Sachverhalt:
A.
A.a. Am 11. Juni 1978 verfasste die am 8. Februar 2013 verstorbene C._ eine handschriftliche letztwillige Verfügung mit folgendem Inhalt:
"Ich [...] wünsche, dass bei meinem Tode mein ganzes Hab und Gut zu gleichen Teilen an meine Schwester Frau B._ und ihren Mann Herrn D._ [...] fällt. Frau E._ erbt nichts. [...]"
C._ hinterliess als gesetzliche Erben ihre Schwester B._ und die vier Kinder ihrer vorverstorbenen Schwester E._, nämlich: F._, G._, H._ und I._. Nachdem H._ die Erbschaft ausschlug, trat sein Sohn A._, der jetzige Kläger und Beschwerdeführer, an seine Stelle. Die übrigen Kinder von E._ (F._, G._ und I._) traten ihre allfälligen Erbanteile im Sinne von <ref-law> A._ ab. Unbestritten ist weiter, dass neben E._ auch D._, der Ehemann von B._, vorverstorben ist.
A.b. Mit Urteil vom 20. März 2013 eröffnete das Bezirksgericht Pfäffikon (ZH) das Testament der Erblasserin vom 11. Juni 1978. Es erachtete B._ als Alleinerbin und stellte ihr die Ausstellung eines Erbscheins in Aussicht. Auf die Berufung von A._ gegen diesen Entscheid trat das Obergericht des Kantons Zürich nicht ein (Beschluss vom 19. Juni 2013).
A.c. Nachdem das Bezirksgericht B._ am 6. November 2013 einen Erbschein ausgestellt hatte, verlangte A._ ebenfalls einen Erbschein. Zugleich stellte er den Antrag, den Erbschein für B._ zu widerrufen. Das Bezirksgericht wies das Gesuch mit Urteil vom 14. September 2016 ab. Vergeblich wehrte sich A._ dagegen vor dem Ober- und vor dem Bundesgericht (s. Urteil 5A_757/2016 vom 31. August 2017).
B.
Am 10. Januar 2014 klagte A._ beim Bezirksgericht Pfäffikon (ZH) gegen B._ und verlangte im Wesentlichen, das Testament ungültig zu erklären, ihn neben der Beklagten als gesetzlichen Erben anzuerkennen und die Beklagte zu verurteilen, ihm die Hälfte des Nachlasses herauszugeben. Für den Fall, dass sich das Testament nicht als ungültig erweise, sei ihm ein Viertel des Nachlasses herauszugeben. Überdies verlangte er, dass er dem Urteil entsprechend im Grundbuch bei den Nachlassliegenschaften als Eigentümer eingetragen werde. Das Bezirksgericht wies die Klage mit Urteil vom 29. März 2019 ab. Die dagegen von A._ erhobene Berufung wies das Obergericht des Kantons Zürich ab, soweit darauf eingetreten wurde. Das Urteil datiert vom 6. September 2019 und wurde am 9. September 2019 an die Parteien versandt.
C.
C.a. Mit Eingabe vom 7. Oktober 2019 wendet sich A._ (Beschwerdeführer), vertreten durch seinen Vater H._, an das Bundesgericht. Er hält in der Sache an den Anträgen fest, die er vor den kantonalen Instanzen stellte (Bst. B); eventualiter verlangt er, die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter ersucht er für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege.
C.b. Vom Bundesgericht darauf aufmerksam gemacht, dass Parteien in Zivilsachen nur von Anwälten und Anwältinnen vertreten werden können (<ref-law>), reichte der Beschwerdeführer rechtzeitig ein von ihm selbst unterzeichnetes Exemplar der Beschwerdeschrift nach. In einer Mitteilung vom 9. Oktober 2019 wies das Bundesgericht den Beschwerdeführer darauf hin, dass über sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege praxisgemäss zusammen mit dem Sachurteil entschieden werde, zumal das Anliegen, über das Gesuch vorab zu entscheiden, nicht begründet werde. Im Übrigen hat das Bundesgericht die kantonalen Akten beigezogen, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist der Endentscheid (<ref-law>) eines oberen kantonalen Gerichts, das als Rechtsmittelinstanz (<ref-law>) über die Gültigkeit eines Testaments und die Erbberechtigung (<ref-law>) und damit über eine vermögensrechtliche Zivilsache entschieden hat (<ref-law>). Der Streitwert von Fr. 30'000.-- ist erreicht (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde legitimiert, die er auch fristgerecht erhoben hat (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen einzutreten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 Bst. a BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Angesichts der in Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG festgelegten allgemeinen Begründungspflicht prüft das Bundesgericht allerdings grundsätzlich nur die erhobenen Rügen. Es ist nicht gehalten, wie ein erstinstanzliches Gericht alle sich stellenden Rechtsfragen zu untersuchen, soweit solche nicht (mehr) vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2.4 S. 367 f. mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer muss auf den angefochtenen Entscheid eingehen und aufzeigen, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt; er soll im Schriftsatz mit seiner Kritik an den Erwägungen der Vorinstanz ansetzen, die er als rechtsfehlerhaft erachtet (<ref-ruling> E. 1.2.2 S 286; <ref-ruling> E. 2 S. 116).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig (<ref-law>), das heisst willkürlich (<ref-ruling> E 2.3 S. 266), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>). Will der Beschwerdeführer die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten, so muss er klar und substantiiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18, 90 E. 2). Demgegenüber genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem eine freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 88).
3.
Der Beschwerdeführer macht geltend, die Art. 29 und 30 BV sowie Art. 6 EMRK seien verletzt, weil die erste Instanz im Laufe des Verfahrens zweimal Richter ausgetauscht habe und die Zeugeneinvernahmen sich über eine längere Zeit erstreckt hätten, ohne dass zeitnah eine Beweiswürdigung vorgenommen worden sei. Er hatte diese Rügen bereits im vorinstanzlichen Verfahren vorgebracht. Das Obergericht geht ausführlich darauf ein und begründet über mehrere Seiten, warum keine Verletzung der genannten Verfassungsbestimmungen vorliege. Der Beschwerdeführer setzt sich mit keinem Wort mit diesen Erwägungen auseinander. Auf seine Rüge ist folglich nicht einzutreten.
4.
Der Streit dreht sich um die Frage, ob das Testament vom 11. Juni 1978 der Erbenstellung des Beschwerdeführers entgegensteht, nachdem der eingesetzte Erbe D._ vorverstorben ist (s. Sachverhalt Bst. A.a). Dem angefochtenen Entscheid zufolge anerkennt der Beschwerdeführer, dass die Erblasserin im Zeitpunkt, als sie ihr Testament errichtete, auf keinen Fall wollte, dass auf die Familie von E._ "ein Rappen entfiele". Unbestritten ist laut Vorinstanz auch, dass die Erblasserin für den Fall, dass D._ vor ihr sterben sollte, keine Ersatzverfügung getroffen hat und dessen Erben ohne eine solche nicht an dessen Stelle treten konnten. Das Obergericht erinnert daran, dass sich das erstinstanzliche Beweisverfahren und die Auslegung und Würdigung des Bezirksgerichts um die Frage drehten, ob die Erblasserin mit dem Satz "Frau E._ erbt nichts" (s. Sachverhalt Bst. A.a) nicht nur ihre Schwester E._, sondern auch deren Stamm vom Erbe ausschliessen wollte. Das Bezirksgericht habe eben diesen Willen der Erblasserin als erstellt erachtet und der Beschwerdeführer selbst bestätige diesen Willen im Zeitpunkt der Testamentserrichtung. Deshalb sei auf die Rügen, mit denen sich der Beschwerdeführer gegen die vorinstanzliche Beweiswürdigung wende, nicht weiter einzugehen. Bei diesem Beweisergebnis, so die Folgerung des Obergerichts, stelle sich die vom Beschwerdeführer aufgeworfene Frage nach der Ersatzverfügung gar nicht mehr. Sind nach dem Willen der Erblasserin neben der vorverstorbenen E._ auch deren Nachkommen als Erben ausgeschlossen und ist auch D._ vorverstorben, so verbleibe als einzige Erbin nur die Beschwerdegegnerin. Diese sei nicht deshalb einzige Erbin, weil der Anteil ihres vorverstorbenen Ehemannes auf dessen Erben überging. Vielmehr sei bezüglich des Anteils des als Erben eingesetzten D._ die gesetzliche Erbfolge eingetreten. Weil E._ und deren Nachkommen bereits testamentarisch vom Erbe ausgeschlossen gewesen seien, als D._ starb, bleibe als gesetzliche Erbin nur die Beschwerdegegnerin übrig. Bei diesem Ergebnis komme es auch nicht darauf an, ob die Erblasserin irrtümlich annahm, dass der Anteil des vorverstorbenen eingesetzten Erben auch ohne Ersatzverfügung an dessen Erben überging.
5.
Unter dem Titel "Prozessuale Mängel" beanstandet der Beschwerdeführer unter anderem die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung bzw. Beweiswürdigung.
5.1.
5.1.1. Zunächst besteht der Beschwerdeführer darauf, dass der streitige Satz im Testament vom 11. Juni 1978 ("Frau E._ erbt nichts") nicht Gegenstand des Beweisverfahrens gewesen sei. Ein Satz im Testament könne selbst gar nicht Gegenstand des Beweisverfahrens sein. Die Vorinstanz widerspreche sich in der Sachverhaltsdarstellung, indem sie den fraglichen Satz "als Beweisgegenstand und als bewiesen" bezeichne, obschon ihrer eigenen Ansicht nach "etwas anderes" im Sinne der Beweisauflage als erwiesen zu erachten sei.
5.1.2. Die Befürchtungen des Beschwerdeführers sind unbegründet. Der angefochtene Entscheid (s. E. 4) lässt sich nicht anders als dahin gehend verstehen, dass sich der Tatsachenstreit im kantonalen Verfahren um den rechtsgeschäftlichen Willen der Erblasserin, das heisst um die Frage drehte, wie die Erblasserin die subjektiven Rechte an ihrem Nachlass gestalten wollte. Dass der (reine) Wortlaut der besagten Passage aus der letztwilligen Verfügung als solcher umstritten gewesen und zum Beweisthema gemacht worden wäre, ist dem angefochtenen Entscheid nicht zu entnehmen. Von einem Widerspruch kann nicht die Rede sein. Damit ist dieser Sachverhaltsrüge der Boden entzogen.
5.2.
5.2.1. In der Folge bemängelt der Beschwerdeführer, dass die Vorinstanz sein Geburtsjahr und verschiedene Sachverhaltsdarstellungen des Bezirksgerichts nicht wiedergebe. Darauf ist nicht weiter einzugehen, denn der Beschwerdeführer schweigt sich darüber aus, inwiefern diese angeblichen Versäumnisse der Vorinstanz geeignet sind, das Ergebnis des Streits zu beeinflussen (E. 2.2).
5.2.2. Ein weiterer Vorwurf des Beschwerdeführers besteht darin, dass das Obergericht als aktenkundige Tatsache den im Testament enthaltenen Satz "Dies ist mein letzter Wille" unterdrücke. Aus diesem Passus müsse geschlossen werden, dass sich die Erblasserin keine zukünftige Entwicklung vorgestellt, sondern "nur für die Situation im Zeitpunkt ihres Testierens verfügt hat", was bei der willensorientierten Auslegung zu berücksichtigen sei. Soweit der Beschwerdeführer damit unterstellen will, dass die Erblasserin die streitige Anordnung "Frau E._ erbt nichts" nur für den Fall traf, dass D._ sie, die Erblasserin, überlebt, begnügt er sich damit, dem angefochtenen Entscheid appellatorisch seine Sichtweise gegenüber zu stellen. Insbesondere äussert er sich nicht dazu, weshalb dem angeblich unterdrückten Satz entgegen der allgemeinen Lebenserfahrung eine andere Bedeutung als diejenige einer Überschrift oder Floskel beizumessen ist, mit welcher der Autor klarstellt, dass es sich beim fraglichen Text um ein Testament handelt.
5.2.3. Schliesslich stört sich der Beschwerdeführer daran, dass das Obergericht das Testament vom 11. Juni 1978 nicht als Verfügung von Todes wegen, sondern als letztwillige Verfügung bezeichnet. Der Beschwerdeführer verkennt offensichtlich die Terminologie des Zivilgesetzbuches, der zufolge die letztwillige Verfügung (französisch: le testament, italienisch: il testamento) eine der zwei gesetzlich vorgesehenen Möglichkeiten ist, eine Verfügung von Todes wegen vorzunehmen (<ref-law>). Auch damit vermag der Beschwerdeführer nichts auszurichten.
5.3.
5.3.1. Der Beschwerdeführer beklagt sich darüber, dass das Obergericht ausserhalb der Testamentsurkunde liegende Elemente - so genannte Externa - zur Auslegung des Testaments heranziehe, obwohl es nirgends feststelle, dass der Wortlaut des Satzes "Frau E._ erbt nichts" unklar sei. Er verweist auf die Rechtsprechung, wonach der Richter Externa nur insoweit zur Auslegung heranziehen darf, als sie ihm erlauben, eine im Text enthaltene Angabe zu klären oder zu erhärten und den Willen zu erhellen, der in der gesetzlich vorgeschriebenen Form zum Ausdruck kommt (<ref-ruling> E. 3.1 S. 604 mit Hinweisen).
5.3.2. Die besagte Regel ist die Folge der Formvorschriften, denen die Verfügungen von Todes wegen unterliegen. Sie ändert nichts daran, dass es eine "an sich" klare Erklärung nicht geben und der Wortlaut als solcher keinen selbständigen Bestand haben kann, weshalb sich auch die (Rechts-) Frage, ob die umstrittene Passage aus dem Testament vom 11. Juni 1978 klar ist bzw. das Gewollte wiedergibt, nicht ohne Berücksichtigung von Tatsachen und Beweismitteln beantworten lässt, die ausserhalb des eigentlichen Erklärungsvorgangs liegen, aber doch Schlussfolgerungen auf den Willen der Erklärenden erlauben (Urteil 5A_323/2013 vom 23. August 2013 E. 3.3 mit Hinweisen; s. allgemein zur Auslegung von Testamenten <ref-ruling> E. 1.1 S. 108; <ref-ruling> E. 3 S. 416 f.; <ref-ruling> E. 2a S. 184; je mit Hinweisen). Soweit sich die Vorinstanz ergänzender Auslegungsmittel bedient, setzt sie sich allein dadurch nicht dem Vorwurf aus, das Bundesrecht verletzt zu haben. Abgesehen davon mag der Beschwerdeführer nicht erklären, welche Externa im kantonalen Verfahren zu Unrecht berücksichtigt wurden. Er begnügt sich mit einem pauschalen Vorwurf. Darauf ist nicht einzutreten.
6.
Der Beschwerdeführer will in verschiedener Hinsicht auch eine "Verletzung materiellen Bundesrechts" ausgemacht haben.
6.1.
6.1.1. Sinngemäss stellt sich der Beschwerdeführer auf den Standpunkt, dass die Erblasserin mit dem Satz "Frau E._ erbt nichts" weder einen positiven Verfügungswillen noch einen entsprechenden Erklärungswillen fassen konnte. Er argumentiert, die Erblasserin habe den gesamten Nachlass im Sinne einer positiven Anordnung der Beschwerdegegnerin und ihrem Ehemann zugewiesen. Sie habe sich keine Überlegungen für den Fall gemacht, dass D._ vor ihr stirbt, und dementsprechend für dieses Szenario gar keine positive Anordnung im Sinne eines Entzuges des gesetzlichen Erbrechts von E._ und deren Stamm getroffen. Der streitige Satz sei deshalb einfach eine Tatsachenfeststellung ohne Verfügungscharakter. Das Obergericht wende mithin <ref-law> unrichtig an.
6.1.2. Nach <ref-law> fällt der Teil, über den der Erblasser nicht verfügt hat, an die gesetzlichen Erben. Unerlässliche Voraussetzung für das Vorliegen und die Gültigkeit einer letztwilligen Verfügung ist insbesondere, dass der Erblasser seinen Testierwillen, das heisst seinen rechtsgeschäftlichen Gestaltungswillen erklärt, über sein Vermögen für die Zeit nach seinem Tod zu verfügen. Dieser Gestaltungswille umfasst zum einen den Geschäftswillen, das heisst den (endgültigen und aktuellen) Willensentschluss des Erklärenden, ein Rechtsverhältnis in bestimmter Weise zu gestalten, zum andern den Erklärungswillen, also den Entschluss des Erklärenden, den Geschäftswillen zu äussern (<ref-ruling> E. 3.3 S. 85 f.). Entgegen dem, was der Beschwerdeführer anzunehmen scheint, handelt es sich bei den Umständen, aus denen sich der Wille des Erblassers ergibt, nicht um Rechts-, sondern um Tatfragen, bezüglich derer das Bundesgericht an die vorinstanzlichen Feststellungen gebunden ist (BGE a.a.O., S. 86 mit Hinweisen). Im vorliegenden Fall anerkannte der Beschwerdeführer laut den Feststellungen des Obergerichts ausdrücklich, dass die Erblasserin im Zeitpunkt der Testamentserrichtung der Familie von E._ auf keinen Fall etwas zukommen lassen wollte (E. 4). Das Ansinnen des Beschwerdeführers, im hiesigen Verfahren auf diese vorinstanzliche Erkenntnis über den Prozesssachverhalt (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.) zurückzukommen, ist zum Scheitern verurteilt. Der Beschwerdeführer beruft sich darauf, dass er "lediglich ein Motiv eingeräumt habe". Diese Sichtweise ist verkürzt. Tatsächlich konstatiert das Obergericht, der Beschwerdeführer erachte den Willen der Erblasserin, dass die Familie von E._ nichts erben soll, "als einen Hinweis auf ein unbestrittenes Motiv der Erblasserin im Zeitpunkt der Testamentserrichtung". Allein mit dieser Aussage über die Beweggründe der Erblasserin wird das Zugeständnis des Beschwerdeführers bezüglich ihres Willens nicht in Frage gestellt. Inwiefern die erwähnten Feststellungen über den Prozesssachverhalt im Sinne von <ref-law> offensichtlich unrichtig sind (vgl. E. 2.2), tut der Beschwerdeführer nicht dar. Er macht auch nicht geltend, dass es für die Auslegung der letztwilligen Verfügung vom 11. Juni 1978 auf einen anderen Willen als denjenigen ankommt, den die Erblasserin im Zeitpunkt der Testamentserrichtung hatte.
6.2.
6.2.1. In der Folge beruft sich der Beschwerdeführer auf einen Formmangel der letztwilligen Verfügung. Selbst wenn nachgewiesen sei, dass die Erblasserin nicht nur E._, sondern auch deren Nachkommen vom Erbe ausschliessen wollte, sei dieser Wille nicht in der für eine letztwillige Verfügung nötigen Form angeordnet worden. Die von der Erblasserin gewählte Formulierung "Frau E._ erbt nichts" enthalte auch nach dem Andeutungsprinzip "nicht genügend Wörter", um die Nachkommen einzuschliessen. Die präzise namentliche Erwähnung einer ausgeschlossenen gesetzlichen Erbin könne sprachlich nicht nur keine weiteren Personen mitumfassen, sondern nehme sogar "e contrario" weitere Personen vom Ausschluss aus.
6.2.2. Mit dieser Rüge ist der Beschwerdeführer vor Bundesgericht mangels materieller Erschöpfung des Instanzenzugs nicht zu hören. Dass er die Rüge, wonach die Erblasserin den besagten Willen im fraglichen Satz nicht formgültig erklärt habe (s. dazu <ref-ruling> E. 3.1 S. 604 mit Hinweisen), schon im Berufungsverfahren erhoben hätte, geht aus dem angefochtenen Entscheid nicht hervor und wird vom Beschwerdeführer auch nicht behauptet. Dem angefochtenen Entscheid zufolge bemängelte der Beschwerdeführer unter dem Blickwinkel des Formerfordernisses lediglich, es fehle für den Fall des Vorversterbens von D._ an einer "formgerechten positiven Verfügung". Entscheidet die letzte kantonale Instanz - wie hier (E. 1) - entsprechend dem Grundsatz von <ref-law> als Rechtsmittelinstanz, so ist die Ausschöpfung des Instanzenzugs unerlässliche Voraussetzung für die Zulässigkeit der Beschwerde an das Bundesgericht (s. <ref-ruling> E. 4.1 S. 190 mit Hinweisen). Letztinstanzlichkeit gemäss <ref-law> bedeutet, dass der kantonale Instanzenzug nicht nur formell durchlaufen, sondern auch materiell ausgeschöpft werden soll (<ref-ruling> E. 1.1 S. 292 f. mit Hinweisen; Urteil 4A_32/2018 vom 11. Juli 2018 E. 5.2.1). Die rechtsuchende Partei darf die ihr bekannten rechtserheblichen Einwände der Vorinstanz nicht vorenthalten, um sie erst nach dem Ergehen eines ungünstigen Entscheides im anschliessenden Rechtsmittelverfahren zu erheben. Sie muss sich in der Beschwerde an das Bundesgericht mit den Erwägungen der letzten kantonalen Instanz zu Rügen auseinandersetzen, die sie bereits vor dieser letzten kantonalen Instanz erhoben hat.
Im Übrigen vermag die Argumentation des Beschwerdeführers nicht zu überzeugen. Die Frage nach der hinreichenden Andeutung wird erst deshalb aktuell, weil nicht nur D._, sondern auch E._ beim Tod der Erblasserin bereits verstorben waren. Ob die Erblasserin an diese Konstellation gedacht hat, als sie ihren letzten Willen zu Papier brachte, ist keine Frage des Formerfordernisses, sondern eine Tatfrage. Diesbezüglich bleibt es dabei, dass die Erblasserin auch die Nachkommen von E._ vom Erbe ausschliessen wollte (E. 6.1). Die letztwilligen Anordnungen bringen insgesamt klar zum Ausdruck, dass die Erblasserin umfassend über ihren Nachlass verfügen wollte. Hätte die Erblasserin gewollt, dass Nachkommen ihrer Schwester E._ zum Zuge kommen, so hätte sie diese Nachkommen erwähnt. Von daher kann nicht gesagt werden, dass der Wille der Erblasserin, auch die besagten Nachkommen vom Nachlass auszuschliessen, nicht wenigstens andeutungsweise aus dem Text des Testaments hervorgeht.
6.3.
6.3.1. Weiter verlangt der Beschwerdeführer, das Testament wegen eines Willensmangels der Erblasserin (<ref-law>) ungültig zu erklären. Dem Beschwerdeführer zufolge stellt sich die Frage des Willensmangels nur für den Fall, dass sich die Erblasserin Vorstellungen über die Zukunft machte und insbesondere auch die Situation in Betracht zog, dass D._ vor ihr stirbt. Sollte die Erblasserin gewollt haben, dass E._ und deren Stamm auch nach dem Vorversterben von D._ nichts erben und D._s Anteil an die Beschwerdegegnerin und ihren Stamm übergeht, so sei sie mit Bezug auf die Notwendigkeit einer Ersatzverfügung einem Rechtsirrtum unterlegen - vorausgesetzt, dass E._ und deren Stamm nicht rechtsgültig von der gesetzlichen Erbfolge ausgeschlossen wurden. Wollte die Erblasserin hingegen auch E._s Nachkommen ausschliessen und glaubte sie, der Entzug des gesetzlichen Erbrechts einer Parentel "führe zum Entzug des selben für alle folgenden", so sei sie einem Rechtsirrtum erlegen. "Dann hätte sie das Testament wohl aufgehoben und jedenfalls nicht so testiert", so die Argumentation des Beschwerdeführers.
6.3.2. Soweit sich die umständlichen Erörterungen des Beschwerdeführers nachvollziehen lassen, resultiert daraus ein Doppeltes: Erstens macht der Beschwerdeführer vor Bundesgericht für den - nun eingetretenen - Fall, dass es beim testamentarischen Ausschluss von E._ und deren Nachkommen sein Bewenden hat (E. 5 sowie 6.1 und 6.2), offensichtlich nicht (mehr) geltend, dass die Erblasserin mit Bezug auf die Notwendigkeit einer Ersatzverfügung für den Fall des Vorversterbens von D._ einem Willensmangel erlag. Nachdem dieser Fall eingetreten ist, braucht sich das Bundesgericht unter diesem Blickwinkel nicht mehr zur Gültigkeit des Testaments vom 11. Juni 1978 zu äussern. Zweitens argumentiert der Beschwerdeführer sinngemäss, dass die Erblasserin (zu seinen Gunsten) anders letztwillig verfügt hätte, wenn sie gewusst hätte, dass der Ausschluss von E._ von der gesetzlichen Erbfolge auch deren Nachkommen erfasst. Die Erblasserin soll irrtümlich gemeint haben, dass der Entzug des gesetzlichen Erbrechts der Schwester die gesetzlichen Erbansprüche von deren Nachkommen an ihrem Nachlass, das heisst demjenigen der Erblasserin, unberührt lässt. Auch wenn der Beschwerdeführer der Erblasserin (abermals) einen Rechtsirrtum unterstellt, nennt er in seinem Schriftsatz keine Rechtsvorschrift des Sinnes, dass der Entzug des gesetzlichen Erbrechts immer auch gegenüber den Nachkommen der Person wirkt, der das gesetzliche Erbrecht entzogen wurde. Dass das Gesetz für diese Rechtsfrage eine Bestimmung enthält (<ref-law>), ist auch nicht ersichtlich. Wer - wie die Erblasserin - keine pflichtteilsberechtigten Erben hinterlässt, kann über sein ganzes Vermögen von Todes wegen verfügen (<ref-law>). Ob mit dem Satz "Frau E._ erbt nichts" auch die Nachkommen der Schwester vom Erbe ausgeschlossen sind, hängt somit vom - bewiesenen - rechtsgeschäftlichen Gestaltungswillen der Erblasserin ab (vgl. BGE 47 III 529 E. 2 S. 532 zur [spiegelbildlichen] Frage, ob der Erblasser mit dem Ausdruck "nipoti" nur seine Nichten und Neffen oder - entsprechend dem Tessiner Sprachgebrauch - auch seine Grossnichten und -neffen begünstigen wollte). Diesbezüglich bleibt es in tatsächlicher Hinsicht bei der vorinstanzlichen Erkenntnis, dass die Erblasserin mit dem Satz "Frau E._ erbt nichts" auch die Nachkommen von ihrem Erbe ausschliessen wollte (E. 5 und 6.1). Entgegen dem, was der Beschwerdeführer glauben machen will, hat sich die Erblasserin bezüglich der Frage, ob E._s Nachkommen an ihrem Erbe teilhaben sollen, also gerade nicht geirrt. Damit erübrigen sich auch in dieser Hinsicht weitere Erörterungen zum Thema Willensmangel.
6.4. Schliesslich vermisst der Beschwerdeführer ein Beweisverfahren zur Frage, ob die Erblasserin "auch die nachgeborenen Nachkommen" von E._ ausschliessen wollte. Er will damit ins Spiel bringen, dass er erst nach der Errichtung des Testaments vom 11. Juni 1978 geboren wurde. Wie der Beschwerdeführer selbst implizite einräumt, kommt es auf diesen Umstand aber nicht an, wenn in tatsächlicher Hinsicht feststeht, dass die Nachkommen dieser Schwester ebenfalls vom Erbe ausgeschlossen sind (E. 5 und 6.1). Darauf ist nicht weiter einzugehen. Dasselbe gilt für die Überlegungen des Beschwerdeführers zur Hypothese, dass auch die Beschwerdegegnerin vor der Erblasserin hätte versterben können. Dieser Sachverhalt hat sich nicht ereignet, ist nicht Gegenstand des Verfahrens und muss folglich auch nicht beurteilt werden.
7.
Die Beschwerde erweist sich somit als offensichtlich unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann. Entsprechend hat der Beschwerdeführer die Verfahrenskosten zu tragen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin, die sich nicht zur Beschwerde zu vernehmen hatte, ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen. Wie die vorigen Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren als von Anfang an aussichtslos gelten. Damit mangelt es an einer materiellen Anspruchsvoraussetzung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Mai 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn