Faits :
A.
Par jugement du 27 mars 2018, le Tribunal de police de l'arrondissement de La Côte a libéré A._ des chefs de prévention d'escroquerie au préjudice des proches ou des familiers et de diminution effective de l'actif au préjudice des créanciers.
Par jugement du 21 août 2018, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud, statuant sur l'appel de B._ et sur l'appel joint formé par A._ contre ce jugement, a réformé celui-ci en ce sens que ce dernier est condamné, pour diminution effective de l'actif au préjudice des créanciers, à une peine privative de liberté de huit mois.
Par arrêt du 8 avril 2019 (6B_1310/2018), le Tribunal fédéral a admis le recours formé par A._ contre le jugement du 21 août 2018, a annulé celui-ci et a renvoyé la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. En substance, le Tribunal fédéral a considéré que B._ ne pouvait revêtir la qualité de partie plaignante dans la procédure et que son appel formé contre le jugement du 27 mars 2018 devait être déclaré irrecevable.
B.
Par jugement du 12 juin 2019, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud, statuant à la suite de l'arrêt de renvoi du 8 avril 2019, a partiellement admis l'appel de B._ mais a rejeté l'appel joint formé par A._ contre le jugement du 27 mars 2018. Elle a réformé cette décision en ce sens que ce dernier est condamné, pour diminution effective de l'actif au préjudice des créanciers, à une peine privative de liberté de huit mois.
C.
A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 12 juin 2019, en concluant, avec suite de frais et dépens, à sa réforme en ce sens que l'appel de B._ est déclaré irrecevable, qu'il est acquitté et que la cause est renvoyée à l'autorité cantonale afin que celle-ci statue sur sa conclusion tendant à l'allocation d'une indemnité à titre de réparation du tort moral subi. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
D.
Invités à se déterminer sur la question de la recevabilité de l'appel formé par B._, la cour cantonale s'est référée au jugement attaqué, tandis que le ministère public a renoncé à présenter des observations. B._ a, quant à elle, conclu principalement au rejet du recours et, subsidiairement, au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. A._ a encore répondu aux déterminations de la prénommée.

Considérant en droit :
1.
Le recourant reproche à l'autorité précédente de s'être écartée de l'arrêt de renvoi du 8 avril 2019.
1.1. Aux termes de l'art. 107 al. 2 1ère phrase LTF, si le Tribunal fédéral admet le recours, il statue lui-même sur le fond ou renvoie l'affaire à l'autorité précédente pour qu'elle prenne une nouvelle décision. Le principe de l'autorité de l'arrêt de renvoi découle du droit fédéral non écrit (<ref-ruling> consid. 5.3.3 p. 222; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 335). Conformément à ce principe, l'autorité cantonale à laquelle la cause est renvoyée par le Tribunal fédéral est tenue de fonder sa nouvelle décision sur les considérants de droit de l'arrêt du Tribunal fédéral. Elle est ainsi liée par ce qui a déjà été définitivement tranché par le Tribunal fédéral et par les constatations de fait qui n'ont pas été attaquées devant lui ou l'ont été sans succès (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 94; <ref-ruling> consid. 3d p. 277 s.; cf. aussi arrêt 6B_600/2019 du 10 septembre 2019 consid. 1). La motivation de l'arrêt de renvoi détermine dans quelle mesure la cour cantonale est liée à la première décision, décision de renvoi qui fixe aussi bien le cadre du nouvel état de fait que celui de la nouvelle motivation juridique (ATF <ref-ruling> consid. 2 p. 335). Les faits nouveaux ne peuvent être pris en considération que sur les points ayant fait l'objet du renvoi, lesquels ne peuvent être ni étendus, ni fondés sur une base juridique nouvelle (ATF <ref-ruling> consid. 2 p. 335; arrêt 6B_600/2019 précité consid. 1).
1.2. Dans l'arrêt de renvoi du 8 avril 2019, le Tribunal fédéral avait indiqué que l'infraction de diminution effective de l'actif au préjudice des créanciers reprochée au recourant ne pouvait avoir été commise qu'au préjudice de son fils, lequel revêtait seul la qualité de lésé au sens de l'<ref-law>. L'intimée, qui n'avait pas été directement lésée par l'infraction en question, ne pouvait prendre part à la procédure en qualité de partie plaignante. Elle ne disposait ainsi d'aucun intérêt juridiquement protégé à l'annulation ou à la modification du jugement du 27 mars 2018 et ne pouvait, partant, former appel contre cette décision (cf. arrêt 6B_1310/2018 précité consid. 1.2). Le Tribunal fédéral avait ajouté qu'il convenait d'admettre le recours du recourant, d'annuler le jugement du 21 août 2018 et de renvoyer la cause à l'autorité cantonale afin que celle-ci déclare irrecevable l'appel formé par l'intimée contre le jugement du 27 mars 2018.
1.3. Dans le jugement attaqué, la cour cantonale a exposé que l'intimée disposait d'un acte de défaut de biens à son nom et qu'il semblait "évident que ce soit la titulaire de cet acte de défaut de biens qui puisse agir sur le plan pénal". L'intimée avait d'ailleurs intenté une poursuite contre le recourant en son nom propre, avant d'obtenir ledit acte de défaut de biens, sur lequel elle était inscrite comme créancière et non comme représentante de son fils. Si la créance principale concernait bien une contribution d'entretien et que seul l'enfant en était titulaire, l'acte de défaut de biens mentionnait également un montant de 1'140 fr. 75 à titre de frais, dont seule l'intimée était la créancière. L'intimée était donc bien la créancière du recourant et avait à ce titre été lésée par les agissements de l'intéressé constitutifs d'une infraction à l'<ref-law>, de sorte qu'il convenait de lui reconnaître la qualité de partie plaignante.
1.4. On peut tout d'abord relever que la motivation du jugement attaqué apparaît contradictoire, car après avoir constaté - à la suite du Tribunal fédéral dans son arrêt de renvoi du 8 avril 2019 - que seul le fils de l'intimée était le créancier du recourant s'agissant des contributions d'entretien (cf. jugement attaqué, p. 9), l'autorité précédente a indiqué qu'il n'était pas contesté que le recourant fût le débiteur de l'intimée car il "devait payer à cette dernière des contributions d'entretien en faveur de leur enfant commun" (cf. jugement attaqué, p. 13).
Quoi qu'il en soit, il faut admettre, avec le recourant, que l'arrêt de renvoi du 8 avril 2019 a tranché, de manière complète et définitive, les questions de la qualité de partie plaignante de l'intimée et de sa qualité pour former appel contre le jugement du 27 mars 2018. Dès lors que le Tribunal fédéral a expressément enjoint l'autorité cantonale de déclarer l'appel de l'intéressée irrecevable, il n'était plus possible, pour l'autorité précédente, de revenir sur cette problématique. En outre, dans son jugement du 21 août 2018, la cour cantonale n'avait pas fondé la qualité de partie plaignante de l'intimée sur une créance relative à d'éventuels frais de poursuite, mais uniquement sur les contributions d'entretien impayées en faveur de son fils. L'autorité précédente ne pouvait plus, à la suite de l'arrêt de renvoi du 8 avril 2019, fonder la qualité de partie plaignante en question sur une base juridique nouvelle.
Au demeurant, le raisonnement de la cour cantonale, à supposer qu'il pût être encore déployé ensuite de l'arrêt de renvoi du 8 avril 2019, ne saurait être suivi. En effet, dans le jugement attaqué, l'autorité précédente a indiqué que la créance principale ressortant de l'acte de défaut de biens du 7 juillet 2015 appartenait au fils de l'intimée. Elle a néanmoins considéré que les frais de la poursuite, laquelle avait été intentée au nom de l'intimée, fondaient une créance de cette dernière à l'encontre du recourant. Or, les frais en question ne pouvaient être séparés de la créance principale, dont seul le fils de l'intimée était titulaire. Cette dernière ne pouvait être lésée par une infraction à l'<ref-law> par le seul fait d'avoir obtenu un acte de défaut de biens en son nom, sans être titulaire de la créance concernée. Ainsi, il n'apparaît pas que l'intimée aurait pu faire valoir une quelconque créance à l'encontre du recourant. Pour le reste, contrairement à ce qu'a indiqué la cour cantonale, il n'était aucunement "évident" que le titulaire d'un acte de défaut de biens puisse "agir sur le plan pénal", soit en s'affranchissant des principes découlant des art. 115 et 118 CPP.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être admis, le jugement attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale afin qu'elle déclare irrecevable l'appel formé par l'intimée contre le jugement du 27 mars 2018. Il appartiendra à l'autorité cantonale de statuer sur les conséquences de cette irrecevabilité concernant l'appel joint formé par le recourant contre le jugement précité, ainsi que sur les effets de cette décision sur les frais de procédure et les dépens.
Ce qui précède rend sans objet les griefs du recourant relatifs à sa condamnation pour diminution effective de l'actif au préjudice des créanciers.
2.
Le recours doit être admis. Le recourant, qui obtient gain de cause, ne supporte pas de frais judiciaires (<ref-law>). Il peut prétendre à une indemnité de dépens, à la charge du canton de Vaud. La demande d'assistance judiciaire devient ainsi sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis, le jugement attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le canton de Vaud versera au conseil du recourant une indemnité de 3'000 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 20 novembre 2019
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Graa