Faits :
A.
A.a. Le 14 novembre 2016, A._ SA (ci-après: la locataire ou la recourante) a pris à bail une arcade commerciale et une vitrine sises à Genève auprès de C._ Ltd. (ci-après: la bailleresse).
A.b. La locataire et la bailleresse sont en litige dans deux procédures initiées par celle-ci le 15 mai 2019 auprès du Tribunal des baux et loyers du canton de Genève. Dites procédures portent respectivement sur la durée des rapports contractuels et sur un solde de loyer d'environ 470'000 fr. et ont été attribuées à B._ (ci-après: la juge).
A.c. Par ordonnance du 24 juin 2019, le tribunal a fixé à la locataire un délai au 23 août 2019 pour répondre aux deux demandes déposées par la bailleresse.
Le 9 août 2019, la locataire a requis du tribunal qu'il constate l'irrecevabilité desdites demandes, au motif que la bailleresse n'avait pas été valablement représentée lors de l'audience de conciliation.
Le 22 août 2019, la locataire a fait savoir au tribunal qu'elle attendait toujours une réponse à sa requête.
Par ordonnance du 29 août 2019 dépourvue de motivation, le tribunal a fixé à la locataire un nouveau délai au 20 septembre 2019 pour répondre sur le fond.
Le 11 septembre 2019, la locataire a indiqué au tribunal qu'il était urgent qu'il statue sur sa requête du 9 août 2019.
Par ordonnance du 30 septembre 2019, le tribunal a imparti à la locataire un délai supplémentaire au 15 octobre 2019 pour répondre sur le fond aux deux demandes de la bailleresse. Cette ordonnance ne contenait pas de motivation relative à la requête de la locataire de limiter la procédure à la question de la recevabilité desdites demandes.
A.d. Le 4 octobre 2019, la locataire a saisi la Chambre des baux et loyers de la Cour de justice du canton de Genève de deux recours pour retard injustifié visant les deux procédures susmentionnées.
Dans ses observations, le tribunal a indiqué qu'en impartissant, à réitérées reprises, un délai à la locataire pour répondre sur le fond, il avait implicitement refusé de limiter en l'état la procédure à la question de la recevabilité des demandes.
Par arrêts du 13 janvier 2020, la Cour de justice a admis les recours et invité le tribunal à statuer par une décision motivée sur la requête du 9 août 2019 de la locataire. Elle a jugé que la prétendue décision implicite que le tribunal affirmait avoir rendue violait le droit d'être entendue de la locataire et était dénuée de motivation.
A.e. Dans l'intervalle, la locataire avait, le 18 octobre 2019, répondu aux demandes de la bailleresse et pris des conclusions reconventionnelles à hauteur de 87'500 fr.
A.f. Par ordonnances du 25 mai 2020, le tribunal a rejeté la requête du 9 août 2019 de la locataire.
A.g. Par deux recours du 5 juin 2020 pour retard injustifié, la locataire a, en substance, conclu à ce que la Cour de justice constate la nullité des ordonnances du 25 mai 2020, subsidiairement les annule et ordonne au tribunal de rendre une décision motivée au sujet de sa requête et lui enjoigne d'attribuer les causes à une autre chambre du tribunal.
Dans ses observations, le tribunal a expliqué que le délai pour rendre les ordonnances litigieuses était dû à la nécessité d'attendre le retour des dossiers physiques pour statuer et à l'interruption de l'activité du tribunal durant près de deux mois en raison de la crise sanitaire.
Par arrêts du 19 octobre 2020, la Cour de justice a déclaré les recours irrecevables en tant qu'ils tendaient à ce qu'elle constate la partialité du tribunal et enjoigne à celui-ci d'attribuer les causes à une autre chambre. Elle a retenu que seul le Tribunal civil était compétent pour trancher des questions de récusation ou d'attribution des causes et que, s'agissant des comportements reprochés à la juge, les ordonnances étaient suffisamment motivées mais que le tribunal avait tardé de manière injustifiée à statuer et que l'avancement des procédures avait pris un retard déraisonnable.
B.
B.a. Le 28 octobre 2020, la locataire a requis la récusation de la juge auprès du tribunal. Elle a reproché à celle-ci de ne pas avoir encore tranché la question de la validité de la conciliation préalable et de n'avoir " rien fait " depuis le 9 août 2019. Selon elle, ces fautes lourdes et répétées fondaient un soupçon de partialité, que venait renforcer le fait qu'elle avait tenté de justifier son inaction devant la Cour de justice.
Dans ses observations, la juge a contesté qu'un motif de récusation soit réalisé en l'espèce. Elle s'en est rapportée à justice, soulignant qu'au vu des recours de la locataire empêchant de convoquer les causes et du ton employé par celle-ci, il était possible qu'un autre magistrat " rencontrerait moins de difficultés à faire avancer ces procédures ".
Par ordonnance du 23 février 2021, la délégation du Tribunal civil a formellement déclaré la requête irrecevable, retenant que la locataire avait déjà reproché à la juge d'être partiale dans ses recours du 5 juin 2020 et que la requête de récusation, déposée quatre mois plus tard, était ainsi tardive. Elle a toutefois aussi statué au fond dans ses motifs, jugeant qu'en tout état de cause, il n'existait aucun indice de partialité de la part de la juge.
B.b. Par arrêt du 21 septembre 2021, la Chambre civile de la Cour de justice a déclaré irrecevable le recours formé par la locataire, en tant qu'il tendait au prononcé de la récusation des membres de la délégation du Tribunal civil, et rejeté le recours pour le surplus.
C.
Contre cet arrêt, qui lui a été notifié le 6 octobre 2021, la locataire a formé un recours en matière civile auprès du Tribunal fédéral le 5 novembre 2021. Elle conclut à ce que l'arrêt soit annulé et la cause renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision. En substance, la recourante invoque sur plusieurs points un déni de justice formel et une violation de son droit d'être entendue au sens de l'art. 29 al. 1 et 2 Cst.
L'intimée, la partie intéressée et la cour cantonale n'ont pas été invitées à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
L'arrêt de la cour cantonale est une décision séparée relative à une demande de récusation; elle peut faire l'objet d'un recours (<ref-law>) et doit être immédiatement attaquée en vertu de l'<ref-law> (arrêts 4A_272/2021 du 26 août 2021 consid. 1; 4A_278/2021 du 26 août 2021 consid. 1; 4A_576/2020 du 10 juin 2021 consid. 1 et les arrêts cités).
Interjeté dans le délai fixé par la loi (<ref-law>) par la locataire, qui a succombé dans ses conclusions (<ref-law>), et dirigé contre une décision rendue sur recours des <ref-law> par le tribunal supérieur du canton de Genève (<ref-law>) dans une affaire civile (<ref-law>) dont la valeur litigieuse dépasse 15'000 fr. (<ref-law>), le recours en matière civile est en principe recevable.
2.
2.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 4.1.2; <ref-ruling> consid. 5.1) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
Concernant l'appréciation des preuves, le Tribunal fédéral n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans raisons objectives de tenir compte des preuves pertinentes ou a effectué, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 1.4.3; <ref-ruling> consid. 2.1).
La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3 et les références citées). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 et les références citées). Si elle souhaite obtenir un complètement de l'état de fait, elle doit aussi démontrer, par des renvois précis aux pièces du dossier, qu'elle a présenté aux autorités précédentes, en conformité avec les règles de la procédure, les faits juridiquement pertinents à cet égard et les moyens de preuve adéquats (<ref-ruling> consid. 2). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (<ref-ruling> consid. 1.3.1). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 1.3).
Le complètement de l'état de fait ne relève pas de l'arbitraire; un fait non constaté ne peut pas être arbitraire, c'est-à-dire constaté de manière insoutenable. En revanche, si un fait omis est juridiquement pertinent, le recourant peut obtenir qu'il soit constaté s'il démontre qu'en vertu des règles de la procédure civile, l'autorité précédente aurait objectivement pu en tenir compte et s'il désigne précisément les allégués et les offres de preuves qu'il lui avait présentés, avec référence aux pièces du dossier (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2; arrêt 4A_53/2021 du 21 septembre 2021 consid. 2.1 et les arrêts cités).
2.2. Sous réserve de la violation des droits constitutionnels (<ref-law>), le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>) à l'état de fait constaté dans l'arrêt cantonal ou, cas échéant, à l'état de fait qu'il aura rectifié. Cela ne signifie pas que le Tribunal fédéral examine, comme le ferait un juge de première instance, toutes les questions juridiques qui pourraient se poser; compte tenu de l'obligation de motiver imposée par l'<ref-law>, il ne traite que les questions qui sont soulevées devant lui par les parties, à moins que la violation du droit ne soit manifeste (<ref-ruling> consid. 2, 86 consid. 2). Il n'est toutefois lié ni par les motifs invoqués par les parties, ni par l'argumentation juridique retenue par l'autorité cantonale; il peut donc admettre le recours pour d'autres motifs que ceux invoqués par le recourant, comme il peut le rejeter en procédant à une substitution de motifs (<ref-ruling> consid. 1.4).
2.3. La recourante soutient que l'arrêt entrepris ne répond pas aux exigences de l'<ref-law> et que, pour cette raison, elle serait en droit de compléter l'état de fait constaté en se référant aux mémoires soumis.
Elle perd toutefois de vue qu'il lui incombait de démontrer qu'en vertu des règles de la procédure civile, l'autorité précédente aurait objectivement pu tenir compte des faits litigieux et que ceux-ci étaient juridiquement pertinents, ce qu'elle n'a toutefois pas effectué. Partant, son grief est irrecevable.
3.
Dans un premier moyen, la recourante invoque qu'en ne traitant pas son grief tiré de la violation de l'art. 30 al. 1 Cst. au motif qu'elle n'était pas compétente pour statuer sur la récusation des membres de la délégation du Tribunal civil, la cour cantonale aurait violé l'art. 29 al. 1 et 2 Cst.
3.1.
3.1.1. Selon la jurisprudence, l'autorité qui ne traite pas un grief relevant de sa compétence, motivé de façon suffisante et pertinent pour l'issue du litige, commet un déni de justice formel proscrit par l'art. 29 al. 1 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.1; arrêts 5A_400/2017 du 11 août 2017 consid. 4.1; 5A_113/2017 du 13 mars 2017 consid. 3.1).
Le droit d'être entendu garanti par les art. 29 al. 2 Cst. et 53 CPC, qui ont à cet égard la même portée, comprend notamment l'obligation pour l'autorité de motiver sa décision, afin que le justiciable puisse apprécier la portée de celle-ci et exercer son droit de recours à bon escient. Pour satisfaire à cette exigence, il lui suffit d'exposer, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé son raisonnement (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 5.1 et les arrêts cités; <ref-ruling> consid. 3.3 et les arrêts cités; arrêt 4A_263/2021 du 21 octobre 2021 consid. 3.1.1).
3.1.2. La garantie minimale d'un tribunal indépendant et impartial, telle qu'elle résulte des art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH - lesquels ont, de ce point de vue, la même portée - permet, indépendamment du droit de procédure (en l'occurrence l'<ref-law>), de demander la récusation d'un juge dont la situation ou le comportement est de nature à susciter des doutes quant à son impartialité. Elle vise à éviter que des circonstances extérieures à l'affaire ne puissent influencer le jugement en faveur ou au détriment d'une partie. Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective est établie, parce qu'une disposition relevant du for intérieur ne peut guère être prouvée; il suffit que les circonstances donnent l'apparence d'une prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat. Cependant, seules les circonstances objectivement constatées doivent être prises en compte, les impressions purement subjectives de la partie qui demande la récusation n'étant pas décisives (<ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 2.1.2; <ref-ruling> consid. 3.2.1; <ref-ruling> consid. 2.2 et les arrêts cités).
3.1.3. Les mémoires de recours destinés au Tribunal fédéral doivent être motivés. L'<ref-law> requiert qu'ils exposent succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit. La jurisprudence exige sur cette base, sous peine d'irrecevabilité, d'argumenter sur tous les motifs de l'arrêt attaqué dans la mesure où chacun d'eux suffit à sceller le sort de la cause (<ref-ruling> consid. 3.4; <ref-ruling> consid. 6.3 et les références citées).
3.2. La cour cantonale a considéré que le recours cantonal déposé par la locataire était irrecevable en tant que celle-ci concluait à la récusation des membres de la délégation du Tribunal civil, dont fait partie le Tribunal des baux et loyers (art. 1 let. b ch. 2 de la loi de la République et canton de Genève du 26 septembre 2010 sur l'organisation judiciaire [LOJ; RS/GE E 2 05]), dans la mesure (1) où ce grief n'avait pas été soumis aux premiers juges, (2) où la cour cantonale n'est pas compétente pour statuer sur cette requête en tant que les demandes de récusation visant un juge du Tribunal civil sont tranchées par une délégation dudit tribunal (<ref-law> et art. 13 al. 2 de la loi d'application de la République et canton de Genève du 11 octobre 2012 du code civil suisse et d'autres lois fédérales en matière civile [LaCC; RS/GE E 1 05]) et (3) où la locataire n'avait formulé aucun grief concret contre l'un ou l'autre des membres de cette délégation.
3.3. La recourante allègue avoir soutenu dans son recours cantonal que, sur la base de l'ordonnance de la délégation du Tribunal civil et compte tenu de la procédure suivie, la cour cantonale devait constater que la garantie de l'art. 30 al. 1 Cst. avait été enfreinte par dite délégation et que celle-ci devait statuer à nouveau dans une nouvelle composition. Selon elle, ladite ordonnance " équiva[lait] à un refus conscient de se saisir des apparences de prévention alléguées et de les traiter ", de sorte que la délégation devait " reprendre la procédure ab ovo dans une autre composition ". Selon elle, le fait de la renvoyer à agir sur la base de l'<ref-law> " constituerait un détour inutile, en plus d'un déni de justice formel ".
La recourante soutient, d'une part, que la cour cantonale disposait, en vertu de l'art. 30 al. 1 Cst., de la compétence pour annuler la décision des premiers juges et pour enjoindre à la délégation du Tribunal civil de statuer à nouveau mais dans une composition différente et, d'autre part, que l'<ref-law> ne constitue pas une règle fédérale de compétence fonctionnelle en matière de récusation, se référant à l'arrêt 4A_155/2021 du 30 septembre 2021 consid 4.3, destiné à la publication. Elle allègue que l'art. 13 al. 2 LaCC ne peut avoir pour effet de vider l'art. 30 al. 1 Cst. de sa substance, cette disposition-ci ayant vocation à être concrétisée à chaque stade de la procédure, et que la conception de la cour cantonale reviendrait à vider l'art. 30 al. 1 Cst. de sa portée en instance cantonale lorsque la violation de la garantie du juge indépendant et impartial ne peut être constatée que sur la base de la décision entreprise.
3.4. La recourante méconnaît que seules des circonstances objectivement constatées doivent être prises en compte dans le contexte d'une requête de récusation. Or, elle ne conteste pas de manière suffisante la constatation de la cour cantonale, selon laquelle elle n'a, dans son recours cantonal, formulé aucun grief concret contre l'un ou l'autre des membres de la délégation du Tribunal civil. Dans la mesure où la recourante ne s'en prend pas à l'un des motifs scellant le sort de sa requête, soit l'absence de tout grief concret à l'encontre d'un ou de plusieurs membres de la délégation du Tribunal civil, son grief doit être déclaré irrecevable.
4.
Dans un deuxième et un troisième moyens, la recourante reproche à la cour cantonale d'avoir commis un déni de justice formel et d'avoir violé son droit d'être entendue, d'une part, en ne se limitant pas à trancher la question de la recevabilité de la requête de récusation et en la laissant ouverte et, d'autre part, en ne considérant pas que la motivation des premiers juges sur l'absence de prévention de la juge était insuffisante.
4.1. La cour cantonale a retenu que la locataire avait déjà connaissance en juin 2020 des motifs de récusation qu'elle avait invoqués à l'encontre de la juge dans sa requête de récusation du 28 octobre 2020. En effet, la locataire avait alors déjà reproché à la juge de ne pas instruire les causes litigieuses avec la célérité voulue et de ne pas présenter de garanties d'impartialité suffisantes. La cour cantonale a ainsi jugé que la locataire était en mesure de déposer à ce moment-là sa requête de récusation, sans qu'il ne soit nécessaire d'attendre que la cour cantonale se prononce formellement sur les manquements reprochés à cette magistrate. En ne formant pas " aussitôt " sa requête de récusation, celle-ci apparaissait dès lors tardive.
L'autorité précédente a toutefois laissé ouverte la question de savoir si la locataire avait requis la récusation de la juge dans le délai utile, en tant qu'elle avait sollicité cette récusation le 5 juin 2020 devant la Chambre des baux et loyers, soit une autorité incompétente, puis avait réintroduit cette requête devant l'autorité compétente sept jours après la notification des arrêts de l'autorité incompétente. Elle a en effet relevé que, bien qu'elle avait retenu que la requête en récusation était tardive, la délégation du Tribunal civil avait aussi examiné son bien-fondé et considéré que la requête aurait de toute manière dû être rejetée.
Contrairement à ce qu'invoquait la locataire, la motivation de la délégation du Tribunal civil, bien que succincte mais suffisamment explicite, n'était par ailleurs pas insuffisante, dans la mesure où l'on comprenait de la décision attaquée que les premiers juges n'avaient décelé aucune erreur susceptible de dénoter une apparence de prévention envers la locataire. Il ne pouvait pas davantage être retenu que des éléments essentiels de sa requête eussent été omis par les premiers juges, dans la mesure où les motifs de récusation invoqués par la locataire reposaient sur des manquements reprochés à la juge constatés par la cour cantonale dans ses arrêts du 19 octobre 2020 auxquels l'ordonnance querellée se référait expressément. L'affirmation de la juge, selon laquelle un autre magistrat aurait peut-être " moins de difficultés à faire avancer ces procédures ", n'était que le reflet de l'animosité grandissante de la locataire à son égard et ne faisait pas naître une apparence de prévention à son endroit; cet élément, dénué de pertinence, n'avait pas été omis à tort par les premiers juges. Une violation du droit d'être entendue de la locataire n'entrait dès lors pas en considération.
4.2. La recourante indique, d'une part, que son recours cantonal portait uniquement sur la recevabilité de sa requête de récusation et non sur le fond. En ne tranchant pas cet unique objet du litige et en se prononçant sur le fond, la cour cantonale aurait commis un déni de justice formel et violé son droit d'être entendue.
D'autre part, selon elle, la motivation de la décision des premiers juges sur le fond, qui " se résume à trois courts paragraphes péremptoires ", et le fait qu'" aucun des griefs soulevés par la [recourante] n'a été traité par la Délégation du Tribunal civil " ne sont pas compatibles avec l'art. 29 Cst. En reprenant et en faisant sienne cette motivation, la cour cantonale aurait dès lors violé l'art. 29 al. 1 et 2 Cst.
4.3. Contrairement à ce qu'affirme la recourante, l'arrêt attaqué ne prête pas le flanc à la critique.
D'une part, la recourante n'établit pas que la cour cantonale aurait commis un déni de justice formel en ne tranchant pas un grief qu'elle lui avait soumis. Bien au contraire, la cour cantonale a examiné tant la question de la recevabilité de sa requête, bien que laissant cette question ouverte, que, au cas où cette requête serait recevable, son bien-fondé, comme l'avaient du reste fait les premiers juges. La recourante ne fournit en outre aucun grief recevable au sujet de la prétendue violation de son droit d'être entendue. En tout état de cause, ce droit n'a pas été violé par l'autorité précédente, qui a dûment motivé son arrêt sur ce point.
D'autre part, le droit d'être entendue de la recourante n'a pas été violé par les deux instances précédentes, dans la mesure où tant les premiers juges, certes succinctement, que la cour cantonale ont exposé les motifs ayant guidé leur décision et sur lesquels ils ont fondé leur raisonnement. C'est à tort que la recourante reproche aux instances précédentes de ne pas avoir traité les griefs de fond qu'elle allègue avoir indiqués au sujet du comportement de la juge. En effet, elle perd de vue, d'une part, que sa requête de récusation était tardive et, donc, irrecevable et que les instances précédentes n'étaient donc pas tenues de traiter ces griefs portant sur le fond, ce qu'elles ont tout de même effectué et, d'autre part, que, comme la cour cantonale l'a relevé, les premiers juges se sont expressément référés aux arrêts sur lesquels les motifs de récusation invoqués par la locataire reposaient. On ne distingue par ailleurs pas de grief recevable s'agissant du déni de justice formel qu'aurait commis la cour cantonale. Celle-ci ayant traité le grief de la locataire, une telle violation n'entre pas en ligne de compte.
Les griefs doivent donc être rejetés, dans la mesure de leur recevabilité.
5.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité.
Les frais judiciaires seront mis à la charge de la recourante, qui succombe (<ref-law>). Dans la mesure où l'intimée et la partie intéressée n'ont pas été invitées à se déterminer, il ne leur sera pas alloué de dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Il n'est pas alloué de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 15 mars 2022
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Hohl
Le Greffier : Douzals