Faits :
A.
Par ordonnance du 13 juillet 2020, une instruction pénale a été ouverte à l'encontre de A._ pour menaces, infraction à la loi fédérale du 20 juin 1997 sur les armes, les accessoires d'armes et les munitions (LArm; RS 514.54), mise en danger de la vie d'autrui et violence ou menace contre les autorités et les fonctionnaires. Il lui est, en substance, reproché d'avoir le 12 juillet 2020, à [...], dit à C._, partie plaignante, suite à une altercation verbale et en étant dans un état d'excitation, " toi tu veux me foutre en sang? "; il aurait en même temps brandi une arme à feu chargée, en direction du visage du prénommé à une distance d'environ 1 mètre, et plus tard, alors qu'il aurait vu ce dernier dans la rue, l'aurait interpellé et aurait accéléré le pas en sa direction en brandissant un couteau; à l'arrivée de la police, A._, qui n'aurait pas donné suite aux injonctions des agents qui souhaitaient procéder à son arrestation, aurait voulu se battre avec eux. L'intéressé a été appréhendé le même jour.
Par décision du 17 juillet 2020, le Ministère public de la République et canton du Jura (ci-après: ministère public) a, en application des art. 130 et 132 al. 1 let. a CPP, désigné l'avocat B._ en qualité de défenseur d'office de A._, avec effet au 13 juillet 2020.
B.
Le casier judiciaire de A._ fait mention d'une condamnation le 5 août 2016 par le ministère public genevois, pour menaces et injure, à une peine pécuniaire de 40 jours-amendes avec sursis.
Une autre procédure pénale, ouverte contre l'intéressé pour des faits commis les 3 et 19 février 2017, a abouti à une ordonnance de classement partiel prononcée pour les infractions de lésions corporelles simples, menaces, violation de domicile, dommages à la propriété et pour une infraction à la LStup (RS 812.121); ce classement partiel était motivé par le fait que le prénommé avait subi une période de décompensation psychique qui devait faire conclure à une absence de discernement, soit à une irresponsabilité pénale. Une ordonnance pénale a en revanche été rendue le 22 novembre 2017 condamnant A._ à une peine pécuniaire de 30 jours-amendes pour infraction à la LArm.
C.
Sur requête du ministère public, le juge des mesures de contrainte a ordonné, le 15 juillet 2020, la détention provisoire de A._ pour une durée d'un mois, soit jusqu'au 12 août 2020. La détention provisoire a été prolongée par décision du 7 août 2020 jusqu'au 12 novembre 2020.
Par décision du 3 septembre 2020, la Chambre pénale des recours du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura a rejeté le recours formé par A._ contre cette dernière ordonnance et mis les frais à la charge de l'intéressé. Elle n'a pas alloué de dépens.
D.
Contre cette dernière décision, A._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral (1B_516/2020). Il conclut, sous suite de frais et dépens, à ce que sa libération immédiate soit prononcée, moyennant les mesures de substitution suivantes:
- interdiction de se rendre dans le village de [...];
- retourner vivre chez sa maman à [...];
- interdiction de prendre contact avec le plaignant et D._;
- obligation de suivre son traitement médical hebdomadaire auprès du Docteur E._, psychiatre à Delémont;
- ne plus commettre d'infractions.
Il demande également qu'il soit ordonné à l'autorité précédente de taxer les honoraires de son mandataire d'office pour la procédure de recours, respectivement que le dossier de la cause lui soit renvoyé pour nouvelle décision sur le sort des frais et dépens de la procédure cantonale. Il sollicite par ailleurs l'assistance judiciaire, respectivement la désignation de son avocat en qualité de mandataire d'office; il demande en outre de " joindre les frais et dépens au fond ".
E.
Son mandataire, B._, dépose également, en son propre nom, un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral contre la décision cantonale du 3 septembre 2020 (1B_520/2020). Il conclut à son annulation quant aux dépens et à la taxation de ses honoraires de mandataire d'office pour la procédure cantonale à hauteur de 1'200 fr., y compris les débours et la TVA. Subsidiairement, il requiert le renvoi du dossier à la cour cantonale. Il sollicite également la condamnation du canton du Jura à lui verser une indemnité de dépens pour la procédure fédérale.
F.
Invités à se prononcer, le ministère public conclut au rejet du recours de A._ à l'instar de la Chambre pénale des recours du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, qui en fait de même s'agissant du recours déposé par B._.

Considérant en droit :
1.
Les deux recours sont formés contre la même décision et ont trait à des mêmes faits. Conformément à la requête de B._, il se justifie de joindre les causes 1B_516/2020 et 1B_520/2020 pour des motifs d'économie de procédure, et de statuer à leur sujet dans un seul arrêt (cf. <ref-law> [RS 273] applicable par analogie vu le renvoi de l'<ref-law>).
2.
2.1. Le recours en matière pénale (<ref-law>) est ouvert contre une décision relative à la détention provisoire ou pour des motifs de sûreté au sens des <ref-law>. Selon l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 1 LTF, le recourant A._ (ci-après: le recourant), prévenu détenu, a qualité pour recourir. Le recours a été formé en temps utile (<ref-law>) contre une décision rendue par une autorité statuant en tant que dernière instance cantonale (<ref-law>) et les conclusions présentées sont recevables au regard de l'<ref-law>. Il y a donc lieu d'entrer en matière.
2.2. D'après la jurisprudence, le droit de bénéficier de l'assistance judiciaire n'appartient qu'à l'assisté, et non à son défenseur d'office; aussi, le recours déposé par B._ contre la décision cantonale pour violation des art. 132 et 134 CPP doit être d'emblée déclaré irrecevable, dès lors qu'il n'a pas été désigné avocat d'office du recourant dans le cadre de la procédure de recours contre la décision de prolongation de la détention provisoire (cf. infra consid. 5; arrêts 1B_705/2011 du 9 mai 2012 consid. 2; 5P.164/2005 du 29 juillet 2005 consid. 1.3; 5P.220/2003 du 23 décembre 2003 consid. 3.1; cf. aussi: <ref-ruling> consid. 2a p. 162).
3.
Les pièces produites par le recourant dans la procédure 1B_516/2020, qui sont postérieures à la décision du 3 septembre 2020, en particulier les pièces 3 et 4, sont irrecevables (cf. <ref-ruling> consid. 5.2.4 p. 38 s.; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 22 s.). Il en va de même des faits mentionnés en relation avec celles-ci.
4.
Le recourant ne nie pas l'existence de charges suffisantes à son encontre, même s'il prétend ne pas avoir utilisé d'arme à feu le soir en question. Il ne remet pas non plus en cause le risque de réitération retenu par l'autorité précédente, ainsi que la nécessité de mettre en oeuvre une expertise psychiatrique afin d'évaluer son état psychique.
Il se plaint en revanche d'une violation du principe de proportionnalité, soutenant que les mesures de substitution qu'il propose permettraient de réduire le risque de réitération retenu.
4.1. A teneur de l'<ref-law>, le tribunal compétent ordonne une ou plusieurs mesures moins sévères en lieu et place de la détention provisoire ou la détention pour des motifs de sûreté si ces mesures permettent d'atteindre le même but que la détention. Cette disposition est une concrétisation du principe de la proportionnalité (art. 36 al. 3 Cst.) qui impose d'examiner les possibilités de mettre en oeuvre d'autres solutions moins dommageables que la détention (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 370).
4.2. En l'espèce, l'autorité précédente a jugé que les mesures de substitution proposées par le recourant n'étaient pas de nature à éviter le risque de récidive qu'il présentait; elle a considéré qu'en l'état actuel de l'instruction, une obligation de suivre un traitement psychiatrique de manière ambulatoire n'était pas suffisante pour parer à ce risque et qu'aucune autre mesure de substitution n'entrait en ligne de compte, tant qu'un rapport d'expertise, le cas échéant provisoire, permettant d'appréhender l'état psychique du recourant, n'était pas disponible. Pour parvenir à cette conclusion, l'autorité précédente s'est fondée notamment sur la nature des infractions qui sont reprochées au recourant, ses antécédents, la teneur de ses déclarations durant l'enquête pénale et le courriel du maire de [...] du 20 juillet 2020 relevant notamment des rapports difficiles et répétés entre le recourant et son voisinage, ainsi qu'une attirance de l'intéressé pour les armes; se fondant également sur le rapport médical établi le 16 juillet 2020 par le Docteur E._, lequel suit l'intéressé depuis le 5 juin 2019, l'autorité précédente a relevé que les rapports de voisinage du recourant semblaient être conflictuels depuis 2017 et qu'ils ne sauraient s'améliorer en l'état, au regard de son état de santé. En effet, ce rapport indique en substance que la dépendance de l'intéressé aux opiacés et aux benzodiazépines est sévère, d'autant plus que le programme de réduction progressive de son traitement médicamenteux est complexe et anxiogène pour ce dernier; en outre, une diminution de ses capacités cognitives à la suite d'abus répétés est vraisemblable et pressentie selon le médecin, qui préconise une expertise extérieure aux fins de déterminer si la capacité de discernement est diminuée, ainsi qu'une hospitalisation pour réajuster les doses; selon ce rapport, le recourant demande fréquemment des changements de traitement et effectue du tourisme médical.
Le raisonnement tenu par l'autorité précédente ne prête pas le flanc à la critique. En effet, les mesures de substitution proposées, qui ne reposeraient que sur la volonté de l'intéressé de s'y conformer, sont insuffisantes au regard de l'intensité du risque de récidive existant. L'interdiction de contacts et la limitation des déplacements sont par ailleurs difficiles à contrôler. Le changement du lieu de vie du recourant n'est en outre pas pertinent en l'espèce, ses rapports étant, de manière générale, conflictuels avec son voisinage. Quant au suivi dispensé hebdomadairement par le Docteur E._, le recourant perd de vue que malgré un dernier rendez-vous médical qui a eu lieu le 18 juin 2020, ce dernier a commis de nouvelles infractions le 12 juillet suivant; cette circonstance tend à démontrer, comme l'a relevé le juge des mesures de contrainte dans sa décision du 7 août 2020, que le traitement actuel ne suffit pas à le dissuader de récidiver. Dans ces conditions, en particulier compte tenu du risque de violence physique dans laquelle pourrait tomber le recourant, il se justifie en l'état de privilégier la sécurité publique et d'attendre les conclusions de l'expertise pour se prononcer sur d'éventuelles mesures de substitution, cette question nécessitant un examen approfondi de la situation. A ce stade, on ne voit au demeurant pas quelles mesures de substitution seraient appropriées.
Le principe de proportionnalité est d'ailleurs d'autant moins violé en l'occurrence que l'autorité précédente n'a ordonné la détention provisoire du recourant que sur une période limitée, notamment afin qu'un rapport d'expertise - cas échéant un premier avis (<ref-ruling> consid. 2.8 p. 16 s.) - sur sa dangerosité puisse être rendu; cette mesure - non contestée - paraît au demeurant pleinement justifiée en l'occurrence, l'expert pouvant aussi, le cas échéant, proposer des traitements propres à diminuer le risque de récidive (arrêt 1B_127/2019 du 4 avril 2019 consid. 4.3; voir également les arrêts 1B_210/2018 du 17 mai 2018 consid. 2.3; 1B_94/2014 du 21 mars 2014 consid. 3.2 et les arrêts cités, publié in SJ 2014 I 408).
Enfin, du point de vue temporel, au vu de la gravité des infractions pour lesquelles le recourant a été mis en prévention et la durée de la détention provisoire déjà subie, le principe de proportionnalité demeure respecté.
4.3. Au regard de ces éléments, la cour cantonale pouvait, sans violer le droit fédéral, maintenir le recourant en détention provisoire en raison de l'existence d'un risque de réitération qu'aucune mesure de substitution ne permet en l'état de réduire.
5.
Le recourant fait ensuite grief à la cour cantonale d'avoir violé l'<ref-law> et soutient que les conditions de sa défense d'office - au sens de l'<ref-law> - étaient toujours réunies pour la procédure cantonale, de sorte que son mandataire devait être indemnisé.
5.1. Selon la jurisprudence, le mandat de défense d'office conféré à l'avocat du prévenu pour la procédure principale ne s'étend pas aux procédures de recours contre les décisions prises par la direction de la procédure en matière de détention avant jugement, dans la mesure où l'exigence des chances de succès de telles démarches peut être opposée au détenu dans ce cadre, même si cette question ne peut être examinée qu'avec une certaine retenue (cf. arrêts 1B_300/2019 du 24 juin 2019 consid. 4; 1B_164/2017 du 15 août 2017 consid. 2; 1B_488/2016 du 24 janvier 2017 consid. 2; 6B_705/2015 du 22 septembre 2015 consid. 2; 1B_272/2012 du 31 mai 2012 consid. 6.2; 1B_705/2011 du 9 mai 2012 consid. 2.3.2). Ceci vaut également lorsque le ministère public a, dans le cadre de la procédure principale, désigné un défenseur d'office au prévenu qui se trouve dans un cas de défense obligatoire (art. 132 al. 1 let. a en lien avec l'<ref-law>; cf. arrêts 1B_705/2011 du 9 mai 2012 consid. 2.3.2; 1B_732/2011 du 19 janvier 2012 consid. 7.1 et 7.2; contra: HARARI/JAKOB/SANTAMARIA, in Commentaire romand, Code de procédure pénale suisse, 2e éd. 2019, nos 1a et 1b ad <ref-law> et les autres références de doctrine). La désignation d'un conseil d'office pour la procédure pénale principale n'est pas un blanc-seing pour introduire des recours aux frais de l'État, notamment contre des décisions de détention provisoire.
5.2. En l'espèce, la cour cantonale n'a pas examiné la question de savoir si les conditions d'une défense d'office étaient réalisées, au motif que l'exigence des chances de succès s'appliquait et que le recourant n'avait pas formulé une " nouvelle requête " en ce sens. Elle a toutefois attiré l'attention du ministère public sur l'existence d'un éventuel conflit d'intérêts concernant le mandataire d'office du recourant.
En l'occurrence, l'intéressé était au bénéfice d'une défense obligatoire au sens des art. 130 et 132 al. 1 let. a CPP dans le cadre de la procédure principale et son mandataire avait été désigné comme défenseur d'office par le ministère public; on peut dès lors se poser la question de savoir si la seule intervention de l'avocat du recourant dans le cadre de la procédure objet du présent recours ne devrait pas valoir demande de nomination pour ladite procédure (cf. HARARI/JAKOB/SANTAMARIA, op. cit., no 1c ad <ref-law>). Quoi qu'il en soit, il faut ajouter à ces circonstances, le fait qu'il s'agissait du premier recours déposé par le recourant en lien avec sa détention provisoire et qu'il n'apparaît pas qu'il était d'emblée dénué de chances de succès, ainsi qu'un possible conflit d'intérêts concernant le mandataire du prénommé. Dans ces conditions particulières, il incombait à la cour cantonale, à tout le moins, d'interpeller le recourant sur la question de sa défense d'office, avant de rendre la décision attaquée.
5.3. Le recours doit ainsi être admis sur ce point, l'autorité précédente étant invitée à vérifier si les conditions d'une défense d'office sont réalisées en l'espèce pour la procédure de recours contre la décision de prolongation de la détention provisoire et, cas échéant, à statuer à nouveau sur les frais de procédure ainsi que sur l'indemnisation du conseil du recourant. Il lui appartiendra également d'examiner, sans délai, la question de l'éventuelle violation de l'interdiction du conflit d'intérêts concernant le mandataire du recourant, en d'en tirer les conséquences qui s'imposent (cf. art. 15 de la loi fédérale du 23 juin 2000 sur la libre circulation des avocats [LLCA; RS 935.61]).
6.
Dans l'affaire 1B_516/2020, le recourant obtient partiellement gain de cause. Il peut ainsi prétendre à une indemnité de dépens réduite, à la charge du canton du Jura (<ref-law>). Cela rend sa demande d'assistance judiciaire sans objet dans cette mesure.
Pour le surplus, en tant que le recours portait sur la question de la proportionnalité de la détention provisoire, il n'était pas d'emblée dénué de chances de succès, si bien que la demande d'assistance judiciaire est admise dans cette mesure (<ref-law>). Il convient dès lors de désigner Me B._ comme avocat d'office; le recourant a ainsi droit à la prise en charge de la part des honoraires d'avocat qui excède l'indemnité de dépens réduite à laquelle il peut prétendre (art. 64 al. 2 et 68 al. 1 LTF). Compte tenu de la situation financière du recourant et du fait que le ministère public a agi dans le cadre de ses attributions officielles, il n'est pas perçu de frais judiciaires (art. 66 al. 1 et 4 LTF) ni alloué de dépens (<ref-law>).
S'agissant de la cause 1B_520/2020, il convient de mettre les frais à la charge de B._, qui succombe (<ref-law>), et de statuer sans dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 1B_516/2020 et 1B_520/2020 sont jointes.
2.
Le recours interjeté dans la cause 1B_516/2020 est partiellement admis, la décision attaquée est annulée et la cause renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Pour le surplus, le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3.
Le canton du Jura versera à l'avocat du recourant Me B._ la somme de 1'000 fr. à titre de dépens réduits pour l'instance fédérale.
4.
La demande d'assistance judiciaire du recourant est admise dans la mesure où elle n'est pas sans objet. Me B._ est désigné comme avocat d'office du recourant et une indemnité de 1'000 fr. lui est allouée à titre d'honoraires non couverts par les dépens, à payer par la caisse du Tribunal fédéral.
5.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires pour la cause 1B_516/2020.
6.
Le recours interjeté dans la cause 1B_520/2020 est irrecevable. Les frais judiciaires pour cette cause, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de B._.
7.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Ministère public de la République et canton du Jura et au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Chambre pénale des recours.
Lausanne, le 3 novembre 2020
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Chaix
La Greffière : Nasel