Sachverhalt:
A.
Mit Entscheid des Bezirksgerichts vom 22. Juni 2018 wurde die am 20. Juni 2008 geschlossene Ehe von A._ (geb. 1958) und B._ (geb. 1959) geschieden und u.a. die gemäss <ref-law> hälftige Teilung der während der Ehedauer geäufneten Guthaben der beruflichen Vorsorge angeordnet. Nach Eintritt der Rechtskraft des Scheidungsurteils und im Verfahren nach <ref-law> überwies das Bezirksgericht die Angelegenheit am 31. August 2018 zur Teilung der Austrittsleistungen ("Entscheid in betragsmässiger Hinsicht") an das kantonale Berufsvorsorgegericht.
B.
Mit Entscheid vom 7. Mai 2019 wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau die AXA Stiftung Berufliche Vorsorge, Winterthur (nachfolgend: AXA) an, vom Konto des A._ Fr. 103'323.10 zuzüglich Zins ab 20. Februar 2018 auf das Konto der B._ bei der Pensionskasse X._ zu überweisen. Nach Erhalt dieses Entscheids teilte B._ mit, dass neu eine andere Vorsorgeeinrichtung für sie zuständig sei. Mit Entscheid ("Berichtigungsurteil") vom 28. Mai 2019 änderte das Versicherungsgericht die Dispositiv-Ziffer 1 des Entscheids vom 7. Mai 2019 insoweit ab, als der Betrag nunmehr an die Pensionskasse Y._ zu überweisen ist.
C.
A._ beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, der Entscheid vom 7. Mai 2019 sei aufzuheben und die Festsetzung des von der AXA zu überweisenden Betrags sei "aufzuschieben, bis dass die Invalidenrente bestimmt ist".
B._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Die AXA beantragt deren Gutheissung; zudem ersucht sie um Sistierung des Verfahrens. Das Bundesamt für Sozialversicherungen reicht eine Eingabe ein, ohne einen Antrag zu stellen.
D.
Die II. sozialrechtliche und die II. zivilrechtliche Abteilung des Bundesgerichts haben ein Verfahren nach <ref-law> durchgeführt.

Erwägungen:
1.
1.1. Gemäss <ref-law> i.V.m. <ref-law> kann das Verfahren aus Gründen der Zweckmässigkeit ausgesetzt werden, insbesondere wenn das Urteil von der Entscheidung in einem anderen Rechtsstreit beeinflusst werden kann. Soweit die Sistierung überhaupt für das bundesgerichtliche Verfahren (und nicht vielmehr für jenes vor dem kantonalen Berufsvorsorgegericht; vgl. dazu untenstehende E. 4.2.3 und 5.1) verlangt wird, besteht dafür kein Anlass, wie sich aus dem Folgenden ergibt.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Der Vorsorgeausgleich bei Scheidung wurde mit der Änderung des ZGB vom 19. Juni 2015 neu geregelt (AS 2016 2313). Die Bestimmungen stehen seit dem 1. Januar 2017 in Kraft und sind hier anwendbar.
2.2. Bei Ehescheidung werden die Austrittsleistungen und Rentenanteile nach den Art. 122-124e ZGB sowie den Art. 280 f. ZPO geteilt; die Art. 3-5 sind auf den zu übertragenden Betrag sinngemäss anwendbar (Art. 22 FZG [SR 831.42]).
Entsprechend dem Grundsatz von <ref-law> werden die während der Ehe bis zum Zeitpunkt der Einleitung des Scheidungsverfahrens erworbenen Ansprüche aus der beruflichen Vorsorge bei der Scheidung ausgeglichen. Dabei ist zu differenzieren zwischen dem Vorsorgeausgleich "bei Austrittsleistungen" (<ref-law>), "bei Invalidenrenten vor dem reglementarischen Rentenalter" (<ref-law>) und bei "Invalidenrenten nach dem reglementarischen Rentenalter und bei Altersrenten" (<ref-law>). Letztere Konstellation liegt im hier zu beurteilenden Fall nicht vor.
2.3. Die erworbenen Austrittsleistungen samt Freizügigkeitsguthaben und Vorbezügen für Wohneigentum werden hälftig geteilt (<ref-law>). Nach <ref-law> berechnen sich die zu teilenden Austrittsleistungen nach den Art. 15-17 und 22a oder 22b FZG. Bezieht ein Ehegatte im Zeitpunkt der Einleitung des Scheidungsverfahrens eine Invalidenrente vor dem reglementarischen Rentenalter, so gilt laut <ref-law> der Betrag, der ihm nach Art. 2 Abs. 1ter FZG nach Aufhebung der Invalidenrente zukommen würde, als Austrittsleistung. Gemäss <ref-law> gelten die Bestimmungen über den Ausgleich bei Austrittsleistungen sinngemäss.
Der Unterschied zwischen den Bestimmungen von Art. 123 und 124 ZGB liegt im Wesentlichen darin, dass die Teilung nach <ref-law> lediglich die "erworbenen" (d.h. die "tatsächlich" angesparten und verzinsten) Austrittsleistungen betrifft, während sie sich nach <ref-law> auf eine "hypothetische" Austrittsleistung bezieht, die zusätzlich Gutschriften (samt Zins) aus der Weiterführung des Alterskontos nach Eintritt der Invalidität (vgl. Art. 14 der Verordnung vom 18. April 1984 über die berufliche Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenvorsorge [BVV 2; SR 831.441.1] im obligatorischen und reglementarische Beitragsbefreiung im weitergehenden Bereich) beinhaltet (Botschaft vom 29. Mai 2013 zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Vorsorgeausgleich bei Scheidung], BBl 2013 4900 Ziff. 1.5.2 und 4907 Ziff. 2.1; JUNGO / GRÜTTER, in: FamKomm Scheidung, Band I, 3. Aufl. 2017, N. 6 ff. zu <ref-law>; FLEISCHANDERL / HÜRZELER, in: FamKomm Scheidung, Band II, Anhang Sozialversicherungsrechtliche Fragen in Bezug auf Trennung und Scheidung, 3. Aufl. 2017, S. 432 Rz. 206; GEISER/WALSER, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 6. Aufl. 2018, N. 2 zu <ref-law>).
2.4. Die zu teilende Austrittsleistung eines Ehegatten entspricht der Differenz zwischen der Austrittsleistung zuzüglich allfälliger Freizügigkeitsguthaben im Zeitpunkt der Einleitung des Scheidungsverfahrens und der Austrittsleistung zuzüglich allfälliger Freizügigkeitsguthaben im Zeitpunkt der Eheschliessung. Die Austrittsleistung und das Freizügigkeitsguthaben im Zeitpunkt der Eheschliessung sind auf den Zeitpunkt der Einleitung des Scheidungsverfahrens aufzuzinsen. Barauszahlungen und Kapitalabfindungen während der Ehedauer werden nicht berücksichtigt (Art. 22a Abs. 1 FZG). Gegenseitige Ansprüche der Ehegatten auf Austrittsleistungen oder auf Rentenanteile werden verrechnet (<ref-law>).
3.
3.1. Das kantonale Gericht hat das Vorsorgeguthaben resp. die Austrittsleistung bei Einleitung des Scheidungsverfahrens am 19. Februar 2018 für den Beschwerdeführer (gestützt auf Angaben der AXA) auf Fr. 670'106.35 und für die Beschwerdegegnerin auf Fr. 343'049.30 beziffert. Davon hat es die im Zeitpunkt der Eheschliessung vorhandenen und auf den Zeitpunkt der Einleitung des Scheidungsverfahrens aufgezinsten Vorsorgeguthaben - Fr. 318'013.37 für den Ehemann resp. Fr. 197'602.52 für die Ehefrau - in Abzug gebracht. Es hat das zu teilende Vorsorgeguthaben des Beschwerdeführers auf Fr. 352'092.98 und jenes seiner geschiedenen Ehefrau auf Fr. 145'446.78 festgelegt. Folglich hat es - nach je hälftiger Teilung dieser Beträge - der geschiedenen Ehefrau im Rahmen des Vorsorgeausgleichs (netto) Fr. 103'323.10 zugesprochen.
