Sachverhalt:
A.
A.A._ (Beschwerdeführer) ist der Vater des heute volljährigen C.A._ (geb. 1996). Am 2. April 2014 klagten C.A._ und die Politische Gemeinde U._ gegen A.A._ am Bezirksgericht V._ auf Unterhalt.
Am 2. Februar 2016 hiess der zuständige Einzelrichter, B._ (Beschwerdegegner), ein Gesuch von C.A._ gut und gestattete diesem, sich an die anstehende Hauptverhandlung von einer Vertrauensperson begleiten zu lassen. Ein Recht auf Begleitung räumte er auch A.A._ ein. In der Folge verlangte Letzterer, der Einzelrichter habe in den Ausstand zu treten. Mit Urteil vom 2. März 2016 wies das Bezirksgericht dieses Begehren ab. Eine hiergegen von A.A._ erhobene Beschwerde hiess das Obergericht des Kantons Zürich am 21. Oktober 2016 gut und wies die Sache zur Wahrung des rechtlichen Gehörs und zum erneuten Entscheid an das Bezirksgericht zurück. Mit Urteil vom 13. Juni 2017stellte dieses fest, dass dem Einzelrichter im Ausstandsverfahren keine Parteistellung zukomme. Verfahrensparteien seien C.A._ und die Politische Gemeinde U._. Das Ausstandsbegehren wies es erneut ab. Die Prozesskosten (inkl. diejenigen des obergerichtlichen Verfahrens) auferlegte es A.A._.
B.
Die hiergegen von A.A._ am 3. Juli 2017 beim Obergericht erhobene Beschwerde wies dieses mit Urteil vom 15. Januar 2018 (eröffnet am 25. Januar 2018) ab, soweit es darauf eintrat. Die Prozesskosten auferlegte es A.A._.
C.
A.A._ gelangt am 26. Februar 2018 mit Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht und stellt die folgenden Anträge in der Sache:
"1. Es sei das angefochtene Urteil vollumfänglich aufzuheben und die Vorinstanz anzuweisen, das Ausstandsverfahren gegen Richter B._ an das BG V._ zurückzuweisen, unter Anordnung der Verfahrensführung gegen Richter B._ als Beklagtem ab 10.2.16.
2. Eventualantrag: Das angefochtene Urteil sei vollumfänglich aufzuheben und zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen.
3. Subeventuell: Das angefochtene Urteil sei vollumfänglich aufzuheben und das Bezirksgericht V._ anzuweisen, das Verfahren FP140004 einem anderen Richter zuzuteilen.
4. Es sei dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen und es sei ihm in der Person von RA Nill ein unentgeltlicher Rechtsvertreter zu bestellen."
Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, indessen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist der Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes kantonales Gericht (<ref-law>) über den Ausstand einer Gerichtsperson und damit einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid entschieden hat, gegen den die Beschwerde zulässig ist (<ref-law>). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1). Dort geht es um die Unterhaltspflicht des Vaters gegenüber seinem volljährigen Sohn und damit eine vermögensrechtliche Zivilsache (<ref-law>). Der Streitwert übersteigt nach den unbestrittenen Angaben des Obergerichts die Grenze von Fr. 30'000.-- (vgl. Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit auch gegen den Zwischenentscheid gegeben. Der Beschwerdeführer ist unter Vorbehalt von E. 2 hiernach gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Auf die auch fristgerecht erhobene (<ref-law>) Beschwerde ist damit insoweit einzutreten.
2.
2.1. Nach <ref-law> ist zur Beschwerde in Zivilsachen nur berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (Bst. a) und durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist (Bst. b). Ob diese Voraussetzungen erfüllt sind, prüft das Bundesgericht von Amtes wegen und mit freier Kognition (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 1). Gleichwohl obliegt es der beschwerdeführenden Person, ihre Eingabe auch bezüglich der formellen Eintretensvoraussetzungen zu begründen, wenn deren Erfüllung unklar oder nicht sofort feststellbar ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 4 [einleitend]).
Die Beschwerdeberechtigung nach <ref-law> setzt voraus, dass die beschwerdeführende Person ein aktuelles und praktisches Interesse an der Gutheissung der Beschwerde hat, das auch im Entscheidzeitpunkt noch vorhanden ist. Dieses Interesse besteht in dem praktischen Nutzen, welcher sich die Partei von der Gutheissung des Rechtsmittels verspricht, das heisst davon, dass das Bundesgericht den Nachteil aus der Welt schafft, den der angefochtene Entscheid für sie in wirtschaftlicher, ideeller, materieller oder anderer Hinsicht bedeutet (<ref-ruling> E. 1.2.2).
2.2. Ein hinreichendes schutzwürdiges Interesse hat der Beschwerdeführer, soweit sein Ausstandsgesuch abgewiesen wurde (vgl. vorne E. 1). Er beanstandet aber auch die Beteiligung der Kläger des Hauptverfahrens als Parteien am Ausstandsverfahren (vgl. vorne Bst. A). Tatsächlich komme in diesem Verfahren allein dem Einzelrichter Parteistellung zu. Der Fehler der Vorinstanzen habe dazu geführt, dass Personen die "Verteidigung" der Unbefangenheit des Einzelrichters übernommen hätten, die hierzu gar nicht in der Lage seien.
Welches praktische Interesse der Beschwerdeführer insoweit an der Beschwerdeführung haben sollte, bleibt unklar: Im Ausstandsverfahren sind sowohl die betroffene Gerichtsperson (<ref-law>; vgl. Urteile 5A_461/2016 vom 3. November 2016 E. 5.1; 5A_309/2016 vom 4. Oktober 2016 E. 6.1) als auch die Gegenpartei des Hauptverfahrens anzuhören (vgl. DAVID RÜETSCHI, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Band I, 2012, N. 4 zu <ref-law>; MARC WEBER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 3 zu <ref-law>). Beides ist vorliegend unbestritten geschehen. Damit konnte der Einzelrichter seinen Standpunkt hinreichend in das Verfahren einbringen und selbst wenn die falschen Personen als Parteien am Ausstandsverfahren beteiligt worden wären, wäre dem Beschwerdeführer kein Nachteil erwachsen. Der Gegenstand des Ausstandsverfahrens - d.h. die Frage, ob die abgelehnte Gerichtsperson weiterhin an dem Verfahren in der Hauptsache teilnehmen kann - berührt sodann die Rechte und Pflichten der Parteien des Hauptverfahrens nicht. Für den Beschwerdeführer kommt es daher nicht entscheidend auf die Person der Gegenpartei im Ausstandsverfahren an. Da mit der Beschwerde in Zivilsachen weiter nicht die Interessen Dritter geltend gemacht werden können (vgl. Urteile 5A_238/2015 vom 16. April 2015 E. 2; 5A_857/2010 vom 12. Januar 2011 E. 1.3), bleibt unbeachtlich, ob dem Einzelrichter vorliegend ein Nachteil erwachsen ist. Zusammenfassend ist nicht ersichtlich, welcher praktische Nutzen der Beschwerdeführer an der korrekten Bezeichnung der Parteien des Ausstandsverfahrens hat. Sodann ist weder dargetan noch offensichtlich, dass vorliegend ausnahmsweise auf das praktische Interesse an der Beschwerdeführung verzichtet werden könnte (vgl. dazu <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 1.1). Folglich ist auf die Beschwerde insoweit nicht einzutreten.
3.
3.1. In der Sache strittig ist der Ausstand des Einzelrichters im Unterhaltsprozess. Nach <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch auf ein durch Gesetz geschaffenes, zuständiges, unabhängiges und unparteiisches Gericht. Die Garantie des verfassungsmässigen Richters ist verletzt, wenn bei objektiver Betrachtungsweise Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit eines Gerichtsmitglieds zu begründen vermögen. Voreingenommenheit und Befangenheit in diesem Sinne werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn im Einzelfall anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände Gegebenheiten vorliegen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Gerichtsmitglieds zu erwecken. Da Befangenheit ein innerer, schwer nachweisbarer Zustand ist, braucht sein tatsächliches Vorliegen nicht bewiesen zu werden. Es genügt vielmehr, wenn Umstände bestehen, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Solche Umstände können namentlich in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Gerichtsmitglieds liegen. Auf das bloss subjektive Empfinden einer Partei kann bei dieser Beurteilung allerdings nicht abgestellt werden. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen (<ref-ruling> E. 3.1.1; <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; Urteil 5A_701/2017 vom 14. Mai 2018 E. 4.3, zur Publikation vorgesehen).
3.2. <ref-law> umschreibt die Ausstandsgründe auf Gesetzesebene. Neben den persönlichen Beziehungen gemäss Abs. 1 Bst. b-e, die ohne Weiteres einen Ausstandsgrund bilden, enthält Art. 47 Abs. 1 Bst. f ZPO eine Generalklausel ("aus anderen Gründen"). Diese Bestimmung wird durch einen weiteren generalklauselartig umschriebenen Ausstandsgrund (Art. 47 Abs. 1 Bst. a ZPO) ergänzt, für den Fall, dass ein "persönliches Interesse" auf Seiten der Gerichtsperson vorliegt. Im Rahmen der Konkretisierung der Generalklauseln sind die aus <ref-law> fliessenden Grundsätze zu beachten (BGE <ref-ruling> E. 4.2).
Verfahrensmassnahmen eines Gerichtsmitglieds als solche, seien sie richtig oder falsch, vermögen im Allgemeinen keinen objektiven Verdacht der Befangenheit zu begründen. Dasselbe gilt für einen allenfalls materiell falschen Entscheid. Anders liegt es nur, wenn besonders krasse oder wiederholte Irrtümer vorliegen, die als schwere Verletzung der Richterpflichten bewertet werden müssen. In diesem Zusammenhang ist zu beachten, dass Verfahrensverstösse im dafür vorgesehenen Rechtsmittelverfahren zu rügen sind und grundsätzlich nicht als Begründung für die Verletzung von <ref-law> herangezogen werden können (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 3b; <ref-ruling> E. 3b/bb; Urteile 5A_109/2018 vom 20. April 2018 E. 2.3; 5A_842/2016 vom 24. März 2017 E. 3.1; 5A_973/2015 vom 17. Januar 2017 E. 4.2.1).
4.
Das Obergericht qualifizierte die Beschwerde vom 3. Juli 2017 als ungenügend begründet. Der Beschwerdeführer habe sich nicht ausreichend mit dem erstinstanzlichen Erkenntnis auseinandergesetzt. Vielmehr habe er sich damit begnügt, den Argumenten der Vorinstanz seine eigene Darstellung der Sach- und Rechtslage entgegenzustellen, ohne substanziiert eine unrichtige Rechtsanwendung oder eine unrichtige Feststellung des Sachverhalts zu rügen.
Die Vorinstanz hält die Beschwerde aber auch inhaltlich für unbegründet: Im Unterhaltsprozess habe der Einzelrichter einem Gesuch des Klägers stattgegeben und sowohl diesem als auch dem Beschwerdeführer erlaubt, sich an der Hauptverhandlung durch eine Vertrauensperson begleiten zu lassen. Welcher "unrechtmässige Vorteil" der Sohn hieraus gezogen haben oder inwiefern er hierdurch einseitig bevorzugt worden sein solle, sei nicht ersichtlich. Insbesondere liege keine Ungleichbehandlung der Parteien vor. Der Anschein der Befangenheit ergebe sich hieraus nicht. Sodann habe der Einzelrichter zwar den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör verletzt, weil er ihn vor Erlass der Verfügung nicht angehört habe. Auch in diesem einfachen prozessualen Fehler liege aber kein Ausstandsgrund. Insbesondere könne keine absichtliche und bewusste Hilfestellung bzw. Bevorzugung des Unterhaltsklägers abgeleitet werden. Ein entsprechender Bevorzugungswille ergebe sich auch nicht aus dem Inhalt eines Telefonats, das die Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers mit dem Einzelrichter geführt habe. Zumal sich dessen genauer Wortlaut nicht mehr rekonstruieren lasse. Nichts anderes gelte bezüglich eines Telefonats zwischen dem Rechtsvertreter des Unterhaltsklägers und dem Einzelrichter. Der Richter habe einzig Auskünfte über organisations- und verfahrensrechtliche Fragen im Zusammenhang mit dem Gesuch um Begleitung an die Hauptverhandlung erteilt, was unbedenklich sei. Eine eigentliche Beratung über das prozessuale Vorgehen habe nicht stattgefunden. Allerdings habe der Richter keines dieser Telefonate in den Akten kenntlich gemacht. Dies sei zwar mit Blick auf die Aktenführungspflicht bedenklich. Ein Ausstandsgrund ergebe sich aber auch hieraus nicht, zumal die Information der jeweiligen Gegenpartei nicht absichtlich oder mutwillig unterblieben sei.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer hält seine Beschwerde an das Obergericht für ausreichend begründet. Bezüglich des Ausstands verweist er im Wesentlichen auf die mehrfachen Verfahrensfehler des Einzelrichters. Namentlich die mehrfache Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör durch Vernachlässigung der Aktenführung und Unterlassen der Anhörung des Beschwerdeführers vor dem Entscheid über das Gesuch um Begleitung. Dies zeige die Befangenheit des Einzelrichters auf. In Willkür verfalle das Obergericht soweit es festhalte, dieser habe nicht absichtlich und mutwillig gehandelt. Tatsächlich habe er sich nicht dazu geäussert, weshalb er keine Gesprächsnotizen erstellt habe. Sein Vorgehen fördere ein tiefes Misstrauen und wecke unüberwindbare Zweifel an der richterlichen Unvoreingenommenheit.
5.2. Damit vermag der Beschwerdeführer die Überlegungen des Obergerichts nicht in Frage zu stellen:
5.2.1. Zwar hat der Einzelrichter den Beschwerdeführer vor dem Entscheid über die Zulassung einer Begleitperson an der Hauptverhandlung im Hauptprozess nicht angehört. Unstrittig geschah dies, weil der Richter eine Anhörung mangels Erheblichkeit nicht für nötig erachtete - je nach Darstellung entweder, weil er aufgrund der Beweislage bereits eine abschliessende Meinung gefasst hatte, oder weil sich seiner Ansicht nach aus der Gutheissung des Gesuchs für den Beschwerdeführer kein Nachteil ergab. Wie bereits im vorinstanzlichen Verfahren vermag der Beschwerdeführer auch vor Bundesgericht nicht nachvollziehbar zu begründen, weshalb sich hieraus der Anschein der Befangenheit ihm gegenüber ergeben sollte. Namentlich ist nicht ersichtlich oder dargelegt, dass sein Sohn dadurch im Hauptprozess bevorzugt würde, zumal auch der Beschwerdeführer sich begleiten lassen kann.
5.2.2. Nichts anderes ergibt sich aus dem Umstand, dass der Einzelrichter die telefonischen Kontakte mit den Parteien nicht aktenkundig machte: Selbst wenn hierin eine Verletzung der Aktenführungspflicht zu sehen sein sollte (vgl. zu dieser <ref-ruling> E. 2.2), läge kein allzu gravierender Verfahrensfehler vor, da nicht entscheidrelevante Vorgänge betroffen sind. Ausserdem hat der Einzelrichter es unbestritten unterlassen, Telefongespräche mit beiden Parteien zu protokollieren. Eine gezielte Benachteiligung des Beschwerdeführers ist damit nicht auszumachen. Um blosse Spekulation handelt es sich weiter, wenn der Beschwerdeführer ausführt, es hätten womöglich weitere nicht protokollierte Kontakte zwischen dem Einzelrichter und dem Unterhaltskläger stattgefunden. Solches ergibt sich jedenfalls von vornherein nicht daraus, dass der Richter über die Beziehung zwischen dem Sohn und dessen Begleiterin informiert gewesen sein soll, obgleich diese nicht aktenkundig ist. Angenommen dies trifft zu, so hätte der Einzelrichter diese Information auch aus dem Gespräch betreffend das Gesuch um Begleitung erhalten können. Blosse Spekulation bleibt auch die Behauptung des Beschwerdeführers, aufgrund des Vorgefallenen seien auch in Zukunft "heimliche Kontakte" des Richters zu den Parteien nicht auszuschliessen. Entgegen dem Beschwerdeführer bestehen weiter keine Anzeichen dafür, dass eine eigentliche Beratung über die Prozessführung oder eine Diskussion über die Person der Begleitung stattgefunden hätte. Ohnehin stellt der Beschwerdeführer insoweit in appellatorischer Weise seine Darstellung der Geschehnisse der Feststellung der Vorinstanz gegenüber, es sei eine blosse Auskunft betreffend die Form des Gesuchs um Begleitung erteilt worden. Dies ist nicht zulässig (vgl. <ref-law> und dazu <ref-ruling> E. 2.4). Keine Rolle spielt im vorliegenden Zusammenhang sodann, wie das Obergericht telefonische Nachfragen der Vertreterin des Beschwerdeführers im vorinstanzlichen Verfahren einschätzte.
5.2.3. Unzutreffend ist die Rüge, das Obergericht sei der Auffassung, die Aktenführungspflicht gelte nicht für Telefongespräche. Zwar führt das Obergericht aus, das Gesetz enthalte keine Protokollierungspflicht für Telefongespräche. Es nahm eine solche Pflicht aber gestützt auf den Gehörsanspruch an, aus dem "sich die Pflicht der Gerichte zur vollständigen Dokumentation und Aktenführung" ergebe. Entsprechend beurteilte es das Vorgehen des Einzelrichters als "nicht unbedenklich". Ob tatsächlich von einer Gehörsverletzung auszugehen sei, liess es im Ergebnis aber offen, da jedenfalls kein Ausstandsgrund gegeben sei. Letzteres ist wie ausgeführt nicht zu beanstanden.
5.3. Damit erweist sich die Beschwerde als unbegründet und sie ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Auf die Frage, ob die Beschwerde vom 3. Juni 2017 hinreichend begründet war, braucht nicht eingegangen zu werden: Auch wenn das Obergericht dem Beschwerdeführer (ebenfalls) eine ungenügende Beschwerdebegründung vorwarf, hat es sich wie dargelegt dennoch mit der Beschwerde inhaltlich befasst und einen Sachentscheid gefällt. In dieser Situation erübrigt es sich, im bundesgerichtlichen Verfahren auf die Frage der Beschwerdebegründung einzugehen und hätte der Beschwerdefürher sich damit nicht zu befassen brauchen (vgl. Urteil 5A_698/2017 vom 7. März 2018 E. 1.2).
6.
Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Der Beschwerdegegner ist nicht anwaltlich vertreten und ihm sind mangels Vernehmlassung keine ersatzpflichtigen Kosten entstanden, sodass keine Parteientschädigung zu sprechen ist (<ref-law>). Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, da die Beschwerde mit Blick auf das vorstehend ausgeführte als von Anfang an aussichtslos qualifiziert werden muss (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Parteientschädigung wird keine gesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Juni 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber