Erwägungen:
1.
Am 16. August 2005 wies der Bürgerrat der Stadt Basel ein Einbürgerungsgesuch von A._ ab. Am 27. Januar 2021 ersuchte dieser um eine Neuüberprüfung des Entscheids, worauf der Bürgerrat jedoch am 9. März 2021 nicht eintrat. Dagegen erhob A._ Rekurs ans Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Gleichzeitig ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Verfügung vom 8. Juni 2021 wies das Appellationsgericht das Gesuch ab und setzte A._ eine Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 600.--.
2.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht vom 15. Juli 2021 beantragte A._, sein Wiedererwägungsgesuch sei inhaltlich zu prüfen und es sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege sowie die Rückerstattung der bisherigen Gerichtskosten zu gewähren.
3.
Im Rahmen des Schriftenwechsels teilte das Appellationsgericht dem Bundesgericht mit, dass A._ den Kostenvorschuss am 18. Oktober 2021 fristgerecht bezahlt habe. In der Folge teilte das Bundesgericht den Verfahrensbeteiligten mit, das Verfahren scheine gegenstandslos geworden zu sein, und räumte ihnen Gelegenheit zur Stellungnahme ein. Das Appellationsgericht erachtet in seiner Stellungnahme eine Abschreibung des Verfahrens als richtig, während die weiteren Verfahrensbeteiligten sich nicht haben vernehmen lassen.
4.
Da der Beschwerdeführer den Kostenvorschuss, gegen dessen Auferlegung er sich mit der Beschwerde ans Bundesgericht gewehrt hatte, in der Folge doch noch fristgerecht bezahlt hat, ist das bundesgerichtliche Verfahren gegenstandslos geworden und als erledigt abzuschreiben (<ref-law>).
5.
Da keine Parteikosten entstanden sind und es sich unter den gegebenen Umständen rechtfertigt, gestützt auf <ref-law> auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten, kann offenbleiben, welches der mutmassliche Ausgang des Prozesses gewesen wäre bzw. wer nach dem Verursacherprinzip die Prozesskosten zu tragen hätte (vgl. Urteil 1C_69/2021 vom 19. Oktober 2021 E. 6 mit Hinweisen).

Demnach erkennt der Einzelrichter:
1.
Das Verfahren 1C_435/2021 wird als gegenstandslos geworden vom Geschäftsverzeichnis abgeschrieben.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bürgerrat der Stadt Basel und dem Appellationsgericht Basel-Stadt, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Dezember 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Müller
Der Gerichtsschreiber: Dold