Sachverhalt:
A.
A._ arbeitete vom 12. August 1992 bis 28. Februar 1998 zunächst in der Funktion einer Sozialpädagogin und zuletzt als Gruppenleiterin in einem Pensum von 80 % im Kinder- und Jugendheim D._. Damit war sie bei der Pensionskasse B._ berufsvorsorgeversichert. Am 5. November 1998 meldete sich A._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich sprach ihr rückwirkend ab 1. November 1997 eine ganze Rente zu (Verfügung vom 16. März 2001). Diesen Anspruch bestätigte sie in den Jahren 2003, 2004, 2006 und 2010. Die Pensionskasse B._ richtete rückwirkend ab 1. März 1998 ebenfalls eine Invalidenrente aus (Auszug aus dem Protokoll vom 2. Juli 2002).
Am 1. Juli 2012 begann A._ eine Tätigkeit als Sozialpädagogin bei der Stiftung E._. Gemäss Arbeitsvertrag vom 21. Mai 2012 war sie vom 1. Juli 2012 bis 28. Februar 2013 in einem Pensum von 80 % und ab 1. März 2013 in einem solchen von 65 % angestellt. Im Rahmen dieser Tätigkeit war A._ bei der BVK Personalvorsorge des Kantons Zürich berufsvorsorgeversichert. Die IV-Stelle hob die Rente mit Verfügung vom 13. November 2012 auf den 31. Dezember 2012 hin auf. Die Pensionskasse B._ kürzte ihre Leistungen rückwirkend ab 1. Juli 2012 auf Fr. 0.- und hob die von ihr ausgerichtete Invalidenrente auf den 1. Januar 2013 hin ebenfalls auf.
Am 26. Oktober 2016 meldete sich A._ erneut bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die aufgrund eines Wohnortwechsels nun zuständige IV-Stelle des Kantons Aargau sprach ihr rückwirkend ab 1. April 2017 eine halbe Rente zu (Verfügung vom 7. März 2018). Mit Schreiben vom 5. Juni 2018 machte A._ sowohl gegenüber der Pensionskasse B._ als auch gegenüber der BVK Personalvorsorge des Kantons Zürich einen Anspruch geltend. Beide Vorsorgeeinrichtungen lehnten eine Leistungspflicht ab.
B.
Mit Klage vom 2. Mai 2019 gelangte A._ an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und beantragte, die Pensionskasse B._ (Beklagte 1) sei zu verpflichten, die obligatorischen und reglementarischen Leistungen zuzüglich Verzugszins von 5 % ab Klageerhebung auszurichten. Eventualiter sei die BVK Personalvorsorge des Kantons Zürich (Beklagte 2) zur Ausrichtung der obligatorischen und reglementarischen Leistungen zuzüglich Verzugszins von 5 % ab Klageerhebung zu verpflichten. Mit Urteil vom 30. März 2021 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Klage ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._, das vorinstanzliche Urteil sei aufzuheben, soweit es die Pensionskasse B._ betreffe. Diese sei zur Erbringung der obligatorischen und reglementarischen Leistungen zuzüglich Zins von 5 % ab dem 2. Mai 2019 (Klageanhebung) zu verpflichten.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1 mit Hinweisen).
1.2. Die vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitsschaden und zur Arbeitsfähigkeit sind, da tatsächlicher Natur, für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich. Tatfrage ist auch jene nach dem Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat (Art. 23 lit. a BVG). Gleiches gilt für die aufgrund einer konkreten Beweiswürdigung getroffene Feststellung des zeitlichen Konnexes. Frei überprüfbare Rechtsfrage ist dagegen, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung über den Zeitpunkt des Eintritts einer massgebenden Arbeitsunfähigkeit zu erfolgen hat, und hinsichtlich des zeitlichen Zusammenhangs, ob die Beweiswürdigung unter Beachtung der rechtsprechungsgemäss relevanten Kriterien erfolgte (Urteil 9C_387/2019 vom 10. September 2019 E. 4.1 mit Hinweis).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht den Anspruch der Beschwerdeführerin gegenüber der Pensionskasse B._ zu Recht verneint hat.
3.
Invalidenleistungen der obligatorischen beruflichen Vorsorge werden von derjenigen Vorsorgeeinrichtung geschuldet, bei welcher die ansprechende Person bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert war (Art. 23 lit. a BVG; <ref-ruling> E. 2.6). Der Anspruch auf Invalidenleistungen setzt einen engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhang zwischen der während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses bestandenen Arbeitsunfähigkeit und der allenfalls erst später eingetretenen Invalidität voraus. Ein enger zeitlicher Zusammenhang liegt vor, wenn die versicherte Person nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, nicht während längerer Zeit wieder arbeitsfähig war (<ref-ruling> E. 3.2.1). Eine Unterbrechung des zeitlichen Konnexes ist dann anzunehmen, wenn während mehr als dreier Monate eine Arbeitsfähigkeit von über 80 % in einer angepassten Erwerbstätigkeit gegeben ist (<ref-ruling> E. 4.4), sofern sich eine dauerhafte Wiedererlangung der Arbeitsfähigkeit als objektiv wahrscheinlich darstellt (<ref-ruling> E. 3.2.1). Anders verhält es sich, wenn die fragliche, allenfalls mehr als dreimonatige Tätigkeit als Eingliederungsversuch zu werten ist oder massgeblich auf sozialen Erwägungen des Arbeitgebers beruhte und eine dauerhafte Wiedereingliederung unwahrscheinlich war (<ref-ruling> E. 3.2.1; <ref-ruling> E. 1c; Urteil 9C_245/2017 vom 11. Dezember 2017 E. 4.2).
4.
4.1. Das kantonale Gericht prüfte den geltend gemachten vorsorgerechtlichen Anspruch gegenüber der Pensionskasse B._ in Bezug auf den Zeitpunkt des Eintritts der invalidisierenden Arbeitsunfähigkeit frei und ohne Bindung an die Feststellungen der IV-Stelle des Kantons Aargau in der Verfügung vom 7. März 2018 (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.2). Es bejahte einen sachlichen Zusammenhang zwischen der gesundheitlichen Problematik, die im Zeitpunkt der Anmeldung bei der Invalidenversicherung im November 1998vorgelegen habe (paranoide Schizophrenie [ICD-10: F20.0]), und jener, die im Jahr 2016 dokumentiert sei (schizoaffektive Störung [ICD-10: F25.1]). Demgegenüber erkannte die Vorinstanz, dass sich ab Juli 2012 nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit eine Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf von mindestens 20 % feststellen lasse (statt 20 % bloss 18,75 % [ (80 % - 65 %) x 100 / 80]). Dieser Umstand führe zu einem Unterbruch des zeitlichen Zusammenhangs und schliesse eine Leistungspflicht der Pensionskasse B._ aus.
Im Weiteren stellte das kantonale Gericht fest, die im Jahr 2017 leistungsauslösende Arbeitsunfähigkeit sei während des Berufsvorsorgeverhältnisses mit der BVK Personalvorsorge des Kantons Zürich eingetreten. Es verneinte jedoch deren Leistungspflicht, da der Invaliditätsgrad von rund 23 % keinen Anspruch zu begründen vermöge.
4.2. Die Beschwerdeführerin macht einzig geltend, der zeitliche Konnex sei nicht unterbrochen worden. Denn die Leistungseinbusse ab Juli 2012 sei ausgehend von 100 % und nicht von 80 % zu ermitteln. Dabei resultiere eine Einbusse von 35 % ([100 % - 65 %] x 100 / 100), die eine Leistungspflicht der Pensionskasse B._ zur Folge habe.
5.
5.1. Entscheidend für die Frage nach dem zeitlichen Konnex ist nicht die Arbeitsfähigkeit in der angestammten Tätigkeit. Denn der zeitliche Zusammenhang zur später eingetretenen Invalidität beurteilt sich nach der Arbeitsunfähigkeit resp. Arbeitsfähigkeit in einer der gesundheitlichen Beeinträchtigung angepassten zumutbaren Tätigkeit (E. 3 hiervor). Die Beschwerdeführerin bestreitet die vorinstanzliche Feststellung nicht, für die Zeit ab 1. Juli 2012 seien keine echtzeitlichen Arztberichte vorhanden (zur Rechtsprechung, wonach der Zeitpunkt des Eintritts der berufsvorsorgerechtlich relevanten Arbeitsunfähigkeit grundsätzlich "echtzeitlich" nachgewiesen sein muss: Urteil 9C_420/2015 vom 26. Januar 2016 E. 4.2.1 mit Hinweis auf 9C_419/2013 vom 9. Januar 2014 E. 2.2). Ebenfalls nicht (substan ziiert) gerügt wird die Schlussfolgerung des kantonalen Gerichts, dass im vorliegenden Fall auf die retrospektiven medizinischen Einschätzungen des Dr. med. F._, Facharzt Psychiatrie und Psychotherapie, und des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) nicht abgestellt werden könne. Mithin fehlt für die Zeitspanne von Juli 2012 bis September 2016 und somit während vier Jahren eine medizinische Bestätigung einer Arbeitsunfähigkeit.
5.2.
5.2.1. Zwar bedarf es zum rechtsgenüglichen Nachweis einer berufsvorsorgerechtlich relevanten Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen nicht zwingend einer echtzeitlich attestierten Arbeitsunfähigkeit, jedoch muss sich bei deren Fehlen die gesundheitliche Beeinträchtigung sinnfällig auf das Arbeitsverhältnis auswirken oder ausgewirkt haben. Die Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen muss mit anderen Worten arbeitsrechtlich in Erscheinung getreten sein, zum Beispiel etwa durch einen Abfall der Leistungen mit entsprechender Feststellung oder gar Ermahnung des Arbeitgebers oder durch gehäufte aus dem Rahmen fallende gesundheitlich bedingte Arbeitsausfälle (Urteile 9C_333/2018 vom 25. Januar 2019 E. 6.2.1; 9C_856/2017 vom 7. September 2018 E. 4.3 mit Hinweisen).
Eine Reduktion des Arbeitspensums kann ein gewichtiges Indiz für das Vorliegen einer berufsvorsorgerechtlich relevanten Arbeitsunfähigkeit sein, genügt allein in der Regel jedoch nicht für den Nachweis einer gesundheitlich bedingten funktionellen Leistungseinbusse. Dies gilt insbesondere, wenn die Reduktion aus einem subjektiven Krankheitsgefühl heraus erfolgt oder wenn konkurrierende Gründe bestehen (z.B. der Wunsch nach mehr Zeit für bestimmte [Freizeit-]Aktivitäten oder für eine berufsbegleitende Weiterbildung). Es braucht grundsätzlich eine echtzeitliche ärztliche Bestätigung, dass die Pensenreduktion gesundheitlich bedingt notwendig ist, weil etwa die weitere Verrichtung der Berufsarbeit nur unter der Gefahr der Verschlimmerung des Gesundheitszustandes möglich wäre. Davon kann abgesehen werden, wenn andere Umstände, z.B. krankheitsbedingte Absenzen vor der Arbeitszeitreduktion, den Schluss nahelegen, dass dieser Schritt auch objektiv betrachtet aus gesundheitlichen Gründen erfolgt und insoweit eine arbeitsrechtlich in Erscheinung getretene (sinnfällige) Leistungseinbusse zu bejahen ist (Urteil 9C_517/2020 vom 28. Januar 2021 E. 3.2 mit weiteren Hinweisen).
5.2.2. Am 1. Juli 2012 nahm die Beschwerdeführerin wieder eine Tätigkeit in ihrem angestammten Beruf im bereits früher ausgeübten Umfang von 80 % auf. Das Pensum von 80 % - das sie laut Vorinstanz bis mindestens bis Ende 2012 ausübte - war von Anfang an befristet. Die nachfolgende Reduktion des Pensums auf 65 % vereinbarte die Beschwerdeführerin mit der Stiftung E._ ebenfalls bereits mit Arbeitsvertrag vom 21. Mai 2012. Die Arbeitgeberin berichtete, die Beschwerdeführerin habe aufgrund ihrer Leistungseinschränkung seit 2013 kein höheres Pensum als 65 % antreten können, was mit Blick auf die für das Bundesgericht verbindlichen Tatsachen keine Stütze in den medizinischen Akten findet (E. 5.1 hiervor). Alleine mit dem Hin weis auf den Umfang ihrer Anstellung im angestammten Beruf von 65 % vermag die Beschwerdeführerin noch keine gesundheitliche Beeinträchtigung mit sinnfälliger Auswirkung auf das Arbeitsverhältnis darzutun. Selbst wenn hier im Sinne der Beschwerdeführerin von einer Schubkrankheit auszugehen wäre und ein nicht (allzu) strenger Massstab angelegt würde (Urteil 9C_333/2018 vom 25. Januar 2019 E. 6.1 mit weiteren Hinweisen), ist ein Leistungsabfall vor der Arbeitszeitreduktion auf 65 %, der etwa durch entsprechende Feststellung oder gar Ermahnung der Arbeitgeberin oder durch gehäufte aus dem Rahmen fallende gesundheitlich bedingte Arbeitsausfälle ausgewiesen wäre (E. 5.2.1), nicht ersichtlich und macht die Beschwerdeführerin auch nicht geltend.
Ein solcher Leistungsabfall ist gemäss Vorinstanz im Zeitpunkt der Neuanmeldung der Beschwerdeführerin bei der Invalidenversicherung im Oktober 2016 anzunehmen. So stellte das kantonale Gericht fest, dass die Neuanmeldung auf Anraten der Arbeitgeberin erfolgt sei, die eine Einbusse des Leistungsvermögens bemerkt habe. Diese Einschränkung finde nun eine Bestätigung in den medizinischen Akten (Bericht des Dr. med. F._ vom 21. Januar 2017). Dass diese Tatsachen offensichtlich unrichtig oder sonstwie bundesrechtswidrig sein sollen, macht die Beschwerdeführerin nicht geltend. Vor diesem Hintergrund liegt während vier Jahren keine arbeitsrechtlich in Erscheinung getretene (sinnfällige) Leistungseinbusse vor.
5.3. Mit Blick auf das Gesagte verletzte die Vorinstanz im Ergebnis kein Bundesrecht, indem sie von einem Unterbruch des zeitlichen Zusammenhangs ausging und eine Leistungspflicht der Pensions kasse B._ ausschloss. Denn aus beweisrechtlicher Sicht wirkt sich der unbewiesen gebliebene zeitliche Konnex zum Nachteil der Beschwerdeführerin aus, die aus dem geltend gemachten Sachverhalt - dem zeitlichen Zusammenhang zwischen dem Eintritt der Arbeitsunfähigkeit und der später eingetretenen Invalidität - einen Anspruch auf Invalidenleistungen gemäss BVG ableiten wollte (Urteil 9C_52/2017 vom 13. Juni 2017 E. 4.1 mit weiteren Hinweisen). Bei diesem Ergebnis erübrigen sich Weiterungen zur vorinstanzlichen Bemessungsart der Leistungseinbusse von 18,75 %.
6.
Die Beschwerde ist unbegründet. Damit bleibt es im Ergebnis beim vorinstanzlichen Urteil.
7.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der unterliegenden Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. September 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Huber