Erwägungen:
1.
Mit Entscheid vom 6. Mai 2019 (und Berichtigung vom 15. Mai 2019) wies das Regionalgericht Berner Jura-Seeland das Ausweisungsgesuch im Verfahren um Rechtsschutz in klaren Fällen von B._ (Beschwerdegegnerin) gut und verurteilte A._ (Beschwerdeführer) und dessen Ehefrau unter Strafandrohung, die 3.5-Zimmer-Hochparterrewohnung inklusive Nebenräume am Weg U._ in V._ zu räumen und zu verlassen. Die von A._ erhobene Berufung wies das Obergericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 12. Juni 2019 ab, soweit es darauf eintrat.
A._ hat mit Eingaben an das Bundesgericht vom 10. Juli 2019 erklärt, diesen Entscheid mit Beschwerde anzufechten, und um "Abweisung / Einstellung der Exmission" sowie um Sistierung des Beschwerdeverfahrens "bis zur Klärung des Feststellungsverfahrens" ersucht.
Mit Formularverfügung vom 11. Juli 2019 wurde das Gesuch von A._ um Gewährung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.
Am 12. Juli 2019 gingen dem Bundesgericht vom Obergericht des Kantons Bern zwei weitere die vorliegende Sache betreffende Eingaben von A._ zu. In drei vom 17. Juli 2019 datierten Eingaben erklärte A._ schliesslich unter anderem, Beschwerde gegen die Verweigerung der aufschiebenden Wirkung einzulegen.
2.
Ein Verfahren vor Bundesgericht kann aus Gründen der Zweckmässigkeit ausgesetzt werden (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Vorliegend besteht kein Anlass für eine Sistierung, zumal der Umstand, dass der Beschwerdeführer die Kündigung des Mietverhältnisses vom 19. Februar 2019 gerichtlich angefochten hat und dieses Verfahren hängig ist, der Ausweisung im Verfahren um Rechtsschutz in klaren Fällen nach <ref-law> gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 3) grundsätzlich nicht entgegensteht.
3.
Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). Dafür muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368; <ref-ruling> E. 2.3 mit weiteren Hinweisen).
4.
Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz in seinen Eingaben wiederholt pauschal vor, von einem falschen Sachverhalt auszugehen, erhebt jedoch keine hinreichend begründete Sachverhaltsrüge im genannten Sinn. Weiter kritisiert er, dass die Vorinstanz gegen einzelne Gesetzes- und Verfassungsbestimmungen verstossen habe, zeigt aber nicht unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids und auf der Grundlage des darin verbindlich festgestellten Sachverhalts dar, worin dieser Verstoss konkret liegen soll.
Die Beschwerde enthält somit offensichtlich keine hinreichende Begründung, weshalb im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> nicht auf sie einzutreten ist.
Mit dem Entscheid in der Sache wird die Frage der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten gemäss <ref-law> dem Beschwerdeführer aufzuerlegen.

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Das Gesuch um Sistierung des Verfahrens wird abgewiesen.
2.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Juli 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz