Sachverhalt:
A.
Das Regionalgericht Bern-Mittelland sprach A._ (geb. 1997) vom Vorwurf der Schändung, eventuell Vergewaltigung, zum Nachteil von B._ frei. Schuldig erkannte es ihn der mehrfachen sexuellen Handlungen mit Kindern zum Nachteil der 14 1⁄2- bis 15-jährigen C._ (Deliktszeitraum: ca. September 2015 bis 15. Januar 2016 und 16. Dezember 2016 bis 19. Februar 2017) und der Verletzung des Geheim- oder Privatbereichs durch Aufnahmegeräte (zum Nachteil von B._). Das Regionalgericht verurteilte A._ zu einer bedingten Geldstrafe von 150 Tagessätzen (Urteil vom 29. Januar 2019).
B.
Die Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Bern und die Privatklägerin B._ reichten Berufung ein. Das Obergericht des Kantons Bern stellte die Rechtskraft des erstinstanzlichen Urteils fest, soweit das Regionalgericht A._ wegen mehrfachen sexuellen Handlungen mit Kindern und Verletzung des Geheim- oder Privatbereichs durch Aufnahmegeräte verurteilt hatte. Den erstinstanzlichen Freispruch bestätigte es, ebenso die bedingte Geldstrafe von 150 Tagessätzen bei einer Probezeit von zwei Jahren (Urteil vom 9. Januar 2020).
C.
Die Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Bern führt Beschwerde in Strafsachen. Sie beantragt, A._ sei zu einer bedingten Geldstrafe von 360 Tagessätzen (Probezeit: zwei Jahre) zu verurteilen. Eventuell sei die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Mit Verfügung vom 30. August 2021 bewilligt die Präsidentin der Strafrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts A._ die unentgeltliche Rechtspflege. Fürsprecher Philipp Kunz wird als unentgeltlicher Rechtsbeistand im bundesgerichtlichen Verfahren eingesetzt.
A._ lässt die Abweisung der Beschwerde beantragen. Das Obergericht des Kantons Bern deponiert Bemerkungen zur Beschwerde, verzichtet im Übrigen aber auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdegegner wurde in erster Instanz rechtskräftig wegen mehrfachen sexuellen Handlungen mit Kindern (<ref-law>) verurteilt. Diese Handlungen erfolgten im Rahmen einer Beziehung des damals 18- bis 19-Jährigen mit der 14 1⁄2- bis 15-jährigen C._. Zudem fällte das erstinstanzliche Gericht einen (ebenfalls rechtskräftig gewordenen) Schuldspruch wegen Verletzung des Geheim- oder Privatbereichs durch Aufnahmegeräte (<ref-law>); der Beschwerdegegner hatte im September 2016 mit dem Smartphone B._ ohne ihre Einwilligung beim Geschlechtsverkehr mit ihm gefilmt.
1.2. Strittig und zu prüfen ist die vorinstanzliche Strafzumessung hinsichtlich der beiden rechtskräftigen Schuldsprüche. Die beschwerdeführende Generalstaatsanwaltschaft rügt eine Verletzung von bundesrechtlichen Grundsätzen (<ref-law>). Zur Strafzumessung für den Schuldspruch nach <ref-law> macht die Beschwerdeführerin geltend, die Vorinstanz habe alle sexuellen Handlungen im Verhältnis mit der damals noch nicht 16-jährigen C._ zu Unrecht zu einer Tatgruppe zusammengefasst und somit auch zu Unrecht eine Einsatzstrafe für alle Vorfälle gemeinsam festgesetzt. Der für ein solches Vorgehen erforderliche enge zeitliche und sachliche Zusammenhang könne nur innerhalb der angeklagten Tatgruppen (und nicht über alle einschlägigen Handlungen hinweg) angenommen werden. Der Beschwerdegegner und C._ seien zunächst zwischen ca. September 2015 und Mitte Januar 2016 ein Paar gewesen. Während dieser Phase hätten sie sich vor allem geküsst. Diese "Vorfälle" seien gemeinsam zu beurteilen. Am 7. Januar 2016 sei es zusätzlich zum Geschlechtsverkehr gekommen. Dieser unterscheide sich deutlich von den anderen Handlungen. Mitte Januar 2016 habe sich das Paar getrennt. Erst ein knappes Jahr später, am 16. Dezember 2016, sei es wieder zusammengekommen. Im folgenden zweiten Tatzeitraum hätten sich die sexuellen Handlungen intensiviert. Deshalb und wegen der zeitlichen Distanz zum ersten Tatzeitraum seien auch diese Handlungen zeitlich und sachlich klar von den früheren abzugrenzen. Mithin seien drei hypothetische Strafen auszufällen. Die Vorinstanz habe Grundsätze der Strafzumessung nach Art. 47 und 49 StGB verletzt, indem sie es unterlassen habe, die Gesichtspunkte des Verschuldens nach Tatgruppen zu gewichten und je dem Verschulden angemessene hypothetische Strafen festzusetzen.
Der Beschwerdegegner erwidert, die Unterbrechung der Liebesbeziehung beseitige den zeitlichen Zusammenhang nicht. Die mit der Zeit zunehmende Intensität der Handlungen stehe dem sachlichen Zusammenhang nicht entgegen. Indem die Vorinstanz sämtliche sexuellen Handlungen zu einer Tatgruppe zusammenfasste, habe sie ihr Ermessen nicht überschritten. Überdies sei nicht ersichtlich, inwiefern sich die von der Beschwerdeführerin verlangte Bildung von zwei Tatgruppen und einer Einzelhandlung im Ergebnis auf die Einsatzstrafe für den Schuldspruch nach <ref-law> auswirken sollte.
1.3. Die Vorinstanz erachtet sowohl für den Schuldspruch der mehrfachen sexuellen Handlungen mit einem Kind (<ref-law>) wie auch für jenen der Verletzung des Geheim- und Privatbereichs durch Aufnahmegeräte (<ref-law>) eine Geldstrafe als angemessene und zweckmässige Sanktion und wendet entsprechend das Asperationsprinzip an. Sie geht von der Straftat der mehrfachen sexuellen Handlungen mit einem Kind als schwerstes Delikt aus. Diesbezüglich setzt sie für die zu einer einzigen Tatgruppe zusammengefassten, aber individuell gewürdigten Handlungen ein einziges Strafmass als Einsatzstrafe fest. Sie erwägt, die sexuellen Handlungen hätten im Rahmen einer Liebesbeziehung stattgefunden. Sie seien einander ähnlich, auch was den versuchten Geschlechtsverkehr am 7. Januar 2016 betreffe. Daher sei es nicht angebracht, für jedes einzelne Delikt eine hypothetische Strafe festzusetzen. Die Strafe nach <ref-law> erhöht sie aufgrund der Verletzung des Geheim- und Privatbereichs durch Aufnahmegeräte (vgl. unten E. 3) und gelangt so zu einer Gesamtstrafe von 150 Tagessätzen Geldstrafe.
1.4. Beurteilt das Gericht gleichzeitig mehrere Delikte, so bildet es eine Gesamtstrafe, wenn es für jeden einzelnen Normverstoss gleichartige Strafen ausfällt (<ref-ruling> E. 3.5). Es folgt dabei dem Asperationsprinzip: Hat der Täter durch eine oder mehrere Handlungen die Voraussetzungen für mehrere gleichartige Strafen erfüllt, so verurteilt ihn das Gericht zu der Strafe der schwersten Straftat und erhöht sie angemessen (Art. 49 Abs. 1 erster Satz StGB).
Die jüngste Rechtsprechung schliesst eine Gesamtbetrachtung aller Einzeltaten oder die Bildung von Deliktsgruppen bei mehrfacher Verwirklichung desselben Tatbestands grundsätzlich aus, sofern dies darauf hinausläuft, im Einzelfall die nach dem Asperationsprinzip gebildete Gesamtstrafe zugunsten einer gesetzlich nicht vorgesehenen "Einheitsstrafe" aufzugeben (<ref-ruling> E. 3.5.4; Urteil 6B_998/2019 vom 20. November 2020 E. 4.2.2). Diese Praxis ist auf die Strafartbestimmung anhand der sogenannten konkreten Methode zugeschnitten. Gemäss dieser Methode ist die Bildung einer Gesamtstrafe nach dem Asperationsprinzip nur soweit möglich, wie für jeden Normverstoss im konkreten Fall gleichartige Strafen auszufällen sind (<ref-ruling> E. 1.1.1, 217 E. 2.2).
Der Tatbestand der sexuellen Handlungen mit Kindern weist Züge eines Dauerdelikts auf, wenn die Handlungen, wie im vorliegenden Fall, in einer Paarbeziehung erfolgen. Mit der Vorinstanz ist daher die Gesamtheit der (einvernehmlichen) Handlungen im Blick zu behalten. Die Beschwerdeführerin verlangt zu Recht nicht, dass für jede Handlung gesondert nach <ref-law> zu verfahren und etwa für jeden Kuss oder für jede Berührung eine separate Strafe festzusetzen sei. Jeden Kuss einzeln zu asperieren wäre auch deswegen gar nicht möglich, weil die Anzahl der einschlägigen Handlungen nicht bestimmbar ist (vgl. Urteil 6B_241/2018 vom 4. Oktober 2018 E. 1.3). Der Anklageschrift entsprechend sind indessen in qualitativer und zeitlicher Hinsicht zwei Tatgruppen (Handlungen in den Zeiträumen September 2015 bis Mitte Januar 2016 in Form von Küssen und ab Mitte Dezember 2016 in Form von Küssen und Berührungen) und eine Einzelhandlung (versuchter Geschlechtsverkehr vom 7. Januar 2016) zu identifizieren. Die letztere Einzelhandlung hebt sich qualitativ ab, die Ersteren stellen sich infolge ihrer zeitlichen Distanz und der Intensität der Handlungen als zu unterscheidende Phasen dar.
