Sachverhalt:
A.
Der irakische Staatsangehörige A._ (geb. 1992) reiste im Alter von sieben Jahren in die Schweiz ein und absolvierte in Basel das Gymnasium. Vom 1. August 2014 bis 31. Juli 2015 war er an der Universität Basel im Bachelorstudiengang für Pharmazeutische Wissenschaften immatrikuliert.
A.a. Im Juli 2014 reiste er in den Irak, um bei seinen Eltern in U._ Ferien zu verbringen. Am 21. August 2014 wurde ihm dort ein irakischer Reisepass ausgestellt. Am 30. August 2014 reiste er aus dem Irak aus und in die Schweiz ein. Am 4. Februar 2015 wurde ihm in der Schweiz ein Reiseausweis für Flüchtlinge ausgestellt. Am 5. Juni 2015 reiste er für Ferien bei seiner Familie und zum Heiraten in den Irak ein.
Nach Schilderung von A._ soll sich zwischen Juni 2015 und Juli 2016 Folgendes zugetragen haben: Er sei, nachdem die Hochzeit nicht zustande gekommen sei, in den Iran gereist, um dort umherzureisen und "sich zu beruhigen". Nach einem dreitägigen Aufenthalt im Iran sei er beim Versuch, wieder in den Irak auszureisen, an der Grenze festgenommen und ein Jahr lang in Haft gehalten worden. Nach seiner Freilassung sei er in den Irak zurückgekehrt.
Aus dem Reisepass geht hervor, dass A._ am 12. Juli 2016 aus dem Irak aus- und am 13. Juli 2016 in die Schweiz einreiste. In der Folge aberkannte das Staatssekretariat für Migration (SEM) mit Verfügung vom 4. August 2016 die Flüchtlingseigenschaft von A._ mit der Begründung, durch die Reisen in seinen Heimatstaat und die Annahme eines heimatlichen Reisepasses habe er sich freiwillig wieder unter den Schutz des Landes gestellt, dessen Staatsangehörigkeit er besitze. Auf die dagegen erhobene Beschwerde ist das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 22. Septem ber 2016 nicht eingetreten.
A.b. Mit Verfügung vom 15. Juli 2016 wies das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt A._ aus der Schweiz weg und ordnete die sofortige Vollstreckung der Wegweisung an. Dagegen erhob er am 18. Juli 2016 beim Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt Rekurs. Mit Zwischenentscheid vom 21. Juli 2016 hat das Justiz- und Sicherheitsdepartement den Antrag auf Gewährung der aufschiebenden Wirkung des Rekurses gegen die Wegweisungsverfügung abgewiesen, was das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht mit Urteil vom 12. August 2016 bestätigte. Die dagegen gerichtete Beschwerde hiess das Bundesgericht mit Urteil 2C_819/2016 vom 14. November 2016 gut. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement zog mit Entscheid vom 8. August 2017 seinen Zwischenentscheid vom 21. Juli 2016 in der Folge in Wiedererwägung, hob ihn teilweise auf und wies den Rekurs gegen die Wegweisungsverfügung des Migrationsamts vom 15. Juli 2016 ab. Den gegen diesen Entscheid erhobenen Rekurs hiess das Appellationsgericht mit Urteil VD.2017.219 vom 26. Dezember 2017 teilweise gut. Es wies das Migrationsamt an, beim SEM die vorläufige Aufnahme von A._ zu beantragen und die Vollstreckbarkeit seiner Wegweisung bis zum rechtskräftigen Entscheid über die vorläufige Aufnahme aufzuschieben. Im Übrigen wies es den Rekurs ab, soweit es darauf eintrat.
A.c. Am 24. Januar 2018 ersuchte das Migrationsamt das SEM um Prüfung der Anordnung der vorläufigen Aufnahme. Mit Verfügung vom 26. Februar 2019 lehnte das SEM den Antrag des Migrationsamts um Anordnung der vorläufigen Aufnahme ab und räumte A._ eine Ausreisefrist von acht Wochen ab Eintritt der Rechtskraft der Verfügung ein. Das SEM begründete ihre Verfügung im Wesentlichen damit, dass sie den Wegweisungsvollzug in den Irak aufgrund der aktuellen Aktenlage als zulässig, zumutbar und möglich erachte, womit eine vorläufige Aufnahme ausser Betracht falle. A._ reichte hiergegen am 1. April 2019 Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht ein. Das Verfahren ist derzeit hängig (Verfahren F-1571/2019).
B.
Mit E-Mail vom 31. Mai 2017 und Antrag vom 25. Juni 2017 ersuchte A._ erneut um Zulassung zum Bachelorstudiengang für Pharmazeutische Wissenschaften. Das Vizerektorat Lehre der Universität Basel verweigerte ihm mit Verfügung vom 23. August 2017 die Zulassung zum Studium. Im Wesentlichen wurde die Verweigerung der Zulassung damit begründet, dass von ihm eine Gefahr für die öffentliche Sicherheit und Ordnung ausgehe, die auch die Reputation der Universität Basel beeinträchtigen würde. Die Rekurskommission der Universität Basel wies einen von ihm dagegen erhobenen Rekurs mit Entscheid vom 19. Juni 2018 ab.
Gegen den Rekursentscheid vom 19. Juni 2018 gelangte A._ an das Appellationsgericht. Dessen Präsident wies sein Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung mit Verfügung vom 30. Juli 2018 ab. Gegen die Verfügung vom 30. Juli 2018 erhob A._ am 30. August 2018 Beschwerde beim Bundesgericht. Mit Urteil 2C_728/2018 vom 30. Januar 2019 hob das Bundesgericht die Verfügung vom 30. Juli 2018 insoweit auf, als es ihm Rechtsanwalt Dr. iur. Yves Waldmann als unentgeltlichen Rechtsbeistand für das Verfahren vor dem Appellationsgericht bestellte. Mit Urteil vom 29. März 2019 wies das Appellationsgericht den Rekurs in der Sache ab.
C.
Mit Beschwerde vom 17. Mai 2019 gelangt A._ an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des Urteils des Appellationsgerichts vom 29. März 2019. Die Universität Basel sei zu verpflichten, ihn zum Studium zuzulassen. Eventualiter sei die Sache zum neuen Entscheid an das Appellationsgericht zurückzuweisen. Die Sache sei zur Neuverlegung der Kosten und Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Appellationsgericht und an die Rekurskommission der Universität Basel zurückzuweisen. Es sei ihm die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren zu bewilligen.
Sowohl das Appellationsgericht als auch die Universität Basel beantragen die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Die frist- (<ref-law>) und formgerecht (<ref-law>) eingereichte Eingabe betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>) und richtet sich gegen das kantonal letztinstanzliche (<ref-law>), verfahrensabschliessende (<ref-law>) Urteil eines oberen Gerichts (<ref-law>). Das Rechtsmittel ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig, da keine Ausschlussgründe - namentlich nicht diejenigen von Art. 83 lit. a und lit. t BGG - vorliegen (vgl. Urteil 2C_728/2018 vom 30. Januar 2019 E. 1.2). Der Beschwerdeführer ist bereits im kantonalen Verfahren als Partei beteiligt gewesen und dort mit seinen Anträgen nicht durchgedrungen. Ausserdem ist er durch das angefochtene Urteil in seinen schutzwürdigen Interessen besonders berührt. Er ist somit zur Erhebung des Rechtsmittels legitimiert (<ref-law>). Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist einzutreten.
2.
Mit der Beschwerde kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), wobei es - unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42Abs. 2 BGG) - grundsätzlich nur die Vorbringen prüft, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.5 S. 144; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Der Verletzung von Grundrechten und kantonalem Recht geht das Bundesgericht nur nach, falls eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232). Diese qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit verlangt, dass in der Beschwerde klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt wird, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 5; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Die Anwendung des kantonalen Rechts wird sodann vom Bundesgericht nur daraufhin geprüft, ob dadurch Bundesrecht - namentlich das Willkürverbot - verletzt wurde (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 372; <ref-ruling> E. 2 S. 149 f.; Urteile 2C_259/2019 vom 2. Juli 2019 E. 2; 2C_1137/2018 vom 14. Mai 2019 E. 1.2). Seinem Urteil legt es den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>).
3.
Umstritten ist die am 23. August 2017 verfügte und mit vorinstanzlichem Urteil vom 29. März 2019 bestätigte Nichtzulassung des Beschwerdeführers zum Studium an der Universität Basel.
3.1. Gemäss § 13 Abs. 1 der Studierenden-Ordnung der Universität Basel vom 28. September 2011 (Studierenden-Ordnung; SG 441.800) erfolgt die Zulassung gemäss den Zulassungsrichtlinien des Rektorats, den universitären Ordnungen und den Reglementen. Ziff. 10.1 der Zulassungsrichtlinien der Universität Basel für das akademische Jahr 2017/ 2018 (Herbstsemester 2017 und Frühjahrssemester 2018) vom 13. Dezember 2016 (Zulassungsrichtlinien) bestimmt in Ergänzung zur Studierenden-Ordnung, dass eine Person, die wegen schwerwiegenden Straftaten, durch welche auch die Interessen der Universität Basel beeinträchtigt oder gefährdet werden, verurteilt wurde, in der Regel nicht zum Studium zugelassen wird. Sodann macht sich laut § 11 Abs. 1 der Studierenden-Ordnung eines Disziplinarfehlers schuldig, wer wegen schwerwiegenden Straftaten, durch welche die Interessen der Universität beeinträchtigt oder gefährdet werden, verurteilt wurde (lit. f) oder wer sich anderweitig schwerwiegend treuwidrig verhält (lit. g). Das Rektorat kann gegenüber fehlbaren Personen den dauernden Ausschluss vom Studium an der Universität Basel als Disziplinarmassnahme verfügen (vgl. § 11 Abs. 2 lit. d der Studierenden-Ordnung).
3.2. Die Vorinstanz gelangt zur Auffassung, der Beschwerdeführer sei nicht zum Studium zuzulassen.
3.2.1. Sie vertritt die Auffassung, das Disziplinarrecht könne auch für die Frage der Zulassung an die Universität Basel angewendet werden. Sie erwägt hierfür im Wesentlichen, Ziff. 10.1 der Zulassungsrichtlinien orientiere sich an § 11 der Studierenden-Ordnung zu den Disziplinarmassnahmen, wobei die Regelungen zur Zulassung zum Studium den identischen Zweck verfolgen würden, wie jene zum Ausschluss vom Studium. Die Regelungen leite der Gedanke, nur denjenigen Personen die Teilnahme am Studium zu ermöglichen, die die Bestimmungen und Weisungen der Universität Basel einhalten und deren Verhalten weder die Interessen noch das Ansehen der Universität Basel gefährden oder beeinträchtigen würden. Diesem Zweck könnten auch Umstände und Verhaltensweisen entgegenstehen, die nicht strafrechtlich relevant seien. Aus diesen Gründen dränge sich auf, Ziff. 10.1 der Zulassungsrichtlinien abweichend von seinem Wortlaut derart auszulegen, dass für die Nichtzulassung zum Studium auch ein anderweitig schwerwiegend treuwidriges Verhalten genüge. Da das Rektorat die fehlbare Person wegen eines solchen Verhaltens unmittelbar nach der Zulassung wieder vom Studium ausschliessen könnte, müsse ihm auch erlaubt sein, ihr die Zulassung von vornherein zu verweigern, wenn dieses Verhalten bereits im Zeitpunkt des Zulassungsentscheids vorliege (vgl. E. 3.3.2 des angefochtenen Urteils).
3.2.2. Nach Auffassung der Vorinstanz hat der Beschwerdeführer ein Verhalten gezeigt, aufgrund dessen davon ausgegangen werden müsse, dass er eine Gefahr für die innere und äussere Sicherheit der Schweiz darstelle. Dieses Verhalten sei als schwerwiegend treuwidrig zu qualifizeren. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers verletze diese Würdigung ohne Vorliegen eines Strafurteils nicht die Unschuldsvermutung. Es bestünde die Gefahr einer erheblichen Beeinträchtigung der Reputation der Universität Basel, wenn sie eine Person zum Studium zulasse, die eine ernst zu nehmende Gefahr für die öffentliche Sicherheit und Ordnung der Schweiz darstelle. Aufgrund der schwerwiegenden Gefährdung der Interessen der Universität Basel seien die Voraussetzungen erfüllt, um dem Beschwerdeführer die Zulassung zum Studium zu verweigern (vgl. E. 3.5 des angefochtenen Urteils). Sodann würden die Interessen der Universität Basel in einer Interessenabwägung überwiegen, weshalb die Nichtzulassung auch verhältnismässig sei (vgl. E. 3.6 des angefochtenen Urteils).
3.3. Nach Auffassung des Beschwerdeführers beruht das angefochtene Urteil auf einer Verletzung des Legalitätsprinzips und einer willkürlichen Anwendung des kantonalen Rechts.
3.3.1. Er bringt vor, dass die verfügte Nichtzulassung sich nicht auf eine gesetzliche Grundlage stütze. Der Beschwerdeführer beanstandet insbesondere die vorinstanzliche Ansicht, wonach die Regelungen über die Zulassung zum und Ausschluss vom Studium denselben Zweck verfolgen würden, weshalb § 11 der Studierenden-Ordnung betreffend die Disziplinarmassnahmen auch für die Zulassung zum Studium gelten müsse. Die Vorinstanz verkenne, dass sich potenzielle Studierende im Anmeldeverfahren im Gegensatz zu immatrikulierten Studierenden noch nicht in einem besonderen Rechtsverhältnis zum Staat stünden. Die beiden Bestimmungen seien an verschiedene Adressaten gerichtet, weshalb sie auch nicht den gleichen Sinn und Zweck verfolgen könnten. Zudem würden bei Personen im Sonderstatusverhältnis für die zwangsweise Beendigung wegen dem besonderen Rechtsverhältnis zum Staat weniger strenge Voraussetzungen gelten. Aufgrund der Schwere des durch die Nichtzulassung zum Studium erfolgten Eingriffs müsste eine genügend klare Bestimmung vorliegen, um dem Beschwerdeführer die Zulassung zum Studium zu verwehren.
3.3.2. Selbst wenn § 11 der Studierenden-Ordnung zu den Disziplinarmassnahmen auch für die Zulassung gelten sollte und damit die Frage der Zulassung nicht vom Disziplinarrecht zu trennen wäre, so der Beschwerdeführer weiter, könne diese Bestimmung keine Anwendung finden. Die angebliche salafistische Überzeugung, die er selbst bestreite, oder die behaupteten Kontakte würden keinerlei Bezug zu irgendwelchen Treuepflichten gegenüber der Universität Basel aufweisen. Die Annahme eines treuwidrigen Verhaltens sei folglich unhaltbar. Ausserdem könne einer noch nicht immatrikulierten Person ohnehin keine Treuepflicht gegenüber der Universität Basel zukommen, da hierzu ein besonderes Rechtsverhältnis notwendig sei.
4.
Gemäss <ref-law> sind die Kantone für das Schulwesen zuständig. Die Kantone sorgen im Rahmen ihrer Kompetenz für einen ausreichenden, an öffentlichen Schulen unentgeltlichen Grundschulunterricht, der obligatorisch ist und allen Kindern offen steht (vgl. <ref-law>). Dieser Anspruch auf unentgeltlichen Grundschulunterricht nach <ref-law> erstreckt sich indes lediglich auf die öffentlichen Schulen bis und mit der Sekundarstufe I (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 3 f.; <ref-ruling> E. 2.3.1 f. S. 156 f.; <ref-ruling> E. 3.5.3 S. 163 und E. 3.6.1 f. S. 163 ff.; Urteil 2C_1137/2018 vom 14. Mai 2019 E. 2.2). Ein auf die Bundesverfassung gestützter Anspruch auf Zulassung zu einem Studiengang an einer Universität besteht nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung nicht. Weitergehende Ansprüche können sich nur aus dem kantonalen Recht ergeben. Indessen besteht ein bundesverfassungsrechtlicher Anspruch auf eine willkürfreie Zulassung zum Studium (vgl. <ref-ruling> E. 7.1 S. 64; <ref-ruling> E. 3c S. 176; Urteile 2C_578/2018 vom 4. Februar 2019 E. 5.1; 2C_277/2012 vom 11. Mai 2012 E. 7).
Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn das angefochtene Urteil offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (vgl. <ref-ruling>13 E. 7.1 S. 124; <ref-ruling> E. 4.3 S. 380).
5.
In der vorliegenden Angelegenheit hat sich die Universität Basel für die Verweigerung der Zulassung des Beschwerdeführers zum Studium auf ihr Disziplinarrecht berufen (vgl. E. 3.2.1 hiervor). Während Ziff. 10.1 der Zulassungsrichtlinien die Verweigerung der Zulassung nur im Fall von schwerwiegenden Straftaten vorsieht, macht sich laut § 11 Abs. 1 lit. g der Studierenden-Ordnung eines Disziplinarfehlers schuldig, wer sich "anderweitig schwerwiegend treuwidrig" verhält (vgl. auch E. 3.1 hiervor).
5.1. Es erscheint - insbesondere mit Blick auf die Normdichte - fraglich, ob die disziplinarische Regelung in § 11 Abs. 1 lit. g der Studierenden-Ordnung eine hinreichende gesetzliche Grundlage darstellt, um dem Beschwerdeführer die Zulassung zur Universität Basel zu verweigern (vgl. auch Urteile 2C_907/2018 vom 2. April 2019 E. 4.3 und E. 5.2; 2C_897/2015 vom 25. Mai 2016 E. 5.2). Vorliegend kann indes offenbleiben, ob die Vorinstanz die disziplinarische Regelung im Zulassungszeitpunkt hat analog anwenden dürfen.
Wie sich im Folgenden ergibt, erweist sich die vorinstanzliche Auffassung, wonach sich der Beschwerdeführer anderweitig schwerwiegend treuwidrig verhalten haben sollte, im Lichte des für das Bundesgericht verbindlich festgestellten Sachverhalts und mangels einschlägiger Beweiserhebung als unhaltbar.
5.2. Vorab ist festzuhalten, dass die Vorinstanz den Sachverhalt lediglich gestützt auf die tatsächlichen Elemente erstellt, die sich aus dem Urteil des Appellationsgerichts als Verwaltungsgericht vom 26. Dezember 2017 des kantonalen Verfahrens VD.2017.219 (vgl. Ziff. A.b hiervor) und aus einem weiteren Urteil dieses Gerichts vom 19. September 2016 des kantonalen Verfahrens VD.2016.162 ergeben.
5.2.1. Die Vorinstanz weist in ihrem Schreiben vom 30. September 2019 im Rahmen des bundesgerichtlichen Verfahrens selbst darauf hin, dass sie die Akten aus dem kantonalen Verfahren VD.2017.219 "nicht beigezogen" hat, sondern sich bloss auf das in diesem Verfahren ergangene Urteil vom 26. Dezember 2017 abstütze. Genau in diesem Sinne ist denn auch das angefochtene Urteil zu verstehen, in dem die Vorinstanz explizit erwägt, sie stütze sich auf den Sachverhalt, der sich bereits aus den "rechtskräftigen Urteilen" des Appellationsgerichts als Verwaltungsgericht vom 19. September 2016 im kantonalen Verfahren VD.2016.162 und vom 26. Dezember 2017 im kantonalen Verfahren VD.2017.219 ergebe (vgl. E. 2.1 und E. 2.2.1 des angefochtenen Urteils).
5.2.2. Es fehlt damit eine aktuelle (vgl. auch E. 5.3.2 hiernach), eigenständige und mit Bezug auf die vorliegend zu beurteilende Angelegenheit einschlägige Beweiserhebung durch die Vorinstanz. Bereits aufgrund dieses formellen Umstands ist äusserst zweifelhaft, dass es der Vorinstanz überhaupt möglich gewesen ist, in tatsächlicher Hinsicht eine haltbare Beweiswürdigung vorzunehmen und in rechtlicher Hinsicht die Frage nach dem Vorliegen eines anderweitig schwerwiegend treuwidrigen Verhaltens willkürfrei zu beantworten.
5.3. Sodann erweist sich die vorinstanzliche Würdigung des mittelbar erstellten Sachverhalts und der nicht in den Verfahrensakten befindlichen Beweise zwecks Herleitung eines anderweitig schwerwiegend treuwidrigen Verhaltens in materieller Hinsicht als mit dem Willkürverbot gemäss <ref-law> nicht vereinbar.
5.3.1. Unter Bezugnahme auf die Sachverhaltselemente aus den genannten Urteilen erwägt die Vorinstanz in tatsächlicher Hinsicht, der Nachrichtendienst des Bundes (NDB) hätte Kontakte und Aktivitäten des Beschwerdeführers in der salafistischen Szene festgestellt. Zudem berücksichtigt die Vorinstanz einen Besuch am 17. Juli 2016 im Gefängnis Bässlergut, bei dem er zwei Personen besucht habe, die vom Bundesstrafgericht unter anderem wegen Unterstützung einer kriminellen Organisation rechtskräftig verurteilten seien. Nach seiner Entlassung aus der Ausschaffungshaft habe der Beschwerdeführer bei einer von diesen beiden Personen gewohnt. In einem Bericht des SEM vom 29. Juli 2016 werde im Weiteren festgehalten, dass er gemäss Amtsberichten des NDB als Aktivist der Koranverteilaktion 'Lies!' in Erscheinung getreten sei (vgl. E. 2.2.1 des angefochtenen Urteils). Ferner stellt die Vorinstanz fest, dass der Beschwerdeführer im Juli 2014 in den Irak eingereist sei, um bei seinen Eltern in U._ Ferien zu verbringen. Am 5. Juni 2015 sei er erneut für Ferien bei seiner Familie in den Irak und am 13. Juli 2016 wieder in die Schweiz eingereist (vgl. E. 2.1 des angefochtenen Urteils; vgl. auch Ziff. A.a hiervor).
Die Vorinstanz folgert aus ihrer - mittelbaren - Beweiswürdigung, dass die Reise in den Irak im Sommer 2015 in Verbindung mit den Angaben und Schilderungen des Beschwerdeführers zu seinem Aufenthalt bis im Sommer 2016 sowie seine Kontakte hinreichende Indizien darstellten, die in ihm eine Gefahr für die innere und äussere Sicherheit der Schweiz erkennen liessen. Seine - nicht näher erläuterte - Wesensänderung weise auf eine mögliche Radikalisierung hin (vgl. E. 2.2.1 und E. 2.2.3 des angefochtenen Urteils).
Die Vorinstanz erwägt abschliessend, da vom Beschwerdeführer eine Gefahr ausgehe, werde die Reputation der Universität Basel in Mitleidenschaft gezogen, sobald die Öffentlichkeit vom Studium des Beschwerdeführers an der Universität Basel Kenntnis erlange. Er habe sich damit anderweitig schwerwiegend treuwidrig verhalten, womit ihm die Zulassung an die Universität Basel verweigert werden könne (vgl. E. 2.3 und E. 3.5 des angefochtenen Urteils).
5.3.2. Die Vorinstanz vermutet, ein schwerwiegend treuwidriges Verhalten des Beschwerdeführers aufgrund seiner Reise in den Irak im Sommer 2015 und seinen Angaben zu seinem Aufenthalt während des folgenden Jahrs zu erkennen. Dabei lässt sie ausser Acht, dass ein grosser Teil der Verwandtschaft des Beschwerdeführers - und insbesondere seine Eltern - im Irak leben. Die blosse Tatsache, dass er in den Irak gereist ist, kann daher für sich allein nicht ein treuwidriges Verhalten begründen. Ein solches Verhalten ergibt sich auch nicht aufgrund des nicht weiter konkretisierten Umstands, dass er mit einer verurteilten Personen zusammengelebt habe. Es bleibt diesbezüglich unklar, wann und für welche Dauer er bei dieser Person gelebt hat. Ausserdem ist der Beschwerdeführer nach den für das Bundesgericht verbindlichen vorinstanzlichen Feststellungen noch nie in strafrechtlich relevanter Weise in Erscheinung getreten.
Im Lichte einer Gesamtbetrachtung der von der Vorinstanz angeführten vagen Anhaltspunkte lässt die von ihr vermutete Treuwidrigkeit nicht ver fassungskonform erstellen. Des Weiteren mangelt es auch an einer aktuellen Beurteilung. Die im vorinstanzlichen Urteil erwähnte, aber nicht weiter erläuterte Wesensänderung bezieht sich auf den Sommer 2014. Der erwähnte Bericht des SEM vom 29. Juli 2016 ist im Zeitpunkt des vorinstanzlichen Urteils bereits fast drei Jahre alt. Unklar bleibt ebenso, aus welcher Zeit die Einschätzungen des NDB stammen, auf welche sich sowohl der Bericht des SEM vom 29. Juli 2016 als auch die Vorinstanz beziehen.
5.3.3. Nach dem Dargelegten ergibt sich, dass sich die Vorinstanz für ihre Beurteilung, ob der Beschwerdeführer sich anderweitig schwerwigend treuwidrig verhalten hat, lediglich auf zwei Sachverhaltselemente stützt (Reiseverhalten und Kontakte des Beschwerdeführers). Diese beiden Sachverhaltselemente übernimmt die Vorinstanz unbesehen aus zwei anderen Urteilen (vgl. E. 5.2 hiervor), ohne dass sie eine aktuelle, eigenständige und mit Bezug auf die vorliegend zu beurteilende Angelegenheit einschlägige Beweiserhebung vornimmt. Gestützt auf dieses Tatsachenfundament erweist es sich offenkundig als unhaltbar, hinreichend konkrete und aktuelle Anhaltspunkte erkennen zu wollen, aus denen sich ein anderweitig schwerwiegend treuwidriges Verhalten im Sinne einer reputationsbeeinträchtigenden potenziellen polizeilichen Gefahr verfassungskonform erstellen liesse.
5.4. Der Beschwerdeführer befindet sich seit dem 13. Juli 2016 wieder in der Schweiz. Aus ausländerrechtlicher Sicht ist es dem Beschwerdeführer gestattet, sich bis zum definitiven Entscheid über seine vorläufige Aufnahme (frei) in der Schweiz aufzuhalten. Anderweitige (polizeiliche) Massnahmen gegen den Beschwerdeführer sind nicht aktenkundig. Das SEM hat mit Verfügung vom 26. Februar 2019 den Antrag um Anordnung der vorläufigen Aufnahme nicht aufgrund einer Gefahr für die innere und äussere Sicherheit der Schweiz abgewiesen (vgl. Ziff. A.c. hiervor; <ref-law> [SR 142.20]). Eine Gefahr für die innere und äussere Sicherheit der Schweiz beträfe ausserdem nicht nur die Universität Basel allein. Entsprechende (polizeiliche) Massnahmen müssten generell und losgelöst von der Bildungsinstitution ergriffen werden (vgl. auch <ref-law>; <ref-law>; Botschaft zum Bundesgesetz über polizeiliche Massnahmen zur Bekämpfung von Terrorismus vom 22. Mai 2019, BBl 2019 4751 ff.). Dass sich die Universität Basel zum Schutz ihrer Reputation infolge einer potenziell negativen, künftigen Medienberichterstattung willkürfrei auf eine solche Gefahr berufen könnte, fällt in der vorliegenden Angelegenheit und im Lichte der in diesem Verfahren vorgenommenen Beweiswürdigung ausser Betracht.
5.5. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Vorinstanz mit Blick auf die Zulassung an die Universität Basel nicht in verfassungskonformer Weise zum Schlussgelangt, der Beschwerdeführer habe sich anderweitig schwerwiegend treuwidrig im Sinne von § 11 Abs. 1 lit. g der Studierenden-Ordnung verhalten.
Nach dem Gesagten muss auf die Rüge des Beschwerdeführers betreffend die Befangenheit des Spruchkörpers und seine Sachverhaltsrügenicht weiter eingegangen werden.
6.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde als begründet, weshalb sie gutzuheissen ist. Das Urteil vom 29. März 2019 ist aufzuheben. Die Universität Basel hat die Zulassung des Beschwerdeführers unter Berücksichtigung der weiteren Zulassungserfordernisseerneut zu prüfen. Die Angelegenheit ist zur Neuverlegung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens an das Appellationsgericht zurückzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer hat einen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>). Damit wird das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht vom 29. März 2019 wird aufgehoben.
2.
Die Sache wird zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Universität Basel zurückgewiesen.
3.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht zurückgewiesen.
4.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
5.
Die Universität Basel hat dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- zu entrichten.
6.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und dem Staatssekretariat für Migration (SEM) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Juli 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Zollinger