Sachverhalt:
A.
A.a. Mit superprovisorischem Beschluss vom 24. Dezember 2018 ordnete die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde des Kantons Schaffhausen (im Folgenden: KESB Schaffhausen) die Zurückbehaltung von A._ in der geschlossenen Abteilung der Klinik für Psychiatrie und Psychotherapie der Spitäler Schaffhausen an. Am 31. Januar 2019 hörte die KESB Schaffhausen A._ an und erstattete der Gutachter mündlich sein Gutachten. Mit Beschluss vom 1. Februar 2019 bestätigte die KESB Schaffhausen ihren superprovisorischen Beschluss.
A.b. Gegen den Beschluss vom 1. Februar 2019 erhob A._ am 8. März 2019 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Schaffhausen. Sie beantragte, die fürsorgerische Unterbringung umgehend aufzuheben; eventualiter sei die Platzierung in einem offenen Wohnheim und eine ambulante Behandlung anzuordnen. In prozessualer Hinsicht beantragte A._ die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Vertretung, unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten der KESB Schaffhausen.
A.c. Am 12. März 2019 zog A._ ihre Beschwerde zurück.
A.d. Mit E-Mail vom 14. März 2019 teilte die KESB Schaffhausen dem Rechtsvertreter von A._ mit, dass die Wohnung seiner Mandantin mutmasslich bis Ende März 2019 wieder bezugsbereit sei und dass mit der Klinik für Psychiatrie und Psychotherapie der Spitäler Schaffhausen vereinbart worden sei, dass diese der KESB Schaffhausen so schnell als möglich einen Antrag auf Anordnung einer ambulanten Massnahme zukommen lasse.
A.e. Mit Verfügung vom 15. März 2019 schrieb das Obergericht die Beschwerde als durch Rückzug erledigt ab (Dispositiv-Ziffer 1) und wies das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab (Ziff. 2). Das Obergericht erhob weder Kosten (Ziff. 3) noch sprach es Parteientschädigungen zu (Ziff. 4).
A.f. Am 27. März 2019 hob die KESB Schaffhausen die fürsorgerische Unterbringung von A._ auf.
B.
Mit Eingabe vom 1. April 2019 gelangt A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie verlangt, Dispositiv-Ziffer 2 der Verfügung des Obergerichts aufzuheben (Rechtsbegehren Ziff. 1). Ihr sei für das Verfahren vor dem Obergericht die unentgeltliche Prozessführung und Vertretung zu gewähren (Ziff. 2). Eventualiter sei das Verfahren an das Obergericht zurückzuweisen, damit es den Antrag auf unentgeltliche Prozessführung und Vertretung neu prüfe (Ziff. 4). Auch für das Verfahren vor dem Bundesgericht verlangt die Beschwerdeführerin die unentgeltliche Rechtspflege und Vertretung.
C.
Auf die Vernehmlassung des Obergerichts vom 10. April 2019 und die Replik der Beschwerdeführerin vom 23. April 2019 wird im Sachzusammenhang eingegangen. Im Übrigen hat das Bundesgericht die vorinstanzlichen Akten eingeholt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist die Abweisung des Gesuchs der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege im Verfahren vor der Vorinstanz. Der Rechtsweg im Streit um die unentgeltliche Rechtspflege folgt jenem in der Hauptsache (vgl. Urteile 5A_463/2016 vom 12. August 2016 E. 1.2; 5A_58/2014 vom 17. Oktober 2014 E. 1.3). Dabei geht es um die fürsorgerische Unterbringung der Beschwerdeführerin und damit um einen Entscheid auf dem Gebiet des Kindes- und Erwachsenenschutzes (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG; Urteil 5A_386/2016 vom 27. Oktober 2016 E. 2). Allein die Tatsache, dass der Entscheid über die verweigerte unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor der Vorinstanz nicht auf Rechtsmittel hin erging, steht der Beschwerde an das Bundesgericht unter dem Blickwinkel von Art. 75 Abs. 2 BGG nicht im Wege (<ref-ruling> E. 2.2 S. 426 f. mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin erfüllt die Legitimationsvoraussetzungen von Art. 76 Abs. 1 BGG. Auf die binnen Frist (Art. 100 Abs. 1 BGG) eingereichte Beschwerde in Zivilsachen ist einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-ruling> E. 2.4 mit Hinweisen). Es befasst sich grundsätzlich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (Art. 42 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.4 mit Hinweisen). Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Die Anwendung kantonalen Rechts kann - abgesehen von den hier nicht massgebenden Fällen von Art. 95 lit. c-e BGG - nur auf die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten hin überprüft werden (Urteil 5A_164/2017 vom 29. Januar 2018 E. 1.3; <ref-ruling> E. 6.1; <ref-ruling> E. 2.3). Das Bundesgericht prüft zudem die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten und von kantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; Rügeprinzip). Die Rüge muss klar und detailliert erhoben und soweit möglich belegt werden (<ref-ruling> E. 2.4 mit Hinweisen). Dies gilt auch, soweit im Erwachsenenschutzverfahren kraft Verweises in Art. 450f ZGB subsidiär die Bestimmungen der Zivilprozessordnung zur Anwendung kommen (BGE <ref-ruling> E. 2.3 in fine mit Hinweisen).
2.2. Sodann ist das Bundesgericht an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (Art. 105 Abs. 1 BGG). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann einzig vorgebracht werden, sie seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweis), oder sie würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen. Ausserdem muss in der Beschwerde aufgezeigt werden, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234 mit Hinweis). Auf rein appellatorische Kritik tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368 mit Hinweis).
3.
3.1. Unbestritten ist im vorliegenden Fall, dass die Vorinstanz das Beschwerdeverfahren abschreiben durfte, nachdem die Beschwerdeführerin ihre am 8. März 2019 eingereichte Beschwerde gegen die fürsorgerische Unterbringung am 12. März 2019 wieder zurückgezogen hat. Umstritten ist hingegen, ob die Vorinstanz das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor der Vorinstanz abweisen durfte.
3.2. Die Vorinstanz befand, die Beschwerde sei von vornherein aussichtslos gewesen, weshalb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen sei. Sie erwog dazu, dass die Beschwerdeführerin an einer psychischen Störung in der Form einer Schizophrenie leide. Die Polizei habe sie gemäss Angaben im Beschluss der KESB Schaffhausen zu Hause aufgesucht, weil sie der angeordneten ambulanten Massnahme keine Folge geleistet habe. Dabei sei festgestellt worden, dass die Wohnung der Beschwerdeführerin aufgrund herumliegender Fäkalien und verdorbener Speisen unbewohnbar gewesen sei. Die Beschwerdeführerin habe die Zustimmung zur Säuberung verweigert, was in der Beschwerde unbestritten geblieben sei. Zudem habe sie wichtige Untersuchungen zur Dosierung der Medikamente verweigert. Eine Behandlungsbereitschaft sei nicht gegeben. Nach summarischer Prüfung erscheine die nötige Behandlung und Betreuung, um die Beschwerdeführerin vor einer schweren gesundheitlichen Gefährdung zu schützen, derzeit nur durch ihre Zurückbehaltung in der Psychiatrischen Klinik der Spitäler Schaffhausen gewährleistet.
3.3. Die Beschwerdeführerin verweist auf das Gutachten, das am 31. Januar 2019 im Verfahren vor der KESB Schaffhausen mündlich erstattet wurde. Der Gutachter habe festgestellt, dass nach einer vorausgegangenen Hospitalisation der Zustand der Beschwerdeführerin mit einer ambulanten Massnahme habe stabilisiert werden können. Sie sei zur Medikamenteneinnahme sowie zu den wöchentlichen Einzelgesprächen mit Dr. Brogiolo gekommen. Das habe über längere Zeit recht gut funktioniert. Gute und schlechte Phasen hätten immer wieder abgewechselt. Die Fragen der KESB Schaffhausen bezüglich einer Selbstgefährdung habe der Gutachter nicht konkret beantwortet. Er habe bloss festgehalten, dass keine Suizidabsicht bestehe. Bei den Pflegepersonen habe mehrheitlich der Eindruck bestanden, dass der Zustand der Beschwerdeführerin in etwa gleich wie zum Zeitpunkt der ambulanten Massnahme gewesen sei. Der Gutachter habe Zweifel gehegt, ob eine Zurückbehaltung in einer Einrichtung erforderlich sei.
Weiter führt sie zusammengefasst aus, in ihrer mündlichen Begründung des Beschlusses habe sich die KESB Schaffhausen im Wesentlichen auf das Fehlen einer Anschlusslösung, namentlich einer bewohnbaren Wohnung, gestützt. Die Zurückbehaltung bei Obdachlosigkeit sei nur im Zusammenhang mit einer Eigen- oder Fremdgefährdung zulässig. Selbst wenn in der Obdachlosigkeit ein Zurückhaltungsgrund gesehen werde, hätte sich dieser im Sinne der Subsidiarität durch kurzfristiges Anmieten einer Wohnung oder die Unterbringung in einer Notunterkunft oder einem Hotel beheben lassen. Die KESB Schaffhausen habe das Interesse der Beschwerdeführerin, in Freiheit zu leben und ihren Alltag selbst zu gestalten, mit keinem Wort erwähnt und keine Interessenabwägung vorgenommen. Auch diesbezüglich erweise sich der angefochtene Beschluss als mangelhaft begründet.
Schliesslich weist der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin darauf hin, dass er diese schon im Jahr 2014 wegen einer fürsorgerischen Unterbringung vertreten habe, welche daraufhin aufgehoben worden sei. Sie habe sich seither kaum verändert. Bis heute liege sodann weder ein Behandlungsplan noch ein konkreter Heilerfolg vor. Die Eignung der Klinik für Psychiatrie und Psychotherapie der Spitäler Schaffhausen zur Behandlung der Beschwerdeführerin sei deshalb ernsthaft zu bezweifeln. Das Setting der Klinik mit verschiedenen Mitpatienten in schwierigem Zustand und dem mit der Aufrechterhaltung der Ordnung geforderten, wenn nicht manchmal überforderten Klinikpersonal bringe der Beschwerdeführerin mehr Schaden als Nutzen. Die angestrebte medikamentöse Sedierung, hätte mit einer ambulanten Massnahme verwirklicht werden können. Nötigenfalls hätte das Mittel einer Depotspritze bzw. die Zuführung durch die Polizei eingesetzt werden können. Der Grundsatz der Subsidiarität sei verletzt.
3.4. In ihrer Vernehmlassung weist die Vorinstanz darauf hin, dass sich die Rüge der Beschwerdeführerin über weite Strecken auf den Beschluss der KESB Schaffhausen vom 1. Februar 2019 und nicht auf die angefochtene Verfügung beziehe. Es sei aktenwidrig, dass die Beschwerdeführerin lediglich zur Vermeidung von Obdachlosigkeit in der Psychiatrischen Klinik zurückbehalten worden sei. Zur Beurteilung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege habe die Vorinstanz auf die Verhältnisse im Zeitpunkt der obergerichtlichen Verfügung, d.h. am 15. März 2019, abstellen müssen. Es sei nicht entscheidend, weshalb die Beschwerdeführerin ihre Beschwerde zurückgezogen habe, ob sie ihre Beschwerde vor Obergericht bei Fortgang des Verfahrens noch angepasst hätte, noch dass die fürsorgerische Unterbringung im Nachhinein aufgehoben worden sei. Es sei im Übrigen die Beschwerdeführerin selbst gewesen, die nachträglich ihre Verweigerungshaltung aufgegeben und so den Weg dafür geebnet habe, ihre desolate Wohnsituation zu beheben und eine Nachbetreuung samt Medikamentendosierung zu veranlassen. Dieser Umstand vermindere das Risiko weiterer Selbstgefährdungen erheblich, sei aber erst nachträglich eingetroffen. Zum Zeitpunkt des strittigen Entscheids habe eine ambulante Massnahme nicht verwirklicht werden können. Schliesslich gehe auch das Argument einer Depotspritze ins Leere, da dies mangels Bereitschaft der Beschwerdeführerin auch nur zwangsweise hätte durchgesetzt werden können. Angesichts der akuten Selbstgefährdung wäre dies keine geeignete Ersatzmassnahme gewesen. Eine polizeiliche Zuführung und zwangsweise Medikation wären kaum verhältnismässig und für eine längerfristige Stabilisierung ungeeignet gewesen.
3.5. In ihrer Replik bekräftigt die Beschwerdeführerin die in der Beschwerde gemachten Ausführungen und verweist noch einmal auf ein Schreiben der Spitäler Schaffhausen vom 18. Januar 2019, worin eine ambulante Massnahme beantragt worden sei. Dieses Schreiben hätte sich bei den Akten befinden müssen, sei daher nicht neu und hätte ihres Erachtens zwingend von der KESB Schaffhausen wie auch vom Obergericht berücksichtigt werden müssen.
4.
4.1. Auf das Verfahren, das zur fürsorgerischen Unterbringung einer Person führt, findet kantonales Recht Anwendung, soweit das Zivilgesetzbuch keine abweichende Regelung vorsieht (vgl. Art. 450 ff. ZGB; ferner Art. 428 ff. ZGB). Die Bestimmungen der Zivilprozessordnung sind sinngemäss anwendbar, soweit die Kantone nichts anderes bestimmen (Art. 450f ZGB). Das Zivilgesetzbuch äussert sich nicht dazu, ob und unter welchen Voraussetzungen die Person, die fürsorgerisch untergebracht wird, vor der gerichtlichen Beschwerdeinstanz Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege hat. Die Vorinstanz geht unwidersprochen von der sinngemässen Anwendbarkeit von Art. 117 ZPO sowie Art. 29 Abs. 3 Satz 1 BV aus. Danach ist das Gewähren unentgeltlicher Rechtspflege unter anderem an die Voraussetzung geknüpft, dass ein Rechtsbegehren nicht als aussichtslos erscheint. Wie es sich damit verhält, hat das angerufene Gericht beim Rückzug des Rechtsmittels aufgrund einer bloss summarischen Prüfung der Erfolgsaussichten dieses Rechtsmittels zu beurteilen.
4.2. Soweit sich die Beschwerdeführerin darüber beklagt, dass die Vorinstanz die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege nicht ausreichend begründet habe, ist ihr nicht zu folgen. Die Beschwerdeführerin erhebt diesbezüglich keine Verfassungsrügen (E. 2.1; Art. 106 Abs. 2 BGG). Damit sich sowohl die Parteien als auch die Rechtsmittelinstanz über die Tragweite des Entscheids ein Bild machen können, hat das Gericht seinen Entscheid zu begründen. Die Begründung muss kurz die Überlegungen nennen, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die sich sein Entscheid stützt. Nicht erforderlich ist hingegen, dass sich der Entscheid mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt; es genügt, wenn der Entscheid gegebenenfalls sachgerecht angefochten werden kann (<ref-ruling> E. 6.2 S. 274; <ref-ruling> E. 2.2 S. 183; <ref-ruling> E. 2.2 S. 84; <ref-ruling> E. 3.2 S. 270; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 188). Der angefochtene Entscheid entspricht diesen Anforderungen. Das Obergericht bringt hinreichend klar zum Ausdruck, warum es die Beschwerde bei summarischer Prüfung der fürsorgerischen Unterbringung für aussichtslos erachtet hat.
4.3. Soweit überhaupt darauf eingegangen werden kann (vgl. E. 2.2 in fine), wirft die Beschwerdeführerin der Vorinstanz ferner zu Unrecht vor, den Sachverhalt willkürlich festgestellt zu haben. Es genügt nicht, dass die Beschwerdeführerin der Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz ihre eigene Sicht der Dinge gegenüberstellt, beispielsweise was das Schreiben der Spitäler Schaffhausen vom 18. Januar 2019 betrifft (E. 2.2). In nachvollziehbarer Weise geht die Vorinstanz davon aus, dass die Beschwerdeführerin keineswegs nur deshalb fürsorgerisch untergebracht worden war, weil sie (vorläufig) nicht in ihre Wohnung zurückkehren konnte. Vielmehr fehlte ihr im Zeitpunkt der fürsorgerischen Unterbringung die Krankheitseinsicht. Entsprechend war sie zum damaligen Zeitpunkt auch nicht bereit, sich ambulant behandeln zu lassen. Daran ändert nichts, dass sowohl der Gutachter als auch die Spitäler Schaffhausen eine solche Therapie grundsätzlich für zielführend erachtet haben und die Beschwerdeführerin ihren Widerstand später aufgegeben zu haben scheint.
4.4. In der Sache bringt die Beschwerdeführerin nichts vor, was ihre damalige fürsorgerische Unterbringung - zumindest bei bloss summarischer Überprüfung - als nicht geboten erscheinen lässt (Art. 426 ZGB). Die Beschwerdeführerin leidet, was von keiner Seite bestritten wird, an einer psychischen Störung. Eine mildere Massnahme als die fürsorgerische Unterbringung kam zumindest so lange nicht in Frage, als es der Beschwerdeführerin an der nötigen Krankheitseinsicht fehlte und sie nicht bereit war, sich ambulant behandeln zu lassen. Auch nicht zu beanstanden ist, dass die Vorinstanz die Klinik für Psychiatrie und Psychotherapie der Spitäler Schaffhausen als geeignete Einrichtung erachtet hat. Angesichts der bei der Beschwerdeführerin diagnostizierten Schizophrenie kann nicht allein daraus auf eine Ungeeignetheit der Klinik geschlossen werden, dass bisher kein Heilungserfolg eingetreten sei. Sie selbst bringt vor, dass sich gute und schlechte Phasen immer abgewechselt hätten. Zu Recht weist die Vorinstanz schliesslich darauf hin, dass sie nicht gehalten war, einen Gutachter zu bestellen, um über die Abschreibung der zurückgezogenen Beschwerde und die unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor der Vorinstanz befinden zu können. Vor diesem Hintergrund ist es nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz zum Ergebnis gelangt ist, dass die Gewinnchancen der Beschwerde als deutlich schlechter einzustufen waren als die Chance, das Beschwerdeverfahren erfolgreich zu bestreiten.
5.
Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet, soweit auf diese eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin grundsätzlich kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Den besonderen Umständen des Falls wegen wird darauf verzichtet, solche Kosten zu erheben. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen; die vorausgegangenen Erwägungen zeigen, dass der Beschwerde an das Bundesgericht zum vornherein kein Erfolg beschieden sein konnte (Art. 64 BGG). Dem Kanton Schaffhausen ist keine Entschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Oktober 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann