Sachverhalt:
A.
Die Bundesanwaltschaft führt eine Strafuntersuchung gegen A._ unter anderem wegen des Verdachts auf Verbrechen gegen die Menschlichkeit. A._ wurde am 26. Januar 2017 festgenommen und befindet sich seither in Untersuchungshaft. Am 7. Dezember 2020 stellte er dem Zwangsmassnahmengericht des Kantons Bern den Antrag, die Widerrechtlichkeit der Haftbedingungen festzustellen und die Verfahrensleitung anzuweisen, alle Massnahmen zur sofortigen Beendigung dieser Widerrechtlichkeit zu ergreifen. Weiter verlangte er, es sei sein Recht, eine Entschädigung geltend zu machen, vorzumerken. Mit Entscheid vom 10. September 2021 trat das Zwangsmassnahmengericht auf das Gesuch nicht ein. Für die beiden ersten Anträge fehle es an seiner Zuständigkeit bzw. an einer Rechtsgrundlage. Für den dritten Antrag bestehe kein Rechtsschutzinteresse, denn für das Geltendmachen von Entschädigungsansprüchen brauche es keine Vormerkung.
Auf eine dagegen erhobene Beschwerde A._s trat das Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, mit Beschluss vom 6. Oktober 2021 nicht ein. Zur Begründung hielt es fest, nach der Strafprozessordnung sei keine Beschwerde möglich. Im Übrigen wäre die Beschwerde abzuweisen, wenn darauf eingetreten werden könnte.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht vom 8. November 2021 verlangt der Beschwerdeführer in der Hauptsache die Aufhebung des Beschlusses des Bundesstrafgerichts. Zudem wiederholt er die erwähnten, bereits vor den Vorinstanzen gestellten Anträge. Eventualiter verlangt er, die Sache an das Zwangsmassnahmengericht zurückzuweisen.
Das Zwangsmassnahmengericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Bundesstrafgericht verweist auf die Begründung des angefochtenen Beschlusses. Die Bundesanwaltschaft beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Nichteintretensentscheid der Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts, der vom Beschwerdeführer beanstandete Bedingungen der Untersuchungshaft betrifft. Dagegen ist die Beschwerde in Strafsachen zulässig (Art. 78 Abs. 1, Art. 79 und Art. 80 BGG; HEIMGARTNER/KESHELAVA, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 11 zu <ref-law>). Es handelt sich um einen Zwischenentscheid, gegen den nur unter den Voraussetzungen von Art. 92 f. BGG die Beschwerde ans Bundesgericht möglich ist. Praxisgemäss wird indessen bei Beschwerden wegen formeller Rechtsverweigerung auf das Erfordernis des nicht wieder gutzumachenden Nachteils gemäss <ref-law> verzichtet, weshalb die Beschwerde insofern ohne Weiteres zulässig ist (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.1; je mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer ist zudem gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt.
1.2. Zu prüfen ist einzig, ob das Bundesstrafgericht zu Recht einen Nichteintretensentscheid fällte (vgl. <ref-ruling> E. 1.2) oder ob die Eventualbegründung des angefochtenen Entscheids bundesrechtskonform ist. Soweit der Beschwerdeführer darüber hinausgehend verlangt, es sei die Rechtswidrigkeit der Haftbedingungen festzustellen und der Verfahrensleitung entsprechende Anweisungen zu erteilen sowie eine spätere Geltendmachung von Ersatzansprüchen vorzubehalten, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
2.
2.1. Im Rahmen seiner Eventualbegründung bestätigte das Bundesstrafgericht die Rechtsauffassung des Zwangsmassnahmengerichts. Dieses hatte erwogen, dass es Aufgabe der Kantone sei, die Beschwerdemöglichkeiten von inhaftierten Personen gegen die Haftbedingungen zu regeln. Im Kanton Bern habe das Amt für Justizvollzug zur Klärung strittiger Verhältnisse auf Antrag des Eingewiesenen eine schriftliche Verfügung zu erlassen, die mit Beschwerde bei der Sicherheitsdirektion des Kantons Bern angefochten werden könne. Dagegen stehe die Beschwerde an das Obergericht des Kantons Bern offen.
2.2. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist zutreffend, dass die Beschwerdemöglichkeiten von in Untersuchungshaft befindlichen Personen von den Kantonen geregelt werden (<ref-law>). Ausnahmen können sich ergeben bei der akzessorischen Prüfung der Haftbedingungen in einem Haftprüfungsverfahren (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 3; Urteil 1B_549/2018 vom 12. April 2019 E. 3.3 mit Hinweis auf MARC FORSTER, Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2. Aufl. 2014 N. 7 und Fn. 37 zu <ref-law>; s. auch das den Beschwerdeführer selbst betreffende Urteil 1B_465/ 2018 vom 2. November 2018 E. 4.5; ferner Urteil 1B_257/2014 vom 6. August 2014 E. 3.4) oder wenn es zur Vermeidung der Gabelung des Rechtswegs erforderlich ist (<ref-ruling> E. 4.4; Urteil 1B_141/ 2020 vom 20. August 2020 E. 5.4). Ein derartiger Fall liegt hier nicht vor. Insbesondere ist nicht die Haftentlassung Verfahrensgegenstand, vielmehr geht es einzig um die Haftmodalitäten.
2.3. Mit der Auslegung der somit massgeblichen kantonalen Normen zur Vollzugsbeschwerde nach <ref-law> durch das Zwangsmassnahmengericht setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG).
3.
Die Kritik des Beschwerdeführers an der Eventualbegründung des angefochtenen Entscheids ist somit unbegründet, soweit sie überhaupt hinreichend substanziiert wurde. Seine Beschwerde ist deshalb abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>). Da sich die Beschwerde als aussichtslos erwiesen hat, ist es abzuweisen. Die Gerichtskosten sind deshalb dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Bundesanwaltschaft, dem Kantonalen Zwangsmassnahmengericht des Kantons Bern und dem Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. November 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Dold