Fatti:
A.
Con contratto del 29 maggio 2017 la B._ SA ha assunto A._ quale "re sponsabile amministrativo / contabile" con un salario lordo mensile di fr. 7'000.-- per tredici mensilità, poi aumentato il 5 luglio 2017 a fr. 8'000.-- mensili. Il 23 ottobre 2017 la datrice di lavoro ha disdetto il contratto per il 30 novembre 2017, termine poi prorogato al 31 dicembre 2017 a seguito di un infortunio del dipendente, rilevando che "il suo profilo professionale risulta essere più vicino ad un'impostazione quale lavoratore indipendente e mal si concilia con una struttura come la nostra, dove la capacità di lavorare in team, con persone attive in aree professionali diverse, risulta essere indispensabile". Con e-mail dello stesso giorno, tramite il suo amministratore C._, oltre a precisare che "non è più possibile per me continuare un rapporto professionale con te caratterizzato da inutili ed incomprensibili tensioni" stante che "nemmeno un dialogo amichevole e costruttivo tra di noi è servito a riportare il giusto clima accettabile sia da parte mia che da parte di tutti i nostri colleghi", B._ SA lo ha eso nerato da ogni obbligo lavorativo. A._ ha contestato la disdetta il 30 novembre 2017. Egli ha reputato abusivo il licenziamento, in quanto notificatogli dal datore di lavoro per non dar seguito alla promessa di un ulteriore aumento salariale.
B.
A._ ha introdotto il 6 marzo 2018 un'istanza di conciliazione e ha ottenuto l'autorizzazione ad agire nell'aprile successivo. Con petizione del 14 giugno 2018 egli ha convenuto la B._ SA davanti alla Pretura del distretto di Lugano per ottenerne la condanna al pagamento di un'indennità per licenziamento abusivo di fr. 24'000.-- oltre interessi. La convenuta si è opposta alla petizione. Statuendo il 2 marzo 2020 il Pretore ha parzialmente accolto la petizione e ha condannato la convenuta al pagamento di fr. 16'000.-- lordi oltre interessi all'attore, con obbligo di rifondergli fr. 2'400.-- per ripetibili. Secondo il primo giudice l'attore non aveva ricevuto alcuna promessa di aumento di salario, né compiti aggiuntivi rispetto a quelli descritti nel contratto, di modo che le contrarie affermazioni dell'interessato, non documentate, non rendevano di per sé abusivo il licenziamento. Egli l'ha però reputato tale, poiché la convenuta non aveva intrapreso tutto quanto si poteva esigere da lei per stemperare i dissidi tra l'attore e i suoi colleghi.
C.
Con appello del 4 maggio 2020 la B._ SA ha chiesto, in riforma del giudizio impugnato, il rigetto della petizione protestando ripetibili per entrambi i gradi di giurisdizione. L'attore ha risposto il 15 maggio 2020, proponendo il rigetto dell'appello. Con sentenza del 26 novembre 2020 la II Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino ha accolto il gravame e riformato la sentenza del Pretore, respingendo la petizione e accordando alla convenuta ripetibili a carico dell'attore. Per i giudici cantonali il licenziamento non era abusivo, visto che l'attore si era reso protagonista di manchevolezze e di violazioni contrattuali, consistenti in ripetuti comportamenti "sopra le righe"e in iniziative che esulavano dalle attività per cui era stato assunto. Essi lo hanno biasimato non solo di essere all'origine di una situazione conflittuale all'interno dell'azienda, per cui aveva già ricevuto dei richiami, ma anche di aver disatteso il suo dovere di fedeltà e di diligenza e per essersi immischiato in aspetti che esulavano dalle attività per le quali era stato assunto. La convenuta, hanno soggiunto, aveva allegato le condotte reprensibili dell'attore nella risposta e i testi e gli amministratori della società le avevano confermate in corso d'istruttoria. Il licenziamento era necessario per tutelare la personalità degli altri dipendenti della ditta, rispettivamente i clienti, prima ancora che per rimediare al cattivo clima interno all'azienda.
D.
Con atto del 29 dicembre 2020, che racchiude un ricorso in materia civile e - in via subordinata - uno sussidiario in materia costituzionale, A._ postula, in parziale accoglimento della petizione, la condanna della B._ SA al pagamento di fr. 16'000.-- lordi oltre interessi in suo favore e la conseguente modifica dei giudizi sulle ripetibili fissate nelle sedi cantonali.
Il 22 febbraio 2021 la B._ SA ha proposto di respingere tanto il ricorso in materia civile, quanto quello sussidiario in materia costituzionale. L'autorità cantonale ha rinunciato a presentare osservazioni.

Diritto:
1.
Il ricorso in materia civile è presentato tempestivamente dalla parte soccombente nella procedura cantonale (art. 100 cpv. 1 e 76 cpv. 1 lett. a LTF) ed è volto contro una sentenza finale (<ref-law>) emanata su ricorso dall'autorità ticinese di ultima istanza (<ref-law>) in una causa civile in materia di diritto del lavoro (<ref-law>). Il valore litigioso supera la soglia di fr. 15'000.-- prevista dall'<ref-law>. La via del ricorso in materia civile è pertanto aperta. In simili circostanze, vista la proponibilità del predetto rimedio di diritto, il ricorso sussidiario in materia costituzionale si rivela d'acchito inammissibile (<ref-ruling> consid. 5 pag. 552). L'argomentazione posta a fondamento di quel gravame sarà tuttavia esaminata nella trattazione del ricorso in materia civile, al quale - del resto - lo stesso insorgente ha fatto riferimento nel suo ricorso sussidiario in materia costituzionale.
2.
Il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto federale (<ref-law>). Tuttavia, tenuto conto dell'onere di allegazione e motivazione imposto dall'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, di regola considera solo gli argomenti proposti nell'atto di ricorso (<ref-ruling> consid. 2.4, con rinvii). Giusta l'<ref-law> nei motivi del ricorso occorre spiegare in modo conciso perché l'atto impugnato viola il diritto. Un ricorso non sufficientemente motivato è inammissibile (<ref-ruling> consid. 1.2.2; <ref-ruling> consid. 2.4). Per soddisfare le esigenze di motivazione, il ricorrente deve confrontarsi con l'argomentazione della sentenza impugnata e spiegare in cosa consiste la violazione del diritto. Egli non può limitarsi a ribadire le posizioni giuridiche assunte durante la procedura cantonale, ma deve criticare i considerandi del giudizio attaccato che ritiene lesivi del diritto (sentenza 4A_273/2012 del 30 ottobre 2012 consid. 2.1, non pubblicato in <ref-ruling>).
Il Tribunale federale fonda invece il suo ragionamento giuridico sugli accertamenti di fatto svolti dall'autorità inferiore (<ref-law>), che sono vincolanti. A questi appartengono sia le constatazioni concernenti le circostanze relative all'oggetto del litigio sia quelle riguardanti lo svolgimento della procedura innanzi all'autorità inferiore e in prima istanza, vale a dire gli accertamenti che attengono ai fatti procedurali (<ref-ruling> consid. 1.3.1 con riferimenti). Il Tribunale federale può unicamente rettificare o completare l'accertamento dei fatti dell'autorità inferiore, se esso è manifestamente inesatto o risulta da una violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> (<ref-law>). "Manifestamente inesatto" significa in questo ambito "arbitrario" (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.5). La parte che critica la fattispecie accertata nella sentenza impugnata deve sollevare la censura e motivarla in modo preciso, come esige l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling> consid. 2.3, con rinvii). Essa deve spiegare in maniera chiara e circostanziata in che modo queste condizioni sarebbero soddisfatte (<ref-ruling> consid. 1.3.1, con rinvii). Se vuole completare la fattispecie deve dimostrare, con precisi rinvii agli atti della causa, di aver già presentato alle istanze inferiori, rispettando le regole della procedura, i relativi fatti giuridicamente pertinenti e le prove adeguate (<ref-ruling> consid. 2). Se la critica non soddisfa queste esigenze, le allegazioni relative a una fattispecie che si scosta da quella accertata non possono essere prese in considerazione (<ref-ruling> consid. 1.3.1). L'eliminazione del vizio deve inoltre poter essere determinante per l'esito del procedimento (<ref-law>).
3.
Nella fattispecie si tratta di determinare se il licenziamento del 23 ottobre 2017 sia o no abusivo. Quesito, spiega il ricorrente, al quale il Pretore ha risposto in modo affermativo, diversamente dal Tribunale di appello, di parere contrario. Il ricorrente rimprovera alla Corte cantonale di aver violato il diritto federale e di avere accertato i fatti in modo arbitrario: a torto essa non avrebbe considerato le prove favorevoli al lavoratore, avrebbe ammesso quanto raccontato dal datore di lavoro e avrebbe qualificato il ricorrente quale lavoratore con responsabilità; inoltre il Tribunale di appello avrebbe attribuito alle parole del suo patrocinatore un errato significato. Il ricorrente fornisce quindi una sintesi delle "principali evenienze istruttorie", in cui riassume la petizione e la risposta, si confronta con due sentenze del Tribunale federale citate dalla Corte cantonale (<ref-ruling> e 4C.73/2006 del 22 dicembre 2006) e afferma che non era un quadro, che il rapporto di fiducia non era venuto meno e che il clima sul posto di lavoro era effettivamente cattivo. Riepiloga altresì le conclusioni del datore di lavoro e le dichiarazioni della teste D._ (che l'opponente avrebbe tentato di influenzare) e di altri testimoni, per evidenziare un anomalo andirivieni di personale, un cattivo ambiente di lavoro, e dei dissapori tra lui ed altri dipendenti della società convenuta. Asserisce di avere un carattere un po' difficile, che avrebbe comunque permesso la continuazione del rapporto di lavoro, se l'opponente avesse adottato almeno una delle misure indicate dalla giurisprudenza prima di licenziare un dipendente per il suo carattere difficile. Termina riepilogando la sentenza di primo grado.
Così come proposto, il ricorso si esaurisce in una libera esposizione dei fatti e in alcuni commenti a due decisioni del Tribunale federale, senza alcuna critica puntuale alla sentenza impugnata. Mancano, in altri termini, delle censure chiare al verdetto della Corte cantonale. In simili condizioni, il gravame non adempie le suddette esigenze di motivazione (cfr. consid. 2) e si avvera inammissibile.
4.
4.1. Secondo l'<ref-law>, un contratto di lavoro concluso a tempo indeterminato può essere disdetto da entrambe le parti. Nel diritto del lavoro svizzero prevale la libertà di disdetta, per cui una disdetta non deve in linea di principio basarsi su un motivo specifico per essere valida (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 4.1).
4.2. Il diritto di ciascuna parte contraente di rescindere unilateralmente il contratto è tuttavia limitato dalle disposizioni sulla disdetta abusiva (art. 336 segg. CO; <ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 4.1). L'art. 336 cpv. 1 e 2 CO enumera i casi in cui una disdetta è abusiva; questo elenco non è tuttavia esaustivo e il licenziamento abusivo può essere ammesso anche in altre circostanze. Tuttavia, queste altre situazioni devono essere paragonabili, per la loro gravità, ai casi espressamente previsti dall'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 4.2). Così, una disdetta può essere ingiusta a causa del modo in cui viene data (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 4.2), quando è data da un datore di lavoro che viola i diritti della personalità del lavoratore (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 4.2), quando vi è una sproporzione evidente tra gli interessi in gioco, o quando un istituto giuridico è utilizzato in modo contrario al suo scopo (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 2.4; <ref-ruling> consid. 4.2).
4.3. Per stabilire se un licenziamento è abusivo, è necessario esaminare il motivo reale dello stesso. Determinare il motivo di un licenziamento è una questione di fatto (cfr. <ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 4.3 pag. 540; <ref-ruling> consid. 4.1).
5.
La Corte cantonale ha tutelato il licenziamento del ricorrente non solo perché aveva contribuito a generare un cattivo il clima di lavoro tra lui e diversi suoi colleghi, ma anche a causa di sue manchevolezze e violazioni contrattuali e a tutela della personalità degli altri dipendenti dell'opponente e dei suoi clienti. A suo avviso l'opponente poteva rimproverargli una violazione del suo obbligo di fedeltà e di diligenza, perché egli aveva tenuto a più riprese comportamenti "sopra le righe"e irrispettosi verso colleghi, superiori e clienti, e si era immischiato in aspetti che esulavano dalle attività per le quali era stato assunto. L'opponente aveva già accennato a quegli aspetti nella risposta di causa e i testi avevano confermato quelle critiche, corroborate pure dalle deposizioni degli amministratori (cfr. sentenza impugnata, pag. 4-7, consid. 6.1).
I giudici cantonali hanno altresì accertato che il ricorrente era stato oggetto di richiami e che l'opponente l'aveva invitato a non intromettersi in questioni che esulavano dalle sue competenze. Prima del suo licenziamento, il ricorrente aveva avuto un "dialogo amichevole e costruttivo" con C._, che però non aveva permesso di riportare il giusto clima di lavoro, accettabile per l'amministratore e per tutti i colleghi. La deposizione di C._, che confermava tale circostanza ed era corroborata anche dallo scambio di scritti del 23 ottobre 2017 tra lui e il ricorrente e dalla deposizione di E._, era dunque da reputare veritiera. Il datore di lavoro aveva quindi fatto il possibile, vista anche la breve durata del rapporto contrattuale inferiore a cinque mesi, per rimediare al conflitto, talché la disdetta non poteva dirsi abusiva (cfr. sentenza impugnata, pag. 7, consid. 6.2).
6.
6.1. Il ricorrente sostiene anzitutto che il licenziamento era motivato dal suo particolare carattere, che avrebbe concorso a rendere cattivo il clima di lavoro, ma non da altre sue manchevolezze, né da violazioni contrattuali. L'opponente stessa, prosegue, non avrebbe neanche accennato nei suoi allegati a una violazione dell'obbligo di fedeltà. Se mai avrebbe affermato ripetutamente il contrario e che egli non avrebbe mai rivestito una "certa funzione di responsabilità" : i due amministratori, infatti, lo avrebbero descritto come un dipendente senza compiti dirigenziali e senza diritto di firma. Pertanto, le sentenze <ref-ruling> e 4C.73/2006 del 22 dicembre 2006 invocate dai giudici cantonali non sarebbero applicabili, stante l'assenza di una qualsiasi funzione di responsabilità.
Ora, per criticare il motivo reale del licenziamento accertato dalla Corte cantonale non basta opporre la propria opinione a quella della Corte, ma occorre indicare con precisione perché siano viziati da arbitrio i riferimenti alla risposta dell'opponente e gli accertamenti operati dai giudici di appello partendo dalle testimonianze e dalle deposizioni agli atti, che suffragano dei comportamenti del ricorrente giudicati irrispettosi verso colleghi, superiori e clienti, lesivi del contratto e non conformi ai compiti a lui impartiti (cfr. sopra, consid. 2 e 4.3). Insufficientemente motivato, sotto questo profilo il gravame è inammissibile.
È vero che l'insorgente non rivestiva una funzione di dirigente, ma gli obblighi di fedeltà e di diligenza e quello di rispettare le direttive ricevute dal proprio datore di lavoro valgono per qualsiasi lavoratore, il quale ha il dovere di salvaguardarne gli interessi legittimi. Certo, la condotta dei quadri è apprezzata con accresciuto rigore (<ref-ruling> consid. 2c), ma questo non significa che un lavoratore senza funzione dirigenziale possa infrangere il suo dovere di fedeltà verso il datore di lavoro. La reciproca fiducia tra le parti, in ultima analisi, è alla base di ogni contratto di lavoro (<ref-ruling> consid. 2c; <ref-ruling> consid. 3a in fine). È stato così giudicato non abusivo il licenziamento di un collaboratore con funzione di capo gruppo del centro spedizioni di una banca, che non ha accettato il suo superiore, che non ha ripetutamente rispettato gli incarichi e gli ordini a lui impartiti e che si è permesso commenti sprezzanti e spesso insultanti verso colleghi e superiori (cfr. sentenza 4C.73/2006 del 22 dicembre 2006 consid. 2.3). Su questo punto il rimedio è pertanto infruttuoso.
6.2. Per il ricorrente gli accertamenti operati dai giudici di appello fondati sulle dichiarazioni dei testi F._, D._, G._ e H._ sarebbero arbitrari, poiché essi non avrebbero vissuto di persona i fatti da loro narrati, non avrebbero partecipato ai litigi o sarebbero parti interessate, in quanto assunti in qualità di direttori. Le deposizioni di E._ e di C._, invece, non avrebbero alcuna forza probatoria e le loro dichiarazioni sarebbero inventate: la violazione dell'obbligo di fedeltà e di diligenza e quella di direttive del datore di lavoro non sarebbero dunque state comprovate.
F._, è vero, ha confermato di non aver assistito alla lite tra il ricorrente e D._. Il fatto da lei narrato, però, era vero, poiché confermato dalla diretta interessata, la quale ha dichiarato di avere avuto "un paio di scontri" con il ricorrente (cfr. verbale di interrogatorio del 9 luglio 2019, pag. 2). G._, poi, non era un collaboratore dell'opponente, bensì un dirigente di I._ SA, una cliente dell'opponente, e a lui il ricorrente aveva tra l'altro chiesto quanto guadagnasse (cfr. verbale di interrogatorio del 10 settembre 2019, pag. 3). Non si è trattato di questioni o di conflitti all'interno dell'azienda, bensì d'una richiesta di informazione impropria, che esulava chiaramente dai compiti a lui affidati di responsabile amministrativo/ contabile (cfr. doc. B), tanto da suscitare lo stupore della persona richiesta: così agendo, egli ha disatteso il dovere di attenersi alle mansioni specifiche a lui affidate per contratto (cfr. art. 321a cpv. 1 e 321d cpv. 2 CO).
Quanto alle deposizioni degli organi dell'opponente, non si misconosce che esse siano da apprezzare con cautela; tuttavia, anche una deposizione di una parte può avere rilevanza probatoria (cfr. <ref-ruling> consid. 9.3.2), specie se è corroborata da altre prove (PETER HAFNER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3aed. 2017, n. 8 ad <ref-law>). In concreto H._, contabile e direttrice e responsabile del settore fiscale dell'opponente, ha riferito di aver assistito personalmente a screzi tra il ricorrente e dei colleghi e che costui aveva avuto con taluni di essi scontri più intensi ai quali lei non aveva assistito di persona, ma di cui lei aveva discusso con quest'ultimo e con i colleghi coinvolti; ha confermato "vari scontri" con D._, la quale - già si è detto - ha ammesso di averne avuto un paio con il ricorrente; e ha ricordato che costui, "con un linguaggio piuttosto colorito", aveva reputato quest'ultima inidonea per la funzione da lei assunta. E._ ha confermato liti del ricorrente con altri dipendenti della struttura e anche con clienti dell'opponente, soggiungendo di averlo esortato a limitarsi al suo settore della contabilità e di non invadere altri settori non di sua competenza (cfr. verbale di interrogatorio del 17 dicembre 2019, pag. 2). Tali deposizioni sono compatibili con quelle di taluni testi, in particolare laddove riferiscono di attitudini del ricorrente contrarie agli interessi dell'azienda per aver assunto un comportamento biasimevole verso una collaboratrice di una cliente e invaso settori non di sua pertinenza, fino a cercare di raccogliere informazioni sui redditi di impiegati di clienti. Simili comportamenti configurano delle violazioni del dovere di diligenza e fedeltà verso il datore di lavoro. In estremi del genere gli accertamenti dei giudici di appello non appaiono arbitrari e il loro giudizio resiste alla critica.
6.3. Secondo il ricorrente le allegazioni di risposta dell'opponente, evidenziate dalla Corte cantonale sulle violazioni del dovere di diligenza e di fedeltà sarebbero generiche, non dimostrate e se mai idonee a dare atto di un carattere difficile, ma non di mancanze all'obbligo di diligenza o di fedeltà. L'istruttoria, soggiunge, avrebbe dimostrato che egli non sarebbe una persona così insopportabile, che sarebbe se mai molto capace professionalmente e che il datore di lavoro avrebbe avuto fiducia in lui. L'opponente, epiloga, avrebbe dovuto specificare degli episodi in cui egli avrebbe violato il dovere di fedeltà e di diligenza; invece, tutte le affermazioni riprese dai giudici cantonali attesterebbero che il licenziamento sarebbe stato pronunciato per il suo carattere difficile.
La Corte cantonale ha spiegato che nella risposta l'opponente aveva indicato che il ricorrente si era comportato in modo disdicevole, aveva reso l'ambiente di lavoro insopportabile per i suoi colleghi, aveva una limitata capacità di interagire con le persone e un carattere "non dei più facili", e si era permesso commenti negativi, giudizi e comportamenti poco educati anche nei confronti di dirigenti di due società, clienti dell'opponente. La Corte cantonale ha accertato tali attitudini problematiche mediante le testimonianze agli atti. F._, essa ha rilevato, ha dichiarato che il ricorrente aveva avuto una lite con D._, membro di direzione di J._ SA, cliente dell'opponente, e screzi con altri colleghi. D._ ha confermato di aver avuto "un paio di scontri" con l'insorgente e che egli non le aveva consegnato dei dati contabili da lei richiesti, forse mettendo in discussione la sua posizione e la sua facoltà di richiedere quei documenti. A G._, membro del Consiglio di amministrazione di I._ SA, sempre una cliente, il ricorrente ha chiesto informazioni riguardanti "cose che non c'entravano nulla con la sua funzione di contabile all'interno dell'azienda", a cominciare dal suo reddito (cfr. verbale di interrogatorio di G._ del 10 settembre 2019, pag. 3). H._ ha riferito che in un'occasione il ricorrente ha chiesto in maniera brusca all'amministratore C._ un forte aumento di stipendio, che era sufficiente che qualcuno gli dicesse qualcosa di sbagliato per farlo esplodere e di aver assistito personalmente a degli screzi avvenuti con colleghi di lavoro (cfr. sentenza impugnata pag. 5-6 consid. 6.1).
Ciò premesso, non può dirsi che il motivo del licenziamento fosse solo ascrivibile al carattere difficile del ricorrente: era dovuto anche a comportamenti contrari all'obbligo di diligenza e di fedeltà verso il datore di lavoro e alle mansioni di contabile per cui era stato ingaggiato, che si erano verificati in taluni incontri con dei clienti del suo datore di lavoro. In definitiva, invece di litigare con i dirigenti di due società clienti e minare gli interessi legittimi del suo datore di lavoro verso costoro in violazione dell'<ref-law> (cfr. DTF <ref-ruling> consid. 3a; GABRIEL AUBERT, in: Commentaire romand, Code des obligations I, 2aed. 2012, n. 11 ad <ref-law>; THOMAS PIETRUSZAK, in: Kurzkommentar Obligationenrecht, n. 5-7 ad <ref-law>), egli avrebbe dovuto esporre i problemi al suo datore di lavoro e trovare con lui soluzioni condivise e nell'interesse del cliente. Al posto di negare dei dati contabili senza alcuna ragione a un membro di direzione di una società cliente, con cui ha pure avuto degli scontri, avrebbe dovuto rispettare i compiti a lui affidati ed evitare comportamenti sconvenienti. Anche la richiesta di informazioni a un dirigente di una società cliente sui redditi da lui percepiti, senza che il proprio datore di lavoro ne fosse al corrente (cfr. verbale di G._ del 10 settembre 2019, pag. 3), è censurabile in quanto esulava chiaramente dai compiti a lui attribuiti e non serviva all'attività di contabile. In simili condizioni, la Corte cantonale ha rettamente rimproverato al lavoratore di non aver rispettato il suo dovere di diligenza e di fedeltà verso il proprio datore di lavoro e poteva pertanto reputare il licenziamento non abusivo. Anche al riguardo il rimedio è infondato.
6.4. Il ricorrente rimprovera ai giudici cantonali arbitrio nell'accertamento dei fatti per aver ammesso dei richiami a lui indirizzati dall'opponente con cui lo avrebbe avvertito di non intromettersi in questioni che esulavano dalle sue competenze. Non vi sarebbe prova di ciò e i pretesi moniti sarebbero generici e fondati su affermazioni di parte senza valore. Inoltre egli contesta che, nelle osservazioni all'appello, avrebbe ammesso tramite il suo patrocinatore la correttezza del contenuto dell'e-mail 23 ottobre 2017 (doc. C e D), e in particolare l'esistenza di un "dialogo amichevole e costruttivo" tra lui e C._. Se mai egli ha reputato le dichiarazioni di controparte "frottole belle e buone", volendo così attribuire un significato diametralmente opposto a quello inventatosi dalla Corte cantonale. Egli avrebbe solo riprodotto il testo di una e-mail dell'ottobre 2017 a C._ dal contenuto ripetutamente contestato, evidenziandone il carattere contraddittorio con la deposizione di quest'ultimo del 17 dicembre 2019, senza ammettere alcunché; ciò sarebbe anche desumibile dall'uso del verbo condizionale. In ogni caso, epiloga, l'esistenza di un dialogo amichevole non corrisponderebbe ai ripetuti richiami cui avrebbe alluso la Corte cantonale, di modo che essa sarebbe caduta in un accertamento arbitrario.
Nelle sue osservazioni all'appello del 15 maggio 2020 (pag. 9, punto ad 6 f), per mettere in dubbio la "fedefacenza di controparte" il ricorrente ha confrontato "il dipinto a tinte fosche del signor A._ fatto oggi da controparte con quello risultante dalla mail " del 23 ottobre 2017 di C._ (doc. C e D). Per infirmare le affermazioni contenute nell'appello sui comportamenti negativi a lui addebitati, il ricorrente ha evidenziato proprio le sue "capacità professionali"esplicitate da quell'amministratore, il gesto di stima da lui offertogli (possibilità di una futura collaborazione) e, appunto, "un dialogo amichevole" tra lui e C._; competenze professionali, possibilità di collaborazione e incontro amichevole, quelli indicati da quest'ultimo amministratore, che sarebbero inconciliabili con il lavoratore descritto nell'appello. In tali circostanze la Corte cantonale poteva concludere che per il ricorrente il contenuto della e-mail del 23 ottobre 2017 era corretto e che un incontro per rimediare alle "inutili e incomprensibili tensioni" (cfr. doc. C e D) c'era effettivamente stato. Le critiche del ricorrente al riguardo, appellatorie, non sono condivisibili, talché gli accertamenti dei giudici cantonali non possono dirsi manifestamente inesatti. Ammessa la veridicità del dialogo indicato nella e-mail del 23 ottobre 2017 e visto che C._ nel suo interrogatorio aveva spiegato di aver richiamato il ricorrente ad attenersi alle sue funzioni senza immischiarsi in altre questioni ( "ciò che ha creato screzi con il personale e anche la direzione"; cfr. sua deposizione, verbale del 17 dicembre 2019, pag. 4), il Tribunale di appello poteva considerare veritiera la sua deposizione. È poi pacifico che E._ fosse organo dell'opponente. Tuttavia, le sue dichiarazioni di aver "più volte" invitato il ricorrente a limitarsi al suo settore della contabilità e a non invadere altri settori non di sua competenza (cfr. sua deposizione, verbale del 17 dicembre 2019, pag. 2), sono per finire in linea con quanto scritto nella e-mail in narrativa e ammesso dal ricorrente, e con le dichiarazioni di C._. Tutto ponderato, in assenza di altri riscontri discordanti, al di là delle affermazioni del ricorrente, anche sotto questo profilo il giudizio impugnato sfugge a una censura e il ricorso deve essere respinto.
7.
Da quanto precede segue che il ricorso in materia civile, nella misura in cui si rivela ammissibile, si palesa infondato e come tale va respinto. Le spese giudiziarie (art. 65 cpv. 4 lett. c LTF) e le ripetibili seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 LTF).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso sussidiario in materia costituzionale è inammissibile.
2.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso in materia civile è respinto.
3.
Le spese giudiziarie di fr. 500.-- sono poste a carico del ricorrente.
4.
Il ricorrente verserà all'opponente la somma di fr. 2'500.-- a titolo di ripetibili per la procedura innanzi al Tribunale federale.
5.
Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.