Erwägungen:
1.
Mit Urteil vom 26. August 2020 schrieb die Präsidentin des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt das von der Beschwerdegegnerin gegen die Beschwerdeführerin eingeleitete Verfahren ZV.2020.12 zufolge Rückzug der Klage als gegenstandslos ab. Sie merkte an, dass die Beschwerdegegnerin gegen die C._ AG ein Verfahren eingeleitet habe, das unter der Verfahrensnummer ZV.2020.14 geführt werde. Sodann erkannte die Präsidentin, dass das Verfahren kostenlos sei und die "ausserordentlichen Kosten" im Verfahren ZV.2020.12 wettgeschlagen würden.
Dagegen erhob die Beschwerdeführerin mit Eingabe vom 19. Oktober 2020 Beschwerde an das Bundesgericht. Sie beantragte das Folgende:
"1. Im Erkanntnis des Urteils ZV.2020.12 der Präsidentin [des] Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt sei folgende Passage aufzuheben: 'Die ausserordentlichen Kosten im Verfahren ZV.2020.12 werden wettgeschlagen'.
2. Die Sache sei zu neuer Entscheidung über die Entschädigungs- und Kostenfolgen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Vorinstanz sei anzuweisen, im Rahmen der Prozesskostenverlegung eine angemessene Parteientschädigung zu Folge Klagerückzugs festzusetzen.
3. Falls auf die vorliegende Eingabe nicht im Rahmen einer Beschwerde in Zivilsachen eingetreten werden kann, sei diese vom angerufenen Gericht als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu beurteilen.
4. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen (zuzüglich Mehrwertsteuer) zu Lasten der Beschwerdegegnerin."
Auf das Einholen von Vernehmlassungen zur Beschwerde wurde verzichtet.
2.
Die Beschwerde hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (<ref-law>). Da die Beschwerde an das Bundesgericht ein reformatorisches Rechtsmittel ist (<ref-law>), muss die rechtsuchende Partei grundsätzlich einen Antrag in der Sache stellen, das heisst angeben, welche Punkte des Entscheids sie anficht und welche Abänderungen sie beantragt. (<ref-ruling> E. 1.3 S. 383; <ref-ruling> E. 3.1 S. 489 f.). Rechtsbegehren, die eine Geldsumme zum Gegenstand haben, sind dabei zu beziffern und auf eine Beschwerde ist nicht einzutreten, wenn das Bundesgericht den zuzusprechenden Geldbetrag nach dem gestellten Begehren selber festlegen müsste (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2 S. 236 f.).
Trotz formell mangelhaftem Begehren ist die Beschwerde ausnahmsweise dennoch an die Hand zu nehmen, wenn sich aus der Beschwerdebegründung, allenfalls in Verbindung mit dem angefochtenen Entscheid, ohne weiteres ergibt, welchen Geldbetrag die beschwerdeführende Partei von der Gegenpartei verlangt (BGE <ref-ruling> E. 2 S. 236 f. mit Hinweis; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.2). Ansonsten reicht ein nicht bezifferter Antrag nur aus, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung der Beschwerde in der Sache naturgemäss nicht selbst entscheiden könnte (<ref-ruling> E. 1.3 S. 383; <ref-ruling> E. 3.1 S. 489 f.).
3.
Die Vorinstanz kam zum Ergebnis, dass jede Partei ihre Parteikosten selbst zu tragen habe, die Parteientschädigung mithin wettgeschlagen werde. Die Beschwerdeführerin stellt sich demgegenüber auf den Standpunkt, dass ihr für das vorinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung zuzusprechen sei.
Ihr Begehren hat damit eine Geldforderung zum Gegenstand. Die von ihr verlangte Geldforderung hat die Beschwerdeführerin im Rechtsbegehren nicht beziffert, sondern nur verlangt, dass ihr eine "angemessene Parteientschädigung" zuzusprechen sei (Rechtsbegehren Ziff. 2). Ebensowenig ergibt sich aus dem angefochtenen Entscheid in Verbindung mit den Ausführungen in der Beschwerdeschrift, welchen Betrag die Beschwerdeführerin als Parteientschädigung für das vorinstanzliche Verfahren fordert. Der blosse Verweis in der Beschwerdeschrift auf die Beilage 9 genügt nicht für die Bestimmung der geforderten Entschädigung. Vor Bundesgericht hat die Begründung nämlich in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen. Der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 178; <ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 3.2 S. 400).
Die Beschwerdeführerin nennt schliesslich keine Gründe, aus denen das Bundesgericht im Fall der Gutheissung der Beschwerde nicht selbst reformatorisch entscheiden könnte. Solche Gründe sind auch nicht ersichtlich. Es fehlt somit an einem materiellen Antrag.
4.
Die Beschwerde erweist sich demnach als offensichtlich unzulässig, weshalb auf sie im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da ihr aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. November 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger