Sachverhalt:
A.
A.a. Das Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden befand B._ am 24. Juni 2003 unter anderem der Veruntreuung im Sinne von <ref-law> schuldig. Sie wurde zu einer bedingten Freiheitsstrafe von 18 Monaten verurteilt. Die Zivilforderung von A._ in der Höhe von Fr. www wurde geschützt und B._ zur Zahlung dieses Betrages an die Geschädigte verpflichtet. Das Strafurteil ist in Rechtskraft erwachsen.
A.b. Am xx.xx.2017 gewann B._ in der Sendung "C._" des Fernsehens D._ den Betrag von brutto Fr. xxx. A._ leitete am 27. September 2017 gegen B._ beim Betreibungsamt Appenzeller Vorderland die Betreibung auf Zahlung von Fr. www plus Zinsen ein. B._ erhob in der Betreibung Nr. yyy Rechtsvorschlag. Gleichzeitig erwirkte A._ (beim Kantonsgericht des Appenzell Ausserrhoden mit Arrestbefehl vom 29. September 2017) die Verarrestierung der Forderung von B._ gegenüber der Lotterie E._ aus der Fernsehsendung vom xx.xx.2017 in der Höhe von Fr. zzz netto (Fr. xxx abzüglich Verrechnungsteuern von 35 %).
A.c. A._ ersuchte am 8. Oktober 2017 beim Einzelrichter des Kantonsgerichts Appenzell Ausserrhoden um Gewährung der definitiven Rechtsöffnung für den in Betreibung gesetzten Betrag sowie um die Vormerkung, dass damit der Arrest prosequiert sei. B._ erhob die Einrede der Verjährung. Das Rechtsöffnungsgesuch wurde am 5. März 2018 abgewiesen.
B.
Gegen die Verweigerung der Rechtsöffnung gelangte A._ an das Obergericht Appenzell Ausserrhoden, welches ihre Beschwerde am 2. August 2018 abwies.
C.
Mit Eingaben vom 10. und 14. September 2018 ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheides und erneuert ihr Gesuch um Gewährung der definitiven Rechtsöffnung im Umfang von Fr. www plus Zinsen in der gegen B._ (Beschwerdegegnerin) angehobenen Betreibung sowie die Vormerkung der Arrestproseqierung.
Mit Verfügung vom 27. September 2018 ist der Beschwerde - entgegen dem Antrag der Beschwerdegegnerin - die aufschiebende Wirkung zuerkannt worden. Die Beschwerdegegnerin ersucht für das Verfahren vor Bundesgericht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
In der Sache sind keine Vernehmlassungen, indes die kantonalen Akten beigezogen worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts, das als Rechtsmittelinstanz über ein Gesuch um definitive Rechtsöffnung in der Betreibung für eine Forderung in der Höhe von Fr. www befunden hat. Die Beschwerde in Zivilsachen gegen den Endentscheid (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1) ist gegeben (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 1 lit. b und Art. 75 Abs. 2 BGG).
1.2. Mit der vorliegenden Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen, wobei hier das Rügeprinzip gilt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der angefochtene Entscheid dazu Anlass gibt (<ref-law>).
2.
Nach Ansicht der Vorinstanz kann die definitive Rechtsöffnung nicht gewährt werden, da die Beschwerdegegnerin die Einrede der Verjährung erhoben habe. Die der Beschwerdeführerin mit Strafurteil vom 24. Juni 2003 zugesprochene Zivilforderung sei gemäss <ref-law> verjährt. Die Beschwerdeführerin ist demgegenüber der Meinung, dass sich die Verjährung ihrer Forderung gemäss <ref-law> nach den längeren Bestimmungen des Strafrechtes richte und diese noch nicht eingetreten sei.
3.
Anlass zur Beschwerde bildet die Einrede der Verjährung gegenüber einem definitiven Rechtsöffnungstitel. Ausser Frage steht, dass ein Strafurteil im Zivilpunkt für Geldforderungen - seit jeher - nach SchKG vollstreckt wird und das Urteil insoweit als definitiver Rechtsöffnungstitel gilt (vgl. <ref-law>; GILLIÉRON, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, Bd. I, 1999, N. 68 zu Art. 80). Umstritten ist insbesondere, welche Regeln betreffend Verjährungsfrist hier massgebend sind und ob die Verjährung gehemmt worden ist.
3.1. Beruht die Forderung auf einem vollstreckbaren gerichtlichen Entscheid, so wird die definitive Rechtsöffnung erteilt, wenn nicht der Betriebene durch Urkunden beweist, dass die Schuld seit Erlass des Entscheides getilgt oder gestundet worden ist, oder die Verjährung anruft (<ref-law>). Im Rechtsöffnungsverfahren kann nur die Verjährung beachtet werden, die nach Erlass des Entscheides eingetreten ist. Die bereits vor dem Urteilsspruch eingetretene Verjährung ist im Hauptverfahren geltend zu machen. Sie kann im Vollstreckungsverfahren nicht mehr, auch nicht einredeweise im Rechtsöffnungsverfahren, angerufen werden (<ref-ruling> E. 5b/cc; STAEHELIN, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 21 zu Art. 81; vgl. Urteile 5A_152/2012 vom 19. Dezember 2012 E. 4.1; 5A_62/2017 vom 2. März 2017 E. 3.1).
3.2. Die Verjährung einer Zivilforderung einschliesslich der Unterbrechung richtet sich vollumfänglich nach dem Zivilrecht. Mit der Unterbrechung beginnt die Verjährung von neuem (<ref-law>). Forderungen, welche durch Zivilurteil festgestellt sind, verjähren hingegen stets nach zehn Jahren (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5b/cc; STAEHELIN, a.a.O., N. 21 zu Art. 81).
3.2.1. Die zehnjährige Verjährungsfrist von <ref-law> gilt, auch wenn die bisherige Frist kürzer oder länger war (KOLLER, Schweizerisches Obligationenrecht, Allgemeiner Teil, 4. Aufl. 2017, Rz. 69.65; TERCIER/PICHONNAZ, Le droit des obligations, 5. Aufl. 2012, Rz. 1580; ENGEL, Traité des obligations en droit suisse, 2. Aufl. 1997, S. 820; VON TUHR/ESCHER, 3. Aufl. 1974, S. 229). Unerheblich ist, dass das Urteil über den Zivilanspruch im Adhäsionsverfahren gefällt wurde (SPIRO, Die Begrenzung privater Rechte [...], Bd. I, 1975, S. 383).
3.2.2. In der Lehre wird auch die Auffassung vertreten, dass <ref-law> die Verjährungsfrist nicht auf zehn Jahre verkürzt, wenn die ursprüngliche Frist länger war; diesfalls soll die gleiche, zehn Jahre übersteigende Frist beginnen, weil der Gesetzgeber eine Besserstellung und nicht eine Benachteiligung des Gläubigers bezweckte (BERTI, Zürcher Kommentar, N. 34 zu <ref-law>; PICHONNAZ, in: Commentaire romand, Code des obligations I, 2. Aufl. 2012, N. 5a zu Art. 137). Dabei wird vorab Bezug genommen auf den Ausnahmefall der Forderungen aus Verlustschein, für welche eine Verjährungsfrist von 20 Jahren gilt (<ref-law>). Eine solche oder ähnliche Konstellation liegt indes nicht vor. Entscheidet der Strafrichter über die Zivilklage, beginnt die neue Verjährung im Zeitpunkt des Urteils zu laufen und beträgt zehn Jahre (<ref-law>). Das gilt auch in den Fällen, in denen die ursprüngliche (unterbrochene) Verjährungsfrist mehr als zehn Jahre betrug (KRAUSKOPF/BITTEL, Zum Verhältnis von zivilprozessualer Rechtshängigkeit und privatrechtlicher Verjährung, in: Festschrift Sutter-Somm, 2016, S. 377, Fn. 70). Insoweit gilt, was im zitierten <ref-ruling> (E. 5b/cc) zum Ausdruck kommt.
3.3. Im vorliegenden Fall erging am 24. Juni 2003 ein Strafurteil gegenüber der Beschwerdegegnerin. Sie wurde wegen Veruntreuung (<ref-law>) zu einer bedingten Freiheitsstrafe von 18 Monaten verurteilt. Wegen Verletzung des vertraglichen Anspruchs auf Rückgabe hinterlegten Geldes wurde der Beschwerdeführerin adhäsionsweise Schadenersatz in der Höhe von Fr. www zugesprochen.
3.3.1. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin kommt der strafrechtlichen Vollstreckungsverjährungsfrist von fünfzehn Jahren (<ref-law>) hier keine Bedeutung zu. <ref-law> - worauf die Beschwerdeführerin verweist - sieht für den Fall, dass die schädigende Handlung gleichzeitig einen Straftatbestand erfüllt, eine ausserordentliche Verjährungsfrist vor. Die privatrechtliche Verjährungsfrist wird mit der strafrechtlichen Frist gleichgeschaltet; der Geschädigte soll seine privatrechtlichen Ansprüche geltend machen können, als die strafrechtliche Verjährung noch nicht eingetreten ist (<ref-ruling> E. 2.3, 2.5; vgl. HUGUENIN, Obligationenrecht, 3. Aufl. 2019, Rz. 2244).
3.3.2. Die Beschwerdeführerin blendet aus, dass sie mit der Geltendmachung ihrer vertraglichen Ansprüche im Adhäsionsverfahren die Verjährung unterbrochen hat und mit Feststellung ihres Anspruchs durch das Strafgericht die neu anlaufende Verjährungsfrist zehn Jahre beträgt. Um weiter zu gehen, besteht keinerlei Grund. Es bleibt dabei, dass die mit Strafurteil vom 24. Juni 2003 festgestellte Zivilforderung nach zehn Jahre verjährt, wobei das Obergericht den Beginn der Verjährungsfrist (unstrittig) auf den 24. Juni 2003 (Rechtskraftsdatum) und das Ende auf den 25. Juni 2013 festsetzte. Nicht zu beanstanden ist, wenn das Obergericht zum Ergebnis gelangt ist, dass die Beschwerdegegnerin nach <ref-law> geltend machen durfte, die massgebliche Frist sei abgelaufen und die Verjährung eingetreten, sofern diese nicht unterbrochen oder stillgestanden sei.
3.4. Damit ist zu prüfen, ob - wie die Beschwerdeführerin vorbringt - mit dem Urteil vom 24. Juni 2003 die neue Verjährungsfrist von zehn Jahren nicht zu laufen begonnen hat oder stillgestanden ist.
3.4.1. Gemäss <ref-law> beginnt die Verjährung nicht bzw. steht sie still, falls sie begonnen hat, solange eine Forderung vor einem schweizerischen Gericht nicht geltend gemacht werden kann. Der Verjährungsstillstand bzw. die Verjährungshemmung gilt nicht nur im Erkenntnisverfahren, sondern auch im Verfahren der Vollstreckung einer bereits in einem Urteil festgelegten Forderung und tritt ein, wenn die Forderung in der Schweiz mangels Betreibungsdomizil nicht vollstreckt werden kann (u.a. KOLLER, a.a.O., Rz. 70.20; TERCIER/ PICHONNAZ, a.a.O., Rz. 1574; Urteil 5A_696/2017 vom 26. Juni 2018 E. 3.2.1). Massgebend sind nach der Rechtsprechung rein objektive Hindernisse. Es muss dem Gläubiger unabhängig von seinen eigenen persönlichen Verhältnissen nicht möglich sein, die Forderung in der Schweiz gerichtlich geltend zu machen (<ref-ruling> E. 4b/bb; Urteil 5C.116/2003 vom 5. Februar 2004 E. 2.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; BERTI, a.a.O., N. 20 ff. zu <ref-law>). Es obliegt dem Gläubiger, das Ruhen der Verjährung zu beweisen (DÄPPEN, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht I, 6. Aufl. 2015, N. 14 zu Art. 134; vgl. Urteil 5A_152/2012 vom 19. Dezember 2012 E. 4.1).
3.4.2. Gemäss den Feststellungen der Vorinstanz hatte die Beschwerdegegnerin seit Erlass des Strafurteils am 24. Juni 2003 ständigen Wohnsitz in der Schweiz. Selbst wenn der Wohnsitz in U._ aufgrund des Novenverbotes nicht berücksichtigt werde, wäre die Verjährung bereits im Jahre 2014 eingetreten. Die Erstinstanz, auf welche die Vorinstanz weitgehend verweist, hat die verschiedenen Wohnsitzwechsel der Beschwerdegegnerin seit dem 15. Dezember 1999 aufgelistet. Demnach ist anhand der ins Recht gelegten Betreibungsregisterauszüge deren Wohnsitz in V._, dann in W._, in U._, in X._ und schliesslich Y._ hinreichend dokumentiert. In dieser Zeitspanne ist einzig der Wohnsitz vom 1. Mai 2007 bis 12. August 2008 nicht nachgewiesen. Sollte die Beschwerdegegnerin in dieser Phase im Ausland gelebt haben, so hätte (nach Schlussfolgerung der Vorinstanz) die Verjährung um maximal 15 Monate und 11 Tage geruht und wäre am 7. Oktober 2014 und damit lange vor der Anhebung der Betreibung am 27. September 2017 eingetreten.
3.4.3. Soweit die Beschwerdeführerin an dieser Stelle eine Missachtung des Novenverbotes von <ref-law> rügt, ist sie darauf hinzuweisen, dass die Vorinstanz das entsprechende Sachverhaltsmoment (Wohnsitz in U._) gar nicht als entscheidtragend eingestuft hat. Aus <ref-ruling>, den die Beschwerdeführerin erwähnt, kann sie nichts für sich ableiten: Die Vorinstanz hat gar nicht angenommen, dass im Zeitraum, in dem die Beschwerdegegnerin allenfalls Auslandwohnsitz gehabt hätte, die Beschwerdeführerin Kenntnis von Arrestgegenständen hätte haben müssen. In der Sache betont die Beschwerdeführerin lediglich, die Beschwerdegegnerin habe im relevanten Zeitraum ein Verhalten an den Tag gelegt, welches es ihr verunmöglichte, sie ausfindig zu machen. Mit diesem Vorbringen beklagt sie nicht das fehlende Betreibungsdomizil in der Schweiz. Die Beschwerdeführerin bringt bloss das fehlende Wissen über den Wohnsitz der Beschwerdegegnerin vor. Dieser Umstand allein hemmt den Lauf der Verjährung so wenig wie die Unkenntnis des Geschädigten über seinen Schaden. Dabei handelt es sich nicht um einen objektiven Grund, der die Geltendmachung der strittigen Forderung in der Schweiz behindert (vgl. DÄPPEN, a.a.O., N. 10 zu Art. 134). Andere Gründe für einen Verjährungsstillstand bringt die Beschwerdeführerin nicht vor. Die Beschwerdeführerin macht vergeblich eine Verletzung von <ref-law> geltend.
3.5. Nach dem Gesagten ist der Vorinstanz keine Verletzung von Bundesrecht vorzuwerfen, weil sie die in Betreibung gesetzte Forderung als verjährt betrachtet hat.
4.
Der Beschwerde ist kein Erfolg beschieden. Ausgangsgemäss trägt die Beschwerdeführerin die Verfahrenskosten (<ref-law>). Sie hat keine Parteientschädigung zu leisten, weil die Beschwerdegegnerin mit ihrem Antrag auf Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung unterlegen ist.
Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ist gutzuheissen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Ihr Rechtsanwalt ist für seine Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung zu entschädigen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 9'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen. Rechtsanwalt Sebastian Reichle wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdegegnerin bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 400.-- ausgerichtet.
Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen. Rechtsanwalt Sebastian Reichle wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdegegnerin bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 400.-- ausgerichtet.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht Appenzell Ausserrhoden, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. März 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante