Faits :
A.
A.a. Le 20 septembre 1997, A._, né en 1955, a fait une chute sur le dos d'une hauteur de 2 m environ. Cet accident lui a occasionné une fracture compressive de la vertèbre L2 ainsi qu'une fracture du poignet gauche. A cette époque, il travaillait en qualité de magasinier polyvalent au service de l'entreprise B._ SA (devenue ensuite [... SA]), et était à ce titre assuré contre le risque d'accidents auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). Celle-ci a pris en charge le cas.
En raison de l'absence de consolidation de la fracture de la vertèbre et du recul d'un fragment osseux, l'assuré a subi, le 22 avril 1999, une laminectomie D12-L1 bilatérale avec spinectomie correspondante pour compression antérieure du sac dural ainsi qu'une fixation D12-L2 par matériel Dynalok. Le 19 juillet 2001, le matériel d'ostéosynthèse a été enlevé. Dans son rapport d'examen final du 8 avril 2002, le docteur C._, médecin d'arrondissement de la CNA, a notamment constaté la persistance d'une gêne fonctionnelle douloureuse de la colonne lombaire avec une douleur de fond permanente allant en augmentant lorsque l'assuré reste trop longtemps dans une même position, ainsi que des phénomènes de blocage quand celui-ci est penché en avant pendant une certaine durée. Ce médecin a conclu à l'exigibilité d'un travail léger en position assise/debout alternée sans porter de charges dépassant 10 ou 15 kg au maximum, et a évalué l'atteinte à l'intégrité à 15 %.
Sur cette base, la CNA a alloué à A._ une rente, fondée sur un taux d'invalidité de 34 %, avec effet au 1er mai 2002 ainsi qu'une indemnité pour atteinte à l'intégrité de 15 % (décision du 2 août 2002). La rente a été supprimée à compter du 1er juin 2010, au motif que le prénommé ne subissait plus de perte de gain donnant droit à la prestation malgré les séquelles de l'accident, vu le montant du salaire obtenu au service d'un nouvel employeur (décision du 11 mai 2010).
A.b. Au mois d'août 2017, A._ a fait parvenir à la CNA un certificat médical établi par son médecin traitant, le docteur D._. Dans ce certificat, ce dernier a indiqué que les plaintes actuelles de son patient au niveau dorso-lombaire, qui s'étaient exacerbées à la suite d'une intervention chirurgicale à la hanche droite, étaient en lien avec l'accident de 1997 et s'est référé à une expertise récemment réalisée par le docteur E._. Cette expertise (du 3 février 2017), mise en oeuvre à la demande de l'assureur perte de gain en cas de maladie, a été versée au dossier. Il en ressort notamment que l'assuré est en incapacité de travail depuis le 20 mai 2016 pour une coxarthrose droite avec mise en place d'une prothèse totale et qu'il présente également une coxarthrose sévère de la hanche gauche. La CNA a également pris connaissance d'un rapport établi le 12 décembre 2016 par le docteur F._, médecin-chef du département de chirurgie de l'Hôpital G._, qui a fait état de lombalgies non spécifiques à l'issue d'un examen clinique et sur la base des clichés d'imagerie (l'IRM lombaire montrait un état post fracture-tassement D12-L1 mais rien de particulier au niveau du canal spinal et en ce qui concernait les disques intervertébraux au niveau lombaire; le cône médullaire était en ordre et il n'y avait pas de conflit disco- ou ostéo-radiculaire).
La CNA a demandé l'avis de son médecin d'arrondissement, le docteur H._, qui a conclu à une relation de causalité seulement possible entre les plaintes de l'assuré - sous la forme de lombalgies basses irradiant dans les fesses - et l'accident du 20 septembre 1997 (appréciation du 19 septembre 2017). Par décision du 2 octobre 2017, confirmée sur opposition le 6 décembre suivant, la CNA a refusé d'intervenir pour la rechute annoncée.
B.
L'assuré a déféré la décision sur opposition du 6 décembre 2017 à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal valaisan, qui a rejeté le recours par jugement du 24 mai 2019.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il requiert l'annulation. Il conclut à ce que l'assureur-accidents soit condamné à prendre en charge son cas et à lui verser les prestations dues.
La CNA n'a pas déposé de réponse, mais conclut au rejet du recours. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
Le litige porte sur le droit du recourant à des prestations de l'assurance-accidents pour les troubles annoncés au début du moins d'août 2017 à titre de rechute de l'accident du 20 septembre 1997.
3.
Si la décision qui fait l'objet d'un recours concerne l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par l'autorité précédente (art. 97 al. 2 et 105 al. 3 LTF). Aussi, lorsque sont en jeu des prestations en espèces et en nature, comme c'est le cas en l'espèce, le Tribunal fédéral dispose d'un pouvoir d'examen étendu en ce qui concerne les faits communs aux deux types de prestations (arrêt 8C_657/2017 du 14 mai 2018 consid. 2.2 et les arrêts cités, in SVR 2018 UV n° 39 p. 141).
4.
Le jugement entrepris expose de manière complète les dispositions légales (<ref-law>; <ref-law> [RS 832.202]) et la jurisprudence applicables en matière de rechute.
On rappellera que les rechutes ne peuvent faire naître une obligation de l'assureur-accidents (initial) de verser des prestations que s'il existe un lien de causalité naturelle et adéquate entre les nouvelles plaintes de l'intéressé et l'atteinte à la santé causée à l'époque par l'accident assuré (<ref-ruling> consid. 2c p. 296 et les références; RAMA 1994 n° U 206 p. 327 consid. 2). A cet égard, la jurisprudence considère que plus le temps écoulé entre l'accident et la manifestation de l'affection est long, et plus les exigences quant à la preuve - au degré de la vraisemblance prépondérante - du rapport de causalité naturelle doivent être sévères (arrêts 8C_61/2016 du 19 décembre 2016 consid. 3.2 et les références, in SVR 2017 UV n° 19 p. 63; 8C_331/2015 du 21 août 2015 consid. 2.2.2, in SVR 2016 UV n° 18 p. 55).
Par ailleurs, le point de savoir si l'événement assuré et l'atteinte à la santé sont liés par un rapport de causalité naturelle est une question de fait, que l'administration ou, le cas échéant, le juge examine en se fondant essentiellement sur des renseignements d'ordre médical, et qui doit être tranchée en se conformant à la règle du degré de vraisemblance prépondérante, appliquée généralement à l'appréciation des preuves dans l'assurance sociale. Ainsi, lorsque l'existence d'un rapport de cause à effet entre l'accident et le dommage paraît possible, mais qu'elle ne peut pas être qualifiée de probable dans le cas particulier, le droit à des prestations fondées sur l'accident assuré doit être nié (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 181; 402 consid. 4.3.1 p. 406).
5.
5.1. La cour cantonale expose que l'assuré souffre de dorso-lombalgies chroniques d'intensité modérée depuis l'accident de 1997 et relève qu'il "n'est pas contesté que ces affections puissent avoir un lien avec ledit accident". Toutefois, elle considère que ce ne sont pas ces troubles chroniques - lesquels n'ont pas empêché l'assuré de travailler durant de nombreuses années - qui fondent l'annonce de la rechute, mais leur exacerbation. Or, toujours selon la cour cantonale, les rapports des docteurs D._ et E._, dont se prévaut l'assuré, ne permettent pas d'établir, au degré de la vraisemblance prépondérante, l'existence d'un rapport de causalité entre l'accident initial et l'aggravation des dorso-lombalgies. En effet, le docteur E._ ne fournit aucune indication allant dans le sens d'une origine post-traumatique de cette aggravation et fait bien plutôt un lien avec les affections d'origine dégénérative que l'assuré présente aux deux hanches (voir notamment la page 9 de son expertise où il déclare que "son impression est que les douleurs du membre inférieur gauche sont essentiellement en relation avec la coxarthrose"). Quant au docteur D._, s'il affirme sans équivoque que l'intensification des douleurs est liée à l'accident de 1997, il n'étaye pas sa position au moyen de constatations médicales objectives. De son côté, sur la base d'un examen clinique et d'une IRM lombaire, le docteur F._ constate que le rachis lombaire est sans particularité et conclut à des lombalgies non spécifiques. Aussi la cour cantonale a-t-elle jugé qu'au regard de l'avis clair et motivé de ce spécialiste démontrant l'absence de lombalgies spécifiques, un lien de causalité ne peut pas être retenu, et que c'est en conséquence à bon droit que la CNA a nié le droit aux prestations pour la rechute, suivant en cela l'appréciation de son médecin d'arrondissement.
5.2. Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir tenu un raisonnement contradictoire, en reconnaissant qu'il souffre d'une exacerbation des mêmes douleurs chroniques imputables à l'accident de 1997, tout en niant que cette situation soit en lien de causalité avec l'événement assuré. Le fait qu'il a récupéré une capacité de travail entière durant de longues années n'est pas une raison pour nier un tel lien de causalité dès lors que la définition même de la rechute implique qu'une atteinte à la santé, considérée guérie en apparence seulement, se manifeste à nouveau. Enfin, le recourant fait remarquer que l'avis du docteur H._, médecin d'arrondissement de la CNA, n'est pas plus motivé que celui du docteur D._, de sorte qu'il n'y a aucune raison objective d'attribuer une valeur probante plus importante au rapport du premier qu'à celui du second.
5.3. En l'occurrence, on peut se demander si l'on se trouve bien en présence d'une exacerbation des mêmes douleurs chroniques dans la mesure où les symptômes lombaires actuellement décrits se caractérisent par des irradiations dans les deux membres inférieurs (voir la description des plaintes de l'assuré par les docteurs E._ et F._), ce qui n'était pas le cas auparavant d'après le rapport d'examen final du docteur C._ du 8 avril 2002. Quoi qu'il en soit, force est de constater, à l'instar de l'autorité précédente, que les éléments médicaux figurant au dossier ne permettent pas d'objectiver une causalité entre les troubles annoncés à titre de rechute et l'accident initial assuré par l'intimée. En effet, on ne peut rien déduire en ce sens de l'expertise du docteur E._ qui, comme le reconnaît d'ailleurs le recourant, n'avait pas pour mandat de se prononcer sur la relation de causalité entre ces troubles et l'accident de 1997. Les seuls éléments en rapport avec cette question que l'on peut en tirer sont que cet expert observe une concomitance entre l'aggravation des dorso-lombo-fessalgies de l'assuré et l'opération à la hanche droite subie par celui-ci, et qu'il est d'avis que les douleurs du membre inférieur gauche sont en relation avec la coxarthrose. Or ces éléments plaident plutôt en défaveur d'un lien de causalité. Mais surtout, on peut inférer des constatations et conclusions du docteur F._ que la symptomatologie en cause n'est pas corrélée à une aggravation objective du status après spondylodèse D12-L2 depuis les décisions des 2 août 2002 et 11 mai 2010 rendues par l'intimée. Dans ces conditions, la cour cantonale était fondée à retenir qu'un lien de causalité naturelle n'est pas établi à suffisance de droit. Bien que l'on puisse formuler un reproche similaire à l'adresse du médecin d'arrondissement de la CNA dont la discussion du cas est pour le moins sommaire, l'avis non motivé du docteur D._ ne saurait remettre en cause les considérations qui précèdent.
5.4. Le jugement entrepris, qui confirme le refus de la CNA d'accorder au recourant le droit à des prestations d'assurance pour la rechute annoncée en 2017, n'est donc pas critiquable et le recours doit être rejeté.
6.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal valaisan et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 12 mai 2020
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : von Zwehl