Sachverhalt:
A.
A._ ist die Tochter des am 9. Februar 2018 verstorbenen E._. Am 23. Mai 2019 reichte sie gegen zwei Rettungssanitäterinnen der B._ AG (C._ und D._), diese AG selber sowie alle weiteren beteiligten Personen Strafanzeige wegen fahrlässiger schwerer Körperverletzung, Unterlassung der Nothilfe und Aussetzung sowie aller weiterer in Frage kommenden Delikte ein. Sie warf den beiden Rettungssanitäterinnen vor, ihren Vater am 3. Dezember 2017 trotz seines sichtlich schlechten Zustands und der eindeutigen Anzeichen eines erlittenen Schlaganfalls nicht ins Spital gebracht zu haben. Die unterbliebene medizinische Hilfe habe zu Folgebeschwerden geführt, die eine weitere Behandlung ihres Vaters notwendig gemacht hätten. Dieser habe sich jedoch nicht mehr vollständig erholt und sei schliesslich verstorben. Am 18. September 2019 verfügte die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn die Nichtanhandnahme der Strafanzeige.
B.
Gegen diesen Entscheid gelangte A._ mit Beschwerde an das Obergericht des Kantons Solothurn. Neben dem Antrag auf Aufhebung der Nichtanhandnahmeverfügung ersuchte sie auch um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Verfügung vom 2. Oktober 2019 wies das Obergericht dieses Gesuch ab und verpflichtete sie zu einer Sicherheitsleistung von Fr. 800.-- für die Kosten des Beschwerdeverfahrens.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 4. November 2019 an das Bundesgericht beantragt A._, den Entscheid des Obergerichts in den genannten Punkten aufzuheben und ihr für das obergerichtliche Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Die beiden Rettungssanitäterinnen, die B._ AG und die Staatsanwaltschaft haben sich nicht vernehmen lassen. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. A._ hat sich nicht mehr geäussert.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege in einem kantonalen Beschwerdeverfahren gegen eine Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft. Dagegen steht die Beschwerde in Strafsachen offen (Art. 78 und 80 BGG). Es handelt sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> bewirken kann (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 205; <ref-ruling> E. 4 S. 338 mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin ist ungeachtet der Legitimationsvoraussetzungen von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG zur Beschwerde berechtigt, da sie mit ihrer Kritik an der Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege eine Verletzung von Verfahrensrechten geltend macht, die einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommt (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 5; Urteile 1B_502/2019 vom 23. Dezember 2019 E. 1; 6B_1039/2017 vom 13. März 2018 E. 1.2.2; je mit Hinweisen). Auch sonst steht einem Eintreten auf die Beschwerde nichts entgegen.
2.
Mit der Beschwerde in Strafsachen kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, die von der beschwerdeführenden Person geltend gemacht und begründet werden (vgl. <ref-law>). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten, soweit die Verletzung von Grundrechten gerügt wird (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil weiter den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
3.
3.1. Stirbt die geschädigte Person, ohne auf ihre Verfahrensrechte als Privatklägerschaft verzichtet zu haben, so gehen ihre Rechte auf die Angehörigen im Sinne von <ref-law> in der Reihenfolge der Erbberechtigung über (<ref-law>). Gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sind die entsprechenden Angehörigen im betreffenden Strafverfahren kumulativ oder alternativ zur Zivil- und Strafklage berechtigt. Während im Zivilpunkt ein gemeinsames Vorgehen der Erben erforderlich ist, kann sich im Strafpunkt jeder Erbe allein als Privatkläger konstituieren (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 f. S. 84 ff.). Zu den Angehörigen im Sinne von <ref-law> zählen namentlich die Kinder der verstorbenen geschädigten Person. Die Beschwerdeführerin, die bis anhin keine Zivilklage erhoben hat, kann sich somit grundsätzlich am Strafverfahren betreffend den Vorfall vom 3. Dezember 2017, bei dem ihr verstorbener Vater geschädigt worden sein soll, auch allein und bloss im Strafpunkt als Privatklägerin beteiligen.
3.2. Gemäss <ref-law> ist der Privatklägerschaft für die Durchsetzung der Zivilansprüche ganz oder teilweise die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und die Zivilklage nicht aussichtslos erscheint. Die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands setzt zudem voraus, dass dieser zur Wahrung der Rechte der Privatklägerschaft notwendig ist (<ref-law>). <ref-law> konkretisiert den in <ref-law> verankerten verfassungsmässigen Anspruch auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Er schliesst die unentgeltliche Rechtspflege nach dem Willen des Gesetzgebers im Grundsatz aus, wenn sich die Privatklägerschaft ausschliesslich im Strafpunkt am Strafverfahren beteiligt. Diese Beschränkung ist mit <ref-law> vereinbar (vgl. Urteile 1B_310/2017 vom 26. Oktober 2017 E. 2.4.1; 6B_458/2015 vom 16. Dezember 2015 E. 4.3 f.). Ausnahmsweise ist einer Privatklägerschaft, die nicht adhäsionsweise privatrechtliche Ansprüche geltend machen will oder kann, die unentgeltliche Rechtspflege aber dennoch unmittelbar gestützt auf <ref-law> zu gewähren (Urteil 1B_355/2012 vom 12. Oktober 2012 E. 5.1).
3.3. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid ausgeführt, ein allfälliger Schadenersatzanspruch der Beschwerdeführerin wegen des Vorfalls vom 3. Dezember 2017 richtete sich nach dem Verantwortlichkeitsgesetz des Kantons Solothurn vom 26. Juni 1966 (BGS 124.21), auf welches das kantonale Spitalgesetz vom 12. Mai 2004 verweise (SpiG/SO; BGS 817.11). Dabei handelte es sich um eine öffentlich-rechtliche Forderung, weshalb sich eine adhäsionsweise erhobene Zivilklage als aussichtslos erweisen würde. Die Beschwerdeführerin habe demnach gestützt auf <ref-law> keinen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege. Dass ein Fall wie im bundesgerichtlichen Urteil 1B_355/2012 vom 12. Oktober 2012 vorläge, der die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ausnahmsweise unabhängig von Zivilansprüchen rechtfertigen würde, sei im Weiteren nicht ersichtlich.
3.4. Die Beschwerdeführerin bestreitet nicht, dass sie nach <ref-law> keinen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege hat. Sie macht aber geltend, die unentgeltliche Rechtspflege sei ihr unmittelbar gestützt auf <ref-law> zu gewähren, da entgegen der Ansicht der Vorinstanz ein Fall wie im Urteil 1B_355/2012 vom 12. Oktober 2012 vorliege. Da die Vorinstanz ihre gegenteilige Auffassung nicht begründet habe, sei der angefochtene Entscheid auch wegen der Verletzung der Begründungspflicht aufzuheben.
3.5. Die Vorinstanz hat zwar im angefochtenen Entscheid nicht erläutert, wieso für sie kein Fall wie im genannten bundesgerichtlichen Urteil vorliegt. Ihre diesbezügliche Bemerkung kann sinnvollerweise jedoch nur so verstanden werden, dass sie die besonderen Umstände des damaligen Falls vorliegend nicht für gegeben hält. Diese Umstände gehen aus dem fraglichen Urteil klar hervor. Damit konnte sich die Beschwerdeführerin ohne Weiteres über die Tragweite des angefochtenen Entscheids Rechenschaft geben und diesen in voller Kenntnis der Sache an das Bundesgericht weiterziehen. Die Vorinstanz hat deshalb ihre Begründungspflicht und entsprechend auch den Anspruch der Beschwerdeführerin auf rechtliches Gehör nicht verletzt (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 70 f. mit Hinweisen).
3.6. Im erwähnten Fall 1B_355/2012 vom 12. Oktober 2012 machte der Beschwerdeführer in vertretbarer Weise geltend, Opfer unzulässiger staatlicher Gewalt im Sinne von <ref-law>, Art. 3 EMRK, Art. 7 UNO-Pakt II (SR 0.103.2) sowie Art. 13 des UN-Übereinkommens gegen Folter und andere grausame, unmenschliche oder erniedrigende Behandlung oder Strafe vom 10. Dezember 1984 (Anti-Folter-Konvention; SR 0.105) geworden zu sein. Er hatte indes als Privatkläger keine Möglichkeit, die seiner Ansicht nach fehlbaren Personen (drei Polizisten) zivilrechtlich zur Verantwortung zu ziehen, sondern war hinsichtlich seines Haftungsanspruchs auf das kantonale öffentliche Recht verwiesen. Das Bundesgericht kam zum Schluss, er habe ausnahmsweise trotz <ref-law> unmittelbar gestützt auf <ref-law> einen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, da ihm andernfalls der unmittelbar von der Verfassung garantierte Zugang zum Gerichtsverfahren bzw. die effektive Wahrung seiner Rechte verweigert würde (vgl. E. 5.1 f. des Urteils). Es trug damit dem Umstand Rechnung, dass gestützt auf die genannten Grund- und Menschenrechte ungeachtet der Aussichten einer adhäsionsweise erhobenen Zivilklage ein Anspruch auf wirksamen Rechtsschutz besteht (vgl. E. 1.2.2 und E. 5 des Urteils).
Inwiefern die vorliegenden Umstände mit den damaligen vergleichbar sein sollten, erläutert die Beschwerdeführerin nicht. Dass ihr Vater durch den Verzicht der beiden Rettungssanitäterinnen der B._ AG, ihn am 3. Dezember 2017 ins Spital zu bringen, staatliche Gewalt im erwähnten Sinn erlitten hätte oder vorliegend gestützt auf die genannten Rechte ein Anspruch auf wirksamen Rechtsschutz bestünde, ist auch nicht ersichtlich. Ebenso wenig ist erkennbar oder legt die Beschwerdeführerin dar, wieso ihr trotz der offenkundigen Unterschiede zwischen dem damaligen und dem vorliegenden Fall dennoch analog zu jenem ausnahmsweise unmittelbar gestützt auf <ref-law> die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren wäre. Sofern überhaupt eine rechtsgenügliche Begründung vorliegt (vgl. vorne E. 2), erweist sich ihre Beschwerde daher auch in materieller Hinsicht und damit insgesamt als offensichtlich unbegründet.
4.
Demnach ist die Beschwerde abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Zwar stellt sie auch für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Dieses ist jedoch abzuweisen, da ihr Rechtsbegehren als aussichtslos zu beurteilen ist (vgl. <ref-law>). Ihrer finanziellen Lage ist bei der Festsetzung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind keine zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn, der B._ AG, C._, D._ und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. März 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Baur