Faits :
A.
A.a. Par jugement du 8 septembre 2017, complété d'une ordonnance rendue le même jour, le Tribunal de police de la République et canton de Genève a déclaré X._ coupable de voies de faits (<ref-law>) à l'encontre de A._ mais l'a exempté de toute peine (<ref-law>), et a classé la procédure concernant l'infraction d'injure (<ref-law>), faute de plainte valable pour ce chef.
Dans le même jugement, il a déclaré A._ coupable de lésions corporelles simples (<ref-law>), ainsi que de lésions corporelles graves par négligence (art. 125 al. 1 et 2 CP), à l'encontre de X._, et l'a condamné à une peine pécuniaire avec sursis.
A.b. Pour le surplus, le Tribunal de police a condamné A._ à payer 864 fr. 10 de frais d'ambulance à X._, qui a été renvoyé à agir par la voie civile pour la fixation de son indemnité en tort moral. Il a également rejeté les conclusions en indemnisation de X._ (<ref-law>), fondées sur la note d'honoraires de l'avocat de choix de celui-ci pour la période allant du 28 mars 2014 au 1er mars 2017. Enfin, il a fixé l'indemnité due à Me B._, défenseur d'office de X._, à 4'352 fr. 95 et a condamné X._ à supporter un tiers des frais de la procédure s'élevant à 960 francs.
B.
Par arrêt du 23 mai 2018, la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice de la République et canton de Genève a partiellement admis le recours de X._ contre le jugement du Tribunal de police du 8 septembre 2017 en ce sens qu'elle a condamné A._ à lui payer la somme de 12'000 fr. à titre de tort moral. Elle a confirmé pour le surplus le jugement du Tribunal de police. Elle a également condamné X._ à supporter deux tiers des frais de la procédure d'appel et a fixé l'indemnité due à Me B._, défenseur d'office de X._, à 2'592 francs.
En substance, elle a rejeté les conclusions de X._ tendant au paiement du montant de 10'245 fr. 55 - soit 5'122 fr. 75 par l'Etat de Genève, en application de l'<ref-law>, et 5'122 fr. 75 par A._, en sa qualité de partie plaignante en application de l'<ref-law>.
C.
X._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 23 mai 2018. Il conclut, avec suite de frais et dépens, principalement, à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens que A._ est condamné à lui verser un montant de 5'122 fr. 75, avec intérêts à 5% l'an dès le 5 octobre 2017, au titre d'indemnité pour les dépenses obligatoires occasionnées par la procédure, que l'Etat de Genève est condamné à lui verser un montant de 5'122 fr. 75 au titre d'indemnité pour les dépenses obligatoires occasionnées par l'exercice raisonnable de ses droits de procédure et que A._ est condamné aux trois quarts des frais de la procédure d'appel, le quart restant étant supporté par lui-même. Subsidiairement, il conclut à l'annulation partielle de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision.

Considérant en droit :
1.
Le recourant a pris part à la procédure cantonale et dispose d'un intérêt juridique à l'annulation de l'arrêt attaqué en tant que celui-ci lui refuse une indemnisation en sa qualité de prévenu (art. 81 let. a et b ch. 1 LTF). Par ailleurs, en tant que la décision attaquée concerne la question des frais de défense dus à la partie plaignante dans le cadre d'une procédure pénale, le recours en matière pénale est également ouvert (cf. <ref-ruling> consid. 1.1.1 p. 45 s.; arrêt 6B_90/2017 du 22 novembre 2017 consid. 2). Les autres conditions de recevabilité sont par ailleurs réalisées, de sorte qu'il y a lieu d'entrer en matière.
2.
Le recourant reproche en substance à la cour cantonale d'avoir rejeté ses prétentions pour les dépenses obligatoires occasionnées par la procédure, lesquelles s'élevaient à 10'245 fr. 55, correspondant à la période allant du 28 mars 2014 au 1er mars 2017, durant laquelle il a été défendu par son avocat de choix - tant en qualité de prévenu qu'en qualité de partie plaignante - avant qu'il bénéficie de l'assistance judiciaire, qui lui a été octroyée le 11 mars 2017, avec effet au 3 mars 2017. Il invoque une violation du droit fédéral tant sous l'angle de l'<ref-law> que sous l'angle de l'<ref-law>.
En ce qui concerne ses dépenses en qualité de prévenu, le recourant souligne qu'alors que le Ministère public de la République et canton de Genève l'avait renvoyé en jugement pour injure et voies de fait, le Tribunal de police a classé la procédure s'agissant de l'infraction d'injure. Or, pour cette infraction, le ministère public avait requis que le recourant soit condamné à une peine pécuniaire de 30 jours-amende à 30 fr. le jour, avec sursis durant trois ans, alors que pour l'infraction de voies de fait, le ministère public n'avait requis qu'une amende de 500 francs. Bien que l'infraction principale d'injure ait été classée, la cour cantonale n'a pas condamné l'Etat de Genève à lui verser une indemnité en application de l'<ref-law>. En ce qui concerne ses dépenses en qualité de partie plaignante, le recourant fait valoir que l'intimé 2 a été condamné pour lésions corporelles simples et lésions corporelles graves par négligence, de sorte qu'il a obtenu gain de cause sur ce point. La cour cantonale aurait dû condamner l'intimé 2 à la moitié de ses frais d'avocat en application de l'<ref-law>.
2.1. Aux termes de l'<ref-law>, si le prévenu est acquitté totalement ou en partie ou s'il bénéficie d'une ordonnance de classement, il a droit à une indemnité pour les dépenses occasionnées par l'exercice raisonnable de ses droits de procédure (let. a).
L'<ref-law> permet à la partie plaignante de demander au prévenu une juste indemnité pour les dépenses obligatoires occasionnées par la procédure lorsqu'elle obtient gain de cause. Tel est le cas si ses prétentions civiles sont admises et/ou lorsque le prévenu est condamné (<ref-ruling> consid. 4.1 et 4.3 p. 107 s.). La juste indemnité, notion qui laisse un large pouvoir d'appréciation au juge, couvre ainsi les dépenses et les frais nécessaires pour faire valoir le point de vue de la partie plaignante dans la procédure pénale. Il s'agit en premier lieu des frais d'avocat (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 107; arrêt 6B_120/2018 du 31 juillet 2018 consid. 8.1).
2.2. En l'espèce, dans le considérant C. b.a. de la partie en fait de l'arrêt attaqué, la cour cantonale a énoncé comme suit les conclusions du recourant aux termes de son mémoire d'appel:
Une indemnité de procédure devait lui être accordée, étant précisé que ses frais de défense, entre le 28 mars 2014 et le 1er mars 2017, s'élevaient à un montant total de CHF 10'245.55. Au vu du classement de l'infraction d'injure ordonné par le premier juge, une indemnité pour la moitié desdits frais devait, à tout le moins, lui être octroyée, soit un montant de CHF 5'122.75. Le même montant devait lui être payé par l'intimé au titre d'indemnité pour ses dépenses obligatoires occasionnées par la procédure.
Dans la partie en droit, au considérant 5.2.2 de l'arrêt attaqué, la cour cantonale a rejeté les conclusions du recourant portant sur le paiement par l'intimé 2 de 5'122 fr. 75 au titre d'une juste indemnité pour les dépenses obligatoires occasionnées par la procédure. Elle a retenu ce qui suit:
Dans la mesure où il a été mis au bénéfice de l'assistance juridique, l'appelant ne supporte aucun dommage résultant des dépenses obligatoires occasionnées par la procédure.
Enfin, au considérant 7 de l'arrêt attaqué, en ce qui concerne les prétentions du recourant en sa qualité de prévenu, au bénéfice d'un classement pour l'infraction d'injure, la cour cantonale a conclu:
Dans la mesure où l'appelant est au bénéfice de l'assistance judiciaire, il ne saurait prétendre à une indemnité pour les dépenses occasionnées par l'exercice raisonnable de ses droits de procédure, quand bien même il a bénéficié d'un classement s'agissant de l'infraction d'injure. Il en va de même vis-à-vis de sa position de partie plaignante.
Les prétentions de l'appelant élevées à ce titre seront par conséquent rejetées.
2.3. Il ressort de la motivation cantonale que la cour cantonale a écarté ces prétentions en indemnisation du recourant tant pour ce qui concerne ses prétentions fondées sur l'<ref-law> que pour celles fondées sur l'<ref-law> (pour la période écoulée du 28 février 2014 au 1er mars 2017) sur la base de la prémisse erronée que le recourant disposait de l'assistance judiciaire depuis le début de la procédure, alors que celle-ci lui a été octroyée - pour sauvegarder ses intérêts (art. 132 al. 1 let. b, al. 2 et 3 CPP) - le 11 mars 2017 seulement, avec effet au 3 mars 2017 (<ref-law>).
2.4. Il découle de ce qui précède que la cour cantonale, compte tenu du raisonnement qu'elle a suivi, ne s'est pas prononcée sur les conditions d'application des art. 429 al. 1 let. a et 433 al. 1 let. a CPP pour la période litigieuse, de sorte que la cause doit lui être renvoyée.
3.
Le recourant se plaint également du fait que la cour cantonale a mis les deux tiers des frais de la procédure d'appel à sa charge.
En l'espèce, la répartition des frais devra être réexaminée selon le sort réservé aux conclusions en indemnisation du recourant fondées sur les art. 429 et 433 CPP.
4.
Il résulte de ce qui précède que le recours doit être admis, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. Dans la mesure où le Tribunal fédéral n'a pas traité la cause sur le fond, ne préjugeant ainsi pas de l'issue de la cause, il peut être procédé au renvoi sans ordonner préalablement un échange d'écritures (cf. <ref-ruling> consid. 3.4.2 p. 296; arrêt 6B_744/2017 du 27 février 2018 consid. 2).
Le recourant qui obtient gain de cause ne supporte pas de frais judiciaires (<ref-law>) et peut prétendre à une indemnité de dépens à la charge du canton de Genève (art. 68 al. 1 et 2 LTF). L'intimé 2 n'ayant pas été invité à se déterminer, il peut être renoncé à la perception de frais judiciaires (art. 66 al. 1 seconde phrase LTF). Pour le même motif, il n'y a pas lieu de mettre les dépens à sa charge (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le canton de Genève versera au recourant une indemnité de 3'000 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre pénale d'appel et de révision.
Lausanne, le 1er novembre 2018
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
La Greffière : Thalmann