Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 28. November 2016 erklärte der Einzelrichter am Bezirksgericht Schwyz die Grundschuldbestellung des Notariats U._ vom 13. Juli 2009 für vollstreckbar (Dispositiv-Ziffer 1). Gestützt darauf erteilte er der Bank B._ auf deren Ersuchen in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Muotathal vom 17. Mai 2016 gegen A._ für Fr. 51'421.96, aufgelaufenen Zins von Fr. 552.93 und 3.95 % Zins ab 12. Mai 2016 definitive Rechtsöffnung (Dispositiv-Ziffer 2). Ausserdem auferlegte er A._ die Prozesskosten (Dispositiv-Ziffern 3 und 4). A._ wurde der Entscheid in den Betreibungsferien am 21. Dezember 2016 zugestellt.
B.
B.a. Am 2. Januar 2017 überbrachte A._ dem Kantonsgericht Schwyz eine Dispositiv-Ziffer 2 sowie die entsprechenden Kosten- und Entschädigungsfolgen (Dispositiv-Ziffern 3.b und 4.b) betreffende kurzbegründete Beschwerde mit dem Hinweis "diese Beschwerde kann und soll unbearbeitet bleiben und kein Rechtsmittel darstellen".
B.b. Am 18. Januar 2017 überbrachte A._ dem Kantonsgericht eine weitere Eingabe, worin er zusätzlich Beschwerde gegen Dispositiv-Ziffer 1, 3.a und 4.a der angefochtenen Verfügung erhob.
B.c. Am 10. Februar 2017 ersuchte A._ um unentgeltliche Rechtspflege und beantragte in der Folge, seinem Rechtsmittel die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Das Kantonsgericht gab dem Gesuch um aufschiebende Wirkung mit Verfügung vom 13. Februar 2017 statt. Mit Beschluss vom vom 1. Juni 2017 wies das Kantonsgericht die Beschwerde, soweit darauf überhaupt einzutreten sei, sowie das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab.
C.
Gegen diesen Beschluss ist A._ mit Beschwerde in Zivilsachen vom 30. Juni 2017 (Postaufgabe) an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt, der Beschluss des Kantonsgerichts Schwyz sei aufzuheben und zur Neubeurteilung an das Kantonsgericht zurückzuweisen. Ausserdem stellt er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und ersucht um aufschiebende Wirkung. Mit Verfügung vom 3. Juli 2017 wurde das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.
Mit Schreiben vom 4. Oktober 2017 (Postaufgabe) hat der Beschwerdeführer dem Bundesgericht Unterlagen zu einem gegen ihn in Deutschland vor dem Amtsgericht V._ durchgeführten Zwangsversteigerungsverfahren vorgelegt, zu denen die Bank B._ (Beschwerdegegnerin) mit Eingabe vom 9. November 2017 aufforderungsgemäss Stellung genommen hat. Beide Parteien haben in der Folge im Rahmen des freiwilligen Replikrechts weitere Eingaben eingereicht.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Rechtsöffnungsentscheid, mithin eine Zwangsvollstreckungssache (<ref-law>). Die gesetzliche Streitwertgrenze wird erreicht (<ref-law>). Die Beschwerde in Zivilsachen ist aus dieser Sicht gegeben. Der Beschwerdeführer stellt blosse Aufhebungs- bzw. Rückweisungsanträge. Nach der Beschwerdebegründung, die für die Auslegung der Begehren beizuziehen ist (<ref-ruling> E. 1.2 S. 136), verlangt er aber zumindest sinngemäss die Abweisung des Rechtsöffnungsbegehrens.
1.2. Mit vorliegender Beschwerde kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen (<ref-law>), wobei hier das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286). Die Begründung muss in der Beschwerde selbst enthalten sein. Ein blosser Verweis auf die den Vorinstanzen eingereichten Rechtsschriften oder vorgetragenen Standpunkte genügt den Begründungsanforderungen von <ref-law> nicht (<ref-ruling> E. 3.2 S. 400), denn solche Verweise setzen sich naturgemäss nicht mit dem angefochtenen Entscheid auseinander; soweit der Beschwerdeführer angibt, an allen bisherigen Eingaben festzuhalten, bleiben die verwiesenen Vorbringen deshalb unbeachtlich.
1.3. In der Beschwerde in Zivilsachen dürfen keine neuen Tatsachen und Beweismittel vorgebracht werden, es sei denn, erst der Entscheid der Vorinstanz habe dazu Anlass gegeben (<ref-law>). Das Vorbringen von Tatsachen, die sich zwar auf das vorinstanzliche Prozessthema beziehen, jedoch erst nach dem Zeitpunkt eingetreten sind, in welchem sie im vorinstanzlichen Verfahren letztmals hätten berücksichtigt werden können (sog. "echte" Noven), gilt aber von vornherein nicht als durch das weitergezogene Urteil veranlasst und ist im bundesgerichtlichen Verfahren unzulässig. Gleiches gilt auch für Beweismittel, die erst nach dem angefochtenen Entscheid erstellt wurden (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123; <ref-ruling> E. 5.2.4 S. 229). Der Beschwerdeführer verweist vor Bundesgericht auf die am 20. September 2017 erfolgte Zwangsversteigerung einer Liegenschaft in V._ zum Preis von EUR 141'500.-- und die Verteilung des Versteigerungserlöses. Diese Tatsachenbehauptungen und Beweismittel sind neu und damit unzulässig und im vorliegenden Verfahren unbeachtlich.
2.
2.1. Die Vorinstanz hat die Beschwerde des Beschwerdeführers als unzureichend begründet erachtet. Das keinen Bezug auf die Begründung der angefochtenen Verfügung nehmende Repetieren der aufgestellten Behauptungen, er habe einen grundrechtlichen Anspruch auf freihändigen Verkauf des nachweislich existierenden Vermögenswertes, genüge den Begründungsanforderungen ebenso wenig, wie der allgemein gehaltene Vorwurf, das Rechtsöffnungsbegehren der Gegenpartei sei deswegen rechtsmissbräuchlich und die angefochtene Verfügung "rechtstheoretisch". Es sei daher unabhängig von der Prüfung der Einhaltung der Rechtsmittelfristen auf die Beschwerde nicht einzutreten. Im Sinne einer Eventualbegründung hat sie ergänzend festgehalten, dass der Beschwerde ohnehin kein Erfolg hätte beschieden sein können. Eine auf Geld lautende vollstreckbare öffentliche Urkunde berechtige nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung im Anwendungsbereich des Lugano-Übereinkommens zur definitiven Rechtsöffnung. Aus der deutschen Grundschuldbestellungsurkunde vom 13. Juli 2009 gehe hervor, dass der Beschwerdeführer der persönlichen Haftung für die Zahlung eines Geldbetrages an die Gläubigerin bis zur Höhe der bewilligten Grundschuld von EUR 180'000.-- und einer entsprechenden Zwangsvollstreckung in sein Vermögen zugestimmt habe. Laut der genannten Urkunde könne er aus dieser persönlichen Haftung zudem ohne vorherige Zwangsvollstreckung in das Pfandobjekt sofort in Anspruch genommen werden.
2.2. Die Beschwerde in Zivilsachen genügt den Begründungsanforderungen nicht. Beruht das angefochtene Urteil auf mehreren (Eventual-) begründungen, die je für sich den Rechtsstreit vor der Vorinstanz hätten beenden können, muss in der Beschwerde dargelegt werden, dass jede von ihnen Recht verletzt; andernfalls kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden (<ref-ruling> E. 6.3 S. 120 f.). Vorliegend geht der Beschwerdeführer nicht näher auf die vorinstanzliche Hauptbegründung ein, dass sich seine kantonale Beschwerde als mangelhaft begründet erweise. Damit ist mangels rechtsgenüglicher Anfechtung einer der selbständig tragenden Begründungen des angefochtenen Beschlusses auf die Beschwerde nicht einzutreten. Hinzu kommt, dass auch die Anfechtung der vorinstanzlichen Eventualbegründung den Begründungsanforderungen von <ref-law> nicht genügt. Der Beschwerdeführer legt weder dar, inwiefern diese Recht verletzen soll, noch bringt er Gründe gegen die Erteilung der in Frage stehenden definitiven Rechtsöffnung vor. So hat sich der Beschwerdeführer zur in der vollstreckbaren öffentlichen Urkunde vorgesehenen persönlichen Haftung samt Unterwerfung unter die sofortige Zwangsvollstreckung nicht geäussert und namentlich auch gegen die Höhe der in Betreibung gesetzten Forderung keine Einwände vorgebracht.
2.3. Der Beschwerdeführer weist in seiner Beschwerde eingangs darauf hin, dass die Eingabe an das Bundesgericht ohne anwaltliche Hilfe verfasst worden sei und er selbst über keine hinreichenden Rechtskenntnisse verfüge. Dass sich der Beschwerdeführer im vorinstanzlichen Verfahren und nun auch im bundesgerichtlichen Verfahren nicht hat anwaltlich vertreten lassen, vermag an der Unzulässigkeit der Beschwerde indes nichts zu ändern. In Zivilsachen kann eine Partei vor Bundesgericht selber Beschwerde führen oder sich von einem Rechtsanwalt vertreten lassen (<ref-law>). Das bedeutet aber nicht, dass die Partei, die (freiwillig) ohne anwaltliche Vertretung vor dem höchsten Gericht der Schweiz einen Prozess führt, ein besonderes Entgegenkommen beanspruchen kann. Mit anderen Worten gelten grundsätzlich die gleichen Massstäbe für alle (Urteil 5D_83/2017 vom 27. November 2017 E. 1.3 mit Hinweis).
3.
Nach dem Gesagten kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. Bei diesem Verfahrensausgang hat der Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>) und die Beschwerdegegnerin für ihre Stellungnahme vom 9. November 2017 zur nachträglichen Eingabe vom 4. Oktober 2017 zu entschädigen. Wie die vorstehenden Erwägungen aufzeigen, muss die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos betrachtet werden. Damit mangelt es an einer materiellen Voraussetzung für die unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 600.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Schwyz, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Januar 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Buss