Faits :
A.
Par courriers des 15 octobre et 28 novembre 2018, A._ et B._ se sont adressés à la Commission de la médiation en matière civile, pénale et pénale pour les mineurs de l'Etat de Fribourg (ci-après: la Commission de la médiation) en vue d'obtenir une décision ou, du moins, une garantie leur reconnaissant la possibilité de pratiquer la médiation familiale dans le cadre judiciaire, sans avoir besoin d'y être formellement autorisés, et de pouvoir faire valoir, le cas échéant, des honoraires pour cette activité auprès des autorités compétentes. Ils demandaient également à être inscrits au tableau des médiateurs et médiatrices assermentés du canton de Fribourg.
B.
Par décision du 10 avril 2019, la Commission de la médiation a constaté que A._ et B._ ne pouvaient pas être admis à exercer la fonction de médiateur sans y avoir été préalablement autorisés par elle, étant précisé que les intéressés n'avaient en l'occurrence jamais déposé de demande formelle en ce sens.
A._ a interjeté recours devant le Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg (ci-après: le Tribunal cantonal) contre la décision du 10 avril 2019 précitée. Il concluait à l'annulation de cette dernière et au renvoi de la cause à la Commission de la médiation. Il demandait au Tribunal cantonal d'enjoindre à celle-ci de lui reconnaître le droit de pratiquer la médiation civile, notamment familiale, dans un cadre judiciaire, de même que celui de faire valoir des honoraires auprès des autorités compétentes à ce titre et de l'inscrire au tableau des médiateurs et médiatrices du canton avec la mention "oui" s'agissant de la médiation familiale.
Par arrêt du 2 avril 2020, le Tribunal cantonal a rejeté le recours de A._.
C.
A._ (ci-après: le recourant) dépose un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal précité. Outre le bénéfice de l'assistance judiciaire et l'octroi de l'effet suspensif à son recours, respectivement l'autorisation provisionnelle de pratiquer la médiation, il demande l'annulation de l'arrêt attaqué et conclut à ce qu'il soit "autorisé" à pratiquer la médiation, notamment familiale, dans le cadre des art. 213 à 218 et 297 al. 2 CPC, et à faire valoir auprès des autorités judiciaires des honoraires à ce titre "selon les art. 53 et 54 [du règlement cantonal sur la justice]". Il requiert en outre son inscription au tableau des médiateurs et médiatrices assermentés du canton de Fribourg avec la mention "oui" sous la rubrique "médiation familiale". Il réclame enfin une indemnité de 750 fr. au moins pour la présente procédure fédérale et de 600 fr. pour la procédure cantonale, à charge de la Commission de la médiation.
Le Tribunal cantonal n'a pas formulé d'observations sur le recours, renvoyant aux considérants de son arrêt. Il a cependant conclu au rejet de la requête d'effet suspensif et de mesures provisionnelles tendant à autoriser le recourant à exercer la fonction de médiateur dans l'attente d'une décision au fond du Tribunal fédéral en la cause. La Commission de la médiation, qui n'a pas non plus formulé d'observations sur le recours, a fait de même.
Par ordonnance du 18 mai 2020, le Président de la Cour de céans a rejeté la demande de mesures provisionnelles du recourant.

Considérant en droit :
1.
1.1. L'arrêt attaqué, qui refuse de reconnaître au recourant le droit d'exercer la fonction de médiateur dans le cadre de procédures civiles dans le canton de Fribourg, est une décision finale (<ref-law>), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). Il constitue par ailleurs une cause de droit public (<ref-law>) ne tombant dans le champ d'application d'aucune des exceptions de l'<ref-law>. Certes, la médiation civile dans le cadre judiciaire, qui est au centre du présent litige, relève en priorité des règles fédérales de procédure civile. L'arrêt attaqué, qui empêche le recourant d'exercer une telle activité, se fonde toutefois sur une réglementation cantonale de droit public qui encadre directement celle-ci de manière générale, notamment en restreignant l'accès à la fonction de médiateur et médiatrice dans le cadre judiciaire aux seules personnes disposant de compétences officiellement reconnues (cf., dans le même sens, arrêt 2C_701/2014 du 13 avril 2015 consid. 2.1, non publié in <ref-ruling>, concernant la possibilité pour un agent d'affaires breveté d'obtenir l'autorisation de représenter des parties dans les procédures relatives au bail à loyer). La voie du recours en matière de droit public est donc ouverte.
1.2. Le recourant, partie à la procédure devant l'autorité de dernière instance cantonale, est directement et particulièrement touché par l'arrêt attaqué, qui l'empêche d'exercer la fonction de médiateur civil dans le cadre judiciaire, et a un intérêt digne de protection à sa modification. Partant, il est habilité à recourir au sens de l'<ref-law>. Le recours ayant pour le reste été déposé en temps utile (art. 46 al. 1 let. a et 100 al. 1 LTF, en lien avec l'ordonnance fédérale du 20 mars 2020 sur la suspension des délais dans les procédures civiles et administratives pour assurer le maintien de la justice en lien avec le coronavirus [COVID-19; RS 173.110.4]) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 et 2 LTF), il se justifie d'entrer en matière.
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), mais n'examine la violation de droits fondamentaux, ainsi que celle de dispositions de droit cantonal et intercantonal, que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (cf. <ref-law>), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 368; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 41; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 234). À cela s'ajoute que, sauf dans les cas cités expressément à l'<ref-law>, le recours devant le Tribunal fédéral ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal en tant que tel. En revanche, il est possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 382 s.; arrêt 2C_222/2016 du 29 septembre 2016 consid. 2.1, non publié in <ref-ruling>).
2.2. Le Tribunal fédéral conduit pour le reste son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que s'ils ont été constatés de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 313 s.) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause. La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées (cf. <ref-law>).
3.
En l'occurrence, dans le canton de Fribourg, l'exercice de la médiation civile dans le cadre judiciaire - qui est au centre du présent litige - est réglé par différents actes normatifs.
3.1. La loi cantonale du 31 mai 2010 sur la justice (LJ/FR; RSF 130.1) prévoit tout d'abord de manière générale, à son art. 126, que les médiateurs et médiatrices intervenant dans le cadre d'une procédure judiciaire sont indépendants et impartiaux, qu'ils sont soumis aux motifs de récusation de la procédure applicable (al. 1) et qu'il leur est par ailleurs interdit de divulguer des faits dont ils ont eu connaissance dans l'exercice de leur mandat (al. 2). Elle dispose également que le médiateur ou la médiatrice familial-e doit posséder des connaissances approfondies en matière de psychologie de l'enfance, d'éducation des enfants ou de travail social (al. 3). Elle contient enfin diverses délégations législatives chargeant le Conseil d'État de fixer, par voie réglementaire, les conditions dans lesquelles des personnes peuvent être admises à pratiquer la fonction de médiateurs et médiatrices dans le cadre judiciaire, leurs devoirs, ainsi que la surveillance et le droit disciplinaire applicable en la matière (cf. art. 125 al. 4 et 126 al. 4 LJ/FR). Le Conseil d'État a satisfait à ce mandat en adoptant l'ordonnance cantonale du 6 décembre 2010 sur la médiation civile, pénale et pénale pour les mineurs (OMed/FR; RSF 134.11), qui réglemente plus en détail les modalités de la médiation dans le cadre judiciaire (<ref-law>/FR) et dont la teneur est, en substance, la suivante.
3.2. Selon l'<ref-law>/FR, l'exercice de la fonction de médiateur ou médiatrice dans le cadre judiciaire est tout d'abord subordonné à une autorisation de la Commission de la médiation. A ce titre, l'<ref-law>/FR prévoit que l'exercice de la fonction de médiateur ou médiatrice est réservé aux personnes qui remplissent les différentes conditions énumérées à cette disposition. Elles doivent en particulier être âgées de 30 ans et bénéficier d'un diplôme universitaire ou d'une formation jugée équivalente (let. a et b). Elles doivent également disposer d'une bonne expérience professionnelle, d'une formation spécifique attestée par une association reconnue en Suisse dans le domaine de la médiation, d'aptitudes certifiées en matière de médiation, ainsi que, pour justifier l'inscription au tableau, de qualifications particulières ou de domaines de spécialité, d'une expérience ou de connaissances suffisantes dans le domaine d'activité concerné (let. c à e). Elles ne doivent enfin faire l'objet d'aucune inscription au casier judiciaire pour une infraction intentionnelle portant atteinte à la probité et à l'honneur (let. f). Enfin, selon l'<ref-law>/FR, les personnes qui entendent se profiler comme médiatrices familiales devront disposer plus spécialement du titre de médiateur ou médiatrice familial de l'Association suisse pour la médiation et posséder des connaissances approfondies en matière de psychologie de l'enfance, d'éducation des enfants ou de travail social au sens de l'art. 126 al. 3 LJ/FR.
Les art. 9 et 10 al. 1 et 2 OMed/FR prévoient qu'après avoir contrôlé que les personnes candidates remplissent les conditions énumérées aux art. 7 et 8 OMed, la Commission de la médiation les assermente par l'entremise de son président et dresse un tableau officiel des médiateurs et médiatrices ainsi assermentés. Le tableau mentionne les qualifications particulières ou les domaines de spécialité du médiateur ou de la médiatrice et, le cas échéant, l'office de médiation dont il ou elle dépend.
3.3. Outre la mise en place d'une procédure d'autorisation, l'OMed/FR prévoit également toute une série d'obligations que les médiateurs et médiatrices doivent respecter dans l'exercice de leur office. Les intéressés doivent ainsi se récuser ou révoquer le mandat lorsqu'il existe des motifs de récusation à leur égard (cf. <ref-law>/FR). De même leur est-il interdit de favoriser l'une des parties en litige et d'exercer une quelconque pression sur elles en vue d'obtenir l'adhésion à un accord (cf. <ref-law>/FR). Les médiateurs et médiatrices doivent pour le reste assurer la confidentialité de la procédure qu'ils mènent et veiller à faire preuve de diligence dans le cadre de celle-ci, en tenant le cas échéant compte des règles de déontologie de la Fédération suisse des associations de médiations (cf. art. 19 à 22 OMed/FR). La Commission de la médiation peut le cas échéant sanctionner ceux ou celles qui manqueraient aux dispositions de l'OMed/FR ou aux règles déontologiques par le biais de diverses sanctions disciplinaires, tels qu'un avertissement, une amende jusqu'à 10'000 fr., une suspension pour une durée maximale de deux ans, voire le retrait de l'autorisation (cf. <ref-law>/FR).
3.4. La question des frais de la médiation dans le cadre judiciaire est enfin traitée à l'<ref-law>/FR, ainsi qu'aux art. 52 ss du règlement cantonal du 30 novembre 2010 sur la justice (RJ/FR; RSF 130.11), que le Conseil d'État a adoptés en application d'une délégation législative contenue à l'art. 127 al. 3 LJ/FR. Il est en l'occurrence prévu que les frais de la médiation sont en principe à la charge des parties, mais que la médiation est gratuite, respectivement prise en charge par le canton lorsque l'autorité judiciaire recommande le recours à la médiation, pour autant que les conditions de l'assistance judiciaire soient remplies ou que, lors d'une affaire non pécuniaire relevant du droit de la famille, les parties ne disposent pas des moyens nécessaires (cf. art. 40 al. 1 à 3 OMed/FR). Les honoraires dus au médiateur ou à la médiatrice sont le cas échéant fixés par l'autorité compétente au fond, sur la base d'un tarif horaire de 150 fr., débours en sus (cf. art. 52 RJ/FR). Ce tarif est réduit à 130 fr. en cas d'assistance judiciaire (cf. art. 53 RJ/FR), ainsi que dans les affaires non pécuniaires relevant du droit de l'enfant et de la famille (cf. art. 54 RJ/FR).
4.
4.1. En l'espèce, se fondant sur la réglementation cantonale qui précède, le Tribunal cantonal a, comme la Commission de la médiation, refusé de permettre au recourant d'exercer la fonction de médiateur dans des procédures civiles sans autorisation préalable et de l'inscrire au tableau des médiateurs et médiatrices du canton de Fribourg. Le Tribunal cantonal a en substance considéré que la médiation dans le cadre d'une procédure judiciaire civile était certes traitée par les art. 213 à 218 du Code de procédure civile du 19 décembre 2008 (CPC; RS 272), mais que ces dispositions ne réglaient pas de manière exhaustive cette forme alternative de résolution des conflits. Il en a conclu que les cantons pouvaient réglementer les conditions de formation et d'indépendance des médiateurs, le cas échéant par le biais d'une procédure d'autorisation de pratiquer, d'agrément ou d'assermentation. En l'occurrence, le Conseil d'État avait décidé que les personnes désireuses d'exercer la fonction de médiateur ou médiatrice dans le cadre d'une procédure judiciaire civile ouverte dans le canton de Fribourg devaient avoir reçu une autorisation préalable de la Commission de la médiation. Cette obligation aurait été valablement inscrite à l'<ref-law>/FR, sur la base d'une délégation législative prévue par LJ/FR. Selon le Tribunal cantonal, l'<ref-law>/FR constituerait une base légale suffisante pour une telle procédure d'autorisation, qui sert à garantir que les justiciables aient recours à des médiateurs et médiatrices présentant les compétences nécessaires pour remplir convenablement leurs mandats. Cette réglementation porterait en outre une atteinte proportionnée à la liberté économique du recourant, si tant est que celui-ci puisse se prévaloir d'une telle liberté s'agissant d'une fonction relevant de l'activité judiciaire.
4.2. Le recourant conteste l'ensemble du raisonnement juridique du Tribunal cantonal. D'après lui, le fait de soumettre l'exercice de la fonction de médiateur dans une procédure civile à l'obtention préalable d'une autorisation de la Commission de la médiation ne respecte pas le cadre défini par le CPC. Le recourant soutient également que l'obligation d'obtenir une autorisation spécifique pour exercer la fonction de médiateur civil, liée au respect de différentes conditions matérielles, constituerait une atteinte grave à sa liberté économique. Or, cette atteinte ne reposerait pas sur une base légale suffisante, dans la mesure où elle est prévue par une simple ordonnance du Conseil d'État, et s'avérerait de toute manière disproportionnée. Il formule enfin divers griefs à l'encontre de l'arrêt cantonal, qu'il estime contraire à la loi fédérale sur le marché intérieur du 6 octobre 1995 (LMI; RS 943.02), à l'art. 29 Cst. et à l'interdiction de l'arbitraire ancrée à l'art. 9 al. 1 Cst.
5.
Il convient de se demander, en priorité, si l'Etat de Fribourg peut soumettre la médiation civile dans le cadre judiciaire à autorisation préalable sans violer le CPC ou si, au contraire, à l'aune de ce dernier, le recourant, comme il le prétend, est libre de pratiquer ce type d'activité, même sans avoir obtenu une telle autorisation.
5.1. En l'occurrence, selon l'art. 3 Cst., les cantons sont souverains tant et aussi longtemps que leur souveraineté n'est pas limitée par la Constitution fédérale et exercent tous les droits qui ne sont pas délégués à la Confédération (voir aussi art. 42 al. 1 et 43 Cst.; <ref-ruling> consid. 5.4 p. 222). Sur le principe, ils ont ainsi la compétence de régler l'exercice de la médiation civile, que ce soit de manière générale en tant qu'activité économique privée, dans la mesure où la Confédération ne jouit d'aucune compétence exclusive sur ce point (cf. art. 95 al. 1 Cst.), ou de manière spécifique en tant qu'alternative à la procédure judiciaire, dès lors que l'organisation et l'administration de la justice en matière civile sont de leur ressort (cf. art. 122 al. 2 Cst.). L'art. 122 al. 1 Cst., qui prévoit que la procédure civile relève de la compétence de la Confédération et en application duquel le législateur fédéral a adopté le CPC, n'est pas directement affecté par une réglementation cantonale régissant la médiation civile, quand bien même son champ d'application se limiterait au seul domaine judiciaire. Une telle réglementation, en tant qu'elle impose des exigences minimales d'indépendance, d'impartialité et de diligence, tend à assurer que les médiateurs et médiatrices remplissent leur office de manière loyale et avec une certaine rigueur. Elle n'entre sous cet angle pas en conflit avec la compétence fédérale en matière de procédure civile. Il n'en demeure pas moins que la mise en place d'un régime d'autorisation pour la fonction de médiateur dans le cadre judiciaire, tel que le prévoit le droit fribourgeois à l'<ref-law>/FR, a des répercussions sur les parties au procès civil, qui ne peuvent pas forcément s'adresser à la personne de leur choix pour une médiation, de sorte qu'une telle mesure présente des recoupements avec la procédure civile fédérale. Il convient donc de s'interroger sur sa compatibilité avec le droit fédéral supérieur.
5.2. En vertu du principe de la primauté du droit fédéral ancré à l'art. 49 al. 1 Cst., les cantons ne sont pas autorisés à légiférer dans les matières exhaustivement réglementées par le droit fédéral. Dans les autres domaines, ils peuvent édicter des règles de droit pour autant qu'elles ne violent ni le sens ni l'esprit du droit fédéral, et qu'elles n'en compromettent pas la réalisation (cf. <ref-ruling> consid. 7.1 p. 419 et la jurisprudence citée).
5.3. Lors de l'adoption du CPC, le législateur fédéral a souhaité réserver une place importante au règlement extrajudiciaire des litiges (cf. notamment Message relatif au code de procédure civile suisse [CPC] du 28 juin 2006 [ci-après: Message CPC], FF 2006 6841 ss, spéc. p. 6843). L'<ref-law> permet ainsi aux parties de se soumettre volontairement à une médiation - au lieu d'une procédure de conciliation judiciaire - avant de saisir le tribunal compétent (al. 1). Il appartient le cas échéant à l'autorité de conciliation de délivrer une autorisation de procéder lorsqu'une partie lui communique l'échec de cette médiation (al. 3). L'<ref-law> prévoit pour sa part que le tribunal peut également conseiller en tout temps aux parties de procéder à une médiation (al. 1) et que ces dernières peuvent, dans la même mesure, déposer une requête commune visant à ouvrir une telle procédure (al. 2). Dans des affaires relevant du droit de la famille, le juge peut même exhorter les parties à recourir à la médiation, afin de régler le sort des enfants communs (cf. <ref-law>; aussi art. 314 al. 2 du Code civile suisse [CC; RS 210]. La procédure judiciaire reste alors suspendue jusqu'à la révocation de la requête par une partie ou jusqu'à la communication de la fin de la médiation (<ref-law>). Les parties peuvent le cas échéant demander la ratification de l'accord conclu dans le cadre de la médiation, lequel revêt alors les effets d'une décision entrée en force (<ref-law>).
5.4. Selon l'<ref-law>, il appartient aux parties de se charger de l'organisation et du déroulement de la médiation. L'<ref-law> se limite à prévoir à cet égard que celle-ci est confidentielle et indépendante de l'autorité de conciliation et du tribunal (al. 1) et que les déclarations des parties ne peuvent être prises en compte dans la procédure judiciaire (al. 2). Pour le reste, l'<ref-law> prescrit que les frais de la médiation sont en principe à la charge des parties (al. 1), mais que, dans les affaires concernant le droit des enfants, les parties ont droit à la gratuité de la médiation si elles ne disposent pas des moyens nécessaires (al. 2 let. a) et si le tribunal recommande le recours à la médiation (al. 2 let. b). Le droit cantonal peut, le cas échéant, prévoir d'autres situations dans lesquelles les parties sont dispensées des frais de la médiation (<ref-law>).
5.5. Ainsi qu'on vient de le voir, le CPC pose donc le principe selon lequel les parties à une procédure civile désireuses d'engager une médiation doivent se charger elles-mêmes de l'organisation et du déroulement de celle-ci, le juge ne pouvant en principe pas faire autre chose que de recommander le recours à un tel mode de résolution des conflits (cf. art. 215 et 214 al. 1 CPC; voir cependant le cas particulier d'une médiation ordonnée en application de l'<ref-law>; arrêt 5A_522/2017 du 22 novembre 2017 consid. 4.7.3). Il en découle qu'au sens du CPC, les parties sont généralement libres de choisir la personne qu'elles souhaitent pour mener leur médiation, de sorte qu'un médiateur ou une médiatrice déterminé ne peut d'ordinaire pas leur être imposé directement par les autorités (cf. notamment FRANÇOIS BOHNET, in: Commentaire romand, Code de procédure civile, 2019, n. 4 ad <ref-law>, et FRANCESCO TREZZINI, in: Commentario pratico al CPC, 2e éd. 2017, n. 1 ad <ref-law>). Cela étant, d'un point de vue littéral, il convient de reconnaître que les <ref-law> n'interdisent pas explicitement aux cantons de délimiter le cercle des personnes habilitées à mener une médiation judiciaire, en usant notamment de leur compétence en matière d'organisation judiciaire, et d'encadrer de cette manière de facto la liberté de choix des parties à la procédure. Relevons que l'<ref-law>, qui réserve la compétence des cantons s'agissant uniquement de l'organisation des "tribunaux" et des "autorités de conciliation", ne les y autorise pas non plus expressément. Même si une procédure de médiation peut, selon la loi, remplacer une procédure de conciliation (cf. 213 al. 1 CPC), les médiateurs, qui ne peuvent délivrer d'autorisation de procéder, ni donner force de chose jugée à l'accord qu'ils auraient éventuellement pu obtenir (cf. art. 213 al. 3 et 217 CPC), ne peuvent être assimilés à l'une de ces autorités, dont ils sont indépendants (cf. <ref-law>; voir aussi, pour une distinction des deux fonctions, <ref-law> et Message CPC, FF 2006 6841 ss, spéc. p. 6943).
5.6. Cette imprécision du CPC quant à la possibilité pour les cantons de limiter la liberté des parties en déterminant un cercle de personnes habilitées à mener une procédure de médiation dans le cadre d'une procédure civile suscite une controverse doctrinale. Certains auteurs considèrent que le CPC présente un silence qui laisse les cantons libres de fixer les exigences que doivent obligatoirement remplir les médiateurs et médiatrices en usant de leurs compétences originaires en matière d'organisation judiciaire (FRANCESCO TREZZINI, op. cit., n. 14 ad <ref-law>; HOFMANN/LÜSCHER, Le Code de procédure civile, 2 e éd. 2015, p. 195 s.; GLOOR/UMBRICHT, in: Kurzkommentar Schweizerische Zivilprozessordnung, 2 e éd. 2014, n. 2 ad <ref-law>; DENIS PIOTET, La nouvelle délimitation entre règles fédérales et cantonales de procédure civile, in: François Bohnet [édit.], Procédure civile suisse - Les grands thèmes pour les praticiens, 2010, p. 1 ss, n. 94; CHRISTINE GUY-ECABERT, La médiation dans les lois fédérales de procédure civile, pénale et administrative: petite histoire d'un pari sur l'indépendance, PJA 2009 p. 47 ss, n. 18; HANS ULRICH ZISWILER, Inhalt und Bedeutung von Regeln zur Mediation in der Schweizerischen Zivilprozessordnung, in: Michael Leupold et al. [édit.], Der Weg zum Recht, Festschrift für Alfred Bühler, 2008, p. 267 ss, spéc. 288 s.). D'autres estiment que l'autonomie des parties inscrites à l'<ref-law> garantit à celles-ci un droit absolu de choisir le médiateur ou la médiatrice civil qu'elles souhaitent et qu'une telle liberté ne peut être indirectement restreinte par des normes cantonales régissant l'exercice de cette tâche. Pour ces auteurs, la compétence des cantons de déterminer les exigences que doivent remplir les médiateurs et médiatrices dans le cadre de procédures judiciaires civiles se limitent aux cas où les frais de cette procédure alternative de résolution des conflits sont supportés par l'État (cf. B OHNET, op. cit., n. 9 ad <ref-law>; MARTIN BEYELER, La médiation selon les art. 213 à 218 CPC, PCEF 2019 p. 292 ss, n. 19 ss; GIRSBERGER/PETER, Aussergerichtliche Konfliktlösung, 2019, n. 818 s.; PETER RUGGLE, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3 e éd. 2017, n. 13a ad <ref-law>; JÜRG SCHÜTZ, in: Brunner/Gasser/Schwander [édit], Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Kommentar, 2 e éd. 2016, n. 43 ad <ref-law>; LIATOWITSCH/MORDASINI, in: Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger [édit.], Kommentar zur schweizerischen Zivilprozessordnung, 3 e éd. 2016, n. 7b ad <ref-law>; JAMES PETER, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, n. 39 ad rem. prél. sur art. 213-218 CP et n. 32 ad <ref-law>; aussi dans ce sens, apparemment, ROBERTO/HAUSER, in: Baker & McKenzie [édit.], Schweizerische Zivilprozessordnung, Handkommentar, 2010, n. 4 ad <ref-law>).
5.7. Il s'agit ainsi d'interpréter le CPC et, en particulier, son <ref-law> pour déterminer si le droit fédéral empêche les cantons de soumettre de manière générale l'activité de médiateur civil dans le cadre judiciaire à autorisation préalable.
5.7.1. La loi s'interprète en premier lieu selon sa lettre (interprétation littérale). Si, comme en l'espèce, le texte n'est pas absolument clair, si plusieurs interprétations de celui-ci sont possibles, le juge doit rechercher la véritable portée de la norme au regard notamment de la volonté du législateur telle qu'elle ressort, entre autres, des travaux préparatoires (interprétation historique), du but de la règle, de son esprit, ainsi que des valeurs sur lesquelles elle repose, singulièrement de l'intérêt protégé (interprétation téléologique) ou encore de sa relation avec d'autres dispositions légales (interprétation systématique; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 441; <ref-ruling> consid. 5.4.1 p. 59). Lorsqu'il est appelé à interpréter une loi, le Tribunal fédéral adopte une position pragmatique en suivant ces différentes interprétations, sans les soumettre à un ordre de priorité (<ref-ruling> consid. 2.4.1 p. 3 s.; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 288; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 204; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 273).
5.7.2. Sous l'angle de l'interprétation historique, il convient de relever que, dans son Message relatif au code de procédure civile suisse, le Conseil fédéral a déclaré ne pas vouloir régler de manière détaillée et exhaustive la problématique de la médiation en procédure civile, quand bien même il avait accepté de lui accorder une place plus large qu'initialement prévue dans l'avant-projet. Selon lui, la procédure de médiation, ainsi que les exigences techniques et personnelles relatives aux médiateurs, ne pouvaient pas être traitées dans une loi de procédure civile (Message CPC, FF 2006 6841 ss, spéc. p. 6861 et 6943). Cela étant, se référant à différentes réglementations cantonales sur la médiation - notamment zurichoise et genevoise - dont aucune ne soumettait l'activité de médiation dans le cadre judiciaire à autorisation (cf. Groupement suisse des Magistrats pour la médiation et la Conciliation [Gemme-Suisse], Médiation civile en Suisse - Pratiques cantonales et propositions d'amendements au projet de CPC, octobre 2006, p. 69 ss et 117 ss), le Conseil fédéral a expressément indiqué que le titre de médiateur n'était pas un titre professionnel protégé et que la notion de médiation telle qu'elle apparaissait dans le CPC se référait en premier lieu à des médiateurs qualifiés, mais que " d'autres personnes indépendantes qui [avaie]nt la confiance des parties p[ouvaie]nt entrer en ligne de compte " (Message CPC, FF 2006 6841 ss, spéc. p. 6943 s.).
5.7.3. Le postulat du Conseil fédéral de ne pas limiter le cercle des personnes habilitées à intervenir comme médiateurs ou médiatrices dans le cadre de procès civils a donné lieu à une prise de position immédiate du Groupement suisse des Magistrats pour la Médiation et la Conciliation (ci-après: le Gemme-Suisse). Celui-ci a regretté l'impossibilité pour les parties d'obtenir des garanties quant aux qualités éthiques et professionnelles de la personne qu'elles choisiraient pour leur médiation. Le Gemme-Suisse a ainsi fait part de son souhait que les Chambres complètent le futur <ref-law> par un second alinéa prévoyant que " [l]es cantons peuvent tenir à disposition des parties une liste de médiateurs agréés" (" Listen eingetragener Mediatorinnen und Mediatoren zur Verfügung stellen "; Gemme-Suisse, op. cit., p. 29 ss et 42 ss). Cette proposition n'a reçu aucun écho au Parlement. Si les Chambres fédérales ont longuement débattu de l'opportunité de régler la médiation dans le CPC (cf. BO 2007 CE 523 ss et BO 2007 CN 960 ss), la question de la possibilité pour les cantons de soumettre une telle activité à autorisation ou au respect de certaines conditions personnelles n'a pas été abordée en particulier. De manière générale, certains parlementaires ont plutôt exprimé la crainte de créer une industrie de la médiation, organisée sous forme corporative, et plaidé pour une pratique large dans ce domaine (cf. BO 2007 CE 523 s. et BO 2007 CN 961), en relevant par exemple qu'il devait rester possible pour un juge de conseiller aux parties de s'adresser aux organes dirigeants d'une association à laquelle toutes deux appartenaient, afin de régler leur conflit (BO 2007 CE 525). D'autres ont souligné le fait que la médiation pourrait revêtir de l'importance dans de nombreux domaines et situations, non seulement lors de conflits familiaux, mais aussi commerciaux, que ce soit dans le domaine de la propriété intellectuelle, de la finance ou des contrats internationaux (BO 2007 CE 524). Seul un parlementaire a soutenu l'opinion selon laquelle les dispositions en matière de médiation, compte tenu de leur caractère succinct, permettraient aux cantons de fixer des exigences pour les médiateurs en tant qu'organe extrajudiciaire. Il a toutefois pris en exemple la réglementation genevoise, qui ne soumettait pas la fonction de médiateur civil dans le cadre judiciaire à autorisation, mais organisait uniquement une procédure d'accréditation (cf. BO 2008 CN 963; aussi Gemme-Suisse, op. cit., p. 29 ss, et art. 71J de la loi genevoise du 28 octobre 2004 modifiant la loi de procédure civile [L 8931], aujourd'hui abrogée, n'excluant pas l'intervention de médiateurs non inscrits au tableau, consultée le 10 août 2020 sur www.ge.ch/grandconseil). Les débats parlementaires n'ont ainsi pas conduit à une remise en question de l'opinion du Conseil fédéral selon laquelle toute personne indépendante ayant la confiance des parties pouvait en principe exercer le rôle de médiateur civil dans un cadre judiciaire.
5.7.4. Sous l'angle de l'interprétation systématique, il convient de souligner que, s'agissant de la procédure pénale des mineurs, le législateur fédéral a adopté une règle explicite obligeant les autorités compétentes à ne confier d'éventuelles médiations qu'aux seules personnes et organisations disposant de compétences dans ce domaine (cf. art. 17 al. 1 de la loi fédérale du 20 mars 2009 sur la procédure pénale applicable aux mineurs [PPmin; RS 312.1]). De même, le projet de code de procédure pénale suisse - qui a été élaboré parallèlement au CPC et qui envisageait d'encourager le recours à la médiation en procédure pénale ordinaire - contenait à l'origine lui aussi une disposition prévoyant sans équivoque que la Confédération et les cantons devaient régler les modalités de désignation des médiateurs habilités à intervenir dans le cadre de procédures pénales, en édictant des dispositions concernant la déontologie, l'inscription dans un registre professionnel et la surveillance (cf. art. 317 al. 8 P-CPP, FF 2006 1373, spéc. p. 1470). Si cette disposition n'a finalement pas été adoptée par les Chambres fédérales, c'est uniquement parce que celles-ci n'ont finalement pas souhaité que le CPP traite de la problématique de la médiation (cf. BO 2006 CE 1042). Une approche comparative laisse ainsi transparaître que le législateur fédéral aurait a priori adopté une disposition claire s'il avait voulu laisser les cantons libres de limiter l'activité de médiateur en procédure civile aux seules personnes disposant de qualifications particulières dans ce domaine. En l'absence d'une telle norme, la réglementation de la médiation civile contenue dans le CPC se rapproche d'une certaine manière, en l'état, de celle de la procédure d'arbitrage qui constitue, comme elle, une alternative volontaire à un règlement judiciaire des conflits (cf. Message CPC, FF 2006 6841 ss, spéc. p. 6861 s.; PETER, op. cit. n. 66 ad rem. prél. art. 213-218 CPC). Or, il est incontesté que les cantons ne peuvent pas limiter le choix des personnes habilitées à exercer la fonction d'arbitre, alors même qu'il existe également un intérêt important à assurer qu'une telle fonction soit exercée par des personnes qualifiées.
5.7.5. Sur un plan téléologique enfin, la limitation de l'activité de médiateur dans le cadre d'une procédure judiciaire civile aux seules personnes disposant d'une autorisation octroyée par le canton s'accorde mal avec l'objectif du CPC consistant à favoriser le plus possible le recours à ce mode alternatif de résolution des conflits (cf. supra consid. 5.7.2/3). Une telle limitation pourrait en effet avoir pour conséquence indirecte de conduire les parties à renoncer à la médiation, parce que la personne de confiance à laquelle elles auraient voulu s'adresser - soit en raison de ses compétences particulières (connaissances techniques, linguistiques, etc.), soit à cause du coût peu élevé de son intervention - n'est pas officiellement autorisée à exercer la fonction de médiatrice dans le canton. Il serait par exemple contraire à l'esprit de la loi d'empêcher des entreprises actives dans le domaine de la propriété intellectuelle ou dans le secteur financier de préférer une personne spécialiste de leur domaine ou secteur d'activité à un médiateur généraliste autorisé par le canton. On ne voit pas non plus que la médiation soit favorisée si l'on empêche des particuliers en conflit d'avoir recours à une personne ou à une organisation de confiance (p. ex. un voisin ou une association syndicale, faîtière ou professionnelle) prêtes à offrir gratuitement - ou à bon prix - ses services plutôt qu'à un médiateur qu'elles ne connaissent pas et qui serait rétribué à l'heure. Il en va de même si l'on ne permet pas à des personnes étrangères d'en appeler à un compatriote connaissant les us et coutumes de leur pays d'origine plutôt qu'à un spécialiste en médiation ignorant tout de celles-ci (ROBERTO/HAUSER, op. cit., n. 4 ad <ref-law>).
5.7.6. Il résulte ainsi des différentes méthodes d'interprétation que les <ref-law> et, en particulier, l'<ref-law> - en tant qu'il charge les parties à une procédure civile d'organiser elles-mêmes leur propre médiation - ne permettent pas aux cantons d'instituer une forme de monopole dans ce domaine et de restreindre le choix des médiateurs et médiatrices possibles aux seules personnes jouissant d'une autorisation préalable délivrée par l'État. Le fait que la législation fédérale se réfère à une notion de "médiation" ouverte, qu'elle entend favoriser au maximum, et qu'elle garantisse aux parties une grande liberté quant à son organisation interdit aux cantons de limiter, par principe, l'exercice de la fonction de médiateur civil dans le cadre judiciaire aux seules personnes au bénéfice d'une autorisation officielle attestant leurs qualifications pour ce genre de mandats.
Cela étant, le droit fédéral n'empêche pas toute réglementation cantonale en matière de médiation civile, comme cela a déjà été dit (cf. supra consid. 5.1). Les cantons restent libres de prévoir, comme le fait Fribourg, certaines règles minimales d'indépendance et de diligence à respecter par les personnes qui dirigent une médiation civile dans le cadre judiciaire (cf. supra consid. 3.3). Ils peuvent également orienter les parties quant au choix de leur médiateur ou médiatrice dans les cas où le tribunal "recommanderait" - voire exhorterait à - une médiation dont les frais seraient appelés à être pris en charge par l'État au sens de l'art. 218 al. 2 et 3 CPC, ainsi que le reconnaît une grande partie de la doctrine (cf. supra consid. 5.6). Ils peuvent ainsi établir et publier une liste de personnes jouissant de certaines qualifications et expériences minimales en matière de médiation, rendre les parties attentives à son existence et, le cas échéant, conditionner la gratuité de la médiation au fait que les parties s'adressent à une personne figurant sur la liste. Une telle manière de procéder est conforme au droit fédéral, dès lors qu'il n'y aurait aucun sens à ce qu'un tribunal "recommande" le recours à une médiation payée par l'Etat sans avoir aucune assurance quant aux compétences et qualités de la personne qui la mènera, respectivement qu'il renonce à une telle recommandation de crainte que la médiation soit menée par un tiers ne disposant d'absolument aucune qualification ou expérience dans le domaine.
5.7.7. C'est d'ailleurs de la prémisse exposée ci-dessus que sont partis plusieurs cantons. Il ressort par exemple des travaux préparatoires qu'au moment d'élaborer leurs réglementations de mise en oeuvre du CPC, les autorités vaudoises et genevoises ont considéré qu'il n'était pas possible de subordonner de manière générale l'exercice de la profession de médiateur civil dans le cadre judiciaire à autorisation et que les parties à la procédure n'ayant pas recours à l'assistance judiciaire devaient rester totalement libres de recourir à la personne de leur choix (cf. Exposé des motifs du Conseil d'État vaudois relatif à la réforme de la juridiction civile - Codex 2010 volet "procédure civile", mai 2009, in: Bulletin du Grand Conseil du canton de Vaud 2007-2012, Tome 12, p. 216; Rapport de la Commission parlementaire genevoise ad hoc chargée d'étudier le projet de loi du Conseil d'État sur l'organisation judiciaire du 3 septembre 2009, PL 10462-A, p. 49 s., consulté le 10 août 2020 sur www.ge.ch/grandconseil). Les deux cantons précités se sont ainsi limités à prévoir une procédure d'accréditation ou d'assermentation attestant des qualités des personnes qui proposent officiellement leurs services comme médiateurs ou médiatrices. L'idée est d'orienter les parties qui le souhaitent vers des spécialistes qui peuvent se prévaloir d'une formation et d'une expérience dans ce domaine et dont les coûts peuvent, le cas échéant, être pris en charge par l'assistance judiciaire (cf. art. 40 du code privé judiciaire vaudois du 12 janvier 2010, RSV 211.02, et art. 66 ss de la loi genevoise sur l'organisation judiciaire du 26 septembre 2010, RSG E 2 05; aussi GIRSBERGER/PETER, op. cit., n. 819). Une telle réglementation correspond à la solution choisie dans d'autres cantons encadrant la médiation civile. L'Etat de Fribourg fait en réalité figure d'exception en soumettant de manière générale à autorisation l'activité de médiateur et médiatrice dans le domaine judiciaire (cf. Coordination médiation Suisse, "Übersicht kantonale Bestimmungen", consulté le 10 août 2020 sur www.mediationschweiz.ch > Dokumente).
5.8. Il découle ainsi des considérants qui précèdent que les art. 6 et 7 OMed/FR, en tant qu'ils font dépendre le droit d'exercer la fonction de médiateur ou médiatrice civile dans le cadre judiciaire de l'octroi d'une autorisation préalable, sont contraires au droit fédéral. Partant, le Tribunal cantonal ne pouvait pas se fonder sur cette réglementation cantonale pour refuser au recourant le droit d'exercer la fonction de médiateur dans la cadre de procédures civiles sans y avoir été autorisé. Il convient ainsi d'admettre la première conclusion formulée par le recourant tendant à ce qu'il soit constaté qu'il peut pratiquer l'activité de médiateur civil, notamment en matière familiale, même sans avoir obtenu une autorisation expresse en ce sens de la Commission de médiation.
6.
Il s'agit encore d'examiner si le recourant peut être inscrit au tableau des médiateurs et médiatrices du canton de Fribourg, avec la mention "oui" sous la rubrique "médiation familiale 126 al. 3 LJ", et s'il peut être rémunéré pour son activité de médiateur au titre de l'assistance judiciaire "selon les art. 53 et 54 RJ". L'intéressé prétend que le refus qu'il a essuyé sur ces points devant les instances cantonales violerait aussi les <ref-law> et l'art. 27 Cst., de même que l'interdiction de l'arbitraire consacrée à l'art. 9 al. 1 Cst.
6.1. On vient de voir que le recourant peut exercer comme médiateur civil sans avoir reçu d'autorisation préalable de la part de la Commission de la médiation, car l'<ref-law>/FR, qui impose une telle exigence, contrevient au droit fédéral (cf. supra consid. 5). Autre est en revanche le point de savoir si cette possibilité d'exercer la fonction de médiateur civil judiciaire lui confère aussi le droit d'apparaître au tableau des médiateurs et médiatrices du canton de Fribourg et d'être rétribué par celui-ci pour son activité. En effet, comme exposé, les cantons sont libres d'instaurer une liste de personnes qu'ils recommandent pour mener des médiations, en particulier s'agissant d'affaires familiales, et d'exiger que les candidats à une telle inscription attestent d'une formation ou d'autres qualités dans ce domaine. Ils peuvent aussi conditionner la prise en charge des frais de la médiation au fait que celle-ci soit menée par des personnes inscrites sur cette liste (cf. supra consid. 5.7.6). Une telle liste, qui poursuit un intérêt légitime d'information des justiciables et de promotion de la médiation, n'est pas contraire aux <ref-law> ni à la liberté économique du recourant (cf. art. 27 Cst.), puisqu'elle n'empêche en principe pas ce dernier d'exercer comme médiateur, y compris dans des procédures relevant du droit de la famille, quand bien même il n'y figurerait pas.
6.2. Reste à se demander si les autorités fribourgeoises ont appliqué arbitrairement le droit cantonal en refusant d'inscrire le recourant au tableau des médiateurs et médiatrices du canton de Fribourg, ainsi que le prétend l'intéressé dans son écriture.
6.2.1. Une décision est arbitraire (art. 9 Cst.) lorsqu'elle contredit clairement la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté ou qu'elle heurte d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité (<ref-ruling> consid. 6.1 p. 205). Appelé à revoir l'interprétation de normes cantonales sous l'angle de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En outre, pour qu'une décision soit annulée au titre de l'arbitraire, il ne suffit pas qu'elle se fonde sur une motivation insoutenable; encore faut-il qu'elle apparaisse arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 7.1 p. 124).
6.2.2. En l'occurrence, le Tribunal cantonal a retenu dans son arrêt qu'il était "pour le moins évident" que le recourant ne pouvait pas être inscrit au tableau, au motif que la fonction de médiateur était soumise à autorisation et que l'intéressé avait refusé de demander un tel agrément auprès de la Commission de la médiation. Ce faisant, il est parti de la prémisse erronée selon laquelle l'exercice de la médiation dans le domaine de la procédure civile pouvait être soumise à une autorisation préalable (cf. supra consid. 5). En tant qu'il se fonde sur ce présupposé non conforme au droit fédéral, le refus d'inscription confirmé par l'arrêt attaqué repose sur un motif inexistant. Il reste encore à examiner si ce refus est arbitraire dans son résultat. Il faudrait à cet égard se demander si le recourant remplit les conditions d'inscription au tableau énumérées à l'<ref-law>/FR, auxquelles renvoie l'<ref-law>/FR et parmi lesquelles ne figure pas l'obtention d'une quelconque autorisation (cf. supra consid. 3.2). En l'occurrence, il n'est pas possible à la Cour de céans de procéder elle-même à un tel examen, qui, non seulement, relève du droit cantonal, mais qui dépend aussi en grande partie de l'établissement de faits ne ressortant pas de l'arrêt attaqué. Il convient dès lors de renvoyer la cause à la Commission de la médiation afin qu'elle instruise et statue à ce sujet.
6.3. Enfin, pour les mêmes motifs qu'exposés ci-avant, il n'est pas possible non plus de déterminer en l'état si le recourant pourrait faire valoir auprès des autorités compétentes des honoraires pour son activité de médiateur au titre de l'assistance judiciaire, en application des art. 53 et 54 RJ/FR, ainsi qu'il le demande dans son mémoire. Cette question dépend de son inscription au tableau des médiateurs et médiatrices du canton de Fribourg (cf. supra consid. 6.2.2) et celle de savoir si ce dernier entend limiter la prise en charge des frais de médiation aux personnes qui apparaissant dans ce tableau (cf. supra consid. 5.7.6). Il s'ensuit que la cause doit également être renvoyée à la Commission de la médiation qui devra se prononcer sur ces points.
7.
Sur le vu de ce qui précède, le recours doit être admis. L'arrêt attaqué doit être annulé et il est constaté que le recourant peut exercer la médiation civile dans le cadre judiciaire sans devoir être au bénéfice d'une autorisation. La cause est pour le reste renvoyée à la Commission de la médiation afin qu'elle examine si le recourant peut être inscrit au tableau des médiateurs et médiatrices assermentés du canton de Fribourg, notamment comme médiateur familial au sens de l'art. 126 al. 3 LJ/FR, et faire valoir des honoraires à ce titre au sens des art. 53 et 54 RJ/FR.
8.
Le présent arrêt sera rendu sans frais (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens au recourant, qui a agi sans l'assistance d'un mandataire (<ref-law>), étant précisé que sa demande d'assistance judiciaire est sans objet.
L'arrêt attaqué ne mettant aucun frais judiciaire à la charge du recourant et celui-ci ayant agi sans l'assistance d'un mandataire devant les autorités cantonales précédentes, il n'y a pas lieu de renvoyer la cause au Tribunal cantonal pour qu'il statue à nouveau sur les frais et dépens de la procédure menée devant lui (cf. <ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. L'arrêt du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg du 2 avril 2020 est annulé et il est constaté que le recourant peut exercer la médiation civile dans le cadre judiciaire sans devoir être au bénéfice d'une autorisation. Pour le surplus, la cause est renvoyée à la Commission de la médiation en matière civile, pénale, et pénale pour les mineurs de l'Etat de Fribourg afin qu'elle statue à nouveau au sens des considérants.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Il n'est pas alloué de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, à la Commission de la médiation en matière civile, pénale et pénale pour les mineurs, et au Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg, IIIe Cour administrative.
Lausanne, le 5 février 2021
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Jeannerat