Erwägungen:
1.
Mit Verfügung vom 21. Januar 2021 wies die Schlichtungsbehörde Basel-Stadt ein vom Beschwerdeführer gestelltes Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit des Schlichtungsbegehrens ab und forderte ihn zur Zahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 2'000.-- auf.
Mit Entscheid vom 6. Mai 2021 trat das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt auf eine vom Beschwerdeführer gegen die Verfügung der Schlichtungsbehörde vom 21. Januar 2021 erhobene Beschwerde infolge unzureichender Begründung des Rechtsmittels nicht ein.
Mit Schreiben vom 8. Juni 2021 leitete das Appellationsgericht dem Bundesgericht eine vom 4. Juni 2021 datierende Eingabe des Beschwerdeführers weiter. Dem Beschwerdeführer wurde mit Schreiben vom 14. Juni 2021 mitgeteilt, dass aus seiner Eingabe nicht klar hervorgehe, ob er gegen den Entscheid des Appellationsgerichts beim Bundesgericht Beschwerde erheben wolle, und dass seine Eingabe jedenfalls den formellen Anforderungen an eine Beschwerde in keiner Weise genüge. Mit Eingabe vom 26. Juni 2021 erklärte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht sinngemäss, den Entscheid des Appellationsgerichts vom 6. Mai 2021 mit Beschwerde anfechten zu wollen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
2.1. Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann. Dazu muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2, 115 E. 2). Eine allfällige Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im vorinstanzlichen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2, 115 E. 2). Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen und der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 1.2.3; <ref-ruling> E. 2). Stützt sich der angefochtene Entscheid auf mehrere selbständige Begründungen, so muss sich die Beschwerde mit jeder einzelnen auseinandersetzen, sonst wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.4 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.4).
2.2. Der Beschwerdeführer setzt sich in seinen Beschwerdeeingaben nicht hinreichend mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids des Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt vom 6. Mai 2021 auseinander und zeigt auch nicht auf, inwiefern die Vorinstanz mit ihrem Nichteintretensentscheid Bundesrecht verletzt hätte. Vielmehr unterbreitet er dem Bundesgericht in unzulässiger Weise seine Sicht der Dinge. Die Eingabe erfüllt damit die erwähnten Begründungsanforderungen offensichtlich nicht.
Auf die Beschwerde ist somit mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (<ref-law>).
3.
Unter den gegebenen Umständen ist ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG), womit das Gesuch des Beschwerdeführers um Befreiung von diesen Kosten im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren gegenstandslos wird. Dem Beschwerdegegner und der Verfahrensbeteiligten stehen keine Parteientschädigungen zu (Art. 68 Abs. 2 und 3 BGG).

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt und der Verfahrensbeteiligten schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Juli 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Leemann