Erwägungen:
1.
Mit Entscheid vom 10. Januar 2022 erteilte das Bezirksgericht Zürich dem Beschwerdegegner gegenüber dem Beschwerdeführer in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Zürich 9 die definitive Rechtsöffnung für Fr. 5'119.82 nebst Zins sowie Fr. 2'544.39.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer Beschwerde. Mit nachträglicher Eingabe vom 22. Februar 2022 ersuchte er um aufschiebende Wirkung. Mit Verfügung vom 25. Februar 2022 wies das Obergericht des Kantons Zürich das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab.
Dagegen hat der Beschwerdeführer am 30. März 2022 (Postaufgabe) Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht erhoben.
2.
Aufgrund des unter Fr. 30'000.-- liegenden Streitwerts (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (Art. 74 Abs. 2 lit. a i.V.m. <ref-law>) ist die Beschwerde in Zivilsachen unzulässig. Die Eingabe ist als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln (<ref-law>). Der angefochtene Entscheid ist ein Zwischenentscheid im Sinne von Art. 117 i.V.m. <ref-law>, womit die Beschwerde nur unter den eingeschränkten Voraussetzungen gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. a oder b BGG zulässig ist. Vorliegend kommt einzig die Variante von lit. a in Betracht, d.h. die Beschwerde ist nur zulässig, wenn der angefochtene Entscheid einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil bewirken könnte. Der Beschwerdeführer äussert sich nicht zu <ref-law>, beruft sich aber im Zusammenhang mit der streitgegenständlichen aufschiebenden Wirkung auf einen drohenden, nicht wiedergutzumachenden Nachteil. Ob dies den Begründungsanforderungen genügt, kann angesichts des Nachfolgenden offen bleiben.
3.
3.1. Das Obergericht hat erwogen, der Beschwerdeführer begründe sein Gesuch um aufschiebende Wirkung im Wesentlichen einzig damit, dass ihm mit Verfügung des Betreibungsamtes Locarno vom 31. Januar 2022 der Konkurs angedroht worden sei. Die Konkursandrohung stelle jedoch - so das Obergericht - bloss eine Behauptung dar, die mangels objektiver Anhaltspunkte nicht als glaubhaft gemacht anzusehen sei. Insbesondere habe der Beschwerdeführer nicht einmal behauptet, dass die Konkursandrohung Folge der vorliegenden Rechtsöffnung wäre.
3.2. Der Beschwerdeführer äussert sich vor Bundesgericht nicht zu dieser Erwägung, sondern stützt sich auf die vorangehende Erwägung des Obergerichts, wonach für Geldzahlungen die aufschiebende Wirkung nur dann gewährt werden könne, wenn geltend und glaubhaft gemacht werde, dass die Zahlung den Schuldner in ernstliche finanzielle Schwierigkeiten bringen würde oder eine allfällige Rückforderung ernstlich gefährdet wäre. Er wirft dem Obergericht vor, es habe sich dazu materiell gar nicht geäussert, obschon sein Antrag diese Voraussetzungen erfülle, und es habe damit gegen <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK sowie das Willkürverbot verstossen. Der Beschwerdeführer übergeht, dass es sich dabei um eine allgemeine Erwägung handelt und nicht um die konkrete Sachverhaltsfeststellung und Rechtsanwendung in Bezug auf sein Gesuch. Sein Vorwurf an das Obergericht, die angefochtene Verfügung zu wenig begründet zu haben, geht damit an der Sache vorbei. Zur konkreten Sachverhaltsfeststellung und Rechtsanwendung äussert er sich wie gesagt nicht. Er geht nicht darauf ein, dass er die Konkursandrohung vor Obergericht nicht belegt hat und noch nicht einmal einen Zusammenhang der angeblichen Konkursandrohung mit der Betreibung behauptet hat, die Gegenstand des Rechtsöffnungsverfahrens bildet.
Die Beschwerde genügt damit den strengen Rügeanforderungen der subsidiären Verfassungsbeschwerde nicht (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399; <ref-ruling> E. 2.4 S. 368). Auf sie ist nicht einzutreten.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war die Beschwerde von vornherein aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, mitgeteilt.
Lausanne, 6. April 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg