Faits:
A.
A.a. Le 13 décembre 2018, la Ville de U._ a déposé plainte pénale contre inconnu pour violation du secret de fonction (<ref-law>) à la suite de la diffusion par les médias d'un rapport d'audit en lien avec les frais professionnels du personnel (cause P/-/2018); trois conseillers municipaux, dont A._, avaient récupéré leur exemplaire de manière anticipée.
Sur délégation du Ministère public de la République et canton de Genève, A._ a été entendu, en qualité de personne appelée à donner des renseignements, par la Brigade des délits contre les personnes de la police judiciaire (ci-après : BDP) le 6 juin 2019; un rapport, établi par le policier B._, a été adressé le 14 suivant au Ministère public. A._ ayant autorisé la perquisition de ses appareils électroniques, un rapport du 12 décembre 2019 - signé par le policier B._ - a relevé deux échanges de messages; le premier faisait peser de forts soupçons sur A._ en lien avec la transmission du rapport d'audit, tandis que le second "permettait de conclure que A._ avait transmis des informations tirées du journal de police à un tiers, sans autorisation". Le Ministère public a dès lors rendu un mandat d'amener, ainsi que cinq ordonnances de perquisition et de séquestre visant la place de travail, les domiciles potentiels et les appareils électroniques de A._, mesures à exécuter par la BDP assistée de l'Inspection générale des services (ci-après : IGS); un rapport d'exécution a été établi par le policier B._ le 13 décembre 2019. A._ a également été entendu ce même jour par la BDP. Le 15 juillet 2020, le policier B._ a rendu un rapport relatif à l'analyse du matériel informatique saisi; il en ressortait notamment qu'un message avait été adressé à A._ le 10 décembre 2018 par un journaliste, ce dernier indiquant son intérêt à obtenir le "rapport sur les notes de frais". Sur mandat du Ministère public, l'IGS a établi, le 4 septembre 2020, un rapport portant exclusivement sur l'infraction examinée en lien avec la qualité de collaborateur de la police de A._.
Le 16 novembre 2020, le Ministère public a rendu une ordonnance de classement partiel s'agissant des reproches adressés à A._ en tant que collaborateur de la police, décision contre laquelle ce dernier a recouru auprès de la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après : la Chambre pénale de recours). Par ordonnance pénale du 16 novembre 2020, A._ a été reconnu coupable de violation du secret de fonction (<ref-law>) en lien avec la transmission du rapport d'audit; en référence au rapport du 15 juillet 2020 précité, il y est constaté que le "courriel expédié le 10 décembre 2018, à 10h52, par [un] journaliste [...] montr[ait] que A._ [était] manifestement connu des rédactions pour constituer une source d'informations, qu'elles soient confidentielles ou non". Le prévenu a fait opposition et la cause a été transmise au Tribunal de police.
A.b. Par acte du 3 mars 2020, A._ a déposé plainte pénale contre le policier B._ et inconnus pour abus d'autorité (<ref-law>), dénonciation calomnieuse (<ref-law>), induction de la justice en erreur (<ref-law>) et violation du secret de fonction (<ref-law>; cause P/-/2020).
B.
Par courrier du 26 octobre 2020 adressé au Ministère public, A._ a demandé la récusation du policier B._, ainsi que de tous les membres de la BDP ayant participé à la "mascarade du vendredi 13 décembre 2019". En substance, A._ reprochait au policier d'avoir établi le rapport du 15 juillet 2020, alors qu'il connaissait l'existence de la plainte pénale du 3 mars 2020 déposée à son encontre, vu son évocation dans les médias par A._. Selon ce dernier, l'échange de messages relevé dans ce rapport ne démontrerait "en rien" la violation du secret de fonction. A._ a également précisé avoir pris connaissance de ce rapport le 20 octobre 2020 en consultant le dossier; il ne demandait pas son annulation, afin d'éviter d'allonger la procédure.
Le policier B._ s'en est remis à justice, contestant cependant les reproches de partialité formulés par A._.
Par ordonnance du 1er décembre 2020, le Ministère public a déclaré irrecevable la demande de récusation visant des policiers non désignés de la BDP pour les actes du 13 décembre 2019, en raison de son dépôt tardif; il a ensuite rejeté celle relative au policier B._. Le 10 février 2021, le Tribunal fédéral a admis le recours formé par A._ contre le rejet de sa demande de récusation du policier B._; le premier précité n'avait en effet pas été invité à se déterminer sur les déterminations du second (cause 1B_649/2020).
A la suite de la reprise de la procédure, A._ a pu prendre connaissance des observations du policier, puis a déposé des déterminations le 15 mars 2021.
Le 4 mai 2021, le Ministère public a rejeté la requête de récusation formée par A._ contre le policier B._ (ch. 2) et condamné le premier précité aux frais de procédure (510 fr. [ch. 3]).
C.
Par acte du 4 juin 2021, A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre cette ordonnance, concluant à l'annulation des chiffres 2 et 3 de son dispositif, à l'admission de sa demande de récusation concernant le policier B._ dans la procédure P/-/2018 et à ce qu'il soit dit "que le policier B._ ne pourra plus effectuer le moindre acte d'enquête à [son] encontre [...] dans la procédure P/-/2018 ainsi que dans toute autre procédure qui pourrait être ouverte à l'avenir". A titre subsidiaire, le recourant demande, en sus de l'annulation des chiffres 2 et 3 du dispositif, le renvoi de la cause à l'autorité précédente et, encore plus subsidiairement, à l' "acheminer [...] à prouver par toutes voies de droit utiles l'entier des faits allégués dans les présentes écritures".
Le Ministère public a conclu au rejet du recours. Invité à se déterminer, le policier B._ (ci-après : le policier intimé) n'a pas déposé d'observations. Le 16 août 2021, le recourant a persisté dans ses conclusions.

Considérant en droit:
1.
Conformément aux art. 78 et 92 al. 1 LTF, une décision incidente relative à la récusation dans le cadre d'une procédure pénale peut faire immédiatement l'objet d'un recours en matière pénale. Selon l'<ref-law>, le litige relatif à la récusation est tranché de manière définitive par le ministère public lorsque la police est concernée; le ministère public agit ainsi en tant que dernière instance cantonale au sens de l'<ref-law> (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1 p. 223 s.).
Dans la mesure où le recourant a renoncé expressément à obtenir l'annulation des actes de procédure effectués par le policier intimé dans la cause P/-/2018, sa requête ne vise donc qu'une intervention future du policier intimé notamment dans la cause précitée. Eu égard au stade de la procédure - terminée s'agissant du recours contre le classement partiel vu l'arrêt de la Chambre pénale de recours du 24 août 2021 (<ref-law>) et pendante devant le Tribunal de police vu l'opposition à l'ordonnance pénale -, une nouvelle intervention du policier intimé dans le cadre de l'instruction semble en l'état relever de l'hypothèse. Le recourant ne se prononce d'ailleurs pas à ce sujet, se limitant à affirmer qu'il a un intérêt juridique à ce que le policier intimé ne puisse plus instruire à son encontre à l'avenir. Cela étant et vu ce qui suit, la question de savoir si le recourant peut se prévaloir d'un tel intérêt pour obtenir l'annulation ou la modification de la décision attaquée (cf. <ref-law>) peut rester indécise.
Dans la mesure où l'argumentation développée par le recourant tendrait à remettre en cause d'autres décisions, soit notamment l'ordonnance pénale du 16 novembre 2020, ou à étayer sa plainte du 3 mars 2020 déposée contre le policier intimé, elle est irrecevable, faute d'être l'objet de la contestation dans la présente cause. Cette conclusion s'impose également eu égard aux pièces ultérieures à l'ordonnance attaquée, soit en particulier celles figurant en annexe des écritures du 16 août 2021 (cf. <ref-law>).
2.
Invoquant les art. 29 al. 1, 30 al. 1 Cst., 6 par. 1 CEDH et 56 let. a et f CPP, le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir rejeté sa demande de récusation visant le policier intimé. En substance, le recourant soutient que (i) les modalités de son interpellation et de son audition le 13 décembre 2019, (ii) l'établissement d'un rapport le 15 juillet 2020 après l'avis de prochaine clôture du 12 mai 2020 dans la cause P/-/2018 et le dépôt de la plainte pénale du 3 mars 2020, ainsi que (iii) les éléments de la procédure P/-/2020 démontreraient la volonté de nuire, respectivement l'acharnement, du policier intimé à son encontre. Le recourant se prévaut notamment de constatations manifestement inexactes de faits.
2.1. Le Tribunal fédéral est lié par les constatations de fait de la décision entreprise (<ref-law>), à moins que celles-ci n'aient été établies en violation du droit ou de manière manifestement inexacte au sens des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, à savoir pour l'essentiel de façon arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. Une décision n'est pas arbitraire du seul fait qu'elle apparaît discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable et cela non seulement dans sa motivation, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 91 s.; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 155 s.). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il n'y a arbitraire que lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 81; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 503). Le Tribunal fédéral n'entre ainsi pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 81; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 118).
2.2. Toute personne exerçant une fonction au sein d'une autorité pénale est récusable pour l'un des motifs prévus aux art. 56 let. a à e CPP, notamment lorsqu'elle a un intérêt personnel dans l'affaire (cf. let. a). Elle l'est également, selon l'art. 56 let. f CPP, lorsque d'autres motifs, notamment un rapport d'amitié étroit ou d'inimitié avec une partie ou son conseil, sont de nature à le rendre suspect de prévention. Cette disposition a la portée d'une clause générale recouvrant tous les motifs de récusation non expressément prévus aux lettres précédentes de l'<ref-law>. Elle correspond à la garantie d'un tribunal indépendant et impartial instituée par les art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH (<ref-ruling> consid 3.2 p. 74). Elle concrétise aussi les droits déduits de l'art. 29 al. 1 Cst. garantissant l'équité du procès et assure au justiciable cette protection lorsque d'autres autorités ou organes que des tribunaux sont concernés (<ref-ruling> consid. 3.2.2 p. 179 s.). Une demande de récusation peut donc être déposée à l'encontre d'un fonctionnaire de police, dès lors qu'il est un membre des autorités de poursuite pénale (<ref-law>; arrêt 1B_139/2021 du 11 juin 2021 consid. 2.1).
Si les art. 56 let. a à e CPP semblent s'appliquer de manière générale à toute demande de récusation, une appréciation différenciée peut s'imposer s'agissant de l'application de la clause générale posée à l'art. 56 let. f CPP (ANDREAS J. KELLER, in DONATSCH/LIEBER/SUMMER/ WOHLER, SK-Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung [StPO], 3e éd. 2020, n° 6 ad Vorbermerkungen zu Art. 56-60 StPO; MARKUS BOOG, in Basler Kommentar, Art. 1-195 StPO, 2e éd. 2014, n° 9 ad <ref-law>). On ne peut en effet faire abstraction de la différence de fonction existant entre une autorité judiciaire (<ref-law>), d'une part, et un membre d'une autorité de poursuite pénale (<ref-law>), d'autre part. Les exigences de réserve, d'impartialité et d'indépendance prévalant pour la première catégorie peuvent donc ne pas être les mêmes s'agissant de la seconde (arrêts 1B_95/2021 du 12 avril 2021 consid. 2.1; 1B_398/2019 du 26 novembre 2019 consid. 2.1.1 et les arrêts cités). La jurisprudence a ainsi reconnu que, durant la phase d'instruction, le ministère public peut être amené, provisoirement du moins, à adopter une attitude plus orientée à l'égard du prévenu ou à faire état de ses convictions à un moment donné de l'enquête (<ref-ruling> consid. 3.2.2 p. 180; <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 145; arrêt 1B_139/2021 du 11 juin 2021 consid. 2.2).
Les mêmes considérations doivent prévaloir, a fortiori, à l'égard de policiers qui ne sont pas investis de la direction de la procédure et ne sont pas soumis aux obligations qui en découlent (cf. <ref-law>; arrêts 1B_139/2021 du 11 juin 2021 consid. 2.2; 1B_95/2021 du 12 avril 2021 consid. 2.1; 1B_398/2019 du 26 novembre 2019 consid. 2.1.1). Lors d'une première intervention, ceux-ci peuvent être selon les circonstances amenés à faire usage de la force avant même d'avoir entendu les intéressés. Dans ce cas, la clause générale de l'art. 56 let. f CPP doit être appliquée avec retenue : si l'usage de la force apparaît justifié et proportionné, on ne saurait admettre l'existence d'un motif de récusation (arrêt 1B_139/2021 du 11 juin 2021 consid. 2.2).
2.3. En l'occurrence, le Ministère public a tout d'abord rappelé, à juste titre, que le dépôt d'une plainte pénale ne constituait pas à lui seul un motif de récusation, sauf à permettre par ce moyen d'interrompre l'instruction et de faire obstacle à l'avancement de la procédure (arrêt 1B_137/2021 du 15 avril 2021 consid. 2.2 et les nombreux arrêts cités).
Il ressort en outre du bordereau des pièces produit à l'appui du recours au Tribunal fédéral que les éléments de la procédure P/-/2020 dont le recourant se prévaut pour démontrer la partialité du policier intimé (notamment les procès-verbaux d'auditions du 14 octobre 2020, du 15, du 27 janvier et du 10 février 2021) étaient connus du recourant et/ou de son avocat préalablement au prononcé attaqué (4 mai 2021); le recourant avait en effet reçu, le 15 mars 2021, l'avis de prochaine clôture du 10 mars 2021 relatif à cette cause (cf. le timbre apposé sur ce document) et il avait ensuite pu consulter ce dossier (cf. ses déterminations du 14 avril 2021). Il lui appartenait en conséquence de faire valoir ses éventuels nouveaux moyens devant l'autorité précédente, ce qu'il ne soutient pas avoir fait, notamment en respect des obligations découlant de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 8.4.3 p. 275; arrêts 1B_266/2021 du 25 août 2021 consid. 2; 1B_340/2021 du 21 juin 2021 consid. 3). Invoquées pour la première fois devant le Tribunal fédéral, ces pièces et les griefs qui prétendument en ressortiraient sont donc nouveaux et, en application de l'<ref-law>, irrecevables.
Ce défaut d'invocation devant l'autorité précédente permet au demeurant également d'écarter tout arbitraire dans l'établissement ou l'appréciation des faits.
2.4. L'autorité précédente a ensuite considéré que le rapport du 15 juillet 2020 ne trahissait pas la moindre prévention de la part du policier intimé à l'encontre du recourant : le fait que le policier poursuive ses investigations et mette en évidence, parmi la masse des données informatiques séquestrées, un nouveau message pertinent pour l'enquête ne saurait être constitutif d'un acharnement, démontrant au contraire la marque d'un souci d'un travail exhaustif et de qualité. Selon le Ministère public, l'objet du rapport - échanges entre un journaliste et le recourant - était "assurément pertinent" pour l'enquête, dès lors que la plainte de la Ville de U._ visait la transmission du rapport d'audit au journal pour lequel le journaliste travaillait; aucun terme n'était excessif ou révélateur d'une quelconque partialité. L'autorité précédente a enfin relevé le défaut de pertinence de l'argument tiré d'une réponse sommaire de la part du policier intimé à sa demande de récusation.
Ce raisonnement ne prête pas le flanc à la critique et le recourant ne développe aucune argumentation propre à le remettre en cause. En particulier, il ne saurait, de bonne foi, se prévaloir de l'avis de prochaine clôture du 12 mai 2020 pour démontrer une intention de nuire de la part du policier intimé en raison de la restitution d'un rapport ultérieurement à cette date. En effet, cet avis indiquait qu'une ordonnance de classement serait prochainement rendue s'agissant de la violation du secret de fonction reprochée au recourant en tant que collaborateur de la police. Il y est ensuite expressément précisé que "la procédure se poursuivra en ce qui concerne la violation de son secret de fonction reprochée [au recourant] en qualité de conseiller municipal". Dès lors que le rapport du 15 juillet 2020 concerne cet aspect de la procédure pénale (cf. la mention y relative en p. 2), il ne peut être reproché au policier intimé d'avoir poursuivi les investigations sur ce point; en outre, son contenu est dénué de toute appréciation sur le message, sur les faits qui y sont mentionnés et/ou sur le recourant. Ce rapport ne saurait donc constituer la "goutte qui ferait déborder le vase" et permettrait d'avoir une nouvelle appréciation des comportements allégués tenus par le policier intimé lors de l'interpellation du recourant en novembre 2019, étant rappelé que ceux-ci n'ont pas fait l'objet d'une requête de récusation à ce moment-là (cf. <ref-law>; arrêts 1B_209/2021 du 10 août 2021 consid. 5.3; 1B_118/2020 du 27 juillet 2020 consid. 3.2).
2.5. Partant, le Ministère public pouvait, sans violer le droit fédéral, rejeter la demande de récusation formée contre le policier intimé.
3.
Il s'ensuit que le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
Le recourant, qui succombe, supporte les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, fixés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Ministère public de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 29 septembre 2021
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Chaix
La Greffière: Kropf