Erwägungen:
1.
Am 7. Juli 2020 ersuchte die Beschwerdegegnerin gegenüber dem Beschwerdeführer um Erteilung der definitiven Rechtsöffnung für Fr. 1'896.25 in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Zürich 9. Nachdem die Beschwerdegegnerin die Betreibung zurückgezogen hatte, schrieb das Bezirksgericht Zürich das Rechtsöffnungsverfahren mit Verfügung vom 14. September 2020 als gegenstandslos ab. Die Kosten auferlegte es der Beschwerdegegnerin.
Am 5. Oktober 2020 erhob der Beschwerdeführer Beschwerde. Das Obergericht des Kantons Zürich wies mit Beschluss und Urteil vom 2. Februar 2021 das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Beschwerdeverfahren ab und wies die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
Gegen diesen Entscheid (sowie einen weiteren; dazu Verfahren 5D_40/2021) hat der Beschwerdeführer am 18. März 2021 Beschwerde in Zivilsachen und/oder subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht erhoben.
2.
Aufgrund des unter Fr. 30'000.-- liegenden Streitwerts (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) und mangels Vorliegens einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG) ist die Beschwerde in Zivilsachen unzulässig und die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln (Art. 113 ff. BGG). Soweit der Beschwerdeführer die Beschwerde auch gegen die "Vorverfahren" richtet, ist darauf nicht einzutreten (Art. 114 i.V.m. Art. 75 BGG). Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399; <ref-ruling> E. 2.4 S. 368).
3.
Das Obergericht hat erwogen, es sei (angesichts der Verfahrensabschreibung und der Kostenauflage an die Beschwerdegegnerin) weder dargetan noch ersichtlich, weshalb die für das bezirksgerichtliche Verfahren beantragte, jedoch unterbliebene Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands zur Wahrung der Rechte des Beschwerdeführers notwendig gewesen wäre. Insoweit ist das Obergericht auf die Beschwerde mangels Rechtsschutzinteresses nicht eingetreten. Sodann hat es die Beschwerde hinsichtlich der verlangten Parteientschädigung abgewiesen, da der Beschwerdeführer zugegebenermassen vor Bezirksgericht keinen entsprechenden Antrag gestellt habe. Schliesslich hat das Obergericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Beschwerdeverfahren wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde abgewiesen.
4.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit diesen Erwägungen nicht auseinander. Er geht weder auf das fehlende Rechtsschutzinteresse noch den fehlenden Antrag auf Parteientschädigung ein. Sodann genügt es nicht zu behaupten, die Angelegenheit sei nicht aussichtslos gewesen. Ebenso unbehelflich ist der Hinweis auf die Waffengleichheit. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, was die Bestellung eines Anwalts an der aussichtslosen Ausgangslage des obergerichtlichen Verfahrens hätte ändern können. Nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens sind schliesslich die vom Beschwerdeführer geltend gemachten Schadenersatz- und Genugtuungsforderungen.
5.
Die Beschwerde ist damit offensichtlich unzulässig und sie enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG).
6.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war die Beschwerde von vornherein aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG). Was das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung im Besonderen betrifft, so hat sich der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht vertreten lassen. Das Bundesgericht hat ihm am 22. März 2021 mitgeteilt, dass es an ihm liegt, einen Anwalt oder eine Anwältin mit der Interessenwahrung zu betrauen. Es ist nicht ersichtlich, dass der Beschwerdeführer offensichtlich nicht imstande wäre, seine Sache selber zu führen, und ihm deshalb von Amtes wegen ein Anwalt oder eine Anwältin zu bestellen wäre (Art. 41 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung an den Beschwerdeführer fällt ausser Betracht (Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. März 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg