Faits :
A.
A.a. A._, né en 1957, travaille en qualité de convoyeur de fonds au service de la société B._ SA et est, à ce titre, assuré contre le risque d'accidents auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (ci-après: la CNA). Le 24 juin 2016, en descendant un sentier montagneux, il a glissé sur du bois mouillé et a fait une chute en arrière sur le dos. Ressentant des douleurs à l'épaule gauche, il s'est rendu le même jour au Centre médical C._, où le docteur D._ a établi un arrêt de travail à 100 %. La CNA a pris en charge le cas.
Selon un rapport de la doctoresse E._, rhumatologue, qui a examiné l'assuré le 11 juillet 2016, l'échographie de l'épaule gauche effectuée à cette occasion montrait une rupture du sus-épineux sur probable tendinopathie chronique. Après avoir renouvelé l'incapacité de travail et prescrit de nouvelle séances de rééducation, cette praticienne a fait réaliser le 23 novembre 2016 une IRM de l'épaule gauche de l'assuré, qui a mis en évidence une déchirure transfixiante du sus-épineux à son insertion sur le trochiter mais sans rétraction ni atrophie musculaire; cet examen révélait également une tendinopathie distale du sous-épineux, une arthrose acromio-claviculaire modérée ainsi qu'une subluxation médiane du long chef du biceps [LCB]. La doctoresse E._ a alors adressé son patient au docteur F._, spécialiste en chirurgie orthopédique, qui a indiqué que les lésions à l'épaule gauche étaient plus importantes que celles dont avait fait état le radiologue car il y avait en sus une déchirure partielle de la partie haute du tendon sous-scapulaire. Selon le docteur F._, il n'existait pas d'alternative à un traitement chirurgical compte tenu de la subluxation du LCB (rapport du 15 décembre 2016).
A.b. Dans une note du 11 janvier 2017, le docteur G._, médecin d'arrondissement de la CNA, a déclaré qu'il fallait éclaircir le mécanisme exact de l'accident; en effet, l'arthrose préexistante de l'articulation était une cause majeure, à l'âge de l'assuré, de la rupture décrite du sus-épineux; par ailleurs, l'IRM avait été pratiquée cinq mois après l'accident et on n'y voyait pas d'atrophie musculaire de la coiffe des rotateurs.
Interrogé sur le déroulement de l'accident, A._ a confirmé qu'il avait glissé sur du bois mouillé et qu'il était tombé par terre, en arrière, sur le dos et l'épaule; il avait immédiatement ressenti de fortes douleurs et n'avait pas réussi à se lever tout de suite. Le 16 janvier 2017, il a été opéré à l'épaule gauche par le docteur F._.
A.c. Requis de se prononcer à nouveau, le docteur G._ a indiqué que l'accident avait occasionné une aggravation passagère de l'état antérieur de l'épaule gauche et que le statu quo ante avait été atteint après deux semaines. Sur cette base, la CNA a informé l'assuré qu'elle allait clôturer le cas avec effet au 16 février 2017 sans réclamer les prestations déjà allouées.
Dans un rapport du 9 mai 2017, le docteur F._ a exprimé son désaccord avec la position de la CNA: les lésions opérées chez l'assuré étaient consécutives à l'accident du 24 juin 2016. Ce médecin a expliqué en particulier qu'une déchirure de la coiffe des rotateurs peut être liée à un traumatisme à basse énergie; ainsi, la chute d'une personne de sa hauteur avec un choc direct sur l'épaule, un choc indirect avec une chute sur la main ou le coude, ou encore un étirement du bras, sont des mécanismes tout à fait adéquats pour provoquer une déchirure de la coiffe des rotateurs.
A.d. Par décision du 18 août 2017, confirmée sur opposition le 9 mai 2018, la CNA a mis un terme au versement de ses prestations au 16 février 2017, considérant que le statu quo ante avait été atteint deux semaines après l'accident. Elle s'est fondée en particulier sur les appréciations médicales établies les 4 juillet 2017 et 7 mai 2018 par le docteur H._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur au sein de son centre de compétence de médecine des assurances. Selon ce dernier, la chute de l'assuré en arrière directement sur la zone lombaire et l'épaule ne peut pas avoir causé les lésions structurelles qui ont fait l'objet de l'intervention chirurgicale du 16 janvier 2017 (réinsertion du muscle supra-épineux, du muscle infra-épineux et du muscle subscapulaire, résection du tendon LCB en rapport avec la subluxation et la rupture partielle).
B.
Par jugement du 7 mai 2019, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois a admis le recours formé par l'assuré contre la décision sur opposition du 9 mai 2018, qu'il a annulée.
C.
La CNA interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation. Elle conclut principalement à la confirmation de sa décision sur opposition du 9 mai 2018 et subsidiairement au renvoi de la cause à l'autorité cantonale afin qu'elle mette en oeuvre une expertise médicale.
L'intimé conclut au rejet du recours; la juridiction cantonale déclare se référer à son jugement, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue en matière de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
Le litige porte sur le point de savoir si la CNA était fondée, par sa décision sur opposition du 9 mai 2018, à supprimer le droit de l'assuré à des prestations de l'assurance-accidents à compter du 16 février 2017.
La procédure portant sur l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par l'autorité précédente (art. 97 al. 2 et art. 105 al. 3 LTF).
3.
Le 1er janvier 2017 est entrée en vigueur la modification du 25 septembre 2015 de la LAA. A juste titre, la cour cantonale a retenu que dans la mesure où l'événement litigieux est survenu avant cette date, le droit de l'assuré aux prestations d'assurance est soumis à l'ancien droit (cf. dispositions transitoires relatives à la modification du 25 septembre 2015; RO 2016 4375).
4.
Le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales régissant le droit aux prestations de l'assurance-accidents (<ref-law>; <ref-law>) ainsi que les principes jurisprudentiels relatifs à la notion de causalité naturelle (<ref-ruling> consid. 1 p. 438; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 181), de même qu'en matière d'appréciation des preuves médicales (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 232; <ref-ruling> consid. 3a p. 352). On peut y renvoyer.
On rappellera également qu'en vertu de l'<ref-law>, les prestations pour soins, les remboursements de frais ainsi que les indemnités journalières et les allocations pour impotent ne sont pas réduits lorsque l'atteinte à la santé n'est que partiellement imputable à l'accident. Lorsqu'un état maladif préexistant est aggravé ou, de manière générale, apparaît consécutivement à un accident, le devoir de l'assurance-accidents d'allouer des prestations cesse si l'accident ne constitue pas la cause naturelle (et adéquate) du dommage, soit lorsque ce dernier résulte exclusivement de causes étrangères à l'accident. Tel est le cas lorsque l'état de santé de l'intéressé est similaire à celui qui existait immédiatement avant l'accident (statu quo ante) ou à celui qui existerait même sans l'accident par suite d'un développement ordinaire (statu quo sine). A contrario, aussi longtemps que le statu quo sine vel ante n'est pas rétabli, l'assureur-accidents doit prendre à sa charge le traitement de l'état maladif préexistant, dans la mesure où il s'est manifesté à l'occasion de l'accident ou a été aggravé par ce dernier (cf. arrêts 8C_781/2017 du 21 septembre 2018 consid. 5.1, in SVR 2019 UV n° 18 p. 64; 8C_657/2017 du 14 mai 2018 consid. 3.2 et les références, in SVR 2018 UV n° 39 p. 141). En principe, on examinera si l'atteinte à la santé est encore imputable à l'accident ou ne l'est plus (statu quo ante ou statu quo sine) sur le critère de la vraisemblance prépondérante, usuel en matière de preuve dans le domaine des assurances sociales (ATF <ref-ruling> consid. 3.1 p. 181), étant précisé que le fardeau de la preuve de la disparition du lien de causalité appartient à la partie qui invoque la suppression du droit (RAMA 2000 n° U 363 p. 46 consid. 2 et la référence).
5.
5.1. Selon la cour cantonale, les pièces médicales versées au dossier ne permettaient pas d'établir que les lésions subies par l'assuré auraient pour origine un état maladif ou dégénératif préexistant. En particulier, les considérations des docteurs G._ (cf. let. A.b et A.c supra) et H._ (cf. let. A.d supra) ne permettaient pas d'exclure l'origine traumatique de ces lésions. En effet, ces médecins s'étaient contentés de constater l'existence d'une arthrose acromio-claviculaire et d'affirmer que la chute sur le dos et l'épaule gauche décrite par l'assuré n'était pas appropriée pour causer les lésions complexes mises à jour par l'IRM et l'opération chirurgicale. Or, toujours selon la cour cantonale, au vu des circonstances d'espèce, on était en droit d'attendre des médecins de la CNA soutenant l'origine non accidentelle de ces lésions qu'ils étayent leur point de vue et qu'ils fournissent des explications circonstanciées sur le processus non traumatique qu'ils estimaient être à l'origine des atteintes constatées, ainsi que les raisons pour lesquelles le mécanisme accidentel n'aurait objectivement pas pu causer l'ensemble de ces atteintes. Aussi bien la cour cantonale a-t-elle dénié toute valeur probante aux appréciations des médecins de la CNA. Elle a relevé, par ailleurs, que le lien de causalité entre l'accident et les lésions présentées par l'assuré n'était pas seulement admis par le docteur F._ mais également par la doctoresse E._. En conclusion, elle a jugé qu'au regard de la nature de l'accident, des plaintes - immédiates - décrites dans la déclaration d'accident et des lésions constatées, la CNA n'avait aucune raison de mettre fin à ses prestations faute d'avoir établi l'origine exclusivement maladive ou dégénérative de ces lésions, en précisant encore que c'était à elle qu'incombait le fardeau de cette preuve.
5.2. La recourante se plaint de l'appréciation des preuves effectuée par la cour cantonale et invoque une violation de l'art. 61 let. c LPGA (RS 830.1). Elle rappelle que selon la jurisprudence, la CNA n'intervient pas comme partie dans un cas concret tant qu'aucune procédure judiciaire n'est en cours, mais comme organe de l'administration chargé d'appliquer la loi, et que le juge doit accorder, au cours de la procédure d'administration des preuves, entière valeur probante à l'appréciation émise par un médecin de la CNA aussi longtemps qu'aucun indice concret ne permet de douter de son bien-fondé. Pour la recourante, on peut comprendre de l'avis de ses médecins internes qu'ils considèrent qu'une chute directe sans mouvement de torsion ne peut pas entraîner une lésion complexe des quatre tendons antagonistes de la coiffe des rotateurs comme c'est le cas chez l'assuré. Dans la mesure où ces médecins ont également relevé la présence d'une arthrose acromio-claviculaire et fait état d'une fréquence élevée de déchirures dégénératives dans la classe d'âge de l'intimé, ils n'étaient pas tenus à des explications supplémentaires sur le processus non traumatique impliqué. Ce serait ainsi à tort que la cour cantonale a dénié toute valeur probante à leurs appréciations. En outre, il serait erroné de dire que l'avis du docteur F._ est corroboré par celui de la doctoresse E._, celle-ci ne s'étant pas prononcée sur le lien de causalité. Quant au chirurgien traitant, il n'a guère justifié sa position; ses explications sur l'action vulnérante sont de nature générale et ne se rapportent pas directement à l'accident et aux lésions subis par son patient, de sorte qu'elles ne sont pas probantes. Même à considérer le contraire, la solution adoptée par la cour cantonale reviendrait à se fonder exclusivement sur l'avis du médecin traitant, alors le Tribunal fédéral a jugé qu'en cas d'appréciations divergentes entre le médecin interne d'un assureur et le médecin d'un assuré, un octroi des prestations d'assurances fondé directement sur l'avis du second n'entre pas en ligne de compte (<ref-ruling>). En application de cette jurisprudence, la cour cantonale aurait dû soit ordonner une expertise judiciaire, soit renvoyer la cause à l'assureur pour qu'il mette en oeuvre une expertise dans le cadre de la procédure prévue par l'<ref-law>.
5.3.
5.3.1. Il est incontesté que l'événement du 24 juin 2016 répond à la notion d'accident. L'assuré a immédiatement ressenti des douleurs à l'épaule gauche et présenté, comme cela ressort des documents médicaux initiaux, une impotence fonctionnelle à cette épaule (impossibilité de lever le bras latéralement), ce qui a motivé un arrêt de travail dès la survenance de l'accident et la mise en oeuvre d'un traitement conservateur. Le diagnostic posé par la doctoresse E._ sur la base d'une échographie réalisée peu de temps après l'événement est celui de rupture du sus-épineux gauche (rapport du 12 juillet 2016). Il s'est avéré, après la réalisation d'une IRM et la consultation de l'assuré auprès du docteur F._ en novembre 2016, que les lésions à l'épaule gauche ne se sont pas limitées au sus-épineux. Selon le protocole opératoire du 16 janvier 2017, celles-ci ont consisté en une déchirure partielle sévère de toute la portion intra-articulaire du long chef du biceps, en une déchirure partielle du tendon sous-scapulaire ainsi qu'en une déchirure transfixiante complète, modérément rétractée, du tendon supra-épineux et partielle du tendon infra-épineux. Si la CNA parle d'une lésion complexe des quatre tendons antagonistes de la coiffe des rotateurs, il n'est pas remis en cause que les symptômes touchant l'épaule gauche de l'assuré se sont manifestés consécutivement à l'accident du 24 juin 2016 et que les examens pratiqués pour rechercher l'origine de ces symptômes ont mis en évidence plusieurs déchirures tendineuses au niveau de la coiffe des rotateurs. Partant, même à supposer l'implication chez l'assuré d'un état maladif antérieur, l'assureur-accidents est tenu de prendre en charge les suites de cet événement aussi longtemps que le statu quo sine vel ante n'est pas rétabli (voir consid. 4 supra).
5.3.2. En l'occurrence, la CNA a, dans un premier temps, pris en charge les suites de l'événement assuré avant de revoir sa position en se fondant sur les avis de ses médecins d'arrondissement. Or, avec la cour cantonale, on doit admettre que ces appréciations ne convainquent pas pour fonder ex nunc et pro futuro l'arrêt des prestations au 16 février 2017. Quand le docteur H._ déclare que la chute de l'assuré sur l'épaule ne peut pas causer une lésion complexe aux quatre tendons antagonistes de la coiffe des rotateurs, il n'établit pas encore que l'accident n'aurait joué aucun rôle et qu'un état préexistant maladif en serait la cause exclusive. De même, il ne suffit pas, comme le fait le docteur G._, d'évoquer l'âge de l'assuré et la présence d'une arthrose acromio-claviculaire (qualifiée de modérée d'après l'IRM) pour étayer de façon concluante que la chute aurait provoqué une aggravation passagère d'un état antérieur, dont on ne sait au demeurant même pas en quoi il consisterait. Peu importe qu'elles émanent de médecins de la CNA, on ne peut pas accorder de force probante à de telles affirmations faute d'être appuyées par des explications médicales circonstanciées. En particulier, on ne comprend pas comment l'assuré - décrit dans le rapport de la doctoresse E._ comme très sportif (boxe, deltaplane, sport automobile) - aurait pu rester asymptomatique avec une lésion de cette complexité à son épaule gauche tout en travaillant à plein temps et sans présenter de perturbation fonctionnelle. Les rapports de médecins doivent remplir les exigences formelles et matérielles auxquelles sont soumises les preuves médicales pour pouvoir être pris en considération (ATF <ref-ruling> consid. 3a p. 352), et cela vaut aussi à l'égard des médecins internes à l'assureur. Ainsi, on doit constater qu'il n'y a pas, au dossier, d'avis médicaux probants quant à la disparition du lien de causalité entre l'accident du 24 juin 2016 et les atteintes présentées par l'assuré.
5.3.3. Par ailleurs, contrairement à ce que soutient la recourante, on ne se trouve pas dans la situation visée par l'<ref-ruling>. Cette jurisprudence impose la mise en oeuvre d'une expertise lorsqu'une décision administrative s'appuie exclusivement sur l'appréciation d'un médecin interne à l'assureur social et que l'avis d'un médecin traitant ou d'un expert privé auquel on peut également attribuer un caractère probant laisse subsister des doutes quant à la fiabilité et la pertinence de cette appréciation. Elle a pour objectif de garantir l'égalité des armes en permettant à l'assuré de mettre en doute avec ses propres moyens de preuve les constatations médicales effectuées par un médecin interne à l'assurance. En revanche, l'assureur-accidents ne saurait s'y référer pour se dédouaner du devoir qui lui incombe d'établir d'office l'ensemble des faits déterminants et, le cas échéant, d'administrer les preuves nécessaires avant de rendre sa décision (cf. <ref-law>; voir également JACQUES OLIVIER PIGUET, in Commentaire romand, Loi sur la partie générale des assurances sociales [Dupont/Moser-Szeless éd.], 2018, n. 9 ss ad 43 LPGA). Comme il a été rappelé dans l'<ref-ruling> consid. 5 p. 374, l'assureur ne peut pas renvoyer cette tâche à la procédure subséquente.
5.3.4. Il s'ensuit que la cour cantonale pouvait, sans violer l'art. 61 al. 1 let. c LPGA, annuler la décision litigieuse et confirmer le droit aux prestations au-delà du 16 février 2017.
6.
Les frais judiciaires seront mis à la charge de la recourante, qui succombe (<ref-law>). Par ailleurs, l'intimé, qui est représenté par un avocat, a droit à une indemnité de dépens pour la procédure fédérale (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à l'intimé la somme de 2'800 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 9 juin 2020
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : von Zwehl