Faits :
A.
A.a. A._ (ci-après: le nageur ou l'athlète) est un nageur professionnel xxx.
L'Agence Mondiale Antidopage (ci-après: l'AMA) est une fondation de droit suisse; son siège est à Lausanne. Elle a notamment pour but de promouvoir, sur le plan international, la lutte contre le dopage dans le sport.
La Fédération Internationale de Natation (ci-après: FINA), association de droit suisse ayant son siège à Lausanne, est l'instance dirigeante de la natation au niveau mondial.
A.b. Dénoncé pour violation des règles antidopage en raison de la tentative infructueuse de prélever des échantillons de sang et d'urine lors d'un contrôle inopiné effectué à son domicile dans la nuit du 4 septembre 2018, le nageur a été blanchi, le 3 janvier 2019, par la Commission antidopage de la FINA.
B.
Le 14 février 2019, l'AMA a adressé au Tribunal Arbitral du Sport (TAS) une déclaration d'appel, signée par les avocats B._ et C._, dans laquelle elle a requis la suspension de l'athlète pour une durée de huit ans.
L'appelante a modifié sa déclaration d'appel en date du 18 février 2019 en citant la FINA comme seconde partie intimée.
Le 9 mars 2019, le conseil de l'athlète a invité l'avocat B._ à renoncer immédiatement à son mandat en raison de l'existence d'un conflit d'intérêts, ledit conseil ayant siégé au sein du Comité juridique de la FINA.
En date du 11 mars 2019, la FINA lui a emboîté le pas, en enjoignant à l'avocat de mettre un terme à son mandat. Elle a relevé que l'avocat avait démissionné de ses fonctions au sein du Comité juridique de la FINA le 1 er février 2019, en vue de pouvoir représenter l'AMA devant le TAS, dans le litige la divisant d'avec la FINA.
Le 12 mars 2019, le conseil de l'AMA a nié l'existence d'un conflit d'intérêts et a refusé de se retirer de l'affaire.
Le 16 mars 2019, l'athlète a invité une nouvelle fois l'avocat à renoncer à son mandat.
Le 3 avril 2019, les avocats B._ et C._ ont adressé au TAS le mémoire d'appel pour le compte de leur mandante.
Dans le cadre de la procédure, le nageur et la FINA ont soulevé une exception d'irrecevabilité en raison du dépôt prétendument tardif du mémoire d'appel. Statuant le 19 mai 2019, le TAS a rejeté cette exception. L'athlète a formé un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre ladite décision. Cette procédure est actuellement pendante (cause 4A_287/2019).
A la suite de la démission de l'un des trois arbitres de la Formation, le TAS en a nommé un nouveau en la personne de l'avocat Romano Subiotto. Le 12 juillet 2019, l'athlète a formé une demande de récusation vis-à-vis du nouvel arbitre désigné, laquelle a été rejetée le 26 juillet 2019 par la Commission de récusation du Conseil International de l'Arbitrage en matière de Sport (CIAS).
Après avoir évoqué le conflit d'intérêts imputé à l'avocat B._ dans la requête intitulée " Request for bifurcation " adressée au TAS le 9 mai 2019, le nageur a déposé, en date du 29 mai 2019, une écriture au terme de laquelle il a conclu à ce qu'interdiction fût faite aux avocats B._ et C._ de représenter l'AMA dans la procédure pendante devant le TAS, à l'irrecevabilité de la déclaration d'appel et du mémoire d'appel en raison de l'incapacité de postuler des conseils précités et, partant, à l'absence de compétence ratione temporis du TAS pour trancher le litige.
La FINA et l'appelante se sont déterminées sur ladite requête respectivement en date du 29 mai 2019 et du 26 juin 2019.
Par décision du 26 juillet 2019, transmise aux parties par courrier électronique le 2 août 2019, le TAS a intégralement rejeté la demande présentée par l'athlète. En bref, il a considéré que les avocats de l'appelante ne se trouvaient pas dans une situation de conflit d'intérêts, que la participation à la procédure desdits conseils n'avait pas d'incidence sur la recevabilité des écritures déposées pour le compte de l'appelante ni sur la compétence du TAS pour statuer sur le sort de la cause.
C.
Le 2 septembre 2019, l'athlète (ci-après: le recourant) a formé un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre la décision du 26 juillet 2019 en tête duquel il a pris les conclusions suivantes:
" 1. Déclarer le présent recours recevable.
2. Annuler la décision/sentence rendue par le Tribunal Arbitral du Sport le 2 août (recte: 26 juillet) 2019 relative à la demande de disqualification des conseils de l'Agence mondiale antidopage (AMA), Me B._ et Me C._, et à la compétence du Tribunal Arbitral du Sport dans l'arbitrage CAS 2019/A/6148.
3. Déclarer que le Tribunal Arbitral du Sport n'est pas compétent.
4. Prononcer la récusation de M. Romano Subiotto QC.
(...). "
L'AMA (ci-après: l'intimée 1) et la FINA n'ont pas été invitées à se déterminer sur le recours.

Considérant en droit :
1.
Dans le domaine de l'arbitrage international, le recours en matière civile est recevable contre les décisions de tribunaux arbitraux aux conditions prévues par les art. 190 à 192 de la loi fédérale sur le droit international privé du 18 décembre 1987 (LDIP; RS 291), conformément à l'<ref-law>.
Le siège du TAS se trouve à Lausanne. Le recourant n'était pas domicilié en Suisse au moment déterminant. Les dispositions du chapitre 12 de la LDIP sont dès lors applicables (<ref-law>).
2.
2.1. Le recours en matière civile visé par l'<ref-law> en liaison avec les art. 190 à 192 LDIP n'est recevable qu'à l'encontre d'une sentence. L'acte attaquable peut être une sentence finale, qui met un terme à l'instance arbitrale pour un motif de fond ou de procédure, une sentence partielle, qui porte sur une partie quantitativement limitée d'une prétention litigieuse ou sur l'une des diverses prétentions en cause ou encore qui met fin à la procédure à l'égard d'une partie des consorts (<ref-ruling> consid. 2.1; arrêt 4A_222/2015 du 28 janvier 2016 consid. 3.1.1), voire une sentence préjudicielle ou incidente, qui règle une ou plusieurs questions préalables de fond ou de procédure (sur ces notions, cf. l'<ref-ruling> consid. 1.2.1 p. 757). En revanche, une simple ordonnance de procédure pouvant être modifiée ou rapportée en cours d'instance n'est pas susceptible de recours (<ref-ruling>, précité, consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 203; <ref-ruling> consid. 4.2; arrêt 4A_596/2012 du 15 avril 2013 consid. 3.3). Il en va de même d'une décision sur mesures provisionnelles visée par l'<ref-law> (<ref-ruling>, précité, consid. 2.3 et les références).
Pour juger de la recevabilité du recours, ce qui est déterminant n'est pas la dénomination du prononcé entrepris, mais le contenu de celui-ci (<ref-ruling>, précité, consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1.1.1; arrêt 4A_222/2015, précité, consid. 3.1.1).
2.2. Il résulte de l'art. 190 al. 2 et 3 LDIP qu'une sentence finale ou partielle peut être attaquée pour tous les motifs énumérés à l'<ref-law>. Selon l'<ref-law>, une décision incidente ne peut en revanche être attaquée devant le Tribunal fédéral que pour les motifs tirés de la composition irrégulière (<ref-law>) ou de l'incompétence (<ref-law>) du tribunal arbitral. Les griefs visés à l'art. 190 al. 2 let. c à e LDIP peuvent aussi être soulevés contre les décisions incidentes au sens de l'<ref-law>, mais uniquement dans la mesure où ils se limitent strictement aux points concernant directement la composition ou la compétence du tribunal arbitral (<ref-ruling>, précité, consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 2.2.3).
3.
3.1. Invoquant l'<ref-law>, le recourant fait grief au TAS de s'être déclaré à tort compétent pour connaître de l'appel interjeté par l'intimée 1. A l'appui de ce grief, il expose que l'incapacité de postuler des conseils de l'intimée 1 entraînerait l'irrecevabilité de l'appel. La déclaration d'appel et le mémoire d'appel n'ayant pas été valablement déposés en temps utile, le TAS ne serait pas compétent ratione temporis pour statuer sur l'appel.
3.2. Le recours pour le motif prévu à l'<ref-law> est ouvert lorsque le tribunal arbitral a statué sur des prétentions qu'il n'avait pas la compétence d'examiner, soit qu'il n'existât point de convention d'arbitrage, soit que celle-ci fût restreinte à certaines questions ne comprenant pas les prétentions en cause ( extra potestatem). Un tribunal arbitral n'est en effet compétent, entre autres conditions, que si le litige entre dans les prévisions de la convention d'arbitrage et que lui-même n'excède pas les limites que lui assignent la requête d'arbitrage et, le cas échéant, l'acte de mission (arrêt 4A_210/2008 du 29 octobre 2008 consid. 3.1et les références).
3.3. Tel qu'il est présenté, le grief du recourant apparaît irrecevable.
3.3.1. En effet, bien que les art. 92 et 93 LTF ne soient en l'occurrence pas applicables - puisque le texte de l'<ref-law> exclut, dans le recours en matière d'arbitrage, l'application des art. 90 à 98 LTF -, il sied d'emblée de relever que le Tribunal fédéral considère que le refus de constater l'incapacité de postuler d'un avocat et d'interdire à celui-ci de représenter son client en raison d'un prétendu conflit d'intérêts est une décision incidente qui ne porte ni sur la compétence ni sur une question de récusation au sens de l'<ref-law>, de sorte qu'il s'agit d'une " autre décision incidente " au sens de l'<ref-law> (arrêts 4A_366/2019 du 2 septembre 2019; 4A_349/2015 du 5 janvier 2016 consid. 1.1; 5A_47/2014 du 27 mai 2014 consid. 3 et 4.1; 1B_420/2011 du 21 novembre 2011 consid. 1.2.1). Il ne saurait en aller différemment lorsqu'une telle décision est prise dans le cadre d'une procédure arbitrale. Force est ainsi d'admettre que la décision attaquée ne concerne nullement la composition du tribunal arbitral et n'est pas une décision sur la compétence attaquable immédiatement. En réalité, la capacité de postuler ne ressortit pas à la compétence du tribunal mais constitue uniquement une condition de recevabilité de l'action. En l'espèce et quoi qu'en dise le recourant, la décision que le TAS a adressée aux parties le 26 juillet 2019 n'est pas une décision incidente sur la compétence. Aussi le recourant, sous couvert d'une prétendue violation de l'<ref-law>, ne peut-il pas recourir directement, eu égard à l'<ref-law>, contre une décision incidente portant sur la capacité de postuler d'un avocat.
3.3.2. On peut s'interroger sur le point de savoir si l'incapacité de postuler des conseils de l'intimée 1, si elle était avérée, entraînerait l'irrecevabilité de la déclaration d'appel et du mémoire d'appel comme le soutient le recourant. Dans un arrêt rendu en application des règles du code de procédure civile (CPC), le Tribunal fédéral a en effet considéré que, faute de capacité de revendiquer du représentant, le tribunal doit en principe fixer un délai à la partie pour lui permettre de désigner un représentant satisfaisant aux conditions légales (arrêt 4A_87/2012 du 10 avril 2012 consid. 3.2.3). Cela étant, même à suivre la thèse du recourant, le grief ne s'inscrit de toute manière pas dans le cadre tracé par l'<ref-law>. Dans deux arrêts, le Tribunal fédéral a examiné la question de savoir si la tardiveté du dépôt de l'appel entraîne l'incompétence du TAS ou simplement l'irrecevabilité, voire le rejet, de ce moyen de droit (arrêts 4A_170/2017 du 22 mai 2018 consid. 5.2; 4A_488/2011 du 18 juin 2012 consid. 4.3.1). S'il a finalement laissé la question ouverte, il a exposé les raisons qui militent à son avis en faveur de la seconde hypothèse. Il a ainsi relevé que le reproche fait à un tribunal arbitral de n'avoir pas respecté la limite de validité temporelle de la convention d'arbitrage ou un préalable obligatoire de conciliation ou de médiation a certes trait aux conditions d'exercice de la compétence, plus précisément à la compétence ratione temporis, et relève comme tel, de l'<ref-law> (arrêts 4P.284/1994 du 17 août 1995 consid. 2 et 4A_18/2007 du 6 juin 2007 consid. 4.2). Cependant, ce principe jurisprudentiel vise essentiellement l'arbitrage typique ou usuel; il est douteux qu'il vaille aussi pour l'arbitrage atypique, tel l'arbitrage sportif, et qu'il envisage en particulier l'hypothèse dans laquelle la compétence du tribunal arbitral résulte du renvoi aux statuts d'une fédération sportive prévoyant une procédure d'arbitrage pour régler les litiges de nature disciplinaire. Le point de savoir si une partie est recevable à attaquer la décision prise par l'organe d'une fédération sportive sur la base des règles statutaires et des dispositions légales applicables ne concerne pas la compétence du tribunal arbitral saisi de la cause, mais la question de la qualité pour agir, c'est-à-dire un point de procédure à résoudre selon les règles pertinentes dont le Tribunal fédéral ne revoit pas l'application lorsqu'il est saisi d'un recours contre une sentence arbitrale internationale (arrêts 4A_428/2011 du 13 février 2012 consid. 4.1.1 et 4A_424/2008 du 22 janvier 2009 consid. 3.3).
Un auteur, cité par le Tribunal fédéral dans l'arrêt 4A_488/2011, a signalé le résultat insatisfaisant auquel conduirait la transposition au délai d'appel prévu par l'art. R49 du Code de l'arbitrage en matière de sport (ci-après: le Code) du principe général voulant que le dépassement du délai convenu par les parties entraîne l'incompétence du tribunal arbitral et, par ricochet, la compétence des tribunaux étatiques: en bref, l'application de ce principe aurait pour conséquence qu'après l'expiration du délai d'appel de vingt et un jours fixé par cette disposition, les décisions des fédérations sportives dont le siège est en Suisse pourraient être portées devant les tribunaux suisses jusqu'à l'échéance du délai d'un mois prévu par l'<ref-law>; une telle conséquence serait sans doute contraire à l'esprit de l'arbitrage international dans le domaine du sport, en ce qu'elle ne permettrait pas de faire en sorte que les sportifs soient jugés de la même manière et selon les mêmes procédures; elle occasionnerait, en outre, des complications difficilement surmontables. Selon cet auteur, le délai d'appel devant le TAS doit dès lors être considéré comme un délai de péremption dont l'inobservation entraîne, non pas l'incompétence de cette juridiction arbitrale, mais la perte du droit de soumettre la décision entreprise à tout contrôle juridictionnel et, partant, le déboutement de l'appelant (ANTONIO RIGOZZI, Le délai d'appel devant le Tribunal arbitral du sport: quelques considérations à la lumière de la pratique récente, in Le temps et le droit, 2008, p. 255 ss).
Selon un autre auteur, la question du respect du délai prévu pour saisir un tribunal arbitral n'est en principe pas un problème de compétence ratione temporis. Aussi, l'écoulement du délai fixé n'a-t-il pas pour effet d'entraîner l'incompétence de la juridiction arbitrale au profit des autorités étatiques. En réalité, l'observation du délai pour initier la procédure arbitrale constitue simplement une condition de recevabilité de l'action qui n'affecte nullement la compétence du tribunal arbitral. Par conséquent, le grief tiré de la saisine tardive de la juridiction arbitrale n'entre pas dans le cadre tracé par l'<ref-law> (STEFANIE PFISTERER, Die Befristung der Schiedsvereinbarung und die Zuständigkeit eines Schiedsgerichts ratione temporis - eine Illusion?, in Mélanges en l'honneur de Anton K. Schnyder, 2018, p. 292).
L'opinion professée par ces deux auteurs apparaît convaincante. Au demeurant, s'il suffisait à une partie d'attendre l'expiration du délai d'appel de l'art. R49 du Code pour saisir les tribunaux étatiques suisses, cette partie serait en mesure de court-circuiter la juridiction arbitrale sportive par sa seule inaction. A la lumière de ce qui précède, il y a lieu de considérer que le respect du délai d'appel au TAS constitue une condition de recevabilité et non un problème de compétence. Partant, le grief fondé sur l'<ref-law> est irrecevable.
3.3.3. A titre superfétatoire, on relèvera que le grief du recourant apparaît irrecevable pour un autre motif.
S'agissant de la récusation d'un arbitre, la jurisprudence considère que la partie doit invoquer le motif de récusation aussitôt qu'elle en a connaissance (<ref-ruling> consid. 3.2.2). Cette règle jurisprudentielle vise aussi bien les motifs de récusation que la partie intéressée connaissait effectivement que ceux qu'elle aurait pu connaître en faisant preuve de l'attention voulue étant précisé que choisir de rester dans l'ignorance peut être regardé, suivant les cas, comme une manoeuvre abusive comparable au fait de différer l'annonce d'une demande de récusation (<ref-ruling>, précité, consid. 3.2.2; arrêt 4A_506/2007 du 20 mars 2008 consid. 3.1.2). La règle en question constitue une application, au domaine de la procédure arbitrale, du principe de la bonne foi. En vertu de ce principe, le droit d'invoquer le moyen tiré de la composition irrégulière du tribunal arbitral se périme si la partie ne le fait pas valoir immédiatement. Il ne saurait en aller différemment en ce qui concerne la situation où une partie entend contester la capacité de postuler d'un mandataire, dès lors que l'exigence de faire valoir immédiatement un tel vice dans la procédure arbitrale est une concrétisation du principe de la bonne foi.
En l'occurrence, après le dépôt de la déclaration d'appel en date du 14 février 2019, le recourant, par lettre du 9 mars 2019, a certes invité l'avocat B._ à renoncer à son mandat en raison de l'existence d'un prétendu conflit d'intérêts. Face au refus du conseil de se retirer de l'affaire, l'intéressé l'a invité une nouvelle fois, par courrier du 13 mars 2019, à cesser de représenter les intérêts de l'intimée 1. Cependant, lorsque les conseils de l'intimée 1 ont adressé au TAS leur mémoire d'appel le 3 avril 2019, cela n'a suscité aucune réaction immédiate de la part du recourant. Aussi, la tentative du recourant de faire constater l'incapacité de postuler des conseils de l'intimée 1 par le TAS, plus d'un mois après le dépôt du mémoire d'appel, apparaît-elle manifestement tardive. En conclusion, le recourant est forclos à dénoncer la violation de l'<ref-law>.
4.
Dans un autre moyen, le recourant, invoquant l'art. 190 al. 2 let. d LDIP, se plaint d'une violation de son droit d'être entendu. Selon la jurisprudence rappelée plus haut (cf. consid. 2.2 et les arrêts cités), il ne peut être fait exception à l'irrecevabilité des motifs prévus à l'art. 190 let. c-e LDIP, déduite a contrario de l'<ref-law>, lorsque le recours en matière civile vise une décision incidente que dans la mesure où les griefs fondés sur ces motifs-là se limitent strictement aux points qui concernent la composition ou la compétence du tribunal arbitral (<ref-ruling>, précité, consid. 2.2 p. 465; <ref-ruling>, précité, consid. 3.1, 520 consid. 2.2.3). En réservant cette exception, la Ire Cour de droit civil avait principalement en vue les cas dans lesquels le tribunal arbitral aurait rendu sa décision incidente touchant sa composition ou sa compétence sur la base de constatations de fait qu'il aurait posées sans respecter l'égalité des parties ou le droit d'être entendu de l'une d'entre elles (<ref-ruling>, précité, consid. 3.1 p. 479 s.).
En l'espèce, le grief d'incompétence formulé par le recourant à l'encontre de la décision incidente du TAS datée du 26 juillet 2019 est irrecevable, dès lors que ladite décision ne règle pas la question de la compétence du tribunal arbitral. Aussi, le grief tiré de l'art. 190 al. 2 let. d LDIP est-il lui aussi irrecevable.
5.
Dans un ultime moyen, le recourant, dénonçant une composition irrégulière du tribunal arbitral, sollicite la récusation de l'arbitre Romano Subiotto. Ce faisant, l'intéressé perd de vue que cette question n'est pas l'objet de la décision attaquée. La demande de récusation formée par le recourant a en effet été rejetée le 26 juillet 2019 par la Commission de récusation du CIAS, soit postérieurement à la décision attaquée dans le cadre du présent recours. Le recourant relève du reste expressément, sous n. 81 de son mémoire, que les motifs de ladite décision n'avaient pas encore été communiqués aux parties lors du dépôt du présent recours au Tribunal fédéral. Il résulte de ce qui précède que la récusation de l'arbitre Romano Subiotto est exorbitante de la présente procédure de recours.
6.
En définitive, le recours s'avère irrecevable.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais de la procédure fédérale (<ref-law>). En revanche, il n'aura pas à verser de dépens aux intimées dès lors qu'elles n'ont pas été invitées à déposer une réponse.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au Tribunal Arbitral du Sport (TAS).
Lausanne, le 28 octobre 2019
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
Le Greffier : O. Carruzzo