Sachverhalt:
A.
A.a. A._ befand sich seit dem 22. April 2020 in Untersuchungshaft. Am 21. August 2020 trat er den vorzeitigen Strafvollzug an. Das Strafgericht Basel-Stadt verurteilte ihn am 16. Dezember 2020 wegen mehrfachen Verbrechens gegen das Betäubungsmittelgesetz (Gefährdung der Gesundheit vieler Menschen, Bandenmässigkeit), Geldwäscherei und weiterer Delikte zu einer Freiheitsstrafe von drei Jahren. Im Umfang von 18 Monaten sprach es diese Freiheitsstrafe bedingt aus, und zwar unter Ansetzung einer Probezeit von zwei Jahren. Zudem verhängte es über A._ eine Landesverweisung von acht Jahren. Die Landesverweisung wurde im Schengener Informationssystem (SIS) eingetragen.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt erhob gegen das genannte Urteil Berufung und beantragte eine Freiheitsstrafe von viereinhalb Jahren. A._ erhob seinerseits Anschlussberufung mit dem Antrag, anstelle des angefochtenen Urteils sei eine bedingte Freiheitsstrafe von 13 Monaten sowie eine Landesverweisung von fünf Jahren auszusprechen.
A.b. Mit Präsidialverfügung vom 20. Oktober 2021 verfügte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt die Sicherheitshaft betreffend A._. Zugleich ordnete es an, er verbleibe im vorzeitigen Strafvollzug der Justizvollzugsanstalt Bostadel. Schliesslich verfügte es, diese Anordnungen würden "bis zu einem neuen Entscheid zum Zeitpunkt des Berufungsurteils" und bei Wegfall des Berufungsverfahrens bis zur Feststellung der Rechtskraft des Urteils bzw. bis zum Antritt der Sanktion gelten.
In der Begründung der Verfügung bejahte das Appellationsgericht den dringenden Tatverdacht sowie Fluchtgefahr. Zudem qualifizierte es die Haft als verhältnismässig.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 26. Oktober 2021 beantragt A._ beim Bundesgericht, unter Aufhebung der Verfügung des Appellationsgerichts vom 20. Oktober 2021 sei er unverzüglich aus der Sicherheitshaft zu entlassen; eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Staatsanwaltschaft beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Appellationsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
Mit Eingabe vom 8. November 2021 hält der Beschwerdeführer an seinem Rechtsmittel fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Der vorliegende Entscheid der Verfahrensleitung des Berufungsgerichts betreffend Sicherheitshaft ist nicht anfechtbar (Art. 232 Abs. 2 StPO) und damit kantonal letztinstanzlich (vgl. Art. 380 StPO). Dagegen steht einzig die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht nach Art. 78 ff. BGG offen. Der Entscheid des Appellationsgerichts Basel-Stadt unterliegt mithin der Beschwerde an das Bundesgericht.
1.2. Der Beschwerdeführer nahm vor der Vorinstanz am Verfahren teil und hat als Inhaftierter und direkt betroffener Adressat des angefochtenen Entscheids ein aktuelles rechtlich geschütztes Interesse an dessen Änderung bzw. Aufhebung. Er ist daher nach Art. 81 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt.
1.3. Nach Art. 112 Abs. 1 lit. b BGG müssen beim Bundesgericht anfechtbare Entscheide die massgebenden Gründe tatsächlicher und rechtlicher Art enthalten. Der vorinstanzliche Entscheid hat eindeutig aufzuzeigen, auf welchem festgestellten Sachverhalt und auf welchen rechtlichen Überlegungen er beruht (<ref-ruling> E. 1.2.1 mit Hinweisen). Die Begründung ist insbesondere mangelhaft, wenn der angefochtene Entscheid jene tatsächlichen Feststellungen nicht trifft, die zur Überprüfung des eidgenössischen Rechts notwendig sind, oder wenn die rechtliche Begründung des angefochtenen Entscheids so lückenhaft oder unvollständig ist, dass nicht geprüft werden kann, wie das eidgenössische Recht angewendet wurde. Die Begründung ist ferner mangelhaft, wenn einzelne Tatbestandsmerkmale, die für die Subsumtion unter eine gesetzliche Norm von Bedeutung sind, von der Vorinstanz nicht oder nicht genügend abgeklärt wurden (<ref-ruling> E. 5b mit Hinweis). Genügt ein Entscheid den genannten Anforderungen nicht, kann das Bundesgericht ihn in Anwendung von Art. 112 Abs. 3 BGG an die kantonale Behörde zur Verbesserung zurückweisen oder aufheben. Hingegen steht es ihm nicht zu, sich an die Stelle der Vorinstanz zu setzen, die ihrer Aufgabe nicht nachgekommen ist (<ref-ruling> E. 1.2.1; Urteile 6B_587/2021 vom 24. Juni 2021 E. 2.3.2; 6B_280/2021 vom 27. Mai 2021 E. 3.3.2; je mit Hinweisen).
2.
2.1. Bei Beschwerden, die gestützt auf das Recht der persönlichen Freiheit (Art. 10 Abs. 2, Art. 31 BV) gegen strafprozessuale Haft erhoben werden, prüft das Bundesgericht im Hinblick auf die Schwere des Eingriffes die Auslegung und Anwendung der StPO frei. Art. 98 BGG gelangt bei strafprozessualen Zwangsmassnahmen nicht zur Anwendung (<ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.2). Soweit jedoch reine Sachverhaltsfragen und damit Fragen der Beweiswürdigung zu beurteilen sind, greift das Bundesgericht nur ein, wenn die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz offensichtlich unrichtig (d.h. willkürlich i.S.v. Art. 9 BV) sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. Art. 105 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 2.5).
2.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, die angeordnete Sicherheitshaft sei unverhältnismässig und verletze Art. 212 Abs. 3 StPO. Er rügt, die Vorinstanz habe zu Unrecht angenommen, vorliegend sei die Möglichkeit eines bedingten oder teilbedingten Strafvollzuges bei der Prüfung der Verhältnismässigkeit der Sicherheitshaft nicht zu berücksichtigen. Auch bringt er in diesem Kontext vor, die Vorinstanz habe es unrichtigerweise unterlassen, summarisch die Wahrscheinlichkeit einer Strafverschärfung im Berufungsverfahren zu prüfen.
2.3. Gemäss Art. 31 Abs. 3 BV und Art. 5 Ziff. 3 EMRK hat eine in strafprozessualer Haft gehaltene Person Anspruch darauf, innerhalb einer angemessenen Frist richterlich abgeurteilt oder während des Strafverfahrens aus der Haft entlassen zu werden. Eine übermässige Haftdauer stellt eine unverhältnismässige Beschränkung dieses Grundrechts dar. Nach Art. 212 Abs. 3 StPO dürfen deshalb Untersuchungs- und Sicherheitshaft nicht länger dauern als die zu erwartende Freiheitsstrafe, wobei nach ständiger Praxis bereits zu vermeiden ist, dass die Haftdauer in grosse Nähe der zu erwartenden Freiheitsstrafe rückt (<ref-ruling> E. 5.1 mit Hinweisen). Diese Grenze ist insbesondere deshalb bedeutsam, weil das erkennende Gericht dazu neigen könnte, die Dauer der erstandenen Haft bei der Strafzumessung mitzuberücksichtigen (<ref-ruling> E. 3.4.2; <ref-ruling> E. 6; Urteil 1B_413/2017 vom 23. Oktober 2017 E. 4.2; je mit Hinweisen; siehe zum Ganzen <ref-ruling> E. 3.1).
Liegt bereits ein richterlicher Entscheid über das Strafmass vor, stellt dieser ein wichtiges Indiz für die mutmassliche Dauer der tatsächlich zu verbüssenden Strafe dar (<ref-ruling> E. 3.4; <ref-ruling> E. 4.1 mit Hinweisen). Droht neben einer freiheitsentziehenden Sanktion zusätzlich eine Landesverweisung, darf auch noch ein angemessener behördlicher Zeitbedarf für die Vorbereitung des Vollzugs der Landesverweisung (vgl. Art. 66c-d StGB) bei der Prüfung der Verhältnismässigkeit der Haftdauer mitberücksichtigt werden (Urteile 1B_354/2019 vom 12. August 2019 E. 3.1; 1B_369/2019 vom 26. Juli 2019 E. 4.2; 1B_262/2018 vom 20. Juni 2018 E. 3.2).
Nach der Rechtsprechung ist bei der Prüfung der zulässigen Haftdauer der Umstand, dass die in Aussicht stehende Freiheitsstrafe bedingt oder teilbedingt ausgesprochen werden kann, wie auch die Möglichkeit einer bedingten Entlassung aus dem Strafvollzug im Grundsatz nicht zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 3.4; <ref-ruling> E. 5.1, <ref-ruling> E. 4.2; je mit Hinweisen). Dem Entscheid des Sachrichters soll insofern nicht vorgegriffen werden. Ist ein erstinstanzliches Urteil ergangen und hat die Staatsanwaltschaft Berufung mit Antrag auf Erhöhung der Strafe erhoben, hat der Haftrichter bei der Ermittlung des voraussichtlichen Strafmasses die Berufung mitzuberücksichtigen und zu prüfen, inwieweit diesem Rechtsmittel Erfolgschancen zukommen. Diese beurteilen sich aufgrund der konkreten Umstände, wobei sowohl die Entscheidgründe des erstinstanzlichen Urteils als auch die in der Berufung vorgetragenen Argumente einer provisorischen Würdigung zu unterziehen sind (<ref-ruling> E. 3.1; Urteile 1B_353/2013 vom 4. November 2013 E. 5.2.1; 1B_122/2009 vom 10. Juni 2009 E. 2.4).
2.4. Im vorliegenden Fall hat das Strafgericht den Beschwerdeführer wegen mehrfachen Verbrechens gegen das Betäubungsmittelgesetz, Geldwäscherei und weiterer Delikte zu einer Freiheitsstrafe von drei Jahren verurteilt. 18 Monate davon hat es bedingt ausgesprochen. Schon im Zeitpunkt des Erlasses des angefochtenen Entscheids stand dabei fest, dass er per 21. Oktober 2021 den unbedingten Teil der vom Strafgericht erstinstanzlich ausgefällten Freiheitsstrafe verbüsst haben wird. Bei dieser Sachlage hätte die Vorinstanz im Rahmen der Verhältnismässigkeitsprüfung gestützt auf eine provisorische Würdigung des Urteils des Strafgerichts und der Berufung der Staatsanwaltschaft beurteilen müssen, ob der Antrag der letzteren Behörde auf Erhöhung der Freiheitsstrafe Aussichten auf Erfolg hat. Dies gilt selbst unter Berücksichtigung des Umstandes, dass über den Beschwerdeführer auch eine (lediglich hinsichtlich ihrer Dauer umstrittene) Landesverweisung verhängt worden ist und zur Vorbereitung ihres Vollzuges ein angemessener behördlicher Zeitbedarf veranschlagt werden darf (vgl. E. 2.3).
Die Vorinstanz hat die erwähnte Prüfung der Erfolgschancen des Berufungsantrages auf Strafverschärfung nicht vorgenommen. Sie hat somit Art. 112 Abs. 1 lit. b BGG verletzt, indem sie nicht rechtsgenügend prüfte bzw. begründete, ob bzw. inwiefern die Sicherheitshaft unter Berücksichtigung der Erfolgschancen der Berufung als verhältnismässig betrachtet werden kann.
Die Kognition des Bundesgerichts ist in Tatsachenfragen auf Willkür beschränkt (siehe vorne E. 2.1). Weil die Vorinstanz die für die Beurteilung der Verhältnismässigkeit massgebenden tatsächlichen Feststellungen gemäss Art. 112 Abs. 1 lit. b BGG nicht getroffen hat, ist die Sache nicht liquid. Daher ist eine reformatorische Entscheidung des Bundesgerichts (i.S.v. Art. 107 Abs. 2 BGG) vorliegend nicht möglich (vgl. vorne E. 1.3). Bei dieser Sachlage erübrigt es sich, auf die weiteren Rügen des Beschwerdeführers einzugehen. Die Angelegenheit ist zur neuen Beurteilung bzw. Ergänzung der Begründung an die Vorinstanz zurückzuweisen (vgl. zum Ganzen auch Urteil 6B_587/ 2021 vom 24. Juni 2021 E. 2.7).
3.
Der angefochtene Entscheid ist nach dem Gesagten in Anwendung von Art. 112 Abs. 3 BGG aufzuheben und die Sache an das Appellationsgericht zurückzuweisen, damit dieses einen Entscheid trifft, der den Anforderungen von Art. 112 Abs. 1 BGG genügt. Dabei wird es das Beschleunigungsgebot in Haftsachen zu beachten haben (Art. 31 Abs. 4 BV, Art. 5 Abs. 2 StPO).
Es sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Basel-Stadt hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Die Entschädigung ist praxisgemäss seinem Rechtsvertreter auszurichten. Damit wird das für das bundesgerichtliche Verfahren gestellte Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, der angefochtene Entscheid aufgehoben und die Sache zu neuem Entscheid an das Appellationsgericht Basel-Stadt zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Der Kanton Basel-Stadt hat dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht Basel-Stadt, Präsidentin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. November 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: König