Faits :
A.
Le 25 janvier 2021, A._, né en 1974, ressortissant libanais au bénéfice d'un permis B, a été reconnu coupable par le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de Lausanne de viol, contrainte, injure, menaces, violation du domaine secret ou du domaine privé au moyen d'un appareil de prise de vues et de pornographie. Il a été condamné notamment à une peine privative de liberté de 5 ans, sous déduction de 466 jours de détention avant jugement. Son maintien en détention pour des motifs de sûreté ainsi que son expulsion du territoire suisse pour une durée de 12 ans ont été ordonnés.
Par jugement du 8 juin 2021, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois (Cour d'appel pénale) a rejeté l'appel formé par le prévenu et confirmé le jugement précité; elle a également ordonné son maintien en détention pour des motifs de sûreté, afin de garantir l'exécution de la peine privative de liberté prononcée à son encontre, compte tenu du risque de fuite qu'il présentait - fondé sur l'ampleur de la peine et sur sa nationalité étrangère - ainsi qu'en raison du risque élevé de réitération, tel qu'évalué par l'expertise psychiatrique. A._ a interjeté un recours au Tribunal fédéral contre ce jugement d'appel. La cause 6B_1252/2021 est pendante.
Par courrier du 18 mars 2022, A._ a déposé une plainte pénale devant le Procureur général contre la procureure ayant instruit l'affaire, lui reprochant notamment plusieurs violations de ses droits fondamentaux et son arrestation " injustifiée "; il a par ailleurs requis la récusation de la prénommée ainsi que sa libération. Le 31 mars 2022, ce courrier a été transmis à la Chambre des recours pénale comme objet de sa compétence s'agissant de la demande de récusation qu'il contenait.
Le 4 avril 2022, le Président de la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois (Président de la Cour d'appel pénale) a rejeté la demande de libération du prévenu: la condition de l'existence de graves soupçons de culpabilité était réalisée et aucune mesure de substitution ne permettait de pallier les risques de fuite et de réitération retenus; en outre, la durée de la détention subie était conforme au principe de proportionnalité.
B.
Par acte du 14 avril 2022, A._ forme un recours auprès du Tribunal fédéral contre cette décision, concluant à sa libération immédiate et à ce que les procédures PE19.0202519-RMG et PE19.023841-RMG soient transférée et réexaminée par un autre procureur pour la première et suivie par un autre procureur pour la seconde.
Invitée à se déterminer, l'autorité précédente y renonce, se référant aux considérants de sa décision, à l'instar de la Procureure du Ministère public de l'arrondissement de Lausanne, agissant en son nom et sur délégation du Procureur général.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours en matière pénale (<ref-law>) est ouvert contre les décisions rendues par la direction de la juridiction d'appel qui rejettent une demande de libération de la détention pour des motifs de sûreté, en application de l'<ref-law> (arrêts 1B_13/2022 du 3 février 2022 consid. 1; 1B_517/2021 du 5 octobre 2021 consid. 1). Par ailleurs, selon l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 1 LTF, le recourant, condamné en appel et détenu, a qualité pour recourir. Pour le surplus, le recours est formé en temps utile (<ref-law>).
1.2. Le litige porte sur le rejet, le 4 avril 2022, par le Président de la Cour d'appel pénale, de la demande de libération du recourant, actuellement en détention pour des motifs de sûreté. Il s'ensuit que les griefs et conclusions tendant à autre chose qu'à annuler le refus de sa libération sont irrecevables (cf. <ref-ruling> consid. 4.4.2). En particulier, les arguments développés par le recourant en lien avec l'attitude prétendument partiale de la procureure en charge du dossier à son égard ne sont pas pertinents dans le cadre de la présente procédure, mais doivent être soulevés à l'occasion de la procédure de récusation qu'il a introduite à l'encontre de la prénommée.
Sous ces dernières réserves, il y a lieu d'entrer en matière.
2.
2.1. Le recourant conteste l'existence de charges suffisantes justifiant son maintien en détention.
2.1.1. Pour qu'une personne soit placée en détention pour des motifs de sûreté, il doit exister des charges suffisantes, soit de sérieux soupçons de culpabilité, à l'égard de l'intéressé (<ref-law>; art. 5 par. 1 let. c CEDH), c'est-à-dire des raisons plausibles de le soupçonner d'avoir commis une infraction. En principe, la mise en accusation au sens de l'<ref-law> fonde de forts soupçons de la commission d'un crime ou d'un délit - il en va a fortiori de même d'une condamnation en première instance (FRANÇOIS CHAIX, in Commentaire romand, Code de procédure pénale suisse, 2 e éd. 2019, n o 8 ad <ref-law>) -, à moins que le prévenu soit en mesure de démontrer le caractère insoutenable d'une telle suspicion (arrêts 1B_474/2021 du 22 septembre 2021 consid. 2.2.1; 1B_262/2021 du 11 juin 2021 consid. 3.2; 1B_273/2018 du 17 août 2018 consid. 4.3.4; 1B_332/2014 du 16 octobre 2014 consid. 10.2; 1B_392/2013 du 22 novembre 2013 consid. 5; 1B_422/2011 du 6 septembre 2011 consid. 3.2).
2.1.2. Le recourant, qui se dit innocent, s'en prend aux déclarations de la partie plaignante, qui ne refléteraient pas la réalité, citant certains passages du procès-verbal d'audition de cette dernière ainsi que des sms échangés entre eux.
Il perd toutefois de vue qu'il n'appartient pas au juge de la détention d'examiner en détail l'ensemble des considérations de fait, pas plus que de procéder à une appréciation complète des éléments à charge et à décharge; il lui incombe uniquement de vérifier, sous l'angle de la vraisemblance, que le maintien en détention repose sur des indices de culpabilité suffisants (cf. <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 3.1).
Or, tel est le cas en l'espèce. L'autorité précédente s'est en effet fondée sur le jugement d'appel rendu le 8 juin 2021 pour retenir l'existence de graves soupçons de culpabilité à l'encontre du recourant. Même si le jugement d'appel n'est pas exécutoire puisqu'un recours a été déposé à son encontre auprès du Tribunal fédéral, il constitue néanmoins un indice important quant à la commission des infractions décrites dans l'acte d'accusation (cf. arrêts 1B_88/2022 du 29 mars 2022 consid. 3.2; 1B_376/2016 du 10 novembre 2016 consid. 2.2; 1B_276/2014 du 2 septembre 2014 consid. 2.1). Le recourant ne fait valoir aucun grief sérieux contre l'appréciation de l'autorité précédente; il ne démontre en particulier pas en quoi elle serait insoutenable et erronée et dans quelle mesure il y aurait vraisemblablement lieu d'admettre son recours en matière pénale et de prononcer son acquittement.
La condition des charges suffisantes posée à l'<ref-law> est dès lors réalisée. Sur ce point, le recours est donc mal fondé.
2.2. Le recourant reproche ensuite à la cour cantonale d'avoir conclu à l'existence d'un risque de fuite.
2.2.1. Conformément à l'<ref-law>, la détention pour des motifs de sûreté peut être ordonnée s'il y a sérieusement lieu de craindre que le prévenu se soustraie à la procédure pénale ou à la sanction prévisible en prenant la fuite. Selon la jurisprudence, le risque de fuite doit s'analyser en fonction d'un ensemble de critères, tels que le caractère de l'intéressé, sa moralité, ses ressources, ses liens avec l'Etat qui le poursuit ainsi que ses contacts à l'étranger, qui font apparaître le risque de fuite non seulement possible, mais également probable. La gravité de l'infraction ne peut pas, à elle seule, justifier le placement ou le maintien en détention, même si elle permet souvent de présumer un danger de fuite en raison de l'importance de la peine dont le prévenu est menacé (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 4.3).
2.2.2. Le recourant conteste en vain l'existence d'un tel risque. Il est vrai qu'il séjourne en Suisse depuis de nombreuses années et que son épouse et ses deux enfants vivent dans notre pays. Ces éléments doivent toutefois être mis en balance avec sa condamnation à une peine privative de liberté de 5 ans ainsi que son expulsion du territoire suisse pour une durée de 12 ans, qui ont été confirmées en appel. En outre, le recourant a de la famille au Liban, pays dont il est le ressortissant, à qui il a, selon ses propres dires, rendu visite à quelques reprises. De plus, force est de constater que les contacts avec son épouse et ses enfants seraient de toute manière limités par la longue période de détention qu'il encourt (cf. arrêts 1B_11/2018 du 29 janvier 2018 consid. 3.2; 1B_304/2007 du 21 janvier 2008 consid. 3.2.2). L'intégration professionnelle du recourant doit également être relativisée dès lors qu'il a connu de longues périodes d'inactivité professionnelle et qu'il travaillait comme intérimaire au moment de son arrestation dans le cadre de la présente affaire. Au vu de ces circonstances, un risque de fuite pouvait à juste titre être retenu. Ce grief doit ainsi être écarté, ce qui dispense d'examiner les arguments du recourant à propos du risque de récidive retenu par l'autorité précédente.
2.3. Pour le reste, aucune mesure de substitution (cf. <ref-law>) - le recourant n'en propose d'ailleurs pas - n'apparaît propre à pallier le risque que ce dernier ne se soustraie, par la fuite ou une entrée dans la clandestinité, à l'exécution du solde de la peine concrètement encourue, qui n'est pas encore proche de celle qui lui permettrait de prétendre à une libération conditionnelle en vertu de l'<ref-law> (cf. arrêt 1B_220/2022 du 26 mai 2020 consid. 5.2).
Enfin, du point de vue temporel, compte tenu des infractions qui lui sont reprochées, de la peine prononcée et confirmée en appel et de la durée de la détention déjà subie, le principe de la proportionnalité demeure également respecté, même en tenant compte d'une éventuelle libération conditionnelle.
2.4. Au regard de ce qui précède, l'autorité précédente pouvait, sans violer le droit fédéral, confirmer le maintien en détention pour des motifs de sûreté du recourant. Les allégations de ce dernier concernant sa fille, qui aurait subi un viol le 21 octobre 2021 et dont la procureure en charge de l'affaire serait responsable, sont objectivement graves; elles ne sont toutefois pas de nature à modifier cette appréciation.
3.
Le recours doit par conséquent être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité, aux frais du recourant qui succombe (art. 65 et 66 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Ministère public de l'arrondissement de Lausanne et au Président de la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 3 mai 2022
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Kneubühler
La Greffière : Nasel