Fatti:
A.
A._, cittadino bosniaco nato nel... è arrivato in Svizzera nel 1995 per chiedere asilo. Nel 1998 è stato posto a beneficio dell'ammissione provvisoria insieme ai suoi familiari e, il 23 agosto 2012, ha ottenuto un permesso di dimora annuale giusta l'art. 84 cpv. 5 della legge federale del 16 dicembre 2005 sugli stranieri e la loro integrazione (LStrI; RS 142.20), che gli è stato rinnovato un'ultima volta fino al 6 agosto 2016. Da una relazione con una cittadina elvetica, nel 2011 è diventato padre di B._, che è affidata e vive con la madre.
B.
Preso atto del fatto che, dall'aprile 2014, A._ dipendeva dall'aiuto sociale, così come del fatto che l'ammonimento pronunciato nei suoi confronti per questa dipendenza non aveva sortito gli effetti sperati, con decisione del 18 febbraio 2016 la Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino gli ha revocato il permesso di dimora di cui disponeva. Tale provvedimento è stato confermato su ricorso sia dal Governo ticinese (30 agosto 2017) che dal Tribunale amministrativo (13 giugno 2019). Anche quest'ultimo: da un lato, ha infatti ammesso l'esistenza del motivo di revoca/non rinnovo di cui all'art. 62 cpv. 1 lett. e LStrI (dipendenza dall'aiuto sociale); d'altro lato, ha considerato che il principio della proporzionalità era rispettato.
C.
Il 17 luglio 2019 A._ ha impugnato quest'ultimo giudizio con ricorso davanti al Tribunale federale chiedendo che, in riforma dello stesso, il permesso di dimora gli sia rinnovato. In parallelo, domanda l'esenzione dal versamento di un anticipo spese in quanto le sue entrate non gli permettono (ancora) di farvi fronte. La Corte cantonale si è riconfermata nelle conclusioni della propria sentenza. Ad essa ha fatto in sostanza rinvio anche la Sezione della popolazione. Il Consiglio di Stato si è invece rimesso al giudizio del Tribunale federale.

Diritto:
1.
Presentata nei termini (art. 46 cpv. 1 lett. b e art. 100 cpv. 1 LTF) dal destinatario della decisione querelata (<ref-law>), l'impugnativa è ammissibile quale ricorso in materia di diritto pubblico (art. 82 segg. LTF). Siccome chi insorge può di principio richiamarsi ai diritti garantiti dall'art. 8della Convenzione per la salvaguardia dei diritti dell'uomo e delle libertà fondamentali del 4 novembre 1950 (CEDU; RS 0.101), l'art. 83 lett. c n. 2 LTF non trova in effetti applicazione; l'esistenza reale di un diritto in tale senso è una questione di merito (<ref-ruling> consid. 3.8 seg. pag. 277 seg.; sentenze 2C_330/2018 del 27 maggio 2019 consid. 3.1 e 2C_864/2018 del 18 febbraio 2019 consid. 1.2).
2.
2.1. Il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto federale (<ref-law>); nondimeno, tenuto conto dell'onere di allegazione e motivazione posto dalla legge (art. 42 cpv. 1 e 2 LTF), si confronta di regola solo con le censure sollevate. Esigenze più severe valgono poi in relazione alla violazione di diritti fondamentali, che vanno motivate con precisione (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4.2 pag. 254). Per quanto riguarda i fatti, esso fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento svolto dall'autorità inferiore (<ref-law>). Può scostarsene se è stato eseguito violando il diritto ai sensi dell'<ref-law> o in modo manifestamente inesatto, ovvero arbitrario. A meno che non ne dia motivo la decisione querelata, condizione il cui adempimento va dimostrato da chi ricorre, il Tribunale federale non tiene neppure conto di fatti o mezzi di prova nuovi, i quali non possono in ogni caso essere posteriori alla pronuncia dell'istanza precedente (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.1 pag. 343 seg.).
2.2. Dato che il ricorrente non li mette in discussione, con un'argomentazione che ne provi un accertamento arbitrario o altrimenti lesivo del diritto, i fatti che emergono dalla querelata sentenza vincolano il Tribunale federale anche nel caso concreto (<ref-law>). Inoltre, questa Corte non considererà neppure i documenti nuovi acclusi al ricorso rispettivamente alla replica: che portano date in parte precedenti, in parte successive al giudizio impugnato. Quelli con date successive violano il divieto di presentare nova in senso proprio (cosiddetti "echte nova"; <ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.1 pag. 343). Quelli con date precedenti non possono invece essere ammessi, siccome l'insorgente non dimostra per quali ragioni la loro produzione, volta a completare l'accertamento dei fatti, non poteva avvenire già davanti alle istanze cantonali. Per quanto acclusi alla replica, i documenti in questione sono d'altra parte anche tardivi (sentenze 2C_694/2015 del 15 febbraio 2016 consid. 2.3 e 2C_173/2011 del 24 giugno 2011 consid. 1.3).
3.
Nella misura in cui il ricorrente lamenti la violazione dell'art. 62 cpv. 1 lett. e LStrI, la sua critica non va approfondita. In effetti, i Giudici ticinesi hanno invocato il motivo di revoca di cui all'art. 62 cpv. 1 lett. e LStrI in relazione all'<ref-law>, che ha carattere potestativo e sulla cui applicazione, ai fini della concessione di un permesso di soggiorno, il Tribunale federale non può di conseguenza esprimersi (art. 83 lett. c n. 2 LTF; sentenze 2C_797/2014 del 13 febbraio 2015 consid. 3 e 2C_184/2014 del 4 dicembre 2014 consid. 4.2).
D'altra parte, norme della legge federale sugli stranieri e la loro integrazione che riconoscano al ricorrente un vero e proprio diritto al rinnovo del permesso di dimora non vengono fatte valere e non sono nemmeno ravvisabili d'ufficio di modo che, come del resto indicato nel considerando 1, occorre esaminare la fattispecie unicamente nell'ottica dell'art. 8 CEDU.
4.
4.1. L'insorgente è un cittadino bosniaco nato nel... e giunto in Svizzera nel 1995 per chiedere asilo. Nel 1998 è stato posto a beneficio dell'ammissione provvisoria (permesso F) e, il 23 agosto 2012, ha ottenuto un'autorizzazione di dimora annuale (permesso B), che gli è stata rinnovata un'ultima volta fino al 6 agosto 2016.
Alla luce del lungo periodo trascorso nel nostro Paese nell'ambito dell'ammissione provvisoria (1998-2012), seguito dalla concessione di un permesso di dimora (23 agosto 2012), allo stesso dev'essere quindi riconosciuto anche un diritto di soggiorno stabile e duraturo, che gli permette di richiamarsi all'art. 8 cifra 1 CEDU per far valere il rispetto della vita privata (<ref-ruling> consid. 3.8 e 3.9 pag. 277 segg.; sentenze 2C_326/2019 del 3 febbraio 2020 consid. 2.2.4; 2C_360/2016 del 31 gennaio 2017 consid. 5.2 e 2C_639/2012 del 13 febbraio 2013 consid. 1.2.2). Ammessa la possibilità di fare riferimento a tale disposto, alla questione a sapere se dev'essere effettivamente rilasciato/rinnovato un permesso di soggiorno va poi risposto nell'ambito della ponderazione richiesta dall'art. 8 cifra 2 CEDU (<ref-ruling> consid. 3.8 e 3.9 pag. 277 segg.; sentenza 2C_401/2018 del 17 settembre 2018 consid. 5.2).
4.2. Nell'esaminare la proporzionalità di una limitazione del diritto alla vita privata, le autorità valutano gli interessi pubblici e la situazione personale dello straniero, considerando la gravità di quanto gli è rimproverato, la durata del soggiorno in Svizzera, il grado d'integrazione nonché il pregiudizio che l'interessato e la sua famiglia subirebbero se la misura fosse confermata (<ref-ruling> consid. 5.1 pag. 26 seg.; <ref-ruling> consid. 6.1 pag. 47; <ref-ruling> consid. 2.2 pag. 336; sentenza della Corte europea dei diritti dell'uomo in re Trabelsi contro Germania del 13 ottobre 2011, n. 41548/06, § 53 segg.).
Quando la revoca o il mancato rinnovo di un permesso di soggiorno sono pronunciati in ragione del compimento di reati, il primo criterio per valutare la gravità della colpa e per procedere alla ponderazione degli interessi è costituito dalla condanna inflitta (<ref-ruling> consid. 2.3.2 pag. 31; 16 consid. 2.2.1 pag. 20). Quando, come nella fattispecie, allo straniero è rimproverata una dipendenza dall'aiuto sociale la giurisprudenza in materia di rispetto del principio della proporzionalità richiede invece di verificare l'entità e le cause di detta dipendenza e quindi di considerare se ad essa è legata anche una colpa di chi percepisce o ha percepito l'aiuto (sentenze 2C_458/2019 del 27 settembre 2019 consid. 4.2 e 2C_291/2019 del 9 agosto 2019 consid. 3.3).
5.
Constatato che il motivo di revoca/di non rinnovo previsto dall'art. 62 cpv. 1 lett. e in relazione con l'<ref-law> era dato, la Corte cantonale ha ammesso anche la proporzionalità della misura.
5.1. Rilevato che il ricorrente è in Svizzera dal 1995 e che il suo soggiorno è di lunga durata, mette infatti in evidenza che - dal 2016 - la sua permanenza è solo tollerata, che lo statuto di rifugiato non gli è mai stato riconosciuto e che pure l'ammissione provvisoria non è da ricondurre alla sua situazione personale ma a quella della madre, giunta nel nostro Paese coi figli e impossibilitata a rientrare in Patria.
5.2. Osservato che la Bosnia e Erzegovina deve essere considerata come una "safe Country", sul piano dell'integrazione indica quindi che l'insorgente, che quale giovane adulto aveva subito una condanna (2006), non ha mai avuto un impiego stabile ed è rimasto a carico dell'aiuto sociale anche dopo che gli era stato indirizzato un ammonimento; inoltre, che egli ha accumulato diversi debiti (13 attestati di carenza beni per fr. 23'077.--) e ha ancora una procedura esecutiva in corso (per fr. 5'257.95).
5.3. Considerato che l'integrazione del ricorrente non è stata coronata "da pieno e definitivo successo" e che un ritorno in Patria non è atto a comportare insormontabili problemi di reinserimento, esamina infine l'aspetto del rientro anche nell'ottica dei rapporti con la figlia, nata nel... da una relazione con una cittadina svizzera, per poi concludere che, nemmeno essi, sono tali da giustificare la proroga del suo permesso (rapporti quotidiani asseriti ma non dimostrati; nessun rapporto intenso nemmeno in ottica economica).
6.
Per i motivi che seguono, la valutazione appena riassunta non può essere tuttavia condivisa.
6.1. Come rilevato nella sentenza impugnata, il soggiorno in Svizzera del ricorrente dev'essere giudicato di lunga durata.
In effetti, egli è giunto nel nostro Paese con i suoi familiari nel 1995, all'età di 10 anni e, sulla base dei vari permessi rilasciatigli dalle autorità elvetiche (permesso F e permesso B), ha trascorso qui più di due terzi della sua vita.
6.2. Benché nell'assoluto possa essere corretto rilevare che le difficoltà di adattamento che l'insorgente dovrebbe affrontare una volta tornato in patria sono "aspetti del tutto normali", che toccano la maggior parte dei cittadini stranieri costretti a rientrare nel proprio Paese dopo un prolungato soggiorno all'estero, va d'altra parte rilevato che già al momento della concessione del permesso di dimora - nell'agosto 2012 - l'Ufficio federale della migrazione (ora Segreteria di Stato della migrazione) aveva indicato che le possibilità di reintegrazione del ricorrente in Bosnia e Erzegovina erano in realtà piuttosto limitate.
Di conseguenza - senza cambiamenti notevoli - appare difficile argomentare che queste possibilità, di cui pure va tenuto conto nell'ambito dell'apprezzamento richiesto dall'art. 8 cifra 2 CEDU (sentenze 2C_ 458/2019 del 27 settembre 2019 consid. 4.3 e 2C_120/2015 del 2 febbraio 2016 consid. 3.2), siano frattanto aumentate.
6.3. Sempre come risulta dalla valutazione svolta nel 2012, tenendo conto anche della condanna subita nel 2006, l'Ufficio federale della migrazione aveva inoltre riassunto la situazione dell'insorgente in questi termini "questo straniero, dopo il periodo disturbato avuto in adolescenza, delle cui azioni dice ora di vergognarsi, dimostra attualmente un discreto grado di integrazione nel tessuto socio-economico ticinese, è in buona salute, lavora regolarmente e non presenta atti di carenza beni, pur avendo in corso una procedura esecutiva di pochi franchi".
Dato che - nel 2012 - la situazione era tale da far decidere alle autorità di concedergli un permesso di dimora sulla base dell'<ref-law>, che presuppone l'esecuzione di un esame approfondito in merito a più aspetti (grado di integrazione, situazione familiare e ragionevolezza di un rientro nello Stato di provenienza), occorre allora domandarsi se il mancato rinnovo sia giustificato da come si è sviluppata in seguito.
6.4. Ora, da questo punto di vista, gli accertamenti che risultano dal giudizio impugnato, che vincolano anche il Tribunale federale (<ref-law>; precedente consid. 2.2), danno certo conto di un quadro debitorio mutato in negativo. Tuttavia, esso concerne cifre che - anche a detta della Corte cantonale (giudizio impugnato, consid. 4.2) - appaiono ancora contenute.
Nel contempo, la percezione dell'aiuto sociale (tra l'aprile 2014 e il maggio 2016, per un totale di fr. 70'057.25) risulta almeno in parte coincidere con un periodo di inabilità al lavoro e, ad ogni modo, non è posta in relazione a una colpa del ricorrente (precedente consid. 4.2). In tal senso, il giudizio impugnato non contiene infatti nulla di specifico e permette inoltre di evincere che un comportamento sostanzialmente corretto caratterizza anche il periodo successivo, quando la richiesta di aiuti sociali è stata interrotta (dal maggio 2016 in avanti). In proposito, esso attesta al contrario che - superati ulteriori periodi di inabilità lavorativa, certificati come tali dai medici curanti - l'insorgente si è dimostrato intraprendente cercando e trovando impiego a più riprese, sia nel Cantone Ticino che al di là delle Alpi (sentenze 2C_458/2019 del 27 settembre 2019 consid. 5 e 2C_953/2018 del 23 gennaio 2019 consid. 3.3.2 e contrario).
6.5. Nella ponderazione degli interessi richiesta dall'art. 8 CEDU in relazione alla tutela della vita privata del ricorrente, va infine tenuto conto del fatto che una sua partenza avrebbe conseguenze inevitabili anche in relazione al rapporto con la figlia, che è di nazionalità Svizzera e vive qui insieme alla madre.
È infatti vero che, per esercitare il solo diritto di visita, il genitore straniero di un figlio che risiede in Svizzera non può di principio godere di nessun diritto di soggiorno duraturo e che le condizioni per giungere a una diversa conclusione non sono qui né date né pretese (<ref-ruling> consid. 5.1 pag. 96 segg.; <ref-ruling> consid. 3.2 pag. 147; sentenze 2C_33/2019 dell'8 marzo 2019 consid. 4.1 e 2C_165/2014 del 18 luglio 2014 consid. 4.2). Altrettanto vero è però che anche gli aspetti della separazione e della distanza dalla prole vanno comunque inclusi - quali elementi tra gli altri - nella valutazione complessiva della situazione (precedente consid. 4.2).
6.6. Di conseguenza, alla luce di tutti gli elementi indicati - segnatamente: della lunga durata del soggiorno in Svizzera e delle limitate possibilità di reintegrazione in Patria, dell'assenza di colpe in relazione alla dipendenza dall'aiuto sociale (unico motivo alla base della decisione di mancato rinnovo), del fatto che dal maggio 2016 questa dipendenza ha preso fine, nonché delle conseguenze di un allontanamento sul rapporto con la figlia - l'interesse del ricorrente alla tutela della sua vita privata e quindi al rinnovo del permesso di dimora prevale sull'interesse pubblico ad una sua limitazione e quindi al diniego dell'autorizzazione richiesta.
Va però sin d'ora aggiunto che, se in futuro egli non si impegnasse seriamente a far fronte alla propria situazione debitoria, ricadesse di nuovo a carico dell'aiuto sociale, o dovesse addirittura delinquere, la situazione potrà essere giudicata diversamente (sentenze 2C_46/2014 del 15 settembre 2014 consid. 6.4.2 e 2C_780/2013 del 2 maggio 2014 consid. 3.5).
7.
7.1. Per quanto precede, il ricorso è accolto, la sentenza impugnata annullata e la causa rinviata alla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino, affinché rilasci un'autorizzazione di soggiorno annuale al ricorrente.
7.2. Da parte sua, il Tribunale amministrativo ticinese dovrà nuovamente esprimersi sulle spese e sulle ripetibili della sede cantonale (art. 68 cpv. 5 e art. 107 cpv. 2 LTF; sentenze 2C_600/2014 del 27 ottobre 2015 consid. 7 e 2C_173/2011 del 24 giugno 2011 consid. 6.2).
7.3. Soccombente, lo Stato del Cantone Ticino è dispensato dal pagamento delle spese giudiziarie (<ref-law>). Il ricorrente è stato assistito da un giurista senza brevetto di avvocato. Un'indennità per ripetibili per la sede federale può pertanto essergli riconosciuta giusta l'art. 68 cpv. 1 e 2 LTF in relazione con l'art. 9 del regolamento del 31 marzo 2006 sulle spese ripetibili accordate alla parte vincente e sull'indennità per il patrocinio d'ufficio nelle procedure davanti al Tribunale federale (RS 173.110.210.3; sentenze 2C_1053/2017 del 13 marzo 2018 consid. 5.3; 2C_600/2014 del 27 ottobre 2015 consid. 7 e 2C_546/2013 del 5 dicembre 2013 consid. 5). Di conseguenza, per quanto sia da intendere come tale, la domanda di assistenza giudiziaria presentata davanti al Tribunale federale va considerata priva di oggetto (sentenze 2C_1053/2017 del 13 marzo 2018 consid. 5.3 e 2C_182/2012 del 18 luglio 2012 consid. 6.3).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è accoltoe la sentenza del 13 giugno 2019 del Tribunale amministrativo del Cantone Ticino è annullata. La causa è rinviata alla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino, affinché rilasci un'autorizzazione di soggiorno al ricorrente.
2.
Non vengono prelevate spese.
3.
Lo Stato del Cantone Ticino verserà al ricorrente un'indennità di fr. 1'500.-- per ripetibili della sede federale.
4.
La causa è nel contempo rinviata al Tribunale cantonale amministrativo per nuova decisione su spese e ripetibili per la sede cantonale.
5.
Comunicazione al rappresentante del ricorrente, alla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino, nonché alla Segreteria di Stato della migrazione.