Sachverhalt:
A.
Der 1970 geborene A._ meldete sich am 19. Mai 2015 unter Hinweis auf einen im November 2014 erlittenen Unfall (commotio cerebri, Kontusion des linken Unterschenkels, psychische Probleme und ausstrahlende Hals-/Nackenschmerzen) bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen - insbesondere einer Begutachtung durch die Swiss Medical Assessment- and Business-Center AG (SMAB; Expertise vom 29. September 2017) - verneinte die IV-Stelle Basel-Stadt den Anspruch auf eine Invalidenrente mit Verfügung vom 25. Mai 2018.
B.
Die hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 5. November 2018 gut, und es sprach dem Versicherten ab November 2016 eine Viertelsrente zu.
C.
C.a. Die IV-Stelle beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Erteilung der aufschiebenden Wirkung.
C.b. In seiner Vernehmlassung vom 20. Januar 2020 frägt der Beschwerdegegner auf Abweisung der Beschwerde und des Gesuchs um Gewährung der aufschiebenden Wirkung an. Weiter lässt er die unentgeltliche Prozessführung beantragen.
C.c. Mit Vernehmlassung vom 6. Februar 2020 beantragt das Bundesamt für Sozialversicherungen die Gutheissung der Beschwerde.
C.d. Am 14. Februar 2020 lässt sich der Beschwerdegegner nochmals vernehmen und eine Honorarnote einreichen.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Die Vorinstanz hat - gestützt auf das SMAB-Gutachten vom 29. September 2017 - eine Arbeitsfähigkeit von 70 % bis 80 % in leidensangepasster Tätigkeit festgestellt. Ausgehend von einem Valideneinkommen von Fr. 75'331.- und Invalideneinkommen von Fr. 42'242.75 (Abzug vom Tabellenlohn: 10 %, Arbeitsfähigkeit: 70 %) respektive Fr. 45'260.10 (Abzug vom Tabellenlohn: 10 %, Arbeitsfähigkeit: 75 %) hat sie Invaliditätsgrade von 44 % bzw. 40 % ermittelt und den Anspruch auf eine Viertelsrente ab November 2016 bejaht.
2.2. Unbestritten ist zu Recht, dass bei der Ermittlung des Invalideneinkommens von einer Arbeitsfähigkeit von 75 % (Mittelwert der gutachterlich attestierten Arbeitsfähigkeit von 70 % bis 80 %, Expertise S. 15) auszugehen ist (vgl. Urteil 9C_280/2010 vom 12. April 2011 E. 4.2, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: Pra 2011 Nr. 91 S. 651; Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 822/04 vom 21. April 2005 E. 4.4). Bestritten bleibt damit einzig der vom kantonalen Gericht gewährte Abzug vom Tabellenlohn in der Höhe von 10 %.
3.
3.1.
3.1.1. Wird das Invalideneinkommen auf der Grundlage der Schweizerischen Lohnstrukturerhebungen (LSE) ermittelt, ist der entsprechende Ausgangswert allenfalls zu kürzen. Ohne für jedes zur Anwendung gelangende Merkmal separat quantifizierte Abzüge vorzunehmen, ist der Einfluss aller Merkmale auf das Invalideneinkommen (leidensbedingte Einschränkung, Alter, Dienstjahre, Nationalität/Aufenthaltskategorie und Beschäftigungsgrad) unter Würdigung der Umstände im Einzelfall nach pflichtgemässem Ermessen gesamthaft zu schätzen. Der Abzug darf 25 % nicht übersteigen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 301 mit Hinweisen).
3.1.2. Ob ein (behinderungsbedingter oder anderweitig begründeter) Abzug vom hypothetischen Invalideneinkommen vorzunehmen sei, ist eine Rechtsfrage (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 72 f.; Urteil 8C_557/2018 vom 18. Dezember 2018 E. 3.4).
3.2. Das kantonale Gericht hat den Abzug vom Tabellenlohn im Umfang von 10 % damit begründet, dass Teilzeitarbeit bei Männern statistisch gesehen vergleichweise weniger gut entlöhnt werde als eine Vollzeittätigkeit (vorinstanzliche Erwägung 4.6. S. 11). Diesbezüglich ist jedoch darauf hinzuweisen, dass der Entscheid betreffend einen Abzug in gesamthafter Würdigung des konkreten Einzelfalles zu erfolgen hat. Zur Beantwortung der Frage, ob ein Abzug infolge Teilzeitarbeit zu gewähren ist, ist sodann praxisgemäss die LSE-Tabelle T18 heranzuziehen (vgl. statt vieler: Urteil 8C_712/2019 vom 12. Februar 2020 E. 5.2.2 mit Hinweisen). Mit Blick hierauf verdienten Männer ohne Kaderfunktion im Pensum von 75 % überdurchschnittlich (LSE-Tabelle T18, 2014). Die leidensbedingten Einschränkungen werden sodann bereits im Rahmen der um 25 % verminderten Arbeitsfähigkeit berücksichtigt und rechtfertigen daher keinen Abzug (vgl. statt vieler: Urteil 9C_233/2018 vom 11. April 2019 E. 3.2 mit Hinweisen). Der Beschwerdegegner verfügt weiter über eine Niederlassungsbewilligung, was zu einer leicht unterdurchschnittlichen Entlöhnung führt (LSE-Tabelle TA12, 2014). Beim Heranziehen des statistischen Durchschnittslohns für Hilfsarbeitertätigkeiten - wie vorliegend (vorinstanzliche Erwägung 4.5. S. 10) - ist ferner der Faktor der fehlenden Dienstjahre zu vernachlässigen (Urteile 8C_35/2019 vom 2. Juli 2019 E. 6.3; 8C_49/2018 vom 8. November 2018 E. 6.2.2.2; 8C_653/2016 vom 16. Januar 2017 E. 5.2). Der Beschwerdegegner war 2015 schliesslich 45 Jahre alt. Dies wirkte sich lohnerhöhend aus (LSE-Tabelle TA9, 2014). Mit Blick auf sämtliche relevanten Merkmale rechtfertigt sich vorliegend kein Abzug vom Tabellenlohn. Diesbezüglich verletzt der vorinstanzliche Entscheid Bundesrecht.
Unter Anrechnung eines zumutbaren Pensums von 75 % (vgl. E. 2.2) resultiert ein Invalideneinkommen von Fr. 50'289.- (67'052.- [vorinstanzliche Erwägung 4.5. S. 10] x 0.75).
4.
Eine Gegenüberstellung des unbestrittenen Valideneinkommens (Fr. 75'331.-, vorinstanzliche Erwägung 4.4. S. 10) mit den Invalideneinkommen (Fr. 50'289.-, E. 3.2) führt zu einer Erwerbseinbusse von Fr. 25'042.- und damit zu einem Invaliditätsgrad von 33 % (25'042.-/75'331.-, vgl. zur Rundung <ref-ruling>). Ein Rentenanspruch resultiert somit nicht. Die Beschwerde ist begründet.
5.
Mit dem Urteil in der Sache wird das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
6.
Der unterliegende Beschwerdegegner trägt die Verfahrenskosten (<ref-law>). Die unentgeltliche Rechtspflege kann ihm gewährt werden (<ref-law>). Er hat der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn er später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 5. November 2018 wird aufgehoben und die Verfügung der IV-Stelle Basel-Stadt vom 25. Mai 2018 bestätigt.
2.
Dem Beschwerdegegner wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Advokat Georg Ranert wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter des Beschwerdegegners wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2733.10 ausgerichtet.
5.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt zurückgewiesen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. April 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Nünlist