Faits :
A.
A.a. B._ SA (ci-après: l'employeuse, la défenderesse ou l'intimée), dont le siège est à Berne, a notamment pour but social la gestion, la planification, la construction, l'acquisition et l'aliénation de ses biens immobiliers ou de ceux de tiers ainsi que toutes activités en lien avec l'immobilier.
A._ (ci-après: l'employé, le demandeur ou le recourant) a été engagé par l'employeuse à Genève à partir du 1er août 2000 en qualité de responsable mobile du nettoyage et de l'entretien puis, dès le 1er juillet 2003, comme responsable d'objet mobile.
En juin 2009, l'employé a été victime d'une prise d'otage dans le cadre de l'exercice de sa profession, ce qui a provoqué chez lui un stress post-traumatique.
À la suite d'une réorganisation de l'employeuse, le poste de l'employé a été supprimé et celui-ci est devenu concierge à compter du 1er mai 2011.
A.b. En 2014, C._ est devenu le nouveau supérieur hiérarchique de l'employé (ci-après: le supérieur hiérarchique).
Le 10 septembre 2016, l'employé a signé un nouveau contrat de travail qui a remplacé, dès le 1er janvier 2017, les rapports de travail préexistants.
Le sondage effectué anonymement auprès de l'équipe de conciergerie en 2016 a montré des résultats négatifs à très négatifs, l'évaluation du supérieur hiérarchique passant de 94 à 62 points.
Le 21 mars 2017, l'employé a témoigné dans le contexte d'une enquête pour harcèlement sexuel dirigée contre son supérieur hiérarchique et il a relaté, en tant que témoin indirect, les propos grossiers que le supérieur hiérarchique aurait tenus à l'endroit d'une collaboratrice. À l'issue de cette enquête, le harcèlement dont le supérieur hiérarchique avait été accusé n'a pas été retenu.
L'employé a par ailleurs été traité de " fainéant " par son supérieur hiérarchique. Celui-ci était agressif avec l'employé, lui a dit " tu fais chier ", a jeté des feuilles sur le bureau de l'employé en criant " tu verras, tu verras ", dénigrait les gens en présence des autres et critiquait leur travail devant tout le monde. Un témoin, alors employé de l'intimée, avait entendu le supérieur hiérarchique de l'employé répéter en boucle " il dort " au sujet de celui-ci et faire systématiquement des remarques de mauvais goût à ses subalternes.
A.c. L'employeuse souhaitant réorganiser ses activités, l'employé a reçu, lors d'un entretien le 18 mai 2017, un courrier de congé-modification l'invitant à accepter de devenir agent de nettoyage dans le département Z._, le contrat de travail étant alors modifié au 1er septembre 2017 et une indemnité unique de 10'058 fr. étant prévue afin de compenser la baisse salariale d'environ 6'700 fr. par an. À défaut d'acceptation, ledit courrier précisait qu'il valait résiliation du contrat de travail, les rapports de travail avec l'employé prenant alors fin le 31 août 2017.
L'employé a, peu après, été en arrêt de travail.
Par courrier du 2 juin 2017, l'employé s'est opposé au congé-modification, faisant valoir, d'une part, qu'il était rétrogradé de l'échelon salarial 3 à l'échelon 1 tandis qu'il était concierge diplômé et, d'autre part, qu'il était le seul employé de son groupe auquel l'employeuse avait proposé un contrat à la baisse malgré ledit diplôme. Selon lui, cette baisse de salaire avait pour seule intention de lui nuire et il pensait subir les conséquences de son témoignage dans le contexte de l'enquête susnommée.
Selon l'attestation médicale du Dr D._ du 1er février 2018, l'employé craignait des représailles depuis son témoignage dans ladite enquête. Il constatait une dégradation des relations de travail et une accumulation de propos dévalorisants et dégradants. Il aurait été menacé, sans raison, d'un déclassement salarial et son supérieur hiérarchique lui demanderait d'utiliser des produits chimiques toxiques interdits et de grimper sur une échelle sans protection adaptée. Cette situation l'a conduit à un état d'angoisse permanent.
Le 28 février 2018, les rapports de travail entre les parties ont pris fin.
B.
La procédure de conciliation n'ayant pas abouti, l'employé a déposé une demande auprès du Tribunal des prud'hommes du canton de Genève le 19 juin 2018, concluant à ce que l'employeuse soit condamnée à lui remettre un nouveau certificat de travail et à lui verser 5'000 fr., avec intérêts à 5 % l'an dès le 19 mai 2017, à titre d'indemnité pour tort moral, 36'352 fr. 20, avec intérêts à 5 % l'an dès le 31 mars 2018, à titre d'indemnité pour licenciement abusif et 8'236 fr. 50, avec intérêts à 5 % l'an dès le 31 mars 2018, à titre d'indemnités pour jours de vacances non pris. Suite à son règlement par la défenderesse, le demandeur a renoncé à cette dernière conclusion.
Le demandeur a fondé sa prétention en tort moral, d'une part, sur les pressions exercées et les propos dévalorisants tenus par son supérieur hiérarchique et, d'autre part, sur le fait que celui-ci aurait imposé l'utilisation de produits chimiques toxiques interdits et sur l'absence de respect des normes en matière de sécurité s'agissant notamment de l'utilisation d'une échelle.
Ses prétentions en indemnité pour licenciement abusif reposaient notamment sur le fait que, selon lui, la réorganisation de la défenderesse n'était qu'un prétexte et constituait une sanction pour le témoignage qu'il avait effectué dans le contexte de l'enquête portant sur des faits allégués de harcèlement.
Par jugement du 3 juillet 2019, le Tribunal des prud'hommes a condamné la défenderesse à remettre au demandeur un nouveau certificat de travail et a débouté les parties de toute autre conclusion.
Statuant le 19 mai 2020 sur appel du demandeur, la Chambre des prud'hommes de la Cour de justice du canton de Genève a confirmé le jugement du Tribunal des prud'hommes.
C.
Le 19 juin 2020, le demandeur a formé un recours en matière civile auprès du Tribunal fédéral contre cet arrêt cantonal. Il conclut à ce que l'arrêt attaqué soit annulé et la défenderesse condamnée à lui verser 4'000 fr., avec intérêts à 5 % l'an dès le 19 mai 2017, à titre de tort moral.
On comprend dudit recours que seule reste litigieuse la prétention en tort moral que le recourant fait valoir et que celui-ci n'entend pas remettre en question la remise d'un nouveau certificat de travail par l'intimée.
Dans sa réponse du 27 août 2020, l'intimée conclut, à la forme, à l'irrecevabilité du recours et, au fond, au rejet du recours et à la confirmation de l'arrêt attaqué.
Les parties ont déposé des observations complémentaires.
La Cour de justice se réfère aux considérants de son arrêt.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>). Dans les affaires pécuniaires, le recours en matière civile n'est recevable, en matière de droit du travail, que si la valeur litigieuse s'élève au moins à 15'000 fr. (<ref-law>).
Les prétentions portant exclusivement sur une somme d'argent constituent toujours des affaires pécuniaires (arrêt 5A_531/2014 du 8 décembre 2014 consid. 3.1.1 et les références citées). Tel est notamment le cas des prétentions en tort moral (<ref-ruling> consid. 1 p. 403; arrêt 5A_531/2014 précité consid. 3.1.2 et les arrêts cités).
En l'espèce, le recourant ne conclut plus qu'à l'octroi de dommages-intérêts en raison du tort moral qu'il allègue avoir subi. La présente cause est dès lors une affaire pécuniaire. Les prétentions du recourant étant fondées sur l'<ref-law> en raison des atteintes à sa santé et du mobbing allégués (cf. infra consid. 3), le présent litige relève du droit du travail.
Il convient dès lors de déterminer si la valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. est atteinte.
1.2. En cas de recours contre une décision finale, la valeur litigieuse est déterminée par les conclusions restées litigieuses devant l'autorité précédente (<ref-law>). Les divers chefs de conclusions formés dans une affaire pécuniaire par la même partie ou par des consorts sont additionnés, à moins qu'ils ne s'excluent (<ref-law>).
Le Tribunal fédéral a déjà jugé que, comme sous l'empire de la loi fédérale du 16 décembre 1943 d'organisation judiciaire (OJ; RS 173.110), les chefs de conclusions qui ne sont plus litigieux devant le Tribunal fédéral ne s'additionnent en vue de la détermination de la valeur litigieuse que s'ils sont connexes aux chefs de conclusions encore litigieux (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 239 et les références citées; <ref-ruling> consid. 1 p. 127). La notion de connexité doit s'interpréter largement. Cette exigence est réalisée lorsque les prétentions découlent du même contrat (arrêt 4C.158/1996 du 14 janvier 1997 consid. 2b).
En l'espèce, sont restées litigieuses devant l'autorité précédente les conclusions du demandeur tendant au paiement de 5'000 fr., intérêts en sus, au titre de tort moral et de 36'352 fr. 50, intérêts en sus, au titre d'indemnité pour licenciement abusif, ainsi qu'à la délivrance d'un nouveau certificat de travail. Dans la mesure où ces trois chefs de conclusions découlent du même contrat de travail, ils doivent être additionnés. Partant, la valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. est atteinte.
1.3. Au surplus, interjeté dans le délai fixé par la loi (<ref-law>) et dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue sur appel par le tribunal supérieur du canton de Genève (<ref-law>) dans une affaire civile (<ref-law>), le recours en matière civile est en principe recevable.
2.
2.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2 p. 117; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
2.2. Le Tribunal fédéral applique en principe d'office le droit (<ref-law>) à l'état de fait constaté dans l'arrêt cantonal (ou à l'état de fait qu'il aura rectifié). Cela ne signifie pas que le Tribunal fédéral examine, comme le ferait un juge de première instance, toutes les questions juridiques qui pourraient se poser. Compte tenu de l'obligation de motiver imposée par l'<ref-law>, il ne traite que les questions qui sont soulevées devant lui par les parties, à moins que la violation du droit ne soit manifeste (<ref-ruling> consid. 2 p. 116; <ref-ruling> consid. 2 p. 85 s.). Il n'est en revanche pas lié par l'argumentation juridique développée par les parties ou par l'autorité précédente; il peut admettre le recours, comme il peut le rejeter en procédant à une substitution de motifs (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 400).
3.
Seule reste litigieuse la question de savoir si le recourant a droit à une indemnité pour le tort moral qu'il allègue avoir subi.
En substance, le recourant fait valoir, d'une part, que la cour cantonale n'aurait pas suffisamment motivé la raison pour laquelle elle qualifiait l'atteinte qu'il avait subie de légère. On comprend que le recourant entend ainsi faire valoir une violation de son droit d'être entendu (cf. infra consid. 3.1).
D'autre part, le recourant considère que le comportement de son supérieur hiérarchique était totalement inacceptable, que l'intimée a failli à protéger sa personnalité (<ref-law>) et que l'autorité précédente aurait dès lors dû lui octroyer une indemnité pour tort moral (cf. infra consid. 3.2-3.4).
3.1. Le droit d'être entendu garanti par les art. 29 al. 2 Cst. et 53 CPC, qui ont à cet égard la même portée, comprend notamment l'obligation pour l'autorité de motiver sa décision, afin que le justiciable puisse apprécier la portée de celle-ci et exercer son droit de recours à bon escient (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 145). Pour satisfaire à cette exigence, il lui suffit d'exposer, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé son raisonnement (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 157).
En l'espèce, on peine à comprendre pour quel motif le recourant invoque une violation de son droit d'être entendu, dans la mesure où l'autorité précédente a motivé clairement et de manière circonstanciée les raisons l'ayant conduite à retenir que l'atteinte que le recourant avait subie devait être qualifiée de légère et que celui-ci ne pouvait dès lors prétendre à aucune indemnité pour tort moral (cf. infra consid. 3.3).
Le grief est infondé.
3.2. Selon l'<ref-law>, l'employeur protège et respecte, dans les rapports de travail, la personnalité du travailleur.
En cas de violation de l'<ref-law>, l'employé peut prétendre à une indemnité pour tort moral aux conditions de l'<ref-law>. Selon cette disposition, celui qui subit une atteinte illicite à sa personnalité a droit à une somme d'argent à titre de réparation morale, pour autant que la gravité de l'atteinte le justifie et que l'auteur ne lui ait pas donné satisfaction autrement. N'importe quelle atteinte ne justifie pas une indemnité (<ref-ruling> consid. 3a p. 75); l'atteinte doit revêtir une certaine gravité objective et être ressentie par la victime, subjectivement, comme une souffrance morale suffisamment forte pour qu'il apparaisse légitime de s'adresser au juge afin d'obtenir réparation (arrêts 4A_159/2016 du 1er décembre 2016 consid. 4.1; 4A_714/2014 du 22 mai 2015 consid. 2.2; 4A_665/2010 du 1 er mars 2011 consid. 6.1; cf. <ref-ruling> consid. 4.4 p. 725).
Une indemnité est par exemple due au travailleur qui a été victime, dans l'entreprise de l'employeur, de harcèlement psychologique ou mobbing, lorsque, d'un point de vue objectif, il a subi une humiliation particulièrement sévère (<ref-ruling> consid. 3a p. 74 s.; voir aussi <ref-ruling> consid. 5.1 p. 704; arrêt 4A_607/2011 du 10 novembre 2011 consid. 3).
Le juge dispose d'un large pouvoir d'appréciation pour déterminer si les circonstances justifient une indemnité pour tort moral dans le cas particulier; le Tribunal fédéral ne substitue qu'avec retenue sa propre appréciation à celle de la juridiction cantonale (<ref-ruling> consid. 2.2.2 p. 309 s.; <ref-ruling> consid. 4.4 p. 725).
3.3. En l'espèce, l'autorité précédente a retenu que l'ancien supérieur hiérarchique du recourant a, en qualité d'auxiliaire de l'intimée, manqué de respect au demandeur, qu'il s'est exprimé de manière grossière et vulgaire envers ce dernier et l'a stigmatisé devant un apprenti et un concierge-assistant en le rabaissant dans sa considération et son honneur professionnel. Elle a considéré que pareille attitude n'était pas acceptable, même si du point de vue du supérieur hiérarchique, le demandeur n'était pas suffisamment efficace dans l'exécution de ses tâches. Elle a jugé que le fait que le supérieur hiérarchique s'était également comporté de manière critiquable envers un autre employé n'excusait en rien son attitude.
La cour cantonale a toutefois retenu que l'atteinte à la personnalité et à la réputation professionnelle du demandeur, en raison de ces faits, ne pouvait être qualifiée d'objectivement grave. Elle a ainsi qualifié cette atteinte de légère, de sorte que le demandeur ne pouvait prétendre à aucune indemnité pour tort moral au sens de l'<ref-law>.
3.4. Il est indéniable que le comportement du supérieur hiérarchique du recourant n'est pas tolérable. Toutefois, seule une atteinte d'une certaine gravité objective peut conduire à l'octroi d'une indemnité pour tort moral. L'autorité précédente a retenu que tel n'était pas le cas en l'espèce.
Au vu des circonstances du cas d'espèce, de la motivation suffisante de l'autorité précédente et de la retenue dont le Tribunal fédéral doit ici faire preuve (cf. supra consid. 3.2), la Cour de céans ne saurait substituer son appréciation à celle de la cour cantonale.
Le grief est inopérant.
4.
Au vu de ce qui précède, le recours en matière civile doit être rejeté.
Les conditions de l'art. 65 al. 4 let. c LTF ne sont pas remplies, dans la mesure où la valeur litigieuse devant la première instance était supérieure à 30'000 fr. (arrêt 4A_123/2020 du 30 juillet 2020 consid. 7 et les arrêts cités). Les frais judiciaires de la procédure fédérale sont dès lors arrêtés à 2'000 fr. et mis à la charge du recourant, qui succombe (<ref-law>). Le recourant versera à l'intimée un montant de 2'500 fr. à titre de dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre des prud'hommes de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 1er décembre 2020
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
Le Greffier : Douzals