Sachverhalt:
A.
Mit Beschluss vom 28. August 2018 bewilligte der Gemeinderat der Gemeinde Mettmenstetten der Genossenschaft A._ den Neubau eines Mehrfamilienhauses mit Alterswohnungen und Unterniveaugarage auf den Grundstücken Kat.-Nrn. 4394 und 3158 an der Erspachstrasse 16 und 18 in Mettmenstetten. Das Baurekursgericht des Kantons Zürich hiess den Rekurs der B._ AG, der C._ AG und der D._ AG gut und hob den angefochtenen Beschluss vom 28. August 2018 am 30. April 2019 auf. Hiergegen erhoben die Genossenschaft A._ sowie der Gemeinderat der Gemeinde Mettmenstetten mit separaten Eingaben vom 3. Juni 2019 respektive vom 11. Juni 2019 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und beantragten jeweils die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids und die Wiederherstellung der Baubewilligung. Mit Präsidialverfügung vom 26. August 2019 wurden die beiden Beschwerdeverfahren vereinigt. Die D._ AG beteiligte sich nicht am Verfahren.
Am 27. Februar 2020 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, 1. Kammer, die Beschwerden ab. Zur Begründung führte es im Wesentlichen aus, die für den Bau der Alterswohnungen erforderliche Verlagerung von Wohnnutzung von der Nachbarparzelle auf die Bauparzellen gehe zu weit und sei mit dem Zweck der Zentrumszone deshalb nicht mehr vereinbar.
B.
Am 19. Mai 2020 erhob die Genossenschaft A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht und beantragte, der Entscheid des Verwaltungsgerichts Zürich sei aufzuheben und der Beschluss des Gemeinderates Mettmenstetten vom 28. August 2018 sei zu bestätigen.
Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei, und verzichtet im Übrigen auf eine Vernehmlassung. Die D._ AG beantragt, sie sei ohne Kostenfolgen aus dem Beschwerdeverfahren zu entlassen. Der Gemeinderat Mettmenstetten stellt Antrag auf Beschwerdegutheissung. Die B._ AG und die C._ AG verlangen die Beschwerdeabweisung.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid auf dem Gebiet des Raumplanungs- und Baurechts, wofür das Bundesgerichtsgesetz keinen Ausschlussgrund enthält. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen (vgl. Art. 82 ff., Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG).
1.2. Die Beschwerdeführerin war am vorinstanzlichen Verfahren beteiligt, ist als Bauherrin vom angefochtenen Entscheid unmittelbar betroffen und unbestrittenermassen zur Beschwerde legitimiert (vgl. Art. 89 Abs. 1 BGG). Auch die Parteistellung der Beschwerdegegnerinnen, die alle ebenfalls am vorinstanzlichen Verfahren teilnahmen, ist nicht strittig.
1.3. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verletze Bundesrecht und kantonale verfassungsmässige Rechte (Art. 95 lit. a und c BGG). Dazu gehört auch die Gemeindeautonomie (Art. 50 Abs. 1 BV; <ref-ruling> E. 5.4 S. 43; zur Publ. vorgesehenes Urteil 2C_610/2019 vom 18. Mai 2020 E. 1.4; je mit Hinweisen).
1.4. Die 30-tägige Beschwerdefrist (Art. 100 Abs. 1 BGG) wurde in Berücksichtigung der Verordnung vom 20. März 2020 über den Stillstand der Fristen in Zivil- und Verwaltungsverfahren zur Aufrechterhaltung der Justiz im Zusammenhang mit dem Coronavirus (COVID-19) (AS 2020 849) eingehalten. Auf die Beschwerde ist somit einzutreten.
2.
2.1. Die Beschwerdeführerin macht einen Verstoss gegen die Gemeindeautonomie gemäss Art. 50 Abs. 1 BV geltend. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung können sich Private auf die Gemeindeautonomie berufen, soweit diese Garantie eine Auswirkung auf ihre rechtliche oder tatsächliche Stellung haben kann (<ref-ruling> E. 1.2.4 S. 40 f. mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin sieht eine Verletzung der Gemeindeautonomie darin, dass die Vorinstanz den Ermessens- bzw. Beurteilungsspielraum der Gemeinde bei der Auslegung des kantonalen und kommunalen Baurechts missachtet habe.
2.2. Die Gemeinde ist ein Institut des kantonalen Rechts. Art. 50 Abs. 1 BV gewährleistet die Gemeindeautonomie denn auch nach Massgabe des kantonalen Rechts. Nach der Rechtsprechung sind Gemeinden in einem Sachbereich autonom, wenn das kantonale oder eidgenössische Recht diesen nicht abschliessend ordnet, sondern ihn ganz oder teilweise der Gemeinde zur Regelung überlässt und ihr dabei eine relativ erhebliche Entscheidungsfreiheit einräumt. Der geschützte Autonomiebereich kann sich auf die Befugnis zum Erlass oder Vollzug eigener kommunaler Vorschriften beziehen oder einen entsprechenden Spielraum bei der Anwendung kantonalen oder eidgenössischen Rechts betreffen. Der Schutz der Gemeindeautonomie setzt eine solche nicht in einem ganzen Aufgabengebiet, sondern lediglich im streitigen Bereich voraus. Im Einzelnen ergibt sich der Umfang der kommunalen Autonomie aus dem für den entsprechenden Bereich anwendbaren kantonalen Verfassungs- und Gesetzesrecht. Das Bundesgericht prüft frei, ob die kantonale Rechtsmittelinstanz einen in den Anwendungsbereich der Gemeindeautonomie fallenden Beurteilungsspielraum respektiert hat (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 3.1 S. 55 f.; zur Publ. vorgesehenes Urteil 2C_610/2019 vom 18. Mai 2020 E. 2.1; je mit Hinweisen).
Es ist unbestritten, dass das kantonalzürcherische Recht keine Bestimmungen zu den Voraussetzungen und Grenzen der hier umstrittenen Nutzungsverlagerung enthält und den Gemeinden in dieser Hinsicht deshalb eine relativ erhebliche Entscheidungsfreiheit einräumt (s. insbesondere §§ 2 lit. c und 45 f. des Planungs- und Baugesetzes des Kantons Zürich vom 7. September 1975 [PBG; LS 700.1]).
2.3. Gemäss der Praxis der Zürcher Gerichte kann sich die kommunale Behörde auf ihren geschützten Beurteilungsspielraum nur berufen, wenn sie davon tatsächlich Gebrauch macht und ihre Abwägung der massgeblichen Elemente in einer ausreichenden Begründung spätestens im Rekursverfahren im Rahmen ihrer Vernehmlassung darlegt. Das Bundesgericht hat diese Praxis nicht beanstandet (vgl. Urteil 1C_53/2013 vom 7. Mai 2013 E. 5). Der Gemeinderat Mettmenstetten hat im Rahmen seiner Rekursantwort vom 7. Januar 2019 in Ziffer 5 auf den ihm zustehenden Gestaltungsspielraum verwiesen und die Zonenkonformität des geplanten Mehrfamilienhauses mit Alterswohnungen unter Berücksichtigung der Nutzungsübertragung als gegeben betrachtet.
3.
3.1. Die Grundstücke Kat.-Nrn. 4394 und 3158, auf welchen ein Mehrfamilienhaus mit 19 31⁄2 Zimmer- und 29 21⁄2 Zimmerwohnungen sowie eine 2 Zimmerwohnung als Alterswohnungen mit einem Gemeinschaftsraum mit Küche sowie eine Unterniveaugarage erstellt werden sollen, liegen in der Zentrumszone. Gemäss § 51 Abs. 1 PBG sind Zentrumszonen bestimmt für eine dichte Überbauung zur Entwicklung von Stadt-, Orts- und Quartierzentren, die ausser dem Wohnen vorab der Ansiedlung von Handels- und Dienstleistungsbetrieben, Verwaltungen sowie mässig störenden Gewerbebetrieben dienen. Gemäss Art. 18 der Bau- und Zonenordnung der Gemeinde Mettmenstetten vom 21. Mai 2007 beträgt die zulässige Ausnützungsziffer in der Zentrumszone maximal 110 % (Satz 1). Für das Wohnen dürfen jedoch höchstens 30 % der maximal zulässigen Geschossfläche verwendet werden (Satz 2). Die Erhöhung des Wohnanteils mit der BZO Revision 2007 von 15 auf 30 % sollte gemäss Darstellung des Gemeinderates Mettmenstetten dazu dienen, kleinen Gewerbebetrieben bei Neubauten die Realisierung eines gewissen Wohnanteils zu ermöglichen. Die Absicht des Gemeinderates habe nicht darin gelegen, grössere Wohnüberbauten in der Zentrumszone zu fördern.
3.2. Die Vorinstanz hält fest, dass in der Zentrumszone in Mettmenstetten die Erstellung einer reinen Wohnbaute nicht ausgeschlossen ist. Sie ermittelte dies aufgrund des Wortlautes der Bestimmung von Art. 18 BZO. Ebenso erachtet sie die Nutzungsübertragung, selbst wenn sie in der BZO nicht vorgesehen ist, als zulässig. Jedoch führt die Vorinstanz an, während die Ausnützungsübertragung ihre quantitative Begrenzung namentlich in Baukörpern finde, welche den Rahmen der zonengemässen Überbauungsstruktur sprengen und sich deshalb nicht mehr befriedigend in die bauliche Umgebung einordnen würden, finde die Nutzungsverlagerung ihre quantitative Begrenzung in Bauprojekten, welche die in der kommunalen Nutzungsplanung zugeteilten Nutzungen infrage stellen respektive mit dem Zonenzweck keinen funktionalen Zusammenhang (mehr) aufweisen und diesen insoweit überdehnen bzw. beeinträchtigen. Die Vorinstanz erachtet die Errichtung der reinen Wohnbaute aufgrund ihrer Ausmasse mit dem Zweck der Zentrumszone als nicht vereinbar; zur Projektrealisierung wären planerische Massnahmen erforderlich gewesen.
3.3. Es ist somit frei zu prüfen (E. 2.2 hiervor), ob die kantonale Rechtsmittelinstanz einen in den Anwendungsbereich der Gemeindeautonomie fallenden Beurteilungsspielraum respektiert hat, indem sie den vom Baurekursgericht ausgesprochenen Bauabschlag bestätigt hat.
3.3.1. Bauten und Anlagen dürfen nur mit behördlicher Bewilligung errichtet oder geändert werden (Art. 22 Abs. 1 RPG). Voraussetzung einer Bewilligung ist, dass die Bauten und Anlagen dem Zweck der Nutzungszone entsprechen (Art. 22 Abs. 2 lit. a RPG). Es ist Sache des kantonalen und kommunalen Rechts, die in den einzelnen Zonen zugelassenen Nutzungen zu umschreiben (ALEXANDER RUCH, in: Praxiskommentar RPG: Baubewilligung, Rechtsschutz und Verfahren, 2020, N. 78 zu Art. 22 RPG). Dabei haben die kantonalen Gerichte sich auch dann, wenn sie nach Art. 33 Abs. 3 lit. b RPG die Angemessenheit des angefochtenen Entscheids prüfen, Zurückhaltung aufzuerlegen, um die Gemeindeautonomie gemäss Art. 50 Abs. 1 BV zu respektieren (<ref-ruling> E. 3.6). In der vorliegenden Angelegenheit sind keine bundesrechtlichen Normen gegeben, die der Gemeindeautonomie vorgehen würden respektive eine eingehendere Überprüfung erforderlich machten (vgl. zur Publ. bestimmtes Urteil 1C_544/2019 vom 3. Juni 2020 E. 3.2.1).
3.3.2. Die Vorinstanz hält fest, dass das in der Nutzungsplanung normierte Ziel der Durchmischung von Wohnen und Arbeit klarerweise - und funktionsadäquat - parzellenbezogen aufzufassen sei. Damit schliesst sie aber eine Nutzungsübertragung von einer Parzelle auf eine andere Parzelle aus, obwohl sie die Nutzungsübertragung grundsätzlich als zulässig betrachtet. Die Vorinstanz will diesen Widerspruch auflösen, indem sie anführt, dass der maximale Wohnanteil anlässlich der BZO-Teilrevision von 15 auf 30% erhöht worden sei, damit für die bei kleineren Betrieben erwünschte Mischnutzung etwas mehr Spielraum bestehe. Damit lässt sich aber eine parzellenbezogene Durchmischung von Wohnen und Arbeit nicht hinreichend begründen. Vielmehr setzt sich diese Betrachtungsweise zur Feststellung, dass auch die Errichtung einer reinen Wohnbaute zulässig sei, in Widerspruch. Darüber hinaus ist in der BZO für die Zentrumszone keine Vorschrift vorhanden, dass eine parzellenbezogene Durchmischung von Wohnen und Arbeit gegeben sein muss. Dies wäre jedoch erforderlich, wenn eine Übertragungsmöglichkeit ausgeschlossen werden sollte (vgl. FRITZSCHE/BÖSCH/WIPF/KUNZ, Zürcher Planungs- und Baurecht, Band 2, 6. Aufl. 2019, S. 988).
3.3.3. Die Vorinstanz erachtet vorliegend die Nutzungsungsübertragung nicht als zulässig. Sie ist der Auffassung, die Nutzungsverlagerung stelle die in der kommunalen Nutzungsplanung zugeteilte Nutzung infrage. Die geplante Baute weist drei Vollgeschosse und ein Attikageschoss auf. Sie hält sich an die Vorgaben des Gemeinderates Mettmenstetten vom 20. März 2012, dass sie sich an die Zone WG3 anzupassen habe. Die Gebäudehöhe beträgt gemäss der Baubewilligung 10.45 m und die Gesamthöhe 13.39 m und hält somit die Vorschriften der BZO sowohl für die Zentrumszone wie auch für die Zone WG3 ein. Südlich und westlich grenzen die Grundstücke Kat.-Nrn. 4394 und 3158 an einen Bereich in der Zone WG3, was offensichtlich der Grund der Vorgabe des Gemeinderates Mettmenstetten war, dass sich die Baute an die Zone WG3 anzupassen habe. Der Gemeinderat Mettmenstetten liess sich von nachvollziehbaren Überlegungen leiten, dass mit den von ihm ausformulierten Vorgaben ein Ausnützungstransfer (recte: Nutzungstransfer) von der Parzelle Kat.-Nr. 3638 zu den Parzellen Kat.-Nrn. 4394 und 3158 möglich sei. Beizufügen ist, dass nach dem Transfer der Wohnnutzung von 2'119 m2 die projektierte Wohnfläche den zulässigen Höchstwert für das Wohnen von 2'731 m2 mit 4'850 m2 um 78 % und somit nicht um annähernd das Doppelte (E. 5.4 der Vorinstanz) überschreitet.
3.3.4. Die Vorinstanz wirft dem Gemeinderat Mettmenstetten vor, dass in den Akten keine Tätigkeiten erkennbar seien, die Zentrumszone gesamthaft zu betrachten. Der Gemeinderat hat im Rahmen seiner Rekursvernehmlassung dargelegt, dass mit den von ihm verlangten Bedingungen und Auflagen der Sinn und Zweck der Zentrumszone, Gewerbe- und Arbeitsflächen zu schaffen, dadurch erhalten bleibe, wenn die Wohnnutzung in einem Gebäude konzentriert werde. Damit erfolgt eine gesamthafte Betrachtung der Zentrumszone durch den Gemeinderat Mettmenstetten. Nicht erkennbar ist der Zweck einer von der Vorinstanz erwähnten Verlagerung von Gewerbenutzung auf das den Wohnanteil spendende Grundstück, selbst wenn dies der Gemeinderat Mettmenstetten am 20. März 2012 angeführt hatte. Art. 18 BZO begrenzt die Ausnützungsziffer auf maximal 110 %. Sie wird bei einer Verlagerung von Gewerbenutzung nicht erhöht, denn im Rahmen der zulässigen Ausnützung ist eine vollumfängliche Gewerbenutzung möglich. Nur für das Wohnen ist eine Begrenzung auf höchstens 30 % der maximal zulässigen Geschossfläche vorgesehen. Das Fehlen einer innerzonalen Kompensierung in Form einer Verlagerung von Gewerbenutzung von den Parzellen Kat.-Nrn. 4394 und 3158 auf die Parzelle Kat.-Nr. 3638 kann daher nicht als ungenügende Berücksichtigung eines relevanten Umstandes qualifiziert werden, da dies aufgrund von Art. 18 BZO gar keine Auswirkung gehabt hätte und somit irrelevant war.
3.4. Die von der Vorinstanz angeführten Gründe, die Nutzungsverlagerung als nicht zulässig zu erklären und damit den Bauabschlag des Baurekursgerichts zu bestätigen, sind nicht hinreichend stichhaltig. Ebenso liegt keine Verletzung von Bundesrecht und kantonalem Recht durch den Gemeinderat Mettmenstetten vor, welcher die Nutzungsverlagerung als zulässig erachtete. Damit liegt jedoch mit dem Bauabschlag ein Eingriff in die Autonomie des Gemeinderates Mettmenstetten vor.
4.
Nach dem Gesagten ist das angefochtene Urteil zufolge der Verletzung der Gemeindeautonomie in Gutheissung der Beschwerde aufzuheben. Da die Vorinstanz die Aufhebung der vom Gemeinderat Mettmenstetten erteilten Baubewilligung durch das Baurekursgericht aufgrund fehlender Zonenkonformität schützte, liess sie offen, ob das geplante Mehrfamilienhaus für Alterswohnungen die Grenzabstände einhält und ob die Berechnung der ausnützbaren Gesamtfläche korrekt ist. Die Sache ist daher zur Prüfung der bisher offen gelassenen Fragen und zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Bei der Aufhebung des angefochtenen Urteils und der Rückweisung zur neuen Entscheidung gilt die beschwerdeführende Partei praxisgemäss als ganz obsiegend, wenn der Verfahrensausgang noch offen ist (<ref-ruling> E. 11.1 S. 312; Urteil 1C_283/2019 vom 24. Juli 2020 E. 5; je mit Hinweisen). Die Gerichtskosten sind daher den unterliegenden Beschwerdegegnerinnen aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG), die der anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren unter solidarischer Haftbarkeit eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen haben (Art. 68 i.V.m. Art. 66 Abs. 4 BGG). Kosten- und entschädigungspflichtig ist auch die Beschwerdegegnerin 3, die im kantonalen Verfahren Rekurs erhob und im Verfahren vor Bundesgericht ihre Parteistellung behält (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 94 mit Hinweis). Ihr Gesuch, sie sei ohne Kostenfolgen "aus dem Beschwerdeverfahren zu entlassen", ist abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
In Gutheissung der Beschwerde wird das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 27. Februar 2020 aufgehoben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden den Beschwerdegegnerinnen unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerinnen haben die Beschwerdeführerin unter solidarischer Haftbarkeit für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gemeinderat Mettmenstetten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Januar 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Dold