Sachverhalt:
A.
Mit Beschluss vom 31. August 2018 eröffnete die Anwaltsprüfungskommission des Kantons Zürich A._ sinngemäss, dass sie wegen zweimaligen Nichtbestehens der mündlichen Anwaltsprüfung abgewiesen werde und sich frühestens nach Ablauf von zwei Jahren erneut zur Anwaltsprüfung anmelden könne. Eine dagegen erhobene Beschwerde von A._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 17. April 2019 ab, soweit es darauf eintrat. Mit Urteil 2C_505/2019 vom 13. September 2019 trat das Bundesgericht auf die von A._ dagegen erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht ein und wies die gleichzeitig erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Ein gegen dieses Urteil gerichtetes Revisionsgesuch wies das Bundesgericht mit Urteil 2F_26/2019 vom 14. November 2019 ab.
B.
Am 23. Januar 2020 gelangte A._ mit einer als "Revisionsgesuch/Gesuch" bezeichneten Eingabe an die Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich und beantragte namentlich, es sei die Anordnung der Anwaltsprüfungskommission vom 31. August 2018 in Revision zu ziehen, die Anordnung aufzuheben und der Gesuchstellerin das Fähigkeitszeugnis für den Anwaltsberuf/Anwaltspatent zu erteilen. Die Verwaltungskommission leitete die Eingabe zuständigkeitshalber an die Anwaltsprüfungskommission weiter, die mit Beschluss vom 10. März 2020 auf das Revisionsgesuch nicht eintrat und das Gesuch im Übrigen abwies, soweit sie darauf eintrat. Am 11. Mai 2020 gelangte A._ erneut an die Verwaltungskommission des Obergerichts und beantragte namentlich, es sei die Nichtigkeit des Beschlusses der Anwaltsprüfungskommission vom 10. März 2020 festzustellen (Antrag 1) und es sei durch die Verwaltungskommission ein Entscheid über die Rechtsbegehren der Gesuchstellerin in ihrer Eingabe vom 23. Januar 2020 zu fällen (Antrag 2). Die Verwaltungskommission eröffnete ein Verfahren. Mit Beschluss vom 30. Juni 2020 nahm sie Vormerk, dass mit der Eröffnung dieses Verfahrens dem Antrag 2 in der Eingabe vom 11. Mai 2020 nachgekommen worden sei. Die übrigen Begehren von A._ in den Eingaben vom 23. Januar 2020 bzw. vom 11. Mai 2020 wies die Verwaltungskommission ab, soweit sie darauf eintrat. Eine dagegen erhobene Beschwerde von A._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 18. November 2020 ab. Das daraufhin angerufene Bundesgericht wies mit Urteil 2C_70/2021 vom 14. April 2021 sowohl die Beschwerde wie auch das Fristwiederherstellungsgesuch von A._ ab und trat auf das Revisionsgesuch nicht ein.
C.
Mit Eingabe vom 31. Mai 2021 beantragt A._ dem Bundesgericht, "es sei die Nichtigkeit der Verfahren VB.2018.00648; 2C_505/2019 sowie 2F_26/2019 festzustellen". Weiter sei das Urteil 2C_70/2021 vom 14. April 2021 in Revision zu ziehen und es sei ihr das Fähigkeitszeugnis für den Rechtsanwaltsberuf zu erteilen bzw. es seien ihre Eingaben vom 23. Januar 2020 und 11. Mai 2020 an das Obergericht des Kantons Zürich zum Neuentscheid zurückzuweisen. Eventualiter sei die Verletzung der Ausstandsvorschriften der am Urteil 2C_70/2021 vom 14. April 2021 beteiligten Richter und der Gerichtsschreiberin abzuklären, das Urteil in Revision zu ziehen wie auch "alle anderen Bundesgerichtsurteile, die von der Verletzung der Ausstandspflichten dieser Personen betroffen sind und in Zusammenhang mit dem 'Beschluss der Anwaltsprüfungskommission' vom 31. August 2018 stehen", und es sei ihr das Fähigkeitszeugnis für den Rechtsanwaltsberuf zu erteilen, alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten des Staates.
Das Bundesgericht hat die bundesgerichtlichen Akten der Verfahren 2C_505/2019, 2F_26/2019 sowie 2C_70/2021 beigezogen und keine weiteren Instruktionsmassnahmen verfügt.

Erwägungen:
1.
Vorab ist anzumerken, dass die Gesuchstellerin zwar die Befangenheit der am Urteil 2C_70/2021 vom 14. April 2021 mitwirkenden Mitglieder des Bundesgerichts und der Gerichtsschreiberin rügt, aber für das vorliegende Verfahren kein Ausstandsgesuch stellt. Damit hat die Befangenheitsrüge keinen Einfluss auf die Besetzung des Spruchkörpers für das vorliegende Verfahren.
2.
2.1. Entscheide des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (<ref-law>). Sie können mit keinem ordentlichen Rechtsmittel angefochten werden. Auch eine Wiedererwägung ist ausgeschlossen (Urteil 2F_17/2017 vom 4. September 2018 E. 2.1). Hingegen kann die Revision des Urteils verlangt werden, sofern einer der im Bundesgerichtsgesetz abschliessend genannten Revisionsgründe (Art. 121-123 BGG) vorliegt. Das Revisionsgesuch ist innert der Fristen gemäss <ref-law> einzureichen und muss den gesetzlichen Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) genügen. Es reicht nicht, das Vorliegen eines Revisionsgrunds zu behaupten, sondern es muss dargetan werden, inwiefern dieser gegeben und das Dispositiv des Urteils abzuändern ist (Urteil 2F_17/2017 vom 4. September 2018 E. 2.1). Damit das Bundesgericht auf ein Revisionsgesuch eintritt, genügt es, dass der Gesuchsteller den Minimalanforderungen von Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG entsprechend einen Revisionsgrund anruft oder zumindest Tatsachen nennt, die von einem solchen erfasst werden. Ob ein Urteil tatsächlich zu revidieren ist, bildet nicht Frage des Eintretens, sondern der materiellen Beurteilung (Urteil 2F_9/2018 vom 18. Juli 2018 E. 1.2). Findet das Bundesgericht, dass der Revisionsgrund zutrifft, so hebt es den früheren Entscheid auf und entscheidet neu (<ref-law>).
2.2. Die Gesuchstellerin nennt und begründet als Revisionsgründe Art. 121 lit. a, c und d BGG. Auf das Revisionsgesuch gegen das Urteil 2C_70/2021 vom 14. April 2021, welches fristgerecht im Sinne von Art. 124 Abs. 1 lit. a und b BGG eingereicht wurde, ist daher grundsätzlich einzutreten.
3.
Die Gesuchstellerin begründet ihr Revisionsgesuch einerseits damit, dass das Bundesgericht im Urteil 2C_70/2021 vom 14. April 2021 mehrere Anträge nicht beurteilt habe.
3.1. Gemäss <ref-law> kann die Revision verlangt werden, wenn einzelne Anträge unbeurteilt geblieben sind. Der Umstand, dass das Bundesgericht einen Antrag positiv oder negativ beurteilt hat, kann sich auch aus der Begründung des Urteils ergeben, ohne dass dies ausdrücklich festgehalten würde. Keine Anträge sind Vorbringen oder Rügen. Ob eine Rüge den gesetzlichen Begründungsanforderungen genügt und das Bundesgericht sie deshalb hätte behandeln müssen, kann demnach nicht mit Revision geltend gemacht werden (vgl. Urteil 2F_26/2019 vom 14. November 2019 E. 2.1).
3.2. Die Gesuchstellerin hat in ihrer Beschwerde im Verfahren 2C_70/2021 beantragt, es sei festzustellen, dass die Verfügung bzw. der Beschluss der Anwaltsprüfungskommission vom 31. August 2018 und vom 10. März 2020 nichtig seien (Anträge 1 und 3). Sie rügt, das Bundesgericht habe diese Anträge nicht beurteilt. Das trifft offensichtlich nicht zu. Das Bundesgericht hat die Nichtigkeit der Entscheide geprüft und ausdrücklich festgehalten, dass die Anträge auf Feststellung der Nichtigkeit abzuweisen seien (vgl. Urteil 2C_70/2021 vom 14. April 2021 E. 4, insb. E. 4.5). Die Vorbringen der Gesuchstellerin zielen darauf ab, dass sie die Begründung des Bundesgerichts als ungenügend erachtet (vgl. S. 10 ff. sowie S. 16 f. des Gesuchs). Eine allenfalls mangelhafte Begründung stellt aber für sich alleine keinen Grund für eine Revision dar.
3.3. Weiter rügt die Gesuchstellerin, das Bundesgericht habe ihren Antrag betreffend Nichteintreten auf ihr Wiedererwägungsgesuch nicht behandelt (vgl. S. 24 f. des Gesuchs). Damit meint sie offenbar ihr Gesuch vom 23. Januar 2020. Die Gesuchstellerin hat in ihrer Beschwerde im Verfahren 2C_70/2021 beantragt, es sei festzustellen, dass die Verwaltungskommission des Obergerichts zuständig gewesen sei, über ihre Gesuche vom 23. Januar 2020 zu entscheiden (Antrag 5). Dort hatte sie den Hauptantrag gestellt, die Anordnung der Anwaltsprüfungskommission vom 31. August 2018 sei in Revision zu ziehen (vgl. Urteil VB.2020.00616 des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 18. November 2020, Sachverhalt I.B.). Das Bundesgericht hat in der Folge die Zuständigkeit der Verwaltungskommission namentlich für das Revisionsgesuch geprüft und ist zum Schluss gelangt, dass das Verwaltungsgericht den Nichteintretensentscheid zu Recht bestätigt habe (Urteil 2C_70/2021 vom 14. April 2021 E. 5). Insoweit trifft es auch hier offensichtlich nicht zu, dass das Bundesgericht den Antrag nicht behandelt hat. Dies gilt auch, soweit die Gesuchstellerin auf die Rz. 144 bis 157 ihrer Beschwerde im Verfahren 2C_70/2021 verweist. Dort hat sie vorgebracht, dass es nicht zulässig sei, das Fach "Staats- und Verwaltungsrecht" zu prüfen, weshalb sie einen Anspruch auf Wiedererwägung habe. Das Bundesgericht hat hierzu erwogen, dass die Ausführungen der Gesuchstellerin zur Zulässigkeit der Abnahme einer Prüfung im Fach Staats- und Verwaltungsrecht im Ergebnis auf die nochmalige materielle Überprüfung des Beschlusses vom 31. August 2018 abzielen würden, was im vorliegenden Verfahren ausgeschlossen sei. Deshalb sei darauf nicht weiter einzugehen (Urteil 2C_70/2021 vom 14. April 2021 E. 4.3.2). Damit hat das Bundesgericht die in Rz. 144 bis 157 getätigten Vorbringen nicht übersehen, sondern ist bewusst nicht näher darauf eingegangen.
4.
Die Gesuchstellerin begründet ihr Revisionsgesuch weiter damit, dass das Bundesgericht im Urteil 2C_70/2021 vom 14. April 2021 erhebliche Tatsachen nicht berücksichtigt habe.
4.1. Der Revisionsgrund von <ref-law> liegt vor, wenn das Gericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat. Eine unzutreffende beweismässige oder rechtliche Würdigung unterliegt nicht der Revision (<ref-ruling> E. 3; Urteil 9F_1/2018 vom 22. März 2018 E. 2). Der entsprechende Revisionsgrund kann zudem nur angerufen werden, wenn die unberücksichtigten Tatsachen als erheblich zu bezeichnen sind. Davon ist auszugehen, wenn deren Berücksichtigung zugunsten des Gesuchstellers zu einer anderen Entscheidung hätte führen müssen (<ref-ruling> E. 3; Urteil 4F_15/2017 vom 30. November 2017 E. 2.1). Bei diesem Revisionsgrund ist ebenfalls zu beachten, dass das Bundesgericht bei der Beurteilung einer Beschwerde den Sachverhalt nicht frei prüft, sondern grundsätzlich auf den Sachverhalt abstellt, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Ist ein Sachverhalt zwar aus den Akten ersichtlich, wird er aber im angefochtenen Urteil nicht festgestellt und wird dies in der Beschwerde oder Beschwerdeantwort nicht als fehlerhafte oder unvollständige Sachverhaltsfeststellung gerügt oder dringt diese Rüge nicht durch, so kann die Nichtberücksichtigung dieses Sachverhalts keinen Revisionsgrund bilden (Urteile 2F_26/2019 vom 14. November 2019 E. 3.1; 2F_29/2016 vom 18. Januar 2017 E. 2.2.1).
4.2. Die Gesuchstellerin rügt, das Bundesgericht habe erhebliche Tatsachen betreffend das Dispositiv der Verfügung vom 31. August 2018 übersehen (vgl. S. 12 ff. des Gesuchs) und nicht berücksichtigt, dass sie im Verfahren aufgezeigt habe, dass die Verwaltungskommission für den Entscheid über die Erteilung des Anwaltspatents zuständig sei (vgl. S. 14 ff. des Gesuchs).
4.2.1. Das Bundesgericht hat im Urteil 2C_70/2021 erwogen, dass für die Erteilung des Anwaltspatents die Verwaltungskommission des Obergerichts zuständig sei. Allerdings setze die Erteilung die bestandene Anwaltsprüfung voraus, die von der Anwaltsprüfungskommission abgenommen werde. Es liege auf der Hand, dass die Abweisung eines Bewerbers nach dem Nichtbestehen der Prüfung die Nichterteilung des Anwaltspatents zu Folge habe, und die Gesuchstellerin zeige nicht auf, dass die Verwaltungskommission nach der Abweisung eines Bewerbers durch die Anwaltsprüfungskommission noch einen separaten Entscheid über die Nichterteilung hätte fällen müssen. Vor diesem Hintergrund liege trotz einer ungenauen Formulierung im Dispositiv bzw. einer allfälligen ungenauen Bezeichnung der verfügenden Behörde im Beschluss vom 31. August 2018 kein besonders schwerwiegender Mangel vor, der zur Nichtigkeit führen würde (vgl. Urteil 2C_70/2021 vom 14. April 2021 E. 4.3.1).
4.2.2. Soweit sich die Gesuchstellerin auf frühere Urteile des Bundesgerichts in dieser Sache sowie diverse Aktenstücke bezieht, die das Bundesgericht im Urteil 2C_70/2021 angeblich übersehen hat, möchte sie den Nachweis erbringen, dass die Anwaltsprüfungskommission trotz sachlicher Unzuständigkeit die verfügende Instanz über die Nichterteilung des Patents gewesen ist. Dabei übersieht sie, dass unbestritten ist, dass der Beschluss vom 31. August 2018 von der Anwaltsprüfungskommission gefällt wurde (Urteil 2C_70/2021 vom 14. April 2021 Sachverhalt A). Das Bundesgericht hat diesen Umstand berücksichtigt und - wie erwähnt - die Ungenauigkeit im Dispositiv im Zusammenhang mit der Zuständigkeitsfrage berücksichtigt und rechtlich gewürdigt.
4.2.3. Die Gesuchstellerin rügt in diesem Zusammenhang weiter, das Bundesgericht habe die erhebliche Tatsache übersehen, dass sie im Verfahren aufgezeigt habe, dass die Verwaltungskommission für den Entscheid über die Erteilung des Patents zuständig sei. Damit geht sie erneut am Kern der Sache vorbei, weil unbestritten ist, dass die Erteilung des Patents in die Zuständigkeit der Verwaltungskommission fällt. Dass die Gesuchstellerin auch rechtsgenügend (<ref-law>; Anwendung von kantonalem Recht) dargelegt hat, dass die Verwaltungskommission nach der Abweisung eines Bewerbers durch die Anwaltsprüfungskommission einen separaten Entscheid über die Nichterteilung des Patents hätte fällen müssen, bringt sie nicht substanziiert vor. Der pauschale Verweis auf "diverse Eingaben" genügt dabei nicht. Damit ist keine erhebliche Tatsache dargetan, die das Bundesgericht hätte übersehen können.
4.2.4. Weiter bringt die Gesuchstellerin vor, das Bundesgericht habe die erhebliche Tatsache übersehen, dass die Anwaltsprüfungskommission - selbst wenn sie zuständig gewesen wäre - in unvollständiger Besetzung entschieden habe (vgl. S. 15 f. Rz. 44 ff. des Gesuchs). Sie zeigt allerdings nicht auf, wo sie in ihrer Beschwerde im Verfahren 2C_70/2021 die Besetzung der Anwaltsprüfungskommission thematisiert hat. Insoweit kann das Bundesgericht von vornherein nicht versehentlich eine erhebliche Tatsache übersehen haben.
4.3. Die Gesuchstellerin rügt weiter, das Bundesgericht habe erhebliche Tatsachen betreffend die Qualifikation ihrer Eingabe vom 11. Mai 2020 übersehen (vgl. S. 17 f. des Gesuchs).
4.3.1. Die Gesuchstellerin hat im Verfahren 2C_70/2021 beantragt, es sei festzustellen, dass ihre Eingabe vom 11. Mai 2020 als Stellungnahme zu gelten habe (Antrag 2). Das Bundesgericht hat hierzu erwogen, dass die Anwaltsprüfungskommission mit Beschluss vom 10. März 2020 auf das Revisionsgesuch vom 23. Januar 2020 nicht eingetreten sei. Die Gesuchstellerin habe sich in der Folge mit Eingabe vom 11. Mai 2020 an die Verwaltungskommission des Obergerichts gewandt und beantragt, es sei ein Entscheid über die Rechtsbegehren im Gesuch vom 23. Januar 2020 zu fällen. Vor diesem Hintergrund hat das Bundesgericht erwogen, dass die Eingabe vom 11. Mai 2020 keine blosse Stellungnahme gewesen sei (vgl. Urteil 2C_70/2021 vom 14. April 2021 E. 3, insb. E. 3.3). Folglich hat das Bundesgericht eine rechtliche Qualifikation der Eingabe vom 11. Mai 2020 vorgenommen, die im vorliegenden Verfahren nicht überprüft werden kann. Dabei ist weder ersichtlich, dass das Bundesgericht die von der Gesuchstellerin zitierten Aktenstellen übersehen hat, noch inwieweit diese überhaupt relevant sind. Alleine aus dem Umstand, dass in einer Eingabe das Wort "Stellungnahme" verwendet wird, kann nicht geschlossen werden, dass eine blosse Stellungnahme vorliegt.
4.3.2. Weiter hat das Bundesgericht erwogen, dass der Beschluss der Anwaltsprüfungskommission vom 10. März 2020 mit einer Rechtsmittelbelehrung versehen worden sei, die das Verwaltungsgericht als Rechtsmittelinstanz angegeben habe. Es sei unbestritten, dass die Gesuchstellerin den Beschluss nicht angefochten habe (vgl. Urteil 2C_70/2021 vom 14. April 2021 E. 3.2 f.). Die Gesuchstellerin rügt, das Bundesgericht habe hierbei die Tatsache übersehen, dass sie in der Eingabe vom 11. Mai 2020 an die Verwaltungskommission des Obergerichts ausgeführt habe, sie reiche diese Eingabe sicherheitshalber ein, weil die Beschwerdefrist bald verstrichen sei (S. 18 Rz. 53 f. des Gesuchs). Die Ausführungen des Bundesgerichts bezogen sich indessen darauf, dass die Gesuchstellerin den Beschluss vom 10. März 2020 nicht bei der zuständigen Rechtsmittelinstanz - dem Verwaltungsgericht - angefochten habe, was sie nicht bestreitet. Insoweit liegt keine Tatsache vor, die das Bundesgericht versehentlich übersehen hat.
4.4. Die Gesuchstellerin rügt weiter, das Bundesgericht habe in Bezug auf den Nichteintretensentscheid der Verwaltungskommission vom 30. Juni 2020 erhebliche Tatsachen übersehen (vgl. S. 18 ff. des Gesuchs).
4.4.1. Das Bundesgericht hat sich im Urteil 2C_70/2021 eingehend mit dem Einwand der Gesuchstellerin auseinandergesetzt, wonach der Entscheid der Verwaltungskommission eigentlich ein Sachentscheid gewesen sei. Es hat dabei sowohl das Dispositiv wie auch die Begründung des Entscheids herangezogen und erwogen, die Vormerkung der Verwaltungskommission, dass mit Eröffnung des Verfahrens dem Antrag 2 der Gesuchstellerin nachgekommen worden sei, könne nach Treu und Glauben nur so verstanden werden, dass die Verwaltungskommission das Gesuch an die Hand genommen bzw. diesbezüglich ein Verfahren eröffnet habe. Ansonsten habe die Verwaltungskommission die übrigen Begehren der Gesuchstellerin abgewiesen, soweit darauf eingetreten werde, wobei sich aus der Begründung unmissverständlich ergebe, dass die Verwaltungskommission auf sämtliche Anträge der Gesuchstellerin nicht eingetreten sei mit Ausnahme des Antrags auf Durchführung einer mündlichen Verhandlung, der abgewiesen worden sei (Urteil 2C_70/2021 vom 14. April 2021 E. 5.1).
4.4.2. Die Gesuchstellerin bringt vor, das Bundesgericht habe dabei die erhebliche Tatsache übersehen, dass der Entscheid vom 30. Juni 2020 nicht nur in Bezug auf die Eingabe vom 11. Mai 2020, sondern auch bezüglich des Gesuches vom 23. Januar 2020 ergangen sei. Das trifft offensichtlich nicht zu. Das Bundesgericht hat ausdrücklich erwogen, dass die Verwaltungskommission "die übrigen Begehren der Gesuchstellerin in den Eingaben vom 23. Januar 2020 bzw. vom 11. Mai 2020" abgewiesen habe (vgl. Urteil 2C_70/2021 vom 14. April 2021 E. 5.1). Dass der Gesuchstellerin die Ausführungen des Bundesgerichts nicht schlüssig erscheinen, stellt keinen Revisionsgrund dar. Ebenso trifft offensichtlich nicht zu, dass das Bundesgericht die Erwägungen im Entscheid vom 30. Juni 2020 ausser Acht gelassen habe. Wie vorher erwähnt (vgl. E. 4.4.1) hat es die Tragweite des Entscheids vom 30. Juni 2020 unter Berücksichtigung des Dispositivs und der Erwägungen ausgelegt. Folglich liegt auch insoweit kein Revisionsgrund vor.
4.5. Die Gesuchstellerin bringt weiter vor, das Bundesgericht habe erhebliche Tatsachen in Bezug auf die "Weigerung der Überprüfung der Zuständigkeitsbeurteilung" der Verwaltungskommission übersehen (vgl. S. 20 ff. des Gesuchs).
4.5.1. Ausgangspunkt des Verfahrens 2C_70/2021 war der Nichteintretensentscheid (vgl. vorne E. 4.4.1) der Verwaltungskommission vom 30. Juni 2020. Damit beschränkte sich die Frage vor Verwaltungsgericht darauf, ob die Verwaltungskommission auf die Gesuche der Gesuchstellerin zu Recht nicht eingetreten ist, was das Gericht bejaht hatte (vgl. E. 5.2 des Urteils VB.2020.00616 vom 18. November 2020). Das Bundesgericht hatte folglich im Verfahren 2C_70/2021 zu prüfen, ob das Verwaltungsgericht den Nichteintretensentscheid der Verwaltungskommission zu Recht bestätigt hatte (vgl. Urteil 2C_70/2021 vom 14. April 2021 E. 5). Insoweit kann der Gesuchstellerin nicht gefolgt werden, wenn sie ausführt, das Bundesgericht habe die Tatsache übersehen, dass das Verwaltungsgericht nicht den Entscheid der Verwaltungskommission bestätigt habe, sondern denjenigen der Anwaltsprüfungskommission (vgl. S. 21 Rz. 64 des Gesuchs). Die Gesuchstellerin bringt denn auch nicht weiter vor, aus welcher angeblichen Tatsache sie zu diesem Schluss gelangt. Ebenso war im Verfahren nicht eine allfällige Zuständigkeit der Anwaltsprüfungskommission zu klären, nachdem die Gesuchstellerin den Beschluss vom 10. März 2020 nicht angefochten hat (vgl. vorne E. 4.3.2). Die diesbezüglichen Ausführungen im Gesuch (vgl. S. 21 ff.) laufen deshalb ins Leere.
4.5.2. Weiter rügt die Gesuchstellerin in diesem Zusammenhang, das Bundesgericht habe lediglich geprüft, ob die Verwaltungskommission für das Revisionsgesuch zuständig gewesen sei, obwohl die Verwaltungskommission nicht nur auf das Revisionsgesuch, sondern auch auf ihre anderen Gesuche (Feststellung der Nichtigkeit; Wiedererwägung; Erlass der Prüfung in Staats- und Verwaltungsrecht) nicht eingetreten sei. Es trifft zu, dass sich die Ausführungen im Urteil 2C_70/2021 zur Zuständigkeit der Verwaltungskommission auf das Revisionsgesuch beschränkt haben (Urteil 2C_70/2021 vom 14. April 2021 E. 5.2). Es kann allerdings keine Rede davon sein, dass das Bundesgericht übersehen hat, dass die Verwaltungskommission nicht nur das Revisionsgesuch zu beurteilen hatte. Es hat ausdrücklich erwogen, "dass die Verwaltungskommission auf die Anträge der Beschwerdeführerin, namentlich auf das Revisionsgesuch, nicht eingetreten ist" (Urteil 2C_70/2021 vom 14. April 2021 E. 5.1). Wenn es sich im Folgenden auf die Beurteilung der Zuständigkeit für das Revisionsgesuch beschränkt hat, liegt das daran, dass die Gesuchstellerin im Gesuch vom 23. Januar 2020 im Hauptantrag um Revision ersucht hat und sich ihre Ausführungen in der Beschwerde im Verfahren 2C_70/2021 überwiegend auf die Revision beschränkt haben. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Ausführungen zur Wiedererwägung nicht übersehen (vgl. vorne E. 3.3) und die Nichtigkeit der Beschlüsse der Anwaltsprüfungskommission materiell geprüft und verneint (vgl. vorne E. 3.2). Damit liegt höchstens ein Mangel in der Begründung vor, der mittels Revision nicht geltend gemacht werden kann.
4.6. Die Gesuchstellerin rügt weiter, der Beschluss der Verwaltungskommission vom 30. Juni 2020 und der Beschluss der Anwaltsprüfungskommission vom 10. März 2020 seien widersprüchlich (vgl. S. 25 des Gesuchs). Das Bundesgericht hat diesen Einwand geprüft und verworfen (vgl. Urteil 2C_70/2021 vom 14. April 2021 E. 4.2). Soweit die Gesuchstellerin ausführt, es habe dabei die erhebliche Tatsache übersehen, dass beide Urteile die Zuständigkeit unterschiedlich festlegen, handelt es sich um keine aktenmässig erstellte Tatsache, sondern um eine rechtliche Würdigung, die im Revisionsverfahren nicht überprüft werden kann.
4.7. Weiter wendet sich die Gesuchstellerin gegen die Ausführungen des Bundesgerichts, wonach sie den Beschluss vom 31. August 2018 angefochten habe, ohne die Unzuständigkeit der Anwaltsprüfungskommission zu rügen (vgl. S. 25 ff. des Gesuchs). Das Gericht habe dabei die erhebliche Tatsache übersehen, dass sie in zahlreichen Eingaben die Unzuständigkeit gerügt habe. Auch diese Rüge ist offensichtlich unbegründet. Die Ausführungen des Bundesgerichts (Urteil 2C_70/2021 vom 14. April 2021 E. 4.3.2) bezogen sich darauf, dass die Gesuchstellerin den Beschluss vom 31. August 2018 im ordentlichen Rechtsmittelverfahren angefochten hat, ohne die Unzuständigkeit zu rügen, was insoweit relevant ist, als dass das Bundesgericht die Nichtigkeit des Beschlusses verneint hat (vgl. vorne E. 3.2), weshalb der Beschluss in Bezug auf den angeblichen Zuständigkeitsmangel bloss anfechtbar gewesen wäre. Die Gesuchstellerin zeigt nicht auf, dass sie die angebliche Unzuständigkeit der Anwaltsprüfungskommission bereits im Verfahren 2C_505/2019 und nicht erst in den anschliessenden Revisionsverfahren gerügt hat.
4.8. Die Gesuchstellerin rügt auch, das Bundesgericht habe eine erhebliche Tatsache in Bezug auf die Befangenheit von Verwaltungsrichterin Tamara Nüssle übersehen (vgl. S. 28 ff. des Gesuchs). Auch das trifft offensichtlich nicht zu. Das Bundesgericht hat ausgeführt, dass die Gesuchstellerin ihre Behauptungen zur angeblichen Befangenheit von Verwaltungsrichterin Tamara Nüssle weder belegt noch substanziiert habe (vgl. Urteil 2C_70/2021 vom 14. April 2021 E. 4.4). Es hat damit eine rechtliche Würdigung vorgenommen, die der Revision nicht zugänglich ist, und die Gesuchstellerin kann die angebliche Befangenheit nicht nachträglich näher substanziieren.
4.9. Schliesslich beanstandet die Gesuchstellerin die Ausführungen des Bundesgerichts zur Weiterleitungspflicht (vgl. S. 30 ff. des Gesuchs).
4.9.1. In ihrer Beschwerde im Verfahren 2C_70/2021 hatte die Gesuchstellerin beanstandet, dass ihr Gesuch vom 11. Mai 2020 an die Verwaltungskommission nicht zuständigkeitshalber an die richtige Instanz weitergeleitet worden sei (vgl. S. 30 ff. der Beschwerde). Das Bundesgericht hatte in der Folge erwogen, dass sich die Verwaltungskommission bereits mit Schreiben vom 27. Januar 2020 für unzuständig erklärt hatte und sich die Gesuchstellerin dennoch wieder an die Verwaltungskommission gewandt habe, anstatt den Nichteintretensentscheid der Anwaltsprüfungskommission anzufechten. Sie habe sich folglich bewusst an eine nicht zuständige Instanz gewandt, weshalb keine Weiterleitungspflicht der Verwaltungskommission bestanden habe. Nicht zu prüfen sei, ob die Anwaltsprüfungskommission die Weiterleitungspflicht verletzt habe, weil deren Entscheid in Rechtskraft erwachsen sei (vgl. Urteil 2C_70/2021 vom 14. April 2021 E. 6).
4.9.2. Die Gesuchstellerin rügt nun einerseits, das Bundesgericht habe übersehen, dass sie nicht eine Verletzung der Weiterleitungspflicht an das Bundesgericht beanstandet habe, sondern an das Verwaltungsgericht. Dieser Einwand ist unerheblich. Die Ausführungen des Bundesgerichts, wonach die Verwaltungskommission nicht zur Weiterleitung der Eingabe vom 11. Mai 2020 verpflichtet gewesen sei, gelten grundsätzlich und damit auch für eine allfällige Weiterleitung an das Verwaltungsgericht. Soweit die Gesuchstellerin in der Folge Überlegungen dazu anstellt, ob die Verwaltungskommission die Weiterleitungspflicht betreffend ihre Eingabe vom 23. Januar 2020 verletzt haben könnte, ist darauf hinzuweisen, dass diese Frage nicht Gegenstand des Verfahrens 2C_70/2021 war, nachdem die Gesuchstellerin den in Bezug auf ihre Eingabe vom 23. Januar 2020 ergangenen Entscheid der Anwaltsprüfungskommission vom 10. März 2020 nicht angefochten hat. Folglich kann das Bundesgericht in dieser Hinsicht auch keine erhebliche Tatsachen übersehen haben.
5.
Zuletzt rügt die Gesuchstellerin, die am Urteil 2C_70/2021 beteiligten Mitglieder des Gerichts und die Gerichtsschreiberin seien befangen gewesen (vgl. S. 32 ff. des Gesuchs), und macht damit den Revisionsgrund von <ref-law> geltend. Sie begründet die behauptete Befangenheit einerseits mit "krassen Verfehlungen" im Verfahren 2C_70/2021, wobei sie im Wesentlichen dieselben Gründe anführt wie bei ihrem Gesuch um Revision nach Art. 121 lit. c und d BGG. Nachdem diese Rügen verworfen worden sind, kann von Verfehlungen im Verfahren 2C_70/2021, die den Anschein von Befangenheit begründen könnten, keine Rede sein. Ebenso vermag der Umstand, dass der Examinator der mündlichen Teilwiederholungsprüfung im Fach Staats- und Verwaltungsrecht von 1999-2012 Gerichtsschreiber an der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts gewesen ist, keinen Anschein der Befangenheit der am Urteil 2C_70/2021 beteiligten Gerichtsmitglieder bzw. der Gerichtsschreiberin zu begründen. Insoweit besteht keine Veranlassung, die an der Urteilsfällung involvierten Gerichtsmitglieder und die Gerichtsschreiberin unter Wahrheitspflicht zu befragen.
6.
Zusammenfassend vermag die Gesuchstellerin keinen Revisionsgrund in Bezug auf das Urteil 2C_70/2021 vom 14. April 2021 aufzuzeigen. Soweit sie die Revision von allen anderen Bundesgerichtsurteilen im Zusammenhang mit dem Beschluss der Anwaltsprüfungskommission vom 31. August 2018 verlangt und auf eine Verletzung der Ausstandspflicht hinweist, nennt sie weder die betroffenen Urteile noch substanziiert sie näher, inwieweit dort die Ausstandspflicht verletzt worden sein soll. Darauf ist nicht einzutreten.
7.
Zu prüfen bleibt der Antrag, es sei die Nichtigkeit der in den Verfahren VB.2018.00648, 2C_505/2019 sowie 2F_26/2019 ergangenen Urteile festzustellen (vgl. S. 5 ff. des Gesuchs).
Die Gesuchstellerin hat diesen Antrag bereits im Verfahren 2C_70/2021 gestellt und das Bundesgericht hat die Nichtigkeit wegen der angeblichen Unzuständigkeit der Anwaltsprüfungskommission unter Hinweis auf die Evidenztheorie mit ausführlicher Begründung verneint (Urteil 2C_70/2021 vom 14. April 2021 E. 4). Nachdem keine Gründe für eine Revision des Urteils 2C_70/2021 vorliegen, haben die betreffenden Erwägungen nach wie vor Gültigkeit und kann die Gesuchstellerin die Frage nach der Nichtigkeit infolge fehlender Zuständigkeit der Anwaltsprüfungskommission nicht erneut aufwerfen. Auf das Gesuch ist insoweit nicht einzutreten.
8.
Das Revisionsgesuch ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Auf das Gesuch um Feststellung der Nichtigkeit ist nicht einzutreten. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten der Gesuchstellerin aufzuerlegen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht auszurichten (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Auf das Gesuch um Feststellung der Nichtigkeit der in den Verfahren VB.2018.00648, 2C_505/2019 sowie 2F_26/2019 ergangenen Urteile wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Gesuchstellerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, mitgeteilt.
Lausanne, 24. Februar 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Der Gerichtsschreiber: Businger