Erwägungen:
1.
1.1. A.C._ bzw. seit dem 19. Juni 2019 A.B._, geb. 1992, ist türkische Staatsangehörige. Mit Urteil O4V 18 32 vom 4. Juli 2019 wies das Obergericht des Kantons Appenzell Ausserhoden, 4. Abteilung, ihre Beschwerde ab, soweit darauf einzutreten war. Das Obergericht bestätigte damit, dass die Aufenthaltsbewilligung nicht zu verlängern sei. Gleichzeitig setzte das Obergericht A.B._ eine neue Frist zum Verlassen der Schweiz, laufend bis spätestens zum 30. März 2020. Wie dem amtlichen Vermerk zu entnehmen ist, wurde das Urteil am 26. Juli 2019 versandt.
1.2. Mit undatierter Eingabe, dort eingegangen am 23. Dezember 2019, ersuchte A.B._ beim Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden um Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist des Urteils O4V 18 32 vom 4. Juli 2019. Gleichzeitig beantragte sie das Recht zur unentgeltlichen Rechtspflege. Im Wiederherstellungspunkt ging die kurze Begründung dahin, sie habe am 19. Juni 2019 geheiratet, am 7. September 2019 eine Tochter geboren und "eine schwere Zeit durchlebt", sodass sie "keine Möglichkeit gehabt" habe, sich gegen das streitbetroffene Urteil zur Wehr zu setzen. Mit Schreiben vom 27. Dezember 2019 überwies das Obergericht die Eingabe zuständigkeitshalber an das Bundesgericht.
1.3. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter hat von Instruktionsmassnahmen abgesehen (<ref-law> [SR 173.110]).
2.
2.1. Auf eine verspätete Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist gemäss <ref-law> nur einzutreten, wenn die beschwerdeführende Person einerseits nachweist, dass sie oder ihre Vertretung unverschuldet - durch Militär- oder Zivildienst, Krankheit, Landesabwesenheit oder andere erhebliche Gründe - an der rechtzeitigen Einreichung verhindert war (materielle Voraussetzung) und anderseits das Rechtsmittel innert 30 Tagen nach Wegfall der Hinderungsgründe einreicht (formelle Voraussetzung). Wird eine Krankheit (bzw. eine Mutterschaft) als Hinderungsgrund angerufen, muss die Beeinträchtigung praxisgemäss derart erheblich ausfallen, dass die beschwerdeführende Person durch sie geradezu davon abgehalten wird, innert Frist zu handeln oder eine Drittperson mit der notwendigen Vertretung zu betrauen (<ref-ruling> E. 2 S. 87; <ref-ruling> E. 2a S. 255 f.; Urteil 2F_25/2019 vom 6. November 2019 E. 2.2.2).
2.2. Die Eröffnung des streitbetroffenen Urteils erfolgte am 26. Juli 2019. Die gesetzliche Frist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist auch in den Augen der Beschwerdeführerin verstrichen. Zwecks Fristwiederherstellung bringt sie lediglich vor, am 19. Juni 2019 geheiratet und am 7. September 2019 eine Tochter geboren zu haben. Dies allein vermag keine rechtserhebliche Verhinderung zu begründen: Die Heirat erfolgte mehr als einen Monat vor der Eröffnung des Urteils (26. Juli 2019), worauf es bis zur Niederkunft nochmals gut eineinhalb Monate dauerte. Weshalb es ihr in dieser Zwischenzeit unmöglich gewesen sein sollte, entweder eigenständig zu handeln oder ihre bisherige oder eine neue Rechtsvertretung mit der Sache zu betrauen, bleibt unklar. Diesen Nachweis hätte die Beschwerdeführerin aber zu erbringen gehabt. Das Gesuch entbehrt einer hinreichenden Begründung.
2.3. Die Möglichkeit eines "abstrakten", von einer konkreten Beschwerde losgelösten Fristwiederherstellungsgesuchs ist dem Bundesgerichtsgesetz ohnehin nicht bekannt. Wie das gestellte Rechtsbegehren vermuten lässt, scheint die Beschwerdeführerin davon auszugehen, dass die neue 30-tägige Frist erst mit der Wiedereinsetzung in den früheren Stand zu laufen beginne. Dies findet aber im klar gehaltenen <ref-law> keine Grundlage. Schon wegen Fehlens einer gleichzeitig eingereichten Beschwerde ist das Fristwiederherstellungsgesuch unzulässig.
2.4. Auf die Eingabe ist daher wegen offensichtlicher Unzulässigkeit bzw. offensichtlich fehlender hinreichender Begründung nicht einzutreten, was einzelrichterlich zu erfolgen hat (Urteile 9C_190/2011 vom 11. Mai 2011; 5F_2/2008 vom 7. April 2008).
3.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Mit Blick auf die besonderen Umstände kann von einer Kostenverlegung abgesehen werden (<ref-law>), wodurch das für das bundesgerichtliche Verfahren gestellte Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege gegenstandslos wird (<ref-ruling> E. 5 S. 126). Dem Kanton Appenzell Ausserrhoden, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Eingabe wird nicht eingetreten.
2.
Für das bundesgerichtliche Verfahren werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Obergericht Appenzell Ausserrhoden, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Januar 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher