Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1961 geborene A._ war zuletzt vom 1. Juni 1997 bis zum 30. April 2013 in einem 60 - 80 %-Pensum als Aushilfe Restaurant/Kantine bei der B._ AG sowie von 2005 bis Juni 2012 in einem 10 %-Pensum als Büroreinigungskraft bei der C._ AG tätig. Am 5. November 2012 meldete sie sich unter Hinweis auf eine retraktile Kapsulitis an der rechten Schulter bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach verschiedenen Abklärungen verneinte die IV-Stelle des Kantons Zürich mit Verfügung vom 3. September 2014 - wie vorbeschieden - einen Rentenanspruch.
A.b. Am 9. April 2015 meldete sich A._ unter Hinweis auf eine retraktile Kapsulitis an der rechten und linken Schulter erneut bei der IV-Stelle zum Leistungsbezug an. Diese tätigte wiederum medizinische Abklärungen und liess die Versicherte durch Dr. med. D._, Facharzt für Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates, Regionaler Ärztlicher Dienst (RAD), untersuchen (Bericht vom 1. Juni 2015). Zudem veranlasste sie eine bidisziplinäre (rheumatologisch-psychiatrisch) Begutachtung bei der E._ AG (Expertise vom 3. November 2016). Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren sprach sie der Versicherten mit Verfügung vom 27. April 2017 eine vom 1. Oktober 2015 bis 31. Dezember 2016 befristete ganze Invalidenrente zu. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 24. Juli 2017 aus formellen Gründen (Verletzung der Begründungspflicht) in dem Sinne gut, dass es die Sache an die IV-Stelle zurückwies, damit diese über den Leistungsanspruch der Versicherten neu verfüge. Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren sprach die IV-Stelle der Versicherten mit Verfügung vom 7. Februar 2019 erneut eine vom 1. Oktober 2015 bis 31. Dezember 2016 befristete ganze Invalidenrente zu.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 13. August 2019 gut. Es hob die Verfügung der IV-Stelle vom 7. Februar 2019 mit der Feststellung auf, dass A._ ab 1. Oktober 2015 und einstweilen weiterhin Anspruch auf eine ganze Invalidenrente habe.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle, es sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Verfügung vom 7. Februar 2019 zu bestätigen. Zudem sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu gewähren.
A._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde und des Gesuchs um Erteilung der aufschiebenden Wirkung. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.2. Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist. Eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung weist damit die Tragweite von Willkür auf. Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erscheint. Eine Sachverhaltsfeststellung ist etwa dann offensichtlich unrichtig, wenn das kantonale Gericht den Sinn und die Tragweite eines Beweismittels offensichtlich falsch eingeschätzt, ohne sachlichen Grund ein wichtiges und für den Ausgang des Verfahrens entscheidendes Beweismittel nicht beachtet oder aus den abgenommenen Beweisen unhaltbare Schlüsse gezogen hat. Solche Mängel sind in der Beschwerde aufgrund des strengen Rügeprinzips (vgl. <ref-law>) klar und detailliert aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen; Urteil 9C_752/2018 vom 12. April 2019 E. 1.2).
2.
Streitig ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hat, indem sie einen Rentenanspruch der Beschwerdegegnerin über den 31. Dezember 2016 hinaus bejahte. Im Zentrum steht dabei die Frage der Zumutbarkeit der Selbsteingliederung.
3.
3.1. Nach unbestrittener vorinstanzlicher Feststellung war die Beschwerdegegnerin aufgrund ihrer Schulterbeschwerden ab September 2014 in jeglicher Tätigkeit zu 100 % arbeitsunfähig. In der Folge habe sich ihr Gesundheitszustand wieder verbessert. Seit spätestens September 2016 sei von einer 70%igen Arbeitsfähigkeit in der angestammten und im 70 %-Pensum ausgeübten Tätigkeit auszugehen. Das kantonale Gericht schloss daraus auf einen Invaliditätsgrad von höchstens 30 %, weshalb die IV-Stelle zu Recht eine befristete ganze Invalidenrente von Oktober 2015 (6 Monate nach der Neuanmeldung vom April 2015; vgl. <ref-law>) bis Dezember 2016 (Zeitpunkt Verbesserung plus 3 Monate; vgl. <ref-law>) zugesprochen habe. In diesem Punkt sind sich die Parteien einig. Für eine abweichende Beurteilung besteht vorliegend mangels offensichtlicher Fehler kein Anlass, weshalb sich hierzu Weiterungen erübrigen (vgl. E. 1.1 hiervor).
3.2. Umstritten ist dagegen, ob die Vorinstanz zu Recht die Zumutbarkeit der Selbsteingliederung verneint und die IV-Stelle dazu verpflichtet hat, vor einer Rentenaufhebung die Eingliederungsfrage zu prüfen.
4.
4.1. Rechtsprechungsgemäss ist eine verbesserte oder neu festgestellte Arbeitsfähigkeit grundsätzlich auf dem Weg der Selbsteingliederung zu verwerten (vgl. statt vieler: Urteil 9C_473/2019 vom 25. Februar 2020 E. 5.2.1 mit Hinweis). Bei Personen, deren Rente revisionsweise herabgesetzt oder aufgehoben werden soll, sind nach mindestens 15 Jahren Bezugsdauer oder wenn sie das 55. Altersjahr zurückgelegt haben, praxisgemäss in der Regel vorgängig Massnahmen zur Eingliederung durchzuführen, bis sie in der Lage sind, das medizinisch-theoretisch (wieder) ausgewiesene Leistungspotenzial mittels Eigenanstrengung auszuschöpfen und erwerblich zu verwerten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 211 mit zahlreichen Hinweisen). Ausnahmen von der diesfalls grundsätzlich ("vermutungsweise") anzunehmenden Unzumutbarkeit einer Selbsteingliederung liegen namentlich dann vor, wenn die langjährige Absenz vom Arbeitsmarkt auf invaliditätsfremde Gründe zurückzuführen ist, wenn die versicherte Person besonders agil, gewandt und im gesellschaftlichen Leben integriert ist oder wenn sie über besonders breite Ausbildungen und Berufserfahrungen verfügt (dazu und zum Folgenden: <ref-ruling> E. 5.1 S. 211 f. mit Hinweisen). Verlangt sind immer konkrete Anhaltspunkte, die den Schluss zulassen, die versicherte Person könne sich trotz ihres fortgeschrittenen Alters und/oder der langen Rentenbezugsdauer mit entsprechender Absenz vom Arbeitsmarkt ohne Hilfestellungen wieder in das Erwerbsleben integrieren. Die IV-Stelle trägt die Beweislast dafür, dass entgegen der Regel die versicherte Person in der Lage ist, das medizinisch-theoretisch (wieder) ausgewiesene Leistungspotenzial auf dem Weg der Selbsteingliederung erwerblich zu verwerten.
4.2. Die Rechtsprechung, wonach bei der revisionsweisen Herabsetzung oder Aufhebung der Invalidenrente bei zurückgelegtem 55. Altersjahr grundsätzlich Eingliederungsmassnahmen durchzuführen sind, findet auch dann Anwendung, wenn - wie hier - zeitgleich mit der Rentenzusprache rückwirkend über deren Befristung befunden wird (<ref-ruling> E. 5.2-5.4 S. 212 ff.).
5.
5.1. Soweit die IV-Stelle für die Frage der Zumutbarkeit der Selbsteingliederung den Zeitpunkt des Feststehens der medizinischen Zumutbarkeit einer (Teil-) Erwerbstätigkeit als massgeblich erachtet, kann sie daraus nichts zu ihren Gunsten ableiten, stand doch die medizinische Zumutbarkeit (erst) mit der Erstattung des bidisziplinären Gutachtens der E._ AG vom 3. November 2016 fest (vgl. <ref-ruling> E. 3.4 S. 462; vgl. auch Urteil 9C_797/2019 vom 6. Januar 2020 E. 4). Zu diesem Zeitpunkt hat die am 10. Oktober 1961 geborene Versicherte das 55. Altersjahr bereits zurückgelegt. Auch im Zeitpunkt der Verfügung selbst (7. Februar 2019) und dem darin festgelegten Zeitpunkt der Rentenaufhebung (per 31. Dezember 2016) hat die Beschwerdegegnerin die entsprechende Schwelle überschritten. Insoweit kann vorliegend letztlich offen bleiben (wie bereits im <ref-ruling> E. 5.4 in fine S. 214 und im Urteil 9C_574/2019 vom 16. Oktober 2019 E. 3.2), welches der für die Ermittlung des Eckwerts des 55. Altersjahres massgebliche Zeitpunkt sein soll. Wie die Vorinstanz richtig erkannt hat, ist der Versicherten die Selbsteingliederung rechtsprechungsgemäss grundsätzlich ("vermutungsweise") unzumutbar (<ref-ruling> E. 5.1 S. 211).
5.2.
5.2.1. Die Beschwerdeführerin bringt weiter vor, dass lediglich während zwei Jahren (September 2014 bis September 2016) eine medizinisch begründete Arbeitsunfähigkeit bestanden habe und nur ein kurzer Rentenbezug vorliege. Eine lange Abwesenheit vom Arbeitsmarkt lasse sich somit nicht begründen. Zudem liege mit 70 % eine hohe Restarbeitsfähigkeit sowie eine lange verbleibende Erwerbsdauer von 9 Jahren vor. Hinzu komme, dass die Beschwerdegegnerin im Laufe ihrer Berufsbiographie bei verschiedenen Arbeitgebern tätig gewesen sei, was für eine Anpassungsfähigkeit spreche.
5.2.2. Damit vermag die IV-Stelle indessen keine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz oder eine sonstige Bundesrechtsverletzung darzutun. So steht vorliegend nicht ein langjähriger Rentenbezug im Blickpunkt, sondern es geht um eine Versicherte, die im Zeitpunkt der Berentung bei gleichzeitiger Aufhebung des Anspruchs das Alter von 55 Jahren bereits erreicht hat. Insoweit kann die Verwaltung aus einer kurzen Rentenbezugsdauer nichts zu ihren Gunsten ableiten. Dass die Beschwerdegegnerin aus invaliditätsfremden Gründen dem Arbeitsmarkt ferngeblieben sein soll, behauptet die IV-Stelle zu Recht nicht. Aus den übrigen Vorbringen ergibt sich sodann nicht, inwiefern die Versicherte dem von der einschlägigen Rechtsprechung skizzierten Bild einer besonders agilen und gewandten sowie im gesellschaftlichen Leben integrierten Person oder einer solchen mit besonders breiten Ausbildungen und Berufserfahrungen entsprechen soll (vgl. E. 4.1 hiervor). Vielmehr hat die Vorinstanz im Ergebnis zu Recht erkannt, dass das Selbsteingliederungspotenzial der Beschwerdegegnerin nicht ein Ausmass erreicht, welches die IV-Organe von der Prüfung und allenfalls der Durchführung von Eingliederungsmassnahmen enthoben hätte. Nach den weiteren Feststellungen der Vorinstanz hat die Beschwerdegegnerin mehrfach auf die Notwendigkeit von Eingliederungsmassnahmen hingewiesen und sich im kantonalen Beschwerdeverfahren gewillt gezeigt, an solchen teilzunehmen. Es könne somit nicht davon ausgegangen werden, dass die Eingliederung mangels Interesses der Versicherten nicht erfolgsversprechend sei. Allein die Tatsache, dass sie sich gemäss den ärztlichen Berichten subjektiv nicht arbeitsfähig fühle, lasse diesen Schluss jedenfalls nicht zu. Wenn das kantonale Gericht vor diesem Hintergrund eine subjektive Eingliederungsunfähigkeit verneint hat, so ist dies weder offensichtlich unrichtig noch sonstwie bundesrechtswidrig (vgl. E. 1.1 hiervor).
5.3. Nach dem Gesagten ist die Vorinstanz zu Recht von der Unzumutbarkeit der Selbsteingliederung ausgegangen. Da die Aufhebung der Rente erst nach Durchführung von Eingliederungsmassnahmen erfolgen kann, ist auch nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz die IV-Stelle zur Weiterausrichtung der Rente verpflichtet hat (vgl. Urteil 8C_80/2020 vom 19. Mai 2020 E. 2.3.3 und E. 4). Dies bedeutet nicht, dass sich die versicherte Person auf eine Bestandesgarantie berufen kann, sondern lediglich, dass ihr zugestanden wird, dass ihre Rente erst nach Prüfung und Durchführung von Eingliederungsmassnahmen eingestellt wird (<ref-ruling> E. 4.2.2 S. 8 mit Hinweisen). Die Beschwerde der IV-Stelle ist demnach unbegründet und abzuweisen.
6.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
7.
Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, III. Kammer, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. Juni 2020
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Wüest