Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1973) ist kosovarischer Staatsbürger. Er heiratete am 2. September 2002 eine Schweizerin, worauf er im Kanton Aargau ab dem 4. November 2002 über eine Aufenthalts- und ab dem 11. Dezember 2007 über eine Niederlassungsbewilligung verfügte. Am 17. Juli 2008 wurde seine erleichterte Einbürgerung wegen falscher Angaben annulliert. A._ ist Vater von 4 Kindern; mit der Kindsmutter ist er nicht verheiratet. Diese ehelichte am 8. Mai 2012 einen Schweizer Bürger, worauf der Kanton Waadt ihr am 17. Dezember 2012 eine Aufenthaltsbewilligung im Familiennachzug zu diesem erteilte; der Kanton Genf bewilligte ihr am 14. Oktober 2013 den Kantonswechsel.
A.b. A._ bemühte sich wiederholt darum, seine Kinder zu sich nachziehen zu können. Sie befanden bzw. befinden sich nach seinen Angaben derzeit bei der Kindsmutter in Genf. Das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau stellte am 29. Januar 2016 fest, dass die Niederlassungsbewilligung des inzwischen geschiedenen A._ erloschen sei, da er sich länger als sechs Monate im Ausland aufgehalten habe (Untersuchungshaft in Serbien). Die hiergegen bzw. gegen die damit verbundene Wegweisung gerichteten kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg; sämtliche Instanzen wiesen jeweils das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung von A._ wegen Aussichtslosigkeit seiner Begehren ab.
B.
B.a. Das Bundesgericht hiess am 1. Mai 2019 die von A._ eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten teilweise gut und hob das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau, 2. Kammer, vom 27. März 2018 auf. Es wies die Angelegenheit zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurück. Die Sache erweise sich - so die Begründung - wegen der fehlenden Abklärung der Situation der Kinder und einer allenfalls gestützt hierauf erforderlichen Interessenabwägung nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK als "nicht entscheidungsreif" (E. 6 des bundesgerichtlichen Urteils). Es sei der neuste Stand des Aufenthaltsstatus der Kinder sachverhaltsmässig festzustellen. Sollte sich ergeben, dass die Kinder des Beschwerdeführers in der Schweiz über ein gefestigtes Aufenthaltsrecht verfügen, werde die Vorinstanz eine Interessenabwägung nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK vornehmen müssen.
B.b. Der Instruktionsrichter des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau forderte A._ am 9. Mai 2019 auf, mitzuteilen, ob seine vier Kinder in der Schweiz über eine Aufenthaltsbewilligung verfügten, obwohl sie im Zentralen Migrationsinformationssystem (ZEMIS) nicht verzeichnet seien. Sollte dies der Fall sein, habe er die Kopien der Ausländerausweise der Kinder einzureichen und darzulegen, inwiefern er zu diesen in affektiver und wirtschaftlicher Hinsicht eine mit Blick auf Art. 8 EMRK relevante Beziehung unterhalte; diese sei zudem, soweit möglich, zu belegen.
B.c. Mit Verfügung vom 28. Mai 2019 wies der Instruktionsrichter des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau das hierauf von A._ eingereichte Gesuch ab, ihm vorweg die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das weitere verwaltungsgerichtliche Verfahren zu gewähren.
C.
C.a. A._ beantragt vor Bundesgericht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiärer Verfassungsbeschwerde, die Ziffern 2 (Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung) und 4 (Ansetzung einer letzten Frist von 10 Tagen ab Rechtskraft der Verfügung, um der Verfügung vom 9. Mai 2019 nachzukommen) des Dispositivs der Verfügung vom 28. Mai 2019 aufzuheben. Es sei ihm für das Verfahren vor dem Verwaltungsgericht die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und ihm sein Rechtsvertreter als unentgeltlicher Rechtsbeistand beizugeben. Für den Fall des Unterliegens ersucht er für das bundesgerichtliche Verfahren ebenfalls um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
C.b. Das Departement Volkswirtschaft und Inneres (Amt für Migration und Integration) des Kantons Aargau verzichtet darauf, sich zur Beschwerde zu äussern. Das Verwaltungsgericht (Instruktionsrichter) des Kantons Aargau beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Die ersten Abklärungen hätten ergeben, dass die Kinder nicht im ZEMIS eingetragen seien und der Beschwerdeführer deshalb wohl keinen Bewilligungsanspruch aus der Beziehung zu den Kindern ableiten könne (Art. 8 EMRK); seine Anträge hätten deshalb keine ernsthaften Erfolgsaussichten. A._ hält in zwei weiteren Eingaben an seinen Ausführungen und Anträgen fest und macht geltend, seine Kinder befänden sich bei der Kindsmutter in Genf.

Erwägungen:
1.
Der beanstandete selbständig eröffnete negative Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist ein Zwischenentscheid. Der Rechtsweg folgt diesbezüglich jenem in der Hauptsache (vgl. das Urteil 1C_197/2019 vom 12. August 2019 E. 1.1.4; NICOLAS VON WERDT, in: Seiler et al. [Hrsg.], Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2015, N. 4 zu <ref-law>). Umstritten ist, ob der Beschwerdeführer - wie von ihm geltend gemacht - gestützt auf die Beziehungen zu seinen Kindern - allenfalls über einen Bewilligungsanspruch verfügt (Art. 8 EMRK; vgl. <ref-ruling> ff.). Er hat dies im ursprünglichen Verfahren in vertretbarer Weise geltend gemacht. Das Bundesgericht hat in seinem Urteil vom 1. Mai 2019 festgestellt, dass die Vorinstanz den rechtserheblichen Sachverhalt in diesem Punkt nicht hinreichend abgeklärt habe, weshalb das Bestehen eines entsprechenden Anspruchs nicht überprüft werden könne; die Angelegenheit sei diesbezüglich zu neuem Entscheid nach Ergänzung des Sachverhalts an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Eingabe ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegenzunehmen; soweit sie als Verfassungsbeschwerde eingereicht wird, ist darauf - wegen deren subsidiären Charakters (<ref-law>) - nicht einzutreten.
2.
2.1. Der umstrittene Zwischenentscheid betrifft weder die Zuständigkeit noch den Ausstand der Vorinstanz (vgl. <ref-law>); er ist somit - was hier einzig interessiert - nur anfechtbar, falls er für den Beschwerdeführer einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirkt (<ref-law>). Dieser muss grundsätzlich rechtlicher Natur bzw. durch einen für den Beschwerdeführer günstigen Endentscheid nicht oder nicht mehr vollständig zu beheben sein (<ref-ruling> E. 1.2.1; <ref-ruling> E. 2.1 S. 190; <ref-ruling> E. 2.3 S. 632 ff.; <ref-ruling> E. 4 S. 141). Dabei ist nicht erforderlich, dass der Nachteil schon im vorinstanzlichen Verfahren durch einen günstigen Endentscheid beseitigt wird; es genügt, falls dies im anschliessenden bundesgerichtlichen Verfahren möglich ist (BGE <ref-ruling> E. 2.1 S. 190 f.; <ref-ruling> E. 4 S. 140 f.; <ref-ruling> E. 1b S. 100 f.; <ref-ruling> E. 1b S. 254).
2.2. Die blosse Verlängerung oder Verteuerung des Verfahrens bildet keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur (<ref-ruling> E. 1.3 S. 525; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 170 f.; Urteile 2C_475/2011 vom 13. Dezember 2011 E. 2.3 und 2C_687/2009 vom 17. Februar 2010 E. 1.3.2 und 1.3.3; je mit Hinweisen). Das Bundesgericht soll sich regelmässig nur einmal mit einem Fall befassen müssen und diesen insgesamt beurteilen können (BGE <ref-ruling> E. 2.1 S. 631 mit Hinweisen). Nur wenn prozessökonomische Gründe eine frühere Befassung zwingend gebieten und mit der Öffnung des Rechtswegs kein verfahrensrechtlicher Leerlauf verbunden ist, rechtfertigt es sich, ein Zwischenverfahren einzuleiten (BGE <ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen). Ist die Beschwerde nach <ref-law> nicht zulässig oder wurde von ihr kein Gebrauch gemacht, so sind die betreffenden Zwischenentscheide mit der Beschwerde gegen den Endentscheid anfechtbar, soweit sie sich auf dessen Inhalt auswirken (<ref-law>).
2.3. Das Bundesgericht geht davon aus, dass der negative Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung grundsätzlich einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> bewirkt, wenn die Behörde gleichzeitig in Aussicht stellt, sie werde ohne den Kostenvorschuss auf die Eingabe nicht eintreten (VON WERDT, a.a.O., N. 22 zu <ref-law>; FELIX UHLMANN, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger/Kneubühler [Hrsg.], Basler Kommentar BGG, a.a.O., N. 11 zu <ref-law>). Kein nicht wieder gutzumachender Nachteil droht, wenn die Partei anwaltlich vertreten war und die Behörde in der Hauptsache bereits entschieden hat, da in diesem Fall die Arbeit bereits geleistet wurde; es stellt sich dann nur noch die Frage, wer den Anwalt bezahlen muss. Dies kann im Hauptsachenverfahren entschieden werden (<ref-ruling> E. 2.2 S. 602 f.; VON WERDT, a.a.O, N. 22 zu <ref-law>; UHLMANN, a.a.O., N. 11 Lemma 1 und N. 12 Lemma 2 zu <ref-law>).
2.4. Im vorliegenden Fall hat der Instruktionsrichter keinen Kostenvorschuss erhoben. Aufgrund von Abklärungen im ZEMIS ist er jedoch zum Schluss gekommen, dass die vier Kinder in der Schweiz über keine Aufenthaltsbewilligungen verfügen dürften. Er forderte den Beschwerdeführer am 9. Mai 2019 auf, dem Verwaltungsgericht mitzuteilen, ob sich seine vier Kinder, entgegen der ZEMIS-Einträge, legal in der Schweiz aufhielten. Sei dies der Fall, habe er dem Verwaltungsgericht die Kopien der Ausländerausweise der Kinder einzureichen und darzulegen, inwiefern er zu diesen in affektiver und wirtschaftlicher Hinsicht eine mit Blick auf Art. 8 EMRK relevante Beziehung unterhält; die entsprechenden Aspekte seien zudem zu belegen. Würden die einverlangten Unterlagen innert Frist nicht nachgereicht, werde das Verwaltungsgericht davon ausgehen, dass keine mit Blick auf Art. 8 EMRK relevante Beziehung des Beschwerdeführers zu seinen Kindern bestehe. Muss der Beschwerdeführer das ergänzende, vom Bundesgericht angeordnete weitere Verfahren ohne seinen Rechtsvertreter führen, erwächst ihm hieraus als Laie ein nicht wieder gutzumachender Nachteil. Auf seine Beschwerde ist somit einzutreten.
3.
3.1. Das Bundesgericht ist davon ausgegangen, dass das Verwaltungsgericht hinsichtlich der Anwendung von Art. 8 EMRK den Sachverhalt unvollständig festgestellt hat. Es hob den angefochtenen Entscheid aus diesem Grund auf und verlangte von ihm, in den offen gebliebenen Punkten (Art. 8 EMRK) nach weiteren Abklärungen neu zu entscheiden. Der Instruktionsrichter hat angenommen, dass dieses Verfahren und die entsprechenden Anträge keine ernsthaften Aussichten auf Erfolg hätten, da die Kinder im ZEMIS nicht erfasst seien. Der Beschwerdeführer wendet ein, dass sich diese nach wie vor in Genf aufhielten, aber dort noch nicht erfasst worden seien, und sich ihre Daten aus diesem Grund (noch) nicht im ZEMIS befänden.
3.2.
3.2.1. Aussichtslos sind nach der Rechtsprechung Prozessbegehren, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer erscheinen als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dies ist nicht der Fall, wenn die Gewinnaussichten und die Verlustgefahren sich etwa die Waage halten und auch ein Beschwerdeführer, der über hinreichende finanzielle Mittel verfügt, das entsprechende Verfahren einleiten und führen würde (vgl. <ref-law>; Urteile 2C_31/2012 vom 15. März 2012 E. 2 sowie 2C_962/2013 vom 13. Februar 2015 E. 5; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135 f. mit Hinweisen).
3.2.2. Das Bundesgericht hat im Zusammenhang mit Art. 8 EMRK die Beschwerde gutgeheissen und damit im zurückgewiesenen Punkt nicht zum Vornherein als aussichtslos gewertet. Auch wenn das Bundesgericht davon ausgegangen ist, dass verschiedene Rügen unberechtigt waren, kann nicht gesagt werden, die vom Bundesgericht einverlangten zusätzlichen Abklärungen seien in der Sache aussichtslos, auch wenn der Instruktionsrichter über das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau keine Einträge in Bezug auf die Kinder gefunden hat.
3.2.3. Der Instruktionsrichter hat nicht die Genfer Behörden amtshilfeweise um Auskunft bezüglich der familiären Situation der Kinder gebeten. Der Beschwerdeführer hat geltend gemacht, dass die Verfahren der Kinder dort noch hängig seien. Den entsprechenden Punkt hat der Instruktionsrichter nicht geklärt; er wirft in seiner Vernehmlassung dem Beschwerdeführer vor, "wahrheitswidrig und ohne Vorlage oder Nennung jeglicher Beweise" behaupten zu lassen, "seine Kinder lebten mit Aufenthaltsbewilligungen im Kanton Genf". Im bundesgerichtlichen Verfahren hat der Beschwerdeführer die Adresse seiner Kinder angegeben; das entsprechende Novum ist zulässig (<ref-law>), nachdem der Instruktionsrichter in Aussicht gestellt hat, das Beweisverfahren - ohne entsprechende Bestätigungen - nicht weiter zu führen. Erst muss der Sachverhalt diesbezüglich in einem fairen Verfahren unter Mitwirkung des durch seinen Rechtsvertreter unterstützten Beschwerdeführers erstellt werden, d.h. der Aufenthalt der Kinder abgeklärt werden und je nach den diesbezüglichen Feststellungen sind die verschiedenen Interessen dann gegeneinander abzuwägen.
3.2.4. Die angefochtene Verfügung ist aufzuheben, soweit der Instruktionsrichter vorweg entschieden hat, dass die Gewinnaussichten als "praktisch inexistent zu qualifizieren" und die Chancen auf ein Obsiegen im Verhältnis zu einem Unterliegen "als verschwindend klein zu betrachten" seien. Der Beschwerdeführer hat ein Recht, am durch das bundesgerichtliche Urteil nötig gewordenen Beweisverfahren mitzuwirken und - soweit er dies als rechtlicher Laie nicht allein tun kann - dabei durch seinen Rechtsbeistand unterstützt zu werden ("Waffengleichheit").
3.2.5. Das Verwaltungsgericht wird prüfen müssen, ob seine Vorinstanzen die Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung abweisen durften, ohne Bundesrecht zu verletzen. Für das vom Bundesgericht angeordnete Beweisverfahren in Bezug auf Art. 8 EMRK ist dem Beschwerdeführer - hierauf beschränkt - die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren, da er dieses ohne Rechtsvertreter nicht allein führen kann. Die angefochtene Verfügung verletzt <ref-law>, indem sie davon ausgeht, die vom Bundesgericht geforderte Ergänzung des Sachverhalts bzw. die allenfalls damit verbundene Interessenabwägung seien zum Vornherein aussichtslos. Hierzu ist das Verfahren zuerst weiter zu führen.
4.
4.1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, die Ziffer 2 und 4 des Dispositivs des angefochtenen Entscheids werden aufgehoben; dem Beschwerdeführer ist die unentgeltliche Verbeiständung für das von der Vorinstanz nach dem bundesgerichtlichen Urteil vom 1. Mai 2019 durchzuführende Beweisverfahren im Hinblick auf einen allfälligen Bewilligungsanspruch gestützt auf Art. 8 EMRK zu gewähren. Der Instruktionsrichter wird dem Anwalt des Beschwerdeführers eine neue Frist ansetzen müssen, um zur Frage der rechtmässigen Anwesenheit der Kinder und deren Verhältnis zum Vater in affektiver wie wirtschaftlicher Hinsicht Stellung nehmen zu können, worauf je nach Ausgang des entsprechenden Beweisverfahrens allenfalls noch eine Interessenabwägung nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK zu erfolgen haben wird.
4.2. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind keine Kosten geschuldet (<ref-law>). Der Kanton Aargau hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (<ref-law>), womit dessen Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung (<ref-law>) gegenstandslos wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird gutgeheissen und die Ziffern 2 und 4 des Dispositivs der Verfügung des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 28. Mai 2019 werden im Sinne der Erwägungen aufgehoben.
1.2. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Der Kanton Aargau hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'200.-- zu entschädigen.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 2. Kammer, und dem Staatssekretariat für Migration (SEM) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Januar 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar