Sachverhalt:
Mit Verfügung vom 7. August 2018 lehnte die IV-Stelle des Kantons Solothurn das Rentengesuch des 1976 geborenen A._ mangels eines leistungsbegründenden Invaliditätsgrades ab.
Das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn wies die dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 27. Mai 2019 ab.
A._ lässt Beschwerde ans Bundesgericht führen mit dem Antrag auf Zusprechung einer Invalidenrente; eventuell sei die Sache zur Einholung eines Gerichtsgutachtens an die Vorinstanz oder zur ergänzenden medizinischen Abklärung an die IV-Stelle zurückzuweisen. Überdies ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Weder IV-Stelle noch Bundesamt für Sozialversicherungen haben sich zur Beschwerde vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde ans Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen (u.a.) Bundesrecht verletzt (<ref-law>), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, <ref-law>). Hingegen hat eine freie Überprüfung des vorinstanzlichen Entscheids in tatsächlicher Hinsicht zu unterbleiben. Ebenso entfällt eine Prüfung der Ermessensbetätigung nach den Grundsätzen zur Angemessenheitskontrolle.
2.
Die Vorinstanz hat die gesetzlichen Bestimmungen und von der Rechtsprechung entwickelten Grundsätze, namentlich diejenigen über den Umfang des Rentenanspruchs (<ref-law>) und die Bemessung des Invaliditätsgrades bei erwerbstätigen Versicherten nach der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs (<ref-law> [SR 830.1] in Verbindung mit <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.4 S. 348; <ref-ruling> E. 1 S. 30; <ref-ruling> E. 2a und b S. 136), zutreffend dargelegt. Hierauf wird verwiesen.
3.
3.1. Des Weitern hat das kantonale Gericht gestützt auf die interdisziplinäre Expertise des Zentrums für medizinische Begutachtung (ZMB), Basel, vom 2. November 2017 erkannt, dass dem Beschwerdeführer eine angepasste Erwerbstätigkeit (in körperlicher Hinsicht leicht bis mittelschwer, ohne Zwangshaltung oder repetitives Arbeiten) nach wie vor in einem Vollzeitpensum zumutbar sei. Gleichzeitig hat es jedoch festgestellt, im Rahmen der zuzumutenden Vollzeitstelle bestehe aufgrund der (neurologisch attestierten) Schmerzproblematik seit Januar 2016 und wegen der zusätzlich hinzugetretenen depressiven Symptomatik seit März 2016 eine Leistungseinschränkung (für deren Ausmass vgl. E. 4 hienach).
3.2. Diese Beweiswürdigung der Vorinstanz ist weder offensichtlich unrichtig noch in anderer Weise rechtswidrig und deshalb für das Bundesgericht verbindlich (vgl. E. 1 hievor). Die Beschwerde beschränkt sich in weiten Teilen darauf, bundesgerichtliche Rechtsprechung wiederzugeben, ohne sich inhaltlich mit den entsprechenden entscheidwesentlichen Erwägungen der Vorinstanz auseinanderzusetzen. Damit lässt sich jedoch weder willkürliches vorinstanzliches Vorgehen noch die anderweitige Verletzung von Bundesrecht belegen. Soweit sich der Beschwerdeführer auf den Bericht des Röntgeninstituts C._ vom 4. Juni 2019 beruft, steht der diesbezüglichen Berücksichtigung das Novenverbot von <ref-law> entgegen.
4.
Zu Prüfen ist hingegen der Einwand in der Beschwerdeschrift, wonach bei einerseits durch das neurologische und andererseits durch das psychiatrische Teilgutachten bescheinigte Leistungsbeeinträchtigungen von 20 % bzw. 30 % zwingend eine höhere Gesamtarbeitsunfähigkeit resultiere als die von Vorinstanz und IV-Stelle anerkannte 30%ige Einschränkung in angepassten Ganztagstätigkeiten.
4.1. Der Zweck interdisziplinärer Gutachten besteht darin, alle relevanten gesundheitlichen Beeinträchtigungen zu erfassen und die sich daraus je einzeln ergebenden Einschränkungen der Arbeitsfähigkeit in ein Gesamtergebnis zu bringen. Der abschliessenden, gesamthaften Beurteilung von Gesundheitszustand und Arbeitsfähigkeit kommt damit dann grosses Gewicht zu, wenn sie auf der Grundlage einer Konsensdiskussion der an der Begutachtung mitwirkenden Fachärzte erfolgt (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 128; <ref-ruling> E. 1.2.4 S. 224).
Häufig besteht kein Anlass, unter verschiedenen medizinischen Titeln ausgewiesene Teilarbeitsunfähigkeiten zu kumulieren, da der Umfang der grössten Teileinschränkung auch die weiteren Entlastungserfordernisse abdeckt. Selbst wenn sich beispielsweise neben einer aus psychiatrischer Sicht eingeschränkten Arbeitsfähigkeit zusätzlich noch eine somatisch begründbare "quantitative" Arbeitsunfähigkeit isoliert darstellen liesse, könnte daraus nicht ohne weiteres auf eine Erhöhung der insgesamt, aus sämtlichen Beschwerden resultierenden Arbeitsunfähigkeit geschlossen werden. Eine einfache Addition verschiedener Teilarbeitsunfähigkeiten kann je nach den konkreten Fallmerkmalen ein zu hohes oder zu niedriges Ergebnis zeitigen (SVR 2008 IV Nr. 15 S. 43, I 514/06 E. 2.1; Urteile 8C_793/2017 vom 8. Mai 2018 E. 5.3 und 9C_345/2017 vom 30. August 2017 E. 3.3.1). Ob sich die einzelnen aus mehreren Behinderungen resultierenden Einschränkungsgrade summieren und in welchem Masse, betrifft eine spezifisch medizinische Problematik und Einschätzung, von der das Gericht grundsätzlich nicht abrückt (RDAT 2002 I Nr. 72 S. 485, I 338/01 E. 2b; Urteil 9C_211/2016 vom 18. Oktober 2016 E. 5.2.2; Meyer/Reichmuth, Rechtsprechung des Bundesgerichts zum IVG, 3. Aufl. 2014, N. 265 zu Art. 28a).
4.2. Die erwähnten neurologisch bzw. psychiatrisch attestierten Leistungsbeeinträchtigungen von 20 % resp. 30 % bei Ausübung einer adaptierten Ganztagstätigkeit (E. 4 Ingress hievor) werden im interdisziplinären ZMB-Gutachten auch unter dem Titel "Resultate der Konsenskonferenz" bloss einzeln nebeneinander angeführt, ohne dass klar würde, ob und gegebenenfalls in welchem Masse die beiderseitigen Rendementeinschränkungen aus Sicht des Expertenteams im Rahmen einer Gesamtbetrachtung zu kumulieren wären. Dies mag damit zusammenhängen, dass die medizinische Beurteilung am 6. September 2017 anlässlich einer gemeinsamen Sitzung der Verfasser des allgemeinmedizinischen, des orthopädischen und des psychiatrischen Teilgutachtens sowie "im Konsens mit dem am Gutachten beteiligten Neurologen Dr. D._" erfolgte. Letzteres lässt darauf schliessen, dass der neurologische Teilgutachter an der Konsenskonferenz nicht teilnahm. Die Frage kann indessen offen bleiben, da eine abschliessende Konsensdiskussion aller an der Begutachtung mitwirkenden Fachärzte zwar ideal, aber nicht zwingend ist (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 128). Entscheidend ist hier, dass sich aufgrund des (ansonsten voll beweiskräftigen) ZMB-Gutachtens die rechtsrelevante Frage nach einer Überschneidung oder Kumulation der einzelnen ausgewiesenen Teilarbeitsunfähigkeiten nicht beantworten lässt. Indem die Vorinstanz in dieser Situation auf die erwähnte Rechtsprechung verweist, wonach "häufig" kein Anlass bestehe, unter verschiedenen medizinischen Titeln ausgewiesene funktionelle Einschränkungen zu kumulieren, und die von der IV-Stelle zugebilligte Arbeitsunfähigkeit von insgesamt 30 % aufgrund medizinischer Überlegungen als "einleuchtend" und "angemessen" bezeichnet, verletzt sie Bundesrecht. Das kantonale Gericht übersieht nämlich, dass es im vorliegenden Zusammenhang um spezifisch medizinische Fragen geht, welche primär von Fachärztinnen und -ärzten und nicht von den rechtsanwendenden Behörden zu beantworten sind (E. 4.1 hievor in fine).
4.3. Die IV-Stelle, an welche die Sache zurückzuweisen ist, wird den ZMB-Gutachtern die Ergänzungsfragen zu stellen haben, wie sich die jeweiligen Teileinschränkungen aus neurologischer und psychiatrischer Sicht zueinander verhalten und wie hoch die Gesamtarbeitsunfähigkeit in einer zumutbaren (vollschichtigen) Verweisungstätigkeit zu veranschlagen ist. Gestützt darauf wird die Verwaltung über den Rentenanspruch des Beschwerdeführers erneut zu befinden haben.
5.
Die Rückweisung der Sache zu ergänzender Abklärung gilt für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten wie auch der Parteientschädigung als vollständiges Obsiegen im Sinne von Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG, unabhängig davon, ob sie beantragt und ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder im Eventualantrag gestellt wird (<ref-ruling> E. 11.1 S. 312; <ref-ruling> E. 7.1 S. 271; <ref-ruling> E. 6.1 S. 235). Somit hat die unterliegende IV-Stelle die Gerichtskosten zu tragen und dem fachlich ausgewiesen vertretenen Beschwerdeführer eine Parteientschädigung auszurichten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 27. Mai 2019 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Solothurn vom 7. August 2018 werden aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Verfügung an die IV-Stelle des Kantons Solothurn zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2000.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. November 2019
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Der Gerichtsschreiber: Attinger