Erwägungen:
1.
Mit Urteil 1C_465/2020 und 1C_111/2021 vom 15. März 2021 wies das Bundesgericht zwei Beschwerden von A._ im Zusammenhang mit der Wahl eines Präsidenten des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt ab, soweit es darauf eintrat. Am 4. Mai 2021 erging dazu ein Urteil des Appellationsgerichts als Verwaltungsgericht betreffend die Wahl vom 27. September 2020. Dagegen reichte A._ am 17. Mai 2021 Beschwerde beim Bundesgericht ein unter Verweis auf seine frühere Eingabe vom 23. Februar 2021 im bundesgerichtlichen Verfahren 1C_111/2021.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Gemäss <ref-law> ist jedoch in der Begründung einer Beschwerde an das Bundesgericht in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Der Beschwerdeführer muss sich wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzen. Eine reine Wiederholung des Parteistandpunkts ohne Bezug zum angefochtenen Entscheid genügt nicht. Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht grundsätzlich nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4 S. 176; <ref-ruling> E. 1.6 S. 130; <ref-ruling> E. 1.4 S. 254 f.).
2.2. Die Eingabe des Beschwerdeführers vom 17. Mai 2021 genügt diesen Anforderungen offensichtlich nicht. Er beschränkt sich im Wesentlichen auf einen Verweis auf seine frühere Beschwerdeschrift im Verfahren 1C_111/2021 vom 23. Februar 2021. Damals hatte das Appellationsgericht sein hier angefochtenes Urteil aber noch gar nicht gefällt, weshalb der Beschwerdeführer sich auch nicht damit auseinandersetzen konnte. Nachdem er sich auch in der neu eingereichten Eingabe vom 17. Mai 2021 nicht zu den Erwägungen des Appellationsgerichts äussert, sondern einzig auf seine frühere Eingabe verweist, erweisen sich die Begründungsanforderungen als nicht erfüllt und die Beschwerde als unzulässig.
3.
Demnach ist auf die Beschwerde ohne weiteren Schriftenwechsel nicht einzutreten.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juni 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Uebersax