Sachverhalt:
A.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt hiess mit Urteil vom 24. November 2020 (BV.2020.18) die Klage des A._ vom 27. Juli 2020 gut. Es verurteilte die GastroSocial Pensionskasse (nachfolgend: Pensionskasse), A._ eine Invalidenrente basierend auf einem Invaliditätsgrad von 100 % ab dem 1. April 2017 zuzüglich Zins zu 2 % ab Fälligkeit, unter Befreiung von der Beitragspflicht für die Sparbeiträge an das Altersguthaben ab Februar 2012, zu entrichten.
Die dagegen erhobene Beschwerde der Pensionskasse wies das Bundesgericht mit Urteil 9C_181/2021 vom 10. Juni 2021 ab.
B.
Mit Berichtigungsgesuch vom 14. Juli 2021 macht die Pensionskasse geltend, in Bezug auf die Beitragsbefreiung seien die Erwägungen und das Dispositiv des Urteils 9C_181/2021 vom 10. Juni 2021 widersprüchlich. Gemäss den bundesgerichtlichen Erwägungen sei die relevante und schliesslich invalidisierende Arbeitsunfähigkeit nicht schon im November 2011 eingetreten, wovon das kantonale Gericht ausgegangen sei, sondern erst am 21. März 2014. A._ sei am 31. Mai 2012 aus der Pensionskasse ausgetreten, womit die reglementarisch geschuldete Beitragsbefreiung geendet habe. Mit Antritt einer Vollzeitstelle am 19. Februar 2014 sei er wieder bei ihr versichert gewesen. Vor diesem Hintergrund könne der (erneute) Anspruch auf Beitragsbefreiung nicht vor dem 21. Juni 2014 eingetreten sein.
A._ lässt die Gutheissung des Gesuchs beantragen. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt lässt sich vernehmen, ohne einen formellen Antrag zu stellen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Ist das Dispositiv eines bundesgerichtlichen Entscheids unklar, unvollständig oder zweideutig, stehen seine Bestimmungen untereinander oder mit der Begründung im Widerspruch oder enthält es Redaktions- oder Rechnungsfehler, so nimmt das Bundesgericht auf schriftliches Gesuch einer Partei oder von Amtes wegen die Erläuterung oder Berichtigung vor (<ref-law>).
Die Erläuterung oder Berichtigung dient dazu, möglichst formlos Abhilfe zu schaffen, wenn die Entscheidformel (Dispositiv) unklar, unvollständig, zweideutig oder in sich widersprüchlich ist. Sie erlaubt insbesondere, Fehler oder Auslassungen bei der Ausformulierung des Dispositivs zu korrigieren. Die Erwägungen sind einer Erläuterung oder Berichtigung nur zugänglich, soweit der Sinn der Entscheidformel erst durch deren Beizug ermittelt werden kann. Die Erläuterung oder Berichtigung dient nicht dazu, allfällige Rechtsfehler im Nachhinein zu korrigieren (Urteile 6G_1/2019 vom 15. Juli 2019 E. 3.2; 8G_1/2018 vom 22. Mai 2018 E. 5.2; 9G_1/2016 vom 28. Januar 2016 E. 1). Wie mit einer Revision (vgl. <ref-law>; Urteile 9F_11/2019 vom 19. August 2019 E. 2.3.2; 5F_24/2018 vom 1. Juli 2019 E. 1; 8F_8/2019 vom 28. März 2019) lassen sich auch mit der Erläuterung oder Berichtigung nicht nachträglich allfällige Versäumnisse in der Begründung der Beschwerde an das Bundesgericht beheben.
2.
Das Bundesgericht befasste sich im Urteil 9C_181/2021 vom 10. Juni 2021 lediglich mit der Leistungszuständigkeit der Pensionskasse im Grundsatz. Es äusserte sich indessen nicht zum konkreten Anspruch auf Beitragsbefreiung, insbesondere weder zu dessen zeitlichem Aspekt noch zur Tragweite der diesbezüglichen Anordnung im Dispositiv des kantonalen Urteils vom 24. November 2020. Dazu hatte es angesichts der Vorbringen in der Beschwerde auch keinen Anlass (vgl. Urteil 9C_181/2021 vom 10. Juni 2021 E. 1 und 4.1). Damit kann von vornherein nicht von einem Widerspruch zwischen Begründung und Dispositiv des Urteils 9C_181/2021 gesprochen werden. Ein anderer Grund für eine Erläuterung oder Berichtigung des genannten Urteils wird nicht geltend gemacht und ist auch nicht ersichtlich.
3.
Umständehalber sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Der Gesuchsgegner hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 4 i.V.m. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Berichtigungsgesuch wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Die Gesuchstellerin hat den Gesuchsgegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 300.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. September 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Dormann