Faits :
A.
Par ordonnance pénale du 20 août 2013, le Préfet du district du Jura-Nord vaudois (ci-après : le Préfet) a condamné X._, pour violation simple des règles de la circulation routière, à une amende de 800 francs.
A la suite de l'opposition formée par le prénommé contre cette ordonnance pénale et de son audition, le Préfet a, le 14 novembre 2013, rendu une ordonnance de classement. Le 18 novembre 2013, le Procureur général du canton de Vaud (ci-après : le Procureur général) a refusé d'approuver cette ordonnance de classement, estimant que les auditions de A._, de B._ et de C._ étaient indispensables.
Après avoir entendu les derniers nommés, le Préfet a, le 22 janvier 2014, rendu une ordonnance pénale par laquelle il a condamné X._, pour violation simple des règles de la circulation routière, à une amende de 800 francs.
Le 3 février 2014, ce dernier a formé opposition contre cette ordonnance pénale. Le lendemain, le Préfet a décidé de maintenir celle-ci et a transmis le dossier de la cause au Tribunal de police de l'arrondissement de la Broye et du Nord vaudois (ci-après : le Tribunal de police) comme objet de sa compétence, l'ordonnance pénale tenant lieu d'acte d'accusation.
Par courrier du 14 février 2014, le Procureur général a formé opposition contre l'ordonnance pénale du 22 janvier 2014 et a demandé au Préfet de faire application de l'<ref-law> afin de lui transmettre le dossier de la cause.
Par courrier du 17 février 2014, X._ a indiqué retirer les oppositions formées contre les ordonnances pénales des 20 août 2013 et 22 janvier 2014.
Le 19 février 2014, le Préfet a transmis le dossier de la cause au Procureur général.
Par prononcé du 2 septembre 2014, le Tribunal de police a constaté que l'opposition formée le 14 février 2014 par le Procureur général contre l'ordonnance pénale du 22 janvier 2014 était valable et a renvoyé le dossier de la cause au Ministère public central pour que ce dernier modifie l'accusation.
Par arrêt du 3 novembre 2014, la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal vaudois a rejeté le recours formé par X._ contre le prononcé du Tribunal de police. Elle a confirmé la validité de l'opposition et le renvoi du dossier au Ministère public central. Par arrêt du 11 janvier 2016 (6B_194/2015), le Tribunal fédéral a déclaré irrecevable le recours formé par X._ contre cet arrêt.
Par acte d'accusation du 13 décembre 2016, le Ministère public central a engagé l'accusation contre X._ auprès du Tribunal de police, pour violation grave des règles de la circulation routière.
B.
Par jugement du 24 février 2017, rectifié par prononcé du 13 mars 2017, le Tribunal de police a condamné X._, pour violation grave des règles de la circulation routière, à une peine pécuniaire de 60 jours-amende à 50 fr. le jour, avec sursis pendant deux ans, ainsi qu'à une amende de 800 francs.
C.
Par jugement du 14 août 2017, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois a rejeté l'appel formé par X._ contre ce jugement et a intégralement confirmé celui-ci.
La cour cantonale a retenu les faits suivants.
X._, né en 1960, est officier de carrière dans l'armée suisse. Il est divorcé et père de deux filles. Son casier judiciaire et son extrait ADMAS ne révèlent aucune inscription.
Le 10 juin 2013, sur l'autoroute A1 entre D._ et la place de E._, X._, alors qu'il circulait sur la voie de gauche en direction de F._, au volant de son véhicule, à une vitesse comprise entre 90 et 110 km/h, suivait de très près la voiture conduite par A._. Peu avant l'aire de ravitaillement de E._, il a, en slalomant entre les véhicules, dépassé par la droite l'automobile de la prénommée puis, dans le but de dépasser un camion circulant devant lui, s'est replacé sur la voie de gauche, à une distance insuffisante du véhicule de A._, soit en lui faisant une "queue de poisson". Cette manoeuvre a contraint cette dernière à freiner énergiquement et à se déporter sur la bande herbeuse centrale pour éviter la collision. A._ a alors perdu la maîtrise de son véhicule, lequel est parti en "tête-à-queue" pour finir sa course contre le muret central. X._ a quant à lui quitté les lieux de l'accident, sans avoir laissé ses coordonnées ni avisé la police, poursuivant sa route en direction de F._.
D.
X._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 14 août 2017, en concluant, avec suite de frais et dépens, principalement à sa réforme en ce sens qu'il est acquitté. Subsidiairement, il conclut à son annulation et à ce qu'il soit constaté que l'ordonnance pénale du 20 août 2013, subsidiairement celle du 22 janvier 2014, est définitive et exécutoire. Plus subsidiairement, il conclut à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour complément d'instruction et nouvelle décision.
E.
Invités à se déterminer, la cour cantonale s'est référée aux considérants du jugement attaqué, tandis que le ministère public a conclu au rejet du recours. Ces déterminations ont été communiquées au recourant, lequel a formulé des observations à leur égard.

Considérant en droit :
1.
Dans une section de son mémoire de recours intitulée "de l'arbitraire dans l'établissement des faits et l'appréciation des preuves", le recourant adresse diverses critiques au jugement attaqué. On ne voit cependant pas en quoi celles-ci concernent l'état de fait de la cour cantonale, l'argumentation du recourant s'attachant à des questions de procédure. Celui-ci ne formule à cet égard aucun grief répondant aux exigences de motivation des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF.
2.
Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir violé les art. 354, 355 et 356 CPP. Selon lui, le Préfet n'aurait pas pu rendre une nouvelle ordonnance pénale, le 22 janvier 2014, dont le contenu était identique à celui de l'ordonnance pénale du 20 août 2013. Le recourant soutient par ailleurs que l'ordonnance précitée serait entrée en force, dès lors que le Procureur général ne s'y est pas opposé.
2.1. Selon l'<ref-law>, la Confédération et les cantons peuvent déléguer la poursuite et le jugement de contraventions à des autorités administratives.
Aux termes de l'<ref-law>, la Confédération et les cantons peuvent disposer que les ordonnances de classement doivent être approuvées par un premier procureur ou par un procureur général.
Peut notamment former opposition contre une ordonnance pénale devant le ministère public, par écrit et dans les dix jours, si cela est prévu, le premier procureur ou le procureur général de la Confédération ou du canton, dans le cadre de la procédure pénale pertinente (art. 354 al. 1 let. c CPP). Si aucune opposition n'est valablement formée, l'ordonnance pénale est assimilée à un jugement entré en force (<ref-law>).
Selon l'<ref-law>, en cas d'opposition, le ministère public administre les autres preuves nécessaires au jugement de l'opposition. Aux termes de l'<ref-law>, après l'administration des preuves, le ministère public décide de maintenir l'ordonnance pénale (let. a), de classer la procédure (let. b), de rendre une nouvelle ordonnance pénale (let. c) ou de porter l'accusation devant le tribunal de première instance (let. d).
L'<ref-law> dispose que lorsqu'il décide de maintenir l'ordonnance pénale, le ministère public transmet sans retard le dossier au tribunal de première instance en vue des débats. L'ordonnance pénale tient lieu d'acte d'accusation (al. 1). Le tribunal de première instance statue sur la validité de l'ordonnance pénale et de l'opposition (al. 2). L'opposition peut être retirée jusqu'à l'issue des plaidoiries (al. 3).
2.2. La cour cantonale a exposé qu'entre la notification de l'ordonnance pénale du 20 août 2013 et celle du 22 janvier 2014, le Préfet avait, le 14 novembre 2013, rendu une ordonnance de classement. Même si cette ordonnance n'avait pas été approuvée par le Procureur général et n'était pas entrée en force, elle avait impliqué l'application, par le Préfet, de l'<ref-law>. Le refus d'approbation de cette ordonnance avait eu pour effet de mettre celle-ci à néant et d'imposer au Préfet une nouvelle instruction, soit en l'occurrence l'audition de trois personnes, puis le prononcé d'une nouvelle décision, propre à remplacer toutes les précédentes. Or, après avoir procédé aux auditions en question, le Préfet avait rendu l'ordonnance pénale du 22 janvier 2014, laquelle était, selon l'autorité précédente, parfaitement valable. Compte tenu de cette nouvelle décision, un retrait de l'opposition contre l'ordonnance pénale du 20 août 2013 n'était plus envisageable. Le retrait d'opposition annoncé par le recourant le 17 février 2014 avait ainsi été inopérant. Selon la cour cantonale, l'ordonnance pénale du 20 août 2013 n'était donc pas devenue définitive et exécutoire.
2.3. Le raisonnement de la cour cantonale ne peut être suivi.
En effet, le CPP permet aux cantons de prévoir que les ordonnances de classement doivent être approuvées par un premier procureur ou par un procureur général (cf. <ref-law>). Il dispose également que le premier procureur ou le procureur général peut, lorsque l'organisation judiciaire cantonale le prévoit, former opposition contre une ordonnance pénale devant le ministère public, par écrit et dans les dix jours (cf. art. 354 al. 1 let. c CPP). Le CPP ne dit rien s'agissant de l'éventuelle possibilité, pour un premier procureur ou un procureur général, de s'opposer au maintien d'une ordonnance pénale au sens de l'<ref-law>. Un tel silence se comprend, puisque cette autorité peut, sur la base de l'art. 354 al. 1 let. c CPP, s'opposer d'emblée à une ordonnance pénale rendue par le ministère public ou par les autorités pénales compétentes en matière de contraventions.
En l'espèce, il ne ressort pas du jugement attaqué que le Procureur général aurait, dans le délai et selon les formes prévus par l'<ref-law>, formé opposition contre l'ordonnance pénale du 20 août 2013. Seul le recourant a fait usage de ce droit. Dans ses déterminations, le ministère public indique que, selon une directive du Procureur général vaudois, toutes les ordonnances de classement préfectorales sont soumises au contrôle du Ministère public central, tandis que les ordonnances pénales préfectorales ne sont soumises à un tel contrôle que lorsqu'elles emportent une condamnation à une amende supérieure à 1'000 francs. Cela explique, selon lui, que l'ordonnance pénale du 20 août 2013 - de même que celle du 22 janvier 2014 - ne fût pas soumise au contrôle du Procureur général avant le 6 février 2014. Cette argumentation est inopérante, dès lors qu'il ne s'agit pas, en l'espèce, de se prononcer sur l'effectivité et l'opportunité du contrôle effectué par le Procureur général, mais de déterminer le sort de l'ordonnance pénale du 20 août 2013 après que le Préfet eut ordonné le classement de la procédure le 14 novembre 2013, respectivement de définir si une opposition aurait pu valablement être formée par le Procureur général contre l'ordonnance pénale précitée.
Après avoir administré des preuves au sens de l'<ref-law>, le Préfet a souhaité rendre une ordonnance de classement. Le Procureur général, conformément à l'<ref-law>, a refusé d'y donner son approbation. Cela ne signifie cependant pas que le Préfet devait dès lors, comme l'a indiqué la cour cantonale, nécessairement rendre une nouvelle ordonnance pénale au sens de l'art. 355 al. 3 let. c CPP. En effet, l'approbation d'une ordonnance de classement constitue un acte de nature administrative (cf. MOREILLON/PAREIN-REYMOND, Petit commentaire, Code de procédure pénale, 2e éd. 2017, n° 2 ad <ref-law>; ROBERT ROTH, in Commentaire romand, Code de procédure pénale, 2011, n° 5 ad <ref-law>), interne aux autorités et auquel est subordonnée la validité du classement (cf. SCHMID/JOSITSCH, Handbuch des schweizerischen Strafprozessrechts, 3e éd. 2017, n° 1260; GRÄDEL/HEINIGER, in Basler Kommentar zur Schweizerische Strafprozessordnung - Jugendstrafprozessordnung, 2e éd. 2014, n° 2 ad <ref-law>; LANDSHUT/BOSSHARD, in Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung [StPO], 2e éd. 2014, n° 5 ad <ref-law>). En l'occurrence, aucun classement n'a ainsi été valablement prononcé, de sorte qu'après le refus d'approbation de l'ordonnance de classement, le 18 novembre 2013, l'administration des preuves nécessaires au jugement de l'opposition du recourant - au sens de l'<ref-law> - s'est poursuivie avec les auditions réclamées par le Procureur général. Au terme de l'administration de ces preuves, le Préfet devait procéder selon l'une des quatre hypothèses évoquées à l'<ref-law>.
La délivrance d'une nouvelle ordonnance pénale - au sens de l'art. 355 al. 3 let. c CPP - suppose, au terme de l'administration des preuves nécessaires au jugement de l'opposition, une modification de l'état de fait susceptible d'influencer la qualification de l'infraction ou la quotité de la peine, ou encore une nouvelle qualification juridique des mêmes faits (cf. arrêt 6B_248/2015 du 13 mai 2015 consid. 4.1). Une nouvelle ordonnance pénale dont l'état de fait et l'appréciation juridique seraient identiques à ceux de la précédente ne se justifie pas (cf. dans ce sens SCHMID/JOSITSCH, op. cit., n° 1368; MOREILLON/ PAREIN-REYMOND, op. cit., n° 14 ad <ref-law>; CHRISTIAN SCHWARZENEGGER, in Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung [StPO], op. cit., n° 5 ad <ref-law>; JO PITTELOUD, Code de procédure pénale suisse, 2012, n° 998 ad <ref-law>; PIQUEREZ/MACALUSO, Procédure pénale suisse, 3e éd. 2011, n° 1730; GILLIÉRON/KILLIAS, in Commentaire romand, Code de procédure pénale, op. cit., n° 7 ad <ref-law>) et doit être interprétée comme le simple maintien de celle-ci au sens de l'<ref-law>.
En l'occurrence, l'ordonnance pénale du 22 janvier 2014, tout comme celle du 20 août 2013, comprend l'état de fait suivant :
"[Le recourant a] circulé au volant du véhicule automobile immatriculé xxxxxx à une distance insuffisante pour circuler en file et sans vouer toute son attention à la route et à la circulation. De plus, il a dépassé un véhicule par la droite et s'est déplacé vers la gauche sans égard envers les autres usagers. Impliqué dans un accident, il ne s'est pas arrêté immédiatement."
Les deux ordonnances en question énumèrent, à titre d'infractions commises, les art. 34 al. 3 et 4, 35 al. 1 et 3, 51 al. 1 LCR ainsi que les art. 3 al. 1, 8 al. 3 et 12 al. 1 OCR. Elles emportent toutes deux une condamnation, pour violation simple des règles de la circulation routière au sens de l'<ref-law>, à une amende de 800 francs. Partant, il convient d'admettre, au vu des développements qui précèdent, que, par l'ordonnance du 22 janvier 2014, le Préfet a - conformément à l'<ref-law> - entendu maintenir l'ordonnance pénale du 20 août 2013.
En définitive, seul subsistait alors l'ordonnance pénale du 20 août 2013, contre laquelle le Procureur général - forclos - ne pouvait plus faire opposition. Le recourant disposait en revanche de la faculté de retirer l'opposition formée contre cette ordonnance pénale, ce qu'il a fait par courrier du 17 février 2014. Dès lors, l'ordonnance pénale du 20 août 2013 devait être assimilée à un jugement entré en force (cf. arrêts 6B_783/2017 du 12 mars 2018 consid. 3.2; 6B_516/2016 du 4 août 2016 consid. 2.3). Ce résultat apparaît au demeurant conforme à la procédure de l'ordonnance pénale, dans laquelle le prévenu qui seul forme opposition contre une telle ordonnance conserve - conformément à l'<ref-law> - la possibilité de retirer celle-ci jusqu'à l'issue des plaidoiries devant le tribunal de première instance, notamment s'il redoute le prononcé d'une décision lui étant plus défavorable que l'ordonnance pénale à laquelle il s'est opposé. Le prévenu ne doit ainsi pas craindre, en formant seul opposition contre une ordonnance pénale, de provoquer l'intervention du premier procureur ou du procureur général de la Confédération ou du canton, au risque de ne plus pouvoir retirer ladite opposition.
Il découle de ce qui précède que le recours doit être admis, le jugement attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale afin qu'elle rende une nouvelle décision tenant compte de ce que l'ordonnance pénale du 20 août 2013 constitue un jugement entré en force.
3.
Le recours doit être admis, le jugement attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. Le recourant, qui obtient gain de cause, ne supportera pas de frais judiciaires (<ref-law>) et peut prétendre à de pleins dépens, à la charge du canton de Vaud (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis, le jugement attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le canton de Vaud versera au recourant une indemnité de 3'000 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 16 novembre 2018
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Graa