Sachverhalt:
A.
Der in Spanien wohnhafte A._ wandte sich Mitte Mai 2019 per E-Mail an die in der Stadt St. Gallen betriebene gemeinsame Opferhilfe-Beratungsstelle der Kantone St. Gallen, Appenzell Ausserrhoden und Appenzell Innerrhoden. Er ersuchte um einen Beratungstermin und übermittelte Kopien gewisser Gerichtsdokumente. Die Beratungsstelle teilte ihm in der Folge mit, er habe keine Ansprüche gemäss dem Opferhilfegesetz vom 23. März 2007 (OHG; SR 312.5). Mit Schreiben vom 4. Juni 2019 stellte A._ bei der Beratungsstelle ein Begehren auf Gewährung von Beratung und Soforthilfe bzw. psychologische, soziale, materielle und juristische Hilfe (Antrag Ziff. 1) sowie auf "Bestimmung" einer Genugtuung, der entstandenen Kosten und des weiteren Vorgehens (Antrag Ziff. 2). Mit Verfügung vom 21. Juni 2019 wies die Beratungsstelle das Begehren ab.
B.
Gegen den Entscheid der Beratungsstelle gelangte A._ an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen. Er verlangte im Wesentlichen, dass seinem bei der Beratungsstelle eingereichten Begehren von 4. Juni 2019 stattgegeben werde. Das Versicherungsgericht bezweifelte seine Zuständigkeit und liess den Rekurs dem Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden zukommen. Dieses nahm das Rechtsmittel als Beschwerde entgegen und führte in Bezug auf die Zuständigkeitsfrage ein Vernehmlassungsverfahren sowie einen Meinungsaustausch durch. Mit Beschluss vom 19. Dezember 2019 trat es auf die Beschwerde nicht ein. Hinsichtlich der Frage der Beratung überwies es die Sache zurück an das als zuständig beurteilte Versicherungsgericht. Bezüglich der Frage der Genugtuung, hinsichtlich welcher es von einem fehlenden Anfechtungsobjekt ausging, überwies es das Begehren von A._ vom 4. Juni 2019 an das Departement Gesundheit und Soziales des Kantons Appenzell Ausserrhoden. In der Folge nahm das Versicherungsgericht den Rekurs von A._ in Bezug auf die Frage der Beratung und der Soforthilfe bzw. längerfristigen Hilfe an die Hand. Mit Entscheid vom 15. Juli 2020 (versandt am 10. August 2020) wies es das Rechtsmittel ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 11. September 2020 an das Bundesgericht beantragt A._, den Entscheid des Versicherungsgerichts aufzuheben und seinem bei der Beratungsstelle eingereichten Begehren vom 4. Juni 2019 stattzugeben. Sinngemäss verlangt er (soweit ersichtlich) zudem, es sei festzustellen, dass der von ihm geltend gemachte Amtsmissbrauch der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) des Kantons Appenzell Ausserrhoden eine Anspruchsgrundlage für Leistungen gemäss dem OHG bilde.
Das Versicherungsgericht und das zur Stellungnahme eingeladene Bundesamt für Justiz haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. A._ hat sich in der Sache nicht mehr geäussert.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid im Bereich der Opferhilfe. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht grundsätzlich offen (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG). Ein Ausschlussgrund gemäss <ref-law> liegt nicht vor. Der Beschwerdeführer hat ohne Erfolg am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist durch den angefochtenen Entscheid auch materiell beschwert. Damit ist er nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Soweit er vor Bundesgericht die Gewährung von Beratung und Soforthilfe bzw. psychologischer, sozialer, materieller und juristischer Hilfe beantragt, ist auf die rechtzeitig eingereichte Beschwerde grundsätzlich einzutreten.
1.2. Nicht einzutreten ist auf das Rechtsmittel, soweit der Beschwerdeführer die "Bestimmung" einer Genugtuung, der entstandenen Kosten sowie des weiteren Vorgehens verlangt. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid festgehalten, allfällige finanzielle Forderungen bildeten nicht Verfahrensgegenstand. Insofern sei die Behörde des Kantons zuständig, in dem die behauptete Straftat begangen worden sei, vorliegend also das Departement Gesundheit und Soziales des Kantons Appenzell Ausserrhoden. Der Beschwerdeführer stellt diese Beurteilung nicht in Frage. Er beschränkt ferner seine Rügen auf die Frage, ob ein Anspruch auf Beratung und Sofort- bzw. längerfristige Hilfe gemäss dem OHG besteht. Soweit er überhaupt am erwähnten zusätzlichen Begehren festhält, genügt die Beschwerde daher den Rüge- und Begründungsanforderungen (vgl. nachfolgend E. 2) nicht.
1.3. Ebenfalls nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit der Beschwerdeführer (offenbar) festgestellt haben will, dass der von ihm geltend gemachte Amtsmissbrauch der KESB des Kantons Appenzell Ausserrhoden eine Anspruchsgrundlage für Leistungen gemäss dem OHG bilde. Ob die von ihm angeführten Umstände einen Anspruch auf die erwähnten, verfahrensgegenständlichen Opferhilfeleistungen zu begründen vermögen, ist bereits im Rahmen der Prüfung des entsprechenden Leistungsbegehrens zu klären. Für ein Feststellungsbegehren, das gegenüber diesem Leistungsbegehren subsidiär ist (vgl. <ref-ruling> E. 2c; Urteil 2C_131/2019 vom 27. August 2019 E. 1.1 mit Hinweisen), besteht kein Raum.
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet dieses von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, welche die beschwerdeführende Person vorbringt und begründet, sofern die rechtlichen Mängel des angefochtenen Entscheids nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten, soweit die Verletzung von Grundrechten gerügt wird (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.7.2; <ref-ruling> E. 2.2).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil weiter den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.1.2), ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht. Erforderlich ist zudem, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (vgl. Art. 42 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.3).
3.
Jede Person, die durch eine Straftat in ihrer körperlichen, psychischen oder sexuellen Integrität unmittelbar beeinträchtigt worden ist (Opfer), hat Anspruch auf Unterstützung nach dem OHG (Opferhilfe; <ref-law>). Die Opferhilfe umfasst namentlich Beratung und Soforthilfe sowie längerfristige Hilfe der Beratungsstellen (Art. 2 lit. a und b OHG). Die entsprechenden Leistungen werden im 2. Kapitel des OHG näher geregelt (vgl. insb. Art. 12 [Beratung], Art. 13 [Soforthilfe und längerfristige Hilfe] und Art. 14 [Umfang der Leistungen]).
3.1. Unabdingbare Voraussetzung für die Anerkennung der Opferqualität ist eine Straftat. Dabei genügt ein tatbestandsmässiges und rechtswidriges Verhalten. Ob der Täter bzw. die Täterin ermittelt oder strafrechtlich verurteilt worden ist, sich schuldhaft verhalten hat oder vorsätzlich oder - soweit der betreffende (subjektive) Tatbestand auf diese Weise erfüllt werden kann - fahrlässig gehandelt hat, spielt keine Rolle (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3.2; <ref-ruling> E. 5.5; je mit Hinweisen; Urteil 1C_521/2020 vom 4. Oktober 2021 E. 4.1). Die betroffene Person muss weiter durch die Straftat in ihrer körperlichen, psychischen oder sexuellen Integrität beeinträchtigt worden sein. Erforderlich ist, dass diese Beeinträchtigung unmittelbare Folge des tatbestandsmässigen Verhaltens ist, wie dies etwa bei einer schweren Körperverletzung (<ref-law>) oder einer Vergewaltigung (<ref-law>) immer der Fall ist. Die Beeinträchtigung muss zudem von einer gewissen Schwere sein (vgl. <ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 1.2.1; je mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 1.2; vgl. auch Urteil 1B_259/2021 vom 19. August 2021 E. 2.1 [zu <ref-law>]).
3.2. Amtsmissbrauch (<ref-law>) vermag unter gewissen Umständen ausnahmsweise die Opferstellung gemäss dem OHG zu begründen. So bejahte das Bundesgericht in einem Fall, in dem die betroffene Person geltend machte, sie habe infolge eines behaupteten Amtsmissbrauchs die Nacht in einer ungeheizten Zelle bei weniger als 10° C verbringen müssen und sich durch die verschmutzte Matratze in der Zelle eine Infektion zugezogen, eine unmittelbare Beeinträchtigung der körperlichen Integrität durch das angebliche tatbestandsmässige Verhalten und die Opferstellung (vgl. nicht publiziertes Urteil 1P.15/ 1994 vom 6. Juli 1994 E. 1 S. 4). Dasselbe tat es in einem Fall, in dem die betroffene Person den behaupteten Amtsmissbrauch in den ihr angeblich verabreichten Schlägen erblickte, die zu einer einfachen Körperverletzung geführt hätten (vgl. nicht publiziertes Urteil 1P.371/ 1995 vom 15. September 1995 E. 2b/bb S. 6). In einem weiteren Urteil erwog es, es sei nicht von vornherein ausgeschlossen, dass Amtsmissbrauch als Delikt gegen die Amts- und Berufspflicht ausnahmsweise eine Opferstellung im Sinne des OHG begründen könne, wenn im konkreten Fall die körperliche, sexuelle oder psychische Integrität der geschädigten Person durch die Straftat unmittelbar beeinträchtigt worden sei (vgl. Urteil 1A.52/2000 vom 24. November 2000 E. 2b S. 7). In späteren Entscheiden hielt das Bundesgericht - teilweise unter Verweis auf die beiden zitierten, nicht publizierten früheren Urteile, in denen es die Opferstellung bejaht hatte - in allgemeiner Weise fest, Amtsmissbrauch vermöge die Opferstellung nur in ganz besonderen Fällen zu begründen, in denen das Delikt zu einer erheblichen Beeinträchtigung der körperlichen und psychischen Integrität führe (vgl. Urteile 1P.96/2005 vom 18. Juli 2005 E. 1.1.3; 1P.136/2005 vom 18. Juli 2005 E. 1.1.3; 1P.469/2006 vom 8. September 2006 E. 1.1; 1P.563/2006 vom 12. Oktober 2006 E. 2.2; vgl. auch STEFAN HEIMGARTNER, in: Basler Kommentar Strafrecht, 4. Aufl. 2019, N. 30 zu <ref-law> [betreffend Opferstellung nach <ref-law>]).
3.3. Damit Beratung und Soforthilfe sowie längerfristige Hilfe nach dem OHG ihren Zweck erfüllen können, müssen sie gewährt werden, bevor endgültig feststeht, ob ein tatbestandsmässiges und rechtswidriges Verhalten vorliegt. Bei Beratung und Soforthilfe genügt es deshalb, wenn eine die Opferstellung begründende Straftat in Betracht fällt (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.3; <ref-ruling> E. 4c/aa; <ref-ruling> E. 3c). Der zu erfüllende Beweisgrad ist somit jener des Glaubhaftmachens (vgl. Urteil 1C_521/2020 vom 4. Oktober 2021 E. 4.2; DOMINIK ZEHNTNER, in: Gomm/Zehntner [Hrsg.], Opferhilferecht, Stämpflis Handkommentar, 4. Aufl. 2020, N. 43 zu Art. 1; auch <ref-ruling> E. 2.3.3). Glaubhaft gemacht ist eine Straftat, wenn für ihr Vorhandensein aufgrund objektiver Anhaltspunkte eine gewisse Wahrscheinlichkeit spricht, selbst wenn das Gericht noch mit der Möglichkeit rechnet, dass sie sich nicht verwirklicht haben könnte (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.2; <ref-ruling> E. 6.2; <ref-ruling> E. 4.1; Urteil 1C_521/2020 vom 4. Oktober 2021 E. 4.2). Ob für die Gewährung längerfristiger Hilfe eine opferhilferechtlich relevante Straftat wahrscheinlicher sein muss als ihr Nichtvorliegen oder es ebenfalls genügt, dass sie in Betracht fällt, hat das Bundesgericht bisher offen gelassen (vgl. Urteile 1C_521/ 2020 vom 4. Oktober 2021 E. 4.2; 1C_9/2017 vom 4. April 2017 E. 2). Die Frage kann auch im vorliegenden Fall offen bleiben (vgl. hinten E. 4.3.3).
4.
4.1. Der Beschwerdeführer brachte im vorinstanzlichen Verfahren zugunsten seines Begehrens auf Beratung und Soforthilfe bzw. psychologische, soziale, materielle und juristische Hilfe nach dem OHG vor, die KESB des Kantons Appenzell Ausserrhoden habe jahrelang nicht über sein Besuchsrecht bezüglich seiner beiden Kinder entschieden, die getrennt von ihm bei ihrer Mutter in der Schweiz lebten. Das Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden habe insofern mit Urteil vom 23. Oktober 2018 eine Rechtsverzögerung der KESB festgestellt. Diese Rechtsverzögerung sei als Amtsmissbrauch im Sinne von <ref-law> zu beurteilen, durch den er unmittelbar in seiner psychischen Integrität beeinträchtigt worden sei.
Die Vorinstanz hat das Vorliegen einer Straftat vonseiten der KESB als weder glaubhaft noch überwiegend wahrscheinlich beurteilt. Rechtsverzögerung sei kein Straftatbestand. Der vom Beschwerdeführer geltend gemachte Amtsmissbrauch bedinge in der Regel ein aktives Tun und könne durch Unterlassen grundsätzlich nicht erfüllt werden. Der Beschwerdeführer mache nicht geltend, dass die KESB gegen ihn Zwangsmassnahmen erlassen habe, sondern werfe dieser vor, seinen Antrag auf Regelung des Besuchsrechts nicht behandelt zu haben. Aus den Akten ergäben sich weiter keine Hinweise, dass die KESB dem Beschwerdeführer vorsätzlich einen Nachteil habe zufügen wollen. Offenbar habe sie sich immer wieder darum bemüht, eine einvernehmliche Lösung zu finden, und sei sie fälschlicherweise davon ausgegangen, sie müsse den Gerichtsentscheid betreffend Vaterschaft abwarten. Damit fehle es am Vorsatz zur Begehung einer Straftat im Sinne von <ref-law>, ebenso an der Absicht, den Beschwerdeführer zu schädigen. Es könne entsprechend offen bleiben, ob dieser in seiner psychischen Integrität erheblich beeinträchtigt worden sei, wie dies die bundesgerichtliche Rechtsprechung bei einem Amtsmissbrauch für die Bejahung der Opferstellung verlange.
4.2. Der Beschwerdeführer rügt vor Bundesgericht (soweit ersichtlich) sinngemäss, die Vorinstanz habe zu Unrecht verneint, dass ein Amtsmissbrauch der KESB glaubhaft sei. Dieser Straftatbestand könne auch durch eine Unterlassung erfüllt werden. Die KESB könne sich zudem bezüglich der vom Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden festgestellten Rechtsverzögerung nicht auf Fahrlässigkeit berufen, sei sie doch insbesondere mehrmals gemahnt worden und über die Folgen ihrer Untätigkeit bestens informiert gewesen. Ob Vorsatz oder Fahrlässigkeit vorliege, spiele ferner für das Bestehen einer Straftat, welche die Opferstellung gemäss dem OHG zu begründen vermöge, keine Rolle. Weiter macht der Beschwerdeführer geltend, der von der KESB mit der Rechtsverzögerung begangene Amtsmissbrauch vermöge seine Opferstellung gemäss dem OHG zu begründen.
4.3.
4.3.1. Amtsmissbrauch gemäss <ref-law> liegt vor, wenn Mitglieder einer Behörde oder Beamte ihre Amtsgewalt missbrauchen, um sich oder einem anderen einen unrechtmässigen Vorteil zu verschaffen oder einem anderen einen Nachteil zuzufügen. Die Amtsgewalt missbraucht, wer die Machtbefugnisse, die ihm sein Amt verleiht, unrechtmässig anwendet, das heisst kraft seines Amtes verfügt oder Zwang ausübt, wo dies nicht geschehen dürfte (vgl. <ref-ruling> E. 1a/aa S. 211; Urteil 6B_825/2019 vom 6. Mai 2021 E. 7.2; je mit Hinweisen). In subjektiver Hinsicht ist zumindest Eventualvorsatz erforderlich (vgl. Urteile 6B_825/2019 vom 6. Mai 2021 E. 7.2; 6B_185/2016 vom 30. November 2016 E. 4.1.1). Daran fehlt es etwa, wenn die Amtsperson im Glauben handelt, sie übe ihre Machtbefugnisse pflichtgemäss aus (vgl. Urteil 1C_57/2018 vom 19. November 2018 E. 3; HEIMGARTNER, a.a.O., N. 22 zu <ref-law>). Vorausgesetzt ist zudem die Absicht, sich oder einem Dritten einen unrechtmässigen Vorteil zu verschaffen oder einem anderen einen Nachteil zuzufügen, wobei Eventualabsicht genügt (vgl. Urteil 6B_1169/2014 vom 6. Oktober 2015 E. 2.1 mit Hinweis).
4.3.2. Ob die Amtsgewalt durch Unterlassung missbraucht werden kann, hat das Bundesgericht noch nicht abschliessend beurteilt (vgl. Urteil 1C_57/2018 vom 19. November 2018 E. 3). In der Lehre wird teilweise die Ansicht vertreten, dies sei in der Regel nicht möglich, da durch Passivität grundsätzlich kein Zwang ausgeübt werden könne (vgl. HEIMGARTNER, a.a.O., N. 18 zu <ref-law> mit Hinweisen). Ein Amtsmissbrauch nach den Regeln des Unterlassungsdelikts gemäss <ref-law> liege aber gegebenenfalls vor, wenn eine Amtsperson es unterlasse, einen Grundrechtseingriff bzw. eine Zwangssituation aufzuheben, obschon sie als Garant dazu verpflichtet wäre, oder wenn sie den Amtsmissbrauch eines oder einer Untergebenen im Sinne einer Mit- oder Nebentäterschaft wissentlich und willentlich geschehen lasse, obschon sie die Garantenpflicht hätte, einzugreifen (vgl. HEIMGARTNER, a.a.O., N. 18 f. zu <ref-law>; FREY/OMLIN, Amtsmissbrauch - die Ohnmacht der Mächtigen, AJP 2005, S. 86 und 89 f.). Wie es sich damit verhält, ist vorliegend nicht weiter zu erörtern; vielmehr kann die Frage mit Blick auf die nachfolgenden Erwägungen offen bleiben.
4.3.3. Die Vorinstanz hat ihre Beurteilung, wonach sich aus den Akten keine Hinweise darauf ergeben, dass die Mitglieder der KESB mit Vorsatz und Nachteilszufügungsabsicht im Sinne von <ref-law> gehandelt haben, im Wesentlichen auf das Urteil des Obergerichts des Kantons Appenzell Ausserrhoden vom 23. Oktober 2018 bezüglich Rechtsverzögerung gestützt, das sie ausführlich zitiert hat. Wie sie zutreffend ausgeführt hat, hielt das Obergericht in diesem Entscheid zwar fest, die Gesamtdauer des Verfahrens vor der KESB betreffend Umgangsregelung und Sorgerecht habe das Beschleunigungsgebot verletzt. Es wies aber auch darauf hin, dass die Behörde wiederholt Anstrengungen unternommen habe, die Anträge des in Spanien lebenden Beschwerdeführers zu bearbeiten und eine Regelung des persönlichen Verkehrs zu erreichen. Dies sei in erster Linie am Verhalten beider Elternteile gescheitert. So habe der Beschwerdeführer kaum Hand zu einer akzeptablen Vereinbarung betreffend Unterhalt und Besuchsrecht geboten, sondern sich zu Unrecht auf angeblich nicht vorhandenes Einkommen berufen, obwohl ihm solches in akribischer Kleinstarbeit habe nachgewiesen werden können. Weiter erwog das Obergericht, hinsichtlich der Dauer des Verfahrens sei auch nicht zu vernachlässigen, dass der Beschwerdeführer seine Vaterschaft im Jahr 2013 erneut angefochten habe, sodass diese erst 2015 verbindlich festgestanden sei. Die KESB müsse sich dagegen vorwerfen lassen, dass sie während längerer Zeit der Meinung gewesen sei, erst nach einem rechtskräftigen Gerichtsentscheid betreffend Vaterschaft tätig werden zu können. Zudem habe sie (viel) zu lange versucht, eine einvernehmliche und gleichzeitige Lösung von Unterhalt und Besuchsrecht zu erreichen, obwohl für die Unterhaltsfrage von Anfang an das Gericht zuständig gewesen sei.
Der Beschwerdeführer äussert sich nicht weiter zu diesen Feststellungen des Obergerichts. Er legt auch nicht dar, inwiefern die Vorinstanz daraus einen anderen Schluss als den erwähnten hätte ziehen sollen oder inwiefern sich aus den Akten ungeachtet der vom Obergericht festgestellten Umstände Hinweise darauf ergeben würden, dass die Mitglieder der KESB mit Vorsatz und Nachteilszufügungsabsicht im Sinne von <ref-law> gehandelt haben. Solches ergibt sich auch sonst nicht aus seinen Ausführungen. Insbesondere folgt es nicht aus seinem Vorbringen, die KESB sei mehrfach gemahnt worden und bestens über die Folgen ihrer Untätigkeit informiert gewesen. Zwar ist denkbar, dass die Behörde das langjährige Fehlen einer Besuchsrechtsregelung mit Blick auf allfällige negative Folgen für den Beschwerdeführer (und die betroffenen Kinder) für problematisch gehalten hat. Angesichts der vom Obergericht festgestellten und vom Beschwerdeführer nicht weiter bestrittenen Umstände würde dies für sich allein jedoch nicht auf ein Handeln mit Vorsatz und vor allem nicht auf eine Nachteilszufügungsabsicht im Sinne von <ref-law> hindeuten.
Aus den Vorbringen des Beschwerdeführers ergibt sich somit nicht, dass die Beurteilung der Vorinstanz, es bestünden keine Hinweise auf einen Vorsatz und eine Absicht im Sinne des Straftatbestands des Amtsmissbrauchs, auf einer offensichtlich unrichtigen oder einer unvollständigen Sachverhaltsfeststellung beruhen würde. Aus der Beschwerde geht auch nicht hervor, dass die vorinstanzliche Beurteilung sonst bundesrechtswidrig wäre. Solches ist auch nicht offensichtlich (vgl. vorne E. 2). Die Vorinstanz durfte daher einen Amtsmissbrauch der Mitglieder der KESB bereits aus diesem Grund und ungeachtet der Frage, ob dieser Straftatbestand auch durch Unterlassung begangen werden kann, als nicht glaubhaft beurteilen, ohne Bundesrecht zu verletzen (vgl. Urteil 1A.52/2000 vom 24. November 2000 E. 2i S. 16). Daran ändert nichts, dass es für die Opferstellung gemäss dem OHG keine Rolle spielt, ob der Täter oder die Täterin vorsätzlich oder fahrlässig gehandelt hat (vgl. <ref-law>). Wie erwähnt (vgl. vorne E. 3.1), genügt Fahrlässigkeit nur, wenn der betreffende (subjektive) Straftatbestand auf diese Weise erfüllt werden kann. Dies ist beim Amtsmissbrauch gemäss <ref-law> nicht der Fall, handelt es sich dabei doch um ein Vorsatzdelikt, das überdies die erwähnte Nachteilszufügungs- oder Vorteilsverschaffungsabsicht voraussetzt (vgl. vorne E. 4.3.1).
4.3.4. Da ein Amtsmissbrauch der Mitglieder der KESB nach dem Gesagten nicht glaubhaft ist und keine andere Straftat geltend gemacht wird, mangelt es an der Voraussetzung des (straf-) tatbestandsmässigen und rechtswidrigen Verhaltens, die für die Opferqualität gemäss dem OHG und die Gewährung von Opferhilfe unabdingbar ist. Damit erweist sich die Beschwerde in der Sache als unbegründet. Auf die weiteren Vorbringen des Beschwerdeführers bzw. die Frage, ob der behauptete Amtsmissbrauch gegebenenfalls nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ausnahmsweise eine Opferstellung gemäss dem OHG zu begründen vermöchte (vgl. vorne E. 3.2), ist deshalb nicht einzugehen. Soweit der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang ansatzweise auch eine Gehörsverletzung rügt, ist dies im Weiteren unzutreffend. Da die Vorinstanz bereits die Glaubhaftmachung einer Straftat verneinte, brauchte sie sich nicht dazu zu äussern, inwiefern der Beschwerdeführer durch den behaupteten Amtsmissbrauch in seiner psychischen Integrität beeinträchtigt worden sein könnte. Der Beschwerde kann somit auch insoweit und damit insgesamt nicht stattgegeben werden, soweit sie überhaupt den Begründungsanforderungen (vgl. vorne E. 2) genügt.
5.
Demnach ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Gerichtskosten sind keine zu erheben (vgl. <ref-law> i.V.m. <ref-law>). Parteientschädigungen sind keine zuzusprechen (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Opferhilfe der Kantone SG/AR/AI, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung I, und dem Bundesamt für Justiz BJ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. November 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Baur