Sachverhalt:
A.
A._ ist Inhaber des Führerausweises der Unterkategorie C1 und unterliegt der periodischen verkehrsmedizinischen Kontrolluntersuchung gemäss Art. 27 Abs. 1 lit. a Ziff. 1 der Verordnung vom 27. Oktober 1976 über die Zulassung von Personen und Fahrzeugen zum Strassenverkehr (Verkehrszulassungsverordnung, VZV; SR 741.51). Gemäss ärztlichem Bericht zur Kontrolluntersuchung vom 27. Dezember 2016 hat A._ zum damaligen Zeitpunkt nicht an verkehrsmedizinisch relevanten Krankheiten gelitten. Nach der Kontrolluntersuchung vom 11. November 2019 informierte die untersuchende Ärztin das Strassenverkehrsamt des Kantons Luzern, dass bei A._ verkehrsmedizinisch relevante Erkrankungen oder Zustände in Form von psychischen Erkrankungen bzw. "Medikation: Cipralex, Concerta und Remeron" bestünden und empfahl die Durchführung einer Beurteilung durch einen Verkehrsmediziner der Stufe 4.
Das Strassenverkehrsamt zeigte A._ am 13. November 2019 die Eröffnung eines Administrativverfahrens an und gewährte ihm das rechtliche Gehör. Dieser äusserte sich im Rahmen seiner Stellungnahme dahingehend, dass er seit Jahren auf Medikamente angewiesen sei und er daher nicht nachvollziehen könne, weshalb ihm nun ein Führerausweisentzug wegen fehlender Fahreignung in Aussicht gestellt werde. In der Folge holte das Strassenverkehrsamt bei der untersuchenden Ärztin eine Stellungnahme ein. Mit Verfügung vom 4. Dezember 2019 entzog das Strassenverkehrsamt des Kantons Luzern A._ den Führerausweis vorsorglich und ordnete die Überprüfung der Fahreignung durch einen Arzt der Stufe 4 auf eigene Kosten an.
Diese Verfügung focht A._ beim Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, an, welches die Beschwerde mit Urteil vom 11. Februar 2020 abwies.
B.
Gegen das kantonsgerichtliche Urteil gelangt A._ mit Eingabe vom 20. März 2020 an das Bundesgericht und beantragt dessen Aufhebung. Die Sache sei an das Strassenverkehrsamt des Kantons Luzern zu neuer Beurteilung zurückzuweisen und ihm sei der Führerausweis, eventualiter unter Auflagen, auszuhändigen.
Das Kantonsgericht Luzern sowie das Strassenverkehrsamt des Kantons Luzern beantragen im Rahmen ihrer Vernehmlassungen die Abweisung der Beschwerde. Auch das Bundesamt für Strassen ASTRA beantragt unter Hinweis auf das ihm zutreffend erscheinende Urteil, dass die Beschwerde abzuweisen sei. Der Beschwerdeführer wurde über die eingegangenen Vernehmlassungen in Kenntnis gesetzt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG). Die kantonalen Instanzen haben dem Beschwerdeführer den Führerausweis bis zum definitiven Entscheid über den Sicherungsentzug vorsorglich entzogen. Der angefochtene Entscheid schliesst das Verfahren damit nicht ab; es handelt sich um einen Zwischenentscheid, der nach der Rechtsprechung anfechtbar ist, da er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinn von <ref-law> bewirkt (<ref-ruling> E. 1b S. 362; Urteil 1C_585/2019 vom 17. November 2020 E. 1 mit Hinweis). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist als vom vorsorglichen Führerausweisentzug direkt betroffene Person zur Beschwerde legitimiert (vgl. <ref-law>). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
1.2. Der vorsorgliche Führerausweisentzug gemäss <ref-law> stellt eine vorsorgliche Massnahme im Sinn von <ref-law> dar (vgl. Urteile 1C_585/2019 vom 17. November 2020 E. 2; 1C_541/2019 vom 10. März 2020 E. 3 mit Hinweisen). In Beschwerden gegen solche Massnahmen kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Gemäss <ref-law> prüft das Bundesgericht die Verletzung von Grundrechten nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286 mit Hinweisen).
Sodann braucht angesichts der Dringlichkeit des Massnahmeverfahrens eine umfassende Auseinandersetzung mit sämtlichen Gesichtspunkten, die für oder gegen einen Sicherungsentzug sprechen, erst im anschliessenden Hauptverfahren zu erfolgen (<ref-ruling> E. 3.1.1 S. 224; <ref-ruling> E. 2b S. 495 f. mit Hinweis). Derartige provisorische Anordnungen beruhen regelmässig auf einer bloss summarischen Prüfung der Sach- und Rechtslage. Der Entscheid ergeht aufgrund der vorhandenen Akten und ohne weitere Beweiserhebungen, allenfalls mit Ausnahme eines liquiden Urkundenbeweises (vgl. Urteile 1C_585/2019 vom 17. November 2020 E. 2; 1C_541/2019 vom 10. März 2020 E. 3 mit Hinweisen).
2.
Motorfahrzeugführer müssen über Fahreignung und Fahrkompetenz verfügen (<ref-law>). Über Fahreignung verfügt unter anderem, wer die erforderliche körperliche und psychische Leistungsfähigkeit zum sicheren Führen von Motorfahrzeugen hat (<ref-law>). Über Fahrkompetenz verfügt, wer die Verkehrsregeln kennt und Fahrzeuge der Kategorie, für die der Ausweis gilt, sicher führen kann (Art. 14 Abs. 3 lit. a und b SVG).
Wecken konkrete Anhaltspunkte ernsthafte Zweifel an der Fahreignung der betroffenen Person, ist eine verkehrsmedizinische Abklärung anzuordnen (<ref-law>, <ref-law>). Ernsthafte Zweifel an der Fahreignung einer Person können unabhängig von einer Verkehrskontrolle auch durch die Meldung eines Arztes begründet werden, dass eine Person wegen einer körperlichen oder psychischen Krankheit oder einer Sucht Motorfahrzeuge nicht sicher führen kann (<ref-law>). Wird eine verkehrsmedizinische Abklärung angeordnet, ist der Führerausweis gemäss <ref-law> in der Regel vorsorglich zu entziehen (<ref-ruling> E. 5 S. 128; <ref-ruling> E. 3 S. 401; Urteile 1C_184/2019 vom 3. Juni 2019 E. 2.1; 1C_144/2017 vom 2. Juni 2017 E. 2.3; je mit Hinweisen). Denn steht die Fahreignung der betroffenen Person ernsthaft in Frage, ist es unter dem Gesichtspunkt der Verkehrssicherheit grundsätzlich nicht zu verantworten, ihr den Führerausweis bis zum Vorliegen des Untersuchungsergebnisses zu belassen. Gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung ist für den vorsorglichen Führerausweisentzug gemäss <ref-law> kein strikter Beweis erforderlich, hierfür genügen vielmehr bereits konkrete Anhaltspunkte, dass die Fahreignung zu verneinen ist (BGE <ref-ruling> E. 2b S. 495; Urteil 1C_536/2018 vom 30. Januar 2019 E. 3 mit Hinweis).
3.
Dem angefochtenen Urteil ist zu entnehmen, dass sich der Beschwerdeführer vom 18. Oktober 2018 bis zum 28. März 2019, vom 25. April 2019 bis zum 9. August 2019 und vom 6. September 2019 bis zum 30. Oktober 2019 in stationärer Behandlung in einer psychiatrischen Klinik befunden habe. Dazwischen hätten Belastungsproben im häuslichen Umfeld stattgefunden. In einer solchen habe sich der Beschwerdeführer auch im November 2019 befunden, um anschliessend wieder in die Spezialstation für Depressionen und Stressfolgeerkrankungen der psychiatrischen Klinik einzutreten. Die stationären Klinikaufenthalte sprächen für eine Verschlechterung der psychischen Verfassung bzw. für einen unstabilen Gesundheitszustand des Beschwerdeführers. Während des letzten Aufenthalts in der psychiatrischen Klinik sei zudem das Medikament Cipralex neu eingesetzt worden, womit der Beschwerdeführer nun eine Dreierkombination von Medikamenten einnehme, wobei jedes der drei Medikamente für sich alleine schon Auswirkungen auf die Fahrtüchtigkeit haben könne. Die untersuchende Ärztin habe die aktuelle Fahreignung des Beschwerdeführers aufgrund der unstabilen psychiatrischen Situation und der neuen Medikation als nicht gegeben eingeschätzt.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer macht eine im Sinn von <ref-law> offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz geltend, da diese von einer Verschlechterung seines psychischen Zustands erst ab Oktober 2018 ausgegangen sei. Er sei jedoch bereits vom 21. Oktober 2014 bis zum 12. Juni 2015 notfallmässig in der psychiatrischen Klinik hospitalisiert gewesen. Die untersuchende Ärztin hätte daher bereits anlässlich der Kontrolluntersuchung vom 27. Dezember 2016 eine fehlende Fahreignung feststellen können. Jedoch hätten damals keine Tatsachen festgestellt werden können, die eine solche begründet hätten, obwohl er schon damals die Medikamente Concerta und Remeron eingenommen habe.
4.2. Gemäss <ref-law> legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Abs. 1), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruht (Abs. 2). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
4.3. Dass sich der Beschwerdeführer bereits vom 21. Oktober 2014 bis zum 12. Juni 2015 in der psychiatrischen Klinik aufgehalten haben soll, geht aus dem angefochtenen Urteil und - soweit ersichtlich - auch aus den Vorakten nicht hervor. Es ist daher fraglich, inwiefern das Vorbringen dieser neuen Tatsache vorliegend überhaupt zulässig ist (vgl. <ref-law>). Diese Frage kann hier mit Blick auf die nachfolgenden Ausführungen jedoch offenbleiben: Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, inwiefern dieser frühere Klinikaufenthalt für den Ausgang dieses Verfahrens entscheidend sein könnte (vgl. <ref-law>, oben E. 4.2). Dies ist denn auch nicht ersichtlich, hat die Vorinstanz doch auf den aktuellen Gesundheitszustand des Beschwerdeführers abgestellt und dabei als massgebend erachtet, dass sich die psychische Verfassung des Beschwerdeführers verschlechtert habe bzw. kein stabiler Gesundheitszustand bestehe und dieser seit dem letzten Klinikaufenthalt zusätzlich Cipralex einnehme (vgl. auch oben E. 3). Diese Ausführungen der Vorinstanz werden vom Beschwerdeführer nicht bestritten und sind nicht zu beanstanden. Eine unrichtige Feststellung des Sachverhalts im Sinn von <ref-law> ist daher zu verneinen, womit es sich erübrigt, auf die in diesem Zusammenhang geltend gemachte Willkürrüge einzugehen.
5.
5.1. Weiter macht der Beschwerdeführer einen Verstoss gegen das Willkürverbot (<ref-law>) geltend, da die Vorinstanz den effektiven und konkreten Einfluss der Medikamente auf seine Fahreignung nicht untersucht und einen solchen leichthin angenommen habe. Seit Jahren sei er auf die Medikamente angewiesen, welche auf ihn abgestimmt seien und deren Dosierung heute deutlich geringer sei als früher. Ausserdem verfüge er über einen ungetrübten automobilistischen Leumund und habe er sich stets als sicherer und zuverlässiger Fahrer gezeigt. Mit diesen Vorbringen habe sich die Vorinstanz in Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) jedoch nicht auseinandergesetzt. Überdies habe sie die Nichtberücksichtigung dieser Argumente nicht hinreichend begründet und auch damit gegen <ref-law> verstossen. Mangels Darlegung klarer Motive für die Abweisung der Beschwerde im angefochtenen Urteil sei er sodann nicht in der Lage gewesen, dieses sachgerecht anzufechten.
5.2. Die Vorinstanz führte aus, gemäss der von Swissmedic genehmigten Patienteninformation könne jedes der drei Medikamente - insbesondere auch das neue Medikament Cipralex - die Fahrtüchtigkeit beeinträchtigen. Auch wenn die Dosierung der einzelnen Medikamente herabgesetzt worden sei, könne nicht ausgeschlossen werden, dass die Kombination dieser Medikamente zu einer Beeinträchtigung der Fahreignung des Beschwerdeführers führe. Ausserdem habe die untersuchende Ärztin im Zeitpunkt ihrer Stellungnahme um die Herabsetzung der Dosierung der Medikamente gewusst. Insgesamt lägen daher gewichtige Anhaltspunkte dafür vor, dass es dem Beschwerdeführer an der für die Fahreignung erforderlichen körperlichen und vor allem psychischen Leistungsfähigkeit im Sinn von <ref-law> fehle. Wie es sich damit verhalte, werde durch die angeordnete Untersuchung abzuklären sein. Der vorsorgliche Entzug des Führerausweises bis zur medizinischen Abklärung der Fahreignung rechtfertige sich damit. Die Beteuerungen des Beschwerdeführers, wonach er in der Vergangenheit trotz Medikation keinerlei Beschwerden zu verzeichnen gehabt habe, sich als Fahrzeuglenker stets korrekt verhalten habe und die Dosierung der Medikamente herabgesetzt worden sei, seien nicht geeignet, die aktuellen ernsthaften Zweifel an seiner Fahreignung auszuräumen.
5.3. Ein Verstoss gegen das Willkürverbot ist in diesen Ausführungen der Vorinstanz nicht zu erblicken. Vielmehr übersieht der Beschwerdeführer, dass der Entscheid über den vorsorglichen Führerausweisentzug grundsätzlich aufgrund der vorhandenen Akten und ohne weitere Beweiserhebungen ergeht (vgl. oben E. 1.2) und für den vorsorglichen Führerausweisentzug gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung kein strikter Beweis erforderlich ist, sondern konkrete Anhaltspunkte für das Fehlen der Fahreignung genügen (vgl. oben E. 2). Auch kann der Vorinstanz keine Verletzung des Anspruchs des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör vorgeworfen werden, hat sie sich mit den Vorbringen des Beschwerdeführers doch ausreichend auseinandergesetzt und sind ihrem Urteil die Überlegungen, von welchen sie sich hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt, ohne Weiteres zu entnehmen. Inwiefern der Beschwerdeführer nicht in der Lage gewesen sein sollte, sich über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft zu geben und diesen sachgerecht anzufechten, ist nicht nachvollziehbar.
5.4. Schliesslich verweist der Beschwerdeführer auf ein Gutachten vom 3. März 2020. Da dieses Gutachten erst nach dem angefochtenen Urteil erstellt wurde, handelt es sich dabei um ein unzulässiges Novum (vgl. <ref-law>), welches für das vorliegende Verfahren unbeachtlich ist. Entsprechend vermag der Beschwerdeführer seine Rügen damit nicht zu untermauern.
6.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrsamt des Kantons Luzern, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, Einzelrichter, und dem Bundesamt für Strassen ASTRA, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Januar 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Die Gerichtsschreiberin: Dambeck