Sachverhalt:
A.
Am 29. Juli 2018 erhob A._ gegen eine Nichtanhandnahme- und Einstellungsverfügung der Staatsanwaltschaft des Kantons Bern Beschwerde. Gleichzeitig machte er geltend, er lehne die Besetzung der Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Bern wegen einer Verletzung von Art. 6 Abs. 1 EMRK ab.
Das Obergericht führte in der Folge ein Ausstandsverfahren im Sinne von <ref-law> durch. Über das Gesuch entschieden die Strafkammern des Obergerichts unter Mitwirkung der Oberrichter Niklaus, Geiser und Kiener. Mit Beschluss vom 21. September 2018 wies das Obergericht das Gesuch vom 29. Juli 2018 ab, soweit es darauf eintrat. Die Verfahrenskosten auferlegte es dem Gesuchsteller. Zur Begründung führte es aus, im Beschwerdeverfahren sei erst die Verfahrensleiterin bekannt, im Übrigen sei die Kammerzusammensetzung aber noch nicht erfolgt. Soweit der Gesuchsteller geltend mache, die Art und Weise der Spruchkörperbesetzung in der Beschwerdekammer in Strafsachen verletze Art. 6 EMRK, könne auf <ref-ruling> verwiesen werden. Das Bundesgericht habe in diesem Urteil ausführlich dargelegt, dass die kritisierte Spruchkörperbildung mit den verfassungs- und konventionsrechtlichen Vorgaben vereinbar sei. Gegenteiliges gehe auch nicht aus den Urteilen 6B_63/2018 und 6B_1458/2017 vom 21. Juni 2018 hervor, auch wenn das Bundesgericht den Mangel abstrakter, im Voraus definierter Kriterien kritisiert habe. Die Fallzuteilung und Spruchkörperbesetzung am Obergericht des Kantons Bern sei zudem neu in Art. 27a des Organisationsreglements des Obergerichts vom 23. Dezember 2010 (OrR OG; BSG 162.11) geregelt. Die Bestimmung sei seit dem 1. September 2018 in Kraft und sehe in Anlehnung an Art. 40 des Reglements vom 20. November 2006 für das Bundesgericht (BGerR; SR 173.110.131) sachliche Kriterien vor, die bei der Besetzung des Spruchkörpers zu berücksichtigen seien.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht vom 25. Oktober 2018 beantragt A._, der Beschluss des Obergerichts sei teilweise aufzuheben. Ziff. 2 des Dispositivs sei dahingehend abzuändern, dass die Kosten dem Kanton Bern auferlegt würden. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Obergericht hat sich vernehmen lassen, ohne einen förmlichen Antrag zu stellen. Der Beschwerdeführer hat eine weitere Eingabe eingereicht.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde enthält zwei Vorbringen, die sich auf das bundesgerichtliche Verfahren beziehen. Darauf ist vorab einzugehen (E. 2 und 3 hiernach).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer verlangt, es sei ihm vor Urteilsfällung bekannt zu geben, welche Bundesrichter am Entscheid mitwirken. Der EGMR habe einen Verstoss gegen Art. 6 EMRK festgestellt, weil die Namen der am Entscheid beteiligten Personen nicht bekannt gegeben worden seien (Urteil des EGMR Vernes gegen Frankreich vom 20. Januar 2011, Nr. 30183/06, Ziff. 38-44). Die Namen der für den Entscheid zuständigen Bundesrichter müssten ihm somit mitgeteilt werden.
2.2. Das verfassungsmässige Recht auf einen unabhängigen und unparteiischen Richter umfasst auch den Anspruch auf Bekanntgabe, welche Richter am Entscheid mitwirken. Das bedeutet indessen nicht, dass dem Rechtsuchenden die Namen der entscheidenden Richter ausdrücklich mitgeteilt werden müssen. Es genügt vielmehr, dass er die Namen aus einer allgemein zugänglichen Quelle (Staatskalender oder Internet) entnehmen kann. Nach der Rechtsprechung haben die Parteien damit zu rechnen, dass das Gericht in seiner ordentlichen Besetzung tagen wird. Dies gilt nicht nur für anwaltlich vertretene Parteien, sondern auch für juristische Laien (Urteil 1B_348/2011 vom 24. Februar 2012 E. 2.2 mit Hinweisen). Die Zusammensetzung der ersten öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts ist unter anderem aus dem Internet ohne Weiteres ersichtlich (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 2.3.3 S. 43 mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer übersieht zudem, dass sich die Erwägungen des EGMR im Urteil Vernes gegen Frankreich nicht auf die vorliegende Problemstellung übertragen lassen. Die Konventionsverletzung war in jenem Verfahren darauf zurückzuführen, dass dem Betroffenen die Namen sämtlicher am Entscheid mitwirkenden Personen nicht, das heisst auch nicht nachträglich, mitgeteilt worden waren (a.a.O., Ziff. 38 ff.).
Der Antrag ist somit abzuweisen.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Besetzung der strafrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts sei mangels gesetzlicher Grundlage nicht der "gesetzliche Richter" im Sinne von Art. 6 EMRK. Aus der Begründung dieses Verfahrensantrags geht hervor, dass er das ganze Bundesgericht und nicht lediglich die strafrechtliche Abteilung meint. Auf die Kritik ist deshalb einzugehen, auch wenn im vorliegenden Fall nicht die strafrechtliche, sondern die erste öffentlich-rechtliche Abteilung zuständig ist (Art. 29 Abs. 3 des Reglements vom 20. November 2006 für das Bundesgericht [BGerR; SR 173.110.131]).
3.2. Der Beschwerdeführer macht nicht die Befangenheit einzelner Richter oder einen sonstigen Ausstandsgrund im Sinn von <ref-law> geltend, sondern kritisiert das Verfahren der Spruchkörperbesetzung. Konkret bringt er vor, das Bundesgericht verfüge über keinen Geschäftsverteilungsplan für die Besetzung des Spruchkörpers im Einzelfall. Anders als am Bundesverwaltungsgericht erfolge diese nicht ausschliesslich nach dem Zufallsprinzip. Die in <ref-law> vorgesehenen Kriterien würden keine Gewähr dafür bieten, dass der Spruchkörper gegen Einflussnahme von aussen hinreichend geschützt sei. Der Abteilungspräsident habe weitgehend freie Hand, was konventionswidrig sei. Es sei auch zu berücksichtigen, dass die Bundesrichter nur für eine relativ kurze Amtszeit von sechs Jahren gewählt würden und damit verstärkt politischem Druck ausgesetzt seien. Dass die Gefahr einer Beeinflussung tatsächlich bestehe, zeige sich auch an einem Zeitungsartikel aus dem Jahr 2003 betreffend eine "Spuck-Affäre" von alt Bundesrichter Schubarth. Gemäss der Aussage jenes Bundesrichters solle es Versuche der politischen Einflussnahme auf die Rechtsprechung gegeben haben. Ungeachtet des Wahrheitsgehalts dieser Behauptung werde im Zeitungsartikel weiter erwähnt, dass das Bundesgericht sich damals dazu entschieden habe, den Bundesrichter wegen der Affäre nicht mehr in der Rechtsprechung einzusetzen, weil er sich geweigert habe, zurückzutreten. Beeinflussungsversuche habe es auch von aussen, insbesondere von Seiten politischer Parteien gegeben. Diese seien bis hin zur Drohung mit der Nichtwiederwahl als Folge gesellschaftlich umstrittener Urteile gegangen. Zudem gebe es die Praxis, wonach die Richter Geld an ihre Partei zahlten.
3.3. Das Bundesgericht hat in <ref-ruling> E. 2 ausführlich dargelegt, dass die Besetzung des Spruchkörpers am Bundesgericht verfassungs- und konventionskonform geregelt ist. Es bestätigte damit seine Ausführungen im Urteil 1B_491/2016 vom 24. März 2017 E. 1.4. Insbesondere legte es dar, dass in <ref-law> sachliche Kriterien vorgesehen sind, welche der Abteilungspräsident bei der Besetzung des Spruchkörpers berücksichtigen muss, und dass eine weitere Objektivierung der Besetzung aufgrund der EDV-Applikation "CompCour" erfolgt, welche die weiteren mitwirkenden Richter automatisch bestimmt. Das Bundesgericht hat weiter aufgezeigt, dass weder die Bundesverfassung noch die EMRK verlangen, bei der Spruchkörperbesetzung jegliches Ermessen auszuschliessen. Die Kritik des Beschwerdeführers weckt keine Zweifel an der Richtigkeit dieser Darlegungen und bietet deshalb auch keinen Anlass, darauf zurückzukommen.
3.4. Die weiteren Hinweise des Beschwerdeführers sind nicht geeignet, objektive Zweifel an der Unabhängigkeit der Bundesrichter zu wecken. Soweit er sich auf einen Zeitungsbericht aus dem Jahr 2003 beruft, übersieht er, dass die rechtliche Ausgangslage heute anders ist (vgl. E. 3.3 hiervor), weshalb es sich erübrigt, auf seine diesbezüglichen Vorbringen im Einzelnen einzugehen. Die Amtsdauer der Bundesrichter von sechs Jahren (<ref-law>, <ref-law>) mit Wiederwahlmöglichkeit verletzt die richterliche Unabhängigkeit gemäss <ref-law> und Art. 6 Abs. 1 EMRK nicht (<ref-ruling> E. 4 S. 85; vgl. auch <ref-ruling> E. 3 S. 212 ff. mit Hinweisen). Auch Zuwendungen von Richtern an politische Parteien vermögen für sich allein genommen die richterliche Unabhängigkeit nicht in Frage zu stellen. Inwieweit zutrifft, dass es in der Vergangenheit zu (politischen) Beeinflussungsversuchen gegenüber Bundesrichtern gekommen ist, braucht nicht im Einzelnen erörtert zu werden. Beeinflussungsversuche allein sind kein Beweis für mangelnde richterliche Unabhängigkeit. Dass das bestehende gesetzliche Rahmenwerk keinen hinreichenden Schutz dagegen gewährt, vermag der Beschwerdeführer nicht darzutun und ist auch nicht ersichtlich. Er behauptet im Übrigen auch nicht, dass im vorliegenden Fall von aussen versucht worden sei, auf das Verfahren Einfluss zu nehmen.
3.5. Die Rüge der Verletzung von Art. 6 EMRK ist somit unbegründet, und der Spruchkörper ist in der dargestellten üblichen Weise zu besetzen.
4.
Beim angefochtenen Beschluss handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren im Sinne von <ref-law>. Mit Bezug auf die Frage der Zuständigkeit hat der Beschwerdeführer den Beschluss aber gerade nicht angefochten. Seine Beschwerde richtet sich einzig gegen die Auferlegung der Gerichtskosten. Die Gründe, die rechtfertigen, dass Zwischenentscheide über die Zuständigkeit nach <ref-law> ausnahmsweise sofort anzufechten sind, entfallen deshalb. Die blosse Anfechtung der Nebenfolgen der Abweisung eines Ausstandsgesuchs richtet sich nicht nach <ref-law>, sondern wie bei jedem anderen Zwischenentscheid im Sinne des Bundesgerichtsgesetzes nach <ref-law>. Die Voraussetzungen dieser Bestimmung sind indessen vorliegend nicht erfüllt. Weder würde die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen noch ist ersichtlich, dass dem Beschwerdeführer aufgrund der festgesetzten Höhe der Kosten ein nicht wieder gutzumachender Nachteil entstehen könnte (Art. 93 Abs. 1 lit. a und b BGG). Etwas anderes legt er auch nicht dar. Auf seine Beschwerde ist somit nicht einzutreten (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 1.3 S. 419; <ref-ruling> E. 2 S. 94 ff.; je mit Hinweisen).
5.
Auf einen grossen Teil der Vorbringen wäre zudem auch aus folgenden Gründen nicht einzutreten.
5.1. Erstmals in der Replik werden Rügen der Verletzung von Art. 10, 14, 17 und 18 EMRK erhoben. Diese hätte der Beschwerdeführer bereits vor Ablauf der Beschwerdefrist vorbringen können (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.3 S. 286 mit Hinweis). Zum Teil betreffen sie zudem auch nicht die Streitsache (<ref-law>).
5.2. In der Beschwerde wird weiter geltend gemacht, es bestünden Anzeichen der Befangenheit der am angefochtenen Entscheid beteiligten Richter. Dazu liegt kein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz vor (<ref-law>), da der Beschwerdeführer offenbar kein Ausstandsgesuch gestellt hat (<ref-law>). Die dafür angeführten tatsächlichen Behauptungen betreffend E-Mails, die dem Beschwerdeführer unter falschem Namen geschickt worden sein sollen und die er zur Begründung einer Verletzung von Art. 3 und 14 EMRK heranzieht, sind neu und deshalb unzulässig (<ref-law>). Im Übrigen ist nicht nachvollziehbar, inwiefern sich daraus Anzeichen für die Befangenheit der Richter des vorinstanzlichen Verfahrens ergeben sollten (<ref-law>).
6.
Selbst wenn auf die Beschwerde hätte eingetreten werden können, wäre sie aus den folgenden Gründen offensichtlich unbegründet gewesen.
6.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von Art. 6 EMRK, weil ihm die Vorinstanz die Verfahrenskosten von Fr. 1'500.-- auferlegte und dies damit begründete, er habe mit seinen zahlreichen Gesuchen einen beträchtlichen Aufwand verursacht.
6.2. Art. 6 EMRK lässt zu, die Gerichtskosten der unterliegenden Partei aufzuerlegen. Nach <ref-law> spielt es zudem keine Rolle, ob die Vorinstanz ihren Kostenentscheid mit mutwilliger Prozessführung oder mit blossem Unterliegen begründete. Der Hinweis auf die zahlreichen Gesuche des Beschwerdeführers und den dadurch verursachten beträchtlichen Aufwand ist deshalb nicht weiter von Bedeutung. Entscheidend ist, dass die Höhe der Gerichtskosten nicht als unverhältnismässige Beschränkung des Rechts auf Zugang zu einem Gericht gemäss Art. 6 Abs. 1 EMRK erscheint, was im vorliegenden Fall jedoch verneint werden kann. Nur der Vollständigkeit halber sei darauf hingewiesen, dass das Bundesgericht in <ref-ruling> die Spruchkörperbesetzung am Obergericht des Kantons Bern als verfassungs- und konventionskonform beurteilte und diese Rechtsprechung in der Folge mehrfach bestätigte (vgl. u.a. Urteil 1B_275/2018 vom 28. Juni 2018 E. 4). Gegenteiliges geht auch nicht aus den vom Beschwerdeführer erwähnten Urteilen 6B_63/2018 und 6B_1458/2017 vom 21. Juni 2018 hervor, auch wenn das Bundesgericht darin Kritik am Fehlen abstrakter, im Voraus definierter Kriterien äusserte. Im Ergebnis wurde auch in diesen Fällen die Beschwerde abgewiesen. Dass am 1. September 2018 ein revidiertes Organisationsreglement des Obergerichts in Kraft trat, das eine Bestimmung zur Spruchkörperbesetzung enthält, spielt vor diesem Hintergrund keine Rolle.
6.3. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass das vorinstanzliche Verfahren Art. 6 EMRK nicht verletzte.
7.
Auf die Beschwerde ist aus den genannten Erwägungen nicht einzutreten.
Der Beschwerdeführer ersucht um unentgeltliche Rechtspflege. Das Gesuch ist wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 2. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Januar 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Dold