochen worden, bleibt unerklärt. Im Ergebnis sind im vorliegenden verwaltungsrechtlichen Verfahren die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz für das Bundesgericht mit Blick auf dessen beschränkte Kognition für Tatfragen nicht zu beanstanden.
2.4. Über die strafrechtliche Beweiswürdigung des Ausmasses sowie die entsprechende Tragweite der erteilten mündlichen Ermächtigung, insbesondere welche Handlungen damit mit welchen strafrechtlichen Folgen genau abgedeckt waren, hat sich das Bundesgericht hier nicht zu äussern.
3.
3.1. In der Sache macht der Beschwerdeführer geltend, der angefochtene Entscheid sei willkürlich im Sinne von <ref-law>. Gemäss der ständigen Praxis des Bundesgerichts ist ein Entscheid willkürlich, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 7.3 S. 174 f. mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.; 167 E. 2.1 S. 168; <ref-ruling> E. 2.4 S. 5; <ref-ruling> E. 4.1 S. 133; je mit Hinweisen). Da der angefochtene Entscheid nur aufzuheben ist, wenn er im Ergebnis und nicht bloss in der Begründung gegen die Verfassung verstösst, hat das Bundesgericht die Möglichkeit, die Motive des umstrittenen Entscheids zu ersetzen. Davon ist nur Gebrauch zu machen, wenn der massgebliche Sachverhalt aus den Akten hinreichend ersichtlich ist und die rechtliche Situation als klar erscheint und wenn die letzte kantonale Instanz die substituierte Begründung nicht ausdrücklich abgelehnt hat (vgl. <ref-ruling> E. 4.4 S. 248; Urteil des Bundesgerichts 1P.188/2005 vom 14. Juli 2005 E. 5.2; je mit Hinweisen).
3.2. Das Verwaltungsgericht trat aus zwei Gründen auf die bei ihm erhobene Beschwerde nicht ein: Erstens ging es davon aus, es liege kein anfechtbarer Entscheid vor, weil die strittige schriftliche Erklärung vom 1. Juli 2016 der Departementsvorsteherin nur die frühere mündliche Ermächtigung bestätigt und damit keine Rechte und Pflichten begründet habe; zweitens sprach es dem Beschwerdeführer aus dem gleichen Grund mangels Beschwer die Legitimation zur Beschwerdeerhebung ab. Hält nur einer der beiden Entscheidgründe vor dem Willkürverbot stand, ist der angefochtene Entscheid nicht zu beanstanden.
3.3. Nach Art. 59bis Abs. 1 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons St. Gallen vom 16. Mai 1965 (VRP; sGS 951.1) in der hier unbestrittenermassen anwendbaren Fassung vom 25. Januar 2011 beurteilt das Verwaltungsgericht, abgesehen von hier nicht interessierenden anderen Anfechtungsobjekten und Ausnahmen, Beschwerden gegen Verfügungen und Entscheide der Departemente. Gemäss Art. 64 in Verbindung mit Art. 45 Abs. 1 VRP ist zur Erhebung einer Beschwerde an das Verwaltungsgericht berechtigt, wer an der Änderung oder Aufhebung des angefochtenen Entscheids ein eigenes schutzwürdiges Interesse dartut.
3.4. Die strittige Ermächtigungserklärung erging vor dem Hintergrund des gegen die beiden Staatsangestellten laufenden Strafverfahrens wegen Verletzung des Amtsgeheimnisses. Nachdem die Anklagekammer am 30. März 2016 in Anwendung von <ref-law> in Verbindung mit Art. 17 Abs. 2 lit. b des Einführungsgesetzes zur Schweizerischen Straf- und Jugendstrafprozessordnung vom 3. August 2010 des Kantons St. Gallen (EG-StPO; sGS 962.1) die Ermächtigung zur Strafverfolgung erteilt hatte, ersuchten die beiden Beschuldigten die Departementschefin um schriftliche Bestätigung der im Sommer 2012 mündlich erteilten Ermächtigung zur Auskunftserteilung. Der Amtsgeheimnisverletzung nach <ref-law> macht sich strafbar, wer ein Geheimnis offenbart, das ihm in seiner Eigenschaft als Mitglied einer Behörde oder als Beamter anvertraut worden ist oder das er in seiner amtlichen oder dienstlichen Stellung wahrgenommen hat (<ref-law>); nicht strafbar macht sich, wer das Geheimnis mit schriftlicher Einwilligung seiner vorgesetzten Behörde offenbart (<ref-law>; vgl. auch zum gegengleichen Zeugnisverweigerungsrecht <ref-law>). Das Formerfordernis der Schriftlichkeit kann auch nachträglich erfüllt werden (DONATSCH, in: Donatsch et al. [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung, 2. Aufl., 2014, N. 13 zu <ref-law>; TRECHSEL/VEST, in: Trechsel/ Pieth [Hrsg.], Schweizerisches Strafgesetzbuch, Praxiskommentar, 3. Aufl., 2018, N. 11 zu <ref-law>). Davon zu unterscheiden ist die hier nicht massgebliche Frage, ob es auch zulässig ist, die Ermächtigung als solche erst nachträglich zu erteilen. Die Zuständigkeit zur Ermächtigung richtet sich nach dem Recht des betroffenen Gemeinwesens (vgl. das Urteil des Bundesgerichts 6P.22/2007 vom 21. August 2007 E. 5.10.2.3.1). Im vorliegenden Fall ist dies gestützt auf Art. 24 Abs. 1 des Staatsverwaltungsgesetzes des Kantons St. Gallen vom 16. Juni 1994 (StVG; sGS 140.1) die Departementsvorsteherin.
3.5. Das Verwaltungsgericht steht auf dem Standpunkt, die angefochtene Bestätigungserklärung habe keine Rechte und Pflichten begründet oder festgestellt und stelle daher keine anfechtbare Verfügung gemäss Art. 59bis Abs. 1 VRP dar. Nach der auf die bundesrechtliche Definition in <ref-law> zurückgehenden, verbreiteten Definition einer Verfügung stellt diese einen individuellen, an den Einzelnen gerichteten Hoheitsakt dar, durch den eine konkrete verwaltungsrechtliche Rechtsbeziehung rechtsgestaltend oder feststellend in verbindlicher und erzwingbarer Weise geregelt wird (vgl. statt vieler HÄFELIN/ MÜLLER/UHLMANN, Allgemeines Verwaltungsrecht, 7. Aufl., 2016, Rz. 849 ff.). Dass das Verwaltungsgericht mit seiner Auslegung von Art. 59bis Abs. 1 VRP Rechtswirkungen einer Amtshandlung verlangt, damit diese als anfechtbare Verfügung gelten kann, ist demnach nicht unhaltbar. Allerdings kann das Formerfordernis der Schriftlichkeit einer Einwilligung zwar nachträglich erfüllt werden; dieser Vorgang ist aber wenigstens insofern mit einer gewissen Rechtswirkung versehen, als die Schriftform erst die Gültigkeit der Einwilligung bewirkt. Kommt es nicht dazu, fehlt es an einer die Amtsgeheimnisverletzung ausschliessenden Einwilligung.
3.6. Die Departementsvorsteherin führt in ihrer schriftlichen Bestätigung vom 1. Juli 2016 aus, nach Art. 23 lit. c StVG vertrete das zuständige Departement die Regierung im Verwaltungsverfahren, wobei für das Departement mangels anderer gesetzlicher Anordnung gemäss Art. 24 Abs. 1 StVG dessen Vorsteher bzw. Vorsteherin handle. Nach Art. 28 Abs. 1 lit. f und Abs. 2 StVG vertrete der Generalsekretär die Departementsvorsteherin und sorge für die Öffentlichkeitsarbeit. Der Leiter des departementalen Rechtsdienstes handle ebenfalls für das Departement, wenn dieses die Regierung in Verwaltungsverfahren vertrete (Art. 27 StVG i.V.m. Art. 2 lit. a Ziff. 1 der Ermächtigungsverordnung vom 4. Januar 2011 des Kantons St. Gallen [sGS 141.41]). Die Beschwerdegegner leiten daraus zusammen mit der Departementsvorsteherin ab, sie hätten gestützt auf diese Rechtslage auch ohne Ermächtigung die fraglichen Auskünfte erteilen dürfen, weshalb sie gestützt auf <ref-law> über den Rechtfertigungsgrund der gesetzlich erlaubten Handlung verfügt hätten und der Straftatbestand der Amtsgeheimnisverletzung ausgeschlossen sei. Die Erteilung einer Ermächtigung zur Auskunftserteilung sei daher gar nicht nötig gewesen, womit auch die Notwendigkeit einer nachträglichen schriftlichen Bestätigung entfallen sei.
Das Verwaltungsgericht geht wiederum davon aus, das Gesundheitsdepartement habe im Rahmen seiner Verpflichtung zur Beaufsichtigung von Medizinalpersonen und zum Schutz der Patienten die Öffentlichkeit angemessen zu informieren. Soweit sich die Vorinstanz dazu auf Art. 51 ff. des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2006 über die universitären Medizinalberufe (MedBG; SR 811.11) beruft, überzeugt das allerdings nicht. Diese Bestimmungen sehen die Führung von Registern und die Pflicht zur Meldung bzw. Datenbekanntgabe an den Bund bzw. bestimmte Behörden vor. Wieweit damit ein Auftrag zur Information der Öffentlichkeit verbunden ist, erscheint zweifelhaft. Zutreffender erweist sich der Hinweis auf Art. 4 des Gesetzes des Kantons St. Gallen vom 18. November 2014 über das Öffentlichkeitsprinzip der Verwaltung (Öffentlichkeitsgesetz; sGS 140.2), wonach das öffentliche Organ von sich aus über seine Tätigkeit informiert, soweit dies von allgemeinem Interesse ist, wobei auch hier Zielkonflikte mit Datenschutzinteressen möglich sind, die das Transparenzgebot wieder zu beschränken vermögen. Immerhin behält auch Art. 67 Abs. 1 des Personalgesetzes des Kantons St. Gallen vom 25. Januar 2011 (sGS 143.1), worin die Geheimhaltungspflicht des kantonalen Staatspersonals vorgeschrieben ist, die Bestimmungen des Öffentlichkeitsgesetzes vor.
3.7. Ob die Beschwerdegegner bereits gesetzlich zur Auskunftserteilung befugt gewesen wären, ist allenfalls im Strafverfahren zu entscheiden, kann im vorliegenden verwaltungsrechtlichen Verfahren aber offenbleiben. Entscheidend ist die Rechtsnatur der hier einzig strittigen Ermächtigungserklärung. Ausgangspunkt dafür ist, dass die Ermächtigung zur Auskunftserteilung grundsätzlich einen verwaltungsinternen Akt darstellt. Sie regelt das Verhältnis der hierarchisch übergeordneten zur hierarchisch untergeordneten Verwaltungsstelle. Abgesehen von ihrer verwaltungsrechtlichen Tragweite hat sie Auswirkung auf ein allfälliges Strafverfahren gegenüber dem ermächtigten Staatsangestellten. Bei der Ermächtigung, die Öffentlichkeit über bestimmte Vorgänge aus der Staatsverwaltung zu informieren, ist grundsätzlich auch das Datenschutzrecht zu beachten. Bereits verwaltungsintern können eventuelle Datenschutzinteressen, auch solche von privaten Dritten, mitberücksichtigt werden. Teilweise wird vertreten, allfällig vom Geheimnis mitbetroffene Drittpersonen müssten vorher angehört werden (so TRECHSEL/VEST, a.a.O., N. 11 zu <ref-law>). Gegebenenfalls sind die Datenschutzinteressen bei der Auskunftserteilung als Realakt zu beachten. Bei Bedarf muss die Öffentlichkeit aber auch zeitgerecht informiert werden können. Überdies darf in Rechnung gestellt werden, was bereits allgemein bekannt ist. Das ist im vorliegenden Fall, der offenbar schon einige Zeit vorher medienwirksam war, nicht ganz unbedeutend. Diese Zusammenhänge brauchen aber nicht vertieft zu werden. Denn es müssen hier zwei Vorgänge unterschieden werden: die mündliche Ermächtigung von 2012 und deren schriftliche Bestätigung von 2016.
3.8. Die Departementschefin ermächtigte die Beschwerdegegner im Juni 2012 mündlich zur Auskunftserteilung. Am 1. Juli 2016 bestätigte sie dies vor dem Hintergrund des gegen die Beschwerdegegner angehobenen Strafverfahrens schriftlich. Von ihrem Wortlaut und ihrer Zwecksetzung her verfolgt die strittige Bestätigungserklärung drei Ziele: Erstens soll damit das nach <ref-law> geltende Erfordernis der Schriftform nachträglich erfüllt werden, sofern dies als notwendig erachtet wird, falls das Vorliegen einer gesetzlichen Ermächtigung verneint werden sollte; zweitens soll die Erklärung zumindest als Beweismittel im Strafverfahren dafür dienen, dass die Departementsvorsteherin im Sommer 2012 die Beschwerdegegnerin mündlich zur Auskunftserteilung ermächtigt hatte; drittens wird bereits in dem Sinne aus Sicht der Departementsvorsteherin zuhanden der Strafverfolgungsbehörden Stellung genommen, dass der Straftatbestand der Amtsgeheimnisverletzung bei den Beschwerdegegnern nicht erfüllt sei. Bei der genannten zweiten Funktion als Beweismittel und der dritten als Vernehmlassung schafft die Bestätigungserklärung offensichtlich keine Rechte und Pflichten und stellt auch keine solchen fest. Bei der ersten Funktion ist das hingegen weniger klar, wenn wie hier davon ausgegangen wird, dass dem Formerfordernis der Schriftlichkeit eine gewisse Rechtswirkung zukommt (vgl. vorne E. 3.5). Der Beschwerdeführer ist von diesem Gesichtspunkt freilich nicht berührt. Es geht dabei einzig um die Frage, ob die mündliche Ermächtigung zur Auskunftserteilung im Juni 2012 gültig zustande gekommen bzw. nachträglich validiert worden ist. Diese Frage ist wichtig für das Strafverfahren, doch hat sie keine Auswirkung auf die verwaltungs- sowie strafrechtliche Stellung des Beschwerdeführers, ist dieser doch weder am Ermächtigungsvorgang beteiligt noch beschlägt die Frage der Schriftform die inhaltliche Ausgestaltung des fraglichen Auskunftsrechts. Die den Beschwerdeführer störenden Auskünfte wurden zudem längst erteilt. Die Beschwerdegegner werden nicht berechtigt, neue Informationen weiterzugeben, was aus den Erläuterungen der Erklärung deutlich hervorgeht. Der Beschwerdeführer ist mithin durch die hier strittige Bestätigungserklärung der Departementsvorsteherin vom 1. Juli 2016 nicht beschwert und hat kein aktuelles und damit schutzwürdiges Interesse an der Anfechtung dieses Schreibens. Ob er allenfalls im Jahr 2012 hätte angehört werden müssen, bevor die Departementschefin die Beschwerdegegner mündlich zur Auskunftserteilung ermächtigte, ist hier nicht zu entscheiden. Es ist daher nicht unhaltbar, wenn das Verwaltungsgericht entschied, der Beschwerdeführer sei zur Beschwerde nicht legitimiert gewesen.
3.9. Der angefochtene Entscheid hält demnach im Ergebnis vor dem Willkürverbot stand, auch wenn die Begründung modifiziert werden muss. Da der insoweit massgebliche Sachverhalt aus den Akten hinreichend ersichtlich ist, die rechtliche Situation klar erscheint und das Verwaltungsgericht die entsprechend substituierte Begründung nicht ausdrücklich abgelehnt hat, steht einer Anpassung der Entscheidbegründung in diesem Sinne nichts im Weg.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer sieht ferner darin einen Verstoss gegen den Anspruch auf rechtliches Gehör nach <ref-law>, dass er nicht angehört worden ist, bevor die Departementsvorsteherin am 1. Juli 2016 die schriftliche Bestätigungserklärung verfasst hat. Der Beschwerdeführer vertritt dazu sogar die Auffassung, die Erklärung leide deswegen an einem derart schweren Mangel, dass sie nichtig sei.
4.2. Das rechtliche Gehör dient der Sachaufklärung und stellt ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheides dar, welcher in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Dazu gehört insbesondere das Recht des Betroffenen, sich vor Fällung eines solchen Entscheids zur Sache zu äussern. Wie weit dieses Recht geht, lässt sich nicht generell, sondern nur unter Würdigung der konkreten Umstände beurteilen. Massgebend ist, ob es dem Betroffenen ermöglicht worden ist, seinen Standpunkt wirksam zur Geltung zu bringen (vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 17 f.; <ref-ruling> E. 3.2 S. 272; <ref-ruling> E. 5.1 S. 293). Nach der Rechtsprechung können sodann besonders schwere und offensichtliche Verfahrensmängel sogar die Nichtigkeit eines Entscheides begründen. Das gilt insbesondere bei funktioneller oder sachlicher Unzuständigkeit einer Behörde (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 495 mit Hinweisen). Eine Gehörsverweigerung führt in aller Regel aber lediglich zur Anfechtbarkeit und nicht zur Nichtigkeit eines Entscheides, was insbesondere gilt, wenn die betroffene Person ihre Parteirechte anderweitig geltend machen kann (vgl. das Urteil des Bundesgerichts 1C_402/2016 vom 31. Januar 2018 E. 9.3).
4.3. Da die Bestätigungserklärung der Departementsvorsteherin nicht in Rechtspositionen des Beschwerdeführers eingriff, verstösst es nicht gegen <ref-law>, dass er vor dem Verfassen der Erklärung dazu nicht angehört wurde. Die mündliche Ermächtigung von 2012 bildet nicht Streitgegenstand, weshalb nicht zu prüfen ist, ob damals eine Anhörung hätte stattfinden müssen, zumal es insoweit ebenfalls an einem aktuellen Rechtsschutzinteresse fehlen dürfte. Damit geht auch der Vorwurf des Beschwerdeführers ins Leere, die Erklärung sei nichtig, weil die Gehörsverweigerung einen schweren formellen Mangel darstelle.
5.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG). Überdies hat er die anwaltlich vertretenen Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren je angemessen zu entschädigen (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit je Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gesundheitsdepartement des Kantons St. Gallen und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung II, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Juli 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Uebersax