Sachverhalt:
A.
Die Stiftung Anti Doping Schweiz (nachfolgend: Antidoping Schweiz) mit Sitz in Ittigen (BE) wurde 2008 als privatrechtliche Stiftung gegründet. Gemäss Handelsregistereintrag bezweckt sie auf Basis der anerkannten nationalen und internationalen Vorschriften und Richtlinien insbesondere einen wesentlichen Beitrag zur Bekämpfung von Doping im Sport zu leisten. Zu diesem Zweck gehören namentlich die Durchführung von Dopingkontrollen; die Prävention, Förderung der Aus- und Weiterbildung sowie die Information zu den Themen Doping und Dopingbekämpfung; die Forschung auf dem Gebiet des Dopings und der Dopingbekämpfung; die Förderung der nationalen und internationalen Zusammenarbeit in der Dopingbekämpfung sowie die administrative Abwicklung von Studien. Sodann kann sie weitere Massnahmen betreiben und fördern, welche sauberen und fairen Sport zum Ziel haben. Dabei ist die Stiftung im Rahmen der Zwecksetzung im In- und Ausland, hauptsächlich aber in der Schweiz tätig. Sie verfolgt keine kommerziellen Zwecke und erstrebt keinen Gewinn. Allfällige Nebentätigkeiten erbringt sie lediglich zur Erreichung des Hauptzwecks. Antidoping Schweiz finanziert sich aus Beiträgen von Swiss Olympic, aus selbst erwirtschafteten Mitteln, aus Zuwendungen Dritter sowie aus Bundesbeiträgen.
B.
Mit Schreiben vom 20. November 2008 nahm die Eidgenössische Steuerverwaltung (ESTV) Bezug auf eine entsprechende Anfrage von Antidoping Schweiz vom 14. Oktober 2008 und teilte ihr mit, dass in ihrem Fall nicht von einem Leistungsaustauch mit dem Bund (handelnd durch das Bundesamt für Sport [BASPO]) auszugehen sei. Vielmehr seien die Beiträge des Bundes als Subventionen zu qualifzieren. Per 1. Januar 2010 trat das derzeit geltende MWSTG (SR 641.20) in Kraft. Auf Anfragen von Antidoping Schweiz vom 21. Januar 2010 und 11. Februar 2010 betreffend die mehrwertsteuerliche Relevanz ihrer Vereinbarungen mit dem Bund sowie Swiss Olympic nahm die ESTV mit Schreiben vom 5. März 2010 Stellung. Sie hielt fest, es bestehe Einigkeit darüber, dass der Beitrag der Eidgenossenschaft an Antidoping Schweiz "gestützt auf Art. 18 Abs. 2 Bst. a MWSTG und <ref-law> (SR 641.201) weiterhin als Subvention oder anderer öffentlicher Beitrag" gelte und dass die Entschädigungen seitens Dritter aufgrund eines steuerbaren Leistungsaustausches geleistet würden. Hingegen seien die Entschädigungen von Swiss Olympic an Antidoping Schweiz neu ab dem 1. Januar 2010 zu versteuern, weil Swiss Olympic von Antidoping Schweiz die Durchführung von Dopingkontrollen bei ihren Verbandsmitgliedern verlange und somit nicht von einer "Spende" ausgegangen werden könne.
C.
Per 1. Oktober 2012 trat das Bundesgesetz vom 17. Juni 2011 über die Förderung von Sport und Bewegung (Sportförderungsgesetz, SpoFöG; SR 415.0) in Kraft - welches aus der Totalrevision des früheren Bundesgesetzes vom 17. März 1972 über die Förderung von Turnen und Sport (AS 1972 897) hervorging - und am 21. Dezember 2012 schloss Antidoping Schweiz mit dem Bund eine neue Rahmenvereinbarung (für die Jahre 2013-2016; nachfolgend: Rahmenvereinbarung 2013) sowie die darauf gestützte Leistungsvereinbarung 2013 ab. In der Folge wandte sich Antidoping Schweiz mit zwei Schreiben vom 7. August 2013 erneut an die ESTV und ersuchte um Qualifikation der Beiträge, welche ihr einerseits vom Bund und andererseits von Swiss Olympic ausgerichtet werden. Mit dem ersten Schreiben beantragte sie die Bestätigung, dass es sich bei den Bundesbeiträgen, welche sie gestützt auf die Rahmen- sowie Leistungsvereinbarung 2013 erhalte, um eine Finanzhilfe im Sinne von <ref-law> handle (eventualiter um eine Entschädigung für die Ausübung einer hoheitlichen Tätigkeit gemäss <ref-law>) bzw. dass zwischen ihr und dem Bund kein Leistungsverhältnis im mehrwertsteuerlichen Sinn vorliege. Mit dem zweiten Schreiben ersuchte sie um Bestätigung, dass zwischen ihr und Swiss Olympic kein Leistungsverhältnis vorliege und es sich bei den ihr von Swiss Olympic ausgerichteten Unterstützungsbeiträgen vielmehr um Spenden (eventualiter um Subventionen) handle.
Die ESTV beantwortete die Anfragen mit Schreiben vom 10. September 2013 dahingehend, dass in den Beiträgen des Bundes - entgegen früherer Qualifikation - keine Subventionen zu sehen seien. Demgegenüber sei im Verhältnis zwischen Antidoping Schweiz und Swiss Olympic nicht von einem Leistungsaustausch auszugehen, zumal die Gelder als Spenden im Sinne von <ref-law> zu qualifizieren seien. Nach einem weiteren Briefwechsel bestätigte die ESTV ihre Auffassung schliesslich mit einer Verfügung vom 25. Juni 2014.
D.
Gegen diese Verfügung erhob Antidoping Schweiz mit Eingabe vom 26. August 2014 Einsprache und beantragte deren Überweisung im Sinne einer Sprungbeschwerde nach <ref-law> an das Bundesverwaltungsgericht. Die ESTV entsprach diesem Begehren nicht, führte stattdessen eine Kontrolle am 21. und 29. Oktober 2014 durch und erliess am 28. August 2015 eine neue Verfügung. Darin setzte sie gegenüber Antidoping Schweiz für 2013 die Steuerforderung (Umsatz- und Bezugsteuer) auf Fr. 166'709.-- fest (deklarierte Umsatz- und Bezugsteuer in Höhe von Fr. 151'665.-- plus Korrektur um Fr. 15'044.-- [Bezugsteuer] aufgrund der durchgeführten Kontrolle) und erkannte darauf, dass Antidoping Schweiz für diesen Zeitraum noch Mehrwertsteuer in Höhe von Fr. 15'044.-- zuzüglich 4% Verzugszins ab 16. Oktober 2013 schulde. Gegen die Verfügung vom 28. August 2015 erhob Antidoping Schweiz mit Eingabe vom 29. September 2015 bei der ESTV Einsprache, wobei sie wiederum gestützt auf <ref-law> die Überweisung der Einsprache als Sprungbeschwerde an das Bundesverwaltungsgericht beantragte.
E.
Das Bundesverwaltungsgericht hiess mit Urteil vom 5. August 2016 die Beschwerde im Sinne der Erwägungen gut und hob die Verfügung der ESTV vom 28. August 2015 auf. Mit Eingabe vom 12. September 2016 erhebt die ESTV Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts sei aufzuheben und die Verfügung der ESTV vom 28. August 2015 zu bestätigen.
Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. Antidoping Schweiz beantragt, die Beschwerde sei vollumfänglich abzuweisen und das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 5. August 2016 zu bestätigen.
Die II. öffentlich-rechtliche Abteilung des Bundesgerichts hat am 6. April 2018 eine öffentliche Beratung über die Beschwerde durchgeführt.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim streitbetroffenen Urteil handelt es sich um einen verfahrensabschliessenden Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Er kann beim Bundesgericht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten angefochten werden (Art. 82 lit. a, Art. 83, 86 Abs. 1 lit. a, <ref-law>). Die Beschwerdeführerin ist dazu legitimiert (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde ist einzutreten (Art. 42 und 100 BGG).
1.2. Mit der Beschwerde können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde vorgebrachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann die Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Trotz Rechtsanwendung von Amtes wegen prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), an sich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die vorinstanzlichen Feststellungen können nur berichtigt werden, sofern sie entweder offensichtlich unrichtig, d. h. willkürlich ermittelt worden sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356) oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>). Zudem hat die beschwerdeführende Partei aufzuzeigen, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234).
2.
Der Streit betrifft die Steuerperiode 2013. Er beurteilt sich nach dem neuen, am 1. Januar 2010 in Kraft getretenen Mehrwertsteuergesetz vom 12. Juni 2009 (vgl. <ref-law>).
2.1. Gestützt auf <ref-law> und <ref-law> erhebt der Bund eine allgemeine Verbrauchssteuer nach dem System der Netto-Allphasensteuer mit Vorsteuerabzug (Mehrwertsteuer). Damit wird die Besteuerung des nichtunternehmerischen Endverbrauchs im Inland bezweckt (<ref-law>).
2.2. Der Inlandsteuer (<ref-law>) unterliegen die im Inland durch steuerpflichtige Personen gegen Entgelt erbrachten Leistungen. Diese sind steuerbar, soweit das Gesetz keine Ausnahme vorsieht (<ref-law>). Steuerpflichtig ist, wer ein Unternehmen betreibt, d.h. wer, ohne von der Steuer befreit zu sein, eine auf die nachhaltige Erzielung von Einnahmen aus Leistungen ausgerichtete berufliche oder gewerbliche Tätigkeit selbstständig ausübt und unter eigenem Namen nach aussen auftritt (<ref-law>). Eine Leistung wiederum ist die Einräumung eines verbrauchsfähigen wirtschaftlichen Wertes an eine Drittperson in Erwartung eines Entgelts, auch wenn sie von Gesetzes wegen oder aufgrund behördlicher Anordnung erfolgt (<ref-law>). Eine Leistung ist entweder eine Lieferung oder eine Dienstleistung (Art. 3 lit. d und e MWSTG). Entgelt ist der Vermögenswert, den der Empfänger oder an seiner Stelle eine Drittperson für den Erhalt einer Leistung aufwendet (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3.1).
2.3. Charakteristisch für die Mehrwertsteuerpflicht ist nach dem Gesagten der Austausch von Leistungen. Ein Leistungsaustauschverhältnis in diesem Sinne liegt vor, sofern zwischen der (Haupt-) Leistung (Lieferung oder Dienstleistung gemäss Art. 3 lit. d oder e MWSTG) und der Gegenleistung (Entgelt im Sinne von <ref-law>) ein hinreichender Konnex besteht (<ref-ruling> E. 2.1 S. 82 f.; CAMENZIND/HONAUER/VALLENDER/JUNG/PROBST, Handbuch zum Mehrwertsteuergesetz, 3. Aufl. 2012, S. 263 ff.; BAUMGARTNER/CLAVADETSCHER/KOCHER, Vom alten zum neuen Mehrwertsteuergesetz, 2010, S. 121 f.). Dies setzt eine "innere wirtschaftliche Verknüpfung" voraus in dem Sinn, dass die Leistung eine Gegenleistung auslöst (<ref-ruling> E. 3.2 S. 241; <ref-ruling> E. 4.1 S. 357 ["rapport économique étroit"]; <ref-ruling> E. 6a S. 451 f.), was in marktwirtschaftlich gleichwertigen (äquivalenten) Leistungen ("contrepartie économique équivalente") zum Ausdruck kommt (BGE <ref-ruling> E. 3.3 S. 187; <ref-ruling> E. 2.5.1 S. 160 je mit weiteren Hinweisen).
2.4. Ausserhalb des Geltungsbereichs der Mehrwertsteuer bleiben Konstellationen, in welchen entweder trotz eines finanziellen Mittelzuflusses keine Hauptleistung ersichtlich ist oder zwar eine Hauptleistung vorliegt, die sich aber nicht als marktwirtschaftlich gleichwertig (äquivalent) im Sinne eines echten Leistungsaustausches darstellt (Urteil 2C_196/2012 vom 10. Dezember 2012 E. 2.4 mit weiteren Hinweisen), ebenso Konstellationen, in denen Geldleistungen erbracht werden, um ein bestimmtes Verhalten zu fördern, ohne dass aber ein direkter Bezug besteht zwischen den bezahlten Geldbeträgen und den damit induzierten Wirkungen (<ref-ruling> E. 3.3 S. 187 f. mit weiteren Hinweisen), so namentlich auch Subventionen und andere öffentlich-rechtliche Beiträge, selbst wenn sie gestützt auf einen Leistungsauftrag oder eine Programmvereinbarung gemäss <ref-law> ausgerichtet werden (<ref-law>). Gestützt darauf bestimmt <ref-law>, dass als Subventionen oder andere öffentlich-rechtliche Beiträge namentlich die vom Gemeinwesen ausgerichteten Finanzhilfen im Sinn von Art. 3 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 5. Oktober 1990 über Finanzhilfen und Abgeltungen (SuG; SR 616.1) oder aber Abgeltungen im Sinne von Art. 3 Abs. 2 lit. a SuG gelten, letztere aber nur, wenn kein Leistungsverhältnis vorliegt. Art. 3 Abs. 1 SuG definiert Finanzhilfen als geldwerte Vorteile, die Empfängern ausserhalb der Bundesverwaltung gewährt werden, um die Erfüllung einer vom Empfänger gewählten Aufgabe zu fördern oder zu erhalten. Abgeltungen wiederum sind gemäss Art. 3 Abs. 2 SuG Leistungen an Empfänger ausserhalb der Bundesverwaltung zur Milderung oder zum Ausgleich von finanziellen Lasten, die sich ergeben aus der Erfüllung von bundesrechtlich vorgeschriebenen Aufgaben (lit. a); oder aber von öffentlich-rechtlichen Aufgaben, die dem Empfänger vom Bund übertragen worden sind (lit. b), die jedoch nicht unter <ref-law> fallen.
2.5. Es ist demnach zu unterscheiden, ob der Staat eine Subvention bezahlt, um ein bestimmtes Verhalten, das im öffentlichen Interesse liegt, zu fördern (BGE <ref-ruling> E. 2.5.4/2.5.5 S. 162) oder ob er sich eine individualisierte und konkrete Leistung beschafft, um eine ihm obliegende konkrete Aufgabe zu erfüllen (Urteil 2C_196/2012 vom 10. Dezember 2012 E. 3.2). Zwar liegt auch bei einer Subvention insofern eine gewisse Leistung des Geldempfängers vor, als er sich in einer Weise verhält, die dem öffentlichen Interesse als förderungswürdige Gegenleistung erscheint, nicht aber ein wirtschaftlich gleichwertiges Entgelt (BGE <ref-ruling> E. 6c S. 453; Urteil 2C_196/2012 vom 10. Dezember 2012 E. 2.5). Es besteht darin keine innere wirtschaftliche Verknüpfung zwischen Leistung und Gegenleistung, so dass nicht von einem Leistungsaustausch gesprochen werden kann (Botschaft vom 25. Juni 2008 zur Vereinfachung der Mehrwertsteuer, BBl 2008 6959 f. Ziff. 2; BGE <ref-ruling> E. 6e und 6f S. 455 ff.), auch dann nicht, wenn sie aufgrund von Leistungsaufträgen ausgerichtet werden (<ref-law>). Ist mit der Geldleistung der öffentlichen Hand keine spezifische (Gegen-) Leistung der empfangenden Person verknüpft und steht es dieser frei, wie sie - im Rahmen des allgemeinen Leistungsauftrages - die zur Förderung des angestrebten Zwecks notwendigen Massnahmen treffen will, deutet dies praxisgemäss auf eine Subvention hin. Auch eine Abgeltung ist nicht das Entgelt für eine Leistung, sondern sie soll die finanziellen Lasten ausgleichen oder mildern, die dem Empfänger aus der Verpflichtung zur Erfüllung öffentlicher Aufgaben erwachsen (zum Ganzen <ref-ruling> E. 3.5 S. 189 mit weiteren Hinweisen). Beispiele für Aufgaben, welche im öffentlichen Interesse liegen sind u.a. die Berglandwirtschaft oder kulturelle Leistungen. Sie kommen einer unbestimmten Allgemeinheit zugute und dienen nicht einem konkreten Gemeinwesen, welches diese Aufgabe ansonsten selbst zu erfüllen hätte. Ihre Erbringung ist keine Leistung im mehrwertsteuerlichen Sinne (BBl 2008 7116 f. Ziff. 12.2).
Die Unterscheidung von Subventionen und mehrwertsteuerlich relevantem Entgelt erweist sich mitunter als schwierig. Es ist daher stets im Einzelfall aufgrund der konkreten Umstände zu entscheiden, ob ein Leistungsverhältnis vorliegt oder nicht (Urteil 2A.273/2004 vom 1. September 2005 E. 2.3 vgl. dazu im Bereich der Forschungsförderung auch Urteil 2C_196/2012 E. 3.2.4 vom 10. Dezember 2012 sowie MWST-Info 05, Spenden und Subventionen vom Januar 2010 Ziff. 1.4.4 [nachfolgend: MI 05).
3.
Streitig ist, ob der Beitrag welcher die Beschwerdegegnerin gestützt auf die Rahmen- bzw. Leistungsvereinbarung 2013 vom Bund erhalten hat, ein Entgelt für eine dem Bund erbrachte Leistung im Sinne von <ref-law> darstellt.
3.1. Die Vorinstanz gelangte zum Schluss, dass die der Beschwerdegegnerin gewährten Bundesbeiträge als Subventionen und nicht als mehrwertsteuerliches Entgelt zu qualifizieren seien, da sie die Voraussetzungen an "Finanzhilfen" im Sinne von Art. 3 Abs. 1 SuG erfüllten. Bei der Beschwerdegegnerin handle es sich um eine Empfängerin ausserhalb der Bundesverwaltung, welcher geldwerte Vorteile gewährt worden seien, um die Erfüllung einer von ihr gewählten Aufgabe zu fördern bzw. zu erhalten. Dabei gelte es zu berücksichtigen, dass es sich bei der Beschwerdeführerin um eine durch Swiss Olympic gegründete privatrechtliche Stiftung handle. Nur weil bereits vor der Gründung beabsichtigt gewesen sei, sie dereinst zur nationalen Agentur zur Dopingbekämpfung zu wählen, könne nicht davon ausgegangen werden, dass sie ihre Aufgabe nicht im Sinne des Subventionsgesetzes gewählt habe. Nur die Förderung der Dopingbekämpfung als Teil der Sportförderung gelte als Staatsaufgabe. Die Förderung der Dopingbekämpfung erfolge dabei u.a. durch die Schaffung entsprechender Rahmenbedingungen oder durch finanzielle Unterstützung einer spezialisierten Stiftung wie Antidoping Schweiz. Durch diese finanzielle Förderung werde die Bekämpfung von Doping im Sport, welche durch verschiedene Akteure erfolge, unterstützt.
3.2. Die Beschwerdeführerin ist hingegen der Ansicht, dass die Vorinstanz fälschlicherweise davon ausgegangen sei, dass bei einer Vereinbarung zwischen einem Gemeinwesen und einem Dritten ein Leistungsverhältnis immer dann zu verneinen sei, wenn es sich bei der übertragenen Aufgabe nicht um eine "eigentliche oder gar alleinige" Bundes- oder Staatsaufgabe handle. Dafür fehle eine Grundlage im MWSTG. Durch die Fokussierung auf die "eigentliche oder gar alleinige" Bundes- oder Staatsaufgabe habe die Vorinstanz eine konkrete Auseinandersetzung mit der Rahmenvereinbarung 2013-2016 und der Leistungsvereinbarung 2013 und eine mehrwertsteuerrechtliche Qualifikation dieser Dokumente ausgeblendet.
3.3. Es trifft zu, dass sich die Vorinstanz darauf konzentriert hat, ob die Bundesbeiträge für die Erbringung einer öffentlichen Aufgabe geleistet wurden oder nicht und von einer Subvention im Sinne von <ref-law> i.V.m. Art. 3 Abs. 1 SuG ausgeht. Dies ergibt sich aber auch daraus, dass die Beschwerdeführerin in dieser Weise argumentierte:
3.3.1. Für die Zeit vor Inkrafttreten des geltenden Sportförderungsgesetzes sah das massgebende Bundesgesetz über die Förderung von Turnen und Sport in Art. 11e Abs. 2 (AS 2001 2790, 2824) vor, dass der Bund die zuständigen Kontrollorgane für die Dopingkontrollen finanziell unterstützen kann. Gestützt darauf ging die Beschwerdeführerin gemäss Rechtsauskunft aus dem Jahre 2008 davon aus, dass zwischen dem Bund und Antidoping Schweiz kein mehrwertsteuerliches Leistungsverhältnis vorlag und es sich bei den Beiträgen des Bundes an die Beschwerdeführerin um Subventionen handelte. Sie begründete ihre Beurteilung damit, dass das Schwergewicht in den vorgelegten Vereinbarungen (Rahmen- und Leistungsvereinbarung 2008) in der Verwendung der zur Verfügung gestellten Gelder und nicht in der Erbringung konkreter Leistungen gelegen habe. Zudem sei es nicht so, dass das BASPO durch die Beitragsempfängerin Leistungen erbringen lasse, die es aufgrund der gesetzlichen Pflichten ansonsten selber verrichten müsste, und seien die Leistungen von Antidoping Schweiz auch nicht so genau bestimmt, dass von für einen Leistungsaustausch genügend konkreten und einforderbaren Leistungen auszugehen sei.
3.3.2. Trotz praktisch identischem Wortlaut der Vereinbarungen 2008 und 2013 qualifizierte die Beschwerdeführerin, wie gesehen (Sachverhalt C.), nach Inkrafttreten des Sportförderungsgesetzes die Bundesbeiträge an Antidoping Schweiz nicht mehr als Subventionen, sondern als steuerbare Abgeltungen für öffentlich-rechtliche Aufgaben, die dem Empfänger vom Bund übertragen worden sind und im Umkehrschluss gemäss <ref-law> in Verbindung mit Art. 3 Abs. 2 SuG der Steuer unterliegen. Der Wortlaut von <ref-law> räume dem Bund neu die Kompetenz ein, Massnahmen gegen den Dopingmissbrauch zu ergreifen, wozu auch Dopingkontrollen gehörten. Der Bund habe Antidoping Schweiz als nationale Agentur zur Dopingbekämpfung beauftragt, weshalb es sich bei den Beiträgen um ein Entgelt in Zusammenhang mit der Auslagerung einer Bundesaufgabe handle und es sei insofern von einem mehrwertsteuerlichen Leistungsverhältnis auszugehen. Ohnehin habe sie schon früher Zweifel an ihrer gegenteiligen Erkenntnis unter der alten Rechtslage gehegt.
3.4. Indessen ist vorliegend nicht ausschlaggebend, ob tatsächlich die Erfüllung einer Staatsaufgabe vorliegt oder nicht. Auch Leistungen, die sich der Staat zur Erfüllung seiner öffentlichen Aufgaben beschafft, unterliegen der Mehrwertsteuer. Solches setzt voraus, dass ein Leistungsaustauschverhältnis besteht und nicht eine Subventionierung, die kein Entgelt im Sinne der Mehrwertsteuer ist (<ref-ruling> E. 3.5 S. 189). Umgekehrt folgt daraus, dass es sich bei der Übertragung einer bundesrechtlich vorgeschriebenen Aufgabe gegen Entschädigung an einen Dritten ebenfalls um eine Subvention handeln kann, solange kein Leistungsaustausch besteht.
3.5. Aus dem Abschluss der Rahmenvereinbarung 2013-2016 und der darauf beruhenden Leistungsvereinbarung 2013 zwischen dem BASPO und Antidoping Schweiz kann die Beschwerdeführerin nichts zu ihren Gunsten ableiten.
3.5.1. Wie bereits die Vorinstanz zutreffend erwähnt, sind solche Vereinbarungen, welche die Modalitäten des gewährten Beitrages regeln, für sämtliche Subventionen ausdrücklich vorgesehen (vgl. Art. 16 ff. SuG). Auch MI 05 Ziff. 1.4.1 hält fest, dass die Ausrichtung von Beiträgen im Rahmen von Leistungsaufträgen oder Programmvereinbarungen in der Regel mit Auflagen und Zielen verbunden ist. Die fraglichen Vereinbarungen lassen Antidoping Schweiz bei der Ausführung ihrer Arbeit so viel Spielraum, dass keine spezifische Gegenleistung vorliegt. Zwischen den strittigen Zahlungen und den Leistungen der Beschwerdegegnerin besteht zwar ein Zusammenhang (wie bei jeder Subvention). Ein solcher beschlägt aber nicht einzelne, bestimmbare Handlungen (vgl. dazu Urteile 2A.197/2005 vom 28. Dezember 2005 E. 4.3; 2A.405/2002 vom 30. September 2003 E. 4.2 f.; 2A.450/2001 vom 27. Mai 2003 E. 4.5). Mit der Geldleistung der öffentlichen Hand ist keine spezifische (Gegen-) Leistung der empfangenden Person verknüpft und es steht ihr frei, wie sie - im Rahmen des allgemeinen Leistungsauftrages - die zur Förderung des angestrebten Ziels (Dopingbekämpfung im Sport) notwendigen Massnahmen treffen will. Dies deutet praxisgemäss auf eine Subvention hin (Urteil 2C_196/2012 vom 10. Dezember 2012 E. 2.5). Die Beschwerdeführerin selbst hat dies für die praktisch gleich lautende Vereinbarung der Jahre 2008 ebenfalls ausdrücklich festgehalten (vgl. E. 3.3). Die neuen Bestimmungen des SpoFöG fanden wiederum keinen Niederschlag in der Leistungsvereinbarung und haben den Charakter der vereinbarten Leistung nicht verändert.
3.5.2. Dementsprechend unterscheiden sich die in der Rahmenvereinbarung 2013 definierten Tätigkeiten nicht wesentlich von denjenigen, die bereits in der vorherigen Rahmen- und Leistungsvereinbarung 2008 festgehalten worden sind. Schon damals bestand die Möglichkeit zur Durchsetzung der Auflagen, da die frühere Vereinbarung auf Art. 28 SuG verwies, wonach Finanzhilfen bei Nichterfüllung oder mangelhafter Erfüllung zurück gefordert werden können. Auch in dieser Hinsicht regelt die Leistungsvereinbarung 2013 nichts Neues. Hingegen bestimmt die Rahmenvereinbarung 2013 in Ziff. 4.1 und 4.3 ausdrücklich, dass es sich beim gesamten Bundesbeitrag - und nicht nur derjenige für Dopingkontrollen (vgl. E. 4.1.3) - um eine Finanzhilfe im Sinne des SuG handelt, welche nicht der Mehrwertsteuer unterliegen soll. Für die Behandlung der Beiträge unter dem Gesichtspunkt der Mehrwertsteuer ist die Ansicht des BASPO zwar nicht bindend, da es dafür nicht die zuständige Behörde ist und folglich auch kein berechtigtes Vertrauen in dessen Einschätzung bestehen kann (vgl. <ref-ruling> E. 3.6.2 S. 193 mit Hinweisen). Dennoch ist die Intention des Beitragszahlers ein gewichtiges Indiz bei der rechtlichen Qualifikation der gewährten Geldleistung, ist doch diesem selber in erster Linie und am besten bekannt und bewusst, in welcher Form er die geleisteten Aufgaben unterstützen möchte.
3.5.3. Insgesamt ergeben sich aus der Rahmenvereinbarung 2013-2016 und der Leistungsvereinbarung 2013 keine ausreichenden Anhaltspunkte dafür, dass ein Leistungsaustauschverhältnis zwischen dem BASPO und Antidoping Schweiz besteht. Aufgrund von <ref-law> sind die Beiträge deshalb mehrwertsteuerrechtlich als Subventionen zu bewerten und mangels einer Leistung stellen sie kein Entgelt i.S.v. <ref-law> dar.
4.
Der Vergleich mit früheren Entscheiden des Bundesgerichts, bei denen es ebenfalls um Zahlungen der öffentlichen Hand ging, verdeutlicht das fehlende Leistungsverhältnis.
4.1. Im Urteil 2C_196/2012 vom 10. Dezember 2012 erwog das Bundesgericht, die Eidgenossenschaft sei gesetzlich verpflichtet, gegen eine konkrete (Tier-) Seuche vorzugehen. Somit sei mit der Beauftragung der Universität Bern mit der Führung des dazu notwendigen Referenzlaboratoriums eine dem Bund originär obliegende Aufgabe ausgelagert worden. Mit einem solchen "Outsourcing" verfolge der Bund die Bekämpfung der konkreten Tierseuche, wie wenn er selbst ein solches Laboratorium führen würde (E. 3.2.5). Vorliegend sind hingegen zumindest zur Durchführung von Dopingkontrollen neben Antidoping Schweiz auch diverse andere Akteure berechtigt (vgl. <ref-law>), womit die nachgefragten Leistungen nicht ausschliesslich vom Beitragsempfänger erbracht werden müssen. Hauptnutzniesserin der an die Universität Bern ausgelagerten Aufgaben war die Eidgenossenschaft (E. 3.2.7), während hier insbesondere die Sportverbände und deren Mitglieder profitieren, was gegen eine Leistung im mehrwertsteuerlichen Sinn spricht (E. 2.5 am Ende). Zudem sind die entrichteten Bundesbeiträge für Antidoping Schweiz nur eine Finanzquelle neben anderen, welche pauschal zur (Mit) Finanzierung der Stiftungstätigkeit insgesamt dienen und nicht nur für einzelne konkrete Leistungen vorgesehen sind. Schliesslich war die Tätigkeit der Universität Bern detailliert umschrieben, wodurch eine individualisierte und konkrete Leistung vorlag.
4.2. Gleiches gilt hinsichtlich des Urteils 2C_105/2008 vom 25. Juni 2008, welches ebenfalls auf einer Übertragung verschiedener ausführlich bestimmter Aufgaben im Bereich der HIV/Aids-Prävention beruhte, zu deren Erfüllung der Bund gesetzlich verpflichtet war (E. 4.1). Im Urteil 2A.273/2004 vom 1. September 2005, es ging um den Betrieb eines Gassenzimmers, bestand gleicherweise eine gesetzliche Verpflichtung des Kantons zur Hilfe an drogensüchtigen Personen. Das Leistungsaustauschverhältnis lag darin, dass die Betreiberin des Gassenzimmers eine dem Gemeinwesen obliegende Tätigkeit übernahm und ausführte (E. 4.3). Ausserdem wird in der einschlägigen Literatur u.a. die Meinung vertreten, dass die Entscheide betreffend Aidshilfe und Gassenzimmer anders hätten ausfallen müssen, wenn diese unter eigenem Namen aufgetreten wäre, so wie dies Antidoping Schweiz tut (PIERRE-MARIE GLAUSER/ALEXANDRA PILLONEL, in: Bundesgesetz über die Mehrwertsteuer, Zweifel/Beusch/Glauser/Robinson [Hrsg.], 2015, N. 178 ff. zu <ref-law>).
5.
Die Beschwerdeführerin beanstandet zudem, dass sich die Vorinstanz nicht mit dem konkret geschlossenen Rahmenvertrag 2013-2016 und dem Leistungsvertrag 2013 auseinandergesetzt habe sowie eine mehrwertsteuerliche Qualifikation des Vertrages vermissen lasse. Dies stelle gleichermassen eine unvollständige und damit unrichtige Feststellung des Sachverhalts dar und - soweit die Vorinstanz sich dadurch auf die alleinige Prüfung der Rechtsfrage der Bundesaufgabe beschränkt habe - bestehe auch eine Verletzung der Pflicht zur Ausschöpfung der Kognitionsbefugnis und damit eine formelle Rechtsverweigerung.
5.1. Auch wenn die Vorinstanz ihre Argumentation vorwiegend darauf abstützte, dass die Bundesbeiträge nicht in Erfüllung einer öffentlichen Aufgabe geleistet wurden, hat sie dabei durchaus den Rahmenvertrag 2013-2016 und die Leistungsvereinbarung 2013 berücksichtigt. Dennoch konnte sie diesem, wie vorliegend auch das Bundesgericht, kein Leistungsverhältnis entnehmen (E. 4.2.4.3 des angefochtenen Entscheides). Es kann folglich nicht gesagt werden, dass die Vorinstanz einen rechtserheblichen Sachverhalt nicht festgestellt hätte (E. 1.3). Ebensowenig trifft es zu, dass die beanstandeten Sachverhaltsaspekte aufgrund der Rechtsbeurteilung durch das Bundesgericht rechtserheblich geworden wären (vgl. <ref-ruling> E. 1.6). Wie gesehen, begründet das Bundesgericht zwar seinen Entscheid mit einer abweichenden Argumentation (vgl. E. 1.2), stützt sich dabei aber auf den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt.
5.2. Nicht ersichtlich ist, inwiefern die Vorinstanz ihre Kognition gemäss <ref-law> nicht ausgeschöpft haben soll. Eine andere als von der Beschwerdeführerin gewünschte Rechtsanwendung oder Sachverhaltsfeststellung stellt keine Einschränkung der Prüfungsbefugnis durch das Bundesverwaltungsgericht dar.
6.
Schliesslich rügt die Beschwerdeführerin, dass die Vorinstanz ein rein kassatorisches Urteilsdispositiv gefällt habe, mit welchem auch die von Antidoping Schweiz anerkannte und für das Jahr 2013 geschuldete Steuerforderung von Fr. 24'750.-- aufgehoben worden sei. Die Vorinstanz hätte jedoch die Steuer zumindest in diesem Umfang festsetzen müssen, weshalb das angefochtene Urteil fehlerhaft und deshalb aufzuheben sei.
6.1. Die Vorinstanz hat in Ziff. 1 des Urteilsdispositivs die Beschwerde im Sinne der Erwägungen gutgeheissen und den angefochtenen Entscheid der ESTV aufgehoben. In seiner E. 4.1 hat das Bundesverwaltungsgericht ausdrücklich festgehalten, dass Streitgegenstand im vorliegenden Beschwerdeverfahren die Frage ist, ob die Beschwerdeführerin (Antidoping Schweiz) für die Steuerperiode 2013 Inlandsteuer in Höhe von Fr. 141'960.-- schuldet und dabei auf lit. B des Sachverhalts verwiesen. Dort gab sie das Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin wieder:
"Es sei die Steuerforderung der ESTV für die Steuerperiode 2013 auf Fr. 24'750.-- zu reduzieren (zumal - aus den bereits in der Einsprache vom 26. August 2014 genannten Gründen - keine Mehrwertsteuer geschuldet sei) und entsprechend eine Gutschrift im Umfang von Fr. 141'960.-- auszustellen."
6.2. Das Urteilsdispositiv des Bundesverwaltungsgerichts legt das zu regelnde Rechtsverhältnis autoritiv fest. Im Falle von Unklarheiten im Dispositiv können die Erwägungen zu dessen Auslegung hinzugezogen werden (MOSER/BEUSCH/KNEUBÜHLER, Prozessieren vor dem Bundesverwaltungsgericht, 2. Aufl., 2013, Rz. 3.185). Verweist das Dispositiv auf die Erwägungen, nehmen diese an der Rechtsverbindlichkeit teil (HANSJÖRG SEILER, in: Bundesgerichtsgesetz (BGG), 2. Aufl. 2015, N. 23 zu <ref-law>). Die Vorinstanz verweist in ihrem Dispositiv auf die Erwägungen, welche das umstrittene Rechtsverhältnis eindeutig festlegen. Für die Steuerperiode 2013 besteht eine Steuerforderung der ESTV gegenüber Antidoping Schweiz im Umfang von Fr. 24'750.--.
6.3. Es wäre aber auch im Sinne der Rechtssicherheit wünschenswert, wenn die Betroffenen das Ergebnis des Verfahrens nicht aus verschiedenen Stellen des Urteils ableiten müssten. Die Vorinstanz sollte deshalb das umstrittene Rechtsverhältnis entweder ausdrücklich im Dispositiv festhalten oder als klar erkennbares Fazit der Erwägungen deklarieren, wenn sie auf diese verweist. Da der angefochtene Entscheid dennoch das umstrittene Rechtsverhältnis ausreichend bestimmt deklariert, ist eine Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils auch unter diesem Aspekt nicht gerechtfertigt.
7.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet. Sie ist abzuweisen und der angefochtene Entscheid zu bestätigen.
7.1. Bei diesem Ausgang hat die ESTV, die in ihrer Eigenschaft als Abgabegläubigerin Vermögensinteressen im Sinne von <ref-law> verfolgt, die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 65 i. V. m. <ref-law>).
7.2. Die ESTV hat der Beschwerdegegnerin eine angemessene Parteientschädigung auszurichten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen abgewiesen.
2.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 5'000.-- werden der Eidgenössischen Steuerverwaltung auferlegt.
3.
Die Eidgenössische Steuerverwaltung hat der Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 5'000.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. April 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Mösching