Sachverhalt:
A.
Mit in Rechtskraft erwachsenem Entscheid vom 17. September 2019 verurteilte das Kantonsgericht St. Gallen A._ unter anderem zu einer unbedingten Freiheitsstrafe von 9 Monaten.
B.
Am 9. September 2020 gab die Vollzugsbehörde A._ die Gelegenheit, ein Gesuch um Vollzug der Freiheitsstrafe in Form der elektronischen Überwachung oder der Halbgefangenschaft samt Beilagen einzureichen und den Kostenvorschuss zu leisten. Dem kam A._ nicht nach. In der Folge wurde die Gesuchsfrist auf sein Ersuchen bis 31. Oktober 2020 verlängert. Am 2. November 2020 (Postaufgabe) reichte A._ ein Gesuch um Vollzug der Freiheitsstrafe in Form der elektronischen Überwachung ein und ersuchte um eine weitere Fristverlängerung zur Einreichung von Unterlagen. Am 9. und 12. November 2020 übermittelte er der Behörde ärztliche Zeugnisse.
Mit Verfügung vom 16. November 2020 wies das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen das Gesuch um Fristerstreckung sowie um Vollzug der Freiheitsstrafe in Form der elektronischen Überwachung ab und ordnete den Strafantritt per 11. Januar 2021 an. Aufgrund der von A._ gegen die Verfügung erhobenen Beschwerde bei der Anklagekammer wurde einstweilen auf Vollzugshandlungen verzichtet. Am 21. Januar 2021 wies die Anklagekammer des Kantons St. Gallen die Beschwerde von A._ ab, soweit sie darauf eintrat. Am 10. Februar 2021 forderte das Amt für Justizvollzug A._ zum Strafantritt per 16. März 2021 auf.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen beantragt A._, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache sei an die Anklagekammer zurückzuweisen. Eventualiter sei ihm eine Frist von 3 Monaten zur Einreichung von Unterlagen oder eines neuen Gesuchs betreffend Halbgefangenschaft zu gewähren. Der Strafantritt sei zu sistieren, resp. der Termin per 16. März 2021 sei abzusetzen. Es sei ein neuer Termin für den Strafantritt frühestens per Ende 2021 anzusetzen. A._ ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und um aufschiebende Wirkung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Entscheide über den Vollzug von Strafen und Massnahmen unterliegen nach <ref-law> der Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Zu dieser ist gemäss <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Der Beschwerdeführer ist mit seinen vorinstanzlichen Anträgen unterlegen und hat ein schutzwürdiges Interesse an der Beschwerde. Darauf ist unter Vorbehalt der gesetzlichen Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) einzutreten.
Der Beschwerdeführer beantragt eine öffentliche Beratung vor Bundesgericht, begründet diesen Antrag jedoch in keiner Weise. Da die Begründungsanforderungen (<ref-law>) somit nicht erfüllt sind, ist darauf nicht einzutreten. Im Übrigen ist darauf hinzuweisen, dass die Parteien vor Bundesgericht grundsätzlich weder Anspruch auf eine Parteiverhandlung noch auf eine öffentliche Sitzung haben (Art. 57 und Art. 58 BGG; Urteile 1B_425/2020 vom 15. Dezember 2020 E. 2.2; 5A_880/2011 vom 20. Februar 2012 E. 1.5).
2.
Der Beschwerdeführer beanstandet die Nichtgewährung des Strafvollzugs in Form der elektronischen Überwachung. Hinsichtlich des Vollzugs in Halbgefangenschaft gehe die Vorinstanz zu Unrecht von einem fehlenden Gesuch aus. Sie verletze insoweit das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers.
2.1.
2.1.1. Die Vollzugsbehörde kann auf Gesuch des Verurteilten hin den Einsatz elektronischer Geräte und deren feste Verbindung mit dem Körper des Verurteilten (elektronische Überwachung) unter anderem anordnen für den Vollzug einer Freiheitsstrafe oder einer Ersatzfreiheitsstrafe von 20 Tagen bis zu 12 Monaten (<ref-law>). Gemäss Abs. 2 der Bestimmung kann die Behörde die elektronische Überwachung nur anordnen, wenn nicht zu erwarten ist, dass der Verurteilte flieht oder weitere Straftaten begeht (lit. a); der Verurteilte über eine dauerhafte Unterkunft verfügt (lit. b); der Verurteilte einer geregelten Arbeit, Ausbildung oder Beschäftigung von mindestens 20 Stunden pro Woche nachgeht oder ihm eine solche zugewiesen werden kann (lit. c); die mit dem Verurteilten in derselben Wohnung lebenden erwachsenen Personen zustimmen (lit. d); und der Verurteilte einem für ihn ausgearbeiteten Vollzugsplan zustimmt (lit. e). Sind die Voraussetzungen nach Abs. 2 Buchstabe a, b oder c nicht mehr erfüllt oder verletzt der Verurteilte seine im Vollzugsplan festgehaltenen Pflichten, so kann die Vollzugsbehörde den Vollzug in Form der elektronischen Überwachung abbrechen und den Vollzug der Freiheitsstrafe im Normalvollzug oder in der Form der Halbgefangenschaft anordnen oder die dem Verurteilten zustehende freie Zeit einschränken (<ref-law>).
Auf Gesuch des Verurteilten hin kann eine Freiheitsstrafe von nicht mehr als 12 Monaten oder eine nach Anrechnung der Untersuchungshaft verbleibende Reststrafe von nicht mehr als sechs Monaten in der Form der Halbgefangenschaft vollzogen werden, wenn nicht zu erwarten ist, dass der Verurteilte flieht oder weitere Straftaten begeht und der Verurteilte einer geregelten Arbeit, Ausbildung oder Beschäftigung von mindestens 20 Stunden pro Woche nachgeht (<ref-law>). Erfüllt der Verurteilte die Bewilligungsvoraussetzungen nicht mehr oder leistet er die Halbgefangenschaft trotz Mahnung nicht entsprechend den von der Vollzugsbehörde festgelegten Bedingungen und Auflagen, so wird die Freiheitsstrafe im Normalvollzug vollzogen (<ref-law>).
Von den für den Vollzug geltenden Regeln darf zu Gunsten des Gefangenen abgewichen werden, wenn der Gesundheitszustand des Gefangenen dies erfordert (<ref-law>). Das Sachgericht verfügt hinsichtlich der Voraussetzungen der Vollzugsformen der elektronischen Überwachung und der Halbgefangenschaft über ein gewisses Ermessen. Das Bundesgericht greift hierin nur ein, wenn eine Ermessensfehlerhaftigkeit oder eine sonstige Verletzung von Bundesrecht vorliegt (Urteil 6B_564/2020, 6B_565/2020 vom 11. Juni 2020 E. 4).
2.1.2. Die Beschwerde ist zu begründen, wobei anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern dieser Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 42 Abs. 2 Satz 1 BGG). Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten einschliesslich des Sachverhalts wegen Willkür bestehen qualifizierte Rügeanforderungen (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es unter Berücksichtigung der Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1.3). Das Bundesgericht ist keine Appellationsinstanz, die eine freie Prüfung in tatsächlicher Hinsicht vornimmt oder die vorinstanzliche Beweiswürdigung mit freier Kognition überprüft. Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (vgl. <ref-law>), es sei denn, deren Beweiswürdigung erweise sich als willkürlich (<ref-ruling> E. 2.3.1; <ref-ruling> E. 2.2; je mit Hinweisen). Dies ist der Fall, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist oder mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht. Erforderlich ist, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Auf ungenügend begründete Rügen oder appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.4).
2.2.
2.2.1. Die Vorinstanz erachtet die Voraussetzungen des Vollzugs mittels elektronischer Überwachung als nicht erfüllt. Sie erwägt, der Beschwerdeführer weise zahlreiche, teilweise einschlägige Vorstrafen auf. Das Kantonsgericht St. Gallen habe ihm anlässlich des Entscheids vom 17. September 2019 im Zusammenhang mit der vorliegenden Freiheitsstrafe ein erhebliches Rückfallrisiko attestiert und eine ungünstige Prognose gestellt. Konkrete Anhaltspunkte, dass von dieser Beurteilung zugunsten des Beschwerdeführers abgewichen werden könnte, lägen nicht vor und mache er nicht geltend. Sodann habe der Beschwerdeführer keine genügenden Nachweise dafür eingereicht, dass er einer selbständigen oder unselbständigen Arbeitstätigkeit im regelmässigen Umfang von mindestens 20 Stunden pro Woche nachginge. Aufgrund seiner äussert dürftigen Angaben lasse sich das Pensum einer effektiven Erwerbstätigkeit nicht nachvollziehen. Der Beschwerdeführer habe insoweit trotz wiederholten Aufforderungen seitens der Behörden nicht transparent Auskunft erteilt. Gemäss eigenen Angaben verfüge er schliesslich über keine feste Wohnung und wolle auch keinen neuen Mietvertrag abschliessen. Entgegen seiner Darstellung liege hinsichtlich der Vollzugsform der Halbgefangenschaft kein Gesuch bei den Akten. Deren Voraussetzungen habe die Erstinstanz daher zu Recht nicht geprüft. Soweit der Beschwerdeführer gesundheitliche Probleme geltend mache, die dem Vollzug entgegenstehen sollen, bleibe unklar, welche Probleme dies sein sollen. Ohnehin könnte diesen durch angepasste und nötigenfalls sogar abweichende Vollzugsformen Rechnung getragen werden. Mit Blick auf die Covid-Pandemie bestünden im Vollzug ebenfalls genügende Schutzkonzepte.
2.2.2. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Begründungsanforderungen (oben E. 2.1.2) offensichtlich nicht. Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids nicht rechtsgenüglich auseinander und zeigt nicht auf, inwiefern dieser Bundesrecht verletzen soll.
Zunächst ist es, entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz eine erhebliche Rückfallgefahr für einschlägige Straftaten bejaht. Sie verweist diesbezüglich nachvollziehbar auf die Erwägungen des Kantonsgerichts St. Gallen vom 17. September 2019, welches den Beschwerdeführer wegen Diebstahls, mehrfachen Betrugs, übler Nachrede, versuchter Nötigung und mehrfacher Widerhandlung gegen das Abfallreglement der Gemeinde St. Gallen schuldig sprach. Dass der Beschwerdeführer seither keine weiteren Straftaten begangen hat und ihm im Kanton Thurgau früher der Vollzug in Halbgefangenschaft bewilligt worden war, vermag die vorinstanzliche Einschätzung zur Rückfallgefahr nicht zu widerlegen oder als bundesrechtswidrig erscheinen zu lassen. Gleiches gilt, wenn die Vorinstanz zum Schluss gelangt, der Beschwerdeführer habe den Nachweis einer regelmässigen Arbeitstätigkeit im Umfang von mindestens 20 Wochenstunden nicht erbracht. Der Beschwerdeführer begnügt sich damit, die diesbezüglichen Feststellungen der Vorinstanz pauschal zu bestreiten und Gegenteiliges zu behaupten. Dies genügt jedoch zum Nachweis von Willkür klarerweise nicht. Wie die Vorinstanz zudem zutreffend erwägt, vermögen weder die eingereichte Steuererklärung und die Verfügung betreffend AHV-Beiträge für Selbständigerwerbende des Jahres 2017 noch bisherige Arbeitsrapporte, zumal von einem mittlerweile unbestrittenermassen konkursiten Arbeitgeber, zu belegen, dass der Beschwerdeführer künftig in genügendem Ausmass einer selbständigen oder unselbständigen Erwerbstätigkeit nachgehen wird. Dies gilt ebenso für den Arbeitsvertrag mit der Firma B._, womit dem Beschwerdeführer eine unbefristete Anstellung ab dem 4. Januar 2021 für Teilzeiteinsätze auf Abruf attestiert wird. Namentlich ist darin kein Fixpensum vorgesehen. Auch der vom Beschwerdeführer eingereichte Mietvertrag für ein Büro ab dem 1. Februar 2021 belegt keine selbständige Erwerbstätigkeit im nötigen Umfang von mindestens 20 Wochenstunden. Der Beschwerdeführer verlangt auch nicht, dass ihm eine entsprechende Arbeit zuzuweisen sei.
Nicht zu beanstanden ist schliesslich, dass die Vorinstanz gestützt auf die Angaben des Beschwerdeführers selbst annimmt, er verfüge über keine feste Wohnung. Mit seinem im bundesgerichtlichen Verfahren eingereichten Mietvertrag für eine Wohnung ab dem 1. Februar 2021 ist der Beschwerdeführer nicht zu hören. Das Bundesgericht prüft nur, ob der angefochtene Entscheid im Zeitpunkt seines Ergehens rechtmässig war (vgl. Urteil 1C_627/2019 vom 6. Oktober 2020 E. 1.4). Ohnehin ist die Wohnsituation vorliegend nicht entscheidend, da die Vorinstanz, wie dargestellt, auch weitere Voraussetzungen für den Vollzug mittels elektronischer Überwachung überzeugend verneint. Auf den - grundsätzlich zutreffenden - Einwand des Beschwerdeführers, wonach seine Beschwerde rechtzeitig erfolgt sei, ist nach dem Gesagten ebenfalls nicht einzugehen, zumal sich die Vorinstanz gleichwohl mit den Voraussetzungen des Vollzugs mittels elektronischer Überwachung materiell auseinandersetzt. Unter den gegebenen Umständen kann auch offen bleiben, ob die Vorinstanz den Vollzug in Halbgefangenschaft zu Recht mangels eines entsprechenden Gesuchs nicht prüft, wobei sie sich dazu im Rahmen einer alternativen Begründung äussert (Urteil S. 11). Auch der Vollzug in Halbgefangenschaft setzt das Fehlen von Rückfallgefahr sowie eine geregelte Arbeit voraus, was die Vorinstanz schlüssig verneint. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs resp. der Begründungspflicht ist nicht erstellt. Es kann ebenfalls offen bleiben, ob dem Beschwerdeführer eine weitere Nachfrist zur Gesuchseinreichung hätte gesetzt werden müssen. Im Übrigen bringt er nichts vor, was Anlass böte, an der Beurteilung der Vorinstanz hinsichtlich des Fehlens eines Gesuchs um Vollzug der Strafe in Halbgefangenschaft zu zweifeln.
Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, seine gesundheitliche Situation resp. die gegenwärtige Covid-Pandemie stünden dem Strafvollzug entgegen, kann grundsätzlich ebenfalls auf die zutreffenden Erwägungen der Vorinstanz verwiesen werden. Der Beschwerdeführer legt nicht hinreichend dar, dass seine Gesundheit im Vollzug ernsthaft gefährdet wäre. Namentlich hat sich die Vorinstanz - entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers - mit der Covid-Situation im Strafvollzug sowie mit dem eingereichten Arztzeugnis vom 17. Dezember 2020, worin ihm attestiert wird, hinsichtlich Covid zu einer Risikogruppe zu gehören, ausführlich auseinandergesetzt. Die Rüge einer Verletzung von Konventionsrecht, weil der Beschwerdeführer bei Eintritt in die Strafanstalt zwei Wochen in Quarantäne müsste und isoliert bliebe, begründet er ebenfalls nicht.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Mit der Abweisung der Beschwerde in der Sache ist das Gesuch um aufschiebende Wirkung als gegenstandslos abzuschreiben. Ausgangsgemäss hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen, da sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen ist. Den finanziellen Verhältnissen des Beschwerdeführers ist bei der Kostenfestsetzung Rechnung zu tragen (Art. 64, Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Der Beschwerdeführer trägt die Gerichtskosten von Fr. 1'200.--.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. März 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Jacquemoud-Rossari
Der Gerichtsschreiber: Matt