Sachverhalt:
A.
Am 31. Januar 2018 erstattete A._ gegen B._ Strafanzeige wegen falscher Anschuldigung. Dabei konstituierte er sich als Privatkläger im Strafpunkt und behielt sich die Privatklage im Zivilpunkt vor. Am 2. Februar 2018 reichte A._ erneut Strafanzeige gegen B._ ein mit dem Vorwurf der Verletzung des Geheim- und Privatbereichs durch Aufnahmen mit der Handykamera. A._ konstituierte sich wiederum als Privatkläger im Strafpunkt und behielt sich die Privatklage im Zivilpunkt vor.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Nidwalden prüfte die Strafanzeigen gleichzeitig und verfügte am 9. Mai 2018 die Nichtanhandnahme (<ref-law>).
Dagegen erhob A._ am 28. Mai 2018 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Nidwalden und ersuchte um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Mit Entscheid vom 5. Juni 2018 wies die Obergerichtsvizepräsidentin das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab (Dispositiv-Ziffer 1) und forderte den Beschwerdeführer auf, innert 10 Tagen eine Sicherheitsleistung von Fr. 500.-- zu überweisen, ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten werde (Dispositiv-Ziffer 2).
B.
Mit Eingabe vom 16. Juli 2018 führt A._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht und beantragt in der Hauptsache die Aufhebung des angefochtenen Entscheids der Obergerichtsvizepräsidentin vom 5. Juni 2018. Des Weiteren ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Das Obergericht und die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Nidwalden verzichten auf Vernehmlassungen.

Erwägungen:
1.
1.1. Der angefochtene Entscheid der Vorinstanz ist ein kantonal letztinstanzlicher Zwischenentscheid, der geeignet ist, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zu bewirken. Gegen ihn steht grundsätzlich die Beschwerde in Strafsachen offen (vgl. Art. 78 Abs. 1, Art. 80 Abs. 1 und 2 sowie <ref-law>). Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerdeführung legitimiert (vgl. Urteile 1B_370/2015 vom 22. März 2016 E. 1 und 1B_231/2016 vom 27. September 2016 E. 1).
1.2. Gemäss <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Der Beschwerdeführer muss sich wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzen. Rein appellatorische Kritik ohne Bezug zum angefochtenen Entscheid genügt nicht. Zwar wendet das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Das setzt aber voraus, dass auf die Beschwerde überhaupt eingetreten werden kann, diese also wenigstens die Begründungsanforderungen von <ref-law> erfüllt (vgl. Urteil 1B_346/2017 vom 28. September 2017 E. 1.2).
1.3. Die Zuständigkeit der Vorinstanz ist gegeben (vgl. Art. 71 des Gesetzes des Kantons Nidwalden über die Gerichte und die Justizbehörden vom 9. Juni 2010 [Gerichtsgesetz, GerG; NG 261.1]).
Die Vorinstanz hat erwogen, die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für die Privatklägerschaft setze nach <ref-law> die Geltendmachung von Zivilansprüchen voraus. Der Beschwerdeführer habe sich in den Strafanzeigen vom 31. Januar 2018 und 2. Februar 2018 jeweils als Privatkläger im Strafpunkt konstituiert und sich eine Zivilklage vorbehalten. Gemäss Aktenlage habe er sich in der Folge zu keinem Zeitpunkt ausdrücklich als Zivilkläger konstituiert oder eine bezifferte Zivilforderung geltend gemacht. Ebenso wenig habe er in seiner Beschwerdeschrift aufgezeigt, dass er die Absicht habe, Zivilklage zu erheben, und dass eine solche Aussicht auf Erfolg hätte. Es fehle daher an einer massgeblichen Voraussetzung für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die Verfahrensleitung der Rechtsmittelinstanz könne die Privatklägerschaft (unter Vorbehalt von <ref-law>) verpflichten, innert einer Frist für allfällige Kosten und Entschädigungen Sicherheit zu leisten (<ref-law>). Werde die Sicherheit nicht fristgerecht geleistet, so trete die Rechtsmittelinstanz auf das Rechtsmittel nicht ein (<ref-law>). Der Gebührenrahmen für Beschwerdeverfahren in Strafsachen vor dem Obergericht betrage Fr. 200.-- bis Fr. 3'000.--. Die Sicherheitsleistung für das vorliegende Beschwerdeverfahren werde auf Fr. 500.-- festgesetzt.
1.4. Die unentgeltliche Rechtspflege für die Privatklägerschaft ist an die Voraussetzung geknüpft, dass die Zivilklage nicht aussichtslos erscheint (<ref-law>). Der Beschwerdeführer behauptet nicht, ihm stünden Zivilansprüche gegen die beschuldigte Person zu. Er setzt sich mit der Begründung der Vorinstanz, die zur Abweisung des Gesuchs um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege geführt hat, nicht auseinander. Vielmehr bringt er einzig pauschal vor, der Vorbehalt in der Strafanzeige zeige gerade, dass die Absicht einer Zivilklage bestehe; zweifellos habe diese Aussicht auf Erfolg. Damit zeigt er nicht auf, inwiefern der angefochtene Entscheid Bundesrecht verletzen sollte. Die Beschwerde genügt den Begründungsanforderungen gemäss <ref-law> nicht (vgl. insoweit auch Urteil 1B_346/2017 vom 28. September 2017 E. 1.4; siehe zudem die den Beschwerdeführer betreffenden Urteile 6B_385/2018 vom 14. Juni 2018 E. 5; 6B_311/2018 / 6B_312/2018 vom 11. Juni 2018 E. 5; 6B_363/2018 vom 4. Juni 2018 E. 5).
2.
Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Dessen Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist mit reduzierten Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Nidwalden und dem Obergericht des Kantons Nidwalden, Beschwerdeabteilung in Strafsachen, Präsidium, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Oktober 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Stohner