Erwägungen:
1.
1.1. Am 20. Mai 2019 erliess das Steueramt des Kantons Solothurn (nachfolgend: die Veranlagungsbehörde) gegenüber den Eheleuten A.A._ und B.A._ (nachfolgend: die Steuerpflichtigen) eine Mahnung, weil diese die Steuererklärung zur Steuerperiode 2018 bis dahin noch nicht eingereicht hatten. Die Veranlagungsbehörde verfügte in diesem Zusammenhang eine Mahngebühr von Fr. 60.--. Das Schreiben wurde den Steuerpflichtigen am 21. Mai 2019 zugestellt.
1.2. Da die Steuerpflichtigen bis zum Ablauf der Nachfrist keine Steuererklärung nachreichten, sprach die Veranlagungsbehörde mit Verfügung vom, 5. August 2019 eine Ordnungsbusse von Fr. 100.-- aus. Die Steuerpflichtigen erhoben mit Eingabe vom 25. September 2019 Einsprache, dies sowohl gegen die Gebührenverfügung vom 20. Mai 2019 als auch gegen die Bussenverfügung vom 5. August 2019. Die Veranlagungsbehörde als Einsprachebehörde erkundigte sich mit Schreiben vom 13. Februar 2020 nach den Gründen für die ihres Erachtens verspätete Einsprache. Die Steuerpflichtigen äusserten sich mit Schreiben vom 23. Februar 2020 dahingehend, dass sie rechtzeitig um Verlängerung der Frist zum Einreichen der Steuererklärung ersucht hätten, und zwar bis Ende November 2019. Das seinerzeitige Fristerstreckungsgesuch hätten sie aus finanziellen Gründen gestellt. Am 27. Februar 2020 trat die Veranlagungsbehörde - aufgrund versäumter Frist - auf die Einsprache vom 25. September 2019 nicht ein.
1.3. Dagegen gelangten die Steuerpflichtigen an das Steuergericht des Kantons Solothurn, das die Beschwerde und den Rekurs mit Entscheid SGDIV.2020.2 vom 10. August 2020 abwies. Das Steuergericht erwog hauptsächlich, die zehntägige Einsprachefrist hinsichtlich der Gebührenverfügung sei mit Blick auf die Zustellung vom 21. Mai 2019 und die Einsprache vom 25. September 2019 offensichtlich versäumt worden. Was die Bussenverfügung betreffe, brächten die Steuerpflichtigen nicht vor, diese sei ihnen erst am 26. August 2019 oder danach eröffnet worden (womit die Frist gewahrt worden wäre). Damit stelle sich die Frage nach der Wiedereinsetzung in den früheren Stand. In der Einsprache bzw. der nachfolgenden Erklärung hätten die Steuerpflichtigen hierzu dargelegt, dass sie sich in finanziellen Schwierigkeiten befänden. Der Arbeitgeber habe dem Steuerpflichtigen aus gesundheitlichen Gründen gekündigt. Die vorgebrachten sozialen und finanziellen Gründe erlaubten, so die Veranlagungsbehörde, von vornherein keine Wiederherstellung der Einsprachefrist, und für die angeblichen gesundheitlichen Gründe seien die Steuerpflichtigen den Nachweis schuldig geblieben. Die vorgebrachten Krankheiten hätten ohnehin nur jeweils einen Ehegatten betroffen, sodass es ihnen möglich gewesen wäre, rechtzeitig zu handeln. Entsprechend sei die Veranlagungsbehörde mit Recht auf die verspätete Einsprache gegen die Bussenverfügung nicht eingetreten.
1.4. Mit Eingabe vom 4. September 2020 erheben die Steuerpflichtigen beim Bundesgericht "Einsprache". Sie beantragen der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die "eingereichte Steuererklärung für das Jahr 2018 [sei] für gültig (fristgerecht) zu erklären". Zur Begründung verweisen sie auf die Krankenkarten zum Zeitraum von März bis Juni 2018 und sie bringen vor, neben dem Ehemann sei auch die Ehefrau gesundheitlich beeinträchtigt gewesen. Die Ehefrau sei damals an Morbus Crohn erkrankt und bis vor kurzem arbeitsunfähig geblieben. Dazu legen sie eine Kostenübersicht seitens ihrer Krankenversicherung vor. Der Nachweis der Krankheiten gehe aus den Beilagen zur seinerzeitigen Steuererklärung hervor. Die Veranlagungsbehörde habe sie nie aufgefordert, ergänzende Arztzeugnisse oder Belege beizubringen. Sie hätten die Frist zum Einreichen der Steuererklärung ohnehin bis zum 30. November 2019 verlängert. Es sei nicht auszuschliessen, dass das Gesuch bei der Beförderung durch die Post oder in der Veranlagungsbehörde verloren gegangen sei.
1.5. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (<ref-law> [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen, insbesondere von einem Schriftenwechsel (<ref-law>), abgesehen.
2.
2.1. Rechtsschriften an das Bundesgericht haben den Antrag, eine Begründung und die Beweismittel zu enthalten. Die Begründung hat sich auf den Streitgegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens zu beziehen. Dieser kann vor Bundesgericht, verglichen mit dem vorinstanzlichen Verfahren, zwar eingeschränkt (minus), nicht aber ausgeweitet (plus) oder geändert (aliud) werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 22). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, dass und inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 92). Die Verletzung von verfassungsmässigen Individualrechten (einschliesslich der Grundrechte) und des rein kantonalen und kommunalen Rechts prüft das Bundesgericht in jedem Fall nur, soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit gemäss Art. 106 Abs. 2). In der Beschwerde ist daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, dass und inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3 S. 65). Bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid ist nicht zu hören und führt zum Nichteintreten auf die Eingabe (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 92).
2.2. Die Vorinstanz hatte einzig zu prüfen, ob die Veranlagungsbehörde bundesrechtskonform und verfassungsrechtlich haltbar auf die Einsprache vom 25. September 2019nicht eingetreten ist, weil die Einsprachefrist (hinsichtlich der Gebührenverfügung vom 20. Mai 2019 und der Bussenverfügung vom 5. August 2019) versäumt worden sei. Die Ausführungen der Steuerpflichtigen gehen am so umrissenen Streitgegenstand vorbei: So bemängeln sie zwar, dass die Veranlagungsbehörde von ihnen nie ein Arztzeugnis verlangt habe und machen sie geltend, rechtzeitig um Verlängerung der Frist (zum Einreichen der Steuererklärung) ersucht zu haben (vorne E. 1.4). Dies alles bezieht sich aber klarerweise auf die Steuererklärung und nicht auf die Frage, ob die Einsprache vom 25. September 2019 (vorne E. 1.2) rechtzeitig erfolgt sei. Daher vermögen die im bundesgerichtlichen Verfahren offerierten Beweise (Krankenkarte von März bis Juni 2018 und dergleichen) von vornherein nichts zur Sache beizutragen. Es muss daher nicht geprüft werden, ob es sich bei diesen Beweismitteln um unzulässige Noven handeln würde (<ref-law>). Soweit die Steuerpflichtigen beantragen, es sei festzustellen, dass sie mit der Einreichung ihrer Steuererklärung die Frist gewahrt hätten, ist auch dies nicht sachdienlich, denn dabei geht es wiederum um die Steuererklärung und nicht um die Einsprache.
2.3. Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung zur einzig streitigen Frage, weshalb darauf mit einzelrichterlichem Entscheid des Abteilungspräsidenten als Instruktionsrichter nicht einzutreten ist (<ref-law>).
3.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der unterliegenden Partei aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Mit Blick auf die besonderen Umstände kann von einer Kostenverlegung abgesehen werden (<ref-law>), womit das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege, soweit ein solches gestellt worden sein sollte, was nicht restlos klar wird, gegenstandslos würde (<ref-ruling> E. 5 S. 126). Dem Kanton Solothurn, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Für das bundesgerichtliche Verfahren werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonalen Steuergericht Solothurn und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. September 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher