Sachverhalt:
A.
A._ (Ledigname B._), ein 1987 geborener albanischer Staatsangehöriger, reiste am 19. Dezember 2010 in die Schweiz ein. Am 16. Februar 2011 ging er mit der Schweizerin C._ eine Ehe ein. In der Folge erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung zwecks Verbleibes bei der Ehegattin. Aus der Ehe gingen die drei Kinder D._ (geboren 2010), E._ (geboren 2012) und F._ (geboren 2015) hervor. Diese verfügen über das Schweizer Bürgerrecht.
A._ trat in der Schweiz mehrfach strafrechtlich in Erscheinung:
- Die Staatsanwaltschaft U._ sprach ihn mit Strafbefehl vom 13. Oktober 2015 wegen Gehilfenschaft zu gewerbs- und bandenmässigem Diebstahl und mehrfachen Fahrens ohne Berechtigung schuldig und verurteilte ihn zu einer Geldstrafe sowie zu einer Busse. Diese Verurteilung hatte eine ausländerrechtliche Verwarnung durch das Migrationsamt des Kantons Thurgau vom 18. Dezember 2015 zur Folge.
- Mit Strafbefehlen vom 22. November 2016 und 16. Mai 2017 wurde A._ sodann wegen Tätlichkeiten gegenüber seiner Ehefrau sowie wegen Missachtung einer Kontaktsperre und einer Wegweisung zu Bussen von Fr. 400.-- und Fr. 600.-- verurteilt.
- Zwischen Dezember 2017 und Mai 2019 wurde A._ sodann mit mehreren Strafbefehlen mehrfach wegen Widerhandlung gegen das Bundesgesetz vom 20. März 2009 über die Personenbeförderung (Personenbeförderungsgesetz, PBG; SR 745.1) verurteilt.
Das Ehepaar A.-C._ lebt seit dem 20. Dezember 2016 getrennt. Das Bezirksgericht Weinfelden verpflichtete A._ mit Entscheid vom 18. Januar 2017 zu monatlichen Unterhaltszahlungen von Fr. 240.-- je Kind; seit 25. Juli 2019 belaufen sich die zu bezahlenden Unterhaltsbeiträge auf monatlich Fr. 400.-- pro Kind. Seit April 2017 werden die Unterhaltszahlungen durch die Behörden bevorschusst.
Von Juni 2015 bis Juni 2016 bezog A._ für sich und seine Familie Sozialhilfe im Umfang von Fr. 26'805.15. Vom 1. April bis 30. Juni 2018 wurde er erneut sozialhilferechtlich unterstützt. A._ war per 29. Januar 2019 im Betreibungsregister mit 26 Betreibungen in der Höhe von insgesamt Fr. 46'269.20 und 14 nicht getilgten Verlustscheinen im Umfang von Fr. 23'101.40 verzeichnet.
B.
Mit Verfügung vom 9. Mai 2018 wies das Migrationsamt des Kantons Thurgau ein Gesuch von A._ um Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung ab und verfügte dessen Wegweisung aus der Schweiz.
Den dagegen erhobenen Rekurs wies das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau am 17. April 2019 ab.
Mit Urteil des Bezirksgerichts Weinfelden vom 16. Juli 2019 wurde die Ehe von A._ und C._ geschieden.
Eine gegen den Entscheid des Departements für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau am 17. April 2019 erhobene Beschwerde von A._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Urteil vom 15. April 2020 ab. Das Verwaltungsgericht ordnete an, dass A._ die Schweiz innert 30 Tagen ab Eintritt der Rechtskraft des Urteils zu verlassen habe.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 18. Mai 2020 beantragt A._, unter Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 15. April 2020 sei seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Eventualiter beantragt er, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben, seine Aufenthaltsbewilligung sei zu verlängern und es sei eine ausländerrechtliche Verwarnung auszusprechen. Subeventualiter beantragt A._, die Sache sei zu weiteren Abklärungen bzw. zu neuem Entscheid an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Prozessual ersucht A._ um Erteilung der aufschiebenden Wirkung.
Das Migrationsamt, das Departement für Justiz und Sicherheit sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) verzichtet auf Vernehmlassung.
Mit Verfügung vom 26. Mai 2019 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Mit Eingabe vom 20. Juli 2020 hält der Beschwerdeführer an seinen Anträgen fest.
Das Migrationsamt des Kantons Thurgau reichte mit Eingabe vom 30. Juli 2020 weitere Akten ein.

Erwägungen:
1.
Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>). Der Beschwerdeführer beruft sich in vertretbarer Weise auf den Schutz seines Anspruchs auf Familienleben (Art. 8 EMRK bzw. <ref-law>); seine minderjährigen Kinder sind schweizerische Staatsangehörige und verfügen damit über ein gefestigtes Aufenthaltsrecht, auf das sich der Beschwerdeführer potentiell berufen kann ("umgekehrter Familiennachzug"). Ebenso in vertretbarer Weise geltend gemacht wird in der Beschwerde ein Bewilligungsanspruch nach Art. 50 AuG in der bis zum 31. Dezember 2018 gültig gewesenen, vorliegend noch massgebenden Fassung (AS 2007 5437 ff. Das AIG [SR 142.20] ist per 1. Januar 2019 an die Stelle des AuG getreten; zum Intertemporalrecht vgl. <ref-law>).
Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90, Art. 100 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law>).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Bei der Prüfung wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.5 S. 157) und verfügt es über volle Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 236). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.7.2 S. 106; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zu Grunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (<ref-law>). Offensichtlich unrichtig festgestellt ist ein Sachverhalt, wenn er willkürliche Feststellungen beinhaltet (<ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62). Die Sachverhaltsfeststellung bzw. Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen; Urteil 1C_370/2019 vom 21. Oktober 2019 E. 4). Die dem Bundesgericht durch <ref-law> eingeräumte Befugnis, die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz zu berichtigen oder zu ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung von <ref-law> beruht, entbindet den Beschwerdeführer nicht von seiner Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-ruling> E. 6.2 S. 288). Die betroffene Person muss rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern der festgestellte Sachverhalt in diesem Sinne mangelhaft erscheint und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>); rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsermittlung und an der Beweiswürdigung genügt den Begründungs- bzw. Rügeanforderungen nicht (vgl. <ref-ruling> E. 10.1 S. 445 mit Hinweisen).
2.3.
2.3.1. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen im bundesgerichtlichen Verfahren lediglich insoweit vorgebracht werden, als der angefochtene Entscheid hierzu Anlass gibt (unechte Noven; <ref-law>). Nur weil die Vorinstanz die rechtliche Einschätzung des Beschwerdeführers nicht geteilt hat, gibt ihr Entscheid nicht bereits Anlass dazu, im bundesgerichtlichen Verfahren die Beweismittel zu ergänzen. Hierfür müsste die Vorinstanz materielles Recht derart angewendet haben, dass bestimmte Sachumstände neu und erstmals - durch den angefochtenen Entscheid - Rechtserheblichkeit erhielten (Urteil 2C_323/2018 vom 21. September 2018 E. 1.4 mit Hinweisen). Das Vorbringen von Tatsachen, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid ereigneten oder entstanden (echte Noven), ist vor Bundesgericht unzulässig (<ref-ruling> E. 1.2 S. 22 f. mit Hinweisen).
2.3.2. Zwar reichte der Beschwerdeführer beim Bundesgericht eine Teilnahmebestätigung für einen Kurs der Gesellschaft G._ vom 3. April 2020 und einen Online-Artikel des Schweizer Radio und Fernsehens vom 31. März 2017 (in der Beschwerde fälschlicherweise auf den 31. März 2020 datiert) ein. Doch ist nicht ersichtlich, inwiefern diese neuen Beweismittel aufgrund einer falschen Rechtsanwendung durch die Vorinstanz rechtserheblich geworden sein sollten. Diese Beweismittel sind damit als unzulässige unechte Noven nicht zu berücksichtigen.
Echte und damit von vornherein nicht zu berücksichtigende Noven bilden vorliegend die folgenden, vom Beschwerdeführer im bundesgerichtlichen Verfahren eingereichten Dokumente:
- die Bestätigung des Sozialamtes V._ vom 24. April 2020,
- die Taggeldabrechnung der SUVA vom 13. Mai 2020,
- die Kopie eines E-Mails vom 20. April 2020 zur Erklärung einer Taggeldabrechnung,
- der Betreibungsregisterauszug vom 14. Mai 2020,
- die zwei Zahlungsbelege vom 14. Mai 2020,
- der Bericht des (am 15. Dezember 2016 eingesetzten) Beistandes der drei Kinder des Beschwerdeführers vom 12. Mai 2020,
- das mit der Stellungnahme vom 20. Juli 2020 eingereichte Protokoll des Betreibungsamtes des Bezirks Kreuzlingen gleichen Datums,
- der Einsatzvertrag der H._ AG vom 26. Mai 2020,
- der Arbeitsvertrag mit der I._ AG vom 29. Juni 2020.
Ebenfalls als echte Noven nicht zu berücksichtigen sind die in der Vernehmlassung des kantonalen Migrationsamtes genannten Betreibungen vom 13. und 25. Mai 2020 und die von ihm vorgelegten neuen Strafbefehle vom 25. März und 7. April 2020 (vgl. act. 16 Nr. 10 f.). Gleiches gilt für die vom Migrationsamt mit Eingabe vom 30. Juli 2020 eingereichten Unterlagen.
3.
Ausländische Ehegatten von Schweizerinnen und Schweizern haben nach Art. 42 Abs. 1 AuG grundsätzlich Anspruch auf Erteilung und Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung, soweit sie mit diesen zusammenwohnen. Im vorliegenden Fall ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer spätestens seit 20. Dezember 2016 getrennt von seiner früheren Schweizer Ehefrau lebt. Deshalb kann sich der Beschwerdeführer nicht auf Art. 42 Abs. 1 AuG berufen.
4.
4.1. Trotz Auflösens bzw. definitiven Scheiterns der Ehe besteht der Bewilligungsanspruch fort, wenn das Zusammenleben mindestens drei Jahre gedauert und die betroffene Person sich hier erfolgreich integriert hat ("Integrationsklausel"; Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG).
Die Ehegemeinschaft des Beschwerdeführers bestand während mindestens drei Jahren, weshalb er bei erfolgreicher Integration einen Aufenthaltsanspruch nach Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG hätte.
4.2. Eine erfolgreiche Integration liegt praxisgemäss nicht vor, wenn der betroffene Ausländer kein Erwerbseinkommen erwirtschaftet, welches seinen Konsum zu decken vermag, oder er während einer substanziellen Zeitdauer Sozialhilfeleistungen bezieht; die ausländische Person hat für eine erfolgreiche Integration im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG für sich selber aufzukommen: Sie darf keine nennenswerten Sozialhilfeleistungen beziehen und nicht erheblich verschuldet sein (vgl. Urteil 2C_730/2018 vom 20. März 2019 E. 3.1.1).
War die ausländische Person während einer substanziellen Zeitdauer von Sozialleistungen abhängig, kann die erfolgreiche Integration nur bejaht werden, wenn sich die Situation hinreichend verbessert (vgl. Urteile 2C_298/2014 vom 12. Dezember 2014 E. 6.3 und 6.4.2 in fine; 2C_930/2012 vom 10. Januar 2013 E. 3.1; 2C_857/2010 vom 22. August 2011 E. 2.3.1; 2C_546/2010 vom 30. November 2010 E. 5.2.3 f.). Ist eine ausländische Person verschuldet, schliesst dies die erfolgreiche Integration dann nicht aus, wenn sie im Begriff ist, die Schulden in wirksamer Weise zurückzubezahlen (vgl. Urteil 2C_352/2014 vom 18. März 2015 E. 4.5).
Ebenso wenig schliessen geringfügige Strafen eine erfolgreiche Integration aus (Urteil 2C_749/2011 vom 20. Januar 2012 E. 4.3).
4.3.
4.3.1. Die Vorinstanz hat vorliegend mit Blick auf die verursachten Sozialhilfekosten, die hohen Schulden, die offenen Unterhaltsverpflichtungen und das strafrechtliche Verhalten des Beschwerdeführers (vgl. vorne lit. A) eine erfolgreiche Integration im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG verneint.
In tatsächlicher Hinsicht bringt der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang insbesondere vor, er habe nur von April bis Juni 2018 und dabei lediglich aufgrund eines Fehlers der Arbeitslosenkasse (und dadurch verursachten Liquidationsengpässen) sowie auf Betreiben von hilfsbereiten Bekannten Sozialhilfeleistungen bezogen. Dies kann jedoch nicht als erstellt gelten (vgl. zur Nichtberücksichtigung der in diesem Kontext ins Recht gelegten Bestätigung des Sozialamtes V._ vom 24. April 2020 vorn E. 2.3.2; zur grundsätzlichen Bindung an die vorinstanzlichen Feststellungen vorn E. 2.2). Die Schwierigkeiten bei der Suche nach einer Festanstellung lassen sich sodann - anders als der Beschwerdeführer geltend zu machen sucht - nicht auf das ausländerrechtliche Verfahren zurückführen, da es ihm auch vor der Einleitung dieses Verfahrens im Jahr 2017 nicht gelungen ist, eine solche Anstellung zu finden (vgl. E. 3.2 des angefochtenen Urteils).
Soweit der Beschwerdeführer seine Schulden mit psychischen Problemen zu erklären sucht, macht er einen neuen Sachumstand geltend, ohne aufzuzeigen, weshalb erst das angefochtene Urteil Anlass zum entsprechenden Vorbringen gab. Darauf ist folglich nicht weiter einzugehen (vgl. vorn E. 2.3.1).
Die Ausführungen in der Beschwerde zu den aktuellen Einkommens- und Schuldverhältnissen sind nicht zugunsten des Beschwerdeführers zu berücksichtigen, da damit von der Vorinstanz nicht festgestellte Tatsachen und unter das Novenverbot fallende Beweismittel angerufen werden (vgl. vorn E. 2.2 und 2.3).
Nach dem Gesagten ist für die Beurteilung der Integration des Beschwerdeführers vom vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt auszugehen.
4.3.2. Angesichts der Tatsache, dass der Beschwerdeführer, wenn auch nicht unterbrochen, so doch während insgesamt mehr als einem Jahr nicht in der Lage war, den Lebensunterhalt (einschliesslich des von ihm zu tragenden Teils des Unterhaltes seiner drei Kinder) mittels einer Erwerbstätigkeit zu bestreiten, sondern auf Sozialhilfe angewiesen war, lässt sich nicht von einer gelungenen beruflichen Integration sprechen. Ins Gewicht fällt in diesem Kontext, dass nach den Feststellungen im angefochtenen Urteil bislang noch keine substanziellen Sozialhilferückzahlungen geleistet worden sind. Es kann unter diesen Umständen nicht davon ausgegangen werden, dass der Beschwerdeführer hinreichende Bemühungen um den Abbau seiner Schulden an den Tag gelegt hat.
Was das strafrechtliche Verhalten des Beschwerdeführers betrifft, ist ihm zwar darin zuzustimmen, dass die von ihm begangenen Delikte je für sich allein betrachtet nicht besonders gravierend sind, die Schwere der Verstösse tendenziell abgenommen hat und das schwerste Delikt schon mehrere Jahre zurückliegt. Jedoch zeigen die Häufung der Verfehlungen und der Umstand, dass sich der Beschwerdeführer trotz einer ausländerrechtlichen Verwarnung und mehreren Strafbefehlen nicht davon abhalten liess, erneut zu delinquieren, dass er Mühe hat, die hiesige Rechtsordnung zu respektieren. Ins Bild passt, dass der Beschwerdeführer noch in seiner Beschwerde an das Bundesgericht die gegenüber seiner Ex-Frau begangenen Tätlichkeiten unter Hinweis auf ein angebliches Mitverschulden des Opfers zum einen und die Umstände kurz vor der Trennung von seiner damaligen Gattin zum anderen zu verharmlosen sucht. Damit zeigt sich der Beschwerdeführer uneinsichtig.
Der Umstand, dass der Beschwerdeführer unbestrittenermassen über gute Deutschkenntnisse verfügt, reicht, anders als in der Beschwerde suggeriert wird, nicht aus, um eine erfolgreiche Integration anzunehmen.
Insgesamt ist nach dem Gesagten nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz eine erfolgreiche Integration im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG verneint hat. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers kann daran auch der Umstand nichts ändern, dass das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau ihn im Entscheid vom 17. April 2019 nicht als bedürftig eingestuft hat.
5.
5.1. Nach Auflösung bzw. definitivem Scheitern der Ehe besteht der Bewilligungsanspruch fort, wenn wichtige persönliche Gründe geltend gemacht werden, die den weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen ("nachehelicher Härtefall"; Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG; siehe dazu <ref-ruling> E. 3 S. 231 ff.). Der Beschwerdeführer behauptet, es seien wichtige persönliche Gründe im Sinne dieser Bestimmung gegeben. Er beruft sich dabei auf seine Beziehung zu seinen in der Schweiz lebenden schweizerischen Kindern.
5.2. Wichtige persönliche Gründe nach Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG können namentlich vorliegen, wenn die Ehegattin oder der Ehegatte Opfer ehelicher Gewalt wurde oder die Ehe nicht aus freiem Willen geschlossen hat oder die soziale Wiedereingliederung im Herkunftsland stark gefährdet erscheint (Art. 50 Abs. 2 AuG). Diese Aufzählung ist nicht abschliessend. Wichtige persönliche Gründe können sich auch aus einer schützenswerten Beziehung zu einem in der Schweiz anwesenheitsberechtigten Kind ergeben (<ref-ruling> E. 5.1 S. 96 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 319 mit Hinweisen), wobei die aus Art. 8 EMRK bzw. <ref-law> abzuleitenden Anforderungen zu berücksichtigen sind. Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG und Art. 8 EMRK bzw. <ref-law> überschneiden sich insoweit in ihrer Anwendung (vgl. Urteil 2C_423/2018 vom 18. Oktober 2018 E. 2); wichtige persönliche Gründe im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG können nicht einschränkender verstanden werden als allfällige, sich aus Art. 8 EMRK bzw. <ref-law> ergebende Ansprüche auf Erteilung bzw. Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung (Urteil 2C_1140/2015 vom 7. Juni 2016 E. 2.2.1 mit Hinweisen).
In jedem Fall setzt ein nachehelicher Härtefall aufgrund der konkreten Umstände eine erhebliche Intensität der Konsequenzen für das Privat- und Familienleben der ausländischen Person voraus, die mit ihrer Lebenssituation nach dem Dahinfallen der gestützt auf Art. 42 Abs. 1 AuG abgeleiteten Anwesenheitsberechtigung verbunden sind (vgl. <ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 3.2.3).
Der nicht sorge- bzw. hauptsächlich betreuungsberechtigte ausländische Elternteil kann die familiäre Beziehung mit seinem Kind in der Regel - so oder anders - nur in beschränktem Rahmen leben, nämlich durch die Ausübung des ihm eingeräumten Rechts auf angemessenen persönlichen Verkehr und den damit verbundenen Betreuungsanteilen (<ref-law> ["Besuchsrecht"]). Hierfür ist nicht erforderlich, dass er sich dauerhaft im selben Land aufhält wie das Kind und dort über ein Anwesenheitsrecht verfügt. Unter dem Gesichtswinkel des Schutzes des Anspruchs auf Familienleben (<ref-law> sowie Art. 8 EMRK) genügt - je nach den Umständen -, dass der Kontakt zum Kind über Kurzaufenthalte, Ferienbesuche bzw. die traditionellen oder modernen Kommunikationsmittel vom Ausland her grenzüberschreitend gelebt werden kann; gegebenenfalls sind die zivilrechtlichen Modalitäten den ausländerrechtlichen Vorgaben anzupassen (<ref-ruling> E. 5.3 S. 27 f.; <ref-ruling> E. 6.1 und 6.2 S. 46 ff.; <ref-ruling> E. 3.2 S. 148; <ref-ruling> E. 2.2 S. 319 ff.).
Ein weitergehender Anspruch kann nur dann in Betracht fallen, wenn eine in affektiver und in wirtschaftlicher Hinsicht besonders enge Beziehung zum Kind besteht, diese Beziehung wegen der Distanz zum Heimatland des Ausländers praktisch nicht aufrechterhalten werden könnte und das bisherige Verhalten der ausländischen Person in der Schweiz zu keinerlei namhaften Klagen Anlass gegeben hat (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 97; <ref-ruling> E. 5.2 S. 27; <ref-ruling> E. 6.2 S. 47; Urteil 2C_449/2019 vom 12. September 2019 E. 4.2). Dies ist in der Regel nicht der Fall, wenn gegen die ausländische Person, welche sich auf Art. 8 EMRK beruft, ausländerrechtliche Entfernungs- und Fernhaltegründe sprechen, insbesondere falls sie sich massgebliches straf- oder ausländerrechtlich verpöntes Fehlverhalten hat zuschulden kommen lassen (<ref-ruling> E. 5.2.4 S. 100 mit Hinweisen).
Die per 1. Juli 2014 in Kraft getretenen zivilrechtlichen Bestimmungen sehen im Scheidungsfall die gemeinsame elterliche Sorge als Regel vor; massgeblich für das ausländerrechtliche Bewilligungsverfahren bleibt jedoch - wie früher - der Umfang des persönlichen Kontakts, d.h. die tatsächlich gelebte Tiefe der Beziehung in affektiver wie wirtschaftlicher Hinsicht, und nicht allein die formelle Tragweite der Zuteilung bzw. der Abmachungen der Eltern in Bezug auf das Sorge- bzw. das Betreuungsrecht (vgl. <ref-ruling> E. 5.5.4 S. 32 mit Hinweisen; Urteile 2C_517/2017 vom 4. Juli 2018 E. 5.2.2; 2C_1050/2016 vom 10. März 2017 E. 6.2).
5.3. Selbst wenn der Beschwerdeführer - entgegen der Annahme der Vorinstanz - enge affektive und wirtschaftliche Beziehungen zu seinen drei Kindern unterhalten sollte, fehlt es doch an einem weitgehend tadellosen Verhalten: Der Beschwerdeführer hat sich über einen längeren Zeitraum verschiedener Delikte schuldig gemacht und wurde dabei nicht ausschliesslich wegen ausländer- oder ordnungsrechtlicher (untergeordneter) Vorkommnisse, sondern unter anderem wegen - vor dem 1. Oktober 2016 (Inkrafttreten von <ref-law> [AS 2016 2329]; vgl. dazu <ref-ruling>) begangener - Gehilfenschaft zu qualifiziertem Diebstahl verurteilt. Die Praxis, gewisse "untergeordnete" Vorkommnisse ("atteintes de peu d'importance à l'ordre public") in einer Gesamtabwägung etwas weniger stark zu gewichten, kommt nur in spezifischen Fällen bzw. bei besonderen Umständen zum Tragen. Solche bestehen hier nicht (vgl. BGE <ref-ruling> E. 4.3 S. 150 f.).
5.4. Als wichtigen persönlichen Grund für die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG macht der Beschwerdeführer auch geltend, er sei in seinem Heimatland an Leib und Leben gefährdet, weil er für die schweizerische Polizei als Informant gearbeitet habe und deshalb in seiner Heimat mit Repressalien rechnen müsse. Er bringt in diesem Kontext vor, die Vorinstanz habe zu Unrecht das Vorliegen von Belegen für die entsprechende geheime und damit naturgemäss schwierig nachzuweisende Tätigkeit für die Polizei verneint. Insbesondere habe die Vorinstanz den Sachverhalt in willkürlicher Weise festgestellt, indem sie eine schriftliche Erklärung der (Ex-) Ehefrau zur Tätigkeit des Beschwerdeführers für die Polizei übergangen habe und trotz der klar für eine solche Tätigkeit sprechenden aktenkundigen Chatprotokolle auf weitere Abklärungen (wie die Einholung einer polizeilichen Bestätigung auf dem Amtshilfeweg) verzichtet habe.
Die erwähnten Chatprotokolle wurden im angefochtenen Entscheid als nicht hinreichenden Beleg für die behauptete Informantentätigkeit gewertet, und zwar mit dem Hinweis, es sei daraus nicht ersichtlich, mit wem die entsprechende Unterhaltung geführt worden sei (E. 4.3.2 des angefochtenen Urteils). Der Beschwerdeführer bringt nichts Konkretes vor, was diese Beweiswürdigung als willkürlich erscheinen liesse (vgl. E. 2.2).
Was die erwähnte schriftliche Bestätigung der Ehefrau des Beschwerdeführers betrifft, trifft es zwar zu, dass dieses Schreiben von der Vorinstanz nicht ausdrücklich gewürdigt wurde. Selbst wenn dieses Beweismittel in Ergänzung des vorinstanzlich festgestellten Sachverhalts herangezogen (vgl. zur Sachverhaltsergänzung vorn E. 2.2) und gestützt darauf davon ausgegangen würde, dass der Beschwerdeführer tatsächlich als Informant für die Polizei in der Schweiz tätig war, liesse sich daraus aber nichts zugunsten der Beschwerde ableiten.
Es bestehen nämlich - wie die Vorinstanz erkannt hat - keine substanziierten Anhaltspunkte, dass der Beschwerdeführer, wenn er denn tatsächlich als solcher Informant tätig gewesen wäre, dadurch in seiner Heimat eher Repressalien ausgesetzt wäre als in der Schweiz. Insbesondere legt der Beschwerdeführer nicht dar und ist nicht ersichtlich, weshalb seine Identität im Rahmen seiner angeblich geheimen Tätigkeit für die Polizei gegenüber Aussenstehenden enttarnt worden und er damit zur Zielscheibe von möglichen Repressalien geworden wäre. Aus diesen Gründen bestand für die Vorinstanz von vornherein kein Anlass, weitere Sachverhaltsabklärungen über das tatsächliche Vorliegen einer polizeilichen Informantentätigkeit durchzuführen und etwa eine Auskunft der Polizei einzuholen. Eine Gefährdung des Beschwerdeführers in seinem Heimatland ist gestützt auf das erwähnte Schreiben nicht auszumachen.
5.5. Wichtige persönliche Gründe für einen weiteren Verbleib des Beschwerdeführers in der Schweiz im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG sind nach dem Gesagten nicht erkennbar. Aus Art. 8 EMRK und <ref-law> ergibt sich nichts Weitergehendes zugunsten des Beschwerdeführers.
6.
Nach Auffassung der Vorinstanz kommt eine Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers auch deshalb nicht in Betracht, weil die Widerrufsgründe von Art. 62 Abs. 1 lit. c AuG und Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG erfüllt sind. Ob diese Widerrufsgründe vorliegen, kann hier aber dahingestellt bleiben, da nach dem Gesagten insbesondere mangels erfolgreicher Integration bzw. mangels weitgehend tadellosen Verhaltens des Beschwerdeführers kein Aufenthaltsanspruch besteht (vgl. auch Urteil 2C_631/2016 vom 8. März 2017 E. 4.2).
7.
Die Beschwerde erweist sich somit als unbegründet und ist folglich vollumfänglich abzuweisen.
Dem Verfahrensausgang entsprechend hat der unterliegende Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Parteientschädigungen werden keine zugesprochen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. August 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: König