Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn wies mit Verfügung vom 13. Februar 2020 das Gesuch von A._ um Gewährung einer notwendigen Verteidigung ab. Die Zustellung der Verfügung erfolgte durch Publikation im Amtsblatt (<ref-law>). A._ erhob gegen diese Verfügung am 1. März 2020 Beschwerde (Postaufgabe in Thailand). Die Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn trat mit Beschluss vom 17. März 2020 auf die Beschwerde wegen verspäteter Einreichung nicht ein. Zur Begründung führte sie zusammenfassend aus, dass die angefochtene Verfügung am Tag der Veröffentlichung als zugestellt gelte (<ref-law>). Die Publikation sei am 21. Februar 2020 im Amtsblatt erfolgt, was zur Folge habe, dass die 10-tägige Beschwerdefrist am 2. März 2020 ablief. Nach <ref-law> müsse die Eingabe spätestens am letzten Tag der Frist bei der Strafbehörde abgegeben oder zu deren Handen der Schweizerischen Post, einer schweizerischen diplomatischen oder konsularischen Vertretung übergeben werden. Die Aufgabe bei einer ausländischen Poststelle genüge nicht, es sei denn, die Sendung treffe innerhalb der Frist bei einem schweizerischen Grenzpostamt ein. Die vorliegende Beschwerde sei erst am 6. März 2020 und damit verspätet bei der Schweizerischen Post eingetroffen.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 17. Mai 2020 Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Die Beschwerde ist unter Berücksichtigung des Fristenstillstandes rechtzeitig erhoben worden.
4.
Anfechtungsobjekt ist vorliegend der Nichteintretensentscheid der Beschwerdekammer. Soweit der Beschwerdeführer die Verfahrens-führung der Staatsanwalt beanstandet, ist darauf von vornherein nicht einzutreten.
5.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verlet-zung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer vermag mit seinen weitschweifigen und nicht immer sachbezogenen Ausführungen nicht aufzuzeigen, dass die Beschwerdekammer die entsprechenden Bestimmungen über die Eröffnung und Zustellung der Entscheide sowie über die Fristen rechtswidrig angewendet hätte. Soweit er sich darüber beschwert, dass ihm die Staatsanwaltschaft die Verfügung vom 13. Februar 2020 nicht elektronisch zugestellt habe, unterlässt er eine Auseinandersetzung mit <ref-law>, welcher die Voraussetzungen der elektronischen Zustellung von Entscheiden regelt. Schliesslich vermag er nicht nachvollziehbar aufzuzeigen, dass die Beschwerdekammer überspitzt formalistisch gehandelt hätte, zumal gemäss <ref-law> gesetzliche Fristen nicht erstreckt werden können. Insgesamt legt der Beschwerdeführer nicht rechtsgenüglich dar, inwiefern die Begrün-dung der Beschwerdekammer, die zum Nichteintreten auf die Beschwerde führte, bzw. der Beschluss der Beschwerdekammer selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
6.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juni 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli