Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Schaffhausen führt eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen Betrugs und anderen Delikten. Am 18. September 2017 stellte A._ ein Ausstandsbegehren gegen die in erster Linie zuständige Leitende Staatsanwältin, Martina Fankhauser, und deren Stellvertreter, den Ersten Staatsanwalt, Peter Sticher.
B.
Mit Entscheid vom 5. Dezember 2017 wies das Obergericht des Kantons Schaffhausen das Ausstandsgesuch ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Gegen den Entscheid des Obergerichts gelangt A._ mit Beschwerde in Strafsachen vom 20. Januar 2018 an das Bundesgericht. Er ersucht um die Aufhebung des Entscheids und stellt verschiedene prozessuale Anträge.
Martina Fankhauser und Peter Sticher beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
Das Obergericht hat sich vernehmen lassen, ohne einen Antrag zu stellen.
Der Beschwerdeführer hat Gegenbemerkungen eingereicht.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Beschluss handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren in einer Strafsache (Art. 78 Abs. 1 und Art. 92 Abs. 1 BGG). Das Obergericht hat als letzte und einzige kantonale Instanz entschieden (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und lit. b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde befugt. Auf die Beschwerde kann - unter Vorbehalt der folgenden Erwägungen - grundsätzlich eingetreten werden.
1.2. Die Untersuchungshaft des Beschwerdeführers bildet nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens (vgl. Urteil 1B_163/2017 vom 17. Mai 2017). Soweit er sich in seiner Beschwerde über die Haftbedingungen und ihm in diesem Zusammenhang entstehende Unannehmlichkeiten beschwert - wie etwa die Behauptung, es werde ihm keine ärztliche Versorgung gewährt - ist darauf nicht einzutreten.
1.3. Das Ausstandsverfahren hat auch nicht Fragen im Zusammenhang mit der amtlichen Verteidigung zum Gegenstand. Soweit der Beschwerdeführer vorliegend geltend macht, es bestehe keine wirksame Verteidigung und sich über die ihm daraus entstehenden Komplikationen auslässt, ist darauf nicht einzutreten. Es steht ihm frei, entsprechende Argumente in einem diesbezüglichen Verfahren vorzubringen. Ein solches hat der Beschwerdeführer offenbar bereits eingeleitet (vgl. seine Stellungnahme vom 22. Februar 2018 S. 6).
1.4. Nach <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Insoweit ist es unerlässlich, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116). Dabei tritt das Bundesgericht auf appellatorische (allein das bereits Vorgebrachte wiederholende) Kritik nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers (vgl. seine Stellungnahme vom 22. Februar 2018) vermag seine Beschwerdeschrift diese Anforderungen grösstenteils nicht zu erfüllen. So führt er auf 15 ihrer 30 Seiten Gesetzesbestimmungen und Theorie aus, ohne auf den angefochtenen Entscheid Bezug zu nehmen (vgl. "Rechtliches" S. 4-14 sowie S. 19-24). Zudem erhebt er darin etliche Vorwürfe und Rügen, unterlässt es allerdings, im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern die Vorinstanz Bundesrecht verletzt haben soll. Vielmehr belässt er es beim Behaupten und übt unzulässige appellatorische Kritik. Insofern im Folgenden auf seine Ausführungen nicht eingegangen wird, sind sie für die Entscheidfindung offensichtlich rechtlich nicht relevant oder genügen den Begründungsanforderungen nicht. Darauf ist nicht einzutreten.
1.5. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten - einschliesslich Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung - gilt eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.6 S. 281 f.). Inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen, ist in der Beschwerde klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen (<ref-ruling> E. 1.6 S. 130; <ref-ruling> E. 8 S. 156). Dem Beschwerdeführer sind diese erhöhten Anforderungen an die Beschwerdebegründung bekannt (vgl. Urteile 1B_431/2017 vom 5. Dezember 2017 E. 1.3; 1B_229/2017 vom 14. August 2017 E. 1.5). Er kann es deshalb nicht dabei belassen, ohne weitere Substanziierung die seines Erachtens als verletzt gerügten Grundrechte bloss aufzuzählen, wie er es in seiner Beschwerde tut (vgl. S. 3-6). Insbesondere kann er in Bezug auf <ref-law> auch nicht einfach behaupten, das Obergericht sei ihm gegenüber parteiisch gewesen und habe ihn nicht gleich und gerecht behandelt, ohne dies in seiner Beschwerdeschrift detailliert auszuführen. Mit dem pauschal erhobenen Vorwurf, die Behörden würden eine Verzögerungstaktik anwenden, vermag er die Begründungsanforderungen offensichtlich nicht zu erfüllen. Soweit er eine Verletzung von <ref-law> (Recht auf Akteneinsicht; Mitwirkungsrechte im Strafverfahren) geltend macht, genügt die Schilderung des nach seiner Auffassung zutreffenden Sachverhalts sowie die von ihm geübte Kritik an den kantonalen Behörden und den Verhältnissen im Kanton Schaffhausen nicht. Die vorinstanzliche Erwägung, allfällige Ausstandsgründe müssten konkret zugeordnet werden können und dazu genüge es nicht, auf die verfahrensleitende Rolle der Staatsanwaltschaft zu verweisen, stellt ferner keine Rechtsverweigerung dar. Vielmehr handelt es sich dabei um einen Hinweis auf eine mangelhafte Substanziierung seiner Beschwerde. Auf diese Vorbringen ist nicht einzutreten.
Entgegen dem Vorbringen des Beschwerdeführers hat die Vorinstanz zur Feststellung des Sachverhalts nicht bloss auf die Behauptungen der Staatsanwaltschaft abgestellt. Wie den vorinstanzlichen Akten zu entnehmen ist, hat sie sich dabei auf den internen E-Mail- und Briefverkehr der Strafbehörden sowie die Korrespondenz mit dem Beschwerdeführer bzw. dessen Rechtsbeistand gestützt. Nicht stichhaltig ist auch seine Behauptung, die Vorinstanz habe zu Unrecht keine öffentliche Verhandlung und kein Beweisverfahren durchgeführt. So ist das Ausstandsverfahren in der Regel schriftlich (Urteil 1B_480/2016 vom 17. Februar 2017 E. 2) und es ist weder ersichtlich noch tut der Beschwerdeführer rechtsgenügend dar, weshalb ausnahmsweise von diesem Grundsatz abgewichen werden sollte. Der Beschwerdeführer verkennt zudem, dass ohne Beweisverfahren über Ausstandsgesuche zu entscheiden ist, auch wenn wie vorliegend ein Ausstandsgrund nach Artikel 56 Buchstabe f geltend gemacht wird (<ref-law>). Im Übrigen substanziiert er nicht, inwiefern die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz offensichtlich unrichtig sein oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen sollte (vgl. Art. 97 Abs. 1 i.V.m. Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG sowie Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>). Deshalb ist auf diese Rüge nicht einzutreten.
1.6. Gemäss <ref-law> hat die Partei, die den Ausstand einer in einer Strafbehörde tätigen Person verlangt, der Verfahrensleitung ohne Verzug ein entsprechendes Gesuch zu stellen, sobald sie vom Ausstandsgrund Kenntnis hat; die den Ausstand begründenden Tatsachen sind glaubhaft zu machen. Nach der Rechtsprechung ist der Ausstand in den nächsten Tagen nach Kenntnisnahme zu verlangen. Andernfalls verwirkt der Anspruch. Ein Gesuch, das sechs bis sieben Tage nach Kenntnis des Ausstandsgrunds eingereicht wird, gilt als rechtzeitig. Unzulässig ist jedenfalls ein Zuwarten während zwei Wochen (vgl. Urteile 1B_513/2017 vom 5. März 2018 E. 3.2; 1B_100/ 2015 vom 8. Juni 2015 E. 4.1 mit Hinweisen).
Soweit die Ausführungen des Beschwerdeführers das Verhalten der in die Strafuntersuchung involvierten Polizeibeamten betreffen, fanden die beanstandeten Vorfälle mehrere Monate, bevor er die vorliegend zu beurteilenden Ausstandsbegehren stellte, statt. Daher hat er diese Vorwürfe grundsätzlich verspätet erhoben. Wie die Vorinstanz zutreffend erwogen hat, könnten sie lediglich in einer Gesamtbetrachtung mit späteren Ereignissen ausstandsbegründend sein. Unter diesem Vorbehalt ist darauf nicht einzutreten.
2.
2.1. Gemäss <ref-law> tritt eine in einer Strafbehörde tätige Person in den Ausstand, wenn sie aus anderen Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand, befangen sein könnte. Bei dieser Bestimmung handelt es sich um eine Generalklausel, welche alle Ausstandsgründe erfasst, die in Art. 56 lit. a-e StPO nicht ausdrücklich vorgesehen sind. Sie entspricht <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Danach hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Die Rechtsprechung nimmt Voreingenommenheit und Befangenheit an, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Solche Umstände können namentlich in einem bestimmten Verhalten der in einer Strafbehörde tätigen Person begründet sein. Dabei ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken. Für die Ablehnung ist nicht erforderlich, dass der Richter tatsächlich befangen ist (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 179; <ref-ruling> E. 5.1 S. 328; je mit Hinweisen).
<ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK sind bei der Ablehnung eines Staatsanwalts nur anwendbar, wenn er ausnahmsweise in richterlicher Funktion tätig wird, wie das bei Erlass eines Strafbefehls zutrifft. Amtet er jedoch als Strafuntersuchungsbehörde, beurteilt sich die Ausstandspflicht nach <ref-law>. Wohl darf der Gehalt von <ref-law> nicht unbesehen auf nicht richterliche Behörden bzw. auf <ref-law> übertragen werden. Hinsichtlich der Unparteilichkeit des Staatsanwalts im Sinne von Unabhängigkeit und Unbefangenheit kommt <ref-law> allerdings ein mit <ref-law> weitgehend übereinstimmender Gehalt zu. Auch ein Staatsanwalt kann abgelehnt werden, wenn Umstände vorliegen, die objektiv geeignet sind, den Anschein der Voreingenommenheit zu erwecken (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 179 f.; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 145 mit Hinweisen).
Fehlerhafte Verfügungen und Verfahrenshandlungen von Staatsanwälten begründen für sich keinen Anschein der Voreingenommenheit. Anders verhält es sich, wenn besonders krasse oder wiederholte Irrtümer vorliegen, die eine schwere Verletzung der Amtspflichten darstellen (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 180 mit weiteren Hinweisen).
2.2. Der Beschwerdeführer bringt sinngemäss vor, die Beschwerdegegner seien ihm gegenüber voreingenommen. Den von ihm beschriebenen Verfahrenshandlungen lässt sich allerdings nicht entnehmen, inwiefern die Beschwerdegegner fehlerhaft vorgegangen sein sollten. Erhebliche oder mehrmalige Amtspflichtverletzungen, welche diese als befangen erscheinen lassen, tut er jedenfalls nicht auf rechtsgenügende Weise dar. Insbesondere gehen aus den Vorgängen rund um die Beerdigung seines Vaters keine solchen hervor. Wie der Beschwerdegegner dem Beschwerdeführer mit Schreiben vom 14. September 2017 mitteilte, ermöglichten die Strafbehörden diesem die Teilnahme an der Abdankung und dem Abschied am Grab, obwohl sie nicht dazu verpflichtet gewesen wären. Gleichzeitig wies er ihn darauf hin, dass die Staatsanwaltschaft ihm nie eine Zusage erteilt habe, am Leidmahl teilnehmen zu können. Bei den Akten ist zudem ein E-Mail, mit welchem der Beschwerdegegner die Polizei anwies, zu prüfen, ob gänzlich auf Fesseln verzichtet werden könne. Demnach kam dieser dem Beschwerdeführer dabei so weit wie möglich entgegen.
Sodann findet das Vorbringen, die Polizeibeamten hätten den Beschwerdeführer im Auftrag der Beschwerdegegner genötigt, bedroht und anderweitig rechtswidrig behandelt, in den Akten keine Stütze. Im Übrigen erscheinen auch die vom Beschwerdeführer beantragten Beweismassnahmen nicht geeignet, Aufschlüsse diesbezüglich zu erbringen. Aus dessen Behauptung, er habe vergeblich versucht, sein Recht wahrzunehmen, Strafanzeigen mündlich zu Protokoll zu geben, kann weder eine Verletzung seines rechtlichen Gehörs noch ein Ausstandsgrund abgeleitet werden. Die Äusserung der Beschwerdegegnerin, sie halte den Beschwerdeführer für schuldig und fordere eine Freiheitsstrafe von viereinhalb Jahren, lässt diese nicht als voreingenommen erscheinen. Denn die Staatsanwaltschaft hat unabhängig von einem allfälligen Antrag auf ein abgekürztes Verfahren Anträge bezüglich der Sanktionen zu stellen (vgl. Art. 326 Abs. 1 lit. f und Art. 360 Abs. 1 StPO).
2.3. Nach dem Gesagten tut der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde keine Umstände dar, die geeignet sind, den Anschein der Befangenheit zu begründen.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer grundsätzlich kostenpflichtig (vgl. <ref-law>). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann nicht entsprochen werden, da die Begehren als aussichtslos bezeichnet werden müssen (<ref-law>). Auf eine Kostenauflage kann indessen ausnahmsweise verzichtet werden (<ref-law>). Da der Beschwerdeführer persönlich gehandelt hat, ist seinem Verteidiger kein wesentlicher Aufwand entstanden. Daher wird sein Antrag um Mitteilung, ob die amtliche Verteidigung das vorliegende Verfahren umfasse, mit dem Entscheid in der Sache gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft des Kantons Schaffhausen, dem Obergericht des Kantons Schaffhausen und Thomas Heeb schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. März 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Schoch