Erwägungen:
1.
A._ befand sich ab dem 23. Februar 2018 in Ausschaffungshaft. Nachdem er seine Repatriierung nach Algerien zweimal vereitelt hatte, wurde die Ausschaffungshaft am 13. Juni 2018 in Durchsetzungshaft umgewandelt. Das Migrationsamt verfügte am 27. Dezember 2018 die vierte Verlängerung der Durchsetzungshaft bis zum 10. März 2019. Die Einzelrichterin für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht genehmigte diese vierte Verlängerung der Durchsetzungshaft mit Verfügung vom 9. Januar 2019. Aufgrund des Gesuchs von A._ um gerichtliche Überprüfung der Haftanordnung mit mündlicher Verhandlung, um unverzügliche Freilassung aus der Haft, eventualiter unter der Auflage, sich alle zwei Wochen beim Migrationsamt zu melden, sowie um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung führte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Einzelrichterin für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, am 18. Januar 2019 eine mündliche Verhandlung durch. Mit Urteil vom gleichen Tag erkannte sie, die Verlängerung der Durchsetzungshaft über A._ bis zum 10. März 2019 sei rechtmässig und angemessen, erhob keine Kosten und ordnete an, dem Rechtsvertreter von A._ werde ein Honorar sowie ein Auslagenersatz aus der Gerichtskasse ausgerichtet. Das Urteil wurde A._ gleichentags eröffnet. Gegen dieses Urteil gelangt A._ mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 22. Januar 2019 an das Bundesgericht und beantragt, das angefochtene Urteil sei kostenfällig aufzuheben, und er sei unverzüglich aus der Haft zu entlassen, eventualiter unter der Auflage, sich einmal wöchentlich bei einer Amtsstelle zu melden. Er ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Es wurden weder die Vorakten eingeholt noch wurden andere Instruktionsmassnahmen angeordnet.
2.
Die gegen den kantonal letztinstanzlichen richterlichen Endentscheid betreffend Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht ist zwar zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1 und Art. 90 sowie Art. 100 Abs. 1 BGG; Urteile 2C_913/2014 vom 4. November 2014 E. 1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; 2C_1038/2018 vom 7. Dezember 2018 E. 1.1; 2C_1/2016 vom 27. Januar 2016 E. 1), aber offensichtlich unbegründet, weshalb sie mit summarischer Begründung im vereinfachten Verfahren abzuweisen ist (<ref-law>).
2.1. Im angefochtenen Urteil hat die Vorinstanz implizit ein Gesuch des Beschwerdeführers um Entlassung aus der Haft, eventualiter unter Auflagen, abgewiesen und die vierte Verlängerung der Durchsetzungshaft bis am 10. März 2019 ausdrücklich bestätigt.
2.1.1. Zweck der Durchsetzungshaft ist es, die ausreisepflichtige Person in jenen Fällen zu einer Verhaltensänderung zu bewegen, in denen nach Ablauf der Ausreisefrist der Vollzug der rechtskräftig gegen sie angeordneten Weg- bzw. Ausweisung oder Landesverweisung - trotz entsprechender behördlicher Bemühungen - ohne ihre Kooperation nicht möglich erscheint (vgl. Art. 78 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer und über die Integration [Ausländer- und Integrationsgesetz, AIG; SR 142.20]).
2.1.2. Der damit verbundene Freiheitsentzug steht im Einklang mit Art. 5 Ziff. 1 lit. f EMRK (Haft zur Sicherung eines schwebenden Ausweisungsverfahrens) und dient in diesem Rahmen der Durchsetzung einer durch das Gesetz vorgeschriebenen Verpflichtung des Betroffenen (Art. 5 Ziff. 1 lit. b EMRK; vgl. <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 96). Die Durchsetzungshaft bildet das letzte Mittel, wenn und soweit keine andere Massnahme (mehr) zum Ziel führt, den illegal anwesenden Ausländer auch gegen seinen Willen in seine Heimat verbringen zu können. Sie setzt voraus, dass ein rechtskräftiger Weg- oder Ausweisungsentscheid vorliegt, der Betroffene diesem nicht rechtzeitig freiwillig nachgekommen ist und der zwangsweise Vollzug der Weg- oder Ausweisung bzw. der Landesverweisung an einem ihm vorwerfbaren Verhalten scheitert (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 96; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 204; <ref-ruling> E. 2.1 S. 99). Die Durchsetzungshaft kann für einen Monat angeordnet und mit Zustimmung der kantonalen richterlichen Behörde jeweils um zwei Monate verlängert werden, sofern die betroffene Person weiterhin nicht bereit ist, ihr Verhalten zu ändern und auszureisen (<ref-law>). Wie jedes staatliche Handeln muss die Durchsetzungshaft verhältnismässig sein. Innerhalb der Höchstdauer von 18 Monaten (für Vorbereitungs-, Ausschaffungs- und Durchsetzungshaft zusammen, Art. 78 Abs. 2, Art. 79 Abs. 1 und Abs. 2 AIG) ist jeweils aufgrund der Umstände des Einzelfalles zu prüfen, ob die ausländerrechtliche Festhaltung insgesamt noch geeignet bzw. erforderlich erscheint und nicht gegen das Übermassverbot verstösst (<ref-ruling> E. 2.1 S. 411; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 107; <ref-ruling> E. 2.3.1 und E. 2.3.2 S. 96 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 99 f.).
2.1.3. Der Beschwerdeführer bestreitet in seiner dem Bundesgericht eingereichten Beschwerdeschrift nicht, dass der Haftgrund von <ref-law> erfüllt ist. Seine dem Bundesgericht eingereichte Beschwerde richtet sich gegen die Verhältnismässigkeit der verlängerten Durchsetzungshaft. Er trägt vor, die Durchsetzungshaft vermöge ihren Zweck nicht mehr zu erreichen: Die Annahme, ein hafterprobter Ausländer werde in dieser Situation seine Meinung noch zu Gunsten einer freiwilligen Ausreise ändern, sei lebensfremd, was durch sein zunehmend renitentes Verhalten in der Administrativhaft und die erdenklichen Mühen, die er auf sich genommen habe, um seine Rückschaffung zu vereiteln, belegt werde. Diese Vorbringen des Beschwerdeführers vermögen nicht zu überzeugen. Dass sich der Betroffene (immer noch) unkooperativ zeigt, ist Voraussetzung, um die Festhaltung überhaupt verlängern zu können, und insoweit sachimmanent, als der Durchsetzungshaft (auch) die Funktion einer Beugehaft zukommt (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.2.4 S. 205; <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 97). Allein die Tatsache, dass er sich bisher konsequent geweigert hat, freiwillig auszureisen, kann nicht dazu führen, dass die Durchsetzungshaft nicht mehr geeignet wäre, dieses Ziel zu erreichen. Ein erklärtes konsequent unkooperatives Verhalten bildet bei der Prüfung, ob die Durchsetzungshaft noch geeignet bzw. erforderlich ist, nur einen unter mehreren zu berücksichtigenden Gesichtspunkten, andernfalls die Festhaltung umso weniger angeordnet werden könnte, je renitenter sich die betroffene Person zeigt und je stärker sie versucht, ihre Ausschaffung zu hintertreiben (<ref-ruling> E. 2.3.2 S. 97; <ref-ruling> E. 2.2.4 S. 205 f.). Das mutmassliche künftige Verhalten des Betroffenen ist jeweils aufgrund sämtlicher Umstände abzuschätzen. Neben dem Verhalten der betroffenen Person bildet ihr erklärtes konsequent unkooperatives Verhalten diesbezüglich nur einen - allenfalls aber gewichtigen - Gesichtspunkt unter anderen. Bei der Beurteilung der Verhältnismässigkeit muss dem Verhalten des Betroffenen, den die Papierbeschaffung allenfalls erschwerenden objektiven Umständen (ehemalige Bürgerkriegsregion usw.) sowie dem Umfang der von den Behörden bereits getroffenen Abklärungen Rechnung getragen und berücksichtigt werden, inwieweit der Ausländer es tatsächlich in der Hand hat, die Festhaltung zu beenden, indem er seiner Mitwirkungs- bzw. Ausreisepflicht nachkommt (<ref-ruling> E. 2.3.2 S. 97; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 204; Urteile 2C_1038/2018 vom 7. Dezember 2018 E. 2.3; 2C_1089/2012 vom 22. November 2012 E. 2.3). Von Bedeutung können auch ihre familiären Verhältnisse sowie der Umstand sein, dass sie wegen ihres Alters, Geschlechts oder Gesundheitszustands als "besonders schutzbedürftig" zu gelten hat (BGE <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 107 f.; <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 97; Urteile 2C_1038/2018 vom 7. Dezember 2018 E. 2.3; 2C_1089/2012 vom 22. November 2012 E. 2.3). Die Vorinstanz hat im angefochtenen Urteil erwogen, der nicht als besonders schutzbedürftig einzustufende Beschwerdeführer habe es selbst in der Hand, die Haft zu beenden, könne er doch bei den algerischen Behörden jederzeit ein laissez-passer erhältlich machen; es sei nicht auszuschliessen, dass die Fortdauer der Inhaftierung noch ein Umdenken zu bewirken vermöge. Sie hat damit <ref-law> offensichtlich nicht verletzt.
Die weiteren Ausführungen in der Beschwerde vermögen an dieser Beurteilung nichts zu ändern (<ref-law>).
3.
Bei diesem Verfahrensausgang wären die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen, der unterliegt (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist infolge Aussichtslosigkeit abzuweisen (<ref-law>). Umständehalber ist auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Einzelrichterin für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Januar 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Mayhall