Sachverhalt:
A.
A.a. Die Stadt Luzern ist Eigentümerin der Parzellen Nrn. 852, 853, 855 und 866 (Grundbuch Luzern rechtes Ufer). Dort betreibt sie das Betagtenzentrum Dreilinden, das aus mehreren Häusern besteht. Zwei dieser Bauten waren sanierungsbedürftig, weshalb die Stadt Luzern im Jahr 2011 eine Sanierung beschloss, in deren Rahmen zwei Bauten des Betagtenzentrums aufgestockt wurden. Die Bauarbeiten sind inzwischen abgeschlossen.
A.b. Verschiedene Eigentümer von weiter oben am Hang gelegenen Grundstücken verfügten seit 1931 zulasten der Liegenschaften des Betagtenzentrums über eine sog. "Villendienstbarkeit" (Bau-, Pflanzungs- und Gewerbebeschränkung). Demnach darf eine Baute auf dem belasteten Grundstück "ausser dem Erdgeschoss nur noch zwei Stockwerke tragen, ein allf. Mansardendach nicht inbegriffen und darf die Firstkante des Gebäudes die Höhe von 16 m... nicht übersteigen". Ausserdem dürfen Bäume nicht höher als 8 m gezogen werden. Da die Neubauten des Betagtenzentrums der Dienstbarkeit nicht vollumfänglich entsprechen, versuchte die Stadt Luzern, diese abzulösen oder anzupassen.
A.c. Mit mehreren Eigentümern konnte keine Einigung erzielt werden, unter anderem mit A._, dem Eigentümer einer oberhalb des Betagtenzentrums gelegenen Stockwerkeigentums-Einheit. In der Folge beantragte die Stadt Luzern am 19. September 2012 die Erteilung des Enteignungsrechts für die fragliche Dienstbarkeit und um Einleitung des Enteignungsverfahrens. Am 2. Juli 2013 hiess der Regierungsrat dieses Begehren bzw. den darin enthaltenen Eventualantrag gut und ersetzte das Villenservitut durch andere Bau- und Gewerbebeschränkungen. Am. 18. Februar 2014 ersuchte die Stadt Luzern bei der Kantonalen Schätzungskommission nach Enteignungsgesetz (nachfolgend: Schätzungskommission) um Feststellung, dass für die Anpassung des Servituts keine Entschädigung geschuldet sei. A._ seinerseits stellte Ersatzforderungen in der Höhe von mehreren Millionen Franken.
A.d. Mit Entscheid vom 29. Dezember 2015 verweigerte die Schätzungskommission A._ eine Enteignungsentschädigung. Das Kantonsgericht Luzern wies eine dagegen erhobene Beschwerde am 7. November 2016 ab. Das Bundesgericht hiess am 31. Mai 2017 eine Beschwerde von A._ gegen diesen Entscheid wegen Verletzung des rechtlichen Gehörs gut; es befand, das Kantonsgericht hätte eine Aktennotiz des ehemaligen Präsidenten der Schätzungskommission nicht als internes Aktenstück qualifizieren dürfen, sondern A._ Einsicht in diese gewähren müssen (Urteil 1C_580/2016 vom 9. Dezember 2016).
B.
In der Folge edierte das Kantonsgericht die fragliche Notiz und bot A._ Gelegenheit zur Stellungnahme. Sodann führte es einen Augenschein durch. Am 11. Dezember 2017 wies das Gericht die Beschwerde erneut ab. Es befand, die Aussicht von der Liegenschaft A._s auf die Stadt Luzern und den See werde durch den Neubau bzw. den Baum vor (bzw. von seinem Haus aus gesehen: hinter) dem Betagtenzentrum nur minimal beeinträchtigt. Eine unmittelbare Folge für deren Verkehrswert sei nicht zu erkennen, weshalb die Stadt Luzern keine Enteignungsentschädigung schulde.
C.
Am 16. Januar 2018 erhob A._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt im Wesentlichen, den Entscheid des Kantonsgerichts aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an dieses zurückzuweisen.
Die Stadt Luzern und das Kantonsgericht schliessen ohne weitere Ausführungen auf Abweisung der Beschwerde. Die Schätzungskommission verzichtete auf eine Stellungnahme. Das Bau-, Umwelt- und Wirtschaftsdepartement des Kantons Luzern liess sich innert Frist nicht vernehmen.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid über die auf kantonalem Recht beruhende Entschädigungspflicht im Zusammenhang mit der formellen Enteignung einer Dienstbarkeit. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht nach <ref-law> offen. Der Beschwerdeführer war am Verfahren vor der Vorinstanz beteiligt und ist als Enteigneter gemäss <ref-law> zur Beschwerde legitimiert.
1.2. Anfechtungsobjekt ist das Urteil des Luzerner Kantonsgerichts; dieses hat den Entscheid der Schätzungskommission ersetzt (Devolutiveffekt). Soweit der Beschwerdeführer letzteren beanstandet, ist auf die Beschwerde daher nicht einzutreten. Immerhin gelten Entscheide unterer Instanzen als inhaltlich mitangefochten (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 144; <ref-ruling> E. 1 S. 441).
1.3. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht und von kantonalen verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 95 lit. a und c BGG). Das Bundesgericht prüft Rechtsverletzungen im Sinne von <ref-law> frei, die Anwendung kantonalen Rechts dagegen nur auf Bundesrechtsverletzungen, d.h. namentlich auf Willkür hin (<ref-ruling> E. 2 S. 149 f.).
Mit Bezug auf die hier strittige kantonalrechtliche Enteignung bedeutet dies, dass das Bundesgericht mit freier Kognition prüft, ob die Entschädigung bzw. ihre Höhe methodisch richtig ermittelt und insoweit dem verfassungsrechtlichen Anspruch auf volle Entschädigung (<ref-law>) hinreichend Rechnung getragen worden ist. Soweit sich die Kritik hingegen auf die bei der Anwendung dieser Methoden getroffenen tatsächlichen Feststellungen oder Annahmen bezieht, ist das angefochtene Urteil lediglich unter Willkürgesichtspunkten zu prüfen (<ref-ruling> E. 6.3 S. 88 f.; Urteil des Bundesgerichts 1C_716/2013 vom 1. April 2015 E. 6.2).
1.4. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>).
1.4.1. Allerdings prüft es nur die geltend gemachten Rügen. Dementsprechend ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Strengere Anforderungen an die Begründungspflicht gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht geltend gemacht wird. Solche Rügen prüft das Bundesgericht nur insofern, als sie in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind (<ref-law>). Es ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen; rein appellatorische Kritik ist unzulässig (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 232, mit Hinweisen).
1.4.2. Diesen Anforderungen genügt die vorliegende Beschwerde höchstens teilweise. Die Vorbringen des Beschwerdeführers betreffen teils das prozessuale Vorgehen der Vorinstanz oder der Schätzungskommission, teils die Frage des Schadens, den er geltend macht. Mit hinreichender Klarheit lässt sich der Beschwerde bloss entnehmen, dass er dem Kantonsgericht im Zusammenhang mit dem Augenschein gravierende formelle Fehler und damit eine willkürliche Vorgehensweise vorwirft und, teilweise darauf gründend, eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung. Diese Einwände sind nachfolgend näher zu prüfen. Darüber hinaus erhebt der Beschwerdeführer in appellatorischer Weise zahlreiche formelle und materielle Rügen, ohne sich ausdrücklich auf irgendeine Norm des kantonalen oder des Bundesrechts zu berufen. Insoweit erscheint es äusserst fraglich, ob überhaupt auf die Beschwerde eingetreten werden kann. Die Frage braucht aber nicht vertieft zu werden, weil das Rechtsmittel in diesen Punkten, wäre es an die Hand zu nehmen, ohnehin abzuweisen wäre.
2.
2.1. Die Vorinstanz führte auf dem Grundstück des Beschwerdeführers einen Augenschein durch. Dieser wirft ihr vor, bei diesem Anlass im Ergebnis willkürlich vorgegangen zu sein und den Sachverhalt offensichtlich falsch festgestellt zu haben.
2.2. Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, die Vorinstanz habe die Beeinträchtigung seiner Aussicht auf den See "durch den See-Sicht versperrenden Baum... willkürlich nicht im Detail dokumentiert". Es seien bloss vier Panoramafotos erstellt und diese Aufnahmen seien manipuliert worden. Sie seien deshalb als Beweismittel auszuschliessen.
Diese Vorbringen überzeugen nicht. Zunächst ist nicht ersichtlich, weshalb die vier vorliegenden Fotografien die Situation nicht zutreffend darstellen sollten. Die dokumentierten Aufnahmen wurden vom Pool im Garten des Beschwerdeführers, vom Sitzplatz im Erdgeschoss, vom Wohnzimmer im Erdgeschoss sowie von der Dachterrasse aus erstellt. Sie vermitteln einen guten Eindruck der Situation; der Beschwerdeführer macht nicht deutlich, von welchen Standorten aus weitere Fotos hätten erstellt werden sollen, und welche zusätzlichen Erkenntnisse daraus zu gewinnen gewesen wären. Sodann ist auch nicht davon auszugehen, die Aufnahmen seien in wesentlicher Weise verändert worden. Vielmehr sind sowohl die neu erstellte Baute des Betagtenzentrums wie auch der Baum davor gut zu erkennen und sie lassen sich ohne weiteres vergleichen mit den Fotos, welche die Schätzungskommission einige Jahre früher gemacht und die der Beschwerdeführer dem Bundesgericht als Beilage eingereicht hat.
2.3. Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, entgegen der Ansicht der Vorinstanz habe er von seinem Gartensitzplatz aus (Standort 2, von dem aus die zweite Fotografie des Augenscheinsprotokolls erstellt wurde) nicht nur Blickkontakt zum Betagtenzentrum, sondern auch der See sei hinter dem Baum von blossem Auge sehr gut erkennbar. Die Aussage des Kantonsgerichts, wonach von den Standorten 3 und 4 (Garten bzw. Wohnzimmer) der See nicht zu sehen sei, treffe lediglich zum heutigen Zeitpunkt zu, weil er aus gesundheitlichen Gründen in der letzten Zeit den Rückschnitt der Gartenbepflanzung vernachlässigt habe. Vor einigen Jahren habe direkter Blickkontakt bestanden. Die Richtigkeit seiner Ausführungen ergebe sich klar aus den Fotoaufnahmen der Schätzungskommission.
Diese Vorbringen des Beschwerdeführers belegen keine Willkür in der Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz. Aus den Fotoaufnahmen, die anlässlich des vom Kantonsgericht durchgeführten Augenscheins erstellt wurden, ergibt sich offensichtlich, dass vom Garten des Beschwerdeführers keine Sichtverbindung zum See besteht, jedenfalls nicht im Bereich des Betagtenzentrums, und auch keine Sichtverbindung zu diesem selbst. Dasselbe gilt für das Wohnzimmer des Beschwerdeführers: Von dort wird der Blick auf den See durch grosse Nadelbäume versperrt, wobei nicht auszuschliessen ist, dass Teile der einen Baute des Betagtenzentrums bei guten Witterungsverhältnissen zwischen den Bäumen hindurch knapp zu erkennen wären. Sodann hielt die Vorinstanz fest, vom Sitzplatz im Erdgeschoss (Standort 2 ihres Augenscheins) sehe man zwar das Betagtenzentrum, nicht aber den See. Dies ergibt sich so aus der Fotografie, die dem Protokoll beiliegt. Diese Feststellung ist nicht willkürlich, auch wenn auf der Foto der Schätzungskommission, die der Beschwerdeführer dem Bundesgericht eingereicht hat, eine äusserst schmale Partie des Sees zu erkennen ist. Offenbar entscheidet bei diesem Standort die genaue Position des Fotografen, ob noch ein schmaler Streifen des Sees erkennbar ist oder nicht; für den Ausgang des Verfahrens ist dies aber nicht entscheidend.
2.4. Unbestrittenermassen verfügt der Beschwerdeführer von der Dachterrasse seiner Liegenschaft (Standort 1 des Augenscheins) aus über Seeblick. Die Vorinstanz bezeichnete die Aussicht in ihrem Urteil als "uneingeschränkte Sicht auf das Luzerner Seebecken, den Pilatus sowie die Altstadt von Luzern" und auch auf den Bürgenstock. An anderer Stelle hielt sie allerdings auch fest, dass der vor dem Betagtenzentrum stehende Baum die Aussicht "minim" einschränkt. Der Beschwerdeführer erachtet die Beeinträchtigung demgegenüber als erheblich. Bei diesen unterschiedlichen Einschätzungen handelt es sich freilich nicht um die Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts, sondern um die unterschiedliche Würdigung und Gewichtung der Gegebenheiten.
3.
3.1. Gemäss Art. 26 Abs. 1 und 2 BV ist das Eigentum gewährleistet; Enteignungen und Eigentumsbeschränkungen, die einer Enteignung gleichkommen, werden voll entschädigt. Die Vorinstanz hat in E. 3.1 und 3.2 ihres Urteils die Modalitäten der Ermittlung der Enteignungsentschädigung korrekt dargestellt. Darauf kann verwiesen werden. Insbesondere hat sie richtigerweise festhalten, dass für die Bemessung der Entschädigung für die Enteignung einer Dienstbarkeit grundsätzlich die Regeln über die Teilenteignung zur Anwendung gelangen. Zu ersetzen ist mithin die Differenz zwischen dem Verkehrswert des servitutsbegünstigten Grundstücks und dessen Wert ohne das Servitut.
3.2. Die Vorinstanz gelangte - gleich wie die Schätzungskommission - zum Ergebnis, der Beschwerdeführer habe durch die Anpassung des Villenservituts keinen ökonomischen Nachteil erlitten, weil sich diese nicht auf den Verkehrswert seiner Liegenschaft ausgewirkt habe. Der Neubau des Betagtenzentrums beeinträchtige die Aussicht von seiner Liegenschaft kaum (vgl. dazu oben E. 2.3 und 2.4). Deren Einschränkung durch den Baum vor dem Betagtenzentrum sei ebenfalls minimal und der Umstand, dass der Beschwerdeführer wegen der Anpassung der Dienstbarkeit keinen Rückschnitt mehr verlangen könne, stelle keine entschädigungspflichtige Einschränkung dar, zumal er nicht geltend mache, dies je verlangt zu haben.
3.3. Diese Erwägungen lassen im Ergebnis keine Bundesrechtswidrigkeit erkennen.
3.3.1. Zwar erscheint das letztgenannte Argument zweifelhaft: Abgesehen davon, dass der Beschwerdeführer bestreitet, nie einen Rückschnitt verlangt zu haben, kann die Beachtung eines Niederhalteservituts jederzeit verlangt werden und verfällt nicht durch Zeitablauf. Das ändert aber nichts am Kern der Argumentation der Vorinstanz. Diese sowie die - unter Mitwirkung von Immobilienfachleuten entscheidende - Schätzungskommission haben eine Verminderung des Werts der Liegenschaft des Beschwerdeführers verneint, weil der Neubau beim Betagtenzentrum und der strittige Baum die Aussicht auf den See, die Stadt Luzern und die Bergwelt kaum beeinträchtigen würden. Zu dieser Einschätzung hinsichtlich der Aussicht sind die kantonalen Behörden beide nach Durchführung eines Augenscheins gelangt. Wie weiter oben bereits ausgeführt (E. 2.3 und 2.4), lässt sich dies ohne Willkür vertreten.
3.3.2. Dasselbe gilt für die Verneinung eines Minderwerts. Was die angepasste Höhenbeschränkung betrifft, hat sich die Vorinstanz der Auffassung der Schätzungskommission angeschlossen; diese hatte erwogen, im Bereich des Hauptbaus des Betagtenzentrums führe die neue Dienstbarkeit zu einer besseren dienstbarkeitsrechtlichen Absicherung der Aussicht. Deren Beeinträchtigung durch den - aufgestockten - Annexbau sei minimal, da dieser rund 200 m von der Liegenschaft des Beschwerdeführers entfernt und tiefer liege. Insgesamt werde deren Verkehrswert nicht vermindert. Die Vorinstanz befand, sowohl die am Augenschein gerichtlich erstellten als auch die vom Beschwerdeführer eingereichten Fotografien würden diese Einschätzung bestätigen.
Der Beschwerdeführer meint zwar, es sei "selbst für Laien offenkundig, dass das Ausmass der See-Sicht das entscheidende Kriterium für den Wert einer Immobilie darstellt". Dieser Auffassung kann indes nicht gefolgt werden, stellt doch die Lagequalität (neben der Art und Grösse des Objekts, dessen Alter, Zustand usw.) bloss einen von mehreren Faktoren dar, die den Verkehrswert einer Immobilie beeinflussen. Sie wird ihrerseits neben der Aussicht durch weitere Umstände wie Lärmbelastung, Verkehrsanbindungen und die Entfernung zu Schulen, Einkaufsmöglichkeiten usw. geprägt. Angesichts dessen scheint es keineswegs ausgeschlossen, dass die minimale Beeinträchtigung der Aussicht, die sich ausserdem fast ausschliesslich im Winterhalbjahr und bei klarer Witterung bemerkbar macht, den Verkehrswert der Stockwerkeinheit des Beschwerdeführers nicht in messbarer Weise vermindert. Dabei gilt es auch zu beachten, dass die Beurteilung des Verkehrswerts einer Liegenschaft stets mit beachtlichen Unschärfen verbunden ist und den zuständigen Behörden ein gewisses Einschätzungsermessen zusteht. Von diesem haben die Vorinstanzen in vertretbarer Weise Gebrauch gemacht.
4.
Demnach ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Baudirektion der Stadt Luzern, dem Bau-, Umwelt- und Wirtschaftsdepartement des Kantons Luzern, der Schätzungskommission nach Enteignungsgesetz des Kantons Luzern und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. März 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Uebersax