Erwägungen:
1.
Am 14. Februar 2018 reichte A._ beim Untersuchungsamt St. Gallen Strafanzeige gegen den Präsidenten der Anwaltskammer des Kantons St. Gallen und gegen den Präsidenten des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen ein. Die Strafanzeige steht im Zusammenhang mit der Behandlung einer Aufsichtsanzeige durch die Anwaltskammer sowie der Behandlung einer Beschwerde gegen die Anwaltskammer durch den Präsidenten des Verwaltungsgerichts. Das Untersuchungsamt St. Gallen überwies die Strafanzeige am 21. Februar 2018 zuständigkeitshalber an die Rechtspflegekommission des Kantonsrates des Kantons St. Gallen zum Entscheid über die Eröffnung eines Strafverfahrens. Die Rechtspflegekommission erteilte mit Entscheid vom 28. März 2018 die Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens nicht. Sie führte dabei aus, dass sich aus der Strafanzeige keine konkreten Anhaltspunkte für strafbare Handlungen der beiden Richter ergeben würden. Gegen den Entscheid der Rechtspflegekommission erhob A._ am 6. April 2018 Beschwerde bei der Anklagekammer des Kantons St. Gallen. Diese teilte ihm mit Schreiben vom 10. April 2018 mit, dass gegen Entscheide der Rechtspflegekommission kein Rechtsmittel bei der Anklagekammer erhoben werden könne.
2.
A._ führt mit Eingaben vom 14., 18. und 21. April 2017 subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegen die Entscheide der Rechtspflegekommission vom 28. März 2018 und der Anklagekammer vom 10. April 2018. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer vermag mit seinen weitschweifigen Ausführungen nicht nachvollziehbar aufzuzeigen, inwiefern der Schluss der Rechtspflegekommission, es seien keine konkreten Anhaltspunkte für strafbare Handlungen der beiden kantonalen Richter ersichtlich, verfassungswidrig sein sollte. Er zeigt auch nicht auf, dass sich die Anklagekammer in verfassungswidriger Weise für unzuständig erklärt hätte, den Entscheid der Rechtspflegekommission zu überprüfen. Somit ergibt sich aus der Beschwerde nicht, inwiefern die Entscheide der Rechtspflegekommission vom 28. März 2018 und der Anklagekammer vom 10. April 2018 verfassungswidrig sein sollten. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Präsidenten der Rechtspflegekommission des Kantons St. Gallen und dem Präsidenten der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Mai 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli