Sachverhalt:
A.
B._ (Klägerin, Beschwerdegegnerin) arbeitete als Reinigungskraft bei der Bank C._. Am 25. Mai 1998 benutzte sie einen Aufzug im Gebäude der Bank. Dabei handelte es sich um einen elektrohydraulisch angetriebenen Personenaufzug der A._ AG (Beklagte, Beschwerdeführerin) mit Baujahr 1993 und Inbetriebnahme am 12. Januar 1993. Nachdem B._ nach Betätigung des Knopfs für das gewünschte Stockwerk einen Ruck im Lift verspürt hatte, versuchte sie, den Aufzug mit der linken Hand voraus wieder zu verlassen. Dabei wurde ihr linker Arm von der Aufzugstüre eingeklemmt. Sie betätigt den Alarmknopf, konnte den Arm jedoch erst nach rund 15 Minuten befreien, indem sie mit dem Flaumerstiel vom Putzwagen die Aufzugstüre aufgedrückt hatte.
B._ zog sich dabei invalidisierende Verletzungen zu (Kontusion des linken Ellbogens mit Ulnarissyndrom mit der Folge eines CRPS II [komplexes regionales Schmerzsyndrom]). Von ihrem Unfallversicherer erhielt sie daraufhin eine Integritätsentschädigung in der Höhe von Fr. 38'880.-- sowie eine UVG-Rente von monatlich Fr. 571.--. Vom Haftpflichtversicherer der Werkeigentümerin wurden ihr unter dem Titel "Haushaltsschaden und Anwaltskosten" Fr. 657'123.95 bezahlt.
B.
Mit Eingabe vom 24. Januar 2019 klagte B._ beim Regionalgericht Oberland mit dem Begehren, die A._ AG sei zu verurteilen, ihr Fr. 30'000.-- als Genugtuung nebst Zins zu 5 % seit 25. Mai 1998 zu bezahlen. Ausserdem sei davon Vormerk zu nehmen, dass es sich dabei um eine Teilklage handle und eine Nachklage "bezüglich der restlichen Genugtuung sowie weiterer Schadenspositionen" vorbehalten bleibe. Mit Entscheid vom 26. Juni 2020 hiess der Präsident des Regionalgerichts die Klage gut.
Die A._ AG focht dieses Urteil mit Berufung beim Obergericht des Kantons Bern an. Dieses wies die Berufung mit Entscheid vom 4. November 2020 ab.
C.
Die A._ AG verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, der Entscheid des Obergerichts sei aufzuheben und die Klage sei unter Neuverlegung der Kosten des kantonalen Verfahrens abzuweisen.
Das Obergericht verzichtete auf Vernehmlassung. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid des Obergerichts ist ein Endentscheid (Art. 90 BGG) einer Vorinstanz im Sinne von Art. 75 BGG. Weiter erreicht der Streitwert den nach Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG geltenden Mindestbetrag von Fr. 30'000.--. Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit grundsätzlich zulässig.
2.
2.1. Zur Diskussion steht, ob die Beschwerdeführerin als Herstellerin des Aufzugs für den immateriellen Schaden der Beschwerdegegnerin haftet und demzufolge gestützt auf Art. 47 OR eine Genugtuung zu leisten hat. Da der Lift vor Inkrafttreten des Produktehaftpflichtgesetzes (PrHG; SR 221.112.944) - mithin vor dem 1. Januar 1994 - in Verkehr gebracht wurde, findet dieses Gesetz im vorliegenden Verfahren keine (unmittelbare) Anwendung (vgl. Art. 13 PrHG).
2.2. Gemäss Art. 55 Abs. 1 OR haftet der Geschäftsherr für den Schaden, den seine Arbeitnehmer oder andere Hilfspersonen in Ausübung ihrer dienstlichen oder geschäftlichen Verrichtungen verursacht haben, wenn er nicht nachweist, dass er alle nach den Umständen gebotene Sorgfalt angewendet hat, um einen Schaden dieser Art zu verhüten, oder dass der Schaden auch bei Anwendung dieser Sorgfalt eingetreten wäre.
Diese Bestimmung bildete vor Inkrafttreten des Produktehaftpflichtgesetzes die Grundlage für die Haftung des Produzenten für fehlerhafte Produkte, namentlich in Folge von Konstruktions- und Fabrikationsfehlern (vgl. Urteil 4C.307/2005 vom 25. Januar 2006 E. 2 f.; grundlegend <ref-ruling> E. 2-3; 64 II 254 E. II.1/a und c; siehe ferner zur [noch nicht vollständig geklärten] Frage, wie sich das PrHG zu Art. 55 OR verhält, etwa ROLAND BREHM, Berner Kommentar, Obligationenrecht, Die Entstehung durch unerlaubte Handlungen, Art. 41-61 OR, 4. Aufl. 2013, N. 80a f. zu Art. 55 OR; FRANZ WERRO, in: Commentaire romand, Code des obligations I, 2. Aufl. 2012, N. 38 f. zu Art. 55 OR).
2.3.
2.3.1. Unbestritten ist, dass - im haftpflichtrechtlichen Sinne - ein (Personen-) Schaden beziehungsweise eine seelische Unbill vorliegt. Kontrovers ist hingegen, ob dieser (immaterielle) Schaden als durch die Beschwerdeführerin (beziehungsweise ihre Hilfspersonen) verursacht gilt.
2.3.2. Das Obergericht erwog, die Beschwerdegegnerin sei (als Geschädigte) für den "Hergang des Schadenereignisses" objektiv behauptungs- und beweisbelastet. In Anwendung der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zum Produktehaftpflichtgesetz habe sie aber nicht die Ursache des Produktefehlers zu beweisen, sondern lediglich jene Umstände, die zum Unfall geführt hätten, und "dass das Produkt nicht die Sicherheit aufwies, die der Durchschnittskonsument unter Berücksichtigung der Umstände berechtigterweise erwarten durfte". Es gelte das Beweismass der überwiegenden Wahrscheinlichkeit.
Im vorliegenden Fall - so führte die Vorinstanz weiter aus - habe die "genaue Schadensursache" allerdings nicht "eruiert" werden können. Die technischen Expertisen hätten einzig gezeigt, dass die Konstruktion des Lifts "allfällige Fehler [...] bei den Sicherheitssystemen von der Steuerung nicht erkennen und den Aufzug damit - trotz allfälligen Vorliegens eines Fehlers - weiterhin funktionieren" gelassen habe. Die Beschwerdegegnerin habe aber immerhin darlegen können, dass der Lift der Beschwerdeführerin "bei der Entstehung des Schadens eine Rolle gespielt" habe. Dies stelle ein "bedeutendes Indiz für das Bestehen eines Fehlers am Produkt" der Beschwerdeführerin dar. Die Ursache des Fehlers sei durch die Beschwerdegegnerin "nicht zu beweisen" gewesen. Gemäss Art. 55 OR werde das Vorliegen einer Sorgfaltspflichtverletzung vermutet.
In der Folge prüfte das Obergericht, ob der Beschwerdeführerin der Entlastungsbeweis nach Art. 55 Abs. 1 OR gelungen sei. Es sei davon auszugehen, dass sowohl die im Aufzug eingebaute Lichtschranke als auch die Schliesskraftbegrenzung als Schutzmechanismen versagt hätten. Beide Mechanismen stellten freiwillige Sicherheitsvorkehren dar, die über die Minimalvorschriften der einschlägigen SIA-Norm hinausgegangen seien. Indes: Wer über die SIA-Norm hinaus Sicherheitsstandards verbaue, die von den Benutzern erkannt und erwartet würden, habe zu gewährleisten, dass diese funktionierten. Die Beschwerdeführerin habe mit anderen Worten damit rechnen müssen, dass die Liftbenützer einen Körperteil zwischen die sich schliessende Lifttüre hielten, um den Schliessvorgang der Kabinentüre zu beenden. Sie (die Beschwerdeführerin) hätte folglich mit einer entsprechenden Konstruktion des Aufzugs verhindern müssen, dass bei einem solchen Verhalten ein Schaden entstehe; konkret mit einem "zweikanalig[en], überwachten Sicherheitskreis der Kategorie 3 gemäss EN 954-1" statt einer "einkanalig[en], nicht überwachte[n] Steuerung". Somit sei der Beschwerdeführerin der (Entlastungs-) Beweis nicht gelungen, dass sie alle nach den Umständen gebotene Sorgfalt angewendet habe, um einen Schaden in der Art des eingetretenen zu verhindern.
2.3.3. Die Beschwerdeführerin moniert unter anderem, dass die Vorinstanz Art. 55 OR verletzt, die Beweislast in Missachtung von Art. 8 ZGB umgekehrt und gegen die Verhandlungsmaxime (Art. 55 Abs. 1 ZPO) verstossen habe.
3.
3.1. Art. 55 OR setzt für die Haftung des Geschäftsherrn einen Schaden voraus, der durch dessen Hilfspersonen verursacht wurde (vgl. Urteile 4A_616/2019 vom 17. April 2020 E. 4.1.1; 4A_406/2019 vom 20. Februar 2020 E. 2.3.2; 4A_321/2011 vom 3. Oktober 2011 E. 2), im Bereich der Produzentenhaftung mithin einen Fehler am Produkt, auf den der Schaden kausal zurückzuführen ist. Diesen Grundsatz hat das Bundesgericht seiner Rechtsprechung zur aus Art. 55 OR abgeleiteten Produzentenhaftung stets zugrunde gelegt (siehe <ref-ruling> ["Friteusen-Fall"] E. 3b S. 90; 64 II 254 ["Steiggurt-Fall"] E. II.1/a und II.1/b; Urteil C.564/84 vom 14. Mai 1985 E. 3a und 3c, publiziert in: JdT 1986 I 571). Dass es sich bei der Geschäftsherrenhaftung um eine Kausalhaftung handelt, wie die Beschwerdegegnerin verschiedentlich hervorhebt, hat damit nichts zu tun.
Für die den Schaden verursachende Fehlerhaftigkeit trägt entsprechend der allgemeinen Regel in Art. 8 ZGB die Beschwerdegegnerin als Geschädigte die Behauptungs- und Beweislast (so auch im Bereich des PrHG, vgl. <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 3.3).
3.2. (Erst) wenn erstellt ist, dass ein durch die Fehlerhaftigkeit des Produkts verursachter Schaden eingetreten ist, stellt sich die Frage, ob dem Produzenten der Entlastungsbeweis gelungen ist. Mit diesem hat sich das Bundesgericht in <ref-ruling> ("Schachtrahmen-Fall") auseinandergesetzt. Es hat namentlich festgehalten, dass die vom Geschäftsherrn gemäss Art. 55 Abs. 1 OR verlangte Sorgfalt nötigenfalls auch die Endkontrolle seiner Erzeugnisse umfasse, wenn damit eine Schädigung Dritter verhindert werden könne (E. 3a). Sei eine Endkontrolle der Produkte nicht möglich oder unzumutbar, müsse der Geschäftsherr eine Konstruktionsart wählen, die Fabrikationsfehler und die sich daraus ergebende Schädigungsgefahr mit hoher Wahrscheinlichkeit ausschliesse (E. 3b).
Der Entlastungsbeweis ist vom Geschäftsherrn beziehungsweise vom Produzenten zu erbringen (vgl. Art. 55 Abs. 1 OR).
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin verweist auf die vorinstanzliche Feststellung, wonach "die genaue Schadensursache" nicht habe "eruiert" werden können und die "Ursache für den Fehler" durch die Beschwerdegegnerin "nicht zu beweisen" gewesen sei. Es sei "nicht erstellt, welches Konstrukt bzw. welche Komponente den Schaden verursacht" habe. Der Beschwerdegegnerin sei es folglich nicht gelungen, trotz der ihr obliegenden Beweislast einen schadensursächlichen (Konstruktions-) Fehler nachzuweisen.
Dem hält die Beschwerdegegnerin entgegen, dass sie nicht "den konkreten (technischen) Fehler des Lifts" nachweisen müsse. Es genüge der Beweis, dass sie "einen Unfall erlitten" habe und "dabei das fehlerhafte Produkt für den Schaden verantwortlich" sei.
4.2. Das Bundesgericht hat in Bezug auf Art. 4 PrHG in BGE <ref-ruling> ("Kaffeekannen-Fall") festgehalten, dass die geschädigte Person nicht die Ursache des Mangels zu beweisen habe. Es genüge, wenn sie aufzeige, dass das Produkt die berechtigten Sicherheitserwartungen des durchschnittlichen Konsumenten nicht erfüllt habe (E. 4.1). Ob diese Rechtsprechung auf Art. 55 OR zu übertragen ist, kann dahingestellt bleiben. Denn jedenfalls setzt die Fehlerhaftigkeit eines Produkts (auch) im Bereich der Geschäftsherrenhaftung voraus, dass das Produkt einen gefährlichen Zustand schafft und eine sicherere Konstruktion im Zeitpunkt der Inverkehrbringung möglich und zumutbar war. Dies folgt aus dem Gefahrensatz, welcher die Grundlage der gestützt auf Art. 55 OR entwickelten Produzentenhaftung darstellt (<ref-ruling> E. 3a S. 464; 64 II 254 E. II.1a S. 260).
4.3. In diesem Punkt unterscheidet sich der vorliegende Fall vom "Schachtrahmen-Urteil" (<ref-ruling>) :
Dort galt die Ursache des Schadens als erstellt (eine "Schlaufe war während des Härtevorgangs versehntlich berührt und verschoben worden, und danach war der Beton nicht noch einmal gestampft oder vibriert worden" [E. 2b S. 461]). Ebenso war ausgewiesen, dass eine "sicherere Konstruktion" möglich gewesen wäre (E. 3b S. 465). Es stellte sich daher einzig die Frage, ob sich der Geschäftsherr gestützt auf die in Art. 55 Abs. 1 OR vorgesehene Befreiungsmöglichkeit exkulpieren konnte.
Hier hat das Obergericht festgehalten, dass die genaue Schadensursache nicht habe ausfindig gemacht werden können. In Bezug auf die Frage, ob eine sicherere Konstruktion möglich und zumutbar gewesen wäre, führte es - unter dem Titel des Entlastungsbeweises - aus, dass die Beschwerdeführerin nicht vorgebracht habe, dass die Umsetzung eines zweikanaligen, überwachten Sicherheitskreises der Kategorie 3 gemäss EN 954-1 (was den Unfall verhindert hätte) für sie im Jahr 1993 nicht möglich oder aber unzumutbar gewesen wäre. Sie behaupte auch nicht, dass "der Konstruktionsfehler nach damaligem Stand der Technik nicht erkennbar gewesen" sei.
Die Beschwerdeführerin rügt in diesem Zusammenhang eine Verletzung der Verhandlungsmaxime, weil die Beschwerdegegnerin nicht behauptet habe, dass ein zweikanaliger, überwachter Sicherheitskreis der Kategorie 3 gemäss EN 954-1 sicherer gewesen wäre. Die Beschwerdegegnerin antwortet dazu lediglich, es handle sich hierbei um ein Element des Befreiungsbeweises der Geschäftsherrin, wofür diese (also die Beschwerdeführerin) beweisbelastet sei. Dies trifft nicht zu. Es geht vielmehr um die Frage, ob der Anwendungsbereich von Art. 55 OR überhaupt eröffnet ist, weil ein fehlerhaftes Produkt einen Schaden verursacht beziehungsweise ein Produkt zu einem gefährlichen Zustand geführt hat, obwohl (im Zeitpunkt der Inverkehrbringung) eine sicherere Konstruktion möglich und zumutbar gewesen war. Dafür ist nach dem Gesagten (Erwägungen 3.1 und 4.2) die Beschwerdegegnerin als Geschädigte behauptungs- und beweisbelastet. Dass sie Derartiges prozesskonform in das kantonale Verfahren eingeführt hätte, tut sie im bundesgerichtlichen Verfahren nicht dar, schon gar nicht hinreichend (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1).
4.4. Aus dem Umstand allein, dass der Lift "bei der Entstehung des Schadens eine Rolle" gespielt hat (so die Feststellung des Obergerichts), lässt sich nicht folgern, dass der Schaden (kausal) durch eine Fehlerhaftigkeit des Produkts (im eben dargestellten Sinne: Erwägung 4.2) verursacht worden ist. Auch der Umstand, dass im Nachhinein im Allgemeinen leicht feststellbar ist, durch welche Massnahmen in der Konstruktion eines Produkts ein Schaden hätte verhindert werden können, begründet als solcher keine Haftung (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 463; Urteil 4C.307/2005 vom 25. Januar 2006 E. 3.1 und 3.2). Die Vorinstanz scheint im Übrigen ganz allgemein aus dem Schadenseintritt zu schliessen, dass der Aufzug wohl fehleranfällig gewesen sein müsse. Dieser Schluss hält vor Bundesrecht nicht stand (vgl. auch BGE <ref-ruling> E. 3.3 S. 86: "En soi, le dommage ne prouve pas le défaut du produit [...]".). Damit ist aber der Beweis eines kausalen Produktfehlers gescheitert und fehlt es an einer haftungsbegründenden Voraussetzung von Art. 55 Abs. 1 OR.
4.5. Sind nicht alle Haftungsvoraussetzungen gegeben (beziehungsweise von der hierfür beweisbelasteten Partei behauptet und bewiesen), besteht kein Raum für eine Gutheissung der Klage. Darin ist sich auch die Lehre einig, welche die bundesgerichtliche Praxis zur Produzentenhaftung teils unterstützend, teils missbilligend mitverfolgt. Es erübrigt sich im vorliegenden Verfahren, auf die doktrinellen Streitpunkte im Einzelnen einzugehen. Ebenso kann offen bleiben, wie es sich mit der weiteren in der Beschwerde geübten Kritik verhält, so etwa derjenigen, die Vorinstanz habe den Entlastungsbeweis zu Unrecht als nicht erbracht beurteilt.
5.
Die Beschwerde ist gutzuheissen. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben, und die Klage der Beschwerdegegnerin ist in Anwendung von Art. 107 Abs. 2 BGG abzuweisen.
Die Sache ist zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen (vgl. Art. 67 und 68 Abs. 5 BGG).
Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren kosten- und entschädigungspflichtig (vgl. Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern, 2. Zivilkammer, vom 4. November 2020 (ZK 20 374), wird aufgehoben. Die Klage von B._ wird abgewiesen. Die Sache wird zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Mai 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Stähle