Sachverhalt:
A.
A._, geboren 1975, erlitt am 28. März 2019 einen Unfall, für dessen Folgen die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (Suva) die gesetzlichen Leistungen erbrachte. Per 1. September 2019 schloss sie den Fall folgenlos ab (mit Einspracheentscheid vom 16. Juli 2020 bestätigte Verfügung vom 9. März 2020).
B.
B.a. Hiegegen führte A._ Beschwerde, welche das Obergericht des Kantons Uri abwies; gleich entschied es über das Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung für das kantonale Verfahren wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde (Entscheid vom 12. März 2021; nachfolgend: Obergerichtsentscheid).
B.b. Die dagegen erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 23. März 2021 wies das Bundesgericht unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren ab (Urteil 8C_234/2021 vom 12. August 2021).
C.
Mit Eingaben vom 30. August und 1. September 2021 lässt A._ um Erläuterung, Ergänzung, Berichtigung oder Revision des Urteils 8C_234/2021 vom 12. August 2021 ersuchen. Zur Begründung des Revisionsgesuchs verweist der Gesuchsteller auf das Erläuterungsgesuch. Für das Revisionsverfahren sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. Zudem sei die Vorinstanz anzuweisen, ihm gemäss eingereichter Kostennote in Bezug auf die für das kantonale Beschwerdeverfahren zu gewährende unentgeltliche Verbeiständung eine Entschädigung von Fr. 4773.05 auszurichten.
Das Obergericht des Kantons Uri hält mit Vernehmlassung vom 19. Oktober 2021 daran fest, dass seines Erachtens die gegen den Einspracheentscheid vom 16. Juli 2020 gerichtete Beschwerde im Lichte der damals konkret vorgebrachten Rügen unter den gegebenen Umständen des Einzelfalles aussichtslos gewesen sei.

Erwägungen:
1.
Urteile des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (<ref-law>). Sie können mit keinem ordentlichen Rechtsmittel angefochten werden und eine nochmalige Überprüfung der einem Urteil des Bundesgerichts zu Grunde liegenden Streitsache ist grundsätzlich ausgeschlossen. Das Bundesgericht kann aber auf sein Urteil zurückkommen, wenn einer der in den Art. 121 - 123 BGG abschliessend aufgeführten Revisionsgründe vorliegt (<ref-ruling> E. 1.1).
2.
2.1. Die Eingaben vom 30. August und 1. September 2021, mit welchen A._ um Erläuterung, Ergänzung, Berichtigung oder Revision des Urteils 8C_234/2021 vom 12. August 2021 ersuchen lässt, werden als Revisionsgesuch entgegen genommen. Der Gesuchsteller stützt sein Rechtsbegehren im Revisionsverfahren auf <ref-law>, wonach die Revision eines (bundesgerichtlichen) Entscheids verlangt werden kann, wenn einzelne Anträge unbeurteilt geblieben sind (Urteil 8F_7/2021 vom 14. September 2021 E. 2.1).
2.2.
2.2.1. Wie der Gesuchsteller zutreffend vorträgt, hat sich das Bundesgericht zu dem in seiner Beschwerde vom 23. März 2021 gestellten Antrag um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege auch für das kantonale Beschwerdeverfahren in den Erwägungen des Urteils 8C_234/2021 vom 12. August 2021 nicht geäussert. Die beantragte Revision dieses Urteils ist deshalb insoweit begründet und dem (fristgerecht gestellten; <ref-law>) Revisionsgesuch ist in diesem Sinne zu entsprechen (vgl. Urteil 8F_7/2021 vom 14. September 2021 E. 2.2).
2.2.2. Am Dispositiv des Urteils 8C_234/2021 vom 12. August 2021 ändert das Revisionsgesuch jedoch nichts. Denn in der Sache wies das Bundesgericht die Beschwerde vom 23. März 2021 mit Urteil 8C_234/2021 vom 12. August 2021 zu Recht ab (Dispositiv-Ziffer 1). Es verneinte damit einen Anpassungs- bzw. Abänderungsbedarf mit Blick auf das Dispositiv des Obergerichtsentscheids. Dies tat es auch in Bezug dessen Dispositiv-Ziffern 3 bis 5, womit das Obergericht des Kantons Uri das entsprechende Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung für das kantonale Beschwerdeverfahren zu Recht nach Massgabe der damaligen Verhältnisse (vgl. <ref-ruling> E. 9.1 mit Hinweisen) geprüft und wegen Aussichtslosigkeit abgewiesen hatte. Denn die Verwaltungsgerichtsbeschwerde des Gesuchstellers vom 4. August 2020 an das Obergericht war im Wesentlichen identisch mit der Einsprache an die Suva vom 19. März 2020, ohne dass sich der Gesuchsteller mit der ausführlichen Begründung des Einspracheentscheids der Suva auseinander gesetzt hatte (vgl. Obergerichtsentscheid E. 6.2.2). Im Gegensatz dazu erhob der Gesuchsteller mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 23. März 2021 verschiedene sachbezügliche - nicht grundsätzlich aussichtslose - Einwände gegen den Obergerichtsentscheid, weshalb das Bundesgericht für das letztinstanzliche Verfahren dem Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung entsprach. Der Gesuchsteller legt nicht dar, weshalb das Dispositiv des Urteils 8C_234/2021 vom 12. August 2021 in Revision zu ziehen wäre.
3.
Für das Revisionsverfahren sind umständehalber keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Dem Gesuchsteller ist aus der Bundesgerichtskasse eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Revisionsgesuch wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Das Urteil des Schweizerischen Bundesgerichts vom 12. August 2021 (8C_234/2021) wird insoweit ergänzt, als sich die Abweisung auch auf die für das Verfahren vor dem Obergericht des Kantons Uri beantragte unentgeltliche Rechtsverbeiständung bezieht.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dem Gesuchsteller wird für das Revisionsverfahren eine Parteientschädigung von Fr. 1000.- aus der Bundesgerichtskasse ausgerichtet.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (Suva) und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. März 2022
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Wirthlin
Der Gerichtsschreiber: Hochuli