Faits :
A.
A.a. La société B._ SA est propriétaire de deux parcelles attenantes situées dans la commune de... (VD); l'une comprend un garage et l'autre une habitation. Une régie immobilière a estimé la valeur vénale de ce dernier bien-fonds à 7,5 millions de francs en date du 31 mai 2012. L'agence X._ a établi le descriptif suivant:
«Splendide demeure de 11 pièces, distribuée sur trois niveaux avec un magnifique escalier central en bois massif, comprenant 7 chambres à coucher et 7 salles d'eau. Grands espaces de vie avec volumes généreux. Belles finitions et soin des détails. Les hauts plafonds, les boiseries ainsi que les parquets confèrent à cette propriété beaucoup de cachet. Terrasse couverte avec accès au jardin. Un sauna ainsi qu'une salle de jeux et un home cinéma complètent ce bien. A noter encore un garage pour deux véhicules et de nombreuses places de parc. D'importants travaux de rénovation ont été entrepris en 2006. En résumé, une résidence spacieuse dans un bel écrin de verdure.»
A.b. La propriétaire a cédé l'usage de cette maison à deux locataires par contrat de bail prenant effet le 1 er janvier 2011, pour un loyer mensuel de 15'000 fr., charges comprises.
Au chapitre de la description de l'objet loué, le contrat indiquait ce qui suit:
«Propriété de 10 pièces sur 3 niveaux, et places de parc extérieures pour 2 véhicules.
Destination des locaux: Habitation et cabinet médical.
Locaux ou dépendances mis à disposition à titre gratuit et à bien plaire.»
L'art. 11 des «Conditions particulières» énonçait ce qui suit:
«La villa faisant l'objet du présent bail est louée à titre principal comme logement et à titre secondaire comme cabinet médical.
Un changement d'affectation est nécessaire pour l'exploitation d'une partie de la villa en cabinet médical. Une demande est actuellement en cours auprès des autorités.
Il incombe aux locataires le soin d'obtenir sous leur seule responsabilité toutes les autorisations administratives nécessaires à l'exploitation des locaux, y compris le changement d'affectation.»
A.c. Les locataires ont cessé de payer le loyer dès le mois de février 2012. Après les avoir vainement mis en demeure de payer les loyers de février (15'000 fr.) et mars (10'000 fr., selon accord), la propriétaire a résilié le bail en vertu de l'<ref-law> pour le 31 mai 2012.
Le 8 mai 2012, les locataires ont saisi l'autorité de conciliation d'une requête visant à faire annuler le congé, constater la nullité du loyer et fixer le loyer à un montant de 10'000 fr. au maximum. Les locataires arguaient du fait que le contrat de bail ne leur avait pas été notifié sur formule officielle.
A.d. Le 4 juin 2012, la propriétaire (ci-après: la cliente) s'est adressée à l'avocat A._ pour obtenir l'expulsion des locataires dans les plus brefs délais. Sur son site Internet, cet avocat indique que le droit du bail fait partie de ses domaines de prédilection.
Le 5 juin 2012, l'avocat a annoncé son mandat à l'autorité de conciliation saisie par les locataires.
Le 8 juin 2012, il a saisi le juge de paix d'une requête en expulsion des locataires selon la procédure prévue pour les cas clairs (<ref-law>). Il en a avisé l'autorité de conciliation, qui a suspendu la procédure en annulation du congé.
Par décision du 23 août 2012, le juge de paix a déclaré irrecevable la requête en protection d'un cas clair. Il a considéré que les arguments invoqués par les locataires à l'appui de leur demande en annulation de congé paraissaient prima facie pertinents et méritaient un examen plus important, de sorte que la situation juridique n'était pas claire.
L'avocat a exposé à sa cliente que cette décision lui paraissait juridiquement infondée dans la mesure où le défaut de paiement était incontestable. Il a fait appel de cette décision.
Par arrêt du 21 novembre 2012, le Tribunal cantonal vaudois a rejeté l'appel en faisant valoir que les motifs invoqués par les locataires à l'appui de leur requête, notamment celui afférent au vice de forme du loyer initial, n'apparaissaient pas dénués de consistance.
A.e. L'avocat, toujours pour le compte de sa cliente, a fait notifier des poursuites à l'encontre des locataires puis, après l'opposition soulevée par ceux-ci, a formé une requête de mainlevée provisoire. Il a envoyé son avocate-stagiaire, Me Y._, à l'audience de mainlevée. Le procès-verbal d'audience précise ce qui suit:
«A la question de savoir si la villa louée par la partie poursuivie est considérée comme un logement de luxe par la partie poursuivante, Me Y._ répond par la négative, estimant qu'il s'agit d'une villa ordinaire.»
A.f. La cliente a résilié le mandat la liant à l'avocat A._, qui lui a facturé 8'323 fr. 25 d'honoraires. Elle a confié ses intérêts à un agent d'affaires breveté.
L'agent d'affaires a notifié une nouvelle résiliation de bail pour le 31 mai 2013. Dans le cadre de la procédure de conciliation initiée par les locataires, il a allégué le caractère luxueux de la maison louée. Les locataires n'ont pas porté l'action devant le Tribunal des baux. L'agent d'affaires a en outre déposé une nouvelle requête d'expulsion selon la procédure des cas clairs. Par ordonnance du 21 août 2013, le juge de paix y a fait droit en ordonnant aux locataires de quitter les locaux le 30 septembre 2013, ce qu'ils ont fait.
L'agent d'affaires a également intenté de nouvelles poursuites contre les locataires et a obtenu la mainlevée provisoire de leur opposition.
B.
B.a. Le 13 avril 2015, la cliente a ouvert action contre l'avocat devant la Chambre patrimoniale du canton de Vaud. Par demande du 27 juillet 2015, elle a conclu au paiement de 180'000 fr.
La Chambre patrimoniale a retenu que les parties avaient été liées par un mandat et que l'avocat avait violé son devoir de diligence (<ref-law>). Elle l'a condamné à verser à la cliente 12'333 fr. 25 au titre de remboursement de ses honoraires (8'323 fr. 25) et des frais de justice engagés dans les différentes procédures (4'010 fr.). Pour le surplus, la cliente - qui demandait réparation pour une perte de loyer pendant une année - n'avait pas suffisamment établi le dommage allégué; de surcroît, le lien de causalité avec la violation du devoir de diligence était douteux.
B.b. L'avocat a interjeté un appel auprès du Tribunal cantonal vaudois, lequel a confirmé la décision sur le fond et l'a réformée sur la question accessoire des dépens.
En substance, les juges cantonaux ont tenu le raisonnement suivant: tout mandataire professionnel qui se dit actif dans le domaine du droit du bail doit savoir que l'omission d'utiliser la formule officielle lors de la conclusion du bail - dans les cantons qui l'ont rendue obligatoire - conduit à la nullité du loyer initial, lequel doit être refixé par le juge, avec pour probable conséquence de rendre inefficace une résiliation de bail fondée sur le défaut de paiement. Du moment que les locataires avaient saisi l'autorité de conciliation pour faire valoir ces moyens, leur expulsion par la procédure des cas clairs paraissait vouée à l'échec, sauf à établir qu'une formule officielle avait été utilisée ou qu'elle n'était pas nécessaire. En l'occurrence, la bailleresse ne prétendait pas avoir fait usage d'une formule officielle. Toutefois, l'objet loué entrait à l'évidence dans la catégorie des habitations de luxe, pour lesquelles la formule officielle n'était pas nécessaire. L'omission de plaider l'<ref-law> dans la procédure pour les cas clairs et en appel, respectivement l'omission d'instruire l'avocate-stagiaire pour qu'elle soulève ce grief devant le juge de la mainlevée, procédait d'une violation du devoir de diligence. Ce manquement entraînait la perte du droit aux honoraires et aux frais consentis pour l'exécution du mandat.
C.
L'avocat a saisi le Tribunal fédéral d'un recours constitutionnel subsidiaire à l'issue duquel il conclut au rejet de la demande.
La cliente a conclu au rejet du recours. L'autorité précédente s'est référée à son arrêt.
L'avocat a déposé une réplique, donnant lieu à une duplique de la cliente.

Considérant en droit :
1.
1.1. La valeur litigieuse de cette affaire civile pécuniaire n'atteint pas le seuil de 30'000 fr. (<ref-law>). Le recourant lui-même ne prétend pas qu'une des exceptions prévues par l'<ref-law> soit réalisée, ce qui ferme la voie du recours en matière civile. Demeure celle du recours constitutionnel subsidiaire (<ref-law>).
1.2. Comme l'indique son intitulé, ce recours peut être formé pour violation des droits constitutionnels (<ref-law>). Conformément au principe d'allégation (<ref-law> en lien avec l'<ref-law>), le recourant doit indiquer quel droit ou principe constitutionnel a été violé par la décision attaquée et dans quelle mesure, en présentant une argumentation claire et circonstanciée, si possible documentée. Des critiques simplement appellatoires ne sont pas admissibles (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 368; <ref-ruling> consid. 2.2; sous l'OJ, <ref-ruling> consid. 2a).
2.
2.1. Le recourant dénonce une application arbitraire de l'<ref-law>. Les juges vaudois auraient retenu à tort que l'objet loué était luxueux, méconnaissant grossièrement les principes développés par la jurisprudence et divers éléments du contrat.
2.2.
2.2.1. L'application du droit est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. lorsqu'une décision apparaît insoutenable, viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté ou heurte de façon choquante le sentiment de justice et d'équité. Il ne suffit pas que les motifs de la décision soient insoutenables; encore faut-il que celle-ci soit arbitraire dans son résultat. L'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait concevable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 2.4).
2.2.2. L'<ref-law> prévoit que les dispositions sur la protection contre les loyers abusifs (art. 269 et s.) ne s'appliquent pas aux baux d'appartements et de maisons familiales de luxe comprenant six pièces ou plus (cuisine non comprise). Il en découle notamment que le bailleur est dispensé d'utiliser la formule officielle prescrite par le droit cantonal sur la base de l'<ref-law> à la conclusion d'un nouveau bail (<ref-law> [RS 221.213.11]; MONTINI/WAHLEN, in Droit du bail à loyer et à ferme, 2 e éd. 2017, n° 12 ad <ref-law>).
La loi ne définit pas la notion de luxe. Celle-ci comporte des traits quantitatif (nombre minimal de pièces) et qualitatif (caractère luxueux). Le juge doit se fonder sur son impression générale, laquelle dépend de l'examen concret de toutes les caractéristiques du logement en cause. La notion de luxe peut évoluer avec le temps. Une habitation peut acquérir cette qualité en fonction des transformations effectuées, ou au contraire la perdre au fil des ans. Aussi faut-il examiner si l'habitation possède une telle caractéristique au moment où cet élément est propre à exercer une influence (arrêt 4C.5/2004 du 16 mars 2004 consid. 4.1 et 4.2, in SJ 2004 I 385).
Constituent des indices de luxe la présence de marbre à l'entrée de l'immeuble, une piscine, un sauna, des sanitaires en surnombre, une surface totale et des pièces particulièrement grandes, un jardin spacieux, un environnement très protégé. La notion de «luxe» doit s'interpréter de manière restrictive; elle suppose que la mesure habituelle du confort soit clairement dépassée (arrêt 4A_257/2015 du 11 janvier 2016 consid. 3.1, in SJ 2016 I 409; arrêt précité 4C.5/2004 consid. 4.2).
Le juge du fait dispose en la matière d'un large pouvoir d'appréciation, que le Tribunal fédéral ne contrôle qu'avec une certaine retenue (arrêt précité 4A_257/2015 consid. 3.1; 4A_92/2015 du 18 mai 2015 consid. 1.5).
Le juge examine d'office si l'appartement ou la maison louée est luxueuse au sens de l'<ref-law> (arrêt 4C.40/2001 du 15 juin 2001 consid. 3, in MRA 2001 p. 142).
2.3. En l'occurrence, la Cour d'appel est arrivée à la conclusion que le bail portait sur une villa de luxe en se fondant sur le descriptif établi par une agence immobilière (cf. let. A.a supra) et sur la valeur vénale de 7,5 millions de francs. Elle a constaté que la vétusté des locaux alléguée par le recourant n'était pas établie et qu'on pouvait en douter dès lors que le descriptif mentionnait d'importants travaux de rénovation entrepris en 2006 et que les locataires avaient accepté de verser un loyer de 15'000 fr., puis de 10'000 fr.
La Cour d'appel a en outre rejeté l'argument selon lequel le bail comportait un aspect commercial prédominant. Elle a relevé qu'à la conclusion du contrat, le changement d'affectation pour exploiter un cabinet médical n'était pas encore intervenu; en outre, le contrat prévoyait expressément que la destination principale de la villa était le logement, tandis que l'exploitation d'un cabinet médical n'était que secondaire. Contrairement à ce que soutenait l'avocat, il s'agissait bien d'un cabinet médical et non d'une clinique.
2.4. Le recourant objecte qu'on ignore la date du descriptif, lequel précise que les «informations, photos et plans sont donnés à titre indicatif et ne constituent pas un document contractuel». Cet élément ne figure pas dans l'état de fait de l'arrêt attaqué, qui lie la cour de céans (<ref-law>). Par surabondance, si la consultation du descriptif en question confirme qu'il contient une telle mention, elle permet surtout de constater que l'impression générale de luxe qui se dégage de la description reproduite ci-dessus (let. A.a) est corroborée par les différentes photos jointes au document, au point que la cour cantonale pouvait conclure sans arbitraire au caractère luxueux évident de l'objet loué. Au regard de la date que le descriptif indiquait pour les travaux de rénovation (2006), de la valeur vénale estimée en 2012 et du montant du loyer convenu, la cour cantonale pouvait se fonder sans arbitraire sur ledit descriptif non daté.
Quant au point de savoir si le bail portait sur un logement tombant sous le coup de l'<ref-law> ou sur des locaux commerciaux, la cour cantonale pouvait recourir sans arbitraire au critère de l'affectation prépondérante (cf. PETER HIGI, Zürcher Kommentar, 3e éd. 1994, n° 40 s. ad art. 253a-253b CO; ROGER WEBER, in Basler Kommentar, 6e éd. 2015, n° 14 ad art. 253a-253b CO; DAVID LACHAT, Le bail à loyer, 2008, p. 125; cf. aussi arrêts 4C.43/2001 du 20 juin 2001 consid. 3c/bb in fine; 4A_662/2012 du 7 février 2013 consid. 5.4).
A cet égard, le recourant reproche à l'autorité d'appel de s'être fondée sur le descriptif plutôt que sur le contrat de bail. Le grief est infondé. La Cour d'appel a en effet constaté qu'au regard de l'art. 11 des conditions particulières du contrat de bail, la destination principale de la villa était le logement, l'exploitation d'un cabinet médical n'étant que secondaire. Peu importe que le contrat ait réservé la possibilité de poser des écriteaux ou enseignes sur l'immeuble; un tel fait - qui ne ressort pas des décisions cantonales - ne suffit manifestement pas à préjuger d'une affectation principalement commerciale. Le recourant plaide que l'exploitation d'un tel cabinet médical générerait un trafic (voitures se parquant autour de la villa, livraisons, maintien technique des installations, clients, personnel) qui ôterait tout confort aux habitants de la villa et exclurait la qualité d'environnement protégé inhérente à un objet de luxe. Sans autres précisions quant aux circonstances locales et au type d'activité médicale envisagée, les constatations de l'arrêt attaqué ne suffisent pas à inférer que l'exploitation d'un cabinet médical générerait des nuisances telles qu'elles pourraient remettre en cause le caractère luxueux de la villa, ce qui met déjà fin à toute discussion. Par ailleurs, la Cour d'appel a tenu compte sans arbitraire du fait que cette affectation n'était pas encore réalisée à la conclusion du bail, soit au moment déterminant pour apprécier la nécessité d'utiliser la formule officielle. Au demeurant, quand bien même les locaux auraient été affectés principalement à un usage commercial qui exclurait la nécessité d'utiliser la formule officielle (cf. <ref-law> et arrêt 4A_250/2012 du 28 août 2012 consid. 2.2; arrêt précité 4C.43/2001 consid. 3c/bb), encore faudrait-il que le juge saisi de la requête d'expulsion ait pu établir les faits propres à retenir une telle affectation, ce que le recourant ne prétend pas (cf. au surplus consid. 2.6.2 infra).
2.5. En bref, l'autorité d'appel n'a pas versé dans l'arbitraire en concluant que l'objet loué était une villa de luxe au sens de l'<ref-law>.
2.6.
2.6.1. Le recourant fait en outre grief aux juges cantonaux d'avoir arbitrairement retenu une violation de son devoir de diligence. La solution retenue reviendrait à imposer arbitrairement une obligation de résultat qui rendrait le métier d'avocat impraticable, au mépris de l'<ref-law> et de l'<ref-law> (loi fédérale sur la libre circulation des avocats; RS 935.61). De son point de vue, il n'avait aucun intérêt à invoquer le caractère luxueux de l'objet loué, ce qui aurait rendu la situation moins claire; car il aurait ainsi introduit une notion juridique subjective que ne pourrait pas examiner le juge de la procédure pour les cas clairs, a fortiori s'agissant d'un contrat mixte. De toute façon, il incombait aux juges d'appliquer d'office l'<ref-law>; le juge de la mainlevée s'est du reste posé d'office la question, à laquelle il a répondu par la négative.
2.6.2. Le juge applique le droit d'office, et donc en particulier l'<ref-law> (cf. consid. 2.2.2 supra). Toutefois, le bailleur avait la charge de présenter les allégations et moyens de preuves permettant d'appliquer cette disposition, pour contrer l'argument tiré du prétendu vice de forme entachant le loyer initial; c'est dans ce sens qu'il faut comprendre l'expression «plaider l'<ref-law>» utilisée par les juges vaudois. Or, le recourant ne prétend pas que le juge de paix saisi de la requête d'expulsion disposait des éléments factuels permettant de retenir un logement de luxe. Quant au juge de la mainlevée, il a précisé que la partie poursuivante n'avait produit aucune pièce pouvant démontrer que l'objet loué avait un caractère luxueux, et le recourant ne prétend pas que cette constatation serait arbitraire.
Quant à l'argument selon lequel la discussion sur le caractère luxueux de l'immeuble aurait compromis le recours à la procédure sommaire pour les cas clairs, il est infirmé par la procédure ultérieure conduite avec succès par l'agent d'affaires breveté. La cour cantonale a constaté sans arbitraire que le caractère luxueux s'imposait « à l'évidence».
Pour le surplus, à l'instar des premiers juges, la Cour d'appel a exposé correctement les principes gouvernant le devoir de diligence de l'avocat, en rappelant que l'avocat n'est pas tenu à une obligation de résultat, qu'il ne répond pas des aléas entourant la reconnaissance d'une opinion juridique déterminée et qu'il incombe au client de supporter les risques du procès (<ref-ruling> consid. 3.2.2; <ref-ruling> consid. 2a). En considérant, dans le cas concret, que l'avocat avait violé son devoir de diligence en omettant de plaider l'<ref-law> - i.e. de présenter les allégations et offres de preuves permettant de retenir un logement de luxe -, la cour cantonale n'a pas versé dans l'arbitraire.
3.
Le recourant invoque encore les art. 30 Cst. et 6 CEDH en dénonçant une partialité des juges cantonaux. Le grief est fondé sur la prémisse que les juges vaudois auraient grossièrement ignoré des principes clairs et incontestés, prémisse qui se révèle erronée (consid. 2 supra). Le moyen est dès lors privé d'objet.
4.
En définitive, le recours doit être rejeté. Partant, le recourant supportera les frais de la présente procédure (<ref-law>) et versera une indemnité à la partie adverse pour ses frais d'avocat (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 7 mars 2018
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Kiss
La greffière: Monti