Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1977) ist kosovarischer Staatsangehöriger. Er kam am 7. September 2000 im Rahmen eines Familiennachzugs zu seiner Gattin in die Schweiz. Aus der Beziehung gingen die Söhne B._ (geb. 2002), C._ (geb. 2003) und D._ (2009) hervor; diese sind wie ihre Mutter in der Schweiz niederlassungsberechtigt. Am 12. September 2014 zog A._ mit seiner Familie vom Kanton Zürich in den Kanton Aargau, wo ihm im Rahmen des Kantonswechsels eine Aufenthaltsbewilligung erteilt wurde. Am 8. Oktober 2014 trennten sich die Eheleute. Das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau erteilte A._ in der Folge eine letztmals bis zum 31. März 2019 verlängerte Aufenthaltsbewilligung im Rahmen der Auflösung der Familiengemeinschaft (<ref-law> [SR 142.20]). Am 25. Oktober 2017 verwarnte es ihn wegen seines Sozialhilfebezugs, seiner Schulden und seiner Straffälligkeit; es drohte ihm an, die Aufenthaltsbewilligung zu widerrufen und ihn wegzuweisen. Am 9. Februar 2018 wurde die Ehe A._ im Kosovo geschieden und die Kinder der Mutter zugeteilt. Am 29. Juli 2020 validierte das Bezirksgericht Rheinfelden das von den Eltern beantragte gemeinsame Sorgerecht.
B.
Am 17. Juli 2019 lehnte das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau es ab, die Bewilligung von A._ zu verlängern; es hielt ihn an, das Land zu verlassen. Ab dem 31. März 2020 wohnte A._ wieder bei seiner ehemaligen Gattin und den gemeinsamen Kindern; es ging dabei darum, das gemeinsame Sorgerecht für die Kinder beantragen und den Lebensunterhalt der Familie wieder gemeinsam bestreiten zu können; die Paarbeziehung wurde nicht wieder aufgenommen. Die gegen die Verfügung vom 17. Juli 2019 erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg (Einspracheentscheid des Rechtsdienstes des Amts für Migration und Integration vom 27. Mai 2020 und Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 19. März 2021). Die kantonalen Instanzen gingen davon aus, dass A._ und seine Familie in vorwerfbarer Weise auf Sozialhilfeleistungen angewiesen gewesen seien; er habe sich zudem mutwillig verschuldet und auch anderweitig gegen die hiesige Rechtsordnung verstossen (SVG-Delikte).
C.
A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 19. März 2021 aufzuheben und das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau anzuweisen, seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern; allenfalls sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht und das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) hat sich nicht vernehmen lassen.
Der Beschwerde wurde am 7. Mai 2021 aufschiebende Wirkung beigelegt.

Erwägungen:
1.
Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hält sich seit mehr als 20 Jahren in der Schweiz auf; er kann sich deshalb im Zusammenhang mit seiner Aufenthaltsbewilligung in vertretbarer Weise auf den Schutz seines Anspruchs auf Privatleben berufen (Art. 8 Ziff. 1 EMRK bzw. <ref-law>; vgl. <ref-ruling> ff. E. 3.8 und 3.9 sowie die Urteile 2C_549/2019 vom 9. Dezember 2019 E. 1.1 und 2C_1035/2017 vom 20. Juli 2018 E. 5.1). Im Verhältnis zu seinem minderjährigen Sohn D._ ist durch die verweigerte Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung auch der Schutz seines Anspruchs auf Familienleben berührt, nachdem er die Beziehungen zu diesem heute im Rahmen eines gemeinsamen Haushalts lebt. In diesem Zusammenhang nicht weiter zu berücksichtigen ist hingegen die Beziehung zum seit dem angefochtenen Entscheid volljährig gewordenen Sohn C._ bzw. seinem Bruder B._, da zwischen diesen und dem Beschwerdeführer kein Abhängigkeitsverhältnis besteht (vgl. <ref-ruling> E. 3 - 6; Urteil 2C_644/2021 vom 11. November 2021 E. 1.2). Schliesslich verschafft dem Beschwerdeführer grundsätzlich auch <ref-law> einen Rechtsanspruch auf Fortbestand seiner Bewilligung. Ob diese zu Recht nicht verlängert wurde, bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung und nicht des Eintretens (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 332 mit Hinweisen; Urteil 2C_9/2020 vom 29. Juni 2020 E. 1). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen gegeben sind, ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an die Hand zu nehmen (vgl. Art. 42, Art. 82 lit. a i.V.m. Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG).
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>); es prüft jedoch unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nur die vorgebrachten Argumente, falls weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.5 S. 144). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314). Das Bundesgericht ist an den Sachverhalt gebunden, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig (<ref-ruling> E. 1.6 S. 144 f.; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Zur Sachverhaltsfeststellung gehört auch die auf Indizien beruhende Beweiswürdigung. Inwiefern diese und die Sachverhaltsfeststellung klarerweise unhaltbar sein sollen, ist in der Beschwerdeschrift detailliert aufzuzeigen (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweisen).
2.2. Der Beschwerdeführer beanstandet die Sachverhaltsfeststellung und die Beweiswürdigung teilweise nur appellatorisch, d.h. er wiederholt seine Sicht der Dinge und stellt diese jener der Vorinstanz gegenüber, ohne sich in gezielter Vertiefung mit deren für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form auseinanderzusetzen und darzulegen, inwiefern sie offensichtlich unhaltbar sein sollen. Dies genügt für die Beschwerdebegründung im bundesgerichtlichen Verfahren nicht (vgl. LAURENT MERZ, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger/Kneubühler [Hrsg.], Basler Kommentar BGG, 3. Aufl. 2018, N. 53 zu <ref-law>). Auf die in diesem Sinn ungenügend motivierten Darlegungen wird im Folgenden nicht weiter eingegangen. Dem bundesgerichtlichen Entscheid wird der Sachverhalt zugrunde gelegt, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat, nachdem nicht dargetan ist, inwiefern dieser als offensichtlich falsch oder unvollständig zu gelten hätte.
2.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen im bundesgerichtlichen Verfahren lediglich insoweit vorgebracht werden, als der angefochtene Entscheid hierzu Anlass gibt (<ref-law>; vgl. zur Auslegung das Urteil 2C_98/2018 vom 7. November 2018 E. 2.3 mit weiteren Hinweisen). Das Vorbringen von Tatsachen, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid ereignet haben oder entstanden sind (echte Noven), ist unzulässig (<ref-ruling> E. 1.2 mit Hinweisen). Nova sind nur zu berücksichtigen, falls die Vorinstanz materielles Recht derart angewendet hat, dass bestimmte Sachumstände neu und erstmals - durch den angefochtenen Entscheid - rechtserheblich geworden sind (vgl. das Urteil 2C_270/2020 vom 14. April 2020 E. 2.4 mit Hinweisen). Dies ist hier nicht der Fall: Beim vom Beschwerdeführer geltend gemachten neuen Arbeitsverhältnis, das er am 27. April 2021 eingegangen ist und offenbar am 2. Mai 2021 angetreten hat, handelt es sich um ein im bundesgerichtlichen Verfahren nicht zu berücksichtigendes echtes Novum.
3.
3.1. Die zuständige Behörde kann die Aufenthaltsbewilligung widerrufen bzw. nicht verlängern, wenn die Ausländerin oder der Ausländer oder eine Person, für die sie oder er zu sorgen hat, auf Sozialhilfe angewiesen ist (<ref-law>). Dabei geht es in erster Linie darum, eine zusätzliche und damit künftige Belastung der öffentlichen Finanzen zu vermeiden. Es muss auf die wahrscheinliche finanzielle Entwicklung bei der ausländischen Person abgestellt werden; erforderlich ist eine konkrete Gefahr des Fortbestehens der Sozialhilfeabhängigkeit. Dabei ist neben den bisherigen und den aktuellen Verhältnissen auch die wahrscheinliche finanzielle Entwicklung auf längere Sicht hin in die Beurteilung miteinzubeziehen (vgl. die Urteile 2C_9/2020 vom 29. Juni 2020 E. 4.3.1 und 2C_98/2018 vom 7. November 2018 E. 4.1 [zu <ref-law>]).
3.2. Der auf <ref-law> gestützte Widerruf der Bewilligung fällt in Betracht, wenn eine Person hohe finanzielle Unterstützungsleistungen erhalten hat und weiterhin nicht damit gerechnet werden kann, dass sie in Zukunft für ihren Lebensunterhalt wird aufkommen können (<ref-ruling> E. 4.1 u. 4.2; <ref-ruling> E. 3c S. 8 f.; Urteile 2C_13/2018 vom 16. November 2018 E. 3.2 und 2C_395/2017 vom 7. Juni 2018 E. 3.1). Liegt der Widerrufsgrund der Sozialhilfeabhängigkeit vor, ist in einem zweiten Schritt zu prüfen, ob die damit verbundene aufenthaltsbeendende Massnahme auch verhältnismässig erscheint (Urteile 2C_9/2020 vom 29. Juni 2020 E. 4.3.2 und 2C_870/2018 vom 13. Mai 2019 E. 5.1 mit Hinweisen).
3.3. Nach der bundesgerichtlichen Praxis sind für die Beurteilung, ob dies der Fall ist, namentlich die Schwere des Verschuldens an der Sozialhilfeabhängigkeit, der Grad der Integration bzw. die Dauer der bisherigen Anwesenheit sowie die der betroffenen Person und ihren Angehörigen drohenden Nachteile zu berücksichtigen; zu beachten ist zudem die Qualität der sozialen, kulturellen und familiären Bindungen sowohl im Gast- wie im Heimatstaat sowie der gesundheitliche Zustand der Betroffenen (vgl. die Urteile 2C_9/2020 vom 29. Juni 2020 E. 4.3.3; 2C_1040/2017 vom 21. Dezember 2018 E. 4.2 und 2C_98/2018 vom 7. November 2018 E. 5.1 [zu <ref-law>], je mit weiteren Hinweisen; siehe auch das EGMR-Urteil F.B. gegen Schweiz vom 10. September 2020 [Nr. 49322/15] §§ 49 ff.). Entscheidend sind immer die gesamten Umstände im Einzelfall (vgl. <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 2b S. 524; Urteil 2C_293/2020 vom 24. Juli 2020 E. 2.2).
3.4. Ob der Widerrufsgrund der Sozialhilfeabhängigkeit nach Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG gegeben ist, wird objektiv - ohne Rücksicht auf das Verschulden - beurteilt. Massgeblich ist die Höhe der ausgerichteten Beträge und die prognostische Beurteilung, ob mit einer Ablösung von der Sozialhilfe (noch) gerechnet werden kann. Ob die Fürsorgeabhängigkeit selbstverschuldet ist, was den Widerruf bzw. die Nichterneuerung der Aufenthaltsbewilligung erst rechtfertigt, bildet Teil der Prüfung der Verhältnismässigkeit der aufenthaltsbeendenden Massnahme (Urteil 2C_9/2020 vom 29. Juni 2020 E. 4.3.4). Soweit die Vorinstanz die Frage der Dauerhaftigkeit und der Erheblichkeit der Sozialhilfeabhängigkeit - insofern diese im Rahmen von <ref-law> (abweichend von der Regelung in <ref-law>) überhaupt entscheidend ist (vgl. die Urteile 2C_429/2020 vom 6. Oktober 2020 E. 5 und 2C_95/2019 vom 13. Mai 2019, E. 3.4.1) - (neu) ausschliesslich im Rahmen der Interessenabwägung und nicht auch beim Widerrufsgrund berücksichtigen will, entspricht dies - wie der Beschwerdeführer zu Recht einwendet und die Vorinstanz in ihrem Entscheid selber einräumt - nicht der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (vgl. das Urteil 2C_423/2020 vom 26. August 2020 E. 3.3 mit weiteren Hinweisen); auch im Rahmen von <ref-law> genügt nicht jede - auch noch so geringe - Sozialhilfeabhängigkeit als Widerrufsgrund. Die Vorinstanz legt nicht dar, welche ernsthaften und sachlichen Gründe diesbezüglich eine Praxisänderung gebieten würden; es ist deshalb in diesem Sinn an der bisherigen Rechtsprechung festzuhalten und diese hier anzuwenden (vgl. auch MICHAEL SPRING, Der Bewilligungswiderruf im schweizerischen Ausländerrecht, Diss. Bern 2021, N. 522).
4.
4.1. Der Beschwerdeführer und seine Familie waren von September 2006 bis und mit Juni 2019 mehrheitlich von der öffentlichen Fürsorge abhängig. Diese wurde nur von März 2012 bis und mit Januar 2015 unterbrochen. Die gesamthaften Sozialhilfeleistungen, die der Beschwerdeführer jahrelang zunächst für sich und seine Familie und später für sich allein bezogen hat, betragen unbestrittenermassen rund Fr. 240'000.--. Er war damit in einem wesentlichen Umfang von der Sozialhilfe abhängig. Zwar hat der Beschwerdeführer seit Mitte 2019 keine Sozialhilfeleistungen mehr bezogen; im Hinblick auf die bisherige Entwicklung kann aber im Rahmen der Zukunftsprognose - trotz allfälliger Ansprüche aus der Arbeitslosenversicherung oder Krankentaggeldern - nicht bereits gesagt werden, dass er sich dauerhaft und nachhaltig - und nicht nur kurzfristig - von der Sozialhilfe gelöst hätte; zumindest ist die entsprechende Beweiswürdigung nicht offensichtlich unhaltbar: Zum Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids war der Beschwerdeführer wiederum arbeitslos; bereits bisher war er nach kurzen Unterbrüchen in ähnlicher Situation jeweils wieder auf Sozialhilfegelder angewiesen gewesen. Er hat sich zudem über die Jahre hinweg - trotz des Bezugs von Sozialhilfeleistungen - massiv verschuldet. In der Gesamtwürdigung verletzt es deshalb kein Bundesrecht, wenn die Vorinstanz es zum Zeitpunkt ihres Entscheids als zweifelhaft erachtete, dass der Beschwerdeführer seinen Lebensunterhalt künftig - nachhaltig und dauerhaft - selbständig würde bestreiten können.
4.2. Ein Verstoss gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung im Sinne von <ref-law> ist nach <ref-law> unter anderem bei mutwilliger Nichterfüllung öffentlich-rechtlicher oder privatrechtlicher Verpflichtungen anzunehmen. Schuldenwirtschaft allein genügt für den Widerruf der Niederlassungsbewilligung nicht. Vorausgesetzt ist zusätzlich, dass die Verschuldung als mutwillig zu gelten hat. Die Verschuldung muss mit anderen Worten selbstverschuldet und qualifiziert vorwerfbar sein (<ref-ruling> E. 3.3 S. 304). Gegen den Beschwerdeführer bestehen, was nicht bestritten ist, Verlustscheine in Höhe von über Fr. 164'000.--. Seit der ausländerrechtlichen Verwarnung am 25. Oktober 2017 bis zum Nichtverlängerungsentscheid durch das Amt für Migration und Integration vom 17. Juli 2019 verdreifachten sich die durch Verlustscheine belegten Schulden. Trotz der Verwarnung kam es zu weiteren Betreibungen. Zwar hat sich der Schuldenzuwachs im Jahr 2019 verlangsamt und kamen trotz der Lohnpfändung nur noch vergleichsweise wenige neue Betreibungen hinzu, doch stellt der Beschwerdeführer selber nicht infrage, dass seine Verschuldung (in geringerem Umfang) weiter angestiegen ist. Zwar hat er nach der erstinstanzlichen Weigerung, seine Bewilligung zu verlängern, bescheidene Zahlungen (im Umfang von Fr. 695.--) an das Betreibungsamt geleistet, es kann im Hinblick hierauf aber nicht gesagt werden, dass seinerseits klar erkennbare Bestrebungen bestanden hätten, seine finanzielle Situation zu stabilisieren (vgl. das Urteil 2C_354/2020 vom 30. Oktober 2020 E. 3.4 [bezüglich des Widerrufs einer Niederlassungsbewilligung]). Der Beschwerdeführer hat - was wiederum nicht bestritten ist - verhindert, dass sein betreibungsrechtliches Existenzminimum konkret berechnet werden konnte, weshalb von seinem monatlichen Nettoeinkommen von Fr. 3'500.-- bis Fr. 3'900.-- lediglich Pauschalbeträge von Fr. 300.-- gepfändet wurden. Der Beschwerdeführer hätte somit trotz laufender Einkommenspfändung in grösserem Umfang selbständig zur Schuldentilgung beitragen können und müssen. Seine Verschuldung hat unter diesen Umständen als mutwillig zu gelten, zumal er sich (teilweise) verschuldet hat, obwohl er von Sozialhilfeleistungen profitierte.
4.3. Mit der Vorinstanz ist davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer durch seinen Sozialhilfebezug den Widerrufsgrund von <ref-law> und durch die mutwillige Nichterfüllung seiner öffentlich- und privatrechtlichen Verpflichtungen sowie in untergeordneter Weise wegen der Missachtung gesetzlicher Vorschriften und behördlicher Verfügungen (acht strafrechtliche Verurteilungen wegen Strassenverkehrsdelikten und eine Verurteilung wegen Förderung des rechtswidrigen Aufenthalts) den Widerrufsgrund von <ref-law> erfüllt.
5.
Die Vorinstanz hat angenommen, dass die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung verhältnismässig sei und bei einer Gesamtwürdigung der sich gegenüberstehenden öffentlichen und privaten Interessen das grosse bis sehr grosse öffentliche Interesse daran, dass der Beschwerdeführer das Land verlässt, das aufgrund der familiären Situation grosse private Interesse an seinem weiteren Verbleib im Land überwiege und die aufenthaltsbeendende Massnahme Art. 8 EMRK deshalb nicht verletze. Dies ist nicht zu beanstanden:
5.1. Der Beschwerdeführer hält sich zwar seit langer Zeit (über 20 Jahre) in der Schweiz auf, doch entspricht seine Integration nur beschränkt dieser Anwesenheitsdauer. Es bestehen keine Hinweise darauf, dass er hier kulturell oder sozial überdurchschnittlich integriert wäre; er behauptet dies auch nicht. Seine wirtschaftliche und berufliche Integration kann nur sehr beschränkt als gelungen bezeichnet werden: Seine Familie und er waren über Jahre hinweg von der Sozialhilfe abhängig; beruflich ging der Beschwerdeführer mehrheitlich keiner existenzsichernden Erwerbstätigkeit nach. Zwar verweist er in diesem Zusammenhang auf ein gesundheitliches Problem; es ist jedoch nicht ersichtlich, inwiefern der von ihm 2005 erlittene Bandscheibenvorfall über Jahre hinweg für seine finanziellen Probleme verantwortlich gewesen sein könnte. Er hat seine Sozialhilfeabhängigkeit grösstenteils durch mangelnde Bemühungen um eine existenzsichernde Erwerbstätigkeit selber verschuldet; die Verschuldung ist ihm deshalb vorzuwerfen.
5.2.
5.2.1. Der Beschwerdeführer ist erst im Alter von 23 Jahren in die Schweiz gekommen und in seiner Heimat sozialisiert worden. Er ist, was er nicht bestreitet, mit den gesellschaftlichen Gepflogenheiten dort nach wie vor vertraut. Er spricht die dortige Sprache und hat seine Heimat auch ferienhalber besucht. Die Scheidung erfolgte zudem im Kosovo. Er ist mit seiner Heimat somit nicht nur über die Staatsbürgerschaft verbunden. Es bestehen auch keine unüberwindbaren Reintegrationsprobleme: Die in der Schweiz gemachten (punktuellen) Berufserfahrungen als Koch und Fahrer bei einem Pizza-Lieferservice bzw. als Hilfsarbeiter können ihm - ebenso wie die hier erworbenen Sprachkenntnisse - auch in der Heimat nützlich sein.
5.2.2. Mit der Vorinstanz ist davon auszugehen, dass es dem hier geborenen und eingeschulten minderjährigen Sohn D._ nicht zumutbar wäre, mit ihm in die gemeinsame Heimat zurückzukehren, selbst wenn er mit den dortigen Verhältnissen vertraut sein und allenfalls auch Albanisch sprechen sollte. Der Beschwerdeführer kann die Beziehung zu seinem minderjährigen Sohn aber von der Heimat aus über die modernen Kommunikationsmittel und im Hinblick auf dessen Alter auch mittels Besuchen leben; zur Wahrnehmung des gemeinsamen Sorgerechts ist nicht erforderlich, dass er sich dauernd im Land aufhält.
5.2.3. Das Kindsinteresse, möglichst mit beiden Elternteilen aufwachsen zu können, bildet im Rahmen der nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK gebotenen Interessenabwägung zwar einen wichtigen, aber nicht den einzigen Gesichtspunkt (vgl. <ref-ruling> E. 5.5.4; Urteil 2C_870/2016 vom 21. Dezember 2016 E. 4.3 mit weiteren Hinweisen). Die Distanz zum Heimatland, in das der Beschwerdeführer zurückkehren muss, hindert ihn nicht daran, seine Beziehungen zum bei der Mutter lebenden minderjährigen D._ besuchsweise aufrechtzuerhalten (vgl. <ref-ruling> E. 5.2; bezüglich dem Kosovo: Urteil 2C_846/2018 vom 26. März 2019 E. 7.4.2; <ref-ruling> E. 5.1). Im Hinblick auf die Sozialhilfeabhängigkeit und Schuldenwirtschaft kann im Übrigen nicht gesagt werden, dass der Beschwerdeführer sich hier weitgehend tadellos verhalten hätte (vgl. <ref-ruling> E. 5.2; Urteil 2C_525/2020 vom 7. Oktober 2020 E. 5.3; <ref-ruling> 5.2). Zwar hat das Bezirksgericht Rheinfelden dem Beschwerdeführer und seiner früheren Gattin am 29. Juli 2020 das gemeinsame Sorgerecht über die minderjährigen Kinder zugesprochen, doch ändert dies an der ausländerrechtlichen Beurteilung nichts, da diese - wie dargelegt - nicht ausschliesslich dem Kindswohl verpflichtet ist (öffentliche Sicherheit und Ordnung, restriktive Einwanderungspolitik usw.: vgl. <ref-ruling> E. 5.5.4 mit Hinweisen und <ref-law>).
5.2.4. Gestützt auf die dem Beschwerdeführer vorwerfbare, jahrelange Sozialhilfeabhängigkeit (und Schuldenwirtschaft) besteht im Hinblick auf die öffentlichen Finanzen ein relevantes - auch vom EGMR anerkanntes - öffentliches Interesse daran, dass der Beschwerdeführer das Land verlässt (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 339 ["wirtschaftliches Wohl des Landes"]; Urteil des EGMR Hasanbasic gegen Schweiz vom 11. Juni 2013 [Nr. 52166/09] § 59 mit zahlreichen Hinweisen sowie Palanci gegen Schweiz vom 25. März 2014 [Nr. 2607/08] § 58; Urteile 2C_525/2020 vom 7. Oktober 2020 E. 4.2.6 und 2C_870/2018 vom 13. Mai 2019 E. 5.3.5). Die aufenthaltsbeendende Massnahme dient dazu, weiteren Belastungen der Sozialhilfe vorzubeugen, nachdem die Bemühungen der Behörden den Beschwerdeführer nicht dazu veranlassen konnten, sich zeitgerecht um eine angemessene Erwerbstätigkeit zu bemühen, und die mildere Massnahme der Verwarnung ohne nennenswerte Verhaltensänderung geblieben ist.
6.
6.1. Die Beschwerde erweist sich nach dem Dargelegten als unbegründet und ist deshalb abzuweisen. Es besteht keine Veranlassung, die Sache im Sinne des Eventualantrags an die Vorinstanz zurückzuweisen.
6.2. Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der unterliegende Be-schwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 2. Kammer, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Dezember 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar