Sachverhalt:
A.
Der 1972 geborene A._ ist seit dem 1. Januar 2020 der Ausgleichskasse Luzern als selbstständigerwerbender Musiker angeschlossen. Am 15. Januar 2021 meldete er sich im Zusammenhang mit den Massnahmen zur Bekämpfung des Coronavirus unter Hinweis auf das Veranstaltungsverbot vom 17. März bis zum 24. September 2021 erstmals zum Bezug einer Erwerbsausfallentschädigung (nachfolgend: Corona-Erwerbsersatz) an. Mit Verfügung vom 2. Februar 2021 verneinte die Ausgleichskasse einen Anspruch auf Corona-Erwerbsersatz mit der Begründung, die Einkommensgrundlage im massgeblichen Zeitpunkt betrage Fr. 0.-. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 16. April 2021 fest.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Luzern mit Urteil vom 4. November 2021 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, das Urteil vom 4. November 2021 sei aufzuheben und der Corona-Erwerbsersatz sei aufgrund sämtlicher Einkommensquellen aus unselbstständiger Erwerbstätigkeit festzusetzen.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bun desgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1). Hinsichtlich der Verletzung von Grund rechten gilt ein qualifizierte s Rügeprinzip (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.6). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105Abs. 1 BGG). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang ent scheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
Der Bundesrat kann die Ausrichtung von Entschädigungen des Er werbsausfalls bei Personen vorsehen, die ihre Erwerbstätigkeit aufgrund von Massnahmen im Zusammenhang mit der Bewältigung der Covid-19-Epidemie unterbrechen oder massgeblich einschränken müssen (Art. 15 Abs. 1 Satz 1 des Bundesgesetzes vom 25. September 2020 über die gesetzlichen Grundlagen für Verordnungen des Bundesrates zur Bewältigung der Covid-19-Epidemie [Covid-19-Gesetz; SR 818.102]).
Anspruch auf Corona-Erwerbsersatz haben Selbstständigerwerbende im Sinne von <ref-law> und Personen nach Art. 31 Abs. 3 lit. b und c AVIG (SR 837.0), die nach AHVG obligatorisch versichert sind. Dabei ist nach Art. 2 Abs. 3 der Verordnung vom 20. März 2020 über Massnahmen bei Erwerbsausfall im Zusammenhang mit dem Coronavirus (Covid-19; Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall [SR 830.31]) vorausgesetzt, dass die Betroffenen (a.) ihre Erwerbstätigkeit aufgrund von behördlich angeordneten Massnahmen zur Bekämpfung der Covid-19-Epidemie unterbrechen müssen und (b.) einen Erwerbs- oder Lohnausfall erleiden. Alternativ setzt Art. 2 Abs. 3bis Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall die Bedingungen, dass (a.) die Erwerbstätigkeit der Betroffenen aufgrund behördlich angeordneter Massnahmen zur Bekämpfung der Covid-19-Epidemie massgeblich eingeschränkt ist, (b.) sie einen Erwerbs- oder Lohnausfall erleiden, und (c.) sie im Jahr 2019 für diese Tätigkeit ein AHV-pflichtiges Erwerbseinkommen von mindestens Fr. 10'000.- erzielt haben; diese Voraussetzung gilt sinngemäss, wenn die Tätigkeit nach dem Jahr 2019 aufgenommen wurde; wurde die Tätigkeit nicht während eines vollen Jahres ausgeübt, so gilt diese Voraussetzung proportional zu deren Dauer.
3.
Das kantonale Gericht ist auf die bei ihm erhobene Beschwerde, soweit sie sich auf einen Anspruch für das Jahr 2020 bezog, nicht eingetreten. Es hat sich darauf beschränkt, den Anspruch auf Corona-Erwerbsersatz für das Jahr 2021 zu prüfen. Dabei hat es mit Blick auf Art. 2 Abs. 3 und 3bis Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall festgestellt, dass der Versicherte in den Jahren 2019 und 2020 kein Einkommen aus selbstständiger Erwerbstätigkeit erzielt habe. Es hat erwogen, der Verdienst aus unselbstständiger Erwerbstätigkeit in dieser Zeit könne nicht herangezogen werden, weshalb (für das Jahr 2021) kein Erwerbsausfall ausgewiesen sei. Folglich hat es einen Anspruch auf Corona-Erwerbsersatz verneint.
4.
4.1. Ob die Rüge einer Verletzung von <ref-law> genügend substanziiert ist, kann offenbleiben. Es liegt keine Verletzung des An spruchs auf rechtliches Gehör resp. der Begründungspflicht durch das kantonale Gericht vor, wenn eine sachgerechte Anfechtung des vorinstanzlichen Urteils möglich war (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2 mit Hinweisen). Das trifft hier zu.
4.2. Es steht ausser Frage, dass sich der umstrittene Anspruch auf Corona-Erwerbsersatz einzig aus der Eigenschaft des Beschwerdeführers als Selbstständigerwerbender und gestützt auf Art. 2 Abs. 3 oder 3bis Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall ergeben kann. Die vorinstanzliche Feststellung eines fehlenden Einkommens aus selbstständiger Erwerbstätigkeit bleibt unbestritten und für das Bundesgericht verbindlich (vgl. vorangehende E. 1).
Der Beschwerdeführer macht im Wesentlichen geltend, er sei freischaffender Künstler. Es müsse für den Erwerbsausfall berücksichtigt werden, dass freischaffende Künstler und Künstlerinnen zahlreiche Einkommensteile aus verschiedenen Quellen mit Lohnausweis, mithin aus Anstellungsverhältnissen, bezögen. Auch wenn er einzig Einkommen aus unselbstständiger Tätigkeit erzielt habe, handle es sich dabei um entgangenes Einkommen im Sinne des Verordnungsrechts.
4.3. Gemäss Rz. 5050 der Wegleitung des Bundesamtes für Sozialversicherungen (BSV) zur Erwerbsersatzordnung für Dienstleistende, Mutter- und Vaterschaft (WEO) wird das durchschnittliche vordienstliche Erwerbseinkommen der Personen, die gleichzeitig unselbstständig- und selbstständigerwerbende sind, ermittelt, indem die auf den Tag umgerechneten Erwerbseinkommen aus unselbstständiger und selbstständiger Tätigkeit zusammengezählt werden. Daraus ergibt sich nichts für den Beschwerdeführer: Abgesehen davon, dass Verwaltungsweisungen für das Gericht nicht verbindlich sind (vgl. <ref-ruling> E. 6.1.1; <ref-ruling> E. 5.2), gilt laut Rz. 1069 des Kreisschreibens des BSV über die Entschädigung bei Massnahmen zur Bekämpfung des Coronavirus - Corona-Erwerbsersatz (KS CE) Rz. 5050 WEO lediglich sinngemäss.
4.4. Das Gesetz muss in erster Linie aus sich selbst heraus, das heisst nach dem Wortlaut, Sinn und Zweck und den ihm zugrunde liegenden Wertungen auf der Basis einer teleologischen Verständnismethode ausgelegt werden. Die Gesetzesauslegung hat sich vom Gedanken leiten zu lassen, dass nicht schon der Wortlaut die Norm darstellt, son dern erst das an Sachverhalten verstandene und konkretisierte Gesetz. Gefordert ist die sachlich richtige Entscheidung im normativen Gefüge, ausgerichtet auf ein befriedigendes Ergebnis der ratio legis. Dabei befolgt das Bundesgericht einen pragmatischen Methodenpluralismus und lehnt es namentlich ab, die einzelnen Auslegungselemente einer hierarchischen Ordnung zu unterstellen (<ref-ruling> E. 4.5.1 mit Hinweisen).
Verordnungsrecht ist gesetzeskonform auszulegen. Es sind die ge setzgeberischen Anordnungen, Wertungen und der in der Delegationsnorm eröffnete Gestaltungsspielraum mit seinen Grenzen zu berücksichtigen. Auch ist den Grundrechten und verfassungsmässigen Grundsätzen Rechnung zu tragen und zwar in dem Sinne, dass - sofern durch den Wortlaut (und die weiteren massgeblichen normunmittelbaren Auslegungselemente) nicht klar ausgeschlossen - der Verordnungsbestimmung jener Rechtssinn beizumessen ist, welcher im Rahmen des Gesetzes mit der Verfassung (am besten) übereinstimmt (verfassungskonforme oder verfassungsbezogene Interpretation; <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling>E. 4.5.1).
4.5. Die Verordnungsbestimmungen setzen einen Erwerbs- oder Lohnausfall ("perte de gain ou une perte de salaire"; "perdita di guadagno o salariale") voraus. Diese Differenzierung bezieht sich offensichtlich auf die Gruppe der Selbstständigerwerbenden einerseits und auf jene der (hier nicht weiter interessierenden) Personen nach Art. 31 Abs. 3 lit. b und c AVIG anderseits. Weshalb beim Erwerbsausfall resp. Corona-Erwerbsersatz für Personen der ersten Kategorie auch ein Lohnausfall berücksichtigt werden sollte, leuchtet nicht ein. Der hier fragliche Corona-Erwerbsersatz ist denn auch nur eine von verschiedenen Regelungen mit dem Zweck, den von Massnahmen zur Bekämpfung der Covid-19-Epidemie Betroffenen "unkomplizierte Hilfe" zukommen zu lassen. Wie die Vorinstanz richtig erkannt hat, ist für Ausfälle aus der unselbstständigen Tätigkeit des Beschwerdeführers grundsätzlich (ohne dass die entsprechenden spezifischen Voraussetzungen hier zu prüfen wären) Kurzarbeitsentschädigung (vgl. Art. 17 ff. Covid-19-Gesetz) oder eine Leistung für Kulturschaffende (vgl. Art. 11 Covid-19-Gesetz) vorgesehen. Auch wenn damit Ausfälle (teilweise) ungedeckt bleiben, kann nicht per se von "stossenden, sachlich unbegründeten Konsequenzen" gesprochen werden. Weshalb bei Selbstständigerwerbenden auf die Unterscheidung zwischen Einkommen aus selbstständiger und solchem aus unselbstständiger Tätigkeit verzichtet werden und eine wirtschaftliche Betrachtungsweise Platz greifen müsste, erschliesst sich nicht und ergibt sich auch nicht ansatzweise aus dem vom Beschwerdeführer angerufenen <ref-ruling> E. 5. Schliesslich macht der Beschwerdeführer eine "verfassungsrechtlich verpönte Ungleichbehandlung" geltend. Eine solche lässt sich jedoch nicht bereits mit dem blossen - und ohnehin neu behaupteten (vgl. <ref-law>) - Umstand begründen, dass die Verwaltung in einem anderen Fall für die Höhe des Corona-Erwerbsersatzes nicht nur das aus selbstständiger, sondern auch das aus unselbstständiger Tätigkeit erzielte Einkommen berücksichtigt hatte.
Dass der Vorinstanz aus einem anderen Grund ein falsches Verständnis von Art. 2 Abs. 3 oder 3bis Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall vorzuwerfen wäre, ist nicht ersichtlich und wird auch nicht vorgebracht.
4.6. Nach dem Gesagten hat das kantonale Gericht kein Recht verletzt, indem es in concreto für den Erwerbsausfall das Einkommen aus unselbstständiger Tätigkeit unberücksichtigt gelassen hat. Die Beschwerde ist unbegründet.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerde führer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Dezember 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Dormann