Sachverhalt:
A.
A.a. Das Betreibungsamt Birmensdorf pfändete in einer von A._ gegen B._ angehobenen Betreibung unter anderem eine Liegenschaft in U._, die im hälftigen Miteigentum des Schuldners und seiner Ehegattin C._ steht. Im Rahmen der Verwertung der Liegenschaft erhoben die Ehegatten am 11. Dezember 2018 gegen A._ beim Bezirksgericht Dietikon je eine Klage auf Aberkennung von diversen Ansprüchen im Lastenverzeichnis.
A.b. Mit Verfügung vom 13. Dezember 2018 setzte das Bezirksgericht B._ Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 32'100.--. Daraufhin stellte B._ ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege, welches das Bezirksgericht mit Verfügung vom 8. März 2019 abwies, unter Ansetzung einer Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses. Das Obergericht des Kantons Zürich hiess die dagegen erhobene Beschwerde gut und hob die erstinstanzliche Verfügung mit Beschluss vom 28. Mai 2019 auf. Mit Verfügung vom 2. September 2019 wies das Bezirksgericht das Gesuch von B._ um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit der Klage wiederum ab und setzte diesem erneut eine Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses. Der dagegen beim Obergericht erhobenen Beschwerde war kein Erfolg beschieden. Das Bundesgericht trat auf die Beschwerde von B._ gegen den obergerichtlichen Entscheid nicht ein (Urteil 5A_957/2019 vom 5. Dezember 2019).
A.c. Das Bezirksgericht setzte B._ mit Verfügung vom 12. Dezember 2019 Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses. Mit Eingabe vom 30. Dezember 2019 ersuchte B._ wiederum um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege; das Gesuch wurde vom Bezirksgericht am 10. Januar 2020 abwiesen, unter erneuter Ansetzung einer Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses. Die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde wies das Obergericht mit Urteil vom 4. August 2020 ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Mit Verfügung vom 12. August 2020 trat das Bezirksgericht auf die Klage von B._ nicht ein. Dagegen gelangte B._ an das Obergericht. Er beantragte die Aufhebung der Verfügung des Bezirksgerichts und die Rückweisung der Sache an die Erstinstanz, eventualiter sei die Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses neu anzusetzen. Zudem stellte er für das obergerichtliche Verfahren ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Urteil vom 23. April 2021 wies das Obergericht die Berufung ab. Mit Beschluss vom gleichen Datum wies es das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab.
C.
B._ hat am 4. Juni 2021 für sich und für C._ Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Der Beschwerdeführer beantragt, das Urteil und den Beschluss des Obergerichts aufzuheben und die Sache im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Er stellt ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Gesuch um aufschiebende Wirkung ist am 7. Juni 2021 abgewiesen worden.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, indes keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist das Urteil einer letzten kantonalen Instanz, welche die Berufung gegen den Nichteintretensentscheid der Erstinstanz abgewiesen hat. In der Sache geht es um eine Lastenbereinigungsklage mit einem Streitwert von über Fr. 30'000.--. Die Beschwerde in Zivilsachen ist gegeben (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 1 lit. b und Art. 75 Abs. 1 BGG).
1.2. Der Beschwerdeführer ist als Schuldner und Miteigentümer der gepfändeten Liegenschaft vom angefochtenen Entscheid besonders berührt und daher zur Anfechtung berechtigt (<ref-law>). Seine Ehefrau ist Miteigentümerin der Liegenschaft, hat sich indes am kantonalen Verfahren nicht beteiligt und wäre daher zur Beschwerde nicht legitimiert (<ref-law>). Der Beschwerdeführer kann zudem deren Interessen vor Bundesgericht nicht vertreten, weil hier das Anwaltsmonopol gilt (<ref-law>). Soweit die Beschwerde auch in deren Namen erhoben wird, wird darauf nicht eingetreten.
1.3. Mit der vorliegenden Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen, wobei hier das Rügeprinzip gilt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.4).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel sind nur soweit zulässig, als erst der vorinstanzliche Entscheid dazu Anlass gibt (<ref-law>).
2.
Anlass zur Beschwerde gibt der Nichteintretensentscheid auf eine Lastenbereinigungsklage, nachdem der Kläger den verlangten Kostenvorschuss nicht geleistet hat. Strittig ist insbesondere, ob das Gericht vorgängig - und nachdem die Beschwerde gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege abgewiesen worden war - nochmals eine Nachfrist hätte ansetzen müssen.
2.1. Das Gericht kann von der klagenden Partei einen Vorschuss bis zur Höhe der mutmasslichen Gerichtskosten verlangen (<ref-law>). Wird der Vorschuss auch innert einer Nachfrist nicht geleistet, so tritt das Gericht auf die Klage nicht ein (<ref-law>). Verfügt eine Partei nicht über die erforderlichen Mittel und ist ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos, so hat sie Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>). Wird das Gesuch gutgeheissen, so ist sie von Vorschuss- und Sicherheitsleistungen befreit (<ref-law>). Sofern zur Wahrung ihrer Interessen notwendig, steht der Partei ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zu (<ref-law>). Mit diesen Bestimmungen wird der verfassungsmässige Anspruch nach <ref-law> auf Gesetzesstufe konkretisiert (<ref-ruling> E. 4.1).
2.2. Indes gewähren weder die Bundesverfassung noch <ref-law> einer Partei die Möglichkeit, nach Abweisung eines ersten Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege gleichsam voraussetzungslos ein neues Gesuch zu stellen. Es genügt, wenn die betroffene Partei im Rahmen des gleichen Verfahrens einmal die Gelegenheit erhält, die unentgeltliche Rechtspflege zu erlangen. Ein zweites Gesuch auf der Grundlage des gleichen Sachverhaltes käme einem Wiedererwägungsgesuch gleich, auf dessen Beurteilung aus verfassungsrechtlicher Sicht kein Anspruch besteht. Andernfalls würde der Prozessverschleppung Vorschub geleistet, was nicht der Sinn der unentgeltlichen Rechtspflege sein kann. Führt der Gesuchsteller erhebliche Tatsachen und Beweismittel an, die ihm im früheren Verfahren nicht bekannt waren oder die schon damals geltend zu machen für ihn rechtlich oder tatsächlich unmöglich war oder keine Veranlassung bestand, so hat er einen Anspruch auf Revision. Davon zu unterscheiden ist das neue Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege, das auf der Grundlage geänderter Verhältnisse eingereicht werden kann. Diese Möglichkeit ergibt sich aus dem Umstand, dass der Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege als prozessleitender Entscheid nur formell, jedoch nicht materiell in Rechtskraft erwächst (<ref-ruling> E. 6; Urteile 4A_375/2020 vom 23. September 2020 E. 3.1 und 5A_430/2010 vom 13. August 2010 E. 2.4).
2.3. Im vorliegenden Fall steht fest, dass der Beschwerdeführer nach Erhalt der Kostenvorschussverfügung von Fr. 32'100.-- ein (erstes) Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege einreichte, welches das Bezirksgericht nach einer Rückweisung durch das Obergericht erneut wegen Aussichtslosigkeit abgewiesen hat. Zugleich wurde dem Beschwerdeführer eine Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses angesetzt. Dem folgenden Beschwerdeweiterzug an das Obergericht war kein Erfolg beschieden und das Bundesgericht trat auf die Beschwerde nicht ein. Daraufhin setzte das Bezirksgericht dem Beschwerdeführer eine erneute Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses an. Auf die entsprechende Verfügung reagierte der Beschwerdeführer mit einem (zweiten) Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Auch dieses Gesuch wurde vom Bezirksgericht abgewiesen, unter Ansetzung einer Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses. Das Obergericht wies die vom Beschwerdeführer dagegen erhobene Beschwerde ab. Damit steht fest, dass dem Beschwerdeführer nach Abweisung von zwei Gesuchen um unentgeltliche Rechtspflege jeweils eine Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses eingeräumt wurde, der er nicht Folge geleistet hat. Androhungsgemäss ist die Erstinstanz auf die Lastenbereinigungsklage nicht eingetreten, ohne jedoch nach Abweisung der Beschwerde gegen die Verweigerung der unentgeltliche Rechtspflege dem Beschwerdeführer eine erneute Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses anzusetzen. Dagegen gelangte der Beschwerdeführer mit Berufung an das Obergericht.
2.4. Die Vorinstanz weist auf die bundesgerichtliche Praxis hin, wonach der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege nur gewährleistet ist, sofern das Gericht bis zum rechtskräftigen Entscheid über ein solches Gesuch keinen Nichteintretensentscheid wegen Nichtleistung des Kostenvorschusses fällen darf. Dem Gesuchsteller müsse bei Abweisung eines solchen Gesuchs eine Nachfrist zur Zahlung des Kostenvorschusses gewährt werden. Allerdings - so die Vorinstanz - muss genügen, wenn eine Partei im Verlaufe des Verfahrens einmal Gelegenheit erhält, die unentgeltliche Rechtspflege zu verlangen. Ebenso müsse die einmalige Ansetzung einer Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses nach Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege genügen. Andernfalls könnte eine Partei jeweils ein neues Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege stellen, um wiederum eine Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses zu erhalten und damit das Verfahren unnötig verzögern.
2.5. Der Beschwerdeführer macht geltend, dass ihm ein unbedingter verfassungsmässiger Anspruch auf Revision zustehe, wenn er sogenannte unechte Noven vorbringen könne. Er beruft sich dabei auf die bundesgerichtliche Praxis (<ref-ruling>). Demnach hätte das zweite Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht als blosses Wiedererwägungsgesuch qualifiziert werden dürfen, auf dessen Behandlung samt Ansetzung einer Nachfrist im Falle der Abweisung des Gesuchs kein Anspruch bestehe. Zudem macht der Beschwerdeführer geänderte Verhältnisse geltend, welche ihn als echte Noven zu einem (erneuten) Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege berechtigten.
2.5.1. Mit diesen Ausführungen lässt der Beschwerdeführer ausser Acht, dass Gegenstand des vorliegenden Verfahrens ein Nichteintretensentscheid wegen Nichtbezahlung des Kostenvorschusses bildet. Ob die vorgängigen Entscheide über seinen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege rechtens waren, steht im konkreten Fall nicht zur Diskussion. Damit gehen die diesbezüglichen Vorbringen des Beschwerdeführers an der Sache vorbei. Ebenso bleiben seine Schilderungen zum aktuellen Stand der Verwertung verschiedener Liegenschaften unberücksichtigt, da sie keinen Zusammenhang zum Streitgegenstand erkennen lassen.
2.5.2. Zwar rügt der Beschwerdeführer, der Nichteintretensentscheid des Bezirksgerichts sei voreilig erfolgt. Soweit er behauptet, zuvor hätte über sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege entschieden werden müssen, ist er darauf hinzuweisen, dass mit dem Urteil des Obergerichts vom 4. August 2020 darüber definitiv befunden worden war. Weshalb eine weitere Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses hätte angesetzt werden müssen, wie der Beschwerdeführer geltend macht, ist nicht ersichtlich. Insbesondere geht er auf die diesbezüglichen Erwägungen der Vorinstanz nicht ein, sondern belässt es beim Vorwurf, die Vorinstanz habe seinen verfassungsmässigen Anspruch auf Verhältnismässigkeit (<ref-law>) verletzt. Eine rechtsgenügliche Begründung ist in seinen Ausführungen nicht zu erkennen.
3.
Die Vorinstanz wies Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab, da seine Berufung gegen den erstinstanzlichen Nichteintretensentscheid offensichtlich unbegründet sei. Sie wirft ihm zudem vor, mit dem Beharren auf einer dritten Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses angesichts der behaupteten Mittellosigkeit keineswegs dieser Pflicht nachkommen zu wollen. Es gehe ihm einzig um eine weitere Verzögerung des Verwertungsverfahrens, welches Verhalten rechtsmissbräuchlich sei und keinen Rechtsschutz verdiene. Nach Auffassung des Beschwerdeführers hat die Vorinstanz seine Vorbringen nicht berücksichtigt. Sie sei wegen unrichtiger Anwendung des Rechts und unrichtiger Feststellung des Sachverhalts zu rügen. Allein aus dem Hinweis auf die Beschwerdegründe des kantonalen Verfahrens (<ref-law>) lässt sich keine Verletzung des Anspruchs auf unentgeltliche Rechtspflege erkennen (<ref-law>). Mangels rechtsgenüglicher Begründung ist auf dieses Vorbringen nicht einzutreten.
4.
Schliesslich ficht der Beschwerdeführer die Höhe der ihm von der Erstinstanz auferlegten Gerichtskosten an. Er erachtet die Gebühr von jeweils Fr. 11'000.--, mithin Fr. 22'000.--, für einen Nichteintretensentscheid als "absurd". Soweit er an dieser Stelle auf ein weiteres Verfahren mit einer Gebühr in derselben Höhe Bezug nehmen will, ist sein Vorbringen nicht relevant. Geprüft werden können nur Kosten, die Gegenstand des im konkreten Fall angefochtenen Urteils bilden.
4.1. Die Kantone setzen die Tarife für die Prozesskosten fest (<ref-law>). Das Bundesgericht überprüft die Anwendung von kantonalem Recht nur in Zusammenhang mit der Verletzung kantonaler verfassungsmässiger Rechte (<ref-law>). Hingegen kann gerügt werden, die Anwendung kantonalen Rechts verstosse gegen das Willkürverbot (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2) oder sei unter Missachtung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) erfolgt.
4.2. Im konkreten Fall hat die Vorinstanz bei der Prüfung der erstinstanzlichen Kosten auf den Streitwert (Fr. 1'135'149.95) hingewiesen, der zu einer Grundgebühr von Fr. 32'101.-- führt. Alsdann hat sie betont, dass der Streitfall ohne materielle Anspruchsprüfung erledigt wurde, was zu einer Herabsetzung auf die Hälfte führen kann. Vorliegend habe das Bezirksgericht im Hinblick auf ein Parallelverfahren sogar eine Ermässigung auf einen Drittel vorgenommen. Zudem sei der Aufwand (Verfahrensdauer von 20 Monaten und 7 prozessleitende Entscheide) berücksichtigt worden. Insgesamt erweise sich die Gerichtsgebühr von Fr. 11'000.-- daher als angemessen.
4.3. In der Beschwerde findet sich hinsichtlich der strittigen Gerichtsgebühr keine Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid. Insbesondere übergeht der Beschwerdeführer, dass die Vorinstanz sich zum prozessualen Aufwand und der Erledigung des Handels ohne materielle Prüfung der Anträge im Einzelnen geäussert hat. Allein mit dem Hinweis auf den Grundsatz der Verhältnismässigkeit (<ref-law>) genügt er den Begründungsanforderungen an eine Beschwerde nicht (E. 1.3). Nicht nachvollziehbar ist in diesem Zusammenhang der Vorwurf, die Vorinstanz habe die geltend gemachte Forderung nach einer bereits erfolgten Tilgung nicht geprüft. Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Anwendung des kantonalen Tarifs (GebV OG/ZH) nicht auseinander. Auf die gegen die Höhe der Gerichtsgebühr erhobene Kritik ist insgesamt nicht einzutreten.
5.
Nach dem Gesagten genügt die Beschwerde den Anforderungen an eine rechtsgenügliche Begründung nicht, weshalb darauf nicht eingetreten werden kann. Zufolge Aussichtslosigkeit der Begehren ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen (<ref-law>). Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdeführer die Verfahrenskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Oktober 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Levante