Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1987 geborene A.A._ und ihre 2009 geborene Tochter B.A._, beide eritreische Staatsangehörige, reisten am 14. September 2017 illegal in die Schweiz ein und stellten gleichentags ein Asylgesuch. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) lehnte die Gesuche mit Verfügung vom 2. November 2017 mangels Flüchtlingseigenschaft ab und wies beide Gesuchstellerinnen aus der Schweiz weg. Eine dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht mit Entscheid vom 3. Juli 2019 ab, woraufhin das SEM eine Ausreisefrist bis 6. August 2019 ansetzte. Das Migrationsamt des Kantons St. Gallen eröffnete mit Schreiben vom 19. Juli 2019 die Ausreisemodalitäten. Mittels Eingaben vom 27. und 31. Juli 2019 teilte der damalige Rechtsvertreter von A.A._ und B.A._, C._, dem Migrationsamt mit, beim SEM sei ein "Erstasylgesuch" der minderjährigen Tochter hängig; letztere habe deshalb Anrecht auf Sozialhilfe nach den für Asylsuchende geltenden Regeln. Zudem bedürfe es für den Wechsel vom bisherigen Aufenthaltsort im Zentrum D._ in X._ ins Ausreise- und Nothilfezentrum E._ in Y._, nach Ablauf der Ausreisefrist einer rechtsmittelfähigen Verfügung. Nach unbenutztem Ablauf der Ausreisefrist lud das Migrationsamt A.A._ und B.A._ am 20. August 2019 auf den 23. August 2019 zum Gespräch betreffend Nothilfezuweisung vor, dem die beiden indes fern blieben.
A.b. Am 22. August 2019 liessen A.A._ und B.A._ mit Rechtsverweigerungsbeschwerde beim Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen beantragen, es sei festzustellen, dass das Migrationsamt den Erlass einer rechtsmittelfähigen Verfügung betreffend Gewährung von Sozialhilfe an B.A._ zu Unrecht verweigere. Mit Verfügung vom 23. August 2019 wies das Migrationsamt A.A._ und B.A._ der politischen Gemeinde Z._ mit Aufenthaltsort Ausreise- und Nothilfezentrum E._ zum Bezug der Nothilfe zu. Dagegen liessen die beiden am 27. August 2019 beim Sicherheits- und Justizdepartement Rekurs erheben. Mit Entscheiden vom 14. Oktober 2019 wies das Sicherheits- und Justizdepartement sowohl die Rechtsverweigerungsbeschwerde als auch den Rekurs gegen die Zuweisung an die Gemeinde Z._ zum Bezug von Nothilfe ab, soweit es darauf eintrat.
A.c. Bereits mit Verfügung vom 9. Oktober 2019 war das SEM auf das "Erstasylgesuch" von B.A._, welches als Wiedererwägungsgesuch entgegengenommen worden war, nicht eingetreten und hatte die Verfügung vom 2. November 2017 für rechtskräftig und vollstreckbar erklärt. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht mit Entscheid vom 4. Dezember 2019 ab, soweit es darauf eintrat (BVGE D-5400/2019).
B.
A.A._ und B.A._ liessen gegen die beiden Entscheide des Sicherheits- und Justizdepartementes vom 14. Oktober 2019 je Beschwerde erheben. Das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen vereinigte die Beschwerdeverfahren und wies mit Entscheid vom 20. Februar 2020 beide Beschwerden ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bzw. subsidiärer Verfassungsbeschwerde lassen A.A._ und B.A._, nunmehr anwaltlich vertreten, beantragen, es sei die Sache in Aufhebung des angefochtenen Entscheids an die Vorinstanz zurückzuweisen; eventualiter sei vom Entzug der Sozialhilfe sowie der Zuweisung zum Ausreise- und Nothilfezentrum abzusehen und den Beschwerdeführerinnen weiterhin Sozialhilfe auszubezahlen; subeventualiter sei festzustellen, dass das Migrationsamt des Kantons St. Gallen durch die Verweigerung des Erlasses einer Verfügung betreffend Gewährung bzw. Entzug der Sozialhilfe eine Rechtsverweigerung begangen habe. Zudem lassen sie darum ersuchen, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen und ihnen die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Gestützt auf <ref-law> beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts. Dieses Rechtsmittel steht somit grundsätzlich auch auf dem Gebiet der kantonalen Sozialhilfe zur Verfügung. Das Bundesgerichtsgesetz enthält dazu in Art. 83 keinen Ausschlussgrund. Da auch alle übrigen Sachurteilsvoraussetzungen vorliegen, ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten. Insofern bleibt kein Raum für die eventualiter eingereichte subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht mit Einschluss der Bundesverfassung gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>) grundsätzlich nur die geltend gemachten Rechtswidrigkeiten (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Soweit die Vorinstanz kantonales Recht anzuwenden hatte, kann, abgesehen von den hier nicht massgebenden Art. 95 lit. c-e BGG, nur geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verstosse gegen Normen des Bundesrechts oder des Völkerrechts (Art. 95 lit. a und b BGG). Im Übrigen kann die Auslegung und Anwendung des kantonalen Rechts lediglich im Lichte der verfassungsmässigen Rechte und Grundsätze, namentlich des Willkürverbots (<ref-law>), geprüft werden (<ref-ruling> E. 1.2 S. 145; <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 158; <ref-ruling> E. 3 S. 351). Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten wie auch von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist; es gilt eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.6 S. 281; <ref-ruling> E. 3.3 S. 310 f.).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht; diese Rüge setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Offensichtlich unrichtig festgestellt ist ein Sachverhalt, wenn er willkürliche Feststellungen beinhaltet (<ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62). Eine entsprechende Rüge ist rechtsgenüglich substanziiert vorzubringen (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.).
3.
3.1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundes- oder Völkerrecht verletzte, indem sie befand, das Vorliegen einer Rechtsverweigerung seitens des Migrationsamts sei zu Recht verneint worden, da keine explizite Verfügung über den Entzug der Sozialhilfe im engeren Sinn habe erlassen werden müssen, und die Rechtmässigkeit des Zuweisungsentscheids in die Gemeinde Z._ zum Bezug von Nothilfe bestätigte. Unbestritten ist, dass die Asylgesuche der Beschwerdeführerinnen abgewiesen wurden und ein rechtskräftiger Wegweisungsentscheid vorliegt, dessen bis 6. August 2019 angesetzte Ausreisefrist ungenutzt abgelaufen ist.
3.2. Die für die Beurteilung der Beschwerde massgebenden Rechtsgrundlagen sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt worden. Darauf wird verwiesen (<ref-law>).
4.
Die Vorinstanz erwog im Wesentlichen, in Anbetracht des rechtskräftigen Wegweisungsentscheids und der ungenutzt verstrichenen Ausreisefrist seien die Beschwerdeführerinnen von Gesetzes wegen von der Sozialhilfe ausgeschlossen. Da somit kein Raum für eine diesbezügliche Feststellungsverfügung bestehe, sei das Vorliegen einer Rechtsverweigerung seitens des Migrationsamts zu Recht verneint worden. Die Zuweisung an die Gemeinde Z._ zum Bezug von Nothilfe stelle sodann eine die Gemeinde betreffende organisatorische Anordnung dar, bezwecke sie doch eine Verteilung der öffentlichen Unterstützung auf die Gemeinden. Sie greife daher grundsätzlich nicht in die Rechtsstellung des Nothilfeempfängers ein, könne regelmässig formlos ergehen und sei damit in der Regel auch nicht anfechtbar. Anders könne es sich verhalten, so das kantonale Gericht, wenn ein legitimes Rechtsschutzinteresse der Nothilfebezüger im Raum stehe, beispielsweise wenn die Einheit der Familie durch die Zuweisung nicht gewahrt würde. Da beide Beschwerdeführerinnen dem Ausreise- und Nothilfezentrum E._ in Y._ zugeteilt worden seien, sei der Grundsatz der Einheit der Familie gewahrt. Im Übrigen seien keine Gründe ersichtlich, inwiefern die Beschwerdeführerinnen aufgrund der Zuweisung an die Gemeinde Z._ zur Nothilfe einen rechtlich relevanten Nachteil erleiden würden oder bei einer Unterbringung im Ausreise- und Nothilfezentrum E._ wirtschaftlich benachteiligt und ungenügend betreut wären.
5.
Was in der Beschwerde in weitschweifiger Art gegen den kantonalen Entscheid vorgebracht wird, verfängt nicht.
5.1. Die Beschwerdeführerinnen rügen vorab in formeller Hinsicht eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör, insbesondere der Begründungspflicht durch die Vorinstanz. Diesbezüglich ist ihnen entgegenzuhalten, dass die aus <ref-law> fliessende grundsätzliche Pflicht der Behörde, ihren Entscheid zu begründen, nicht bedeutet, dass sie sich mit jeder tatbeständlichen Behauptung und jedem rechtlichen Einwand auseinandersetzen muss. Vielmehr genügt es unter dem Gesichtswinkel der Begründungsdichte und hinsichtlich der Wahrung des rechtlichen Gehörs der Parteien, wenn im Entscheid auf die wesentlichen Argumente der Beschwerde eingegangen wird und eine sachgerechte Anfechtung des Entscheids möglich war, was vorliegend zutrifft (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 436 mit Hinweisen).
5.2. Soweit die Beschwerdeführerinnen erneut geltend machen, über den Ausschluss aus der Sozialhilfe im engeren Sinn hätte zumindest eine Feststellungsverfügung ergehen müssen, kann ihnen nicht gefolgt werden. Gemäss Art. 82 Abs. 1 des Asylgesetzes (AsylG; SR 142.31) gilt für die Ausrichtung von Sozialhilfeleistungen und Nothilfe kantonales Recht, wobei Personen mit einem rechtskräftigen Wegweisungsentscheid, denen eine Ausreisefrist angesetzt worden ist, gemäss seit 1. Februar 2014 anwendbarer Fassung von der Sozialhilfe ausgeschlossen werden. Da die Beschwerdeführerinnen unbestrittenermassen unter diese Bestimmung fallen, ergibt sich der Ausschluss aus der Sozialhilfe, wie die Vorinstanz zutreffend feststellte, verpflichtend und direkt aus dem Bundesgesetz; es bedarf weder einer eigenständigen kantonalen gesetzlichen Grundlage noch einer Verfügung im Einzelfall. Ein schutzwürdiges Interesse am Erlass einer Feststellungsverfügung im Sinne von Art. 25 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>, worunter rechtsprechungsgemäss ein rechtliches oder tatsächliches und aktuelles Interesse an der sofortigen Feststellung des Bestehens oder Nichtbestehens eines Rechtsverhältnisses zu verstehen ist, dem keine erheblichen öffentlichen oder privaten Interessen entgegenstehen und welches nicht durch eine rechtsgestaltende Verfügung gewahrt werden kann (<ref-ruling> E. 1 S. 259; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.1 S. 4; <ref-ruling> E. 6.5 Ingress S. 218 f. mit Hinweisen; vgl. dazu ULRICH HÄFELIN/GEORG MÜLLER/FELIX UHLMANN, Allgemeines Verwaltungsrecht, 7. Aufl. 2016, S. 198 N. 889 mit Hinweisen), ist denn auch weder dargetan noch ersichtlich.
5.3. Bestand, wie aus obiger Erwägung hervorgeht, kein Anspruch der Beschwerdeführerinnen auf Erlass einer Feststellungsverfügung über den Ausschluss aus der Sozialhilfe, liegt in der Verneinung einer Rechtsverweigerung seitens des Migrationsamts sowie in der diesbezüglichen Beschwerdeabweisung keine Rechtsverletzung im Sinne des <ref-law>.
5.4. Die Beschwerdeführerinnen rügen sodann bezüglich der mit Verfügung vom 23. August 2019 erfolgten Zuweisung zum Bezug von Nothilfe an die politische Gemeinde Z._ mit Aufenthaltsort Ausreise- und Nothilfezentrum E._ eine Verletzung der Bundesverfassung (BV), der Konvention zum Schutze der Menschenrechte und Grundfreiheiten (EMRK; SR 0.101) sowie des Übereinkommens über die Rechte des Kindes (KRK; SR 0.107). Wie bereits dargelegt, haben Personen mit rechtskräftigem Wegweisungsentscheid, denen eine Ausreisefrist angesetzt worden ist, gemäss <ref-law> von Bundesrechts wegen keinen Anspruch mehr auf gewöhnliche Sozialhilfe gemäss <ref-law>, sondern nur noch auf Nothilfe im Sinne von <ref-law>. Die Umsetzung von <ref-law> obliegt den Kantonen. Vorbehältlich der verfassungsmässigen Mindestgarantien sind diese in der Ausgestaltung der Art und Weise von Nothilfeleistungen frei. Die Nothilfe ist in Form von Sachleistungen oder täglichen Geldleistungen an den von den Kantonen bezeichneten Orten auszurichten (<ref-ruling> E. 3.1 S. 268 mit Hinweisen). Die Vorinstanz hat korrekt festgehalten, dass die Zu- oder Umteilung von Nothilfebezügern eine die beteiligte (n) Gemeinde (n) betreffende organisatorische Anordnung darstellt und in der Regel keine Aussenwirkung entfaltet, da es darum geht, die öffentliche Unterstützung auf die Gemeinden zu verteilen (vgl. Urteil 8C_435/2014 vom 25. August 2014 E. 2.3). Massgebend für den bundesrechtlich vorgesehenen Wechsel von Sozial- zu Nothilfe ist nicht die Zuweisungsverfügung an die politische Gemeinde Z._ vom 23. August 2019, sondern die Änderung des Asylstatus, über die bei den Beschwerdeführerinnen im Asylverfahren rechtskräftig im Sinne einer Wegweisung befunden worden war. Der Asylstatus ist nicht Gegenstand dieses Verfahrens. Inwiefern durch die Zuweisungsverfügung an sich Verfassungs- oder Völkerrecht verletzt sein soll, wird in den ausufernden Ausführungen der Beschwerdeschrift nicht dargetan und ist auch nicht ersichtlich. Durch die Zuweisung der Beschwerdeführerinnen ins Ausreise- und Nothilfezentrum E._, das auf die gemeinsame Beherbergung von Erwachsenen und Kindern ausgerichtet ist, wurden der Grundsatz der Einheit der Familie und insbesondere die Bedürfnisse der Tochter, auch was den Schulunterricht anbelangt, im Rahmen des Nothilfeanspruchs gewahrt. In der diesbezüglichen Beschwerdeabweisung liegt ebenfalls keine Rechtsverletzung im Sinne des <ref-law>.
5.5. Zusammenfassend hat es beim angefochtenen Entscheid sein Bewenden.
6.
Die offensichtlich unbegründete Beschwerde wird im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> - ohne Durchführung eines Schriftenwechsels, mit summarischer Begründung unter Verweis auf den vorinstanzlichen Entscheid (Art. 102 Abs. 1 und <ref-law>) - erledigt.
7.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
8.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren ist wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (<ref-law>). Aufgrund der konkreten Umstände wird ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Sicherheits- und Justizdepartement schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. Juni 2020
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Kopp Käch