Sachverhalt:
A.
A.a. Zwischen A._ (geb. 1965; Beschwerdeführerin) und B._ (geb. 1963) ist vor dem Landgericht Uri ein Verfahren auf Scheidung der Ehe hängig.
A.b. Im Rahmen dieses Verfahrens stellte A._ am 23. März 2020 ein Ausstandsbegehren gegen die Landgerichtspräsidentin Agnes Planzer Stüssi (Beschwerdegegnerin). Mit Entscheid vom 15. April 2020 wies das Landgericht dieses Gesuch ab und erklärte das gleichzeitig eingereichte Begehren um Wiederholung von Beweisabnahmen als gegenstandslos. Das weitere Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege verwies das Landgericht in ein separates Verfahren.
B.
Gegen diesen Entscheid reichte A._ am 1. Mai 2020 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Uri ein. Mit Entscheid vom 11. Dezember 2020 (eröffnet am 14. Dezember 2020) wies dieses die Beschwerde ab und bestätigte den Entscheid des Landgerichts. Weiter verwies das Obergericht das Gesuch von A._ um unentgeltliche Rechtspflege in ein separates Verfahren und auferlegte dieser die Prozesskosten.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 28. Januar 2021 gelangte A._ ans Bundesgericht und beantragt unter Kosten- und Entschädigungsfolge die Aufhebung der Entscheide des Obergerichts sowie des Landgerichts. Die Landgerichtspräsidentin habe im Scheidungsverfahren in den Ausstand zu treten und zu Handen dieses Verfahrens seien durch das Bundesgericht die in einem Schreiben an das Landgericht vom 13. März 2020 genannten Beweismittel zu erheben. Eventuell habe das Landgericht unter Wahrung der Ausstandspflicht der Landgerichtspräsidentin die entsprechenden Beweise selbst zu edieren. Ebenfalls im Eventualstandpunkt beantragt A._ die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht.
Mit Verfügung vom 29. Januar 2021 hat das Bundesgericht das ausserdem gestellte Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen. In der Eingabe vom 10. Februar 2021 legt A._ dar, dass sie unter dem Existenzminimum lebe, und ersucht um Entschädigungen über Fr. 12'680.-- (zzgl. Zinsen) und von Fr. 33'750.-- (zzgl. Zinsen) durch den Kanton Uri. Im gleichen Schreiben ersucht sie auch um Erlass des Kostenvorschusses, was als Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege aufgefasst werden muss.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die kantonalen Akten, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, die auf Rechtsmittel hin (Art. 75 BGG) über ein Ausstandsbegehren sowie das Gesuch um Wiederholung von Beweismassnahmen entschieden hat. Hierbei handelt es sich um selbständig eröffnete Zwischenentscheide, wobei die Beschwerde ans Bundesgericht soweit das Ausstandsbegehren betreffend gegeben ist (Art. 92 Abs. 1 BGG). Mit Blick auf die Beweismassnahmen ist die Beschwerde nur zulässig, wenn der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könnte (Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG; vgl. Urteil 5A_823/2020 vom 7. Mai 2021 E. 1). Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, dass dies der Fall wäre und solches springt auch nicht geradezu in die Augen (Art. 42 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.2), womit auf die Beschwerde in diesem Umfang nicht einzutreten ist. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache. Dort geht es um eine Scheidung auf Klage (vgl. vorne Bst. A.a) und damit eine insgesamt nicht vermögensrechtliche Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.1). Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Die Beschwerdeführerin ist gemäss Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 1 Bst. c BGG). Auf die Beschwerde ist bezüglich des Ausstandsbegehrens und unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen einzutreten.
1.2. Unzulässig ist der Antrag der Beschwerdeführerin, es sei (auch) das Urteil des Landgerichts aufzuheben. Die Beschwerde ist ein devolutives Rechtsmittel, weshalb dieses Urteil durch den Entscheid des Obergerichts ersetzt worden ist und im bundesgerichtlichen Verfahren kein taugliches Anfechtungsobjekt bildet (Urteil 5A_343/2020 vom 15. Dezember 2020 E. 1.2 mit Hinweisen). Gleichzeitig ist die Beschwerde grundsätzlich nur gegen die Urteile oberer kantonaler Gerichte zulässig, die letztinstanzlich auf Rechtsmittel hin entscheiden (Art. 75 BGG; <ref-ruling> E. 4.1). Auf die Beschwerde ist insoweit nicht einzutreten.
1.3. Die Beschwerdeführerin beantragt die Aufhebung des gesamten Entscheids des Obergerichts (vorne Bst. C), thematisiert in der Beschwerdeschrift das Verfahren betreffend ihre Gesuche um unentgeltliche Rechtpflege in den kantonalen Verfahren indes nicht. Die vor Bundesgericht gestellten Anträge sind im Lichte der Begründung auszulegen (<ref-ruling> E. 6.2; <ref-ruling> E. 1.3). Damit umfasst die Beschwerde das Armenrecht im kantonalen Verfahren nicht und ist der angefochtene Entscheid insoweit nicht angefochten.
Gleichzeitig kann Beschwerde nur im Rahmen des Streitgegenstands erhoben werden. Gegenstand des Verfahrens vor Bundesgericht kann grundsätzlich nur sein, was bereits Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens war (<ref-ruling> E. 4.4.2 mit Hinweisen). Nicht Thema dieses Verfahrens war das Gesuch um Ausrichtung einer Entschädigung zu Lasten des Kantons Uri. Ohnehin ist es nicht Sache des Bundesgerichts, erstmals über einen entsprechenden Antrag zu entscheiden (Art. 1 Abs. 1 und Art. 75 BGG). Auf die Beschwerde ist insoweit nicht einzutreten, ohne dass zu prüfen wäre, ob der entsprechende Antrag überhaupt fristgerecht eingereicht wurde (Art. 100 Abs. 1 BGG).
1.4. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Inwiefern dies der Fall ist, ist in der Beschwerde darzulegen (Art. 42 Abs. 2 BGG). Hiervon erfasst sind unechte Noven, also Tatsachen, die im bisherigen Verfahren bereits hätten vorgebracht werden können, aber nicht vorgebracht wurden. Echte Noven, d.h. Tatsachen, die erst entstanden sind, nachdem vor der Vorinstanz keine neuen Tatsachen und Beweismittel mehr vorgetragen werden konnten, sind im Verfahren vor Bundesgericht demgegenüber unbeachtlich (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.1.2). Die zahlreichen Eingaben der Beschwerdeführerin bleiben damit unbeachtlich, soweit es sich um echte Noven handelt oder sie unechte Noven in das Verfahren einbringt, ohne zu begründen, weshalb dies ausnahmsweise zulässig wäre. Unschädlich bleibt es dagegen, wenn die Beschwerdeführerin Urkunden einreicht, die sich bereits in den kantonalen Akten befinden.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Immerhin prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Art. 42 Abs. 2 BGG verlangt dabei, dass in der Beschwerde in gedrängter Form dargelegt wird, inwiefern der angefochtene Entscheid rechtswidrig sein soll. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken; die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 2).
2.2. Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Diesbezüglich kann nur vorgebracht werden, diese Feststellungen seien offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich, oder würden auf einer anderen Bundesrechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (z.B. Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV oder Art. 8 ZGB) beruhen. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach Art. 106 Abs. 2 BGG. Das Bundesgericht prüft daher nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (<ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.3).
Das strenge Rügeprinzip gilt auch für die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 1.2.2). Ausserdem ist darzulegen, inwiefern eine richtige Anwendung der Verfassungsbestimmung zu einem anderen Ergebnis geführt hätte, was trotz dessen grundsätzlich formellen Natur auch für die Rüge der Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) gilt (Urteile 5A_85/2021 vom 26. März 2021 E. 6.2; 5A_733/2019 vom 28. Oktober 2019 E. 3.3; je mit Hinweisen).
3.
Die Beschwerdeführerin beanstandet vorab, das Obergericht habe auch im Ausstandsverfahren ohne Begründung die Edition der Akten verschiedener Verfahren unterlassen. Der angefochtene Entscheid sei bereits deshalb aufzuheben. Weder legt die Beschwerdeführerin dar, welche (verfassungsmässigen) Rechte das Obergericht inwiefern verletzt haben soll, noch äussert sie sich dazu, inwieweit ein ihrer Ansicht nach korrektes Vorgehen zu einem anderen Prozessausgang geführt hätte. Soweit die Beschwerdeführerin sodann die Befürchtung äussert, es seien durch die Erstinstanz in früheren Verfahren nicht die vollständigen Akten weitergeleitet worden, stellt sie blosse Vermutungen an. Auf die Beschwerde ist insoweit nicht einzutreten (vgl. vorne E. 2). Unter diesen Umständen besteht für das Bundesgericht kein Anlass, im vorliegenden Verfahren weitere Akten beizuziehen und der entsprechende Beweisantrag wird abgewiesen.
4.
4.1. In der Sache umstritten ist das Gesuch der Beschwerdeführerin um Ausstand der Landgerichtspräsidentin.
Das Obergericht erachtete es als möglich, dass es in einzelnen die Beschwerdeführerin betreffenden Verfahren zu prozessualen Fehlern der Landgerichtspräsidentin als Verfahrensleiterin gekommen sein könnte. Dies sei angesichts der langen Verfahrensdauer und der grossen Anzahl von (Neben-) Verfahren indes nachvollziehbar. Ausserdem habe die Beschwerdeführerin häufig ihre Rechtsvertreter gewechselt und teilweise unaufgefordert zahlreiche umfangreiche Eingaben eingereicht, was der Übersichtlichkeit nicht diene. Allfällige Fehler in der Verfahrensleitung würden unter diesen Umständen keine Befangenheit der Beschwerdegegnerin begründen. Dazu wären vielmehr besonders krasse oder wiederholte Irrtümer erforderlich, die einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkommen würden. Ausserdem müsste sich in den Rechtsfehlern eine Haltung manifestieren, die objektiv auf fehlende Distanz und Neutralität schliessen liesse. Es sei nicht ersichtlich, dass die Verfahrensleitung offensichtlich parteiisch und systematisch zu Ungunsten der Beschwerdeführerin erfolgt sei. Nebenbei sei zu berücksichtigen, dass das Verfahren in der Hauptsache nicht von der Beschwerdegegnerin alleine, sondern von der zivilrechtlichen Abteilung mit fünf Mitgliedern entschieden werde.
4.2. Die Beschwerdeführerin betont, die Landgerichtspräsidentin habe verschiedene sie betreffende Verfahren beurteilt (z.B. Eheschutz, Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege, usw.). Auch seien im Zusammenhang mit der hängigen Ehescheidung einige Nebenverfahren durchzuführen gewesen (Ausstandsbegehren, Gesuche um Erlass vorsorglicher Massnahmen, usw.). Dies führe zwar nicht zu einer unzulässige Vorbefassung, jedoch seien sämtliche dieser Verfahren zu Ungunsten der Beschwerdeführerin entschieden worden. Rechtsmittel gegen die entsprechenden Urteile seien teilweise erfolgreich gewesen und es habe auch eine Aufsichtsbeschwerde erhoben werden müssen. Die Beschwerdeführerin führt sodann im Detail aus, welche Fehler der Landgerichtspräsidentin vorzuwerfen seien. Namentlich habe die Beschwerdegegnerin sie als querulatorisch bezeichnet und ihr die Erteilung von Auskünften verweigert. Selbst das Landgericht und das Obergericht würden einräumen, dass die Verfahrensleitung in den eherechtlichen Verfahren unübersichtlich geworden sei. Es liege jedoch in der Verantwortung des zuständigen Gerichts, die Übersicht über das Verfahren und die Verfahrensleitung zu behalten. Aufgrund eines Schreibens vom 17. März 2020 sei sie nun endgültig zur Überzeugung gelangt, dass die Beschwerdegegnerin ihre Richterpflichten verletzt habe und die Verfahrensleitung offensichtlich parteiisch und systematisch zu Ungunsten der Beschwerdeführerin erfolge. Die Landgerichtspräsidentin sei offenbar bestrebt, das Verfahren schnellstmöglich abzuschliessen, ohne dass es ihr auf die inhaltliche Korrektheit des Entscheids ankomme. In der Summe liege eine schwere Verletzung der Richterpflichten vor.
4.3. Nach Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch, von einem unbefangenen, unvoreingenommenen und unparteiischen Gericht beurteilt zu werden. Die Garantie des verfassungsmässigen Richters ist verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Voreingenommenheit und Befangenheit in diesem Sinne werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn im Einzelfall anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände Gegebenheiten aufscheinen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Dabei ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit hervorrufen. Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist (<ref-ruling> E. 4.1 mit Hinweisen; Urteil 5A_489/2017 vom 29. November 2017 E. 3.1).
Art. 47 ZPO umschreibt die Ausstandsgründe auf Gesetzesebene. Bei der Auslegung des Gesetzes sind die genannten Verfassungs- und Konventionsbezüge zu beachten (<ref-ruling> E. 4.2). Fehlerhafte Verfügungen und Verfahrenshandlungen begründen für sich allein den Anschein der Befangenheit nicht (vgl. Art. 47 Abs. 1 Bst. f ZPO). Nur besonders schwere oder wiederholte Fehler, die auf eine Pflichtverletzung schliessen lassen, vermögen einen Ausstandsgrund zu bilden (<ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 3b; Urteile 4A_304/2020 vom 16. Juli 2020 E. 5; 5A_308/2020 vom 20. Mai 2020 E. 2; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 3.2.3). Ein Ausstandsgrund kann sich auch aufgrund einer Gesamtwürdigung ungewöhnlich häufiger Fehlleistungen der Verfahrensleitung ergeben (Urteil 5A_85/2021 vom 26. März 2021 E. 3.2). Soweit der Vorinstanz bei der Beurteilung der Umstände des Einzelfalls ein Beurteilungsspielraum zukommt (vgl. Art. 4 ZGB; Urteil 5A_801/2016 vom 29. November 2016 E. 5.3 a.E.), prüft das Bundesgericht den angefochtenen Entscheid nur mit Zurückhaltung (<ref-ruling> E. 4.5; <ref-ruling> E. 11.2).
4.4. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin sind nicht geeignet, den behaupteten Ausstandsgrund darzutun:
Vorab erblickt die Beschwerdeführerin selbst die Ursache für die geltend gemachten Fehler in der Verfahrensleitung nicht etwa in einer Haltung der Beschwerdegegnerin, die objektiv auf fehlende Distanz und Neutralität schliessen liesse, sondern vielmehr in deren Wunsch, ein komplexes und möglicherweise unangenehmes Verfahren schnellstmöglich zu beenden. Sodann beschränkt die Darstellung der Beschwerdeführerin sich im Wesentlichen auf eine Aufzählung ihrer Ansicht nach vorgefallener Fehler. Diese wiegen aber auch in ihrer Gesamtheit nicht aussergewöhnlich schwer. Der Beschwerde lässt sich letztlich nicht mehr entnehmen, als dass die Beschwerdeführerin mit der Leitung der sie betreffenden Verfahren nicht einverstanden ist. Zwar hat sich diesbezüglich offenbar eine gewisse Frustration aufgestaut. Dies lässt die Landgerichtspräsidentin aber nicht als befangen erschienen und es ist der Beschwerdeführerin in Erinnerung zu rufen, dass das Ausstandsverfahren nicht dazu dient, einfache Verfahrensfehler oder Fehlentscheidungen zu korrigieren. Dafür steht vielmehr das Rechtsmittelverfahren zur Verfügung (Urteil 5A_308/2020 vom 20. Mai 2020 E. 2), welches die Beschwerdeführerin eigener Angaben nach denn auch bereits erfolgreich durchlaufen hat. Abgesehen davon stützt sich die Beschwerdeführerin in ihren Darstellungen zu grossen Teilen auf tatsächliche Grundlagen, welche die Vorinstanz nicht festgestellt hat. Dabei beruft sie sich wiederholt auf Eingaben von ihren verschiedenen Rechtsvertretern, ohne dem Obergericht eine offensichtlich unrichtige oder Bundesrecht verletzende Sachverhaltsfeststellung vorzuwerfen oder eine solche auch nur entfernt darzutun (vgl. vorne E. 2.2). Ihren Ausführungen ist daher von Anfang an die Grundlage entzogen. Alles in allem ist der angefochtene Entscheid daher nicht zu beanstanden, zumal mit Blick auf den der Vorinstanz zukommenden Beurteilungsspielraum.
5.
Zusammenfassend ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der unterliegenden Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Mangels Einholens von Vernehmlassungen sind der Beschwerdegegnerin und dem Verfahrensbeteiligten keine entschädigungspflichtigen Kosten entstanden. Parteientschädigungen sind daher keine zu sprechen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Soweit die Beschwerdeführer in der Eingabe vom 10. Februar 2021 für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege ersucht, ist dieses Gesuch abzuweisen, da die Beschwerde nach dem Ausgeführten als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden muss (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Uri, Zivilrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Juni 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber