Sachverhalt:
A.
Mit Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 8. Juli 2008 wurde die Familienstiftung X._ (CHE-xxx) "aufgrund fehlender Eintragungspflicht" im Handelsregister gelöscht. Eine dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht am 25. November 2008 ab (Urteil 5A_602/2008).
Mit Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 16. Mai 2012 wurde A._ (Beschwerdeführer) als Stiftungsrat der Stiftung X._ abberufen.
Am 16. November 2020 meldete der Stiftungsrat die Stiftung X._ dem Handelsregisteramt des Kantons Zürich zur Eintragung an. Am 22. Dezember 2020 wurde die Stiftung im Handelsregister eingetragen (CHE-yyy).
B.
Am 23. Dezember 2020 gelangte A._ an das Handelsregisteramt. Er beantragte "als testamentarisch bestellter ständiger Stiftungsrat", dass das "Statut der Stiftung wieder zu aktivieren" sei, und schloss sein Gesuch mit der Bitte, "den Eintrag vorzunehmen, damit der Stiftungsrat weitere Organisationsschritte leiten" könne.
Mit Schreiben vom 21. Januar 2021 wandte sich das Handelsregisteramt an A._ und teilte diesem mit, dass es "von sich aus keine Korrektur vornehmen" dürfe, wenn eine Eintragung "aufgrund von formell richtigen und inhaltlich vollständigen Belegen erfolgt" sei. Es empfahl A._, "sich an die eingetragenen Personen dieser Stiftung zu wenden".
Dagegen erhob A._ Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Er stellte folgende Anträge:
"1. Die Stiftung X._ (CH-zzz) sei im Handelsregister ZH wi[e]der zu aktivieren und die statutarisch bestimmte Kontrollstelle der Stiftung aus den Pflichten des Aktienrechts als Organ sei ins Handelsregister wieder einzutragen.
2. Die neu widerrechtlich gegründete zweite Stiftung X._ (CHE-yyy) sei aus dem Handelsregister ZH zu löschen."
Mit Beschluss vom 20. Mai 2021 trat das Verwaltungsgericht mangels zulässigen Anfechtungsobjekts beziehungsweise wegen Unzuständigkeit auf die Beschwerde nicht ein.
C.
A._ hat mit Eingabe an das Bundesgericht vom 15. Juni 2021 erklärt, diesen Beschluss mit "Beschwerde" anzufechten. Er verlangt, der Beschluss der Vorinstanz sei aufzuheben und auf die vor Verwaltungsgericht eingereichte Beschwerde sei einzutreten. In der Sache wiederholt er die vorinstanzlich gestellten Begehren. Ausserdem sei ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen.
Mit Verfügung des Präsidenten der II. zivilrechtlichen Abteilung wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um Erteilung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.
Am 13. Juli 2021 teilte das Bundesgericht den Parteien mit, dass die Streitsache aus Gründen der internen Zuständigkeit nunmehr von der I. zivilrechtlichen Abteilung behandelt werde.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerde in Zivilsachen unterliegen öffentlich-rechtliche Entscheide, die in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht stehen, insbesondere Entscheide über die Führung des Handelsregisters (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 2 BGG).
1.2.
1.2.1. Es geht um eine vermögensrechtliche Angelegenheit (vgl. etwa Urteile 4A_76/2017 vom 3. April 2017 E. 5; 4A_537/2013 / 4A_539/2013 vom 29. November 2013 E. 2; 5A_401/2010 vom 11. August 2010 E. 7.3).
1.2.2. Das Verwaltungsgericht hat als Rechtsmittelinstanz im Sinne von <ref-law> entschieden (vgl. <ref-law> und aArt. 165 Abs. 2 HRegV [SR 221.411]). Dass es sich bei der ersten Instanz um das Handelsregisteramt und damit nicht um eine richterliche Behörde handelt, ändert daran nichts (vgl. <ref-ruling> E. 2.4.1.5). Entsprechend greift die in <ref-law> vorgesehene Ausnahme vom Streitwerterfordernis für Beschwerden gegen Urteile einziger kantonaler Instanzen nicht (siehe Urteile 4A_392/2020 vom 27. August 2020 E. 1; 4A_76/2017 vom 3. April 2017 E. 5; 4A_536/2015 vom 3. März 2016 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>; DAVID RÜETSCHI, in: Siffert/Turin [Hrsg.], Handelsregisterverordnung [HRegV], 2013, N. 33 zu aArt. 165 HRegV; anders - allerdings ohne Begründung - LUKAS GLANZMANN, Wandel des Gesellschaftsrechts in der Schweiz, in: Protagonisten im Gesellschaftsrecht, 2020, S. 49, nach welchem Urteile der kantonalen Beschwerdeinstanz über Verfügungen des Handelsregisteramts "unabhängig vom Streitwert" beim Bundesgericht angefochten werden könnten).
1.2.3. Folglich - und unter Vorbehalt von <ref-law> - ist die Beschwerde in Zivilsachen nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt. Entgegen den gesetzlichen Vorschriften (<ref-law>) finden sich im angefochtenen Beschluss keine Angaben zum Streitwert. <ref-law> erlaubt dem Bundesgericht eine ermessensweise Festsetzung, wenn ein Begehren - wie vorliegend - nicht auf Bezahlung einer bestimmten Geldsumme lautet. Allerdings ist es nicht Aufgabe des Bundesgerichts, eigene Abklärungen anzustellen, wenn der Streitwert nicht ohne Weiteres aus den Feststellungen im angefochtenen Entscheid oder aus den Verfahrensakten hervorgeht. Fehlt im kantonalen Entscheid die Angabe des Streitwerts, ist es mithin an der beschwerdeführenden Partei, entsprechend den Anforderungen in <ref-law> nähere Angaben zu machen, die den Streitwert einfach zu schätzen gestatten. Andernfalls erweist sich die Beschwerde als nicht hinreichend begründet und damit als unzulässig (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.1.1; Urteil 4A_345/2018 vom 5. November 2018 E. 1.2.3).
