Erwägungen:
1.
1.1. A._ (nachfolgend: der Steuerpflichtige) hat steuerrechtlichen Wohnsitz in U._/SG. Das Steueramt des Kantons St. Gallen hatte ihm Steuerbussen auferlegt, wovon ein Be-trag von Fr. 5'660.-- (Staats- und Gemeindesteuern des Kantons St. Gallen) bzw. Fr. 620.-- (direkte Bundessteuer) offen ist. Am 12. Juni 2019 ersuchte der Steuerpflichtige das Steueramt um Erlass dieser Ausstände, was erfolglos blieb (Verfügung vom 11. Juli 2019). Das Steueramt begründete den abschlägigen Entscheid damit, dass nicht getilgte Verlustscheine von Fr. 303'447.30 bestünden (Stand: 6. Mai 2019), was die Erlasswürdigkeit ausschliesse. Die Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen, die der Steuerpflichtige in der Folge anrief, trat am 16. Juli 2019 auf das Rechtsmittel nicht ein, weil die Eingabe offensichtlich unbegründet sei (fehlende Auseinandersetzung mit der angefochtenen Verfügung). Dagegen gelangte der Steuerpflichtige mit Eingabe vom 24. Juli 2019 an das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen. Mit Verfügung vom 25. Juli 2019 forderte das Verwaltungsgericht den Steuerpflichtigen auf, die Eingabe in Bezug auf Antrag und Begründung zu ergänzen, ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten werde. Da die Ergänzung vom 30. Juli 2019 keine wesentliche Verbesserung brachte, trat auch das Verwaltungsgericht, Abteilung III, mit einzelrichterlichem Entscheid B 2019/171 / B 2019/173 vom 19. August 2019 auf die Rechtsmittel nicht ein.
1.2. Der Steuerpflichtige erhebt mit Eingabe vom 17. September 2019 ("Einsprache") beim Bundesgericht sinngemäss subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Der angefochtene Entscheid lag der Eingabe nicht bei, weshalb der Steuerpflichtige mit Verfügung des Bundesgerichts vom 19. September 2019 aufgefordert wurde, den Entscheid bis zum 3. Oktober 2019 nachzureichen, ansonsten die Rechtsschrift ungeachtet bleibe. Der elektronischen Sendungsverfolgung der Post zufolge traf die eingeschrieben versandte Verfügung am Freitag, 20. September 2019 in der Poststelle in V._/SG ein, worauf diese gleichentags eine Abholungseinladung ausstellte. Ebenfalls gemäss elektronischer Sendungsverfolgung verlängerte der Steuerpflichtige daraufhin am Montag, 23. September 2019 die Abholfrist. Zur Zustellung am Schalter kam es (erst) am 2. Oktober 2019. Der Steuerpflichtige brachte in der Folge am 9. Oktober 2019 den angefochtenen Entscheid zur Post und liess diesen dem Bundesgericht zukommen.
1.3. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (<ref-law>) hat von Instruktionsmassnahmen - insbesondere einem Schriftenwechsel - abgesehen. Mit Blick darauf, dass die Beschwerde verspätet erfolgt und daher offensichtlich unzulässig ist, kann die Sache einzelrichterlich im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden.
2.
2.1. Nachdem der Steuerpflichtige den angefochtenen Entscheid nicht beigelegt hatte, verfügte das Bundesgericht am 19. September 2019 in Anwendung von <ref-law> eine Nachfrist. Die praxisgemässe Nachfrist von 14 Tagen ist "angemessen" im Sinne von <ref-law> und endete am 3. Oktober 2019 (vorne E. 1.2). Eingaben an das Bundesgericht müssen spätestens am letzten Tag der Frist beim Bundesgericht eingereicht oder zu dessen Handen der Schweizerischen Post übergeben werden (<ref-law>). Mit seiner Eingabe vom 9. Oktober 2019 hat der Steuerpflichtige die ihm angesetzte (Nach-) Frist offenkundig versäumt. Nichts abzuleiten vermag er aus dem Umstand, dass er, wie aus der elektronischen Sendungsverfolgung hervorgeht, die Aufbewahrungsfrist eigenständig verlängert hatte. Ein Nachsendeauftrag (hier in Form der Zurückbehaltung der Postsendungen) vermag die ordentliche postalische Abholungsfrist von sieben Tagen nicht zu verlängern (Urteil 2C_1015/2016 vom 14. November 2016 E. 3.2).
2.2. Versendet eine Verwaltungsbehörde ein Schriftstück durch eingeschriebene Briefpost und wird die Postsendung nicht entgegengenommen bzw. abgeholt, so gilt die Zustellung am siebenten Tag nach dem erfolglosen Zustellungsversuch als erfolgt (Zustellungsfiktion). Vorauszusetzen ist, dass der Empfänger mit der Zustellung zu rechnen hatte. Das Bundesgericht erachtet eine Aufmerksamkeitsdauer von bis zu einem Jahr seit der letzten verfahrensrechtlichen Handlung der Behörde als vertretbar (Urteil 6B_110/2016 vom 27. Juli 2016 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; YVES DONZALLAZ, La notification en droit interne suisse, Bern 2002, S. 501). Das relevante Prozessrechtsverhältnis setzt mit der Rechtshängigkeit der Streitsache ein (Urteil 2C_901/2017 vom 9. August 2019 E. 2.2.3). Im vorliegenden Fall ist der Steuerpflichtige am 17. September 2019 an das Bundesgericht gelangt. Die Aufmerksamkeitsdauer von einem Jahr war, als er mit Verfügung vom 19. September 2019 zur Nachreichung des angefochtenen Entscheids aufgefordert wurde, längst noch nicht verstrichen. Mit anderen Worten hatte der Steuerpflichtige damit zu rechnen bzw. konnte er zumindest nicht ausschliessen, dass das Bundesgericht in naher Zukunft prozessleitende Instruktionen anordnen würde, die ein fristgerechtes Handeln erfordern könnten. Dessen ungeachtet hat er gegenüber der Poststelle eine Aufbewahrungsfrist angeordnet und damit in Kauf genommen, die Frist zu versäumen. Darauf ist er zu behaften. Wie in der Verfügung vom 19. September 2019 angedroht, hat das verspätete Nachreichen des angefochtenen Entscheids zur Folge, dass auf die Beschwerde im einzelrichterlichen Verfahren (<ref-law>) nicht einzutreten ist.
2.3. Im Übrigen wäre auf die Beschwerde auch deshalb nicht einzutreten, weil sie offensichtlich keine hinreichende Begründung enthält (<ref-law>) : Verfassungsbeschwerden können nur wegen Verletzung verfassungsmässiger Rechte erhoben werden (<ref-law>), wobei der Beschwerdeführer darlegen muss, inwiefern durch den angefochtenen Entscheid solche Rechte verletzt worden sein sollen (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Die Eingabe des Steuerpflichtigen enthält jedoch keine solche Rügen, sondern erschöpft sich darin, die gleichen Aspekte zu wiederholen, die er schon vor der Vorinstanz vorgebracht hat.
3.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der unterliegenden Partei aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Mit Blick auf die besonderen Umstände kann von einer Kostenverlegung abgesehen werden (<ref-law>). Dem Kanton St. Gallen, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Für das bundesgerichtliche Verfahren werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung III, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Oktober 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher