Fatti:
A.
A._ (1989), cittadino del Kosovo, è giunto in Svizzera il 13 novembre 1989. Con sentenza del 25 giugno 2009 è stato condannato a una pena detentiva di 2 anni e 2 mesi, di cui 12 mesi da espiare e 14 sospesi condizionalmente con un periodo di prova di 4 anni. A seguito di tali fatti, si è visto revocare una prima volta il permesso di domicilio di cui era titolare (15 settembre 2009). La misura presa nei suoi confronti è poi però stata annullata dal Tribunale federale a causa della necessità di svolgere accertamenti più approfonditi circa il suo stato di salute e la possibilità che egli potesse continuare a essere adeguatamente seguito dal profilo medico anche nel Paese di origine (sentenza 2C_722/2010 del 3 maggio 2011).
Proceduto ai complementi istruttori richiesti, la Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino ha rivalutato la posizione di A._ e deciso di pronunciare di nuovo la revoca del suo permesso di domicilio (18 giugno 2012). Il secondo provvedimento in tal senso è stato confermato su ricorso dal Consiglio di Stato, dal Tribunale cantonale amministrativo e dal Tribunale federale (sentenza 2C_127/2014 del 17 settembre 2014).
B.
Il 18 novembre 2014 la Sezione della popolazione non è entrata in materia su una prima domanda di riesame sottopostale da A._. La decisione di non entrata in materia è stata confermata da entrambe le istanze di ricorso cantonali. Un ricorso al Tribunale federale è stato dichiarato inammissibile (sentenza 2C_168/2015 del 21 febbraio 2015).
Facendo valere un peggioramento del suo stato di salute, il 3 marzo 2015 A._ ha quindi presentato una seconda domanda in tal senso, che la Sezione della popolazione non ha vagliato ritenendo che avrebbe dovuto essere formulata quale istanza di revisione contro la sentenza pronunciata il 17 settembre 2014 dal Tribunale federale. Adito da A._, nel frattempo rivoltosi invano al Consiglio di Stato, con giudizio del 18 dicembre 2015 il Tribunale amministrativo ticinese ha tuttavia deciso che l'incarto andasse retrocesso all'autorità dipartimentale, affinché si pronunciasse sull'istanza in questione, essendo il certificato medico del 2 febbraio 2015 dell'Universitätsspital di Zurigo un fatto nuovo, verificatosi dopo il 17 settembre 2014.
C.
Il 26 gennaio 2017, proceduto a un aggiornamento della situazione, la Sezione della popolazione ha respinto l'istanza di riesame.
I gravami in seguito interposti da A._ davanti al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo ticinesi sono stati respinti, nella misura in cui sono stati ritenuti ricevibili. In particolare, la Corte cantonale ha rilevato che la richiesta di riammissione al beneficio di un permesso di domicilio era inammissibile, poiché la revoca di tale autorizzazione era diventata definitiva e poteva essere richiesto solo il rilascio di un permesso di dimora, sulla base di fatti nuovi e rilevanti; detto ciò, ha considerato che le condizioni per procedere al riesame della precedente pronuncia dipartimentale non erano adempiute e che, di conseguenza, la Sezione della popolazione nemmeno avrebbe dovuto procedere a una nuova ponderazione degli interessi in gioco.
D.
Con ricorso in materia di diritto pubblico e, in subordine, con ricorso sussidiario in materia costituzionale del 3 luglio 2017, A._ si è allora rivolto al Tribunale federale, formulando le seguenti conclusioni:
1. Il ricorso è accolto. Di conseguenza:
§ è annullata la decisione 31 maggio 2017 del Tribunale cantonale amministrativo;
§§ la decisione di revoca 18 giugno 2012 è annullata e la validità del permesso di domicilio del signor A._ è mantenuta;
§§§ sussidiariamente, al signor A._ è rilasciato un permesso di dimora e, più sussidiariamente ancora, il suo incarto è trasmesso alla Segreteria di Stato della migrazione per la pronunzia di un'ammissione provvisoria;
§§§§ il signor A._ è messo al beneficio dell'assistenza giudiziaria e del gratuito patrocinio.
2. Protestate tasse, spese e ripetibili.
In corso di procedura, il Tribunale amministrativo ticinese si è riconfermato nel proprio giudizio. Domandando il rigetto del ricorso, ad esso ha fatto in sostanza rinvio anche la Sezione della popolazione. Il Governo ticinese si è invece rimesso alle valutazioni di questa Corte.

Diritto:
1.
1.1. Giusta l'art. 83 lett. c n. 2 LTF, il ricorso in materia di diritto pubblico è inammissibile contro le decisioni in materia di diritto degli stranieri concernenti permessi o autorizzazioni al cui ottenimento né il diritto federale né il diritto internazionale conferiscono un diritto (<ref-ruling> consid. 2.2 e 2.3 pag. 189 seg.; <ref-ruling> consid. 1 pag. 342). L'insorgente, in Svizzera dal novembre del 1989 ovvero da quando aveva pochi mesi di vita, dispone in via di principio di un diritto al soggiorno in Svizzera in base all'art. 8 CEDU, che tutela il rispetto della vita privata (<ref-ruling> consid. 2.2.2 pag. 20 seg.; sentenza 2C_536/2013 del 30 dicembre 2013 consid. 2.2 non pubblicato in <ref-ruling>), di modo che la clausola d'esclusione di cui all'art. 83 lett. c cifra 2 LTF non trova applicazione.
1.2. Diretto contro una decisione finale emessa da un tribunale cantonale superiore (art. 86 cpv. 2 e art. 90 LTF), il ricorso è tempestivo (<ref-law>) e dato è anche un interesse ad insorgere (<ref-law>). L'impugnativa è di conseguenza ammissibile quale ricorso ordinario ex art. 82 segg. LTF, mentre il riferimento al ricorso sussidiario in materia costituzionale non è rilevante (<ref-law>). Preso atto del contenuto del giudizio impugnato (precedente consid. C), davanti a questa Corte l'insorgente può però solo domandare il riconoscimento del diritto al riesame della sua situazione, negatogli per l'appunto dai Giudici ticinesi. Conclusioni che vanno oltre questo oggetto del contendere non sono di conseguenza ammissibili.
2.
2.1. Le autorità amministrative sono tenute a riesaminare le loro decisioni nella misura in cui una disposizione legale lo prevede espressamente o se una pratica amministrativa costante lo impone (sentenza 2C_1010/2011 del 31 gennaio 2012 consid. 2.2).
Un riesame può inoltre venir preteso direttamente sulla base dell'<ref-law>, se le circostanze si sono modificate in modo rilevante dopo la prima decisione, oppure se il richiedente invoca fatti o mezzi di prova importanti che non conosceva o dei quali non poteva o non aveva ragione di prevalersi durante la procedura precedente (<ref-ruling> consid. 3a pag. 6; sentenze 2C_1224/2013 del 12 dicembre 2014 consid. 4.1; 2C_225/2014 del 20 marzo 2014 consid. 5.1; 2C_125/2014 del 12 febbraio 2014 consid. 3.1). Il riesame di decisioni cresciute in giudicato non può tuttavia servire a rimettere di continuo in discussione decisioni divenute esecutive o a derogare ai termini d'impugnazione previsti per le vie di ricorso ordinarie (<ref-ruling> consid. 2.1 pag. 181; sentenze 2C_1224/2013 del 12 dicembre 2014 consid. 4.1; 2C_125/2014 del 12 febbraio 2014 consid. 3.1; 2C _172/2013 del 21 giugno 2013 consid. 4.1; 2C_796/2012 dell'8 marzo 2013 consid. 3.1).
2.2. La revoca rispettivamente il mancato rinnovo di un'autorizzazione di soggiorno costituiscono delle decisioni che esplicano i loro effetti per il futuro e che comportano la caducità del permesso di cui lo straniero beneficiava fino a quel momento. Di conseguenza, quest'ultimo può di principio formulare una nuova domanda d'autorizzazione in ogni tempo (sentenze 2C_736/2017 del 28 novembre 2017 consid. 3.3; 2C_402/2015 dell'11 novembre 2016 consid. 1.1; 2C_1224/2013 del 12 dicembre 2014 consid. 4.2 e 2C_876/2013 del 18 novembre 2013 consid. 3.1).
L'eventuale accoglimento della sua richiesta non comporta la rinascita dell'autorizzazione decaduta, bensì il rilascio di un nuovo permesso, che viene concesso poiché al momento della formulazione della nuova domanda le condizioni risultano adempiute (sentenze 2C_1224/2013 del 12 dicembre 2014 consid. 4.2; 2C_876/2013 del 18 novembre 2013 consid. 3.1 e 3.7; 2C_1170/2012 del 24 maggio 2013 consid. 3.3). In un simile contesto, non ci si trova infatti in una situazione di riesame in senso proprio (sentenza 2C_876/2013 del 18 novembre 2013 consid. 3.7). Ciò nondimeno, come nel caso di una domanda di riesame in senso proprio, queste nuove richieste non devono permettere a uno straniero di rimettere in discussione senza limiti una decisione che ha posto termine al suo precedente titolo di soggiorno e, al pari di una domanda di riesame, devono essere quindi prese in considerazione solo quando le circostanze si sono modificate in modo rilevante, oppure se il richiedente invoca fatti o mezzi di prova importanti che non conosceva o di cui non poteva o aveva ragione di prevalersi in precedenza (<ref-ruling> consid. 2 pag. 181 segg.; sentenze 2C_402/2015 dell'11 novembre 2016 consid. 1.2; 2C_1081/2014 del 19 febbraio 2016 consid. 2.1; 2C_366/2014 del 6 giugno 2014 consid. 2.3 e 2C_876/2013 du 18 novembre 2013 consid. 3.1).
3.
Come detto, la Corte cantonale ha considerato che le condizioni per entrare in materia sulla richiesta di rilascio di un nuovo permesso di dimora non erano adempiute e che, di conseguenza, la Sezione della popolazione nemmeno avrebbe dovuto procedere, come invece ha fatto, a una nuova ponderazione degli interessi in gioco. In effetti, nel suo giudizio ha osservato che una modifica rilevante delle circostanze, tale da portare a prendere in considerazione il rilascio di un nuovo permesso di soggiorno, non era data né dal profilo dello stato fisico né da quello dello stato psichico.
Nel primo caso, perché trascorsi oltre due anni dal rapporto medico del 2 febbraio 2015 dell'Universitätsspital di Zurigo la situazione a livello cardiaco di A._ è da definirsi ancora stabile e non è quindi ravvisabile alcun rischio elevato e imminente per la sua salute, tale da impedirgli di rientrare in Kosovo. Nel secondo caso, poiché i problemi psichiatrico/psicologici riscontrati sono strettamente correlati alla conferma del suo allontanamento dalla Svizzera e potranno essere presi a carico dalle strutture sanitarie locali.
4.
4.1. Innanzitutto, nell'impugnativa viene sostenuto che, dal mese di ottobre 2014, il ricorrente presenta dei disturbi psichici importanti, "propri a rendere l'esecuzione dell'allontanamento verso il suo Paese di origine inesigibile". In tale contesto non viene messa in discussione la possibilità di curare malattie psichiche in Kosovo, quanto piuttosto denunciata la mancata presa in considerazione del rischio che egli compia delle azioni autolesive.
Contrariamente a quanto indicato nel ricorso, la conclusione tratta nel giudizio impugnato riguardo all'aspetto psichico va tuttavia condivisa. In effetti, secondo la giurisprudenza del Tribunale federale, la denuncia di possibili rischi suicidali che un allontanamento dalla Svizzera potrebbe comportare non dà di per sé un diritto a rimanere nel nostro Paese (<ref-ruling> consid. 5.5.2 pag. 403; sentenze 2C_136/2017 del 20 novembre 2017 consid. 5.3.4; 2C_491/2017 del 13 ottobre 2017 consid. 3.2.4 e 2C_112/2017 del 14 settembre 2017 consid. 3.4.4).
4.2. Non condivisibile è per contro il diniego a un riesame della fattispecie pronunciato con riferimento alla situazione fisica.
4.2.1. Come risulta da una lettura della sentenza 2C_127/2014 del 17 settembre 2014 (precedente consid. A), al momento in cui il Tribunale federale ha confermato la revoca del permesso di domicilio decisa il 18 giugno 2012 dalla Sezione della popolazione, la situazione in relazione alla grave patologia cardiaca di cui soffre l'insorgente poteva essere descritta in questi termini (ivi, consid. 6.2.1) :
"Incontestato e confermato anche dal medico cantonale, al quale è stata sottoposta la copiosa documentazione concernente il ricorrente, è certo il fatto che egli soffre di una grave patologia cardiaca, che ha reso necessari due interventi chirurgici: un primo e principale, eseguito nel 2002; un secondo, di carattere correttivo, risalente al 2009. Dalla presa di posizione redatta all'attenzione della Sezione della popolazione risulta tuttavia che, dopo l'intervento del 2009, che ha richiesto una degenza di due giorni e che ha avuto esito favorevole, lo stato dell'insorgente si è stabilizzato. Nel suo rapporto del settembre 2011, che trova sostanziale conferma nei certificati del PD Dr. B._ e del Dr. C._, del novembre 2013, il medico cantonale rileva infatti che la situazione attuale è soddisfacente, che l'insorgente deve sottoporsi unicamente a dei controlli annuali e che il decorso della malattia è tale da non necessitare l'assunzione di nessun medicamento su base regolare".
4.2.2. Preso atto di tale descrizione, questa Corte ha quindi a quel tempo rilevato che:
" Proprio tale preciso quadro, constatato già nel 2011 e confermato da certificati medici risalenti alla fine del 2013, giustifica però anche la condivisione delle conclusioni tratte dalla Corte cantonale [...].
Davanti a un quadro clinico stabile, dal quale non emerge nessuna attuale ed acuta situazione di pericolo per la sua salute, egli deve infatti assumersi anche i rischi dovuti all'assenza della possibilità di fare capo a strutture sanitarie in grado di garantire assistenza medica sotto ogni aspetto e per ogni necessità di cura o intervento che potrebbe eventualmente porsi in futuro".
4.3. Ora però, quella situazione di stabilità, caratterizzata da uno stato fisico soddisfacente, da monitorare unicamente per mezzo di controlli una volta all'anno e il cui mantenimento non necessitava dell'assunzione di nessun farmaco su base regolare, non è più data.
4.3.1. Come è stato indicato dal medico cantonale nella sua lettera del 10 aprile 2015, in particolare dal controllo svolto nel febbraio 2015, anticipato dal paziente a causa dell'insorgenza di nuovi sintomi, è infatti emerso un peggioramento dello stato clinico oggettivabile dagli esami, ovvero una diminuzione della capacità fisica complessiva, che ha condotto: da un lato, a prevedere esami più frequenti (non più annuali, bensì semestrali), d'altro lato, a introdurre una terapia quotidiana.
La diversa cadenza nei controlli (due all'anno invece di uno, quindi non secondo la "norma" vigente in precedenza) e la necessità - fino al 2014 non data - di una terapia farmacologica, risultano d'altra parte anche dalla perizia cardiologica allestita dal PD Dr. D._, il quale - pure riscontrando delle buone condizioni generali di salute e il raggiungimento di una nuova situazione di stabilità - non fa che confermare il peggioramento avvenuto tra l'autunno del 2014 e la primavera del 2015, già registrato anche dal medico cantonale.
4.3.2. A differenza di quanto indicato nel giudizio impugnato, nemmeno si può poi affermare che, siccome è stato nel frattempo conseguito un nuovo equilibrio, non vi siano in parallelo stati dei cambiamenti di rilievo in relazione all'aspetto della presa a carico nel Paese di origine.
In questo contesto, va infatti osservato che se il trattamento farmacologico seguito è necessario per mantenere la nuova stabilità ottenuta - come sembra essere il caso, visto che è assunto "oramai da diverso tempo" - anche la nuova questione della sua reperibilità al momento della partenza dalla Svizzera non è per nulla trascurabile e quindi non può neanche essere evasa, negandone di fatto l'importanza, affermando che il ricorrente potrà "se del caso" continuare a prendere i medicamenti prescritti "tramite i propri familiari residenti in Svizzera o le farmacie del luogo" (a questo riguardo, cfr. ad esempio la sentenza 2C_815/2013 del 26 maggio 2014 consid. 4.3 e 5.1, concernente un caso in cui era in discussione il ritorno nel Paese di origine di una persona affetta da HIV e che doveva essere trattata con una terapia antiretrovirale specifica; o la sentenza 2C_573/2014 del 4 dicembre 2014, concernente la reperibilità di antiepilettici e neurolettici in Turchia).
4.3.3. Nel contempo, sempre circa la possibilità di una presa a carico nel Paese di origine ed a conferma dei mutamenti di rilievo richiesti per un riesame, occorre tenere conto di quanto rilevato proprio in proposito dal PD Dr. D._ nel suo referto.
In effetti, dopo aver preso atto dello stato di salute odierno del ricorrente, il perito: da un lato, definisce l'attuale presa a carico come "un punto di riferimento (e di conseguenza come uno standard di qualità) essenziale e irrinunciabile"; d'altro lato, osserva - sulla base di nuovi e specifici accertamenti in tal senso - che per un caso come quello in questione una presa a carico adeguata nel Paese d'origine non sarebbe in sostanza (ancora) possibile.
4.3.4. Tenuto conto della nuova situazione esposta, segnatamente sul piano fisico e su quello delle cure, alla valutazione che precede e quindi all'ammissione degli estremi per un riesame completo della fattispecie nulla muta infine l'ulteriore presa di posizione formulata il 16 dicembre 2016 dal medico cantonale.
Con tale scritto, quest'ultimo si limita infatti a confermare di avere preso visione delle perizie relative ai problemi cardiaci e psichiatrici e ad osservare di ritenerle coerenti ed esaustive, quindi a considerare che nelle stesse non viene riportata nessuna patologia acuta che impedisca al ricorrente di viaggiare o che ne metta acutamente in pericolo la vita. Per quanto riguarda la questione della possibilità di un trattamento adeguato in Kosovo - aspetto come detto importante e su cui ha insistito anche il PD Dr. D._ -, non prende inoltre posizione, rimettendosi alla decisione delle autorità amministrative.
4.4. La critica con la quale viene lamentata una violazione dell'<ref-law> è pertanto fondata. Dati gli estremi per un riesame della fattispecie rispettivamente per un'entrata in materia sulla domanda di rilascio di un nuovo permesso di dimora, l'incarto dev'essere di conseguenza ritornato al Tribunale amministrativo ticinese, affinché proceda a un esame in tal senso.
5.
5.1. Per quanto precede, nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è accolto. La sentenza impugnata è annullata e l'incarto è rinviato al Tribunale cantonale amministrativo per nuovo giudizio, nel senso dei considerandi (<ref-law>).
5.2. Soccombente, lo Stato del Cantone Ticino è dispensato dal pagamento delle spese giudiziarie (<ref-law>). Esso dovrà però corrispondere al ricorrente, assistito da un avvocato, un'indennità per ripetibili per la sede federale (art. 68 cpv. 1 e 2 LTF). Di conseguenza, le domande di assistenza giudiziaria e gratuito patrocinio vanno considerate prive di oggetto.

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è accolto. La sentenza del 31 maggio 2017 del Tribunale amministrativo ticinese è annullata.
2.
La causa è rinviata al Tribunale amministrativo ticinese per nuovo giudizio nel senso dei considerandi.
3.
Non vengono prelevate spese.
4.
Lo Stato del Cantone Ticino verserà al ricorrente un'indennità di fr. 2'500.-- per ripetibili della sede federale.
5.
C omunicazione al patrocinatore del ricorrente, alla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino, nonché alla Segreteria di Stato della migrazione.