Erwägungen:
1.
Der in Pakistan geborene afghanische Staatsangehörige A._ verliess seine Heimat 2007, gelangte 2008 nach Griechenland, 2013 nach Italien und am 13. März 2013 in die Schweiz. Sein Asylgesuch wurde am 28. November 2014 abgewiesen; die gleichzeitig verfügte Wegweisung wurde nicht vollzogen, sondern zugunsten einer vorläufigen Aufnahme aufgeschoben. Am 10. September 2018 lehnte der Vorsteher des Volkswirtschaftsdepartements des Kantons Schwyz ein Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung (Umwandlung der vorläufigen Aufnahme [Bewilligung F] in eine Bewilligung B) ab; entsprechend wurde von einer Vorlage an das Staatssekretariat für Migration SEM zwecks Zustimmung abgesehen. Die gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde wies der Regierungsrat des Kantons Schwyz mit Beschluss vom 15. Januar 2019 ab, bei Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und unter Auferlegung der Verfahrenskosten von Fr. 1'500.--. Mit Entscheid vom 24. April 2019 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz die gegen den regierungsrätlichen Beschluss erhobene Beschwerde ab, unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das verwaltungsgerichtliche Verfahren.
Mit Rechtsschrift vom 17. Juni 2019 (Postaufgabe 19. Juni 2019) beantragt A._ dem Bundesgericht, der Entscheid des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben; sein Anliegen ("Umwandlung meiner Aufenthaltsbewilligung") sei noch einmal zu prüfen; aufgrund seiner Bedürftigkeit seien keine Kosten zu erheben.
2.
2.1. Gemäss Art. 83 lit. c BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Ziff. 2) sowie betreffend Abweichungen von den Zulassungsvoraussetzungen (Ziff. 5).
2.2. Der Beschwerdeführer hält sich gestützt auf die vorläufige Aufnahme in der Schweiz auf. Er will, dass seine Anwesenheit neu im Rahmen einer Aufenthaltsbewilligung geregelt wird. Er nennt keine bundesgesetzliche Norm, die ihm einen Anspruch auf Erteilung einer derartigen Bewilligung einräumt; einen solchen Anspruch verschafft namentlich nicht Art. 84 Abs. 5 AIG, der allein festhält, dass Gesuche um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung von vorläufig aufgenommenen Ausländerinnen und Ausländern, die sich seit mehr als fünf Jahren in der Schweiz aufhalten, unter Berücksichtigung der Integration, der familiären Verhältnisse und der Zumutbarkeit ihrer Rückkehr in den Herkunftsstaat vertieft geprüft werden. Es geht, gleich wie bei Bewilligungen nach Art. 30 Abs. 1 lit. b AIG, auf die kein Rechtsanspruch besteht (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 348 e contrario) um eine Abweichung von den Zulassungsvoraussetzungen aus Härtefallgründen, sodass nebst dem Unzulässigkeitsgrund von Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG auch derjenige von Art. 83 lit. c Ziff. 5 BGG zur Anwendung kommt (Urteil 2C_766/2009 vom 26. Mai 2010 E. 4). Es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern sich aus Völkerrecht ein Anspruch auf Wechsel des Anwesenheitsstatus ergeben könnte. In diesem Zusammenhang ist zu erwähnen, dass der Beschwerdeführer durch den angefochtenen Entscheid seine Berechtigung, im Land zu bleiben, nicht verliert.
Die Beschwerde ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offensichtlich unzulässig. Angesichts des Grundsatzes der Einheit des Verfahrens (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 503; <ref-ruling> E. 1.3 S. 195; <ref-ruling> E. 3 S. 144; <ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.) ist dieses Rechtsmittel auch unzulässig, soweit der Beschwerdeführer die Frage der unentgeltlichen Rechtspflege im kantonalen Verfahren thematisiert.
2.3. Die Beschwerde lässt sich auch nicht als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegennehmen. Abgesehen davon, dass der Beschwerdeführer keine verfassungsmässigen Rechte nennt, die verletzt worden sein sollen (vgl. aber Art. 106 Abs. 2 BGG in Verbindung mit Art. 117 BGG), ist er bei Fehlen eines Rechtsanspruchs durch die Bewilligungsverweigerung nicht in rechtlich geschützten Interessen betroffen und daher hinsichtlich des materiellen Bewilligungsentscheids zur Verfassungsbeschwerde nicht legitimiert (Art. 115 lit. b BGG). Was die Frage der unentgeltlichen Rechtspflege betrifft, die von den kantonalen Instanzen für die jeweiligen Verfahrensstadien unterschiedlich beantwortet wurde, fehlt es einerseits - wie erwähnt - an einer konkreten Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte. Im Übrigen unterlässt es der Beschwerdeführer (unter Missachtung der Vorschrift von Art. 42 Abs. 2 BGG), sich mit der diesbezüglich einschlägigen E. 6.2.2 des angefochtenen Entscheids auseinanderzusetzen.
2.4. Auf die Beschwerde ist mit Entscheid des Abteilungspräsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2.5. Dem auch für das bundesgerichtliche Verfahren gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (Kostenbefreiung) kann schon darum nicht entsprochen werden, weil die Beschwerde sich als aussichtslos erwies (Art. 64 BGG). Damit sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juni 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Feller