Sachverhalt:
A.
A._ (nachstehend: Bauherr) ist Eigentümer des der zweigeschossigen Wohnzone WO zugeteilten Grundstücks Nr. 3159, Grundbuch Luzern, rechtes Ufer (nachstehend: Baugrundstück). Es liegt an einem gegen die im Südwesten verlaufende Strasse Rebstockhalde abfallenden Hang und ist mit einem Einfamilienhaus, einer Doppelgarage und im südlichen Bereich mit einem Aussenschwimmbad überbaut.
B.
Mit Baugesuch vom 12. Februar 2019 beantragte der Bauherr der Stadt Luzern, auf dem Baugrundstück die Erweiterung und Sanierung des bestehenden Einfamilienhauses zu bewilligen. Die Baupläne sahen namentlich dessen Aufstockung um ein Voll- und ein Attikageschoss, die Erweiterung des bestehenden Kellergeschosses, die energetische Sanierung des bestehenden Altbaus, den Einbau eines Personenlifts, die Umnutzung der bestehenden Doppelgarage in einen Velo-/Containerabstellraum, den Anbau einer Garage mit vier Abstellplätzen, die Erweiterung des Garagenvorplatzes sowie den Bau einer Aussentreppenanlage vor.
Gegen das öffentlich aufgelegte Baugesuch erhoben A.B._ und B.B._, C._, D._, E._, sowie C.F._ und D.F._ (nachstehend: Sammeleinsprecher) eine Sammeleinsprache und E.G._ und F.G._ eine Einsprache. Daraufhin reichte der Bauherr der Stadt Luzern am 13. Februar 2019 geänderte Pläne ein, die namentlich eine Verkleinerung des neuen Vollgeschosses und des Attikageschosses vorsahen. Die Einsprecher reichten zu den ihnen zur Einsicht aufgelegten geänderten Plänen eine Einspracheergänzung ein. Mit Entscheid vom 2. September 2019 wies die Baudirektion der Stadt Luzern die öffentlich-rechtlichen Einsprachen ab, verwies die Einsprecher mit den privatrechtlichen Einsprachepunkten an den Zivilrichter und erteilte dem Bauherrn die verlangte Baubewilligung unter Bedingungen und Auflagen. Diese Baubewilligung hob das Kantonsgericht des Kantons Luzern mit Urteil vom 18. Dezember 2020 in Gutheissung einer Beschwerde der Sammeleinsprecher auf.
C.
Der Bauherr erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das Urteil des Kantonsgerichts Luzern vom 18. Dezember 2020 aufzuheben. Eventuell sei die Angelegenheit im Sinne der Erwägungen zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Kantonsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Stadt Luzern verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die Sammeleinsprecher (Beschwerdegegner) beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. In seiner Replik stellt der Beschwerdeführer keine neuen Anträge. Die Beschwerdegegner halten in ihrer Duplik an ihren in der Beschwerdeantwort gestellten Anträgen fest. In seiner Triplik erneuert der Beschwerdeführer seine Beschwerdeanträge.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid der Vorinstanz im Bereich des Baurechts steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich offen (Art. 82 f. BGG; <ref-ruling> E. 2). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist als Baugesuchsteller zur Beschwerdeführung legitimiert (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer stellt gemäss seinen formellen Begehren keinen reformatorischen Antrag, wie in der Sache zu entscheiden sei. Aus der Begründung seiner Beschwerde ergibt sich jedoch, dass er die Bestätigung der von der Baudirektion der Stadt Luzern erteilten Baubewilligung anstrebt, weshalb ein Antrag in der Sache vorliegt (<ref-ruling> E. 1.4 mit Hinweisen; vgl. auch Urteil 1C_348/2017 vom 21. Februar 2018 E. 1.1). Zudem hat die Vorinstanz aufgrund der Aufhebung der strittigen Baubewilligung verschiedene dagegen erhobene Rügen nicht geprüft. Die Sache müsste daher bei der Gutheissung der Beschwerde zur Prüfung dieser Rügen an die Vorinstanz zurückgewiesen werden, weshalb der Rückweisungsantrag genügt (vgl. <ref-ruling> E. 1.3). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen gegeben sind, ist auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verletze Bundes- oder Völkerrecht (Art. 95 lit. a und b BGG). Zulässig ist auch die Rüge der Verletzung von kantonalen verfassungsmässigen Rechten sowie von kantonalen Bestimmungen über die politische Stimmberechtigung der Bürger und über Volkswahlen und -abstimmungen (Art. 95 lit. c und d BGG). Abgesehen davon ist die Rüge der Verletzung kantonalen Rechts unzulässig. Jedoch kann gerügt werden, die Anwendung dieses Rechts widerspreche dem Bundesrecht, namentlich dem Willkürverbot gemäss <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen). Nach der Rechtsprechung verstösst ein Entscheid gegen dieses Verbot, wenn er im Ergebnis offensichtlich unhaltbar ist, weil er zum Beispiel eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 7.3; <ref-ruling> E. 4.3; je mit Hinweisen).
2.
2.1. Die Vorinstanz führte aus, die Stadt Luzern habe ihr Bau- und Zonenreglement vom 17. Januar 2013 (BZR; SRL Nr. 7.1.2.1.1) den am 1. Januar 2014 in Kraft gesetzten Änderungen des Planungs- und Baugesetzes des Kantons Luzern vom 7. März 1989 (PBG; SRL Nr. 735) und der totalrevidierten Planungs- und Bauverordnung vom 29. Oktober 2013 (PBV; SRL Nr. 736) noch nicht angepasst, weshalb die in den Anhängen des PBG und der PBV aufgelisteten Normen weiterhin anwendbar seien. Das Baugrundstück liege gemäss Zonenplan Stadtteil Luzern, Teilzonenplan 12, in der zweigeschossigen Wohnzone WO. Zulässig seien eine Überbauungsziffer von 0,15, eine maximale Gebäudelänge von 20 m sowie höchstens zwei Vollgeschosse (Art. 4 Abs. 4 BZR i.V.m. Anhang 1 BZR Ordnungsnummer 115). Das Garagen- und Kellergeschoss und der um ca. sieben Meter zurückversetzte Hauptbau seien gestaffelte Gebäudeteile im Sinne von § 138 Abs. 5 Anhang PBG, weshalb die Geschosszahl für die beiden versetzten Gebäudeteile separat berechnet werde. In Bezug auf das Garagen- und Kellergeschoss werde die zulässige Anzahl von zwei Geschossen - unabhängig davon, ob es sich im Sinne von § 138 Abs. 1 Anhang PBG um Vollgeschosse handle - nicht überschritten.
2.2. Diese vorinstanzlichen Erwägungen werden vom Beschwerdeführer nicht in Frage gestellt.
3.
3.1. Gemäss § 25 Anhang PBG ist die Überbauungsziffer die Verhältniszahl zwischen der überbaubaren Grundfläche und der anrechenbaren Grundstücksfläche. Letztere wird in § 12 Anhang PBV definiert. § 18 Anhang PBV sieht unter dem Titel "Überbaubare Grundfläche" folgende Regelung vor:
1 Die überbaubare Grundfläche entspricht jenem Teil des Grundstücks, auf dem Erd- und Obergeschosse das gewachsene oder tiefer gelegte Terrain überragen. Gebäudeteile, die das gewachsene, tiefer gelegte oder aufgeschüttete Terrain nicht oder um weniger als 1 m überragen, sind bei der überbaubaren Grundfläche so weit mitzuberücksichtigen, wie sie natürlich belichtete Wohn- und Arbeitsräume enthalten.
2 Bei der überbaubaren Grundfläche werden nicht angerechnet
a. über die Fassade vorspringende offene Gebäudeteile sowie offene Gartenhallen und überdachte offene Hauszugänge,
b. die Flächen der unbeheizten Veranden, Windfänge, verglasten Balkone und Wintergärten bis zu 10 Prozent der anrechenbaren Geschossflächen der zugehörigen Wohnung,
c. nicht gewerblich genutzte Nebenbauten wie Gewächshäuser, Geräteschuppen, Kleintierställe, Spielhäuschen und Velounterstände,
d. Garagenbauten und Einstellhallen mit Pflichtabstellflächen, die mit höchstens zwei Dritteln ihrer Aussenflächen aus dem gewachsenen, tiefer gelegten oder aufgeschütteten Terrain herausragen,
e. Liftanbauten bei bestehenden Bauten, sofern sich der Lift nicht im Innern des Gebäudes errichten lässt,
f. die zusätzliche Aussenisolation bei bestehenden Bauten.
3 Die Abzüge für behindertengerechtes Bauen gemäss § 11 gelten sinngemäss.
3.2. Die Baudirektion der Stadt Luzern führte in ihrem Bauentscheid vom 2. September 2019 zusammengefasst aus, die für die bestehende Bebauung gemäss § 12 Abs. 2 Anhang PBV zu ermittelnde anrechenbare Grundstücksfläche betrage 816,60 m2, was multipliziert mit der zulässigen Überbauungsziffer (ÜZ) von 0,15 eine überbaubare Grundfläche von 122,49 m2 ergebe.
Beim bestehenden Einfamilienhaus betrage die überbaute Fläche, auf der gemäss § 18 Anhang PBV Erd- und Obergeschosse das gewachsene oder tiefer gelegte Terrain überragen, 137,27 m2, womit die zulässige überbaubare Fläche von 122,49 m2 bereits heute überschritten werde. Gemäss § 178 Abs. 2 PBG dürfe das rechtmässig erstellte Haus, das den heutigen öffentlich-rechtlichen Bau- und Nutzungsvorschriften widerspreche, umgebaut, in seiner Nutzung teilweise geändert oder angemessen erweitert werden, wenn dadurch (a) seine Rechtswidrigkeit nicht oder nur unwesentlich verstärkt wird und (b) keine überwiegenden öffentlichen oder privaten Interessen entgegenstehen.
Weil das vorliegende Projekt die Anforderungen von § 68 Abs. 2 lit. b PBV erfülle, erhöhe sich die zulässige überbaubare Grundfläche um 5 % auf 128,255 m2. Zudem sei ein geltend gemachter Abzug von 5 m2 für den Lift zu gewähren. Neu betrage die anzurechnende überbaute Grundfläche bei Hinzurechnung der Aussendämmung und nach Abzug für den Liftbau 138,94 m2, womit die zulässige überbaubare Grundfläche noch um 10,685 m2 überschritten werde. Die hinsichtlich der überbauten Grundfläche bestehende Rechtswidrigkeit werde deshalb mit dem vorliegenden Projekt nicht verstärkt, sondern von heute 14,78 m2 auf 10,685 m2 verringert.
Der gestaffelte Baukörper mit Garagen- und Kellergeschoss sei gemäss § 18 Abs. 1 und Abs. 2 lit. c und d Anhang PBV nicht mitzuberücksichtigen, weil das Garagengeschoss mit mehr als zwei Dritteln seiner Aussenfläche im gewachsenen, tiefergelegten oder aufgeschütten Terrain liege und das Kellergeschoss das aufgeschüttete Terrain nicht bzw. um weniger als einen Meter überrage und es keine natürlich belichteten Wohn- und Arbeitsräume aufweise.
Der Umbau dürfe gemäss den geltenden Bau- und Nutzungsvorschriften ein sichtbares Untergeschoss, zwei Vollgeschosse und ein Dach- oder Attikageschoss mit einer Nutzfläche von total rund 469 m2 (ohne Boni oder Abzüge) aufweisen. Das vorliegende Umbauprojekt weise eine Nutzfläche von gesamthaft rund 520 m2 auf. Die bei regelkonformer Bauweise mögliche Dichte werde insgesamt lediglich um rund 51 m2 oder rund 10% erhöht. Da die bestehende Rechtswidrigkeit in Bezug auf die zulässige überbaubare Grundfläche verringert und mit der geplanten Aufstockung in Bezug auf die gesamthaft mögliche bauliche Dichte nur geringfügig verstärkt werde, liege eine angemessene Erweiterung im Sinne von § 178 Abs. 2 lit. a PBG vor. Das Bauvorhaben sei in einer Bauzone vorgesehen, in der eine Nachverdichtung erwünscht sei, weshalb der Erweiterung keine überwiegenden öffentlichen Interessen entgegenstünden. Abgesehen von der Beschränkung der Aussicht, auf die kein gesetzlicher Anspruch bestehe, sei auch nicht ersichtlich, welche privaten Interessen der geplanten Erweiterung entgegenstehen sollten. Die Einsprachen seien deshalb diesbezüglich abzuweisen.
3.3. Die Beschwerdegegner brachten im vorinstanzlichen Verfahren dem Sinne nach vor, das Kellergeschoss (inkl. des bisherigen Untergeschosses) sei ein dem Hauptbau teilweise vorgelagerter, gestaffelter Baukörper, der bei der (separaten) Berechnung der Anzahl Vollgeschosse dieses Baukörpers zu berücksichtigen sei. Entsprechend sei dieses Geschoss gemäss § 18 Abs. 1 Anhang PBV bei der Bestimmung der überbaubaren Grundfläche mitzuberücksichtigen, da es deutlich mehr als einen Meter über das gewachsene Terrain hinausrage. Demnach werde die Rechtswidrigkeit bezüglich der zulässigen ÜZ im Sinne von § 178 Abs. 2 PBG nach der vorgesehenen Erweiterung des bisherigen Untergeschosses nicht nur geringfügig überschritten oder marginal verstärkt, weshalb die Baubewilligung aufzuheben sei.
3.4. Die Vorinstanz führte diesbezüglich zusammengefasst aus, beim Hauptbau sowie dem Garagen- und Kellergeschoss handle es sich um gestaffelte Gebäudeteile, weshalb namentlich die Geschosszahl für die beiden versetzten Teile separat berechnet werde. Das Kellergeschoss als oberes Geschoss eines der separat zu behandelnden gestaffelten Gebäudeteile könne somit per definitionem nicht als Untergeschoss gelten. Entsprechend sei das Kellergeschoss bei der Bestimmung der überbaubaren Fläche nach § 18 Abs. 1 Satz 1 Anhang PBV im Sinn eines Erd- bzw. Obergeschosses zu berücksichtigen, zumal es das gewachsene Terrain um ca. 1,2 m überrage. Da die Baudirektion das Kellergeschoss in Anwendung des vorliegend einschlägigen § 18 Abs. 1 Satz 1 Anhang PBV nicht berücksichtigt habe, habe sie die ÜZ unvollständig berechnet. Dies treffe auch zu, wenn das Kellergeschoss als Untergeschoss qualifiziert würde und § 18 Abs. 1 Satz 2 Anhang PBV einschlägig wäre, da die Aufschüttung vor dem Kellergeschoss aufgrund der Stabilisierung mittels einer Mauer als Teil der Fassade wahrgenommen werde und daher die gewünschte Wirkung der Verdeckung dieses Geschosses und der Verhinderung einer allzu markanten Erscheinung des Fassadenbildes nicht erreichen könne. Demnach sei auch in Anwendung von § 18 Abs. 1 Satz 2 Anhang PBV das gewachsene Terrain zu beachten, welches das Kellergeschoss um mehr als einen Meter überrage. Somit werde das maximal zulässige Mass der Überbauungsdichte überschritten, weshalb die Baubewilligung vom 2. September 2018 aufzuheben sei.
3.5. Der Beschwerdeführer wendet sinngemäss ein, da die Vorinstanz das Kellergeschoss als Voll- bzw. Erdgeschoss im Sinne von § 18 Abs. 1 Satz 1 Anhang PBV qualifiziert habe, habe sie nicht geprüft, ob das Bauvorhaben mit § 18 Abs. 1 Satz 2 Anhang PBV übereinstimme.
Dieser Einwand ist unbegründet, weil die Vorinstanz in einer Eventualerwägung die Mitberücksichtigung des Kellergeschosses bezüglich der überbaubaren Grundfläche selbst bei der Anwendbarkeit von § 18 Abs. 1 Satz 2 Anhang PBV bejahte.
3.6. Weiter bringt der Beschwerdeführer vor, wie die Baudirektion in ihrem Bauentscheid festgehalten habe und sich aus den Planunterlagen ergebe, rage das Kellergeschoss als erstes Untergeschoss an keiner Stelle mehr als einen Meter über das aufgeschüttete Terrain hinaus. Es enthalte zudem keine belichteten Wohn- und Arbeitsräume, weshalb es gemäss § 18 Abs. 1 Satz 2 Anhang PBV nicht zur überbaubaren Grundfläche zu zählen sei. Soweit die Vorinstanz festhalte, die geplanten Terrainveränderungen im Bereich des Kellergeschosses würden (aufgrund der Stützmauer) die gewünschte Verdeckung dieses Geschosses nicht bewirken und eine zu markante Erscheinung der Fassadenbildes nicht verhindern, lasse sie ausser Acht, dass das erste Untergeschoss im Sinne von § 138 Abs. 1 Anhang PBG durchaus sichtbar sein dürfe und daher die von der Vorinstanz entwickelte Aufschüttungsregel bezüglich weiterer Untergeschosse, die nicht sichtbar sein dürften, gar nicht zur Anwendung gelange. Diesbezüglich erweise sich das angefochtene Urteil klar als rechtswidrig und willkürlich. In seiner Triplik führt der Beschwerdeführer ergänzend aus, die Mauer, welche die geplante Aufschüttung (vor dem Kellergeschoss) stütze, bestehe grösstenteils schon (vgl. Grundriss Kellergeschoss und Erdgeschoss) und werde optisch nicht als Fassade wahrgenommen, zumal sie begrünt werde.
3.7. Damit talseits keine zusätzlichen Geschosse optisch in Erscheinung treten, lässt die vorinstanzliche Rechtsprechung vor Untergeschossen An- bzw. Aufschüttungen zu, soweit diese mit dem natürlichen Geländeverlauf vereinbar sind (Urteil V 10 174_10 vom 9. Mai 2011 E. 4a mit Hinweisen: publ. in: LGVE 2011 II Nr. 7). Diese Voraussetzung entspricht der allgemeinen Ästhetikklausel in § 140 PBG, die vorschreibt, dass Bauten und Anlagen sich in die bauliche und landschaftliche Umgebung einzugliedern haben und sie namentlich durch ihre Grösse und Proportion das Orts- und Landschaftsbild nicht beeinträchtigen dürfen (vgl. Urteil des Kantonsgerichts Luzern 7H 16 162 vom 1. März 2017 E. 5.2.1).
3.8. Vorliegend ergibt sich aus den Akten, dass gemäss dem von der Baudirektion der Stadt Luzern bewilligten Plan Grundrisse (Kellergeschoss und Erdgeschoss) und dem Fassadenplan (Südwest) die namentlich im Bereich des Schwimmbades bestehende ca. 16 m lange Stützmauer um ca. 11,5 m nach Westen verlängert werden soll, was ermöglicht, die bestehende Rasenfläche gegen Westen zu erweitern und darunter namentlich Kellerräume zu errichten. Dabei soll gemäss dem Plan Schnitt AA die Verlängerung der Stützmauer namentlich über dem ebenfalls nach Westen verlängerten Tor des Garagengeschosses errichtet werden. Aufgrund dieser Anordnung der Stützmauer über dem Garagentor würde in diesem Bereich eine ca. 7,3 hohe vertikale Fläche geschaffen, wobei darüber - wie auf der ganzen Länge der erweiterten Stützmauer - ein 1,15 m hohes Geländer vorgesehen ist. Gemäss dem Plan Schnitt C-C übersteigt die verlängerte Stützmauer und die dahinter vorgesehene Aufschüttung das gewachsene Terrain teilweise um über zwei Meter, wobei das Terrain davor zur Erweiterung des Eingangsbereichs der Garage um über vier Meter abgetragen werden soll. Unter diesen Umständen durfte die Vorinstanz willkürfrei davon ausgehen, die Stützmauer vor dem Kellergeschoss habe in Verbindung mit den Terrainabgrabungen vor dem Garagengeschoss die optische Wirkung einer Fassade und sei mit dem natürlichen Geländeverlauf nicht genügend vereinbar. Daran vermag nichts zu ändern, dass gemäss den bewilligten Bauplänen vor der Stützmauer Reben bzw. Rebstöcke zu pflanzen sind, zumal diese die Mauer gemäss dem Fassadenplan West lediglich teilweise verdecken und sie an der Abweichung vom natürlichen Geländeverlauf nichts ändern. Demnach verfiel die Vorinstanz nicht in Willkür, wenn sie bei der Anwendung von § 18 Abs. 1 Satz 2 Anhang PBV nicht das übermässig aufgeschüttete, sondern das gewachsene Terrain als massgeblich ansah, welches das Kellergeschoss um mehr als einen Meter überragen soll. Die Vorinstanz durfte daher die Mitberücksichtigung des Kellergeschosses bei der überbaubaren Grundfläche willkürfrei gestützt auf § 18 Abs. 1 Satz 2 Anhang PBV bejahen. Dass bei dieser Mitberücksichtigung die Rechtswidrigkeit der bestehenden Baute durch die vorgesehene Erweiterung des Kellergeschosses bzw. der entsprechenden Stützmauer im Sinne von § 178 Abs. 2 lit. a PBG nur unwesentlich verstärkt wird, macht der Beschwerdeführer nicht geltend.
Demnach kommt der vorinstanzlichen Annahme, gestaffelte Baukörper im Sinne von § 138 Abs. 5 und § 139 Abs. 7 Anhang PBG müssten definitionsgemäss mindestens ein Erd- oder Obergeschoss im Sinne von § 18 Abs. 1 Satz 1 Anhang PBV aufweisen, keine entscheiderhebliche Bedeutung zu. Auf die dagegen erhobenen Willkürrügen des Beschwerdeführers braucht daher nicht eingegangen zu werden.
4.
Nach dem Gesagten erweisen sich die vom Beschwerdeführer erhobenen Rügen der willkürlichen Anwendung kantonalen und kommunalen Rechts als unbegründet, soweit sie sich gegen entscheidrelevante Erwägungen der Vorinstanz richten. Demnach ist die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen. Dieser hat den anwaltlich vertretenen Beschwerdegegnern für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1, 2 und 4 i.V.m. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Stadt Luzern, Baudirektion, und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Januar 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Gelzer