Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Beschwerdeführer) gewährte B._ (Beschwerdegegner) mit Vertrag vom 1./2. Juni 2016 ein Darlehen über EUR 2'000'000.-- zu einem Zins von 10 %. Nach ordentlicher Kündigung des Vertrags auf den 31. Juni 2017 verlangte A._ erfolglos die Rückzahlung des Darlehens. In der Folge erwirkte er beim Amtsgericht Coburg/D einen Vollstreckungsbescheid für die Kapitalschuld über EUR 2'000'000.-- sowie Zinsen in der Höhe von 10 Prozentpunkten über dem Basiszinssatz ab dem 2. Juni 2017. Dieser Entscheid datiert vom 13. Februar 2018.
A.b. Mit Eingabe vom 11. Dezember 2020 stellte A._ gegen B._ beim Regionalgericht Prättigau/Davos ein Arrestbegehren über Fr. 344'924.19 zuzüglich Zins von 10 % auf Fr. 264'311.83 seit dem 11. Dezember 2020 sowie Kosten. Am 21. Dezember 2020 erliess das Regionalgericht einen entsprechenden Arrestbefehl betreffend zwei Grundstücke von B._.
A.c. Auf Einsprache von B._ hin beschränkte das Regionalgericht den Arrest am 9. März 2021 auf Fr. 21'497.65 sowie Zins von 4.12 % auf Fr. 13'685.80 und von 4.12 % auf Fr. 3'079.90 je seit dem 10. März 2021. Die Gerichtskosten auferlegte es im Umfang von neun Zehnteln A._, den es ausserdem zur Zahlung einer Parteientschädigung an B._ verpflichtete. Ausserdem erklärte das Regionalgericht den Vollstreckungsbescheid vom 13. Februar 2018 für in der Schweiz vollstreckbar.
B.
Mit Entscheid vom 3. August 2021 (eröffnet am 11. August 2021) wies das Kantonsgericht von Graubünden die hiergegen erhobene Beschwerde von A._ unter Kosten- und Entschädigungsfolge ab.
C.
A._ gelangt mit Beschwerde in Zivilsachen vom 10. September 2021 ans Bundesgericht und stellt die folgenden Begehren:
"1. Der Entscheid des Kantonsgerichts [...] sei aufzuheben und es sei mithin der bewilligte Arrest in der Höhe von CHF 344'924.19 zuzüglich Zins zu 10 % p.a. auf CHF 264'311.83 seit 11. Dezember 2020 gemäss Dispositiv Ziffer 1 und 3 des Arrestbefehls des Regionalgerichts [...] zu bestätigen.
2. Eventualiter sei der Entscheid des Kantonsgerichts [...] aufzuheben und die Sache zur Durchführung eines Beweisverfahrens und zur Neubeurteilung an das Kantonsgericht [...] zurückzuweisen.
3. Verfahrensantrag: Es seien die Akten der Vorinstanz beizuziehen.
4. Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolge zu Lasten [von B._], wobei [A._] auch eine angemessene Parteientschädigung für das erst- und zweitinstanzliche Verfahren zulasten [von B._] zuzusprechen sei."
Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist der Endentscheid (<ref-law>) eines oberen Gerichts, das auf Rechtsmittel hin als letzte kantonale Instanz (<ref-law>) über die Einsprache gegen einen Arrestbefehl und damit eine nach Art. 72 Abs. 2 Bst. a BGG der Beschwerde in Zivilsachen unterliegende Schuldbetreibungs- und Konkurssache entschieden hat (Urteile 5A_248/2020 vom 30. Juni 2021 E. 1.1, in: Pra 2021 Nr. 112 S. 1138; 5A_821/2018 vom 17. Oktober 2018 E. 2). Der Streitwert dieser vermögensrechtlichen Angelegenheit beträgt nach unbestritten gebliebenen Angaben des Kantonsgerichts mindestens Fr. 30'000.--, womit das Erfordernis von Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG erfüllt ist. Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt, die er auch fristgerecht eingereicht hat (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 2 BGG). Auf die Beschwerde ist unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen einzutreten.
2.
2.1. Entscheide über Arresteinsprachen sind Entscheide über vorsorgliche Massnahmen (<ref-ruling> E. 1.2). Mit der Beschwerde gegen solche Entscheide kann nach <ref-law> nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Dies gilt zunächst für die Anwendung von Bundesrecht (Urteile 5A_593/2020 vom 17. Februar 2021 E. 2; 5A_261/2009 vom 1. September 2009 E. 1.2, nicht publiziert in: <ref-ruling>). Weiter kommt auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen nur in Frage, wenn die kantonale Instanz derartige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1). Die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte muss nach dem strengen Rügeprinzip von <ref-law> in der Beschwerde vorgebracht und begründet werden. Die rechtsuchende Partei hat präzise anzugeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darzulegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2.3).
2.2. Unter dem Titel "Sachverhalt" beschreibt der Beschwerdeführer die der vorliegenden Angelegenheit zugrunde liegenden Geschehnisse aus seiner Sicht, ohne dabei auf den angefochtenen Entscheid einzugehen. Soweit die Beschwerdeschrift daher von den tatsächlichen Feststellungen des Kantonsgerichts - sie sind für das Bundesgericht nach dem vorstehend Ausgeführten verbindlich (vgl. auch <ref-law>) - abweicht oder diese ergänzt ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Unzulässig ist auch das Vorbringen neuer Beweismittel (<ref-law>).
3.
3.1. Gemäss <ref-law> wird der Arrest vom Gericht bewilligt, wenn der Gläubiger unter anderem glaubhaft macht, dass seine Forderung besteht (Ziff. 1) und ein Arrestgrund vorliegt (Ziff. 2). Mit der Arresteinsprache können Einwendungen gegen die Arrestvoraussetzungen vorgebracht werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2).
Unstreitig ist vorliegend mit Blick auf den Vollstreckungsbescheid vom 13. Februar 2018 - dieser ist in der Schweiz für vollstreckbar erklärt worden (vgl. vorne Bst. A.c; <ref-law> und dazu <ref-ruling> E. 6.1 und 6.2) - der Arrestgrund nach <ref-law> gegeben. Nach dieser Bestimmung kann ein Gläubiger für eine fällige Forderung, soweit diese nicht durch ein Pfand gedeckt ist, Vermögensstücke des Schuldners, die sich in der Schweiz befinden, mit Arrest belegen lassen, wenn der Gläubiger gegen den Schuldner einen definitiven Rechtsöffnungstitel besitzt.
3.2. Dabei ergibt sich die Arrestforderung grundsätzlich direkt aus dem vorgelegten Titel (Urteil 5A_824/2020 vom 12. Februar 2021 E. 3.4.2.2, in: SJ 2021 I S. 249). Indes hat der Beschwerdegegner das fragliche Darlehen unstrittig im Umfang von insgesamt Fr. 2'698'307.80 (nach Abzug der Betreibungskosten) zurückbezahlt. Willkür (<ref-law>) erblickt der Beschwerdeführer darin, dass das Kantonsgericht die gesamte Rückzahlung auf den im Vollstreckungstitel enthaltenen Anspruch anrechnete, ohne dabei einen sich (angeblich) aus dem Darlehensvertrag ergebenden weitergehenden Zinsanspruch zu berücksichtigen. Das Kantonsgericht rechnete die Rückzahlungen auf die Zinsen an, wie sie im Vollstreckungsbescheid festgehalten sind (d.h. von 9.12 % [= 10 Prozentpunkte über dem Basiszinssatz] auf EUR 2'000'000.-- ab dem 2. Juni 2017), und nicht auf jene, die sich aus dem Darlehensvertrag vom 1./2. Juni 2016 ergeben (d.h. von 10 % auf EUR 2'000'000.-- ab dem 2. Juni 2016). Zwar stehe es dem Beschwerdeführer offen, nicht im Vollstreckungstitel enthaltene Forderungen glaubhaft zu machen, auf welche die Rückzahlungen prioritär anzurechnen seien, und so die Einwendung der Tilgung abzuwehren und gleichzeitig die im Vollstreckungstitel enthaltenen (angeblichen) Ausstände glaubhaft zu machen. Indes erachtete das Kantonsgericht diesen Nachweis als nicht erbracht.
4.
4.1. Allein zu prüfen (<ref-law>; vorne E. 2.1) ist der Vorwurf der Willkür:
Das Kantonsgericht hielt dafür, der Vollstreckungsbescheid sei nach deutschem Zivilprozessrecht in materielle Rechtskraft erwachsen, womit eine neue Klage über denselben Streitgegenstand ausgeschlossen sei. Aus den Akten ergebe sich sodann nicht, dass im Vollstreckungsbescheid nur eine Teilforderung aus dem Darlehensvertrag tituliert worden sei. Es sei denn auch nicht glaubhaft, dass der Beschwerdeführer im entsprechenden Mahnverfahren nicht die gesamte Schuld (inkl. sämtlicher Zinspositionen) habe eintreiben wollen, zumal er die gesamte Kapitalschuld sowie Zinsen geltend gemacht habe. Über den Vollstreckungsbescheid hinausgehende Ansprüche aus Darlehen seien vorliegend nicht zu berücksichtigen.
4.2. Der Beschwerdeführer anerkennt, dass der Vollstreckungsbescheid nach dem einschlägigen deutschen Verfahrensrecht dieselbe Wirkung entfaltet wie ein im ordentlichen Verfahren erwirktes Urteil. Diese Wirkung erstrecke sich aber nicht über die im konkreten Verfahren gestellten Anträge hinaus auf sämtliche Zinsen gemäss Darlehensvertrag vom 1./2. Juni 2016. Damit verkenne die Vorinstanz die materielle Rechtskraftwirkung von verdeckten Teilklagen. Die Rechtskraft eines Urteils über bestimmte bezifferte Forderungen hindere die Geltendmachung weiterer Forderungen aus demselben Rechtsgrund unbesehen darum nicht, ob die Nachforderung ausdrücklich vorbehalten worden sei. Dies gelte insbesondere bei Zinsansprüchen, die ihrer Natur nach teilbar seien. Anders wäre nur zu entscheiden, wenn ein Erlassvertrag geschlossen worden sei, weil trotz nur teilweiser Geltendmachung ausdrücklich die gesamte Forderung eingeklagt werde. Dies sei vorliegend aber nicht der Fall.
4.3. Der Beschwerdeführer missachtet, dass Grundlage des vorliegenden Verfahrens und damit massgebend für die Bestimmung der Arrestforderung allein der Vollstreckungsbescheid vom 13. Februar 2018 ist (vgl. vorne E. A.a und E. 3.1). Nicht zu berücksichtigen sind dagegen in diesem nicht enthaltene Ansprüche. Unbestritten lässt sich dem Vollstreckungsbescheid nicht entnehmen, dass hinsichtlich der Zinsen nur eine Teilforderung aus dem Darlehensvertrag vom 1./2. Juni 2016 tituliert worden wäre. Damit ist unter Willkürgesichtspunkten nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz keine im Vollstreckungsbescheid nicht enthaltenen (angeblichen) Ansprüche berücksichtigt hat. Unerheblich bleibt auch, ob solche Ansprüche nach den einschlägigen zivilprozessualen Regeln später noch geltend gemacht werden können. Entsprechend ist nicht entscheidend, ob § 367 Abs. 1 BGB eine prioritäre Anrechnung der Rückzahlungen des Beschwerdegegners auf solche Ansprüche vorsehen würde, wie der Beschwerdeführer weiter geltend macht. Daran ändert auch nichts, dass das Kantonsgericht nicht auf die einschlägige Lehre oder Rechtsprechung zur sogenannten verdeckten Teilklage verwies, was der Beschwerdeführer weiter beanstandet. Eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) im Teilgehalt der Begründungspflicht (vgl. dazu <ref-ruling> E. 6.1) ist vor Bundesgericht wiederum nicht hinreichend geltend gemacht (vgl. vorne E. 2.1; betreffend die Rüge der Gehörsverletzung vgl. Urteil 5A_85/2021 vom 26. März 2021 E. 6.2, mit Hinweisen).
4.4. Der Beschwerdeführer sieht in der Feststellung der Vorinstanz, es bestünden keine Hinweise, dass im Vollstreckungsbescheid nur eine Teilforderung tituliert worden wäre, indes auch eine willkürliche Feststellung des Sachverhalts. Offenbar im Sinne eines Eventualstandpunkts macht er insoweit geltend, es sei im damaligen Verfahren tatsächlich nur eine Teilforderung aus dem Darlehensvertrag geltend gemacht worden, es habe m.a.W. erkennbar eine Teilklage vorgelegen.
Unbesehen darum, ob die Beschwerde insoweit hinreichend begründet ist (vorne E. 2.1), vermag der Beschwerdeführer damit keine Willkür aufzuzeigen. Seiner eigenen Darstellung nach hat er im fraglichen Verfahren das folgende Begehren gestellt:
--..] Hauptforderung: EUR 2000000.00 hinzu kommen laufende Zinsen: Zinsen von 10,00 Prozentpunkten über dem jeweils gültigen Basiszinssatz aus 2.000.000,00 EUR ab dem 02.06.2017 [...]".
Vorab steht fest, dass die weiteren Verfahrensbeteiligten das Begehren des Beschwerdeführers nicht in dem ihm von diesem nunmehr beigelegten Sinn verstanden haben. Weiter ist nicht nachvollziehbar, weshalb sich aus dem fraglichen Begehren für Dritte erkennbar ergeben sollte, dass der Beschwerdeführer nur einen Teil der ihm seiner Ansicht nach geschuldeten Zinsen geltend machte (vgl. zur Auslegung von Prozesserklärungen <ref-ruling> E. 1.2.2). Ganz im Gegenteil lässt sich dem Antrag nach seinem Wortlaut nur entnehmen, dass neben der Kapitalschuld die "laufenden Zinsen" eingefordert wurden. Angaben darüber, in welchem Umfang dies geschieht, fehlen. Dies lässt darauf schliessen, dass die gesamten bis Verfahrensanhebung angefallenen Zinsen eingefordert werden sollten. Die abweichende Interpretation durch den Beschwerdeführer beruht letztlich allein auf dessen eigenem (Vor) Verständnis. Damit vermag er keine Willkür darzutun. Unter diesen Umständen braucht nicht mehr auf den vom Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang im Verfahren vor dem Bundesgericht erstmals zu den Akten gegebenen Antrag vom 22. August 2017 auf Erlass eines Mahnbescheids - aus diesem soll sich der vorstehend wiedergegebene Wortlaut des gestellten Begehrens ergeben - eingegangen zu werden. Es kann damit offen bleiben, ob dieser nach Massgabe von <ref-law> überhaupt zu berücksichtigen wäre.
Das Kantonsgericht konnte folglich willkürfrei davon ausgehen, dass der Beschwerdeführer nicht erkennbar nur eine Teilforderung geltend gemacht bzw. nicht eine Nachklage vorbehalten hat. Damit bleibt sein hinter der fraglichen Erklärung stehender tatsächlicher Wille unerheblich. Auf die in diesem Zusammenhang erhobenen Rügen des Beschwerdeführers betreffend des Nachweises innerer Tatsachen ist daher nicht einzugehen.
5.
5.1. Nach dem Ausgeführten erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist sie abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Unter diesen Umstände kann die vom Beschwerdeführer weiter angestellte Berechnung der Arrestforderung dahingestellt bleiben.
5.2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Da dem obsiegenden Beschwerdegegner mangels Einholens einer Vernehmlassung keine Kosten angefallen sind, ist keine Parteientschädigung zu sprechen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht von Graubünden, Schuldbetreibungs- und Konkurskammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Februar 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Sieber