Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Arbeitsvertrag vom 12. April 2011 wurde Dr. A._ (Beklagte) von der B._ AG, (Klägerin), damals firmierend als C._ AG, per 1. Mai 2011 als geschäftsführende Ärztin der Arztpraxis Dr. D._ an der Strasse X._ in U._ angestellt. In Ziff. 16 des Arbeitsvertrages wird unter dem Titel "Konventionalstrafe" Folgendes festgehalten:
"Bei Zuwiderhandlungen gegen diesen Vertrag, insbesondere gegen das Konkurrenzverbot oder die Geheimhaltungspflicht schuldet die Arbeitnehmerin eine Konventionalstrafe von je CHF 50'000.-- pro Verstoss.
Die Bezahlung der Konventionalstrafe befreit die Arbeitnehmerin nicht von der weiteren Einhaltung des Vertrages, insbesondere des Konkurrenzverbots, der Geheimhaltungspflicht oder dem Verbot der Abwerbung. In jedem Fall, auch bei Bezahlung der Konventionalstrafe, kann die Arbeitgeberin die Beseitigung des vertragswidrigen Zustandes sowie den Ersatz weiteren Schadens verlangen."
A.b. Mit Schreiben vom 17. November 2011 kündigte die Beklagte das Arbeitsverhältnis auf den 31. Dezember 2011.
B.
B.a. Mit Klage vom 24. Februar 2014 beim Arbeitsgericht des Kantons Luzern beantragte die Klägerin, die Beklagte sei zu verpflichten, ihr infolge von Verletzungen des Arbeitsvertrages vom 12. April 2011 eine Konventionalstrafe von insgesamt Fr. 150'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 2. September 2013 zu bezahlen. Zudem sei die Beklagte zu verpflichten, ihr eine Pauschale von Fr. 10'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 2. September 2013 für verschiedene ihr entstandene Kosten (Bewilligungsverfahren) zu bezahlen.
Mit Urteil vom 7. Oktober 2016 wies das Arbeitsgericht des Kantons Luzern die Klage ab.
B.b. Dagegen erhob die Klägerin am 11. November 2016 Berufung beim Kantonsgericht des Kantons Luzern. Sie beantragte, das Urteil sei aufzuheben, und wiederholte ihren Hauptantrag, begehrte jedoch keinen Schadenersatz für die Kosten des Bewilligungsverfahrens.
Mit Urteil vom 25. September 2017 verurteilte das Kantonsgericht des Kantons Luzern die Beklagte in teilweiser Gutheissung der Berufung, der Klägerin Fr. 50'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 2. September 2013 zu bezahlen. Die Prozesskosten teilte es unter den Parteien so auf, dass die Klägerin 68.75 % der erstinstanzlichen Prozesskosten und 67 % der zweitinstanzlichen Prozesskosten zu bezahlen hatte, während der Beklagten die restlichen Prozesskosten auferlegt wurden.
Das Kantonsgericht kam zum Schluss, die Beklagte habe zwei Vertragsverletzungen begangen. Erstens holte sie keine schriftliche Zustimmung der Klägerin zur Aufnahme einer Nebentätigkeit als Belegärztin an einer Privatklinik ein. Zweitens gab sie bei Auflösung des Arbeitsverhältnisses der Klägerin die mit der Praxis verknüpfte Zahlstellenregisternummer (ZSR-Nummer) nicht zurück. Eine Vertragsverletzung hinsichtlich der Abwerbung von Patienten sowie rufschädigender Äusserungen über die Nachfolgerin der Beklagten verneinte das Kantonsgericht hingegen.
C.
Beide Parteien haben Beschwerde in Zivilsachen eingereicht.
Die Klägerin beantragt im Verfahren 4A_581/2017, es sei das Urteil des Kantonsgerichts des Kantons Luzern vom 25. September 2017 aufzuheben und die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, der Beschwerdeführerin eine Konventionalstrafe in der Höhe von Fr. 150'000.-- zuzüglich 5% Zins seit dem 2. September 2013 zu bezahlen. Eventualiter sei das Urteil aufzuheben und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beklagte beantragt im Verfahren 4A_579/2017, das Urteil des Kantonsgerichts vom 25. September 2017 sei aufzuheben und die Klage sei abzuweisen.
Beide Parteien beantragen in ihren Beschwerdeantworten jeweils die Abweisung der Beschwerde der Gegenpartei, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz beantragt, beide Beschwerden abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
Beide Beschwerden richten sich gegen dasselbe Urteil des Kantonsgerichts des Kantons Luzern. Es rechtfertigt sich daher, die Beschwerdeverfahren 4A_579/2017 und 4A_581/2017 zu vereinigen.
2.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen).
Die Beschwerden richten sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als Rechtsmittelinstanz (<ref-law>) in einer Zivilsache (<ref-law>) entschieden hat. Beide Parteien sind mit ihren Begehren teilweise unterlegen (<ref-law>), die Beschwerden sind fristgerecht eingereicht worden (<ref-law>) und der Streitwert ist erreicht (<ref-law>). Insoweit sind die Zulässigkeitsvoraussetzungen beider Beschwerden erfüllt.
3.
3.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116). Stützt sich der angefochtene Entscheid auf mehrere, voneinander unabhängige Begründungen, muss jede einzelne angefochten werden, sonst wird auf die Beschwerde nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 4.1.4 S. 100 mit Hinweisen).
Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.7.2 mit Hinweis). Soweit die Beschwerdeschrift diesen Begründungsanforderungen nicht genügt, so ist darauf nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.3.1).
3.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei der Vorinstanz prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 1.4.3).
3.3. Ermessensentscheide, zu denen der Entscheid über die Kostenverlegung zählt, prüft das Bundesgericht mit Zurückhaltung. Inwiefern die Vorinstanz bei der Verteilung der Prozesskosten das ihr zustehende Ermessen überschritten hat, legt die Klägerin nicht hinreichend dar. Ihre Vorbringen haben unbeachtet zu bleiben.
4.
4.1. Die Vorinstanz erwog, Ziff. 16 des Arbeitsvertrages vom 12. April 2011 sei so auszulegen, dass die Parteien jegliche Zuwiderhandlungen gegen den Arbeitsvertrag mit einer Konventionalstrafe von Fr. 50'000.-- sanktionieren wollten, unabhängig von der Art und Schwere der Verletzung. Die Beklagte habe zwei Vertragsverletzungen begangen, indem sie einerseits eine schriftliche Zustimmung der Klägerin zur Aufnahme einer Tätigkeit als Belegärztin an der Klinik E._ nicht einholte, und andererseits bei Auflösung des Arbeitsverhältnisses der Klägerin die ZSR-Nummer nicht zurückgab.
Da diese beiden Verletzungen nicht die eigentlichen Sorgfalts- und Treuepflichten von <ref-law> beträfen, sei nicht zu untersuchen, ob die vereinbarte Konventionalstrafe lediglich Straf- oder auch Ersatzcharakter habe. Im Hinblick auf die Vereinbarkeit der Konventionalstrafe mit <ref-law> sei der Charakter der Konventionalstrafe nur bei solchen Vertragsverletzungen zu prüfen, die Verletzungen gegen die Sorgfalts- und Treuepflicht des Arbeitnehmers darstellten. Bei sonstigen Verletzungen sei eine solche Prüfung nicht erforderlich.
Die Beklagte rügt dagegen, die zwischen den Parteien vereinbarte Konventionalstrafe sei nichtig. Der Konventionalstrafe komme ausschliesslich Ersatzcharakter zu, weshalb die Vereinbarung einer solchen Strafe gegen den teilzwingenden Art. 321e i.V.m. <ref-law> verstosse. Die von der Vorinstanz vorgenommene Unterscheidung zwischen Verletzungen der Sorgfalts- und Treuepflicht und sonstigen Vertragsverletzungen sei bundesrechtswidrig; sämtliche Vertragsverletzungen seien vom Anwendungsbereich von <ref-law> erfasst.
4.2. Nach <ref-law> ist der Arbeitnehmer für den Schaden verantwortlich, den er absichtlich oder fahrlässig dem Arbeitgeber zufügt. Das Mass der Sorgfalt, für die der Arbeitnehmer einzustehen hat, bestimmt sich nach dem einzelnen Arbeitsverhältnis, unter Berücksichtigung des Berufsrisikos, des Bildungsgrades oder der Fachkenntnisse, die zu der Arbeit verlangt werden, sowie der Fähigkeiten und Eigenschaften des Arbeitnehmers, die der Arbeitgeber gekannt hat oder hätte kennen sollen (<ref-law>).
4.2.1. Die Arbeitnehmerhaftung im Sinne von <ref-law> setzt nach den allgemeinen Regeln der Vertragshaftung eine Vertragsverletzung, einen Schaden, ein Verschulden und einen adäquaten Kausalzusammenhang zwischen der Vertragsverletzung und dem eingetretenen Schaden voraus (Urteil 4C.196/1998 vom 17. August 1998 E. 3, in: JAR 1999 S. 293; TERCIER/BIERI/CARRON, les contrats spéciaux, 5. Aufl. 2016, N. 2820 ff.; WYLER/HEINZER, Droit du travail, 3. Aufl. 2014, S. 117; STREIFF/VON KAENEL/RUDOLPH, Arbeitsvertrag, 7. Aufl. 2012, N. 4 zu <ref-law>). Der Arbeitgeber muss die Vertragsverletzung, den Schaden sowie den erforderlichen Kausalzusammenhang nachweisen. Dem Arbeitnehmer steht der Exkulpationsbeweis offen (Urteil 4C.196/1998 vom 17. August 1998 E. 3, in: JAR 1999 S. 293).
4.2.2. Vorausgesetzt zur Begründung eines Haftungsanspruches des Arbeitgebers gegenüber dem Arbeitnehmer im Sinne von <ref-law> ist somit neben den übrigen Haftungsvoraussetzungen eine Vertragsverletzung. Mit Bezug auf die gesetzlich umschriebenen Arbeitnehmerpflichten sprechen das Bundesgericht und ein Teil der Lehre auch von einer Verletzung gemäss den Art. 321-321d OR (Urteile 4C.174/2003 vom 27. Oktober 2003 E. 6.2; 4C.169/2001 vom 22. August 2001 E. 5b; FRANK EMMEL, in: Handkommentar zum Schweizer Privatrecht, 3. Aufl. 2016, N. 2 zu <ref-law>). Eine darüber hinausgehende Unterscheidung zwischen Verletzungen der Sorgfalts- bzw. Treuepflicht im Sinne von <ref-law> und sonstigen Vertragsverletzungen wird weder in der bundesgerichtlichen Rechtssprechung noch in der Lehre zu <ref-law> gemacht (Urteile 4C.174/2003 vom 27. Oktober 2003 E. 6.2; 4C.169/2001 vom 22. August 2001 E. 5b; 4C.196/1998 vom 17. August 1998 E. 3, in: JAR 1999 S. 293; TERCIER/BIERI/CARRON, Les contrats spéciaux, 5. Aufl. 2016, N 2820 ff.; WYLER/HEINZER, a.a.O., S. 117; STREIFF/VON KAENEL/RUDOLPH, a.a.O., N. 4 zu <ref-law>; MANFRED REHBINDER/JEAN-FRITZ STÖCKLI, in: Berner Kommentar, 2. Aufl. 2010, N. 1 zu <ref-law>; LUKASZ GREBSKI, in: Kren Kostkiewicz und andere (Hrsg.), Kommentar zum OR, 3. Aufl. 2016, N. 2 zu <ref-law>; JEAN-PHILIPPE DUNAND, in: Dunand/Mahon (Hrsg.), Commentaire du contrat de travail, 2013, N. 18-21 zu <ref-law>; FRANK EMMEL, in: Handkommentar zum Schweizer Privatrecht, 3. Aufl. 2016, N. 2 zu <ref-law>).
4.2.3. Die von der Vorinstanz vorgenommene Unterscheidung findet in der gesetzlichen Regelung keine Stütze. Aus dem in der Lehre teilweise angebrachten Hinweis, <ref-law> sei in Zusammenhang mit <ref-law> zu lesen (vgl. MANFRED REHBINDER/JEAN-FRITZ STÖCKLI, in: Berner Kommentar, 2. Aufl. 2010, N. 1 zu <ref-law>), lässt sich nichts anderes ableiten. Auch diese Autoren schränken nicht den Anwendungsbereich von <ref-law> auf eine bestimmte Art von Verletzungen ein. Anders als die Vorinstanz anzunehmen scheint, ist eine klare Zuordnung der einzelnen vertraglich vereinbarten Pflichten der Beklagten zu den beiden von ihr unterschiedenen Kategorien weder möglich noch sachdienlich. Vielmehr gilt <ref-law> für sämtliche Arbeitnehmerpflichten. Zudem verkennt die Vorinstanz, dass die Parteien frei sind, die allgemeine Sorgfalts- und Treuepflicht im Sinne von <ref-law> vertraglich zu erweitern (<ref-ruling> E. 4a S. 74; Urteil 4A_595/2012 vom 21. Dezember 2012 E. 2 mit Hinweisen). Bei den zur Diskussion stehenden vertraglich vereinbarten Pflichten der Beklagten handelt es sich namentlich um eine Konkretisierung bzw. Erweiterung der gesetzlich umschriebenen Pflichten der Arbeitnehmerin. Indem sie die Vereinbarkeit der Konventionalstrafe mit <ref-law> nicht prüfte, schränkte die Vorinstanz den Anwendungsbereich dieser Bestimmung in bundesrechtswidriger Weise ein.
4.2.4. Entgegen den Ausführungen der Vorinstanz ist die Vereinbarkeit der zwischen der Klägerin und der Beklagten vereinbarten Vertragsstrafe mit <ref-law> zu prüfen.
5.
5.1. Nach <ref-law> darf durch Abrede, Normalarbeitsvertrag oder Gesamtarbeitsvertrag von <ref-law> nicht zuungunsten des Arbeitnehmers abgewichen werden. Der Arbeitnehmer darf durch vertragliche Abmachungen nicht gegenüber der gesetzlichen Regelung schlechtergestellt werden (STREIFF/VON KAENEL/RUDOLPH, a.a.O., N. 5 zu <ref-law>; STAEHELIN, Zürcher Kommentar, 4. Aufl. 2006, N. 41 zu <ref-law>; JÜRG BRÜHWILER, Kommentar zum Einzelarbeitsvertrag, 3. Aufl., Basel 2014, N. 13 zu <ref-law>). Deshalb wird in der Lehre einhellig die Auffassung vertreten, Konventionalstrafen zur Sicherung der Einhaltung arbeitsvertraglicher Pflichten dürften nicht einer Haftungsverschärfung gleichkommen (DIMITRI SANTORO, Die Konventionalstrafe im Arbeitsvertrag, 2001, S. 46; STREIFF/VON KAENEL/ RUDOLPH, a.a.O., N. 15 zu <ref-law>; J EAN-PHILIPPE DUNAND, a.a.O., N. 18-21 zu <ref-law>; GABRIEL AUBERT, in: Commentaire romand, Code des obligations I, 2. Aufl. 2012, N. 7 zu <ref-law>).
Von <ref-law> nicht ausgeschlossen sind sog. Disziplinarmassnahmen. Diese können unter gewissen Voraussetzungen gültig arbeitsvertraglich vereinbart und insofern als Vertragsstrafen aufgefasst werden (<ref-ruling> E. 2; MANFRED REHBINDER/JEAN-FRITZ STÖCKLI, in: Berner Kommentar, 2. Aufl. 2010, N. 44 zu <ref-law>; MANFRED REHBINDER, Ordnungsstrafen im schweizerischen Arbeitsrecht, in: Gedächtnisschrift für Peter Noll, 1984, S. 261; ROLAND MÜLLER, Betriebliches Disziplinarwesen, 1983, S. 55 ff., 89 und 95 ff.; WYLER/HEINZER, a.a.O., S. 130; FRANK VISCHER, in: Geiser/von Kaenel/Wyler (Hrsg.), Kommentar zum Arbeitsgesetz, 2005, N. 32 zu Art. 38; ROLAND A. MÜLLER, in: Kommentar zum Arbeitsgesetz, 8. Aufl. 2017, N. 4 zu <ref-law>).
5.2.
5.2.1. Die Konventionalstrafe im Sinne von <ref-law> dient der Sicherung der richtigen Erfüllung von Vertragspflichten (sog. Sicherungsfunktion). Bei Vertragsverletzungen ist eine Konventionalstrafe grundsätzlich auf den Ausgleich vermögensrechtlicher Nachteile gerichtet und weist somit eine Ausgleichsfunktion auf. Zudem kann eine Konventionalstrafe eine Straffunktion aufweisen, indem der Leistungsschuldner infolge einer Vertragsverletzung sanktioniert wird (ROLAND BENTELE, Die Konventionalstrafe nach Art. 160-163 OR, Diss. Freiburg 1994, S. 9 ff.; SANTORO, a.a.O., S. 23 ff.; FELIX E. EHRAT/MARKUS WIDMER, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht I, 6. Aufl. 2015, N. 1 zu <ref-law>; MICHEL MOOSER, in: Commentaire romand, Code des obligations I, 2. Aufl. 2012, N. 2 zu <ref-law>; vgl. auch GASPARD COUCHEPIN, La clause pénale, 2008, N. 129 ff., wonach die Konventionalstrafe darüber hinaus noch eine Selbsthilfefunktion aufweist).
In der Lehre wird in Bezug auf die Vereinbarkeit von Konventionalstrafen mit <ref-law> teilweise danach differenziert, ob der Konventionalstrafe Straf- und/oder Ersatzcharakter zukommt (DIMITRI SANTORO, a.a.O., S. 46; STREIFF/VON KAENEL/RUDOLPH, a.a.O., N. 15 zu <ref-law>). Ersatzcharakter habe eine Konventionalstrafe dann, wenn sie auf den Ausgleich vermögensrechtlicher Nachteile gerichtet sei und somit das wirtschaftliche Interesse an der mangelfreien Pflichterfüllung betreffe. Diesem Interesse entspreche auch die Haftungsnorm von <ref-law>, weshalb eine Strafabrede mit Ersatzcharakter insofern in den Regelungsbereich dieser Norm falle (DIMITRI SANTORO, a.a.O., S. 47).
5.2.2.
5.2.2.1. Wie eine Konventionalstrafe auszulegen ist, entscheidet sich primär nach dem Parteiwillen. Die Willenserklärungen der Parteien sind, da ein übereinstimmender wirklicher Wille nicht ermittelt werden konnte (<ref-law>), aufgrund des Vertrauensprinzips so auszulegen, wie sie nach ihrem Wortlaut und Zusammenhang sowie den gesamten Umständen verstanden werden durften und mussten (<ref-ruling> E. 1.2.2; <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 666; Urteil 4A_635/2016 vom 22. Januar 2018 E. 5.2.3, zur Publikation vorgesehen). Dabei hat der Richter zu berücksichtigen, was sachgerecht ist, weil nicht anzunehmen ist, dass die Parteien eine unangemessene Lösung gewollt haben (<ref-ruling> E. 2c S. 121; <ref-ruling> E. 3a S. 424; vgl. auch <ref-ruling> E. 2 S. 139).
5.2.2.2. Nach dem Wortlaut von Ziff. 16 des Arbeitsvertrages darf die Klägerin bei einer Vertragsverletzung in jedem Fall, auch bei Bezahlung der Konventionalstrafe, die Beseitigung des vertragswidrigen Zustandes sowie den "Ersatz weiteren Schadens" verlangen. Dies kann nicht anders verstanden werden denn als Hinweis darauf, dass mit der Vertragsstrafe (auch) der infolge einer durch den Arbeitnehmer begangenen Vertragsverletzung entstandene Schaden ersetzt werden soll, was dem Wesen der Konventionalstrafe entspricht (vgl. E. 5.2.1 hiervor). Dass sich die Klägerin darüber hinaus vorbehielt, die Beseitigung des vertragswidrigen Zustandes zu verlangen, ändert nichts daran.
5.2.3. Somit steht fest, dass die zwischen den Parteien arbeitsvertraglich vereinbarte Konventionalstrafe teilweise auf den Ausgleich vermögensrechtlicher Nachteile ausgerichtet ist und insofern Ersatzcharakter aufweist. Soweit die Vertragsstrafe die Haftung der Beklagten als Arbeitnehmerin betrifft, fällt sie in den Regelungsbereich von <ref-law>. Es ist folglich zu prüfen, ob die vereinbarte Konventionalstrafe die Haftung der Beklagten als Arbeitnehmerin unzulässigerweise verschärft.
5.3.
5.3.1. Die Vereinbarung einer auf den Ausgleich vermögensrechtlicher Nachteile gerichteten Konventionalstrafe kann die Arbeitnehmerhaftung in verschiedener Hinsicht verschärfen.
5.3.1.1. Unzulässig ist die Vereinbarung einer verschuldensunabhängigen Haftung des Arbeitnehmers. Gemäss <ref-law> haftet der Arbeitnehmer nur, wenn er den Schaden dem Arbeitgeber absichtlich oder fahrlässig zufügt; ein Verschulden des Arbeitnehmers ist zwingend vorausgesetzt. Eine verschuldensunabhängige Konventionalstrafe mit Ersatzcharakter ist somit unzulässig (WYLER/HEINZER, a.a.O., S. 118; SANTORO, a.a.O., S. 47; MANFRED REHBINDER, Schweizerisches Arbeitsrecht, 15. Aufl. 2002, S. 79; WOLFGANG PORTMANN, Individualarbeitrecht, 2000, S. 77).
5.3.1.2. Unzulässig sind zudem Abreden, welche eine Beweislastumkehr zuungunsten des Arbeitnehmers bewirken. Dabei ist vordergründig an Abreden zu denken, welche die Exkulpationspflicht des Arbeitnehmers ausdehnen bzw. die Exkulpation erschweren oder verunmöglichen (THOMAS GEISER, Die Treuepflicht des Arbeitnehmers und ihre Schranken, 1983, S. 122; RICHARD ALTHERR, Die Mankohaftung im Arbeitsverhältnis, Diss. Zürich 1980, S. 80 f.).
5.3.1.3. Weil die Arbeitnehmerhaftung gemäss <ref-law> zwingend den Eintritt eines ersatzpflichtigen Schadens voraussetzt, verstösst eine vertragliche Abrede gegen diese Haftungsnorm, wenn sie zu einer schadensunabhängigen Haftung des Arbeitnehmers führt. Da der Arbeitnehmer höchstens für den verursachten Schaden haftbar gemacht werden kann, ist die Verpflichtung des Arbeitnehmers zur Zahlung einer den tatsächlich eingetretenen Schaden übersteigenden Vertragsstrafe unzulässig (SANTORO, a.a.O., S. 47; J EAN-PHILIPPE DUNAND, a.a.O., N. 18-21 zu <ref-law>; GABRIEL AUBERT, in: Commentaire romand, Code des obligations I, 2. Aufl. 2012, N. 7 zu <ref-law>).
5.3.2. Die von den Parteien arbeitsvertraglich vereinbarte Konventionalstrafe setzt kein Verschulden der Beklagten voraus. Ausgelöst wird gemäss der ausdrücklichen vertraglichen Regelung die Pflicht zur Zahlung der Konventionalstrafe durch eine Vertragsverletzung ("Bei Zuwiderhandlungen gegen diesen Vertrag"); ein Verschulden ist nicht erforderlich. Somit wurde rechtsgeschäftlich eine verschuldensunabhängige Haftung der Beklagten vereinbart, was eine unzulässige Haftungsverschärfung bedeutet. Weiter lässt sich auch der Umstand, dass die Konventionalstrafe mit Ersatzcharakter unabhängig vom Vorliegen eines Schadens geschuldet sein soll, nicht mit <ref-law> vereinbaren.
5.4.
5.4.1. Soweit die vereinbarte Konventionalstrafe mit <ref-law> unvereinbar ist, ist diese nichtig (<ref-law>). Nach dem ausdrücklichen Wortlaut von <ref-law> ist nicht der ganze Vertrag, sondern sind ausschliesslich die von den teilzwingenden Vorschriften zugunsten des Arbeitnehmers abweichenden Abreden nichtig. An Stelle der nichtigen Abrede tritt die zwingende Norm, und zwar ohne Rücksicht auf den hypothetischen Parteiwillen. Der Arbeitsvertrag bleibt im Übrigen bestehen (FRANÇOIS BOHNET/PATRICIA DIETSCHY, in: Dunand/Mahon (Hrsg.), Commentaire du contrat de travail, 2013, N. 18-21 zu <ref-law>; STREIFF/VON KAENEL/RUDOLPH, a.a.O., N. 6 zu <ref-law>; MANFRED REHBINDER/JEAN-FRITZ STÖCKLI, a.a.O., N. 8 zu <ref-law>).
Eine Konventionalstrafe, der Ersatzcharakter zukommt, ist folglich nicht im entsprechenden Umfang herabzusetzen, sondern nichtig (STAEHELIN, Zürcher Kommentar, 4. Aufl. 2006, N. 41 zu <ref-law>; SANTORO, a.a.O., S. 48; vgl. auch GASPARD COUCHEPIN, a.a.O., N. 546 ff.; ROLAND BENTELE, a.a.O., S. 61 ff.; anders: Urteil 4A_595/2012 vom 21. Dezember 2012 E. 4.4; vgl. die berechtigte Kritik von MARTIN FARNER, Die Sicherung der Treuepflicht mit Konventionalstrafe, Anwaltsrevue 5/2013, S. 223). Nur übermässig hohe Konventionalstrafen werden im Sinne von <ref-law> nach dem Ermessen des Richters herabgesetzt; auf wegen eines Verstosses gegen eine (teil-) zwingende arbeitsrechtliche Bestimmung nichtige Konventionalstrafen ist diese Vorschrift hingegen nicht anwendbar (vgl. GASPARD COUCHEPIN, a.a.O., N. 546 ff.).
5.4.2. Mit der umstrittenen Konventionalstrafe haben die Parteien eine schadens- und verschuldensunabhängige Haftung der Beklagten vereinbart. Insoweit sie einer mit <ref-law> nicht zu vereinbarenden Haftungsverschärfung gleichkommt, ist diese Vereinbarung nichtig.
5.5. Eine Konventionalstrafe ist mit Rücksicht auf <ref-law> nur zulässig, soweit sie Disziplinarcharakter aufweist. Es ist folglich zu prüfen, ob die vereinbarte Konventionalstrafe insoweit aufrechterhalten werden kann.
5.5.1. Unter dem geltenden Recht wird die Frage der Zulässigkeit und der Ausgestaltung von Disziplinarmassnahmen vor allem im Zusammenhang mit Art. 38 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 13. März 1964 über die Arbeit in Industrie, Gewerbe und Handel (Arbeitsgesetz, ArG; SR 822.11) diskutiert (vgl. etwa FRANK VISCHER, a.a.O., N. 1 ff. zu <ref-law>; MANFRED REHBINDER, Ordnungsstrafen im schweizerischen Arbeitsrecht, in: Gedächtnisschrift für Peter Noll, 1984, S. 262 ff.; ROLAND A. MÜLLER, in: Kommentar zum Arbeitsgesetz, 8. Aufl. 2017, N. 1 ff. zu <ref-law>). Nach dieser Vorschrift sind Ordnungsstrafen nur zulässig, wenn sie in der Betriebsordnung angemessen geregelt sind. Vorliegend ist zu beachten, dass die Beklagte als Geschäftsführerin der Arztpraxis nach <ref-law> vom persönlichen Geltungsbereich des Arbeitsgesetzes ausgenommen ist. Ob die vertraglich vereinbarte Konventionalstrafe den Anforderungen von <ref-law> genügt, ist somit unerheblich. Dies ändert jedoch nichts daran, dass Disziplinarmassnahmen auch im Verhältnis zwischen Arbeitgebern und leitenden Angestellten Grenzen gesetzt sind. Im Arbeitsvertragsrecht verfügt der Arbeitgeber grundsätzlich über keine Disziplinargewalt gegenüber dem Arbeitnehmer; Disziplinarmassnahmen dürfen auf keinen Fall nach Belieben verhängt werden (<ref-ruling> E. 2).
5.5.2. Disziplinarmassnahmen können grundsätzlich als Vertragsstrafen in einem Einzelarbeitsvertrag vereinbart werden (vgl. E. 5.1 hiervor). Damit sie jedoch gültig vereinbart werden, muss die Höhe der Strafe bestimmt und verhältnismässig sein. Weiter müssen die Tatbestände, die unter Strafe gestellt werden, klar umschrieben sein (<ref-ruling> E. 2; STAEHELIN, a.a.O., N. 23 zu <ref-law>; FRANK VISCHER, a.a.O., N. 32 zu Art. 38). Erforderlich ist, dass jeder einzelne Verstoss, der zur Ausfällung einer Strafe führen soll, sowie die entsprechende Sanktion hinreichend klar festgelegt werden. Der Arbeitnehmer muss im Klaren darüber sein, welches Verhalten mit welcher Strafe sanktioniert wird. Nur so kann sichergestellt werden, dass der Arbeitgeber die ihm vertraglich eingeräumte Disziplinargewalt nicht missbraucht (<ref-ruling> E. 2; MANFRED REHBINDER, Ordnungsstrafen im schweizerischen Arbeitsrecht, in: Gedächtnisschrift für Peter Noll, 1984, S. 262).
5.5.3. Nach Ziff. 16 des Arbeitsvertrages vom 12. April 2011 wird von der Klägerin "bei Zuwiderhandlungen gegen diesen Vertrag" eine Strafe geschuldet. Als Beispiele von Vertragsverletzungen werden Zuwiderhandlungen gegen das Konkurrenzverbot oder die Geheimhaltungspflicht erwähnt. Eine darüber hinausgehende Umschreibung der Tatbestände, welche die Zahlung der Vertragsstrafe auslösen soll, ist im Arbeitsvertrag nicht enthalten. Es ist vielmehr davon auszugehen, wie die Vorinstanz erwog, dass jegliche Zuwiderhandlungen der Beklagten gegen den Arbeitsvertrag mit einer Konventionalstrafe sanktioniert werden sollten, unabhängig von der Art und Schwere der Verletzung. Diese Vertragsklausel erfüllt das Bestimmtheitserfordernis folglich klar nicht. Die Abrede, wonach sämtliche Vertragsverletzungen zur Ausfällung einer Vertragsstrafe führen, vermag eine konkrete Umschreibung der einzelnen Tatbestände nicht zu ersetzen. Da die Tatbestände, welche die Vertragsstrafe auslösen, nicht hinreichend bestimmt sind, ist nicht zu prüfen, ob eine Disziplinarmassnahme überhaupt zur Durchsetzung der zur Diskussion stehenden Vertragsverletzungen eingesetzt werden durfte.
Somit steht fest, dass die Parteien keine gültige Disziplinarmassnahme vereinbart haben. Die Frage der Verhältnismässigkeit der vereinbarten Strafe kann folglich offengelassen werden.
6.
Nach dem Ausgeführten kann die Klägerin aus der in Ziff. 16 des Arbeitsvertrages vom 12. April 2011 vereinbarten Konventionalstrafe von Fr. 50'000.-- pro Verstoss nichts ableiten.
Es ist folglich nicht mehr zu prüfen, ob die fraglichen Vertragsverletzungen gegeben sind. Dasselbe gilt hinsichtlich der Rügen beider Parteien zur vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung sowie des Vorbringens der Beklagten, wonach die Ansprüche der Klägerin verwirkt seien.
7.
Die Beschwerde der Klägerin (4A_581/2017) erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Beschwerde der Beklagten (4A_579/2017) ist gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist, das Urteil des Kantonsgerichts des Kantons Luzern ist aufzuheben und die Klage abzuweisen.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend werden die Gerichtskosten von Fr. 7'500.-- der Klägerin auferlegt (<ref-law>). Der Beklagten wird für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung im Umfang von Fr. 8'500.-- zugesprochen (<ref-law>).
Die Sache ist zu neuer Entscheidung über die Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen (Art. 67 und 68 Abs. 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 4A_579/2017 und 4A_581/2017 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde der Beklagten (4A_579/2017) wird gutgeheissen, das Urteil des Kantonsgericht des Kantons Luzern vom 25. September 2017 wird aufgehoben und die Klage der Klägerin wird abgewiesen.
3.
Die Beschwerde der Klägerin (4A_581/2017) wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 7'500.-- werden der Klägerin auferlegt.
5.
Die Klägerin hat die Beklagte für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 8'500.-- zu entschädigen.
6.
Die Sache wird zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an die Vorinstanz zurückgewiesen.
7.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht des Kantons Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Mai 2018
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Curchod