Sachverhalt:
A.
Dr. med. A._ stellte am 29. August 2013 bei der Medizinischen Fakultät der Universität Bern den Antrag auf Habilitation im Fach Chirurgie, insbesondere Thoraxchirurgie. Am 13. Mai 2015 nahm das Kollegium der Medizinischen Fakultät den Habilitationsantrag mit 23 Ja-Stimmen, sechs Nein-Stimmen und einer Enthaltung an. Die Fakultät stellte der Universitätsleitung am 19. Mai 2015 den Antrag, Dr. med. A._ sei die Lehrbefugnis (Venia docendi) im gewünschten Fach zu erteilen.
Am 16. Juni 2015 lehnte die Universitätsleitung den Habilitationsantrag ab. Der Rektor teilte Dr. med. A._ das Ergebnis mit, worauf dieser den Erlass einer anfechtbaren Verfügung verlangte. Mit Verfügung vom 24. November 2015 verweigerte die Universitätsleitung die Habilitation mit der Begründung, die wissenschaftlichen Leistungen von Dr. med. A._ seien für eine Habilitation nicht ausreichend.
B.
Gegen diesen Entscheid der Universitätsleitung erhob Dr. med. A._ erfolglos Beschwerde bei der Erziehungsdirektion des Kantons Bern.
Eine dagegen erhobene Beschwerde von Dr. med. A._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, mit Urteil vom 20. Juni 2018 ab.
C.
Mit Eingabe vom 27. August 2018 reicht Dr. med. A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht ein und beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 20. Juni 2018 sei vollumfänglich aufzuheben, und es sei ihm die Venia docendi für das Fach Chirurgie, speziell Thoraxchirurgie, zu erteilen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern und die Universität Bern schliessen in ihren Stellungnahmen auf Abweisung der Beschwerde. Die Erziehungsdirektion des Kantons Bern verzichtet auf Vernehmlassung.
Mit Eingabe vom 19. November 2018 hat der Beschwerdeführer repliziert.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1 S. 116).
1.2. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG) in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich offen steht (<ref-law>).
Gemäss Art. 83 lit. t BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide über das Ergebnis von Prüfungen und anderen Fähigkeitsbewertungen, namentlich auf den Gebieten der Schule, der Weiterbildung und der Berufsausübung. Diese Ausschlussbestimmung zielt auf Prüfungsergebnisse im eigentlichen Sinn sowie auf alle Entscheide ab, die auf einer Bewertung der intellektuellen oder physischen Fähigkeiten eines Kandidaten beruhen (<ref-ruling> E. 1 S. 231; Urteile 2C_701/2017 vom 18. Juni 2018 E. 1.1; 2C_1004/2017 vom 29. Mai 2018 E. 1.1). Vorliegend hat die Vorinstanz festgehalten, dass der Habilitationsantrag des Beschwerdeführers nicht mit seinen ungenügenden wissenschaftlichen Leistungen hätte abgelehnt werden dürfen. Dieser Punkt steht somit nicht mehr zur Diskussion. Das Verwaltungsgericht hat die Beschwerde jedoch mit der Begründung abgewiesen, der Beschwerdeführer habe nicht nachweisen können, dass er eine Dissertation erfolgreich betreut habe, so dass er eine der Mindestvoraussetzungen für die Zulassung zum Habilitationsverfahren nicht erfülle (vgl. E. 5.1 und E. 6 des angefochtenen Urteils). Strittig ist im bundesgerichtlichen Verfahren somit einzig noch die Frage, ob der Beschwerdeführer die Mindestvoraussetzungen für die Zulassung zum Habilitationsverfahren erfüllt hätte. Für die Beurteilung dieser Frage sind nicht die persönlichen Fähigkeiten des Beschwerdeführers ausschlaggebend, so dass die Ausnahme gemäss Art. 83 lit. t BGG nicht greift (vgl. auch Urteile 2C_438/2008 vom 16. Oktober 2008 E. 2.1 mit Hinweisen; 2C_701/2017 vom 18. Juni 2018 E. 1.1).
1.3. Der Beschwerdeführer, der am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen hat und mit seinen Anträgen unterlegen ist, hat ein berechtigtes Interesse an der Überprüfung des angefochtenen Urteils durch das Bundesgericht (<ref-law>). Auf die im übrigen frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist daher einzutreten (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 lit. b und Art. 42 BGG). Für die gleichzeitig erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) bleibt daher kein Raum.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Bei der Prüfung wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.5 S. 157) und verfügt über volle Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 236). Die Anwendung kantonalen Rechts prüft das Bundesgericht hingegen - abgesehen von den Fällen gemäss Art. 95 lit. c-e BGG - nur auf Bundesrechtsverletzungen, namentlich auf Willkür, hin (<ref-ruling> E. 1.3 S. 41; <ref-ruling> E. 2 S. 149).
2.2. Die Verletzung von verfassungsmässigen Individualrechten (einschliesslich der Grundrechte) und von kantonalem Recht prüft das Bundesgericht nur, soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht gemäss <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.7.2 S. 106). In der Beschwerde ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 372). Auf bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid geht das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 6.3 S. 375; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, sofern sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>).
3.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Verbots widersprüchlichen Verhaltens (<ref-law>) und des Vertrauensschutzes (<ref-law>).
3.1. Der Grundsatz des Vertrauensschutzes und das Verbot widersprüchlichen Verhaltens bilden Ausprägungen des in Art. 9 und <ref-law> verankerten Gebots von Treu und Glauben. Dieses gebietet ein loyales und vertrauenswürdiges Verhalten im Rechtsverkehr (<ref-ruling> E. 5.2 S. 261) und verleiht einer Person Anspruch auf Schutz des berechtigten Vertrauens in behördliche Zusicherungen oder sonstiges bestimmte Erwartungen begründendes Verhalten der Behörden, sofern sich dieses auf eine konkrete, den betreffenden Bürger berührende Angelegenheit bezieht (<ref-ruling> E. 6.1 S. 636 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 170; je mit Hinweisen). Das Verbot widersprüchlichen Verhaltens untersagt Behörden, von einem Standpunkt, den sie in einer bestimmten Angelegenheit einmal eingenommen haben, ohne sachlichen Grund abzuweichen (vgl. TSCHANNEN/ZIMMERLI/MÜLLER, Allgemeines Verwaltungsrecht, 4. Aufl. 2014, S. 180, Rz. 21 f.). Die Abgrenzung zwischen den beiden Ausprägungen ist zwar umstritten, doch müssen in beiden Fällen die gleichen Voraussetzungen erfüllt sein (vgl. Urteil 2C_542/2016 vom 27. November 2017 E. 3.2). Verlangt wird, dass die Person, die sich auf den Vertrauensschutz beruft, berechtigterweise auf diese Grundlage vertrauen durfte und gestützt darauf nachteilige Dispositionen getroffen hat, die sie nicht mehr rückgängig machen kann (<ref-ruling> E. 2.5.1 S. 72 f. mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 4.1 S. 170; <ref-ruling> E. 2a S. 107; HÄFELIN/MÜLLER/UHLMANN, Allgemeines Verwaltungsrecht, 7. Aufl. 2016, N. 659). Ferner darf die relevante Rechtslage seit der Auskunftserteilung keine Änderung erfahren haben (<ref-ruling> E. 6.1 S. 636 f.). Keinen Vertrauensschutz geniessen die Rechtsuchenden, wenn sie bzw. ihre Rechtsvertreter den Fehler erkannten oder bei zumutbarer Sorgfalt hätten erkennen müssen (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 203; <ref-ruling> E. 3.3 S. 134 f.; HÄFELIN/MÜLLER/UHLMANN, a.a.O., N. 684). Schliesslich scheitert die Berufung auf Treu und Glauben, wenn ihr überwiegende öffentliche Interessen entgegenstehen (vgl. <ref-ruling> E. 2.6 S. 74; Urteil 2C_542/2016 E. 3.2).
3.2. Gemäss Art. 4 Abs. 1 lit. c des Gesetzes vom 5. September 1996 über die Universität Bern (UniG/BE; BSG 436.11) verleiht die Universität die Habilitation. Diese ist mit der Erteilung der Lehrbefugnis und der Verleihung des Titels einer Privatdozentin oder eines Privatdozenten verbunden. Die Universitätsleitung erteilt die Lehrbefugnis und verleiht den Titel auf Antrag des Fakultätskollegiums (Art. 39 Abs. 1 lit. n i.V.m. Art. 44 Abs. 1 lit. f UniG/BE). Die Lehrbefugnis wird erteilt, wenn die reglementarischen Voraussetzungen der antragsstellenden Fakultät erfüllt sind. Die Lehrbefugnis berechtigt zum Führen des Titels "Privatdozentin" oder "Privatdozent" (Art. 63 Abs. 1 des Statuts der Universität Bern vom 7. Juni 2011 [Universitätsstatut, UniSt/BE; BSG 436.111.2]).
Die Fakultäten erlassen reglementarische Bestimmungen über die Voraussetzungen für die Habilitation (Art. 45 UniSt/BE). Gestützt darauf hat die Medizinische Fakultät der Universität Bern das Habilitationsreglement vom 21. Januar 2009 verabschiedet. Dieses sieht folgendes Verfahren vor: Nach der Gesuchseinreichung durch den Kandidaten prüft die Ernennungs- und Habilitationskommission (EHK) die Habilitationsunterlagen und entscheidet über die Zulassung zum Habilitationsverfahren (Art. 3 Abs. 1 Habilitationsreglement). Voraussetzung für die Zulassung sind erbrachte Leistungen in den Bereichen Lehre und Forschung (Art. 4 Abs. 1 Habilitationsreglement). Art. 4 Abs. 2 des Habilitationsreglements zählt sodann in lit. a bis h verschiedene Mindestanforderungen für die Zulassung zur Habilitation auf. Gemäss lit. e muss die Kandidatin oder der Kandidat einen entscheidenden Anteil an der erfolgreichen Betreuung mindestens einer Dissertation oder einer vergleichbaren Arbeit erbracht haben. Bei aussergewöhnlichem Leistungsausweis kann von den Mindestanforderungen abgewichen werden (Art. 4 Abs. 4 Habilitationsreglement). Falls die Ernennungs- und Habilitationskommission auf Zulassung entscheidet, ernennt sie eine Referentin oder einen Referenten und eine Ko-Referentin oder einen Ko-Referenten. Zusammen mit den Fachgutachtern beurteilen sie die Forschung (Art. 6 Abs. 1 und 2 Habilitationsreglement). Auf Grundlage dieses Begutachtungsverfahrens entscheidet das Fakultätskollegium über den Antrag in geheimer Abstimmung, wobei für eine Annahme eine Zweidrittelsmehrheit erforderlich ist (Art. 9 Abs. 1 Habilitationsreglement). Anschliessend wird das Verfahren vor die Universitätsleitung gebracht.
3.3. Den massgebenden Rechtsgrundlagen kann somit entnommen werden, dass der Entscheid über Habilitationsanträge der Universitätsleitung zusteht. Der Antrag der Fakultät bildet zwar notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für eine erfolgreiche Habilitation. Er steht unter dem Vorbehalt der Überprüfung durch die Universitätsleitung (Art. 63 Abs. 1 UniSt/BE). Die Vorinstanz führt in diesem Zusammenhang aus, die Universitätsleitung habe die Habilitierungsanträge der Fakultäten auf ihre Rechtmässigkeit und Vollständigkeit hin zu prüfen. Sie habe insbesondere zu untersuchen, ob das fakultäre Habilitationsverfahren, welches namentlich das Zulassungs- und das Begutachtungsverfahren umfasse, korrekt durchgeführt worden sei und ob sich das Fakultätskollegium allenfalls von sachfremden Überlegungen habe leiten lassen (vgl. E. 4.6 des angefochtenen Urteils). Bezüglich der Zulassungsvoraussetzungen führt sie sodann aus, die erfolgreiche Betreuung mindestens einer Dissertation oder einer vergleichbaren Arbeit (Art. 4 Abs. 2 lit. e Habilitationsreglement) setze die Promotion der betreuten Person voraus. Diese Anforderung erfülle der Beschwerdeführer nicht (vgl. E. 5.3 und E. 5.7 des angefochtenen Urteils).
3.4. Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass er die Voraussetzung des entscheidenden Anteils an der Betreuung mindestens einer Dissertation oder vergleichbaren Arbeit (Art. 4 Abs. 2 lit. e Habilitationsreglement) nicht erfüllt. Er weist jedoch in zutreffender Weise darauf hin, dass dieser Umstand seit der Einreichung seines Habilitationsantrags der Fakultät bekannt war. So gab der Beschwerdeführer in seinem Habilitationsantrag vom 29. August 2013 mit Blick auf die Mindestanforderung "Geleitete Dissertationen und/oder Masterarbeiten" an, die unter seiner Mitwirkung betreute Dissertation sei "in Arbeit" (vgl. E. 5.4 des angefochtenen Urteils). Dennoch wurde das Fehlen dieser Zulassungsvoraussetzung im Verlauf des Habilitationsverfahrens von keiner Seite beanstandet und bildete - soweit ersichtlich - auch nicht Gegenstand der Gespräche zwischen dem Beschwerdeführer und der Fakultät. Vielmehr erachtete die für den Entscheid über die Zulassung zur Habilitation zuständige Ernennungs- und Habilitationskommission die Mindestvoraussetzungen vorbehaltlos als erfüllt und stellte dem Fakultätskollegium den Antrag, dem Beschwerdeführer die Venia docendi im Fach Thoraxchirurgie zu erteilen (vgl. E. 3.7 und 5.4 des angefochtenen Urteils). Zudem bestätigten auch die mit der Gesamtbeurteilung der wissenschaftlichen Leistungen des Beschwerdeführers beauftragten Referenten, dass er sämtliche Voraussetzungen für die Habilitation erfülle (vgl. E. 3.4 des angefochtenen Urteils). Schliesslich wurde die Ablehnung des Habilitationsantrags gemäss Verfügung der Universität vom 24. November 2015 nicht mit dem fehlenden Nachweis eines entscheidenden Anteils an der erfolgreichen Betreuung mindestens einer Dissertation begründet, sondern dieses Argument wurde von der Universität erst im Rechtsmittelverfahren vor der Erziehungsdirektion vorgebracht (vgl. E. 3.9 und 5.1 des angefochtenen Urteils).
Angesichts der konkreten Umstände und des Verhaltens der Fakultät während des gesamten Habilitationsverfahrens durfte der Beschwerdeführer berechtigterweise darauf vertrauen, dass er die Mindestvoraussetzungen für die Zulassung zur Habilitation erfüllte. Ferner musste er nicht damit rechnen, dass ihm das Fehlen der strittigen Anforderung im Rahmen eines allfälligen Rechtsmittelverfahrens entgegengehalten würde. Folglich hatte er keinen Anlass, Anstalten zu treffen, um die Mindestvoraussetzung gemäss Art. 4 Abs. 2 lit. e Habilitationsreglement vor dem Entscheid der Universitätsleitung über seinen Habilitationsantrag doch noch zu erfüllen oder allenfalls die Sistierung des Verfahrens zu beantragen. Die Rüge der Verletzung des Gebots von Treu und Glauben (Art. 5 Abs. 3 und <ref-law>) erweist sich somit als begründet. Der dem Beschwerdeführer erwachsene Nachteil lässt sich dadurch beseitigen, dass ihm nachträglich die Gelegenheit eingeräumt wird, die Mindestvoraussetzung gemäss Art. 4 Abs. 2 lit. e Habilitationsreglement innert einer angemessenen Frist zu erfüllen.
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gutzuheissen, und das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 20. Juni 2018 ist aufzuheben. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten. Die Sache wird an die Universität Bern zurückgewiesen (<ref-law>). Diese wird angewiesen, dem Beschwerdeführer die Gelegenheit einzuräumen, innert angemessener Frist die Zulassungsvoraussetzung gemäss Art. 4 Abs. 2 lit. e Habilitationsreglement zu erfüllen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Die Universität Bern hat dem Beschwerdeführer, der mit seiner Beschwerde durchgedrungen ist, für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>). Zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens ist die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird gutgeheissen, und das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 20. Juni 2018 wird aufgehoben. Die Sache wird an die Universität Bern zurückgewiesen, mit der Anweisung, dem Beschwerdeführer die Möglichkeit einzuräumen, die Zulassungsvoraussetzung gemäss Art. 4 Abs. 2 lit. e Habilitationsreglement innert angemessener Frist zu erfüllen.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Für das bundesgerichtliche Verfahren werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Die Universität Bern hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
5.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern zurückgewiesen.
6.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Mai 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Ivanov