Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 2000) ist Staatsangehöriger der Dominikanischen Republik. Er ist in der Dominikanischen Republik aufgewachsen und lebt weiterhin dort. Seine Mutter B._ - ebenfalls Staatsangehörige der Dominikanischen Republik - reiste am 22. Januar 2010 in die Schweiz ein und heiratete gleichentags ihren hier niedergelassenen Landsmann C._. Zum Verbleib bei ihrem Ehemann wurde ihr in der Folge die Aufenthaltsbewilligung erteilt.
B.
Am 21. Juni 2013 bzw. 27. März 2014 ersuchte B._ um den Nachzug ihres Sohnes A._. Weil das Migrationsamt des Kantons Zürich (nachfolgend: das Migrationsamt) ihr mit Verfügung vom 23. Januar 2015 wegen des Verdachts auf Scheinehe die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung verwehrte, wurde das Verfahren betreffend Familiennachzug bis zum rechtskräftigen Entscheid über die Aufenthaltsbewilligung von B._ sistiert. Wiederaufgenommen wurde das Verfahren erst, nachdem das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich (nachfolgend: das Verwaltungsgericht) das Migrationsamt mit Urteil vom 21. Februar 2017 angewiesen hatte, die Aufenthaltsbewilligung von B._ zu verlängern.
Mit Verfügung vom 1. September 2017 wies das Migrationsamt das Nachzugsgesuch für A._ ab. Die in der Folge von A._ ergriffenen kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg (Entscheid der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich vom 20. April 2018, Urteil des Verwaltungsgerichts vom 22. August 2018).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 22. Oktober 2018 gelangt A._ an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts vom 22. August 2018 und die Bewilligung des Familiennachzugs; eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten eingeholt, auf die Durchführung eines Schriftenwechsels aber verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der letztinstanzliche, verfahrensabschliessende Entscheid eines kantonalen Gerichts auf dem Gebiet des öffentlichen Rechts, welcher grundsätzlich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt (vgl. <ref-law>, <ref-law>, <ref-law>).
1.2. Nach <ref-law> ist die Beschwerde auf dem Gebiet des Ausländerrechts unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen. Für das Eintreten genügt, dass ein potentieller Anspruch in vertretbarer Weise dargetan wird.
1.2.1. Die Mutter des Beschwerdeführers verfügt gestützt auf ihre Ehe mit ihrem in der Schweiz niederlassungsberechtigten Ehegatten über eine Aufenthaltsbewilligung (<ref-law>). Als "lediglich" aufenthaltsberechtigte Person kann sie sich für den Nachzug ihres aus früherer Beziehung stammenden Sohns damit landesrechtlich nur auf <ref-law> abstützen. Anders als Art. 42 und 43 AIG räumt diese Bestimmung keinen Bewilligungsanspruch im Sinne von <ref-law> ein (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 287 mit Hinweisen; vgl. jüngst Urteil 2C_835/2018 vom 8. April 2019 E. 1.1).
1.2.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, ein Bewilligungsanspruch ergebe sich aus Art. 8 EMRK. Dieser Sichtweise steht jedoch der Grundsatz entgegen, dass der auf Art. 8 EMRK abgestützte Bewilligungsanspruch des Kindes entfällt, wenn es während des laufenden Verfahrens volljährig wird; dies gilt zumindest dann, wenn zwischen dem Kind und dem in der Schweiz aufenthaltsberechtigten Elternteil kein besonderes Abhängigkeitsverhältnis besteht (<ref-ruling> E. 3.2 S. 499 f. m.w.H.). Mit Blick auf das vom Beschwerdeführer zitierte Urteil des Bundesverwaltungsgerichts (F-3045/2016 vom 25. Juli 2018) hat das Bundesgericht diese Praxis jüngst ein weiteres Mal bestätigt (vgl. <ref-ruling> E. 6 S. 234 ff.). Art. 8 EMRK vermittelt dem schon im vorinstanzlichen Verfahren volljährig gewordenen Beschwerdeführer folglich dem Grundsatz nach keinen Anspruch auf Bewilligung des Familiennachzugs.
Aufgrund der Umstände des vorliegenden Falls könnte man sich allerdings fragen, ob von diesem Grundsatz eine Ausnahme zu machen ist, wenn die Behandlung des Familiennachzugsgesuchs durch die kantonalen Behörden derart viel Zeit in Anspruch genommen hat, dass eine Verletzung des Beschleunigungsverbots vorliegt (vgl. die entsprechende Feststellung in E. 6.3.3 des angefochtenen Entscheids). Das Bundesgericht hat diese Frage bis anhin offen gelassen (vgl. <ref-ruling> E. 6.8 S. 238; 2C_214/2010 vom 5. Juli 2010 E. 1.3). Auch vorliegend bedarf die Frage keiner Beantwortung; wie sich aus nachfolgenden Erwägungen ergibt, wäre die Beschwerde nämlich selbst dann abzuweisen, wenn davon auszugehen wäre, dass sich der Beschwerdeführer auf Art. 8 EMRK berufen könnte.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Völkerrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>).
2.2. Seinem Urteil legt das Bundesgericht den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zu Grunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (<ref-law>). Offensichtlich unrichtig ist die Feststellung des Sachverhalts, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62).
3.
3.1. Nach <ref-law> kann ledigen Kindern unter 18 Jahren von Personen mit Aufenthaltsbewilligung eine Aufenthaltsbewilligung erteilt werden, wenn sie mit diesen zusammen wohnen (lit. a), eine bedarfsgerechte Wohnung vorhanden ist (lit. b) und sie nicht auf Sozialhilfe angewiesen sind (lit. c). Hinsichtlich der Fristen gilt die Regelung von <ref-law>.
Die oben erwähnten Nachzugsvoraussetzungen - und namentlich die Fristenregelung von <ref-law> - kommen sinngemäss auch dann zum Tragen, wenn die Verweigerung des Familiennachzugs (vom Bundesgericht) lediglich auf seine Vereinbarkeit mit Art. 8 EMRK hin überprüft wird (<ref-ruling> E. 2.7 S. 293 f.; vgl. zu den Gründen für diese beschränkte Überprüfung E. 1.2.1 hiervor).
3.2. Unbestritten ist vorliegend, dass die einjährige Frist von <ref-law> zum Zeitpunkt des für den Beschwerdeführer gestellten Familiennachzugsgesuchs bereits abgelaufen war. Bei einem Nachzug ausserhalb der in <ref-law> angegebenen Fristen müssen wichtige familiäre Gründe vorliegen (<ref-law>).
Von wichtigen familiären Gründen im Sinne von <ref-law> ist auszugehen, wenn das Kindswohl nur durch einen Nachzug in die Schweiz sachgerecht gewahrt werden kann (Art. 75 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit [VZAE; SR 142.201]). Entgegen dem Wortlaut der Verordnungsbestimmung ist dabei nicht ausschliesslich auf das Kindswohl abzustellen; es bedarf vielmehr einer Gesamtschau unter Berücksichtigung aller relevanten Elemente im Einzelfall (Urteile 2C_323/2018 vom 21. Septemer 2018 E. 8.2.1; 2C_888/2011 vom 20. Juni 2012 E. 3.1). Die Bewilligung des Nachzugs nach Ablauf der Fristen hat nach dem Willen des Gesetzgebers die Ausnahme zu bleiben; dabei ist <ref-law> (bzw. <ref-law>) praxisgemäss jeweils aber dennoch so zu handhaben, dass der Anspruch auf Schutz des Familienlebens nach Art. 8 EMRK bzw. <ref-law> nicht verletzt wird (Urteile 2C_323/2018 vom 21. September 2018 E. 8.2.1; 2C_767/2015 vom 19. Februar 2016 E. 5.1.1; 2C_176/2015 vom 27. August 2015 E. 3.1 und 2C_97/2013 vom 26. August 2013 E. 2.3 mit Hinweisen).
3.3. Vor der Vorinstanz machte der Beschwerdeführer geltend, seine Grossmutter sei ab dem Jahr 2013 aus gesundheitlichen Gründen nicht mehr in der Lage gewesen, ihn zu betreuen; mangels Betreuungsalternativen sei ein Nachzug in die Schweiz zur Wahrung seines Kindswohls zwingend geboten gewesen. Zudem sei im Mai 2016 einer seiner Cousins erschossen und in der Folge auch seine Familie von Personen aus dem Bandenumfeld des Täters bedroht worden. Auch heute noch seien die Nachzugsvoraussetzungen erfüllt.
Dieser Argumentation folgte die Vorinstanz nicht: Der inzwischen volljährige Beschwerdeführer sei nicht mehr auf Fremdbetreuung angewiesen; damit sei sein Nachzug in die Schweiz nicht (mehr) erforderlich, und der ursprünglich vorgebrachte Nachzugszweck, die adäquate Betreuung eines auf Fremdbetreuung angewiesenen Kindes, entfallen. Aufgrund der bei jungen Erwachsenen zu erwartenden Integrationsschwierigkeiten sei ein Nachzug zum jetzigen Zeitpunkt auch nicht mehr sinnvoll. Die angebliche Bedrohungssituation für die Familie sei nicht hinreichend substanziiert.
Im Sinne einer Eventualbegründung erwog die Vorinstanz zudem, dass auch zum Gesuchszeitpunkt keine wichtigen familiären Gründe für einen nachträglichen Nachzug vorgelegen hätten: Aus den Akten gehe nicht hervor, dass die Grossmutter eine altersadäquate Betreuung bereits 2013 nicht mehr hätte sicherstellen können; schon damals sei der Beschwerdeführer nicht mehr auf eine ständige Betreuung angewiesen gewesen. Hinzu komme, dass der damals bereits volljährige und im selben Haushalt wohnhafte Bruder des Beschwerdeführers Betreuungsaufgaben habe übernehmen können, und dies offenbar auch getan habe. Schliesslich sei nicht ersichtlich, warum nicht auch der in der Dominikanischen Republik wohnhafte Vater sich um den Beschwerdeführer hätte kümmern können. Die Zuteilung des alleinigen Sorgerechts an die Kindsmutter sei mit Blick auf den beabsichtigten Familiennachzug erfolgt; daraus lasse sich nicht ableiten, dass der Vater keine Betreuungsaufgaben hätte übernehmen können.
3.4. Die Sachverhaltsrügen, die der Beschwerdeführer erhebt, verfangen nicht: Unter Willkürgesichtspunkten (vgl. oben, E. 2.2) ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz einem 2017 erstellten Arztzeugnis mit Blick auf eine 2013 bestehende Situation keinen Beweiswert zuerkannte; selbst wenn zutrifft, dass die Grossmutter bereits zum damaligen Zeitpunkt an den Krankheiten litt, deretwegen 2017 die Unfähigkeit zur Übernahme von Betreuungsaufgaben bescheinigt wurde, lässt sich einem 2017 erstellten Arztzeugnis nichts über das Voranschreiten der Krankheiten und die Betreuungskapazitäten der Grossmutter im Jahr 2013 entnehmen. Soweit der Beschwerdeführer weiter rügt, die Vorinstanz habe aktenwidrig festgestellt, dass auch sein volljähriger Bruder und sein Vater Betreuungsaufgaben hätten übernehmen können, sind seine Vorbringen als appellatorisch zu qualifizieren; warum der Bruder und der Vater nicht in der Lage gewesen sein sollen, sich um den Beschwerdeführer zu kümmern, ergibt sich aus der Beschwerde nicht. Auszugehen ist damit vom Sachverhalt, den schon die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>).
3.5. Dass die rechtliche Würdigung der Vorinstanz unzutreffend ausgefallen wäre, macht der Beschwerdeführer nicht geltend und ist auch nicht ersichtlich (vgl. für einen ähnlichen Fall Urteil 2C_515/2018 vom 23. August 2019 E. 2.4.1). Es ist nicht davon auszugehen, dass das (Kinds-) Wohl des Beschwerdeführers nur dadurch gewährleistet werden könnte, dass seinem Nachzugsgesuch entsprochen wird; dies gilt selbst dann, wenn man aufgrund der Besonderheiten dieses Falls (vgl. E. 1.2.2. hiervor) auf die Umstände abstellen wollte, die zum Gesuchszeitpunkt vorherrschten.
Die Vorinstanz hat überdies zutreffend erwogen, dass einem Nachzug ernsthafte Integrationsbedenken entgegenstehen. Der für sich genommen nachvollziehbare Wunsch des Beschwerdeführers, in die Schweiz zu ziehen und fortan in der Nähe seiner Mutter zu wohnen, stellt keinen wichtigen familiären Grund dar (vgl. Urteile 2C_259/2018 vom 9. November 2018 E. 4.1; 2C_153/2018 vom 25. Juni 2018 E. 5.2; 2C_285/2015 vom 23. Juli 2015 E. 3.1).
3.6. Der angefochtene Entscheid wäre damit selbst dann völkerrechtlich nicht zu beanstanden, wenn davon auszugehen wäre, dass der Beschwerdeführer sich im Verhältnis zu seiner Mutter auch als Volljähriger ausnahmsweise noch auf Art. 8 EMRK berufen könnte.
4.
Damit erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf überhaupt einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Januar 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner