Sachverhalt:
A.
A._ erlitt am 9. August 1997 sowie am 22. Juni 2004 einen Unfall und wurde mehrmals an der Halswirbelsäule operiert. Bei einem dieser Eingriffe wurde bei ihr eine Bandscheibe durch eine Prothese ersetzt. Diese lockerte sich im Lauf der Zeit, was eine erneute Operation erforderlich machte. In der Folge erstattete A._ mehrfach Strafanzeige gegen den behandelnden Arzt wegen schwerer Körperverletzung, Urkundenfälschung, Vergehen gegen das Heilmittelgesetz und Warenfälschung. Es kam in keinem Fall zu einer Verurteilung.
Mit an das Appellationsgericht Basel-Stadt gerichteter Eingabe vom 20. April 2017 erstattete A._ Strafanzeige gegen eine deutsche Prüfstelle für Produktsicherheit wegen Verdachts auf Urkundenfälschung bei dessen Zertifikaten vom 1. Juli 2003 und 9. Juli 2003 betreffend das bei ihr verwendete Prothesenmodell. In der Eingabe beschuldigte A._ zudem die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt des Amtsmissbrauchs und der Begünstigung, weil diese toleriert habe, dass das Universitätsspital Basel im Prozess in grossem Umfang beschlagnahmte Krankenakten vorenthalten habe.
Die Eingabe vom 20. April 2017 wurde am 15. Mai 2017 zuständigkeitshalber an die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt weitergeleitet. Mit Eingabe vom 7./8. Juni 2017 beantragte A._, die Strafanzeige vom 20. April 2017 sei an die Bundesanwaltschaft weiterzuleiten, da gemäss Art. 23 und <ref-law> diese und nicht die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt dafür zuständig sei. Ausserdem sei die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt selber in den Fall verstrickt. Dementsprechend beantragte A._, gegen den Untersuchungsbeamten B._, die leitende Staatsanwältin C._, den Staatsanwalt D._ sowie gegen allfällige weitere Personen, die in de n Fall involviert gewesen seien, ein Strafverfahren wegen Begünstigung und Amtsmissbrauchs zu eröffnen.
Die Eingabe vom 7./8. Juni 2017 wurde zusammen mit der Strafanzeige vom 20. April 2017 an die Bundesanwaltschaft weitergeleitet, mit der Bitte um Prüfung der Zuständigkeit bzw. zur allfälligen Eröffnung einer Untersuchung. Die Anzeigen betreffend die Mitglieder der baselstädtischen Strafverfolgungsbehörden wurden an den Ersten Staatsanwalt der Staatsanwaltschaft Basel-Stadt weitergeleitet. Mit Schreiben vom 15. Juni 2017 teilte die Bundesanwaltschaft mit, nach summarischer Prüfung der zugestellten Akten sei weder eine Zuständigkeit der Bundesanwaltschaft noch überhaupt ein strafbares Verhalten seitens der in Schweizer Kompetenz fallenden Swissmedic zu erkennen.
Mit Nichtanhandnahmeverfügung vom 10. Juli 2017 trat der Erste Staatsanwalt auf die Strafanzeigen von A._ vom 20. April 2017 und vom 7./8. Juni 2017 nicht ein, mit der Begründung, die fraglichen Tatbestände seien eindeutig nicht erfüllt.
B.
A._ erhob Beschwerde gegen die Verfahrensnichtanhandnahme. Das Appellationsgericht Basel-Stadt trat am 15. Januar 2018 nicht auf die Beschwerde ein.
C.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen. Sie beantragt, der Entscheid des Appellationsgerichts Basel-Stadt vom 15. Januar 2018 sei aufzuheben und nichtig zu erklären. Die Strafverfahren seien an die Hand zu nehmen und fortzusetzen. Es seien die vollständigen Akten zum vorliegenden Verfahren der Bundesanwaltschaft zur Beurteilung weiterzuleiten. Betreffend die mutmasslich durch die deutsche Prüfstelle begangenen Offizialdelikte seien umgehend die notwendigen Schritte einzuleiten, um die zuständigen Behörden in Deutschland so rasch wie möglich über die Vorfälle zu dokumentieren. Es seien für die Strafsachen gemäss Anzeigen vom 20. April 2017 und 7./8. Juni 2017 separate Aktendossiers zu führen, wobei jeweils aus der Einleitung klar hervorgehen müsse, welchen angezeigten natürlichen oder juristischen Personen welche konkreten Delikte angelastet werden. Die zuständige Stelle sei zu verpflichten, umgehend die Beschlagnahme der vollständigen und unveränderten Krankenakten zu veranlassen. Aufgrund drohender Verjährung seien die Verfahren, welche von den Strafbehörden verschleppt worden seien, vordringlich zu behandeln. Schliesslich beantragt A._, es sei ihr eine Entschädigung von Fr. 3'100.-- zuzusprechen.

Erwägungen:
1.
1.1. Zur Beschwerde in Strafsachen ist nach <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b).
Die Privatklägerschaft ist zur Beschwerde in Strafsachen legitimiert, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Dies verlangt grundsätzlich vom Privatkläger, dass er bereits adhäsionsweise Zivilforderungen geltend gemacht hat. Bei Nichtanhandnahme oder Einstellung des Strafverfahrens wird auf dieses Erfordernis verzichtet. In diesen Fällen muss im Verfahren vor Bundesgericht aber dargelegt werden, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderungen auswirken kann, sofern dies (etwa aufgrund der Natur der untersuchten Straftat) nicht ohne Weiteres aus den Akten ersichtlich ist. Das Bundesgericht stellt an die Begründung strenge Anforderungen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 4 f.; Urteil 6B_827/2014 vom 1. Februar 2016 E. 1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; je mit Hinweisen).
Unbekümmert um die Legitimation in der Sache selbst kann der Privatkläger die Verletzung von Verfahrensrechten geltend machen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt. Zulässig sind Rügen formeller Natur, die von der Prüfung der Sache getrennt werden können. Nicht zu hören sind Rügen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen. Ein in der Sache nicht legitimierter Beschwerdeführer kann deshalb weder die Beweiswürdigung kritisieren, noch kann er geltend machen, die Begründung sei materiell unzutreffend. Er kann hingegen vorbringen, auf ein Rechtsmittel sei zu Unrecht nicht eingetreten worden, er sei nicht angehört worden, er habe keine Gelegenheit erhalten, Beweisanträge zu stellen, oder er habe keine Einsicht in die Akten nehmen können (sog. "Star-Praxis"; <ref-ruling> E. 1.1 S. 5; <ref-ruling> E. 1.3 S. 80; <ref-ruling> E. 1.4 S. 44; Urteil 6B_827/2014 vom 1. Februar 2016 E. 1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; je mit Hinweisen).
1.2. Die Frage, ob die Vorinstanz zu Unrecht nicht auf die Beschwerde eingetreten ist, ist einer bundesgerichtlichen Überprüfung zugänglich. Die Beschwerdeführerin ist zur Beschwerde in Strafsachen legitimiert.
2.
2.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, für die Beurteilung der Strafanzeige gegen die deutsche Prüfstelle wäre gemäss Art. 23 f. StPO die Bundesanwaltschaft zuständig gewesen. Mangels Zuständigkeit der Staatsanwaltschaft bzw. des Appellationsgerichts Basel-Stadt sei die Nichtanhandnahmeverfügung nichtig.
2.2. Die Vorinstanz erwägt im Wesentlichen, die Strafanzeige vom 20. April 2017 sei der Bundesanwaltschaft zugestellt worden und diese habe mit Schreiben vom 15. Juni 2017 ihre Zuständigkeit verneint. Somit seien die Strafbehörden des Kantons Basel-Stadt für die Beurteilung der Strafanzeigen zuständig gewesen.
2.3. Ausser in den Fällen der Bundesgerichtsbarkeit (<ref-law>) sind die kantonalen Strafbehörden zuständig für die Verfolgung und Beurteilung der Straftaten (<ref-law>). Soweit die Beschwerdeführerin einwendet, es sei nicht klar, worauf sich die summarische Prüfung der Bundesanwaltschaft bezogen habe, kann ihr nicht gefolgt werden. Wie bereits ausgeführt (Sachverhalt A), wurden der Bundesanwaltschaft sowohl die Eingabe vom 7./8. Juni 2017 als auch die Strafanzeige vom 20. April 2017 zugestellt. Die Bundesanwaltschaft nahm eine Beurteilung gestützt auf die genannten Eingaben vor und verneinte ihre Zuständigkeit bzw. generell die Zuständigkeit und Strafbarkeit Schweizer Behörden. Inwiefern bezüglich des Prüfgegenstandes Unklarheiten bestehen sollen, ist daher nicht ersichtlich. Letztlich ist die summarische Beurteilung durch die Bundesanwaltschaft jedoch ohnehin nicht entscheidend. Eine Zuständigkeit der Bundesanwaltschaft lässt sich, wie sich aus dem Folgenden ergibt, auch auf die von der Beschwerdeführerin ins Feld geführten Rechtsgrundlagen nicht stützen.
Die Beschwerdeführerin beruft sich zunächst auf <ref-law>. Gemäss dieser Bestimmung unterstehen Verbrechen und Vergehen des elften Titels (Urkundenfälschung) der Bundesgerichtsbarkeit, sofern es sich um Urkunden des Bundes handelt. Als Urkunde des Bundes gilt ein Schriftstück, das von einer Behörde oder einem Beamten des Bundes in Erfüllung öffentlicher Aufgaben oder gewerblicher Verrichtungen ausgestellt wurde (<ref-ruling> E. I.1 S. 163; FINGERHUTH/LIEBER, in: Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung [StPO], Donatsch/Hansjakob/Lieber [Hrsg.], 2. Aufl. 2014, N. 9 zu <ref-law>). Vorliegend wirft die Beschwerdeführerin der deutschen Prüfstelle vor, falsche Prüfzertifikate ausgestellt zu haben. Dabei handelt es sich nicht um Urkunden des Bundes im Sinne der soeben genannten Definition.
Weiter beruft sich die Beschwerdeführerin auf <ref-law>. Gemäss dieser Bestimmung unterstehen Straftaten des achtzehnten Titels (Strafbare Handlungen gegen die Amts- und Berufspflicht) und des neunzehnten Titels (Bestechung), sofern sie von einem Behördenmitglied oder Angestellten des Bundes oder gegen den Bund verübt wurden, der Bundesgerichtsbarkeit. Bei der beanzeigten deutschen Prüfstelle handelt es sich klarerweise nicht um eine Behörde des Bundes. Der Einwand der Beschwerdeführerin dringt daher nicht durch.
Die Beschwerdeführerin beruft sich ferner auf <ref-law>. Auch daraus soll sich eine Zuständigkeit der Bundesanwaltschaft ergeben. Inwiefern die Voraussetzungen für die Anwendung der genannten Bestimmung (Vorliegen einer Straftat nach Abs. 1 bzw. keine Befassung einer kantonalen Strafbehörde mit dem Fall oder Ersuchen der kantonalen Behörden um Übernahme des Verfahrens durch die Bundesanwaltschaft) vorliegend erfüllt sein sollen, ist aber weder dargetan noch ersichtlich. Bei Abs. 2 der genannten Bestimmung handelt es sich ohnehin um eine Kann-Vorschrift, womit die Bundeszuständigkeit nicht zwingend vorgesehen ist.
Soweit die Beschwerdeführerin eine Zuständigkeit der Bundesanwaltschaft damit begründet, es liege ein Fall internationaler Rechtshilfe vor, kann ihr nicht gefolgt werden. Abgesehen davon, dass die Beschwerdeführerin nicht angibt, auf welche Norm sie sich stützt, liegt auch kein Fall internationaler Rechtshilfe vor.
Die Rüge der Beschwerdeführerin, weder die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt noch die Vorinstanz seien für die vorliegende Strafsache zuständig gewesen und die Nichtanhandnahmeverfügung sei daher nichtig, erweist sich als unbegründet.
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt hätte die Anzeigen gegen Mitglieder ihrer eigenen Behörde nicht selber behandeln dürfen, da diese in der Sache vorbefasst seien. Sie rügt damit eine Verletzung der Ausstandsvorschriften.
3.2. Hierzu erwägt die Vorinstanz, die Nichtanhandnahmeverfügung sei nicht durch eine der beanzeigten Personen selber, sondern vom Ersten Staatsanwalt erlassen worden, welcher bisher mit keinem der diversen Verfahren der Beschwerdeführerin befasst gewesen sei. Dass er der Vorgesetzte der beanzeigten Personen sei, stelle nicht per se einen Ausstandsgrund gemäss <ref-law> dar. Im Übrigen sei der Beschwerdeführerin die Verfügung vom 8. Juni 2017, wonach ihre Strafanzeigen gegen Mitglieder der Staatsanwaltschaft Basel-Stadt an den Ersten Staatsanwalt des Kantons Basel-Stadt weitergeleitet würden, am 12. Juni 2017 zugestellt worden. Gemäss <ref-law> müsse eine Partei, wenn sie den Ausstand einer in einer Strafbehörde tätigen Person verlangen wolle, der Verfahrensleitung ohne Verzug ein entsprechendes Gesuch stellen, sobald sie vom Ausstandsgrund Kenntnis habe. Auf spätere Ausstandsgesuche sei nicht einzutreten. Im vorliegenden Fall sei die Beschwerdeführerin weder Partei noch habe sie rechtzeitig ein Ausstandsgesuch gestellt, sodass auf ihre entsprechende Rüge nicht eingetreten werden könne.
3.3. Die Ausstandsgründe betreffend die in einer Strafbehörde tätigen Justizpersonen sind in <ref-law> geregelt. Zu den Strafbehörden gehören neben den Gerichten (<ref-law>) die Strafverfolgungsbehörden, darunter die Organe der Staatsanwaltschaft (<ref-law>). Von den in Art. 56 lit. b-e StPO geregelten besonderen Ausstandsgründen abgesehen tritt eine Justizperson in den Ausstand, wenn sie in der Sache ein persönliches Interesse hat (lit. a) oder aus anderen Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand, befangen sein könnte (lit. f). <ref-law> konkretisiert die Verfassungsbestimmung von <ref-law> (für nicht richterliche Behörden) und von <ref-law> (für richterliche Behörden) sowie von Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Hinsichtlich der Staatsanwaltschaft in ihrer Funktion als Strafuntersuchungs- und Anklagebehörde konkretisiert <ref-law> mithin den in <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK verankerten Anspruch jeder Person auf ein faires Verfahren (Urteil 6B_1275/2017 vom 20. Juni 2018 E. 1.3).
Befangenheit eines Untersuchungsleiters ist nach der Praxis des Bundesgerichtes namentlich anzunehmen, wenn nach objektiver Betrachtung besonders krasse oder ungewöhnlich häufige Fehlleistungen der Untersuchungsleitung vorliegen, welche bei gesamthafter Würdigung eine schwere Verletzung der Amtspflichten darstellen und sich einseitig zulasten einer der Prozessparteien auswirken (<ref-ruling>78 E. 3.2.3 S. 180). Im gerichtlichen Verfahren ist die Staatsanwaltschaft Partei (<ref-law>) und deshalb nicht im selben Masse wie die Gerichtsperson zur Objektivität verpflichtet. Die Rechtsprechung differenziert nach dem Verfahrensstadium, in welchem das Ausstandsgesuch gegen den Staatsanwalt gestellt wird (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 145 f.; zum Ganzen Urteil 6B_1275/2017 vom 20. Juni 2018 E. 1.3 mit Hinweisen).
Nach dem Grundsatz von Treu und Glauben und dem Verbot des Rechtsmissbrauchs muss ein echter oder vermeintlicher Ausstandsgrund so früh wie möglich, d.h. nach dessen Kenntnis bei erster Gelegenheit, geltend gemacht werden. Wer den Mangel nicht unverzüglich vorbringt, wenn er davon Kenntnis erhält, sondern sich stillschweigend auf ein Verfahren einlässt, verwirkt den Anspruch auf spätere Anrufung der angeblich verletzten Ausstandsbestimmung (<ref-ruling> E. 8.4.3 S. 275; <ref-ruling> E. 2.2 S. 4; <ref-ruling> E. 3.4 S. 211; je mit Hinweisen).
3.4. Beruht der angefochtene Entscheid auf einer Doppelbegründung, so hat der Beschwerdeführer darzulegen, dass jeder Begründungspunkt Recht verletzt; andernfalls kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 6.3 S. 120 f.). Im hier zu beurteilenden Fall hat die Vorinstanz ausgeführt, die Beschwerdeführerin habe den Ausstand nicht rechtzeitig verlangt und ohnehin liege kein Ausstandsgrund vor. Dabei handelt es sich um eine Doppelbegründung.
Die Beschwerdeführerin widerlegt keine der beiden Begründungen in substanziierter Weise. So legt sie nicht konkret dar, inwiefern die Stellung von E._ als Erster Staatsanwalt innerhalb der Staatsanwaltschaft Basel-Stadt ihn daran gehindert haben sollte, einen unabhängigen Entscheid zu fällen. Diesbezüglich drängt sich eine grundsätzliche Überlegung auf. Würde es nämlich ausreichen, gegen einen Staatsanwalt strafrechtlich relevante Vorwürfe zu erheben und Strafanzeige zu erstatten, wäre es für jeden Beschuldigten ein Leichtes, die Untersuchungsorgane lahmzulegen. Eine Ausstandspflicht kann im Anschluss an eine Strafanzeige daher nur bestehen, wenn in Bezug auf die dem Staatsanwalt vorgeworfenen Straftaten ein hinreichend verdichteter bzw. dringender Tatverdacht besteht. Dies muss vorliegend verneint werden. Zudem legt die Beschwerdeführerin auch nicht dar, den Ausstand rechtzeitig verlangt zu haben. Sie führt einzig aus, dass Ausstandsgründe bestünden, was sie bereits im vorinstanzlichen Verfahren vorgebracht habe. Weshalb die Rüge rechtzeitig erhoben worden sein soll, legt die Beschwerdeführerin damit nicht dar. Auf die Beschwerde kann in diesem Punkt nicht eingetreten werden. Auch liegt keine von Amtes wegen zu beachtende Nichtigkeit vor, denn Amtshandlungen, an denen eine zum Ausstand verpflichtete Person mitwirkt, sind nicht nichtig, es sei denn, sie müssten ausnahmsweise als derart schwer bezeichnet werden, dass Nichtigkeit anzunehmen wäre (<ref-ruling> E. 4.5 S. 391 betreffend einen Verwaltungsrichter; Urteil 6B_1054/2015 vom 22. Februar 2016 E. 2.3.3). Dies ist vorliegend zu verneinen.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz hätte die Nichtanhandnahmeverfügung aufheben müssen. Sie sei zu Unrecht nicht auf ihre Beschwerde eingetreten. Die Vorinstanz begründet das Nichteintreten auf die Beschwerde damit, dass die Beschwerdeführerin nicht beschwerdelegitimiert nach <ref-law> sei.
4.2. Nach <ref-law> eröffnet die Staatsanwaltschaft eine Untersuchung, wenn sich aus den Informationen und Berichten der Polizei, aus der Strafanzeige oder aus ihren eigenen Feststellungen ein hinreichender Tatverdacht ergibt. Sie verzichtet auf die Eröffnung, wenn sie sofort eine Nichtanhandnahmeverfügung oder einen Strafbefehl erlässt (<ref-law>). Gemäss <ref-law> verfügt die Staatsanwaltschaft die Nichtanhandnahme der Untersuchung, sobald aufgrund der Strafanzeige oder des Polizeirapports feststeht, dass die fraglichen Straftatbestände oder die Prozessvoraussetzungen eindeutig nicht erfüllt sind (lit. a).
4.3. Gemäss <ref-law> kann jede Partei, die ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung eines Entscheides hat, ein Rechtsmittel ergreifen. Partei ist namentlich die Privatklägerschaft (<ref-law>). Als Privatklägerschaft gilt die geschädigte Person, die ausdrücklich erklärt, sich am Strafverfahren im Straf- oder Zivilpunkt zu beteiligen (<ref-law>). Geschädigt ist, wer durch die Straftat in seinen Rechten unmittelbar verletzt worden ist (<ref-law>).
In seinen Rechten unmittelbar verletzt ist, wer Träger des durch die verletzte Strafnorm geschützten oder zumindest mitgeschützten Rechtsgutes ist (<ref-ruling> E. 2.2 S. 78; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 457). Bei Strafnormen, die nicht primär Individualrechtsgüter schützen, gelten praxisgemäss nur diejenigen Personen als Geschädigte, die durch die darin umschriebenen Tatumstände in ihren Rechten beeinträchtigt werden, sofern diese Beeinträchtigung unmittelbare Folge der tatbestandsmässigen Handlung ist (BGE <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 457; <ref-ruling> E. 3.2 S. 157; je mit Hinweisen). Im Allgemeinen genügt es, wenn das von der geschädigten Person angerufene Individualrechtsgut durch den verletzten Straftatbestand auch nur nachrangig oder als Nebenzweck geschützt wird, selbst wenn der Tatbestand in erster Linie dem Schutz von kollektiven Rechtsgütern dient. Werden indes durch Delikte, die nur öffentliche Interessen verletzen, private Interessen bloss mittelbar beeinträchtigt, ist der Betroffene nicht Geschädigter im Sinne des Strafprozessrechts (BGE <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 457; <ref-ruling> E. 3.2 S. 158; <ref-ruling> E. 2.3 S. 263; je mit Hinweisen).
4.4. Die Beschwerdeführerin bezichtigt eine deutsche Prüfstelle für Produktsicherheit der Urkundenfälschung. Vor Vorinstanz machte sie geltend, es sei nicht erkennbar, ob die auf den Prüfzertifikaten vom 1. Juli 2003 und vom 9. Juli 2003 aufgeführten identischen Einzelunterschriften ohne Namens- und Funktionsangabe der unterzeichnenden Person von einer einzelzeichnungsberechtigten Person stammten. Weiter machte sie geltend, es handle sich dabei möglicherweise um Faksimiles, was unzulässig wäre. Auch die Staatsanwaltschaft habe sich "via Schreiben Swissmedic auf das rechtswidrige und mutmasslich gefälschte Zertifikat der deutschen Prüfstelle verlassen". Die mutmassliche Urkundenfälschung habe somit direkten Einfluss auf das Verfahren gegen den behandelnden Arzt. Ausserdem seien nebst ihr weitere Patienten in der Schweiz betroffen, welchen die Prothese eingesetzt worden sei. Vor Bundesgericht macht die Beschwerdeführerin zudem geltend, erst die gefälschten Zertifikate hätten ermöglicht, dass bei ihr eine körperliche Schädigung habe eintreten können. Denn die Prothese habe ihr nur dank der von der deutschen Prüfstelle ausgestellten Zertifikate implantiert werden können. Das Prüfzertifikat vom 1. Juli 2003 sei Bestandteil des Konformitätsbewertungsverfahrens für Prothesen gemäss der Europäischen Richtlinie 93/42/EWG. Diese Richtlinie schütze Individualrechte, insbesondere die Gesundheit der Bevölkerung. Die Schädigung eines Patienten durch den Verstoss gegen die genannte Richtlinie stelle eine unmittelbare Schädigung der betroffenen Person dar. Die Beschwerdeführerin macht weiter geltend, ihr stünden auch zivilrechtliche Ansprüche wie etwa Schadenersatz und Genugtuung zu, denn sie sei mehrere Monate arbeitsunfähig gewesen und wegen starker Schmerzen sei eine mehrwöchige Rehabilitation notwendig gewesen. Zudem habe sie sich einer weiteren Halswirbelsäulenoperation unterziehen müssen. Diese Operation habe wiederum zu Arbeitsunfähigkeit und einem Kuraufenthalt geführt.
4.4.1. Die Tatbestände des Urkundenstrafrechts dienen dem Schutz von Sicherheit und Zuverlässigkeit des Rechtsverkehrs mit Urkunden. Sie bezwecken in erster Linie den Schutz der Allgemeinheit. Geschütztes Rechtsgut der Urkundendelikte ist das besondere Vertrauen, welches von den Teilnehmern am Rechtsverkehr einer Urkunde als Beweismittel entgegengebracht wird (BGE <ref-ruling> E. 3.3.3 S. 159; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 169; <ref-ruling> E. 8.1 S. 14, je mit Hinweisen).
Neben der Allgemeinheit schützt der Tatbestand der Urkundenfälschung auch private Interessen des Einzelnen, soweit das Fälschungsdelikt sich auf die Benachteiligung einer bestimmten Person richtet. Dies ist namentlich der Fall, wenn das Urkundendelikt auf die Verfolgung eines weitergehenden, wirtschaftlichen Zwecks abzielt und insofern als blosse Vorbereitungshandlung eines schädigenden Vermögensdelikts erscheint (BGE <ref-ruling> E. 3.3.3 S. 159; <ref-ruling> E. 2b S. 346 f.; Urteil 6B_96/2017 vom 16. Oktober 2017 E. 2). Dabei schützt der Tatbestand den Einzelnen davor, durch Scheinerklärungen oder qualifiziert unrichtige Erklärungen getäuscht und dadurch zu nachteiligen rechtserheblichen Dispositionen veranlasst zu werden (Urteil 6B_917/2015 vom 23. Februar 2016 E. 3.1 mit Hinweis).
4.4.2. Die Vorinstanz erwägt, inwiefern die Beschwerdeführerin durch eine allfällige Urkundenfälschung, begangen durch die deutsche Prüfstelle, unmittelbar in ihren Rechten verletzt worden sein soll, werde weder in der Strafanzeige noch in der Beschwerde aufgezeigt und sei auch nicht ersichtlich. Ihre Gesundheitsschädigung könnte höchstens als mittelbarer Reflexschaden gelten. Damit fehle in Bezug auf die beanzeigte Urkundenfälschung eine unmittelbare Betroffenheit der Beschwerdeführerin, was Voraussetzung für die Beschwerdelegitimation wäre. In Bezug auf die Nichtanhandnahme des Verfahrens gegen die deutsche Prüfstelle wegen des Verdachts auf Urkundenfälschung sei daher nicht auf die Beschwerde einzutreten.
4.4.3. Im Strafverfahren muss aufgezeigt werden, dass und inwiefern eine Beeinträchtigung vorliegt, die unmittelbare Folge der tatbestandsmässigen Handlung ist. Entsprechendes wurde aber weder vorliegend noch im kantonalen Verfahren aufgezeigt. Abgesehen davon, dass bereits fraglich ist, ob eine körperliche Schädigung überhaupt in den Schutzbereich von Urkundendelikten fällt, handelt es sich bei der angeblich auf die verwendete Prothese zurückzuführenden körperlichen Schädigung der Beschwerdeführerin höchstens um eine entfernte, nicht jedoch um eine direkte Folge des angeblich gefälschten Zertifikats. Die angeführten Zivilansprüche stellen eine noch entferntere Schadensfolge der angeblichen Urkundenfälschung dar. Die Beschwerdeführerin kann daher ihre Beschwerdelegitimation auch damit nicht begründen. Des Weiteren kann sich die Beschwerdeführerin zur Beschwerdelegitimation auch nicht auf die Europäische Richtlinie 93/42/EWG berufen. Zwar dient diese Richtlinie letztlich dem Gesundheitsschutz der Allgemeinheit. Dies ändert jedoch nichts an der Tatsache, dass der Gesundheitsschaden der Beschwerdeführerin keine unmittelbare Folge der behaupteten Urkundenfälschung darstellt.
4.5. Die Beschwerdeführerin wendet ein, verschiedene Mitglieder der Strafbehörden Basel-Stadt hätten sich der Begünstigung schuldig gemacht, indem sie von ihr angezeigte Straftaten nicht verfolgt hätten. Auf ihre Anzeige wegen Begünstigung sei zu Unrecht nicht eingetreten worden.
4.5.1. Die Vorinstanz erwägt, die Beschwerdeführerin werfe den Untersuchungsbeamten B._, dem Staatsanwalt D._ und der leitenden Staatsanwältin C._ Begünstigung vor. Der Straftatbestand der Begünstigung schütze ausschliesslich ein kollektives Rechtsgut. Es gebe diesbezüglich keine geschädigte Person im Sinne von <ref-law>. Die Beschwerdeführerin sei daher nicht zur Beschwerde gegen die Nichtanhandnahmeverfügung berechtigt.
4.5.2. Die Ausführungen der Vorinstanz sind zutreffend. Der Tatbestand der Begünstigung nach <ref-law> schützt das Funktionieren der Strafrechtspflege, d.h. ein kollektives Rechtsgut (Urteile 1B_182/2014 vom 21. Mai 2014 E. 2.2 und 1C_382/2012 vom 10. Oktober 2012 E. 2.6; je mit Hinweisen). Da der Tatbestand der Begünstigung keine individuellen Rechtsgüter schützt, ist die Beschwerdeführerin diesbezüglich nicht Geschädigte im Sinne von <ref-law>. Die Vorinstanz verletzt kein Bundesrecht, indem sie diesbezüglich nicht auf die Beschwerde eingetreten ist.
4.6. Die Beschwerdeführerin macht geltend, im Jahr 2011 sei ihre Krankenakte beschlagnahmt worden. Diese sei nun nicht (mehr) vollständig. Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt habe zugelassen, dass das Universitätsspital Basel Aktenstücke habe entfernen können. Es seien damit im grossen Stil und im Wissen der Staatsanwaltschaft Beweismittel entfernt worden. Der behauptete Amtsmissbrauch habe es dem Gutachter ermöglicht, wissentlich ein Gutachten auf unzureichenden Grundlagen zu erstellen, wodurch der behandelnde Arzt im Prozess begünstigt worden sei. Durch ihr Vorgehen habe die Verfahrensleiterin der Staatsanwaltschaft in ihrer Amtsfunktion den behandelnden Arzt, den Gutachter und den Untersuchungsbeamten vor einer Strafuntersuchung geschützt. Da der Prozess gegen den behandelnden Arzt für sie negativ geendet habe, sei sie unmittelbar geschädigt worden. Ihr Nachteil bzw. Schaden bestehe darin, dass sie ihre Ansprüche gegenüber dem behandelnden Arzt und gegenüber dem Universitätsspital Basel mangels Beweisen nicht geltend machen könne. Zusätzlich habe sie die Verfahrenskosten übernehmen und Prozessentschädigungen von mehreren tausend Franken leisten müssen. Sie sei noch immer nicht im Besitz ihrer vollständigen Krankenakten. Auch dies sei ein unmittelbarer Schaden.
4.6.1. Der Amtsmissbrauch gemäss <ref-law> schützt einerseits das Interesse des Staates an zuverlässigen Beamten, welche mit der ihnen anvertrauten Machtposition pflichtbewusst umgehen, und andererseits das Interesse der Bürger, nicht unkontrollierter und willkürlicher staatlicher Machtentfaltung ausgesetzt zu werden (<ref-ruling> E. 1b S. 212 f.; Urteil 1C_382/2012 vom 10. Oktober 2012 E. 2.6; je mit Hinweis).
4.6.2. Die Vorinstanz erwägt, da <ref-law> auch die Interessen der Bürgerinnen und Bürger schütze, sei zu prüfen, ob die Beschwerdeführerin durch den behaupteten Amtsmissbrauch unmittelbar geschädigt worden sei. Die Vorinstanz verneint dies mit der Begründung, es werde in der Beschwerde nicht ausgeführt, inwiefern ein Schaden im Rechtssinn vorliegen soll. Aus der Argumentation der Beschwerdeführerin folge, dass höchstens eine indirekte Betroffenheit geltend gemacht werde. Bezüglich des behaupteten Amtsmissbrauchs durch die leitende Staatsanwältin C._ und den Untersuchungsbeamten B._ fehle der Beschwerdeführerin nach dem Gesagten die Geschädigtenstellung und damit die Beschwerdelegitimation, sodass diesbezüglich nicht auf die Beschwerde einzutreten sei. Dasselbe gelte in Bezug auf den angeblichen Amtsmissbrauch durch Staatsanwalt D._. Diesen soll er begangen haben, indem er in der Nichtanhandnahmeverfügung vom 12. Januar 2016 die fehlenden Angaben zu Namen und Funktion der Person, die die beiden Prüfzertifikate unterzeichnet habe, sowie die deckungsgleich identischen Unterschriften auf den beiden Zertifikaten nicht beanstandet habe. Auch diesbezüglich sei eine unmittelbare Verletzung der Rechte der Beschwerdeführerin durch das angebliche Delikt weder dargetan noch auch nur ansatzweise ersichtlich.
4.6.3. Die vorinstanzlichen Erwägungen sind zutreffend. Darauf kann grundsätzlich verwiesen werden. Zwar schützt der Amtsmissbrauch auch Individualinteressen. Dies entbindet die betroffene Person allerdings nicht davon, darzulegen, worin die durch die tatbestandsmässige Handlung verursachte unmittelbare Beeinträchtigung konkret bestehen soll. Eine solche direkte Betroffenheit lässt sich den Ausführungen der Beschwerdeführerin nicht entnehmen. Die Vorinstanz trat zu Recht nicht auf die Beschwerde ein.
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die kantonalen Behörden hätten die Strafverfahren nicht gemeinsam behandeln bzw. erledigen dürfen. Dies verstosse gegen Bundesrecht (Art. 29 und Art. 100 StPO), denn die Anzeigen lägen zeitlich auseinander und beträfen zudem unterschiedliche Strafsachen sowie Personen.
5.2. Die Vorinstanz erwägt, dass sowohl in der Strafanzeige vom 20. April 2017 als auch in jener vom 7./8. Juni 2017 die angeblich durch die deutsche Prüfstelle und die Mitarbeiter der Staatsanwaltschaft begangenen Delikte thematisiert worden seien und diese zudem in einem Gesamtzusammenhang stünden. Gemäss <ref-law> gelte der Grundsatz der Verfahrenseinheit, von dem nur in begründeten Ausnahmefällen abgewichen werden dürfe. Ein solcher Ausnahmefall liege nicht vor. Zudem sei nicht ersichtlich, inwiefern die Beschwerdeführerin durch die gemeinsame Verfahrensführung beschwert sein soll.
5.3. Gemäss <ref-law> müssen Strafverfahren gemeinsam geführt werden, wenn eine Person mehrere Straftaten begangen hat oder wenn mehrere Personen an der Tat beteiligt waren. Diese Voraussetzungen sind vorliegend nur teilweise erfüllt. Jedenfalls ist nicht ersichtlich, weshalb die der deutschen Prüfstelle und die den Staatsanwälten vorgeworfenen Taten nach der genannten Bestimmung zwingend in einem Verfahren zu beurteilen gewesen wären. Dies ist aber letztlich nicht entscheidend. Wie die Vorinstanz zutreffend ausgeführt hat, ist nicht ersichtlich, inwiefern die Beschwerdeführerin aufgrund der gemeinsamen Verfahrenserledigung einen Nachteil erlitten haben sollte. Ihr fehlt es daher diesbezüglich an der Beschwer. Gleiches gilt für die angeblich nicht gesetzeskonforme Aktenführung. Auch in diesem Punkt kann auf die Beschwerde mangels Beschwer nicht eingetreten werden.
6.
Die Beschwerdeführerin wendet ein, ihr Antragsrecht nach <ref-law> sei verletzt worden. Gemäss der genannten Bestimmung hat jedermann das Recht, eine strafbare Handlung anzuzeigen. Inwiefern dieses Recht vorliegend beeinträchtigt worden sein soll, ist allerdings nicht ersichtlich. Jedenfalls konnte die Beschwerdeführerin Strafanzeige gegen verschiedene Personen erstatten. Soweit die Beschwerdeführerin die angebliche Verletzung des Antragsrechts damit begründet, es sei keine Strafuntersuchung durchgeführt worden, zielt die Kritik darauf ab, eine Verletzung von Art. 6 und Art. 7 StPO geltend zu machen. Die genannten Bestimmungen sind jedoch nicht bereits deshalb verletzt, weil das Verfahren durch eine Nichtanhandnahme erledigt wurde.
7.
Schliesslich bringt die Beschwerdeführerin eine Vielzahl weiterer Rügen vor, welche jedoch allesamt unbegründet sind. Anfechtungsobjekt bildet ausschliesslich der Entscheid des Appellationsgerichts Basel vom 15. Januar 2018 (vgl. <ref-law>). Soweit sich ihre Ausführungen auf die Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft beziehen ( z.B. Rz. 85 ff.), kann daher darauf nicht eingetreten werden. Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin wird der Verfahrensgang im vorinstanzlichen Entscheid zutreffend dargestellt. Soweit die Beschwerdeführerin die Rechtsmittelbelehrung des vorinstanzlichen Entscheids beanstandet, ist nicht ersichtlich, worin ihre Beschwer bestehen soll, begründet die Vorinstanz ihren Nichteintretensentscheid doch nicht mit einer verspäteten Beschwerdeeinreichung. Auch eine angebliche Verfahrensverschleppung durch die Behörden im vorliegenden Verfahren ist nicht ersichtlich. Sollte sich die Rüge der Beschwerdeführerin auf andere Strafverfahren beziehen, müsste sie diese dort erheben. Unklar ist ferner, welche deutschen Stellen über den Vorfall dokumentiert werden sollten und gestützt auf welche gesetzliche Grundlage die beantragte Weiterleitung an eine ausländische Behörde zu erfolgen hätte. Der Beschwerdeführerin steht es offen, die entsprechenden Unterlagen den deutschen Behörden direkt zu übermitteln. Vorliegend kann auf den Antrag allerdings nicht eingetreten werden. Gleiches gilt für den Antrag auf Beschlagnahme bzw. Edition der Krankenakte. Inwiefern die Voraussetzungen einer Beschlagnahme (<ref-law>) im vorliegenden Verfahren, welches durch Nichtanhandnahme erledigt wurde, erfüllt sein sollen, ist weder ersichtlich noch dargetan. Sofern die Beschwerdeführerin die Unterlagen für ein gegen den behandelnden Arzt anzustrebendes Verfahren benötigt, wäre der Antrag wiederum in einem anderen Strafverfahren zu stellen. Die gestellte Entschädigungsforderung begründet die Beschwerdeführerin sodann mit der Gutheissung ihrer Beschwerde. Es bleibt jedoch beim vorinstanzlichen Entscheid, womit die Beschwerdeführerin keinen Anspruch auf Entschädigung hat.
8.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die bundesgerichtlichen Kosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. September 2018
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Schär