Sachverhalt:
A.
A.a. B._ (geb. 1959; Beschwerdegegnerin) und A._ (geb. 1956; Beschwerdeführer) heirateten am 9. April 1992. Die Ehe blieb kinderlos.
A.b. A._ wurde im Jahr 1995 positiv auf das Humane Immundefizienz-Virus (HIV) getestet. Seit dem Jahr 2001 manifestiert sich zudem eine mit dem HIV assoziierte organische psychische Störung. Ab diesem Zeitpunkt sind eine reduzierte Kontrolle emotionaler Ausbrüche, Stimmungsschwankungen und Gewalttätigkeiten bekannt.
Am 7. Juli 2005 verurteilte das Bezirksgericht Zürich A._ wegen versuchter Vergewaltigung und einfacher Körperverletzung zu einer Freiheitsstrafe von neun Monaten. Gleichzeitig ordnete es eine stationäre Massnahme an und schob den Vollzug der Freiheitsstrafe zugunsten dieser Massnahme auf. Zudem stellte es fest, dass A._ die Tatbestände der unvollendeten versuchten schweren Körperverletzung sowie des unvollendeten versuchten Verbreitens menschlicher Krankheiten im Zustand der nicht selbstverschuldeten Zurechnungsunfähigkeit erfüllt hatte. Mit Entscheid vom 1. September 2008 ordnete das Bezirksgericht die Verwahrung von A._ nach <ref-law> an. Am 2. August 2017 lehnte das Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich die bedingte Entlassung von A._ aus dem Verwahrungsvollzug ab. Die hiergegen von A._ ergriffenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos. Mit Urteilen vom 25. März 2019 (6B_1147/2018) und vom 20. November 2019 (6B_1030/2019) wies das Bundesgericht die Sache jeweils zur Ergänzung des Sachverhalts und zur Prüfung der Verhältnismässigkeit der Fortsetzung der Verwahrung an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich zurück.
A.c. Seit der polizeilichen Anhaltung von A._ im März 2004 besteht kein gemeinsamer Haushalt zwischen den Parteien mehr. Mit Klage vom 3. Januar 2018 beantragte A._ beim Zivilgericht Basel-Stadt die Ehescheidung. Am 19. November 2018 schied das Zivilgericht die Ehe und genehmigte die zwischenzeitlich von den Ehegatten geschlossene Teilvereinbarung zu den Scheidungsnebenfolgen. Ausserdem wies das Zivilgericht die Vorsorgestiftung von B._ an, vom während der Ehe angesparten Altersguthaben den Betrag von Fr. 200'000.-- zuzüglich Zinsen zugunsten von A._ zu übertragen.
B.
Die von A._ gegen dieses Urteil bezüglich des Ausgleichs der Ansprüche aus beruflicher Vorsorge erhobene Berufung wies das Appellationsgericht des Kantons Basel Stadt, Dreiergericht, mit Urteil vom 9. September 2019 (eröffnet am 30. September 2019) ab und auferlegte diesem unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege die Prozesskosten.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 30. Oktober 2019 gelangt A._ ans Bundesgericht. Er beantragt, es sei das Urteil des Appellationsgerichts aufzuheben und die Vorsorgestiftung von B._ sei anzuweisen, vom während der Ehe angesparten Altersguthaben Fr. 310'195.30 nebst Zins ab dem 3. Januar 2018 zu seinen Gunsten an die Stiftung C._ zu überweisen. Ausserdem ersucht A._ für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Am 7. Mai 2020 verzichtet das Appellationsgericht auf eine Vernehmlassung und beantragt unter Hinweis auf seinen Entscheid die Abweisung der Beschwerde. Mit Beschwerdeantwort vom 8. Juli 2020 schliesst auch B._ auf Beschwerdeabweisung. Ausserdem ersucht auch sie um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren und beantragt für den Fall, dass A._ kostenpflichtig wird, die Ausrichtung einer Parteientschädigung aus der Bundesgerichtskasse. Am 22. Juli 2020 hat B._ ergänzende Unterlagen zu ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege eingereicht. Mit Eingabe vom 24. August 2020 verzichtet A._ auf eine weitere Stellungnahme. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid (<ref-law>) eines oberen kantonalen Gerichts, das als Rechtsmittelinstanz (<ref-law>) über die vermögensrechtlichen Nebenfolgen einer Ehescheidung (Vorsorgeausgleich) und damit eine vermögensrechtliche Zivilsache nach <ref-law> entschieden hat. Der erforderliche Streitwert von Fr. 30'000.-- ist erreicht (Art. 74 Abs. 1 Bst. b und Art. 51 Abs. 1 Bst. a BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt, die er auch fristgerecht eingereicht hat (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
1.2. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des gesamten Entscheids des Appellationsgerichts. Seinen weiteren Anträgen sowie der Beschwerdebegründung - diese ist zur Auslegung der Rechtsbegehren beizuziehen (<ref-ruling> E. 6.2; <ref-ruling> E. 1.3) - lässt sich jedoch entnehmen, dass er allein mit dem vorinstanzlichen Entscheid zum Ausgleich der Ansprüche aus beruflicher Vorsorge nicht einverstanden ist. Die Gewährung des Rechts auf unentgeltliche Rechtspflege durch das Appellationsgericht im Berufungsverfahren ist nicht angefochten. Insoweit hätte der Beschwerdeführer auch kein schutzwürdiges Interesse an der Beschwerdeführung (Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG). Die Beschwerde ist entsprechend entgegenzunehmen.
1.3. Die Beschwerde an das Bundesgericht ist ein reformatorisches Rechtsmittel (<ref-law>), weshalb grundsätzlich ein ebensolcher Antrag zu stellen ist. Rechtsbegehren, die eine Geldsumme zum Gegenstand haben, sind zu beziffern (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2), was auch für Anträge auf Zinszahlung gilt (Urteil 5A_71/2019 vom 12. Februar 2020 E. 1.2).
Die Beschwerde genügt dieser Anforderung, soweit der Beschwerdeführer die Übertragung eines Betrags von Fr. 310'195.30 zu seinen Gunsten verlangt. Ausreichend ist aber auch der Antrag auf die Zahlung von " Zins seit dem 3. Januar 2018" : Zwar lässt sich weder der Beschwerde noch dem angefochtenen Urteil näheres zu diesem Zins entnehmen. Die Pflicht zur Verzinsung der Austrittsleistung und die Höhe des entsprechenden Zinses ergeben sich indes aus dem Gesetz (Art. 2 Abs. 3 FZG [SR 831.42] i.V.m. Art. 15 Abs. 2 BVG [SR 831.40] und Art. 12 der Verordnung vom 18. April 1984 über die berufliche Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenvorsorge [BVV 2; SR 831.441.1] und dazu <ref-ruling> E. 3; GEISER/WALSER, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 6. Aufl. 2018, N. 9 zu <ref-law>; vgl. auch Urteil 5A_623/2007 vom 4. Februar 2008 E. 6). Damit sind die geltend gemachten Zinsen hinreichend bestimmbar.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Bundesrecht verletzt. Immerhin prüft es grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 2). Dabei befasst es sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (<ref-law>). In der Beschwerdebegründung ist daher in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid rechtswidrig sein soll. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken. Die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 1.7.1; <ref-ruling> E. 2).
2.2. Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (<ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, diese Feststellungen seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (<ref-law> und dazu <ref-ruling> E. 4.4), oder würden auf einer anderen Bundesrechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruhen. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung des gerügten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.3). Für die Begründung gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Notwendig ist daher, dass in der Beschwerde klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt wird, inwieweit die angerufenen Rechte verletzt wurden. Auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 1.3.1).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt die Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>; <ref-law>). Er führt aus, das Appellationsgericht habe nicht hinreichend deutlich gemacht, aus welchem Grund es im Rahmen des Vorsorgeausgleichs von einer hälftigen Teilung der Austrittsleistung abgesehen habe. Vielmehr habe es einfach auf die Umstände verwiesen. Dabei sei zu beachten, dass eine Gesamtsituation, die allenfalls als speziell empfunden werde, kein dogmatisch nachvollziehbares Kriterium sei, an welches eine Rechtsfolge geknüpft werden könne. Eine Gehörsverletzung liege auch darin, dass die Vorinstanz in diesem Zusammenhang nicht auf die Ausführungen des Beschwerdeführers zum erstinstanzlichen Entscheid eingegangen sei. Damit sei auch nicht ersichtlich, weshalb diese Ausführungen nicht zutreffen sollten. Die Beschwerdegegnerin kann keine Gehörsverletzung feststellen.
3.2. Der Anspruch auf rechtliches Gehör verlangt, dass die Behörde die Vorbringen der vom Entscheid in ihrer Rechtsstellung betroffenen Person auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich die betroffene Person über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 5.2 mit Hinweisen).
3.3. Der angefochtene Entscheid genügt diesen Anforderungen: Bereits den Ausführungen des Beschwerdeführers in der Sache lässt sich entnehmen, dass die Vorinstanz die Gründe darlegte, aus denen sie von einer hälftigen Teilung der Austrittsleistung der Ehefrau abgesehen hat. Der Beschwerdeführer äussert sich in der Folge denn auch einlässlich zu diesen Überlegungen und legt dar, weshalb der angefochtene Entscheid seiner Ansicht nach rechtswidrig ist (vgl. nur hinten E. 5.1). Soweit er der Ansicht ist, die Ausführungen der Vorinstanz seien dogmatisch nicht nachvollziehbar, betrifft dies allein die Begründetheit des vorinstanzlichen Erkenntnisses, nicht jedoch die Begründung (<ref-ruling> E. 6.1; Urteil 5D_39/2018 vom 16. Mai 2018 E. 3.2). Sodann war das Appellationsgericht nicht gehalten, auf alle Vorbringen des Beschwerdeführers einzugehen. Ausreichend war vielmehr, dass es die Überlegungen dargelegt hat, von denen es sich hat leiten lassen. Der Beschwerdeführer war wie dargelegt denn auch in der Lage, den Entscheid sachgerecht anzufechten. Eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör lässt sich nicht feststellen.
4.
Anlass zur Beschwerde gibt allein die Frage, ob die Vorinstanz im Rahmen des ansonsten unstrittigen Vorsorgeausgleichs von einer hälftigen Teilung der Austrittsleistung der Beschwerdegegnerin absehen und dem Beschwerdeführer Fr. 200'000.-- anstatt Fr. 310'195.30 zusprechen durfte.
Anwendbar ist die heute gültige Fassung des Gesetzes gemäss der Gesetzesnovelle vom 19. Juni 2015 zum Vorsorgeausgleich bei Scheidungen, welche am 1. Januar 2017 in Kraft getreten ist (AS 2016 2313; vgl. <ref-law> und dazu etwa Urteil 5A_153/2019 vom 3. September 2019 E. 6.3.1, in: SJ 2019 I S. 476). Gemäss <ref-law> werden die während der Ehe bis zum Zeitpunkt der Einleitung des Scheidungsverfahrens erworbenen Ansprüche aus der beruflichen Vorsorge bei der Scheidung ausgeglichen. Die erworbenen Austrittsleistungen samt Freizügigkeitsguthaben und Vorbezügen für Wohneigentum werden hälftig geteilt (<ref-law>). Das Gericht spricht dem berechtigten Ehegatten weniger als die Hälfte zu oder verweigert die Teilung ganz, wenn wichtige Gründe vorliegen (<ref-law>). Ein wichtiger Grund liegt insbesondere vor, wenn die hälftige Teilung unbillig wäre aufgrund der güterrechtlichen Auseinandersetzung, der wirtschaftlichen Verhältnisse nach der Scheidung (<ref-law>) oder der Vorsorgebedürfnisse, insbesondere unter Berücksichtigung des Altersunterschieds zwischen den Ehegatten (<ref-law>). Mit dieser gesetzlichen Ordnung wird der Grundsatz der hälftigen Teilung der Vorsorgeguthaben festgeschrieben, der auch durch die Ausnahmeregelung von <ref-law> nicht ausgehöhlt werden soll. Wichtige Gründe, welche ein Abweichen von der hälftigen Teilung erlauben, dürfen daher nur in besonders stossenden Fällen angenommen werden. In diesem Rahmen steht dem rechtsanwendenden Gericht aber eine gewisse Flexibilität und ein Ermessen im Entscheid über die Teilung der Vorsorgeguthaben zu (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.3.2 und 5.4). Die Ausübung des richterlichen Ermessens durch die letzte kantonale Instanz überprüft das Bundesgericht nur mit Zurückhaltung (<ref-ruling> E. 4.5; <ref-ruling> E. 11.2).
5.
5.1. Zur Begründung ihres Entscheids verweist die Vorinstanz auf das gewalttätige und ehewidrige Verhalten des Beschwerdeführers während des gemeinsamen Zusammenlebens der Ehegatten, auf das gemessen an der Ehedauer eher kurze Zusammenleben der Parteien und die lange Trennungsdauer sowie auf die Vorsorgebedürfnisse der Ehegatten. Bezüglich letzterer ist der Vorsorgebedarf der Beschwerdegegnerin unbestritten, die aufgrund ihrer derzeitigen Situation (Arbeitslosigkeit; Arbeitsunfähigkeit) keine weiteren Vorsorgemittel äufnen kann. Dagegen befindet sich der Beschwerdeführer derzeit im Massnahmevollzug, während dem ihm keine bedeutenden Lebenskosten anfallen (vgl. <ref-law>). Dies wird sich jedoch ändern, sollte er dereinst entlassen werden, was gerade mit Blick auf seine Erkrankung gilt (z.B. Kosten für Medikamente, Wohnkosten). Trotz der kürzlich erfolgten Abweisung eines Entlassungsgesuchs durch das Verwaltungsgericht Zürich sei eine spätere Entlassung durchaus möglich. Für diesen Fall hält das Appellationsgericht fest, dass der Beschwerdeführer seinen Bedarf mit Vorsorgemitteln zu bestreiten hätte, über die er derzeit nicht verfügt. Unter den gegebenen Umständen könne der Vorsorgebedarf des Beschwerdeführers aber nicht klar abgeschätzt werden. Auch die Beschwerdegegnerin gibt an, der künftige Vorsorgebedarf des Beschwerdeführers sei derzeit "sehr hypothetisch".
Der Beschwerdeführer macht demgegenüber eine willkürliche Feststellung des Sachverhalts geltend und wirft dem Appellationsgericht vor, das Wesen des Vorsorgeausgleichs zu verkennen. Abzustellen sei nicht auf die aktuelle Situation, sondern darauf, wie sich die Vorsorgebedürfnisse in Zukunft präsentieren würden. Dabei sei seine Entlassung aus der Verwahrung nach der allgemeinen Lebenserfahrung und der Rechtsprechung nur eine Frage der Zeit, zumal keine lebenslange Verwahrung vorliege und mit zunehmendem Alter seine körperliche Leistungsfähigkeit abnehme. Damit sei sein (künftiger) Vorsorgebedarf ausgewiesen, der zudem nicht anderweitig gedeckt werden könne, und dürfe die hälftige Teilung nicht mit Blick auf die Vorsorgebedürfnisse verweigert werden.
5.2. Die in <ref-law> aufgeführten Vorsorgebedürfnisse (vgl. vorne E. 4) rechtfertigen eine vom gesetzlichen Normalfall abweichende Teilung der Austrittsleistung dann, wenn die vorsorgerechtliche Situation der einen Partei verglichen mit derjenigen der anderen Partei als unbillig erscheint. Der Entscheid hierüber bedingt einen Vergleich der Vorsorgebedürfnisse beider Ehegatten (Urteil 5A_153/2019 vom 3. September 2019 E. 6.3.2, in: SJ 2019 I S. 476). Dabei sind sämtliche Einkommens- und Vermögensverhältnisse zu berücksichtigen (zum Ganzen: JUNGO/GRÜTTER, in: FamKomm Scheidung, Band I, 3. Aufl. 2017, N. 15 zu <ref-law>; GEISER, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 6. Aufl. 2018, N. 21 zu <ref-law>; LEUBA/UDRY, Partage du 2e pilier: premières expériences, in: Entretien de l'enfant et prévoyance professionnelle, 2018, S. 18; DUPONT, Les nouvelles règles sur le partage de la prévoyance en cas de divorce, in: BOHNET/DUPONT (Hrsg.), Le nouveau droit de l'entretien de l'enfant et du partage de la prévoyance, 2016, S. 77 ff., 81). Der Vorsorgebedarf der Ehegatten betrifft künftige oder hypothetische Tatsachen, die aufgrund von vergangenen Tatsachen plausibel zu machen sind. Betroffen ist dabei die Beweiswürdigung (JUNGO, Zürcher Kommentar, 3. Aufl. 2018, N. 79 zu <ref-law>; WALTER, in: Berner Kommentar, 2012, N. 94 zu <ref-law>).
5.3. Unbegründet ist vorab der Vorwurf des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe allein seine aktuellen Bedürfnisse berücksichtigt. Vielmehr stellte sie Überlegungen zur Situation des Beschwerdeführers nach einer allfälligen Entlassung aus der Verwahrung an, kam jedoch zum Schluss, dessen Vorsorgebedarf könne derzeit nicht abgeschätzt werden. Gleichzeitig ist der Vorsorgebedarf der Beschwerdegegnerin erstellt und nicht strittig. Damit ging das Appellationsgericht im Ergebnis von unterschiedlichen (künftigen) Vorsorgebedürfnissen der Parteien aus, was es rechtfertige, von einer hälftigen Teilung des vorhandenen Vorsorgeguthabens abzusehen.
Mit seinen Vorbringen beanstandet der Beschwerdeführer sodann die Einschätzung seiner (künftigen) Vorsorgebedürfnisse, welche eng mit einer (allfälligen) Entlassung aus dem Massnahmevollzug zusammenhängen. Dies beschlägt wie dargelegt die Beweiswürdigung. Zu den Möglichkeiten einer Beendigung der Massnahme trägt der Beschwerdeführer indes einzig in appellatorischer Art und Weise seine eigene Einschätzung der Umstände vor: Der Hinweis auf die allgemeine Lebenserfahrung, der Verweis auf ein eine andere Sachlage betreffendes Urteil des Bundesgerichts und allgemeine Überlegungen zur körperlichen Entwicklung mit fortschreitendem Alter sind jedoch nicht geeignet, die von der Vorinstanz vorgenommene Einschätzung der Lage als offensichtlich unhaltbar erscheinen zu lassen (vgl. vorne E. 2.2). Zutreffend ist sodann zwar, dass der Beschwerdeführer sich nicht in einer lebenslangen Verwahrung nach <ref-law> befindet. Dies allein sagt aber ebenfalls nichts über eine mögliche spätere Entlassung aus. Damit gelingt es dem Beschwerdeführer nicht, die Feststellung zu seinen (künftigen) Vorsorgebedürfnissen in Frage zu stellen.
5.4. Unter diesen Umständen und mit Blick auf den der Vorinstanz in diesem Bereich zukommenden Ermessensspielraum (vgl. vorne E. 4) kann dieser bereits unter Berücksichtigung der Vorsorgebedürfnisse der Parteien beim Entscheid über den Ausgleich der Austrittsleistungen keine Bundesrechtsverletzung vorgeworfen werden. Hierbei ist zu berücksichtigen, dass nicht eine vollständige Verweigerung des Vorsorgeausgleichs in Frage steht. Der Beschwerdeführer erhält unter diesem Titel vielmehr Fr. 200'000.-- zugesprochen. Damit ist nicht mehr zu prüfen, ob der Beschwerdeführer seine Einwendungen im Berufungsverfahren überhaupt hinreichend und korrekt vorgebracht hatte (vgl. dazu Urteile 5A_373/2018 vom 8. April 2019 E. 3.2.4; 5A_299/2012 vom 21. Juni 2012 E. 3.4; 5A_361/2010 vom 10. September 2010 E. 4.2.2, in: FamPra.ch 2011 S. 218). Ebenfalls braucht nicht mehr auf die weiteren vom Appellationsgericht angerufenen Gründe eingegangen zu werden, welche ein Abweichen von der hälftigen Teilung der Vorsorgemittel ebenfalls rechtfertigen sollen (gewalttätiges Verhalten des Beschwerdeführer sowie lange Trennungszeit).
6.
Nach dem Ausgeführten erweist die Beschwerde sich als unbegründet und ist sie abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten grundsätzlich dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>) und hat dieser die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Beide Parteien ersuchen vor Bundesgericht jedoch um unentgeltliche Rechtspflege und Beiordnung ihrer Anwälte als unentgeltliche Rechtsvertreter. Die diesbezüglichen Voraussetzungen sind erfüllt (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG), zumal das hier strittige Vorsorgekapital noch nicht ausbezahlt worden ist (vgl. dazu BGE 144 II 531 E. 4.2). Da die Beschwerdegegnerin keine Verfahrenskosten zu tragen hat, ist ihr Gesuch gegenstandslos geworden, soweit es die Befreiung von den Gerichtskosten betrifft. Hingegen ist es mit Blick auf die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands nicht gegenstandslos geworden. Zwar wird der obsiegenden Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung zugesprochen. Angesichts der wirtschaftlichen Verhältnisse des Beschwerdeführers ist indessen nicht anzunehmen, dass sie die ihr zustehende Entschädigung wird erhältlich machen können. Deshalb ist auch die Anwältin der Beschwerdegegnerin direkt aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen. Beide Parteien werden darauf hingewiesen, dass sie dieser Ersatz zu leisten haben, falls sie dazu später in der Lage sind (<ref-law>; vgl. zum Ganzen Urteil 5A_295/2016 vom 23. Februar 2017 E. 6.2, nicht publ. in: <ref-ruling>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
2.1. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen und es wird ihm Rechtsanwalt Epprecht als unentgeltlicher Rechtsvertreter beigeordnet.
2.2. Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, und es wird ihr Advokatin Stehli als unentgeltliche Rechtsvertreterin beigeordnet.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indessen vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'500.-- zu entschädigen. Die Entschädigung wird indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen und Advokatin Stehli wird aus dieser mit Fr. 2'500.-- entschädigt.
5.
Rechtsanwalt Epprecht wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'500.-- entschädigt.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. November 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber