Faits :
A.
Par jugement du 18 février 2019, le Tribunal de police de l'arrondissement de La Côte a constaté que C._ s'était rendu coupable de violation du secret de fonction, l'a exempté de toute peine, a mis à sa charge les frais de procédure, a alloué à A._ et à B._ une indemnité pour leurs frais de défense au sens de l'<ref-law> à la charge de C._ et a rejeté toutes autres ou plus amples conclusions.
B.
Par jugement du 15 août 2019, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois a admis l'appel formé par C._ et réformé le jugement de première instance en ce sens qu'elle a libéré l'intéressé du chef d'accusation de violation du secret de fonction, laissé les frais de procédure à la charge de l'Etat, alloué à C._, à la charge de l'Etat, une indemnité pour les dépenses occasionnées par l'exercice raisonnable de ses droits de procédure et rejeté les conclusions en indemnité de l'<ref-law>P de A._ et de B._ ainsi que toutes autres ou plus amples conclusions. En outre, elle a mis les frais d'appel, par 2'350 fr., par moitié, à la charge de A._ et, par moitié, à la charge de B._ et dit que ces derniers, solidairement entre eux, devaient verser à C._ la somme de 6'000 fr. à titre d'indemnité pour les dépenses occasionnées par l'exercice raisonnable de ses droits dans le cadre de la procédure d'appel.
En substance, elle a retenu les faits suivants:
En mai et juin 2015, Me A._ a représenté D._ dans le cadre d'un conflit conjugal l'opposant à son époux, le procureur C._. Elle conseillait encore sa cliente lorsque celle-ci a décidé de révoquer un accord de suspension de la procédure fondé sur l'<ref-law>. C._ a tenté en vain d'obtenir de l'avocate qu'elle fasse changer son épouse d'avis.
Le 9 novembre 2015, l'avocat B._ travaillant dans la même étude que A._ a demandé au procureur C._ de se récuser dans une procédure impliquant un prévenu dont il défendait les intérêts. Selon lui, depuis que sa collègue était intervenue pour défendre son épouse ′′ dans un certain dossier sur lequel il ne souhaitait pas épiloguer ′′, il en voulait aux avocats de l'étude et n'apparaissait plus indépendant et impartial. Dans sa demande de récusation, l'avocat priait le procureur de renoncer volontairement à s'occuper du dossier, ajoutant : ′′ naturellement, si cette requête venait à être refusée, je pars du principe que vous m'autorisez à en exposer les raisons précises devant le Tribunal cantonal ′′.
Excédé par le lien que l'avocat B._ faisait entre le dossier pénal susmentionné et sa procédure personnelle l'ayant opposé à son épouse et portant sur des faits sensibles, le procureur C._ a téléphoné à celle-ci. Il lui a fait comprendre que Me A._ ou un avocat de son étude utilisait des informations provenant de leur dossier pour lui nuire. Il l'a rendue responsable de ce qui lui arrivait, lui a reproché qu'un collègue de A._ puisse avoir accès à des informations confidentielles et les utiliser pour faire pression sur lui dans le cadre de son travail. Il a précisé qu'elle ne devait pas parler de cette conversation, car elle pourrait lui valoir des ennuis.
Le 26 novembre 2015, D._ a écrit un courriel à Me A._ intitulé " Information concernant les agissements d'un de vos collègues : violation de la sphère privée et du secret professionnel, aggravée par l'absence de mandat ". En substance, elle disait à son ancienne avocate avoir appris qu'un de ses associés ′′ utilisait les données confidentielles de son dossier à des fins personnelles dans le cadre de dossiers qu'il traitait avec le Ministère public ′′. Elle n'imaginait pas que la fuite puisse venir d'elle. Elle demandait à Me A._ de se renseigner et de lui indiquer qui était à l'origine ′′ de cette infraction ′′et souhaitait des explications et des excuses.
C.
Contre le jugement du 15 août 2019, A._ et B._ déposent un recours en matière pénale et un recours constitutionnel subsidiaire devant le Tribunal fédéral. Ils concluent, principalement, à l'annulation du jugement attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision. A titre subsidiaire, ils requièrent la réforme du jugement attaqué en ce sens que l'appel est rejeté et le jugement de première instance est confirmé et qu'il leur est alloué une indemnité pour leurs frais de défense en procédure d'appel au sens de l'<ref-law>P à la charge de C._.
Invités à se déterminer sur l'application de l'<ref-law> concernant l'indemnité allouée à l'intimé, la cour cantonale, le procureur extraordinaire du canton de Vaud et l'intimé C._ ont renoncé à déposer des observations.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 186; <ref-ruling> consid. 1 p. 358).
1.1. Dirigé contre un arrêt rendu sur appel, le présent recours concerne une décision rendue en matière pénale (<ref-law>), qui émane d'une autorité cantonale de dernière instance (<ref-law>) et qui revêt un caractère final (<ref-law>). Il est donc en principe recevable quant à son objet (arrêt 6B_1153/2016 du 23 janvier 2018 consid. 1.1 non publié aux <ref-ruling>).
Le recours constitutionnel subsidiaire qu'entendent également déposer les recourants s'en trouve par conséquent exclu (<ref-law>). Un éventuel défaut de la qualité pour recourir sous l'angle de l'<ref-law> n'y change rien. La voie du recours constitutionnel subsidiaire n'est pas ouverte dans les cas où la voie du recours ordinaire est fermée en raison du défaut de la qualité pour recourir (arrêts 6B_437/2019 du 8 août 2019 consid. 1.1; 6B_1266/2016 du 4 août 2017 consid. 1.1 et les arrêts cités; 6B_948/2008 du 23 mars 2009 consid. 1.1).
1.2.
1.2.1. En vertu de l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 5 LTF, la partie plaignante qui a participé à la procédure de dernière instance cantonale est habilitée à recourir au Tribunal fédéral, si la décision attaquée peut avoir des effets sur le jugement de ses prétentions civiles.
En cas d'acquittement du prévenu, la partie plaignante doit avoir pris des conclusions civiles sur le fond dans le cadre de la procédure pénale (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 247 s.). Les prétentions civiles sont uniquement celles qui peuvent être présentées dans le cadre de la procédure pénale par la voie d'une constitution de partie civile. Il s'agit des prétentions fondées sur le droit civil, dirigées contre l'accusé et découlant directement de la commission de l'infraction (<ref-ruling> consid. 1a p. 187). Si, pour les actes reprochés au prévenu, une collectivité publique assume une responsabilité de droit public exclusive de toute action directe contre l'auteur, la partie plaignante n'a pas de prétention civile (arrêt 6B_307/2019 du 13 novembre 2019 consid. 3, destiné à la publication; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 88; <ref-ruling> consid. 2.3.3 p. 234; <ref-ruling> consid. 1.2.4 p. 461; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 191).
1.2.2. Indépendamment de sa qualité pour recourir sur le fond, celui qui se prétend lésé par une infraction peut invoquer la violation de droits que le code de procédure pénale ou le droit constitutionnel lui reconnaît comme partie à la procédure, lorsque cette violation équivaut à un déni de justice formel (<ref-ruling> consid. 1.1). La possibilité d'invoquer des garanties procédurales ne lui permet cependant pas de remettre en cause, même de façon indirecte, le jugement au fond. En particulier, le recourant ne peut ni critiquer l'appréciation des preuves ni faire valoir que la motivation n'est pas correcte d'un point de vue matériel (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 326; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 44; <ref-ruling> consid. 1.9 p. 40; <ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 232 s. et les références citées).
1.3. En l'espèce, C._ est un magistrat du ministère public. La loi vaudoise du 16 mai 1961 sur la responsabilité de l'Etat, des communes et de leurs agents (LRECA/VD; RSV 170.11) institue une responsabilité directe de l'Etat, exclusive de celle des agents (art. 5 LRECA/VD). Comme le canton de Vaud a fait usage de la faculté réservée à l'<ref-law>, les recourants ne disposeraient que d'une prétention de droit public à faire valoir non pas contre l'auteur présumé, mais contre l'État. Or, comme vu ci-dessus, de telles prétentions ne constituent pas des prétentions civiles au sens de l'<ref-law>. C'est en vain que les recourants soutiennent que le jugement attaqué les a privés des indemnités allouées par le premier juge en application de l'<ref-law> et que dès lors le jugement attaqué influerait sur leurs prétentions civiles. En effet, l'indemnité fondée sur l'<ref-law> ne vise pas à réparer le dommage subi par la partie plaignante ensuite de l'infraction, mais à rembourser les dépens; elle ne constitue donc pas une prétention civile au sens de l'<ref-law>. Ne disposant d'aucune prétention civile contre l'intimé, les recourants ne sont dès lors pas légitimés à recourir sur le fond du litige en application de l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 5 LTF.
Dans la mesure où les recourants critiquent l'établissement des faits et l'appréciation des preuves, dénoncent une violation de l'<ref-law>, se prévalent du principe de l'autorité de l'arrêt de renvoi et se plaignent d'une mauvaise application des art. 320 et 14 CP, ils s'en prennent au fond du litige, de sorte que leurs griefs sont irrecevables faute de qualité pour recourir selon l'<ref-law>. Il en va de même lorsqu'ils invoquent l'égalité de traitement, faisant valoir que le jugement attaqué est contradictoire par rapport à l'arrêt rendu par la cour cantonale le 9 juin 2017.
2.
Les recourants reprochent à la cour cantonale d'avoir mis à leur charge l'indemnité allouée à l'intimé selon l'<ref-law> pour la procédure de recours. Ils dénoncent également la violation de leur droit d'être entendu, dès lors que, n'étant pas présent à l'audience, ils auraient été privés de leur droit de s'exprimer sur cette question; en outre, cette condamnation ne serait pas motivée.
2.1. Les recourants ont qualité pour recourir contre un jugement qui les condamne à payer une indemnité au prévenu acquitté. Ils sont en effet lésés par le jugement attaqué et ont un intérêt juridiquement protégé selon l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 250).
2.2.
2.2.1. L'indemnisation du prévenu est régie par les art. 429-432 CPP, dispositions aussi applicables à la procédure de recours par renvoi de l'<ref-law>.
Le prévenu qui est acquitté totalement ou en partie a droit à une indemnité pour les dépenses occasionnées par l'exercice raisonnable de ses droits de procédure (cf. <ref-law>). Cette indemnité est à la charge de l'Etat (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 479; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 47). Il s'agit d'une conséquence du principe selon lequel c'est à l'Etat qu'incombe la responsabilité de l'action pénale.
Le législateur a toutefois prévu des correctifs pour des situations dans lesquelles la procédure est menée davantage dans l'intérêt de la partie plaignante ou lorsque cette dernière en a sciemment compliqué la mise en oeuvre (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 479). L'<ref-law> prévoit ainsi que le prévenu qui obtient gain de cause peut demander à la partie plaignante une juste indemnité pour les dépenses occasionnées par les conclusions civiles (al. 1). Lorsque le prévenu obtient gain de cause sur la question de sa culpabilité et que l'infraction est poursuivie sur plainte, la partie plaignante ou le plaignant qui, ayant agi de manière téméraire ou par négligence grave, a entravé le bon déroulement de la procédure ou a rendu celle-ci plus difficile peut être tenu d'indemniser le prévenu pour les dépenses occasionnées par l'exercice raisonnable de ses droits de procédure (<ref-law>).
La jurisprudence a précisé que lorsqu'un acquittement a été prononcé à l'issue d'une procédure complète devant des tribunaux et que l'appel est uniquement formé par la partie plaignante, celle-ci devait assumer les frais de défense du prévenu devant l'instance d'appel en cas de rejet de l'appel (ATF <ref-ruling> consid. 1.2 p. 47 s.). Cette jurisprudence, qui constitue une exception au principe selon lequel c'est à l'Etat qu'incombe la responsabilité de l'action pénale, doit toutefois être interprétée restrictivement. Elle ne trouve application que lorsque s'est déroulée une procédure complète devant un tribunal, dont la décision est ensuite attaquée exclusivement par la partie plaignante. Elle ne s'applique pas au cas du recours interjeté par la partie plaignante à l'encontre d'une décision de classement (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 479).
2.2.2. Indépendamment de l'<ref-law>, l'<ref-law> permet à la Confédération ou au canton d'intenter une action récursoire contre les personnes qui, intentionnellement ou par négligence grave, ont provoqué l'ouverture de la procédure (let. a), rendu la procédure notablement plus difficile (let. b) ou provoqué une décision annulée dans une procédure de révision (let. c). Cette norme consacre l'action récursoire de l'Etat contre les personnes qui lui ont causé, intentionnellement ou par négligence grave, des frais tels que frais de procédure, indemnisation du préjudice et du tort moral subis par le prévenu ayant bénéficié d'un classement ou ayant été acquitté. Vu l'intérêt de la collectivité à ce que les particuliers contribuent également à dénoncer les agissements susceptibles d'être sanctionnés, l'État ne doit faire usage de l'action récursoire qu'avec retenue. Néanmoins, il paraît conforme au principe d'équité de faire supporter les frais de procédure à celui qui saisit l'autorité de poursuite pénale de manière infondée ou par malveillance (arrêt 6B_705/2019 du 5 septembre 2019 consid. 4.1). L'action récursoire peut figurer dans la décision finale rendue par l'autorité pénale si elle concerne des personnes responsables qui ont participé à la procédure; dans le cas contraire, elle fera l'objet d'une décision séparée (arrêts 6B_620/2015 du 3 mars 2016 consid. 2.2, publié in Pra 2016 p. 393; 6B_446/2015 du 10 juin 2015 consid. 2.1.1; 6B_5/2013 du 19 février 2013 consid. 2.6, publié in Pra 2015 p. 313).
2.3. L'intimé qui a été acquitté de la prévention de violation de secret de fonction a droit à une indemnité pour ses frais de défense. Il appartient à l'Etat à qui incombe la responsabilité de l'action pénale de prendre en charge cette indemnité en application de l'<ref-law>. L'<ref-law> est inapplicable en l'espèce. L'intimé ne saurait demander aux recourants une juste indemnité pour les dépenses occasionnées par les conclusions civiles, puisque ceux-ci n'ont pas pris de conclusions civiles impliquant une instruction et que la cause se poursuit d'office. En outre, ce n'est pas les recourants qui ont formé appel contre le jugement de première instance (cf. ATF <ref-ruling> consid. 1.2 p. 47 s.; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 479). Toute action récursoire à l'encontre des recourants est également exclue. En effet, les conditions de l'<ref-law> ne sont pas remplies. Il ne suffit pas qu'un plaideur perde son procès pour retenir a posteriori qu'il aurait intentionnellement et de manière infondée fait ouvrir une procédure inutile. C'est donc à tort que la cour cantonale a mis à la charge des recourants l'indemnité due à l'intimé pour les dépenses occasionnées par l'exercice raisonnable de ses droits dans le cadre de la procédure d'appel. Le recours doit donc être admis sur ce point. Cela rend sans objet le grief tiré de la violation du droit d'être entendu sur cette question.
2.4. Les recourants dénoncent une violation de l'<ref-law>P. Ils requièrent que l'indemnité allouée par les premiers juges soit confirmée et augmentée pour tenir compte de la procédure d'appel.
Les recourants n'ont pas obtenu gain de cause et l'intimé n'a pas été astreint au paiement des frais conformément à l'<ref-law>, de sorte qu'ils n'ont pas droit à une indemnité pour les dépenses obligatoires occasionnées par la procédure. L'<ref-law>P est inapplicable.
3.
Le recours doit être admis partiellement sur la question de l'indemnité au sens de l'<ref-law>, le jugement attaqué annulé et la cause renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision. Pour le surplus, il doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Les recourants, qui n'obtiennent que partiellement gain de cause, doivent supporter une partie des frais judiciaires (<ref-law>). Ils peuvent prétendre à des dépens réduits, à la charge du canton de Vaud (<ref-law>).
Il n'y a pas lieu d'allouer d'indemnité à l'intimé qui n'a pas déposé d'observations dans la procédure devant le Tribunal fédéral.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis, le jugement attaqué est annulé et la cause est renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision. Pour le reste, le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Une partie des frais judiciaires, arrêtée à 2'500 fr., est mise à la charge des recourants, solidairement entre eux.
3.
Le canton de Vaud versera aux recourants, créanciers solidaires, une indemnité de 500 fr. à titre de dépens réduits pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 13 mars 2020
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
La Greffière : Kistler Vianin