Faits :
A.
Par ordonnance pénale du 10 mars 2020, le Ministère public neuchâtelois a condamné A._ à 120 jours-amende à 30 francs le jour sans sursis, ainsi qu'à une amende de 1'350 francs avec une peine privative de liberté de substitution de 14 jours, à raison de faits survenus dans la nuit du 2 au 3 juin 2019 et le 22 juillet 2019. Le Ministère public neuchâtelois a renoncé à révoquer le sursis de quatre ans prononcé par le Ministère public de Bern-Mittelland le 18 septembre 2019 (condamnation à 96 jours-amende à 30 francs pour des faits commis le 23 juillet 2019 dont conduite sans autorisation et en incapacité de conduire [taux d'alcool d'au moins 1,8 o/oo], ainsi que violation des obligations en cas d'accident). Le Ministère public neuchâtelois a considéré que l'intéressée avait contrevenu aux dispositions suivantes: <ref-law>, art 37 et 45 du code pénal neuchâtelois (CPN), art. 10, 31, 41 al. 1, 51, 55, 90 al. 1, 91a, 92 al. 1 et 95 al. 1 let. b LCR, art. 30 et 39 de l'ordonnance sur les règles de la circulation routière (OCR).
Dans son ordonnance pénale du 10 mars 2020, le Ministère public neuchâtelois a retenu en substance que A._ avait, le 2 juin 2019 vers 23h40, circulé à La Chaux-de-Fonds (NE) au volant de son véhicule sans avoir enclenché les feux, qu'elle n'avait pas obtempéré au signal lumineux "stop police" et qu'elle ne s'était pas arrêtée malgré les feux bleus enclenchés, obligeant la police à lui barrer la route avec le véhicule de police. Au moment de son interpellation, A._ avait désobéi aux injonctions de la police, tout en créant du scandale. De plus, elle avait refusé de se soumettre à l'éthylotest ainsi qu'à une prise de sang, malgré une décision émanant de la procureure de permanence. Lors de sa fouille de contrôle en vue de la mise en cellule en raison de son comportement, A._ s'était montrée agressive verbalement et avait voulu donner un coup de pied à l'intervenante féminine qui s'en chargeait, rendant impossible l'accomplissement de la fouille. Le Ministère public a encore constaté que, le 22 juillet 2019, l'intéressée avait circulé à Spiez (BE), au volant de son véhicule, alors qu'elle était sous le coup d'un retrait de permis pour une durée indéterminée depuis le 2 juin 2019 et qu'en voulant sortir d'une place de parc, elle avait touché avec sa voiture l'arrière gauche d'un véhicule stationné correctement, puis avait quitté les lieux sans aviser le lésé ou la police, violant ses devoirs en cas d'accident et se soustrayant ainsi aux examens d'usage qui auraient été ordonnés.
A._ a formé opposition contre cette ordonnance, le 23 mars 2020.
B.
B.a. Le 30 avril 2020, A._ a demandé à être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire au vu de la peine infligée sans sursis mais également de la fouille corporelle qui, selon elle, prêtait le flanc à la critique. Le 5 mai 2020, le Ministère public neuchâtelois a rejeté cette requête aux motifs que la requérante n'avait pas démontré être indigente, qu'elle n'avait pas été condamnée à une peine pécuniaire supérieure à 120 jours-amende et que l'affaire n'était complexe ni en fait, ni en droit, si bien que l'intervention d'un avocat n'était pas nécessaire.
B.b. Par arrêt du 11 juin 2020, l'Autorité de recours en matière pénale du canton de Neuchâtel (ci-après: la cour cantonale ou l'instance précédente) a, sur recours de la prévenue, confirmé que celle-ci n'avait pas droit à l'assistance judiciaire. Elle a considéré que l'assistance d'un défenseur n'était pas justifiée pour sauvegarder les intérêts de la prévenue, si bien qu'on pouvait se dispenser d'exiger les pièces et explications nécessaires pour vérifier si la condition de l'indigence était ou non réalisée.
B.c. Par arrêt 1B_360/2020 du 4 septembre 2020, le Tribunal fédéral a annulé l'arrêt cantonal et renvoyé la cause à la cour cantonale pour qu'elle statue sur la question de l'indigence de A._ qui avait été laissée indécise. Selon le Tribunal fédéral, la cause présentait des difficultés particulières que la prénommée n'était pas apte à appréhender sans l'aide d'un avocat.
B.d. Le 14 septembre 2020, la cour cantonale a demandé à A._ des explications et des pièces supplémentaires au sujet de sa situation financière. A._ a déposé des pièces et des explications en date du 9 octobre 2020.
B.e. Par arrêt du 26 octobre 2020, la cour cantonale a considéré que A._ n'avait pas droit à l'assistance judiciaire, au motif qu'elle n'avait pas établi son indigence.
C.
Agissant par la voie du recours en matière pénale, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 26 octobre 2020, d'ordonner une défense d'office et de désigner Me Cyril Kleger en tant qu'avocat d'office. Elle requiert aussi l'assistance judiciaire pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
Invités à se déterminer, le Tribunal cantonal et le Ministère public neuchâtelois ont indiqué ne pas avoir d'observations à formuler, le second concluant néanmoins au rejet du recours.

Considérant en droit :
1.
Conformément à l'<ref-law>, une décision relative à la défense d'office dans une cause pénale peut faire l'objet d'un recours en matière pénale. La recourante, prévenue et auteure de la demande de désignation d'un défenseur d'office, a qualité pour recourir (<ref-law>). Le refus de désigner un avocat d'office à la prévenue est susceptible de lui causer un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 205; <ref-ruling> consid. 4 p. 338 s.).
Pour le surplus, le recours est formé en temps utile (<ref-law>) contre une décision rendue en dernière instance cantonale (<ref-law>) et les conclusions présentées sont recevables au regard de l'<ref-law>.
2.
Conformément à l'<ref-law>, aucun fait nouveau ou preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente. Dès lors, le certificat médical du 9 novembre 2020 produit par la recourante à l'appui de son mémoire de recours, en tant qu'il est ultérieur à l'arrêt attaqué, est irrecevable et il n'en sera pas tenu compte.
3.
Invoquant une violation des art. 9 et 29 al. 1 et 3 Cst., la recourante reproche à l'instance précédente d'avoir considéré que la condition de l'indigence posée à l'<ref-law> n'était pas réalisée en l'espèce.
3.1.
3.1.1. En vertu de l'art. 29 al. 3 Cst., toute personne qui ne dispose pas de ressources suffisantes a droit, à moins que sa cause ne paraisse dépourvue de toute chance de succès, à l'assistance judiciaire gratuite. Si la sauvegarde de ses droits le requiert, elle a en outre le droit à la commission d'office d'un conseil juridique.
En dehors des cas de défense obligatoire visés à l'<ref-law>, l'<ref-law> soumet le droit à l'assistance d'un défenseur d'office aux conditions que le prévenu soit indigent et que la sauvegarde de ses intérêts justifie une telle assistance. Selon la jurisprudence, une personne est indigente lorsqu'elle n'est pas en mesure d'assumer les frais de la procédure sans porter atteinte au minimum nécessaire à son entretien et à celui de sa famille (<ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 371; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 223). Pour déterminer l'indigence, il convient de prendre en considération l'ensemble de la situation financière du requérant au moment où la demande est présentée. Il y a lieu de mettre en balance, d'une part, la totalité des ressources effectives du requérant et, d'autre part, l'ensemble de ses engagements financiers (ATF <ref-ruling> consid. 5.1 p. 223). En règle générale, les personnes qui bénéficient de l'aide sociale peuvent être considérées comme indigentes (<ref-ruling> consid. 4b p. 165; arrêts 1B_357/2017 du 15 novembre 2017 consid. 2.2; 2C_448/2017 du 24 octobre 2017 consid. 4.5).
Il appartient au requérant d'exposer sa situation financière, revenus et fortune, dans son ensemble et de produire les pièces propres à établir sa situation (ATF <ref-ruling> consid. 5.1 p. 223; <ref-ruling> consid. 3a p. 182). Lorsque le requérant refuse ou ne satisfait pas à son obligation de produire les informations et preuves nécessaires à l'évaluation de sa situation actuelle, l'autorité peut nier l'indigence sans violer le droit constitutionnel à l'assistance judiciaire et, partant, rejeter la demande (<ref-ruling> consid. 4a p. 164; <ref-ruling> consid. 3a p. 181 s.; arrêts 1C_232/2019 du 18 juillet 2019 consid. 2.1; 5A_181/2019 du 27 mai 2019 consid. 3.1.2).
3.1.2. Il y a formalisme excessif, lequel constitue un déni de justice contraire à l'art. 29 al. 1 Cst., lorsque des règles de procédure sont appliquées avec une rigueur que ne justifie aucun intérêt digne de protection, au point que la procédure devient une fin en soi et empêche ou complique de manière insoutenable l'application du droit (<ref-ruling> consid. 2.4.2 p. 11; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 158; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9). En matière d'assistance judiciaire, les tribunaux sont en principe libres d'exiger qu'un questionnaire dûment rempli au sujet de la situation financière du requérant leur soit retourné (cf. arrêts 2C_448/2017 du 24 octobre 2017 consid. 4.4; 8C_58/2014 du 24 septembre 2014 consid. 7.3; 9C_606/2013 du 7 mars 2014 consid. 2.1.3). L'autorité ne peut toutefois pas restreindre de manière formaliste les moyens de preuve propres à établir la situation économique du requérant, en n'acceptant par exemple que des pièces justificatives officielles. Une telle exigence peut relever du formalisme excessif lorsque l'indigence résulte déjà des pièces du dossier (cf. ATF <ref-ruling> consid. 3a p. 181 s.; <ref-ruling> consid. 3b p. 31; arrêt 5A_761/2014 du 26 février 2015 consid. 3.3 et 3.4).
3.2. Dans son arrêt du 11 juin 2020, l'instance précédente a relevé que la recourante n'avait transmis aucune pièce relative à sa situation financière à l'appui de sa demande d'assistance judiciaire du 30 avril 2020, quand bien même cette demande avait été déposée par un avocat, et que le dossier du Ministère public ne contenait aucun document susceptible d'attester l'indigence de la recourante. L'instance précédente a ensuite considéré que même si la recourante avait produit en instance de recours un document attestant qu'elle bénéficiait de l'aide sociale, de plus amples investigations se justifiaient au vu de certains éléments difficilement compatibles avec une telle situation (propriété d'un imposant SUV immatriculé à son nom; vacances de deux mois au Cameroun). Elle a néanmoins laissé cette question indécise, au motif que l'intervention d'un avocat n'était pas nécessaire en l'espèce à la sauvegarde des intérêts de la recourante. Suite à l'arrêt du 4 septembre 2020 du Tribunal fédéral annulant l'arrêt cantonal du 11 juin 2020 et renvoyant la cause pour examen de la question de l'indigence à la cour cantonale, celle-ci a invité la recourante à fournir certaines explications et déposer des documents à même de fournir une vision complète de sa situation financière. La recourante s'est exécutée en date du 9 octobre 2020.
La cour cantonale a retenu, à la lecture des pièces et explications fournies par la recourante le 9 octobre 2020, que celle-ci n'avait pas payé d'impôt en 2018, ni en 2019, qu'elle avait "bénéficié entièrement de l'aide sociale" durant les mêmes années et que le Service de l'action sociale lui versait actuellement un forfait de 986 francs par mois, en sus des 1'048 francs par mois versés par le même service en rapport avec son loyer. La recourante n'ayant fait état d'aucune charge dans le formulaire d'assistance judiciaire (transmis en octobre 2020), l'instance précédente en a déduit que les primes d'assurance-maladie étaient intégralement subventionnées et que la recourante ne supportait pas de frais de santé réguliers. La prise en charge de tels frais par la recourante ne ressortait pas davantage des pièces bancaires déposées. La cour cantonale relevait que, dans ses observations du 9 octobre 2020, la recourante avait certes allégué avoir affecté un montant de 1'500 francs résultant du produit de la vente de son véhicule Hyundai Santa Fe à la couverture de coûts importants relatifs à sa santé et qui n'étaient pas pris en compte par son assurance-maladie (quote-part); la recourante n'avait toutefois produit ni quittance relative à la vente dudit véhicule (alors même qu'elle prétendait l'avoir vendu à un concessionnaire automobile), ni les justificatifs du prestataire de service et de la caisse maladie attestant du paiement d'importants coûts de santé de sa poche. Dans ces conditions, la cour cantonale a considéré qu'on ne saurait retenir ni que la vente de son véhicule n'aurait rapporté que 1'500 francs, ni que la recourante aurait déboursé le moindre centime pour payer des coûts de santé non pris en charge par son assurance-maladie. En lien avec le véhicule Hyundai Santa Fe, l'instance précédente a relevé que la recourante n'avait fourni aucune explication et aucun moyen de preuve relatifs à son coût et à son financement, contrairement à ce qui lui avait été expressément demandé par courrier du 14 septembre 2020. Il n'était donc pas possible de déterminer ni quand elle l'avait acheté, ni à quel prix, ni au moyen de quels fonds.
S'agissant des vacances au Cameroun, la cour cantonale a relevé que, dans ses observations du 9 octobre 2020, la recourante avait allégué qu'elle était partie pour 26 jours. Cette durée était deux fois moindre que celle évoquée par la recourante lors de son interrogatoire du 11 novembre 2019, lors duquel elle avait déclaré avoir vendu son véhicule au motif qu'elle partait au Cameroun pour quasiment deux mois. Contrairement à ce qui lui était expressément demandé par la cour cantonale, la recourante n'avait déposé aucun justificatif relatif à ce voyage, de sorte qu'il n'était pas possible de vérifier ni quand il avait eu lieu, ni combien de temps il avait duré, ni combien il avait coûté, ni comment il avait été financé. La cour cantonale a constaté que, dans ses observations du 9 octobre 2020, la recourante s'était contentée de contredire ses propres déclarations sur la durée de son séjour au Cameroun et d'alléguer que le billet d'avion lui avait été offert par un ami qui était décédé en 2019. La donation en question n'était toutefois pas établie et un tel voyage - allégué par la recourante - constituait pour la cour cantonale un indice de revenus excédant 986 francs par mois, tout comme l'usage d'un véhicule privé (au demeurant gourmand en essence) en lieu et place des transports publics.
L'instance précédente a ensuite constaté qu'il ressortait des pièces bancaires déposées par la recourante que sur la période de 13 mois comprise entre septembre 2019 et septembre 2020, elle avait dépensé en moyenne environ 1'400 francs par mois par débit de son compte bancaire, considérant ainsi que son train de vie ne pouvait pas être financé par le montant forfaitaire mensuel de 986 francs qu'elle percevait des Services sociaux. L'instance précédente a en outre constaté l'existence de retraits ponctuels portant sur des sommes importantes, voire très importantes, en liquide, incompatibles avec la situation d'une personne ne disposant pour seuls revenus que du minimum vital fourni par l'aide sociale. Par exemple, en janvier 2020, la recourante avait retiré 300 francs en liquide le 7, puis 1'000 francs en liquide le 28; ces montants n'avaient pas servi à couvrir ses dépenses courantes, puisqu'elle avait aussi payé au moyen de sa carte de débit au total 639.30 francs ce mois-là. En mai 2020, elle avait retiré au total 1'000 francs et 600 euros, tout en payant ce mois-là des dépenses courantes au moyen de sa carte de débit pour un total de 516.15 francs. Malgré le caractère incongru de ces retraits (certains retraits dépassaient le montant du revenu mensuel allégué et le retrait d'importantes sommes en euros ne s'expliquait pas), la recourante n'avait fourni aucune explication à ce propos.
La cour cantonale a considéré que l'analyse de la documentation bancaire démontrait que la recourante disposait de sources de revenus autres que les 986 francs par mois qu'elle percevait de l'aide sociale qu'elle avait pourtant mentionnés comme étant sa seule source de revenus. Pour l'instance précédente, l'explication la plus plausible de cette différence résidait dans l'exercice d'une activité lucrative non déclarée. Mais il était également possible que la recourante bénéficiait de donations de tiers, comme elle l'avait affirmé sans le prouver en rapport avec le financement de ses vacances au Cameroun. Il se pouvait enfin que la recourante, divorcée selon le formulaire d'assistance judiciaire, percevait des contributions d'entretien; constituaient des indices en ce sens le versement de 2'284 francs effectué le 17 janvier 2020 en sa faveur par l'Office de recouvrement et d'avances des contributions d'entretien, ainsi que divers versements effectués en sa faveur par B._ (850 francs au total entre juillet et septembre 2020).
Pour la cour cantonale, la recourante n'avait, en tout état de cause, pas suffisamment collaboré à la mise en lumière de sa situation financière. Elle avait au contraire entretenu le flou à ce propos en donnant certaines explications contradictoires et d'autres pas crédibles. Bien que représentée par un mandataire professionnel, d'une part, et ayant été expressément invitée à déposer "les explications et les documents à même de fournir une vision complète de sa situation financière", d'autre part, la recourante n'avait pas fourni les renseignements suffisants (avec pièces à l'appui) pour permettre à l'autorité d'avoir une vision complète de sa situation financière; au contraire, sa situation demeurait totalement confuse (train de vie incompatible avec les revenus et la fortune déclarés; explications contradictoires et pas crédibles; absence de fourniture de nombreuses pièces justificatives demandées expressément; importants retraits en liquide inexpliqués, notamment en euros; fréquents séjours dans la région de Thoune, inexpliqués). Pour la cour cantonale, cette situation justifiait, selon la jurisprudence, le rejet de la demande d'assistance judiciaire, faute pour la requérante d'avoir établi son indigence.
3.3. La recourante conteste cette appréciation. Elle soutient que l'instance précédente a fait preuve de formalisme excessif en niant son indigence alors qu'elle est intégralement prise en charge par l'aide sociale, comme l'attestent les documents qu'elle a fournis. La recourante reproche en particulier à l'instance précédente de s'être livrée à des conjectures et des spéculations arbitraires ("prétendu travail non déclaré, prétendu véhicule imposant, prétendu train de vie fastueux, vacances, etc."). Elle critique en particulier l'examen des pièces bancaires effectué par l'instance précédente, notamment la conclusion selon laquelle elle disposerait d'un disponible minimum de 1'400 francs par mois en moyenne après paiement de son loyer et de ses primes d'assurance-maladie; de plus, l'instance précédente perdrait de vue qu'il conviendrait de se fonder sur le minimum vital du droit des poursuites de 1'200 francs augmenté de 25 %, en l'occurrence 1'500 francs. La recourante relève que le montant forfaitaire de 986 francs qu'elle reçoit est sans commune mesure avec le minimum vital élémentaire précité et reproche en définitive à la cour cantonale de perdre de vue qu'elle a vécu avec moins de 18'000 francs sur une période de 13 mois. La recourante soutient que l'analyse de la documentation bancaire permet d'affirmer qu'elle n'a effectué aucune dépense somptuaire, précisant que le fait qu'elle a procédé entre janvier et septembre 2020 à des retraits en espèce pour des montants plus élevés, fût-ce même incongru, pouvait aisément s'expliquer par le fait que son compte postal présentait un solde positif de 1'711 francs en début d'année et qu'elle avait perçu un rétroactif de pension alimentaire pour son fils majeur en apprentissage et qui concernait une période antérieure à la présente procédure.
3.4. Certes, comme relevé par la recourante, les personnes qui bénéficient de l'aide sociale peuvent en principe être considérées comme indigentes (cf. ci-dessus consid. 3.1.1). Toutefois, dans certains cas, le fait de dépendre de l'aide sociale sur le plan économique peut ne pas suffire à établir l'indigence, même lorsque le requérant fournit une attestation en ce sens (cf. arrêts 8C_58/2014 du 24 septembre 2014 consid. 7.3; 9C_606/2013 du 7 mars 2014 consid. 2.1.3). Tel est le cas en l'espèce. En effet, l'instance précédente a expressément invité la recourante à lui transmettre des informations et pièces justificatives supplémentaires après avoir constaté certaines incohérences dans sa situation financière susceptibles de mettre en doute l'indigence alléguée. Or si la recourante a transmis des relevés bancaires, elle n'a pas fourni les autres documents (moyens de preuve) expressément demandés par la cour cantonale concernant le coût et le financement de ses vacances au Cameroun et de son véhicule, ainsi que le prix de revente de ce dernier (avec moyens de preuve). Certains moyens de preuve étaient d'ailleurs faciles à produire, comme par exemple la quittance du concessionnaire pour la vente du véhicule Hyundai Santa Fe. La cour cantonale pouvait à cet égard considérer que les explications données par la recourante étaient insuffisantes et contradictoires. Dans son mémoire de recours, la recourante ne donne pas davantage d'explications en rapport avec le voyage en question, se limitant à réaffirmer de manière appellatoire qu'elle aurait reçu une aide financière - qu'elle ne chiffre au demeurant pas - pour le financement de ce voyage; elle ne s'exprime pas non plus au sujet des incohérences mises en évidence par la cour cantonale en lien avec son véhicule. Elle ne donne pas non plus de renseignements sur les importantes sommes d'argent levées en euros et en francs suisses soulignées par l'instance précédente, admettant pourtant que cela puisse être incongru; elle se contente d'affirmer sur ce point que le solde positif de son compte postal et le versement d'arriérés de pensions alimentaires le permettaient.
Au vu de ces éléments, l'instance précédente pouvait à juste titre reprocher à la recourante de ne pas avoir suffisamment collaboré à l'établissement de sa situation financière. Compte tenu de plusieurs éléments tendant à mettre en doute l'indigence alléguée de la recourante, celle-ci ne pouvait pas s'affranchir de son obligation de collaborer au seul motif qu'elle disposait d'une attestation du Service de l'aide sociale. Le manque de collaboration de la recourante s'est d'ailleurs manifesté dès le dépôt de la demande d'assistance judiciaire en date du 30 avril 2020 puisque cette demande, rédigée par son avocat, n'était accompagnée d'aucune pièce justificative, ni par ailleurs du formulaire officiel de requête d'assistance judiciaire.
Enfin, dans ce contexte, la recourante, assistée d'un avocat, ne saurait faire grief à l'instance précédente d'avoir renoncé à l'interpeller sur les pièces justificatives qu'elle aurait "spontanément" fournies le 9 octobre 2020; sa critique apparaît quoi qu'il en soit irrecevable dès lors qu'elle n'expose pas concrètement devant le Tribunal fédéral quelles pièces - soi-disant transmises "spontanément" - seraient précisément visées par sa critique. Cela vaut d'autant plus que le Tribunal cantonal avait déjà formulé des doutes au sujet de la situation financière de la recourante dans son premier arrêt du 11 juin 2020, puis l'avait interpellée à ce sujet explicitement par ordonnance du 14 septembre 2020.
Compte tenu de ce qui précède, la cour cantonale n'a pas violé l'art. 29 Cst. en rejetant la demande d'assistance judiciaire de la recourante.
4.
En définitive, le recours est rejeté. Le recours étant d'emblée dénué de chances de succès et la recourante n'ayant, comme exposé, par ailleurs, pas démontré son indigence à satisfaction de droit, la requête d'assistance judiciaire pour la procédure devant le Tribunal fédéral est également rejetée (<ref-law>). Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont en conséquence mis à la charge de la recourante qui succombe (art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Ministère public de la République et canton de Neuchâtel et au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Autorité de recours en matière pénale.
Lausanne, le 29 janvier 2021
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Chaix
La Greffière : Arn