Sachverhalt:
A.
Am 8. Juli 2019 meldete die B._ aus U._ dem Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Basel-Stadt (hiernach: kantonales Amt für Wirtschaft und Arbeit) im Online-Meldeverfahren die Entsendung C._ in die Schweiz für den Zeitraum vom 16. Juli bis 13. August 2019; das kantonale Amt für Wirtschaft und Arbeit verweigerte die Meldung am 19. Juli 2019. Am 20. Juli 2019 meldete die D._, E._ aus U._ dem kantonalen Amt für Wirtschaft und Arbeit die Entsendung F._ für den Zeitraum vom 27. Juli bis 29. August 2019; nachdem das kantonale Amt für Wirtschaft zunächst auch diese Meldung verweigert hatte, bestätigte es sie am 29. Juli 2019. Am 31. Juli 2019 meldete die G._ aus V._ (Malta) dem kantonalen Amt für Wirtschaft und Arbeit die Entsendung H._ für den Zeitraum vom 8. August bis 5. Oktober 2019; das kantonale Amt für Wirtschaft und Arbeit bestätigte die Meldung am 5. August 2019. Bei allen drei Meldungen wurde als Kontaktadresse in der Schweiz die A._ GmbH angegeben.
B.
B.a. Am 15. August 2019 kürzte das kantonale Amt für Wirtschaft und Arbeit die Meldungen für F._ und H._ auf den 18. August 2019. Mit Eingabe vom 16. August 2019 ersuchte die A._ GmbH das kantonale Amt für Wirtschaft und Arbeit um Wiedererwägung im Sinne eines sofortigen Rückzugs der mit einer Einsatzreduktion versehenen Meldebestätigung vom 15. August 2019; für den Fall, dass das kantonale Amt für Wirtschaft und Arbeit an der Einsatzreduktion festhalte, verlangte sie eine anfechtbare Verfügung.
B.b. Mit Verfügung vom 22. August 2019 stellte das kantonale Amt für Wirtschaft und Arbeit fest, dass betreffend die Arbeitnehmerinnen C._, F._ und H._ keine Entsendung vorliege, sondern ein Stellenantritt bei der A._ GmbH, und dass diese als Arbeitgeberin im Sinne des Ausländerrechts einzustufen sei (Ziff. 1 bis 3). Bei einem Stellenantritt in der Schweiz sei eine Meldung gemäss Art. 9 Abs. 1bis der Verordnung vom 22. Mai 2002 über die schrittweise Einführung des freien Personenverkehrs (VEP; SR 142.203; seit 1. Januar 2021: Verordnung über den freien Personenverkehr [VFP]) nicht möglich und vom ersten Tag an eine Arbeitsbewilligung zu beantragen (Ziff. 4). Es sei C._, F._ und H._ folglich untersagt, in der Schweiz eine Arbeitstätigkeit aufzunehmen (Ziff. 5).
B.c. Gegen die Verfügung des kantonalen Amts für Wirtschaft und Arbeit vom 22. August 2019 erhob die A._ GmbH Rekurs an das basel-städtische Departement für Wirtschaft, Soziales und Umwelt (nachfolgend: das kantonale Departement für Wirtschaft, Soziales und Umwelt). Das kantonale Departement für Wirtschaft, Soziales und Umwelt hiess das Rechtsmittel mit Entscheid vom 1. Oktober 2020 teilweise gut und hob die Ziffern 4 und 5 des Dispositivs der Verfügung vom 22. August 2020 auf; im Übrigen wies es das Rechtsmittel ab.
B.d. Die A._ GmbH zog den Rekursentscheid des kantonalen Departements für Wirtschaft, Soziales und Umwelt an das Präsidialdepartement des Kantons Basel-Stadt weiter. Sie beantragte die Aufhebung des Entscheids des kantonalen Departements für Wirtschaft, Soziales und Umwelt, soweit ihr Rekurs abgewiesen worden sei; es sei festzustellen, dass betreffend C._, F._ und H._ eine Entsendung und kein Stellenantritt bei der A._ GmbH vorliege und dass diese nicht als Arbeitgeberin im Sinne des Ausländerrechts einzustufen sei. Die Kosten des verwaltungsinternen Rekursverfahrens seien dem Staat aufzuerlegen und der A._ GmbH sei für das verwaltungsinterne Rekursverfahren zu Lasten des Staats eine Parteientschädigung zuzusprechen.
Das kantonale Präsidialdepartement überwies das Rechtsmittel mit Schreiben vom 9. Dezember 2020 dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht (nachfolgend: das Appellationsgericht).
B.e. Mit Urteil vom 18. Februar 2021 trat das Appellationsgericht auf das Rechtsmittel der A._ GmbH in der Hauptsache nicht ein; im Kostenpunkt wies es das Rechtsmittel ab.
C.
Mit Eingabe vom 19. April 2021 erhebt die A._ GmbH Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des Urteils des Appellationsgerichts vom 18. Februar 2021 und die Anweisung an das Appellationsgericht, auf den Rekurs vom 19. November 2020 einzutreten und die Kosten entsprechend dem Ausgang des Verfahrens neu zu verlegen.
Das Appellationsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Departement für Wirtschaft, Soziales und Umwelt verzichtet auf eine Stellungnahme. Mit Eingabe vom 15. Juni 2021 repliziert die A._ GmbH auf die Vernehmlassung des Appellationsgerichts.

Erwägungen:
1.
1.1. Der vorliegende Fall hat gekürzte Meldebestätigungen für (angeblich) in die Schweiz entsandte Personen zum Gegenstand. Gegen den in dieser Sache ergangenen verfahrensabschliessenden Entscheid des Appellationsgerichts Basel-Stadt ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 83 lit. c e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG).
1.2. Der angefochtene Nichteintretensentscheid erging im Wesentlichen auf der Grundlage basel-städtischen Verwaltungsverfahrensrechts. Die Vorinstanz erwog in Anwendung namentlich von § 13 Abs. 1 und § 16 Abs. 2 des Gesetzes des Kantons Basel-Stadt über die Verfassungs- und Verwaltungsrechtspflege vom 14. Juni 1928 (VRPG/BS; SG 270.100), dass die Beschwerdeführerin in Verletzung ihrer Begründungspflicht nicht dargelegt habe, dass sie ein aktuelles Interesse an der Behandlung ihrer Beschwerde vorzuweisen habe; ein solches Interesse sei auch nicht ohne Weiteres ersichtlich. Ein aktuelles schutzwürdiges Interesse an der Behandlung des Rekurses sei der Beschwerdeführerin deshalb abzusprechen (vgl. E. 1.2.2.1 des angefochtenen Entscheids). Dass die Voraussetzungen für einen ausnahmsweisen Verzicht auf das Erfordernis der Aktualität des Rechtsschutzinteresses gegeben wären, habe die Beschwerdeführerin nicht einmal behauptet. Solche Umstände seien auch nicht ersichtlich (vgl. E. 1.2.2.2 des angefochtenen Entscheids).
1.3. Die Beschwerdeführerin beanstandet den angefochtenen Nichteintretensentscheid (vgl. E. 1.2 hiervor) als rechtswidrig. Die von der Vorinstanz für das kantonale Verfahren als nicht erfüllt betrachteten Eintretensvoraussetzungen decken sich dabei im Wesentlichen mit den Legitimationsvoraussetzungen, die für die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht zur Anwendung gelangen (Art. 89 Abs. 1 BGG) (vgl. E. 1.2.1.1 des angefochtenen Entscheids). In dieser Situation muss es für das Eintreten auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten genügen, dass die Beschwerdeführerin die Beschwerdelegitimation für das vorliegende Verfahren plausibel behauptet (vgl. auch Urteil 2C_134/2013 vom 6. Juni 2014 E. 2.3; Theorie der doppelrelevanten Tatsache). Davon ist vorliegend auszugehen. Wie es sich in der Sache verhält, ist im Rahmen der materiellen Beurteilung zu entscheiden.
1.4. Auf die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 42, Art. 100 Abs. 1 BGG) ist damit einzutreten. Für die parallel erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde bleibt kein Raum (Art. 113 BGG); darauf ist nicht einzutreten.
2.
Inhaltlich umstritten ist vorliegend die Frage, ob die Vorinstanz die Beschwerdelegitimation der Beschwerdeführerin zu Recht verneint hat. Diese Frage ist im Wesentlichen durch kantonales Verfahrensrecht geregelt (vgl. E. 1.2 hiervor). Nach Art. 111 Abs. 1 BGG muss allerdings vor der letzten kantonalen Instanz legitimiert sein, wer in dieser Angelegenheit nach Art. 89 Abs. 1 BGG auch die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht ergreifen kann. Insoweit ist die Frage der Legitimation vor den kantonalen Instanzen eine bundesrechtliche Frage (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 6.1), für die im bundesgerichtlichen Verfahren keine Kognitionsbeschränkung besteht (Art. 95 lit. a BGG). Dies gilt auch für die Frage, ob die Legitimation mangels eines aktuellen Rechtsschutzinteresses zu verneinen ist (vgl. Urteile 1B_549/2018 vom 12. April 2018 E. 3.3; 1C_608/2018 vom 2. Mai 2019 E. 2.4; 1C_564/2016 vom 2. März 2017 E. 3).
3.
Nach § 13 Abs. 1 VRPG/BS ist zum Rekurs an das Appellationsgericht als Verwaltungsgericht vorbehältlich besonderer Rekursrechte berechtigt, wer durch den angefochtenen Entscheid berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat. Die Vorinstanz erwog dazu, dass eine Rekurrentin gemäss dieser Vorschrift durch den angefochtenen Entscheid stärker als jedermann betroffen sein und in einer besonderen, beachtenswerten Beziehung zur Streitsache stehen müsse. Das Interesse könne rechtlicher oder tatsächlicher Natur sein. Es müsse sich aber um ein eigenes Interesse der Rekurrentin handeln. Um schutzwürdig zu sein, müsse das Interesse zudem aktuell sein. Dies sei dann der Fall, wenn die Anfechtung für die Rekurrentin sowohl beim Einreichen des Rekurses als auch im Zeitpunkt der Urteilsfällung eine praktische Bedeutung habe und die Gutheissung ihres Rechtsmittels ihr einen gegenwärtigen und praktischen Nutzen eintrage in dem Sinn, dass dadurch der Eintritt eines wirtschaftlichen, ideellen, materiellen oder anderweitigen Nachteils verhindert werde.
Wenn der Nachteil auch bei Gutheissung des Rekurses nicht mehr behoben werden könne - so die Vorinstanz weiter -, fehle es an einem aktuellen praktischen Interesse. Dies sei beispielsweise dann der Fall, wenn der angefochtene Akt im Zeitpunkt des Urteils keine Rechtswirkung mehr entfalten könne, weil das Ereignis, auf das er sich beziehe, bereits stattgefunden habe. Kein ausreichendes Rechtsschutzinteresse bestehe auch dann, wenn die Interessen in einem anderen Verfahren gewahrt werden könnten. Mit dem Erfordernis des aktuellen Rechtsschutzinteresses werde sichergestellt, dass dem Gericht nur konkrete und nicht bloss theoretische oder abstrakte Rechtsfragen unterbreitet würden (E. 1.2.1.1 des angefochtenen Entscheids). Wenn sich der gerügte Eingriff jederzeit wiederholen könne, seine rechtzeitige Überprüfung auf dem Rekursweg jedoch wegen der Dauer des Verfahrens kaum je möglich und deshalb kein endgültiger Entscheid in Grundsatzfragen herbeizuführen sei, verzichte das Verwaltungsgericht ausnahmsweise auf das Erfordernis des aktuellen Interesses (E. 1.2.1.4 des angefochtenen Entscheids). Aufgrund der prozessualen Pflicht, einen Rekurs zu begründen (§ 16 Abs. 2 VRPG/BS) habe eine Rekurrentin die Voraussetzungen ihrer Legitimation jedoch in jedem Fall substanziiert darzulegen, soweit ihr Vorhandensein nicht ohne Weiteres ersichtlich sei (E. 1.2.1.2 des angefochtenen Entscheids).
Die Vorinstanz erwog weiter, die Feststellungen in den Ziff. 1 bis 3 der Verfügung des kantonalen Amts für Wirtschaft und Arbeit vom 22. August 2019, die mit dem Entscheid des kantonalen Departements für Wirtschaft, Soziales und Umwelt vom 1. Oktober 2020 bestätigt worden seien, beträfen Einsätze, die gemäss den Meldungen bis am 13. August, 29. August bzw. 5. Oktober 2019 hätten dauern sollen. Damit seien die Sachverhalte, auf die sich die betreffenden Feststellungen bezögen, bereits abgeschlossen und vergangen. Es sei damit nicht ohne Weiteres ersichtlich, wie der Beschwerdeführerin aus der Gutheissung ihres Rekurses ein gegenwärtiger und praktischer Nutzen erwachsen sollte. Unter diesen Umständen habe die Beschwerdeführerin begründen müssen, worin ihr aktuelles Interesse liege. Nachdem sie dieser Pflicht nicht nachgekommen sei, müsse ein aktuelles schutzwürdiges Interesse verneint werden (E. 1.2.2.1 des angefochtenen Entscheids).
Weiter führte die Vorinstanz aus, dass die Beschwerdeführerin nicht einmal behaupte, dass die Voraussetzungen für einen ausnahmsweisen Verzicht auf das Erfordernis der Aktualität des Rechtsschutzinteresses gegeben wären. Ein solcher Verzicht komme auch nicht in Betracht, zumal der Entscheid des kantonalen Departements für Wirtschaft, Soziales und Umwelt im Wesentlichen mit den konkreten Umständen der beurteilten Einsätze begründet werde. Aufgrund der besondere Umstände dieser abgeschlossenen Einsätze sei nicht damit zu rechnen, dass sich die vorliegend relevanten Fragen unter ähnlichen Umständen in Zukunft wieder stellen könnten. Die Beschwerdeführerin behaupte auch nicht, dass weitere Einsätze von C._, F._ und H._ geplant wären. Sie mache vielmehr geltend, sie habe sich in einer Situation befunden, in der sie entweder Gefahr gelaufen sei, ihre Kunden an einen Konkurrenzbetrieb in Basel zu verlieren, oder den Entsendebetrieben zu ermöglichen, die Kunden in Basel zu bedienen, bis sie selber ausreichend Personal rekrutiert haben würde. Da seit den strittigen Einsätzen inzwischen mehr als ein Jahr vergangen sei, spreche diese Darstellung dafür, dass eine Entsendung inzwischen nicht mehr zur Diskussion stehe.
Die Vorinstanz erwog sodann, dass die Frage, ob C._, F._ und H._ unter den konkreten Umständen dem Weisungsrecht der Beschwerdeführerin unterstanden hätten, keine Grundsatzfrage darstelle. Die Frage, ob eine Entsendung im Erotikbereich grundsätzlich zulässig sei, sei gar nicht zu beantworten, falls mit dem kantonalen Departement für Wirtschaft, Soziales und Umwelt wegen des Übergangs des Weisungsrechts auf die Beschwerdeführerin eine Entsendung verneint werde (vgl. E. 1.2.2.2 des angefochtenen Entscheids).
4.
4.1. Zu konstatieren ist zunächst, dass die Beschwerdeführerin der vorinstanzlichen Darstellung der basel-städtischen Regelung zu den Legitimationsvoraussetzungen für das Verfahren vor dem Appellationsgericht als Verwaltungsgericht (§ 13 Abs. 1 VRPG/BS; vgl. dazu E. 3 hiervor) beizupflichten scheint. Nicht beanstandet wird auch die Erwägung der Vorinstanz, dass eine Partei, die mit Rekurs an das Appellationsgericht gelangt, mit Blick auf ihre gesetzliche Begründungspflicht (§ 16 Abs. 2 VRPG/BS) in ihrer Rechtsschrift darlegen muss, dass die gesetzlichen Legitimationsvoraussetzungen gegeben sind, jedenfalls, wenn diese Legitimationsvoraussetzungen nicht evident sind. Diese Anforderungen decken sich mit den Regelungen für das bundesgerichtliche Verfahren und gelangen auch in anderen Kantonen zur Anwendung (vgl. für das bundesgerichtliche Verfahren <ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 1.1; Urteil 2C_384/2020 vom 9. Juni 2020 E. 2.3; vgl. für das Verfahrensrecht des Kantons St. Gallen Urteil 2C_707/2019 vom 8. Juni 2020 E. 3.3). Im Kanton Basel-Stadt gilt die gesetzliche Begründungspflicht auch für das verwaltungsinterne Rekursverfahren (vgl. § 46 Abs. 2 des Gesetzes betreffend die Organisation des Regierungsrates und der Verwaltung des Kantons Basel-Stadt vom 22. April 1976 [OG/BS; SG 153.100]); insofern kann die Beschwerdeführerin nichts daraus ableiten, dass ihr Rekurs vom Präsidialdepartement des Kantons Basel-Stadt als Sprungrekurs an das Appellationsgericht als Verwaltungsgericht weitergeleitet wurde.
4.2. Unter dem Gesichtspunkt des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) wirft die Beschwerdeführerin die Frage auf, ob die Vorinstanz ihr eine Äusserungsmöglichkeit hätte gewähren müssen, als sie in Betracht zog, aufgrund fehlender Legitimationsvoraussetzungen auf den Rekurs nicht einzutreten. Die Beschwerdeführerin leitet eine solche Pflicht insbesondere aus dem Umstand ab, dass das kantonale Departement für Wirtschaft, Soziales und Umwelt auf ihr Rechtsmittel eingetreten ist, obschon die Legitimationsvoraussetzungen in jenem Verfahren mit den Legitimationsvoraussetzungen für das Rekursverfahren vor dem Appellationsgericht als Verwaltungsgericht identisch seien.
4.2.1. Tatsächlich kann es unter gehörsrechtlichen Aspekten (Art. 29 Abs. 2 BV) problematisch sein, wenn eine Behörde einen abschlägigen Rechtsmittelentscheid auf ein rechtliches Argument abstützt, das für die Rechtsunterworfene überraschend kommt (vgl. Urteile 2C_349/2020 vom 12. November 2020 E. 4.2; 8C_535/2019 vom 2. November 2020 E. 5.2; 2C_695/2018 vom 27. März 2019 E. 6.1). Dadurch wird der betreffenden Person nämlich unter Umständen die Möglichkeit genommen, Beweismittel in das Verfahren einzubringen, die für die rechtliche Würdigung der Angelegenheit relevant sein können (vgl. <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 6.5; <ref-ruling> E. 3.1.3); ebenso kann das Äusserungsrecht tangiert sein (vgl. dazu <ref-ruling> E. 5.3). Eine Gehörsverletzung kommt freilich nur dort in Betracht, wo die Rechtsunterworfene mit der betreffenden rechtlichen Argumentation nicht rechnen musste.
4.2.2. Davon, dass die Beschwerdeführerin mit der rechtlichen Argumentation der Vorinstanz nicht hätte rechnen müssen, kann vorliegend nicht die Rede sein: Die oben (vgl. E. 4.2.1 hiervor) skizzierte Rechtsprechung ist insbesondere auf Fälle zugeschnitten, in denen eine Rechtsmittelinstanz in der Sache eine für die Parteien überraschende Motivsubstitution vornimmt; da die rechtsmittelergreifende Partei die Begründung ihres Rechtsmittels in erster Linie am angefochtenen Entscheid auszurichten hat, kann eine nicht antizipierbare Motivsubstitution dazu führen, dass sich die betreffende Partei zu den letztlich tragenden Entscheidungsmotiven nie geäussert hat (und dazu auch keinen Anlass hatte).
Diese Konstellation unterscheidet sich offensichtlich vom vorliegenden Fall, in dem die Vorinstanz wegen der fehlenden Legitimation der Beschwerdeführerin auf den Rekurs nicht eingetreten ist. Die Eintretensvoraussetzungen sind von jeder angerufenen Behörde von Amtes wegen zu prüfen; diese Prüfung erfolgt unabhängig davon, wie die jeweilige Vorinstanz die Eintretensvoraussetzungen in ihrem Verfahren beurteilt hat. Insofern hat eine Person, die ein Rechtsmittel ergreift, immer Anlass dazu, sich zu den Eintretensvoraussetzungen zu äussern, jedenfalls wenn das Vorliegen der Eintretensvoraussetzungen nicht evident ist.
Vor diesem Hintergrund ist eine Rechtsmittelinstanz, die einen Nichteintretensentscheid ins Auge fasst, grundsätzlich nicht verpflichtet, die Parteien vorgängig zu einer diesbezüglichen Stellungnahme aufzufordern. Dies muss insbesondere dann gelten, wenn die Rechtssuchende - wie vorliegend - anwaltlich vertreten ist. Daran ändert auch nichts, dass das Appellationsgericht gemäss § 18 VRPG/BS verpflichtet ist, bei der Beurteilung der Rekurse die Wahrheit von Amtes wegen zu erforschen. Der Untersuchungsgrundsatz ändert nichts daran, dass es nicht Sache der Rechtsmittelinstanz ist, nach legitimationsbegründenden Umständen zu forschen, wenn diese nicht ohne Weiteres ersichtlich sind (vgl. zum Zürcher Verwaltungsverfahrensrecht ALAIN GRIFFEL, in: Griffel [Hrsg.], Kommentar zum Verwaltungsrechtspflegegesetz des Kantons Zürich, 3. Aufl. 2014, § 23 N. 21, m.w.H.).
4.2.3. Ein Anspruch darauf, die Legitimationsvoraussetzungen nachträglich im Sinne einer Beschwerdeverbesserung substanziieren zu dürfen, ergibt sich ferner - wie das Appellationsgericht in seiner Vernehmlassung ausführlich darlegt - auch nicht aus § 22 VRPG/BS, zumal sich diese Vorschrift einzig auf unklare oder vorschriftswidrige Rekursbegründungen bezieht, hingegen nicht der Verbesserung inhaltlich ungenügender Rechtsschriften dient.
4.2.4. Die Gehörsrüge der Beschwerdeführerin erweist sich damit als unbegründet. Auf die nicht näher begründeten Beschwerdeausführungen, wonach aufgrund der Nichtgewährung eines Äusserungsrechts gleichzeitig das Verbot des überspitzten Formalismus gemäss Art. 29 Abs. 1 BV und § 12 Abs. 1 lit. a der Verfassung des Kantons Basel-Stadt vom 23. März 2005 (KV/BS; SR 131.222.1) verletzt worden sei, ist aufgrund fehlender Substanziierung nicht weiter einzugehen (Art. 106 Abs. 2 BGG).
4.3. Die Beschwerdeführerin bringt vor, die Vorinstanz habe das Willkürverbot (Art. 9 BV) verletzt, indem sie festgehalten habe, dass ein aktuelles Interesse an der Behandlung des Rekurses nicht ohne Weiteres ersichtlich sei; dass ein solches Interesse bestehe, sei evident, denn die Feststellungen der kantonalen Behörden betreffend ihre ausländerrechtliche Arbeitgebereigenschaft könnten insbesondere sozialversicherungsrechtliche Konsequenzen nach sich ziehen.
4.4. Willkür in der Rechtsanwendung liegt nach ständiger bundesgerichtlicher Rechtsprechung vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 3.6.2; <ref-ruling> E. 4.3; <ref-ruling> E. 2.4).
4.4.1. Festzuhalten ist mit Blick auf die Beschwerdeausführungen zunächst, dass die Beschwerdeführerin vom kantonalen Amt für Wirtschaft und Arbeit bzw. vom kantonalen Departement für Wirtschaft, Soziales und Umwelt nur als Arbeitgeberin im Sinn des Ausländerrechts qualifiziert worden ist. Dies ergibt sich sowohl aus der Verfügung des kantonalen Amts für Wirtschaft und Arbeit vom 22. August 2019, als auch aus dem Entscheid des kantonalen Amts für Wirtschaft, Soziales und Umwelt vom 1. Oktober 2020 in aller Deutlichkeit, wenn man die Dispositive dieser Entscheide - wie geboten (vgl. <ref-ruling> E. 4.2; Urteil 2C_314/2019 vom 11. März 2020 E. 3.1) - im Lichte ihrer Begründung liest.
4.4.2. Die von den kantonalen Behörden getroffene Feststellung der ausländerrechtlichen Arbeitgebereigenschaft der Beschwerdeführerin ist insbesondere mit Blick auf die Frage relevant, wer die Meldung des Einsatzes von C._, F._ und H._ vorzunehmen hatte (Art. 6 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 8. Oktober 1999 über die flankierenden Massnahmen bei entsandten Arbeitnehmerinnen und Arbeitnehmern und über die Kontrolle der in Normalarbeitsverträgen vorgesehenen Mindestlöhne [Entsendegesetz, EntsG, SR 823.20]). Auszugehen ist dabei in dieser Hinsicht vom unions- bzw. freizügigkeitsrechtlichen Begriff des Arbeitgebers bzw. Arbeitnehmers (vgl. dazu Urteil 2C_1126/2018 vom 9. August 2019 E. 3.1). Eine formelle Bindungswirkung für die zivilrechtliche bzw. sozialversicherungsrechtliche Einordnung der Rechtsbeziehung der Beschwerdeführerin zu C._, F._ und H._ ergibt sich aus dieser ausländerrechtlichen Qualifikation nicht (vgl. allgemein DANIELE MARCO CORTIULA, Die Stellung der Selbständigerwerbenden im Schweizerischen Sozialversicherungsrecht de lege lata et de lege ferenda, Luzern 2020, S. 187 f.; GABRIELA RIEMER-KAFKA, Schweizerisches Sozialversicherungsrecht, 2019, S. 123).
Dass die vorliegend umstrittenen Feststellungen der kantonalen Behörden also irgendeinen Einfluss auf mögliche sozialversicherungsrechtliche Auseinandersetzungen der Beschwerdeführerin im Kanton Schwyz haben könnten, ist deshalb nicht nachvollziehbar. Noch weniger kann gesagt werden, dass insoweit im Zeitpunkt der Rechtsmittelerhebung der Beschwerdeführerin an die Vorinstanz evidenterweise ein aktuelles Rechtsschutzinteresse bestanden hätte, das die Vorinstanz von Amtes wegen hätte berücksichtigen müssen.
4.4.3. Nach dem Gesagten wäre die Beschwerdeführerin gehalten gewesen, ein allfälliges praktisches Interesse in ihrer Eingabe an die Vorinstanz näher zu substanziieren. Dass sie dies unterlassen hat, muss sie sich selbst anrechnen lassen (vgl. E. 4.2.2 hiervor). Die Vorinstanz durfte aufgrund der ihr vorliegenden Akten ein aktuelles schutzwürdiges Interesse verneinen, ohne in Willkür zu verfallen.
4.5. Zu beantworten bleibt damit die Frage, ob die Vorinstanz vorliegend ausnahmsweise vom Erfordernis eines aktuellen Rechtsschutzinteresses hätte absehen müssen. Die Beschwerdeführerin macht in diesem Zusammenhang insbesondere geltend, die Vorinstanz habe Art. 29a, Art. 30 Abs. 1 BV, § 12 Abs. 1 lit. d KV/BS und Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletzt, weil sie die richterliche Beurteilung von Fällen wie dem vorliegenden aufgrund ihrer Herangehensweise faktisch verunmögliche.
4.5.1. Was den ausnahmsweisen Verzicht auf das Erfordernis eines aktuellen praktischen Interesses angeht, folgt die Vorinstanz in ihrer Praxis zu § 13 Abs. 1 VRPG/BS der ständigen Praxis des Bundesgerichts zu Art. 89 Abs. 1 BGG (vgl. E. 3 hiervor). Danach wird vom Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses ausnahmsweise abgesehen, wenn sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen deren grundsätzlicher Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (<ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 1.1).
4.5.2. Was den vorliegenden Fall betrifft, ist vorab darauf hinzuweisen, dass die Vorinstanz aufgrund der ihr vorliegenden Akten keinen Anlass hatte, davon auszugehen, im vorliegenden Fall sei eine Frage von grundsätzlicher Bedeutung zu entscheiden. Die Beschwerdeführerin macht zwar geltend, aufgrund der ursprünglichen, in einer E-Mail vom 15. August 2019 enthaltenen Argumentation des kantonalen Amts für Wirtschaft und Arbeit stelle sich vorliegend die Grundsatzfrage, ob Entsendungen im Erotikbereich überhaupt möglich seien. Wie die Vorinstanz allerdings zutreffend erwog, bildete diese Argumentation nicht tragendes Entscheidungsmotiv des (von ihr zu überprüfenden) Entscheids des kantonalen Departements für Wirtschaft, Soziales und Umwelt vom 1. Oktober 2020. Die Frage, ob Entsendungen im Erotikbereich überhaupt zulässig seien, hätte sich der Vorinstanz erst unter der Prämisse gestellt, dass das kantonale Departement für Wirtschaft, Soziales und Umwelt angesichts der Umstände des vorliegenden Falls zu Unrecht davon ausgegangen wäre, dass der Beschwerdeführerin unter ausländerrechtlichen Gesichtspunkten die Arbeitgebereigenschaft zukomme. Unter diesen Umständen lag das Vorliegen einer Grundsatzfrage für die Vorinstanz zumindest nicht auf der Hand. Die Beschwerdeführerin wäre deshalb gehalten gewesen, diesbezüglich in ihrer Rekursschrift nähere Ausführungen zu machen (vgl. E. 4.1 hiervor), auch mit Blick darauf, aus welchen Gründen der betreffenden Frage Grundsatzcharakter zukommen sollte. Wie aus dem angefochtenen Urteil hervorgeht, hat die Beschwerdeführerin allerdings gegenüber der Vorinstanz nicht einmal behauptet, dass die Voraussetzungen für einen ausnahmsweisen Verzicht auf das Erfordernis eines aktuellen praktischen Interesses gegeben seien. Vor diesem Hintergrund durfte die Vorinstanz das Vorliegen der Voraussetzungen für einen ausnahmsweisen Verzicht auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses verneinen, ohne Bundesrecht oder Völkerrecht zu verletzen.
4.5.3. Der Vorinstanz kann unter dem Aspekt der Rechtsweggarantie (Art. 29a BV) schliesslich nicht vorgeworfen werden, dass sie die Voraussetzungen für einen ausnahmsweisen Verzicht auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses vorliegend verneint hat: Die Rechtsweggarantie schliesst nicht aus, dass die richterliche Behörde das Eintreten auf das bei ihr eingereichte Rechtsmittel von den üblichen Sachurteilsvoraussetzungen abhängig macht (<ref-ruling> E. 4.2; <ref-ruling> E. 4.3; Urteil 2C_603/2018 vom 3. Dezember 2018 E. 3.1). Die Vorinstanz begründete den angefochtenen Nichteintretensentscheid in erster Linie damit, dass die Beschwerdeführerin nicht weiter substanziiert habe, dass die Legitimationsvoraussetzungen gegeben seien (vgl. dazu E. 4.4.2 hiervor); einem derart begründeten Nichteintreten hätte die Beschwerdeführerin ohne Weiteres entgehen können, wenn sie ihren Rekurs an die Vorinstanz hinreichend begründet hätte.
In der Sache erscheint es im Übrigen keineswegs ausgeschlossen, dass dem Appellationsgericht (und sodann dem Bundesgericht) künftig Fälle unterbreitet werden, in denen in Entsendekonstellationen im Erotikbereich trotz Fehlens eines aktuellen Rechtsschutzinteresses auf den Rekurs einzutreten sein wird. Die Befürchtung der Beschwerdeführerin, dass es immer mit einem Entscheid des Vorstehers des kantonalen Departements für Wirtschaft, soziale Sicherheit und Umwelt sein Bewenden haben werde, erscheint nicht begründet. Zu ergänzen ist, dass das Beschwerdevorbringen, wonach die Vorinstanz Art. 6 Ziff. 1 EMRK, Art. 30 Abs. 1 BV und § 12 lit. d KV/BS verletzt haben soll, nicht hinreichend substanziiert (Art. 106 Abs. 2 BGG) ist; darauf ist nicht weiter einzugehen.
4.5.4. Die - nach Auffassung der Beschwerdeführerin offensichtlich unrichtige - Feststellung der Vorinstanz wonach die sich im vorliegenden Fall stellenden Fragen nicht wiederholen könnten, weil weitere Einsätze von C._, F._ und H._ nicht geplant seien (vgl. E. 1.2.2.2 des angefochtenen Entscheids), ist nach dem oben Ausgeführten nicht streitentscheidend; auch wenn die diesbezüglichen Einwände der Beschwerdeführerin nachvollziehbar erscheinen, enthält sich das Bundesgericht weiterer Ausführungen dazu.
4.6. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich nach den vorstehenden Ausführungen als unbegründet und ist abzuweisen.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens (vgl. E. 1.4 und 4.5 hiervor) wird die unterliegende Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Dreiergericht, dem Staatssekretariat für Wirtschaft (SECO) und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. September 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner