Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Zahlungsbefehl Nr. xxx des Regionalen Betreibungsamts Zofingen vom 25. November 2020 betrieb die Stadt Dietikon (Gläubigerin, Beschwerdegegnerin) A._ (Schuldner, Beschwerdeführer) für einen Betrag von Fr. 73.30 sowie Zahlungsbefehlskosten von Fr. 20.30. Der Schuldner erhob Rechtsvorschlag.
A.b. Nachdem die Gläubigerin am 7. Januar 2021 ein Rechtsöffnungsbegehren beim Bezirksgericht Zofingen stellte, zahlte der Schuldner am 10. Februar 2021 einen Betrag von Fr. 93.60 direkt an die Gläubigerin. Das Bezirksgericht Zofingen erteilte mit Entscheid vom 16. März 2021 Rechtsöffnung unter Anrechnung der Teilzahlung des Schuldners, auferlegte ihm Gerichtskosten in der Höhe von Fr. 60.-- und verpflichtete ihn zur Leistung einer Parteientschädigung von Fr. 50.--.
B.
Gegen diesen Entscheid erhob der Schuldner Beschwerde beim Obergericht des Kantons Aargau. Mit Eingabe vom 3. Mai 2021 teilte die Gläubigerin mit, dass der Schuldner inzwischen einen Betrag von Fr. 154.-- bezahlt habe. Am 4. Mai 2021 verfügte das Obergericht die Zustellung dieser Eingabe an den Schuldner zur Kenntnisnahme. Mit Entscheid vom 10. Mai 2021 (Postaufgabe am 17. Mai 2021) schrieb das Obergericht die Beschwerde als gegenstandslos ab. Mit Eingabe vom 13. Mai 2021 (Postaufgabe am 17. Mai 2021) nahm der Schuldner Stellung zur Eingabe der Gläubigerin vom 3. Mai 2021.
C.
Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 14. Juni 2021 (Postaufgabe 15. Juni 2021) ist der Schuldner an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau sei aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen.
Der Beschwerdeführer stellt weiter ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen und Vernehmlassungen eingeholt. Das Obergericht hat am 17. Juni 2021 auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Beschwerdegegnerin hat sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht in einer vermögensrechtlichen Zwangsvollstreckungssache entschieden hat (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 75 und Art. 90 BGG). Der für eine Beschwerde in Zivilsachen erforderliche Streitwert wird nicht erreicht (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG, Art. 51 Abs. 1 lit. a BGG). Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist damit grundsätzlich zulässig (Art. 113 BGG). Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 115 BGG zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 117 i.V.m. Art. 100 Abs. 1 BGG). Insofern kann auf die Beschwerde eingetreten werden.
1.2. Der Beschwerdeführer rügt zur Hauptsache eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör, so dass das Bundesgericht im Falle einer Gutheissung der Beschwerde nicht selbst in der Sache entscheiden könnte. Der Aufhebungsantrag des Beschwerdeführers genügt damit ausnahmsweise den formellen Anforderungen an ein Beschwerdebegehren (Art. 42 Abs. 1 BGG; Urteile 5D_21/2021 vom 20. Dezember 2021 E. 2.1; 4A_222/2016 vom 15. Dezember 2016 E. 1.2; 5A_791/2010 vom 23. März 2011 E. 1.2.1 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>).
1.3. Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 3.1).
2.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK). Er macht geltend, die Eingabe der Beschwerdegegnerin vom 3. Mai 2021 sei ihm am 7. Mai 2021 zugestellt worden. Die Vorinstanz habe sein Replikrecht verletzt, indem sie das angefochtene Urteil bereits am 10. Mai 2021 fällte.
2.1. Gemäss Art. 29 Abs. 2 BV haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Aus dieser verfassungsmässigen Garantie folgt unter anderem das Recht einer Partei, sich im Rahmen eines Gerichtsverfahrens zu den Stellungnahmen und Vernehmlassungen der anderen Verfahrensparteien, unteren Instanzen und weiteren Stellen zu äussern ("Replikrecht"; <ref-ruling> E. 4.1.1 mit Hinweisen). Dieses Äusserungsrecht steht einer Prozesspartei unabhängig davon zu, ob die eingereichte Eingabe neue Tatsachen oder rechtliche Argumente enthält und ob sie im Einzelfall geeignet ist, den richterlichen Entscheid zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 2.1). Es ist Sache der Parteien und nicht des Gerichts zu beurteilen, ob eine neue Eingabe oder ein neues Beweismittel Bemerkungen erfordert (<ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 4.3). Die Wahrnehmung des Replikrechts setzt voraus, dass die fragliche Eingabe der Partei vor Erlass des Urteils zugestellt wird, damit sie sich darüber schlüssig werden kann, ob sie sich dazu äussern will (<ref-ruling> E. 2.3.1 mit Hinweisen). In diesem Sinne ist der Prozesspartei die konkrete Möglichkeit zur Replik einzuräumen (BGE <ref-ruling> E. 4.3-4.6 mit Hinweisen; Urteil 9C_557/2008 vom 3. April 2009 E. 3.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Hierzu genügt es grundsätzlich, den Parteien die Eingabe zur Information zuzustellen (BGE <ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 2.2; s. auch Urteil 5A_825/2012 vom 17. April 2013 E. 3).
Das Gericht muss einer Partei ausreichend Zeit lassen, damit sie ihr Replikrecht effektiv wahrnehmen kann. Es muss mit der Entscheidfällung so lange zuwarten, bis es annehmen darf, dass der Adressat auf eine weitere Eingabe verzichtet habe (Urteile 5A_242/2020 vom 30. Juni 2020 E. 3.2.1; 5D_81/2015 vom 4. April 2016 E. 2.3.3; 4A_215/2014 vom 18. September 2014 E. 2.1). Welche Wartezeit ausreichend ist, hängt vom Einzelfall ab. Die Rechtsprechung bejaht in aller Regel eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, wenn das Gericht "nur wenige Tage" nach der Mitteilung entscheidet (<ref-ruling> E. 2.6; Urteile 5D_112/2013 vom 15. August 2013 E. 2.2.3; 5A_155/2013 vom 17. April 2013 E. 1.4). Als Faustregel hielt das Bundesgericht fest, dass jedenfalls vor Ablauf von zehn Tagen nicht, hingegen nach zwanzig Tagen schon, von einem Verzicht auf das Replikrecht ausgegangen werden dürfe (zuletzt Urteile 9C_547/2021 vom 14. Dezember 2021 E. 2.2; 8C_43/2021 vom 27. April 2021 E. 3.4; 1C_661/2020 vom 15. April 2021 E. 2.2; je mit Hinweisen).
2.2. Vorliegend hat die Vorinstanz die Eingabe der Beschwerdegegnerin vom 3. Mai 2021 mit B-Post am 4. Mai 2021 zur Kenntnisnahme an den Beschwerdeführer versandt. Die Behauptung des Beschwerdeführers, diese erst am 7. Mai 2021 erhalten zu haben, kann unter diesen Umständen nicht in Zweifel gezogen werden. Mit Blick auf das bereits am 10. Mai 2021 gefällte Urteil standen dem Beschwerdeführer höchstens zwei Tage für eine Replik zur Verfügung, wovon beide auf das Wochenende fielen. Dies ist eindeutig unzureichend.
2.3. Was das Interesse des Beschwerdeführers an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids betrifft (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.1; Urteile 4A_162/2021 vom 12. Mai 2021 E. 5.2; 4A_428/2020 vom 1. April 2021 E. 3.1), bringt der Beschwerdeführer vor, die Eingabe der Beschwerdegegnerin habe neue Tatsachen und Anträge enthalten. Darauf habe er reagieren wollen. Mit dieser Eingabe hat die Beschwerdegegnerin die Zahlung der ausstehenden streitgegenständlichen Forderung vermeldet und Anträge hinsichtlich Abschreibung mangels Interesse sowie hinsichtlich Kosten gestellt. Aus dem Entscheid geht hervor, dass die Vorinstanz ausdrücklich auf diese Eingabe der Beschwerdegegnerin abstellte. Dem Beschwerdeführer kann das Interesse nicht abgesprochen werden, sich vor einer Abschreibung wegen Gegenstandslosigkeit Gehör zu verschaffen, indem er sich zu den Hintergründen seiner Zahlung äussert und dabei auch seinerseits Anträge hinsichtlich einer Neuverteilung der angefallenen Prozesskosten stellt (vgl. <ref-ruling> E. 4.2; STAEHELIN/STAEHELIN/ GROLIMUND, Zivilprozessrecht, 3. Aufl. 2019, § 16 Rz. 34, 37).
3.
Die Vorinstanz hat das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers verletzt. Die Möglichkeit einer Heilung des Mangels im Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht scheidet aus (vgl. Urteile 4D_31/2021 vom 22. Juni 2021 E. 2.3; 5A_242/2020 vom 30. Juni 2020 E. 3.2.2). Ob die Ausführungen des Beschwerdeführers gemäss seiner Replik inhaltlich berechtigt sind, muss nicht das Bundesgericht, sondern die Vorinstanz entscheiden. Die Beschwerde ist gutzuheissen und die Sache ist zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang sind der Stadt Dietikon, die in ihren Vermögensinteressen betroffen ist, die Kosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Dem Beschwerdeführer ist keine Parteientschädigung zuzusprechen, da ihm im Zusammenhang mit dem bundesgerichtlichen Verfahren kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden ist (Art. 68 BGG). Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist als gegenstandslos geworden abzuschreiben (Art. 64 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau vom 10. Mai 2021 wird aufgehoben und die Sache wird zu neuem Entscheid unter Wahrung des rechtlichen Gehörs an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 200.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren werden als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 3. Kammer, mitgeteilt.
Lausanne, 27. Januar 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Dürst