Sachverhalt:
A.
Am 22. Februar 2016 lenkte A._ einen Lieferwagen auf der Überholspur der Autobahn A18 in Richtung Delsberg. Es herrschte ein mittleres Verkehrsaufkommen. Ein Personenwagen wechselte im Bereich der Ausfahrt Muttenz-Süd von der Normalspur nach links unmittelbar vor den Lieferwagen. Daraufhin folgte A._ diesem Personenwagen; dabei hielt er einen ungenügenden Abstand zum vorausfahrenden Fahrzeug ein. Ihm wurde vorgeworfen, sein Abstand zum Fahrzeug vor ihm habe auf einer Distanz von ca. 1'500 m bei einer Geschwindigkeit von etwas über 100 km/h etwa 10 m betragen. Der Vorfall wurde von einem zivilen Fahrzeug der Polizei Basel-Landschaft per Video erfasst.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Landschaft sprach A._ deswegen mit Strafbefehl vom 21. April 2016 der groben Verletzung der Verkehrsregeln schuldig. Auf seine Einsprache hin wurde die Tat mit neuem Strafbefehl vom 4. August 2016 nur noch als einfache Verletzung der Verkehrsregeln geahndet. Dieser Strafbefehl erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
Die Kantonspolizei Basel-Stadt, Ressort Administrativmassnahmen, stufte den Vorfall als schwere Widerhandlung gegen die Strassenverkehrsvorschriften ein. Sie ordnete am 20. Oktober 2016 den Entzug des Führerausweises für die Dauer von drei Monaten an.
B.
A._ zog die Verfügung an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt weiter. Dieses wies das Rechtsmittel am 15. Dezember 2016 ab.
Hiergegen rekurrierte A._ an den Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt. Der Rekurs wurde jedoch dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht zum Entscheid überwiesen. Dieses hiess den Rekurs mit Urteil vom 18. Oktober 2017 teilweise gut und setzte den Führerausweisentzug auf die Dauer eines Monats herab; es ging von einer mittelschweren Widerhandlung aus.
C.
Die Kantonspolizei Basel-Stadt, Ressort Administrativmassnahmen, führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Sie beantragt, das Urteil des Appellationsgerichts aufzuheben und in Bestätigung der unterinstanzlichen Entscheide den Ausweis für drei Monate zu entziehen. Weiter sei ein neuer Abgabetermin für den Führerausweis zu setzen. Eventualiter sei die Beschwerdeführerin mit der Festsetzung des neuen Termins zu beauftragen.
A._ ersucht um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Appellationsgericht äussert sich zu den aufgeworfenen Rechtsfragen, ohne einen Antrag zu stellen. Das Bundesamt für Strassen ASTRA schliesst in der Vernehmlassung vom 24. April 2018 ohne weitere Ausführungen auf Gutheissung der Beschwerde. In der Folge haben sich die Verfahrensbeteiligten nicht mehr geäussert.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid über einen Führerausweisentzug. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> offen; ein Ausnahmegrund ist nicht gegeben (<ref-law>). Die Kantonspolizei Basel-Stadt, Ressort Administrativmassnahmen, ist als erstinstanzlich verfügende Behörde zur Beschwerde berechtigt (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Gemäss <ref-law> hat der Lenker gegenüber allen Strassenbenützern einen ausreichenden Abstand zu wahren, namentlich beim Hintereinanderfahren. Er muss auch bei überraschendem Abbremsen des vorausfahrenden Fahrzeugs rechtzeitig anhalten können (vgl. Art. 12 Abs. 1 VRV; SR 741.11). Dass der Beschwerdegegner gegen diese Verkehrsregeln verstossen hat, ist unbestritten.
2.2. Das Gesetz unterscheidet zwischen der leichten, mittelschweren und schweren Widerhandlung (Art. 16a-c SVG). Gemäss <ref-law> begeht eine leichte Widerhandlung, wer durch Verletzung von Verkehrsregeln eine geringe Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft und ihn dabei nur ein leichtes Verschulden trifft (Abs. 1 lit. a). Die fehlbare Person wird verwarnt, wenn in den vorangegangenen zwei Jahren der Ausweis nicht entzogen war und keine andere Administrativmassnahme verfügt wurde (Abs. 3). Gemäss <ref-law> begeht eine mittelschwere Widerhandlung, wer durch Verletzung von Verkehrsregeln eine Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft oder in Kauf nimmt (Abs. 1 lit. a). Nach einer mittelschweren Widerhandlung wird der Führerausweis für mindestens einen Monat entzogen (Abs. 2 lit. a). Leichte und mittelschwere Widerhandlungen werden von <ref-law> als einfache Verkehrsregelverletzungen erfasst (<ref-ruling> E. 2.4 S. 143). Gemäss <ref-law> begeht eine schwere Widerhandlung, wer durch grobe Verletzung von Verkehrsregeln eine ernstliche Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft oder in Kauf nimmt (Abs. 1 lit. a). Nach einer schweren Widerhandlung, welche einer groben Verkehrsregelverletzung im Sinne von <ref-law> entspricht (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 238; Urteil 1C_3/2015 vom 26. August 2015 E. 2.1), wird der Führerausweis für mindestens drei Monate entzogen (Abs. 2 lit. a).
2.3. Die mittelschwere Widerhandlung stellt nach <ref-law> einen Auffangtatbestand dar. Sie liegt vor, wenn nicht alle privilegierenden Elemente einer leichten Widerhandlung nach <ref-law> und nicht alle qualifizierenden Elemente einer schweren Widerhandlung nach <ref-law> gegeben sind (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 141). Demgegenüber setzt die Annahme einer schweren Widerhandlung kumulativ eine qualifizierte objektive Gefährdung und ein qualifiziertes Verschulden voraus. In objektiver Hinsicht wird verlangt, dass die Verkehrssicherheit ernsthaft gefährdet wurde. Dabei genügt nach der Rechtsprechung eine erhöhte abstrakte Gefährdung, die vorliegt, wenn in Anbetracht der jeweiligen Verhältnisse des Einzelfalls der Eintritt einer konkreten Gefährdung oder gar einer Verletzung nahe liegt. Subjektiv erfordert der Tatbestand der groben Verkehrsregelverletzung ein rücksichtsloses oder sonst schwerwiegend verkehrswidriges Verhalten, d.h. ein schweres Verschulden, bei fahrlässiger Begehung grobe Fahrlässigkeit (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 136; Urteil 1C_588/2015 vom 14. April 2016 E. 2.2).
2.4. Nach der Rechtsprechung ist die Verwaltungsbehörde grundsätzlich an die Feststellungen des Sachverhalts durch den Strafrichter gebunden (<ref-ruling> E. 3.2 S. 101 mit Hinweisen). In der rechtlichen Würdigung des Sachverhalts - namentlich auch des Verschuldens - ist die Verwaltungsbehörde hingegen frei, ausser die rechtliche Qualifikation hängt stark von der Würdigung von Tatsachen ab, die der Strafrichter besser kennt, etwa weil er den Beschuldigten persönlich einvernommen hat. Auch in diesem Zusammenhang hat sie jedoch den eingangs genannten Grundsatz, widersprüchliche Urteile zu vermeiden, gebührend zu berücksichtigen (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 451; Urteil 1C_424/2012 vom 15. Januar 2013 E. 2.3). Insbesondere hat sich die Verwaltungsbehörde bezüglich der Würdigung des Verschuldens grundsätzlich einer vertretbaren Ermessensausübung des Strafrichters anzuschliessen (Urteile 1C_746/2013 vom 12. Dezember 2013 E. 3.4; 1C_424/2012 vom 15. Januar 2013 E. 4.4).
3.
Gemäss dem angefochtenen Urteil beruht die Beurteilung im Strafverfahren und im Administrativverfahren auf demselben Sachverhalt, der filmisch dokumentiert wurde.
Bei der rechtlichen Würdigung kam bereits die Staatsanwaltschaft zu unterschiedlichen Ergebnissen. Im ersten Strafbefehl vom 21. April 2016 wurde die Verkehrsregelverletzung als grob (<ref-law>), beim zweiten und rechtskräftigen Strafbefehl vom 4. August 2016 hingegen als einfach (<ref-law>) beurteilt. Eine eigentliche Begründung für die Neubeurteilung fehlt, immerhin geht der Sachverhalt beim zweiten Strafbefehl ausführlicher auf Elemente ein, die den Beschwerdegegner entlasten.
Im Administrativverfahren ist die Beurteilung des Vorfalls ebenfalls unterschiedlich ausgefallen. In der erstinstanzlichen Verfügung und im Rekursentscheid des Departements wurde eine schwere Widerhandlung (<ref-law>) bejaht. Demgegenüber hält das Appellationsgericht dafür, dass im Strafverfahren vertretbare Gründe für eine Verurteilung nach <ref-law> gesprochen hätten. Es knüpft dabei an die Sachverhaltselemente an, die im zweiten Strafbefehl ergänzt worden sind. Dem Beschwerdegegner sei "vor die Nase gefahren" worden und er sei von hinten in eine "Sandwich-Situation" hineingedrängt worden. Das Appellationsgericht mutmasst, beim zweiten Strafbefehl sei ein geringes Verschulden des Beschwerdegegners angenommen worden. Die Verurteilung im Strafbefehl widerspreche der bundesgerichtlichen Rechtsprechung nicht. Deshalb sehe sich das Appellationsgericht an den Strafbefehl gebunden. Somit könne aus formellen Gründen nicht von einer schweren Widerhandlung ausgegangen werden, denn diese entspreche einer groben Verkehrsregelverletzung (vgl. oben E. 2.2). Dieses Ergebnis rechtfertige sich auch wegen des Grundsatzes "ne bis in idem". Im angefochtenen Urteil wird der Vorfall aber als mittelschwere Widerhandlung (<ref-law>) betrachtet.
4.
Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz vor, den Sachverhalt verfälscht zu haben. Sie habe Teile des Ablaufs beim Vorfall weggelassen, um zu ihrem Resultat zu gelangen. Die Vorinstanz hat jedoch den Sachverhalt weder offensichtlich unrichtig noch unvollständig festgestellt, soweit dieser für den Ausgang des Verfahrens entscheidend ist. Zwar gewichtet die Vorinstanz die Umstände, dass ein Personenwagen sich unmittelbar vor den Lieferwagen des Beschwerdegegners gesetzt hatte und ein weiteres Fahrzeug von hinten aufschloss, stark. Sie hat indessen die übrigen Sachverhaltselemente nicht ausgeblendet.
Im angefochtenen Urteil wird unter Verweis auf den Strafbefehl vom 4. August 2016 dargelegt, dass der Beschwerdegegner auf einer Distanz von 1'500 m nicht der Pflicht nachgekommen sei, den Sicherheitsabstand wieder herzustellen. Er hätte sorgfältig bremsen bzw. nicht wieder beschleunigen können, zumal ein brüskes Abbremsen nicht nötig gewesen wäre. Das Fahrzeug von hinten habe nach dem Spurwechsel des Fahrzeugs vor dem Beschwerdegegner noch mehrere hundert Meter und einige Zeit für das Aufschliessen benötigt. Daraus geht hervor, dass die Vorinstanz die ganze Distanz von 1'500 m gewürdigt hat. Ob die drei Fahrzeuge die Geschwindigkeit erhöht haben, als sie nahe aufeinander aufgeschlossen fuhren ("Sandwich-Situation"), spielt für den Ausgang des Verfahrens keine Rolle. Im rechtskräftigen Strafbefehl wurde dem Beschwerdegegner - unabhängig von der Frage einer Beschleunigung - vorgeworfen, er hätte den Abstand wieder herstellen können. Folglich kann offenbleiben, ob bzw. wann genau es zu der vom Beschwerdegegner bestrittenen Beschleunigung gekommen ist. Der Rechtsstreit betrifft nicht den Sachverhalt, sondern die rechtliche Würdigung des Verschuldens des Beschwerdegegners.
5.
5.1. Die Regel betreffend die Wahrung eines ausreichenden Abstandes beim Hintereinanderfahren ist von grundlegender Bedeutung für die Verkehrssicherheit, ist doch die Missachtung dieser Regel eine häufige Unfallursache (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 137 mit Hinweis). Für die Einhaltung des angemessenen Abstandes hat im Regelfall der Fahrer des hinteren Fahrzeugs zu sorgen (<ref-ruling> E. 3.3.3 S. 329 mit Hinweisen). Jeder Lenker ist allein für den ausreichenden Abstand nach vorn verantwortlich. Es kann nicht verlangt werden, dass der Vorausfahrende seine Geschwindigkeit erhöhe, um einen zu geringen Abstand zum nachfolgenden Fahrzeug zu vergrössern, denn dies würde zu einer unzulässigen Ablenkung der Aufmerksamkeit vom Verkehrsgeschehen vor dem Fahrzeug führen, welches in erster Linie zu beobachten ist. Demgegenüber kann der Nachfolgende die vor ihm liegende Verkehrssituation ohne Schwierigkeiten überblicken, womit er es in der Hand hat, seine Geschwindigkeit den Umständen anzupassen und dadurch einen situationsgerechten Abstand herzustellen oder einzuhalten und eine Behinderung oder Gefährdung der Verkehrsteilnehmer, insbesondere des Vorausfahrenden selber, zu vermeiden (<ref-ruling> E. 3a S. 250 f.; Urteil 6B_451/2010 vom 13. September 2010 E. 3.4).
5.2. Was unter einem "ausreichenden Abstand" im Sinne von <ref-law> zu verstehen ist, hängt von den gesamten Umständen ab. Dazu gehören unter anderem die Strassen-, Verkehrs- und Sichtverhältnisse sowie die Beschaffenheit der beteiligten Fahrzeuge. Im Sinne von Faustregeln stellt die Rechtsprechung für Personenwagen auf die Regel "halber Tacho" (entsprechend 1,8 Sekunden) und die "Zwei-Sekunden"-Regel ab (<ref-ruling> E. 3.1 135). Diese Distanz entspricht ungefähr der Anhaltestrecke bei plötzlichem ordnungsgemässem Bremsen und Anhalten des vorausfahrenden Personenwagens (<ref-ruling> E. 2b S. 194).
Für die Beurteilung, ob eine grobe Verkehrsregelverletzung im Sinne von <ref-law> anzunehmen ist, wird als Richtschnur die Regel "1/6-Tacho" (bzw. Abstand von 0,6 Sekunden) herangezogen (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 137; Urteile 6B_1030/2010 vom 22. März 2011 E. 3.3.2; 6B_698/2017 vom 13. Oktober 2017 E. 5.4). Bei Abständen von rund 10 m (bzw. 0,36 Sekunden) und Geschwindigkeiten um 100 km/h geht das Bundesgericht regelmässig von groben Verkehrsregelverletzungen gemäss <ref-law> bzw. schweren Widerhandlungen gemäss <ref-law> aus (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 137 f.; Urteile 1C_424/2012 vom 15. Januar 2013 E. 4.1; 1C_590/ 2015 vom 10. August 2016 E. 3.2). Nach der Rechtsprechung kann eine grobe Verkehrsregelverletzung bereits vorliegen, wenn der erforderliche Mindestabstand auf einer Strecke von weniger als 300 m unterschritten wird (vgl. die Urteile 6B_1004/2016 vom 14. März 2017 E. 3.3; 6B_290/2015 vom 23. November 2015 E. 2.3.1; 1C_746/2013 vom 12. Dezember 2013 E. 2.4).
Grundsätzlich ist von einer objektiv groben Verletzung der Verkehrsregeln auf ein zumindest grobfahrlässiges Verhalten zu schliessen. Die Rücksichtslosigkeit ist ausnahmsweise zu verneinen, wenn besondere Umstände vorliegen, die das Verhalten subjektiv in einem milderen Licht erscheinen lassen (Urteil 6B_1004/2016 vom 14. März 2017 E. 3.2 mit Hinweisen).
5.3. Beim genannten Urteil 1C_424/2012 vom 15. Januar 2013 E. 4.3 hat das Bundesgericht erwogen, es sei notorisch, dass gerade auf Autobahnen die grossen Sicherheitsabstände, die angesichts der gefahrenen hohen Tempi geboten wären, häufig unterschätzt werden. Es sei bei starkem Verkehrsaufkommen nicht immer einfach, diese Abstände stets zu wahren, weil sie von anderen Verkehrsteilnehmern für Spurwechsel ge- bzw. missbraucht und dadurch verkleinert würden. Dies lasse das Verschulden des dort betroffenen Lenkers, der einen Abstand von rund 20 bis 25 m zu seinem Vordermann bei einer Geschwindigkeit von rund 100 km/h auf der Autobahn eingehalten hatte, in einem etwas milderen Licht erscheinen. Das Bundesgericht erachtete den Schuldspruch wegen einfacher Verkehrsregelverletzung als vertretbar und ging im Hinblick auf den Führerausweisentzug von einer mittelschweren Widerhandlung nach <ref-law> aus (a.a.O., E. 4.5). Unter Bezugnahme auf dieses Urteil wurde in einem weiteren Fall ein Abstand von maximal 26 m über eine längere Distanz von mehreren hundert Metern bei einer Geschwindigkeit von 124 km/h als mittelschwere Widerhandlung qualifiziert; dabei berücksichtigte das Bundesgericht, dass der dort sanktionierte Lenker den kurzen Abstand beibehalten habe; letzterer sei nicht bloss kurzzeitig entstanden, weil das vordere Fahrzeug sich mit zu geringem Abstand vor ihn gesetzt habe (Urteil 1C_183/2013 vom 21. Juni 2013 E. 4). Im Urteil 1C_413/2014 vom 30. März 2015 E. 3 wurde sogar eine leichte Widerhandlung im Sinne von <ref-law> angenommen, weil einzig eine auf mangelnde Sorgfalt zurückzuführende, kurzzeitige Unterschreitung des genügenden Abstandes zum vorausfahrenden Fahrzeug auf der Autobahn erstellt war.
Das Bundesgericht hat aber schon verschiedentlich eine schwere Widerhandlung bejaht, obwohl im Strafbefehl der zu geringe Abstand auf der Autobahn bloss als einfache Verkehrsregelverletzung sanktioniert wurde. Dies war etwa der Fall in den Urteilen 1C_274/2010 vom 7. Oktober 2010 E. 3.2 (Abstand zwischen 5 und 10 m auf einer Distanz von 500 m bei ungefähr 100 km/h), 1C_30/2017 vom 21. April 2017 E. 2.2.2 (geschätzter Abstand von 5 m auf einer Distanz von über 1'000 m bei 80 km/h) und 1C_250/2017 vom 7. September 2017 E. 3.2 (Abstand von 0,56 Sekunden auf einer Distanz von rund 360 m bei 70 km/h auf einem Autobahnzubringer).
5.4. Im vorliegenden Fall hat der Abstand etwa 10 m zum vorausfahrenden Fahrzeug auf einer Strecke von ca. 1'500 m bei einer Geschwindigkeit von etwas über 100 km/h betragen. Dieser Abstand war deutlich kleiner als bei den vorgenannten Urteilen 1C_424/2012 vom 15. Januar 2013 und 1C_183/2013 vom 21. Juni 2013. Die äusseren Verhältnisse waren nicht günstig, weil ein mittleres Verkehrsaufkommen herrschte. Hinzu kommt, dass es sich beim Fahrzeug des Beschwerdegegners um einen Lieferwagen handelt, bei dem der Bremsweg in der Regel länger als bei einem Personenwagen ausfällt. Der fragliche Abstand war derart gering, dass er unabhängig davon, wie gross im konkreten Einzelfall das Risiko eines Auffahrunfalls war, eine qualifizierte objektive Gefährdung begründet hat.
Die massive Unterschreitung des gebotenen Abstands ist nicht nur kurzzeitig aufgrund des Spurwechsels des Fahrzeugs, das sich vor den Beschwerdegegner gesetzt hat, entstanden. Vielmehr hat dieser den gebotenen Abstand in der Folge nicht wiederhergestellt, obwohl ihm das möglich gewesen wäre. Dazu wäre er klarerweise verpflichtet gewesen, denn nach der oben bei E. 5.1 dargelegten Rechtsprechung war er allein für den Abstand nach vorn verantwortlich. Nur schon auf dem Streckenabschnitt von einigen hundert Metern bis zum nahen Aufschliessen des hinteren Fahrzeugs trifft ihn ein erhebliches Verschulden an der unterlassenen Geschwindigkeitsreduktion. Entgegen der Auffassung der Vorinstanz bilden somit weder der Spurwechsel des Fahrzeugs, das sich vor den Beschwerdegegner gesetzt hat, noch die spätere "Sandwich-Situation" besondere Umstände, die sein Verschulden in einem milderen Licht erscheinen lassen. Andere Anhaltspunkte für ein geringes Verschulden des Beschwerdegegners sind weder geltend gemacht noch ersichtlich.
5.5. Insgesamt hat der Beschwerdegegner eine für die Sicherheit zentrale Verkehrsregel - die Einhaltung eines ausreichenden Abstands - objektiv und subjektiv in grober Weise missachtet. Soweit sich aus dem Strafbefehl vom 4. August 2016 etwas anderes ergibt, ist er nicht mit der dargelegten Rechtsprechung des Bundesgerichts vereinbar. Demzufolge ist der Vorfall administrativ als schwere Widerhandlung im Sinn von <ref-law> einzustufen. Die Beschwerde ist in diesem Punkt begründet.
6.
Die Vorinstanz hat sich bei ihrer Beachtung der rechtlichen Würdigung im Strafbefehl vom 4. August 2016 vom Grundsatz "ne bis in idem" leiten lassen.
6.1. Nach dem Grundsatz "ne bis in idem" darf niemand wegen einer Straftat, für welche er nach dem Gesetz und dem Strafverfahrensrecht eines Staates rechtskräftig verurteilt oder freigesprochen worden ist, in einem Strafverfahren desselben Staates erneut verfolgt oder bestraft werden. Das Prinzip ist nur verletzt, wenn derselbe Sachverhalt in zwei voneinander unabhängigen Strafverfahren verfolgt und beurteilt wird. Das Prinzip leitet sich direkt aus Art. 8 Abs. 1 und 29 Abs. 1 BV sowie dem materiellen Bundesstrafrecht ab. Es ist nunmehr ausdrücklich in <ref-law> verankert. Es ergibt sich überdies aus Art. 4 Ziff. 1 zum 7. Zusatzprotokoll zur EMRK vom 22. November 1984 (SR 0.101.07) sowie aus Art. 14 Ziff. 7 Uno-Pakt II (SR 0.103.2) und Art. 54 des Schengener Durchführungsübereinkommens (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 110; <ref-ruling> E. 2.1 S. 364 f.; Urteil 6B_1053/ 2017 vom 17. Mai 2018 E. 4.1).
6.2. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts verstösst es nicht gegen den Grundsatz "ne bis in idem", wenn für die gleiche SVG-Widerhandlung in zwei verschiedenen Verfahren eine Strafe und eine Administrativmassnahme (Warnungsentzug oder Verwarnung) ausgesprochen wird (vgl. <ref-ruling> E. 3b/aa S. 135; <ref-ruling> E. 1b S. 404 f.). In BGE <ref-ruling> E. 2.4 S. 370 hat das Bundesgericht aufgrund einer vertieften Auseinandersetzung mit der Lehre und der Praxis des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (EGMR) - insbesondere mit dem Urteil Zolotukhin gegen Russland vom 10. Februar 2009 (Nr. 14939/03) - bekräftigt, dass der Grundsatz "ne bis in idem" durch die Kumulierung von straf- und verwaltungsrechtlicher Sanktion bei Verkehrsregelverletzungen nicht verletzt wird. Grundlage für die Anwendung des Doppelbestrafungsverbots bildet nach dieser Rechtsprechung eine einfache Tatidentität; die rechtliche Qualifikation oder das Konkurrenzverhältnis zwischen den anwendbaren Strafnormen bleiben ohne Bedeutung (BGE <ref-ruling> E. 2.2 S. 366 und 2.4 S. 369). Dieses Bundesgerichtsurteil wurde mit EGMR-Urteil Rivard gegen Schweiz vom 4. Oktober 2016 (Nr. 21563/12) bestätigt. Darin wurde festgestellt, dass der im Administrativverfahren ausgesprochene Warnungsentzug vergleichbar mit einer Zusatzstrafe zur strafrechtlichen Verurteilung (Busse) sei und insoweit nicht gegen den Grundsatz "ne bis in idem" verstosse (a.a.O., Ziff. 31-33). Der EGMR berücksichtigte dabei, dass der Grundsatz der Koordination zwischen dem Straf- und dem Administrativverfahren (vgl. dazu oben E. 2.4) angewendet wird (a.a.O., Ziff. 31).
6.3. Im Urteil A. und B. gegen Norwegen vom 15. November 2016 (Nr. 24130/11 und 29758/11) hat der EGMR betreffend ein Steuervergehen seine Rechtsprechung präzisiert. Er hielt fest, die Staaten dürften Sanktionen für ein sozial verpöntes Verhalten in verschiedenen, ein zusammenhängendes Ganzes ("un tout cohérent", "a coherent whole") bildendes Verfahren verhängen, soweit diese kumulativen Rechtsfolgen für den Betroffenen keine exzessive Last bildeten (a.a.O., Ziff. 120 f.). Doch setze das Kriterium der hinreichend engen Verknüpfung der Verfahren ("lien matériel et temporel suffisamment étroit"; "sufficiently closely connected in substance and in time") voraus, dass die verfolgten Zwecke und die zu ihrer Erreichung eingesetzten Mittel im Wesentlichen komplementär und zeitlich verknüpft seien sowie dass die eventuellen Folgen einer derartigen Verfahrensordnung verhältnismässig und für die betroffene Person voraussehbar seien (a.a.O., Ziff. 130). Dabei wird nach dieser Rechtsprechung gewürdigt, ob die im ersten Verfahren ausgesprochene Sanktion im nachfolgenden Verfahren berücksichtigt wird, so dass für den Betroffenen keine exzessive Belastung entsteht und die insgesamt ausgesprochenen Sanktionen verhältnismässig sind; dieses Risiko sei am wenigsten gegeben, wenn ein ausgleichender Mechanismus vorhanden ist, der sicherstellt, dass der Gesamtumfang der Sanktionen verhältnismässig ist ("un mécanisme compensatoire conçu pour assurer que le montant global de toutes les peines prononcées est proportionné"; "offsetting mechanism designed to ensure that the overall amount of any penalties imposed is proportionate"; a.a.O., Ziff. 132).
6.4. Ein grosser Teil der Lehre erachtet das duale System von Strafurteil und administrativem Warnungsentzug des Führerausweises unter Hinweis auf BGE <ref-ruling> als mit dem Grundsatz "ne bis in idem" vereinbar (HÄFELIN/HALLER/KELLER/THURNHERR, Schweizerisches Bundesstaatsrecht, 9. Aufl. 2016, N. 864c; AUER/MALINVERNI/HOTTELIER, Droit constitutionnel suisse, 3. Aufl. 2013, Bd. II, N. 1438 f.; TSCHANNEN/ZIMMERLI/MÜLLER, Allgemeines Verwaltungsrecht, 4. Aufl. 2014, § 32 N. 20; WIEDERKEHR/RICHLI, Praxis des allgemeinen Verwaltungsrechts, 2012, N. 3101; JEANNERET/KUHN, Précis de procédure pénale, 2. Aufl. 2018, N. 4085; BRIGITTE TAG, in: Basler Kommentar StPO, 2. Aufl. 2014, Bd. I, N. 19 zu <ref-law>; NIKLAUS OBERHOLZER, Grundzüge des Strafprozessrechts, 3. Aufl. 2012, N. 619).
Ein Teil der Lehre äussert allerdings den Vorbehalt, dass die Vereinbarkeit mit dem Grundsatz "ne bis in idem" nur dann gegeben sein könne, wenn die Administrativbehörde insbesondere an die rechtliche Würdigung des Sachverhalts im Strafurteil gebunden sei (PHILIPPE WEISSENBERGER, Kommentar SVG, 2. Aufl. 2015, N. 9 der Vorbemerkungen zu <ref-law> sowie N. 25 zu <ref-law>; CÉDRIC JEAN MIZEL, Droit et pratique illustrée du retrait du permis de conduire, 2015, S. 691 f.; RÜTSCHE/SCHNEIDER, in: Basler Kommentar SVG, 2014, N. 23 zu <ref-law> sowie N. 29 zu <ref-law>; ALEXANDER SCHORRO, Strafverfahren und Administrativmassnahmeverfahren als Teile eines einheitlichen Systems, in: Forumpoenale 2017 S. 184 ff., 188 f.; INES MEIER, Der Dualismus von Verwaltungs- und Strafverfahren, 2017, S. 227 ff.).
6.5. Beim Vorfall, der mit BGE <ref-ruling> beurteilt wurde, ist die Verwaltungsbehörde nicht von der strafrechtlichen Würdigung abgewichen. Im vorliegenden Fall ergibt sich hingegen eine Abweichung, weil der rechtskräftige Strafbefehl von einer einfachen Verkehrsregelverletzung (<ref-law>) ausging, während im Hinblick auf den Führerausweisentzug die Annahme einer schweren SVG-Widerhandlung (<ref-law>) geboten ist; letztere entspricht der groben Verkehrsregelverletzung (<ref-law>).
Im Hinblick auf das Doppelbestrafungsverbot erscheint wesentlich, dass die straf- und die administrativrechtliche Sanktion insgesamt der Tat und dem Verschulden angemessen sind. Das als strafrechtliche Sanktion gemäss <ref-law> vorgesehene Fahrverbot ist auf SVG-Widerhandlungen nicht anwendbar (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 78; TRECHSEL/PIETH, Schweizerisches Strafgesetzbuch, Praxiskommentar, 3. Aufl. 2018, N. 1 zu <ref-law>). Nach dem dualen System des SVG ist nur die Verwaltungsbehörde - und nicht das Strafgericht - bei Verkehrsdelikten wie im vorliegenden Fall zuständig, einen Führerausweisentzug anzuordnen. Straf- und Administrativbehörde verfügen gesetzlich nicht über denselben Sanktionstyp und verfolgen unterschiedliche Zielsetzungen (BGE <ref-ruling> E. 2.4 S. 369). Dabei handelt es sich um zwei Behörden mit je eigenständigen Befugnissen. Die Prüfung des Vorfalls durch die Verwaltungsbehörde lässt sich deshalb nicht auf einen Automatismus im Verhältnis zum Strafurteil reduzieren.
6.6. Richtig ist, dass die Verwaltungsbehörde nach der in <ref-ruling> E. 2c/bb S. 162 präzisierten Rechtsprechung grundsätzlich mit ihrem Entscheid zuzuwarten hat, bis ein rechtskräftiges Strafurteil vorliegt, soweit der Sachverhalt oder die rechtliche Qualifikation des in Frage stehenden Verhaltens für das Verwaltungsverfahren von Bedeutung sind. Dabei ist die Verwaltungsbehörde grundsätzlich an den Sachverhalt gemäss Strafurteil gebunden, kann aber in den engen Grenzen, die bereits mit <ref-ruling> E. 5 S. 775 umschrieben und seither bestätigt worden sind (vgl. den oben bei E. 2.4 genannten <ref-ruling> E. 3.2 S. 101), davon abweichen. Das steht indessen im vorliegenden Fall nicht zur Diskussion.
Was die rechtliche Würdigung betrifft, hat die Verwaltungsbehörde das Strafurteil ebenfalls kritisch zu hinterfragen. Die EGMR-Urteile A. und B. gegen Norwegen vom 15. November 2016 und Rivard gegen Schweiz vom 4. Oktober 2016 geben keinen Anlass, die bisherige bundesgerichtliche Rechtsprechung in dieser Hinsicht zu ändern. Somit bleibt es dabei, dass die Verwaltungsbehörde in der rechtlichen Würdigung grundsätzlich - mit den oben bei E. 2.4 dargelegten Vorbehalten, wie sie bereits in <ref-ruling> E. 2c S. 106 f. und 104 Ib 358 E. 3 S. 362 f. dargelegt wurden - frei ist. Nach einer strafrechtlichen Verurteilung wegen <ref-law> muss der Fehlbare mit einem Warnungsentzug des Führerausweises rechnen; dabei kommt auch eine Sanktionierung nach <ref-law> in Betracht, wenn die dafür geltenden Voraussetzungen erfüllt sind. Unter diesen Umständen ist ein solcher Ausweisentzug - trotz einer allfälligen Abweichung zur rechtlichen Qualifikation im Strafurteil - mit dem Grundsatz "ne bis in idem" vereinbar. Ein Fehlbarer wird dadurch insgesamt nicht schlechter gestellt, als wenn bereits im Strafurteil eine rechtlich haltbare Würdigung des massgeblichen Sachverhalts erfolgt wäre. Hingegen wäre es stossend, wenn ein strafrechtlich Verurteilter aus einem rechtlich klarerweise zu milden Strafurteil auch noch eine sachlich zu wenig weit gehende Administrativmassnahme erzwingen könnte. Der ausgleichende Mechanismus, der im genannten EGMR-Urteil A. und B. gegen Norwegen, Ziff. 132 verlangt wird, ist der Rahmen der einschlägigen Gesetzesbestimmungen und der Rechtsprechung, nicht aber das (allenfalls rechtlich unhaltbare) Strafurteil im Einzelfall. Vor diesem Hintergrund kann den Lehrmeinungen, die eine Bindung der Verwaltungsbehörde an die rechtliche Würdigung im Strafurteil im strengen Sinne befürworten (vgl. oben E. 6.4), nicht gefolgt werden.
6.7. Im vorliegenden Fall ist nicht ersichtlich, dass die rechtliche Qualifikation im Strafbefehl als einfache Verkehrsregelverletzung im Sinne von <ref-law> stark von der Würdigung von Tatsachen abhängt, welche die Staatsanwaltschaft besser kannte. Zu Unrecht hat sich die Vorinstanz an die rechtliche Qualifikation im Strafbefehl gebunden erachtet. Ein Führerausweisentzug gemäss <ref-law> verstösst im vorliegenden Fall nicht gegen den Grundsatz "ne bis in idem".
Gemäss <ref-law> wird der Führerausweis nach einer schweren Widerhandlung für drei Monate entzogen. Es handelt sich um die gesetzliche Minimaldauer, die gemäss <ref-law> nicht unterschritten werden darf (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 336). Die entsprechende Entzugsdauer, die in der erstinstanzlichen Verfügung angeordnet und im Rekursentscheid bestätigt worden ist, verletzt kein Bundesrecht.
7.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde gutzuheissen. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben und dem Beschwerdegegner ist der Führerausweis wegen grober Widerhandlung im Sinne von Art. 16c Abs. 1 lit. a i.V.m. Abs. 2 lit. a SVG für drei Monate zu entziehen. Zur Bestimmung des Zeitpunkts des Führerausweisentzugs ist die Angelegenheit entsprechend dem Eventualantrag der Beschwerde an die Kantonspolizei Basel-Stadt zurückzuweisen.
Die Kosten des kantonalen Verfahrens stehen fest und können vom Bundesgericht deshalb ohne Rückweisung selber neu verlegt werden. Der unterliegende Beschwerdegegner wird für das bundesgerichtliche Verfahren kostenpflichtig (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 18. Oktober 2017 wird aufgehoben. Dem Beschwerdegegner wird der Führerausweis für drei Monate entzogen.
2.
Zur Bestimmung des Zeitpunkts des Führerausweisentzugs wird die Angelegenheit an die Kantonspolizei Basel-Stadt zurückgewiesen.
3.
Der Beschwerdegegner trägt die Kosten der Verfügung der Kantonspolizei Basel-Stadt vom 20. Oktober 2016 (Fr. 350.--), des Rekursentscheids des Justiz- und Sicherheitsdepartements Basel-Stadt vom 15. Dezember 2016 (Fr. 700.--) und des Urteils des Appellationsgerichts Basel-Stadt vom 18. Oktober 2017 (Fr. 1'500.--).
4.
Die Gerichtsgebühr von Fr. 3'000.-- wird dem Beschwerdegegner auferlegt.
5.
Es werden keine Parteientschädigungen ausgerichtet.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und dem Bundesamt für Strassen, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Juni 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Kessler Coendet