Erwägungen:
1.
Gegen eine Kostenvorschussverfügung des Richteramts Solothurn-Lebern vom 13. November 2020 in einer Rechtsöffnungssache erhob der Beschwerdeführer am 26. November 2020 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Solothurn. Nebst der Aufhebung der angefochtenen Verfügung verlangte er eine Umtriebs- und Parteientschädigung. Mit Urteil vom 1. Dezember 2020 hiess das Obergericht die Beschwerde gut, hob die angefochtene Verfügung auf und wies die Sache zum Entscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zurück an das Richteramt. Es verpflichtete den Beschwerdegegner zur Bezahlung einer Umtriebsentschädigung von Fr. 30.-- an den Beschwerdeführer.
In Bezug auf die Höhe der Umtriebsentschädigung hat der Beschwerdeführer am 4. Januar 2021 (Postaufgabe) Beschwerde an das Bundesgericht erhoben.
2.
Das angefochtene Urteil ist ein Rückweisungsentscheid und damit ein Zwischenentscheid (<ref-ruling> E. 1.3 und 1.4 S. 253 ff.). Dies gilt auch für die darin enthaltene Entschädigungsregelung für das obergerichtliche Verfahren (<ref-ruling> E. 1.2 S. 331). Da kein Anwendungsfall von Art. 92 BGG vorliegt, ist die Beschwerde an das Bundesgericht nur unter den restriktiven Voraussetzungen von Art. 93 BGG zulässig. Vorliegend fällt einzig die Variante von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG in Betracht, d.h. die Beschwerde ist nur zulässig, wenn der angefochtene Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könnte. Nach der Rechtsprechung bewirkt jedoch die Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen in einem Zwischenentscheid für sich allein keinen solchen Nachteil (<ref-ruling> E. 1.2 S. 331 ff.; <ref-ruling> E. 2.3 S. 95 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 419). Die Partei, die sich durch die Kosten- und Entschädigungsregelung im Zwischenentscheid verletzt fühlt, kann diesen Punkt zusammen mit dem Endentscheid gemäss Art. 93 Abs. 3 BGG anfechten oder, wenn der Endentscheid in der Sache nicht in Frage gestellt wird, sobald dieser ergangen ist (<ref-ruling> E. 1.3 S. 294; <ref-ruling> E. 1.3 S. 419).
Die Beschwerde ist damit offensichtlich unzulässig. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG).
3.
Es rechtfertigt sich ausnahmsweise, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Partei- bzw. Umtriebsentschädigung für das bundesgerichtliche Verfahren fällt angesichts des Ausgangs des Verfahrens ausser Betracht (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Der Beschwerdeführer ersucht für den Fall, dass die Beschwerde formale Fehler oder Begründungslücken aufweist, um unentgeltliche Rechtshilfe. Ob ein derlei bedingtes Gesuch überhaupt zulässig ist, kann dahingestellt bleiben. Im Hinblick auf die Gerichtskosten ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos. Der Beschwerdeführer hat sich sodann vor Bundesgericht nicht vertreten lassen. Am 5. Januar 2021 hat das Bundesgericht ihn darauf aufmerksam gemacht, dass es keine Rechtsanwälte vermittelt und es am Beschwerdeführer liegt, einen Rechtsanwalt oder eine Rechtsanwältin mit der Interessenwahrung zu betrauen. Dass ihm von Amtes wegen ein (unentgeltlicher) Rechtsvertreter zu bestellen wäre (Art. 41 Abs. 1 BGG), ist nicht ersichtlich. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung ist insoweit abzuweisen.

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen, soweit es nicht als gegenstandslos abzuschreiben ist.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Februar 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg