Faits :
A.
A.a. A._, né en 1969, travaillait en qualité de maçon pour le compte de la société B._ SA et était, à ce titre, assuré contre le risque d'accidents auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). Le 18 juin 2012, il a été victime d'un accident de travail. Il procédait à un marquage du sol en contrebas d'une pente où était située une pelle mécanique, dos à la machine qui se trouvait à une distance d'environ 4 à 5 mètres, lorsque celle-ci a glissé en bas de la pente et que son godet a percuté l'assuré au niveau des jambes. A._ a subi une fracture oblique de la diaphyse de la jambe droite ainsi qu'une fracture plurifragmentaire spiroïde et distale du tibia gauche associée à une fracture plurifragmentaire du péroné du même côté. Il a été opéré le jour même. La CNA a pris le cas en charge. Les suites ont été marquées par des complications cutanées bilatérales, nécessitant en août 2012 une excision d'ulcère avec débridement et fermeture de plaie, ainsi que par un retard de consolidation des fractures des deux jambes, ce qui a exigé d'autres interventions chirurgicales le 15 avril 2013 et le 2 octobre 2013.
A.b. Le 26 mai 2014, le docteur C._, médecin d'arrondissement de la CNA et spécialiste en médecine interne intensive et en médecine interne générale, a reconnu que la situation n'était pas encore stabilisée, mais a considéré que l'assuré pouvait déjà travailler à temps complet dans une activité adaptée respectant les limitations fonctionnelles. En raison de la persistance de douleurs aux membres inférieurs et des difficultés à la marche, A._ a séjourné du 19 août au 9 septembre 2014 à la Clinique D._. Dans le rapport de sortie du 15 septembre 2014, les médecins de cet établissement ont fait état, outre les diagnostics somatiques, d'un trouble de l'adaptation avec réaction anxieuse de type post-traumatique. Le 16 juin 2015, le docteur C._ a retenu que l'état de santé était stabilisé, a confirmé la capacité entière de travail médico-théorique dans une activité adaptée et a fixé le taux de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité à 15 %. Il a maintenu son appréciation le 13 octobre 2016, après avoir constaté l'ablation du matériel d'ostéosynthèse du côté droit (18 janvier 2016), puis le 14 juin 2018, ensuite de l'ablation du matériel d'ostéosynthèse du tibia gauche avec neurolyse du nerf saphène interne de la jambe gauche du 18 décembre 2017.
A.c. Par décision du 22 novembre 2018, confirmée sur opposition le 9 avril 2019, la CNA a alloué à l'assuré une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 15 % et une rente d'invalidité d'un taux de 23 % à compter du 1er août 2018. Elle a refusé de tenir compte d'une éventuelle incapacité de travail sur le plan psychique, faute d'un lien de causalité adéquate.
B.
Par jugement du 20 avril 2020, le Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, reconnaissant l'existence d'un lien de causalité adéquate entre l'accident et les troubles de nature psychique, a admis le recours interjeté par l'assuré contre la décision sur opposition, qu'il a annulée, renvoyant la cause à la CNA pour complément d'instruction et nouvelle décision.
C.
La CNA interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant à sa réforme dans le sens de la confirmation de la décision sur opposition du 9 avril 2019.
A._ conclut au rejet du recours. Le tribunal cantonal et l'office fédéral de la santé publique renoncent à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
1.1. L'arrêt attaqué ne met pas un terme à la procédure et doit donc être qualifié de décision incidente. Une telle décision ne peut être attaquée qu'aux conditions de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 325; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 482). Selon la jurisprudence, une autorité qui devrait, à la suite d'une décision de renvoi, rendre une nouvelle décision qui, de son point de vue, serait contraire au droit sans pouvoir par la suite la remettre en cause devant l'instance supérieure est réputée subir un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 332; <ref-ruling> précité consid. 5.2 p. 483). Cette éventualité est réalisée en l'espèce. L'arrêt attaqué a un effet contraignant pour la recourante - qui a nié le droit aux prestations pour les troubles psychiques faute d'un lien de causalité adéquate - en ce sens qu'elle doit compléter l'instruction médicale tout en étant liée par le jugement de renvoi par lequel la cour cantonale a d'ores et déjà reconnu l'existence d'un tel lien de causalité adéquate. Le jugement cantonal peut donc être déféré immédiatement au Tribunal fédéral.
1.2. Pour le surplus, le recours est dirigé contre un arrêt rendu en matière de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
Le litige porte sur le point de savoir si la cour cantonale a violé le droit fédéral en retenant que l'intimé peut, en raison de troubles psychiques, prétendre à une rente de l'assurance-accidents et à une indemnité pour atteinte à l'intégrité supérieures à celles que la recourante lui avait accordées.
Dans une procédure de recours concernant des prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par la juridiction précédente (art. 97 al. 2 et 105 al. 3 LTF).
3.
Le 1er janvier 2017 est entrée en vigueur la modification du 25 septembre 2015 de la LAA. Dans la mesure où l'événement litigieux est survenu avant cette date, le droit de l'intimé aux prestations d'assurance est soumis à l'ancien droit (cf. dispositions transitoires relatives à la modification du 25 septembre 2015).
4.
Le jugement entrepris a exposé correctement les dispositions légales et les principes jurisprudentiels applicables en cas de troubles psychiques consécutifs à un accident (cf. <ref-ruling> consid. 6 p. 138 ss. et 403 consid. 5 p. 407 ss.). Il suffit donc d'y renvoyer.
5.
5.1. En l'espèce, la recourante n'a procédé à aucune instruction médicale sur l'état de santé de l'assuré sur le plan psychique, considérant que, quoi qu'il en fût à cet égard, un rapport de causalité adéquate entre d'éventuels troubles psychiques et l'accident - qualifié de gravité moyenne - devait être nié.
5.2.
5.2.1. La cour cantonale a à son tour examiné s'il existait un lien de causalité adéquate entre l'événement accidentel et des troubles psychiques. A cet égard, elle a constaté qu'il n'était pas contesté que l'intimé présentait un trouble psychique sous la forme d'un trouble de l'adaptation avec réaction anxieuse de type post-traumatique. Contrairement à la CNA, elle a qualifié l'accident non pas de gravité moyenne stricto sensu, mais de moyennement grave à la limite des cas graves. Se fondant sur le rapport de police, qui faisait état d'un véhicule qui avait "glissé" sur la pente "sans qu'on puisse l'arrêter", le tribunal cantonal a relevé que la vitesse avait dû être assez modérée dans la mesure où la machine avait accéléré uniquement par la déclivité de la pente. Vu les forces générées par l'accident au cours duquel l'assuré avait subi un écrasement des deux jambes par le godet de la pelleteuse pesant possiblement plusieurs tonnes, l'analogie faite par la recourante avec des accidents concernant des personnes renversées par une voiture n'était pas pertinente, dès lors que les automobiles étaient conçues et construites pour absorber les chocs, contrairement à un engin de chantier, en particulier le godet en acier.
5.2.2. Les juges cantonaux ont ensuite rappelé que, selon la jurisprudence, un seul critère pouvait être suffisant pour admettre l'existence d'une relation de causalité adéquate lorsque l'accident considéré apparaissait comme l'un des plus graves de la catégorie intermédiaire, à la limite de la catégorie des accidents graves (<ref-ruling> consid. 10.1 p. 126; arrêt 8C_663/2019 du 9 juin 2020 consid. 3.2). En l'espèce, ils ont admis le critère de la durée anormalement longue du traitement médical (cf. arrêts 8C_209/2020 du 18 janvier 2021 consid. 5.2.1; 8C_755/2012 du 23 septembre 2013 consid. 4.2.3 et les références), sans examiner si les autres critères étaient également remplis. Ils ont considéré que l'assuré avait subi quatre interventions chirurgicales entre la date de l'accident (18 juin 2012) et le séjour à la Clinique D._ en septembre 2014. Quoique ces hospitalisations aient été de courte durée (du 18 juin au 5 juillet 2012 pour l'ostéosynthèse, du 21 au 29 août 2012 pour la révision chirurgicale de la plaie, le 15 avril 2013 pour la dynamisation et le 2 octobre 2013 pour le changement de clou), on ne pouvait pas retenir, comme le faisait la CNA, que le traitement médical subséquent avait consisté en des mesures conservatrices. La situation médicale avait été considérée comme quasiment stabilisée en septembre 2014 par les médecins de la Clinique D._. Ceux-ci avaient toutefois relevé que l'ablation du matériel d'ostéosynthèse était programmée pour fin 2014. Or ce matériel n'avait finalement été retiré que le 18 janvier 2016 (côté droit) et le 18 décembre 2017 (tibia gauche). Par ailleurs, l'assuré avait subi le même jour une neurolyse du nerf saphène interne de la jambe gauche, après que les médecins avaient mis en évidence une neuropathie de type axonotmésis du nerf saphène médial, pathologie qui pouvait expliquer, pour partie, les plaintes douloureuses (rapport du docteur E._, spécialiste FMH en neurologie, du 2 mars 2017). Au vu de ces éléments, les premiers juges ont retenu qu'on pouvait parler d'un traitement médical assez pénible, avec une très lente consolidation et quelques complications (complications cutanées bilatérales en août 2012, pseudarthrose hypertrophique en juillet 2012, neuropathie en 2017) ayant entraîné une convalescence sur une période largement supérieure à 21 mois, ce qui répondait au critère d'une durée anormalement longue des soins médicaux.
5.2.3. Finalement, la cour cantonale a constaté que l'état du dossier ne permettait de statuer ni sur le rapport de causalité naturelle, ni sur l'influence de la pathologie psychiatrique sur la capacité résiduelle de travail et sur la quotité de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité. Par conséquent, elle a renvoyé la cause à la CNA pour instruction complémentaire, en particulier pour établir la nature des troubles psychiques (diagnostics), l'éventuel rapport de causalité naturelle de ces troubles et l'accident ainsi que leur influence sur la capacité résiduelle de travail de l'assuré et sur la question de l'éventuel octroi d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité. En outre, le tribunal cantonal a estimé qu'une analyse globale s'avérerait judicieuse, vu qu'on était en présence de séquelles physiques additionnelles entraînant des limitations fonctionnelles.
5.3. La recourante remet en cause la qualification de l'accident. Se référant aux cas jugés dans les arrêts 8C_721/2011 du 11 novembre 2011, 8C_806/2009 du 15 janvier 2010 et 8C_387/2007 du 25 février 2008, elle considère que l'accident subi par l'intimé devrait être rangé dans la catégorie des accidents de gravité moyenne stricto sensu. Par ailleurs, elle estime que le critère de la durée anormalement longue ne serait pas réalisé ou à tout le moins pas avec une intensité suffisante pour admettre à lui seul le caractère adéquat du lien de causalité. En outre, elle soutient que ni le critère de la durée de l'incapacité de travail ni celui des douleurs physiques persistantes (que l'intimé avait avancé devant l'instance cantonale) ne seraient réalisés, de sorte que le lien de causalité adéquate entre les troubles psychiques de l'intimé et l'accident dont il a été victime le 18 juin 2012 devrait être nié.
6.
6.1. Dans la mesure où le caractère naturel et le caractère adéquat du lien de causalité doivent être remplis cumulativement pour octroyer des prestations d'assurance-accidents, la jurisprudence admet de laisser ouverte la question du rapport de causalité naturelle dans les cas où ce lien de causalité ne peut de toute façon pas être qualifié d'adéquat (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 472). En revanche, la manière dont ont procédé les juges cantonaux, consistant à reconnaître un rapport de causalité adéquate avant que les questions de fait relatives à la nature des troubles psychiques en cause et à leur causalité naturelle soient élucidées, ne saurait être confirmée. La Cour de céans a déjà eu l'occasion de dire qu'il n'est pas admissible de reconnaître le caractère adéquat d'éventuels troubles psychiques d'un assuré avant que les questions de fait relatives à la nature de ces troubles (diagnostic, caractère invalidant) et à leur causalité naturelle avec l'accident en cause soient élucidées au moyen d'une expertise psychiatrique concluante (arrêts 8C_192/2018 du 12 mars 2019 consid. 6; 8C_685/2015 du 13 septembre 2016 consid. 4.2, in: SVR 2017 UV n° 4 p. 11; cf. IRENE HOFER, in: Basler Kommentar ATSG, 2020, n° 78 ad <ref-law>). D'une part, un tel procédé est contraire à la logique du système. En effet, le droit à des prestations découlant d'un accident suppose tout d'abord, entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé, un lien de causalité naturelle. Ainsi, on ne peut pas retenir qu'un accident est propre, sous l'angle juridique, à provoquer des troubles psychiques éventuellement incapacitants sans disposer de renseignements médicaux fiables sur l'existence de tels troubles, leurs répercussions sur la capacité de travail et leur lien de causalité avec cet accident. D'autre part, la reconnaissance préalable d'un lien de causalité adéquate est un élément de nature à influencer, consciemment ou non, le médecin psychiatre dans son appréciation du cas, et donc le résultat d'une expertise psychiatrique réalisée après coup s'en trouverait biaisé (arrêts 8C_192/2018 du 12 mars 2019 précité consid. 6; 8C_685/2015 du 13 septembre 2016 précité consid. 4.2, in: SVR 2017 UV n° 4 p. 11).
6.2. En l'occurrence, pour ces mêmes raisons, il est prématuré que la Cour de céans se prononce sur les griefs soulevés par la recourante. Un tel examen n'aurait de sens que si l'on pouvait d'emblée nier l'existence d'un rapport de causalité adéquate, ce qui n'est pas le cas en l'espèce. Sans préjuger de cette question, il convient donc d'annuler le chiffre 1 du dispositif du jugement cantonal en tant qu'il renvoie aux considérants sur la question de la causalité adéquate. La cause sera renvoyée à la recourante afin qu'elle procède à une instruction complémentaire globale dans le sens ordonné par l'autorité cantonale (cf. consid. 5.2.2 supra). En fonction du résultat de cette instruction, la recourante se prononcera à nouveau notamment sur le lien de causalité adéquate et naturelle, et rendra une nouvelle décision sur le droit aux prestations de l'intimé.
En revanche, l'issue du litige n'a pas d'incidence sur la répartition des frais et dépens de première instance (art. 67 et 68 al. 1 LTF) du moment qu'un renvoi pour instruction complémentaire était justifié au stade de la procédure cantonale. Il n'y a donc pas lieu d'annuler les chiffres 2 et 3 du dispositif de l'arrêt attaqué.
7.
Compte tenu de l'issue du litige, les frais judiciaires seront répartis par moitié entre la recourante et l'intimé (<ref-law>). Par ailleurs, ce dernier a droit à une indemnité de dépens réduite (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis. Le chiffre 1 du dispositif de l'arrêt du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel du 20 avril 2020 et la décision sur opposition du 9 avril 2019 sont annulés. La cause est renvoyée à la CNA pour qu'elle rende une nouvelle décision. Pour le surplus, le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis pour 400 fr. à la charge de la recourante et pour 400 fr. à la charge de l'intimé.
3.
La recourante versera à l'intimé la somme de 1400 fr. à titre de dépens réduits pour la procédure fédérale.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 17 février 2021
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Betschart