Sachverhalt:
A.
Die A._ S.A. (Klägerin, Beschwerdeführerin) ist eine Aktiengesellschaft nach dem Recht der Britischen Jungferninseln mit Sitz in U._. C._ und D._ sind die beiden "Directors" der Klägerin.
Die B._ LLC (Beklagte, Beschwerdegegnerin) ist eine Gesellschaft mit beschränkter Haftung nach dem Recht der Vereinigten Arabischen Emirate mit Sitz in V._. Gesellschafter sind Vater E.E._, der 99 der total 100 Anteile hält, und sein Sohn F.E._, der einen Anteil hält.
Die Klägerin stützt ihre Forderung gegenüber der Beklagten auf das Share Purchase Agreement vom 14. Juli 2015 ("SPA") und das Amended Share Purchase Agreement vom 1. Juli 2016 ("ASPA"), welches das SPA ersetzt habe. Beide Verträge weisen die Unterschriften von D._ für die Klägerin und diejenige von G._ für die Beklagte auf.
Gemäss SPA soll sich die Beklagte dazu verpflichtet haben, von der Klägerin 266'667 Aktien der H._ AG zum Preis von total Fr. 10'000'012.50 zu erwerben. Der Kaufpreis sollte in drei Raten bezahlt werden.
Das ASPA wiederholte diese Kaufverpflichtung. Die erste Rate von Fr. 500'000.-- sei im Zeitpunkt des Vertragsabschlusses am 1. Juli 2016 bereits bezahlt worden. Neu sollte die zweite Rate in zwei Tranchen bezahlt werden: Fr. 660'000.-- bis 1. Juli 2016 und Fr. 340'000.-- bis 30. September 2016, wobei erstere von der I._ Ltd. bezahlt werden sollte. Die dritte Rate sollte unverändert bis 30. September 2017 bezahlt werden. Bis zur vollständigen Bezahlung des Kaufpreises sollten die Aktien bei Rechtsanwalt J._ hinterlegt werden.
Die Klägerin macht geltend, nach Abschluss des ASPA habe sie nur noch Fr. 660'000.-- (erste Tranche der zweiten Rate) erhalten. Weitere Zahlungen seien nicht erfolgt.
B.
Mit Klage vom 18. Januar 2018 beim Handelsgericht des Kantons St. Gallen beantragte die Klägerin, die Beklagte sei zur Bezahlung des restlichen Kaufpreises von Fr. 8'840'012.50 zuzüglich Zins an sie zu verpflichten. Zur Begründung brachte sie im Wesentlichen vor, das SPA und das ASPA seien zwischen den Parteien gültig zustande gekommen. G._ sei befugt gewesen, die beiden Verträge im Namen der Beklagten abzuschliessen. Die Zuständigkeit des Handelsgerichts des Kantons St. Gallen stützte sie auf Ziffer 5.1 des SPA und des ASPA, die eine gültige Gerichtsstandsvereinbarung zugunsten der Gerichte der Stadt St. Gallen enthalte.
Die Beklagte beantragte Nichteintreten. Sie bestritt die Einzelzeichnungsberechtigung von G._ und damit die Gültigkeit der beiden Verträge, einschliesslich der je in Ziffer 5.1 enthaltenen Gerichtsstandsvereinbarung. Das Handelsgericht des Kantons St. Gallen sei nicht zuständig.
In der Folge beschränkte der Handelsgerichtspräsident das Verfahren auf die Prozessvoraussetzungen und die Aktiv- und Passivlegitimation.
Mit Entscheid vom 12. Juli 2021 verneinte das Handelsgericht seine internationale Zuständigkeit zur Beurteilung der Klage und trat auf die Klage nicht ein.
Zusammenfassend befand das Handelsgericht, dass G._ weder kraft seiner Stellung als Mitglied des Board of Managers der Beklagten oder Vollmacht vom 6. Dezember 2010 noch gestützt auf das Agreement of Corporation zur alleinigen Vertretung der Beklagten und Unterzeichnung einer Gerichtsstandsvereinbarung befugt gewesen sei. Ebenfalls nicht bewiesen sei eine Spezialermächtigung zum alleinigen Abschluss einer Gerichtsstandsvereinbarung via "Approval Note" vom 14. Juli 2015 des Vaters E.E._. Sodann sei eine Bindung der Beklagten an die Gerichtsstandsvereinbarung auch in Anwendung von Art. 25 CCL (Gesellschaftsrecht der Vereinigten Arabischen Emirate, Federal Law No. 2 on Commercial Companies, "CCL") abzulehnen, da die H._ AG und damit auch die Klägerin nicht gutgläubig darauf hätten vertrauen dürfen, dass die Vereinbarung für die Beklagte verbindlich unterzeichnet worden sei. Die Gerichtsstandsvereinbarung sei somit nicht gültig zustande gekommen.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, den handelsgerichtlichen Entscheid vom 12. Juli 2021 aufzuheben und das Handelsgericht anzuweisen, auf die Klage einzutreten. Eventualiter sei die Sache zur neuen Beurteilung an das Handelsgericht zurückzuweisen. Ferner beantragt sie, die Beschwerdegegnerin zur Bezahlung der handelsgerichtlichen Kosten in Höhe von Fr. 100'000.-- und einer Parteientschädigung von Fr. 150'000.-- an die Beschwerdeführerin für das handelsgerichtliche Verfahren zu verpflichten. Eventualiter sei das Handelsgericht anzuweisen, neu über die Verlegung der Gerichts- und Parteikosten für den Entscheid zu den Prozessvoraussetzungen sowie der Aktiv- und Passivlegitimation zu entscheiden.
Die Beschwerdegegnerin beantragt die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei, und den Entscheid des Handelsgerichts vollumfänglich zu bestätigen.
Die Vorinstanz reichte eine Vernehmlassung ein, ohne ausdrücklich einen Antrag zu stellen.
Die Parteien haben repliziert und dupliziert.
D.
Mit Präsidialverfügung vom 25. November 2021 wurde der Beschwerde superprovisorisch und mit Verfügung vom 2. Dezember 2021 in dem Sinn aufschiebende Wirkung gewährt, dass die Handlungen im Hinblick auf die Vollstreckung der Parteientschädigungsforderung der Beschwerdegegnerin zu ruhen haben, bis über die vorliegende Beschwerde entschieden ist.
Mit Präsidialverfügung vom 25. Oktober 2021 verpflichtete das Bundesgericht die Beschwerdeführerin - wie von der Beschwerdegegnerin beantragt - zur Sicherstellung einer allfälligen Parteientschädigung im Umfang von Fr. 37'000.--. Diese wurde fristgemäss an die Bundesgerichtskasse geleistet.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Handelsgerichts ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer einzigen kantonalen Instanz im Sinne von <ref-law>. Dagegen steht die Beschwerde in Zivilsachen nach <ref-law> unabhängig vom Streitwert offen (<ref-ruling> E. 1.2).
Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt einer hinreichenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>) - auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Mit Blick auf die Begründungspflicht der beschwerdeführenden Partei (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind; es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.4). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Macht die beschwerdeführende Partei beispielsweise eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich; sie hat vielmehr im Einzelnen zu zeigen, inwiefern der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1, 167 E. 2.1; je mit Hinweisen).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht; zudem muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1.5).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (BGE <ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (BGE <ref-ruling> E. 1.3.1).
Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
Soweit die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerdeschrift vom vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt abweicht, ohne hinlängliche Sachverhaltsrügen im oben dargelegten Sinn zu substantiieren, kann auf ihre Ausführungen nicht abgestellt werden.
3.
Vor Bundesgericht ist einzig die internationale Zuständigkeit des Handelsgerichts des Kantons St. Gallen streitig. Die Beschwerdeführerin leitet diese aus der je in Ziffer 5.1 des SPA und des ASPA enthaltenen Gerichtsstandsvereinbarung zugunsten der Gerichte der Stadt St. Gallen ab, was die Vorinstanz verwarf.
Zu prüfen ist mithin, ob die Gerichtsstandvereinbarung gültig ist.
3.1. Diese Frage entscheidet sich nicht aufgrund von <ref-law> (SR 0.275.12), weil keine der Parteien ihren Sitz in einem dem Übereinkommen angehörenden Staat hat, gehören doch weder die Britischen Jungferninseln noch die Vereinigten Arabischen Emirate dem LugÜ an.
Da auch sonst kein völkerrechtlicher Vertrag einschlägig ist (<ref-law>), gelangt <ref-law> zur Anwendung. Danach können die Parteien für einen bestehenden oder für einen künftigen Rechtsstreit über vermögensrechtliche Ansprüche aus einem bestimmten Rechtsverhältnis einen Gerichtsstand vereinbaren. Für eine wirksame Prorogation ist mithin ein Konsens der Parteien erforderlich. Weiter müssen die in <ref-law> statuierten Formvorschriften eingehalten sein.
Gleich wie eine Schiedsgerichtsklausel ist auch eine Gerichtsstandsklausel vom Hauptvertrag unabhängig, auch wenn sie im selben Dokument festgehalten ist (<ref-ruling> E. 5c S. 499). Aus dieser Autonomie der Gerichtsstandsklausel folgt, dass die Ungültigkeit des Hauptvertrages nicht notwendigerweise auch die Ungültigkeit der Vereinbarung des Gerichtsstands zur Folge hat und vice versa (Urteil 4A_368/2016 vom 5. September 2016 E. 2.2).
3.2. Vorliegend ist die Einhaltung der Formvorschriften unbestritten. Kern des Streits bildet jedoch die Einigung nach <ref-law>. Die Beschwerdegegnerin stellt deren Zustandekommen in Abrede mit dem Argument, dass ihr ehemaliger Mitarbeiter, G._, der die Verträge, einschliesslich die Gerichtsstandsvereinbarung, für die Beschwerdegegnerin unterzeichnet hat, nie einzelzeichnungsberechtigt für die Beschwerdegegnerin gewesen sei. Ihm habe die Vertretungsmacht gefehlt.
3.3. Das Handelsgericht wandte auf die Frage, wer die Beschwerdegegnerin auf welche Art rechtsgeschäftlich vertreten konnte, das Recht der Vereinigten Arabischen Emirate an. Da die Beschwerdegegnerin nach diesem Recht organisiert ist, bestimmt sich danach, ob und wie die Beschwerdegegnerin durch ihre Organe oder Geschäftsführer vertreten werden kann (Art. 154 i.V.m. <ref-law>). Betreffend die gewillkürte Stellvertretung, einschliesslich Anscheinsvollmacht, erkannte die Vorinstanz in <ref-law> die Grundlage für die Anwendbarkeit ebenfalls des Rechts der Vereinigten Arabischen Emirate. Das wird von den Parteien zu Recht nicht in Frage gestellt.
3.4. Das Handelsgericht verneinte die Vertretungsmacht von G._ unter allen Titeln: Weder sei er als Mitglied des Board of Managers der Beschwerdegegnerin einzelzeichnungsberechtigt noch gestützt auf die Vollmacht vom 6. Dezember 2010 zur alleinigen Vertretung der Beschwerdegegnerin und Unterzeichnung einer Gerichtsstandsvereinbarung befugt gewesen. Nicht bewiesen sei sodann eine Spezialermächtigung zum alleinigen Abschluss einer Gerichtsstandsvereinbarung aufgrund der "Approval Note" vom 14. Juli 2015. Sodann verwarf es auch das Vorliegen einer Anscheinsvollmacht bzw. eine Bindung der Beschwerdegegnerin an die Gerichtsstandsvereinbarung in Anwendung von Art. 25 CCL, da die H._ AG und damit auch die Beschwerdeführerin nicht gutgläubig darauf hätten vertrauen dürfen, dass die Vereinbarung für die Beschwerdegegnerin verbindlich unterzeichnet worden sei.
3.5. Die Beschwerdeführerin rügt, dass das Handelsgericht aufgrund unvollständiger Sachverhaltsfeststellung sowie willkürlicher Beweiswürdigung zum unzutreffenden Schluss gelangt sei, dass G._ nicht zum Abschluss des SPA einschliesslich der Gerichtsstandsklausel bevollmächtigt gewesen sei (dazu Erwägung 4).
Weiter beanstandet sie, dass das Handelsgericht im Zusammenhang mit der Frage des Vorliegens einer nachträglichen Genehmigung des SPA das anwendbare ausländische Recht nicht festgestellt habe (dazu Erwägung 5.1). Selbst wenn das auf diese Frage anwendbare Recht festgestellt worden wäre, würde eine Verletzung des rechtlichen Gehörs und eine willkürliche Anwendung des ausländischen Rechts vorliegen (dazu Erwägungen 5.2 und 5.3).
Nicht angefochten wird die Verneinung der Einzelzeichnungsberechtigung von G._ in seiner Stellung als Mitglied des Board of Managers der Beschwerdegegnerin und dass keine Anscheinsvollmacht zugunsten von G._ bestanden habe. Hierzu erübrigen sich demnach Ausführungen des Bundesgerichts.
4.
Die Beschwerdeführerin beharrt auf ihrem Standpunkt, in der von Vater E.E._ unterzeichneten "Approval Note" vom 14. Juli 2015 und der Zahlungsinstruktion vom 14. Juli 2015 über Fr. 500'000.-- zu ihren Gunsten sei eine Bevollmächtigung von G._ zum Abschluss des SPA samt Gerichtsstandsklausel zu sehen. Sie rügt, das Handelsgericht habe in willkürlicher Beweiswürdigung und aufgrund unvollständiger Sachverhaltsfeststellung das Vorliegen einer solchen Bevollmächtigung zu Unrecht verneint.
4.1. Das Handelsgericht hat sich eingehend mit dieser Frage befasst (Erwägung 6) und kam zum Schluss, relevant sei hauptsächlich der Umstand, dass die "Approval Note" vom 14. Juli 2015 keinerlei Hinweise auf eine Prorogation zugunsten der Gerichte der Stadt St. Gallen enthalte. Nachdem die Beschwerdeführerin nicht habe beweisen können, dass das SPA Vater E.E._ vorgelegen habe, sei nicht davon auszugehen, dass er Kenntnis von einer beabsichtigten Gerichtsstandswahl gehabt habe. Mit Blick auf die Unabhängigkeit der Gültigkeit von Gerichtsstandsvereinbarungen von Hauptverträgen lasse sich aus der Unterzeichnung der "Approval Note" durch Vater E.E._ keine (Spezial-) Ermächtigung von G._ zum alleinigen Abschluss einer Gerichtsstandsvereinbarung ableiten.
4.2. Die Beschwerdeführerin anerkennt, dass in der "Approval Note" keine Gerichtsstandsklausel erwähnt ist und nicht nachgewiesen werden konnte, dass Vater E.E._ bei Unterzeichnung der "Approval-Note" Kenntnis von der Gerichtsstandsklausel gemäss Ziffer 5.1 des SPA gehabt hat.
Vor Bundesgericht behauptet sie nun, Vater E.E._ sei ein erfahrener und vermögender Geschäftsmann. Als solcher habe ihm bekannt sein müssen, dass Aktienkaufverträge im internationalen Kontext und in Höhe von mehreren Millionen Schweizer Franken, wie das SPA, in der Regel eine Gerichtsstandsklausel enthielten. Wenn Vater E.E._ die Zahlungsinstruktion unterzeichnet habe, ohne durch die "Approval Note" über die Gerichtsstandsklausel informiert worden zu sein, sei daraus zu folgern, dass die Regelung des Gerichtsstands für Vater E.E._ eine unwichtige Nebensächlichkeit des Geschäfts dargestellt habe, mit deren Regelung er G._ beauftragt habe.
Damit ändert sie vor Bundesgericht ihre Argumentation. Diese stützt sie auf die neuen und deshalb unzulässigen (<ref-law>) Behauptungen, die Regelung des Gerichtsstandes sei für Vater E.E._ eine unwichtige Nebensächlichkeit gewesen, die er ohnehin gar nicht habe durchsehen, sondern G._ überlassen wollen. Die Beschwerdeführerin vermag die Unzulässigkeit dieser neuen Behauptungen nicht dadurch zu beheben, dass sie in der Replik vorbringt, die (unzutreffende) vorinstanzliche Beweiswürdigung habe dazu Anlass gegeben. Das ist in <ref-law> nicht gemeint, wonach Noven vorgebracht werden dürfen, wenn erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt. Ansonsten könnte das Misslingen der Beweisführung vor der Vorinstanz stets zum Anlass genommen werden, um vor Bundesgericht weitere Elemente nachzutragen, die für die eigene Version sprechen.
Kann das Bundesgericht aber diesen neuen Behauptungen nicht Rechnung tragen, vermögen die darauf gestützten Rügen der unvollständigen Sachverhaltsfeststellung und der willkürlichen Beweiswürdigung von vornherein nicht durchzudringen. Auf die diesbezüglichen Ausführungen braucht nicht weiter eingegangen zu werden.
Es bleibt somit bei der vorinstanzlichen Beurteilung, dass sich aus der Unterzeichnung der "Approval Note" durch Vater E.E._ keine (Spezial-) Ermächtigung von G._ zum alleinigen Abschluss einer Gerichtsstandsvereinbarung ableiten lässt.
5.
Für den Fall, dass eine Bevollmächtigung von G._ zum Abschluss des SPA samt Gerichtsstandsvereinbarung verneint wird, beruft sich die Beschwerdeführerin auf eine nachträgliche Genehmigung durch teilweise Erfüllung, mithin durch Bezahlung der ersten Kaufpreistranche von Fr. 500'000.--.
5.1. Die Beschwerdeführerin rügt zunächst, das Handelsgericht habe im Zusammenhang mit der Frage des Vorliegens einer nachträglichen Genehmigung das anwendbare Recht der Vereinigten Arabischen Emirate nicht festgestellt.
Die unvollständige Feststellung oder nur teilweise Anwendung des ausländischen Rechts verletzt <ref-law> und kann vor Bundesgericht nach Art. 96 lit. a (bzw. Art. 95 lit. a) BGG gerügt werden (vgl. <ref-ruling> E. 3c/bb; Markus Schott, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 9 zu <ref-law>).
Die Rüge der Beschwerdeführerin ist demnach zulässig, indessen unbegründet:
Das Handelsgericht hat das Vorbringen einer nachträglichen Genehmigung durch teilweise Erfüllung verworfen mit dem Hauptargument, die H._ AG könne nicht als gutgläubig nach Art. 25 Abs. 2 CCL gelten. Den Inhalt von Art. 25 Abs. 2 CCL, namentlich das Erfordernis des guten Glaubens, hat es in Erwägung 7, S. 19, festgestellt. Dass diese Feststellung des ausländischen Rechts als Ausgangspunkt zur Prüfung der geltend gemachten Anscheinsvollmacht erfolgte, ändert nichts daran, dass damit der Inhalt des auch auf die Frage einer nachträglichen Genehmigung zur Anwendung gebrachten Art. 25 CCL festgestellt wurde. Ob es richtig ist, dass das Handelsgericht die geltend gemachte nachträgliche Genehmigung durch teilweise Erfüllung bereits am Gutglaubenserfordernis nach Art. 25 CCL scheitern liess oder ob es die Bezahlung von Fr. 500'000.-- als Genehmigungshandlung hätte beurteilen müssen, bildet eine Frage der inhaltlichen Rechtsanwendung und liegt demnach ausserhalb der Rüge einer Verletzung von <ref-law>. Auf die diesbezüglichen Ausführungen in der Beschwerde ist nicht einzugehen. Eine Verletzung von <ref-law> ist nicht dargetan.
5.2. Für den Fall, dass auch im Zusammenhang mit einer nachträglichen Genehmigung von der Ermittlung des anwendbaren Rechts der Vereinigten Arabischen Emirate auszugehen ist, beklagt die Beschwerdeführerin eine Gehörsverletzung (<ref-law>) und eine willkürliche Anwendung des ausländischen Rechts.
5.2.1. Die Gehörsverletzung erblickt sie darin, dass das Handelsgericht ihr Vorbringen, die Zahlung der ersten Kaufpreistranche des SPA stelle die Genehmigungshandlung der Beschwerdegegnerin dar, nicht geprüft habe. Es habe nur geprüft, ob das SPA durch die Unterzeichnung der Zahlungsinstruktion durch Vater E.E._ und die Auslösung des Zahlungsauftrags durch K._ genehmigt worden sei. Auf diese internen Vorgänge bei der Beschwerdegegnerin, von denen sie bis zum Verfahren vor Handelsgericht keine Kenntnisse gehabt habe, habe sie sich aber nicht berufen, sondern auf die von aussen erkennbare Zahlung der ersten Kaufpreistranche von der Beschwerdegegnerin an die Beschwerdeführerin, die als Genehmigung des SPA (Willenserklärung) zu qualifizieren sei.
Die Rüge verfängt nicht. Das Handelsgericht hat das Vorbringen der Beschwerdeführerin einer nachträglichen Genehmigung durch teilweise Erfüllung (Bezahlung von Fr. 500'000.--) wiedergegeben (E. 3.4 S. 8), geprüft und verworfen (E. 7.5 S. 31 f.). Dabei hat sie namentlich auch den Blickwinkel der Beschwerdeführerin (durfte diese die Zahlung als Genehmigung auffassen?) angesprochen, indem sie in Erwägung 7.5 ausführte, es gebe Hinweise, die gegen die Einzelzeichnungsbefugnis von G._ sprächen, und schliesslich in der Zusammenfassung nochmals deutlich den guten Glauben im Sinne von Art. 25 CCL auch der Beschwerdeführerin verneinte und deshalb eine Bindung der Beschwerdegegnerin an die Gerichtsstandsvereinbarung ablehnte (E. 8 S. 35). Dass die handelsgerichtliche Beurteilung des Vorbringens nicht mit der Meinung der Beschwerdeführerin übereinstimmt, bedeutet keine Verletzung des rechtlichen Gehörs.
5.2.2. Zu prüfen bleibt die (eventualiter vorgetragene) Rüge der Beschwerdeführerin, das Handelsgericht habe das Recht der Vereinigten Arabischen Emirate im Zusammenhang mit der geltend gemachten Genehmigung willkürlich angewendet.
5.2.2.1. Da der angefochtene Entscheid eine vermögensrechtliche Sache betrifft, kann nach <ref-law> e contrario nicht gerügt werden, das ausländische Recht sei nicht richtig angewendet worden, sondern ausschliesslich, die Anwendung sei willkürlich und verstosse gegen <ref-law> (<ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 4.3; <ref-ruling> E. 3.1).
Nach ständiger Rechtsprechung des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 7.1 mit Hinweis).
5.2.2.2. Die Beschwerdeführerin hat diese Regeln grundsätzlich zutreffend erkannt, missachtet dann aber die eingeschränkte Überprüfungsmöglichkeit des Bundesgerichts, wenn sie ihm in weitgehend appellatorischen Ausführungen ihre eigene Sicht der Dinge vorträgt, ohne aber in einer <ref-law> genügenden Weise (vgl. E. 2.1) aufzuzeigen, inwiefern die vorinstanzliche Anwendung des Rechts der Vereinigten Arabischen Emirate geradezu unhaltbar ist.
Namentlich kann der Beschwerdeführerin nicht gefolgt werden, wenn sie aufgrund ihres eigenen Verständnisses und isolierter Betrachtung gewisser Erwägungen des Handelsgerichts diesem vorwirft, sachfremde Kriterien herangezogen zu haben. Das zentrale Argument des Handelsgerichts gegen die Annahme einer Genehmigung, nämlich das Fehlen des guten Glaubens der H._ AG und damit auch der Beschwerdeführerin, vermag sie nicht umzustossen und zeigt diesbezüglich keinen krassen Verstoss gegen das Recht der Vereinigten Arabischen Emirate auf.
Ebenso wenig ist es unhaltbar, wenn das Handelsgericht als "weitere Gründe gegen eine nachträgliche Genehmigung" berücksichtigte, dass Vater E.E._ die Zahlungsinstruktion unter dem "Eindruck" der "Approval Note" vom 14. Juli 2015 unterzeichnete, welche die Gerichtsstandsvereinbarung nicht erwähnt. Wohl mag die Beschwerdeführerin Recht haben, dass der "Eindruck", unter dem eine angebliche Genehmigungshandlung erfolgt, per se nicht ausschlaggebend ist. Die unzutreffende Wortwahl des Handelsgerichts ändert aber nichts daran, dass die beim Genehmigenden vorliegenden Umstände nicht einfach irrelevant sind. Im Zusammenspiel mit den Hinweisen auf die fehlende Einzelzeichnungsberechtigung von G._ spricht der Umstand, dass die angebliche Genehmigungshandlung just gestützt auf die von G._ verfasste "Approval Note" erfolgte, in nicht sachfremder Weise gegen eine Genehmigung, dies auch aus der Sicht der Beschwerdeführerin. Gleiches gilt für die Folgerung des Handelsgerichts, so wenig wie in der unrichtig und unvollständig dargestellten "Approval Note" eine Spezialermächtigung zu erblicken sei, so wenig könne daraus die Grundlage für eine Genehmigungshandlung betreffend die Gerichtsstandsvereinbarung abgeleitet werden.
Eine willkürliche Anwendung des ausländischen Rechts ist nicht dargetan.
5.2.2.3. Schliesslich bringt die Beschwerdeführerin vor, im Zusammenhang mit der Willkürrüge seien auch die unhaltbaren Folgen des Nichteintretensentscheids des Handelsgerichts zu beachten. Es bestehe eine erhebliche Rechtsunsicherheit über den Bestand des SPA. Es sei offen, welches Gericht diese Rechtsunsicherheit beseitigen könne. Das Prozessieren am Sitz der Beschwerdegegnerin in den Vereinigten Arabischen Emiraten stelle für die Beschwerdeführerin (mangels Unabhängigkeit der dortigen Justiz) keine zumutbare Alternative dar. Die Beschwerdeführerin postuliert, das Handelsgericht hätte sich aufgrund dieser unhaltbaren Rechtsunsicherheit auch gestützt auf <ref-law> (Notzuständigkeit) für zuständig erklären können.
Sieht das IPRG keine Zuständigkeit in der Schweiz vor und ist ein Verfahren im Ausland nicht möglich oder unzumutbar, so sind die schweizerischen Gerichte oder Behörden am Ort zuständig, mit dem der Sachverhalt einen genügenden Zusammenhang aufweist (<ref-law>). Diese Norm ist restriktiv auszulegen und stellt ein Sicherheitsventil dar, um zu vermeiden, dass ein Rechtssuchender ohne Rechtsschutz bleibt (Urteil 4C.379/2006 vom 22. Mai 2007 E. 3.4).
Eine Notzuständigkeit im Sinne von <ref-law> kann selbstredend nicht dadurch begründet werden, dass die Vertragsparteien es versäumen, eine gültige Gerichtsstandsvereinbarung abzuschliessen, wenn ihnen dies - wie in casu - an sich möglich gewesen wäre.
Ebenso wenig resultiert aus der Ungültigkeit einer Gerichtsstandsvereinbarung ohne weiteres, dass eine von <ref-law> erfasste Rechtsschutzkarenz besteht. Vielmehr muss die Partei, die sich auf die Notzuständigkeit beruft, das Vorliegen der gesetzlichen Voraussetzungen hinlänglich darlegen und nachweisen (vgl. Urteil 5A_264/2013 vom 28. November 2013 E. 3.3.4; Lorenz Droese, Basler Kommentar, 4. Aufl. 2021, N. 20 zu <ref-law>).
Demnach hätte die Beschwerdeführerin die Unmöglichkeit oder Unzumutbarkeit, im Ausland ein Verfahren zu führen, wie auch die weitere Voraussetzung, dass der Sachverhalt einen genügenden Zusammenhang mit der Schweiz aufweist, bereits vor Handelsgericht (eventualiter) dartun müssen. Dies hat sie nicht getan, sondern beruft sich erstmals vor Bundesgericht auf <ref-law>. Sie kann daher dem Handelsgericht nicht vorwerfen, sich nicht im Sinne von <ref-law> für zuständig erklärt zu haben, nachdem es die Gerichtsstandsvereinbarung für ungültig befand.
6.
Die Beschwerdeführerin verlangt eine andere Kostenverlegung des handelsgerichtlichen Verfahrens nur für den Fall der Gutheissung der Beschwerde. Nachdem eine solche nicht erfolgt, erübrigen sich diesbezügliche Ausführungen.
7.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Die Parteientschädigung, die praxisgemäss in Abstimmung auf die erhobene Gerichtsgebühr, vorliegend Fr. 32'000.--, festzusetzen ist und damit Fr. 37'000.-- beträgt, ist aus der an die Bundesgerichtskasse geleisteten Sicherheit auszurichten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 32'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 37'000.-- zu entschädigen. Diese Entschädigung wird aus der an die Bundesgerichtskasse bezahlten Sicherheitsleistung ausgerichtet.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. März 2022
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Stähle