Erwägungen:
1.
B._ erstattete am 19. Oktober 2020 Strafanzeige wegen Urkundenfälschung. Sie sei am 8. Oktober 2018 von einem Hund gebissen und an der Hand verletzt worden. Bei der Gemeindepolizei Regensdorf habe sie Anzeige gegen die Hundehalterin erstattet. In den Verfahrensakten habe sich ein Formular "Verzicht auf Strafantrag" vom 30. Oktober 2018 befunden. Sie habe ein solches Formular aber nie unterzeichnet. Es liege wahrscheinlich eine Fälschung vor. Nach ersten Ermittlungen rapportierte die Kantonspolizei Zürich gegen den Sachbearbeiter des Vorfalls vom 8. Oktober 2018, den Gemeindepolizisten A._.
2.
Die Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland überwies mit Verfügung vom 9. Februar 2021 die Akten an das Obergericht des Kantons Zürich, um über die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung zu befinden. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich erteilte der Staatsanwaltschaft mit Beschluss vom 9. Juli 2021 die Ermächtigung zur Strafverfolgung.
3.
A._ führt mit Eingabe vom 8. November 2021 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Der angefochtene Beschluss schliesst das Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer nicht ab, sondern ermöglicht vielmehr dessen Durchführung. Es handelt sich somit nicht um einen Endentscheid im Sinne von <ref-law>, sondern um einen Zwischenentscheid, gegen den die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> grundsätzlich nur zulässig ist, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a), oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Es ist Sache des Beschwerdeführers, die Eintretensvoraussetzungen von <ref-law> darzulegen, sofern deren Vorhandensein nicht auf der Hand liegt (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 28 mit Hinweisen).
5.
Der Beschwerdeführer erachtet sowohl die Eintretensvoraussetzungen nach Art. 93 Abs. 1 lit. a als auch nach Abs. 1 lit. b BGG als gegeben.
5.1.
Bei der Beschwerde gegen die Erteilung der Ermächtigung einer Strafuntersuchung muss der nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne von <ref-law> rechtlicher Natur sein, damit das Bundesgericht auf die Beschwerde eintritt (vgl. Urteil 1C_595/2019 vom 27. Januar 2020 E. 2.1 mit Hinweisen). Ein derartiger Nachteil liegt vor, wenn er auch durch einen für den Beschwerdeführer günstigen späteren Entscheid nicht mehr behoben werden kann (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 130). Ein lediglich tatsächlicher Nachteil wie die Verteuerung oder Verlängerung des Verfahrens genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.2 S. 801).
Der angefochtene Beschluss führt dazu, dass sich der Beschwerdeführer dem Strafverfahren mit den damit verbundenen Unannehmlichkeiten stellen muss. Die Durchführung eines Strafverfahrens begründet keinen Nachteil rechtlicher Natur, der mit einem für den Angeschuldigten günstigen Entscheid nicht behoben werden könnte (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 141; Urteil 1B_489/2017 vom 20. November 2017 E. 1.4 mit Hinweisen). Damit ist der angefochtene Ermächtigungsentscheid unter dem Gesichtspunkt von <ref-law> nicht anfechtbar. Dies gilt nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts auch, wenn im Ermächtigungsverfahren der Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt worden sein sollte, wird doch die beschuldigte Person im Rahmen einer Strafuntersuchung ihre vollen Verteidigungsrechte wahrnehmen können (Urteil 1C_595/2019 vom 27. Januar 2020 E. 2.2 mit Hinweis).
Zwar verzichtet das Bundesgericht bei Beschwerden gegen Zwischenentscheide grundsätzlich auf das Erfordernis des nicht wieder gutzumachenden Nachteils, wenn der Beschwerdeführer eine Rechtsverweigerung oder ungerechtfertigte Rechtsverzögerung rügt (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 346; <ref-ruling> E. 1.1 S. 261; <ref-ruling> E. 1.3 S. 129; Urteil 1C_595/2019 vom 27. Januar 2020 E. 2.2 mit Hinweisen) bzw. wenn mit der Beschwerde eine formelle Rechtsverweigerung in der Form der Verweigerung oder Verzögerung eines Rechtsanwendungsaktes gerügt wird (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 177 und Urteil 1C_595/2019 E. 2.2 mit Hinweisen). Dass der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör im Ermächtigungsverfahren rügt, rechtfertigt nach dem bereits Ausgeführten jedoch keinen Verzicht auf das Erfordernis des nicht wieder gutzumachenden Nachteils im Sinne von <ref-law>.
5.2. Bei Gutheissung der Beschwerde läge unter Umständen ein Endentscheid vor. Somit stellt sich die Frage, ob damit ein bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erspart würde. Das Bundesgericht legt diese Voraussetzung im Strafverfahren restriktiv aus (<ref-ruling> E. 3.2 S. 292; Urteil 6B_799/2018 vom 29. Januar 2019 E. 1.3). Die Aufwendungen müssen über diejenigen eines gewöhnlichen Strafverfahrens hinausgehen. Dies kann insbesondere der Fall sein, wenn ein komplexes oder gar mehrere Gutachten eingeholt, zahlreiche Zeugen befragt oder eine rogatorische Einvernahme im entfernteren Ausland durchgeführt werden müssten (Urteil 6B_799/2018 vom 29. Januar 2019 E. 1.3 mit Hinweis).
Das vorliegend durchzuführende Strafverfahren erscheint weder mit Blick auf den abzuklärenden Sachverhalt noch auf die sich stellenden Rechtsfragen besonders komplex. Selbst wenn noch eine Handschriftprobe entnommen, deren forensische Analyse durchgeführt und allenfalls noch ein Gutachten erstellt werden müsste, führt dies nicht zu aussergewöhnlich hohen Kosten oder zu ausserordentlich umfangreichen Beweiserhebungen. Die Eintretensvoraussetzungen von <ref-law> sind somit ebenfalls nicht erfüllt.
6.
Nach dem Ausgeführten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Winterthur/ Unterland, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. November 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli