Faits :
A.
A._ (ci-après: l'employée ou la travailleuse) a été engagée par B._ (ci-après: l'employeuse) dès le 1er juin 2015 pour une durée indéterminée en qualité d'aide-soignante.
Le 1er février 2017, l'employée a envoyé une vidéo à caractère pédopornographique, accompagnée du commentaire " faites attention à vos maris ", aux membres d'un groupe Whatsapp comprenant plusieurs de ses collègues de travail. Dans cette vidéo, un homme adulte commet une série d'actes sexuels sur une fillette allongée sur un lit. L'employeuse et neuf de ses collaborateurs ont déposé plainte pénale à l'encontre de l'employée à raison de ces faits.
Le 14 mars 2017, le directeur de l'employeuse a indiqué à l'employée que la vidéo incriminée avait suscité beaucoup d'émotions au sein de l'équipe soignante. Afin d'assurer un bon climat de travail et d'éviter des conflits entre les collaboratrices, il priait l'employée de ne plus venir travailler le temps qu'une solution au problème soit trouvée, en précisant que les heures de travail planifiées seraient rétribuées selon le plan établi.
Par courrier électronique du 5 avril 2017, l'employeuse a demandé au Ministère public de la tenir informée de l'avancement de la procédure ouverte à l'encontre de la travailleuse, dès lors qu'elle attendait de connaître le sort de la procédure pénale pour décider de la poursuite des rapports de travail avec l'employée.
Par courrier du 27 avril 2017, le directeur de l'employeuse a répondu au conseil mandaté par l'employée que celle-ci avait été libérée de son obligation de travailler afin d'éviter tous conflits sur le lieu de travail et qu'il attendait de connaître le résultat de l'instruction pénale pour décider de la suite. Le 22 mai 2017, il s'est enquis une nouvelle fois, auprès du Ministère public, de l'évolution de la procédure pénale.
En date du 29 mai 2017, le Ministère public a rendu une ordonnance pénale condamnant l'employée à une peine pécuniaire de 15 jours-amende, à 30 fr. le jour, avec sursis pendant deux ans.
A la suite de l'opposition à l'ordonnance pénale formée par la travailleuse, le Tribunal de police du Littoral et du Val-de-Travers l'a, par jugement du 9 novembre 2017, reconnue coupable de pornographie au sens de l'<ref-law> et l'a condamnée à une peine de 15 jours-amende, à 20 fr. le jour, avec sursis pendant deux ans. L'appel interjeté par l'employée a été rejeté. Le recours en matière pénale formé auprès du Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal a été rejeté dans la mesure de sa recevabilité (arrêt 6B_926/2018 du 23 novembre 2018).
Le 2 juin 2017, l'employeuse a résilié le contrat de travail de l'employée avec effet immédiat, vu la teneur de l'ordonnance pénale dont elle avait reçu la copie la veille.
B.
Après une tentative de conciliation infructueuse, l'employée a saisi, en date du 4 décembre 2017, le Tribunal régional du Littoral et du Val-de-Travers d'une demande dirigée contre l'employeuse. Dans leur dernier état, ses conclusions tendaient notamment à ce que la défenderesse soit condamnée à lui payer divers montants au total d'environ 88'000 fr., intérêts en sus.
C._ a aussi réclamé le paiement d'un montant correspondant à l'avance sur les indemnités de chômage versées à l'employée.
La défenderesse a conclu au rejet des prétentions élevées à son encontre.
Statuant le 13 décembre 2019, le tribunal a rejeté intégralement les conclusions des demanderesses. En bref, il a jugé que la résiliation immédiate des rapports de travail était justifiée.
Saisie d'un appel formé par l'employée, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal neuchâtelois l'a rejeté par arrêt du 12 mai 2020.
C.
Le 17 juin 2020, l'employée (ci-après: la recourante) a formé un recours en matière civile, assorti d'une demande d'assistance judiciaire, en tête duquel elle conclut à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens que l'employeuse est condamnée au paiement des montants réclamés devant l'instance précédente.
Le Tribunal fédéral n'a pas requis le dépôt d'une réponse au recours. Il a, en revanche, sollicité la production du dossier de la cause par l'autorité précédente.

Considérant en droit :
1.
Les conditions de recevabilité du recours en matière civile sont satisfaites, notamment à raison de la valeur litigieuse.
2.
2.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Relèvent de ces faits tant les constatations relatives aux circonstances touchant l'objet du litige que celles concernant le déroulement de la procédure conduite devant l'instance précédente et en première instance, c'est-à-dire les constatations ayant trait aux faits procéduraux (<ref-ruling> consid. 1.3.1 et les références). Le Tribunal fédéral ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes ou découlent d'une violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). "Manifestement inexactes" signifie ici "arbitraires" (<ref-ruling> consid. 2 p. 117; <ref-ruling> consid. 1.5). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'invocation énoncé par l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266 et les références). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18 et les références). Si elle souhaite obtenir un complètement de l'état de fait, elle doit aussi démontrer, par des renvois précis aux pièces du dossier, qu'elle a présenté aux autorités précédentes, en conformité avec les règles de la procédure, les faits juridiquement pertinents à cet égard et les moyens de preuve adéquats (<ref-ruling> consid. 2 p. 90). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 261 s.).
Concernant l'appréciation des preuves, le Tribunal fédéral n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans raisons objectives de tenir compte des preuves pertinentes ou a effectué, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 234; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62; <ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9). Il ne suffit pas qu'une appréciation différente puisse être tenue pour également concevable, ou apparaisse même préférable (<ref-ruling> consid. 7.3; <ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 2.1).
2.2. Dans son mémoire, la recourante présente un exposé des faits qui ne contient aucune critique satisfaisant aux exigences de l'<ref-law>. Il n'en sera dès lors pas tenu compte.
3.
L'<ref-law> consacre le droit de résilier sans délai pour de justes motifs. D'après l'<ref-law>, on considère notamment comme de justes motifs toutes les circonstances qui, selon les règles de la bonne foi, ne permettent pas d'exiger de celui qui a donné le congé la continuation des rapports de travail. Mesure exceptionnelle, la résiliation immédiate pour justes motifs doit être admise de manière restrictive. D'après la jurisprudence, les faits invoqués par la partie qui résilie doivent avoir entraîné la perte du rapport de confiance qui constitue le fondement du contrat de travail. Seul un manquement particulièrement grave peut justifier le licenciement immédiat du travailleur. En cas de manquement moins grave, celui-ci ne peut entraîner une résiliation immédiate que s'il a été répété malgré un avertissement. Par manquement de l'une des parties, on entend en règle générale la violation d'une obligation imposée par le contrat mais d'autres faits peuvent aussi justifier une résiliation immédiae (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 31; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 382).
Le juge apprécie librement, au regard des principes du droit et de l'équité déterminants selon l'<ref-law>, si le congé abrupt répond à de justes motifs (<ref-law>). A cette fin, il prend en considération tous les éléments du cas particulier, notamment la position du travailleur, la nature et la durée des rapports contractuels, et la nature et l'importance des manquements (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 32; <ref-ruling> consid. 4a p. 354). Le Tribunal fédéral ne contrôle qu'avec réserve une décision d'équité prise en dernière instance cantonale. Il intervient lorsque la décision s'écarte sans raison des règles établies par la doctrine et la jurisprudence en matière de libre appréciation, ou lorsqu'elle s'appuie sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle, ou encore lorsqu'elle ignore des éléments qui auraient absolument dû être pris en considération; en outre, le Tribunal fédéral redresse les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 254; <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 279; <ref-ruling> consid. 2 p. 123).
4.
Dans l'arrêt attaqué, la cour cantonale relève que l'envoi de la vidéo incriminée a provoqué des réactions très fortes chez diverses collègues de la recourante. Ainsi, neuf personnes ont déposé plainte contre celle-ci. Plusieurs employées ont manifesté leur intention de ne plus travailler avec la recourante. L'affaire de la vidéo ayant provoqué d'importantes tensions au sein de l'établissement, l'employeuse a tenté de préserver au mieux les intérêts de ses diverses employées et d'apaiser la situation en suspendant la recourante tout en continuant à lui verser son salaire, étant précisé que le point de savoir si celle-ci avait ou non envoyé intentionnellement cette vidéo à ses collègues n'était à ce stade pas résolue. Dans la mesure où la recourante contestait avoir commis la moindre infraction, on ne pouvait pas, selon la cour cantonale, reprocher à l'employeuse d'avoir respecté la présomption d'innocence de la recourante en maintenant son contrat jusqu'au prononcé de l'ordonnance pénale. Aussi l'employeuse n'a-t-elle pas agi tardivement en résiliant le contrat de travail avec effet immédiat en date du 2 juin 2017. Vu les faits retenus par l'autorité pénale, la poursuite des relations de travail avec la recourante n'était plus concevable, car sa réintégration aurait provoqué un tollé auprès des autres employées, susceptible de mettre en péril les activités de l'institution. A cela s'ajoutait le fait que la recourante travaillait en présence de personnes vulnérables, ce qui permettait de redouter aussi des comportements gravement inappropriés de sa part à l'égard des résidents, lesquels étaient incapables de se défendre. Le licenciement avec effet immédiat était dès lors parfaitement justifié.
5.
5.1. Dénonçant pêle-mêle une appréciation arbitraire des preuves, un formalisme excessif et une violation du droit à un procès équitable, la recourante reproche à l'autorité précédente d'avoir choisi d'ignorer les déclarations faites par certaines parties plaignantes dans le cadre de la procédure pénale. A l'en croire, ces éléments seraient décisifs pour l'issue de la présente cause puisqu'ils étaieraient la thèse selon laquelle la recourante n'a pas transmis consciemment et volontairement une vidéo à caractère pédopornographique à ses collègues. D'après la recourante, la transmission de ladite vidéo s'est faite en trois temps: premièrement, un écran noir était visible avant l'ouverture de la vidéo, comme l'avaient confirmé trois parties plaignantes lors de leur audition par la police; deuxièmement, une image pédopornographique apparaissait, ce qui avait poussé la recourante à ajouter la mention " faites attention à vos maris " lors de l'envoi de la vidéo; ce n'est qu'après coup que la recourante avait visionné l'intégralité de la vidéo qui l'avait profondément choquée et l'avait amenée à s'excuser auprès de ses collègues.
5.2. Sur ce dernier point, la cour cantonale relève que la recourante n'a jamais fourni le moindre élément, dans ses diverses écritures, concernant une éventuelle transmission de la vidéo en trois temps. L'intéressée a certes allégué avoir reçu une vidéo dont elle ignorait le caractère pédopornographique, qu'elle a ensuite diffusée sur le groupe Whatsapp sans l'avoir visionnée. Ces allégués ont toutefois été contestés par l'employeuse et n'ont jamais été prouvés. Indépendamment de cela, les juges cantonaux considèrent que la thèse de la recourante n'est pas crédible. Premièrement, partager sur un réseau social une vidéo dont on ne connaît pas le contenu n'a aucun sens et la recourante n'a jamais prétendu avoir envoyé ce fichier en raison d'une fausse manipulation. Deuxièmement, la recourante a notamment exposé, dans son opposition à l'ordonnance pénale, qu'il n'est pas interdit de " parler de pédophilie entre adultes ". Elle a en outre ponctué son opposition de la phrase suivante, écrite en caractère gras et en majuscules: " il ne s'agit pas d'une simple publication mais d'une question d'un débat, certes à caractère sexuel et pédophile que j'ai posé à des personnes majeures non pas des spectateurs moyens ". La cour cantonale estime que ces éléments sont incompatibles avec la thèse d'un envoi par mégarde d'une vidéo à caractère pédopornographique. Troisièmement, si tel avait été réellement le cas, la recourante n'aurait pas manqué de l'indiquer lors de sa première audition. Or, l'intéressée n'a mentionné cet élément qu'au stade de l'appel pénal, de sorte que cette manoeuvre apparaît comme une tentative de se disculper en présentant, a posteriori, une explication invraisemblable. Quatrièmement, la recourante n'aurait certainement pas ajouté un commentaire lors de l'envoi de la vidéo si elle n'avait pas eu connaissance de son contenu. Enfin, la Cour de droit pénal du Tribunal fédéral a exclu l'hypothèse selon laquelle la recourante ignorait ce que contenait la vidéo lorsqu'elle l'a envoyée.
5.3. Dans une argumentation confuse et de type appellatoire, la recourante soutient tout d'abord qu'elle n'avait pas à alléguer, de façon plus détaillée, les circonstances exactes entourant la transmission de la vidéo incriminée. En particulier, elle n'avait pas à alléguer que d'autres personnes, tout comme elle, avaient vu un écran noir avant d'ouvrir la vidéo. L'intéressée fait encore valoir qu'il lui suffit " d'apporter la preuve de l'existence d'un doute sur les circonstances dans lesquelles elle a envoyé cette vidéo pour que le congé donné le 2 juin 2017 soit annulé ". Ce faisant, la recourante méconnaît les dispositions régissant la procédure civile, et notamment la maxime des débats (<ref-law>) ainsi que le principe de la libre appréciation des preuves (<ref-law>).
La recourante se contente ensuite d'opposer simplement sa propre appréciation des preuves à celles des juges cantonaux. Sa critique est irrecevable en tant qu'elle repose sur des faits qui n'ont pas été constatés dans la décision attaquée. En tout état de cause, l'intéressée ne démontre pas, par une argumentation circonstanciée, en quoi l'appréciation des preuves portée par l'autorité précédente serait entachée d'arbitraire. A cet égard, force est de souligner que le raisonnement tenu par les juges précédents est non seulement exempt d'arbitraire mais apparaît aussi convaincant.
Pour le surplus, la recourante ne dénonce pas une violation de l'<ref-law> ni ne prétend que l'intimée lui aurait signifié tardivement son licenciement avec effet immédiat, si bien qu'il n'y a pas lieu de s'y attarder.
6.
Il résulte de ce qui précède que le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
7.
Selon l'<ref-law>, le Tribunal fédéral peut accorder l'assistance judiciaire à une partie à condition que celle-ci ne dispose pas de ressources suffisantes et que ses conclusions ne paraissent pas d'emblée vouées à l'échec. En l'occurrence, la procédure entreprise devant la Cour de céans était dépourvue de chances de succès, ce qui entraîne le rejet de la demande d'assistance judiciaire de la recourante.
La recourante, qui succombe, prendra dès lors à sa charge les frais judiciaires (<ref-law>). Le dépôt d'une réponse n'ayant pas été requis, il n'y a pas lieu d'allouer de dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
2.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 5 août 2020
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
Le Greffier : O. Carruzzo