1.2.4. Der Beschwerdeführer äussert sich nicht zur Höhe des Streitwerts, wiewohl das Verwaltungsgericht darauf aufmerksam gemacht hat, dass es sich um eine vermögensrechtliche Angelegenheit handelt. Dazu schreibt der Beschwerdeführer:
"Die Vorinstanz ist zuständig, diese widerrechtliche Anordnung des Handels registeramts zu korrigieren. Die Korrektur einer widerrechtlichen Anordnung des Handelsregisteramtes kann nicht zu einem vermögensrechtlichen An spruch abgeleitet werden."
Er unterlässt es dagegen, tatbeständliche Angaben zu machen, die Rückschlüsse auf den Wert des Streitgegenstands, auf die auf dem Spiel stehenden wirtschaftlichen Interessen und auf die ökonomischen Auswirkungen der beantragten Eintragungen zuliessen. Insbesondere äussert er sich nicht nachvollziehbar zur wirtschaftlichen Bedeutung der in Frage stehenden Stiftung (en) oder zu deren Vermögen. Auch aus den Akten ist die Höhe des Streitwerts nicht ohne Weiteres ersichtlich. Folglich ist mangels hinreichender Begründung davon auszugehen, dass die Streitwertgrenze nicht erreicht wird.
1.3. Unter diesen Umständen wäre die Beschwerde in Zivilsachen nach <ref-law> zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellen würde. In der Beschwerde ist auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt sein soll (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer behauptet zwar das Vorliegen einer Rechtsfrage "von grundsätzlicher Bedeutung", namentlich im Zusammenhang mit seiner Kritik, die Stiftung X._ sei "keine reine Familienstiftung". Weder tut er aber dar, welche Frage er vom Bundesgericht konkret beantwortet haben möchte, noch nimmt er auch nur ansatzweise auf <ref-law> und die zu dieser Bestimmung entwickelten Voraussetzungen Bezug. Insbesondere zeigt er nicht auf, inwiefern eine Frage geklärt werden soll, die über die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf den konkreten Fall hinausgeht (siehe nur <ref-ruling> E. 1.3 S. 4). Die Ausführungen genügen den Begründungsanforderungen von <ref-law> nicht.
1.4. Die Beschwerde in Zivilsachen ist nicht zulässig.
2.
Folglich stünde grundsätzlich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne der Art. 113-119 BGG offen. Eine solche erhebt der Beschwerdeführer zwar nicht ausdrücklich, jedoch macht er Verfassungsverletzungen geltend.
2.1. Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Diesbezüglich gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 in Verbindung mit <ref-law>). Dies bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.2; je mit weiteren Hinweisen).
Macht die beschwerdeführende Partei eine Verletzung des Willkürverbots geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich (<ref-ruling> E. 3 S. 352; <ref-ruling> E. 5.5). Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern bloss, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen). Dass die von Sachgerichten gezogenen Schlüsse nicht mit der eigenen Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmen, belegt keine Willkür (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Erforderlich ist zudem, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (BGE <ref-ruling> E. 2.1 S. 19 mit Hinweisen).
2.2. Der Beschwerdeführer beruft sich verschiedentlich auf das "öffentliche Interesse" (<ref-law>), auf das Willkürverbot (<ref-law>) und auf die Verfahrensgarantien in <ref-law>. Indes belässt er es bei pauschalen Vorwürfen, ohne in einer den (erhöhten) Begründungsanforderungen (Erwägung 2.1) genügenden Weise darzulegen, aus welchen Gründen der angefochtene Nichteintretensentscheid verfassungswidrig sein soll. Soweit er Willkür beklagt, verkennt er, dass es nicht genügt, seine eigene Sicht der Dinge zu schildern, um anschliessend zu behaupten, die Vorinstanz sei in Willkür verfallen, indem sie anders entschieden habe. Daran ändert auch die in der Beschwerde vorgetragene Klage nichts, das Handelsregisteramt habe "seine Amtsgewalt missbraucht" und dadurch die "Öffentlichkeit geschädigt", was "strafbar" sei. Diese Verfassungsrügen sind nicht hinreichend begründet; darauf ist nicht einzutreten.
Der Beschwerde kann immerhin der Vorwurf entnommen werden, der Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) sei verletzt worden. Diese Kritik ist indes offensichtlich unbegründet. Der Beschwerdeführer argumentiert - soweit überhaupt nachvollziehbar - im Kern damit, dass das Verwaltungsgericht seiner Rechtsauffassung nicht gefolgt sei. Dies stellt keine Gehörsverletzung dar (siehe Urteil 4A_613/2019 vom 11. Mai 2020 E. 4.2, nicht publ. in: <ref-ruling>).
2.3. Soweit der Beschwerdeführer in zureichender Weise die Verletzung verfassungsmässiger Rechte moniert, ist die Beschwerde offensichtlich unbegründet und im Verfahren nach <ref-law> (in Verbindung mit <ref-law>) abzuweisen.
3.
Ausnahmsweise - und mit Blick darauf, dass es die Vorinstanz unterliess, den Streitwert anzugeben - wird darauf verzichtet, Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Damit wird das Gesuch um Befreiung von diesen Kosten gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Handelsregisteramt des Kantons Zürich und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. August 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Stähle