Sachverhalt:
A.
Mit Urteil vom 22. Januar 2018 bzw. 7. Juni 2019 sprach das Bezirksgericht Kreuzlingen A._ der mehrfachen qualifizierten Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz, der Anstiftung zum Raub, der mehrfachen versuchten qualifizierten Erpressung, der versuchten Erpressung, der qualifizierten Förderung der rechtswidrigen Ein- und Ausreise sowie des rechtswidrigen Aufenthalts, der Nötigung, der Widerhandlung gegen das Waffengesetz, der Sachbeschädigung und der groben Verletzung der Verkehrsregeln schuldig und verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von 14 Jahren, unter Anrechnung der (bis damals) erstandenen strafprozessualen Haft von 2'258 Tagen. Von den übrigen Vorwürfen, welche die Staatsanwaltschaft Kreuzlingen zur Anklage gebracht hatte, insbesondere vom Vorwurf der vorsätzlichen Tötung, sprach es ihn frei; von einer Verwahrung sah es ab.
B.
Gegen das Strafurteil des Bezirksgerichts Kreuzlingen erhoben sowohl A._ als auch die Staatsanwaltschaft Berufung beim Obergericht des Kantons Thurgau. Ersterer beantragte einen vollumfänglichen Freispruch. Letztere verlangte zusätzliche Schuldsprüche in weiteren Anklagepunkten betreffend qualifizierte Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz, versuchte qualifizierte Erpressung und Nötigung. Zudem beantragte sie eine Strafverschärfung und erneut die Verwahrung. Das Berufungsverfahren ist hängig.
C.
Am 17. Dezember 2019 wies die Präsidentin des Obergerichts ein Gesuch von A._ vom 3. Dezember 2019 um Entlassung aus dem vorzeitigen Strafvollzug ab und versetzte ihn in Sicherheitshaft. Mit Urteil 1B_55/2020 vom 21. Februar 2020 schützte das Bundesgericht diesen Entscheid, stellte aber wegen dessen teilweise unzureichender Begründung eine Gehörsverletzung fest.
Am 23. Dezember 2020 wies die Präsidentin des Obergerichts ein weiteres Haftentlassungsgesuch von A._ vom 30. November 2020 ab. Ein Schreiben, in dem dieser Kritik an diesem Entscheid äusserte, leitete sie an das Bundesgericht weiter. Dieses trat mit Urteil 1B_29/2021 vom 22. Januar 2021 auf die als Beschwerde entgegengenommene Eingabe nicht ein.
D.
Am 20. Mai 2021 ersuchte A._ erneut um Entlassung aus der Sicherheitshaft. Eventualiter beantragte er die Anordnung von Ersatzmassnahmen bzw. die Abklärung seiner Hafterstehungsfähigkeit. Im Anschluss an die Haftverhandlung vom 4. Juni 2021 bemühte sich das Obergericht zunächst ohne Erfolg, bei Fachpersonen ein Gutachten zur Hafterstehungsfähigkeit von A._ einzuholen. Am 13. September 2021 erstattete schliesslich Dr. med. B._ ein forensisch-psychiatrisches Gutachten zu dieser Frage. Mit Entscheid vom 19. Oktober 2021 wies die Präsidentin des Obergerichts das Haftentlassungsgesuch ab.
E.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 19. November 2021 beantragt A._ seine unverzügliche Entlassung aus der Sicherheitshaft. Eventualiter seien geeignete Ersatzmassnahmen anzuordnen bzw. sei seine Hafterstehungsfähigkeit zu prüfen.
Die Staatsanwaltschaft beantragt die Abweisung der Beschwerde. Dasselbe tut das Obergericht, das ansonsten auf eine Vernehmlassung verzichtet hat. A._ hat sich nicht mehr geäussert.

Erwägungen:
1.
Mit dem angefochtenen Entscheid hat die Verfahrensleitung des Berufungsgerichts als einzige kantonale Instanz ein Gesuch um Entlassung aus der Sicherheitshaft abgewiesen (vgl. Art. 233 Satz 2 und Art. 380 StPO). Dagegen steht die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht offen (Art. 78 Abs. 1, Art. 80 und Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen, befindet sich weiterhin in Sicherheitshaft und ist somit nach <ref-law> zur Beschwerde befugt. Er ist zudem innert Frist an das Bundesgericht gelangt (vgl. <ref-law>). Seine Beschwerde erscheint allerdings über weite Strecken unzureichend begründet, worauf im jeweiligen Zusammenhang näher einzugehen sein wird. Ob sie zumindest teilweise den Begründungsanforderungen (vgl. nachfolgend E. 2) genügt und daher im Grundsatz darauf einzutreten ist, kann mit Blick auf die nachfolgenden materiellen Erwägungen offen bleiben.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Strafsachen kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, welche die beschwerdeführende Partei vorbringt und begründet, sofern die rechtlichen Mängel des angefochtenen Entscheids nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2). Die Beschwerde muss sich wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzen; rein appellatorische Kritik reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 1.4; Urteile 1B_389/2020 vom 19. August 2020 E. 2.1; 1B_541/2017 vom 8. Januar 2018 E. 1). Auch pauschale Verweise auf Rechtsschriften im vorinstanzlichen oder in anderen Verfahren genügen nicht (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1.3). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten namentlich, soweit die Verletzung von Grundrechten gerügt wird (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.7.2; <ref-ruling> E. 2.2).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil weiter den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.1.2), ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht. Erforderlich ist zudem, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (vgl. Art. 42 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.3). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Echte Noven, das heisst Tatsachen oder Beweismittel, die sich nach dem angefochtenen Entscheid ereignet haben oder danach entstanden sind, sind unzulässig (<ref-ruling> E. 1.2 mit Hinweisen).
3.
Gemäss <ref-law> ist Sicherheitshaft namentlich zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig (allgemeiner Haftgrund) und ernsthaft zu befürchten ist, sie entziehe sich durch Flucht dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion (lit. a; besonderer Haftgrund der Fluchtgefahr). Anstelle der Haft sind eine oder mehrere mildere Massnahmen anzuordnen, wenn diese den gleichen Zweck erfüllen (<ref-law>). Auch sonst muss die Haft verhältnismässig sein (Art. 197 Abs. 1 lit. c und d StPO).
4.
4.1. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid hinsichtlich des allgemeinen Haftgrunds namentlich festgehalten, liege bereits ein (erstinstanzliches) Strafurteil vor, sei in der Regel ohne Weiteres von einem dringenden Tatverdacht auszugehen. Der Beschwerdeführer bestreite hinsichtlich der gegen ihn ergangenen Schuldsprüche zu Recht einen solchen Tatverdacht nicht. Sie hat weiter einlässlich begründet, wieso sich seit dem bundesgerichtlichen Urteil 1B_55/2020 vom 21. Februar 2020 (vgl. vorne Sachverhalt Bst. C) nichts Wesentliches geändert habe und beim Beschwerdeführer weiterhin von Fluchtgefahr auszugehen sei.
4.2. Der Beschwerdeführer bestreitet zwar die Fluchtgefahr und neu offenbar zumindest teilweise auch das Bestehen eines dringenden Tatverdachts. Er verweist in diesem Zusammenhang allerdings pauschal auf sein Haftentlassungsgesuch vom 30. November 2020 (vgl. vorne Sachverhalt Bst. C), ohne seinen Standpunkt weiter zu erläutern oder sich mit der Begründung des angefochtenen Entscheids auseinanderzusetzen. Damit genügt die Beschwerde insoweit den Begründungsanforderungen nicht (vgl. vorne E. 2). Die vorinstanzliche Beurteilung weist überdies keine offensichtlichen rechtlichen Mängel auf, sondern erscheint vielmehr - soweit dies angesichts der unzureichenden Begründung überhaupt zu prüfen ist - zutreffend (vgl. auch unten E. 6.3).
5.
5.1. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid weiter ausführlich dargelegt, wieso die strafprozessuale Haft in zeitlicher Hinsicht nach wie vor verhältnismässig sei, obschon sie nunmehr knapp 9 3⁄4 Jahre andaure. Sie hat dabei im Zusammenhang mit der von ihr verneinten Frage, ob die Haft in zu grosse zeitliche Nähe der zu erwartenden freiheitsentziehenden Sanktion gerückt sei, namentlich erläutert, weshalb unter den gegebenen Umständen kein Anlass bestehe, die Möglichkeit einer bedingten Entlassung aus dem ordentlichen Strafvollzug (<ref-law>) zu berücksichtigen. Sie hat ausserdem auch mit Blick auf die aus ihrer Sicht überaus lange Dauer des Strafverfahrens gegen den Beschwerdeführer bzw. unter dem Gesichtswinkel des Beschleunigungsgebots eine übermässige Haftdauer verneint. Sodann hat sie unter Verweis auf die Erwägungen im Urteil 1B_55/2020 vom 21. Februar 2020 auch ausgeschlossen, dass der Fluchtgefahr mit Ersatzmassnahmen im Sinne von <ref-law> begegnet werden könne.
5.2. Der Beschwerdeführer macht zwar geltend, die Fortdauer der Haft sei angesichts der drohenden bzw. der bereits eingetretenen Überhaft sowie der Möglichkeit, allfälligen Restbedenken mit Ersatzmassnahmen zu begegnen, absolut unverhältnismässig. Er verweist in diesem Zusammenhang jedoch im Wesentlichen pauschal auf sein Haftentlassungsgesuch vom 30. November 2020. Welche Ersatzmassnahmen in Frage kommen sollten, erläutert er nicht; ebenso wenig geht er auf die Ausführungen der Vorinstanz zu dieser Frage bzw. das von ihr zitierte bundesgerichtliche Urteil ein. Bezüglich der Frage der Überhaft begnügt er sich mit der Behauptung, die bisherige Haftdauer von über 9 1⁄2 Jahren rechtfertige gestützt auf <ref-law> ohne Weiteres seine bedingte Entlassung aus der Haft. Wieso entgegen der vorinstanzlichen Beurteilung die Voraussetzungen erfüllt sein sollten, um bei der Prüfung einer möglichen Überhaft ausnahmsweise vom nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung geltenden Grundsatz der Nichtberücksichtigung der bedingten Entlassung aus dem ordentlichen Strafvollzug - der bereits im Urteil 1B_55/2020 vom 21. Februar 2020 dargelegt wurde - abzuweichen, begründet er nicht. Ebenso wenig führt er aus, wieso diese Rechtsprechung nicht zur Anwendung gelangen oder nicht daran festgehalten werden sollte. Sodann weist er zwar ansatzweise auch auf die in der Tat überaus lange Dauer des gegen ihn geführten Strafverfahrens hin. Auch insoweit setzt er sich jedoch mit den vorinstanzlichen Ausführungen nicht auseinander noch tut er dar, wieso nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung - die ebenfalls bereits im Urteil 1B_55/2020 vom 21. Februar 2020 dargelegt wurde -die Dauer der strafprozessualen Haft unter dem Gesichtswinkel des Beschleunigungsgebots als übermässig zu beurteilen wäre. Soweit seine Vorbringen überhaupt den Begründungsanforderungen genügen, was fraglich erscheint, geht daraus nicht hervor, dass der angefochtene Entscheid die von ihm angerufenen Bestimmungen des Bundesrechts und der EMRK verletzten würde oder sonst bundesrechts- oder EMRK-widrig wäre. Solches ist auch sonst nicht ersichtlich.
6.
6.1. Hinsichtlich des zentralen Streitpunkts der Hafterstehungsfähigkeit des Beschwerdeführers hat die Vorinstanz vorgebracht, es gehe dabei nicht um eine medizinische Diagnose. Die Hafterstehungsfähigkeit bestimme sich vielmehr anhand einer Rechtsgüterabwägung. Im Vordergrund stehe dabei die Frage, ob der Freiheitsentzug aufgrund der damit verbundenen gesundheitlichen Risiken für die betroffene Person zu Nachteilen führe, die in einem Missverhältnis zu seinem Zweck stünden. Die zumeist im Zusammenhang mit dem Vollzug bereits rechtskräftiger Strafurteile ergangene Praxis des Bundesgerichts sei dabei restriktiv.
Vorliegend gehe aus dem forensisch-psychiatrischen Gutachten von Dr. med. B._ vom 13. September 2021 zur Hafterstehungsfähigkeit des Beschwerdeführers (vgl. vorne Sachverhalt Bst. D) hervor, dass dessen Gesundheit durch die Haft zwar ernsthaft gefährdet sei, diese Gefährdung jedoch einzig wegen seines fortdauernden (erneuten) Hungerstreiks bestehe, mithin wegen seines eigenen Verhaltens. Demgegenüber sei der Beschwerdeführer erstinstanzlich aufgrund verschiedener schwerer Delikte zu einer 14-jährigen Freiheitsstrafe verurteilt worden, wobei ihm nach wie vor die Verwahrung drohe. Nach Auffassung der Staatsanwaltschaft stelle er eine erhebliche Gefahr für die Öffentlichkeit dar. Im Gutachten von Dr. med. C._ vom 14. April 2021 werde das Rückfallrisiko als deutlich bis sehr hoch bezeichnet. Unter diesen Umständen überwiege das öffentliche Interesse an der Aufrechterhaltung der Haft deutlich bzw. falle die Interessenabwägung eindeutig zuungunsten des Beschwerdeführers aus. Dies gelte umso mehr, als dieser im derzeitigen Vollzugsregime dauerhaft überwacht werde, ihm die nötige medizinische Versorgung zukomme und er über die Risiken eines Hungerstreiks aufgeklärt worden sei bzw. ihm diese aufgrund früherer Hungerstreiks bekannt seien. Sein Überleben hänge nach der Argumentation seiner Wahlverteidigerin weniger von der sofortigen Einweisung in ein Spital als vielmehr von seiner Bereitschaft ab, Flüssigkeit und Nahrung zu sich zu nehmen. Das Universitätsspital Zürich jedenfalls habe am 4. Oktober 2021 - nach einem medizinischen Check-Up - keine Notwendigkeit eines stationären Verbleibs des Beschwerdeführers gesehen und diesem im Austrittsbericht vom 15. Oktober 2021 - nach einer notfallmässigen Einlieferung - sogar einen guten Allgemein- und einen normalen Ernährungszustand attestiert. Im Weiteren gehe es auch mit Blick auf die Erwägungen des Bundesgerichts in <ref-ruling> nicht an, die Haft aufzuheben, würde der Beschwerdeführer damit doch für seine Haltung, seine Forderungen mit einem Hungerstreik erzwingen zu wollen, belohnt.
6.2. Der Beschwerdeführer bestreitet zwar seine Hafterstehungsfähigkeit. Er setzt sich mit den Ausführungen der Vorinstanz zum Begriff und zur Prüfung der Hafterstehungsfähigkeit sowie der von ihr zitierten bundesgerichtlichen Rechtsprechung jedoch nicht weiter auseinander, ebenso wenig mit ihren Feststellungen zur Gefährdung seiner Gesundheit durch den Freiheitsentzug sowie ihrer Rechtsgüter- bzw. Interessenabwägung. Auch zum Gutachten von Dr. med. B._, auf das sich die Vorinstanz stützt und das Grundlage ihrer Beurteilung bildet, äussert er sich nicht. Er macht stattdessen ungeachtet der Beurteilung des Gutachters und der Vorinstanz geltend, er sei in einem miserablen, elenden und erbärmlichen Gesundheitszustand, der ihn als "gebrochenen Mann" erscheinen lasse und bei einer Fortdauer der Haft eine besondere und ernsthafte Gefahr für seine Gesundheit und/oder sein Leben begründe. Damit sei eine Unterbrechung der Haft im Sinne von <ref-law> angezeigt bzw. deren Fortdauer (auch insoweit) unverhältnismässig. Er verweist dabei auf Berichte des Spitals Thurgau vom 16. April und 6. Mai 2021 sowie einen Bericht des Kantonsspitals Frauenfeld vom 10. November 2021.
6.3. Der Beschwerdeführer begnügt sich somit im Wesentlichen damit, seinen eigenen Standpunkt vorzutragen. Es erscheint daher auch im vorliegenden Zusammenhang fraglich, ob die Beschwerde den Begründungsanforderungen genügt. Weder aus den Vorbringen des Beschwerdeführers noch den von ihm angeführten, teilweise nach dem angefochtenen Entscheid entstandenen Spitalberichten geht sodann hervor, dass die auf das erwähnte Gutachten gestützten Feststellungen der Vorinstanz zu seiner Gesundheitsgefährdung durch den Freiheitsentzug offensichtlich unrichtig wären (vgl. vorne E. 2.2). Ebenso wenig ergibt sich daraus oder ist sonst ersichtlich, dass die Beurteilung der Hafterstehungsfähigkeit des Beschwerdeführers durch die Vorinstanz, insbesondere deren Interessen- bzw. Rechtsgüterabwägung, gegen die massgebliche bundesgerichtliche Rechtsprechung verstossen würde bzw. im vom Beschwerdeführer geltend gemachten Sinn oder sonst bundesrechts- oder EMRK-widrig wäre (vgl. <ref-ruling> E. 2 f.; <ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 5; Urteil 1B_149/2011 vom 4. Mai 2011 E. 5.1, nicht publ. in <ref-ruling>). Insbesondere ist nicht zu erkennen, dass die Haft unter den von der Vorinstanz festgestellten Umständen, welche für das Bundesgericht nach dem Gesagten massgeblich sind (vgl. <ref-law>), unverhältnismässig wäre. Hervorzuheben ist dabei, dass der Beschwerdeführer gemäss der Darstellung der Vorinstanz im derzeitigen Vollzugsregime dauerhaft überwacht wird und ihm die nötige medizinische Versorgung zukommt, mithin im Bedarfsfall rasch reagiert werden kann. Die Beschwerde erweist sich somit auch in Bezug auf die Frage der Hafterstehungsfähigkeit als unbegründet, soweit sie überhaupt den Begründungsanforderungen genügt.
7.
Demnach ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer grundsätzlich kostenpflichtig (<ref-law>). Er hat allerdings ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt. Da die Voraussetzungen erfüllt sind (<ref-law>), insbesondere die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers erstellt scheint und die Beschwerde (gerade noch) nicht geradezu aussichtslos war, ist dem Gesuch stattzugeben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
2.1. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2. Rechtsanwältin Dina Raewel wird für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- aus der Bundesgerichtskasse entschädigt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Thurgau und dem Obergericht des Kantons Thurgau, Präsidentin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Dezember 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Baur