Sachverhalt:
A.
Der 1970 geborene A._ leidet u.a. an einer andauernden Persönlichkeits- und Verhaltensstörung sowie an kognitiven Beeinträchtigungen als Folgen einer langjährigen schweren Drogenkrankheit. Die IV-Stelle des Kantons Zürich richtet ihm seit August 2012 eine Invalidenrente aus (zunächst eine halbe und ab Januar 2014 eine ganze). Hingegen verweigerte sie mit Verfügung vom 25. April 2018 trotz ausgewiesenem Bedarf an lebenspraktischer Begleitung eine Hilflosenentschädigung, weil der Versicherte in einem Heim lebe.
B.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hiess die dagegen eingereichte Beschwerde mit Entscheid vom 19. September 2019 gut, hob die angefochtene Verfügung auf und sprach A._ ab 1. März 2016 eine Entschädigung wegen leichter Hilflosigkeit zu. Dem vom Versicherten genutzten Wohnintegrationsangebot der Stadt Zürich sei der Heimcharakter abzusprechen.
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde ans Bundesgericht mit dem Antrag auf Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids und Bestätigung ihrer ablehnenden Verfügung vom 25. April 2018. Überdies sei der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
A._ lässt auf Abweisung der Beschwerde und des Gesuchs um Erteilung der aufschiebenden Wirkung schliessen. Ferner lässt er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersuchen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) hat sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde ans Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen (u.a.) Bundesrecht verletzt (<ref-law>), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, <ref-law>). Hingegen hat eine freie Überprüfung des vorinstanzlichen Entscheids in tatsächlicher Hinsicht zu unterbleiben. Ebenso entfällt eine Prüfung der Ermessensbetätigung nach den Grundsätzen zur Angemessenheitskontrolle.
2.
2.1. Das kantonale Gericht hat die allgemeinen Voraussetzungen für den Anspruch auf eine Hilflosenentschädigung (<ref-law> in Verbindung mit Art. 9 und 13 ATSG [SR 830.1]) und die Legaldefinition der leichten Hilflosigkeit (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law> [SR 831.201]) zutreffend dargelegt. Richtig ist insbesondere auch die Feststellung der Vorinstanz, wonach eine anspruchsbegründende leichte Hilflosigkeit - seit Inkrafttreten der 4. IV-Revision am 1. Januar 2004 - u.a. dann vorliegt, wenn die versicherte Person wegen einer Gesundheitsbeeinträchtigung trotz der Abgabe von Hilfsmitteln dauernd auf lebenspraktische Begleitung im Sinne von <ref-law> angewiesen ist (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Darauf wird verwiesen.
2.2. Gemäss <ref-law> liegt ein Bedarf an lebenspraktischer Begleitung im Sinne von <ref-law> vor, wenn eine volljährige versicherte Person ausserhalb eines Heimes lebt und infolge Beeinträchtigung der Gesundheit ohne Begleitung einer Drittperson nicht selbständig wohnen kann (lit. a), für Verrichtungen und Kontakte ausserhalb der Wohnung auf Begleitung einer Drittperson angewiesen ist (lit. b) oder ernsthaft gefährdet ist, sich dauernd von der Aussenwelt zu isolieren (lit. c). Ist lediglich die psychische Gesundheit beeinträchtigt, so muss für die Annahme einer Hilflosigkeit gleichzeitig ein Anspruch auf mindestens eine Viertelsrente bestehen (<ref-law>; <ref-law>). Zu berücksichtigen ist nur diejenige lebenspraktische Begleitung, die regelmässig und im Zusammenhang mit den in Abs. 1 erwähnten Situationen erforderlich ist; nicht darunter fallen insbesondere Vertretungs- und Verwaltungstätigkeiten im Rahmen von Massnahmen des Erwachsenenschutzes nach den Art. 390-398 ZGB (<ref-law>).
2.3. Nach der Rechtsprechung umfasst die lebenspraktische Begleitung weder die (direkte oder indirekte) Dritthilfe bei den alltäglichen Lebensverrichtungen noch die dauernde Pflege oder persönliche Überwachung im Sinne von <ref-law>. Vielmehr stellt sie ein zusätzliches und eigenständiges Institut der Hilfe dar (<ref-ruling> E. 9 S. 466; Urteil I 735/05 vom 23. Juli 2007 E. 5.2, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2008 IV Nr. 27 S. 83). Lebenspraktische Begleitung ist nicht auf Menschen mit psychischen oder geistigen Behinderungen beschränkt; auch körperlich Behinderte können grundsätzlich lebenspraktische Begleitung beanspruchen (SVR 2008 IV Nr. 26 S. 79, I 317/06 E. 4.3). Die Notwendigkeit einer Dritthilfe ist objektiv nach dem Gesundheitszustand der versicherten Person zu beurteilen. Abgesehen vom Aufenthalt in einem Heim ist demgegenüber die Umgebung, in welcher sie sich aufhält, grundsätzlich unerheblich. Bei der lebenspraktischen Begleitung darf keine Rolle spielen, ob die versicherte Person allein lebt, zusammen mit dem Lebenspartner, mit Familienmitgliedern oder in einer der heutzutage verbreiteten neuen Wohnformen. Massgebend ist einzig, ob die versicherte Person, wäre sie auf sich allein gestellt, erhebliche Dritthilfe in Form von Begleitung und Beratung benötigen würde. Von welcher Seite diese letztlich erbracht wird, ist ebenso bedeutungslos wie die Frage, ob sie kostenlos erfolgt oder nicht (<ref-ruling> E. 5 S. 460, 472 E. 5.3.2; <ref-ruling> E. 2 S. 25; SVR 2011 IV Nr. 11 S. 29, 9C_410/2009 E. 5.).
3.
Unter den Verfahrensbeteiligten ist unbestritten, dass der Beschwerdegegner wegen seiner gesundheitlichen Beeinträchtigung der lebenspraktischen Begleitung bedarf. Aufgrund der Feststellungen im vorinstanzlichen Entscheid und im Abklärungsbericht der IV-Stelle vom 30. November 2017 ist er ohne Begleitung einer Drittperson nicht in der Lage, selbständig zu wohnen oder ausserhalb der Wohnung seinen Verpflichtungen nachzugehen oder Kontakte zu pflegen. Überdies ist er ohne Begleitung ernsthaft gefährdet, sich dauernd von der Aussenwelt zu isolieren. Er erfüllt somit sämtliche der bloss alternativ verlangten Bedarfskriterien gemäss Art. 38 Abs. 1 lit. a-c IVV. Streitig ist hingegen, ob auch das weitere Anspruchserfordernis gegeben ist, wonach er ausserhalb eines Heimes leben muss (Art. 38 Abs. 1 Ingress IVV). Vorinstanz und Beschwerdegegner bejahen dies, wogegen die beschwerdeführende IV-Stelle geltend macht, das Begleitete Wohnen (Bewo) der Stadt Zürich biete dem Versicherten neben der Unterkunft im eigenen möblierten Zimmer auch die ambulante Betreuung durch eine Fachperson. Das streitige Wohnintegrationsangebot sei als Heim im Sinne von Art. 38 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law> zu qualifizieren, weshalb die lebenspraktische Begleitung ausser Betracht falle.
4.
4.1. Zuvor nur auf Weisungsebene im Kreisschreiben des BSV über Invalidität und Hilflosigkeit in der Invalidenversicherung (KSIH) geregelt, fand die Definition des Heimes durch Einfügung des neuen Art. 35ter Eingang in die IVV (Inkrafttreten am 1. Januar 2015 [AS 2014 3177]). Nach Abs. 1 dieser Verordnungsbestimmung gelten als Heim im Sinne des Gesetzes kollektive Wohnformen, die der Betreuung oder Pflege der versicherten Person dienen, sofern diese für den Betrieb der kollektiven Wohnform nicht die Verantwortung trägt (lit. a), nicht frei entscheiden kann, welche Hilfeleistung sie in welcher Art, wann oder von wem erhält (lit. b), oder eine pauschale Entschädigung für Pflege- oder Betreuungsleistungen entrichten muss (lit. c). Wohngruppen, die von einem Heim nach Abs. 1 betrieben werden und von diesem Hilfeleistungen beziehen, sind Heimen gleichgestellt (<ref-law>). Nicht als Heim gelten laut <ref-law> insbesondere kollektive Wohnformen, in denen die versicherte Person ihre benötigten Leistungen bezüglich Pflege und Betreuung selbst bestimmen und einkaufen kann (lit. a), eigenverantwortlich und selbstbestimmt leben kann (lit. b) und die Wohnverhältnisse selbst wählen und gestalten kann (lit. c). Während die Kriterien von Abs. 1 lediglich alternativ zu erfüllen sind, müssen diejenigen von Abs. 4 kumulativ gegeben sein (Urteil 9C_47/2018 vom 28. Juni 2018 E. 2.3; Erläuterungen des BSV zur IVV-Revision vom 19. September 2014, S. 4 f.).
4.2. Gemäss Gerichts- und Verwaltungspraxis wird als Heim eine meist unter der Verantwortung einer Trägerschaft stehende Wohngemeinschaft mit Leitung und allenfalls angestelltem Personal bezeichnet. Erforderlich ist, dass den Bewohnerinnen und Bewohnern nicht nur Wohnraum zur Miete zur Verfügung gestellt wird, sondern dass sie gegen Entgelt auch von einem weitergehenden Leistungsangebot wie Verpflegung, Beratung, Betreuung, Pflege, Beschäftigung oder Integration Gebrauch machen können. Also von solchen Dienstleistungen, die in ihrer Art und in ihrem Ausmass bei einem Aufenthalt in der eigenen Wohnung eben nicht zur Verfügung stehen, bzw. für deren Organisation die Betroffenen selbst verantwortlich wären. Als massgebend gilt demnach, dass ein für Heime typisches Spektrum an Leistungen erbracht wird, das in der eigenen Wohnung oder in einer üblichen Wohngemeinschaft nicht oder zumindest nicht dauernd gewährleistet ist (Urteil 9C_47/2018 vom 28. Juni 2018 E. 2.3; erwähnte Erläuterungen des BSV, S. 4 f.).
4.3. Der Definition des Heimes nach <ref-law> kommt für verschiedene IV-Leistungen grosse Bedeutung zu. So entspricht die Höhe der Hilflosenentschädigung für Versicherte, die sich in einem Heim aufhalten, lediglich einem Viertel der normalen Ansätze (Art. 42ter Abs. 2 in Verbindung mit Abs. 1 IVG). Und die hier interessierende Hilflosenentschädigung für den Bedarf an lebenspraktischer Begleitung kommt - gleich wie der Assistenzbeitrag (<ref-law>) - nur in Betracht, wenn die versicherte Person zu Hause lebt (<ref-law>; d.h. nicht in einer stationären Einrichtung: <ref-ruling> E. 5 S. 461). Während der Verordnungsgeber sowohl im Bereich der AHV (<ref-law> [SR 831.101]) als auch in demjenigen der Ergänzungsleistungen (wenigstens dem Grundsatze nach: Art. 25a Abs. 1 ELV [SR 831.301], vgl. aber auch Abs. 2 dieser Verordnungsbestimmung) auf rein formale Kriterien abstellt, nämlich auf die kantonale Anerkennung als Heim oder die entsprechende kantonale Betriebsbewilligung, definiert der Bundesrat das Heim im IV-Bereich anhand materieller Merkmale (E. 4.1 und 4.2 hievor; vgl. aber auch <ref-law>). Deren Handhabung ist naturgemäss anspruchsvoller (vgl. Urteil 9C_685/2017 vom 21. März 2018 E. 5.2). Die Beantwortung der von <ref-law> aufgeworfenen Fragen nach Betriebs- und Organisationsstruktur der kollektiven Wohnformen sowie nach deren Betreuungsleistungen und der Art der diesbezüglichen Entschädigung lassen sich nur durch eingehende Prüfung im Einzelfall beantworten. Auf der andern Seite wird der Bundesrat mit seiner invalidenversicherungsrechtlichen Heimdefinition dem Umstand gerecht, dass in den letzten Jahren neue Formen der Heimbetreuung an Bedeutung gewonnen haben, indem heimähnliche Strukturen teilweise an die Stelle der klassischen Heime getreten sind (Erläuterungen des BSV, S. 3). Die Entstehung immer unterschiedlicherer Wohnformen in diesem Bereich ruft nach einer entsprechend differenzierten Abklärung der Frage, ob im konkreten Fall der Heimcharakter zu bejahen ist oder nicht. Der Bezeichnung der kollektiven Wohnform ("Übergangswohnheim", "Begleitetes Wohnen", "Soziales Wohnen", "Wohnhilfe") kommt dabei keine Bedeutung zu.
4.4. Die Frage, ob eine versicherte Person in einem Heim im Sinne von <ref-law> lebt, stellt eine durch das Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage dar. Diesbezügliche sachverhaltliche Feststellungen des kantonalen Gerichts beschlagen hingegen Tatfragen, welche für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich sind (vgl. E. 1 hievor; Urteile 9C_47/2018 vom 28. Juni 2018 E. 4.1 und 9C_685/2017 vom 21. März 2018 E. 5.1).
5.
Massgebend ist folgender vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt (vgl. E. 1 und 4.4 hievor), der im Übrigen von keiner Seite bestritten wird.
5.1. Die Stadt Zürich unterhält ein breites Angebot an Massnahmen gegen Wohnungs- und Obdachlosigkeit (Notschlafstelle, Nachtpension, Ambulante, Stationäre und Beaufsichtigte Wohnintegration, Notunterkunft für Familien, Übergangswohnen für Familien, für Einzelpersonen und Paare sowie für junge Erwachsene). Eine dieser Massnahmen, von der auch der Beschwerdegegner Gebrauch macht, ist das Begleitete Wohnen (Bewo). Es richtet sich an volljährige Einzelpersonen mit Suchtmittelabhängigkeit oder psychischen Beeinträchtigungen, die nicht in der Lage sind, Obdachlosigkeit aus eigener Kraft abzuwenden oder zu überwinden. Das Angebot umfasst Unterkunft im eigenen, möblierten Zimmer und (obligatorische) ambulante Betreuung durch Fachpersonen. Angestrebt wird eine Verbesserung der Gesamtsituation, um damit - soweit möglich - die Voraussetzungen für den Übertritt in eine Wohnung auf dem freien Wohnungsmarkt zu schaffen. Die ambulante Betreuung setzt bei der prekären Wohnsituation an und zielt auf die Befähigung zum selbständigen Wohnen. Der individuelle, anhand vorgegebener Kriterien ermittelte Betreuungsbedarf bestimmt die Betreuungsstufe und den Betreuungstarif (Ausführungsbestimmungen für die Wohnintegrationsangebote der Stadt Zürich, S. 2-4). Der Beschwerdegegner wurde zunächst in die Betreuungsstufe 2 und ab April 2017 in die (höchste) Betreuungsstufe 3 eingereiht. Bei Letzterer sind wöchentlich zwei Hausbesuche vorgesehen (insgesamt 4 Stunden im Monat), wobei pro Besuch eine Viertelstunde auf den von der Betreuungsperson zurückgelegten Weg entfällt (vorinstanzlicher Entscheid S. 12 f.; div. befristete, sich zeitlich aneinanderreihende Beherbergungs- und Betreuungsverträge zwischen der Stadt Zürich und dem Beschwerdegegner).
5.2. Den unmittelbar hievor erwähnten Vereinbarungen mit der Stadt Zürich und dem IV-Abklärungsbericht für Hilflosenentschädigung vom 30. November 2017 ist zu entnehmen, dass der Beschwerdegegner ein möbliertes Zimmer mit Nasszelle und Küche bewohnt (Mietkosten: Fr. 1150.- pro Monat) und wöchentlich zweimal während einer Viertelstunde (zu Bürozeiten) von einer städtischen Betreuerin besucht wird. Laut dieser handelt es sich eher um Kontrollbesuche (die nach vorinstanzlicher Beurteilung auch dem Schutz des Mietobjekts dienen). Gemeinsam würden die wichtigsten Posteingänge durchgesehen und auftretende Probleme erörtert (die Betreuungskosten belaufen sich auf monatlich Fr. 524.-). Ansonsten findet im Rahmen des Wohnintegrationsangebots keine weitere Betreuung statt (schon gar nicht in der Nacht oder an Wochenenden). Der Beschwerdegegner ist hinsichtlich Tagesablauf und Verpflegung vollkommen autonom. Allerdings kocht er - mangels Motivation - nicht selber. An drei Tagen pro Woche arbeitet er halbtags im Betrieb B._ und kann seine Mahlzeiten in der dortigen Kantine einnehmen. An weiteren ein bis zwei Tagen sowie am Wochenende isst er bei seiner Mutter, die ihm auch Mahlzeiten zum Aufwärmen mitgibt. Ferner unterstützt ihn die Mutter bei der Besorgung der Wäsche, in administrativen Belangen (soweit nicht von der Betreuerin oder vom Sozialamt übernommen) und bei der Vereinbarung und Einhaltung der notwendigen Arzttermine. Zu diesen muss sie den Beschwerdegegner ebenso begleiten wie zu den nötigen Einkäufen. Schliesslich organisiert sie gemeinsame Freizeitaktivitäten, verbringt doch ihr Sohn die Wochenenden mehrheitlich bei ihr.
6.
6.1. Der hier zu beurteilende Fall zeigt exemplarisch, dass es bei der Prüfung der Frage, ob eine versicherte Person in einem Heim lebt, nicht angehen kann, bloss in abstrakter Weise auf die Abgrenzungskriterien des Art. 35ter Abs. 1 und 4 IVV abzustellen ohne den Umfang und die Intensität der von der Einrichtung erbrachten Betreuungsleistung angemessen miteinzubeziehen. Vielmehr haben sich diesbezüglich die IV-Stellen und - im Beschwerdefall - die Sozialversicherungsgerichte nach den Anforderungen der in Frage stehenden IV-Leistung zu richten. Gemäss dem Willen des Gesetzgebers soll der Anspruch auf Hilflosenentschädigung nicht bei jeglicher Form und Dauer der lebenspraktischen Begleitung gegeben sein. Vielmehr ist eine entsprechende Entschädigung durch die Invalidenversicherung nur bei einem bestimmten minimalen Schweregrad der Hilflosigkeit gerechtfertigt (Botschaft vom 21. Februar 2001 über die 4. IV-Revision, BBl 2001 3289). Nach der Rechtsprechung und der Verwaltungspraxis ist die Erheblichkeitsschwelle erreicht, wenn die lebenspraktische Begleitung gemäss <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> über eine Periode von drei Monaten gerechnet im Durchschnitt während mindestens 2 Stunden pro Woche benötigt wird (<ref-ruling> E. 6.2 S. 461, 472 E. 5.3.1; SVR 2009 IV Nr. 23 S. 65, 9C_18/2008 E. 2.3; Rz. 8053 KSIH, gültig ab 1. Januar 2015).
6.2. An dieser leistungsspezifischen Erheblichkeitsgrenze haben sich die rechtsanwendenden Behörden gleichermassen zu orientieren, wenn sie über den Heimcharakter einer Einrichtung zu befinden und dabei - wie hievor dargelegt - Umfang und Intensität der von der Institution erbrachten Betreuungsleistung mitzuberücksichtigen haben. Die Rechtsprechung hat unter Hinweis auf die Materialien zur 4. IV-Revision erkannt, das vom Gesetzgeber mit der neu eingeführten Hilflosenentschädigung für lebenspraktische Begleitung verfolgte Ziel liege darin, behinderten Menschen mit Assistenzbedürfnissen eine grössere Autonomie und Selbstbestimmung zu ermöglichen. Mit der Verbesserung der individuellen Entschädigung für Betreuung und Begleitung soll der Eintritt von zu Hause lebenden Versicherten in stationäre Einrichtungen nach Möglichkeit verhindert oder wenigstens hinausgeschoben werden (<ref-ruling> E. 5 S. 461, 569 E. 5.3.2 am Anfang; SVR 2008 IV Nr. 26 S. 79, I 317/06 E. 4.2). Dieses Ziel würde geradezu torpediert, wenn kollektive Wohnformen mit einer effektiven Betreuungsleistung von weniger als 2 Stunden pro Woche bereits als Heime im Sinne der Invalidenversicherung zu qualifizieren wären und demnach den Bewohnern eine Entschädigung für lebenspraktische Begleitung schon aus diesem Grunde versagt bliebe.
7.
Hier braucht den Abgrenzungskriterien zur Qualifikation einer Einrichtung als Heim gemäss Art. 35ter Abs. 1 und 4 IVV (E. 4.1 und 4.2 hievor) nicht näher nachgegangen zu werden. Denn die von der Stadt Zürich im Rahmen des Begleiteten Wohnens (Bewo) durch Fachpersonen geleistete ambulante Unterstützung und Beratung dauert in der höchsten Betreuungsstufe, in die der Beschwerdegegner mit Wirkung ab April 2017 eingereiht wurde, wöchentlich nur gerade eine halbe Stunde (E. 5.1 hievor in fine). Einem derart niederschwelligen Betreuungsangebot, bei dem der deutlich überwiegende Anteil des minimalen Bedarfs an lebenspraktischer Begleitung zwangsläufig anderweitig gedeckt werden muss (hier durch die Mutter des Beschwerdegegners [E. 2.3 in fine und 5.2]), ist der Heimcharakter nach dem Gesagten von vornherein abzusprechen. Weil auch die übrigen Anspruchserfordernisse gegeben sind (E. 3 hievor), steht der Ausrichtung einer Entschädigung für leichte Hilflosigkeit im Sinne von Art. 37 Abs. 3 lit. e in Verbindung mit <ref-law> nichts entgegen.
Die Beschwerde der IV-Stelle ist unbegründet.
8.
Mit dem Entscheid in der Sache ist das Gesuch der IV-Stelle um aufschiebende Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
9.
Ausgangsgemäss trägt die IV-Stelle die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG). Überdies hat sie dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung zu entrichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. August 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Der Gerichtsschreiber: Attinger