Sachverhalt:
A.
Die B._ GmbH (Beschwerdegegnerin) ist eine Gesellschaft mit beschränkter Haftung mit Sitz in U._. Ihr Stammkapital von Fr. 20'000.-- ist aufgeteilt in 20 Stammanteile mit einem Nennwert von je Fr. 1'000.--. A._ (Beschwerdeführer) hält neun Stammanteile (somit 45 % des Stammkapitals). Weitere Gesellschafter sind C._ (ein Stammanteil) und der Geschäftsführer D._ (zehn Stammanteile).
B.
Am 20. Januar 2020 reichte A._ beim Bezirksgericht Arbon eine Austrittsklage ein. Im Einzelnen beantragte er, es sei ihm der Austritt aus der Gesellschaft zum wirklichen Wert seiner Beteiligung zu bewilligen. Dieser Wert sei durch das Gericht, mindestens aber auf Fr. 4'500.--, festzusetzen. Das Amt für Handelsregister und Zivilstandswesen des Kantons Thurgau sei nach Eintritt der Rechtskraft richterlich anzuweisen, sein Ausscheiden im Handelsregister einzutragen.
Mit Entscheid vom 27. Mai 2020 wies der Einzelrichter am Bezirksgericht die Klage ab.
A._ focht diesen Entscheid mit Beschwerde beim Obergericht des Kantons Thurgau an. Dieses wies die Beschwerde mit Entscheid vom 10. März 2021 ab.
C.
A._ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, der Entscheid des Obergerichts sei aufzuheben. In der Sache wiederholt er seine vor Bezirksgericht gestellten Anträge. Im Eventualstandpunkt beantragt er die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur neuen Beurteilung.
Das Obergericht begehrt die Abweisung der Beschwerde unter Verzicht auf Vernehmlassung und Hinweis auf den angefochtenen Entscheid. Die der B._ GmbH zugestellte Aufforderung zur Vernehmlassung wurde nicht abgeholt.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid des Obergerichts ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer Vorinstanz im Sinne von <ref-law>. Der Streitwert erreicht die Grenze von Fr. 30'000.-- gemäss <ref-law> nicht. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde in Zivilsachen nach <ref-law> dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt. Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, dies sei der Fall.
Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung liegt vor, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (<ref-ruling> E. 1 S. 165; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.2 S. 210; je mit weiteren Hinweisen). Der Begriff der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung ist restriktiv auszulegen. Soweit es bei der aufgeworfenen Frage lediglich um die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf einen konkreten Fall geht, handelt es sich nicht um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4 mit weiteren Hinweisen).
Streitig und entscheiderheblich ist vorliegend, wie sich das Austrittsrecht (<ref-law>) eines Gesellschafters mit einer Beteiligung von über 35 % am Stammkapital zu den Regeln über den Erwerb eigener Stammanteile der Gesellschaft verhält, insbesondere zur Erwerbsobergrenze von 35 % (<ref-law>). Dieser - vom Bundesgericht bisher nicht geklärten - Frage kommt grundsätzliche Bedeutung im eben dargestellten Sinne zu.
2.
Mit Schlussabstimmung vom 16. Dezember 2005 haben die eidgenössischen Räte eine Revision des GmbH-Rechts beschlossen, die auf den 1. Januar 2008 in Kraft gesetzt wurde. Im Rahmen dieser Revision wurden auch die Regeln zu Austritt sowie Ausschluss aus der GmbH geändert und namentlich Bestimmungen zur Abfindung des ausscheidenden Gesellschafters im Gesetz verankert (was bis dahin nur lückenhaft der Fall war). De lege lata gilt was folgt:
Ein Gesellschafter kann aus wichtigem Grund beim Gericht auf Bewilligung des Austritts klagen (<ref-law>). Scheidet ein Gesellschafter aus der Gesellschaft aus, so hat er Anspruch auf eine Abfindung, die dem wirklichen Wert seiner Stammanteile entspricht (<ref-law>). Die Abfindung wird gemäss <ref-law> mit dem Ausscheiden fällig, soweit die Gesellschaft über verwendbares Eigenkapital verfügt (Ziff. 1), die Stammanteile der ausscheidenden Person veräussern kann (Ziff. 2) oder ihr Stammkapital unter Beachtung der entsprechenden Vorschriften herabsetzen darf (Ziff. 3). Für den nicht ausbezahlten Teil der Abfindung hat der ausgeschiedene Gesellschafter - so hält <ref-law> schliesslich fest - eine unverzinsliche nachrangige Forderung. Diese wird fällig, soweit im jährlichen Geschäftsbericht verwendbares Eigenkapital festgestellt wird.
Erwirbt eine Gesellschaft im Zusammenhang mit einem Austritt eigene Stammanteile, so darf der gesamte Nennwert dieser Stammanteile 35 % des Stammkapitals nicht übersteigen (Art. 783 Abs. 1 in Verbindung mit Abs. 2 OR).
3.
Beide Vorinstanzen bejahten das Vorliegen eines wichtigen Grundes im Sinne von <ref-law>. Sie gelangten indes zum Ergebnis, der Austritt des Beschwerdeführers aus der Beschwerdegegnerin sei "nicht rechtskonform" durchführbar, und wiesen die Austrittsklage aus diesem Grund ab.
Im Einzelnen erwog das Obergericht, dass die Stammanteile eines austretenden Gesellschafters nicht "herrenlos" würden. Das Gesetz sehe zwingend vor, dass die betreffenden Gesellschaftsanteile entweder an einen anderen Gesellschafter, an einen Dritten oder an die Gesellschaft übertragen oder aber durch Kapitalherabsetzung vernichtet würden.
Im vorliegenden Fall mache der Beschwerdeführer nicht geltend, dass ein Mitgesellschafter oder ein Dritter seine Stammanteile übernehme. Auch enthielten die Statuten keine Pflicht der verbleibenden Gesellschafter, die Stammanteile eines austretenden Gesellschafters zu übernehmen. Folglich bleibe nur die Möglichkeit der Übernahme der Stammanteile durch die Gesellschaft selbst. Da der Beschwerdeführer einen Nennwertanteil von 45 % am Stammkapital der Beschwerdegegnerin halte, scheitere diese Übernahme aber an der Grenze von 35 % gemäss <ref-law> (Erwerb eigener Stammanteile).
4.
Der Beschwerdeführer kritisiert, das Austrittsrecht des Gesellschafters bei wichtigen Gründen sei ein zwingendes und unentziehbares Recht eines jeden Gesellschafters. Das Gesetz knüpfe dieses Recht in <ref-law> nicht an eine bestimmte Beteiligungsquote. Die Suche nach einem Rechtsnachfolger oder die Kapitalherabsetzung sei vielmehr eine Frage der Abfindung nach <ref-law> und damit Gegenstand des dem Austritt nachgelagerten (Abfindungs-) Verfahrens.
Ferner sei es entgegen der obergerichtlichen Annahme nicht Aufgabe des austrittswilligen Gesellschafters, jemanden zu finden, der seine Stammanteile übernehme. Die Auslegung der Vorinstanz zeitige zudem die unbillige Konsequenz, dass auch der Austritt eines Gesellschafters mit einer kleinen Beteiligungsquote durch Mitgesellschafter vereitelt werden könne, indem diese den Anschlussaustritt (<ref-law>) erklärten, mit der Folge, dass der zusammengezählte Nennwert dieser Stammanteile 35 % des Stammkapitals übersteige und damit "der gesamte Austritt rückwirkend nicht mehr möglich" wäre. Das Austrittsrecht werde so "per se obsolet" gemacht.
Trete ein Gesellschafter aus der Gesellschaft aus, ohne dass sein Gesellschaftsanteil von einem Dritten übernommen werde, führe das Ausscheiden "wirtschaftlich zu einer Teilauflösung der GmbH in diesem Umfang". Dies habe die Vorinstanz verkannt und "das nachge-lagerte Problem der Gesellschaft im Umgang mit frei werdenden Stammanteilen zum Problem des austretenden Gesellschafters gemacht". Die Einhaltung der Erwerbsobergrenze von 35 % gemäss <ref-law> sei Aufgabe der Gesellschaft und nicht des austretenden Gesellschafters.
5.
5.1. Die aufgeworfene Problematik ist in der Doktrin - soweit ersichtlich - nicht einer Lösung zugeführt worden. RETO SANWALD (Austritt und Ausschluss aus AG und GmbH, 2009, S. 119 f.; vgl. auch S. 61) hat diese Konstellation als "toten Punkt" bezeichnet, für den das Gesetz "keine Lösung" vorsehe. De lege ferenda solle dem Gericht die Kompetenz eingeräumt werden, eine Frist zur Übernahme der Stammanteile des austrittswilligen Gesellschafters anzusetzen und - wenn diese ungenutzt ablaufe - die Liquidation der Gesellschaft nach den Vorschriften des SchKG zu verfügen. De lege lata bleibe - bei Vorliegen der entsprechenden Voraussetzungen - einzig die Auflösung der Gesellschaft. Ähnliches wurde bereits unter altem Recht für den Fall vertreten, dass die Abfindung nicht ausbezahlt werden konnte (so MARKUS DUBS, Der Austritt aus der GmbH, REPRAX 1/2002 S. 34; HERBERT WOHLMANN, GmbH-Recht, 1997, S. 59). Auch CHAPPUIS/JACCARD weisen darauf hin, dass die Grenze von 35 % keine "praktikable Lösungen" ermögliche bei Gesellschaftern, die Stammanteile mit einem Nennwert von über 35 % des Stammkapitals hielten (in: Commentaire romand, Code des obligations II, 2. Aufl. 2017, N. 28 zu <ref-law>).
Auch das vom Beschwerdeführer für seine Rechtsauffassung verschiedentlich angeführte Werk von HANDSCHIN/TRUNIGER (Die GmbH, 3. Aufl. 2019) löst die vorliegende Konstellation nicht, denn die Autoren sagen nichts darüber, wie zu verfahren ist, wenn das Stammkapital dem gesetzlichen Minimum von Fr. 20'000.-- entspricht, eine Herabsetzung also nicht möglich ist (vgl. etwa § 15 Rz. 32 und § 25 Rz. 3 f.).
5.2. Das Eidgenössische Amt für Handelsregister (EHRA) vertrat in einer Praxismitteilung zu <ref-law> (SR 221.411; "Übertragung von Stammanteilen") die Auffassung, dass Stammanteile eines austretenden Gesellschafters jedenfalls nicht "herrenlos" werden könnten. Das Gesetz sehe zwingend vor, dass entweder sein Stammanteil an einen Rechtsnachfolger übergehe oder die Gesellschaft ihr Stammkapital entsprechend herabsetze. Ein Urteil, das sich einzig zum Austritt äussere und das Handelsregisteramt zur Löschung des ausgetretenen Gesellschafters anweise, sei für dieses nicht umsetzbar (Praxismitteilung EHRA 1/10 vom 27. Oktober 2010 S. 2; gleich dann SIFFERT/ZIHLER, Handelsregisterrecht - Entwicklungen 2010, 2011, S. 58 f.; so bereits DUBS, a.a.O., S. 38 f.: eine allein auf Austritt gerichtete Austrittsklage ohne Bezeichnung des Rechtsträgers, auf den die Stammanteile zu übertragen seien, müsse abgewiesen werden, da "materiellrechtlich nicht operabel"). Diese Haltung ist bei CHRISTOPHE BUCHWALDER (in: Commentaire romand, Code des obligations II, 2. Aufl. 2017, N. 27 zu <ref-law>) auf Kritik gestossen, der meint, dem handelsregisteramtlichen Standpunkt fehle es an einer gesetzlichen Grundlage. Mit dem Austritt sei die Gesellschafterstellung ungeachtet der Rechtsnachfolge beendet, was im Handelsregister ohne Weiteres abzubilden sei.
5.3. In <ref-ruling> hat sich das Bundesgericht - noch unter altem GmbH-Recht - zum Verhältnis des Ausschlusses eines Gesellschafters (heute: <ref-law>) zu dessen Abfindungsanspruch (heute: Art. 825 f. OR) geäussert. Austritt und Ausschluss sind betreffend Abfindung gleich zu behandeln (siehe auch <ref-ruling> E. 4b S. 138, aArt. 822 Abs. 4 OR und [heute] <ref-law>).
Das Bundesgericht hat namentlich festgehalten, dass die Verpflichtung der Gesellschaft zur Leistung einer Abfindung nicht die Gegenleistung für das Ausscheiden aus der Gesellschaft sei, sondern deren Rechtsfolge (E. 4b S. 136). Soweit für das Ausscheiden Stammkapital herabgesetzt werden müsse (siehe aArt. 822 Abs. 4 OR; vgl. heute <ref-law>), sei die Einhaltung der Vorschriften über die Herabsetzung des Stammkapitals nicht eine Voraussetzung für den Ausschluss. Richtig sei vielmehr, dass das Ausscheiden der Herabsetzung des Stammkapitals und der Einhaltung der diesbezüglichen Vorschriften vorausgehe. Dies sei auch vernünftig. Zuerst müsse die Gesellschaft wissen, ob das Gericht das Vorliegen wichtiger Gründe bejahe und der betroffene Gesellschafter ausscheide. Erst nachher habe die Herabsetzung des Stammkapitals einen Sinn. Man liefe sonst - so das Bundesgericht - Gefahr, dass das umständliche Verfahren, in dem die Herabsetzung erfolge und das mit der Eintragung in das Handelsregister ende, umsonst durchgeführt werde (E. 4b S. 137 f.).
Diese Rechtsprechung spricht auf den ersten Blick für den Standpunkt des Beschwerdeführers, der verlangt, beim Vorliegen eines wichtigen Grundes unbesehen der sich allenfalls stellenden Folgefragen auf Austritt zu erkennen.
6.
6.1. Das revidierte Obligationenrecht besagt nicht ausdrücklich, wie mit den Stammanteilen des austretenden Gesellschafters zu verfahren ist. Der neu ins Gesetz eingefügte <ref-law> enthält aber Regeln zur Fälligkeit der Abfindung, aus denen zu schliessen ist, dass diese Stammanteile (i) von der Gesellschaft übernommen werden können (Ziff. 1); (ii) von der Gesellschaft veräussert werden können (Ziff. 2), wobei die Verweigerung der Zustimmung zur Abtretung von Stammanteilen ohne Angabe von Gründen (<ref-law>) ausgeschlossen ist (Botschaft vom 19. Dezember 2001 zur Revision des Obligationenrechts [GmbH-Recht; nachfolgend: Botschaft GmbH], BBl 2002 3224 zu <ref-law>); oder (iii) durch Kapitalherabsetzung vernichtet werden können (Ziff. 3). Im Expertenbericht zum Vorentwurf werden die Gerichte aufgefordert, im (Gestaltungs-) Urteil über den Austritt klarzustellen, ob die Beteiligungsquote des Ausscheidenden von der Gesellschaft übernommen oder ob das Kapital herabgesetzt wird und wie es sich mit dem Abfindungsanspruch verhält, sodass "die Konfiguration der Kapitalgesellschaft nach Vollzug des Austritts in allen wesentlichen Punkten" feststehe (Expertenbericht der Professoren BÖCKLI/FORSTMOSER/RAPP zum Vorentwurf für eine Reform des Rechts der Gesellschaft mit beschränkter Haftung, April 1999, S. 27 Ziff. 226.7).
Vorliegend können diese drei Möglichkeiten allesamt nicht greifen: Das Stammkapital der Beschwerdegegnerin beträgt Fr. 20'000.-- (Sachverhalt Bst. A). Eine Herabsetzung ist ausgeschlossen (Art. 773 und Art. 782 Abs. 2 OR; vgl. etwa BUCHWALDER, a.a.O., N. 24 zu <ref-law>; anders DANIELE FAVALLI, Die Übertragung eines Stammanteils sowie der Austritt und der Ausschluss eines Gesellschafters aus der GmbH, SZW 1999 S. 93, der in einem solchen Fall die Unterschreitung des Mindestkapitals zulassen will).
Sodann können die Stammanteile gemäss den unbestritten gebliebenen Feststellungen der Vorinstanz (zumindest zurzeit) nicht veräussert werden. Für eine zwangsweise Übertragung auf die Mitgesellschafter fehlt es an einer Grundlage (siehe auch HANDSCHIN/TRUNIGER, a.a.O., § 15 Rz. 32). Die Anteile des Beschwerdeführers würden im Falle seines Austritts an die Beschwerdegegnerin fallen. Dann aber stellt sich die Frage, ob dies angesichts der Obergrenze von 35 % nach <ref-law> statthaft ist.
6.2.
6.2.1. <ref-law> regelt (und beschränkt) den Erwerb eigener Stammanteile. Die Bestimmung steht im Dienst des Gläubigerschutzes und soll namentlich die Verminderung von Haftungssubstrat der Gesellschaft verhindern (vgl. Botschaft GmbH, BBl 2002 3183 zu <ref-law>). Absatz 1 dieser Bestimmung begrenzt den Gesamtnennwert eigener Stammanteile auf 10 % des Stammkapitals. Absatz 2 erhöht diese Grenze für gewisse Fälle auf 35 %, namentlich wenn im Zusammenhang mit einem Austritt oder einem Ausschluss Stammanteile erworben werden.
Im alten GmbH-Recht war eine solche Höchstgrenze gesetzlich nicht festgeschrieben (siehe a<ref-law>; dazu aus der Lehre etwa WOHLMANN, a.a.O., S. 69, der vorschlug, den Erwerb eigener Stammanteile durch die Gesellschaft bis zu einer Grenze von 50 % der Stimmrechte zuzulassen; weitergehend PASCAL MONTAVON, SARL, 1998, S. 51, und WERNER VON STEIGER, Zürcher Kommentar, 1965, N. 7a zu [a]<ref-law>, die meinten, dass wenigstens ein Anteil in der Hand eines Gesellschafters bleiben müsse; und schliesslich KÜNG/HAUSER, GmbH, 2005, § 5 Rz. 32, nach welchen eine GmbH "alle ihre Stammanteile" erwerben konnte; vgl. ferner CORINNE KAUFMANN, Austritt und Ausschluss aus der GmbH, in: Wirtschaftsrecht in Bewegung, 2008, S. 276).
