Sachverhalt:
A.
Mit Urteil vom 12. Oktober 2015 sprach das Amtsgericht Gjakove/KOS A._ des versuchten Mordes schuldig und verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von zwei Jahren (unter Anrechnung der ausgestandenen Untersuchungshaft sowie der Zeit in Hausarrest im Umfang von gesamthaft 94 Tagen). Auf Berufung von A._ bestätigte das oberste Landgericht der Republik Kosovo mit Urteil vom 4. März 2016 den erstinstanzlichen Schuldspruch wegen versuchten Mordes, reduzierte jedoch die Dauer der Freiheitsstrafe auf 18 Monate.
B.
B.a. Am 17. März 2020 ersuchte das Justizministerium der Republik Kosovo das Bundesamt für Justiz (nachfolgend BJ) um Auslieferung des Verurteilten. In der Folge stellte das BJ der Kantonalen Staatsanwaltschaft Aargau mit Schreiben vom 19. Mai 2020 die Auslieferungsakten zu und ersuchte gleichzeitig um eine Einvernahme von A._ zum vereinfachten Auslieferungsverfahren. Mit gleichem Schreiben wurde das Amt für Justizvollzug des Kantons Aargau um Mitteilung gebeten, ob es bei einem entsprechenden Ersuchen der kosovarischen Behörden bereit wäre, das Strafurteil in der Schweiz zu vollstrecken. Das Amt für Justizvollzug erklärte sich mit Schreiben vom 8. Juni 2020 gegenüber dem BJ bereit, die Vollstreckung des kosovarischen Strafurteils bei der Erfüllung der entsprechenden Voraussetzungen zu übernehmen.
B.b. Unter Beilage der Rechtskraftbescheinigungen der Strafurteile des Amtsgerichts Gjakove sowie des obersten kosovarischen Landgerichts beantragte das Justizministerium der Republik Kosovo beim BJ die Übernahme der Strafvollstreckung gegenüber A._ durch die Schweiz. Das BJ ersuchte daraufhin seinerseits das aargauische Amt für Justizvollzug um Übernahme der Strafvollstreckung. Mit Eingabe vom 29. Oktober 2020 erklärte sich dieses dazu bereit. Am 30. Oktober 2020 ersuchte es die Staatsanwaltschaft Muri-Bremgarten um entsprechende Antragstellung. Auf Antrag der Staatsanwaltschaft Muri-Bremgarten übernahm die kantonale Staatsanwaltschaft Aargau das Verfahren und stellte mit Eingabe vom 27. November 2020 beim Bezirksgericht Bremgarten ein Gesuch um Vollstreckbarkeitserklärung des Urteils des obersten Landgerichts der Republik Kosovo vom 4. März 2016 i.V. mit dem Urteil des Amtsgerichts Gjakove vom 12. Oktober 2015. Mit Urteil vom 1. Juli 2021 bewilligte das Bezirksgericht Bremgarten das Gesuch.
B.c. Gegen das Urteil des Bezirksgerichts Bremgarten erklärte A._ am 2. August 2021 Berufung beim Obergericht des Kantons Aargau. Mit Eingabe vom 2. September 2021 ersuchte er das Obergericht um die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege unter Beiordnung von Rechtsanwalt André Kuhn als unentgeltlichen Rechtsbeistand. Das Obergericht wies das Gesuch mit Verfügung vom 9. September 2021 ab (Dispositivziffer 1) und setzte A._ eine letztmalige Frist zur Begründung seiner Berufungsanträge bis am 24. September 2021 (Dispositivziffer 2).
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 20. September 2021 gelangt A._ an das Bundesgericht mit dem Antrag, unter Aufhebung der Verfügung des Obergerichts vom 9. September 2021 sei ihm für das vorinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung zu gewähren. Für das bundesgerichtliche Verfahren stellt er zudem ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. In prozessualer Hinsicht beantragt er, seiner Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Mit Eingabe vom 27. September 2021 beantragt das Obergericht die Abweisung des Gesuchs um die Gewährung der aufschiebenden Wirkung. Gleichzeitig informierte es das Bundesgericht, dass es das Berufungsverfahren bis zum Entscheid über das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung sistiert hat. Auf einen Antrag in der Sache hat das Obergericht verzichtet. Die kantonale Staatsanwaltschaft hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Dem Beschwerdeführer wurde die Stellungnahme des Obergerichts vom 27. September 2021 zur Kenntnisnahme zugestellt.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid des Obergerichts ist ein kantonal letztinstanzlicher Zwischenentscheid, der geeignet ist, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zu bewirken (Art. 80 Abs. 1 und 2 BGG; 93 Abs. 1 BGG; vgl. Urteil 1B_605/2020 vom 16. März 2021 E. 1). Im Hauptverfahren ist die Vollstreckbarkeit eines ausländischen Strafurteils streitig. In der Sache und damit auch gegen den angefochtenen Zwischenentscheid steht die Beschwerde in Strafsachen nach <ref-law> daher grundsätzlich offen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 [zur Zulässigkeit der Beschwerde in Strafsachen gegen einen Exequaturentscheid gemäss <ref-law> (SR 351.1)]). Zur Rüge, ihm sei im vorinstanzlichen Verfahren zu Unrecht die unentgeltliche Prozessführung verweigert worden, ist der Beschwerdeführer nach <ref-law> unabhängig von seiner Legitimation in der Sache berechtigt (vgl. Urteil 1B_605/2020 vom 16. März 2021 E. 1). Die übrigen Prozessvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer macht geltend, der angefochtene Entscheid verstosse gegen <ref-law>, weil die Berufung als aussichtslos qualifiziert und ihm deshalb die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege verweigert worden sei. Überdies habe die Vorinstanz <ref-law> und <ref-law> verletzt, indem sie die in diesen Gesetzesbestimmungen verlangte Notwendigkeit der Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands verneint habe.
2.1. Als verfassungsrechtliche Minimalgarantie gewährt <ref-law> jeder Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, einen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Falls es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand (vgl. <ref-ruling> E. 4.1). Mit <ref-law> wird der verfassungsrechtliche Anspruch auf unentgeltliche Rechtsverbeiständung auf Gesetzesstufe geregelt (vgl. GLESS/SCHAFFNER, in: Basler Kommentar IRSG, 1. Aufl. 2015, N. 34 zu <ref-law>). Gemäss <ref-law> ist der verfolgten Person ein Rechtsbeistand zu bestellen, wenn es die Wahrung ihrer Interessen erfordert. Das Bundesgericht prüft mit freier Kognition, ob die Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Rechtsverbeiständung vorliegen (vgl. <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.3; Urteil 1A.181/2004 vom 15. Oktober 2004 E. 5.1 [für das internationale Rechtshilfeverfahren in Strafsachen]).
2.2. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist es - wie zu zeigen sein wird (vgl. nachfolgend E. 3) - nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz die Erfolgsaussichten der Berufung gegen den erstinstanzlichen Exequaturentscheid als aussichtslos qualifizierte. Weil die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Rechtsverbeiständung, neben der sachlichen Notwendigkeit sowie der finanziellen Bedürftigkeit, kumulativ auch die Nichtaussichtslosigkeit des vom Rechtsuchenden verfolgten Prozessziels verlangt (vgl. vorne E. 2.1; Urteil 1C_97/2015 vom 1. September 2015 E. 5.2), erübrigt sich daher eine Prüfung der weiteren Voraussetzungen von <ref-law> sowie <ref-law> und den damit zusammenhängenden Rügen des Beschwerdeführers.
2.3. Als aussichtslos im Sinne von <ref-law> gelten nach der Rechtsprechung Prozessbegehren, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer erscheinen als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten, wobei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgebend sind (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 2.2).
3.
3.1. Gegen die vom Bezirksgericht Bremgarten bewilligte Vollstreckbarkeitserklärung des Strafurteils des obersten Landgerichts der Republik Kosovo vom 4. März 2016 bringt der Beschwerdeführer einerseits vor, es fehle an einer genügenden Rechtskraftbescheinigung. Er begründet dies damit, dass die Rechtskraft des Urteils des obersten Landgerichts nicht vom höchsten Gericht der Republik Kosovo bescheinigt wurde, sondern lediglich durch das erstinstanzliche Amtsgericht Gjakove. Andererseits rügt der Beschwerdeführer, die kantonale Staatsanwaltschaft sei nicht dazu befugt, einen Antrag auf Vollstreckbarkeitserklärung zu stellen. Gemäss <ref-law> stehe dieses Antragsrecht einzig der kantonalen Strafvollzugsbehörde zu.
3.2. In den kantonalen Akten befinden sich Kopien der beiden kosovarischen Strafurteile sowie einer Rechtskraftsbescheinigung der beiden Urteile durch das Amtsgericht Gjakove inklusive der vom kosovarischen Justizministerium vorgenommenen deutschen Übersetzung dieser Dokumente. Das kosovarische Justizministerium ersuchte zudem erst unter Hinweis auf die Rechtskraftbescheinigung durch das Amtsgericht Gjakove um die rechtshilfeweise Vollstreckung der ausgesprochenen Strafe. Nachdem der Beschwerdeführer keinerlei Beweismittel ins Recht gelegt hat, die seine erstinstanzliche Behauptung belegen würde, wonach er gegen das Urteil des obersten kosovarischen Landgerichts ein Rechtsmittel an das höchste kosovarische Gericht erhoben hat, ist es ohne Weiteres nachvollziehbar, wenn die Vorinstanz darauf schloss, die Rüge der ungenügenden Rechtskraftsbescheinigung sei aussichtslos. An dieser summarischen Einschätzung ändert auch der pauschale Einwand nichts, dass keine Rechtskraftbescheinigung durch den höchsten kosovarischen Gerichtshof vorliege. Mangels entsprechender Hinweise bestand für die Vorinstanz aufgrund der aktuellen Beweislage kein Anlass daran zu zweifeln, dass gegen das Urteil des obersten Landgerichts kein Rechtsmittel ergriffen wurde.
3.3.
3.3.1. Im Exequaturverfahren betreffend die Vollstreckbarkeitserklärung eines ausländischen Strafurteils entscheidet das BJ (nach Rücksprache mit der kantonalen Vollzugsbehörde) zunächst formell über die Annahme des ausländischen Vollstreckungsersuchens. Nimmt es dieses - wie vorliegend - an, so übermittelt es die Akten und seinen Antrag der kantonalen Vollzugsbehörde und verständigt den ersuchenden Staat (<ref-law>, vgl. zum Verfahren <ref-ruling> E. 1.2; Urteile 1C_214/2019 vom 5. Juni 2019 E. 2.4; 1B_467/2013 vom 13. Januar 2014 E. 3.2). Bei der kantonalen Vollzugsbehörde nach <ref-law> kann es sich gemäss den Weisungen des BJ sowie der Lehre je nach kantonaler Regelung um die kantonale Strafvollzugsbehörde oder eine Staatsanwaltschaft handeln (vgl. ABO YOUSSEF, in: Basler Kommentar IRSG, 1. Aufl. 2015, N. 10 zu <ref-law>; Bundesamt für Justiz, Fact-Sheet: Stellvertretende Strafvollstreckung, abrufbar auf www.bj.admin.ch > Sicherheit > Internationale Rechtshilfe in Strafsachen > Stellvertretende Strafvollstreckung [zuletzt besucht am 28. Februar 2022]). Über Vollstreckungsbegehren nach <ref-law> entscheidet in der Folge (materiell) der nach <ref-law> zuständige kantonale Richter (<ref-law>). Dieser prüft von Amtes wegen, ob die Voraussetzungen der Vollstreckung gegeben sind, und erhebt die nötigen Beweise (<ref-law>). Sind die Voraussetzungen erfüllt, so erklärt der Richter den Entscheid für vollstreckbar und trifft die für die Vollstreckung erforderlichen Anordnungen (<ref-law>).
3.3.2. Angesichts der vorerwähnten rechtlichen Grundlagen hält es vor Bundesrecht stand, wenn die Vorinstanz unter Hinweis auf die entsprechenden Erwägungen des bezirksgerichtlichen Entscheids festhielt, die für den Antrag auf Vollstreckbarkeitserklärung zuständige Behörde ergebe sich nicht direkt aus <ref-law>, sondern aus den entsprechenden kantonalrechtlichen Zuständigkeitsvorschriften. Ob dies im Kanton Aargau das Amt für Justizvollzug oder die Kantonale Staatsanwaltschaft ist, braucht an dieser Stelle nicht abschliessend beurteilt zu werden. Nachdem sich die Verfahrensbeteiligten einig sind, dass das Bezirksgericht Bremgarten das zuständige erstinstanzliche Exequaturgericht im Sinne von <ref-law> i.V.m. <ref-law> ist, würde selbst ein Antrag des Amts für Justizvollzugs, wie vom Beschwerdeführer als notwendig gerügt, nichts an dieser gerichtlichen Zuständigkeit ändern. Hinzu kommt, dass die Staatsanwaltschaft das Exequaturverfahren erst auf Antrag des Amts für Justizvollzug einleitete. Mithin erachteten also beide Behörden das kosovarische Strafurteil als in der Schweiz für vollstreckbar. Das rechtliche Gehör derjenigen Behörde, die einen allfälligen Vollzug der ausländischen Strafe umsetzen muss, war damit ebenfalls gewahrt. Wenn die Vorinstanz in ihrer summarischen Beurteilung der Prozessaussichten daher festhielt, selbst ein Antrag auf Vollstreckbarkeitserklärung der kantonalrechtlich unzuständigen Behörde würde angesichts der unbestrittenen Zuständigkeit des Bezirksgerichts Bremgarten nicht zur Aufhebung seines Entscheids führen, ist dies bundesrechtlich haltbar.
3.4. Zusammengefasst hält die Beurteilung der Vorinstanz, dass die Berufung gegen die erstinstanzlich bewilligte Vollstreckbarkeitserklärung des Urteils des obersten kosovarischen Landgerichts aussichtslos sei, vor Bundesrecht stand. Die Vorinstanz hat daher nicht gegen <ref-law> oder <ref-law> verstossen, indem sie das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung abgewiesen hat.
4.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen. Da sie aussichtslos war, ist auch das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren abzuweisen (vgl. <ref-law>). Damit wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Parteientschädigung ist keine geschuldet (<ref-law>).
Mit dem vorliegenden Entscheid in der Sache wird das Gesuch vom 20. September 2021 um Erteilung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Aargau und dem Obergericht des Kantons Aargau, Strafgericht, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. März 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Jametti
Der Gerichtsschreiber: Hahn