Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1973), algerischer Staatsangehöriger, reiste im Februar 2002 unter Angabe einer falschen Identität in die Schweiz ein und ersuchte um Asyl. Das Gesuch wurde mit Entscheid des ehemaligen Bundesamtes für Flüchtlinge (heute: Staatssekretariat für Migration SEM) vom 23. August 2002 rechtskräftig abgewiesen und A._ wurde aus der Schweiz weggewiesen. Der Vollzug der Wegweisung scheiterte in der Folge am Fehlen entsprechender Papiere. A._ verblieb weiterhin in der Schweiz, wobei er mehrfach strafrechtlich in Erscheinung trat. Zwischen 2002 und 2017 erwirkte er rund zehn Verurteilungen, insbesondere wegen Diebstahls (mehrfach), Hehlerei, Hausfriedensbruchs (mehrfach) sowie rechtswidrigen Aufenthalts (mehrfach). Zeitweise galt er als verschwunden, so wohl zwischen 1. Oktober 2007 und 30. Januar 2009.
A.b. Aus einer Beziehung zwischen A._ und der marokkanischen Staatsangehörigen B._ (geb. 1969) ging eine Tochter, C._ (geb. 2006), hervor. A._ anerkannte C._ am 5. August 2010 als sein Kind.
Am 15. Oktober 2010 heirateten A._ und B._. Die Tochter C._ ist seit dem 18. Dezember 2006 in einem Heim fremdplatziert. Aus einer früheren Beziehung ist B._ zudem Mutter des 2001 geborenen Sohns D._, der über die Schweizer Staatsangehörigkeit verfügt. Dieser wurde von ihr zwischenzeitlich nach Marokko gebracht und ist seit seiner Wiedereinreise in die Schweiz im Februar 2008 im gleichen Heim untergebracht wie seine Halbschwester C._. Die Familie bezieht (abgesehen von den Platzierungskosten bzw. insoweit teils ergänzend) Sozialhilfe.
A.c. Am 3. August 2010 verhängte das Bundesamt für Migration ein dreijähriges Einreiseverbot gegen A._ wegen Verstosses gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung zufolge illegaler Einreise und ebensolchen Aufenthalts, Falschangaben im Asylverfahren sowie Verursachung von Sozialhilfekosten.
A.d. B._ und C._ wurde vom Migrationsamt des Kantons Zürich im Februar 2014 zufolge ihrer Beziehung zu D._ eine Aufenthaltsbewilligung erteilt. Aufgrund dessen und weil A._ zu jenem Zeitpunkt einen Arbeitsvertrag betreffend eine am 5. Januar 2015 anzutretende Vollzeitstelle vorweisen konnte, wurde ihm am 11. Dezember 2014 ebenfalls eine bis am 17. Dezember 2015 gültige (<ref-law>) Aufenthaltsbewilligung erteilt. Mit Schreiben vom gleichen Tag teilte ihm das Migrationsamt mit, die Bewilligung sei "eng mit der Bedingung verbunden", dass er der in Aussicht gestellten existenzsichernden Erwerbstätigkeit im ersten Arbeitsmarkt nachgehe und so den Lebensunterhalt für sich und seine Familie ohne Sozialhilfe zu bestreiten vermöge. Für den Fall, dass er seine Arbeitsstelle verlieren oder auf die Unterstützung der Sozialhilfe angewiesen sein sollte, drohte ihm das Migrationsamt die Prüfung des Widerrufs der Aufenthaltsbewilligung an.
B.
B.a. Am 4. November 2015 ersuchte A._ um Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung (<ref-law>). Mit Verfügung vom 19. Dezember 2017 wies das Migrationsamt das Gesuch wegen Bezugs von Sozialhilfe ab und setzte ihm eine Frist bis zum 18. März 2018 an, um die Schweiz zu verlassen. Ein hiergegen verspätet eingereichter Rekurs von A._ wurde zurückgezogen und das entsprechende Verfahren wegen Gegenstandslosigkeit abgeschrieben.
Mit Schreiben vom 16. März 2018 ersuchte A._ das Migrationsamt um Wiedererwägung der Verfügung vom 19. Dezember 2017 und um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung. Das Migrationsamt trat mit Schreiben vom 20. April 2018 darauf nicht ein und forderte A._ auf, seiner Ausreiseverpflichtung unverzüglich nachzukommen.
Am 13. Juli 2018 ersuchte A._ erneut um Wiedererwägung der Verfügung vom 19. Dezember 2017 und um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung, da er per 17. Juli 2018 bei einem Bauunternehmen eine unbefristete Stelle mit einem 80%-Pensum antrete und damit ein existenzsicherndes Einkommen werde erzielen können.
B.b. Das Migrationsamt wies dieses Wiedererwägungsgesuch mit Verfügung vom 20. Juli 2018 ab und wies A._ aus der Schweiz weg. Zur Begründung führte es aus, die öffentlichen Interessen an seiner Wegweisung würden weiterhin dessen private Interessen überwiegen: A._ befinde sich noch in der Probezeit, sodass nicht von einer gefestigten Anstellung ausgegangen werden könne. Zudem dürfe angesichts seiner Vorgeschichte nicht leichthin angenommen werden, dass er mit dem vorgelegten Vertrag über eine langandauernde Arbeitsstelle verfüge, mit welcher ihm die Ablösung von der Sozialhilfe gelingen werde. Vielmehr bestehe ein nicht unbeträchtliches Risiko, dass er in alte Verhaltensmuster zurückfallen und erneut auf Sozialhilfe angewiesen sein werde.
Mit Entscheid vom 26. Juni 2019 wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich einen gegen diesen Entscheid erhobenen Rekurs in der Hauptsache ab und hielt fest, A._ habe die Schweiz unverzüglich zu verlassen.
B.c. Eine dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Kammer, mit Urteil vom 23. Oktober 2019 in der Hauptsache ab.
C.
Mit Eingabe vom 29. November 2019 reicht A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht ein. Er beantragt, das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und das Migrationsamt sei anzuweisen, ihm eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen bzw. diese zu verlängern. Eventualiter sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung und ergänzenden Prüfung an das Migrationsamt zurückzuweisen. In verfahrensrechtlicher Hinsicht ersucht er um Erteilung der aufschiebenden Wirkung und um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und -verbeiständung.
Das Verwaltungsgericht und die Sicherheitsdirektion, Rekursabteilung, verzichten auf Vernehmlassung. Das Migrationsamt lässt sich nicht vernehmen.
Mit Verfügung vom 2. Dezember 2019 ordnete der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts an, dass während des bundesgerichtlichen Verfahrens alle Vollziehungsvorkehrungen zu unterbleiben haben.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit bzw. die Art und Zulässigkeit von Rechtsmitteln von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 188).
1.2.
1.2.1. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten auf dem Gebiet des Ausländerrechts unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen. Für das Eintreten genügt, wenn der Anspruch in vertretbarer Weise geltend gemacht wird; die Frage, ob der Bewilligungsanspruch tatsächlich besteht, bildet Gegenstand der materiellen Prüfung (<ref-ruling> E. 1.1 S. 332; <ref-ruling> E. 1.1 S. 179).
Der Beschwerdeführer beruft sich aufgrund seiner Beziehung zu seiner Ehefrau und seiner minderjährigen Tochter auf Art. 8 EMRK und <ref-law> in Verbindung mit Art. 44 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer und über die Integration (AIG; SR 142.20; bis 31. Dezember 2018: AuG).
1.2.2. <ref-law>, wonach ausländischen Ehegatten und ledigen Kindern unter 18 Jahren von Personen mit Aufenthaltsbewilligung unter bestimmten Voraussetzungen eine Aufenthaltsbewilligung erteilt und verlängert werden kann, verleiht keinen Rechtsanspruch im Sinne von <ref-law> (Urteil 2C_365/2019 vom 22. Juli 2019 E. 1.2). Ein Anspruch auf Erteilung oder Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung kann sich aber unter Umständen aus Art. 8 EMRK bzw. <ref-law> ergeben, wenn der Ausländer Familienangehörige hat, die über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht in der Schweiz verfügen (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 272; <ref-ruling> E. 2.1 S. 335 f.). Dies ist praxisgemäss der Fall, wenn der hier anwesende Familienangehörige das Schweizer Bürgerrecht besitzt, ihm die Niederlassungsbewilligung gewährt wurde oder er über eine Aufenthaltsbewilligung verfügt, die ihrerseits auf einem gefestigten Rechtsanspruch beruht (<ref-ruling> E. 3.3 S. 273; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 145 f.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 285 f.).
Dem angefochtenen Urteil kann entnommen werden, dass die Ehefrau und die minderjährige Tochter des Beschwerdeführers über Aufenthaltsbewilligungen verfügen. Diese wurden ihnen infolge ihrer Beziehungen zu ihrem Sohn bzw. Halbbruder erteilt, der Schweizer Bürger ist. Das Migrationsamt hat in seiner Verfügung vom 19. Dezember 2017 festgehalten, dass beide über ein gefestigtes Aufenthaltsrecht in der Schweiz verfügen. Es kann somit davon ausgegangen werden, dass der Beschwerdeführer sich in vertretbarer Weise auf Art. 8 Ziff. 1 EMRK und <ref-law> berufen kann.
1.3. Im Übrigen wurde die Beschwerde frist- und formgerecht eingereicht und der Beschwerdeführer ist dazu legitimiert (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 BGG).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Bei der Prüfung wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.5 S. 157) und verfügt es über volle Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 236). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.7.2 S. 106; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, sofern sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-ruling> E. 2.2 S. 313).
2.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Das Vorbringen von Tatsachen, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid ereigneten oder entstanden (echte Noven), ist vor Bundesgericht unzulässig (<ref-ruling> E. 1.2 S. 22 f. mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer reicht eine Lohnabrechnung für den Monat September 2019 ein. D ieses Beweismittel ist vom 3. Oktober 2019 datiert und somit vor dem angefochten Urteil entstanden. Die finanziellen Verhältnisse des Beschwerdeführers waren Hauptbeweisthema des vorinstanzlichen Verfahrens. Es wäre an ihm gewesen, diese Unterlage rechtzeitig in das kantonale Verfahren einzubringen (vgl. <ref-ruling> E. 4.4.3 S. 128 f.). Folglich ist diese im vorliegenden bundesgerichtlichen Verfahren unbeachtlich.
3.
3.1. Vorliegend wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung mit Verfügung des Migrationsamtes vom 19. Dezember 2017 abgewiesen und es wurde ihm eine Frist bis zum 18. März 2018 angesetzt, um die Schweiz zu verlassen. Diese Verfügung ist unbestrittenermassen in Rechtskraft erwachsen (vgl. E. 3.1 des angefochtenen Urteils).
3.2. Der Widerruf bzw. die Nichtverlängerung der Bewilligung beendet das bisherige Anwesenheitsrecht. Die Massnahme wirkt pro futuro, indem ab der Rechtskraft des Entscheids die Bewilligung nicht mehr besteht und der Aufenthalt der betroffenen Person in der Schweiz sich grundsätzlich als unzulässig erweist. Indessen kann grundsätzlich jederzeit ein neues Bewilligungsgesuch gestellt werden. Wird diesem entsprochen, lebt damit nicht die frühere, rechtskräftig aufgehobene oder nicht verlängerte Bewilligung wieder auf, sondern es erfolgt eine neue Beurteilung, die voraussetzt, dass die zur Erteilung erforderlichen Voraussetzungen erfüllt sind (Urteile 2C_883/2018 vom 21. März 2019 E. 4.1; 2C_1081/2014 vom 19. Februar 2016 E. 2.1).
3.3. Eine kantonale Behörde muss sich mit einem Wiedererwägungsgesuch dann förmlich befassen und allenfalls auf eine rechtskräftige Verfügung zurückkommen, wenn das kantonale Recht dies vorsieht und die entsprechenden gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind oder wenn unmittelbar aus der Bundesverfassung (Art. 29 Abs. 1 und 2 BV) fliessende Grundsätze dies gebieten (Urteil 2C_883/2018 vom 21. März 2019 E. 4.2).
Nach § 86a Abs. 1 lit. b des Verwaltungsrechtspflegegesetzes des Kantons Zürich vom 24. Mai 1959 (VRG/ZH; LS 175.2) kann die Revision rechtskräftiger Anordnungen von Verwaltungsbehörden von den am Verfahren Beteiligten verlangt werden, wenn diese neue erhebliche Tatsachen erfahren oder Beweismittel auffinden, die sie im früheren Verfahren nicht beibringen konnten.
Eine behördliche Pflicht, auf ein Wiedererwägungsgesuch einzutreten, besteht auch von Verfassungs wegen nur, wenn sich die Umstände (Sachverhalt oder Rechtslage) seit dem ersten Entscheid wesentlich geändert haben oder wenn der Gesuchsteller erhebliche Tatsachen und Beweismittel namhaft macht, die ihm im früheren Verfahren nicht bekannt waren oder die schon damals geltend zu machen, für ihn rechtlich oder tatsächlich unmöglich war oder keine Veranlassung bestand. Ein Wiedererwägungsgesuch darf - wie ein neues Gesuch - nicht dazu dienen, rechtskräftige Entscheide immer wieder infrage zu stellen oder die Fristen für die Ergreifung von Rechtsmitteln zu umgehen. Diese aus <ref-law> fliessenden Grundsätze gelten auch für die Wiedererwägung eines negativen Entscheids über eine Aufenthaltsbewilligung (BGE <ref-ruling> E. 2.1 S. 181; Urteile 2C_883/2018 vom 21. März 2019 E. 4.3 und 4.4; 2C_170/2018 vom 18. April 2018 E. 4.1; 2C_1081/2014 vom 19. Februar 2016 E. 2.1).
3.4. Ob ein solches Gesuch materiell zu behandeln ist, hängt davon ab, ob sich der Sachverhalt oder bei Dauersachverhalten auch die Rechtslage in einer Art geändert haben, dass ein anderes Ergebnis ernstlich in Betracht fällt (BGE <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 181 f.; Urteile 2C_977/2017 vom 6. Juni 2018 E. 3; 2C_335/2009 vom 12. Februar 2010 E. 2.1). Liegt ein Anspruch auf eine Neubeurteilung vor, so bedeutet dies nicht, dass auch ein Anspruch auf eine neue Bewilligung besteht. Die Gründe, welche zum Widerruf geführt haben, verlieren ihre Bedeutung nicht; die Behörde muss aber eine neue umfassende Interessenabwägung vornehmen, wobei es nicht darum gehen kann, wie im Rahmen eines erstmaligen Entscheids über die Aufenthaltsbewilligung, frei zu befinden, ob die Voraussetzungen gegeben sind. Massgebend ist vielmehr, ob sich die Umstände seit dem früheren Widerruf in einer rechtserheblichen Weise geändert haben (Urteil 2C_883/2018 vom 21. März 2019 E. 4.4 mit Hinweisen).
4.
4.1. In seiner rechtskräftigen Verfügung vom 19. Dezember 2017 hatte das Migrationsamt im Wesentlichen festgehalten, der Beschwerdeführer beziehe seit langem in erheblicher Weise selbstverschuldet Sozialhilfe und habe keine grossen Anstrengungen unternommen, um sich davon zu lösen. Seit Erhalt seiner Aufenthaltsbewilligung im Jahr 2014 habe er kein existenzsicherndes Einkommen erwirtschaften können und (ergänzend) Sozialhilfe bezogen, obwohl er mit Schreiben des Migrationsamtes vom 11. Dezember 2014 auf die Konsequenzen seiner selbstverschuldeten Sozialhilfeabhängigkeit aufmerksam gemacht worden sei. Daher erachtete das Migrationsamt den Widerrufsgrund gemäss Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG als erfüllt. Aufgrund der gesamten Umstände, insbesondere der fehlenden wirtschaftlichen Integration des Beschwerdeführers, seiner wiederholten Straffälligkeit sowie seiner langjährigen illegalen Anwesenheit in der Schweiz, und unter Berücksichtigung seiner familiären Verhältnisse kam das Migrationsamt sodann zum Schluss, die Nichtverlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung sei verhältnismässig.
4.2. In seinem zweiten Wiedererwägungsgesuch vom 13. Juli 2018, welches Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet, machte der Beschwerdeführer geltend, er habe per 17. Juli 2018 bei einem Bauunternehmen eine unbefristete Stelle mit einem 80%-Pensum antreten können, sodass er nunmehr in der Lage sei, ein existenzsicherndes Einkommen zu erzielen (vgl. E. 4 des angefochtenen Urteils). Das Migrationsamt erachtete dies als wesentliche Änderung des Sachverhalts, trat auf das Gesuch ein und wies es in der Folge ab (vgl. E. 4.1 des angefochtenen Urteils).
Streitgegenstand bildet somit die Frage, ob die Vorinstanz in Berücksichtigung der neuen Tatumstände die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung zu Recht geschützt hat.
5.
5.1. Dem angefochtenen Urteil und den Akten lässt sich entnehmen, dass dem Beschwerdeführer die im Wiedererwägungsgesuch erwähnte Stelle kurz nach Stellenantritt gekündigt wurde, was er auch nicht bestreitet (vgl. E. 4.1 des angefochtenen Urteils). Die Vorinstanz hielt betreffend seine Erwerbssituation fest, er habe seit Erlass der Verfügung vom 19. Dezember 2017 fünf verschiedene Arbeitsverträge abgeschlossen, wobei er die entsprechenden Stellen entweder gar nicht oder nur während weniger Monate angetreten habe. Im Zeitpunkt des vorinstanzlichen Urteils verfügte er über einen Arbeitsvertrag vom 12./15. April 2019 als "Unterhaltsreinigungsmitarbeiter". Gemäss den Feststellungen des Verwaltungsgerichts handle es sich um eine Anstellung mit einem tiefen Stundenlohn von brutto Fr. 18.80 (zuzüglich Ferien- und Feiertagsentschädigung), wobei die wöchentliche Normalarbeitszeit gemäss Arbeitsvertrag lediglich sechs Stunden betrage und sich die genaue Einsatzzeit nach dem Arbeits- bzw. Einsatzplan richte. Abgesehen von den Monaten Juli und August 2019 habe er kein existenzsicherndes Einkommen erwirtschaften können. Gestützt auf diesen Arbeitsvertrag, die kurze Anstellungsdauer und das Verhalten des Beschwerdeführers in der Vergangenheit ist das Verwaltungsgericht zum Schluss gekommen, dass eine nachhaltige Stabilisierung seiner finanziellen Situation keineswegs als gesichert erscheine und hat in der Folge eine wesentliche Änderung diesbezüglich verneint (vgl. E. 4.2 des angefochtenen Urteils).
5.2. Der Beschwerdeführer wirft dem Verwaltungsgericht eine offensichtlich unrichtige bzw. willkürliche Feststellung des Sachverhalts vor. Er macht in diesem Zusammenhang zunächst geltend, es sei widersprüchlich bzw. willkürlich, wenn das Migrationsamt zunächst auf das Wiedererwägungsgesuch eingetreten sei, anschliessend aber das Vorliegen eines neuen entscheidrelevanten Sachverhalts verneint habe. Indem die Vorinstanz dieses Vorgehen geschützt habe, sei sie ebenfalls in Willkür verfallen. Willkürlich seien die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen auch deshalb, weil das Verwaltungsgericht fälschlicherweise davon ausgegangen sei, dass er in den letzten eineinhalb Jahren fünf Mal die Stelle gewechselt habe. Richtigerweise habe er seit Einreichung des Wiedererwägungsgesuchs lediglich an zwei unterschiedlichen Stellen gearbeitet. Zudem erziele er bereits seit Juni 2019 und nicht erst seit Juli 2019 ein existenzsicherndes Einkommen. Schliesslich sei die Vorinstanz von einem falschen Einkommen ausgegangen, weil sie seinen Anspruch auf einen dreizehnten Monatslohn nicht berücksichtigt habe. Richtig berechnet liege sein Durchschnittseinkommen über dem durch das Sozialamt berechnete Existenzminimum von ihm und seiner Frau.
5.3.
5.3.1. Die Frage, ob das Migrationsamt zu Recht auf das Wiedererwägungsgesuch eingetreten ist bzw. dieses abgewiesen hat, ist keine Sachverhalts-, sondern eine Rechtsfrage (vgl. E. 3.4 hiervor).
Zunächst vermögen die Vorbringen des Beschwerdeführers in tatsächlicher Hinsicht die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen nicht als willkürlich erscheinen zu lassen: Selbst wenn es zutreffen sollte, dass er seit Erlass der strittigen Verfügung vom 19. Dezember 2017 lediglich zwei Arbeitgeber hatte, er auch schon im Juni 2019 ein existenzsicherndes Einkommen erzielt hatte und das Einkommen höher ausfiele, wenn der dreizehnte Monatslohn mitberücksichtigt würde, reichen seine Ausführungen nicht aus, um eine qualifiziert mangelhafte Sachverhaltsfeststellung darzutun, wie es nötig wäre, damit das Bundesgericht den von der Vorinstanz erhobenen Sachverhalt ändert oder ergänzt (vgl. E. 2.2 hiervor). Insbesondere ist nicht ersichtlich, inwiefern diese Umstände am Ausgang des Verfahrens etwas zu ändern vermöchten, weil damit noch nicht belegt wäre, dass der Beschwerdeführer auch künftig bzw. nachhaltig ein existenzsicherndes Einkommen erzielen könnte.
5.3.2. Die Schlussfolgerungen der Vorinstanz sind auch materiell nicht zu beanstanden. Angesichts des Umstandes, dass der Beschwerdeführer seine Arbeitsstelle im Zeitpunkt des vorinstanzlichen Verfahrens erst seit gut einem halben Jahr inne hatte, dass er über eine Anstellung mit tiefem Stundenlohn und unregelmässigen Einsätzen verfügte und erst während zwei Monaten ein existenzsicherndes Einkommen erzielen konnte, ist mit dem Verwaltungsgericht davon auszugehen, dass keine wesentliche nachhaltige Verbesserung seiner finanziellen Verhältnisse vorliegt. Im Übrigen führt der Beschwerdeführer im bundesgerichtlichen Verfahren selbst aus, dass eine formelle Ablösung von der Sozialhilfe erst per Ende 2019 erfolgen werde. Schliesslich vermag er nicht substanziiert aufzuzeigen, inwiefern die seiner Ehefrau zugesprochene Viertelsrente der Invalidenversicherung zu einer nachhaltigen Verbesserung seiner finanziellen Verhältnisse führen würde.
Festzuhalten ist schliesslich, dass der Beschwerdeführer, der sich ohnehin seit 2002 grösstenteils illegal in der Schweiz aufhielt, die mit der Verfügung des Migrationsamtes vom 19. Dezember 2017 rechtskräftig gewordene Wegweisung nicht befolgte, sondern eine ihm angesetzte Ausreisefrist bis zum 18. März 2018 missachtete. Die anschliessend als Grundlage für eine Neubeurteilung des Anwesenheitsrechts geltend gemachten Sachumstände, namentlich der Abschluss eines neuen Arbeitsvertrags und die kürzlich erfolgte Loslösung von der Sozialhilfe sind auf die Missachtung einer rechtskräftigen Anordnung zurückzuführen, was im Rahmen der vorzunehmenden Würdigung der gesamten Umstände für eine zurückhaltende Bejahung einer wesentlichen Verhältnisänderung spricht (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 255; Urteile 2C_910/2018 vom 23. Oktober 2019 E. 5.3; 2C_790/2017 vom 12. Januar 2018 E. 2.4).
6.
Der Beschwerdeführer rügt schliesslich, die Nichtverlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung sei unverhältnismässig (<ref-law>; Art. 8 Ziff. 2 EMRK). Er beruft sich in diesem Zusammenhang insbesondere auf seine lange Anwesenheit in der Schweiz sowie auf seine Beziehung zu seiner Ehefrau und seiner minderjährigen Tochter. Seine Frau sei psychisch schwer krank und auf dauernde Hilfe angewiesen, weshalb es ihr nicht zumutbar sei, ihm in sein Heimatland zu folgen. Auch würde seine fremdplatzierte Tochter im Falle seiner Wegweisung die wichtigste Bezugsperson verlieren.
6.1. Im Rahmen der rechtskräftigen Verfügung vom 19. Dezember 2017 wurde auch eine Verhältnismässigkeitsprüfung vorgenommen (vgl. auch E. 4.1 hiervor). Hinsichtlich der familiären Situation des Beschwerdeführers wurde insbesondere festgehalten, dass er über das Sorge-, nicht aber über das Obhutsrecht über seine kurz nach ihrer Geburt fremdplatzierte minderjährige Tochter verfüge. Der Beschwerdeführer habe nie mit seiner Tochter zusammengewohnt und verfüge nicht über genügend Erziehungskompetenzen, weshalb davon auszugehen sei, dass er mit ihrer Erziehung und Betreuung überfordert wäre (vgl. auch E. 4.3 des angefochtenen Urteils). Das Vorliegen einer engen affektiven und wirtschaftlichen Beziehung zu seiner Tochter verneinte das Migrationsamt. In Bezug auf seine Ehefrau führte das Migrationsamt unter anderem aus, dass es weder belegt noch ersichtlich sei, inwiefern sie auf eine intensive Betreuung durch den Beschwerdeführer angewiesen sei.
6.2. Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, dass sich die Umstände seit der Verfügung vom 19. Dezember 2017 in einer Art geändert haben, dass ein anderes Ergebnis ernsthaft in Betracht kommt (vgl. E. 5.3.2 hiervor). Auch hinsichtlich seiner familiären Situation sind keine neuen Umstände ersichtlich, die zu einer anderen Beurteilung führen könnten. Schliesslich vermag auch die Tatsache, dass sich der Beschwerdeführer während rund 17 Jahren hier aufgehalten hat kein überwiegendes privates Interesse an einem Verbleib in der Schweiz zu begründen, zumal er lediglich vom 11. Dezember 2014 bis am 17. Dezember 2015 über eine gültige Aufenthaltsbewilligung verfügte (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 8; vgl. auch Urteil 2C_1115/2015 vom 20. Juli 2016 E. 3.3.2).
6.3. Insgesamt liegen somit keine hinreichenden Gründe vor, die Lage anders zu beurteilen als im Zeitpunkt der strittigen Verfügung vom 19. Dezember 2017.
7.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen. Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren kann nicht entsprochen werden, da das Rechtsmittel als von vornherein aussichtslos bezeichnet werden muss (<ref-law>). Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist durch reduzierte Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>)

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Mai 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Ivanov