Sachverhalt:
A.
B.A._ (Beschwerdegegnerin) und A.A._ (Beschwerdeführer) heirateten im Jahr 2002. Sie sind die Eltern von C.A._ (geb. 2004), D.A._ (geb. 2007) und E.A._ (geb. 2011). Seit dem 15. Juni 2017 leben die Eheleute getrennt.
B.
B.a. Mit Gesuch vom 30. Juni 2017 ersuchte A.A._ das Regionalgericht Engiadina Bassa/Val Müstair (nachfolgend: Regionalgericht) um den Erlass von Massnahmen zum Schutz der ehelichen Gemeinschaft. Am 18. Dezember 2017 entschied das Regionalgericht unter anderem vorsorglich über das Besuchsrecht des Vaters bei den Töchtern. In teilweiser Gutheissung der von A.A._ hiergegen eingereichten Berufung erklärte das Kantonsgericht von Graubünden den Vater bis auf weiteres für berechtigt, seine Kinder alle zwei Wochen für einen Tag zu besuchen oder zu sich auf Besuch zu nehmen (Verfahrensnummer ZK1 17 163).
B.b. Am 6. Dezember 2018 entschied das Regionalgericht abschliessend über die Eheschutzmassnahmen, wobei es die bestehende Besuchsregelung bestätigte und dem Vater zudem das Recht einräumte, dreimal wöchentlich telefonischen Kontakt mit seinen Kindern aufzunehmen. Auch gegen diesen Entscheid reichte A.A._ Berufung beim Kantonsgericht ein (Verfahrensnummer ZK1 19 3). Das Berufungsverfahren ist derzeit noch hängig.
Mit Eingabe vom 12. April 2019 ersuchte A.A._ das Kantonsgericht in diesem Verfahren zudem um den Erlass vorsorglicher Massnahmen hinsichtlich des persönlichen Verkehrs (Verfahrensnummer ZK1 19 66). Mit Verfügung vom 14. Februar 2020 (eröffnet am 3. März 2020) hiess das Kantonsgericht dieses Gesuch teilweise gut, soweit es darauf eintrat.
B.c. Bereits am 17. Juni 2019 hatte B.A._ beim Regionalgericht auf Scheidung der Ehe geklagt. Für die Führung dieses Verfahrens wurde zufolge bestehender Ausstandsgründe das Regionalgericht Maloja für zuständig erklärt.
C.
Am 20. Februar 2020 reichte A.A._ beim Bundesgericht zwei Beschwerden wegen Rechtsverzögerung ein. Die eine richtete sich gegen den bisher nicht ergangenen Berufungsentscheid im Eheschutzverfahren (Verfahrensnummer ZK1 19 3). Die andere betraf das Ausbleiben der Anordnung vorsorglicher Massnahmen im Berufungsverfahren (Verfahrensnummer ZK1 19 66).
Die Beschwerde betreffend das Verfahren ZK1 19 66 schrieb das Bundesgericht am 2. April 2020 als gegenstandslos geworden ab, nachdem das Kantonsgericht verfügt hatte (Urteil 5A_153/2020; vorne Bst. B.b). Jene betreffend das Verfahren ZK1 19 3 hiess es am 7. April 2020 dahingehend gut, dass es das Kantonsgericht anhielt, so rasch als möglich zu entscheiden (Urteil 5A_152/2020).
D.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 20. März 2020 gelangt A.A._ ans Bundesgericht. Er beantragt die teilweise, eventuell umfassende Aufhebung der im Berufungsverfahren ZK1 19 66 ergangenen Verfügung des Kantonsgerichts vom 14. Februar 2020 (vgl. vorne Bst. B.b) und die Rückweisung des Verfahrens an das Kantonsgericht zur Ergänzung des Sachverhalts und zu neuer Entscheidung. Für das bundesgerichtliche Verfahren sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege unter Beiordnung des ihn vertretenden Rechtsanwalts als unentgeltlicher Vertreter zu gewähren.
Mit Vernehmlassungen vom 30. März und vom 23. April 2020 beantragen das Kantonsgericht und B.A._, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Kindesvertreterin verzichtet am 22. April 2020 auf eine Vernehmlassung. B.A._ stellt für das Verfahren vor dem Bundesgericht ausserdem ebenfalls ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Beiordnung ihrer Rechtsanwältin als unentgeltliche Rechtsvertreterin. Mit Eingabe vom 1. Mai 2020 verzichtet A.A._ auf eine weitere Stellungnahme in der Sache.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.

Erwägungen:
1.
Fristgerecht (<ref-law>) angefochten ist der Entscheid einer oberen kantonalen Instanz (<ref-law>) betreffend ein Gesuch um vorsorgliche Eheschutzmassnahmen. Das Kantonsgericht hat den Entscheid im Rahmen eines Berufungsverfahrens getroffen, weshalb unerheblich bleibt, dass es nicht auf Rechtsmittel hin (<ref-law>), sondern als einzige kantonale Instanz entschieden hat (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.2). Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen Zwischenentscheid (Urteil 5A_813/2017 vom 31. Mai 2018 E. 1.2), der für den Beschwerdeführer - betroffen ist der persönliche Verkehr zu seinen Töchtern während des Berufungsverfahrens - einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil nach Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG bewirken kann (vgl. allgemein zu diesem Nachteil <ref-ruling> E. 1.2). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1). Dort steht die Regelung des Getrenntlebens der Eheleute und insbesondere der persönliche Verkehr zu den Töchtern und damit eine insgesamt nicht vermögensrechtliche Zivilsache nach <ref-law> im Streit (jüngst etwa Urteil 5A_306/2019 vom 29. Januar 2020 E. 1.2). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt.
2.
2.1. Entscheide, die der Beschwerde an das Bundesgericht unterliegen, müssen nach <ref-law> einer Reihe von inhaltlichen Mindestanforderungen genügen. So sind die Vorbringen der Parteien zu nennen, nämlich ihre Begehren, Begründungen, Beweisvorbringen und Prozesserklärungen (Bst. a). Alsdann hat die Vorinstanz klar festzuhalten, von welchem Sachverhalt sie ausgegangen ist und welche rechtlichen Überlegungen sie angestellt hat. Insbesondere sind die angewendeten Gesetzesbestimmungen zu nennen (Bst. b). Weiter hat der Entscheid ein Dispositiv zu enthalten (Bst. c). Genügt ein Entscheid diesen Anforderungen nicht, so kann das Bundesgericht ihn an die Vorinstanz zur Verbesserung zurückweisen oder aufheben (<ref-law>). Hingegen steht es ihm nicht zu, sich an die Stelle der Vorinstanz zu setzen, die ihrer Aufgabe nicht nachgekommen ist. Das Bundesgericht prüft die verfahrensrechtlichen Folgen von <ref-law> von Amtes wegen. Es wird somit unabhängig von einem Antrag einer Prozesspartei tätig, denn nur so kann es seine Aufgabe wahrnehmen (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 1.2.1; <ref-ruling> E. 2.2; Urteil 5A_222/2019 vom 28. April 2020 E. 4.1).
2.2. Die in Art. 112 Abs. 1 Bst. a und b BGG formulierten Anforderungen sollen es der betroffenen Partei ermöglichen, sich ein Bild über die Tragweite des Entscheids zu verschaffen, und es ihr erlauben, diesen auf seine Richtigkeit hin überprüfen und gegebenenfalls anfechten zu können (<ref-ruling> E. 1.2.1). Dazu gehört auch eine klare Trennung von Sachverhalt und Rechtsfragen. Nach der Rechtsprechung sind vor diesem Hintergrund sogenannte "Dass-Entscheide" nur für kürzere Urteile zulässig, da sie regelmässig schwer lesbar sind, was ihre Nachvollziehbarkeit beeinträchtigt (Urteile 5A_955/2019 vom 2. Juni 2020 E. 2.2; 5A_1016/2018 vom 9. Oktober 2019 E. 2.1; allgemein betreffend die Vorinstanz vgl. auch Urteil 5A_913/2018 vom 14. Mai 2019 E. 2; spezifisch zum Beschwerdeführer vgl. bereits Urteil 5A_984/2016 vom 27. April 2017 E. 2).
Die vorliegende Angelegenheit weist bereits mit Blick auf den Verfahrensgang eine nicht unerhebliche Komplexität auf und es gilt klar zwischen den einzelnen Verfahren (Eheschutzverfahren, vorsorgliche Massnahmen im Eheschutzverfahren, Scheidungsverfahren) zu unterscheiden. Diese Ausgangslage verlangt in jedem Einzelfall nach einem möglichst einfach gegliederten und redigierten und entsprechend gut verständlichen Entscheid. Das Kantonsgericht hat demgegenüber eine zehnseitige Verfügung erlassen, die vollständig in der Dass-Form gehalten ist. Der Sachverhalt und die Rechtslage werden in über 50 Dass-Sätzen dargestellt. Bereits dies ist der Verständlichkeit des vorinstanzlichen Entscheids nicht zuträglich und der gegebenen Ausgangslage kaum angemessen. Weiteres kommt hinzu:
2.3. Das Dispositiv der angefochtenen Verfügung (vgl. Art. 112 Abs. 1 Bst. c BGG) lautet dahingehend, dass das Gesuch des Beschwerdeführers um Erlass vorsorglicher Massnahmen "teilweise gutgeheissen" "wird", "soweit darauf eingetreten werden kann". Inwieweit das Kantonsgericht das Gesuch aber gutheisst und welche konkreten Anordnungen bezüglich des streitbetroffenen persönlichen Verkehrs zwischen Vater und Töchtern es trifft, lässt sich dem Dispositiv nicht entnehmen. Zur Beantwortung dieser Fragen muss vielmehr auf dessen Begründung zurückgegriffen werden (vgl. etwa Urteil 2C_51/2016 und 2C_52/2016 vom 10. August 2016 E. 1.1), was sich indes bereits aufgrund von deren Dass-Form nicht einfach ausgestaltet (vgl. E. 2.2 hiervor). Immerhin lässt die Begründung erkennen, dass das Kantonsgericht es als notwendig erachtet, die bereits früher angeordneten Telefonkontakte zwischen dem Beschwerdeführer und den Kindern anzupassen. Insbesondere sollen die Kinder dabei nicht beaufsichtigt und die Kontakte "unter der Woche gut verteilt" werden. Die Koordination der Kontakte soll durch die aktuelle Beiständin erfolgen. Obgleich die Vorinstanz das Gesuch zufolge dieser Präzisierung teilweise gutheisst und sie ausserdem angibt, dass die entsprechenden Anordnungen auch von Amtes wegen zu treffen gewesen wären, gelangt sie insgesamt indes zum Fazit, dass "die Voraussetzungen für eine Abänderung der vorsorglichen Massnahmen nicht erfüllt sind". Unter diesen Umständen erhebt der Beschwerdeführer zu Recht den Vorwurf, dass die Vorinstanz sich nicht hinreichend klar dazu äussert, auf welche Teile des streitbetroffenen Gesuchs sie eintritt und auf welche nicht, und auch nicht mit der nötigen Klarheit angibt, welche verbindlichen Anordnungen sie treffen will.
2.4. Unter diesen Umständen genügt die angefochtene Verfügung den Erfordernissen des Bundesgerichtsgesetzes insgesamt nicht und kann das Bundesgericht die Rechtmässigkeit des angefochtenen Erkenntnisses nicht prüfen. Dieses ist mithin aufzuheben und die Angelegenheit zu neuer Entscheidung unter Berücksichtigung der Vorgaben von <ref-law> an das Kantonsgericht zurückzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens brauchen die weiteren Rügen des Beschwerdeführers nicht behandelt zu werden.
3.
Die Kosten werden bei Rückweisung nach <ref-law> in der Regel nicht nach dem Ausgang des Verfahrens, sondern nach dem Verursacherprinzip verlegt (<ref-law>; Urteile 5A_955/2019 vom 2. Juni 2020 E. 3; 5A_1016/2018 vom 9. Oktober 2019 E. 3; anders Urteil 5A_884/2012 vom 16. Mai 2013 E. 7). Entsprechend sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (inkl. der Kosten für die Kindesvertreterin) dem Kanton Graubünden aufzuerlegen. Ein Absehen von der Kostenauferlegung an das Gemeinwesen (vgl. <ref-law>) rechtfertigt sich unter den gegebenen Umständen nicht, zumal die Vorinstanz bereits früher verschiedentlich auf die Problematik überlanger "Dass-Urteile" hingewiesen wurde (vgl. vorne E. 2.2). Sodann hat der Kanton Graubünden den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen. Die Entschädigung ist praxisgemäss direkt dessen Rechtsvertreter auszurichten. Dessen Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird damit gegenstandslos.
Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege - dessen Voraussetzungen sind erfüllt (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG) - ist gutzuheissen, soweit es zufolge Kostenpflicht des Kantons Graubünden nicht ebenfalls gegenstandslos geworden ist. Es ist ihr daher ihre Vertreterin als unentgeltliche Rechtsbeiständin beizuordnen und diese ist aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen. Die Beschwerdegegnerin wird darauf hingewiesen, dass sie der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie dazu später in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfügung des Kantonsgerichts von Graubünden vom 14. Februar 2020 wird aufgehoben. Die Sache wird zur Behandlung im Sinne der Erwägungen an das Kantonsgericht zurückgeweisen.
2.
2.1. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
2.2. Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, und es wird ihr Rechtsanwältin Susanna Mazzetta als unentgeltliche Rechtsvertreterin beigeordnet.
3.
3.1. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- (einschliesslich der Entschädigung der Kindesvertreterin von Fr. 250.--) werden dem Kanton Graubünden auferlegt.
3.2. Rechtsanwältin Diana Honegger wird als Kindesvertreterin aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 250.-- entschädigt.
4.
4.1. Der Kanton Graubünden hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen. Die Entschädigung ist direkt Rechtsanwalt Dr. Angelo Schwizer auszurichten.
4.2. Rechtsanwältin Mazzetta wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, Rechtsanwältin Diana Honegger und dem Kantonsgericht von Graubünden, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Juli 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Sieber