Sachverhalt:
A.
Die Dienststelle Landwirtschaft und Wald des Kantons Luzern (Dienststelle lawa) stellte mit Entscheid vom 15. Oktober 2015 den Wald im Gebiet Rigi Kaltbad fest. Dabei wurde die bestockte Fläche auf dem Grundstück Nr. 757, GB Weggis, als Nichtwald festgestellt. Am 10. Juni 2018 beschlossen die Stimmberechtigten der Gemeinde Weggis vier Änderungen des Zonenplans und eine Änderung des Bau- und Zonenreglements der Gemeinde Weggis (BZR). Gegenstand dieser "Ortsplanungsteilrevision 2017" waren unter anderem die Bereinigung der Ortsbildschutzlinien sowie diverse Einzonungen aufgrund der erfolgten Waldfeststellung im Gebiet Rigi Kaltbad Ost.
C._ ist Eigentümerin des Grundstücks Nr. 757, GB Weggis. Zusammen mit B._ als Bauherrin ersuchte sie den Gemeinderat Weggis am 10. Mai 2017 um die Erteilung einer Bewilligung zum Neubau eines Einfamilienhauses auf dem Grundstück Nr. 757, GB Weggis. A._, Eigentümer des an das Baugrundstück angrenzenden Grundstücks Nr. 1054, GB Weggis, reichte gegen das Bauvorhaben Einsprache ein. Der Gemeinderat Weggis erteilte C._ und B._ mit Entscheid vom 22. November 2017 die Baubewilligung unter Bedingungen und Auflagen und wies die Einsprache von A._ ab.
Diesen Entscheid focht A._ beim Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, an, welches die Beschwerde mit Urteil vom 28. März 2019 abwies, soweit es darauf eintrat.
B.
Gegen dieses Urteil des Kantonsgerichts Luzern gelangt A._ mit Beschwerde vom 27. Mai 2019 an das Bundesgericht und beantragt dessen Aufhebung. In prozessualer Hinsicht ersucht er um Erteilung der aufschiebenden Wirkung.
Das Kantonsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung und beantragt die Abweisung der Beschwerde.
C.
Der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts erkannte der Beschwerde mit Verfügung vom 8. Juli 2019 die aufschiebende Wirkung zu.
D.
Das Bundesamt für Umwelt BAFU liess sich am 9. September 2019 vernehmen, während das Bundesamt für Raumentwicklung ARE am 18. Oktober 2019 über seinen Verzicht auf eine Vernehmlassung informierte.
Das Kantonsgericht äusserte sich nicht dazu, während der Beschwerdeführer und die Beschwerdegegnerinnen Stellungnahmen einreichten, welche den jeweils anderen Verfahrensbeteiligten zugestellt wurden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid im Bereich des Baurechts. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG); ein Ausnahmegrund ist nicht gegeben (<ref-law>). Der Beschwerdeführer nahm am vorinstanzlichen Verfahren teil und ist als direkter Nachbar des betroffenen Grundstücks und Adressat des angefochtenen Urteils gemäss <ref-law> zur Beschwerde legitimiert. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verletze Bundes- oder Völkerrecht (Art. 95 lit. a und b BGG). Zulässig ist auch die Rüge der Verletzung von kantonalen verfassungsmässigen Rechten sowie von kantonalen Bestimmungen über die politische Stimmberechtigung der Bürger und über Volkswahlen und -abstimmungen (Art. 95 lit. c und d BGG). Abgesehen davon überprüft das Bundesgericht die Anwendung des kantonalen Rechts nicht als solche. Jedoch kann gerügt werden, diese Anwendung widerspreche dem Bundesrecht, namentlich dem Willkürverbot gemäss <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.1 S. 372 mit Hinweis).
1.3. Gemäss ständiger bundesgerichtlicher Rechtsprechung ist ein Entscheid willkürlich gemäss <ref-law>, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 5.8 S. 143; <ref-ruling> E. 4.2 S. 516; je mit Hinweisen).
1.4. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Gemäss <ref-law> prüft es die Verletzung von Grundrechten (vgl. Art. 7-34 BV) und von kantonalem Recht jedoch nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist.
1.5. Gemäss <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Die beschwerdeführende Person muss sich wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 176).
Soweit der Beschwerdeführer im Rahmen seiner Beschwerde frühere Rechtsschriften und Eingaben an die Vorinstanzen samt den darin enthaltenen Anträgen wörtlich wiedergibt, ohne sich dabei mit dem angefochtenen Urteil auseinanderzusetzen und namentlich eine Verletzung des rechtlichen Gehörs geltend zu machen, mangelt es an einer rechtsgenüglichen Beschwerdebegründung im Sinne von <ref-law> und ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer macht im Zusammenhang mit der Eröffnung des Waldfeststellungsentscheids der Dienststelle lawa vom 15. Oktober 2015 eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) geltend. Die amtliche Publikation sei in inhaltlicher Hinsicht unzureichend gewesen. Namentlich sei nicht darauf hingewiesen worden, dass die öffentliche Auflage der Waldfeststellungspläne vom 15. November 2010 bis zum 14. Dezember 2010 erfolgt sei und seien die von einer Änderung betroffenen Grundstücke nicht genannt worden.
2.1. Gemäss den für das Bundesgericht verbindlichen und vom Beschwerdeführer unbestritten gebliebenen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz (vgl. <ref-law>) waren die Pläne über die Lage und das Ausmass des Waldes im Bauzonenbereich im Rahmen des Waldfeststellungsverfahrens vom 15. November 2010 bis zum 14. Dezember 2010 öffentlich aufgelegt. Die Bestockung auf dem vorliegend betroffenen Grundstück Nr. 757, GB Weggis, war damals als Wald dargestellt. Mit Entscheid der Dienststelle lawa vom 15. Oktober 2015 betreffend Waldfeststellung im Gebiet Rigi Kaltbad wurde die bestockte Fläche auf dem Grundstück Nr. 757, GB Weggis, als Nichtwald definiert. Dieser Entscheid wurde gemäss den Vorbringen des Beschwerdeführers im Kantonsblatt Nr. 43 vom 24. Oktober 2015 folgendermassen veröffentlicht:
"Gemeinde Weggis: Entscheid über die Waldfeststellung
(gemäss Art. 10 Abs. 2 des Bundesgesetzes über den Wald und § 6 des Kantonalen Waldgesetzes)
Die Dienststelle Landwirtschaft und Wald hat im Zusammenhang mit der Teilrevision des Zonenplanes der Gemeinde Weggis den Wald im Gebiet Rigi Kaltbad mit Entscheid vom 15. Oktober 2015 festgestellt. Der Entscheid der Dienststelle Landwirtschaft und Wald sowie die Waldfeststellungspläne können bei der Gemeindeverwaltung Weggis während 20 Tagen, vom 26. Oktober bis 16. November 2015, zu den ordentlichen Bürozeiten eingesehen werden. Während dieser Frist kann gegen diesen Entscheid beim Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, Postfach 3569, 6002 Luzern, Verwaltungsgerichtsbeschwerde eingereicht werden.
Sursee, 19. Oktober 2015
Dienststelle Landwirtschaft und Wald, Abteilung Wald"
2.2. Der Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) gebietet es, einen Entscheid den direkt betroffenen Personen zu eröffnen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 204 mit Hinweis). Es entspricht einem allgemeinen, aus dem Grundsatz von Treu und Glauben und dem Vertrauensschutz (Art. 5 Abs. 3 und <ref-law>) abgeleiteten Rechtsgrundsatz, dass einer Partei aus einer mangelhaften Eröffnung kein Nachteil erwachsen darf (<ref-ruling> E. 3.1 S. 404 f.; <ref-ruling> E. 8.3.2 S. 53 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 298 f.; je mit Hinweisen; so ausdrücklich § 114 des Gesetzes des Kantons Luzern vom 3. Juli 1972 über die Verwaltungsrechtspflege [VRG/LU; SRL 40], <ref-law> [SR 172.021] und <ref-law>).
Ein Anspruch auf eine persönliche Benachrichtigung betroffener Grundeigentümer liesse sich selbst aus Art. 33 RPG (SR 700) nicht ableiten. Eine solche Pflicht bestünde nur, wenn sie im kantonalen Recht ausdrücklich vorgesehen wäre (vgl. Urteil 1C_591/2014 vom 20. Februar 2015 E. 2.3 und 2.4 mit Hinweisen auf Rechtsprechung und Lehre).
Das VRG/LU sieht vor, dass die Behörde ihre Mitteilung namentlich in einer Streitsache mit zahlreichen Parteien im Kantonsblatt veröffentlichen kann (§ 30 Abs. 1 lit. c VRG/LU). Dabei gilt die Mitteilung mit dem Erscheinen des Kantonsblatts als eröffnet (§ 30 Abs. 2 VRG/LU). Zum erforderlichen Inhalt der Publikation äussert sich § 30 VRG/LU nicht. Bei der Eröffnung eines Entscheids durch öffentliche Mitteilung hat diese gemäss § 113 VRG/LU folgende Angaben zu enthalten: die entscheidende Behörde (Abs. 2 lit. a), den Empfänger und den Gegenstand des Verfahrens (Abs. 2 lit. b), den Ort, die Frist und die Wirkung der Auflage (Abs. 2 lit. c) sowie die Rechtsmittelbelehrung (Abs. 2 lit. d). Der Entscheid gilt als eröffnet, wenn die Ausfertigung von der Partei eingesehen oder ihr ausgehändigt wird, spätestens jedoch mit Ablauf der angesetzten Frist (§ 113 Abs. 3 VRG/LU).
2.3. Vorliegend waren im Kantonsblatt die Dienststelle lawa als entscheidende Behörde, die Waldfeststellung im Gebiet Rigi Kaltbad im Zusammenhang mit der Teilrevision des Zonenplans der Gemeinde Weggis (mit Verweis auf Art. 10 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 4. Oktober 1991 über den Wald [Waldgesetz, WaG; SR 921.0] sowie auf § 6 des Kantonalen Waldgesetzes vom 1. Februar 1999 [KWaG/LU; SRL 945]) als Gegenstand sowie der Ort und die Frist der Auflage genannt, samt der während der Auflagefrist bestehenden Möglichkeit zur Erhebung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Kantonsgericht Luzern. Damit fiel die Veröffentlichung in inhaltlicher Hinsicht zwar eher kurz aus, entsprach jedoch den üblichen Anforderungen (vgl. etwa Urteil 1C_591/2014 vom 20. Februar 2015 E. 2.5; für das Bundesrecht: KNEUBÜHLER/PEDRETTI, in: VwVG Kommentar, 2. Aufl. 2018, N. 5 zu <ref-law>).
Das von der Waldfeststellung betroffene Gebiet wurde im Rahmen der Publikation vom 24. Oktober 2015 sodann mit "Rigi Kaltbad" und damit relativ eng umgrenzt umschrieben. Eine Aufzählung der gegenüber der öffentlichen Auflage im November/Dezember 2010 von einer Änderung betroffenen Grundstücke im Rahmen der öffentlichen Mitteilung war vor diesem Hintergrund nicht erforderlich und kaum praktikabel. Überdies wurde der Waldfeststellungsentscheid an die 58 Einsprecher individuell zugestellt. Für allfällige weitere betroffene Personen wie den Beschwerdeführer bestand gestützt auf die Veröffentlichung im Kantonsblatt die Möglichkeit, den Waldfeststellungsentscheid sowie die Waldfeststellungspläne während 20 Tagen einzusehen und dagegen Beschwerde zu erheben.
Auch wenn die Publikation keinen Hinweis auf die öffentliche Auflage vom November/Dezember 2010 enthielt, konnten ihr nach dem Gesagten die wichtigsten Informationen entnommen werden und war es dem Beschwerdeführer zuzumuten, in den Waldfeststellungsentscheid und die Pläne Einsicht zu nehmen. Dass er zu jenem Zeitpunkt nicht anwaltlich vertreten war, vermag daran nichts zu ändern. Er macht nicht geltend, dass er keine Möglichkeit gehabt hätte, sich rechtzeitig (rechtliche) Hilfe zu beschaffen. Eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör ist in diesem Zusammenhang somit zu verneinen. Die Auffassung der Vorinstanz, wonach der Beschwerdeführer aufgrund der Publikation vom 24. Oktober 2015 hätte Einsicht in den Entscheid und die Pläne nehmen und gegen den Waldfeststellungsentscheid vorgehen müssen, ist zudem - entgegen seiner Vorbringen - nicht willkürlich.
2.4. Weiter rügt der Beschwerdeführer, aufgrund der wesentlichen Änderungen infolge der gütlichen Erledigung von Einsprachen hätte das Einspracheverfahren für betroffene Dritte gemäss § 62 Abs. 2 des Planungs- und Baugesetzes des Kantons Luzern vom 7. März 1989 (PBG/LU; SRL 735) wiederholt werden müssen. Stattdessen sei lediglich der mit Kosten verbundene Beschwerdeweg offen gestanden.
Wie der Beschwerdeführer selber ausführt, bezieht sich § 62 Abs. 2 PBG/LU auf das Ortsplanungsverfahren. Die kantonale Waldgesetzgebung enthält demgegenüber keine entsprechende Regelung. Mit seinem Vorbringen, das Waldfeststellungsverfahren sei mit dem Nutzungsplanungsverfahren zu koordinieren, vermag der Beschwerdeführer nicht darzutun, dass die Vorinstanz gegen das Willkürverbot verstossen haben soll, indem sie § 62 Abs. 2 PBG/LU im Waldfeststellungsverfahren nicht beachtet hat. Ebensowenig ist dabei eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör ersichtlich, zumal der Waldfeststellungsentscheid, wie soeben dargelegt, nach dem Einspracheverfahren korrekt eröffnet wurde und der Beschwerdeführer die Möglichkeit gehabt hätte, diesen einzusehen und dagegen Beschwerde zu erheben. Dass die gütliche Erledigung von Einsprachen gegen die Änderungen und Ergänzungen im Bau- und Zonenreglement und in den Zonenplänen im Rahmen der Ortsplanungsteilrevision 2017 zu wesentlichen Änderungen geführt habe, welche eine Wiederholung des Einspracheverfahrens für betroffene Dritte hätte nach sich ziehen müssen, wird sodann nicht geltend gemacht.
3.
Der Beschwerdeführer beantragt eine akzessorische Überprüfung des Zonenplans hinsichtlich des Grundstücks Nr. 757, GB Weggis.
3.1. Gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung ist die akzessorische Überprüfung eines Nutzungsplans im Zusammenhang mit einem späteren Anwendungsakt, insbesondere im Baubewilligungsverfahren, nur möglich, wenn sich die betroffene Person beim Planerlass noch nicht über die ihr auferlegten Beschränkungen Rechenschaft geben konnte und sie somit im damaligen Zeitpunkt keine Möglichkeit hatte, ihre Interessen zu wahren oder wenn sich die tatsächlichen oder rechtlichen Verhältnisse seit Planerlass grundlegend verändert haben (<ref-ruling> E. 3a S. 342; <ref-ruling> E. 12c S. 346; Urteil 1C_25/2019 vom 5. März 2020 E. 6.1; je mit Hinweisen).
3.2. Wie sich aus dem ebenfalls den Beschwerdeführer betreffenden bundesgerichtlichen Urteil 1C_36/2019 vom heutigen Tag ergibt, welches die Anfechtung des Beschlusses der Stimmberechtigten vom 10. Juni 2018 betreffend die Ortsplanungsteilrevision 2017 zum Gegenstand hat, wurde ihm im Vorfeld der öffentlichen Auflage betreffend die Ortsplanungsteilrevision 2017 der diesbezügliche gemeinderätliche Auflagebericht zugestellt. Diesem war zu entnehmen, dass die Ortsplanungsteilrevision 2017 unter anderem die "Bereinigung Ortsbildschutzlinien sowie diverse Einzonungen auf Grund der Waldfeststellung im Gebiet Rigi Kaltbad Ost" zum Gegenstand hatte, die öffentliche Auflage vom 9. Oktober 2017 bis zum 7. November 2017 stattfand und während dieser Zeitspanne Einsprache erhoben werden konnte. Weiter ergab sich aus dem Auflagebericht, dass am 15. Oktober 2015 ein Waldfeststellungsentscheid ergangen ist und das Grundstück Nr. 757, GB Weggis, gemäss Zonenplan zur Landhauszone Rigi Kaltbad West gehört (Urteil 1C_36/2019 vom 13. Mai 2020). Die Vorbringen des Beschwerdeführers, er habe erst im Rahmen des vorliegenden Baubewilligungsverfahrens, während des vorinstanzlichen Schriftenwechsels, im März 2018 vom Waldfeststellungsentscheid und der Qualifikation der Bestockung auf dem Grundstück Nr. 757 als Nichtwald erfahren und daher im Oktober/November 2017 noch keine Veranlassung zur Teilnahme am Einspracheverfahren gehabt, sind vor diesem Hintergrund nicht nachvollziehbar. Die Informationen im Auflagebericht waren ausführlich und detailliert und hätten den Beschwerdeführer dazu veranlassen müssen, Einsicht zu nehmen und gegebenenfalls Einsprache zu erheben. Entgegen seiner Auffassung ist die Vorinstanz demnach nicht in Willkür verfallen, wenn sie erwog, es wäre ihm zumutbar gewesen, sich vor der Zustellung des Baubewilligungsentscheids vom 22. November 2017 gegen die Qualifikation der Bestockung auf dem betroffenen Grundstück Nr. 757 als Nichtwald zu wehren.
Dass sich die tatsächlichen oder rechtlichen Verhältnisse seit Planerlass grundlegend verändert hätten, macht der Beschwerdeführer nicht geltend und ist mit Blick auf die zeitlichen Verhältnisse auch nicht ersichtlich.
Somit sind Gründe für eine ausnahmsweise akzessorische Überprüfung des Zonenplans vorliegend zu verneinen.
4.
Weiter rügt der Beschwerdeführer eine willkürliche Anwendung kantonalen Rechts, da der Gemeinderat Weggis keine Ausnahmebewilligung für die Beseitigung der Bestockung auf dem Grundstück Nr. 757, GB Weggis, erteilt habe.
4.1. Auf bundesrechtlicher Ebene verlangt Art. 18 des Bundesgesetzes vom 1. Juli 1966 über den Natur- und Heimatschutz (NHG; SR 451) den Schutz von Biotopen wie unter anderem von Hecken, die eine ausgleichende Funktion im Naturhaushalt erfüllen oder besonders günstige Voraussetzungen für Lebensgemeinschaften aufweisen, als Massnahme zur Erhaltung von Lebensräumen für einheimische Tiere und Pflanzen. Der in <ref-law> verankerte Schutz von Biotopen von regionaler und lokaler Bedeutung ist nach der Rechtsprechung eine vom Bund den Kantonen übertragene Bundesaufgabe (<ref-ruling> E. 2.2 S. 223 mit Hinweis). Von den bundesrechtlichen Normen erfasst sind jedoch nur Hecken von einer gewissen Grösse, die schutzwürdig sind. Soweit das kantonale Recht einen weitergehenden Heckenschutz vorsieht, kommt ihm eine selbstständige Bedeutung zu (<ref-ruling> E. 2.3 S. 223 f. mit Hinweisen). Wie das Bundesgericht im genannten, ebenfalls den Kanton Luzern betreffenden Urteil erwog, verfügt das kantonale Recht mit § 3 der Verordnung des Kantons Luzern vom 19. Dezember 1989 zum Schutz der Hecken, Feldgehölze und Uferbestockungen (Heckenschutzverordnung; SRL 717) über eine Rechtsgrundlage für einen über das Bundesrecht hinausgehenden, generellen Heckenschutz (<ref-ruling> E. 2.4 S. 224 f.).
Vorliegend hielt die Dienststelle Raum und Wirtschaft des Kantons Luzern (Dienststelle rawi) in ihrer Stellungnahme zum Baugesuch fest, die Hecke auf dem Grundstück Nr. 757, GB Weggis, sei durch die kantonale Heckenschutzverordnung geschützt. Der Gemeinderat Weggis führte im Rahmen seiner Stellungnahme an die Vorinstanz aus, die Hecke sei weder im Inventarplan der lokalen Naturobjekte aufgeführt noch im Zonenplan als Naturobjekt im Sinne von Art. 34a BZR eingetragen. Das BAFU gab im Rahmen seiner Stellungnahme an das Bundesgericht an, es habe keinen Anlass, an der Einschätzung der kantonalen Behörden zu zweifeln, wonach es sich bei der Bestockung um eine geschützte Hecke nach kantonalem Recht handle. Der Beschwerdeführer seinerseits bestreitet diese Ausführungen nicht und macht auch nicht geltend, die Hecke sei im Sinne von Art. 18 i.V.m. <ref-law> geschützt. Daran ändert sein nicht weiter substanziiertes Vorbringen nichts, im Ergebnis liege auch eine unzulässige Beeinträchtigung eines geschützten Biotops im Sinne von Art. 18 Abs. 1 und 1bis NHG vor; rechtsprechungsgemäss sei anerkannt, dass in solchen Fällen eine nachträgliche Überprüfung der Schutzwürdigkeit des Biotops zulässig sei, wenn diese Frage im Rahmen der Nutzungsplanung nicht oder unzureichend geprüft worden sei. Er zeigt im Übrigen auch nicht auf, inwiefern die Schutzwürdigkeit der Hecke auf dem Grundstück Nr. 757, GB Weggis, im Rahmen der erst kürzlich erfolgten Ortsplanungsteilrevision 2017 nicht oder unzureichend geprüft worden sein soll.
Nachdem keine Hinweise vorhanden sind, dass die Hecke als Schutzobjekt unter Art. 18 i.V.m. <ref-law> fällt, richtet sich ihr Schutz alleine nach kantonalem Recht, welches insofern selbstständiges Recht bildet (<ref-ruling> E. 2.7 S. 226 f.). Dessen Anwendung prüft das Bundesgericht nur auf Verletzung des Bundesrechts, namentlich des Willkürverbots, hin (vgl. oben E. 1.2).
4.2. Die kantonale Heckenschutzverordnung bezweckt den Schutz und die Pflege der Hecken, Feldgehölze und Uferbestockungen als Lebensräume von Pflanzen und Tieren und als Naturobjekte, welche die Landschaft prägen, den Boden vor Wind und Erosion schützen und die Uferböschungen sichern (§ 1). Gemäss deren § 3 sind Hecken, Feldgehölze und Uferbestockungen geschützt (Abs. 1). Ihre vorübergehende oder dauernde Beseitigung ist untersagt (Abs. 2); vorbehalten bleiben die Erteilung von Ausnahmebewilligungen gemäss § 4 und die Nutzungs- und Pflegemassnahmen gemäss § 5. Eine Ausnahmebewilligung wird erteilt, wenn die privaten Interessen der gesuchstellenden Person an der ganzen oder teilweisen Beseitigung von Hecken, Feldgehölzen und Uferbestockungen das öffentliche Interesse an deren Erhaltung überwiegen (§ 4 Abs. 1 lit. a) oder überwiegende andere öffentliche Interessen die Beseitigung erfordern (§ 4 Abs. 1 lit. b). Wird eine Ausnahmebewilligung erteilt, kann von der gesuchstellenden Person eine Ersatzanpflanzung verlangt werden (§ 4 Abs. 2).
4.3.
4.3.1. Vorliegend ist unbestritten, dass das Erteilen einer Ausnahmebewilligung im Sinne von § 4 Heckenschutzverordnung eine Abwägung zwischen öffentlichen und privaten Interessen voraussetzt, dem Baubewilligungsentscheid des Gemeinderats Weggis vom 22. November 2017 jedoch weder eine umfassende Interessenabwägung noch eine ausdrückliche Erteilung einer Ausnahmebewilligung zu entnehmen ist.
Die Vorinstanz erwog, trotzdem sei erkennbar, was der Gemeinderat unter dem öffentlichen Interesse verstanden habe und habe er zu Recht auf ein überwiegendes privates Interesse geschlossen. Er habe denn auch eine angemessene Ersatzanpflanzung angeordnet und damit zumindest implizit eine Ausnahmebewilligung erteilt. Dem hält der Beschwerdeführer entgegen, es habe weder eine Interessenabwägung stattgefunden noch sei eine Ausnahmebewilligung erteilt worden. Zudem sei der Umfang der Ersatzanpflanzung nicht bestimmt und offensichtlich, dass es nicht möglich sein werde, auf dem betroffenen Grundstück nebst den geplanten Neubauten und Erschliessungsanlagen für die gerodeten Flächen Ersatzflächen zu schaffen.
4.3.2. Auch wenn der Gemeinderat weder eine explizite Interessenabwägung vorgenommen noch ausdrücklich eine Ausnahmebewilligung zur Beseitigung der Hecke erteilt hat, wurde insbesondere die Dienststelle lawa durch die Dienststelle rawi bei der Beurteilung des Baugesuchs miteinbezogen. Das BAFU erachtete es im Rahmen seiner Stellungnahme denn auch als vertretbar, wenn die Vorinstanz erwog, durch den konkreten Verfahrensablauf und den Einbezug der Dienststelle lawa sei den zu berücksichtigenden Interessen implizit Rechnung getragen worden. Dieser nachvollziehbaren Einschätzung der Fachbehörde des Bundes kann vorliegend gefolgt werden.
Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, das Baugrundstück liege in der Gefahrenzone 2 mit einer mittleren Gefährdung durch Rutschprozesse, wobei der Hecke eine Schutzfunktion zukomme, ist festzuhalten, dass der Gemeinderat Weggis diesbezüglich verschiedene Auflagen und Bedingungen, namentlich betreffend die Konstruktion und die Baugrubensicherung, verfügte. Er hat diesen Umstand der Gefährdung im Rahmen seines Entscheids mithin nicht unberücksichtigt gelassen.
4.3.3. Die Dienststelle rawi beantragte dem Gemeinderat im Rahmen ihrer Beurteilung vom 26. Juli 2017 sodann die Aufnahme folgender Bedingungen und Auflagen in die Baubewilligung: "Der Verlust der bestockten Fläche ist durch eine angemessene Ersatzmassnahme zu kompensieren." Dem Entscheid des Gemeinderats Weggis vom 22. November 2017 ist unter dem Titel "Bedingungen und Auflagen" zu entnehmen, dass die Stellungnahme der Dienststelle rawi vom 26. Juli 2017 Bestandteil der Baubewilligung bilde und die enthaltenen Auflagen und Bedingungen verbindlich seien. Darüber hinaus wurde unter dem Titel "Weitere Auflagen und Bedingungen der Gemeinde Weggis" insbesondere Folgendes angeordnet: "Ein detaillierter Plan der Umgebungsgestaltung mit Angaben zu Terrainveränderungen, Oberflächen, Bepflanzung etc. ist rechtzeitig und vor Bestellung der Materialien der Gemeinde Weggis zur Genehmigung zuzustellen." Der diesbezüglichen Erwägung im Entscheid ist weiter zu entnehmen, der Gemeinderat behalte sich vor, den Umgebungsplan durch eine Fachperson auf eine naturnahe Umgebungsgestaltung kontrollieren zu lassen. Aus den Erwägungen der Vorinstanz geht zudem hervor, dass sich der Beschwerdeführer namentlich zur Umgebungsgestaltung zu gegebener Zeit wird äussern können.
Soweit der Beschwerdeführer rügt, auf dem Baugrundstück werde eine Ersatzanpflanzung im Umfang der bestehenden Bestockung nach Erstellung der Baute nicht mehr möglich sein, ist mit dem BAFU festzuhalten, dass es sich bei § 4 Abs. 2 Heckenschutzverordnung um eine sogenannte "Kann-Bestimmung" handelt und die Gemeinde damit bei der Festsetzung der Ersatzmassnahmen gemäss § 4 Abs. 2 Heckenschutzverordnung über einen Ermessensspielraum verfügt. Mit Blick auf die Schutzwürdigkeit der Hecke (vgl. oben E. 4.1) und der verbindlich angeordneten "angemessenen" Ersatzmassnahme ist allerdings eine Gleichwertigkeit des Zerstörten mit dem neu Geschaffenen anzustreben, wobei sich diese sowohl nach qualitativen als auch nach quantitativen Kriterien beurteilt. Aufgrund des Wortlauts von § 4 Abs. 2 Heckenschutzverordnung ("Wird eine Ausnahmebewilligung erteilt, kann vom Gesuchsteller eine Ersatzanpflanzung verlangt werden.") und mit Blick auf den Umstand, dass der Gemeinderat eine Ersatzmassnahme angeordnet hat, kann sodann geschlossen werden, dass er die Beseitigung der Hecke (implizit) ausnahmsweise bewilligt hat. Die Rügen des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe § 195 PBG, welcher die Prüfung des Baugesuchs regle, willkürlich angewandt und das Koordinationsgebot verletzt, ist somit zu verneinen. Unter den gegebenen Umständen ist zudem nicht zu beanstanden, dass der Gemeinderat den Umfang der Ersatzmassnahmen nicht näher bezeichnet hat. Die bereits erfolgte Rodung des Baugrundstücks bildet schliesslich nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens.
4.3.4. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die Ausführungen zur ausnahmsweisen Bewilligung der Beseitigung der Hecke seitens des Gemeinderats Weggis und der Vorinstanz äusserst knapp ausgefallen sind. Im Ergebnis jedoch erweist sich das vorinstanzliche Urteil nicht als offensichtlich unhaltbar bzw. willkürlich (vgl. oben E. 4.1 in fine und E. 1.2).
5.
Schliesslich rügt der Beschwerdeführer die vorinstanzliche Kostenverlegung. Die hohen amtlichen Kosten würden durch den geleisteten Kostenvorschuss nicht gedeckt, was darauf schliessen lasse, dass die Kosten durch den umfangreichen Schriftenwechsel verursacht worden seien. Jedoch habe nicht er die zusätzlichen Aufwendungen zu vertreten, sondern vielmehr die Gemeinde aufgrund ihrer wesentlichen Verfahrensfehler. Die Vorinstanz hätte deshalb einen Teil der amtlichen Kosten, mindestens aber einen Drittel, der Gemeinde auferlegen müssen. Dasselbe gelte für die Parteientschädigung.
Die Vorinstanz auferlegte dem Beschwerdeführer amtliche Kosten und eine Parteientschädigung von je Fr. 5'000.--. Sie verwies dabei auf die Bemessungsgrundsätze gemäss Verordnung des Kantons Luzern vom 26. März 2013 über die Kosten in Zivil-, Straf- und verwaltungsgerichtlichen Verfahren (Justiz-Kostenverordnung, JusKV; SRL 265) und wies in Bezug auf die Parteientschädigung zusätzlich auf den angefallenen Aufwand und den dreifachen Schriftenwechsel hin.
Wie bereits erwähnt, überprüft das Bundesgericht die Anwendung kantonalen Rechts nur darauf hin, ob dadurch Bundesrecht, namentlich das Willkürverbot, verletzt ist, was substanziiert zu rügen ist (vgl. oben E. 1.2). Eine solche Verletzung wird vom Beschwerdeführer nicht geltend gemacht, weshalb auf die Rüge nicht weiter einzugehen ist. Immerhin sei festgehalten, dass das Vorliegen wesentlicher, durch die Gemeinde verursachter Verfahrensmängel vorliegend, wie ausführlich dargelegt, zu verneinen ist.
6.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Überdies hat er die anwaltlich vertretenen Beschwerdegegnerinnen für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1, 2 und 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerinnen für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gemeinderat Weggis, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, dem Bundesamt für Umwelt BAFU und dem Bundesamt für Raumentwicklung ARE schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Mai 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Die Gerichtsschreiberin: Dambeck