Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1950; Beschwerdeführer) und B._ (geb. 1977; Beschwerdegegnerin) heirateten am 28. Oktober 2005. Aus der Ehe ging die Tochter C._ (geb. 2010) hervor. Seit August 2015 leben die Parteien getrennt.
Im Eheschutzurteil vom 1. Oktober 2015 verpflichtete das Bezirksgericht Zürich A._, seiner Frau an den Unterhalt der gemeinsamen Tochter monatlich Fr. 1'450.-- und an den persönlichen Unterhalt Fr. 800.-- zu bezahlen. Ausserdem wies es die Vorsorgeeinrichtung von A._ zur direkten Bezahlung der Kinderrenten im Umfang der monatlichen Unterhaltsbeiträge und - dies mit Entscheid vom 1. Juli 2016 - des Ehegattenunterhalts an.
A.b. Mit Urteil vom 18. September 2020 schied das Bezirksgericht die Ehe der Parteien und regelte die Nebenfolgen der Scheidung. Dabei beliess es soweit hier interessierend die Tochter unter der gemeinsamen elterlichen Sorge und teilte die Obhut der Mutter zu. Sodann verpflichtete das Bezirksgericht A._ zur Zahlung von Kindesunterhalt sowie nachehelichem Unterhalt, wobei es die Unterhaltsbeiträge indexierte. Ausserdem wies das Bezirksgericht die Pensionskasse von A._ unter Androhung doppelter Zahlungspflicht im Unterlassungsfall an, monatlich einen bestimmten Betrag - dieser reduziert sich ab Oktober 2026 sowie ab Oktober 2028 - von den diesem zustehenden Rentenleistungen in Abzug zu bringen und direkt auf das Konto von B._ zu überweisen. Weiter wies es die Pensionskasse von A._ an, den Rentenanteil von B._ in eine lebenslange Rente nach <ref-law> umzurechnen und zugunsten ihrer Altersvorsorge auf ihr Vorsorgekonto und ab Eintritt in das Rentenalter auf ein von ihr zu bezeichnendes Bankkonto zu übertragen. Das Bezirksgericht sprach keine Parteientschädigungen zu und auferlegte die Gerichtskosten den Parteien unter Berücksichtigung der diesen gewährten unentgeltlichen Rechtspflege je hälftig.
B.
Gegen diesen Entscheid gelangten A._ mit Berufung vom 28. Oktober 2020 und B._ mit Anschlussberufung vom 29. Januar 2021 ans Obergericht des Kantons Zürich. Mit Urteil vom 25. März 2021 (eröffnet am 1. April 2021) erkannte dieses folgendermassen (alles Dispositivziffer 1) :
"Es [wird das Urteil] des Bezirksgerichts [...] wie folgt abgeändert:
7. [A._] wird verpflichtet, [B._] für die Tochter C._ die folgenden Kinderunterhaltsbeiträge zu bezahlen:
- Fr. 1'446.-- ab Rechtskraft des Scheidungsurteils bis und mit 30. Sep tember 2026 (davon Fr. 248.-- als Betreuungsunterhalt);
- Fr. 1'378.-- ab 1. Oktober 2026 (davon 0.-- als Betreuungsunterhalt). [...].
8. [A._] wird verpflichtet, [B._] wie folgt nachehelichen Unterhalt zu bezahlen:
- Fr. 499.50 ab Rechtskraft des Scheidungsurteils bis 30. September 2026;
- Fr. 132.50 ab 1. Oktober 2026 bis 30. September 2028.
[...]
11. Die Pensionskasse des Bundes Publica [...] wird angewiesen, den Betrag von monatlich Fr. 1'945.50 umgehend nach Rechtskraft dieses Urteils - be ginnend mit der nächsten Rentezahlung nach Zustellung dieses Urteils - jeden Monat von der Rentenleistung [von A._] in Abzug zu bringen und direkt auf das Konto von [B._] zu überweisen, unter Androhung doppelter Zahlungspflicht im Unterlassungsfall.
Ab 1. Oktober 2026 reduziert sich der vorgenannte Betrag auf Fr. 1'510.50.
Ab 1. Oktober 2028 reduziert sich der vorgenannte Betrag auf Fr. 1'378.-- (Höhe der Kinderrente).
Im Übrigen werden die Berufung und die Anschlussberufung abgewiesen und Dispositivziffern 10, 13 und 14 des Urteils des Einzelgerichts am Bezirks gericht Zürich vom 18. September 2020 bestätigt."
Weiter wies das Obergericht das Gesuch von A._ um unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren ab (Beschluss vom 25. März 2021), auferlegte ihm die zweitinstanzliche Entscheidgebühr von Fr. 3'200.-- (Dispositivziffer 3) und verpflichtete diesen, der Rechtsvertreterin von B._ eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- zu bezahlen (Dispositivziffer 4).
C.
A._ gelang mit Beschwerde in Zivilsachen vom 3. Mai 2021 ans Bundesgericht und stellt unter Kosten- und Entschädigungsfolge die folgenden Begehren:
"1. Es sei das Urteil der Vorinstanz in seinen Dispositivziffern 1, 3 und 4 [...] aufzuheben.
2. Es sei festzustellen, dass [A._] für das Kind keinen Betreuungsunterhalt mehr schuldet und es seien die Kinderunterhaltsbeiträge somit um den Betreuungsunterhalt in der Höhe von Fr. 248.-- in der Phase ab Rechtskraft des Scheidungsurteils bis und mit 30. September 2026 zu reduzieren auf die Kinderrente von derzeit monatlich Fr. 1'378.--.
3. Es sei festzustellen, dass [A._] [B._] keinen nachehelichen Unterhalt schuldet und also die Verpflichtung zur Leistung von nachehelichem Unterhaltsbeiträgen ersatzlos aufzuheben.
4. Es sei die Anweisung an die Pensionskasse Publica [von A._] zur Zahlung von Unterhaltsbeiträgen an [B._] um die entsprechenden Beträge auf die Kinderunterhaltsbeiträge - ohne Betreuungsunterhalt - in der Höhe der Kinderrente von derzeit monatlich Fr. 1'378.-- zu reduzieren.
5. Es sei von der Teilung der Pensionskassenrente (BVG-Rente) [von A._] abzusehen und die entsprechende Anweisung an die Vorsorgeeinrichtung Publica zum Abzug des Rententeils und Ausrichtung des in eine lebenslange Rente umgerechneten Betrages an [B._] ersatzlos aufzuheben.
6. Eventualiter sei die Sache zur Feststellung der effektiv während der Ehe an die Pensionskasse Publica zugunsten [von A._] eingezahlten Rentenbeiträge an die Vorinstanz zurückzuweisen, verbunden mit der Anordnung, dass [A._] zum Ergebnis das rechtliche Gehör und die Gelegenheit zur Nachbezifferung seines Antrages betreffend Rententeilung zu gewähren sei.
7. Es sei festzustellen, dass [A._] die Voraussetzungen für die unentgeltliche Rechtspflege im Verfahren vor der Vorinstanz erfüllte und die Vorinstanz anzuweisen, die Kosten des Berufungsverfahrens auf die Gerichtskasse zu nehmen, den Unterzeichnenden als unentgeltlichen Rechtsbeistand für das Berufungsverfahren zu bestellen und es sei die Sache zur Festsetzung der Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes an die Vorinstanz zurückzuweisen.
8. Es sei die Verpflichtung [von A._] zur Leistung einer Parteientschädigung an B._ aufzuheben, eventualiter für den Fall der Bestätigung des vorinstanzlichen Urteils auf Fr. 1'000.-- zu reduzieren."
Ausserdem ersucht A._ für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Am 19. Mai 2021 ersucht auch B._ für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Beiordnung ihrer Vertreterin als unentgeltliche Rechtsbeiständin. Mit Verfügung vom 9. Juni 2021 wies das Bundesgericht nach Anhörung aller Verfahrensbeteiligten das von A._ ausserdem gestellte Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde ab. Auf das sinngemässe Gesuch von B._ um Prozesskostenvorschuss trat es nicht ein.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens, aber keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin (<ref-law>) über die vermögensrechtlichen Folgen einer Ehescheidung und damit eine Zivilsache im Sinne von <ref-law> befunden hat (Urteil 5A_841/2020 vom 17. Dezember 2021 E. 1). Gleiches gilt bezüglich des nicht selbständig eröffneten Entscheids über die unentgeltliche Rechtspflege im Berufungsverfahren (Urteil 5A_1063/2020 vom 10. Februar 2022 E. 1.1), wobei unschädlich bleibt, dass das Obergericht insofern als erste und einzige kantonale Instanz entschieden hat (<ref-ruling> E. 2.2). Die Streitwertgrenze gemäss Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG ist nach den unbestrittenen Feststellungen der Vorinstanz erreicht (vgl. Art. 51 Abs. 1 Bst. a und Abs. 4 BGG). Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Auf die rechtzeitig (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 Bst. a BGG) eingereichte Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
2.
2.1. Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>) und urteilt mit freier Kognition. Es ist allerdings nicht gehalten, wie ein erstinstanzliches Gericht alle sich stellenden rechtlichen Fragen von sich aus zu untersuchen, wenn die beschwerdeführende Person diese nicht mehr thematisiert (<ref-ruling> E. 1.3). Deshalb ist in der Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die beschwerdeführende Person muss auf den angefochtenen Entscheid eingehen und aufzeigen, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt; sie soll im Schriftsatz mitihrer Kritik an den Erwägungen der Vorinstanz ansetzen, die sie als rechtsfehlerhaft erachtet (<ref-ruling> E. 2 mit Hinweisen). Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht (Urteil 5A_963/2014 vom 9. November 2015 E. 2, nicht publiziert in <ref-ruling>). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechteprüft das Bundesgericht dagegen nur insoweit, als eine solche Rüge erhoben wird, wobei das strenge Rügeprinzip gilt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.2.2). Das bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert aufzuzeigen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen. Auf rein appellatorische Ausführungen kann nicht eingetreten werden (<ref-ruling> E. 2.4).
Bei der Überprüfung von Ermessensentscheiden (<ref-law>) schreitet das Bundesgericht zudem nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 5.3.2).
2.2. Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (<ref-law>). Zum vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt gehören nicht nur die Feststellungen über den Lebenssachverhalt, sondern auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig (<ref-law>), das heisst willkürlich, oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) beruhen. In der Beschwerde ist auch darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).Auch hier gelangt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law> zur Anwendung (zum Ganzen <ref-ruling> E. 2.3).
Unter dem Titel "Sachverhalt und bisheriges Verfahren" beschreibt der Beschwerdeführer die der vorliegenden Angelegenheit zugrunde liegenden Geschehnisse aus seiner Sicht und erklärt, dieseseien unbestritten und daher als erstellt zu betrachten. Soweit er die vorinstanzlichen Feststellungen zum Sachverhalt dabei ergänzt oder von diesen abweicht, bleibt dies unbeachtlich, da er insoweit nicht geltend macht, das Obergericht habe sich die Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorwerfen zu lassen.
3.
Umstritten ist, ob der Beschwerdeführer mit Blick auf die konkreten Zahlen der Beschwerdegegnerin nahelichen Unterhalt schuldet. Nicht strittig ist die grundsätzliche Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers und die Methode der Unterhaltsbemessung.
3.1. Die Vorinstanz rechnet der zur Zeit arbeitslosen Beschwerdegegnerin bis September 2026 ein hypothetisches Erwerbseinkommen von monatlich netto Fr. 3'000.-- an, ausgehend von einem Beschäftigungsgrad von 80 %. Ab Oktober 2026 geht die Vorinstanz von einem Beschäftigungsgrad von 100 % und einem Erwerbseinkommen von Fr. 3'750.-- aus. Diesem stellt sie einen Bedarf von Fr. 3'386.-- bis September 2026 und von Fr. 3'328.-- ab Oktober 2026 gegenüber. Dem Beschwerdeführer rechnet die Vorinstanz einen Bedarf von Fr. 3'878.-- bis September 2026 und von Fr. 3'958.-- ab Oktober 2026 an. Keine Berücksichtigung im Bedarf des Beschwerdeführers fanden seine geltend gemachten Aufwendungen für eine Haushaltshilfe und ein Privatfahrzeug. Ebenso wenig berücksichtigte die Vorinstanz, dass der Beschwerdeführer die Kinder seines verstorbenen Halbbruders unterstützt und geltend machte, Steuer- und Krankenkassenschulden abtragen zu müssen, die entstanden sind, nachdem über ihn mit Wirkung ab 2. Mai 2017 der Privakonkurs eröffnet worden ist.
3.2. Der Beschwerdeführer moniert die " [f]ehlende Berücksichtigung der Folgen der Beweislosigkeit für genügende Arbeitsbemühungen der Beschwer degegnerin bei der Festlegung von deren zumutbarem und möglichem hypothetischem Einkommen". Bereits in der Trennungsvereinbarung (2015) habe die Beschwerdegegnerin die Aufstockung ihres Arbeitspensums auf 80 % zugesichert. Solche Suchbemühungen seien nicht auszumachen. Vielmehr habe die Beschwerdegegnerin ihre Stelle beim Zürcher Frauenverein freiwillig und ohne Grund aufgegeben. Obwohl die Beschwerdegegnerin bereits 15 Jahre in der Schweiz lebe, habe sie sich viel zu wenig darum bemüht, Deutsch zu lernen. Dass die Beschwerdegegnerin längst Schweizerin sei, verschaffe ihr weitere Vorteile auf dem Arbeitsmarkt. Die Beschwerdegegnerin hätte durch genügende Bemühungen oder durch Steigerung des Pensums mindestens ein Einkommen von Fr. 3'500.-- monatlich netto erzielen können. Damit wäre es ihr ohne Probleme möglich, den vorinstanzlich festgestellten und nicht mehr bestrittenen Bedarf zu decken.
Weiter hält der Beschwerdeführer daran fest, dass der ganze Überschuss ihm zuzuweisen sei, weil er auf eine Haushaltshilfe und ein Privatfahrzeug, von dem auch die Tochter und die Beschwerdegegnerin profitierten, angewiesen sei und weil er die Kinder seines Halbbruders unterstütze und Schulden abzutragen habe.
3.3.
3.3.1. Mit seinen weitgehend appellatorischen Ausführungen versäumt es der Beschwerdeführer in grundsätzlicher Hinsicht, sich mit der vorinstanzlichen Begründung auseinanderzusetzen, wie dies <ref-law> von ihm verlangt. Stattdessen wiederholt er bloss seinen bereits im vorinstanzlichen Verfahren eingenommenen gegenteiligen Standpunktoder beschränkt er sich darauf, dem Bundesgericht seinen eigenen Standpunkt darzulegen, ohne sich hinreichend mit der Argumentation der Vorinstanz auseinanderzusetzen (vgl. vorne E. 2.1). Auf die Beschwerde ist daher mit Blick auf den nachehelichen Unterhalt grundsätzlich nicht einzutreten.
3.3.2. Ohnehin ist der angefochtene Entscheid nicht zu beanstanden:
Vorab nahm das Obergericht im Ausgangspunkt zutreffend an, dass von einer hälftigen Überschussverteilung auszugehen ist (vgl. Urteil 5A_333/2019 vom 6. Juli 2020 E. 5.2 mit Hinweisen). Sodann gilt für den nachehelichen Unterhalt das Primat der Eigenversorgung, weshalb der Zuspruch eines Unterhaltsbeitrages subsidiär zu dieser und nur geschuldet ist, soweit der gebührende Unterhalt bei zumutbarer Anstrengung nicht oder nicht vollständig durch Eigenleistung gedeckt werden kann (<ref-ruling> E. 5.2). Bei der Beurteilung der Eigenversorgungskapazität ist vom tatsächlich erzielten Einkommen auszugehen, aber ein höheres hypothetisches Einkommen anzurechnen, wenn die (Wieder-) Eingliederung in den Erwerbsprozess bzw. die Ausdehnung einer bestehenden Erwerbstätigkeit zumutbar und die Erzielung des hypothetisch anzurechnenden Einkommens tatsächlich möglich ist (<ref-ruling> E. 3.4.4; <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 2.3). Sind gemeinsame Kinder zu betreuen, bemisst sich die Zumutbarkeit einer Erwerbstätigkeit (auch) nach Massgabe des Schulstufenmodells (dazu im Einzelnen <ref-ruling> E. 4.7.6-4.7.8 und E. 4.8.2 a.E.).
Diese Grundsätze hat die Vorinstanz beachtet. Ausgehend vom Schulstufenmodell besteht kein Anlass, der Beschwerdegegnerin aktuell ein hypothetisches Erwerbseinkommen auf der Basis einer Beschäftigung von 100 % anzurechnen, woran auch eine frühere Erklärung, das Arbeitspensum erhöhen zu wollen, nichts ändert. Ebenso wenig ist der Vorinstanz vorzuwerfen, dass sie das hypothetische Einkommen nicht auf der Grundlage einer besser entlöhnten Anstellung bestimmte, da letztlich nicht bestritten ist, dass die Beschwerdegegnerin ein solches Einkommen nur mit besseren Sprachkenntnissen erzielen könnte. Hieran ändert auch die Schweizerische Staatsangehörigkeit der Beschwerdegegnerin nichts. Nach den nicht hinreichend beanstandeten und für das Bundesgericht daher verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (vgl. vorne E. 2.2) hat die Beschwerdegegnerin ihre Stelle bei ihrer früheren Arbeitgeberin auch nicht auf 80 % aufstocken und dabei ein Erwerbseinkommen von Fr. 3'500.-- erzielen können. Schliesslich übersieht der Beschwerdeführer, dass auch die von ihm zitierte Rechtsprechung (<ref-ruling>) die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens davon abhängig macht, dass ein solches Einkommen tatsächlich erzielt werden kann. Anders ist bloss zu entscheiden, wenn der zu Unterhalt verpflichtete Ehegatte seine Erwerbstätigkeit in Schädigungsabsicht aufgibt (BGE <ref-ruling> E. 3.4), was vorliegend nicht zur Debatte steht.
4.
Der Beschwerdeführer wehrt sich auch dagegen, Betreuungsunterhalt leisten zu müssen. Allerdings fehlt es auch diesbezüglich an einer nachvollziehbaren Begründung der Beschwerde. Namentlich macht der Beschwerdeführer nicht geltend, dass die Vorinstanz den Betreuungsunterhalt in Missachtung der bundesgerichtlichen Rechtsprechung berechnet hätte. Vielmehr begnügt er sich mit der Behauptung, dass mit Unterhaltsbeiträgen in der Höhe der Kinderrente bestens für den Unterhalt der Tochter gesorgt sei. Bloss zu behaupten, das angefochtene Urteil sei unangemesen und die Auslegung der Art. 276 Abs. 2 i.V.m. Art. 285 Abs. 1 und 2 ZGB sei falsch, genügt nicht, um das angefochtene Urteil in Frage zu stellen.
5.
Umstritten ist weiter der Vorsorgeausgleich.
5.1. Die Vorinstanz verweist auf das Urteil des Bezirksgerichts, das die Prinzipien des Vorsorgeausgleichs richtig dargestellt habe. Im vorliegenden Fall sei der Vorsorgeausgleich nach Massgabe von <ref-law> durch eine direkte Teilung der Rente vorzunehmen. Auch bei (Teil-) Invalidität komme es während der Ehe zu einem zu teilenden "Vorsorgezuwachs". Der Beschwerdeführer sei im Zeitpunkt der Eheschliessung (28. Oktober 2005) teilinvalid gewesen. Er habe bis zum Eintritt ins ordentliche Pensionsalter im September 2015 eine Invalidenrente bezogen. Die hypothetische Austrittsleistung nach <ref-law> beinhalte Gutschriften und Guthaben (samt Zins) aus der Weiterführung des Alterskontos nach Eintritt der Invalidität. Für den Beschwerdeführer als Bezüger einer Invalidenrente werde das Alterskonto während der Dauer der Invalitdität bis zum ordentlichen Pensionierungsalter weitergeführt. Dieses (passive) Guthaben werde mit Risikobeiträgen des Arbeitgebers gedeckt. Die solcherart solidarisch mit Risikobeiträgen geäufneten Vorsorgeguthaben seien nach Massgabe von <ref-law> während der Ehe erworben und unterlägen daher dem Vorsorgeausgleich. Eine Gesetzeslücke bestehe nicht.
Der Beschwerdeführer beziehe eine aus der Invalidenversicherung (IV) umgewandelte Altersrente von Fr. 1'488.05 und eine Altersrente in gleicher Höhe für den übrigen Teil des erworbenen Vorsorgeguthabens. Insgesamt betrage seine Rente damit Fr. 2'976.10. Gestützt auf Tabellen, die das Bundesamt für Sozialversicherungen entwickelt habe, entfielen davon 36 % auf den Zeitraum der Ehe, was einem Betrag von Fr. 1'071.39 entspreche. Die Beschwerdegegnerin habe Anspruch auf die Hälfte davon (Fr. 535.70).
5.2. Der Beschwerdeführer wiederholt seinen bereits vor der Vorinstanz eingenommenen Standpunkt, wonach in einem Fall wie dem vorliegenden (Leistungsprimat) kein Vorsorgeausgleich vorzunehmen sei, da er bereits im Zeitpunkt der Eheschliessung invalid gewesen sei. Entsprechend sei während der Ehe kein Guthaben geäufnet worden, das im Zeitpunkt der Scheidung geteilt werden könnte. Dies ergebe sich auch klar aus den Akten bzw. den Auskünften der Pensionskasse Publica. Diese sei gar nicht in der Lage aufzuzeigen, welche Beiträge nach der Verfügung der Rentenhöhe (bei Eintritt der hälftigen Invalidität des Beschwerdeführers) einbezahlt worden seien. Auf diese Vorbringen sei das Obergericht in Verletzung von <ref-law> nicht eingegangen.
Die richtige Anwendung von Art. 122 und Art. 124a und 124b ZGB führe bei der vorliegenden Ausgangslage klarerweise zum Schluss, dass kein zu teilendes Vorsorgeguthaben und keine zu teilenden Rentenansprüche während der Ehedauer entstanden seien, wofür die Beschwerdegegnerin erst noch beweispflichtig wäre. Allenfalls sei von einer Gesetzeslücke auszugehen, die der Richter modo legislatoris zu füllen habe, wobei alle Aspekte des Einzelfalls zu berücksichtigen wären. Er, der Beschwerdeführer, sei mit Wirkung ab dem 1. August 2005 rentenberechtigt gewesen. Er sei von Beginn der Ehe an zu 50 % zuhause gewesen und habe die Tochter betreut. Diese sehr enge Vater-Kindbeziehung sei auch die Grundlage für die lange einvernehmliche geteilte Obhut gewesen. Der Sinn und Zweck der Vorsorgeteilung sei im vorliegendem Fall gerade nicht erfüllt. Vielmehr widerspreche eine Teilung der Rente fundamental dem gesamten System des Vorsorgeausgleichs.
Ebenso wichtig sei in tatsächlicher Hinsicht der grosse Altersunterschied zwischen den Parteien. Gerade dieser sei regelmässig ein Grund, um von der hälftigen Teilung der Vorsorgeguthaben bzw. hier der erworbenen Rente abzusehen. Aus wichtigen Gründen bzw. wegen Unbilligkeit und Unzumutbarkeit sei ein solches Vorgehen möglich. Die Beschwerdegegnerin, die einen invaliden Mann geheiratet habe, habe nicht erwarten dürfen, dass noch eine Rente erworben werden könnte. Die Vorsorge der Beschwerdegegnerin sei auch ohne Vorsorgeausgleich gewährleistet.
Für den Fall, dass das Bundesgericht anders entscheide, sei ein Gutachten des Bundesamtes für Sozialversicherungen (BSV) einzuholen, das sich zur effektiven Erhöhung des Rentenanspruchs während der Zeit der Ehe äussere. Ein solches habe er vergeblich bei der Vorinstanz beantragt, was ihm in Verletzung von <ref-law> verwehrt worden sei.
5.3.
5.3.1. Auch in diesem Zusammenhang formuliert der Beschwerdeführer eine weitgehend appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid und stellt diesem seine eigene Würdigung der Sachlage gegenüber, ohne dass er damit hinreichend genau aufzeigen würde, dass das Obergericht Bundesrecht verletzt hätte (vgl. vorne E. 2.1). Auch hier kann der Vorinstanz eine derartige Rechtsverletzung aber nicht vorgeworfen werden:
5.3.2. Der Beschwerdeführer irrt, wenn er glaubt, es seien vorliegend keine während der Ehe erworbenen und daher nach <ref-law> auszugleichenden Ansprüche aus der beruflichen Vorsorge erworben worden. Nach dem Konzept des Gesetzes ist ein Vorsorgeausgleich nicht nur nach dem Eintritt eines Vorsorgefalls möglich, sondern wird die Altersvorsorge auch in der Zeit weiter aufgebaut, während der ein Ehegatte eine Invalidenrente bezieht. Dies ergibt sich unmittelbar aus <ref-law>, wonach sich die massgebende Austrittsleistung nach Art. 2 Abs. 1ter FZG (SR 831.42) berechnet, wenn ein Ehegatte im Zeitpunkt der Einleitung des Scheidungsverfahrens eine Invalidenrente bezieht (JUNGO/GRÜTTER, FamKomm Scheidung, Bd. I, 3. Aufl. 2017, N. 29 zu <ref-law>; GEISER/WALSER, Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 6. Aufl. 2018, N. 10 zu <ref-law>). Nichts anderes gilt, wenn der invalide Ehegatte im Zeitpunkt der Einleitung des Scheidungsverfahrens bereits das reglementarische Rentenalter erreicht hat und eine Alters- oder Invalidenrente bezieht. Einschlägig ist in diesem Fall <ref-law>. Danach entscheidet das Gericht nach Ermessen über die Teilung der Rente, wobei es die Dauer der Ehe berücksichtigt. Eine Gesetzeslücke ist nicht auszumachen (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.5; <ref-ruling> E. 5.1).
Zur Schätzung des ehelichen Teils der Altersrente hat die Vorinstanz zutreffend auf die Tabelle in Anhang 1 der Botschaft zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches (Vorsorgeausgleich bei Scheidung) vom 29. Mai 2013 (BBl 2013 4887) Bezug genommen. Gestützt darauf hat sie den auf die Ehe entfallenden Rentenanteil auf 36 % Prozent (Fr. 535.70) bestimmt. Entsprechend hatte sie auch keine Veranlassung, weitergehende Abklärungen bei der Vorsorgeeinrichtung des Beschwerdeführers vorzunehmen, was den Aufbau der beruflichen Vorsorge während der Ehe betrifft. Zu Recht hat sie auch den Antrag des Beschwerdeführers abgewiesen, beim BSV ein entsprechendes Gutachten einzuholen. Insoweit ist auch nicht ersichtlich, dass sich das Obergericht zu wenig mit den Arguementen des Beschwerdeführers auseinandergesetzt hätte; eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) ist nicht zu erkennen.
5.3.3. Die Vorinstanz hat die für den zu treffenden Ermessensentscheid massgeblichen Parameter - neben dem Alter geht es dabei um die jeweiligen Vorsorgebedürfnisse der Parteien - sorgfältig erhoben und gestützt darauf das Urteil des Bezirksgerichts bestätigt, wonach der Beschwerdeführer von seiner Altersrente von Fr. 2'976.10 den Betrag von Fr. 535.70 an seine Ehefrau abtreten muss. Dass die Vorinstanz mit diesem Entscheid das ihr zustehende Ermessen in irgendeiner Form überschritten oder missbraucht hat, ist nicht auszumachen. Dafür genügt es nicht, den vorinstanzlichen Entscheid als unbillig zu bezeichnen, auf den grossen Altersunterschied der Parteien zu verweisen, die Rente von Fr. 2'970.-- als "existenzsichernd" zu bezeichnen und zu behaupten, dass die Beschwerdegegnerin, die einen Invaliden heiratete, keine begründete Erwartungen auf eine entsprechende Rente haben konnte. Allein die Tatsache, dass die Beschwerdegegnerin noch zwanzig Jahre Zeit hat, ihre berufliche Vorsorge zu äufnen, während der Beschwerdeführer keine Möglichkeit des Wiedereinkaufs hat, lässt den Vorsorgeausgleich nicht als unangemessen erscheinen.
6.
Umstritten ist schliesslich, ob die Vorinstanz dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege verweigern durfte.
6.1. Die Vorinstanz hat die unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahrens mit doppelter Begründung abgewiesen. Zum einen erwägt sie, dass der Beschwerdeführer seine Bedürftigkeit nicht in rechtsgenüglicher Weise dargetan habe. Dafür genüge der pauschale Verweis auf die der ersten Instanz vorgelegten Akten und eine Sammelbeilage nicht. Auch die allgemein gehaltenen Ausführungen des Beschwerdeführers in seiner Stellungnahme zur Anschlussberufung vom 5. März 2021 zu seiner finanziellen Situation und die nachgereichten Beilagen änderten daran nichts. Zum andern bezeichnet die Vorinstanz den Standpunkt des Beschwerdeführers in Bezug auf den Vorsorgeausgleich als von Anfang an aussichtslos. Mit Ausnahme der niedrigen Wohnkosten der Beschwerdegegnerin und der Tochter, welche unbestritten gewesen seien, führe der Beschwerdeführer nichts von Belang an, das zu einem anderen Ergebnis hätte führen können.
6.2. Der Beschwerdeführer weist darauf hin, dass ihm die erste Instanz die unentgeltliche Rechtspflege gewährt habe und er unbestrittermassen auch im Berufungsverfahren auf anwaltliche Unterstützung angewiesen gewesen sei. Aus dem erstinstanzlichen Urteil ergebe sich, dass beide Parteien gleichermassen in knappen Verhältnissen leben würden. Indizien auf eine Veränderung, ja Verbesserung seiner wirtschaftlichen Verhältnisse hätten keine bestanden. In dieser Situation hätte die Vorinstanz das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht abweisen dürfen. Die Vorinstanz behaupte denn auch gar nicht, dass er nicht bedürftig sei. Auch sei seine Berufung nicht als aussichtslos zu qualifizieren, was sich schon daraus ergebe, dass er in einem Punkt Recht bekommen habe. Im Übrigen habe die Vorinstanz nur seinen Rechtsstandpunkt in Sachen Vorsorgeausgleich als aussichtslos bezeichnet. Dies genüge nicht, um das Gesuch integral als aussichtslos zu bezeichnen.
6.3. Eine Person hat Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und ihr Rechtsbegehren nicht als aussichtslos erscheint (<ref-law>). Die gesuchstellende Person hat ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse darzulegen (<ref-law>; Urteil 5A_952/2019 vom 2. Dezember 2020 E. 12.3 mit Hinweisen). Im Rechtsmittelverfahren ist die unentgeltliche Rechtspflege neu zu beantragen (<ref-law>). Eine Person ist bedürftig, wenn sie nicht in der Lage ist, für die Prozesskosten aufzukommen, ohne dass sie Mittel beanspruchen muss, die zur Deckung des Grundbedarfs für sie und ihre Familie notwendig sind. Bei der Prüfung der Mittellosigkeit hat die entscheidende Behörde der gesamten wirtschaftlichen Situation der gesuchstellenden Person im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs Rechnung zu tragen (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 5.1).
Vorliegend wirft die Vorinstanz dem Beschwerdeführer vor, den Nachweis der Bedürftigkeit nicht erbracht zu haben, indem er die Belege nicht exakt bezeichnet habe, aus denen die Vorinstanz auf seine Bedürftigkeit hätte schliessen müssen (vgl. allgemein zum Bedürftigkeitsnachweis <ref-ruling> E. 4a; <ref-ruling> E. 3a; Urteile 2C_367/2020 vom 7. Oktober 2020 E. 3.3; 5A_716/2018 vom 27. November 2018 E. 3.2). Der Beschwerdeführer setzt dieser Begründung bloss die Behauptung entgegen, dass die Bedürftigkeit bereits durch den Inhalt des erstinstanzlichen Urteils nachgewiesen werde. Dies trifft nicht zu, womit die Beschwerde sich insoweit ohne weiteres als unbegründet erweist. Durfte die Vorinstanz das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren mangels Nachweises der Bedürftigkeit abweisen, so erübrigt es sich, auf die Frage der Prozessaussichten einzugehen. Inwiefern die Vorinstanz mit ihrem Entscheid wie ausserdem geltend gemacht das Rechtsgleichheitsgebot (<ref-law>) verletzt haben könnte, begründet der Beschwerdeführer nicht in einer Art und Weise, die dem Rügeprinzip genügen würde (vgl. vorne E. 2.1). Dieses verfassungsmässige Recht richtet sich ohnehin allein an den Staat und entfaltet keine direkte Drittwirkung zwischen den Parteien (<ref-ruling> E. 5.1).
7.
Der Beschwerdeführer wehrt sich schliesslich dagegen, dass ihm die Vorinstanz die Kosten des Berufungsverfahrens von Fr. 3'200.-- auferlegte. Auch ist er der Meinung, dass die Vorinstanz der Beschwerdegegnerin keine oder dann nur eine viel geringere Parteientschädigung hätte zusprechen dürfen. Die dagegen vorgetragene Kritik ist appellatorisch und lässt keine irgendwie geartete Auseinandersetzung mit den einschlägigen rechtlichen Grundlagen erkennen. So übersieht der Beschwerdeführer, dass die Kantone die Tarife für die Prozesskosten festsetzen (<ref-law>), weshalb er vor Bundesgericht nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte namentlich Willkür rügen kann (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 1.2). Auf den Antrag, die Parteientschädigung auf höchstens Fr. 1'000.-- festzusetzen, falls die Beschwerde in der Sache abgewiesen wird, ist daher nicht einzutreten.
8.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Der Beschwerdeführer hat entsprechend diesem Ausgang des Verfahrens für die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens aufzukommen. Dies gilt auch für die Kosten des Verfahrens um aufschiebende Wirkung. Keine Kosten erhoben werden für dieses Verfahren indes soweit das sinngemässe Gesuch der Beschwerdegegnerin um einen Prozesskostenvorschuss betreffend (<ref-law>). Weiter hat der Beschwerdeführer der Beschwerdegegnerin für dieses Verfahren eine Parteientschädigung auszurichten. Da in der Sache keine Vernehmlassungen eingeholt wurden (vorne Bst. C), sind der Beschwerdegegnerin insoweit dagegen keine entschädigungspflichtigen Kosten angefallen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren ist abzuweisen, da die Beschwerde nach dem Ausgeführten von Anfang an als aussichtslos angesehen werden muss (<ref-law>). Gutzuheissen ist dagegen das entsprechende Gesuch der Beschwerdegegnerin, soweit es mangels Kostenpflicht nicht gegenstandslos geworden ist. Obgleich der Beschwerdegegnerin eine Entschädigung für das bundesgerichtliche Verfahren zugesprochen wird, hat sie dabei diesbezüglich nach wie vor ein Interesse an der Behandlung ihres Gesuchs, da aufgrund der wirtschaftlichen Verhältnisse des Beschwerdeführers zweifelhaft erscheint, ob sie diese Entschädigung wird erhältlich machen können. Aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen ist sie unter diesen Umständen nur, wenn sich ihre Entschädigung durch den Beschwerdeführer als nicht einbringlich erweisen sollte. Die Beschwerdegegnerin wird darauf hingewiesen, dass sie bei Inanspruchnahme der unentgeltlichen Rechtspflege der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie dazu später in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, und es wird ihr Rechtsanwältin Manuela B. Vock als unentgeltliche Rechtsbeiständin beigegeben.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin mit Fr. 500.-- zu entschädigen. Im Fall der Uneinbringlichkeit wird die Beschwerdegegnerin aus der Bundesgerichtskasse entschädigt.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, mitgeteilt.
Lausanne, 30. März 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber