Sachverhalt:
A.
D._ (Beschwerdegegnerin) mietete mit Vertrag vom 12. November 1996 von A.A._ (Beschwerdeführer) und dessen Ehefrau B.A._ eine 4-Zimmer-Wohnung im 4. Stock der Liegenschaft Strasse G._ in U._. Mietbeginn war der 1. Januar 1997. Das Mietverhältnis war unbefristet und dreimonatlich zum Voraus auf Ende März, Ende Juni und Ende September kündbar.
Mit amtlichem Formular vom 18. Januar 2013 kündigten die Vermieter das Mietverhältnis ohne Angabe einer Begründung auf den 30. Juni 2013. Auf Nachfragen von D._ gab der Verwalter der Liegenschaft, E._, mit Schreiben vom 29. Januar 2013 "Eigenbedarf" als Kündigungsgrund an und konkretisierte dies am 12. März 2013 mit dem Hinweis, der Sohn der Vermieter, C.A._, wolle die Wohnung mit seiner Familie beanspruchen.
B.
D._ focht die Kündigung bei der Schlichtungsbehörde des Bezirks Zürich an. Sie machte geltend, der Eigenbedarf sei als Kündigungsgrund vorgeschoben. In Wahrheit werde beabsichtigt, die Wohnung teurer weiterzuvermieten. Anlässlich der Schlichtungsverhandlung vom 21. März 2013 wurde keine Einigung erzielt, weshalb die Schlichtungsbehörde den Parteien einen Urteilsvorschlag unterbreitete. A.A._ und B.A._ lehnten diesen ab, worauf ihnen die Klagebewilligung erteilt wurde. Am 21. Mai 2013 reichten A.A._ und B.A._ Klage beim Mietgericht Zürich ein. Dieses stellte mit Urteil MB130009 vom 23. Oktober 2014 fest, dass die Kündigung nicht missbräuchlich ist (Dispositiv-Ziffer 1). Weiter erstreckte es das Mietverhältnis "einmalig und definitiv" bis zum 30. September 2014 (Dispositiv-Ziffer 2). Dieses Urteil blieb unangefochten.
Am 11./14. November 2014 schlossen die Parteien einen aussergerichtlichen Vergleich, worin das Mietverhältnis "letztmalig und definitiv" bis 31. März 2015 erstreckt und der Mieterin das Recht zugestanden wurde, schon zuvor mit einer Frist von 30 Tagen auf jedes Monatsende zu kündigen. Mit Schreiben vom 24. November 2014 kündigte D._ das Mietverhältnis auf Ende Dezember 2014, kam darauf aber wenig später zurück.
Am 12. Januar 2015 erkundigte sich die Mieterin per E-Mail bei E._, ob sich infolge des geplanten Erweiterungsbaus der Kantonsschule V._ die Ausgangslage geändert habe und eine Verlängerung des Mietvertrages denkbar wäre. Die Mietliegenschaft stehe als einzige Privatliegenschaft auf dem Schulareal im Visier des Kantons, und wegen der geplanten Bauarbeiten stehe eine längerfristige Grossbaustelle direkt vor dem Haus an. Mit Antwort vom nächsten Tag wurde der Mieterin mitgeteilt, A.A._ sei von einem solchen Bauvorhaben nichts bekannt und das Mietverhältnis könne nicht weiter verlängert werden.
Das Mietverhältnis wurde schliesslich per Ende Februar 2015 beendet, nachdem die Mieterin eine neue Wohnung gemietet hatte.
Am 24. Mai 2015 verstarb B.A._.
C.
Am 11. August 2015 machte D._ bei der Schlichtungsbehörde Zürich eine Klage gegen C.A._ sowie A.A._ anhängig. Nach erfolgloser Schlichtungsverhandlung reichte sie die Klage am 31. Dezember 2015 beim Mietgericht Zürich im vereinfachten Verfahren ein. Sie verlangt Schadenersatz in der Höhe von Fr. 14'459.-- nebst Zins, unter anderem für Umzugskosten und die Mietzinsdifferenz zwischen dem letzten Mietzins für das Mietobjekt und ihrem aktuellen Mietzins. Zur Begründung macht sie geltend, der Eigenbedarf der Vermieter sei vorgeschoben gewesen. Die Wohnung an der Strasse G._ sei im Mai 2015 im Internet auf einem Immobilienportal zur Miete ausgeschrieben gewesen, und zwar zu einem Mietzins, der rund Fr. 650.-- pro Monat höher liege als der zuletzt geltende Mietzins.
Anlässlich der Hauptverhandlung vom 26. Oktober 2016 zog die Mieterin die Klage gegen C.A._ zurück.
Mit Urteil vom 16. Januar 2017 hiess das Einzelgericht am Mietgericht die Klage teilweise gut und verurteilte A.A._, D._ Fr. 11'109.-- zuzüglich Zins zu bezahlen. Im übersteigenden Umfang wies es die Klage ab.
Dieses Urteil focht A.A._ beim Obergericht des Kantons Zürich an. Mit Urteil vom 26. September 2017 wies das Obergericht die Berufung ab und bestätigte das Urteil des Mietgerichts vom 16. Januar 2017.
D.
A.A._ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben. Auf die Klage von D._ sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen.
D._ begehrt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit überhaupt darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet.
Die Parteien replizierten und duplizierten.
Am 5. Juni 2018 reichte A.A._ dem Bundesgericht zwei Strafurteile des Bezirksgerichts Zürich vom 25. Mai 2018 im Dispositiv ein. Darin werden C.A._ und dessen Lebenspartnerin F._ vom Vorwurf eines falschen Zeugnisses im Sinne von <ref-law> freigesprochen.
E.
Das Bundesgericht hat am 19. Februar 2019 eine öffentliche Urteilsberatung durchgeführt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil des Obergerichts ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer Vorinstanz im Sinne von <ref-law>. Der Streitwert erreicht die gemäss <ref-law> in mietrechtlichen Fällen geltende Grenze von Fr. 15'000.-- nicht. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde in Zivilsachen dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>).
1.2. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung liegt eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung dann vor, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.2 S. 210, 182 E. 1.2 S. 185; <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 1.2 S. 399). Die Frage muss von allgemeiner Tragweite sein (<ref-ruling> E. 1.2 S. 269). Eine neue Rechtsfrage kann vom Bundesgericht beurteilt werden, wenn dessen Entscheid für die Praxis wegleitend sein kann, namentlich, wenn von unteren Instanzen viele gleichartige Fälle zu beurteilen sein werden (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.3 S. 4).
Der vorliegende Fall wirft die Frage auf, ob und gegebenenfalls unter welchen Voraussetzungen der Mieter eine Schadenersatzklage wegen vorgeschobenen Eigenbedarfs erheben kann, wenn er die Kündigung bereits erfolglos nach Art. 271 f. OR angefochten hat. Diese Frage hat das Bundesgericht bisher nicht beantwortet, und es kommt ihr grundsätzliche Bedeutung im eben dargestellten Sinne zu (siehe im Einzelnen Erwägungen 3-5).
1.3. Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit zulässig, zumal auch die übrigen Eintretensvoraussetzungen gegeben sind.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden.
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
Somit kann nicht beachtet werden, wenn sich die Parteien in ihren Eingaben frei zu den Umständen und Absichten äussern, die ihres Erachtens zum Abschluss des Vergleichs vom 11./14. November 2014 geführt haben, ohne eine entsprechende Sachverhaltsergänzung hinreichend zu begründen.
3.
3.1. Die ordentliche Kündigung eines Mietvertrages setzt keinen besonderen Kündigungsgrund voraus. Mieter und Vermieter sind nach <ref-law> grundsätzlich frei, ein unbefristetes Mietverhältnis unter Einhaltung der vertraglichen oder gesetzlichen Fristen und Termine zu beenden. Die Kündigung von Wohn- oder Geschäftsräumen ist indessen gemäss <ref-law> anfechtbar, wenn sie gegen den Grundsatz von Treu und Glauben verstösst. Als treuwidrig gilt eine Kündigung allgemein, wenn sie ohne objektives, ernsthaftes und schützenswertes Interesse ausgesprochen wird und damit aus reiner Schikane erfolgt oder Interessen der Parteien tangiert, die in einem krassen Missverhältnis zueinander stehen (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 92; <ref-ruling> E. 4.1 S. 497; <ref-ruling> E. 2.1 S. 62 mit weiteren Hinweisen). <ref-law> zählt einzelne Gründe auf, bei deren Vorliegen die Kündigung insbesondere anfechtbar ist.
Das Motiv der Kündigung ist eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 2 S. 192; <ref-ruling> E. 2b; je mit weiterem Hinweis). Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts obliegt es dem Empfänger der Kündigung, zu beweisen, dass diese aus einem verpönten oder ohne schützenswerten Grund erfolgte. Der Kündigende hat jedoch redlich zur Wahrheitsfindung beizutragen; er hat die Kündigung auf Verlangen zu begründen (<ref-law>) und im Bestreitungsfall alle für die Beurteilung des Kündigungsgrunds notwendigen Unterlagen vorzulegen (BGE <ref-ruling> E. 2.1 S. 62; <ref-ruling>12 E. 4.1 S. 119; je mit weiteren Hinweisen). Eine mangelnde oder fehlerhafte Begründung kann ein Indiz dafür sein, dass ein schützenswertes Interesse an der Kündigung nicht besteht. Treuwidrigkeit wird angenommen, wenn der angegebene Kündigungsgrund vorgeschoben und der wahre Grund nicht feststellbar ist (<ref-ruling> E. 5.3.1 S. 345 mit Hinweisen).
Ob eine Kündigung gegen Treu und Glauben verstösst, beurteilt sich in Bezug auf den Zeitpunkt, in dem sie ausgesprochen wird (<ref-ruling> E. 3.2.1; <ref-ruling> E. 4.1 S. 497). Gegenstand der Anfechtung ist damit grundsätzlich der Kündigungsgrund zum Zeitpunkt der Kündigun g. Fällt der Grund, aus dem die Kündigung ausgesprochen wurde, in der Folge dahin, wird die Kündigung nicht nachträglich treuwidrig (BGE <ref-ruling> E. 2.1 S. 62; Urteile 4A_545/2013 vom 28. November 2013 E. 3.2.2 und 3.2.3 mit einem Überblick über den Meinungsstand in der Literatur; Urteil 4A_454/2012 vom 10. Oktober 2012 E. 2.5).
3.2. Das Gesetz bestimmt, dass eine Kündigung, die gegen Treu und Glauben verstösst, angefochten werden kann (Art. 271 f. OR). Ist die Anfechtung erfolgreich, bleibt das Mietverhältnis bestehen. Eine Entschädigungspflicht der Partei, die das Mietverhältnis missbräuchlich kündigt, ist demgegenüber nicht vorgesehen, im Gegensatz zum Arbeitsrecht (siehe Art. 336a und 337c OR). Mehrere Autoren weisen jedoch ausdrücklich darauf hin, dass unter gewissen Umständen auch ein Schadenersatzanspruch des Mieters in Frage komme, da eine treuwidrige Kündigung eine Vertragsverletzung im Sinne von <ref-law> oder eine unerlaubte Handlung gemäss <ref-law> darstelle (siehe im Einzelnen BARBEY, Commentaire du droit du bail, 1991, N. 310-312 zu Art. 271-271a OR; HIGI, Zürcher Kommentar, 4. Aufl. 1996, N. 91, 98-107 zu <ref-law>; je mit weiteren Hinweisen; ferner auch CONOD, in: Droit du bail à loyer et à ferme, 2. Aufl. 2016, N. 52 zu <ref-law>; LACHAT, Le bail à loyer, 2008, S. 761 Ziff. 7.4 f.; WEBER, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht I, 6. Aufl. 2015, N. 34 zu Art. 271/271a OR).
3.3. Das Obergericht ging unter Berufung auf die Literatur davon aus, dass eine gegen <ref-law> verstossende Kündigung durch den Vermieter nach <ref-law> grundsätzlich einen Schadenersatzanspruch des Mieters begründen könne. Dass der Mieterin infolge der Kündigung vom 18. Januar 2013 ein Schaden entstanden ist, war im kantonalen Berufungsverfahren nicht mehr umstritten, und ebensowenig die einzelnen Schadenspositionen. Das Obergericht prüfte eingehend, ob der Eigenbedarf bereits zum Zeitpunkt der Kündigung nicht bestanden hatte und damit als Kündigungsgrund vorgeschoben worden war, oder ob er nachträglich weggefallen und die Kündigung demnach rechtmässig erfolgt ist. Es gelangte "in Würdigung aller im Kontext des Kündigungsschutzverfahrens und nach dessen Abschluss bekannt gewordenen Umstände" zum Schluss, dass sich der geltend gemachte Eigenbedarf als vorgeschoben und nicht als nachträglich dahingefallen erweise. Es bejahte daher die Schadenersatzpflicht des Beschwerdeführers und wies dessen Berufung gegen das Urteil des Mietgerichts ab.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer stellt sich wie bereits im vorinstanzlichen Verfahren auf den Standpunkt, das Mietgericht hätte die Schadenersatzklage nicht gutheissen dürfen, nachdem es bereits die Klage der Beschwerdegegnerin auf Anfechtung der Kündigung abgewiesen und rechtskräftig festgestellt habe, dass die Kündigung rechtmässig sei. Überdies hätten die Parteien einen aussergerichtlichen Vergleich über den Streitgegenstand abgeschlossen. Er rügt, indem das Mietgericht "nochmals über die Frage der Gültigkeit der Kündigung (ernsthafter und aktueller Eigenbedarf) entschieden" und das Obergericht diesen Entscheid bestätigt habe, hätten sie <ref-law> verletzt.
4.2. Das Mietgericht hatte im Anfechtungsprozess die Treuwidrigkeit der Kündigung vom 18. Januar 2013 nach eingehendem Beweisverfahren verneint. Im Urteil vom 23. Oktober 2014 stellte es massgeblich auf die Zeugenaussagen von C.A._ und F._ ab. Es gelangte zum Schluss, insgesamt sei es den Vermietern gelungen, den Kündigungsgrund Eigenbedarf glaubhaft zu machen. Demgemäss habe die Beschwerdegegnerin den Beweis, dass der Kündigungsgrund vorgeschoben gewesen sei, nicht erbringen können. Die Kündigung verstosse damit nicht gegen den Grundsatz von Treu und Glauben und sei gültig. Dieses Urteil des Mietgerichts ist rechtskräftig geworden.
Streitig ist im vorliegenden Beschwerdeverfahren, welche Auswirkungen das Urteil auf die von der Beschwerdegegnerin erhobene Schadenersatzklage hat. Das Obergericht führte hierzu aus, der Schadenersatzprozess sei vom Anfechtungsverfahren "zu unterscheiden". Es liege in der Natur der Sache, dass bei Eigenbedarfskündigungen, denen eine Erstreckung folge, oft erst die Zukunft verlässlich zeigen könne, ob der im Zeitpunkt der Erklärung der Kündigung angegebene Kündigungsgrund einen realen Hintergrund gehabt habe oder als vorgeschoben qualifiziert werden müsse. Werde der Einzugswunsch nicht in die Tat umgesetzt und könne die fehlende Eigennutzung auch nicht mit objektiven geänderten Verhältnissen während der Erstreckungsdauer erklärt werden, werde möglicherweise "das Vorschieben des geltend gemachten Eigenbedarfs erkennbar". Die Tatsachen, "die den sicher (er) en Schluss auf den nur vorgeschobenen Eigenbedarf zuliessen", hätten sich erst nach dem Auszug aus der Wohnung ereignet. Die Prüfung, "ob das Vertrauen der Kündigungsempfängerin in eine als ernsthaft beurteilte Eigenbedarfskündigung enttäuscht wurde oder nicht", erfolge ungeachtet dessen, ob die Kündigung angefochten worden sei oder nicht, so dass der Beschwerdeführer insofern aus dem Nichtweiterzug des Urteils vom 23. Oktober 2014 nichts zu seinen Gunsten ableiten könne. Weiter erwog das Obergericht, das Beweisergebnis aus dem Anfechtungsprozess bleibe "dasselbe", es erscheine aber durch das Verhalten des Beschwerdeführers beziehungsweise dessen Familie nach der Kündigung beziehungsweise nach Auszug der Beschwerdegegnerin aus der Wohnung "in einem anderen Licht".
4.3. Obsiegt der Mieter im Anfechtungsverfahren, stellt sich die Frage nach einem Schadenersatzprozess in der Regel nicht, da der Mietvertrag fortdauert und dem Mieter infolgedessen kein Schaden entsteht. Demgegenüber wird ein Verzicht auf die Anfechtung im Schrifttum zum Teil ausdrücklich als Anerkennung der Rechtmässigkeit der Kündigung verstanden, welche späteren Schadenersatzansprüchen entgegenstehe (HIGI, a.a.O., N. 100 und 102 zu <ref-law>; siehe auch BARBEY, a.a.O., N. 312 zu Art. 271-271a OR mit weiteren Hinweisen). Wird die Treuwidrigkeit der Kündigung dagegen erst nach Ablauf der Anfechtungsfrist oder nach Abschluss des Kündigungsschutzverfahrens erkennbar, spricht sich die Lehre für eine Wiederherstellung der Anfechtungsfrist respektive die Revision des Anfechtungsentscheids aus, sofern das Mietverhältnis noch nicht beendet ist (siehe CONOD, a.a.O., N. 51 zu <ref-law>; HIGI, a.a.O., N. 105 zu <ref-law>; LACHAT, in: Commentaire Romand, Code des Obligations I, 2. Aufl. 2012, N. 11 zu <ref-law>; THANEI, in: Das Mietrecht für die Praxis, 9. Aufl. 2016, 780 f.; dieselbe, Die Kündigung des Mietverhältnisses bei Eigenbedarf, mp 2015, S. 240 f.; teils mit weiteren Hinweisen; vgl. auch WEBER, a.a.O., N. 33a zu Art. 271/271a OR, hinsichtlich von nachträglich weggefallenen Kündigungsgründen).
Diejenigen Autoren, welche einen Schadenersatzanspruch als Rechtsfolge einer missbräuchlichen Kündigung befürworten, beziehen sich auf den Fall, dass der Mieter die Treuwidrigkeit der Kündigung erst nachträglich entdeckt (siehe etwa BARBEY, a.a.O., N. 312 zu Art. 271-271a OR; CONOD, a.a.O., N. 52 zu <ref-law>; HIGI, a.a.O., N. 104 zu <ref-law>; LACHAT, Le bail à loyer, a.a.O., S. 732 Ziff. 3.8 und S. 761 Ziff. 7.5; THANEI, Das Mietrecht für die Praxis, a.a.O., 780 und 819). Dagegen äussern sie sich nicht zur hier interessierenden besonderen Konstellation, dass der Mieter die Kündigung angefochten hat, seine Anfechtungsklage aber rechtskräftig abgewiesen und das Mietverhältnis in der Folge beendet wurde.
5.
5.1. Ein formell rechtskräftiges Urteil ist in einem späteren Verfahren unter denselben Parteien verbindlich. Diese materielle Rechtskraft hat eine positive und eine negative Wirkung. In positiver Hinsicht bindet sie das Gericht in einem späteren Prozess an alles, was im Urteilsdispositiv des früheren Prozesses festgestellt wurde (sogenannte Präjudizialitäts- oder Bindungswirkung). In negativer Hinsicht verbietet sie jedem späteren Gericht, auf eine Klage einzutreten, deren Streitgegenstand mit dem rechtskräftig beurteilten identisch ist, sofern der Kläger nicht ein schutzwürdiges Interesse an Wiederholung des früheren Entscheids geltend machen kann (sogenannte Ausschlusswirkung). Es fehlt dann an einer Prozessvoraussetzung (siehe <ref-law>). Die materielle Rechtskraft eines Urteils erstreckt sich nach dem Grundsatz der Präklusion auf den individualisierten Anspruch schlechthin und schliesst Angriffe auf sämtliche Tatsachen aus, die im Zeitpunkt des Urteils bereits bestanden hatten, unabhängig davon, ob sie den Parteien bekannt waren, von diesen vorgebracht oder vom Richter beweismässig als erstellt erachtet wurden (<ref-ruling> E. 2 und 2.1; <ref-ruling> E. 3.1; je mit weiteren Hinweisen). Ausserhalb der zeitlichen Grenzen der materiellen Rechtskraft liegen dagegen rechtsbegründende oder rechtsverändernde Tatsachen, die im früheren Prozess nicht zu beurteilen waren, also neue erhebliche Tatsachen, die seit dem ersten Urteil eingetreten sind und den Anspruch in der nunmehr eingeklagten Form erst entstehen liessen (<ref-ruling> E. 3.3 S. 282; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 130 und 4.1; <ref-ruling> E. 1d S. 246; je mit weiteren Hinweisen).
Nach der Rechtsprechung kann eine Partei ein rechtskräftiges Urteil nicht dadurch in Frage stellen, dass sie in einem nachfolgenden Schadenersatzprozess behauptet, es sei durch arglistiges Verhalten der Gegenpartei zustande gekommen. Vielmehr muss sie zuvor die Aufhebung des Urteils mittels Revision erwirken (BGE <ref-ruling> E. 4.2; <ref-ruling> E. 3b; Urteil 4A_292/2017 vom 29. Januar 2018 E. 3.1 und 3.2).
5.2. Mit der Anfechtung gemäss Art. 271 f. OR verlangt die klagende Partei, dass das Gericht die Kündigung aufhebt. Es handelt sich somit um eine Gestaltungsklage im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 3.; Urteil 4A_689/2016 vom 28. August 2017 E. 4.1).
Wird eine Gestaltungsklage rechtskräftig abgewiesen, hat dies nach den eben dargestellten allgemeinen Grundsätzen (Erwägung 5.1) einerseits die negative Wirkung, dass eine neue identische Gestaltungsklage nach <ref-law> unzulässig ist (vgl. etwa <ref-ruling> E. 3c/bb hinsichtlich der Anfechtungsklage gemäss <ref-law>; siehe im Einzelnen DROESE, Res iudicata ius facit, 2015, S. 376 und 381-386 mit weiteren Hinweisen). In diesem Sinne ist auf eine zweite Anfechtungsklage gemäss Art. 271 f. OR nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung nicht einzutreten (siehe Urteil 4A_545/2013 vom 28. November 2013 E. 3.2.1 und 3.2.2). Andererseits hat das Urteil die positive Wirkung, dass es das Gericht in einem späteren Prozess bindet. In der Literatur wird ausgeführt, die Abweisung einer Gestaltungsklage bedeute, dass "das Nichtbestehen eines Gestaltungsgrundes festgestellt" werde und diese Feststellung in Rechtskraft erwachse (DROESE, a.a.O., S. 376; ähnlich SOGO, Gestaltungsklagen und Gestaltungsurteile des materiellen Rechts und ihre Auswirkungen auf das Verfahren, 2007, S. 9 f., 200 und 223 Fn. 1055). Bezogen auf die Anfechtungsklage nach Art. 271 f. OR bedeutet dies, dass das Vorliegen des Anfechtungsgrundes mit der Klageabweisung rechtskräftig verneint ist und diese Frage in einem späteren Prozess nicht neu beurteilt werden kann.
Die Situation ist insofern vergleichbar mit derjenigen, wenn eine Klage auf Verbot einer widerrechtlichen Handlung abgewiesen worden ist. In der Literatur wird hierzu ausgeführt, durch die Abweisung der Unterlassungsklage sei festgestellt, dass das zu verbietende Verhalten erlaubt sei. Das Gericht sei an diese Feststellung gebunden, wenn es in einem Prozess betreffend reparatorische Ansprüche darüber (als Vorfrage) zu entscheiden habe, ob das Verhalten zulässig sei (DROESE, a.a.O., S. 353-355; DANIEL SCHWANDER, Die objektive Reichweite der materiellen Rechtskraft - Ausgewählte Probleme, 2002, S. 120-123).
5.3. Das Mietgericht hat in Dispositiv-Ziffer 1 seines Urteils vom 23. Oktober 2014 auf Antrag der Vermieter ausdrücklich festgestellt, "dass die Kündigung vom 18. Januar 2013 per 30. Juni 2013 nicht missbräuchlich ist". Diese Feststellung bindet das Gericht im zweiten Prozess, wenn im Rahmen einer Klage auf Schadenersatz erneut geltend gemacht wird, die Kündigung verstosse gegen Treu und Glauben. Wenn die Vorinstanz - und mit ihr die Beschwerdegegnerin - argumentiert, beim Kündigungsschutzverfahren und im Schadenersatzprozess seien "zwei verschiedene Streitfragen eines Lebenssachverhalts" zu beurteilen, trifft dies nicht zu: Im Schadenersatzprozess ist wie bereits im Anfechtungsverfahren zu entscheiden, ob der Eigenbedarf der Vermieter im Zeitpunkt der Kündigung vorgelegen hatte oder ob dieser Kündigungsgrund vorgeschoben war (Erwägung 3.1). Das Mietgericht hat diese Frage in seinem Urteil vom 23. Oktober 2014 beurteilt und befunden, der Eigenbedarf sei ausgewiesen. Diese Beurteilung ist im zweiten Prozess verbindlich. Die Vorinstanz hat sich über die Rechtskraftwirkung des Urteils hinweggesetzt, wenn es dieselbe Frage erneut beurteilte und dabei insbesondere die Beweismittel noch einmal frei würdigte, die bereits im Anfechtungsverfahren berücksichtigt worden waren (Erwägung 3.3).
5.4. Die Rechtskraft des Urteils vom 23. Oktober 2014, die eine Neubeurteilung der Kündigung vom 18. Januar 2013 verbietet, könnte ausschliesslich mittels formeller Revision unter den Voraussetzungen von und im Verfahren nach Art. 328-333 ZPO beseitigt werden. Die Vorinstanz erwog, dieser Rechtsbehelf scheide aus, da das Mietverhältnis zwischen den Parteien "nicht mehr inhaltlich unverändert weiter bestehen" könne und "die erneute Überlassung der Wohnung zum althergebrachten Inhalt" nicht mehr möglich sei, ähnlich wie übrigens die Rechtsvertreterin der Beschwerdegegnerin in einer Publikation (THANEI, in: Das Mietrecht für die Praxis, a.a.O., S. 820). Zu Unrecht: Wohl setzt das Revisionsverfahren wie jedes Rechtsmittel voraus, dass die gesuchstellende Partei ein schutzwürdiges Interesse hat (siehe allgemein <ref-law>). Ein solches fehlt, wenn rechtliche oder tatsächliche Gründe eine Änderung der Rechtslage, die durch das angefochtene Urteil geschaffen worden ist, ausschliessen (<ref-ruling> E. 2; siehe auch Urteil 4F_3/2007 vom 27. Juni 2007 E. 2.3). Die Beschwerdegegnerin meint, ein Revisionsverfahren könne ihr nicht zugemutet werden, da das Kündigungsschutzverfahren im Falle einer Revision des Urteils vom 23. Oktober 2014 zwar wieder aufzunehmen, daraufhin jedoch als gegenstandslos geworden abzuschreiben wäre. Indessen muss die Gutheissung eines Revisionsgesuchs nicht zwingend zur Folge haben, dass das Gericht einen neuen Entscheid in der Sache fällt. Vielmehr ist je nach den Umständen eine andere Art der Prozesserledigung denkbar, etwa durch einen Nichteintretensentscheid (so ausdrücklich IVO SCHWANDER, in: Schweizerische Zivilprozessordnung (ZPO), Kommentar, Bd. II, Brunner/Gasser/ Schwander [Hrsg.], 2. Aufl. 2016, N. 11 zu <ref-law> mit Hinweis). Auch eine dahingehende Abänderung kann ein schutzwürdiges Interesse an der Revision begründen, sei es schon nur mit Blick auf die Kostenregelung des Verfahrens.
5.5. Da die Beschwerdegegnerin keine Revision des Urteils vom 23. Oktober 2014 erwirkt hat, hätte die Vorinstanz ihre Klage abweisen müssen. Die Rüge des Beschwerdeführers erweist sich bereits in diesem Punkt als begründet. Unter diesen Umständen braucht auf die weiteren in der Beschwerde aufgeworfenen Rechtsfragen nicht eingegangen zu werden. Insbesondere muss nicht näher erörtert werden, ob und unter welchen Voraussetzungen der Mieter allgemein dazu berechtigt ist, vom Vermieter wegen einer treuwidrigen Kündigung Schadenersatz zu verlangen.
6.
Die Beschwerde ist gutzuheissen. Das angefochtene Urteil des Obergerichts ist aufzuheben, und die Klage der Beschwerdegegnerin ist in Anwendung von <ref-law> abzuweisen.
Die Sache ist zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen (vgl. Art. 67 und 68 Abs. 5 BGG).
Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, vom 26. September 2017 (NG170006), wird aufgehoben. Die Klage von D._ wird abgewiesen. Die Sache wird zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Februar 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz