Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Mieter, Beschwerdeführer) war Mieter der Liegenschaft an der Strasse U._ in V._, wo er das Restaurant C._ führte. Der ursprüngliche Mietvertrag war am 6. Mai 2008 zwischen seinem Bruder und der D._ AG abgeschlossen worden. Der unbefristete Vertrag sah eine Mindestmietdauer bis zum 31. März 2013 "mit Option auf weitere 5 Jahre" vor. Am 28. März 2011 wurde der Vertrag auf den Beschwerdeführer übertragen. Die D._ AG liess sich für dieses Geschäft durch die Verwaltung E._ AG vertreten.
A.b. Mit Schreiben vom 14. September 2012 an die F._ AG machte der Mieter von seiner vertraglichen Verlängerungsoption Gebrauch, wodurch sich das Mietverhältnis bis am 31. März 2018 verlängerte.
A.c. Am 1. Juni 2015 übertrug die E._ AG die Verwaltung der streitigen Liegenschaft an die G._ AG. Diese übertrug per 1. Januar 2016 die technische Verwaltung der Liegenschaft an die F._ AG.
Am 1. Juni 2016 fusionierte die D._ AG als übertragende Gesellschaft mit der B._ AG (Vermieterin, Beschwerdegegnerin) als übernehmende Gesellschaft. Die D._ AG wurde im Zuge dieser Fusion aufgelöst und im Handelsregister gelöscht.
A.d. Mit Schreiben vom 22. Juli 2016 kündigte die F._ AG das Mietverhältnis mit amtlichem Formular per 31. März 2018, wobei sie sich im amtlichen Formular als Vertreterin und die nicht mehr existierende D._ AG als Vermieterin aufführte.
B.
B.a. Am 29. März 2018 reichte der Mieter bei der Schlichtungsbehörde Berner Jura-Seeland ein Schlichtungsgesuch ein, mit dem Antrag, es sei festzustellen, dass die Kündigung vom 22. Juli 2016 nichtig sei. Eventualiter sei sie für unwirksam zu erklären und aufzuheben. Die Schlichtungsbehörde unterbreitete den Parteien einen Urteilsvorschlag, der die Gültigkeit der Kündigung vorsah. Der Mieter lehnte diesen ab, woraufhin ihm die Klagebewilligung ausgestellt wurde.
B.b. Am 30. April 2018 stellte die Vermieterin beim Regionalgericht Berner Jura-Seeland ein Gesuch um Ausweisung des Mieters, nachdem dieser das Mietobjekt per 31. März 2018 nicht verlassen hatte. Auf dieses Gesuch trat das Regionalgericht mangels klarer Rechtslage nicht ein. Dasselbe gilt für ein zweites Gesuch, welches die Vermieterin am 17. Juli 2018 stellte.
B.c. Mit Klage vom 11. Juni 2018 beim Regionalgericht Berner Jura-Seeland beantragte der Mieter die Feststellung, dass die ausgesprochene Kündigung nichtig sei, eventualiter dass diese unwirksam und aufzuheben sei. Mit Entscheid vom 29. April 2019 hiess das Regionalgericht die Klage gut und stellte die Nichtigkeit der Kündigung fest.
Es erwog, die falsche Bezeichnung der Vermieterin führe, da die Kündigung nicht alle zur wirksamen Anfechtung erforderlichen Angaben enthalte und die Bezeichnung der falschen Partei den entsprechenden Identifikationszweck nicht zu erfüllen vermöge, zur Nichtigkeit der Kündigung. Ferner sei die F._ AG auch nicht dazu legitimiert gewesen, die Kündigung auszusprechen.
B.d. Dagegen erhob die Vermieterin am 12. Dezember 2019 Berufung beim Obergericht des Kantons Bern und beantragte, den Entscheid des Regionalgerichts Berner Jura-Seeland aufzuheben und festzustellen, dass die Kündigung vom 22. Juli 2016 rechtsgültig erfolgt sei. Mit Entscheid vom 14. April 2020 hiess das Obergericht die Berufung gut und hob den Entscheid des Regionalgerichts Berner Jura-Seeland auf.
Das Obergericht erwog, die Kündigung vom 22. Juli 2016 durch die F._ AG sei gültig erfolgt. Die falsche Bezeichnung der Vermieterin auf dem amtlichen Kündigungsformular schade nicht. Überdies sei die F._ AG zur Vertretung der Vermieterin befugt gewesen.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 18. Mai 2020 (Postaufgabe: 19. Mai 2020) beantragt der Mieter dem Bundesgericht, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern kostenfällig aufzuheben und festzustellen, dass die Kündigung des Mietvertrags nichtig sei.
Die Beschwerdegegnerin beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Die Vorinstanz verzichtete auf die Einreichung einer Vernehmlassung.
Der Beschwerdeführer replizierte unaufgefordert.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 397).
1.2. Die Beschwerde betrifft eine Zivilsache (<ref-law>) und richtet sich gegen den Endentscheid (<ref-law>) eines oberen kantonalen Gerichts, das als Rechtsmittelinstanz entschieden hat (<ref-law>). Der Streitwert liegt über der in mietrechtlichen Streitigkeiten erforderlichen Schwelle von Fr. 15'000.-- (<ref-law>).
Auf die Beschwerde ist - unter Vorbehalt hinreichender Begründung (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>) - einzutreten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
2.2.
2.2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f. mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117, 264 E. 2.3 S. 266). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
2.2.2. Diese Grundsätze verkennt der Beschwerdeführer, wenn er den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt frei ergänzt und korrigiert, namentlich indem er festhält, die F._ AG habe die Vermieterin im Kündigungsformular nicht irrtümlich, sondern absichtlich, falsch bezeichnet.
2.3. Zu beachten ist, dass das Bundesgericht in die Beweiswürdigung des Sachgerichts nur eingreift, wenn diese willkürlich ist. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern bloss, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1 S. 566; <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.; je mit Hinweisen). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1 S. 566; <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 362). Dies ist dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (BGE <ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266 f.; <ref-ruling> E. 2b S. 88).
3.
Umstritten ist die Gültigkeit der Kündigung vom 22. Juli 2016.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt zunächst, die angefochtene Kündigung vom 22. Juli 2016 sei zufolge falscher Bezeichnung der Vermieterschaft im Kündigungsformular nach Art. 266l i.V.m. <ref-law> nichtig.
3.1.1. Nach <ref-law> müssen Vermieter und Mieter von Wohn- und Geschäftsräumen schriftlich kündigen. Der Vermieter muss dazu ein Formular verwenden, das vom Kanton genehmigt ist und angibt, wie der Mieter vorzugehen hat, wenn er die Kündigung anfechten oder eine Erstreckung des Mietverhältnisses verlangen will (<ref-law>). Entspricht die Kündigung den Vorschriften des <ref-law> nicht, ist sie nichtig (<ref-law>). Die Nichtigkeit kann - unter Vorbehalt des Rechtsmissbrauchs - jederzeit in jedem Verfahrensstadium geltend gemacht werden und der Richter hat sie von Amtes wegen zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 246).
Gemäss Art. 9 Abs. 1 der Verordnung über die Miete und Pacht von Wohn- und Geschäftsräumen vom 9. Mai 1990 (SR 221.213.11; VMWG) muss das vom Kanton genehmigte Formular folgende Angaben enthalten: die Bezeichnung des Mietgegenstands, auf den sich die Kündigung bezieht (lit. a), der Zeitpunkt, auf den die Kündigung wirksam wird (lit. b), den Hinweis, dass der Vermieter die Kündigung auf Verlangen des Mieters begründen muss (lit. c), die gesetzlichen Voraussetzungen der Anfechtung der Kündigung und der Erstreckung des Mietverhältnisses (lit. d) sowie das Verzeichnis der Schlichtungsbehörden und ihre örtliche Zuständigkeit (lit. e).
3.1.2. Die Vorinstanz hielt unter Verweis auf das amtliche Kündigungsformular fest, dass unter der Rubrik "Vermieter/Vermieterin" die D._ AG und unter "Vertreter/Vertreterin" die F._ AG aufgeführt gewesen sei. Letztere habe ihren Stempel angebracht. Unterzeichnet worden sei das Formular von H._, einem Mitarbeiter der F._ AG.
Die Kündigung sei nicht von der in jenem Zeitpunkt nicht mehr existierenden D._ AG ausgegangen, sondern von der B._ AG, welche Erstere per 1. Juni 2016 übernommen habe. Die Angabe auf dem Formular habe unbestrittenermassen auf einem Versehen gegründet. Es handle sich somit nicht um einen Fall mangelnder Kündigungsberechtigung, zumal die B._ AG als Vermieterin ohne Weiteres zur Kündigung befugt gewesen sei.
In <ref-law>, der den wesentlichen Inhalt des amtlichen Kündigungsformulars konkretisiere, werde die Nennung des Vermieters nicht verlangt. Da Kündigungen klare Verhältnisse schaffen sollten, sei es jedoch erforderlich, dass die Kündigung eindeutig dem Erklärenden zugeordnet werden könne.
Der Vermieter könne sich bei der Kündigung vertreten lassen, doch müsse diesfalls für die gekündigte Partei klar ersichtlich sein, dass der Kündigende als ermächtigter Vertreter des Vermieters handle. Sei dem Mieter bekannt, dass die Liegenschaft von einer Verwaltung betreut werde, oder müsse ihm dies aufgrund der Umstände bekannt sein, müsse nicht auf das Vertretungsverhältnis hingewiesen werden bzw. genüge, dass der Mieter aus den Gesamtumständen das Vertretungsverhältnis erkenne. Daraus folge, dass die Vermieterschaft in solchen Fällen auf dem amtlichen Formular nicht aufgeführt werden müsse. Das Bundesgericht habe es im Urteil 4A_12/2010 vom 25. Februar 2010 (E. 3.4.1 f.) nicht als notwendig erachtet, dass das Kündigungsformular die Frage der Identität der Vertragspartner kläre. Es habe dort einzig die Wichtigkeit betont, dass die Person, welche die Kündigung ausspreche, zur Ausübung dieses Gestaltungsrechts legitimiert sein müsse. Bloss der Umstand, dass die Kündigung tatsächlich durch die richtige Person ausgesprochen worden sei, müsse klar ersichtlich sein. Dem Mieter müsse klar sein, dass die Kündigung ernst gelte. In wessen Namen die Verwaltung als Stellvertretende handle, erachte das Bundesgericht hingegen als zweitrangig. Aus seiner Sicht dienten die Angaben im Formular zwar der Rechtsbelehrung, nicht jedoch der Prozessvorbereitung in einem weiteren Sinn. Die Formularpflicht solle, so das Bundesgericht, insbesondere nicht der Klärung der Passivlegitimation dienen.
Gestützt auf diese Ausführungen gebe es keinen Grund von einer Nichtigkeit auszugehen, wenn die Vermieterschaft im Formular zwar nicht aufgeführt, aber richtig vertreten werde. Vorliegend verhalte es sich jedoch anders, da zwar ein Vermieter genannt worden sei, dieser jedoch falsch sei. Anders als im zitierten Urteil 4A_12/2010 habe der Mieter keinen Anlass gehabt, den Vertragspartner zu eruieren, da er geglaubt habe, diesen zu kennen.
Die die Kündigung aussprechende F._ AG habe unzweifelhaft die B._ AG als Vermieterin gemeint. Dass die D._ AG nicht mehr rechtsfähig gewesen sei, wäre in einem gegen sie gerichteten Prozess mit einem Blick in das Handelsregister rasch zutage getreten. Falls dies nicht bereits bei der Eingangskontrolle durch die Schlichtungsbehörde bemerkt worden wäre, wäre es Aufgabe der die Vermieterin bereits im Schlichtungsverfahren vertretenden Verwaltung gewesen, den Irrtum sofort aufzuklären. Da zwischen den Parteien bezüglich der wahren Parteiverhältnisse ohne Weiteres Übereinstimmung geherrscht habe, hätte es für die Schlichtungsbehörde keinen Zweifel daran gegeben, dass es sich um einen von Amtes wegen zu berichtigenden Fehler gehandelt habe und die Klagebewilligung wäre auf die richtige Beklagte lautend ausgestellt worden.
Folglich habe der Mieter durch die Falschangabe im Kontaktformular keinen Rechtsnachteil erlitten. Die prozess- und damit auch die materiell-rechtlichen Folgen der Falschangabe seien nicht härter gewesen als es die Folgen der Nichtangabe der Vermieterschaft seien. Es gebe deshalb keinen Grund, für diese Konstellation die Nichtigkeit anzunehmen. Überdies bliebe die Anwendung von Art. 83 Abs. 3 (recte: Abs. 4) ZPO möglich, demzufolge für den Fall, da eine nachfolgende Vermieterin durch ihr Verhalten bewirke, dass die Gegenpartei gegen die vormalige Vermieterin vorgehe, die Nachfolgerin ihre Zustimmung zum Parteiwechsel nicht verweigern dürfe.
3.1.3. Dagegen wendet der Beschwerdeführer ein, in <ref-law> sei zwar die Nennung des Vermieters nicht aufgeführt, doch handle es sich dabei nicht um eine abschliessende Liste. Überdies sei der Wortlaut von <ref-law> durch die Bezeichnung "Vermieter und Mieter" so klar, dass es diesbezüglich keiner weiteren Ausführungen bedürfe. Indem in der Kündigung die nicht mehr existierende, nicht rechtsfähige und somit nicht kündigungsbefugte D._ AG genannt worden sei, habe dies dazu geführt, dass die Kündigung von einer juristischen Person ausgesprochen worden sei, die es nicht mehr gebe und die keine Rechtsgeschäfte vornehmen könne. Hätte der Beschwerdeführer die Kündigung anfechten wollen, hätte er folglich ein Verfahren gegen eine falsche Partei eingeleitet. Die Argumentation der Vorinstanz, die offensichtlich falsche Parteibezeichnung sei im Prozess von Amtes wegen zu korrigieren, sei rechtlich unhaltbar. Die Vorinstanz verkenne die Bedeutung und den Zweck der Formularpflicht für Kündigungen durch die Vermieterschaft. Diese bezwecke den Schutz der gegenüber der Vermieterschaft schwächeren Mieterschaft. Der Inhalt des Formulars solle aufzeigen, wie und gegen wen eine Kündigung angefochten werden könne. Die Nennung einer falschen, im Zeitpunkt der Kündigung inexistenten Vermieterschaft, müsse zur Nichtigkeit der Kündigung führen; eine andere Lösung werde dem Gedanken des sozialen Mietrechts nicht gerecht.
3.1.4. In dem von der Vorinstanz diskutierten Urteil 4A_12/2010 hatte das Bundesgericht zu beurteilen, ob die blosse Angabe "Der Hauseigentümer vertreten durch I._ AG" in der Rubrik "Vermieter" des amtlichen Formulars den Formerfordernissen von <ref-law> i.V.m. <ref-law> genüge. Dabei hielt es fest, dass die Vermieterschaft auf dem amtlichen Formular nicht aufgeführt werden müsse, wenn der Mieter um das Vertretungsverhältnis wisse oder er dieses aus den Gesamtumständen erkennen könne (zit. Urteil 4A_12/2010 E. 3.4.1).
Das Formular dient nicht dazu, den Mieter über die Person des Vermieters zu informieren. Wie aus <ref-law> hervorgeht, bezweckt es (lediglich), den Mieter über sein Recht zu informieren, die Kündigung anzufechten und/oder eine Erstreckung des Mietverhältnisses zu verlangen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 246; Urteil 4A_67/2016 vom 7. Juni 2016 E. 5.1). Selbst wenn der Vermieter dem Mieter nicht bekannt ist, etwa weil er nach Abschluss des Mietvertrags wechselte (vgl. <ref-law>), ist die Kündigung gültig (vgl. zit. Urteil 4A_12/2010 E. 3.4.2). Wie es das Obergericht dem zitierten Entscheid des Bundesgerichts zutreffend entnahm, dienen die Angaben im Formular der Rechtsbelehrung, nicht jedoch der Prozessvorbereitung.
Vorliegend wurde in der Rubrik "Vertreter / Vertreterin" die F._ AG aufgeführt, als Vermieterin wurde die - im Zeitpunkt des Zugangs der Kündigung nicht mehr existierende - D._ AG genannt, mit welcher der Beschwerdeführer am 28. März 2011 den fraglichen Mietvertrag einging. Gemäss den unbestritten gebliebenen - und damit für das Bundesgericht verbindlichen (siehe E. 2.2.1 hiervor) - Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz wusste der Beschwerdeführer um die Zuständigkeit der F._ AG zur Verwaltung des Mietobjekts. Sie war ihm als Verwaltung und Vertreterin der Vermieterin bekannt. Mithin musste ihm bewusst sein, dass die F._ AG als Vertreterin der Vermieterin handelte und auch dazu ermächtigt war. Dies zeigt sich exemplarisch darin, dass sich der Beschwerdeführer nach Erhalt der Kündigung an H._ von der F._ AG wandte, um mit ihm die Lage zu besprechen. Obgleich der Beschwerdeführer die tatsächliche Identität der Vermieterin nicht kannte, bestand für ihn kein Zweifel darüber, welches Vertragsverhältnis die Kündigung betraf.
Dem Gesagten zufolge steht - im Einklang mit den Ausführungen im Entscheid 4A_12/2010 - die Angabe der D._ AG statt der B._ AG der Gültigkeit der Kündigung nicht entgegen, weshalb der Beschwerdeführer in diesem Punkt nicht durchzudringen vermag.
3.2. Der Beschwerdeführer rügt ferner, die F._ AG sei nicht zur Kündigung des Mietverhältnisses ermächtigt gewesen, weshalb die Kündigung auch deshalb nichtig sei.
3.2.1. Hierzu führte die Vorinstanz aus, die Akten gäben keinen Anlass daran zu zweifeln, dass die F._ AG nicht aus eigenem Antrieb, sondern im Auftrag der B._ AG die Kündigung ausgesprochen habe. Bereits aus den Angaben im Verwaltungsvertrag gehe hervor, dass von der F._ AG auch Auftritte vor Gericht erwartet worden seien. Dazu dürften auch mit Kündigungen verbundene Streitigkeiten gehören. Dem Leistungsverzeichnis sei zudem zu entnehmen, dass der F._ AG nicht nur Aufgaben im Bereich der technischen Immobilienwirtschaft (Unterhalt/Reparaturen, Abschlüsse), sondern auch solche bei der Wahrung der Eigentümerinteressen und der Administration der Vermietungen zugekommen seien. Dass die F._ AG in Vertretung der Vermieterschaft gehandelt habe, ergebe sich im Übrigen bereits daraus, dass J._ als einzelzeichnungsberechtiger Verwaltungsrat der D._ AG, später der B._ AG, die Kündigung gegengelesen habe. Der Verwaltungsrat der B._ AG sei offensichtlich damit einverstanden gewesen, dass die F._ AG die Kündigung in Vertretung ausgestellt habe. Letztlich sei die Vorstellung, eine Verwaltung spreche eine Kündigung ohne Rückendeckung der Vermieterin aus, auch nicht naheliegend.
Weiter hielt die Vorinstanz fest, den Aussagen der Zeugen komme vorliegend nur geringe Bedeutung zu. Dennoch sei festzuhalten, dass diese Zeugen zur Frage der Vertretungsbefugnis der F._ AG nachvollziehbare, mit den vorhandenen Unterlagen und den dokumentierten Vorgängen übereinstimmende Erklärungen abgegeben hätten.
Es bestünden somit für das Gericht keine Zweifel, dass die F._ AG bevollmächtigt gewesen sei, die Kündigung auszusprechen. Der Mieter habe auch um die Zuständigkeit der F._ AG zur Verwaltung des Mietobjekts gewusst. Die Gesellschaft sei ihm als Verwaltung und Vertreterin der Vermieterin bekannt gewesen. Der Mieter habe sein Schreiben vom 14. September 2012 betreffend Verlängerungsoption an die F._ AG bzw. H._ gerichtet und diesen anlässlich der Hauptverhandlung als seine einzige Ansprechperson bezeichnet. Der Mieter sei deshalb auch nicht erstaunt gewesen, als die F._ AG im Zusammenhang mit der Kündigung tätig geworden sei, weshalb er sich nach deren Erhalt an H._ gewandt habe, um die Lage mit ihm zu besprechen. Erst auf dessen Rat hin sei er an J._ gelangt. Antwort habe er von der F._ AG erhalten, woraufhin er wiederum diese Gesellschaft angeschrieben und um eine Besprechung gebeten habe.
3.2.2. Der Beschwerdeführer wendet dagegen ein, die Beschwerdegegnerin habe stets behauptet, die F._ AG sei zur Vertretung der Eigentümerschaft in Sachen Aussprechen der Kündigung befugt gewesen. Den entsprechenden Beweis dafür habe sie indes nicht erbracht. Die Vorinstanz habe dies verkannt und damit <ref-law> verletzt. Sie verfalle in Mutmassungen und Spekulationen. Weder durch die eingereichten Urkunden noch mit Hilfe der Zeugenaussagen habe die Beschwerdegegnerin das geforderte Mass des Regelbeweises erfüllen können. Wenn die Vorinstanz festhalte, bereits dem Verwaltungsvertrag sei zu entnehmen, dass von der F._ AG auch Auftritte vor Gericht erwartet worden seien, worunter auch mit Kündigung verbundene Streitigkeiten fielen, verkenne sie, dass diese Folgerung nicht zwingend sei. Weiter komme den Zeugenaussagen von H._, K._ und L._ geringer Beweiswert zu, sodass die Beschwerdegegnerin durch diese Aussagen das geforderte Mass des Regelbeweises nicht habe erfüllen können. Indem die Vorinstanz den Nachweis der Vertretungsbefugnis der F._ AG bejaht habe, habe diese das Beweismass demzufolge offensichtlich unter das Mass des Regelbeweises herabgesetzt.
3.2.3. Ein Beweis gilt nach dem Regelbeweismass als erbracht, wenn das Gericht nach objektiven Gesichtspunkten von der Richtigkeit einer Sachbehauptung überzeugt ist (<ref-ruling> E. 4.1 S. 612).
3.2.4. Die Vorinstanz kam nach einlässlicher Würdigung der Beweismittel zum Ergebnis (E. 3.2.1 hiervor), dass die F._ AG bevollmächtigt war, die Kündigung auszusprechen. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz dabei das Regelbeweismass herabgesetzt hätte. Entsprechend betreffen denn auch die vom Beschwerdeführer vorgetragenen Argumente vorwiegend die Beweiswürdigung. In diese greift das Bundesgericht allerdings nur ein, wenn sie willkürlich ist (E. 2.3 hiervor). Durch seine Vorbringen vermag der Beschwerdeführer indes keine Willkür zu belegen. Allein der Umstand, dass die Vorinstanz festhielt, bereits aus den Angaben im Verwaltungsvertrag gehe hervor, von der F._ AG seien auch Auftritte vor Gericht erwartet worden, belegt keine Willkür. Gleiches gilt betreffend die Würdigung der Zeugenaussagen: So hielt die Vorinstanz explizit fest, dass diesen lediglich geringe Bedeutung zukomme. Sie berücksichtigte, dass sich die Zeugen auf die Befragung vorbereitet hatten und ihre Nähe zur Beschwerdegegnerin oder zur G._ AG. Wenn der Beschwerdeführer verlangt, dass diesen Aussagen geringer Beweiswert zuzuerkennen sei, übersieht er, dass die Vorinstanz genau dies tat.
3.3. Schliesslich rügt der Beschwerdeführer eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz. Diese habe zu Unrecht festgehalten, er habe mit Schreiben vom 14. September 2012 von einer einmaligen Verlängerungsoption Gebrauch gemacht. Diese Feststellung impliziere, dass der Mietvertrag befristet gewesen sei, ohne dass die diesbezüglichen Ausführungen der ersten Instanz durch die Beschwerdegegnerin angefochten worden wären. Dadurch habe die Vorinstanz den Sachverhalt aktenwidrig und somit willkürlich festgestellt. Die Frage der Befristung des Mietverhältnisses sei für das vorliegende Verfahren von imminenter Relevanz, da bei antragsgemässem Ausgang der Beschwerde die Kündigung nichtig sei, weshalb sich die Frage stellen werde, ob das Mietverhältnis nicht auch ohne Kündigung geendet hätte.
Im vorliegenden Verfahren stellt sich die Frage, ob die Kündigung vom 22. Juli 2016 entweder zufolge Verletzung von <ref-law> oder fehlender Vertretungsbefugnis nichtig ist. In diesem Zusammenhang ist irrelevant, ob die Mieterin mit ihrem Schreiben vom 14. September 2012 eine einmalige Option zur Verlängerung des Mietverhältnisses ausübte, nach deren Ablauf dieses als beendet gilt oder ob die Ausübung der Option lediglich die Mindestmietdauer verlängerte mit der Folge, dass eine Auflösung einer Kündigung bedurfte. Wie der Beschwerdeführer selbst ausführt, stellte sich diese Frage erst als Folgefrage und auch dann nur soweit die Beschwerde gutgeheissen würde. Demzufolge ist die Frage für den Ausgang des vorliegenden Verfahrens nicht entscheidend, weshalb auf die Rüge nicht einzutreten ist (vgl. E. 2.2.1).
3.4. Da die Nichtigkeit der Kündigung zu verneinen ist, muss nicht auf den (sinngemässen) Vorwurf der Beschwerdegegnerin eingegangen werden, wonach die Berufung auf die Nichtigkeit der Kündigung rechtsmissbräuchlich sei.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. November 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Bittel