Sachverhalt:
A.
In einem vor dem Bezirksgericht Dietikon geführten Eheschutzverfahren wurde A._ (Beschwerdeführer) als unentgeltlicher Rechtsvertreter der Gesuchstellerin eingesetzt. Am 27. Oktober 2017 setzte das Bezirksgericht das Honorar von A._ auf Fr. 5'750.-- fest. Zuzüglich Auslagen von Fr. 182.70 und Mehrwertsteuern ergab dies eine Entschädigung von Fr. 6'407.30.
B.
Die von A._ hiergegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 16. Januar 2018 (eröffnet am 25. Januar 2018) ab.
C.
Am 26. Februar 2018 gelangt A._ mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht. Er beantragt, es sei ihm in Aufhebung des Urteils des Obergerichts für sein Amt als unentgeltlicher Rechtsvertreter eine Entschädigung von Fr. 6'974.-- zuzüglich Auslagen von Fr. 182.70 sowie Mehrwertsteuern von 8 % auszurichten. Eventuell sei die Angelegenheit zur Neufestsetzung der Entschädigung an das Obergericht zurückzuweisen.
Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, indessen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht (Art. 75 und 90 BGG) über die amtliche Entschädigung eines in einem Zivilverfahren (Eheschutz) eingesetzten unentgeltlichen Rechtsvertreters entschieden hat. Hierbei handelt es sich um eine in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht stehende öffentlich-rechtliche Angelegenheit (Art. 72 Abs. 2 Bst. b BGG) vermögensrechtlicher Natur. Die strittige Honorarforderung erreicht den für die Beschwerde in Zivilsachen erforderlichen Streitwert nicht (Art. 74 Abs. 1 Bst. b und Art. 51 Abs. 1 Bst. a BGG) und es stellt sich keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (Art. 74 Abs. 2 Bst. a BGG; vgl. Urteil 5A_209/2016 vom 12. Mai 2016 E. 1.2). Demnach ist die subsidiäre Verfassungsbeschwerde das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt (vgl. Urteil 5D_14/2017 vom 19. Juli 2017 E. 1 mit Hinweisen), welche er auch fristgerecht erhoben hat (Art. 117 und 100 Abs. 1 BGG). Damit ist auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten.
1.2. Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Bei der Rüge der Verfassungsverletzung gilt das Rügeprinzip nach <ref-law>. Die rechtsuchende Partei muss daher präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 2.2). Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, reicht es sodann nicht aus, die Lage aus der eigenen Sicht darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Es ist im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 1.4.1; <ref-ruling> E. 2.2).
Diesen Anforderungen genügt die Beschwerde von vornherein insoweit nicht, als sich der Beschwerdeführer damit begnügt, seine bereits vor der Vorinstanz vorgetragenen Rügen zu wiederholen, und sich nicht mit dem angefochtenen Entscheid auseinandersetzt.
2.
Strittig ist die Höhe der dem Beschwerdeführer in seiner Funktion als unentgeltlicher Rechtsvertreter zustehenden Entschädigung. Das Obergericht führte dazu aus, die Tarifhoheit über die Entschädigung liege bei den Kantonen (vgl. Art. 96 und 122 Abs. 1 Bst. a ZPO). Für den Kanton Zürich sei die Verordnung vom 8. September 2010 über die Anwaltsgebühren (AnwGebV; LS 215.3) massgebend. Diese kenne ein System der Pauschalentschädigung, wobei bei der Festsetzung der Gebühr der notwendige Zeitaufwand nur eines von mehreren Bemessungskriterien sei. Die Erstinstanz habe denn auch zusätzlich berücksichtigt, dass sich keine übermässig schwierigen rechtlichen Fragen gestellt hätten, und dass das Verfahren wegen der Kinderbelange von der Offizial- und Untersuchungsmaxime beherrscht worden sei. Der Einwand des Beschwerdeführers, er sei mit einem Honorar von Fr. 220.-- in der Stunde zu entschädigen, gehe damit ins Leere. Weiter hält die Vorinstanz fest, dass das Eheschutzverfahren entgegen dem Beschwerdeführer insgesamt einen nicht vermögensrechtlichen Streit darstelle. Der Beschwerdeführer könne daher nichts aus den Bestimmungen der AnwGebV zu den vermögensrechtlichen Streitigkeiten ableiten. Ohnehin sei nicht belegt oder ohne Weiteres ersichtlich, weshalb die Unterhaltsfrage besonders aufwendig gewesen sein soll, wie der Beschwerdeführer dies geltend mache. Damit sei die erstinstanzliche Kostenfestsetzung nicht zu beanstanden, zumal der von Verfassungs wegen gebotene Mindestansatz von Fr. 180.-- in der Stunde eingehalten sei.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer wirft dem Kantonsgericht vor, seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt zu haben. Die Rüge betreffend die Entschädigung nach Zeitaufwand gehe keineswegs ins Leere: Aus der erstinstanzlichen Verfügung ergebe sich eindeutig, dass die Entschädigung nach Zeitaufwand festgesetzt worden sei. Es widerspreche den Tatsachen, wenn das Obergericht behaupte, das Bezirksgericht habe ein Pauschalhonorar mit einer Grundgebühr und Entschädigungen zugesprochen. Der erstinstanzlichen Verfügung lasse sich denn auch nicht entnehmen, von welcher Grundgebühr das Bezirksgericht ausgegangen sein soll. Zudem hätten in dem Eheschutzverfahren die beiden amtlichen Vertreter unterschiedliche Entschädigungen erhalten, obgleich die Grundgebühr für beide identisch sei. Dies könne einzig am unterschiedlichen Zeitaufwand liegen. Das Obergericht hätte sich damit mit der Rüge des Beschwerdeführers befassen müssen und habe die Sachlage in willkürlicher Weise missachtet. Der massgebende Stundenansatz liege bei Fr. 220.-- (vgl. § 3 AnwGebV).
3.2. Die Rüge der Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) im Teilgehalt der Begründungspflicht (vgl. <ref-ruling> E. 5.2) erweist sich als unbegründet: Das Obergericht hat mit hinreichender Klarheit ausgeführt, weshalb seiner Ansicht nach die dem Beschwerdeführer zugesprochene Entschädigung korrekt festgesetzt wurde und die Beschwerde unbegründet war. Wie seine Eingabe an das Bundesgericht zeigt, konnte er sich denn auch Rechenschaft über die Tragweite des Entscheids geben und ihn in voller Kenntnis der Sachlage anfechten. Damit ist den Anforderungen des Anspruchs auf rechtliches Gehör Genüge getan. Ob die Begründung des Obergerichts auch korrekt ist, ist demgegenüber eine Frage der (inhaltlichen) Begründetheit des angefochtenen Urteils und nicht des Verfassungsanspruchs (vgl. Urteile 5A_90/2017 vom 24. August 2017 E. 2.2; 5A_460/2016 vom 11. Januar 2017 E. 2.2).
3.3. Diesbezüglich rügt der Beschwerdeführer mit der bereits dargelegten Argumentation eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>; allgemein zu den verfassungsrechtlichen Vorgaben an die Entschädigung der unentgeltlichen Rechtsvertretung vgl. Urteil 5A_945/2017 vom 20. April 2018 E. 4.3 mit Hinweisen). Er beschränkt sich in seinen Ausführungen indessen darauf, in weitgehender Wiederholung seiner früheren Vorbringen den Erwägungen des Obergerichts seine Sichtweise der Dinge entgegenzustellen und das angefochtene Urteil zusammenfassend als willkürlich zu bezeichnen. Mit der Argumentation der Vorinstanz, namentlich der Berücksichtigung weiterer Kriterien als dem Zeitaufwand bei der Entschädigungsfestsetzung, setzt er sich nicht hinreichend auseinander. Damit genügt die Beschwerde insoweit den Begründungsanforderungen nicht.
4.
Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Parteientschädigung ist keine zu sprechen (Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Parteientschädigung wird keine gesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Mai 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber