Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.
Nach einer Strafanzeige wegen übler Nachrede, Verleumdung, falscher Anschuldigung und weiterer Delikte nahm die Staatsanwaltschaft Solothurn die vom Beschwerdeführer gegen die Beschwerdegegner 2 angestrebte Strafuntersuchung am 17. Dezember 2018 nicht an die Hand. Eine dagegen gerichtete Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Solothurn mit Beschluss vom 12. Dezember 2019 ab. Es auferlegte dem Beschwerdeführer die Kosten des Beschwerdeverfahrens von insgesamt Fr. 2'057.35 (inbegriffen die Kosten für die amtliche Verteidigung der Beschwerdegegner 2 von Fr. 1'257.35).
Der Beschwerdeführer wendet sich mit Beschwerde an das Bundesgericht.
Das Obergericht und die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn beantragen die Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdegegner 2 haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.
2.
Mit der Beschwerde in Strafsachen kann auch die Verletzung von Verfassungsrecht gerügt werden (<ref-law>). Die zusätzlich erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist ausgeschlossen (vgl. <ref-law>).
3.
Anfechtungsobjekt ist alleine der vorinstanzliche Beschluss (<ref-law>). Soweit sich der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde nicht damit befasst, ist er mit seinen Ausführungen von vornherein nicht zu hören. Dass er die verlangte Sicherheit in Höhe von Fr. 800.--fristgerecht bezahlt hat (vgl. Urteil 6B_559/2019 vom 6. Juni 2019), bildet nicht (mehr) Gegenstand des vorliegenden Verfahrens.
4.
Die Privatklägerschaft ist zur Beschwerde in Strafsachen nur legitimiert, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Die beschwerdeführende Partei hat im bundesgerichtlichen Verfahren ihre Beschwerdelegitimation darzulegen. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation der Privatklägerschaft strenge Anforderungen (<ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer verweist vor Bundesgericht auf angeblich bezifferte Zivilansprüche in den Strafanträgen und verlangt Genugtuung, Schadenersatz und Wiedergutmachung für die erlittene materielle und immaterielle Unbill. Er benennt indessen keine konkreten Zivilforderungen, die ihm unmittelbar aufgrund der angeblichen Straftaten der Beschwerdegegner 2 zustehen könnten, und zeigt auch nicht ansatzweise auf, dass und inwiefern sich der abschliessende Beschluss des Obergerichts über die Nichtanhandnahme auf allfällige Zivilansprüche auswirken könnte. Um welche konkreten zivilrechtlichen Ansprüche es gehen könnte, ist aufgrund der Natur der Vorwürfe auch nicht ohne Weiteres ersichtlich. Die Beschwerde genügt den Begründungsanforderungen an die Legitimation im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG offensichtlich nicht. Der Beschwerdeführer ist folglich in der Sache nicht zur Beschwerde legitimiert.
5.
Selbst ohne Legitimation in der Sache kann der Beschwerdeführer seine Verfahrensrechte als Partei geltend machen, die eine formelle Rechtsverweigerung bewirken, solange sie nicht auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheides hinauslaufen (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.4). Soweit eine Rüge zulässig ist, ist klar und detailliert darzulegen, inwieweit das angerufene Recht verletzt worden sein soll (<ref-law>; <ref-law>).
Der Beschwerdeführer zählt wahllos (Verfahrens-) Rechte auf, die angeblich verletzt sein sollen, so namentlich das Recht auf rechtliches Gehör. Seine diesbezüglichen Ausführungen beschränken sich indessen auf abstrakte Erwägungen, pauschale Anschuldigungen und blosse Behauptungen, welche die gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht im Ansatz zu erfüllen vermögen. Dass weder er noch die Beschwerdegegner 2 zur Befragung/Beweiserhebung vorgeladen wurden, liegt in der Natur der vorliegenden Nichtanhandnahme. Soweit der Beschwerdeführer der fallführenden Staatsanwältin Voreingenommenheit vorwirft, ergibt sich aus dem angefochtenen Beschluss nicht, dass er dieses Vorbringen bereits im kantonalen Verfahren vorgebracht hätte. Er rügt auch nicht, die Vorinstanz hätte sich damit zu Unrecht nicht befasst. Das Vorbringen ist insofern neu und folglich unzulässig (<ref-law>). Abgesehen davon genügte der Vorwurf auch den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht.
6.
Der Beschwerdeführer beanstandet den Kostenentscheid.
Unbegründet ist sein Vorbringen, soweit er sich gegen die Tragung der Verfahrenskosten für das kantonale Beschwerdeverfahren in der Höhe von Fr. 800.-- wendet. Die Kostenauflage stützt sich auf <ref-law>, wonach die Parteien die Kosten eines Rechtsmittelverfahrens nach Massgabe ihres Obsiegens und Unterliegens tragen. Inwiefern die Vorinstanz diese Bestimmung verletzt haben könnte, zeigt der Beschwerdeführer nicht auf und ist auch nicht ersichtlich.
Hingegen wehrt er sich mit Recht dagegen, dass ihm die Kosten der amtlichen Verteidigung der Beschwerdegegner 2 auferlegt wurden. Nach <ref-law> stellen die Kosten der amtlichen Verteidigung der beschuldigten Person Verfahrenskosten dar, die - abweichende Bestimmungen vorbehalten - vom Staat zu tragen sind (<ref-law>). Zwar sieht <ref-law> die Möglichkeit vor, der beschuldigten Person die Kosten für die unentgeltliche Verbeiständung der Privatklägerschaft zu überbinden. Eine solche Möglichkeit ist in <ref-law>, welcher die Kostentragungspflicht der Privatklägerschaft regelt, jedoch nicht vorgesehen. Ebenso wenig äussert sich <ref-law> in Bezug auf das Rechtsmittelverfahren zu dieser Frage. Die StPO enthält damit keine gesetzliche Grundlage, die es erlauben würde, der Privatklägerschaft die Kosten der amtlichen Verteidigung der beschuldigten Personen aufzuerlegen (vgl. <ref-ruling> E. 5.2). Die vorinstanzliche Kostenauflage an den Beschwerdeführer verletzt insofern Bundesrecht.
7.
Die Beschwerde ist nach dem Gesagten in Bezug auf die dem Beschwerdeführer auferlegten Kosten der amtliche Verteidigung der Beschwerdegegner 2 gutzuheissen und die Sache insoweit zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Der Beschwerdeführer wird im Umfang seines Unterliegens kostenpflichtig (<ref-law>). Er ersucht um unentgeltliche Rechtspflege. Soweit er obsiegt, ist das Gesuch gegenstandslos. Soweit er unterliegt, ist es wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen. Seiner finanziellen Lage ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist ihm nicht zuzusprechen, da er sich nicht anwaltlich vertreten liess. Eine Umtriebsentschädigung wird nur bei "besonderen Verhältnissen" ausgerichtet, die hier nicht gegeben sind. Dem Kanton Solothurn sind keine Verfahrenskosten aufzuerlegen. Die Beschwerdegegner 2 haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Folglich haben sie keine Kosten zu tragen und ist ihnen keine Entschädigung zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, der angefochtene Beschluss vom 12. Dezember 2019 aufgehoben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
3.
Die Gerichtskosten im Umfang von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Februar 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill