Faits :
A.
A.A._ est née en Suisse en 1956. Elle a obtenu la nationalité suisse à sa naissance, avant de la perdre au profit de la nationalité belge, ensuite de son mariage avec un ressortissant de ce pays. En 1998, A.A._ a donné naissance à une fille, B.A._, également de nationalité belge. A.A._ et sa fille sont venues s'installer en Suisse en 2005. Elles ont été mises au bénéfice d'autorisations de séjour UE/AELE. Ces autorisations ont été régulièrement prolongées jusqu'au 12 novembre 2015.
B.
Le 20 novembre 2015, les intéressées ont demandé la prolongation de leurs autorisations de séjour UE/AELE au Service de la population du canton du Vaud (ci-après: le Service de la population) qui, par décision du 10 novembre 2017, a refusé de prolonger ces autorisations, faute pour la mère de pouvoir se prévaloir du statut de travailleur. Le Service de la population s'est en revanche déclaré favorable à l'octroi d'autorisations de séjour UE/AELE délivrées pour des motifs importants, sous réserve de l'approbation du Secrétariat d'Etat aux migrations (ci-après: le Secrétariat d'Etat).
Par décision du 21 juin 2018, le Secrétariat d'Etat a refusé de donner son approbation à l'octroi d'autorisations de séjour en faveur de A.A._ et de B.A._, considérant en substance que la mère ne remplissait pas le statut de travailleur et ne disposait pas de moyens suffisants pour prétendre à rester en Suisse en tant que personne n'exerçant pas une activité économique. En outre, le Secrétariat d'Etat a également exclu l'existence d'un cas de motifs importants justifiant l'octroi d'autorisations de séjour UE/AELE. A.A._ et B.A._ ont contesté cette décision le 25 juillet 2018 auprès du Tribunal administratif fédéral qui, par arrêt du 20 août 2019, a rejeté le recours, dans la mesure de sa recevabilité.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A.A._ et B.A._ demandent au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, outre l'effet suspensif et l'assistance judiciaire, d'annuler l'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 20 août 2019 et de leur octroyer des autorisations de séjour UE/AELE; subsidiairement de renvoyer la cause à l'autorité précédente pour instruction complémentaire.
Le Tribunal administratif fédéral renonce à se déterminer. Le Secrétariat d'Etat conclut au rejet du recours.
Par ordonnance du 19 décembre 2019, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a admis la requête d'effet suspensif.

Considérant en droit :
1.
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et, partant, que la voie du recours en matière de droit public soit ouverte. La question de savoir si les conditions d'un tel droit sont effectivement réunies relève du fond (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 332 et les références). En l'occurrence, en leur qualité de ressortissantes belges, les recourantes peuvent en principe prétendre à un titre de séjour en Suisse, en vertu de l'ALCP (RS 0.142.112.681; cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 179 s.). En outre, du moment que les recourantes vivent depuis quatorze ans en Suisse, l'art. 8 CEDH est potentiellement de nature à leur conférer un droit à une autorisation de séjour (cf. <ref-ruling> consid. 3.9 p. 278 s.). Le recours en matière de droit public et ainsi ouvert.
1.2. Au surplus, le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue dans une cause de droit public (<ref-law>) par le Tribunal administratif fédéral (<ref-law>). Déposé par les destinataires de l'arrêt attaqué qui ont qualité pour recourir (<ref-law>), dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi, le recours est recevable.
2.
Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.4.3 p. 156). Le recourant ne peut critiquer les constatations de fait ressortant de la décision attaquée que si celles-ci ont été effectuées en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 6 p. 358). Conformément à l'<ref-law>, le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 6.3 p. 375). Par ailleurs, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut en principe être présenté devant le Tribunal fédéral (<ref-law>).
3.
3.1. A teneur de l'<ref-law> (RS 0.142.112.681), le travailleur salarié ressortissant d'une partie contractante qui occupe un emploi d'une durée égale ou supérieure à un an au service d'un employeur de l'Etat d'accueil reçoit un titre de séjour d'une durée de cinq ans au moins à dater de sa délivrance. Celui-ci est automatiquement prolongé pour une durée de cinq ans au moins. Lors du premier renouvellement, sa durée de validité peut être limitée, sans pouvoir être inférieure à un an, lorsque son détenteur se trouve dans une situation de chômage involontaire depuis plus de douze mois consécutifs. Selon l'<ref-law>, une personne ressortissant d'une partie contractante n'exerçant pas d'activité économique dans le pays de résidence reçoit un titre de séjour d'une durée de cinq ans au moins, à condition qu'elle prouve aux autorités nationales compétentes qu'elle dispose pour elle-même et les membres de sa famille de moyens financiers suffisants pour ne pas devoir faire appel à l'aide sociale pendant son séjour (let. a) et d'une assurance-maladie couvrant l'ensemble des risques (let. b). En outre, conformément à l'art. 20 de l'ordonnance du 22 mai 2002 sur l'introduction de la libre circulation des personnes (OLCP; RS 142.203), si les conditions d'admission sans activité lucrative ne sont pas remplies au sens de l'ALCP, une autorisation de séjour UE/AELE peut être délivrée lorsque des motifs importants l'exigent.
L'art. 99 LEI (RS 142.20; respectivement dans sa version en vigueur avant le 1 er janvier 2019 [RO 2007 5437; ci-après LEtr]; cf. art. 126 LEI) dispose pour sa part que le Conseil fédéral détermine les cas dans lesquels les autorisations de courte durée, de séjour ou d'établissement, ainsi que les décisions préalables des autorités cantonales du marché du travail sont soumises à l'approbation du Secrétariat d'Etat. Celui-ci peut refuser son approbation ou limiter la portée de la décision cantonale. La Conseil fédéral a ainsi arrêté les art. 85 et 86 de l'ordonnance du 24 octobre 2007 relative à l'admission, au séjour et à l'exercice d'une activité lucrative (OASA; RS 142.201; dans sa version en vigueur avant le 1 er janvier 2019). Selon l'art. 85 al. 1 OASA, le Secrétariat d'Etat a notamment la compétence d'approuver l'octroi et le renouvellement des autorisations de courte durée et de séjour, ainsi que l'octroi de l'établissement. L'art. 85 al. 2 OASA dispose que c'est le Département fédéral de justice et police (ci-après: DFJP) qui détermine dans une ordonnance les cas dans lesquels les autorisations de courte durée, de séjour ou d'établissement, ainsi que les décisions préalables des autorités du marché du travail doivent être soumises à la procédure d'approbation. Ainsi, selon l'art. 4 let. e de l'ordonnance du DFJP du 13 août 2015 relative aux autorisations soumises à la procédure d'approbation et aux décisions préalables dans le domaine du droit des étrangers (RS 142.201.1; ci-après; ordonnance DFJP), la prolongation de l'autorisation de séjour d'un ressortissant d'un Etat membre de l'UE et des membres de sa famille qui ont le droit de demeurer en Suisse (<ref-law>) est soumise au Secrétariat d'Etat pour approbation. Par ailleurs, l'art. 4 let. f de l'ordonnance DFJP dispose que la prolongation de l'autorisation de séjour de l'enfant d'un ressortissant d'un Etat membre de l'UE qui a exercé une activité économique en Suisse ou de son conjoint, afin d'y terminer sa formation (<ref-law>), de même que la prolongation de l'autorisation de séjour du parent qui en a effectivement la garde sont également soumises à l'approbation du Secrétariat d'Etat. En outre, l'art. 3 let. f de l'ordonnance DFJP prévoit également l'approbation du Secrétariat d'Etat pour l'octroi d'une autorisation de séjour en vertu de l'art. 8 CEDH. Finalement, à teneur de l'<ref-law>, le Secrétariat d'Etat est compétent pour approuver les autorisations de séjour initiales accordées aux ressortissants de l'UE qui n'exercent pas d'activité lucrative au sens de l'<ref-law>, ainsi que leur prolongation.
3.2. En l'occurrence, dans sa décision du 10 novembre 2017, le Service de la population a refusé le renouvellement des autorisations de séjour UE/AELE des recourantes en constatant que la recourante 1 ne remplissait ni les conditions posées par l'art. 6 annexe I ACLP, ni celles de l'<ref-law> et que, de ce fait, la recourante 2 ne pouvait pas prétendre à une autorisation de séjour au titre du regroupement familial. Il s'est en revanche déclaré favorable à octroyer des autorisations de séjour UE/AELE en application de l'<ref-law>.
Dans sa décision subséquente du 21 juin 2018, le Secrétariat d'Etat a refusé de donner son approbation à l'octroi d'autorisations de séjour en faveur des recourantes, respectivement à la prolongation de leurs précédentes autorisations. Il a considéré que la recourante 1 n'avait pas le statut de travailleur et ne pouvait de ce fait pas se prévaloir de l'<ref-law>. N'ayant pas les moyens de vivre en Suisse, elle ne pouvait pas non plus prétendre à l'application de l'<ref-law>. Le Secrétariat d'Etat a par ailleurs jugé que la recourante 1 ne remplissait pas les conditions de l'<ref-law>.
Devant le Tribunal administratif fédéral, les recourantes ont expliqué que la recourante 1 s'était vu octroyer une rente-pont avec effet rétroactif au 1 er janvier 2017. Elles ont en outre affirmé que la recourante 1 travaillait dorénavant à 50% et que la recourante 2 était en formation. Dans l'arrêt contesté, l'autorité précédente a jugé que c'était à tort que le Secrétariat d'Etat avait examiné l'application de l'ALCP, dans la mesure où seule l'approbation à des autorisations de séjour fondées sur l'<ref-law> faisait l'objet de la procédure. Pour cette raison, elle a déclaré le recours irrecevable en tant qu'il concernait l'application de l'ALCP, le rejetant pour le surplus, c'est-à-dire en tant qu'il concernait l'application de l'<ref-law> et de l'art. 8 CEDH.
Les recourantes sont pour leur part d'avis que le Tribunal administratif fédéral ne devait pas limiter sa cognition et renoncer à examiner le statut de travailleur de la recourante 1, respectivement l'application de l'<ref-law>. Elles rappellent que le Tribunal administratif fédéral a un plein pouvoir d'examen en fait et en droit et qu'il n'est pas lié par les motifs invoqués à l'appui d'un recours. De plus, citant l'<ref-ruling> et l'arrêt 2C_296/2015 du 28 janvier 2016 consid. 4.2, elles ajoutent que la nature de l'autorisation de séjour UE/AELE est simplement déclarative, ce qui signifie que, dès que les conditions pour son octroi sont réunies, l'autorisation doit être accordée. Elles sont ainsi d'avis que le statut de travailleur doit être reconnu à la recourante 1 et que la recourante 2 doit être autorisée à rester en Suisse jusqu'au terme de sa formation. Pour le surplus, elles invoquent une violation de l'art. 8 CEDH.
3.3. Tout d'abord, il convient de relever que c'est à juste titre que les recourantes n'ont pas invoqué de violation de l'<ref-law>. Conformément à l'art. 83 let. c ch. 5 LTF, et à l'instar de l'art. 30 al. 1 let. b LEtr, le recours en matière de droit public n'est en effet pas ouvert pour se plaindre de décisions relatives à des dérogations aux conditions d'admission. En outre, le recours constitutionnel subsidiaire est pour sa part exclu contre un arrêt du Tribunal administratif fédéral (<ref-law> a contrario).
3.4. Les recourantes font en revanche valoir que c'est à tort que le Tribunal administratif fédéral n'a pas examiné la question de l'application de l'ALCP, en particulier en prenant en compte la nouvelle situation professionnelle et financière de la recourante 1.
3.4.1. En premier lieu, on doit reconnaître avec les recourantes que le Tribunal administratif fédéral applique le droit d'office (cf. <ref-law>, par renvoi de l'<ref-law>). Il a en outre un plein pouvoir d'examen, également en fait (cf. <ref-law>, par renvoi de l'<ref-law>).
3.4.2. Dans sa jurisprudence (cf. arrêt 2C_1140/2015 du 7 juin 2016 consid. 2.2.1 et les références), le Tribunal fédéral a déjà jugé que l'objet de la procédure devant la dernière instance cantonale était en principe l'autorisation de séjour de l'étranger en tant que telle. Il en a déduit que les dispositions légales applicables, ainsi que les faits pertinents de la cause, n'étaient que des éléments de la motivation et ne constituaient pas l'objet du litige. Il a ensuite rappelé la teneur de l'<ref-law>, qui oblige les cantons à instituer au moins une instance judiciaire devant examiner librement les faits et appliquer le droit d'office. Dans l'arrêt 2C_1140/2015 du 7 juin 2016, le Tribunal fédéral a ainsi considéré que, lorsqu'un étranger bénéficie d'un droit de séjourner en Suisse sur la base de l'art. 8 CEDH en raison de la naissance d'un enfant issu d'une nouvelle relation que l'union qui avait fait l'objet du premier examen par l'autorité administrative cantonale, l'autorité judiciaire de dernière instance cantonale ne pouvait pas se passer d'examiner cette nouvelle situation, au motif que l'objet de la procédure initiale était différent.
3.4.3. En l'espèce, les recourantes désirent rester en Suisse et bénéficier d'une autorisation pour ce faire. En application de la jurisprudence présentée ci-avant, l'objet du litige est ainsi uniquement le droit de séjourner en Suisse. Cela signifie que, comme l'a fait l'autorité administrative cantonale, il faut prendre en considération l'ensemble des faits pertinents, notamment la qualité de ressortissantes de l'Union européenne des recourantes, puis y appliquer toutes les dispositions légales topiques pouvant permettre à celles-ci d'obtenir une autorisation. En l'occurrence, il était donc correct d'examiner la cause sous l'angle de l'ALCP, puis, dans la mesure où les recourantes ne pouvaient pas obtenir une autorisation en application de cet accord, sous l'angle des dispositions du droit national, c'est-à-dire de l'<ref-law>.
3.4.4. La question se pose ensuite de savoir ce qu'il advient de la procédure d'approbation, qui fait suite à la proposition de l'autorité administrative cantonale de délivrer une autorisation de séjour pour motifs importants au sens de l'<ref-law>.
Cette approbation constitue une condition de validité de l'autorisation octroyée par l'autorité cantonale. Sans approbation, l'autorisation cantonale est sans effet (cf. art. 86 al. 5 OASA). Pour cette raison, l'étranger peut contester le refus d'approbation (ou l'éventuelle fixation de conditions; cf. art. 86 al. 1 OASA) dans une procédure de recours idoine auprès du Tribunal administratif fédéral puis, éventuellement, auprès du Tribunal fédéral. Dans le cas contraire, c'est-à-dire lorsque le Secrétariat d'Etat approuve l'octroi, respectivement la prolongation de l'autorisation, sans condition, cette décision perd son autonomie et "s'intègre" dans la décision cantonale qui déploie pleinement ses effets. L'approbation par le Secrétariat d'Etat ne présente ainsi nullement un caractère de décision assortie d'effets durables, au contraire de la décision cantonale (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 6 et les références).
Certes, la procédure d'approbation ne peut intervenir que lorsque l'autorité de police des étrangers cantonale propose l'octroi d'une autorisation soumise à approbation, selon les dispositions légales présentées ci-dessus (cf. consid. 3.1). Il ne faut néanmoins pas perdre de vue que la volonté de l'étranger (respectivement l'objet du litige) reste l'octroi d'une autorisation permettant de séjourner en Suisse. On constate au demeurant que si l'OASA, respectivement l'ordonnance du DFJP et l'OLCP listent les cas qui doivent obligatoirement être soumis au Secrétariat d'Etat pour approbation, aucune disposition ne limite la cognition de cette autorité et lui interdirait d'entrer en matière sur d'autres cas qui lui seraient soumis. Au contraire, selon l'art. 85 al. 3 OASA, l'autorité cantonale compétente en matière d'étranger peut soumettre pour approbation une décision au Secrétariat d'Etat, afin que celui-ci vérifie si les conditions prévues par le droit fédéral sont remplies. Cela conduit donc à reconnaître au Secrétariat d'Etat l'obligation d'examiner les conditions permettant à l'étranger de demeurer en Suisse, quelle que soit la base légale, et d'élucider l'ensemble des faits pertinents qui n'auraient pas encore été retenus par l'autorité cantonale ou qui seraient nouvellement avancés par l'administré. Puisque le Tribunal administratif fédéral bénéficie d'une pleine cognition dans cette matière, il ne peut pas non plus, comme en l'espèce, limiter son examen. Cette solution est en outre justifiée en vue d'éviter des situations contradictoires entre la procédure cantonale de décision et la procédure fédérale d'approbation.
3.4.5. En l'espèce, c'est ainsi à juste titre que le Secrétariat d'Etat a examiné la cause qui lui a été soumise pour approbation par le Service de la population aussi bien sous l'angle de l'ALCP, que des <ref-law> et 8 CEDH. Le litige soumis à son approbation était en effet le droit de séjourner en Suisse pour les deux recourantes, que ce soit grâce à la prolongation de leur autorisation de séjour UE/AELE, ou à l'octroi d'une autorisation de séjour fondée sur l'art. 8 CEDH, ou même d'une autorisation de séjour délivrée pour des motifs importants (<ref-law>). Par conséquent, c'est à tort que le Tribunal administratif fédéral qui, faut-il le rappeler, bénéficie d'un plein pouvoir d'examen (cf. consid. 3.4.1 ci-dessus) lorsqu'il statue sur un recours interjeté contre une décision d'approbation du Secrétariat d'Etat, a limité sa cognition dans l'arrêt entrepris en refusant d'examiner un éventuel droit à des autorisations de séjour fondé sur l'ALCP. Dans ces conditions, il se justifie d'admettre le recours et de renvoyer la cause à l'autorité précédente, afin qu'elle rende un arrêt complet qui appliquera le droit d'office aux faits de la cause. A cette occasion, elle déterminera notamment si les recourantes peuvent prétendre à une autorisation de séjour en application de l'ALCP, en prenant en compte tous les faits nouveaux pertinents avancés par celles-ci. Partant, il n'est pas nécessaire d'examiner les autres griefs invoqués par les recourantes.
4.
Sur le vu de ce qui précède, il n'est pas perçu de frais judiciaires (art. 66 al. 1 et 4 LTF). La demande d'assistance judiciaire est sans objet. Les recourantes ont en outre droit à une indemnité de partie, à charge du Secrétariat d'Etat (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis et l'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 20 août 2019 est annulé. La cause est renvoyée à celui-ci pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le Secrétariat d'Etat versera au représentant des recourantes la somme de 2'000 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué au représentant des recourantes, au Secrétariat d'Etat aux migrations, à la Cour VI du Tribunal administratif fédéral et au Service de la population du canton de Vaud.
Lausanne, le 7 février 2020
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Tissot-Daguette