Faits :
A.
A._ a été appréhendé par la police le 16 novembre 2020. Une instruction pénale pour séjour illégal (art. 115 al. 1 let. a et b de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers et l'intégration [LEI; RS 142.20]) et pour contravention ainsi qu'infraction à la loi fédérale du 3 octobre 1951 sur les stupéfiants et les substances psychotropes (LStup; RS 812.121; art. 19a ch. 1 et 19 al. 1 LStup) a été ouverte à son encontre. Entre le 16 et le 22 novembre 2020, le prévenu a été incarcéré à l'Hôtel de police de Lausanne, puis dès le 23 novembre 2020 à ce jour, à la prison de Bois-Mermet.
Le 4 mars 2021, A._, par le biais de son défenseur d'office, a saisi le Tribunal des mesures de contrainte (ci-après : Tmc) d'une requête tendant à la constatation du caractère illicite des conditions de sa détention à l'Hôtel de police, respectivement à la prison de Bois-Mermet. La direction de la prison de Bois-Mermet a produit, le 9 mars 2021, un rapport, ainsi qu'un plan des cellules occupées par le prévenu.
Par ordonnance du 19 mars 2021, le Tmc a partiellement admis la demande de A._. Le tribunal a constaté que les conditions de détention à l'Hôtel de police du 18 au 22 novembre 2020 n'étaient pas conformes aux dispositions légales; pour le surplus, la requête a été rejetée. S'agissant de la détention à la prison de Bois-Mermet dès le 23 novembre 2020, le Tmc a en particulier relevé que les 76 jours où A._ avait disposé d'un espace personnel entre 3 et 4 m2 en présence de circonstances aggravantes (absence de cloison pour les sanitaires, isolation du bâtiment et confinement en cellule) représentaient une durée inférieure à trois mois; dès le 7 février 2021, le prévenu détenu, qui n'avait formulé aucune plainte sur d'autres aspects, avait disposé d'une surface individuelle supérieure à 4 m2.
B.
Le 7 avril 2021, la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal vaudois (ci-après : la Chambre des recours pénale) a rejeté le recours formé contre cette décision.
C.
Par acte du 25 mai 2021, A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre cet arrêt, concluant à la constatation que les conditions dans lesquelles sa détention avant jugement au sein de la prison de Bois-Mermet du 23 novembre 2020 au 7 avril 2021 n'étaient pas conformes aux dispositions légales et donc illicites. A titre subsidiaire, il demande le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision. Le recourant sollicite l'octroi de l'assistance judiciaire et son avocat a annoncé qu'il déposera une liste de frais à l'issue de l'échange d'écritures.
L'autorité précédente et le Ministère public du canton de Vaud ont renoncé à déposer des écritures, se référant aux considérants de la décision attaquée. Ces déterminations ont été adressées au mandataire du recourant le 3 juin 2021.

Considérant en droit :
1.
Selon l'<ref-law>, le recours en matière pénale est ouvert contre les décisions rendues en matière pénale, dont font partie les prononcés relatifs aux conditions de la détention provisoire ou pour des motifs de sûreté (arrêts 1B_188/2021 du 18 mai 2021 consid. 1; 1B_369/2013 du 26 février 2014 consid. 1, non publié in <ref-ruling>).
Les conclusions en constatation de droit ne sont recevables que lorsque des conclusions condamnatoires ou formatrices sont exclues. Sauf situations particulières, les conclusions constatatoires ont donc un caractère subsidiaire. Selon la jurisprudence, lorsqu'une irrégularité constitutive d'une violation d'une garantie conventionnelle ou constitutionnelle a entaché la procédure relative à la détention provisoire, celle-ci peut être réparée par une décision de constatation. Une telle décision vaut notamment lorsque les conditions de détention provisoire illicites sont invoquées devant le juge de la détention. A un tel stade de la procédure, seul un constat peut donc en principe intervenir et celui-ci n'a pas pour conséquence la remise en liberté du prévenu. Il appartient ensuite à l'autorité de jugement d'examiner les possibles conséquences des violations constatées, par exemple par le biais d'une indemnisation fondée sur l'<ref-law> ou, cas échéant, par une réduction de la peine (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 248; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 352 s. et consid. 3.4.2 p. 356 et les arrêts cités; arrêt 1B_188/2021 du 18 mai 2021 consid. 2.1). Il en découle que les conclusions en constatation prises par le recourant sont recevables (<ref-law>) et que l'existence d'un intérêt juridique à l'annulation ou la modification de l'arrêt attaqué doit être admise dès lors que le recours - déposé en temps utile (<ref-law>) - tend à la constatation immédiate du caractère illicite des conditions de la détention avant jugement subie (<ref-law>; arrêt 1B_188/2021 du 18 mai 2021 consid. 1 et les arrêts cités).
Partant, il y a lieu d'entrer en matière.
2.
Invoquant les art. 3 CEDH, 7, 10 Cst. et 3 al. 1 et 235 CPP, le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir nié le caractère illicite des conditions de la détention subie (i) entre le 23 novembre 2020 et le 6 février 2021, puis (ii) du 7 février au 7 avril 2021, jour de l'arrêt attaqué.
2.1. L'art. 3 CEDH prévoit que nul ne peut être soumis à la torture ni à des peines ou traitements inhumains ou dégradants. Sur le plan constitutionnel, l'art. 7 Cst. prescrit que la dignité humaine doit être respectée et protégée et, à teneur de l'art. 10 al. 3 Cst., la torture et tout autre traitement ou peine cruels, inhumains ou dégradants sont interdits.
Au niveau législatif, l'<ref-law> rappelle le principe du respect de la dignité humaine. L'<ref-law> régit l'exécution de la détention; il pose le principe général de proportionnalité (al. 1), précisant que les cantons règlent les droits et les obligations des prévenus en détention (al. 5; sur l'exécution de la détention avant jugement, voir FREI/ZUBERBÜHLER ELSÄSSER, in DONATSCH/LIEBER/SUMMERS/WOHLERS [édit.], SK-Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung, [StPO], 3e éd. 2020, ad art. 234 et 235 CPP; BAPTISTE VIREDAZ, in Commentaire romand, Code de procédure pénale suisse, 2e éd. 2019, ad art. 235 et 236 CPP; MATTHIAS HÄRRI, in Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2e éd. 2014, ad art. 234 et 235 CPP).
Dans le canton de Vaud, l'art. 16 du Règlement du 28 novembre 2018 sur le statut des personnes détenues placées en établissement de détention avant jugement (RSDAJ; RS/VD 340.02.5) prévoit qu'en principe, les personnes détenues avant jugement sont logées dans des cellules individuelles (al. 1); elles n'ont pas le choix de la cellule ou du secteur dans lequel elles sont incarcérées (al. 4). Selon l'art. 20 RSDAJ, les personnes détenues avant jugement sont tenues de veiller à la propreté de leur personne, de leurs vêtements et de leur cellule (al. 1); elles ont la possibilité de se doucher au moins trois fois par semaine dans des conditions qui préservent leur intimité (al. 3). Elles ne sont pas astreintes au travail (art. 27 al. 1 RSDAJ) et, dans la mesure du possible, elles se voient offrir la possibilité de travailler (art. 27 al. 2 RSDAJ, voir également les art. 32 ss RSDAJ relatifs aux possibilités de formation). Dès le deuxième jour de leur arrivée dans l'établissement, les personnes détenues avant jugement peuvent faire une promenade quotidienne d'une heure en plein air (art. 40 al. 1 RSDAJ) et, dans la mesure du possible - et sauf prescriptions contraires du service médical -, elles peuvent pratiquer des activités sportives (art. 41 al. 1 RSDAJ), le choix de celles-ci et leur fréquence variant selon les établissements (art. 41 al. 2 RSDAJ). Elles peuvent participer aux activités récréatives organisées par l'établissement (art. 42 al. 1 RSDAJ) et ont accès à la bibliothèque de celui-ci (art. 43 al. 1 RSDAJ). Les art. 53 ss RSDAJ traitent des relations avec l'extérieur, dont les possibilités de visite. Ce règlement ne comprend en revanche aucune disposition précise concernant l'aménagement, l'équipement, la dimension des cellules ou la surface dont doit bénéficier chaque détenu à l'intérieur de celles-ci.
2.1.1. Pour le domaine spécifique de la détention, la Suisse a ratifié, le 7 octobre 1988, la Convention européenne de 1987 pour la prévention de la torture et des peines ou traitements inhumains ou dégradants (RS 0.106). L'art. 1 de cette Convention institue un "Comité européen pour la prévention de la torture et des peines ou traitements inhumains ou dégradants" (ci-après : CPT). Le 15 décembre 2015, le CPT a édité une norme sur l'Espace vital par détenu dans les établissements pénitentiaires). Il en ressort qu'une cellule individuelle devrait mesurer 6 m2 auxquels on ajouterait la superficie nécessaire à une annexe sanitaire (généralement de 1 à 2 m2) et qu'une cellule collective devrait offrir par détenu 4 m2, surface augmentée de l'annexe sanitaire entièrement cloisonnée.
Par ailleurs, le Comité des ministres du Conseil de l'Europe, en application de l'art. 15 (b) du Statut du Conseil de l'Europe (RS 0.192.030), a adopté le 11 janvier 2006 la Recommandation Rec (2006) 2 sur les Règles pénitentiaires européennes (ci-après: RPE), lesquelles ont été révisées et modifiées le 1er juillet 2020. Ces règles prennent notamment en compte le travail mené par le CPT, ainsi que les normes qu'il a développées dans ses rapports généraux, et visent à garantir des conditions de détention qui ne portent pas atteinte à la dignité humaine. Les règles 17 à 22 RPE traitent des locaux de détention (règle 18), de l'hygiène (règle 19), de la literie (règle 20) et du régime alimentaire (règle 22) : ainsi, les locaux de détention doivent satisfaire aux exigences de respect de la dignité humaine et, dans la mesure du possible, de la vie privée, et répondre aux conditions minimales requises en matière de santé et d'hygiène, compte tenu des conditions climatiques, notamment en ce qui concerne l'espace au sol, le volume d'air, l'éclairage, le chauffage et l'aération (règle 18.1).
Les RPE - et a fortiori leur commentaire - n'ont valeur que de simples directives à l'intention des États membres du Conseil de l'Europe; le Tribunal fédéral en tient compte dans la concrétisation de la liberté personnelle et des autres droits fondamentaux garantis par la Constitution fédérale (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 323).
2.1.2. Dans un arrêt de principe Mursic contre Croatie du 20 octobre 2016, la Grande Chambre de la Cour européenne des droits de l'homme (ci-après : CourEDH) a confirmé que l'exigence de 3 m2 de surface au sol par détenu en cellule collective - à l'exclusion des installations sanitaires - demeurait la norme minimale pertinente aux fins de l'appréciation des conditions de détention au regard de l'art. 3 CEDH; la recommandation plus sévère du CPT se justifiait dès lors que celui-ci agissait principalement en amont dans un but de prévention, démarche qui tendait de par sa nature vers un degré de protection plus élevé que celui appliqué par la CourEDH (arrêt CourEDH Mursic c. Croatie du 20 octobre 2016, requête n° 7334/13, § 110 à 115; cf. également arrêt CourEDH J.M.B. et autres contre France du 30 janvier 2020, requête no 9671/15, § 255 et 256). La CourEDH a relevé que lorsqu'un détenu dispose de plus de 4 m2 d'espace personnel, ce facteur, en lui-même, ne pose pas de problème au regard de l'art. 3 CEDH (arrêt CourEDH J.M.B. et autres contre France du 30 janvier 2020, requête n° 9671/15, § 256; cf. également arrêt 1B_377/2020 du 2 décembre 2020 consid. 2.1.3).
2.1.3. S'agissant de l'espace au sol, le Tribunal fédéral a jugé qu'en cas de surpopulation carcérale telle que la connaissait la prison de Champ-Dollon, l'occupation d'une cellule dite individuelle par trois détenus - chacun disposant d'un espace individuel de 4 m2, restreint du mobilier - est une condition de détention difficile; elle n'est cependant pas constitutive d'une violation de l'art. 3 CEDH et ne représente pas un traitement dégradant portant atteinte à la dignité humaine des prévenus. En revanche, l'occupation d'une cellule dite triple par six détenus avec (i) une surface individuelle inférieure à 3,83 m2 - restreinte encore par le mobilier - peut constituer une violation de l'art. 3 CEDH (ii) si elle s'étend sur une longue période et (iii) si elle s'accompagne d'autres mauvaises conditions de détention. Il faut dès lors considérer la période pendant laquelle le recourant a été détenu dans les conditions incriminées. Une durée qui s'approche de trois mois consécutifs (délai que l'on retrouve en matière de contrôle périodique de la détention provisoire ou pour des motifs de sûreté; cf. <ref-law>) apparaît comme la limite au-delà de laquelle les conditions de détention susmentionnées ne peuvent plus être tolérées. Ce délai ne peut cependant pas être compris comme un délai au sens strict du terme mais comme une durée indicative à prendre en compte dans le cadre de l'appréciation globale de toutes les conditions concrètes de détention. La durée très limitée des périodes que le recourant est autorisé à passer hors de la cellule aggrave encore la situation (<ref-ruling> consid. 3.6.3 p. 139 s.; arrêt 1B_377/2020 du 2 décembre 2020 consid. 2.1.2 et les arrêts cités).
A titre d'exemples lorsque la cellule ne permet qu'une surface individuelle inférieure à 4 m2 et que la détention subie a duré plus de trois mois, la possibilité de sortir de la cellule, (a) entre 1 heure et 5 heures 45 par jour une semaine sur deux lorsque la détention est de 328 jours (arrêt 1B_239/2015 du 29 septembre 2015 consid. 2.5.2 et 2.5.3) ou (b) entre 3 heures 30 et 5 heures 30 par jour si elle a duré 635 jours (arrêt 1B_84/2016 du 27 juillet 2016 consid. 2.4) ne suffit pas en soi, dans la situation telle que décrite précédemment de la prison de Champ-Dollon, à rendre ces conditions de détention conformes à l'art. 3 CEDH. En revanche, dans la même configuration spatiale, le Tribunal fédéral a jugé que le fait de passer, (c) durant 114 jours, entre 4 heures 30 et 7 heures 15 par jour hors de la cellule (arrêt 1B_394/2016 du 25 avril 2017 consid. 2.4), respectivement (d) durant 201 jours 5 heures en moyenne hors de la cellule par semaine (arrêt 6B_1085/2016 du 28 août 2017 consid. 3.2), réduisait de manière significative le confinement en cellule et permettait de considérer que la détention dans de telles conditions ne constituait pas un traitement dégradant portant atteinte à la dignité humaine. Il en allait de même en cas de possibilités de sortie d'au moins 5 heures en moyenne par jour durant cinq mois en présence de circonstances aggravantes (toilettes séparées uniquement par un rideau ignifuge et isolation thermique mauvaise; arrêt 1B_377/2020 du 2 décembre 2020 consid. 2.2).
Dans l'hypothèse d'une cellule permettant une surface individuelle de 4,36 m2, le Tribunal fédéral a cependant constaté que le maintien dans une telle cellule pendant près de 9 mois ne dispensait pas l'autorité cantonale d'examiner, le cas échéant, si d'autres conditions matérielles de la détention pourraient être constitutives d'une violation de l'art. 3 CEDH (cf. notamment les inondations d'excrément et de papier WC, l'absence d'aération des cellules, les promenades trop peu nombreuses alléguées); dans une telle configuration, il était également nécessaire de connaître le temps que le recourant passait hors de sa cellule, respectivement seul dans la cellule commune (arrêt 1B_330/2020 du 2 décembre 2020 consid. 4.3 et 4.4).
2.2. En ce qui concerne la période du 23 novembre 2020 au 6 février 2021, l'autorité cantonale a constaté que les conditions de détention n'étaient pas illicites. Elle a retenu que la durée de la détention dans deux cellules de moins 4 m2 de surface individuelle était de 76 jours; la limite de trois mois n'était ni atteinte, ni très proche, ce qui permettait également de considérer que le confinement en cellule entre 22 heures et 23 heures ne constituait pas une circonstance aggravante. Selon l'autorité précédente, les autres circonstances invoquées à cet égard (absence de mur séparant les sanitaires du reste de la cellule et mauvaise isolation) n'étaient pas de nature, en elles-mêmes, à rendre la détention assimilable à de la torture; le recourant n'avait en outre formulé aucune plainte durant la détention.
S'agissant de la seconde période - du 7 février au 19 mars 2021, respectivement au jour de l'arrêt attaqué (environ 2 mois) -, la cour cantonale a relevé que le recourant avait bénéficié d'une surface individuelle nette de 4,335 m2; aucune autre circonstance aggravante (cf. celles relevées ci-dessus) ne permettait de considérer que les conditions matérielles de détention atteignaient un niveau d'humiliation ou d'avilissement suffisant pour constater une violation de l'art. 3 CEDH.
2.3. Ce raisonnement ne prête pas le flanc à la critique et le recourant ne développe aucune argumentation propre à le remettre en cause, se limitant en substance à substituer sa propre appréciation à celle de l'autorité précédente.
Pour les deux périodes de détention litigieuses telles que retenues dans les conclusions du recourant, la durée en cause est inférieure à la limite de trois mois retenue par la jurisprudence (76 jours et deux mois). Il ne peut ainsi être considéré que les conditions de détention illicites - en particulier dans la cellule concernant la première période qui n'offrait qu'un espace individuel de moins de 4 m2 - se seraient étendues sur une longue période. Cela étant, il n'est pas non plus d'emblée exclu que les conditions de détention puissent être illicites en raison d'autres éléments. En l'occurrence, le temps de confinement en cellule ne peut être ignoré (22 heures ou 23 heures par jour). Le recourant ne conteste toutefois pas les possibilités - en sus de la promenade quotidienne d'une heure et de l'heure hebdomadaire de sport - de participer à des activités socio-éducatives ou de se rendre à la bibliothèque mentionnées dans le rapport du 9 mars 2021 de la direction de la prison de Bois-Mermet (cf. ad let. B/b p. 2 de l'arrêt attaqué); il n'explique d'ailleurs pas pourquoi il n'aurait pas été en mesure d'en profiter. Il ne remet pas non plus en cause la constatation cantonale relative à l'absence de plainte en lien avec la mauvaise isolation de l'établissement au cours des périodes litigieuses, respectivement ne prétend pas en avoir émis par rapport à l'absence de séparation avec les sanitaires. On ne saurait ainsi considérer que ces circonstances atteindraient une telle intensité que les conditions de détention durant moins de trois mois constitueraient en l'occurrence un traitement inhumain et dégradant contraire à l'art. 3 CEDH.
Il en va a fortiori pour la seconde période, puisque celle-ci était, au jour de l'arrêt attaqué, plus courte que la première et que le recourant bénéficiait en outre d'un espace individuel de plus de 4 m2.
3.
Il s'ensuit que le recours est rejeté.
Le recourant a demandé l'octroi de l'assistance judiciaire (<ref-law>). Eu égard à la durée de la première période litigieuse proche de trois mois et des heures de confinement en cellule, son recours n'était pas d'emblée dénué de chance de succès et cette requête doit être admise. Il y a lieu de désigner Me Jean-Lou Maury comme avocat d'office et d'allouer à celui-ci une indemnité à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral (<ref-law>); cette indemnité sera fixée de manière forfaitaire. Il n'est pas perçu de frais judiciaires (<ref-law>), ni alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La requête d'assistance judiciaire est admise. Me Jean-Lou Maury est désigné comme avocat d'office du recourant et une indemnité de 1'500 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Ministère public central du canton de Vaud et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Chambre des recours pénale.
Lausanne, le 29 juin 2021
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Kneubühler
La Greffière : Kropf