Faits :
A.
Ressortissant turc né en 1974, A._ est arrivé en Suisse en 1990 dans le cadre d'un regroupement familial et a été mis au bénéfice d'une autorisation d'établissement. Il a eu un enfant avec une première épouse, dont il a divorcé en 2003, s'est remarié la même année avec une ressortissante turque, qui l'a rejoint en Suisse et avec laquelle il a eu deux autres enfants. Le couple s'est séparé en 2017 et a divorcé en 2019.
A._ émarge à l'aide sociale depuis 1991 et sa dette sociale s'élevait, en juillet 2019, à plus de 510'000 francs. Il a par ailleurs contracté des dettes pour un montant de 489'812 fr., dont 330'285 fr. 50 faisaient l'objet d'actes de défaut de biens au 15 janvier 2020.
Le 20 août 2018, le Tribunal criminel des Montagnes et du Val-de-Ruz a condamné A._ à une peine privative de liberté de trois ans et demi pour menaces et tentative de meurtre, en raison de menaces de mort proférées à l'encontre de sa seconde épouse et de deux coups de couteau assénés à un homme. Ce tribunal a renoncé à prononcer l'expulsion de l'intéressé.
B.
Par décision du 16 mars 2020, le Service des migrations du canton de Neuchâtel a révoqué l'autorisation d'établissement de A._ en raison de sa dépendance à l'aide sociale, prononcé son renvoi de Suisse et lui a imparti un délai au jour de sa sortie de prison pour quitter le pays. Saisi d'un recours de l'intéressé, le Département de l'économie et de l'action sociale du canton de Neuchâtel l'a rejeté (décision du 24 août 2020). Par arrêt du 23 février 2021, le Tribunal cantonal, Cour de droit public, du canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours que A._ avait formé contre la décision du 24 août 2020.
C.
Agissant en personne par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais, principalement, de lui octroyer une autorisation d'établissement, subsidiairement une autorisation de séjour, plus subsidiairement, de le mettre au bénéfice d'une admission provisoire. A titre subsidiaire, il conclut au renvoi de la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il requiert l'effet suspensif.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.

Considérant en droit :
1.
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Il est recevable contre les décisions révoquant, comme en l'espèce, une autorisation d'établissement, parce qu'il existe en principe un droit à son maintien (<ref-ruling> consid. 1.2.1). La voie du recours en matière de droit public est donc ouverte.
1.2. Le recours a par ailleurs été formé en temps utile (<ref-law>) contre une décision finale (<ref-law>) rendue par une autorité cantonale supérieure de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>) par le recourant, qui a qualité pour agir (cf. <ref-law>). Il convient donc d'entrer en matière sur le recours, sous réserve de ce qui suit.
1.3. Le recourant reproche au Tribunal cantonal de ne pas avoir retenu que l'exécution de son renvoi n'était pas licite au sens de l'art. 83 al. 3 LEI et il formule une conclusion subsidiaire pour demander le bénéfice de l'admission provisoire. La voie du recours en matière de droit public est toutefois fermée s'agissant des décisions en matière d'admission provisoire (art. 83 al. 1 let. c ch. 3 LTF). Quant au recours constitutionnel subsidiaire, il est d'emblée exclu en l'espèce, puisque les admissions provisoires relèvent de la compétence du Secrétariat d'État aux migrations (art. 83 al. 1 LEI) puis du Tribunal administratif fédéral, de sorte que les juges précédents n'auraient de toute manière pas été compétents pour l'accorder au recourant, si tant est que les conditions en eussent été réunies (cf. arrêt 2C_1004/2018 du 11 juin 2019 consid. 1.3).
1.4. Le recourant soutient aussi risquer la prison et sa vie en cas de renvoi en Turquie et invoque l'interdiction de la torture (art. 3 CEDH). Le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions concernant le renvoi (cf. art. 83 let. c. ch. 4 LTF). Ce domaine ne peut partant que faire l'objet d'un recours constitutionnel subsidiaire (cf. <ref-ruling> consid. 3.3; arrêt 2C_937/2020 du 18 février 2021 consid. 1.2; 2C_978/2020 du 8 janvier 2021 consid. 6). Quoi qu'il en soit, le grief de violation de l'art. 3 CEDH sera examiné sous l'angle de la proportionnalité de la révocation de l'autorisation d'établissement, puisque le grief peut aussi être invoqué à ce stade (cf. par exemple, récemment, les arrêts 2C_814/2020 du 18 mars 2021 consid. 6.2; 2C_978/2020 du 8 janvier 2021 consid. 8; 2C_1004/2018 du 11 juin 2019 consid. 1.4 et la référence).
2.
Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Selon l'<ref-law> toutefois, il n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant, c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.4; <ref-ruling> consid. 1.3).
3.
3.1. Pour statuer, le Tribunal fédéral se fonde sur les faits constatés par l'autorité précédente (cf. <ref-law>). Le recourant ne peut critiquer les constatations de fait que si celles-ci ont été effectuées en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 6). Les faits invoqués de manière appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling> consid. 3.6.2), le Tribunal fédéral étant juge du droit et non pas une instance d'appel (cf. arrêts 2C_814/2020 du 18 mars 2021 consid. 2.2; 2C_922/2018 du 13 mai 2019 consid. 3).
3.2. En l'espèce, le recourant complète les faits constatés dans l'arrêt attaqué de manière purement appellatoire, ce qui n'est pas admissible. Il reproche aussi aux juges précédents de ne pas avoir pris en compte le fait qu'il avait récemment eu une crise cardiaque et qu'il était suivi médicalement, mais n'allègue pas, ni a fortiori ne démontre, en quoi cette prétendue omission serait propre à influer sur l'issue de la cause. Le Tribunal fédéral statuera donc exclusivement sur la base des faits constatés dans l'arrêt attaqué.
4.
Le litige porte sur le droit du recourant de poursuivre son séjour en Suisse.
4.1. Selon l'art. 63 al. 3 LEI, est illicite toute révocation fondée uniquement sur des infractions pour lesquelles un juge pénal a déjà prononcé une peine ou une mesure mais a renoncé à prononcer une expulsion.
En l'espèce, dans son jugement du 20 août 2018, le Tribunal criminel des Montagnes et du Val-de-Ruz a renoncé à prononcer l'expulsion du recourant. D ans l'arrêt attaqué, les juges précédents n'ont toutefois pas révoqué l'autorisation d'établissement du recourant en raison des infractions pour lesquelles il a été condamné dans ce jugement, mais parce qu'ils ont estimé qu'il dépendait durablement et dans une large mesure de l'aide sociale. Le Tribunal cantonal n'a donc pas contrevenu à l'art. 63 al. 3 LEI dans l'arrêt attaqué, ce que le recourant ne soutient du reste pas.
4.2. Selon l'art. 63 al. 1 let. c LEI, l'autorisation d'établissement peut être révoquée lorsque l'étranger ou une personne dont il a la charge dépend durablement et dans une large mesure de l'aide sociale.
Devant le Tribunal fédéral, le recourant ne conteste plus remplir ce motif de révocation. On se limitera dès lors à rappeler que, selon la jurisprudence, pour apprécier si les conditions de l'art. 63 al. 1 let. c LEI sont remplies, il faut, en substance, tenir compte du montant total des prestations déjà versées au titre de l'aide sociale et examiner la situation financière de l'étranger, afin d'évaluer s'il existe des risques qu'il continue de se trouver à la charge de l'assistance publique à l'avenir (cf. au surplus, entre autres, les arrêts 2C_519/2020 du 21 août 2020 consid. 3.3; 2C_653/2019 du 12 novembre 2019 consid. 7.1; 2C_837/2017 du 15 juin 2018 consid. 6.2 et les références). En l'espèce, le recourant, arrivé en Suisse en 1990, dépend de l'aide sociale depuis 1991 et sa dette sociale s'élevait, en juillet 2019, à plus de 510'000 francs. Il a en outre contracté des dettes privées pour près de 490'000 fr., dont environ 330'000 fr. faisaient l'objet d'actes de défaut de bien au 15 janvier 2020 (cf. consid. A.). S'agissant de l'avenir, les juges précédents ont relevé que le recourant s'était limité à alléguer, sans fournir aucun document, avoir l'intention de travailler pour son frère à sa sortie de prison et être prêt à fournir des garanties d'indépendance financière. En pareilles circonstances, on ne peut reprocher à l'arrêt attaqué de retenir qu'il existe des risques importants que le recourant continue de dépendre de l'aide sociale à l'avenir. C'est donc à bon droit que le Tribunal cantonal a jugé que le recourant dépendait durablement et dans une large mesure de l'aide sociale au sens de l'art. 63 al. 1 let. c LEI et partant que ce motif de révocation de l'autorisation d'établissement était réalisé.
5.
Le recourant soutient que la révocation de son autorisation d'établissement est disproportionnée et il invoque à cet égard une violation de l'art. 96 LEI, ainsi que de l'art. 8 CEDH, sous l'angle de la protection de sa vie privée et de sa vie familiale. Il reproche au Tribunal cantonal de ne pas avoir examiné s'il pouvait se prévaloir de l'art. 8 CEDH. Il soutient aussi que son renvoi est contraire à l'art. 3 CEDH.
5.1. Selon l'art. 3 CEDH, nul ne peut être soumis à la torture ni à des peines ou traitements inhumains ou dégradants. Le droit ancré à l'art. 3 CDH est absolu, ce qui signifie qu'aucun intérêt opposé, aussi important soit-il, ne peut justifier sa violation et qu'il n'est donc pas admissible de le mettre en balance dans le cadre d'une pesée des intérêts (<ref-ruling>10 consid. 2.2.2; arrêts 2C_1004/2018 du 11 juin 2019 consid. 7.2 et les références). Il convient donc de commencer par examiner, sous l'angle de la proportionnalité (cf. consid. 1.5), si le recourant risque de tels traitements en cas de retour dans son pays.
5.1.1. Il incombe à la personne qui invoque l'art. 3 CEDH de prouver l'existence de risques réels, de simples considérations générales étant insuffisantes (arrêts 2C_1004/2018 du 11 juin 2019 consid. 7.2; 2C_819/2016 du 14 novembre 2016 consid. 3.1).
5.1.2. En l'espèce, le recourant allègue que le Consulat de Turquie lui aurait "très clairement" indiqué qu'une peine de prison serait prononcée à son encontre en raison des opinions politiques qu'il dit avoir exprimées sur ses réseaux, et que son renvoi en Turquie mettrait en danger sa vie. Cette motivation, très vague et non étayée, que le recourant formule du reste pour la première fois devant la Cour de céans, est insuffisante pour rendre avéré un risque réel de traitement contraire à l'art. 3 CEDH.
5.2. Reste à déterminer si, compte tenu de l'ensemble des circonstances, la révocation de l'autorisation d'établissement du recourant est conforme au principe de la proportionnalité.
5.2.1. La pesée globale des intérêts requise par l'art. 96 al. 1 LEI est analogue à celle commandée par l'art. 8 par. 2 CEDH et peut être effectuée conjointement à celle-ci (cf. <ref-ruling> consid. 2.3.2; <ref-ruling> consid. 2.2), étant rappelé qu'un séjour légal d'environ dix ans permet en principe à un étranger de se prévaloir de l'art. 8 CEDH sous l'angle de la vie privée (<ref-ruling> consid. 3.9). Partant, le fait que les juges précédents n'aient pas examiné la situation du recourant sous l'angle de l'art. 8 CEDH, comme celui-ci le leur reproche, n'a pas de conséquences pratiques.
5.2.2. La question de la proportionnalité d'une révocation d'autorisation d'établissement doit être tranchée au regard de toutes les circonstances du cas d'espèce, dont, notamment, la gravité de l'éventuelle faute commise par l'étranger, le degré de son intégration, la durée du séjour en Suisse, le préjudice que l'intéressé et sa famille auraient à subir du fait de la mesure (cf. <ref-ruling> consid. 2.2.1; <ref-ruling> consid. 4.3).
L'intérêt public à la révocation de titre de séjour d'étrangers dépendant de l'aide sociale consiste avant tout à éviter que ces personnes continuent d'être à la charge de la collectivité publique à l'avenir (arrêt 2C_452/2020 du 14 octobre 2020 consid. 3.2 et les références); la question de savoir si et dans quelle mesure la personne dépend de l'aide sociale par sa faute entre en considération dans l'examen de la proportionnalité (cf. arrêts 2C_519/2020 du 21 août 2020 consid. 3.3; 2C_653/2019 du 12 novembre 2019 consid. 7.1 et les références).
La durée de séjour en Suisse d'un étranger constitue un critère important. Plus cette durée est longue, plus les conditions pour mettre fin à son séjour en Suisse doivent être appréciées restrictivement (cf. ATF <ref-ruling> consid. 4.4 et 4.5).
Lorsque la révocation de l'autorisation d'établissement n'aurait pas pu être prononcée uniquement en raison d'infractions pour lesquelles un juge pénal a déjà prononcé une peine ou une mesure, mais a renoncé à prononcer une expulsion (cf. art. 63 al. 3 LEI et consid. 4.1 ci-dessus), le parcours pénal de l'étranger reste un élément à prendre en considération dans le cadre de la pesée des intérêts, pour que celle-ci soit effectuée sur la base de tous les éléments pertinents afférents à l'étranger et qu'elle soit complète.
Sous l'angle du droit à la protection de la vie familiale (art. 8 CEDH), la jurisprudence retient que le parent étranger qui dispose d'un droit de visite sur son enfant habilité à résider en Suisse peut en principe exercer ce droit même s'il vit à l'étranger, un droit plus étendu ne pouvant exister qu'en présence de relations étroites et effectives avec l'enfant d'un point de vue affectif et d'un point de vue économique et suppose aussi que l'étranger ait eu un comportement irréprochable (cf. sur ce point <ref-ruling> consid. 5.1). Il faut aussi tenir compte de l'intérêt fondamental de l'enfant (art. 3 de la Convention relative aux droits de l'enfant; CDE; RS 0.107) à pouvoir grandir en jouissant d'un contact étroit avec ses deux parents (cf. <ref-ruling> consid. 5.2).
5.2.3. En l'espèce, il existe un intérêt public important à l'éloignement du recourant, en raison de sa dépendance durable à l'aide sociale. Sur ce point, il faut relever qu'aucun élément de l'arrêt attaqué ne permet de considérer que sa dépendance à l'aide sociale proviendrait de motifs indépendants de la volonté du recourant. Celui-ci a achevé une formation de peintre et il ne ressort pas de l'arrêt attaqué qu'il aurait connu des problèmes de santé, de sorte que l'on pouvait attendre de lui, comme de toute personne, qu'il parvienne à atteindre une autonomie financière. Au lieu de cela, sa dette sociale n'a, selon les constatations cantonales, jamais cessé d'augmenter, s'élevant déjà à 191'858 fr. au 31 mars 2003 pour atteindre plus de 510'000 fr. en juillet 2019. Par ailleurs, le recourant a été condamné à une privative de liberté de trois ans et demi pour tentative de meurtre, en raison de coups de couteau portés à un homme envers qui il nourrissait de la rancoeur, et pour menaces de mort à l'encontre de son ex-épouse. Le tribunal qui l'a condamné a par ailleurs prononcé à son encontre une interdiction de contacter son ex-épouse et de pénétrer dans un rayon de 50 mètres autour de son logement, pour une durée de 5 ans, ce qui montre aussi sa dangerosité potentielle. Sous cet angle, il existe aussi un intérêt public à son éloignement.
En lien avec les enfants du recourant, qui vivent en Suisse, force est de constater que le Tribunal cantonal n'a aucunement examiné si la révocation de l'autorisation d'établissement du recourant était conforme au principe de la proportionnalité sous cet angle, ce qu'il lui appartenait de faire. Il n'est toutefois pas nécessaire, pour des motifs d'économie de la procédure, de lui renvoyer la cause pour qu'il complète son examen, car le dossier comprend des éléments suffisants pour que la Cour de céans soit en mesure de prendre en compte cet aspect dans la pesée des intérêts (<ref-law>). Il ressort ainsi de la décision du Service cantonal du 16 mars 2020 que la première fille du recourant est majeure et que celui-ci n'a quasiment plus de contact avec elle. S'agissant des deux autres enfants, mineures, leur garde a été attribuée à la mère. Le droit de visite du père ne s'exerce, selon le jugement de divorce, qu'à raison d'une heure par quinzaine en milieu carcéral et aura lieu dans le cadre d'un point rencontre lorsque le recourant sera libéré. A l'aide sociale, le recourant n'a pas apporté d'éléments démontrant une participation financière en faveur de ses enfants. Le recourant ne peut ainsi pas se prévaloir de relations affectives et économiques particulièrement étroites avec ses enfants mineurs. Dans son recours, il ne prétend de toute manière pas le contraire et se limite à dire qu'il souhaite pouvoir les voir autant que possible dès sa sortie de prison. A cela s'ajoute que le recourant ne peut manifestement pas se prévaloir d'un comportement irréprochable. Le départ du recourant ne portera par ailleurs pas une atteinte disproportionnée au droit de ses enfants mineurs d'avoir des contacts avec lui, d'autant qu'ils pourront, le cas échéant, garder un lien au travers des moyens de communication modernes.
Le recourant vit certes dans notre pays depuis une trentaine d'années. Au regard de sa dépendance à l'aide sociale, de sa situation financière, particulièrement obérée (cf. supra consid. A), et de son comportement pénal, marqué par une lourde condamnation pour tentative de meurtre et menaces de mort, il ne peut pas se prévaloir d'une bonne intégration. Professionnellement, il a travaillé "un moment" comme peintre, avant de tenter de gagner sa vie en exploitant des établissements publics, apparemment au début des années 2000 puis en 2009. Toutefois, l'arrêt attaqué relève que le recourant était inscrit au chômage depuis décembre 2002, qu'il était apparemment sans emploi entre 2007 et 2008 et que ses tentatives de se lancer dans une activité indépendante n'ont pas été fructueuses, puisqu'elles ne lui ont jamais permis d'acquérir une indépendance financière ni de rembourser ses dettes.
Sous l'angle personnel, il n'est pas douteux que la réintégration du recourant en Turquie ne sera pas exempte de difficultés importantes, dès lors qu'il a quitté son pays en 1990 alors qu'il était adolescent. Toutefois, il n'y a pas de raison de penser que ces difficultés seront insurmontables. Le recourant a vécu les 16 premières années de sa vie dans ce pays et il en parle donc la langue. Il semble y avoir encore de la famille et des contacts (arrêt attaqué p. 10). Il ne ressort au surplus pas de l'arrêt attaqué qu'il aurait des problèmes de santé s'opposant à son retour en Turquie. En effet, même si, comme il le soutient, il fait l'objet d'un suivi médical en raison d'une crise cardiaque, on ne voit pas qu'un suivi médical adéquat ne pourrait pas être mis en oeuvre en Turquie. Enfin, le fait qu'il soit, comme il l'allègue, en désaccord avec le système politique en place en Turquie ne constitue pas une entrave à sa réintégration sociale et professionnelle dans ce pays.
5.2.4. Au vu de l'ensemble des circonstances, on ne peut reprocher aux juges précédents d'avoir estimé que la révocation de l'autorisation d'établissement du recourant était conforme au principe de la proportionnalité. Le grief de violation des art. 96 LEI et des art. 3 et 8 CEDH du recourant est partant rejeté.
6.
A titre subsidiaire, le recourant conclut à l'octroi d'une autorisation de séjour.
Selon l'art. 63 al. 2 LEI, l'autorisation d'établissement peut être révoquée et remplacée par une autorisation de séjour lorsque les critères d'intégration définis à l'art. 58a ne sont pas remplis. Cette disposition ne s'applique cependant pas lorsque les critères pour une révocation de l'autorisation d'établissement sont réunis et que la mesure s'avère proportionnée (arrêt 2C_1040/2019 du 9 mars 2020 consid. 6), ce qui est le cas en l'espèce. C'est donc en vain que le recourant conclut subsidiairement à l'octroi d'une autorisation de séjour.
Par ailleurs, le recourant ne peut rien tirer de l'art. 30 al. 1 let. b LEI qu'il invoque également dans son mémoire, cette disposition de nature potestative ne conférant aucun droit de séjour (cf. 2C_754/2018 du 28 janvier 2019 consid. 7.2 et les références).
7.
Au surplus, le prononcé d'un avertissement au sens de l'art. 96 al. 2 LEI n'est pas obligatoire et n'est envisageable que si la mesure de révocation n'apparaît pas adéquate, ce qui n'est pas le cas en l'espèce.
8.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité.
Au vu de l'issue du recours, la demande d'octroi de l'effet suspensif contenue dans le recours est sans objet.
Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Service des migrations du canton de Neuchâtel, au Département de l'économie et de l'action sociale de la République et canton de Neuchâtel DEAS, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 27 avril 2021
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Vuadens