Sachverhalt:
A.
A.a.
A.a.a. A._ (italienischer Staatsangehöriger; geb. 1967) und B._ (tunesische Staatsangehörige; geb. 1993) sind die seit 2012 miteinander verheirateten Eltern des Knaben C._ (geb. 2014) und des Mädchens D._ (geb. 2016). Die Eltern haben sich im Dezember 2016 getrennt. Durch Eheschutzentscheid vom 10. März 2017 ordnete das Gericht den Aufenthalt der Mutter und der Kinder im Kinder-Elternhaus U._ an und regelte das Kontaktrecht zwischen dem Vater und den Kindern; ausserdem errichtete es eine Beistandschaft gemäss <ref-law>. Gestützt darauf erkannte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Dielsdorf (KESB) die Beistandsperson.
A.a.b. Mit superprovisorischem Entscheid vom 8. August 2017 hob die KESB das Aufenthaltsbestimmungsrecht der Eltern über ihre Kinder gestützt auf <ref-law> auf und brachte die Kinder in der Stiftung V._ unter. Nach Anhörung der Eltern bestätigte die KESB am 21. September 2017 diese Massnahme. Zudem passte sie die Aufgaben der Beistandsperson an und setzte einen Verfahrensvertreter für die Kinder ein.
A.b. Auf Antrag der Beiständin hob die KESB den Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts des Vaters mit Entscheid vom 4. September 2018 auf und platzierte die beiden Kinder bei diesem, unter Regelung des persönlichen Kontaktes zwischen der Mutter und den Kindern und der Festlegung von neuen Aufgaben der Beiständin.
A.c. Seit November 2017 ist bei der Familie A._-B._ die AOZ Familienbegleitung installiert, welche neben Familienbegleitungen auch eine Betreuungsperson (Kinderbetreuungsperson) in der Familie vorsieht. Die für den Vater gedachten Hilfen (Nanny/Kinderbetreuungsperson, Kinderkrippe, Familienbegleitungen, Beistandschaften) liessen sich nur schwierig umsetzen. Zusammengefasst ist davon die Rede, dass A._ ohne Rücksicht auf das Helfersystem agiere und dieses sich seinen Wünschen unterzuordnen habe, weshalb als Folge davon diese Personen ermüdet seien.
A.d. Am 4. Februar 2019 liess A._, vertreten durch Rechtsanwalt Dr. Fabian Teichmann, beim Bezirksgericht Dielsdorf auf Scheidung klagen.
A.e.
A.e.a. Mit E-Mail vom 6. Februar 2019 teilte A._ der Beiständin der Kinder mit, dass er wegen seiner erkrankten Mutter nach Tunesien reisen müsse. Die Mutter der Kinder habe dies jedoch nicht erlaubt. Die Beiständin antwortete mit E-Mail vom 7. Februar 2019 und teilte A._ mit, dass er ohne Erlaubnis der Mutter nicht nach Tunesien reisen dürfe. Mit E-Mail vom gleichen Tag informierte die Beiständin die KESB darüber, dass A._ vorhabe, das Land zu verlassen, ohne Einverständnis der Mutter. Sie, die Beiständin, sei der Meinung, dass die KESB die Ausreise verhindern müsse. In einer E-Mail vom 11. Februar 2019 relativierte die Beiständin ihre Einschätzung und führte im Anschluss an den Vorfall ein Gespräch mit A._.
A.e.b. Mit Schreiben vom 11. März 2019 beantragte A._ bei der KESB einen Beistandswechsel. Er begründete diesen mit der E-Mail der Beiständin vom 7. Februar 2019. Ausserdem ersuchte er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung durch Rechtsanwalt Dr. Fabian Teichmann.
A.e.c. Am 12. Dezember 2019 sistierte die KESB das Verfahren auf Beistandswechsel, um das zwischenzeitlich im Scheidungsverfahren in Auftrag gegebene Erziehungsfähigkeitsgutachten abzuwarten. Sie gewährte A._ die unentgeltliche Rechtspflege im Sinn der Befreiung von den Entscheidgebühren, lehnte aber den Antrag auf unentgeltliche Verbeiständung ab.
A.f. A._ focht diesen Entscheid beim Bezirksrat Dielsdorf an. Dieser hiess das Rechtsmittel teilweise gut und wies die KESB an, unverzüglich über den beantragten Beistandswechsel zu entscheiden. Hingegen wies er die gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung im Verfahren vor der KESB gerichtete Beschwerde ebenso wie das gleichlautende Gesuch im Verfahren vor dem Bezirksrat ab (Entscheid vom 19. März 2020). In der Hauptsache erwog der Bezirksrat, die Begründung der KESB, wonach ein Beistandswechsel vor Abschluss des Erziehungsfähigkeitsgutachtens zur Unzeit erfolgen würde, weil die Beiständin ansonsten nicht mehr als Auskunftsperson zur Verfügung stehen würde, könne nicht nachvollzogen werden. Ausserdem sei das Gutachten zwischenzeitlich erstellt, womit dieser Grund für die Sistierung weggefallen sei.
B.
Gegen die Abweisung der unentgeltlichen Verbeiständung in den Verfahren vor der KESB und dem Bezirksrat führte A._ Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich. Mit Entscheid vom 23. Juni 2020 wies dieses das Rechtsmittel sowie das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das obergerichtliche Verfahren ab und auferlegte A._ eine Entscheidgebühr von Fr. 500.--.
C.
Mit Eingabe vom 26. August 2020, unter Beilage des angefochtenen Entscheids und der von einem Gerichtsmitglied begründeten abweichenden Meinung, gelangt A._ an das Bundesgericht und beantragt, es sei ihm für die Verfahren vor der KESB und dem Bezirksrat die unentgeltliche Verbeiständung sowie die umfassende unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor Obergericht zu gewähren. Ausserdem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im Verfahren vor Bundesgericht.
Die KESB, der Bezirksrat und das Obergericht haben je auf Vernehmlassung verzichtet. Im Übrigen hat das Bundesgericht die kantonalen Akten eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), mit dem diese eine gegen die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Verbeiständung für das Verfahren vor der KESB und dem Bezirksrat gerichtete Beschwerde sowie das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das oberinstanzliche Verfahren abgewiesen hat (vgl. zur Ausnahme vom Erfordernis der double instance <ref-ruling> E. 1.2 mit Hinweisen). Der Entscheid über die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung ist ein Zwischenentscheid, der praxisgemäss einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.1; siehe auch Urteil 5A_734/2015 vom 17. Dezember 2015 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>; je mit Hinweisen).
Bei Zwischenentscheiden wie jenem betreffend die unentgeltliche Rechtspflege folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1). Dort geht es um die Abberufung und Neubestellung einer Beistandsperson und damit um eine vom Streitwert unabhängige Streitigkeit auf dem Gebiet des Kindes- und Erwachsenenschutzes (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt (<ref-law>). Auf die rechtzeitig eingereichte Beschwerde in Zivilsachen ist einzutreten (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 Bst. b BGG).
1.2. Gemäss § 40 Abs. 1 des Einführungsgesetzes zum Kindes- und Erwachsenenschutzrecht vom 25. Juni 2012 des Kantons Zürich (EG KESR; LS 232.3) richtet sich das Verfahren vor der KESB und den gerichtlichen Beschwerdeinstanzen nach den Bestimmungen des ZGB und des EG KESR. Enthalten diese Gesetze keine Bestimmungen, gilt für die Verfahren vor den gerichtlichen Beschwerdeinstanzen das Gesetz vom 10. Mai 2010 über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess des Kantons Zürich (GOG; LS 211.1); für das Verfahren vor der KESB gelten diese Bestimmungen sinngemäss (§ 40 Abs. 2 EG KESR). Subsidiär gelten für alle Verfahren die Bestimmungen der ZPO sinngemäss (§ 40 Abs. 3 EG KESR). Weder das EG KESR noch das GOG äussern sich zur unentgeltlichen Rechtspflege. Damit sind subsidiär die Bestimmungen der ZPO heranzuziehen, wobei diese vorliegend nicht Bundesrecht, sondern ergänzendes kantonales Recht darstellen (<ref-ruling> E. 4.2; <ref-ruling> E. 2.3; je mit Hinweisen). Die Anwendung kantonalen Rechts kann das Bundesgericht - abgesehen von den hier nicht massgebenden Fällen von Art. 95 Bst. c-e BGG - nur auf die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten hin überprüfen (<ref-ruling> E. 6.1; <ref-ruling> E. 2.3; Urteil 5A_164/2017 vom 29. Januar 2018 E. 1.3; je mit Hinweisen). Dabei gilt das Rügeprinzip nach <ref-law> (Urteile 5A_95/2020 vom 19. Februar 2020 E. 2.1; 5A_724/2015 vom 2. Juni 2016 E. 2.2, nicht publ. in: <ref-ruling>).
1.3. Das Bundesgericht ist an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (<ref-law>). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann einzig vorgebracht werden, sie seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweis), oder sie würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruhen. Ausserdem muss in der Beschwerde aufgezeigt werden, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweis). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Das Bundesgericht prüft daher nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (<ref-ruling> E. 5.4, 249 E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.3; je mit Hinweisen). Tatfrage ist auch die Beweiswürdigung. Die Anfechtung der diesbezüglichen vorinstanzlichen Feststellungen unterliegt ebenfalls der qualifizierten Begründungspflicht (Urteil 5A_438/2018 vom 30. Oktober 2018 E. 1.3 mit Hinweis).
Auf den Seiten 5 bis 9 seiner Beschwerde fasst der Beschwerdeführer den Sachverhalt zusammen, ohne eine Sachverhaltsrüge zu erheben. Soweit diese Ausführungen Tatsachenbehauptungen enthalten, die sich nicht aus dem angefochtenen Entscheid ergeben, bleiben sie unbeachtlich. Sodann macht der Beschwerdeführer mehrfach geltend, gewisse Tatsachenfeststellungen würden "bestritten", ohne den strengen Begründungsanforderungen entsprechend darzutun, inwiefern das Obergericht den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt haben soll (zur offensichtlich unrichtigen Feststellung des Sachverhalts: <ref-ruling> E. 2.3). Auch darauf geht das Bundesgericht nicht ein.
1.4. Anfechtungsobjekt im bundesgerichtlichen Verfahren kann nur der kantonal letztinstanzliche Entscheid, das heisst jener des Obergerichts bilden (<ref-law>). Soweit der Beschwerdeführer unmittelbar die Entscheide der KESB oder des Bezirksrats kritisiert, ist auf seine Beschwerde nicht einzutreten.
1.5. Neue Tatsachen und Beweismittel sind nur zulässig, soweit der vorinstanzliche Entscheid dazu Anlass gibt (<ref-law>). Neu im Sinn dieser Bestimmung sind Tatsachen und Beweismittel, die weder im vorangegangenen Verfahren vorgebracht noch von der Vorinstanz festgestellt worden sind (<ref-ruling> E. 3.3.1 mit Hinweis). Echte Noven, das heisst Tatsachen, die nach dem Zeitpunkt eingetreten sind, in welchem zuletzt Noven vor der Vorinstanz vorgebracht werden konnten, sind unzulässig, zumal sie nicht durch den angefochtenen Entscheid veranlasst worden sein können (vgl. <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.1.2; <ref-ruling> E. 2.1; Urteil 5A_524/2017 vom 9. Oktober 2017 E. 2.3; je mit Hinweisen). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Voraussetzungen für eine nachträgliche Einreichung von Tatsachen und Beweismitteln erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 3 mit Hinweisen).
Neu und unzulässig sind die Beilagen 6 (Massnahmengesuch vom 15. Mai 2020), 7 (Entscheid der KESB vom 20. Mai 2020), 8 (zwei E-Mails der Beiständin vom 25. Januar 2019) und 9 (Auszug aus dem Erziehungsfähigkeitsgutachten vom 14. Januar 2020). Die darin dokumentierten Tatsachen und die darauf basierende Argumentation des Beschwerdeführers bleiben unbeachtlich.
2.
Der Beschwerdeführer macht die Verletzung des rechtlichen Gehörs durch den Bezirksrat geltend (<ref-law>). Er bestreitet die Feststellung des Obergerichts, wonach jener die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege vor seiner eigenen Instanz begründet habe. Der pauschale Verweis auf die Erwägungen der KESB genüge nicht, um aufzuzeigen, warum der Beschwerdeführer keinen Anspruch auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand im Verfahren vor dem Bezirksrat haben sollte. Dieser Einwand ist offensichtlich unbegründet. Der Bezirksrat hat die Abweisung der Beschwerde gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung für das Verfahren vor der KESB wohl teilweise durch pauschalen Verweis auf die Erwägungen der KESB begründet. Demgegenüber befasste sich der Bezirksrat mit der Frage, ob der Beschwerdeführer für das Verfahren vor dem Bezirksrat unentgeltlich zu verbeiständen sei, in der Erwägung 4.4 seines Entscheids und wies das Gesuch mit einer eigenständigen Begründung ab (siehe auch E. 4.2 unten).
3.
Zu beurteilen ist zunächst die Verweigerung der Beiordnung eines (unentgeltlichen) Anwalts im Verfahren vor der KESB.
3.1. Das Obergericht hat <ref-law> angewendet. Mit <ref-law> wird der als verfassungsrechtliche Minimalgarantie in <ref-law> verankerte Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung auf Gesetzesstufe geregelt (<ref-ruling> E. 2.2.3). Die Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege gemäss Art. 117 f. ZPO - hier in Verbindung mit § 40 Abs. 3 EG KESR - stimmen dabei mit denjenigen der Minimalgarantie von <ref-law> überein. Da die hier als subsidiäres kantonales Recht anwendbaren Bestimmungen der ZPO in ihren Voraussetzungen nicht über den verfassungsmässigen Anspruch hinausgehen (<ref-ruling> E. 4.1), ist die Beschwerde unter dem Blickwinkel von <ref-law> zu beurteilen. Entsprechend prüft das Bundesgericht frei, ob der strittige Anspruch verletzt worden ist (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 2.1).
3.2. Nach <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit zur Wahrung ihrer Rechte notwendig, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand.
Die bedürftige Partei hat nach der Rechtsprechung Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung, wenn ihre Interessen in schwerwiegender Weise betroffen sind und der Fall in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bereitet, die den Beizug eines Rechtsvertreters erforderlich machen. Droht das in Frage stehende Verfahren besonders stark in die Rechtsposition der betroffenen Person einzugreifen, ist die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters grundsätzlich geboten (was insbesondere im Strafverfahren zutrifft), sonst nur dann, wenn zur relativen Schwere des Falles besondere tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeiten hinzukommen, denen die Person auf sich alleine gestellt nicht gewachsen wäre (vgl. zum Ganzen BGE <ref-ruling> E. 2.2 mit Hinweisen; Urteile 4A_384/2015 vom 24. September 2015 E. 4; 5A_395/2012 vom 16. Juli 2012 E. 4.3). Dabei sind neben der Komplexität der Rechtsfragen und der Unübersichtlichkeit des Sachverhalts auch in der Person des Betroffenen liegende Gründe zu berücksichtigen, so das Alter, die soziale Situation, Sprachkenntnisse und allgemein die Fähigkeit, sich im Verfahren zurechtzufinden (<ref-ruling> E. 2.5.2; <ref-ruling> E. 2b/cc; je mit Hinweisen). Fehlende Rechtskenntnisse vermögen aber die Notwendigkeit der anwaltlichen Verbeiständung bzw. einen "Ausnahmefall" im Sinn der Rechtsprechung nicht zu begründen (Urteile 9C_485/2016 vom 21. März 2017 E. 4.2; 8C_676/2015 vom 7. Juli 2016 E. 7.2, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2016 IV Nr. 41 S. 134; je mit Hinweis). Massgebend ist schliesslich auch das Prinzip der Waffengleichheit (<ref-ruling> E. 2; Urteil 5A_395/2012 vom 16. Juli 2012 E. 4.3).
Ob die Verbeiständung notwendig ist, bewertet sich nach den konkreten Umständen des Einzelfalls. Die Rechtsnatur des Verfahrens ist ohne Belang. Grundsätzlich fällt die unentgeltliche Verbeiständung für jedes staatliche Verfahren in Betracht, in das der Gesuchsteller einbezogen wird oder das zur Wahrung seiner Rechte notwendig ist (BGE <ref-ruling> E. 2.2 mit Hinweis). Im vorliegenden Kontext haben die Behörden den Sachverhalt von Amtes wegen zu erforschen (Art. 446 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Zwar schliesst die Untersuchungsmaxime die sachliche Notwendigkeit einer anwaltlichen Verbeiständung nicht generell aus. Immerhin rechtfertigt es sich, an die Voraussetzungen, unter denen eine rechtsanwaltliche Verbeiständung sachlich geboten ist, einen strengen Massstab anzulegen (Urteil 8C_676/2015 vom 7. Juli 2016 E. 7.2 mit Hinweis, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2016 IV Nr. 41 S. 134).
3.3.
3.3.1. Im Verfahren vor der KESB ist zu beurteilen, ob die eingesetzte Beiständin auszuwechseln sei. Es geht mithin weder um die Errichtung einer Beistandschaft noch um eine (allenfalls zusätzliche) Einschränkung des elterlichen Sorgerechts. Die Interessen des Beschwerdeführers sind zwar insoweit betroffen, als er grundsätzlich gehalten ist, mit der - zum Schutz des Kindeswohls bestellten (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.1) - Beiständin zu kooperieren. Durch diese eher beschränkte Betroffenheit werden die Interessen des Beschwerdeführers freilich nicht schwerwiegend im Sinn der vorzitierten Rechtsprechung tangiert. Nichts zu seinen Gunsten abzuleiten vermag der Beschwerdeführer, wenn er ausführt, die "Beistandsperson [habe] den Beschwerdeführer in seiner Vater- und Erziehungsrolle zu unterstützen gehabt", sie habe "regelmässig Berichte verfasst, die schliesslich der Beurteilung der Erziehungsfähigkeit und der Tauglichkeit des Beschwerdeführers, seine Rolle als Vater wahrzunehmen, zugrunde gelegt würden". Eine schwere Betroffenheit ergibt sich auch nicht aus dem Vorbringen des Beschwerdeführers, wonach seine Kinder über ein Jahr durch eine Person verbeiständet gewesen seien, zu welcher er das Vertrauen verloren habe, zumal die Beiständin der Kinder einen wesentlichen Einfluss auf die Eltern habe und sein Leben in erheblicher Art und Weise erschwere, wenn das Vertrauensverhältnis nicht mehr gegeben sei, zumal die Vorwürfe der Beiständin gegen den Beschwerdeführer schwer wögen. Die subjektiv empfundene Belastungssituation des Beschwerdeführers dürfte sich nicht zuletzt aus seiner Haltung den anderen Verfahrensbeteiligten gegenüber ergeben.
3.3.2. Der Beschwerdeführer bringt weiter vor, der Rechtsstreit weise in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten auf, die den Beizug eines Rechtsvertreters erforderlich machten. Er sei mit dem Verfahren überfordert, zumal das Verfahren "nur auf Nachfrage hin habe in Gang gehalten werden können", die KESB das Verfahren sistiert habe, der Bezirksrat zu einer "ganz anderen Rechtsantwort gekommen sei" und der Beschwerdeführer sich "mit mehreren Adressaten und Akteuren, der Beiständin, der KESB und dem Bezirksrat (einschliesslich Erziehungsfähigkeitsgutachten) konfrontiert" sehe.
Vorab ist daran zu erinnern, dass die Geltung der Untersuchungs- und Offizialmaxime im Kindesschutzverfahren (Art. 446 Abs. 1 und 3 i.V.m. <ref-law>) die unentgeltliche Verbeiständung zwar nicht ausschliesst. Die Geltung dieser Grundsätze rechtfertigt es aber, an die Voraussetzungen, unter denen eine Verbeiständung sachlich geboten ist, einen strengen Massstab anzulegen (vorne E. 3.2). Zu bedenken ist sodann, dass jedes Kindesschutzverfahren eine Gefährdung des Kindeswohls (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.1) und damit eine Ausnahmesituation voraussetzt.
Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist nicht ersichtlich, dass das vorliegende Verfahren im Gegensatz zu anderen Kindesschutzverfahren besonders kompliziert wäre, sodass trotz der Geltung der Untersuchungs- und der Offizialmaxime (vgl. E. 3.2 oben) der Beizug einer Rechtsvertretung notwendig wäre. Der Beschwerdeführer bedarf keiner besonderen Rechtskenntnisse, um sich zur Problematik (Auswechslung der Beistandsperson) äussern und seine Interessen sachgerecht vortragen zu können. Soweit er geltend macht, entgegen der Ansicht des Obergerichts sei es nicht nur darum gegangen, ob aufgrund der E-Mail vom 7. Februar 2019 ein Wechsel der Beistandsperson angezeigt sei, vielmehr habe der Vorfall im Februar 2019 "das Fass zum Überlaufen" gebracht und eine Auswechslung der Beiständin bedürfe einer Gesamtschau der Ereignisse, stehen seine Ausführungen zum einen im Widerspruch zur Sachverhaltsfeststellung des Obergerichts, wonach der Beschwerdeführer sein Gesuch um Wechsel der Beistandsperson gerade und einzig mit der E-Mail vom 7. Februar 2019 begründet hat, ohne dass er diesbezüglich eine eigentliche Sachverhaltsrüge erhebt (E. 1.3), und zum anderen stellt der Beschwerdeführer auf einen Sachverhalt ab, der sich nicht aus dem angefochtenen Entscheid ergibt, so dass das Bundesgericht ohnehin nicht darauf abstellen könnte.
3.3.3. Grundsätzlich zu Recht verweist der Beschwerdeführer darauf, dass eine unentgeltliche Vertretung sich auch aufgrund tatsächlicher Schwierigkeiten rechtfertigen kann, welche in seiner Person liegen (vgl. vorne E. 3.2). Insoweit bringt der Beschwerdeführer vor, dass seine Deutsch- und Rechtskenntnisse stark ungenügend seien, er grundsätzlich bei jeder Kommunikation gegenüber den Behörden auf Hilfe angewiesen sei wie beispielsweise für die Verlängerung der Pässe seiner Kinder. Er widerspricht der Feststellung des Obergerichts, wonach er seine Anliegen ohne Mühe habe vortragen können, bei den Behörden auf offene Ohren gestossen sei und sich in der viel bedeutenderen Frage des Entzugs und der Wiederherstellung des Aufenthaltsbestimmungsrechts über die gemeinsamen Kinder habe Ausdruck verschaffen, Anträge stellen und diese begründen können, denn mit Entscheid vom 8. August 2017 sei das Aufenthaltsbestimmungsrecht entzogen und die Kinder seien platziert worden, woraus ersichtlich sei, dass er seine Interessen nur unzureichend wahrnehmen könne. Selbst wenn er in der Lage gewesen wäre, seinen Wunsch nach einem Beistandswechsel zu äussern, genüge dies nicht, den Wunsch auch durchzusetzen. Entsprechend könne gestützt auf die Argumentation, dass es einem Rechtssuchenden möglich gewesen sei, einen Wunsch zu äussern, nicht die anwaltliche Vertretung abgesprochen werden. Es gelte vielmehr zu beachten, dass die die unentgeltliche Rechtspflege beantragende Partei nicht nur in der Lage zu sein habe, ein Verfahren zu initiieren, sondern es auch zweckmässig weiterzuführen. Der Beschwerdeführer müsse in der Lage sein, nicht nur gegenüber der KESB den Wunsch nach einem Wechsel der Beistandsperson zu äussern, sondern auch sicherzustellen, dass das Verfahren zweckmässig, zielführend, innert eines angemessenen Zeitraums und dem Gesetz entsprechend weitergeführt und abgeschlossen werde und dies alles, ohne dass dabei seine Rechte verletzt würden. Dies sei im vorliegenden Verfahren nicht der Fall gewesen. Auch hier beschränkt sich der Beschwerdeführer darauf, in appellatorischer Weise das Gegenteil dessen zu behaupten, was das Obergericht festgestellt hat (bspw. dass der Beschwerdeführer eigenen Angaben zufolge Deutsch spreche, wenn auch nicht fliessend); darauf ist nicht einzugehen (E. 1.3).
3.3.4. Schliesslich wendet der Beschwerdeführer ein, die vom Obergericht angeführte Tatsache, dass die Ehefrau des Beschwerdeführers in diesem Verfahren selber nicht anwaltlich vertreten sei, sei kein stichhaltiges Gegenargument gegen die anwaltliche Vertretung des Beschwerdeführers, da sie im Verfahren um Beistandswechsel bisher nicht um eine Stellungnahme ersucht worden sei.
Die Ehefrau wird bisher unstrittig nicht anwaltlich vertreten, sodass sich für den Beschwerdeführer keine Nachteile ergeben. Ob sich hieran in Zukunft etwas ändert, braucht nicht geklärt zu werden: Zwar mag die Notwendigkeit der anwaltlichen Vertretung prospektiv zu beurteilen sein. Indessen bedarf es einer gewissen Sicherheit, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt, damit es zu berücksichtigen ist (vgl. Urteil 8C_246/2015 vom 6. Januar 2016 E. 3.2.1). Sollte die Ehefrau dereinst mit Unterstützung eines Anwalts im Verfahren auftreten, steht es dem Beschwerdeführer frei, ein erneutes Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung zu stellen.
3.4. Zusammenfassend konnte das Obergericht ohne Verfassungsverletzung zum Schluss gelangen, dass die KESB dem Beschwerdeführer keinen unentgeltlichen Rechtsvertreter beiordnen musste. In diesem Punkt erweist sich die Beschwerde als unbegründet.
4.
Streitig ist ferner die Verweigerung der Beiordnung eines (unentgeltlichen) Anwalts im Verfahren vor dem Bezirksrat.
4.1. Für das Rechtsmittelverfahren ist die unentgeltliche Rechtspflege neu zu beantragen (so ausdrücklich <ref-law>), was der Beschwerdeführer denn auch getan hat. Damit wird für dieses Verfahren ein neues Gesuch und ein neuer Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege nötig. Für das neu einzureichende Gesuch bestehen grundsätzlich dieselben formellen Anforderungen wie für das Gesuch vor der ersten Instanz, also insbesondere auch bezüglich der Mitwirkungspflicht bei der Abklärung der Mittellosigkeit (zum Ganzen: Urteil 5A_716/2018 vom 27. November 2018 E. 4.3 mit Hinweisen).
4.2. Der Bezirksrat erwog - worauf das Obergericht zulässigerweise verweist -, der Beschwerdeführer habe auch für das Verfahren vor dem Bezirksrat um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. Ausführungen dazu habe er aber keine gemacht. Zudem habe er keine aktuellen Unterlagen zu seinen finanziellen Mitteln eingereicht. Da der Beschwerdeführer in der Sache obsiege und folglich keine Prozesskosten erhoben würden, erweise sich das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege als gegenstandslos und sei abzuschreiben. Mit Bezug auf das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung treffe dies nicht zu. Vorliegend gehe es um die Sistierung des Verfahrens betreffend Beistandswechsel. Die Interessen des Beschwerdeführers seien daher nicht in schwerwiegender Weise betroffen und die Sistierung des Verfahrens greife somit nicht stark in die Rechtsposition des Beschwerdeführers ein. Ferner stellten sich vorliegend keine rechtlich und tatsächlich schwierigen Fragen, die den Beizug eines Rechtsbeistandes erfordern würden. Zudem habe sich die Kindesmutter nicht in das Verfahren eingebracht und diese sei auch nicht anwaltlich vertreten. Aus diesen Gründen sei dem Beschwerdeführer kein unentgeltlicher Anwalt zu bestellen.
4.3. Mithin hat der Bezirksrat das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung für das Verfahren vor seiner Instanz aus zwei voneinander unabhängigen Gründen (fehlender Nachweis der Mittellosigkeit; fehlende Notwendigkeit einer anwaltlichen Verbeiständung) abgewiesen. Begründet eine Behörde ihren Entscheid mit zwei oder mehreren voneinander unabhängigen Argumenten, ist jede der den Entscheid tragenden Erwägungen zu beanstanden, ansonsten das Bundesgericht auf die Rüge nicht eintritt (<ref-ruling>4 E. 2.4 in fine mit Hinweisen). Im bundesgerichtlichen Verfahren befasst sich der Beschwerdeführer nicht mit der Frage seiner Mittellosigkeit im Verfahren vor dem Bezirksrat. Möglicherweise hat er sich durch die Erwägung des Obergerichts, wonach "der Bezirksrat seinen Entscheid weder mit fehlender Mittellosigkeit noch fehlenden Aussichten des Standpunktes des Beschwerdeführers begründet [habe], sondern damit, dass der [L]etztere keiner anwaltlichen Vertretung bedürfe, um seinen Standpunkt ausreichend geltend machen zu können, wonach die Person des Beistandes auszuwechseln sei" (1. Absatz der E. II/4 des angefochtenen Entscheids), in die Irre führen lassen. Mit dem unmissverständlichen Hinweis des Obergerichts auf die Auswechslung des Beistandes wird verdeutlicht, dass es sich diesbezüglich nur um die Begründung der Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung im Verfahren vor der KESB handeln konnte, weil sich im Verfahren vor dem Bezirksrat nicht diese, sondern eine andere Frage stellte, nämlich ob der Beschwerdeführer im Streit um die Sistierung des Verfahrens um Auswechslung des Beistandes Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung habe. Dieser Unterschied ist dem Beschwerdeführer im Verfahren vor Obergericht denn auch nicht entgangen, hat er dort zwar nicht bestritten, dem Bezirksrat keine aktuellen Unterlagen zu seinen finanziellen Mitteln eingereicht zu haben, aber immerhin geltend gemacht, die Tatsache, dass er nicht über hinreichende finanzielle Mittel verfüge, ergebe sich aus den Akten der KESB, und seine finanzielle Situation habe sich seither sogar verschlechtert, da er seine Stelle verloren habe und zurzeit auf Zahlung der Arbeitslosenversicherung und der Sozialhilfe angewiesen sei (Ziff. B/6 der Beschwerde an das Obergericht). Mithin wäre der Beschwerdeführer gehalten gewesen, die Frage der Mittellosigkeit im bundesgerichtlichen Verfahren zu thematisieren. Die Unterlassung hat er sich selbst zuzuschreiben. Seine diesbezügliche Rüge ist deshalb nicht zu behandeln, weshalb sich Ausführungen über die Notwendigkeit der Verbeiständung erübrigen.
5.
Sodann ist die Verweigerung der Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Verfahren vor Obergericht streitig.
5.1. Das Obergericht hat die Beschwerde für aussichtslos erklärt, und zwar unter Hinweis auf die zur Sache gemachten Erwägungen.
5.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, ein Mitglied des Spruchkörpers habe zu der hier aufgeworfenen Frage eine abweichende Meinung vertreten und habe die Beschwerde gutheissen wollen, weshalb diese von vornherein nicht aussichtslos gewesen sein könne.
5.3. Als aussichtslos sind Begehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten, wobei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgebend sind (<ref-ruling> E. 2.2.4 mit Hinweis).
Ist sich ein Spruchkörper nicht einig, kann in der Regel nicht von Aussichtslosigkeit im Sinne der Rechtsprechung ausgegangen werden. Erachtet die Gerichtsmehrheit die Sache trotz der abweichenden Meinung der Gerichtsminderheit als aussichtslos, hat sie dies zu begründen, ansonsten ein Verstoss gegen das verfassungsmässige Recht von <ref-law> vorliegt (vgl. Urteil 2C_644/2014 vom 9. Februar 2015 E. 2.4).
5.4. Gemäss E. II/8 des angefochtenen Entscheids hat ein Gerichtsmitglied seine abweichende Meinung zu Protokoll gegeben. In der Tat beantragte und begründete eine Richterin die Gutheissung der Beschwerde und die Gewährung der unentgeltlichen Rechtsvertretung für die Verfahren vor der KESB, dem Bezirksrat und dem Obergericht. Die Gerichtsmehrheit begründet nicht, weshalb die Angelegenheit trotz der Minderheitsmeinung aussichtslos sei. Damit liegt in diesem Punkt ein Verstoss gegen das verfassungsmässige Recht von <ref-law> vor.
6.
Schliesslich verlangt der Beschwerdeführer für das Verfahren vor dem Bezirksrat eine Parteientschädigung von Fr. 2'331.80 (Rechtsbegehren Ziff. 8). Es bleibt indes unklar, ob er diese Forderung aus seinem Obsiegen oder aus seinem Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ableitet. Soweit Letzteres der Fall wäre, könnte darauf nicht eingetreten werden.
Immerhin ergibt sich aus den Erwägungen des Obergerichts, dass dieses die Entschädigungsforderung unter dem Gesichtspunkt des Obsiegens in der vom Bezirksrat zu entscheidenden Frage der Sistierung geprüft und verneint hat. Das Vorgehen der KESB, den Antrag auf Beistandswechsel erst später zu entscheiden, sei nicht qualifiziert falsch und eine Entschädigung zulasten der Gerichtskasse erfolge nur bei eigentlichen (erstinstanzlichen) Gerichtspannen.
In diesem Punkt begnügt sich der Beschwerdeführer damit, den Entscheid der KESB zur Sistierung als qualifiziert unrichtig zu bezeichnen, da er sich auf eine Argumentation stütze, welche - wie es der Bezirksrat selbst festhalte - nicht nachvollzogen werden könne. Der Beschwerdeführer nennt aber keine kantonale Bestimmung, aus welcher sich der geltend gemachte Entschädigungsanspruch ergäbe und die das Obergericht unter Verletzung verfassungsmässiger Rechte qualifiziert falsch angewendet haben könnte. Soweit der Beschwerdeführer aus dem Obsiegen im Verfahren vor dem Bezirksrat einen Entschädigungsanspruch ableitet, ist mangels Substanziierung der Rüge nicht auf sein Rechtsbegehren einzutreten (vgl. E. 1.2).
7.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen, Ziff. 1 des Beschlusses sowie Ziff. 1 Abs. 2 und Ziff. 2 des Urteilsdispositivs des Obergerichts vom 23. Juni 2020 sind aufzuheben und die Sache ist zur Neubeurteilung des Anspruchs auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im Verfahren vor dem Obergericht an dieses zurückzuweisen. Im Übrigen erweist sich die Beschwerde als unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann. Auf die Erhebung von Gerichtskosten wird infolge des teilweisen Obsiegens verzichtet (Art. 66 Abs. 1 in fine und Abs. 4 BGG). Der Kanton Zürich hat dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers eine reduzierte Parteientschädigung zu entrichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG i.V.m. Art. 2 und Art. 6 des Reglements vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht [SR 173.110.210.3]). Mit Bezug auf die Gerichtskosten wird das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren mithin gegenstandslos, nicht jedoch hinsichtlich der unentgeltlichen Verbeiständung. Der Beschwerdeführer hat mit seiner Beschwerdeschrift für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung vor der KESB, dem Bezirksrat und dem Obergericht jeweils einzelne Rechtsbegehren gestellt. Betreffend das Verfahren vor der KESB und dem Bezirksrat waren diese, wie die vorstehenden Erwägungen aufzeigen, von vornherein aussichtslos. Sein Gesuch ist deshalb abzuweisen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1 mit Hinweisen und E. 4.3).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Ziff. 1 des Beschlusses sowie Ziff. 1 Abs. 2 und Ziff. 2 des Urteilsdispositivs des Obergerichts des Kantons Zürich vom 23. Juni 2020 werden aufgehoben und die Sache wird zur Neubeurteilung des Anspruchs auf unentgeltliche Rechtspflege im Verfahren vor dem Obergericht an dieses zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Der Kanton Zürich hat den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 800.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Bezirk Dielsdorf, dem Bezirksrat Dielsdorf und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Dezember 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Gutzwiller