Faits :
A.
A.a. B._, né le 15 juillet 1956, a travaillé en tant que couvreur indépendant dès 1980.
A.b. A partir du 1er mars 1999, il a souscrit une assurance d'indemnités journalières en cas de maladie auprès de la société U._ SA, devenue par la suite A._ SA (ci-après : la société d'assurance). L'assurance a été régulièrement renouvelée.
A.c. L'assuré s'est trouvé en incapacité de travail dès le 23 juillet 2007. A l'issue du délai d'attente, la société d'assurance lui a versé 700 indemnités journalières entre le 23 août 2007 et le 18 février 2010, soit plus précisément (complètement de l'état de fait; cf. consid. 4.4.2 infra) :
- du 23 août 2007 au 30 septembre 2007 (pleine indemnité, incapacité de 100 %);
- du 1er octobre 2007 au 4 novembre 2007 (demi-indemnité, incapacité de 50 %);
- du 9 novembre au 18 mai 2008 (50 %);
- du 20 juin 2008 au 8 juillet 2008 (100 %);
- du 31 décembre 2008 au 31 mars 2009 (100 %);
- du 1er avril 2009 au 18 février 2010 (50 %).
L'incapacité était due à des lombosciatalgies aiguës sur discopathies L4-L5 et L5-S1. En ont attesté aussi bien la Doctoresse L._, médecin traitant de l'assuré, que le Docteur M._, mandaté successivement par la société d'assurance, puis par l'Office de l'assurance-invalidité (OAI).
A.d. Ultérieurement, la société d'assurance a derechef été amenée à verser des indemnités journalières à l'assuré qui s'est trouvé incapable de travailler pendant les périodes suivantes:
- du 14 décembre 2011 au 30 avril 2012 (100 %);
- du 1er mai au 31 mai 2012 (50 %);
- du 30 novembre 2012 au 5 mai 2013 (100 %).
Dans un nouveau rapport du 3 avril 2013 destiné à l'OAI, le Dr M._ a retracé l'évolution du status de l'assuré depuis juillet 2010. Souffrant toujours de lombalgies intermittentes exacerbées par les efforts, il avait enduré une pancréatite aiguë en août 2010, puis avait repris son travail à la fin 2010 à raison de cinq heures par jour, sans pouvoir oeuvrer davantage parce que ses lombalgies devenaient plus sévères. L'atteinte de la colonne lombaire avait des répercussions sur la capacité de travail. Le taux de capacité, qui était encore de 70 % (6 heures par jour) en juillet 2010, avait diminué pour atteindre 47 % (4 heures par jour), probablement en juin 2011 déjà. Entre 2010 et 2013, il y avait eu des périodes transitoires d'incapacité de travail complète liées à des problèmes de santé additionnels qui s'étaient ensuite réglés.
A.e. Le 14 novembre 2013, l'OAI a adressé à l'assuré (ainsi qu'à la société d'assurance) un projet de décision proposant de reconnaître le droit à une rente limitée dans le temps, du 1er février 2010 au 31 mars 2011. L'OAI observait une évolution économique positive malgré l'aggravation de l'état de santé de l'assuré survenue en milieu d'année 2011; cette situation s'expliquait notamment par l'engagement d'une personne à temps partiel et par la plus grande proportion de travaux confiés à des sous-traitants.
A.f. Le 10 septembre 2015, la société d'assurance a fait parvenir à l'assuré une modification de contrat prenant effet au 1er janvier 2016. Selon la nouvelle police réglementant cette "assurance de sommes", le salaire était assuré à hauteur de 50'000 fr. par le versement d'indemnités journalières en cas de maladie à 100 % durant 730 jours, moins le délai d'attente de 30 jours.
Les conditions générales d'assurance (CGA) intégrées au contrat énonçaient notamment ce qui suit:
" E1 (...)
1 A._ sert les prestations mentionnées dans la police pour les conséquences économiques de l'incapacité de travail due à une maladie.
2 Ne sont pas assurés:
- les maladies déjà déclarées lors de l'entrée dans l'entreprise ou au début de l'assurance aussi longtemps qu'elles entraînent une incapacité de travail, à moins que A._ ne doive accorder le maintien de la couverture d'assurance en raison d'une convention de libre passage entre les assureurs;
(...)
E4 Rechute
1 Les maladies liées à des cas d'assurance antérieurs pour lesquels A._ ou d'autres assureurs ont versé des prestations sont considérées comme des rechutes. Elles ne sont réputées nouvelles maladies que lorsque la personne assurée a retrouvé sa pleine capacité de travail pendant une durée ininterrompue de 365 jours au minimum avant la survenance de la nouvelle incapacité de travail.
(...)
E6 (...)
1 Lorsque, sur constatation du médecin, l'assuré est dans l'incapacité de travailler, A._ paie l'indemnité journalière à l'échéance du délai d'attente convenu et, tout au plus, pendant la durée des prestations indiquées dans la police. (...) "
A.g. La Dresse L._ a attesté une incapacité de travail totale de l'assuré dès le 4 janvier 2016. Dans son rapport du 11 février 2016, elle a précisé que cette incapacité était liée à des lombosciatalgies suraiguës avec blocage lombaire et incapacité de bouger.
A.h. Après l'écoulement du délai d'attente, la société d'assurance a versé à l'assuré des indemnités journalières dès le 3 février 2016.
A.i. Dans son rapport du 26 juillet 2016, le Dr N._, mandaté par la société d'assurance, a retenu que l'incapacité de travail en tant que couvreur était parfaitement justifiée au vu des lésions des vertèbres lombaires. L'assuré affirmait pouvoir et vouloir continuer à travailler à 50 % jusqu'à sa retraite, mais l'expert avait des doutes quant à sa capacité à poursuivre cette activité totalement inadaptée à ses limitations fonctionnelles (exclusion du soulèvement de charges de plus de 15 kg et du port de charges de plus de 20 kg, ainsi que des travaux effectués penché en avant ou en porte-à-faux). Une reprise du travail à 100 % en tant que couvreur n'était pas envisageable. En revanche, l'état de l'assuré, qui était apte aux mesures de réinsertion, était totalement compatible avec un travail adapté à ses limitations fonctionnelles.
A.j. Par courriel du 9 août 2016, la société d'assurance a invité l'assuré à s'annoncer à l'OAI, en précisant qu'elle mettrait un terme à ses prestations cinq mois plus tard, dans la mesure où elle estimait qu'il bénéficiait d'une pleine capacité de travail dans une activité adaptée.
L'assuré a fait savoir qu'il ne se rangeait pas à cet avis.
S'en sont suivis des échanges de courriers. Le 23 décembre 2016, l'assuré a rappelé à la société d'assurance qu'elle devait procéder à une analyse concrète de l'exigibilité d'une activité adaptée, ce qu'elle n'avait pas fait.
L'intéressée a interrompu le versement des indemnités journalières le 9 janvier 2017.
Dans une missive du 7 mars 2017, elle a rappelé avoir déjà versé par le passé les prestations d'assurance maximales de 730 jours pour des limitations fonctionnelles identiques à celles survenant actuellement; se posait dès lors la question de savoir s'il s'agissait bien d'un nouveau cas d'assurance et si elle n'avait pas presté à tort. Elle procéderait à des investigations avant d'exiger un remboursement ou de se déterminer sur le droit aux prestations.
Les échanges épistolaires se sont poursuivis.
B.
Le 16 octobre 2017, l'assuré a saisi la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice du canton de Genève d'une demande tendant - selon le dernier état de ses conclusions - à ce que la société d'assurance soit condamnée à lui verser 730 indemnités journalières de 136 fr. 98 chacune pour le cas d'assurance ayant débuté le 4 janvier 2016, sous déduction des indemnités journalières déjà versées, auxquelles s'ajoutaient des indemnités journalières de 136 fr. 98 par jour à compter du 10 janvier 2017 et jusqu'au terme de l'incapacité de travail, le 28 février 2018.
La société d'assurance a conclu au rejet de la demande et pris des conclusions reconventionnelles vis ant à ce que l'assuré soit condamné à lui verser 37'258 fr. 60, soit l'équivalent des indemnités journalières qu'elle estimait avoir servies à tort du 3 février 2016 au 9 janvier 2017. Selon elle, le cas d'assurance survenu en janvier 2016 s'apparenterait à une rechute, de sorte qu'il ne serait pas couvert par la police du 10 septembre 2015. Dans le cadre des investigations annoncées le 7 mars 2017 (let. A.j supra), elle avait pris connaissance des expertises établies par le Dr M._ en août 2010 et en avril 2013 à l'attention de l'OAI; elle avait alors réalisé qu'elle n'aurait pas dû verser des indemnités journalières.
Par arrêt du 12 avril 2019, la Cour de justice a condamné la société d'assurance à verser au demandeur la somme de 49'038 fr. 84 plus intérêts et rejeté la demande reconventionnelle. Ses motifs seront exposés dans les considérants en droit du présent arrêt.
C.
La société d'assurance recourt en matière civile au Tribunal fédéral en concluant au rejet de la demande principale et à l'admission de sa demande reconventionnelle, soit au versement par l'assuré de la somme de 37'258 fr. 60 plus intérêts.
L'autorité précédente s'est référée à son arrêt.
L'assuré a déposé une réponse conclu ant au rejet du recours.
La recourante a répliqué et l'intimé dupliqué, chacun persistant dans ses conclusions respectives.
Par ordonnance présidentielle du 3 juillet 2019, il a été fait droit à la requête d'effet suspensif de la recourante.

Considérant en droit :
1.
Le litige porte sur une assurance complémentaire à l'assurance-maladie sociale, soumise à la loi fédérale sur le contrat d'assurance (LCA; RS 221.229.1); il ressortit ainsi à la matière civile (art. 72 al. 1 LTF). La défenderesse et demanderesse reconventionnelle, qui a succombé dans ses conclusions libératoires, respectivement condamnatoires, a agi en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites (art. 42 LTF) à l'encontre d'une décision finale de la Cour de justice du canton de Genève statuant en instance unique au sens de l'art. 7 CPC. Le présent recours est ainsi recevable sur le principe.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être exercé pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), notion qui inclut le droit constitutionnel. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Eu égard, toutefois, au requisit de motivation découlant de l'art. 42 al. 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), l'autorité de céans n'examine d'ordinaire que les griefs invoqués, sauf en cas d'erreurs juridiques manifestes (<ref-ruling> consid. 2 p. 116). Une exigence de motivation accrue prévaut pour la violation des droits constitutionnels tels que la prohibition de l'arbitraire (art. 9 Cst.). Selon le principe d'allégation, le recourant doit indiquer quel droit ou principe constitutionnel a été violé, en expliquant de façon circonstanciée en quoi consiste la violation (art. 106 al. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 3.2).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.1.2; <ref-ruling> consid. 5.1) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Conformément au principe d'allégation évoqué ci-dessus, le recourant qui entend contester les faits retenus par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18 et les références). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables. S'il veut obtenir un complètement de l'état de fait, le recourant doit désigner précisément les allégués et offres de preuves censés autoriser cette opération, en se référant aux pièces du dossier (<ref-ruling> consid. 2 p. 90).
3.
La relation des parties, ancienne de plusieurs années, est régie en dernier lieu par le contrat d'assurance ayant pris effet le 1er janvier 2016 et par les CGA intégrées à celui-ci. En cas d'incapacité de travail due à une maladie, l'assuré a droit au versement d'une indemnité journalière durant 730 jours, sous déduction d'un délai d'attente de 30 jours. Il résulte des faits souverainement constatés par l'autorité précédente que l'assuré s'est trouvé dans l'incapacité de travailler à compter du 4 janvier 2016 en raison de lombalgies, soit la même affection que celle ayant motivé par le passé le règlement d'indemnités journalières (let. A.c supra). Après avoir servi à l'assuré des indemnités journalières dès le 3 février 2016, la société d'assurance a mis un terme à ses prestations le 9 janvier 2017 en faisant valoir que l'assuré disposait d'une capacité de travail intacte dans une autre profession plus adaptée à ses limitations fonctionnelles. Ces éléments ne sont pas contestés.
Le litige porte sur les deux points suivants :
- d'une part, la poursuite du versement des indemnités journalières d'assurance au-delà du 9 janvier 2017 jusqu'à concurrence des 700 indemnités journalières convenues (objet de la demande principale);
- d'autre part, la restitution par l'assuré des indemnités perçues du 3 février 2016 au 9 janvier 2017, sur laquelle portait la demande reconventionnelle de la recourante. En bonne logique, il sera d'abord question de cette thématique-ci.
4.
4.1. Pour fonder sa demande reconventionnelle, la société d'assurance a fait valoir qu'il s'agissait-là d'un cas d'assurance antérieur, non couvert par la police du 10 septembre 2015. En effet, la maladie à l'origine de l'incapacité de travail du 4 janvier 2016 était identique à celle ayant justifié le versement d'indemnités journalières jusqu'à concurrence de la couverture maximale de 730 jours.
L'autorité précédente l'a déboutée pour deux raisons distinctes:
- P remièrement, l'assuré n'avait pas été en incapacité de travail dans les 365 jours précédant le 4 janvier 2016, de sorte qu'il ne s'agissait pas d'une "rechute" au sens de l'art. E4 al. 1 CGA. Aucun constat médical n'accréditait la thèse contraire défendue par la société d'assurance. Les documents comptables de l'assuré concouraient à démon trer qu'il avait exercé une activité lucrative à temps complet durant cette période;
- Deuxièmement, à supposer même qu'il en ait été autrement, cette incapacité de travail n'avait pas donné lieu au versement de prestations par un assureur - qu'il s'agisse de la société d'assurance ou de l'OAI - durant la période de référence, ce qui était érigé en condition aux art. E4 et E1 CGA pour parler de rechute. Partant, il s'agissait bien d'un nouveau cas d'assurance justifiant les indemnités journalières que la société d'assurance avait versées du 3 février 2016 au 9 janvier 2017 (à hauteur de 37'258 fr. 60).
4.2. Confrontée à des motivations alternatives, la recourante s'en prend à juste titre à chacune d'entre elles. A défaut, l'entrée en matière n'eût pas été possible (cf. par ex. <ref-ruling> consid. 2.4 p. 368).
4.3. La recourante reproche à la cour cantonale d'avoir interprété l'art. E4 CGA de manière arbitraire. Selon elle, il ne s'agirait pas tant de savoir si elle a versé des indemnités durant l'année précédant le 4 janvier 2016 - il est constant que tel n'a pas été le cas - que de déterminer si l'assuré a été capable de travailler à 100 % durant cette période, ce qu'elle estime invraisemblable. A supposer qu'il ait subsisté une incapacité de travail quelconque durant les 365 jours précédents, il s'agirait du même cas d'assurance, lors même que cette incapacité n'a pas donné lieu au versement d'indemnités journalières. S'il fallait raisonner comme la cour cantonale, il suffirait que l'assuré victime d'une maladie chronique donnant lieu à une incapacité de travail durable s'abstienne de réclamer des prestations pendant 365 jours d'affilée pour qu'une fois passé ce délai, les prestations soient dues à nouveau.
On rappellera ici l'art. E1 al. 2 CGA: "ne sont pas assu rées les maladies déjà déclarées (...) au début de l'assurance aussi longtemps qu'elles entraî nent une incapacité de travail (...) ". Quant à l'art. E4 al. 1 CGA, il définit les rechutes comme des " maladies liées à des cas d'assurance antérieurs pour lesquels A._ ou d'autres assureurs ont versé des prestations " avec l'adjonction suivante: "elles ne sont réputées nouvelles maladies que lorsque la personne assurée a retrouvé sa pleine capacité de travail pendant une durée ininterrompue de 365 jours au minimum avant la survenance de la nouvelle incapacité de travail. " La cour cantonale fait étrangement abstraction de cette dernière phrase dans sa démarche interprétative. Elle s'avère pourtant incontournable puisqu'elle exige sans ambiguïté que l'assuré ait retrouvé une pleine capacité de travail pendant la période de 365 jours qui sert de référence. Par cette clause - fréquente dans les conditions générales -, la recourante a accepté de couvrir comme nouveau cas d'assurance une nouvelle incapacité imputable à une maladie ayant déjà donné lieu à des prestations, mais a requis une "phase de guérison" prenant ici la forme d'une pleine capacité de travail pendant un an sans interruption (cf. HÄBERLI/HUSMANN, Krankentaggeld, versicherungs- und arbeitsrechtliche Aspekte, 2015, p. 109 s.). Vu la formulation utilisée, il n'est pas concevable que la condition tienne au non-versement d'indemnités journalières pendant cette période de référence, ce qui appréhenderait également le cas d'une capacité de travail réduite sans que cet état ait déclenché les versements, pour une raison ou une autre, notamment parce que l'assuré ne l'aurait pas annoncé. Une semblable interprétation aboutirait d'ailleurs à un résultat contraire à l'art. 9 LCA lequel, en l'état actuel du droit, exige impérativement que le risque assuré porte sur un événement futur (sous réserve d'exceptions non réalisées ici; cf. <ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 2b/aa; arrêt 8C_324/2007 du 12 février 2008 consid. 4.1). Or, une incapacité de travail (consécutive à une maladie) déjà avérée ne saurait être assurée, indépendamment du point de savoir si l'assuré reçoit déjà ou non des indemnités journalières. Le risque, qui consiste en l'incapacité de travail (<ref-ruling> consid. 3.6 et 3.9; arrêts 4A_626/2016 du 22 mars 2017 consid. 6; 4A_631/2016 du 21 avril 2017 consid. 2.1 et 2.3.1) - et non dans le versement des indemnités journalières, simple conséquence de la réalisation du risque - est en effet déjà survenu.
L'interprétation selon le principe de la confiance (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 4.2.1) à laquelle la cour cantonale s'est, de toute évidence, livrée ne saurait ainsi être partagée. Le grief de violation du droit se révèle bien fondé sur ce point.
4.4. Il convient dès lors de déterminer si la cour cantonale a versé dans l'arbitraire en constatant que l'intimé disposait de sa pleine capacité de travail durant la période de 365 jours qui a précédé le 4 janvier 2016.
4.4.1. On rappellera au préalable qu'en matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 2.1).
4.4.2. La recourante fait grief à la cour cantonale d'avoir retenu contre toute évidence que l'assuré n'avait pas souffert d'une incapacité de travail pour cause de lombalgies en 2015. Elle le déduit d'une pléthore d'éléments que l'on subdivisera en quatre: les appréciations médicales relatives à l'état de santé de l'assuré, les déductions à tirer des livres de comptes de celui-ci, le nombre et la durée des périodes d'incapacité de travail qu'il a subies jusqu'en 2010 et les déterminations de l'assuré sur les allégués qu'elle avait formulés en procédure.
La recourante cite des extraits de plusieurs rapports médicaux pour en déduire qu'il était impossible que l'assuré ait été capable de travailler à plein temps cette année-là. Sa démonstration est parfaitement convaincante.
L'assuré souffre de lombosciatalgies gauches dans un contexte de discopathies L4-L5 et L5-S1, avec un probable syndrome facettaire gauche L4-L5 et L5-S1. Ce constat retenu par l'autorité précédente se fonde en particulier sur le rapport du 4 août 2010 réalisé par le Dr M._ à l'attention de l'OAI, lequel corrobore les explications données par le médecin traitant de l'assuré (Dresse L._). Dans un rapport antérieur du 16 mai 2008, le même Dr M._, alors mandaté par la société d'assurance, évoquait dans l'anamnèse une incapacité de travail de deux semaines par an en moyenne les dernières années; il jugeait le risque de récidive évident, pronostiquant des périodes d'incapacité de quelques semaines par an, à un taux de 50 % voire 100 %. Tant le Dr M._ que le Dr N._ qualifient ces lombosciatalgies de chroniques. Depuis 2007 à tout le moins, elles ont été à l'origine de périodes d'incapacité de travail importantes, dont la durée a été constatée de manière lacunaire par la cour cantonale, ce qui justifie - en raison du grief dûment soulevé par la recourante - un complètement de l'état de fait qui a déjà été intégré dans le résumé présenté ci-dessus (let. A.c). La recourante a versé 700 indemnités journalières liées à ce cas de maladie jusqu'en février 2010 - ce que l'autorité précédente a également omis de préciser. L'assuré a ainsi touché des indemnités jusqu'à épuisement du droit (730 jours - 30 jours d'attente, régime ressortant de la dernière police, dont il n'apparaît pas qu'il ait modifié les régimes antérieurs). Quant aux incapacités de travail qui ont été indemnisées par la recourante les années suivantes - 2011, 2012 et 2013 (let. A.d supra) -, elles étaient liées à des problèmes de santé additionnels qui se sont ensuite réglés, selon le rapport du Dr M._ établi le 3 avril 2013 à l'attention de l'OAI. Ce médecin y évoque clairement une opération du canal carpien au poignet droit à la fin de l'année 2011 et de hernies inguinales invalidantes dès novembre 2012, pour lesquelles l'assuré a été opéré en février 2013. Ces derniers renseignements concernant d'autres problèmes de santé ayant entraîné des périodes transitoires d'incapacité de travail complète sont de nature à expliquer que la société d'assurance ait continué à fournir des prestations alors que la protection maximale avait été atteinte pour les lombalgies.
Ceci ne signifie pas pour autant que les lombosciatalgies avaient disparu dans l'intervalle, bien au contraire. D ans le rapport précité, le Dr M._ indique que depuis l'été 2010, l'assuré avait continué à souffrir de lombalgies intermittentes exacerbées par les efforts. Après une pancréatite aiguë, il avait repris son travail fin 2010 à raison de cinq heures par jour, mais n'avait pu travailler davantage parce que ses lombalgies devenaient alors plus sévères. Il relevait également que l'aggravation de l'imagerie et de l'anamnèse était compatible avec des phénomènes de type claudication neurogène intermittente. L'atteinte de la colonne lombaire avait des répercussions sur la capacité de travail: l'assuré était limité dans les activités nécessitant le port de charges de plus de 10 kg et les positions debout et en porte-à-faux de la colonne plusieurs heures par jour. Il devait pouvoir changer régulièrement de position. Or, dans le cadre de son activité, il devait porter des charges lourdes sur les toits, rester plusieurs heures en position debout et être attentif à ne pas effectuer de faux mouvements. Sa capacité de travail, de 70 % (6 heures par jour) dans son emploi habituel en juillet 2010, avait diminué pour atteindre le taux de 47 % (4 heures par jour), probablement en juin 2011 déjà. Les traitements ne pouvaient augmenter la capacité de travail mais pouvaient peut-être réduire les risques d'une péjoration de la situation. Le pronostic était médiocre. Il était très probable qu'il y ait une stabilité des plaintes, ou éventuellement une dégradation progressive de la situation au cours des années suivantes.
Dans ces conditions, il apparaît totalement invraisemblable que la situation ait changé du tout au tout - et que l'état de santé de l'assuré se soit soudainement amélioré au point qu'il n'ait plus subi aucune incapacité de travail e n 2014 et en 2015 (année de référence). Certes, l'assuré n'en a pas avisé la société d'assurance, mais il n'avait logiquement aucun motif de le faire, puisqu'il ne pouvait plus bénéficier d'aucune indemnité journalière à raison de cette maladie - sauf à attendre l'écoulement du "délai de guérison" d'une année sans interruption. Dans cette même logique, il n'avait aucune raison de demander à son médecin traitant un certificat d'arrêt de travail. Enfin, l'assuré est un couvreur indépendant, de sorte que son incapacité de travail n'a pas à être annoncée et gérée par un supérieur hiérarchique.
Cette conclusion est d'autant plus évidente que, sitôt le nouveau contrat d'assurance entré en vigueur, le 1er janvier 2016, l'assuré a annoncé une incapacité de travail ayant - prétendument - débuté le 4 janvier 2016 causée par des lombosciatalgies suraiguës avec blocage lombaire et incapacité de bouger. Mandaté par la société d'assurance, le Dr N._ a posé le même diagnostic que le Dr M._ et évoqué - dans son rapport du 26 juillet 2016 - que l'incapacité de travail en tant que couvreur était parfaitement justifiée au vu des lésions de la colonne lombaire. L'assuré affirmait pouvoir et vouloir continuer à travailler à 50 % jusqu'à sa retraite, mais le Dr N._ avait pour sa part des doutes quant à sa capacité à poursuivre cette activité totalement inadaptée aux limitations fonctionnelles (exclusion du soulèvement de charges de plus de 15 kg et du port de charges de plus de 20 kg ainsi que des travaux effectués penché en avant ou en porte-à-faux). Une reprise du travail à 100 % en tant que couvreur n'était pas envisageable. Le pronostic n'était pas favorable. Or, ceci n'a rien d'une nouveauté, mais s'inscrit dans la droite ligne des rapports que le Dr M._ avait délivrés en 2010 et en 2013, sans qu'on dispose du moindre élément permettant d'expliquer la rémission qui serait providentiellement survenue en 2014 et 2015. Celle-ci défie le bon sens.
La cour cantonale s'est laissée convaincre du contraire,en faisant notamment valoir que le taux d'incapacité [sic!] de travail de 47 % fixé par le Dr M._ intégrait des atteintes étrangères aux lombosciatalgies. Or, comme le démontre la recourante, il s'agit-là d'une synthèse arbitraire du rapport du 3 avril 2013. Dans celui-ci, le médecin a clairement estimé à 47 % la capacité de travail actuelle de l'assuré, en précisant que les autres atteintes à la santé évoquées n'avaient pas d'impact sur cette capacité. Ce taux avait probablement déjà été atteint en juin 2011; il y avait eu entre 2010 et 2013 des épisodes transitoires d'incapacité complète liées à des problèmes additionnels (pancréatite, neurolyse du nerf médian, chirurgie des hernies inguinales) qui s'étaient ensuite réglés. L'autorité précédente a aussi accordé de l'importance au fait que la Dresse L._, dans un courrier du 2 octobre 2017, avait "confirm[é] l'absence d'incapacité de travail certifiée par elle" à compter du 31 décembre 2013, et au fait que l'assuré n'avait pas déclaré d'incapacité de travail à la recourante depuis le 5 janvier 2015; or, dans le contexte précité, une telle démarche aurait été dépourvue de sens. Finalement, elle a considéré que "les documents comptables du demandeur concour[ai]ent également à démontrer qu'il a[vait] exercé une activité lucrative à temps complet avant le 4 janvier 2016, au vu des chiffres d'affaires réalisés". L'on ignore si la cour cantonale a procédé à une comparaison des chiffres d'affaires de différentes années - le cas échéant lesquelles, et si elle a tenu compte des frais de sous-traitance grevant de manière plus ou moins importante certains exercices comptables - ou si elle se réfère implicitement à des salaires statistiques. Une comparaison paraît hautement hasardeuse puisque, selon l'intimé lui-même, il existe de nombreux facteurs pouvant motiver des variations de revenus comme la conjoncture économique, le nombre de contrats que l'entreprise parvient à conclure, ou encore les conditions météorologiques. Cela étant, même si l'on opte pour une méthode comparative, l'on ne pourrait parvenir à la conclusion des juges genevois: l'intimé a réalisé le même revenu soumis à cotisations en 2015 et en 2016, soit 40'000 fr. Or, il était censé être pleinement capable de travailler d'après ses déclarations en 2015, alors qu'en 2016, il s'est trouvé en incapacité de travail totale durant une grande partie de l'année (du 4 janvier au 13 mars, puis du 31 juillet au 31 décembre 2016) et partielle le reste de l'année (du 14 mars au 30 juillet 2016). Ceci tend dès lors à démontrer que l'intimé se trouvait bien plutôt en incapacité de travail à tout le moins partielle en 2015.
Partant, le grief d'arbitraire dans la constatation des faits s'avère bien fondé. L'assuré ne disposait pas d'une capacité de travail complète en 2015.
4.4.3. En bref, sur le vu des considérants qui précèdent, le cas d'assurance annoncé le 4 janvier 2016 s'apparentait bel et bien à une rechute au sens de l'art. E4 al. 1 CGA, laquelle n'était pas couverte par la police d'assurance du 10 septembre 2015. Point n'est besoin, dès lors, d'examiner les autres griefs du recours.
La société d'assurance demande la répétition des indemnités journalières versées à ce titre depuis le 3 février 2016 (à l'issue du délai d'attente de trente jours à décompter dès le 4 janvier 2016). L'assuré n'a pas soulevé l'exception de prescription, à laquelle le juge ne supplée pas d'office (art. 142 CO, par renvoi de l'art. 100 al. 1 LCA; sur l'application de l'art. 67 CO, cf. <ref-ruling> consid. 6.2 p. 294; 42 II 674 consid. 2a; cf. aussi arrêt 4A_197/2018 du 13 décembre 2018 consid. 3). Par ailleurs, sa réponse au recours ne contient aucun grief reprochant à la société d'assurance de vouloir répéter des prestations sans établir qu'elle aurait été victime d'une erreur; cela suffit à exclure toute discussion (consid. 2.1 supra). Aussi se bornera-t-on à rappeler que le droit à la répétition, en tant qu'il se fonde sur l'art. 63 al. 1 CO, suppose un paiement volontaire sous l'emprise d'une "erreur" dont il n'est pas nécessaire qu'elle soit excusable, cette exigence ne devant pas être interprétée de façon trop stricte (<ref-ruling> consid. 3.2; arrêts 4A_451/2017 du 22 février 2018 consid. 5.3; 4D_13/2015 du 3 juin 2015 consid. 4.1; 4C_338/2006 du 27 novembre 2006 consid. 3.1; 4C.212/2002 du 19 novembre 2002 consid. 4.3).
Au vu de ce qui précède, il coule de source que la recourante a interrompu à bon droit ses prestations le 9 janvier 2017.
Partant, la Cour de justice a violé le droit fédéral en admettant la demande de l'intimé et en rejetant la demande reconventionnelle de la recourante. Le recours tendant à ce que l'intimé soit débouté de sa conclusion en paiement et soit condamné à verser la somme de 37'258 fr. 60, représentant les indemnités versées à tort par la recourante, doit être admis. L'intimé ne conteste pas ce montant en lui-même - pas plus, d'ailleurs que le dies a quo des intérêts, soit le 1er juillet 2016.
5.
Vu le sort de la cause, l'intimé supportera les frais judiciaires et versera à la recourante une indemnité pour ses frais d'avocat (art. 66 al. 1 et art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis et l'arrêt attaqué est annulé.
La demande en paiement de B._ contre A._ SA est rejetée.
La demande en paiement de A._ SA contre B._ est admise.
B._ est condamné à verser à A._ SA la somme de 37'258 fr. 60, avec intérêts à 5 % dès le 1 er juillet 2016.
2.
La cause est renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision sur les frais - considérant la gratuité de la procédure (art. 114 let. e CPC) - et les dépens de la procédure cantonale.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 4'500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
4.
L'intimé versera à la recourante une indemnité de 5'500 fr. à titre de dépens.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 6 avril 2020
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente : Kiss
La greffière : Monti