Sachverhalt:
A.
A.a. Die A._ AG will auf dem Weg der Betreibung auf Grundpfandverwertung eine Forderung von Fr. 729'070.53 nebst Zins zu 5 % seit 1. Oktober 2016 vollstrecken. Schuldner der Forderung ist C._. Das Betreibungsbegehren nennt als Forderungsgrund den "Inhaber-Papier-Schuldbrief Nr. mmm des Grundbuchamtes Emmental-Oberaargau vom 31. März 2010 in der Höhe von CHF 1'500'000.00, lastend auf den Liegenschaften Y._ Gbbl-Nrn. ooo, ppp, qqq, rrr, sss, ttt, uuu und vvv im 3. Rang (Fällige Restforderung) ". Die Grundstücke gehören heute der B._ AG.
A.b. Der Zahlungsbefehl in der Betreibung auf Grundpfandverwertung Nr. www des Betreibungsamts Emmental-Oberaargau, Dienststelle Emmental, wurde dem Schuldner am 23. März 2019 und der B._ AG am 12. März 2019 zugestellt. Beide erhoben Rechtsvorschlag.
B.
B.a. Nachdem die A._ AG im Betreibungsverfahren verlangt hatte, die Pfandhaft auf die Miet- und Pachtzinse auszudehnen, setzte ihr das Betreibungsamt eine zehntägige Frist, um eine entsprechende Klage einzureichen oder ein Rechtsöffnungsbegehren zu stellen. Mit Eingabe vom 23. April 2019 stellte die A._ AG beim Regionalgericht Emmental-Oberaargau ein Rechtsöffnungsgesuch gegen C._ und die B._ AG. Das Regionalgericht entsprach dem Gesuch. Es erteilte der A._ AG für Fr. 729'070.53 nebst Zins zu 5 % seit 2. Oktober 2016, für das erwähnte Pfandrecht in der Höhe von Fr. 1,5 Mio. (s. Bst. A.a) sowie für das Pfandrecht an den seit Anhebung der Betreibung aufgelaufenen und bis zur Verwertung auflaufenden Miet- und Pachtzinsforderungen aus dem verpfändeten Grundstück die provisorische Rechtsöffnung (Entscheid vom 15. Januar 2020).
B.b. Die B._ AG erhob beim Obergericht des Kantons Bern Beschwerde und beantragte, das Rechtsöffnungsgesuch abzuweisen. Das Obergericht hiess das Rechtsmittel teilweise gut. Es reduzierte den Betrag von Fr. 729'070.53, für den das Regionalgericht den Rechtsvorschlag der B._ AG beseitigt hatte (Bst. B.a), um Fr. 250'000.-- auf Fr. 479'050.53. Im Übrigen stellte das Obergericht fest, dass der Entscheid des Regionalgerichts betreffend den Rechtsvorschlag von C._ in Rechtskraft erwachsen ist (Entscheid vom 27. April 2020).
C.
C.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 29. Mai 2020 wendet sich die A._ AG (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben, und hält daran fest, ihr - entsprechend dem Entscheid des Regionalgerichts (s. Bst. B.a) - im Betrag von Fr. 729'070.53 nebst Zins zu 5 % seit 2. Oktober 2016 sowie für die Pfandrechte die provisorische Rechtsöffnung zu erteilen. Eventualiter verlangt sie, die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. In prozessualer Hinsicht stellt die Beschwerdeführerin das Begehren, das Verfahren mit demjenigen betreffend den Entscheid ZK 20 34 des Obergerichts des Kantons Bern vom 27. April 2020 (Verfahren 5A_434/2020) zu vereinigen. Dem Antrag, ihrer Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen und die Ausdehnung der Pfandhaft auf die Miet- und Pachtzinsforderungen aufrechtzuerhalten, entsprach das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung mit Verfügung vom 1. Juli 2020.
C.b. Dazu eingeladen, sich zur Beschwerde zu äussern, beantragt die B._ AG (Beschwerdegegnerin), die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist (Beschwerdeantwort vom 4. September 2020). Das Obergericht erklärt unter Verweis auf den angefochtenen Entscheid, auf die Einreichung einer Vernehmlassung zu verzichten (Schreiben vom 20. Juli 2020). In ihrer Replik vom 21. September 2020 hält die Beschwerdeführerin an ihren Beschwerdeanträgen fest. Die Beschwerdegegnerin liess am 8. Oktober 2020 eine Duplik einreichen, in der sie ihr Begehren aus der Beschwerdeantwort wiederholt. Die Eingabe wurde der Beschwerdeführerin zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin über eine vermögensrechtliche Schuldbetreibungs- und Konkurssache geurteilt hat (Art. 72 Abs. 2 Bst. a, 75 und 90 BGG). Die gesetzliche Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG) ist erreicht, die Beschwerdefrist (<ref-law>) eingehalten. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
1.2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin, das vorliegende Verfahren mit dem Verfahren 5A_434/2020 zu vereinigen, ist abzuweisen. Auch wenn sich in den beiden Verfahren, die zwei verschiedene Betreibungen auf Grundpfandverwertung betreffen, im Wesentlichen dieselben Rechtsfragen stellen, erscheint eine Vereinigung nicht als geboten, um eine einheitliche Beurteilung sicherzustellen.
2.
Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind vor Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>) und urteilt mit freier Kognition. In tatsächlicher Hinsicht legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören nicht nur die Feststellungen über den Lebenssachverhalt, sondern auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.), zu denen auch die Feststellungen über die Parteivorbringen gehören (Urteil 4A_247/2013 vom 14. Oktober 2013 E. 1.1). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig (<ref-law>), das heisst willkürlich (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 1.5 S. 130 mit Hinweis), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1). In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22).
3.
Der Streit dreht sich um die Frage, ob (auch) für eine vom Schuldner versprochene Strafzahlung von Fr. 250'000.-- ein Rechtsöffnungstitel vorliegt.
3.1. Den vorinstanzlichen Feststellungen zufolge schlossen die Beschwerdeführerin und der Schuldner am 19. August 2013 einen Darlehensvertrag über Fr. 1,5 Mio. ab. Die Laufzeit sollte am 31. Januar 2014 enden, der Darlehenszins "nach Abrechnung im Rahmen von 15-16 %" bezahlt werden. Zur Sicherung des Darlehens wurden der Beschwerdeführerin (anstelle des im Darlehensvertrag genannten Schuldbriefs X._) zwei Schuldbriefe über je Fr. 1,5 Mio. übergeben. Der eine lastet auf den erwähnten Grundstücken in Y._ (Schuldbrief Nr. mmm; s. Sachverhalt Bst. A.a), der andere auf einem Grundstück in Z._ (Schuldbrief Nr. nnn; s. dazu Urteil 5A_434/2020 vom 17. November 2020). Unbestrittenermassen vereinbarten die Parteien, die Schuldbriefe lediglich sicherungshalber auf die Beschwerdeführerin zu übertragen. Das Obergericht konstatiert weiter, dass das Darlehen ausbezahlt und nicht fristgerecht bis zum 31. Januar 2014 zurückbezahlt worden sei. Die Parteien hätten die Laufzeit jedoch einvernehmlich bis zum 30. Juni 2014 verlängert; schliesslich sei die Darlehenssumme zurückbezahlt worden. "Nicht grundsätzlich bestritten" ist laut Vorinstanz überdies, dass der Schuldner am 4. August 2016 eine "Schuldanerkennung" unterzeichnet habe, in der er anerkenne, dass die Restschuld aus dem Darlehensvertrag zugunsten der Beschwerdeführerin per 1. Oktober 2016 Fr. 729'070.53 betrug und sich aus der Strafzahlung von Fr. 250'000.-- und dem aufgelaufenen Darlehenszins von 16 % p.a. zusammensetzt.
In der Folge verwirft das Obergericht den Einwand der hiesigen Beschwerdegegnerin, wonach überhaupt kein Rechtsöffnungstitel vorliege, weil es an einem übereinstimmenden Willen der Parteien fehle, die im Darlehensvertrag genannten Schuldbriefe durch den Schuldbrief Nr. mmm abzulösen. Es stellt klar, dass der besagte Schuldbrief ein Rechtsöffnungstitel für das Grundpfandrecht auf den Liegenschaften Y._ Gbbl-Nrn ooo, ppp, qqq, rrr, sss, ttt, uuu und vvv sei. Da der Schuldbrief keinen Schuldner ausweise, bedürfe es aber einer anderweitigen Schuldanerkennung, in welcher der Schuldner seine persönliche Schuldpflicht aus dem sicherungsübereigneten Schuldbrief anerkenne. In Würdigung des Darlehensvertrages vom 19. August 2013 und eines Schreibens des damaligen Rechtsvertreters des Schuldners vom 26. August 2013 kommt die Vorinstanz zum Schluss, dass der Schuldner im Umfang der Darlehensforderung von Fr. 1,5 Mio. zuzüglich 16 % Zins seine persönliche Schuldpflicht aus dem sicherungsübereigneten Schuldbrief übernommen habe. Nachdem die Darlehenssumme inzwischen zurückbezahlt worden sei, bestehe die vom Schuldner übernommene persönliche Schuldpflicht noch aus dem Darlehenszins, dessen Satz von 16 % nicht als sittenwidrig zu qualifizieren sei.
Was die Strafzahlung von Fr. 250'000.-- angeht, widerspricht das Obergericht der erstinstanzlichen Beurteilung, wonach die Schuldanerkennung vom 4. August 2016 sowie eine E-Mail vom 24. Februar 2014 in Verbindung mit dem Darlehensvertrag und dem besagten Schreiben vom 26. August 2013 als Rechtsöffnungstitel taugen würden. In der Schuldanerkennung vom 4. August 2016 werde zwar in den Vorbemerkungen festgehalten, dass für die Darlehensforderung der Inhaber-Papier-Schuldbrief Nr. nnn vom 17. Februar (recte: Dezember) 2009 übergeben wurde, um den es im Verfahren ZK 20 34 gehe (vgl. dazu Urteil 5A_434/2020 vom 17. November 2020). Der hier interessierende Schuldbrief Nr. mmm sei in der Schuldanerkennung jedoch nicht erwähnt. Genauso wenig sei ersichtlich, dass der Schuldbrief Nr. mmm für die Strafzahlung sicherungsübereignet worden sein soll. Dass der Schuldner für die Schuldbriefforderungen eine persönliche Schuldpflicht im Umfang der Strafzahlung anerkannt haben soll, gehe im Übrigen auch nicht aus der E-Mail vom 24. Februar 2014 hervor. Damit bestehe im Umfang der Strafzahlung kein Rechtsöffnungstitel für die Schuldbriefforderung, so die Erkenntnis des Obergerichts.
3.2. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von Bundesrecht und eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts. In rechtlicher Hinsicht beklagt sie sich zunächst darüber, dass die Vorinstanz lediglich die Schuldanerkennung vom 4. August 2016 auslege, sich jedoch auf das Wort "Schuldbriefforderung" (recte: "Darlehensforderung") beschränke und im Dunkeln lasse, ob sie den subjektiven oder den objektiven Parteiwillen ermittelte. Damit sei die Begründungspflicht verletzt, wie sie sich aus <ref-law> und <ref-law> ergebe.
Für den Fall, dass die Vorinstanz die Schuldanerkennung vom 4. August 2016 objektiviert auslegt, rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung von <ref-law>. Der mutmassliche Parteiwille sei (nach Massgabe des Vertrauensprinzips) nur zu ermitteln, wenn der übereinstimmende wirkliche Wille der Parteien unbewiesen bleibe. Wie die (in der Beschwerde zitierten) erstinstanzlichen Erwägungen zeigen würden, habe das Regionalgericht den subjektiven Parteiwillen ermittelt und zutreffend festgestellt, dass der Schuldbrief nach der Rückzahlung des Darlehens als Sicherheit für den Darlehenszins und die Strafzahlung diente. Dieser subjektive Parteiwille ergebe sich auch aus dem Umstand, dass der Schuldner den erstinstanzlichen Entscheid nicht angefochten und damit die Sachverhaltsfeststellung des Regionalgerichts akzeptiert habe, und aus einer Garantievereinbarung, welche die Beschwerdegegnerin entworfen und ihrer Gesuchsantwort beigelegt habe, sowie aus einer E-Mail der Beschwerdegegnerin vom 21. Juli 2016. Angesichts dessen habe das Obergericht nicht den objektivierten Parteiwillen ermitteln dürfen. Und selbst wenn das Obergericht hierzu berechtigt gewesen sein sollte, ergebe sich aus der Gesamtheit der eingereichten Urkunden ohne jeden Zweifel, dass der Schuldbrief Nr. mmm als Sicherheit für die ganze Restschuld von Fr. 729'070.53 diene, so die weitere Argumentation der Beschwerdeführerin. Aus dem konkreten Sinngefüge heraus ausgelegt, könne der Begriff "Darlehensforderung" in der Schuldanerkennung vom 4. August 2016 nur so verstanden werden, dass die Strafzahlung und der Darlehenszins "Teil des Darlehensvertrags bzw. der Darlehensforderung" sind. Auch das Schreiben vom 24. Februar 2014 belege, dass die ganze Darlehensschuld, inklusive der akzessorischen Strafzahlung, beglichen sein muss, damit der Schuldner die Aushändigung des Schuldbriefs Nr. mmm verlangen kann. Sie, die Beschwerdeführerin, wäre mit der Ablösung der Sicherheiten niemals einverstanden gewesen, wenn nicht auch die Strafzahlung durch den Schuldbrief Nr. mmm abgesichert gewesen wäre.
Sollte das Obergericht den subjektiven Parteiwillen ermittelt haben, so verletzt es nach der Meinung der Beschwerdeführerin die in Art. 320 Bst. b ZPO enthaltene Vorgabe, wonach die Beschwerdeinstanz nur eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts korrigieren darf. Das Regionalgericht habe den subjektiven Parteiwillen ermittelt und sei zum Schluss gekommen, dass die Strafzahlung in der Höhe von Fr. 250'000.-- durch den Schuldbrief Nr. mmm gesichert sei. Diese Sachverhaltsfeststellung sei nicht aktenwidrig und deshalb nicht offensichtlich unrichtig. Es gehe nicht an, dass sich das Obergericht darüber hinwegsetze, auch nicht unter dem "Deckmantel" einer richterlichen Pflicht, das Vorliegen eines Rechtsöffnungstitels von Amtes wegen zu prüfen.
Weiter beruft sich die Beschwerdeführerin darauf, dass im Beschwerdeverfahren nach <ref-law> eine Begründungs- bzw. Rügepflicht (<ref-law>) bestehe, die sich aus der Verhandlungs- und Dispositionsmaxime (Art. 55 Abs. 1 und Art. 58 Abs. 1 ZPO) ergebe. Die Beschwerdegegnerin habe in ihrer Beschwerde an die Vorinstanz nicht gerügt, dass der Schuldbrief Nr. mmm entgegen der Sachverhaltsfeststellung des Regionalgerichts nicht als Sicherheit für Strafzahlung von Fr. 250'000.-- diene. Im Gegenteil habe sie anerkannt, dass die Strafzahlung durch den Schuldbrief Nr. mmm gesichert ist. Ausserdem sei es am Schuldner, als Einrede glaubhaft zu machen, dass nicht bzw. nicht mehr die gesamte anerkannte Schuld geschuldet ist. Vor diesem Hintergrund hätte das Obergericht nicht von Amtes wegen, sondern nur "auf begründete Einrede der Beschwerdegegnerin hin" prüfen dürfen, ob die Strafzahlung durch den Schuldbrief gesichert ist. Die Beschwerdegegnerin habe nie glaubhaft gemacht, dass der Schuldbrief im Rahmen der Strafzahlung nicht zur Rechtsöffnung berechtige; ihre Einrede, wonach der Darlehenszins sittenwidrig und der Darlehensvertrag deshalb (einschliesslich der akzessorischen Strafzahlung) nichtig sei, hätten die kantonalen Instanzen zu Recht verworfen. Gestützt auf diese Überlegungen wirft die Beschwerdeführerin dem Obergericht vor, die erwähnten Normen zu verletzen.
Schliesslich argumentiert die Beschwerdeführerin, dass die umstrittene Strafzahlung "unbestrittenermassen" als Konventionalstrafe im Sinne von <ref-law> zu qualifizieren sei. Da die Konventionalstrafe "akzessorisch" zu den bestehenden Darlehensforderungen hinzugetreten sei, sei sie auch durch die Sicherheiten gedeckt, die für diese Darlehensforderungen bereits bestanden hätten. Indem die Vorinstanz die Strafzahlung von Fr. 250'000.-- "separat vom Darlehensverhältnis" behandle, verletze sie <ref-law>.
Sollte das Bundesgericht zum Schluss kommen, dass die Vorinstanz kein Bundesrecht verletzt hat und den vom Regionalgericht festgestellten Sachverhalt mit freier Kognition überprüfen durfte, stellt sich die Beschwerdeführerin auf den Standpunkt, dass die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung offensichtlich unrichtig sei. Dass die Strafzahlung von Fr. 250'000.-- nicht durch den Schuldbrief Nr. mmm abgesichert werden soll, sei aktenwidrig. Unter anderem aus der von der Beschwerdegegnerin entworfenen Garantievereinbarung und ihrer E-Mail vom 21. Juli 2016 ergebe sich eindeutig, dass der Schuldbrief nach Auffassung aller Beteiligten sowohl für den Darlehenszins in der Höhe von Fr. 479'070.53 als auch für die Strafzahlung in der Höhe von Fr. 250'000.-- hafte, ansonsten sich die Beschwerdegegnerin als Drittpfandeigentümerin keinesfalls dazu verpflichtet hätte, ihr, der Beschwerdeführerin, gegen Aushändigung des Schuldbriefs Fr. 729'070.53 zu bezahlen. Diese aktenkundigen und rechtserheblichen Tatsachen habe die Vorinstanz schlichtweg übersehen oder irrtümlich nicht richtig festgehalten
4.
4.1. Was die angebliche Verletzung der Begründungspflicht angeht, unterscheidet das Obergericht in der Tat nicht zwischen subjektiver und objektiver Vertragsauslegung. Daraus folgt jedoch nicht, dass der angefochtene Entscheid den Anforderungen an die Begründung nicht genügt. Die Behörde braucht sich nicht zu allen Punkten einlässlich zu äussern, noch muss sie jedes einzelne Vorbringen widerlegen (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 667). Ob sich die betroffene Person über die Tragweite eines behördlichen Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache anfechten kann (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445), beurteilt sich anhand des Ergebnisses des Entscheides, das im Urteilsspruch zum Ausdruck kommt und das allein die Rechtsstellung der betroffenen Person berührt. Die Begründung ist nicht an sich selbst, sondern am Rechtsspruch zu messen (<ref-ruling> E. 6.1 S. 327). Eingedenk dessen hält der angefochtene Entscheid vor <ref-law> und <ref-law> stand. Die vorinstanzlichen Erwägungen lassen sehr wohl erkennen, weshalb das Obergericht der Beschwerdeführerin die provisorische Rechtsöffnung im Umfang der Strafzahlung versagt. Wie ihr Schriftsatz zeigt, war die Beschwerdeführerin auch in der Lage, sich gegen die fraglichen Erwägungen des Obergerichts zur Wehr zu setzen. Ist die Beschwerdeführerin mit der vorinstanzlichen Entscheidfindung nicht einverstanden, so beschlägt dies nicht das rechtliche Gehör, sondern die Feststellung des Sachverhalts oder die Anwendung des Rechts.
4.2. In prozessualer Hinsicht beanstandet die Beschwerdeführerin, dass das Obergericht ohne entsprechende Rüge der Beschwerdegegnerin von sich aus prüfe, ob die Strafzahlung durch den Schuldbrief gesichert ist.
4.2.1. Bezeichnet der sicherungshalber übereignete, als Rechtsöffnungstitel vorgelegte Schuldbrief, wie hier vorinstanzlich festgestellt, keinen Schuldner, so gilt er im Sinne einer zusammengesetzten Urkunde gemeinsam mit einer zusätzlichen Schuldanerkennung, zum Beispiel der gegengezeichneten Sicherungsvereinbarung, als Rechtsöffnungstitel, sofern die persönliche Schuldpflicht aus dem sicherungsübereigneten Schuldbrief in der zusätzlichen Schuldanerkennung anerkannt wird (<ref-ruling> E. 4 S. 39 f.; Urteil 5A_136/2020 vom 2. April 2020 E. 3.4.3). Die Frage, ob und gegebenenfalls in welchem Umfang der Schuldner eine persönliche Schuldpflicht für die Schuldbriefforderung anerkannt hat, beschlägt demnach das Vorliegen eines (zusammengesetzten) Rechtsöffnungstitels. Sie ist nicht Thema der Einwendungen, mit denen der Schuldner die Schuldanerkennung nach Massgabe von <ref-law> entkräften kann. Die Lehrmeinung, auf die sich die Beschwerdeführerin beruft (Daniel Staehelin, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs I, 2. Aufl. 2010, N 167 zu <ref-law>), besagt nichts anderes. Auch diesem Autor zufolge beziehen sich die Einwendungen des Schuldners auf die Frage, ob die anerkannte Schuldbriefforderung (noch) geschuldet ist.
Ob ein gültiger Rechtsöffnungstitel vorliegt, prüft das Gericht von Amtes wegen (<ref-ruling> E. 3.3.3 S. 377; <ref-ruling> E. 2e S. 52; s. auch die Urteile 5A_46/2018 vom 4. März 2019 E. 3.1; 5A_746/2015 vom 18. Januar 2016 E. 4.2; 5A_113/2014 vom 8. Mai 2014 E. 2.1). Gemäss Staehelin gilt diese Regel auch für das Beschwerdeverfahren, und zwar in dem Sinne, dass die Rechtsmittelinstanz bei offensichtlichen Mängeln die Beschwerde gegen die Erteilung der Rechtsöffnung gutheissen muss, selbst wenn der fragliche Einwand vor erster Instanz nicht erhoben wurde (Staehelin, a.a.O., N 90 zu <ref-law>, mit Hinweisen auf die kantonale Rechtsprechung). Diese Erkenntnis steht im Einklang mit der Rechtsprechung, wonach die Prüfung, ob ein Rechtsöffnungstitel vorliegt, nicht die Sachverhaltsfeststellung betrifft, sondern der Rechtsanwendung zuzuordnen ist, die auch im Verfahren auf provisorische Rechtsöffnung von Amtes wegen erfolgt (<ref-law>; vgl. die Urteile 5A_1026/2018 vom 31. Oktober 2019 E. 3.2.2; 5A_46/2018 vom 4. März 2019 E. 3.1; 5A_872/2012 vom 22. Februar 2013 E. 1.2.4), wobei in diesem reinen Urkundenprozess eben nicht der materiell-rechtliche Bestand der in Betreibung gesetzten Forderung, sondern - auch in rechtlicher Hinsicht - ausschliesslich die Tauglichkeit der präsentierten Urkunden Verfahrensthema ist (<ref-ruling> E. 4.1 S. 722 f.; <ref-ruling> E. 5.3 S. 653; Urteil 5A_15/2018 vom 16. April 2019 E. 4.5 mit Hinweisen). Aus alledem folgt indes nicht, dass die Beschwerdeinstanz das Vorliegen eines provisorischen Rechtsöffnungstitels losgelöst von entsprechenden Vorbringen des Schuldners von Amtes wegen abermals umfassend prüfen und (hinsichtlich der gesamten Betreibungsforderung oder eines Teils davon) verneinen darf. Das zeigen die nachfolgenden Erwägungen.
Nach der Rechtsprechung zur Berufung (<ref-law>) zeichnet sich das zweitinstanzliche Verfahren dadurch aus, dass bereits eine richterliche Beurteilung des Streits vorliegt. Wer den erstinstanzlichen Entscheid mit Berufung anficht, hat deshalb anhand der erstinstanzlich festgestellten Tatsachen oder der daraus gezogenen rechtlichen Schlüsse aufzuzeigen, inwiefern sich die Überlegungen der ersten Instanz nicht aufrecht erhalten lassen. Die Berufungsinstanz ist nicht gehalten, den erstinstanzlichen Entscheid losgelöst von konkreten Anhaltspunkten in der Berufungsbegründung von sich aus in jede Richtung hin auf mögliche Mängel zu untersuchen, die eine Gutheissung des Rechtsmittels ermöglichen könnten (Urteil 4A_397/2016 vom 30. November 2016 E. 3.1 mit weiteren Hinweisen). Abgesehen von offensichtlichen Mängeln beschränkt sie sich vielmehr darauf, die Beanstandungen zu beurteilen, welche die Parteien in ihren schriftlichen Begründungen (Art. 311 Abs. 1 und Art. 312 Abs. 1 ZPO) gegen das erstinstanzliche Urteil erheben (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 417 mit weiteren Hinweisen, bestätigt etwa in den Urteilen 5A_164/2019 vom 20. Mai 2020 E. 5.2.3, nicht publ. in <ref-ruling>, und 5A_717/2019 vom 20. April 2020 E. 2.2). Inhaltlich ist die Rechtsmittelinstanz dabei weder an die Argumente, welche die Parteien zur Begründung ihrer Beanstandungen vorbringen, noch an die Erwägungen der ersten Instanz gebunden; sie wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und verfügt über freie Kognition in Tatfragen, weshalb sie die Berufung auch mit einer anderen Argumentation gutheissen oder diese auch mit einer von der Argumentation der ersten Instanz abweichenden Begründung abweisen kann. Die vorgebrachten Beanstandungen geben zwar das Prüfprogramm vor, binden die Rechtsmittelinstanz aber nicht an die Argumente, mit denen diese begründet werden (zit. Urteil 4A_397/2016 E. 3.1). Die beschriebenen Anforderungen an die Begründung des Rechtsmittels gelten auch für die Beschwerde nach <ref-law> (Urteil 5A_247/2013 vom 15. Oktober 2013 E. 3), das in Rechtsöffnungssachen gegebene kantonale Rechtsmittel (Art. 309 Bst. b Ziff. 3 i.V.m. Art. 319 Bst. a ZPO). Dasselbe gilt mit Bezug auf die Voraussetzungen, unter denen die Rechtsmittelinstanz das Recht von Amtes wegen anwendet. Denn mit Bezug auf den Beschwerdegrund der unrichtigen Rechtsanwendung ist die Prüfungsbefugnis der Rechtsmittelinstanz im Beschwerde- und im Berufungsverfahren dieselbe (Art. 320 Bst. a und Art. 310 Bst. a ZPO).
4.2.2. Laut den vorinstanzlichen Feststellungen bestritt die Beschwerdegegnerin im kantonalen Beschwerdeverfahren, dass ein Rechtsöffnungstitel bestehe. Die Beschwerdegegnerin habe beanstandet, dass das Regionalgericht diverse in den eingereichten Urkunden genannte Daten willkürlich als Verschriebe bezeichnete. Sie habe bemängelt, dass die Schuldanerkennung vom 4. August 2016 nicht vollständig eingereicht worden sei und insbesondere die darin erwähnte angebliche "Zusatzvereinbarung betreffend Strafzahlung" fehle. Wie die Vorinstanz konstatiert, machte die Beschwerdegegnerin weiter geltend, dass auch das in der Schuldanerkennung erwähnte Schreiben des Schuldners vom 22. März 2014 nicht eingereicht worden sei und für die Strafzahlung vielmehr auf eine E-Mail vom 24. Februar 2014 Bezug genommen werde. Dass es sich dabei um zwei verschiedene Schreiben respektive E-Mails handle, könne laut der Beschwerdegegnerin kaum ernsthaft bestritten werden. Als willkürlich habe die Beschwerdegegnerin sodann die erstinstanzliche Feststellung getadelt, wonach es sich beim Schuldbrief vom 17. Februar 2009 eigentlich um jenen vom 17. Dezember 2009 handle. Resümierend hält das Obergericht fest, die Beschwerdegegnerin stelle sich auf den Standpunkt, dass das Zusammenspiel der Urkunden unklar sei und die Anforderungen an einen zusammengesetzten Rechtsöffnungstitel nicht erfüllt seien. Aufgrund der inkohärenten und willkürlichen "Anpassung" der verschiedenen Fundamente des vermeintlichen Rechtsöffnungstitels verlange sie, die Rechtsöffnung zu verweigern.
Wie die - für das Bundesgericht verbindlichen (E. 2) - Feststellungen über die Parteivorbringen im vorinstanzlichen Verfahren zeigen, bemängelte die Beschwerdegegnerin die Art und Weise, wie das Regionalgericht aus verschiedenen Schriftstücken einen Rechtsöffnungstitel zusammengesetzt hatte. Das Obergericht äussert sich dazu wie folgt: Was den Schuldbrief Nr. mmm angeht, verweist es auf das Schreiben des damaligen Rechtsvertreters des Schuldners vom 26. August 2013, dem zufolge neben dem Schuldbrief Nr. nnn als Sicherheit für das Darlehen von Fr. 1,5 Mio. ein weiterer Inhaber-Papier-Schuldbrief vom 31. März 2010 von Fr. 1,5 Mio. diene, der im 3. Rang, im Nachgang zu insgesamt Fr. 2,8 Mio., als Gesamtpfandrecht auf den Liegenschaften Y._ Gbbl.-Nrn. ooo, ppp, qqq, rrr, sss, ttt, uuu und vvv laste. Für das Obergericht steht fest, dass es sich dabei um den hier interessierenden Schuldbrief Nr. mmm handelt, zumal sämtliche im Schreiben vom 26. August 2013 gemachten Angaben mit den Angaben im Schuldbrief übereinstimmen würden und auf den fraglichen Liegenschaften zudem kein ähnlich lautendes Pfandrecht eingetragen sei. Hinzu komme, dass sich der damalige Rechtsvertreter im besagten Schreiben explizit auf den Darlehensvertrag vom 19. August 2013 beziehe und seine Angaben keine Zweifel offen liessen, dass es sich dabei um den hier interessierenden Schuldbrief handelt.
Ob die Schuldanerkennung vollständig, insbesondere einschliesslich der erwähnten Zusatzvereinbarung betreffend die Strafzahlung, eingereicht wurde und ob es sich bei der E-Mail vom 24. Februar 2014 tatsächlich um das in der Schuldanerkennung erwähnte Schreiben vom 22. März 2014 handelt, lässt das Obergericht ausdrücklich offen. Stattdessen beschäftigt es sich mit dem Inhalt der Schuldanerkennung vom 4. August 2016 und der E-Mail vom 24. Februar 2014 und findet, diese Urkunden würden nicht belegen, dass der Schuldner (auch) bezüglich der Strafzahlung eine persönliche Schuldpflicht für die Schuldbriefforderung anerkannte (s. E. 3.1). Dass die Beschwerdegegnerin den erstinstanzlichen Entscheid unter diesem Gesichtspunkt beanstandet und im kantonalen Beschwerdeverfahren geltend gemacht hätte, die besagten Urkunden würden auch von ihrem Inhalt her (zusammen mit dem Schuldbrief Nr. mmm) nicht als Rechtsöffnungstitel für die Strafzahlung taugen, ist dem angefochtenen Entscheid indes nicht zu entnehmen. Zu Recht kreidet die Beschwerdeführerin dem Obergericht an, den erstinstanzlichen Entscheid in dieser Hinsicht zu überprüfen, ohne dass die Beschwerdegegnerin entsprechende Beanstandungen erhoben hätte. Daran ändert auch die Beschwerdeantwort nichts, in der sich die Beschwerdegegnerin darauf beruft, in Randziffer 33 ihrer Beschwerde an das Obergericht "explizit verneint" zu haben, dass der Schuldbrief Nr. mmm einen Rechtsöffnungstitel für die Pönale (und für den Verzugszins) darstellen soll. Wie den kantonalen Akten ohne Weiteres zu entnehmen ist (<ref-law>), erwähnt die Beschwerdegegnerin das Thema der Strafzahlung weder an der fraglichen Stelle noch in Randziffer 34 ihrer kantonalen Beschwerdeschrift, die sie obendrein ins Feld führt. Zu kurz greift auch ihr Hinweis darauf, dass es sich bei der Frage nach dem Vorliegen eines gültigen provisorischen Rechtsöffnungstitels um eine Rechtsfrage handele, die vom angerufenen Gericht nach dem Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen "stets beantwortet werden kann und muss". Die Beschwerdegegnerin übersieht, dass die kantonale Rechtsmittelinstanz das Recht nur innerhalb des Rahmens von Amtes wegen anwendet, der durch die mit dem Rechtsmittel erhobenen Beanstandungen vorgegeben ist (E. 4.2.1). Schliesslich kann auch nicht gesagt werden, dass der fragliche Mangel des Rechtsöffnungstitels geradezu offensichtlich wäre. Ob die drei Urkunden - der Schuldbrief Nr. mmm, die Schuldanerkennung vom 4. August 2016 und die E-Mail vom 24. Februar 2014 - hinreichend dokumentieren, dass der Schuldbrief auch für die Strafzahlung sicherungsübereignet wurde bzw. für die Schuldbriefforderungen auch im Umfang der Strafzahlung eine Schuldanerkennung (<ref-law>) vorliegt, ist vielmehr eine (komplexe) Frage der Ermittlung des Parteiwillens bzw. der Auslegung, für deren abschliessende Beantwortung im summarischen Verfahren der provisorischen Rechtsöffnung grundsätzlich kein Platz ist (Urteil 5A_136/2020 vom 2. April 2020 E. 3.4.1 mit Hinweis).
5.
Im Hinblick auf die Streitfrage, ob der Rechtsvorschlag auch im Umfang der Strafzahlung von Fr. 250'000.-- zu beseitigen ist, hätte das Obergericht - den Beanstandungen der Beschwerdegegnerin im kantonalen Rechtsmittelverfahren folgend - also prüfen müssen, ob die Schuldanerkennung vollständig eingereicht wurde und ob es sich bei der E-Mail vom 24. Februar 2014 um das in der Schuldanerkennung genannte Schreiben vom 22. März 2014 handelt. Nachdem das Obergericht diese Fragen in Verletzung von Bundesrecht ausdrücklich offenlässt (E. 4.2.2), ist es nicht Aufgabe des Bundesgerichts als erste und einzige Rechtsmittelinstanz zu prüfen, welche Bewandtnis es damit hat. Die Sache ist deshalb zur weiteren Behandlung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Damit erübrigen sich Erörterungen zu den weiteren, im hiesigen Verfahren erhobenen Rügen der Beschwerdeführerin. Dasselbe gilt für den Eventualstandpunkt der Beschwerdegegnerin, wonach die Strafzahlung übermässig hoch und deshalb nach Massgabe von <ref-law> auf maximal Fr. 20'000.-- herabzusetzen sei.
6.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als begründet. Sie ist im Sinne des Eventualantrags, das heisst teilweise gutzuheissen. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben. Die Sache ist zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an das Obergericht zurückzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt die Beschwerdegegnerin. Sie hat deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>) und die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Gesuch um Vereinigung der Verfahren 5A_434/2020 und 5A_437/2020 wird abgewiesen.
2.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid ZK 20 35 des Obergerichts des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, vom 27. April 2020 wird aufgehoben. Die Sache wird im Sinne der Erwägungen zu neuer Entscheidung, einschliesslich der Neuverlegung der Kosten und Parteientschädigungen des vorangegangenen Verfahrens, an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
4.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, C._ und dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. November 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn