Erwägungen:
1.
Mit Eingabe vom 22. Oktober 2021 reichte der Beschwerdeführer dem Handelsgericht des Kanton Zürich eine Schadenersatzklage gegen die Beschwerdegegnerin ein und ersuchte um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Mit Verfügung vom 25. Oktober 2021 wurde dem Beschwerdeführer unter anderem eine einmalige Frist angesetzt, um eine verbesserte Klageschrift gemäss den Hinweisen in den Erwägungen einzureichen, dies verbunden mit der Androhung, dass bei Säumnis auf die Klage nicht eingetreten würde. Mit Eingaben vom 15. bzw. 16. November 2021 reichte der Beschwerdeführer dem Handelsgericht eine angepasste Klageschrift ein, im Wesentlichen mit den Rechtsbegehren, die Beschwerdegegnerin sei zur Zahlung von Schadenersatz von Fr. 34'069'889.-- für den Wertverlust von Aktien sowie von Fr. 52'536.-- für bezahlte Verfahrenskosten zu verurteilen.
Mit Beschluss vom 30. November 2021 trat das Handelsgericht auf die Klage nicht ein, es wies das Gesuch des Beschwerdeführers um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege ab und auferlegte ihm die Gerichtskosten.
Mit Eingabe vom 31. Dezember 2021 erklärte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, den Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 30. November 2021 mit Beschwerde anfechten zu wollen; gleichzeitig ersuchte er darum, es sei ihm im bundesgerichtlichen Verfahren ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zur Verfügung zu stellen.
Mit Schreiben vom 4. Januar 2022 wurde dem Beschwerdeführer mitgeteilt, dass sich der Beschwerdeeingabe vom 31. Dezember 2021 bei einer unpräjudiziellen ersten Beurteilung keine hinreichend begründeten Rügen gegen den angefochtenen Entscheid entnehmen liessen und dass es an ihm liege, im Hinblick auf die fristgerechte Einreichung einer nicht aussichtslos erscheinenden Beschwerde beim Bundesgericht, soweit nötig, einen Rechtsanwalt beizuziehen, der bei gegebenen Voraussetzungen um Bestellung als unentgeltlicher Rechtsbeistand ersuchen könnte. Mit Eingabe vom 15. Januar 2022 reichte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht eine Beschwerdeergänzung ein. Mit Schreiben vom 28. Januar 2022 bezeichnete er zudem für den Fall der Gewährung der beantragten unentgeltlichen Rechtsverbeiständung einen Rechtsvertreter.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
2.1. Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann. Dazu muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2, 115 E. 2). Eine allfällige Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im vorinstanzlichen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2, 115 E. 2). Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen und der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 1.2.3; <ref-ruling> E. 2). Stützt sich der angefochtene Entscheid auf mehrere selbständige Begründungen, so muss sich die Beschwerde mit jeder einzelnen auseinandersetzen, sonst wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.4 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.4).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel sind grundsätzlich ausgeschlossen (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2).
3.
Die Vorinstanz erwog, dass eine Klage, die den Anforderungen gemäss <ref-law> nicht genüge, zur Verbesserung innert einer gerichtlichen Nachfrist zurückzusenden sei, wobei im Falle der unterbliebenen Verbesserung innert Frist auf die Klage in analoger Anwendung von <ref-law> nicht einzutreten sei. Zudem wies sie darauf hin, dass der Beschwerdeführer bereits in zwei früheren in dieser Sache eingeleiteten Verfahren ausdrücklich und unmissverständlich darüber aufgeklärt worden sei, welchen gesetzlichen Anforderungen eine Klageschrift im Sinne von <ref-law> zu genügen habe. Er unterlasse es jedoch auch in seiner "verbesserten" Klage, vollständige und nachvollziehbare Tatsachenbehauptungen zum eingeklagten Sachverhalt aufzustellen. So erhelle etwa nicht, wie sich die geltend gemachte (namhafte) Schadenssumme in der Höhe von Fr. 34'069'889.-- zusammensetze; eine verständliche Sachverhaltsdarstellung fehle. Zu den eingeklagten "Verfahrenskosten" in Höhe von Fr. 52'536.-- äussere sich der Beschwerdeführer ebenso wenig.
Der Beschwerdeführer zeigt mit seinen Beschwerdeeingaben vom 31. Dezember 2021 und 15. Januar 2022 nicht hinreichend auf, inwiefern die Vorinstanz mit ihrem Nichteintretensentscheid vom 30. November 2021 Bundesrecht verletzt hätte. Er hält der erwähnten Begründung lediglich seine pauschale Behauptung entgegen, er habe die Klage "sehr wohl" ausreichend begründet, und unterbreitet dem Bundesgericht in der Folge unter Berufung auf zahlreiche Aktenstücke seine eigene Sicht der Dinge, was im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren nicht zulässig ist. Zudem erwähnt er verschiedene Bestimmungen zum Schlichtungsverfahren (<ref-law>), ohne jedoch darauf einzugehen, dass nach <ref-law> bei Streitigkeiten vor dem Handelsgericht das Schlichtungsverfahren entfällt. Im Weiteren führt er losgelöst von den konkreten Erwägungen im angefochtenen Entscheid verschiedene weitere Bestimmungen der Zivilprozessordnung (u.a. Art. 53, Art. 55 ff., Art. 69, Art. 85, Art. 98 ff. und Art. 119 ZPO) sowie der Bundesverfassung (u.a. Art. 8 f., Art. 29, Art. 29a und Art. 35 BV) ins Feld, womit er die gesetzlichen Begründungsanforderungen ebenfalls verfehlt, so etwa im Zusammenhang mit dem von der Vorinstanz abgewiesenen Gesuch um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die Eingaben des Beschwerdeführers vom 31. Dezember 2021 und 15. Januar 2022 erfüllen damit die erwähnten Begründungsanforderungen offensichtlich nicht.
Auf die Beschwerde ist somit mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (<ref-law>).
4.
Dem Antrag auf Bestellung eines amtlichen Vertreters im Sinne von <ref-law> kann nicht stattgegeben werden, da die Beschwerdeeingabe keine Hinweise auf eine Unfähigkeit zur Prozessführung im Sinne dieser Bestimmung enthält (vgl. Urteile 4A_510/2017 vom 9. November 2017; 6B_13/2015 vom 11. Februar 2015 E. 3).
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege samt Rechtsbeistand für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen, weil die Beschwerde von vornherein aussichtslos war (<ref-law>). Unter den gegebenen Umständen ist jedoch ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG). Der Beschwerdegegnerin steht keine Parteientschädigung zu, da ihr aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Februar 2022
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Leemann