Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1982, Mutter bzw. Beschwerdeführerin) und B._ (geb. 1982, Vater bzw. Beschwerdegegner) sind die getrennt lebenden Eltern von D._ (geb. 2011) und C._ (geb. 2014).
B.
B.a. Am 11. Oktober 2019 ersuchte die Beschwerdeführerin das Familiengericht Lenzburg um die Regelung des Getrenntlebens. Das Familiengericht ist im Kanton Aargau sowohl Eheschutzgericht als auch Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB).
B.b. Für die Dauer des Eheschutzverfahrens traf das Familiengericht als Eheschutzgericht superprovisorische Massnahmen. Es stellte die Kinder unter die Obhut der Mutter, regelte das Besuchsrecht, erteilte den Eltern bestimmte Weisungen und errichtete eine Beistandschaft gemäss Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB (Verfügung vom 16. Juli 2020). Den Erlass weiterer superprovisorischer Massnahmen lehnte das Familiengericht in der Folge ab, passte aber die Regelung des Besuchsrechts und den Aufgabenbereich der Beiständin an (Verfügung vom 23. Juli 2020). Es betraute jeweilen die KESB mit dem Vollzug der Kindesschutzmassnahmen.
B.c. Das Familiengericht als KESB ernannte die Beistandsperson (Verfügungen vom 17. und vom 30. Juli 2020).
B.d. Am 12. August 2020 erging der Eheschutzentscheid. Das Familiengericht als Eheschutzgericht stellte die Berechtigung der Parteien zum Getrenntleben fest, regelte die Kinderbelange (Obhutszuteilung an die Mutter sowie Besuchsrecht und Unterhaltspflicht des Vaters), erneuerte die Beistandschaft und legte deren Aufgabenbereiche fest, erteilte den Eltern bestimmte Weisungen und wies dabei die Mutter unter Strafandrohung gemäss Art. 292 StGB an, das Besuchsrecht des Vaters zu gewährleisten, ordnete die Gütertrennung an und beauftragte die KESB mit dem Vollzug der Kindesschutzmassnahmen. Das Dispositiv des Entscheids wurde mit Entscheid vom 17. August 2020 in einem Punkt berichtigt. In den Entscheiden wurden die Parteien darauf hingewiesen, dass sie innert zehn Tagen seit Zustellung dieses Dispositivs eine schriftliche Begründung verlangen könnten und dass es als Verzicht auf die Anfechtung des Entscheids gelte, wenn keine Begründung verlangt werde. Eine Begründung wurde von den Parteien nicht ausdrücklich verlangt.
B.e. Am 17. September 2020 erliess das Familiengericht als KESB zwei für beide Kinder gleichlautende Entscheide zum Vollzug der mit Eheschutzentscheid vom 12. August 2020 errichteten Beistandschaft. Es wiederholte deren Aufgabenbereiche und die Weisungen an die Eltern laut Eheschutzentscheid, bestätigte die vormals eingesetzte Beiständin und entzog einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung. In den Entscheiden wurden die Parteien darauf hingewiesen, dass sie innert zehn Tagen seit Zustellung dieses Dispositivs eine schriftliche Begründung verlangen könnten und dass es als Verzicht auf die Anfechtung des Entscheids gelte, wenn keine Begründung verlangt werde. Eine Begründung wurde von den Parteien nicht ausdrücklich verlangt. Nach der Unterschrift des Gerichts ist beiden Entscheiden eine Seite angeheftet mit einer "Kurzbegründung" betreffend Beistandschaft und Entzug der aufschiebenden Wirkung.
C.
Gegen die Entscheide vom 17. September 2020 erhob die anwaltlich vertretene Beschwerdeführerin am 28. September 2020 in eigenem Namen und im Namen der Kinder Beschwerde beim Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz. Sie beantragte in prozessualer Hinsicht, die Eltern zu einem Prozesskostenbeitrag von Fr. 4'000.-- an die Kinder zu verpflichten, den Beschwerdeführerinnen die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und die Vollstreckbarkeit der angeordneten Massnahmen aufzuschieben. In der Sache verlangte sie, auf die Anordnung der Beistandschaft, auf das Erteilen von Weisungen und auf die Strafandrohung von Art. 292 StGB zu verzichten, eventuell die angefochtenen Entscheide aufzuheben und die Sache zur neuen Begründung und Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Obergericht trat auf die Beschwerde am 5. November 2020 nicht ein.
D.
D.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen sowie subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 14. Dezember 2020 gelangten die Beschwerdeführerin und die beiden Kinder, vertreten durch die Beschwerdeführerin, an das Bundesgericht. Sie beantragen die Aufhebung des Entscheids des Obergerichts vom 5. November 2020 und die Rückweisung der Sache an das Obergericht mit der Anweisung, auf die Beschwerden der Beschwerdeführerin und der Kinder sei einzutreten. Eventualiter wird die Aufhebung des Entscheids des Obergerichts und die Rückweisung der Sache zur neuen Begründung und Entscheidung an die Vorinstanz verlangt. Für das Verfahren vor Bundesgericht seien die Eltern zu verpflichten, den Kindern einen Prozesskostenbeitrag von Fr. 5'000.-- zu bezahlen, sei den Kindern und auch der Beschwerdeführerin (S. 11 Ziff. 1.5) die unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung zu gewähren und der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Die Beschwerdeführerin hat Unterlagen zur finanziellen Lage eingereicht.
D.b. Während das Obergericht auf Nichteintreten schliesst, beantragt der Beschwerdegegner, das Gesuch um aufschiebende Wirkung abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist, und ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung zu gewähren unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten des Rechtsvertreters der Beschwerdeführerin, eventualiter zu deren Lasten. Der Präsident der urteilenden Abteilung hat das Gesuch um aufschiebende Wirkung mit Verfügung vom 22. Januar 2021 abgewiesen.
D.c. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, in der Sache jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Entscheide vom 17. September 2020 (Bst. B.e oben) betreffen den Vollzug der Kindesschutzmassnahmen, die das Eheschutzgericht angeordnet hat (Art. 176 Abs. 3 i.V.m. Art. 315a Abs. 1 ZGB). Die Zuständigkeiten sind insoweit geteilt, als das Eheschutzgericht die Beistandschaft anordnet und die KESB die Beistandsperson ernennt. Das Familiengericht als KESB hat damit die Beistandschaft gemäss Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB durch Ernennung der Beistandsperson vollzogen. Zu deren Information hat es die Dispositiv-Ziffern des Eheschutzentscheids über die Aufgabenbereiche der Beistandschaft und über die Weisungen an die Eltern wiederholt.
Die Ernennung einer Person als Beistand nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB ist ein öffentlich-rechtlicher Entscheid, der in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG). Der angefochtene Nichteintretensentscheid betrifft eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache, ist hier kantonal ober- und letztinstanzlich (Art. 75 BGG) und schliesst das kantonale Verfahren ab (Art. 90 BGG; Urteile 5A_299/2016 vom 17. Januar 2017 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>; 5A_782/2014 vom 5. Dezember 2014 E. 1.2).
1.2.
1.2.1. Die Beschwerdeführerin hat am obergerichtlichen Verfahren teilgenommen und ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Nichteintretensentscheids (Art. 76 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 3.1).
1.2.2. Die Kinder der Beschwerdeführerin haben am kantonalen Beschwerdeverfahren ebenfalls teilgenommen (Art. 76 Abs. 1 lit. a BGG). Das Obergericht hat ihre Urteilsfähigkeit und damit ihre Prozessfähigkeit verneint. Ungeachtet ihrer Unmündigkeit haben die verfahrensbeteiligten Kinder mit Bezug auf die Klärung der Frage ihrer Prozessfähigkeit vor Bundesgericht als prozessfähig zu gelten und können auch einen Anwalt mit der Vertretung ihrer Interessen beauftragen (Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG; Urteile 5A_503/2010 vom 28. März 2011 E. 1.3; 5A_194/2011 vom 30. Mai 2011 E. 3.2; allgemein: <ref-ruling> E. 3a).
1.3. Die Beschwerdeführerin will ihre Kinder vor Bundesgericht vertreten, befindet sich aber offensichtlich in einer Interessenkollision (Art. 306 Abs. 2 ZGB; Urteil 5A_341/2008 vom 23. Dezember 2008 E. 4.4 Abs. 2, in: FamPra.ch 2009 S. 513; allgemein: <ref-ruling> E. 2.7). Da für die Kinder eine Beistandschaft gemäss Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB besteht, sind sie vor Bundesgericht rechtsgenügend vertreten. Die bestehende Beistandschaft geht als Sondervorschrift einer (zu errichtenden) Beistandschaft gemäss Art. 306 ZGB vor (z.B. für den Unterhaltsprozess: MEIER/STETTLER, Droit de la filiation, 6. Aufl. 2019, Rz. 1716 S. 1118; AFFOLTER-FRINGELI/VOGEL, Berner Kommentar, 2016, N. 68 zu Art. 308 ZGB). Das Rubrum ist entsprechend angepasst und das Urteil für die Kinder deren Beiständin zuzustellen.
1.4. Eheschutzentscheide sind vorsorgliche Massnahmen im Sinne von Art. 98 BGG (<ref-ruling> E. 5). Entscheide, mit denen sie durch die KESB oder eine andere kantonale Behörde vollzogen oder vollstreckt werden, gelten ihrerseits als vorsorgliche Massnahmen gemäss Art. 98 BGG (z.B. für die Vollstreckung eines vorsorglich angeordneten Besuchsrechts: Urteile 5A_1000/2019 vom 25. März 2020 E. 2.1; 5A_64/2010 vom 25. Februar 2010 E. 1.2; 5A_388/2008 vom 22. August 2008 E. 1; 5A_627/2007 vom 28. Februar 2008 E. 1; 5A_547/2007 vom 19. Dezember 2007 E. 2; z.B. für die Vollstreckung einer vorsorglich angeordneten Verfügungssperre: Urteil 5A_262/2010 vom 31. Mai 2012 E. 2.1).
Kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 98 BGG), ist in der Beschwerdeschrift klar und detailliert und, soweit möglich, belegt anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.4). Der Grundsatz der gerichtlichen Rechtsanwendung von Amtes wegen (Art. 106 Abs. 1 BGG) kommt nicht zum Tragen (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1.5). Auch die Anwendung von Bundesgesetzen prüft das Bundesgericht im Rahmen von Art. 98 BGG nur auf die Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV) hin (Urteil 5A_857/2016 vom 8. November 2017 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>). In Verfahren nach Art. 98 BGG kommt zudem eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1 mit Hinweisen).
1.5. Auf die fristgerecht (Art. 100 Abs. 1 BGG) erhobene Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich einzutreten. Die ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde erweist sich damit als unzulässig (Art. 113 BGG).
Anzumerken bleibt, dass die KESB als Vollzugsbehörde an den Entscheid des Eheschutzgerichts gebunden war und dessen rechtskräftige Anordnungen weder abändern noch aufheben durfte (<ref-ruling> E. 4.1; Urteil 5A_805/2009 vom 26. Februar 2010 E. 4.3, in: Praxis 2010 Nr. 95 S. 671). Mit der Beschwerde gegen den Vollzugsentscheid kann deshalb der vollzogene Entscheid nicht mitangefochten werden (Urteile 5D_8/2016 vom 3. Juni 2016 E. 4.2.2; 5A_262/2010 vom 31. Mai 2012 E. 8.2.1).
2.
2.1. Das Obergericht hat die Beschwerdelegitimation der Kinder verneint mit der Begründung, beschwerdefähig sei ein Kind nur, wenn es urteilsfähig sei, wovon in der Regel erst ab dem zehnten Altersjahr auszugehen sei. Weder D._ noch C._ hätten das 10. Altersjahr schon vollendet. Auf die Beschwerde sei somit nicht einzutreten, soweit sie im Namen der beiden Kinder erhoben worden sei (E. 1.2 S. 6 des angefochtenen Entscheids).
2.2. Die Kinder lassen ausführen, dass sie schockiert gewesen seien, dass der Vater sie getroffen habe, obwohl er gewusst habe, dass er Covid-19-positiv sei. Sodann hätten sie auch mitbekommen, dass ihr Vater in Untersuchungshaft sitze, weil er dem neuen Partner ihrer Mutter ein halbes Ohr abgebissen haben solle. Sie seien schwer enttäuscht von ihrem Vater und wollten ihn momentan nicht besuchen. Wenn sie nicht urteilsfähig seien, könne man ihnen einen Kinderanwalt oder einen Beistand beigeben. Es könne nicht sein, dass Kinder in ihrem Alter nie Beschwerde einreichen könnten (S. 5 Ziff. 4.2). D._ sei 9-jährig und wisse ganz genau, was sie wolle und nicht wolle, und auch C._ sei in einem Alter, wo sie selber sagen könne, was sie gut finde und was nicht (S. 10 Ziff. 3.3 der Beschwerdeschrift).
2.3.
2.3.1. Die Prozessfähigkeit ist eine Wirkung der vom Bundesrecht in Art. 12 ff. ZGB geordneten Handlungsfähigkeit im Prozess. Die Handlungsfähigkeit besitzt, wer volljährig und urteilsfähig ist (Art. 13 ZGB). Volljährig ist, wer das 18. Lebensjahr zurückgelegt hat (Art. 14 ZGB). Urteilsfähig im Sinne des ZGB ist jede Person, der nicht wegen ihres Kindesalters, infolge geistiger Behinderung, psychischer Störung, Rausch oder ähnlicher Zustände die Fähigkeit mangelt, vernunftgemäss zu handeln (Art. 16 ZGB). Wer urteilsfähig, aber nicht volljährig ist, vermag sich nur mit Zustimmung seines gesetzlichen Vertreters durch seine Handlungen zu verpflichten (Art. 19 Abs. 1 ZGB). Nach Massgabe von Art. 19c Abs. 1 ZGB können urteilsfähige Minderjährige allerdings grundsätzlich selbständig - oder durch einen Vertreter ihrer Wahl (<ref-ruling> E. 1a) - handeln, wenn es um Rechte geht, die ihnen um ihrer Persönlichkeit willen zustehen (höchstpersönliche Rechte).
2.3.2. Ob vorliegend höchstpersönliche Rechte in Frage stehen, kann letztlich dahingestellt bleiben. Die Rechtsprechung stellt fest, dass generell für die Ausübung höchstpersönlicher Rechte im Sinne einer Faustregel ab dem zehnten Lebensjahr von der Urteilsfähigkeit auszugehen ist (Urteil 5A_796/2019 vom 18. März 2020 E. 2.3). Dieses Alter hatten die Kinder im Entscheidzeitpunkt nicht erreicht. Anhaltspunkte dafür, dass sie vorliegend überdurchschnittlich entwickelt wären, sind weder ersichtlich noch dargetan. Die geltend gemachte Verweigerungshaltung der Kinder in Bezug auf den Besuch des Vaters genügt dafür genau so wenig wie eine allfällige schockierte Reaktion darauf, dass der Vater sie getroffen habe, obwohl er gewusst habe, dass er Covid-19-positiv sei.
2.3.3. Aus den dargelegten Gründen durfte das Obergericht die Urteilsfähigkeit und damit die Prozessfähigkeit der Kinder ohne Verletzung verfassungsmässiger Rechte verneinen.
2.4. Für den Fall ihrer Urteilsunfähigkeit vertreten die Kinder den Standpunkt, man hätte ihnen einen Kinderanwalt oder einen Beistand beigeben können. Der sinngemässe Antrag um Bestellung eines Kinderanwalts nach Art. 299 ZPO ist vor Bundesgericht unzulässig. Die Zivilprozessordnung regelt nur das Verfahren vor den kantonalen Instanzen (Art. 1 ZPO). Im Verfahren vor dem Bundesgericht findet sie keine Anwendung. Das Bundesgerichtsgesetz sieht eine entsprechende Vertretung des Kindes nicht vor (Urteile 5A_426/2017 vom 16. Februar 2018 E. 1; 5A_579/2016 vom 6. Februar 2017 E. 1.3; 5A_768/2011 vom 23. Februar 2012 E. 1.5). Inwiefern das Obergericht verfassungswidrig keine Kindesvertretung angeordnet haben soll, wird nicht gerügt, geschweige denn begründet.
2.5. Die verfahrensbeteiligten Kinder ersuchen vor Bundesgericht um einen Prozesskostenbeitrag. Der entsprechende Antrag hätte vor dem zuständigen Sachgericht im kantonalen Verfahren gestellt werden müssen und ist im bundesgerichtlichen Verfahren unzulässig (<ref-ruling> E. 7). Dass das Obergericht ihnen den beantragten Prozesskostenvorschuss verweigert hat, rügen die Kinder nicht als verfassungswidrig, so dass darauf nicht einzugehen ist.
2.6. Insgesamt muss die Beschwerde der verfahrensbeteiligten Kinder abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist.
3.
3.1. Eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) erblickt die Beschwerdeführerin darin, dass die KESB ihr ohne jede Anhörung und ohne Begründung eine Pflicht auferlegt habe, die Kinder zum Vater ins Gefängnis zu bringen (S. 9 Ziff. 2.9). Durch die Verschleppungstaktik der KESB werde Art. 8 i.V.m. Art. 13 EMRK verletzt (S. 10 Ziff. 4.1 der Beschwerdeschrift).
Kantonal letztinstanzlich und damit Anfechtungsobjekt ist einzig der Entscheid des Obergerichts. Die gegenüber der KESB erhobenen Rügen sind deshalb unzulässig (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 3.3.4).
3.2. Die Beschwerdeführerin rügt Willkür, da die Vorinstanz davon ausgegangen sei, dass sie durch die angefochtenen Massnahmen nicht berührt sei. Sie sei durch den Entzug der aufschiebenden Wirkung jedoch durchaus beschwert, weil ihr mit den Entscheiden "aus dem Nichts" eine Strafe nach Art. 292 StGB angedroht worden sei, wenn sie die Kinder nicht zum Vater ins Gefängnis "prügle". Die Verneinung dieses wesentlichen Nachteils sei willkürlich (S. 7 Ziff. 1.2), und die Verneinung ihres Rechtsschutzinteresses an der Aufhebung des angefochtenen Entzugs der aufschiebenden Wirkung bedeute eine formelle Rechtsverweigerung (S. 10 Ziff. 3.2 der Beschwerdeschrift).
Die von der Beschwerdeführerin angeführten Erwägungen zur mangelnden Beschwer bezogen sich einzig auf die Frage des Eintretens betreffend den Entzug der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde an das Obergericht. Diesbezüglich kam das Obergericht zum Schluss, dass der Entscheid des Familiengerichts in Bezug auf die Kindesschutzmassnahmen unabhängig von einem Entscheid über den Entzug der aufschiebenden Wirkung vollstreckbar sei, weshalb kein Rechtsschutzinteresse ersichtlich sei (E. 4.2 S. 8 des angefochtenen Entscheids). Die Beschwerdeführerin setzt sich mit den Erwägungen des Obergerichts dazu, warum es ihr an einem aktuellen Rechtsschutzinteresse in Bezug auf den Entscheid betreffend den Entzug der aufschiebenden Wirkung fehle, nicht auseinander. Auf diese Rüge ist daher nicht weiter einzugehen.
3.3.
3.3.1. Die Beschwerdeführerin rügt die Feststellung des Obergerichts, dass die Entscheide vom 17. September 2020 nicht begründet seien, sei ebenfalls willkürlich, da die betreffenden Entscheide eine Kurzbegründung enthalten würden, die in der ZPO nicht vorgesehen sei. Die Rechtsmittelbelehrung habe mit der Frage, ob ein Entscheid begründet oder nicht begründet erfolgt sei, nichts zu tun, gelte nur für unbegründete Entscheide und sei für Anwälte nicht relevant oder zumindest nicht verbindlich (S. 7 Ziff. 1.3-1.5). Die Begründung sei nicht unmissverständlich auf eine bestimmte Frage oder auf gewisse Teile beschränkt worden. Entsprechend habe das Obergericht Art. 239 ZPO willkürlich angewendet. Auch sei die Begründung in diesem Punkt zu knapp, um angefochten werden zu können (Art. 29 Abs. 2 BV; S. 10 Ziff. 5 der Beschwerdeschrift).
3.3.2. Das Obergericht trat auf das Haupt- und Eventualbegehren der Beschwerdeführerin nicht ein, weil erst gegen die begründete Ausfertigung der im Dispositiv eröffneten Entscheide Beschwerde geführt werden könne, wie der zutreffenden Rechtsmittelbelehrung auf den angefochtenen Entscheiden unmissverständlich zu entnehmen sei (E. 1.2 S. 6 des angefochtenen Entscheids).
3.3.3. Die obergerichtliche Begründung genügt verfassungsmässigen Minimalanforderungen und konnte von der Beschwerdeführerin entgegen ihrer Behauptung sachgerecht angefochten werden. (Art. 29 Abs. 2 BV; <ref-ruling> E. 5). Zu prüfen ist deshalb die gerügte Willkür in der Rechtsanwendung. Sie liegt nach ständiger Rechtsprechung des Bundesgerichts nur vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 4.3).
3.3.4. Gemäss Art. 239 Abs. 1 lit. b ZPO kann das Gericht seinen Entscheid ohne schriftliche Begründung durch Zustellung des Dispositivs an die Parteien eröffnen. In der Praxis kommt es dennoch oft zu Kurzbegründungen, deren Zulässigkeit hier nicht zu prüfen ist (vgl. dazu SARBACH/MINNIG, Dispositiveröffnung mit zusätzlicher schriftlicher Begründung?, in: AJP 2020 S. 161 ff. mit Hinweisen).
Massgebend ist vorliegend nämlich einzig die Frage, ob das Obergericht auf eine Beschwerde auf Basis einer faktisch vorhandenen Kurzbegründung eintreten musste. Dies durfte willkürfrei verneint werden (so z.B. auch Kantonsgericht St. Gallen, Urteil vom 3. Oktober 2013, in: St. Gallische Gerichts- und Verwaltungspraxis, GVP 2013 Nr. 61), da ein Eintreten eine Verletzung des rechtlichen Gehörs zur Folge hätte, das voraussetzt, dass die Begründung eines behördlichen Entscheids so abgefasst sein muss, dass sich die betroffene Person über dessen Tragweite Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache anfechten kann (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 3.3). Eine Ausnahme gebietet sich vorliegend nicht, da die Kurzbegründung derart kurz war, dass man offensichtlich eine Begründung hätte verlangen müssen. Verlangt man wie die Beschwerdeführerin keine Begründung, gilt dies grundsätzlich als Verzicht auf die Anfechtung (Art. 239 Abs. 2 ZPO). Eine Willkür in der Rechtsanwendung ist bei Annahme dieser gesetzlichen Rechtsfolge zu verneinen, unabhängig davon, ob man die Auffassung vertritt, dass die Beschwerde an das Obergericht in diesem Fall als Aufforderung zur Begründung entgegenzunehmen und an das Familiengericht weiterzuleiten ist (vgl. z.B. Kantonsgericht St. Gallen, Urteil vom 3. Oktober 2013, in: GVP 2013 Nr. 61).
Es kommt hinzu, dass der äussere Aufbau des Entscheids die anwaltlich vertretene Beschwerdeführerin nicht zur Annahme berechtigen konnte, es liege bereits der schriftlich begründete Entscheid vor, seit dessen Zustellung die Rechtsmittelfristen zu laufen beginnen (Art. 311 Abs. 1 und Art. 321 Abs. 1 ZPO). Die "Kurzbegründung" ist dem Entscheid nach der Unterschrift des Gerichts angeheftet, steht insoweit ausserhalb des förmlichen Entscheids (vgl. Art. 238 ZPO) und hat damit lediglich informativen Charakter.
3.3.5. Aus den dargelegten Gründen erscheinen die obergerichtliche Annahme eines Verzichts auf Anfechtung und damit auch der Nichteintretensentscheid nicht als willkürlich.
3.4. Schliesslich hat die Beschwerdeführerin vor Obergericht den Antrag gestellt, es sei die Vollstreckbarkeit der angeordneten vorsorglichen Massnahme aufzuschieben (Ziff. I/3 der Begehren in E. 2.1 S. 4 des angefochtenen Entscheids). Zum Schicksal dieses Antrags äussert sich die Beschwerdeführerin nicht, so dass darauf nicht einzugehen ist. Desgleichen braucht das Bundesgericht mangels Rügen der Beschwerdeführerin die Eventualbegründung des Obergerichts nicht zu prüfen, wonach hinreichende Anhaltspunkte für eine Gefährdung der Kinder als Folge der Ausübung des Besuchsrechts fehlten (E. 4.4 S. 8 des angefochtenen Entscheids).
3.5. Insgesamt erweisen sich die Verfassungsrügen der Beschwerdeführerin, soweit sie zulässig sind, als unbegründet.
4.
Zusammenfassend ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Kosten der unterliegenden Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG), die den Beschwerdegegner für seine Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung zu entschädigen hat (Art. 68 Abs. 1 BGG). Auf eine Beteiligung der Kinder an den Kosten und Entschädigungen wird verzichtet. Die Voraussetzungen dafür, dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin die Kosten und Entschädigungen aufzuerlegen, sind hier entgegen der Annahme des Beschwerdegegners nicht erfüllt (Art. 66 Abs. 3 und Art. 68 Abs. 4 BGG; <ref-ruling> E. 2).
Da sie weder Kosten noch Entschädigungen zu bezahlen haben, wird das Gesuch der verfahrensbeteiligten Kinder um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos. Dem Gesuch der Beschwerdeführerin kann nicht entsprochen werden, setzte die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege doch insbesondere voraus, dass die Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheinen (Art. 64 Abs. 1 BGG). Die vorstehenden Erwägungen, wonach die erhobenen Rügen unbegründet, zur Hauptsache aber unzulässig sind, verdeutlichen indessen, dass die gestellten Rechtsbegehren von Beginn an keinen Erfolg haben konnten.
Der Beschwerdegegner hat im Verfahren der aufschiebenden Wirkung mit seinem Antrag auf Abweisung obsiegt und erhält für seine Vernehmlassung eine Parteientschädigung zulasten der Beschwerdeführerin zugesprochen. Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird damit gegenstandslos, ist aber mit Blick auf die Mittellosigkeit der Beschwerdeführerin für den Fall der Uneinbringlichkeit der Parteientschädigung zu beurteilen (vgl. <ref-ruling> E. 3d). Die gesetzlichen Voraussetzungen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG) sind erfüllt. Für die gegebenenfalls ausgerichtete Entschädigung wird der Beschwerdegegner der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben, wenn er später dazu in der Lage sein sollte (Art. 64 Abs. 4 BGG). In der Bemessung der Entschädigung kann seiner Kostennote nicht gefolgt werden, weil sie den Aufwand für die "Vorbereitung Beschwerdeantwort" in Rechnung stellt (act. 18), gemäss Verfügung des Bundesgerichts aber lediglich das Gesuch um aufschiebende Wirkung zu beantworten war (act. 8/1).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
2.1. Auf die Gesuche der verfahrensbeteiligten Kinder um Anordnung eines Prozesskostenbeitrags und einer Vertretung wird nicht eingetreten, und ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2.2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
2.3. Das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege im Verfahren der aufschiebenden Wirkung wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, und es wird ihm Rechtsanwältin Caroline Mutschler als amtliche Rechtsbeiständin beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das Verfahren der aufschiebenden Wirkung mit Fr. 500.-- zu entschädigen. Für den Fall der Uneinbringlichkeit wird Rechtsanwältin Caroline Mutschler ein Betrag von Fr. 400.-- aus der Bundesgerichtskasse ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Mai 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: von Roten