Sachverhalt:
A.
Mit Entscheid vom 24. Oktober 2017 erteilte das Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt A._ in der Betreibung Nr. xxx (Zahlungsbefehl vom 3. August 2017) die definitive Rechtsöffnung für die Unterhaltsbeiträge von Fr. 42'900.-- (März 2014 bis Mai 2015) plus Zins zu 5% ab 31. Oktober 2014 und von Fr. 71'000.-- (August 2015 bis Juli 2017) plus Zins zu 5% ab 16. Oktober 2016 sowie für die Parteientschädigungen von Fr. 2'500.-- (Verfahren vor Bundesgericht), Fr. 1'000.-- (Verfahren vor dem Regionalgericht Emmental-Oberaargau) und Fr. 1'771.20 (Verfahren vor dem Obergericht Bern), jeweils plus Zinsen.
B.
B._ wandte sich gegen diesen Rechtsöffnungsentscheid an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, welches seine Beschwerde mit Entscheid vom 31. Mai 2018 abwies.
C.
Mit Eingabe vom 8. Juli 2018 ist B._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt, die Sache an das Zivilgericht zur Neubeurteilung zurückzuweisen, die erst- und zweitinstanzlichen Kostenentscheide aufzuheben und die Kosten dem Vertreter von A._ (Beschwerdegegnerin) aufzuerlegen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Das Appellationsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde. Sollte der Beginn der Verzinsung der Unterhaltsforderungen auf die Anhebung der Betreibung angesetzt werden, ersucht es um eine entsprechende materielle Anpassung des angefochtenen Entscheides. Die Stellungnahmen sind dem Beschwerdeführer zur Wahrung seines Replikrechtes zugestellt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Entscheid einer kantonalen Rechtsmittelinstanz, die über die Erteilung einer definitiven Rechtsöffnung befunden hat. Die Beschwerde in Zivilsachen ist angesichts des Streitwertes von über Fr. 30'000.-- gegeben (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 1 lit. b und Art. 75 Abs. 1 BGG).
1.2. Der im kantonalen Verfahren unterlegene Beschwerdeführer ist als Schuldner von der Rechtsöffnung besonders berührt und daher zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>).
1.3. Da die Beschwerde an das Bundesgericht ein reformatorisches Rechtsmittel ist (<ref-law>), genügt der blosse Antrag auf Aufhebung des angefochtenen Entscheides grundsätzlich nicht, da ein Antrag in der Sache zu stellen ist. Ein blosser Rückweisungsantrag reicht ausnahmweise aus, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung in der Sache nicht selbst entscheiden kann, weil die erforderlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz fehlen. Der Beschwerdeführer verlangt in der Sache einzig, den Fall an das Zivilgericht zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Aus seiner Begründung kann immerhin geschlossen werden, dass er die Aufhebung des Rechtsöffnungsentscheides anstrebt, soweit dieser die Unterhaltsbeiträge samt Zinsen betrifft, und dass auf jeden Fall die Zinsen erst mit Anhebung der Betreibung zu laufen beginnen. Insofern genügt sein Begehren den gesetzlichen Anforderungen (<ref-ruling> E. 1.3; Urteil 4A_330/2008 vom 27. Januar 2010 E. 2.1, nicht publ. in <ref-ruling>). Hingegen geht aus der Begründung nicht hervor, dass auch die definitive Rechtsöffnung für die in Betreibung gesetzten Parteientschädigungen angefochten wird. Ebenso wenig wird vom Beschwerdeführer die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege durch die Vorinstanz gerügt. Damit bilden diese Bereiche nicht Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens.
1.4. Mit der vorliegenden Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen, wobei hier das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2.4). Die Prozessparteien sind gehalten, bei ihrer Wortwahl auf ungebührliche Äusserungen zu verzichten, ansonsten sie mit einem Verweis oder einer Busse rechnen müssen (Art. 42 Abs. 6 i.V.m. <ref-law>).
1.5. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel sind nur zulässig, soweit der vorinstanzliche Entscheid dazu Anlass gibt (<ref-law>).
2.
2.1. Die Vorinstanz sah die Voraussetzungen für die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung aufgrund der eingereichten Urteile als gegeben. Für die geforderten Unterhaltsbeiträge berechnete sie die Zinsen nach dem mittleren Verfall.
2.2. Der Beschwerdeführer bestreitet das Vorliegen eines vollstreckbaren Rechtsöffnungstitels. Zudem müsse der Zinsenlauf für die Unterhaltsbeiträge auf den Zeitpunkt des Betreibungsbeginns festgelegt werden.
