Sachverhalt:
A.
A._ (Klägerin, Beschwerdeführerin) war über ihre Arbeitgeberin bei der B._ AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin) nach VVG (SR 221.229.1) krankentaggeldversichert.
Mit Krankheitsmeldung vom 22. Dezember 2017 wurde der B._ AG mitgeteilt, dass A._ seit 24. November 2017 arbeitsunfähig sei. In der Folge richtete die B._ AG Krankentaggelder aus.
Per 31. August 2018 kündigte die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis.
Gestützt auf verschiedene ärztliche Beurteilungen teilte die B._ AG A._ mit Schreiben vom 25. Oktober 2018 mit, dass sie die Taggeldleistungen per 31. Oktober 2018 einstellen werde.
B.
Am 30. Oktober 2020 klagte A._ beim Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit dem Begehren, die B._ AG sei zu verurteilen, ihr aus der kollektiven Taggeldversicherung Fr. 25'113.95 sowie aus der "C._ Taggeldversicherung" Fr. 5'295.50, je nebst Zins, zu bezahlen.
Mit Entscheid vom 30. August 2021 wies das Versicherungsgericht die Klage ab.
C.
A._ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Versicherungsgerichts sei aufzuheben und es seien ihr "die in der Klage vom 30. Oktober 2020 beantragten Leistungen" zuzusprechen. Eventualiter sei die Sache zur Durchführung weiterer Abklärungen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Der angefochtene Entscheid des Versicherungsgerichts hat eine Streitigkeit aus einer Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung gemäss <ref-law> zum Gegenstand. Es ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer einzigen kantonalen Instanz im Sinne von <ref-law>. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in Zivilsachen offen, gemäss <ref-law> unabhängig vom Streitwert (<ref-ruling> E. 1.1, 2 E. 1.2.2; siehe auch <ref-ruling> E. 1.2).
1.2. Die Beschwerdeführerin stellt vor Bundesgericht zwar keinen bezifferten Antrag (vgl. zu diesem Erfordernis <ref-ruling> E. 1.2), verlangt aber Gutheissung der Klage. Daraus ergibt sich in Verbindung mit den Feststellungen zum Prozesssachverhalt im angefochtenen Entscheid ohne Weiteres, dass sie weiterhin die Bezahlung von Fr. 25'113.95 und Fr. 5'295.50, je nebst Zins, verlangt. Insoweit steht einem Eintreten auf die Beschwerde nichts entgegen.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90).
2.3. Kritisieren die Parteien die vorinstanzliche Beweiswürdigung, ist zu beachten, dass das Bundesgericht in diese nur eingreift, wenn sie willkürlich ist. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern bloss, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 4.2.1). Dies ist dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 4.2). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (BGE <ref-ruling> E. 2.2). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266 f.; <ref-ruling> E. 2b).
3.
Vor Versicherungsgericht unbestritten war der Taggeldanspruch bis zum 31. Oktober 2018. Uneinigkeit bestand über die Frage, wie es sich mit der Arbeits (un) fähigkeit ab November 2018 verhielt.
3.1. Die Vorinstanz erwog, die Versicherte habe die Tatsachen zur Begründung des Versicherungsanspruchs zu beweisen. Dies gelte auch dann, wenn der Versicherer zunächst Taggelder erbracht habe. Mache dieser geltend, die versicherte Person sei wieder arbeitsfähig, trage diese die Beweislast dafür, dass sie (weiterhin) arbeitsunfähig sei. Es gelte das "Beweismass der überwiegenden Wahrscheinlichkeit".
Das Versicherungsgericht kam dabei zum Ergebnis, dass die von der Beschwerdeführerin vorgebrachten Befunde gewisse körperliche Beschwerden als durchaus möglich erscheinen liessen. Sie begründeten aber - so hob die Vorinstanz hervor - nicht ohne Weiteres eine auch nach Oktober 2018 bestehende Arbeitsunfähigkeit. Einzig der Hausarzt Dr. med. D._ habe der Beschwerdeführerin für diese Zeit eine Arbeitsunfähigkeit attestiert. Indes enthielten seine Arztzeugnisse keine Begründung und namentlich gehe daraus nicht nachvollziehbar hervor, weshalb die Arbeitsfähigkeit auch in adaptierten, körperlich leichten Bürotätigkeiten eingeschränkt sein soll. Mit Blick auf die zahlreichen im Recht liegenden medizinischen Abklärungen und Berichte - das Versicherungsgericht verwies unter anderem auf Beurteilungen von Dr. med. E._, Dr. med. F._, Dr. med. G._, Dr. med. H._, Dr. med. I._ sowie auf einen Bericht der Klinik J._ des Kantonsspitals K._ - sei eine über Oktober 2018 hinausgehende Arbeitsunfähigkeit nicht "mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit" erstellt.
3.2. Die Beschwerdeführerin weist diese - nur unter Willkürgesichtspunkten überprüfbare - Beweiswürdigung nicht als offensichtlich unrichtig aus. Sie greift einzelne Gutachten heraus, die sie anders als die Vorinstanz gewichtet haben möchte, schildert frei ihre Sicht des Krankheitsverlaufs und zählt zahlreiche Diagnosen sowie Beschwerden auf, wobei sie dem Versicherungsgericht vorwirft, die Arbeitsfähigkeit nicht "in der Gesamtschau der multifaktoriellen Gesundheitsstörungen" beurteilt zu haben. Damit belegt sie keine Willkür (siehe Erwägungen 2.2 f.). Soweit sie wiederholt auf eine Stellungnahme von Dr. med. G._ vom 5. Oktober 2018 verweist, worin dieser eine "dramatische Leistungseinbusse" festgestellt habe, übergeht sie überdies, dass Dr. med. G._ gerade betonte, eine Arbeitsunfähigkeit sei in somatischer Hinsicht "nicht ausgewiesen".
Ohnehin ist festzuhalten, dass nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung in Versicherungsfällen für den Nachweis der behaupteten Arbeitsunfähigkeit nicht das reduzierte Beweismass der überwiegenden Wahrscheinlichkeit, sondern (entgegen dem Versicherungsgericht und der Beschwerdeführerin) das ordentliche Beweismass der vollen Überzeugung gilt (Urteil 4A_117/2021 vom 31. August 2021 E. 3.3.1, zur Publikation vorgesehen; ferner Urteil 4A_144/2021 vom 13. September 2021 E. 5.2). Umso mehr gilt daher, dass der beweisbelasteten Beschwerdeführerin der Nachweis der Arbeitsunfähigkeit unter dem strengeren, ordentlichen Beweismass nicht gelungen ist.
3.3. Ferner erblickt die Beschwerdeführerin im angefochtenen Entscheid eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) und insbesondere der gerichtlichen Begründungspflicht sowie der Regeln über die antizipierte Beweiswürdigung. Sie macht geltend, die vorinstanzlichen Erwägungen liessen den Rechtssuchenden "einigermassen ratlos" und das Versicherungsgericht habe verschiedene "Tatsachen" nicht gewürdigt. Die Vorwürfe gehen fehl: Zunächst tut die Beschwerdeführerin nicht (mit Aktenhinweisen) dar, dass und an welcher Stelle sie die angeblich übergangenen Umstände schon im vorinstanzlichen Verfahren eingebracht hätte. Sodann scheint sie im Wesentlichen tadeln zu wollen, das Versicherungsgericht habe sich weder mit dem erwähnten, eine "dramatische Leistungseinbusse" attestierenden Privatgutachten von Dr. med. G._ auseinandergesetzt "noch dieses gewürdigt". Dies trifft jedoch nicht zu (siehe nur die vorinstanzlichen Erwägungen 4.2 sowie 4.5.2 und dort S. 17). Genau besehen begründet die Beschwerdeführerin ihre Kritik damit, dass das Versicherungsgericht aus den ärztlichen Gutachten andere Schlüsse zog, als sie dies tut. Sie beanstandet mithin unter dem Vorwand der Gehörsverletzung die - im Übrigen sorgfältig begründete - Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz, ohne Willkür auszuweisen. Mit einer solchen Argumentation dringt sie nicht durch.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten gemäss <ref-law> der Beschwerdeführerin aufzuerlegen. Der Beschwerdegegnerin ist kein Aufwand entstanden, für den sie nach <ref-law> zu entschädigen wäre.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. November 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Stähle