Faits :
A.
A.a. A._ (ci-après: la mère) et B._ (ci-après: le père) sont les parents de C._ (2015) et D._ (2017). Les parties, non mariées, bénéficient de l'autorité parentale conjointe.
A.b. Rencontrant des difficultés dans leur couple, les parents se sont séparés en mai, " respectivement " septembre 2017. Depuis lors, ils se partagent la garde de leurs enfants, ainsi que l'appartement familial, à raison d'une semaine sur deux.
B.
B.a. Le 24 octobre 2017, après avoir appris que la mère souhaitait retourner en Espagne, le père a déposé devant l'autorité de protection de l'enfant et de l'adulte du canton du Jura (ci-après: l'APEA) une requête en attribution de l'autorité parentale et de la garde, une requête de mesures provisionnelles et une requête de mesures superprovisionnelles. Il a notamment conclu à ce que la garde sur ses deux enfants lui soit attribuée et à ce qu'il soit fait interdiction à la mère de quitter le territoire suisse avec ceux-ci.
B.b. Par décision de mesures superprovisionnelles du 30 octobre 2017, l'APEA a fait interdiction à la mère de quitter le territoire suisse avec ses enfants et lui a ordonné de remettre les passeports ainsi que tout autre document d'identité concernant les enfants au siège de l'autorité. Par ordonnance du même jour, l'APEA a ouvert une procédure en faveur des enfants.
B.c. Par décision de mesures provisionnelles du 16 novembre 2017, l'APEA a partiellement fait droit à la requête du père en faisant interdiction à la mère de quitter le territoire suisse avec ses enfants. Elle a requis une évaluation de la situation et a restitué à la mère les documents d'identité des enfants.
B.d. Dans son rapport du 8 janvier 2018, l'assistant social a, en substance, constaté que les deux parents avaient entretenu des relations personnelles avec leurs enfants, disposaient de capacités éducatives pour assumer leur prise en charge de manière appropriée, avaient tous deux des disponibilités pour s'en occuper et pouvaient leur garantir un environnement stable et harmonieux. Compte tenu de l'intensification du conflit conjugal, il n'était toutefois pas envisageable d'instituer une prise en charge sur le mode de la garde alternée. De plus, un tel mode de garde n'était, selon la littérature spécialisée, pas recommandé pour des enfants si jeunes. L'âge des enfants constituant le critère principal pour décider de leur prise en charge, l'assistant social a préconisé que la garde soit attribuée à la mère.
B.e. Par pli du 24 janvier 2018, la mère a conclu au maintien de l'autorité parentale conjointe, à l'attribution en sa faveur de la garde sur ses enfants, à l'autorisation de déplacer leur lieu de résidence en Espagne, avec effet immédiat, et à la fixation de la manière la plus large possible du droit de visite du père.
B.f. Le 31 janvier 2018, le père a saisi la Juge civile du Tribunal de première instance du canton du Jura d'une procédure en entretien, en concluant à l'attribution de la garde sur ses enfants et à la condamnation de la mère au paiement d'une contribution d'entretien de 500 fr. par enfant.
B.g. Par ordonnance du 13 mars 2018, l'APEA a informé les parties qu'elle demeurait compétente pour statuer sur le sort des enfants.
B.h. Par décision du 16 mai 2018, l'APEA a autorisé la mère à modifier le lieu de résidence de ses enfants en Espagne et a fixé le droit de visite du père, à défaut d'entente entre les parents, à raison d'un week-end sur deux en Espagne et de la moitié des vacances scolaires. L'APEA a pour l'essentiel fait siennes les conclusions de l'évaluation sociale.
B.i. Statuant sur appel du père, la Cour administrative du Tribunal cantonal du canton du Jura a, par arrêt du 22 février 2019, annulé la décision de l'APEA, rejeté la demande de la mère du 24 janvier 2018 tendant à obtenir l'autorisation de déplacer le lieu de résidence de ses enfants en Espagne, dit qu'en cas de déménagement de la mère en Espagne, la garde sur les enfants serait attribuée au père, dit que l'exercice des relations personnelles entre les enfants et leur mère était, dans cette hypothèse et à défaut d'entente entre les parties, fixé à raison d'un week-end sur deux en Suisse et de la moitié des vacances scolaires. Dans l'hypothèse où la mère renonçait à son projet de déménagement en Espagne et restait domiciliée dans le canton du Jura, une garde alternée était instaurée, à raison d'une semaine auprès de chaque parent et de la moitié des vacances scolaires.
C.
Par acte posté le 28 mars 2019, la mère exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle conclut principalement à sa réforme en ce sens que la garde des enfants lui est confiée, qu'elle est autorisée à déplacer leur lieu de résidence à U._ en Espagne, avec effet immédiat, et qu'il est dit que le droit de visite du père s'exercera librement, d'entente entre les parties, respectivement, à défaut d'entente, à raison d'un week-end sur deux en Espagne et de la moitié des vacances scolaires. Elle requiert également que les frais et dépens pour les procédures de première et deuxième instances cantonales ainsi que pour la procédure fédérale soient mis à la charge de l'intimé. Subsidiairement, elle conclut à ce que la garde des enfants lui soit attribuée dans l'hypothèse où elle renonce à son projet de déménagement en Espagne et reste domiciliée en Suisse. Plus subsidiairement, elle conclut à ce qu'une garde alternée soit instaurée dans l'hypothèse où elle renonce à son projet de déménagement en Espagne et reste domiciliée dans un rayon de vingt kilomètres de V._, respectivement à moins de trente minutes de voiture, à raison d'une semaine auprès de chaque parent et de la moitié des vacances scolaires. Plus subsidiairement encore, elle sollicite le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Elle requiert également le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
L'intimé conclut au rejet du recours " dans la limite " de sa recevabilité. La cour cantonale confirme les considérants de sa décision et propose le rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité.

Considérant en droit :
1.
Déposé en temps utile (<ref-law>) et dans la forme légale (<ref-law>), le recours est dirigé contre une décision qui statue sur l'autorisation de déplacer le lieu de résidence d'enfants nés hors mariage, à savoir une décision finale (<ref-law>) rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (<ref-law>), dans une affaire civile (<ref-law>), de nature non pécuniaire (arrêt 5A_310/2019 du 5 novembre 2019 consid. 1). La recourante, qui a succombé dans ses conclusions devant l'autorité précédente, a qualité pour recourir (<ref-law>). Le recours en matière civile est donc en principe recevable.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés (<ref-ruling> consid. 2.4 et les références). Le recourant doit par conséquent discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (<ref-ruling> consid. 1.7.1; <ref-ruling> consid. 2.4 et la référence). Le Tribunal fédéral ne connaît par ailleurs de la violation de droits fondamentaux que si un tel grief a été expressément invoqué et motivé de façon claire et détaillée par le recourant ("principe d'allégation", <ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.4).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il peut également tenir compte des faits figurant dans les autres décisions du dossier dans la mesure où ces éléments ont été repris au moins implicitement par l'arrêt attaqué (arrêts 5A_473/2019 du 22 novembre 2019 consid. 2.2; 5A_421/2018 du 13 novembre 2018 consid. 2.2; sous l'OJ: cf. <ref-ruling> consid. 1). Conformément à ce principe, les faits résumés ci-dessus intègrent aussi des éléments figurant dans la décision de l'APEA du 16 mai 2018.
Par ailleurs, le Tribunal fédéral peut rectifier ou compléter d'office les constatations de l'autorité précédente si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire selon l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 6.7; <ref-ruling> consid. 2.2), ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Le recourant ne peut toutefois pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; il doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.4.3). Une critique portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves qui ne satisfait pas au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid 2.1) est irrecevable (<ref-ruling> consid. 1.1 et la référence).
En l'espèce, tout en admettant que les faits retenus par l'autorité cantonale sont corrects, la recourante en présente un " résumé " sur plusieurs pages. Celui-ci sera ignoré en tant que les éléments qui y sont exposés s'écartent de ceux contenus dans l'arrêt attaqué et que la recourante n'invoque, ni a fortiori ne démontre, leur établissement arbitraire et que leur correction influerait sur le sort de la cause.
3.
La recourante reproche à la juridiction précédente d'avoir violé l'<ref-law> et le principe de l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.) en refusant d'autoriser le déplacement du lieu de résidence des enfants en Espagne.
3. Aux termes de l'<ref-law>, un parent exerçant conjointement l'autorité parentale ne peut modifier le lieu de résidence de l'enfant qu'avec l'accord de l'autre parent ou sur décision du juge ou de l'autorité de protection de l'enfant lorsque le nouveau lieu de résidence se trouve à l'étranger (let. a) ou lorsque le déménagement a des conséquences importantes pour l'exercice de l'autorité parentale par l'autre parent et pour les relations personnelles (let. b).
L'exigence d'une autorisation ne concerne que le changement de lieu de résidence de l'enfant, non celui des parents. L'autorité parentale conjointe ne doit pas priver de facto les parents de leur liberté d'établissement (art. 24 Cst.) en les empêchant de déménager (arrêts 5A_310/2019 du 5 novembre 2019 consid. 3.1; 5A_1018/2017 du 14 juin 2018 consid. 3.1 et les références). Par conséquent le juge, respectivement l'autorité de protection de l'enfant, ne doit pas répondre à la question de savoir s'il est dans l'intérêt de l'enfant que ses deux parents demeurent au domicile actuel. Il doit plutôt se demander si le bien-être de l'enfant sera mieux préservé dans l'hypothèse où il suivrait le parent qui envisage de déménager, ou dans celle où il demeurerait auprès du parent restant sur place, tout en tenant compte du fait que la garde, les relations personnelles et la contribution d'entretien pourront toujours être adaptées en conséquence en application de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.6, 502 consid. 2.5; arrêt 5A_310/2019 précité consid. 3.1).
3. La décision du juge ou de l'autorité de protection de l'enfant sera prise dans l'intérêt de l'enfant, lequel est protégé par la Constitution (art. 11 Cst.) et constitue la ligne directrice pour l'ensemble des affaires se rapportant aux enfants (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 2.6; <ref-ruling> consid. 4.2.4, 328 consid. 5.4). Si cet intérêt est préservé, l'autorisation de déménager pourra être accordée, si nécessaire après révision des modalités régissant la prise en charge et les relations personnelles de l'enfant (arrêts 5A_444/2017 du 30 août 2017 consid. 5.3.1; 5A_274/2016 du 26 août 2016 consid. 6).
Le modèle de prise en charge préexistant constitue, sous réserve d'une modification de la situation, le point de départ de l'analyse. Ainsi, si le parent qui souhaite déménager était titulaire de la garde exclusive sur l'enfant ou le prenait en charge de manière prépondérante, il sera en principe dans l'intérêt de l'enfant de déménager avec lui. Dans l'hypothèse où l'enfant était pris en charge à parts plus ou moins égales par chacun des parents, et où ceux-ci sont disposés à continuer à le prendre en charge à l'avenir, la situation de départ est neutre (<ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 2.7, 502 consid. 2.5); il faut alors recourir à d'autres critères afin de déterminer quelle solution correspond le plus à l'intérêt de l'enfant. Les circonstances du cas d'espèce (capacités éducatives des parents, aptitude de ceux-ci à prendre soin de l'enfant personnellement et à s'en occuper, ainsi qu'à favoriser les contacts avec l'autre parent, besoin de stabilité de l'enfant, environnement linguistique, retour dans un pays d'origine ou auprès de la famille d'origine, regroupement familial, etc.) sont déterminantes (<ref-ruling> consid. 2.7, 502 consid. 2.5; arrêts 5A_1013/2018 du 1 er février 2019 consid. 4; 5A_1018/2017 précité consid. 3.2).
3. L'examen de l'adaptation des modalités de la prise en charge, des relations personnelles et de l'entretien ne doit pas être dissocié de la question du déménagement, compte tenu du lien étroit entre ces éléments (<ref-ruling> consid. 2.6; arrêt 5A_310/2019 précité consid. 3.3). A cet égard, il convient de clarifier le mode de prise en charge de l'enfant appliqué jusqu'alors, d'esquisser les contours du déménagement, ainsi que d'établir quels sont les besoins de l'enfant et la prise en charge, offerte et effectivement possible, par les parents (<ref-ruling> consid. 2.7; arrêt 5A_310/2019 précité consid. 3.3).
3.3. La recourante reproche tout d'abord à la cour cantonale d'avoir considéré que la garde était jusque-là répartie de manière équivalente.
3.1.1. L'autorité cantonale a constaté que depuis leur séparation en septembre 2017, les parties s'occupaient des enfants à raison d'une semaine chacun. A cet égard, il n'était pas contesté que jusqu'en décembre 2017, les enfants étaient pris en charge trois jours par semaine par la crèche et que la mère s'en occupait les deux jours restants de la semaine; elle s'en occupait ainsi de manière prépondérante la journée. La situation devait toutefois être considérée comme neutre depuis décembre 2017, dès lors que le père avait diminué son taux d'activité et que les parents exerçaient de fait une garde équivalente. Le fait que la prise en charge des enfants par la crèche ou une maman de jour un jour supplémentaire n'ait pas été une décision commune importait peu, puisque seule la situation de fait qui prévalait au moment de la prise de décision était déterminante.
3.1.2. Selon la recourante, il conviendrait de déterminer si la garde alternée procède d'une décision commune des parents ou si elle a au contraire été imposée à l'un d'eux à des fins manifestement stratégiques, contraires aux intérêts de l'enfant. En effet, selon la doctrine, la situation ne devrait être considérée comme neutre que si les parents se sont entendus pour se partager par moitié la garde de l'enfant. Or, tel ne serait pas le cas en l'espèce. Le modèle de garde existant ne résulterait pas d'une concertation entre parents mais aurait été imposé par le père, qui se trouverait dans une " position dominante " par rapport à elle et aurait fait fi des recommandations de l'assistant social, qui déconseillait fortement ce type de garde. Dans ces circonstances, la cour cantonale aurait dû considérer que c'était la mère qui représentait la figure de référence pour les enfants et assumait de manière prépondérante leur prise en charge, en sorte que seule une mise en danger des enfants était susceptible d'empêcher " son " déménagement. Comme les enfants n'étaient manifestement pas mis en danger par un déménagement, le droit de déplacer leur lieu de résidence en Espagne aurait dû être octroyé.
3.1.3. En l'espèce, la critique de la recourante, en partie appellatoire (cf. supra consid. 2.2), est infondée. En effet, le principe selon lequel est déterminante la situation de fait qui prévaut au moment de la prise de décision résulte de la jurisprudence, notamment de l'arrêt 5A_945/2015 du 7 juillet 2016 consid. 3.3 non publié aux <ref-ruling>. On ne peut dès lors rien reprocher sur ce point à la cour cantonale, qui s'est correctement référée à cet arrêt. La juridiction précédente n'a pas non plus violé le droit fédéral en jugeant que le fait que le père ait unilatéralement décidé de baisser son taux d'activité pour s'occuper davantage des enfants n'était pas déterminant pour l'examen du mode de prise en charge préexistant (cf. <ref-ruling> consid. 2.7). L'article de doctrine cité par la recourante (MAGALIE WYSSEN/SABRINA BURGAT, L'autorité parentale conjointe et le droit de déterminer le lieu de résidence de l'enfant; analyse de l'arrêt du Tribunal fédéral 5A_945/2015 du 7 juillet 2016, in Newsletter DroitMatrimonial.ch, septembre 2016) ne lui est d'aucun secours, dès lors qu'il ne contient pas d'analyse ou de critique à ce sujet.
Infondé, le grief doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
3.2. La recourante reproche également à l'autorité cantonale d'avoir retenu de manière insoutenable et " manifestement contraire au droit " qu'aucun élément du dossier ne permettait de remettre en cause l'évaluation sociale jugeant les capacités éducatives des parents équivalentes. La recourante se limite toutefois à exposer sa propre vision de la situation sans s'en prendre aux motifs de la décision querellée de manière conforme aux exigences de motivation susmentionnées (cf. supra consid. 2.2). Un tel procédé, purement appellatoire, est impropre à démontrer l'arbitraire de l'appréciation des preuves opérée par la cour cantonale. Le moyen est irrecevable.
3.3. La recourante reproche ensuite à la cour cantonale d'avoir retenu, " de manière totalement insoutenable et surprenante ", que les disponibilités des parents étaient similaires, alors que les siennes seraient " très nettement supérieures ".
3.3.1. La cour cantonale a constaté que la mère bénéficiait d'un contrat de travail à 60% avec possibilité d'un jour de travail à la maison. Quant au père, il travaillait actuellement à 80% également avec possibilité de travailler à la maison et était disposé à diminuer son taux d'activité à 60%. Tant en Suisse qu'en Espagne, les deux parents bénéficiaient de soutiens extérieurs, que ce soit d'une structure de garde, de la crèche, ou de l'appui de leurs parents, respectivement de leur famille.
3.3.2. La recourante fait valoir qu'en vivant en Suisse, elle est disponible à 100% alors que le père ne l'est qu'un jour par semaine. Si la cour cantonale n'avait pas occulté cet élément, elle n'aurait eu d'autre choix que de lui attribuer la garde pour le cas où elle resterait domiciliée en Suisse, de sorte qu'elle aurait eu intérêt à agir en deux temps, à savoir en demandant d'abord l'attribution de la garde, puis en requérant l'autorisation de déplacer le lieu de résidence des enfants, ce qui serait contraire au principe d'économie de procédure. Il conviendrait donc " d'examiner les situations telles qu'elles existeraient en cas de maintien des domiciles respectifs en Suisse, ainsi qu'en cas de déplacement du lieu de résidence des enfants à l'étranger ". Si l'autorité parvient à la conclusion que la garde doit être attribuée au parent qui souhaite déplacer le lieu de résidence de ses enfants à l'étranger dans l'hypothèse où il renoncerait à son projet, il faudrait autoriser le déplacement du lieu de résidence si le parent établit, comme en l'espèce, qu'il aura toujours d'importantes disponibilités après son déménagement. Quoi qu'il en soit, elle aurait plus de disponibilités que le père même si elle déménageait en Espagne, dès lors qu'elle travaillerait à 60% avec la possibilité d'effectuer un jour de télétravail alors que le père travaille à 80%. Elle serait donc disponible trois jours par semaine et l'intimé uniquement un seul.
3.3.3. En l'espèce, dans la perspective de savoir si elle pouvait autoriser le déplacement des enfants, la cour cantonale a à juste titre examiné quelles seraient les disponibilités respectives des parents une fois le déménagement effectué (cf. supra consid. 3.1.3; cf. ég. infra consid. 4 concernant le grief relatif à l'instauration d'une garde alternée pour le cas où la recourante demeurerait en Suisse). Or, la recourante ne critique pas (cf. supra consid. 2.2) les constatations de l'arrêt querellé selon lesquelles le père était disposé à baisser son taux de travail à 60% et pouvait travailler à la maison. Dans ces circonstances, il n'apparaît pas arbitraire d'avoir considéré qu'il disposerait des mêmes disponibilités que la mère, qui travaillerait en Espagne à 60% avec un jour de travail à domicile.
Autant que recevable (cf. supra consid. 2.2), le grief est infondé.
3.4.
3.4.1. Invoquant la violation de son droit à une décision motivée et du principe de l'interdiction de l'arbitraire, la recourante reproche ensuite à la cour cantonale de n'avoir pas considéré que l'âge des enfants imposait de lui accorder la garde, s'écartant ainsi de l'avis de l'assistant social au seul motif - insuffisamment motivé - qu'il ne ferait pas l'unanimité. Exposant les étapes du développement de l'enfant et citant divers " spécialistes de la petite enfance ", elle soutient qu'au vu de leur âge, la séparation des enfants d'avec leur mère - qui constitue leur figure d'attachement - nuirait à leur bon développement. Par ailleurs, le père aurait démontré un manque de stabilité, dès lors qu'il aurait multiplié les démarches contraires aux intérêts de ses enfants (garde alternée imposée, démarches en vue de priver la recourante des passeports des enfants).
3.4.2. La cour cantonale a constaté que si les enfants, en particulier C._, n'étaient pas bilingues, ils s'étaient familiarisés avec l'espagnol puisqu'ils avaient des contacts fréquents avec leur famille maternelle. Les parties pratiquaient du reste cette langue entre elles, selon les extraits de leurs messageries produits au dossier. Au vu de l'âge des enfants, leur adaptation à une nouvelle situation ne leur serait pas préjudiciable, ce d'autant plus que leur famille maternelle résidait en Espagne; ils ne seraient donc pas complètement déracinés.
Le cadre de vie que pouvait offrir le père en Suisse était stable, ce qui n'était pas contesté. L'intimé travaillait depuis plusieurs années pour son employeur, avait un appartement approprié aux besoins des enfants et du soutien extérieur, que ce soit sa famille ou des amis. Quant à la recourante, son projet était suffisamment concret pour affirmer que le cadre de vie qu'elle pourrait offrir à ses enfants serait stable. Elle avait en effet déjà trouvé un emploi, étant relevé que son employeur était disposé à l'attendre, et un appartement également adapté aux besoins des enfants. S'agissant des conditions de vie en général en Espagne, il était relevé que dans leur projet de vie commun, les parties projetaient une partie de leur vie dans ce pays.
Il restait dès lors le critère de l'âge des enfants, critère essentiel permettant de trancher le cas d'espèce selon l'assistant social. Celui-ci se basait essentiellement sur une analyse de la CODE (Coordination des ONG pour les droits de l'enfant, Séparation des parents et droits de l'enfant, enjeux psychologiques, analyse CODE, août 2010, accessible sur le site Internet https://www.lacode.be). Toutefois, tel que cela avait été relevé par l'intimé, cette conception n'était de loin pas unanime. En effet, selon certains auteurs, cette perspective reposait sur des expériences cliniques des auteurs et n'était pas confirmée par des études empiriques à large échelle. De plus, d'autres chercheurs remettaient en question la dominance de l'attachement maternel, soulignant que mère et père développent des liens d'attachement complémentaires, tous deux nécessaires au bon développement socio-affectif de l'enfant (MICHELLE COTTIER/ERIC D. WIDMER (et al.), Etude interdisciplinaire sur la garde alternée in FamPra.ch 2/2018, note 68 [recte: La garde alternée, Une étude interdisciplinaire sur ses conditions-cadre, in FamPra.ch 2018 p. 297 ss, spéc. p. 308 note 68]). Selon le Tribunal fédéral (arrêt 5A_834/2012 du 26 février 2013 consid. 4.1), s'il était vrai que, selon leur âge, les enfants étaient davantage attachés aux personnes qu'à leur environnement, en cas de capacités et de disponibilités équivalentes, la stabilité et les relations familiales pouvaient être déterminantes pour les enfants en bas âge.
Ainsi, au vu de l'âge des enfants, à savoir 3,5 et 2 ans, dans la mesure où l'âge constituait le seul critère permettant d'attribuer la garde des enfants à la mère et à défaut d'avis clair sur l'attribution de la garde à celle-ci dans cette situation, il y avait lieu de rejeter la requête tendant à déplacer le lieu de résidence des enfants au regard du critère de la stabilité. Si ce critère perdait de son importance s'agissant de très jeunes enfants et que même dans l'hypothèse du rejet de la requête de la mère tendant à déplacer le lieu de résidence des enfants en Espagne, la stabilité des enfants était susceptible d'être perturbée par une nouvelle organisation des modalités de garde, ceux-ci seraient manifestement moins perturbés que par un déménagement à l'étranger.
Partant, dans l'hypothèse du déménagement de la mère en Espagne, la garde des enfants devait être attribuée au père. Quant à l'exercice des relations personnelles entre la recourante et ses enfants, il devait être fixé selon les mêmes modalités que celles définies dans la décision de première instance (un week-end sur deux et la moitié des vacances scolaires sans dépasser quinze jours consécutifs).
3.4.3. En tant que la recourante soulève un grief de violation de son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.) sous l'angle du droit à une décision motivée, son grief se confond en réalité avec celui concernant l'appréciation du rapport d'évaluation sociale et, plus généralement, du critère relatif à l'âge des enfants, de sorte que la question peut être examinée sous cet angle uniquement.
En l'occurrence, s'il est vrai que l'autorité cantonale peut s'écarter d'un rapport d'évaluation sociale à des conditions moins strictes que s'il s'agit d'une expertise judiciaire (arrêts 5A_373/2018 du 8 avril 2019 consid. 3.2.6; 5A_794/2017 du 7 février 2018 consid. 4.1; 5A_512/2017 du 22 décembre 2017 consid. 3.4.3), il n'en demeure pas moins qu'en l'espèce, la motivation de l'arrêt attaqué apparaît insuffisante. En effet, la cour cantonale a écarté le rapport litigieux au motif qu'il n'y avait pas d' " avis clair " sur le critère déterminant selon ledit rapport pour attribuer la garde à la mère, à savoir celui de l'âge des enfants. Ce faisant, la juridiction cantonale s'est contentée de considérations théoriques, sans toutefois expliquer comment il fallait, dans le cas présent, évaluer ce critère. Par ailleurs, elle a refusé d'autoriser le déménagement des enfants au motif que ceux-ci seraient manifestement moins perturbés en restant en Suisse qu'en déménageant à l'étranger, se bornant ainsi à affirmer péremptoirement que le critère de la stabilité primait. Elle n'a toutefois pas exposé en quoi ce critère devrait l'emporter au regard des circonstances concrètes de l'espèce. Elle a d'ailleurs relevé, de manière contradictoire, que l'adaptation des enfants à une nouvelle situation ne leur serait pas préjudiciable, ce d'autant que leur famille maternelle résidait en Espagne.
Dans ces conditions, le grief apparaît fondé. Compte tenu du pouvoir d'appréciation dont dispose le juge en la matière (arrêt 5A_274/2016 du 26 août 2016 consid. 6 et les références), il y a lieu de renvoyer la cause à l'autorité cantonale pour qu'elle réexamine en particulier les critères de l'âge et de la stabilité et réévalue la situation.
4.
Les considérations qui précèdent scellent le sort du litige. Dès lors que les modalités de prise en charge des enfants dépendent de la question de savoir si l'autorisation de déplacer le lieu de résidence de ceux-ci sera ou non finalement accordée, il n'y a pas lieu d'examiner les griefs subsidiaires de la recourante en lien avec l'instauration d'une garde alternée pour le cas où elle renoncerait à son projet de déménagement, étant cependant rappelé qu'une garde alternée ne peut être prononcée que si elle correspond, dans le cas concret, au bien de l'enfant (cf. parmi d'autres, sur les critères d'instauration d'une garde alternée, arrêt 5A_260/2019 du 5 novembre 2019 consid. 3.1).
5.
En définitive, le recours est admis dans la mesure où il est recevable. La décision attaquée est annulée et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants. L'intimé, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>). Il versera en outre une indemnité de dépens à la recourante (art. 68 al. 1 et 2 LTF). La requête d'assistance judiciaire de la recourante devient ainsi sans objet. Il appartiendra à la cour cantonale de statuer à nouveau sur les frais et dépens de la procédure cantonale (art. 67 et 68 al. 5 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis dans la mesure où il est recevable. L'arrêt attaqué est annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants.
2.
La requête d'assistance judiciaire de la recourante est sans objet.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
4.
Une indemnité de 3'000 fr., à verser à la recourante à titre de dépens, est mise à la charge de l'intimé.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour administrative du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura.
Lausanne, le 9 décembre 2019
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Feinberg