Erwägungen:
1.
1.1. Die Politische Gemeinde St. Gallen hat am 22. November 2021 den Zuschlag für die im offenen Verfahren ausgeschriebene lnventarisation der schützenswerten Bauten in der Altstadt der ARGE Altstadtinventar St. Gallen erteilt. A._, dessen Angebot nicht berücksichtigt wurde, ist die Verfügung zusammen mit einem Begleitschreiben vom 22. November 2021 mit eingeschriebenem Brief eröffnet worden. Nachdem die Sendung nicht abgeholt worden war, stellte die Denkmalpflege A._ die Zuschlagsverfügung am 13. Dezember 2021 per E-Mail zu mit dem Hinweis, die Rechtsmittelfrist werde nicht neu ausgelöst.
1.2. A._ erhob gegen die Zuschlagsverfügung vom 22. November 2021 mit Eingabe vom 20. Dezember 2021, die er am 21. Dezember 2021 persönlich überbrachte, Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen. Dieses kam 24. Dezember 2021 zum Schluss, die Beschwerde sei verspätet eingereicht worden; es wies ein Gesuch um Wiederherstellung der Beschwerdefrist ab und trat dementsprechend auf die Beschwerde nicht ein.
1.3. A._ gelangt hiergegen mit dem Antrag an das Bundesgericht, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Es wurden keine Instruktionsanordnungen getroffen.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 des Bundesgerichtsgesetzes (BGG; SR 173.110) haben Rechtsschriften an das Bundesgericht die Begehren und die Begründung zu enthalten. Diese muss sachbezogen sein und sich auf den Gegenstand des angefochtenen Entscheids beziehen. Die beschwerdeführende Partei muss in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Urteils massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form plausibel darlegen, inwiefern die Vorinstanz Rechte oder Rechtsnormen verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2). Betrifft der angefochtene Entscheid kantonales Recht kann das Bundesgericht dessen Auslegung und Anwendung nur auf Willkür und auf die Vereinbarkeit mit anderen verfassungsmässigen Rechten hin prüfen (<ref-ruling> E. 3.3.1); dabei obliegt den Beschwerdeführenden eine qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>).
2.2. Die Eingabe genügt diesen Begründungsanforderungen nicht:
2.2.1. Der Beschwerdeführer macht - wie bereits im kantonalen Verfahren - geltend, er habe den eingeschriebenen Brief nie erhalten und sei auch zur Abholung nicht aufgefordert worden. Das Verwaltungsgericht seinerseits ging davon aus, dass ihm das Schreiben am 25. November 2021 zur Abholung angezeigt worden sei. Es seien keine konkreten Anzeichen ersichtlich, die geeignet wären, die Vermutung, dass der oder die Postangestellte den Avis ordnungsgemäss in den Briefkasten oder das Postfach des Empfängers gelegt habe und das Zustellungsdatum korrekt registriert worden sei, zu widerlegen. Die immer bestehende Möglichkeit von Fehlern bei der Poststelle genüge dafür nicht (vgl. Urteil 2C_566/2020 vom 10. Juli 2020 E. 4.2.1 und <ref-ruling> E. 2.3 je mit Hinweisen).
2.2.2. Der Beschwerdeführer setzt sich hiermit nicht verfassungsbezogen auseinander; er legt nicht dar, inwiefern die entsprechende Feststellung widerrechtlich wäre. Er verweist zwar darauf, dass er seit rund einem Jahr bei der Post abonniert sei und die entsprechende Zustellung dort nicht ausgewiesen worden sei, womit ein Indiz dafür spreche, dass er die Abholungseinladung nie erhalten habe. Der Beschwerdeführer belegt diesen Einwand nicht weiter; zudem handelt es sich um ein unzulässiges Novum: Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Unzulässig sind damit neue Tatsachen, die bereits der Vorinstanz hätten vorgelegt werden können (<ref-ruling> E. 4.4.3 S. 129). Obwohl der Beschwerdeführer seit über einem Jahr bei der Post abonniert sein will, bringt er dennoch erstmals vor Bundesgericht vor, dass er auch dort keine Einladung erhalten habe. Er hätte dies indessen bereits im kantonalen Verfahren tun können und müssen, um zu belegen, dass ihm die Abholungseinladung nicht zugestellt worden ist (vgl. die Urteile 2C_185/2021 vom 29. Juni 2021 E. 2.3 und 2C_1013/2020 vom 11. März 2021 E. 3.1) bzw. Zweifel an der Vermutung bestehen, dass die Abholungseinladung tatsächlich in seinen Empfangsbereich gelangt ist.
3.
3.1. Auf die Beschwerde ist durch die Abteilungspräsidentin im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
3.2. Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Verfahrenskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung I, mitgeteilt.
Lausanne, 27. Januar 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar