Erwägungen:
1.
Am Bezirksgericht Zürich ist ein vom Kanton Zürich gegen den Beschwerdeführer angehobenes Verfahren um Erteilung der definitiven Rechtsöffnung in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Zürich 2 hängig. Mit Verfügung vom 10. Dezember 2021 setzte das Bezirksgericht dem Beschwerdeführer Frist zur Stellungnahme an. Mit Eingabe vom 3. Januar 2022 beantragte der Beschwerdeführer, ihm sei ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen und es sei die Frist für die Stellungnahme zu erstrecken, bis er mit einem Fachanwalt habe sprechen können und dieser die Eingaben übernehme. Mit Verfügung vom 6. Januar 2022 (berichtigt am 7. Januar 2022) erstreckte das Bezirksgericht die Frist zur Stellungnahme letztmals bis zum 17. Januar 2022 und wies das Gesuch um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands wegen Aussichtslosigkeit des Standpunkts des Beschwerdeführers ab.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer am 20. Januar 2022 (Poststempel) Beschwerde. Hinsichtlich der Fristerstreckung trat das Obergericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 14. Februar 2022 auf die Beschwerde mangels eines nicht leicht wiedergutzumachenden Nachteils nicht ein (Verfahren RT220015-O). Soweit die Beschwerde die unentgeltliche Verbeiständung betraf, befand das Obergericht darüber mit separatem Beschluss gleichen Datums (Verfahren RT220014-O).
Gegen beide Beschlüsse hat der Beschwerdeführer am 23. März 2022 (Postaufgabe) in einer Eingabe Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Das Bundesgericht hat die beiden Verfahren 5D_48/2022 betreffend unentgeltliche Verbeiständung und 5D_49/2022 betreffend Fristerstreckung angelegt und in beiden Verfahren die Akten eingeholt.
2.
2.1. Aufgrund des unter Fr. 30'000.-- liegenden Streitwerts (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-law>) ist die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln (<ref-law>). Der angefochtene Entscheid ist ein Zwischenentscheid im Sinne von Art. 117 i.V.m. <ref-law>. Eine Beschwerde an das Bundesgericht ist nur unter den Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 lit. a oder b BGG möglich. Vorliegend fällt einzig die Variante von <ref-law> in Betracht. Demnach ist die Beschwerde nur zulässig, wenn der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könnte. Dabei muss es sich um einen Nachteil rechtlicher Natur handeln, der auch durch einen für die beschwerdeführende Partei günstigen Entscheid in der Zukunft nicht mehr behoben werden kann. Rein tatsächliche Nachteile wie die Verlängerung oder Verteuerung des Verfahrens reichen nicht aus (<ref-ruling> E. 1.2 mit Hinweisen). Es obliegt der beschwerdeführenden Partei darzutun, dass ihr im konkreten Fall ein nicht wieder gutzumachender Nachteil droht, es sei denn, dies springe geradezu in die Augen (<ref-ruling> E. 1.2 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer legt nicht dar, dass ein solcher Nachteil drohen soll, und das Vorliegen eines solchen Nachteils ist auch nicht geradezu offensichtlich. Es fehlt denn auch eine Auseinandersetzung mit der ähnlich gelagerten und vom Obergericht verneinten Frage, ob durch die teilweise Abweisung des Fristerstreckungsgesuchs durch das Bezirksgericht ein nicht leicht wiedergutzumachender Nachteil im Sinne von <ref-law> droht.
2.2. Der Beschwerdeführer beantragt für das obergerichtliche Beschwerdeverfahren sinngemäss die unentgeltliche Rechtspflege. Er geht nicht auf die obergerichtliche Erwägung ein, wonach er soweit ersichtlich für das obergerichtliche Verfahren nicht um unentgeltliche Rechtspflege ersucht habe. Um unentgeltliche Rechtspflege im kantonalen Beschwerdeverfahren hätte der Beschwerdeführer bereits vor Obergericht ersuchen müssen. Das erst vor Bundesgericht gestellte Begehren ist neu und damit unzulässig (Art. 117 i.V.m. <ref-law>).
2.3. Auf die Beschwerde kann demnach nicht eingetreten werden.
3.
Es rechtfertigt sich ausnahmsweise, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bezirksgericht Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, mitgeteilt.
Lausanne, 31. März 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg