Sachverhalt:
A.
Am 24. Mai 2016 erstattete A._ Strafanzeige gegen X._ wegen Verleumdung. Am 21. September 2016 ergänzte er die Strafanzeige. Mit Strafbefehl vom 23. Februar 2017 sprach die Staatsanwaltschaft X._ der mehrfachen Verleumdung schuldig. Die Staatsanwaltschaft warf X._ vor, A._ am 4. März 2016 gegenüber B._ in U._, am 19. Mai 2016 gegenüber C._ in U._ und am 19. Mai 2016 gegenüber D._ in V._ wider besseres Wissen als Verbrecher bezeichnet zu haben. Gegen den Strafbefehl erhob X._ Einsprache. Die Staatsanwaltschaft hielt am Strafbefehl fest und überwies die Sache am 6. April 2017 dem Bezirksgericht Willisau zur Beurteilung.
B.
Das Bezirksgericht Willisau sprach X._ mit Urteil vom 25. August 2017 vom Vorwurf der Verleumdung betreffend die Sachverhalte vom 4. März 2016 (in U._) und vom 19. Mai 2016 (in U._) frei. Hingegen sprach es X._ der Verleumdung, begangen am 19. Mai 2016 in V._, schuldig. Es verwies die Zivilforderungen von A._ auf den Zivilweg.
Gegen dieses Urteil erhoben sowohl A._ als auch X._ Berufung. A._ beantragte, X._ sei in Abänderung von Ziff. 1 des Urteils der Verleumdung, begangen am 19. Mai 2016 in U._, schuldig zu sprechen. Demgegenüber stellte X._ den Antrag, er sei in Aufhebung von Ziffer 2 des Urteilsspruchs vom Vorwurf der Verleumdung, begangen am 19. Mai 2016 in V._, freizusprechen. A._ stellte Antrag auf Abweisung der Berufung von X._.
Das Kantonsgericht Luzern hielt im Urteil vom 11. Juli 2018 fest, der erstinstanzliche Freispruch vom Vorwurf der Verleumdung, begangen am 4. März 2016 in U._, sowie der Verweis der Zivilforderungen auf den Zivilweg seien in Rechtskraft erwachsen. Sodann sprach es X._ von den Vorwürfen der Verleumdung, begangen am 19. Mai 2016 in U._ und V._, frei. Die Kosten des Berufungsverfahrens, des erstinstanzlichen Verfahrens und des Untersuchungsverfahrens wurden A._ auferlegt. Zudem wurde A._ verpflichtet, für das Berufungsverfahren, das erstinstanzliche Verfahren und das Untersuchungsverfahren X._ eine Parteientschädigung zu bezahlen.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen beantragt A._, in Aufhebung der Ziffern 2 und 3 des Urteils sei X._ wegen Verleumdung, begangen am 19. Mai 2016 in U._, schuldig zu sprechen und angemessen zu bestrafen, unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten von X._. Eventualiter seien in Abänderung von Ziffer 3 des Urteils die Kosten und die Parteientschädigung von X._ für das Untersuchungs- und erstinstanzliche Verfahren auf die Staatskasse zu nehmen. Subeventualiter sei das Verfahren zur Ergänzung und Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.

Erwägungen:
1.
1.1. Zur Beschwerde in Strafsachen ist nach <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Der Privatklägerschaft wird ein rechtlich geschütztes Interesse zuerkannt, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Als Zivilansprüche gelten solche, die ihren Grund im Zivilrecht haben und deshalb ordentlicherweise vor dem Zivilgericht durchgesetzt werden müssen. In erster Linie handelt es sich um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung nach <ref-law>. Als Privatklägerschaft gilt die geschädigte Person, die ausdrücklich die Absicht ihrer Beteiligung am Strafverfahren als Straf- oder Zivilkläger erklärt hat (<ref-law>). Geschädigt ist, wer durch die Straftat in seinen Rechten unmittelbar verletzt worden, das heisst wer Träger des durch die verletzte Strafnorm geschützten oder zumindest mitgeschützten Rechtsgutes ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 78 mit Hinweisen).
Die Zivilansprüche des Beschwerdeführers wurden im erstinstanzlichen Verfahren nicht beziffert und deshalb in Anwendung von <ref-law> auf den Zivilweg verwiesen. Der Verweis auf den Zivilweg blieb im Berufungsverfahren unangefochten und erwuchs in Rechtskraft. Der angefochtene Entscheid wirkt sich mithin nicht auf die Beurteilung der Zivilansprüche des Beschwerdeführers aus.
1.2. Unbekümmert um die fehlende Legitimation in der Sache selbst kann die Privatklägerschaft die Verletzung von Verfahrensrechten geltend machen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt. Zulässig sind Rügen formeller Natur, die von der Prüfung der Sache getrennt werden können. Nicht zu hören sind Rügen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 5; <ref-ruling> E. 2 S. 250; je mit Hinweisen). Das nach <ref-law> erforderliche rechtlich geschützte Interesse ergibt sich in diesem Fall aus der Berechtigung, am Verfahren teilzunehmen (sog. "Star-Praxis"; <ref-ruling> E. 1.1 S. 4 f. mit Hinweisen).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes gemäss <ref-law> und des in <ref-law> verankerten Grundsatzes von Treu und Glauben. Die Vorinstanz habe nicht Rücksicht nehmen dürfen auf den Loyalitätskonflikt des Zeugen C._. Ein Loyalitätskonflikt sei kein Grund für falsche Aussagen. Indem die Vorinstanz keinerlei Massnahmen getroffen habe, den Zeugen C._ zur Wahrheit zu bewegen und seine widersprüchlichen Aussagen einfach hingenommen habe, verletze sie den Untersuchungsgrundsatz und den Grundsatz von Treu und Glauben. Es sei davon auszugehen, dass der Zeuge C._ andere Aussagen getätigt hätte, wäre er vom Gericht ernsthaft ermahnt worden. Nichts unternommen habe die Vorinstanz auch, um die Ungereimtheiten in den Aussagen von X._ (Beschwerdegegner) aufzudecken (Beschwerde S. 10 ff.).
2.2. Der Untersuchungsgrundsatz verpflichtet die Strafbehörden, den Sachverhalt von Amtes wegen zu ermitteln und die belastenden und entlastenden Umstände mit der gleichen Sorgfalt zu untersuchen (Art. 6 Abs. 1 und 2 StPO). Gemäss <ref-law> haben die Behörden den Grundsatz von Treu und Glauben zu beachten.
2.3. Die Kritik des Beschwerdeführers, die Vorinstanz stelle unbesehen auf die widersprüchlichen Aussagen des Zeugen C._ ab und habe auch die Aussagen des Beschwerdegegners nicht auf ihren Wahrheitsgehalt überprüft (etwa durch Befragung der Ehefrau des Zeugen C._), zielt auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids, was unzulässig ist.
Selbst wenn die Kritik des Beschwerdeführers von der Prüfung der Sache getrennt werden könnte und zu hören wäre, erhebt er sie offensichtlich ohne Grund. Die Vorinstanz hat im Rahmen der Beweiswürdigung festgestellt, dass der Zeuge C._ in einem gewissen Loyalitätskonflikt zum Beschwerdegegner stehe, da er von ihm Aufträge erhalte. Im Gegenzug hielt sie fest, dass der vom Beschwerdeführer angerufene Zeuge E._ zunächst verheimlicht habe, dass er mit dem Beschwerdeführer befreundet ist. Diese Feststellungen machte die Vorinstanz, als sie die Aussagen der Zeugen auf ihre Glaubhaftigkeit hin prüfte. Es kann keine Rede davon sein, dass die Vorinstanz wegen des Loyalitätskonflikts die Widersprüche in den Aussagen des Zeugen C._ unberücksichtigt gelassen hätte. Sie ist darauf in der Beweiswürdigung ausführlich eingegangen. Die Vorinstanz hat den Zeugen C._ zur Berufungsverhandlung vorgeladen und hat ihn auf die strafrechtlichen Folgen einer Falschaussage gemäss <ref-law> aufmerksam gemacht. Nach dieser Ermahnung zur Wahrheit hat das Gericht den Zeugen eingehend befragt. Der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers war anwesend, hat vom Recht auf Ergänzungsfragen Gebrauch gemacht und hatte so Gelegenheit, dem Zeugen C._ allfällige Widersprüche vorzuhalten. Der Beschwerdeführer sagt nicht, welche Massnahmen die Vorinstanz seiner Ansicht nach hätte treffen sollen, "um den Zeugen C._ zur Wahrheit zu ermahnen". Selbst wenn auf die Rüge eingetreten werden könnte, liegt weder eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes noch des Grundsatzes von Treu und Glauben vor.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör im Sinne von <ref-law>, weil die Vorinstanz der ihr obliegenden Begründungspflicht nicht rechtsgenügend nachgekommen sei. Es liege eine ungenügende Begründung betreffend die Glaubhaftigkeit der Aussagen des Beschwerdegegners und des Zeugen C._ vor. Die Vorinstanz halte die Aussage des Beschwerdegegners, dass er das Wort "Verbrecher" auf sich bezogen habe, für glaubhaft, weil ihr die dafür vom Beschwerdegegner gegebene Erklärung nachvollziehbar und schlüssig erscheine. Ungeachtet der zahlreichen Widersprüche in den Aussagen des Zeugen C._ halte die Vorinstanz fest, dieser habe konstant ausgesagt, dass er den Beschwerdegegner falsch verstanden habe, was insbesondere aufgrund seiner schlechten Deutschkenntnisse glaubhaft sei. Diese Begründung der Vorinstanz stelle einen Widerspruch in sich dar, da derjenige, der mangels Deutschkenntnissen angeblich etwas nicht versteht, wohl auch nicht sagen könne, wie er es verstanden hat (Beschwerde S. 12 ff.).
3.2. Die Rüge, die Vorinstanz verletze den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör respektive ihre Begründungspflicht, zielt auf die Überprüfung der Sache selbst. Darauf ist nicht einzutreten (vgl. Urteile 6B_1014/2016 vom 24. März 2017 E. 1.2; 6B_927/2015 vom 2. Mai 2016 E. 2.2).
3.3. Nicht einzutreten ist auch auf die Rüge des in der Sache nicht legitimierten Beschwerdeführers, soweit er die Beweiswürdigung als willkürlich oder einseitig kritisiert (Beschwerde S. 15 ff.).
4.
4.1. Die vorinstanzliche Feststellung, zufolge des vollumfänglichen Freispruchs und Fehlens der Voraussetzungen von <ref-law> komme eine Kostenauflage an den Beschwerdegegner nicht in Betracht, ist unangefochten geblieben. Der Beschwerdeführer rügt, die Auferlegung der Kosten des Untersuchungsverfahrens und des erstinstanzlichen Verfahrens sowie die Verpflichtung zur Bezahlung einer Parteientschädigung an den Beschwerdegegner sei unbillig und verletze <ref-law>. Er habe das Strafverfahren nicht böswillig eingeleitet. Er habe sich bei der Erhebung der Strafanzeige auf Zeugenaussagen gestützt. Selbst die Vorinstanz gehe davon aus, dass der Zeuge E._ ihn von der inkriminierten Äusserung in Kenntnis gesetzt habe. Demzufolge könne auch nicht gesagt werden, dass er den Prozess mutwillig angestrengt hätte. Daher hätte die Vorinstanz die Kosten des Untersuchungs- und erstinstanzlichen Verfahrens auf die Staatskasse nehmen und den Beschwerdegegner aus der Staatskasse entschädigen müssen.
4.2. Die Verlegung der Kosten folgt dem Grundsatz, wonach die Kosten trägt, wer sie verursacht. Die Bestimmung von <ref-law> differenziert hinsichtlich der Kostenauflage zwischen der antragstellenden Person und der Privatklägerschaft. Während der Privatklägerschaft die Verfahrenskosten bei Freisprechung der beschuldigten Person oder Einstellung des Verfahrens ohne Einschränkung auferlegt werden können, ist dies beim Antragsteller, der auf seine Parteistellung verzichtet hat, nur bei mutwilliger oder grob fahrlässiger Einleitung des Verfahrens oder bei Erschwerung der Durchführung desselben zulässig (BGE <ref-ruling> E. 4.2.2). Wird das Verfahren eingestellt oder die beschuldigte Person freigesprochen, können bei Antragsdelikten die Verfahrenskosten deshalb grundsätzlich dem Antragsteller auferlegt werden, sofern er nicht nur Strafantrag gestellt, sondern aktiv Einfluss auf den Gang des Verfahrens genommen hat, und soweit nicht der Beschuldigte nach <ref-law> kostenpflichtig ist (<ref-law>). Eine andere gesetzliche Einschränkung der Kostenauflage an den Privatkläger gibt es nicht. Der Antragsteller, der als Privatkläger am Verfahren teilnimmt, soll grundsätzlich auch das volle Kostenrisiko tragen. Die Regelung ist aber dispositiver Natur. Das Gericht kann davon abweichen, wenn es die Sachlage rechtfertigt. Ihm kommt ein weites Ermessen zu, bei dessen Überprüfung das Bundesgericht Zurückhaltung übt. Es greift nur ein, wenn sich der Ermessensentscheid als offensichtlich unbillig oder in stossender Weise als ungerecht erweist (BGE <ref-ruling> E. 4.2.4, E. 4.4.1; Urteile 6B_1118/2016 vom 10. Juli 2017 E. 1.2.1 und 6B_1114/2014 vom 6. Januar 2015 E. 3.2; je mit Hinweisen).
Dem Beschwerdeführer kann nicht gefolgt werden, wenn er geltend macht, eine Kostenauflage an ihn komme nur bei böswilliger oder mutwilliger Einleitung des Verfahrens in Frage. Diese Einschränkung gilt nach dem Wortlaut von <ref-law> und dem Willen des Gesetzgebers nur für den Strafantragsteller, sofern er nicht aktiv Einfluss auf den Gang des Verfahrens genommen hat. Der Beschwerdeführer hat sich nicht auf die Stellung eines Strafantrags beschränkt, sondern hat sich aktiv am Strafverfahren beteiligt. Am 24. Mai 2016 erstattete er Strafanzeige, stellte Strafantrag und beantragte, der Beschwerdegegner sei wegen Verleumdung zu bestrafen. Zugleich gab er in der Strafanzeige die Erklärung ab, er wolle sich am vorliegenden Strafverfahren als Straf- und Zivilkläger beteiligen. In der Strafanzeige beantragte er die Einvernahme von C._ und D._ als Zeugen. Der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers nahm an der Einvernahme des Beschwerdegegners vom 23. Juni 2016 teil. Gleichentags ersuchte er um Zustellung der Akten zur Einsichtnahme, welche gewährt wurde. Am 29. Juni 2016 reichte der Beschwerdeführer zuhanden der Staatsanwaltschaft zahlreiche Urkunden als Beweismittel ein. Am 3. August 2016 teilte er der Staatsanwaltschaft mit, dass er an seiner Strafanzeige festhalte und beantragte die Einvernahme weiterer Zeugen. Anlässlich der Einvernahme von C._ vom 12. September 2016 war der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers anwesend und machte vom Recht auf Stellung von Ergänzungsfragen ausgiebig Gebrauch. Mit Eingabe vom 21. September 2016 erweiterte der Beschwerdeführer seine Strafanzeige. Ebenso war der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers an den Zeugeneinvernahmen von B._ und C._ vom 7. Oktober 2016 anwesend und stellte Ergänzungsfragen. An der erstinstanzlichen Verhandlung nahm der Beschwerdeführer nicht teil, doch beteiligte er sich am erstinstanzlichen Verfahren, indem er nicht nur an seiner Strafanzeige (verbunden mit dem Antrag auf Bestrafung des Beschwerdegegners wegen Verleumdung) festhielt, sondern mit Eingabe an das Bezirksgericht Willisau vom 26. Juni 2017 einen weiteren Beweisantrag stellte. Zur Begründung seines Beweisantrags führte er aus, für den Fall, dass der eingeklagte Sachverhalt vom Beschwerdegegner bestritten bzw. vom Gericht als nicht erstellt betrachtet würde, stelle er den Antrag, es sei E._ als Zeuge zu befragen. Mit Beweisverfügung vom 17. Juli 2017 teilte das Bezirksgericht dem Beschwerdeführer mit, welche Personen als Zeugen befragt werden. Am 11. August 2017 erkundigte sich der Beschwerdeführer beim Bezirksgericht, ob der von ihm beantragte Zeuge einvernommen werde. Am 25. August 2017 erging das erstinstanzliche Urteil. Mit Eingabe vom 31. August 2017 erstattete der Beschwerdeführer die Berufungsanmeldung, was ein Ersuchen um Begründung des Urteils beinhaltete.
Der Beschwerdeführer konstituierte sich als Privatkläger und beteiligte sich aktiv am Gang des Strafverfahrens. Die Vorinstanz überschreitet bzw. missbraucht das ihr zustehende Ermessen nicht, wenn sie bei dieser Sachlage die Kosten des Untersuchungsverfahrens und des erstinstanzlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer auferlegt. Die Kostenauflage an den Beschwerdeführer verletzt nicht Bundesrecht.
4.3. Obsiegt die beschuldigte Person bei Antragsdelikten im Schuldpunkt, so können die antragstellende Person, sofern diese mutwillig oder grob fahrlässig die Einleitung des Verfahrens bewirkt oder dessen Durchführung erschwert hat, oder die Privatklägerschaft verpflichtet werden, der beschuldigten Person die Aufwendungen für die angemessene Ausübung ihrer Verfahrensrechte zu ersetzen (<ref-law>). Die Bestimmung lautet ähnlich wie <ref-law>. Die Anforderungen für die Anwendbarkeit beider Bestimmungen sind analog und <ref-law> ist konsequenterweise gleich auszulegen wie <ref-law>. Werden die Kosten der Antrag stellenden Person bzw. der Privatklägerschaft in Anwendung von <ref-law> auferlegt, kann eine der beschuldigten Person zugesprochene Entschädigung gestützt auf <ref-law> der Antrag stellenden Person bzw. der Privatklägerschaft auferlegt werden (Urteile 6B_117/2016 vom 18. November 2016 E. 2.2 und 6B_467/2016 vom 14. Juni 2017 E. 2.7).
Dies ist vorliegend der Fall. Der Beschwerdeführer macht denn auch nicht geltend, die Frage der Entschädigung wäre anders zu regeln als diejenige der Kostenauflage. Die Vorinstanz verletzt das ihr zustehende Ermessen nicht, wenn sie den Beschwerdeführer zur Zahlung einer Prozessentschädigung an den Beschwerdegegner für dessen Aufwendungen im Untersuchungsverfahren und erstinstanzlichen Verfahren verpflichtet.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe <ref-law> verletzt, indem sie die Kosten des Berufungsverfahrens vollumfänglich ihm auferlegt habe. Das Berufungsverfahren habe zwei Sachverhalte umfasst. Er habe nur Berufung in Sachen Verleumdung begangen am 19. Mai 2016 in U._ erhoben. Betreffend den zweiten Sachverhalt, der vom Beschwerdegegner angefochten worden sei, habe er (der Beschwerdeführer) keine Anschlussberufung erhoben. Daher hätte ihm die Vorinstanz die Kosten des Berufungsverfahrens nur teilweise auferlegen dürfen. Ebenso hätte er nur zur teilweisen Zahlung der dem Beschwerdegegner im Rechtsmittelverfahren entstandenen Parteikosten verpflichtet werden dürfen.
5.2. Die Kosten- und Entschädigungsfolgen im Rechtsmittelverfahren tragen die Parteien nach Massgabe ihres Obsiegens oder Unterliegens (Art. 428 Abs. 1 erster Satz StPO). Ob eine Partei als obsiegend oder unterliegend gilt, hängt davon ab, in welchem Ausmass ihre vor Berufungsgericht gestellten Anträge gutgeheissen wurden (Urteil 6B_1118/2016 vom 10. Juli 2017 E. 1.2.2).
Hinsichtlich des Rechtsmittelverfahrens ist der Beschwerdegegner ebenfalls als obsiegend zu betrachten, drang er doch mit allen seinen Anträgen durch. Die Staatsanwaltschaft hat keine Berufung erhoben und beteiligte sich nicht am zweitinstanzlichen Verfahren. Der Beschwerdeführer beantragte im Berufungsverfahren, der Beschwerdegegner sei der Verleumdung begangen am 19. Mai 2016 in U._ (diesbezüglich war erstinstanzlich ein Freispruch erfolgt) schuldig zu sprechen. Betreffend die am 19. Mai 2016 in V._ begangene Verleumdung (diesbezüglich war erstinstanzlich ein Schuldspruch erfolgt) stellte er Antrag auf Abweisung der Berufung des Beschwerdegegners und somit auf Bestätigung des erstinstanzlichen Schuldspruchs. Demzufolge unterlag der Beschwerdeführer mit seinen Anträgen vollumfänglich in Bezug auf beide Sachverhalte. Dass er keine Anschlussberufung erhoben hat, vermag an seinem Unterliegen nichts zu ändern. Als vollständig unterliegende Partei hat der Beschwerdeführer gestützt auf <ref-law> die Kosten des Berufungsverfahrens vollumfänglich zu tragen.
5.3. Die obigen Erwägungen gelten auch, soweit die Vorinstanz den Beschwerdeführer verpflichtet, dem Beschwerdegegner gestützt auf <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> für seine Aufwendungen im Berufungsverfahren eine ungekürzte Parteientschädigung zu entrichten, weil die Entschädigung an das vollumfängliche Unterliegen des Beschwerdeführers knüpft. Mit der von ihr vorgenommenen Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen im Berufungsverfahren verletzt die Vorinstanz nicht Bundesrecht.
6.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner ist keine Entschädigung zuzusprechen, da er im bundesgerichtlichen Verfahren nicht zur Vernehmlassung eingeladen wurde.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Januar 2019
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Faga