Die Präsidentin zieht in Erwägung:
1.
Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt sprach gegen den Beschwerdeführer mit Strafbefehl vom 30. Januar 2017 eine Geldstrafe von 40 Tagessätzen zu Fr. 40.- aus. Mit Vollzugsbefehl vom 7. April 2021 lud die Beschwerdegegnerin den Beschwerdeführer zum Strafantritt auf den 7. Juli 2021 vor.
Der Beschwerdeführer erhob gegen den Vollzugsbefehl Rekurs und ersuchte um unentgeltliche Rechtspflege. Die Vorinstanz wies das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege am 11. Mai 2021 ab und stellte mit Entscheid vom 1. Juni 2021 fest, dass der Beschwerdeführer den verlangten Kostenvorschuss innert der ihm gesetzten (Nach-) Frist nicht geleistet hatte und schrieb das Verfahren ab.
2.
Der Beschwerdeführer gelangt an das Bundesgericht und beantragt sinngemäss, die Verfügung der Vorinstanz vom 4. [recte 1.] Juni 2021 sei aufzuheben und die [Ersatzfreiheits-]Strafe in gemeinnützige Arbeit umzuwandeln. Für den Fall, dass seinen Anträgen im Hauptpunkt nicht stattgegeben werde, stellt er einen Antrag auf Begnadigung. Der Beschwerdeführer ersucht um aufschiebende Wirkung seiner Beschwerde und unentgeltliche Rechtspflege.
Die Präsidentin der Strafrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts erteilte der Beschwerde mit Verfügung vom 6. Juli 2021 die aufschiebende Wirkung, weil der Termin zum Strafantritt vor Ablauf der 30-tägigen Beschwerdefrist nach <ref-law> angesetzt war.
3.
Gemäss <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die beschwerdeführende Partei hat mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz anzusetzen (<ref-ruling> E. 2.4).
4.
Anfechtungsgegenstand bildet einzig die angefochtene Verfügung der Vorinstanz (vgl. <ref-law>). Soweit der Beschwerdeführer Rügen und Anträge erhebt, die nicht die Abschreibung des Verfahrens betreffen, kann hierauf von vornherein nicht eingetreten werden.
Im Übrigen genügt die Eingabe nicht den gesetzlichen Begründungsanforderungen. Selbst unter Anwendung des bei Laienbeschwerden praxisgemäss grosszügigen Massstabs an die formellen Anforderungen einer Beschwerde in Strafsachen, ergibt sich aus der Eingabe an das Bundesgericht nicht, inwieweit der vorinstanzliche Abschreibungsentscheid gegen (kantonales) Verfahrensrecht verstossen soll. Der Beschwerdeführer setzt sich mit den vorinstanzlichen Erwägungen nicht auseinander, sondern beschränkt sich darauf, seine bereits im kantonalen Verfahren erhobenen Einwände in der Sache zu wiederholen. Hierbei verkennt er, dass im Hinblick auf die von ihm geltend gemachte "Verjährung" - die infolge der Nichtleistung des Kostenvorschusses nicht Gegenstand der vorinstanzlichen Abschreibungsverfügung war - nicht nach den Vorschriften der Verfolgungsverjährung (Art. 97 f. StGB), sondern diejenigen der Vollstreckungsverjährung (<ref-law>) richtet.
5.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten. Auf die Erhebung von Gerichtskosten kann ausnahmsweise verzichtet werden (<ref-law>), womit das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos wird.

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juli 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Jacquemoud-Rossari
Der Gerichtsschreiber: Held