Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ (geb. 1976) und B.A._ (geb. 1980) haben am xx.xx.2006 geheiratet. Sie sind die Eltern der C.A._ (geb. 2009) und des D.A._ (geb. 2011). Die Eltern haben am xx.xx.2017 den gemeinsamen Haushalt aufgehoben. Das Getrenntleben musste gerichtlich geregelt werden (Entscheid des Amtsgerichtspräsidenten des Richteramts Thal-Gäu vom 24. Januar 2018).
A.b. Ab Mai 2018 bis Ende Juni 2019 arbeitete A.A._, vermittelt durch Temporärbüros, bei E._ AG, F._ AG und G._ AG. Ausserdem hatte er Schulden; sein Lohn wurde gepfändet. Im Juli 2019 kehrte A.A._, der im Jahr 2000 von Deutschland her in die Schweiz gekommen war, in sein Ursprungsland zurück. Dort ging er vorerst keiner Erwerbstätigkeit nach und bezog Hartz IV-Leistungen.
A.c. Am 30. August 2019 reichte A.A._ beim Richteramt Thal-Gäu die Scheidungsklage ein. Mit Entscheid vom 27. Januar 2020 schied der Amtsgerichtspräsident die Ehe, beliess die beiden Kinder unter der gemeinsamen elterlichen Sorge, stellte sie in die alleinige Obhut der Mutter und verpflichtete den Vater zur Leistung von Kindesunterhaltsbeiträgen, und zwar ab 1. September 2019 bis 31. August 2021 Fr. 750.-- für C.A._ und Fr. 550.-- für D.A._ sowie ab 1. September 2021 je Fr. 650.-- pro Kind. Sodann stellte das Amtsgericht fest, dass der gebührende Unterhalt der Kinder ab 1. September 2019 bis 31. August 2021 um je Fr. 60.-- und ab 1. September 2021 um je Fr. 160.-- ungedeckt bleibt.
B.
A.A._ führte Berufung beim Obergericht des Kantons Solothurn. Er beantragte, die Kindesunterhaltsbeiträge seien ab 1. September 2019 auf Fr. 248.-- pro Kind festzulegen, wobei festzustellen sei, dass der gebührende Unterhalt im Umfang von Fr. 600.-- je Kind ungedeckt bleibe. Das Obergericht wies die Berufung ab (Entscheid vom 2. Juni 2020).
C.
Mit Eingabe vom 6. Juli 2020 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht, dem er die bereits vor Obergericht formulierten Begehren unterbreitet; eventuell sei der Entscheid aufzuheben und die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem beantragt er, B.A._ (Beschwerdegegnerin) sei zu verpflichten, ihm einen Prozesskostenvorschuss in der Höhe von Fr. 5'000.-- zu bezahlen. Sodann sei ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid eines oberen kantonalen Gerichts, das als Rechtsmittelinstanz über Zivilsachen entschieden hat (Art. 72 Abs. 1, Art. 75 Abs. 1 und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG). Vor Bundesgericht stehen allein unterhaltsrechtliche und damit vermögensrechtliche Fragen im Streit. Der erforderliche Streitwert von Fr. 30'000.-- ist erreicht (Art. 74 Abs. 1 lit. b sowie Art. 51 Abs. 1 lit. a und Abs. 4 BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt, die er auch fristgerecht erhoben hat (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
1.2. Beim Gesuch um Ausrichtung eines Prozesskostenvorschusses handelt es sich nicht um eine vorsorgliche Massnahme im Sinn von <ref-law>, sondern um einen materiellrechtlichen Anspruch, der in der familienrechtlichen Unterstützungspflicht gründet. Entsprechend ist er vor dem zuständigen Sachgericht im kantonalen Verfahren einzufordern (<ref-ruling> E. 7 mit Hinweisen). Für die Beurteilung des Gesuchs um Ausrichtung eines Prozesskostenvorschusses ist das Bundesgericht (funktionell) nicht zuständig, sodass auf dieses nicht einzutreten ist (Urteile 5A_841/2018 und 5A_843/2018 vom 12. Februar 2020 E. 2.3.2; 5A_315/2016 vom 7. Februar 2017 E. 11; 5A_793/2008 vom 8. Mai 2009 E. 6.2).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber grundsätzlich nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (<ref-law>). In der Beschwerde muss in gedrängter Form dargelegt werden, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt, was eine Auseinandersetzung mit dessen Begründung erfordert (<ref-ruling> E. 1.2.2). Die Begründung muss in der Beschwerde selber enthalten sein; es genügt nicht, auf andere Rechtsschriften oder die Akten zu verweisen (<ref-ruling> E. 1.2.3; <ref-ruling> E. 3.2 mit Hinweis; <ref-ruling> E. 3.2 mit Hinweisen). Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen ebenfalls nicht (Urteil 5A_963/2014 vom 9. November 2015 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Erhöhte Anforderungen gelten, wenn verfassungsmässige Rechte als verletzt gerügt werden; hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Auf eine nicht hinreichend begründete Beschwerde tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann einzig vorgebracht werden, sie seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweis), oder sie würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruhen. Ausserdem muss in der Beschwerde aufgezeigt werden, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweis). Auf rein appellatorische Kritik tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.4 mit Hinweis).
3.
Der Beschwerdeführer rügt unter zwei Titeln eine Verletzung der richterlichen Begründungspflicht.
3.1. Jedes Gericht hat seinen Entscheid gehörig zu begründen. Diese Pflicht ist Ausfluss des Anspruchs der Parteien auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Dabei ist es nicht erforderlich, dass sich das Gericht mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt (<ref-ruling> E. 4.3.2 mit Hinweisen). Vielmehr kann es sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken (<ref-ruling> E. 5.1 in fine mit Hinweisen). Ob ein Entscheid hinreichend begründet ist, beurteilt sich anhand seines Ergebnisses, das im Urteilsspruch zum Ausdruck kommt und das allein die Rechtsstellung der betroffenen Person berührt (<ref-ruling> E. 6.1). Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich die betroffene Partei über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann (<ref-ruling> E. 6.1 mit Hinweisen). In diesem Sinn müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die sich sein Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 4.3.2 mit Hinweisen).
3.2. Zunächst beanstandet der Beschwerdeführer folgende Erwägung des Obergerichts: "Ebensowenig ist entgegen seinen Ausführungen zur Niederlassungsfreiheit und zur persönlichen Freiheit eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte auszumachen (vgl. dazu das Urteil des Bundesgerichts 5A_90/2017 vom 24. August 2017, E. 5.3.1)." Dies stelle keine hinreichende Begründung dar. Auch das Verweisen auf einen Bundesgerichtsentscheid sei keine Begründung, sondern ein blosser Verweis auf ein Urteil in einer anderen Sache durch eine andere Instanz. Eine sachgerechte Anfechtung sei so nicht möglich. Inwiefern das Urteil einschlägig oder auf den vorliegenden Fall übertragbar wäre, werde gar nicht erst begründet. Das gelte umso mehr, wenn das zitierte Urteil zum Schluss komme, es sei dem Beschwerdeführer "nicht zumutbar, sein derzeitiges Leben aufzugeben, um in der Schweiz ein höheres Einkommen zu erzielen". Es sei somit nicht ersichtlich, warum das Obergericht ausgerechnet auf dieses Urteil verweise, denn dieses würde gerade für den Standpunkt des Beschwerdeführers sprechen.
Der Vorwurf des Beschwerdeführers trifft nicht zu. Aus dem Gesamtzusammenhang ergibt sich ohne Weiteres, was das Obergericht mit der umstrittenen Erwägung gemeint hat. Nach dessen Auffassung kann sich der Beschwerdeführer nicht auf die Niederlassungs- bzw. persönliche Freiheit berufen, um die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens für eine als zumutbar und tatsächlich möglich erachtete Erwerbstätigkeit in der Schweiz abzuwenden. Weitergehender Ausführungen bedurfte es nicht; namentlich war das Obergericht unter dem Gesichtspunkt der Begründungspflicht nicht verpflichtet, im Einzelnen darzulegen, weshalb dem Beschwerdeführer die angerufenen (Grund-) Rechte in der vorliegenden Situation keine Hilfe sein konnten. Mit der fraglichen Erwägung weiss der Beschwerdeführer genau, worum es geht, und es liegt an ihm, im Rechtsmittelverfahren darzulegen und zu begründen, weshalb das Obergericht diesbezüglich falsch entschieden haben soll.
3.3. Ferner hält der Beschwerdeführer dem Obergericht vor, nicht zu begründen, weshalb es ihm zumutbar und möglich sein solle, jahrelang in der Schweiz zu leben, ohne je der Unterhaltspflicht nachkommen zu können, weil der Grossteil seines Lohnes ohne Berücksichtigung der Kinderalimente gepfändet werde. Eine solche Situation sei nicht zumutbar und wäre zumindest zu begründen. Auch zu begründen wäre, warum der Beschwerdeführer seinen schwer pflegebedürftigen Vater in Deutschland nicht pflegen dürfe. Aussagen wie "daran vermag nichts zu ändern, dass..." wie beispielsweise auf Seite 9 des Urteils stellten keine Begründung dar. Vielmehr wiederhole das Obergericht einfach die Behauptung des Beschwerdeführers, ohne die eigentliche Frage zu beantworten, nämlich warum dies nichts daran zu ändern vermöge. Auch diesbezüglich sei eine sachgerechte Anfechtung nicht möglich.
Diese Rüge hat keine eigenständige Bedeutung, denn sie fällt mit der - nachfolgend in E. 5 zu prüfenden - Frage zusammen, ob dem Beschwerdeführer eine Rückkehr in die Schweiz zumutbar ist. Im Übrigen war der Beschwerdeführer, wie die Beschwerde zeigt, sehr wohl in der Lage, den angefochtenen Entscheid sachgerecht anzufechten.
4.
Sodann macht der Beschwerdeführer eine Verletzung von Art. 8, Art. 10 Abs. 2 und Art. 24 BV geltend.
Soweit seine Rügen überhaupt als genügend substanziiert gelten können (dazu E. 2.1), sind sie unbegründet. Die Schutzwirkung von Grundrechten, somit auch von Art. 8, Art. 10 Abs. 2 und Art. 24 BV, erstreckt sich grundsätzlich nur auf das Verhältnis zwischen Bürger und Staat (vgl. Urteile 5A_384/2018 vom 21. September 2018 E. 3, nicht publ. in: <ref-ruling>; 5P.263/2000 vom 20. Juli 2001 E. 3). Demgegenüber wird der Grundrechtsschutz im Verhältnis von Privatpersonen untereinander über die Zivil- und Strafgesetzgebung gewährt. Der Beschwerdeführer kann sich deshalb in der streitigen Zivilsache nicht direkt auf Art. 8, Art. 10 Abs. 2 oder Art. 24 BV stützen. Vielmehr muss er die entsprechenden zivilrechtlichen Gesetzesbestimmungen anrufen, welche dieses Grundrecht schützen (<ref-ruling> E. 5.2 mit Hinweisen). Wie aus der Beschwerdeschrift hervorgeht, kommt den Beschwerdegründen der Verletzung von Art. 8, Art. 10 Abs. 2 und Art. 24 BV keine eigenständige Bedeutung zu. In der Tat wirft der Beschwerdeführer dem Obergericht denn auch eine Verletzung von Art. 133 i.V.m. Art. 276 und Art. 285 ZGB vor, was nachfolgend zu prüfen ist.
5.
Der Streit dreht sich um die Frage, ob dem nunmehr in Deutschland wohnhaften Beschwerdeführer ein hypothetisches Einkommen in der Höhe des zuletzt in der Schweiz erzielten angerechnet werden darf.
5.1.
5.1.1. Im Verhältnis zum unmündigen Kind sind besonders hohe Anforderungen an die Ausnützung der eigenen Erwerbskraft zu stellen, zumal in engen wirtschaftlichen Verhältnissen (<ref-ruling> E. 4.7.7; <ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweis; Urteile 5A_946/2018 vom 6. März 2019 E. 3.1; 5A_98/2016 vom 25. Juni 2018 E. 3.4 in fine, in: FamPra.ch 2018 S. 1106; 5A_47/2017 vom 6. November 2017 E. 8.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 5A_90/2017 vom 24. August 2017 E. 5.3.1; 5A_806/2016 vom 22. Februar 2017 E. 4.2). Schöpft ein Elternteil seine Erwerbskraft nicht voll aus, kann ihm ein hypothetisches Einkommen angerechnet werden, sofern dieses zu erreichen ihm zumutbar und möglich ist. Welche Tätigkeit aufzunehmen als zumutbar erscheint, ist eine Rechtsfrage. Tatfrage bildet hingegen, ob die als zumutbar erkannte Tätigkeit möglich und das angenommene Einkommen effektiv erzielbar ist (<ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 4.2.2.2 mit Hinweis).
5.1.2. Die Eltern müssen sich daher in beruflicher und unter Umständen auch örtlicher Hinsicht so ausrichten, dass sie ihre Arbeitskapazität maximal ausschöpfen können. Nach der Rechtsprechung kann insbesondere ein (an sich zulässiger) Wegzug ins Ausland unbeachtlich bleiben, wenn eine weitere Arbeitstätigkeit in der Schweiz möglich und zumutbar wäre. Dem unterhaltspflichtigen Elternteil steht es insofern nicht frei, nach Belieben ganz oder teilweise auf ein bei zumutbarer Anstrengung erzielbares Einkommen zu verzichten, um sich andere persönliche oder berufliche Wünsche zu erfüllen. Dass solche Wünsche der Unterhaltspflicht hintanzustehen haben, ergibt sich zwangsläufig aus dem Wesen des hypothetischen Einkommens. Dessen Anrechnung bedeutet auch keine Verletzung verfassungsmässiger Rechte, sofern die Erzielung eines entsprechenden Einkommens - nebst der tatsächlichen Möglichkeit, die sich anhand von Faktoren wie Alter, Gesundheit, Ausbildung, Berufserfahrung, Arbeitsmarktlage, Erziehungspflichten usw. bestimmt - zumutbar im vorgenannten Sinn ist (Urteil 5A_90/2017 vom 24. August 2017 E. 5.3.1 mit zahlreichen Hinweisen).
5.1.3. Ein hypothetisches Einkommen kann einem Elternteil auch im Fall der Verminderung des tatsächlich erzielten Verdienstes angerechnet werden. Dabei ist der Grund für die Einkommensverminderung unerheblich, sofern der betroffene Elternteil bei zumutbarer Anstrengung mehr zu verdienen vermöchte, mithin bei voller Ausschöpfung der Leistungsfähigkeit die Einkommensverminderung rückgängig machen könnte. Diesfalls ist die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens auch bei einer unverschuldeten Einkommensverminderung zulässig. Ist die Verminderung des Einkommens dagegen tatsächlich unumkehrbar, darf ein hypothetisches Einkommen nach der Rechtsprechung nur angerechnet werden, wenn der betroffene Elternteil seinen Verdienst in Schädigungsabsicht geschmälert hat. Notwendig ist dabei, dass der Elternteil böswillig handelt und sich ein rechtsmissbräuchliches Verhalten vorwerfen lassen muss. Nicht jede freiwillige Verminderung des Einkommens (z.B. zufolge freiwilliger Kündigung einer Anstellung) führt auch dann zur Anrechnung eines hypothetischen Einkommens, wenn sie nicht wieder rückgängig gemacht werden kann. Notwendig ist vielmehr Schädigungsabsicht, mithin dass die Einkommensreduktion bei einer bestehenden Unterhaltspflicht bezweckt, den Zufluss der finanziellen Mittel zum anderen Elternteil oder zum Kind zu unterbinden (BGE <ref-ruling> E. 3.4 und nicht publ. E. 4.4.2 [publ. in: FamPra.ch 2017 S. 828] mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 3b und 104 Ia 31 E. 4; vgl. auch AEBI-MÜLLER, Aktuelle Rechtsprechung des Bundesgerichts zum Familienrecht, Jusletter 2. Oktober 2017 Rz. 13; dieselbe, Die privatrechtliche Rechtsprechung des Bundesgerichts im Jahr 2017, ZBJV 154/2018 S. 607; HRUBESCHMILLAUER/FUHRER, Rechtsprechungspanorama Einleitungsartikel und Personenrecht, AJP 2018 S. 636 f.).
5.2. Nach dem Ausgeführten kommt es vorliegend entscheidend auf die Beweggründe des Beschwerdeführers zum Wegzug nach Deutschland an.
5.2.1. Hierbei handelt es sich um innere Tatsachen, die sich nur anhand äusserer Umstände nachweisen lassen und daher einzig einem Indizienbeweis zugänglich sind (vgl. <ref-ruling> E. 7.1 in fine; <ref-ruling> E. 2.3.1). Beim Indizienbeweis wird vermutet, dass eine nicht unmittelbar bewiesene Tatsache gegeben ist, weil sich diese Schlussfolgerung aus bewiesenen Tatsachen (Indizien) nach der Lebenserfahrung aufdrängt (Urteil 5A.8/2005 vom 15. September 2005 E. 4.1; vgl. auch Urteile 6B_781/2010 vom 13. Dezember 2010 E. 3.2; 6B_890/2009 vom 22. April 2010 E. 6.1). Freilich genügt es zum Nachweis einer Schädigungsabsicht nicht, dass das Verhalten des Beschwerdeführers aus objektivierter Sicht (im Nachhinein) wenig sinnvoll erscheint. Hierzu sind vielmehr eindeutige Indizien notwendig, welche unzweifelhaft darauf schliessen lassen, dass er gerade deshalb nach Deutschland weggezogen ist, um sich seiner Unterhaltspflicht zu entziehen und der Beschwerdegegnerin und den Kindern zu schaden. Davon könnte etwa ausgegangen werden, wenn die vom Beschwerdeführer genannten Beweggründe in keinem Zusammenhang mit den festgestellten Tatsachen stehen oder wenn sein Verhalten vor oder nach dem Wegzug offensichtlich auf einen Missbrauch schliessen lässt (vgl. Urteil 5A_403/2019 vom 12. März 2020 E. 4.3.2).
5.3.
5.3.1. In seinen Erwägungen verweist das Obergericht hauptsächlich auf jene des Richteramts Thal-Gäu. Danach habe der Beschwerdeführer bis Ende Juni 2019 via Stellenvermittler im Stundenlohn gearbeitet, zuletzt bei der Firma G._ AG. Die Behauptungen des Beschwerdeführers (ihm sei gekündigt und er sei arbeitslos geworden; vom Sozialamt habe er keine Unterstützung erhalten; das RAV habe ihm gesagt, er bekomme nur Arbeitslosenunterstützung, wenn er belegen könne, dass er seine Kindesunterhaltsbeiträge leiste; er habe wegen seiner desolaten finanziellen Situation keine Wohnung gefunden und auch keine Krankenversicherung mehr gehabt) seien reine, durch nichts belegte Parteibehauptungen, zumal er keinerlei Beweismittel vorlege, obwohl dies zweifellos möglich gewesen wäre. Namentlich lägen keine Beweise dafür vor, dass er sich ernsthaft um eine Weiterbeschäftigung ab Juli 2019 bemüht hätte. Der Beschwerdeführer sei ausgebildeter Koch mit mehrjähriger Berufserfahrung. Ausserdem habe er während rund zehn Jahren als Lastwagenchauffeur, Disponent oder Lagermitarbeiter gearbeitet. Seit Mai 2018 bis Ende Juni 2019 sei er ununterbrochen über Temporärbüros an die drei Arbeitgeber E._ AG, F._ AG und G._ AG vermittelt worden. Mithin verfüge der Beschwerdeführer über grosse Berufserfahrungen in drei Branchen, in welchen auch im Zeitpunkt seiner Ausreise nach Deutschland auf allen Stufen Mitarbeiter gesucht worden seien und nach wie vor gesucht würden. Merkwürdig sei namentlich, dass er sich gemäss eigenen Angaben just per Ende Juni 2019 in der Schweiz abgemeldet habe und nach Deutschland ausgereist sei, also unmittelbar nach seinem letzten Arbeitseinsatz bei der Firma G._ AG. Das Verhalten des Beschwerdeführers erwecke den Anschein, dass er einzig und allein von seinen diversen finanziellen Verpflichtungen wie grosser Schuldenlast, Lohnpfändungen sowie ausstehenden Unterhaltszahlungen geflüchtet sei und eine Weiterbeschäftigung in der Schweiz nach dem 30. Juni 2019 gar nicht mehr in Betracht gezogen habe. In Deutschland habe er sich auf Stellensuche begeben, erhalte Hartz IV-Leistungen in bescheidenem Umfang und sei offensichtlich nicht in der Lage, für die beiden Kinder einen Unterhaltsbeitrag zu bezahlen. Unter diesen Prämissen sei davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer seine Erwerbstätigkeit in der Schweiz frei- und böswillig aufgegeben habe, weshalb ihm ein hypothetisches Einkommen in der Höhe des zuletzt erzielten anzurechnen sei.
5.3.2. Gleichsam eigenständig führt das Obergericht sodann aus, Tatsache sei, dass der heute 44-jährige Beschwerdeführer im Jahr 2000 aus geschäftlichen Gründen in die Schweiz gezogen sei und seither hier gelebt und gearbeitet habe. Die Schweiz sei somit für den Beschwerdeführer kein fremdes Land. Im Eheschutzverfahren sei er im Rahmen der Trennungsvereinbarung davon ausgegangen, ab 1. Mai 2018 Fr. 4'500.-- verdienen zu können. Die Lohnbelege für die Zeit bis Juni 2019 und seine Aussage anlässlich der erstinstanzlichen Parteibefragung zeigten, dass er vor seinem Wegzug nach Deutschland denn auch durchaus in der Lage gewesen sei, ein Einkommen in dieser Grössenordnung zu erwirtschaften. Folgerichtig könne ihm dieser Betrag als hypothetisches Einkommen angerechnet werden. Wie es sich mit der Möglichkeit verhalte, aktuell in die Schweiz zurückzukehren und wieder Fuss zu fassen, sei bei diesem Ergebnis unerheblich. Eine Einkommensverminderung sei bei einer Ausgangslage, wie sie beim Beschwerdeführer vorliege, selbst dann unbeachtlich, wenn sie nicht mehr rückgängig gemacht werden könne. Ebenso wenig sei mit Bezug auf die Niederlassungsfreiheit und die persönliche Freiheit eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte auszumachen.
5.4. Der Beschwerdeführer beanstandet die Feststellung des Obergerichts, wonach er "einzig und allein" wegen seiner diversen Verpflichtungen aus der Schweiz geflüchtet sei und er eine Weiterbeschäftigung nach dem 30. Juni 2019 gar nicht mehr in Betracht gezogen habe, als aktenwidrig und willkürlich. Aus den Akten ergebe sich, dass ihm in der Zeit von Februar bis Juni 2019 gerade einmal Fr. 2'209.98 für sein Existenzminimum zur Verfügung gestellt worden seien. Davon hätte er die Alimente von Fr. 1'500.-- bevorschussen [sic] müssen, damit sie ihm vom Betreibungsamt für den nächsten Monat vom Existenzminimum in Abzug gebracht worden wären. Eine solche Situation sei für niemanden über längere Zeit haltbar. Das Obergericht mache auch nicht geltend, dass er, der Beschwerdeführer, diese Situation selber verschuldet hätte. Es gehe davon aus, das Vorgehen des Betreibungsamts sei rechtens gewesen. Damit sei auch gesagt, dass der Beschwerdeführer nicht etwa eine betreibungsrechtliche Beschwerde hätte erheben können, weil permanent in sein Existenzminimum eingegriffen worden sei. Schliesslich sei die entsprechende Praxis des Betreibungsamts hinreichend belegt. Es handle sich in keiner Weise um eine "blosse Behauptung". Wie das Obergericht diesen Schluss habe ziehen können, sei nicht nachvollziehbar und willkürlich. Notabene seien als Beweis die Lohnabrechnungen mit den Pfändungen eingereicht und in der Berufungsschrift für jeden einzelnen Monat Belege angegeben worden. Sodann sei in der Klagebeilage 74 die entsprechende Praxis des Betreibungsamts belegt worden. Entsprechend sei es aktenwidrig zu behaupten, es handle sich um eine "blosse Behauptung". Auch das Bezirksgericht habe nicht von einer "blossen Behauptung" gesprochen, sondern habe sich gar nicht erst mit dieser Problematik auseinandergesetzt. Der Beschwerdeführer habe im Jahr 2018 diverse temporäre Anstellungen gehabt. Zwischen November 2018 und Februar 2019 sei er stellenlos gewesen. Zwischen Februar und Mai 2019 habe er wieder eine Anstellung gefunden. Hingegen habe er ab Juni 2019 keine Wohnung und keine Anstellung mehr gehabt, und ihm sei vom Betreibungsamt systematisch in das Existenzminimum eingegriffen worden. Ausserdem habe er seinen schwer kranken Vater in Deutschland pflegen müssen. Aus diesen Gründen sei er ausgereist. All diese Gründe würden vom Obergericht weder berücksichtigt noch gewürdigt. Durch das Betreibungsamt seien nicht einmal die Krankenkassenpolicen im Existenzminimum berücksichtigt worden. Unter diesen Umständen sei es dem Beschwerdeführer nicht mehr zumutbar gewesen, länger in der Schweiz zu bleiben.
Er habe sodann dargetan, dass er in der Schweiz keine Zukunft mehr gehabt habe. Er habe Schulden von über Fr. 300'000.-- gehabt, keine Wohnung, keine Arbeit, und selbst wenn er gearbeitet hätte, wäre ihm selbst das Existenzminimum gepfändet worden. Sodann habe er seinen schwer pflegebedürftigen Vater in Deutschland pflegen und deshalb in seine Heimat zurückkehren müssen. Das Bundesgericht habe entschieden, dass die Niederlassungsfreiheit auch in Anwesenheit von Kindern zu schützen ist. Diese gesetzgeberische Wertung sei nicht nur im Zusammenhang mit den verfassungsmässigen Rechten der Eltern (Niederlassungsfreiheit, persönliche Freiheit, Gewerbefreiheit), sondern ebenso im Kontext mit dem Grundsatz der Familienautonomie, welcher das Zivilgesetzbuch präge, zu lesen. Es sei daher willkürlich zu behaupten, ein Vater habe kein Recht, nach Deutschland zu ziehen, wenn er keine Lebensgrundlage in der Schweiz mehr habe, während es der Kindsmutter unbenommen sei, in den Kanton Tessin zu ziehen, weil es ihr dort besser gefalle.
Der Beschwerdeführer wendet ferner ein, er habe die Schweiz nicht freiwillig verlassen. Ihm sei über längere Zeit in das Existenzminimum eingegriffen worden, weshalb er gar nie in der Lage gewesen sei, Kindesunterhalt zu bezahlen. Es sei nicht haltbar, wenn das Obergericht es als zumutbar ansehe, ohne Wohnung, ohne Einkommen und mit einem verbleibenden Freibetrag von ca. Fr. 2'000.-- nach der Pfändung für sich und seine Kinder sein Leben in der Schweiz fortzuführen. Mit Fr. 2'000.-- könne er nicht einmal seinen eigenen Unterhalt bestreiten. Dass er gegen das Betreibungsamt hätte vorgehen müssen, werde nicht behauptet und nicht dargetan. Selbst wenn er die Verfügung des Betreibungsamtes angefochten hätte, wäre es wohl Monate gegangen bis zu einem rechtskräftigen Entscheid. Es sei ihm folglich nicht zumutbar gewesen, in der Schweiz zu bleiben.
Ausserdem könne man ein hypothetisches Einkommen nur berücksichtigen, wenn eine Rückkehr in die Schweiz möglich und zumutbar sei. Diese beiden Voraussetzungen seien zu prüfen. Es gehe nicht an, dem Elternteil ein Einkommen anzurechnen, welches gar nicht mehr erzielt werden könne, weil der Betroffene gar nie eine Aufenthaltsbewilligung erhalten würde. Um eine solche zu erhalten, müsste er eine Festanstellung vorweisen können. Dazu sei er offensichtlich nicht in der Lage. Bei einer Schuldenlast von über Fr. 300'000.-- würde er selbst bei Vorliegen eines Arbeitsvertrages keine Aufenthaltsbewilligung mehr erhalten. Es spiele sehr wohl eine Rolle, ob er, der Beschwerdeführer, den Wegzug überhaupt rückgängig machen könne, und ihm müsste eine Rückkehr auch zumutbar sein. Er habe über zwei Jahre hinweg seine Unterhaltspflicht nicht erfüllen können, obwohl er fast durchgehend temporär arbeitstätig gewesen sei und sich auch um Arbeit bemüht habe. Da sein Vater auch noch schwer erkrankt sei, sei es ihm erlaubt gewesen, diese unhaltbare Situation in der Schweiz zu beenden. Sodann könnte er gar keine Abänderungsgründe mehr vorbringen, weil eine verweigerte Rückkehr in die Schweiz keinen Abänderungsgrund mehr darstellen würde. Nur wenn man absichtlich, treuwidrig und rechtsmissbräuchlich sein Einkommen verringert habe, könne es zulässig sein, ein hypothetisches Einkommen anzurechnen, selbst wenn die Einkommensverschlechterung nicht mehr rückgängig gemacht werden kann. Es sei aber aktenwidrig und willkürlich zu behaupten, der Beschwerdeführer habe geradezu absichtlich und treuwidrig sein Einkommen verringert. Kein Mensch hätte seine Situation weitergeführt. Niemand könne zu 100 % arbeiten und mit einem Überschuss von ca. Fr. 2'000.-- leben und damit auch noch die Wohnkosten, die Krankenkasse, den Grundbetrag, die Arbeitswegkosten, Verpflegung und Kindesunterhalt bezahlen. Mit dieser Frage habe sich das Obergericht nicht auseinandergesetzt. Die Pflege des eigenen Vaters sei kein blosses persönliches Anliegen oder ein Wunsch. Es handle sich vielmehr um einen nachvollziehbaren Grund, die Schweiz zu verlassen, wenn man der Unterhaltspflicht nicht nachkommen könne.
5.5.
5.5.1. Der Beschwerdeführer geht teilweise von Tatsachen aus, die sich nicht aus dem angefochtenen Entscheid ergeben, ohne dass er diesbezüglich Sachverhaltsrügen vorträgt. Daher bleiben seine diesbezüglichen Ausführungen unbeachtlich und stellt das Bundesgericht auf den Sachverhalt ab, wie ihn das Obergericht festgestellt hat (E. 2.2).
5.5.2. Die hiervor (E. 5.4) wiedergegebenen Einwendungen des Beschwerdeführers vermögen die Beweisführung des Obergerichts nicht als offensichtlich unrichtig auszuweisen. Im Wesentlichen wiederholt er seine bereits vor der ersten Instanz vorgetragenen Argumente, allerdings ohne substanziiert und belegt zum Vorwurf, es handle sich um durch nichts belegte Parteibehauptungen, Stellung zu nehmen. In der Tat bleibt die Behauptung, ihm sei gekündigt worden, unbewiesen. Wenn er sodann unmittelbar nach der Beendigung des Arbeitsverhältnisses bei G._ AG nach Deutschland ausreiste, kann von einer Phase der Arbeitslosigkeit in der Schweiz keine Rede sein. Unbestritten ist indes, dass er bis Juni 2019 monatlich Fr. 4'500.-- verdienen konnte.
Was die Lohnpfändungen angeht, ist <ref-law> zu beachten. Danach können Erwerbseinkommen jeder Art, die nicht nach <ref-law> unpfändbar sind, so weit gepfändet werden, als sie für den Schuldner und seine Familie nicht unbedingt notwendig sind. Letzteres ergibt sich nach Massgabe der von der Konferenz der Betreibungs- und Konkursbeamten der Schweiz herausgegebenen Richtlinien für die Berechnung des betreibungsrechtlichen Existenzminimums (in der Fassung vom 1. Juli 2009, publ. in: BlSchK 2009 S. 193 ff.). Nebst dem sogenannten Grundbetrag gehören die (tatsächlich bezahlten bzw. tatsächlich anfallenden) Mietzinsen, Heiz- und Nebenkosten, Krankenkassenprämien, allfällige Sozialbeiträge und unumgängliche Berufsauslagen (einschliesslich Auslagen für auswärtige Verpflegung und Fahrten zum Arbeitsplatz) zum unbedingt notwendigen Lebensunterhalt. Ausserdem sind rechtlich geschuldete Unterhaltsbeiträge zu berücksichtigen, allerdings nur, wenn der Schuldner die Unterhaltsbeiträge in der letzten Zeit vor der Pfändung nachgewiesenermassen geleistet hat und voraussichtlich auch während der Dauer der Pfändung leisten wird (<ref-ruling> E. 3a). Wenn der Beschwerdeführer behauptet, sein Lohn sei bis auf Fr. 2'000.-- gepfändet worden, was ihm verunmöglicht habe, die Wohnkosten, die Krankenkasse, den Grundbetrag, die Arbeitswegkosten, Verpflegung und Kindesunterhalt zu bezahlen, mag das zwar wohl sein, aber eben nur, weil er gegenüber dem Betreibungsamt den Nachweis nicht erbracht hat, dass diese Kosten effektiv anfallen bzw. dass er diese tatsächlich bezahle. Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen hat der Beschwerdeführer seit Mai 2018 monatlich Fr. 4'500.-- verdient. Sodann wusste er gestützt auf den Eheschutzentscheid um seine Pflicht zur Leistung von Unterhaltsbeiträgen. Nachdem der Beschwerdeführer eine Lohnpfändung nur für die Monate Februar 2019 bis Juni 2019 behauptet und nachweist, hätte er längst die Möglichkeit gehabt, das Betreibungsamt auf die rechtliche Verpflichtung zur Leistung von Unterhaltsbeiträgen (Eheschutzurteil) hinzuweisen und die Kindesunterhaltsbeiträge auch tatsächlich zu bezahlen, was er augenscheinlich nicht getan hat, ansonsten diese bei der Lohnpfändung berücksichtigt worden wären.
Aus all diesen Gründen kann die Schlussfolgerung des Obergerichts, er habe sich einzig und allein seinen diversen finanziellen Verpflichtungen entziehen wollen, nicht als offensichtlich unhaltbar bezeichnet werden. Es mag zwar sein, dass der Beschwerdeführer nicht einzig wegen seiner familienrechtlichen Unterhaltspflichten, sondern auch wegen weiterer Schulden die Schweiz verlassen hat. Das ändert indes nichts daran, dass er seine Leistungsfähigkeit im Sinn der dargelegten Rechtsprechung böswillig reduziert hat. Kommt hinzu, dass der Beschwerdeführer weder behauptet noch darlegt, weshalb seine "anderen" Schulden in Deutschland nicht vollstreckbar sein sollen und er seine finanzielle Lage mit seinem Wegzug gar nicht verbessern kann. Schliesslich haben seine Unterhaltspflichten gegenüber den Kindern Vorrang vor einem allfälligen Wunsch, einen eigenen - selbst kranken - Elternteil pflegen zu wollen, sodass das Obergericht diese Motivation, soweit sie nicht ohnehin lediglich vorgeschoben wird, unberücksichtigt lassen durfte. Insgesamt erweist sich die Schlussfolgerung des Obergerichts, der Beschwerdeführer sei in Schädigungsabsicht nach Deutschland weggezogen, als mit Bundesrecht vereinbar. Daher musste es nicht prüfen, ob die Einkommensverminderung tatsächlich unumkehrbar ist oder nicht.
6.
Aus den dargelegten Gründen erweist sich die Beschwerde als unbegründet; sie ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens muss der Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufkommen (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin wurde nicht zur Vernehmlassung eingeladen. Entsprechend ist ihr keine Parteientschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Wie bereits ausgeführt, ist auf das Gesuch des Beschwerdeführers um Prozesskostenvorschuss für das bundesgerichtliche Verfahren mangels Zuständigkeit nicht einzutreten (vgl. vorne E. 1.2). Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, zumal sich aus dem vorstehend Ausgeführten ergibt, dass seine Rechtsbegehren von vornherein aussichtslos waren (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Auf das Gesuch um Leistung eines Prozesskostenvorschusses wird nicht eingetreten.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. März 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Gutzwiller