Sachverhalt:
A.
A._ (Kläger, Beschwerdeführer) verfügt bei der B._ AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin) über verschiedene Zusatzversicherungen, so unter anderem über eine Spitalkostenzusatzversicherung. Zunächst war er über die Spitalkostenzusatzversicherung "X._", später über die "Y._" und seit dem 1. Januar 2019 über die "Z._" versichert.
Nachdem sich der Kläger in den Jahren 2016 und 2018 in verschiedenen Kliniken stationären akutpsychiatrischen Behandlungen unterzogen hatte, teilte ihm die Beklagte anlässlich einer erneuten stationären akutpsychiatrischen Behandlung in der Privatklinik C._ AG mit, bei stationären Akutbehandlungen würden die Kosten während gesamthaft 180 Tagen bezahlt. Ab dem 181. Tag würden die Behandlungskosten sowie Fr. 100.-- pro Tag an die Aufenthalts- und Pflegekosten bezahlt, wohingegen die weiteren Kosten im Rahmen der Selbstkostenbeteiligung vom Versicherten selbst zu übernehmen seien. Am 9. und am 10. April 2020 erteilte die Beklagte entsprechend zwei Kostengutsprachen für eine erneute stationäre akutpsychiatrische Behandlung und hielt darin fest, dass ab dem elften Tag nur noch die Behandlungskosten sowie Fr. 100.-- pro Tag an die Aufenthalts- und Pflegekosten bezahlt würden.
B.
Am 9. Juni 2020 erhob der Kläger Klage beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich. Er beantragte, die Beklagte sei zu verpflichten, ihm auch ab dem elften Tag des geplanten stationären Aufenthalts in der Privatklinik C._ AG aus der Spitalkostenzusatzversicherung "Z._" sämtliche auf der halbprivaten Abteilung anfallenden Kosten zu vergüten.
Mit Urteil vom 26. Februar 2021 wies das Sozialversicherungsgericht die Klage ab.
C.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Er begehrte, das vorinstanzliche Urteil sei aufzuheben und die Beschwerdegegnerin sei zu verurteilen, dem Beschwerdeführer auch ab dem 11. Tag des geplanten stationären Aufenthalts in der Privatklinik C._ AG aus der Zusatzversicherung "Z._" sämtliche auf der halbprivaten Abteilung der Privatklinik C._ AG anfallenden Kosten zu vergüten.
Das Bundesgericht hat die Vorakten, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen).
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>) einer oberen kantonalen Gerichtsinstanz, die in einer Zivilsache (<ref-law>) und als einzige kantonale Instanz im Sinne von <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> entschieden hat. Die Beschwerde ist in diesem Fall streitwertunabhängig zulässig (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2, 799 E. 1.1).
1.2. Die Beschwerde hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (<ref-law>). Da die Beschwerde an das Bundesgericht ein reformatorisches Rechtsmittel ist (<ref-law>), muss die rechtsuchende Partei grundsätzlich einen Antrag in der Sache stellen, das heisst angeben, welche Punkte des Entscheids sie anficht und welche Abänderungen sie beantragt (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 3.1). Rechtsbegehren, die eine Geldsumme zum Gegenstand haben, sind dabei zu beziffern und auf eine Beschwerde ist nicht einzutreten, wenn das Bundesgericht den zuzusprechenden Geldbetrag nach dem gestellten Begehren selber festlegen müsste (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2).
Trotz formell mangelhaftem Begehren ist die Beschwerde ausnahmsweise dennoch an die Hand zu nehmen, wenn sich aus der Beschwerdebegründung, allenfalls in Verbindung mit dem angefochtenen Entscheid, ohne weiteres ergibt, welchen Geldbetrag der Beschwerdeführer von der Gegenpartei verlangt (BGE <ref-ruling> E. 2 mit Hinweis; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.2). Ansonsten reicht ein nicht bezifferter Antrag nur aus, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung der Beschwerde in der Sache naturgemäss nicht selbst entscheiden könnte (BGE <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 3.1). Immerhin sind die Rechtsbegehren unter Berücksichtigung der Beschwerdebegründung nach dem Vertrauensprinzip auszulegen (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1.4.2).
1.3. Vorliegend geht es dem Beschwerdeführer darum, im Vorfeld eines Klinikaufenthalts von der Beschwerdegegnerin als Versicherung die Zusicherung zu erhalten, dass sie allfällige Kosten übernehmen werde. Er verlangt vor Bundesgericht in einem als Leistungsbegehren formulierten Antrag, die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten, ihm die noch "anfallenden Kosten zu vergüten", ohne sein Begehren zu beziffern und ohne ein Begehren auf Erteilung einer Kostengutsprache zu stellen. Ob dieses unbezifferte Begehren unter den vorliegenden Umständen ausnahmsweise genügen würde, braucht nicht beurteilt zu werden, da die Beschwerde - wie nachfolgend gezeigt wird - sowieso abgewiesen wird, soweit darauf überhaupt einzutreten ist.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1).
Der Beschwerdeführer schildert unter dem Titel "III. Materielles" den Sachverhalt aus seiner Sicht und geht dabei über die Feststellungen der Vorinstanz hinaus, ohne eine hinreichende Sachverhaltsergänzung nach den oben genannten Grundsätzen zu erheben. Darauf kann er sich im Folgenden nicht stützen.
3.
Die Vorinstanz erwog, die Beschwerdegegnerin habe unbestrittenermassen aus der im entsprechenden Zeitraum gültigen Spitalkostenzusatzversicherung die Aufenthalts-, Pflege- und Behandlungskosten für stationäre akutpsychiatrische Behandlungen des Beschwerdeführers während 170 Tagen übernommen. Unbestritten sei auch, dass sie diese Kosten noch während weiteren 10 Tagen zu übernehmen habe. Strittig und zu prüfen bleibe indes, ob die Beschwerdegegnerin verpflichtet sei, die Kosten für die geplante stationäre akutpsychiatrische Behandlung des Beschwerdeführers in der Privatklinik C._ AG über den 10. Tag, mithin über den 180. Tag, hinaus zu übernehmen. Umstritten sei dabei die Auslegung und Zulässigkeit von Ziff. 5 Abs. 1 der anwendbaren Zusatzbedingungen (ZB) zum Versicherungsvertrag. Ziff. 5 Abs. 1 ZB halte fest, dass bei stationären Akutbehandlungen in einer psychiatrischen Klinik oder auf einer psychiatrischen Spezialabteilung die Kosten "während gesamthaft 180 Tagen" bezahlt werden.
Die Vorinstanz kam diesbezüglich zusammengefasst zum Schluss, dass diese Bestimmung so zu verstehen sei, dass die Beschwerdegegnerin die Kosten während gesamthaft 180 Tagen bezogen auf die gesamte Vertragsdauer zu übernehmen habe. Es handle sich bei Ziff. 5 Abs. 1 der Zusatzbedingungen um keine unklare Bestimmung; sie sei eindeutig so zu verstehen, dass nach Erschöpfen der 180 Tage für den Rest der Vertragsdauer kein Anspruch mehr auf eine entsprechende Kostenübernahme bestehe. Zur Begründung zog die Vorinstanz einen Quervergleich mit anderen Klauseln der Zusatzbedingungen, wonach klar ersichtlich werde, dass Beschränkungen auf Tage, einen Spitalaufenthalt oder ein Kalenderjahr jeweils eindeutig als solche spezifiziert seien. Die Bedeutung des Wortes "gesamthaft" werde schliesslich umso deutlicher, wenn Ziff. 5 Abs. 1 ZB in Zusammenhang mit Abs. 2 gelesen werde, wonach ab dem 181. Tag die Behandlungskosten sowie Fr. 100.-- pro Tag an die Aufenthalts- und Pflegekosten bezahlt würden. Die Bestimmung von Ziff. 5 Abs. 1 ZB sei auch weder ungewöhnlich noch missbräuchlich.
4.
4.1. Dagegen moniert der Beschwerdeführer, die Vorinstanz habe die Unklarheitenregel zur Auslegung von Versicherungsbedingungen unrichtig angewandt. Ziff. 5 Abs.1 ZB sei unklar. Aus der Bestimmung lasse sich "keineswegs" mit der erforderlichen Klarheit schliessen, dass die Kostenübernahme während 180 Tagen auf die gesamte Vertragsdauer beschränkt sei. Der Umstand, dass in anderen Klauseln der Zusatzbedingungen teilweise Leistungseinschränkungen ausdrücklich pro Kalenderjahr formuliert würden, zeige "eben gerade" auf, dass zu verdeutlichen gewesen wäre, ob sich die Leistungsbeschränkung auf ein Kalenderjahr, auf einen Krankheitsfall oder auf die Vertragsdauer beziehe. Die von der Beschwerdegegnerin gewählte Formulierung könne ohne Weiteres so verstanden werden, dass sich die 180 Tage auf ein Kalenderjahr oder auf einen bestimmten Krankheitsfall bezögen und mit "gesamthaft" gemeint sei, dass bei mehreren stationären Aufenthalten pro Kalenderjahr, bzw. pro Krankheitsfall, die Dauer der einzelnen Aufenthalte zusammengezählt würden.
4.2. Die Vorinstanz hat sich mit der Unklarheitenregel, wonach mehrdeutige Klauseln in allgemeinen Versicherungsbedingungen gegen den Versicherer als deren Verfasser auszulegen sind (<ref-ruling> E. 2.2.2.3, 607 E. 2.2), eingehend befasst und anhand der Analyse anderer Bestimmungen der Zusatzbedingungen im Detail dargelegt, aus welchen Gründen Ziff. 5 Abs. 1 ZB "eindeutig" so zu interpretieren sei, dass diese sich auf die gesamte Vertragsdauer bezieht.
Der Beschwerdeführer geht auf diese Analyse nur pauschal ein und wiederholt Beanstandungen, die er so schon in der Klage und Replik vorgebracht hat. Er setzt sich damit weder hinreichend mit der Auslegung der Zusatzbedingungen durch die Vorinstanz auseinander, noch zeigt er rechtsgenüglich auf, inwiefern die Vorinstanz bei der Auslegung Bundesrecht verletzt haben soll (Erwägung 2.1). Es bleibt damit bei der Auffassung der Vorinstanz, dass es sich bei Ziff. 5 Abs. 1 ZB um eine klare Bestimmung handelt.
5.
5.1. Die Vorinstanz ging ausführlichst auf das Vorbringen des Beschwerdeführers ein, wonach es sich bei der Bestimmung von Ziff. 5 Abs. 1 ZB um eine ungewöhnliche Klausel handle. Sie kam dabei zusammengefasst zum Schluss, die Bestimmung sei nicht ungewöhnlich, sondern es handle sich um eine Variante einer Leistungsbeschränkung, wie sie die Versicherer eben früher oder später in der einen oder anderen Ausgestaltung vorsehen würden. Mangels Ungewöhnlichkeit habe die Beschwerdegegnerin den Beschwerdeführer auf die Leistungsbeschränkung dementsprechend auch nicht gesondert aufmerksam machen müssen. Dessen ungeachtet habe die Beschwerdegegnerin den Beschwerdeführer aber bereits mittels Produkteblatt auf die entsprechende Leistungsbeschränkung hingewiesen. Entsprechend sei Ziff. 5 Abs. 1 ZB die Wirksamkeit nicht zu versagen.
5.2. Die Vorinstanz erwog damit in einer Hauptbegründung, dass die Bestimmung nicht ungewöhnlich ist. In einer weiteren, selbstständig tragenden Eventualbegründung kam die Vorinstanz zum Ergebnis, dass die Beschwerdegegnerin im Produkteblatt auf die Leistungsbeschränkung hinwies. Mit anderen Worten erwog die Vorinstanz in dieser selbstständig tragenden Begründung (<ref-ruling> E. 2.4), dass der Beschwerdeführer als schwächere oder weniger geschäftserfahrene Partei auf das Vorhandensein der Klausel von Ziff. 5 Abs. 1 ZB gesondert aufmerksam gemacht wurde und daher die Ungewöhnlichkeitsregel nicht zum Zuge kommt (dazu im Einzelnen: <ref-ruling> E. 3.1).
5.3. Letzteres vermag der Beschwerdeführer nicht als bundesrechtswidrig auszuweisen.
5.3.1. Er behauptet zunächst, dass sich aus dem Produkteblatt nichts zu Gunsten der Beschwerdegegnerin ableiten lasse, weil sich die Formulierung auf dem Produkteblatt nicht von derjenigen in den Zusatzbedingungen unterscheide.
Diese nicht leicht nachvollziehbare Argumentation geht an der Sache vorbei, ist doch die gesonderte Hervorhebung der Klausel Voraussetzung dafür, dass die Prüfung der Ungewöhnlichkeit entfällt (vgl. Urteil 4A_475/2013 vom 15. Juli 2014 E. 5.3.1, nicht publiziert in <ref-ruling>). Dass er entgegen der Auffassung der Vorinstanz mit dem Produkteblatt nicht gesondert auf die hier strittige Leistungseinschränkung aufmerksam gemacht worden wäre, macht er nicht geltend, zumindest nicht hinreichend.
5.3.2. Ebenso geht der Einwand fehl, das Produkteblatt sei irrelevant, weil es sich nicht auf einen Neuabschluss, sondern lediglich auf einen Übertritt von einem geschlossenen Bestand (Y._) zu einem offenen Bestand (Z._) nach Art. 156 Verordnung über die Beaufsichtigung von privaten Versicherungsunternehmen (AVO; SR 961.011) bezogen habe: Ob es sich beim Versicherungswechsel des Beschwerdeführers um einen solchen Übertritt gehandelt hat, ist im vorinstanzlichen Sachverhalt nicht festgestellt und der Beschwerdeführer verlangte diesbezüglich keine Sachverhaltsergänzung (Erwägung 2.2), zumindest nicht hinreichend.
Unabhängig davon haben die Versicherungsnehmer nach Art. 156 Abs. 1 AVO unter bestimmten Voraussetzungen das Recht, "anstelle ihres bisherigen Versicherungsvertrages einen möglichst gleichwertigen Versicherungsvertrag [...] abzus chliessen ". Der Beschwerdeführer begründet nicht rechtsgenüglich (Erwägung 2.1), warum bei einem solchen Vertragsschluss die Regeln betreffend Einbeziehung und Auslegung von AGB, insbesondere bezüglich den Folgen bei gesondertem Hinweis über ungewöhnliche Klauseln, nicht gelten sollten. Insbesondere legt er für den vorliegenden konkreten Fall nicht hinreichend dar, warum ihm der gesonderte Hinweis auf die Leistungsbeschränkung im Produkteblatt nicht entgegengehalten werden könnte.
5.3.3. Schliesslich genügt der Beschwerdeführer den Begründungsanforderungen nicht (Erwägung 2.1), wenn er ohne weitere Erläuterungen vorbringt, die relevante Bestimmung der Zusatzbedingungen "Y._" und der Zusatzbedingungen "Z._" hätten den selben Wortlaut und die bis zum Übertritt bezahlten Versicherungsleistungen würden bei Ersatz einer Zusatzversicherung angerechnet, ohne aber nachvollziehbar darzulegen, inwiefern dadurch die Erwägung der Vorinstanz, dass die Beschwerdegegnerin den Beschwerdeführer auf die Leistungseinschränkung hingewiesen habe, bundesrechtwidrig wäre.
5.4. Damit trägt die Eventualerwägung der Vorinstanz, dass der Beschwerdeführer mittels Produkteblatt auf die Leistungseinschränkung durch Ziff. 5 Abs. 1 ZB gesondert hingewiesen wurde, womit die Ungewöhnlichkeitsregel nicht zum Zuge kommt. Damit kann eine Beurteilung der Ungewöhnlichkeit dieser Klausel unterbleiben.
6.
6.1. Die Vorinstanz prüfte schliesslich die vom Beschwerdeführer geltend gemachte Missbräuchlichkeit der Bestimmung im Sinne von <ref-law>. Sie erwog, bereits das Vorhandensein eines Missverhältnisses zwischen den vertraglichen Rechten und Pflichten sei zu verneinen. Ein derartiges Ungleichgewicht, dass die Zusatzversicherung durch die strittige Klausel für den Beschwerdeführer jeden Sinn verliere, sei nicht erkennbar. Wohl verringerten sich die von der Beschwerdegegnerin zu erbringenden Leistungen für stationäre Aufenthalte in einer psychiatrischen Klinik ab dem 181. Tag, indessen würden sie nicht vollkommen dahin fallen. Vielmehr reduziere sich die Beteiligung an den Aufenthalts- und Pflegekosten auf Fr. 100.-- pro Tag, währenddem die Behandlungskosten nach wie vor im Rahmen von Ziff. 2 der Zusatzbedingungen übernommen würden. Darüber hinaus würden die übrigen von der Beschwerdegegnerin aus der Zusatzversicherung zu erbringenden Leistungen, beispielsweise im Zusammenhang mit somatisch bedingten stationären Aufenthalten in Spitälern, durch die entsprechende Bestimmung nicht im Geringsten tangiert, weshalb keinesfalls von einem Missverhältnis zwischen vertraglichen Rechten und Pflichten gesprochen werden könne. Im Übrigen basiere eine solche Leistungsbeschränkung unter anderem auf dem Umstand, dass die Prämienhöhe versicherungstechnisch den Versicherungsleistungen angepasst werde. Würde bei jeder Leistungsbeschränkung ein Missverhältnis zwischen Rechten und Pflichten bejaht, würde dies dazu führen, dass die Prämien angesichts der uneingeschränkten Leistungspflicht eines Versicherers auf einer Höhe festzulegen wären, welche von den Versicherten nicht mehr bezahlt werden könnten.
6.2. Der Beschwerdeführer beharrt dagegen auf seinem Standpunkt, dass entgegen der Vorinstanz ein erhebliches und ungerechtfertigtes Missverhältnis zwischen den vertraglichen Rechten und Pflichten vorliege.
Er wiederholt dafür aber im Wesentlichen bloss seine bereits vor der Vorinstanz vorgetragenen Argumente (die Leistungsbeschränkung komme einer "Aussteuerung" gleich, die Versicherung sei "völlig atypisch", die Versicherung werde "praktisch nutzlos", er könne die Versicherung aufgrund seiner gesundheitlichen Probleme nicht einfach wechseln, aufgrund der steigenden Tarife würden die ab dem 181. Tag gewährten Fr. 100.-- pro Tag prozentual immer weniger ausmachen). Damit setzt er sich nicht genügend mit dem angefochtenen Entscheid auseinander, noch zeigt er hinreichend auf, inwiefern die Vorinstanz in diesem Zusammenhang <ref-law> bundesrechtswidrig angewandt hätte (Erwägung 2.1). Insbesondere widerlegt er das Argument der Vorinstanz nicht, dass die übrigen Leistungen der Beschwerdegegnerin aus der Zusatzversicherung, beispielsweise somatisch bedingte stationäre Aufenthalte in Spitälern, durch die entsprechende Bestimmung nicht im Geringsten tangiert sei, weshalb "keinesfalls" von einem Missverhältnis gesprochen werden könne.
7.
Die Beschwerde ist nach dem Gesagten abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da ihr aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand entstanden ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, V. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. September 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Brugger