3.
Anlass der Beschwerde bildet das Vorliegen eines Gerichtsurteils als Titel zur Gewährung der definitiven Rechtsöffnung.
3.1. Der Richter hebt den Rechtsvorschlag auf und erteilt dem Gesuchsteller die definitive Rechtsöffnung, sofern er einen vollstreckbaren gerichtlichen Entscheid vorlegt (<ref-law>). Dabei beschränkt sich die Prüfungsbefugnis des Rechtsöffnungsrichters auf den vollstreckungsrechtlichen Aspekt der in Betreibung gesetzten Forderung. Eine materielle Prüfung der Forderung, welche mit dem Urteil festgestellt wird, und eine Auslegung des Rechtsöffnungstitels findet hingegen nicht statt (<ref-ruling> E. 4.3.1 und 4.3.2). Die definitive Rechtsöffnung wird erteilt, wenn nicht der Betriebene durch Urkunden beweist, dass die Schuld seit Erlass des Entscheides getilgt oder gestundet worden ist, oder die Verjährung anruft (<ref-law>).
3.2. Im vorliegenden Fall erteilte das Zivilgericht der Beschwerdegegnerin die definitive Rechtsöffnung gestützt auf das Urteil des Obergerichts des Kantons Bern vom 1. Mai 2013, welches unter anderen die Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers für die Dauer des vor dem Zivilgericht Basel-Stadt hängigen Scheidungsverfahrens auf monatlich Fr. 3'000.-- festlegte. Im Anschluss an dieses Verfahren reichte der Beschwerdeführer beim Zivilgericht verschiedene Abänderungsgesuche ein. Mit Entscheid vom 10. November 2015 hob das Zivilgericht den Unterhaltsbeitrag an die Beschwerdegegnerin rückwirkend ab 1. Juli 2015 auf. Das Appellationsgericht korrigierte diesen Entscheid anschliessend, indem es den Unterhaltsbeitrag von Fr. 3'000.-- per 1. August 2015 auf Fr. 500.-- herabsetzte und ab 1. September 2015 ganz aufhob. Das Bundesgericht hob schliesslich den appellationsgerichtlichen Entscheid bezüglich der Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers und den zivilgerichtlichen Entscheid vom 10. November 2015 auf (Urteil 5A_297/2016 vom 2. Mai 2017).
3.3. Der Beschwerdeführer bestreitet, dass für die geltend gemachten Unterhaltsforderungen ein definitiver Rechtsöffnungstitel besteht. Seiner Ansicht nach beruht der Rechtsöffnungsentscheid auf Urteilen, die entweder aufgehoben worden oder offensichtlich fehlerhaft sind. Soweit der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang eine willkürliche Feststellung des Sachverhaltes rügt, kann ihm nicht gefolgt werden. Entgegen seiner Darstellung bildet das Urteil des Obergerichts des Kantons Bern nach wie vor die Rechtsgrundlage für die geforderten Unterhaltsbeiträge. Einzig die Entscheide des Zivilgerichts bzw. des Appellationsgerichts, welche die im Urteil des Obergerichts des Kantons Bern festgelegten Unterhaltsbeiträge anpassten bzw. befristeten, wurden vom Bundesgericht aufgehoben. Hingegen bildete das Urteil des Obergerichts des Kantons Bern nicht Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens. Da dieses nach wie vor Gültigkeit hat, war entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers auch ein gesonderter Entscheid des Bundesgerichts zur Festsetzung der Unterhaltsbeiträge nicht nötig.
3.4. Zudem wehrt sich der Beschwerdeführer gegen die Höhe der geforderten Unterhaltsbeiträge. Seiner Ansicht nach hat das Zivilgericht ihn an der Sitzung vom 5. Februar 2015 zu monatlichen Zahlungen von Fr. 2'000.-- an die Beschwerdeführerin verpflichtet. Wie ihm schon die Vorinstanz erläutert hat, handelt es sich beim angesprochenen Dokument nicht um einen Entscheid über die strittigen Unterhaltsbeiträge, sondern bloss um das Protokoll einer Einigungsverhandlung der Prozessparteien, die zu keinem definitiven Ergebnis geführt hat. Darin wird erwähnt, dass es sich (bei den Unterhaltsbeiträgen) um Eckpunkte einer möglichen Scheidungsvereinbarung handelt. Zudem wird die Fortsetzung der Einigungsverhandlung bereits auf ein konkretes Datum festgesetzt. Angesichts dieses Wortlautes kann das strittige Protokoll auf keinen Fall als verbindliche Neufestlegung der Unterhaltsbeiträge verstanden werden. Daran ändert auch der Einwand des Beschwerdeführers nichts, dass die Beschwerdegegnerin unter Bezugnahme auf dieses Protokoll eine Schuldneranweisung erwirkt habe. Es kann daher offen bleiben, ob es sich bei diesem Hinweis - wie die Vorinstanz meinte - um ein Novum handelt.
3.5. Insoweit kann der Vorinstanz keine Verletzung von Bundesrecht vorgeworfen werden, wenn sie die Gewährung der definitiven Rechtsöffnung für die in Betreibung gesetzten Unterhaltsbeiträge geschützt hat.
4.
Weiter ist im vorliegenden Rechtsöffnungsverfahren umstritten, ab welchem Zeitpunkt der Verzugszins für die gerichtlich festgesetzten Unterhaltsbeiträge geschuldet und Rechtsöffnung zu erteilen ist. Streitpunkt ist der Anwendungsbereich von <ref-law>.
4.1. Vorliegend hat das Obergericht des Kantons Bern in seinem Urteil vom 1. Mai 2013 den Unterhaltsbeitrag an die Beschwerdegegnerin auf Fr. 3'000.--, zahlbar monatlich im Voraus, festgesetzt. Damit hat es nicht nur die Höhe, sondern auch die Fälligkeit der monatlichen Unterhaltsforderung per Monatsanfang festgelegt. Ab diesem Verfalltag gerät der Beschwerdeführer als Schuldner bei Nichtleistung ohne Weiteres und ohne Mahnung seitens der Beschwerdegegnerin in Verzug (<ref-law>). Er hat daher für die Folgen der Verspätung aufzukommen, wozu bei einer Geldschuld die Verzugszinsen gehören (Art. 103 und 104 OR).
4.2. Davon ist zu unterscheiden, ab welchem Zeitpunkt der Beschwerdeführer die Verzugszinsen schuldet. Gemäss <ref-law> hat ein Schuldner, der mit der Zahlung von bestimmten Forderungen in Verzug ist, erst vom Tage der Anhebung der Betreibung oder der gerichtlichen Klage an Verzugszinse zu bezahlen. Die Stellung des Schuldners wird insoweit erleichtert, dass er für bestimmte Forderungen den Verzugszins nicht bereits ab Verzugseintritt, sondern erst ab Betreibung bzw. Klageeinleitung zu entrichten hat (Urteil 4A_11/2013 vom 16. Mai 2013 E. 5). Zu diesen Forderungen gehört u.a. die Entrichtung von Renten (<ref-law>). Die besondere Verzugszinsregelung beruht diesbezüglich auf der Überlegung, dass Renten für den Unterhalt und nicht als zinstragende Geldanlage verwendet werden (<ref-ruling> E. 4c; Urteil B 136/06 vom 9. Juli 2007 E. 6.2, nicht publ. in <ref-ruling>; ENGEL, Traité des obligations en droit suisse, 2. Aufl. 1997, S. 694; VON TUHR/ESCHER, Allgemeiner Teil des Schweizerischen Obligationenrechts, Zweiter Band, 3. Aufl. 1974, S. 147; OSER/SCHÖNENBERGER, Zürcher Kommentar, 1929, N. 1 zu <ref-law>).
4.3. Im konkreten Fall geht es um Unterhaltsbeiträge, welche der Beschwerdeführer der Beschwerdegegnerin für die Dauer des Scheidungsverfahrens zu leisten hat. Die Vorinstanz äussert sich einzig zum Verfalltag dieser Forderungen. Sie verweist hierzu auf das Urteil 6B_509/2009 des Bundesgerichts vom 3. Dezember 2009, ihre eigene Praxis und auf die Lehre (GAUCH/SCHLUEP/EMMENEGGER, Schweizerisches Obligationenrecht, Allgemeiner Teil, 10. Aufl. 2014, Rz. 2726, und STAEHELIN, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 49 zu <ref-law>). Dann bestätigt sie, dass das Zivilgericht die Verzugszinsen für die Unterhaltsbeiträge zu Recht aufgrund des mittleren Verfalls berechnet hat. In seiner Begründung verweist das Zivilgericht auf Praktikabilitätsgründe.
4.4. Ob die familienrechtlichen Unterhaltsbeiträge unter den Begriff der "Renten" ("arrérages", "rendite") im Sinne von <ref-law> fallen, ist indes nicht restlos geklärt. Die Auslegung dieser Bestimmung hat in der Lehre und Rechtsprechung Anlass zu Diskussionen gegeben (vgl. KREN KOSTKIEWICZ, in: OR Kommentar, 3. Aufl. 2016, N. 1 zu <ref-law>) und ist im Folgenden zu klären.
4.4.1. Das Bundesgericht hat sich bisher nur am Rande zu dieser Frage geäussert. So hat es im Jahre 2007 festgehalten, dass für die fälligen Invalidenrenten erst vom Tage der Anhebung der Betreibung Verzugszinsen zu bezahlen sind. Begründet wurde die Anwendung von <ref-law> mit der - erwähnten - Überlegung (E. 4.2), dass diese Renten an sich für den Unterhalt und nicht als zinstragende Geldanlage verwendet werden (Urteil B 136/06 vom 9. Juli 2007, a.a.O., mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 4c und WEBER, Berner Kommentar, 2000, N. 10 zu <ref-law>). In einem nicht amtlich publizierten Urteil aus dem Jahre 2009 sprach die strafrechtliche Abteilung des Bundesgerichts einer Zivilpartei Schadenersatz für nicht bezahlte Unterhaltsbeiträge zu (Urteil 6B_509/2009 vom 3. Dezember 2009 E. 2.3). Sie kam dabei zum Schluss, dass die Unterhaltsbeiträge ab Verfalltag und nicht erst ab Einleitung der Betreibung zu verzinsen sind. Eine Rente im Sinne von <ref-law> liege nur vor, falls es um Beträge geht, die anstelle des Kapitals treten, und nicht allgemeine periodische Leistungen. Familienrechtliche Unterhaltsbeiträge würden in der Regel aus dem Arbeitseinkommen des Pflichtigen bezahlt und nur ausnahmsweise aus Kapitalzinsen; die Auslegung wurde einzig mit dem Hinweis auf WEBER (a.a.O., N. 16 zu <ref-law>) begründet.
4.4.2. Die Vorinstanz hat sich wie andere kantonale Instanzen dem Urteil 6B_509/2009 des Bundesgerichts vom 3. Dezember 2009 angeschlossen bzw. die bisherige Praxis aufgegeben (Obergericht Thurgau mit Urteil vom 8. Oktober 2010, RBOG 2010 S. 99). Andere kantonale Gerichte haben dagegen ihre bisherige Praxis weitergeführt und die Unterhaltsbeiträge als Renten im Sinne von <ref-law> qualifiziert (Urteile des Obergerichts Zürich vom 22. April 2016 [RT160013] E. 2.2 und vom 16. Mai 2012, ZR 2012 Nr. 79 S. 228; Urteil des Kantonsgerichts Wallis vom 21. Januar 2011, ZWR 2012 S. 147). Damit verfolgen diese Instanzen eine seit längerem in den Kantonen ausgeübte Rechtsprechung (Urteil des Obergerichts Solothurn vom 20. November 1985, SOG 1985 Nr. 1 S. 6). Einzig das Obergericht Zürich (ZR 2012 Nr. 79) hat zum Urteil 6B_509/2009 des Bundesgerichts vom 3. Dezember 2009 näher Stellung genommen. Seiner Ansicht nach ist dieses bundesgerichtliche Urteil nicht einschlägig, da es im konkret beurteilten Fall um die Verzugsfolgen einer Schadenersatzforderung und nicht einer Rente gegangen sei.
4.4.3. Die Lehre, auf welche sich die kantonale Rechtsprechung teilweise bezieht, betrachtet die familienrechtlichen Unterhaltsbeiträge zumeist als Renten im Sinne von <ref-law>. Dies gilt mehrheitlich für die Kommentatoren des Familienrechts (HEGNAUER, Berner Kommentar, 1997, N. 20 zu <ref-law>; SUTTER-SOMM/KOBEL, Familienrecht, 2009, S. 202, Rz. 906; BREITSCHMID in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 5. Aufl. 2014, N. 32 zu <ref-law>; FOUNTOULAKIS, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 6. Aufl. 2018, N. 59 zu <ref-law>; SCHWEIGHAUSER, in: FamKomm Scheidung, Bd. I, 3. Aufl. 2017, N. 152 zu <ref-law>; a.M. DE LUZE/PAGE/STOUDMANN, Droit de la famille, 2013, N. 3.1 zu <ref-law>; MEIER/STETTLER, Droit de la filiation, 6. Aufl. 2019, S. 998 Fn 3553). In gleicher Richtung sprechen sich die Kommentatoren des Schuldrechts und des SchKG aus (WEBER, a.a.O., N. 17 zu 105 OR; KOLLER, Schweizerisches Obligationenrecht, Allgemeiner Teil, 4. Aufl. 2017, S. 975, Ziff. 55.49; THIER, in: Kurzkommentar OR, 2014, N. 1 zu <ref-law>; SPAHR, L'intérêt moratoire, consequénce de la demeure, ZWR 1990 S. 370 Fn. 111; THÉVENOZ, in: Commentaire romand, Code des obligations I, 2. Aufl. 2012, N. 4 zu <ref-law>; STAEHELIN, a.a.O., Ergänzungsband 2017, ad N. 49 zu <ref-law>; VEUILLET, in: La mainlevée de l'opposition, 2017, N. 62 zu <ref-law>).
4.4.4. Der Begriff der Rente nach <ref-law> wird in einem Teil der Lehre und der Rechtsprechung in Bezug zu einem Kapital gesetzt. Demnach könnten als Renten nur diejenigen Beträge verstanden werden, die an die Stelle eines Kapitals treten. Da die familienrechtlichen Unterhaltsbeiträge in der Regel nicht aus einem Kapital, sondern aus Arbeitseinkommen aufgebracht würden, wird der Schluss gezogen, dass sie nicht unter den Begriff der Rente fallen. Dieser Standpunkt wird im Wesentlichen mit dem Hinweis auf WEBER begründet. Zwar umschreibt der Kommentator den Begriff der Rente auf diese Weise (wie bereits OSER/SCHÖNENBERGER, a.a.O., N. 2 zu <ref-law>). Indes präzisiert WEBER anschliessend, dass auch familienrechtliche Unterhaltsbeiträge als Renten im Sinne von <ref-law> zu verstehen sind (WEBER, a.a.O., N. 16 und 17 zu <ref-law>). Insoweit erweist sich die gängige Begründung für den eingangs genannten Standpunkt als verkürzt. Der blosse Schluss, dass familienrechtliche Unterhaltsbeiträge in der Regel nicht aus einem Kapital, sondern aus Arbeitseinkommen aufgebracht würden, und deswegen nicht unter <ref-law> fallen, läuft insbesondere der ratio dieser Bestimmung entgegen. Ausschlaggebend ist - im Einklang mit der überwiegenden Lehre und Rechtsprechung - die Anknüpfung an den Zweck der familienrechtlichen Unterhaltsbeiträge (und der Invalidenrenten), welche nicht für eine gewinnbringende Anlage, sondern für den laufenden Bedarf des Gläubigers bestimmt sind (vgl. E. 4.2). Diesem Verständnis ist der Vorzug zu geben, da es dem Wesen des Verzugszinses besser gerecht wird: Verzugszinsen sind Ausgleich dafür, dass der Geldgläubiger aus der geschuldeten Summe keinen Nutzen ziehen kann (u.a. WEBER, a.a.O., N. 11 zu <ref-law>). Diese Schadensfiktion ist für Renten und namentlich familienrechtliche Unterhaltsbeiträge nicht gerechtfertigt, weshalb der Gläubiger, wenn er trotzdem Verzugszinsen beanspruchen will, den erhöhten Anforderungen von <ref-law> genügen muss (KOLLER, a.a.O.). Soweit das Bundesgericht in seinem Urteil vom 3. Dezember 2009 eine andere Auslegung von <ref-law> vorgenommen hat, ist daran nicht festzuhalten. Damit kann der Vorinstanz nicht gefolgt werden, soweit sie die Rechtsöffnung für den Verzugszins für die Unterhaltsbeiträge bereits vom (mittleren) Verfalltag, und nicht erst vom Tag der Anhebung der Betreibung an bestätigt hat.
4.4.5. Mit dem "Tag der Anhebung der Betreibung" gemäss <ref-law> ist nicht die Zustellung des Zahlungsbefehls (<ref-law>), sondern bereits die Stellung (Postaufgabe) des Betreibungsbegehrens nach Art. 67 f. SchKG gemeint (SUTTER-SOMM/KOBEL, a.a.O.; MARCHAND, Précis de droit des poursuites, 2. Aufl. 2013, S. 52; FURRER/ WEY, in: Handkommentar zum Schweizer Privatrecht, 3. Aufl. 2016, N. 6 zu <ref-law> mit Hinweis auf kantonale Rechtsprechung; a.M. WÜTHRICH/SCHOCH, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 23 zu <ref-law>). Im konkreten Fall steht fest, dass der Zahlungsbefehl am 3. August 2017 ausgestellt wurde. Zwar ist die Anhebung der Betreibung zeitlich nicht mit dem Datum des Zahlungsbefehls gleichzusetzen. Wird - wie hier - das entsprechende Datum nicht behauptet und ist es nicht ohne weiteres ersichtlich, kann die Rechtsöffnung betreffend Verzugszins ab dem Datum der Ausstellung des Zahlungsbefehls erteilt werden (wie es kantonaler Praxis entspricht; Urteil des Obergerichts Zürich vom 18. August 2015 [RT150087] E. IV/2.5.3).
4.5. Nach dem Gesagten kann der Vorinstanz keine Verletzung von Bundesrecht vorgeworfen werden, soweit sie die Gewährung der definitiven Rechtsöffnung für die in Betreibung gesetzten Unterhaltsbeiträge geschützt hat. In diesem Punkt ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Hingegen ist der Beginn des Zinsenlaufs für die Forderung für Unterhalt neu auf den 3. August 2017 festzusetzen und kann für den vor diesem Datum verlangten Verzugszins die Rechtsöffnung nicht gewährt werden. Insoweit ist die Beschwerde gutzuheissen.
5.
Der Beschwerde ist teilweise Erfolg beschieden. Der vorinstanzliche Entscheid wird insoweit aufgehoben, als damit die Rechtsöffnung für den Zinsenlauf der Unterhaltsforderungen bestätigt wird. Der Beginn des Zinsenlaufs für die Forderung für die Unterhaltsbeiträge wird neu auf den 3. August 2017 festgesetzt und für den vor diesem Datum verlangten Verzugszins wird die Rechtsöffnung verweigert. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Die Verteilung der Kosten im vorangegangenen Verfahren obliegt der Vorinstanz (<ref-law>); mit dem vorliegenden begründeten Urteil wird die Auslassung im verschickten Urteilsdispositiv (Ziff. 1.2) berichtigt.
Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Ernennung ihren Anwaltes zum Rechtsbeistand kann bewilligt werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Ausgangsgemäss tragen die Parteien die Verfahrenskosten anteilsweise (<ref-law>) und der Beschwerdegegnerin steht eine reduzierte Parteientschädigung zu (<ref-law>). Dem Beschwerdeführer ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Es besteht überdies kein Anlass, dem Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten aufzuerlegen, wie der Beschwerdeführer dies verlangt. Dem Antrag der Beschwerdegegnerin, dem Beschwerdeführer für sein Verhalten eine Ordnungsbusse aufzuerlegen, wird nicht stattgegeben, wobei die Konsequenzen ungebührlich verfasster Rechtsschriften zu betonen sind (E. 1.4).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
1.1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 31. Mai 2018 wird insoweit aufgehoben, als damit die Rechtsöffnung für den Zinsenlauf der Unterhaltsforderungen bestätigt wird. Der Beginn des Zinsenlaufs für die Forderung für Unterhalt der Betreibung Nr. xxx (Unterhaltsbeiträge von Fr. 42'900.-- und von Fr. 71'000.--) wird neu auf den 3. August 2017 festgesetzt und für den vor diesem Datum verlangten Verzugszins wird die Rechtsöffnung verweigert.
1.2. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist. Zur Festsetzung der Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens wird die Sache an das Obergericht zurückgewiesen.
2.
Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird gutgeheissen und es wird Rechtsanwalt Michael Ritter zu ihrem Rechtsbeistand bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 5'500.-- werden zu Fr. 4'500.-- dem Beschwerdeführer und zu Fr. 1'000.-- der Beschwerdegegnerin auferlegt, wobei deren Anteil einstweilen auf die Bundesgerichtskasse genommen wird.
4.
Der Beschwerdeführer wird zu einer Parteientschädigung an die Beschwerdegegnerin von Fr. 4'000.-- verpflichtet.
5.
Rechtsanwalt Michael Ritter wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'500.-- entschädigt.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. April 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Levante