Faits :
A.
A.a. Alerté par l'Association fribourgeoise des agriculteurs pratiquant une agriculture respectueuse de l'environnement et des animaux (ci-après: l'AFAPI) de problèmes de propreté des bovins sur l'exploitation agricole de A._, à B._, le Service de la sécurité alimentaire et des affaires vétérinaires de l'État de Fribourg (ci-après: le Service cantonal) a procédé à un contrôle de l'exploitation précitée en date du 8 février 2018. Les manquements suivants ont alors été constatés:
- propreté de certains bovins non conforme;
- détention de jeune bétail bovin dans un box suroccupé;
- dimensions inadaptées d'un gîte pour les vaches et génisses attachées;
- détention à l'attache de six veaux âgés de moins de quatre mois.
Lors d'un autre contrôle le 23 mars 2018, le Service cantonal a de nouveau constaté les manquements suivants:
- détention de 14 bovins à l'attache sur des couches trop courtes et suroccupation de l'étable (un animal de trop par rapport à la largeur de l'étable);
- détention de veaux dans un box suroccupé (surface de 10.8 m2 au lieu de 22.4 m2 minimum) et sur une litière complètement souillée;
- détention de trois génisses dans un box suroccupé (surface de 8 m2 au lieu de 9 m2 minimum);
- non-exécution des sorties du bétail bovin détenu à l'attache, bien que le journal des sorties soit rempli.
A.b. Après avoir imparti à A._ différents délais pour procéder aux mises en conformité, le Service cantonal a procédé le 26 mars 2018 à un contrôle de suivi lors duquel il a constaté que toutes les mesures nécessaires n'avaient pas été prises et que des manquements subsistaient.
Le 29 mars 2018, le Service cantonal a rappelé à A._ les manquements constatés les 23 et 26 mars 2018 ainsi que les délais de mise en conformité. Il l'a en outre averti qu'il pourrait procéder à d'autres contrôles, même de manière inopinée et en son absence, et qu'il pourrait le dénoncer au Ministère public.
Invité à prendre position, l'intéressé a mis en doute l'utilité de certaines mesures qui lui étaient demandées. Par courrier du 11 avril 2018, le Service cantonal lui a expliqué les raisons pour lesquelles il était nécessaire de prendre les mesures contestées.
A.c. Le 8 août 2018, le Service cantonal a procédé à un nouveau contrôle sur l'exploitation de A._ et a constaté que la surface minimale à disposition des bovins dans les box n'était pas respectée, que des bovins étaient détenus attachés sur des couches trop courtes, que la propreté de certains bovins était insuffisante et que les sorties n'étaient pas respectées.
Par ordonnance du 13 août 2018, le Ministère public de l'État de Fribourg a reconnu A._ coupable de contravention à la législation sur la protection des animaux pour avoir enfreint les dispositions légales concernant la détention d'animaux et l'a condamné à une amende de 600 fr.
Le 17 août 2018, le Service cantonal a imparti à l'intéressé différents délais pour prendre les mesures nécessaires, afin de remédier aux manquements constatés dans la détention de ses animaux. Il l'a en outre averti qu'un contrôle de vérification aurait lieu et qu'en cas de non-exécution des mesures dans les délais, une décision de mise en conformité pourrait être prononcée, de même qu'un séquestre des animaux détenus de manière non conforme. S'en est suivi un échange de courriers entre A._ et le Service cantonal. Le premier a notamment contesté les normes relatives à la longueur des tapis pour les vaches et génisses, les qualifiant d'" idiotes", et demandé un délai supplémentaire pour remédier à certains manquements, tandis que le second a rappelé à l'intéressé qu'aucune dérogation relative à la longueur des couches n'était possible et a réitéré son avertissement du 17 août 2018.
A.d. Le 10 octobre 2018, le Service cantonal a procédé à un cinquième contrôle de l'exploitation de A._ lors duquel il a constaté des manquements similaires à ceux constatés le 8 août 2018 (non-respect des exigences concernant les sorties des bovins, détention de bovins sur des couches trop courtes, détention de veaux en groupe sur des surfaces trop petites et propreté du bétail insuffisante).
Par décision du 18 octobre 2018, le Service cantonal a astreint A._ à prendre certaines mesures dans différents délais pour remédier aux manquements constatés (effectuer les sorties des bovins détenus à l'attache, ainsi qu'adapter la longueur des couches, de même que le nombre de veaux détenus en box à la capacité de celui-ci). Il l'a formellement averti qu'en cas de non-respect de ces prescriptions, des mesures plus incisives, pouvant aller jusqu'au séquestre des animaux détenus de manière non conforme, pourraient être ordonnées et qu'une décision d'interdiction de détenir des bovins pourrait même être prononcée à son encontre.
A.e. Le 23 janvier 2019, le Service cantonal a effectué un contrôle à l'occasion duquel il a constaté les manquements suivants:
- saleté de presque toutes les vaches/génisses;
- détention des vaches et génisses à l'attache de façon trop serrée dans deux étables différentes;
- absence de sel à disposition des bovins;
- détention d'un veau malade âgé de moins de quatre mois à l'attache derrière les génisses, sans eau ni fourrage;
- détention d'un deuxième veau de moins de quatre mois à l'attache;
- onglons trop longs chez deux génisses;
- non-conformité de la litière dans certains box et pour les bovins détenus à l'attache;
- absence de sorties pour les bovins détenus à l'attache, le détenteur refusant en outre de procéder à une sortie lors du contrôle au motif que cela serait trop risqué;
- suroccupation d'un box pour les veaux (9.5 m2 au lieu de 14.8 m2).
B.
Par décision du 25 février 2019, le Service cantonal a prononcé une interdiction de détention, de commerce et d'élevage de bovins sur tout le territoire suisse durant 10 ans à l'encontre de A._. Il a retenu que des manquements nombreux et récurrents avaient été constatés quant à la manière dont l'intéressé traitait ses bovins et qu'en plus, ce dernier avait été condamné pénalement pour les mêmes faits, ce qui démontrait son incapacité objective à détenir des animaux. Il a en outre prévu qu'un éventuel recours ne produirait pas d'effet suspensif. Le même jour, le Service cantonal a dénoncé une seconde fois l'agriculteur au Ministère public.
Le 5 mars 2019, l'AFAPI a procédé à un contrôle sur l'exploitation. Le rapport d'inspection met en évidence que les exigences relatives à l'aire d'exercice (exigences et dimensions), à la documentation sur les sorties et sur le nombre de sorties mensuelles étaient remplies. Aucun manquement n'a été constaté.
Agissant le 27 mars 2019, A._ a interjeté recours auprès de la Direction des institutions, de l'agriculture et des forêts de l'État de Fribourg (ci-après: la Direction cantonale) contre la décision du Service cantonal du 25 février 2019. La Direction cantonale a restitué l'effet suspensif au recours par décision du 19 avril 2020 (cf. art. 105 al. 2 LTF),
Par ordonnance pénale du 23 septembre 2019, la Ministère public de l'État de Fribourg a reconnu l'intéressé coupable de contraventions à la loi sur la protection des animaux et l'a condamné à une amende de 1'000 fr.
En date du 19 février 2020, la Direction cantonale a partiellement admis le recours de A._ et a réduit à une année l'interdiction de détention, de commerce et d'élevage de bovins à la place des 10 ans prononcés par le Service cantonal.
A._ a recouru contre la décision précitée auprès du Tribunal cantonal de l'État de Fribourg (ci-après: le Tribunal cantonal). Celui-ci a rejeté le recours par arrêt du 27 juillet 2020.
C.
Le 2 septembre 2020, A._ dépose un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral à l'encontre de l'arrêt du Tribunal cantonal du 27 juillet 2020. Il demande, à titre préalable, que l'effet suspensif soit accordé à son recours et conclut, au fond, à l'annulation de l'arrêt attaqué et à ce qu'il ne soit soumis à aucune interdiction de détention de bovins.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.

Considérant en droit :
1.
L'arrêt attaqué est une décision finale (art. 90 LTF), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF) ne tombant sous le coup d'aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF. Le recourant, destinataire de l'arrêt attaqué qui lui interdit de détenir des bovins durant une année, a la qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF. Déposé en temps utile compte tenu des féries (art. 46 al. 1 let. b et 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites (art. 42 LTF), le recours en matière de droit public est par conséquent recevable.
2.
Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'art. 106 al. 2 LTF. Il y procède en se fondant sur les faits constatés par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Selon l'art. 97 al. 1 LTF, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-ruling> consid. 6 p. 358; <ref-ruling> consid. 1.6 p. 377). La partie recourante doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (cf. art. 106 al. 2 LTF). A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui est contenu dans l'acte attaqué, ni des faits qui n'y sont pas constatés (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; arrêt 2C_300/2019 du 31 janvier 2020 consid. 2.2 destiné à la publication).
3.
En l'occurrence, le recourant conteste l'interdiction de détention, de commerce et d'élevage de bovins d'une année prononcée à son encontre par le Tribunal cantonal en raison de divers manquements à la législation sur la protection des animaux constatés sur son exploitation agricole.
4.
L'intéressé se plaint tout d'abord d'une constatation "erronée" (sic) des faits de la part du Tribunal cantonal (p. 5 du recours). S'il admet avoir commis les manquements à la législation de protection des animaux constatés dans l'arrêt attaqué, il prétend que l'autorité précédente aurait retenu à tort qu'il n'aurait pas pris conscience de leur importance. Il en veut pour preuve le fait qu'il a toujours admis les reproches qui lui avaient été adressés, qu'il a vendu plusieurs vaches et que l'AFAPI n'a constaté aucun manquement lors de son dernier contrôle le 5 mars 2019. Formulée de manière aussi lapidaire, sa critique des faits de l'arrêt attaqué s'avère cependant totalement appellatoire. Le recourant, qui n'invoque du reste ni l'art. 97 al. 1 LTF ni l'art. 9 al. 1 Cst., ne tente aucunement de démontrer que l'autorité cantonale précédente serait tombée dans l'arbitraire en retenant qu'il n'avait pas pris la mesure de ses devoirs et obligations d'éleveur de bovins, compte tenu, notamment, des manquements régulièrement constatés entre février 2018 et janvier 2019 sur son exploitation agricole. Il n'y a dès lors pas lieu d'entrer en matière sur le grief de "mauvaise constatation des faits" (sic) présenté par le recourant qui ne répond pas aux exigences de motivation de l'art. 106 al. 2 LTF.
5.
Reste à déterminer si l'arrêt attaqué est conforme au droit fédéral et, en particulier, s'il viole la liberté économique du recourant consacrée à l'art. 27 Cst., comme l'intéressé le prétend dans son recours.
5.1. Selon l'art. 27 Cst., la liberté économique est garantie (al. 1). Elle comprend notamment le libre choix de la profession, le libre accès à une activité économique lucrative privée et son libre exercice (al. 2). Cette liberté protège toute activité économique privée, exercée à titre professionnel et tendant à la production d'un gain ou d'un revenu (<ref-ruling> consid. 5.6.1 p. 411). L'art. 36 Cst. prévoit en outre que toute restriction d'un droit fondamental doit reposer sur une base légale (al. 1), être prononcée dans un intérêt public ou par la protection d'un droit fondamental d'autrui (al. 2) et être proportionnée au but visé (al. 3). Selon la jurisprudence, le principe de proportionnalité exige plus particulièrement qu'une mesure restrictive soit apte à produire les résultats escomptés (règle de l'aptitude) et que ceux-ci ne puissent être atteints par une mesure moins incisive (règle de la nécessité). En outre, il interdit toute limitation des droits individuels allant au-delà du but visé et exige un rapport raisonnable entre celui-ci et les intérêts publics ou privés compromis (principe de la proportionnalité au sens étroit, impliquant une pesée des intérêts; <ref-ruling> consid. 3.5.1 p. 84; <ref-ruling> consid. 9.1 p. 69; <ref-ruling> consid. 6.7.1 p. 235 s.; <ref-ruling> consid. 7.2 p. 62).
5.2. En tant qu'elle empêche temporairement le recourant de détenir, d'élever et de faire le commerce de bovins, la mesure litigieuse porte assurément une atteinte à la liberté économique de l'intéressé garantie par l'art. 27 Cst. Il faut donc examiner si la restriction en cause remplit les conditions de l'art. 36 Cst., étant rappelé que le Tribunal fédéral s'impose une certaine retenue lorsqu'il s'agit d'apprécier des circonstances locales dont les autorités cantonales ont une meilleure connaissance (<ref-ruling> consid. 6.1 p. 181 s.; arrêts 2C_32/2017 du 22 décembre 2017 consid. 4.1; 2C_1017/2011 du 8 mai 2012 consid. 5.1).
5.3. En l'occurrence, dans son arrêt, auquel il peut être renvoyé, le Tribunal cantonal a exposé clairement le régime de la loi fédérale sur la protection des animaux du 16 décembre 2005 (LPA; RS 455) qui vise à protéger la dignité et le bien-être des animaux (art. 1 LPA) et, notamment, à garantir que toute personne qui détient des animaux ou en assume la garde les nourrisse d'une manière appropriée, en prenne soin et leur garantisse l'activité et la liberté de mouvement nécessaires à leur bien-être (art. 6 al. 1 LPA). Après avoir exposé plus spécifiquement les exigences minimales en matière de détention, d'alimentation, de soins, de logement ou d'enclos des animaux inscrites à l'ordonnance du 23 avril 2008 sur la protection des animaux (OPAn; RS 455.1), il a également rappelé qu'au sens de l'art. 23 al. 1 LPA, les autorités cantonales compétentes pouvaient interdire pour une durée déterminée ou indéterminée la détention, le commerce ou l'élevage d'animaux aux personnes qui ont été sanctionnées pour avoir enfreint à plusieurs reprises ou de manière grave des dispositions de la LPA, des dispositions d'exécution ou des décisions d'application (let. a) ou qui, pour d'autres raisons, sont incapables de détenir ou d'élever des animaux (let. b). Il a enfin relevé à juste titre que l'incapacité objective de détenir des animaux, au sens de l'art. 23 al. 1 let. b LPA, était donnée si l'intéressé n'était pas en mesure de se conformer aux règles générales de comportement requises ou enfreignait les interdictions imposées par la LPA (cf. arrêts 2C_72/2020 du 1er mai 2020 consid. 5.1 et 2C_122/2019 du 6 juin 2019 consid. 3.2 et les arrêts cités) et qu'une interdiction de détention supposait en principe une violation crasse de la LPA provoquant des maux à l'animal ( ibid.).
5.4. En l'occurrence, dès lors qu'il ressort de l'arrêt attaqué que le recourant a été condamné pénalement à deux reprises dans l'intervalle d'une année - soit les 13 août 2018 et 23 septembre 2019 - pour violation des règles relatives à la protection des animaux, le Tribunal cantonal pouvait assurément considérer qu'une interdiction d'élever des bovins entrait en ligne de compte s'agissant de l'intéressé, à tout le moins dans son principe, ce en application de l'art. 23 al. 1 let. a LPA, et qu'une telle mesure était apte à protéger les animaux (cf., en comparaison, arrêt 2C_7/2019 du 14 octobre 2019 consid. 3.4). Le recourant admet au demeurant les violations à la LPA qui lui sont reprochées et ne conteste pas que la disposition précitée puisse théoriquement s'appliquer à son cas, ni, partant, l'existence d'une base légale suffisante pouvant justifier une interdiction de détention, de commerce et d'élevage de bovins pour une année, telle que celle prononcée à son encontre. Dans son recours, il critique en réalité uniquement la nécessité et la proportionnalité au sens étroit de cette mesure dans le cas d'espèce. Il se plaint du fait que celle-ci serait trop incisive pour lui en tant qu'elle le priverait de sa principale source de revenus pendant une année. Il affirme qu'elle aurait pu être remplacée par d'autres mesures moins lourdes, notamment par le séquestre des animaux surnuméraires et par une exécution par substitution de travaux de mise en conformité de son exploitation.
5.5. Dans son arrêt, le Tribunal cantonal a motivé soigneusement les raisons qui l'ont conduit à estimer qu'il était conforme au principe de proportionnalité d'interdire au recourant de détenir, de faire commerce et d'élever des bovins sur tout le territoire suisse durant une année, quand bien même une telle mesure apparaît effectivement incisive. Il a tout d'abord indiqué que les manquements constatés durant une année, lors de chacun des six contrôles effectués par le Service cantonal, avaient non seulement été nombreux et, pour certains, graves, mais également d'une grande variété. Ils avaient en effet trait tant à la conformité des installations et des aménagements de l'exploitation agricole du recourant - qui étaient inadaptés ou mal entretenus - qu'aux conditions de détention des animaux et à la satisfaction de leurs besoins élémentaires. Le Tribunal cantonal a en outre souligné que le recourant avait durant toute la procédure de contrôle préféré minimiser la gravité des faits qui lui étaient reprochés, voire les nier purement et simplement, plutôt que d'entreprendre les mesures nécessaires pour changer la situation, ce alors même que la plupart des violations constatées avaient trait aux règles les plus élémentaires que doit respecter un détenteur d'animaux. L'intéressé n'a ainsi jamais témoigné d'aucune volonté d'adopter un autre comportement face aux animaux durant toute la période de la procédure de contrôle ayant débuté en février 2018, malgré les nombreux avertissements donnés. Bien plus, ainsi que cela ressort de l'arrêt attaqué, la situation générale s'était encore dégradée au moment du dernier contrôle effectué le 23 janvier 2019. Pas moins de 19 manquements différents dans la détention des bovins ont alors été constatés, bien que le recourant ait fait l'objet d'une injonction formelle le 18 octobre 2018, l'avertissant d'une potentielle interdiction d'élever des bovins en l'absence d'amélioration.
Sur la base de ces éléments de fait, qui lient la Cour de céans (cf. art. 105 al. 1 LTF) et dont le recourant ne prétend pas qu'ils seraient arbitraires, force est d'admettre que le Tribunal cantonal était en droit de considérer que celui-ci ne disposait, en l'état, pas des compétences et moyens nécessaires pour assumer la détention d'animaux dans des conditions acceptables, ainsi qu'il l'avait démontré pendant une année. Partant, l'autorité précédente pouvait estimer, sous l'angle de la proportionnalité au sens étroit, qu'il existait un intérêt public important à l'empêcher de continuer à détenir et à élever des bovins, à tout le moins provisoirement, et que cet intérêt surpassait celui de l'intéressé à pouvoir poursuivre, sans autres, son activité agricole selon le même modèle qu'auparavant, étant précisé que le recourant ne prétend pas que son exploitation ne se prêterait à aucun autre type d'activité.
5.6. Pour le reste, sous l'angle de la nécessité, le Tribunal cantonal a également expliqué de manière convaincante dans son arrêt pourquoi, d'après lui, aucune mesure plus clémente qu'une interdiction temporaire de détention de bovins ne permettait de garantir que le recourant traite ses animaux conformément à la législation de manière durable. Il a notamment relevé avec pertinence qu'aucune des actions entreprises jusqu'au prononcé de cette interdiction, comme les contrôles et rapports d'inspection à répétition, ainsi que les multiples mises en garde et les injonctions formelles, n'avait déployé d'effet. Il a également indiqué à juste titre qu'un simple séquestre portant sur certaines têtes de bétail considérées comme surnuméraires, tel qu'avancé par le recourant, n'empêcherait pas celui-ci d'acquérir et de détenir d'autres animaux. On notera par ailleurs à cet égard que la plupart des manquements constatés sur l'exploitation ne semblent de toute manière pas résulter d'un cheptel démesurément grand. Le recourant ne le prétend pas lui-même dans son écriture. Quant à la proposition du recourant que les autorités procèdent elles-mêmes aux travaux de mise aux normes de l'exploitation, elle laisse transparaître l'absence de volonté de l'intéressé de remédier de lui-même aux reproches qui lui sont adressés, sans empêcher non plus d'autres manquements liés à un manque de soins des animaux. En substance, comme le recourant le reconnaît lui-même, les solutions qu'il offre ne sont susceptibles de régler qu'une partie des manquements relevés entre février 2018 et janvier 2019. En comparaison, la mesure litigieuse, limitée à 1 an, permettra au recourant - qui, d'après l'arrêt attaqué, n'a jamais fourni aucune explication quant aux origines de ses manquements, si ce n'est sa tendance à minimiser l'importance des règles de protection des animaux - de reconsidérer globalement son attitude envers les animaux, tout en lui donnant le temps, cas échéant, d'acquérir des connaissances suffisantes en matière de protection du bétail et d'adapter ses installations, comme l'a relevé le Tribunal cantonal.
5.7. Il s'ensuit que le Tribunal cantonal n'a pas violé le droit fédéral, ni la liberté économique du recourant garantie à l'art. 27 Cst. en confirmant l'interdiction de ce dernier de détenir, de faire commerce et d'élever des bovins sur tout le territoire suisse durant une année.
6.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours. La requête d'effet suspensif devient ainsi sans objet.
Les frais seront mis à la charge du recourant, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Il ne sera pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à la Direction des institutions, de l'agriculture et des forêts de l'Etat de Fribourg, au Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg, IIIe Cour administrative, et à l'Office fédéral de la sécurité alimentaire et des affaires vétérinaires.
Lausanne, le 17 septembre 2020
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Jeannerat