Sachverhalt:
A.
A._ wird zusammengefasst vorgeworfen, er habe am 8. Juni 2017, nachdem er mit seiner damaligen Partnerin B._ gestritten habe, auf sie eingeschlagen und mit einem Küchenmesser mehrmals auf sie eingestochen. Im Zuge dieser gewalttätigen Auseinandersetzung bzw. danach habe er diverse zu Hilfe eilende Personen mit vorgehaltenem Messer eingeschüchtert und sie damit dazu gedrängt, von ihrem Vorhaben abzulassen. Der zu Hilfe eilenden C._ soll A._ sogar einen Fusstritt in den Magenbereich verpasst haben, weil sie sich vom vorgehaltenen Messer nicht habe beeindrucken lassen.
B.
Das Kriminalgericht Luzern verurteilte A._ am 6. August 2020 wegen versuchter eventualvorsätzlicher Tötung und mehrfacher Nötigung zu einer Freiheitsstrafe von 6 Jahren und 9 Monaten. Weiter widerrief es den bedingten Vollzug für eine Geldstrafe, ordnete eine stationäre therapeutische Behandlung von psychischen Störungen an und verwies A._ für 12 Jahre des Landes (mit Ausschreibung der Landesverweisung im Schengener Informationssystem). Ausserdem verpflichtete ihn das Kriminalgericht, B._ eine Genugtuung in der Höhe von Fr. 20'000.-- zu bezahlen.
Gegen dieses Urteil erhob A._ Berufung, beschränkt auf die Strafe und die Anordnung der stationären therapeutischen Massnahme. D ie Staatsanwaltschaft und B._ führten Anschlussberufung, wobei diejenige der Staatsanwaltschaft einzig die Strafe und diejenige der Privatklägerin lediglich die Höhe der Genugtuung umfasste.
C.
Das Kantonsgericht Luzern stellte am 10. Juni 2021 fest, dass das kriminalgerichtliche Urteil teilweise in Rechtskraft erwachsen ist. Es sah von der Anordnung einer therapeutischen Massnahme ab, entschied über die Genugtuungsforderung der Privatklägerin und regelte die Kosten- sowie Entschädigungsfolgen.
D.
Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Luzern beantragt mit Beschwerde in Strafsachen, die Dispositiv-Ziff. 2 (Strafe) und 3 (Verzicht der Anordnung einer therapeutischen Massnahme) des kantonsgerichtlichen Urteils seien aufzuheben und das Verfahren sei zur neuen Beurteilung sowie Ergänzung der Sachverhaltsabklärung an die Vorinstanz zurückzuweisen.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerdeschrift hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (<ref-law>). Gemäss <ref-law> darf das Bundesgericht nicht über die Begehren der Parteien hinausgehen (Abs. 1). Heisst es die Beschwerde gut, so entscheidet es in der Sache selbst oder weist diese zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurück (Abs. 2). Da die Beschwerde ans Bundesgericht grundsätzlich ein reformatorisches Rechtsmittel ist, muss der Beschwerdeführer einen Antrag in der Sache stellen. Ein blosser Rückweisungsantrag reicht ausnahmsweise aus, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung in der Sache nicht selbst entscheiden könnte. Da die Beschwerdebegründung zur Interpretation des Rechtsbegehrens beigezogen werden kann, genügt nach der Rechtsprechung ein Begehren ohne einen Antrag in der Sache, wenn sich aus der Begründung zweifelsfrei ergibt, was mit der Beschwerde angestrebt wird (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.2; je mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin beantragt einzig die teilweise Aufhebung des angefochtenen Urteils und die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz. Sie stellt somit einen rein kassatorischen Antrag. Aus der Begründung ihrer Beschwerde geht jedoch hervor, dass sie die Anordnung einer therapeutischen Massnahme anstrebt. Auf ihre Beschwerde kann daher grundsätzlich eingetreten werden.
2.
2.1. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör. Sie macht zusammengefasst geltend, die Vorinstanz habe die Parteien nicht auf die Überprüfung des Vorliegens einer schweren psychischen Störung nach Art. 59 bzw. <ref-law> hingewiesen, obschon diese Frage im erstinstanzlichen Verfahren nicht thematisiert worden sei, der Sachverständige im forensisch-psychiatrischen Ergänzungsgutachten eine stationäre Massnahme empfohlen und der Beschwerdegegner mit seiner Berufung lediglich die Anordnung einer ambulanten, anstelle der von der ersten Instanz angeordneten stationären Massnahme beantragt habe. Sie habe somit nicht damit rechnen müssen, dass die Vorinstanz gänzlich von der Anordnung einer Massnahme absehe, weil diese das Vorliegen einer schweren psychischen Störung i.S.v. Art. 59 bzw. <ref-law> als nicht erstellt erachten würde (Beschwerde S. 2 ff.).
2.2.
2.2.1. Der Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) umfasst als Mitwirkungsrecht all jene Befugnisse, die einem Betroffenen einzuräumen sind, damit er seinen Standpunkt wirksam zur Geltung bringen kann (<ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 5.1; je mit Hinweis). Daraus folgt das Recht auf Einsicht in die Akten, sich vor Erlass eines in seine Rechtsstellung eingreifenden Entscheids zur Sache zu äussern sowie der Anspruch auf Abnahme der rechtzeitig und formrichtig angebotenen rechtserheblichen Beweismittel (<ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 3.4 mit Hinweisen). Voraussetzung des Äusserungsrechts sind genügende Kenntnisse über den Verfahrensverlauf, was auf das Recht hinausläuft, in geeigneter Weise über die entscheidwesentlichen Vorgänge und Grundlagen vorweg orientiert zu werden (<ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 3.4 mit Hinweisen). Wie weit dieses Recht geht, lässt sich nicht generell, sondern nur unter Würdigung der konkreten Umstände beurteilen (<ref-ruling> E. 5.3 mit Hinweisen). Entscheidend ist, ob dem Betroffenen ermöglicht wurde, seinen Standpunkt wirksam zur Geltung zu bringen (<ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 5.1; je mit Hinweisen).
2.2.2. Nach <ref-law> hat die Partei in ihrer schriftlichen Berufungserklärung anzugeben, ob sie das Urteil vollumfänglich oder nur in Teilen anficht (lit. a), welche Abänderungen des erstinstanzlichen Urteils sie verlangt (lit. b) und welche Beweisanträge sie stellt (lit. c). Ficht der Berufungskläger nur Teile des Urteils an, hat er in der Berufungserklärung verbindlich anzugeben, auf welche Teile (Schuldpunkt, allenfalls bezogen auf einzelne Handlungen; Bemessung der Strafe; die Anordnung von Massnahmen; etc.) sich die Berufung beschränkt (<ref-law>).
Im Berufungsverfahren gilt zwar grundsätzlich die Dispositionsmaxime und das Berufungsgericht überprüft das erstinstanzliche Urteil nur in den angefochtenen Punkten (<ref-law>). Soweit die Einschränkung der Berufung auf einzelne Punkte eindeutig und der Grundsatz der Untrennbarkeit oder inneren Einheit nicht verletzt ist, muss die Einschränkung durch das Berufungsgericht respektiert werden. Gemäss <ref-law> kann es jedoch zugunsten der beschuldigten Person auch nicht angefochtene Punkte überprüfen, um gesetzeswidrige oder unbillige Entscheidungen zu verhindern. Von der Möglichkeit des Eingriffs in die Dispositionsfreiheit der beschuldigten Person ist nur zurückhaltend Gebrauch zu machen. Der Eingriff ist in sachlicher Hinsicht auf die Verhinderung von gesetzeswidrigen oder unbilligen Entscheidungen beschränkt. Es soll verhindert werden, dass das Berufungsgericht auf einer materiell oder formell unrichtigen Grundlage urteilen muss. <ref-law> kommt vorwiegend bei einer qualifiziert unrichtigen Rechtsanwendung durch die Vorinstanz bei gleichzeitiger Beschränkung der Berufung auf die Sanktion zur Anwendung (<ref-ruling> E. 1.5.2 mit Hinweisen).
Macht das Berufungsgericht von <ref-law> Gebrauch, hat es die Verfahrensbeteiligten vorher zu informieren und ihnen Gelegenheit zur Stellungnahme zu geben (<ref-ruling> E. 1.5.2; Urteile 6B_492/2018 vom 13. November 2018 E. 2.3; 6B_769/2016 vom 11. Januar 2017 E. 2.3; je mit Hinweisen).
2.3. Der Beschwerdegegner hat in seiner Berufungserklärung vom 23. Dezember 2020 beantragt, " (1.) Die Berufung sei gutzuheissen und die Ziffern 2. [Strafe] und 4. [Anordnung der stationären Massnahme nach <ref-law>] des vorinstanzlichen Urteils, seien aufzuheben. (2.) Der Beschuldigte sei mit einer Freiheitsstrafe von 5 Jahren zu bestrafen, unter Anrechnung der entstandenen Untersuchungshaft und dem vorzeitigen Strafvollzug. (3.) Es sei eine ambulante Massnahme im Sinne von <ref-law> anzuordnen. (4.) Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten des Staates, sowohl für das Untersuchungs-, das vorinstanzliche- wie auch das vorliegende Verfahren." (vorinstanzliche Akten amtl. Beleg 2). In ihrer Anschlussberufung stellte die Beschwerdeführerin ihrerseits die Anträge, " (1.) Ziff. 2 des Urteils des Kriminalgerichts sei aufzuheben und A._ sei zu einer Freiheitsstrafe von mindestens 7 Jahren zu verurteilen. (2.) In den übrigen Punkten sei das Urteil des Kriminalgerichts - soweit angefochten - umfassend zu bestätigen." (vorinstanzliche Akten amtl. Beleg 6).
2.4. Die Rüge der Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör ist unbegründet. Dass der Beschwerdegegner in seinen Anträgen nicht nur die Aufhebung der Massnahme, sondern den Ersatz der stationären durch eine ambulante therapeutische Massnahme anstrebt, bedeutet entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin nicht, dass die Vorinstanz vorliegend nicht auch die allgemeinen Voraussetzungen für die Anordnung einer Massnahme und damit ebenso die Frage des Vorliegens einer schweren psychischen Störung nach Art. 59 bzw. <ref-law> prüfen durfte bzw. musste. Die ambulante Behandlung ist im Wesentlichen nichts anderes als eine besondere Art des Vollzugs einer stationären therapeutischen Massnahme, für deren Anordnung das Gesetz an die gleichen Voraussetzungen anknüpft (Urteile 6B_92/2021 vom 30. Juni 2021 E. 2.3.3; 6B_237/2019 vom 21. Mai 2019 E. 2.2.2; 6B_290/2016 vom 15. August 2016 E. 2.3.3; je mit Hinweisen). Soweit die Beschwerdeführerin mit ihrem Vorbringen geltend machen will, die Vorinstanz sei über die Anträge der Parteien hinausgegangen, kann ihr nicht gefolgt werden. Der Beschwerdegegner beantragte in seiner Berufungserklärung nicht nur eine Änderung der angeordneten Massnahme, sondern stellte ebenso den Antrag, das erstinstanzliche Urteil sei hinsichtlich der Anordnung der stationären therapeutischen Massnahme aufzuheben. Damit ist die Vorinstanz bei ihrer Überprüfung des erstinstanzlichen Urteils im Umfang der erfolgten Anfechtung geblieben (vgl. <ref-law>), als sie die Frage des Vorliegens einer schweren psychischen Störung nach Art. 59 bzw. <ref-law> in Augenschein genommen hat. Insofern lag auch kein Anwendungsfall von <ref-law> vor. Schliesslich äusserten sich sowohl der Beschwerdegegner als auch die Beschwerdeführerin anlässlich der vorinstanzlichen Berufungsverhandlung vom 8. Juni 2021 u.a. zu den Anordnungsvoraussetzungen einer Massnahme, insbesondere auch zum Gesundheitszustand des Beschwerdegegners, zur Diagnosestellung und den diesbezüglichen Ausführungen des Sachverständigen (vgl. Verhandlungsprotokoll, vorinstanzliche Akten amtl. Bel. 20 S. 5 ff. und S. 9 f.). Damit hatten die Parteien die Möglichkeit, ihren Standpunkt wirksam zur Geltung zu bringen. Inwiefern die Vorinstanz unter diesen Umständen gehalten gewesen wäre, die Parteien explizit darauf hinzuweisen, dass sie im Rahmen des Berufungsverfahrens das Vorliegen einer schweren psychischen Störung nach Art. 59 bzw. <ref-law> überprüft, und die Parteien allenfalls noch einmal dazu anzuhören, ist nicht ersichtlich.
3.
Die Beschwerdeführerin rügt eine willkürliche Feststellung des Sachverhalts und die Verletzung von <ref-law> sowie von Art. 59 Abs. 1 und <ref-law>. Im Wesentlichen macht sie geltend, die Vorinstanz stelle fest, dass sich dysfunktionale Auswirkungen einer Störung auf andere Lebensbereiche zum Tatzeitpunkt nicht feststellen liessen sowie dass die Tat, wie sie vom Beschwerdegegner geschildert worden sei, nicht wesentlich von vergleichbaren Beziehungsdelikten abweiche und somit nicht auf krankheitswerte Symptome hindeute. Diese Aspekte würden aber nicht aus dem Ergänzungsgutachten hervorgehen, zumal der Sachverständige die Anordnung einer stationären Massnahme empfehle, obschon er den Ausbruch der Schizophrenie auf einen Zeitraum nach der Tat festgelegt habe. Die Vorinstanz setze sich nicht vertieft damit auseinander, dass der Experte bereits für den Tatzeitpunkt eine höchstproblematische Persönlichkeitsstruktur des Beschwerdegegners festgestellt und dessen Fähigkeiten zur Verhaltenskontrolle als beeinträchtigt erachtet habe. Jener habe die Verhaltenskontrolle nicht nur durch eine gestörte Persönlichkeitsentwicklung infolge der sich anbahnenden Schizophrenie, sondern auch durch akzentuierte paranoide sowie impulsive Persönlichkeitszüge und durch schädlichen Gebrauch von Alkohol als beeinträchtigt erachtet und schliesslich einen Zusammenhang zwischen der Prodromalphase der Schizophrenie (mit einer erhöhten Impulsivität sowie Gewaltbereitschaft des Beschwerdegegners) und der Tatbegehung erkannt. Diese Ausführungen des Gutachters würden dafür sprechen, dass jener diese Beeinträchtigung der Verhaltenskontrolle als vorherrschende Ursache für die Delinquenz ansehe. Somit gehe der Sachverständige aufgrund einer Kombination von Störungsbildern von einer schweren psychischen Störung i.S.v. <ref-law> aus und empfehle deshalb eine stationäre Massnahme. Die Vorinstanz hätte angesichts dieser Umstände eine ergänzende Stellungnahme des Sachverständigen einholen müssen, bevor sie entgegen dessen Empfehlung von der Anordnung einer Massnahme habe absehen dürfen.
3.1. Die Vorinstanz hält fest, die bei der zweiten Begutachtung vom 6. Mai 2020 gestellte Diagnose einer katatonen Schizophrenie sei erst im Herbst 2019, mithin mehr als zwei Jahre nach der Tat vom 8. Juni 2017, gestellt worden. Der Beschwerdegegner habe sich im Vollzug auffällig verhalten. Bei der Begutachtung am 14. August 2018 seien noch keine Anzeichen für eine Schizophrenie festgestellt worden. Auch ein Aufenthalt auf der Station D._ vom 4.-14. Januar 2019 habe den Verdacht auf Schizophrenie nicht bestätigt. Die Vorinstanz stellt weiter fest, im Ergänzungsgutachten bejahe der Sachverständige den Zusammenhang zwischen der Prodromalphase der Schizophrenie und der mutmasslichen Tatbegehung. Er halte aber ausdrücklich fest, die Kriterien für die Diagnosestellung seien im Zeitraum der mutmasslichen Tatbegehung nicht erfüllt gewesen. Die Erkrankung des Beschwerdegegners sei noch nicht manifest ausgebrochen gewesen, jedoch dürfte die Fähigkeit zur Affektregulation und Impulskontrolle - und damit der Verhaltenskontrolle - bei ihm bereits beeinträchtigt gewesen sein. Der Gutachter attestiere damit einen gewissen Einfluss (Urteil S. 21 E. 5.3.3).
Die Vorinstanz erwägt weiter, es sei zu beurteilen, ob im Zeitpunkt der Tatbegehung eine schwere psychische Störung im Sinne der neusten Rechtsprechung vorgelegen habe. Der Gutachter stelle im Tatzeitpunkt keine Diagnose nach den Klassifikationssystemen (ICD oder DSM). Dies alleine schliesse eine schwere psychische Störung nach neuster (kritisierter) bundesgerichtlicher Rechtsprechung zwar nicht per se aus, jedoch müssten sich dann die im Zusammenhang mit der Straftat stehenden Persönlichkeitsmerkmale daneben auch in nichtdeliktischen Lebensbereichen dysfunktional auswirken und es müsste sichergestellt sein, dass die Diagnose massgeblich auf delikt- und risikorelevanten persönlichkeitsnahen Risikofaktoren beruhe, die einer entsprechenden Therapie zugänglich seien (Urteil S. 21 f. E. 5.3.3).
Ferner stellt die Vorinstanz fest, über das Leben des Beschwerdegegners, seine Persönlichkeit und deren Entwicklung zum Tatzeitpunkt lasse sich nur wenig in Erfahrung bringen. Der Beschwerdegegner habe sich in den Begutachtungen wenig kooperativ verhalten und fast nichts psychologisch "Erhellendes" zu den Tatvorwürfen sagen können. Er habe gemäss Gutachter eine sehr grosse Schwäche bei der Beschreibung von intrapsychischen Prozessen offenbart. So sei es ihm nicht gelungen - trotz dezidierter Nachfrage seitens des Gutachters - seine psychische Verfassung und sein inneres Erleben zum Zeitpunkt der Taten zu rekonstruieren bzw. narrativ dazustellen. Introspektion und Selbstreflexion wirkten beim Beschwerdegegner gemäss Gutachter sehr mangelhaft ausgebildet. Auch Biographie und Persönlichkeitsentwicklung hätten kaum erhellt werden können. Seine damalige Partnerin (das Opfer) habe ebenfalls nichts geäussert, das auf Anzeichen einer ausgeprägten Störung bereits im Tatzeitpunkt schliessen lasse. Auch die Migrationsakten würden keine weitergehenden Schlüsse zulassen. Weitere fremdanamnestische Angaben hätten nicht erhoben werden können. Äusserlich gut wahrnehmbare Symptome seien zum Tatzeitpunkt nicht feststellbar gewesen und seien erst im Verlauf des Vollzugs beobachtet worden. Es bestünden überdies keine Hinweise auf Wahnerleben während oder vor dem Tatgeschehen, auch nicht in Aussagen von Dritten. Dysfunktionale Auswirkungen auf andere Lebensbereiche seien nicht feststellbar. Tatgeschehen und Tatmotiv seien durch den Beschwerdegegner überdies so geschildert worden, dass sie nicht wesentlich von vergleichbaren Beziehungsdelikten abweichen und damit auf krankheitswerte Symptome hindeuten würden (Urteil S. 22 E. 5.3.3).
Die Vorinstanz gelangt zum Schluss, ob die sich anbahnende Schizophrenie als vorherrschende Ursache der Delinquenz erscheine oder ob es sich beim Delikt des Beschwerdegegners vielmehr um eine Beziehungstat unter dem sekundären Einfluss der beginnenden Schizophrenie gehandelt habe, erscheine äusserst fraglich. Es sei nicht davon auszugehen, dass eine weitere gutachterliche Untersuchung die vorherrschenden Zweifel ausräumen könne, da Aussagen zum Zustand des Beschwerdegegners im Tatzeitpunkt nach wie vor und mit zunehmend zeitlichem Abstand sogar noch schwerer eruierbar sein dürften. Dies nicht zuletzt aufgrund dessen Schwäche, inneres Erleben zum Zeitpunkt der Tatbegehung wiederzugeben. Es sei deshalb auf weitere Beweismassnahmen zu verzichten. Im Tatzeitpunkt habe die Vorbelastung durch die erheblich später manifest werdende Krankheit bestanden. Es lasse sich aber nicht nachweisen, dass die Vorbelastung bzw. die sich anbahnende Krankheit die Hauptursache für die Delinquenz des Beschwerdegegners gewesen sei. Von der Anordnung einer therapeutischen Massnahme sei daher mangels nachweisbarer Schwere der Störung im Tatzeitpunkt abzusehen. Die Voraussetzungen für die Anordnung einer Massnahme seien nicht gegeben (Urteil S. 22 f. E. 5.3.3).
3.2.
3.2.1. Gemäss <ref-law> ist eine Massnahme anzuordnen, wenn eine Strafe alleine nicht geeignet ist, der Gefahr weiterer Straftaten des Täters zu begegnen (lit. a), ein Behandlungsbedürfnis des Täters besteht oder die öffentliche Sicherheit dies erfordert (lit. b) und die Voraussetzungen der Artikel 59-61, 63 oder 64 StGB erfüllt sind (lit. c). Die Anordnung einer Massnahme setzt voraus, dass der mit ihr verbundene Eingriff in die Persönlichkeitsrechte des Täters im Hinblick auf die Wahrscheinlichkeit und Schwere weiterer Straftaten nicht unverhältnismässig ist (<ref-law>).
Sind mehrere Massnahmen in gleicher Weise geeignet, ist aber nur eine notwendig, so ordnet das Gericht diejenige an, die den Täter am wenigsten beschwert (<ref-law>).
3.2.2. Ist der Täter psychisch schwer gestört, so kann das Gericht gemäss <ref-law> eine stationäre Behandlung anordnen, wenn das Verbrechen oder Vergehen des Täters in Zusammenhang mit seiner psychischen Störung steht (lit. a) und zu erwarten ist, dadurch lasse sich der Gefahr weiterer mit seiner Störung in Zusammenhang stehender Taten begegnen (lit. b). Gemäss <ref-law> kann das Gericht anordnen, dass der psychisch schwer gestörte oder von Suchtstoffen abhängige Täter nicht stationär, sondern ambulant behandelt wird, wenn er eine mit Strafe bedrohte Tat verübte, die mit seinem Zustand in Zusammenhang steht (lit. a), und zu erwarten ist, dadurch lasse sich der Gefahr weiterer mit dem Zustand des Täters in Zusammenhang stehender Taten begegnen (lit. b).
3.2.3. Obwohl der Rechtsbegriff der schweren psychischen Störung (Art. 59 und 63 StGB) nach der neusten Rechtsprechung funktionaler Natur ist, ist die Störung zunächst soweit möglich anhand einer anerkannten Klassifikation zu erfassen. Die diagnostischen Merkmale gemäss den Klassifikationen wie ICD oder DSM erlauben es, konkret beobachtbares Verhalten in einer rationalisierten Form als Störung mit einer bestimmten Ausprägung zu erfassen. Die Diagnose muss allerdings nicht unter allen Umständen in einem Klassifikationssystem wie ICD oder DSM aufgeführt sein. Für diejenigen Fälle, in denen die gutachterliche Diagnose nicht nach ICD oder DSM kodiert werden kann, ist eine gesicherte Feststellung einer ausgeprägten psychischen Störung gleichwohl möglich, wenn sichergestellt ist, dass sie massgeblich auf delikt- und risikorelevanten persönlichkeitsnahen Risikofaktoren beruht, die einer risikovermindernden Therapie zugänglich sind. Trifft dies zu, ist eine gesetzeszweckkonforme Abgrenzung zur (durch äussere, situative Faktoren aktivierten) nichtpathologischen Neigung zur Delinquenz gewährleistet (<ref-ruling> E. 3.5.5; Urteil 6B_828/2019 vom 5. November 2019 E. 1.2.3; je mit Hinweis). Ein einfacher Rückschluss von der Art und dem Ausmass der Delinquenz auf das Vorliegen einer psychischen Störung mit rechtserheblicher Schwere ist nicht zulässig (<ref-ruling> E. 3.5.4 S. 17; Urteil 6B_828/2019 vom 5. November 2019 E. 1.2.3).
Nach der Rechtsprechung genügt nicht jede geistige Anomalie im sehr weiten medizinischen Sinn dem Kriterium einer schweren psychischen Störung im Sinne von Art. 59 und 63 StGB. Einzig psychopathologische Zustände von einer gewissen Ausprägung oder relativ schwerwiegende Arten und Formen geistiger Erkrankungen im medizinischen Sinne vermögen diesen Anforderungen zu genügen. Ist die Störung "mässig ausgeprägt", erfüllt sie das Kriterium nicht (<ref-ruling> E. 3.5.2; Urteile 6B_1067/2020 vom 5. Mai 2021 E. 1.2; 6B_1406/2017 vom 9. April 2018 E. 5.3; 6B_290/2016 vom 15. August 2016 E. 2.3.3 und E. 2.4.4).
3.2.4. Die Anordnung einer Massnahme setzt zudem voraus, dass die Tat mit dem Geisteszustand des Täters "im Zusammenhang steht". Die psychische Krankheit muss mithin für die Tat kausal sein (Urteile 6S.427/2005 vom 6. April 2006 E. 2.6 mit Hinweis; 6S.768/1999 vom 29. Januar 2000 E. 1d). Folglich muss zwischen der Anlasstat und der psychischen Störung eine Konnexität bestehen, wobei ein indirekter oder mittelbarer Zusammenhang genügt, sowohl nach altem als auch nach neuem Recht (Urteil 6B_487/2011 vom 30. Januar 2012 E. 3.5 mit Hinweis). Die psychische Störung muss zum Zeitpunkt der Tat bestanden haben. Eine zeitlich später auftretende Krankheit spielt höchstens im Zusammenhang mit dem Vollzug der Sanktion eine Rolle. Ist eine solche Kausalität erstellt, ist es irrelevant, ob der besondere Zustand des Täters einzige oder nur mitwirkende Ursache der Straftaten ist (siehe HEER/HABERMEYER, in: Basler Kommentar, Strafrecht, Bd. I, 4. Aufl. 2019, N. 43 zu <ref-law>).
Ob zwischen dem Geisteszustand des Täters und der Tat ein Kausalzusammenhang besteht, ist Tatfrage. Die Würdigung eines Gutachtens zu dieser Frage durch den Richter ist Beweiswürdigung (Urteil 6S.427/2005 vom 6. April 2006 E. 2.6.2).
3.2.5. Das Gericht stützt sich bei seinem Entscheid über die Anordnung einer Massnahme auf eine sachverständige Begutachtung (<ref-law>). Diese äussert sich über die Notwendigkeit und die Erfolgsaussichten einer Behandlung des Täters, die Art und die Wahrscheinlichkeit weiterer möglicher Straftaten und die Möglichkeiten des Vollzugs der Massnahme (<ref-law>, <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweis; <ref-ruling> E. 4.3.1). Gutachten werden vom Gesetzgeber und auch vom Bundesgericht in konstanter Praxis als zwingende Entscheidgrundlage bezeichnet, sofern die Indikation einer Massnahme, sei diese therapeutisch oder sichernd, zu beurteilen ist. Dies gilt sowohl im positiven (das Gericht ordnet eine Massnahme an) wie auch im negativen Sinne (das Gericht verzichtet auf eine Massnahme) (Urteil 6B_28/2017 vom 23. Januar 2018 E. 3.4).
Das Gericht würdigt Gutachten grundsätzlich frei (<ref-law>). In Fachfragen darf es davon indessen nicht ohne triftige Gründe abweichen und Abweichungen müssen begründet werden. Auf der anderen Seite kann das Abstellen auf eine nicht schlüssige Expertise bzw. der Verzicht auf die gebotenen zusätzlichen Beweiserhebungen gegen das Verbot willkürlicher Beweiswürdigung (<ref-law>) verstossen (<ref-ruling> E. 2.1.3; <ref-ruling> E. 6.1; Urteil 6B_828/2019 vom 5. November 2019 E. 1.2.5). Die Willkürrüge muss in der Beschwerde anhand des angefochtenen Entscheids explizit vorgebracht und substanziiert begründet werden (<ref-law>). Auf ungenügend begründete Rügen oder allgemeine appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling>14 E. 2.1, 88 E. 1.3.1).
3.2.6. Die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; vgl. auch Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Offensichtlich unrichtig ist die Sachverhaltsfeststellung, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 1.1; je mit Hinweisen; zum Begriff der Willkür: <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 4.1; je mit Hinweisen). Die Rüge der Verletzung von Grundrechten (einschliesslich Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung) muss in der Beschwerde anhand des angefochtenen Entscheids präzise vorgebracht und substanziiert begründet werden, anderenfalls darauf nicht eingetreten wird (<ref-law>; <ref-ruling>14 E. 2.1; <ref-ruling> E. 1.1; je mit Hinweisen).
3.3. Es ist unbestritten, dass der Beschwerdegegner ab dem Sommer 2019 an einer schweren psychischen Störung im Sinne von Art. 59 Abs. 1 bzw. <ref-law> leidet (katatone Schizophrenie, ICD-10: F20.2). Weiter ist grundsätzlich nicht bestritten, dass im Zeitraum der Tatbegehung die Kriterien für die Diagnosestellung einer Schizophrenie noch nicht erfüllt waren. Umstritten ist indessen, ob trotzdem vom Vorliegen einer schweren psychischen Störung im Sinne von Art. 59 Abs. 1 bzw. <ref-law> auszugehen ist und ob diese bereits im Zeitpunkt der Begehung der Anlasstat (en) vorgelegen haben muss.
Gemäss forensisch-psychiatrischem Gutachten vom 6. Mai 2020 wird unter Prodromalphase die "Vorphase oder Vorläuferphase von Krankheiten" verstanden. Sie zeichne sich durch sog. "Prodromi", vorangehende Symptome, einer Erkrankung aus. Solche unspezifischen Symptome beträfen zum Beispiel das affektive Erleben und könnten auch zu emotionaler Instabilität, Reizbarkeit und Streit führen. Die Persönlichkeitsentwicklung der Betroffenen werde, zumal es sich meist um Jugendliche oder junge Erwachsene handle, dadurch massgeblich gestört und deformiert (kantonale Akten KRG fl.Akten Bel. 21 S. 39).
3.4. Im Einzelnen rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung des Willkürverbots und von <ref-law>. Zumindest sinngemäss macht sie geltend, das Gutachten, auf welches die Vorinstanz bei ihrer Würdigung massgeblich abstelle, sei inhaltlich mangelhaft.
Das forensisch-psychiatrische Gutachten von Dr. med. E._ vom 6. Mai 2020, welches das Vorgutachten vom 14. August 2018 einbezieht, genügt ohne Weiteres als Grundlage für die Beurteilung, ob von einer Massnahme abgesehen werden kann oder eine solche anzuordnen ist (kantonale Akten KRG fl.Akten Bel. 21). Nach der Zwischenanamnese (S. 5), der Wiedergabe der vorgeworfenen Taten und des Verlaufs des Vollzugs (S. 6-18) sowie des Befunds (S. 19-24), spricht es sich zur Persönlichkeit des Beschwerdegegners und zu den psychiatrischen Diagnosen (S. 25-40), den vorgeworfenen Straftaten (S. 40-44) sowie zur Prognose und Therapieempfehlung (S. 44-60) aus. Schliesslich beantwortet es die Fragen nach einer psychischen Störung (S. 61 f.), der Schuldfähigkeit (S. 62), zur Rückfallgefahr (S. 62 f.) und zu einer Massnahme (S. 63-65). Auf den Einwand der Beschwerdeführerin, das Gutachten beruhe auf einer fraglichen Interpretation des angeklagten Sachverhalts, da der Sachverständige von einem "strategisch anmutenden Fluchtverhalten des Beschwerdegegners" ausgehe, was der hohen Brutalität und Aggressivität des gesamten Verhaltens des Beschwerdegegners nicht gerecht werde (Beschwerde S. 3), kann nicht eingetreten werden (vgl. E. 3.2.6). Die Beschwerdeführerin beschränkt sich nämlich darauf, ihre eigene Sichtweise aufzuzeigen, wobei sie nicht darlegt, weshalb diese gutachterliche Würdigung im Vorgutachten schlechterdings unhaltbar ist (kantonale Akten KRG fl.Akten Bel. 21 S. 42) und für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann. Namentlich hielt der Sachverständige im Ergänzungsgutachten im Grundsatz zwar an die im Vorgutachten gemachten Ausführungen fest, erweiterte diese aber um den Aspekt, dass die mutmasslichen Tatbegehungen in die Prodromalphase der Schizophrenie gefallen seien. Die auffälligen Persönlichkeitszüge seien als Folge einer dadurch erheblich gestörten Persönlichkeitsentwicklung zu verstehen. Daher sei das Ausmass der Störung der Affektregulation und Impulskontrolle in den fraglichen Zeiträumen als in leichtem Grad schwerer einzuschätzen, als dies bei Erstellung des Vorgutachtens der Fall gewesen sei. Dagegen würden auch die neuen Untersuchungen dafür sprechen, dass die Unrechtseinsichtsfähigkeit in den mutmasslichen Tatzeiträumen nicht beeinträchtigt gewesen sei. Der Beschwerdegegner sei sich des Unrechts seiner allfälligen Taten bewusst gewesen. Seine Realitätswahrnehmung sei in den mutmasslich relevanten Zeiträumen weder durch Wahnerleben, Sinnestäuschen oder Störungen des Ich-Erlebens beeinträchtigt gewesen. Der Realitätsbezug und die Fähigkeit auf äussere Umstände zu reagieren, seien erhalten gewesen. Vor dem Hintergrund, dass die mutmasslichen Tatbegehungen nicht bloss durch Persönlichkeitsakzentuierungen und schädlichem Gebrauch von Alkohol begünstigt worden seien, sondern im Zeitraum der Prodromalphase durch eine schwer gestörte Persönlichkeitsentwicklung begünstigt worden seien, sei das Ausmass der Störung der Verhaltenskontrolle in den mutmasslich relevanten Zeiträumen als schwerer einzuschätzen, als dies noch bei Erstellung des Vorgutachtens - als dem Beschwerdegegner keine Einschränkung der Schuldfähigkeit attestiert wurde - eingeschätzt worden sei. Dadurch sei die Steuerungsfähigkeit gemäss erhaltener Einsicht beim Beschwerdegegner geschätzt in leichtem Grad vermindert gewesen. Der Grad der Verminderung der Schuldfähigkeit sei als leicht einzuschätzen (kantonale Akten KRG fl.Akten Bel. 21 S. 43 f.).
Eine inhaltliche Mangelhaftigkeit des Gutachtens ist nicht ersichtlich. Es spricht sich über alle entscheidrelevanten Fragen aus; die gutachterlichen Schlussfolgerungen sind sachlich und schlüssig. Die Rügen der Verletzung des Willkürverbots und von <ref-law> erweisen sich als unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann.
3.5. Die Beschwerdeführerin kritisiert weiter, die Vorinstanz interpretiere das Ergänzungsgutachten nicht richtig und nehme daher fälschlicherweise an, der Sachverständige gehe für den Zeitpunkt der Tat (noch) nicht von einer schweren psychischen Störung aus. In einem gewissen Widerspruch zu seinen eigenen Feststellungen nehme der Gutachter aber lediglich eine leichtgradig verminderte Schuldfähigkeit an. Die Vorinstanz hätte auch dazu die Stellungnahme des Sachverständigen einholen müssen (Beschwerde S. 4).
Diese Vorbringen sind unbegründet. Die Vorinstanz weicht bei ihrer Prüfung der Frage des Vorliegens einer schweren psychischen Störung nicht von den gutachterlichen Schlussfolgerungen ab. Zum einen scheint die Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang zu verkennen, dass es sich bei der Frage, ob eine schwere psychische Störung vorliegt, um eine vom Gericht - und nicht vom Sachverständigen - zu beantwortende (Rechts-) Frage handelt (vgl. Urteile 6B_1067/2020 vom 5. Mai 2021 E. 1.2; 6B_770/2020 vom 25. November 2020 E. 1.4.4; 6B_1163/2018 vom 14. Dezember 2018 E. 2.4.2; je mit Hinweisen). Das heisst, die Frage der rechtlichen Relevanz der medizinischen Diagnose ist juristischer Natur (Urteile 6B_28/2017 vom 23. Januar 2018 E. 3.4 mit Hinweis; 6B_993/2013 vom 17. Juli 2014 E. 4.6). Die Beurteilung, ob eine vom psychiatrischen Sachverständigen diagnostizierte psychische Störung als schwer im Sinne von Art. 59 Abs. 1 und <ref-law> zu qualifizieren ist, obliegt dem Gericht (Urteil 6B_28/2017 vom 23. Januar 2018 E. 3.4). Zum anderen ist es für die Beurteilung der Schwere der psychischen Störung nicht massgebend, ob sie geeignet ist bzw. war, die Schuldfähigkeit des Täters aufzuheben oder zu beeinträchtigen (<ref-ruling> E. 3.5.3; Urteile 6B_681/2010 vom 7. Oktober 2010 E. 4.1; 6B_52/2010 vom 22. März 2010 E. 2.3; je mit Hinweis). Auch aus der gutachterlichen Empfehlung einer Art der Massnahme können diesbezüglich keine Schlüsse gezogen werden (vgl. HEER/HABERMEYER, a.a.O., N. 24 zu <ref-law>; Urteil 6B_681/2010 vom 7. Oktober 2010 E. 4.1). Entgegen der Meinung der Beschwerdeführerin kann folglich nicht die Rede von einem gewissen Widerspruch in den gutachterlichen Schlussfolgerungen (Annahme einer lediglich leichtgradig verminderten Schuldfähigkeit trotz auffälligem Tatverhalten und der angeblich festgestellten problematischen Persönlichkeitsstruktur des Beschwerdegegners sowie der Empfehlung einer stationären therapeutischen Massnahme) sein. Die Vorinstanz war somit auch nicht gehalten, eine diesbezügliche Stellungnahme des Sachverständigen einzuholen.
Darüber hinaus ist es nicht erkennbar, inwiefern die Vorinstanz sich nicht hinreichend mit dem Gutachten, insbesondere der medizinischen Diagnose, auseinandergesetzt haben soll. So berücksichtigt sie, dass die Fähigkeit des Beschwerdegegners zur Affektregulation und Impulskontrolle - und damit der Verhaltenskontrolle - gemäss dem Ergänzungsgutachten wegen der sich anbahnenden Schizophrenie im Tatzeitpunkt beeinträchtigt war, die Kriterien für die Diagnosestellung im Zeitraum der Tatbegehung jedoch noch nicht erfüllt waren, sowie dass der Sachverständige attestiere, der Beschwerdegegner habe im fraglichen Zeitraum einen schädlichen Gebrauch von Alkohol betrieben (ICD-10 F101; Urteil S. 17 E. 5.2.3. und S. 21 ff. E. 5.3.3). Wenn die Beschwerdeführerin behauptet, der Gutachter gehe davon aus, beim Beschwerdegegner habe darüber hinaus eine hochproblematische, paranoid-impulsive Persönlichkeitsstruktur bestanden (Beschwerde S. 3 f.), scheint sie die diesbezüglichen Erörterungen des Experten zu verkennen. Gemäss Ergänzungsgutachten ergebe sich durch die zwischenzeitlich gestellte Diagnose einer katatonen Schizophrenie ein grundlegend neuer Aspekt, der im Falle des Beschwerdegegners die Diagnosestellung einer Persönlichkeitsstörung ausschliesse (kantonale Akten KRG fl.Akten Bel. 21 S. 30). Mithin sah der psychiatrische Sachverständige die Beeinträchtigung der Verhaltenskontrolle des Beschwerdegegners im Tatzeitpunkt neben der sich anbahnenden Schizophrenie nicht auch noch zusätzlich durch akzentuierte paranoide und impulsive Persönlichkeitszüge begünstigt, wie die Beschwerdeführerin anführt. Anlässlich der persönlichen Übergabe des Ergänzungsgutachtens erläuterte Dr. med. E._ nämlich, während der ersten Begutachtung sei der Beschwerdegegner in der Prodomalphase der Schizophrenie gewesen. Aufgrund dieser Auffälligkeiten sei damals eine Persönlichkeitsstörung [recte: Akzentuierung der Persönlichkeit] diagnostiziert worden. Dieser Befund könne nicht mehr aufrecht erhalten werden, weil diese Störung bereits Anzeichen der sich anbahnenden katatonischen Schizophrenie gewesen sei (und damit in dieser Störung "aufgehe") (Urteil S. 18 E. 5.2.3; kantonale Akten KRG fl.Akten Bel. 23).
3.6. Die Vorinstanz verstösst auch nicht gegen Bundesrecht, indem sie vorliegend auf die Anordnung einer therapeutischen Massnahme verzichtet. Sie scheint zwar davon auszugehen, dass die schwere psychische Störung die Hauptursache für die Anlasstat (en) gewesen sein muss, obwohl es genügt, dass der besondere Zustand des Täters lediglich mitwirkende Ursache der Straftat (en) ist, sofern erstellt ist, dass dieser Zustand für die Taten kausal war (vgl. E. 3.2.4). In Anbetracht der medizinischen Diagnose gemäss Ergänzungsgutachten (Prodromalphase einer sich anbahnenden Schizophrenie, mit einer leicht beeinträchtigten Affektregulation und Impulskontrolle sowie einem in leichtem Ausmass schädlichen Gebrauch von Alkohol, vgl. kantonale Akten KRG fl.Akten Bel. 21 S. 43 und S. 61 f.) verletzt die Vorinstanz im Ergebnis gleichwohl kein Bundesrecht, wenn sie gestützt darauf - auch im Lichte der neuesten Rechtsprechung des Bundesgerichts - eine schwere psychische Störung verneint (zur Kritik vgl. etwa ELMAR HABERMEYER, Die Folgen von <ref-ruling>: Verbrechen als soziale Krankheit, in: NKrim, 1/2021, S. 26 ff.; FELIX BOMMER, Schwere psychische Störung und schwere systematische Folgen, in: recht, 1/2020, S. 24 ff.; CHRIS LEHNER, Strafrechtliche Behandlungsmassnahmen abseits von zuverlässigen Diagnosen, in: sui-generis 2020, S. 147 ff.; HABERMEYER/LAU/HACHTEL/GRAF, Kritische Bemerkungen aus psychiatrisch-psychotherapeutischer Sicht zu den Bundesgerichtsurteilen 6B_933/2018 vom 3.10.2019 und 6B_828/2019 vom 5.11.2019, in: recht, 1/2020, S. 32 ff.; FELIX BOMMER, Begriff der schweren psychischen Störung [Art. 59, 63 StGB]: <ref-ruling> E. 3.5, in: ZBJV, 9/2021, S. 543 f.). Soweit sich die Beschwerdeführerin sodann gegen die Beweiswürdigung der Vorinstanz und deren tatsächlichen Feststellungen wendet (z.B. Beschwerde S. 4 f. unten, wonach der nichtige Anlass der Auseinandersetzung, die getrennten Wohnsitze, der Handlungsunterbruch der Streitigkeiten und die Anwesenheit des gemeinsamen Kleinkindes während der Tat gegen eine typische Beziehungstat sprechen würden), erschöpfen sich ihre Darlegungen in einer appellatorischen Kritik am angefochtenen Urteil, auf welche das Bundesgericht nicht eintritt. Die Beschwerdeführerin zeigt einzig ihre eigene Sichtweise auf, ohne zu erörtern, weshalb die vorinstanzliche Beweiswürdigung und deren Feststellungen schlechterdings unhaltbar sein sollten. Dies ist im Übrigen auch nicht ersichtlich.
3.7. Schliesslich muss die schwere psychische Störung entgegen den Vorbringen der Beschwerdeführerin nicht nur im Beurteilungszeitpunkt sondern ebenso im Zeitpunkt der Tat bestanden haben (Beschwerde S. 7), denn die Anordnung einer Massnahme setzt voraus, dass die Tat mit dem Geisteszustand des Täters "im Zusammenhang steht" (E. 3.2.4 mit Hinweisen).
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei di e sem Ausgang des Verfahrens sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Dem Beschwerdegegner ist keine Entschädigung zuzusprechen, da er im bundesgerichtlichen Verfahren nicht zur Einreichung einer Vernehmlassung eingeladen wurde und ihm somit keine Umtriebe entstanden sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. März 2022
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Jacquemoud-Rossari
Die Gerichtsschreiberin: Pasquini