Faits :
A.
A.a. X._, ressortissant brésilien né en 1963, a déposé une demande d'asile en Suisse en 2001.
En 2004, il a commencé des études de droit. Il a obtenu son bachelor en droit suisse et son master en droit international et européen, en date du 16 septembre 2009 respectivement 13 février 2013.
A plusie urs reprises entre le dépôt de la demande en 2001 et la décision du 6 février 2009 de l'Office fédéral des migrations (actuellement le Secrétariat d'Etat aux migrations; ci-après: le Secrétariat d'Etat) rejetant la demande d'assistance judiciaire de X._ requise dans le cadre de la demande d'asile, celui-ci s'est enquis de l'avancement de la procédure et a requis que ladite demande soit traitée plus rapidement.
Par décision du 14 janvier 2013, le Secrétariat d'Etat a accordé l'asile à l'intéressé.
A.b. Le 25 septembre 2015, le Département fédéral des finances a rejeté une demande de X._ tendant au paiement de dommages et intérêts d'un montant de 4'339'640 fr. à la charge de la Confédération pour avoir tardé à statuer et avoir empêché, de la sorte, l'intéressé de travailler pendant toute la procédure d'asile ce qui aurait entraîné une perte de salaire.
B.
Après avoir rejeté la demande d'assistance judiciaire de X._ (décision confirmée par le Tribunal fédéral le 23 mai 2016 qui a estimé que le recours était d'emblée dénué de chances de succès [cause 2C_118/2016]), le Tribunal administratif fédéral a, par arrêt du 12 janvier 2018, également rejeté le recours sur le fond. Il a laissé la question de l'acte illicite ouverte et a en substance retenu que l'intéressé n'avait pas déposé de recours pour déni de justice à l'encontre du Secrétariat d'Etat; X._ avait ainsi rompu le lien de causalité naturelle et adéquate entre la conduite du procès dont il se plaignait et le dommage allégué.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral, outre de lui octroyer l'assistance judiciaire, d'annuler ou de réformer l'arrêt du 12 janvier 2018 du Tribunal administratif fédéral et de renvoyer la cause à cette autorité, afin qu'elle statue à nouveau dans le sens des considérants.
Le Département fédéral des finances conclut au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. Le Tribunal administratif fédéral se réfère à son arrêt.
X._ s'est encore prononcé par écriture du 6 juin 2018.

Considérant en droit :
1.
Selon un certificat des Hôpitaux universitaires de Genève, le recourant a été hospitalisé du 31 janvier au 5 février 2018. L'arrêt attaqué, envoyé par recommandé, pouvait, pour sa part, être retiré jusqu'au 2 février 2018 auprès de La Poste. Le délai de recours de trente jours (art. 100 al. 1 LTF) a ainsi commencé à courir le 3 février 2018 pour arriver à échéance le lundi 5 mars 2018 (art. 44 et 45 LTF). L'intéressé ayant remis le mémoire ce jour-là à La Poste (art. 48 al. 1 LTF), le délai de recours est respecté.
Au surplus, le recours en matière de droit public a été déposé en la forme prévue (art. 42 LTF) à l'encontre d'un arrêt final (art. 90 LTF) dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF) rendu par le Tribunal administratif fédéral (art. 86 al. 1 let. a LTF) par l'intéressé qui a la qualité pour recourir (art. 89 al. 1 LTF). Les conclusions restées litigieuses devant l'autorité précédente (art. 51 al. 1 let. a LTF) s'élèvent à 1'500'000 fr. avec intérêts de 5% dès le 1er janvier 2010, de sorte que la valeur litigieuse atteint la somme de 30'000 fr. (art. 85 al. 1 let. a LTF). Il convient donc d'entrer en matière.
2.
Tout en renvoyant aux faits tels que constatés dans l'arrêt attaqué, le recourant déclare les compléter et mentionne certains éléments qui lui paraissent importants. Une telle façon de procéder ne répond pas aux exigences en la matière, à savoir démontrer d'une part que les faits ont été établis en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire (art. 9 Cst.), et d'autre part que la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (cf. art. 97 al. 1 LTF; <ref-ruling> consid. 6 p. 358; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 266). En effet, conformément à l'art. 106 al. 2 LTF, la partie recourante doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées, ce que ne fait pas le recourant. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui est contenu dans l'arrêt attaqué (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356) et le Tribunal fédéral statuera sur la base des faits retenus dans celui-ci (art. 105 al. 1 LTF).
3.
L'objet de la contestation est constitué par la demande en dommages et intérêts formée par le recourant à l'encontre de la Confédération pour la perte de salaire prétendument subie par celui-ci durant les onze ans qu'a duré la procédure ayant abouti à l'octroi de l'asile.
Dans ce cadre, les juges précédents ont laissé ouvertes les questions de l'existence d'un retard à statuer injustifié, d'un dommage et d'un lien de causalité naturelle et adéquate entre ces deux éléments. Ils ont retenu que, bien que l'intéressé ait sollicité à plusieurs reprises, entre le dépôt de sa demande d'asile le 19 juillet 2001 et février 2009, que celle-ci soit traitée plus rapidement, à partir de cette date, il n'avait plus rien entrepris pour faire accélérer la procédure et n'avait pas laissé entrevoir qu'il entamerait une procédure en dédommagement pour retard injustifié. Le justiciable avait de la sorte commis une faute propre qui rompait ledit lien de causalité.
4.
Dans des griefs quelque peu confus, le recourant expose les raisons pour lesquelles il n'a pas déposé un recours pour déni de justice à l'encontre du Secrétariat d'Etat et explique qu'au regard de la jurisprudence fédérale et de la Cour européenne des droits de l'homme (ci-après: la CourEDH) un tel recours n'est pas nécessaire pour qu'il soit fait droit à ses revendications. De la sorte, l'intéressé conteste qu'il ait commis une faute propre qui aurait cassé le rapport de causalité naturelle et adéquate entre l'inaction de l'administration et le dommage invoqué.
4.1. L'autorité précédente a correctement exposé le droit applicable (art. 3 al. 1 et 4 de la loi fédérale du 14 mars 1958 sur la responsabilité de la Confédération, des membres de ses autorités et de ses fonctionnaires (loi sur la responsabilité, LRCF [RS 170.32]; art. 29 al. 1 Cst.), de sorte qu'il y est renvoyé.
Le retard ou le refus injustifié à statuer constitue un acte illicite susceptible d'engager la responsabilité de la collectivité publique concernée, si les autres conditions de ladite responsabilité sont satisfaites (arrêt 2C_34/2017 du 24 août 2018 consid. 7.3.2, destiné à la publication et les arrêts cités; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 417 s.; <ref-ruling> consid. 3d p. 166). Il faut notamment qu'il y ait une relation de causalité adéquate entre l'acte illicite et le dommage. Cependant, le comportement du lésé peut avoir pour effet de rompre le caractère adéquat du lien de causalité (ATF <ref-ruling> consid. 2b p. 163, arrêt 2P.285/1989 du 27 mars 1990 consid. 2b).
En droit privé (cf. art. 44 al. 1 CO auquel correspond l'art. 4 LRCF), appliqué par analogie, la faute propre du lésé peut, comme pour tout autre fait générateur de responsabilité de droit commun, interrompre le lien de causalité adéquate entre l'acte illicite et le dommage si cette faute constitue une circonstance exceptionnelle ou apparaît si extraordinaire que l'on ne pouvait pas s'y attendre (<ref-ruling> consid. 5d p. 456; <ref-ruling> consid. 5b p. 313). Le lésé peut commettre une faute interruptive de causalité notamment en violant son devoir de réduire le dommage, soit lorsqu'il omet de prendre les mesures qui peuvent raisonnablement être mises en oeuvre pour empêcher la survenance du préjudice. En d'autres termes, celui qui s'expose délibérément à un danger concret qu'il a reconnu ou aurait pu reconnaître, sans prendre les mesures de protection propres à y parer, s'expose par contrecoup à se voir reprocher une faute propre, dont la gravité peut conduire à le priver de toute indemnité (<ref-ruling> consid. 2b p. 158; <ref-ruling> consid. 3a p. 188). Pour satisfaire à son devoir de réduire le dommage, le lésé doit notamment user de toutes les possibilités que la loi lui offre, pour remettre en cause les décisions et mesures illégales, ainsi que les omissions et retards injustifiés (ATF 56 III 86 consid. 2; 31 II 342 consid. 2).
Ainsi, lorsqu'il est à craindre qu'un dommage résulte de la durée excessive d'une procédure, il est exigé de la partie concernée qu'elle en informe l'autorité afin que celle-ci accélère la procédure pendante devant elle; cette exigence découle du principe de la bonne foi (art. 5 al. 3 Cst.). Si cette information ne produit aucun effet, et qu'il n'existe aucune autre solution permettant de clore la procédure dans un délai raisonnable, la partie doit encore déposer un recours pour déni de justice auprès de l'autorité compétente. Le comportement du justiciable s'apprécie toutefois avec moins de rigueur en procédure pénale et administrative que dans un procès civil, où les parties doivent faire preuve d'une diligence normale pour activer la procédure (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 332). Ce n'est que si ces démarches n'aboutissent pas, que la partie peut réclamer des dommages et intérêts. La procédure pour responsabilité de l'Etat tendant au versement de dommages-intérêts présente donc, en quelque sorte, un caractère subsidiaire, si bien qu'elle ne doit en principe être introduite qu'après avoir utilisé les moyens précités. Lorsque la partie n'essaie pas de faire avancer la procédure par le biais de ces mesures, une faute propre du lésé, au sens de l'art. 4 LRCF, peut être retenue à son encontre dans un procès en responsabilité (<ref-ruling> consid. 2b/bb p. 158 s.).
La jurisprudence a exclu la responsabilité du canton dans différents cas. Par exemple, dans une procédure en séparation qui avait duré six ans et demi et pendant laquelle la fortune conjugale avait fortement diminué du fait de l'époux, une faute concomitante propre à rompre le lien de causalité adéquat a été retenu à l'encontre de l'épouse recourante qui n'avait jamais entrepris quoi que ce soit pour faire accélérer la procédure (<ref-ruling>). Dans une autre affaire, le demandeur avait laissé se prescrire la créance durant la procédure en paiement, sans attirer l'attention du juge sur la prescription qui menaçait; la seule action avait consisté en un courrier qui demandait au tribunal quand il poursuivrait la procédure (un recours pour déni de justice a été déposé alors que la créance était déjà prescrite); l'intéressée n'ayant pas pris à temps les mesures aptes à éviter le dommage, il a été jugé que le lien de causalité avait été rompu (2A.268/1999 du 17 mars 2000). De même, il a été retenu que l'absence de démarche, à l'exception d'un courrier du mandataire, incitant le tribunal à notifier les considérants d'un jugement de divorce qui n'octroyait aucune pension à l'ex-épouse (six mois s'étaient écoulés entre le jugement et la notification de celui-ci pendant lesquels une pension provisoire avait dû être versée par l'époux) était propre à interrompre le lien de causalité adéquat (2P.285/1989 du 27 mars 1990).
4.2. En l'espèce, le recourant n'est pas resté inactif. Comme le relèvent les juges précédents, depuis le dépôt de sa demande d'asile le 19 juillet 2001 jusqu'à son recours du 10 février 2009 contre le rejet par le Secrétariat d'Etat de sa requête d'assistance judiciaire, il a sollicité à plusieurs reprises et régulièrement de cette autorité que sa demande d'asile soit traitée plus rapidement et qu'une décision soit rendue. Ainsi, le 16 janvier 2002, l'intéressé a remis plusieurs pièces au Secrétariat d'Etat, tout en concluant qu'un jugement favorable soit notifié promptement; le 15 août 2002, il s'est rendu en personne auprès de cette autorité pour s'enquérir de l'état de l'avancement de la procédure; il a à nouveau requis, le 18 juillet 2003, dans un mémoire accompagné de différentes pièces adressé audit secrétariat, qu'une décision positive soit prise immédiatement; il s'est déplacé une seconde fois au Secrétariat d'Etat, le 13 août 2003, afin de s'enquérir de l'état de la procédure et de solliciter un traitement plus prompt de sa demande d'asile. Nouvellement représenté par un avocat, il a, le 13 mars 2007, produit des documents à l'appui de sa requête d'assistance judiciaire déposée au préalable et a indiqué qu'il était crucial pour lui d'obtenir une décision; les 30 avril et 2 août 2007, le recourant a déposé des pièces supplémentaires, tout en réclamant qu'une décision favorable soit arrêtée rapidement. Son mandataire a, par courrier du 23 décembre 2008, prié le Secrétariat d'Etat de se prononcer sur la requête d'assistance judiciaire déposée le 22 août 2006. Le recourant est donc intervenu auprès de l'autorité concernée à tout le moins à sept reprises entre le 19 juillet 2001 et le 10 février 2009 pour faire avancer la procédure; parmi ces interventions, il s'est déplacé en personne deux fois. A au moins une reprise, le 2 juillet 2004, le Secrétariat d'Etat a indiqué au requérant qu'un traitement prochain de sa requête pouvait être envisagé, ce qui était susceptible d'éveiller chez l'intéressé une espérance légitime de finalement voir son cas être traité.
Les diverses interventions du recourant et celles de ses mandataires n'ayant eu aucun effet, il était attendu, conformément à la jurisprudence susmentionnée, qu'il dépose un recours pour déni de justice. On constate également qu'il n'a plus cherché à activer la procédure après son recours du 10 février 2009 contre le rejet par le Secrétariat d'Etat de sa requête d'assistance judiciaire. Le recourant explique sa retenue quant au dépôt d'un recours pour déni de justice, par le fait qu'il redoutait qu'un tel acte soit contreproductif: il met en avant sa position délicate et fragile de demandeur d'asile qui souhaitait ne pas braquer l'administration à son égard. L'on peut comprendre cette crainte de la part d'une personne dont la situation en Suisse est précaire et dont l'avenir dépend de la décision attendue. De plus, s'il est des requérants d'asile qui font tout leur possible pour retarder la décision les concernant, tel n'a pas été le cas de l'intéressé qui, comme susmentionné, a à de nombreuses reprises requis du Secrétariat d'Etat qu'il statue diligemment. On ne peut donc lui reprocher d'avoir eu un comportement contraire au principe de la bonne foi, à savoir d'un côté ne pas déposer un recours pour déni de justice, afin de ne pas activer la procédure dans le but de rester le plus longtemps possible en Suisse en cas de décision négative, et de l'autre invoquer un retard à statuer une fois la demande d'asile tranchée dans le cadre d'une procédure en responsabilité. Le recourant souligne, en outre, que la décision du 6 février 2009 rejetant sa demande d'assistance judiciaire l'a définitivement fait renoncer au dépôt d'un recours pour déni de justice. A cet égard, il est piquant de constater que cette assistance a été refusée au motif que la cause ne contenait pas de questions de droit ou de fait complexes et que l'autorité concernée a mis onze ans pour la traiter.
Compte tenu de ces éléments et des circonstances du cas d'espèce, si, conformément à la jurisprudence, en omettant d'intervenir dans la procédure d'asile par le biais d'un recours pour déni de justice et de faire activer la procédure après le 10 février 2009, le recourant n'a pas pris toutes les mesures nécessaires pour faire cesser un éventuel dommage, on ne saurait pour autant considérer que cette omission constitue une faute concomitante propre à rompre le lien de causalité adéquat. Ce d'autant plus que la procédure en cause relevait du droit administratif où le comportement de la personne concernée s'apprécie, comme relevé ci-dessus, avec moins de rigueur que dans un procès civil; les procédures à la base des affaires susmentionnées (cf. consid. 4.1), où l'absence de démarches destinées à faire activer la procédure a été jugée comme représentant une faute suffisamment grave pour qu'elle casse le lien de causalité, étaient des procédures civiles (demande en divorce, en paiement). Le recourant a entrepris de nombreuses actions tendant à faire accélérer la procédure et sa réticence à déposer un recours peut se comprendre au regard de sa situation de requérant d'asile. Ainsi, si l'absence d'un recours pour retard à statuer constitue une faute propre de l'intéressé, au regard du cas de figure en cause celle-ci n'est pas suffisamment grave pour interrompre le lien de causalité adéquat entre l'éventuel acte illicite et le prétendu dommage supporté du fait de la longueur de la procédure; cette faute devra donc uniquement être prise en considération, le cas échéant, dans la fixation du montant de l'indemnité (cf. art. 4 LRCF).
5.
Il découle de ce qui précède que le recours doit être admis et l'arrêt attaqué annulé, sans qu'il soit nécessaire de traiter les autres griefs soulevés par le recourant.
Le Tribunal administratif fédéral a limité le litige à la faute propre du recourant et ne s'est pas prononcé sur les autres conditions de la responsabilité de l'Etat, à savoir les éventuels acte illicite (retard à statuer de la part du Secrétariat d'Etat) et dommage, ainsi que sur le lien de causalité entre ces deux éléments, ni du reste sur le point de départ de l'éventuel acte illicite. Ceci a eu pour conséquence que le recourant n'aborde pas non plus ces points dans son recours devant le Tribunal fédéral. De plus, il n'appartient pas au tribunal de céans de juger ces éléments en première instance de recours. La cause sera donc renvoyée à l'autorité précédente, afin qu'elle statue sur ses objets.
Succombant, la Confédération, dont l'intérêt patrimonial est en cause (art. 66 al. 1 et 4 LTF), supportera les frais judiciaires. Le recourant, qui n'est pas représenté par un mandataire professionnel, ne peut prétendre à des dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF; <ref-ruling> consid. 4 p. 136). La demande d'assistance judiciaire formée pour la procédure fédérale devient sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. L'arrêt du 12 janvier 2018 du Tribunal administratif fédéral est annulé et la cause lui est renvoyée afin qu'il statue dans le sens des considérants.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 4'000 fr., sont mis à la charge de la Confédération.
3.
La demande d'assistance judiciaire est sans objet.
4.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Département fédéral des finances et au Tribunal administratif fédéral, Cour I.
Lausanne, le 18 décembre 2018
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Jolidon