Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Schaffhausen führt (e) eine Strafuntersuchung gegen A._. Dieser wurde am 14. Februar 2017 verhaftet, am 14. oder 15. Februar 2017 ins Kantonale Gefängnis Schaffhausen überführt und am 17. Februar 2017 in Untersuchungshaft versetzt. Insbesondere mit Schreiben vom 1., 16. und 22. März sowie 11. April 2017 beschwerte er sich über seine Behandlung während der Haft. Das Volkswirtschaftsdepartement des Kantons Schaffhausen nahm die Schreiben als Aufsichtsbeschwerde entgegen und beurteilte diese mit Brief vom 9. Mai 2017 als unbegründet. Dagegen reichte A._ beim Regierungsrat des Kantons Schaffhausen Rekurs ein. Am 13. April 2018 wurde er aus der Untersuchungshaft entlassen und zum Vollzug einer früher ausgefällten Freiheitsstrafe der Justizvollzugsbehörde des Kantons Thurgau zugeführt. Am 10. Juli 2018 wies der Regierungsrat seinen Rekurs ab.
B.
Gegen diesen Beschluss gelangte A._ an das Obergericht des Kantons Schaffhausen. Mit Verfügung vom 2. November 2018 trat dieses auf sein Rechtsmittel nicht ein.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 6. Dezember 2018 an das Bundesgericht beantragt A._ sinngemäss, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und die Sache zur materiellen Prüfung an dieses zurückzuweisen; zudem sei die Rechtsverweigerung festzustellen. Er ersucht ausserdem um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und stellt verschiedene weitere Verfahrensanträge.
Der Regierungsrat schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. A._ hat keine weitere Stellungnahme eingereicht.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein verfahrensabschliessender Nichteintretensentscheid des Obergerichts betreffend den Vollzug strafprozessualer Haft. Gegen diesen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid steht die Beschwerde in Strafsachen offen (vgl. Art. 78 Abs. 1, Art. 80 und Art. 90 BGG; <ref-ruling> E. 1 S. 244; <ref-ruling> E. 1.1 S. 272 f.). Der Beschwerdeführer nahm am vorinstanzlichen Verfahren teil, hat ein rechtlich geschütztes Interesse an der Überprüfung des Nichteintretensentscheids und ist damit nach <ref-law> zur Beschwerde legitimiert. Auch sonst steht einem Eintreten auf die Beschwerde grundsätzlich nichts entgegen.
1.2. Der angefochtene Entscheid enthält keine Eventualbegründung, mit der die Sache materiell beurteilt wird. Der Streitgegenstand des vorliegenden Beschwerdeverfahrens ist demnach auf die Frage beschränkt, ob die Vorinstanz auf das Rechtsmittel des Beschwerdeführers hätte eintreten müssen. Erweist sich die Beschwerde insofern als begründet, weist das Bundesgericht die Sache zur materiellen Prüfung an die Vorinstanz zurück; andernfalls hat es mit dem vorinstanzlichen Nichteintretensentscheid sein Bewenden (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 186 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 41). Soweit der Beschwerdeführer zusätzlich zum zulässigen Rückweisungsantrag (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 186) die Feststellung der gerügten Rechtsverweigerung verlangt, kommt diesem Antrag keine selbständige Bedeutung zu.
2.
Mit der Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet dieses von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, die vom Beschwerdeführer geltend gemacht und begründet werden (vgl. <ref-law>). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten, soweit die Verletzung von Grundrechten gerügt wird (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
3.
3.1. Die Vorinstanz hat ihren Nichteintretensentscheid in erster Linie damit begründet, die Verwaltungsgerichtsbeschwerde setze nach Art. 44 Abs. 1 lit. a des Justizgesetzes vom 9. November 2009 des Kantons Schaffhausen (JG/SH; SHR 173.200) in Verbindung mit Art. 36 Abs. 1 des kantonalen Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 20. September 1971 (VRG/SH; SHR 172.200) ein schutzwürdiges Anfechtungsinteresse voraus. Dieses müsse grundsätzlich aktuell sein. Der Beschwerdeführer habe mit den seinerzeitigen Schreiben das Verhalten des Gefängnispersonals zu Beginn der Untersuchungshaft gerügt. Dass er nach seiner Entlassung aus der Haft noch ein aktuelles Interesse an der Beurteilung dieses Verhaltens - auf das der Streitgegenstand beschränkt sei - bzw. der Anfechtung des Regierungsratsbeschlusses habe, sei weder dargetan noch ersichtlich. Da das von ihm kritisierte Verhalten im Wesentlichen situativ gewesen sei, liege auch keine Grundsatzfrage vor, deren Beurteilung trotz Wegfalls des aktuellen Interesses nachträglich noch geboten wäre.
3.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, es stelle sich eine derartige Grundsatzfrage. Da seine damalige Behandlung unmenschlich und erniedrigend gewesen sei, habe er im Weiteren trotz seiner Entlassung aus der Untersuchungshaft ein schutzwürdiges Interesse an der Beurteilung der gerügten Umstände bzw. der Anfechtung des Regierungsratsbeschlusses.
3.3. Geht es - wie vorliegend - ausschliesslich um Fragen des Haftvollzugs, richten sich die Beschwerdemöglichkeiten im kantonalen Verfahren zwar nach dem kantonalen Recht, was <ref-law> in Bezug auf die Untersuchungs- und Sicherheitshaft ausdrücklich festhält (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 129; MARC FORSTER, in: Schweizerische Strafprozessordnung, Basler Kommentar, 2. Aufl. 2014, N. 7 und Fn. 37 zu <ref-law>). Zu beachten ist aber namentlich der Grundsatz der Einheit des Verfahrens gemäss <ref-law>. Danach muss sich am Verfahren vor allen kantonalen Instanzen als Partei beteiligen können, wer zur Beschwerde an das Bundesgericht berechtigt ist (Abs. 1). Die unmittelbare Vorinstanz des Bundesgerichts muss zudem mindestens die Rügen nach den Art. 95-98 BGG prüfen können (Abs. 3). Das kantonale Recht und die kantonalen Behörden dürfen die Rechtsmittelbefugnis in Haftvollzugssachen demnach nicht enger fassen, als dies für die - insoweit massgebliche - Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht vorgesehen ist. Hätte der Beschwerdeführer trotz seiner bereits erfolgten Entlassung aus der Untersuchungshaft ein schutzwürdiges Interesse, gegen einen materiellen Entscheid über die strittigen Haftbedingungen beim Bundesgericht Beschwerde zu führen, wäre ein solches Interesse daher auch in Bezug auf seine Verwaltungsgerichtsbeschwerde gegen den Entscheid des Regierungsrats zu bejahen (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 298 f.; Urteil 1C_133/2008 vom 6. Juni 2008 E. 2.1).
3.4. Nach <ref-law> ist zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Das Interesse muss aktuell und praktisch sein. Das Bundesgericht verzichtet lediglich ausnahmsweise auf ein derartiges Interesse, so wenn sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen deren grundsätzlicher Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 77 f.; Urteil 6B_729/2018 vom 26. September 2018 E. 1.2; jeweils mit Hinweisen).
In Haftvollzugssachen besteht allerdings eine Besonderheit. Macht eine Person, die sich in Untersuchungshaft befindet, glaubhaft unzulässige, insbesondere EMRK- und verfassungswidrige, Haftbedingungen geltend, ist dies nach der mit Blick auf Art. 3 und Art. 13 EMRK entwickelten bundesgerichtlichen Rechtsprechung umgehend und unvoreingenommen abzuklären. Die betroffene Person hat zudem Anspruch darauf, dass gegebenenfalls die Unzulässigkeit der gerügten Haftbedingungen bzw. die Verletzung ihrer Rechte festgestellt wird (vgl. <ref-ruling> E. 2.5.1 S. 250; <ref-ruling> E. 2.1 S. 128; <ref-ruling> E. 3.1 S. 43 mit Hinweisen; MATTHIAS HÄRRI, in: Schweizerische Strafprozessordnung, Basler Kommentar, 2. Aufl. 2014, N. 6a zu <ref-law>). Aufgrund dieses Feststellungsanspruchs bejaht das Bundesgericht bei Beschwerden gegen Entscheide, mit denen die gerügten Haftbedingungen als rechtmässig beurteilt worden sind, ein Rechtsschutzinteresse der beschwerdeführenden betroffenen Person auch dann, wenn sich diese nicht mehr in Untersuchungs- oder Sicherheitshaft befindet (vgl. Urteile 1B_325/2017 vom 14. November 2017 E. 1; 1B_394/2016 vom 25. April 2017 E. 1; 1B_369/2013 vom 26. Februar 2014 E. 1, nicht publ. in <ref-ruling>). Dies muss auch gelten, soweit derartige Entscheide zusätzlich zu den beanstandeten Haftbedingungen während der Untersuchungshaft als unzulässig gerügte Umstände während der vorläufigen Festnahme nach der Zuführung an die Staatsanwaltschaft (vgl. <ref-law>) zum Gegenstand haben. Wegen des engen zeitlichen und sachlichen Zusammenhangs dieser strafprozessualen Haft mit der Untersuchungshaft sind derartige Vorwürfe zusammen mit den Letztere betreffenden Beanstandungen abzuklären und ist gegebenenfalls im gleichen Verfahren die Unzulässigkeit der gerügten Haftbedingungen bzw. die Verletzung der Rechte der betroffenen Person festzustellen.
3.5. Der Beschwerdeführer machte mit seinen Schreiben vom 1., 16. und 22. März sowie 11. April 2017 eine unmenschliche, erniedrigende und unzulässige Behandlung während seiner vorläufigen Festnahme nach der Überführung ins Kantonale Gefängnis Schaffhausen und zu Beginn der dort verbrachten Untersuchungshaft geltend. Konkret brachte er vor, es sei ihm erst am vierten Tag des Gefängnisaufenthalts ein Spaziergang gewährt worden. Zudem habe er zwei Tage in einer Arrestzelle verbringen müssen, ohne dass er seine Effekten erhalten habe und seine Angehörigen habe benachrichtigen können, um von diesen neue Wäsche und Toilettenartikel zu erhalten. Im Weiteren habe er darum gebeten, mit einem Anwalt in Kontakt treten zu können, was ihm zunächst verweigert worden sei; erst am nächsten Tag habe er mit diesem telefonieren können. Er sei ferner beim Verfassen von Rechtsschriften behindert worden, indem diese zunächst nicht ausgedruckt oder nicht weitergeleitet worden seien. Das Volkswirtschaftsdepartement nahm wegen dieser Schreiben gewisse Abklärungen vor, kam aber zum Schluss, die Gefängnisleitung habe in Anbetracht der gegebenen Umstände korrekt gehandelt. Der Regierungsrat gestand dem Beschwerdeführer ein schutzwürdiges Interesse an der Prüfung der Rechtmässigkeit seiner Behandlung im Kantonalen Gefängnis Schaffhausen zu, die ihn in seinen Rechten berührt habe. Er erachtete die bemängelten Umstände bzw. die Handlungen des Gefängnispersonals gestützt auf die durchgeführte Prüfung jedoch nicht als widerrechtlich.
Mit dem Regierungsratsbeschluss lag somit ein Entscheid vor, mit dem die vom Regierungsrat wie auch vom Volkswirtschaftsdepartement als prüfenswert beurteilten Beanstandungen des Beschwerdeführers als unbegründet und die bemängelten Haftumstände als rechtmässig beurteilt worden waren. Diese Beurteilung rügte der Beschwerdeführer in seiner Verwaltungsgerichtsbeschwerde an die Vorinstanz in verschiedenen Punkten als in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht unzutreffend. Unter diesen Umständen durfte die Vorinstanz das Rechtsschutzinteresse des Beschwerdeführers nicht wegen dessen - im Übrigen bereits vor dem Entscheid des Regierungsrats erfolgten - Entlassung aus der Untersuchungshaft verneinen. Vielmehr hätte sie es im Einklang mit der vorstehend dargelegten bundesgerichtlichen Rechtsprechung bejahen müssen.
3.6. Damit hätte die Vorinstanz auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde des Beschwerdeführers grundsätzlich eintreten müssen. Daran ändert ihr zusätzliches Vorbringen, es mangle an einem tauglichen Anfechtungsobjekt, nichts. Inwiefern dem so sein sollte, erläutert sie nicht. Dass der Entscheid des Regierungsrats in Anbetracht des erwähnten Anspruchs auf Feststellung unzulässiger Haftbedingungen unter den gegebenen Umständen als nichtig zu beurteilen wäre, ist überdies nicht ersichtlich. Andere Gründe für ein Nichteintreten nennt die Vorinstanz nicht. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, diese hätte auf seine Beschwerde eintreten müssen, erweist sich dies demnach grundsätzlich als zutreffend. Auf die weiteren Vorbringen und Rügen des Beschwerdeführers, insbesondere die geltend gemachten Gehörsverletzungen, ist daher nicht einzugehen. Gleiches gilt für seine neben dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellten Verfahrensanträge.
4.
Demnach ist die Beschwerde gutzuheissen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese hat auf das Rechtsmittel des Beschwerdeführers grundsätzlich einzutreten und es materiell zu prüfen.
Gerichtskosten sind keine zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Dem nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer steht keine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; Art. 11 des Reglements vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht [SR 173.110.210.3] e contrario; THOMAS GEISER, in: Bundesgerichtsgesetz, Basler Kommentar, 3. Aufl. 2018, N. 5 zu <ref-law>). Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist mit der Gutheissung der Beschwerde gegenstandslos geworden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Die Verfügung des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 2. November 2018 wird aufgehoben und die Sache im Sinne der Erwägungen zu neuem Entscheid an das Obergericht zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Volkswirtschaftsdepartement des Kantons Schaffhausen, dem Regierungsrat des Kantons Schaffhausen und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. April 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Baur