Sachverhalt:
A.
Der nachmalige Asyl-Gesuchsteller A._ (alias B._, nachfolgend: Gesuchsteller) reiste erstmals im Mai 2019 mit tschechischen Ausweispapieren (Reisepass, Identitätskarte, Führerausweis) in die Schweiz ein. Anlässlich einer Kontrolle durch das schweizerische Grenzwachtkorps (GWK) am 21. Mai 2019 wurden die tschechischen Ausweispapiere als Totalfälschungen erkannt, worauf der Gesuchsteller aus der Schweiz weggewiesen und wegen Fälschung von Ausweisen von der hiesigen Strafjustiz zu einer Freiheitsstrafe verurteilt wurde.
B.
Am 29. Oktober 2019 reiste der Gesuchsteller erneut in die Schweiz ein, diesmal mit einem griechischen Reisepass, lautend auf B._ (geboren am 5. Dezember 1979). Unter Vorlage griechischer Ausweispapiere erhielt er in der Schweiz eine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA, gültig bis zum 28. Oktober 2024, zwecks unselbständiger Erwerbsarbeit. Anlässlich einer Kontrolle durch das GWK am 7. März 2021 wurde der vom Gesuchsteller mitgeführte Reisepass als Fälschung erkannt. Ebenfalls wurde festgestellt, dass der Gesuchsteller kein Griechisch, sondern Albanisch sprach. Nach einer weiteren Kontrolle durch das GWK am 27. April 2021 stellte sich bei der Überprüfung der Fingerabdrücke des Gesuchstellers heraus, dass es sich bei ihm um den albanischen Staatsangehörigen A._ handelt (geboren am 25. März 1974 in Diber/Albanien). Anlässlich seiner Befragung vom 27. April 2021 durch das GWK beharrte der Gesuchsteller auf seiner angeblichen griechischen Identität; einen "A._" kenne er nicht.
C.
Mit in Rechtskraft erwachsener Verfügung vom 29. April 2021 des Migrationsdienstes des Kantons Bern wurde die kantonale Aufenthaltsbewilligung widerrufen. Gleichzeitig wurde der Gesuchsteller - ein zweites Mal - aus der Schweiz weggewiesen und gleichentags in Ausschaffungshaft versetzt, nachdem sich aufgrund einer forensischen Analyse auch sein griechischer Reisepass als Totalfälschung herausgestellt hatte, was auch von den angefragten griechischen Behörden bestätigt wurde.
D.
Am 20. Mai 2021 stellte A._ (alias B._) aus der Ausschaffungshaft heraus ein Asylgesuch beim Staatssekretariat für Migration (SEM). Anlässlich seiner Befragung zu den Asylgründen am 18. Juni 2021 machte der Gesuchsteller geltend, er sei als albanischer Staatsangehöriger A._ in Albanien geboren worden. Nach zwischenzeitlichen Aufenthalten in Griechenland habe er in Albanien während einigen Jahren (bis 2016) ein Bauunternehmen geführt. Auch sei er in Albanien jahrelang politisch aktiv gewesen. Wegen eines privaten Streits habe er sich 2017 zu einer Ausreise nach Griechenland entschieden. Am 4. April 2018 habe er dort seine komplette Identität gewechselt und sei als griechischer Staatsangehöriger B._ eingebürgert worden.
E.
Mit Verfügung vom 4. August 2021 verneinte das SEM die Flüchtlingseigenschaft des Gesuchstellers und lehnte dessen Asylgesuch ab. Gleichzeitig ordnete es den Vollzug seiner Wegweisung aus der Schweiz an. Ebenso verfügte das SEM, dass die Hauptidentität des Gesuchstellers im Zentralen Migrationsinformationssystem (ZEMIS) von B._ (geboren am 5. Dezember 1979) auf A._ (geboren am 25. März 1974) zu ändern und mit einem Bestreitungsvermerk zu versehen sei. Eine vom Gesuchsteller dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht, Abteilung V, mit Urteil vom 17. September 2021 ab.
F.
Gegen den Entscheid des Bundesverwaltungsgerichtes gelangte der Gesuchsteller mit Beschwerde vom 25. Oktober 2021 an das Bundesgericht. Er beantragt in den Hauptstandpunkten, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und seine Hauptidentität sei im ZEMIS weiterhin unter dem von ihm genannten griechischen Namen zu führen.
Mit Verfügung vom 26. Oktober 2021 bewilligte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichtes die aufschiebende Wirkung der Beschwerde in dem Sinne, dass dem Beschwerdeführer gestattet wurde, den Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens in der Schweiz abzuwarten. Am 18. November 2021 liess sich der zur Stellungnahme eingeladene Eidgenössische Datenschutz- und Öffentlichkeitsbeauftragte vernehmen. Mit Vernehmlassung vom 25. November 2021 beantragt das Bundesverwaltungsgericht die Abweisung der Beschwerde. Das SEM nahm gleichentags zur Beschwerde Stellung. Eine Vernehmlassung des fakultativ zur Stellungnahme eingeladenen Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartementes ist (innert der auf 17. Januar 2022 angesetzten Frist) nicht eingetroffen. Ebenso wenig hat der Beschwerdeführer innert der auf den 4. Februar 2022 fakultativ angesetzten Frist eine Replik eingereicht. Am 16. Februar 2022 zeigte die Bundesgerichtskanzlei den Verfahrensbeteiligten einen Zuständigkeitswechsel von der II. öffentlich-rechtlichen auf die I. öffentlich-rechtliche Abteilung an (mit Wechsel der alten Verfahrensnummer 2C_829/2021 auf neu: 1C_788/2021).
G.
Am 7. Mai 2021 ersuchte die Botschaft der Republik Albanien die Schweiz um Auslieferung des albanischen Staatsangehörigen A._ (alias B._, nachfolgend: Verfolgter), zur Vollstreckung mehrerer rechtskräftiger Freiheitsstrafen wegen diversen Vermögensdelikten. Auf Begehren des Bundesamtes für Justiz (BJ) hin, reichten die albanischen Behörden am 1. und 7. Juli sowie 5., 11., und 16. August 2021 ergänzende Informationen ein. Anlässlich seiner Einvernahme durch das BJ erklärte der Verfolgte, mit einer vereinfachten Auslieferung an Albanien nicht einverstanden zu sein. Am 17. September 2021 nahm er zum Auslieferungsersuchen schriftlich Stellung.
H.
Mit Entscheid vom 13. Oktober 2021 bewilligte das BJ die Auslieferung des Verfolgten an Albanien, unter Spezialitätsvorbehalt für spezifisch genannte Straftaten. Dieser Entscheid des BJ erging unter Vorbehalt eines rechtskräftigen ablehnenden Asylentscheids und eines ablehnenden Entscheides des Bundesstrafgerichtes über die vom Verfolgten erhobene Einrede des politischen Delikts.
I.
Mit Eingabe vom 13. Oktober 2021 beantragte das BJ beim Bundesstrafgericht, die Einrede des politischen Delikts sei abzuweisen.
J.
Die vom Verfolgten am 15. November 2021 gegen den Auslieferungsentscheid des BJ erhobene Beschwerde wies das Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, mit Entscheid vom 25. Januar 2022 ab, soweit es darauf eintrat. Gleichzeitig wies es die Einrede des politischen Deliktes ab.
K.
Mit Beschwerdeeingabe vom 31. Januar 2022 (ergänzt am 4. Februar 2022) focht der Verfolgte das Urteil des Bundesstrafgerichtes vom 25. Januar 2022 beim Bundesgericht an. Er führt aus, dass er mit seiner Auslieferung an Albanien nicht einverstanden sei.
Es wurde hier kein Schriftenwechsel durchgeführt, da die Beschwerde prozessual offensichtlich unzulässig ist (Verfahren 1C_74/2022).

Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer, der ausgeliefert werden soll, hat um Asyl ersucht. Gemäss dem am 1. April 2011 in Kraft getretenen Bundesgesetz vom 1. Oktober 2010 über die Koordination des Asyl- und des Auslieferungsverfahrens (Koordinationsgesetz; AS 2011 925 ff.) müssen die beiden Verfahren koordiniert werden. Das Koordinationsgesetz bezweckt die Behebung der Probleme, die bei parallelen Auslieferungs- und Asylverfahren auftraten. Diese Verfahren werden nunmehr auf der Stufe des Bundesgerichts zusammengeführt. Das gewährleistet eine widerspruchsfreie Rechtsprechung unter Beachtung des Gebots des Non-Refoulement (näher dazu <ref-ruling> E. 1.2.1 mit Hinweisen). Die beiden Verfahren 1C_788/2021 (Asylgesuch) und 1C_74/2022 (Auslieferungsbegehren) sind daher zu vereinigen. Es rechtfertigt sich folglich, die Beschwerden in einem einzigen Urteil zu behandeln (vgl. Urteil 1C_737/2021, 1C_767/2021 vom 22. Dezember 2021 E. 1.1).
2.
Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Asyls, die vom Bundesverwaltungsgericht getroffen worden sind, ausser sie betreffen Personen, gegen die ein Auslieferungsersuchen des Staates vorliegt, vor welchem sie Schutz suchen.
Gegen den Beschwerdeführer liegt ein albanisches Auslieferungsersuchen vor. Die Asylbeschwerde (1C_788/2021) ist daher gestützt auf Art. 82 lit. a i.V.m. Art. 83 lit. d Ziff. 1, Art. 86 Abs. 1 lit. a und Art. 90 BGG zulässig. Auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind grundsätzlich erfüllt und geben zu keinen weiteren Vorbemerkungen Anlass.
Mit der Beschwerde kann die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Gemäss <ref-law> kann die vorinstanzliche Feststellung des Sachverhalts nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann.
3.
Der Beschwerdeführer beantragt in seiner Asylbeschwerde, seine Hauptidentität sei im ZEMIS weiterhin unter dem von ihm genannten griechischen Namen zu führen. Er macht geltend, dass die schweizerischen Behörden ihn durch Ausschaffungs- bzw. Auslieferungshaft daran gehindert hätten, die Beweismittel zu beschaffen, die seine griechische Identität belegen würden. Die Beschaffung seines "Taufscheins bei der griechisch-orthodoxen Kirche" und die "Klärung der offenen Fragen rund um die offenbar fehlerhafte Ausstellung seines griechischen Passes" setzten entweder seine "persönliche Vorsprache mindestens bei der Botschaft" voraus oder Telefonate bzw. "persönliche Kontakte mit Bekannten in der Schweiz und diverse Anrufe in Griechenland". Die betreffenden Handlungen hätte er allesamt selber vornehmen müssen und nicht an seinen Anwalt delegieren können. Seine Vertrauten in Albanien und Griechenland würden die relevanten Informationen und Dokumente ausschliesslich an den ihnen bekannten Beschwerdeführer herausgeben, nicht aber an Dritte.
3.1. Zur Erfüllung seiner gesetzlichen Aufgaben führt das SEM das Zentrale Migrationsinformationssystem ZEMIS. Dieses dient der einheitlichen Bearbeitung der Daten zur Identität von Ausländerinnen und Ausländern einschliesslich Personen aus dem Asylbereich (Art. 1 und 2 des Bundesgesetzes über das Informationssystem für den Ausländer- und den Asylbereich [BGIAA; SR 142.51]; Art. 1 der Verordnung über das Zentrale Migrationsinformationssystem [ZEMIS-Verordnung; SR 142.513]). Gesuche um Berichtigung eines Eintrags im ZEMIS sind gestützt auf das Bundesgesetz vom 19. Juni 1992 über den Datenschutz (DSG; SR 235.1) zu beurteilen (Art. 19 Abs. 1 ZEMIS-Verordnung i.V.m. <ref-law>).
3.2. Wer Personendaten bearbeitet, hat sich über deren Richtigkeit zu vergewissern und alle angemessenen Massnahmen zu treffen, damit die Daten berichtigt oder vernichtet werden, die im Hinblick auf den Zweck ihrer Beschaffung oder Bearbeitung unrichtig oder unvollständig sind (Art. 5 Abs. 1 DSG). Jede betroffene Person kann verlangen, dass unrichtige Daten berichtigt werden (Art. 5 Abs. 2 DSG). Werden Personendaten von einem Organ des Bundes bearbeitet, konkretisiert Art. 25 DSG die Rechte von betroffenen Personen. Wer ein schutzwürdiges Interesse hat, kann gemäss Art. 25 Abs. 3 lit. a DSG die Berichtigung von unrichtig erfassten Personendaten verlangen.
3.3. Grundsätzlich hat die Bundesbehörde, welche Personendaten bearbeitet, die Richtigkeit der bearbeiteten Daten zu beweisen, wenn sie von einer betroffenen Person bestritten wird. Der betroffenen Person, die ein Gesuch um Berichtigung von Personendaten stellt, obliegt hingegen der Beweis der Richtigkeit der verlangten Änderung. Kann weder die Richtigkeit noch die Unrichtigkeit von Personendaten bewiesen werden, so muss das Bundesorgan bei den Daten einen entsprechenden Vermerk anbringen (Art. 25 Abs. 2 DSG). Spricht mehr für die Richtigkeit der von einer betroffenen Person verlangten Änderung, sind die Personendaten zu berichtigen und ebenfalls mit einem derartigen Vermerk zu versehen (Urteil des Bundesgerichtes 1C_613/2019 vom 17. Juni 2020 E. 2, mit Hinweisen).
3.4. Im vorliegenden Fall ist die Vorinstanz zum Schluss gekommen. dass die Richtigkeit der vom Beschwerdeführer geltend gemachten griechischen Personendaten nicht wahrscheinlicher ist als jene der im ZEMIS mit Bestreitungsvermerk eingetragenen albanischen.
Den Akten sei ohne Zweifel zu entnehmen, dass der Beschwerdeführer gegenüber den Schweizer Behörden offensichtlich tatsachenwidrige Angaben gemacht und die Behörden über seine wahre Identität getäuscht habe. Schon im Mai 2019 sei er mit gefälschten tschechischen Ausweispapieren in die Schweiz eingereist. Er sei deswegen aus der Schweiz weggewiesen und wegen Fälschung von Ausweisen zu einer Freiheitsstrafe verurteilt worden. Am 29. Oktober 2019 sei er zum zweiten Mal in die Schweiz eingereist, diesmal mit einem gefälschten griechischen Reisepass. Er spreche kein Griechisch, sondern Albanisch. Auch die griechischen Behörden hätten seinen griechischen Pass als gefälscht bezeichnet. Gestützt auf einen Fingerabdruck-Abgleich handle es es sich bei ihm um den im ZEMIS eingetragenen albanischen Staatsangehörigen.
Dass es ihm faktisch nicht möglich gewesen wäre, sich um eine Belegung seiner gegenteiligen Behauptungen zu bemühen, sei nicht nachvollziehbar. Der Beschwerdeführer sei durch einen mandatierten Rechtsanwalt verbeiständet. Es sei nicht einzusehen, weshalb es ihm nicht möglich gewesen wäre, bei den griechischen Behörden die ihm geeignet erscheinenden Abklärungen zu veranlassen bzw. angeblich erhältliche Dokumente einzuholen (Taufschein, Ersatz-Identitätspapiere usw.), die seine Behauptungen hätten stützen können. Gegen seine unglaubhafte These, er habe die griechische Staatsangehörigkeit angeblich "durch Taufe" erworben, spreche auch, dass er diesfalls kein von seiner (zumindest früheren) albanischen Identität gänzlich abweichendes Geburtsdatum hätte falsch beurkunden lassen müssen.
3.5. Was der Beschwerdeführer dagegen einwendet, lässt die Erwägungen der Vorinstanz, wonach die Richtigkeit der von ihm geltend gemachten Personendaten nicht wahrscheinlicher ist als jene der im ZEMIS mit Bestreitungsvermerk eingetragenen, nicht als bundesrechtswidrig erscheinen. Im Gegenteil werden seine Vorbringen objektiv durch nichts erstellt.
4.
Im Rahmen seiner Asylbeschwerde macht der Beschwerdeführer in verfahrensrechtlicher Hinsicht eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, des Grundsatzes von Treu und Glauben sowie des Untersuchungsgrundsatzes (<ref-law>) geltend. Einerseits sei ihm (auch) im Asylverfahren vorgehalten worden, dass er es versäumt habe, bei der Abklärung seiner angeblichen Identität mitzuwirken, und dass er mehrfach falsche Angaben zu seiner Identität gemacht bzw. gefälschte Ausweispapiere verwendet habe. Anderseits hätten ihn die Asylbehörden durch die Ausschaffungs- bzw. Auslieferungshaft daran gehindert, in der erwünschten Weise mitzuwirken. Aufgrund des Untersuchungsgrundsatzes hätten die Vorinstanzen selber die fraglichen Abklärungen zu seiner (angeblichen) griechischen Identität vornehmen müssen.
Diese verfahrensrechtlichen Rügen erweisen sich als offensichtlich unbegründet:
Der Beschwerdeführer vermag nicht nachvollziehbar darzulegen, dass weder er noch sein Anwalt über die griechische Botschaft die von ihm behaupteten Dokumente (angeblicher Taufschein, Auskünfte von kirchlichen Behörden usw.) hätten einholen können. Ebenso wenig ist nachvollziehbar, weshalb weder er noch sein Anwalt die gewünschten Telefonate (in der Schweiz oder ins Ausland) hätten führen können. Er behauptet im Übrigen nicht, dass ihm jegliche Telefonate aus der Ausschaffungs- oder Auslieferungshaft verweigert worden wären. Die Vorinstanzen hatten auch keinen Anlass, von Amtes wegen weitere Nachforschungen zu unglaubhaften Behauptungen des Beschwerdeführers anzustellen, nachdem sich sein griechischer Pass - auch nach Bestätigung der griechischen Behörden - als gefälscht herausgestellt hatte und keinerlei objektive Anhaltspunkte für eine angebliche griechische Staatsangehörigkeit und Identität bestanden. Diesbezüglich kann ergänzend auf die obigen Erwägungen betreffend ZEMIS-Registrierung (E. 3) verwiesen werden. Der Beschwerdeführer legt in der Hauptsache auch nicht dar, inwiefern sich gestützt auf eine (angebliche) griechische Staatsbürgerschaft die Flüchtlingseigenschaft oder ein Auslieferungshindernis begründen liesse.
Zwar macht er beiläufig noch geltend, die Asylbehörden hätten die Pflicht, die Akten aus dem konnexen Auslieferungsverfahren beizuziehen (<ref-law>). Er legt jedoch nicht dar, inwiefern eine der Vorinstanzen des Asylverfahrens diese Vorschrift missachtet hätte. Auf unsubstanziierte Vorbringen ist nicht einzutreten (<ref-law>).
5.
Schliesslich rügt der Beschwerdeführer im Rahmen seiner Asylbeschwerde noch eine Verletzung von <ref-law>. Diese Bestimmung sei grundsätzlich anwendbar, wenn der Bundesrat ein Herkunftsland als sogenanntes "safe country" eingestuft habe. Zwar werde Albanien (im Anhang 2 zur Asylverordnung 1) als verfolgungssicheres Herkunftsland aufgelistet. Diese Einstufung sei jedoch "nicht unumstösslich". Die Regelvermutung könne nach der Praxis des Bundesverwaltungsgerichtes im Einzelfall, aufgrund konkreter und substanziierter Hinweise, auch umgestossen werden. Dies treffe hier allein schon deshalb zu, weil die albanischen Strafbehörden bereits vor dem Entscheid des SEM über die Ablehnung des Asylantrages ein Auslieferungsgesuch gestellt hätten. Es grenze an Absurdität, dass das SEM das Asylgesuch des Beschwerdeführers als offensichtlich unbegründet abgewiesen habe, obwohl gleichzeitig ein Auslieferungsverfahren hängig war. Aus den Akten des Auslieferungsverfahrens ergebe sich, dass er, der Beschwerdeführer, von der albanischen Justiz "nicht unparteiisch und fair behandelt" worden sei.
5.1. Wie sich aus den nachfolgenden Erwägungen ergibt, kann offen bleiben, ob die Rüge der Verletzung von <ref-law> ein unzulässiges Novum darstellt (<ref-law>).
Die Vorinstanz hat im Zusammenhang mit dem Untersuchungsgrundsatz (<ref-law>) und der Mitwirkungsobliegenheit des Asylgesuchstellers (<ref-law>; <ref-law>) Folgendes erwogen: Das SEM habe in seinem ablehnenden Asylentscheid ausführlich und nachvollziehbar begründet, weshalb es dem Beschwerdeführer nicht gelungen sei, die gesetzliche Regelvermutung umzustossen, wonach in Albanien eine flüchtlingsrechtlich bedeutsame staatliche Verfolgung nicht stattfinde und auch der behördliche Schutz vor nichtstaatlicher Verfolgung gewährleistet sei. Dabei habe das SEM auf die relevanten Akten und die eingereichten Beweismittel eingehend Bezug genommen und diese detailliert gewürdigt. Die Behörde sei zum Schluss gekommen, dass es an konkreten und substanziierten Hinweisen fehle, wonach die beanstandeten ausländischen Verfahren nicht nach rechtsstaatlichen Prinzipien durchgeführt worden wären.
5.2. Der Bundesrat bezeichnet neben den EU/EFTA-Staaten weitere Staaten, in denen nach seinen Feststellungen Sicherheit vor Verfolgung besteht, als sichere Heimat- oder Herkunftsstaaten (<ref-law>). Er überprüft diese Einstufung periodisch (<ref-law>) und unterbreitet den zuständigen Kommissionen der eidgenössischen Räte die betreffende Liste vor jeder beabsichtigten Änderung, mindestens aber einmal pro Jahr zur Konsultation (<ref-law>).
Gemäss Anhang 2 zur Asylverordnung 1 über Verfahrensfragen vom 11. August 1999 (Asylverordnung 1 [SR 142.311]) gehört die Republik Albanien zu den verfolgungssicheren Heimat- oder Herkunftsstaaten.
Wer um Asyl nachsucht, muss die Flüchtlingseigenschaft nachweisen oder zumindest glaubhaft machen (<ref-law>). Unglaubhaft sind insbesondere Vorbringen, die in wesentlichen Punkten zu wenig begründet oder in sich widersprüchlich sind, den Tatsachen nicht entsprechen oder massgeblich auf gefälschte oder verfälschte Beweismittel abgestützt werden (<ref-law>). Asylsuchende sind verpflichtet, an der Feststellung des Sachverhaltes mitzuwirken. Sie müssen nach <ref-law> insbesondere ihre Identität offen legen (lit. a), Reisepapiere und Identitätsausweise abgeben (lit. b) und allfällige Beweismittel vollständig bezeichnen und sie unverzüglich einreichen oder, soweit dies zumutbar erscheint, sich darum bemühen, sie innerhalb einer angemessenen Frist zu beschaffen (lit. d).
Gemäss <ref-law> verzichten Personen, die ohne triftigen Grund ihre Mitwirkungspflicht verletzen, damit auf eine Weiterführung des Asylverfahrens (Satz 1). Die Gesuche werden formlos abgeschrieben. Ein neues Gesuch kann frühestens nach drei Jahren deponiert werden (Sätze 3-4). Vorbehalten bleibt die Einhaltung der Flüchtlingskonvention vom 28. Juli 1951 (Satz 5).
Wird aufgrund ihrer Anhörung offenkundig, dass Asylsuchende ihre Flüchtlingseigenschaft weder beweisen noch glaubhaft machen können und ihrer Wegweisung keine Gründe entgegenstehen, so wird das Gesuch ohne weitere Abklärungen abgelehnt (<ref-law>). Der Entscheid muss zumindest summarisch begründet werden (<ref-law>).
5.3. Der Beschwerdeführer räumt ein, dass Albanien im Anhang 2 zur Asylverordnung 1 als verfolgungssicherer Heimat- oder Herkunftsstaat aufgelistet ist. Er legt keine konkreten und substanziierten Hinweise dafür dar, dass in seinem Fall dennoch eine asylrechtlich relevante grundrechtswidrige Verfolgung drohen würde. Der blosse Umstand, dass die albanischen Strafbehörden am 7. Mai 2021 seine Auslieferung zur Vollstreckung mehrerer rechtskräftiger Freiheitsstrafen wegen diversen Vermögensdelikten beantragt haben, worauf er am 20. Mai 2021 aus der Ausschaffungshaft heraus ein Asylgesuch stellte, begründet keine Besorgnis der grundrechtswidrigen staatlichen Verfolgung. Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers führt der Umstand, dass vor dem Einreichen eines Asylbegehrens ein Auslieferungsgesuch hängig war, welches mit dem Asylverfahren prozessual koordiniert werden muss, auch nicht automatisch dazu, dass ein Asylbegehren sich nicht als offenkundig unbegründet (im Sinne von <ref-law>) erweisen könnte. Aus seiner nicht näher konkretisierten Behauptung, er sei von der albanischen Justiz "nicht unparteiisch und fair behandelt" worden, mit pauschalem Verweis auf die Akten des Rechtshilfeverfahrens, ergeben sich keine substanziierten Anhaltspunkte für eine konkret drohende grundrechtswidrige Behandlung des Beschwerdeführers.
Damit erweist sich auch die Rüge der Verletzung von <ref-law> als offensichtlich unbegründet, soweit sie überhaupt prozessual zulässig ist.
6.
Im Zwischenergebnis ist festzuhalten, dass die Asylbeschwerde (1C_788/2021) abzuweisen ist, soweit darauf eingetreten werden kann.
7.
Zu prüfen bleibt noch die Beschwerde vom 31. Januar 2022 (ergänzt am 4. Februar 2022) in der Auslieferungssache (Verfahren 1C_74/ 2022).
Die gesetzliche Entscheidfrist von <ref-law> war im vorliegenden Fall einer gesetzlich gebotenen Koordination mit dem hängigen Asylverfahren nicht massgeblich (<ref-law>).
Die Beschwerdeschrift und ihre Ergänzung erhalten keine - auch keine sinngemässen - Ausführungen zur gesetzlichen Sachurteilsvoraussetzung des besonders bedeutenden Falles (<ref-law>). Ebenso wenig erhebt der Beschwerdeführer substanziierte Rügen gegen den angefochtenen Entscheid des Bundesstrafgerichts. Die Beschwerde in der Auslieferungssache erweist sich als offensichtlich unzulässig (Art. 42 Abs. 2 Sätze 1 und 2 BGG; s.a. <ref-law>).
8.
Zusammenfassend ergibt sich, dass die Beschwerde im Verfahren 1C_788/2021 abzuweisen ist, soweit darauf eingetreten werden kann. Auf die Beschwerde im Verfahren 1C_74/2022 ist nicht einzutreten.
Der Beschwerdeführer stellt für das Verfahren 1C_788/2021 ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Da die Beschwerde zum Vornherein aussichtslos war, ist das Gesuch abzuweisen (<ref-law>). Auf die Erhebung von Gerichtskosten kann in beiden Verfahren ausnahmsweise verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die bundesgerichtlichen Verfahren 1C_788/2021 und 1C_74/2022 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde im Verfahren 1C_788/2021 wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
3.
Auf die Beschwerde im Verfahren 1C_74/2022 wird nicht eingetreten.
4.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
5.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
6.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung V, dem Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, dem Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement sowie dem Eidgenössischen Datenschutz- und Öffentlichkeitsbeauftragten schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. März 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Forster