Faits :
A.
A.a. A._ est entré au service de la banque française Z._en 2011.
Par contrat de travail de durée indéterminée prenant effet le 16 janvier 2017, celle-ci l'a réaffecté à son bureau de représentation genevois en tant que délégué commercial.
Cette convention prévoyait un salaire brut de 4'000 fr. par mois pour un travail hebdomadaire de quarante heures. Les heures supplémentaires qui étaient expressément imposées par l'employeuse devaient être compensées par du temps libre de même durée (art. 4 du contrat).
Le salarié devait exécuter son travail essentiellement au siège de l'employeuse mais pouvait être amené, dans le cadre de ses fonctions, à effectuer des déplacements en Suisse ou à l'étranger, de longue ou de courte durée (art. 7).
A.b. L'employé, qui était domicilié en Haute-Savoie () entre janvier et août 2017, devait prospecter de nouveaux clients. Il se déplaçait notamment dans divers lieux à Genève ainsi qu'à Lausanne et à Berne. Il s'est rendu au moins trois fois à Zurich.
Il avait un abonnement pour les transports publics genevois dont la moitié était remboursée par la banque. Il utilisait son véhicule privé pour les autres trajets.
Tous les mois, il présentait à son employeuse ses justificatifs de frais d'essence, de parking et d'abonnement aux transports publics. Celle-ci lui a remboursé ces frais de janvier à novembre 2017.
A.c. Dès le 25 janvier 2018, l'employé s'est trouvé totalement incapable de travailler en raison d'un état dépressif et anxieux majeur. Les certificats médicaux font état d'un épuisement professionnel occasionné par une surcharge de travail.
A.d. Le 17 juillet 2018, l'employé a assigné une première fois la banque en conciliation devant les tribunaux genevois. Il lui réclamait entre autres le paiement d'heures supplémentaires et d'une indemnité pour tort moral, ainsi que le remboursement de divers frais.
L'audience tenue le 18 septembre 2018 n'a pas permis de trouver un accord.
A.e. Dans une missive du 14 septembre 2018, la compagnie d'assurances qui versait des indemnités journalières a déploré le manque de collaboration du médecin de l'employé; elle a invité ce dernier à faire le nécessaire dans un délai échéant le 1er octobre 2018, faute de quoi il perdrait son droit aux prestations.
A.f. Le 21 septembre 2018, la banque a mis fin au contrat de travail de l'employé pour le 31 décembre 2018, sans indiquer de motif.
L'employé a contesté le congé qu'il a qualifié d'abusif. Il a ensuite été hospitalisé du 7 novembre au 3 décembre 2018.
A.g. L'employé a fait appel au Service de l'inspection du travail pour une problématique de temps de travail et une suspicion de mobbing /harcèlement moral. Un inspecteur est intervenu après la résiliation des rapports de travail. Il n'a décelé aucune problématique, en particulier quant au climat de travail.
B.
B.a. Après avoir derechef assigné l'employeuse en conciliation le 10 janvier 2019, l'employé a porté sa cause devant le Tribunal des prud'hommes du canton de Genève en concluant au paiement de 128'862 fr. Cette somme incluait les prétentions suivantes:
- 50'000 fr. d'indemnités pour licenciement abusif (24'000 fr., soit six mois de salaire) et pour tort moral (26'000 fr.);
- 2'912 fr. d'indemnité pour des vacances non prises;
- 16'985 fr. en rémunération des heures supplémentaires accomplies;
- 43'716 fr. en remboursement de divers frais de déplacement;
- 11'352 fr. liés à des frais de représentation, et enfin
- 3'897 fr. pour des frais de repas.
La banque a conclu au déboutement du demandeur en expliquant qu'elle l'avait licencié parce qu'il ne s'était pas présenté à son poste de travail le 1er septembre 2018.
Par jugement du 15 juin 2020, le Tribunal des prud'hommes a condamné la banque à verser à l'employé 2'876 fr. 95 d'indemnisation pour des vacances non prises et a rejeté toutes autres conclusions.
B.b. Le 24 juillet 2021, la Cour de justice genevoise, par sa Chambre prud'homale, a rejeté l'appel formé par l'employé et confirmé le jugement entrepris. Ses motifs seront évoqués dans les considérants en droit du présent arrêt.
C.
L'employé forme un recours en matière civile au Tribunal fédéral en réitérant les conclusions formulées dans sa demande, à l'exception de celle en paiement des vacances non prises, qui avait été admise pour l'essentiel. En parallèle, il requiert l'assistance judiciaire.
La Cour cantonale et l'intimée n'ont pas été invitées à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
Les conditions de recevabilité du recours en matière civile sont réalisées sur le principe, notamment celles afférentes à la valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. (<ref-law>) et au délai de recours (<ref-law> en lien avec l'<ref-law>).
2.
2.1. Le recourant peut dénoncer entre autres une violation du droit fédéral (<ref-law>). L'autorité de céans applique le droit d'office. Elle n'examine que les griefs invoqués, sauf en cas d'erreurs juridiques manifestes (<ref-ruling> consid. 2 p. 116). Une exigence de motivation accrue prévaut pour la violation des droits constitutionnels tels que la prohibition de l'arbitraire: le principe d'allégation ancré à l'<ref-law> impose au recourant d'indiquer quel droit constitutionnel a été violé et d'expliquer de façon circonstanciée en quoi consiste la violation (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 3.2).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut rectifier ou compléter des constatations factuelles que si elles sont manifestement inexactes - c'est-à-dire arbitraires selon l'art. 9 Cst. - ou si elles découlent d'une violation du droit au sens de l'<ref-law> (art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF).
Conformément au principe d'allégation, la partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18 et les références).
Concernant l'appréciation des preuves, le Tribunal fédéral n'intervient du chef de l'art. 9 Cst. que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans raisons objectives de tenir compte des preuves pertinentes ou a effectué, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 234; <ref-ruling> consid. 4.2). L'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait concevable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 2).
3.
Il est constant que le recourant et la banque intimée ont été liés par un contrat de travail que celle-ci a résilié le 21 septembre 2018 pour le 31 décembre suivant. A ce stade subsistent trois principaux points de discorde:
- les heures supplémentaires qui auraient été accomplies;
- le caractère prétendument abusif du congé et l'indemnisation du tort moral soi-disant infligé, et enfin
- les frais de déplacement et d'usure du véhicule.
Ces questions seront traitées dans l'ordre précité.
4.
4.1. La Cour cantonale a rappelé les principes régissant les heures supplémentaires et leur rémunération (citant entre autres l'<ref-law> et l'arrêt 4A_484/2017 du 17 juillet 2018 consid. 2.3). Elle a rejeté la prétention en indemnisation des heures supplémentaires pour les motifs suivants:
L'employé alléguait avoir effectué au moins deux heures supplémentaires par jour et avoir travaillé un ou deux samedis par mois à Zurich.
- Il n'en avait pas apporté la démonstration.
- I l n'était pas non plus prouvé que la banque aurait ordonné ces heures, ni qu'elles auraient été nécessaires à la sauvegarde de ses intérêts, ni encore qu'elles lui auraient été communiquées. En l'occurrence, elle ne pouvait se douter d'éventuelles heures supplémentaires non annoncées.
- Au demeurant, l'employé avait signé un tableau récapitulant ses horaires. Même si ce document ne reflétait pas les heures effectivement accomplies, il laissait supposer que le travailleur avait pu compenser ses éventuelles heures supplémentaires, conformément à l'art. 4 du contrat de travail.
4.2. La Cour cantonale a ainsi présenté une motivation à plusieurs facettes dont l'une constate l'échec de la preuve quant à l'existence même des heures supplémentaires.
4.2.1. Le recourant lui reproche d'avoir appliqué un degré de preuve erroné, soit la preuve stricte en lieu et place de la haute vraisemblance, qui s'imposait selon lui dans la mesure où l'employeuse avait négligé d'enregistrer son temps de travail effectif et contrevenu aux art. 46 LTr (Loi sur le travail; RS 822.11) et 73 al. 1 let. c et d OLT 1 [Ordonnance 1 relative à la loi sur le travail; RS 822.111].
Le grief est infondé. Dans son exposé théorique, la Cour d'appel avait précisé que la violation des dispositions précitées induisait selon elle un allègement du fardeau de la preuve, le juge devant se contenter d'une haute vraisemblance [ i.e d'une vraisemblance prépondérante; cf. arrêt 4A_428/2019 du 16 juin 2020 consid. 5.1.2]. Qu'elle ait ensuite constaté l'échec de la preuve sans répéter qu'elle appliquait ce degré atténué ne signifie pas qu'elle aurait recouru au critère de la preuve stricte.
4.2.2. Au surplus, le recourant conteste l'appréciation des preuves en objectant que "plusieurs indices probants" viendraient "confirmer les heures supplémentaires alléguées".
Pareille critique se révèle insuffisante. Le recourant néglige en effet de contrer par des arguments détaillés les différents éléments sous-tendant l'appréciation de la Cour cantonale. De fait, elle a pris en compte les témoignages recueillis, les différents indices mis en exergue par le recourant (déplacements accomplis, kilométrage allégué, objectif prétendument assigné), le planning d'activité tenu par ses soins et le tableau dressé par l'intimée, en précisant qu'il n'attestait pas des heures effectivement accomplies. La conclusion qu'elle tire de ces moyens de preuve est dénuée d'arbitraire.
Le recourant tente simplement d'imposer sa propre version fondée sur des affirmations à l'emporte-pièce dont il n'a pas rapporté la preuve (en particulier le kilométrage soi-disant parcouru pour son activité professionnelle et les objectifs prétendument assignés par la banque), ou dont la Cour d'appel a jugé qu'elles n'étaient pas déterminantes: les huit heures de travail quotidiennes pouvaient fort bien être accomplies nonobstant les déplacements et le kilométrage allégués (62'000 km; cf. au surplus consid. 6 infra).
4.3. La cour de céans est ainsi liée par le constat concernant l'inexistence d'heures supplémentaires. Or, il suffit à liquider le sort des autres griefs afférents à la thématique des heures supplémentaires. Peu importe, notamment, de savoir si la banque intimée pouvait avoir connaissance du planning précis du recourant, et si l'on pouvait inférer du tableau dressé par l'intimée qu'il attestait d'une compensation des heures supplémentaires éventuellement accomplies.
Pour la suite du raisonnement (consid. 5.2 infra), on relèvera l'absence de contravention au droit fédéral dans l'analyse selon laquelle la nécessité d'accomplir des heures supplémentaires dans l'intérêt de l'employeuse n'a pas non plus été démontrée. Le recourant ne soulève du reste aucune objection dûment motivée à cet égard.
4.4. En bref, doit être rejetée, dans la mesure de sa recevabilité, cette première branche de griefs ciblant la thématique des heures supplémentaires.
5.
5.1. Le recourant se plaint ensuite du caractère abusif de son licenciement. En appel déjà, il l'avait relié à son incapacité de travail, que la banque aurait provoquée fautivement. ll persiste dans cette voie et réclame une indemnité de ce chef (<ref-law>), couplée avec une réparation pour le tort moral subi (<ref-law>). La Cour cantonale a brandi les objections suivantes:
Les certificats médicaux produits faisaient certes état d'une dépression engendrée par une surcharge de travail.
Cependant, il n'était pas prouvé que l'employeuse aurait causé cette incapacité de travail en violant ses obligations contractuelles, en particulier en négligeant son devoir de protéger la personnalité du travailleur.
- Rien n'indiquait qu'elle aurait ordonné des heures supplémentaires non compensées par un congé, ni que son intérêt eût exigé l'accomplissement de telles heures, en raison notamment de déplacements et/ou d'objectifs particuliers.
- En tout état de cause, elle n'était pas en mesure d'agir pour préserver la santé de l'employé, puisque celui-ci n'avait pas annoncé ses heures, qui n'étaient pas commandées par les circonstances, et qu'elle ne pouvait pas suspecter un surmenage.
- Il n'était en outre pas prouvé que le climat de travail aurait pu conduire l'employé à un burnout : aucun des témoins entendus n'avait constaté directement que les conditions de travail étaient mauvaises, et l'inspection menée par le Service ad hoc n'avait révélé aucun problème à cet égard.
5.2. Il est constant que la preuve d'heures supplémentaires n'a pas été apportée - ni le fait qu'elles auraient été rendues nécessaires dans l'intérêt légitime de l'employeuse (consid. 4.3 supra). Le recourant ne conteste pas sérieusement que le climat de travail n'est pas la cause de son état maladif. Il insiste sur cet état et le fait que les certificats médicaux l'imputent à une surcharge de travail. A cet égard, il se plaint que l'autorité précédente ait écarté deux pièces produites en appel (pièces 28 et 32) au motif qu'elles ne répondaient pas aux exigences de l'<ref-law>.
Le premier document consiste en une décision de l'Assurance-invalidité acceptant de prendre en charge une mesure d'entraînement progressif. Le second est un certificat médical attestant de la persistance de l'atteinte à la santé psychique du recourant qui est imputée à des difficultés professionnelles. Il suffit de constater l'inaptitude desdits moyens de preuve à modifier l'issue du litige.
Dans sa partie théorique, l'autorité précédente avait rappelé à bon escient la nécessité d'apprécier avec circonspection les attestations médicales, au motif notamment qu'elles sont en partie établies sur la base des plaintes émises par le patient. Des circonstances factuelles établies sans contravention au droit fédéral, elle pouvait inférer sans arbitraire que l'incapacité de travail n'était pas causée par une violation contractuelle de l'intimée et exclure de ce fait le caractère abusif du licenciement.
Le recourant ne soulève pas d'autre grief en lien avec cette problématique.
6.
6.1. La dernière branche de griefs porte sur l'appréciation des preuves censées établir les frais de déplacements professionnels du recourant et l'usure de son véhicule. La Cour cantonale a brandi les motifs suivants:
L'employé utilisait son véhicule privé pour ses déplacements professionnels à l'extérieur de Genève.
- Cela étant, il n'avait pas prouvé avoir parcouru 62'000 km pendant qu'il était employé au bureau de Genève: d'une part, le prétendu kilométrage du véhicule au début de cette période datait en réalité du 22 novembre 2016, soit près de deux mois avant son engagement, et l'on ignorait les kilomètres parcourus dans l'intervalle. D'autre part, la pièce censée démontrer le kilométrage du véhicule à la fin des rapports contractuels consistait en une photographie non datée d'un tableau de bord, dont rien n'indiquait qu'il concernât le véhicule de l'employé.
- Quand bien même il aurait parcouru une telle distance, l'employeuse ne répondrait que des frais imposés par l'exécution du travail. Or, le kilométrage allégué incluait les trajets privés, accomplis entre son domicile et son lieu de travail ou lors des week-end et vacances. Le travailleur n'avait fourni aucun élément permettant de déterminer même approximativement la proportion d'utilisation du véhicule à titre professionnel, respectivement à des fins privées.
- Enfin, il réclamait une indemnité d'usure sans se fonder sur des données valables. Le montant allégué de 70 centimes par kilomètre, retenu pour les déductions fiscales, intégrait non seulement l'usure du véhicule, mais aussi l'essence et les frais courants; or, la banque avait indemnisé séparément les frais d'essence, de sorte que ce chiffre ne pouvait servir de base de calcul.
6.2. Le recourant reproche à la Cour cantonale d'avoir violé l'<ref-law> en retenant que le tableau de bord photographié n'était pas nécessairement celui de son véhicule, alors que l'intimée n'avait fait aucune allégation en ce sens.
Le recourant confond tout bonnement la question des fardeaux de l'allégation et de la preuve avec celle de l'appréciation des preuves. Il devait établir ses frais de déplacement, et les juges devaient apprécier les moyens de preuve - ce qu'ils ont fait, en relevant notamment que la photo produite ne pouvait être reliée avec le véhicule du recourant, et ne portait au demeurant aucune date, élément que le recourant tente de minimiser.
6.3. Pour le surplus, le recourant propose une motivation appellatoire, fondée sur son état de santé qui l'aurait empêché d'effectuer des milliers de kilomètres après la fin du contrat, de sorte qu'il serait "au contraire beaucoup plus vraisemblable qu'il a[it] effectué ce parcours de 62'000 kilomètres" alors qu'il était encore au service de la banque. Outre qu'il ne fournit aucune alternative sérieuse à l'appréciation selon laquelle a échoué à établir la distance parcourue à des fins professionnelles, il croit candidement pouvoir l'emporter en affirmant qu'en privé, il aurait utilisé son véhicule pour les seuls trajets entre son domicile et son lieu de travail.
Peu importe, dès lors, que la Cour cantonale n'aie pas utilisé l'application Google maps.
Le recourant objecte encore qu'elle disposait des frais d'essence remboursés par l'intimée. Quand bien même elle a évoqué un remboursement desdits frais entre janvier et novembre 2017, on ne voit guère comment la Cour cantonale aurait pu en déduire les frais d'usure du véhicule - ou du moins son appréciation des preuves était-elle soutenable.
En bref, le recourant vitupère en vain. Le Tribunal fédéral ne discerne aucun arbitraire dans l'appréciation des moyens de preuve remis à la Cour cantonale.
7.
Le recourant n'émet aucun autre grief et omet de motiver les autres postes concernant ses frais professionnels. Il n'y a pas lieu de disserter plus longuement.
8.
En définitive, le recours doit être rejeté. Il apparaissait d'emblée voué à l'échec, de sorte que l'une des deux conditions cumulatives pour l'assistance judiciaire fait défaut (<ref-law>; sur l'absence de chances de succès du recours, cf. par ex. arrêt 4A_618/2017 du 11 janvier 2018 consid. 6; <ref-ruling> consid. 2.2.4; <ref-ruling> consid. 2.3.1). Aussi la requête y afférente doit-elle être rejetée, et le recourant devra-t-il supporter les frais de la présente procédure, fixés à 3'000 fr. (art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF). Il sera en revanche dispensé de verser des dépens à l'intimée puisqu'elle n'a pas été invitée à répondre au recours.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais de procédure, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties ainsi qu'à la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 29 mars 2022
Au nom de la I re Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Hohl
La Greffière : Monti