Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat führte gegen A._ eine Strafuntersuchung. Am 28. April 2016 wurde er festgenommen und in Untersuchungshaft gesetzt. Am 19. Januar 2018 wurde ihm der vorzeitige Strafvollzug bewilligt. Mit Urteil vom 18. Dezember 2018 verurteilte ihn das Bezirksgericht Zürich wegen qualifizierter Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz und weiterer Delikte zu einer Freiheitsstrafe von 11 Jahren, unter Anrechnung von 631 Tagen Untersuchungshaft, und zu einer bedingten Geldstrafe. Dagegen erhob er Berufung. Mit Urteil vom 6. Oktober 2020 bestätigte das Obergericht des Kantons Zürich im Wesentlichen die erstinstanzlich ausgefällte Strafe. Auf eine Beschwerde in Strafsachen hin hob das Bundesgericht das obergerichtliche Urteil wegen Verletzung des Anklageprinzips teilweise auf und wies die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurück (Urteil 6B_1416/2020 vom 30. Juni 2021).
Mit Eingabe vom 18. Oktober 2021 beantragte A._ dem Obergericht, er sei unter Ersatzmassnahmen aus dem vorzeitigen Strafvollzug zu entlassen, eventualiter sei er in den offenen Strafvollzug zu versetzen. Mit Präsidialverfügung vom 29. Oktober 2021 wies das Obergericht das Haftentlassungsgesuch ab und trat auf den Eventualantrag nicht ein. Eine dagegen gerichtete Beschwerde hiess das Bundesgericht mit Urteil vom 21. Dezember 2021 teilweise gut, soweit es darauf eintrat, und wies die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurück. Zur Begründung führte es an, dass die Verfahrensleitung des Berufungsgerichts im Rahmen des Haftprüfungsverfahrens auch über einen Antrag auf Versetzung in den offenen vorzeitigen Strafvollzug zu befinden habe. Die Zulässigkeit des offenen Vollzugs hänge eng mit der Beurteilung der besonderen Haftgründe zusammen und sei Ausdruck des Verhältnismässigkeitsprinzips (Urteil 1B_636/ 2021 vom 21. Dezember 2021 E. 4). Das erneut mit der Sache befasste Obergericht wies mit Präsidialverfügung vom 11. Januar 2022 das Haftentlassungsgesuch ab, versetzte A._ in den offenen vorzeitigen Strafvollzug und forderte die Vollzugsbehörde auf, die geeigneten Aufsichts- und Kontrollmöglichkeiten zu veranlassen, um der weiterhin bestehenden Fluchtgefahr entgegenzuwirken. Eine von A._ dagegen erhobene Beschwerde mit dem Antrag auf Haftentlassung wies das Bundesgericht ab (Urteil 1B_34/2022 vom 11. Februar 2022).
Am 31. Januar 2022 stellte A._ ein Gesuch für einen Beziehungsurlaub vom 26. Februar 2022 um 10 Uhr bis am 27. Februar 2022 um 18 Uhr. Mit Schreiben vom 16. Februar 2022 überwiesen die Bewährungs- und Vollzugsdienste des kantonalen Amts für Justizvollzug und Wiedereingliederung das Gesuch dem Obergericht des Kantons Zürich. Sie legten dar, dass A._ erst am 24. Januar 2022 ins versetzt worden sei und sie angesichts dieser kurzen Aufenthaltsdauer keine eigene Stellungnahme abgeben würden. Stattdessen verwiesen sie auf den Führungsbericht des Vollzugszentrums Bachtel vom 10. Februar 2022, das das Gesuch unterstützte.
Mit Präsidialverfügung vom 22. Februar 2022 trat das Obergericht nicht auf das Gesuch ein und überwies dieses zur Behandlung zurück an die Vollzugsbehörde.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht vom 4. März 2022 beantragt A._, die Präsidialverfügung vom 22. Februar 2022 sei aufzuheben und sein Gesuch um Beziehungsurlaub im Grundsatz gutzuheissen. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung zurückzuweisen. Subeventualiter sei festzustellen, dass die Vorinstanz als Verfahrensleitung zur Beurteilung von Urlaubsgesuchen von Beschuldigten im offenen vorzeitigen Strafvollzug zuständig sei.
Das Obergericht hat sich vernehmen lassen, ohne eine förmlichen Antrag zu stellen. Die Staatsanwaltschaft und das Amt für Justizvollzug und Wiedereingliederung beantragen die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hat dazu Stellung genommen.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid betreffend den Vollzug von strafprozessualer Haft (Art. 78 Abs. 1 und Art. 80 BGG). Es handelt sich um einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid über die Zuständigkeit, gegen den die Beschwerde gemäss <ref-law> zulässig ist.
1.2. Nach Art. 81 Abs. 1 lit. a und b BGG ist zur Beschwerde berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Das erforderliche Interesse muss nicht nur bei der Beschwerdeeinreichung, sondern auch noch im Zeitpunkt der Urteilsfällung aktuell und praktisch sein. Fällt es im Laufe des Verfahrens dahin, wird die Sache als erledigt erklärt; fehlte es schon bei der Beschwerdeeinreichung, ist auf die Eingabe nicht einzutreten. Das Bundesgericht verzichtet ausnahmsweise auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses, wenn sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen deren grundsätzlicher Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (<ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 1.3.1; je mit Hinweisen).
Das Gesuch des Beschwerdeführers vom 31. Januar 2022 betraf einen Beziehungsurlaub vom 26. bis 27. Februar 2022. Dieser Termin ist mittlerweile verstrichen, weshalb kein aktuelles Interesse mehr an der Beurteilung des Rechtsmittels besteht. Die mit der Beschwerde aufgeworfene Frage der Zuständigkeit zur Behandlung eines Gesuchs um Beziehungsurlaub während strafprozessualer Haft kann sich jedoch unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen, sei es im Fall des Beschwerdeführers selbst oder einer anderen Person, die ein solches Gesuch einreicht. Sie hat grundsätzliche Bedeutung, weshalb ihre Beantwortung im öffentlichen Interesse liegt. Schliesslich ist zwar nicht ausgeschlossen, dass eine rechtzeitige Überprüfung in einem anderen Fall möglich wäre, wenn nämlich die inhaftierte Person ihr Gesuch um Urlaub viel weiter im Voraus stellt, sodass der kantonale Instanzenzug durchlaufen und selbst das Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht abgeschlossen werden kann, noch bevor der gewünschte Urlaubstermin verstrichen ist. Dies erscheint jedoch für die betroffene Person nicht zumutbar. Entsprechend verlangt das Amt für Justizvollzug und Wiedereingliederung gemäss dem vorgedruckten Formular für das Gesuch um Beziehungsurlaub denn auch lediglich, dass dieses drei Wochen vor dem gewünschten Termin einzureichen ist. Vor diesem Hintergrund ist eine rechtzeitige Überprüfung durch das Bundesgericht im Einzelfall kaum je möglich. Die Voraussetzungen für ein Absehen vom aktuellen Rechtsschutzinteresse sind deshalb gegeben.
1.3. Zu prüfen ist einzig, ob das Obergericht zu Recht einen Nichteintretensentscheid fällte (vgl. <ref-ruling> E. 1.2). Soweit der Beschwerdeführer darüber hinausgehend verlangt, sein Gesuch sei gutzuheissen, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Es ist somit nicht auf die Frage einzugehen, ob bzw. unter welchen Voraussetzungen es denkbar ist, einerseits Haftgründe zu bejahen (hier: Fluchtgefahr) und andererseits dem Betroffenen Urlaub zu gewähren.
1.4. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist mit dem genannten Vorbehalt einzutreten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Verfahrensleitung sei zuständig für Haftentlassungsgesuche (<ref-law>) und Kontaktgesuche (<ref-law>). Das Bundesgericht habe zudem entschieden, dass die Verfahrensleitung auch zum Entscheid über die Gewährung des offenen vorzeitigen Strafvollzugs und von Hafturlaub zum Besuch eines anderen Häftlings zuständig sei (Urteil 1B_636/ 2021 vom 21. Dezember 2021 bzw. <ref-ruling>). Es gehe dabei um die Beurteilung des Haftgrunds, was Aufgabe des Haftrichters und nicht der Vollzugsbehörde sei. Hätte er sich nun mit einem Urlaubsgesuch an Letztere zu wenden, wäre dies deshalb sachlich nicht gerechtfertigt, hätte eine Gabelung des Rechtsmittelwegs und ein längeres Verfahren zur Folge, da der Verwaltungsrechtsweg zeitintensiver sei.
2.2. Das Obergericht hielt im angefochtenen Entscheid fest, es handle sich beim Beziehungsurlaub um eine reine Frage des Vollzugsregimes, für dessen Behandlung die Kantone zuständig seien (<ref-law>). Bewillige die Verfahrensleitung den vorzeitigen Strafvollzug, sorge gemäss § 2 Abs. 1 der kantonalen Justizvollzugsverordnung vom 6. Dezember 2006 (JVV; LS 331.1) das für den Vollzug zuständige Amt für die Durchführung und die erforderlichen Vollzugsregelungen, wenn die Voraussetzungen dafür gegeben seien. Anders als im vom Beschwerdeführer zitierten Urteil 1B_636/2021 vom 21. Dezember 2021 handle es sich nicht um eine Frage der den Haftgründen angemessenen Vollzugsform. Eine zutreffende und dem Einzelfall angemessene Prüfung durch die Verfahrensleitung wäre mangels der notwendigen Grundlagen, Kenntnisse und Ressourcen nicht innert nützlicher Frist möglich. Das Amt für Justizvollzug und Wiedereingliederung und die Vollzugsanstalten stünden demgegenüber im fachlichen Austausch miteinander, hätten regelmässigen Einblick in den Alltag bzw. das Verhalten des Beschuldigten und seien deshalb am besten geeignet, sich zu koordinieren und fristgerecht eine Beurteilung von solchen Vollzugsfragen vorzunehmen.
2.3. Das Amt für Justizvollzug und Wiedereingliederung legt dar, das Urteil 1B_636/2021 vom 21. Dezember 2021 habe zunächst zu Unsicherheiten geführt, weshalb das Gesuch des Beschwerdeführers an die Verfahrensleitung weitergeleitet worden sei. Sachlich gerechtfertigt sei jedoch, die Kompetenz zum Entscheid über Urlaubsgesuche der Vollzugsbehörde zuzuweisen. Das schliesse gemäss § 20 Abs. 2 JVV nicht aus, dass die Verfahrensleitung aufgrund von strafprozessualen Haftgründen Einsprache erhebe. Diese Regelung finde sich auch in Ziff. 2 der Richtlinien vom 7. April 2006 der Ostschweizer Strafvollzugskommission über die Ausgangs- und Urlaubsgewährung («https://www.osk-web.ch/rechtserlasse/» [besucht am 8. April 2022]). Bei der Entscheidfindung über ein Urlaubsgesuch während des vorzeitigen Strafvollzugs seien zahlreiche vollzugseigene Umstände zu berücksichtigen, weshalb es nicht als angezeigt erscheine, die Zuständigkeitsregelung für die Bewilligung des offenen vorzeitigen Strafvollzugs auch für die Bewilligung von Ausgängen und Urlauben zu übernehmen. Während der Entscheid über die Bewilligung eines offenen vorzeitigen Strafvollzugs quasi vollumfänglich anhand der strafprozessualen Haftgründe der Flucht- bzw. Kollusionsgefahr zu treffen sei, seien im Rahmen der Bewilligung von Urlauben (und Ausgängen) zahlreiche sich aus dem Vollzugsalltag ergebende Kriterien zu berücksichtigen, über welche die Vollzugsbehörde aufgrund ihrer Nähe zum konkreten Vollzugsgeschehen und der Vernetzung mit den Vollzugsinstitutionen eingehendere Kenntnis habe. Gleiches gelte auch für die Ausgestaltung von allfälligen Auflagen und Bedingungen, mit welchen Urlaube oder Ausgänge verbunden werden könnten. Die Vollzugsbehörde könne auch effektiver auf allfällige Änderungen der Verhältnisse (wie etwa Urlaubsmissbrauch, Anpassung von Auflagen und Bedingungen) reagieren als die Verfahrensleitung. Würde die Verfahrensleitung lediglich im Grundsatz über ein Urlaubsgesuch befinden und die Vollzugsbehörde über allfällige Auflagen und Weisungen, führte dies zu einer Verkomplizierung des Rechtswegs und unklarer Verantwortung, was abzulehnen wäre.
3.
3.1. Nach <ref-law> sind auf dem Gebiet des Strafrechts unter anderem für die Organisation der Gerichte und den Straf- und Massnahmenvollzug die Kantone zuständig, soweit das Gesetz nichts anderes vorsieht. Die Strafprozessordnung enthält keine abschliessende Ordnung im Bereich des Vollzugs der Untersuchungs- und der Sicherheitshaft bzw. des vorzeitigen Straf- und Massnahmenvollzugs. Sie schreibt die Zuständigkeit der Verfahrensleitung für einzelne konkrete Entscheide vor, die für die Strafverfolgung von Bedeutung sind. Die Schlussfolgerung, die Verfahrensleitung müsse auch für alle anderen Entscheide zuständig sein, ist genauso wenig zwingend wie der Umkehrschluss, diese stünden den Vollzugsbehörden zu (Urteil 1B_636/2021 vom 21. Dezember 2021 E. 4.4 mit Hinweis).
3.2. Gemäss der Strafprozessordnung sind die Strafbehörden (und nicht die Vollzugsbehörden) unter anderem zuständig zur Haftanordnung, Haftverlängerung und zur Behandlung von Haftentlassungsgesuchen sowie zur Gewährung des vorzeitigen Straf- und Massnahmenvollzugs (Art. 224 bis 236 StPO). Die Kantone regeln dagegen insbesondere die Rechte und Pflichten der inhaftierten Personen, ihre Beschwerdemöglichkeiten, die Disziplinarmassnahmen sowie die Aufsicht über Haftanstalten (<ref-law>). <ref-law> sieht zudem vor, dass beim vorzeitigen Sanktionsvollzug die beschuldigte Person mit dem Eintritt in die Vollzugsanstalt ihre allfällige Strafe oder Massnahme antritt; sie untersteht von diesem Zeitpunkt an dem Vollzugsregime, wenn der Zweck der Untersuchungs- oder der Sicherheitshaft dem nicht entgegensteht.
3.3. Bei der Auslegung dieser Zuständigkeitsbestimmungen ist zum einen zu vermeiden, dass durch eine Gabelung des Rechtswegs das Verfahren verkompliziert und verlängert wird. Eine solche Gefahr kann sich ergeben, wenn zwei Häftlinge in Sicherheitshaft bzw. im vorzeitigen Strafvollzug beantragen, sich gegenseitig besuchen zu dürfen oder wenn eine sich im vorzeitigen Strafvollzug befindliche Person im Hauptantrag die Entlassung und im Eventualantrag die Versetzung in den offenen Vollzug beantragt. In beiden Fällen ist nach der Rechtsprechung die Verfahrensleitung und nicht die Vollzugsbehörde zuständig (<ref-ruling> E. 4.4 und Urteil 1B_636/2021 vom 21. Dezember 2021 E. 4.6). Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist beim hier in Frage stehenden Urlaubsgesuch dagegen keine Gefahr einer Gabelung des Rechtswegs erkennbar, weshalb sich insofern aus der erwähnten Rechtsprechung nichts für den zu beurteilenden Fall ableiten lässt.
3.4. Zum andern lässt sich das Bundesgericht vom Gedanken leiten, dass es während des Strafverfahrens in erster Linie Aufgabe der Verfahrensleitung und nicht der Vollzugsbehörde ist, die besonderen Haftgründe (Flucht-, Kollusions-, Wiederholungs- und Ausführungsgefahr) zu beurteilen. Die Verfahrensleitung ist besser in der Lage zu beurteilen, inwieweit der Haftzweck durch die Gewährung des vorzeitigen Strafvollzugs, sei es in einer offenen oder einer geschlossenen Anstalt, gefährdet werden kann. Dasselbe gilt auch für Kontakte zwischen der inhaftierten Person und anderen Personen, weshalb <ref-law> die Bewilligung insoweit ebenfalls der Verfahrensleitung zuweist (Urteil 1B_636/2021 vom 21. Dezember 2021 E. 4.5).
Vor diesem Hintergrund hat das Bundesgericht im bereits erwähnten Fall, in dem zwei Häftlinge in Sicherheitshaft bzw. im vorzeitigen Strafvollzug beantragten, sich gegenseitig besuchen zu dürfen, die Zuständigkeit der Verfahrensleitung gestützt auf <ref-law> bejaht. Es führte aus, es gehe dabei um (rein akzessorische) strafprozessuale "Hafturlaube" zur Ausübung des Besuchsrechts unter engen Angehörigen und nicht um strafvollzugsrechtlichen Urlaub von rechtskräftig verurteilten Strafgefangenen (<ref-law>). Auch eine beschuldigte Person im vorzeitigen Strafvollzug (<ref-law>) bleibe Partei des hängigen Strafprozesses, der von der jeweiligen Verfahrensleitung zu führen sei (<ref-ruling> E. 4.4).
Dies spricht dafür, auch im hier zu beurteilenden Fall die Zuständigkeit der Verfahrensleitung zu bejahen. Das Bundesgericht hat im soeben erwähnten Urteil darauf hingewiesen, dass die Verfahrensleitung eine Koordinationsrücksprache mit den zuständigen Gefängnisleitungen und der kantonalen Vollzugsbehörde nehmen könne und dass das Bewilligungsgesuch in der Regel von der Gefängnisleitung zu stellen sein werde (a.a.O.). Weshalb ein solches Vorgehen mangels der notwendigen Grundlagen, Kenntnisse und Ressourcen keine dem Einzelfall angemessene und rasche Prüfung durch die Verfahrensleitung erlauben würde, wie die Vorinstanz einwendet, ist nicht erkennbar. Zu erinnern ist in diesem Zusammenhang daran, dass das Obergericht Zürich das jüngste Haftentlassungsgesuch des Beschwerdeführers ablehnte und in diesem Zusammenhang erwog, der Einschätzung des Amts für Justizvollzug und Wiedereingliederung, wonach keine konkreten Anzeichen für Fluchtgefahr bestünden, könne nicht gefolgt werden. Das Bundesgericht schloss sich in dieser Hinsicht dem Obergericht an, wobei es erneut hervorhob, dass die rechtliche Beurteilung der Fluchtgefahr Aufgabe des Haftrichters sei (Urteil 1B_34/2022 vom 11. Februar 2022 E. 3.1 und 3.4).
Beachtenswert erscheint allerdings der Einwand des Amts für Justizvollzug und Wiedereingliederung, die Vollzugsbehörde könne effektiver auf allfällige Änderungen der Verhältnisse (wie etwa Urlaubsmissbrauch, Anpassung von Auflagen und Bedingungen) reagieren als die Verfahrensleitung. Dies wäre allerdings auch zu berücksichtigen, wenn die erstinstanzliche Zuständigkeit bei der Vollzugsbehörde läge. Zu denken ist etwa an den Fall, in dem die Vollzugsbehörde das Urlaubsgesuch abweisen, dieses jedoch von der Rechtsmittelbehörde auf Beschwerde des Gesuchstellers hin bewilligt werden würde. Unbesehen der erstinstanzlichen Zuständigkeit zum Entscheid ist es möglich, in solchen Fällen einer nachträglichen erheblichen Veränderung der Verhältnisse Rechnung zu tragen (vgl. dazu Urteil 1B_441/2017 vom 15. Januar 2018 E. 2.4 mit Hinweisen, wonach verfahrensleitende Entscheide nur beschränkt in Rechtskraft erwachsen und der Entwicklung des Strafverfahrens angepasst werden können).
3.5. Da der Beurteilung der besonderen Haftgründe beim Entscheid über die Gewährung des Urlaubs vorrangige Bedeutung zukommt (vgl. auch Ziff. 4.1 lit. b/a der Richtlinien der Ostschweizer Strafvollzugskommission über die Ausgangs- und Urlaubsgewährung) und die Verfahrensleitung am besten in der Lage ist zu beurteilen, inwieweit der Haftzweck der Bewilligung des Gesuchs entgegensteht, ist nach dem Ausgeführten deshalb sie und nicht die Vollzugsbehörde für den Entscheid zuständig. Der angefochtene Entscheid ist mit dem Bundesrecht somit nicht vereinbar.
4.
Die Beschwerde ist gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist, und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Es ist festzustellen, dass der Präsident des Obergerichts als Verfahrensleitung (<ref-law>) zur Behandlung des Urlaubsgesuchs des Beschwerdeführers zuständig war.
Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Zürich hat den Rechtsvertretern des Beschwerdeführers eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>). Dessen Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und die Präsidialverfügung des Obergerichts vom 22. Februar 2022 aufgehoben. Es wird festgestellt, dass der Präsident des Obergerichts zur Behandlung des Urlaubsgesuchs des Beschwerdeführers zuständig war.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Zürich hat den Rechtsvertretern des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Diego R. Gfeller und Rechtsanwältin Carmen Baltensperger, eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat, der Direktion der Justiz und des Innern, Amt für Justizvollzug und Wiedereingliederung, und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Strafkammer, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. April 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Jametti
Der Gerichtsschreiber: Dold