Erwägungen:
1.
Mit Entscheid vom 26. November 2019 erteilte das Regionalgericht Emmental-Oberaargau dem Kanton Basel-Stadt gegenüber dem Beschwerdeführer in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Emmental-Oberaargau, Dienststelle Oberaargau, die definitive Rechtsöffnung für Fr. 1'220.-- nebst Zins (CIV 19 1390) und wies das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ab (CIV 19 2946). Mit einem weiteren Entscheid vom 26. November 2019 erteilte das Regionalgericht dem Kanton Basel-Stadt gegenüber dem Beschwerdeführer in der Betreibung Nr. yyy des Betreibungsamtes Emmental-Oberaargau, Dienststelle Oberaargau, die definitive Rechtsöffnung für Fr. 1'220.-- nebst Zins (CIV 19 1389) und wies das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ab (CIV 19 2945).
Gegen diese Entscheide gelangte der Beschwerdeführer am 10. Dezember 2019 an das Obergericht des Kantons Bern (Verfahren ZK 19 648 und ZK 19 649). Mit Schreiben vom 20. Dezember 2019 sandte das Obergericht die Eingabe dem Beschwerdeführer unter Hinweis auf <ref-law> (betreffend querulatorische und rechtsmissbräuchliche Eingaben) zurück.
Mit Eingabe vom 22. Juni 2020 (Postaufgabe) ist der Beschwerdeführer an das Bundesgericht gelangt.
2.
Der Beschwerdeführer verlangt eine Parteiverhandlung. Wie ihm aus anderen Verfahren bekannt ist, besteht auf eine Parteiverhandlung nach <ref-law> vor Bundesgericht kein Anspruch. Der vorliegende Entscheid kann ohne weiteres anhand der Akten gefällt werden.
3.
Es liegt kein anfechtbarer Entscheid des Obergerichts vor. Die Eingabe des Beschwerdeführers ist als Rechtsverweigerungsbeschwerde zu behandeln (<ref-law>). Aufgrund des geringen Streitwerts (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-law>) ist die Rechtsverweigerungsbeschwerde in der Form der subsidiären Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) zu behandeln (zum Ganzen Urteil 5D_230/2017 vom 16. November 2017 mit Hinweisen). Es gilt die strenge Rügeobliegenheit gemäss Art. 117 i.V.m. <ref-law>.
Der Beschwerdeführer kritisiert vor allem die Entscheide des Regionalgerichts. Weshalb das Obergericht seine gegen diese Entscheide gerichtete Beschwerde hätte an die Hand nehmen müssen, zeigt er jedoch nicht auf. Dazu genügt es insbesondere nicht zu behaupten, die Beschwerde sei genügend begründet gewesen.
Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung und sie ist überdies querulatorisch und rechtsmissbräuchlich. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. b und c BGG).
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Vor Bundesgericht stellt er kein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Ein solches wäre infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde ohnehin abzuweisen gewesen (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Juni 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg