Sachverhalt:
A.
B._ ersuchte am 20. März 2018 um die Bewilligung für den Einbau einer Luft/Wasser-Wärmepumpe an der nordöstlichen Seite ihres Wohnhauses auf dem Grundstück Nr. 634 in Vitznau. Dagegen hat A._, Eigentümer der benachbarten Parzelle Nr. 639, Einsprache erhoben. Beide Grundstücke liegen in der zweigeschossigen Wohnzone und sind der Lärmempfindlichkeitsstufe (ES) II zugeordnet.
Am 17. Juli 2018 wies der Gemeinderat von Vitznau die Einsprache ab und erteilte B._ die nachgesuchte Bewilligung.
B.
Diesen Entscheid hat A._ beim Kantonsgericht Luzern angefochten. Dieses stellte fest, der Gemeinderat habe dessen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, indem er seinen Entscheid ungenügend begründet habe; namentlich sei für A._ nicht ersichtlich gewesen, weshalb für die Wärmepumpe am nordöstlichen Standort festgehalten werde. Diesen Mangel erachtete das Gericht indessen als geheilt, weil sich die Dienststelle Umwelt und Energie (uwe) des Bau-, Umwelt- und Wirtschaftsdepartements in ihrer Stellungnahme an das Kantonsgericht zur Standortfrage geäussert und A._ anschliessend Gelegenheit erhalten habe, sich dazu zu äussern. In der Sache erachtete das Gericht die Beschwerde als unbegründet und wies sie ab.
C.
Dagegen führt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Verweigerung der Baubewilligung, eventuell die Rückweisung der Angelegenheit an das Kantonsgericht zu weiteren Abklärungen.
Die Beschwerdegegnerin, das Kantonsgericht, die Gemeinde sowie das Departement beantragen die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Umwelt (BAFU) ist demgegenüber der Auffassung, der angefochtene Entscheid verletze die Umweltschutzgesetzgebung des Bundes, weil nicht alle vorsorglichen Massnahmen geprüft worden seien.
Die Beschwerdegegnerin hat am 21. Februar 2020 eine weitere Stellungnahme eingereicht.

Erwägungen:
1.
1.1.
Die Beschwerde richtet sich gegen einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid über die Erteilung einer Baubewilligung für eine Luft/ Wasser-Wärmepumpe, d.h. eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit (Art. 82 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen. Ein Ausschlussgrund im Sinne von <ref-law> ist nicht gegeben. Der Beschwerdeführer, der am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen hat, ist als Nachbar direkt von den Lärmimmissionen betroffen und somit zur Beschwerdeführung berechtigt (<ref-law>). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Dieses wendet das Bundesgericht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten - einschliesslich die willkürliche Anwendung von kantonalem und kommunalem Recht - wird vom Bundesgericht allerdings nur insoweit geprüft, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Hierzu gelten qualifizierte Begründungsanforderungen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 176 mit Hinweisen).
1.3. Gemäss <ref-law> legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Die vorinstanzlichen Feststellungen können nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig (d.h. willkürlich) sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (Art. 97 Abs. 1 bzw. <ref-law>).
2.
Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz zum einen eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung vor, indem sie die in Betracht fallenden Alternativstandorte für die Installation der Wärmepumpe ohne hinreichende Prüfung verworfen habe. Zum andern macht er eine Verletzung des umweltrechtlichen Vorsorgeprinzips geltend (vgl. unten E. 4). Diese Rügen hängen eng zusammen. Es rechtfertigt sich daher, diese beiden Aspekte zusammen zu prüfen.
3.
3.1. Bei der hier strittigen Luft/Wasser-Wärmepumpe handelt es sich um eine ortsfeste Anlage im Sinne von <ref-law> und Art. 2 Abs. 1 der Lärmschutz-Verordnung vom 15. Dezember 1986 (LSV; SR 814.41), bei deren Betrieb Lärmemissionen verursacht werden und deshalb die bundesrechtlichen Bestimmungen über den Lärmschutz Anwendung finden. Gemäss <ref-law> dürfen ortsfeste Anlagen nur errichtet werden, wenn die durch diese Anlagen allein erzeugten Lärmimmissionen die Planungswerte in der Umgebung nicht überschreiten (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 479; <ref-ruling> E. 2.1 S. 336). Die Vollzugsbehörde beurteilt die ermittelten Aussenlärmimmissionen ortsfester Anlagen anhand der Belastungsgrenzwerte nach den Anhängen 3 ff. LSV (<ref-law>).
3.2. Unabhängig von der bestehenden Umweltbelastung sind Emissionen (d.h. hier der Lärm bei Austritt aus der Anlage, vgl. <ref-law> [SR 814.01]) im Rahmen der Vorsorge so weit zu begrenzen, als dies technisch und betrieblich möglich und wirtschaftlich tragbar ist (Vorsorgeprinzip; <ref-law> und <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 479). Bei Anlagen, welche die lärmschutzrechtlichen Planungswerte einhalten, kommen zusätzliche Massnahmen zum Lärmschutz im Sinne der Vorsorge jedoch nur in Betracht, wenn sich dadurch mit relativ geringem Aufwand eine wesentliche zusätzliche Reduktion der Emissionen erreichen lässt (<ref-ruling> E. 3.2 S. 480; <ref-ruling> E. 8 S. 317 f.; <ref-ruling> E. 5a S. 523; Urteile 1C_603/2018 vom 13. Januar 2020 E. 3.2; 1C_391/2014 vom 3. März 2016 E. 7.8, in: URP, 2016 S. 579; je mit Hinweisen). Die Baubewilligungsbehörde darf sich nicht darauf beschränken, den Bauwilligen die Auswahl zwischen verschiedenen, die Planungswerte einhaltenden Projektvarianten zu gewähren. Vielmehr hat sie sich für jene Massnahme zu entscheiden, welche im Rahmen des Vorsorgeprinzips und des Verhältnismässigkeitsprinzips (<ref-law>) den besten Lärmschutz gewährleistet. Dies kann auch dazu führen, dass verschiedene Lärmschutzmassnahmen kumulativ anzuordnen sind (Urteil 1C_506/ 2008 vom 12. Mai 2009 E. 3.3; ALAIN GRIFFEL/HERIBERT RAUSCH, Kommentar zum Umweltschutzgesetz, Ergänzungsband zur 2. Auflage, 2011, N. 11 zu Art. 11). Von der so umschriebenen Rechtslage ist die Vorinstanz ausgegangen, und sie ist auch zwischen den Parteien unbestritten.
3.3. Die Grundstücke des Beschwerdeführers und der Beschwerdegegnerin liegen beide in der zweigeschossigen Wohnzone, für welche die ES II gilt. Gemäss Anhang 6 LSV, der u.a. den Lärm von Heizungs-, Lüftungs- und Klimaanlagen regelt (Ziff. 1 Abs. 1 lit. e), gilt für die Empfindlichkeitsstufe II ein Planungswert von 55 dB (A) tags und von 45 dB (A) in der Nacht (Ziff. 2). Die Behörden haben für die geplante Wärmepumpe einen Beurteilungspegel von 44 dB (A) ermittelt, womit die Planungswerte eingehalten sind. Auch diese Gegebenheiten sind zwischen den Parteien unbestritten.
4.
4.1. Das Kantonsgericht hat gestützt auf die Stellungnahme der Dienststelle uwe erwogen, Luft/Wasser-Wärmepumpen genügten dem Vorsorgeprinzip, wenn sie dem Stand der Technik entsprächen, der Aufstellungsort richtig gewählt sei und Lärmschutzmassnahmen geprüft worden seien. Die verschiedenen von der Beschwerdegegnerin eingereichten Bestätigungsschreiben sprächen sich gegen den Einbau der Anlage im Gebäudeinnern aus und dies wäre zudem mit höheren Kosten verbunden. Der vom Beschwerdeführer sodann zur Diskussion gestellte Standort an der Südwestseite des Hauses sei aus wirtschaftlicher Sicht ebenfalls fragwürdig (längere Verrohrung, zusätzlicher Bedarf an Isolation) und hätte zur Folge, dass zwei Nachbarhäuser sowie lärmempfindliche Räume der Beschwerdegegnerin selbst höhere Lärmimmissionen zu gewärtigen hätten. Schliesslich handle es sich bei der streitigen Wärmepumpe um ein Gerät der neuesten Generation, das im unteren bis mittleren Bereich der Schallleistung anzusiedeln sei und dem Stand der Technik entspreche.
Die Beschwerdegegnerin schliesst sich im Wesentlichen den vorinstanzlichen Erwägungen an. Sie betont, eine vorgängige Abklärung habe ergeben, dass der Heizungsraum als Standort für die Wärmepumpe aus wirtschaftlichen und technischen Gründen unmöglich sei.
4.2. Der Beschwerdeführer wirft den kantonalen Behörden zunächst vor, ohne eigene Abklärungen davon ausgegangen zu sein, eine Wärmepumpe im Inneren des Hauses sei ausgeschlossen. Dabei hätten sie weder die angeblich höheren Kosten noch die Platzverhältnisse noch die damit verbundene Lärmbelastung überprüft. Auch der Alternativstandort im Südwesten des Gebäudes sei nicht abgeklärt worden. Bei den damit angeblich verbundenen Kosten und technischen Schwierigkeiten handle es sich um blosse Parteibehauptungen. Sodann ist der Beschwerdeführer der Auffassung, die Vorinstanz habe das umweltrechtliche Vorsorgeprinzip verletzt. Sie habe es unterlassen, die Anordnung schallreduzierender Massnahmen zu prüfen, etwa einer Schalldämmhaube oder einer Lärmschutzwand. Sodann hätte sie die Möglichkeit eines leiseren Geräts oder eines solchen mit grösserem Wärmespeicher prüfen müssen; mit letzterem könnte auf den besonders störenden Nachtbetrieb verzichtet werden.
4.3. Das BAFU erachtet die Ausführungen der Vorinstanz zur Wahl des Standorts der Wärmepumpe (Ausschluss einer Installation im Hausinnern aus Kostengründen bzw. an der südwestlichen Hausseite wegen unerwünschtem Schall in der Nähe lärmempfindlicher Räume) als plausibel. Dagegen moniert auch es eine Verletzung des Vorsorgeprinzips: Nach seiner Auffassung fallen als betriebliche Massnahmen ein Modell mit Flüstermodus sowie eine Reduktion der allgemeinen Betriebsdauer der Anlage in Betracht. Sodann diskutiert das Amt mehrere bauliche Massnahmen, nämlich die Installation einer Schalldämmhaube, einer Hutze oder einer Lärmschutzwand. Damit könnte - je nach Massnahme und nach Art des Lärms - eine Reduktion der Emissionen um maximal 3 bis 8 dB (A) erzielt werden. Die beiden letztgenannten Massnahmen erachtet das BAFU aufgrund der Kosten allerdings als unverhältnismässig. Hinsichtlich des Einbaus einer Schalldämmhaube führt das Amt aus, solche stünden ab etwa Fr. 1'500.-- zur Verfügung. Da der Hersteller der Anlage, welche die Beschwerdegegnerin vorgesehen habe, keine solchen anbiete, müsste eine Schalldämmhaube eines anderen Herstellers eingebaut werden. Inwiefern diese zur gewünschten Lärmreduktion führte, könne es nicht abschliessend beurteilen. Zudem sei der Aufwand für das Anbringen einer Schallschutzhaube relativ gross.
5.
5.1. Die für den Bau von Wärmepumpen geltenden Planungswerte sind am vorgesehenen Standort nordöstlich des Gebäudes auf ihrem Grundstück eingehalten; zusätzliche Massnahmen zum Lärmschutz im Sinne der Vorsorge fallen diesfalls nur in Betracht, wenn sie mit relativ geringem Aufwand zu erreichen wären (oben E. 3.2). Vor diesem Hintergrund hat die Vorinstanz eine Platzierung der Wärmepumpe im Gebäudeinnern namentlich deshalb verworfen, weil damit höhere Installationskosten verbunden wären. Wenn der Beschwerdeführer dies als unbelegte Behauptung bezeichnet, vermag er damit nicht aufzuzeigen, dass diese Annahme offensichtlich unrichtig wäre. Die kantonale Dienststelle uwe hat in ihrer Stellungnahme vom 10. September 2018 zur Begründung der höheren Kosten einer Platzierung der Wärmepumpe im Keller ausgeführt, dies würde bauliche Anpassungen im Inneren des Gebäudes und an der Gebäudehülle erforderlich machen, wie z.B. getrennte Be- und Entlüftungskanäle. Diese Begründung leuchtet ein, stimmt überein mit den Bestätigungen, welche die Beschwerdegegnerin vorgelegt hat und wird auch vom BAFU gestützt. Sie ist damit nicht offensichtlich unrichtig, auch wenn keine exakte Berechnung der Zusatzkosten erfolgt ist. Fällt die Platzierung der Wärmepumpe im Gebäudeinnern bereits aus Kostengründen ausser Betracht, kann offen bleiben, ob die Rüge des Beschwerdeführers zutrifft, das Kantonsgericht habe ohne Abklärung der tatsächlichen Gegebenheiten und damit in willkürlicher Weise festgestellt, es bestünde im Gebäudeinneren nicht genügend Platz für die Installation einer Wärmepumpe.
Dieselben Überlegungen gelten für die Erwägungen der Vorinstanz zum Standort der Wärmepumpe südwestlich des Hauses der Beschwerdegegnerin: Der Beschwerdeführer ist zwar der Auffassung, es handle sich bei den Gründen, welche die Vorinstanz gegen diesen Standort namhaft macht, um blosse Mutmassungen bzw. um Parteibehauptungen. Damit ist aber deren Unrichtigkeit nicht dargetan, zumal sich die Vorinstanz auf die Einschätzung der Dienststelle uwe abgestützt hat und das BAFU diese teilt. Aufgrund der Ausführungen dieser Behörden konnte die Vorinstanz willkürfrei davon ausgehen, der vom Beschwerdeführer vorgeschlagene südwestliche Standort würde sich nicht nur auf Räume der Beschwerdegegnerin mit lärmempfindlicher Nutzung, sondern auch auf Nachbarliegenschaften nachteilig auswirken. Sie durfte daher diesen Standort ausschliessen, ohne dabei in Willkür zu verfallen.
5.2. Wie weiter oben ausgeführt, können gestützt auf das Vorsorgeprinzip weitere Massnahmen der Emissionsbegrenzung angeordnet werden, auch wenn die Belastungsgrenzwerte eingehalten sind, wobei diesfalls nur Massnahmen in Betracht fallen, die sich mit relativ geringem Aufwand umsetzen lassen und mit denen eine wesentliche zusätzliche Reduktion der Emissionen erreicht werden kann (oben E. 3.2). Als Emissionsbegrenzungen im Bereich des Lärmschutzes fallen gemäss <ref-law> technische, bauliche, betriebliche, verkehrslenkende, -beschränkende oder -beruhigende Massnahmen an Anlagen sowie bauliche Massnahmen auf dem Ausbreitungsweg der Emissionen in Betracht. Bei Wärmepumpen hat das Bundesgericht namentlich - selbst im Rahmen nachträglicher Baubewilligungsverfahren bei bereits installierten Anlagen - eine lärmmässig günstigere Standortwahl (<ref-ruling> E. 3.4.1 sowie Urteil 1C_204/2015 vom 18. Januar 2016 E. 3.7) oder die Installation eines leiseren Modells bzw. eines Schalldämpfers am Ausblaskanal erwogen (Urteil 1C_506/ 2008 vom 12. Mai 2009 E. 3.3). Dies steht in Übereinstimmung mit der Vollzugshilfe des "Cercle Bruit" (Vereinigung kantonaler Lärmschutzfachleute, Lärmrechtliche Beurteilung von Luft/Wasser-Wärmepumpen vom 20. September 2018, Ziff. 2.1 sowie Anhang 2).
5.3. Die Vorinstanz hat in E. 5.5 ihres Entscheids auf diese Rechtslage Bezug genommen. Sie hat sich im Folgenden aber mit der Feststellung begnügt, bei der geplanten Wärmepumpe handle es sich um ein Modell der neuesten Generation, welches im unteren bis mittleren Bereich der Schallleistung anzusiedeln sei. Weitere Massnahmen an der Anlage selbst hat sie in E. 5.6 pauschal als unverhältnismässig bezeichnet. Welche möglichen Vorkehren die Vorinstanz dabei in Betracht gezogen hat, geht aus der betreffenden Erwägung nicht hervor. Ebensowenig äussert sie sich zu den allfälligen Kosten solcher Massnahmen und zu der Lärmreduktion, die dadurch erzielt werden könnte.
Das BAFU schlägt in seiner Vernehmlassung unter anderem die Beschränkung der Betriebsdauer der Wärmepumpe in der Nacht vor, womit sich in dieser Zeit eine Lärmreduktion um 3 dB (A) erzielen liesse. Diese Massnahme könnte offensichtlich mit geringem finanziellem und technischem Aufwand umgesetzt werden. Die Beschwerdegegnerin erklärt sich in ihrer Eingabe vom 21. Februar 2020 bereit, eine Einschränkung der Betriebsdauer in der Nacht "soweit betrieblich möglich als Massnahme umzusetzen". Diese Erklärung ist bedingt und unbestimmt hinsichtlich der möglichen Reduktion der Betriebszeit; sie lässt vermuten, dass die Beschwerdegegnerin Zweifel an der technischen Durchführbarkeit der betreffenden Massnahme hegt. Die Frage, ob die Baubewilligung mit einer derartigen Auflage zu versehen ist und wie diese im Detail auszugestalten wäre, kann das Bundesgericht nicht als erste und einzige Instanz beurteilen, weshalb die Sache an die Baubewilligungsbehörde zu deren Prüfung zurückzuweisen ist. Diese wird bei dieser Gelegenheit auch zu klären haben, ob es sich (alternativ) rechtfertigt, den Einbau einer Wärmepumpe mit schallreduziertem Nachtbetrieb (sog. Flüstermodus) zu verlangen. Weiterhin fallen als technische Massnahmen die Installation einer Schalldämmhaube, einer Hutze oder einer Lärmschutzwand vor der Anlage in Betracht. Jedenfalls letztere Massnahme dürfte allerdings - ausgehend von den Kosten, die das BAFU seinen Überlegungen zugrunde legt - wirtschaftlich kaum tragbar sein. Demgegenüber wäre die Installation einer lärmdämmenden Aufbaute offenbar wesentlich kostengünstiger, wenn diese von der Herstellerfirma spezifisch für das betreffende Modell angeboten würde. Auch eine solche Massnahme wird die Vorinstanz daher zu prüfen haben.
6.
Damit ist die Beschwerde gutzuheissen und die Sache an die Gemeinde Vitznau zurückzuweisen, welche im Sinne der vorangehenden Erwägung einen neuen Entscheid zu treffen hat. Das Kantonsgericht hat die Kosten- und Entschädigungsfolgen für das vorangegangene Verfahren neu zu regeln, weshalb die Angelegenheit diesbezüglich an die Vorinstanz zurückzuweisen ist (<ref-law>).
Bei diesem Prozessausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat einen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der angefochtene Entscheid wird aufgehoben und die Sache zur neuen Beurteilung im Sinne der Erwägungen an die Gemeinde Vitznau zurückgewiesen. Die Angelegenheit wird zu neuem Entscheid über die Kosten- und Entschädigungsfolgen an das Kantonsgericht Luzern zurückgewiesen.
2.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 4'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 4'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Gemeinde Vitznau, dem Bau-, Umwelt- und Wirtschaftsdepartement des Kantons Luzern, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, und dem Bundesamt für Umwelt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juli 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kneubühler
Die Gerichtsschreiberin: Hänni