Bereits der Vorentwurf zum revidierten GmbH-Recht sah für den Fall des Ausscheidens einen besonderen Plafond vor, setzte diesen allerdings noch auf 20 % des Stammkapitals fest (Art. 807 Abs. 2 VE-OR; zu den Gründen: Expertenbericht, a.a.O., S. 22 f. Ziff. 225.6). Verschiedene Vernehmlassungsteilnehmer erachteten diese Grenze als zu niedrig und schlugen höhere Werte vor (zwischen 25 % bis "mindestens" 50 %). Dies wurde im Wesentlichen mit dem Hinweis darauf begründet, dass viele Gesellschaften mit beschränkter Haftung und zumal Familienunternehmen wenige Gesellschafter - nur zwei, drei oder vier - hätten, deren Ausscheiden erleichtert werden solle. Bei der GmbH bestehe im Vergleich zur Aktiengesellschaft ein erhöhtes Bedürfnis, den Anteil eines ausscheidenden Gesellschafters über eine gewisse Zeit zu "parkieren", um "die passende Folgelösung" zu finden. Bei einer Erhöhung der Limite auf beispielsweise 35 % sei der Austritt aus einer Dreipersonen-GmbH (mit je einer Beteiligung von einem Drittel) möglich, ohne dass Kapital herabgesetzt werden müsse (vgl. Zusammenstellung der Vernehmlassungen zum Vorentwurf für eine Reform des Rechts der Gesellschaft mit beschränkter Haftung, 2000, S. 225-230, und dazu publizierte "Zusammenfassung der Vernehmlassungsergebnisse", S. 5 f.).
Der Bundesrat trug dieser Kritik Rechnung und schlug im Entwurf vor, die Schranke für den Erwerb eigener Stammanteile (im Zusammenhang mit Austritt und Ausschluss) auf 35 % des Stammkapitals anzuheben. Er bemerkte, dass diese Limite unter dem Gesichtspunkt des Kapitalschutzes als hoch angesetzt erscheine (Botschaft GmbH, BBl 2002 3183 zu <ref-law>). Während der nationalrätlichen Beratungen wurde Antrag gestellt, die Grenze - wie ursprünglich vorgesehen - bei 20 % zu ziehen. Nach erneuten Hinweisen auf die Bedürfnisse von Gesellschaften mit wenigen Gesellschaftern ist dieser Antrag abgelehnt worden (AB 2005 N 100 f.).
Daraus erhellt, dass die Gesetz gewordene Fassung das Resultat einer Abwägung ist zwischen dem Bestreben, den Gesellschafterwechsel möglichst flexibel zu gestalten und damit auch den Austritt von Gesellschaftern mit hohen Beteiligungsquoten zu ermöglichen, sowie umgekehrt dem Anliegen, den Kapital- und Gläubigerschutz zu gewährleisten.
6.2.2. Der mit dem Austritt verbundene Anfall der Stammanteile bei der Gesellschaft fällt dabei ohne Weiteres unter den Tatbestand des "Erwerbs" eigener Stammanteile im Sinne von <ref-law>, zumal mit dem Austritt ein obligatorischer Abfindungsanspruch des austretenden Gesellschafters gegen die Gesellschaft entsteht (<ref-law>; woran die erst später eintretende Fälligkeit gemäss <ref-law> nichts ändert) und damit der Schutzgedanke von <ref-law> (Sicherung des Gesellschaftskapitals) zum Tragen kommt. Ob diese Stammanteile Eigentum der Gesellschaft werden, ist in diesem Zusammenhang nicht von Bedeutung; insbesondere braucht auf die - vor allem dogmatisch interessierende - Frage, ob Aktien und Stammanteile (beziehungsweise die sich daraus ergebenden Rechte und Pflichten) derelinquiert werden und "herrenlos" sein können, nicht eingegangen zu werden (siehe zum Aktienrecht: <ref-ruling> E. 4f S. 306; zum GmbH-Recht: Botschaft GmbH, BBl 2002 3188 zu <ref-law>).
6.2.3. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass sich der Gesetzgeber im Wissen um die Schwierigkeit des Austritts von Gesellschaftern mit bedeutenden Beteiligungsquoten für einen Plafond von 35 % eigener Stammanteile am Stammkapital entschieden hat, im darüber hinausgehenden Betrag aber ein Halten eigener Stammanteile durch die Gesellschaft nicht zu tolerieren gewillt war. Vor diesem Hintergrund können Änderungen im Gesellschafterbestand nicht bewilligt werden, wenn sie dazu führen, dass die Gesellschaft eigene Stammanteile im Nennwert von über 35 % des Stammkapitals hält.
6.2.4. Dieser Lösung könnte das Argument entgegenstehen, dass auch der Ausschluss eines Gesellschafters (<ref-law>) mit erheblicher Beteiligung (mehr als 35 %) nicht mehr möglich ist, wenn das Kapital nicht im entsprechenden Umfang herabgesetzt werden kann (und die Stammanteile des auszuschliessenden Gesellschafters nicht veräusserbar beziehungsweise die übrigen Gesellschafter nicht in der Lage sind, die Stammanteile zu übernehmen). In der Tat gilt das Gesagte (Grenze von 35 %) wegen des gesellschafts- und vermögensrechtlichen Gleichlaufs von Austritt und Ausschluss auch für den Ausschluss eines Gesellschafters aus wichtigem Grund. Das bleibt indes folgenlos, denn ein Gesellschafter mit einer Beteiligung in dieser Grössenordnung kann faktisch bereits deshalb nicht ausgeschlossen werden, weil die Ausschlussklage ein qualifiziertes Mehr von zwei Dritteln der vertretenen Stimmen (sowie die absolute Mehrheit des gesamten stimmberechtigten Stammkapitals) erfordert (<ref-law>), wobei der auszuschliessende Gesellschafter stimmberechtigt ist (<ref-law> e contrario). Der Ausschluss eines Gesellschafters mit erheblicher Beteiligung scheitert daher regelmässig schon an dessen Sperrminorität.
6.3. Man mag ferner einwenden, dass bereits <ref-law> eine Gläubigerschädigung verhindere, indem nämlich die Fälligkeit der Abfindung an Kapitalschutzvorschriften gekoppelt wird (vgl. bereits Botschaft vom 21. Februar 1928 zu einem Gesetzesentwurf über die Revision der Titel XXIV bis XXXIII des schweizerischen Obligationenrechts, BBl 1928 I 283). So lässt etwa Abs. 1 Ziff. 1 die Fälligkeit nur eintreten, soweit die Gesellschaft über verwendbares Eigenkapital ("fonds propres disponibles"; "capitale proprio disponibile") verfügt, was nach Abs. 2 überdies von einem zugelassenen Revisionsexperten zu bestätigen ist. Gesperrt sind damit namentlich Stammkapital, die Reserve für eigene Stammanteile und die Aufwertungsreserve (vgl. Botschaft GmbH, BBl 2002 3223 zu <ref-law>).
Allein, <ref-law> steht nicht auf diesem Boden. Diese Bestimmung bildet - wie das aktienrechtliche Korrelat in <ref-law> - eine zusätzliche, vom Gesetzgeber ausdrücklich gewollte Schranke zur Verhinderung der Aushöhlung der Gesellschaft. Sie greift namentlich in Fällen, in denen an sich hinreichendes verwendbares Eigenkapital im Sinne von <ref-law> vorhanden wäre.
6.4. Dem austrittswilligen Gesellschafter ist damit im Übrigen nicht jegliche Handhabe genommen. Insbesondere gewährt ihm <ref-law> das Recht, beim Gericht gegen die Gesellschaft (<ref-ruling> E. 2.2) auf Auflösung der Gesellschaft aus wichtigem Grund zu klagen, allenfalls unter Beteiligung der übrigen Gesellschafter (vgl. zu den Voraussetzungen der streitgenössischen Nebenintervention: <ref-ruling> E. 2.3.1-2.3.7).
Bei der Prüfung des Vorliegens eines "wichtigen Grundes" im Sinne dieser Bestimmung wird zu berücksichtigen sein, dass ein Austritt - dem gegenüber der Auflösung der Gesellschaft im Allgemeinen Priorität zukäme ("Subsidiarität der Auflösungsklage") - wegen der Erwerbsobergrenze von <ref-law> ausgeschlossen ist. Das Gericht kann dabei statt auf Auflösung auch auf eine andere sachgemässe und den Beteiligten zumutbare Lösung erkennen (<ref-law>), freilich stets unter Einhaltung der Grenzen in <ref-law>.
6.5. An diesem Ergebnis vermag schliesslich auch das Argument des Beschwerdeführers nichts zu ändern, wonach die übrigen Gesellschafter den Austritt vereiteln könnten, indem sie den Anschlussaustritt (<ref-law>) erklärten und so den kumulierten Nennwert der Stammanteile aller austrittswilligen Gesellschafter auf über 35 % höben. Denn erstens wird der Anschlussaustritt nicht voraussetzungslos gewährt, sondern (vorbehältlich eines statutarischen Austrittsrechts) ebenfalls nur bei Vorliegen eines wichtigen Grundes (<ref-law>). Zweitens ist es aus Kapitalschutzgesichtspunkten nicht von Bedeutung, ob die Stammanteile, welche die Gesellschaft selbst erwirbt, von einem oder von verschiedenen austretenden Gesellschaftern stammen. Jedenfalls ab einer Quote von 35 % eigener Stammanteile am Stammkapital stufte der Gesetzgeber das damit verbundene Risiko als zu hoch ein. Drittens fragt sich, ob in einer solchen Konstellation, in der sich mehrere verfeindete Gesellschafter mit je erheblichen Stammanteilsquoten gegenüberstehen und je aus wichtigem Grund zum Austritt aus der Gesellschaft berechtigt wären (denen der Verbleib mithin unzumutbar ist), nicht ohnehin die Auflösung der Gesellschaft die adäquatere Massnahme darstellte.
6.6. Die Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung wird demnach wie folgt beantwortet:
Würde das Ausscheiden eines Gesellschafters aus einer GmbH dazu führen, dass die Gesellschaft eigene Stammanteile im Nennwert von über 35 % des Stammkapitals hielte, ist der Austritt nicht zu bewilligen.
Das vorinstanzliche Auslegungsergebnis ist folglich nicht zu beanstanden.
7.
Anders als <ref-law> sieht <ref-law> nicht vor, dass das Gericht statt auf Austritt auch auf eine andere (sachgemässe und den Beteiligten zumutbare) Lösung erkennen kann. Es wäre am Beschwerdeführer gewesen, für den Fall der Abweisung seiner Austrittsklage eventualiter die Auflösung der Gesellschaft oder eine andere sachgemässe Lösung zu beantragen. Der Dispositionsgrundsatz (<ref-law>) verbietet es, im Austrittsverfahren von Amtes wegen (ohne entsprechende Begehren) alternative Rechtsfolgen anzuordnen (vgl. BUCHWALDER, a.a.O., N. 31 zu <ref-law>; HANS RUDOLF TRÜEB, in: Handkommentar zum Schweizer Privatrecht, 3. Aufl. 2016, N. 5 zu 822 OR; siehe auch SANWALD, a.a.O., S. 61 und 120; anders noch zum alten Recht VON STEIGER, a.a.O., N. 11 zu [a]<ref-law>; WOHLMANN, a.a.O., S. 54).
Der Beschwerdeführer klagte vorliegend einzig auf Austritt (verbunden mit dem Antrag, den wirklichen Wert seiner Beteiligung gerichtlich festzusetzen). Seine Stammanteile sind zurzeit nicht veräusserbar, und das Stammkapital der Beschwerdegegnerin kann nicht herabgesetzt werden. Das Ausscheiden des Beschwerdeführers hätte mithin zur Folge, dass die Beschwerdegegnerin eigene Stammanteile hielte, deren Nennwert 35 % des Stammkapitals übersteigen würde. Bei dieser Ausgangslage hat die Vorinstanz den Austritt zu Recht nicht bewilligt. Die Klage war abzuweisen.
8.
Die Beschwerde ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten gemäss <ref-law> dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Der Beschwerdegegnerin ist kein Aufwand entstanden, für den sie nach <ref-law> zu entschädigen wäre.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Juli 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Stähle