Erwägungen:
1.
Mit Verfügung vom 10. November 2021 bestätigte das Handelsgericht des Kantons Zürich in einem von den Beschwerdeführern gegen die Verfahrensbeteiligte angestrengten Forderungsstreit den Eingang der Klage vom 1. November 2021 und setzte den Beschwerdeführern Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 25'000.-- an.
Mit Eingabe vom 3. Dezember 2021 reichten die Beschwerdeführer dem Handelsgericht ein Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege ein.
Mit Urteil 4A_602/2021 vom 21. Dezember 2021 trat das Bundesgericht auf eine von den Beschwerdeführern gegen die handelsgerichtliche Verfügung vom 10. November 2021 erhobene Beschwerde nicht ein.
Mit Beschluss vom 24. Dezember 2021 wies das Handelsgericht das Gesuch der Beschwerdeführer um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege ab und setzte ihnen eine einmalige Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses an. Das Handelsgericht erwog, mangels (genügender) Mitwirkung der Beschwerdeführer sei ihre Mittellosigkeit nicht hinreichend dargetan.
Mit Eingabe vom 5. Januar 2022 erklärte der Beschwerdeführer 1 dem Bundesgericht, gegen den Beschluss des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 24. Dezember 2021 Beschwerde zu erheben. Nachdem die Beschwerdeführerin 2 mit Schreiben vom 7. Januar 2022 auf den Unterschriftsmangel aufmerksam gemacht worden war, reichte sie dem Bundesgericht fristgerecht ein unterzeichnetes Exemplar der Beschwerdeschrift ein.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
2.1. Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann. Dazu muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2, 115 E. 2). Eine allfällige Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im vorinstanzlichen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2, 115 E. 2). Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen und der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 1.2.3; <ref-ruling> E. 2). Stützt sich der angefochtene Entscheid auf mehrere selbständige Begründungen, so muss sich die Beschwerde mit jeder einzelnen auseinandersetzen, sonst wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.4 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.4).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel sind grundsätzlich ausgeschlossen (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2).
2.3. Die Beschwerdeführer zeigen mit ihrer Beschwerdeeingabe vom 5. Januar 2022 nicht hinreichend auf, inwiefern die Vorinstanz mit dem Entscheid vom 24. Dezember 2021 Bundesrecht verletzt hätte. Stattdessen unterbreiten sie dem Bundesgericht in frei gehaltenen Ausführungen ihre Sicht der Dinge hinsichtlich ihrer angeblichen Mittellosigkeit, was im bundesgerichtlichen Verfahren nicht zulässig ist. Die Eingabe vom 5. Januar 2022 erfüllt damit die erwähnten Begründungsanforderungen offensichtlich nicht.
Auf die Beschwerde ist somit mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (<ref-law>).
3.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist bereits wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (<ref-law>). Die Beschwerdeführer werden bei diesem Verfahrensausgang unter solidarischer Haftbarkeit kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Dem Beschwerdegegner und der Verfahrensbeteiligten stehen keine Parteientschädigungen zu (Art. 68 Abs. 2 und 3 BGG).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit (intern je zur Hälfte) auferlegt.
4.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Handelsgericht des Kantons Zürich und der Verfahrensbeteiligten schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Februar 2022
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Leemann