Faits :
A.
A.a. X._, titulaire d'un permis de moniteur de conduite pour les catégories A, B et C était le directeur, avec signature individuelle, de la société A._ Sàrl, en liquidation. Celle-ci avait pour but la formation à l'obtention du brevet de moniteur de conduite, les cours de perfectionnement destinés aux moniteurs de conduite et de premiers secours, d'animateur deux-phases, de formation obligatoire du permis à l'essai, d'éducation routière et toute formation à l'obtention du permis de conduire et de perfectionnement. La faillite de la société a été prononcée le 1er décembre 2016.
X._ est aussi l'administrateur président de la société B._ SA, enseignant la conduite toutes catégories, s'occupant de la formation de moniteurs, d'instructeurs de conducteurs et de moniteurs de premier secours et dispensant des cours de rattrapage scolaire et d'ambulance.
Le 29 janvier 2013, le Service cantonal des véhicules de la République et canton de Genève (ci-après: le Service cantonal des véhicules) a adressé un avertissement à X._, lui impartissant un délai au 30 juin 2013 pour suivre des cours de perfectionnement qui lui manquaient; à défaut, son permis de moniteur de conduite lui serait retiré.
Le même service a infligé un nouvel avertissement à X._, en date du 5 juin 2014, dans la mesure où celui-ci n'avait pas respecté la disposition prévoyant que seule une personne au bénéfice d'un permis d'élève-conducteur peut suivre les cours de théorie de la circulation; l'intéressé avait lui-même signé l'attestation de fin de cours. Par jugement du 14 octobre 2014, le Tribunal administratif de première instance de la République et canton de Genève (ci-après: le Tribunal administratif) a rejeté le recours de X._ à l'encontre de cette décision.
Le Service cantonal des véhicules a retiré à A._ Sàrl, le 30 mars 2016, l'autorisation relative à la "formation d'animateur de cours de formation complémentaire". Par jugement du 12 juillet 2016, le Tribunal administratif a déclaré irrecevable le recours formé contre cette décision, A._ Sàrl n'ayant pas donné suite aux trois invitations à se déterminer qui lui avait été adressées.
En date du 20 septembre 2016, la Commission d'assurance de la qualité de l'association suisse des moniteurs de conduite a décidé de ne plus reconnaître les certificats délivrés par A._ Sàrl dans le cadre de l'admission à l'examen professionnel de moniteur de conduite avec brevet fédéral et de lui retirer la reconnaissance de la qualité de fournisseur de modules pour les moniteurs de conduite; elle se basait pour cela sur les nombreux manquements aux règles de la profession reprochés à A._ Sàrl, dont le fait qu'elle avait déménagé sans l'en informer et qu'elle ne disposait ainsi plus de locaux approuvés par ladite commission; elle constatait un "abus du système".
A.b. Après de nombreux courriers et une mise en demeure restés sans effet, le Service cantonal des véhicules a, par décision du 7 octobre 2016, retiré à X._ l'autorisation d'enseigner la conduite pour une durée d'admonestation de vingt-quatre mois. En tant que directeur de A._ Sàrl, celui-ci était responsable de la qualité des cours dispensés et du respect des dispositions légales dans ce cadre. Il ressortait de l'enquête menée par ledit service que X._ avait laissé dispenser, d'une part, des cours de sensibilisation par des moniteurs-stagiaires alors que ceux-ci n'étaient pas en droit de le faire et, d'autre part, des cours pratiques pour motocycle par une personne qui n'était pas titulaire du permis de moniteur motocycle; plusieurs élèves conducteurs n'avaient pas reçu leur attestation de suivi de cours de sensibilisation ou de cours pratique de base motocycle; en outre, de nombreuses personnes avaient acquitté un forfait pour des cours de sauveteur et de sensibilisation qui ne leur avaient jamais été fournis; finalement, le 8 mai 2016, X._ avait convoqué des détenteurs d'un permis de conduire probatoire à Viry (France), en vue de leur dispenser une journée de formation complémentaire, tout en sachant que le site n'était pas homologué ni adapté pour ce type de cours: les personnes s'étaient rendues sur place et avaient constaté qu'aucun animateur n'était présent; X._ n'avait pas non plus remboursé les sommes déjà perçues à ce titre; l'intéressé ne pouvait pas justifier d'une bonne réputation, deux avertissements ayant déjà été prononcés par décisions des 29 janvier 2013 et 5 juin 2014 à son encontre. La décision tenait compte de l'ensemble des circonstances, notamment des antécédents, des faits reprochés, de leur gravité et du manque de scrupules dont X._ avait fait preuve à l'égard de jeunes conducteurs.
A.c. Le Tribunal administratif a rendu un jugement du 5 avril 2017 par lequel il a rejeté le recours de l'intéressé à l'encontre de la décision du 7 octobre 2016 du Service cantonal des véhicules.
B.
Par arrêt du 23 janvier 2018, la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) a également rejeté le recours de X._ contre le jugement susmentionné. Elle a en substance jugé que celui-ci ne contestait pas les faits qui lui étaient reprochés et qui contrevenaient à différentes dispositions du droit fédéral; la manière dont le recourant avait lui-même dispensé les cours n'avait, certes, pas fait l'objet de critiques mais les manquements reprochés se rapportaient également à la qualité de l'enseignement; la décision attaquée ne l'empêchait pas d'exercer toute activité professionnelle, mais uniquement celle de moniteur de conduite; la durée du retrait de l'autorisation d'enseigner la conduite, à savoir deux ans était nécessaire et respectait le principe de la proportionnalité.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 23 janvier 2018 de la Cour de justice et de renvoyer la cause à cette autorité pour une nouvelle décision dans le sens des considérants.
La Direction générale des véhicules de la République et canton de Genève a indiqué n'avoir pas d'observations à faire valoir. La Cour de justice s'en rapporte à justice quant à la recevabilité du recours et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. L'Office fédéral des routes ne s'est pas déterminé.
Par ordonnance du 21 mars 2018, le Président de la IIe Cour de droit public a admis la demande d'effet suspensif.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours en matière de droit public, déposé en temps utile (art. 100 LTF) et en la forme prévue (art. 42 LTF) à l'encontre d'un arrêt final (art. 90 LTF) rendu par une autorité cantonale de dernière
instance (art. 86 al. 1 let. d LTF) par l'intéressé qui a la qualité pour recourir (art. 89 al. 1 LTF), est recevable (art. 82 let. a LTF).
1.2. Le 13 octobre 2018, le recourant a fait parvenir au Tribunal fédéral une écriture, ainsi que des nouvelles pièces qui ne peut pas les prendre en considération (art. 99 al. 1 LTF).
2.
2.1. Le recourant se plaint d'une violation de l'art. 26 al. 2 let. b ch. 1 de l'ordonnance fédérale du 28 septembre 2007 sur l'admission des moniteurs de conduite et sur l'exercice de leur profession (ordonnance sur les moniteurs de conduite, OMCo; RS 741.522), ainsi que du principe de la proportionnalité (art. 5 al. 2 Cst.). Selon lui, la Cour de justice n'aurait pas tenu compte de sa situation professionnelle actuelle qui consiste à donner personnellement des cours de conduite ce qui "ne porterait pas atteinte à l'intérêt public". De plus, cette autorité aurait retenu que la sanction ne l'empêchait pas d'exercer toute activité professionnelle mais seulement celle de moniteur de conduite. Or, cette profession serait précisément la sienne et il lui serait, de fait, interdit de la pratiquer.
En outre, selon le recourant, les conditions posées par l'art. 36 al. 2 et 3 Cst. permettant de restreindre la liberté économique (art. 27 Cst.) ne sont pas remplies.
2.2. Tels que présentés par le recourant, les griefs relatifs à la violation de l'art. 26 al. 2 let. b ch. 1 OMCo et de la liberté économique se confondent. De plus, le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral relatif à la proportionnalité de la mesure est identique dans le cadre de l'art. 5 al. 2 Cst. et de l'art. 36 al. 3 Cst. (cf. consid. 3.6.1). Partant, ces moyens seront traités simultanément ci-dessous.
3.
3.1. Aux termes de l'art. 27 Cst., la liberté économique est garantie (al. 1). Elle comprend notamment le libre choix de la profession, le libre accès à une activité économique lucrative privée et son libre exercice (al. 2). La liberté économique protège toute activité économique privée, exercée à titre professionnel et tendant à la production d'un gain ou d'un revenu. Elle peut être invoquée tant par les personnes physiques que par les personnes morales (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 612; <ref-ruling> consid. 6.2 p. 386; <ref-ruling> consid. 7.1 p. 568). Des restrictions à la liberté économique sont admissibles, mais elles doivent reposer sur une base légale, être justifiées par un intérêt public prépondérant et respecter le principe de proportionnalité (cf. art. 36 al. 1 à 3 Cst.).
3.2. Figurant à la section 6 "Surveillance, mesures administratives et dispositions pénales", l'art. 26 al. 2 OMCo "Avertissement et retrait de l'autorisation d'enseigner la conduite pour une durée déterminée" prévoit:
"Si le moniteur de conduite n'observe pas (...) les prescriptions relatives à l'exercice de sa profession (art. 8 à 16) ou celles relatives à la formation à la conduite conformément à l'ordonnance fédérale du 27 octobre 1976 réglant l'admission des personnes et des véhicules à la circulation routière (ordonnance réglant l'admission à la circulation routière, OAC; RS 741.51), l'autorité cantonale prendra les mesures suivantes:
a. un avertissement:
1. dans les cas sans gravité,
2. (...);
b. un retrait de l'autorisation d'enseigner la conduite pour une durée déterminée:
1. dans les cas graves,
2. dans les cas sans gravité, lorsque l'autorisation d'enseigner la conduite a été retirée au cours des deux années précédentes ou qu'une autre mesure selon le présent article a été prononcée,
3. (...)."
3.3. Le recourant ne conteste pas les faits qui lui sont reprochés. Il a ainsi confié des cours pratiques pour motocycliste à une personne qui n'était pas détentrice du permis de moniteur motocycliste. De la sorte, en tant que directeur de A._ Sàrl, il a enfreint les art. 19 al. 1 OAC et 15 al. 3 de la loi fédérale du 19 décembre 1958 sur la circulation routière (LCR; RS 741.01), selon lesquels quiconque dispense professionnellement des cours de conduite doit être titulaire d'une autorisation d'enseigner la conduite.
Le recourant a également omis de donner suite aux requêtes répétées du Service cantonal des véhicules de fournir les attestations de suivi de cours de sensibilisation et de cours pratique de base motocycle à plusieurs élèves-conducteurs, violant ainsi l'obligation de délivrer les attestations précitées prescrite aux art. 18 al. 5 et 19 al. 4 OAC et privant lesdits élèves de la possibilité de prouver qu'ils avaient suivi ces cours, respectivement atteint les objectifs fixés. De plus, comme le relèvent les juges précédents, le recourant a négligé d'établir une carte de formation pour chaque élève sur laquelle sont indiquées les leçons théoriques et pratiques dispensées par les moniteurs de conduite, avec la date et l'heure, le degré de formation et, le cas échéant, les examens de conduite effectués, violant ainsi les art. 15 et 16 OMCo; ce document a pour but de permettre le contrôle du respect de la durée du travail et de l'enseignement.
En outre, le recourant a convoqué le 8 mai 2016 des clients pour des cours prévus sur un terrain en France, alors que celui-ci n'était pas homologué ni adapté au type de formation prévue. L'intéressé n'a pas prévenu les élèves que le cours ne pourrait avoir lieu et ceux-ci se sont déplacés en vain. De même, le recourant, dont une des sociétés a fait faillite, n'a jamais fourni les cours auxquels une centaine d'élèves-conducteurs s'étaient inscrits, pas plus qu'il ne les a remboursés; leur créance se montait à environ 50'000 fr., selon le recourant. A cet égard, il est relevé que l'art. 5 al. 1 let. d OMCo subordonne l'obtention de l'autorisation d'enseigner la conduite de la catégorie B aux garanties d'un exercice irréprochable de la profession de moniteur de conduite.
3.4. L'art. 26 al. 2 OMCo prévoit une mesure administrative (avertissement pour les cas sans gravité [let. a ch. 1] et retrait de l'autorisation d'enseigner la conduite pour une durée déterminée dans les cas graves [let. b ch. 1]), lorsque la personne concernée n'observe pas les art. 8 à 16 OMCo ou les prescriptions "relatives à la formation à la conduite conformément à l'ordonnance fédérale réglant l'admission à la circulation routière"; cette ordonnance contient des dispositions traitant de la "Formation à la conduite" à ses art. 18 à 20. Au demeurant, cette ordonnance ne prévoit pas de sanctions disciplinaires.
Contrairement à ce que prétend le recourant, il ne lui a pas été uniquement reproché de n'avoir pas respecté les art. 18 al. 5 et 19 al. 4 OAC, en ne décernant pas des attestations à ses élèves. En effet, l'absence de carte de formation pour chaque élève empêche le contrôle de l'activité du recourant et viole les art. 15 et 16 OMCo. De plus, n'est pas en cause un seul client mais de très nombreux cas ont été enregistrés, démultipliant la responsabilité du recourant. S'ajoute à cela le fait qu'une personne ne disposant pas de l'autorisation d'enseigner la pratique motocycliste a dispensé des cours pratiques. Or, selon l'art. 19 al. 1 OAC, toute personne qui désire obtenir le permis de conduire motocycliste doit suivre une instruction pratique de base auprès d'une personne en possession d'une autorisation d'enseigner la conduite de cette catégorie. Ces éléments conduisent à conclure que les agissements de l'intéressé doivent être qualifiés de graves et aboutir à un retrait de l'autorisation d'enseigner la conduite, contrairement à ce qu'il prétend.
C'est donc à bon droit que les juges précédents ont estimé que le comportement du recourant relève de l'art. 26 al. 2 let. b ch. 1 OMCo, disposition qui constitue également la base légale nécessaire pour restreindre la liberté économique de l'intéressé (art. 36 al. 1 Cst.).
3.5. Le même intérêt public qui a incité à édicter une ordonnance fédérale qui règle l'admission des moniteurs de conduite, l'exercice de leur profession et leur formation continue (art. 1 OMCo) est touché par les faits reprochés au recourant. L'enseignement de la conduite (et des cours annexes) a pour finalité de former des personnes qui utiliseront leur véhicule sur la voie publique avec tout ce que cela peut avoir comme conséquences, notamment pour l'intégrité physique des autres usagers de la route. La responsabilité du recourant est donc importante. Celui-ci ne saurait se dédouaner au motif qu'il ne s'agirait "que" d'actes par omission. En confiant des cours pratiques à une personne qui n'était pas habilitée à ce faire et en omettant d'établir les cartes de formation des élèves permettant le contrôle de son activité, celui-ci a gravement failli dans son rôle. Peu importe qu'aujourd'hui, à ses dires, le recourant ne gère plus d'école de conduite et qu'il ne forme plus de moniteurs. Si la sanction devait être annulée pour ce motif, rien ne l'empêcherait de reprendre de telles activités. On constate d'ailleurs à ce sujet que l'intéressé est toujours l'administrateur président de B._ SA qui a notamment pour but l'enseignement de la conduite toutes catégories, ainsi que la formation de moniteurs et d'instructeurs.
La décision de retrait de l'autorisation d'enseigner la conduite répond donc à la condition de l'intérêt public (art. 36 al. 2 Cst.) que représente la sécurité publique.
3.6.
3.6.1. A n'en pas douter, la présente affaire ne peut être qualifiée de cas sans gravité. Le seul fait de confier des cours à une personne qui n'a pas les prérequis pour ce faire est une violation grave des règles de la profession. A cela s'ajoutent les autres manquements susmentionnés, notamment le fait que l'intéressé n'a pas délivré les attestations ad hoc à de très nombreux élèves, les obligeant supposément à devoir payer et suivre de nouveaux cours. D'ailleurs, le recourant a également été sanctionné par la Commission d'assurance de la qualité de l'association suisse des moniteurs de conduite qui avait décidé de ne plus reconnaître les certificats délivrés par l'école de conduite du recourant dans le cadre de l'admission à l'examen professionnel de moniteur de conduite et de retirer à A._ Sàrl la reconnaissance de la qualité de fournisseur de modules pour les moniteurs de conduite, ce qui confirme la gravité du comportement de l'intéressé; cette commission a estimé que les actes du recourant portait atteinte à l'image de la profession de moniteur de conduite.
Outre les faits retenus à l'encontre de l'intéressé, il faut tenir compte de ses antécédents. Le Service cantonal des véhicules lui a adressé deux avertissements: le premier en date du 29 janvier 2013 au motif qu'il n'avait pas suivi les cours de perfectionnement qui lui manquaient et le second, le 5 juin 2014, car il n'avait pas respecté la disposition prévoyant que seule une personne au bénéfice d'un permis d'élève-conducteur peut suivre le cours de théorie de la circulation.
Certes, la mesure prononcée est sévère, mais ayant déjà reçu deux avertissements, le recourant devait s'attendre à une gradation dans la sanction. Celui-ci semble vouloir qu'il soit renoncé à tout retrait d'autorisation et met en avant le fait qu'il ne gère plus d'école de conduite, qu'il serait employé par celle de son épouse et qu'il aurait atteint l'âge de la retraite. Dès lors que le recourant a enfreint gravement les règles relatives à l'exercice de sa profession, comme susmentionné, son cas tombe sous le coup de l'art. 26 al. 2 let. b ch. 1 OMCo. Or, cette disposition ne prévoit que le retrait de l'autorisation d'enseigner la conduite pour une durée déterminée. Le fait que l'intéressé n'ait pas donné des cours en état d'ébriété ou montré de graves lacunes dans son enseignement, comme il le souligne, ne lui est d'aucun secours. De plus, il reste l'administrateur président de B._ SA. D'ailleurs, si le recourant se plaint des conséquences économiques de ce retrait, il ne précise pas quelle mesure aurait été, selon lui, adéquate. Le mémoire ne contient au surplus pas de motivation quant à la durée de ce retrait. Compte tenu de la persistance du recourant à enfreindre ses obligations professionnelles, la mesure adoptée ne saurait être critiquée.
Au regard de ce qui précède, le retrait de l'autorisation d'enseigner la conduite pour une durée de deux ans, confirmé par les juges précédents, n'apparaît pas disproportionné à l'aune de l'intérêt public en jeu et constitue une restriction admissible à la liberté économique du recourant.
4.
Les éléments qui précèdent conduisent au rejet du recours.
Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service cantonal des véhicules et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative, 2ème section, ainsi qu'à l'Office fédéral des routes.
Lausanne, le 29 novembre 2018
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Jolidon