Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Beschwerdeführer) und B._ (Beschwerdegegnerin) sind die nicht verheirateten Eltern von C._ (geb. 2014) und D._ (geb. 2016). Seit 2017 leben die Eltern getrennt; die Kinder stehen unter der gemeinsamen elterlichen Sorge.
A.b. Aufgrund einer Meldung der Kantonspolizei Bern über häusliche Gewalt eröffnete die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Biel/ Bienne (KESB) im Jahr 2017 ein Kindesschutzverfahren. Mit Entscheid vom 29. Juni 2020 regelte die KESB die Kinderbelange. Dabei gab sie (weitere) Abklärungen zur elterlichen Sorge in Auftrag, stellte die Kinder unter die alleinige Obhut der Mutter, räumte dem Vater ein Besuchs- und Ferienrecht ein und erteilte beiden Elternteilen umfangreiche Verhaltensanweisungen, teilweise unter Androhung einer Ungehorsamsstrafe im Widerhandlungsfall.
B.
Die von A._ gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Bern, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht, mit Entscheid vom 30. Dezember 2020 (eröffnet am 5. Januar 2021) ab, soweit es darauf eintrat. Das weiter erhobene Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung im Beschwerdeverfahren wies das Obergericht ebenfalls ab.
C.
A._ gelangt mit Beschwerde in Zivilsachen vom 4. Februar 2021 ans Bundesgericht. Er beantragt unter Kosten- und Entschädigungsfolge, es sei der Entscheid des Obergerichts aufzuheben und die Kinder seien unter die alternierende Obhut zu stellen, eventualiter sei sein Ferienrecht auf sechs Wochen festzusetzen. Ferner verlangt A._ die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für die Verfahren vor dem Obergericht und dem Bundesgericht.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, indes keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht (<ref-law>) über die Obhut und den persönlichen Verkehr betreffend Kinder nicht verheirateter Eltern entschieden hat. Für diese nicht vermögensrechtliche Zivilsache (<ref-law>) gilt kein Streitwerterfordernis (Urteil 5A_616/2020 vom 23. November 2020 E. 1.1). Die nämliche Qualifikation gilt für den nicht selbständig eröffneten Entscheid über die unentgeltliche Verbeiständung (Urteil 5A_750/2020 und 5A_751/2020 vom 6. Mai 2021 E. 2.1). Der Zulässigkeit der Beschwerde ans Bundesgericht steht nicht entgegen, dass das Obergericht über die unentgeltliche Verbeiständung nicht auf Rechtsmittel hin entschieden hat (<ref-ruling> E. 1.2). Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>; vgl. aber sogleich E. 1.2) und hat diese rechtzeitig erhoben (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des gesamten Entscheids des Obergerichts, äussert sich in der Beschwerde aber nur zur (alternierenden) Obhut, zum Ferienrecht und zur unentgeltlichen Verbeiständung im vorinstanzlichen Verfahren. Auch stellt er allein zu diesen Themenbereichen weitergehende Anträge (vgl. vorne Bst. C). Der Entscheid des Obergerichts ist folglich nur in diesem Umfang angefochten (vgl. <ref-ruling> E. 6.2) bzw. erweist sich die Beschwerde hinsichtlich der weiteren vorinstanzlichen Anordnungen (namentlich Besuchsrecht des Vaters; Weisungen an die Eltern) als ungenügend begründet (Art. 42 Abs. 2 und 106 Abs. 2 BGG; hinten E. 2). Nicht ausreichend begründet ist ausserdem der Hinweis, dass die Kinder im gesamten Verfahren nicht angehört worden seien, obgleich dies hinsichtlich des Sohns "sicherlich" möglich gewesen wäre. Kein ausreichendes schutzwürdiges Interesse an der Beschwerdeführung hat der Beschwerdeführer sodann insoweit, als er für das vorinstanzliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege ersucht, obgleich das Obergericht keine Verfahrenskosten erhoben hat (<ref-law>).
1.3. Die Beschwerde an das Bundesgericht ist ein reformatorisches Rechtsmittel (<ref-law>). Die beschwerdeführende Partei muss deshalb grundsätzlich einen Antrag in der Sache stellen, das heisst angeben, welche Punkte des kantonalen Entscheids sie anficht und inwiefern das Bundesgericht den angefochtenen Entscheid abändern soll (vgl. <ref-ruling> E. 1.3). Der Beschwerdeführer beantragt vor Bundesgericht die Erteilung der alternierenden Obhut (vorne Bst. C), gibt jedoch nicht an, welche Betreuungsregelung er damit im Einzelnen verwirklichen möchte. Dabei kann aus dem Antrag auf alternierende Obhut allein nicht abgeleitet werden, es werde eine je hälftige Betreuung durch die Eltern verlangt (Urteil 5A_139/2020 vom 26. November 2020 E. 3.3.2 und 3.3.4, in: FamPra.ch 2021 S. 487). Auch der Hinweis auf die früher gelebte Regelung ist wenig aufschlussreich, da sich aus der Beschwerde deren Ausgestaltung nicht erschliesst. Folglich bleibt zweifelhaft, ob der Beschwerdeführer insoweit einen ausreichend präzisen Antrag stellt. Mit Blick auf den Ausgang des Verfahrens (vgl. hinten E. 3) braucht hierauf jedoch nicht weiter eingegangen zu werden.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (<ref-law>). In der Beschwerdebegründung ist daher in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid rechtswidrig sein soll. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken. Die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 1.7.1; <ref-ruling> E. 2). Sie soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen (<ref-ruling> E. 2).
2.2. Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (<ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (<ref-law>), oder würden auf einer anderen Bundesrechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. Verletzung von <ref-law> oder <ref-law>) beruhen. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (<ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.3).
Dieselben Rüge- und Begründungsvoraussetzungen gelten für das Vorbringen der Verletzung verfassungsmässiger Rechte (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 1.2.2).
3.
3.1. Umstritten ist vorab die Neuregelung der Obhut (zum Begriff vgl. <ref-ruling> E. 4.1) über die Kinder C._ und D._ und deren Übertragung an die Beschwerdeführerin allein.
Gemäss <ref-law> regelt die Kindesschutzbehörde auf Begehren eines Elternteils, des Kindes oder von Amtes wegen die Zuteilung der elterlichen Sorge neu, wenn dies wegen wesentlicher Änderung der Verhältnisse zur Wahrung des Kindeswohls nötig ist (Abs. 1). Sie kann sich auf die Regelung der Obhut, des persönlichen Verkehrs oder der Betreuungsanteile beschränken (Abs. 2). Die Neuregelung der Obhut unterliegt damit zwei Voraussetzungen: Es muss eine wesentliche Änderung der Verhältnisse eingetreten sein und die Neuordnung der Obhut muss im Kindeswohl liegen (vgl. Urteile 5A_951/2020 vom 17. Februar 2021 E. 4; 5A_30/2017 vom 30. Mai 2017 E. 4.2).
3.2. Der Beschwerdeführer macht vor Bundesgericht ausdrücklich eine Verletzung des Verhältnismässigkeits- und des Subsidiaritätsprinzips geltend. Seinen Ausführungen lässt sich jedoch entnehmen, dass die streitbetroffene Massnahme seiner Ansicht nach im Ergebnis (derzeit) nicht im Kindeswohl liegt. Die Beschwerde ist folglich unter diesem Aspekt zu prüfen.
Eine Neuregelung der Obhut kommt nach Art. 298d Abs. 1 und 2 ZGB aus Gründen des Kindeswohls dann in Betracht, wenn die Beibehaltung der geltenden Regelung dieses ernsthaft zu gefährden droht. In diesem Sinn setzt die Neuregelung voraus, dass sie aufgrund der Veränderung der Verhältnisse geboten ist, weil die aktuelle Regelung dem Kind mehr schadet als der mit der Änderung verbundene Verlust an Kontinuität in der Erziehung und in den Lebensumständen (Urteile 5A_951/2020 vom 17. Februar 2021 E. 4; 5A_266/2017 vom 29. November 2017 E. 8.3). Die kantonale Behörde hat den Entscheid über die Neuregelung der Obhut unter Berücksichtigung sämtlicher Umstände des Einzelfalls nach pflichtgemässem Ermessen zu treffen (vgl. Urteil 5A_30/2017 vom 30. Mai 2017 E. 4.2 a.E.). Bei der Überprüfung solcher Ermessensentscheide auferlegt das Bundesgericht sich Zurückhaltung (<ref-ruling> E. 4.5).
3.3. Das Obergericht hat vorliegend einen erheblichen, dem Kindeswohl abträglichen Loyalitätskonflikt festgestellt. Es kam zum Schluss, dass die schwierigen Übergänge zwischen den Eltern zum Wohl der Kinder zu reduzieren und zu vereinfachen seien. Eine gemeinsame Obhut sei aufgrund des schweren Konflikts und der Unfähigkeit der Eltern, konstruktiv zusammenzuarbeiten, nicht vorstellbar. Daran ändere auch nichts, dass der Beschwerdeführer die Grundbedürfnisse der Kinder gut erfüllen könne und zumindest grundsätzlich über die notwendigen erzieherischen Ressourcen verfüge. Denn wie der Gutachter zu recht ergänzend festgestellt habe, sei der Beschwerdeführer nur noch bedingt und manchmal nicht mehr fähig, die Bedürfnisse der Kinder zu erkennen oder diese zu schützen, sobald der Konflikt in den Vordergrund trete. Diese Einschätzung teilte auch der Kindesvertreter. Zuletzt sei aufgrund des bisherigen Verlaufs entgegen der Auffassung des Vaters nicht zu erwarten, dass mit einer Wiedereinführung der alternierenden Obhut eine Beruhigung der Situation erreicht werden könne.
3.4.
3.4.1. Der Beschwerdeführer bestreitet das Vorliegen eines das Kindeswohl gefährdenden schwerwiegenden Dauerkonflikts zwischen den Eltern nicht. Er ist jedoch der Meinung, dass die Alleinzuteilung der Obhut nicht die geeignete Massnahme sei, um der Kindeswohlgefährdung zu begegnen. Alles in allem sei die alternierende Obhut die bessere Lösung für die Kinder, zumal beide Elternteile seit der Geburt die Betreuung wahrgenommen hätten und wichtige Bezugspersonen seien. Der Verlust einer dieser Bezugspersonen und der Vaterfigur sei im Familiensystem nicht zu unterschätzen und würde den Kindern gerade auch langfristig schaden. Zudem sei der Beschwerdeführer aktenkundig willens und fähig, sich an der Kinderbetreuung zu beteiligen. Mit diesen Aspekten habe die Vorinstanz sich nicht auseinandergesetzt, vielmehr sei sie von den Verhältnissen ausgegangen, wie sie nach der Intervention der KESB vorgelegen hätten. Auch wenn die getroffenen Anordnungen den Elternkonflikt bereinigen würden, übergehe das Obergericht unter diesen Umständen das Kindeswohl.
Unbegründet ist der Vorwurf des Beschwerdeführers, das Obergericht habe die massgeblichen Verhältnisse nicht berücksichtigt. Vielmehr hat dieses gerade geprüft, ob gestützt auf die konkreten Verhältnisse eine gemeinsame Betreuung der Kinder durch die Eltern in Frage kommt. Weitergehend bestreitet der Beschwerdeführer nicht, dass die Alleinzuteilung der Obhut an die Mutter geeignet ist, den bestehenden Elternkonflikt zu entschärfen, was grundsätzlich im Kindeswohl liegt. Der Beschwerde lässt sich nicht entnehmen, weshalb das Obergericht mit seinem Entscheid vor diesem Hintergrund sein Ermessen geradezu missbräuchlich ausgeübt oder ansonsten Bundesrecht missachtet haben sollte. Vielmehr beschränkt der Beschwerdeführer sich darauf, dem angefochtenen Entscheid in appellatorischer Art und Weise seine eigene Sichtweise zu der Frage entgegenzustellen, wie das Wohl der Kinder am besten zu wahren ist. Eine genügende Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid findet jedoch nicht statt (vgl. vorne E. 2.1). Soweit der Beschwerdeführer sodann von tatsächlichen Begebenheiten ausgeht, welche das Obergericht so nicht festgestellt hat, kann ihm mangels hinreichender Rüge zum Sachverhalt von vornherein nicht gefolgt werden (vorne E. 2.2).
3.4.2. Weiter verweist der Beschwerdeführer auf den während des laufenden Verfahrens erfolgten Umzug der Beschwerdegegnerin nach U._. Mit Blick hierauf hätte die Vorinstanz mit dem Entscheid abwarten müssen, bis sich gezeigt hätte, wie die neue Situation sich auf das Familiensystem auswirkt. Sowohl der Gutachter als auch die KESB hätten angenommen, dass eine grössere räumliche Distanz den Elternkonflikt eindämmt. Tatsächlich liesse sich den Akten entnehmen, dass bereits eine gewisse Entschärfung der Situation eingetreten sei. Dem habe die KESB keine Rechnung getragen, was den Anschein der Befangenheit der Behörde begründet. Die Kindesschutzbehörde sei gehalten gewesen, den Sachverhalt in diese Richtung weiter zu klären.
Vorab missachtet der Beschwerdeführer, dass Anfechtungsobjekt im Verfahren vor Bundesgericht allein der Entscheid des Vorinstanz ist (<ref-law>; vorne E. 1.1), nicht jedoch jener der KESB. Auf die Beschwerde ist daher nicht einzutreten, soweit sie sich auf den Entscheid der Kindesschutzbehörde bezieht (<ref-ruling> E. 4.1). Ebenfalls nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit sie sich nicht auf den Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bezieht, der weder den Ausstand von Mitgliedern der Kindesschutzbehörde umfasst, noch den Umzug der Mutter (vgl. vorne E. 1.1; zum Streitgegenstand vgl. <ref-ruling> E. 4.4.2; <ref-ruling> E. 5).
Weitergehend ist darauf zu verweisen, dass beim Entscheid über die Obhut in jedem Fall eine Prüfung der Risikofaktoren für das Kind vorzunehmen ist (vgl. Urteile 5A_629/2019 vom 13. November 2020 E. 4 und 8; 5A_367/2020 vom 19. Oktober 2020 E. 3). Das Obergericht hat von einer alternierenden Obhut aufgrund des schweren Dauerkonflikts zwischen den Eltern und der damit einhergehenden Kindeswohlgefährdung abgesehen. Der Beschwerdeführer tut nicht hinreichend genau dar, inwiefern sich der Konflikt alleine aufgrund der räumlichen Distanz auflösen könnte und daher die geteilte Obhut beizubehalten wäre. Zumal bei grosser räumlicher Distanz zwischen den Wohnorten der Eltern der alternierenden Obhut gerade bei jungen Kindern auch praktische Gründe entgegenstehen (vgl. Urteil 5A_345/2020 und 5A_357/2020 vom 30. April 2021 E. 5.4). Vielmehr ist dem Beschwerdeführer auch hier entgegenzuhalten, dass er dem Bundesgericht in letztlich appellatorischer Art und Weise und teilweise gestützt auf von der Vorinstanz nicht festgestellte Sachverhaltselemente seine Einschätzung der Sachlage und namentlich seine Interpretation der gutachterlichen Stellungnahmen unterbreitet. Auch damit vermag er den angefochtenen Entscheid nicht in Frage zu stellen, zumal mit Blick auf das der Vorinstanz zukommende Ermessen.
3.5. Nach dem Ausgeführten erweist sich die Beschwerde mit Blick auf die Neuregelung der Obhut über die Kinder als unbegründet, soweit überhaupt darauf einzugehen ist.
4.
4.1. Umstritten ist sodann der Umfang des persönlichen Verkehrs zwischen dem Beschwerdeführer und den Kindern im Sinne der zeitlichen Ausgestaltung des Ferienrechts.
Gemäss <ref-law> haben Eltern, denen die elterliche Sorge oder Obhut nicht zusteht, und das minderjährige Kind gegenseitig Anspruch auf angemessenen persönlichen Verkehr. Dabei handelt es sich um ein gegenseitiges Pflichtrecht, das in erster Linie dem Interesse des Kindes dient (<ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 3b/aa). Oberste Richtschnur für die Ausgestaltung des persönlichen Verkehrs ist das Kindeswohl (<ref-ruling> E. 5; vgl. auch <ref-ruling> E. 5.4). Das Gericht hat sich deshalb in erster Linie an den Bedürfnissen des Kindes zu orientieren; die Interessen der Eltern haben hinter dem vorrangig massgebenden Kindeswohl zurückzutreten (<ref-ruling> E. 2.1). Auch die Ausgestaltung des persönlichen Verkehrs durch die kantonalen Instanzen beinhaltet einen Ermessensentscheid, den das Bundesgericht nur mit Zurückhaltung prüft (vgl. Urteil 5A_647/2020 vom 16. Februar 2021 E. 1.5; vorne E. 3.2).
4.2. Das Obergericht lehnte eine Ausdehnung des Ferienrechts des Beschwerdeführers von vier auf sechs Wochen ab, welche lediglich mit der nicht entscheidenden Gleichbehandlung der Eltern begründet werde. Weiter habe sich die Konfliktsituation seit dem Entscheid der KESB über das Ferienrecht nicht verbessert und ziele die erstinstanzliche Regelung auf eine Verminderung der Übergänge des Kindes von einem zum anderen Elternteil. Unter diesen Umständen bestehe kein Anlass für eine Änderung der Ferienregelung.
4.3. Der Beschwerdeführer verweist demgegenüber darauf, dass das Wohl der Kinder nicht durch seine Betreuung gefährdet werde. Problematisch sei die Übergabe der Kinder von einem Elternteil zum anderen. Vier weitere Übergaben im Jahr, wie sie mit der Ausweisung des Ferienrechts verbunden wären, würden indes nicht entscheidend ins Gewicht fallen. An der Sache vorbei ziele das Argument, die Verhältnisse hätten sich seit dem Entscheid der KESB nicht verbessert. Es sei lediglich zu prüfen, ob eine wesentliche Veränderung eingetreten sei, die eine Anpassung der bestehenden Massnahmen verlange. Dies sei aufgrund der Übertragung der Obhut auf die Mutter und deren Umzug der Fall. Diese Entwicklungen hätten zu einer starken Einschränkung des Kontakts zwischen Vater und Kindern geführt. Mit der Ausdehnung des Ferienrechts sei es möglich, diese wichtigen und im Kindeswohl liegenden Kontakte wieder zu stärken.
Die Ausführungen des Beschwerdeführers bleiben auch hier weitgehend appellatorisch. Erneut legt er im Ergebnis allein seine eigene Sicht der Dinge zum Kindeswohl dar und versäumt er es, mit hinreichender Klarheit aufzuzeigen, dass die Vorinstanz das ihr zukommende Ermessen geradezu missbräuchlich ausgeübt oder sonstwie Bundesrecht verletzt hätte (vgl. vorne E. 2). Zudem verliert der Beschwerdeführer allem Anschein nach aus den Augen, dass vorliegend nicht die Abänderung des Entscheids betreffend die Zuteilung der alleinigen Obhut in Frage steht, sondern dessen Prüfung im Rahmen eines Rechtsmittelverfahrens. Auf die Beschwerde ist auch insoweit nicht einzutreten.
5.
5.1. Zuletzt ist die unentgeltliche Verbeiständung des Beschwerdeführers im vorinstanzlichen Verfahren strittig (vgl. auch vorne E. 1.2). Das Obergericht wies das entsprechende Gesuch in Anwendung von Art. 111 des Gesetzes vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege (VRPG/BE; BSG 155.21; vgl. dazu Art. 314 Abs. 1 und Art. 450f ZGB sowie Art. 72 des Gesetzes vom 1. Februar 2012 über den Kindes- und Erwachsenenschutz [KESG/BE; BSG 213.316]) ab, weil die bei ihm erhobene Beschwerde aussichtlos sei. Das Bundesgericht prüft den angefochtenen Entscheid diesbezüglich unter dem Blickwinkel der Anwendung von <ref-law> frei (Urteil 5A_565/2019 vom 19. Dezember 2019 E. 2.2).
Aussichtslos sind Begehren, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie - zumindest vorläufig - nichts kostet (<ref-ruling> E. 5.1).
5.2. Das Obergericht gelangte zu seiner Einschätzung der bei ihm erhobenen Beschwerde, weil die vorgetragenen formellen Rügen weitgehend unsubstantiiert geblieben seien und sich als haltlos erwiesen hätten. Der Antrag auf (Wiedereinführung) der alternierenden Obhut sei mit Blick auf die gegenteilige einheitliche Einschätzung der beteiligten (Fach-) Personen und insbesondere jener des Gutachters sodann chancenlos geblieben.
Diese Einschätzung vermag der Beschwerdeführer mit dem blossen Hinweis, es liege keine Aussichtslosigkeit vor und die Prozesschancen seien intakt, nicht in Frage zu stellen. Einmal mehr unterlässt er es, sich mit dem vorinstanzlichen Entscheid auseinanderzusetzen. Unbehelflich bleibt weiter der Einwand, es sei auch der ohne Rücksprache erfolgte Umzug der Beschwerdegegnerin, durch den der Beschwerdeführer vor ein fait accompli gestellt worden sei, Bestandteil der Beschwere an die Vorinstanz: Wie ausgeführt (vorne E. 3.4.2), ist dieser Umzug nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens, weshalb dazu ergangene Ausführungen des Beschwerdeführers seiner Eingabe an die Vorinstanz von vornherein keine genügenden Erfolgsaussichten zu verleihen vermögen. Die Beschwerde ist auch diesbezüglich unbegründet, soweit überhaupt darauf einzutreten ist.
6.
Zusammenfassend ist die Beschwerde insgesamt abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kosten- (<ref-law>), nicht aber entschädigungspflichtig, da keine Vernehmlassungen eingeholt wurden und der obsiegenden Beschwerdegegnerin keine zu entschädigenden Kosten entstanden sind (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Die Behörde hat keinen Anspruch auf Ersatz allfällig entstandener Kosten (<ref-law>). Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Verfahren vor Bundesgericht ist abzuweisen, da die Beschwerde nach dem Ausgeführten als von Anfang an aussichtslos eingestuft werden muss (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kindesvertreter, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Biel/Bienne und dem Obergericht des Kantons Bern, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. August 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber