Sachverhalt:
A.
Die 1967 geborene A._ arbeitete zuletzt bis am 18. Mai 2016 als Senior Manager Internal Audit bei der C._ Ltd. Am 13. Juli 2016 meldete sie sich unter Verweis auf "psychische Probleme" zum Leistungsbezug bei der Eidgenössischen Invalidenversicherung (IV) an. Im August 2016 wurde ihr durch den Arbeitgeber gekündigt. Nach Abklärungen - insbesondere der Einholung eines Austrittsberichts der Klinik D._, Klinik für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 12. Oktober 2016 sowie einer Aktenbeurteilung durch Dr. med. E._, Fachärztin für Psychiatrie und Psychotherapie, des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) vom 25. Oktober 2016 - verneinte die IV-Stelle des Kantons Thurgau den Anspruch auf IV-Leistungen (berufliche Massnahmen und Rente) mit Verfügung vom 6. Januar 2017.
Am 6. April 2017 stellte die Versicherte ein weiteres Leistungsgesuch. Die IV-Stelle tätigte daraufhin neuerliche Abklärungen, insbesondere erstattete die Neuroinstitut St. Gallen GmbH, IME - Interdisziplinäre Medizinische Expertisen, am 3. Mai 2018 ein bidisziplinäres (orthopädisches, psychiatrisches) Gutachten (inklusive neuropsychologischem Zusatzuntersuch, nachfolgend: IME). Nach Rückfragen an die Gutachter und durchgeführtem Vorbescheidverfahren sprach die IV-Stelle der Versicherten mit Verfügung vom 12. Mai 2020 rückwirkend ab 1. Oktober 2017 eine ganze Invalidenrente zu.
B.
Dagegen erhob die Vorsorgestiftung B._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau, wobei sie ihr ursprüngliches Begehren auf Rentenzusprache ab Mai 2018 im Laufe des Verfahrens auf "Aufhebung der Verfügung" der IV-Stelle abänderte. Mit Entscheid vom 21. April 2021 hob das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau die Verfügung vom 12. Mai 2020 unter Gutheissung der Beschwerde ersatzlos auf.
C.
A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten die Aufhebung des angefochtenen Entscheids beantragen. Zudem ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Die Beschwerdegegnerin schliesst unter Verweis auf die Vorentscheide und die Akten auf Abweisung der Beschwerde. Die Vorsorgeeinrichtung (Mitinteressierte) ersucht um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichtet auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Wie die Beschwerdeführerin zu Recht vorbringt, ist die Dispositiv-Ziffer 1. des angefochtenen Entscheids aus sich heraus nicht verständlich. So wird nicht deutlich, wie hinsichtlich der Neuanmeldung vom 6. April 2017 verfahren wird: Ob darauf nicht eingetreten wird oder ob der Anspruch auf eine Invalidenrente abgewiesen wird. Klar ist jedoch, dass die Verfügung vom 12. Mai 2020 aufgehoben wird. In Zusammenschau mit der Urteilsbegründung erhellt weiter, dass das Leistungsgesuch damit abgewiesen wird.
1.2. Entgegen der Ansicht der Mitinteressierten reicht die Beschwerdeführerin im vorliegenden Verfahren keine neuen Beweismittel ein, sondern verweist auf die Akten der Beschwerdegegnerin, was zulässig ist.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Indes prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (vgl. Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1).
3.
3.1. Streitig und zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht Bundesrecht verletzt hat, indem es die Verfügung vom 12. Mai 2020 aufgehoben und damit einen Rentenanspruch der Beschwerdeführerin verneint hat.
3.2.
3.2.1. Im angefochtenen Entscheid wurden die massgeblichen rechtlichen Grundlagen und die einschlägige bundesgerichtliche Rechtsprechung zutreffend dargelegt. Dies betrifft insbesondere die Grundsätze zur Prüfung von Neuanmeldungen nach dem Eintreten darauf (Art. 17 ATSG analog; Urteil 8C_354/2019 vom 22. August 2019 E. 2.2 mit Hinweisen). Darauf wird verwiesen.
Zu ergänzen ist Folgendes: Anlass zur Rentenrevision im Sinne von Art. 17 Abs. 1 ATSG gibt jede wesentliche Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen seit Zusprechung der Rente, die geeignet ist, den Invaliditätsgrad und damit den Anspruch zu beeinflussen. Insbesondere ist die Rente bei einer wesentlichen Änderung des Gesundheitszustands revidierbar. Weiter sind, auch bei an sich gleich gebliebenem Gesundheitszustand, veränderte Auswirkungen auf den Erwerbs- oder Aufgabenbereich von Bedeutung. Hingegen ist die lediglich unterschiedliche Beurteilung eines im Wesentlichen gleich gebliebenen Sachverhalts im revisionsrechtlichen Kontext unbeachtlich (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweisen).
3.2.2. Bei den gerichtlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit handelt es sich um Tatfragen (<ref-ruling> E. 3.2). Ebenso stellt die konkrete Beweiswürdigung eine Tatfrage dar. Dagegen sind die unvollständige Feststellung rechtserheblicher Tatsachen sowie die Missachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Anforderungen an die Beweiskraft ärztlicher Berichte und Gutachten Rechtsfragen (Urteile 9C_899/2017 vom 9. Mai 2018 E. 2.1 und 8C_673/2016 vom 10. Januar 2017 E. 3.2).
4.
Die Vorinstanz hat nach Bejahung der Beschwerdelegitimation der Vorsorgestiftung B._ die Verfügung vom 12. Mai 2020 mit der Begründung aufgehoben, dass sich die tatsächlichen Verhältnisse seit der Verfügung vom 6. Januar 2017 nicht in einem für den Rentenanspruch erheblichen Mass verändert hätten. Hinsichtlich des hier strittigen psychiatrischen Gesundheitszustandes stellte sie dabei insbesondere fest, der IME-Psychiater gehe von einer Verschlechterung respektive Chronifizierung und einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit seit Sommer 2016 aus, damit einem Zeitpunkt deutlich vor dem massgebenden Referenzzeitpunkt vom 6. Januar 2017. Es sei daher von einer anderen Beurteilung des (gleichen) Sachverhalts im Vergleich zu derjenigen der RAD-Ärztin E._ vom Oktober 2016 auszugehen.
Die Beweiswürdigung des kantonalen Gerichts - die entgegen der Ansicht der Mitinteressierten rechtsgenüglich gerügt wird - ist im Ergebnis willkürlich. Dies ist nachfolgend aufzuzeigen.
5.
5.1. Der Verneinung des Rentenanspruchs mit Verfügung vom 6. Januar 2017 lag die Aktenbeurteilung von Dr. med. E._ des RAD vom 25. Oktober 2016 zugrunde (Case Report vom 6. Januar 2017 S. 9). Darin hielt die RAD-Ärztin fest, laut dem vorliegenden Austrittsbericht der Klinik D._ vom 12. Oktober 2016 sei die Diagnose einer mittelgradigen depressiven Episode im Rahmen einer rezidivierenden depressiven Störung nachvollziehbar. Es würden umfangreiche psychosoziale Belastungsfaktoren wie Erkrankung und Tod der Mutter sowie Probleme am Arbeitsplatz beschrieben, in deren Rahmen die Beschwerdeführerin reaktiv eine depressive Symptomatik entwickelt habe und die durch die ausgesprochene Kündigung dazu geführt hätten, dass die Behandlungsziele des stationären Aufenthalts nur bedingt hätten erreicht werden können und somit zur Aufrechterhaltung der depressiven Symptomatik geführt hätten. Aus versicherungsmedizinischer Sicht seien die psychosozialen Belastungsfaktoren als IV-fremd einzustufen. Des Weiteren sei bei einer mittelschweren Störung aus dem depressiven Formenkreis davon auszugehen, dass diese in der Regel therapierbar sei und invalidenversicherungsrechtlich zu keiner länger andauernden Einschränkung der Arbeitsfähigkeit führe. Vor diesem Hintergrund sei es nicht nachvollziehbar, dass die antidepressive Medikation während der Hospitalisation nicht umgestellt worden sei, sondern noch in der Dosierung halbiert worden sei, was gegen das Vorliegen einer schweren depressiven Symptomatik spreche, zumal im Austrittsbericht ein mittelgradig depressives Zustandsbild bei Eintritt und Austritt beschrieben werde. Somit sei aus Sicht des RAD von keinem IV-relevanten Gesundheitsschaden auszugehen.
5.2. Die Verfügung vom 12. Mai 2020 basierte sodann auf dem IME-Gutachten vom 3. Mai 2018. Darin wurde aus psychiatrischer Sicht eine rezidivierende depressive Störung, gegenwärtig mittelgradig mit somatischem Syndrom, inzwischen chronifiziert, diagnostiziert (Psychiatrisches Fachgutachten S. 96).
Hinsichtlich der Chronifizierung führte der Experte aus, bisher sei der Verlauf weitgehend therapierefraktär gewesen und es müsse bezogen auf die rezidivierende depressive Störung, gegenwärtig mittelgradig, von einer Chronifizierung ausgegangen werden, was eine Verschlechterung im Vergleich zum Referenzzeitpunkt bedeute (Psychiatrisches Fachgutachten S. 95). Gesamthaft sehe er das Störungsbild im Vergleich zum Referenzzeitpunkt stärker chronifiziert und weiter fortgeschritten, so dass eine Verschlechterung resultiere (Psychiatrisches Fachgutachten S. 100). Sodann beantwortete er auch die Frage nach einer Verschlechterung des Gesundheitszustandes seit der Verfügung vom 6. Januar 2017 mit "ja" (Psychiatrisches Fachgutachten S. 101). Die Arbeitsfähigkeit der Beschwerdeführerin schätzte der Gutachter seit Sommer 2016 mit 0 % in der angestammten und 50 % in einer leidensangepassten Tätigkeit (Psychiatrisches Fachgutachten S. 100 f.).
5.3. Entgegen der Feststellung der Vorinstanz (E. 4 hiervor) ging der IME-Gutachter somit nicht seit Sommer 2016, sondern im relevanten Vergleichszeitraum seit Verfügungserlass vom 6. Januar 2017 von einer Verschlechterung im Sinne einer Chronifizierung aus.
5.3.1. Ob eine in einem Verfahren betreffend Neuanmeldung zwischenzeitlich eingetretene Chronifizierung eine unter revisionsrechtlichem Aspekt relevante Veränderung darstellt (vgl. E. 3.2.1 hiervor), kann nicht alleine anhand der respektive den gestellten Diagnose (n) (die auch im chronifizierten Zustand regelmässig noch die selbe[n] sein wird respektive werden) beurteilt werden. Es kommt vielmehr in erster Linie auf die Intensität der Gesundheitsschädigung an, welche mittels Bezugnahme auf die medizinische Aktenlage zu eruieren ist. Ist in dieser Hinsicht von einer Veränderung auszugehen, stellt sich in einem zweiten Schritt die Frage nach deren Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit. Die Arbeitsfähigkeitsschätzung eines Mediziners ist dabei stets im Lichte der medizinischen Aktenlage zu überprüfen und darf nicht ohne Weiteres übernommen werden. Die Vorinstanz hat eine solche Prüfung unterlassen, so dass ihre Beweiswürdigung auf unvollständiger Grundlage beruht. Die Überprüfung ist nachzuholen:
Die Beschwerdeführerin war bis im Mai 2016 noch zu 100 % erwerbstätig. Der darauf folgende stationäre Aufenthalt in der Klinik D._ von Ende Juni 2016 bis Ende August 2016 (mit eintägigem Unterbruch) war sehr von den negativ erlebten Erfahrungen an ihrem Arbeitsplatz und der während der Therapie seitens des Arbeitgebers ausgesprochenen Kündigung mitbestimmt. Im Austrittsbericht vom 12. Oktober 2016 wurde hierzu ausgeführt, beides habe die Beschwerdeführerin als äusserst kränkend und demütigend erlebt. Die Behandlungsziele hätten vor diesem Hintergrund nur bedingt erreicht werden können und sollten in neu installierten ambulanten Therapien weiter vertieft werden (S. 3; vgl. auch das Überweisungsschreiben der behandelnden Psychiaterin vom 23. Mai 2016). Die psychische Dekompensation wurde auf die belastende Situation am Arbeitsplatz zurückgeführt (Bericht der Klinik D._ vom 23. November 2016 S. 2).
Seit dem Austritt aus der Klinik D._ im August 2016 fand eine ambulante Psychotherapie mit zweimal wöchentlichen Terminen statt. Ab Februar 2017 wurde von einer Chronizität der Störung respektive einem chronifizierten Krankheitsverlauf gesprochen (vgl. Berichte der Behandler vom 14. Februar und 3. April 2017, IV-Arztbericht vom 4. April 2017 S. 3 f.). Vom 22. Mai bis 15. Juli 2017 befand sich die Beschwerdeführerin erneut in stationärer Therapie, in der Klinik G._. Bei Austritt wurde aufgrund des weiterhin labilen Gesundheitszustandes mit der Gefahr (weiterer) suizidaler Einbrüche eine Weiterbehandlung im tagesklinischen Setting empfohlen. In dieses trat die Beschwerdeführerin Ende Oktober 2017 für vier Monate ein (Austrittsbericht vom 7. August 2017; vgl. auch den Bericht betreffend das Vorgespräch in der Klinik D._ vom 8. August 2017, Verlaufsbericht der Klinik D._ vom 5. Januar 2018, Austrittsbericht der Klinik D._ vom 11. April 2018). Anlässlich der psychiatrischen Begutachtung in der IME im April 2018 waren psychosoziale Belastungsfaktoren zwar noch vorhanden, dominierten das Störungsbild jedoch nicht (mehr) (Psychiatrisches Fachgutachten S. 100).
5.3.2. Mit Blick auf das Dargelegte ist überwiegend wahrscheinlich, dass vorliegend hinsichtlich der Intensität der depressiven Symptomatik seit der Rentenabweisung im Januar 2017 aufgrund des Zeitablaufs eine relevante Verschlechterung im Sinne einer Chronifizierung mit einhergehender Loslösung der Problematik von psychosozialen Belastungsfaktoren eingetreten ist. Die Verschlechterung wird auch von der behandelnden Psychiaterin mit Bericht vom 9. März 2021 bestätigt, die von einem Zusammenbruch der Kompensationsstrategien im massgeblichen Zeitraum und von Chronifizierung spricht (Bericht S. 13 f.). Im Übrigen scheint dies auch von der Mitinteressierten ursprünglich anerkannt worden zu sein (Einwandschreiben vom 11. April 2019 S. 4; Beschwerdeschrift vom 4. Juni 2020 II. Ziff. 14 S. 8, vgl. auch Replik vom 9. Juli 2020 II. S. 4 ff.).
Dass der IME-Psychiater die Beschwerdeführerin rückwirkend ab Sommer 2016 als in ihrer Leistungsfähigkeit eingeschränkt erachtete (E. 5.2 hiervor), erscheint mit Blick auf die dargelegte medizinische Aktenlage nicht schlüssig. Diese Einschätzung ist hinsichtlich der Frage nach einer relevanten Veränderung (Art. 17 Abs. 1 ATSG analog) somit nicht aussagekräftig. Für den Zeitraum bis zum Verfügungserlass vom 6. Januar 2017 ist vielmehr auf die unbestritten beweiskräftige Beurteilung von Dr. med. E._ vom 25. Oktober 2016 abzustellen, wonach damals (noch) kein IV-relevanter Gesundheitsschaden vorlag (vgl. E. 5.1 hiervor).
5.4. Zusammenfassend ist entgegen der Feststellung der Vorinstanz mit der im vorliegenden massgeblichen Vergleichszeitraum ab 6. Januar 2017 eingetretenen Chronifizierung mit einhergehender Loslösung der depressiven Symptomatik von psychosozialen Belastungsfaktoren auf einen Revisionsgrund analog Art. 17 Abs. 1 ATSG zu schliessen. Indem das kantonale Gericht dies verneint hat, hat es Bundesrecht verletzt. Die Beschwerde ist begründet.
Die Sache ist an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese hat nach Abklärungen hinsichtlich des Arbeitsfähigkeitsverlaufes (angestammt und leidensangepasst) für den Zeitraum ab der rentenabweisenden Verfügung vom 6. Januar 2017 neu über den Anspruch der Beschwerdeführerin auf eine Invalidenrente zu entscheiden.
6.
H insichtlich der Prozesskosten gilt die Rückweisung der Sache zu neuem Entscheid praxisgemäss als volles Obsiegen, unabhängig davon, ob sie beantragt oder ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder im Eventualbegehren gestellt wird (<ref-ruling> E. 11.1). Die Gerichtskosten sind daher der unterliegenden Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Diese schuldet der Beschwerdeführerin zudem eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG), die direkt an ihre Rechtsvertreterin auszurichten ist. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ist bei diesem Prozessausgang gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 21. April 2021 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Vorsorgestiftung B._, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. Januar 2022
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Nünlist