Der Präsident zieht in Erwägung:
1.
Nach einem Eingriff an der Bauchschlagader musste sich der Beschwerdeführer einer Ultraschalluntersuchung unterziehen. Im Zusammenhang mit der diesbezüglichen Leistungsabrechnung erstattete er am 8. August 2019 Strafanzeige gegen den ihn behandelnden Arzt wegen gewerbsmässigen Betrugs und Wuchers sowie gegen die Verwaltungsratspräsidentin der Krankenkasse wegen gewerbsmässiger "ungetreuer Geschäftsführung". Die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat nahm eine Strafuntersuchung am 19. August 2019 nicht an die Hand. Das Obergericht des Kantons Zürich wies eine dagegen gerichtete Beschwerde am 27. Januar 2020 ab.
Der Beschwerdeführer wendet sich am 2. März 2020 mit einem Fristwiederherstellungsgesuch und am 29. April 2020 mit einer Beschwerde an das Bundesgericht.
2.
In einer Beschwerde an das Bundesgericht ist unter Bezugnahme auf den angefochtenen Entscheid darzulegen, inwieweit dieser nach Meinung des Beschwerdeführers gegen das Recht verstossen soll (<ref-law>).
Der Privatklägerschaft wird ein rechtlich geschütztes Interesse an der Beschwerde zuerkannt, wenn sich der angefochtene Entscheid auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Das Bundesgericht stellt an die Begründung strenge Anforderungen (<ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen).
3.
Der Beschwerdeführer äussert sich in seiner Eingabe weder zu seiner Beschwerdelegitimation als Privatkläger noch zur Frage einer Zivilforderung. Zwar will er im Zusammenhang mit einer angeblich überhöhten Arztrechnung betreffend Ultraschalluntersuchung zu Schaden gekommen sein und macht geltend, als Prämienzahler dank des KVG einen gesetzlichen Anspruch auf eine kostengünstige und effiziente medizinische Betreuung zu haben. Damit zeigt er allerdings nicht ansatzweise auf, um welche Ansprüche es vorliegend konkret gehen könnte, weshalb diese zivilrechtlicher Natur sein sollten und inwiefern sich der angefochtene Entscheid darauf auswirken könnte. Abgesehen davon befasst sich der Beschwerdeführer auch nicht bzw. nicht substanziiert mit den vorinstanzlichen Erwägungen. Dass er in seiner Eingabe auf bestimmte Stellen im angefochtenen Beschluss Bezug nimmt und diese z.B. für unsinnig ("welch ein Unsinn!") erachtet, genügt nicht. Aus den Ausführungen in seiner Beschwerdeeingabe ergibt sich mithin nicht, dass und inwiefern die Vorinstanz mit dem angefochtenen Beschluss gegen das geltende Recht im Sinne von <ref-law> verstossen haben könnte (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist mangels Legitimation und tauglicher Begründung im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
4.
Unter diesen Umständen erübrigt es sich, noch vertieft zu prüfen, ob die Beschwerde an das Bundesgericht rechtzeitig erfolgt ist bzw. eine Fristwiederherstellung (<ref-law>) möglich wäre. Der Beschwerdeführer hat den angefochtenen Beschluss am 3. Februar 2020 entgegengenommen. Die Frist zur Einreichung einer Beschwerde in Strafsachen endete folglich am 4. März 2020. In seinem Fristwiederherstellungsgesuch weist der Beschwerdeführer auf einen (gefühlten) sehr schmerzhaften Hexenschuss vom 15. Februar 2020 hin, eine ärztliche Überweisung in die Orthopädische Abteilung eines Krankenhauses am 21. Februar 2020, einen notfallmässigen Spitaleintritt mit Feststellung eines Bruchs des Oberschenkelhalses am 10. März 2020 und eine Einpassung eines neuen Hüftgelenks sowie die Entwicklung einer Thrombose nach Entlassung aus dem Spital am 14. März 2020. Ob hierin insgesamt ein Fristwiederherstellungsgrund liegt, braucht nicht geklärt zu werden, da bereits aus den genannten Gründen auf die Beschwerde nicht eingetreten werden kann (vorstehend E. 3).
5.
Ausgangsgemäss sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Das (nachträgliche) Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen (vgl. <ref-law>). Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist durch eine herabgesetzte Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Mai 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill