Sachverhalt:
A.
C.B._ kam am 12. Mai 2015 als gemeinsames Kind von A._ (Vater, Beschwerdeführer) und B._ (Mutter, Beschwerdegegnerin) zur Welt. Die Kindseltern führten keinen gemeinsamen Haushalt. Sie trennten sich vor der Geburt ihres Sohnes und waren nie verheiratet. Der Sohn steht unter der alleinigen Sorge der Mutter.
B.
B.a. Am 13. Juli 2016 reichte der Sohn beim Bezirksgericht Winterthur eine Unterhaltsklage gegen den Vater ein. Dieses erklärte sich aufgrund der Kompetenzattraktion gemäss <ref-law> auch für die Regelung der elterlichen Sorge und der weiteren Kinderbelange für sachlich zuständig und bezog die Mutter als "Verfahrensbeteiligte" in den Prozess ein. Am 27. Mai 2019 fällte das Bezirksgericht ein Urteil, mit dem es den Verbleib des Sohnes unter der alleinigen Sorge und Obhut der Mutter bestätigte, über das Kind eine Erziehungsaufsicht i.S.v. Art. 307 Abs. 1 und 3 ZGB anordnete und den persönlichen Verkehr mit dem Vater sowie dessen Unterhaltspflicht regelte.
B.b. Mit Berufung vom 3. Juli 2019 beantragte die Mutter dem Obergericht des Kantons Zürich u.a., es sei der Aufgabenbereich der Erziehungsaufsicht abzuändern, eventualiter deren Anordnung ersatzlos aufzuheben.
Mit Berufung vom 8. Juli 2019 beantragte der Vater dem Obergericht seinerseits, es sei das Urteil des Bezirksgerichts aufzuheben und ihm u.a. die alleinige, eventuell gemeinsame elterliche Sorge über seinen Sohn zuzuteilen, weiter auch die alleinige Obhut, und schliesslich sei der persönliche Verkehr mit der Mutter sowie deren Unterhaltspflicht zu regeln. Der Mutter sei sodann zu verbieten, das Kind in irgendwelcher Art und Weise in Kontakt mit der "Bewegung D._" oder ähnlichen, schädlichen Gesinnungsströmungen zu bringen.
Mit Urteil vom 5. März 2020 hiess das Obergericht die Berufung der Mutter teilweise gut, hob die Erziehungsaufsicht über den Sohn auf, und wies im Übrigen beide Berufungen ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 18. Mai 2020 beantragt der Vater dem Bundesgericht die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und wiederholt in der Sache seine reformatorischen Berufungsanträge. Weiter beantragt er die unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten eingeholt. Auf die Einholung einer Vernehmlassung wurde verzichtet.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Berufung hin (Art. 75 und 90 BGG) u.a. über die Zuteilung der elterlichen Sorge, die Obhut, den persönlichen Verkehr und den Kindesunterhalt und damit vorab über eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache nach <ref-law> entschieden hat. Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt.
Die Mutter wurde in das erstinstanzliche Verfahren als "Verfahrensbeteiligte" einbezogen; aufgrund der Kompetenzattraktion von <ref-law> wurde sie dort freilich zur eigentlichen Verfahrenspartei. Zutreffend wurde sie daher im vorinstanzlichen Berufungsverfahren als Berufungsklägerin bzw. -beklagte bezeichnet. Im vorliegenden bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren ist sie Beschwerdegegnerin und kann damit Parteirechte ausüben, wobei vorliegend auf die Einholung einer Vernehmlassung verzichtet werden konnte.
Auf die auch fristgerecht eingereichte (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 Bst. a BGG und Art. 1 Abs. 1 der Verordnung des Bundesrates vom 20. März 2020 über den Stillstand der Fristen in Zivil- und Verwaltungsverfahren zur Aufrechterhaltung der Justiz im Zusammenhang mit dem Coronavirus [COVID-19] [ehemals SR 173.110.4]) Beschwerde ist unter Vorbehalt nachfolgender Ausführungen einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (vgl. <ref-law>). In der Beschwerdebegründung ist daher in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid rechtswidrig sein soll. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken; die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (vgl. <ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich, oder würden auf einer anderen Bundesrechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. Verletzung von <ref-law> oder <ref-law>) beruhen. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (vgl. Art. 97 Abs. 1 und 105 Abs. 2 BGG). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 253, 317 E. 5.4 S. 324; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266).
Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gab (<ref-law>). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern diese Voraussetzung erfüllt sein soll (<ref-ruling> E. 3 S. 395). Tatsachen und Beweismittel, die nach dem angefochtenen Entscheid zutage getreten oder entstanden sind, können nicht durch das weitergezogene Urteil veranlasst worden sein. Solche echte Noven sind im bundesgerichtlichen Verfahren unzulässig (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123; <ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.).
2.2. Der Beschwerdeführer verkennt diese Grundsätze beinahe vollständig. Anstatt sich mit den Erwägungen im angefochtenen Entscheid auseinanderzusetzen und Kritik an den obergerichtlichen Überlegungen zu formulieren, begnügt er sich im Wesentlichen damit, dem Bundesgericht noch einmal seine Berufungsschrift zu präsentieren. Er wiederholt mit anderen Worten in appellatorischer Weise - d.h. in Vermischung von Kritik an den Sachverhaltsfeststellungen und an den rechtlichen Erwägungen - seine Standpunkte, die er bereits vor den kantonalen Instanzen vorgebracht hat. So führt er erneut aus, dass das Kindeswohl durch die Mitgliedschaft der Mutter in der sog. "Bewegung D._" gefährdet sei (Bst. B Rz. 1.5 - 1.13 der Beschwerdeschrift). Mit den diesbezüglichen, ausführlichen Erwägungen der Vorinstanz (Ziff. III E. 3 und 4) setzt er sich freilich nicht bzw. jedenfalls nicht hinreichend auseinander. Schliesslich richten sich zahlreiche Vorbringen in der Beschwerdeschrift gegen die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung: So sei ein psychiatrisches Gutachten betreffend den Kindsvater ungenügend berücksichtigt worden (Bst. B Rz. 1.14 der Beschwerdeschrift), überhaupt seien "tatsächlich ausgewiesene Experten" nicht einbezogen und die Begutachtung nicht vollständig durchgeführt worden (Bst. B Rz. 1.16 der Beschwerdeschrift), schliesslich seien die "detailreichen und einzelbelegten Vorbringen des Beschwerdeführers als blosse äusserliche Anzeichen qualifiziert" (Bst. B Rz. 1.17 der Beschwerdeschrift) und auch sonstige "wahre Begebenheiten nicht erkannt" worden (Bst. B Rz. 1.20 der Beschwerdeschrift). Damit genügt er den strengen Begründungsanforderungen an Sachverhaltsrügen in keiner Weise. Er übersieht denn auch, dass vor Bundesgericht keineswegs die Untersuchungs- und Offizialmaxime nach <ref-law> gilt (so aber Bst. A Rz. 5 der Beschwerdeschrift), sondern der Grundsatz der Bindung an den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt (<ref-law>) und die Dispositionsmaxime (<ref-law>). Weiter reicht der Beschwerdeführer unzulässigerweise (<ref-law>) neue Beweismittel nach (Bst. B Rz. 1.23, 1.24, 1.25 der Beschwerdeschrift). Dem Beschwerdeführer gelingt es mit seinen formell ungenügenden Vorbringen mithin nicht, die vorinstanzlichen Erwägungen zur Erziehungsfähigkeit der Mutter in Frage zu stellen. Ebensowenig vermag er die vorinstanzliche Aufhebung der Erziehungsaufsicht nach Art. 307 Abs. 1 und 3 ZGB in Zweifel zu ziehen.
3.
Auch in der Sache gelingt es dem Beschwerdeführer nicht, die vorinstanzlichen Überlegungen als bundesrechtswidrig auszuweisen:
3.1.
3.1.1. Bei der Sorgerechtszuteilung hat das Wohl des Kindes Vorrang vor allen anderen Überlegungen, insbesondere vor den Wünschen der Eltern (<ref-ruling> E. 7.3.1 S. 365 mit Hinweis). Den Bedürfnissen des Kindes ist entsprechend seines Alters, seinen Neigungen und seinem Anspruch auf elterliche Fürsorglichkeit, Zuwendung und Erziehung bestmöglich zu entsprechen. Als massgebliche Gesichtspunkte stehen dabei im Vordergrund die persönlichen Beziehungen der Eltern zum Kind, ihre erzieherischen Fähigkeiten und ihre Bereitschaft, das Kind in eigener Obhut zu haben.
3.1.2. Auch wenn die gemeinsame elterliche Sorge anders als in der Ehe bei unverheirateten Paaren nicht automatisch entsteht, so gilt sie nach der am 1. Juli 2014 in Kraft getretenen Gesetzesnovelle (AS 2014 357) doch als gesetzlicher Regelfall (<ref-law>). In seiner Rechtsprechung hat das Bundesgericht Kriterien aufgestellt, die erfüllt sein müssen, um ein Abweichen vom Grundsatz des gemeinsamen elterlichen Sorgerechts zu rechtfertigen (<ref-ruling> E. 4.6 und 4.7 S. 478 f.; <ref-ruling> E. 3.3 S. 5 f.; <ref-ruling> E. 3 S. 62 f.; <ref-ruling>97 E. 3.5 und 3.7 S. 199 ff.; vgl. sodann die Rechtsprechungsübersicht in den Urteilen 5A_81/2016 E. 5, 5A_89/2016 E. 4 und 5A_186/2016 E. 4, je vom 2. Mai 2016). Diese können insbesondere bei einem schwerwiegenden elterlichen Dauerkonflikt oder bei anhaltender Kommunikationsunfähigkeit erfüllt sein, wenn sich der Mangel negativ auf das Kindeswohl auswirkt und die Alleinzuteilung diesem besser gerecht wird (<ref-ruling> E. 4.6 S. 478).
Dabei ist zu unterscheiden, ob - wie hier - bisher ein Elternteil die alleinige Sorge hatte und es nunmehr um die Anordnung der gemeinsamen Sorge geht oder ob die Eltern bisher gemeinsam sorgeberechtigt waren und neu die alleinige elterliche Sorge erstritten werden soll. Mit Bezug auf das Kindeswohl ist im ersten Fall zu beurteilen, ob die Anordnung der gemeinsamen elterlichen Sorge das Kindeswohl gefährdet und im zweiten Fall, ob die Anordnung der alleinigen Sorge eine bereits bestehende Einschränkung des Kindeswohls zu beseitigen vermag (vgl. dazu die Rechtsprechungsübersicht im Urteil 5A_81/2016 vom 2. Mai 2016 E. 5).
3.2. Diese Grundsätze hat die Vorinstanz ihrem Entscheid zutreffend zugrunde gelegt. Sie hat berücksichtigt, dass ein von der zuständigen Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde in Auftrag gegebenes Erziehungsfähigkeitsgutachten keine Beeinträchtigung der mütterlichen Erziehungsfähigkeit feststellen konnte. Ihre Schlussfolgerung, dass keine Zweifel an der Erziehungsfähigkeit der Mutter bestehen, vermag der Beschwerdeführer nicht als (offensichtlich) unrichtig auszuweisen. Was die Belassung der alleinigen elterlichen Sorge bei der Mutter anbelangt, ist die Vorinstanz mit der ersten Instanz zum Schluss gelangt, dass ein schwerwiegender elterlicher Dauerkonflikt im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung vorliegt. Dieser wirke sich auf das Kindeswohl negativ aus. Auch hiergegen bringt der Beschwerdeführer vor Bundesgericht lediglich appellatorische Kritik vor; damit ist er nicht zu hören.
3.3. Was schliesslich die Obhut anbelangt, verweist die Vorinstanz zutreffend auf die erstinstanzliche Überlegung, wonach dem Elternteil, der die alleinige elterliche Sorge innehat, auch die Obhut zuzuteilen ist. Die dagegen gerichtete Kritik des Beschwerdeführers geht zum vornherein ins Leere.
4.
Der Antrag des Beschwerdeführers, wonach der Mutter zu verbieten sei, das Kind in irgendwelcher Art und Weise in Kontakt mit der "Bewegung D._" zu bringen, bleibt in der Beschwerde gänzlich unbegründet, womit darauf nicht einzutreten ist. Die weiteren Anträge hinsichtlich der Regelung des persönlichen Verkehrs und des Kindesunterhalts werden sodann nur aktuell, wenn dem Beschwerdeführer in Abänderung des vorinstanzlichen Urteils die (gemeinsame) elterliche Sorge bzw. die Obhut zugeteilt würde, was nicht der Fall ist. Auch auf sie braucht daher nicht weiter eingegangen zu werden. Die Ausgestaltung seines eigenen Besuchsrechts kritisiert der Beschwerdeführer zwar, stellt aber keine entsprechenden Abänderungsanträge.
Damit erweisen sich sämtliche Beschwerdeanträge als entweder unbegründet oder unzulässig.
5.
Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, konnte der Beschwerde - insbesondere aufgrund ihrer formellen Mängel (blosse Wiederholung der Berufungsschrift statt Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid) - von Anfang an kein Erfolg beschieden sein, weshalb es an den materiellen Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege fehlt (<ref-law>) und das entsprechende Gesuch abzuweisen ist.
6.
Die Gerichtskosten, bestimmt auf Fr. 2'500.--, sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, und der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Bezirke Winterthur-Andelfingen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. September 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Scheiwiller