Sachverhalt:
A.
Am 31. März 2015 reichten C.D._ und D.D._, Eigentümer des in der Wohnzone gelegenen Grundstücks Nr. 891, GB Luzern rechtes Ufer, ein Baugesuch ein. Gemäss diesem soll das bestehende Einfamilienhaus in ein Zweifamilienhaus erweitert werden, indem das bestehende Gebäude um ein Vollgeschoss sowie ein Attikageschoss aufgestockt wird. Dagegen erhoben während der öffentlichen Planauflage diverse Nachbarn, unter anderem A._ und B._, Einsprache.
Die Baudirektion der Stadt Luzern erteilte mit Entscheid vom 3. Juli 2017 die nachgesuchte Baubewilligung unter Auflagen und Bedingungen und wies die dagegen erhobenen Einsprachen ab.
Gegen diesen Entscheid reichten sowohl A._ als auch B._ Beschwerde beim Kantonsgericht ein. Dieses vereinigte die beiden Verfahren und wies die Beschwerden am 3. Mai 2018 ab.
B.
Mit Eingabe vom 15. Juni 2018 führen A._ und B._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Sie beantragen, das Urteil des Kantonsgerichts vom 3. Mai 2018 sowie der Baubewilligungsentscheid der Baudirektion vom 3. Juli 2017 seien aufzuheben und das Baugesuch Nr. 2015-0098 sei abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegner beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Das Kantonsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung und beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Stadt Luzern verzichtet ebenfalls auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid öffentlich-rechtlicher Natur (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d sowie Art. 90 BGG). Die Beschwerdeführer haben am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen (Art. 89 Abs. 1 lit. a BGG). Als unterliegende Einsprecher sind sie durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt (lit. b) und haben als Eigentümer von in unmittelbarer Nähe zum Baugrundstück liegenden Grundstücken ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids (lit. c). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass, weshalb auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten ist.
1.2. Nicht einzutreten ist hingegen auf die Beschwerde, soweit die Aufhebung des Bewilligungsentscheids der Baudirektion vom 3. Juli 2017 beantragt wird. Dieser ist im Rahmen des Streitgegenstands durch den angefochtenen Entscheid ersetzt worden (Devolutiveffekt) und gilt als inhaltlich mitangefochten (<ref-ruling> E. 1.2 S. 543).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Von der beschwerdeführenden Person kann die Feststellung des Sachverhalts nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (Art. 9 BV) ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (Art. 42 Abs. 2 BGG i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG).
2.
Vorab ist die von den Beschwerdeführern geltend gemachte angebliche Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör zu prüfen. Die Beschwerdeführer sind der Auffassung, die Vorinstanz habe sich nicht oder höchstens sehr oberflächlich mit der Frage auseinandergesetzt, ob die Baudirektion ihren Pflichten im Rahmen des rechtlichen Gehörs nachgekommen sei.
Dieser Einwand ist unbegründet. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid ausführlich dargelegt, weshalb sie der Auffassung ist, die Baudirektion habe das rechtliche Gehör der Beschwerdeführer nicht verletzt. Ihre diesbezüglichen Ausführungen sind nicht zu beanstanden und es kann darauf verwiesen werden (vgl. E. 4 des angefochtenen Entscheids). Auch ist der Vorinstanz keine willkürliche antizipierte Beweiswürdigung vorzuwerfen, weil sie keine unabhängige Expertise zur Frage des Eingrabungsnachweises in Auftrag gab. Der rechtserhebliche Sachverhalt lässt sich den Akten, insbesondere den schlüssigen und nachvollziehbaren Plänen entnehmen, weshalb das beantragte Gutachten als überflüssig erscheinen musste (vgl. E. 4.2 hiernach).
3.
3.1. Unstreitig ist im vorliegenden Fall, dass das Baugrundstück gemäss dem Zonenplan der Stadt Luzern in der Wohnzone mit der Ordnungsnummer 134 liegt. Zulässig sind in dieser Zone zwei Vollgeschosse (Art. 4 in Verbindung mit Anhang 1 des Bau- und Zonenreglements der Stadt Luzern vom 17. Januar 2013). Die Parteien sind sich sodann einig, dass sich die zulässige Gesamthöhe des Gebäudes nach den gemäss Anhang 1 (A1) der für die Stadt Luzern weiter geltenden älteren Bestimmungen § A1-139 in Verbindung mit § A1-138 Abs. 1 des Planungs- und Baugesetzes des Kantons Luzern vom 7. März 1989 (PBG; SRL 735) richtet. Diese lauten wie folgt:
§ A1-139 Abs. 1 bis 3 PBG/LU: Berechnung der Höhenmasse
1 Die Gebäudehöhe ergibt sich aus der Zahl der zulässigen Vollgeschosse. Dabei dürfen für die Höhe der einzelnen Geschosse im Durchschnitt höchstens 3 m eingesetzt werden. (...)
2 (...) Die Höhe des Attikageschosses darf höchstens 3 m betragen. Auf dem Attikageschoss sind ein Dachaufbau von höchstens 2 m und technisch notwendige Aufbauten zulässig.
3 Ist das Untergeschoss kein Vollgeschoss, wird seine Höhe ab dem ausgemittelten gewachsenen oder tiefer gelegten Terrain bis zur Oberkante des Erdgeschossbodens berechnet.
§ A1-138 Abs. 1 PBG/LU: Berechnung der Anzahl Vollgeschosses
1 Bei der Berechnung der Anzahl Vollgeschosse ist das Untergeschoss dann mitzurechnen, wenn es mit mehr als zwei Dritteln seiner Aussenflächen aus dem ausgemittelten gewachsenen oder tiefer gelegten Terrain hinausragt. Weitere Untergeschosse dürfen nicht sichtbar sein. Ausgenommen sind die Zu- und Wegfahrten von Einstellhallen.
3.2. Die Beschwerdeführer vertreten aber den Standpunkt, die Vorinstanz habe den Sachverhalt willkürlich festgestellt, indem sie für die Berechnung der zulässigen Gesamthöhe des Bauvorhabens das gewachsene Terrain anhand des Strassenprojektplans 1888 ermittelt habe. Für die konkrete Feststellung des gewachsenen Terrains sei vielmehr auf die jüngsten amtlich bewilligten Dokumente, nämlich die Baupläne des heute bestehenden Gebäudes aus dem Jahre 1962, abzustellen.
3.3. Bei dem für die Berechnung der Anzahl Vollgeschosse ausschlaggebenden gewachsenen Terrain handelt es sich um einen kantonalrechtlichen Begriff. Gemäss der Praxis des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern (heute Kantonsgericht) entspricht das gewachsene Terrain grundsätzlich dem natürlichen Geländeverlauf. Sofern auf einem Grundstück schon verschiedentlich Aufschüttungen bzw. Bebauungen vorgenommen worden sind, gilt als natürlich gewachsenes Terrain in erster Linie diejenige Höhe über Meer, die bei früheren Bauarbeiten in genehmigten Bauplänen festgelegt worden ist. Wird indessen ein Gelände erstmals überbaut, gilt derjenige Geländeverlauf als natürlich gewachsen, der seit mindestens zehn Jahren ohne Aufschüttungen oder Abgrabungen bestanden hat. Aus Gründen der Praktikabilität ist gemäss der Rechtsprechung des ehemaligen Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern eine zeitliche Grenze für die Nachforschung zum Terrainverlauf zu setzen, da nach einer langen Periode der ursprüngliche Verlauf des Terrains oft kaum mehr im Detail eruiert werden kann. Sind aber hinreichend klare Angaben vorhanden oder beigebracht worden, so sind diese zu beachten, auch wenn sie einen Terrainverlauf betreffen, der weiter als 20 Jahre zurückliegt. Entscheidend ist, ob die Grundlage eine gesicherte Auskunft über diejenige Höhe über Meer gibt, die bei früheren Bauarbeiten festgelegt worden und damit als gewachsenes Terrain zu qualifizieren ist. Dabei kann auch auf eine fachgerechte Erhebung eines beigezogenen Sachverständigen abgestellt werden (zum Ganzen: Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 16. Mai 2013, LGVE 2013 IV Nr. 5 E. 3a).
3.4. Die Vorinstanz hielt im angefochtenen Entscheid fest, es handle sich beim vorliegenden Bauvorhaben nicht um eine erstmalige Überbauung, sondern um eine Erweiterung. Aus diesem Grund könne zur Bestimmung des gewachsenen Terrains im Sinne von § A1-138 Abs. 1 PBG/LU nicht ohne weiteres auf die heute bestehende Terrainlinie abgestellt werden. Gestützt auf die dargelegte Rechtsprechung kam sie zum Schluss, in Übereinstimmung mit den Ausführungen der Baudirektion sei vorliegend der Strassenprojektplan von 1888 heranzuziehen, um das gewachsene Terrain zu ermitteln. Der Strassenprojektplan stelle die älteste amtlich bewilligte Geländedarstellung dar und gebe - im Gegensatz zu den Baugesuchs- bzw. Ansichtsplänen aus dem Jahre 1962 - gesicherte Auskunft über diejenige Höhe über Meer, die als gewachsenes Terrain zu qualifizieren sei. Zur Begründung führte die Vorinstanz aus, der Plan von 1888 enthalte die Darstellung von vermessenen Höhenlinien mit einer Äquidistanz von 2 m, wodurch sich der Terrainverlauf hinreichend genau rekonstruieren lasse.
3.5. Diese Ausführungen der Vorinstanz sind angesichts des aktenkundigen Strassenprojektplans 1888, der fachkundigen Vermessungswerte der E._ AG sowie der Ausführungen der Geografin in ihrem Bericht vom 18. Januar 2016 nicht offensichtlich unrichtig. Hinzu kommt, dass gemäss der vorinstanzlichen Feststellung eine Gegenüberstellung des Strassenprojektplans mit dem heutigen, amtlich vermessenen Grundbuchplan ergibt, dass die Höhenlinien, insbesondere im Bereich des Grundstücks, auf welchem das Bauvorhaben geplant ist, sehr genau übereinstimmen.
Soweit die Vorinstanz betreffend die von den Beschwerdeführern als massgeblich erachteten Baugesuchsplänen aus dem Jahre 1962 sodann ausführte, daraus lasse sich das ursprünglich gewachsene Terrain mangels konkreter Höhenkoten und einer Vermassung des Terrains nicht rechtsgenüglich ermitteln, ist sie ebenfalls nicht in Willkür verfallen. Ihre Erwägung, wonach die vermassten und gezeichneten Höheneinträge in den Schnittplänen von 1962 nicht übereinstimmen würden, weshalb diese im Gegensatz zum Strassenprojektplan 1888 ungenau seien, ist nicht unhaltbar.
Schliesslich musste sich die Vorinstanz auch nicht vom Argument der Beschwerdeführer überzeugen lassen, auf den Fassadenplänen von 1962 seien die Terrainverläufe klar erkennbar und als solche eingetragen. Die Auffassung der Vorinstanz, es sei unklar, ob die gestrichelten Linien das im Zeitpunkt der Baueingabe bestehende oder das ursprüngliche Terrain darstellen würden, kann in Anbetracht der diesbezüglich wenig aussagekräftigen Baugesuchspläne von 1962 nicht als offensichtlich unrichtig bezeichnet werden. Dasselbe gilt auch für die Feststellung der Vorinstanz, die Verweise der Beschwerdeführer auf die Baupläne betreffend die ehemalige Villa aus den Jahren 1891, 1912 und 1928 seien nicht zielführend. Ihre Erwägung, wonach diese Pläne jeweils nur eine Höhenkote enthalten würden, weshalb eine Einordnung nicht möglich sei und den Plänen nicht entnommen werden könne, wie das gewachsene Terrain verlaufen sei, ist nachvollziehbar und nicht zu beanstanden.
Die Vorinstanz durfte folglich die von den Beschwerdeführern als massgeblich betrachteten Baugesuchs- bzw. Ansichtspläne aus dem Jahre 1962 ohne Willkür für das gewachsene Terrain als nicht ausschlaggebend bzw. nicht aussagekräftig ansehen und sich diesbezüglich auf den Strassenprojektplan 1888, bzw. auf die darauf basierende Ermittlung des gewachsenen Terrains im Plan 100.09, stützen. Mit diesem Plan liegen hinreichend klare Angaben vor, die eine gesicherte Grundlage über das gewachsene Terrain liefern (vgl. E. 3.3).
4.
4.1. Die Beschwerdeführer sind schliesslich der Ansicht, das im Baugesuch als Untergeschoss definierte Geschoss stelle ein Vollgeschoss dar. Soweit die Vorinstanz diesbezüglich davon ausgegangen sei, es liege gestützt auf das ermittelte gewachsene Terrain ein genügender Eingrabungsnachweis gemäss § A1-138 Abs. 1 PBG/LU vor, sei sie in Willkür verfallen.
4.2. Es trifft zwar zu, dass die Vorinstanz nicht erläutert hat, weshalb sie den Plan 100.09 und nicht den Plan 100.07 als massgeblich erachtete. Das war aber auch nicht nötig, denn beim erstgenannten Dokument handelt es sich um den jüngsten, gültigen Plan, datierend vom 16. Januar 2017, und dort wird eingehend erläutert, weshalb für den Eingrabungsnachweis nicht allein vom Strassenprojektplan von 1888 ausgegangen, sondern zusätzlich der allgemeine Vermessungsplan aus dem Jahr 1950 beigezogen wurde. Die von den Beschwerdeführern gerügte Differenz der Höhenkoten, namentlich derjenigen an der Südwestecke des Umbauprojekts von 1,05 Höhenmetern, soll sich gemäss den Ausführungen auf dem Plan 100.09 aus den in den Plänen angewandten, unterschiedlichen Methoden zur Bestimmung des Eingrabungsnachweises ergeben. Die Beschwerdeführer setzen sich mit dieser Methodenbeschreibung nicht auseinander und dieses von der Vorinstanz offensichtlich gebilligte Vorgehen erscheint nicht willkürlich.
Im Übrigen ist diese Höhendifferenz für die vorliegende Frage des genügenden Eingrabungsnachweises aber ohnehin nicht von Bedeutung: dieser wird nämlich sowohl gemäss den Berechnungen im rekonstruierten, gewachsenen Gelände (Plan 100.07) mit einer eingegrabenen Fläche von 39,1 % erbracht, als auch gemäss dem Plan 100.09. Gemäss Letzterem beträgt die Mantelfläche des Untergeschosses 175,9m2, wovon 73,4m2 resp. 41,7 % unter dem gewachsenen oder tiefer gelegten Terrain liegen. Auch aus diesem Grund ist nicht zu beanstanden, dass sich die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid nicht näher mit der Differenz der Höhenkoten auseinandergesetzt hat.
Es ist sodann nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz, die die Berechnung der Beschwerdegegner gemäss dem Plan 100.09 nach summarischer Prüfung als korrekt und nicht zu beanstanden betrachtete, offensichtlich unrichtige Schlüsse gezogen und in offensichtlich unhaltbarer Weise kantonales Recht angewendet haben soll, wenn sie festhielt, es handle sich, da ein genügender Eingrabungsnachweis im Sinne von § A1-138 Abs. 1 PBG/LU vorliege, um ein Untergeschoss und kein Vollgeschoss.
4.3. Den Beschwerdeführern kann ebenfalls nicht gefolgt werden, wenn sie überdies geltend machen, die Vorinstanz habe zu Unrecht ein zweites sichtbares Untergeschoss verneint. Die Vorinstanz hielt fest, den Schnittplänen könne zwar entnommen werden, dass in der südwestlichen Ecke des Gebäudes unterhalb des Untergeschosses eine Art Fundament bestehe; dieses erstrecke sich gemäss den Plänen aber nicht über die gesamte Fläche. Diese Ausführungen können ebenso wenig als offensichtlich unrichtig bezeichnet werden wie die Auffassung der Vorinstanz, wonach eine Nutzung des lediglich ca. 1,85 m hohen Raums zu Wohnzwecken ausgeschlossen sei, was von den Beschwerdeführern im Übrigen auch nicht bestritten wird. Soweit die Vorinstanz festgehalten hat, es liege kein zweites sichtbares Untergeschoss vor und es könne auch den aktenkundigen Plänen nichts Gegenteiliges entnommen werden, ist sie nach dem Gesagten nicht in Willkür verfallen.
4.4. Weiter ist auch nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz die Auffassung der Baudirektion geschützt hat, wonach die offene Gartenhalle bei der Berechnung der Überbauungsziffer nicht zu berücksichtigen sei. Sie hat die Gartenhalle, welche auf zwei Seiten offen ist, als vorspringenden, offenen Gebäudeteil im Sinne von § 18 Abs. 2 lit. a Anhang 1 der Planungs- und Bauverordnung des Kantons Luzern vom 29. Oktober 2013 (SRL 736) qualifiziert. Weder ihre Auffassung, dieser offene Gebäudeteil könne nicht als Teil der Fassade betrachtet werden, da er weder den Wohnraum erweitere noch fassadenbildende Funktion habe noch die Feststellung, die Gartenhalle sei unbeheizt und daher nicht für Wohnzwecke vorgesehen, ist unhaltbar.
4.5. Was die Beschwerdeführer in ihrer Beschwerde an das Bundesgericht schliesslich betreffend die angebliche Verletzung des Eingliederungsgebots nach § 140 PBG/LU durch das Bauvorhaben vorbringen, vermag den Begründungsanforderungen nicht zu genügen. Im Übrigen hat die Vorinstanz nachvollziehbar dargelegt, dass eine solche Verletzung ohnehin nicht ersichtlich ist. Diesbezüglich kann auf die vorinstanzlichen Ausführungen verwiesen werden (vgl. E. 7 des angefochtenen Entscheids).
5.
Zusammenfassend hat die Vorinstanz, indem sie - gestützt auf die Berechnungen anhand des Strassenprojektplans 1888 - das Bauvorhaben mit einem Untergeschoss, zwei Vollgeschossen und einem Attikageschoss als mit § A1-139 in Verbindung mit § A1-138 Abs. 1 PBG/LU vereinbar geschützt hat, weder das kantonale Recht willkürlich angewandt noch den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt.
6.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Verfahrensausgang tragen die Beschwerdeführer die Gerichtskosten unter solidarischer Haftung (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Sie schulden den anwaltlich vertretenen Beschwerdegegnern eine angemessene Entschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Die kantonale Behörde hat keinen Anspruch auf Ausrichtung einer Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführer haben die Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 4'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Baudirektion der Stadt Luzern und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Dezember 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier