Erwägungen:
1.
Mit Urteil 2C_335/2018 vom 22. Mai 2018 trat das Bundesgericht auf eine Beschwerde von Dr. A._ gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 10. April 2018 (betreffend Nichteintreten wegen Nichtleistens des Kostenvorschusses [nach vorheriger Abweisung eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege] in einer gebührenrechtlichen Streitigkeit mit der Billag AG bzw. dem Bundesamt für Kommunikation) nicht ein. Das Bundesgericht erläuterte in diesem Urteil A._ - im Anschluss an eine am 20. April 2018 an diesen versandte, von ihm aber nicht abgeholte Aufforderung zur Verbesserung der Beschwerdeschrift - die gesetzlichen Begründungsanforderungen an eine Beschwerde und erwog, der Beschwerde lasse sich zum einzigen massgeblichen Gegenstand, nämlich zur Frage, ob das Bundesverwaltungsgericht auf die dort eingereichte Beschwerde hätte eintreten müssen, nichts entnehmen. Sollte A._ seine Beschwerde als Beschwerde gegen die vorangegangene Verfügung des Bundesverwaltungsgerichts (Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege/Aufforderung zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 800.--) verstehen, wäre sie offensichtlich verspätet; und sollte er seine Eingabe als selbständiges Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im Beschwerdeverfahren gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 10. April 2018 verstehen wollen, könnte mangels Erfüllung der entsprechenden Voraussetzungen auch darauf nicht eingetreten werden. Der Beschwerde fehle es offensichtlich in jeder Hinsicht an einer hinreichenden Begründung (E. 3.1 und 3.2).
Mit Eingabe vom 20. Juli 2018 - ergänzt mit einem weiteren, am 26. Juli 2018 eingegangenen Schreiben - wendet sich A._ gegen dieses Urteil und verlangt vom Bundesgericht sinngemäss dessen Aufhebung (auch im Kostenpunkt). Er macht geltend, er sei vom 23. April bis zum 15. Juli 2018 bei seiner krebskranken Ehefrau in St. Petersburg gewesen, weshalb in dieser Zeit keine Zustellungen hätten erfolgen können (was auch für die Verfügung des Bundesgerichts vom 20. April 2018 gelte). Er - A._ - gehe davon aus, dass "die Beurteilung des Abteilungsrichters "im Urteil 2C_335/2018" fehlerhaft und daher aufzuheben" sei. Weiter wird beantragt, "eine angemessene Frist zur weiteren Eingabebegründung zu setzen und die Kostenentscheidung aufzuheben". In seiner ergänzenden Eingabe betont A._, dass er "zur Zahlung jedweder Kosten nicht in der Lage sei", weshalb auf sein Gesuch "im Wege der unentgeltlichen Rechtspflege ohne Erhebung von Kosten" eingetreten werden und der erlassene "Kostenbeschluss" aufgehoben werden müsse.
2.
Gemäss Art. 61 BGG erwachsen Entscheide des Bundesgerichts am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft. Gegen Urteile des Bundesgerichts steht kein ordentliches Rechtsmittel zur Verfügung. In Betracht käme allenfalls ein Revisionsgesuch. Darauf liesse sich nur eintreten, wenn die betroffene Partei einen der vom Gesetz abschliessend genannten Revisionsgründe (Art. 121-123 BGG) geltend machte und dessen Vorliegen bezogen und begrenzt auf den Gegenstand des bundesgerichtlichen Urteils aufzeigte. Der Gesuchsteller nennt keinen Revisionsgrund. Ein solcher lässt sich den Vorbringen in der Eingabe vom 20. Juli 2018 und ebensowenig aus derjenigen, welche am 26. Juli 2018 eingegangen ist, auch nicht sinngemäss entnehmen. Letztlich soll damit Beschwerde gegen das bundesgerichtliche Urteil vom 22. Mai 2018 geführt oder um dessen Wiedererwägung ersucht werden, was nicht zulässig ist (vgl. Urteil 2F_26/2016 vom 21. Dezember 2016 E. 2). Es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern das Bundesgericht mit seinem Nichteintretens-Urteil 2C_335/2018 mit den darin enthaltenen rein verfahrensrechtlichen Erwägungen oder mit der Kostenauflage (von Fr. 500.-- an den damaligen Beschwerdeführer) einen Revisionsgrund gesetzt haben könnte.
Bloss am Rande sei noch erwähnt, dass der Gesuchsteller vergeblich moniert, es hätten zur fraglichen Zeit keine Zustellungen an ihn erfolgen können: Er selber hat mit der Einreichung seiner Rechtsschrift beim Bundesgericht das Prozessrechtsverhältnis begründet und musste deshalb mit Zustellungen rechnen bzw. hätte sich so organisieren müssen, dass die Entgegennahme behördlicher Zustellungen möglich gewesen wäre (<ref-ruling> E. 3.1 S. 227).
Auf das vorliegende Revisionsgesuch ist ohne Schriftenwechsel oder andere Instruktionsmassnahmen nicht einzutreten (vgl. Art. 127 BGG).
Diesem Verfahrensausgang entsprechend sind die Kosten des Revisionsverfahrens dem Gesuchsteller aufzuerlegen (Art. 65 sowie Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann zufolge Aussichtslosigkeit der gestellten Anträge nicht entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Das Bundesgericht behält sich ferner vor, weitere Rechtsschriften des Beschwerdeführers/Gesuchstellers - nach Prüfung - als querulatorische bzw. rechtsmissbräuchliche Prozessführung einzustufen, diese Eingaben damit als unzulässig zu bezeichnen (Art. 42 Abs. 7 BGG) und unbeantwortet abzulegen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
2.1. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
2.2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. August 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein