Erwägungen:
1.
Das Migrationsamt Basel-Stadt verlängerte mit Verfügung vom 13. März 2018 die Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA von A._ nicht mehr und wies ihn unter Ansetzung einer Ausreisefrist aus der Schweiz weg. Mit Entscheid vom 23. April 2018 trat das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt auf den von A._ gegen die Verfügung vom 13. März 2018 erhobenen Rekurs mangels fristgerecht eingereichter Rekursbegründung nicht ein. Den gegen den Entscheid vom 23. April 2018 erhobenen Rekurs wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Urteil vom 9. Oktober 2018 ab. A._ gelangt mit Beschwerde vom 20. November 2018 an das Bundesgericht und beantragt, das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 9. Oktober 2018 sei aufzuheben und ihm sei die Wiedereinsetzung der Frist zu gewähren. Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat der Beschwerde mit Verfügung vom 21. Dezember 2018 die aufschiebende Wirkung erteilt. Auf eine Einholung der Vorakten wurde verzichtet.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das angefochtene Urteil, mit welchem die Vorinstanz eine Beschwerde gegen einen wegen Fristversäumnis ergangenen unterinstanzlichen Nichteintretensentscheid abgewiesen hat, ist angesichts des grundsätzlichen Anspruchs auf Verlängerung einer Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA zwar zulässig (Art. 83 lit. c Ziff. 2 e contrario BGG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 343), aber offensichtlich unbegründet, weshalb sie mit summarischer Begründung und unter Verweis auf das angefochtene Urteil abzuweisen ist (<ref-law>).
2.1. Wird, wie vorliegend, ein letztinstanzlicher Entscheid angefochten, der einen ihm vorausgegangenen Nichteintretensentscheid bestätigt, ist Streitgegenstand grundsätzlich einzig die Eintretensfrage (Urteile 2C_367/2018 vom 30. August 2018 E. 2.1; 2C_806/2009 vom 10. Dezember 2009 E. 2). Das für das verwaltungsinterne Rekursverfahren massgebende Organisationsgesetz des Kantons Basel-Stadt enthält zwar keine Bestimmung über die Wiedereinsetzung, das Verwaltungsgericht wendet jedoch in konstanter Rechtsprechung § 147 Abs. 5 des Steuergesetzes des Kantons Basel-Stadt (StG/BS; Gesetz über die direkten Steuern vom 12. April 2000; SR BS 640.100) analog an, wonach bei Fristversäumnis die Wiederherstellung der Frist verlangt werden kann, wenn die säumige Person von ihrer Einhaltung durch ein unverschuldetes Hindernis abgehalten war (Urteil 2C_869/2015 vom 5. Oktober 2015 E. 2.2, unter Verweis auf ALEXANDRA SCHWANK, Das verwaltungsinterne Rekursverfahren des Kantons Basel-Stadt, in: Buser [Hrsg.], Neues Handbuch des Staats- und Verwaltungsrechts des Kantons Basel-Stadt, 2008, S. 435 ff., S. 449 f.). Darüber hinaus stellt die Möglichkeit, eine unverschuldet versäumte Frist wiederherzustellen, einen allgemeinen Rechtsgrundsatz dar (<ref-ruling> E. 3c S. 301 mit Hinweis; vgl. in Bezug auf den Kanton Basel-Stadt die Urteile 2C_869/2015 vom 5. Oktober 2015 E. 2.2; 2C_1139/2013 vom 18. September 2014 E. 2.2). Die Fristwiederherstellung setzt materiell eine unverschuldete Verhinderung des Beschwerdeführers oder seines Rechtsvertreters voraus, wobei nicht nur objektive, sondern auch subjektive, psychische Hinderungsgründe die Wiederherstellung einer Frist unter Umständen rechtfertigen können (<ref-ruling> E. 1a S. 265; Urteile 2C_869/2015 vom 5. Oktober 2015 E. 2.2, 2C_319/2009, 2C_321/2009 vom 26. Januar 2010 E. 4.1, nicht publ. in: <ref-ruling>).
2.2. Wie aus dem angefochtenen Urteil hervorgeht und der Beschwerdeführer in seiner Beschwerdeschrift selbst ausführt, ist das Fristversäumnis darauf zurückzuführen, dass der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers davon ausging, die Fristenstillstände nach <ref-law> würden auch in jenem Verfahren gelten. Die Vorinstanz erwog, es sei völlig unverständlich, dass eine qualifizierte Rechtsberatung die Auffassung vertreten sollte, im verwaltungsrechtlichen Rekursverfahren würden die zivilprozessualen Fristenstillstände gemäss <ref-law> Anwendung finden, weshalb dieser Rechtsirrtum keinen Entschuldigungsgrund für eine Fristversäumnis bilden könne. Das Vorbringen des Beschwerdeführers, bei der Rechtsberatung handle es sich um eine Non-Profitorganisation, welche versuche, mit den zur Verfügung stehenden Mitteln Personen in schwierigen Lebenslagen zu helfen, und nur Unerfahrenheit habe den Rechtsvertreter zu einem Fehler bewegt, was nicht dem Vertretenen anzulasten sei, vermögen die vorinstanzliche Rechtsauffassung, die mit der herrschenden Lehre übereinstimmt (NICCOLÒ GOZZI, Basler Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 27 zu <ref-law>; URS H. HOFFMANN-NOWOTNY, in: Kurzkommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2017, N. 7 zu <ref-law>), nicht zu erschüttern. Im Übrigen zeigt der Beschwerdeführer nicht auf, inwiefern die Vorinstanz bei der Anwendung des Grundsatzes, dass sich Vertretene, für den Dritten erkennbare Bösgläubigkeit des Vertreters vorbehalten (BGE 52 II 358 E. 1 S. 360 f.), das Verhalten ihres bestellten Vertreters anzurechnen lassen haben, und folglich bei durch den Vertreter verschuldeter Fristversäumnis kein Wiederherstellungsgrund vorliegt (Urteile 2C_50/2013 vom 24. Januar 2013 E. 2.2.2; 8C_345/2009 vom 2. Juni 2009 E. 1.2), in Willkür verfallen wäre. Dass der Beschwerdeführer, wie er vor Bundesgericht vorträgt, über Ostern im Ausland gewesen und für den Rechtsvertreter erst am 23. April 2018 wieder erreichbar gewesen sei, ist von der Vorinstanz nicht festgestellt worden und wäre im Übrigen auch kein Wiederherstellungsgrund.
3.
Ungeachtet dessen, dass das vorliegende Verfahren grundsätzlich auf die Eintretensfrage beschränkt bleibt (vgl. oben, E.), kann der Beschwerdeführer gegen die angeordnete Wegweisung Vollzugshindernisse geltend machen, können doch Vollzugshindernisse von jedem weggewiesenen Ausländer gegenüber jeder wegweisenden Behörde vorgebracht werden (<ref-ruling> E. 3.2 S. 309). Das verwaltungsgerichtliche Verfahren kann aus prozessökonomischen Gründen auf eine ausserhalb des Streitgegenstandes, das heisst ausserhalb des durch das Anfechtungsobjekt liegende spruchreife Frage ausgedehnt werden, wenn diese mit dem bisherigen Streitgegenstand derart eng zusammenhängt, dass von einer Tatbestandsgesamtheit gesprochen werden kann, und wenn sich die Verwaltung zu dieser Streitfrage mindestens in Form einer Prozesserklärung geäussert hat (<ref-ruling> E. 2a S. 36; <ref-ruling> E. 1b S. 414). In diesem Punkt steht dem Beschwerdeführer jedoch nur das Rechtsmittel der subsidiären Verfassungsbeschwerde offen (Art. 83 lit. c Ziff. 4 in Verbindung mit <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.3 S. 310), soweit sich die betroffene ausländische Person dabei auf besondere verfassungsmässige Rechte beruft, die ihr unmittelbar ein rechtlich geschütztes Interesse im Sinne von <ref-law> verschaffen. Zu denken ist dabei etwa an den Schutz des Lebens (<ref-law>/Art. 2 EMRK), an das Verbot jeder Art grausamer, unmenschlicher oder erniedrigender Behandlung oder Bestrafung (<ref-law>/Art. 3 EMRK) oder an das Verbot einer Ausschaffung in einen Staat, in welchem dem Betroffenen Folter oder eine andere Art grausamer und unmenschlicher Behandlung oder Bestrafung droht (<ref-law>) bzw. an das Gebot, Flüchtlinge nicht in einen Staat auszuschaffen oder auszuliefern, in dem sie verfolgt werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.3 S. 310). Mit seinen Ausführungen dazu, eine Rückkehr in das Heimatland Frankreich mit einhergehender Entwurzelung sei aus psychiatrischer Sicht als unzumutbar zu erachten, weil damit eine deutliche Exazerbation der wahnhaften Störung einhergehen könne, macht der Beschwerdeführer keine durch die Wegweisung konkret drohende Lebensgefahr und damit keine Verletzung der oben zitierten Grundrechte geltend, weshalb mangels Erfüllung der qualifizierten Rügepflicht (<ref-law>) auf die Eingabe, die grundsätzlich in diesem Punkt als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegen genommen werden könnte, nicht einzutreten ist, ohne dass auf das neue Beweismittel in Form eines Arztberichts weiter einzugehen wäre (<ref-law>).
4.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Parteientschädigungen werden nicht gesprochen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Januar 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Mayhall