Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich eröffnete gestützt auf eine MROS-Meldung am 8. bzw. am 13. Januar 2021 eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen des Verdachts der Geldwäscherei und weiterer Delikte. Ihm wird vorgeworfen, er habe im Dezember 2020 sein Bankkonto bei der X._ AG zum Waschen von Deliktserlösen zur Verfügung gestellt.
Anlässlich der Einvernahme von A._ am 2. Februar 2021 durch die Kantonspolizei Winterthur wurden dessen Laptop und Mobiltelefon sichergestellt. A._ verlangte gleichentags die Siegelung der sichergestellten Gegenstände. Am 17. Februar 2021 beantragte die Staatsanwaltschaft beim Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich die Entsiegelung und Durchsuchung der sichergestellten Gegenstände. Nach der Durchführung diverser Schriftenwechsel verfügte das Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich am 7. April 2021, es trete auf das Entsiegelungsgesuch mangels örtlicher Zuständigkeit nicht ein. Es überwies das Gesuch an das Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Winterthur, welches das Entsiegelungsgesuch am 19. Mai 2021 infolge Verspätung abwies.
B.
Mit Eingabe vom 24. Juni 2021 führt die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Sie beantragt, die Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts des Bezirks Winterthur vom 19. Mai 2021 sei aufzuheben und die Sache sei zur neuen (materiellen) Beurteilung oder zur Klärung des Gerichtsstands an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Der Beschwerdegegner beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Winterthur verzichtet auf eine Stellungnahme.
C.
Mit Verfügung vom 3. August 2021 erkannte das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerdeführerin ist zur Beschwerdeführung gegen den kantonal letztinstanzlich abgelehnten Entsiegelungsentscheid befugt (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 BGG i.V.m. Art. 381 Abs. 1-2 StPO sowie <ref-law> i.V.m. <ref-law>). Entgegen der Auffassung des Beschwerdegegners zeigt die Beschwerdeführerin auch in genügend substanziierter Weise auf, inwiefern ihr ein nicht wieder gutzumachender Rechtsnachteil droht (<ref-law>). Sie macht namentlich geltend, durch die Herausgabe der versiegelten Beweismittel könnte ein empfindlicher und irreversibler Beweisverlust eintreten. Ausser den beim Beschwerdegegner sichergestellten und versiegelten Gegenständen (Laptop, Mobiltelefon) hätten keine weiteren Gegenstände zu Beweiszwecken sichergestellt werden können. Den versiegelten Beweismitteln komme bei der Klärung der fraglichen Delikte (Geldwäscherei, Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz) eine wesentliche bzw. die entscheidende Rolle bei der Beweisführung zu. Ohne diese Beweismittel drohe ein empfindlicher Beweisverlust und die erfolgreiche Weiterführung des Strafverfahrens werde stark erschwert, wenn nicht sogar verunmöglicht. Die übrigen Eintretensvoraussetzungen von <ref-law> geben zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass, weshalb auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten ist.
2.
2.1. Die Vorinstanz wies das Entsiegelungsgesuch vom 17. Februar 2021 am 19. Mai 2021 mit der Begründung ab, die Staatsanwaltschaft habe dieses beim Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich zwar zweifelsfrei fristgerecht eingereicht. Bei ihm sei es jedoch erst am 8. April 2021 eingegangen. Zu diesem Zeitpunkt sei die 20-tägige Frist gemäss <ref-law> bereits abgelaufen gewesen.
2.2. Die Beschwerdeführerin ist der Auffassung, diese Begründung verletze Art. 39, Art. 40, Art. 91 Abs. 4 und <ref-law>, das Willkürverbot und das Gebot von Treu und Glauben nach <ref-law> sowie den Anspruch auf rechtliches Gehör nach <ref-law> und <ref-law>.
2.3. Gemäss <ref-law> werden die versiegelten Aufzeichnungen und Gegenstände der berechtigten Person zurückgegeben, sofern die Strafbehörde nicht innert 20 Tagen ein Entsiegelungsgesuch stellt. Die Frist ist eine gesetzliche und als solche nicht verlängerbar (<ref-law>). Ihr Zweck liegt in der Beschleunigung des Verfahrens. Das Zwangsmassnahmengericht hat gemäss <ref-law> innerhalb eines Monats endgültig über das Entsiegelungsgesuch zu entscheiden. Dabei handelt es sich indes, anders als bei Abs. 2, lediglich um eine Ordnungsfrist. Ein Abweichen kann sich unter Umständen rechtfertigen, wenn umfangreiches Material zu sichten ist.
Nach <ref-law> gilt eine Frist auch dann als gewahrt, wenn die Eingabe spätestens am letzten Tag der Frist bei einer nicht zuständigen schweizerischen Behörde eingeht. Diese leitet die Eingabe unverzüglich an die zuständige Behörde weiter. Die Übermittlung sollte grundsätzlich innerhalb von zwei bis drei Tagen erfolgen (vgl. Urteil 1B_39/2016 vom 29. März 2016 E. 2.2.1 mit Hinweis).
Diese Norm konkretisiert den Grundsatz, dass Fristen als gewahrt gelten, wenn eine Partei ein Schriftstück rechtzeitig bei einer unzuständigen Behörde einreicht. Das Bundesgericht hat sie als allgemeinen Verfahrensgrundsatz anerkannt, der sich aus den Regeln von Treu und Glauben ableitet und für alle Rechtsgebiete gilt (<ref-ruling> E. 3.5; <ref-ruling> E. 1d; vgl. für das Verfahren vor dem Bundesgericht <ref-law>; <ref-ruling> E. 4). Es geht um die Vermeidung übertriebener Formstrenge. Insofern lässt sich der Grundsatz dem Verbot des überspitzten Formalismus und damit einem Teilaspekt des verfassungsrechtlichen Verfahrensgrundsatzes des Verbots formeller Rechtsverweigerung (<ref-law>) zuordnen (<ref-ruling> E. 3.5). Die Norm ist stets anwendbar, wenn die Einreichung bei der unzuständigen Instanz auf Versehen oder Zweifeln der Partei oder auf einer unrichtigen Rechtsmittelbelehrung beruht, nicht aber, wenn die unzuständige Instanz bewusst angerufen wurde (<ref-ruling> E. 3.5; Urteil 1B_63/2020 vom 9. März 2020 E. 2.1; je mit Hinweisen).
3.
3.1. Wie sich aus den Akten ergibt, wurden die Gegenstände des Beschwerdegegners am 2. Februar 2021 sichergestellt. Die Staatsanwaltschaft stellte am 17. Februar 2021 beim Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich ein Gesuch um Entsiegelung und Durchsuchung der sichergestellten und anschliessend versiegelten Gegenstände. Dieses Gesuch erfolgte, wie von der Vorinstanz zutreffend erwogen, grundsätzlich innerhalb der 20-tägigen Frist gemäss <ref-law>. Allerdings verneinte die Vorinstanz eine Fristwahrung über den Eingang des Gesuchs beim Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich hinaus. Zur Begründung führte sie aus, die Staatsanwaltschaft habe auf der örtlichen Zuständigkeit des Zwangsmassnahmengerichts des Bezirks Zürich "beharrt", weshalb <ref-law> nicht zur Anwendung gelange. Mit der Überweisung des Entsiegelungsgesuchs durch das Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich am 7. April 2021 an die Vorinstanz sei die Frist folglich nicht mehr gewahrt gewesen.
3.2. Aufgrund der telefonischen Aufforderung des Zwangsmassnahmengerichts des Bezirks Zürich vom 25. März 2021 hat sich die Staatsanwaltschaft in ihrer Stellungnahme vom 30. März 2021 auch zur örtlichen Zuständigkeit geäussert. Sie hat ausgeführt, es handle sich bei der Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich um eine Kantonale Staatsanwaltschaft. Der Amtssitz der Kantonalen Staatsanwaltschaften sei gemäss § 10 Abs. 2 der Verordnung vom 27. Oktober 2004 über die Organisation der Oberstaatsanwaltschaft und der Staatsanwaltschaften des Kantons Zürichs (VOSTA; LS 213.21). Dementsprechend sei gemäss Art. 248 Abs. 3 lit. a i.V.m. <ref-law> und § 29 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 des Gesetzes vom 10. Mai 2010 über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess (GOG; LS 211.1) das Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich für das Entsiegelungsverfahren zuständig.
3.3. Damit ist die Staatsanwaltschaft der telefonischen Aufforderung des Zwangsmassnahmengerichts des Bezirks Zürich, auch zur Frage der örtlichen Zuständigkeit Stellung zu nehmen, nachgekommen. Sie hat unter Verweis auf die Organisationsvorschriften der Staatsanwaltschaften dargelegt, weshalb es sich ihrer Auffassung nach beim Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich um die örtlich zuständige Behörde handle. Inwiefern darin ein "Beharren" auf der angeblich unzuständigen Behörde liegen soll, aufgrund dessen die Anwendung von <ref-law> zu versagen wäre, ist nicht offensichtlich. Die Staatsanwaltschaft hat damit einzig begründet, warum sie das Entsiegelungsgesuch beim Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich eingereicht hat.
Insofern ändert auch die Auffassung der Vorinstanz nichts, ein Berufen auf den Fristenlauf nach <ref-law> falle ausser Betracht, weil das Gesuch um Entsiegelung nicht irrtümlicherweise, sondern vielmehr mit nachdrücklicher Absicht an das örtlich unzuständige Gericht eingereicht worden sei. Die Staatsanwaltschaft hat zwar ihr Gesuch bewusst beim Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich eingereicht. Sie ging indes, wie erwähnt, davon aus, es handle sich bei diesem um die örtlich zuständige Behörde. Die Haltung der Staatsanwaltschaft kann daher nicht mit dem Fall gleichgesetzt werden, in welchem ein Gesuch mit dem Ziel einer Verfahrensverzögerung absichtlich bzw. bewusst bei einer nicht zuständigen Behörde eingereicht wird. Einzig solches Verhalten verdient keinen Rechtsschutz. Vorliegend hat die Beschwerdeführerin indes glaubhaft aufgezeigt, dass die Staatsanwaltschaft aufgrund einer von der Vorinstanz unwidersprochen gebliebenen "jahrelangen Praxis" davon ausging, das Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich sei tatsächlich zur Behandlung von Entsiegelungsgesuchen der Kantonalen Staatsanwaltschaft zuständig. Dass sie das Gesuch bewusst bei der angeblich unzuständigen Behörde eingereicht hätte, um in rechtsmissbräuchlicher Weise ein Versäumnis zu kompensieren bzw. sonstwie eine Verfahrensverzögerung herbeizuführen, ist hingegen weder ersichtlich noch von der Vorinstanz dargetan.
Entgegen der Behauptung des Beschwerdegegners liegt auch nicht auf der Hand, dass nicht das Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich, sondern "klarerweise" die Vorinstanz zur Behandlung des umstrittenen Entsiegelungsgesuchs zuständig gewesen wäre. Dem steht entgegen, dass das Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich die Staatsanwaltschaft erst am 25. März 2021 telefonisch aufgefordert hat, sich auch noch zur Frage der örtlichen Zuständigkeit zu äussern. Die Gerichte haben ihre örtliche Zuständigkeit von Amtes wegen zu prüfen. Weshalb das Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich bei seiner angeblich offensichtlichen örtlichen Unzuständigkeit dennoch diverse Schriftenwechsel durchgeführt hat, erschliesst sich nicht. Der Staatsanwaltschaft kann vorliegend jedenfalls nicht angelastet werden, dass das Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich erst mehr als einen Monat nach Eingang des Entsiegelungsgesuchs plötzlich Zweifel an seiner örtlichen Zuständigkeit hatte. Dies gilt umso mehr, als die Beschwerdeführerin ausführt, die Verfügung vom 7. April 2021 schere aus einer "bis anhin gelebten jahrelangen Praxis" aus und stelle eine eigentliche Praxisänderung dar. Die Vorinstanz hat dem nicht widersprochen.
Das aussergewöhnlich lange Zuwarten des Zwangsmassnahmengerichts des Bezirks Zürich bei der Abklärung seiner örtlichen Zuständigkeit und der Weiterleitung des Entsiegelungsgesuchs verletzt auch das Beschleunigungsgebot. Ein "unverzügliches" Weiterleiten, wie es gemäss <ref-law> gefordert wäre, liegt bei einem Zuwarten von über einem Monat klarerweise nicht mehr vor (vgl. E. 2.3 hiervor).
Unter diesen Umständen verstösst es gegen Treu und Glauben, dass die Vorinstanz die Anwendung von <ref-law> versagte und festhielt, die 20-tägige Frist gemäss <ref-law> sei bereits abgelaufen gewesen, als sie das Gesuch am 9. April 2021 erhalten habe. Unbehelflich ist diesbezüglich auch der Einwand des Beschwerdegegners, die Staatsanwaltschaft habe den Nichteintretensentscheid des Zwangsmassnahmengerichts des Bezirks Zürich vom 7. April 2021 nicht angefochten. Es ist nicht klar, weshalb das Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich überhaupt einen Nichteintretensentscheid gefällt und nicht lediglich das Entsiegelungsgesuch an die angeblich zuständige Vorinstanz weitergeleitet und das Verfahren seinerseits abgeschrieben hat. Die Beschwerdeführerin legte vorliegend nachvollziehbar dar, die Staatsanwaltschaft sei nach Treu und Glauben davon ausgegangen, die Vorinstanz werde sich nunmehr mit dem Entsiegelungsgesuch bzw. einer allfälligen Gerichtsstandsklärung befassen. Aus diesem Grund habe sie den Nichteintretensentscheid, der die Weiterleitung ebenfalls mitumfasste, nicht angefochten. Unter den gegebenen Umständen kann der Staatsanwaltschaft insoweit jedenfalls kein Fehlverhalten vorgeworfen werden.
3.4. Die Nichtanwendung von <ref-law> und die dadurch entstandene Aberkennung einer gewahrten Frist erweist sich somit als bundesrechtswidrig. Wie aufgezeigt, ist vorliegend nicht von einer bewussten Anrufung einer unzuständigen Behörde seitens der Staatsanwaltschaft auszugehen. Sie kann sich daher auf <ref-law> berufen, um die rechtzeitige Einreichung des Entsiegelungsgesuchs zu belegen.
4.
Die Beschwerde erweist sich folglich als begründet und ist gutzuheissen. Die Angelegenheit ist an die Vorinstanz zur weiteren Behandlung zurückzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Kosten zu erheben (<ref-law>). Der unterliegende private Beschwerdegegner hat ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gestellt, welches gutzuheissen ist, da die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Ihm ist für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, der angefochtene Entscheid vom 19. Mai 2021 wird aufgehoben und die Angelegenheit wird zur weiteren Behandlung an das Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Winterthur zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen.
4.
Rechtsanwalt Markus J. Meier wird für das bundesgerichtliche Verfahren als unentgeltlicher Rechtsbeistand eingesetzt und mit Fr. 2'000.-- aus der Bundesgerichtskasse entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bezirksgericht Winterthur, Zwangsmassnahmengericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Dezember 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier