Sachverhalt:
A.
In der Einwohnergemeinde Oekingen und der Bürgergemeinde Oekingen wurde am 31. Januar 2021 die Urnenabstimmung über den Zusammenschluss der beiden Gemeinden zur Einheitsgemeinde Oekingen per 1. Januar 2022 durchgeführt. Sowohl die Stimmberechtigten der Einwohnergemeinde Oekingen wie auch jene der Bürgergemeinde Oekingen stimmten der Fusion zu.
B.
Gegen das Abstimmungsergebnis erhob A._ mit Eingabe vom 3. Februar 2021 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und beantragte sinngemäss, die Abstimmung für ungültig zu erklären. Zur Begründung führte er im Wesentlichen aus, aufgrund der in der Einwohnergemeinde und der Bürgergemeinde Oekingen gleichlautenden und dazu missverständlich formulierten Abstimmungsfrage könnten Verwechslungen bei der Auszählung der Stimmzettel nicht ausgeschlossen werden. Überdies sei das Abstimmungsresultat auch deshalb ungültig, weil das Wahlbüro der Bürgergemeinde Oekingen nicht rechtskonform bestellt gewesen sei.
Mit Urteil vom 22. April 2021 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 20. Mai 2021 an das Bundesgericht beantragt A._ sinngemäss, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 22. April 2021 sei aufzuheben und die Urnenabstimmung vom 31. Januar 2021 für ungültig zu erklären.
Das Verwaltungsgericht beantragt unter Verweis auf das angefochtene Urteil die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Einwohnergemeinde Oekingen und die Bürgergemeinde Oekingen haben auf eine Beschwerdevernehmlassung verzichtet. Der Beschwerdeführer hat repliziert.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid betreffend die politischen Rechte, gegen welchen die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich offensteht (Art. 82 lit. c, Art. 88 Abs. 1 lit. a und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG; Urteil 1C_295/2020 vom 18. Januar 2021 E. 1.1). Der Beschwerdeführer ist in der Einwohner- wie auch der Bürgergemeinde Oekingen stimmberechtigt und somit nach <ref-law> grundsätzlich zur Beschwerdeführung berechtigt.
2.
2.1. Mit der Beschwerde wegen Verletzung der politischen Rechte kann gemäss Art. 95 lit. a, c und d BGG namentlich die Verletzung von Verfassungsrecht des Bundes und der Kantone sowie von kantonalen (inklusive kommunalen) Bestimmungen über die politischen Rechte geltend gemacht werden. Das Bundesgericht prüft die Anwendung des kantonalen Rechts, das den Inhalt des Stimm- und Wahlrechts normiert oder mit diesem in engem Zusammenhang steht, mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 2.1), die Anwendung anderer kantonaler Vorschriften dagegen nur unter dem Gesichtspunkt des Willkürverbots (<ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweisen; zum Ganzen Urteil 1C_295/2020 vom 18. Januar 2021 E. 2.1).
2.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, die in der Beschwerde geltend gemacht und begründet werden (vgl. <ref-law>). Die Beschwerdeführenden müssen sich wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzen. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht prüft solche Rügen, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (<ref-law>). Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3 mit Hinweisen).
3.
Nach den unbestrittenen und damit gemäss <ref-law> für das Bundesgericht verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz unterbreiteten die kommunalen Behörden den Stimmberechtigten beider Gemeinden die exakt gleich formulierte Abstimmungsfrage, die wie folgt lautete: "Stimmen Sie der Vereinigung der Einwohnergemeinde Oekingen mit der Bürgergemeinde Oekingen zur Einheitsgemeinde Oekingen per 1. Januar 2022 zu?". Das Verwaltungsgericht legte in seinem Urteil ausführlich dar, weshalb es dieses Vorgehen der kommunalen Behörden als korrekt und insbesondere die gleichlautenden Abstimmungstexte als nicht missverständlich formuliert erachtet (E. 4.3 f. des angefochtenen Urteils). Mit den entsprechenden vorinstanzlichen Ausführungen setzt sich der Beschwerdeführer nicht ansatzweise auseinander, sondern behauptet lediglich, ohne dies zu belegen, die identische Abstimmungsfrage habe mehrere Stimmberechtigte verwirrt. Diese appellatorische Kritik genügt den dargestellten Begründungsanforderungen offensichtlich nicht, weshalb insoweit auf die Beschwerde nicht einzutreten ist.
4.
Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, die Abstimmung sei auch deshalb für ungültig zu erklären, weil die Bürgergemeinde Oekingen im Abstimmungszeitpunkt über kein eigenes Wahlbüro verfügt habe. Er sieht darin eine Verletzung von § 15 Abs. 1 und Abs. 2 des Gesetzes über die politischen Rechte des Kantons Solothurn vom 22. September 1996 (GpR/SO; BGS 113.111). Auch diese Rüge ist unbegründet, soweit überhaupt darauf einzutreten ist:
Nach § 15 GpR/SO hat jede Einwohner-, Bürger- und Kirchgemeinde mindestens ein Wahlbüro zu bestellen (Abs. 1), wobei eine Bürger- oder Kirchgemeinde im Einverständnis mit der Einwohnergemeinde deren Wahlbüro anerkennen kann (Abs. 2). Der Beschwerdeführer macht grundsätzlich zu Recht geltend, dass die Bürgergemeinde Oekingen im Abstimmungszeitpunkt über kein eigenes Wahlbüro verfügte. Davon geht auch die Vorinstanz aus. Wie sich aus den Erwägungen des angefochtenen Urteils ergibt, geht aus den aktenkundigen Protokollen der Bürgerratssitzungen und der Gemeindeversammlung der Bürgergemeinde Oekingen jedoch hervor, dass sie im Jahr 2016 mit dem Einverständnis der Einwohnergemeinde Oekingen deren Wahlbüro als das ordentliche Wahlbüro der Bürgergemeinde anerkannte. Vor diesem Hintergrund lässt es sich nicht beanstanden, wenn die Vorinstanz zum Schluss gelangte, die Bürgergemeinde Oekingen habe im Abstimmungszeitpunkt über ein im Sinne von § 15 Abs. 2 GpR/SO ordentlich bestelltes Wahlbüro verfügt. Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, inwiefern die Feststellung der Vorinstanz, wonach die Gemeindeversammlung der Bürgergemeinde im Jahr 2016 das Wahlbüro der Einwohnergemeinde als das ihrige anerkannte, offensichtlich unhaltbar sein soll. Eine willkürliche Beweiswürdigung (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3.6.2; <ref-ruling> E. 4.2) lässt sich jedenfalls nicht mit dem pauschalen Vorbringen begründen, die Vorinstanz habe die Protokolle der Bürgerratssitzungen und der Gemeindeversammlung nicht eingehend auf die Rechtsgültigkeit der im Jahr 2016 getroffenen Beschlüsse geprüft. Hinzu kommt, dass die als rechtsfehlerhaft gerügte Bestellung des Wahlbüros der Bürgergemeinde Oekingen einen Mangel darstellen würde, der bereits im Vorfeld der Abstimmung vom 31. Januar 2021 bestanden hätte und deshalb rechtsprechungsgemäss ohnehin vor der Durchführung des Urnengangs hätte gerügt werden müssen (vgl. <ref-ruling> E. 1d; <ref-ruling> E. 2a; Urteil 1C_713/2020 vom 23. März 2021 E. 3.3, zur Publikation vorgesehen).
5.
Die Beschwerde erweist sich nach dem Dargelegten als offensichtlich unbegründet und ist im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Parteientschädigungen sind keine auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Einwohnergemeinde Oekingen, der Bürgergemeinde Oekingen und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Juli 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Hahn