Sachverhalt:
A.
Die 1963 geborene A._ meldete sich am 28. September 1998 unter Hinweis auf einen am 9. Oktober 1997 erlittenen Unfall mit Schleudertrauma bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach medizinischen und beruflichen Abklärungen sprach die IV-Stelle Solothurn der Versicherten im Jahre 2002 rückwirkend ab 1. Oktober 1998 bei einem Invaliditätsgrad von 75 % eine ganze Rente der Invalidenversicherung zu.
Am 8. März 2007 leitete die IV-Stelle ein Revisionsverfahren ein, sistierte dieses jedoch in der Folge für die Dauer des unfallversicherungsrechtlichen Verfahrens. Nach Wiederaufnahme des Revisionsverfahrens hob die IV-Stelle die laufende Rente mit Verfügung vom 20. August 2012 auf Ende September 2012 wiedererwägungsweise auf. Eine von der Versicherten hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht das Kantons Solothurn mit Entscheid vom 10. Mai 2013 gut. Dabei erwog es, weder sei die ursprüngliche Rentenzusprache zweifellos unrichtig erfolgt, noch habe sich der Gesundheitszustand seit der Rentenzusprache erheblich verändert. In diesem Entscheid ausdrücklich nicht geprüft wurde die Möglichkeit einer Rentenaufhebung nach den Schlussbestimmungen der IV-Revision 6a.
Am 2. August 2013 fand ein Revisionsgespräch statt, wobei unter anderem die Möglichkeit einer Überprüfung des Anspruchs nach den Schlussbestimmungen der IV-Revision 6a thematisiert wurde. Die Versicherte machte geltend, sie leide seit Oktober 2012 unter einer depressiven Episode und beantragte Abklärungen zum psychischen Gesundheitszustand. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens setzte die IV-Stelle mit Verfügung vom 3. August 2017 die laufende ganze Invalidenrente per 1. Oktober 2017 auf eine Viertelsrente herab. Gleichzeitig hielt sie fest, A._ habe bis längstens 30. September 2019 Anspruch auf Weiterausrichtung der ganzen Rente, wenn Massnahmen zur Wiedereingliederung durchgeführt würden.
Mit Verfügung vom 31. Oktober 2019 bestätigte die IV-Stelle die Rentenherabsetzung per 1. Oktober 2019 und forderte den eine Viertelsrente übersteigenden Anteil der bereits ausbezahlten ganzen Rente für den Monat Oktober 2019 zurück.
B.
Die von A._ gegen die Verfügungen vom 3. August 2017 und 31. Oktober 2019 erhobenen Beschwerden wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn nach Einholen eines Gerichtsgutachtens bei der Begutachtungsstelle GA eins (Expertise vom 14. August 2019) mit Entscheid vom 26. Mai 2020 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._, es sei ihr unter Aufhebung des kantonalen Entscheides auch über den 1. Oktober 2019 hinaus eine Rente bei einem Invaliditätsgrad von mindestens 70 % auszurichten; dies zuzüglich Verzugszins von 5 % seit wann rechtens. Weiter sei auf eine Rückforderung zu verzichten. Eventuell sei die Sache zu Neubeurteilung an das kantonale Gericht zurückzuweisen.
Die IV-Stelle Solothurn und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.
In ihrer Eingabe vom 12. Oktober 2020 hält A._ an ihren Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sind grundsätzlich gegeben (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG).
1.2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2.2 S. 550; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1 S. 236 mit Hinweisen).
1.3. Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (Art. 97 Abs. 1 BGG).
Die beschwerdeführende Partei, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss substanziiert darlegen, inwiefern die Voraussetzungen einer Ausnahme gemäss Art. 105 Abs. 2 BGG gegeben sind und das Verfahren bei rechtskonformer Ermittlung des Sachverhalts anders ausgegangen wäre; andernfalls kann ein Sachverhalt, der vom im angefochtenen Entscheid festgestellten abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen).
2.
Gemäss Dispositivziffer 1 des angefochtenen Entscheides wurde mit diesem "die Beschwerde" abgewiesen. Aus der ausführlichen Entscheidbegründung geht jedoch unzweifelhaft hervor (vgl. u.a. explizit aus E. 13 Ingress), dass das kantonale Gericht sowohl die Beschwerde gegen die Verfügung vom 3. August 2017 als auch jene gegen die Verfügung vom 31. Oktober 2019 abweisen wollte, es sich bei der Verwendung des Singulars im Dispositiv mithin um ein redaktionelles Versehen handelte. Da der Beschwerdeführerin dadurch kein Schaden entstanden ist, sie insbesondere in der Lage war, den vorinstanzlichen Entscheid sachgerecht anzufechten, kann auf Weiterungen verzichtet werden.
3.
Streitig und zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht Bundesrecht verletzt hat, als es die per 1. Oktober 2019 erfolgte Herabsetzung der ganzen Rente der Invalidenversicherung auf eine Viertelsrente bestätigte und die Rückforderung des für Oktober 2019 darüber hinaus ausgerichteten Rentenbetrags schützte.
4.
4.1. Der Anspruch auf Leistungen der Invalidenversicherung setzt unter anderem voraus, dass die versicherte Person invalid oder von Invalidität unmittelbar bedroht ist. Invalidität ist gemäss Art. 8 Abs. 1 ATSG die voraussichtlich bleibende oder längere Zeit dauernde ganze oder teilweise Erwerbsunfähigkeit.
4.2. Der Versicherungsträger kann auf formell rechtskräftige Verfügungen oder Einspracheentscheide zurückkommen, wenn diese zweifellos unrichtig sind und wenn ihre Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist (Art. 53 Abs. 2 ATSG, sog. "Wiedererwägung").
Ändert sich der Invaliditätsgrad einer Rentenbezügerin oder eines Rentenbezügers erheblich, so wird die Rente nach Art. 17 Abs. 1 ATSG von Amtes wegen oder auf Gesuch hin für die Zukunft entsprechend erhöht, herabgesetzt oder aufgehoben (sog. "Rentenrevision").
Renten, die bei pathogenetisch-ätiologisch unklaren syndromalen Beschwerdebildern ohne nachweisbare organische Grundlage gesprochen wurden, werden gemäss lit. a Abs. 1 der Schlussbestimmungen der Änderung vom 18. März 2011 (6. IV-Revision, erstes Massnahmenpaket; in Kraft seit 1. Januar 2012; SchlBest. IVG) innerhalb von drei Jahren nach Inkrafttreten dieser Änderung überprüft. Sind die Voraussetzungen nach Art. 7 ATSG nicht erfüllt, so wird die Rente herabgesetzt oder aufgehoben, auch wenn die Voraussetzungen von Art. 17 Abs. 1 ATSG nicht erfüllt sind.
5.
5.1. In seinem Entscheid vom 10. Mai 2013 hielt das kantonale Gericht einerseits fest, dass die ursprüngliche Rentenzusprache nicht als zweifellos unrichtig im Sinne von Art. 53 Abs. 2 ATSG qualifiziert werden könne; damit entfalle die Möglichkeit der Verwaltung, auf die Zusprache wiedererwägungsweise zurückzukommen. Andererseits verneinte es eine erhebliche Veränderung des Invaliditätsgrades in der Zeit zwischen der Rentenzusprache im Jahre 2002 bis zur rentenaufhebenden Verfügung vom 20. August 2012. Entgegen den Ausführungen der Beschwerdeführerin widerspricht es nicht dem Gebot des fairen Verfahrens nach Art. 6 EMRK oder jenem des Handelns nach Treu und Glauben im Sinne von Art. 5 Abs. 3 BV, wenn Vorinstanz und Verwaltung in der Folge den Anspruch unter anderen Gesichtspunkten - sei es aufgrund der im ersten kantonalen Verfahren nicht geprüften Anwendbarkeit der Schlussbestimmungen der IV-Revision 6a, sei es aufgrund einer nach dem 20. August 2012 eingetretenen Veränderung des Sachverhalts - neu prüften.
5.2. Gemäss den grundsätzlich verbindlichen vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen beruhte die ursprüngliche Rentenzusprache auf einem chronischen, therapieresistenten posttraumatischen zervicozephalen und zervicospondylogenen Syndrom rechts bei Status nach Beschleunigungstrauma der Halswirbelsäule (HWS). Was die Beschwerdeführerin gegen diese Feststellung vorbringt, lässt sie nicht als offensichtlich unrichtig erscheinen. Insbesondere ist darauf hinzuweisen, dass sie im Revisionsgespräch vom 2. August 2013 selber geltend gemacht hat, sie leide (erst) seit Oktober 2012 an einer depressiven Episode; insoweit liege eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes vor. Damit steht ihr Einwand, bereits die Rentenzusprache im Jahre 2002 habe auf einer Depression beruht, im Widerspruch zu ihren früheren Aussagen. Zu Recht nicht bestritten wird der vorinstanzliche Schluss, wonach es sich beim Schmerzsyndrom nach HWS-Beschleunigungstrauma um ein Leiden handelt, welches grundsätzlich unter lit. a Abs. 1 der SchlBest. IVG fällt (vgl. <ref-ruling>).
5.3. Ein sich auf die SchlBest. IVG stützendes Revisionsverfahren setzt eine Rentenüberprüfung in der Zeit zwischen dem 1. Januar 2012 und dem 31. Dezember 2014 voraus. Gemäss konstanter Rechtsprechung genügt es, wenn die Überprüfung innert dieser Dreijahresfrist eingeleitet wird. Dabei gilt diese Frist auch dann als gewahrt, wenn die IV-Stelle das Verfahren nicht unter dem Titel einer Revision gemäss den SchlBest. IVG, sondern unter jenem einer ordentlichen Revision einleitete (vgl. Urteil 8C_214/2019 vom 27. Juni 2019 E. 3. mit zahlreichen weiteren Hinweisen). Was die Beschwerdeführerin vorbringt, vermag diese Praxis nicht ernsthaft in Frage zu stellen.
Nach unbestrittener vorinstanzlicher Feststellung fand am 2. August 2013, und damit innert der Dreijahresfrist der SchlBest. IVG, ein Revisionsgespräch statt. Damit wurde das Revisionsverfahren rechtzeitig eingeleitet.
5.4. Entgegen den Vorbringen der Beschwerdeführerin gibt es keine Frist, innert derer ein Revisionsverfahren abgeschlossen sein muss, damit die SchlBest. IVG noch zur Anwendung gelangen können. Weshalb das von der Vorinstanz in diesem Zusammenhang bemühte Urteil 9C_417/2017 vom 19. April 2018 E. 4.6.1 a.E. hier nicht dienlich sein soll, leuchtet nicht ein. Es besteht auch kein Anlass, diesbezüglich gerichtlich lückenfüllend einzugreifen. Es liegt (bzw. lag) nämlich im Interesse der Verwaltung, die entsprechenden Verfahren beförderlich zu behandeln, haben doch die Versicherten zumindest während des Administrativverfahrens grundsätzlich Anspruch auf Ausrichtung der bisherigen (in aller Regel höheren) Invalidenrente, was auch auf den vorliegenden Fall zutrifft.
5.5. Hat die Vorinstanz somit nicht gegen Bundesrecht verstossen, als sie eine Prüfung des Rentenanspruchs nach den SchlBest. IVG vornahm, so erübrigt sich eine Auseinandersetzung mit der Frage, ob sich der Gesundheitszustand der Beschwerdeführerin zwischen dem 20. August 2012 und dem 3. August 2017 verbessert hat und entsprechend auch eine Rentenrevision nach Art. 17 Abs. 1 ATSG möglich wäre.
6.
6.1. Was die Arbeitsfähigkeit in der Zeit ab August 2017 betrifft, hat das kantonale Gericht in umfassender Würdigung der medizinischen Akten, insbesondere aber gestützt auf das Gerichtsgutachten vom 14. August 2019 verbindlich festgestellt, dass die Beschwerdeführerin in der Lage ist, einer angepassten Tätigkeit mit einem Pensum von 60 % nachzugehen. Was die Beschwerdeführerin gegen diese Feststellung vorbringt, lässt sie nicht als offensichtlich unrichtig oder sonstwie bundesrechtswidrig erscheinen. Insbesondere findet ihre Argumentation, die attestierte Arbeitsfähigkeit gelte nicht im ersten Arbeitsmarkt, sondern lediglich für einen geschützten Arbeitsplatz, im Gerichtsgutachten keine Stütze.
6.2. Ausgehend von der gutachterlich attestierten 60%igen Arbeitsfähigkeit in einer angepassten Tätigkeit ermittelte das kantonale Gericht mittels Einkommensvergleichs einen Invaliditätsgrad von 45 %. Diese vorinstanzliche Invaliditätsbemessung ist letztinstanzlich unbestritten geblieben. Somit hat die Vorinstanz kein Bundesrecht verletzt, als es die Herabsetzung der ganzen Rente auf eine Viertelsrente per 1. Oktober 2019 bestätigte. Entsprechend ist auch die Rückforderung des eine Viertelsrente übersteigenden Anteils der bereits ausbezahlten ganzen Rente für den Monat Oktober 2019 nicht zu beanstanden. Die Beschwerde ist abzuweisen.
7.
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten der unterliegenden Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Mit diesem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. November 2020
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Nabold