Faits :
A.
Le 22 août 2019, A._ a sollicité l'assistance judiciaire limitée à l'avance de frais de 20'000 fr. qui lui a été réclamée dans le cadre de l'action en contestation de l'état de collocation qu'il a introduite devant le Tribunal de première instance de Genève. Dans le courrier joint au formulaire ad hoc, le mandataire de l'intéressé a indiqué que certaines informations et les documents requis étaient manquants, vu l'absence de son client, mais que la requête serait ultérieurement complétée.
B.
B.a. Le 13 septembre 2019, le greffe de l'Assistance juridique a fixé au requérant un délai au 3 octobre 2019 pour produire diverses pièces, en particulier une copie des justificatifs de toutes ses ressources pour les trois derniers mois, les relevés de ses comptes bancaires et/ou postaux pour les trois derniers mois, la preuve du paiement de ses charges pour les trois derniers mois et les justificatifs d'éventuelles aides financières (allocations de logement, subsides, etc.). A la demande du mandataire du requérant, le greffe a prolongé au 1er novembre 2019 (" ultime délai non prolongeable ") le délai pour fournir les pièces et renseignements réclamés.
Le 25 octobre 2019, le conseil du requérant a transmis au greffe, entre autres pièces, une décision d'avis de saisie sur salaire d'un Office des poursuites du canton de Vaud, valable dès le 1er octobre 2019; cette pièce indique que les revenus de l'intéressé se composent d'une rente LPP (4'316 fr.) et d'une rente AI (1'381 fr.); ses charges comprennent uniquement son entretien de base ( i.e. 1'200 fr.), faute d'avoir justifié du paiement de son loyer ni de sa prime d'assurance-maladie. Le requérant a ajouté qu'il était encore en train de réunir les documents manquants et a requis à cette fin un ultime délai au 21 novembre 2019.
Le requérant ayant fait état de plusieurs impondérables par courrier de son conseil du 29 octobre 2019, le greffe lui a accordé un " ultime délai non prolongeable " au 21 novembre 2019 pour produire les documents et renseignements demandés.
Par courrier du 26 novembre 2019, le conseil du requérant a adressé au greffe les récépissés du paiement de la prime d'assurance-maladie du requérant pour les derniers mois, un justificatif du paiement du loyer pour le mois de novembre 2019 et un ordre de paiement permanent de 1'200 fr. en faveur de l'ex-épouse. Le 28 novembre 2019, il a transmis en outre un extrait du procès-verbal d'interrogatoire du requérant par l'Office, un questionnaire de rente de celui-ci, un courrier du service des rentes adressé à l'Office, une confirmation de paiement de la somme de 1'200 fr. à l'ex-épouse, une communication de la Caisse cantonale de compensation, une facture de prime de l'assurance-maladie et un justificatif de paiement du loyer d'octobre 2019; il a précisé que d'autres justificatifs suivraient au plus tard le 2 décembre 2019.
B.b. Statuant le 4 décembre 2019, le Vice-président du Tribunal civil du canton de Genève a rejeté la requête; il a retenu que le requérant n'avait pas démontré son indigence. Par décision du 27 janvier 2020, le Vice-président de la Cour de justice du canton de Genève a rejeté le recours du requérant à l'encontre de ce refus.
C.
Par écriture expédiée le 23 avril 2020, le requérant exerce un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral contre la décision prise le 27 janvier 2020; sur le fond, il conclut à l'octroi de l'assistance judiciaire pour l'avance de frais de 20'000 fr. exclusivement.
Des observations sur le fond n'ont pas été requises.
D.
Par ordonnances des 24 avril et 16 juin 2020, le Président de la Cour de céans a rejeté la requête du recourant tendant à l'octroi d'un délai supplémentaire pour compléter son mémoire, respectivement attribué l'effet suspensif au recours.

Considérant en droit :
1.
Le recours a été déposé en temps utile (<ref-law>) contre une décision incidente - et non " finale " au sens de l'<ref-law> comme le soutient le recourant - pouvant causer un préjudice irréparable (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.1) rendue sur recours par une juridiction cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1 et 2 LTF). Selon les pièces du dossier, la valeur litigieuse - qui correspond au dividende afférent à la créance contestée (<ref-ruling> consid. 3.2 et les arrêts cités) - atteint le seuil de 30'000 fr. (<ref-law>, en relation avec l'art. 51 al. 1 let. c LTF), comme l'indique à juste titre la décision entreprise (art. 112 al. 1 let. d LTF); contrairement à ce que prétend le recourant, la valeur litigieuse n'est donc pas déterminée par le montant de l'avance de frais dont il sollicite l'exonération ( i.c. 20'000 fr.). Enfin, le recourant, qui a participé à la procédure devant le juge précédent et a un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée, a qualité pour recourir (<ref-law>).
Il s'ensuit que le " recours constitutionnel subsidiaire " du recourant doit être traité - vu la nature de la procédure principale ( cf. <ref-ruling> consid. 1.1) - en tant que recours en matière civile au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1). Rien ne s'oppose en l'occurrence à cette conversion. L'intitulé erroné du recours ne saurait restreindre à l'arbitraire (art. 9 Cst., en relation avec l'<ref-law>) la cognition de la Cour de céans quant à l'application de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.2); en outre, cette dernière disposition concrétise en matière de procédure civile les prérogatives qui découlent de l'art. 29 al. 3 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.1; cf. parmi plusieurs: arrêt 5A_27/2020 du 11 mai 2020 consid. 3, avec d'autres citations).
2.
2.1. En l'espèce, le magistrat précédent a considéré que la décision de l'Office ne permet pas de conclure à l'indigence du requérant, dès lors qu'elle constate que celui-ci n'a pas établi s'acquitter de son loyer ni de sa prime d'assurance-maladie; cette pièce permet seulement d'établir que l'intéressé bénéficie de revenus d'environ 5'700 fr. par mois, mais sans que ses charges ne soient documentées.
Le juge précédent a ensuite retenu que, si le requérant a bien prouvé s'acquitter régulièrement de ses primes d'assurance-maladie, il n'a pas produit en temps utile les autres documents requis, à savoir la preuve du paiement du loyer pour les trois derniers mois et surtout ses relevés de comptes bancaires et/ou postaux; pourtant assisté d'un conseil, il a en outre obtenu plusieurs prolongations de délai à cette fin. On ne saurait prendre en considération les éléments nouveaux - en particulier ses relevés de comptes auprès de la Banque Migros et de Postfinance pour la période du 1er septembre au 4 décembre 2019 - transmis au greffe de l'Assistance juridique après le prononcé de la décision attaquée, ni ceux produits avec l'acte de recours, car ils sont irrecevables.
2.2. Dénonçant une violation de l'art. 29 al. 3 Cst. et celle du principe de l'interdiction de l'arbitraire ( cf. supra, consid. 1), le recourant expose que ses charges s'élèvent à 5'249 fr. 65et ses revenus à 5'697 fr., de sorte que son disponible n'est que de 447 fr. 35par mois; en outre, les extraits de comptes de la Banque Migros et de Postfinance confirment qu'il possède une " très modeste fortune d'environ CHF 2'000.- ", qui ne lui permet pas de s'acquitter de l'importante avance de frais mise à sa charge ( i.e. 20'000 fr.).
2.3.
2.3.1. La décision attaquée porte uniquement sur la question de savoir si le recourant est parvenu à établir qu'il ne dispose pas de ressources suffisantes (<ref-law>) aux fins d'être exonéré de l'avance de frais du procès de collocation (<ref-law>). Partant, c'est en vain que l'intéressé discute des chances de succès de son action en admission au passif du failli (<ref-law>; cf. sur la nature de cette action, parmi d'autres: <ref-ruling> consid. 4.3.3).
2.3.2. Quoi qu'en dise le recourant, la sévérité dont a fait preuve le juge précédent dans l'appréciation des charges n'est pas critiquable dans son principe. Comme le rappelle la décision entreprise, l'obligation de collaborer du plaideur assisté d'un avocat est accrue, dans la mesure où il connaît les conditions mises à l'octroi de l'assistance judiciaire et l'obligation de motivation qui lui incombe aux fins de démontrer que ces conditions sont remplies, de sorte qu'il n'y a pas lieu de lui accorder un délai supplémentaire pour compléter sa requête d'assistance judiciaire lacunaire ou imprécise (arrêt 4A_44/2018 du 5 mars 2018 consid. 5.3, avec la jurisprudence citée). Le recourant est au demeurant malvenu de se plaindre, dès lors qu'il a bénéficié de plusieurs prolongations du délai pour fournir les documents sollicités, son conseil ayant lui-même annoncé que d'" autres justificatifs " seraient produits, " le 2 décembre [2019] au plus tard ".
Le motif principal de refus (" surtout ") réside cependant dans l'absence de " relevés bancaires et/ou postaux " établissant l'absence de fortune permettant au recourant de s'acquitter de l'avance de frais en raison de laquelle l'assistance judiciaire a été sollicitée. Il n'est pas contesté que la fortune est un élément à prendre en considération dans l'examen de l'indigence (<ref-ruling> consid. 4). Le juge précédent a toutefois refusé de vérifier la réalisation de cette condition au regard des pièces produites par l'intéressé à l'appui de son recours cantonal ( i.e. relevés de comptes de la Banque Migros et de Postfinance du 1er septembre au 4 décembre 2019), puisqu'elles étaient nouvelles. Le recourant, qui persiste à s'en prévaloir, ne démontre pas en quoi la décision attaquée violerait l'<ref-law>, qui exclut les preuves nouvelles devant la juridiction de recours (<ref-law>, en lien avec l'<ref-law>; sur l'interdiction des nova dans ce contexte: arrêt 5A_14/2015 du 16 juillet 2015 consid. 3.2). Il s'ensuit que le grief s'avère irrecevable dans cette mesure (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.4).
2.3.3. Il n'y a pas lieu d'examiner si, comme l'admet le juge précédent, le recourant a la possibilité de présenter une nouvelle demande munie des pièces requises ( cf. sur la question, récemment: arrêt 5A_58/2020 du 13 juillet 2020 consid. 4, avec la jurisprudence citée).
3.
Manifestement mal fondé (<ref-law>), le présent recours doit dès lors être rejeté dans la mesure de sa recevabilité, aux frais du recourant qui succombe (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours, traité en tant que recours en matière civile, est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Vice-président du Tribunal civil du canton de Genève et au Vice-président de la Cour de justice du canton de Genève (Assistance juridique).
Lausanne, le 3 août 2020
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant : Le Greffier :
Escher Braconi