Faits :
A.
A._ est domiciliée dans la commune de Mont-Noble. Elle est mère d'un enfant qui devait commencer sa scolarité secondaire à la rentrée 2017/2018 dans un cycle d'orientation en ville de Sion. En mars 2016, l'intéressée s'est adressée à l'autorité communale compétente pour lui signaler que cette scolarisation allait poser des difficultés, notamment en raison des horaires des transports publics et de la distance existant entre le domicile de l'élève et l'établissement scolaire. Le 12 juillet 2017, A._ a formellement demandé à l'autorité précitée de pouvoir scolariser son enfant dans un autre cycle d'orientation. Cette demande a été refusée par la commune de Mont-Noble.
B.
A._ s'est ensuite adressée au Département de l'économie et de la formation du canton du Valais (ci-après: le Département) qui, par décision du 16 août 2017, a accepté que l'élève soit scolarisé dans un autre établissement, en raison d'un trajet nettement plus court. Le 20 décembre 2017, le Conseil d'Etat du canton du Valais (ci-après: le Conseil d'Etat) a déclaré irrecevable un recours du 31 août 2017 déposé par la commune de Mont-Noble contre la décision du Département du 16 août 2017, faute de qualité pour recourir. Le 15 janvier 2018, la commune de Mont-Noble a contesté ce prononcé auprès de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Tribunal cantonal) qui, par arrêt du 16 août 2018, a rejeté ce recours en procédant à une substitution de motifs. Le Tribunal fédéral, dans un arrêt du 20 février 2019 (2C_654/2018), a admis le recours élevé par la commune de Mont-Noble contre l'arrêt cantonal, en raison d'une violation du droit d'être entendu. Statuant à nouveau après avoir donné la possibilité à la commune de Mont-Noble de se déterminer, le Tribunal cantonal, par arrêt du 17 septembre 2019, a rejeté le recours.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, la commune de Mont-Noble demande en substance au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du Tribunal cantonal du 17 septembre 2019, ainsi que d'annuler la dérogation tendant à scolariser l'enfant de A._ auprès d'un cycle d'orientation de Sion; subsidiairement d'annuler l'arrêt précité et de renvoyer la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Le Tribunal cantonal renonce à se déterminer. Le Département et le Conseil d'Etat concluent tous deux au rejet du recours. A._ s'est déterminée sans prendre de conclusions.

Considérant en droit :
1.
1.1. L'arrêt entrepris constitue une décision finale (<ref-law>), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>). Le recours ne tombe pas sous le coup des exceptions figurant à l'<ref-law>. La voie du recours en matière de droit public est donc en principe ouverte. Le recours a en outre été déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites (<ref-law>).
1.2. Selon l'art. 89 al. 2 let. c LTF, les communes et autres collectivités publiques ont qualité pour recourir lorsqu'elles invoquent la violation de garanties qui leur sont reconnues par les Constitutions cantonales ou fédérale. En pareille hypothèse, la qualité pour recourir est en principe admise et la question de savoir si une commune est réellement autonome dans le domaine considéré examinée au fond (<ref-ruling> consid. 1.2.4 p. 41). La recourante invoque la violation de l'autonomie que lui confère l'art. 50 al. 1 Cst. en la matière (cf. également art. 6 let. h de la loi valaisanne du 5 février 2004 sur les communes [LCo/VS; RSVS 175.1]). Son recours est par conséquent recevable sous cet angle.
1.3. L'objet de la contestation porté devant le Tribunal fédéral est déterminé par l'arrêt attaqué. L'objet du litige, délimité par les conclusions des parties (<ref-law>), ne saurait s'étendre au-delà de l'objet de la contestation. Par conséquent, devant le Tribunal fédéral, le litige peut être réduit, mais ne saurait être ni élargi, ni transformé par rapport à ce qu'il était devant l'autorité précédente, qui l'a fixé dans le dispositif de l'arrêt entrepris (et qui est devenu l'objet de la contestation devant le Tribunal fédéral; <ref-ruling> consid. 4.4.2 p. 156 et les références).
En l'occurrence, l'examen de l'autorité précédente s'est exclusivement porté sur le point de savoir si la recourante pouvait invoquer son autonomie communale, afin de pouvoir recourir devant les autorités cantonales dans la présente cause. Elle a ainsi rejeté le recours formé par la commune recourante contre une décision initiale d'irrecevabilité. Par conséquent, la conclusion de la recourante, par laquelle celle-ci demande l'annulation de la dérogation tendant à scolariser l'enfant de l'intimée auprès d'un cycle d'orientation de Sion et qui concerne le fond, est irrecevable car hors de l'objet de la contestation.
2.
2.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.4.3 p. 156). Le recourant ne peut critiquer les constatations de fait ressortant de la décision attaquée que si celles-ci ont été effectuées en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 6 p. 358). Conformément à l'<ref-law>, le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 6.3 p. 375). Par ailleurs, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut en principe être présenté devant le Tribunal fédéral (<ref-law>).
2.2. Sauf dans les cas cités expressément à l'<ref-law>, le recours devant le Tribunal fédéral ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal (ou communal) en tant que tel. En revanche, il est possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal ou communal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine toutefois le moyen tiré de la violation d'une norme de rang constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise (<ref-law>).
2.3. Selon la jurisprudence, une décision est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 7.3 p. 174 s. et les références). Lorsque la partie recourante s'en prend à l'appréciation des preuves et à l'établissement des faits, la décision n'est arbitraire que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a procédé à des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 6 p. 358).
3.
3.1. Selon l'art. 50 al. 1 Cst., l'autonomie communale est garantie dans les limites fixées par le droit cantonal. Une commune bénéficie de la protection de son autonomie dans les domaines que le droit cantonal ne règle pas de façon exhaustive, mais qu'il laisse en tout ou partie dans la sphère communale, conférant par là aux autorités municipales une liberté de décision relativement importante. L'existence et l'étendue de l'autonomie communale dans une matière concrète sont déterminées essentiellement par la constitution et la législation cantonales. Il n'est pas nécessaire que la commune soit autonome pour l'ensemble de la tâche communale en cause; il suffit qu'elle soit autonome dans le domaine litigieux (cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 130 s.; arrêt 1C_231/2016 du 21 novembre 2016 consid. 4.1.1). Il faut néanmoins mentionner que, lorsque l'étendue de l'autonomie communale est déterminée par des dispositions de droit cantonal, la cognition du Tribunal fédéral est limitée à l'arbitraire lorsqu'il s'agit d'interpréter ce droit (cf. consid. 2.2 ci-dessus; cf. <ref-ruling> consid. 4.2 p. 293).
3.2. A teneur de l'art. 69 phr. 1 de la Constitution du canton du Valais du 8 mars 1907 (Cst-VS; RS 131.232), les communes sont autonomes dans le cadre de la Constitution et des lois. Cette disposition est concrétisée à l'art. 2 al. 1 LCo/VS, qui prévoit pour sa part que les collectivités de droit public sont autonomes pour toutes les tâches qu'elles entreprennent de leur propre initiative, dans l'intérêt public. Elles sont en outre autonomes, dans les limites des dispositions légales, pour l'exécution des tâches déléguées. Conformément à l'art. 70 al. 2 Cst-VS, les communes accomplissent leurs tâches propres et celles que leur attribue la loi. Ainsi, l'art. 6 let. h LCo/VS dispose que, sous réserve des législations cantonale et fédérale, la commune municipale a notamment comme attribution l'enseignement dans les écoles enfantines, dans les écoles primaires et au cycle d'orientation. S'agissant en particulier de l'enseignement au cycle d'orientation, la loi valaisanne du 10 septembre 2009 sur le cycle d'orientation (LCO/VS; RSVS 411.2) pose les principes de l'organisation de l'enseignement du degré secondaire I dispensé dans les écoles du cycle d'orientation (<ref-law>/VS).
4.
4.1. Dans l'arrêt entrepris, le Tribunal cantonal a procédé à une double motivation, afin de rejeter le recours de l'intéressée.
Dans un premier temps, il a constaté que la commune recourante avait signé une convention intercommunale instituant une association de communes, permettant d'assurer en commun l'organisation et le fonctionnement de l'enseignement secondaire du premier degré. Un tel groupement était permis par l'<ref-law>/VS, qui dispose que, selon l'importance du bassin scolaire, les écoles du cycle d'orientation peuvent être communales ou intercommunales, plusieurs communes pouvant créer des écoles intercommunales. La collaboration intercommunale est régie par la LCo/VS, sous réserve des dispositions particulières de la LCO/VS. Forte de ces considérations, l'autorité précédente a jugé, en se basant notamment sur sa jurisprudence et sur l'<ref-law>/VS, qui prévoit que le conseil d'administration d'un cycle d'orientation intercommunal assume les responsabilités et les tâches qui lui sont confiées en lieu et place des communes associées ou partenaires, que la commune recourante n'avait pas la qualité pour recourir, dans la mesure où cette compétence revenait au conseil d'administration du cycle d'orientation concerné.
Dans une motivation alternative, le Tribunal cantonal a, par ailleurs, également nié toute autonomie de la commune recourante quant à la possibilité de gérer les dérogations relatives au lieu de scolarisation. A ce propos, il s'est fondé sur l'art. 28 de la loi valaisanne du 15 novembre 2013 sur l'enseignement primaire (LEP/VS; RSVS 411.0), applicable par analogie à l'enseignement secondaire du premier degré (cf. <ref-law>/VS), qui prévoit, à ses al. 1 et 2, que les élèves fréquentent l'école de leur commune de domicile, respectivement de leur région (écoles intercommunales) et que le Département décide du lieu de scolarisation des cas particuliers, sur préavis des communes et après avoir entendu les parents. L'autorité précédente, faisant application de ces dispositions, a jugé que la recourante était privée de son autonomie quant à la question du lieu de scolarisation dans les cas particuliers et qu'il s'agissait d'une réserve de droit cantonal prévue par l'art. 6 LCo/VS. Elle a par ailleurs écarté les arguments de la recourante relatifs au fait que l'impact de la décision initiale allait bien au-delà du seul cas d'espèce, relevant qu'il s'agissait d'une requête isolée relative à un seul enfant.
4.2. Pour sa part, la recourante estime, dans un premier grief, que son autonomie communale a été violée. Elle rappelle la teneur des art. 6 let. h LCo/VS et 28 al. 1 LCO/VS et constate que toute dérogation au principe de la scolarisation au lieu de domicile va à l'encontre des attributions communales. Elle reconnaît une compétence au Département, mais est d'avis que celle-ci est résiduelle et doit rester exceptionnelle, puisque le principe de la scolarisation au lieu de domicile est clair. La recourante considère que le Département a outrepassé sa compétence en statuant sur la demande de dérogation de l'intimée et qu'en n'examinant pas les conditions matérielles de cette dérogation, le Tribunal cantonal a violé son droit d'être entendue. Elle se prévaut par ailleurs d'une interprétation manifestement inexacte des faits par le Tribunal cantonal, qui n'a pas tenu compte des conditions de "contraintes géographiques" et de "cas particulier" et demande au Tribunal fédéral de vouloir revoir les faits et moyens de preuve. Elle présente ensuite ses vision et appréciation des faits en relation avec ces deux notions.
Dans un second grief, la recourante s'en prend à l'interprétation de l'<ref-law>/VS effectuée par l'autorité précédente. A son avis, il n'est pas question de substituer sans aucune restriction le conseil d'administration aux communes. Ce n'est selon elle que dans le cadre des tâches et des responsabilités qui sont confiées au conseil d'administration par la commune en question que celui-là est substitué à celle-ci. Egalement en relation avec ce grief, la recourante demande au Tribunal fédéral de bien vouloir revoir les faits et moyens de preuve retenus, selon elle, de manière manifestement inexacte et arbitraire par le Tribunal cantonal. Elle présente ensuite ses vision et appréciation des faits.
5.
5.1. En tout premier lieu, force est de constater que la recourante présente librement sa propre interprétation du droit cantonal, sans jamais en invoquer une éventuelle interprétation arbitraire de la part du Tribunal cantonal. Le simple fait de parsemer son argumentation du terme arbitraire ne saurait être suffisant pour remplir l'obligation de motivation contenue à l'<ref-law>. Pour cette raison déjà, son recours ne peut qu'être rejeté.
Quand bien même il faudrait admettre une motivation suffisante de la part de la recourante, l'issue du recours ne serait toutefois pas différente.
5.2. S'agissant tout d'abord de la première motivation de l'autorité précédente, c'est-à-dire celle relative à l'incompétence de la recourante en raison de l'existence d'une convention intercommunale instituant la compétence du conseil d'administration du cycle d'orientation (<ref-law>/VS), elle n'est en aucun cas arbitraire. Sur le vu de la lettre de l'<ref-law>/VS, qui, il faut le rappeler, prévoit que le conseil d'administration d'un cycle d'orientation intercommunal assume les responsabilités et les tâches qui lui sont confiées en lieu et place des communes associées ou partenaires, et du contenu de la convention intercommunale à laquelle la recourante est partie, il est pleinement soutenable de juger que celle-ci n'avait pas de qualité décisionnelle, respectivement pour recourir en la matière. La convention précitée prévoit en effet que le conseil d'administration du cycle d'orientation constitue une autorité politique de décision, dont les compétences sont celles prévues par les dispositions légales. Il n'est ainsi pas arbitraire de retenir que les communes municipales concernées n'ont plus aucune compétence décisionnelle. En outre, les faits dont la recourante estime qu'ils ont été établis de manière manifestement arbitraire par l'autorité précédente et qu'elle présente de manière totalement appellatoire, n'y changent rien.
5.3. Quant à la seconde motivation de l'autorité précédente, il n'est pas arbitraire de retenir que, dans la mesure où le Département est compétent pour statuer sur les cas particuliers, conformément à l'art. 28 al. 2 LEP/VS, la demande de l'intimée, qui ne concerne qu'un seul enfant, devait être examinée par cette autorité et non par la recourante. Celle-ci fait certes valoir que d'autres enfants pourraient être tentés de faire des demandes semblables. Il ne s'agit-là que de simples spéculations qui ne remplissent pas les conditions de l'<ref-law> pour permettre de retenir que les faits ont été établis de manière inexacte par le Tribunal cantonal. D'ailleurs, celui-ci a de toute façon expliqué, de manière pleinement soutenable, pourquoi il s'agissait effectivement d'une requête isolée. Il a clairement retenu que chaque cas devait être analysé selon ses propres spécificités. Finalement, dans la mesure où la recourante invoque une violation de son droit d'être entendue, ce grief ne peut qu'être écarté, n'étant en aucun cas motivé à suffisance, conformément à l'<ref-law>.
5.4. Que l'on retienne l'une ou l'autre motivation, qui font chacune montre d'une interprétation exempte d'arbitraire du droit cantonal, on constate que la recourante ne bénéficiait pas d'une autonomie pour statuer sur la requête au fond, c'est-à-dire sur le point de savoir si l'enfant de l'intimée pouvait être exceptionnellement scolarisé ailleurs que dans un cycle d'orientation de Sion. Dans ces conditions, c'est à juste titre que le Tribunal cantonal a jugé que l'autonomie communale de la recourante n'était pas violée et confirmé la décision d'irrecevabilité du Conseil d'Etat. Le recours doit par conséquent être rejeté, dans la mesure où il est recevable.
6.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires (art. 66 al. 1 et 4 LTF), ni alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué à la mandataire de la recourante, à l'intimée, au Département de l'économie et de la formation, au Conseil d'Etat et à la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 10 février 2020
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Tissot-Daguette