Faits :
A.
Par décision du 22 janvier 2015, la Caisse suisse de compensation (ci-après: la CSC) a alloué une rente de vieillesse à A._, né en 1948 et domicilié en Italie. Le montant en a été fixé à 532 fr. par mois à compter du 1 er juin 2013, puis à 534 fr. dès le 1 er janvier 2015. Cette prestation était établie sur la base d'une durée de cotisations de 10 années entières (de 2003 à 2012), de l'échelle de rente 10, et d'un revenu annuel moyen déterminant de 150'870 fr.
L'assuré s'est opposé à cette décision, en indiquant qu'il avait travaillé de décembre 1977 à décembre 2014 au service de B._ SA, dont le siège est à U._. A l'issue de ses investigations menées notamment auprès de l'ancien employeur et de la Caisse interprofessionnelle AVS de la Fédération des Entreprises Romandes, la CSC a rejeté l'opposition par décision du 13 juillet 2015.
B.
A._ a déféré cette décision au Tribunal administratif fédéral en concluant principalement à ce qu'il fût constaté que la période d'assujettissement à l'AVS courait du 5 décembre 1977 au 31 décembre 2014 et à l'octroi d'une rente de vieillesse depuis le 1 er juin 2013 calculée sur cette base. Subsidiairement, il a conclu au renvoi de la cause à la CSC pour nouvelle décision au sens des considérants. Il a produit notamment une copie de son contrat de travail conclu en 1977 avec B._ SA, ainsi que trois certificats de salaires relatifs aux années 1993, 2002 et 2003.
Par jugement du 1 er septembre 2017, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en reprenant ses conclusions formées en première instance.
L'intimée conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
Le recours peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (<ref-law>), que le Tribunal fédéral applique d'office (<ref-law>), n'étant ainsi limité ni par les arguments du recourant, ni par la motivation de l'autorité précédente (cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p. 140). Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law> et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>). Il examine sur la base des griefs soulevés dans le recours si le jugement entrepris viole (notamment) le droit fédéral dans l'application des règles pertinentes du droit matériel et de preuve (<ref-law>) y compris une éventuelle constatation des faits manifestement inexacte ou en violation du droit (art. 97 al. 1, art. 105 al. 2 LTF).
2.
Devant le Tribunal fédéral, le litige porte sur le montant de la rente de vieillesse du recourant, singulièrement sur la prise en considération dans son calcul de cotisations supplémentaires pour les années 1977 à 2002.
A cet égard, le jugement entrepris expose de manière complète les règles applicables (<ref-law>; <ref-law>); il suffit d'y renvoyer. On rappellera que les revenus de l'activité lucrative obtenus par un salarié et sur lesquels l'employeur a retenu les cotisations légales sont inscrits au compte individuel de l'intéressé, même si l'employeur n'a pas versé les cotisations en question à la caisse de compensation (<ref-law> en vigueur depuis le 1 er janvier 1997, correspondant à l'ancien <ref-law> en vigueur jusqu'au 31 décembre 1996; arrêt H 11/69 du 1er avril 1969, in RCC 1969 p. 545).
3.
Les premiers juges ont constaté que le compte individuel du recourant ne comportait pas de cotisations pour la période courant de décembre 1977 à décembre 2002. Ils ont considéré que le recourant n'avait pas prouvé que des cotisations sociales à l'AVS auraient été retenues sur ses revenus pour la période en cause, l'employeur ayant indiqué que le recourant n'était pas assujetti à l'AVS durant cette période et qu'il n'avait dès lors pas retenu de cotisations. Pour le Tribunal administratif fédéral, il n'y avait pas lieu de déterminer si le recourant aurait ou non dû être affilié aux assurances sociales suisses pour cette période, car de telles cotisations ne pouvaient de toute manière plus être exigées ni payées, compte tenu de l'<ref-law>.
Par ailleurs, le Tribunal administratif fédéral n'a pas admis de faire inscrire des cotisations en application de l'<ref-law>, bien que des cotisations aient été mentionnées dans le champ "AVS/AI/APG/AC" sur les certificats de salaires des années 1993 et 2002. En effet, le recourant et son employeur avaient, en vertu de l'art. 12 de leur contrat de travail conclu en 1977, financé chacun à 50 % une assurance couvrant la vieillesse et l'invalidité des personnes non assujetties aux assurances sociales suisses durant les années 1997 à 2002 (le fonds de prévoyance C._), qui s'était ainsi substituée à celles-ci durant la même période.
4.
Le recourant rappelle qu'il n'a jamais été domicilié en Suisse et qu'il a travaillé sur de nombreux chantiers ferroviaires dans différents pays, au service d'un employeur suisse. A son avis, son employeur avait l'obligation de cotiser à l'AVS pendant toute la durée des rapports de travail.
En ce qui concerne la preuve des années de cotisations, le recourant se prévaut d'une violation des art. 61 let. c LPGA et 141 al. 3 RAVS. Comme cette règle de preuve n'exclut pas l'application du principe inquisitoire, il soutient que l'instance précédente aurait dû renvoyer la cause à la caisse intimée pour requérir de la part de l'employeur la production de tous les certificats de salaires afférents aux années 1977 à 2003, afin de déterminer si des cotisations AVS avaient été retenues chaque année. Invoquant sa méconnaissance du système des assurances sociales suisses, le recourant est d'avis que les premiers juges ont considéré à tort qu'il pouvait ou devait se rendre compte qu'il n'était pas affilié à l'AVS.
Dans ce contexte, le recourant se prévaut plus spécifiquement de l'obligation d'affiliation à l'AVS découlant des art. 5b et 5c de la Convention de sécurité sociale conclue entre la Suisse et l'Italie le 4 décembre 1962 (RS 0.831.109.454.2). Il soutient que le fonds de prévoyance C._ relève de la prévoyance professionnelle, impliquant l'existence d'une affiliation à l'AVS. Le recourant fait grief à l'instance précédente d'avoir violé l'<ref-law>, car la preuve de la retenue des cotisations aurait été apportée si l'employeur avait été enjoint de fournir les certificats de salaires établissant l'inexactitude des inscriptions au compte individuel (cf. <ref-law>). Dans ce cadre, la correction du compte individuel n'est pas concernée par la prescription de l'<ref-law>. Quant à la prescription selon les art. 60 et 130 CO, elle n'était à son avis pas acquise avant le 25 janvier 2015, jour où le montant de sa rente lui avait été communiqué.
Finalement, le recourant invoque l'interdiction de l'abus de droit (<ref-law>), ainsi que son intérêt à obtenir une décision sur le fond par le Tribunal fédéral, afin de pouvoir intenter une action en responsabilité civile contre son ancien employeur.
5.
5.1. Le Tribunal administratif fédéral a constaté que l'employeur du recourant n'avait pas retenu de cotisations à l'AVS durant la période 1977 à 2002. Contrairement à l'opinion du recourant, ce constat de fait n'a pas été établi en violation du principe inquisitoire et ne résulte pas d'une mauvaise application d'une règle de preuve de la part de l'autorité inférieure. En effet, celle-ci disposait des déclarations écrites de l'ancien employeur qui avait indiqué n'avoir pas retenu de cotisations à l'AVS puisqu'il estimait que ses collaborateurs n'étaient pas soumis à cette assurance sociale jusqu'en 2003. L'employeur avait précisé que les montants indiqués dans les champs correspondants des certificats de salaires, en 1993 et 2002, ne représentaient à proprement parler pas des cotisations à l'AVS ou à la prévoyance professionnelle, mais des contributions à une forme de prévoyance privée et volontaire qu'il avait mise en place, ce qui était connu des employés (cf. lettre du 16 novembre 2015. Le récapitulatif pour l'année 2002 ne montre du reste pas de prélèvement à l'AVS (annexe au courrier du 16 novembre 2015 à la CSC). Par ailleurs, comme l'intimé le démontre en faisant état de montants différents de ceux qui auraient le cas échéant dû être prélevés (cf. réponse au recours, p. 2), les montants des cotisations mentionnées dans le champ "AVS/AI/APG/AC" sur les certificats de salaires des années 1993 et 2002 ne correspondent pas à ce qui aurait dû être perçu dans le cadre du 1 er pilier.
Compte tenu des pièces au dossier et en présence d'explications cohérentes de l'ancien employeur, les premiers juges pouvaient renoncer à procéder à de plus amples investigations sur ce point, sans qu'on puisse leur reprocher une appréciation anticipée arbitraire des preuves.
Dès lors que la rétention de cotisations à l'AVS par l'employeur n'est pas établie ni même rendue vraisemblable pour les années 1977 à 2002, il n'est pas possible de rectifier les inscriptions figurant sur le compte individuel du recourant, car les conditions pour ce faire prévues par l'<ref-law>, respectivement l'ancien <ref-law>, ne sont pas réalisées.
5.2. En ce qui concerne ensuite le grief lié à la prescription, il est vrai, comme le soutient le recourant, que la rectification du compte individuel au sens de l'<ref-law> s'étend à toute la durée de cotisations de l'assuré et porte donc également sur les années de cotisations pour lesquelles des cotisations ne peuvent plus être payées, selon l'<ref-law>. Toutefois, l'<ref-law> ne donne à la caisse de compensation que la compétence de corriger d'éventuelles erreurs d'écritures, et non pas d'effectuer des corrections matérielles en tranchant des questions de droit de fond. De même, l'inscription de cotisations prescrites est également possible aux conditions de l'<ref-law>, selon lesquelles l'employeur doit avoir retenu les cotisations légales mais ne les a pas versées à la caisse. Cette situation particulière - à laquelle s'ajoute, selon la jurisprudence, celle d'une convention sur le salaire net - doit toutefois être établie sans équivoque. S'il n'est pas clair que l'employeur a effectivement retenu les cotisations sur le salaire, une correction du compte individuel n'est pas possible (arrêt H 11/69 du 1 er avril 1969, in RCC 1969 p. 545).
Dès lors que les conditions des <ref-law> et 30ter LAVS ne sont pas réalisées en l'espèce, le recourant invoque en vain que l'<ref-law> n'est pas applicable. La référence aux art. 60 et 130 CO ne lui est par ailleurs d'aucun secours, puisque ces dispositions ne s'appliquent pas à la rectification du compte individuel au sens de la LAVS, qui prévoit précisément à son art. 16 une règle particulière de péremption pour les cotisations. En dehors des situations particulières visées par les <ref-law> et 141 al. 3 RAVS, les cotisations dont le montant n'a pas été fixé par voie de décision dans un délai de cinq ans à compter de la fin de l'année civile pour laquelle elles sont dues ne peuvent plus être exigées ni versées (art. 16 al. 1 première phrase LAVS). Même si l'argumentation du recourant, selon laquelle il aurait dû être affilié à l'AVS pour les années en cause, était bien fondée, les cotisations y relatives ne pourraient de toute façon plus être exigées et versées à l'AVS.
Dans ces circonstances, dès lors qu'une correction matérielle du compte individuel du recourant ne peut être réalisée dans le cadre du présent litige qui l'oppose à la caisse de compensation intimée, la question de l'éventuelle obligation d'assujettissement du recourant à l'AVS pour les années 1977 à 2002 en application de l'art. 5 let. b et c de la convention bilatérale italo-suisse peut rester indécise. Le Tribunal fédéral n'a pas non plus à se prononcer sur la question d'une éventuelle responsabilité de l'employeur. Ce point ne pourrait être clarifié que devant le juge civil.
5.3. Quant au moyen tiré de l'interdiction de l'abus de droit (<ref-law>), en raison d'un prétendu comportement de l'employeur qui aurait empêché le recourant d'agir à temps, il est également infondé. En effet, il ressort des constatations du Tribunal administratif fédéral relatives au contrat de travail conclu en 1977, singulièrement à son art. 12 (jugement attaqué, consid. 7.3.2), que le recourant devait avoir été conscient qu'il n'était pas assujetti à l'AVS et pouvait par conséquent adhérer au fonds de prévoyance C._. Il n'y a pas lieu de s'écarter de l'appréciation des premiers juges selon laquelle le recourant ne pouvait ignorer la situation sur le plan des assurances au regard des dispositions contractuelles claires.
5.4. Pour le surplus, le recourant ne conteste que la durée des cotisations. Comme les autres éléments entrant dans le calcul de la rente de vieillesse ne sont pas remis en cause, ils ne seront donc pas revus à ce stade de la procédure (<ref-law>).
6.
Vu ce qui précède et comme le Tribunal fédéral peut se prononcer au regard du jugement attaqué et du dossier complet de l'instance inférieure, il n'y a pas lieu de donner suite à la requête de production de pièces présentée par le recourant.
Le recours se révèle infondé.
7.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais de la procédure (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif fédéral, Cour III, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 16 mars 2018
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
Le Greffier : Berthoud