Ritenuto in fatto e considerando in diritto:
1.
Con decisione 9 giugno 2020 il Presidente della III Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino ha respinto l'istanza di proroga del termine per versare l'anticipo delle spese processuali per il reclamo 19 maggio 2020 inoltrato da A._ e B._ contro la decisione 30 aprile 2020, emanata dal Pretore del distretto di Lugano nell'ambito di una causa che oppone i predetti coniugi a C._. Il 15 giugno 2020 è stato impartito ai reclamanti il termine suppletorio per il pagamento del predetto anticipo di fr. 800.--.
2.
Il 27 giugno 2020 B._ e A._ hanno adito il Tribunale federale con un ricorso dedicato principalmente alla contestazione di una sentenza emanata dal Presidente della Camera di protezione del Tribunale di appello del Cantone Ticino - rimedio già evaso con sentenza 29 luglio 2020 dalla II Corte di diritto civile del Tribunale federale (causa 5A_530/2020) - ma pure riferito, oltre che ad altri atti oggetto delle sentenze nelle cause 2C_558/2020 del 3 luglio 2020 e 1B_337/2020 del 18 agosto 2020, alla predetta decisione del Presidente della III Camera civile del Tribunale di appello ticinese. La presente sentenza si occuperà di quest'ultima impugnazione.
3.
Per costante giurisprudenza, il Tribunale federale non fa precedere le sue decisioni da una comunicazione circa la composizione della Corte giudicante (<ref-ruling> consid. 2.3.3 con rinvii). La domanda formulata dai ricorrenti di conoscere anticipatamente la composizione dell'autorità statuente va pertanto disattesa.
4.
Le decisioni che chiedono il versamento di un anticipo per le spese presunte del processo non sono finali nel senso dell'<ref-law>, ma costituiscono delle decisioni incidentali nel senso dell'<ref-law>, unicamente suscettive di un ricorso in materia civile se possono causare un danno irreparabile di natura giuridica (<ref-law>). Il pregiudizio irreparabile nel senso della citata norma dev'essere di natura giuridica, e cioè non deve poter essere eliminato (completamente) con una futura decisione favorevole al ricorrente; non costituisce per contro un danno irreparabile di natura giuridica un mero inconveniente fattuale quale un allungamento della procedura o un aumento dei suoi costi (<ref-ruling> consid. 2.2, con rinvii).
I ricorrenti non spiegano, come invece compete loro (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 1.2), perché la decisione impugnata potrebbe creare un danno irreparabile di natura giuridica. Questo non è nemmeno ravvisabile. I ricorrenti non allegano di non essere in grado di provvedere al richiesto pagamento né questo fatto sarebbe altrimenti desumibile. Invero in questa sede i ricorrenti invitano il Tribunale federale "ad applicare la dispensa dal pagamento delle spese giudiziarie <ref-law> sopperendo al diritto di essere sentito occorso a livello cantonale ", invocando quindi a sostegno della loro domanda di assistenza giudiziaria un motivo estraneo alla loro situazione finanziaria senza pretendere di essere incapaci di sostenere - modeste - spese giudiziarie. Essi hanno quindi la possibilità di pagare tempestivamente il richiesto anticipo e domandarne il rimborso nel caso in cui dovessero risultare vincenti alla fine del procedimento. In caso di soccombenza, i ricorrenti posso invece impugnare l'ammontare delle spese processuali - che paiono ritenere troppo elevate - poste a loro carico con la decisione finale.
5.
Ne segue che il ricorso si rivela manifestamente inammissibile, perché diretto contro una decisione incidentale notificata separatamente senza che siano dati i presupposti che ne permettono un'immediata impugnazione e va pertanto deciso dalla Presidente della Corte adita nella procedura semplificata (<ref-law>). Essendo il ricorso già inammissibile per questo motivo, non occorre esaminare se il modo di procedere in concreto adottato - e cioè riunire in un unico allegato, in una quasi inestricabile commistione, impugnazioni dirette contro diversi atti riguardanti procedimenti fra di loro indipendenti - sia abusivo nel senso dell'art. 108 cpv. 1 lett. c LTF.
Si rinuncia eccezionalmente a prelevare spese giudiziarie, ragione per cui la domanda di assistenza giudiziaria è priva d'oggetto.

per questi motivi, la Presidente pronuncia:
1.
Il ricorso è inammissibile.
2.
Non si prelevano spese giudiziarie.
3.
Comunicazione alle parti, alla III Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino e al curatore avv. D._.