Sachverhalt:
A.
Der 1958 geborene A._ bezieht Ergänzungsleistungen zu seiner halben Invalidenrente. Mit Verfügung vom 23. September 2015 setzte die Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen, EL-Durchführungsstelle, die Ergänzungsleistungen ab Oktober 2015 neu unter Berücksichtigung eines hypothetischen Erwerbseinkommens der Ehefrau des Versicherten fest. Das hiergegen geführte Einspracheverfahren sistierte die EL-Durchführungsstelle mit Verfügung vom 18. März 2016 (bestätigt mit Urteil des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 14. Juli 2016) aufgrund eines laufenden IV-Verfahrens der Ehefrau. Mit Verfügung vom 2. Oktober 2017 wies die IV-Stelle des Kantons St. Gallen das Rentengesuch der Ehefrau (unter Anwendung der gemischten Methode) bei einem Invaliditätsgrad von 0 % ab. Nach Wiederaufnahme des EL-Verfahrens setzte die EL-Durchführungsstelle mit Einspracheentscheid vom 6. Juni 2018 den Anspruch auf Ergänzungsleistungen ab 1. Oktober 2015, ab 1. Januar 2016, ab 1. Januar 2017, ab 1. Juni 2017 und ab 1. Januar 2018 fest. Dabei berücksichtigte sie für die Ehefrau des Versicherten ein hypothetisches Einkommen von Fr. 34'206.67 ab 1. Oktober 2015 bis 31. Dezember 2015 und ein solches von Fr. 34'215.80 ab 1. Januar 2016.
B.
Die von A._ hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Urteil vom 23. September 2020 gut und wies die Sache zur Neuberechnung der Ergänzungsleistungen ab 1. Oktober 2015 im Sinne der Erwägungen an die Verwaltung zurück.
C.
Die EL-Durchführungsstelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 23. September 2020 sei aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie die Höhe des ab 1. Oktober 2015 angerechneten hypothetischen Erwerbseinkommens der Ehefrau prüfe und festsetze und dabei den Sachverhalt bis zum Einspracheentscheid vom 6. Juni 2018 berücksichtige.
A._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen und um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der unentgeltlichen Verbeiständung und der Befreiung von den Gerichtskosten) ersuchen. Das kantonale Gericht äussert sich zur Beschwerde, ohne einen formellen Antrag zu stellen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Mit Schreiben vom 19. November 2021 zieht A._ das Gesuc h um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege zurück.

Erwägungen:
1.
1.1. Die EL-Durchführungsstelle beantragt in seiner Beschwerdeschrift lediglich, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Dieser rein kassatorische Antrag genügt grundsätzlich nicht (vgl. Urteil 9C_344/2020 vom 22. Februar 2021 E. 1 mit weiteren Hinweisen). Aus dem Gesamtzusammenhang der Beschwerdeschrift ergibt sich jedoch, dass die Beschwerdeführerin die Bestätigung des Einspracheentscheids vom 6. Juni 2018 verlangt; ein solches Begehren ist ohne Weiteres zulässig.
1.2. Ob es sich beim angefochtenen Rückweisungsentscheid um einen End- oder einen Zwischenentscheid handelt (vgl. Art. 90 und 93 BGG), kann offen bleiben. Er enthält Anordnungen betreffend das hypothetische Einkommen der Ehefrau des Versicherten und über den Zeitpunkt, ab wann dieses angerechnet werden kann, womit der Beurteilungsspielraum der Verwaltung wesentlich eingeschränkt wird. Sie wird damit gezwungen, eine ihres Erachtens rechtswidrige Verfügung zu erlassen. Die Zulässigkeitsvoraussetzung des nicht wieder gutzumachenden Nachteils im Sinne von <ref-law> ist erfüllt und es ist auf die Beschwerde einzutreten (<ref-ruling> E. 4.2; Urteil 9C_265/2015 vom 12. Oktober 2015 E. 1.1).
2.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>), die Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz nur, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
3.
3.1. Streitgegenstand bildet der Anspruch des Beschwerdegegners auf Ergänzungsleistungen ab 1. Oktober 2015. Streitig und zu prüfen ist die Anrechenbarkeit eines hypothetischen Erwerbseinkommens der Ehefrau des Versicherten.
3.2. Das kantonale Gericht beurteilte den Sachverhalt in zeitlicher Hinsicht lediglich bis zur Verfügung vom 23. September 2015. Damit verkennt es, dass der Einspracheentscheid an die Stelle der angefochtenen Verfügung tritt und für die gerichtliche Beurteilung die tatsächlichen Verhältnisse im Zeitpunkt des Einspracheentscheids - hier 6. Juni 2018 - massgebend sind (<ref-ruling> E. 2.1.2). Demzufolge hat die Verwaltungsbehörde entscheidrelevante Sachverhaltsänderungen, die im hängigen Einspracheverfahren eingetreten sind, im Einspracheentscheid zu berücksichtigen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.2; Urteil 9C_653/2018 vom 26. Juli 2019 E. 5.4, in: SVR 2019 EL Nr. 15 S. 37; vgl. auch UELI KIESER, ATSG-Kommentar, 4. Aufl. 2020, N. 74 u. 79 zu <ref-law>). Ernsthafte Gründe, welche eine Überprüfung dieser Rechtsprechung nahelegen würden, lassen sich aus den Erwägungen das kantonalen Gerichts nicht entnehmen (zu den Voraussetzungen einer Praxisänderung vgl. <ref-ruling> E. 5.5.1).
4.
4.1. Unter dem Titel des Verzichtseinkommens (Art. 11 Abs. 1 lit. a und g ELG [in Kraft bis 31. Dezember 2020]) ist auch ein hypothetisches Einkommen des Ehegatten eines Ergänzungsleistungsansprechers als Einnahme anzurechnen (vgl. Art. 9 Abs. 2 ELG), sofern auf eine zumutbare Erwerbstätigkeit oder deren zumutbare Ausdehnung verzichtet wird. Bei der Ermittlung einer allfälligen zumutbaren Erwerbstätigkeit der Ehefrau oder des Ehemannes ist der konkrete Einzelfall unter Anwendung familienrechtlicher Grundsätze (vgl. <ref-law>) zu berücksichtigen. Dementsprechend ist auf das Alter, den Gesundheitszustand, die Sprachkenntnisse, die Ausbildung, die bisherige Tätigkeit, die konkrete Arbeitsmarktlage sowie gegebenenfalls auf die Dauer der Abwesenheit vom Berufsleben abzustellen (<ref-ruling> E. 3.2 mit Hinweisen). Bemüht sich der Ehegatte trotz (teilweiser) Arbeitsfähigkeit nicht oder nur ungenügend um eine Stelle, verletzt er die ihm obliegende Schadenminderungspflicht. Eine (in grundsätzlicher oder masslicher Hinsicht) fehlende Verwertbarkeit der (Rest-) Arbeitsfähigkeit kann nur angenommen werden, wenn sie mit überwiegender Wahrscheinlichkeit feststeht (Urteil 9C_119/2021 vom 17. Juni 2021 E. 2.2.2).
4.2. Die Festsetzung des hypothetischen Einkommens stellt, soweit sie auf der Würdigung konkreter Umstände beruht, eine Tatfrage dar, die lediglich unter eingeschränktem Blickwinkel überprüfbar ist. Rechtsfrage ist dagegen, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung über die Verwertbarkeit der (Rest-) Arbeitsfähigkeit erfolgt (<ref-ruling> E. 2.4 mit Hinweisen).
5.
5.1. Die EL-Durchführungsstelle berücksichtigte bei der Ergänzungsleistungsberechnung ein hypothetisches Einkommen der Ehefrau (ab Oktober 2015: Fr. 34'206.67; ab Januar 2016: Fr. 34'215.80) als anrechenbare Einnahme des Versicherten (Einspracheentscheid vom 6. Juni 2018). In Bezug auf die Arbeitsfähigkeit der Ehefrau stellte sie dabei auf die Ergebnisse des IV-Verfahrens ab.
5.2. Die Vorinstanz erwog, hinsichtlich der Arbeitsfähigkeit der Ehefrau könne das Ergebnis der Beweiswürdigung durch die IV-Stelle nicht übernommen werden. Diese sei zum Schluss gelangt, dass der Ehefrau eine adaptierte Hilfsarbeit in einem Vollpensum zumutbar sei, wobei jedoch eine Leistungsminderung von 25 % bestehe. Hierbei habe sie sich ausschliesslich auf die Einschätzung des zuständigen RAD-Arztes gestützt, welcher die Ehefrau nie untersucht habe. Nachdem auch nicht auf die Arbeitsfähigkeitsbeurteilung der behandelnden Ärzte abgestellt werden könne, sei ungeklärt, ob und gegebenenfalls in welchem Umfang es der Ehefrau objektiv möglich und zumutbar wäre, spätestens ab dem 1. Oktober 2015 einer Erwerbstätigkeit nachzugehen. Diesbezügliche Abklärungen würden sich indes erübrigen, so die Vorinstanz weiter, da die Ehefrau ihre Schadenminderungspflicht nicht schuldhaft verletzt habe. Sie sei ab Dezember 2014 mit überwiegender Wahrscheinlichkeit überzeugt gewesen, nicht mehr arbeitsfähig zu sein. Der Hausarzt habe diese subjektive Einschätzung aus medizinischer Sicht - und damit für die Ehefrau notwendigerweise objektiv - bestätigt. Die Verwaltung habe demzufolge zu Unrecht ab dem 1. Oktober 2015 ein hypothetisches Erwerbseinkommen angerechnet.
5.3.
5.3.1. In Bezug auf die Ausführungen des kantonalen Gerichts zum subjektiven Arbeitsunfähigkeitsempfinden der Ehefrau ist auf die Rechtsprechung hinzuweisen, wonach bei einem laufenden IV-Verfahren grundsätzlich damit gerechnet werden muss, dass weitere Abklärungen andere Erkenntnisse hervorbringen, weshalb sich die versicherte Person und der Ehegatte nicht auf ein berechtigtes Vertrauen mit Blick auf die von den behandelnden Ärzten attestierte Arbeitsunfähigkeit berufen können (Urteil 9C_653/2018 vom 26. Juli 2019 E. 5.1). Dies gilt auch vorliegend, nachdem der RAD-Arzt in seiner Stellungnahme vom 20. Juli 2016 - abweichend von den Beurteilungen der behandelnden Ärzte - ausführte, dass keine zeitliche Einschränkung sondern einzig eine Leistungseinschränkung von 25 % bestehe. Soweit das kantonale Gericht dem entgegenhält, dass die Stellungnahme des RAD-Arztes erst 2016 und damit nach dem für die Beurteilung des Anspruchs auf Ergänzungsleistungen massgebenden Zeitpunkt erstellt worden sei, ist diese Auffassung mit Blick auf das oben Ausgeführte (vgl. E. 3.2) unzutreffend.
5.3.2. Im Weiteren verkennt die Vorinstanz, dass die EL-Organe und Sozialversicherungsgerichte in Bezug auf die invaliditätsbedingte Beeinträchtigung der Erwerbsfähigkeit grundsätzlich die Invaliditätsbemessung der Invalidenversicherung zu übernehmen haben (<ref-ruling> E. 5.7). Dies gilt auch bei der Beurteilung der Arbeitsfähigkeit des Ehegatten eines EL-Ansprechers (Urteil 9C_653/2018 vom 26. Juli 2019 E. 5.1 mit Hinweisen). Diese Bindung ist deshalb angezeigt, weil die EL-Durchführungsorgane zum einen nicht über die fachlichen Voraussetzungen für eine selbstständige Beurteilung der Invalidität verfügen und es zum anderen zu vermeiden gilt, dass der gleiche Sachverhalt unter denselben Gesichtspunkten von verschiedenen Instanzen unterschiedlich beurteilt wird (<ref-ruling> E. 5.1). Die Bindung an den IV-Entscheid ist zudem auch gerechtfertigt, weil zwischen der Leistungsberechtigung in der Invalidenversicherung und dem Anspruch auf Ergänzungsleistungen ein enger Zusammenhang besteht (Art. 4 Abs. 1 lit. c ELG; <ref-ruling> E. 5.2.2; Urteil P 49/06 vom 16. Juli 2007 E. 4.2). Damit hat die EL-Durchführungsstelle zu Recht ihrer Beurteilung die Ergebnisse des IV-Verfahrens zugrunde gelegt. Die gegenteilige Auffassung der Vorinstanz ist bundesrechtswidrig.
6.
Zusammenfassend ergibt sich, dass das kantonale Gericht Bundesrecht verletzte, als es mit der Begründung einer fehlenden Arbeitsfähigkeit (aus subjektiver Sicht) auf die Anrechnung eines hypothetischen Erwerbseinkommens der Ehefrau des Versicherten verzichtete. Die Sache ist daher an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie die übrigen Voraussetzungen für die Anrechnung eines hypothetischen Erwerbseinkommens und gegebenenfalls dessen Höhe erneut prüfe. Dabei wird sie den Sachverhalt bis zum Einspracheentscheid vom 6. Juni 2018 zu berücksichtigen haben. Weiter wird sie hinsichtlich der Arbeitsfähigkeit der Ehefrau auf die Ergebnisse des IV-Verfahrens abzustellen haben.
7.
Dem Verfahrensausgang entsprechend hat der Beschwerdegegner die Gerichtskosten zu tragen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 23. September 2020 wird aufgehoben. Die Sache wird im Sinne der Erwägungen zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. Januar 2022
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Stanger