Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1991; Beschwerdeführerin) und B._ (geb. 1990; Beschwerdegegner) sind die ehemals verheirateten Eltern von C._ (geb. 2008). Mit Scheidungsurteil vom 15. September 2011 teilte das Bezirksgericht Küssnacht soweit hier interessierend die elterliche Sorge über den Sohn der Mutter zu und räumte dem Vater entsprechend einer Vereinbarung zwischen den Eltern ein (zunächst begleitetes) Besuchsrecht ein. Am 5. März 2012 errichtete die damalige Vormundschaftsbehörde Küssnacht eine Beistandschaft zur Überwachung des Besuchsrechts. Besuche des Vaters beim Kind fanden in der Folge jedoch nicht statt, da dieser kurze Zeit später des Landes verwiesen wurde.
A.b. Am 24. Oktober 2014 ersuchte B._ - er hatte erneut geheiratet und war Vater zweier weiterer (unehelicher) Kinder geworden - die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Innerschwyz (KESB) um Herstellung von Kontakt zu C._. Mit Entscheid vom 9. Mai 2016 wies das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen einen Rekurs von B._ gegen den Widerruf seiner Aufenthaltsbewilligung und die Wegweisung aus der Schweiz ab. Nach Anhörung von C._ und A._ führte die KESB die Beistandschaft für das Kind mit Beschluss vom 15. November 2016 zwecks Unterstützung des Vaters bei der schriftlichen Kontaktaufnahme mit dem Sohn weiter. Eine hiergegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz mit Entscheid vom 25. April 2017 ab.
A.c. Mit Bericht vom 31. Mai 2019 beantragte der Beistand sinngemäss, B._ ein begleitetes Besuchsrecht bei seinem Sohn einzuräumen. Nach erneuter Anhörung von C._ und A._ gewährte die KESB B._ am 21. Januar 2020 für die Dauer von sechs Monaten ein Besuchsrecht von zwei Sonntagnachmittagen im Monat. Dieses war im Rahmen der Begleiteten Besuchstage D._ auszuüben. Ausserdem führte die KESB die Beistandschaft zur Unterstützung bzw. Organisation der Besuche weiter und präzisierte die Aufgaben des Beistands. Der Mutter erteilte die Behörde verschiedene Weisungen im Zusammenhang mit der Umsetzung dieser Regelung.
B.
Gegen diesen Beschluss erhob A._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht und beantragte, es sei die Besuchsrechtsbeistandschaft aufzuheben, eventuell die Kindesschutzmassnahme bei schriftlichen Kontakten zu belassen und subeventuell das begleitete Besuchsrecht auf ein einziges Treffen alle drei Monate zu beschränken. Mit Entscheid vom 18. Juni 2020 (eröffnet am 13. Juli 2020) wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde unter Kostenfolge ab und gewährte A._ die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
C.
A._ gelangt mit Beschwerde in Zivilsachen vom 14. September 2020 ans Bundesgericht und stellt unter Kosten- und Entschädigungsfolge die folgenden Anträge:
"1. In Aufhebung des Entscheids des Verwaltungsgerichts [...] vom 18.6.2020 sowie der Dispositivziffern Nr. 2 bis 9 des Beschlusses [der KESB] vom 21.1.2020 sei die am 5.3.2012 errichtete Besuchsrechtsbeistandschaft über den Sohn [von A._] gänzlich aufzuheben.
2. Eventuell sei die Kindesschutzmassnahme bei dem mit Beschluss [der KESB] vom 15.11.2016 angeordneten schriftlichen Kontakt zwischen [B._] und seinem Sohn zu belassen.
3. Subeventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen verbunden mit folgendem Auftrag bzw. folgender Weisung:
a) Ein kinderpsychologisches Gutachten hinsichtlich der Gefährdung des Kindeswohls durch die Kontaktaufnahme zum Vater und auch hinsichtlich der Gefährdung des Kindeswohls durch die Nichtaufnahme eines Kontaktes erstellen zu lassen;
b) Die potentielle Gewaltbereitschaft [von B._] durch ein Fachgutachten abklären zu lassen."
Ausserdem ersucht A._ um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren und darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung beizulegen, sollte ihr diese nicht bereits von Gesetzes wegen zukommen, bzw. die Vollstreckbarkeit des angefochtenen Entscheids im Sinne einer vorsorglichen Massnahme aufzuschieben.
Am 15. September 2020 hielt das Bundesgericht fest, dass der Beschwerde nicht von Gesetzes wegen aufschiebende Wirkung zukomme und wies das Gesuch um Erteilung derselben ab. Mit Eingabe vom 16. September 2020 teilt das Verwaltungsgericht unaufgefordert mit, auf eine Vernehmlassung zu verzichten. Am 17. März und am 23. April 2021 haben sich das Verwaltungsgericht und A._ zur Frage der Gegenstandslosigkeit des Verfahrens geäussert. B._ hat sich nicht vernehmen lassen. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1 [einleitend]).
Fristgerecht (Art. 100 Abs. 1, Art. 46 Abs. 1 Bst. b und <ref-law>) angefochten ist der Endentscheid (<ref-law>) eines oberen kantonalen Gerichts, das auf Rechtsmittel hin (<ref-law>) über den persönlichen Verkehr zwischen dem Beschwerdegegner und seinem Sohn sowie die begleitende Beistandschaft (inkl. der damit verbundenen Weisungen gegenüber der Mutter) und damit über der Beschwerde in Zivilsachen unterliegende Angelegenheiten (Art. 72 Abs. 1 und Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG) ohne Streitwert entschieden hat (<ref-ruling> E. 2.1; Urteile 5A_710/2018 vom 30. April 2019 E. 1.1; 5A_353/2017 vom 30. August 2017 E. 1.1). Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel.
2.
2.1. Gemäss <ref-law> ist zur Beschwerde in Zivilsachen nur berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (Bst. a) und durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (Bst. b). Das schutzwürdige Interesse besteht im praktischen Nutzen einer Gutheissung der Beschwerde, welche es der beschwerdeführenden Person ermöglicht, einen Nachteil wirtschaftlicher, ideeller, materieller oder anderweitiger Natur, den der angefochtene Entscheid mit sich brächte, zu vermeiden (<ref-ruling> E. 3.2.2.2). Dabei geht es nicht darum, Interessen Dritter geltend zu machen. Vorausgesetzt wird vielmehr ein eigenes schutzwürdiges Interesse der beschwerdeführenden Person. Dies gilt auch dort, wo eine Kindes- oder Erwachsenenschutzmassnahme in Frage steht (Urteile 5A_571/2019 vom 23. Dezember 2019 E. 1.2; 5A_542/2019 vom 30. Juli 2019 E. 3.1).
Das schutzwürdige Interesse an der Gutheissung der Beschwerde muss aktuell und praktisch, mithin im Zeitpunkt des bundesgerichtlichen Urteils noch vorhanden sein. Ausnahmsweise verzichtet das Bundesgericht auf dieses Erfordernis, wenn die gerügte Rechtsverletzung sich jederzeit wiederholen könnte und eine rechtzeitige gerichtliche Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre (sog. virtuelles Interesse; <ref-ruling> E. 1.1). Fehlt es am aktuellen und praktischen Interesse und ist auch kein virtuelles Interesse auszumachen, wird die Beschwerde in Anwendung von <ref-law> als gegenstandslos abgeschrieben, soweit das Interesse an der Beschwerdeführung nach Einreichung der Beschwerde weggefallen ist. Ist das Interesse hingegen bereits bei Einreichung der Beschwerde nicht gegeben, wird auf die Beschwerde nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.1).
2.2. Ein hinreichend schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids vermag die Beschwerdeführerin grundsätzlich geltend zu machen, soweit sie sich gegen die Neuregelung des persönlichen Verkehrs zwischen Vater und Sohn und die ihr in diesem Zusammenhang erteilten Weisungen wendet (Urteile 5A_56/2020 vom 17. August 2020 E. 1.1; 5A_70/2017 vom 11. September 2017 E. 1.2). Streitbetroffen ist dabei das dem Beschwerdegegner ursprünglich von der KESB für die Dauer von sechs Monaten eingeräumte begleitete Besuchsrecht an zwei Nachmittagen im Monat (vgl. vorne Bst. A.c). Diese Regelung ist spätestens mit der Eröffnung des angefochtenen Urteils am 13. Juli 2020 in Kraft getreten, da der Beschwerde in Zivilsachen nicht von Gesetzes wegen aufschiebende Wirkung zukam und ihr diese Wirkung auch nicht beigelegt wurde (vgl. vorne Bst. C; Art. 103 Abs. 1-3 BGG; Urteile 4A_170/2016 vom 10. Mai 2016; 5A_754/2013 vom 4. Februar 2014 E. 2 [einleitend]; DORMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 6 und 12 zu <ref-law>). Damit endete die streitbetroffene Besuchsregelung spätestens am 13. Januar 2021 (<ref-law> i.V.m. <ref-law>; vgl. Urteil 5A_791/2017 vom 17. Juli 2018 E. 4.1, nicht publiziert in: <ref-ruling>) und hatte die Beschwerdeführerin ab diesem Zeitpunkt kein aktuelles Interesse an deren Prüfung mehr, was sie im Grundsatz auch selbst anerkennt. Soweit die Beschwerdeführerin weitergehend auf Bemühungen der Behörden verweist, noch im März bzw. April 2021 Besuchskontakte zu organisieren, liegen diese ausserhalb des Gegenstands des vorliegenden Verfahrens (vgl. zum Streitgegenstand <ref-ruling> E. 4.4.2; <ref-ruling> E. 5 [einleitend]). Zuletzt ist weder offensichtlich noch geltend gemacht, dass ausnahmsweise auf das Vorliegen eines aktuellen und praktischen Interesses an der Beschwerdeführung verzichtet werden könnte.
Nach dem Ausgeführten ist das Verfahren 5A_744/2020 soweit den persönlichen Verkehr zwischen dem Beschwerdegegner und dem Sohn der Parteien und die zugehörigen Weisungen an die Beschwerdeführerin betreffend zufolge Gegenstandslosigkeit abzuschreiben. Unter diesen Umständen ist auch nicht mehr auf den eventuell gestellten Antrag einzugehen, schriftliche Kontakte zwischen dem Beschwerdegegner und dem Sohn anzuordnen. Ebenfalls erübrigen sich Weiterungen im Zusammenhang mit der von der Beschwerdeführerin beantragten Einholung verschiedener Gutachten.
2.3.
2.3.1. Was die Beistandschaft angeht, hat nicht der von der Massnahme betroffene Sohn, sondern die Mutter Beschwerde erhoben. Zwar übt diese das alleinige Sorgerecht aus (vgl. vorne Bst. A.a), womit sie grundsätzlich als gesetzliche Vertreterin für das minderjährige Kind Beschwerde führen könnte (Urteil 5A_371/2019 vom 24. Juli 2019 E. 1.1). Die Beschwerdeführerin beruft sich vor Bundesgericht indessen darauf, in eigenen schutzwürdigen Interessen berührt zu sein, und macht geltend, die Beistandschaft schränke die elterliche Sorge erheblich sein. Sie handelt damit nicht als gesetzliche Vertreterin des Kindes (vgl. Urteil 5A_750/2020 und 5A_751/2020 vom 6. Mai 2021 E. 2.2). Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, weshalb sie durch die Beistandschaft in ihrem Sorgerecht (vgl. zu dessen Inhalt <ref-law> und dazu: AFFOLTER-FRINGELI/VOGEL, in: Berner Kommentar, 2016, N. 1 ff. zu <ref-law>) berührt sein sollte: In der Beschwerde unterscheidet sie kaum zwischen den einzelnen angeordneten Massnahmen und äussert sich vorweg zum väterlichen Besuchsrecht und die ihrer Ansicht nach mit diesem verbundene Kindeswohlgefährdung. Die behauptete Berührtheit durch eine gemäss dem angefochtenen Entscheid vorweg der Umsetzung des persönlichen Verkehrs zwischen Vater und Sohn dienenden Beistandschaft ist dagegen nicht erkennbar. Damit kommt die Beschwerdeführerin der Begründungspflicht gemäss <ref-law>, die auch die Frage der Beschwerdeberechtigung umfasst (<ref-ruling> E. 1.2), nicht nach und auf die Beschwerde ist mit Blick auf die Beistandschaft grundsätzlich nicht einzutreten.
2.3.2. Anders verhält es sich indes, soweit die Beschwerdeführerin Rechte geltend macht, die ihr kraft ihrer Parteistellung im Verfahren zustehen: Trotz fehlender Legitimation in der Sache hat sie, soweit das schutzwürdige Interesse nicht weggefallen ist, nach wie vor ein solches Interesse an der Behandlung der Rüge der Verletzung von formellen Parteirechten, deren Missachtung auf eine formelle Rechtsverweigerung, eine Rechtsverzögerung oder eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör hinausläuft (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 a.E.; <ref-ruling> E. 1.9; 41 E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.3). Nicht geltend machen kann die Beschwerdeführerin in diesem Rahmen aber formelle Rügen, die im Ergebnis auf eine materielle Prüfung des Entscheids abzielen (Urteile 5A_904/2018 vom 20. Februar 2019 E. 2.3.1; 5A_459/2016 vom 21. September 2016 E. 1.2.2; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.2). Vorbringen kann sie daher beispielsweise, es sei zu Unrecht auf ein Rechtsmittel nicht eingetreten oder keine mündliche Verhandlung durchgeführt worden. Ihr ist es jedoch verwehrt, die Beweiswürdigung zu beanstanden oder zu rügen, die von ihr beantragten Beweismittel seien aufgrund (willkürlicher) antizipierter Beweiswürdigung nicht abgenommen worden; diese beiden Fragen sind eng mit der Überprüfung in der Sache verbunden, auf welche sie keinen Anspruch hat (Urteil 5A_857/2010 vom 12. Januar 2011 E. 1.3).
Nach dem Ausgeführten besteht insoweit ein schutzwürdiges Interesse an der Beschwerdeführung, als die Beschwerde nicht gegenstandslos geworden ist und die Beschwerdeführerin dem Verwaltungsgericht verschiedene Gehörsverletzungen vorwirft, weil es einzelne Anträge oder Vorbringen nicht behandelt habe. Wie dargelegt unterscheidet die Beschwerdeführerin in ihrer Argumentation indes nicht hinreichend zwischen den verschiedenen angeordneten Massnahmen (E. 2.3.1 hiervor). Zu ihren Gunsten ist in der Folge davon auszugehen, dass sich sämtliche der zu behandelnden Gehörsrügen (zumindest auch) auf die Beistandschaft beziehen. Nicht gehört werden kann dagegen der Einwand, es sei das Recht auf Beweis verletzt, weil das Verwaltungsgericht verschiedene Beweisanträge "sinngemäss ohne Weiteres als überflüssig qualifiziert und abgewiesen" habe.
3.
3.1. Was die im dargelegten Rahmen zu prüfende Rüge der Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) angeht, wirft die Beschwerdeführerin dem Verwaltungsgericht im Allgemeinen vor, sich " mit ihren Argumenten im Grunde weder in tatsächlicher noch in rechtlicher Hinsicht ernsthaft auseinandergesetzt" zu haben. Das Verwaltungsgericht habe sämtliche gegen das erstinstanzliche Erkenntnis erhobene Einwände "mit einigen wenigen Sätzen vom Tisch gekehrt" bzw. "mit wenigen Sätzen abgetan".
Damit vermag die Beschwerdeführerin von vornherein keine Gehörsverletzung darzutun: Wie sie selbst ausführt, hat das Verwaltunsgericht sich mit ihren Vorbringen auseinandergesetzt, wenn auch nur kurz und nicht im gewünschten Sinne. Mit Blick auf <ref-law> ist dies indes ausreichend, zumal die Beschwerdeführerin nicht geltend macht, sie sei aufgrund der ungenügenden Ausführungen des Verwaltungsgerichts nicht in der Lage gewesen, den angefochtenen Entscheid sinnvoll anzufechten. Allein weil die Beschwerdeführerin sich ein anderes Ergebnis erhofft hätte, muss das Verwaltungsgericht sich keine Verfassungsverletzung vorwerfen lassen (<ref-ruling> E. 6.1; Urteile 5A_427/2020 vom 6. Oktober 2020 E. 5.5; 5A_964/2016 vom 19. Februar 2018 E. 3.2). Exemplarisch ist insoweit auch das Vorbringen, das Verwaltungsgericht habe zwar den massgeblichen Sachverhalt grundsätzlich korrekt zusammengefasst, dann aber " gar keine oder nicht die richtigen Schlussfolgerungen" gezogen. Soweit damit nicht ohnehin Beweisfragen angesprochen sind, die ausser Acht zu bleiben haben, bezieht sich die Beschwerdeführerin nicht auf den Anspruch auf rechtliches Gehör, sondern auf das Ergebnis des vorinstanzlichen Verfahrens.
3.2. Entsprechendes gilt bezüglich des Vorwurfs, das Verwaltungsgericht habe sich nicht ernsthaft mit den Ausführungen zum fehlenden Interesse des Beschwerdegegners an Kontakten mit seinem Sohn auseinandergesetzt. Die Vorinstanz habe lediglich ausgeführt, eine grössere Anstrengung von Seiten des Vaters wäre wünschenswert. Diese Schwächen würden ihm aber nicht zum Nachteil gereichen. Auch hier ergibt sich letztlich bereits aus der Beschwerde selbst, dass die Vorinstanz sich mit den Vorbringen der Beschwerdeführerin befasste. Mit Blick auf den Gehörsanspruch ist dagegen unerheblich, dass die Überlegungen der Vorinstanz für die Beschwerdeführerin "unverständlich" sind.
3.3. Sodann geht die Beschwerdeführerin auf ihren vor Verwaltungsgericht gestellten (Haupt-) Antrag um Aufhebung der Kindesschutzmassnahme ein. Sie habe im vorinstanzlichen Verfahren geltend gemacht, dass ohne die Massnahme keine Gefährdung des Kindeswohls erkennbar sei, diese keinen Mehrwert gebracht habe und daher aufzuheben sei. Die Beistandschaft selbst entwickle sich im Familiensystem zu einem Problem- und Stressfaktor und dem Kind werde nicht geholfen. Mit dieser Problematik habe das Verwaltungsgericht sich nicht befasst. Weder habe es dargelegt, worin die Gefährdung des Kindeswohls liege, noch habe es sich zu den Gründen für die Aufrechterhaltung der Massnahme geäussert. Anstatt sich mit ihrem (Haupt-) Antrag auseinanderzusetzen, habe das Verwaltungsgericht die Schuld am Fehlschlagen des Kontaktaufbaus einfach ihr, der Beschwerdeführerin, zugeschoben. Hierin liege ebenfalls eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör.
Das Verwaltungsgericht hat in E. 2 des angefochtenen Entscheids alle von der Beschwerdeführerin vorgetragenen Argumente aufgelistet. Darunter auch die Vorbringen, wonach die Kindesschutzmassnahme für die Beteiligten äusserst belastend sei, der Sohn unter den Besuchskontakten leide und die Besuchsrechtsbeistandschaft dem Kindeswohl mehr schade als nütze. Dem habe die Erstinstanz überzeugend entgegnet, es solle mit dem persönlichen Verkehr zwischen Vater und Sohn die Persönlichkeitsentwicklung des Kindes unterstützt werden. Die Besuchskontakte würden der Dämonisierung des abwesenden Vaters in der Phantasie des Kindes entgegenwirken. Den Ängsten von Mutter und Kind werde durch die fachliche Begleitung in einer spezialisierten Einrichtung Rechnung getragen (E. 3.1). Richtig habe die Erstinstanz sodann erkannt, dass der Entscheid über den persönlichen Kontakt nicht dem Kind zustehe, zumal dessen ablehnende Haltung dem Vater gegenüber auf einer Beeinflussung durch die Mutter beruhe. Durch die angeordneten Besuche könne das beim Sohn bestehende Bild des Vaters korrigiert werden (E. 3.2). Damit hat das Verwaltungsgericht ausreichend dargelegt, weshalb die angeordneten Massnahmen seinem Dafürhalten nach im Wohl des Kindes liegen (und diesem folglich nicht schaden), die Voraussetzungen für ihre Weiterführung gegeben sind und der Antrag der Mutter auf ihre Aufhebung daher abzuweisen war. Ein explizites Eingehen auf jedes Argument der Beschwerdeführerin war nicht notwendig (<ref-ruling> E. 5.2). Eine Gehörsverletzung liegt auch nicht allein deshalb vor, weil die Beschwerdeführerin mit den Überlegungen des Verwaltungsgerichts nicht einverstanden ist (vgl. E. 3.1 hiervor).
3.4. Zusammenfassend vermag die Beschwerdeführerin eine Gehörsverletzung auch nicht annähernd darzutun und ist auf die entsprechenden Vorwürfe nicht weiter einzugehen.
4.
4.1. Nach dem Ausgeführten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten, soweit das Verfahren 5A_744/2020 nicht als gegenstandslos abzuschreiben ist. Eine Neuverlegung der Kosten des kantonalen Verfahrens scheidet vorliegend auch unter Berücksichtigung der eingetretenen Gegenstandslosigkeit aus (vgl. Urteil 4A_364/2014 vom 18. September 2014 E. 2).
4.2. Soweit nicht auf die Beschwerde einzutreten ist, wären die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der unterliegenden Beschwerdeführerin aufzuerlegen. Der besonderen Umständen des Falles wegen wird aber darauf Verzichtet, Kosten zu erheben (<ref-law>). In diesem Umfang sind keine Parteientschädigungen zu sprechen, da dem insoweit obsiegenden Beschwerdegegner keine entschädigungspflichtigen Kosten angefallen sind (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG) und das Gemeinwesen keinen Anspruch auf Kostenersatz hat (<ref-law>).
4.3.
4.3.1. Im Umfang der Abschreibung des Verfahrens zufolge Gegenstandslosigkeit wird ebenfalls auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet (<ref-law>). Über die Verlegung der Parteikosten des bundesgerichtlichen Verfahrens ist diesbezüglich auf Grund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes zu entscheiden (vgl. <ref-law> i.V.m. <ref-law> [SR 273]; <ref-ruling> E. 4a; Urteil 5A_535/2020 vom 27. Januar 2021 E. 2.2). Dabei ist in erster Linie auf den mutmasslichen Ausgang des Prozesses abzustellen, wie er sich aufgrund einer summarischer Prüfung präsentiert (<ref-ruling> E. 8.2; Urteil 5A_870/2013 vom 28. Oktober 2014 E. 2). Es geht nicht darum, die Prozessaussichten im Einzelnen zu beurteilen und dadurch weitere Umtriebe zu verursachen (Verfügung 5A_93/2020 vom 12. Oktober 2020 E. 2 mit Hinweisen). Nicht in erster Linie entscheidend ist dagegen, dass die Beschwerdeführerin den Eintritt der Gegenstandslosigkeit nicht zu vertreten hat, wie sie geltend macht (vgl. Urteil 6B_589/2019 vom 26. Mai 2020 E. 4).
4.3.2. Auch im Zusammenhang mit der streitbetroffenen Besuchsregelung erhebt die Beschwerdeführerin verschiedentlich die Rüge der Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör. Auf diese Vorwürfe ist wie dargelegt (vorne E. 3) nicht einzugehen. In der Sache bringt die Beschwerdeführerin vor, das aktenkundig gewalttätige und kriminelle Verhalten des Beschwerdegegners lasse es als zweifelhaft erscheinen, dass Kontakte mit dem Sohn dem Kindeswohl entsprächen.
Dazu führt die Vorinstanz wie erwähnt aus, den Bedenken der Beschwerdeführerin hinsichtlich des kriminellen Potentials des Kindsvaters werde mit der Durchführung begleiteter Besuchskontakte in einer spezialisierten Einrichtung Rechnung getragen. Ausserdem stünden die vom Beschwerdegegner begangene Straftaten (Urkundenfälschung und versuchter Betrug) mit den strittigen Besuchskontakten in keinem Zusammenhang. Die Beschwerdeführerin schätzt die Bedeutung des Verhaltens des Beschwerdegegners im Ergebnis damit zwar anders ein als das Verwaltungsgericht. Sie vermag aber nicht aufzuzeigen, weshalb die Durchführung begleiteter Besuche nicht geeignet sein sollte, allfälligen dem Kindeswohl abträglichen Einflüssen des Vaters zu begegnen (vgl. Urteil 5A_68/2020 vom 2. September 2020 E. 3.2 mit zahlreichen Hinweisen). Weitergehend trifft die Überlegung der Vorinstanz zu, wonach es für das Kind sehr wichtig ist, zu beiden Elternteilen Kontakt zu haben, und dies bei seiner Identitätsfindung eine entscheidende Rolle spielen kann (<ref-ruling> E. 2.2.2; Urteil 5A_290/2020 vom 8. Dezember 2020 E. 2.2). Richtig ist auch der Hinweis, dass der Kindeswille für die Ausgestaltung des persönlichen Verkehrs zwischen dem Kind und dem nicht sorgeberechtigten Elternteil nicht allein ausschlaggebend ist (Urteil 5A_463/2017 vom 10. Juli 2018 E. 4.5.5 mit Hinweisen, nicht publiziert in: <ref-ruling>, aber in: FamPra.ch 2018 S. 1138). Damit ist auch das Vorbringen der Beschwerdeführerin nicht entscheidend, das Kind wolle den Beschwerdegegner derzeit nicht sehen, ohne dass die Frage - sie wird von der Vorinstanz thematisiert - zu vertiefen wäre, ob das Kind durch die Mutter beeinflusst wurde.
Wenig überzeugend ist sodann der weitere Hinweis der Beschwerdeführerin, der Beschwerdegegner habe kein echtes Interesse an Kontakt zum Sohn: Nicht nur missachtet die Beschwerdeführerin, dass der Vater einen gesetzlichen Anspruch auf derartige Kontakte hat (<ref-law>). Vielmehr soll der persönliche Verkehr zum nicht obhutsberechtigten Elternteil es dem Kind ermöglichen, zu beiden Elternteilen eine persönliche Beziehung zu pflegen, was wie gesagt in seinem Wohl liegt (Urteil 5A_654/2019 vom 14. Mai 2020 E. 3.1 mit Hinweisen).
4.3.3. Bei summarischer Prüfung wäre die Beschwerde mit Blick auf die gegenstandslos gewordenen Bereiche aufgrund der Sachlage bei Eintritt der Gegenstandslosigkeit abzuweisen gewesen. Dabei ist auch zu beachten, dass die Mutter die ihr erteilten Weisungen vor Bundesgericht nicht weiter thematisiert. Bei diesem mutmasslichen Ausgang des Verfahrens unterliegt die Beschwerdeführerin auch in diesem Umfang. Entsprechend ist auch hier keine Parteientschädigung zu sprechen (Art. 68 Abs. 1, 2 und 4 BGG; E. 4.2 hiervor).
4.4. Die Beschwerdeführerin ersucht für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Beiordnung ihrer Anwältin als unentgeltliche Rechtsvertreterin. Dieses Gesuch ist abzuweisen, soweit es zufolge Verzichts auf die Erhebung von Gerichtskosten nicht gegenstandslos geworden ist, da die Beschwerde nach dem Ausgeführten als von Anfang an aussichtslos beurteilt werden muss (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten, soweit das Verfahren 5A_744/2020 nicht als gegenstandslos abgeschrieben wird.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Parteientschädigung wird keine gesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Innerschwyz und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. September 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber