Sachverhalt:
A.
Die Sozialen Dienste der Stadt Zürich machten am 11. Oktober 2016 beim Kanton einen Kostenersatzanspruch für die ab 16. August 2016 bis auf Weiteres anfallenden Auslagen der wirtschaftlichen Hilfe zugunsten von A._ geltend. A._, geboren 1988 (nachfolgend: Unterstützte), hatte am 1. Januar 2010 eine Tochter zur Welt gebracht. Am 29. September 2015 war ihre Ehe geschieden worden, worauf sie ihre Arbeitsstelle verlor, ihr Auto verkaufte und zu ihrem neuen Freund nach Deutschland zog, ohne sich dort anzumelden. Die ehemals eheliche Wohnung in U._/ZH wurde während ihrer Auslandsabwesenheit geräumt. Die Tochter liess sie in U._/ZH bei ihren Eltern. Nach einer vorübergehenden Rückkehr in die Schweiz von Februar bis April 2016 mit Behandlung in einem Sanatorium flüchtete sie am 4. August 2016 hochschwanger vor ihrem gewalttätigen Freund wiederum in die Schweiz und begab sich in stationäre Behandlung im Spital B._. Am 8. August 2016 zog sie - ohne polizeiliche Anmeldung - bei ihrer Schwester ein, die mit ihrem Mann und ihren zwei Kindern in einer 70m2 grossen Dreizimmer-Wohnung in der Stadt Zürich wohnte. Am 25. September 2016 wurde die zweite Tochter der Unterstützten im Spital B._, Zürich, geboren. Im Anschluss an die Spitalpflege fand eine Verlegung in das Wohnzentrum C._, Zürich, statt. Schliesslich nahm die D._ GmbH sie und ihre beiden Töchter am 1. November 2017 in eine betreute Wohnform auf.
Das Sozialamt des Kantons Zürich beschied das Begehren der Sozialen Dienste der Stadt Zürich um Leistung eines Kostenersatzes mit Verfügung vom 12. August 2019 abschlägig. Den dagegen von der Stadt Zürich eingereichten Rekurs lehnte die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich ab (Entscheid vom 24. Januar 2020).
B.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich wies die hiergegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 11. Juni 2020).
C.
Die Stadt Zürich führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, es sei der Kanton Zürich in Aufhebung des verwaltungsgerichtlichen Entscheids anzuweisen, ihr die im Unterstützungsfall der A._ seit 16. August 2016 geleistete wirtschaftliche Hilfe zu ersetzen; eventualiter sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das kantonale Gericht stellt ohne weitere Ausführungen das Rechtsbegehren, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Kanton Zürich, vertreten durch das Kantonale Sozialamt, schliesst ebenfalls auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht mit Einschluss der Bundesverfassung gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>) grundsätzlich nur die geltend gemachten Rechtswidrigkeiten (<ref-ruling> E. 1.4.1). Soweit sich der angefochtene Entscheid auf Quellen des kantonalen Rechts stützt, welche nicht in Art. 95 lit. c-e BGG genannt werden, beschränkt sich die Überprüfung durch das Bundesgericht demgegenüber thematisch auf die erhobenen und begründeten Rügen (<ref-law>) und inhaltlich auf die Frage, ob die Anwendung des kantonalen Rechts zu einer Bundesrechtswidrigkeit führt. Im Vordergrund steht dabei eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte, insbesondere des Willkürverbots nach <ref-law>.
Eine willkürliche Anwendung kantonalen Rechts liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch dessen Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 7.1 mit Hinweisen).
1.2. Was die Feststellung des Sachverhalts anbelangt, kann gemäss <ref-law> nur gerügt werden, diese sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 1 mit Hinweis). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 mit Hinweisen). Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist. Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erschiene. Diese Grundsätze gelten auch in Bezug auf die konkrete Beweiswürdigung; in diese greift das Bundesgericht auf Beschwerde hin nur bei Willkür ein, insbesondere wenn die Vorinstanz offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht, erhebliche Beweise übersieht oder solche grundlos ausser Acht lässt (<ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweisen).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hat, als sie einen Kostenersatzanspruch der Stadt Zürich für die Auslagen der wirtschaftlichen Hilfe zugunsten von A._ gegenüber dem Kanton Zürich (im Zeitpunkt des Entscheids der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich vom 24. Januar 2020 beliefen sich diese bereits auf rund Fr. 200'000.-) verneinte.
3.
3.1. Bedürftige werden von ihrem Wohnkanton unterstützt (<ref-law>). Der Bund regelt die Ausnahmen und Zuständigkeiten (<ref-law>). Das Bundesgesetz über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger (Zuständigkeitsgesetz, ZUG) vom 24. Juni 1977 (SR 851.1) präzisiert in dem durch die Verfassung vorgegebenen Rahmen, welcher Kanton für die Fürsorge zuständig ist, und es regelt den Ersatz von Unterstützungskosten unter den Kantonen (vgl. Art. 1 Abs. 1 und 2 ZUG). Danach obliegt die Unterstützung eines Schweizer Bürgers grundsätzlich dem Wohnkanton (<ref-law>). Der Wohnkanton unterliegt gegenüber dem Aufenthaltskanton einer gewissen Ersatzpflicht (vgl. <ref-law>). Die Begriffe des Aufenthalts- und Wohnkantons sind solche des Bundesrechts (<ref-ruling> E. 8.1; <ref-ruling> E. 3.1, je mit Hinweis).
3.2. Im innerkantonalen Verhältnis bestimmt das kantonale Recht das zuständige Gemeinwesen (vgl. Urteil 8C_701/2013 vom 14. März 2014 E. 3.2). Gemäss § 32 des Sozialhilfegesetzes des Kantons Zürich vom 14. Juni 1981 (SHG; LS 851.1) obliegt die Pflicht zur Leistung persönlicher und wirtschaftlicher Hilfe der Wohngemeinde des Hilfesuchenden. Die Aufenthaltsgemeinde ist zur Hilfeleistung verpflichtet, solange die Wohngemeinde des Hilfesuchenden nicht feststeht oder wenn eine Person ausserhalb ihrer Wohngemeinde unaufschiebbarer Hilfe bedarf (§ 33 SHG). Der Hilfesuchende hat seinen Wohnsitz nach § 34 Abs. 1 SHG in derjenigen Gemeinde, in der er sich mit der Absicht dauernden Verbleibens aufhält (Unterstützungswohnsitz). Die polizeiliche Anmeldung (für Ausländer die Ausstellung einer Anwesenheitsbewilligung) gilt als Wohnsitzbegründung, wenn nicht nachgewiesen ist, dass der Aufenthalt schon früher oder erst später begonnen hat oder nur vorübergehender Natur ist (§ 34 Abs. 2 SHG). Als Aufenthalt im Sinne des SHG gilt die tatsächliche Anwesenheit in einer Gemeinde (§ 39 Abs. 1 SHG). Nach § 44 Abs. 2 SHG ersetzt der Kanton der Aufenthaltsgemeinde die Kosten der von ihr geleisteten wirtschaftlichen Hilfe, soweit nicht die Wohngemeinde ersatzpflichtig ist oder eine Ersatzpflicht nach Bundesrecht besteht.
4.
4.1. Das kantonale Gericht ging davon aus, dass der vorliegend anwendbare Wohnsitzbegriff namentlich unter sozialhilferechtlichen und damit kantonalen Aspekten zu beleuchten sei. Da Wortlaut und Begrifflichkeit von <ref-law> und § 34 SHG weitgehend deckungsgleich seien, könne zudem die Rechtsprechung zum ZUG herangezogen werden. Ein Unterstützungswohnsitz bestehe, wenn nicht nur ein Aufenthalt gegeben sei. Für die Unterstützte sei im Zeitpunkt der zweiten Rückkehr in die Schweiz im August 2016 ein erneuter Wechsel nach Deutschland eher unwahrscheinlich gewesen, da sich herausgestellt habe, dass ihr Freund bereits verheiratet gewesen sei und zwei Kinder gehabt habe. Der Aufenthalt im Spital B._ (4. bis 8. August 2016) habe gemäss § 35 SHG keinen Wohnsitz begründet. Immerhin sei festzustellen, dass die Wahl wohl deshalb auf dieses Spital in der Stadt Zürich gefallen sei, weil es sich in örtlicher Nähe zur Wohnung der Schwester befunden habe. In der Wohnung der Schwester habe die Unterstützte im Anschluss daran zumindest physisch Wohnsitz bezogen. Es sei davon auszugehen, dass es sich dabei um einen Aufenthalt auf unbestimmte Zeit gehandelt habe, da die Unterstützte nicht gewusst habe, wie es nach der Geburt ihres zweiten Kindes weitergehen sollte. Gerade wenn Verwandte ein in Not geratenes Familienmitglied bei sich aufnehmen würden, sei gemäss Sozialhilfe-Behördenhandbuch des Kantons Zürich vom 18. März 2020 (Kapitel 3.2.01 E. 4.4, zweiter Absatz) in der Regel davon auszugehen, dass es auf Dauer oder zumindest so lange bei seiner Familie wohnen könne, bis es eine eigene Wohnung gefunden habe. In solchen Fällen könne ein Unterstützungswohnsitz begründet werden. Einer Wohnsitzbegründung im Moment der physischen Wohnsitznahme mit der Absicht des weiteren Verbleibs (selbst wenn dieser noch ungewiss gewesen sei), stehe im vorliegenden Fall nicht entgegen, dass weder die Schwester und ihre Familie noch die Unterstützte selber die allenfalls als beengt empfundene Wohnsituation in der Dreizimmer-Wohnung als Dauerlösung für eine Wohnmöglichkeit mit Baby betrachtet hätten und der Aufenthalt schliesslich nur eineinhalb Monate (8. August bis 25. September 2016) gedauert habe. Ins Gewicht falle auch, dass die Schwester die engste und damals einzige Bezugsperson der Unterstützten gewesen sei, die ihr in der Notsituation Hilfe geleistet habe, während zu den Eltern zum Zeitpunkt der Rückkehr in die Schweiz kein Kontakt mehr bestanden habe, nachdem sie sich von ihnen im Stich gelassen gefühlt habe. Dies spreche für die Absicht der Unterstützten, weiterhin in der Nähe der Schwester zu verweilen.
4.2. Diese Beurteilung beruht auf einlässlicher und nachvollziehbarer Würdigung der Sach- und Rechtslage. Was in der Beschwerde dagegen eingewendet wird, vermag nicht aufzuzeigen, inwiefern die Sachverhaltsfeststellung offensichtlich unrichtig bzw. unvollständig und die daraus gezogenen rechtlichen Schlüsse willkürlich sein könnten:
4.2.1. Zur behaupteten Gehörsverletzung ist festzuhalten, dass sich aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) keine Pflicht des Gerichts ableiten lässt, sich im Rahmen seiner Würdigung mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinanderzusetzen und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich zu widerlegen; vielmehr genügt es, wenn der Entscheid gegebenenfalls sachgerecht angefochten werden kann (<ref-ruling> E. 2.2.1; <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 3.3; je mit Hinweisen). Die Begründung muss kurz die wesentlichen Überlegungen nennen, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die es seinen Entscheid stützt (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 9.2; <ref-ruling> E. 4.3.2 mit Hinweisen). Diesen Anforderungen genügt der vorinstanzliche Entscheid.
4.2.2. Soweit die Beschwerdeführerin eine unvollständige Sachverhaltsfeststellung rügt, ist ihr zunächst entgegenzuhalten, dass sich die von ihr aufgelisteten Sachverhaltselemente allesamt im angefochtenen Gerichtsentscheid enthalten finden. Dabei ist irrelevant, dass diese nicht in einer einzigen Erwägung zusammengefasst wurden. Die Vorinstanz hat sich mit allen bekannten Fakten befasst, abweichend von der Einschätzung der Beschwerdeführerin jedoch insbesondere dem Wunsch der Unterstützten, sobald als möglich auch die ältere Tochter wieder zu sich nehmen zu können, bei der Beurteilung der Frage, ob im August 2016 bei der Schwester ein Unterstützungswohnsitz begründet wurde, keine entscheidende Bedeutung beigemessen. Im angefochtenen Entscheid werden die Indizien genannt, die - neben dem Einzug in die Wohnung der Schwester - für eine Wohnsitzbegründung in Zürich sprachen. Inwiefern die nach Würdigung der Tatsachen ergangenen Feststellungen des kantonalen Gerichts offensichtlich unrichtig und damit willkürlich sein sollen, vermag die Beschwerdeführerin nicht in rechtsgenüglicher Weise darzulegen und ist auch nicht ersichtlich, zumal sich die diesbezüglichen Einwendungen weitgehend auf die Darlegung einer anderen Sichtweise beschränken. Im Vordergrund der beschwerdeweisen Argumentation steht dabei namentlich der Bedeutungsgehalt der unter den Schwestern getroffenen Abmachung, dass die Unterstützte bis zur Geburt des Kindes in der Wohnung in Zürich bleiben dürfe. Die Stadt Zürich will diese Abrede streng wörtlich verstanden haben, während das kantonale Gericht auch den Erfahrungswert gemäss Behördenhandbuch einbezieht, wonach ein in Not geratenes Familienmitglied regelmässig auf Dauer oder zumindest so lange bei seiner Familie wohnen könne, bis es eine eigene Wohnung gefunden habe. Aus dem Gesamtzusammenhang abzuleiten, diese Regel treffe auch hier zu, kann nicht als unhaltbar bezeichnet werden (vgl. E. 1 hiervor). Immerhin wusste die Unterstützte unbestrittenermassen weder vor noch in den Tagen nach der Geburt, wohin sie nach der Spitalpflege ziehen würde, weshalb der Aufenthalt bei der Schwester willkürfrei als Wohnmöglichkeit auf unbestimmte Zeit mit der Absicht dauernden Verbleibens qualifiziert werden durfte. Daran ändert nichts, dass gemäss Behördenhandbuch (Kapitel 3.2.01 Ziff. 4.4, erster Absatz) kein Unterstützungswohnsitz begründet werden soll, wenn von vornherein klar sei, dass die Person nur Unterschlupf für eine kurze Zeit erhalte. Denn anzunehmen, die Unterstützte habe davon ausgehen dürfen, dass sie trotz entgegenstehender ursprünglicher Abmachung auch nach der Geburt der zweiten Tochter weiterhin bei der Schwester hätte wohnen können, wenn keine Anschlusslösung gefunden worden wäre, ist mit Blick auf die konkreten Umstände keineswegs stossend.
4.2.3. Nicht gefolgt werden kann der Beschwerdeführerin im Übrigen auch, wenn sie die unterbliebene polizeiliche Anmeldung als (gewichtiges) Indiz für eine fehlende Absicht des dauernden Verbleibs der Unterstützten, die sich nicht einmal während ihrer Zeit bei ihrem Freund in Deutschland angemeldet hatte, werten möchte. Schon nach ihrer Wohnungsaufgabe in der Schweiz im Jahr 2015 hatte sich die Unterstützte nämlich um keinerlei Formalitäten gekümmert, als sie ihr bisheriges Umfeld - zweifellos mit der Absicht, auf unbestimmte Zeit zu ihrem Freund zu ziehen - verlassen hatte.
4.2.4. Ob die im angefochtenen Gerichtsentscheid zitierte Rechtsprechung auf innerkantonale Fälle überhaupt anwendbar ist, was die Beschwerdeführerin anzweifelt, ist nicht ausschlaggebend. Auch die vorinstanzliche Erwähnung des Wohnsitzbegriffs gemäss <ref-law> und der Regelung nach ZUG im interkantonalen Verhältnis ändert nichts. Denn das kantonale Gericht hat sich bei der Beurteilung der Angelegenheit letztlich korrekt am sozialhilferechtlichen Wohnsitz gemäss kantonalem Recht (vgl. E. 3.2 hiervor) orientiert, worauf der Beschwerdegegner letztinstanzlich zutreffend hinweist. Dabei hat es erklärtermassen tiefere Anforderungen genügen lassen, was jedenfalls nicht als willkürlich bezeichnet werden kann.
4.2.5. Es kann auch offen bleiben, ob das kantonale Gericht den Aufenthalt der Unterstützten im Wohnzentrum C._ in Zürich, der auf die Geburt der Tochter und die Pflege in einem Zürcher Spital folgte, richtig qualifiziert hatte. Die Frage, ob der freiwillige - wenn auch unter faktischem Zwang erfolgende - Eintritt in ein Heim wohnsitzbegründend im sozialhilferechtlichen Sinn ist, musste und muss hier nicht abschliessend beurteilt werden, weil die Vorinstanz willkürfrei davon ausgehen durfte, dass die Unterstützte bereits mit dem Einzug in die Wohnung der Schwester am 8. August 2016 einen Unterstützungswohnsitz in Zürich begründet hatte. Unklar ist auch, welche präjudiziellen Wirkungen die Beschwerdeführerin aus dem angefochtenen Entscheid für "Unterschlupfsituationen bei unsteten Personen" in innerkantonalen Sachverhalten ableiten will, handelt es sich doch bei der vorliegenden Einschätzung der Vorinstanz, namentlich mit Blick auf den gegebenen familiären Bezug, um eine ausgesprochene Einzelfallwürdigung im Lichte des kantonalen Rechts.
4.2.6. Schliesslich sei daran erinnert, dass das Bundesgericht einen Entscheid nur aufhebt, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch dessen Ergebnis unhaltbar ist. Davon kann hier keine Rede sein. Dem angefochtenen Entscheid lässt sich entgegen der Argumentation der Beschwerdeführerin nicht entnehmen, dass im vorliegenden Fall ein fiktiver Unterstützungswohnsitz angenommen worden wäre. Vielmehr zeigte die Vorinstanz in vertretbarer Weise auf, dass die Unterstützte beim Einzug in die Wohnung der Schwester einen persönlichen und auf Dauer angelegten Bezug zur Stadt Zürich hatte. Der angefochtene Entscheid verletzt deshalb weder in der Begründung noch im Ergebnis das Willkürverbot (vgl. E. 1 hiervor in fine). Denn es kann nicht gesagt werden, dass sich das kantonale Gericht in offensichtlich unhaltbarer und damit willkürlicher Weise über die kantonalen Gesetzes- und Verordnungsgrundlagen hinweggesetzt bzw. diese qualifiziert unrichtig ausgelegt und anwendet hätte. Die Beschwerde ist deshalb abzuweisen.
5.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Die unterliegende Stadt Zürich hat die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).
Der Kanton Zürich hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung, da er im Rahmen seines amtlichen Wirkungskreises tätig war (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 7000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. April 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Berger Götz