Sachverhalt:
A.
Mit Strafbefehl vom 16. April 2020 sprach das Untersuchungsamt Altstätten A._ wegen mehrfacher einfacher Verletzung der Verkehrsregeln, Vereitelung von Massnahmen zur Feststellung der Fahrunfähigkeit, pflichtwidrigen Verhaltens bei Unfall und Führens eines nicht betriebssicheren und nicht vorschriftsgemässen Fahrzeugs schuldig. Nachdem A._ gegen den Strafbefehl Einsprache erhoben hatte, stellte das Untersuchungsamt Altstätten das Verfahren mit Verfügung vom 10. September 2020 teilweise ein. Am gleichen Tag erliess es einen Strafbefehl und erklärte ihn der einfachen Verletzung der Verkehrsregeln durch Nichtbeherrschen des Fahrzeugs sowie Übertretung der Verkehrsregelnverordnung vom 13. November 1962 (VRV; SR 741.11) schuldig. A._ erhob gegen den Strafbefehl Einsprache und gegen die Einstellungsverfügung Beschwerde.
B.
Die Anklagekammer des Kantons St. Gallen hiess die Beschwerde mit Entscheid vom 18. November 2020 in Bezug auf die Begründung der Einstellungsverfügung des Untersuchungsamts Altstätten vom 10. September 2020 teilweise gut und hob diese im Sinne der Erwägungen auf. Sie wies die Staatsanwaltschaft an, die Begründung entsprechend zu korrigieren. Im Übrigen wies sie die Beschwerde ab, soweit sie darauf eintrat. Sie auferlegte A._ zwei Drittel der angefallenen Entscheidgebühr von insgesamt Fr. 1'500.-- und entschädigte seinen Rechtsvertreter für das Beschwerdeverfahren mit Fr. 800.--.
C.
C.a. Mit Beschwerde in Strafsachen stellt A._ dem Bundesgericht den Antrag, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und im Sinne der Erwägungen zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventualiter sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und folgende Passagen der Begründung der Einstellungsverfügung vom 10. September 2020 zu streichen:
- "Höhe Liegenschaft Nr. xxx prallte er erwiesenermassen zufolge Nichtbeherrschens des Fahrzeuges - angeblich sei er mit einem kleineren Wildtier (ähnlich Katze oder Marder) kollidiert - mit der rechten vorderen Fahrzeugseite gegen die am rechten Fahrbahnrand befindliche Verkehrstafel ' Freiwillig 30 km/h '. Dabei wurden die rechte Fahrzeugseite und der rechte Vorderreifen (luftleer) beschädigt. In der Folge stellte der Verunfallte das beschädigte Auto (...) ab." (Seite 2)
- " (...) und verliess die Unfallörtlichkeit (...) " (Seite 2)
- "Gemäss Polizeirapport entstand durch die Kollision mit der Verkehrstafel Sach- und Drittschaden" (Seite 2)
- "Mit Strafbefehl des Untersuchungsamtes Altstätten vom 16.4.20 wurde der Beschuldigte wegen mehrfacher einfacher Verletzung der Verkehrsregeln, Vereitelung von Massnahmen zur Feststellung der Fahrunfähigkeit, pflichtwidrige n Verhaltens bei Unfall und Führens eines nicht betriebssicheren und nicht vorschriftsgemässen Fahrzeuges verurteilt. Dagegen erhob der Beschuldigte über seinen Rechtsvertreter mit Schreiben vom 22.04.2020 Einsprache." (Seiten 2 f.)
- "Der PW VW Golf wurde erwiesenermassen durch die Kollision mit der Verkehrstafel beschädigt (rechte, vordere Fahrzeugseite, rechter Vorderreifen). Um das beschädigte Auto (...), nach der Unfallörtlichkeit (...), mit dem beschädigten PW VW Golf (...)." (Seite 3)
- "Mit heutigem Strafbefehl des Untersuchungsamtes Altstätten wird der Beschuldigte wegen einfacher Verletzung der Verkehrsregeln (Nichtbeherrschen des Fahrzeuges) und Übertretung der Verkehrsregelnverordnung (Parkieren eines Fahrzeuges ohne Kontrollschilder auf öffentlichem Grund) verurteilt." (Seite 3).
Ebenfalls eventualiter beantragt der Beschwerdeführer, von einer Zustellung der angefochtenen Einstellungsverfügung an das Strassenverkehrsamt St. Gallen und an die Innenfahndung der Kantonspolizei St. Gallen sei abzusehen. Die Entscheidgebühr der Vorinstanz von Fr. 1'500.-- sei aus der Staatskasse zu nehmen und sein Rechtsvertreter sei für das vorinstanzliche Beschwerdeverfahren mit Fr. 2'400.-- zu entschädigen.
C.b. Mit Verweis auf den angefochtenen Entscheid beantragt die Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen die kostenfällige Abweisung der Beschwerde und verzichtet die Vorinstanz auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1 mit Hinweis). Es wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>).
1.2. Anfechtungsobjekt der vorliegenden Beschwerde bildet allein der Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen vom 18. November 2020. Soweit sich die eventualiter gestellten Rechtsbegehren des Beschwerdeführers direkt auf die Einstellungsverfügung des Untersuchungsamts Altstätten vom 10. September 2020 beziehen, wird darauf nicht eingetreten. Indes ist auf seine diesbezügliche Argumentation insoweit einzugehen, als sie der Auslegung des Hauptbegehrens dient. Denn mit seinem Hauptbegehren stellt der Beschwerdeführer einzig einen Aufhebungsantrag mit Antrag auf Rückweisung an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung, jedoch keinen Antrag in der Sache. Was er mit seiner Beschwerde anstrebt, ergibt sich erst aus den Eventualbegehren und ergänzend aus der Beschwerdebegründung, die nach der Rechtsprechung zur Interpretation des Rechtsbegehrens heranzuziehen ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.3; Urteil 6B_42/2021 vom 8. Juli 2021 E. 2.1; je mit Hinweisen). Dies führt im Ergebnis dazu, dass die Eventualbegehren vorliegend wie Hauptanträge (auf Rückweisung der Sache in den betreffenden Punkten) zu behandeln sind.
2.
2.1. Die Beschwerde an das Bundesgericht ist zulässig gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen (Endentscheide nach <ref-law>). Ebenfalls zulässig ist nach <ref-law> die Beschwerde gegen selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide über die Zuständigkeit und über Ausstandsbegehren. Andere selbstständig eröffnete Zwischenentscheide im Sinne von <ref-law> sind vor Bundesgericht nur anfechtbar, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (Abs. 1 lit. a), oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b).
2.2. Die Vorinstanz hob die vom Beschwerdeführer angefochtene Einstellungsverfügung teilweise auf und wies die Staatsanwaltschaft an, deren Begründung neu abzufassen. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich somit um einen Rückweisungsentscheid. Derartige Rückweisungsentscheide, mit denen eine Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, sind grundsätzlich Zwischenentscheide, die nur unter den Voraussetzungen von Art. 92 und <ref-law> beim Bundesgericht angefochten werden können (<ref-ruling> E. 2 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 1.3).
2.3. Nach der Rechtsprechung gilt es hinsichtlich einer zweitinstanzlich entschiedenen Rückweisung jedoch folgende Konstellationen zu unterscheiden: Dient die Rückweisung einzig noch der Umsetzung des von der Beschwerdeinstanz Angeordneten und verbleibt der ersten Instanz somit überhaupt kein Entscheidungsspielraum mehr, handelt es sich materiell nicht um einen Zwischenentscheid, gegen den ein Rechtsmittel letztinstanzlich einzig unter den Voraussetzungen von <ref-law> zulässig ist, sondern um einen Endentscheid im Sinne von <ref-law>. Enthält der Rückweisungsentscheid demgegenüber Anordnungen, die den Beurteilungsspielraum der Erstinstanz zwar wesentlich, aber nicht gänzlich einschränken, stellt er einen Zwischenentscheid dar. Dieser ist dann nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> anfechtbar.
2.4. Vorliegend entschied die Vorinstanz, dass die in der Begründung der streitgegenständlichen Einstellungsverfügung enthaltenen Passagen "erwiesenermassen", "ist nicht hundertprozentig erwiesen" sowie die Hinweise auf den separat erlassenen Strafbefehl nicht zulässig seien und einzelne bestrittene Sachverhaltsschilderungen im Konjunktiv formuliert werden müssten. Der Rückweisungsentscheid ist in dieser Hinsicht klar: Die Staatsanwaltschaft muss diese Passagen aus der Einstellungsverfügung entfernen resp. im vorgeschlagenen Sinn abändern und hat diesbezüglich überhaupt keinen Beurteilungsspielraum. Mit Blick auf die dargestellte Rechtsprechung ist der angefochtene Rückweisungsentscheid folglich als Endentscheid zu behandeln und als solcher im Grundsatz einer Beschwerde an das Bundesgericht zugänglich (<ref-law>).
3.
Der Beschwerdeführer beanstandet die Begründung der Einstellungsverfügung und macht eine Verletzung der Unschuldsvermutung geltend.
3.1. Nach Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 1 BGG ist die beschuldigte Person zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt, wenn sie vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat.
3.2. Eine rechtskräftige Einstellungsverfügung kommt einem freisprechenden Endentscheid gleich (<ref-law>). Die beschuldigte Person ist deshalb grundsätzlich nicht legitimiert, eine zu ihren Gunsten erfolgte Verfahrenseinstellung anzufechten, um eine andere juristische Begründung der Einstellungsverfügung zu erwirken. Eine Ausnahme gilt nach der Rechtsprechung nur dort, wo Begründung und Dispositiv der Einstellungsverfügung sinngemäss einem Schuldvorwurf gleichkommen, ohne dass zuvor der gesetzliche Beweis der Schuld erbracht worden wäre und die beschuldigte Person Gelegenheit zur Wahrnehmung ihrer Verteidigungsrechte erhalten hätte (Urteile 6B_581/2017 vom 18. Juli 2017 E. 4; 6B_155/2014 vom 21. Juli 2014 E. 1.1; je mit Hinweisen).
3.3. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG hat der Beschwerdeführer darzulegen, dass die gesetzlichen Legitimationsvoraussetzungen erfüllt sind. Soweit diese nicht ohne Weiteres ersichtlich sind, ist es nicht Aufgabe des Bundesgerichts, anhand der Akten oder weiterer, noch beizuziehender Unterlagen nachzuforschen, ob und inwiefern der Beschwerdeführer zur Beschwerde zuzulassen ist (vgl. <ref-ruling> E. 1; Urteile 6B_253/2020 vom 8. September 2020 E. 2.1; 1C_392/2019 vom 28. Oktober 2019 E. 1.3; je mit Hinweisen). Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen Begründungsanforderungen nicht, kann darauf grundsätzlich nicht eingetreten werden (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen).
3.4. Das Eventualbegehren des Beschwerdeführers lautet genau gleich wie im vorinstanzlichen Verfahren, obwohl die Vorinstanz dieses teilweise gutgeheissen und die Staatsanwaltschaft angewiesen hat, die Einstellungsverfügung neu zu formulieren. So hat sie die Staatsanwaltschaft, wie bereits dargelegt, verpflichtet, die Formulierung "erwiesenermassen" (1. und 5. Lemma des Eventualantrags) sowie den Hinweis auf den gleichentags erlassenen Strafbefehl (6. Lemma des Eventualantrags) aus der Begründung der Einstellungsverfügung zu streichen. Soweit kam die Vorinstanz dem Ansinnen des Beschwerdeführers folglich bereits nach, weshalb es ihm an einem rechtlich geschützten Interesse, dieses vor Bundesgericht erneut vorzutragen, fehlt.
3.5. Als unproblematisch erachtet die Vorinstanz dagegen Schilderungen zum Sachverhalt und zur Prozessgeschichte, namentlich Begriffe resp. Passagen wie "beschädigtes Auto/beschädigter PW VW Golf", "Unfallörtlichkeit" und "Gemäss Polizeirapport entstand durch die Kollision mit der Verkehrstafel Sach- und Drittschaden" (1., 2., 3. und 5. Lemma des Eventualantrags) sowie den Hinweis auf den Strafbefehl vom 16. April 2020 (4. Lemma des Eventualantrags). Der Beschwerdeführer tut nicht dar, inwiefern diese Passagen einem unzulässigen Schuldvorwurf gleichkämen, der ihn als Beschuldigten ausnahmsweise zur Beschwerde gegen die Begründung einer Einstellungsverfügung ermächtigen würde. Sein pauschaler Verweis auf eine angebliche Verletzung der Unschuldsvermutung reicht in einem Fall wie dem vorliegenden, in dem die Beschwerdelegitimation nicht offensichtlich, sondern vielmehr die Ausnahme darstellt, nicht aus. Soweit die Beschwerde auf die Begründung der Einstellungsverfügung abzielt, wird darauf nicht eingetreten.
4.
Der Beschwerdeführer hält eine Weiterleitung der Einstellungsverfügung an das Strassenverkehrsamt sowie die Innenfahndung der Kantonspolizei St. Gallen für unzulässig und rügt eine willkürliche Anwendung von kantonalem Recht.
4.1. Die Vorinstanz verweist zunächst auf verschiedene kantonale Bestimmungen und erwägt weiter, das Strassenverkehrsamt sei in Anwendung von <ref-law> durch Zustellung des Polizeiberichts über die Einleitung des Strafverfahrens informiert worden. Gestützt darauf prüfe es die Verhängung von Administrativmassnahmen (<ref-law>). Um dieses Verfahren weiterführen und abschliessen zu können, sei das Strassenverkehrsamt auf die Endentscheide des Strafverfahrens sowie die darin enthaltenen tatsächlichen Feststellungen angewiesen.
Die Kantonspolizei, so die Vorinstanz weiter, habe vor Ort den Unfallrapport erstellt und sei über den Vorfall informiert. Die Mitteilung der Einstellungsverfügung diene dem Löschen polizeirelevanter Vorgänge. Dabei sei die Innenfahndung der Kantonspolizei für die polizeiliche Datensammlung zuständig. Es könne auf Art. 18 Abs. 2 und 3 der Verordnung des Kantons St. Gallen vom 16. Mai 2006 über das Informationssystem der Kantonspolizei (sGS 451.12) i.V.m. Art. 33 Abs. 3 des Einführungsgesetzes des Kantons St. Gallen vom 3. August 2010 zur Schweizerischen Straf- und Jugendstrafprozessordnung (EG-StPO; sGS 962.1) und <ref-law> verwiesen werden.
4.2. Laut <ref-law> können Bund und Kantone die Strafbehörden zu Mitteilungen an Behörden verpflichten oder berechtigen. Gemäss Art. 33 Abs. 1 EG-StPO/SG informieren die Strafbehörden andere Behörden über ihre Strafverfahren, soweit diese zur Erfüllung ihrer gesetzlichen Aufgaben auf die Information angewiesen sind und das öffentliche Interesse an der Information gegenüber den Persönlichkeitsrechten der Parteien überwiegt. Die Regierung regelt durch Verordnung, für welche Bereiche die Mitteilungspflicht gilt (Art. 33 Abs. 3 EG-StPO/SG). Nach Art. 8 Abs. 4 der Strafprozessverordnung des Kantons St. Gallen vom 23. November 2010 (StPV; sGS 962.11) teilt die Staatsanwaltschaft denjenigen Stellen die Nichtanhandnahme oder Einstellung des Strafverfahrens mit, die über dessen Einleitung informiert wurden.
4.3. Die Anwendung kantonalen Gesetzesrechts überprüft das Bundesgericht - von einigen hier nicht relevanten Ausnahmen abgesehen - nur auf Willkür und Vereinbarkeit mit anderen verfassungsmässigen Rechten (vgl. <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.3.1; <ref-ruling> E. 2; je mit Hinweisen). Willkür im Sinne von <ref-law> liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1.2; <ref-ruling> E. 1.2; je mit Hinweisen). Wird eine Verletzung von kantonalem oder interkantonalem Recht behauptet, obliegt der beschwerdeführenden Partei eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.2 mit Hinweisen). Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 4.1.2; <ref-ruling> E. 1.3.1; je mit Hinweisen).
4.4.
4.4.1. Betreffend Weiterleitung der Einstellungsverfügung an das Strassenverkehrsamt bringt der Beschwerdeführer unter anderem vor, es fehle an einer hinreichenden gesetzlichen Grundlage für dieses Vorgehen.
4.4.2. Dieser Einwand ist berechtigt. Wie das Bundesgericht bereits in einem früheren, den Kanton St. Gallen betreffenden Urteil erwogen hat, müssen die Polizei- und Strafbehörden der zuständigen Behörde nach <ref-law> alle Widerhandlungen melden, die eine im Strassenverkehrsgesetz vorgesehene Massnahme nach sich ziehen könnten. Auch nach vorliegend massgeblichem kantonalem Recht besteht bei Widerhandlungen gegen Strassenverkehrs- und Schifffahrtsvorschriften eine Mitteilungspflicht (Art. 8 Abs. 1 lit. f Ziff. 2 StPV/SG). Nachdem das Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer wegen einfacher Verletzung der Verkehrsregeln, Vereitelung von Massnahmen zur Feststellung der Fahrunfähigkeit, pflichtwidrigen Verhaltens bei Unfall und Führens eines nicht betriebssicheren und nicht vorschriftsgemässen Fahrzeugs eingestellt wurde, liegt hinsichtlich dieser Delikte gerade keine Widerhandlung vor, die dem Strassenverkehrsamt zu melden wäre. Eine gesetzliche Grundlage für die Benachrichtigung des Strassenverkehrsamts besteht nicht (vgl. zum Ganzen Urteil 6B_942/2016 vom 7. September 2017 E. 6.2, nicht publ. in: <ref-ruling>).
4.5.
4.5.1. Darüber hinaus wendet sich der Beschwerdeführer gegen die Weiterleitung der Einstellungsverfügung an die Innenfahndung der Kantonspolizei. Er führt aus, der Rapport über den streitigen Vorfall sei von einem Polizisten der mobilen Polizei Thal verfasst worden, weshalb nicht erwiesen sei, dass die Innenfahndung darüber informiert sei. Die Vorinstanz verletze seinen Anspruch auf rechtliches Gehör und verfalle in Willkür, indem sie sich nicht damit auseinandersetze, welche tatbestandsbezogenen Daten der Innenfahndung mitgeteilt worden seien. Die Voraussetzungen von Art. 8 Abs. 4 StPV/SG seien auch deshalb nicht erfüllt, weil ein Rapport noch keine Verfahrenseröffnung begründe. Des Weiteren gehe die Norm über den von Art. 33 Abs. 3 EG-StPO/SG festgelegten Delegationsrahmen hinaus, da sie viel zu offen formuliert sei und keine Interessenabwägung nach Art. 33 Abs. 1 EG-StPO/SG vorsehe. Weiter macht der Beschwerdeführer eine Verletzung von Art. 18 Abs. 3 der Verordnung über das Informationssystem der Kantonspolizei/SG geltend. Die Bestimmung gestatte nur die Zustellung des Dispositivs. Wenn die Vorinstanz stattdessen die Zustellung der gesamten Einstellungsverfügung als zulässig erachte, müsste sie begründen, weshalb dies vorliegend erforderlich sein solle. Dies tue sie nicht, weshalb sie den Gehörsanspruch und das Willkürverbot verletze. Schliesslich würden seine privaten Persönlichkeitsrechte und sein Recht auf informationelle Selbstbestimmung die nicht vorhandenen öffentlichen Interessen an einer Weiterleitung überwiegen.
4.5.2. Vorab sei daran erinnert, dass eine Strafuntersuchung als eröffnet gilt, sobald sich die Staatsanwaltschaft mit dem Straffall zu befassen beginnt. Einer Eröffnungsverfügung kommt mithin lediglich deklaratorische Wirkung zu (vgl. <ref-ruling> E. 3.4.2; <ref-ruling> E. 1.1.4 mit Hinweisen). Es ist deshalb ohne Weiteres vertretbar, wenn die Vorinstanz dafür hält, aufgrund des Polizeirapports habe sich ein hinreichender Tatverdacht gegen den Beschwerdeführer ergeben und die Untersuchung sei (zumindest materiell) eröffnet und damit hängig gewesen (vgl. <ref-law>).
4.5.3. Bei der Polizei handelt es sich wie bei der Staatsanwaltschaft um eine Strafverfolgungsbehörde. Es ist deshalb fraglich, ob sie überhaupt als "andere Behörde" im Sinne von <ref-law> und Art. 33 EG-StPO/SG behandelt werden kann. Polizei und Staatsanwaltschaft arbeiten im Vorverfahren zusammen, wobei die Polizei ihre Erkenntnisse an die Staatsanwaltschaft zu rapportieren hat (<ref-law>) und diese umgekehrt der Polizei Weisungen und Aufträge erteilen kann (Art. 307 Abs. 2 und Art. 312 Abs. 1 StPO). Dies bedingt zwangsläufig einen Austausch von Informationen über das jeweilige Verfahren. Näher geregelt ist dieser Informationsaustausch in der Strafprozessordnung nicht. Insbesondere äussert sie sich nicht dazu, inwieweit die Staatsanwaltschaft die Polizei darüber informieren darf, wie sie das Verfahren zum Abschluss gebracht hat. Fest steht jedoch, dass die Strafprozessordnung nach der Rechtsprechung unter Vorbehalt überwiegender Geheimhaltungsinteressen grundsätzlich eine umfassende Kommunikation zwischen den Straf- und sogar Zivil- sowie Verwaltungsbehörden zulässt (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.4 zu <ref-law>). Vorliegend besteht für die streitige Datenübermittlung zudem eine kantonale gesetzliche Grundlage. Gemäss Art. 18 Abs. 2 der Verordnung über das Informationssystem der Kantonspolizei/SG werden tatbestandsbezogene Daten nach Eintritt der Rechtskraft gelöscht, wenn das Strafverfahren definitiv eingestellt oder die betroffene Person freigesprochen wird. Nach Abs. 3 der Bestimmung melden die Untersuchungsorgane der Polizei die Tatsachen, welche die Löschung begründen, in der Regel durch Zustellung einer Kopie des Verfügungsdispositivs. Unbehelflich, da auf die falsche Gesetzesgrundlage abzielend, sind deshalb die Einwände des Beschwerdeführers betreffend Art. 8 Abs. 4 StPV/SG. Sodann verfällt die Vorinstanz nicht in Willkür, wenn sie gestützt auf Art. 18 der Verordnung über das Informationssystem der Kantonspolizei/SG dafürhält, die Polizei sei aus datenschutztechnischen Gründen und im Hinblick auf den korrekten Umgang mit bereits im System vorhandenen Daten über die Einstellung eines angezeigten Vorfalls zu informieren. Die Bearbeitung der generierten Daten muss in irgendeiner Form zu einem Abschluss gebracht werden. Es ist nachvollziehbar, wenn die Vorinstanz das öffentliche Interesse der Polizei, und damit an einem, wie sie ausführt, beschränkten und dem Amtsgeheimnis unterliegenden Adressatenkreis, an der Löschung polizeirelevanter Vorgänge höher gewichtet als die vom Beschwerdeführer angerufenen privaten Interessen. Dies gilt umso mehr, als die Löschung seiner persönlichen Daten aus dem polizeilichen Informationssystem letztendlich auch in seinem Interesse sein dürfte und die verfolgten Interessen somit zumindest bis zu einem gewissen Grad als deckungsgleich angesehen werden können. Die vorinstanzliche Feststellung, wonach die Innenfahndung die intern zuständige Stelle für die Datensammlung und -bewirtschaftung ist, wird vom Beschwerdeführer sodann nicht bestritten. Demnach scheint es nicht falsch, wenn die Vorinstanz die Innenfahndung als diejenige Abteilung der Polizei bezeichnet, an welche die Information über die Einstellung zu ergehen hat. Schliesslich sieht Art. 18 Abs. 3 der besagten Verordnung vor, dass diese Information "in der Regel" durch Zustellung einer Kopie des Verfügungsdispositivs zu erfolgen hat. Wenn die Vorinstanz dennoch eine Weiterleitung der begründeten Einstellungsverfügung als zulässig erachtet, stellt dies noch keine krasse Verletzung dieser kantonalen Bestimmung dar. Dass eine andere Lösung ebenfalls vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt für die Annahme von Willkür nicht (BGE <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 1.2; je mit Hinweisen). Die Weiterleitung der Einstellungsverfügung an die Innenfahndung der Kantonspolizei St. Gallen hält somit einer Willkürprüfung stand.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer hält die Verlegung der vorinstanzlichen Entscheidgebühr - ihm wurden gestützt auf <ref-law> zwei Drittel der Verfahrenskosten auferlegt - für fehlerhaft. Er bringt vor, die Vorinstanz habe die angefochtene Einstellungsverfügung aufgehoben, diese zu neuer Begründung an das Untersuchungsamt zurückgewiesen und damit kassatorisch entschieden. Aufgrunddessen liege ein Anwendungsfall von <ref-law> vor und bestehe kein Raum für eine ermessensweise teilweise Auferlegung der Kosten zu seinen Lasten. Selbst wenn sich die Kostenverteilung nach <ref-law> richten würde, müssten die vorinstanzlichen Kosten zulasten der Staatskasse gehen. Da die Vorinstanz sein Hauptbegehren um Aufhebung der Einstellungsverfügung gutgeheissen habe, habe er vollständig obsiegt und sei sein Eventualbegehren gar nicht mehr zu behandeln gewesen. Indem die Vorinstanz die Begründung der Einstellungsverfügung sowie deren Zustellung an das Strassenverkehrsamt und die Innenfahndung für zulässig erachte, tue sie nichts anderes, als der Staatsanwaltschaft für die neu zu erlassende Einstellungsverfügung Weisungen nach <ref-law> zu erteilen. Hierfür dürften ihm aber keine Verfahrenskosten auferlegt werden. Ausserdem verletze die Kostenauferlegung <ref-law>: Die auch von der Vorinstanz festgestellte Verletzung der Unschuldsvermutung sei eine fehlerhafte Verfahrenshandlung im Sinne dieser Bestimmung, die für die Kosten des Rechtsmittelverfahrens ursächlich gewesen sei. Indem sich die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid auch zur Zustellung der Einstellungsverfügung an weitere Behörden und zu Passagen, welche die Unschuldsvermutung nicht verletzten, äussere, begehe sie ausserdem eine unnötige Verfahrenshandlung nach <ref-law>. Diese Kosten habe er nicht zu bezahlen. Schliesslich verletze die Kostenauferlegung <ref-law>, da er gezwungen gewesen sei, gegen die Verletzung der Unschuldsvermutung Beschwerde einzureichen und das Beschwerdeverfahren nicht rechtswidrig und schuldhaft initiiert habe.
5.2. Die Kosten des Rechtsmittelverfahrens tragen die Parteien nach Massgabe ihres Obsiegens oder Unterliegens (<ref-law>). Ob bzw. inwieweit eine Partei im Sinne dieser Bestimmung obsiegt oder unterliegt, hängt davon ab, in welchem Ausmass ihre vor der zweiten Instanz gestellten Anträge gutgeheissen werden (Urteile 6B_701/2019 vom 17. Dezember 2020 E. 2.3; 6B_680/2019 vom 27. September 2019 E. 1.2; je mit Hinweisen). Dementsprechend erfolgt bei teilweisem Obsiegen resp. Unterliegen eine anteilsmässige Verteilung der Kostenfolgen (vgl. Urteil 6B_701/2019 vom 17. Dezember 2020 E. 2; betr. Entschädigung Urteil 6B_1284/2015 vom 2. März 2016 E. 2.3 f.).
- Heisst die Rechtsmittelinstanz eine Beschwerde gut, so fällt sie einen neuen Entscheid oder hebt den angefochtenen Entscheid auf und weist ihn zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurück (<ref-law>). Hebt die Rechtsmittelinstanz einen Entscheid auf und weist sie die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurück, so trägt der Bund oder der Kanton die Kosten des Rechtsmittelverfahrens und, nach Ermessen der Rechtsmittelinstanz, jene der Vorinstanz (<ref-law>). Wird ein erstinstanzlicher Entscheid aufgehoben, geschieht dies in der Regel, weil der ersten Instanz Fehler unterlaufen sind, weshalb es gerechtfertigt scheint, dass in diesem Fall die Kosten vom Staat getragen werden (Urteil 6B_680/2019 vom 27. September 2019 E. 2.1 mit Hinweis).
Ergeht im Beschwerdeverfahren ein nur teilweise kassatorischer Entscheid, sind nach einer zutreffenden Lehrmeinung bezüglich der Gutheissung <ref-law> und im Weiteren <ref-law> anwendbar (STEFAN CHRISTEN, Kostenfolge im kantonalen Beschwerdeverfahren in Strafsachen, ZStrR 131/2013 S. 186 f.). Wie den vorstehenden Erwägungen entnommen werden kann, sollen Private, die ein Rechtsmittel ergreifen, nur soweit von den Kostenfolgen befreit werden, als fehlerhaftes staatliches Handeln zur Beschwerde Anlass gegeben hat. Es kann dagegen nicht dem gesetzgeberischen Willen entsprechen, dass der Staat die gesamten Verfahrenskosten zu tragen hat, auch wenn sein Handeln lediglich teilweise als unzulässig beurteilt wurde. Das Unterliegerprinzip muss demgemäss auch dort Geltung beanspruchen, wo ein angefochtener Entscheid nur zu Teilen aufgehoben wird.
5.3. Gemäss Ziff. 1 des vorliegend angefochtenen Entscheiddispositivs wird die Beschwerde "teilweise geschützt" und die angefochtene Verfügung im Sinne der Erwägungen aufgehoben. "Im Übrigen" wird die Beschwerde laut Dispositiv "abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist". Aus diesen Formulierungen geht klar hervor, dass die Beschwerdebegehren nicht vollständig gutgeheissen und die Einstellungsverfügung des Untersuchungsamts Altstätten nicht vollständig aufgehoben wird, sondern nur - wie in den Erwägungen, auf die im Dispositiv verwiesen wird, dargelegt - soweit ihre Begründung gegen <ref-law> verstösst. Ausserdem hält die Vorinstanz in ihren Erwägungen ausdrücklich fest, dass eine Aufhebung der gesamten Einstellungsverfügung und namentlich auch von deren Dispositiv nicht zulässig sei. Wie vorstehend dargelegt, sind in einem solchen Fall nur diejenigen Verfahrenskosten aus der Staatskasse zu nehmen, die auf einem Fehler der ersten Instanz beruhen. Soweit das staatliche Handeln als rechtmässig beurteilt und die Beschwerde abgewiesen wird, hat die beschwerdeführende Partei die anteilsmässigen Kosten zu tragen. Die Vorinstanz verlegt somit, soweit sie die Beschwerde abweist, die Verfahrenskosten zu Recht nach <ref-law> und damit zulasten des unterliegenden Beschwerdeführers. <ref-law> wird dagegen, anders als der Beschwerdeführer meint, von der Vorinstanz gar nicht zur Anwendung gebracht. Seine entsprechende Rüge zielt somit ins Leere.
- Wie es das Unterliegerprinzip verlangt, auferlegt die Vorinstanz dem Beschwerdeführer keine Kosten, soweit sie die Beschwerde gutheisst. Für fehlerhafte Verfahrenshandlungen der ersten Instanz muss er somit nicht bezahlen. Der Vorwurf einer Verletzung von <ref-law> geht damit ebenfalls fehl. Nicht nachvollziehbar ist sodann, inwiefern die Vorinstanz selber unnötige Verfahrenshandlungen begangen haben soll. Die Vorinstanz tut nichts anderes, als die Rechtsbegehren des Beschwerdeführers zu behandeln, wobei sie, da das Hauptbegehren allein betrachtet keinen Sinn ergibt, auch die Eventualbegehren beurteilt. Auch in dieser Hinsicht liegt keine Verletzung von <ref-law> vor.
6.
Die Beschwerde wird bezüglich der Weiterleitung der erstinstanzlichen Einstellungsverfügung an das Strassenverkehrsamt des Kantons St. Gallen gutgeheissen und die Sache insoweit zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Diese wird folglich auch über die Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens neu zu befinden haben. Soweit weitergehend, erweist sich die Beschwerde als unbegründet und wird abgewiesen, soweit überhaupt darauf einzutreten ist.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren im Umfang seines Unterliegens kostenpflichtig (<ref-law>). Der Kanton St. Gallen hat keine Kosten zu tragen und keinen Anspruch auf eine Entschädigung (Art. 66 Abs. 4 und Art. 68 Abs. 3 BGG). Hingegen wird er gestützt auf Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG verpflichtet, dem Beschwerdeführer im Umfang von dessen Obsiegen eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen vom 18. November 2020 wird aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Dem Beschwerdeführer werden Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- auferlegt.
3.
Der Kanton St. Gallen hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 500.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Dezember 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Jacquemoud-Rossari
Die Gerichtsschreiberin: Lustenberger