Faits :
A.
Une instruction pénale est ouverte contre A._, lequel se trouve en détention provisoire à la prison de Bois-Mermet depuis le 21 juillet 2020.
Le 22 octobre 2020, A._, par l'intermédiaire de son mandataire d'office, a saisi le Tribunal des mesures de contrainte (Tmc) d'une requête tendant à la constatation du caractère illicite de ses conditions de détention à la prison de Bois-Mermet depuis le 21 juillet 2020, au paiement d'une indemnité pour tort moral de 18'800 fr. pour la période du 21 juillet au 22 octobre 2020 - intérêts à 5 % l'an en sus -, ainsi qu'à l'octroi d'une indemnité pour tort moral de 200 fr. par jour de détention subie dans des conditions illicites dès le 23 octobre 2020. Subsidiairement, il a requis, à titre de mesures d'instruction, une inspection locale des cellules occupées et la production de divers documents en mains de la direction de la prison. Cette dernière a produit, le 29 octobre 2020, un rapport, ainsi que des plans des cellules occupées par le détenu (cellules double n° 324 du 21 au 24 juillet 2020, n° 331 du 24 au 28 juillet 2020 et cellule quadruple n° 336 dès le 28 juillet 2020). A._ s'est déterminé les 26 novembre et 1er décembre 2020, contestant notamment les surfaces telles que calculées par la direction de la prison.
Par courrier du 19 janvier 2021, A._ a requis l'extension de la procédure à ses conditions de détention actuelles. La direction de l'établissement pénitentiaire a déposé, le 22 suivant, un rapport complémentaire (cellule double n° 333 depuis le 9 janvier 2021). Par courrier du 22 février 2021, le détenu a en particulier à nouveau contesté la surface établie par la direction de la prison.
Par ordonnance du 23 février 2021, le Tmc a rejeté la demande du 22 octobre 2020 et son complément du 19 janvier 2021. Il a constaté que les conditions de la détention de A._ du 21 juillet 2020 au jour de sa décision étaient conformes aux dispositions légales; il a également refusé de donner suite aux réquisitions de preuve sollicitées. Le Tmc a considéré que le détenu avait bénéficié d'une surface individuelle - après une déduction forfaitaire de 1,5 m2 pour les sanitaires - de 7,97 m2 dans la cellule n° 324 (occupée en outre seul), de 3,925 m2 dans celle n° 331, de 4,03 m2 dans celle n° 333 et de 5,825 m2 dans celle n° 336; A._ n'avait ainsi été détenu dans un espace individuel inférieur à 4 m2 que durant 5 jours, durée largement inférieure à trois mois. Selon le Tmc, une telle durée permettait aussi de retenir que les autres circonstances invoquées (confinement, rideau ignifuge en lieu et place d'une cloison entre la cellule et les sanitaires, isolation thermique et aération) n'aggravaient pas les conditions de détention malgré la surface en cause.
B.
Le 11 mars 2021, la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal vaudois (ci-après : la Chambre des recours pénale) a rejeté le recours, dans la mesure où il était recevable, formé par A._ contre cette décision.
Cette autorité a en particulier déclaré irrecevables les conclusions relatives à l'obtention d'une indemnité, faute de compétence (cf. consid. 1.2 p. 6). Elle a ensuite confirmé la déduction forfaitaire de 1,5 m2 pour les sanitaires effectuée par le Tmc et a estimé que les mesures fournies par la direction de la prison n'étaient pas sujettes à caution, faute en particulier de motivation; il en résultait que A._ n'avait séjourné que 5 jours dans une cellule offrant une surface individuelle de moins de 4 m2 (cf. consid. 2.2 p. 12 s.). La cour cantonale a examiné si d'autres circonstances aggravaient la détention, notamment lors des séjours dans des cellules permettant une surface individuelle supérieure à 4 m2, ce qu'elle a exclu (cf. consid. 2.3 p. 13 ss). Elle a dès lors confirmé que la détention du prévenu depuis le 21 juillet 2020 au jour de son arrêt s'était déroulée dans des conditions licites (cf. consid. 2.3 p. 16).
C.
Le 21 mai 2021, A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre cet arrêt, concluant à la constatation que les conditions de sa détention provisoire depuis le 21 juillet 2020 au sein de la prison de Bois-Mermet ne sont pas conformes aux dispositions légales et sont dès lors illicites. A titre subsidiaire, il demande le renvoi de la cause à l'autorité précédente. Le recourant sollicite également l'octroi de l'assistance judiciaire.
La cour cantonale et le Ministère public du canton de Vaud ont renoncé à déposer des déterminations, écritures transmises le 9 juin 2021 au recourant.

Considérant en droit :
1.
Selon l'art. 78 LTF, le recours en matière pénale est ouvert contre les décisions rendues en matière pénale, dont font partie les prononcés relatifs aux conditions de la détention provisoire ou pour des motifs de sûreté (arrêts 1B_188/2021 du 18 mai 2021 consid. 1; 1B_369/2013 du 26 février 2014 consid. 1, non publié in <ref-ruling>).
L'objet de la contestation porté devant le Tribunal fédéral est déterminé par l'arrêt attaqué. L'objet du litige, délimité par les conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF), ne saurait s'étendre au-delà de l'objet de la contestation. Par conséquent, devant le Tribunal fédéral, le litige peut être réduit, mais ne saurait être ni élargi, ni transformé par rapport à ce qu'il était devant l'autorité précédente, qui l'a fixé dans le dispositif de l'arrêt entrepris et qui est devenu l'objet de la contestation devant le Tribunal fédéral (<ref-ruling> consid. 4.4.2 p. 156). Dans la mesure où la cour cantonale a examiné la licéité des conditions de la détention du recourant du 21 juillet 2020 au jour où elle a statué - le 11 mars 2021 (cf. en particulier ad consid. 2.2 p. 12, ainsi que consid. 2.3 p. 14 et 16) -, les arguments en lien avec une période subséquente, notamment au jour de l'envoi de l'arrêt rédigé (20 avril 2021 [cf. notamment ad ch. 57 s. p. 7 du recours]), sont par conséquent irrecevables. Eu égard à l'objet du litige, les conclusions en constatation sont en revanche admissibles dans la présente cause (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 248; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 352 s. et consid. 3.4.2 p. 356 et les arrêts cités; arrêt 1B_188/2021 du 18 mai 2021 consid. 2.1).
La recevabilité du recours en matière pénale dépend également de l'existence d'un intérêt juridique actuel à l'annulation de la décision entreprise (art. 81 al. 1 let. b LTF). Un tel intérêt est en principe reconnu lorsque le recours tend à la constatation immédiate du caractère illicite de la détention provisoire (arrêt 1B_188/2021 du 18 mai 2021 consid. 1).
Pour le surplus, le recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et, partant, il y a lieu d'entrer en matière.
2.
Le recourant a sollicité la production de plans d'architecte des cellules occupées. Eu égard aux griefs soulevés et à l'issue du présent litige, le Tribunal fédéral s'estime suffisamment renseigné, sans qu'il soit nécessaire de définir plus précisément les mesures des cellules en cause. Partant, cette requête est rejetée.
3.
Invoquant en particulier les art. 3 CEDH, 7, 10 al. 3 Cst. et 3 al. 1 CPP, le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir nié le caractère illicite des conditions de la détention provisoire subie entre le 21 juillet 2020 et le 11 mars 2021. Le recourant se plaint en particulier d'arbitraire dans l'établissement des faits. A cet égard, il fait grief à la cour cantonale d'avoir confirmé la réduction forfaitaire de 1,5 m2 effectuée par le Tmc sur les surfaces des cellules afin de tenir compte de la surface des sanitaires. Le recourant soutient également que les mesures des cellules occupées et la durée passée dans celles-ci seraient inexactes.
3.1. L'art. 3 CEDH prévoit que nul ne peut être soumis à la torture ni à des peines ou traitements inhumains ou dégradants. Sur le plan constitutionnel, l'art. 7 Cst. prescrit que la dignité humaine doit être respectée et protégée et, à teneur de l'art. 10 al. 3 Cst., la torture et tout autre traitement ou peine cruels, inhumains ou dégradants sont interdits.
Au niveau législatif, l'art. 3 al. 1 CPP rappelle le principe du respect de la dignité humaine. L'art. 235 CPP régit l'exécution de la détention; il pose le principe général de proportionnalité (al. 1), précisant que les cantons règlent les droits et les obligations des prévenus en détention (al. 5; sur l'exécution de la détention avant jugement, voir FREI/ZUBERBÜHLER ELSÄSSER, in DONATSCH/LIEBER/SUMMERS/WOHLERS [édit.], SK-Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung, [StPO], 3e éd. 2020, ad art. 234 et 235 CPP; BAPTISTE VIREDAZ, in Commentaire romand, Code de procédure pénale suisse, 2e éd. 2019, ad art. 235 et 236 CPP; MATTHIAS HÄRRI, in Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2e éd. 2014, ad art. 234 et 235 CPP).
Dans le canton de Vaud, l'art. 16 du Règlement du 28 novembre 2018 sur le statut des personnes détenues placées en établissement de détention avant jugement (RSDAJ; RS/VD 340.02.5) prévoit qu'en principe, les personnes détenues avant jugement sont logées dans des cellules individuelles (al. 1); elles n'ont pas le choix de la cellule ou du secteur dans lequel elles sont incarcérées (al. 4). A teneur de l'art. 17 RSDAJ, les personnes détenues avant jugement bénéficient d'un régime alimentaire équilibré couvrant les besoins liés, notamment, à leur sexe, leur âge, leur état de santé et la nature de leur travail (al. 1); dans la mesure du possible, il est tenu compte de leur culture et de leur religion (al. 2). Selon l'art. 20 RSDAJ, les personnes détenues avant jugement sont tenues de veiller à la propreté de leur personne, de leurs vêtements et de leur cellule (al. 1); elles ont la possibilité de se doucher au moins trois fois par semaine dans des conditions qui préservent leur intimité (al. 3). Elles ne sont pas astreintes au travail (art. 27 al. 1 RSDAJ) et, dans la mesure du possible, elles se voient offrir la possibilité de travailler (art. 27 al. 2 RSDAJ; voir également les art. 32 ss RSDAJ relatifs aux possibilités de formation). Dès le deuxième jour de leur arrivée dans l'établissement, les personnes détenues avant jugement peuvent faire une promenade quotidienne d'une heure en plein air (art. 40 al. 1 RSDAJ) et, dans la mesure du possible - et sauf prescriptions contraires du service médical -, elles peuvent pratiquer des activités sportives (art. 41 al. 1 RSDAJ), le choix de celles-ci et leur fréquence variant selon les établissements (art. 41 al. 2 RSDAJ). Elles peuvent participer aux activités récréatives organisées par l'établissement (art. 42 al. 1 RSDAJ) et ont accès à la bibliothèque de celui-ci (art. 43 al. 1 RSDAJ). L'art. 50 RSDAJ prévoit que les personnes détenues avant jugement ont accès aux soins médicaux en tout temps, dans la mesure où le service médical estime ces derniers nécessaires et dans le cadre de la convention passée avec le service (al.1); la demande de consultation peut être présentée par écrit par la personne détenue avant jugement elle-même, sous réserve des cas d'urgence avérés (al. 2); selon leur nature, les soins médicaux sont prodigués dans les établissements pénitentiaires ou dans des structures hospitalières (al. 3). Les art. 53 ss RSDAJ traitent des relations avec l'extérieur, dont les possibilités de visite. Ce règlement ne comprend en revanche aucune disposition précise concernant l'aménagement, l'équipement, la dimension des cellules ou la surface dont doit bénéficier chaque détenu à l'intérieur de celles-ci.
3.1.1. Pour le domaine spécifique de la détention, la Suisse a ratifié, le 7 octobre 1988, la Convention européenne de 1987 pour la prévention de la torture et des peines ou traitements inhumains ou dégradants (RS 0.106). L'art. 1 de cette Convention institue un "Comité européen pour la prévention de la torture et des peines ou traitements inhumains ou dégradants" (ci-après : CPT). Le 15 décembre 2015, le CPT a édité une norme sur l'Espace vital par détenu dans les établissements pénitentiaires. Il en ressort qu'une cellule individuelle devrait mesurer 6 m2 auxquels on ajouterait la superficie nécessaire à une annexe sanitaire (généralement de 1 à 2 m2) et qu'une cellule collective devrait offrir par détenu 4 m2, surface augmentée de l'annexe sanitaire entièrement cloisonnée.
Par ailleurs, le Comité des ministres du Conseil de l'Europe, en application de l'art. 15 (b) du Statut du Conseil de l'Europe (RS 0.192.030), a adopté le 11 janvier 2006 la Recommandation Rec (2006) 2 sur les Règles pénitentiaires européennes (ci-après : RPE), lesquelles ont été révisées et modifiées le 1er juillet 2020. Ces règles prennent notamment en compte le travail mené par le CPT, ainsi que les normes qu'il a développées dans ses rapports généraux, et visent à garantir des conditions de détention qui ne portent pas atteinte à la dignité humaine. Les règles 17 à 22 RPE traitent des locaux de détention (règle 18), de l'hygiène (règle 19), de la literie (règle 20) et du régime alimentaire (règle 22) : ainsi, les locaux de détention doivent satisfaire aux exigences de respect de la dignité humaine et, dans la mesure du possible, de la vie privée, et répondre aux conditions minimales requises en matière de santé et d'hygiène, compte tenu des conditions climatiques, notamment en ce qui concerne l'espace au sol, le volume d'air, l'éclairage, le chauffage et l'aération (règle 18.1).
Les RPE - et a fortiori leur commentaire - n'ont valeur que de simples directives à l'intention des États membres du Conseil de l'Europe; le Tribunal fédéral en tient compte dans la concrétisation de la liberté personnelle et des autres droits fondamentaux garantis par la Constitution fédérale (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 323).
3.1.2. Dans un arrêt de principe Mursic contre Croatie du 20 octobre 2016, la Grande Chambre de la Cour européenne des droits de l'homme (ci-après : CourEDH) a confirmé que l'exigence de 3 m2 de surface au sol par détenu en cellule collective - à l'exclusion des installations sanitaires - demeurait la norme minimale pertinente aux fins de l'appréciation des conditions de détention au regard de l'art. 3 CEDH; la recommandation plus sévère du CPT se justifiait dès lors que celui-ci agissait principalement en amont dans un but de prévention, démarche qui tendait de par sa nature vers un degré de protection plus élevé que celui appliqué par la CourEDH (arrêt CourEDH Mursic c. Croatie du 20 octobre 2016, requête n° 7334/13, § 110 à 115; cf. également arrêt CourEDH J.M.B. et autres contre France du 30 janvier 2020, requête no 9671/15, § 255 et 256). La CourEDH a relevé que lorsqu'un détenu dispose de plus de 4 m2 d'espace personnel, ce facteur, en lui-même, ne pose pas de problème au regard de l'art. 3 CEDH (arrêt CourEDH J.M.B. et autres contre France du 30 janvier 2020, requête n° 9671/15, § 256; cf. également arrêt 1B_377/2020 du 2 décembre 2020 consid. 2.1.3).
3.1.3. S'agissant de l'espace au sol, le Tribunal fédéral a jugé qu'en cas de surpopulation carcérale telle que la connaissait la prison de Champ-Dollon, l'occupation d'une cellule dite individuelle par trois détenus - chacun disposant d'un espace individuel de 4 m2, restreint du mobilier - est une condition de détention difficile; elle n'est cependant pas constitutive d'une violation de l'art. 3 CEDH et ne représente pas un traitement dégradant portant atteinte à la dignité humaine des prévenus. En revanche, l'occupation d'une cellule dite triple par six détenus avec (i) une surface individuelle inférieure à 3,83 m2 - restreinte encore par le mobilier - peut constituer une violation de l'art. 3 CEDH (ii) si elle s'étend sur une longue période et (iii) si elle s'accompagne d'autres mauvaises conditions de détention. Il faut dès lors considérer la période pendant laquelle le recourant a été détenu dans les conditions incriminées. Une durée qui s'approche de trois mois consécutifs (délai que l'on retrouve en matière de contrôle périodique de la détention provisoire ou pour des motifs de sûreté; cf. art. 227 al. 7 CPP) apparaît comme la limite au-delà de laquelle les conditions de détention susmentionnées ne peuvent plus être tolérées. Ce délai ne peut cependant pas être compris comme un délai au sens strict du terme mais comme une durée indicative à prendre en compte dans le cadre de l'appréciation globale de toutes les conditions concrètes de détention. La durée très limitée des périodes que le recourant est autorisé à passer hors de la cellule aggrave encore la situation (<ref-ruling> consid. 3.6.3 p. 139 s.; arrêt 1B_377/2020 du 2 décembre 2020 consid. 2.1.2 et les arrêts cités).
A titre d'exemples lorsque la cellule ne permet qu'une surface individuelle inférieure à 4 m2 et que la détention subie a duré plus de trois mois, la possibilité de sortir de la cellule, (a) entre 1 heure et 5 heures 45 par jour une semaine sur deux lorsque la détention est de 328 jours (arrêt 1B_239/2015 du 29 septembre 2015 consid. 2.5.2 et 2.5.3) ou (b) entre 3 heures 30 et 5 heures 30 par jour si elle a duré 635 jours (arrêt 1B_84/2016 du 27 juillet 2016 consid. 2.4) ne suffit pas en soi, dans la situation telle que décrite précédemment de la prison de Champ-Dollon, à rendre ces conditions de détention conformes à l'art. 3 CEDH. En revanche, dans la même configuration spatiale, le Tribunal fédéral a jugé que le fait de passer, (c) durant 114 jours, entre 4 heures 30 et 7 heures 15 par jour hors de la cellule (arrêt 1B_394/2016 du 25 avril 2017 consid. 2.4), respectivement (d) durant 201 jours 5 heures en moyenne hors de la cellule chaque semaine (arrêt 6B_1085/2016 du 28 août 2017 consid. 3.2), réduisait de manière significative le confinement en cellule et permettait de considérer que la détention dans de telles conditions ne constituait pas un traitement dégradant portant atteinte à la dignité humaine. Il en allait de même en cas de possibilités de sortie d'au moins 5 heures en moyenne par jour durant cinq mois en présence de circonstances aggravantes (toilettes séparées uniquement par un rideau ignifuge et isolation thermique mauvaise; arrêt 1B_377/2020 du 2 décembre 2020 consid. 2.2).
Dans l'hypothèse d'une cellule permettant une surface individuelle de 4,36 m2, le Tribunal fédéral a cependant constaté que le maintien dans une telle cellule pendant près de 9 mois ne dispensait pas l'autorité cantonale d'examiner, le cas échéant, si d'autres conditions matérielles de la détention pourraient être constitutives d'une violation de l'art. 3 CEDH (cf. notamment les inondations d'excrément et de papier WC, l'absence d'aération des cellules, les promenades trop peu nombreuses alléguées); dans une telle configuration, il était également nécessaire de connaître le temps que le recourant passait hors de sa cellule, respectivement seul dans la cellule commune (arrêt 1B_330/2020 du 2 décembre 2020 consid. 4.3 et 4.4).
3.2. En l'espèce, le recourant ne conteste pas avoir passé 4 jours - entre le 21 et le 24 juillet 2020, seul, dans la cellule double n° 324, y disposant de 7,97 m2. Il ne remet pas non plus en cause la durée retenue par l'autorité précédente pour le temps passé dans la cellule double n° 331, soit 5 jours entre le 24 et le 28 juillet 2020. Si la surface individuelle à sa disposition durant cette deuxième période était inférieure à 4 m2, cette très brève durée, même en présence d'éventuelles circonstances aggravantes, suffit pour considérer que les conditions de la détention provisoire n'étaient pas illicites. Pour ces deux périodes extrêmement brèves, il n'est ainsi pas nécessaire d'examiner plus en avant si la cour cantonale pouvait, sans violer l'interdiction de l'arbitraire, confirmer la réduction forfaitaire de 1,5 m2 pour les sanitaires telle qu'effectuée par le Tmc ou si les mesures des cellules retenues étaient erronées.
S'agissant de la cellule quadruple n° 336 - où le recourant a été détenu entre le 28 juillet 2020 et le 9 janvier 2021 (environ 5 mois [cf. consid. 2.3 p. 14 de l'arrêt attaqué]) -, il reprend mot à mot les arguments soulevés devant l'instance précédente pour contester les mensurations retenues (cf. ad ch. 17 et 24 à 26 p. 3 s. du recours cantonal et ad ch. 29 et 35 à 37 p. 5 s. du mémoire fédéral), ce qui est contraire à ses obligations en matière de motivation (art. 42 al. 2 LTF). En tout état de cause, la cour cantonale a écarté à juste titre le grief en lien avec l'épaisseur des murs, retenant notamment que les mesures étaient prises depuis ceux-ci et non ceux-ci compris; il ne saurait d'ailleurs être déduit de la mention des mensurations sur l'extérieur du schéma fourni par la direction de la prison - à des fins vraisemblablement de lisibilité - que certaines indications comprendraient l'intérieur des murs. Le recourant prétend encore qu'il ne disposerait pas de l'ensemble des mesures lui permettant, le cas échéant, d'appliquer le théorème de Pythagore préconisé par la cour cantonale pour calculer les angles des parois obliques (cf. ad ch. 22 du recours); il n'étaye cependant pas ses allégations, notamment par la production d'une figure de la cellule n° 336 où serai (en) t indiqué (s) le (s) élément (s) lui faisant défaut pour effectuer des vérifications, défaut d'indication qu'avait au demeurant déjà constaté l'autorité précédente (cf. consid. 2.2 p. 13 de la décision entreprise). Faute de motivation, il n'apparaît ainsi pas arbitraire de la part de la cour cantonale d'avoir fondé son raisonnement sur la surface retenue par le Tmc à la suite du rapport de la direction de la prison, soit 5,825 m2 pour la cellule n° 336. Le recourant ne développe ensuite aucune argumentation spécifique afin de démontrer que, malgré la surface à disposition (supérieure à 4 m2, y compris si une déduction de 2 m2 avait été retenue pour la surface des sanitaires), les conditions de détention dans cette cellule - qui offre en outre des toilettes séparées - seraient illicites en raison d'autres circonstances aggravantes. Les griefs concernant cette cellule peuvent ainsi être rejetés dans la mesure où ils sont recevables.
Quant à la dernière période - du 9 janvier au 11 mars 2021 (62 jours) - dans la cellule double n° 333, le recourant conteste les mensurations retenues, soutenant notamment en substance que la surface serait la même que celle de la cellule n° 331 et donc inférieure à 4 m2. Indépendamment de la surface effective de la cellule et/ou de la réduction opérée eu égard aux sanitaires, la durée de cette période - inférieure à trois mois au jour de l'arrêt attaqué - permet de considérer que d'éventuelles conditions illicites de détention ne se sont pas étendues sur une longue période. Cela étant, il n'est pas non plus d'emblée exclu que les conditions de détention puissent être illicites en raison d'autres éléments. En l'occurrence, le temps de confinement en cellule important ne peut être ignoré (a priori entre 22 heures à 23 heures en moyenne par jour vu l'absence de travail). Le recourant ne conteste toutefois pas les possibilités - en sus de la promenade quotidienne d'une heure et des quatre opportunités hebdomadaires de sport (une heure ou 45 minutes par séance) - de sorties pour se doucher, de passer des appels téléphoniques et/ou de recevoir des visites (cf. consid. 2.3 p. 14 de l'arrêt attaqué), respectivement de participer à des activités socio-éducatives et/ou de se rendre à la bibliothèque (cf. le rapport du 29 octobre 2020). L'autorité précédente a également relevé le défaut d'explication quant aux souffrances concrètement ressenties (durée, fréquence, intensité), considérant dès lors, à juste titre, que le recourant ne pouvait se prévaloir de manière générale de toutes les circonstances possibles et imaginables afin de démontrer que la détention aurait été rendue plus pénible (notamment en raison de l'invocation de problèmes liés à la température, à l'aération, aux éclairages, à la ventilation, au suivi médical, à l'accès au lit superposé, à l'absence de détecteur d'incendie, au refus de donner des gants et du matériel de nettoyage et au refus d'un régime alimentaire [cf. consid. 2.3 p. 14 s. de la décision entreprise]); le recourant ne développe d'ailleurs aucune argumentation tendant à remettre en cause ces constatations. On ne saurait ainsi considérer que ces éventuelles circonstances aggravantes - y compris celles reconnues s'agissant de la prison de Bois-Mermet (cf. notamment le rideau ignifuge; arrêt 1B_377/2020 du 2 décembre 2020 consid. 2.2) - atteindraient donc une telle intensité que les conditions de détention durant moins de trois mois au jour de la décision entreprise constitueraient en l'occurrence un traitement inhumain et dégradant contraire à l'art. 3 CEDH.
Il découle des considérations précédentes que les conditions de la détention provisoire du recourant depuis le 21 juillet 2020 au 11 mars 2021 n'étaient pas illicites.
4.
Il s'ensuit que le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
Le recourant a demandé l'octroi de l'assistance judiciaire (art. 64 al. 1 LTF). Le recours n'étant pas d'emblée dénué de chance de succès, cette requête doit être admise. Il y a lieu de désigner Me Lauris Loat comme avocat d'office et d'allouer à celui-ci une indemnité à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral (art. 64 al. 2 LTF). Il n'est pas perçu de frais judiciaires (art. 64 al. 1 LTF), ni alloué de dépens (art. 68 al. 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire est admise. Me Lauris Loat est désigné comme avocat d'office du recourant et une indemnité de 1'500 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Ministère public du canton de Vaud - section Strada - et à la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 29 juin 2021
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Kneubühler
La Greffière : Kropf