Faits :
A.
Par jugement du 11 juin 2019, le Tribunal de police de l'arrondissement de Lausanne a constaté que A._ avait commis une infraction de violence ou menace contre les autorités et les fonctionnaires, mais a renoncé à le condamner en raison de son irresponsabilité. Il a ordonné, en faveur du prénommé, une mesure thérapeutique institutionnelle.
B.
Par jugement du 3 octobre 2019, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud a partiellement admis l'appel formé par A._ contre ce jugement et a réformé celui-ci en ce sens que le prénommé est libéré du chef de prévention de violence ou menace contre les autorités et les fonctionnaires, qu'il est constaté que les éléments constitutifs objectifs de l'infraction de menaces sont réalisés, et que l'intéressé est déclaré pénalement irresponsable. Elle a confirmé le jugement pour le surplus.
C.
A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 3 octobre 2019, en concluant, avec suite de frais et dépens, principalement à sa réforme en ce sens qu'aucune mesure n'est prononcée en sa faveur et qu'une indemnité de 12'750 fr. lui est allouée à titre de l'art. 429 al. 1 CPP. Subsidiairement, il conclut à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour complément d'instruction et nouvelle décision. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.

Considérant en droit :
1.
Aux termes de l'art. 100 al. 1 LTF, le recours contre une décision doit être déposé devant le Tribunal fédéral dans les 30 jours qui suivent la notification de l'expédition complète.
Selon l'art. 46 al. 1 let. c LTF, les délais fixés en jours par la loi ou par le juge ne courent pas du 18 décembre au 2 janvier inclus.
En l'espèce, le jugement attaqué a été notifié au recourant le 19 décembre 2019. Le délai de recours au Tribunal fédéral a donc commencé à courir le 3 janvier 2020, pour arriver à échéance le lundi 3 février 2020 (cf. art. 45 al. 1 LTF), ce qu'admet le recourant dans son mémoire de recours.
2.
2.1. Aux termes de l'art. 42 LTF, les mémoires doivent être rédigés dans une langue officielle, indiquer les conclusions, les motifs et les moyens de preuve, et être signés (al. 1). Les pièces invoquées comme moyens de preuve doivent être jointes au mémoire, pour autant qu'elles soient en mains de la partie; il en va de même de la décision attaquée si le mémoire est dirigé contre une décision (al. 3). Si la signature de la partie ou de son mandataire, la procuration ou les annexes prescrites font défaut, ou si le mandataire n'est pas autorisé, le Tribunal fédéral impartit un délai approprié à la partie pour remédier à l'irrégularité et l'avertit qu'à défaut le mémoire ne sera pas pris en considération (al. 5).
Les mémoires doivent être remis au plus tard le dernier jour du délai, soit au Tribunal fédéral soit, à l'attention de ce dernier, à La Poste suisse ou à une représentation diplomatique ou consulaire suisse (art. 48 al. 1 LTF). Le délai est sauvegardé si l'acte est remis le dernier jour du délai à minuit (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 391 et les références citées).
2.2. L'avocat du recourant a daté son mémoire de recours du 3 février 2020 et a exposé, dans la section dudit mémoire consacrée à la recevabilité, que cette date constituait bien le terme du délai de recours.
Le sceau postal figurant sur le pli ayant contenu le recours mentionne cependant la date du 4 février 2020.
Par courrier du 4 février 2020, l'avocat du recourant a expliqué au Tribunal fédéral que le recours avait été déposé dans une boîte postale à 23 h 19, le jour précédent, et que le dépôt avait été "filmé au moyen d'un téléphone portable, afin d'en apporter si nécessaire la preuve". Il a ajouté qu'il tenait l'enregistrement en question à disposition du Tribunal fédéral.
2.3. La date du dépôt d'un acte de procédure est présumée coïncider avec celle du sceau postal (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 391; <ref-ruling> consid. 3b p. 375). La partie qui prétend avoir déposé son acte la veille de la date attestée par le sceau postal a cependant le droit de renverser cette présomption par tous moyens de preuve appropriés (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 391 s.; <ref-ruling> consid. 3b p. 375).
L'avocat qui se contente de déposer son pli dans une boîte postale n'est pas sans ignorer le risque qu'il court que ce pli ne soit pas enregistré le jour même de son dépôt, mais à une date ultérieure. S'il souhaite renverser la présomption résultant du sceau postal apposé sur l'enveloppe ayant contenu un acte de procédure, on est en droit d'attendre de lui qu'il indique spontanément - et avant l'échéance du délai de recours - à l'autorité compétente avoir respecté le délai, en présentant les moyens probatoires en attestant ( arrêts 5A_503/2019 du 20 décembre 2019 consid. 4.1 et les références citées; 8C_696/2018 du 7 novembre 2018 consid. 3.4; 6B_397/2012 du 20 septembre 2012 consid. 1.2). Est notamment admissible, à titre de preuve, l'attestation de la date de l'envoi par un ou plusieurs témoins mentionnés sur l'enveloppe concernée (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 392 et les références citées). La présence de signatures sur l'enveloppe n'est pas, en soi, un moyen de preuve du dépôt en temps utile, la preuve résidant dans le témoignage du ou des signataires; il incombe dès lors à l'intéressé d'offrir cette preuve dans un délai adapté aux circonstances, en indiquant l'identité et l'adresse du ou des témoins (cf. art. 42 al. 3 LTF cum art. 71 LTF et 33 al. 2 PCF; arrêts 5A_972/2018 du 5 février 2019 consid. 4.1; 8C_696/2018 précité consid. 3.3).
2.4. En l'occurrence, dès lors que le sceau postal sur le pli ayant contenu le recours mentionne la date du 4 février 2020, ledit recours est présumé avoir été déposé à cette date. En conséquence, le recours est présumé avoir été déposé tardivement (cf. arrêt 8C_696/2018 précité consid. 3.4). Le pli ayant contenu le recours, non plus que le mémoire de recours lui-même, ne comporte d'explications relatives à un éventuel dépôt, à une heure tardive, du 3 février 2020. Ce n'est que le 4 février 2020, soit après l'expiration du délai de recours, que l'avocat du recourant a fait état d'un tel dépôt, tout en évoquant un moyen de preuve tenu à la disposition du Tribunal fédéral. Une telle manière de procéder - à l'instar de celle qui consisterait à indiquer à l'autorité judiciaire, pour la première fois après l'expiration du délai de recours, que le pli litigieux aurait été déposé en présence de témoins - n'est pas admissible et ne permet pas au recourant de renverser la présomption découlant du sceau postal, ni celle de tardiveté du recours (cf. arrêt 8C_696/2018 précité consid. 3.4).
2.5. On peut encore relever que l'administration de preuves fournies en temps utile, qui serait rendue nécessaire pour déterminer si un acte de procédure a bien été déposé à la date alléguée par une partie - soit en particulier afin de renverser la présomption découlant du sceau postal figurant sur un pli -, notamment l'audition de témoins ayant assisté à son dépôt dans une boîte postale ou le visionnage d'un film censé immortaliser ledit dépôt, est propre à engendrer des frais judiciaires supplémentaires pour le Tribunal fédéral. De tels frais devraient en principe être considérés comme des frais causés inutilement (cf. art. 66 al. 3 LTF) et, comme tels, être mis à la charge de celui les ayant engendrés, par exemple de l'avocat ayant procédé de manière à fonder une présomption de tardiveté du recours.
3.
Au vu de ce qui précède, le recours a été déposé tardivement. Il est donc irrecevable. Comme ses conclusions étaient dépourvues de chances de succès, l'assistance judiciaire ne peut être accordée (art. 64 al. 1 LTF). Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF), dont le montant sera fixé en tenant compte de sa situation financière, laquelle n'apparaît pas favorable.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'200 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 7 février 2020
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Graa