Im rechtskräftigen Schuldspruch hat die erste Instanz den Beschwerdegegner angesichts der zeitlich und sachlich voneinander abgegrenzten Handlungen zu Recht wegen mehrfacher sexueller Handlungen verurteilt. Die mehrfache Verurteilung muss sich in der Strafzumessungsmethodik spiegeln. Die Festsetzung einer Einheitsstrafe ist unter diesen Umständen nicht möglich. Unter dem Titel von <ref-law> sind zwei Tatgruppen und eine Einzelhandlung zu identifizieren und dafür drei separate hypothetische Strafen festzusetzen, hinsichtlich derer nach <ref-law> vorzugehen ist (<ref-ruling> E. 3.5.4). Die Beschwerde erweist sich in diesem Punkt als begründet.
2.
Zu prüfen bleiben weitere Rügen zur Strafzumessung, soweit sie unabhängig von der Frage der Asperation zu behandeln sind.
2.1. Bei der Gewichtung der verschiedenen Strafzumessungsfaktoren und bei der Bestimmung des konkreten Strafmasses steht dem Sachgericht ein erheblicher Ermessensspielraum zu. Das Bundesgericht korrigiert nur, wenn die Vorinstanz den gesetzlichen Strafrahmen über- oder unterschritten hat, wenn sie von rechtlich nicht massgebenden Kriterien ausgegangen ist oder wesentliche Gesichtspunkte ausser Acht gelassen resp. falsch gewichtet und damit ihr Ermessen überschritten oder missbraucht hat. Was die Quantifizierung der Strafzumessung anhand der relevanten Faktoren betrifft, überprüft das Bundesgericht nur, ob die ausgefällte Strafe übertrieben streng oder mild ausgefallen ist und mithin ein Ermessensmissbrauch vorliegt (zum Ganzen <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 5.6).
2.2.
2.2.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, der Umstand, dass es sich beim Vorfall vom 7. Januar 2016 um einvernehmlichen Verkehr in einem Fall von Jugendliebe gehandelt habe, dürfe nur einmal zugunsten des Beschwerdegegners berücksichtigt werden. Unzulässig sei eine doppelte Verwertung von entlastenden Momenten zum einen bei der objektiven Tatschwere und zum andern im Rahmen einer Reduktion unter dem Titel der besonderen Umstände (sinngemäss) nach <ref-law>.
Zu Recht hält der Beschwerdegegner dagegen, es treffe nicht zu, dass die Vorinstanz den Faktor "bestehende Beziehung" resp. "Jugendliebe" unzulässigerweise doppelt gewichtet hat: Unter dem Titel "Fazit Tatkomponenten" (angefochtenes Urteil S. 26 E. 15.3) kommt sie bloss auf den unter dem Titel "Objektive Tatkomponenten" (a.a.O. S. 25 f. E. 15.1) thematisierten Gesichtspunkt zurück, um ihn bei der Festlegung der Einsatzstrafe zu verwerten.
2.2.2. In diesem Zusammenhang ist <ref-law> zu berücksichtigen. Danach kann die zuständige Behörde von der Strafverfolgung, der Überweisung an das Gericht oder der Bestrafung u.a. dann absehen, wenn der Täter zur Zeit der Tat oder der ersten Tathandlung das 20. Altersjahr noch nicht zurückgelegt hat und (zusätzlich) besondere Umstände vorliegen. Das Bundesgericht hat festgehalten, der hinter dieser Bestimmung stehende Gedanke, sexuelle Beziehungen unter Jugendlichen zu entkriminalisieren, gebiete eine grosszügige Auslegung der "besonderen Umstände". So kommt es wesentlich darauf an, ob es sich um eine Liebesbeziehung mit gegenseitiger Zuneigung handelt, in der das Kind nicht ausgenutzt wird (vgl. Urteil 6B_485/2016 vom 17. August 2016 E. 1; Urteil 6S.101/1994 vom 25. März 1994 E. 1c/aa).
Vorliegend ist die Strafbefreiung nicht zum Tragen gekommen, obwohl der Beschwerdegegner noch nicht 20 Jahre alt war, der Altersunterschied von 3 3⁄4 Jahren relativ moderat war und die Vorinstanz - willkürfrei (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.3.1) - davon ausgegangen ist, die sexuellen Handlungen hätten im Rahmen einer Liebesbeziehung stattgefunden. In einem solchen Fall müssen diese Fallmerkmale wenigstens bei der Strafzumessung sinngemäss berücksichtigt werden. Dies hat die Vorinstanz getan.
2.3. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin erfasst die vorinstanzliche Strafzumessung den (versuchten) Geschlechtsverkehr (Vorfall vom 7. Januar 2016; vgl. angefochtenes Urteil S. 26 oben). Soweit die Beschwerdeführerin nicht darlegt, inwiefern die Vorinstanz den betreffenden Sachverhalt willkürlich gewürdigt (resp. rechtsfehlerhaft in die Strafzumessung einbezogen) haben sollte, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten (<ref-law>).
2.4. Insgesamt beruht das angefochtene Urteil auf einer bundesrechtskonformen Zusammensetzung und Gewichtung der für die Strafzumessung erheblichen Faktoren.
3.
3.1. Im Weiteren rügt die beschwerdeführende Generalstaatsanwaltschaft das Ausmass der Erhöhung der Geldstrafe aufgrund der weiteren Verurteilung nach Art. <ref-law>. Sie macht geltend, die Reduktion der Zusatzstrafe um einen Drittel gehe zu weit. Zudem werde die Asperation nicht begründet; nach <ref-law> müsse das Gericht in einer Urteilsbegründung auch die für die Zumessung der Strafe erheblichen Umstände und deren Gewichtung festhalten (vgl. <ref-ruling> E. 1.2). Weiter bringt die Beschwerdeführerin vor, die Gesamtstrafe dürfe nicht tiefer angesetzt werden als die höchste verwirkte Einzelstrafe (<ref-ruling> E. 2.4.5). In einer Konstellation, in der die Einsatzstrafe (hier 50 Tagessätze für die sexuellen Handlungen mit einem Kind) wesentlich geringer ausfalle als die (hypothetische) Zusatzstrafe, müsse die Straferhöhung bei der Asperation zu einem grossen Teil zum Tragen kommen. Mit einer Gesamtstrafe von 170 Strafeinheiten (50+120) werde der Beschwerdegegner besser gestellt als mit der Verletzung des Geheim- oder Privatbereichs durch Aufnahmegeräte allein (hypothetische Zusatzstrafe von 180 Tagessätzen). Die hypothetische Strafe dafür sei statt zu zwei Dritteln zu fünf Sechsteln anzurechnen, also mit 150 Strafeinheiten.
3.2. Für die Verletzung des Geheim- oder Privatbereichs durch Aufnahmegeräte infolge Filmens des Geschlechtsverkehrs ohne Einwilligung der Partnerin setzt die Vorinstanz eine Zusatzstrafe von 180 Tagessätzen fest, die sie nach <ref-law> um einen Drittel herabsetzt. Die Einsatzstrafe nach <ref-law> erhöht sie somit um 120 Einheiten (vgl. <ref-ruling> E. 3.5.2). Aus der Geständnisbereitschaft des Beschwerdegegners erfolgt zudem eine Reduktion der Gesamtstrafe von 170 auf 150 Tagessätze.
3.3. Vorliegend kann offenbleiben, wie es sich mit den Einwänden der Beschwerdeführerin (und der damit zusammenhängenden Rüge einer Verletzung von <ref-law>) verhält. Die Vorinstanz hat die Tatumstände nachvollziehbar gewürdigt und differenziert gewichtet. Ausgehend davon wird nicht ersichtlich, weshalb eine effektive Erhöhung der Einsatzstrafe um 120 Tagessätze in einem Missverhältnis zur Schwere des Verstosses gegen <ref-law> stehen sollte. Eine Erhöhung um 120 Tagessätze wäre auch dann ohne Weiteres angemessen, wenn sie aus einer (in der Beschwerde beantragten) Reduktion um bloss einen Sechstel resultieren würde.
4.
Die Sache ist zur neuen Strafzumessung im Sinn der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Insofern ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen. Im Übrigen ist sie abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Kosten sind keine zu erheben (Art. 64 Abs. 1 und Art. 66 Abs. 4 BGG). Dem Beschwerdegegner ist im Umfang seines Obsiegens eine Parteientschädigung zu Lasten des Kantons Bern zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Diese ist praxisgemäss an seinen unentgeltlichen Rechtsvertreter auszubezahlen. Im Übrigen ist dieser aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen (<ref-law>). Der Kanton Bern wird nicht entschädigt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Das Urteil des Obergerichts des Kantons Bern vom 9. Januar 2020 wird aufgehoben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Der Kanton Bern hat dem Rechtsvertreter des Beschwerdegegners, Fürsprecher Philipp Kunz, für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- zu bezahlen.
4.
Fürsprecher Philipp Kunz wird eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- aus der Bundesgerichtskasse ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. September 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Jacquemoud-Rossari
Der Gerichtsschreiber: Traub