Faits :
A.
A._ a été inscrit au Registre du commerce comme associé gérant de la société B._ Sàrl avec signature collective à deux depuis 1999, puis en qualité d'associé gérant unique avec signature individuelle dès le 23 mai 2011. Cette société était affiliée en tant qu'employeur à la Caisse AVS de la Fédération patronale vaudoise (ci-après: la caisse). Le recouvrement des cotisations sociales impayées afférentes aux années 2011 à 2013 a abouti à la délivrance d'actes de défaut de biens à l'encontre de B._ Sàrl en faveur de la caisse.
Par décision du 20 août 2015, la caisse a réclamé à A._ la réparation du dommage qu'elle avait subi par la remise des actes de défaut de biens, à concurrence de 23'061 fr. 90. Par décision du 25 janvier 2018, la caisse a rejeté l'opposition que A._ avait formée contre la décision du 20 août 2015; le montant du dommage a été fixé à 17'316 fr. 90 compte tenu de divers versements effectués en 2016. Entretemps, la faillite de B._ Sàrl a été ouverte en septembre 2016 et suspendue faute d'actif en 14 février 2017.
B.
A._ a déféré la décision du 25 janvier 2018 au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, en concluant à son annulation. La juridiction cantonale l'a débouté par jugement du 15 avril 2019.
C.
Agissant par la voie du recours constitutionnel subsidiaire, A._ conclut à l'annulation de ce jugement et à ce qu'il soit dit qu'il n'est pas le débiteur de la caisse intimée.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le Tribunal fédéral connaît des recours constitutionnels contre les décisions des autorités cantonales de dernière instance qui ne peuvent faire l'objet d'aucun recours selon les art. 72 à 89 (<ref-law>).
1.2. Le litige porte sur la responsabilité du recourant, au sens de l'<ref-law>, dans le préjudice causé à l'intimée par la perte de cotisations sociales à hauteur de 17'316 fr. 90. Comme la valeur litigieuse minimale de 30'000 fr. n'est pas atteinte et que la contestation ne soulève aucune question juridique de principe (<ref-law>), seule la voie du recours constitutionnel subsidiaire (<ref-law>) est ouverte contre le jugement du 15 avril 2019.
1.3. La juridiction cantonale a exposé correctement les règles applicables à la solution du litige, singulièrement la jurisprudence relative à la responsabilité de l'employeur au sens de l'<ref-law>, si bien qu'il suffit de renvoyer à son jugement.
2.
2.1. Le recours constitutionnel peut être formé uniquement pour violation des droits constitutionnels (<ref-law>). Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés (art. 106 al. 2 et 117 LTF), c'est-à-dire expressément soulevés et exposés de façon claire et détaillée (principe d'allégation; <ref-ruling> consid. 1.4). Il n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266; <ref-ruling> consid. 3 p. 399 sv.). Le recourant qui se plaint d'arbitraire ne saurait, dès lors, se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'un libre pouvoir d'examen; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de l'autorité cantonale, mais doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision est manifestement insoutenable (p. ex. arrêt 5A_31/2019 du 31 mai 2019 consid. 2.1).
Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il peut néanmoins rectifier ou compléter les constatations de cette autorité si les faits ont été constatés en violation d'un droit constitutionnel (art. 118 al. 2 et 116 LTF), ce que le recourant doit démontrer d'une manière circonstanciée et précise, conformément aux exigences de motivation de l'<ref-law> (par renvoi de l'<ref-law>).
2.2. Une décision est contraire à l'art. 9 Cst. lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si sa décision apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain. En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision soient insoutenables; il faut encore que celle-ci soit arbitraire dans son résultat. Il ne suffit d'ailleurs pas non plus qu'une solution différente de celle retenue par l'autorité cantonale puisse être tenue pour également concevable ou apparaisse même préférable (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 168; <ref-ruling> consid. 3.2.5 p. 339; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 319).
En ce qui concerne l'appréciation des preuves et la constatation des faits, l'autorité tombe dans l'arbitraire lorsqu'elle ne prend pas en considération, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, sur la base des éléments recueillis, elle parvient à des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560).
3.
A l'appui de son recours constitutionnel, le recourant se prévaut d'une violation du principe de l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.).
3.1. Le recourant soutient que les décomptes de l'intimée apparaissent entachés d'erreurs. Il reproche notamment à l'intimée de n'avoir pas produit les bases réglementaires idoines, de sorte que le taux applicable aux frais d'administration n'a pas pu être contrôlé.
Sur ce point, le tribunal cantonal a indiqué les motifs qui l'ont conduit à confirmer la décision de l'intimée (consid. 8a/dd du jugement attaqué). A l'examen des griefs, on constate que le recourant se contente simplement de manifester son désaccord, sans toutefois établir en quoi les explications de l'instance précédente relatives au taux des frais d'administration, par le biais d'un renvoi au règlement de la caisse intimée et à deux décomptes, confineraient à l'arbitraire. Le moyen est infondé.
3.2. De l'avis du recourant, l'intimée n'a pas agi avec la diligence que l'on pouvait attendre d'elle, car elle aurait laissé les retards de cotisations afférents aux années 2011 à 2013 s'accumuler durant trois ans.
A ce sujet, le tribunal cantonal a constaté, de manière à lier le Tribunal fédéral (<ref-law>), que l'intimée avait adressé des sommations en temps utile, portant à ces occasions les frais afférents à celles-ci au débit du compte de B._ Sàrl, les 7 février 2011, 10 septembre 2012 et 10 mai 2013 (consid. 8a/ff du jugement). On saisit dès lors mal en quoi consiste l'arbitraire invoqué par le recourant, puisque l'intimée a précisément respecté la procédure de sommation prévue par l'<ref-law>.
3.3. Le recourant fait encore valoir que la décision qui le condamne à réparer un dommage, en raison d'une négligence grave au sens de l'<ref-law>, est arbitraire, car il est établi que son état de santé ne lui permettait pas de gérer de façon adéquate sa société. Il se réfère à cet égard à l'avis du docteur C._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, qu'il avait invoqué en procédure cantonale (cf. certificat médical du 23 avril 2018).
La juridiction cantonale a clairement exposé les raisons pour lesquelles elle n'a pas accordé de force probante au certificat du docteur C._ du 23 avril 2018, admettant en conséquence que le recourant n'avait pas établi qu'il s'était trouvé dans l'incapacité de s'occuper de ses affaires administratives à l'époque du non-versement des cotisations sociales à l'intimée (consid. 7b du jugement). Dans la mesure où il revient à charge en se prévalant derechef du même avis médical, sans démontrer en quoi l'appréciation du tribunal cantonal serait insoutenable sur ce point, le recourant échoue à nouveau à établir une violation du principe de l'interdiction de l'arbitraire dont il se prévaut.
3.4. Quant au résultat, le recourant estime qu'il est "profondément choquant", car il se voit finalement condamné à payer plus de 17'000 fr. à l'intimée alors qu'il a perdu toutes ses économies dans une société dont il n'a retiré aucun avantage financier, étant incapable d'agir en raison d'une maladie mentale.
Comme les précédents, ce moyen est dépourvu de toute pertinence. En effet, le recourant est condamné à réparer le dommage qu'il a causé par sa négligence grave (<ref-law>), sa situation financière personnelle ne jouant aucun rôle dans ce contexte.
4.
En bref, le recourant, qui se plaint d'arbitraire, se borne à critiquer la décision attaquée comme il le ferait devant un tribunal cantonal des assurances, où l'autorité de recours jouit d'un libre pouvoir d'examen (art. 61 let. c LAVS). Il se contente d'opposer son point de vue à celui de l'autorité cantonale, sans parvenir à démontrer, par une argumentation précise, que cette décision est manifestement insoutenable. Comme les violations alléguées de l'art. 9 Cst. ne sont pas établies, le recours doit être rejeté.
5.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais de la procédure (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'400 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 4 juillet 2019
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
Le Greffier : Berthoud