Erwägungen:
1.
1.1. A._ bestreitet Rechnungen im Zusammenhang mit gesundheitlichen Abklärungen im Tierspital Bern. Die Rekurskommission der Universität Bern schrieb am 19. Februar 2020 das von ihm bei ihr eingeleitete Beschwerdeverfahren als gegenstandslos geworden ab. Auf die hiergegen eingereichte Beschwerde trat das Verwaltungsgericht des Kantons Bern am 8. April 2020 nicht ein, da sich A._ trotz Ansetzung einer Nachfrist - in seinen teilweise rechtzeitig, teilweise verspätet eingereichten Eingaben - nicht sachbezogen mit dem Verfahrensgegenstand auseinander gesetzt habe.
1.2. A._ gelangte hiergegen am 27. April 2020 mit dem Antrag an das Bundesgericht, zwei gegen ihn inzwischen in Betreibung gesetzte Rechnungen aufzuheben; zusätzlich sei ihm Schadenersatz für "unnötigen Zeitaufwand" in der Höhe der betriebenen Rechnungen zuzusprechen. Mit Schreiben vom 5. Mai 2020 machte das Bundesgericht ihn darauf aufmerksam, dass seine Eingabe nicht rechtsgenügend begründet sei, er seine Rechtsschrift aber noch bis zum Ablauf der Beschwerdefrist nachbessern könne; tue er dies nicht, könnte auf seine Eingabe nicht eingetreten werden. A._ reichte hierauf am 13. Mai 2020 ein ergänzendes Schreiben und verschiedene Aktenstücke ein.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG (SR 173.110) haben Rechtsschriften an das Bundesgericht die Begehren und deren Begründung zu enthalten. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Gegenstand des angefochtenen Entscheids beziehen. Die beschwerdeführende Partei muss in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form plausibel darlegen, inwiefern die Vorinstanz Rechte bzw. Rechtsnormen verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2 S. 88 ff. mit Hinweisen).
2.2. Streitgegenstand vor dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern bildete ausschliesslich die Frage, ob die Rekurskommission der Universität Bern ihr Verfahren unter Verletzung von Rechtsnormen abgeschrieben hat. Der Beschwerdeführer setzt sich mit dieser Problematik in seinen Eingaben an das Bundesgericht nicht auseinander; er verweist lediglich darauf, dass die Abklärungen im Tierspital mangelhaft gewesen seien und er deshalb die einverlangten Beträge nicht schulde. Er verkennt, dass diese Frage durch das Verwaltungsgericht des Kantons Bern nicht zu behandeln war. Der Beschwerdeführer setzt sich mit der einzig Verfahrensgegenstand bildenden Problematik der Abschreibung des Verfahrens vor der Rekurskommission der Universität Bern und den Erwägungen des Verwaltungsgerichts hierzu nicht auseinander. Er übersieht, dass das Bundesgericht keine allgemeine Aufsichtsbehörde ist und es nur soweit auf Beschwerden eintreten kann, als die gesetzlichen Eintretensvoraussetzungen erfüllt sind, was vorliegend - wie dem Beschwerdeführer bereits im Schreiben vom 5. Mai 2020 mitgeteilt wurde - nicht der Fall ist (Begründungspflicht gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Der Beschwerdeführer setzt sich auch in seiner ergänzten Rechtsschrift vom 13. Mai 2020 mit dem Verfahrensgegenstand (Rechtmässigkeit des Abschreibungsbeschlusses) nicht auseinander. Sein Antrag auf Schadenersatz ist aus dem gleichen Grund unzulässig.
3.
3.1. Da die Beschwerde offensichtlich keine rechtsgenügende Begründung enthält, ist darauf mit Entscheid des Präsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
3.2. Es kann davon abgesehen werden, für das vorliegende Verfahren Kosten zu erheben (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Mai 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar