Sachverhalt:
A.
A.a. Am 22. Oktober 2012 errichtete B._ durch letztwillige Verfügung die "Stiftung B._" (nachfolgend: Stiftung). Sie wurde am xx.xx.2013 im Handelsregister eingetragen. Die Stiftung hat folgenden Zweck:
" Die Stiftung bezweckt die Förderung der musischen Kunst, namentlich der klassischen Musik, in der ganzen Schweiz. Sie soll Musikerinnen und Musiker, Musikstundentinnen und -studenten sowie Musikschaffende fördern und unterstützen. In Ausnahmefällen unterstützt die Stiftung auch gemeinhin bedürftige Personen. Sie kann in den genannten Bereichen selber aktiv werden, in dem sie beispielsweise Musikstudenten unterstützt (z.B. finanziell mittels Stipendien oder indem sie günstigen Wohnraum zur Verfügung stellt) oder durch Zuwendungen an andere Institutionen mit gleichem oder ähnlichem Zweck (z.B. internationale Menuhin-Musik-Akademie in Gstaad). Die Stiftung hat gemeinnützigen Charakter und verfolgt keinerlei Erwerbszweck. "
A.b. Zum Stiftungsvermögen gehört die Liegenschaft an der C._strasse yyy in U._ (nachfolgend: Liegenschaft). Mit dieser Liegenschaft übernahm die Stiftung ein Mietverhältnis mit A._, das B._ 2007 begründet hatte.
A.c. Mit Verfügung vom 5. August 2014 übernahm die Eidgenössische Stiftungsaufsicht (nachfolgend: ESA) die Aufsicht über die Stiftung.
A.d. Am 24. März 2015 entschied der Stiftungsrat, die Liegenschaft zu sanieren und die Mietverhältnisse für die Wohnungen zu kündigen. Die Mieter wurden mit Schreiben vom 9. April 2015 über die Sanierung informiert. Ferner wurde ihnen mitgeteilt, dass die Sanierung Auswirkungen auf die bestehenden Mietverhältnisse habe. Die Mieter wurden zur Informationsveranstaltung vom 28. April 2015 eingeladen.
A.e. Am 30. April 2015 kündigte die Stiftung das Mietverhältnis mit A._ per 31. Oktober 2015 wegen der angekündigten Sanierung und unter Beilage des kantonalbernischen Formulars für die Kündigung von Wohn- und Geschäftsräumen bei Miet- und Pachtverträgen.
A.f. Mit Eingabe vom 25. Mai 2015 focht A._ die Kündigung des Mietverhältnisses bei der Schlichtungsbehörde Bern-Mittelland (nachfolgend: Schlichtungsbehörde) an.
A.g. Die Schlichtungsbehörde machte am 13. Oktober 2015 einen Urteilsvorschlag, wonach das Mietverhältnis mit A._ bis am 31. Juli 2016 erstreckt werde. A._ lehnte diesen Urteilsvorschlag ab, weshalb ihm die Schlichtungsbehörde am 11. November 2015 eine Klagebewilligung ausstellte. Weil er aber innert Frist keine Klage beim Zivilgericht eingereicht hat, erlangte der Urteilsvorschlag die Wirkungen eines rechtskräftigen Entscheids.
A.h. Am 8. März 2016 wandte sich A._ schriftlich an die ESA. Dieser schrieb er, er wäre gerne behilflich bei der Abklärung des Sachverhalts betreffend die Stiftung. Er bat die ESA um Mitteilung, was er vornehmen könne, um die weitere Erfüllung des Willens der Stifterin, Frau B._, zu bewirken, so dass er weiterhin an der C._strasse yyy günstiger als zum Marktpreis leben dürfe.
A.i. Am 18. April 2016 teilte die ESA A._ mit, dass sein Schreiben vom 8. März 2016 als aufsichtsrechtliche Anzeige zu qualifizieren sei. Die anzeigende Person habe weder Parteistellung noch Parteirechte und keinen Erledigungsanspruch, werde aber über das Resultat der Abklärungen informiert. In seiner E-Mail vom 26. April 2016 an die ESA bezog sich A._ auf seine Anzeige. Die ESA teilte ihm mit Schreiben vom 22. Juni 2016 mit, dass keine aufsichtsrechtlichen Massnahmen angezeigt seien, es würden indes Empfehlungen ausgesprochen.
A.j. Am 29. Juli 2016 reichte A._ bei der ESA eine als Stiftungsaufsichtsbeschwerde bezeichnete Eingabe ein. Darin beantragte er insbesondere, ihm (und anderen Personen) sei die Beschwerdebefugnis zu verleihen, und er ersuchte um eine superprovisoriche Verfügung zum Stopp der Durchsetzung des Stiftungsratsentscheids betreffend die Haussanierung und die Kündigung seiner Miete.
A.k. Mit Entscheid vom 9. August 2016 trat die ESA auf die Beschwerde und das Gesuch um superprovisorische Verfügung nicht ein, weil A._ die Beschwerdefrist verpasst habe und weil sein Vorgehen, auf dem stiftungsrechtlichen Weg Eigeninteressen bezüglich der Miete durchzusetzen, missbräuchlich sei. Nachdem auf die Beschwerde nicht eingetreten werden könne, erübrige sich der Erlass einer superprovisorischen Verfügung.
B.
B.a. Mit Eingabe vom 8. September 2016 ersuchte A._ das Bundesverwaltungsgericht um Erstreckung der Frist für die Einreichung eines Rechtsmittels gegen den Entscheid der ESA vom 9. August 2016. Das Bundesverwaltungsgericht gewährte ihm am 14. September 2016 eine Frist bis zum 22. September 2016, um seine Eingabe zu verbessern. Mit Eingabe vom 21. September 2016 stellte A._ folgende Begehren:
" - Die Verfügung vom 9. August 2016 [...] sei wegen falschen und unvollständigen Sachverhaltsfeststellungen, Rechtsverletzungen und Unangemessenheit aufzuheben. - Ihm sei die Befugnis zur Beschwerdeführung gegen die «Stiftung B._» zu erteilen. - Die Gebühr für die Verfügung vom 9. August [2016] von Fr. 1'300.-- sei zu erlassen. - Ihm sei mangels eigener finanzieller Mittel die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren. "
B.b. Mit Verfügung vom 26. Oktober 2016 wurde das Gesuch von A._ um unentgeltliche Rechtspflege gutgeheissen.
B.c. Am 1. November 2016 setzte die Gerichtspräsidentin des Regionalgerichts Bern-Mittelland A._ eine letzte Frist von 10 Tagen für die Wohnungsräumung und die Rückgabe der Schlüssel. Am 14. November 2016 gab er die Wohnung zurück.
B.d. Mit Vernehmlassung vom 24. November 2016 beantragte die Stiftung, die Beschwerde sei, sofern sie nicht als gegenstandslos abgeschrieben werde, abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Ferner beantragte sie, die Verfahrenskosten seien unter Vorbehalt der unentgeltlichen Rechtspflege von A._ zu tragen, und dieser habe ihr die Parteikosten zu ersetzen.
B.e. In ihrer Vernehmlassung vom 20. Dezember 2016 beantragte die ESA die Abweisung der Beschwerde unter Kostenfolgen zu Lasten von A._.
B.f. A._ nahm am 25. Februar 2017 und 18. Mai 2017 unaufgefordert Stellung und ergänzte die zweite dieser Eingaben am 15. Juli 2017.
B.g. Mit Urteil vom 21. November 2017 (B-5442/2016) wies die II. Abteilung des Bundesverwaltungsgerichts die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Im Wesentlichen bestätigte es, dass der Beschwerdeführer die Frist für die Stiftungsaufsichtsbeschwerde nicht gewahrt habe. Mit Blick auf die gewährte unentgeltliche Rechtspflege verzichtete es darauf, dem Beschwerdeführer Verfahrenskosten aufzuerlegen, sprach aber der Stiftung eine Parteientschädigung von Fr. 3'500.-- zu.
C.
C.a. Dagegen erhebt A._ (Beschwerdeführer) mit Schreiben vom 21. Dezember 2017 (Postaufgabe am 22. Dezember 2017) Beschwerde, in der er Folgendes beantragt:
"- das Aufheben dieses Entscheids, unter Kosten- und Entschädigungsfolge; - A._ ist die Befugnis zur Beschwerdeführung gegen die Stiftung B._ zu erteilen; - A._ wird mangels eigener finanziellen Mitteln die unentgeltliche Prozessführung gewährt. "
C.b. Es wurden die vorinstanzlichen Akten eingeholt, nicht aber Vernehmlassungen.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1).
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen ein verfahrensabschliessendes Urteil des Bundesverwaltungsgerichts (<ref-law>), welches das Nichteintreten der ESA auf die Stiftungsaufsichtsbeschwerde des Beschwerdeführers bestätigt. Das angefochtene Urteil betrifft demnach die Aufsicht über eine Stiftung und unterliegt - mit der hier nicht gegebenen Ausnahme der Aufsicht über Vorsorge- und Freizügigkeitseinrichtungen - als öffentlich-rechtlicher Entscheid, der in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht steht, der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 4 BGG). Die Beschwerde wurde fristgemäss erhoben (<ref-law>). Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>), weil die Vorinstanz das Nichteintreten auf seine Stiftungsaufsichtsbeschwerde bestätigt und ihm eine Parteientschädigung auferlegt hat. Fragen könnte sich aber, ob das Streitwerterfordernis für die Beschwerde in Zivilsachen erfüllt ist.
Wie das Bundesgericht inzwischen geklärt hat, sind Streitigkeiten betreffend die vorliegende Stiftungsaufsicht vermögensrechtlicher Natur, so dass die Beschwerde in Zivilsachen gegen diesbezügliche Urteile nur zulässig ist, wenn der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG; Urteile 5A_856/2016 bzw. 5A_865/2016 vom 13. Juni 2018 E. 1.3 zur Publ. bestimmt; 5A_725/2017 vom 22. März 2018 E. 1.2). Weil der Beschwerdeführer diese Klärung bei der Beschwerdeeinreichung nicht kennen konnte, schadet ihm die fehlende Streitwertangabe nicht (vgl. <ref-ruling> E. 1.1). Zudem fehlt im angefochtenen Urteil die gesetzlich vorgesehene Streitwertangabe (Art. 112 Abs. 1 Bst. d BGG). Ob der Mindeststreitwert vorliegt, kann mit Blick auf die weiteren Eintretensfragen, die sich vorliegend stellen, offen bleiben.
1.2. Die Beschwerde an das Bundesgericht hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (<ref-law>). Die Beschwerde ist ein reformatorisches Rechtsmittel (<ref-law>). Deshalb muss sie grundsätzlich ein materielles Begehren enthalten. Ein blosser Aufhebungs- und Rückweisungsantrag reicht indessen aus, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung in der Sache nicht selbst entscheiden könnte, weil Feststellungen der Vorinstanz hierzu fehlen (Urteil 4A_330/2008 vom 27. Januar 2010 E. 2.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). So ist es im vorliegenden Fall, denn die Vorinstanz hat lediglich die Fristeinhaltung für die Stiftungsaufsichtsbeschwerde geprüft (Streitgegenstand), sich aber zu den materiellen Rügen nicht geäussert. Folglich könnte das Bundesgericht bei einer Gutheissung der Beschwerde wegen Bejahung der Fristeinhaltung in der Sache selber nicht reformatorisch entscheiden. Damit würde es nämlich den Instanzenzug beschneiden. Ein kassatorisches Begehren ist daher ausreichend. Das erste Beschwerdebegehren um Aufhebung des angefochtenen Urteils ist ein zulässiges kassatorisches Begehren.
Mit seinem zweiten Beschwerdebegehren beantragt der Beschwerdeführer die Erteilung der Beschwerdelegitimation für die Stiftungsaufsichtsbeschwerde. Die Beschwerdelegitimation wird von der zuständigen Behörde (hier erstinstanzlich von der ESA) im Rahmen der Eintretensvoraussetzungen geprüft und entweder bejaht, wenn sie besteht, oder verneint, wenn sie fehlt, aber nicht auf Begehren hin erteilt. Insofern kann die Beschwerdelegitimation zwar Streitgegenstand sein (nämlich bei den Eintretensvoraussetzungen), aber nicht auf Begehren hin zugesprochen werden. Sinngemäss will der Beschwerdeführer mit seinem zweiten Beschwerdebegehren allerdings nur erreichen, dass nach Aufhebung des angefochtenen Urteils (Bestätigung des Nichteintretens) auf die Stiftungsaufsichtsbeschwerde eingetreten wird. Das zweite Beschwerdebegehren ergänzt in diesem Sinne das erste; ihm kommt aber neben dem ersten keine selbständige Bedeutung zu.
1.3. In rechtlicher Hinsicht sind alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft dessen Anwendung frei, allerdings unter Vorbehalt der allgemeinen Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) und grundsätzlich nur für die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 2.4). Die Beschwerde soll nicht bloss die bereits im zweitinstanzlichen Verfahren vertretenen Rechtsstandpunkte bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2). Ist die Beschwerde nicht hinreichend begründet, so wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2).
Demgegenüber ist das Bundesgericht an die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz gebunden (<ref-law>). Gemäss <ref-law> kann die Feststellung des Sachverhalts und damit die Beweiswürdigung nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig - d.h. willkürlich (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 1.5, mit Hinweis) - ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann. Für die Rüge der offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3).
2.
Streitig ist die Einhaltung der Beschwerdefrist als Voraussetzung für das Eintreten auf die Stiftungsaufsichtsbeschwerde.
2.1. Die Vorinstanz erwog, das Stiftungsrecht sehe keine Befristung der Stiftungsaufsichtsbeschwerde vor, doch geböten die Rechtssicherheit und der Grundsatz von Treu und Glauben eine zeitliche Begrenzung dieses Rechts auf den für die Beschwerdefristen üblichen Rahmen. Üblich seien Beschwerdefristen bis zu dreissig Tagen. Diesen Zeitraum habe der Beschwerdeführer bei Weitem überschritten. Die Stiftung habe am 24. März 2015 den Entscheid gefällt, die Liegenschaft an der C._strasse yyy in U._ zu sanieren und die Wohnung des Beschwerdeführers zu kündigen. Die Kenntnisnahme dieses Entscheids sei am 9. April 2015 erfolgt. Der Beschwerdeführer habe sich erst rund elf Monate später, nämlich mit Schreiben vom 8. März 2016, zum ersten Mal an die ESA gewandt, darin seine Hilfe bei der Abklärung des Sachverhalts betreffend die Stiftung angeboten und darum gebeten, ihm mitzuteilen, was er tun könne, um weiterhin günstiger als zum Marktpreis an der C._strasse yyy wohnen zu können. Dass es sich dabei um eine Beschwerde handle, sei aus dem Schreiben nicht hervorgegangen. Am 29. Juli 2016 habe der Beschwerdeführer indessen sinngemäss um einen formellen Entscheid zu der aus seiner Sicht am 8. März 2016 erhobenen Beschwerde verlangt. Die Eingabe vom 29. Juli 2016 trage auch den Titel Stiftungsaufsichtsbeschwerde. Der Beschwerdeführer betrachte diese Eingabe selber ebenfalls als Stiftungsaufsichtsbeschwerde. Zwischen der Kenntnisnahme des Stiftungsentscheids am 9. April 2015 und der erstmaligen Bezeichnung einer Eingabe an die ESA als Beschwerde am 29. Juli 2016 seien rund fünfzehneinhalb Monate vergangen. Wann die Eingaben des Beschwerdeführers vom 8. März 2016 bzw. 29. Juli 2016 der Post übergeben worden seien, könne den Akten nicht entnommen werden. Die Beschwerde sei aber auf jeden Fall frühestens elf Monate nach der Kenntnisnahme des Stiftungsentscheids erstellt und der Post übergeben worden. Der Beschwerdeführer habe seine Stiftungsaufsichtsbeschwerde eindeutig verspätet erhoben. Ein Grund für die Wiederherstellung der Beschwerdefrist liege nicht vor. Dem Beschwerdeführer sei es zunächst nicht um stiftungsrechtliche Belange gegangen, sondern allein darum, den Verbleib in der Wohnung an der C._strasse yyy in U._ zu sichern. Deshalb habe er die Wohnungskündigung vor der Schlichtungsbehörde angefochten. Deren Urteilsvorschlag habe mangels rechtzeitiger Klageerhebung Rechtsgültigkeit erlangt. Erst danach habe der Beschwerdeführer versucht, die Aufhebung der Wohnungskündigung mit einem Verfahren vor der ESA zu erreichen. Dieses Verfahren habe er allerdings erst mehrere Monate nach der Rechtskraft des Urteilsvorschlags eingeleitet. Der Irrtum des Beschwerdeführers, dass er auch mehrere Monate nach der Rechtsgültigkeit des Urteilsvorschlags noch aufsichtsrechtlich gegen die Stiftung vorgehen könne, beruhe nicht auf einer behördlichen Auskunft. Auch als Laie habe er sich darüber informieren können. Ob das stiftungsaufsichtsrechtliche Vorgehen des Beschwerdeführers missbräuchlich sei, könne offen gelassen werden.
Im Ergebnis bestätigte die Vorinstanz den Nichteintretensentscheid der ESA wegen verspäteter Stiftungsaufsichtsbeschwerde und sprach der obsiegenden Stiftung zu Lasten des unterliegenden Beschwerdeführers eine Parteientschädigung zu.
2.2. Der Beschwerdeführer erhebt diverse Rügen, die Anlass geben zur Prüfung der Zulässigkeit.
2.2.1. Die Beschwerde enthält Vorbringen, die das formelle Interesse des Beschwerdeführers an seiner Stiftungsaufsichtsbeschwerde und die materielle Einhaltung des Stiftungszwecks betreffen. Die Vorinstanz hat beides nicht geprüft. Die erwähnten Vorbringen dehnen den Streitgegenstand (Fristwahrung für die Stiftungsaufsichtsbeschwerde) unzulässigerweise aus (Urteile 5A_489/2017 vom 29. November 2017 E. 2; 5A_329/2016 vom 6. Dezember 2016 E. 2.3) und sind daher unbeachtlich. Ob sie auch unzulässige neue Tatsachen und Beweismittel (<ref-law>) enthalten, kann offen bleiben.
2.2.2. In Bezug auf die umstrittene Wahrung der Frist für die Stiftungsaufsichtsbeschwerde macht der Beschwerdeführer geltend, er habe inhaltlich bereits mit der Anfechtung der Wohnungskündigung vom 25. Mai 2016 (Bst. A.f) stiftungsrelevante Rügen erhoben, allerdings bei der hierfür unzuständigen Schlichtungsbehörde. Er habe die Stiftungsaufsichtsbeschwerde demnach rechtzeitig eingereicht, wenn auch bei der falschen Behörde. Gemäss Art. 21 Abs. 2 des Verwaltungsverfahrensgesetzes (VwVG; SR 172.021) sei die dreissigtägige Beschwerdefrist damit gewahrt. Bei zweifelhafter Zuständigkeit hätte die Schlichtungsbehörde gemäss <ref-law> einen Meinungsaustausch mit der ESA durchführen müssen. Wenn die Schlichtungsbehörde dies nicht getan habe, könne es ihm nicht vorgeworfen werden. Sinngemäss behauptet der Beschwerdeführer sodann, die Voraussetzungen für die Fristwiederherstellung seien erfüllt, denn als Laie habe er die juristischen Zusammenhänge betreffend die Zuständigkeiten nicht erkennen können und er sei durch die Rechtsmittelbelehrung der Stiftung auf deren Kündigungsformular in den Irrtum versetzt worden, dass Stiftungsfragen auch von der Schlichtungsbehörde entschieden werden könnten.
Die Rüge des Beschwerdeführers zur Fristwahrung durch Einreichung einer Stiftungsaufsichtsbeschwerde (Kündigungsanfechtung) bei der unzuständigen Behörde bzw. zum fehlenden Meinungsaustausch ist neu. Im angefochtenen Urteil finden sich dazu keine Erwägungen, und der Beschwerdeführer macht auch nicht geltend, er habe die Rüge bereits vorinstanzlich vorgetragen. Dazu bestand aber durchaus Anlass, nachdem bereits die ESA die Fristwahrung für die Stiftungsaufsichtsbeschwerde verneint hatte. Der neuen Rüge fehlt somit die sich aus Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG ergebende Letztinstanzlichkeit (<ref-ruling> E. 1). Auf die Beschwerde ist deshalb auch in diesem Punkt nicht einzutreten (Urteil 5A_474/2017 vom 8. März 2018 E. 3.4.3).
Die neue Rüge wäre im Übrigen auch offensichtlich unbegründet. Sie setzt voraus, dass die stiftungsrechtlichen Themen tatsächlich bereits bei der Schlichtungsbehörde geltend gemacht worden sind. Das findet jedoch im vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt keine Stütze. Diesen ficht der Beschwerdeführer nicht in einer der Willkürrüge entsprechenden Weise an (E. 1.3), sondern behauptet lediglich das Gegenteil, unter Hinweis auf den Wortlaut seiner Kündigungsanfechtung. Ferner kommt <ref-law> über die Fristwahrung im Falle der Einreichung bei einer unzuständigen Behörde hier nicht zur Anwendung, weil die kantonale Schlichtungsbehörde keine Bundesbehörde im Sinne des VwVG ist (Art. 1 Abs. 1 und 2 VwVG). Eine Weiterleitungspflicht der kantonalen Schlichtungsbehörde für Eingaben, welche die ESA betreffen, behauptet der Beschwerdeführer nicht.
Bezüglich der Fristwiederherstellung behauptet der Beschwerdeführer lediglich, als Laie kenne er die Rechtswege nicht. Er setzt sich aber mit der vorinstanzlichen Erwägung, dass er sich darüber auch als Laie habe informieren können, nicht auseinander (E. 1.3). Was der Beschwerdeführer aus seinem Argument, die Stiftung habe ihn mit der Rechtsmittelbelehrung in der Kündigungsanfechtung in den Irrtum versetzt, dass auch Stiftungsfragen von der Schlichtungsbehörde entschieden würden, letztlich für die Fristwahrung bzw. -wiederherstellung ableiten will, ist nicht nachvollziehbar (E. 1.3). Auch in diesem Punkt ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
2.3. Der Beschwerdeführer erwähnt schliesslich die ihm vorinstanzlich auferlegte Parteientschädigung. An anderer Stelle bestreitet er die Rechtmässigkeit des Stiftungsauftrags für die gerichtliche Vertretung der Stiftung und meint, dass das Handeln des Stiftungsanwalts nicht dem Willen der Stifterin entspreche. Ob sich der Beschwerdeführer damit sinngemäss gegen die vorinstanzliche Auferlegung der Parteientschädigung wendet, kann offen bleiben. Mit den diesbezüglichen Erwägungen befasst sich er sich jedenfalls nicht (E. 1.3). Seine Vorbringen zielen vielmehr auf eine materielle stiftungsrechtliche Überprüfung, die hier nicht Streitgegenstand ist (E. 1.2). Diese Vorbringen sind, wie erwähnt (E. 2.2.1), unbeachtlich.
3.
Aus den dargelegten Gründen ist auf die Beschwerde insgesamt nicht einzutreten. Bei diesem Verfahrensausgang hat der Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, muss die Beschwerde als von Anfang aussichtslos betrachtet werden. Damit mangelt es an der materiellen Voraussetzung für die unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>). Das entsprechende Gesuch des Beschwerdeführers ist abzuweisen. Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet, da von der Gegenpartei keine Vernehmlassung eingeholt wurde (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Eidgenössischen Stiftungsaufsicht im Departement des Innern (EDI) und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. August 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidiale Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Leu