Sachverhalt:
A.
A.a. B._ stellte vor dem Bezirksgericht Zürich am 28. März 2018 ein Begehren um Erteilung der definitiven Rechtsöffnung für Fr. 7'525.-- zuzüglich Zins von 5 % seit 22. August 2017. Im Laufe dieses Verfahrens stellte A._ als Gesuchsgegner mit Eingabe vom 19. April 2018 ein erstes Fristerstreckungsgesuch für die Erstattung der Stellungnahme zum Rechtsöffnungsbegehren und - nach bewilligter letztmaliger Fristerstreckung bis 3. Mai 2018 - mit Eingabe vom 24. April 2018 ein erneutes Fristerstreckungsgesuch bis vierzehn Tage nach Wiederherstellung seiner Arbeitsfähigkeit und zudem ein Gesuch um Beizug der Vorakten.
A.b. Mit Verfügung vom 26. April 2018 wies das Bezirksgericht sowohl das Fristerstreckungsgesuch als auch das Gesuch um Edition der betreffenden Verfahrensakten ab.
B.
Auf die von A._ dagegen erhobene Beschwerde trat das Obergericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 24. Mai 2018 wegen Fehlens der Rechtsmittelvoraussetzung des drohenden, nicht leicht wiedergutzumachenden Nachteils, nicht ein.
C.
Mit Eingabe vom 8. Juli 2018 ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt zusammengefasst die Wiederherstellung seiner Rechte, die Ansetzung neuer Fristenläufe über alle Stufen und die Annulierung der entsprechenden Urteile und Verfügungen.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 143; <ref-ruling> E. 1 S. 133; je mit Hinweisen).
1.1. Angefochten ist binnen Frist ein kantonal letztinstanzlicher Beschluss, mit dem auf eine Beschwerde gegen eine prozessleitende Verfügung betreffend die Abweisung eines (nochmaligen) Fristerstreckungsgesuchs und eines Aktenbeizugsgesuchs nicht eingetreten wurde (Art. 75, Art. 100 Abs. 1 BGG). Der angefochtene Beschluss ist weder als Endentscheid im Sinne von <ref-law> noch als Teilentscheid im Sinne von <ref-law>, sondern als selbständig eröffneter Vor- und Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> zu qualifizieren (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 381 f.). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache. In dieser geht es um eine definitive Rechtsöffnung und damit eine Schuldbetreibungs- und Konkurssache (<ref-law>). Der für die Beschwerde in Zivilsachen erforderliche Streitwert von Fr. 30'000.-- (<ref-law>) ist nicht erreicht und eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung ist weder dargetan noch ersichtlich. Die Eingabe ist damit als subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) entgegenzunehmen, mit welcher nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann (<ref-law>). Allerdings ist die Verfassungsbeschwerde gegen solche Entscheide - vom hier nicht interessierenden Fall des Art. 117 i.V.m. <ref-law> abgesehen - nur zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (Art. 117 i.V.m. <ref-law>).
1.2. Nach konstanter Rechtsprechung des Bundesgerichts muss der nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne der genannten Bestimmung rechtlicher Natur sein. Das setzt voraus, dass er sich auch mit einem späteren günstigen Endentscheid nicht oder nicht gänzlich beseitigen lässt. Die blosse Möglichkeit eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils rechtlicher Natur genügt. Dagegen reichen rein tatsächliche Nachteile wie die Verfahrensverlängerung oder -verteuerung nicht aus (<ref-ruling> E. 6 S. 192; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 382; je mit Hinweisen). Ob ein nicht wieder gutzumachender Nachteil vorliegt, bemisst sich an den Auswirkungen des Zwischenentscheids auf die Hauptsache bzw. das Hauptverfahren (<ref-ruling> E. 1.2 S. 81; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 383). Es obliegt dem Beschwerdeführer, die Möglichkeit eines rechtlichen Nachteils darzutun, falls diese nicht klar auf der Hand liegt (<ref-ruling> E. 1.2 S. 81; <ref-ruling> E. 1.1 S. 329).
Vorliegend legt der Beschwerdeführer nicht dar, weshalb die Voraussetzung von <ref-law> erfüllt sein soll und solches ist auch nicht ersichtlich. Der Beschwerdeführer setzt sich auch nicht mit den Erwägungen des Obergerichts zur Zulässigkeit der kantonalen Beschwerde auseinander, wonach eine sofortige Anfechtung nur dann möglich sei, wenn ihm durch die bezirksgerichtliche Verfügung vom 26. April 2018 ein nicht leicht wiedergutzumachender Nachteil im Sinne von <ref-law> drohe, was vorliegend weder dargetan noch erkennbar sei. Er genügt damit den Rügeanforderungen von Art. 117 i.V.m. <ref-law> nicht, wonach er anhand der Erwägungen des angefochtenen Beschlusses detailliert darlegen müsste, inwiefern dieser verfassungsmässige Rechte verletzt (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368; <ref-ruling> E. 1.2 S. 234).
1.3. Von vornherein nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit sie sich gegen Urteile und Verfügungen des Bezirksgerichts richtet. Anfechtungsobjekt vor Bundesgericht ist einzig der Nichteintretensbeschluss des Obergerichts vom 24. Mai 2018 (Art. 114 i.V.m. <ref-law>).
2.
Aus den dargelegten Gründen kann auf die Beschwerde insgesamt nicht eingetreten werden. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Der Gegenpartei ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Oktober 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss