Erwägungen:
1.
Mit Entscheid vom 9. Juli 2021 erteilte das Bezirksgericht Weinfelden der Beschwerdegegnerin gegenüber dem Beschwerdeführer in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Weinfelden definitive Rechtsöffnung für Fr. 250.-- nebst Zins.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer am 15. Juli 2021 Beschwerde. Mit Entscheid vom 23. September 2021 wies das Obergericht die Beschwerde ab.
Dagegen hat der Beschwerdeführer am 21. Februar 2022 (Postaufgabe) Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Mit Verfügung vom 22. Februar 2022 hat das Bundesgericht das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen. Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen.
2.
Aufgrund des unter Fr. 30'000.-- liegenden Streitwerts (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-law>) ist die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln (<ref-law>). Mit ihr kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 117 i.V.m. <ref-law> in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399; <ref-ruling> E. 2.4 S. 368).
3.
Der Beschwerdeführer macht geltend, das Obergericht habe gewusst, dass die der Betreibung zugrundeliegende Verfügung mit Aufsichtsbeschwerde angefochten worden sei. Das Obergericht hätte die diesbezüglichen Akten des Bezirksgerichts Bülach anfordern oder das Verfahren bis zum Abschluss des diesbezüglichen Verfahrens sistieren sollen. Der Verzicht auf eigene Abklärungen oder auf einen Hinweis gegenüber dem anwaltlich nicht vertretenen Beschwerdeführer verletze den Anspruch auf ein faires Verfahren gemäss Art. 9, Art. 29 Abs. 1 und 3 BV sowie Art. 6 Ziff. 1 EMRK.
Hinsichtlich des Verfahrens am Bezirksgericht Bülach spricht der Beschwerdeführer zwar von einer Aufsichts- bzw. Rechtsverweigerungsbeschwerde. Er legt aber nicht dar, was genau Gegenstand dieses Verfahrens ist. Der pauschale Hinweis auf die Akten genügt in diesem Zusammenhang nicht. Die Vorinstanzen haben jenes Verfahren zwar erwähnt, ohne sich jedoch zu dessen genauen Gegenstand zu äussern. Zusammengefasst hat das Bezirksgericht Weinfelden erwogen, gegen die zu vollstreckende Verfügung des Friedensrichteramts Wallisellen vom 20. Oktober 2020 bestehe kein ordentliches Rechtsmittel, das die Rechtskraft und Vollstreckbarkeit hemmen würde. Der Beschwerdeführer mache nicht geltend, innert Frist gegen die Kostenverfügung Beschwerde erhoben zu haben. Es treffe nicht zu, dass durch die Beschwerde beim Bezirksgericht Bülach die Vollstreckbarkeit der Verfügung des Friedensrichteramts gehemmt worden sei. Das Obergericht hat die dagegen gerichteten Vorbringen als unbehelflich qualifiziert. Insbesondere hat es erwogen, das Kostenerlassgesuch des Beschwerdeführers vom 30. November 2020 stehe der Vollstreckbarkeit nicht entgegen. Analoges gelte für seinen Antrag auf Aufschiebung der Vollstreckung vor dem Bezirksgericht Bülach. Wie er selber ausführe, hemme ein solcher Antrag die Vollstreckbarkeit nicht. Auf alle diese Erwägungen geht der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht ein. Zwar scheint er der Ansicht zu sein, eine nicht beschwerdefähige Verfügung sei nicht vollstreckbar, doch erläutert er nicht, weshalb dies so sein soll. Er legt auch nicht dar, was der verlangte Aktenbeizug oder die Sistierung an der Vollstreckbarkeit der Verfügung vom 20. Oktober 2020 geändert hätten. Der Beschwerdeführer scheint davon auszugehen, aus den beizuziehenden Akten oder aus Entwicklungen nach einer Sistierung des Rechtsöffnungsverfahrens, insbesondere aus einer wohl erhofften Aufhebung der Verfügung vom 20. Oktober 2020 in einem wie auch immer gearteten ausserordentlichen Rechtsbehelfsverfahren, hätten sich Umstände ergeben, die im Rechtsöffnungsverfahren zu berücksichtigen wären. Er legt jedoch nicht dar, inwieweit solche Umstände angesichts des Novenverbots im Beschwerdeverfahren (<ref-law>) überhaupt hätten berücksichtigt werden dürfen. Vor diesem Hintergrund kann der Beschwerdeführer denn auch mit seinem pauschalen Hinweis auf die Verfahrensfairness nicht darlegen, inwiefern entsprechende verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen.
Die Beschwerde enthält damit offensichtlich keine hinreichende Begründung. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Demgemäss kann offenbleiben, ob die Beschwerde überhaupt rechtzeitig erhoben wurde.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war die Beschwerde von vornherein aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen (<ref-law>). Der nicht vertretene Beschwerdeführer ersucht zudem um einen unentgeltlichen Rechtsbeistand. Das Bundesgericht hat ihm bereits in der Verfügung vom 22. Februar 2022 mitgeteilt, dass es an ihm liegt, einen Rechtsanwalt oder eine Rechtsanwältin mit der Interessenwahrung zu betrauen. Es ist im Übrigen nicht ersichtlich, dass er offensichtlich nicht imstande wäre, seine Sache selber zu führen (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau mitgeteilt.
Lausanne, 7. März 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg