Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1967 geborene A._ war von Mai 2007 bis November 2016 Gesellschafterin und Geschäftsführerin mit Einzelunterschrift bei der C._ GmbH, welche die Einrichtung und Betreuung von Aquarien, den Handel mit Aquarien, Aquariumszubehör sowie Pflanzen und Fischen bezweckt. Ab 1. Januar 2013 war sie bei der C._ GmbH als Zoofachverkäuferin bzw. Tierpflegerin angestellt und in dieser Eigenschaft (bzw. ab 1. Juni 2013) bei der BVG-Sammelstiftung PK-AETAS berufsvorsorgeversichert.
A.b. Die IV-Stelle Bern, bei welcher sich A._ am 31. März 2015 zum Leistungsbezug angemeldet hatte, sprach ihr mit Wirkung ab 1. September 2015 eine halbe und ab 1. September 2016 eine ganze Invalidenrente zu. Die entsprechende Verfügung vom 19. Januar 2018 wurde auch der PK-AETAS eröffnet. Sie erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
B.
Am 1. Februar 2019 erhob A._ Klage mit dem Rechtsbegehren, die PK-AETAS sei zu verpflichten, ihr sämtliche statutarischen und gesetzlichen Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge zu entrichten, insbesondere eine Invaliden- sowie eine Kinderrente und Beitragsbefreiung, rückwirkend ab 1. September 2015 nach Massgabe eines Invaliditätsgrades von 51 % und rückwirkend ab 1. September 2015 nach Massgabe eines Invaliditätsgrades von 100 %, zuzüglich Zins von 5 % seit 1. Februar 2019. Mit Entscheid vom 25. April 2019 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die Klage ab.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, der kantonale Entscheid sei aufzuheben. Sie erneuert das im Verfahren vor dem Verwaltungsgericht gestellte Rechtsbegehren.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde ans Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen Bundesrecht verletzt (<ref-law>), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, <ref-law>). Hingegen hat unter der Herrschaft des BGG eine freie Überprüfung des vorinstanzlichen Entscheides in tatsächlicher Hinsicht zu unterbleiben. Ebenso entfällt eine Prüfung der Ermessensbetätigung nach den Grundsätzen zur Angemessenheitskontrolle.
2.
2.1. Anspruch auf Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge haben gemäss Art. 23 lit. a BVG Personen, die im Sinne der Invalidenversicherung zu mindestens 40 % invalid sind und bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert waren (<ref-ruling> E. 3c S. 269). Im Sinne einer Versicherungsklausel besagt die Bestimmung, dass nur Leistungen beanspruchen kann, wer im massgeblichen Zeitpunkt, d.h. bei Eintritt der relevanten Arbeitsunfähigkeit (von dauerhaft mindestens 20 Prozent; <ref-ruling> E. 4.4 S. 62; Urteil 9C_289/2016 vom 10. August 2016 E. 3.1 mit Hinweis, in: SVR 2016 BVG Nr. 51 S. 215), versichert war (<ref-ruling> E. 2b S. 99). Weiter regelt die Norm, dass unter mehreren in Frage kommenden Vorsorgeeinrichtungen diejenige leistungspflichtig ist, bei welcher die ansprechende Person bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert war (<ref-ruling> E. 6.2 S. 419).
2.2. Der Anspruch auf Invalidenleistungen der (obligatorischen) beruflichen Vorsorge setzt einen engen zeitlichen und sachlichen Zusammenhang zwischen der während des Vorsorgeverhältnisses (einschliesslich Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG) eingetretenen Arbeitsunfähigkeit und der allenfalls erst später eingetretenen Invalidität voraus (<ref-ruling> E. 3.1 S. 68 f. mit Hinweisen). Der sachliche Konnex ist gegeben, wenn der Gesundheitsschaden, der zur Arbeitsunfähigkeit geführt hat, von der Art her im Wesentlichen derselbe ist wie derjenige, welcher der Erwerbsunfähigkeit zugrunde liegt (<ref-ruling> E. 3.2 S. 22). Der zeitliche Konnex setzt voraus, dass die versicherte Person nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, nicht während längerer Zeit wieder arbeitsfähig war. Er gilt als unterbrochen, wenn während mehr als dreier Monate eine Arbeitsfähigkeit von über 80 % in einer angepassten Erwerbstätigkeit gegeben ist (<ref-ruling> E. 4.4 und 4.5 S. 62 f.).
2.3. Für den Beginn des Anspruchs auf Invalidenleistungen der (obligatorischen) beruflichen Vorsorge gelten sinngemäss die entsprechenden Bestimmungen des IVG (<ref-law>; Art. 26 Abs. 1 BVG). Der Anspruch entsteht in der obligatorischen beruflichen Vorsorge grundsätzlich mit dem Beginn der Rente der Invalidenversicherung nach <ref-law>, d.h. frühestens sechs Monate nach der Anmeldung bei der Invalidenversicherung zum Rentenbezug (<ref-ruling>).
3.
Streitig und zu prüfen ist vorab die Frage nach der Bindungswirkung der Verfügung vom 19. Januar 2018 für den berufsvorsorgerechtlichen Prozess. Nach Auffassung der Beschwerdeführerin wurde sie im angefochtenen Entscheid zu Unrecht verneint.
3.1. Ein Entscheid der IV-Stelle ist für eine Einrichtung der beruflichen Vorsorge verbindlich, sofern sie in das invalidenversicherungsrechtliche Verfahren einbezogen wurde, die konkrete Fragestellung für die Beurteilung des Rentenanspruchs gegenüber der Invalidenversicherung entscheidend war und die invalidenversicherungsrechtliche Betrachtungsweise aufgrund einer gesamthaften Prüfung der Akten nicht als offensichtlich unhaltbar erscheint. Die Bindungswirkung findet ihre positivrechtliche Grundlage in den Art. 23, 24 Abs. 1 und 26 Abs. 1 BVG, welche an die Regelung des IVG anknüpfen oder diese übernehmen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 437; <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 69).
3.2. Die Vorinstanz erkannte, die Verfügung der IV-Stelle vom 19. Januar 2018 entfalte insoweit keine Bindungswirkung, als die PK-AETAS geltend mache, die invalidisierende Arbeitsunfähigkeit sei bereits vor Beginn des Vorsorgeverhältnisses bzw. vor dem 1. Januar 2013 eingetreten. Der Eintritt der invalidisierenden Arbeitsunfähigkeit sei deshalb frei zu prüfen. Die Beschwerdeführerin kritisiert, im angefochtenen Entscheid werde die angenommene fehlende Verbindlichkeit nicht begründet. Ohnehin aber habe die um drei Monate verspätete IV-Anmeldung keinen Einfluss auf den relevanten Invaliditätseintritt, weil sie im massgebenden Zeitpunkt - unabhängig davon, ob als invalidenversicherungsrechtlicher Anspruchsbeginn der 1. September 2015 (wegen verspäteter Anmeldung) oder der 1. Juli 2015 gelte (Ablauf des Wartejahres) - bei der Beschwerdegegnerin vorsorgeversichert gewesen sei.
3.3. Dass die Beschwerdeführerin sowohl im Juli als auch im September 2015 bei der PK-AETAS versichert war, trifft zwar zu, ist im vorliegenden Zusammenhang aber nicht entscheidend. Massgebend für die Frage der Bindungswirkung der Verfügung vom 19. Januar 2018 ist vielmehr, dass ein invalidenversicherungsrechtlicher Rentenanspruch aufgrund der IV-Anmeldung vom 31. März 2015 gemäss <ref-law> frühestens im September 2015 entstehen konnte (sofern in diesem Zeitpunkt die Wartezeit nach <ref-law> erfüllt war) und sich die IV-Stelle deshalb lediglich für den Verlauf der gesundheitlich bedingten Arbeitsunfähigkeit ab September 2014 interessierte. Wie sich die gesundheitliche Beeinträchtigung davor auf das Leistungsvermögen der Versicherten auswirkte, insbesondere wie es um sie in der Zeit ab 1. Januar bzw. 1. Juni 2013 stand (vgl. dazu E. 4 nachfolgend), hatte die IV-Stelle nicht zu prüfen. Soweit die PK-AETAS nun aber gerade eine bis vor den Beginn des Wartejahres nach <ref-law> zurückreichende Arbeitsunfähigkeit im berufsvorsorgerechtlich massgebenden Umfang von 20 % geltend macht, war sie nicht legitimiert, ein Rechtsmittel im invalidenversicherungsrechtlichen Verfahren einzureichen (Urteile 9C_289/2016 vom 10. August 2016 E. 3.2, in: SVR 2016 BVG Nr. 51 S. 215, und 9C_12/2014 vom 30. Mai 2014 E. 2.3, in: SVR 2014 IV Nr. 40 S. 141; vgl. auch Urteil 9C_340/2016 vom 21. November 2016 E. 6.2.1). Aus diesem Grund ist der invalidenversicherungsrechtliche Beginn der Wartezeit nach <ref-law> für den hier zur Diskussion stehenden berufsvorsorgerechtlichen Anspruch nicht von Bedeutung; er gilt nicht als im Sinne von Art. 23 lit. a BVG massgebender Zeitpunkt für die Bestimmung der leistungspflichtigen Vorsorgeeinrichtung. Eine diesbezügliche Bindungswirkung der Verfügung vom 19. Januar 2018 wurde im angefochtenen Entscheid demnach zu Recht verneint.
4.
Streitig ist der von der Vorinstanz nach freier Prüfung auf (spätestens) Februar 2011 festgesetzte Eintritt der invalidisierenden Arbeitsunfähigkeit.
4.1. Vorinstanzliche Feststellungen zur Art des Gesundheitsschadens und zur Arbeitsfähigkeit, die Ergebnis einer Beweiswürdigung sind, sind, weil tatsächlicher Natur, für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (vgl. dazu E. 1). Tatfrage ist auch jene nach dem Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat. Gleiches gilt für die aufgrund einer konkreten Beweiswürdigung getroffene Feststellung des zeitlichen Konnexes. Frei überprüfbare Rechtsfrage ist dagegen, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung über den Zeitpunkt des Eintritts einer massgebenden Arbeitsunfähigkeit zu erfolgen hat, und hinsichtlich des zeitlichen Zusammenhangs, ob die Beweiswürdigung unter Beachtung der rechtsprechungsgemäss relevanten Kriterien erfolgte (Urteil 9C_765/2018 vom 6. Mai 2019 E. 3.4.1 mit Hinweisen).
4.2. Es steht aufgrund des angefochtenen Entscheides verbindlich fest (vgl. E. 4.1), dass die Beschwerdeführerin seit 1978 an Asthma bronchiale und Allergien auf Pollen sowie auf Tierallergene leidet, wobei die Behandlungsbedürftigkeit des durch die Tierfutter- und Heuschreckenallergene verschlimmerten Asthmas in den Akten spätestens ab Februar 2011 dokumentiert ist (Berichte des Dr. med. D._, Facharzt für Allgemeine Innere Medizin und Pneumologie, vom 8. Februar und 28. Oktober 2011 sowie des Spitals E._, Klinik für Rheumatologie, Klinische Immunologie und Allergologie, vom 7. November 2011 und 9. Januar 2012). Weiter wurde die Versicherte im Dezember 2012 ärztlicherseits (wie bereits in der Vergangenheit) ermahnt, das Zoofachgeschäft nicht mehr zu betreten (Verlaufsbericht des Spitals E._, Klinik für Rheumatologie, Klinische Immunologie und Allergologie, vom 20. Dezember 2012). RAD-Arzt Dr. med. F._, Facharzt für Arbeitsmedizin, gab an, aufgrund des ausgeprägten allergischen Asthmas sei die zuletzt ausgeübte Tätigkeit als selbstständige und angestellte Zoofachhändlerin seit 2011 nicht mehr zumutbar. Gleiches gelte für die gelernte Tätigkeit als Karosserie-Sattlerin. In einer optimal angepassten Tätigkeit bestehe eine Arbeitsfähigkeit von 50 bis 60 % (Bericht vom 21. Juli 2015).
4.3. Die Vorinstanz schloss aus diesen medizinischen Gegebenheiten, die sich aus dem Asthma bronchiale ergebende Arbeitsunfähigkeit, welche sich invalidisierend ausgewirkt habe, sei spätestens im Februar 2011 eingetreten. Nach überwiegender Wahrscheinlichkeit habe bei der Versicherten demnach bereits im Zeitpunkt des Beginns des Arbeits- und Versicherungsverhältnisses am 1. Januar bzw. 1. Juni 2013 (zuvor war sie nicht Arbeitnehmerin der C._ GmbH) eine Arbeitsunfähigkeit (von mindestens 20 %) bestanden. Aus diesem Grund sei der erforderliche zeitliche Zusammenhang nicht gegeben und ein Leistungsanspruch gegenüber der PK-AETAS zu verneinen.
4.4. In der Beschwerde wird eingewendet, die Vorinstanz habe Bundesrecht verletzt, weil sie die von der Rechtsprechung entwickelten Kriterien zur Unterbrechung des zeitlichen Zusammenhanges (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.4 und 4.5 S. 62 f.), welche auf Konstellationen wie die hier vorliegende sinngemäss Anwendung fänden, nicht geprüft habe. Die Reptilien seien ab 1. Januar 2012 aus dem Sortiment gestrichen und ab August 2012 auch nicht mehr im Laden geführt worden. Die Versicherte habe ab 1. Januar 2013 während rund eineinhalb Jahren ununterbrochen und ohne jede krankheitsbedingte Absenz im Zoofachgeschäft arbeiten können (ab 1. Januar 2013 in einem Pensum von 50 % und ab 1. Oktober 2013 in einem solchen von 100 %), bevor sie am 22. Juli 2014 vollständig arbeitsunfähig geworden sei. Damit sei eine allfällig invalidisierende Arbeitsunfähigkeit vor Bestehen des Arbeitsverhältnisses ab 1. Januar 2013 hinsichtlich des zeitlichen Konnexes unterbrochen worden. Es gebe keine (echtzeitlichen) Hinweise für eine Einschränkung der Arbeits- und Leistungsfähigkeit während dieser Phase. Die hier interessierende Arbeitsunfähigkeit sei mithin erst am 22. Juli 2014 eingetreten. Seither habe die Arbeitsfähigkeit nie mehr als 30 % erreicht. Im September 2016 habe sich der Gesundheitszustand der Versicherten schliesslich derart verschlechtert, dass ihr keine Tätigkeit mehr zumutbar sei. Ab diesem Zeitpunkt stehe ihr aufgrund eines Invaliditätsgrades von 100 % eine Rente der Beschwerdegegnerin zu.
4.5. In der Beschwerde wird an sich zutreffend vorgebracht, dass die Grundsätze zur Annahme bzw. Unterbrechung eines engen zeitlichen Zusammenhanges sinngemäss auch gelten, wenn eine Vorsorgeeinrichtung ihre Leistungspflicht mit der Begründung verneinen will, eine berufsvorsorgerechtlich bedeutsame Arbeitsunfähigkeit habe bereits vor Beginn des Vorsorgeverhältnisses bestanden und ohne wesentliche Unterbrechung bis zum Beginn der Versicherungsdeckung angedauert (Urteile 9C_765/2018 vom 6. Mai 2019 E. 3.2; 9C_340/2016 vom 21. November 2016 E. 4.1.2; 9C_420/2015 vom 26. Januar 2016 E. 4.1 und 9C_273/2012 vom 20. November 2012 E. 4.1.2). Allerdings vermag die Beschwerdeführerin daraus nichts zu ihren Gunsten abzuleiten.
4.5.1. Wie im angefochtenen Entscheid nicht offensichtlich unrichtig und damit verbindlich festgestellt wurde (vgl. E. 4.1), war die Beschwerdeführerin im Zeitpunkt des Beginns des Arbeits- und Versicherungsverhältnisses am 1. Januar bzw. 1. Juni 2013 (weiterhin) arbeitsunfähig (mindestens zu 20 %). Es ist nicht willkürlich, dass die Vorinstanz der von der Versicherten bereits im kantonalen Verfahren aufgestellten, nicht weiter belegten Behauptung, wonach sie bis zum 21. Juli 2014 bei der C._ GmbH voll arbeits- und einsatzfähig gewesen sei (die Lohnbescheinigungen der eigenen Firma vermögen dafür nicht Beweis zu erbringen), keine Bedeutung beigemessen und sich auf die das Gegenteil dokumentierenden medizinischen Akten gestützt hat, wonach die Arbeitsfähigkeit selbst in einer angepassten Tätigkeit lediglich 50 bis 60 % betrug. Daran vermag die Präzisierung in der letztinstanzlichen Beschwerdeschrift (volle Arbeitsfähigkeit im Rahmen eines 50 %-Pensum ab 1. Januar 2013 und eines 100 %-Pensum vom 1. Oktober 2013 bis 21. Juli 2014) nichts zu ändern.
4.5.2. Die Art des Gesundheitsschadens - Asthma bronchiale stellt eine bei Erwachsenen in der Regel chronische, entzündliche obstruktive Atemwegserkrankung dar (vgl. dazu PSCHYREMBEL, Klinisches Wörterbuch, 267. Auflage 2017, S. 164.) - und die prognostische ärztliche Beurteilung, welche im Rahmen der Prüfung des zeitlichen Zusammenhanges ebenfalls zu berücksichtigen sind (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 22 f. mit Hinweisen), liessen zudem eine dauerhafte Wiedereingliederung objektiv als unwahrscheinlich erscheinen. Dies gilt umso mehr, als von einer Fortsetzung der Tätigkeit im Zoofachgeschäft, wie sie die Beschwerdeführerin geltend macht, nach den Ärzten eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes im Sinne einer weiteren Verschlimmerung des Asthmas (unter Umständen mit der Gefahr eines Übergangs in ein obstruktives Lungenemphysem; vgl. PSCHYREMBEL, S. 165) zu erwarten war, was der Annahme einer entsprechenden Arbeitsfähigkeit ebenfalls entgegensteht. Denn rechtsprechungsgemäss zeigt selbst eine längerdauernde Erwerbstätigkeit keine gesundheitliche Erholung mit weitgehender Wiederherstellung des Leistungsvermögens an, wenn jegliche berufliche Belastung nach einer gewissen Zeit zu schweren Krankheitssymptomen mit erheblicher Einschränkung der Arbeitsfähigkeit führt (Urteil 9C_569/2013 vom 18. Februar 2014 E. 6.1.2, in: SVR 2014 BVG Nr. 36 S. 134; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.1 S. 345).
4.6. Bei dieser Sachlage hat die Vorinstanz eine Leistungspflicht der PK-AETAS zu Recht verneint mit der Begründung, die invalidisierende Arbeitsunfähigkeit sei spätestens im Februar 2011 eingetreten und damit zu einem Zeitpunkt, in welchem die Versicherte noch nicht bei der PK-AETAS versichert war.
5.
Die Gerichtskosten werden der unterliegenden Beschwerdeführerin auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. September 2019
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann