Das präsidierende Mitglied zieht in Erwägung:
1.
Der Beschwerdeführer erstattete mit Schreiben vom 16. November 2020 und 15. Februar 2021 Strafanzeige gegen die Finanzverwaltung bzw. mehrere, namentlich genannte Mitarbeitende der Finanzverwaltung des Kantons Graubünden wegen mehrfachen Betrugs und weiterer Delikte. Die Staatsanwaltschaft Graubünden nahm eine Strafuntersuchung mit Verfügung vom 19. Februar 2021, mitgeteilt am 22. Februar 2021, nicht an die Hand. Eine dagegen gerichtete Beschwerde wies das Kantonsgericht von Graubünden am 27. Mai 2021 ab, soweit es darauf eintrat. Gleichzeitig wurde das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen. Der Beschwerdeführer wendet sich am 7. Juni 2021 mit Beschwerde an das Bundesgericht.
2.
Die angefochtene Verfügung bestätigt, dass die angestrebte Strafuntersuchung gegen die kantonale Finanzverwaltung bzw. die beschuldigten Mitarbeitenden der Finanzverwaltung des Kantons Graubünden nicht an die Hand genommen wird, und schliesst damit das Verfahren ab. Es handelt sich um den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer Strafsache, gegen den die Beschwerde in Strafsachen zulässig ist (Art. 78 Abs. 1, Art. 80 Abs. 1, Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer, der als Privatkläger am kantonalen Verfahren beteiligt gewesen war, ist befugt, sie zu erheben, wenn sich der angefochtene Entscheid auf die Beurteilung allfälliger Zivilansprüche auswirken könnte (Art. 81 Abs. 1 lit. a und lit. b Ziff. 5 BGG; <ref-ruling> E. 1.1 S. 4 f. mit Hinweisen), was vorliegend indessen nicht der Fall ist. Allfällige Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche gegen die angeblich fehlbare Finanzverwalung bzw. die angeblich fehlbaren Mitarbeitenden der Finanzverwaltung des Kantons Graubünden beurteilen sich ausschliesslich nach dem kantonalen Gesetz vom 5. Dezember 2006 über die Staatshaftung (SHG/GR) und sind damit öffentlichrechtlicher Natur. Ein direktes Klagerecht des geschädigten Dritten gegen fehlbare Organe und Personen ist ausgeschlossen (Art. 10 SHG/GR). Dem Beschwerdeführer stehen mithin keine Zivilansprüche gegen die beschuldigte kantonale Finanzverwaltung bzw. die beschuldigten Mitarbeitenden der kantonalen Finanzverwaltung zu. Folglich ist er nicht im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG zur Beschwerde in Strafsachen legitimiert.
3.
Formelle Rügen, zu deren Geltendmachung der Beschwerdeführer unbesehen der fehlenden Legitimation in der Sache befugt wäre (sog. "Star-Praxis"; vgl. <ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen), erhebt er nicht.
4.
Der Beschwerdeführer beanstandet die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege, weil er nicht über die erforderlichen Mittel verfüge. Er verkennt, dass die Vorinstanz sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht wegen Prozessarmut, sondern wegen Aussichtslosigkeit abgewiesen hat. Dazu äussert er sich in seiner Beschwerde nicht und er legt vor Bundesgericht nicht im Ansatz dar, inwiefern die vorinstanzliche Einschätzung der kantonalen Beschwerde als aussichtslos rechtsverletzend im Sinne von <ref-law> sein könnte. Die Beschwerde genügt in diesem Punkt den Begründungsanforderungen nicht (<ref-law>).
5.
Auf die Beschwerde ist mangels Legitimation und mangels tauglicher Begründung im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten. Die Gerichtskosten sind ausgangsgemäss dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von <ref-law> wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist mit reduzierten Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>). Eine Entschädigung an den Beschwerdeführer fällt ausser Betracht.

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht von Graubünden, II. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Juli 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill