Sachverhalt:
A.
Der Zweckverband Spital Uster betreibt das Spital Uster. Dem Zweckverband gehören mehrere Gemeinden aus den Bezirken Uster und Pfäffikon an. In den Verbandsgemeinden fand am 27. November 2016 eine Urnenabstimmung über die Genehmigung einer einmaligen Ausgabe von 349 Millionen Franken für den Umbau bzw. die bauliche Erweiterung des Spitals Uster sowie die Ausrüstung der Neubauteile statt. Die Stimmberechtigten nahmen die Vorlage an.
Thomas Werschlein, Iva Stoupa Werschlein, Brigitte Wäckerlin Wüthrich, Maximilian Bandle und Brigitta Mösli Bandle erhoben gegen die Abstimmung mit Eingabe vom 12. Dezember 2016 Stimmrechtsrekurs und Gemeindebeschwerde beim Bezirksrat Uster. Dieser trat mit Entscheid vom 25. Juli 2017 auf den Stimmrechtsrekurs nicht ein (Dispositiv Ziffer I) und wies die Gemeindebeschwerde ab (Dispositiv Ziffer II).
Am 15. August 2017 führten Thomas Werschlein, Iva Stoupa Werschlein, Brigitte Wäckerlin Wüthrich, Maximilian Bandle und Brigitta Mösli Bandle beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich Beschwerde gegen Dispositiv Ziffer I des Bezirksratsentscheids und die dazugehörige Kostenregelung. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 14. Februar 2018 ab.
B.
Gegen dieses Urteil des Verwaltungsgerichts legen Thomas Werschlein, Iva Stoupa Werschlein, Brigitte Wäckerlin Wüthrich, Maximilian Bandle und Brigitta Mösli Bandle am 23. März 2018 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht ein. Sie stellen den Antrag, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und die Vorinstanz sei zu verpflichten, auf ihren kantonalen Stimmrechtsrekurs einzutreten.
Der Zweckverband Spital Uster und das Verwaltungsgericht ersuchen um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Der Bezirksrat Uster hat Verzicht auf eine Vernehmlassung erklärt.
In der Replik vom 30. Mai 2018 halten die Beschwerdeführer sinngemäss an ihrer Position fest. In der Folge hat der Zweckverband Spital Uster erklärt, auf eine weitere Stellungnahme zu verzichten.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts betrifft eine Stimmrechtsangelegenheit im Sinne von <ref-law>; dazu zählen auch Entscheide, mit denen ein Nichteintreten auf eine Stimmrechtsbeschwerde verfügt oder bestätigt wird (vgl. Urteil 1C_62/2012 vom 18. April 2012 E. 1). Gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid kann Stimmrechtsrechtsbeschwerde an das Bundesgericht erhoben werden (Art. 88 Abs. 1 lit. a und Art. 90 BGG). Die Beschwerdeführer sind nach <ref-law> als Stimmberechtigte einer Zweckverbandsgemeinde zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten legitimiert. Auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt, so dass auf die Beschwerde einzutreten ist.
1.2. In der Replik verweisen die Beschwerdeführer auf das Rechtsmittelverfahren betreffend die Gemeindebeschwerde. Darauf ist im parallel geführten Verfahren einzugehen (Urteil vom 10. Juli 2018 im Verfahren 1C_164/2018). Anzufügen ist, dass die dort aufgeworfenen Fragen keinen direkten prozessualen Zusammenhang mit der Stimmrechtsangelegenheit aufweisen.
1.3. Mit der Beschwerde an das Bundesgericht kann, von vorliegend nicht interessierenden Möglichkeiten abgesehen, die Verletzung von Bundesrecht und von kantonalem Recht über die politischen Rechte gerügt werden (vgl. Art. 95 lit. a und d BGG). Bei Stimmrechtsbeschwerden prüft das Bundesgericht nicht nur die Auslegung von Bundesrecht und kantonalem Verfassungsrecht frei, sondern auch diejenige anderer kantonaler Vorschriften, welche den Inhalt des Stimm- und Wahlrechts normieren oder mit diesem in engem Zusammenhang stehen; die Anwendung anderer kantonaler Vorschriften und die Feststellung des Sachverhalts überprüft das Bundesgericht nur unter dem Gesichtswinkel des Willkürverbots (<ref-ruling> E. 5.2 S. 295 mit Hinweisen). So prüft das Bundesgericht die Handhabung kantonaler Verwirkungsvorschriften über die Rechtsmittelfrist in Stimmrechtssachen frei (<ref-ruling> E. 2 S. 3). Bezüglich anderer Vorschriften über das Rechtsmittelverfahren beschränkt sich die Kognition hingegen grundsätzlich auf Willkür (vgl. Urteile 1C_351/2013 vom 31. Mai 2013 E. 2; 1C_52/2010 vom 21. April 2010 E. 1.3). Betreffend die aufschiebende Wirkung von Rechtsmitteln in Stimmrechtssachen hat das Bundesgericht im Urteil 1P.569/1993 vom 8. November 1993 E. 3b, in: ZBl 95/1994 S. 222 offengelassen, ob die diesbezügliche Rechtsanwendung einer freien Prüfung unterliegt. Diese Frage kann auch vorliegend offenbleiben, weil das angefochtene Urteil in dieser Hinsicht einer freien Überprüfung standhält.
2.
2.1. Nach dem angefochtenen Urteil bilden Vorbereitungshandlungen zur Abstimmung vom 27. November 2016 den Ausgangspunkt des Stimmrechtsrekurses an den Bezirksrat. Die Beschwerdeführer hätten in diesem Rechtsmittel gerügt, der Grundsatz der Einheit der Materie bei der Abstimmungsvorlage und die Pflicht zu objektiven Abstimmungserläuterungen seien verletzt worden. Für diese Rügen habe die Rechtsmittelfrist in jedem Fall vor dem Abstimmungstermin geendet. Die Erhebung des Rekurses am 12. Dezember 2016 sei deshalb verspätet gewesen. Zwar seien die Beschwerdeführer am 14. September 2016, im Anschluss an die am 7. September 2016 veröffentlichte Festsetzung der Abstimmungsvorlage durch das zuständige Organ des Zweckverbands, mit einer "informellen Anzeige" an den Bezirksrat Uster gelangt; darin hätten sie identische Kritikpunkte vorgebracht, um die Absetzung der Abstimmung zu erwirken. Der Bezirksrat sei darauf aber mit Entscheid vom 19. September 2016 nicht eingetreten, weil er sie auf dem fehlenden Anfechtungswillen bei dieser Anzeige behaftet habe. Dies hätten die Beschwerdeführer hingenommen, ohne weitere rechtliche bzw. aufsichtsrechtliche Schritte zu ergreifen, so dass sich daraus keine Vertrauensgrundlage ableiten lasse. Sie hätten weder in Bezug auf den Zeitpunkt noch auf die Form der Geltendmachung der behaupteten Verletzung der politischen Rechte ein Wahlrecht; vielmehr hätten Stimmberechtigte, die sich auf Mängel im Vorfeld eines Urnengangs berufen, umgehend innert Frist ein zur Verfügung stehendes förmliches Rechtsmittel zu ergreifen. Die Beschwerdeführer müssten sich folglich entgegenhalten lassen, nach Kenntnisnahme der beanstandeten Mängel im Vorfeld der Abstimmung mit der Erhebung eines Stimmrechtsrekurses bis zum Vorliegen des Abstimmungsresultats zugewartet zu haben.
2.2. Nach § 19 Abs. 1 lit. c des zürcherischen Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 24. Mai 1959 (VRG; LS 175.2) können Handlungen staatlicher Organe, welche die politische Stimmberechtigung oder Volkswahlen oder Volksabstimmungen (Stimmrechtssachen) betreffen, mit Rekurs angefochten werden. Die Frist hierfür beträgt nach § 22 Abs. 1 Satz 2 VRG fünf Tage. Gemäss § 25 Abs. 1 VRG kommt dem Lauf der Rekursfrist und der Einreichung des Rekurses aufschiebende Wirkung zu. Keine aufschiebende Wirkung besteht allerdings in Stimmrechtssachen, wenn sich der Rekurs auf eine Wahl oder Abstimmung bezieht und die Rekursschrift vor dem Wahl- oder Abstimmungstag eingereicht worden ist (§ 25 Abs. 2 lit. b VRG). Die anordnende Instanz, die Rekursinstanz und der Vorsitzende der Rekursinstanz können aus besonderen Gründen gegenteilige Anordnungen treffen (§ 25 Abs. 3 VRG).
2.3. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts sind Mängel hinsichtlich von Vorbereitungshandlungen im Vorfeld von Wahlen und Abstimmungen sofort und vor Durchführung der Abstimmung zu rügen. Diese Praxis bezweckt, dass Mängel möglichst noch vor der Abstimmung behoben werden können und der Urnengang nicht wiederholt zu werden braucht. Unterlässt dies der Stimmberechtigte, obwohl nach den Verhältnissen ein sofortiges Handeln geboten und zumutbar war, so verwirkt er das Recht zur Anfechtung der Abstimmung. Es wäre mit dem Prinzip von Treu und Glauben nicht vereinbar, wenn ein Mangel vorerst widerspruchslos hingenommen wird und hinterher die Abstimmung, soweit deren Ergebnis nicht den Erwartungen entspricht, wegen eben dieses Mangels angefochten würde (vgl. <ref-ruling> E. 4.4 S. 341; <ref-ruling> E. 2a S. 178; je mit Hinweisen).
Die Vorinstanz leitet aus § 19 Abs. 1 lit. c i.V.m. § 22 VRG ab, dass gegen mangelhafte Vorbereitungshandlungen sofort innert Frist Stimmrechtsrekurs erhoben werden muss, ausser wenn diese Frist nach dem Abstimmungstermin abläuft oder wenn spezielle Gründe sofortiges Handeln als unzumutbar erscheinen lassen (vgl. ALAIN GRIFFEL, in: derselbe (Hrsg.), Kommentar VRG, 3. Aufl. 2014, N. 22 zu § 22 VRG). Diese Grundsätze sind mit der soeben dargelegten bundesgerichtlichen Rechtsprechung vereinbar.
2.4. Nach diesen Grundsätzen genügt die Formulierung von Beanstandungen gegenüber Vorbereitungshandlungen mittels "informeller Anzeige" nicht, wenn ein förmliches Rechtsmittel zur Verfügung steht. Die Beschwerdeführer machen jedoch spezielle Gründe zur Rechtfertigung ihres Vorgehens geltend. Sie weisen darauf hin, dass sie damals beim Bezirksrat bereits einen Rekurs im gleichen Sachzusammenhang anhängig gehabt hätten. Sie hätten am 21. Dezember 2015 Rekurs gegen die Genehmigung des Voranschlags 2016 des Zweckverbands an den Bezirksrat Uster erhoben. Im Rahmen des Voranschlagskredits seien 1,6 Mio. Franken für Planungsarbeiten zur Vorbereitung der umstrittenen Abstimmung bewilligt worden. Ihr Rekurs vom 21. Dezember 2015 habe aufschiebende Wirkung gehabt, so dass die Abstimmung gar nicht hätte durchgeführt werden dürfen. Nach § 119 bzw. § 165 des damals anwendbaren kantonalen Gemeindegesetzes vom 6. Juni 1926 würden Voranschlag und Ausgabenbewilligung rechtlich zusammengehören. Der Bezirksrat habe erst am 16. Februar 2017, d.h. nach der Abstimmung, über den Rekurs vom 21. Dezember 2015 befunden; dabei sei er nicht darauf eingetreten, weil er ihre Legitimation zur Anfechtung des Voranschlags verneint habe. Diese Auffassung habe das Verwaltungsgericht mit Urteil vom 12. Juli 2017 (VB.2017.00210) gestützt. Es verletze das rechtliche Gehör der Beschwerdeführer (<ref-law>), dass das Verwaltungsgericht ihre diesbezüglichen Vorbringen im vorliegenden Verfahren übergangen habe. Im Übrigen sei die Abstimmung nichtig, weil sie trotz der aufschiebenden Wirkung des Rekurses vom 21. Dezember 2015 durchgeführt worden sei.
2.5. Es ist richtig, dass die Beschwerdeführer in ihrer Rechtsschrift an die Vorinstanz ihren Rekurs vom 21. Dezember 2015 und den von ihnen behaupteten Zusammenhang zum vorliegenden Verfahren angesprochen haben. Wie sich aus dem angefochtenen Urteil ergibt, hat die Vorinstanz diese Vorbringen zur Kenntnis genommen und trotzdem erwogen, ein sofortiger Rekurs vor der Abstimmung sei den Beschwerdeführern möglich und zumutbar gewesen. Damit hat die Vorinstanz ausreichend zu erkennen gegeben, dass sie den Rekurs vom 21. Dezember 2015 in Verbindung mit der Anzeige vom 14. September 2016 nicht als besonderen Umstand anerkennt. Die Gehörsrüge geht daher fehl.
2.6. Nach den oben bei E. 2.3 dargelegten Grundsätzen oblag es den Beschwerdeführern, bereits im Vorfeld der Abstimmung rechtlich wirksame Schritte zu ergreifen, um ihrer Behauptung einer aufschiebenden Wirkung in diesem Zusammenhang zum Durchbruch zu verhelfen. Zwar wird vom Zweckverband Spital Uster nicht konkret bestritten, dass der Rekurs vom 21. Dezember 2015 in jenem Rechtsmittelverfahren aufschiebende Wirkung besass; er stellt aber einen Zusammenhang zwischen den beiden Verfahren in Abrede.
Es spielt keine entscheidende Rolle, ob der Rekurs vom 21. Dezember 2015 einen relevanten Zusammenhang zur Vorbereitung der umstrittenen Abstimmung aufweist bzw. in welchem rechtlichen Verhältnis Voranschlag und Ausgabe zueinander stehen. Rechtsmittel in Stimmrechtssachen, die im Vorfeld eines Urnengangs erhoben werden, verfügen nicht von Gesetzes wegen über aufschiebende Wirkung (§ 25 Abs. 2 lit. b VRG). Weiter ist zu beachten, dass die Beschwerdeführer bei den Verfahren vor dem Bezirksrat anwaltlich vertreten waren. Vor diesem Hintergrund durften sie nicht einfach darauf vertrauen, dass dem Rekurs vom 21. Dezember 2015 über jenes Verfahren hinaus aufschiebende Wirkung bezüglich der Vorbereitung der umstrittenen Abstimmung zukomme.
Bereits in der Anzeige vom 14. September 2016 an den Bezirksrat hatten die Beschwerdeführer den Rekurs vom 21. Dezember 2015 und die von ihnen daraus abgeleitete aufschiebende Wirkung thematisiert. Nach dem Nichteintretensentscheid des Bezirksrats vom 19. September 2016 stand fest, dass diese Behörde im damaligen Zeitpunkt nicht in den Gang der Vorbereitungshandlungen zur umstrittenen Abstimmung eingriff.
Dennoch haben die Beschwerdeführer in der Folge erst nach der Durchführung der Abstimmung wieder rechtliche Schritte durch ihren Rechtsvertreter, und zwar den Stimmrechtsrekurs vom 12. Dezember 2016, veranlasst. Es ist nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz dies als verspätet betrachtet hat. Die Anzeige vom 14. September 2016 musste - auch in Verbindung mit dem Rekurs vom 21. Dezember 2015 - nach dem kantonalen Verfahrensrecht nicht als spezieller Grund für die Unzumutbarkeit eines Stimmrechtsrekurses vor der Abstimmung eingestuft werden. Diese Beurteilung der Vorinstanz ist ebenfalls mit dem Verbot der Rechtsverweigerung (<ref-law>) und dem verfassungsmässigen Vertrauensschutz (Art. 5 Abs. 3 und Art. 9 BV) vereinbar. Daraus folgt darüber hinaus, dass die Abstimmung vom 27. November 2016 nicht an einem Nichtigkeitsgrund leidet, wenn sie ungeachtet einer aufschiebenden Wirkung des Rekurses vom 21. Dezember 2015 durchgeführt worden ist.
2.7. Die Vorinstanz hat erwogen, die Anzeige vom 14. September 2016 sei wohl verspätet gewesen. Hingegen hatte der Bezirksrat den Nichteintretensentscheid vom 19. September 2016 im Rahmen einer Mehrfachbegründung damit gerechtfertigt, es seien noch keine Abstimmung angeordnet und auch noch keine Abstimmungsunterlagen verschickt worden. Die Beschwerdeführer werfen der Vorinstanz in dieser Hinsicht eine aktenwidrige Feststellung des Sachverhalts vor, indem sie an den schon angesprochenen Rekurs vom 21. Dezember 2015 erinnern; damit hätten sie rechtzeitig gehandelt. Weiter bemängeln sie, dass die Anzeige nach dem Verwaltungsgericht zu spät, hingegen nach dem Bezirksrat zu früh erfolgt sei. Es sei unhaltbar bzw. willkürlich, wenn jede kantonale Rechtsmittelinstanz einen eigenen, angeblich richtigen Fristenlauf zur Anfechtung von Vorbereitungshandlungen für sich in Anspruch nehme.
Es trifft nicht zu, dass die Vorinstanz den Rekurs vom 21. Dezember 2015 übersehen hat (vgl. oben E. 2.5). Allerdings ist einzuräumen, dass sich die Argumentationen von Bezirksrat und Verwaltungsgericht zur Rechtzeitigkeit der Anzeige widersprechen. Im Rahmen des angefochtenen Urteils war aber die Rechtzeitigkeit jener Anzeige nicht ausschlaggebend; den Beschwerdeführern wurde auch nicht isoliert der fehlende Weiterzug des Nichteintretensentscheids des Bezirksrats vom 19. September 2016 vorgehalten. Vielmehr war für die Vorinstanz entscheidend, dass die Beschwerdeführer diesen Nichteintretensentscheid hingenommen hatten, ohne weitere rechtliche bzw. aufsichtsrechtliche Schritte im Vorfeld der Abstimmung zu ergreifen (vgl. oben E. 2.1). Wenn die Beschwerdeführer eine Absetzung der umstrittenen Abstimmung anstrebten, hatten sie nach dem Nichteintretensentscheid vom 19. September 2016 die zur Verfügung stehenden Rechtsvorkehren rechtzeitig im Vorfeld der Abstimmung auszuschöpfen und in diesem Rahmen die nach § 25 VRG gebotenen Anträge zu stellen. Da sie dies bis nach der Abstimmung unterliessen, kommt es nicht darauf an, wann die Beschwerdeführer vorher welche rechtlichen Schritte hätten unternehmen sollen. Die Beschwerde vermag auch in dieser Hinsicht nicht durchzudringen.
3.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten den unterliegenden Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Nach <ref-law> haben Gemeinden grundsätzlich keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, wenn sie in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegen (<ref-ruling> E. 7 S. 119). Dem Zweckverband Spital Uster kommt eine vergleichbare Stellung wie einer Gemeinde zu; er hat vorliegend in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt. Entgegen seiner Ansicht ist den Beschwerdeführern keine mutwillige Prozessführung vor Bundesgericht vorzuhalten; eine Ausnahme vom Grundsatz, dass dem Zweckverband keine Parteientschädigung in diesem Verfahren zusteht, ist nicht angezeigt.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Zweckverband Spital Uster, dem Bezirksrat Uster und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Juli 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Kessler Coendet