Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1984) hat steuerrechtlichen Wohnsitz in U._/ZH. Zu den Steuerperioden 2009-2012 reichte er die Steuererklärungen trotz Mahnung nicht ein, worauf ihn das Steueramt des Kantons Zürich (KStA/ZH) nach pflichtgemässem Ermessen veranlagte. Die Veranlagungsverfügungen erwuchsen unangefochten in Rechtskraft.
1.2. Der Steuerpflichtige leidet an einer schizoiden Persönlichkeitsstörung, die im Dezember 2014 diagnostiziert wurde. Am 4. März 2015 ersuchte er das KStA/ZH um Revision der Veranlagungsverfügungen 2009-2012. Dieses nahm die Eingabe als Revisionsgesuch und Gesuch um Wiedereinsetzung in den früheren Stand entgegen, worauf es am 4. Januar 2016 auf die Eingabe nicht eintrat. Das Steuerrekursgericht des Kantons Zürich und zuletzt das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, bestätigten dies (Entscheid SB.2016.00085 / SB.2016.00086 vom 31. Januar 2018).
1.3. Mit Urteil 2C_251/2018 vom 16. März 2018 trat das Bundesgericht auf die Beschwerde und das Fristwiederherstellungsgesuch des Steuerpflichtigen vom 12. März 2018 nicht ein. Es erkannte, im Beschwerdepunkt fehle jedwede Begründung, und im Wiedereinsetzungspunkt sei auch im bundesgerichtlichen Verfahren zu verlangen, dass innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses ein Gesuch gestellt und die versäumte Rechtshandlung nachgeholt wird (<ref-law>). Es bleibe unklar, was der Steuerpflichtige mit seiner Eingabe im Einzelnen bewirken möchte.
1.4. Mit Eingabe beim Bundesgericht vom 9. April 2018 lässt der Steuerpflichtige um "Revision bzw. Aufhebung des Urteils" ersuchen.
1.5. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (<ref-law> [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen abgesehen.
2.
2.1. Entscheide des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (<ref-law>). Eine Beschwerde gegen ein bundesgerichtliches Urteil sieht das Gesetz nicht vor. Das Bundesgericht kann auf eines seiner Urteile nur zurückkommen, soweit ein gesetzlicher Revisionsgrund gegeben ist. Findet das Bundesgericht, der Revisionsgrund treffe zu, hebt es den früheren Entscheid auf und entscheidet es neu (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 163).
2.2. Gemäss <ref-law> kann die Revision eines bundesgerichtlichen Urteils verlangt werden, wenn das Gericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat. Dieser Revisionsgrund kann nur angerufen werden, wenn "erhebliche Tatsachen" ("faits pertinents", "fatti rilevanti") unberücksichtigt geblieben sind, mithin solche, die zugunsten der gesuchstellenden Person zu einer anderen Entscheidung hätten führen müssen (hier einem Eintreten), wären sie berücksichtigt worden. Im Unterschied dazu dient die Revision nicht dazu, um angebliche Fehler bei Anwendung und/oder Auslegung des massgebenden Rechts zu korrigieren (<ref-ruling> E. 3 S. 18 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 222; Urteil 4F_15/2017 vom 30. November 2017 E. 2.1).
2.3. Das Bundesgericht ist auf die Eingabe vom 12. März 2018 weder im Beschwerde- noch im Wiederherstellungspunkt eingetreten. Es liess sich dabei von <ref-law> leiten. Danach kommt eine Fristwiederherstellung nur infrage, "sofern die Partei unter Angabe des Grundes innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses darum ersucht und die versäumte Rechtshandlung nachholt" (<ref-law>; Urteil 2C_451/2016 / 2C_452/2016 vom 8. Juli 2016 E. 2, in: ASA 85 S. 90, StR71/2016 S. 811). Die Eingabe vom 12. März 2018 enthielt freilich bloss eine kurze Information über gesundheitliche Beschwerden (und zwar der Steuervertreterin und nicht des Steuerpflichtigen, wie das Bundesgericht irrtümlich annahm). Im Beschwerdepunkt genügte sie den Anforderungen (Art. 42 und Art. 82 ff. BGG) von vornherein nicht, da weder ein Antrag noch eine Begründung ersichtlich waren. Im Wiederherstellungspunkt konnte die Eingabe nicht entgegengenommen werden, weil klar zum Ausdruck gebracht worden war, dass die gesundheitliche Verhinderung noch bestehe, sodass der gesetzliche Fristenlauf von 30 Tagen noch gar nicht eingesetzt hatte.
2.4. Entsprechend hielt das Bundesgericht im revisionsbetroffenen Urteil fest: "Sollte die Meinung aber darauf gerichtet sein, gewissermassen vorsorglichein Gesuch um Wiedereinsetzung in den früheren Stand zu stellen, weil er sich noch nicht im Stande sieht, tätig zu werden, so ist festzuhalten, dass das Gesetz ein solches Vorgehen nicht vorsieht" (E. 2.2). Daran ändert auch der Umstand nichts, dass nicht der Steuerpflichtige, sondern die Steuervertreterin an Morbus Crohn leidet. Es handelt sich dabei um keine "erhebliche Tatsache" im Sinne des Revisionstatbestandes, da das Dispositiv des revisionsbetroffenen Urteils unberührt bleibt.
2.5. Der Steuerpflichtige lässt im Revisionsverfahren erstmals vorbringen, im Auftrag der Steuervertreterin habe sich Rechtsanwalt B._, V._/SG, vor Versand der Eingabe vom 12. März 2018 mit dem Bundesgericht telefonisch in Verbindung gesetzt und erkundigt, wie zu verfahren sei, nachdem die Steuervertreterin erkrankt sei. Eine namentlich bezeichnete Gerichtsschreiberin habe ihm dargelegt, dass "möglichst Beschwerde innerhalb der Beschwerdefrist einzureichen sei, diese aber bis zur Erlangung der Arbeitsfähigkeit [...] nicht begründet werden muss". Von einer derartigen Auskunft der besagten Gerichtsschreiberin ist dem Bundesgericht nichts bekannt, was aber ohnehin von keiner Bedeutung wäre, nachdem der Beginn des Fristenlaufs noch bevorsteht. Dieser wird erst einsetzen, sobald die krankheitsbedingte Verhinderung der Steuervertreterin behoben ist. Innerhalb der gesetzlichen Frist von 30 Tagen wird sie dann ein Fristwiederherstellungsgesuch stellen und Beschwerde erheben können. Über die Sachurteilsvoraussetzungen und die materielle Begründetheit der beiden erforderlichen Eingaben wird erst dann zu entscheiden sein.
2.6. Das Revisionsgesuch bezieht sich damit nicht auf ein Versehen, das für den Ausgang des Verfahrens von Bedeutung war. Da unbegründet, ist das Gesuch abzuweisen.
3.
Nach dem Unterliegerprinzip (<ref-law>) sind an sich die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Steuerpflichtigen aufzuerlegen. Da dem Bundesgericht ein (allerdings nicht entscheid-erhebliches) Versehen unterlaufen ist, rechtfertigt es sich, von einer Kostenauflage abzusehen. Dem Kanton Zürich, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Revisionsgesuch betreffend die direkte Bundessteuer, Steuerperioden 2009-2012, wird abgewiesen.
2.
Das Revisionsgesuch betreffend die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Zürich, Steuerperioden 2009-2012, wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Mai 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher