Sachverhalt:
A.
A.a. A._ bezieht eine Invalidenrente sowie eine Kinderrente für seinen Sohn C._ (geboren am xxx 1993). C._ fing am 1. Oktober 2016 bei der D._ GmbH eine dreijährige Ausbildung als Spezialist Bewegungs- und Gesundheitsförderung mit eidgenössischem Fachausweis an. Am 19. Dezember 2017 reichte A._ einen "Arbeitsvertrag Praktikant" vom 13. September 2016 ein. Die IV-Stelle Luzern sprach ihm wie auch der Mutter des C._, B._, eine auf das erste Ausbildungsjahr (1. Oktober 2016 bis 30. September 2017) befristete Kinderrente zu. Einen darüber hinaus gehenden Anspruch verneinte die Verwaltung, weil C._ ab Beginn des zweiten Lehrjahres (1. Oktober 2017) gemäss Arbeitsvertrag mehr verdiene als der Höchstbetrag der maximalen vollen Altersrente der AHV (Verfügungen vom 21. Dezember 2017).
A.b. A._ legte daraufhin eine neue Ausbildungsvereinbarung vom 3. Januar 2018 ins Recht, welche den "fehlerhaften" vorherigen Vertrag ersetze. Unter Hinweis auf den nun in sämtlichen Ausbildungsjahren unterschrittenen AHV-Grenzbetrag ersuchte er (auch) ab Oktober 2017 um Ausrichtung einer Kinderrente. Mit Verfügung vom 6. Februar 2018 hielt die IV-Stelle fest, zur Verhinderung eines Rechtsmissbrauchs könne auf die nämlichen Lohnanpassungen nicht abgestellt werden, und wies das Leistungsbegehren ab.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Kantonsgericht Luzern mit Entscheid vom 3. September 2019 teilweise gut, hob die Verfügung vom 6. Februar 2018 auf und sprach A._ vom 1. Januar bis 31. Mai 2018 eine Kinderrente zu.
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Verfügung vom 6. Februar 2018 zu bestätigen; der Beschwerde sei ausserdem die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
A._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Kantonsgericht Luzern beantragt Nichteintreten auf die Beschwerde, eventualiter deren Abweisung. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Der in der Vernehmlassung des kantonalen Gerichts erhobene Vorwurf, die Beschwerdeerhebung am Bundesgericht stelle eine widersprüchliche und folglich rechtsmissbräuchliche Verhaltensweise im Sinne des <ref-law> dar, ist unbegründet. Die Argumentation der Beschwerdeführerin steht weder im Widerspruch zu ihren Vorbringen im kantonalen Verfahren noch fehlt es an einem Interesse, den angefochtenen Entscheid letztinstanzlich überprüfen zu lassen (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 543 f.; LAURENT MERZ, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 113 zu <ref-law>). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
3.
3.1. Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestimmungen zu den Kinderrenten zutreffend wiedergegeben (<ref-law>). Dasselbe gilt für die Erwägungen hinsichtlich des Rentenanspruchs von Kindern in Ausbildung bis längstens zum vollendeten 25. Altersjahr (vgl. <ref-law>) sowie der in diesem Zusammenhang massgeblichen Obergrenze (hier: Fr. 28'200.-) der maximalen jährlichen Altersrente der AHV (Art. 49bis Abs. 1 und 3 AHVV). Darauf wird verwiesen.
3.2. Der Schutz von Treu und Glauben und das Verbot des Rechtsmissbrauchs sind allgemeine Grundsätze jeden staatlichen und privaten Handelns, die in <ref-law> verankert sind. Das Rechtsmissbrauchsverbot steht der Inanspruchnahme eines Rechtsinstituts zu Zwecken entgegen, welche dieses nicht schützen will (<ref-ruling> E. 2.2 S. 403; <ref-ruling> E. 5.5 S. 432; <ref-ruling> E. 4.3 S. 629; <ref-ruling> E. 3.3.1 S. 169; <ref-ruling> E. 5.1 S. 72 f.), und lässt scheinbares Recht weichen, wo offenbares Unrecht geschaffen würde (<ref-ruling> E. 2c S. 261). Nur stossendes, zweckwidriges Verhalten erscheint rechtsmissbräuchlich und soll über das Rechtsmissbrauchsverbot sanktioniert werden (SVR 2017 IV Nr. 90 S. 280, 8C_118/2017 E. 6.2 mit Hinweisen).
4.
Die Vorinstanz hat erwogen, die rückwirkende Herabsetzung der Bruttolöhne gemäss dem zweiten, ab 1. Januar 2018 gültigen Ausbildungsvertrag hätte zur Folge, dass formelles Recht zu materiell krassem Unrecht würde und im Widerspruch zu einem früheren Verhalten (tatsächliche Lohnauszahlungen) stünde. Dies sei als rechtsmissbräuchlich anzusehen. Demzufolge habe der Versicherte vom 1. Oktober bis 30. Dezember 2017 keinen Anspruch auf eine Kinderrente. Hingegen hat das kantonale Gericht die Lohnanpassung pro futuro, d.h. ab Januar 2018, unter Hinweis auf die Vertragsfreiheit (<ref-law>) mit der Begründung als zulässig erachtet, die vertragliche Situation sei ab diesem Zeitpunkt tatsächlich gelebt worden. Folglich hat es dem Beschwerdegegner vom 1. Januar 2018 bis zum Erreichen des 25. Altersjahres des C._ (Ende Mai 2018) eine Kinderrente zugesprochen.
5.
5.1. In sachverhaltlicher Hinsicht (vgl. E. 2) steht fest, dass C._ gemäss "Arbeitsvertrag Praktikant" vom 13. September 2016 im ersten Lehrjahr Fr. 27'000.- (12 x Fr. 2250.-), im zweiten Lehrjahr Fr. 29'400.- (12 x Fr. 2450.-) und im dritten Lehrjahr Fr. 31'800.- (12 x Fr. 2650.-) verdiente. Dem Vertrag ist weiter zu entnehmen, die Ausbildungskosten der Swiss Academy of Fitness and Sports (nachfolgend: SAFS) und die Prüfungskosten des Schweizer Fitness- und Gesundheitscenter Verbandes (nachfolgend: SFGV) übernehme der Arbeitnehmer.
Aus der vom 3. Januar 2018 datierenden Ausbildungsvereinbarung ergaben sich neu folgende Gehälter: Fr. 21'960.- (12 x Fr. 1830.-) im ersten, Fr. 24'360.- (12 x Fr. 2030.-) im zweiten und Fr. 26'700.- (12 x Fr. 2230.-) im dritten Jahr. Die SAFS-Ausbildungskosten von Fr. 420.- wurden neu dem Arbeitgeber überbunden, während der Arbeitnehmer unverändert die SFGV-Prüfungskosten zu tragen habe.
5.2. Das kantonale Gericht hat insbesondere festgestellt, die ablehnende (n) Verfügung (en) vom 21. Dezember 2017 und die anschliessende Diskussion zwischen C._ und der Arbeitgeberin seien Grund für die Vertragsanpassung gewesen. Die neue Lohnfestsetzung sei im Hinblick auf den Anspruch betreffend Kinderrente erfolgt (vorinstanzliche Erwägung 4.2.2).
6.
6.1. Dass die Arbeitgeberin Kenntnis von der Motivation für die Vertragsanpassung hatte, kann mit Blick auf die willkürfreien (E. 2) vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen nicht ernsthaft bezweifelt werden (vgl. E. 5.2). Vielmehr erwuchs der D._ GmbH durch die Vertragsanpassung, wie das kantonale Gericht vernehmlassungsweise selber einräumt, in erster Linie ein (nachteiliger) administrativer Mehraufwand, den sie mit überwiegender Wahrscheinlichkeit aus eigenem Antrieb nicht eingegangen wäre. Ebenso wenig stellte die Übernahme der Ausbildungskosten seitens der Arbeitgeberin für C._ selber einen nennenswerten persönlichen Vorteil dar. Es handelte sich bestenfalls um ein Nullsummenspiel, welches ohne die Intention aller Beteiligter, den Anspruch des Beschwerdegegners durch die unter dem Grenzwert der maximalen vollen AHV-Altersrente liegenden Löhne zu verlängern (vgl. <ref-law>), nicht erklärbar ist. Dies gilt umso mehr, als C._ gemessen an den Verbandsempfehlungen von Anfang an eher unterdurchschnittlich verdiente (vgl. SFGV-Lohnempfehlungen, Spezialist für Gesundheits- und Bewegungsförderung während der Ausbildungszeit mit fremdem EFZ-Abschluss [netto stufenweise Fr. 2800.- bis Fr. 3500.- monatlich; https://www.sfgv.ch/dienstleistungen/lohnempfehlung/, besucht am 29. Juni 2020]). Mithin hat das kantonale Gericht einen Irrtum betreffend die Abrechnung von AHV-Beiträgen auf die Ausbildungskosten zu Recht verneint, was von keiner Seite in Abrede gestellt wird. Umgekehrt folgte die Neuregelung betreffend Lohn und Ausbildungskosten den abschlägigen Verfügungen vom 21. Dezember 2017 zeitlich praktisch auf dem Fuss, womit der enge sachliche Zusammenhang belegt ist. Damit bildete der Anspruch des Beschwerdegegners auf eine Kinderrente nicht nur einen Grund für die Anpassungen vom 3. Januar 2018, sondern deren einziger und alleiniger Zweck.
6.2. Dieses Vorgehen - Abschluss eines neuen Ausbildungsvertrages durch das volljährige Kind mit dem einzigen Zweck, mittels unter dem AHV-Höchstbetrag liegenden Löhnen den kurz zuvor rechtskräftig verweigerten Anspruch auf eine Kinderrente wieder aufleben zu lassen - stellt an sich eine rechtsmissbräuchliche (vgl. <ref-law>) Interessenausübung zu Lasten der Invalidenversicherung dar, welche keinen Rechtsschutz verdient. Ob der Ausbildungsvertrag vom 3. Januar 2018 als solcher vor dem Rechtsmissbrauchsverbot standhält, kann dergestalt offen bleiben. Eine zeitliche Differenzierung, wie sie die Vorinstanz vorgenommen hat (E. 4), erübrigt sich. Der angefochtene Entscheid verletzt Bundesrecht. Die Beschwerde ist begründet.
7.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
8.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdegegner die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Kantonsgerichts Luzern vom 3. September 2019 wird aufgehoben und die Verfügung der IV-Stelle Luzern vom 6. Februar 2018 bestätigt.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Kantonsgericht Luzern zurückgewiesen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, B._, dem Kantonsgericht Luzern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. Juli 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Der Gerichtsschreiber: Grünenfelder