Sachverhalt:
A.
A.A._ (geboren 1962) und B.A._ (geboren 1966) heirateten am 3. Januar 2003. Sie sind die Eltern der Kinder C.A._ (geboren 2003) und D.A._ (geboren 2007), die unter gemeinsamer elterlicher Sorge stehen. D.A._ besucht die Privatschule E._. Die Ehegatten gehen heute getrennte Wege.
B.
B.a. Mit Eheschutzurteil des Bezirksgerichts Horgen vom 20. September 2016 wurde u.a. der Kindesunterhalt geregelt. Der Beschwerdeführer war im Urteilszeitpunkt arbeitslos, aber noch nicht ausgesteuert. Das Eheschutzgericht ging indessen davon aus, dass der Beschwerdeführer vor seiner Aussteuerung am 30. November 2017 eine neue Stelle finden würde, und rechnete ihm folglich ab dem 1. Dezember 2015 ein hypothetisches Einkommen von Fr. 8'465.-- an. In der Folge nahm der Beschwerdeführer ab dem Jahre 2017 eine selbständige Tätigkeit auf.
B.b. Seit dem 20. Juni 2019 ist vor dem Bezirksgericht Horgen sodann ein Scheidungsverfahren zwischen den Parteien hängig. In diesem Verfahren setzte das Bezirksgericht mit zwei Verfügungen vom 13. Dezember 2019 im Rahmen von vorsorglichen Massnahmen in Abänderung des Eheschutzurteils vom 20. September 2016 (Bst. B.a) unter anderem für die Dauer des Scheidungsverfahrens Unterhaltsbeiträge für die Kinder fest. Weiter trat das Bezirksgericht auf den Antrag des Beschwerdeführers, es sei die Privatschule E._ zu verpflichten, die von der Berufungsbeklagten eingereichte Anmeldung und die Schulgeldbestätigung für das Schuljahr 2019/2020 für die Platzierung der Tochter D.A._ herauszugeben, nicht ein. Die erwähnte Unterhaltsregelung berichtigte das Bezirksgericht mit Verfügung vom 27. Februar 2020.
B.c. Mit Berufung vom 2. März 2020 beantragte der Beschwerdeführer dem Obergericht des Kantons Zürich, es seien unter Aufhebung der entsprechenden Dispositiv-Ziffern der bezirksgerichtlichen Verfügungen die Unterhaltsbeiträge für die Kinder auf monatlich je Fr. 225.-- (Juni bis Dezember 2019) bzw. je Fr. 153.-- (Januar bis Oktober 2020) zuzüglich allfälliger gesetzlicher und vertraglicher Kinderzulagen festzusetzen. Für die Zeit ab November 2020 sei festzustellen, dass der Beschwerdeführer mangels Leistungsfähigkeit keine Kindesunterhaltsbeiträge mehr bezahlen könne. Weiter erneuerte der Beschwerdeführer seinen Herausgabeantrag gegenüber der Privatschule E._ (vgl. Bst. B.b).
B.d. Mit Urteil vom 4. Juni 2020 änderte das Obergericht u.a. die bezirksgerichtliche vorsorgliche Unterhaltsregelung ab (für D.A._ monatlich Fr. 1'397.-- bis zum 31. Dezember 2020, ab 1. Januar 2021 Fr. 1'091.--; für C.A._ monatlich Fr. 785.-- bis zum 31. Dezember 2020, ab 1. Januar 2021 Fr. 478.--), dies unter Vorbehalt einer Mehrverdienstklausel. Im Übrigen wies das Obergericht die Berufung ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 3. Juli 2020 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, das obergerichtliche Urteil aufzuheben, und wiederholt in der Sache seine reformatorischen Berufungsanträge (Bst. B.c), wobei das Bundesgericht die Unterhaltsbeiträge für die beiden Kinder für die Zeit von Juni bis Dezember 2019 neu auf je Fr. 449.-- und für die Zeit von Januar bis Oktober 2020 neu auf je Fr. 411.-- festsetzen soll. Weiter beantragt er die unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren sowie die Erteilung der aufschiebenden Wirkung. Der letztere Antrag wurde mit Verfügung vom 6. Juli 2020 abgewiesen. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, jedoch keine Vernehmlassung eingeholt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist der Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin (<ref-law>) und in Abänderung eines Eheschutzentscheids über vorsorgliche Massnahmen für die Dauer des Scheidungsverfahrens geurteilt hat (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 431 f. mit Hinweisen). Diese zivilrechtliche Streitigkeit (<ref-law>) beschlägt vorab vermögensrechtliche Belange (Unterhaltsbeiträge). Der Streitwert von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG) ist erreicht. Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>) und hat die Beschwerdefrist eingehalten (<ref-law>). Unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen ist die Beschwerde gemäss <ref-law> grundsätzlich zulässig.
2.
2.1. Massnahmenentscheide, die gestützt auf <ref-law> ergehen, unterstehen <ref-law> (Urteile 5A_744/2019 vom 7. April 2020 E. 1.2; 5A_670/2015 vom 4. Februar 2016 E. 2; je mit Hinweisen). Demnach kann vorliegend nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Auch die Anwendung von Bundesgesetzen prüft das Bundesgericht im Rahmen von <ref-law> nur auf die Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) hin (vgl. Urteil 5A_857/2016 vom 8. November 2017 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>; zum Begriff der Willkür vgl. nachstehend E. 2.2). In Verfahren nach <ref-law> kommt zudem auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588 f. mit Hinweisen).
2.2. Nach ständiger Rechtsprechung des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.2 S. 72 mit Hinweisen). Zudem ist erforderlich, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar als zutreffender erscheinen mag, genügt nicht (<ref-ruling> E. 6.1 S. 324 mit Hinweisen).
2.3. Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; Rügeprinzip). Es prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368 mit Hinweisen). Dies setzt voraus, dass sich die Beschwerde mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt (<ref-ruling> E. 1.3 S. 41).
2.4. Nicht weiter einzugehen ist daher auf die Rüge des Beschwerdeführers, wonach sich die Mehrverdienstklausel als "unzulässig erweise", wird doch dabei nicht dargetan, worin bei der Anordnung einer solchen Klausel nicht nur unrichtige, sondern geradezu willkürliche Rechtsanwendung liegen soll. Ebenfalls unbehelflich sind die Hinweise auf die vorinstanzlichen act. 10/9, act. 10/10 und act. 3/6, aus denen der Beschwerdeführer im Zusammenhang mit der Beurteilung der Einkünfte aus seiner Tätigkeit bei der F._ wohl sinngemäss willkürliche Sachverhaltsfeststellungen ableiten will: Die entsprechenden Vorbringen mögen den Begründungsanforderungen an eine einfache Beweiswürdigungsrüge im Rahmen einer Berufung nach Art. 310 Bst. b ZPO genügen, vor Bundesgericht stellen sie indessen unzulässige appellatorische Kritik dar, die den Anforderungen an die Begründung einer Willkürrüge umso weniger genügt, als die erhobenen Rügen in der Beschwerdeschrift selbst enthalten sein müssen und blosse Verweise auf die Akten unzulässig sind (<ref-ruling> E. 3.2 S. 400). Weiter ist auch nicht willkürlich, wenn die Vorinstanz aufgrund der Angabe des Beschwerdeführers, er übe "einmal pro Semester ein 4-Stunden Paket" Lehrauftrag an der Hochschule U._ aus, davon ausgeht, der Lehrauftrag finde in beiden Jahreshälften statt. Schliesslich stellt der Beschwerdeführer dem vorinstanzlichen Entscheid, den Barbedarf der Kinder im Verhältnis von zwei Dritteln (Beschwerdeführer) zu einem Drittel (Beschwerdegegnerin) aufzuteilen, die pauschale Behauptung gegenüber, der Bedarf der Kinder sei entsprechend den elterlichen Einkommen im umgekehrten Verhältnis aufzuteilen. Darauf ist nicht weiter einzugehen, denn ein verfassungsmässiges Recht, das damit verletzt wäre, nennt der Beschwerdeführer nicht.
3.
Der Beschwerdeführer rügt schliesslich eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) im Zusammenhang mit der Berechnung seines Einkommens aus selbständiger Erwerbstätigkeit. Es sei willkürlich, von einem Mindesteinkommen im Betrag des im Jahre 2019 erzielten Gewinns oder von einem in Zukunft ständig steigenden Einkommen auszugehen. Eine solche Prognose lasse sich betriebswirtschaftlich nicht begründen.
3.1. Die Vorinstanz rechnete dem Beschwerdeführer ein monatliches Einkommen von Fr. 2'637.-- aus selbständiger Erwerbstätigkeit an und stellte dabei ausschliesslich auf die Jahresrechnung 2019 ab, in der ein Gewinn von Fr. 31'639.27 ausgewiesen wird. Die Jahre 2017 und 2018 liess sie ausser Betracht, weil diese aufgrund der Wiederaufnahme der selbständigen Tätigkeit des Beschwerdeführers nach dessen Aussteuerung im November 2017 noch als ausserordentliche Jahre zu betrachten seien. Während der Zeit, als der Beschwerdeführer beim RAV angemeldet gewesen war, habe er zwar bereits gewisse Arbeiten im Hinblick auf seine Selbständigkeit ausführen können. Erst beim Schlussgespräch mit dem RAV sei ihm indes aufgrund seines Alters und der fruchtlosen Bemühungen empfohlen worden, sich selbständig zu machen. Da erfahrungsgemäss von einer dreijährigen Aufbauphase auszugehen sei, gelte - so die Vorinstanz - grundsätzlich auch das Jahr 2019 noch als besonderes. Mangels weiterer Grundlagen sei vorliegend dennoch darauf abzustellen, zumal der Beschwerdeführer nicht geltend mache, dass es sich um ein besonders gutes oder schlechtes Jahr gehandelt habe. Aus der Jahresrechnung 2019 zeige sich auch, dass der Gewinn in den Jahren 2017 bis 2019 stetig gestiegen sei. Schliesslich gebe der Beschwerdeführer selbst an, sein Einkommen aus selbständiger Erwerbstätigkeit sei steigend.
3.2. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung gilt als Einkommen aus selbstständiger Erwerbstätigkeit der Reingewinn, der entweder als Vermögensstandsgewinn (Differenz zwischen dem Eigenkapital am Ende des laufenden und am Ende des vorangegangenen Geschäftsjahres) oder als Gewinn in einer ordnungsgemässen Gewinn- und Verlustrechnung ausgewiesen wird. Weil bei selbständiger Erwerbstätigkeit die finanzielle Verflechtung zwischen Unternehmerhaushalt und Unternehmung gross und intensiv ist und weil der Gewinnausweis sich relativ leicht beeinflussen lässt, kann sich die Bestimmung der Leistungskraft eines Selbständigerwerbenden als schwierig erweisen. Um ein einigermassen zuverlässiges Resultat zu erreichen und namentlich um Einkommensschwankungen Rechnung zu tragen, sollte auf das Durchschnittsnettoeinkommen mehrerer - in der Regel der letzten drei und bei grösseren Schwankungen allenfalls zusätzlicher - Jahre abgestellt werden. Auffällige, das heisst besonders gute oder besonders schlechte Abschlüsse, können unter Umständen ausser Betracht bleiben. Nur bei stetig sinkenden oder steigenden Erträgen gilt der Gewinn des letzten Jahres als massgebendes Einkommen, korrigiert insbesondere durch Aufrechnungen von ausserordentlichen Abschreibungen, unbegründeten Rückstellungen und Privatbezügen (Urteile 5A_937/2016 vom 5. Oktober 2017 E. 3.2.2; 5A_684/2011 vom 31. Mai 2012 E. 2.2 und 5D_167/2008 vom 13. Januar 2009 E. 2).
3.3. Die Vorinstanz hat diese Grundsätze ihrem Urteil zutreffend zugrunde gelegt. Wie sie zutreffend ausführt, zeigt sich aus der Jahresrechnung 2019, dass der Gewinn in den Jahren 2017 bis 2019 stetig gestiegen ist. Es ist unter diesen Umständen mit Blick auf die referierte bundesgerichtliche Rechtsprechung nicht willkürlich, einzig auf die Jahresrechnung 2019 abzustellen.
4.
Was den Bedarf der Tochter D.A._ anbelangt, rechnete die Vorinstanz Fr. 1'224.-- monatliche Schulkosten an. Das Kind besucht - so die Vorinstanz - derzeit "unbestrittenermassen... die Privatschule E._". Der Beschwerdeführer macht vor Bundesgericht wie bereits vor der Vorinstanz geltend, er habe als Mitinhaber der gemeinsamen elterlichen Sorge D.A._s Besuch der Privatschule nie zugestimmt. Damit sei der entsprechende Schulvertrag nie zustande gekommen und es sei willkürlich, wenn dennoch ein Schulgeld beim Bedarf der Tochter angerechnet werde.
4.1. Die Vorinstanz ging vom Faktum aus, dass D.A._ derzeit die genannte Privatschule besucht. Sie wies sodann darauf hin, dass es keine Anhaltspunkte dafür gebe und von den Parteien auch nicht geltend gemacht werde, dass durch den Besuch dieser Schule das Kindeswohl gefährdet wäre. Demnach sei im vorliegenden Massnahmeverfahren nicht darüber zu entscheiden, ob D.A._ weiterhin in die Privatschule gehe. Zwischen den Parteien sei denn auch nicht bestritten, dass das Schulgeld jährlich Fr. 14'680.-- bzw. monatlich Fr. 1'224.-- betrage. Dabei handle es sich um tatsächlich anfallende Kosten, die zu bezahlen und mithin von den Eltern zu tragen seien. Ob zwischen den Parteien und der Privatschule E._ ein Vertrag zustande gekommen ist, sei hier nicht von Belang.
4.2. Grundsätzlich darf ein "fait accompli" eines Elternteils nicht das Sorgerecht des anderen Elternteils unterlaufen. Vorliegend steht der Besuch der Privatschule indessen offenbar durchaus im Kindeswohl. Unter diesen Voraussetzungen ist es jedenfalls nicht willkürlich, auf die Fakten und damit die tatsächlich angefallenen Schulkosten abzustellen und diese in einem blossen Massnahmeverfahren einstweilen zu berücksichtigen. Die Frage wird freilich im Scheidungsverfahren vertiefter abzuklären sein.
4.3. Wie die Vorinstanz zutreffend ausgeführt hat, besteht unter diesen Umständen im Massnahmeverfahren auch kein Rechtsschutzinteresse an der Herausgabe der Schulanmeldung und der Schulgeldbestätigung: Fallen die Schulkosten nach der verbindlichen Feststellung der Vorinstanz (<ref-law>) in der nicht bestrittenen Höhe tatsächlich an, spielt es für das vorliegende Massnahmeverfahren keine Rolle, wie es sich mit der vertragsrechtlichen Situation zwischen den Eltern und der Schule genau verhält. Die Kosten sind einstweilen von beiden Eltern zu tragen und zwar unabhängig davon, was in den herausverlangten Dokumenten steht.
5.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten, bestimmt auf Fr. 2'500.--, dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin, die sich vor Bundesgericht nicht zu äussern hatte, ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, konnte der Beschwerde von Anfang an kein Erfolg beschieden sein, weshalb es an den materiellen Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege fehlt (<ref-law>) und das entsprechende Gesuch abzuweisen ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. November 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn