Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat führt eine Strafuntersuchung gegen A._ unter anderem wegen qualifiziert grober Verletzung der Verkehrsregeln. Im Rahmen der Untersuchung wurde am 3. April 2021 ein Mobiltelefon von A._ sichergestellt. Nachdem dieser die Siegelung des sichergestellten Mobiltelefons verlangt hatte, stellte die Staatsanwaltschaft beim Bezirksgericht Zürich, Zwangsmassnahmengericht, am 16. April 2021 Antrag auf Entsiegelung und Durchsuchung des sichergestellten Mobiltelefons. A._ nahm am 11. Mai 2021 Stellung zum Entsiegelungsgesuch. Er machte geltend, auf dem Mobiltelefon seien persönliche Aufzeichnungen gespeichert sowie Aufzeichnungen, die vom Berufs-, vom Arzt- und vom Anwaltsgeheimnis geschützt seien. Damit er die betreffenden Daten näher bezeichnen könne, sei ihm Einsicht in die gesiegelten Daten zu gewähren und das Entsiegelungsverfahren einstweilen zu sistieren bzw. ihm eine neue Frist zur Stellungnahme anzusetzen. Eventualiter beantragte er, das Entsiegelungsgesuch sei abzuweisen und das Mobiltelefon sei ihm herauszugeben.
B.
Mit Verfügung vom 8. Juli 2021 wies das Zwangsmassnahmengericht die Anträge von A._ um Einsicht in die gesiegelten Daten und Sistierung des Entsiegelungsverfahrens ab. Gleichzeitig fasste es ein "Teilurteil" zum Entsiegelungsgesuch. Es entschied, hinsichtlich des sichergestellten Mobiltelefons werde mit Blick auf das Anwaltsgeheimnis eine Triage durchgeführt. Nicht auszusondern seien hingegen weitere, nicht vom Anwaltsgeheimnis betroffene Daten, weil der Beschwerdeführer bezüglich der weiter geltend gemachten Geheimhaltungsinteressen nicht ausreichend substanziiert vorgebracht habe, welche Daten nicht durchsucht werden dürften.
C.
Gegen die Verfügung und das "Teilurteil" des Zwangsmassnahmengerichts vom 8. Juli 2021 hat A._ am 9. August 2021 Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht erhoben. Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben, und sinngemäss, das Entsiegelungsgesuch sei abzuweisen. Eventualiter sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Staatsanwaltschaft liess sich nicht vernehmen. Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet.
D.
Mit Verfügung vom 13. September 2021 hat das präsidierende Mitglied der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Entscheid des Zwangsmassnahmengerichts betreffend die Entsiegelung von Unterlagen, die in einem Strafverfahren in Anwendung von <ref-law> sichergestellt wurden. Es handelt sich um einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid in einer Strafsache (vgl. Art. 78 Abs. 1 und Art. 80 Abs. 1 und 2 BGG i.V.m. Art. 248 Abs. 3 lit. a und Art. 380 StPO).
1.2. Der angefochtene Entscheid schliesst das Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer nicht ab; es handelt sich um einen Zwischenentscheid. Der Beschwerdeführer macht ausreichend substanziiert geltend, dass der Entsiegelung geschützte Geheimhaltungsrechte entgegenstehen. Damit droht ihm ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 1).
1.3. Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde in Strafsachen einzutreten.
2.
Das Bundesgericht überprüft Entscheide über strafprozessuale Zwangsmassnahmen mit freier Kognition. Die nach <ref-law> (für vorsorgliche Massnahmen) vorgeschriebene Beschränkung der Beschwerdegründe ist nicht anwendbar (<ref-ruling> E. 2.2 S. 59 f.). Dies gilt auch für die Entsiegelung (Urteil 1B_569/2020 vom 27. Juli 2021 E. 1.2 mit Hinweis).
3.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid der Vorinstanz, wonach zwar die auf dem Mobiltelefon gespeicherte Korrespondenz zwischen dem Beschwerdeführer und zwei Rechtsanwältinnen (inklusive Unterlagen) ausgesondert und nicht entsiegelt werden sollen, weitere Aufzeichnungen jedoch nicht auszusondern seien.
3.1. Schriftstücke, Ton-, Bild- und andere Aufzeichnungen, Datenträger sowie Anlagen zur Verarbeitung und Speicherung von Informationen dürfen durchsucht werden, wenn zu vermuten ist, dass sich darin Informationen befinden, die der Beschlagnahme unterliegen (<ref-law>). Als strafprozessuale Zwangsmassnahme setzt die Durchsuchung von Aufzeichnungen allgemein voraus, dass ein hinreichender Tatverdacht vorliegt (<ref-law>) und der mit ihnen verbundene Eingriff verhältnismässig ist (Art. 197 Abs. 1 lit. c-d StPO).
3.2. Gegenstände und Vermögenswerte einer beschuldigten Person oder einer Drittperson können beschlagnahmt werden, unter anderem wenn sie voraussichtlich als Beweismittel gebraucht werden (<ref-law>). Nicht beschlagnahmt werden dürfen gemäss <ref-law> Unterlagen aus dem Verkehr der beschuldigten Person mit ihrer Verteidigung (lit. a), persönliche Aufzeichnungen und Korrespondenz der beschuldigten Person, wenn ihr Interesse am Schutz der Persönlichkeit das Strafverfolgungsinteresse überwiegt (lit. b), sowie Gegenstände, namentlich Aufzeichnungen und Korrespondenzen, die aus dem Verkehr zwischen der beschuldigten Person und nicht im gleichen Sachzusammenhang selber beschuldigten Personen stammen, die nach Art. 170-173 StPO das Zeugnis verweigern können (lit. c). Macht eine berechtigte Person geltend, eine Beschlagnahme von Gegenständen und Vermögenswerten sei wegen eines Aussage- oder Zeugnisverweigerungsrechts oder aus anderen Gründen nicht zulässig, so gehen die Strafbehörden nach den Vorschriften über die Siegelung vor (<ref-law>).
Aufzeichnungen und Gegenstände, die nach Angaben der Inhaberin oder des Inhabers nicht durchsucht oder beschlagnahmt werden dürfen, sind zu versiegeln und dürfen von den Strafbehörden weder eingesehen noch verwendet werden (<ref-law>). Stellt die Strafbehörde ein Entsiegelungsgesuch (vgl. <ref-law>), hat im Vorverfahren das Zwangsmassnahmengericht darüber zu entscheiden, ob die von der Inhaberin oder dem Inhaber der versiegelten Aufzeichnungen und Gegenstände angerufenen Geheimnisinteressen einer Durchsuchung und weiteren strafprozessualen Verwendung durch die Strafverfolgungsbehörde entgegenstehen (vgl. <ref-law>).
3.3. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts hat eine detaillierte Triage durch den Entsiegelungsrichter nur zu erfolgen, soweit der betroffene Inhaber, der die Versiegelung beantragt hat, substanziierte Einwände gegen die Entsiegelung und Durchsuchung von sichergestellten Aufzeichnungen und Gegenständen erhebt. Es handelt sich um eine prozessuale Obliegenheit der rechtsuchenden Partei, jene Dateien zu benennen, die ihrer Ansicht nach der Geheimhaltung unterliegen oder offensichtlich keinen Sachzusammenhang mit der Strafuntersuchung aufweisen (<ref-ruling> E. 7.1 mit Hinweisen; vgl. auch 142 IV 207 E. 7.1.5 mit Hinweisen). Diese Obliegenheit trifft auch den Inhaber eines sichergestellten Mobiltelefons, der sich gegen eine Entsiegelung der auf dem Mobiltelefon gespeicherten Daten zur Wehr setzt (vgl. Urteil 1B_342/2017 vom 11. Dezember 2017 E. 3.3 mit Hinweis).
3.4. Die Vorinstanz bejahte im angefochtenen Entscheid einen die Entsiegelung rechtfertigenden Tatverdacht, einen hinreichenden Zusammenhang zwischen den sichergestellten Daten und dem untersuchten Delikt sowie die Verhältnismässigkeit der Durchsuchung der gesiegelten Daten mit Ausnahme der Korrespondenz zwischen dem Beschwerdeführer und zwei Rechtsanwältinnen.
4.
Die Vorinstanz bejahte einen hinreichenden Tatverdacht betreffend grobe bzw. qualifiziert grobe Verletzung der Verkehrsregeln und Vereitelung von Massnahmen zur Feststellung der Fahrunfähigkeit. Sie bezog sich dabei auf einen Vorfall vom 3. April 2021. Dem Beschwerdeführer wird vorgeworfen, an diesem Tag um ca. 02.25 Uhr als Führer eines Personenwagens in der Stadt Zürich mit stark überhöhter Geschwindigkeit einen Selbstunfall verursacht, einen Lichtsignalmast umgefahren und sich kurze Zeit nach dem Unfall zu Fuss vom Unfallort entfernt zu haben. Der Beschwerdeführer bestreitet die Ausführungen der Vorinstanz zum Vorfall vom 3. April 2021 und das Vorliegen eines hinreichenden Tatverdachts im Sinne von <ref-law> nicht.
Die Staatsanwaltschaft hat im vorinstanzlichen Verfahren den Verdacht geäussert, der Beschwerdeführer könnte schon vor dem Vorfall vom 3. April 2021 schwere Verstösse gegen das Strassenverkehrsgesetz begangen haben, namentlich Raserfahrten. Wie schon im vorinstanzlichen Verfahren bestreitet der Beschwerdeführer dies. Die Vorinstanz hat sich dazu im angefochtenen Entscheid und im bundesgerichtlichen Verfahren nicht geäussert. Die Staatsanwaltschaft hat nicht ausgeführt, worauf sie ihren Verdacht konkret stützt. Ihr allgemeiner Hinweis, es entspreche der langjährigen Erfahrung, dass gerade junge Autofahrer ihre eigenen Raserfahrten oder diejenigen von Kollegen filmen würden, ist nicht geeignet, den Verdacht zu begründen, der Beschwerdeführer könnte schon früher schwere Delikte gegen das Strassenverkehrsgesetz begangen haben. Auch den polizeilichen Ermittlungsakten sind keinerlei Hinweise auf frühere Verstösse dieser Art zu entnehmen. Folglich hat die Vorinstanz einen hinreichenden Tatverdacht im Sinne von <ref-law> zu Recht lediglich in Bezug auf den Vorfall vom 3. April 2021 bejaht.
5.
Der Beschwerdeführer bestreitet einen hinreichenden Zusammenhang zwischen den sichergestellten Daten auf dem Mobiltelefon und dem untersuchten Delikt. Damit rügt er sinngemäss eine Verletzung von Art. 246 i.V.m. <ref-law>.
Zu Beweiszwecken sichergestellte Unterlagen und Daten, deren Entsiegelung die Staatsanwaltschaft verlangt, müssen für die Strafuntersuchung von Bedeutung sein (<ref-ruling> E. 5.1.1 mit Hinweisen). Die Rechtsprechung stellt insoweit keine hohen Anforderungen. Es genügt, wenn die Staatsanwaltschaft aufzeigt, dass sich unter den versiegelten Unterlagen und Daten mutmasslich solche befinden, die für das Strafverfahren relevant sind (Urteil 1B_469/2021 vom 27. Oktober 2021 E. 2.2 mit Hinweis).
Die Vorinstanz führte im angefochtenen Entscheid aus, der Beschwerdeführer könnte seine Fahrt vom 3. April 2021 gefilmt haben. Dies erscheint nicht ausgeschlossen. Zudem ist denkbar, dass der Beschwerdeführer vor oder nach der Unfallfahrt via Mobiltelefon mit Drittpersonen kommuniziert hat und dass sich aus den entsprechenden Aufzeichnungen Rückschlüsse auf den Unfallhergang bzw. auf das Verhalten des Beschwerdeführers vor und nach dem Unfall ergeben könnten. Damit befinden sich unter den versiegelten Daten mutmasslich solche, die für das Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer relevant sind. Die Vorinstanz durfte einen hinreichenden Konnex zwischen den sichergestellten Daten auf dem Mobiltelefon des Beschwerdeführers und dem untersuchten Vorfall vom 3. April 2021 folglich grundsätzlich bejahen, ohne Art. 246 i.V.m. <ref-law> zu verletzen. Zu prüfen bleibt, ob die Entsiegelung und Durchsuchung der sichergestellten Daten mit Blick auf das Verhältnismässigkeitsprinzip in sachlicher oder zeitlicher Hinsicht einzuschränken sind (vgl. Urteile 1B_602/2020 vom 23. Februar 2021 E. 5.2 f., 1B_102/2020 vom 8. März 2021 E. 2.3 f. und 1B_495/2020 vom 4. März 2021 E. 7.2 f.).
6.
Der Beschwerdeführer bestreitet die Verhältnismässigkeit der Entsiegelung. Er rügt in diesem Zusammenhang eine Verletzung von Art. 248 i.V.m. Art. 264 Abs. 1 und Art. 197 Abs. 1 lit. c-d StPO.
Zwar besteht ein öffentliches Interesse an der Aufklärung der dem Beschwerdeführer im Zusammenhang mit dem Vorfall vom 3. April 2021 vorgeworfenen Straftaten. Wie ausgeführt, fehlt es jedoch an einem Zwangsmassnahmen rechtfertigenden Tatverdacht, der Beschwerdeführer könnte schon vor dem Vorfall vom 3. April 2021 schwere Verstösse gegen das Strassenverkehrsgesetz begangen haben (vgl. E. 4 hiervor). Für die Aufklärung des untersuchten Delikts von Bedeutung sein könnten insbesondere diejenigen Daten, welche kurz vor, während und kurz nach dem Unfall entstanden sind. Nicht ausgeschlossen ist sodann, dass auch Aufzeichnungen, welche am Tag vor dem Unfall entstanden sind, Hinweise enthalten, die der Strafuntersuchung dienlich sein könnten. Hingegen sind sämtliche auf dem Mobiltelefon gespeicherten Daten, die vor dem 2. April 2021 entstanden sind, für die Aufklärung der dem Beschwerdeführer vorgeworfenen Delikte, welche er am 3. April 2021 begangen haben soll, von vornherein nicht von Bedeutung. Diese Daten dürfen ohne das Einverständnis des Beschwerdeführers nicht entsiegelt und durchsucht werden. Die Rüge des Beschwerdeführers, der vorinstanzliche Entscheid verletze Art. 248 i.V.m. Art. 264 Abs. 1 und Art. 197 Abs. 1 lit. c-d StPO, ist berechtigt.
7.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde gutzuheissen, ohne dass auf die weiteren Rügen des Beschwerdeführers einzugehen ist. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Vorinstanz wird insbesondere noch zu prüfen haben, ob einer Entsiegelung der ab dem 2. April 2021 entstandenen Daten Geheimnisinteressen im Sinne von <ref-law> entgegenstehen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (vgl. Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG) und hat der Kanton Zürich dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen (vgl. Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das angefochtene Teilurteil und die angefochtene Verfügung der Vorinstanz vom 8. Juli 2021 werden aufgehoben. Die Sache wird zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Zürich hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat und dem Bezirksgericht Zürich, Zwangsmassnahmengericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Dezember 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Mattle