Sachverhalt:
A.
A._ (Ehemann) und B._ (Ehefrau) sowie ihre Tochter C._ sind am 9. September 2018 über den Flughafen Zürich in die Schweiz eingereist und haben hier um Asyl nachgesucht. Die Ehefrau bezeichnete sich als staatenlos; sie gab an, in Kirgistan geboren zu sein und später in Russland sowie im Irak gelebt zu haben. Der Ehemann gab an, er sei türkischer Staatsangehöriger. Beide erklärten, sie hätten lange Zeit der PKK angehört, seien aber vor Jahren aus dieser Organisation desertiert. Zuletzt hätten sie ohne gesicherten Aufenthaltsstatus im Nordirak gelebt.
Zusammen mit der Familie K._ reisten am 9. September 2018 D._ und ihre Tochter E._ in die Schweiz ein und stellten ebenfalls ein Asylgesuch. D._ gab an, die Cousine von B._ zu sein. Sie bezeichnete sich als türkische Staatsangehörige und erklärte auch, früher der PKK angehört zu haben, desertiert zu sein und zuletzt im Nordirak gelebt zu haben.
B.
Das Staatssekretariat für Migration (SEM) trat mit Verfügung vom 21. September 2018 nicht auf die Asylgesuche der fünf oben genannten Personen (nachfolgend: Beschwerdeführende) ein. Zugleich verfügte es die Wegweisung sowie deren Vollzug nach Südafrika, woher die Beschwerdeführenden in die Schweiz eingereist waren. Einen Vollzug der Wegweisung in den Irak oder in die Türkei schloss das SEM aus. Das Amt ging dabei von einer irakischen Staatsangehörigkeit der Beschwerdeführenden aus.
Das Bundesverwaltungsgericht wies am 3. Oktober 2018 zwei Beschwerden gegen diesen Entscheid ab. Am 2. November 2018 trat es sodann nicht auf ein Revisionsgesuch ein.
C.
Im November 2018 stellten die Beschwerdeführenden beim SEM sodann Wiedererwägungsgesuche, die das Amt am 2. bzw. am 4. September 2019 abwies. Zugleich lehnte es deren Gesuche um Änderung ihrer Personendaten im Zentralen Migrationsinformationssystem (ZEMIS) ab, die sie am 23. August 2019 eingereicht hatten.
Eine Beschwerde gegen diesen Entscheid wies das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 19. Oktober 2019 ab.
D.
Am 21. November 2019 haben die Familie K._ einerseits und D._ mit ihrer Tochter anderseits mit zwei separaten Eingaben beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Sie beantragen, ihre Namen, Geburtsdaten und Staatsangehörigkeit seien entsprechend ihren Angaben abzuändern. Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz oder an das SEM zur weiteren Instruktion zurückzuweisen, subeventuell seien die Personendaten zu berichtigen und anzufügen, dass diese umstritten seien. Sodann ersuchen die Beschwerdeführenden um unentgeltliche Rechtspflege und um Beiordnung ihrer Rechtsbeiständin als amtliche Vertreterin.
Das Bundesverwaltungsgericht und das SEM beantragen die Abweisung der Beschwerden. Die Beschwerdeführenden haben repliziert.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerdeführenden haben zwei getrennte Rechtsmittel eingereicht. Angefochten wird damit ein einziges Urteil des Bundesverwaltungsgerichts betreffend alle fünf Personen. Die in den beiden Beschwerdeschriften vorgebrachten Argumente sind im Wesentlichen identisch, weshalb es sich rechtfertigt, die Verfahren zu vereinigen.
1.2. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a und Art. 90 BGG). Die Ausnahme von <ref-law> greift nicht, da die Beschwerdeführenden das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts nicht anfechten, soweit dieses den negativen Wiedererwägungsentscheid des SEM geschützt hat. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Zur Erfüllung seiner gesetzlichen Aufgaben führt das SEM das Zentrale Migrationsinformationssystem (ZEMIS). Dieses dient der einheitlichen Bearbeitung der Daten zur Identität von Ausländerinnen und Ausländern einschliesslich von Personen aus dem Asylbereich (Art. 1 und 2 des Bundesgesetzes über das Informationssystem für den Ausländer- und den Asylbereich [BGIAA; SR 142.51]; Art. 1 der Verordnung über das Zentrale Migrationsinformationssystem [ZEMIS-Verordnung; SR 142.513]). Gesuche um Berichtigung eines Eintrags im ZEMIS sind gestützt auf das Bundesgesetz vom 19. Juni 1992 über den Datenschutz (DSG; SR 235.1) zu beurteilen (Art. 19 Abs. 1 ZEMIS-Verordnung i.V.m. <ref-law>).
2.2. Wer Personendaten bearbeitet, hat sich über deren Richtigkeit zu vergewissern und alle angemessenen Massnahmen zu treffen, damit die Daten berichtigt oder vernichtet werden, die im Hinblick auf den Zweck ihrer Beschaffung oder Bearbeitung unrichtig oder unvollständig sind (Art. 5 Abs. 1 DSG). Jede betroffene Person kann verlangen, dass unrichtige Daten berichtigt werden (Art. 5 Abs. 2 DSG). Werden Personendaten von einem Organ des Bundes bearbeitet, konkretisiert Art. 25 DSG die Rechte von betroffenen Personen. Wer ein schutzwürdiges Interesse hat, kann gemäss Abs. 3 lit. a dieser Bestimmung ebenfalls die Berichtigung von unrichtigen Personendaten verlangen.
Grundsätzlich hat die Bundesbehörde, welche Personendaten bearbeitet, die Richtigkeit der bearbeiteten Daten zu beweisen, wenn sie von einer betroffenen Person bestritten wird. Der betroffenen Person, die ein Gesuch um Berichtigung von Personendaten stellt, obliegt hingegen der Beweis der Richtigkeit der verlangten Änderung. Kann weder die Richtigkeit noch die Unrichtigkeit von Personendaten bewiesen werden, so muss das Bundesorgan bei den Daten einen entsprechenden Vermerk anbringen (Art. 25 Abs. 2 DSG). Spricht mehr für die Richtigkeit der von einer betroffenen Person verlangten Änderung, sind die Personendaten zu berichtigen und ebenfalls mit einem derartigen Vermerk zu versehen (zum Ganzen: Urteile 1C_709/2017 vom 12. Februar 2019 E. 2.3; 1C_11/2013 vom 21. Oktober 2013 E. 4.2 mit Hinweisen).
3.
Die Beschwerdeführenden werfen der Vorinstanz zunächst eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör vor. Sie sind der Auffassung, das Bundesverwaltungsgericht habe seiner Begründungspflicht nicht genügt, weil sie die Beweistauglichkeit der von ihnen eingereichten Dokumente bloss in einigen wenigen Sätzen verneint habe.
Die vorinstanzliche Begründung ist in diesem Punkt tatsächlich sehr knapp ausgefallen. Zu berücksichtigen ist allerdings, dass die Frage der Berichtigung des ZEMIS-Eintrags im Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht nur einen Neben-Streitpunkt darstellte. In erster Linie hatte dieses darüber zu entscheiden, ob das SEM das Wiedererwägungsgesuch der Beschwerdeführenden zurecht abgewiesen hatte. Hinzu kommt, dass namentlich die Frage der Herkunft der Beschwerdeführenden bereits Gegenstand des ursprünglichen Asylverfahrens gewesen war und sich die Vorinstanz in diesem Rahmen bereits mit den tatsächlichen Gegebenheiten bzw. den diesbezüglichen Vorbringen der Beschwerdeführenden auseinandergesetzt und dort namentlich bereits Feststellungen zur Beweistauglichkeit der Reisepapiere der Beschwerdeführenden getroffen hatte (vgl. die Urteile D-5566/2018 und D-5541/2019, beide vom 3. Oktober 2018; dazu unten E. 5). Im hier angefochtenen Entscheid hat die Vorinstanz zunächst darauf hingewiesen, es gebe keine plausiblen Gründe, weshalb die neu vorgelegten Dokumente erst jetzt nachgereicht würden. Sodann stellte sie fest, diese seien teils bloss als Kopie vorhanden, weshalb ihre Beweiskraft gering sei. Aber auch den im Original eingereichten Registerauszügen komme kein hoher Beweiswert zu, weil die Identität der Beschwerdeführenden ja gerade nicht feststehe. Geht man von dieser Überlegung aus, bestand für die Vorinstanz kein Anlass, sich mit jedem einzelnen der neu eingereichten Schriftstücke im Detail auseinanderzusetzen. Der vorinstanzliche Standpunkt ist insofern klar. Das Bundesverwaltungsgericht hat die wesentlichen Überlegungen genannt, auf die es seinen Entscheid gestützt hat, so dass die Beschwerdeführenden diesen in Kenntnis der Sache beim Bundesgericht anfechten konnten (<ref-ruling> E. 3.4.1 S. 423).
4.
Zusammen mit der Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs werfen die Beschwerdeführenden der Vorinstanz vor, den Untersuchungsgrundsatz missachtet und den Sachverhalt in willkürlicher Weise festgestellt zu haben. Diese beiden Vorhaltungen fallen vorliegend mit der materiellen Frage zusammen, ob das SEM den Beweis für die Richtigkeit der bearbeiteten Daten erbracht habe oder ob dies den Beschwerdeführenden oder aber keiner der Parteien gelungen sei. Den beiden erwähnten Rügen kommt im vorliegenden Verfahren insofern keine selbstständige Bedeutung zu. Sie werden nachfolgend zusammen mit der materiellen Beurteilung der Beschwerde behandelt.
5.
5.1. Dem angefochtenen Entscheid lässt sich entnehmen, dass die Beschwerdeführenden im Asylverfahren bei ihrer Befragung zur Person erklärt hatten, mit käuflich erworbenen irakischen Reisepässen nach Ägypten gelangt und von dort nach Südafrika weitergereist zu sein, wo sie sich zwei Tage aufgehalten hätten. Dieses Land hätten sie - für den Flug in die Schweiz - mit gefälschten französischen Pässen und Identitätskarten verlassen. Aus den Beschwerdeentscheiden, die das Bundesverwaltungsgericht im Rahmen des Asylverfahrens getroffen hat (Urteile D-5566/2018 und D-5541/2019, beide vom 3. Oktober 2018) ergibt sich sodann, dass die Beschwerdeführenden sich gegenüber europäischen Vertretungen mit irakischen Reisepässen ausgewiesen hatten, um Schengen-Visa zu erhalten und die Pässe von diesen Behörden als echt eingeschätzt wurden. Weiter hat die Vorinstanz in diesen Entscheiden erwogen, die Beschwerdeführenden hätten nach ihren eigenen Angaben mit diesen Ausweispapieren die Kontrollen an den Flughäfen von Erbil, Bagdad und Johannesburg problemlos passiert; auch dabei seien die Pässe als echt und den Beschwerdeführenden zustehend erachtet worden. Zudem seien sie nach ihren damaligen Erklärungen nach Südafrika eingereist und hätten sich dort zwei Tage in einem Hotel aufgehalten.
5.2. Im vorliegenden Beschwerdeverfahren bestätigen die Beschwerdeführenden ihren Reiseweg von Erbil via Bagdad und Kairo nach Johannesburg. Sie behaupten, diese Flugreisen mit gefälschten irakischen Reisepässen absolviert zu haben. Dieses Vorbringen erscheint angesichts der strengen Kontrollen, denen sich Flugpassagiere auf internationalen Flügen regelmässig zu unterziehen haben, wenig glaubhaft. Dasselbe gilt für ihre Behauptung im vorliegenden Verfahren, nicht nach Südafrika eingereist zu sein, sondern sich vor ihrem Weiterflug nach Zürich während zweier Tage im Transitbereich des Johannesburger Flughafens aufgehalten zu haben. Damit stellen sie sich, wie sie selber zugeben, in Widerspruch zu ihren Angaben im Asylverfahren, wo sie erklärt hatten, nach Südafrika eingereist zu sein und sich dort zwei Tage in einem Hotel aufgehalten zu haben. Angesichts dieser Umstände erscheint eine erhebliche Skepsis der Vorinstanz sowie des SEM gegenüber ihren heutigen Vorbringen berechtigt.
5.3. Die Beschwerdeführenden haben eine Vielzahl von Unterlagen eingereicht, mit denen sie aufzuzeigen versuchen, ihre türkische bzw. sowjetrussische Herkunft (und die damit zusammenhängenden Personendaten) sei wahrscheinlicher als die von den Behörden angenommene irakische Staatsangehörigkeit. Mehreren dieser Dokumente kommt von vornherein kein Beweiswert zu, weil sie keiner Person zuverlässig zugeordnet werden können oder ohne weiteres gefälscht bzw. aus blosser Gefälligkeit ausgestellt worden sein können (altes Foto, div. Bestätigungsschreiben). Amtliche Dokumente haben die Beschwerdeführenden sodann mehrheitlich bloss als Kopien eingereicht; solche sind als Beweismittel in aller Regel von vornherein untauglich.
Im Asylverfahren ermöglichen in der Regel nur Reisepapiere oder Identitätsausweise im Sinne von Art. 8a lit. b des Asylgesetzes vom 26. Juni 1998 (SR 142.31) einer Person eindeutig eine Identität zuzuordnen (d.h. namentlich ein Pass, ein Ersatzreisedokument oder eine Identitätskarte, vgl. Art. 1a lit. b und c der Asylverordnung vom 11. August 1999 [SR 142.311]). Dies vermag auch ein Auszug aus einem Zivilstandsregister - selbst ein echter - nicht zu leisten: Solange die Identität der Beschwerdeführenden nicht feststeht, ist es nämlich nicht möglich, zu beurteilen, ob sich die in diesem Dokument enthaltenen Personendaten tatsächlich auf sie beziehen. Ihr Hinweis auf den öffentlichen Glauben von Urkunden, die ausländische Behörden ausgestellt haben, ändert an dieser Feststellung nichts.
Bei dieser Sachlage spricht nicht mehr für die Richtigkeit der von den Beschwerdeführenden verlangten Änderungen als für die Version der Behörden und noch viel weniger können ihre Angaben als bewiesen gelten (vgl. oben E. 2.2). Es besteht also kein Anlass, die im ZEMIS hinterlegten Personendaten in ihrem Sinne zu berichtigen. Immerhin stehen die vom SEM für korrekt gehaltenen Daten beweismässig ebenfalls nicht fest; die Vorinstanz hat daher zurecht angeordnet, diese mit einem Bestreitungsvermerk zu versehen.
5.4. Vor diesem Hintergrund werfen die Beschwerdeführenden den Behörden zu Unrecht vor, sie seien ihrer Untersuchungspflicht nicht genügend nachgekommen und hätten bei den türkischen, russischen oder irakisch-kurdischen Vertretungen in der Schweiz Untersuchungen zu ihrer Person anstellen müssen. Wie erwähnt, steht nicht fest, dass ihre Identität mit derjenigen übereinstimmt, auf welche die von ihnen beigebrachten Dokumente ausgestellt wurden bzw. auf welche diese Bezug nehmen. Selbst wenn daher Auskünfte der genannten diplomatischen Vertretungen zu den betreffenden Personen erhältlich zu machen wären, was fraglich erscheint, bliebe offen, ob es sich dabei tatsächlich um die Beschwerdeführenden handeln würde. Die Rüge schliesslich, sie seien nie vertieft zu ihrer Identität und zu ihrem Lebenslauf befragt worden, erfolgt im vorliegenden Verfahren verspätet.
6.
Aus allen diesen Gründen kann der Vorinstanz auch keine willkürliche Sachverhaltsfeststellung vorgeworfen werden, und verstösst der angefochtene Entscheid weder gegen den Schutz der Privatsphäre der Beschwerdeführenden (<ref-law>) noch gegen deren Recht auf Privat- und Familienleben (Art. 8 EMRK). Inwiefern das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts das Kindswohl der beiden minderjährigen Beschwerdeführerinnen im Sinne von Art. 3 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (KRK; SR 0.107) oder ihr Recht auf eigene Identität (Art. 7 KRK) beeinträchtigen sollte, ist nicht ersichtlich. Auch diese Rügen gehen von der unzutreffenden Annahme aus, die von den Beschwerdeführenden namhaft gemachten Personendaten müssten als richtig angesehen werden. Verspätet schliesslich ist der Einwand, die beiden Kinder seien im Asylverfahren nicht gehörig vertreten gewesen.
7.
Aus allen diesen Gründen erweisen sich die Beschwerden als unbegründet. Sie sind abzuweisen.
Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann wegen Aussichtslosigkeit der Vorbringen nicht entsprochen werden (vgl. Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Umständehalber rechtfertigt es sich immerhin, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerden werden abgewiesen.
2.
Es werden keine Verfahrenskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Staatssekretariat für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung IV, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juni 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Die Gerichtsschreiberin: Hänni