Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat führte eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen mehrfach qualifizierter Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz und qualifizierter Geldwäscherei. A._ wurde am 4. Juli 2020 in Deutschland verhaftet. Am 30. Juli 2020 wurde er in die Schweiz ausgeliefert und in Untersuchungshaft versetzt.
Die Staatsanwaltschaft wirft A._ vor, zusammen mit einem Mitbeschuldigten von Oktober 2016 bis Juni 2020 fortgesetzt mindestens 7 kg Kokain und 6 Liter flüssiges Amphetamin aus dem Ausland, insbesondere Holland, in die Schweiz eingeführt und diese Betäubungsmittel mittels eines Vertriebsnetzes in der Schweiz an Drittpersonen veräussert zu haben. Weiter wird ihm vorgeworfen, das aus dem Drogenhandel gelöste Bargeld in Euro gewechselt oder damit Gold erworben und dieses ins Ausland transportiert zu haben.
Am 18. Oktober 2021 erhob die Staatsanwaltschaft Anklage gegen A._ beim Bezirksgericht Zürich. Dieses setzte mit Verfügung vom 2. Dezember 2021 die Hauptverhandlung auf den 29. Juni 2022 an und ersuchte das Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich um Verlängerung der Sicherheitshaft bis zum 8. Juli 2022. Dieses hiess das Gesuch mit Verfügung vom 14. Dezember 2021 teilweise gut und verlängerte die Sicherheitshaft bis zum 14. Juni 2022, längstens aber bis zum erstinstanzlichen Urteil.
Dagegen erhob A._ Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Dieses wies die Beschwerde mit Beschluss vom 10. Januar 2022 ab.
B.
Mit Eingabe vom 18. Januar 2022 führt A._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Er beantragt seine unverzügliche Entlassung aus der Sicherheitshaft, eventualiter unter Auferlegung von Ersatzmassnahmen. Weiter sei festzustellen, dass die Haftdauer von über acht Monaten zwischen Anklage und Hauptverhandlung gegen das Beschleunigungsgebot verstosse. Für den Fall einer nicht unverzüglichen Entlassung aus der Sicherheitshaft sei das Bezirksgericht Zürich sodann anzuweisen, den Termin für die Hauptverhandlung auf spätestens April 2022 vorzuverlegen, widrigenfalls sei er aus der Sicherheitshaft zu entlassen.
Die Staatsanwaltschaft und das Obergericht haben auf eine Stellungnahme verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid betreffend die Verlängerung von Sicherheitshaft. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in Strafsachen gemäss <ref-law> offen. Der Beschwerdeführer hat vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen und befindet sich nach wie vor in Haft. Er ist deshalb nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass, so dass auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten ist.
1.2. Der Beschwerdeführer setzt sich in seiner Beschwerde einzig mit der angeblichen Verletzung des Beschleunigungsgebots auseinander (vgl. E. 2 hiernach). Soweit er darüber hinaus beantragt, er sei aus der Sicherheitshaft zu entlassen, eventualiter unter Anordnung von Ersatzmassnahmen, ohne diese Anträge zu begründen, kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden (vgl. <ref-law> und <ref-law>).
2.
2.1. Wie erwähnt, macht der Beschwerdeführer vor Bundesgericht einzig eine Verletzung seines Anspruchs auf Beurteilung innert angemessener Frist nach <ref-law> rechtsgenüglich geltend (vgl. E. 1.2 hiervor). Bereits vor der Vorinstanz hatte er gerügt, es sei für ihn "kaum akzeptabel", dass die Hauptverhandlung erst mehr als acht Monate nach Eingang der Anklageschrift stattfinden solle. Trotz umfangreicher Akten und fehlendem Geständnis sei nicht erkennbar, weshalb das Gericht mehr als acht Monate zur Vorbereitung der Hauptverhandlung benötige. Die Vorinstanz hat diese Kritik lediglich unter dem Titel der Verhältnismässigkeit der Haft geprüft, nicht aber mit Blick auf das Verbot der Rechtsverzögerung.
2.2. Nach <ref-law> hat jede Person in Verfahren vor Gerichts- und Verwaltungsinstanzen Anspruch auf gleiche und gerechte Behandlung sowie auf Beurteilung innert angemessener Frist. Haftsachen müssen dabei gestützt auf Art. 31 Abs. 3-4 BV, Art. 5 Abs. 3-4 EMRK und <ref-law> mit besonderer Beschleunigung behandelt werden. Bei der Beurteilung, ob das Beschleunigungsgebot in Haftsachen verletzt wurde, sind die konkreten Umstände des Einzelfalles massgeblich. Zu berücksichtigen sind insbesondere die Komplexität des Falles und das Verhalten des Betroffenen bzw. seines Anwalts (<ref-ruling> E. 3; Urteil 1B_672/2021 vom 30. Dezember 2021 E. 3.2; je mit Hinweisen).
Gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung ist das Beschleunigungsgebot in Haftsachen verletzt, wenn in einem weder besonders schwierigen noch komplexen Fall zwischen der Anklageerhebung und der erstinstanzlichen Hauptverhandlung mehr als sechs Monate liegen (vgl. Urteile 1B_672/2021 vom 30. Dezember 2021 E. 3.4; 1B_330/ 2015 vom 15. Oktober 2015 E. 4.4.6 f.; 1B_419/2011 vom 13. September 2011 E. 2.1; je mit Hinweisen). Wenn keine besonderen Umstände vorliegen, ist eine Dauer von sieben Monaten, die nur mit der Überlastung der urteilenden Behörde begründet wird, mit dem Beschleunigungsgebot unvereinbar (vgl. Urteil 1P.750/1999 vom 23. Dezember 1999 E. 2d/ee). Gleich hat das Bundesgericht bei einer Dauer von acht Monaten in einem Fall betreffend internationalen Drogenhandel mit fünf Angeklagten entschieden, die an einem grenzüberschreitenden Schmuggel von 27 Kilogramm Kokain beteiligt waren, weil der Fall keinen aussergewöhnlichen Umfang aufwies (Urteil 1B_419/2011 vom 13. September 2011 E. 2.2). Hingegen verneinte das Bundesgericht eine Verletzung des Beschleunigungsgebots bei einer Dauer von acht Monaten zwischen der Anklageerhebung und der erstinstanzlichen Hauptverhandlung bei einem internationalen Drogenhandelfall von aussergewöhnlicher Tragweite und grosser Komplexität, weil die Untersuchung Ermittlungen in mehreren Ländern gefordert, die Akten aus 123 Bundesordner bestanden und die Durchführung des Prozesses besondere Sicherheitsmassnahmen erfordert hatte (Urteil 1B_95/ 2008 vom 14. Mai 2008 E. 5.4 f., nicht publ. in: <ref-ruling> und bestätigt durch das Urteil EGMR vom 5. November 2009 i.S. Shabani gegen Schweiz, Nr. 29044/06, Ziff. 65).
2.3. Im vorliegenden Fall werden zwischen der Anklageerhebung vom 18. Oktober 2021 und der Durchführung der vom Bezirksgericht Zürich auf den 29. Juni 2022 angesetzten Hauptverhandlung, wie vom Beschwerdeführer gerügt, etwas mehr als acht Monate liegen. Damit bei einer solchen Zeitdauer gemäss der erwähnten Rechtsprechung keine Verletzung des Beschleunigungsgebots vorläge, müsste es sich mithin vorliegend um einen besonders schwierigen oder komplexen Straffall handeln. Dies ist indes weder ersichtlich noch von den kantonalen Instanzen, insbesondere dem Bezirksgericht in seiner Verfügung vom 2. Dezember 2021, behauptet worden. Die Untersuchungen betrafen unter anderem zwar grenzüberschreitende Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz, indessen sind lediglich zwei Personen angeklagt. Die Anklageschrift erweist sich sodann als relativ umfangreich. Diesbezüglich gilt es aber zu berücksichtigen, dass die Staatsanwaltschaft jede einzelne Tathandlung zwischen Oktober 2016 und Juni 2020 exakt beschrieben hat, was zwangsläufig zu einem höheren Umfang führt.
Abgesehen davon sind jedoch keine Anhaltspunkte ersichtlich, die auf einen Fall von aussergewöhnlichem Umfang oder grosser Komplexität schliessen liessen, der einen Zeitraum von mehr als acht Monaten zwischen der Erhebung der Anklage und der Hauptverhandlung rechtfertigen würde. Nach der dargelegten Rechtsprechung ist eine derart lange Zeitdauer bei einem nicht komplexen Straffall mit dem Beschleunigungsgebot in Haftsachen nicht vereinbar (vgl. E. 2.2 hiervor). Entsprechend wird der erst Ende Juni 2022 festgesetzte Verhandlungstermin eine nicht zu vertretende Verfahrensverzögerung bewirken. Die diesbezügliche Rüge des Beschwerdeführers erweist sich demnach, entgegen der Auffassung der Vorinstanz, nicht als unbegründet. Daran ändert nichts, dass die Dauer der strafprozessualen Haft an und für sich noch nicht in die Nähe der zu erwartenden Freiheitsstrafe gelangt, wie von der Vorinstanz erwogen. Entscheidend ist vorliegend einzig, dass die Zeitdauer zwischen der Anklageerhebung und der Hauptverhandlung zu lange ist, ohne dass hierfür eine nachvollziehbare Begründung vorläge.
2.4. Die Verletzung des Beschleunigungsgebots führt nur dann zu einer Haftentlassung, wenn sie derart gravierend ist, dass deshalb die Rechtmässigkeit der Haft zu verneinen ist. Dies ist der Fall, wenn die Verfahrensverzögerung besonders schwer wiegt und zudem die Strafverfolgungsbehörden, z.B. durch eine schleppende Ansetzung der Termine für die anstehenden Untersuchungshandlungen, erkennen lassen, dass sie nicht gewillt oder nicht in der Lage sind, das Verfahren mit der für Haftfälle gebotenen Beschleunigung voranzutreiben und zum Abschluss zu bringen. Bei weniger gravierenden Verletzungen des Beschleunigungsgebots kann es unter Umständen angezeigt sein, die zuständige Behörde zur besonders beförderlichen Weiterführung des Verfahrens anzuhalten und die Haft gegebenenfalls nur unter der Bedingung der Einhaltung bestimmter Fristen zu bestätigen. Zudem ist die Verletzung des Beschleunigungsgebots im Dispositiv des Urteils festzustellen und bei den Kosten- und Entschädigungsfolgen zu berücksichtigen. Im Übrigen ist die Frage dem Sachgericht vorzubehalten, das sie unter der gebotenen Gesamtwürdigung beurteilen und auch darüber befinden kann, in welcher Weise - z.B. durch eine Strafreduktion - eine allfällige Verletzung des Beschleunigungsgebots wieder gut zu machen ist (vgl. Urteile 1B_672/2021 vom 30. Dezember 2021 E. 3.2; 1B_482/2021 vom 1. Oktober 2021 E. 4.2; je mit Hinweisen).
2.5. Zum jetzigen Zeitpunkt ist indes noch keine besonders schwerwiegende Verfahrensverzögerung gegeben, welche eine Haftentlassung zur Folge haben müsste. Der Antrag auf sofortige Haftentlassung ist mithin abzuweisen. Ist aber ein Verhandlungstermin festgesetzt worden, der voraussehbar eine nicht zu vertretende Verfahrensverzögerung bewirkt, wie dies vorliegend der Fall ist (vgl. E. 2.3 hievor), darf sich das Haftgericht nicht auf die Feststellung beschränken, dass im Zeitpunkt seines Entscheids die Verletzung des Beschleunigungsgebots noch nicht eingetreten sei. Das Recht auf persönliche Freiheit gebietet es vielmehr, in einem solchen Fall rechtzeitig einzugreifen, um weitere Verzögerungen möglichst zu vermeiden (vgl. Urteil 1B_672/2021 vom 30. Dezember 2021 E. 3.6 mit Hinweis). Entsprechend ist das Bezirksgericht Zürich anzuweisen, die Hauptverhandlung gegen den Beschwerdeführer spätestens im April 2022 durchzuführen. Zudem ist die Verletzung des Beschleunigungsgebots im Dispositiv festzuhalten und bei der Kostenauflage zu berücksichtigen. Sodann bleibt die Berücksichtigung der Verletzung des Beschleunigungsgebots durch das Sachgericht vorbehalten (vgl. E. 2.4 hiervor).
3.
Die Beschwerde ist nach dem Gesagten teilweise gutzuheissen. Der angefochtene Entscheid ist insoweit abzuändern, als eine Verletzung des Beschleunigungsgebots in Haftsachen durch das Bezirksgericht Zürich festgestellt wird. In Bezug auf die Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens wird der angefochtene Entscheid aufgehoben und Rechtsanwalt Dr. Marcel Keller wird für das vorinstanzliche Verfahren eine Entschädigung zugesprochen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Zürich hat dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>). Damit wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der angefochtene Entscheid wird insoweit abgeändert, als eine Verletzung des Beschleunigungsgebots in Haftsachen durch das Bezirksgericht Zürich festgestellt wird. Dieses wird angewiesen, den Termin für die Hauptverhandlung auf spätestens April 2022 vorzuverlegen. In Bezug auf die Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens wird der angefochtene Entscheid aufgehoben, und Rechtsanwalt Dr. Marcel Keller wird für das vorinstanzliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- zugesprochen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Zürich hat dem Vertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Dr. Marcel Keller, für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Februar 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier