Sachverhalt:
A.
Die türkische Staatsangehörige A._ (geb. 1955) reiste am 20. Mai 2001 mit einem 90 Tage gültigen Touristenvisum in die Schweiz ein. Nachdem ihr das Visum aus gesundheitlichen Gründen vorerst verlängert worden war, heiratete sie am 19. September 2001 einen in der Schweiz als Flüchtling anerkannten Mann gleicher Staatsangehörigkeit, worauf die solothurnischen Behörden ihr im Rahmen des Familiennachzugs am 14. Februar 2002 eine Aufenthaltsbewilligung ausstellten. Am 16. März 2007 erteilte der Kanton Bern A._ die Niederlassungsbewilligung, obwohl sie und ihr Ehemann auf Sozialhilfeleistungen angewiesen waren. Im gleichen Jahr liessen sich die Gatten scheiden.
Im Oktober 2008 bewilligte das Migrationsamt des Kantons Zürich den Kantonswechsel von A._, nachdem sie seit dem 1. Oktober 2007 als Küchenhilfe in einem unbefristeten Arbeitsverhältnis stand. Dieses wurde per 31. Januar 2010 aus wirtschaftlichen Gründen beendet. In der Folge bezog A._ Arbeitslosengelder und ab dem 1. März 2012 war sie wiederum von Sozialhilfeleistungen abhängig. Am 27. November 2015 lehnte die IV-Stelle es ab, A._ eine Rente auszurichten. Am 28. Juli 2015 wurde A._ im Hinblick auf ihre Sozialhilfeabhängigkeit ausländerrechtlich verwarnt.
Am 17. Mai 2016 widerrief das Migrationsamt des Kantons Zürich ihre Niederlassungsbewilligung. Die hiergegen erhobenen Rechtsmittel wurden von der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich mit Rekursentscheid vom 15. Juni 2017, vom Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 20. Dezember 2017 und vom Bundesgericht mit Urteil 2C_98/2018 vom 7. November 2018 abgewiesen.
B.
Am 7. Dezember 2018 ersuchte A._ das Migrationsamt, ihr eine Härtefallbewilligung zu erteilen, eventualiter die Verfügung vom 17. Mai 2016 in Wiedererwägung zu ziehen und vom Widerruf ihrer Niederlassungsbewilligung abzusehen. Mit Verfügung vom 23. August 2019 trat das Migrationsamt auf dieses Gesuch nicht ein. Den gegen diese Verfügung erhobenen Rekurs wies die Sicherheitsdirektion mit Entscheid vom 14. November 2019 ab. Ebenso blieb die Beschwerde beim Verwaltungsgericht ohne Erfolg (Urteil vom 13. Februar 2020).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 9. März 2020 gelangt A._ an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des Urteils vom 13. Februar 2020. Es sei das Migrationsamt zu verpflichten, auf das Wiedererwägungsgesuch vom 7. Dezember 2018 betreffend den Widerruf der Niederlassungsbewilligung vom 17. Mai 2016 einzutreten und das Gesuch materiell zu prüfen.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 116; Urteil 2C_196/2017 vom 21. Februar 2019 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>).
1.1. Die frist- (<ref-law>) und formgerecht (<ref-law>) eingereichte Eingabe betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin ist bereits im kantonalen Verfahren als Partei beteiligt gewesen und dort mit ihren Anträgen nicht durchgedrungen. Ausserdem ist sie durch das angefochtene Urteil in ihren schutzwürdigen Interessen besonders berührt. Sie ist somit zur Erhebung des Rechtsmittels legitimiert (<ref-law>).
1.2. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>).
1.2.1. Die Urteile des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (<ref-law>). Die im Rahmen des bundesgerichtlichen Verfahrens 2C_98/2018 beurteilte Niederlassungsbewilligung der Beschwerdeführerin gilt folglich als mit Urteil vom 7. November 2018 rechtskräftig widerrufen. Dieses Urteil hat aufgrund des Devolutiveffekts die Verfügung des Migrationsamts vom 17. Mai 2016 ersetzt, sodass diese von vorneherein nicht mehr in Wiedererwägung gezogen werden kann. In Frage kommen nur die Revision des bundesgerichtlichen Urteils einerseits (<ref-law>) und die Erteilung einer neuen Bewilligung andererseits. Dabei handelt es sich aber nicht um ein Wiederaufleben der früheren Niederlassungsbewilligung, sondern um eine neue Bewilligung, die voraussetzt, dass im Zeitpunkt ihrer Erteilung die dannzumal geltenden Bewilligungsvoraussetzungen erfüllt sind (vgl. Urteile 2C_910/2018 vom 23. Oktober 2019 E. 4; 2C_883/2018 vom 21. März 2019 E. 4.1; 2C_977/2017 vom 6. Juni 2018 E. 2.2; 2C_1224/2013 vom 12. Dezember 2014 E. 4.2; 2C_876/2013 vom 18. November 2013 E. 3.1). Folglich kann sich die Beschwerdeführerin für die vorliegend zu beurteilende Wiedererwägung nicht auf dem Umstand stützen, vormals niederlassungsberechtigt gewesen zu sein. Sie beruft sich auch nicht auf einen anderweitig abgeleiteten Aufenthaltsanspruch (vgl. auch Urteil 2C_13/2020 vom 8. Mai 2020 E. 2). Insoweit im bundesgerichtlichen Urteil vom 7. November 2018 auf die Möglichkeit der Wiedererwägung hingewiesen wird, bezieht sich dies auf die in der gleichen Erwägung genannten Bewilligungen, auf deren Erteilung indes ebenso kein Anspruch besteht (vgl. Urteil 2C_98/2018 vom 7. November 2018 E. 5.5.4). Demzufolge ist kein durch das Bundesrecht eingeräumter Bewilligungsanspruch ersichtlich.
1.2.2. Die Beschwerdeführerin beruft sich auf ihren seit dem Jahr 2002 bestehenden rechtmässigen Aufenthalt in der Schweiz und versucht damit einen durch das Völkerrecht eingeräumten Bewilligungsanspruch glaubhaft geltend zu machen (vgl. Art. 8 Ziff. 1 EMRK; <ref-ruling> E. 3.9 S. 277 ff.).
Soweit die Beschwerdeführerin eine neue umfassende Interessenabwägung gestützt auf Art. 8 EMRK verlangt, zielen ihre Rügen auf eine Überprüfung des Urteils 2C_98/2018 vom 7. November 2018 ab. Eine solche Überprüfung ist nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> möglich. Eine solche Revision wäre aber nicht mit einem Wiedererwägungsgesuch bei der Verwaltung geltend zu machen, sondern mit einem formellen Revisionsgesuch beim Bundesgericht (<ref-law>), was die Beschwerdeführerin nicht gemacht hat. Abgesehen davon legt die Beschwerdeführerin nicht nachvollziehbar dar, dass sie erhebliche Tatsachen erfahren oder entscheidende Beweismittel aufgefunden hat, die sie nicht bereits im früheren Verfahren hätte beibringen können (<ref-law>). Dies betrifft unter anderem ihre Ausführungen zu ihrer familiären Situation in der Schweiz und der Türkei (vgl. auch E. 4.2 des angefochtenen Urteils). Sodann können die nach dem bundesgerichtlichen Urteil vom 7. November 2018 entstandenen Tatsachen und Beweismittel als echte Noven von vornherein keinen begründeten Anlass für eine Revision geben (<ref-law>). Davon betroffen sind die Vorbringen der Beschwerdeführerin, ihre Loslösung von der Sozialhilfe liege mittlerweile über zwei Jahre zurück und mit dem Suizidversuch vom 3. Dezember 2019 sei die Suizidgefahr nicht nur theoretisch, sondern nunmehr konkret.
Ist aber eine Revision des Urteils 2C_98/2018 vom 7. November 2018 nicht denkbar, kann sich die Beschwerdeführerin nicht in vertretbarer Weise auf einen Aufenthaltsanspruch berufen, der ausschliesslich auf einer abweichenden Interessenabwägung beruht. Folglich gelingt es der Beschwerdeführerin auch nicht einen durch das Völkerrecht eingeräumten Bewilligungsanspruch glaubhaft geltend zu machen.
1.2.3. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist nach dem Dargelegten nicht einzutreten. Eine subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhebt die Beschwerdeführerin nicht.
2.
Der Umstände halber sei erneut darauf hinzuweisen, die wegweisungs- oder krankheitsbedingte Gefahr, dass die betroffene Person bei einer Aufenthaltsbeendigung ihrem Leben ein Ende setzen will, genügt für sich allein nicht, um die Verweigerung der Aufenthaltsbewilligung als unverhältnismässig oder unzulässig erscheinen zu lassen. Die schweizerischen Behörden sind jedoch gehalten, im Rahmen der konkreten Rückkehrmassnahme alles ihnen Zumutbare vorzukehren, um medizinisch und betreuungsmässig sicherzustellen, dass das Leben und die Gesundheit der rückkehrpflichtigen Person möglichst nicht beeinträchtigt wird. Der Vollzug muss folglich sorgfältig und dem Gesundheitszustand entsprechend geplant werden (vgl. Urteil 2C_98/2018 vom 7. November 2018 E. 5.5.3). Die Vorinstanz weist das Migrationsamt in diesem Sinne nachdrücklich darauf hin, dass die blosse polizeiliche Überwachung den Anforderungen an den Wegweisungsvollzug bei einer (akut) suizidgefährdeten Person nicht genüge (vgl. E. 4.3 i.f. des angefochtenen Urteils). Insoweit die Beschwerdeführerin vorbringt, mit dem Suizidversuch vom 3. Dezember 2019 sei die Suizidgefahr nicht nur theoretisch, sondern nunmehr konkret, ist diesem Umstand im Rahmen des Wegweisungsvollzugs hinreichend Rechnung zu tragen (vgl. Urteil 2D_14/2018 vom 13. August 2018 E. 7.3).
3.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde als unzulässig, weshalb auf sie nicht einzutreten ist. Mit diesem Entscheid wird der Antrag um Erteilung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos. Diesem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Juni 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Zollinger