Faits :
A.
A.a. En raison d'une psychose infantile, A._, née en 1992, a bénéficié dès son enfance de mesures de réadaptation de l'assurance-invalidité. Elle a notamment été mise au bénéfice de mesures médicales, ainsi que d'une formation scolaire spéciale. L'assurée ayant pu rejoindre l'enseignement privé en janvier 2004, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a alors mis un terme à la prise en charge de la formation scolaire spéciale (décision du 12 mai 2004).
Après avoir achevé sa scolarité obligatoire en été 2008, en classe de développement, A._ a entrepris une formation de stylisme-modélisme-couture auprès d'une école privée. En décembre 2011, elle a requis la prise en charge des frais relatifs à cette formation (correspondance du 20 décembre 2011, complétée par l'envoi d'une formule officielle datée du 20 janvier 2012). Par décision du 22 octobre 2012, l'office AI a rejeté la demande de prestations, motif pris de l'absence de frais supplémentaires en lien avec l'atteinte à la santé dans le cadre de la formation. Cette décision a été confirmée par le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales (jugement du 3 décembre 2013), puis par le Tribunal fédéral (arrêt 9C_83/2014 du 15 avril 2014).
A.b. Au printemps 2016, A._ a présenté une nouvelle demande de prestations de l'assurance-invalidité (correspondance du 22 avril 2016, complétée par l'envoi d'un formulaire officiel daté du 26 mai 2016). Elle y indiquait ne pas parvenir à trouver un emploi, malgré l'achèvement de sa formation. Par décision du 26 janvier 2018, l'office AI a reconnu le droit de l'assurée à une rente entière d'invalidité dès le 1 er octobre 2016. En bref, il a considéré qu'en raison d'une atteinte à la santé existant depuis l'enfance, elle présentait une incapacité totale de travail dans toute activité professionnelle.
B.
Statuant le 25 juin 2019 sur le recours formé par A._ contre cette décision, le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, l'a admis. Il a réformé la décision du 26 janvier 2018 en ce sens que l'assurée a droit à une rente entière de l'assurance-invalidité à compter du 1 er juin 2012.
C.
L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut à la confirmation de la décision qu'il a rendue le 26 janvier 2018.
L'intimée conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales propose l'admission du recours.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il fonde par ailleurs son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération.
2.
2.1. Est seule litigieuse en l'espèce la date du début du droit de l'assurée à une rente entière de l'assurance-invalidité. Compte tenu des conclusions et motifs du recours, il y a lieu de déterminer si l'office recourant aurait dû procéder à l'examen du droit à une rente d'invalidité dans le cadre de l'instruction de la demande de prestations déposée en décembre 2011, par laquelle l'intimée avait requis la prise en charge de frais de formation.
2.2. Le jugement entrepris expose de manière complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs à la naissance du droit à une rente de l'assurance-invalidité (<ref-law>; arrêt 9C_19/2015 du 20 mars 2015 consid. 2.2 et les références citées), à l'exercice du droit aux prestations (<ref-law>, <ref-law>), ainsi qu'à la portée d'une annonce à l'assureur social et au devoir de celui-ci de déterminer les prestations qui sont liées à la survenance du risque annoncé (<ref-ruling> consid. 2 p. 196 et les arrêts cités; cf. aussi arrêts 8C_38/2017 du 10 mars 2017 consid. 2.2 et 9C_532/2011 du 7 mai 2012 consid. 4.2). Il rappelle également que lorsque l'administration a manqué à son devoir d'instruction malgré une demande suffisamment précise de l'assuré, le paiement des prestations arriérées est soumis au délai de péremption absolu de cinq ans selon l'<ref-law> à compter de la date du dépôt de la nouvelle demande (<ref-ruling> consid. 5d p. 201 s.; arrêt 9C_532/2011 précité consid. 4.3 et les références).
3.
3.1. En se référant à son jugement du 3 décembre 2013, la juridiction cantonale a constaté que l'office AI avait admis, durant la phase d'instruction de la demande de prestations présentée en décembre 2011, que la psychose infantile avec des limitations fonctionnelles sous forme de retard scolaire dont souffrait l'intimée était une atteinte à la santé invalidante. En conséquence, elle a considéré que l'office recourant disposait, à cette époque déjà, d'éléments laissant entrevoir une potentielle problématique concernant la capacité de travail et de gain de l'intimée, et donc qu'une rente d'invalidité pouvait entrer en ligne de compte. Partant, l'administration s'était abstenue, à tort, d'instruire l'affaire et de se prononcer sous l'angle du droit à la rente, alors même que l'examen du droit à cette prestation était, de bonne foi, lié à la survenance du risque annoncé en 2011. Aussi, l'instance précédente a-t-elle reconnu le droit de l'assurée à une rente entière d'invalidité dès le 1er juin 2012, soit six mois après le dépôt de la demande de prestations du 20 décembre 2011 (<ref-law>).
3.2. L'office recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir procédé à une appréciation arbitraire des preuves pour fixer le début du droit de l'intimée à une rente entière d'invalidité au 1 er juin 2012, soit six mois après le dépôt de la demande de prestations du 20 décembre 2011. Selon lui, le début du droit à cette prestation doit être fixé au 1 er octobre 2016, soit six mois après le dépôt de la demande de prestations du 22 avril 2016 (<ref-law>). Il soutient en substance, en se référant au principe de la priorité de la réadaptation sur la rente, qu'en décembre 2011, l'examen du droit à la rente était prématuré. Dès lors qu'à ce moment, l'assurée suivait avec succès une formation adaptée, l'administration fait valoir que l'examen du droit à la rente ne se justifiait, au plus tôt, qu'à l'issue de cette formation.
4.
4.1. Selon la jurisprudence dûment rappelée par les premiers juges, il incombe à l'assureur de déterminer les prestations qui de bonne foi sont liées à la survenance du risque annoncé (consid. 2.2 supra). En l'espèce, il n'est pas contesté que la demande de prestations déposée en décembre 2011 avait pour objet la prise en charge de frais de formation (arrêt 9C_83/2014 précité consid. 2), et que l'assurée, bien que déjà représentée par une avocate pendant cette procédure, n'a jamais requis l'octroi d'une rente d'invalidité. Il s'agissait ainsi, pour l'office recourant, d'instruire la cause afin de déterminer si l'atteinte à la santé engendrait des frais supplémentaires dans le cadre de la formation qu'il eût incombé à l'assurance-invalidité de prendre en charge. Sur ce point, il ressort des constatations cantonales que l'instruction menée à cette époque par l'administration sur le plan médical a été sommaire, les premiers juges ayant en particulier relevé l'absence de toute donnée médicale permettant de suivre l'évolution des troubles de l'intimée postérieurement au mois de juin 2006. On constate par ailleurs à la lecture d'un rapport établi par l'office AI le 23 juillet 2012, que l'assurée ne suivait pas de traitement médical depuis plusieurs années. A cet égard, l'intimée ne peut donc pas être suivie lorsqu'elle reproche à l'office recourant de s'être fondé "sur aucun élément concret" pour retenir, durant l'instruction de la demande de prestations de décembre 2011, que rien ne laissait entrevoir une incapacité de travail ultérieure. Au vu des circonstances, on ne peut dès lors pas admettre que l'assurée présentait une incapacité totale de travail à cette époque, et qu'une rente d'invalidité pût par la suite entrer en ligne de compte (pour un cas similaire, cf. arrêt 8C_38/2017 du 10 mars 2017 consid. 3).
4.2. Par ailleurs, compte tenu du principe de la priorité de la réadaptation sur la rente, qui s'oppose à l'octroi d'une rente d'invalidité lorsqu'une mesure de réadaptation est susceptible d'avoir une incidence sur la capacité de gain de la personne assurée (arrêts 9C_368/2010 du 31 janvier 2011 consid. 5.2.2.1; 9C_163/2009 du 10 septembre 2010 consid. 4.2.2 et les références), c'est à juste titre que l'office recourant fait valoir que l'examen du droit à une rente d'invalidité était prématuré au moment du dépôt de la demande de prestations de décembre 2011. Il n'est en effet pas contesté qu'à cette époque, l'assurée suivait une formation professionnelle adéquate (arrêt 9C_83/2014 précité consid. 2), et que cette formation était destinée à lui offrir plus d'opportunités de travail ainsi qu'une meilleure perspective de gains (rapport de l'office AI du 23 juillet 2012). Aussi l'intimée ne peut-elle pas être suivie lorsqu'elle soutient qu'à l'issue de l'instruction de la demande de prestations qu'elle a présentée en décembre 2011, l'office recourant aurait dû "arriver à la conclusion que [son] atteinte à la santé était d'une gravité telle qu'il ne [lui] serait pas possible [...] d'être réadaptée à la vie professionnelle".
4.3. Compte tenu de ce qui précède, l'office recourant n'avait aucune raison de procéder à l'examen du droit à une rente d'invalidité dans le cadre de l'instruction de la demande de prestations déposée en décembre 2011. En ce qu'elle a reconnu le droit de l'assurée à une rente entière d'invalidité dès le 1er juin 2012 déjà, l'instance précédente a établi les faits de façon manifestement inexacte et violé le droit. Le recours est bien fondé.
5.
L'intimée, qui succombe, supportera les frais de la procédure (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. Le jugement du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, du 25 juin 2019, est annulé, et la décision du 26 janvier 2018 confirmée.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 10 juin 2020
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
La Greffière : Perrenoud