Sachverhalt:
A.
Mit Beschluss vom 15. Dezember 2020 bewilligte der Kantonsrat Solothurn einen Verpflichtungskredit von brutto 74 Millionen Franken (unter Abzug des Gemeindebeitrags sowie von Beiträgen Dritter) für die Realisierung des Projekts "Verkehrsanbindung Thal" in Balsthal. Gegen die am 15. Januar 2021 im Amtsblatt des Kantons Solothurn publizierte Vorlage wurde das Referendum ergriffen.
B.
Am 22. April 2021 erhoben das "Thaler Komitee Nein zur 81-Millionen-Luxusstrasse" sowie Urs Ackermann, Fritz Dietiker, Fabian Müller, Bruno Schindelholz, Rolf Vogt, Heinz von Arb, Gabriela Weber und Niklaus Wepfer beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn Abstimmungsbeschwerde. Sie beantragten im Wesentlichen, aufgrund von Unregelmässigkeiten im Vorfeld der auf den 26. September 2021 angesetzten Volksabstimmung sei die Abstimmung zu verschieben bzw. eventuell als ungültig zu erklären und neu anzusetzen. Dazu machten sie hauptsächlich geltend, verschiedene Gemeinden hätten unzulässigerweise aus öffentlichen Geldern das "Komitee Pro Verkehrsanbindung Thal" sowie verwandte Gruppierungen oder Institutionen mit finanziellen Beiträgen unterstützt und so das Stimmrecht der solothurnischen Stimmbürgerinnen und Stimmbürger verletzt. Mit Urteil vom 9. Juni 2021 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Ziff. 1 des Urteilsdispositivs); überdies auferlegte es den Beschwerdeführenden die verwaltungsgerichtlichen Verfahrenskosten (Ziff. 2 des Urteilsdispositivs) und verpflichtete sie unter Solidarhaftung zur Leistung einer Parteientschädigung in Höhe von Fr. 5'751.70 (inkl. Auslagen und Mehrwertsteuer; Ziff. 3 des Urteilsdispositivs) zugunsten von fünf am verwaltungsgerichtlichen Verfahren beteiligten Gemeinden.
C.
Dagegen führen das "Thaler Komitee Nein zur 81-Millionen-Luxusstrasse" sowie die gleichen acht Privatpersonen wie vor dem Verwaltungsgericht gemeinsam Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als Stimmrechtsbeschwerde beim Bundesgericht mit den folgenden Anträgen in der Sache:
" 1. Das Urteil des Verwaltungsgerichts Solothurn vom 9. Juli 2021 sei aufzuheben.
2. Es sei festzustellen, dass es durch die Bezahlung von Beiträgen an das Komitee Pro Verkehrsanbindung Thal durch die Gemeinden Aedermannsdorf, Holderbank, Herbetswil, Mümliswil-Ramiswil und Welschenrohr-Gänsbrunnen zu rechtswidrigen Unregelmässigkeiten bei der Vorbereitung und Durchführung von Abstimmungen sowie zur Verletzung des Stimmrechts der Stimmbürgerinnen und Stimmbürger kommt.
3. Den Beschwerdegegnern 2-6 [den genannten fünf Gemeinden] sei zu untersagen, Beiträge an das Komitee Pro Verkehrsanbindung Thal sowie verwandte Gruppierungen oder Institutionen zu bezahlen, soweit dies noch nicht geschehen sei.
4. Der Beschwerdegegner 1 (Regierungsrat des Kantons Solothurn) sei aufzufordern, allfällige weitere zur Behebung der Unregelmässigkeiten erforderliche Verfügungen und Anordnungen zu treffen. Eventualiter sei die Sache zur Prüfung und Festlegung der erforderlichen Anordnungen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
5. Wird über die vorliegende Beschwerde vor der Abstimmung entschieden, sei die Abstimmung zu verschieben.
6. Wird über die vorliegende Beschwerde nach der Abstimmung entschieden, sei die Abstimmung als ungültig zu erklären und ein neuer Abstimmungstermin anzusetzen.
7. Dispositiv-Ziffer 3 des vorinstanzlichen Entscheides sei unabhängig vom Ausgang betreffend die obigen Anträge aufzuheben und es sei den Beschwerdegegnerinnen 2-6 für das vorinstanzliche Verfahren keine Parteientschädigung zuzusprechen.
..."
Zur Begründung wird im Wesentlichen geltend gemacht, die von den Gemeinden an die Gruppierungen und Institutionen, welche den Kantonsratsbeschluss unterstützten, geleisteten Beiträge verletzten die Garantie der freien Willensbildung der Stimmbürgerinnen und Stimmbürger und verfälschten deren Stimmabgabe.
Die fünf Gemeinden Aedermannsdorf, Holderbank, Herbetswil, Mümliswil-Ramiswil und Welschenrohr-Gänsbrunnen in einer gemeinsamen Stellungnahme sowie das Verwaltungsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Der Regierungsrat äusserte sich nur zur Frage der allfälligen Anordnung vorsorglicher Massnahmen und verzichtete auf eine Vernehmlassung in der Sache.
Mit Replik und Duplik halten das "Thaler Komitee Nein zur 81-Millionen-Luxusstrasse" und die acht beschwerdeführenden Privatpersonen einerseits sowie die fünf Gemeinden andererseits an ihren Standpunkten fest.
D.
Mit prozessleitender Verfügung vom 4. August 2021 behandelte das präsidierende Mitglied der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts die Rechtsbegehren 3 und 4 der Beschwerde als Gesuch um vorsorgliche Massnahmen und wies sie ab, soweit darauf einzutreten war.
E.
Nach Abschluss des bundesgerichtlichen Schriftenwechsels fand am 26. September 2021 im Kanton Solothurn die Volksabstimmung über die Finanzierung der Verkehrsanbindung Thal statt. Der Kreditbeschluss des Kantonsrates vom 15. Dezember 2020 wurde dabei mit einem Anteil der Ja-Stimmen von 58.75% angenommen ( https://so.ch/staatskanzlei/politische-rechte/archiv-wahlen-abstimmungen/2021/26-september-2021/resultate/ [besucht am 13. April 2022]).

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde nach Art. 82 lit. c BGG kann die Verletzung von politischen Rechten beim Bundesgericht geltend gemacht werden. Von der Beschwerde werden sowohl eidgenössische als auch kantonale Stimmrechtssachen erfasst. Nach Art. 88 Abs. 1 lit. a BGG sind in kantonalen Angelegenheiten gegen Akte letzter kantonaler Instanzen unter anderem Beschwerden betreffend Volksabstimmungen zulässig. Gemäss Abs. 2 derselben Bestimmung sehen die Kantone gegen behördliche Akte, welche die politischen Rechte der Stimmberechtigten in kantonalen Angelegenheiten verletzen können, ein Rechtsmittel vor, wobei sich diese Pflicht nicht auf Akte des Parlaments und der Regierung erstreckt. Im vorliegenden Fall ist ein kantonal letztinstanzlicher gerichtlicher Endentscheid angefochten, mit dem über die behaupteten Unregelmässigkeiten einer Volksabstimmung im Kanton Solothurn wegen angeblich unzulässiger Beeinflussung der Stimmberechtigten durch mehrere Gemeinden befunden wurde. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als Stimmrechtsbeschwerde offen.
1.2. Die privaten Beschwerdeführenden sind als stimmberechtigte Personen im Kanton Solothurn zur Beschwerde legitimiert (vgl. Art. 89 Abs. 3 BGG). Nach der Rechtsprechung gelten ebenfalls die politischen Parteien, die im Gebiet des betroffenen Gemeinwesens tätig sind, sowie politische Vereinigungen, namentlich ad hoc gebildete, mit juristischer Persönlichkeit ausgestattete Initiativ- und Referendumskomitees, als in Stimmrechtssachen beschwerdeberechtigt (<ref-ruling> E. 1.3.1, mit Hinweisen). Ob das beschwerdeführende "Thaler Komitee NEIN zur 81-Millionen-Luxusstrasse" als juristische Person konstituiert ist, ist nicht bekannt. Das Verwaltungsgericht liess deswegen offen, ob das Komitee zur Beschwerde legitimiert wäre. Mit Blick darauf, dass auf die Beschwerde jedenfalls wegen der Beschwerdeberechtigung der beschwerdeführenden Privatpersonen einzutreten ist, kann dies auch im bundesgerichtlichen Verfahren dahingestellt bleiben.
1.3. Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde bzw. die entsprechenden Rechtsbegehren, soweit diese auf die Anordnung von Massnahmen im Vorfeld der Volksabstimmung zielen und diese nicht bereits durch die Verweigerung vorsorglicher Massnahmen im bundesgerichtlichen Verfahren behandelt worden sind. Nachdem die Volksabstimmung inzwischen stattgefunden hat, wäre ein diesbezügliches Interesse der Beschwerdeführenden an den beantragten Massnahmen weggefallen. Das gilt im gleichen zeitlichen Rahmen auch für das gestellte Feststellungsbegehren. Ob ein Feststellungsinteresse nach durchgeführter Abstimmung vorliegt, hängt davon ab, ob überhaupt das Stimmrecht der Beschwerdeführenden verletzt worden ist und ob gegebenenfalls die Aufhebung der Abstimmung mit Blick auf das doch deutliche Ergebnis überhaupt noch in Betracht fiele (dazu hinten E. 2.6 und 3.5).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG) und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen oder auf Antrag hin nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.2; je mit Hinweis). Die Beschwerdeführenden berufen sich vereinzelt auf eine eigene Darstellung der tatsächlichen Umstände. Sie vermögen jedoch nicht darzutun und es ist auch nicht ersichtlich, dass die Sachverhaltsfeststellungen des Verwaltungsgerichts offensichtlich unrichtig wären, weshalb diese für das Bundesgericht massgeblich bleiben.
2.
2.1. Nach Art. 34 Abs. 1 BV sind die politischen Rechte gewährleistet. Die in Art. 34 Abs. 2 BV vorgesehene Garantie der politischen Rechte schützt die freie Willensbildung und die unverfälschte Stimmabgabe. Die in Art. 34 Abs. 2 BV verankerte Wahl- und Abstimmungsfreiheit gibt den Stimmberechtigten Anspruch darauf, dass kein Abstimmungsergebnis anerkannt wird, das nicht den freien Willen der Stimmberechtigten zuverlässig und unverfälscht zum Ausdruck bringt. Es soll garantiert werden, dass jeder Stimmberechtigte seinen Entscheid gestützt auf einen möglichst freien und umfassenden Prozess der Meinungsbildung treffen und entsprechend mit seiner Stimme zum Ausdruck bringen kann. Die Wahl- und Abstimmungsfreiheit gewährleistet die für den demokratischen Prozess und die Legitimität direktdemokratischer Entscheidungen erforderliche Offenheit der Auseinandersetzung (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 4.1, 259 E. 4.3; <ref-ruling> E. 3.3, mit Hinweis).
2.2. Aus Art. 34 Abs. 2 BV wird namentlich eine Verpflichtung der Behörden auf korrekte und zurückhaltende Information im Vorfeld von Abstimmungen abgeleitet. Dabei ist zu unterscheiden zwischen Informationen bzw. Interventionen der Behörden bei Abstimmungen im eigenen Gemeinwesen (Gemeinde, Kanton, Bund) sowie bei Abstimmungen in einem anderen (untergeordneten, gleichgeordneten oder übergeordneten) Gemeinwesen (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 4.4, mit Hinweisen). Interventionen anderer Gemeinwesen beurteilen sich nach einem unterschiedlichen Massstab (vgl. <ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling>75 E. 6.1). In Urteilen betreffend Interventionen von Gemeinden in einem kantonalen Abstimmungskampf hat das Bundesgericht festgehalten, dass solche nur dann zulässig sind, wenn die Gemeinde und ihre Stimmbürger am Ausgang der Abstimmung ein unmittelbares und besonderes Interesse haben, das jenes der übrigen Gemeinden des Kantons bei Weitem übersteigt (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 4.4; <ref-ruling> E. 4d; <ref-ruling> E. 4f.; je mit Hinweisen). Dies ist etwa beim Bau einer Umfahrungsstrasse zu bejahen, wenn das Projekt keine andere Gemeinde im selben Mass betrifft (<ref-ruling>; <ref-ruling>; <ref-ruling>). Ist eine Gemeinde von einer Vorlage besonders betroffen, so darf sie jene Mittel der Meinungsbildung einsetzen, die in einem Abstimmungskampf von den Befürwortern und Gegnern der Vorlage üblicherweise verwendet werden. Sie ist in der Art und Weise ihrer Intervention freier als eine Behörde, die im Hinblick auf eine Sachabstimmung im eigenen Gemeinwesen einen erläuternden Bericht verfasst, auch wenn sie stets gehalten ist, die kommunalen Interessen in objektiver und sachlicher Weise zu vertreten (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 4.4; <ref-ruling> E. 5b mit Hinweisen).
2.3. Die Gemeinde darf auch finanzielle Mittel einsetzen, solange dies verhältnismässig erscheint. Zahlungen an private Komitees sind freilich grundsätzlich unzulässig, da die Behörde keine zureichende Kontrolle über die zweckkonforme Verwendung der öffentlichen Geldmittel und über die Wahrung der gebotenen Objektivität und Zurückhaltung hat. Eine Ausnahme gilt jedoch, wenn das private Komitee zu einem grossen oder zumindest überwiegenden Teil aus Behördenmitgliedern besteht, da dies dem Gemeinwesen durch seine Vertretung eine genügende Kontrolle der Aktivitäten des Komitees ermöglicht (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 4d; vgl. auch <ref-ruling> E. 5.1). Unzulässig sind demgegenüber verdeckte, unverhältnismässig hohe oder gar irreguläre Zahlungen (<ref-ruling> E. 5.1).
2.4. Das Verwaltungsgericht definierte aufgrund der bundesgerichtlichen Rechtsprechung folgendes Prüfprogramm: Erstens müssten die im Abstimmungskampf intervenierenden Gemeinden am Ausgang der Abstimmung ein unmittelbares und besonderes Interesse haben, das ein solches der übrigen Gemeinden des Kantons bei Weitem übersteige. Zweitens müsse das unterstützte private Abstimmungskomitee zu einem grossen oder zumindest überwiegenden Teil aus Behördenmitgliedern bestehen, sodass eine wenigstens indirekte Kontrolle von dessen Aktivitäten durch das Gemeinwesen sichergestellt sei. Dabei sei auch zu prüfen, ob die finanzielle Unterstützung transparent erfolgt und rechtmässig beschlossen worden sei und insgesamt verhältnismässig bleibe. Und drittens müsse die Kommunikation des unterstützten Komitees in objektiver und sachlicher Weise die kommunalen Interessen vertreten. Die Beschwerdeführenden bezeichnen dieses Prüfprogramm als grundsätzlich korrekt, sind jedoch der Auffassung, dass das Verwaltungsgericht im vorliegenden Fall eine unzutreffende und damit rechtswidrige inhaltliche Würdigung der zu prüfenden Kriterien vorgenommen habe.
2.5. Selbst wenn Mängel vor einer Abstimmung oder bei deren Durchführung festzustellen sind, ist die Abstimmung nach der Rechtsprechung nur dann aufzuheben, wenn die gerügten Unregelmässigkeiten erheblich sind und das Ergebnis beeinflusst haben können. Die Beschwerdeführer müssen in einem solchen Fall zwar nicht nachweisen, dass sich der Mangel auf das Ergebnis der Abstimmung entscheidend ausgewirkt hat. Es genügt, dass nach dem festgestellten Sachverhalt eine derartige Auswirkung im Bereich des Möglichen liegt. Erscheint allerdings die Möglichkeit, dass die Abstimmung ohne den Mangel anders ausgefallen wäre, nach den gesamten Umständen als derart gering, dass sie nicht mehr ernsthaft in Betracht fällt, so kann von der Aufhebung der Abstimmung abgesehen werden (BGE <ref-ruling> E. 4.2; <ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 4.7.2).
3.
3.1. Strittig ist zunächst, ob die Gemeinden im vorliegenden Fall von der Abstimmungsvorlage über die Finanzierung des fraglichen Projekts "Verkehrsanbindung Thal" erheblich direkt betroffen waren.
3.1.1. Mit dem Verwaltungsgericht lässt sich insofern ein Vergleich zur neueren bundesgerichtlichen Rechtsprechung zu Abstimmungsempfehlungen von Kantonsregierungen zu einer Abstimmung auf Bundesebene ziehen. Danach dürfen sich die Regierungen öffentlich äussern und eine Abstimmungsempfehlung abgeben, wenn der Ausgang der Volksabstimmung mehrere oder alle Kantone namhaft betrifft, wobei sich die kantonalen Interventionen an den Kriterien der Sachlichkeit, der Verhältnismässigkeit und der Transparenz messen lassen müssen (vgl. BGE <ref-ruling> E. 6.5.2 und 175 E. 6.1). Analoges muss auch für Gemeinden bei Interventionen in kantonale Abstimmungskämpfe gelten, wenn mehrere Gemeinden vergleichbar betroffen sind.
3.1.2. Den Thaler Gemeinden steht talseitig einzig die Zufahrt über Oensingen, die Klus und Balsthal zur Verfügung, um in die Wirtschaftsregion Mittelland mit den Städten Solothurn, Olten und Grenchen zu gelangen. Das Verwaltungsgericht bezeichnet dies als "Flaschenhals", in dem sich das Verkehrsaufkommen kanalisiere. Im angefochtenen Entscheid wird dazu für das Bundesgericht verbindlich festgestellt, dass ein gewichtiger Teil der Thaler Bevölkerung im Mittelland arbeitet und dass sich die Fahrzeit zwischen dem Autobahnzubringer Oensingen und dem Kreisel Thalbrücke in Balsthal auf einer Strecke von 3.8 km bei grösserem Verkehrsaufkommen regelmässig von 4 auf 8.5 Minuten verlängere, wobei es in Extremfällen zu einer Erhöhung der Fahrzeit auf rund 30 Minuten kommen könne. Was die Beschwerdeführenden dagegen einwenden, vermag die tatsächlichen Feststellungen des Verwaltungsgerichts nicht in Frage zu stellen (vgl. auch vorne E. 1.4). Zwar ist die Gemeinde Balsthal mit der Ortschaft Klus vom Bauprojekt "Verkehrsanbindung Thal" am direktesten betroffen, da sich die Stausituation vor allem auf ihrem Gemeindegebiet ergibt. Das Strassenprojekt bezweckt aber viel allgemeiner, die Stauzeiten in der Klus zu reduzieren und dadurch ein schnelleres Vorankommen auf der Verbindung zwischen dem Mittelland und dem Bezirk Thal zu ermöglichen. Zudem sind die meisten anderen Gemeinden des Bezirks weniger gut mit öffentlichen Verkehrsmitteln zugänglich als Balsthal. Sämtliche Gemeinden des Bezirks Thal haben daran als Wohn-, Arbeits- und Freizeitorte ein Interesse und sind davon ähnlich betroffen. Die regelmässige Erhöhung der Fahrzeit von 4 auf 8.5 Minuten mag auf den ersten Blick nicht ausgeprägt erscheinen, bedeutet jedoch mehr als eine Verdoppelung auf einer Fahrstrecke von lediglich 3.8 km. Zudem handelt es sich um einen Durchschnittswert; während der Spitzenzeiten werden deutlich höhere Wartezeiten erreicht, in besonderen Situationen sogar bis zu 30 Minuten. Insgesamt sind die Thaler Gemeinden demnach von der Abstimmungsvorlage bei Weitem stärker berührt als die übrigen Kantonsteile und damit im Sinne der Rechtsprechung zu Art. 34 Abs. 2 BV besonders betroffen.
3.2. Die Beschwerdeführenden bestreiten sodann, dass das unterstützte Komitee "Pro Verkehrsanbindung Thal" überwiegend oder zumindest zu einem grossen Teil aus Behördenvertretungen bestehe. Nach den verbindlichen Feststellungen im angefochtenen Entscheid setzte sich das Komitee aus 17 Mitgliedern zusammen. Neun Mitglieder wurden durch die Gemeindepräsidien des Bezirks Thal gestellt, wobei das Präsidium des Komitees aus den Gemeindepräsidenten von Balsthal und Herbetswil gebildet wurde. Diese neun Mitglieder stellten die Mehrheit und somit den überwiegenden Teil des Komitees und konnten dessen Aktivitäten kontrollieren. Die Zusammensetzung des Komitees war auf Internet ersichtlich und damit transparent. Sodann waren die Verhandlungen der Gemeinderäte, welche die Unterstützungsbeiträge bewilligt haben, öffentlich und die Protokolle der entsprechenden Gemeinderatssitzungen wurden entweder öffentlich aufgelegt oder sind ebenfalls auf Internet zugänglich. insgesamt sind die fraglichen finanziellen Unterstützungsleistungen damit rechtmässig und transparent beschlossen worden.
3.3. Was den Mitteleinsatz betrifft, so bewegen sich die von den Gemeinden erbrachten Unterstützungsleistungen gemäss den Feststellungen des Verwaltungsgerichts in einer Grössenordnung von Fr. 1'000.-- bis 2'800.-- und belaufen sich auf insgesamt Fr. 9'800.--. Diese Beiträge sind überschaubar. Da die Beschwerdeführenden die auf Seiten des Referendumskomitees eingesetzten Mittel vor dem Verwaltungsgericht nicht offengelegt haben, können sie sich nicht auf eine Verletzung der Waffengleichheit berufen, wie das Verwaltungsgericht zutreffend festhält. Die von den Beschwerdeführenden erst vor Bundesgericht vorgebrachte allgemeine Behauptung, über das geringere Budget als das Pro-Komitee verfügt zu haben, ist einerseits verspätet und andererseits mangels Vorlage von Budget und Rechnung auch nicht überprüfbar. Die finanzielle Unterstützung erweist sich demnach als verhältnismässig.
3.4. Mit Blick auf die erforderliche Qualität der vom Pro-Komitee im Abstimmungskampf erbrachten Kommunikation ist auf die entsprechenden Anforderungen gemäss der Rechtsprechung abzustellen. Danach unterliegen Informationen im Vorfeld einer Abstimmung den Geboten der Sachlichkeit, der Transparenz und der Verhältnismässigkeit. Behördliche Informationen zu eigenen Vorlagen müssen geeignet sein, zur offenen Meinungsbildung beizutragen, und dürfen nicht in dominanter und unverhältnismässiger Art im Sinne eigentlicher Propaganda eine freie Willensbildung der Stimmberechtigten erschweren oder geradezu verunmöglichen (BGE <ref-ruling> E. 5.2.1; <ref-ruling> E. 5.1; mit Hinweisen). Diesen Anforderungen genügen Informationen insbesondere dann, wenn die Aussagen wohl abgewogen sind und beachtliche Gründe dafür sprechen, wenn sie ein umfassendes Bild der Vorlage mit Vor- und Nachteilen abgeben und den Stimmberechtigten eine Beurteilung ermöglichen oder wenn sie trotz einer gewissen Überspitzung nicht unwahr und unsachlich bzw. lediglich ungenau und unvollständig sind (<ref-ruling> E. 3.2). Das Verwaltungsgericht hielt dazu fest, die Website des Pro-Komitees verfüge über eine unaufgeregte Aufmachung und der in seinen Texten angeschlagene Ton sei überwiegend gemässigt. Beispielhaft wird dafür auf die Frontseite verwiesen, wonach es sich um einen vernünftigen Vorschlag zu einem tragbaren Preis handle. Zwei Medienmitteilungen vom 19. Januar 2021 und 13. April 2021 enthielten zwar Überspitzungen; diese erwiesen sich aber nicht als übermässig und seien auch der Rhetorik des Referendumskomitees geschuldet. Dessen Internetauftritt sei denn auch deutlich aggressiver gestaltet. Die Beschwerdeführenden vermögen die Einschätzung des Verwaltungsgerichts nicht zu widerlegen bzw. die behauptete Unsachlichkeit zu belegen. Es ist daher mit dem Verwaltungsgericht von einer hinreichend sachlichen, transparenten und verhältnismässigen Informationspolitik des Pro-Komitees auszugehen.
3.5. Was die Beschwerdeführenden sonst noch vorbringen, ist nicht geeignet, einen Verstoss gegen die Abstimmungsfreiheit darzutun. Mit ihrer Unterstützung des Pro-Komitees im Abstimmungskampf über die Verkehrsanbindung Thal verletzten die fraglichen Gemeinden des Bezirks Balsthal Art. 34 Abs. 2 BV demnach nicht. Damit kann offenbleiben, ob eine allfällige Gutheissung im Hauptpunkt zu einem Gestaltungsentscheid geführt hätte oder es mit Blick auf das deutliche Abstimmungsergebnis bei einem Feststellungsentscheid hätte sein Bewenden haben müssen (vgl. vorne E. 1.3 und 2.6).
4.
4.1. Schliesslich rügen die Beschwerdeführenden eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör nach Art. 29 Abs. 2 BV im Zusammenhang mit der ihnen auferlegten Parteientschädigung zu Gunsten der fünf am verwaltungsgerichtlichen Verfahren beteiligten Gemeinden. Sie erachten die Auferlegung einer Parteientschädigung im Betrag von Fr. 5'751.70 (inkl. Auslagen und Mehrwertsteuer) in einem Streit über politische Rechte zu Lasten von beschwerdeführenden Stimmberechtigten und zugunsten des Gemeinwesens auch in der Sache als unzulässig und im vorliegenden Fall zumindest überhöht.
4.2. Die Parteien haben im verwaltungs- sowie im verwaltungsgerichtlichen Verfahren Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV). Dazu gehört die Pflicht der Behörden, ihre Entscheide ausreichend zu begründen. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass die betroffene Person den Entscheid sachgerecht anfechten kann. Sie muss die wesentlichen Überlegungen enthalten, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sie ihren Entscheid stützt. Nicht erforderlich ist, dass sich die Vorinstanz in ihrer Begründung mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt (<ref-ruling> E. 9.2; <ref-ruling> E. 3.2 mit Hinweisen).
4.3. In seiner Begründung der Auferlegung einer Parteientschädigung im angefochtenen Entscheid nennt das Verwaltungsgericht keine anwendbare Bestimmung des kantonalen Rechts, auf die es sich stützt. Bereits deswegen ist es den Beschwerdeführenden erschwert, die Vereinbarkeit des Entschädigungsentscheids mit dem gesetzten Recht zielgerichtet in Frage zu stellen. Das Verwaltungsgericht führt dazu lediglich ganz allgemein aus, Behörden würden im verwaltungsgerichtlichen Beschwerdeverfahren in der Regel keine Parteientschädigungen zugesprochen. Eine Ausnahme werde jedoch für kleinere und mittlere Gemeinden gemacht, die wie hier weniger als 10'000 Einwohner aufwiesen und daher wohl über keinen eigenen Rechtsdienst verfügten und sich in komplexeren Angelegenheiten durch einen Rechtsanwalt vertreten lassen müssten. Das Verwaltungsgericht verweist dazu auf ein eigenes früheres Urteil (SOG 2010 Nr. 20) sowie auf zwei ältere bundesgerichtliche Entscheide (Urteile 1P.651/2004 vom 17. Januar 2004 E. 6 und 1P.297/2002 vom 26. November 2002 E. 6). Es nennt jedoch nicht nur keine einschlägige Bestimmung, sondern äussert sich auch nicht zur möglichen Tragweite des Streitfalles als solchen über die politischen Rechte noch zur eventuellen Bedeutung des Umstands, dass im vorliegenden Fall nicht nur eine kleinere, sondern fünf Gemeinden zusammen einen Anwalt beauftragt haben, deren gesamte Einwohnerzahl nicht genannt wird. Bei den Bundesgerichtsurteilen, auf die verwiesen wird, handelt es sich überdies um solche, welche die altrechtliche Rechtslage bzw. Rechtsprechung wiedergeben. Gestützt auf den heute geltenden Art. 68 BGG hat das Bundesgericht seine frühere Praxis schon vor einiger Zeit geändert und spricht auch anwaltlich vertretenen kleinen und mittleren obsiegenden Gemeinden praxisgemäss keine Parteientschädigungen mehr zu, und zwar in allen Fällen und nicht nur in solchen, in denen politische Rechte im Streit stehen (vgl. <ref-ruling> E. 7). In SOG 2010 Nr. 20 wird in E. 13g auf die nicht mehr anwendbare frühere bundesgerichtliche Praxis Bezug genommen. Das Verwaltungsgericht führt nicht aus, weshalb die Verweise auf die Rechtsprechung im angefochtenen Entscheid trotzdem noch immer einschlägig sein sollten. Unter diesen Umständen ist der vorinstanzliche Entscheid im Entschädigungspunkt nicht ausreichend und in einer Weise begründet, dass er erfolgversprechend angefochten werden konnte. Damit kann er auch in der Sache nicht überprüft werden. Immerhin rechtfertigt sich hier der Hinweis darauf, dass die Auferlegung einer Parteientschädigung zugunsten des Gemeinwesens in einer Streitsache im Zusammenhang mit den politischen Rechten zu Lasten von Stimmberechtigten eine abschreckende Wirkung entfalten kann und daher über eine klare gesetzliche Grundlage verfügen und nur mit Zurückhaltung und mit Mass verfügt werden sollte.
4.4. Der angefochtene Entscheid verletzt im Entschädigungspunkt den Anspruch auf rechtliches Gehör der Beschwerdeführenden und ist insofern aufzuheben. Die Sache ist diesbezüglich an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen zu neuem Entscheid bzw. allenfalls ausreichender Begründung.
5.
Die Beschwerde ist teilweise gutzuheissen, und Dispositiv-Ziffer 3 des angefochtenen Urteils ist aufzuheben. Die Streitsache geht insoweit zurück an die Vorinstanz zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang sind den im Hauptteil unterliegenden Beschwerdeführenden unter Solidarhaft reduzierte Gerichtskosten aufzuerlegen (vgl. Art. 65 und 66 BGG). Eine Parteientschädigung gemäss Art. 68 BGG ist nicht zuzusprechen, weder, im Umfang ihres jeweiligen Obsiegens, den am Verfahren beteiligten Gemeinden (vgl. vorne E. 4.3) noch, mangels anwaltlicher Vertretung oder nachgewiesenen ausserordentlichen Aufwands, den Beschwerdeführenden (vgl. <ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 4.1).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, und Dispositiv-Ziffer 3 des Urteils des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 9. Juni 2021 wird aufgehoben. Die Streitsache wird insoweit an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Den Beschwerdeführenden werden unter Solidarhaft reduzierte Gerichtskosten von Fr. 800.-- auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführenden, der Gemeinde Aedermannsdorf, der Gemeinde Herbetswil, der Gemeinde Holderbank, der Gemeinde Welschenrohr-Gänsbrunnen, der Einwohnergemeinde Mümliswil-Ramiswil, dem Regierungsrat des Kantons Solothurn und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. April 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Uebersax