3.2. Streitig und zu prüfen ist einzig die Höhe des Altersguthabens des Beschwerdeführers per 19. Februar 2018, die das kantonale Gericht mit Fr. 670'106.35 berücksichtigt hat. Der Beschwerdeführer macht (wie bereits im vorinstanzlichen Verfahren; vgl. auch die Angaben anlässlich der Anhörung im Scheidungsverfahren) geltend, er sei im November 2014 schwer erkrankt und habe sich daraufhin bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet. Das Verfahren sei hängig und es sei offen, ob er rückwirkend bis ins Jahr 2015 Anspruch auf eine Invalidenrente der Invalidenversicherung und dementsprechend auch aus beruflicher Vorsorge habe. Sein Altersguthaben bei der AXA sei zwar weiterhin geäufnet worden. Indessen würden die gebuchten Altersgutschriften rückwirkend wieder entzogen, wenn der Anspruch auf eine Invalidenrente verneint werde. Das von der AXA angegebene Altersguthaben per 19. Februar 2018 von Fr. 670'106.35 sei daher nur provisorisch und könnte noch beträchtlich (d.h. um die hypothetischen Altersgutschriften) reduziert werden. Der vorliegende Streit könne erst nach Klärung des Anspruchs auf eine Invalidenrente erledigt werden.
4.
4.1. Mit Bezug auf die Anwendung von Art. 123 und 124 ZGB hat die Vorinstanz einzig erwogen, der Vorsorgefall sei beim Beschwerdeführer bis zur Einleitung des Scheidungsverfahrens am 19. Februar 2018 nicht eingetreten, da ausweislich der Akten bis zu diesem Zeitpunkt kein Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung entstanden sei. Ein allenfalls bei der Invalidenversicherung hängiges Verfahren sei daher bei der Teilung der Vorsorgeguthaben nicht zu berücksichtigen.
Damit hat das kantonale Gericht (implizit) den tatsächlichen Rentenbezug mit dem Eintritt des Vorsorgefalls gleichgestellt resp. als massgebendes Abgrenzungskriterium zwischen Art. 123 und 124 ZGB erachtet und (ausschliesslich) die erste der beiden Bestimmungen für anwendbar gehalten.
4.2.
4.2.1. Unter der früheren, bis zum 31. Dezember 2016 geltenden Rechtslage war die Teilung der Austrittsleistungen (grundsätzlich; vgl. für eine Ausnahme SVR 2011 BVG Nr. 24 S. 91, 9C_610/2010 E. 3; 2010 BVG Nr. 11 S. 40, 9C_691/2009 E. 2) ausgeschlossen, wenn bei einem der geschiedenen Ehegatten im massgeblichen Zeitpunkt der "Vorsorgefall eingetreten" ("cas de prévoyance [...] survenu"; "sopraggiunto [un] caso d'assicurazione" resp. "di previdenza") war (vgl. aArt. 122 Abs. 1 und a<ref-law> [AS 1999 1128 f.]; <ref-ruling> E. 4.4 S. 424).
4.2.2. Was darunter zu verstehen ist, definierte das Bundesgericht wie folgt: Der Vorsorgefall Invalidität tritt nicht mit der ihr zugrunde liegenden Arbeitsunfähigkeit, sondern mit Beginn des Anspruchs auf eine Invalidenleistung (Art. 26 Abs. 1 BVG) ein. Damit bestehe Kongruenz zur Rechtsprechung im Zusammenhang mit der Teilung der Austrittsleistung im Scheidungsfall: Danach ist der Vorsorgefall Invalidität eingetreten, wenn ein Ehegatte mindestens zu 50 resp. (seit 1. Januar 2005) 40 % dauernd erwerbsunfähig geworden ist oder während eines Jahres ohne wesentlichen Unterbruch mindestens zu 50 resp. (seit 1. Januar 2005) 40 % arbeitsunfähig war und von der Einrichtung der beruflichen Vorsorge eine Invalidenrente bezieht oder in Form einer Kapitalabfindung bezogen hat (<ref-ruling> E. 4.3.1 S. 422; <ref-ruling> E. 3.4.2 S. 32; <ref-ruling> E. 3.2.2 S. 484).
In <ref-ruling> E. 4.4 S. 424 relativierte das Bundesgericht mit Blick auf diese Rechtsprechung die Bedeutung des (tatsächlichen) Rentenbezugs: Es präzisierte, dass die vollständige Kürzung eines Anspruchs auf eine Invalidenrente der beruflichen Vorsorge zufolge Überentschädigung nichts am Eintritt des Vorsorgefalles Invalidität nach Massgabe der ersten Säule im Rahmen einer Scheidung ändert. In den zitierten Fällen stand jeweils schon vor dem damals massgeblichen Zeitpunkt (Rechtskraft des Scheidungsurteils) fest, ob (zumindest gegenüber der Invalidenversicherung) Anspruch auf eine Invalidenrente bestand (<ref-ruling> lit. A S. 420; <ref-ruling> E. 3.1 S. 30; <ref-ruling> E. 3 S. 483).
4.2.3. Im Urteil 9C_388/2009 vom 10. Mai 2010 E. 4.4 (nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2011 BVG Nr. 8 S. 27) stellte das Bundesgericht klar, dass nicht auf den Rentenbezug als solchen, sondern allein darauf abzustellen ist, ob der Leistungsanspruch vor dem massgeblichen Zeitpunkt entstanden ist, auch wenn darüber erst nachträglich (während des Verfahrens vor dem Berufsvorsorgegericht oder sogar nach dessen Abschluss) definitiv entschieden wird. War in diesem Sinn der Vorsorgefall eingetreten (und die Teilung nach aArt. 122 Abs. 1 ZGB unmöglich), musste die Sache von Amtes wegen zur Festsetzung einer angemessenen Entschädigung (a<ref-law>) an den wiederum zuständigen Scheidungsrichter überwiesen werden (<ref-ruling> E. 5.3 S. 227 ff.).
Sodann erwog das Bundesgericht im Urteil 9C_191/2013 vom 8. Juli 2013 E. 4 (SVR 2014 BVG Nr. 2 S. 5; in Bestätigung des Urteils 9C_388/2009 resp. <ref-ruling> und unter Verweis auf das Urteil 9C_899/2007 vom 28. März 2008 E. 5.2, FamPra.ch 2008 S. 654) Folgendes: Das Berufsvorsorgegericht ist grundsätzlich an die im Scheidungsurteil festgelegte Teilung gebunden und hat diese bloss zu vollziehen. Das gilt auch dann, wenn nach dem massgebenden Zeitpunkt ([damals] Rechtskraft des Scheidungsurteils) ein Vorsorgefall eintritt. Anders verhält es sich jedoch, wenn sich nachträglich herausstellt, dass de facto bereits vor dem massgebenden Zeitpunkt ein Vorsorgefall eingetreten ist. In diesem Fall kann das ganze in den (a) Art. 122/141-142 ZGB und (a) Art. 25a FZG geregelte Verfahren nicht zur Anwendung gelangen. Hat in einem solchen Fall das Berufsvorsorgegericht die Teilung nach (a) <ref-law> noch nicht vorgenommen, hat es allenfalls das Verfahren zu sistieren, wenn die rückwirkende Ausrichtung von Invalidenleistungen auf einen Zeitpunkt vor Eintritt der Rechtskraft des Scheidungsurteils wahrscheinlich ist oder diesbezügliche Abklärungen der Vorsorgeeinrichtung im Gange sind, oder - wenn eine rückwirkende Ausrichtung feststeht - die Sache an das Scheidungsgericht zu überweisen, damit es - allenfalls auf dem Wege der Revision des Scheidungsurteils - eine angemessene Entschädigung nach (a) <ref-law> festsetze. Dies hat auch zu gelten, wenn vorgelagert sogar noch ein Verfahren der Invalidenversicherung läuft. Denn Anspruch auf BVG-Invalidenleistungen haben Personen, die im Sinne der IV zu mindestens 40 % invalid sind (Art. 23 lit. a 1. Halbsatz BVG). Massgebender Zeitpunkt für den Eintritt des Vorsorgefalls Invalidität ist das Inkrafttreten der Verfügung der Invalidenversicherung. Denn mit der Entstehung eines Rentenanspruchs gegenüber der Invalidenversicherung entsteht auch ein solcher aus obligatorischer beruflicher Vorsorge.
4.2.4. Daraus erhellt, dass unter der bis Ende 2016 geltenden Rechtslage für die Anwendung von aArt. 122 Abs. 1 oder a<ref-law> nicht der tatsächliche Rentenbezug vor dem massgeblichen Zeitpunkt entscheidend war. Ausschlaggebend war allein der Eintritt des Vorsorgefalles Invalidität nach Massgabe der ersten (resp. zweiten) Säule, und zwar auch dann, wenn er erst nachträglich - im Rahmen einer rückwirkenden Rentenzusprache - festgestellt wurde.
4.3.
4.3.1. Fraglich ist, ob bei der aktuellen Rechtslage für die Abgrenzung zwischen Art. 123 und 124 ZGB auf das gleiche Kriterium abzustellen ist.
Das Gesetz ist in erster Linie nach seinem Wortlaut auszulegen (Auslegung nach dem Wortlaut). Ist der Text nicht ganz klar und sind verschiedene Auslegungen möglich, so muss der Richter unter Berücksichtigung aller Auslegungselemente nach der wahren Tragweite der Norm suchen. Dabei hat er insbesondere den Willen des Gesetzgebers zu berücksichtigen, wie er sich namentlich aus den Gesetzesmaterialien ergibt (historische Auslegung). Weiter hat der Richter nach dem Zweck, dem Sinn und den dem Text zugrunde liegenden Wertungen zu forschen, namentlich nach dem durch die Norm geschützten Interesse (teleologische Auslegung). Wichtig ist auch der Sinn, der einer Norm im Kontext zukommt, und das Verhältnis, in welchem sie zu anderen Gesetzesvorschriften steht (systematische Auslegung). Das Bundesgericht befolgt bei der Auslegung von Gesetzesnormen einen pragmatischen Methodenpluralismus und lehnt es ab, die einzelnen Auslegungselemente einer Prioritätsordnung zu unterstellen (<ref-ruling> E. 8.1 S. 63; <ref-ruling> E. 5.1 S. 114; <ref-ruling> E. 4.4.1 S. 34 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 315 f.; <ref-ruling> E. 4a/bb S. 465; je mit Hinweisen).
4.3.2. Nach <ref-law> ist für dessen Anwendung entscheidend, ob ein Ehegatte im (neu massgeblichen) Zeitpunkt der Einleitung des Scheidungsverfahrens eine Invalidenrente "bezieht" ("perçoit", "percepisce"). Zwar erscheint dieser Wortlaut klar. Indessen wird das Element des tatsächlichen Rentenbezugs bereits mit Blick auf die Formulierung von <ref-law> hinsichtlich einer (allenfalls vollständigen) "Überentschädigungskürzung der Invalidenrente" relativiert (vgl. dazu auch obenstehende E. 4.2.2 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 4.4 S. 424).
4.3.3. Aus den Materialien ergibt sich kein Hinweis auf eine Diskussion des hier interessierenden Aspekts der Formulierung von <ref-law>. Sowohl in der Botschaft des Bundesrats (BBl 2013 4887 ff., insb. 4900 f. und 4904 ff. Ziff. 1.5.2, 1.5.3 und 2.1) als auch in den Beratungen der eidgenössischen Räte (AB 2014 S 522 ff.; AB 2015 N 757 ff.) wurde der Rentenbezug dem Eintritt des Vorsorgefalls gleichgestellt, und die entsprechenden Ausdrücke wurden synonym verwendet. Dass darunter etwas anderes als nach der alten Rechtslage (vgl. E. 4.2.3) verstanden wurde und neu der engere Begriff des tatsächlichen Rentenbezugs entscheidend sein sollte, ist nicht ersichtlich.
4.3.4. Die Neuregelung des Vorsorgeausgleichs bei Scheidung bezweckte insbesondere, die Teilung der Vorsorgeguthaben neu auch dann zu ermöglichen, wenn ein Ehegatte bereits invalid war. Der Teilung sollten sämtliche während der Ehe (bis zur Einleitung des Scheidungsverfahrens) erworbenen resp. erwirtschafteten Vorsorgeansprüche (Austrittsleistungen) unterliegen (BBl 2013 4901 Ziff. 1.5.3, 4904 ff. Ziff. 2.1; AB 2014 S 524; AB 2015 N 759, 761, 764). Auch die rückwirkende Rentenzusprache auf einen Zeitpunkt vor dem Stichtag der Scheidungseinleitung kann - bezogen auf die Ehedauer - zu einer zusätzlichen Äufnung des Vorsorgeguthabens führen (vgl. obenstehende E. 2.3). Es leuchtet nicht ein, weshalb der geschiedene Ehepartner an den Gutschriften zufolge Weiterführung des Alterskontos einzig aus dem Grund, dass sie erst nach dem Stichtag (aber rückwirkend) gewährt werden, nicht partizipieren soll.
4.3.5. In systematischer Hinsicht ist zu beachten, dass der Betrag nach <ref-law> in der Regel nicht für den Vorsorgeausgleich verwendet werden kann, wenn eine Invalidenrente infolge des Zusammentreffens mit Leistungen der Unfall- oder Militärversicherung gekürzt wurde. In diesem Fall ist eine angemessene Entschädigung gemäss <ref-law> geschuldet (<ref-law> i.V.m. Art. 26a der Verordnung vom 18. April 1984 über die berufliche Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenvorsorge [BVV 2, SR 831.441.1]; BBl 2013 4909 Ziff. 2.1). Der Grund für diese Ausnahmeregelung - Vermeidung von Überentschädigung zu Lasten des Versichertenkollektivs - besteht unabhängig davon, ob der Rentenanspruch bereits bei Einleitung des Scheidungsverfahrens oder erst nachträglich feststeht.
4.4. Nach dem soeben (in E. 4.3) Gesagten ist für die Anwendbarkeit von <ref-law> entscheidend, ob vor Einleitung des Scheidungsverfahrens ein Anspruch auf eine Invalidenrente aus beruflicher Vorsorge entstanden resp., mit anderen Worten, der Vorsorgefall Invalidität eingetreten ist. Im Bereich der obligatorischen beruflichen Vorsorge fällt der Eintritt des Vorsorgefalls mit der Entstehung des Anspruchs auf eine Rente der Invalidenversicherung zusammen, auch wenn die Rente aus beruflicher Vorsorge (zur Vermeidung einer Überentschädigung) aufgeschoben wird. Gleiches gilt für die weitergehende Vorsorge, sofern - wie hier - das Reglement nichts Abweichendes enthält (<ref-ruling> E. 4.3.3-4.4 S. 423 f.; GEISER/WALSER, a.a.O., N. 7 zu <ref-law>; FLEISCHANDERL / HÜRZELER, a.a.O., S. 432 f. Rz. 207). Entgegen der vorinstanzlichen Auffassung schliesst der Umstand, dass ein definitiver Entscheid über den Anspruch auf eine Invalidenrente noch aussteht und deshalb (noch) keine Rente bezogen wird, weder den Eintritt des Vorsorgefalls im entscheidenden Zeitpunkt noch die Anwendung von <ref-law> aus (so auch MEYER/UTTINGER, in: BVG und FZG, 2. Aufl. 2019, N. 42 zu Art. 73 BVG; JUNGO/ GRÜTTER, a.a.O., N. 5 zu <ref-law> und N. 13 f. zu <ref-law>).
5.
5.1. Angesichts der (genügend konkretisierten) Vorbringen des Beschwerdeführers (vgl. E. 3.2) ist unklar, ob bei ihm der Vorsorgefall Invalidität vor der Einleitung des Scheidungsverfahrens eintrat. Diese Frage lässt sich auch nicht auf der Grundlage der vorinstanzlichen Akten beantworten. Das kantonale Gericht wird die notwendigen Abklärungen zu treffen haben (vgl. Art. 73 Abs. 2 BVG). Kann eine rückwirkende Rentenzusprache auf einen Zeitpunkt vor Einleitung des Scheidungsverfahrens nicht ausgeschlossen werden, ist es in der Regel zweckmässig, das Verfahren - wie bei der früheren Rechtslage (vgl. E. 4.2.3) - zu sistieren, bis die Frage nach dem Eintritt des Vorsorgefalls geklärt ist. Das gilt auch hier, wo das Berufsvorsorgegericht gemäss Anordnung in Dispositiv-Ziff. 3 des Scheidungsentscheids und im Überweisungsschreiben des Bezirksgerichts (vgl. Sachverhalt lit. A) den im Rahmen des Vorsorgeausgleichs zu überweisenden Betrag festzulegen hat. Die Beschwerde ist begründet.
5.2. Was die Höhe der zu teilenden Austrittsleistung anbelangt, ist an dieser Stelle immerhin festzuhalten: Die AXA legt unmissverständlich dar, dass der Beschwerdeführer ohne Invalidität - in Anwendung von <ref-law> - per 31. Juli 2017 Anspruch auf eine Austrittsleistung von Fr. 648'735.20 habe. Demgegenüber beinhalte der Betrag von Fr. 670'106.35 per 19. Februar 2018 die provisorischen Altersgutschriften für den Fall, dass vor dem 31. Juli 2017 ein Anspruch auf eine ganze Invalidenrente entstanden sei (hypothetische Austrittsleistung gemäss <ref-law>). Dies entspricht denn auch den Angaben der AXA in ihren Schreiben vom 13. April, 27. September sowie 20. Dezember 2018 und wird von den Parteien nicht in Abrede gestellt. In Anwendung von <ref-law> ist demnach der vorinstanzlich festgestellte Betrag von Fr. 670'106.35 unhaltbar (vgl. E. 1.2), wie der Beschwerdeführer zu Recht geltend macht. Anderseits kann auch der Betrag von Fr. 648'735.20 nicht unbesehen übernommen werden, bezieht er sich doch nicht auf den massgeblichen Stichtag (19. Februar 2018).
5.3. Die Beschwerdegegnerin und das BSV verweisen im Zusammenhang mit der (weiteren) Verzögerung des Vorsorgeausgleichs auf Nachteile. Zu deren Vermeidung fallen indessen - nach Massgabe des kantonalen Verfahrensrechts - vorsorgliche Massnahmen in Betracht (vgl. § 46 Abs. 2 des aargauischen Gesetzes vom 4. Dezember 2007 über die Verwaltungsrechtspflege [Verwaltungsrechtspflegegesetz, VRPG; SAR 271.200]).
6.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Verfahrenskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Gesuch um Sistierung des Verfahrens wird abgewiesen.
2.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 7. Mai 2019 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der AXA Stiftung Berufliche Vorsorge, Winterthur, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau, der Pensionskasse Y._ und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. März 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Dormann