Sachverhalt:
A.
Vor dem Obergericht des Kantons Solothurn fand ein Berufungsverfahren gegen A._ betreffend mehrfache sexuelle Handlungen mit Kindern und weitere Delikte statt. Die Verhandlung wurde auf den 10. November 2021 angesetzt. Aufgrund der mit der Vorladung zur Verhandlung bekannt gegebenen Besetzung des Spruchkörpers mit den Oberrichtern von Felten, Kiefer und Marti sowie Gerichtsschreiberin Lupi De Bruycker stellte A._ am 4. November 2021 vorsorglich ein Ausstandsgesuch gegen Oberrichter von Felten. Zur Begründung führte er aus, er habe per Zufall erfahren, dass dieser seinen Fall zur Grundlage einer schriftlichen Anwaltsprüfung gemacht habe. Mit Verfügung vom selben Tag wurde Oberrichter von Felten Gelegenheit eingeräumt, zum Ausstandsgesuch Stellung zu nehmen. Dieser führte mit Schreiben vom 5. November 2021 aus, er sehe keine Ausstandsgründe ihn betreffend. Es sei Usus, dass den Anwaltskandidaten reelle Fälle aus der Praxis vorgelegt würden. Idealerweise handle es sich dabei um Fälle, die noch nicht entschieden worden seien, da sonst die Gefahr bestehe, dass sich Kandidaten am bereits vorliegenden und allenfalls publizierten Urteil orientieren könnten. Aus dem Umstand, dass ein Richter einen von ihm zu beurteilenden Fall zum Gegenstand einer Anwaltsprüfung mache, könne keine Befangenheit abgeleitet werden. Mit Verfügung vom 5. November 2021 liess Oberrichter Marti die Stellungnahme von Oberrichter von Felten sowie die Aufgabenstellung und die von diesem korrigierten schriftlichen anonymisierten Anwaltsprüfungen A._ sowie der Oberstaatsanwaltschaft zukommen und räumte diesen eine Frist zur Stellungnahme ein. A._ teilte am 8. November 2021 mit, er halte am Ausstandsgesuch fest. Gleichentags wies das Obergericht das Ausstandsgesuch ab.
B.
Mit Eingabe vom 10. Dezember 2021 führt A._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Er beantragt, den Beschluss des Obergerichts Solothurn vom 8. November 2021 aufzuheben und das Ausstandsgesuch gegen Oberrichter von Felten gutzuheissen.
Das Obergericht und der Beschwerdegegner beantragen die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Gegen den angefochtenen Entscheid ist gemäss <ref-law> die Beschwerde in Strafsachen gegeben. Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Vorinstanz hat nach Art. 59 Abs. 1 lit. b i.V.m. <ref-law> als einzige kantonale Instanz entschieden. Die Beschwerde ist somit gemäss <ref-law> zulässig. Der Beschwerdeführer ist nach Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt. Der angefochtene Entscheid stellt einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid über Ausstandsbegehren dar. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde auch insoweit zulässig. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen sind ebenfalls erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass, so dass auf die Beschwerde einzutreten ist.
2.
Der Beschwerdeführer macht geltend, beim Beschwerdegegner bestehe der Anschein der Befangenheit. Er habe einen von ihm als Berufungsrichter zu beurteilenden Fall zum Gegenstand einer Anwaltsprüfung gemacht. Indem er insbesondere danach gefragt habe, ob die Freisprüche durch die Vorinstanz überzeugen würden und wie der Verzicht auf den Ausspruch einer Verwahrung zu beurteilen sei, ergebe sich der Eindruck, er habe sich zumindest in den Grundzügen bereits festgelegt. Der angefochtene Entscheid verletze <ref-law>.
2.1. Gemäss <ref-law> tritt eine in einer Strafbehörde tätige Person in den Ausstand, wenn sie aus anderen Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand, befangen sein könnte. Bei dieser Bestimmung handelt es sich um eine Generalklausel, welche alle Ausstandsgründe erfasst, die in Art 56 lit. a-e StPO nicht ausdrücklich vorgesehen sind. Sie entspricht <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Danach hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Die Rechtsprechung nimmt Voreingenommenheit und Befangenheit an, wenn Umstände vorliegen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Dabei ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken. Für die Ablehnung ist nicht erforderlich, dass der Richter tatsächlich befangen ist (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 3.2; Urteil 1B_98/2021 vom 3. März 2022 E. 2.2, zur Publikation vorgesehen; je mit Hinweisen).
2.2. Bei der schriftlichen Anwaltsprüfung in straf- und strafprozessrechtlicher Praxis vom Mittwoch, 8. September 2021 hat es sich um einen Fall gehandelt, welchen der Beschwerdegegner als Berufungsrichter anlässlich der Berufungsverhandlung, zusammen mit den anderen Mitgliedern des Spruchkörpers, noch zu beurteilen hatte. Gemäss den unbestritten gebliebenen Vorbringen des Beschwerdegegners war indessen nicht er als Referent eingesetzt, sondern Oberrichter Marti.
2.3. Die Vorinstanz erwog, die vom Beschwerdegegner vorgenommenen Korrekturen und Bewertungen der schriftlichen Anwaltsprüfungen vermöchten bei objektiver Betrachtung nicht den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit zu erwecken. Der Ausgang des Berufungsverfahrens werde dadurch in keiner Weise vorbestimmt, sondern bleibe ergebnisoffen. Das Ausstandsgesuch sei deshalb abzuweisen.
2.4. Der Beschwerdeführer kritisiert vorab die Aufgabenstellung und bringt vor, es sei nicht verlangt worden, dass eine Berufung aus Sicht der Staatsanwaltschaft verfasst werde, sondern die Aufgabe habe darin bestanden, eine Analyse des erstinstanzlichen Urteils vorzunehmen. Dies trifft in dieser Form nicht zu. Wie sich aus der Formulierung der aktenkundigen vom Beschwerdeführer als ausstandsrechtlich problematischen Aufgabenstellung entnehmen lässt, war gerade nicht eine allgemeine Analyse des Urteils gefragt, sondern die Anwaltsprüfungskandidaten sollten aus Sicht des Staatsanwalts bzw. der Staatsanwältin das Urteil der Erstinstanz im Hinblick auf die Ergreifung von Rechtsmitteln kurz und prägnant analysieren und Empfehlungen abgeben. Der Auffassung des Beschwerdeführers, es sei um eine Analyse des erstinstanzlichen Urteils gegangen, kann daher nicht gefolgt werden. Soweit er weiter einwendet, die Korrekturanmerkungen des Beschwerdegegners könnten nicht als Bewertung des Standpunkts der Staatsanwaltschaft verstanden werden, sondern als Meinungsäusserung im Hinblick auf die allgemeine Analyse des erstinstanzlichen Urteils, überzeugt dies ebenfalls nicht. Vielmehr bestand die Aufgabe darin, eine Beurteilung aus einer anderen Sicht als derjenigen des Gerichts, nämlich aus Sicht der Staatsanwaltschaft abzugeben.
Wenn die Vorinstanz daraus folgerte, die spezifische Vorgabe der Sichtweise lasse eine Äusserung über eine vorläufige Meinungsbildung aus der Sicht des Beschwerdegegners als Berufungsrichter gar nicht zu, ist dies nicht zu beanstanden. Aus der Fragestellung der Prüfung lässt sich nicht ableiten, der Beschwerdegegner habe eine vorzeitige persönliche Meinungsäusserung zum mutmasslichen Prozessausgang vorgenommen. Dafür sind keine Hinweise ersichtlich. Im Übrigen zeigt der Beschwerdegegner in seiner Stellungnahme nachvollziehbar auf, weshalb er eine Beurteilung aus Sicht der Staatsanwaltschaft verlangt hat. Hauptaufgabe sei die Prüfung des Massnahmenrechts gewesen. Diesbezüglich habe die Vorinstanz im Sinne der Verteidigung entschieden und den Entscheid ausführlich begründet. Aus Sicht der Verteidigung habe es gegen das Urteil eher wenig einzuwenden gegeben. Der anklagevertretende Staatsanwalt habe vor der ersten Instanz hingegen vollumfängliche Schuldsprüche sowie die Anordnung der Verwahrung beantragt, worauf die Vorinstanz verzichtet habe. Diese Ausführungen lassen keine Anhaltspunkte erkennen, wonach die vom Beschwerdegegner gestellte Prüfungsaufgabe eine Voreingenommenheit erkennen lassen würde.
Weiter lässt sich auch aus dem Argument des Beschwerdeführers nicht auf eine Befangenheit des Beschwerdegegners schliessen, wonach sich dieser zumindest in den Grundzügen bereits festgelegt haben müsse. Es erscheine lebensfremd, dass er ausschliesslich die Argumentation der Prüflinge habe bewerten wollen und keine Vorstellung über einen "richtigen" Lösungsweg gehabt habe. Dieser Auffassung kann nicht gefolgt werden. Aus den aktenkundigen Prüfungen inklusive den Korrekturnotizen des Beschwerdegegners wird ersichtlich, dass dieser, wie von ihm dargelegt, insbesondere die Argumentation der Kandidaten bewertet hat. Wenn der Beschwerdegegner in diesem Zusammenhang ein Argument als "gut" beurteilt hat, ist dies unter dem Aspekt zu betrachten, dass die Sichtweise der Staatsanwaltschaft gefragt war und insofern ein Argument durchaus "gut" sein konnte. Daraus kann aber nicht gefolgert werden, der Beschwerdegegner würde die sich stellenden Rechtsfragen auch als Berufungsrichter so beurteilen.
Wie sich sodann den Stellungnahmen des Beschwerdegegners vor der Vorinstanz und vor dem Bundesgericht entnehmen lässt, war die Berufungsverhandlung ursprünglich bereits im Mai 2021 vorgesehen, musste aber in der Folge verschoben werden. Zudem waren auch bereits Anträge betreffend Anklageänderung- bzw. -ergänzung von der Strafkammer des Obergerichts unter Mitwirkung des Beschwerdegegners zu beurteilen (vgl. auch die Hinweise im den Beschwerdeführer betreffenden Urteil 1B_353/2021 vom 12. Juli 2021 Sachverhalt C). Dass sich der Beschwerdegegner mithin bereits mit dem Fall befasst und sich eine vorläufige Meinung gebildet hat, ist unter diesen Umständen nachvollziehbar und zeugt von einer gewissenhaften Berufsausübung. Selbst wenn er sich folglich einen für ihn "richtigen Lösungsweg" überlegt haben sollte, könnte daraus nicht geschlossen werden, er sei voreingenommen. Die vorläufige Meinungsbildung ist eine notwendige Etappe im Erkenntnisprozess und lässt für sich alleine nicht auf Voreingenommenheit schliessen (vgl. <ref-ruling> E. 2.3; Urteil 1B_293/2021 vom 28. September 2021 E. 4.1; je mit Hinweisen). Letztere liesse sich allenfalls aus der Äusserung der vorläufigen Meinungsbildung gegenüber Dritten ableiten. Eine solche ist vorliegend jedoch nicht erfolgt und kann auch nicht in den Korrekturnotizen des Beschwerdegegners in den Anwaltsprüfungen erkannt werden. Dabei handelt es sich um ein rein internes Arbeitsinstrument, welches nicht für Dritte bestimmt war; sie dienten einzig einer allfälligen Begründung der von ihm abgegebenen Benotung der schriftlichen Anwaltsprüfungen. Selbst wenn die Korrekturnotizen indessen als Äusserung einer vorläufigen Meinung zu betrachten wären, wie vom Beschwerdeführer vorgebracht, könnte daraus kein Ausstandsgrund abgeleitet werden. Den Notizen ist nur zu entnehmen, dass der Beschwerdegegner sein Augenmerk auf die Argumentation der Kandidaten gelegt und diese bewertet hat. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers bedeutet dies nicht auch, dass der Beschwerdegegner dadurch seine angebliche Voreingenommenheit kundgetan hätte. Dasselbe hat auch für seine Äusserungen gegenüber der Prüfungskommission zu gelten. Wie der Beschwerdegegner zu Recht einwendet, ging es anlässlich dieser Sitzung einzig um die Erörterung der Prüfungsbewertung und damit um die Fähigkeit der Anwaltsprüfungskandidaten. Daraus lassen sich jedoch keine Rückschlüsse auf die objektive Bewertung des Falles durch den Beschwerdegegner als Berufungsrichter ableiten.
2.5. In Anbetracht der Umstände lässt der Beschwerdegegner keinen Anschein seiner Voreingenommenheit erkennen. Die Abweisung des Ausstandsgesuchs durch die Vorinstanz verletzt kein Bundesrecht.
3.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang würde der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Er stellt indessen ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege, welches gutzuheissen ist, da die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind (vgl. <ref-law>). Damit sind keine Gerichtskosten zu erheben, und der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers ist für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird dem Beschwerdeführer Rechtsanwalt Thomas Fingerhuth als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Rechtsanwalt Thomas Fingerhuth wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. April 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier