Erwägungen:
1.
Am 9. April 2018 erhob A._ (Beschwerdeführer) vor dem Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt Klage über Fr. 4'660.25 gegen seine ehemalige Arbeitgeberin, die B._ & Cie. (Beschwerdegegnerin). Mit Entscheid vom 25. März 2019 verurteilte das Zivilgericht letztere zur Bezahlung von Fr. 758.--. Die Mehrforderung wies es ab. Die dagegen von A._ erhobene Beschwerde wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 29. Juni 2019 ab.
Diesen Entscheid hat A._ am 30. Juli 2019 beim Bundesgericht mit Beschwerde angefochten. Er verlangt, der Entscheid sei aufzuheben und "von einem neutralen Gericht neu" zu beurteilen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Das Appellationsgericht ist eine Vorinstanz im Sinne von Art. 75 BGG. Die Beschwerde in Zivilsachen ist aufgrund des Streitwerts von weniger als Fr. 15'000.-- (Art. 74 Abs. 1 lit. a BGG) nicht zulässig, weshalb die subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne der Art. 113-119 BGG offen steht.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Eine Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG in Verbindung mit Art. 117 BGG).
3.
Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Unerlässlich ist, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
4.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines verfassungs- und konventionsrechtlichen Anspruchs auf ein unabhängiges und unparteiisches Gericht (Art. 30 Abs. 1 Satz 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK).
4.1. Die Garantie des verfassungsmässigen Richters soll zu der für einen korrekten und fairen Prozess erforderlichen Offenheit des Verfahrens im Einzelfall beitragen und damit ein gerechtes Urteil ermöglichen. Sie wird verletzt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen, die also geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Solche Umstände können in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Richters oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Bei ihrer Beurteilung ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist. Entscheidendes Kriterium ist, ob bei objektiver Betrachtung der Ausgang des Verfahrens als noch offen erscheint (<ref-ruling> E. 4.2.2; <ref-ruling> E. 3.2.1; <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.2; je mit weiteren Hinweisen).
Das Verhalten eines Richters gegenüber einer Partei kann den Anschein der Befangenheit begründen, wenn daraus nach objektiver Betrachtung inhaltlich oder durch die Art der Kommunikation auf besondere Sympathien oder Antipathien oder auf eine Ungleichbehandlung der Prozessbeteiligten geschlossen werden kann. Prozessuale Fehler oder auch ein möglicherweise falscher materieller Entscheid vermögen für sich allein nicht den Anschein der Voreingenommenheit zu begründen (siehe etwa Urteil 4A_149/2018 vom 7. Mai 2018 E. 4.2 und 5.2 mit weiteren Hinweisen).
Nach der Rechtsprechung kann sich ein Ausstandsbegehren stets nur gegen Personen und nicht gegen Behörden richten; nur die für eine Behörde tätigen Personen, nicht die Behörde als solche, können befangen sein (<ref-ruling> E. 4.3; <ref-ruling> E. 1.3.3 S. 227). Zulässig sind demgegenüber Ausstandsbegehren gegen sämtliche Mitglieder einer Behörde, sofern gegen jedes einzelne Mitglied spezifische Ausstandsbegehren geltend gemacht werden, die über die Kritik hinausgehen, die Behörde als solche sei befangen (Urteil 4A_326/2014 vom 18. September 2014 E. 2.3 mit weiterem Hinweis).
4.2. Soweit der Beschwerdeführer das Verhalten von Gerichtspersonen im Schlichtungs- und erstinstanzlichen Gerichtsverfahren kritisiert und daraus einen Ausstandsgrund gegen Mitglieder des Spruchkörpers am Zivilgericht ableiten möchte, verfehlt die Beschwerde von vornherein ihr Ziel. Denn wie sich aus dem Entscheid des Zivilgerichts ergibt, haben die namentlich erwähnten Personen am Entscheid vom 25. März 2019 gar nicht mitgewirkt, sondern sind von sich aus in den Ausstand getreten. Soweit der Beschwerdeführer aber aus dem erstinstanzlichen Verfahren folgern möchte, "die Gerichte in Basel" seien generell "voreingenommen und tendenziös", ist seine Rüge nicht hinreichend begründet, da er das Vorliegen von Ausstandsgründen nicht für jedes Gerichtsmitglied einzeln aufzeigt. Die blosse Behauptung, die Beschwerdegegnerin sei "in Basel eine alt eingesessene prominente Familie", vermag den Anschein der Befangenheit der betroffenen Gerichtspersonen nicht zu begründen. Schliesslich kann der Beschwerdeführer nach den dargelegten Grundsätzen auch keinen Ausstandsgrund daraus ableiten, dass das Appellationsgericht seiner mittels Beschwerde vorgetragenen Argumentation nicht gefolgt ist, wonach ihm eine Rechnung zu Unrecht vom Lohn abgezogen worden sei.
5.
Die Beschwerde ist offensichtlich unbegründet und daher im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten gemäss Art. 66 Abs. 1 BGG dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Der Beschwerdegegnerin ist im bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand entstanden, für den sie nach Art. 68 Abs. 2 BGG zu entschädigen wäre.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. September 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz