Sachverhalt:
A.
Die Rechtsanwältin A._ hatte im Rahmen eines Beschwerdeverfahrens in einer invalidenversicherungsrechtlichen Streitigkeit vor dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn für ihre Mandantin die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung beantragt (Beschwerde vom 23. November 2017). Dieses Gesuch wurde vom kantonalen Gericht mit Verfügung vom 15. Februar 2018 ab Prozessbeginn bewilligt. Mit dem Entscheid in der Hauptsache vom 25. März 2019 wurde die Kostenforderung der unentgeltlichen Rechtsbeiständin auf Fr. 1242.60 (inklusive Auslagen und Mehrwertsteuer) statt auf den geltend gemachten Betrag von Fr. 1715.95 festgesetzt, ihr allfälliger Nachforderungsanspruch gegenüber ihrer Klientin wurde auf Fr. 319.45 beziffert (Dispositiv-Ziffer 3) und die Verfahrenskosten von Fr. 600.- wurden dem Staat Solothurn auferlegt (Dispositiv-Ziffer 4).
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, Dispositiv-Ziffer 3 des kantonalen Gerichtsentscheids vom 25. März 2019 sei aufzuheben und es sei ihr für die Ausübung der unentgeltlichen Vertretung ein Honorar von Fr. 1715.95 zuzüglich Nachzahlungsanspruch von Fr. 450.90 gegenüber ihrer Mandantin zuzusprechen; eventualiter sei die Sache zur erneuten Festsetzung der Entschädigung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das kantonale Gericht sieht von Bemerkungen zur Beschwerde ab und stellt das Rechtsbegehren, das Rechtsmittel sei abzuweisen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Da sich die Beschwerde führende Rechtsanwältin gegen die von der Vorinstanz zugesprochene Entschädigung für ihre Tätigkeit als unentgeltliche Rechtsbeiständin wendet, ist sie zur Beschwerde in eigenem Namen legitimiert (<ref-law>; SVR 2013 IV Nr. 26 S. 75, 8C_54/2013 vom 8. Mai 2013 E. 1 mit Hinweis). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob die vorinstanzliche Kürzung der Entschädigung aus unentgeltlicher Verbeiständung auf Fr. 1242.60 (inklusive Auslagen und Mehrwertsteuer) und des Nachforderungsanspruchs gegenüber der Mandantin auf Fr. 319.45 gegen Bundesrecht verstösst.
2.1. Der unentgeltliche Rechtsvertreter und die unentgeltliche Rechtsvertreterin erfüllen eine staatliche Aufgabe, welche durch das kantonale öffentliche Recht geregelt wird. Mit ihrer Einsetzung entsteht zwischen ihnen und dem Staat ein besonderes Rechtsverhältnis. Gestützt darauf haben sie eine öffentlich-rechtliche Forderung gegen den Staat auf Entschädigung im Rahmen der kantonalen Bestimmungen. Sie können aus <ref-law> einen Anspruch auf Entschädigung und Rückerstattung ihrer Auslagen herleiten. Dieser umfasst aber nicht alles, was für die Wahrnehmung der Interessen ihrer Mandanten von Bedeutung ist. Ein verfassungsrechtlicher Anspruch besteht nur, soweit der Aufwand zur Wahrung der Rechte notwendig ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 126), somit nicht schon, soweit er bloss vertretbar erscheint.
2.2. Dem erstinstanzlichen Gericht ist bei der Bemessung der Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes praxisgemäss ein weiter Ermessensspielraum einzuräumen. Das Bundesgericht greift nur ein, wenn der Ermessensspielraum klar überschritten worden ist oder wenn Bemühungen nicht honoriert worden sind, die zweifelsfrei zu den Obliegenheiten eines amtlichen Vertreters gehören (<ref-ruling> E. 2.3 S. 72 mit Hinweisen).
3.
Die Vorinstanz setzte das strittige Honorar gestützt auf § 161 in Verbindung mit § 160 des solothurnischen Gebührentarifs vom 8. März 2016 (GT/SO; BGS 615.11) fest. Unter dem Titel "Parteientschädigungen und Entschädigungen der unentgeltlichen Rechtsbeistände in Zivilverfahren" bestimmt § 160 GT/SO, dass der Richter die Kosten der berufsmässigen Vertretung und die Entschädigung der unentgeltlichen Rechtsbeistände nach dem Aufwand festsetzt, welcher für eine sorgfältige und pflichtgemässe Vertretung erforderlich ist. Er gibt den Parteien vor dem Entscheid Gelegenheit zur Einreichung einer Honorarnote. Wird keine detaillierte Honorarnote eingereicht, schätzt er den Aufwand nach pflichtgemässem Ermessen (§ 160 Abs. 1 GT/SO). Der Stundenansatz für die Bestimmung der Entschädigung der unentgeltlichen Rechtsbeistände sowie für die Ausfallhaftung des Staates beträgt 180 Franken zuzüglich Mehrwertsteuer (§ 160 Abs. 3 GT/SO). Im Verwaltungsverfahren ist § 160 GT/SO sinngemäss anwendbar (§ 161 GT/SO).
3.1. Ausgehend von der vorinstanzlich eingereichten Kostennote vom 11. April 2018, mittels welcher ein Aufwand von 8.36 Stunden geltend gemacht wurde, nahm das kantonale Gericht eine Kürzung auf einen Zeitaufwand von 5.92 Stunden vor. Zur Begründung führte es aus, reine Kanzleiarbeiten, wie die Weiterleitung von Dokumenten an die Klientschaft, das Einfordern von Akten, die Kenntnisnahme von Verfügungen, das Einreichen des UP-Gesuchs oder der Kostennote sowie das Stellen von Fristerstreckungsgesuchen seien im Stundenansatz eines Anwalts bereits inbegriffen und nicht separat zu vergüten. Bei nicht eindeutig bezeichneten Positionen (wie zum Beispiel "Schreiben an Klientschaft") gehe das Gericht praxisgemäss von Orientierungskopien oder sonstigem Kanzleiaufwand aus. Vorliegend würden auf Positionen, die als Kanzleiaufwand zu qualifizieren seien, insgesamt 1.44 Stunden (Positionen vom 30. Oktober, 2., 23. und 29. November 2017, 25. Januar, 22. Februar und 13. März 2018 à je 0.17 Stunden sowie Position vom 11. April 2018 à 0.25 Stunden) entfallen. Zudem sei praxisgemäss ein nachprozessualer Aufwand von einer und nicht von zwei Stunden zu berücksichtigen (Kürzung der Position "Aufwand nach Urteil", vordatiert auf 11. April 2018). Damit belaufe sich die Kostenforderung auf insgesamt Fr. 1242.60 (Honorar von Fr. 1065.60 [5.92 x Fr. 180.-] zuzüglich Auslagen von Fr. 85.90 und Mehrwertsteuer von Fr. 91.10). Vorbehalten bleibe der Rückforderungsanspruch des Staates während zehn Jahren sowie der Nachzahlungsanspruch der unentgeltlichen Rechtsbeiständin im Umfang von Fr. 319.45, wenn deren Klientin zur Nachzahlung in der Lage sei.
3.2. Die Beschwerdeführerin bringt vor, sie wende sich einzig gegen die Kürzung des geltend gemachten Aufwandes von 8.36 Stunden auf 5.92 Stunden. Die Vorinstanz habe den Aufwand in willkürlicher Art und Weise gekürzt und damit <ref-law> verletzt. Nicht bestritten werde die Reduktion des Stundenansatzes von Fr. 250.- auf Fr. 180.-, bzw. Fr. 230.- für das volle Honorar. Beantragt werde die ungekürzte Zusprache einer Entschädigung für einen Aufwand von 8.36 Stunden, was bei einem Stundenansatz von Fr. 230.- ein volles Honorar von Fr. 2166.85 (inklusive Mehrwertsteuer und Auslagen) ergebe. Bei einem Stundenansatz von Fr. 180.- für die unentgeltliche Rechtsvertretung resultiere somit eine direkt durch die Gerichtskasse des Kantons Solothurn auszurichtende Entschädigung in der Höhe von Fr. 1715.95 (inklusive Mehrwertsteuer und Auslagen) sowie, entsprechend der Differenz zu einem vollen Honorar bei einem Stundenansatz von Fr. 230.-, ein Nachzahlungsanspruch von Fr. 450.90 gegenüber der Klientin. Im Einzelnen sei aus der Kostennote vom 11. April 2018 ersichtlich, dass sie mit ihrer Klientin lediglich am 27. Oktober 2017, zu Beginn des Mandates, fünf Minuten, sowie später am 23. November 2017 noch einmal zehn Minuten telefoniert habe. Eine eigentliche, detaillierte mündliche Besprechung des Falles mit Erläuterung des Verfahrensablaufs, des weiteren Vorgehens, der Erfolgsaussichten der Beschwerde habe nicht stattgefunden. Diese Informationen habe sie ihrer Klientin jeweils anlässlich der in der Honorarnote aufgelisteten Positionen "Schreiben an Klientschaft" vom 30. Oktober, 2. und 23. November 2017 gegeben. Auch mit den weiteren Schreiben seien nicht bloss Orientierungskopien weitergeleitet worden. Einerseits habe sie dem Gericht Unterlagen bezüglich des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege nachreichen und in diesem Zusammenhang mit der Klientin korrespondieren müssen (Schreiben vom 25. Januar 2018). Die Weiterleitung der jeweiligen Verfügungen des kantonalen Gerichts sei ebenfalls nicht kommentarlos geschehen (so unter anderem das Schreiben vom 29. November 2017). Andererseits werde vom kantonalen Gericht übersehen, dass die gestrichenen Positionen vom 27. (recte: 29.) November 2017, 25. Januar, 22. Februar, 13. März und 14. (recte: 11.) April 2018 auch Aktenstudium enthielten, das nicht an die Kanzlei delegiert werden könne. Den nachprozessualen Aufwand habe die Vorinstanz schliesslich ebenfalls in willkürlicher Art und Weise von den geltend gemachten zwei Stunden auf eine Stunde gekürzt. Insgesamt sei die Begründung für die Kürzung der Kostennote zu pauschal gehalten und im Ergebnis willkürlich.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin hatte im Verfahren vor dem kantonalen Gericht eine Klientin vertreten, deren Invalidenrente revisionsweise aufgehoben worden war. Mit Blick auf die umfangreichen medizinischen Akten, die dem Streit in der Hauptsache zugrunde lagen, und auf den Zusatzaufwand, der bekanntlich bei einem doppelten Schriftenwechsel zu verzeichnen ist, konnte es der Vorinstanz nicht entgangen sein, dass der in der Kostennote vom 11. April 2018 geltend gemachte Vertretungsaufwand von insgesamt 8.92 Stunden sehr niedrig ist. Wie seitens der Rechtsbeiständin geltend gemacht, fällt zudem auf, dass für die ganze Dauer des Beschwerdeverfahrens keine einzige Besprechung mit der Mandantin notiert wurde, obwohl sie diese im Vorbescheidverfahren noch nicht vertreten hatte. Wenn daher im angefochtenen Kostenentscheid ohne weitere Begründung, lediglich unter Hinweis auf die "Praxis", davon ausgegangen wird, die "Schreiben an Klientschaft" und weitere "nicht eindeutig bezeichnete Positionen" seien Kanzleiaufwand und daher nicht separat zu vergüten, so muss dies angesichts der konkreten Umstände - mit der Beschwerdeführerin - als willkürlich qualifiziert werden. Dazu kommt, dass bei fünf der weggekürzten Positionen der Aufwand nicht nur mit einem Schreiben an die Klientschaft, sondern auch mit "Aktenstudium" begründet wurde - einer Arbeit also, die zwangsläufig von der mandatierten Rechtsvertreterin zu erbringen war und nicht an die Kanzlei delegiert werden konnte. Dass der Aufwand insgesamt zu gross war, wird vom kantonalen Gericht nicht moniert. Aus welchem Grund es diese fünf Positionen trotzdem vollständig, also auch den Aufwand für das Aktenstudium, strich, ist nicht nachvollziehbar.
Es ist Sache der kantonalen Behörden, die Angemessenheit anwaltlicher Bemühungen zu beurteilen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 126 mit Hinweisen). Das Honorar muss allerdings so festgesetzt werden, dass die unentgeltliche Rechtsvertretung über den Handlungsspielraum verfügt, den sie zur wirksamen Ausübung des Mandates benötigt (<ref-ruling> E. 3.1 S. 126 mit Hinweisen). Unter den vorliegenden Umständen lässt die vorinstanzliche Kürzung des vergütungsberechtigten Aufwandes diesen Handlungsspielraum zur wirksamen Ausübung des Mandates offensichtlich nicht mehr zu, weshalb sie unhaltbar ist. Die Vorinstanz wird die Entschädigung der unentgeltlichen Rechtsbeiständin daher neu festzusetzen haben.
4.2. Soweit das kantonale Gericht den entschädigungsberechtigten nachprozessualen Aufwand von zwei auf eine Stunde gekürzt hat (erste Position vom 11. April 2018) kann darin nicht schon Willkür gesehen werden. Eine Verletzung der ihm rechtsprechungsgemäss obliegenden Begründungspflicht liegt ebenfalls nicht vor. Da der Aufwand für die Nachbearbeitung zum Zeitpunkt der Bewilligung der unentgeltlichen Verbeiständung noch nicht im Einzelnen feststeht, muss dieser prognostisch festgesetzt werden. Bei der Prüfung der Angemessenheit einer Honorarnote steht dem kantonalen Gericht praxisgemäss ein weiter Ermessensspielraum zu (E. 2.2 hiervor; vgl. auch: SVR 2013 IV Nr. 8 S. 19, 9C_387/2012 E. 4). Mit Blick darauf lässt sich nicht beanstanden, wenn die Vorinstanz den nachprozessualen Aufwand im Regelfall auf eine Stunde festsetzt und höhere Honorarnoten jeweils entsprechend kürzt. Da die Rechtsbeiständin im vorliegenden Fall keine besonderen Umstände geltend gemacht hatte und solche auch vor Bundesgericht nicht vorbringen kann, muss es bei der vorinstanzlich vorgenommenen Pauschalisierung gerade auch aus Rechtsgleichheitsgründen sein Bewenden haben. Der Hinweis im angefochtenen Entscheid auf eine praxisgemässe Vergütung von lediglich einer Stunde reicht demzufolge zur Begründung der vorgenommenen Kürzung des nachprozessualen Aufwandes aus.
5.
Dem Eventualantrag der Beschwerdeführerin folgend ist die Sache zur willkürfreien Neubemessung der Entschädigung im Sinne der Erwägung 4.1 hiervor an die Vorinstanz zurückzuweisen (vgl. Urteil 8C_880/2018 vom 6. Juni 2019 E. 5.1 mit Hinweis).
6.
Die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz gilt praxisgemäss für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten wie auch der Parteientschädigung als vollständiges Obsiegen im Sinne von Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 sowie 2 BGG, unabhängig davon, ob sie überhaupt beantragt oder ob das Begehren im Haupt- oder im Eventualantrag gestellt wird (<ref-ruling> E. 6.1 S. 235 mit Hinweisen; Urteil 8C_671/2007 vom 13. Juni 2008 E. 4.1). Von der Erhebung von Gerichtskosten ist unter den vorliegenden Umständen jedoch abzusehen (<ref-law>). Die im Streit um die Erhöhung des Honorars aus unentgeltlicher Verbeiständung im vorgenannten Sinne teilweise obsiegende Beschwerdeführerin - bzw. ihr für das bundesgerichtliche Verfahren beigezogener Rechtsvertreter - hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (vgl. <ref-ruling>; SVR 2013 IV Nr. 26 S. 75, 8C_54/2013 E. 6 mit Hinweisen). Eine andere Kostenverlegung infolge des teilweisen Unterliegens der Beschwerdeführerin (nach Massgabe von E. 4.2 hiervor) rechtfertigt sich hier nicht.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Dispositiv-Ziffer 3 des Entscheids des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 25. März 2019 wird aufgehoben. Die Sache wird zur neuen Beurteilung und Festsetzung des Honorars der unentgeltlichen Rechtsvertreterin im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Solothurn hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2000.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der IV-Stelle Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. November 2019
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Berger Götz