Faits :
A.
A._ et B._ sont les parents non mariés de C._, née en 2008 et D._, née en 2011.
B.
B.a. Le 20 août 2015, le Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant du canton de Genève (ci-après: le tribunal de protection) a instauré l'autorité parentale conjointe des parents sur les enfants, attribué leur garde à la mère et réservé un large droit de visite en faveur du père, assorti d'une curatelle d'organisation et surveillance des relations personnelles.
Les parties entretenant déjà un rapport conflictuel, elles ont été exhortées à la médiation, le tribunal de protection les rappelant à leur devoir d'apaiser leurs conflits.
B.b. Le 23 février 2016, le Service de protection des mineurs (ci-après: SPMi) a pris à l'égard des enfants une mesure de " clause-péril ", que le tribunal de protection a ratifiée le 17 mars 2016; sur mesures provisionnelles, celui-ci a retiré la garde et le droit de déterminer le lieu de résidence des mineures à A._, confié celles-ci au père moyennant réserve d'un droit de visite limité en faveur de la mère.
Une expertise psychiatrique familiale a été ordonnée par le tribunal de protection le 19 mai 2016.
Selon le rapport établi par les experts le 2 mai 2016, A._ souffrait d'un trouble psychiatrique sévère, dont la symptomatologie correspondait à une psychose non organique exacerbée; ce trouble entravait fortement ses capacités parentales. B._ ne présentait en revanche aucun signe de troubles psychiques, ni d'addictions, sa personnalité lui permettant de fonctionner de manière souple et adaptative. La dynamique parentale créait une grande insécurité affective chez les enfants, qui évoluaient dans un climat angoissant dont les conséquences étaient susceptibles d'atteindre leur développement et la construction de leur personnalité.
B.c. Par ordonnance du 1er février 2017, le tribunal de protection a maintenu l'autorité parentale conjointe des parents, confié la garde des enfants au père et réservé à la mère un droit de visite, diverses curatelles étant instituées ou maintenues.
L'exercice du droit de visite a fait l'objet de plusieurs modifications et adaptations subséquentes, étant souligné que la vivacité du conflit parental et le manque de communication compromettait l'exercice conjoint de l'autorité parentale.
C.
C.a. Le 29 juin 2018, puis le 5 juillet 2018, B._ a requis de pouvoir modifier le lieu de scolarisation des mineures pour les années 2018-2019 et 2019-2020, requête que le SPMi a préavisé négativement.
C.b. Le 20 septembre 2018, B._ a sollicité l'attribution de l'autorité parentale exclusive sur ses filles, invoquant le trouble psychiatrique de leur mère.
Le SPMi a conclu au maintien de l'autorité parentale conjointe et à ce qu'il soit ordonné aux parents de faire les démarches pour l'obtention des pièces d'identité des enfants ainsi que des vêtements nécessaires chez chacun d'eux. Il relevait que les difficultés de communication et les problématiques soulevées demeuraient inchangées. Le calendrier des droits de visite était toutefois respecté.
La mère a conclu à l'octroi d'une garde partagée.
Par ordonnance du 27 février 2019, le tribunal de protection a maintenu l'autorité parentale conjointe sur les mineures (ch. 1), ordonné aux parents d'effectuer les démarches en vue de l'obtention de documents d'identité pour leurs enfants (ch. 2), statué sur la question du stock de vêtements que chaque parents devait constituer en faveur des enfants (ch. 3 et 4), fait interdiction aux parties de modifier le lieu de scolarisation pour les années scolaires 2018 à 2020 (ch. 5), instauré une curatelle ad hoc afin d'organiser et de suivre les traitements psycho-médicaux en faveur des enfants (ch. 10).
C.c. Statuant le 5 novembre 2019 sur appel de B._, la Chambre de surveillance de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la cour cantonale) a annulé les ch. 1, 2 et 10 du premier jugement et octroyé au père l'autorité parentale exclusive sur les enfants; l'ordonnance du premier juge a été confirmée pour le surplus.
D.
Agissant le 16 décembre 2019 par la voie du recours en matière civile au Tribunal fédéral, A._ (ci-après: la recourante) conclut à l'annulation de la décision cantonale, au maintien de l'autorité parentale conjointe et à la confirmation de l'ordonnance rendue le 27 février 2019 par le tribunal de protection; subsidiairement, elle sollicite le renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants.
Invités à se déterminer, la cour cantonale s'en rapporte à justice tandis que B._ (ci-après: l'intimé) conclut au rejet du recours; il ne se prononce pas sur la réplique de la recourante.
Le SPMi se détermine sans y avoir été sollicité, confirmant ses différents préavis en faveur du maintien de l'autorité parentale conjointe.
E.
La requête d'effet suspensif de la recourante a été rejetée par ordonnance présidentielle du 13 janvier 2020.

Considérant en droit :
1.
Les conditions de recevabilité du recours en matière civile sont ici réalisées, étant précisé que le litige n'est pas de nature pécuniaire (art. 90, 72 al. 1, 75, 100 al. 1 et 45 al. 1, 76 al. 1 LTF).
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit tel qu'il est délimité par les art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Compte tenu de l'exigence de motivation posée, sous peine d'irrecevabilité, à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui peuvent se poser, lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2.4 et les références). Le recourant doit par conséquent discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (<ref-ruling> consid. 1.7.1; <ref-ruling> consid. 2.4 et la référence). Le Tribunal fédéral ne connaît par ailleurs de la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été dûment invoqué et motivé par le recourant (<ref-law>), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de manière claire et détaillée (principe d'allégation; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 2.1).
2.2.
2.2.1. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente, sauf si ceux-ci ont été retenus de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 1.5) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (cf. art. 105 al. 1 et 2 LTF) et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Lorsque le recourant entend s'en prendre aux faits ressortant de l'arrêt attaqué, il doit établir de manière précise la réalisation de ces conditions. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué. En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 3 et les arrêts cités).
2.2.2. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>). Cette exception vise les faits qui sont rendus pertinents pour la première fois par la décision attaquée; peuvent notamment être introduits des faits nouveaux concernant le déroulement de la procédure devant l'instance précédente, afin d'en contester la régularité, ou encore des faits postérieurs à l'arrêt attaqué permettant d'établir la recevabilité du recours. En dehors de ces cas, les nova ne sont pas admissibles, qu'il s'agisse de faits ou moyens de preuve survenus postérieurement à la décision attaquée, ou d'éléments que les parties ont négligé de présenter aux autorités cantonales (<ref-ruling> consid. 3.1.2; <ref-ruling> consid. 4.4.3).
Les maltraitances dont feraient l'objet les filles des parties au domicile de leur père, dénoncées dans des annexes aux courriers que la recourante adresse à la Cour de céans, ne peuvent ainsi être prises en considération. La même conclusion s'impose s'agissant du certificat médical relatif à la santé mentale de la recourante, produit par ses soins postérieurement à son recours.
3.
Contrairement au tribunal de protection, qui a décidé de maintenir l'autorité parentale conjointe sur les deux filles mineures des parties, la cour cantonale a attribué l'autorité parentale exclusive à leur père. Selon la décision entreprise, plusieurs signaux contradictoires ressortaient du dossier. D'un côté, malgré les difficultés de communication parentales, il apparaissait que le droit de visite de la mère s'exerçait selon le calendrier prévu et sans accrocs particuliers. Celle-ci souffrait cependant d'un trouble psychiatrique entravant fortement ses capacités parentales et il était par ailleurs acquis que la communication entre les parties était calamiteuse, voire inexistante ou particulièrement limitée. A ce dernier égard, la cour cantonale a relevé que, malgré les remises à l'ordre du SPMi et du tribunal de protection - lequel avait même envisagé de dénoncer les parties au Ministère public pour violation de leurs devoirs d'entretien et d'éducation -, les parties se complaisaient dans une posture de conflits permanents et de reproches croisés et stériles au détriment de leurs enfants. Cette situation de blocage ne pouvait ainsi perdurer. Il fallait dès lors considérer que la situation de fait avait évolué à un point tel qu'il convenait d'opérer un changement dans l'attribution de l'autorité parentale. La persistance de l'obstruction dans la prise de certaines décisions relatives aux enfants par leur mère, notamment s'agissant de la scolarisation, du suivi médical et de l'obtention de papiers d'identité démontrait que l'exercice commun de l'autorité parentale était devenu vain au détriment des mineures, en sorte que celle-ci devait être attribuée exclusivement à leur père.
4.
4.1. Il n'apparaît pas que le trouble psychiatrique qui a été diagnostiqué à la recourante lors de l'expertise familiale réalisée en 2016 (let. B.b supra) ait joué un rôle déterminant dans la décision querellée, même s'il a été relevé par les juges cantonaux; il ne s'agit au demeurant pas d'un fait nouveau au sens de l'<ref-law> (cf. infra consid. 5.2.1). C'est bien plutôt l'impasse dans laquelle se trouvent les parties au niveau de leur communication, en tant que circonstance conduisant à une situation de blocage intenable pour le bien des deux enfants, qui semble avoir été retenue pour attribuer l'autorité parentale exclusivement au père, en lieu et place de l'autorité parentale conjointe qui prévalait jusqu'alors.
4.2. Pour autant que ce document soit recevable sous l'angle de l'<ref-law> (consid. 2.2.2 supra), c'est donc en vain que la recourante se prévaut d'un audit, réalisé du 7 juin au 31 juillet 2019, portant sur l'évaluation de la pratique de l'experte E._, médecin ayant participé à l'expertise familiale précitée du 2 novembre 2016. L'on relèvera au demeurant que les conclusions de l'audit ne sont pas celles que lui prête la recourante, aucun manquement grave n'ayant pu être reproché à l'experte en cause.
5.
La recourante se plaint de la violation de l'<ref-law>, invoquant dans cette perspective l'établissement arbitraire des faits.
5.1. Elle affirme d'abord que tant les thérapeutes de la Consultation psychothérapeutique pour Familles et Couples des HUG que le SPMi préconisaient le maintien de l'autorité parentale conjointe. Au sujet de sa prétendue obstruction dans la prise de décision concernant la scolarisation des enfants, la recourante relève ensuite que le changement d'école souhaité par le père répondait à sa convenance personnelle et qu'il avait été préavisé négativement par le SPMi, elle-même ayant proposé différentes solutions alternatives pour l'éviter. Il était par ailleurs établi en fait que l'intimé n'avait pas démontré une aptitude supérieure à la sienne à prendre des décisions allant dans l'intérêt des enfants ni même à favoriser le dialogue entre les parties. En définitive, l'attribution de l'autorité parentale exclusive à l'intimé aurait pour conséquence d'entraîner un déséquilibre injustifié des droits parentaux qui serait préjudiciable à leurs deux filles, attisant au final le conflit parental déjà existant et le conflit de loyauté dans lequel celles-ci se trouvaient.
L'intimé relève pour sa part que l'attribution de la garde et/ou de l'autorité parentale à un seul parent serait de toute manière de nature à créer un déséquilibre, que la loi et la jurisprudence autorisaient à certaines conditions, ici réalisées. Le déséquilibre invoqué n'était ainsi ni injustifié ni préjudiciable aux enfants. La question de savoir si cette situation serait susceptible d'exacerber le conflit parental, de même que le conflit de loyauté, relevait du futur et de procédures parallèles ultérieures. Il conclut en soulignant que ce serait en réalité le grave trouble dont souffrait la recourante qui aurait contribué à accentuer ces différents conflits.
5.2.
5.2.1. Selon l'<ref-law>, en vigueur depuis le 1er juillet 2014 (RO 2014 357) - dont la teneur est similaire à celle de l'<ref-law> (arrêt 5A_951/2020 du 17 février 2021 consid. 4 et les références) et qui peut être interprétée à la lumière des principes développés pour le droit du divorce (arrêt 5A_951/2020 précité consid. 4 et les références) -, l'autorité de protection modifie l'attribution de l'autorité parentale à la requête de l'un des parents, de l'enfant, ou encore d'office, lorsque des faits nouveaux importants le commandent pour le bien de l'enfant (<ref-law>).
La modification de l'attribution de l'autorité parentale ou de l'une de ses composantes est subordonnée à deux conditions, soit, d'une part, des faits nouveaux et, d'autre part, que la modification intervienne pour le bien de l'enfant (arrêts 5A_951/2020 précité consid. 4; 5A_30/2017 du 30 mai 2017 consid. 4.2 et les références). Toute modification dans l'attribution de l'autorité parentale ou de la garde de fait suppose ainsi que la nouvelle réglementation soit requise dans l'intérêt de l'enfant en raison de la survenance de faits nouveaux essentiels. En d'autres termes, une nouvelle réglementation de l'autorité parentale, respectivement de l'attribution de la garde de fait, ne dépend pas seulement de l'existence de circonstances nouvelles importantes; elle doit aussi être commandée par le bien de l'enfant (arrêt 5A_951/2020 précité et les nombreuses références citées). En principe, une modification sur la base de l'<ref-law> ne peut être envisagée que si le maintien de la réglementation actuelle risque de porter atteinte au bien de l'enfant et le menace sérieusement; la nouvelle réglementation doit ainsi s'imposer impérativement, en ce sens que le mode de vie actuel nuit plus au bien de l'enfant que le changement de réglementation et la perte de continuité dans l'éducation et les conditions de vie qui en est consécutive (arrêts 5A_951/2020 précité consid. 4 et les références citées en lien avec l'<ref-law>; 5A_266/2017 du 29 novembre 2017 consid. 8.3).
Cette conclusion doit cependant faire l'objet d'un pronostic fondé sur des éléments factuels concrets (cf. arrêts 5A_809/2018 du 18 décembre 2019 consid. 4.2.2; 5A_903/2016 du 17 mai 2017 consid. 4.1; 5A_345/2016 du 17 novembre 2016 consid. 5; 5A_186/2016 du 2 mai 2016 consid. 4).
5.2.2. Déterminer si une modification essentielle est survenue relève du pouvoir d'appréciation de l'autorité saisie (arrêt 5A_951/2020 précité consid. 4 et les références); le Tribunal fédéral n'intervient que si l'autorité cantonale a pris en considération des éléments qui ne jouent aucun rôle au sens de la loi ou a omis de tenir compte de facteurs essentiels (<ref-ruling> consid. 5.3.2; <ref-ruling> consid. 4.4.5; <ref-ruling> consid. 2.1.1).
5.3. La cour cantonale a estimé que l'intensité des tensions opposant les parents avait atteint un point tel que, pour le bien des enfants, l'octroi exclusif de l'autorité parentale à leur père se justifiait. L'autorité précédente a donc fait de l'absence d'évolution favorable dans le conflit parental particulièrement aigu un élément de fait nouveau nécessitant à son sens une modification de l'attribution de l'autorité parentale. Cette conclusion se heurte toutefois à l'absence de toute constatation factuelle permettant de retenir que l'octroi de l'autorité parentale exclusive au père servirait mieux le bien des enfants que l'exercice conjoint de celle-ci. C'est d'ailleurs même le contraire qui paraît ressortir du préavis du SPMi du 30 janvier 2019 et de l'avis des thérapeutes suivant les parties dans le cadre de la Consultation psychothérapeutique pour Famille et Couples des HUG (cf. premier jugement, p. 5). Selon le premier, l'octroi de l'autorité parentale exclusive serait de nature à alimenter les tensions entre les parties et à déstabiliser la mère des enfants, tandis que les seconds, s'exprimant certes sur la question de la garde, relèvent l'existence d'un déséquilibre et d'enjeux de pouvoir, peu favorables à l'engagement des parties dans une " coparentalité fonctionnelle et responsable ", susceptible de libérer les enfants du conflit de loyauté. Enfin, il convient de souligner qu'aucune constatation factuelle ne permet non plus de retenir l'obstruction exclusivement maternelle dans la prise de certaines décisions relatives aux enfants, élément pourtant pris en considération par la cour cantonale pour fonder l'autorité parentale exclusive. Dans ces conditions, il convient d'annuler la décision entreprise et de renvoyer l'affaire à la cour cantonale afin qu'elle détermine concrètement si l'octroi de l'autorité parentale exclusive au père des enfants serait mieux à même de garantir leur bien que son exercice conjoint.
6.
En définitive, le recours est admis, l'arrêt cantonal annulé et la cause renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants. Les frais judiciaires sont répartis entre les parties par moitié (<ref-law>) et les dépens compensés (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis, l'arrêt cantonal annulé et la cause renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à raison de la moitié à la charge de chaque partie.
3.
Les dépens sont compensés.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant du canton de Genève, au Service de protection des mineurs et à la Chambre de surveillance de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 14 juillet 2021
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : de Poret Bortolaso