Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Verfügung vom 3. Februar 2005 wurde der 1963 geborenen A._ mit Wirkung ab 1. Oktober 2004 eine ganze Rente der Invalidenversicherung zugesprochen. Ende 2005 leitete die IV-Stelle des Kantons Zürich ein amtliches Revisionsverfahren ein und veranlasste unter anderem eine interdisziplinäre Begutachtung bei der asim, Universitätsspital Basel (Expertise vom 13. August 2008). Mit Verfügung vom 4. September 2009 hob die IV-Stelle die bisher ausgerichtete Rente auf. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 31. Mai 2011 ab.
A.b. Im August 2016 meldete sich die Versicherte erneut bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen, insbesondere Veranlassung einer polydisziplinären Begutachtung beim BEGAZ Begutachtungszentrum, Binningen (Expertise vom 5. September 2017) beschied die IV-Stelle das Leistungsbegehren mit Verfügung vom 27. Februar 2018 abschlägig.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht de s Kantons Zürich mit Entscheid vom 20. August 2019 ab.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 20. August 2019 und die Verfügung vom 27. Februar 2018 seien aufzuhebe n, und es sei ihr eine Viertelsrente der Invalidenversicherung auszurichten. Weiter sei ihr die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>), die Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz nur, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
2.
Bei einer Neuanmeldung zum Leistungsbezug finden die Grundsätze zur Rentenrevision analog Anwendung ( statt vieler: Urteil 9C_496/2018 vom 21. November 2018 E. 4.1). Ändert sich der Invaliditätsgrad eines Rentenbezügers erheblich, so wird die Rente von Amtes wegen oder auf Gesuch hin für die Zukunft entsprechend erhöht, herabgesetzt oder aufgehoben (<ref-law>).
3.
3.1. Das kantonale Gericht bejahte einen Revisionsgrund im Sinne einer wesentlichen Änderung hinsichtlich des für die Methodenwahl massgeblichen (hypothetischen) Sachverhalts (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 30). Für die Invaliditätsbemessung nahm es einen Prozentvergleich (<ref-ruling> E. 3a S. 313) vor, wobei es - ausgehend von einer Arbeitsunfähigkeit von 20 % - einen rentenausschliessenden Invaliditätsgrad von 20 % ermittelte (<ref-law>).
3.2. Streitig ist die Invaliditätsbemessung einzig hinsichtlich der Frage, ob ein leidensbedingter Abzug vom Tabellenlohn zu gewähren ist, was die Vorinstanz in Bestätigung der Verfügung vom 27. Februar 2018 verneint hat.
4.
Mit dem Abzug vom Tabellenlohn nach <ref-ruling> soll der Tatsache Rechnung getragen werden, dass persönliche und berufliche Merkmale, wie Art und Ausmass der Behinderung, Lebensalter, Dienstjahre, Nationalität oder Aufenthaltskategorie und Beschäftigungsgrad Auswirkungen auf die Lohnhöhe haben können und je nach Ausprägung die versicherte Person deswegen die verbliebene Arbeitsfähigkeit auch auf einem ausgeglichenen Arbeitsmarkt nur mit unterdurchschnittlichem erwerblichem Erfolg verwerten kann (<ref-ruling> E. 5.2 S. 301; Urteil 8C_114/2017 vom 11. Juli 2017 E. 3.1). Der Abzug soll aber nicht automatisch erfolgen. Er ist unter Würdigung der Umstände im Einzelfall nach pflichtgemässem Ermessen gesamthaft zu schätzen und darf 25 % nicht übersteigen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 301; <ref-ruling> E. 5.2 S. 327 f.; <ref-ruling> E. 5b/bb-cc S. 80).
5.
Die Vorinstanz hat erwogen, h insichtlich der Statusfrage sei mit der IV-Stelle davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerin im Gesundheitsfall zu 100 % einer erwerblichen Tätigkeit nachgehen würde. Diese Änderung in der Methodenwahl von der gemischten Methode zu einem reinen Einkommensvergleich stelle einen Revisionsgrund dar, sodass der Rentenanspruch in rechtlicher und tatsächlicher Hinsicht umfassend ("allseitig") zu prüfen sei. Vor diesem Hintergrund sei der im Rahmen der Rentenaufhebung gewährte leidensbedingte Abzug in der Höhe von 25 % nicht mehr beachtlich. Die von der IV-Stelle vertretene Betrachtungsweise, dass neben dem erhöhten Pausenbedarf kein leidensbedingter Abzug vorzunehmen sei, sei dabei nicht zu beanstanden.
6.
6.1. Gemäss unbestritten gebliebener vorinstanzlicher Auffassung liegt ein Revisionsgrund vor. Demzufolge ist der Rentenanspruch - wie die Vorinstanz zutreffend erwogen hat - in rechtlicher und tatsächlicher Hinsicht umfassend zu prüfen, wobei keine Bindung an frühere Beurteilungen besteht (<ref-ruling> E. 2.3 S. 11 mit Hinweisen). Anders als die Beschwerdeführerin annimmt, verletzte die Vorinstanz somit kein Bundesrecht, als sie eine freie Prüfung der Rentenanspruchsvoraussetzungen vornahm. Eine rechtskräftige Invaliditätsbemessung, wie in der Beschwerde geltend gemacht wird, liegt nicht vor.
6.2. Bei der hier strittigen Frage, ob ein Abzug vom Tabellenlohn zu gewähren ist, handelt es sich um eine vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 5.1 S. 72).
Die vom kantonalen Gericht vertretene Auffassung, wonach neben dem erhöhten Pausenbedarf kein leidensbedingter Abzug vorzunehmen sei, verletzt Bundesrecht: Aus der Beurteilung des BEGAZ vom 5. September 2017ergibt sich (Gutachten S. 64 f.), dass die im Belastbarkeitsprofil aufgeführten Limiten zusätzlich zu der infolge des erhöhten Pausenbedarfs um 20 % eingeschränkten Arbeitsfähigkeit zu berücksichtigen sind. Diesen körperlichen Limitierungen wurde im angefochtenen Entscheid wie auch in der Verfügung vom 27. Februar 2018 in keiner Weise Rechnung getragen. Demgegenüber hatte die IV-Stelle im Rahmen der letztmaligen Invaliditätsbemessung "aufgrund der behinderungsbedingten Einschränkung des Tätigkeitsspektrums" noch einen leidensbedingten Abzug von 25 % als gerechtfertigt erachtet (Verfügung vom 4. September 2009), was vom Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich damals zwar als wohlwollend, aber immer noch im Rahmen des Ermessens der Verwaltung liegend beurteilt worden war (Entscheid vom 31. Mai 2011).
Auch bei einer freien Prüfung (vgl. E. 6.1) sind in gesamthafter Würdigung der konkreten Umstände keine Gründe ersichtlich, der Beschwerdeführerin nicht auch bei der vorliegenden, nach der Neuanmeldung vorgenommenen, Invaliditätsbemessung einen Tabellenlohnabzug in nämlicher Höhe zu gewähren. Dies gilt umso mehr, als nach verbindlicher (vgl. E. 1) vorinstanzlicher Feststellung (in Bezug auf die Einschränkung in der Arbeitsfähigkeit) von einem weitgehend unveränderten Gesundheitszustand auszugehen ist, indessen zu den bereits bestehenden gesundheitlichen Einschränkungen neu Knie- und Lendenwirbelsäulenbeschwerden hinzugetreten sind, welche im Belastbarkeitsprofil der Versicherten (ebenfalls) zu berücksichtigen sind (vorinstanzliche Erwägung 3.2).
7.
7.1. Die Bemessung des Invaliditätsgrades anhand eines Prozentvergleichs ist unbestritten. Bei einer Arbeitsfähigkeit von 80 % und einem Tabellenlohnabzug von 25 % resultiert ein Invaliditätsgrad von 40 %, was Anspruch auf eine Viertelsrente gibt (<ref-law>). Unter Berücksichtigung der im August 2016 erfolgten Anmeldung zum Leistungsbezug hat die Versicherte ab dem 1. Februar 2017 Anspruch auf eine Viertelsrente (Art. 29 Abs. 1 und 3 IVG).
7.2. Mit Blick auf den Ausgang des Verfahrens braucht auf die weiteren Vorbringen der Beschwerdeführerin zur Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) und der daraus abgeleiteten Begründungspflicht nicht näher eingegangen zu werden.
8.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 20. August 2019 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 27. Februar 2018 werden aufgehoben. Es wird festgestellt, dass die Beschwerdeführerin ab 1. Februar 2017 Anspruch auf eine Viertelsrente der Invalidenversicherung hat.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Gerichtskosten des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. März 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Stanger