Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1974 geborene montenegrinische Staatsangehörige A._ gelangte im Alter von 25 Jahren in die Schweiz und verfügt inzwischen über die Niederlassungsbewilligung. Im Jahre 2019 eröffnete die Staatsanwaltschaft Brugg-Zurzach gegen ihn eine Strafuntersuchung wegen des Verdachts der mehrfachen fahrlässigen oder vorsätzlichen Tötung. Sie warf ihm im Wesentlichen vor, am 27. November 2019 auf der Autobahn A3 in einem Baustellenbereich vor dem Bözbergtunnel mit einem Fahrzeug der Marke "Porsche Cayenne" auf dem gesperrten Überholstreifen gefahren, abrupt die Spur gewechselt und ungebremst mit einer Geschwindigkeit von 133 bis 147 km/h auf ein anderes Fahrzeug aufgefahren zu sein, das sich aufgrund des baustellenbedingten Verkehrsstaus lediglich mit rund 21 bis 25 km/h fortbewegte. Dabei kamen drei Insassen des zweiten Fahrzeugs ums Leben.
Noch am gleichen Tag wurde A._ fürsorgerisch in der Klinik B._ untergebracht. Am 30. November 2019 ordnete das Zwangsmassnahmengericht des Kantons Aargau Untersuchungshaft an. Am 6. Dezember 2019 wurde A._ aus der Haft entlassen. A._ war einverstanden, seinen Ausländerausweis bei der Staatsanwaltschaft zu hinterlegen.
A.b. Am 2. März 2021 erhob die Staatsanwaltschaft Brugg-Zurzach gegen A._ beim Bezirksgericht Brugg Anklage wegen mehrfacher vorsätzlicher, eventuell fahrlässiger Tötung sowie qualifiziert grober Verletzung von Verkehrsregeln. Sie beantragte eine Freiheitsstrafe von sieben Jahren unter Anrechnung der ausgestandenen Untersuchungshaft sowie eine ambulante Massnahme nach <ref-law> und eine Landesverweisung für die Dauer von zehn Jahren.
A.c. Mit Verfügung vom 5. Mai 2021 gab der Verfahrensleiter am Bezirksgericht Brugg einem Antrag von A._ statt und händigte ihm seinen Ausländerausweis mit Blick auf eine geplante Heimatreise für die Dauer vom 5. bis 21. Mai 2021 aus, verbunden mit der Anordnung, diesen nach der Rückkehr bei der Gerichtskanzlei zu deponieren. Gleichentags beantragte der Verfahrensleiter beim Zwangsmassnahmengericht des Kantons Aargau, förmlich anstelle von Sicherheitshaft die Ersatzmassnahme der Ausweis- und Schriftensperre für die einstweilige Dauer bis zur am 1. Dezember 2021 angesetzten Hauptverhandlung anzuordnen. Das Zwangsmassnahmengericht kam diesem Antrag mit Verfügung vom 6. Mai 2021 nach und erwog ergänzend, das Bezirksgericht Brugg bleibe berechtigt, A._ den Ausweis wie bisher temporär auszuhändigen sowie zudem die zuständigen Behörden über die Ausweis- und Schriftensperre zu informieren, um die Ausstellung neuer Papiere zu vermeiden. Nach seiner Rückkehr aus der Heimat hinterlegte A._ seinen Ausweis wie angeordnet. Auf Ersuchen hin bewilligte die Verfahrensleitung des Bezirksgerichts am 18. Juni 2021, ihm den Ausländerausweis ein zweites Mal für eine weitere Heimatreise während der Dauer vom 23. Juni bis zum 23. Juli 2021 auszuhändigen, wiederum verbunden mit der Anordnung, diesen nach der Rückkehr bei der Gerichtskanzlei zu hinterlegen. Erneut hielt sich A._ an die Anordnung.
A.d. Mit Urteil vom 1. Dezember 2021 sprach das Bezirksgericht Brugg A._ der mehrfachen vorsätzlichen Tötung sowie der qualifiziert groben Verletzung von Verkehrsregeln schuldig, verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von 6.5 Jahren und verwies ihn für fünf Jahre des Landes. Mit separatem Beschluss vom gleichen Tag verfügte das Bezirksgericht überdies, A._ einstweilig bis zum 1. März 2022 in Sicherheitshaft zu versetzen.
B.
Gegen die Anordnung von Sicherheitshaft erhob A._ Beschwerde bei der Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Aargau. Mit Entscheid vom 22. Dezember 2021 wies diese die Beschwerde ab.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 4. Januar 2022 an das Bundesgericht beantragt A._, den Beschwerdeentscheid des Obergerichts aufzuheben und ihn aus der Sicherheitshaft zu entlassen. In prozessualer Hinsicht ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Zur Begründung macht er im Wesentlichen geltend, entgegen der Auffassung des Obergerichts liege bei ihm keine konkrete, sondern höchstens eine abstrakte Fluchtgefahr vor, der mit der Anordnung geeigneter Ersatzmassnahmen begegnet werden könne.
Die Staatsanwaltschaft schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bezirksgericht sowie das Obergericht verzichten unter Hinweis auf ihre beiden Entscheide auf einen Antrag.
A._ verzichtete auf eine weitere Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den angefochtenen Entscheid steht die Beschwerde in Strafsachen nach <ref-law> offen. Das Obergericht hat gemäss Art. 233 in Verbindung mit <ref-law> als letzte kantonale Instanz entschieden (vgl. <ref-law>). Der angefochtene Entscheid stellt einen Zwischenentscheid dar, der dem Beschwerdeführer einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> verursacht. Die Beschwerde erweist sich daher als grundsätzlich zulässig.
1.2. Der Beschwerdeführer war am vorinstanzlichen Verfahren beteiligt und ist als betroffener Häftling gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt.
1.3. Mit der Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Der Beschwerdeführer macht einen solchen Verstoss gegen Bundesrecht geltend.
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz auf Antrag hin oder von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (vgl. Art. 97 Abs. 1 und 105 Abs. 2 BGG). Eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts wird nicht gerügt und ist auch nicht ersichtlich.
1.5. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, die von den Beschwerdeführern geltend gemacht und begründet werden (vgl. <ref-law>).
2.
2.1. Untersuchungs- und Sicherheitshaft sind nur zulässig, wenn ein dringender Tatverdacht für ein Verbrechen oder Vergehen vorliegt und ein gesetzlicher Haftgrund besteht. Dazu zählt insbesondere Fluchtgefahr (vgl. <ref-law>). Der dringende Tatverdacht ist im vorliegenden Fall durch das erstinstanzliche Strafurteil belegt und auch nicht strittig. Der Beschwerdeführer bestreitet jedoch das Vorliegen von Fluchtgefahr bzw. macht geltend, das Obergericht habe jedenfalls Bundesrecht verletzt, indem es nicht wenigstens mildere Ersatzmassnahmen anstelle von Haft angeordnet habe.
2.2. Die Annahme von Fluchtgefahr als besonderem Haftgrund setzt ernsthafte Anhaltspunkte dafür voraus, dass die beschuldigte Person sich dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion durch Flucht entziehen könnte (<ref-law>). Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichtes darf die Schwere der drohenden Sanktion zwar als ein Indiz für Fluchtgefahr gewertet werden. Sie genügt jedoch für sich allein nicht, um einen Haftgrund zu bejahen. Vielmehr müssen die konkreten Umstände des betreffenden Falles, insbesondere die gesamten Lebensverhältnisse der beschuldigten Person, in Betracht gezogen werden (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 4.3 S. 167; <ref-ruling> E. 3a; je mit Hinweisen). So ist es zulässig, ihre familiären und sozialen Bindungen, ihre berufliche Situation und Schulden sowie Kontakte ins Ausland und Ähnliches mitzuberücksichtigen, ebenso besondere persönliche Merkmale (wie z.B. eine Tendenz zu überstürzten Aktionen, ausgeprägte kriminelle Energie usw.), die auf eine Fluchtneigung schliessen lassen könnten. Auch bei einer befürchteten Ausreise in ein Land, das die beschuldigte Person grundsätzlich an die Schweiz ausliefern bzw. stellvertretend verfolgen könnte, fiele die Annahme von Fluchtgefahr nicht dahin (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3d, 268 E. 2e). Die Wahrscheinlichkeit einer Flucht nimmt in der Regel mit zunehmender Verfahrens- bzw. Haftdauer graduell ab, da sich auch die Länge des allenfalls noch zu absolvierenden Strafvollzugs mit der bereits geleisteten prozessualen Haft, die auf die mutmassliche Freiheitsstrafe anzurechnen wäre (vgl. <ref-law>), kontinuierlich verringert (BGE <ref-ruling> E. 4.3 mit Hinweis). Anklageerhebungen oder gerichtliche Verurteilungen können allerdings, je nach den Umständen des Einzelfalls, im Verlaufe des Verfahrens auch neue Fluchtanreize auslösen (vgl. <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 4.1).
2.3. Strafprozessuale Haft darf freilich nur als letztes Mittel angeordnet oder aufrechterhalten werden. Wo sie durch weniger einschneidende Massnahmen ersetzt werden kann, muss von ihrer Anordnung oder Fortdauer abgesehen und an ihrer Stelle eine solche Ersatzmassnahme verfügt werden (Art. 212 Abs. 2 lit. c i.V.m. Art. 237 f. StPO; vgl. <ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 2.1: 140 IV 74 E. 2.2). Zwar können mildere Ersatzmassnahmen für Haft geeignet sein, einer gewissen niederschwelligen Fluchtneigung ausreichend Rechnung zu tragen. Bei ausgeprägter Fluchtgefahr erweisen sich Ersatzmassnahmen nach der einschlägigen Praxis des Bundesgerichts jedoch regelmässig als nicht ausreichend (<ref-ruling> E. 3.2 f.; Urteil des Bundesgerichts 1B_264/2020 vom 17. Juni 2020 E. 6.1).
2.4. <ref-law> zählt verschiedene mögliche Ersatzmassnahmen auf, worunter namentlich die Ausweis- und Schriftensperre (lit. b), die Auflage, sich nur oder sich nicht an einem bestimmten Ort oder in einem bestimmten Haus aufzuhalten (lit. c), sowie die Auflage, sich regelmässig bei einer Amtsstelle zu melden (lit. d); sodann kann das Gericht gemäss der ausdrücklichen gesetzlichen Anordnung in <ref-law> zur Überwachung von Ersatzmassnahmen den Einsatz technischer Geräte und deren feste Verbindung mit der zu überwachenden Person vorsehen. Unter dem Gesichtspunkt der Verhältnismässigkeit ist überdies die Möglichkeit der Kombination der gesetzlich vorgesehenen Ersatzmassnahmen zu prüfen. Die Eignung und Rechtmässigkeit von Ersatzmassnahmen ist nicht nur an der Wahrscheinlichkeit einer Flucht, sondern auch an den zeitlichen Verhältnissen des Einzelfalles zu messen (Urteil des Bundesgerichts 1B_264/2020 vom 17. Juni 2020 E. 6.2 und 6.3).
3.
3.1. Im vorliegenden Fall stellte das Obergericht massgeblich darauf ab, dass mit dem erstinstanzlichen Strafurteil die Wahrscheinlichkeit des Vollzugs einer langjährigen Freiheitsstrafe gestiegen und dadurch die Fluchtgefahr deutlich verstärkt worden sei. Auch wegen der ausgesprochenen Landesverweisung bestehe ein gewichtiger Fluchtanreiz. Zudem seien mit dem erstinstanzlichen Strafurteil die vom Beschwerdeführer bezogenen Versicherungsleistungen als Einnahmequelle weggefallen. Der Beschwerdeführer sei sodann in familiärer, sozialer, beruflicher und finanzieller Hinsicht in der Schweiz nicht besser verankert als in seinem Heimatland. Fluchtvorbereitungen seien zwar nicht belegt. Der Beschwerdeführer habe aber selbst mit einer deutlich geringeren als der erstinstanzlich ausgesprochenen Strafe gerechnet. Dagegen wendet der Beschwerdeführer hauptsächlich ein, er habe bereits zweimal in Kenntnis der Anklageschrift eine Heimatreise antreten können, sei beide Male wieder zurückgekehrt und habe an der erstinstanzlichen Hauptverhandlung teilgenommen. Auch wenn er selbst eine tiefere Strafe beantragt habe, sei er sich dabei des Risikos durchaus bewusst gewesen, dass gegen ihn eine langjährige Freiheitsstrafe und eine Landesverweisung ausgesprochen werden könnten.
3.2. Im erstinstanzlichen Strafurteil wurde gegen den Beschwerdeführer eine Freiheitsstrafe von 6.5 Jahren verbunden mit einer Landesverweisung ausgesprochen. Damit muss er mit einer erheblichen Bestrafung rechnen. Ob die ihm drohende Landesverweisung insofern ergänzend eine wesentliche Rolle spielt, wie das Obergericht angenommen hat und was der Beschwerdeführer bestreitet, kann hier offenbleiben. Denn er muss nunmehr jedenfalls von der Möglichkeit ausgehen, lange Zeit im Strafvollzug zu verbringen. Zwar hatte er bereits seit der Anklageschrift der Staatsanwaltschaft vom 2. März 2021 Kenntnis von deren Antrag einer siebenjährigen Freiheitsstrafe verbunden mit einer Landesverweisung. Dieser Antrag beruhte im Wesentlichen auf der Annahme einer eventualvorsätzlichen Tötung von drei Menschen. Der Beschwerdeführer konnte aber hoffen, dass seine Straftat als Fahrlässigkeitsdelikt beurteilt würde. Das Strafgericht ist insofern jedoch im Wesentlichen der Einschätzung der Staatsanwaltschaft gefolgt. Wohl besteht beim Beschwerdeführer die Hoffnung auf eine andere Beurteilung mit Blick auf die erhobene Berufung weiter. Er muss heute jedoch konkret mit der Möglichkeit rechnen, dass das erstinstanzliche Strafurteil im Berufungsverfahren bestätigt wird. Die Ausgangslage hat sich dadurch massgeblich geändert, und der Fluchtanreiz hat mit dem Strafurteil erheblich zugenommen.
3.3. In persönlicher Hinsicht ergibt sich, dass der Beschwerdeführer seit rund 22 Jahren in der Schweiz lebt. Inzwischen ist er allerdings gemäss den unbestritten gebliebenen Feststellungen des Obergerichts "offenbar ohne Arbeit und Einkommen". Nachdem inzwischen der Anspruch des Beschwerdeführers auf Versicherungsleistungen, deren Bezug die Anwesenheit in der Schweiz voraussetzte, weggefallen ist, wurde ein wesentlicher Grund, in der Schweiz zu bleiben, obsolet. Weiter verfügt der Beschwerdeführer nicht über vertiefte Kenntnisse der deutschen Sprache und ist auch insoweit nicht besonders integriert. Seine Ehe ist gescheitert und das gemeinsame Haus wurde liquidiert. Mit seinem Sohn hat er keinen Kontakt mehr. Ein solcher scheint einzig noch zu seiner Tochter zu bestehen, mit der er bis vor kurzem zusammenwohnte. Seine Eltern leben in seiner Heimat. Das Obergericht hat zwar festgestellt, dass der Beschwerdeführer auch in seinem Herkunftsland vor dem Nichts stünde und dort ebenfalls ganz neu beginnen müsste, sich ein geeignetes Leben aufzubauen. Die Verhältnisse vor Ort sind ihm aber bekannt, und die beiden Heimatreisen im Jahre 2021 belegen, dass er weiterhin eine Beziehung zu seinem Herkunftsland unterhält.
3.4. Zu Gunsten des Beschwerdeführers zu würdigen ist, dass er bereits zweimal nach ihm von der Verfahrensleitung bewilligten Heimatreisen in die Schweiz zurückgekehrt ist und sich jeweils an die Anordnung des Bezirksgerichts gehalten hat, die ihm ausgehändigten Ausweispapiere nach Gebrauch wieder zu hinterlegen. Damit hat er konkret den Nachweis erbracht, einem niederschwelligen Fluchtanreiz widerstehen zu können. Die Ausgangslage hat sich inzwischen allerdings, wie bereits dargelegt, durch das erstinstanzliche Strafurteil erheblich geändert. Während damals noch unklar war, ob der Standpunkt der Staatsanwaltschaft vor Gericht standhalten würde und deshalb das Risiko einer langen Freiheitsstrafe noch recht theoretisch erschien, muss der Beschwerdeführer nunmehr konkret damit rechnen, zu einer langen Freiheitsstrafe verurteilt zu werden. Überdies sind seine Versicherungsansprüche weggefallen. Der erbrachte Tatbeweis, mit einem geringen Fluchtanreiz umgehen zu können, vermag daher das deutlich vergrösserte Fluchtrisiko nicht aufzuwiegen. Insgesamt ist damit von einer ausgeprägten Fluchtgefahr auszugehen, was die verfügte Sicherheitshaft grundsätzlich zu rechtfertigen vermag.
3.5. Unter dem Gesichtspunkt der Verhältnismässigkeit ergibt sich in zeitlicher Hinsicht, dass sich der Beschwerdeführer bisher zweimal mit einer gesamten Dauer von knapp zwei Monaten in strafprozessualer Haft befand, erstmalig vom 27. November bis zum 6. Dezember 2019 unmittelbar nach der Tat in Untersuchungshaft und nunmehr seit dem am 1. Dezember 2021 ergangenen Strafurteil in Sicherheitshaft. Damit droht selbst dann keine Überhaft, wenn vom Standpunkt des Beschwerdeführers, es handle sich bei seiner Tat um ein Fahrlässigkeitsdelikt, ausgegangen würde. Zudem dauerte der strafprozessuale Freiheitsentzug so oder so insgesamt noch nicht besonders lange. Angesichts des ausgeprägten Fluchtrisikos erweist sich sodann die Möglichkeit der Anordnung von Ersatzmassnahmen als erheblich eingeschränkt (vgl. vorne E. 2.3). Es besteht im vorliegenden Fall kein Anlass, von dieser Regel abzuweichen. Dass sich der Beschwerdeführer bisher an die behördlichen Anordnungen und Auflagen gehalten hat, vermag, wie bereits dargelegt, aufgrund der geänderten Verhältnisse die Fluchtgefahr nicht aufzuwiegen. Damit kann offenbleiben, welche möglichen Vorkehren sich konkret als tauglich beurteilen liessen und überhaupt in Frage kämen.
3.6. Die verfügte Sicherheitshaft verstösst mithin nicht gegen Bundesrecht.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen.
Dem unterliegenden bedürftigen Beschwerdeführer, dessen Rechtsbegehren nicht als von vornherein aussichtslos erscheinen, ist antragsgemäss die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren (vgl. <ref-law>). Damit sind keine Kosten zu erheben, und der Anwalt des Beschwerdeführers ist für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse angemessen zu entschädigen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird dem Beschwerdeführer Rechtsanwalt Kenad Melunovic Marini als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Rechtsanwalt Kenad Melunovic Marini wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Brugg-Zurzach, dem Bezirksgericht Brugg und dem Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Januar 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Uebersax