Erwägungen:
1.
Im Verfahren 5D_35/2021 ist das Bundesgericht mit Urteil vom 25. Mai 2021 auf eine Verfassungsbeschwerde von A._ (fortan: Gesuchsteller) im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht eingetreten. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung hat es abgewiesen, soweit es nicht als gegenstandslos abzuschreiben war.
Am 11. Juni 2021 hat der Gesuchsteller um Revision des Urteils 5D_35/2021 vom 25. Mai 2021 ersucht.
2.
Der Gesuchsteller hat seine Eingabe zulässigerweise auf Französisch verfasst (<ref-law>). Das vorliegende Verfahren wird jedoch - wie bereits das Verfahren 5D_35/2021 - in der Sprache des angefochtenen Entscheids und damit auf Deutsch geführt (<ref-law>).
3.
Gestützt auf <ref-law> verlangt der Gesuchsteller, die bundesgerichtlichen Akte auf Französisch zu übersetzen.
<ref-law> regelt die Erläuterung und Berichtigung eines bundesgerichtlichen Entscheids. Einen Anspruch auf Übersetzung eines Urteils oder anderer Akte des Bundesgerichts räumt diese Norm nicht ein. Auch sonst besteht kein solcher Anspruch auf Übersetzung.
4.
Der Gesuchsteller verlangt aufgrund seiner Erkrankung (Depression) erneut die Beiordnung eines Anwalts. Bereits im Urteil 5D_35/2021 vom 25. Mai 2021 E. 5 wurde auf die restriktive Anwendung von <ref-law> hingewiesen und ein entsprechendes Gesuch abgewiesen. Wie im Verfahren 5D_35/2021 wurde der Gesuchsteller auch im vorliegenden Verfahren darauf hingewiesen, dass das Bundesgericht keine Rechtsanwälte vermittelt, sondern es an ihm liegt, einen Anwalt oder eine Anwältin mit der Interessenwahrung zu betrauen. Dass er offensichtlich nicht imstande wäre, seine Sache selber zu führen, wie dies <ref-law> voraussetzt, ist nicht ersichtlich. Das Gegenteil folgt bereits daraus, dass er innerhalb nur eines Tages nach Erhalt des angefochtenen Urteils am 10. Juni 2021 das vorliegend zu behandelnde Revisionsgesuch ausarbeiten konnte. Das Gesuch um Beiordnung eines Anwalts ist demnach abzuweisen.
5.
5.1. Die Revision eines Bundesgerichtsurteils kann nur aus einem der im Gesetz abschliessend genannten Gründe verlangt werden (Art. 121 bis <ref-law>). Das Gesuch muss einen solchen anrufen oder zumindest Tatsachen nennen, die von einem gesetzlichen Revisionsgrund erfasst sind. Ob im konkreten Fall ein Grund zur Revision vorliegt, ist nicht eine Frage des Eintretens, sondern der materiellen Beurteilung. Allerdings gelten auch für die Revision die in Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG genannten Anforderungen. Die Begehren sind demnach zu begründen, d.h., es ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern einer der in <ref-law> genannten Revisionsgründe bzw. eine entsprechende Rechtsverletzung vorliegen soll. Hingegen kann die Revision nicht dazu dienen, die Rechtslage erneut zu diskutieren und eine Wiedererwägung des strittigen bundesgerichtlichen Entscheides zu verlangen (Urteil 5F_8/2019 vom 13. September 2019 E. 2 mit Hinweisen).
5.2. Der Gesuchsteller beruft sich auf Art. 121 lit. c und d sowie <ref-law>. Er wirft dem Bundesgericht vor, sein Recht auf einen Anwalt und sein rechtliches Gehör verletzt zu haben. Seine Eingabe vom 28. Mai 2021 sei nicht mehr berücksichtigt worden und die darin gestellten Anträge seien gutzuheissen. Das Revisionsgesuch richte sich auch gegen Rechtsverletzungen durch die Waadtländer Behörden.
Die Eingabe vom 28. Mai 2021 (Postaufgabe 31. Mai 2021) wurde erst nach Erlass des angefochtenen Urteils verfasst und eingereicht. Sie konnte deshalb nicht mehr berücksichtigt werden. Die Beschwerdefrist von dreissig Tagen (<ref-law>) war damals längstens verstrichen (Zustellung des im Verfahren 5D_35/2021 angefochtenen Beschlusses des Obergerichts des Kantons Zürich am 9. März 2021; Fristablauf unter Berücksichtigung der Osterferien am 23. April 2021 [<ref-law>]). Die Beschwerde konnte demnach mit der Eingabe vom 28. Mai 2021 nicht mehr ergänzt werden. Dies trifft erst recht auf die noch später erfolgte Eingabe vom 2. Juni 2021 zu, in der die Anträge aus der Eingabe vom 28. Mai 2021 wiederholt werden.
Was die angeblichen Rechtsverletzungen der Waadtländer Behörden angeht, so ist dem Gesuchsteller im angefochtenen Urteil dargelegt worden, dass diese nicht Verfahrensgegenstand sind (Urteil 5D_35/2021 vom 25. Mai 2021 E. 4). Sie können auch nicht zum Gegenstand eines Revisionsverfahrens an das Bundesgericht gemacht werden, denn beim Bundesgericht kann nur die Revision von Urteilen des Bundesgerichts selber verlangt werden. Soweit der Gesuchsteller die Revision von kantonalen Entscheiden verlangen möchte (so am Rande des Entscheids des Kantonsgerichts Waadt vom 1. April 2021), hat er sich an die zuständige kantonale Instanz zu wenden. Soweit nachvollziehbar, betreffen seine gegen die Waadtländer Behörden gerichteten Kritikpunkte im Revisionsgesuch und in der Eingabe vom 28. Mai 2021 in erster Linie eine superprovisorische Verfügung des Tribunal d'arrondissement von Lausanne vom 2. Oktober 2018 in einem Eheschutzverfahren (Verfahren JS18.035653). Eine solche Verfügung ist vor Bundesgericht nicht anfechtbar. Für die Entgegennahme einer Haftungsklage gegen den Kanton Waadt oder Einzelpersonen ist das Bundesgericht sodann nicht zuständig. Es besteht demnach kein Anlass, gestützt auf das Revisionsgesuch oder auf die Eingabe vom 28. Mai 2021 weitere Beschwerdeverfahren am Bundesgericht zu eröffnen. Soweit der Gesuchsteller über einen anfechtbaren Entscheid einer Vorinstanz des Bundesgerichts (z.B. des Kantonsgerichts Waadt) verfügen sollte (<ref-law>), hätte er eine entsprechende Beschwerde an das Bundesgericht zu verfassen, die sich eindeutig auf den angefochtenen Entscheid bezieht (wobei er diesen der Beschwerde beizulegen hat; <ref-law>). Soweit er eine Rechtsverweigerung oder -verzögerung durch eine Vorinstanz des Bundesgerichts geltend machen möchte, hätte er ebenfalls eine darauf bezogene Beschwerde einzureichen (<ref-law>).
Soweit sich der Gesuchsteller auf <ref-law> beruft, verkennt er dessen Tragweite. Die Voraussetzungen von lit. a bis c von <ref-law> müssen kumulativ erfüllt sein, um vor Bundesgericht ein Revisionsgesuch stellen zu können. Insbesondere ist erforderlich, dass ein Urteil des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (EGMR) vorliegt, das die Verletzung der EMRK oder der zugehörigen Protokolle festgestellt hat (<ref-law>). Die Rüge allein, die EMRK (konkret Art. 6 EMRK) sei verletzt worden, stellt keinen Revisionsgrund dar.
Soweit der Gesuchsteller in allgemeiner Weise rügt, das Recht auf einen Anwalt oder das rechtliche Gehör seien verletzt worden, zielt er auf eine blosse Wiedererwägung des angefochtenen Entscheids. Dazu dient das Revisionsverfahren nicht.
Das Revisionsgesuch ist demnach abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
6.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Gesuchsteller die Gerichtskosten (<ref-law>). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war das Revisionsgesuch von vornherein aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Gesuch um Bestellung eines Anwalts wird abgewiesen.
2.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juni 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg