Faits :
A.
En 2018, A._ a déposé une demande auprès de la Haute Ecole Pédagogique-BEJUNE (ci-après: HEP-BEJUNE) tendant à être admise pour l'année académique 2018/2019 à la formation d'enseignante pour le niveau secondaire, avec comme discipline d'enseignement les sciences de la nature pour le niveau secondaire 1 et la biologie pour les écoles de maturité. Au terme d'un processus de régulation visant à limiter le nombre d'admissions, la candidature de A._ n'a pas été retenue.
En 2020, A._ a déposé une nouvelle demande d'admission à la HEP-BEJUNE pour l'année académique 2020/2021 à la formation d'enseignante pour le niveau secondaire, avec comme disciplines d'enseignement l'éducation physique/sport pour le niveau secondaire 1 et la biologie pour les écoles de maturité. Le 29 avril 2020, au terme d'un nouveau processus de régulation, la candidature de A._ a une nouvelle fois été écartée.
B. Par décision du 4 juin 2020, le Responsable du Service académique de la HEP-BEJUNE a confirmé la décision du 29 avril 2020 écartant la candidature de A._ pour l'année académique 2020/2021. Le recours de A._ contre cette décision a été rejeté par le Rectorat de la HEP-BEJUNE (ci-après: le Rectorat) le 2 juillet 2020.
Le 3 septembre 2020, A._ a déposé un recours contre la décision du Rectorat auprès du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura (ci-après: le Tribunal cantonal). Par arrêt du 22 juin 2021, le Tribunal cantonal a admis le recours et modifié la décision litigieuse en ce sens que A._ a le droit de se représenter au maximum deux fois dans une nouvelle procédure d'admission. Il ressort en outre des considérants dudit arrêt que le Tribunal cantonal ne saurait se substituer à la HEP-BEJUNE en prononçant l'admission de A._ à la formation en cause en 2020/2021.
C.
Par mémoire du 6 septembre 2021, A._ forme un "recours" au Tribunal fédéral contre l'arrêt du Tribunal cantonal du 22 juin 2021. Outre l'octroi de l'effet suspensif et de l'assistance judiciaire, elle conclut, sous suite de frais et dépens, à son admission à la HEP-BEJUNE pour la prochaine année académique, soit 2022/2023.
Le Tribunal cantonal conclut au rejet du recours et la HEP-BEJUNE renonce à formuler des observations.
Par ordonnance du 22 septembre 2021, le Président de la IIe Cour de droit public a rejeté la demande d'effet suspensif jointe au recours. Le 1er novembre 2021, A._ a demandé la modification de l'ordonnance du 22 septembre 2021. Par ordonnance du 11 novembre 2021, la Juge instructrice a rejeté sa demande.
Le 1er octobre 2021, le Tribunal fédéral a renoncé provisoirement à l'avance de frais, précisant qu'il serait statué ultérieurement sur la demande d'assistance judiciaire.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1).
1.1. La recourante n'a pas indiqué par quelle voie de recours elle procède auprès du Tribunal fédéral. Toutefois, cette omission ne saurait lui nuire si son recours remplit les exigences légales de la voie de droit qui lui est ouverte (cf. <ref-ruling> consid. 1.1).
1.2. En vertu de l'art. 83 let. t LTF, le recours en matière de droit public n'est pas ouvert à l'encontre des décisions sur le résultat d'examens ou d'autres évaluations des capacités, notamment en matière de scolarité obligatoire, de formation ultérieure ou d'exercice d'une profession. Un recours en matière de droit public est donc exclu lorsque la décision attaquée porte matériellement sur l'évaluation des aptitudes intellectuelles ou physiques du candidat et que celle-ci demeure litigieuse devant le Tribunal fédéral (cf. <ref-ruling> consid. 1; arrêts 2C_116/2020 du 18 mai 2020 consid. 1.2).
En l'occurrence, le point litigieux consiste à déterminer si, au vu des circonstances, le Tribunal cantonal était en droit d'exiger que la recourante se représente au maximum deux fois à la procédure d'admission à la HEP-BEJUNE, ou s'il devait directement prononcer son admission. Selon l'arrêt attaqué, il ne s'agit donc pas d'évaluer les aptitudes de l'intéressée à entreprendre la formation d'enseignante, mais de savoir si l'existence avérée d'un vice formel relatif à une condition d'admission exige d'admettre d'office à ladite formation les candidats ne remplissant pas cette condition. Dès lors, la cause ne relève pas de l'exception de l'art. 83 let. t LTF et la voie du recours en matière de droit public est ouverte.
1.3. Au surplus, le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue par une autorité cantonale supérieure de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>) et il a été déposé en temps utile compte tenu des féries (art. 46 al. 1 let. b et 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites par la loi (<ref-law>). La recourante demandant à être admise à la HEP-BEJUNE pour l'année académique 2022/2023, elle a un intérêt actuel à recourir (<ref-law>). Il convient donc d'entrer en matière sur le recours en tant que recours en matière de droit public.
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), mais n'examine la violation de droits fondamentaux, ainsi que celle de dispositions de droit cantonal et intercantonal, que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (cf. <ref-law>), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.4; <ref-ruling> consid. 1.3). A cela s'ajoute que, sauf dans les cas cités expressément à l'<ref-law>, le recours devant le Tribunal fédéral ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal (ou communal) en tant que tel. En revanche, il est possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal ou communal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels (cf. <ref-ruling> consid. 1.2; arrêt 2C_222/2016 du 29 septembre 2016 consid. 2.1, non publié in <ref-ruling>).
2.2. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.4.3). Le recourant ne peut critiquer les constatations de fait ressortant de la décision attaquée que si celles-ci ont été effectuées en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 6). Conformément à l'<ref-law>, le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 6.3).
3.
Le litige porte sur le point de savoir si le Tribunal cantonal a violé le droit en refusant d'admettre que la recourante remplissait les conditions lui permettant d'accéder à la formation d'enseignante à la HEP-BEJUNE tout en lui offrant la possibilité de se représenter au maximum deux fois à la procédure d'admission à ladite formation.
4.
Dans l'arrêt attaqué, le Tribunal cantonal a admis le recours de la recourante au motif que l'une des conditions d'admission à la formation à l'enseignement de l'éducation physique/sport - à savoir l'exigence d'avoir obtenu au moins 30 crédits ECTS d'études des activités et pratiques sportives, afin de garantir la sécurité des enfants - ne reposait sur aucune base légale. Selon cette autorité, il ne pouvait être exclu que le fait que la recourante ne remplisse pas cette condition, ce qui n'est pas contesté, ait eu une influence sur le refus de l'admettre à ladite formation, de sorte que les autorités précédentes avaient abusé de leur pouvoir d'appréciation et privé l'intéressée d'une possibilité de se représenter à la procédure d'admission. Le Tribunal cantonal a toutefois refusé d'admettre directement la recourante à la formation d'enseignante à la HEP-BEJUNE pour deux motifs. D'une part, cette autorité a relevé que, conformément à l'art. 11 al. 2 du Règlement des études du Comité stratégique du 14 novembre 2019, la sélection des candidats s'opérait en fonction de leurs aptitudes aux études pédagogiques et qu'une telle évaluation était mieux effectuée par une autorité qui disposait elle-même des connaissances spécifiques pour le faire, conformément à sa jurisprudence constante et à celle du Tribunal fédéral. D'autre part, la capacité d'accueil au sein de la HEP-BEJUNE et les places disponibles pour la formation pratique en établissement étant limitées, le Tribunal cantonal a préféré faire preuve de retenue. Cette autorité a ainsi réformé la décision du Rectorat en ce sens que l'intéressée était admise à se représenter au maximum deux fois à la procédure d'admission.
5.
La recourante se plaint d'arbitraire (art. 9 Cst.) en lien avec un abus du pouvoir d'appréciation du Tribunal cantonal. Elle formule toutefois une argumentation confuse qui peine à remplir les exigences de l'<ref-law>. Celle-ci ne sera donc examinée que dans la mesure où l'on peut en déduire des critiques précises contre l'arrêt attaqué.
Selon la recourante, en admettant son recours tout en refusant de prononcer son admission à la formation en cause, le Tribunal cantonal aurait rendu une décision contradictoire. Elle estime également que devoir se représenter au processus d'admission la pénaliserait si les conditions d'admission à la HEP-BEJUNE devaient différer de celles en vigueur pour la rentrée académique 2020/2021. Enfin, elle indique qu'en cas de nouveaux refus au terme de la procédure d'admission, elle pourrait contester ces refus par la voie judiciaire et se voir systématiquement offrir la possibilité de se représenter à ladite procédure, sans toutefois jamais obtenir satisfaction, à savoir être admise à la HEP-BEJUNE.
5.1. Selon la jurisprudence, une décision est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 7.3 et les références), ce qu'il appartient à la partie recourante de démontrer en vertu de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 6.2 et les références).
5.2. En l'espèce, il ressort du dispositif de l'arrêt attaqué que la juridiction cantonale a admis le recours et a modifié la décision du Rectorat du 2 juillet 2020 en ce sens que l'intéressée a le droit de se représenter au maximum deux fois dans une nouvelle procédure d'admission. On peut se demander si le Tribunal cantonal n'aurait pas dû admettre partiellement le recours de l'intéressée, dès lors que celle-ci concluait à son admission directe à la HEP-BEJUNE. Cette incohérence dans le dispositif ne suffit toutefois pas à en conclure à une décision arbitraire dans son résultat.
En effet, selon la jurisprudence, le dispositif d'un arrêt doit être interprété à la lumière de la motivation (cf. arrêt 2C_862/2018 du 15 janvier 2019 consid. 1.3; arrêt 2C_170/2018 du 18 avril 2018 consid. 1.3; arrêt 4A_561/2008 du 9 février 2009 consid. 2.6.4 non publié in ATF 135 II 259). Or, il ressort clairement du considérant 7 de l'arrêt attaqué que les juges cantonaux ont estimé que la recourante ne saurait être admise, à ce stade, à la formation d'enseignante au niveau secondaire sans plus amples examens de ses capacités. Partant, il se justifiait de modifier la décision attaquée pour lui permettre de se représenter au maximum deux fois à une nouvelle procédure d'admission. Dès lors, bien que le Tribunal cantonal ait admis le recours, il ressort des considérants de son arrêt que la conclusion de la recourante tendant à son admission à la HEP-BEJUNE a été rejetée. La motivation étant claire, il ne se justifie pas d'annuler l'arrêt attaqué parce que l'autorité précédente a admis le recours en omettant d'ajouter "partiellement".
5.3. De plus, contrairement à ce qu'invoque la recourante, il ne ressort nullement des considérants de l'arrêt attaqué que l'absence de fondement légal de la condition d'admission portant sur la réalisation d'au moins 30 crédits ECTS d'études des activités et pratiques sportives devrait avoir pour corollaire l'admission d'office de la recourante à la formation litigieuse. Bien au contraire, comme le Tribunal cantonal l'a relevé à juste titre, le Règlement des études du Comité stratégique du 14 novembre 2019, que la recourante ne remet pas en cause, prévoit que la procédure d'admission à la HEP-BEJUNE repose sur une sélection opérée en fonction des aptitudes des candidats. Dès lors, le fait que l'une des conditions de sélection ait été écartée, car sans fondement légal, ne saurait permettre de soustraire l'intéressée à l'entier de la procédure de sélection en prononçant d'office, et sans évaluation approfondie, son admission, au risque de vider de sa substance la procédure de sélection.
A cet égard, il sied également de relever qu'en refusant d'admettre d'office la recourante à la HEP-BEJUNE tout en lui permettant de se représenter au maximum deux fois à la procédure d'admission, le Tribunal cantonal s'est conformé à sa jurisprudence constante et à celle du Tribunal fédéral en s'imposant une retenue particulière dans l'appréciation des capacités de la recourante à entreprendre la formation en cause. Une telle réserve dans l'appréciation des capacités d'un candidat est usuelle et ne viole en principe aucun droit constitutionnel (cf. <ref-ruling> consid. 5.4.1; <ref-ruling> consid. 3.1), ce que la recourante ne prétend du reste pas. Dès lors, c'est sans arbitraire que l'autorité précédente, après avoir expliqué à satisfaction les motifs à l'appui de son choix, a réformé la décision du Rectorat et permis à l'intéressée de se représenter à la procédure d'admission.
5.4. Pour le surplus, l'argument selon lequel la recourante risquerait d'être pénalisée si elle devait se représenter à la procédure d'admission et celui selon lequel elle n'obtiendra jamais satisfaction tant qu'une autorité judiciaire ne prononcera pas directement son admission à la HEP-BEJUNE, doivent d'emblée être écartés faute de se fonder sur des faits retenus par l'autorité précédente ou d'être motivés conformément aux exigences de l'<ref-law>. La recourante perd en effet de vue que le Tribunal cantonal ne s'est prononcé et a admis son recours qu'en lien avec une condition formelle d'admission.
5.5. Pour ces raisons, le grief de violation de l'interdiction de l'arbitraire est mal fondé. Le recours doit partant être rejeté.
6.
La recourante a demandé le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure devant le Tribunal fédéral. La cause paraissant d'emblée dépourvue de chances de succès, cette requête doit être rejetée (<ref-law>). Au vu de l'issue du recours, les frais judiciaires seront mis à la charge de la recourante mais, compte tenu des documents fournis, ils seront réduits (art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué à la recourante, à la Haute Ecole Pédagogique-BEJUNE, et au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour administrative.
Lausanne, le 12 avril 2022
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : F. Aubry Girardin
La Greffière : S. Colella