Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Berner-Jura Seeland stellte mit Verfügung vom 5. März 2018 das Strafverfahren gegen A._ wegen versuchter Nötigung sowie Aufbewahrung, Auswertung, Zugänglichmachens und Kenntnisgabe von unbefugt aufgenommenen Gesprächen ein.
Zwei Journalisten ersuchten in der Folge um Einsicht in die Einstellungsverfügung, welche die Staatsanwaltschaft mit Verfügung vom 25. Mai bzw. 21. Juni 2018 gewährte. Dagegen erhob A._ am 29. Juni bzw. 25. Juli 2018 Beschwerde bei der Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Bern.
Mit Verfügung vom 2. August 2018 hielt der stellvertretende Generalstaatsanwalt Markus Schmutz den Eingang der Beschwerden fest und erklärte in Ziff. 3 dieser Verfügung, dass den Beschwerden zahlreiche Äusserungen zur Person, die das eingestellte Strafverfahren leitete, zu entnehmen seien, die beleidigend oder gar verleumderisch seien. Sie könnten als Sitte und Anstand verletzende Eingaben zur Verbesserung zurückgewiesen werden, worauf aber im Interesse der Verfahrensbeschleunigung verzichtet werde.
Am 10. August 2018 reichte A._ ein Ausstandsgesuch gegen den stellvertretenden Generalstaatsanwalt ein. Dieser übermittelte das Ausstandsgesuch mit Schreiben vom 21. August 2018 an die Strafkammer des Obergerichts des Kantons Bern und ersuchte um dessen Abweisung. Mit Beschluss vom 15. November 2018 wies das Obergericht das Ausstandsgesuch ab.
B.
Mit Eingabe vom 24. Dezember 2018 führt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt, der Beschluss des Obergerichts des Kantons Bern vom 15. November 2018 sei aufzuheben und es sei in Gutheissung der Beschwerde das Ausstands- resp. Ablehnungsgesuch vom 10. August 2018 gegen den stellvertretenden Generalstaatsanwalt gutzuheissen. Weiter stellt er den Antrag, sämtliche Eingaben der Beteiligten vor Bundesgericht und die Begründung des bundesgerichtlichen Entscheids seien lediglich ihm, dem Beschwerdegegner und der Vorinstanz zu eröffnen resp. mitzuteilen. Auf eine Publikation des Entscheids sei, auch in anonymisierter Form, zu verzichten. Eventualiter sei die Publikation erst nach rechtskräftigem Entscheid über die Frage der Einsicht in die Einstellungsverfügung der Staatsanwaltschaft Berner Jura-Seeland vom 5. März 2018 vorzunehmen. Subeventualiter sei bei der Formulierung des Bundesgerichtsentscheids zu berücksichtigen, dass die Veröffentlichung dieses Ausstandsentscheids das Hauptverfahren (Entscheid über die Einsichtnahme in die Einstellungsverfügung) faktisch nicht hinfällig mache.
Mit Präsidialverfügung vom 13. Februar 2019 hat das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Der Beschwerdegegner beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein selbständig eröffneter, kantonal letztinstanzlicher Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren in einer öffentlich-rechtlichen Streitsache. Denn die Einsicht in Akten rechtskräftig abgeschlossener Strafverfahren richtet sich im Kanton Bern nach dem Datenschutzgesetz vom 19. Februar 1986 (Art. 4 Abs. 2 lit. c KDSG e contrario). Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss Art. 86 Abs. 1 lit. a und Art. 92 Abs. 1 BGG offen. Der Beschwerdeführer ist als Gesuchsteller zur Beschwerde befugt (<ref-law>). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass, weshalb auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten ist.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verletze Bundesrecht und kantonale verfassungsmässige Rechte (Art. 95 lit. a und c BGG). Die Anwendung des sonstigen kantonalen Rechts überprüft das Bundesgericht jedoch nur auf Vereinbarkeit mit dem Bundesrecht, namentlich mit dem Willkürverbot gemäss <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.1 S. 372 mit Hinweisen).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, da sie sich nicht mit den zentralen Argumenten seiner Beschwerden auseinandergesetzt habe. Sie habe es insbesondere unterlassen, darzulegen, weshalb seine Äusserungen in den Beschwerden verleumderisch gewesen sein sollen. Seiner Ansicht nach hätte die Vorinstanz dazu Bezug auf die Verfahrensleitung durch die Staatsanwältin bzw. die "problematischen Vorgänge" im Zusammenhang mit der Einstellungsverfügung vom 5. März 2018 nehmen müssen.
2.2. Diese Rüge ist unbegründet. Es ist nicht zu beanstanden, wenn sich die Vorinstanz vorliegend nicht mit der vom Beschwerdeführer vorgebrachten Kritik an der Verfahrensleitung durch die Staatsanwältin befasst hat. Die Letztere ist im vorliegenden Ausstandsverfahren nicht Streitgegenstand. Insofern kann der Vorinstanz auch keine Verletzung des rechtlichen Gehörs vorgeworfen werden. Im Übrigen ist ohnehin nicht erforderlich, dass sich die Behörde mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.2 S. 70 f. mit Hinweisen).
Im angefochtenen Entscheid hat die Vorinstanz aufgezeigt, weshalb sie nicht von einem Ausstandsgrund des Beschwerdegegners ausgegangen ist. Ihre Ausführungen lassen erkennen, von welchen Überlegungen sie sich leiten liess (vgl. E. 3.1 hiernach). Selbst wenn sich die Vorinstanz nicht mit sämtlichen Vorbringen des Beschwerdeführers auseinandergesetzt hat, ergibt sich aus ihrem Entscheid mit hinreichender Klarheit, weshalb sie die Beschwerde abwies. Der Beschwerdeführer war dann auch ohne Weiteres in der Lage, den vorinstanzlichen Entscheid sachgerecht anzufechten.
3.
3.1. Zu prüfen ist sodann, ob die Vorinstanz das Ausstandsgesuch zu Recht abgewiesen hat. Sie erwog, die bisherige Verfahrensinstruktion durch den Beschwerdegegner entspreche den massgebenden prozessualen Vorschriften und sei nicht zu beanstanden. Der Beschwerdegegner habe weder seine Kompetenzen überschritten noch habe er sich in unzulässiger Weise vorzeitig mit dem Streitgegenstand befasst, wenn er die Beschwerden vom 29. Juni und 25. Juli 2018 im Sinne von Art. 33 des Gesetzes vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Bern (VRPG; BSG 155.21) auf ihren Inhalt überprüft und festgehalten habe, sie enthielten teilweise Äusserungen, welche Sitte und Anstand verletzen würden. Darin könne keine Voreingenommenheit bzw. Befangenheit des Beschwerdegegners erkannt werden.
3.2. Der Beschwerdeführer ist demgegenüber der Auffassung, der unberechtigte Vorwurf des Beschwerdegegners in Ziff. 3 der Verfügung vom 2. August 2018 erwecke den Anschein seiner Befangenheit bzw. Voreingenommenheit gemäss Art. 9 Abs. 1 lit. f VRPG. Die Äusserung, wonach die Beschwerdeschriften verleumderische Passagen enthielten, setze seiner Ansicht nach konkrete Fallkenntnis voraus. Diese "Antizipierung des Verfahrensausgangs vor umfassender Aktenkenntnis und Durchführung des Schriftenwechsels" begründe eine Vorbefasstheit, welche nicht mehr als vorläufige Meinung abgetan werden könne. Da sich seine Eingaben vollumfänglich auf die Akten stützen würden, sei zudem nicht nachvollziehbar, inwiefern einzelne Passagen Sitte und Anstand verletzen sollten. Durch die vom Beschwerdegegner erhobenen Vorwürfe bestünden aber nun Zweifel, dass er die Beschwerden unbefangen beurteilen bzw. die in Frage stehenden Interessen bei der Einsichtgewährung hinreichend gegeneinander abwägen werde. Die Vermutung liege nahe, der Beschwerdegegner werde aufgrund seiner geäusserten Kritik die Beschwerden ohne Weiteres abweisen.
3.3. Der Beschwerdegegner führt in seiner Stellungnahme vom 21. August 2018 diverse Passagen auf, welche seiner Ansicht nach "in ihrer Gesamtheit, teilweise aber auch einzeln" im Sinne von Art. 33 VRPG Sitte und Anstand verletzen und über das tolerierbare Mass hinaus gehen würden. Er begründet seine Auffassung damit, dass sich für die konkreten Vorwürfe keine ausreichenden Grundlagen in den Akten finden würden und die beanstandeten Textstellen nach Form, Inhalt und Gesamtzusammenhang das Mass an Kritik übersteigen würden, das sich eine Verfahrensleitung gefallen lassen müsse. Er habe damit lediglich eine Beurteilung vorgenommen, die ihm das Gesetz in Art. 33 VRPG auferlege. Wenn sich diese nicht als haltlos erweise, gehe es nicht an, ihn deswegen als befangen zu erklären. Im Schreiben vom 22. Oktober 2018 an die Vorinstanz führte er weiter aus, er habe seiner Ansicht nach den Beurteilungsraum, welcher der unbestimmte Gesetzesbegriff "Sitte und Anstand" vorsehe, mit seiner Feststellung nicht überschritten. Im Übrigen bedeute seine Beurteilung nicht, dass er sich bereits über den Inhalt der Beschwerden und die Kritik an der Verfahrensführung der Staatsanwältin sowie an deren Verfügungen betreffend die Akteneinsicht eine abschliessende Meinung gebildet habe.
4.
4.1. Gemäss Art. 9 Abs. 1 lit. f VRPG tritt eine Person, die eine Verfügung oder einen Entscheid zu treffen oder vorzubereiten oder als Mitglied einer Behörde zu amten hat, in den Ausstand, wenn sie aus anderen Gründen befangen sein könnte. Bei dieser Bestimmung handelt es sich um eine Generalklausel, welche alle Ausstandsgründe erfasst, die in Art. 9 Abs. 1 VRPG nicht ausdrücklich vorgesehen sind. Nach der Praxis der kantonalen Behörden ist bei der Auslegung von Art. 9 VRPG die bundesgerichtliche Rechtsprechung zu Art. 29 und Art. 30 Abs. 1 BV sowie Art. 6 Ziff. 1 EMRK zu berücksichtigen (vgl. Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern [VGE 100.2018.173] vom 23. Oktober 2018 E. 2.1 mit Hinweisen). Danach hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Die Rechtsprechung nimmt Voreingenommenheit und Befangenheit an, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Behördenmitglieds zu erwecken. Solche Umstände können namentlich in einem bestimmten Verhalten begründet sein. Dabei ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken. Für die Ablehnung ist nicht erforderlich, dass der Richter tatsächlich befangen ist (<ref-ruling> E. 5.2 S. 236 f. mit Hinweisen).
4.2. Gemäss Art. 33 Abs. 1 VRPG weist die Behörde eine unklare, unvollständige, Sitte und Anstand verletzende oder nicht in einer der beiden Landessprachen bzw. nicht in der richtigen Amtssprache verfasste Eingabe zur Verbesserung bzw. Übersetzung zurück. Bei der Wendung "Sitte und Anstand verletzend" handelt es sich um einen unbestimmten Rechtsbegriff, bei dessen Auslegung die Behörden über einen gewissen Beurteilungsspielraum verfügen. Eine sittenwidrige bzw. unanständige Ausdrucksweise ist nicht leichthin anzunehmen. Unzimperliche, übertriebene und verallgemeinernde Argumentationen müssen von den Parteien grundsätzlich in Kauf genommen werden. Hingegen haben verleumderische, beleidigende oder ehrverletzende Äusserungen keinen Platz (zum Ganzen: MERKLI/AESCHLIMANN/HERZOG, in: Kommentar zum Gesetz über die Verwaltungsrechtspflege im Kanton Bern, N. 5 zu Art. 33 VRPG).
5.
5.1. Der Beschwerdegegner kritisierte insbesondere die nachfolgenden beispielhaft aufgezählten Textstellen der Beschwerden vom 29. Juni bzw. 25. Juli 2018 als beleidigend oder gar verleumderisch bzw. Sitte und Anstand verletzend:
- Es spreche inzwischen alles dafür, dass es darum gehen dürfte, dem Beschwerdeführer noch eins auszuwischen. Man werde das Gefühl nicht los, dass sich die Verfahrensleiterin gerne an einem solchen Verfahren beteiligt habe, zumal man sich daran erinnere, dass sie dem Beschwerdeführer schon im Rahmen der Einstellungsverfügung mit der Kostenauferlegung ganz offensichtlich schaden wollte. Auf jeden Fall bestehe inzwischen der Eindruck, dass der Verfahrensleiterin auch sehr viel daran liege, dass dieser nicht sachgerechte und für den Beschwerdeführer ungünstige Kostenentscheid öffentlich gemacht werde (Rz. 49 der Beschwerde vom 25. Juli 2018).
- Mithin bestehe eine erhebliche Wahrscheinlichkeit, dass das Umfeld von B._ antisemitisch eingestellt sein könnte. Letzteres könne auch bezüglich der beiden Journalisten nicht ausgeschlossen werden. Daher wäre es geradezu stossend, wenn die Beschwerdegegnerin (Verfahrensleiterin) dazu Hand bieten würde, dem Beschwerdeführer zu schaden, weil er Jude sei (Rz. 56, 57 der Beschwerde vom 25. Juli 2018).
- Die (heikle) Offenlegung (von Teilen der Einstellungsverfügung) sei nicht nur unfair und boshaft, sondern wider Treu und Glauben erfolgt (Rz. 64, 66 der Beschwerde vom 25. Juli 2018).
- Die Verfahrensleiterin habe den Beschwerdeführer nach seiner Eingabe gar noch abgestraft (!), indem sie statt wie angekündigt "unter teilweiser Auferlegung der Verfahrenskosten" die ganzen Kosten auferlegt habe (Rz. 80/109 der Beschwerde vom 25. Juli 2018; Rz. 42 der Beschwerde vom 29. Juni 2018). Sie habe genau dies angestrebt, dass Leser aus der Formulierung im Strafbefehl falsche Schlüsse ziehen würden. Den gleichzeitig dem Beschwerdeführer dadurch möglicherweise entstehenden Nachteil habe sie ganz bewusst gewollt (Rz. 165 der Beschwerde vom 25. Juli 2018).
- Die Verfahrensleiterin habe den Gesundheitszustand des Beschwerdeführers als Taktik ausgenützt und ihn in unfairer Weise unter Druck gesetzt (Rz. 100/153 f. der Beschwerde vom 25. Juli 2018; Rz. 113 f. der Beschwerde vom 29. Juni 2018).
- Die Vorgehensweise der Verfahrensleiterin erhelle einmal mehr in aller Deutlichkeit, dass die Verfahrensleiterin - ohne begründeten Anlass - eine starke Aversion gegen den Beschwerdeführer hege (Rz. 142 der Beschwerde vom 25. Juli 2018).
5.2. Die aufgezählten Beispiele lassen erkennen, dass die vom Beschwerdeführer gewählten Formulierungen - die Verfahrensleiterin "habe eins auswischen", "schaden wollen", "biete Hand zu Antisemitismus", "habe nicht nur unfair und boshaft, sondern wider Treu und Glauben gehandelt", "habe den Beschwerdeführer abgestraft", "den Beschwerdeführer in unfairer Weise unter Druck gesetzt", "eine starke Aversion gegen den Beschwerdeführer" - beleidigende Elemente enthalten, welche in dieser Art und Weise grundsätzlich keinen Platz in einer Beschwerde haben und daher nicht akzeptiert werden müssen (vgl. E. 4.2 hiervor). Ob es sich hingegen tatsächlich um verleumderische Äusserungen handelt, braucht vorliegend nicht abschliessend beantwortet zu werden - denn selbst wenn der Beschwerdegegner zu Unrecht davon ausgegangen wäre, die Textpassagen seien verleumderisch, kann allein aufgrund dieser vorläufigen Beurteilung noch kein Ausstandsgrund erkannt werden. Insofern spielt auch keine Rolle, in welchem Sinn der Beschwerdegegner dieses Wort verwendet haben will. Die gesetzlich vorgesehene Überprüfung der Beschwerden auf ihre formellen Anforderungen hin gehört aber, wie erwähnt, zur Kompetenz der Verfahrensleitung. Lediglich aufgrund der in Ziff. 3 der Verfügung vom 2. August 2018 erwähnten Kritik kann daher nicht auf eine mangelnde Unparteilichkeit des Beschwerdegegners geschlossen werden, zumal für diese Beurteilung durch den Beschwerdegegner nach dem Gesagten klare Anhaltspunkte bestehen und sie deshalb nicht als haltlos bezeichnet werden kann.
Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers fand sodann allein aufgrund dieser Prüfung nach Art. 33 VRPG bisher keine inhaltliche Prüfung der Rügen statt. Der Verfahrensausgang ist nach wie vor offen. Daran ändern auch die Ausführungen der Vorinstanz nichts, wonach die Vorwürfe des Beschwerdeführers haltlos seien. Soweit der Beschwerdeführer diesbezüglich befürchtet, der Beschwerdegegner werde die Beschwerden nunmehr "erst recht" abweisen bzw. die Rechtsbegehren nicht mehr prüfen, kann ihm nicht gefolgt werden. Schliesslich ist nicht ersichtlich und vom Beschwerdeführer auch nicht rechtsgenüglich dargetan, weshalb die Vorinstanz dadurch ihrerseits <ref-law> und Art. 6 EMRK verletzt haben und eine gleiche und gerechte Behandlung im Verfahren vor der Generalstaatsanwaltschaft nicht mehr gewährleistet sein soll.
Im Übrigen besteht, wie die Vorinstanz erwogen hat, eine zentrale Funktion der instruierenden Person darin, sich mit den Akten vertraut zu machen, um anschliessend gestützt darauf über alle sich sowohl materiell als auch formell stellenden Fragen befinden zu können. Bei der Anwendung von Art. 33 VRPG ist daher eine gewisse "Vorbefassung" systemimmanent. Folglich ist aber nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz festhielt, der Beschwerdegegner habe seinen diesbezüglichen Beurteilungsspielraum nicht überschritten. Das entgegengesetzte subjektive Empfinden des Beschwerdeführers reicht nicht aus, um in objektiver Weise einen Ausstandsgrund zu begründen.
6.
6.1. Der Beschwerdeführer erblickt einen weiteren Ausstandsgrund darin, dass der Beschwerdegegner ein unzutreffendes Verständnis von Art. 33 VRPG habe. Er habe diesen Artikel falsch angewandt, weil er darauf verzichtet habe, die Beschwerden zurückzuweisen, obschon er eine Verletzung von Sitte und Anstand festgestellt habe. Die in Art. 33 VRPG vorgesehene Rückweisung sei obligatorisch. Der Beschwerdegegner könne die als beleidigend und verleumderisch bemängelten Äusserungen nicht mehr unbefangen beurteilen, weshalb er die Beschwerden hätte zurückweisen müssen. Indem die Vorinstanz die Auffassung des Beschwerdegegners gestützt habe, habe sie ihrerseits Art. 33 Abs. 1 VRPG willkürlich angewandt.
6.2. Dies trifft nicht zu. Soweit die Vorinstanz festhielt, sie erachte die Rechtsfolgen von Art. 33 VRPG nicht als zwingend, da eine gegenteilige Ansicht dem Verbot des überspitzten Formalismus sowie der Verfahrensökonomie zuwiderlaufen würde, kann ihr jedenfalls keine willkürliche Anwendung von Art. 33 VRPG vorgeworfen werden (vgl. E. 1.2 hiervor). Ebenfalls keine Willkür ist erkennbar, wenn sie erwog, gemäss Art. 46 VRPG könne mit einer Ordnungsbusse bestraft werden, wer im Verfahren Sitte und Anstand verletze, was darauf hindeute, dass Art. 33 VRPG in erster Linie der Verfahrensdisziplin diene, weshalb auf eine Rückweisung verzichtet werden könne.
Vorliegend handelt es sich sodann um für den Verfahrensausgang grundsätzlich unerhebliche Mängel: der Beschwerdegegner kritisierte lediglich die gewählte Formulierung, weshalb er auf eine Rückweisung verzichten konnte (so auch MARKUS MÜLLER, Bernische Verwaltungsrechtspflege, 2. Aufl. 2011, S. 81 f.). Aufgrund dieses Verzichts wird sich der Beschwerdegegner bei der Beurteilung der Beschwerden folglich mit sämtlichen Vorbringen, auch mit den von ihm kritisierten, zu befassen haben, was er im Übrigen auch nicht in Frage stellt. In Übereinstimmung mit der willkürfreien Feststellung der Vorinstanz ist daher festzuhalten, dass der Beschwerdegegner das kantonale Verfahrensrecht nicht verletzt hat, indem er die Beschwerden nicht zurückgewiesen hat. Es ist diesbezüglich ebenfalls kein Ausstandsgrund ersichtlich.
7.
Nach dem Gesagten hat die Vorinstanz, indem sie das Ausstandsgesuch des Beschwerdeführers abgewiesen hat, weder Bundesrecht verletzt noch das kantonale Verfahrensrecht willkürlich angewandt.
8.
Schliesslich ist auch der Antrag abzuweisen, wonach auf die Publikation des Entscheids, auch in anonymisierter Form, zu verzichten sei. Vorliegend sind keine Gründe ersichtlich, weshalb auf die Veröffentlichung verzichtet werden sollte. Das öffentliche Interesse an der Verwirklichung des in <ref-law> verankerten Öffentlichkeitsgrundsatzes überwiegt (<ref-ruling> E. 3.1 S. 198). Dem Interesse des Beschwerdeführers am Persönlichkeits- und Datenschutz wird mit der Anonymisierung des Urteils hinreichend Rechnung getragen.
9.
Demnach erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. April 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier