Sachverhalt:
A.
A._ (Beschwerdeführer) arbeitete seit dem 31. August 2017 als Geschäftsführer für die B._ SA (Beschwerdegegnerin).
Am 22. August 2018 und 10. September 2018 wurde das Arbeitsverhältnis gekündigt. Unterzeichnet waren die beiden Kündigungsschreiben von C._, CEO der "D._ AG".
B.
Nach erfolgslosem Schlichtungsversuch reichte A._ beim Arbeitsgericht des Saanebezirks Klage ein. Nebst diversen Anträgen betreffend Herausgabe von Anzug und Schuhen, Korrektur des Arbeitszeugnisses sowie Herausgabe sämtlicher Stundenblätter vom 31. August 2017 bis zum 30. November 2018 unter Bezahlung von mindestens Fr. 813.50, beantragte er mit später beziffertem Rechtsbegehren, es sei die Ungültigkeit der Kündigung vom 10. September 2018 festzustellen und die B._ SA zu verpflichten, ihm Fr. 13'096.77 brutto nebst Zins zu 5% seit dem 13. August 2020 zu bezahlen, unter Vorbehalt der Mehrforderung.
An der Verhandlung vom 17. November 2020 einigten sich die Parteien über die Nebenpunkte, d.h. darüber, dass die B._ SA A._ den Anzug und die Schuhe bis zum 30. November 2020 per Post schickt, das Arbeitszeugnis identisch, jedoch ohne den letzten Satz "aus gesundheitlichen Gründen ist Herr A._ seit dem 14. Juli 2018 nicht mehr arbeitsfähig", formuliert und es per 30. November 2018 von E._ unterschrieben an A._ bis 30. November 2020 zustellt. Ferner verpflichtete sich die B._ SA, A._ bis zum 30. November 2020 einen Betrag von Fr. 813.50 auf das ihr bekannte Lohnkonto zu überweisen. Im Gegenzug verzichtete A._ auf weitere Forderungen im Zusammenhang mit den Stunden- und Ferienabrechnungen. Die Teileinigung wurde wörtlich ins Urteil des Arbeitsgerichts vom 20. Januar 2021 aufgenommen. Soweit die Teilklage streitig blieb, hiess das Arbeitsgericht diese gut. Es stellte die Ungültigkeit der Kündigung vom 10. September 2018 fest und verpflichtete die B._ SA, A._ für die Zeitspanne vom 5. März 2020 bis zum 30. April 2020 Fr. 13'096.77 brutto nebst Zins zu 5% seit 13. August 2020 zu bezahlen.
Mit Urteil vom 18. Mai 2021 hiess das Kantonsgericht Freiburg die von der B._ SA dagegen erhobene Berufung gut. Es wies die Teilklage, soweit sie nicht durch Teileinigung erledigt wurde, ab und stellte die Gültigkeit der Kündigung vom 10. September 2018 fest. Ausserdem korrigierte es von Amtes wegen ein offensichtliches Versehen des Arbeitsgerichts betreffend das Datum der Ausstellung des Arbeitszeugnisses auf den 20. November 2018 anstelle des fälschlicherweise angegebenen 20. November 2019.
C.
Der Beschwerdeführer erhebt subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht und beantragt, das Urteil des Kantonsgerichts sei aufzuheben und durch folgendes Urteil zu ersetzen:
"1. Die Berufung vom 22. Februar 2021 wird abgewiesen.
2. Das Urteil des Saanebezirks vom 20. Januar 2021 wird in vollem Umfang bestätigt.
3. Die Prozesskosten des Berufungsverfahrens werden der B._ SA auferlegt. Es werden keine Gerichtskosten erhoben. Die Angelegenheit wird zur Festsetzung der Höhe der Parteientschädigung an die Vorinstanz zurückgewiesen."
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid ist ein verfahrensabschliessender Endentscheid (Art. 117 i.V.m. <ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 114 i.V.m. <ref-law>). Der Streitwert erreicht die für arbeitsrechtliche Streitigkeiten erforderliche Streitwertgrenze von <ref-law> nicht, weshalb die Beschwerde in Zivilsachen nicht gegeben ist. Die erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde erweist sich demnach als das zulässige Rechtsmittel (<ref-law>).
2.
2.1. Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Der Beschwerdeführer muss angeben, welches verfassungsmässige Recht verletzt wurde, und substanziiert darlegen, worin die Verletzung besteht (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.6; <ref-ruling> E. 3.2). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von verfassungsmässigen Rechten liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als verfassungswidrig erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2, 115 E. 2). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie auf einer Verletzung verfassungsmässiger Rechte beruht (Art. 116 i.V.m. <ref-law>). Wird Letzteres geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese verfassungswidrig, insbesondere willkürlich, sein soll (<ref-ruling> E. 7.1, 585 E. 4.1; je mit Hinweisen).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer bestritt die Gültigkeit der Kündigung vom 10. September 2018 mit dem Argument, dass sie nicht von einer vertretungsberechtigten Person unterschrieben worden sei. Unter Berufung auf <ref-ruling> E. 2b machte er geltend, er sei mangels Reaktion der Beschwerdegegnerin auf seinen Protest in Unsicherheit darüber verblieben, ob die Kündigung von einer zuständigen Person ausgesprochen worden sei. Daher habe ein unzumutbarer Schwebezustand im Sinne des bundesgerichtlichen Entscheids geherrscht, der die Kündigung ungültig mache.
3.2. Die Vorinstanz folgte dieser Argumentation nicht. In Würdigung der Akten und der Parteiaussagen beider Parteien gelangte sie zum Ergebnis, dass die auf dem Briefpapier und im Namen der B._ SA ausgesprochene Kündigung vom 10. September 2018 sehr wohl durch die Arbeitgeberin des Beschwerdeführers erfolgt sei. Gestützt auf die Vollmacht vom 1. Juli 2017 nahm sie sodann an, dass C._ ermächtigt war, die Kündigung auszusprechen, und diese somit der Arbeitgeberin zuzurechnen sei. Schliesslich gelangte sie in Würdigung der Parteiaussagen zum Beweisergebnis, dass dem Beschwerdeführer seit dem Gespräch von Ende Juli 2018 mit C._ bekannt war, dass dieser sein neuer Vorgesetzter sei und die D._ das Management der B._ SA übernommen habe. Es habe daher keine Unsicherheit oder ein Schwebezustand bestanden. Der Beschwerdeführer habe nach dem Gespräch von Ende Juli 2018 mit C._ im August eine von diesem unterzeichnete Kündigung erhalten. Er habe somit bereits ab diesem Zeitpunkt gewusst, dass das Arbeitsverhältnis beendet werden sollte. Dass diese erste Kündigung vom August 2018 wegen der gesetzlichen Sperrfrist ungültig gewesen und darum im September erneuert worden sei, ändere daran nichts. Nach Erhalt der neuen Kündigung habe er die gesamte Kündigungsfrist abgewartet und erst am Ende den angeblichen Mangel vorgebracht. Unter diesen Voraussetzungen habe kein Schwebezustand bestanden, der für ihn unzumutbar gewesen wäre.
3.3. Der Beschwerdeführer rügt eine willkürliche Beweiswürdigung.
Willkür (<ref-law>) liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern bloss, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 3.6.2; <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 3.6.2; <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 4.2.1). Dies ist dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 3.6.2; <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 4.2). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 2.2).
Dies gelingt dem Beschwerdeführer nicht. Er moniert, dass die Vorinstanz gewisse Sachverhaltselemente nicht festgehalten bzw. berücksichtigt habe, führt einzelne Beweise an, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, ortet angebliche Aktenwidrigkeiten, ohne aber im Einzelnen einen ausschlaggebenden Einfluss auf das Gesamtergebnis hinreichend aufzuzeigen. Im wesentlichen beharrt er auf seiner Sicht der Dinge und unterbreitet dem Bundesgericht bloss seine eigene Auffassung, begründet aber nicht rechtsgenügend, weshalb die anderslautenden Schlüsse der Vorinstanz geradezu unhaltbar sein sollen. Darauf ist nicht weiter einzugehen. Soweit er mit seiner Kritik gehört werden kann, ist Willkür nicht erkennbar:
So begründet die Vorinstanz ihre Annahme, dass dem Beschwerdeführer bekannt gewesen sei, dass C._ ermächtigt war, für die Beschwerdegegnerin Kündigungen auszusprechen, und seine anderslautenden Aussagen weniger glaubwürdig seien als diejenigen von C._ in durchaus plausibler Weise unter anderem damit, dass es seltsam sei, dass der Beschwerdeführer bei der ebenfalls von C._ unterschriebenen ersten Kündigung dessen angeblich fehlende Legitimation nicht moniert und auch bei der zweiten bis zum Schluss der Kündigungsfrist mit diesem Einwand zugewartet hatte. Der Beschwerdeführer hält dem entgegen, dass die erste Kündigung, die während der Sperrfrist ausgesprochen worden sei, nichtig gewesen sei und keinerlei Wirkungen entfalte. Das ist richtig, hat aber auch die Vorinstanz nicht übersehen. Gleichwohl durfte sie die unterlassene Monierung einer angeblich fehlenden Legitimation von C._, eine Kündigung auszusprechen, als Element dafür würdigen, dass seine diesbezüglichen Aussagen während des Gerichtsverfahrens weniger glaubwürdig erschienen als diejenigen von C._. Willkür ist dabei nicht zu erblicken.
Gleiches gilt, soweit er aus dem Umstand, dass die Beschwerdegegnerin auf sein Protestschreiben vom 26. November 2018 nicht reagiert habe, ableiten will, dass diese dadurch einen Schwebezustand im Sinne von <ref-ruling> geschaffen habe. Mag sein, dass eine solche Argumentation vertretbar erscheint. Gleichwohl ist es nicht willkürlich, wenn die Vorinstanz diesen Umstand weniger gewichtete als das vorangehende Verhalten des Beschwerdeführers und daraus auf dessen Kenntnis der Legitimierung von C._ schliesst.
Der Beschwerdeführer macht sodann geltend, die Feststellung der Vorinstanz, der Beschwerdeführer habe die Managementsübertragung auf die D._ anerkannt, stehe im Widerspruch zu den Akten. Er beruft sich auf das Protokoll der Verhandlung vom 17. November 2020, anlässlich derer C._ behauptet habe, dass die D._ Ende Juli 2018 das Management der B._ SA von der F._ AG übernommen habe. Dies habe der Beschwerdeführer bestritten und keineswegs anerkannt. An der angegebenen Seite 2 des Protokolls hat Rechtsanwalt Affolter für die Beschwerdegegnerin jedoch behauptet: "Herr A._ wusste genau, dass ab 1. August 2018 die F._ das Management der D._ übergeben hat und dass sein Ansprechpartner Herr C._ war...". Kern dieser - bestrittenen - Behauptung war demnach die Kenntnis des Beschwerdeführers. Eben dies stellte die Vorinstanz in E. 4.3 fest: Es werde bestritten, dass der Beschwerdeführer über diesen Übergang informiert worden sei. Zu diesem Thema nahm sie in der Folge eine Beweiswürdigung vor. Aktenwidrigkeit ist demnach nicht belegt. Dass bereits die Tatsache des Übergangs des Managements im Zusammenhang mit der Gültigkeit der Vollmacht vom 1. Juli 2017 formgültig bestritten wurde und insofern Aktenwidrigkeit vorläge, wird nicht rechtsgenügend aufgezeigt.
Schliesslich hält der Beschwerdeführer den Vorwurf der Vorinstanz für unhaltbar, er verhalte sich widersprüchlich, wenn er sich im Sinne einer Teileinigung mit einem Arbeitszeugnis, welches als Austrittsdatum den 30. November 2018 nenne, einverstanden erkläre, obwohl er gleichzeitig geltend mache, die Kündigung sei formungültig und habe ihre Gestaltungswirkung gar nicht entfaltet. Die Vorinstanz fügt diesen Vorhalt den anderen Argumenten hinzu, um zu begründen, weshalb sie die Aussagen von C._ für glaubwürdiger hält als diejenigen des Beschwerdeführers. In diesem Kontext ist der Vorhalt nicht unhaltbar, sondern sachgerecht.
Insgesamt gelingt es dem Beschwerdeführer nicht, die Beweiswürdigung der Vorinstanz als willkürlich auszuweisen.
4.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Ausgangsgemäss wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zu sprechen, da der Beschwerdegegnerin im bundesgerichtlichen Verfahren mangels Einholens einer Antwort kein entschädigungspflichtiger Aufwand erwachsen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Freiburg, II. Zivilappellationshof, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Juli 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Dürst