Faits :
A.
Depuis le 22 décembre 1986, A._, née en 1947, était membre de la direction de B._ SA, devenue en 2002 C._ SA, au Mont-sur-Lausanne. Cette société, mise en liquidation en raison de sa faillite le 26 mai 2016, a été radiée d'office du registre du commerce le 8 février 2019; son but était la fabrication et le commerce de vêtements et accessoires. A._ a également été membre de la direction de deux autres sociétés appartenant au même groupe : d'une part, D._SA, dont le but social était la fabrication et le commerce de vêtements et accessoires pour hommes, femmes et enfants, et qui a été mise en faillite le 27 octobre 2016 avant d'être radiée le 6 septembre 2017, et, d'autre part, D._ World SA, laquelle a été radiée en raison de sa fusion avec C._ SA le 6 juillet 2007 et qui avait notamment pour but social le commerce de produits en tout genre via internet. Du 22 décembre 1986 au 28 février 2004, A._ a dirigé, pour le groupe C._, les ressources humaines, ainsi que les affaires légales et administratives. Jusqu'en 1998, elle a également exercé des responsabilités dans le secteur des finances. Pour l'année 2003, sa rémunération, versée par C._ SA, s'est montée à 209'466 fr. brut, soit 171'853 fr. net.
A la suite d'une restructuration interne, A._ a été licenciée du poste qu'elle occupait au sein de la direction du groupe C._, avec effet au 28 février 2004. C._ SA a alors gratifié A._ de deux indemnités nettes de 237'000 fr. et 68'000 fr. et l'a réaffectée à un autre poste au sein du groupe. A compter du 1er mars 2004, A._ a ainsi travaillé pour D._SA, principalement pour la future Fondation C._ qui avait pour fonction d' "organiser et soutenir des projets concrets liés au respect du développement durable et humanitaire, notamment dans les domaines de l'enfance, l'éducation, la formation, l'environnement et l'amélioration des conditions de vie en général". A._ a été réintégrée en 2006 dans C._ SA, sans signature au registre du commerce. Son contrat de travail, initialement résilié avec effet au 30 avril 2007, a finalement pris fin le 30 avril 2008.
En 2004, A._ a ainsi perçu de C._ SA un salaire net de 66'048 fr. pour la période du 1er janvier au 28 février, tandis que D._SA lui a versé un salaire net de 73'750 fr. pour la période du 1er mars au 31 décembre 2004. Durant l'année 2005, A._ a perçu de D._SA un salaire brut de 105'600, soit un montant net de 88'385 fr., après déduction des charges sociales, y compris les cotisations de prévoyance professionnelle s'élevant à 9'672 fr. Durant l'année 2006, elle a perçu de C._ SA un salaire brut de 114'000 fr., soit 97'110 fr. net, charges sociales déduites, y compris 9'352 fr. de cotisations de prévoyance professionnelle. Elle a cessé toute activité à compter du 30 avril 2008.
B.
Pour la période fiscale 2004, les époux A._ ont déclaré un revenu imposable de 179'300 fr. et une fortune imposable de 736'000 fr. Ils ont indiqué, sous la rubrique " Informations complémentaires concernant l'année 2004", deux prestations en capital : l'une de 237'000 fr., désignée comme indemnité de sortie, l'autre, de 68'000 fr., remplaçant des versements périodiques de C._ SA. Ils demandaient en outre par le biais d'une note adressée à l'autorité de taxation que ces deux montants soient imposés spécifiquement en tant que versement en capital de l'employeur analogue à un versement provenant d'une institution de prévoyance, respectivement en tant que versement en capital remplaçant des prestations périodiques.
Par décision du 27 février 2006, l'Office d'impôt du district de Lausanne a arrêté le revenu des époux A._ pour l'impôt cantonal et communal (ICC) à 488'800 fr., imposable au taux de 271'500 fr., et leur fortune à 593'000 fr., imposable au taux de 1'034'000 fr. En ce qui concerne l'impôt fédéral direct (IFD), il a arrêté le revenu des époux à 485'700 fr., imposable au même taux.
Les époux A._ ont formé une réclamation à l'encontre de la décision de taxation précitée, laquelle a été partiellement admise s'agissant de l'impôt sur le revenu par l'Administration cantonale des impôts du canton de Vaud (ci-après : l'Administration cantonale). Celle-ci a confirmé, par décision du 22 novembre 2018, que le revenu déterminant des époux s'élevait, pour l'ICC 2004, à 488'800 fr., tout en considérant toutefois qu'il devait être imposé à un taux moins élevé qu'initialement prévu, soit à un taux de 180'500 fr. Selon elle, l'indemnité de 237'000 fr. devait en effet être divisée par deux pour la détermination du taux, comme un versement de capital remplaçant des prestations périodiques, compte tenu de la capacité économique réelle des époux (cf. art. 105 al. 2 LTF). Pour l'IFD, de manière similaire, il a été confirmé que le revenu des époux s'élevait à 485'700 fr., mais qu'il était imposable à un taux réduit également, à savoir au taux de 321'900 fr., ce qui conduisait à un montant d'impôt de 45'297 fr. 30.
A._ a interjeté recours à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après : le Tribunal cantonal) contre la décision sur réclamation précitée. Par arrêt du 1er mai 2019, admettant partiellement le recours, le Tribunal cantonal a annulé la décision sur réclamation et renvoyé le dossier à l'Administration cantonale afin qu'elle impose la prestation en capital de 237'000 fr. perçue par la recourante au titre de versement en capital analogue à un versement provenant d'une institution de prévoyance. Il a pour le reste confirmé que la somme de 68'000 fr. également versée en 2004 constituait un revenu ordinaire et non un capital censé remplacer des prestations périodiques.
C.
L'Administration fédérale des contributions (ci-après: l'Administration fédérale) a déposé un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. Elle demande l'annulation, respectivement la réforme de l'arrêt du Tribunal cantonal du 1er mai 2019 en tant qu'il concerne l'IFD des époux A._ dû pour l'année 2004. Elle demande que l'indemnité de départ de 237'000 fr. obtenue par A._ (ci-après : l'intimée) soit imposée au taux plein, conjointement avec les autres revenus que celle-ci a réalisés avec son époux, conformément à la décision de taxation du 27 février 2006, requérant au Tribunal fédéral qu'il dise que le montant en question ne constitue pas un versement en capital analogue à ceux provenant d'une institution de prévoyance selon l'art. 17 al. 2 LIFD. L'Administration fédérale conclut en outre, à titre subsidiaire, à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle décision au sens de son recours.
Le Tribunal cantonal a renoncé à se déterminer, se référant aux considérants de son arrêt, tandis que l'Administration cantonale s'est ralliée aux conclusions du recours. Dans sa détermination, l'intimée conclut à l'irrecevabilité des conclusions principales du recours et, pour le reste, au rejet de celui-ci.
L'Administration fédérale a déposé d'ultimes observations.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 417).
1.1. Le présent recours est dirigé contre un arrêt rendu en dernière instance cantonale annulant partiellement une décision de taxation rendue sur réclamation par l'Administration cantonale en lien avec l'ICC et IFD 2004 de l'intimée. La voie du recours en matière de droit public au sens des art. 82 ss LTF est dès lors ouverte, aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'étant réalisée.
1.2. D'après l'art. 90 LTF, le recours est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure et qui sont qualifiées de décisions finales. Un arrêt de renvoi n'équivaut en règle générale pas à une décision finale et constitue en principe une décision incidente (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 148) contre laquelle un recours au Tribunal fédéral n'est envisageable qu'aux conditions des art. 92 et 93 LTF. En matière fiscale, on admet néanmoins, à titre exceptionnel, qu'un tel arrêt puisse être assimilé à une décision finale si l'autorité à laquelle l'affaire est renvoyée n'a aucune marge de manoeuvre, notamment s'il ne lui reste plus qu'à calculer le montant de l'impôt, en appliquant les règles définies dans la décision de renvoi (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 148; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 143; arrêt 2C_585/2014 du 13 février 2015 consid. 2.3.1, in RDAF 2015 II 438).
En l'occurrence, l'arrêt entrepris par l'Administration fédérale constitue formellement un arrêt de renvoi. Le Tribunal cantonal y admet en effet partiellement le recours de l'intimée et renvoie la cause à l'Administration cantonale qui doit procéder à une nouvelle taxation et imposer l'indemnité de 237'000 fr. payée par C._ en 2004 comme un capital analogue à un versement provenant d'une institution de prévoyance. Ce faisant, le jugement attaqué ne laisse aucune latitude à l'autorité de taxation, celle-ci étant simplement invitée à effectuer les modifications décidées par le Tribunal cantonal s'agissant des ICC et IFD 2004 et à imposer l'intimée sur cette base. L'arrêt attaqué doit par conséquent être considéré, matériellement, comme une décision finale sujette à recours devant le Tribunal fédéral.
1.3. La qualité pour recourir de l'Administration fédérale découle de l'art. 89 al. 2 let. a LTF en relation avec les art. 4 al. 1 et 12 de l'ordonnance sur l'organisation de Département fédéral des finances du 17 février 2010 (Org DFF; RS 172.215.1). En application de ces dispositions, l'Administration fédérale peut en effet se prévaloir d'un droit de recours contre les actes cantonaux susceptibles de violer la législation fédérale tombant dans son domaine d'attribution. Tel est le cas en l'occurrence, puisque le recours déposé a trait à l'imposition d'une indemnité de départ reçue par l'intimée en application de la loi fédérale sur l'impôt fédéral direct du 14 décembre 1990 (LIFD; RS 642.11). Il y a lieu ici de préciser que la taxation de ce versement sous l'angle des ICC 2004 ne fait pas l'objet de la présente procédure, puisque l'Administration fédérale est la seule à avoir recouru et n'a pas pris de conclusion s'agissant de ces impôts.
1.4. Sur le vu de ce qui précède et comme le recours a été déposé en temps utile et dans les formes requises (cf. art. 42 al. 1 et 2 et art. 100 al. 1 LTF), il convient d'entrer en matière, tout en apportant la précision suivante s'agissant de la recevabilité des conclusions principales du recours.
1.5. Dans sa réponse, l'intimée demande au Tribunal fédéral de ne pas entrer en matière sur la conclusion de l'Administration fédérale tendant à ce que l'indemnité de 237'000 fr. soit imposée conformément à la première décision de taxation du 27 février 2006, c'est-à-dire comme un revenu ordinaire imposé au taux plein conjointement avec les autres revenus obtenus en 2004. Elle considère qu'une telle conclusion viole l'interdiction de reformatio in pejuset étend de manière indue l'objet du litige, rappelant que l'Administration cantonale avait rectifié cette décision sur réclamation et décidé que les revenus des époux devaient être taxés au maximum sur la base d'un taux réduit ne prenant en compte que la moitié de l'indemnité de 237'000 fr., à savoir un taux de 321'900 fr. au lieu de 485'700 fr. Selon l'intimée, l'Administration fédérale, qui n'a pas recouru au niveau cantonal, ne devrait pas être habilitée à prendre des conclusions aboutissant au paiement d'un IFD plus important que celui qui avait été fixé par la décision sur réclamation précitée.
1.5.1. Même si, en matière d'IFD, une reformatio in pejusest possible à certaines conditions devant les instances cantonales (cf. art. 143 et 145 al. 2 LIFD; cf. <ref-ruling> consid. 5 p. 141 ss en lien avec une soustraction fiscale), elle est exclue devant le Tribunal fédéral (cf. art. 107 al. 1 LTF; arrêt 2C_1009/2017 du 28 septembre 2017 consid. 8.2 et les arrêts cités). Cela signifie que le Tribunal fédéral ne peut pas modifier une décision en défaveur du justiciable qui fait appel à lui. Il s'agit de permettre à l'intéressé - soit au recourant - d'exercer son moyen de droit sans craindre de voir la décision qui le concerne modifiée à son détriment (cf. notamment RHINOW/KOLLER/KISS/ THURNHERR/BRÜHL-MOSER, Öffentliches Prozessrecht, 3e éd. 2014, no 1680; KÖLZ/HÄNER/BERTSCHI, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 3e éd. 2013, no 1634). En l'espèce, comme la présente procédure a été engagée par l'Administration fédérale, on pourrait se demander si l'intimée peut véritablement invoquer un risque de reformatio in pejus, puisqu'elle n'endosse pas la qualité de recourante (cf. également <ref-ruling> consid. 2 p. 362 appliquant ledit principe exclusivement en lien avec les conclusions du recours). La question peut toutefois rester indécise en l'espèce.
Le Tribunal fédéral considère en effet de jurisprudence constante que les autorités fédérales peuvent recourir devant lui au sens de l'art. 89 al. 2 let. a LTF indépendamment des conditions de légitimation de l'art. 89 al. 1 LTF, notamment sans avoir participé à la procédure cantonale précédente (art. 89 al. 1 let. a LTF), et qu'elles ne sont dès lors pas liées par les restrictions de l'objet du litige qui ont pu intervenir en cours de procédure cantonale, au risque sinon que leur droit de recours soit vidé de toute portée (<ref-ruling> consid. 1b p. 221 s.). L'art. 89 al. 2 let. a LTF les habilitent donc, dans les limites de leur domaine de compétences et dans le respect de l'objet de la contestation, à déposer des conclusions nouvelles dont l'admission peut, de fait, placer l'administré ayant recouru devant l'autorité précédente dans une situation défavorable par rapport à celle dans laquelle il a pu se trouver en cours de procédure et, en particulier, après la décision de première instance. Le droit d'être entendu de la partie intimée (art. 29 al. 2 Cst.) doit toutefois être respecté (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 et 1.3 p. 363 s. et arrêt 1C_482/2017 du 26 février 2018 consid. 1.2).
1.5.2. Force est de constater qu'il n'existe en l'occurrence aucune raison de s'écarter de la pratique présentée ci-avant s'agissant de contestations qui, comme en l'espèce, relèvent de la LIFD (cf. MARTIN KOCHER in Bundesgesetz über die direkte Bundessteuer [DBG], Kommentar zum schweizerischen Steuerrecht, Zweifel/Beusch [éd.], 3e éd. 2017, n° 119 ad art. 146 LIFD; cf. aussi art. 103 al. 1 let. d, 131 al. 3 et 143 al. 2 LIFD). L'intimée a par ailleurs eu l'opportunité de se déterminer sur le recours de l'Administration fédérale devant le Tribunal fédéral. Il s'ensuit que la conclusion tendant à ce qu'elle soit imposée en 2004 conformément à la première décision de taxation du 2006 - et non conformément à la décision de taxation sur réclamation, plus favorable à cette contribuable - est recevable.
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral contrôle librement le respect du droit fédéral, qui comprend les droits de nature constitutionnelle (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'art. 106 al. 2 LTF. Aux termes de cet alinéa, le Tribunal fédéral n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par la partie recourante, à savoir exposé de manière claire et détaillée (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 41).
2.2. Le Tribunal fédéral fonde son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), hormis dans les cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF; <ref-ruling> consid. 6 p. 358; <ref-ruling> consid. 1.6 p. 377).
3.
Le présent litige porte exclusivement sur l'imposition, en application de la LIFD, du montant de 237'000 fr., que C._ SA a octroyé à l'intimée après l'avoir démise de son poste au sein de la direction du groupe éponyme.
3.1. En principe, à l'exception de certaines prestations en capital versées lors d'un changement d'emploi et réinvesties dans l'année à des fins de prévoyance (cf. art. 24 let. c LIFD), les rétributions spéciales effectuées par les employeurs à leurs employés au moment où ceux-ci quittent l'entreprise sont imposées en tant que revenu sous l'angle de l'impôt fédéral direct. En effet, l'art. 16 al. 1 LIFD dispose que l'impôt sur le revenu a pour objet tous les revenus du contribuable, qu'ils soient uniques ou périodiques. Ainsi, cet impôt couvre, entre autres, tous les revenus provenant d'une activité exercée dans le cadre d'un rapport de travail, y compris les revenus accessoires (cf. art. 17 al. 1 LIFD), les revenus provenant de la prévoyance (art. 22 LIFD), les revenus acquis en lieu et place du revenu d'une activité lucrative (art. 23 let. a LIFD) et les indemnités obtenues lors de la cessation d'une activité ou de la renonciation à l'exercice de celle-ci (art. 23 let. c LIFD). En règle générale, les indemnités de départ sont ainsi imposables, selon les art. 17 al. 1 ou 23 let. a ou c LIFD, au taux plein avec les autres revenus du contribuable (cf. art. 36 LIFD; <ref-ruling> consid. 5 p. 259 s.). L'imposition au taux plein de ces indemnités connaît toutefois quelques exceptions, notamment dans les cas où la somme versée par l'employeur est analogue au versement d'un capital provenant d'une institution de prévoyance. L'art. 17 al. 2 LIFD dispose en effet que ce type de versements bénéficie du taux d'imposition privilégié prévu par l'art. 38 LIFD pour les prestations en capital provenant de la prévoyance, ce qui signifie qu'il est imposé séparément et soumis à un impôt annuel entier calculé sur la base du taux représentant le cinquième des barèmes ordinaires inscrits à l'art. 36 LIFD (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 4 s.; aussi arrêt 2C_538/2009 du 19 août 2010 consid. 3).
3.2. Selon l'art. 17 al. 2 LIFD, pour bénéficier de l'imposition privilégiée, les versements de capitaux alloués par l'employeur doivent être analogues aux versements de capitaux provenant d'une institution de prévoyance en relation avec une activité dépendante. La loi ne définit pas précisément ce que recouvre l'analogie avec les versements de capitaux provenant d'une institution de prévoyance. Il s'avère cependant qu'en établissant, à l'art. 17 al. 2 LIFD, une imposition séparée à taux réduit, le législateur a voulu casser la progressivité du taux et privilégier la prévoyance pour des raisons sociales (cf. Message du 25 mai 1983 sur l'harmonisation fiscale, FF 1983 III 186). On peut ainsi inférer du texte et du but visé par le législateur la volonté de limiter le privilège fiscal aux indemnités versées par l'employeur qui ont un lien étroit avec la prévoyance professionnelle. De jurisprudence constante, le Tribunal fédéral en a déduit que les versements de capitaux analogues aux versements de capitaux provenant d'une institution de prévoyance en lien avec une activité dépendante devaient, pour bénéficier de l'imposition privilégiée, revêtir un caractère de prévoyance prépondérant (arrêts 2C_86/2017 du 26 septembre 2017 consid. 2.3.3; 2C_931/2013 du 6 septembre 2014 consid. 2.2; 2C_538/2009 du 19 août 2010 consid. 4.2, 4.4 et 4.5; 2A.50/2000 du 6 mars 2001 consid. 3e). Il en va en particulier des indemnités de départ versées par l'employeur, lesquelles doivent donc, pour bénéficier de l'imposition privilégiée prévue à l'art. 38 LIFD, avoir un lien étroit avec la prévoyance professionnelle, un tel lien s'examinant à l'aune des circonstances entourant les versements concernés (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 6; cf. aussi arrêt 2C_538/2009 du 19 août 2010 consid. 4 et 6).
3.3. Il est ici précisé que l'Administration fédérale a édicté, le 3 octobre 2002, la Circulaire n° 1 sur les indemnités de départ et les versements de capitaux de l'employeur (ci-après: la Circulaire n° 1; Archives 71 p. 541 ss). Selon ce texte, "les indemnités de départ ont un caractère de prévoyance lorsqu'elles sont destinées exclusivement et irrévocablement à atténuer les conséquences financières découlant des risques liés à la vieillesse, à l'invalidité et au décès". Ainsi, pour que des versements de capitaux effectués par l'employeur puissent bénéficier de l'imposition privilégiée de l'art. 17 al. 2 LIFD, trois conditions cumulatives doivent être réunies (cf. ch. 3.2 de la Circulaire n° 1) : le contribuable quitte l'entreprise après avoir atteint l'âge de 55 ans (let. a), son activité lucrative (principale) est définitivement abandonnée ou doit l'être (let. b) et une lacune dans sa prévoyance découle du départ de l'entreprise et de son institution de prévoyance (let. c). Ce texte ne constitue cependant qu'une directive administrative, sans force de loi, ne liant ni les administrés, ni les tribunaux ni même l'administration; la Circulaire n° 1 ne saurait ainsi être appliquée à la lettre et ne dispense pas les autorités de tenir compte des circonstances du cas d'espèce (cf. <ref-ruling> consid. 4.3 p. 6 s.; <ref-ruling> consid. 8.1 p. 315 et la jurisprudence citée; pour un exemple en lien avec la directive précitée, arrêt 2C_86/2017 du 26 septembre 2017 consid. 3 et 4).
3.4. Dans son arrêt, le Tribunal cantonal a jugé que l'indemnité de 237'000 fr. perçue par l'intimée en raison de son licenciement de la direction du groupe C._ remplissait principalement un but de prévoyance. Selon lui, les différentes conditions permettant d'aboutir à un tel constat en application de la Circulaire no 1 seraient réunies. Par ailleurs, d'après les juges cantonaux, le versement, obtenu sept ans avant l'âge de la retraite, aurait objectivement eu pour but de prémunir la recourante contre le risque objectif d'une perte totale ou, à tout le moins, substantielle de revenu à moyen ou long terme. La réaffectation de l'intéressée à une fonction extraopérationnelle aurait en effet conduit, entre autres conséquences, à une diminution de salaire importante, ainsi qu'à la perte d'un régime de prévoyance avantageux réservé aux cadres de l'entreprise.
Dans ses écritures, l'Administration fédérale reproche pour sa part au Tribunal cantonal, en substance, d'avoir procédé à une interprétation erronée des critères de la Circulaire no 1 en assimilant à tort une indemnité de départ à un versement de prévoyance, ce qui constitue selon elle une violation de l'art. 17 al. 2 LIFD. De plus, en appliquant les critères en question comme il l'a fait, le Tribunal cantonal aurait méconnu les règles régissant la répartition du fardeau de la preuve découlant de l'art. 8 CC.
3.5. Il ressort de l'arrêt attaqué, d'une manière qui lie le Tribunal fédéral (cf. art. 105 al. 1 LTF), que l'intimée a reçu le capital dont le traitement fiscal est litigieux après avoir dû quitter le poste qu'elle occupait depuis 1986 au sein de la direction de C._. Elle a été démise de sa fonction fin février 2004 à l'âge de 57 ans à la suite d'une restructuration interne de l'entreprise. Elle s'était dans un premier temps opposée à cette mesure, avant de l'accepter en contrepartie du versement d'une indemnité de 237'000 fr. net (correspondant à 250'000 fr. brut) et d'une réaffectation immédiate à un autre poste au sein d'une autre société du groupe. Selon l'arrêt attaqué, les conditions de cette transaction censée éviter toute action en justice ont été négociées pendant plusieurs mois avant qu'un accord aboutisse. Si la somme précitée a été qualifiée d' " indemnité de licenciement " par les parties, la fonction exacte et précise que devait remplir ce capital n'est pas établie par l'arrêt attaqué qui retient, de manière générale, qu'il aurait eu pour but de prémunir la recourante contre le risque objectif de perte totale ou, à tout le moins, substantielle de revenu à moyen ou long terme. Il s'avère en effet que la réaffectation effectuée s'est accompagnée d'une diminution de salaire de presque de moitié, la rémunération mensuelle de l'intimée étant passée de quelque 14'300 fr. net (171'853 fr. / 12) en 2003 à environ 7'400 fr. net par mois en 2004.
3.6. Sur la base de ces éléments, l'appréciation du Tribunal cantonal relative au caractère prépondérant de prévoyance du capital versé ne peut être suivie. Certes, en se voyant licenciée de son poste de direction par C._ SA et réaffectée à un autre poste au sein du groupe, l'intimée ne pouvait, selon toute vraisemblance, plus espérer bénéficier des prestations de prévoyance dont elle profitait jusqu'alors, compte tenu de la perte de revenu consécutive à ce changement de poste. Il n'est ainsi pas exclu que l'indemnité de départ versée ait pu servir, dans une certaine mesure, à compenser cet inconvénient, notamment dans l'hypothèse où l'intimée aurait thésaurisé le montant reçu jusqu'à la retraite, laquelle est finalement intervenue quatre ans plus tard de manière anticipée. On ne voit cependant pas en quoi le capital payé présenterait sur cette seule base un caractère de prévoyance prépondérant au sens de l'art. 17 al. 2 LIFD. Par définition, toute indemnité de départ, voire "parachute doré" versé au cadre d'une entreprise a pour fonction de compenser la perte des divers avantages liés au poste de travail perdu, parmi lesquels figurent, par la force des choses, ceux liés à la prévoyance professionnelle. Aussi le simple fait que l'intimée ait vu ses expectatives de prévoyance péjorées à la suite de la restructuration de la direction de C._ ne suffit-il pas à fonder un lien étroit entre le capital versé à cette occasion et sa prévoyance professionnelle (cf. pour une considération comparable arrêt 2C_86/2017 du 26 septembre 2017 consid. 4.2). En revanche, force est de relever que l'une des particularités de l'indemnité ici en cause est d'avoir été convenue en même temps qu'une réaffectation immédiate de l'intéressée au sein du groupe, les deux mesures faisant partie d'un même accord transactionnel, lequel était destiné à éviter une action en justice. Il s'avère ainsi que l'intimée ne s'est en réalité jamais retrouvée sans emploi, de sorte qu'il lui était toujours possible de rester affiliée à une caisse de pension et d'y cotiser, ainsi que son employeur. Des montants ont d'ailleurs continué à être versés à ce titre après son changement de fonction, en 2004 et en 2005. Sous cet angle, le capital négocié semble davantage compenser la réduction de salaire à laquelle l'intimée a dû consentir parallèlement à sa réaffectation que la diminution de ses expectatives de prévoyance, qui n'en constitue qu'une conséquence indirecte. Autrement dit, cette indemnité de départ de la direction du groupe ne présente, d'un point de vue strictement objectif, aucun lien étroit ou prépondérant évident avec la prévoyance professionnelle de l'intimée.
3.7. Il ne semble par ailleurs pas qu'un tel lien ait existé d'un point de vue subjectif. Dans son arrêt, la Cour de justice reconnaît n'avoir pas pu déterminer la véritable intention de l'intimée et du Groupe C._ au moment où ceux-ci ont convenu du paiement de l'indemnité de départ litigieuse. Le fait est que l'intimée n'a pas été en mesure de prouver que les parties souhaitaient que le capital versé poursuive un but de prévoyance, notamment en produisant la convention transactionnelle passée en 2004. Il ne ressort pour le reste pas de l'arrêt attaqué - ni d'ailleurs de la réponse de l'intimée - que celle-ci aurait affecté le montant perçu à sa prévoyance de deuxième ou de troisième pilier, ni d'ailleurs qu'elle aurait simplement projeté de le faire. La présente cause se distingue sous cet angle de vue de l'arrêt 2C_538/2009 du 19 août 2010. Dans cette affaire, le Tribunal fédéral a reconnu qu'un montant de 300'000 fr. versé à un ancien membre de direction licencié - mais non réaffecté - à la suite d'une restructuration présentait un lien étroit avec la prévoyance professionnelle. Il était néanmoins établi que le montant en question, qui ne constituait qu'une partie de l'indemnité de départ plus large, avait été payé par l'employeur précisément afin de compenser une lacune de prévoyance future, son bénéficiaire l'ayant d'ailleurs rapidement investi dans un troisième pilier.
3.8. Partant, il n'apparaît pas, à l'aune des circonstances constatées dans l'arrêt attaqué, que l'indemnité de départ de 237'000 fr. versée à l'intimée par C._ SA entretienne un lien étroit avec la prévoyance professionnelle. Il en résulte que Tribunal cantonal a violé le droit fédéral en considérant que ce versement était analogue à un versement en capital provenant d'une institution de prévoyance et, partant, devait bénéficier de l'imposition privilégiée prévue à l'art. 38 LIFD.
3.9. Notons que la somme en question ne peut pas non plus se voir imposée en application de l'art. 37 LIFD qui prévoit un taux particulier pour les paiements uniques destinés à éteindre une créance relative à des prestations périodiques, même si elle a compensé d'une certaine façon une réduction de salaire à venir. En effet, un tel taux s'applique exclusivement aux versements intervenant sous forme d'un capital unique indépendamment de la volonté de leurs bénéficiaires (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 9). Il ne peut dès lors profiter à l'intimée qui a accepté un paiement en capital dans le cadre d'une transaction extrajudiciaire avant même que ne naissent d'éventuelles créances salariales.
4.
Sur le vu de ce qui précède, il y a lieu d'admettre le recours de l'Administration fédérale. L'indemnité de départ de 237'000 fr. perçue par l'intimée durant la période fiscale 2004 doit ainsi être imposée conformément aux art. 17 al. 1 et 36 LIFD, au taux plein conjointement avec les autres revenus obtenus par l'intimée et son époux durant l'année considérée. Comme ce régime d'imposition correspond à celui de la première décision de taxation du 27 février 2006, il n'y a pas lieu de renvoyer la cause à l'autorité cantonale de taxation pour nouvelle taxation. L'admission du recours peut conduire sans autre examen à la réforme partielle de l'arrêt attaqué en ce sens que le revenu déterminant pour l'IFD 2004 et l'impôt dû pour cette année correspondent aux montants arrêtés par la décision de taxation du 27 février 2006, laquelle doit ainsi être confirmée s'agissant de l'IFD.
5.
Compte tenu de l'issue du litige, l'intimée, qui succombe, supportera les frais judiciaires de la procédure devant le Tribunal fédéral (art. 65 et 66 al. 1 LTF; cf. arrêt 2C_91/2015 du 31 mai 2016 consid. 12 non publié in <ref-ruling>). L'Administration fédérale des contributions étant une autorité fédérale chargée de tâches de droit public, qui obtient gain de cause dans l'exercice de ses attributions officielles, il ne lui sera pas alloué de dépens (art. 68 al. 3 LTF).
La cause sera pour le reste renvoyée au Tribunal cantonal pour qu'il statue à nouveau sur les frais et dépens de la procédure antérieure (art. 67 LTF a contrario).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis.
2.
L'arrêt du Tribunal cantonal du canton de Vaud du 1 er mai 2019 est partiellement réformé. La décision de taxation de l'Office d'impôt du district de Lausanne du 27 février 2006 est confirmée s'agissant de l'IFD 2004. L'arrêt attaqué est confirmé pour le surplus.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'500 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
4.
La cause est renvoyée au Tribunal cantonal pour qu'il statue à nouveau sur les frais et dépens de la procédure menée devant lui.
5.
Le présent arrêt est communiqué à l'Administration fédérale des contributions, à la représentante de l'intimée, à l'Administration cantonale des impôts du canton de Vaud et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lausanne, le 1er octobre 2019
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Jeannerat