Sachverhalt:
A.
A._ wohnt in Frankreich. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt wirft ihr vor, in Übertretung eines gegen sie bestehenden Einreiseverbots in die Schweiz gekommen zu sein und am 12. August 2017 Ladendiebstähle in Basel begangen zu haben.
Mit Strafbefehl vom 16. August 2017 sprach die Staatsanwaltschaft sie des Diebstahls und des geringfügigen Diebstahls (Art. 139 i.V.m. Art. 172 ter StGB) sowie der Widerhandlung gegen das Ausländergesetz (SR 142.20) für schuldig. Sie auferlegte ihr eine unbedingte Freiheitsstrafe von 90 Tagen und eine Busse von 500 Franken, bei schuldhaftem Nichtbezahlen ersatzweise eine Freiheitsstrafe von 5 Tagen. A._ erhob Einsprache gegen den Strafbefehl und stellte den Antrag auf Gewährung der amtlichen Verteidigung. Mit Verfügung vom 15. September 2017 wies die Staatsanwaltschaft diesen Antrag ab.
Die Verfügung der Staatsanwaltschaft zog A._ an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt weiter. Dieses wies die Beschwerde mit Entscheid vom 15. Mai 2018 ab.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht vom 2. Juli 2018 beantragt A._, der Entscheid des Appellationsgerichts sei aufzuheben und Rechtsanwalt Guido Ehrler sei zum amtlichen Verteidiger für das kantonale Einspracheverfahren zu bestellen. In prozessualer Hinsicht wird um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren ersucht. Die Staatsanwaltschaft und das Obergericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
Das Bundesgericht hat der Beschwerdeführerin am 13. September 2018 aus den vom Appellationsgericht eingereichten Akten die über sie eingeholten Strafregisterauszüge aus Frankreich zugestellt. Innert angesetzter Frist hat sich die Beschwerdeführerin mit Eingabe vom 24. September 2018 dazu geäussert.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über die Verweigerung der amtlichen Verteidigung in einem Strafverfahren. Dagegen ist die Beschwerde in Strafsachen zulässig (Art. 78 Abs. 1 und Art. 80 BGG). Es handelt sich um einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4 S. 338 mit Hinweisen). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass, sodass auf die Beschwerde einzutreten ist.
1.2. In verfahrensmässiger Hinsicht stösst sich die Beschwerdeführerin daran, dass ihr die über sie eingeholten Strafregisterauszüge aus Frankreich im kantonalen Verfahren nicht eröffnet worden sind. In den dem Bundesgericht vorliegenden, kantonalen Verfahrensakten befinden sich Strafregisterauszüge aus Frankreich vom 23. November 2017 über die Beschwerdeführerin. Diese wurden von der Staatsanwaltschaft eingeholt; der angefochtene Entscheid nimmt darauf Bezug. Es sind aber keine Belege aktenkundig, aus denen hervorgeht, dass diese Dokumente der Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren zugänglich gemacht worden wären. Ihre Gehörsrüge scheint berechtigt zu sein. Das Bundesgericht hat der Beschwerdeführerin jedoch diese Strafregisterauszüge zukommen lassen und sie hat dazu Stellung genommen. Im vorliegenden Rechtsmittelverfahren sind einzig Rechtsfragen im Zusammenhang mit der Anwendung der Schweizerischen Strafprozessordnung (StPO; SR 312.0) umstritten. Diese überprüft das Bundesgericht mit freier Kognition. Zudem wiegt der allfällige Gehörsmangel nicht besonders schwer, sodass er sich im bundesgerichtlichen Verfahren heilen lässt (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.8.1 S. 226 mit Hinweisen).
2.
In der Sache rügt die Beschwerdeführerin, der angefochtene Entscheid verletze <ref-law>. Sie bringt vor, angesichts der in Frage stehenden Strafe könne nicht von einem Bagatellfall ausgegangen werden. Ausserdem würden die besonderen rechtlichen Schwierigkeiten des Verfahrens eine amtliche Verteidigung erfordern.
2.1. Über die Fälle notwendiger Verteidigung gemäss <ref-law> hinaus ordnet die Verfahrensleitung eine amtliche Verteidigung an, wenn die beschuldigte Person nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und die Verteidigung zur Wahrung ihrer Interessen geboten ist (<ref-law>). Zur Wahrung der Interessen der beschuldigten Person ist die Verteidigung namentlich geboten, wenn es sich nicht um einen Bagatellfall handelt und (kumulativ) der Straffall in tatsächlicher oder rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bietet, denen die beschuldigte Person allein nicht gewachsen wäre (<ref-law>). Ein Bagatellfall liegt jedenfalls dann nicht mehr vor, wenn unter anderem eine Freiheitsstrafe von mehr als 4 Monaten zu erwarten ist (vgl. <ref-law>).
2.2. Mit <ref-law> wird die bisherige bundesgerichtliche Rechtsprechung zu <ref-law> und Art. 6 Abs. 3 lit. c EMRK für den Bereich des Strafprozessrechts umgesetzt (<ref-ruling> E. 4.3 S. 119). Demnach hat die bedürftige Partei Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung, wenn ihre Interessen in schwerwiegender Weise betroffen sind und der Fall in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bietet, die den Beizug eines Rechtsvertreters erforderlich machen. Falls das in Frage stehende Verfahren besonders stark in die Rechtsposition des Betroffenen eingreift, ist die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters grundsätzlich geboten. Droht zwar eine erhebliche, nicht aber eine besonders schwere Freiheitsbeschränkung (sog. relativ schwerer Fall), müssen zur relativen Schwere des Eingriffs besondere tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeiten hinzukommen, denen der Betroffene - auf sich allein gestellt - nicht gewachsen wäre (<ref-ruling> E. 3.5 S. 174). Als besondere Schwierigkeiten, die eine Verbeiständung rechtfertigen können, fallen neben der Komplexität der Rechtsfragen oder der Unübersichtlichkeit des Sachverhalts auch in der betroffenen Person liegende Gründe in Betracht, insbesondere deren Unfähigkeit, sich im Verfahren zurechtzufinden (<ref-ruling> E. 6.3 und 6.4 S. 38 f.; <ref-ruling> E. 2.5.2 S. 233; je mit Hinweisen).
2.3. Aus dem Wortlaut von <ref-law> ("jedenfalls dann nicht"), folgt, dass nicht automatisch von einem Bagatellfall auszugehen ist, wenn die in dieser Bestimmung genannten Schwellenwerte nicht erreicht sind (vgl. <ref-ruling> E. 3.6 S. 174). Im vorliegenden Fall droht aufgrund des Strafbefehls, gegen den die Beschwerdeführerin Einsprache erhoben hat, eine unbedingte Gefängnisstrafe von drei Monaten. Eine solche Strafdrohung hat das Bundesgericht als relativ schweren Fall anerkannt (vgl. <ref-ruling> E. 3.5 S. 174 mit Hinweis). Entscheidend ist somit, ob der Fall in tatsächlicher oder rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bietet, denen die Beschwerdeführerin allein nicht gewachsen wäre. Ihre Mittellosigkeit im Sinne von <ref-law> ist unstreitig gegeben.
2.4. Dass der strafrechtlich zur Diskussion stehende Sachverhalt unübersichtlich wäre, wird in der Beschwerdeschrift nicht konkret geltend gemacht. Die Beschwerdeführerin behauptet jedoch besondere rechtliche Schwierigkeiten. Sie gibt an, die ihr vorgeworfenen Strafdelikte aufgrund einer Suchterkrankung (Kleptomanie) begangen zu haben. Diesen Krankheitsbefund habe ein Bericht der Universitären Psychiatrischen Kliniken Basel (UPK) vom 7. September 2017 bestätigt. Aus dem Umstand, dass der Beweiswert dieses Berichts umstritten sei, leitet die Beschwerdeführerin rechtliche Schwierigkeiten ab. Die Staatsanwaltschaft und auch die Vorinstanz hätten Anhaltspunkte für eine solche Erkrankung verneint. Ausserdem nennt die Beschwerdeführerin als persönliche Umstände für den Bedarf nach einer Verteidigung, sie spreche nur Französisch und habe schwere gesundheitliche Probleme.
2.5. Es trifft zu, dass die Vorinstanz die Aussage der Beschwerdeführerin, wonach sie zwanghaft stehle, als Schutzbehauptung zurückgewiesen hat. Der Beschwerdeführerin ist auch insoweit beizupflichten, dass sich nach derzeitigem Wissensstand nicht mit Sicherheit ausschliessen lässt, ob sie an einer solchen Krankheit leidet. Entgegen der Vorinstanz widerlegen weder der Bericht der UPK vom 7. September 2017 noch aktenkundige Strafregisterauszüge oder Vorbringen der Beschwerdeführerin ihre diesbezügliche Behauptung in klarer Weise.
Im Rahmen einer Gesamtwürdigung vermag die geltend gemachte Suchterkrankung die amtliche Verteidigung im vorliegenden Fall dennoch nicht zu rechtfertigen. Die Beschwerdeführerin stellt nicht konkret in Abrede, über eine gute Schulbildung zu verfügen. Auf der Grundlage der dem Bundesgericht zur Verfügung gestellten Verfahrensakten ergibt sich, dass sie mithilfe eines Übersetzers in der Lage ist, einer Einvernahme zu folgen und ihren Standpunkt sachgerecht zu vertreten. Zur Überwindung sprachlicher Barrieren ist die Verteidigung nicht erforderlich. Die Beschwerdeführerin ist aufgrund vergangener Strafverfahren mit dem hiesigen Rechtssystem vertraut und wurde bereits wegen identischer bzw. ähnlicher Delikte verurteilt. Die rechtlichen Fragen, die sich im Zusammenhang mit einer Erkrankung wie Kleptomanie als Antrieb für Ladendiebstähle stellen, sind überschaubar und auch für juristische Laien verständlich. Es lässt sich erwarten, dass die Beschwerdeführerin die von ihr angestrebte psychiatrische Begutachtung in geeigneter Weise allein zu beantragen vermag. Dabei ist es ihr unbenommen, den genannten Bericht der UPK als Argument für einen solchen Antrag zu verwenden. Dafür benötigt sie den Beizug eines Verteidigers nicht. Ebenso wenig tut sie substanziiert dar noch ist ersichtlich, inwiefern die von ihr angesprochenen Organ- und HIV-Krankheiten sie in der Fähigkeit, sich selbst zu verteidigen, einschränken sollen.
Beim derzeitigen Stand der Dinge ist daher - wie die Vorinstanz im Ergebnis richtig festgehalten hat - keine amtliche Verteidigung erforderlich. Sollte diese Lagebeurteilung im weiteren Verlauf des Strafverfahrens nicht mehr zutreffen, wird die Verfahrensleitung nötigenfalls eine amtliche Verteidigung zu bestellen haben (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 167 mit Hinweisen).
2.6. Zusammengefasst ist die Verteidigung zur Wahrung der Interessen der Beschwerdeführerin nicht geboten. Der angefochtene Entscheid verletzt in dieser Hinsicht kein Bundesrecht.
3.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang hätte an sich die Beschwerdeführerin die Kosten zu tragen (<ref-law>). Sie hat indessen ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren gestellt, das gutzuheissen ist (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Advokat Guido Ehrler wird für das bundesgerichtliche Verfahren als amtlicher Verteidiger eingesetzt und mit Fr. 1'500.-- aus der Bundesgerichtskasse entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Staatsanwaltschaft und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. September 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Kessler Coendet