Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 4. Dezember 2019 sprach die Gemeinde Jenaz dem 1961 geborenen A._ ab 1. November 2019 bis 31. März 2020 monatlich Fr. 693.60 und ab 1. April 2020 monatlich Fr. 493.60 öffentliche Unterstützung zu. Mit Verfügung vom 19. Juni 2020 stellte sie in den hier interessierenden Dispositiv-Ziffern Folgendes fest: 1.: A._ habe vom 1. März 2020 bis 30. Juni 2020 keinen Anspruch auf Ausrichtung von Sozialhilfeleistungen. 2.: Ab 1. Juli 2020 bis 31. Dezember 2020 erhalte er pro erfüllten ganzen Arbeitstag im B._ nachschüssig einen Taglohn im Umfang der Nothilfe von Fr. 15.- pro Tag. Pro unentschuldigten Abwesenheitstag werde nichts ausbezahlt. Da A._ bei gutem Willen seine Grundbedürfnisse sichern könne, sei er nicht bedürftig und habe somit im Umfang des erzielbaren Entgelts auch keinen Anspruch mehr auf Sozialhilfe. 3.: Die Ausrichtung von Nothilfe werde von der Bedingung abhängig gemacht, dass er ab 1. Juli 2020 das Arbeits- und Integrationsprogramm B._ zu 50 % lückenlos und nach den Vorgaben der Vorgesetzten besuche. Jede Abwesenheit sei ab 1. Juli 2020 mit einem detaillierten und begründeten Arbeitsunfähigkeitszeugnis gegenüber dem Sozialamt Jenaz zu belegen. A._ sagte das auf den 17. Juli 2020 anberaumte Vorstellungsgespräch beim B._ mit der Begründung ab, dass ihm eine Operation bzw. ein Untersuch bevorstünden. Er nahm am entsprechenden Arbeits- und Integrationsprogramm auch nicht teil. In der Folge sah die Gemeinde Jenaz von der Ausrichtung der Nothilfe ab 1. Juli 2020 ab.
B.
In teilweiser Gutheissung der von A._ gegen die Verfügung vom 19. Juni 2020 geführten Beschwerde hob das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden die Dispositiv-Ziffern 2 und 3 auf. Es verpflichtete die Gemeinde Jenaz, ihm rückwirkend vom 1. Juli 2020 bis 31. Dezember 2020 Nothilfe von Fr. 15.- pro Tag zu bezahlen (Urteil vom 21. September 2021).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die Gemeinde Jenaz, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei ihre Verfügung vom 19. Juni 2020 vollumfänglich zu bestätigen. Es sei festzustellen, dass sie keine Verpflichtung zur Bezahlung vom Nothilfe von Fr. 15.- pro Tag an A._ für den Zeittraum vom 1. Juli 2020 bis 31. Dezember 2020 treffe.
A._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Soweit sich der angefochtene Entscheid auf Quellen des kantonalen Rechts stützt, welche nicht in Art. 95 lit. c-e BGG genannt werden, beschränkt sich die Überprüfung durch das Bundesgericht demgegenüber thematisch auf die erhobenen und begründeten Rügen (<ref-law>) und inhaltlich auf die Frage, ob die Anwendung des kantonalen Rechts zu einer Bundesrechtswidrigkeit führt. Im Vordergrund steht dabei eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte, insbesondere des Willkürverbots nach <ref-law>. Was die Feststellung des Sachverhalts anbelangt, kann gemäss <ref-law> nur gerügt werden, diese sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 1 mit Hinweis; Urteil 8C_603/2018 vom 15. März 2019 E. 1.1).
1.2. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten - einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung - gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht. Insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4, 136 I 65 E. 1.3.1, 133 II 249 E. 1.4.2). Die Beschwerde führende Person muss klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darlegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den kantonalen Entscheid verletzt worden sind. Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid geht das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.3, 139 II 404 E. 10.1, je mit Hinweisen). Die Begründung muss in der Beschwerde selber enthalten sein; der blosse Verweis auf andere Rechtsschriften oder Akten genügt nicht (<ref-ruling> E. 3.2 mit Hinweisen; Urteil 8C_603/2018 vom 15. März 2019 E. 1.2).
2.
2.1. Streitig ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie den Anspruch des Beschwerdegegners auf Nothilfe von Fr. 15.- pro Tag vom 1. Juli 2020 bis 31. Dezember 2020 bejahte.
2.2.
2.2.1. Die Vorinstanz hat die für die Beurteilung des Leistungsanspruchs massgebenden rechtlichen Grundlagen richtig dargelegt. Dies betrifft insbesondere <ref-law> und die dazu ergangene Rechtsprechung betreffend den Anspruch auf Nothilfe (<ref-ruling> E. 7.2.1, 139 I 218 E. 5.3, 138 V 310 E. 2.1, 134 I 65 E. 3.3, 131 I 166 E. 3.1 und E. 5.2 f., 130 I 71 E. 4.1, 129 I 12 E. 6-9). Darauf wird verwiesen.
2.2.2. Zu ergänzen ist Folgendes: Wird die Nothilfe (im Sinne des absolut Notwendigen) wegen Nichtbefolgung der Weisung, an einem Beschäftigungsprogramm teilzunehmen, verweigert, verstösst dies, wenn die Teilnahme am Programm nicht entlöhnt wäre und das Subsidiaritätsprinzip daher nicht zur Anwendung gelangt, gegen <ref-law> (<ref-ruling> E. 7.1-7.2.6). Immerhin steht es einer Gemeinde offen, ihr Beschäftigungsprogramm im Umfang der Sozialhilfe oder zumindest der Nothilfe zu entgelten. Diesfalls kann sie bei ungenügender Mitwirkung der die Nothilfe beanspruchenden Person am Programm die Sozialhilfe streichen (<ref-ruling> E. 7.2.6).
3.
Die Vorinstanz erwog im Wesentlichen, in der strittigen Verfügung sei dem Beschwerdegegner für den Zeitraum vom 1. Juli 2020 bis 31. Dezember 2020 Nothilfe von Fr. 15.- pro Tag zwecks Finanzierung seiner Grundbedürfnisse gewährt worden. Dies sei davon abhängig gemacht worden, dass er am Arbeits- und Integrationsprogramm B._ teilnehme. Zu dieser Teilnahme sei es indes nie gekommen, weil der Beschwerdegegner das auf den 17. Juli 2017 anberaumte Vorstellungsgespräch kurzfristig mit der Begründung abgesagt habe, dass ihm eine Operation bzw. ein Untersuch bevorstünden. In der Folge habe die Beschwerdeführerin gestützt auf den Subsidiaritätsgrundsatz auf die Ausrichtung der Nothilfe verzichtet. Den Akten könne entnommen werden, dass für den Beschwerdegegner beim Arbeits- und Integrationsprogramm B._ das Eigenleistungsmodell (ohne Lohn) vorgesehen gewesen sei. Somit wäre es nicht entlöhnt gewesen. Aus diesem Grund könne das Subsidiaritätsprinzip der Nothilfe gegenüber selbst erzielbaren Einkünften nicht zum Tragen kommen. Für den Zeitraum vom 1. Juli 2020 bis 31. Dezember 2020 habe beim Beschwerdegegner unbestrittenermassen eine wirtschaftliche Notlage im Sinne von <ref-law> bestanden. Nach dem Gesagten verstosse die verfügte Anordnung, die Ausrichtung der Nothilfe von Fr. 15.- pro Tag von der Teilnahme am (unentgeltlichen) Arbeits- und Integrationsprogramm B._ abhängig zu machen - also ohne dass das Subsidiaritätsprinzip zum Tagen käme -, gegen <ref-law>.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin beruft sich auf <ref-ruling> E. 7.2.6, wonach es einer Gemeinde immerhin offen stehe, ihr Beschäftigungsprogramm im Umfang der Sozialhilfe oder zumindest der Nothilfe zu entgelten. Diesfalls könne sie bei ungenügender Mitwirkung am Programm die Sozialhilfe streichen (vgl. E. 2.2.2 hiervor).
4.2. Das Arbeits- und Integrationsprogramm B._ sieht folgende vier Einsatzmodelle vor: a: Anmeldung Lohnmodell (Stundenlohn), b: Anmeldung Lohn- und Eigenleistungsmodell (Monatslohn), c: Anmeldung Eigenleistungsmodell (ohne Lohn), f: Anmeldung Arbeitstraining für Flüchtlinge (ohne Lohn, Pensum 100 %).
Gemäss der Feststellung der Vorinstanz erfolgte die Anmeldung des Beschwerdeführers vom 2. Juli 2020 zu diesem Arbeits- und Integrationsprogramm für das Modell c: Eigenleistungsmodell (ohne Lohn). Seine Teilnahme daran wäre somit unentgeltlich gewesen, wie die Vorinstanz richtig festgestellt hat. Unter diesen Umständen ist es weder willkürlich noch anderweitig bundesrechtswidrig, wenn sie es als einen Verstoss gegen <ref-law> qualifizierte, dass die Beschwerdeführerin die Ausrichtung der Nothilfe von Fr. 15.- pro Tag an den Beschwerdegegner von seiner Teilnahme am Arbeits- und Integrationsprogramm B._ abhängig machte.
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin macht erstmals vor Bundesgericht geltend, sie habe dem Beschwerdegegner am 1. Oktober 2020 Nothilfe von Fr. 240.- für die Zeit vom 15. bis 30. September 2020 und von Fr. 405.- für die Zeit vom 1. bis 27. Oktober 2020 ausgerichtet. Am 27. November 2020 habe sie ihm für November 2020 Nothilfe von Fr. 60.- bezahlt. Der Nothilfeanspruch für November 2020 (ab Austritt aus der Rehaklinik) vom 13. bis 30. November 2020 von Fr. 270.- sei mit der bereits geleisteten Nothilfe für die Zeit vom 14. bis 27. Oktober 2020 (Klinikaufenthalt und Reha) verrechnet worden. Weiter habe die Beschwerdeführerin von der Bank C._ Kontoauszüge betreffend den Beschwerdegegner vom 13. Januar 2021 und 22. Februar 2021 eingeholt. Sie habe diverse Gutschriften und Einzahlungen verschiedener Personen von total Fr. 3799.50 festgestellt. Da der Beschwerdegegner in der Folge bei der Abklärung seiner finanziellen Verhältnisse nur beschränkt oder gar nicht mitgewirkt habe, habe sie sein Sozialhilfedossier mit Verfügung vom 8. September 2021 rückwirkend per 30. November 2020 eingestellt.
5.2. Da diese Tatsachen vor dem angefochtenen Gerichtsurteil vom 21. September 2021 datieren, handelt es sich um unechte Noven, deren Einbringung vor Bundesgericht nur im Rahmen von <ref-law> zulässig ist. Der vorinstanzliche Verfahrensausgang allein bildet noch keinen hinreichenden Anlass für die Zulässigkeit unechter Noven, die bereits im kantonalen Verfahren ohne Weiteres hätten vorgebracht werden können (<ref-ruling> E. 1.2). Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, dass ihr die Einreichung dieser Akten bei der Vorinstanz vor dem 21. September 2021 trotz hinreichender Sorgfalt prozessual unmöglich und objektiv unzumutbar war. Sie und die darauf basierenden Ausführungen in der Beschwerde sind somit unbeachtlich (Urteil 8C_582/2021 vom 11. Januar 2022 E. 7.1).
6.
Nach dem Gesagten durfte die Vorinstanz entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin offen lassen, ob der Beschwerdegegner in der Lage gewesen wäre, das Arbeits- und Integrationsprogramm B._ aufgrund seines Gesundheitszustandes zu absolvieren.
7.
Die offensichtlich unbegründete Beschwerde wird im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> - mit summarischer Begründung unter Verweis auf den vorinstanzlichen Entscheid (Art. 102 Abs. 1 und Art. 109 Abs. 3 BGG) - erledigt.
8.
Die unterliegende Beschwerdeführerin trägt die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Rechtsvertreter des Beschwerdegegners für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. März 2022
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Wirthlin
Der Gerichtsschreiber: Jancar