Sachverhalt:
A.
B.A._ (geb. 1984; Beschwerdegegnerin) und A.A._ (geb. 1976; Beschwerdeführer) heirateten im Juli 2005. Sie sind die Eltern der Kinder C.A._ (geb. 2012) und D.A._ (geb. 2014).
Mit Entscheid vom 12. Dezember 2019 löste das Zivilgericht Basel-Stadt die Ehe auf und regelte die Nebenfolgen der Scheidung. Zum Güterrecht stellte es fest, dass der Ehemann der Ehefrau einen Betrag von Fr. 37'908.65 und zudem als Genugtuung Fr. 12'000.-- sowie Anwaltskosten von EUR 237.83 schulde. Die güterrechtliche Auseinandersetzung über die Liegenschaft in U._ (Nordmazedonien) wies das Zivilgericht in ein separates Verfahren. Im Übrigen seien die Parteien auseinandergesetzt (Dispositivziffer 6). Ausserdem wies das Zivilgericht die Bank E._ an, vom Konto von A.A._ den Betrag von EUR 45'862.-- auf ein Konto von B.A._ zu überweisen. Nach Vollzug dieser Anweisung werde das gesperrte Konto wieder freigegeben (Dispositivziffer 7).
B.
In teilweiser Gutheissung der hiergegen von A.A._ erhobenen Berufung passte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt diese Regelung mit Entscheid vom 22. Juli 2020 (eröffnet am 11. August 2020) insoweit an, als es den vom Ehemann aus Güterrecht neben der Genugtuung und der Entschädigung für Anwaltskosten geschuldeten Betrag auf Fr. 37'283.14 festsetzte. Weiter befristete es die auf dem Konto von A.A._ lastende Sperre im Umfang von EUR 45'858.27 auf den 22. Juli 2021 und im darüber hinausgehenden Betrag auf den 90. Tag nach Eröffnung seines Entscheids. Im Übrigen wies es die Berufung ab. Die Gerichtskosten auferlegte es zu drei Vierteln A.A._, den es ausserdem zur Ausrichtung einer Parteientschädigung an die Rechtsvertreterin von B.A._ verpflichtete.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 10. September 2020 gelangt A.A._ ans Bundesgericht. Er beantragt unter Kostenfolge, es seien der Entscheid des Appellationsgerichts teilweise und die Ziffern 6 und 7 des Entscheids des Zivilgerichts vollständig aufzuheben. Sodann ersucht er um Feststellung, dass die Ehegatten güterrechtlich vollumfänglich auseinandergesetzt sind, jede Partei in Händen hält, was ihr gehört, und keine Partei unter diesem Titel von der anderen etwas zu fordern hat. Weiter sei die Bank E._ anzuweisen, das auf A.A._ lautende Konto unter Aufhebung der Sperrung wieder an diesen freizugeben. Die Kosten des Berufungsverfahrens seien B.A._ aufzuerlegen. Eventuell sei die Angelegenheit zur neuen Entscheidung an das Appellationsgericht zurückzuweisen. Ausserdem beantragt A.A._, es sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen und ihm die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung zu bewilligen.
Nach Anhörung der weiteren Verfahrensbeteiligten hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung am 1. Oktober 2020 abgewiesen. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid (<ref-law>) eines oberen kantonalen Gerichts, das als Rechtsmittelinstanz (<ref-law>) über die vermögensrechtlichen Nebenfolgen einer Ehescheidung (güterrechtliche Auseinandersetzung) und damit eine vermögensrechtliche Zivilsache nach <ref-law> entschieden hat. Der erforderliche Streitwert von Fr. 30'000.-- ist erreicht (Art. 74 Abs. 1 Bst. b und Art. 51 Abs. 1 Bst. a BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt, die er auch fristgerecht eingereicht hat (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 1 Bst. b BGG). Auf die Beschwerde ist unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen einzutreten.
1.2. Der Beschwerdeführer beantragt die teilweise Aufhebung des Entscheids des Zivilgerichts (vgl. vorne Bst. C). Dies ist mit Blick darauf, dass dieser Entscheid vor Bundesgericht nicht Anfechtungsobjekt ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1), grundsätzlich unzulässig. Aus der Begründung der Beschwerde, die zur Auslegung der Begehren beizuziehen ist (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 6.2), ergibt sich jedoch, dass es dem Beschwerdeführer letztlich allein um die Änderung des Urteils des Appellationsgerichts geht. Die Beschwerde ist entsprechend entgegenzunehmen.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (<ref-law>). In der Beschwerdebegründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid rechtswidrig sein soll. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken; die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 1.7.1; <ref-ruling> E. 2).
Demnach genügt es nicht, vor Bundesgericht bloss die Standpunkte zu bekräftigen, die bereits im kantonalen Verfahren eingenommen wurden (<ref-ruling> E. 2). An einer ausreichenden Begründung der Beschwerde fehlt es daher von vornherein, soweit der Beschwerdeführer sich nach eigenen Angaben darauf beschränkt, seine Ausführungen aus der Berufung "weitestgehend deckungsgleich" wiederzugeben.
2.2. Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (<ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (<ref-law>), oder würden auf einer anderen Bundesrechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. Verletzung von <ref-law> oder <ref-law>) beruhen. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (<ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.3).
Dieselben Rüge- und Begründungsvoraussetzungen gelten für das Vorbringen der Verletzung verfassungsmässiger Rechte (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 1.2.2).
3.
3.1. Vor Appellationsgericht war umstritten, ob die Beschwerdegegnerin vor der Erstinstanz zum Güterrecht ein genügendes Rechtsbegehren gestellt hatte. Der Beschwerdeführer verneinte dies, weshalb durch die Bejahung der güterrechtlichen Ansprüche der Ehefrau die Dispositionsmaxime verletzt worden sei.
Nach Einschätzung der Vorinstanz waren die von der Ehefrau gestellten Begehren formell ungenügend, da sie nicht ausdrücklich die Verurteilung des Ehemanns zur Zahlung eines bestimmten oder unbestimmten Geldbetrags beantragt habe. Mit Blick auf die Beschwerdebegründung und die weiteren Stellungnahmen der Beschwerdegegnerin könnten deren Begehren aber so verstanden werden, dass der Ehemann zur Bezahlung einer Beteiligungsforderung zu verurteilen sei. Diese Forderung sei nicht beziffert worden, was aber auch nicht erforderlich gewesen sei. Eine Bezifferung wäre nur unter Berücksichtigung des Verkehrswerts der Liegenschaft in Nordmazedonien möglich gewesen. Die güterrechtliche Auseinandersetzung über diese Liegenschaft sei jedoch in ein separates Verfahren verwiesen worden (vgl. vorne Bst. A), weshalb das Begehren nicht habe abschliessend beziffert werden können und müssen. Indem die Ehefrau sodann den Saldo eines der Konten nannte, deren Zuweisung sie verlange, habe sie sinngemäss einen Mindeststreitwert angegeben, was unter Berücksichtigung des Verbots des überspitzten Formalismus (<ref-law>) ausgereicht habe. Damit sei keine Verletzung der Dispositionsmaxime feststellbar.
3.2. Der Beschwerdeführer stellt in einiger Länge die Prozessgeschichte sowie die massgeblichen rechtlichen Grundlagen zur Dispositionsmaxime und zur unbestimmten Forderungsklage dar. Sodann begründet er ausführlich, weshalb seiner Ansicht nach die von der Beschwerdegegnerin im vorinstanzlichen Verfahren gestellten Begehren nicht ausreichend gewesen seien. Dabei beschränkt er sich darauf, seinen eigenen Standpunkt darzulegen und geht nicht auf den angefochtenen Entscheid ein. Dies genügt den Anforderungen an die Begründung einer Beschwerde in Zivilsachen nicht, zumal der Beschwerdeführer selbst angibt, seine früheren Ausführungen zu wiederholen (vgl. vorne E. 2.1).
3.3. Soweit der Beschwerdeführer auf den angefochtenen Entscheid eingeht, macht er geltend, es sei überspitzt formalistisch gewesen, im Berufungsverfahren auf eine von ihm eingereichte Noveneingabe nicht einzugehen. Tatsächlich habe er ausgeführt, weshalb die Eingabe erst derart spät in das Verfahren eingebracht worden sei. Die Unterlagen hätten in Nordmazedonien erhältlich gemacht werden müssen und er habe sie aus dem Strafvollzug heraus offensichtlich nicht selbst organisieren können. Zu der fraglichen Eingabe äusserte sich die Vorinstanz im Zusammenhang mit der Frage, ob die Liegenschaft in Nordmazedonien in die Errungenschaft oder das Eigengut des Beschwerdeführers falle. Das Appellationsgericht kam auch unter Berücksichtigung, dass die fraglichen Unterlagen sich in Nordmazedonien befanden und der Beschwerdeführer nicht selbst handeln konnte, zum Schluss, die Eingabe sei verspätet eingereicht worden bzw. hätte mit zumutbarer Sorgfalt bereits früher eingereicht werden können und müssen. Ohnehin sei das fragliche Dokument nicht geeignet, die Zugehörigkeit der Liegenschaft zum Eigengut des Beschwerdeführers zu beweisen und habe die güterrechtliche Auseinandersetzung über die Liegenschaft in ein separates Verfahren verwiesen werden können.
Das Vorbringen des Beschwerdeführers ist nicht geeignet, den angefochtenen Entscheid in Frage zu stellen. Die Noveneingabe steht im Zusammenhang mit der Feststellung der Gütermassen der Parteien. Vor Bundesgericht strittig ist dagegen die (vorgelagerte) Frage, ob die Beschwerdegegnerin im vorinstanzlichen Verfahren zum Güterrecht überhaupt ein hinreichendes Rechtsbegehren gestellt hat (vgl. E. 3.2 hiervor und E. 3.4 hiernach). Was der Beschwerdeführer aus der Behandlung der Noveneingabe für diese Frage ableiten will, legt er nicht hinreichend dar: Aufgrund der Beschwerdeschrift lässt sich zwar erahnen, dass er eine strengere Behandlung der Begehren der Beschwerdegegnerin anstrebt bzw. dass er die Beschwerdegegnerin der gleichen Formstrenge unterwerfen möchte, wie er selbst sie erfahren haben will. Eine diesbezüglich nachvollziehbare Begründung, welche auch nur ansatzweise den massgebenden Anforderungen entspricht (vgl. vorne E. 2.2), lässt sich der Beschwerde jedoch nicht entnehmen. Was die Noveneingabe selbst betrifft, bleiben die Ausführungen des Beschwerdeführers bereits vor dem Hintergrund der unbestritten gebliebenen Tatsache unbehelflich, dass die beigebrachten Unterlagen den Verfahrensausgang keinesfalls hätte beeinflussen können. Ohnehin begnügt der Beschwerdeführer sich auch hinsichtlich der novenrechtlichen Problematik mit einer bloss appellatorischen Darlegung seiner eigenen Sichtweise und setzt sich nicht mit dem angefochtenen Entscheid auseinander.
3.4. Auch weitergehend betont der Beschwerdeführer, die Formulierung der Begehren der anwaltlich vertretenen Beschwerdegegnerin hätte mit grösserer Strenge geprüft werden müssen. Offensichtlich seien Feststellungsbegehren gestellt worden. Eine unbezifferte Forderungsklage wäre sodann klar zu umschreiben gewesen. Für die Liegenschaft in Nordmazedonien hätte der angegebene Mindestwert berücksichtigt werden und die darüber hinausgehenden Forderungen hätten bestimmt werden können. Entsprechend wäre das Zivilgericht gehalten gewesen, auf die Begehren der Beschwerdegegnerin nicht einzutreten und das Hauptbegehren des Beschwerdeführers zum Urteil zu erheben.
Wiederum lässt der Beschwerdeführer eine hinreichende Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid vermissen. Er geht in keiner Weise auf die Überlegungen des Obergerichts zur Interpretation der von der Beschwerdegegnerin gestellten Begehren ein, belässt es vielmehr einmal mehr bei der rein appellatorischen Darlegung seiner eigenen Sichtweise. Entsprechend zeigt er nicht auf, weshalb dem Appellationsgericht eine Bundesrechtsverletzung vorzuwerfen wäre. Bezeichnenderweise geht er in seinen Ausführungen denn auch verschiedentlich auf das Urteil des Zivilgerichts ein (vgl. dazu schon vorne E. 1.2). Die Beschwerde erweist sich auch diesbezüglich als ungenügend begründet (vgl. vorne E. 2.1).
3.5. Die vom Beschwerdeführer an der Behandlung der Rechtsbegehren der Beschwerdegegnerin zum Güterrecht formulierte Kritik erweist sich damit als unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann. Die weiteren Überlegungen des Appellationsgerichts zur güterrechtlichen Auseinandersetzung beanstandet der Beschwerdeführer nicht und auch die Anordnungen betreffend sein Konto bei der Bank E._ und die Verlegung der vorinstanzlichen Prozesskosten stellt er nur mit Blick auf seine sonstigen Vorbringen in Frage. Hierauf ist folglich nicht weiter einzugehen.
4.
Nach dem Ausgeführten erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist sie abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten (inkl. die Kosten des Verfahrens um aufschiebende Wirkung) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Ausserdem hat dieser die Beschwerdegegnerin, die bezüglich des Gesuchs um aufschiebende Wirkung, nicht jedoch in der Sache zu einer Vernehmlassung eingeladen worden ist, für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.-- zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen, da die Beschwerde als von Anfang an aussichtlos beurteilt werden muss (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Februar 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber