Der Präsident zieht in Erwägung:
1.
Der Beschwerdeführer richtet sich mit zwei Beschwerdeeingaben dagegen, dass die Staatsanwaltschaft Innerschwyz die von ihm angestrebten Strafverfahren einerseits wegen übler Nachrede und Verleumdung gegen B._ am 30. Juli 2019 einstellte und andererseits wegen falscher Zeugenaussage, übler Nachrede und Verleumdung gegen C._ am 9. August 2019 nicht an die Hand nahm und das Kantonsgericht Schwyz die dagegen gerichteten kantonalen Beschwerden am 14. April 2020 abwies, soweit es darauf eintrat.
2.
Die Verfahren 6B_557/2020 und 6B_558/2020 stehen in einem engen Zusammenhang, weshalb sie zu vereinigen und gemeinsam zu erledigen sind.
3.
Der Beschwerdeführer macht geltend, nicht auf seine aus Art. 6 Ziff. 1 EMRK fliessenden Rechte zu verzichten, und ersucht in beiden Verfahren "um die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung unter Berücksichtigung der Gehöransprüche und allfälliger Zeugenbefragungen". Er verkennt, dass das Bundesgericht als oberste Recht sprechende Behörde die angefochtenen Entscheidungen einzig auf ihre richtige Rechtsanwendung hin zu überprüfen hat und dass kein Raum für eine eigene Tatsachen- und Beweiserhebung besteht (vgl. <ref-ruling> E. 3.4.2). Vor Bundesgericht gibt es insofern keinen Anspruch auf mündliche Anhörung und eine Parteiverhandlung findet nur ausnahmsweise statt (<ref-law>). Dafür besteht vorliegend, soweit der Beschwerdeführer eine solche verlangt, kein Anlass.
4.
Die Privatklägerschaft ist zur Beschwerde in Strafsachen nur legitimiert, wenn sich der angefochtene Entscheid auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Die Beschwerde führende Partei hat im bundesgerichtlichen Verfahren ihre Beschwerdelegitimation darzulegen. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation der Privatklägerschaft strenge Anforderungen (<ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer äussert sich vor Bundesgericht in seinen Beschwerdeeingaben zur Frage der Legitimation und zu allfälligen Zivilforderungen, die er geltend machen will, nicht. Solche Forderungen sind aufgrund der Natur der Vorwürfe auch nicht ohne Weiteres ersichtlich. Es ist folglich davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer zur Beschwerdeerhebung nicht legitimiert ist.
5.
Unbekümmert um die fehlende Legitimation in der Sache selbst kann der Privatkläger die Verletzung jener Parteirechte geltend machen, die ihm nach dem Verfahrensrecht, der Bundesverfassung oder der EMRK zustehen und deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung bedeutet. Soweit eine Rüge zulässig ist, ist klar und detailliert darzulegen, inwieweit das angerufene Recht verletzt worden sein soll (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer beruft sich in beiden Verfahren auf Rechtsverweigerung, den Anspruch auf rechtliches Gehör sowie das Recht auf Wahrheitsfindung und Verfahrensfairness. Seiner Ansicht nach wäre eine erneute Zeugenbefragung bzw. erneute Zeugenbefragungen notwendig gewesen. Er bringt vor, das Kantonsgericht habe sich ebenso wie die Staatsanwaltschaft geweigert, die aktenkundigen Aussagen und die erdrückende Beweislage unparteiisch zu würdigen. Die Einwände des Beschwerdeführers können ohne materielle Prüfung der Sache nicht beurteilt werden, was unzulässig ist. Zudem genügen sie den strengen Begründungsanforderungen nach <ref-law> nicht. Aus den Beschwerdeeingaben ergibt sich z.B. nicht, dass und inwiefern die Vorwürfe der nicht hinreichenden Zeugenbefragung, einer parteiischen Würdigung oder einer nicht rechtsgenügenden Begründung zutreffen könnten. Die blosse Behauptung von Verfassungs- oder Konventionsverletzungen genügt nicht. Soweit der Beschwerdeführer Befangenheit einer an den angefochtenen Beschlüssen mitwirkenden Richterperson geltend macht, ist seine Rüge überdies verspätet; er hätte seinen Einwand bereits mit der Einreichung des kantonalen Rechtsmittels geltend machen können und müssen. Das gilt im Übrigen auch für den Antrag auf Durchführung einer öffentlichen Verhandlung, sollte sich dieser Antrag auf das kantonale Beschwerdeverfahren beziehen. Abgesehen davon bleibt darauf hinzuweisen, dass das kantonale Beschwerdeverfahren grundsätzlich schriftlich durchgeführt wird (<ref-law>). Dass das Kantonsgericht von diesem Grundsatz hätte abweichen müssen und gehalten gewesen wäre, eine mündliche Verhandlung anzusetzen (vgl. <ref-law>), zeigt der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht auf.
6.
Auf die Beschwerde ist mangels Legitimation und mangels tauglicher Begründung im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Die Verfahren 6B_557/2020 und 6B_558/2020 werden vereinigt.
2.
Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Schwyz, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Juni 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin : Arquint Hill