Erwägungen:
1.
1.1. Am 20. Oktober 2020 reichten die A._ AG sowie deren Verwaltungsratspräsident B._ je ein Schadenersatz- und Genugtuungsbegehren beim Eidgenössischen Finanzdepartement (EFD) ein, wobei als Schadensverursacher die Eidgenossenschaft, die Eidgenössische Verwaltung und Personen nach Art. 1 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 14. März 1958 über die Verantwortlichkeit des Bundes sowie seiner Behördemitglieder und Beamten (Verantwortlichkeitsgesetz; VG; SR 170.32) genannt wurden. Mit Verfügung vom 22. September 2021 wies das EFD die Begehren ab.
Am 7. Juni 2021 erhoben die A._ AG und B._ sodann Klage beim Bundesgericht gegen die Schweizerische Eidgenossenschaft wegen unerlaubten Unterlassungen und Handlungen durch Mitglieder des Bundesrats. Das Bundesgericht eröffnete in der Folge das Verfahren 2E_3/2021. Mit Urteil vom 14. März 2022 wies das Bundesgericht die Klage ab.
Zusammen mit ihrer Stellungnahme zur Klageantwort im Verfahren 2E_3/2021 erhoben die A._ AG und B._ mit Eingabe vom 30. November 2021 Beschwerde gegen die Verfügung des EFD vom 22. September 2021 und beantragten unter anderem, die Verfügung "sei als ungültig zu erklären". Das Bundesgericht eröffnete daraufhin das Verfahren 2C_976/2021.
1.2. Mit Urteil vom 14. Dezember 2021 trat das Bundesgericht auf die Beschwerde mangels gültigen Anfechtungsobjektes nicht ein. Zudem erachtete das Bundesgericht das Rechtsmittel als offensichtlich verspätet und sah in der Folge von einer Überweisung zuständigkeitshalber an das Bundesverwaltungsgericht ab.
1.3. Mit Eingabe vom 14. Januar 2022 (Postaufgabe) ersuchten die A._ AG und B._ um Revision des Urteils 2C_976/2021. Das Revisionsgesuch wurde mit Urteil 2F_4/2022 vom 28. Januar 2022 abgewiesen.
1.4. Mit einer als "Beschwerde" bezeichneten Eingabe vom 19. Februar 2022 gelangen die A._ AG und B._ erneut an das Bundesgericht. Die Eingabe betrifft das Urteil 2F_4/2022 vom 28. Januar 2022, das Verfahren 2E_3/2021 sowie das im Verfahren 2E_3/2021 gestellte Ausstandsgesuch vom 5. Januar 2022 gegen den ehemaligen Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts, alt Bundesrichter Seiler.
Das Bundesgericht eröffnete daraufhin das vorliegende Verfahren 2F_10/2022.
Nach Erhalt der Eingangsanzeige warfen die A._ AG und B._ dem Bundesgericht in einem vom 23. Februar 2022 datierten Schreiben eine "intransparente Handlungsweise" vor; gleichzeitig hielten sie an ihrer "Beschwerde" gegen das Urteil 2F_4/2022 fest.
2. Das Bundesgericht nimmt die Eingabe vom 19. Februar 2022 als Revisionsgesuch entgegen, soweit damit "Beschwerde nach <ref-law> gegen das Bundesgerichtsurteil 2F_4/2022 vom 28. Januar 2022 betreffend Verfahren 2C_976/2021" erhoben wird.
Es wird kein Schriftenwechsel durchgeführt.
3.
3.1. Urteile des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (<ref-law>). Gegen Urteile des Bundesgerichts steht kein ordentliches Rechtsmittel und somit auch keine Beschwerde zur Verfügung (vgl. Urteil 2F_14/2018 vom 9. August 2018 E. 2). Auch eine allfällige Rechtsverzögerungs- bzw. Rechtsverweigerungsbeschwerde (Art. 94 und Art. 100 Abs. 7 BGG) kann nur gegen Entscheide einer der in den Art. 75, 80 und 86 BGG genannten Vorinstanzen des Bundesgerichts geführt werden (vgl. NICOLAS VON WERDT, in: Seiler/von Werdt/Güngerich/Oberholzer [Hrsg.], SHK Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2. Aufl. 2015 [nachfolgend: SHK BGG], N. 10 zu Art. 94 und N. 23 zu <ref-law>).
3.2. Eine nochmalige Überprüfung der einem Urteil des Bundesgerichts zu Grunde liegenden Streitsache ist grundsätzlich ausgeschlossen. Das Gericht kann auf seine Urteile nur zurückkommen, wenn einer der in den <ref-law> abschliessend aufgeführten Revisionsgründe vorliegt.
Unter den Anwendungsbereich der Revision fallen in erster Linie Sach-, aber auch Prozessurteile (Urteil 8F_1/2020 vom 6. Mai 2020 E. 3.2; vgl. NIKLAUS OBERHOLZER, in: SHK BGG, a.a.O., N. 4 zu <ref-law>). Das schliesst bundesgerichtliche Revisionsurteile ein. Die Revision eines solchen verlangt jedoch, dass einer der gesetzlich vorgesehenen Revisionsgründe gegeben ist, und zwar in Bezug auf das beanstandete Revisionsurteil selbst. Davon zu unterscheiden gilt es die Möglichkeit, nach einem ersten Revisionsurteil ein weiteres Revisionsgesuch gegen das zuvor in der Sache ergangene bundesgerichtliche Urteil zu verlangen. Dies setzt - nebst Wahrung der Frist (vgl. <ref-law>) - voraus, dass ein bislang nicht angerufener Revisionsgrund vorgetragen wird. Von vornherein ausser Betracht fällt hingegen, dass mit einem neuerlichen "Revisionsgesuch" die schon im ersten Gesuch vorgetragenen Gründe ein weiteres Mal angerufen werden. Derlei liefe auf eine Wiedererwägung des Revisionsurteils hinaus. Dafür besteht keine gesetzliche Grundlage, genauso wenig wie für die Wiedererwägung jeglicher bundesgerichtlicher Urteile (Urteile 8F_1/2020 vom 6. Mai 2020 E. 3.2; 8F_2/2020 vom 1. April 2020 E. 1.2 mit Hinweisen).
3.3. Revisionsgesuche müssen den Begründungsanforderungen nach Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG genügen, weshalb die gesuchstellende Person in gedrängter Form darzulegen hat, inwiefern der von ihr behauptete Revisionsgrund vorliegen soll (Urteile 5F_9/ 2021 vom 10. Juni 2021 E. 1; 2F_3/2021 vom 25. Mai 2021 E. 1; 9F_13/2020 vom 12. April 2021 E. 2.1; 2F_26/2019 vom 14. November 2019 E. 1.1).
3.4. Vorab ist festzuhalten, dass die von den Gesuchstellern erhobene Kritik am Verfahren 2E_3/2021 über den Gegenstand des vorliegenden Revisionsverfahrens hinaus geht. Das Revisionsgesuch erweist sich diesbezüglich von vornherein als unzulässig. Dies betrifft auch das gegen alt Bundesrichter Seiler im Rahmen jenes Verfahrens gestellte Ausstandsgesuch, welches zusammen mit dem Entscheid in der Sache beurteilt wurde, wie es den Gesuchstellern mit Schreiben vom 11. Februar 2022 mitgeteilt wurde. Soweit die Gesuchsteller in diesem Zusammenhang auch eine Rechtsverzögerungs- bzw. Rechtsverweigerungsbeschwerde erheben wollen, wurde im Übrigen bereits ausgeführt, dass eine solche gegen die angebliche Verzögerung oder Verweigerung eines Entscheids durch das Bundesgericht nicht zur Verfügung steht (vgl. E. 3.1 hiervor).
Ebenfalls unzulässig ist das Revisionsgesuch, soweit darin die Amtshandlungen von alt Bundesrichter Seiler im Verfahren 2C_976/2021 unter Hinweis auf dessen angebliche Befangenheit beanstandet werden und geltend gemacht wird, dieser habe in den Ausstand treten müssen. Die entsprechenden Vorbringen der Gesuchsteller zielen auf eine Wiedererwägung des Urteils 2F_4/2022 vom 28. Januar 2022 ab, was vorliegend nicht mehr möglich ist (vgl. E. 3.2 hiervor). Sollten die Gesuchsteller die Verletzung weiterer Verfahrensvorschriften (Art. 121 lit. b-d BGG) im Verfahren 2C_976/2021 rügen wollen, wären ihre Vorbringen ohnehin verspätet (vgl. <ref-law> und E. 3.2 hiervor).
3.5. In ihrer teilweise weitschweifigen Eingabe nennen die Gesuchsteller keinen konkreten Revisionsgrund gemäss Art. 121-123 BGG gegen das Urteil 2F_4/2022. Ob sie sich mit ihrer Kritik an den bundesgerichtlichen Sachverhaltsfeststellungen, der Kostenregelung und der Rechtsstaatlichkeit des Verfahrens zumindest sinngemäss auf den Revisionsgrund von <ref-law> berufen wollen, ist unklar. Es ist indessen festzuhalten, dass dieser Revisionsgrund dann vorliegt, wenn das Gericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat. Der entsprechende Revisionsgrund kann zudem nur angerufen werden, wenn die unberücksichtigten Tatsachen als erheblich zu bezeichnen sind. Davon ist auszugehen, wenn deren Berücksichtigung zugunsten des Gesuchstellers zu einer anderen Entscheidung hätte führen müssen (<ref-ruling> E. 3; Urteile 1F_6/2021 vom 1. März 2021 E. 2.2; 2F_26/2019 vom 14. November 2019 E. 3.1 mit Hinweisen).
Mit ihren Vorbringen vermögen die Gesuchsteller nicht substanziiert darzutun (vgl. <ref-law>), dass und inwiefern diese Voraussetzungen in Bezug auf das Urteil 2F_4/2022 erfüllt sind. Soweit sie dem Bundesgericht ausdrücklich oder sinngemäss eine falsche Rechtsanwendung vorwerfen, ist zudem festzuhalten, dass eine unzutreffende beweismässige oder rechtliche Würdigung nicht der Revision unterliegt (<ref-ruling> E. 3; Urteile 1F_6/2021 vom 1. März 2021 E. 2.2; 1F_23/2020 vom 17. September 2020 E. 3.1).
3.6. Soweit die Gesuchsteller in ihrer Eingabe vom 23. Februar 2022 schliesslich geltend machen, der (nicht weiter spezifizierte) "Entscheid" sei durch ein Verbrechen oder Vergehen beeinflusst worden, werden sie - wie bereits im Verfahren 2F_4/2022 - darauf hingewiesen, dass der Revisionsgrund von <ref-law> voraussetzt, dass "ein Strafverfahren ergeben hat", dass durch ein Verbrechen oder Vergehen zum Nachteil der Partei auf den Entscheid eingewirkt wurde (vgl. dort E. 3.5 mit Hinweisen). Auch im vorliegenden Verfahren vermögen die Gesuchsteller nicht darzutun, inwiefern diese Voraussetzung erfüllt sein soll.
3.7. Die Eingabe genügt den gesetzlichen Begründungsanforderungen gemäss Art. 42 Abs. 2 i.V.m <ref-law> nicht. Auf das Revisionsgesuch ist deshalb ohne Schriftenwechsel oder andere Instruktionsmassnahmen nicht einzutreten (<ref-law>).
3.8. Das Bundesgericht behält sich vor, weitere Eingaben ähnlicher Art in dieser Angelegenheit, nach Prüfung, unbeantwortet abzulegen.
4.
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten den Gesuchstellern unter solidarischer Haftung aufzuerlegen (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Gesuchstellern unter solidarischer Haftung auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten mitgeteilt.
Lausanne, 15. März 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Die Gerichtsschreiberin: D. Ivanov