Erwägungen:
1.
1.1. Mit Entscheid vom 28. Mai 2018 erteilte das Regionalgericht Bern-Mittelland der Beschwerdegegnerin gegenüber dem Beschwerdeführer in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Bern-Mittelland, Dienststelle Mittelland, definitive Rechtsöffnung für Fr. 2'000.-- nebst Zins. Auf den Antrag des Beschwerdeführers auf Ablehnung des Spruchkörpers trat das Regionalgericht nicht ein.
1.2. Gegen diesen Entscheid erhob der Beschwerdeführer am 11. Juni 2018 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Bern. Mit Entscheid vom 9. August 2018 trat das Obergericht auf den Antrag auf Ablehnung des obergerichtlichen Spruchkörpers nicht ein, wies den Antrag auf vorgängige Bekanntgabe des Spruchkörpers ab und wies schliesslich die Beschwerde gegen den regionalgerichtlichen Ablehnungs- und Rechtsöffnungsentscheid ab.
1.3. Dagegen hat der Beschwerdeführer am 11. September 2018 Beschwerde in Zivilsachen bzw. subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht erhoben. Er stellt mehrere Ablehnungsbegehren, verlangt die Bekanntgabe der Besetzung des Spruchkörpers vor Urteilsfällung und ersucht um aufschiebende Wirkung.
Mit Verfügung vom 12. September 2018 hat das Bundesgericht ihn zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 2'000.-- aufgefordert. Mit Verfügung vom 4. Oktober 2018 hat das Bundesgericht dem Beschwerdeführer eine Nachfrist bis 18. Oktober 2018 zur Bezahlung des Kostenvorschusses angesetzt. Am 18. Oktober 2018 hat der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege ersucht. Mit Verfügung vom 19. Oktober 2018 hat das Bundesgericht den Beschwerdeführer aufgefordert, seine finanzielle Situation bis am 29. Oktober 2018 vollständig offenzulegen. Der Beschwerdeführer hat darauf nicht reagiert.
Mit Verfügung vom 3. Dezember 2018 hat das Bundesgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen. Zugleich hat es das Ablehnungsbegehren gegen die von der II. zivilrechtlichen Abteilung bestimmte Besetzung unter Hinweis auf die dem Beschwerdeführer bekannte Rechtsprechung abgewiesen. Auf das Ausstandsbegehren gegen Bundesrichter von Werdt ist es infolge Missbräuchlichkeit nicht eingetreten. Schliesslich hat es den Beschwerdeführer darauf hingewiesen, dass kein Anspruch auf vorgängige Bekanntgabe des Spruchkörpers besteht.
In der Folge hat das Bundesgericht dem Beschwerdeführer mit Verfügung vom 4. Dezember 2018 eine letzte Nachfrist zur Vorschussleistung bis zum 17. Dezember 2018 angesetzt (unter Androhung des Nichteintretens auf die Beschwerde bei nicht rechtzeitiger Bezahlung; <ref-law>). Der Beschwerdeführer hat den Vorschuss binnen Frist nicht bezahlt.
2.
2.1. Über das Nichteintreten infolge Nichtbezahlung des Kostenvorschusses entscheidet der Präsident der Abteilung im vereinfachten Verfahren (Art. 62 Abs. 3 i.V.m. <ref-law>). Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung ist seit 1. Januar 2019 Bundesrichter Herrmann.
2.2. Demgemäss ist zunächst über das Ausstandsbegehren gegen Bundesrichter Herrmann zu befinden.
Der Beschwerdeführer begründet sein Ausstandsbegehren in erster Linie mit der Parteizugehörigkeit von Bundesrichter Herrmann zur SVP und damit verbunden mit der Tatsache, dass die SVP Urheberin der "Selbstbestimmungsinitiative" sei. Sodann stösst er sich daran, dass Bundesrichter Herrmann Bürger von Langnau (gemeint: Langnau im Emmental, Kanton Bern) sei und in Bern sein Anwaltspatent erlangt habe.
Ausstandsbegehren, die keine Gründe nennen, weshalb die betreffende Gerichtsperson im konkreten Fall befangen sein soll, sind von vornherein unzulässig (Urteil 6B_1442/2017 vom 24. Oktober 2018 E. 2.1). Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was den Anschein der Befangenheit des Abteilungspräsidenten im konkreten Fall erwecken könnte. Auf das offensichtlich missbräuchliche Ausstandsbegehren ist nicht einzutreten.
3.
Mangels rechtzeitiger Leistung des Kostenvorschusses ist demnach mit Entscheid des Abteilungspräsidenten auf die Beschwerde nicht einzutreten (Art. 62 Abs. 3 i.V.m. <ref-law>). Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos. Gegenstandslos sind desgleichen die Ausstandsbegehren gegen Bundesrichterin Escher und Gerichtsschreiber Möckli, die am vorliegenden Urteil nicht beteiligt sind.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat aufforderungsgemäss am 20. September 2018 zum Gesuch um aufschiebende Wirkung Stellung genommen und dessen Abweisung beantragt. Für die sich nunmehr als nutzlos herausstellenden Aufwendungen ist sie angemessen zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf das Ausstandsbegehren gegen Bundesrichter Herrmann wird nicht eingetreten.
2.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Ausstandsbegehren gegen Bundesrichterin Escher und Gerichtsschreiber Möckli werden als gegenstandslos abgeschrieben.
4.
Das Gesuch um aufschiebende Wirkung wird als gegenstandslos abgeschrieben.
5.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
6.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
7.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Januar 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Zingg