Sachverhalt:
A.
A.a. Die Stiftung A._ in U._ bezweckt die Erweisung materieller, sozialer, wirtschaftlicher und anderweitiger Hilfe an bedürftige Menschen, schwerpunktmässig in der Ukraine, in Russland und in den übrigen Nachfolgestaaten der ehemaligen UdSSR. Sie wird von der Eidgenössischen Stiftungsaufsicht beaufsichtigt.
A.b. Mit Verfügung vom 19. Dezember 2018 hat die Aufsichtsbehörde bei der Stiftung einen Sachwalter mit Einzelzeichnungsberechtigung eingesetzt, um konkreten Hinweisen auf eine möglicherweise nicht gesetzes- und stiftungskonforme Verwendung von Spendengeldern nachzugehen. Einer allfälligen Beschwerde wurde die aufschiebende Wirkung entzogen.
A.c. Gestützt auf zwei Berichte des Sachwalters traf die Aufsichtsbehörde am 30. September 2019 eine Reihe von Aufsichtsmassnahmen, die Gegenstand einer Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht bilden.
B.
Am 24. Dezember 2018 erhob die Stiftung Beschwerde gegen die Einsetzung eines Sachwalters. Mit Zwischenverfügung vom 27. Dezember 2018 wurde die Stiftung unter anderem zur Leistung eines Kostenvorschusses bis zum 1. Februar 2019 aufgefordert, unter Androhung des Nichteintretens im Falle der Nichtleistung. Der Kostenvorschuss ging am 4. Februar 2019 ein. Am 7. Mai 2019 wies das Bundesverwaltungsgericht das Fristwiederherstellungsgesuch der Stiftung ab und trat auf die Beschwerde nicht ein.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 7. Juni 2019 ist die Stiftung an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin beantragt, das Urteil vom 7. Mai 2019 aufzuheben, ihr Gesuch um Wiederherstellung der Frist gutzuheissen und auf ihre Beschwerde vom 24. Dezember 2018 einzutreten.
Es sind die vorinstanzlichen Akten, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Urteil des Bundesverwaltungsgerichts, das als Beschwerdeinstanz ein Gesuch um Wiederherstellung der Frist für die Leistung des Kostenvorschusses abgewiesen hat und auf die Beschwerde gegen die Einsetzung eines Sachwalters wegen Nichtleistung des Kostenvorschusses nicht eingetreten ist. Dabei handelt es sich um einen Endentscheid in der Sache, welcher der Beschwerde in Zivilsachen zugänglich ist (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 4, Art. 75 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdeführerin ist vom angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat daher ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG). Auf die fristgerecht erhobene Beschwerde ist insoweit einzutreten (Art. 100 Abs. 1 BGG).
1.2. Mit der vorliegenden Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen, wobei hier das Rügeprinzip gilt (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.2.2).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel sind nur zulässig, soweit der vorinstanzliche Entscheid dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2.
Anlass zur Beschwerde gibt die Abweisung eines Gesuch um Wiederherstellung der Frist zur Leistung des Kostenvorschusses an das Bundesverwaltungsgericht.
2.1. Eine Frist wird wieder hergestellt, wenn der Gesuchsteller oder sein Vertreter unverschuldeterweise abgehalten worden sind, innert dieser zu handeln, sofern er unter Angabe des Grundes innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses darum ersucht und die versäumte Rechtshandlung nachholt (Art. 24 Abs. 1 VwVG). Es handelt sich um einen allgemeinen Rechtsgrundsatz, der sich aus dem Anspruch auf ein faires Verfahren (Art. 29 Abs. 1 BV und Art. 6 EMRK) ergibt (Urteil 2C_249/2018 vom 25. Juni 2019 E. 4.4). Indes wird die Wiederherstellung der Frist im Interesse der Rechtssicherheit nur zurückhaltend und in besonderen Fällen gewährt. Nach der bundesgerichtlichen Praxis wird ein Fall von klarer Schuldlosigkeit vorausgesetzt (Urteil 1C_294/2010 vom 28. Oktober 2010 E. 3 zu Art. 50 Abs. 1 BGG). Ein Fehler des Rechtsvertreters oder seiner Hilfsperson wird in der Regel der Prozesspartei angerechnet (<ref-ruling> E. 1.3; Urteil 5A_927/2015 vom 22. Dezember 2015 E. 5.1).
2.2. Im vorliegenden Fall wurde der Beschwerdeführerin eine Frist zur Leistung des Kostenvorschusses bis am 1. Februar 2019 angesetzt. Nachdem die Zahlung erst am 4. Februar 2019 beim Bundesverwaltungsgericht eingetroffen war, wurde sie und der Sachwalter zur Stellungnahme in dieser Frage eingeladen. In diesem Rahmen räumte sie das Fristversäumnis ein und stellte ein Gesuch um Wiederherstellung der Frist. Dabei machte sie im Wesentlichen geltend, aufgrund der speziellen Situation treffe sie kein Verschulden an der Verspätung. Sie habe seit der Einsetzung des Sachwalters nicht mehr selbständig handeln können und habe alles vorgekehrt, damit die Zahlung rechtzeitig erfolgen könne. Es liege ein Versäumnis des Sachwalters vor.
2.3. Das Bundesverwaltungsgericht verneinte ein unverschuldetes Hindernis bei der Beschwerdeführerin. Seiner Ansicht nach ist die Verspätung der Kostenvorschusszahlung auf die Rechtsvertreterin zurückzuführen, welche die Einhaltung der Frist ihrer Mandantin überlassen und sich nicht vergewissert habe, dass die Zahlung rechtzeitig erfolgen würde. Zudem habe der Geschäftsführer der Beschwerdeführerin den Sachwalter bei der Aushändigung des Einzahlungsscheines am Vorabend des Fristablaufs nicht genügend auf das konkrete Ausmass der Dringlichkeit hingewiesen.
2.4. Nach Ansicht der Beschwerdeführerin kann ihr kein Verschulden vorgeworfen werden, weshalb die Vorinstanz ihr Wiederherstellungsgesuch hätte gutheissen müssen.
2.4.1. Die Beschwerdeführerin bringt vor, mit der (nunmehr angefochtenen) Verfügung habe die Stiftungsaufsicht ihr das Verfügungsrecht über die finanziellen Mittel entzogen. Daher sei sie nicht in der Lage gewesen, ihren finanziellen Verpflichtungen selbständig und rechtzeitig nachzukommen. Vor diesem Hintergrund sei es stossend und laufe dem Gerechtigkeitsgedanken zuwider, wenn die Vorinstanz sie und ihre Rechtsvertreterin gleichwohl für die verspätete Überweisung des Kostenvorschusses verantwortlich mache. Darin liege eine unrichtige Anwendung von Art. 24 Abs. 1 VwVG.
2.4.2. Mit dieser Sichtweise blendet die Beschwerdeführerin aus, dass die Vorinstanz sehr wohl die konkreten Umstände des Falles zur Kenntnis genommen hat. Indes hat sie betont, dass die Verantwortung für die fristwahrende Zahlung des Kostenvorschusses primär bei der Rechtsvertreterin liege. Diese müsse sich rechtzeitig vergewissern, ob die Überweisung erfolgt sei. Zu diesem Begründungsansatz nimmt die Beschwerdeführerin nicht Stellung. Dabei handelt es sich aber um ein wesentliches Element bei der Prüfung, ob ein Verschulden im Sinne von Art. 24 Abs. 1 VwVG vorliegt (E. 2.1).
2.5. Die Beschwerdeführerin führt zudem aus, weshalb die Zahlung des Kostenvorschusses verspätet erfolgt ist. Dabei betont sie, dass ihr Geschäftsführer unmittelbar nach seiner Rückkehr aus den Ferien mit dem Sachwalter Kontakt aufgenommen habe. An der Besprechung vom 31. Januar 2019 habe er diesem unter anderem den Einzahlungsschein für den Kostenvorschuss ausgehändigt und auf die Dringlichkeit der anstehenden Zahlung hingewiesen. Als forensisch tätiger Anwalt hätte dem Sachwalter - so die Beschwerdeführerin - die Bedeutung der Zahlungsfrist auch ohne entsprechenden Hinweis bekannt sein sollen.
2.5.1. Soweit die Beschwerdeführerin mit diesen Vorbringen den Sachwalter für die verspätete Zahlung verantwortlich machen möchte, kann ihr nicht gefolgt werden. Insbesondere geht ihr Vorwurf, sie habe sich dem Kalender des Sachwalters unterziehen müssen, an der Sache vorbei. Ein solcher Standpunkt würde voraussetzen, dass ein allfälliges Verschulden des Sachwalters der eigenen Verantwortung der Beschwerdeführerin vorgehen würde, was gerade nicht der Fall ist.
2.5.2. Zudem räumt die Beschwerdeführerin selber ein, dass ihr Geschäftsführer ferienhalber vom 8. bis 21. Januar 2019 nicht erreichbar gewesen sei. Alsdann wurde der Besprechungstermin nach der beidseitigen Verfügbarkeit von Sachwalter und Geschäftsführer vereinbart. Angesichts dieser Feststellung kann nicht die Rede davon sein, dass der Sachwalter für die Ansetzung der Besprechung erst auf den 31. Januar 2019 verantwortlich gewesen sein sollte.
2.6. Ferner wirft die Beschwerdeführerin der Vorinstanz vor, die Beweisanträge in Zusammenhang mit dem Telefongespräch, welches am 21. Januar 2019 zwischen ihrem Geschäftsführer und dem Sachwalter stattgefunden hat, nicht abgenommen zu haben. Sie erblickt darin eine Verletzung des Anspruchs auf den Beweis und beruft sich auf Art. 8 ZGB sowie Art. 29 Abs. 2 BV.
2.6.1. Der durch Art. 29 Abs. 2 BV garantierte und in Art. 29 ff. VwVG für das Verwaltungsverfahren des Bundes konkretisierte Grundsatz des rechtlichen Gehörs garantiert den betroffenen Personen ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht im Verfahren. Sie sollen sich vor Erlass des Entscheides zur Sache äussern, erhebliche Beweise beibringen, an der Erhebung der Beweise mitwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis äussern können. Die Behörde stellt den Sachverhalt von Amtes wegen fest (Art. 12 VwVG). Sie ist grundsätzlich verpflichtet, die ihr angebotenen Beweise abzunehmen, wenn sie zur Abklärung des Sachverhaltes tauglich erscheinen (Art. 33 Abs. 1 VwVG; <ref-ruling> E. 4.4.2; <ref-ruling> E. 3.2). Diese Grundsätze kommen für das Verfahren vor Bundesverwaltungsgericht zur Anwendung (Art. 1 Abs. 2 lit. b VwVG).
2.6.2. Im vorliegenden Fall kam die Vorinstanz zum Schluss, dass der Sachverhalt genügend abgeklärt worden sei und von der Einholung von Auskünften beim Geschäftsführer und der Einvernahme des Sachwalters keine weiteren relevanten Erkenntnisse zu erwarten seien. Im Sinne einer antizipierten Beweiswürdigung wurde von diesen Beweisvorkehren abgesehen.
2.6.3. Das Gericht kann auf ein beantragtes Beweismittel verzichten, wenn es ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen durfte, eine weitere Beweiserhebung würde ihre Überzeugung nicht beeinflussen (<ref-ruling> E. 6.3.1). Die Beschwerdeführerin schildert im konkreten Fall zwar den Inhalt des Telefongesprächs vom 21. Januar 2019 und betont, dass ihr Geschäftsführer dabei auf die Dringlichkeit der ausstehenden Rechnungen hingewiesen habe. Gleichwohl habe die Besprechung mit dem Sachwalter erst am 31. Januar 2019 stattfinden können. Indes legt die Beschwerdeführerin nicht dar, welchen Einfluss dieser von ihr vorgetragene Sachverhalt auf das Verschulden für die verspätete Zahlung des Kostenvorschusses haben sollte, zumal die Verantwortung hierfür primär bei der Rechtsvertreterin liegt. Damit durfte die Vorinstanz von der Abnahme der diesbezüglich beantragten Beweise absehen, ohne dass die antizipierte Beweiswürdigung das Willkürverbot verletzt.
2.7. Nach dem Gesagten ist die Abweisung des Wiederherstellungsgesuchs für die Leistung des Kostenvorschusses durch die Vorinstanz nicht zu beanstanden. Damit erweist sich auch der Nichteintretensentscheid in der Sache als rechtens.
3.
Der Beschwerde ist demnach kein Erfolg beschieden. Ausgangsgemäss werden die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Eidgenössischen Departement des Innern EDI und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. März 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Levante