Erwägungen:
1.
1.1. A._ (nachfolgend: der Steuerpflichtige) hat steuerrechtlichen Wohnsitz in U._/SG. Das Steueramt des Kantons St. Gallen hatte ihm Steuerbussen auferlegt, wovon ein Betrag von Fr. 5'660.-- (Staats- und Gemeindesteuern des Kantons St. Gallen) bzw. Fr. 620.-- (direkte Bundessteuer) offen ist. Sein Ersuchen um Erlass dieser Beträge blieb vor dem Steueramt des Kantons St. Gallen wegen fehlender Erlasswürdigkeit (hohe anderweitige Schulden) erfolglos. Die Verwaltungsrekurskommission trat auf die Rechtsmittel nicht ein (fehlende Auseinandersetzung mit der angefochtenen Verfügung). Dagegen gelangte der Steuerpflichtige an das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen. Mangels hinreichender Beschwerdebegründung trat das Verwaltungsgericht, Abteilung III, mit einzelrichterlichem Entscheid B 2019/171 / B 2019/173 vom 19. August 2019 auf die Rechtsmittel ebenfalls nicht ein.
1.2. Der Steuerpflichtige wandte sich in der Folge an das Bundesgericht, ohne den angefochtenen Entscheid beizulegen. Am 19. September 2019 ordnete das Bundesgericht in Anwendung von Art. 42 Abs. 3 und Abs. 5 BGG eine Nachfrist an, die am 3. Oktober 2019 endete. Der Steuerpflichtige kam der Aufforderung erst am 9. Oktober 2019 nach. Die Abklärungen des Bundesgerichts ergaben, dass der Steuerpflichtige zuhanden der Schweizerischen Post einen Nachsendeauftrag (in Form der Zurückbehaltung der Postsendungen) erteilt hatte. Das Bundesgericht erwog, ein solcher Auftrag vermöge die ordentliche postalische Abholungsfrist von sieben Tagen nicht zu verlängern. Wie in der Verfügung vom 19. September 2019 angedroht, habe das verspätete Nachreichen des angefochtenen Entscheids zur Folge, dass auf die Beschwerde im einzelrichterlichen Verfahren (Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG) nicht einzutreten sei. Im Übrigen wäre auf die Beschwerde auch deshalb nicht einzutreten, weil sie offensichtlich keine hinrei-chende Begründung enthalte (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG; Urteil 2D_45/2019 vom 14. Oktober 2019 E. 2.2 und 2.3).
1.3. Mit Schreiben vom 22. Oktober 2019 (Poststempel: 24. Oktober 2019) gelangt der Steuerpflichtige ans Bundesgericht.
1.4. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (Art. 32 Abs. 1 BGG) hat von Instruktionsmassnahmen - insbesondere einem Schriftenwechsel - abgesehen.
2.
2.1. Unter dem Titel "Erneute Einsprache infolge Fehlers Ihrerseits" stellt der Steuerpflichtige sinngemäss ein Revisionsgesuch oder ein Fristwiederherstellungsgesuch.
2.2.
2.2.1. Zur versäumten Frist macht der Steuerpflichtige geltend, er habe ins Spital V._/ZH eintreten müssen, um sich "das vierte künstliche Kniegelenk machen" zu lassen. Zuvor habe er die Post angewiesen, die Briefpost zurückzubehalten. Nach beendeter Therapie habe er die zurückbehaltene Post dann sofort abgeholt und den angefochtenen Entscheid nachgereicht. Er sei mithin rechtzeitig tätig geworden. Das Bundesgericht könne sich "die blöden Sprüche, ich hätte die Sachen zu spät eingereicht", sparen. Das Urteil sei lachhaft.
2.2.2. Auf eine verspätete Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist gemäss Art. 50 Abs. 1 BGG nur einzutreten, wenn die steuerpflichtige Person einerseits nachweist, dass sie oder ihre Vertretung unverschuldet - durch Militär- oder Zivildienst, Krankheit, Landesabwesenheit oder andere erhebliche Gründe - an der rechtzeitigen Einreichung verhindert war (materielle Voraussetzung) und anderseits das Rechtsmittel innert 30 Tagen nach Wegfall der Hinderungsgründe eingereicht wurde (formelle Voraussetzung). Wird eine Krankheit als Hinderungsgrund angerufen, muss die Beeinträchtigung praxisgemäss derart erheblich ausfallen, dass die steuerpflichtige Person durch sie geradezu davon abgehalten wird, innert Frist zu handeln oder eine Drittperson mit der notwendigen Vertretung zu betrauen (<ref-ruling> E. 2 S. 87; <ref-ruling> E. 2a S. 255 f.; Urteil 2C_925/2018 vom 15. November 2018 E. 2.2.2).
2.2.3. Der Nachweis der hinreichend schweren Krankheit unterliegt nach dem Grundsatz der freien Beweiswürdigung zwar keiner festen Beweisregel. Wird eine Erkrankung als Grund für die versäumte Frist angerufen, kommt aber in der Praxis einem zeitnah erstellten, aussagekräftigen Arztzeugnis, dem zufolge das Fristversäumnis gar nicht oder höchstens leicht verschuldet ist, ausschlaggebende Bedeutung zu. Die Beweislast hierfür trägt die zur Prozesshandlung verpflichtete Person, denn diese leitet aus dem unverschuldeten Hindernis Rechte ab (Urteil 2C_925/2018 vom 15. November 2018 E. 2.2.3).
2.2.4. Der Steuerpflichtige scheint sich bewusst zu sein, dass er die gesetzte Nachfrist ungenutzt verstreichen liess, er glaubt sich aber im Recht, da er ins Spital habe einrücken müssen. Abgesehen davon, dass der Spitaleintritt und die Dauer des Aufenthalts nicht nachgewiesen sind, vermag der Hinweis auf das "vierte künstliche Kniegelenk" keine Beeinträchtigung darzutun, die den Steuerpflichtigen objektiv hätte hindern können, rechtzeitig tätig zu werden. Die ihm obliegende prozessuale Sorgfaltspflicht hätte es erfordert, für eine Stellvertretung besorgt zu sein, da etwaige Verfügungen des Bundesgerichts nicht ausgeschlossen werden konnten. Dessen ungeachtet hat der Steuerpflichtige, wie im Urteil 2D_45/2019 vom 14. Oktober 2019 E. 2.2 ausgeführt, einen Nachsendeauftrag (in Form der Zurückbehaltung der Postsendungen) erteilt und damit in Kauf genommen, die Frist zu versäumen. Darauf ist er zu behaften. Das Fristwiederherstellungsgesuch ist als unbegründet abzuweisen.
2.2.5. Selbst wenn er Vorsorge getroffen und eine Drittperson mit der Nachsendung des einverlangten Urteils beauftragt hätte, wäre es im Übrigen zu keinem anderen Ergebnis gekommen. Das Bundesgericht hat im Urteil 2D_45/2019 vom 14. Oktober 2019 E. 2.3 bereits darauf hingewiesen, dass ein Fall von Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG vorliege (Beschwerde, die offensichtlich keine hinreichende Begründung enthält), weshalb auf die Beschwerde ohnehin nicht eingetreten werden könne. Nicht daran ändert, dass der Steuerpflichtige hiergegen vorbringt, das Bundesgericht müsse seine Eingabe "halt lesen und nicht wegwerfen". Die gesetzlichen Voraussetzungen von Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG, die nach einer qualifizierten Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid rufen, sind offensichtlich nicht erfüllt.
2.3.
2.3.1. Entscheide des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (Art. 61 BGG). Eine Beschwerde gegen ein bundesgerichtliches Urteil sieht das Gesetz nicht vor. Das Bundesgericht kann auf eines seiner Urteile nur zurückkommen, soweit ein gesetzlicher Revisionsgrund gegeben ist. Die um Revision eines bundesgerichtlichen Urteils ersuchende Person hat gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG namentlich einen vom Gesetz vorgesehenen Revisionsgrund (Art. 121 ff. BGG) zu nennen und aufzuzeigen, inwiefern das revisionsbetroffene Urteil an einem revisionserheblichen Mangel leiden soll, ansonsten auf das Gesuch nicht einzutreten ist (Urteil 2F_18/2019 vom 23. Juli 2019 E. 2.2).
2.3.2. Für den Fall, dass die kurze Eingabe vom 24. Oktober 2019 auch als Revisionsgesuch zu verstehen sein sollte, was unklar bleibt, wäre Folgendes festzustellen: Der Steuerpflichtige kritisiert das "lachhafte Urteil" und wirft dem Bundesgericht vor, den Fall schon "zum zweiten Mal verhühnert und nicht korrekt erledigt" zu haben. Was er damit genau meint, bleibt zwar im Dunkeln, es darf aber angenommen werden, dass er sich in der Sache eine für ihn positive Beurteilung des Erlassgesuchs vorstellt. Er äussert damit rein appellatorische Kritik, die auf die Aufhebung des angefochtenen Urteils abzielt. Wie ausgeführt, ist das Urteil 2D_45/2019 indes in Rechtskraft erwachsen und keinem ordentlichen Rechtsmittel zugänglich. Zu hören sind einzig Revisionsgründe. Abgesehen vom Umstand, dass der Steuerpflichtige sich das "vierte künstliche Kniegelenkt machen" liess, wie er es formuliert, können der Eingabe keinerlei Sachverhaltselemente entnommen werden, die das Bundesgericht überhaupt hätte übersehen können (Art. 121 lit. d BGG). Da die Operation in den vorinstanzlichen Akten noch nicht verzeichnet sein konnte, stellt auch dies keinen tauglichen Revisionsgrund dar.
2.3.3. Weitere Revisionsgründe sind nicht ersichtlich. Das Revisionsgesuch ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der unterliegenden Partei aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Mit Blick auf die besonderen Umstände kann von einer Kostenverlegung abgesehen werden (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Dem Kanton St. Gallen, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Fristwiederherstellungsgesuch wird abgewiesen.
2.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Für das bundesgerichtliche Verfahren werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung III, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. November 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher