Fatti:
A.
A._, nato il 27 dicembre 2014, è affetto da un disturbo dello spettro autistico, riconosciuto come infermità congenita dalla cifra 405 dell'Allegato dell'Ordinanza sulle infermità congenite (OIC; RS 831.232.21), per il quale beneficia di provvedimenti sanitari dal giugno 2017 e di ergoterapia dal maggio 2018. Nel giugno 2018, per il tramite della madre, A._ ha inoltrato all'Ufficio assicurazione per l'invalidità del Cantone Ticino (di seguito UAI) una domanda per l'ottenimento di un assegno per grandi invalidi per minorenni, indicando necessitare dell'aiuto regolare e notevole per il compimento di tutti gli atti ordinari della vita (ovvero per mangiare [da gennaio 2016], per spostarsi/mantenere dei contatti sociali [da dicembre 2016], per vestirsi/svestirsi, per alzarsi/sedersi/coricarsi, per la cura del corpo, per fare i propri bisogni [da dicembre 2017]), come pure di abbisognare di una sorveglianza personale continua. L'UAI ha esperito gli accertamenti medico-amministrativi del caso, in particolare si fa riferimento al rapporto medico del 18 giugno 2018 del prof. dott. C._, agli accertamenti della pediatra dott.ssa D._ del Servizio Medico Regionale dell'UAI (SMR), come pure a quelli dell'assistente sociale E._ nell'ambito dell'inchiesta a domicilio del 2 maggio 2019.
Con decisione del 19 agosto 2019 l'UAI ha riconosciuto il diritto a un assegno per grandi invalidi per minorenni di grado lieve dal 1° dicembre 2018 e dal 1° marzo 2019 uno di grado medio (dopo tre mesi dall'inizio della necessità di terzi per 5 atti ordinari: da gennaio 2016 per mangiare, da dicembre 2017 per vestirsi/svestirsi e per lavarsi e da dicembre 2018 per alzarsi/sedersi/coricarsi e per andare alla toilette), con pure il diritto al supplemento per cure intensive per un'assistenza di 4 ore.
B.
A._, sempre per il tramite della madre, si è aggravato al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino, chiedendo il riconoscimento del diritto a un assegno per grandi invalidi per minorenni di grado elevato e supplemento per cure intensive di 6 ore dal 1° dicembre 2018.
Con sentenza del 19 giugno 2020 il Tribunale cantonale ha parzialmente accolto il gravame e la decisione impugnata è stata riformata nel senso che all'assicurato è stato riconosciuto il diritto a un assegno per grandi invalidi per minorenni di grado elevato dal 1° dicembre 2018, oltre a un supplemento per cure intensive di 4 ore per una sorveglianza personale permanente.
C.
Il 10 luglio 2020 (timbro postale) l'UAI inoltra un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, cui chiede la riforma della sentenza cantonale nel senso di riconoscere all'assicurato un assegno per grandi invalidi di grado medio dal 1° dicembre 2018 e di grado elevato dal 1° marzo 2019.
Invitati a pronunciarsi sul ricorso, l'assicurato ha proposto di respingerlo, chiedendo nel contempo l'assistenza giudiziaria con gratuito patrocino, mentre l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali (UFAS) ha rinunciato a determinarsi.

Diritto:
1.
Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto, così come stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Il Tribunale federale esamina d'ufficio l'applicazione del diritto federale (<ref-law>), non essendo vincolato né dagli argomenti sollevati nel ricorso né dai motivi addotti dall'autorità precedente. Quanto ai fatti, in linea di principio il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sugli accertamenti fattuali operati dall'autorità inferiore (<ref-law>) e vi si può scostare solo se è stato effettuato in modo manifestamente inesatto (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 2.1 con riferimenti, rispettivamente 137 I 58 consid. 4.1.2) o in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> (<ref-law>), e a condizione che l'eliminazione dell'asserito vizio possa influire in maniera determinante sull'esito della causa (<ref-law>).
2.
2.1. L'oggetto della lite concerne il diritto dell'assicurato all'assegno per grandi invalidi per minorenni. In particolare è litigioso il momento a partire da quando sorge tale diritto, segnatamente l'applicazione del termine di attesa di tre mesi dell'<ref-law> in caso di modifica del grado dell'assegno per grandi invalidi a seguito del raggiungimento di un determinato limite d'età.
2.2. Nei considerandi della sentenza impugnata, il Tribunale cantonale ha già esposto in maniera completa e dettagliata le norme legali e i principi giurisprudenziali necessari alla risoluzione del caso, rammentando in particolare la nozione di grande invalidità (<ref-law>), la sua valutazione (<ref-law> e <ref-law>), segnatamente le condizioni per i minorenni (art. 42 bis LAI e la Circolare dell'UFAS sull'invalidità e la grande invalidità nell'assicurazione per l'invalidità; di seguito CIGI) e quelle relative all'inizio del diritto agli assegni per grandi invalidi (<ref-law>; cfr. <ref-ruling>, rispettivamente 137 V 351). A tale esposizione può essere fatto riferimento e prestata adesione.
3.
3.1. Il Tribunale cantonale ha riconosciuto un assegno per grandi invalidi di grado elevato da dicembre 2018, ovvero "durante l'anno di attesa e allo scadere dello stesso" (cfr. consid. 2.8 pag. 19 della sentenza impugnata), momento che coincide anche con il compimento dei quattro anni, soglia d'età a partire dalla quale l'assicurato necessita di un aiuto in tutti gli atti ordinari della vita. Il cambiamento di grado di grande invalidità non è dovuto a un peggioramento dello stato di salute ma al raggiungimento del limite d'età necessario per poter ricevere l'aiuto in più atti ordinari della vita. La Corte cantonale ha concluso che non è indispensabile attendere il termine di tre mesi previsto dall'<ref-law> per assicurarsi che il peggioramento dello stato di salute sia duraturo, ovvero non è necessaria la verifica della persistenza nel tempo in quanto vi è automaticamente un carattere duraturo. Di conseguenza il diritto a un assegno per grandi invalidi di grado elevato va riconosciuto da dicembre 2018.
3.2. Il ricorrente censura la violazione del diritto federale, segnatamente degli art. 42 cpv. 4 e <ref-law>, in quanto riconoscendo un assegno per grandi invalidi di grado elevato dal compimento dei 4 anni il Tribunale cantonale avrebbe omesso di considerare che la grande invalidità durante il periodo di carenza, ossia durante l'anno di attesa, era del 50% e non dell'80%. A mente dell'UAI per poter riconoscere da subito il diritto a un assegno per grandi invalidi di grado elevato è necessario che la grande invalidità sia stata di grado elevato durante tutto l'anno d'attesa come pure al termine dello stesso. L'UAI chiede pertanto la riforma della sentenza impugnata nel senso di riconoscere un assegno per grandi invalidi di grado medio dal 1° dicembre 2018 e di grado elevato limitatamente dal 1° marzo 2019.
3.3. Con risposta del 3 settembre 2020 (timbro postale), l'opponente condivide le conclusioni della Corte cantonale, domandando di respingere il gravame dell'UAI e di confermare la sentenza impugnata.
4.
4.1. L'<ref-law> prevede che il diritto all'assegno per grandi invalidi nasce il primo giorno del mese in cui si sono verificate le condizioni di questo diritto. L'<ref-law> disciplina la determinazione della grande invalidità dei minorenni, in considerazione del maggior bisogno di aiuto e di sorveglianza personale rispetto a un minorenne non invalido della stessa età. L'allegato III alla CIGI contiene indicazioni circa l'età media a partire dalla quale vi è un notevole onere supplementare dovuto all'invalidità negli atti ordinari della vita determinante per il periodo annuale d'attesa. Il testo dell'art. 42 cpv. 4 seconda frase LAI prevede che la nascita del diritto all'assegno per grandi invalidi è regolamentata, a partire dal primo anno in poi, dall'<ref-law>. Questo rinvio è però il risultato di una svista redazionale intervenuta nell'ambito della 5a revisione dell'AI in vigore dal 1° gennaio 2008. Il Tribunale federale nella sentenza <ref-ruling> (sul tema cfr. anche <ref-ruling> consid. 6.2) ha già avuto modo di precisare che, contrariamente al rinvio dell'art. 42 cpv. 4 in fine LAI, l'inizio del diritto all'assegno per grandi invalidi non è disciplinato dall'<ref-law> ma continua a essere applicabile, per analogia, l'<ref-law> sui presupposti del diritto alla rendita d'invalidità (<ref-ruling> consid. 5.1 con riferimenti). Nella menzionata giurisprudenza viene legittimata anche la nota marginale 8092 della CIGI (sul tema del valore di istruzione della CIGI all'indirizzo degli organi esecutivi dell'assicurazione per l'invalidità con lo scopo di assicurare un'applicazione uniforme delle prescrizioni legali con effetti solo per l'amministrazione, cfr. <ref-ruling> consid. 7.3.2 con riferimenti), secondo cui il diritto all'assegno per grandi invalidi nasce appunto dopo la scadenza di un anno d'attesa. Pertanto, come compiutamente evidenziato dalla Corte cantonale, il diritto all'assegno per grandi invalidi implica in ogni caso la decorrenza del termine annuale di attesa in applicazione dell'<ref-law>.
4.2. Inoltre, il diritto a un assegno per grandi invalidi nasce quando la grande invalidità - indipendentemente dal suo grado - è durata un anno senza notevole interruzione e con verosimiglianza essa continuerà a sussistere (sul tema cfr. <ref-ruling> consid. 3a). In effetti, così come la nascita del diritto a una rendita d'invalidità presuppone sia un'incapacità al lavoro di almeno il 40% in media durante un anno senza notevole interruzione (<ref-law>) sia successivamente un' invalidità (<ref-law>) di almeno il 40% (cfr. sul tema sentenza 9C_878/2017 del 19 febbraio 2018 consid. 5.3 con riferimenti, segnatamente <ref-ruling> consid. 6 cc e dd), anche nel caso di un assegno per grandi invalidi è necessario accertare una grande invalidità che perduri durante l'anno di attesa, indipendentemente dal suo grado, oltre che alla fine dello stesso.
4.3. Il Tribunale cantonale, fondandosi tra l'altro sui riscontri rilevati dall'assistente sociale, sig.ra E._, nel corso dell'inchiesta domiciliare, ha accertato (cfr. consid. 1), e non è più contestato in questa sede, che l'assicurato necessita di un aiuto maggiore da parte di un terzo rispetto a un bambino senza grande invalidità negli atti ordinari della vita (sul tema cfr. <ref-ruling> consid. 3c.) nelle fasce d'età seguenti : da gennaio 2016 (mangiare), da dicembre 2017 (vestirsi/svestirsi, provvedere all'igiene del corpo e spostarsi/stabilire i contatti sociali) e da dicembre 2018 (alzarsi/sedersi/coricarsi ed espletare i bisogni corporali).
Il termine annuale di carenza, in applicazione analogica dell'<ref-law>, per il riconoscimento del diritto all'assegno per grandi invalidi è iniziato a decorrere nel dicembre 2017 ed è terminato il 30 novembre 2018. Conformemente a quanto constatato dalla Corte cantonale, l'assicurato ha bisogno di aiuto regolare e notevole di terzi nello svolgimento di 4 atti ordinari della vita da dicembre 2017 e in tutti gli atti ordinari da dicembre 2018, ovvero dal compimento dei 4 anni.
Accertata la grande invalidità durante e alla fine dell'anno di attesa, è incontestato che l'assicurato abbia diritto a un assegno per grandi invalidi per minorenni dal 1° dicembre 2018 (cfr. <ref-law> e consid. 4.2).
5.
Si tratta ora di indicare se l'assicurato ha diritto dal 1° dicembre 2018 all'assegno per grandi invalidi di grado elevato o se, come postulato dal ricorrente, uno di grado medio dal 1° dicembre 2018 e di grado elevato dal 1° marzo 2019, segnatamente in considerazione del periodo di tre mesi di cui all'<ref-law>.
5.1. L'<ref-law> prevede che in caso di modifica del diritto dell'assegno per grandi invalidi, ovvero di variazione della grande invalidità, si applicano per analogia le disposizioni vigenti per la modifica del diritto alla rendita d'invalidità (<ref-law> sul tema anche nota marginale 8113 della CIGI).
Il Tribunale federale ha già avuto modo di determinare, in materia di rendita d'invalidità, che quando un cambiamento, rispettivamente un inasprimento delle condizioni alla base del maggior grado d'invalidità, non è giustificato da un cambiamento dello stato di salute del ricorrente ma si inserisce in un contesto in cui quest'ultimo appare stabilizzato, il termine di tre mesi previsto dall'articolo 88a cpv. 2 OAI può essere disatteso (cfr. sentenza I 930/05 del 15 dicembre 2006 consid. 5 e sentenza I 599/05 del 6 febbraio 2006 consid. 5.2.3 con riferimenti, in cui la ricorrente cambia il suo statuto aumentando l'attività lavorativa a discapito di quella domestica).
In tale senso anche la prassi degli uffici AI, come si evince dalla nota marginale 8113 della CIGI, che prevede la possibilità di rinunciare al periodo di attesa di tre mesi della <ref-law> se la modifica del grado di grande invalidità è dovuta a motivi d'età.
5.2. Nel caso di specie il Tribunale cantonale merita di essere seguito quando, accertato che la modifica del grado della grande invalidità è dovuta a motivi di età e non a un peggioramento dello stato di salute, esso ha concluso che il termine di attesa di tre mesi non è applicabile. Il maggior bisogno d'aiuto da parte di terzi rispetto a un coetaneo non invalido è determinato dall'età, rispettivamente dal raggiungimento di un determinato limite d'età, il quale è immediato e non necessita di essere provato che perduri nel tempo. L'assicurato deve pertanto poter beneficiare da subito degli aiuti previsti per la sua fascia d'età, senza dovere attendere gli ulteriori tre mesi previsti all'<ref-law>.
5.3. A nulla giova al ricorrente sostenere che nel caso di specie per l'intera durata del periodo d'attesa l'assicurato non ha mai raggiunto la percentuale necessaria per poter beneficiare da subito di un assegno di grado elevato. Più in generale non può essere seguito il ricorrente allorquando sostiene che per riconoscere da subito un assegno per grandi invalidi di grado elevato è necessario che la grande invalidità sia stata di grado elevato durante tutto l'anno di attesa.
Come già evidenziato al consid. 4.2 è necessario distinguere le condizioni affinché il diritto a un assegno per grandi invalidi nasca da quelle relative alla percentuale da accordare in seguito, una volta il diritto sorto, rispettivamente in caso di modifica successiva del grado d'invalidità. Decisivo inoltre per l'applicazione o meno del termine di attesa di tre mesi di cui all'<ref-law> è sapere se la variazione successiva è dovuta a un cambiamento dello stato valetudinario o di statuto, rispettivamente al raggiungimento di una soglia d'età.
Nemmeno soccorre il ricorrente il riferimento alla nota marginale 8093 della CIGI, secondo cui la percentuale dell'assegno da accordare è stabilita in base al grado della grande invalidità prima e dopo il periodo d'attesa. La grande invalidità è considerata di grado elevato se è stata di grado elevato durante tutto il periodo di attesa. La situazione prevista alla cifra marginale 8093 della CIGI non è indicata al caso di specie, in quanto si riferisce a situazioni in cui lo stato di salute dell'assicurato peggiora.
Decisivo in concreto per la non applicazione del termine di tre mesi di cui all'<ref-law> è che il maggior bisogno non è determinato dalla situazione valetudinaria di peggioramento, per la quale occorre valutare se duratura, ma dall'età raggiunta che da subito riconosce la necessità accresciuta di aiuto. La soglia del raggiungimento di un'età che determina il maggior aiuto è per sua natura permanente e non è necessaria la verifica della persistenza nel tempo in quanto vi è automaticamente un carattere duraturo.
A titolo abbondanziale si rileva che nulla cambierebbe a quanto sopra evidenziato anche nell'ipotesi in cui il raggiungimento di un determinato limite d'età, idoneo a conferire un grado maggiore di assegno per grandi invalidi, avvenga già durante l'anno di attesa e non come nel caso di specie al suo scadere ma dall'inizio di tale diritto. Detto altrimenti la rinuncia al termine di tre mesi previsto all'<ref-law> è data sia nel caso in cui nel termine annuale di carenza dell'<ref-law> vi è una modifica del grado d'invalidità per motivi d'età, sia che la stessa avvenga allo scadere dello stesso.
6.
Visto quanto sopra esposto, è a giusto titolo che il Tribunale cantonale ha concluso che l'assicurato aveva diritto da subito, ovvero senza attendere i tre mesi di cui all'<ref-law>, alla fine del termine annuale di carenza di cui all'<ref-law>, all'assegno per grandi invalidi per minorenni di grado elevato. Il ricorso deve pertanto essere respinto.
7.
Le spese giudiziarie e le indennità per ripetibili seguono la soccombenza e sono poste a carico del ricorrente (art. 66 cpv. 1 e art. 68 cpv. 1 e 2 LTF).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 500.- sono poste a carico del ricorrente.
3.
Il ricorrente verserà all'opponente la somma di fr. 2800.- a titolo di ripetibili per la procedura innanzi al Tribunale federale.
4.
Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali.