Sachverhalt:
A.
A._ war vom 1. September bis zum 31. Dezember 2017 der Atupri Gesundheitsversicherung (nachfolgend: Atupri) für die obligatorische Krankenpflegeversicherung (OKP) angeschlossen. Verschiedene Leistungserbringer reichten der Atupri (im System des "Tiers payant") folgende "TP-Rechnungen" zur Zahlung ein: Rechnung der Praxis B._ vom 31. Oktober 2017 über Fr. 245.-; Rechnung des Labors vom 7. November 2017 über Fr. 40.50; Rechnung des Spitals C._ vom 1. November 2017 über Fr. 213.75; Rechnung der Labor D._ AG vom 14. November 2017 über Fr. 197.90. Diese Beträge forderte sie vom Versicherten im Rahmen seiner Kostenbeteiligung (Jahresfranchise) ein. A._ teilte der Atupri mit, er wolle die medizinischen Leistungen nicht über die OKP abrechnen. Die Leistungserbringer seien gehalten gewesen, ihm direkt Rechnung zu stellen. Die Rechnungen seien fälschlicherweise an die Atupri gesandt worden, er bezahle sie selber direkt an die Leistungserbringer und sei im Übrigen bei einer Versicherung in Deutschland privat versichert. Die Atupri verlangte einen "Stornoauftrag" der Leistungserbringer, ansonsten die Rechnungen geschuldet seien. Am 19. Januar 2018 verfügte die Atupri, sie habe die strittigen Leistungen zu Recht im Rahmen der OKP übernommen; die Kostenbeteiligungen seien geschuldet. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 21. Februar 2018 fest. Eine Zahlungspflicht des A._ im Zusammenhang mit den Kostenbeteiligungen wurde darin nicht beziffert oder sonstwie spezifiziert.
B.
Im anschliessenden Beschwerdeverfahren räumte die Atupri u.a. ein, dass die Rechnungen des Spitals C._ und der Labor D._ AG (Fr. 213.75 und Fr. 197.90) bereits am 16. resp. 25. Januar 2018 storniert worden seien. Zudem stellte sie klar, dass die Kostenbeteiligung in Bezug auf die Rechnung der Praxis B._ (Fr. 245.-) bezahlt worden sei. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies das Rechtsmittel mit Entscheid vom 12. Juni 2018 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
A._ beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten die Aufhebung des Entscheids vom 12. Juni 2018.
Die Atupri schliesst auf Abweisung der Beschwerde und teilt mit, dass die Rechnung des Labors (Fr. 40.50) im April 2018 storniert und darüber am 30. April 2018 eine "Korrekturabrechnung" erstellt worden sei, weshalb nur noch die Rechnung der Praxis B._ über Fr. 245.- den "materiellen Streitwert" bilde.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft die Zuständigkeit und die (weiteren) Eintretensvoraussetzungen des vorinstanzlichen Verfahrens als Rechtsfragen von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 3.4.1 S. 661; <ref-ruling> E. 4 S. 26; <ref-ruling> E. 2 S. 9).
1.2. Die Vorinstanz hat das Dispositiv des Einspracheentscheids vom 21. Februar 2018 als sinngemässe - wenn auch unbezifferte - Verpflichtung zur Zahlung der Kostenbeteiligungen (Jahresfranchise; vgl. <ref-law>) aufgefasst. Einzig diese ist Gegenstand des angefochtenen Entscheides, und zwar nur in Bezug auf die Rechnungen der Praxis B._ und des Labors (Fr. 245.- und Fr. 40.50). In diesem Umfang hat das kantonale Gericht eine Zahlungspflicht des Beschwerdeführers bejaht.
1.3. Was die Kostenbeteiligungen von Fr. 213.75 und Fr. 197.90 anbelangt, so hat das kantonale Gericht die vor Erlass des Einspracheentscheids vom 21. Februar 2018 erfolgte Stornierung der entsprechenden Rechnungen des Spitals C._ und der Labor D._ AG berücksichtigt und auf eine (nachträgliche) Beurteilung der Zahlungspflicht verzichtet. Diese Behandlung läuft im Ergebnis auf die - überzeugende - Annahme hinaus, dass im Einspracheentscheid keine entsprechende Verpflichtung festgelegt worden war.
Zur Frage, ob die Kostenbeteiligung von Fr. 245.- (Rechnung der Praxis B._) noch offen oder schon beglichen worden war, hat sich die Vorinstanz nicht geäussert. In der von der Atupri (mit der Beschwerdeantwort vom 16. April 2018) eingereichten Version ihrer Leistungsabrechnung vom 7. November 2017 wie auch im Kontoauszug vom 12. April 2018 ist der Eingang von Fr. 245.- am 7. November 2017 vermerkt. Unter diesen Umständen hatte die Vorinstanz keine Grundlage für ihre Annahme, dass die Atupri den Versicherten mit dem Einspracheentscheid vom 21. Februar 2018 zur Zahlung von Fr. 245.- verpflichtet haben soll. Somit ist sie mit ihrer Beurteilung dieser Kostenbeteiligung in unzulässiger Weise über den Gegenstand des Einspracheentscheids hinausgegangen (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 414 f.).
1.4. Der Versicherte legte in seiner vorinstanzlichen Beschwerde dar, er habe am 21. März 2018 mit seiner direkten Intervention bei dem Labor "das Nötige veranlasst", damit deren Rechnung über Fr. 40.50 storniert werden könne; dazu verwies er auf eine E-Mail der Leistungserbringerin an die Rechnungsstellerin. Somit ist das Zugeständnis der Atupri betreffend die - offenbar kurz nach Einreichung der Beschwerdeantwort vom 16. April 2018 erfolgte - Stornierung der Rechnung über Fr. 40.50 nicht neu im Sinne von <ref-law>. Der Sachverhalt ist dementsprechend zu ergänzen, zumal das kantonale Gericht diesbezüglich keine Feststellung getroffen hat (<ref-law>). Folglich war die vorinstanzliche Beschwerde in Bezug auf die Kostenbeteiligung von Fr. 40.50 vor Erlass des angefochtenen Entscheids gegenstandslos geworden. Auch in diesem Zusammenhang hat das kantonale Gericht zu Unrecht eine materielle Beurteilung vorgenommen.
1.5. Nach dem Gesagten ist der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben. Damit hat es sein Bewenden; die Aufhebung des Einspracheentscheids vom 21. Februar 2018, soweit darin die Zulässigkeit des Systems des "Tiers payant" (vgl. <ref-law>) im Grundsatz festgestellt wird, erübrigt sich, zumal sie nicht beantragt wird und dafür kein schutzwürdiges Interesse (vgl. <ref-law> und <ref-law>) ersichtlich ist.
2.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 12. Juni 2018 wird aufgehoben.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. Oktober 2018
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Dormann