Sachverhalt:
A.
In einem Forderungsprozess vor dem Arbeitsgericht Zürich zwischen der Tochtergesellschaft einer schweizerischen Grossbank und einer ehemaligen Arbeitnehmerin derselben (Geschäfts-Nr. AN180042-L) war A._ (Beschwerdeführerin) als akkreditierte Gerichtsberichterstatterin an der Hauptverhandlung vom 15. November 2018 anwesend, wurde aber von der Teilnahme an der anschliessenden Vergleichsverhandlung ausgeschlossen. Mit Eingabe vom 29. November 2018 verlangte A._ eine anfechtbare Verfügung betreffend ihren " Ausschluss aus der Hauptverhandlung" und "die verweigerten Informationen bezüglich allfälliger Beendigung des Verfahrens oder bezüglich der weiteren Schritte im Verfahren". In der Folge eröffnete das Arbeitsgericht den Parteien und A._ den folgenden Beschluss, datiert vom 15. November 2018:
"Gerichtsberichterstatterin A._ wird von der Teilnahme an der Vergleichsverhandlung im vorliegenden Verfahren ausgeschlossen."
Diesen Beschluss focht A._ mit Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich an, wobei sie die folgenden Anträge stellte:
"1. Es sei festzustellen, dass der Ausschluss der Beschwerdeführerin aus der Hauptverhandlung vom 15. November 2018 (AN180042) rechtswidrig war [...].
2. Es sei anzuordnen, dass die Beschwerdeführerin darüber informiert wird, ob das Verfahren AN180042 beendet worden ist und in welcher Form."
Mit Urteil vom 6. März 2019 wies das Obergericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Es erwog, Vergleichsverhandlungen seien generell nicht öffentlich, weshalb A._ als Gerichtsberichterstatterin keinen Anspruch gehabt habe, an derjenigen vom 15. November 2018 vor dem Arbeitsgericht teilzunehmen. Zum Antrag auf Information über die Beendigung des Verfahrens führte das Obergericht aus, hierzu liege noch kein anfechtbarer Entscheid vor.
B.
A._ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass ihr Ausschluss von der Hauptverhandlung vom 15. November 2018 rechtswidrig gewesen sei.
Das Arbeitsgericht hat sich nicht vernehmen lassen. Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil des Obergerichts betrifft ein Zivilverfahren vor dem Arbeitsgericht Zürich, weshalb es nach <ref-law> der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt. Das Obergericht hat als letzte kantonale Instanz im Sinne von <ref-law> entschieden. Hinsichtlich der verlangten Information über die Verfahrensbeendigung vor dem Arbeitsgericht hat die Beschwerdeführerin das angefochtene Urteil des Obergerichts ausdrücklich von der Beschwerde ausgenommen. Der Ausschluss von der Teilnahme an der Vergleichsverhandlung stellt für die Beschwerdeführerin, da diese nicht Verfahrenspartei ist, einen Endentscheid im Sinne von <ref-law> dar (siehe Urteil 1B_169/2015 vom 6. November 2015 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>, mit Hinweisen). Obwohl die Vergleichsverhandlung bereits stattgefunden hat, ist die Beschwerdeführerin nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt, da sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen deren grundsätzlicher Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (siehe allgemein <ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen; betreffend den Ausschluss der Öffentlichkeit von der Berufungsverhandlung und der Urteilseröffnung im Strafverfahren Urteil 1B_349/2016 und 1B_350/2016 vom 22. Februar 2017 E. 2.1, nicht publ. in: <ref-ruling>, mit weiteren Hinweisen).
1.2. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Eine Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
2.
Die Beschwerdeführerin rügt, ihr Ausschluss von der Vergleichsverhandlung vom 15. November 2018 verletze Art. 30 Abs. 3, Art. 36, Art. 16 Abs. 3 und <ref-law> sowie <ref-law>.
2.1. Gemäss <ref-law> sind Gerichtsverhandlung und Urteilsverkündung öffentlich. Das Gesetz kann Ausnahmen vorsehen. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung verleiht diese Bestimmung kein Recht auf eine mündliche Verhandlung, sondern garantiert einzig, dass, wenn eine Gerichtsverhandlung stattzufinden hat, diese - von gesetzlichen Ausnahmen abgesehen - öffentlich sein muss (<ref-ruling> E. 2.3-2.6). Laut <ref-law>, der den verfassungsmässigen Grundsatz für das Zivilverfahren konkretisiert (Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, BBl 2006 S. 7274 zu Art. 52), sind Verhandlungen und eine allfällige mündliche Eröffnung des Entscheids öffentlich. Die Entscheide werden der Öffentlichkeit zugänglich gemacht (Abs. 1). Ob die Urteilsberatung öffentlich ist, wie im Entwurf des Bundesrats noch vorgesehen war, bestimmt das kantonale Recht (Abs. 2). Die Öffentlichkeit kann ganz oder teilweise ausgeschlossen werden, wenn es das öffentliche Interesse oder das schutzwürdige Interesse einer beteiligten Person erfordert (Abs. 3). Familienrechtliche Verfahren sind nicht öffentlich (Abs. 4). Ferner sieht <ref-law> ausdrücklich vor, dass die Verhandlung im Schlichtungsverfahren nicht öffentlich ist.
2.2. Die Justizöffentlichkeit, die abgesehen von <ref-law> auch in Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 14 Abs. 1 UNO-Pakt II (SR 0.103.2) verankert ist, dient einerseits dem Schutze der direkt an gerichtlichen Verfahren beteiligten Parteien im Hinblick auf deren korrekte Behandlung und gesetzmässige Beurteilung. Andererseits ermöglicht sie auch nicht verfahrensbeteiligten Dritten, nachzuvollziehen, wie gerichtliche Verfahren geführt werden, das Recht verwaltet und die Rechtspflege ausgeübt wird, und liegt insoweit auch im öffentlichen Interesse. Sie will für Transparenz der Rechtsprechung sorgen und die Grundlage für das Vertrauen in die Gerichtsbarkeit schaffen. Die demokratische Kontrolle durch die Rechtsgemeinschaft soll Spekulationen begegnen, die Justiz benachteilige oder privilegiere einzelne Prozessparteien ungebührlich oder die Ermittlungen würden einseitig und rechtsstaatlich fragwürdig geführt (<ref-ruling> E. 3.1 S. 197 f.; <ref-ruling> E. 3.3 S. 133; <ref-ruling> E. 8.1 S. 107; je mit weiteren Hinweisen).
Die Medien übernehmen mit ihrer Gerichtsberichterstattung insofern eine wichtige Brückenfunktion, als sie die richterliche Tätigkeit einem grösseren Publikum zugänglich machen (<ref-ruling> E. 3.3.1.1; <ref-ruling> E. 3.2). Im Ausmass der garantierten Justizöffentlichkeit bilden Gerichtsverhandlung und Urteilsverkündung öffentlich zugängliche Quellen im Sinne der Informationsfreiheit gemäss <ref-law>. Zudem greift ein Ausschluss der Gerichtsberichterstatterinnen und -erstatter in die Medienfreiheit nach <ref-law> ein (<ref-ruling> E. 3.1 S. 200 mit Hinweisen).
2.3. In der Literatur zu <ref-law> ist anerkannt, dass der Grundsatz der Justizöffentlichkeit nicht in allen Verfahrensabschnitten gilt. Vielmehr bezieht sich der Begriff der Gerichtsverhandlung nach allgemeiner Auffassung "einzig auf die Verhandlung, in der die Parteien einander bzw. dem Gericht gegenüberstehen" und "Einvernahmen vorgenommen, Beweise abgenommen und Plädoyers gehalten werden" (RHINOW UND ANDERE, Öffentliches Prozessrecht, 3. Aufl. 2014, S. 173 Rz. 558; STEINMANN, in: Die Schweizerische Bundesverfassung, St. Galler Kommentar, 3. Aufl. 2014, N. 51 zu <ref-law>), also auf "die Haupt- bzw. Parteiverhandlung im eigentlichen Erkenntnisverfahren" (REICH, in: Basler Kommentar, Bundesverfassung, 2015, N. 47 zu <ref-law>; siehe auch MÜLLER/SCHEFER, Grundrechte in der Schweiz, 4. Aufl. 2008, S. 968 f.). Zu erwähnen ist in diesem Zusammenhang ausserdem, dass auch Art. 6 Ziff. 1 EMRK auf diejenigen Verfahrensphasen beschränkt bleibt, "die auf die unmittelbare Entscheidung der Streitigkeit über ein Recht [...] ausgerichtet sind" (so ausdrücklich MEYER, in: Karpenstein/Mayer [Hrsg.], Konvention zum Schutz der Menschenrechte und Grundfreiheiten, Kommentar, 2. Aufl. 2015, N. 21 zu Art. 6 EMRK; siehe auch GRABENWARTER, European Convention on Human Rights, Commentary, 2014, N. 13-15 zu Art. 6 EMRK; je mit Hinweisen auf die Rechtsprechung des EGMR).
Ausgehend vom dargestellten Verständnis des Verfassungsgrundsatzes gemäss <ref-law> wird im Schrifttum zu <ref-law> einhellig angenommen, der Öffentlichkeit seien ausschliesslich Verfahrensabschnitte zugänglich, die "Grundlage zur Erledigung der Streitsache durch ein Urteil" bildeten. Nicht öffentlich seien demgegenüber solche, die wie Vergleichsverhandlungen lediglich auf die gütliche Erledigung der Streitsachen zwischen den Parteien abzielten und deren Wesen die Gegenwart unbeteiligter Dritter widerspräche (so etwa HURNI, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. I, 2012, N. 10 zu <ref-law>; SCHENKER, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Baker & McKenzie [Hrsg.], 2010, N. 3 zu <ref-law>; beide unter Hinweis auf HAUSER/SCHWERI, Kommentar zum zürcherischen Gerichtsverfassungsgesetz vom 13. Juni 1976, 2002, N. 27 zu § 135 GVG; siehe ferner OBERHAMMER, in: ZPO, Oberhammer/Domej/Haas [Hrsg.], 2. Aufl. 2014, N. 3 zu <ref-law>; TREZZINI, in: Commentario pratico al Codice di diritto processuale civile svizzero [CPC], Bd. I, 2. Aufl. 2017, N. 5 zu <ref-law>; vgl. auch GASSER/RICKLI, Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], 2. Aufl. 2014, N. 9 zu <ref-law>; SENEL, Das handelsgerichtliche Verfahren nach der neuen Schweizerischen Zivilprozessordnung, 2011, S. 132-135). Diese Auffassung hat sich denn auch die Vorinstanz zu eigen gemacht.
2.4. Gemäss <ref-law> kann das Gericht jederzeit versuchen, eine Einigung zwischen den Parteien herbeizuführen. <ref-law> erwähnt den Versuch einer Einigung ausdrücklich als möglichen Inhalt der sogenannten Instruktionsverhandlung. Vergleichsgespräche sind aber auch ausserhalb einer Instruktionsverhandlung möglich, so etwa wie hier anlässlich der Hauptverhandlung.
Vergleichsgespräche haben die einvernehmliche Beilegung des Streits zum Ziel, der Gegenstand des Zivilprozesses bildet. Das Gericht vermittelt dabei zwischen den Parteien, wobei es mit Zurückhaltung und unter dem Vorbehalt der förmlichen Streitentscheidung eine vorläufige Einschätzung der Sach- und Rechtslage zum Ausdruck bringen darf (<ref-ruling> E. 2.4; Urteile 4A_424/2012 vom 19. September 2012 E. 3.2.2; 4A_306/2011 vom 19. Januar 2012 E. 3.2; 5A_895/2010 vom 21. Februar 2011 E. 3). Sind die Vergleichsgespräche erfolgreich, wird das Verfahren ohne gerichtlichen Entscheid erledigt (siehe <ref-law>). Demnach stellen die Vergleichsgespräche keinen Schritt auf dem Weg zur gerichtlichen Entscheidung über den Streitgegenstand dar, zumal - wie die Vorinstanz zu Recht bemerkt hat - ihr Inhalt nicht protokolliert wird und einem allfälligen Entscheid des Gerichts nicht zugrunde gelegt werden darf (so etwa LEVI, Der Richter als Vermittler, SJZ 1967 S. 255; SCHMID, Vergleichsverhandlungen vor dem Zürcher Handelsgericht, in: Festschrift Handelsgericht Zürich 1866-2016, 2016, S. 248 und 250 f.; vgl. zur Handhabung an den kantonalen Gerichten SCHWEIZER, Praxis der Vergleichsverhandlung, in: «Justice - Justiz - Giustizia» 2018/4 Rz. 9 und 16). In diesem Sinne stehen sie ausserhalb des - auf die gerichtliche Streitentscheidung ausgerichteten - Erkenntnisverfahrens (siehe KÖLZ, Einzelgespräche an gerichtlichen Vergleichsverhandlungen im Zivilprozess, ZZZ 2016 S. 231 und 238). Dementsprechend setzen sie denn auch stets das Einverständnis der Parteien voraus (<ref-ruling> E. 2.4 S. 244), sind also freiwillig.
Soweit sich die Vergleichsgespräche in diesem Rahmen halten, handelt es sich dabei nicht um rechtsprechende Tätigkeit des Gerichts, deren Transparenz <ref-law> und <ref-law> gewährleisten. Die Bemühungen des Gerichts, zwischen den Parteien zu vermitteln, gelten nicht als Gerichtsverhandlung respektive Verhandlung und unterstehen nicht dem Grundsatz der Justizöffentlichkeit. Dass es für die Öffentlichkeit interessant sein könnte, die anlässlich der Vergleichsgespräche vom 15. November 2018 möglicherweise unpräjudiziell geäusserte Beurteilung durch die Gerichtsvorsitzende zu kennen, wie die Beschwerdeführerin geltend macht, vermag den Geltungsbereich des Öffentlichkeitsgrundsatzes nicht auf diesen Verfahrensabschnitt zu erweitern, in dem von vornherein nicht über die Streitigkeit entschieden werden darf (vgl. MÜLLER/SCHEFER, a.a.O., S. 968). Somit ist es nicht zu beanstanden, wenn das Obergericht keine auf den vorliegenden Fall bezogene Abwägung zwischen den Interessen der Öffentlichkeit und denjenigen der Prozessparteien vorgenommen hat.
2.5. Demgegenüber ist hier nicht zu beurteilen, ob es zulässig wäre, die Öffentlichkeit über die Vergleichsgespräche hinaus generell von Instruktionsverhandlungen auszuschliessen, zumal an solchen nach <ref-law> unter anderem auch der Sachverhalt ergänzt und die Hauptverhandlung vorbereitet werden kann (dagegen HURNI, a.a.O.; OBERHAMMER, a.a.O.; SCHENKER, a.a.O.; siehe auch SANTSCHI KALLAY, Externe Kommunikation der Gerichte, 2018, S. 116; anders wohl SUTTER-SOMM/SEILER, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger [Hrsg.], 3. Aufl. 2016, N. 11 zu <ref-law>).
2.6. Da die Beschwerdeführerin an der Hauptverhandlung vor dem Arbeitsgericht anwesend sein konnte und lediglich von der Teilnahme an den informellen Vergleichsgesprächen ausgeschlossen worden ist, liegen die gerügten Rechtsverletzungen nicht vor.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten gemäss <ref-law> der Beschwerdeführerin aufzuerlegen. Es ist keine Parteientschädigung zu sprechen (siehe <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. September 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz