Sachverhalt:
A.
Nach drei erfolglosen Verfahren (Verfügungen vom 17. November 2004, 8. Januar 2008 und 18. Februar 2011) meldete sich die 1972 geborene A._ am 5. Juni 2013 erneut bei der Eidgenössischen Invalidenversicherung (IV) zum Leistungsbezug an. Es folgten insbesondere eine polydisziplinäre (internistisch, rheumatologisch, neurologisch, psychiatrische) Begutachtung durch das Zentrum für Medizinische Begutachtung, Basel (ZMB; Expertise vom 14. April 2016; ergänzende Stellungnahme vom 29. Juni 2017), und eine bidisziplinäre (psychiatrisch, rheumatologische) Expertise durch die asim Begutachtung, Basel (asim; Expertise vom 31. Dezember 2018), wobei die Notwendigkeit einer zweiten Expertise mit Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 22. Mai 2018 bestätigt worden war. Mit Verfügung vom 3. Mai 2019 verneinte die IV-Stelle Bern einen Rentenanspruch.
B.
Die hiergegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 27. Juli 2020 ab.
C.
A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, ihr Invaliditätsgrad sei rückwirkend auf den 1. Mai 2015 auf 50 % anzusetzen. Eventualiter seien die Akten zwecks Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>), die Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz nur, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Indes prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (vgl. <ref-law>), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1 S. 236).
1.2. Bei den gerichtlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit sowie bei der konkreten Beweiswürdigung handelt es sich um für das Bundesgericht grundsätzlich verbindliche Tatfragen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.). Dagegen sind frei überprüfbare Rechtsfragen (Urteil 9C_194/2017 vom 29. Januar 2018 E. 3.2) die unvollständige Feststellung rechtserheblicher Tatsachen sowie die Missachtung des Untersuchungsgrundsatzes (Art. 43 Abs. 1, Art. 61 lit. c ATSG) und der Anforderungen an den Beweiswert ärztlicher Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352). Gleiches gilt für die Frage, ob und in welchem Umfang die Feststellungen in einem medizinischen Gutachten anhand der rechtserheblichen Indikatoren auf Arbeitsunfähigkeit schliessen lassen (<ref-ruling> E. 7 S. 308 f.).
2.
2.1. Die Vorinstanz hat sich in medizinischer Hinsicht auf das internistische und das neurologische Teilgutachten des ZMB sowie das rheumatologische und das psychiatrische Teilgutachten der asim gestützt. Nach Prüfung der Standardindikatoren (<ref-ruling>) ist sie zum Schluss gelangt, dass in der Gesamtbetrachtung die seitens der asim postulierten funktionellen Auswirkungen der medizinisch festgestellten psychischen Beeinträchtigung anhand der Standardindikatoren nicht überwiegend wahrscheinlich erscheinen würden und dementsprechend aus rechtlicher Sicht nicht auf die ärztlicherseits attestierte Arbeitsunfähigkeit abzustellen sei. Die Beschwerdegegnerin sei (in leidensangepasster Tätigkeit) korrekterweise von einer Einschränkung der Arbeitsfähigkeit von 30 % aus somatischen Gründen ausgegangen. Bei Gegenüberstellung von Validen- und Invalideneinkommen hat das kantonale Gericht - unter hypothetischer Berücksichtigung eines maximal gerechtfertigten Abzuges vom Tabellenlohn von 10 % - einen rentenausschliessenden Invaliditätsgrad von 37 % ermittelt, wobei es die Frage nach einem solchen Abzug schliesslich offen gelassen hat.
2.2. Strittig und zu prüfen ist die Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör im Sinne der Begründungspflicht. Sodann rügt die Beschwerdeführerin die Zulässigkeit der erneuten Begutachtung durch die asim nach Vorliegen der ZMB-Expertise. Weiter bringt sie Einwendungen im Zusammenhang mit der vorinstanzlichen Indikatorenprüfung vor und beanstandet eine unvollständige Feststellung des rechtserheblichen medizinischen Sachverhalts. Schliesslich verlangt die Beschwerdeführerin einen Abzug vom Tabellenlohn von "mindestens 20 %".
Sollten ihre Vorbringen ins Leere zielen, ist die Abweisung des Rentenanspruchs bundesrechtskonform, was nicht weiter bestritten wird (E. 1.1).
3.
Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestimmungen und Grundsätze zum Anspruch auf eine Invalidenrente - insbesondere bei psychischen Gesundheitsschäden (<ref-ruling>; <ref-ruling>; <ref-ruling>) - sowie zur Bemessung des Invaliditätsgrades korrekt dargelegt. Darauf wird verwiesen.
4.
Eine sachgerechte Anfechtung des vorinstanzlichen Entscheids war möglich; soweit die Beschwerdeführerin die Verletzung der Begründungspflicht resp. des Anspruchs auf rechtliches Gehör rügt, kann ihr nicht gefolgt werden (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 436 mit Hinweisen).
5.
Gemäss dem von der Vorinstanz in ihrem Entscheid vom 22. Mai 2018 in Erwägung 2.5 zitierten (und von der Beschwerdeführerin falsch wiedergegebenen) BGE <ref-ruling> E. 2.2.4 S. 128 kann eine Beweiswürdigung, welche überzeugenden Teilkonsilien vollen Beweiswert zuerkennt, nicht allein deshalb als bundesrechtswidrig bezeichnet werden, weil einem weiteren Teil des Gutachtens die Beweiskraft fehlt. Daraus ist zu schliessen, dass es grundsätzlich zulässig war, lediglich einen Teil des ZMB-Gutachtens vom 14. April 2016 als beweiskräftig zu qualifizieren und die neue Begutachtung auf die (beiden) nicht verwertbaren Teilbereiche (Rheumatologie und Psychiatrie) zu beschränken (Entscheid vom 22. Mai 2018 E. 3.4 f. S. 12 f.). Vorliegend wird (mit den im Wesentlichen rein appellatorischen [ vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen] respektive offenkundig unrichtigen Vorbringen) nichts substanziiert, was dieses Vorgehen in Frage stellen würde und damit auf eine Umgehung von Art. 72bis (Abs. 2) IVV schliessen liesse.
6.
6.1. Nach <ref-ruling> beurteilt sich das Vorliegen einer rechtlich relevanten Arbeitsunfähigkeit im Rahmen eines strukturierten Beweisverfahrens anhand von systematisierten Indikatoren. Diese erlauben - unter Berücksichtigung leistungshindernder äusserer Belastungsfaktoren einerseits und Kompensationspotentialen (Ressourcen) anderseits - das tatsächlich erreichbare Leistungsvermögen einzuschätzen (<ref-ruling> E. 4.1.1 S. 422; <ref-ruling> E. 3.4.2.1 u. E. 3.6 S. 292 ff.; Urteil 9C_504/2018 vom 3. Dezember 2018 E. 5.2).
6.2.
6.2.1. Vorweg ist festzuhalten, dass auch beim Vorliegen psychosozialer Belastungsfaktoren durchaus Ressourcen im sozialen Umfeld bestehen können. Das eine schliesst das andere nicht aus - inwiefern diesbezüglich ein Widerspruch im angefochtenen Entscheid vorliegen soll, ist nicht ersichtlich.
Das bei der Beschwerdeführerin unbestritten vorhandene intakte soziale Umfeld stellt als mobilisierende Ressource ein leistungsförderndes (und damit gegen eine Invalidisierung sprechendes) Element bei der Beurteilung ihres Leistungsvermögens dar (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.3 S. 303).
6.2.2. Der vorinstanzliche Schluss, wonach die therapeutischen Möglichkeiten bisher nicht ausgeschöpft seien und diesbezüglich Optimierungspotenzial bestehe (angefochtener Entscheid E. 4.2 S. 17), entspricht der Beurteilung der asim-Psychiaterin. So führte diese aus, es könne anhand der Aktenlage nicht genau abgeschätzt werden, inwieweit in der Therapie eine Auseinandersetzung mit den dysfunktionalen Bewältigungsmustern beziehungsweise die Erarbeitung alternativer Umgangsstrategien der Schmerzwahrnehmung und Dekonditionierung stattfinde. Auch fänden sich keine Angaben der Verwendung psychoedukativer Methoden oder einer psychotherapeutisch begleiteten körperlichen Exposition, was im Sinne einer leitliniengerechten Behandlung der chronischen Schmerzstörung stattfinden sollte. Ebenfalls erscheine nicht ganz nachvollziehbar, warum bei der Diagnose einer rezidivierenden depressiven Störung von der Etablierung einer antidepressiven Medikation mit der Begründung vermeintlicher "allergischer Reaktionen" abgesehen worden sei (Psychiatrisches Teilgutachten Ziff. 7.4 S. 15).
Aus dieser Schilderung geht zum einen hervor, dass die Expertin grundsätzlich (auch hinsichtlich der dysfunktionalen Bewältigungsmuster), insbesondere aber im Zusammenhang mit der depressiven Symptomatik, weitere Behandlungsmöglichkeiten sah. Sodann beurteilte sie diese Möglichkeiten zumindest hinsichtlich der Depression explizit als nicht ausgeschöpft und ging damit - entgegen der Vorbringen - nicht von einer lege artis durchgeführten Behandlung aus. Dass die Vorinstanz in konkreter Beweiswürdigung der Gutachterin gefolgt ist, ist nicht offensichtlich unrichtig.
6.2.3. Eine Komorbidität zwischen Psyche und Soma erachteten sodann auch die asim-Gutachter nicht als relevant, sind der bidisziplinären Beurteilung der Arbeitsfähigkeit (Konsensbeurteilung Ziff. 4.7 f. S. 8 f.) doch keine Hinweise auf entsprechende Wechselwirkungen zu entnehmen.
6.2.4. Ein erheblicher Leidensdruck aus psychiatrischer Sicht (<ref-ruling> E. 4.4.2 S. 304) ist mit Blick auf die bisher nicht wahrgenommenen Behandlungsmöglichkeiten (E. 6.2.2) schliesslich nicht ersichtlich.
6.2.5. Auf die im Übrigen unbegründeten, widersprüchlichen, rein appellatorischen (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen) respektive irrelevanten Vorbringen ist nicht weiter einzugehen. Die im Zusammenhang mit der vorinstanzlichen Prüfung der Standardindikatoren vorgebrachten Rügen zielen ins Leere.
6.3. Zu prüfen bleibt, ob das kantonale Gericht zu Recht von der aus psychiatrischer Sicht durch die asim-Gutachter attestierten Arbeitsunfähigkeit abgewichen ist.
6.3.1. Zur Arbeitsfähigkeit ist dem psychiatrischen Teilgutachten der asim Folgendes zu entnehmen: Aus fachpsychiatrischer Sicht bestehe eine Reduktion der Arbeitsfähigkeit in der bisherigen Tätigkeit um 40 %. Die Einschränkung werde mit Symptomen im Rahmen einer Schmerzstörung und einer rezidivierenden depressiven Störung begründet. Aufgrund der verschiedenen Diskrepanzen und Inkonsistenzen, auf welche ausführlich eingegangen worden sei, sei entgegen der subjektiven Beschwerdeschilderung von einer maximal mittelgradigen Einschränkung der Funktionalität aus rein fachpsychiatrischer Sicht auszugehen. Das Krankheitsverständnis der Beschwerdeführerin werde durch eine ausgeprägte Passivität und Selbstlimitierung geprägt. Aus den oben genannten Gründen bestehe in einer angepassten Tätigkeit ebenfalls eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit um 40 %. Aus gutachterlicher Sicht sei es aufgrund des chronifizierten, langjährigen und selbstlimitierenden Verlaufs und des dysfunktionalen Krankheitsverständnisses mit der Überzeugung, nahezu nicht mehr arbeitsfähig zu sein, nicht möglich, die Leistungsfähigkeit durch eine Anpassung des Arbeitsplatzes zu erhöhen (Psychiatrisches Teilgutachten Ziff. 8.1 f. S. 15 f.).
6.3.2. Mit Blick auf das Dargelegte hat die psychiatrische Gutachterin bei der Arbeitsfähigkeitsschätzung keine Gesamtwürdigung der Standardindikatoren gemäss <ref-ruling> vorgenommen. Insbesondere geht eine Berücksichtigung der Ressourcen aus der Beurteilung nicht hervor. Dass die Vorinstanz in umfassender Würdigung sämtlicher Standardindikatoren von der gutachterlichen Arbeitsfähigkeitsschätzung abgewichen ist, verletzt daher kein Bundesrecht - eine unzulässige juristische Parallelbeurteilung (vgl. hierzu <ref-ruling>) liegt nicht vor. Weiterungen erübrigen sich mangels Relevanz der Vorbringen.
7.
Die Beschwerdeführerin verweist sodann auf den vor Verfügungserlass diagnostizierten Verdacht auf eine "seronegative Spondylarthrose; DD Psoriasis Spondylarthropathie" und rügt in diesem Zusammenhang einen ungenügend abgeklärten medizinischen Sachverhalt. Dem zugrunde liegenden Bericht von Dr. med. B._, Fachärztin für Allgemeine Innere Medizin sowie Rheumatologie, vom 18. Februar 2019 ist zu entnehmen, dass bei der Beschwerdeführerin der Verdacht auf eine seronegative Spondylarthropathie, DD Psoriasis Spondylarthropathie, bestehe, da anamnestisch/aktenanamnestisch eine Psoriasis erwähnt worden sei (S. 2). Dass (akten-) anamnestisch von einer Psoriasis die Rede war, war jedoch auch dem rheumatologischen Gutachter der asim bekannt (Rheumatologisches Teilgutachten Ziff. 2 S. 2 mit Verweis auf die fachübergreifende Aktenzusammenfassung, Ziff. 7.1 S. 13 ff.). Die behandelnde Fachärztin führte weiter aus, klinisch hätten sich Nagelveränderungen (DD Psoriasisnägel) gezeigt (Bericht S. 2). Auch dies wurde bereits anlässlich der rheumatologischen Begutachtung durch die asim festgestellt und die Diagnose einer Nagelpsoriasis fand als solche ohne Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit Eingang in die Diagnoseliste (Rheumatologisches Teilgutachten Ziff. 4.3 S. 6, Ziff. 6.2 S. 12, Ziff. 7.1 S. 19). Von einer relevanten Veränderung seit Erstattung des asim-Gutachtens musste daher nicht ausgegangen werden. Die Vorinstanz durfte in zulässiger antizipierter Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 5.3 S. 236; <ref-ruling> E. 4b S. 94) und damit ohne Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes sowie des rechtlichen Gehörs auf weitere Abklärungen verzichten.
8.
8.1. Wird das Invalideneinkommen auf der Grundlage von statistischen Durchschnittswerten ermittelt, ist der entsprechende Ausgangswert (Tabellenlohn) allenfalls zu kürzen. Damit soll der Tatsache Rechnung getragen werden, dass persönliche und berufliche Merkmale wie Art und Ausmass der Behinderung, Lebensalter, Dienstjahre, Nationalität oder Aufenthaltskategorie und Beschäftigungsgrad Auswirkungen auf die Lohnhöhe haben können. Der Abzug soll nicht automatisch, sondern nur dann erfolgen, wenn im Einzelfall Anhaltspunkte dafür bestehen, dass die versicherte Person wegen eines oder mehrerer dieser Merkmale ihre gesundheitlich bedingte (Rest-) Arbeitsfähigkeit auf dem allgemeinen Arbeitsmarkt nur mit unterdurchschnittlichem erwerblichem Erfolg verwerten kann (<ref-ruling> E. 5b/aa S. 79 f.). Er ist unter Würdigung der Umstände im Einzelfall nach pflichtgemässem Ermessen gesamthaft zu schätzen und darf 25 % nicht übersteigen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 327 f.; <ref-ruling> E. 5b/bb S. 80).
Ob ein leidensbedingter Abzug vom Tabellenlohn vorzunehmen ist, stellt eine vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage dar. Dagegen ist die Höhe des (im konkreten Fall grundsätzlich angezeigten) Abzugs eine Ermessensfrage und somit letztinstanzlich nur bei Ermessensüberschreitung, -missbrauch oder -unterschreitung korrigierbar (<ref-ruling> E. 5.1 S. 72 f.; Urteil 9C_421/2017 vom 19. September 2017 E. 2.1.2).
8.2. Den gerügten leidensbedingten Einschränkungen würde - ausgehend vom ausgeglichenen Arbeitsmarkt (<ref-law>) und bei Gesamtbetrachtung sämtlicher relevanter Merkmale (E. 8.1) - mit einem Abzug im Umfang von 10 % bei aus somatischer Sicht bereits um 30 % reduzierter Leistungsfähigkeit in leidensangepasster Tätigkeit (Rheumatologisches Teilgutachten der asim Ziff. 8.2 S. 22) zur Genüge Rechnung getragen. Von einem Ermessensmissbrauch respektive einer Ermessensüberschreitung durch die Vorinstanz kann keine Rede sein. Damit bliebe es bei einem rentenausschliessenden Invaliditätsgrad. Die Beschwerde ist unbegründet.
9.
Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. März 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Nünlist