Sachverhalt:
A.
A._ (Beschwerdeführer) war über seine Arbeitgeberin bei der B._ AG (Beschwerdegegnerin) nach VVG (SR 221.229.1) krankentaggeldversichert. Mit einer bei der B._ AG am 23. September 2014 eingegangenen Krankheitsanzeige vom 27. August 2014 meldete die Arbeitgeberin von A._ der B._ AG eine am 28. Februar 2014 eingetretene krankheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit.
Der Anzeige lag ein am 26. August 2014 vom Hausarzt Dr. med. C._ ausgestelltes Zeugnis bei, das eine Arbeitsunfähigkeit von 100 % vom 28. Februar 2014 bis 26. Juni 2014 bescheinigte, sowie eine am 28. August 2014 von Dr. med. D._ verfasste ärztliche Bestätigung einer Arbeitsunfähigkeit von 100 % vom 26. Juni 2014 bis 30. September 2014. In der Folge bestätigte Dr. med. D._ (monatlich) eine vollständige Arbeitsunfähigkeit bis 30. November 2016. Mit Schreiben vom 13. März 2017 beurteilte er A._ für die Zeit ab dem 28. Oktober 2016 als aus psychiatrischen Gründen voll arbeitsfähig.
Am 9. Dezember 2015 teilte die B._ AG A._ mit, aus psychiatrischer Sicht liege kein Gesundheitsschaden mit Krankheitswert vor. Aus somatischer Sicht sei eine Arbeitsunfähigkeit von 100 % für die Monate April 2014 und September 2015 feststellbar. Aufgrund der verspäteten Anmeldung sowie einer Leistungssperre infolge verspäteter Prämienzahlung sei sie für die Arbeitsunfähigkeit vom April 2014 jedoch nicht leistungspflichtig. Für September 2015 werde eine Leistung in der Höhe von Fr. 4'356.-- erbracht.
Die B._ AG erklärte am 3. Oktober 2016, soweit allfällige Ansprüche bis zu diesem Zeitpunkt nicht bereits verjährt seien, werde auf die Einrede der Verjährung bis zum 31. Dezember 2017 verzichtet.
B.
Am 28. November 2016 klagte A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz mit dem Begehren, die B._ AG sei zu verurteilen, ihm Taggeldleistungen in Höhe von Fr. 229'202.90 nebst Zins zu 5 % seit 1. März 2015 zu bezahlen.
Mit Urteil vom 9. August 2018 bejahte das Verwaltungsgericht einen uneingeschränkten Taggeldanspruch für die Zeit vom 1. Oktober 2015 bis 14. Januar 2016 und einen solchen im Umfang von 50 % für die Zeit vom 15. Januar 2016 bis 30. April 2016. Es hiess die Klage daher teilweise gut und verurteilte die B._ AG, A._ Taggelder in Höhe von Fr. 56'805.90 nebst Zins zu 5 % (seit dem 9. Dezember 2015 für die Taggelder Oktober und November 2015 beziehungsweise seit dem ersten Tag des Folgemonats für die Taggelder ab Dezember 2015) zu bezahlen. Im Übrigen wies es die Klage ab.
C.
A._ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und die Beschwerdegegnerin sei zu verurteilen, ihm den Betrag von Fr. 229'202.90 nebst Zins zu 5 % "ab wann rechtens" zu bezahlen. Eventualiter sei die Angelegenheit zu weiteren Sachverhaltsabklärungen an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts hat eine Streitigkeit aus einer Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung gemäss Art. 7 ZPO zum Gegenstand (siehe dazu Urteil 4A_12/2016 vom 23. Mai 2017 E. 1.2 mit Hinweisen). Es ist ein Endentscheid (Art. 90 BGG) einer einzigen kantonalen Instanz im Sinne von Art. 75 Abs. 2 lit. a BGG. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in Zivilsachen offen, gemäss Art. 74 Abs. 2 lit. b BGG unabhängig vom Streitwert (<ref-ruling> E. 1.1, 2 E. 1.2.2; siehe auch <ref-ruling> E. 1.2).
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90).
2.3. Soweit die Parteien die vorinstanzliche Beweiswürdigung kritisieren, ist zu beachten, dass das Bundesgericht in diese nur eingreift, wenn sie willkürlich ist. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern bloss, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 4.2.1). Dies ist dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 4.2). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (BGE <ref-ruling> E. 2.2). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266 f.; <ref-ruling> E. 2b).
2.4. Zu beachten ist ferner, dass der Beweisführungsanspruch nach Art. 29 Abs. 2 BV, Art. 8 ZGB beziehungsweise Art. 152 ZPO zwar der beweispflichtigen Partei in allen bundesrechtlichen Zivilrechtsstreitigkeiten einen Anspruch darauf verschafft, für rechtserhebliche Vorbringen zum Beweis zugelassen zu werden, soweit entsprechende Anträge im kantonalen Verfahren form- und fristgerecht gestellt worden sind (vgl. <ref-ruling> E. 9.3.2 S. 332; <ref-ruling> E. 7.1; je mit Hinweisen). Diese Bestimmungen schreiben jedoch dem Gericht nicht vor, mit welchen Mitteln es den Sachverhalt abzuklären hat (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 291 mit Hinweis), und sie schliessen namentlich die antizipierte Beweiswürdigung nicht aus. Wenn ein Gericht darauf verzichtet, beantragte Beweise abzunehmen, weil es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde, ist der Beweisführungsanspruch nicht verletzt (<ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen).
Das Bundesgericht ordnet die antizipierte Beweiswürdigung, soweit seine Kognition betreffend, der Sachverhaltsfeststellung respektive Beweiswürdigung zu und greift in diese entsprechend nur ein, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 376 mit Hinweis).
3.
3.1. Die Vorinstanz ging davon aus, dass als Krankheit (als Leistungsvoraussetzung) gemäss Ziff. 8.1.1 der Allgemeinen Versicherungsbedingungen (Lohnausfallversicherung [VVG]) der B._ AG, Ausgabe 2008, (im Folgenden: AVB) eine Beeinträchtigung der körperlichen oder geistigen Gesundheit gelte, die nicht Folge eines Unfalls sei und die eine medizinische Untersuchung oder Behandlung erfordere und eine Arbeitsunfähigkeit zur Folge habe. Arbeitsunfähigkeit liege nach Ziff. 8.1.4 AVB vor, wenn die versicherte Person infolge Krankheit, Unfall oder Geburt ganz oder teilweise ausserstande sei, ihren Beruf oder eine andere zumutbare Erwerbstätigkeit auszuüben. Teilweise Arbeitsunfähigkeit liege vor, wenn eine Arbeitsunfähigkeit von mindestens 25 % bestehe. Ziff. 8.1.5 AVG sehe vor, dass Taggeldleistungen eine ärztliche Bescheinigung über die Arbeitsunfähigkeit voraussetzten.
Weiter erwog die Vorinstanz, der Anspruchsberechtigte habe die Tatsachen zur Begründung des Versicherungsanspruchs zu beweisen. Dies gelte auch dann, wenn der Versicherer zunächst Taggelder erbracht habe. Mache dieser geltend, die versicherte Person sei wieder arbeitsfähig, trage diese die Beweislast dafür, dass sie (weiterhin) arbeitsunfähig sei.
3.2. Die Vorinstanz hielt sodann fest, allfällige bis 2. Oktober 2014 entstandene Forderungen seien verjährt. Für die Zeit danach sei wie folgt zu unterscheiden:
3.2.1. In somatischer Hinsicht habe im April 2014 unbestrittenermassen eine Krankheit und Arbeitsunfähigkeit bestanden. Es könne der Krankengeschichte jedoch nicht entnommen werden, dass diese angedauert habe. Unter anderem sei durch Dr. med. C._ ausdrücklich eine nur bis 26. Juni 2014 bestehende, nicht darüber hinausgehende Arbeitsunfähigkeit bescheinigt worden.
Am 15. September 2015 sei der Beschwerdeführer sodann notfallmässig hospitalisiert und die Diagnose einer Leberzirrhose im Stadium "Child B" gestellt worden. Die Arbeitsunfähigkeit im September 2015 sei von der Beschwerdegegnerin anerkannt. Im Bericht vom 15. Januar 2016 habe PD Dr. med. E._ von einer schönen Erholung und der Einordnung in das Stadium "Child A" gesprochen. Bis 14. Januar 2016 sei daher von einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit und danach von einer mehrmonatigen Rekonvaleszenzphase auszugehen. In der Verlaufskontrolle vom 2. Mai 2016 habe PD Dr. med. E._ eine normalisierte Leberfunktion attestiert, sodass es sich rechtfertige, ab dem 1. Mai 2016 von einer vollständigen Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers auszugehen. In den medizinischen Akten finde sich keine Grundlage für die Annahme einer weiter bestehenden Arbeitsunfähigkeit.
3.2.2. Der Krankheitszustand des Beschwerdeführers sei - so die Vorinstanz weiter - gemäss Klageschrift insbesondere durch die psychiatrische Diagnose geprägt. Indes habe mit überwiegender Wahrscheinlichkeit kein psychisches Leiden mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit vorgelegen. Einerseits sei ein missbräuchlicher Alkoholkonsum mit Schädigung der Leber nachgewiesen und andererseits habe für den Beschwerdeführer eine beruflich und finanziell schwierige Situation bestanden, welche die vom Beschwerdeführer subjektiv beschriebenen Beschwerden zu erklären vermöchten, die indes krankheitsfremde Faktoren darstellten. Es lägen keine objektiven Befunde vor, welche für die Zeit seit Oktober 2014 eine depressive Störung und eine damit einhergehende vollständige Arbeitsunfähigkeit bestätigen würden.
4.
Der Beschwerdeführer rügt die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz als willkürlich.
4.1.
4.1.1. Im Einzelnen macht er geltend, die Vorinstanz habe festgehalten, dass sie das von ihm beschriebene Bild der Kraftlosigkeit, Müdigkeit, Zurückgezogenheit und des Gewichtsverlusts nicht bezweifle. Sie habe weiter ausgeführt, dass sie seine Äusserungen anlässlich der Hauptverhandlung als glaubhaft einschätze und es einem medizinischen Erfahrungswert entspreche, dass eine über mehrere Monate im Stadium "Child B" verlaufende Leberzirrhose markante Auswirkungen auf das Allgemeinbefinden haben könne. Vor diesem Hintergrund - so der Beschwerdeführer - hätte die Vorinstanz den Schluss ziehen müssen, dass eine vollständige Arbeitsunfähigkeit bestanden habe. Dies gelte umso mehr, als die Arbeit als selbständiger und allein tätiger Versicherungsbroker eine gewisse psychische und physische Präsenz bedinge.
4.1.2. Mit dieser Argumentation widerspricht der Beschwerdeführer in appellatorischer Weise der vorinstanzlichen Würdigung. Sofern dies überhaupt als genügende Rüge zu erachten sein sollte (siehe Erwägung 2.3), gelingt es dem Beschwerdeführer damit jedenfalls nicht, die nachvollziehbare Beweiswürdigung der Vorinstanz als willkürlich auszuweisen. Aufgrund der erwähnten Feststellungen ging die Vorinstanz auch für die Zeit nach Einstufung der Leberzirrhose in das Stadium "Child A", das heisst ab 15. Januar 2016, von einer mehrmonatigen Rekonvaleszenzphase aus und attestierte dem Beschwerdeführer eine Arbeitsunfähigkeit von 50 %. Sie hielt aber auch fest, dass sich sein Allgemeinzustand ab Mitte Januar 2016 langsam zu verbessern begonnen habe, und verwies auf das Wiedererreichen eines stabilen Gewichtszustands, eine Intensivierung der Physiotherapiebesuche und die Verlaufseinträge des Hausarzts. Sodann sei am 2. Mai 2016 von PD Dr. med. E._ eine normalisierte Leberfunktion festgestellt worden. Auch in den medizinischen Akten (Berichte und Einträge des Hausarzts, von PD Dr. med. E._, der Physiotherapeuten und der RAD-Ärztin) finde sich keine Grundlage für die Annahme einer auch nach dem 30. April 2016 bestehenden Arbeitsunfähigkeit. Diese Feststellungen zum Gesundheitsverlauf kritisiert der Beschwerdeführer nicht als willkürlich. Er bringt im Gegenteil einzig und ohne hinreichende Sachverhaltsrüge vor, er habe bis im Oktober beziehungsweise November 2016 nicht allein Auto fahren können, was vorinstanzlich nicht festgestellt wurde. Vor diesem Hintergrund ist der vorinstanzliche Schluss auf eine Arbeitsunfähigkeit von 50 % für die Zeit vom 15. Januar 2016 bis 30. April 2016 und eine anschliessende vollständige Arbeitsfähigkeit jedenfalls nicht willkürlich.
Dem Beschwerdeführer hilft auch sein Vorbringen nicht, Dr. med. F._ habe noch im September 2016 auf eine ausgeprägte Dekonditionierung mit allgemeiner Muskelatrophie und eine weiterhin deutlich eingeschränkte Belastbarkeit und Leistungsfähigkeit hingewiesen, wobei unerheblich sei, dass Dr. med. F._ die Dekonditionierung mit der psychischen Situation in Verbindung gebracht habe. Die Vorinstanz begründete ausführlich, weshalb sie auf den damit angesprochenen Bericht nicht abstellte (und legte etwa dar, dass Dr. med. F._ keine Arbeitsunfähigkeit bestätigte, sondern diesbezüglich auf den Psychiater verwies). Damit setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander, sondern hält seine eigene Interpretation des ärztlichen Berichts entgegen. Darauf ist nicht abzustellen.
4.2.
4.2.1. Weiter trägt der Beschwerdeführer vor, die Vorinstanz hätte auf die von ihm beantragten Zeugenbefragungen nicht verzichten dürfen und ein neutrales bi- beziehungsweise interdisziplinäres Gutachten einholen müssen. Er kritisiert in diesem Zusammenhang die vorinstanzliche Würdigung der Aktengutachten der Konsiliarärztin Psychiatrie der Beschwerdegegnerin, Dr. med. G._, und meint, diese Gutachten seien keine Beweismittel, sondern Parteibehauptungen. Der von Dr. med. G._ geäusserten Meinung stehe diejenige von Dr. med. D._ gegenüber, der den Beschwerdeführer persönlich untersucht habe und ihn gut kenne. Dr. med. G._ habe das Vorliegen objektiver Befunde entgegen der Diagnose von Dr. med. D._ mit dem Hinweis auf das Bestehen psychosozialer Faktoren verneint, obwohl im Bereich der Krankentaggeldversicherung nach VVG vom bio-psycho-sozialen Krankheitsbegriff auszugehen sei. Überdies sei die Wechselwirkung zwischen den psychischen und somatischen Einschränkungen nicht untersucht worden.
4.2.2. Es ist zunächst nicht ersichtlich, inwiefern das Verwaltungsgericht den Gutachten von Dr. med. G._ eine zivilprozessual unrichtige beweisrechtliche Bedeutung zugemessen hat, wenn sie sich gestützt auf diese Gutachten mit den Attesten von Dr. med. D._ kritisch auseinandersetzte und zum Schluss gelangte, der Nachweis der Arbeitsunfähigkeit sei nicht erbracht, zumal die Vorinstanz auch andere Umstände berücksichtigte, darunter die "Kehrtwende" hinsichtlich der Alkoholproblematik ab September 2015 und insbesondere im ersten Halbjahr 2016 sowie die Ausführungen des Beschwerdeführers in der Befragung vom 8. Februar 2018 (recte: 7. Februar 2018) (vgl. auch Urteile 4A_85/2017 vom 4. September 2017 E. 2.3; 4A_445/2016 vom 16. Februar 2017 E. 4.2.1 und 4.2.3).
Soweit der Beschwerdeführer auf den "bio-psycho-sozialen Krankheitsbegriff" verweist, ist er nicht zu hören. Es genügt der Begründungspflicht im bundesgerichtlichen Verfahren nach dem Gesagten nicht, einfach die im kantonalen Verfahren eingenommenen Rechtsstandpunkte zu wiederholen (siehe Erwägung 2.1). Der Beschwerdeführer müsste entweder in Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Urteil und dem zwischen den Parteien geschlossenen Vertrag aufzeigen, dass die Vorinstanz von einem unrichtigen Krankheitsbegriff ausging, oder darlegen, dass es gestützt auf die gewürdigten ärztlichen Meinungen auch unter Zugrundelegung des von der Vorinstanz angenommenen Krankheitsbegriffs im Ergebnis willkürlich ist, im massgebenden Zeitpunkt eine vom Versicherungsschutz umfasste Arbeitsunfähigkeit zu verneinen (vgl. Urteil 4A_647/2012 vom 9. April 2013 E. 3.1.1). Diesen Anforderungen genügen die Ausführungen in der Beschwerdeschrift nicht, wenn darin pauschal der Vorwurf erhoben wird, Dr. med. G._ und damit die Vorinstanz seien nicht vom richtigen Krankheitsbegriff - zu dem sich die Vorinstanz im Übrigen einlässlich äusserte - ausgegangen.
4.2.3. Eine Befragung der behandelnden Ärzte als Zeugen lehnte die Vorinstanz mit der Begründung ab, Dr. med. C._ habe eine Arbeitsunfähigkeit ohnehin ausdrücklich nur bis 26. Juni 2014 attestiert. Die Berichte von Dr. med. D._ lägen bei den Akten; von einer Befragung seien keine anderen Erkenntnisse zu erwarten. Von der Befragung der Zeugen aus dem Bekanntenkreis des Beschwerdeführers sah die Vorinstanz ab, da diese das vom Beschwerdeführer selbst beschriebene Bild der Kraftlosigkeit, Müdigkeit, Zurückgezogenheit und des Gewichtsverlusts - an dem auch die Vorinstanz nicht zweifle - bestätigen würden, jedoch eine medizinisch-psychiatrische Erkrankung mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers nicht zu bestätigen vermöchten. Schliesslich könne auch auf ein gerichtliches Gutachten verzichtet werden, da keine Zweifel am Bericht von Dr. med. G._ vom 9. Januar 2017 bestünden und auch ein gerichtliches Gutachten nur aufgrund der bestehenden Aktenlage erstellt werden könne.
4.2.4. Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, inwiefern diese antizipierte Beweiswürdigung der Vorinstanz geradezu willkürlich wäre, wie er vor Bundesgericht (einzig) rügen könnte (siehe Erwägung 2.4). Es ist was folgt zu bemerken:
Die Feststellung der Vorinstanz, die als Zeugen angerufenen Personen aus dem Bekanntenkreis des Beschwerdeführers vermöchten eine medizinisch-psychiatrische Erkrankung mit Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit nicht bestätigen, kritisiert der Beschwerdeführer nicht als willkürlich. Stattdessen behauptet er einzig, dass diese Personen darlegen könnten, zu welchen Tätigkeiten er nicht mehr in der Lage gewesen sei. Es ist unter Willkürgesichtspunkten nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz davon ausging, dass sie sich zur Krankheitsbezogenheit der behaupteten Einschränkungen nicht adäquat würden äussern können. Der Beschwerdeführer begründet auch keine Willkür, wenn er auf die angeblich unterlassene (Zeugen-) Befragung von Dr. med. F._ und des Physiotherapeuten H._ verweist. Er tut bereits nicht (mit Aktenhinweisen) dar, wo und in welchem Zusammenhang er im vorinstanzlichen Verfahren entsprechende Beweisanträge gestellt hätte (siehe Erwägung 2.2). Abgesehen davon erläutert er namentlich auch nicht, welche (über den von der Vorinstanz berücksichtigten Bericht von Dr. med. F._ vom 25. September 2016 hinausgehenden) Erkenntnisse von diesen Befragungen zu erwarten wären. Gleiches gilt für eine Befragung von Dr. med. C._ und Dr. med. D._, deren schriftlichen Berichte die Vorinstanz umfassend würdigte.
Auch eine Begutachtung des jetzigen Zustands des Beschwerdeführers hilft zur Erbringung des fraglichen Beweises nicht weiter. Ein Gutachten über den Zustand bis Oktober 2016 würde zwangsläufig auf den damaligen Berichten und einer Befragung der damals involvierten Personen beruhen. Dies bestreitet auch der Beschwerdeführer nicht. Wenn die Vorinstanz antizipierend davon ausgeht, eine dergestalt erfolgende Begutachtung könne im vorliegenden Fall zu keinem entscheidwesentlichen Ergebnis mehr führen, so ist dies zumindest nicht geradezu willkürlich. Damit stösst auch der in diesem Zusammenhang erhobene, jedoch nicht weiter begründete Vorwurf des Beschwerdeführers, sein Anspruch auf rechtliches Gehör sei verletzt, ins Leere.
4.3. Die Vorinstanz hat somit willkürfrei eine Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdeführers von 50 % für die Zeit vom 15. Januar 2016 bis 30. April 2016 und eine uneingeschränkte Arbeitsfähigkeit für die Zeit vom 3. Oktober 2014 bis 31. August 2015 und ab dem 1. Mai 2016 festgestellt.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten gemäss Art. 66 Abs. 1 BGG dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Der Beschwerdegegnerin ist kein Aufwand entstanden, für den sie nach Art. 68 Abs. 2 BGG zu entschädigen wäre.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Dezember 2018
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Stähle