Sachverhalt:
A.
Am 3. September 2018 erstattete A._ bei der Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn Strafanzeige wegen Amtsgeheimnisverletzung gegen diejenigen Entscheidungsträger, die es in den zuständigen Amtsstellen (Obergericht, Justizkommission, Ratsleitung des Kantonsrats und Personalamt) betreffe. In Ziffer 2 der Anzeige beantragte er, es sei das Strafverfahren aufgrund der latenten und offensichtlichen Interessenkollision (das Obergericht als Beschwerdeinstanz der Staatsanwaltschaft sei betroffen) an eine ausserkantonale Staatsanwaltschaft abzutreten.
Hintergrund der Strafanzeige bildete die Kandidatur von A._ als Oberrichter in der Nachfolgewahl für zwei abtretende Oberrichter. A._ macht geltend, das Obergericht mische sich ohne gesetzliche Grundlage und ohne Wissen der Kandidierenden in das Wahlverfahren des Kantonsrats ein und gebe eine Wahlempfehlung ab. Kenntnis von den Kandidaturen habe es von der Justizkommission des Kantonsrates (JUKO) oder vom Personalamt erhalten.
Mit Verfügung vom 17. September 2018 leitete die Staatsanwaltschaft die Strafanzeige an die Beschwerdekammer des Obergerichts zum Entscheid gemäss <ref-law> über das Begehren in Ziffer 2 der Anzeige weiter. Gleichzeitig verzichtete sie auf eine Stellungnahme zum sinngemässen Ausstandsbegehren, wies aber darauf hin, eine allfällige Befangenheit dürfte in Betracht kommen, weil die JUKO, gegen deren Mitglieder sich die Anzeige in erster Linie richte, dem Kantonsrat die Staatsanwälte zur Wahl respektive Wiederwahl vorschlage.
Mit Beschluss vom 19. September 2018 hiess die Beschwerdekammer das Ausstandsgesuch in dem Sinne gut, als die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn bezüglich der Beurteilung der Strafanzeige von A._ in den Ausstand zu versetzen sei.
Am 30. Oktober 2018 setzte der Regierungsrat im Zusammenhang mit der Strafanzeige vom 3. September 2018 einen ausserordentlichen Staatsanwalt ein. Dieser eröffnete am 5. Dezember 2018 eine Strafuntersuchung gegen Unbekannt wegen des Verdachts der Amtsgeheimnisverletzung.
Mit Verfügung vom 2. Juli 2019 stellte der ausserordentliche Staatsanwalt das Verfahren gegen die Mitglieder der JUKO wegen Verletzung des Amtsgeheimnisses durch Weitergabe des Bewerbungsdossiers von A._ an die Obergerichtspräsidentin ein.
B.
A._ erhob Beschwerde gegen die Einstellungsverfügung und beantragte gleichzeitig, das Beschwerdeverfahren sei aufgrund der latenten und offensichtlichen Interessenkollision (das Obergericht als Beschwerdeinstanz der Staatsanwaltschaft sei selber betroffen) an eine ausserkantonale Gerichtsinstanz abzutreten.
Das Obergericht Solothurn trat am 28. Oktober 2019 nicht auf das Ausstandsgesuch ein und wies die Beschwerde ab.
C.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen und beantragt, der Beschluss des Obergerichts vom 28. Oktober 2019 sei aufzuheben. Die Beschwerdesache sei zur Durchführung eines Untersuchungsverfahrens an den ausserordentlichen Staatsanwalt zurückzuweisen, damit dieser die Akten der JUKO und des Obergerichts beiziehe und die beteiligten Oberrichter und Mitglieder der JUKO zur Sache befrage. Eventualiter sei die Beschwerdesache zur weiteren Abklärung und zum Neuentscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen, wobei die Beschwerdesache aufgrund der latenten und offensichtlichen Interessenkollision (das Obergericht als Beschwerdeinstanz der Staatsanwaltschaft sei selbst betroffen) an eine ausserkantonale Gerichtsinstanz abzutreten sei.

Erwägungen:
1.
1.1. Gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG ist der Privatkläger zur Beschwerde in Strafsachen nur berechtigt, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung seiner Zivilansprüche auswirken kann. Richtet sich die Beschwerde gegen die Einstellung oder Nichtanhandnahme eines Verfahrens, hat der Privatkläger nicht notwendigerweise bereits vor den kantonalen Behörden Zivilansprüche geltend gemacht. In jedem Fall muss der Privatkläger indes im Verfahren vor Bundesgericht darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderung auswirken kann. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen nicht, kann darauf nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderung es geht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 4 f. mit Hinweisen).
Als Zivilansprüche im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG gelten solche, die ihren Grund im Zivilrecht haben und deshalb ordentlicherweise vor dem Zivilgericht durchgesetzt werden müssen. In erster Linie handelt es sich um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung nach <ref-law>. Nicht in diese Kategorie gehören Ansprüche, die sich aus öffentlichem Recht ergeben. Öffentlich-rechtliche Ansprüche, auch solche aus öffentlichem Staatshaftungsrecht, können nicht adhäsionsweise im Strafprozess geltend gemacht werden und zählen nicht zu den Zivilansprüchen im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 384; <ref-ruling> E. 1.2.4 S. 461; <ref-ruling> E. 2.2 f. S. 191 f.).
1.2. Zur Legitimation führt der Beschwerdeführer aus, er habe sich als Straf- und Zivilkläger konstituiert. Bereits aufgrund dessen sei er zur Beschwerde befugt. Weiter habe er für ein Oberrichteramt kandidiert und sei von der unrechtmässigen Datenübergabe und der negativ beeinflussenden Wahlempfehlung des Obergerichts besonders betroffen. Ebenfalls persönlich betroffen sei er durch die unberechtigte Informationsweitergabe betreffend seiner Kandidatur an die Medien. Schliesslich sei er durch die unbefugte Weitergabe seines Bewerbungsdossiers an das Obergericht aufgrund der darin gemachten kritischen Äusserungen über das Obergericht in seinen Persönlichkeitsrechten verletzt worden und dadurch sei ihm ein Reputationsschaden entstanden. Er beabsichtige daher, Genugtuung und Schadenersatz zu verlangen.
1.3. Für Schäden, die Personen in Ausübung ihrer amtlichen Tätigkeit Dritten widerrechtlich zufügen, haftet im Kanton Solothurn gemäss dem kantonalen Verantwortlichkeitsgesetz (VG/SO; BGS 124.21) der Staat (§ 2 Abs. 1 VG/SO). Der Geschädigte kann Beamte nicht unmittelbar belangen (§ 2 Abs. 2 VG/SO). Allfällige Schadenersatz- oder Genugtuungsansprüche des Beschwerdeführers im Zusammenhang mit der Tätigkeit der angezeigten Behördenmitglieder beurteilen sich ausschliesslich nach dem Verantwortlichkeitsgesetz und sind demnach öffentlich-rechtlicher Natur (vgl. Urteile 6B_907/2019 vom 15. Januar 2020 E. 3; 6B_845/2018 vom 19. September 2018 E. 2; 6B_655/2014 vom 25. Juli 2014 E. 2 mit Hinweis). Die vom Beschwerdeführer erhobenen strafrechtlichen Vorwürfe können sich daher allenfalls auf seine Staatshaftungsansprüche, nicht aber auf seine Zivilansprüche auswirken. Der Beschwerdeführer unterlässt es, darzulegen, inwiefern ihm trotz der aufgezeigten Sach- und Rechtslage irgendwelche Zivilansprüche zustehen könnten. Der Beschwerdeführer ist in der Sache grundsätzlich nicht zur Beschwerde befugt. Somit kann auf die Ausführungen des Beschwerdeführers zur Sache (Beschwerde Ziffern 5 und 6) nicht eingetreten werden.
2.
2.1. Unbekümmert der fehlenden Legitimation in der Sache selbst kann die Privatklägerschaft mit Beschwerde in Strafsachen eine Verletzung ihrer Parteirechte rügen, die ihr nach dem Verfahrensrecht, der Bundesverfassung oder der EMRK zustehen und deren Missachtung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft. Zulässig sind nur Rügen formeller Natur, die von der Prüfung der Sache getrennt werden können. Das geforderte rechtlich geschützte Interesse ergibt sich diesfalls aus der Berechtigung, am Verfahren teilzunehmen. Nicht zu hören sind Rügen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen (sog. "Star-Praxis"; <ref-ruling> E. 1.1 S. 5 mit Hinweisen). Soweit eine Rüge zulässig ist, ist klar und detailliert darzulegen, inwieweit das angerufene Recht verletzt worden sein soll (<ref-law>).
2.2. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Indem ein von der Strafsache selbst betroffener Spruchkörper über seine Beschwerdesache entschieden habe (die Bewerbungsakten des Beschwerdeführers seien dem Obergericht rechtswidrig übergeben worden und die von der Wahlempfehlung des Obergerichts offensichtlich profitierende Kandidatin amte nun als entscheidende Oberrichterin), sei sein Anspruch auf ein unbefangenes und unparteiisches Gericht verletzt. Die Vorinstanz trete mit einer überspitzt formalistischen Begründung nicht auf sein Ausstandsgesuch ein. Die Mitglieder der Vorinstanz hätten von sich aus in den Ausstand treten und die Sache einer ausserkantonalen Gerichtsinstanz zur Beurteilung überweisen sollen. Dies habe die Vorinstanz schliesslich mit Beschluss vom 19. September 2018 auch betreffend die Staatsanwaltschaft entschieden. Indem die Vorinstanz vorliegend anders entscheide, weiche sie von ihrer Praxis ab, was gegen den Vertrauensgrundsatz und das Prinzip des Handelns nach Treu und Glauben verstosse.
2.3. Die Vorinstanz erwägt, ein Ausstandsgesuch könne nur gegen einzelne Mitglieder eines Gerichts gestellt werden. Es könne hingegen nicht pauschal der Ausstand einer Kollegialbehörde oder aller Mitglieder einer Behörde verlangt werden. Der Beschwerdeführer hätte diesfalls die Ausstandsgründe für jedes Gerichtsmitglied einzeln benennen und glaubhaft machen müssen. Auf das Ausstandsgesuch des Beschwerdeführers, welches sich gegen die gesamte Beschwerdekammer richte und entsprechend nicht konkretisiert sei, sei folglich nicht einzutreten. Im Übrigen sei darauf hinzuweisen, dass sämtliche im Beschwerdeverfahren mitwirkenden Gerichtsmitglieder des Obergerichts in keiner Art und Weise in den Prozess der Nachfolgewahl für die abtretenden beiden Gerichtsmitglieder involviert gewesen seien.
2.4. <ref-law> zählt verschiedene Gründe auf, die zum Ausstand von in einer Strafbehörde tätigen Personen führen. Die Bestimmung konkretisiert die Verfassungsbestimmung von Art. 30 Abs. 1BV sowie Art. 6 Ziff. 1EMRK. Danach hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Gericht ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Art. 30 Abs. 1BV soll zu der für einen korrekten und fairen Prozess erforderlichen Offenheit des Verfahrens im Einzelfall beitragen und damit ein gerechtes Urteil ermöglichen.
Die Rechtsprechung nimmt Voreingenommenheit und Befangenheit an, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Gerichts zu erwecken. Dabei ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken. Für die Ablehnung ist nicht erforderlich, dass das Gerichtsmitglied tatsächlich befangen ist (<ref-ruling> E. 5.2 S. 236 f. mit Hinweisen).
Grundsätzlich kann zwar gegen alle Mitglieder einer Instanz ein Ausstandsbegehren gestellt werden, nicht jedoch pauschal gegen eine Kollegialbehörde oder gegen alle Mitglieder einer Behörde. Wird der Ausstand eines ganzen Gerichts verlangt, muss der Gesuchsteller die Ausstandsgründe für jeden Richter einzeln benennen und glaubhaft machen (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.3 S. 227; Urteile 1B_100/2015 vom 8. Juni 2015 E. 3; 5A_194/2014 vom 21. Mai 2014 E. 3.5; ANDREAS J. KELLER, in: Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung, Donatsch/Hansjakob/Lieber [Hrsg.], 2. Aufl. 2014, N. 10 zu <ref-law>; MARKUS BOOG, in: Basler Kommentar, StPO, 2. Aufl. 2014, N. 2 zu <ref-law>; SCHMID/JOSITSCH, Praxiskommentar StPO, 3. Aufl. 2018, N. 2 zu <ref-law>, N. 1 zu <ref-law> und N. 7 zu <ref-law>; vgl. auch DOMINIK VOCK, in: Spühler und andere [Hrsg.], Bundesgerichtsgesetz, Praxiskommentar, 2. Aufl. 2013, N. 1 zu <ref-law>; ISABELLE HÄNER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 3 zu <ref-law>; STEINMANN/LEUENBERGER, in: Die schweizerische Bundesverfassung, St. Galler Kommentar, 3. Aufl. 2014, N. 29 zu <ref-law>).
2.5. Der Beschwerdeführer begründete sein Ausstandgesuch vor Vorinstanz lediglich damit, das Obergericht sei als Beschwerdeinstanz der Staatsanwaltschaft selbst von der Angelegenheit betroffen. Nach dem soeben Ausgeführten genügt dies den Anforderungen an die Begründung eines gegen sämtliche Gerichtsmitglieder gerichteten Ausstandsgesuchs nicht. Auch im bundesgerichtlichen Verfahren bleiben die Ausführungen des Beschwerdeführers zum behaupteten Ausstandsgrund pauschal und vage. Vor diesem Hintergrund ist die Vorinstanz zu Recht nicht auf das Ausstandsgesuch eingetreten. Dabei kann der Vorinstanz kein überspitzter Formalismus vorgeworfen werden. Nicht jede prozessuale Formstrenge steht im Widerspruch zu <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 204; <ref-ruling> E. 2.4.2 S. 11; <ref-ruling> E. 5.4.1 S. 183 f.). Die von der Vorinstanz an die Begründung des Ausstandsgesuchs gestellten Anforderungen entsprechen der gängigen Rechtsprechung des Bundesgerichts sowie der herrschenden Lehre. Die Rüge des Beschwerdeführers erweist sich damit als unbegründet. Seinen Einwand, die von der Wahl profitierende Kandidatin dürfe nicht am vorinstanzlichen Entscheid mitwirken, hätte der Beschwerdeführer sodann bereits mit der Einreichung des Rechtsmittels geltend machen können und müssen (ANDREAS J. KELLER, a.a.O., N. 3 zu <ref-law>; <ref-ruling> E. 4.3 S. 69 f.; <ref-ruling> E. 8.4.3 S. 275; <ref-ruling> E. 2.1 S. 93; <ref-ruling> E. 2.2 S. 336; Urteil 1P.339/2004 vom 22. Oktober 2004 E. 2). Der Einwand im bundesgerichtlichen Verfahren ist daher verspätet. Im Übrigen setzt sich der Beschwerdeführer auch nicht mit der vorinstanzlichen Eventualbegründung auseinander, wonach die mitwirkenden Richter in keiner Art und Weise in den Prozess der Nachfolgewahl der beiden abtretenden Richter involviert gewesen seien. Aus dem angefochtenen Beschluss ergibt sich denn auch, dass das Bewerbungsdossier lediglich an die Obergerichtspräsidentin weitergeleitet wurde. Schliesslich ist auch nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz gegen das Vertrauensprinzip oder den Grundsatz von Treu und Glauben verstossen haben sollte. Aus dem Umstand, dass die Vorinstanz das Ausstandsgesuch gegen die Staatsanwaltschaft gutgeheissen hat, kann der Beschwerdeführer nichts zu seinen Gunsten ableiten, zumal die Staatsanwaltschaft sich selbst für den Ausstand ausgesprochen hatte und die Vorinstanz vorliegend das Ausstandsgesuch in der Sache nicht behandelt hat, sondern mangels hinreichender Begründung nicht darauf eingetreten ist. Die Beschwerde ist somit auch hinsichtlich der Ausstandsfrage unbegründet, soweit sie den bundesgerichtlichen Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>) überhaupt genügt.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Ausgangsgemäss hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Der Beschwerdeführer trägt die Gerichtskosten von Fr. 3'000.--.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. April 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Schär