Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1978) ist dominikanische Staatsangehörige. Sie kam am 1. Juli 2000 als Tänzerin in die Schweiz. Zwei von ihr geplante Heiraten mit einem griechischen bzw. einem italienischen Staatsangehörigen scheiterten, worauf das Migrationsamt des Kantons Zürich das Gesuch um eine Verlängerung ihrer Bewilligung zur Vorbereitung der Heirat abwies und A._ anhielt, das Land zu verlassen. Am 14. Juni 2001 heiratete A._ den Schweizer Bürger B._ (geb. 1965). Das Migrationsamt des Kantons Zürich erteilte ihr im Anschluss hieran eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei diesem. Im Januar 2002 trennten sich die Eheleute. Das Bezirksgericht Zürich schied die Ehe zwischen A._ und B._ am 3. März 2008.
A.b. A._ unterhielt eine Beziehung mit dem spanischen Staatsbürger C._ (geb. 1958). Aus dieser Beziehung ging am 26. November 2005 der Sohn D._ hervor. Am 22. April 2008 anerkannte C._ seinen Sohn; dieser verfügt über die spanische Staatsbürgerschaft und gestützt hierauf in der Schweiz über eine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA. A._, C._ und D._ lebten nach dessen Geburt bis April 2012 in einer Hausgemeinschaft. Nach der Trennung verblieb D._ unter der Obhut und dem Sorgerecht der Mutter. D._ besucht den Vater regelmässig an den Wochenenden und verbringt die Hälfte der Schulferien mit ihm. C._ leistete Unterhaltszahlungen für seinen Sohn von Fr. 650.-- pro Monat, bevor er im September 2016 einen Schlaganfall erlitt und in der Folge einseitig gelähmt war. Das entsprechende IV-Verfahren ist noch nicht abgeschlossen.
B.
Seit Mai 2012 sind A._ und ihr Sohn auf Sozialhilfeleistungen angewiesen. Am 4. Juni 2013 wies das Migrationsamt A._ darauf hin, dass der Widerruf ihrer Aufenthaltsbewilligung geprüft werden müsste, sollte sie weiterhin nicht selbständig für ihren Lebensunterhalt und jenen ihres Sohnes aufkommen können. Nachdem sich die Situation nicht gebessert hatte, verwarnte das Migrationsamt A._ am 18. November 2014 formell und drohte ihr den Widerruf bzw. die Nichtverlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung für den Fall an, "dass sie weiterhin von der Sozialhilfe unterstützt" werden müsste. Am 7. November 2016 lehnte das Migrationsamt des Kantons Zürich es androhungsgemäss ab, die Aufenthaltsbewilligung von A._ ein weiteres Mal zu verlängern. Die hiergegen gerichteten kantonalen Rechtsmittel blieben am 8. März (Rekursabteilung der Sicherheitsdirektion) und am 13. August 2018 (Verwaltungsgericht) ohne Erfolg.
C.
A._ beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 13. August 2018 aufzuheben und ihre Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Im Falle des Unterliegens ersucht sie für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. A._ macht geltend, die Verweigerung der Bewilligung sei mit den Vorgaben des Abkommens zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (FZA; SR 0.142.112.681) unvereinbar; zudem verletzten die aufenthaltsbeendende Massnahme und die Wegweisung Art. 8 EMRK; sie seien unverhältnismässig und trügen dem Kindesinteresse zu wenig Rechnung.
Die Rekursabteilung der Sicherheitsdirektion und das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich verzichten darauf, sich zur Beschwerde zu äussern. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) hat sich nicht vernehmen lassen.
D.
Der Abteilungspräsident legte der Beschwerde am 27. September 2018 antragsgemäss aufschiebende Wirkung bei.

Erwägungen:
1.
Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen gegen Entscheide, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin beruft sich sowohl auf Art. 3 Abs. 6 Anhang I FZA (Aufenthalt zum Schul- und Lehrabschluss) als auch auf Art. 8 EMRK (Schutz des Familien- und Privatlebens). Sie macht in vertretbarer Weise geltend, dass ihr in der Schweiz über ein gefestigtes Aufenthaltsrecht verfügender, im obligatorischen Schulunterricht eingegliederter spanischer Sohn, welcher enge Beziehungen zu seinem niederlassungsberechtigten (EU/EFTA) Vater unterhalte, über einen freizügigkeits- bzw. konventionsrechtlichen Aufenthaltsanspruch verfüge, zu dessen Wahrnehmung sie als sorge- und obhutsberechtigte (drittstaatsangehörige) Mutter ebenfalls in der Schweiz müsse verbleiben können ("umgekehrter Familiennachzug"). Ob dies zutrifft, ist nicht eine Frage des Eintretens, sondern eine solche der materiellen Beurteilung der Eingabe (vgl. Urteil 2C_716/2014 vom 26. November 2015, nicht publ. in: <ref-ruling> mit Hinweisen). Es ist auf die Beschwerde einzutreten (vgl. Art. 42, Art. 82 lit. a i.V.m. Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG).
2.
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an; es prüft - unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht (<ref-law> [bis 1. Januar 2019: AuG] und Art. 42 bzw. <ref-law>) - indessen nur die vorgebrachten Rügen, sofern rechtliche Mängel nicht geradezu ins Auge springen (<ref-ruling> E. 1.4.3); dies ist hier nicht der Fall. Im Übrigen ist das Bundesgericht an den Sachverhalt gebunden, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig ermittelt, was von der beschwerdeführenden Person in Auseinandersetzung mit den Ausführungen im angefochtenen Entscheid verfassungsbezogen in qualifizierter Weise aufzuzeigen ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 351 f.). Zur Sachverhaltsfeststellung gehört auch die Beweiswürdigung (vgl. das Urteil 2C_730/2018 vom 20. März 2019 E. 2.1). Die Beschwerdeführerin erhebt ihre Kritik diesbezüglich im Wesentlichen rein appellatorisch. Dem bundesgerichtlichen Entscheid ist somit der Sachverhalt zugrunde zu legen, wie er sich aus dem angefochtenen Entscheid ergibt.
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin beruft sich auf Art. 3 Abs. 6 Anhang I FZA. Danach dürfen die Kinder eines Staatsangehörigen einer Vertragspartei unabhängig davon, ob dieser im Hoheitsgebiet der anderen Vertragspartei eine Erwerbstätigkeit ausübt, eine solche ausgeübt hat oder erwerbslos ist, unter den gleichen Bedingungen am allgemeinen Unterricht sowie an der Lehrlings- und Berufsausbildung teilnehmen wie die Staatsangehörigen des Aufnahmestaates. Die Regelung ist Art. 12 der von der Schweiz als "Acquis communautaire" übernommenen Verordnung (EWG) Nr. 1612/68 des Rates vom 15. Oktober 1968 über die Freizügigkeit der Arbeitnehmer innerhalb der Gemeinschaft (ABl. L 257 vom 19. Oktober 1968 S. 2 ff.) nachgebildet und stimmt mit dieser fast wörtlich überein. Sie verschafft den Kindern einen eigenständigen Anspruch auf einen weiteren Aufenthalt, um ihre Ausbildung abschliessen zu können, wenn ihnen die Rückkehr in die Heimat nicht zugemutet werden kann (Urteil des EuGH vom 15. März 1989 C-389/87 und C-390/87 Echternach und Moritz, Slg. 1989-723 Randnr. 23).
3.2.
3.2.1. Im Urteil vom 17. September 2002 C-413/99 Baumbast gegen das Vereinigte Königreich (Slg. 2002 I-7091) hat der EuGH in Auslegung von Art. 12 der Verordnung (EWG) Nr. 1612/68 entschieden, dass die Kinder eines EU-Bürgers, die in einem Mitgliedstaat seit einem Zeitpunkt wohnen, zu dem jener ein Aufenthaltsrecht als Wanderarbeitnehmer hatte, sich dort weiter aufhalten dürfen, um am allgemeinen Unterricht teilnehmen zu können; dabei sei nicht von Belang, ob die Eltern der Kinder inzwischen geschieden wurden, nur einer von ihnen Bürger der Europäischen Union sei oder der Wanderarbeitnehmer seinerseits das Land verlassen habe bzw. die Kinder selber nicht über die EU-Bürgerschaft verfügten (Randnr. 63). Könnten die Kinder ein entsprechendes Aufenthaltsrecht geltend machen, erlaube Art. 12 der Verordnung (EWG) Nr. 1612/68 auch dem die Sorge ausübenden Elternteil - losgelöst von dessen Staatsangehörigkeit - sich bei den Kindern aufzuhalten, um ihnen zu ermöglichen, ihr Recht auf Bildung nach Art. 12 der Verordnung (EWG) Nr. 1612/68 wahrzunehmen (Urteil Baumbast, a.a.O., Randnr. 75, "effet utile").
3.2.2. In zwei Urteilen vom 23. Februar 2010 hat der EuGH seine Rechtsprechung in dem Sinn präzisiert, dass dem Elternteil, der die elterliche Sorge für die Kinder tatsächlich wahrnimmt, ein Anspruch auf Aufenthalt in Anwendung von Art. 12 der Verordnung (EWG) Nr. 1612/68 zukommt, ohne dass dieser von ausreichenden Existenzmitteln abhängig gemacht werden dürfte und der Bezug von Sozialhilfeleistungen ausgeschlossen wäre (Urteile vom 23. Februar 2010 C-310/08 und C-480/08 Ibrahim und Teixeira, Slg. 2010 I-1065 und Slg. 2010 I-1107 Randnrn. 25 ff. bzw. 34 ff.). Das abgeleitete Anwesenheitsrecht des die Sorge tatsächlich wahrnehmenden Elternteils ende mit dem Eintritt der Volljährigkeit des Kindes, sofern dieses nicht weiterhin der Anwesenheit und Fürsorge des sorge- und obhutsberechtigten Elternteils bedürfe, um seine Ausbildung fortsetzen bzw. abschliessen zu können (Urteil Teixeira, a.a.O., Randnr. 76 ff.).
3.3.
3.3.1. Im Urteil 2A.475/2004 vom 25. Mai 2005 hatte das Bundesgericht in systemkonformer Auslegung und unter Berücksichtigung der EuGH-Urteile vom 15. März 1989 Echternach und Moritz (verbundene Rechtssache C-389 und 390/87) sowie vom 17. September 2002 Baumbast weitgehend gleich entschieden, wie der EuGH es später in den Urteilen Ibrahim/Teixeira tun sollte (dort E. 4 und 5). Dabei ging es um einen deutschen Jugendlichen, der in der Schweiz seine Lehre begonnen hatte und bei der vom deutschen Vater und freizügigkeitsberechtigten Arbeitnehmer getrennt lebenden mauretanischen Mutter wohnte (Obhut), die das Sorgerecht wahrnahm und Sozialhilfeleistungen bezog.
3.3.2. Das Bundesgericht präzisierte in der Folge seine Rechtsprechung: Sinn und Zweck des in Art. 3 Abs. 6 des Anhangs I zum FZA übernommenen selbständigen Anwesenheitsrechts für Kinder von Bürgern aus EU- und EFTA-Staaten bzw. deren Partnern sei es, über die Teilnahme am allgemeinen Unterricht die Integration in der Aufnahmegesellschaft zu fördern, was voraussetze, dass die Kinder tatsächlich über den Unterricht (bzw. anschliessend die Lehrlings- und Berufsausbildung) bei (noch) intakter Familiengemeinschaft bereits in nennenswerter Weise begonnen hätten, sich zu integrieren bzw. massgebliche Beziehungen ausserhalb der Kernfamilie auszubilden. Das sei bei Kleinkindern nicht der Fall, die noch in erster Linie auf den familiären Bereich bezogen lebten. Das unmündige Kind teile aus familienrechtlichen Gründen (Art. 25 Abs. 1 und Art. 301 Abs. 3 ZGB) das ausländerrechtliche Schicksal des sorgeberechtigten Elternteils und habe gegebenenfalls mit diesem das Land zu verlassen, wenn jener seinerseits sein vom freizügigkeitsberechtigten Arbeitnehmer abgeleitetes (derivatives) Anwesenheitsrecht verloren und kein eigenständiges Aufenthalts- oder Verbleiberecht erworben habe (<ref-ruling> E. 4 S. 40 ff.; <ref-ruling> E. 4.2 S. 399 ff.; Urteil 2C_145/2017 vom 5. März 2018 E. 3). In <ref-ruling> ff. ging das Bundesgericht davon aus, dass im Hinblick auf den klaren Wortlaut von Art. 3 Abs. 6 Anhang I FZA der Anspruch auf "Kinder eines Staatsangehörigen einer Vertragspartei" beschränkt sei und die Stiefkinder nicht erfasse.
3.4.
Die Beschwerdeführerin kann im vorliegenden Zusammenhang aus dem Freizügigkeitsrecht nichts zu ihren Gunsten ableiten:
3.4.1. Als ihr Sohn in die 1. Klasse eintrat, lebten seine Eltern, die nie miteinander verheiratet gewesen sind, bereits nicht mehr zusammen, wie das Bundesgericht dies als Voraussetzungen für ein Anwesenheitsrecht gestützt auf Art. 3 Abs. 6 Anhang I FZA voraussetzt. Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, inwiefern die Annahme, die Eltern hätten zum Zeitpunkt des Schuleintritts ihres Sohns nicht mehr zusammen gelebt, offensichtlich falsch und unhaltbar wäre. Im Gegenteil: Sie macht selber geltend, dass ihr Sohn bis im Sommer 2012 und damit bis zu seinem siebten Lebensjahr mit seiner Mutter und seinem Vater "in einer intakten Familiengemeinschaft" gelebt habe. Zwar hat das Bundesgericht seine Praxis ursprünglich im Wesentlichen auf kleine Kinder bezogen, aber nicht nur: In <ref-ruling> ff., dessen Sachverhalt ähnlich lag wie der vorliegende, war der betroffene Jugendliche im Zeitpunkt des vorinstanzlichen Entscheids rund 16 Jahre alt. Der freizügigkeitsrechtliche Anspruch auf Familiennachzug bezieht sich im Übrigen auf verheiratete Ehepaare und ihre Kinder und nicht auf Konkubinatsverhältnisse.
3.4.2. Würde davon ausgegangen, dass der spanische Sohn gestützt auf Art. 3 Abs. 6 Anhang I FZA freizügigkeitsrechtlich einen Anspruch auf einen Verbleib in der Schweiz hätte, ist diesem bereits genüge getan, wenn der Sohn bei seinem Vater verbleiben kann, zu dem er nach den Angaben in der Beschwerdeschrift enge Beziehungen unterhält. Der Vater befindet sich zurzeit in einem IV-Verfahren; es wird nicht geltend gemacht, dass seine körperliche Beeinträchtigung es nicht zuliesse, sich um seinen Sohn zu kümmern, falls dieser seine Ausbildung in der Schweiz weiterführen bzw. abschliessen möchte. Die Ehegatten hätten in diesem Fall die von ihnen geübte Praxis bezüglich der Obhut über den gemeinsamen Sohn anzupassen; die Anwesenheit der Mutter ist zur Wahrnehmung des allfälligen Aufenthaltsanspruchs des Sohnes somit entbehrlich (vgl. <ref-ruling> E. 4.4 S. 42 f.; <ref-ruling> E. 3.3 S. 5 ff.).
3.4.3. Nichts anderes ergibt sich aus Art. 24 Abs. 1 Anhang I FZA: Danach hat eine Person, welche die Staatsangehörigkeit einer Vertragspartei besitzt und keine Erwerbstätigkeit ausübt, ein Anwesenheitsrecht unter der Voraussetzung, dass sie über ausreichende finanzielle Mittel verfügt, sodass sie nicht auf Sozialhilfeleistungen angewiesen ist; zudem muss sie krankenversichert sein. Die drittstaatsangehörige Mutter und ihr freizügigkeitsberechtigter Sohn verfügen über keine eigenen Mittel bzw. ihnen anrechenbare Drittmittel; sie beziehen vielmehr seit Jahren Sozialhilfeleistungen, womit die Voraussetzungen für eine beschäftigungslose Anwesenheit gemäss Art. 24 Abs. 1 Anhang I nicht erfüllt sind (vgl. <ref-ruling> E. 5 S. 43 ff.; Urteil 2C_145/2017 vom 5. März 2018 E. 4.1 mit Hinweisen).
4.
Die Beschwerdeführerin beruft sich zudem auf Art. 8 Ziffer 1 EMRK und macht geltend, dass die aufenthaltsbeendende Massnahme unverhältnismässig sei; sie bilde einen ungerechtfertigten Eingriff in ihren Anspruch auf Schutz des Familien- und Privatlebens.
4.1.
4.1.1. Art. 8 EMRK verschafft praxisgemäss keinen Anspruch auf Einreise und Aufenthalt oder auf einen bestimmten Aufenthaltstitel. Er hindert die Konventionsstaaten nicht daran, die Anwesenheit auf ihrem Staatsgebiet zu regeln und den Aufenthalt ausländischer Personen unter Beachtung überwiegender Interessen des Familien- und Privatlebens gegebenenfalls auch wieder zu beenden. Dennoch kann das in Art. 8 Ziffer 1 EMRK verankerte Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens berührt sein, wenn einer ausländischen Person mit in der Schweiz aufenthaltsberechtigten Familienangehörigen das Zusammenleben verunmöglicht wird (<ref-ruling> E. 5.1 S. 26 f.). Der Schutzbereich von Art. 8 EMRK ist eröffnet, wenn eine staatliche Entfernungs- oder Fernhaltemassnahme eine nahe, echte und tatsächlich gelebte familiäre Beziehung einer in der Schweiz gefestigt anwesenheitsberechtigten Person beeinträchtigt, ohne dass es dieser möglich bzw. zumutbar wäre, ihre familiären Beziehungen andernorts zu leben (<ref-ruling> E. 2.1 S. 335 f.; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 249 f.; <ref-ruling> E. 3c S. 357).
4.1.2. Der Anspruch nach Art. 8 EMRK gilt indessen nicht absolut: Liegt eine aufenthaltsbeendende oder -verweigernde Massnahme im Schutz- und Anwendungsbereich von Art. 8 EMRK, erweist sich diese als zulässig, falls sie gesetzlich vorgesehen ist, einem legitimen Zweck im Sinne von Art. 8 Ziffer 2 EMRK entspricht und zu dessen Realisierung in einer demokratischen Gesellschaft "notwendig" erscheint. Sowohl bei positiven wie bei negativen staatlichen Massnahmen muss im Anwendungsbereich von Art. 8 EMRK jeweils ein angemessener Ausgleich zwischen den widerstreitenden Interessen des Einzelnen und jenen der Gemeinschaft beachtet werden. Nach Art. 8 Ziffer 2 EMRK ist ein Eingriff in das durch Ziffer 1 geschützte Rechtsgut statthaft, soweit er einen Akt bildet, der sich in einer demokratischen Gesellschaft für die nationale Sicherheit, die öffentliche Ruhe und Ordnung, für das wirtschaftliche Wohl des Landes und zur Verhinderung von strafbaren Handlungen, zum Schutz der Gesellschaft und Moral sowie der Rechte und Freiheiten anderer als nötig erweist. Die Konvention verlangt, dass die individuellen Interessen an der Erteilung bzw. am Erhalt des Anwesenheitsrechts und der öffentlichen Interessen an dessen Verweigerung gegeneinander abgewogen werden. Das öffentliche Interesse überwiegt, wenn die Massnahme durch ein wesentliches "soziales Bedürfnis" gerechtfertigt und in Bezug auf das rechtmässig verfolgte Ziel verhältnismässig erscheint bzw. einer "fairen" Interessenabwägung entspricht (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 336; <ref-ruling> E. 2.1 S. 147, 153 E. 2.2.1 S. 156; <ref-ruling> E. 2 S. 6; <ref-ruling> E. 3 S. 357 ff.).
4.2. Der nicht sorge- bzw. hauptsächlich betreuungsberechtigte ausländische Elternteil kann die familiäre Beziehung mit seinem Kind nur in einem beschränkten Rahmen leben, nämlich durch die Ausübung des ihm eingeräumten Rechts auf angemessenen persönlichen Umgang mit dem Kind und den damit verbundenen Betreuungsanteilen (<ref-law> ["Besuchsrecht"]; <ref-ruling> E. 5.1 S. 96 f.). Hierfür ist nicht erforderlich, dass er sich dauerhaft im selben Land aufhält wie das Kind und dort über eine Anwesenheitsberechtigung verfügt (<ref-ruling> E. 5.1 S. 96 f.). Voraussetzung für die Erteilung oder Verlängerung einer Aufenthaltsbewilligung, um das Recht auf persönlichen Umgang (Besuchsrecht) gestützt auf Art. 8 Ziffer 1 EMRK in der Schweiz leben zu können, ist (1) eine in affektiver und (2) in wirtschaftlicher Hinsicht enge Eltern-Kind-Beziehung; (3) der Umstand, dass diese wegen der Distanz zwischen der Schweiz und dem Staat, in welchen die ausländische Person auszureisen hätte, praktisch nicht mehr aufrechterhalten werden könnte, und (4) sich die ausreisepflichtige Person in der Schweiz bisher weitgehend "tadellos" verhalten hat (<ref-ruling> E. 5.2 S. 97 f.). Dabei ist in der Interessenabwägung nach Art. 8 Ziffer 2 EMRK nicht ausschliesslich, aber dennoch in wesentlicher Weise, auch den Anliegen allfälliger Kinder Rechnung zu tragen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 97 f.).
4.3. Der Sohn der Beschwerdeführerin verfügt in der Schweiz über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht, welches sich aus der Niederlassungsberechtigung EU/EFTA seines spanischen Vaters ergibt. Die Beschwerdeführerin übt die Obhut und das Sorgerecht über ihren Sohn aus. Hat sie die Schweiz zu verlassen, muss gestützt auf die zivilrechtliche Lage ihr Sohn, sollte er nicht beim Vater verbleiben, mit ihr ausreisen. Der Kindsvater verfügt über ein Besuchsrecht, das er regelmässig wahrnimmt, was er bei einer Ausreise nicht mehr in der gleichen Weise tun könnte. Geht es darum, dass - wie hier - eine Bewilligung beantragt wird, um das Besuchsrecht des in der Schweiz verbleibenden Elternteils zu erleichtern, ist zu prüfen, ob das Verhalten des grundsätzlich ausreisepflichtigen Elternteils als "tadellos" im Sinne der Rechtsprechung gelten kann. An einem tadellosen Verhalten fehlt es, wenn die betroffene Person in einer ihr vorwerfbaren Weise über eine längere Dauer Sozialhilfegelder bezieht oder bezogen hat (Urteil 2C_234/2010 vom 11. Juli 2011 E. 2.4.3 mit Hinweisen).
5.
5.1. Nach <ref-law> kann die zuständige Behörde die Bewilligung widerrufen, wenn die ausländische Person oder eine Person, für die sie zu sorgen hat, auf Sozialhilfe angewiesen ist (Urteile 2C_780/2013 vom 2. Mai 2014 E. 3.3.1; 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 2.1; je mit Hinweisen). Beim Widerruf bzw. der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung einer ausländischen Person wegen ihrer Bedürftigkeit geht es in erster Linie darum, eine zusätzliche künftige Belastung der öffentlichen Wohlfahrt zu vermeiden. Ob bei Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung eine weitere Belastung der Sozialhilfe besteht, ist nicht mit Sicherheit feststellbar. Es muss auf die wahrscheinliche finanzielle Entwicklung abgestellt werden, wobei das bisherige Verhalten der Betroffenen bei der Prognose mitzuberücksichtigen ist (vgl. das Urteil 2C_877/2013 vom 3. Juli 2014 E. 3.1.1).
5.2. Für die Annahme des Vorliegens des entsprechenden Widerrufsgrunds ist eine konkrete Gefahr der Sozialhilfeabhängigkeit erforderlich; es kann dafür nicht auf Hypothesen und pauschalierte Gründe abgestellt werden (vgl. Urteile 2C_900/2014 vom 16. Juli 2015 E. 2.2; 2C_673/2011 vom 3. August 2012 E. 4.2.1 und 2C_685/2010 vom 30. Mai 2011 E. 2.3.1 und 2.3.2). Neben den bisherigen und den aktuellen Verhältnissen ist auch die wahrscheinliche finanzielle Entwicklung auf längere Sicht in die Beurteilung miteinzubeziehen. Der Widerruf bzw. die Nichtverlängerung der Bewilligung fällt in Betracht, wenn eine Person hohe finanzielle Unterstützungsleistungen erhalten hat und nicht damit gerechnet werden kann, dass sie in Zukunft für ihren Lebensunterhalt bzw. jenen ihrer Familie wird aufkommen können (BGE <ref-ruling> E. 3c S. 8; Urteile 2C_780/2013 vom 2. Mai 2014 E. 3.3.1 und 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 2.3). Allerdings ist auch im Rahmen von <ref-law> der Grundsatz der Verhältnismässigkeit zu beachten; dabei sind vor allem das Verschulden an der Situation und deren Dauer sowie die in der Schweiz verbrachte Zeit und der Grad der Eingliederung in die hiesigen bzw. die heimatlichen Verhältnisse von Beeutung. Namentlich soll nicht schon eine vorübergehende Armut infolge einer Scheidung zum Widerruf bzw. zur Nichtverlängerung der Aufenthaltsberechtigung führen, sondern nur ein in diesem Zusammenhang persönliches - vorwerfbares - Verhalten (vgl. die Urteile 2C_730/2018 vom 20. März 2019 E. 4 und 2C_877/2013 vom 3. Juli 2014 E. 3.1.1; je mit Hinweisen).
5.3.
5.3.1. Die Beschwerdeführerin und ihr Sohn mussten seit dem 1. Mai 2012 fortdauernd mit Sozialhilfegeldern unterstützt werden. Der bezogene Betrag belief sich am 8. Dezember 2015 auf über Fr. 127'000.--; er dürfte sich seit damals weiter erhöht haben, nachdem die Beschwerdeführerin nach wie vor von der Sozialhilfe lebt. Die Abhängigkeit ist - wie die Vorinstanz zu Recht festgestellt hat - zu einem weiten Teil selbstverschuldet: Die Beschwerdeführerin wurde am 4. Juni 2013 ermahnt, sich von der Sozialhilfe zu lösen; nachdem dies nicht geschehen war, verwarnte das Migrationsamt sie am 18. November 2014 - indessen auch dieses Mal ohne Erfolg. Es ist der Beschwerdeführerin einzuräumen, dass die schulische Unterstützungsbedürftigkeit des Sohns und ihre Situation als allein erziehende Mutter die Suche nach einer Arbeit anfänglich erschwert haben dürften; dennoch hätte sie zumindest einer Teilzeitbeschäftigung nachgehen können. Die Feststellung der Vorinstanz, dass sie bis im Juni 2011 einer (Teilzeit-) Erwerbstätigkeit im ersten Arbeitsmarkt nachgegangen sei, sich in den Folgejahren aber nicht mehr ernsthaft genug um eine existenzsicherndes Einkommen bemüht habe, ist nicht offensichtlich unhaltbar, nachdem ihr Sohn zu diesem Zeitpunkt bereits längst in den Kindergarten bzw. die Schule gegangen ist und sie eigenen Angaben zufolge seit Dezember 2011 für ihn über einen Platz in einem Kinderhort verfügte.
5.3.2. Die Beschwerdeführerin teilte dem Migrationsamt bereits am 30. Oktober 2014 mit, dass sich die Verhältnisse ihres Sohns verbessert hätten und sie sich nun der Arbeitssuche widmen werde; dennoch fand sie bis heute keine Stelle auf dem ersten Arbeitsmarkt, was nicht zuletzt auch an ihren beschränkten Deutschkenntnissen liegen dürfte. Ihr Einsatz an der Schule zugunsten ihres Sohns beschränkte sich zwischen Oktober und Juli 2014 auf zwei Halbtage pro Woche, was ihr hinreichend Zeit gelassen hätte, sich um eine Teilzeitanstellung zu kümmern. Trotz der Mahnung und der Verwarnung bemühte sie sich nicht um einen (Teilzeit-) Arbeitsplatz, sondern liess sie es bei der Pflege ihres Sohns bewenden und die öffentliche Hand für den Unterhalt ihres Haushalts aufkommen.
5.3.3. Die ausländerrechtliche Praxis geht davon aus, dass einer allein erziehenden Mutter ab dem dritten Altersjahr des jüngsten Kindes zugemutet werden kann, dass sie sich um eine Arbeit bemüht und sich ihren Lebensunterhalt nicht von der Sozialhilfe finanzieren lässt (Urteile 2C_775/2017 vom 28. März 2018 E. 4.4.2 und 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 5.4 mit Hinweis). Es ist der Beschwerdeführerin zugute zu halten, dass sie sich teilweise an Arbeitsintegrationsprojekten des Sozialamts beteiligt und dort einen Teillohn erwirtschaftet hat, doch genügt dies nicht, um anzunehmen, dass sie sich hinreichend darum bemüht hat, sich von der Sozialhilfeabhängigkeit zu lösen. Die Kosten auf dem zweiten Arbeitsmarkt haben ebenfalls Sozialhilfecharakter. Es geht dabei darum, die beruflichen und sozialen Kompetenzen der betroffenen Person zu verbessern, damit sie ihren Weg auf den ersten Arbeitsmarkt finden und sich von der Sozialhilfe lösen kann. Dass die Beschwerdeführerin sich diesbezüglich kooperativ gezeigt hat, ist - wie bereits gesagt - positiv zu werten, doch bestand umgekehrt eine entsprechende sozialhilferechtliche Pflicht, bei deren Missachtung die von ihr bezogenen Leistungen hätten gekürzt werden können, was die Bedeutung ihres entsprechenden Einsatzes relativiert (vgl. das Urteil 2C_1092/2015 vom 13. April 2016 E. 2.3).
5.3.4. Das IV-Verfahren des Kindsvaters ist noch hängig, sodass nicht bereits davon ausgegangen werden kann, dass ihr früherer Partner die Zahlung der Unterhaltsleistungen wieder voll aufnehmen wird. Die Beschwerdeführerin hat sich erst ab Ende Oktober 2015 ernsthaft um eine Arbeitsstelle bemüht, jedoch bis zum Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids (13. August 2018) keine solche gefunden. Soweit sie dies allein mit der fehlenden Aufenthaltsbewilligung begründet, überzeugt ihr Einwand nicht: Das Migrationsamt hat ihr - wie üblich - zu Handen allfälliger Arbeitgeber eine Bestätigung ausgestellt, wonach sie arbeitsberechtigt sei.
5.3.5. Trotz des von der Beschwerdeführerin teilweise gezeigten guten Willens kann nicht davon ausgegangen werden, dass eine Loslösung von der Sozialhilfe innert nützlicher Frist möglich erscheint, nachdem die Beschwerdeführerin seit 2011 keiner Arbeit auf dem ersten Arbeitsmarkt mehr nachgegangen ist und bis heute keine Stelle gefunden hat. Es ist nicht absehbar und wird von ihr auch nicht glaubhaft dargetan, dass und inwiefern sie kurz vor der Ablösung von der Sozialhilfe stünde. Mit der Vorinstanz ist vielmehr davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerin ohne spezifische Gründe und damit selbstverschuldet dauerhaft und in erheblichem Mass sozialhilfeabhängig geworden ist, wobei keine konkreten Anzeichen auszumachen sind, welche nahelegen würden, dass sich die Situation kurz- oder mittelfristig ändern könnte. Der Widerrufsgrund von <ref-law> ist damit erfüllt; die Vorinstanz durfte ohne Verletzung von Bundesrecht davon ausgehen, es bestehe mit der ihr vorwerfbaren Sozialhilfeabhängigkeit ein erhebliches - auch vom EGMR anerkanntes - öffentliches Interesse daran, dass sie das Land verlässt (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 339; Urteil 2C_780/2013 vom 2. Mai 2014 E. 3.3.3 mit Hinweisen; Urteil des EGMR Hasanbasic gegen Schweiz vom 11. Juni 2013 [Nr. 52166/09] § 59 mit zahlreichen Hinweisen sowie Palanci gegen Schweiz vom 15. März 2014 [Nr. 2607/08] § 58).
6.
Zu prüfen bleibt die Interessenabwägung und die Verhältnismässigkeit der aufenthaltsbeendenden Massnahme im Rahmen von Art. 8 Ziffer 2 EMRK.
6.1. Die Beschwerdeführerin ist im Alter von 22 Jahren in die Schweiz gekommen. Sie hat die prägenden Kinder- und Jugendjahre im Heimatland verbracht, wo sie auch neun Jahre zur Schule ging. Sie ist mit den dortigen Gebräuchen und der Sprache somit vertraut. Ihre Eltern und drei Brüder leben nach wie vor in der Dominikanischen Republik, wobei die Beschwerdeführerin den Kontakt zu ihnen gewahrt hat. Sie verfügt in der Heimat somit über ein tragfähiges soziales Netz, welches es ihr erlauben wird, wieder Fuss zu fassen. Die hier im Rahmen der Arbeitsintegration gemachten Erfahrungen dürften ihr dabei nützlich sein. Zwar hält sie sich inzwischen seit rund 18 Jahren in der Schweiz auf, dabei ging sie indessen nur fünf Jahre einer Erwerbstätigkeit auf dem ersten Arbeitsmarkt nach; seit über sechs Jahren muss sie jedoch mangels eines existenzsichernden Erwerbseinkommens von der öffentlichen Hand unterstützt werden.
6.2. Die Beschwerdeführerin spricht kaum bzw. nur "wenig" Deutsch; sie ist weder beruflich noch sozial in der Schweiz wesentlich integriert. Neben ihrem Sohn verfügt die Beschwerdeführerin hier über kein Beziehungsnetz, während sie in der Heimat auf die Unterstützung ihrer Eltern und Brüder zählen kann. Ihr letzter Besuch in der Dominikanischen Republik erfolgte nach eigenen Angaben im Dezember 2013 während dreier Wochen; im Übrigen tauscht sie sich wöchentlich telefonisch mit ihrer Familie aus.
6.3. Der Wechsel von der Schweiz in das Heimatland der Mutter dürfte ihrem Sohn nicht leicht fallen. Er ist indessen dennoch nicht gänzlich ausgeschlossen und unzumutbar: Da die Mutter nur wenig Deutsch spricht, ist davon auszugehen, dass die Familienmitglieder unter sich Spanisch gesprochen haben, weshalb D._ besser Spanisch sprechen dürfte, als die Beschwerdeführerin geltend macht. Er befindet sich mit 12 Jahren gerade noch in einem anpassungsfähigen Alter; seine persönliche Entwicklung ist immer noch auf die Beziehung zu den Eltern - und insbesondere der Mutter - ausgerichtet. Zumindest ist eine über den familiären Bereich hinausgehende fortgeschrittene soziale Integration von D._ nicht dargetan, und er hat unbestrittenermassen auch noch keine weiterführende Schule bzw. Berufsausbildung begonnen, deren erzwungener Abbruch das Vorliegen eines Härtefalls bzw. eine Unzumutbarkeit der Ausreise annehmen liesse. Schulisch wird er in einzelnen Fächern einen Vorsprung auf seine Altersgenossen in der Heimat haben, in andern einen Rückstand; dies gleicht sich über die Zeit hinweg aus.
6.4. Ein Wechsel von einem Land in das andere durch Ausländer im Alter des Sohns der Beschwerdeführerin wird regelmässig als möglich und zumutbar erachtet, wenn es um die Übersiedlung aus dem Heimatland in die Schweiz geht. Auch die umgekehrte Übersiedlung erscheint daher als zumutbar, wenn nicht besondere, erschwerende Umstände hiergegen sprechen (Urteile 2C_775/2017 vom 28. März 2018 E. 4.3.3 und 2C_426/2010 vom 16. Dezember 2010 E. 4.2). Zudem ist erfahrungsgemäss (gerichtsnotorisch) davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerin ihren Sohn zumindest mit den wesentlichen heimatlichen Verhältnissen vertraut gemacht haben dürfte, leben doch - wie bereits dargelegt - seine Grosseltern und drei Onkel in der Dominikanischen Republik (vgl. <ref-ruling> E. 5.4 S. 28 f.).
6.5. Schliesslich ist noch einmal hervorzuheben, dass der Sohn der Beschwerdeführerin die Schweiz nicht verlassen muss, sollten die Eltern sich dafür entscheiden, ihn hier beim Vater zu belassen. Unabhängig von der diesbezüglich getroffenen Regelung können bei einer entsprechenden Organisation des Besuchsrechts die familiären Kontakte seitens der Beschwerdeführerin oder des ehemaligen Konkubinatspartners über die Grenzen hinweg gelebt werden, das gilt insbesondere für den Fall, dass der Kindsvater eine IV-Rente und eine Kinderrente erhalten sollte. Der Beschwerdeführerin war es möglich, ihre Familie in der Heimat zu besuchen, sodass es ihr auch zugemutet werden kann, die Beziehung zu ihrem Sohn besuchsweise grenzüberschreitend zu pflegen und sich über die Neuen Medien mit ihm auszutauschen, was praktisch täglich möglich ist. Dasselbe gilt umgekehrt für den Kindsvater, sollte die Beschwerdeführerin sich dafür entscheiden, ihren Sohn mit in die Heimat zu nehmen.
7.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unbegründet und deshalb abzuweisen. Da sie nicht als zum Vornherein aussichtslos gelten konnte und die Beschwerdeführerin als bedürftig zu gelten hat, ist ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu entsprechen (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen:
2.1. Es werden keine Kosten erhoben.
2.2. Der Beschwerdeführerin wird Rechtsanwalt Nicolas von Wartburg, Zürich, als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben. Diesem wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- ausgerichtet.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration (SEM) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Mai 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar