Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Appenzell Innerrhoden führt eine Strafuntersuchung gegen A._. Sie wirft ihm vor, er habe über mehrere Jahre hinweg jeweils in alkoholisiertem Zustand seine Ehefrau und deren Sohn geschlagen, sie - teilweise mit dem Tod - bedroht und beschimpft.
Am 11. Juli 2020 nahm die Polizei A._ fest. Am 13. Juli 2020 beantragte die Staatsanwaltschaft dem Zwangsmassnahmengericht am Bezirksgericht Appenzell Innerrhoden, gegenüber A._ anstelle von Untersuchungshaft folgende Ersatzmassnahmen anzuordnen: Ein Kontaktverbot zur Ehefrau und ihrem Sohn; das Verbot, sich der Ehefrau und dem Sohn mehr als 100 Meter zu nähern; das Verbot des Erwerbs und Besitzes von Waffen; eine Therapie der Alkoholabhängigkeit; eine kontrollierte Alkoholabstinenz. Gleichentags setzte die Staatsanwaltschaft A._ auf freien Fuss.
Am 17. Juli 2020 ordnete das Zwangsmassnahmengericht das beantragte Kontakt- und Annäherungsverbot sowie das Verbot des Besitzes und Erwerbs von Waffen an, hingegen keine Therapie und kontrollierte Alkoholabstinenz.
Dagegen erhob die Staatsanwaltschaft Beschwerde mit dem Antrag, zusätzlich zu den vom Zwangsmassnahmengericht verfügten Ersatzmassnahmen eine Therapie und kontrollierte Alkoholabstinenz anzuordnen.
Am 12. August 2020 trat das Kantonsgericht Appenzell Innerrhoden nicht auf die Beschwerde ein. Es verneinte die Beschwerdelegitimation.
B.
Die Staatsanwaltschaft führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, den Entscheid des Kantonsgerichts aufzuheben und zusätzlich zu den verfügten Ersatzmassnahmen eine Therapie und kontrollierte Alkoholabstinenz anzuordnen. Eventualiter sei die Legitimation der Staatsanwaltschaft zur Beschwerde gegen den Entscheid des Zwangsmassnahmengerichts festzustellen und die Sache zur materiellen Beurteilung an das Kantonsgericht zurückzuweisen.
C.
Das Kantonsgericht beantragt unter Verzicht auf Gegenbemerkungen die Abweisung der Beschwerde. A._ beantragt unter Hinweis auf die Erwägungen im kantonsgerichtlichen Entscheid ebenfalls die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Gegen den angefochtenen Entscheid ist gemäss <ref-law> die Beschwerde in Strafsachen gegeben. Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist somit nach <ref-law> zulässig. Die Beschwerdeführerin verfolgt sämtliche Straftaten im gesamten Kanton (vgl. Art. 6 des Einführungsgesetzes vom 26. April 2009 des Kantons Appenzell Innerrhoden zur Schweizerischen Strafprozessordnung; GS 312.000). Sie ist daher gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 3 BGG zur Beschwerde berechtigt (<ref-ruling> E. 1.5.2 S. 200; Urteil 6B_462/2019 vom 23. August 2019). Der angefochtene Entscheid schliesst das Strafverfahren nicht ab. Er stellt einen Zwischenentscheid dar. Dieser führt dazu, dass es bei der Nichtanordnung der von der Beschwerdeführerin zusätzlich beantragten Ersatzmassnahmen (Therapie und kontrollierte Alkoholabstinenz) bleibt. Damit wird nach Auffassung der Beschwerdeführerin den vom Zwangsmassnahmengericht angenommenen Haftgründen (Kollusions-, Wiederholungs- und Ausführungsgefahr) nicht hinreichend entgegengewirkt, da der Beschwerdegegner bei übermässigem Alkoholkonsum, der bei ihm häufig sei, zu aggressivem Verhalten gegenüber der Ehefrau und ihrem Sohn neige. Ein derartiges Verhalten könnte insbesondere Kollusionshandlungen begünstigen und damit die Strafuntersuchung erschweren oder gar vereiteln. Darin liegt für die Beschwerdeführerin ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 94 f.; <ref-ruling> E. 1.1 S. 240). Die Beschwerde ist daher auch insoweit zulässig.
Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens ist einzig, ob die Vorinstanz die Beschwerdelegitimation der Beschwerdeführerin hätte bejahen müssen. Da sich die Vorinstanz materiell zur Sache nicht geäussert hat, hat das auch das Bundesgericht nicht zu tun. Soweit die Beschwerdeführerin die Anordnung der Therapie und der kontrollierten Alkoholabstinenz durch das Bundesgericht beantragt, kann auf die Beschwerde daher nicht eingetreten werden (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S.41).
2.
2.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Verneinung ihrer Beschwerdelegitimation durch die Vorinstanz verletze Bundesrecht.
2.2. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde zulässig gegen die Entscheide des Zwangsmassnahmengerichts in den in diesem Gesetz vorgesehenen Fällen (ebenso <ref-law>). Nach <ref-law> kann die verhaftete Person Entscheide über die Anordnung, die Verlängerung und die Aufhebung der Untersuchungs- oder Sicherheitshaft bei der Beschwerdeinstanz anfechten (...). Nach der Rechtsprechung ist ebenso die Staatsanwaltschaft zur Beschwerde gegen Entscheide befugt, mit denen die Untersuchungs- oder Sicherheitshaft nicht angeordnet, nicht verlängert oder aufgehoben wird (<ref-ruling>). Daran hat das Bundesgericht trotz Kritik mehrmals festgehalten (<ref-ruling> E. 2 f. S. 89 ff.; <ref-ruling> E. 1 S. 232; <ref-ruling> E. 1.2 S. 240; <ref-ruling> E. 3.2 S. 96; <ref-ruling> E. 3.1 S. 150; <ref-ruling> E. 2.2 S. 316; Urteil 1B_486/2018 vom 22. November 2018 E. 2.1, in: Pra 2019 Nr. 36 S. 402). Darauf zurückzukommen besteht umso weniger Anlass, als der Bundesrat mit Botschaft vom 28. August 2019 zur Änderung der Strafprozessordnung vorschlägt, die Rechtsprechung in das Gesetz zu überführen. Der bundesrätliche Entwurf sieht in <ref-law> einen neuen Absatz 2 vor. Danach kann die Staatsanwaltschaft Entscheide über die Nichtanordnung, die Nichtverlängerung und die Aufhebung der Untersuchungs- oder Sicherheitshaft bei der Beschwerdeinstanz anfechten (BBl 2019 6744 f. und 6749). Dem Entscheid des Gesetzgebers über den Entwurf des Bundesrats ist hier nicht vorzugreifen.
2.3. Die Vorinstanz lehnt die Anwendung der dargelegten Rechtsprechung bei Ersatzmassnahmen ab; dies im Gegensatz zur Rechtsprechung des Kantons St. Gallen (Entscheid der Anklagekammer vom 21. Dezember 2017 [AK.2017.192] E. II.1). Das Schrifttum äussert sich, soweit ersichtlich, kaum dazu (vgl. aber CHRISTIAN COQUOZ, in: Commentaire Romand, Code de procédure pénale suisse, 2. Aufl. 2019, N. 15d zu <ref-law>).
2.4. Der Vorinstanz kann nicht gefolgt werden.
Gemäss <ref-law> richten sich Anordnung und Anfechtung von Ersatzmassnahmen sinngemäss nach den Vorschriften über die Untersuchungs- und die Sicherheitshaft. Dazu gehört <ref-law>. Wenn danach aufgrund der Rechtsprechung die Staatsanwaltschaft zur Beschwerde gegen die Nichtanordnung, Nichtverlängerung oder Aufhebung der Untersuchungs- oder Sicherheitshaft berechtigt ist, muss gemäss <ref-law> bei Ersatzmassnahmen dasselbe gelten.
Dafür sprechen auch die Gesichtspunkte, die das Bundesgericht dazu veranlasst haben, die Befugnis der Staatsanwaltschaft zur StPO-Beschwerde bei Nichtanordnung, Nichtverlängerung oder Aufhebung der Untersuchungs- und Sicherheitshaft zu anerkennen. Das Bundesgericht stützt sich insoweit insbesondere auf den Grundsatz der Einheit des Verfahrens gemäss <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.3 S. 23 f.). Danach muss, wer zur Beschwerde an das Bundesgericht berechtigt ist, sich am Verfahren vor allen kantonalen Vorinstanzen als Partei beteiligen können (Abs. 1). Die Staatsanwaltschaft ist bei Nichtanordnung, Nichtverlängerung und Aufhebung von Ersatzmassnahmen zur Beschwerde an das Bundesgericht berechtigt (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 BGG). Damit muss sie auch an die kantonale Beschwerdeinstanz gelangen können.
Wollte man der Auffassung der Vorinstanz folgen, führte das zu einer Gabelung des Rechtswegs. Der Beschuldigte könnte in einem Fall wie hier die angeordneten Ersatzmassnahmen bei der kantonalen Beschwerdeinstanz anfechten. Die Staatsanwaltschaft müsste demgegenüber gegen die Nichtanordnung der von ihr beantragten weiteren Ersatzmassnahmen unmittelbar das Bundesgericht anrufen. Damit wären die kantonale Beschwerdeinstanz und das Bundesgericht gleichzeitig mit derselben Angelegenheit befasst, was die Gefahr widersprüchlicher Entscheide mit sich brächte. So könnte die kantonale Beschwerdeinstanz zum Schluss kommen, die angefochtenen Ersatzmassnahmen gingen zu weit, und das Bundesgericht das Gegenteil entscheiden. Zwar bestünde die Möglichkeit der Sistierung des bundesgerichtlichen Verfahrens. Dies komplizierte das Verfahren jedoch unnötig. Es ist nicht sinnvoll, sachlich Zusammenhängendes prozessual zu trennen.
Für die Staatsanwaltschaft besteht bei Nichtanordnung, Nichtverlängerung oder Aufhebung von Ersatzmassnahmen überdies die gleiche Interessenlage wie bei Haft. Nach Ansicht der Staatsanwaltschaft bleiben damit die Haftgründe gemäss <ref-law> (Flucht-, Kollusions-, Wiederholungs- und Ausführungsgefahr) bestehen, was die Strafuntersuchung erschweren und die Staatsanwaltschaft an der gleichmässigen Durchsetzung des staatlichen Strafanspruchs, für welche sie gemäss <ref-law> verantwortlich ist, hindern kann. Dies spricht ebenso für die Bejahung der Beschwerdelegitimation der Staatsanwaltschaft auch bei Ersatzmassnahmen.
Ersatzmassnahmen können ausserdem derart einschneidend sein, dass sie sich von Untersuchungs- oder Sicherheitshaft kaum noch unterscheiden. So stellt nach der Rechtsprechung der Hausarrest eine gewisse Form der Haft dar (<ref-ruling> E. 3.3 S. 192 f.). Damit wäre es sachwidrig, insoweit eine Grenze zu ziehen und der Staatsanwaltschaft die Beschwerdelegitimation nur bei Untersuchungs- oder Sicherheitshaft zuzuerkennen.
Die bundesgerichtliche Rechtsprechung zur Beschwerdelegitimation gewährleistet die Gleichbehandlung des Beschuldigten und der Staatsanwaltschaft. Wenn der Beschuldigte gegen die Anordnung von Haft bei der kantonalen Beschwerdeinstanz Beschwerde führen kann, soll dies auch die Staatsanwaltschaft gegen die Nichtanordnung tun können. Es besteht kein Grund dafür, dies bei Ersatzmassnahmen anders zu handhaben.
Im Urteil 1B_218/2012 vom 26. Juni 2012 befand das Bundesgericht, die Staatsanwaltschaft könne gegen einen Haftentscheid des Zwangsmassnahmengerichts auch dann Beschwerde an die kantonale Beschwerdeinstanz führen, wenn es nicht um die Haft selber geht, sondern lediglich darum, ob das Zwangsmassnahmengericht der Staatsanwaltschaft einen Verfahrensfehler vorwerfen und ihr Kosten auferlegen durfte (E. 2.2). Damit wäre es ungereimt, der Staatsanwaltschaft die Berechtigung zur Beschwerde gegen die Nichtanordnung von Ersatzmassnahmen abzusprechen. Denn insoweit geht es - was regelmässig von grösserer Tragweite ist - um die Zwangsmassnahme selber und nicht nur um einen verfahrensrechtlichen Nebenpunkt.
2.5. Die Beschwerdelegitimation der Staatsanwaltschaft gegen einen Entscheid des Zwangsmassnahmengerichts, der eine von ihr beantragte Ersatzmassnahme ablehnt, ist deshalb zu bejahen. Die Beschwerde wird daher, soweit darauf eingetreten werden kann, gutgeheissen, der angefochtene Entscheid aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen. Diese wird, soweit die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, auf die Beschwerde einzutreten haben.
3.
Da der Beschwerdegegner den angefochtenen Entscheid nicht zu verantworten hat, werden ihm - obschon er unterliegt - keine Gerichtskosten auferlegt (<ref-law>). Eine Parteientschädigung steht ihm nicht zu (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird, soweit darauf eingetreten werden kann, gutgeheissen, der Entscheid des Kantonsgerichts Appenzell Innerrhoden vom 12. August 2020 aufgehoben und die Sache an dieses zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Appenzell Innerrhoden, Kommission für Entscheide in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. November 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Härri