Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Verfügung des Amtes für Migration des Kantons Luzern vom 23. November 2018 wurde das Erlöschen der Aufenthaltsbewilligung des belarussischen Staatsangehörigen A.A._ (geb. 1975) festgestellt und die Wiedererteilung einer neuen Aufenthaltsbewilligung abgelehnt. Gleichzeitig wurden die Aufenthaltsbewilligungen seiner Ehefrau B._ (geb. 1985, ebenfalls belarussische Staatsangehörige) sowie der gemeinsamen Kinder C.A._ (geb. 2010) und D.A._ (geb. 2013) nicht verlängert.
Das Amt für Migration wies die Familienmitglieder weg und forderte sie auf, die Schweiz bis spätestens zum 31. Januar 2019 zu verlassen. Diese Verfügung wurde den Rechtsvertretern der Betroffenen am 24. November 2018 als A-Post-Plus-Sendung zugestellt.
A.b. Gegen diese Verfügung erhoben A.A._, B._ und ihre beiden Kinder am 27. Dezember 2018 Verwaltungsbeschwerde beim Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern (nachfolgend: Departement). Nachdem das Departement ihnen mitgeteilt hatte, es erwäge, auf die Beschwerde wegen Nichteinhaltung der Rechtsmittelfrist nicht einzutreten, nahmen diese am 17. Januar 2019 hierzu Stellung und ersuchten um allfällige Wiederherstellung der verpassten Rechtsmittelfrist.
Während des vor dem Departement hängigen Beschwerdeverfahrens ersuchten A.A._, B._ und ihre beiden Kinder am 17. Januar 2019 beim Amt für Migration um die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung wegen eines schwerwiegenden persönlichen Härtefalls im Sinn von Art. 30 Abs. 1 lit. b des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer und über die Integration (AIG; SR 142.20; bis 31. Dezember 2018: AuG) i.V.m. Art. 31 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit (VZAE; SR 142.201). Das Amt für Migration leitete das Gesuch dem Departement zur Behandlung im Rahmen des Beschwerdeverfahrens weiter (<ref-law>).
A.c. Am 29. Januar 2019 wies das Departement das Gesuch um Wiederherstellung der Beschwerdefrist ab und trat auf die Beschwerde nicht ein. Auf das Gesuch um Erteilung von Aufenthaltsbewilligungen wegen eines schwerwiegenden persönlichen Härtefalls ging das Departement in diesem Entscheid - mit Ausnahme eines Hinweises auf dessen Einreichung und Weiterleitung - nicht näher ein (<ref-law>).
B.
Mit Urteil vom 30. Oktober 2019 hiess das Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, eine gegen den Entscheid des Departements gerichtete Verwaltungsgerichtsbeschwerde insofern teilweise gut, als das Gesuch vom 17. Januar 2019 um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung wegen eines schwerwiegenden persönlichen Härtefalls im Sinn der Erwägungen dem Amt für Migration zur umgehenden Behandlung überwiesen wurde. Im Übrigen wies es die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ab.
C.
Gegen das Urteil des Kantonsgerichts reichen A.A._, B._ und ihre beiden Kinder mit Eingabe vom 11. Dezember 2019 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht ein. Sie beantragen, das angefochtene Urteil sei insoweit aufzuheben, als damit das Rechtsbegehren Ziff. 1 der Verwaltungsgerichtsbeschwerde abgewiesen wurde (Aufhebung des Entscheids des Justiz- und Sicherheitsdepartements vom 29. Januar 2019 und Wiedererteilung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers 1 sowie Verlängerung der Aufenthaltsbewilligungen der Beschwerdeführer 2-4). Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Kantonsgericht Luzern zurückzuweisen. In prozessualer Hinsicht ersuchen sie um Erteilung der aufschiebenden Wirkung.
Das Kantonsgericht verzichtet auf Vernehmlassung. Das Amt für Migration, das Justiz- und Sicherheitsdepartement und das Staatssekretariat für Migration SEM lassen sich nicht vernehmen.
Mit Verfügung vom 13. Dezember 2019 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit bzw. die Art und Zulässigkeit von Rechtsmitteln von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 188). Vorweg ist die Zulässigkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss <ref-law> zu prüfen, welche gegenüber der subsidiären Verfassungsbeschwerde das prinzipale Rechtsmittel darstellt (<ref-law>).
1.2. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 90 und Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG), in welchem ein Nichteintretensentscheid in einem Verfahren betreffend die Wiedererteilung bzw. die Verlängerung von Aufenthaltsbewilligungen bestätigt wurde. Insofern handelt es sich um eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>).
Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten auf dem Gebiet des Ausländerrechts unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen. Ein bundes- oder völkerrechtlicher Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung besteht grundsätzlich nur dann, wenn sich der Ausländer auf eine Sondernorm des Bundesrechts oder eines Staatsvertrags berufen kann (<ref-ruling> E. 1.1.1 S. 148; Urteil 2C_1065/2017 vom 15. Juni 2018 E. 1.3).
Sämtliche Beschwerdeführer sind belarussische Staatsangehörige. Den Akten kann entnommen werden, dass die Beschwerdeführer 1 und 2 ihre Aufenthaltsbewilligungen gestützt auf <ref-law> zur Wahrung wichtiger öffentlicher Interessen im Sinne von erheblichen kantonalen fiskalischen Interessen erhalten hatten. Die Beschwerdeführer 3 und 4 hatten ihre Aufenthaltsbewilligungen im Rahmen des Familiennachzugs durch ihre Eltern erhalten. Bei den Bewilligungen gemäss <ref-law> handelt es sich um Ermessensbewilligungen, auf deren Erteilung bzw. Verlängerung kein Rechtsanspruch besteht (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 348 e contrario; Urteile 2C_1035/2017 vom 20. Juli 2018 E. 1.1; 2C_49/2017 vom 20. Januar 2017 E. 2.1.2). Die Beschwerdeführer berufen sich auf keine Sondernorm des Bundesrechts oder eines Staatsvertrags, die ihnen einen Bewilligungsanspruch einräumen könnte. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist daher nicht einzutreten.
2.
Zu prüfen ist die Zulässigkeit der gleichzeitig erhobenen subsidiären Verfassungsbeschwerde.
2.1. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>); entsprechende Rügen bedürfen spezifischer Geltendmachung und Begründung (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Zur Beschwerde ist gemäss <ref-law> berechtigt, wer am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen oder zu Unrecht keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids dartun kann (lit. b). Die Legitimation ergibt sich bei der Anrufung spezieller Verfassungsrechte bereits aus der Grundrechtsträgerschaft und dem Inhalt des als verletzt gerügten Verfassungsrechts (<ref-ruling> E. 1.2 S. 290; <ref-ruling> E. 1.3 S. 269 f.). Die Verletzung des Willkürverbots kann im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde nur gerügt werden, wenn die gesetzlichen Bestimmungen, deren willkürliche Anwendung geltend gemacht wurde, dem Beschwerdeführer einen Rechtsanspruch einräumen (<ref-ruling> E. 4-6 S. 191 ff.). Die Verletzung von Parteirechten, deren Missachtung einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommt, können Betroffene gemäss der "Star-Praxis" auch ohne Legitimation in der Sache rügen (<ref-ruling> E. 2 S. 308).
2.2. Die Beschwerdeführer haben am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und rügen insbesondere Verletzungen des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) und des Rechtsgleichheitsgebots (<ref-law>). Sie sind zu diesen Rügen legitimiert. Das Legalitätsprinzip (<ref-law>), auf welches sie sich ebenfalls berufen, stellt ausserhalb des Abgaberechts und des Strafrechts kein verfassungsmässiges Recht, sondern ein Verfassungsprinzip dar. Als solches kann es im Rahmen einer Verfassungsbeschwerde nicht selbständig, sondern nur im Zusammenhang unter anderem mit der Verletzung der Rechtsgleichheit oder eines speziellen Grundrechts gerügt werden (<ref-ruling> E. 4.4 S. 386; <ref-ruling> E. 2.1 S. 326; Urteil 1D_4/2016 vom 4. Mai 2017 E. 1.3.2). Kein Grundrecht, sondern ein Verfassungsprinzip stellt schliesslich auch der Grundsatz der Verhältnismässigkeit (<ref-law>) dar (<ref-ruling> E. 4.1 S. 156). Als solches kann er im Rahmen einer subsidiären Verfassungsbeschwerde ebenfalls nicht selbständig angerufen werden.
2.3. Auf die im Übrigen frist- und formgerecht eingereichte Verfassungsbeschwerde ist einzutreten (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>).
2.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kam (Art. 118 Abs. 2 und 116 BGG).
3.
3.1. Gemäss § 130 des Gesetzes des Kantons Luzern über die Verwaltungsrechtspflege vom 3. Juli 1972 (VRG/LU; SRL 40) beträgt die Rechtsmittelfrist 30 Tage seit der Eröffnung, soweit das kantonale oder eidgenössische Recht nichts anderes vorschreibt. Ist eine Frist nach Tagen bestimmt, so wird der Tag der Eröffnung nicht mitgezählt (§ 31 Abs. 2 VRG/LU). Gemäss § 33 Abs. 2 VRG/LU sind Eingaben spätestens am letzten Tag der Frist der zuständigen Behörde selbst oder zu ihren Handen der schweizerischen Post zu übergeben. Fällt der letzte Tag einer Frist auf einen öffentlichen Ruhetag, ausgenommen Patroziniumsfest und Josefstag, kann die zur Wahrung der Frist notwendige Handlung noch am nächstfolgenden Werktag vorgenommen werden. Samstage werden den öffentlichen Ruhetagen gleichgestellt (§ 34 Abs. 1 VRG/LU).
Gemäss § 112 Abs. 1 VRG/LU eröffnet die Behörde den Parteien den Entscheid schriftlich durch Zustellung einer Ausfertigung. Die Zustellung von Entscheiden erfolgt in der Regel durch die Post (§ 28 Abs. 1 VRG/LU).
3.2. Die Zustellung einer uneingeschriebenen Sendung erfolgt gemäss ständiger bundesgerichtlicher Rechtsprechung bereits dadurch, dass sie in den Briefkasten oder in das Postfach des Adressaten gelegt wird und sich damit in dessen Verfügungsbereich befindet. Für die Zustellung nicht erforderlich ist, dass der Adressat die Sendung tatsächlich in Empfang nimmt; es genügt, wenn sie in seinen Machtbereich gelangt und er demzufolge von ihr Kenntnis nehmen kann. Dies hat zur Folge, dass Fristen bereits im Zeitpunkt der ordnungsgemässen Zustellung und nicht erst bei tatsächlicher Kenntnisnahme durch den Adressaten zu laufen beginnen (Urteile 2C_587/2018 vom 8. März 2019 E. 3.1; 2C_1038/2017 vom 18. Juli 2018 E. 3.2; 2C_430/2009 vom 14. Januar 2010 E. 2.4).
3.3. Das Bundesgericht hat sich bereits verschiedentlich zur Zustellung mittels A-Post-Plus geäussert (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 601 f., mit verschiedenen Hinweisen; Urteile 2C_587/2018 vom 8. März 2019 E. 3.1; 2C_1126/2014 vom 20. Februar 2015 E. 2.2). Bei dieser Versandmethode werden Briefe konventionell in uneingeschriebener Form (A-Post) befördert, d.h. die Zustellung erfolgt direkt in den Briefkasten oder ins Postfach des Adressaten, ohne dass dieser den Empfang unterschriftlich bestätigen müsste; entsprechend wird der Adressat im Falle seiner Abwesenheit auch nicht durch Hinterlegung einer Abholungseinladung avisiert. Im Unterschied zu herkömmlichen Postsendungen sind A-Post-Plus-Sendungen jedoch mit einer Nummer versehen, welche die elektronische Sendungsverfolgung im Internet ("Track & Trace") ermöglicht. Daraus ist u.a. ersichtlich, wann dem Empfänger die Sendung durch die Post zugestellt wurde (Urteile 2C_1038/2017 vom 18. Juli 2018 E. 3.2; 2C_1126/2014 vom 20. Februar 2015 E. 2.2). Rechtsprechungsgemäss gilt die Zustellung der Sendung ins Postfach des Adressaten als fristauslösender Moment selbst wenn diese an einem Samstag erfolgt ist. Der Umstand, dass der betroffene Adressat der Sendung erst am darauf folgenden Montag aus dem Postfach holt, ist unerheblich (vgl. Urteile 2C_1126/2014 vom 20. Februar 2015 E. 2.2; 8C_573/2014 vom 26. November 2014 E. 3.1). Allfällige Fehler bei der Postzustellung liegen auch bei dieser Zustellungsart nicht ausserhalb jeder Wahrscheinlichkeit. Eine fehlerhafte Postzustellung ist allerdings nicht zu vermuten, sondern nur anzunehmen, wenn sie aufgrund der Umstände plausibel erscheint (<ref-ruling> E. 2.4.1 S. 604).
3.4. Vorliegend hat die Vorinstanz unter Hinweis auf den Beschwerdeentscheid des Departements vom 29. Januar 2019 festgehalten, dass die Verfügung des Migrationsamtes den Beschwerdeführern am Samstag, 24. November 2018, mittels A-Plus-Post zugestellt worden sei. Die 30-tägige Rechtsmittelfrist habe am Sonntag, 25. November 2018, zu laufen begonnen und am Montag, 24. Dezember 2018, welcher kein öffentlicher Ruhetag im Kanton Luzern sei (vgl. § 1a Abs. 1 e contrario des Ruhetags- und Ladenschlussgesetzes des Kantons Luzern vom 23. November 1987 [RLG; SRL 855]), geendet. Indem die Beschwerde an das Departement erst am 27. Dezember 2018 der Schweizerischen Post übergeben worden sei, sei die Rechtsmittelfrist nicht eingehalten worden (vgl. E. 2.1 des angefochtenen Urteils).
4.
Die Beschwerdeführer machen im Wesentlichen geltend, sie hätten keinen zeitlich unbegrenzten Zugang zum ausgelagerten Postfach gehabt, weshalb die Verfügung nicht schon am Samstag, 24. November 2018, sondern erst am darauf folgenden Montag, 26. November 2018, in ihren Machtbereich gelangt sei.
4.1. In diesem Zusammenhang werfen sie der Vorinstanz zunächst verschiedene Verletzungen des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) vor. So sei das Kantonsgericht auf zahlreiche Rügen der Beschwerdeführer nicht eingegangen. Insbesondere habe es den Einwand nicht gewürdigt, wonach die bundesgerichtliche Rechtsprechung zu A-Plus-Post-Zustellungen aufgrund des expliziten Vorbehalts zugunsten der jederzeitigen Zugänglichkeit des Postfachs nicht anwendbar sei. Nicht behandelt habe die Vorinstanz zudem unter anderem die Rügen, dass die Zustellung mittels A-Plus-Post nicht gesetzlich verankert sei und wichtige Mitteilungen mittels eingeschriebenen Briefs zuzustellen seien, den Einwand, dass eine effektive Kenntnisnahme des Inhalts der strittigen Verfügung erst am nächsten Werktag möglich gewesen wäre sowie den Vorwurf, das Migrationsamt habe sich treuwidrig verhalten, weil die Zustellung mittels A-Plus-Post an einem Samstag und somit zu einem Zeitpunkt, wo Rechtsanwaltskanzleien nicht arbeiten, erfolgt sei. Schliesslich habe die Vorinstanz die "Doppelnatur" der Wegweisungsverfügung ignoriert und die Anwendung der Schutzvorschriften der StPO zu Unrecht verneint.
4.2. Das rechtliche Gehör (<ref-law>) verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt (<ref-ruling> E. 9.2 S. 65; <ref-ruling> E. 5.2 S. 236; Urteile 2C_562/2019 vom 12. November 2019 E. 3.2; 2C_641/2019 vom 3. Oktober 2019 E. 2.2). Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör folgt auch die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 9.2 S. 65; <ref-ruling> E. 3.2 S. 270; <ref-ruling> E. 5.2 S. 236).
4.3. Dem angefochtenen Urteil kann entnommen werden, dass die Vorinstanz zunächst die Anwendbarkeit des VRG/LU im vorliegenden Fall bejaht und festgehalten hat, die konkrete Zustellform liege jeweils im Ermessen der Behörden, wobei diese die Beweislast für die ordnungsgemässe Zustellung tragen würden (vgl. E. 3.1 des angefochtenen Urteils). Sodann hat das Kantonsgericht die bundesgerichtliche Rechtsprechung betreffend die Zustellung mittels A-Plus-Post (vgl. E. 3.2 hiervor) korrekt wiedergegeben (vgl. E. 3.2 und 3.3 des angefochtenen Urteils). Es hat ferner ausgeführt, eine Postleerung an einem Samstag sei auch für Geschäftskunden möglich. Der Umstand, dass von einer Sendung erst am Montag tatsächlich Kenntnis genommen werde, ändere nichts daran, dass eine effektive Kenntnisnahme zu einem früheren Zeitpunkt möglich sei.
Mit Bezug auf den konkreten Fall hat die Vorinstanz festgehalten, die Zustellung ins Postfach sei am Samstag, 24. November 2014, um 6.22 Uhr, erfolgt. Damit sei die Sendung um jene Zeit in den Machtbereich der Beschwerdeführer bzw. ihrer Rechtsvertreter gelangt und es habe die Möglichkeit zur Kenntnisnahme bestanden. Der Umstand, dass die Postfachanlage nach Angaben der Beschwerdeführer an jenem Tag (nur) bis 12.00 Uhr geöffnet gewesen sei, ändere nichts daran. Wie die Zugriffsmöglichkeit letztlich ausgeübt werde, liege im Verantwortungsbereich des Empfängers. Nach Auffassung der Vorinstanz wäre es an den Rechtsvertretern der Beschwerdeführer gewesen, sich so zu organisieren, dass sie von allfälligen samstags avisierten Zustellungen auch tatsächlich Kenntnis erhalten. Gestützt auf die konkreten Umstände ist die Vorinstanz zum Schluss gekommen, die strittige Verfügung des Migrationsamtes sei an jenem Samstag zugestellt worden und die Möglichkeit zur effektiven Kenntnisnahme habe gleichentags bestanden. Folglich habe die Beschwerdefrist am darauf folgenden Sonntag zu laufen begonnen (vgl. E. 3.3 des angefochtenen Urteils). Aufgrund der seiner Ansicht nach klaren Rechtsprechung zum Fristbeginn bei A-Plus-Sendungen ist das Kantonsgericht auf die übrigen Rügen der Beschwerdeführer nicht weiter eingegangen (vgl. E. 3.4 des angefochtenen Urteils).
4.4. Soweit die Beschwerdeführer dem Kantonsgericht Gehörsverletzungen vorwerfen, weil sich der Beschwerdeführer 1 vor den verschiedenen Instanzen zur Sache nicht habe äussern und von einzelnen Aktenstücken, Eingaben und Verfügungen keine Kenntnis habe nehmen können, stehen ihre Rügen im Zusammenhang mit der Frage, ob die Aufenthaltsbewilligungen des Beschwerdeführers 1 zu Recht nicht erneuert wurde, was jedoch nicht Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens bildete (vgl. E. 1.2 hiervor). Gleich verhält es sich mit dem vor dem Kantonsgericht gestellten Antrag betreffend neue Tatsachen und Beweismittel. Folglich hatte die Vorinstanz keinen Anlass, sich damit zu befassen.
4.5. Es ergibt sich, dass die Vorinstanz auf die wesentlichen Rügen der Beschwerdeführer eingegangen ist und ihren Entscheid mit Blick auf die Anforderungen von <ref-law> (vgl. E. 4.2 hiervor) hinreichend begründet hat. Die Beschwerdeführer waren sodann ohne Weiteres in der Lage, das vorinstanzliche Urteil sachgerecht anzufechten. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt somit nicht vor.
5.
Die Beschwerdeführer bringen weiter vor, die Zustellung an einem Samstag in ein ausgelagertes, nicht jederzeit zugängliches Postfach, dürfe nicht als fristauslösend betrachtet werden, weil dies zu einer Verkürzung der Beschwerdefrist führe.
5.1. Sie rügen in diesem Zusammenhang eine Verletzung des Rechtsgleichheitsgebots (<ref-law>) sowie ihrer Verteidigungsrechte. Eine weitere Verletzung der Rechtsgleichheit in Verbindung mit dem Legalitätsprinzip erblicken sie darin, dass die Zustellung mittels A-Plus-Post ihrer Auffassung nach nicht gesetzlich vorgesehen sei und wichtige Mitteilungen ohnehin per eingeschriebener Sendung zuzustellen seien. Schliesslich führe auch die uneinheitliche Praxis der Luzerner Behörden hinsichtlich der postalischen Zustellungsmethoden zu Ungleichbehandlungen der Betroffenen.
5.2. Diese Rügen sind weitgehend appellatorischer Natur. Im Übrigen wurde bereits ausgeführt, dass sich die Zustellungsart im vorliegenden Fall nach kantonalem Recht richtet, welches die Zustellung durch eingeschriebene Postsendung nicht vorschreibt (vgl. E. 3.1 hiervor). Eine entsprechende Verpflichtung lässt sich auch nicht aus der Rechtsprechung ableiten. Unbehelflich ist in diesem Zusammenhang der Hinweis der Beschwerdeführer auf <ref-ruling> ff. und <ref-ruling> ff., da beide Entscheide primär die Frage der Beweislast für die ordnungsgemässe Zustellung zum Gegenstand haben. Vorliegend ist indessen nicht bestritten, wann die strittige Zustellung erfolgt ist. Ferner gelten in ausländerrechtlichen Verfahren die Zustellregeln gemäss StPO (SR 312.0) nicht, wie die Vorinstanz unter Hinweis auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung zu Recht festgehalten hat (vgl. Urteil 2C_587/2018 vom 8. März 2018 E. 3.1; E. 3.2 in fine des angefochtenen Urteils). Nichts zu ihren Gunsten können die Beschwerdeführer zudem aus der Verordnung vom 18. Juni 2010 über die elektronische Übermittlung im Rahmen von Zivil- und Strafprozessen sowie von Schuldbetreibungs- und Konkursverfahren (VeÜ-ZSSV; SR 272.1) ableiten, zumal von keiner Seite behauptet wird, dieser Erlass sei vorliegend anwendbar.
Schliesslich hat das Bundesgericht bereits festgehalten, dass die verfügende Behörde durch die Wahl der Zustellungsform nicht in rechtsungleicher Weise Einfluss auf die Dauer der Rechtsmittelfrist nimmt, denn die Rechtsmittelfrist ist bei jeder Zustellform gleich lang. Sie wird stets dann ausgelöst, wenn die Sendung in den Verfügungsbereich des Empfängers gelangt und dieser vom Inhalt der Sendung Kenntnis nehmen kann (vgl. Urteile 8C_124/2019 vom 23. April 2019 E. 8.2.2; 2C_784/2015 vom 24. September 2015 E. 2.2).
Insgesamt erweist sich die Rüge der Verletzung der Rechtsgleichheit im Zusammenhang mit der Zustellung mittels A-Plus-Post als unbegründet.
5.3. Die Frage, ob die Zustellung in ein Postfach auch dann fristauslösend sei, wenn am Tag der Zustellung oder während mehrerer Tage der faktische Zugang zum Postfach objektiv nicht möglich ist, beispielsweise wegen zeitlicher Beschränkung des Zugangs zur Postfachanlage, wurde bundesgerichtlich nicht abschliessend beantwortet. Angesichts der konkreten Umstände braucht sie auch vorliegend nicht endgültig geklärt zu werden.
5.3.1. Die Beschwerdeführer bestreiten die vorinstanzlichen Feststellungen nicht, wonach die Zustellung ins Postfach am Samstag, 24. November 2018, um 6.22 Uhr erfolgt sei und sie im Verfahren vor dem Kantonsgericht angegeben hätten, die Postfachanlage sei an jenem Tag bis 12.00 Uhr geöffnet gewesen (vgl. auch E. 4.3 hiervor). Soweit sie der Vorinstanz vorwerfen, sie habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt, weil sie verkannt habe, dass die faktische Möglichkeit zur Kenntnisnahme der Sendung erst am Montag bestanden habe, erweist sich ihre Rüge somit als haltlos, so dass darauf nicht weiter einzugehen ist.
5.3.2. Nichts zu ihren Gunsten können die Beschwerdeführer aus den von ihnen zitierten Urteilen 2C_430/2009 vom 14. Januar 2010 und 2C_1126/2014 vom 20. Februar 2015 ableiten.
Im Urteil 2C_430/2009 vom 14. Januar 2010 hatten die Beschwerdeführer nicht behauptet, die Zustellung ins Postfach sei zu einer Zeit erfolgt, zu der ein Entleeren des Fachs (beispielsweise aufgrund einer zeitlichen Beschränkung des Zugangs zur Postanlage) nicht mehr (gleichentags) möglich gewesen wäre, so dass das Bundesgericht auf die Frage der Fristauslösung in einer solchen Konstellation nicht weiter eingegangen ist (E. 2.5). Im Urteil 2C_1126/2014 vom 20. Februar 2015 hat das Bundesgericht zwar angenommen, ein Empfänger habe grundsätzlich jederzeit faktischen Zugriff zu seinem Briefkasten oder Postfach (E. 2.4). Daraus kann jedoch nicht geschlossen werden, der Zugriff müsse während 24 Stunden pro Tag gewährleistet sein.
Zudem kann dem angefochtenen Urteil sowie den Akten entnommen werden, dass die Beschwerdeführer in ihrer Verwaltungsbeschwerde an das Departement vom 27. Dezember 2018 nicht angegeben hatten, dass sie oder ihre Rechtsvertreter aufgrund allfälliger Einschränkungen der Öffnungszeiten der Postfachanlage nicht in der Lage gewesen sein sollen, vor dem Montag, 26. November 2018, von der Verfügung Kenntnis zu nehmen (vgl. auch E. 3.3 in fine des angefochtenen Urteils).
5.3.3. Es ergibt sich, dass die Sendung am Samstag, 24. November 2018, um 6.22 Uhr in den Machtbereich der Beschwerdeführer gelangte. Eine effektive Kenntnisnahme war noch am gleichen Tag möglich. Die Beschwerdeführer legen nicht substanziiert dar, dass bzw. weshalb es ihnen nicht möglich war, sich so zu organisieren, dass sie die Sendung noch am Tag der Zustellung abholen. Im Übrigen hat das Bundesgericht erwogen, dass es im Verantwortungsbereich des Empfängers liegt, das Postfach selbst an einem Samstag zu leeren (vgl. 8C_124/2019 vom 23. April 2019 E. 8.2.3). Dies gilt auch, wenn der Empfänger eine Anwaltskanzlei ist (vgl. Urteil 8C_754/2018 vom 7. März 2019 E. 7.2.3). Inwiefern die Zustellung an einem Samstag gegen Treu und Glauben (<ref-law>) verstossen soll, ist weder substanziiert dargetan noch ersichtlich.
5.4. Im Ergebnis ist der Vorinstanz zuzustimmen, dass die Beschwerde an das Departement vom 27. Dezember 2018 verspätet eingereicht wurde. Das angefochtene Urteil verletzt weder die Rechtsgleichheit noch die Verteidigungsrechte der Beschwerdeführer.
6.
Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht einzutreten. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen. Dem Verfahrensausgang entsprechend haben die unterliegenden Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. März 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Ivanov