Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1977) und B._ (geb. 1988) sind die unverheirateten Eltern der Kinder C._ (geb. 2011), D._ (geb. 2013) und E._ (geb. 2015). Bis zur Trennung der Eltern im August 2016 betreute die Mutter die Kinder.
A.b. Die Eltern führten bis im Frühsommer 2017 eine Mediation durch, in deren Rahmen sie die Kinder während einiger Zeit alternierend betreuten.
A.c. Nach Scheitern des Mediationsversuchs nahm wieder die Mutter die Kinderbetreuung wahr. Sie lebt mit einem neuen Lebenspartner im Konkubinat. Aus dieser Beziehung ist 2018 der Sohn F._ hervorgegangen.
B.
B.a. Am 5. Juni 2017 verlangte der Vater beim Zivilkreisgericht Basel-Landschaft Ost im Wesentlichen die alternierende Obhut mit je hälftiger Betreuung und die Aufhebung seiner Unterhaltspflicht.
B.b. Die Präsidentin des Zivilkreisgerichts regelte vorläufig das Besuchsrecht des Vaters, wogegen dieser Berufung führte. Am 21. November 2017 einigten sich die Eltern im Berufungsverfahren darauf, dass der Vater die Kinder jedes zweite Wochenende von Freitagabend bis Sonntagabend (19.30 Uhr) und jede Woche von Donnerstagnachmittag (13.00 Uhr) bis Freitagabend (19.30 Uhr) zu sich nehmen könne. Zur Umsetzung und Begleitung der vorläufigen Besuchs- und Ferienregelung wurde am 14. September 2018 eine Erziehungsbeistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB angeordnet.
B.c. Auf gemeinsamen Antrag der Parteien ordnete die Präsidentin des Zivilkreisgerichts die Erstellung eines Gutachtens betreffend die Regelung der Betreuungsanteile an. Die Expertise wurde am 29. Mai 2018 erstattet mit der Empfehlung des gemeinsamen Sorgerechts und einer je hälftigen Obhut. Am 30. Juli 2018 nahmen die Gutachterinnen zu Ergänzungsfragen Stellung und erweiterten ihre Empfehlung um ein Ferienrecht von je 6 Wochen pro Elternteil.
B.d. Mit Urteil vom 8. November 2018 teilte die Präsidentin des Zivilkreisgerichts die Obhut über die Kinder der Parteien der Mutter zu. Dem Vater räumte sie ein Besuchsrecht in dem Umfang ein, wie es die Eltern im Berufungsverfahren vereinbart hatten (lit. B.b), gewährte ihm ein Ferienrecht von drei Wochen pro Jahr und traf eine alternierende Feiertagsregelung. Ferner verpflichtete sie den Vater zur Leistung von Unterhaltsbeiträgen, wobei sie für sämtliche Perioden einen Fehlbetrag festhielt.
C.
C.a. Dagegen erhob der Vater am 8. November 2019 Berufung an das Kantonsgericht Basel-Landschaft, mit welcher er im Wesentlichen erneut die alternierende Obhut mit je hälftiger Betreuung und die Aufhebung seiner Unterhaltspflicht beantragte.
C.b. Das Kantonsgericht holte am 29. April 2019 bei der Erziehungsbeiständin telefonisch Auskunft darüber ein, wie sich die Zusammenarbeit mit den Eltern bisher gestaltet habe, und führte am 7. Mai 2019 eine Verhandlung durch.
C.c. Mit Urteil vom 28. Mai 2019 wies das Kantonsgericht die Berufung hinsichtlich der Obhut ab, hiess sie indessen betreffend die Unterhaltsbeiträge teilweise gut, indem es diese tiefer bemass. Es verpflichtete den Vater zur Bezahlung monatlicher Kinderalimente (zzgl. Kinderzulagen) von je Fr. 180.-- pro Kind für die Zeit vom 6. Juni 2017 bis 30. September 2019 und stellte diesbezüglich eine Unterdeckung von je Fr. 499.-- fest. Ab 1. Oktober 2019 legte es die Unterhaltsbeiträge auf monatlich Fr. 325.-- für C._, Fr. 310.-- für D._ und Fr. 255.-- für E._ fest. Dieser Entscheid wurde dem Vater am 16. Juli 2019 zugestellt.
D.
D.a. Mit Beschwerde vom 14. August 2019 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er begehrt zusammengefasst die Aufhebung des angefochtenen Entscheids, die Gutheissung seines Antrags auf alternierende Obhut im Sinne einer je hälftigen Betreuung sowie die Aufhebung seiner Unterhaltspflicht. Sodann stellt er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
D.b. Das Kantonsgericht beantragt mit Vernehmlassung vom 31. August 2020 die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. B._ (Beschwerdegegnerin) begehrt mit Eingabe vom 18. September 2020, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Ferner stellt sie ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Der Beschwerdeführer replizierte am 24. September 2020 und die Beschwerdegegnerin duplizierte am 12. Oktober 2020.
D.c. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die auf Rechtsmittel hin (<ref-law>) über die Betreuung und den Unterhalt von Kindern nicht verheirateter Eltern geurteilt hat. Streitig sind damit sowohl vermögensrechtliche als auch nicht vermögensrechtliche Aspekte, sodass für diese Zivilsache (<ref-law>) insgesamt kein Streitwerterfordernis gilt (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382 mit Hinweis). Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>) und hat sie rechtzeitig erhoben (<ref-law> i.V.m. Art. 46 Abs. 1 lit. b und Art. 45 Abs. 1 BGG). Unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen ist auf die Beschwerde nach <ref-law> einzutreten.
1.2. Der Beschwerdeführer beantragt nebst anderem, er sei in teilweiser Aufhebung von Dispositivziffer 2 des angefochtenen Entscheids zu berechtigen, die Kinder bei einem weiteren Umzug der Mutter ausserhalb der Gemeinde U._ ohne weiteres an seinem Wohnsitz in V._ anzumelden und dort zu beschulen (Rechtsbegehren 4). Die Vorinstanz stellte im angefochtenen Entscheid (E. 2 S. 6) einleitend fest, dass der Wohnsitz der Kinder bei der Mutter nicht streitig sei. Diesbezüglich wird in der Beschwerde keine Sachverhaltsrüge erhoben. Damit handelt es sich beim gestellten Antrag um ein unzulässiges neues Begehren (<ref-law>), weshalb darauf nicht einzutreten ist.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann sie mit einer Begründung abweisen, die von der Argumentation der Vorinstanz abweicht (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 465 f. mit Hinweisen). Es befasst sich aber grundsätzlich nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286), was eine Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid erfordert. Es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2.4 S. 367 f. mit Hinweisen). In der Begründung ist deshalb in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht (Urteil 5A_963/2014 vom 9. November 2015 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Ferner prüft das Bundesgericht die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten - wozu auch die in der EMRK enthaltenen Garantien zählen (<ref-ruling> E. 2 S. 211 mit Hinweisen) - nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; Rügeprinzip). Es prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368). Sodann ist es an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (<ref-law>). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann einzig vorgebracht werden, sie seien offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweis), oder sie würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) beruhen. Ausserdem muss in der Beschwerde aufgezeigt werden, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234 mit Hinweis). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Soweit sie nach Erlass des angefochtenen Entscheids entstanden sind, sind sie als echte Noven von vornherein unzulässig (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123 mit Hinweis). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Voraussetzungen für eine nachträgliche Einreichung von Tatsachen und Beweismitteln erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 3 S. 346).
2.2. Der Beschwerdeführer macht eine Verletzung des Rechts auf Familie und Schutz des Familienlebens (<ref-law>, Art. 8 Ziff. 1 EMRK) geltend. Zur ausreichenden Substanziierung dieser Rüge genügt es nicht vorzutragen, Vater und Kind hätten ein Recht auf Familie und ein Familienleben, mithin auf gleiche Betreuungsanteile bei Vorliegen der entsprechenden Voraussetzungen. Darauf ist nicht einzugehen. Selbiges hat zu gelten, soweit sich der Beschwerdeführer auf einen erneuten, bevorstehenden Wohnsitzwechsel der Beschwerdegegnerin und damit zusammenhängend auf seine Gefährdungsmeldung an die Kindesschutzbehörde vom 2. August 2019 beruft, da es sich dabei um unzulässige echte Noven handelt. Unberücksichtigt bleibt auch die eingereichte E-Mail vom 15. Januar 2019, da der Beschwerdeführer nicht darlegt, weshalb er dieses unechte Novum nicht bereits vor Vorinstanz hätte einreichen können. Unbeachtlich bleiben schliesslich die mit der Replik eingereichten Beilagen, da jene nicht dazu dient, die Beschwerdeschrift nach Ablauf der Beschwerdefrist zu ergänzen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.3 S. 286 mit Hinweis), und es sich dabei ohnehin um echte Noven handelt.
2.3. Für die Vernehmlassung der Beschwerdegegnerin gelten dieselben Begründungsanforderungen wie für die Beschwerdeschrift (<ref-ruling> E. 2 S. 89 mit Hinweisen). Ihre als Beilage 3 zur Vernehmlassung eingereichte persönliche Stellungnahme entbehrt jeglicher Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid, sodass darauf nicht einzugehen ist. Ferner beruft sich die Beschwerdegegnerin auf zahlreiche Tatsachen, welche sich nicht aus dem angefochtenen Entscheid ergeben (etwa: der Beschwerdeführer habe den Wechsel der Beistandsperson beantragt; die zwei ältesten Kinder müssten nach der Schule zwanzig Minuten auf ihn warten und er weigere sich, sie für den Mittagstisch anzumelden; sie selbst habe die Kinder seit der Trennung [implizit: immer] alleine betreut; C._ wolle seine Freunde nicht erst wieder nach mehreren Tagen sehen; der Beschwerdeführer bringe die Kinder jeweils zu spät zurück; er lasse die Beschwerdegegnerin von zahlreichen Personen beobachten), ohne diesbezüglich unrichtige Sachverhaltsfeststellung zu rügen, sodass sich das Bundesgericht nicht damit auseinanderzusetzen hat. Ebenfalls unbeachtlich bleiben die Beilagen 1 und 2 zur Vernehmlassung sowie die damit zusammenhängenden Tatsachenbehauptungen (der Beschwerdeführer habe einen früheren Nachbarn der Beschwerdegegnerin zu Falschaussagen angestiftet und erstatte ständig [bisher ergebnislose] Gefährdungsmeldungen), da es sich dabei um unzulässige echte Noven handelt. Der in der Duplik gestellte Antrag auf Edition von Strafakten beschlägt diese echten Noven, sodass er abzuweisen ist.
3.
Die Parteien schlossen vor ihrer Trennung von der zuständigen Kindesschutzbehörde genehmig te Vereinbarungen, in welchen sie die Obhut über und den Unterhalt für die Kinder C._ und D._ regelten. Eine entsprechende Vereinbarung für die Tochter E._ existiert demgegenüber nicht. Sowohl die Erst- als auch die Vorinstanz haben für ihren Entscheid im Ergebnis hinsichtlich aller drei Kinder die Kriterien für einen erstmaligen Entscheid über die Kinderbelange angewandt, was von keiner der Parteien beanstandet wurde, sodass nachfolgend gleich vorzugehen ist.
4.
4.1. Bei - wie hier gegebener - gemeinsamer elterlicher Sorge muss der auf Begehren eines Elternteils oder des Kindes hin mit dieser Frage befasste Richter prüfen, ob eine alternierende Obhut möglich und mit dem Wohl des Kindes vereinbar ist (<ref-law>). Dabei hat er gestützt auf festgestellte Tatsachen der Gegenwart und der Vergangenheit eine sachverhaltsbasierte Prognose darüber zu stellen, ob die alternierende Obhut als Betreuungslösung aller Voraussicht nach dem Wohl des Kindes entspricht (<ref-ruling> E. 4.2 S. 615 mit Hinweis).
4.2. Die alternierende Obhut kommt grundsätzlich nur in Frage, wenn beide Eltern erziehungsfähig sind. Weiter ist dieses Betreuungsmodell nur praktisch umsetzbar, wenn die Eltern fähig und bereit sind, in Kinderbelangen laufend miteinander zu kommunizieren und im Hinblick auf die notwendigen organisatorischen Vorkehrungen zu kooperieren (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 621, 612 E. 4.3 S. 615). Die Kommunikation zwischen den Eltern kann auch bloss schriftlich erfolgen. Es steht einer alternierenden Obhut nicht entgegen, wenn die Eltern zur gemeinsamen Entscheidfindung über die Kinderbelange auf die Vermittlung einer Drittperson angewiesen sind (vgl. zur elterlichen Sorge Urteile 5A_685/2019 vom 9. September 2019 E. 5; 5A_923/2014 vom 27. August 2015 E. 2 und 5.5, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: FamPra.ch 2015 S. 961 ff. und 970). Ferner kann allein aus dem Umstand, dass ein Elternteil sich einer Regelung mit geteilter Betreuung widersetzt, nicht ohne weiteres geschlossen werden, die nötige Kooperation sei nicht gewährleistet. Unter diesem Aspekt ist von einer alternierenden Obhut nur abzusehen, wenn das Verhältnis unter den Eltern hinsichtlich anderer Kinderbelange von einer Feindseligkeit gezeichnet ist, die annehmen lässt, eine alternierende Obhut würde das Kind dem gravierenden Elternkonflikt in einer Weise aussetzen, die seinen Interessen offensichtlich zuwider läuft. Weiter kommt es auf die geografische Situation an, namentlich die Distanz zwischen den Wohnungen der beiden Eltern. Bedeutsam ist auch die Kindeswohlwirksamkeit der Stabilität, wie sie mit einer Weiterführung der bisherigen Regelung einhergeht. In diesem Sinne ist eine alternierende Obhut umso eher angezeigt, wenn die Eltern das Kind schon vor ihrer Trennung abwechselnd betreut haben. Andere Kriterien sind das Alter des Kindes, seine Beziehungen zu (tatsächlichen oder faktischen) Geschwistern und seine Einbettung in das weitere soziale Umfeld (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 621, 612 E. 4.3 S. 615 f.; je mit Hinweisen). Die Möglichkeit der Eltern, das Kind persönlich zu betreuen, spielt hauptsächlich dann eine Rolle, wenn spezifische Bedürfnisse des Kindes eine persönliche Betreuung notwendig erscheinen lassen oder wenn ein Elternteil selbst in den Randzeiten (morgens, abends und an den Wochenenden) nicht bzw. kaum zur Verfügung stünde; ansonsten ist von der Gleichwertigkeit von Eigen- und Fremdbetreuung auszugehen (vgl. <ref-ruling> E. 4.6.3 und E. 4.7 S. 493 f.). Beachtung verdient auch der Wunsch des Kindes, selbst wenn es bezüglich der Betreuungsregelung (noch) nicht urteilsfähig ist. Die Erziehungsfähigkeit beider Eltern ist in jedem Fall notwendige Voraussetzung einer alternierenden Obhut. Die weiteren Beurteilungskriterien hängen oft voneinander ab; ihre jeweilige Bedeutsamkeit richtet sich nach den konkreten Umständen. So spielt das Kriterium der Stabilität bei Säuglingen und Kleinkindern eine wichtige Rolle. Geht es hingegen um Jugendliche, kommt der Zugehörigkeit zu einem sozialen Umfeld grosse Bedeutung zu. Die Kooperationsfähigkeit der Eltern wiederum verdient besondere Beachtung, wenn das Kind schulpflichtig ist oder die Entfernung zwischen den Wohnorten der Eltern ein Mehr an Organisation erfordert (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 621 f., 612 E. 4.3 S. 616 mit Hinweisen).
4.3. Beim Entscheid über die Anordnung einer alternierenden Obhut ist der Sachrichter in vielfacher Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen. Ermessensentscheide dieser Art überprüft das Bundesgericht an sich frei; es greift allerdings nur ein, wenn die kantonale Instanz von dem ihr zustehenden Ermessen einen falschen Gebrauch gemacht hat, d.h. wenn sie grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgegangen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 4.5 S. 617; <ref-ruling> E. 11.2 S. 98; je mit Hinweisen).
5.
Die erste Instanz gab eine ergebnisorientierte Begutachtung der drei gemeinsamen Kinder der Parteien in Auftrag mit dem Ziel, eine Regelung über die Betreuungsanteile zu erarbeiten. Das Gutachten wurde am 29. Mai 2018 erstellt und enthielt die Empfehlung der geteilten Obhut mit je hälftigen Betreuungsanteilen (vgl. vorne Sachverhalt lit. B.c). Die Gutachterinnen führten aus, ihres Erachtens könnten beide Elternteile von einer Umgangsregelung im Wechselmodell profitieren. Für den Beschwerdeführer würden sich die emotional belastenden Abwesenheiten der Kinder durch eine gerechte Aufteilung deutlich reduzieren. Sie gingen auch davon aus, dass sich sein Informationsstand über allfällige Termine der Kinder durch das Wechselmodell verbessern könne. Ferner seien sie der Auffassung, dass die Beschwerdegegnerin aufgrund ihrer somatisch-emotionalen Erschöpfung von einer gerecht geteilten Betreuungszeit der Kinder profitieren könne. Darüber hinaus sei davon auszugehen, dass die Geburt ihres vierten Kindes weitere Valenzen und Kräfte binden werde und die Entlastung durch eine hälftig geteilte Betreuungszeit sich positiv auf ihr Befinden auswirken könne. Für eine hälftige Betreuung spreche auch, dass eine solche bereits über Monate erfolgreich gelebt worden sei. Beide Elternteile seien als erziehungsfähig einzustufen. Weiterhin sei die Distanz der elterlichen Wohnungen als günstig für die Umsetzung des Wechselmodells einzustufen. Es sei den Kindseltern zuzutrauen, beide familiären Milieus in Einklang zu bringen und damit die Kontinuität der Familie sicherzustellen und den drei gemeinsamen Kindern ein Gefühl von Sicherheit zu vermitteln. Die Vorinstanz erachtete das Gutachten als widersprüchlich und nicht schlüssig, weshalb sie - wie bereits die Erstrichterin - nicht darauf abstellte.
6.
Der Beschwerdeführer moniert, das Gutachten sei korrekt und sachgerecht erarbeitet worden und es lägen keine Gründe vor, um von den Empfehlungen der Gutachterinnen abzuweichen. Im Übrigen habe die Vorinstanz den Sachverhalt gestützt auf Bundesrecht von Amtes wegen feststellen müssen und hätte die Angelegenheit an die erste Instanz zurückweisen müssen, wenn sie der Auffassung gewesen sei, das Gutachten sei unvollständig, widersprüchlich oder mangelhaft. Es sei willkürlich, wenn die Vorinstanz das Gutachten grundlos verwerfe, ohne ein Ergänzungs- oder Obergutachten einzuholen, mithin ihrer Pflicht zur Feststellung des relevanten Sachverhaltes nicht nachkomme, und ihren Entscheid in eigener Prüfung der für die Bewilligung einer alternierenden Obhut erforderlichen Voraussetzungen fälle. Ferner verkenne die Vorinstanz, dass die alternierende Obhut auch bei strittigen Eltern funktioniere. Den Schwierigkeiten in der Kommunikation und Kooperation auf Elternebene sei mittels Errichtung einer Beistandschaft Rechnung getragen worden, welche den Eltern gute Unterstützung biete. Sowohl die telefonische Rücksprache der Vorinstanz mit der Erziehungsbeiständin als auch die Aussagen der Parteien an der zweitinstanzlichen Verhandlung hätten ergeben, dass die Eltern gut mit der Beiständin zusammenarbeiteten und anstehende Probleme und Pendenzen angegangen seien. Schliesslich bringt er sinngemäss vor, der Untersuchungsgrundsatz hätte die Vorinstanz dazu verpflichtet, die genaueren Verhältnisse der Beschwerdegegnerin (namentlich nach der Geburt ihres zweiten Sohnes) abzuklären, hätten doch die Gutachterinnen eine sichtliche Erschöpfung bei ihr festgestellt.
7.
7.1. Um über das Schicksal der Kinder zu entscheiden, kann das Gericht ein Gutachten einholen. Wie jedes Beweismittel unterliegt auch ein solches der freien richterlichen Beweiswürdigung (Urteil 5A_373/2018 vom 8. April 2019 E. 3.2.6). Allerdings darf ein Gericht in Fachfragen nur aus triftigen Gründen von einem Gutachten abweichen. Es hat zu prüfen, ob sich aufgrund der übrigen Beweismittel und der Vorbringen der Parteien ernsthafte Einwände gegen die Schlüssigkeit der gutachterlichen Darlegungen aufdrängen. Erscheint ihm die Schlüssigkeit eines Gutachtens in wesentlichen Punkten als zweifelhaft, hat das Gericht nötigenfalls ergänzende Beweise zur Klärung dieser Zweifel zu erheben (<ref-ruling> E. 4.3.1 S. 198 f.). Das Abstellen auf eine nicht schlüssige Expertise bzw. der Verzicht auf die gebotenen zusätzlichen Beweiserhebungen kann gegen das Verbot willkürlicher Beweiswürdigung verstossen (<ref-ruling> E. 6.2.3 S. 273 mit Hinweis).
7.2. Der Beschwerdeführer beanstandet, dass die Vorinstanz von der gutachterlichen Empfehlung der alternierenden Obhut mit hälftigen Betreuungsanteilen abwich. Diese beschlägt die Rechtsfolge, welche den Expertinnen zufolge auf die tatsächlichen Umstände anzuwenden wäre. Darüber, welche rechtlichen Schlüsse aus den Feststellungen und Erkenntnissen im Gutachten zu ziehen sind, entscheidet als Rechtsfrage allein das Gericht (Urteil 5A_439/2012 vom 13. September 2012 E. 4.1 mit Hinweisen). Die Vorinstanz durfte deshalb grundsätzlich von der gutachterlichen Empfehlung abweichen. Soweit der Beschwerdeführer der Vorinstanz vorwirft, ihre Begründungspflicht und somit seinen Gehörsanspruch (<ref-law>) verletzt zu haben, indem sie ohne Begründung von der gutachterlichen Empfehlung abgewichen sei, geht seine Rüge ebenfalls fehl. Die Vorinstanz begründete ihr Vorgehen durchaus, nämlich damit, das Gutachten sei widersprüchlich, worauf der Beschwerdeführer selbst Bezug nimmt.
8.
Nachfolgend gilt es zu prüfen, ob die Vorinstanz zu Recht davon ausging, die Voraussetzungen für eine alternierende Obhut mit hälftigen Betreuungsanteilen seien nicht erfüllt.
8.1. Die Beschwerdegegnerin wirft dem Beschwerdeführer einleitend vor, die Vertraulichkeit der durchgeführten Mediation missachtet zu haben. Indessen unterlässt sie es darzulegen, welche konkreten Aussagen er in den Prozess eingeführt und die Vorinstanz berücksichtigt haben soll (<ref-law>). Aus ihrer bloss pauschalen Behauptung kann sie nichts zu ihren Gunsten ableiten. Die Tatsache allein, dass eine Mediation durchgeführt wurde, stellt entgegen ihrer Auffassung keine vertrauliche Information im Sinne von <ref-law> dar (BOHNET, in: Commentaire romand, Code de procédure civile, 2. Aufl. 2019, N. 5 zu <ref-law>; PETER, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. II, 2012, N. 6 zu <ref-law>; RUGGLE, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 10 zu <ref-law>).
8.2. Die Vorinstanz erachtete die Erziehungsfähigkeit beider Eltern (vgl. vorne E. 4.2) unter Hinweis auf das Gutachten vom 29. Mai 2018 als gegeben. Soweit die Beschwerdegegnerin jene des Beschwerdeführers anzweifelt, setzt sie sich mit dem angefochtenen Entscheid bzw. dem Gutachten vom 29. Mai 2018 nicht auseinander, sondern beschränkt sich darauf, ihre Sicht der Dinge darzulegen. Dies genügt den Begründungsanforderungen nicht (vgl. vorne E. 2.1 und 2.3 sowie <ref-ruling> E. 4.3 S. 339), sodass sich Erläuterungen zur Erziehungsfähigkeit der Parteien erübrigen.
8.3. Sodann mass die Vorinstanz dem bestehenden Elternkonflikt besondere Bedeutung zu.
8.3.1. Sie erwog, aus dem Gutachten und den Akten gehe klar hervor, dass die Kommunikation und Kooperation zwischen den Eltern schlecht sei. Am 29. April 2019 erkundigte sie sich zudem telefonisch bei der seit Anfang 2019 eingesetzten Erziehungsbeiständin. Diese teilte mit, dass bis zu jenem Zeitpunkt drei gemeinsame Gespräche mit den Eltern stattgefunden hätten und die Treffen alle vier Wochen stattfinden würden. Die Treffen seien bislang gut verlaufen und die Eltern hätten sich schnell geeinigt. Es habe zwar Diskussionen gegeben, aber keinen lauten Streit. Ohne die Erziehungsbeiständin könnten die Eltern aber nicht kommunizieren. Deshalb hätten sie ein Büchlein angeschafft, in welches sich die Eltern gegenseitig Informationen hineinschrieben. Mit diesem Büchlein klappe es gut. Die Vorinstanz stellte ferner fest, anlässlich der zweitinstanzlichen Parteibefragung hätten sich beide Parteien betreffend die Einsetzung der Erziehungsbeiständin positiv geäussert. Sie folgerte abschliessend, aufgrund der rund zwanzig Minuten Autofahrt voneinander entfernt liegenden Wohnorte der Eltern sowie der Schulpflicht aller drei Kinder der Parteien ab August 2019 sei die Kooperationsfähigkeit der Eltern unerlässlich. Es sei zweifelhaft, dass es ihnen gelingen werde, alltägliche Absprachen mehr oder weniger konfliktfrei und zeitnah zu treffen, was klar gegen die alternierende Obhut spreche. Das eingeführte Büchlein möge zwar für gegenseitige Informationen ausreichen, für kurzfristig zu treffende Absprachen sei dies jedoch nicht der Fall, da diese Art der Kommunikation zu schwerfällig sei. Alltägliche organisatorische Massnahmen und gegenseitige Informationen hätten innert kurzer Zeit und kaum durch die Vermittlung der Erziehungsbeiständin zu erfolgen, zumal diese Treffen nur alle vier Wochen stattfänden.
8.3.2. Es mag der Vorinstanz darin zuzustimmen sein, dass die Kommunikation über die Erziehungsbeiständin und den Austausch eines Büchleins schwerfälliger ist als jene von Eltern, die sich direkt und ohne Unterstützung Dritter miteinander austauschen. Dies ändert indes nichts am Umstand, dass sich die Kommunikation und Kooperation zwischen den Parteien mit der Errichtung der Erziehungsbeistandschaft verbessert hat, was es beim Entscheid über die Obhut zu berücksichtigen gilt (vgl. zur elterlichen Sorge Urteil 5A_499/2016 vom 30. März 2017 E. 4). Soweit die Vorinstanz in ihrer Vernehmlassung ausführt, im angefochtenen Entscheid sei aufgezeigt worden, dass sich in Bezug auf Kompromisse oder Lösungen zum Wohle der Kinder keine positive Entwicklung ergeben habe, widerspricht sie ihrer eigenen Feststellung, wonach sich die Eltern anlässlich der Treffen bei der Erziehungsbeiständin jeweils rasch geeinigt hätten (vgl. vorne E. 8.3.1). Das Vorbringen der Beschwerdegegnerin in ihrer Vernehmlassung, der Elternkonflikt sei "immer wie grösser" geworden, findet im angefochtenen Entscheid ebenfalls keine Stütze. Die Vorinstanz blendet ferner aus, dass die Parteien bereits über ein blosses Wochenendbesuchsrecht hinaus miteinander kommunizieren und kooperieren, da die Kinder jede Woche von Donnerstagnachmittag (13.00 Uhr) bis Freitagabend (19.30 Uhr) beim Beschwerdeführer sind. Weshalb die Parteien genügend kommunikations- und kooperationsfähig für eine derartige Regelung, nicht aber für eine - wie vom Beschwerdeführer beantragte - hälftige Aufteilung sein sollen, welche im Ergebnis auf (bloss) einen väterlichen Betreuungstag mehr pro Woche hinaus liefe, erläutert die Vorinstanz nicht und ist auch nicht ersichtlich.
8.3.3. Ferner äussert sich die Vorinstanz nicht dazu, inwiefern eine hälftige Betreuung die Kinder dem Elternkonflikt in einer Weise aussetzen würde, die ihren Interessen offensichtlich zuwider liefe. Sie beschränkt sich darauf, am Gutachten zu bemängeln, dieses gehe nicht darauf ein, wie die mangelnde Kommunikation und Kooperation der Eltern bei einer alternierenden Obhut mit dem Kindeswohl vereinbar sei bzw. inwiefern die Kinder durch den Elternkonflikt belastet seien und wie sich eine alternierende Obhut voraussichtlich auf das Kindeswohl auswirken würde. Eigene Feststellungen dazu, wie die Kinder den Elternkonflikt erleben, bzw. eine Prognose zur Beeinträchtigung des Kindeswohls bei hälftiger Betreuung durch die Eltern lässt der angefochtene Entscheid vermissen. Die Vorinstanz führte in diesem Kontext einzig aus, die Eltern vermieden bei den Kindsübergaben den direkten Kontakt, indem der Beschwerdeführer im Auto sitzen bleibe, sodass die Kinder in diesen Momenten keine Auseinandersetzung zwischen ihren Eltern erleben. Zu Recht weist der Beschwerdeführer darauf hin, dass die Vorinstanz hier zu ergänzenden Sachverhaltsabklärungen verpflichtet gewesen wäre (vgl. vorne E. 7.1).
8.3.4. Zusammengefasst erlauben die vorinstanzlichen Feststellungen nicht den Schluss, der Elternkonflikt sei derart ausgeprägt und umfassend, dass eine Kommunikation und Einigung über die Kinderbelange nicht möglich sei und eine alternierende Obhut mit hälftigen Betreuungsanteilen dem Kindeswohl schaden könnte.
8.4.
8.4.1. Die Vorinstanz verneinte die vom Beschwerdeführer beantragte alternierende Obhut auch unter dem Gesichtspunkt der Stabilität. Die Parteien hätten vor der Trennung ein klassisches Rollenmodell gelebt, wobei die Beschwerdegegnerin die Kinder betreut und Teilzeit gearbeitet habe und der Beschwerdeführer voll erwerbstätig gewesen sei. Die alternierende Obhut mit hälftigen Betreuungsanteilen sei nur während weniger Monate gelebt worden, wobei unerheblich sei, ob es sich dabei um fünf oder acht Monate gehandelt habe. Die während des Zusammenlebens und der letzten eineinhalb Jahre gelebte Situation sowie die Stabilität sprächen für eine Beibehaltung der erstinstanzlich getroffenen Regelung, zumal die Kinder noch relativ jung seien und der Kontinuität daher ein höherer Stellenwert beizumessen sei.
8.4.2. Die während des Zusammenlebens gelebte klassische Rollenteilung spricht grundsätzlich in der Tat eher gegen eine alternierende Obhut. Vorliegend fällt jedoch ins Gewicht, dass die Parteien nach der Trennung über mehrere Monate hinweg die hälftige Betreuung praktizierten, was die Bedeutung der zuvor gelebten Betreuungssituation unter dem Gesichtspunkt der Stabilität relativiert. Aus dem angefochtenen Entscheid ergibt sich nicht, wie lange die hälftige Betreuung tatsächlich vollzogen wurde, doch seien es mindestens fünf Monate gewesen. Bereits fünf Monate stellen für kleine Kinder eine verhältnismässig lange Zeitspanne dar, in welcher sie sich an eine neue Situation gewöhnen können (vgl. Urteil 5A_1023/2017 vom 15. August 2018 E. 4.4). Dies gilt es namentlich für die beiden Töchter der Parteien zu berücksichtigen, welche im Zeitpunkt der Trennung erst drei und nicht ganz eineinhalb Jahre alt waren.
8.5. Die geografische Distanz zwischen den Wohnorten der Eltern steht einer alternierenden Obhut mit hälftiger Betreuung vorliegend nicht entgegen. Eine zwanzigminütige Autofahrt ist für Kinder im Alter derer der Parteien nicht grundsätzlich als unzumutbare Belastung zu werten. Der angefochtene Entscheid enthält keine Feststellung darüber, dass im vorliegend zu beurteilenden Einzelfall das Kindeswohl durch diese Autofahrten beeinträchtigt wäre. Die rein hypothetische Überlegung der Vorinstanz, die eine Stunde dauernde Fahrt mit den öffentlichen Verkehrsmitteln wäre den Kindern nicht zuzumuten, verdient keine Beachtung, da die Vorinstanz selbst festhält, dass der Beschwerdeführer seine Kinder mit dem Auto holt und zurückbringt. Schliesslich ist nicht erforderlich, wie es die Beschwerdegegnerin anzunehmen scheint, dass die Kinder den Schulweg alleine bewältigen können.
8.6. Die Gutachterinnen begründeten ihre Empfehlung des Wechselmodells hauptsächlich damit, dass dadurch die Beschwerdegegnerin entlastet und der Beschwerdeführer nicht mehr so sehr unter der Trennung von den Kindern leiden würde (vgl. vorne E. 5). Die Vorinstanz erwog, die gutachterliche Empfehlung sei aus der Sicht der Elterninteressen erfolgt, ohne auf das Kindeswohl einzugehen, weshalb auf das Gutachten nicht abzustellen sei. Die vorinstanzliche Kritik an der Begründung der gutachterlichen Empfehlung ist insoweit gerechtfertigt, als die Obhutsregelung nicht primär den Interessen der Eltern dienen soll, sondern das Kindeswohl die oberste Leitlinie bildet. Allerdings lässt die Vorinstanz ausser Acht, dass der im Gutachten hervorgehobene Erschöpfungszustand der Beschwerdegegnerin auch mit Bezug auf das Kindeswohl von Bedeutung ist. Schliesslich empfahlen die Gutachterinnen aufgrund des beobachteten somatisch-emotionalen Befindens der Beschwerdegegnerin gar deren regelmässige psychotherapeutische Unterstützung. Unter diesen Umständen hätte sich eine Auseinandersetzung damit aufgedrängt, ob die festgestellte Erschöpfung derart ausgeprägt ist, dass eine Entlastung der Beschwerdegegnerin in der Kinderbetreuung dem Kindeswohl besser gerecht würde als die angefochtene Regelung, insbesondere auch angesichts der Prognose der Gutachterinnen, dass sich die Belastungssituation der Beschwerdegegnerin nach der (zwischenzeitlich erfolgten) Geburt ihres zweiten Sohnes noch verschärfen könnte. Die Vorinstanz hat die Untersuchungsmaxime (<ref-law>) verletzt, indem sie es unterliess abzuklären, wie sich die gesundheitliche Verfassung der Beschwerdegegnerin namentlich nach der Niederkunft 2018 auf das Kindeswohl der gemeinsamen Kinder der Parteien auswirkte, da es sich hierbei um einen für die Obhutsfrage rechtserheblichen Umstand handelt.
8.7. Schliesslich ergibt sich aus dem Gutachten vom 29. Mai 2018 auch, dass der (in jenem Zeitpunkt sechseinhalbjährige) gemeinsame Sohn der Parteien "gut benenn[e], dass [er] eine Regelung, wo er bei seiner Mutter und seinem Vater zu gleichen Teilen lebe[,] gut finde" (S. 13, letzter Abschnitt). Im angefochtenen Entscheid wird dieser Kindeswille nicht thematisiert. Damit hat die Vorinstanz einen weiteren rechtserheblichen Umstand (vgl. vorne E. 4.2) ausser Acht gelassen.
8.8. Die Beschwerdegegnerin beruft sich darauf, dass Geschwister nach Möglichkeit nicht getrennt werden sollen. Die Kinder der Parteien hätten mittlerweile Halbgeschwister. Es sei ihnen nicht zumutbar, mehrere Tage ohne diese zu verbringen. Der Grundsatz, wonach Geschwister nach Möglichkeit nicht getrennt werden sollen, bezweckt, für (volle) Geschwister unterschiedliche Obhutsregelungen möglichst zu vermeiden (vgl. Urteile 5A_236/2016 vom 15. Januar 2018 E. 4.1; 5A_444/2008 vom 14. August 2008 E. 3.1). Bei Halbgeschwistern liegt es in der Natur der Sache, dass verschiedene Obhutsregelungen unter Umständen unvermeidbar sind, da sie nicht beide Eltern teilen und jeder Elternteil aus einer neuen Partnerschaft weitere Kinder haben kann. Der Beziehung zu (Halb-) Geschwistern ist aber bei der Obhutsregelung (als einem von vielen Kriterien) Rechnung zu tragen (vgl. vorne E. 4.2). Vorliegend tut die Beschwerdegegnerin nicht dar, inwiefern eine alternierende Obhut die Kinder der Parteien daran hindern sollte, die Beziehung zu ihren Halbgeschwistern mütterlicherseits zu pflegen, und dies ist auch nicht ersichtlich.
8.9. Es ergibt sich, dass die Vorinstanz ihr Ermessen bundesrechtswidrig ausgeübt hat, indem sie ohne entsprechende Feststellungen zur Beeinträchtigung des Kindeswohls durch den Elternkonflikt darauf schloss, dieser lasse eine alternierende Obhut mit hälftiger Betreuung nicht zu, und bei ihrer Beurteilung der Obhutsfrage einzelne rechtserhebliche Umstände ausser Acht liess. Der angefochtene Entscheid ist deshalb aufzuheben und die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts und neuem Entscheid über die Obhut an die Vorinstanz zurückzuweisen (<ref-law>).
9.
Anlass zur Beschwerde gibt auch die im angefochtenen Entscheid getroffene Unterhaltsregelung. Da der Umfang der Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers unter anderem davon abhängt, wie hoch sein Betreuungsanteil ist, kann das Bundesgericht auch hier keinen reformatorischen Entscheid fällen. Die Vorinstanz wird hierüber ebenfalls neu zu urteilen haben. Eine Auseinandersetzung mit den in diesem Zusammenhang vorgetragenen Rügen erübrigt sich.
10.
10.1. Im Ergebnis ist die Beschwerde gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist, und die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese wird auch über die Verteilung der Prozesskosten im Berufungsverfahren neu entscheiden müssen (vgl. Art. 67 und Art. 68 Abs. 5 BGG).
10.2. Die Rückweisung der Sache zu neuem Entscheid gilt für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten wie auch der Parteientschädigung als vollständiges Obsiegen im Sinne von Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG, unabhängig davon, ob sie beantragt und ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder im Eventualantrag gestellt wird (<ref-ruling> E. 11.1 S. 312). Das Nichteintreten betrifft nur einen Nebenpunkt, sodass es sich rechtfertigt, der Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten vollständig aufzuerlegen (<ref-law>) und sie zur Leistung einer Parteientschädigung an den Beschwerdeführer zu verpflichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
10.3. Beide Parteien stellen für das bundesgerichtliche Verfahren ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Die gesetzlichen Voraussetzungen hierfür sind erfüllt (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Aufgrund seines Obsiegens ist das Gesuch des Beschwerdeführers mit Bezug auf die Gerichtskosten gegenstandslos geworden. Da indes nicht anzunehmen ist, dass er die Parteientschädigung bei der Beschwerdegegnerin wird erhältlich machen können, wird seiner Rechtsvertreterin aus der Bundesgerichtskasse eine reduzierte Entschädigung ausgerichtet (<ref-law> i.V.m. Art. 10 des Reglements vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht [SR 173.110.210.3]). Die Parteien werden darauf hingewiesen, dass sie der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten haben, falls sie später dazu in der Lage sind (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Die Ziffern 1 und 2 des Entscheids des Kantonsgerichts Basel-Landschaft vom 28. Mai 2019 werden aufgehoben und die Sache wird zur Ergänzung des Sachverhalts und zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an das Kantonsgericht zurückgewiesen. Im Übrigen wird auf die Beschwerde nicht eingetreten.
2.
2.1. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, und es wird ihm Advokatin Stefanie Mathys-Währer als unentgeltliche Rechtsbeiständin beigegeben.
2.2. Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen und es wird ihr Advokat Ozan Polatli als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Die Beschwerdegegnerin hat die Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen. Die Entschädigung wird indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen und Advokatin Stefanie Mathys-Währer wird aus dieser eine Entschädigung von Fr. 1'700.-- ausgerichtet.
5.
Advokat Ozan Polatli wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'700.-- ausgerichtet.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Zivilrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. November 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Gutzwiller