Sachverhalt:
A.
A.a. Auf Antrag der B._ Ltd. erliess das Bezirksgericht Luzern am 30. November 2015 einen Arrestbefehl gegen A._ für eine Forderungssumme von Fr. 2'946'362.15 (= US-Dollar 2'882'655.44) nebst 5 % Zins seit 1. Oktober 2015. Gestützt darauf verarrestierte das Betreibungsamt Luzern die Grundstücke Nrn. xxx und yyy, Grundbuch U._ sowie sämtliche Vermögenswerte von A._ bei der Bank C._ AG.
A.b. Am 4. Januar 2016 erhob A._ Einsprache gegen den Arrestbefehl. In der Einsprache hatten seine Rechtsvertreter geltend gemacht, für die Verfassung einer Einsprache bedürfe es einer umfassenden Instruktion. Diese habe jedoch noch nicht erfolgen können, da sich A._ zurzeit in Russland in Untersuchungshaft befinde. Die näheren Umstände seien nicht bekannt. Bekannt sei lediglich, dass die Untersuchungshaft mindestens noch bis Ende Februar 2016 andauern werde. Die Einsprache enthalte daher lediglich eine provisorische Begründung. Gestützt auf diese Ausführungen gewährte das Bezirksgericht A._ eine Nachfrist bis 26. Januar 2016 zur Ergänzung der Einsprache, die in der Folge mehrmals antragsgemäss verlängert wurde, nämlich zunächst bis 11. März 2016, dann bis 15. Juli 2016 und später noch einmal bis 2. September 2016. Einem weiteren Fristerstreckungsgesuch vom 2. September 2016, mit welchem A._ die Erstreckung der Frist bis 11. November 2016 verlangte, entsprach das Bezirksgericht teilweise, indem es die Frist zur Ergänzung der Begründung der Einsprache "letztmals" bis 14. Oktober 2016 erstreckte. Mit Eingabe vom 14. Oktober 2016 ersuchten die Rechtsvertreter von A._ schliesslich um Sistierung des Verfahrens sowie Abnahme der auf den 14. Oktober 2016 angesetzten Frist. Das Bezirksgericht wies mit verfahrensleitender Verfügung vom 15. November 2016 das Gesuch um Sistierung des Einspracheverfahrens ab und gewährte A._ eine letzte, nicht erstreckbare Nachfrist bis 28. November 2016 um die Begründung der Einsprache vom 4. Januar 2016 zu ergänzen. Ein erneutes Sistierungsbegehren vom 28. November 2016 wurde mit verfahrensleitender Verfügung vom 29. November 2016 unter Verweis auf die zu diesem Thema bereits geführte Korrespondenz abgewiesen.
A.c. Mit Entscheid vom 12. Januar 2017 wies das Bezirksgericht die Einsprache gegen den Arrestbefehl vom 30. November 2015 ab und auferlegte A._ die Prozesskosten.
B.
B.a. Mit Beschwerde vom 26. Januar 2017 beantragte A._ dem Kantonsgericht Luzern die Aufhebung des bezirksgerichtlichen Entscheids sowie des Arrestbefehls vom 30. November 2015 und dessen Vollzugs; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an das Bezirksgericht zurückzuweisen. Weiter beantragte er, die Vollstreckung des angefochtenen Entscheids sei bis zur rechtskräftigen Erledigung der Beschwerde aufzuschieben und der Aufschub sei dem Rechtsöffnungsrichter am Bezirksgericht Luzern anzuzeigen.
B.b. Mit Verfügung vom 7. März 2017 wurde das Begehren um aufschiebende Wirkung abgewiesen.
B.c. Mit Entscheid vom 31. Mai 2017 wies das Kantonsgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Eingabe seiner Rechtsvertreter vom 17. Juli 2017 ist A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht gelangt mit dem Antrag, der Entscheid vom 31. Mai 2017 sei aufzuheben und der Arrestbefehl des Bezirksgerichts Luzern vom 27. November 2015 sowie dessen Vollzug seien umgehend aufzuheben. Eventuell sei die Sache zur neuerlichen Entscheidung an das Kantonsgericht Luzern und subeventuell an das Bezirksgericht Luzern zurückzuweisen. Ausserdem beantragt er die aufschiebende Wirkung.
Mit Verfügung vom 19. Juli 2017 wurde das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid (<ref-law>) über die Weiterziehung eines Arresteinspracheentscheides; er betrifft eine Schuldbetreibungs- und Konkurssache, die mit Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht weitergezogen werden kann (<ref-law>), zumal der Streitwert von Fr. 30'000.-- offensichtlich überschritten ist (<ref-law>).
1.2. Der Weiterziehungsentscheid nach <ref-law> gilt wie der (abweisende) Arrestentscheid nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 1 S. 590) als vorsorgliche Massnahme im Sinn von <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234); damit kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Diesbezüglich gelten die strengen Begründungsanforderungen von <ref-law>, d.h. es ist anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399).
1.3. Das Bundesgericht ist an den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt gebunden (<ref-law>). Eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt im Anwendungsbereich von <ref-law> nur dann in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588), wofür wiederum das strenge Rügeprinzip gilt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255). Will der Beschwerdeführer die Verletzung des Willkürverbots geltend machen, reicht es sodann nicht aus, wenn er den Sachverhalt aus seiner eigenen Sicht darlegt und die davon abweichenden Feststellungen im angefochtenen Entscheid als willkürlich bezeichnet. Vielmehr muss er neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung im Einzelnen dartun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
2.
Die Vorinstanz hat festgehalten, dass sich der Beschwerdeführer mit den von der Erstinstanz als glaubhaft gemacht erachteten Voraussetzungen für die Arrestbewilligung nicht auseinandergesetzt habe, weshalb auf die Beschwerde gegen den Einspracheentscheid in diesem Punkt mangels Begründung nicht eingetreten werden könne. Ein reformatorischer Entscheid des Bundesgerichts, wie ihn der Beschwerdeführer mit seinem Hauptbegehren verlangt, kommt bei dieser Ausgangslage nicht in Frage (vgl. Urteil 5A_508/2012 vom 28. August 2012 E. 1.2, in: Pra 2013 Nr. 56 S. 483). Demgegenüber ist auf den Eventualantrag einzutreten, mit dem die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Rückweisung der Sache zu neuer Entscheidung verlangt wird. Anlass zur Beschwerde gibt dabei die Frage, ob die Vorinstanz eine Verletzung des rechtlichen Gehörs durch die Erstinstanz zu Recht verneint hat.
3.
3.1. Ein Arrest wird ohne Anhörung des Arrestschuldners bewilligt. Wer durch einen Arrest in seinen Rechten betroffen ist, kann gemäss <ref-law> innert zehn Tagen, nachdem er von dessen Anordnung Kenntnis erhalten hat, beim Gericht Einsprache erheben. Diese Bestimmung schreibt nicht vor, dass die Einsprache innert der Frist von zehn Tagen begründeterhoben werden muss. Nach allgemeiner Auffassung bedingt der Anspruch auf rechtliches Gehör, dass der Einsprecher die Möglichkeit haben muss, in die Arrestbewilligungsakten, insbesondere das Arrestbegehren Einsicht zu nehmen und seine fristgerecht erhobene Einsprache auch noch nach Ablauf der Einsprachefrist zu begründen bzw. seine Begründung zu ergänzen (vgl. Rudolf Ottomann, Der Arrest, ZSR 115/1996 I S. 258; THOMAS BAUER, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Ergänzungsband 2017, N. 35 zu <ref-law> mit Hinweis auf den Beschluss und das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 20. Februar 2015, Aktenzeichen PS150016-O/U; YVONNE ARTHO VON GUNTEN, Die Arresteinsprache, 2001, S. 36 f.; VOCK/MEISTER-MÜLLER, SchKG-Klagen nach der Schweizerischen ZPO, 2. Aufl. 2018, S. 330 f.; FELIX C. MEIER-DIETERLE, in: Kurzkommentar SchKG, 2. Aufl. 2014, N. 11 zu <ref-law>). Die Arresteinsprache hemmt die Wirkung des Arrestes nicht (<ref-law>).
3.2. Vorliegend hat die Erstinstanz dem Beschwerdeführer antragsgemäss eine gerichtliche Frist zur vollständigen Begründung der Einsprache angesetzt und diese in der Folge (mehrmals) verlängert (s. Sachverhalt Buchstabe A.b). Der Beschwerdeführer, der zunächst zulässigerweise eine bloss provisorisch begründete Arresteinspracheeingereicht hatte, beanstandet letztlich die Verweigerung weiterer Fristerstreckungen bzw. die Ablehnung des Sistierungsgesuchs im erstinstanzlichen Verfahren. Dass er den Entscheid auf Nicht-Sistierung bzw. Nicht-Gewährung weiterer Nachfristen nicht selbständig angefochten hat, schadet ihm nicht. Die Verweigerung der Sistierung ist - anders als die Anordnung einer Sistierung (vgl. Art. 126 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>) - bereits auf kantonaler Ebene selbständig lediglich eingeschränkt, nämlich nur im Rahmen von Art. 319 lit. b Ziff. 2ZPO anfechtbar (Urteil 5D_182/2015 vom 2. Februar 2016 E. 1.3 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer musste gegen diesen Entscheid keine separate Beschwerde führen und war deshalb mit seinem diesbezüglichen Einwand im Rechtsmittelverfahren gegen den Endentscheid noch zu hören (zit. Urteil 5D_182/2015 E. 1.3; KARL SPÜHLER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 13 zu <ref-law>; ALEXANDER BRUNNER, in: ZPO, Oberhammer und andere [Hrsg.], 2. Aufl. 2014, N. 13 zu <ref-law>). Dasselbe gilt auch für den Entscheid, mit welchem dem Beschwerdeführer eine Fristerstreckung im erstinstanzlichen Verfahren verweigert worden ist (vgl. BARBARA MERZ, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Bd. I, Brunner/Gasser/Schwander [Hrsg.], 2. Aufl. 2016, N. 27 zu <ref-law>). Auch insoweit steht daher einer Behandlung des Vorbringens, die Verweigerung weiterer Fristerstreckungen bzw. der Sistierung im erstinstanzlichen Verfahren habe zu einer Benachteiligung geführt und die Vorinstanz diesbezüglich eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) zu Unrecht verneint, nichts entgegen.
4.
4.1. In tatsächlicher Hinsicht hat das Obergericht zur geltend gemachten Verletzung des rechtlichen Gehörs festgehalten, der Gesuchsgegner (Beschwerdeführer) habe eine Unmöglichkeit der Kommunikation mit seinen Anwälten zwar behauptet, aber nicht belegt. Es werde auch nicht dargelegt, dass die Rechtsvertreter versucht hätten, mit dem Gesuchsgegner in Kontakt zu treten und dass ihnen dies verweigert worden sei.
Das Obergericht hat sodann erwogen, dass selbst wenn dies belegt worden wäre, dies am Ergebnis nichts ändern würde. In der vorliegenden Konstellation, in welcher der Gesuchsgegner bereits Vorkehren zur Wahrung seiner Rechte getroffen und Anwälte in dieser Sache mandatiert hatte, die auch tatsächlich für ihn gehandelt hätten, gehe es letztlich nicht um die Wahrung seines rechtlichen Gehörs, sondern darum, inwiefern er aufgrund seiner Untersuchungshaft noch postulationsfähig sei. Gemäss <ref-law> könne das Gericht eine Partei auffordern, eine Vertreterin oder einen Vertreter zu beauftragen, wenn eine Partei offensichtlich nicht imstande sei, den Prozess selbst zu führen. Auch länger dauernde Abwesenheiten (wie z.B. solche aufgrund unverschuldeter Verhinderung wie Krankheit, Unfall usw.) könnten zur Anwendung von <ref-law> führen. Wäre der Gesuchsgegner nicht bereits anwaltlich vertreten gewesen, hätte die Möglichkeit bestanden ihm gestützt auf <ref-law> einen Vertreter zu bestellen. Dessen Aufgabe wäre es gewesen, die Interessen des Gesuchsgegners aufgrund der konkreten Umstände bestmöglich zu wahren. Dies hätten die Vertreter des Gesuchsgegners aber bereits gemacht, indem sie gegen den Arrestbefehl Einsprache erhoben und diese begründet hätten, soweit es ihnen möglich gewesen sei. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs sei insgesamt nicht auszumachen, zumal die Erstinstanz auf die besondere Situation des Beschwerdeführers bereits über Gebühr Rücksicht genommen habe.
4.2. Der Beschwerdeführer hält dem entgegen, dass ohne genaue Kenntnis des Sachverhalts eine sachgemässe Vertretung durch seine Anwälte nicht möglich gewesen sei, weshalb eine Sistierung des Verfahrens bzw. weitere Erstreckung der gerichtlichen Frist zur Wahrung seines rechtlichen Gehörs zwingend erforderlich gewesen wäre. Die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen würden im Widerspruch zur Aktenlage stehen und seien damit willkürlich. Die Haft an sich sei mit fünf Bestätigungsschreiben des russischen Advokaturbüros "D._" und daneben mit einem Beschluss des Moskauer Gerichts des Stadtbezirks V._ belegt worden. Die gravierenden Einschnitte in seiner Kommunikationsfreiheit, welche der Beschwerdeführer aufgrund seiner Inhaftierung in Russland erleiden müsse, seien im Schreiben von "D._" vom 10. Oktober 2016 explizit erwähnt. Es könne mit Bezug auf Russland nicht von einem funktionierenden Rechtssystem ausgegangen werden, welches Verfahrensrechte auch von Inhaftierten achte.
5.
5.1. Das rechtliche Gehör gemäss <ref-law> dient einerseits der Sachaufklärung, andererseits stellt es ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheides dar, welcher in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Dazu gehört insbesondere das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines solchen Entscheides zur Sache zu äussern, erhebliche Beweise beizubringen, Einsicht in die Akten zu nehmen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen. Der Anspruch auf rechtliches Gehör umfasst als Mitwirkungsrecht somit alle Befugnisse, die einer Partei einzuräumen sind, damit sie in einem Verfahren ihren Standpunkt wirksam zur Geltung bringen kann (<ref-ruling> E. 5.1 S. 293 mit Hinweisen). Der Gehörsanspruch schliesst das Recht ein, sich im Zivilprozess vertreten und verbeiständen zu lassen (Urteil 5A_10/2007 vom 23. März 2007 E. 3.2.2; <ref-ruling> E. 6a S. 261 Art. 4 aBV betreffend).
5.2. Gerichtliche Fristen können erstreckt werden, wenn das Gericht vor Fristablauf darum ersucht wird. Erforderlich sind gemäss <ref-law> "zureichende Gründe", welche die Partei in begründeter Weise geltend zu machen hat. Bei der Betätigung seines Ermessens wird das Gericht die Wichtigkeit des angeführten Grundes gegen das Interesse am ordnungsgemässen Verfahrensgang abwägen und dabei auch die Dringlichkeit der Streitsache berücksichtigen (Urteil 5D_87/2013 vom 16. Juli 2013 E. 6.1, in: SZZP 2013 S. 478). Die angegebenen Gründe müssen nach der allgemeinen Lebenserfahrung geeignet erscheinen, die Einhaltung der Frist zu verunmöglichen oder zumindest die rechtzeitige Vornahme der Verfahrenshandlung zu erschweren. Auch wenn das Gericht in diesem Zusammenhang über einen weiten Ermessensspielraum verfügt, darf es nicht grundlos wesentliche Entscheidungskriterien übergehen oder umgekehrt auf bedeutungslose Gesichtspunkte abstellen, da es damit den Gehörsanspruch des Gesuchstellers verletzen würde (Urteil 5D_174/2013 vom 15. Januar 2014 E. 4.4; vgl. auch MERZ, a.a.O., N. 7 zu <ref-law>, nach welcher eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör vorliegt, wenn die Fristerstreckung verweigert wird, obwohl zureichende Gründe bestehen). Das Gesetz regelt nicht, wie oft eine Frist erstreckt werden kann und lässt demnach Raum für mehrere aufeinanderfolgende Verlängerungen. Zurückhaltung gebietet aber das Gebot der Prozessbeschleunigung. Mit jedem weiteren Fristerstreckungsgesuch ist von steigenden Anforderungen an die Gründe auszugehen (URS H. HOFFMANN-NOWOTNY, in: ZPO, Oberhammer und andere [Hrsg.], 2. Aufl. 2014, N. 6 und 10 zu <ref-law>).
Die Sistierung eines Verfahrens ist nach der Rechtsprechung nur ausnahmsweise zulässig. Im Zweifelsfall kommt dem Beschleunigungsgebot der Vorrang zu (<ref-ruling> E. 3.4 S. 134; Urteil 5A_714/2014 vom 2. Dezember 2014 E. 4.2). Gemäss <ref-law> kann das Gericht das Verfahren sistieren, wenn die Zweckmässigkeit es verlangt (Abs. 1 erster Satz). Zweckmässig kann eine Sistierung u.a. dann sein, wenn einer Partei weitere Prozessschritte faktisch verunmöglicht sind (ROGER WEBER, in: ZPO, Oberhammer und andere [Hrsg.], 2. Aufl. 2014, N. 11 zu <ref-law>).
5.3. Nach den vorinstanzlichen Feststellungen hatte der Beschwerdeführer im Zeitpunkt seiner Inhaftierung bereits Anwälte in dieser Angelegenheit mandatiert. Diese haben den geltend gemachten Anspruch auf (weitere) Fristerstreckungen bzw. Sistierung denn auch nicht mit der Tatsache der Inhaftierung als solcher begründet, sondern mit der Behauptung, es sei ihnen wegen der russischen Untersuchungshaft ihres Klienten verwehrt, gehörige Instruktionen zur Prozessführung einzuholen. Was der Beschwerdeführer in Bezug auf die fehlende Kommunikationsmöglichkeit ausführt, ist indes rein appellatorisch. So bleibt die Feststellung, dass die Vertreter des Beschwerdeführers nicht dargelegt haben, was zur Kontaktaufnahme mit dem Beschwerdeführer bereits konkret vorgenommen wurde, gänzlich unangefochten und begnügt sich der Beschwerdeführer damit, auf ein im erstinstanzlichen Verfahren eingereichtes Schreiben des ihn im russischen Strafverfahren vertretenden Advokaturbüros "D._" vom 10. Oktober 2016 zu verweisen. Abgesehen davon, dass dieses Schreiben von Parteivertretern des Beschwerdeführers stammt und dessen Beweiswert daher bereits aus diesem Grund fraglich scheint, geht daraus hervor, dass der Beschwerdeführer nicht vollständig von der Aussenwelt abgeschnitten war. Vielmehr konnten die den Beschwerdeführer im russischen Verfahren vertretenden Anwälte mit diesem - wenn auch unter Einschränkungen - offenbar direkt kommunizieren. Auch ein Verbot schriftlicher Kommunikation wird in diesem Schreiben nicht erwähnt. Der Beschwerdeführer vermag mithin nicht darzutun, dass die Vorinstanzen in Willkür verfallen sind, wenn sie eine Glaubhaftmachung der Tatsache, dass es ihm nicht möglich war, seinen schweizerischen Vertretern die für die Fortführung des Arresteinspracheverfahrens erforderlichen Informationen und Instruktionen zukommen zu lassen, verneint haben. Die Sachverhaltsrüge erweist sich als unbegründet, soweit sie den Begründungsanforderungen (vgl. vorne E. 1.3) überhaupt genügt. Damit erübrigt es sich, auf die vorinstanzliche Eventualbegründung (vorne E. 4.1 zweiter Absatz) weiter einzugehen und kann offenbleiben, welche Bedeutung dem Sachverhaltsvorbringen im konkreten Fall zukommen könnte.
Da auf die Arresteinsprache gemäss <ref-law> das summarische Verfahren Anwendung findet (<ref-ruling> E. 4.3 S. 638), erheischte das Verfahren eine dringliche Erledigung (zit. Urteil 5D_87/2013 E. 6.2; MERZ, a.a.O., N. 16 zu <ref-law>; FRANCESCO TREZZINI, in: Commentario pratico al CPC, 2. Aufl. 2017, N. 14 zu <ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Gleichwohl hat die Erstinstanz den Rechtsvertretern des Beschwerdeführers für die nachträgliche Begründung der Arresteinsprache insgesamt eine Frist von über elf Monaten gewährt. Ausgehend vom willlkürfrei und damit für das Bundesgericht verbindlich festgestellten Sachverhalt wird nicht dargetan, inwiefern der Beschwerdeführer durch die Ablehnung des Sistierungsgesuchs bzw. die Verweigerung weiterer Fristerstreckungen in einer mit <ref-law> nicht zu vereinbarenden Weise in der Möglichkeit beschränkt worden wäre, die Einwände gegen die Glaubhaftmachung der Voraussetzungen der Arrestbewilligung im Arresteinspracheverfahren darzulegen.
6.
Aus den dargelegten Gründen muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang hat der Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin, die nicht zur Vernehmlassung eingeladen wurde, sind keine Kosten erwachsen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 18'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bezirksgericht Luzern, Einzelrichter Abteilung 3, und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. April 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss