Faits :
A.
A._ travaille depuis le 1er septembre 2003 en tant que fonctionnaire administrative (secrétaire) pour la Mission permanente de Turquie auprès des Nations Unies à Genève. Elle est domiciliée depuis le 28 août 2003 à Genève, avec ses deux enfants nés en 2012 et 2015. Depuis qu'ils ont acquis la nationalité suisse le 20 juin 2017, elle-même et ses enfants sont binationaux suisses et turcs. Le 14 juillet 2017, le Service de l'assurance-maladie de la République et canton de Genève (ci-après: le SAM) a informé A._ qu'elle-même et ses enfants devaient être affiliés auprès d'un assureur reconnu par l'Office fédéral de la santé publique pour les soins en cas de maladie en Suisse. Le 14 décembre 2018, A._ a demandé une dispense de cette obligation. Par décision du 16 janvier 2019, le SAM a refusé de l'accorder, ce qu'il a confirmé par décision sur opposition du 14 novembre 2019. A._ et ses enfants ont été affiliés d'office auprès de la caisse-maladie X._, avec effet au 1er janvier 2018.
B.
A._ a déféré la décision sur opposition du 14 novembre 2019 à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève. La juridiction cantonale a notamment entendu les parties lors d'une audience tenue le 3 novembre 2020 (procès-verbal du 3 novembre 2020). Par arrêt du 2 février 2021, elle a rejeté le recours.
C.
L'assurée forme un recours en matière de droit public contre cet arrêt. Elle conclut principalement à son annulation, subsidiairement au renvoi de la cause à la juridiction précédente pour nouvelle décision.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il examine en principe seulement les griefs motivés (<ref-law>) et ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Il statue par ailleurs sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). La personne recourante qui entend s'en écarter doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut pas être pris en considération.
2.
2.1. Est litigieux d'une part si la juridiction cantonale a violé le droit en admettant l'application du droit suisse de l'assurance-maladie obligatoire au cas de la recourante et en jugeant ainsi que celle-ci et ses enfants étaient en principe obligés de s'assurer pour les soins en cas de maladie en Suisse (<ref-law> [RS 832.10]). D'autre part, la recourante fait grief à la Cour de justice d'avoir constaté les faits de façon manifestement inexacte et d'avoir ainsi violé le droit en confirmant le refus du SAM de lui accorder une exception à l'obligation de s'assurer auprès d'une caisse-maladie autorisée à pratiquer l'assurance-maladie sociale en vertu de la LSAMal (RS 832.12).
2.2. L'arrêt attaqué expose les dispositions légales applicables concernant l'obligation d'assurance pour toute personne domiciliée en Suisse et ses exceptions (<ref-law>, en lien avec les <ref-law> [RS 832.102]), et rappelle qu'aux termes de l'<ref-law>, les cantons veillent au respect de l'obligation de s'assurer, l'autorité désignée par le canton (ici: le SAM) affiliant d'office toute personne tenue de s'assurer qui ne donne pas suite à cette obligation en temps utile. La Cour de justice expose en outre les dispositions pertinentes de la Convention de sécurité sociale entre la Suisse et la République de Turquie conclue le 1er mai 1969 (ci-après: la Convention; RS 0.831.109.763.1). Il suffit d'y renvoyer.
A la suite des premiers juges, on rappellera que l'<ref-law> prévoit que sont exceptées sur requête les personnes qui sont obligatoirement assurées contre la maladie en vertu du droit d'un État avec lequel il n'existe pas de réglementation sur la délimitation de l'obligation de s'assurer, dans la mesure où l'assujettissement à l'assurance suisse signifierait une double charge et pour autant qu'elles bénéficient d'une couverture d'assurance équivalente pour les traitements en Suisse. La requête doit être accompagnée d'une attestation écrite de l'organisme étranger compétent donnant tous les renseignements nécessaires.
3.
Selon la juridiction cantonale, c'est à bon droit que le SAM a refusé de dispenser la recourante et ses enfants de l'obligation de s'affilier auprès d'un assureur autorisé à pratiquer l'assurance-maladie sociale en Suisse. L'autorité cantonale de recours a constaté que ceux-ci étaient domiciliés à Genève depuis le 28 août 2003 (respectivement depuis leur naissance) et avaient acquis la nationalité suisse en 2017. La Convention n'était - selon son article premier - d'emblée pas applicable à l'assurance-maladie en Suisse et ne réglait pas l'assujettissement obligatoire à l'assurance-maladie obligatoire. La législation suisse en matière d'assurance-maladie était donc applicable, en particulier l'<ref-law>. Selon cet article, une dispense ne pouvait être octroyée qu'à condition d'être obligatoirement assuré contre la maladie à l'étranger, et, le cas échéant, d'apporter la preuve que l'assujettissement à l'assurance suisse signifiait une double charge et que la couverture par l'assurance étrangère était équivalente à celle de l'assurance-maladie suisse pour les traitements en Suisse. Appréciant les preuves soumises par la recourante à cet égard, la Cour de justice a considéré que celle-ci avait opté pour le régime de sécurité sociale turc, bénéficiant ainsi de l'assurance-maladie universelle turque. En revanche, il ne ressortait ni des pièces ni de son audition qu'elle-même et ses enfants étaient assurés de manière obligatoire en Turquie. L'institution turque de sécurité sociale n'avait par ailleurs précisément pas fourni la confirmation requise selon laquelle ils étaient soumis obligatoirement à l'assurance-maladie turque, même s'ils résidaient en Suisse. La recourante n'avait pas non plus produit de document permettant de vérifier l'équivalence de la couverture de l'assurance-maladie turque. Les conditions pour l'octroi d'une dispense selon l'<ref-law> n'étaient donc pas remplies. La recourante ne pouvait en outre pas être exemptée de l'assujettissement à l'assurance-maladie suisse sur la base de l'<ref-law>, dans la mesure où elle était domiciliée en Suisse depuis 2003 et suissesse depuis 2017; elle ne pouvait dès lors pas (voire plus) être considérée comme travailleuse détachée au sens de cette disposition. Enfin, il n'existait pas de preuve que le SAM avait établi une pratique contraire à la loi en admettant des exceptions à l'affiliation à l'assurance-maladie suisse pour des collègues de la recourante dans des situations identiques en tous points à la sienne.
4.
4.1. Dans la mesure où la recourante invoque l'application de la Convention dans son cas, elle ne peut être suivie. Comme l'a correctement retenu la juridiction cantonale, la Convention n'est pas applicable à l'assurance-maladie en Suisse (sous réserve toutefois des dispositions prévues aux ch. 14 et suivants de son Protocole final concernant principalement des questions de libre passage qui ne se posent pas ici). Son art. 1 par. 1 let. B n'énumère pas l'assurance-maladie obligatoire parmi les législations ou matières auxquelles la Convention s'applique en Suisse, cette assurance n'ayant, comme le relève à juste titre la recourante, pas encore été obligatoire pour tous en Suisse au moment de la signature de la Convention. Or il ressort clairement du texte de l'art. 1 par. 3 let. a de celle-ci qu'une extension du champ d'application à une nouvelle branche de la sécurité sociale présuppose un accord passé à cet effet entre les Parties contractantes. L'art. 1 par. 2 de la Convention, dont se prévaut la recourante dans ce contexte, n'y change rien. Il étend l'application de celle-ci "à tous les actes législatifs ou réglementaires qui codifient, modifient ou complètent les législations énumérées au paragraphe premier du présent article". Il ne permet donc pas l'extension de son champ d'application à de nouvelles branches de la sécurité sociale, une telle extension étant régie par le par. 3 de l'art. 1. La Convention n'étant pas applicable au présent cas en raison de la matière, il n'est pas nécessaire d'examiner plus avant si, de façon plus générale, la recourante pourrait se prévaloir de son art. 6 par. 2, après l'acquisition de la nationalité suisse (cf. concernant l'application de la Convention aux doubles nationaux suisses et turcs notamment arrêt 9C_723/2011 consid. 5.1 et 6 et les références citées, in SVR 2013 AHV n° 1 p. 1).
4.2. La recourante fait ensuite grief à la juridiction précédente d'avoir mal apprécié les moyens de preuve et les déclarations sur la nature obligatoire de son affiliation à l'assurance-maladie turque et d'avoir, de ce fait, fondé sa décision sur un état de faits (manifestement) incorrect. La législation turque prévoit, selon elle, l'obligation pour chaque fonctionnaire de s'affilier à l'assurance de santé obligatoire qui couvre également l'assurance obligatoire contre le risque de maladie. A l'appui de son argumentation, elle se réfère cependant à sa propre traduction d'un document de la Sécurité Sociale de Turquie du 9 novembre 2020, divergente de celle effectuée par la traductrice-jurée en date du 11 novembre 2020 sur laquelle s'est appuyée la juridiction précédente. Une telle allégation ne permet pas à elle seule de considérer comme manifestement erronée l'appréciation des preuves de la Cour de justice (consid. 1 supra). A cet égard, on constate que si B._, conseiller juridique auprès de la Mission permanente de Turquie auprès des Nations Unies entendu par la Cour de justice, a confirmé le choix de la recourante, il a cependant également indiqué qu'elle devait être affiliée de façon obligatoire et que l'institution de sécurité sociale turque en question assurait la maladie en tant qu'assurance obligatoire de l'État (cf. procès-verbal d'audition du 3 novembre 2020). Dans ce contexte, l'attestation de la Sécurité Sociale de Turquie du 12 mars 2021, selon laquelle la recourante est soumise à l'assurance-maladie obligatoire turque, ne peut pas être prise en considération par la Cour de céans. Il s'agit en effet d'un document produit en instance fédérale qui a été établi postérieurement à l'arrêt attaqué; il constitue une preuve nouvelle inadmissible en dernière instance (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2 et les références).
En tout état de cause, le point de savoir si le fait que la recourante a elle-même déclaré à plusieurs reprises avoir opéré un choix en faveur du système de sécurité sociale turc suffit à nier le caractère obligatoire de son assurance au sens de l'<ref-law> - alors qu'il ne s'agit pas d'une assurance privée (cf. <ref-ruling> consid. 8.5.1 et les références) - peut demeurer indécis. Même si la condition de l'assurance obligatoire devait être admise, la recourante ne pourrait rien en tirer en sa faveur, puisque l'exigence également prévue par l'<ref-law> d'une couverture d'assurance équivalente pour les traitements en Suisse (consid. 2.2. supra) n'est pas réalisée, respectivement la preuve n'en a pas été apportée, selon les constatations des premiers juges, que la recourante ne remet pas en cause. Sur ce point, elle se limite à produire le document "Formulaire de contrôle de l'équivalence de l'assurance-maladie", daté du 11 mars 2021. Or ce moyen de preuve nouveau n'a pas à être pris en compte (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2 et les références), de sorte qu'il n'y a pas lieu de s'écarter du jugement entrepris quant au défaut de réalisation des conditions de l'<ref-law>.
4.3. La recourante ne se prévaut ensuite pas des art. 2 al. 5 et 6 al. 1 OAMal, dont la non-application dans le présent cas de figure ne paraît pas manifestement fausse, compte tenu de son statut - depuis le 20 juin 2017 - qui peut à première vue être assimilé à celui de membre du personnel local suisse d'une Mission permanente auprès des Nations-Unies. Le Tribunal fédéral n'a pas à entrer en matière plus avant sur ces points (consid. 1 supra).
5.
Mal fondé, le recours doit être rejeté. Vu l'issue de la procédure, les frais y afférents sont mis à la charge de la recourante (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 24 janvier 2022
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
La Greffière : Oswald