Sachverhalt:
A.
B._ arbeitete vom 27. November 2000 bis 31. Juli 2010 bei der C._ Ltd. als Assistentin. In dieser Eigenschaft war sie bei der Personalvorsorgestiftung der A._ (nachfolgend: Personalvorsorgestiftung) vorsorgeversichert. Am 12. Juli 2010 meldete sie sich ein erstes Mal bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Vom 1. Januar 2011 bis 31. Dezember 2011 absolvierte B._ bei D._ ein Arbeitstraining im Rahmen einer von der IV-Stelle des Kantons Basel-Landschaft gewährten beruflichen Massnahme. Im Anschluss daran wurde sie dort auf den 1. Januar 2012 hin als Mitarbeiterin ohne spezifische Ausbildung in einem Pensum von 75 % angestellt. Mit Verfügung vom 9. Juli 2012 sprach die IV-Stelle B._ für die Zeit vom 1. Januar bis 30. September 2011 eine befristete Dreiviertelsrente zu (Invaliditätsgrad: 64 %). Einen darüber hinausgehenden Rentenanspruch verneinte sie (Invaliditätsgrad: 35 %).
Am 2. Juni 2015 meldete sich die Versicherte erneut bei der nunmehr zuständigen IV-Stelle Basel-Stadt zum Leistungsbezug an. Diese verfügte am 15. März 2019 gestützt auf das Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 14. November 2018, B._ habe rückwirkend ab 1. Dezember 2015 Anspruch auf eine ganze Invalidenrente (Invaliditätsgrad: 71 %).
Mit Schreiben vom 7. Mai 2019 machte B._ gegenüber der Personalvorsorgestiftung Ansprüche auf Invalidenleistungen aus der beruflichen Vorsorge geltend. Diese lehnte eine Leistungspflicht ab mit der Begründung, es bestehe zwar für die Zeit vom 1. Januar bis 30. September 2011 grundsätzlich ein Anspruch auf eine Invalidenrente, jedoch sei danach der zeitliche Zusammenhang unterbrochen (Schreiben vom 7. November 2019).
B.
Am 23. Juni 2020 reichte B._ Klage beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt ein mit dem Antrag, die Personalvorsorgestiftung sei zu verpflichten, ihr gestützt auf Art. 23 BVG sowie auf die massgeblichen Bestimmungen des Reglements mit Wirkung ab dem 1. Dezember 2015 bei einem Invaliditätsgrad von 71 % eine Rente aus der beruflichen Vorsorge samt Verzugszinsen zu 5 % mindestens ab Datum der Klageerhebung auszurichten. Diesbezüglich sei die Personalvorsorgestiftung auf ihrer Anerkennung der grundsätzlichen Leistungszuständigkeit zu behaften. Ferner ersuchte B._ darum, die Personalvorsorgestiftung sei gemäss Art. 14 BVV 2 und den entsprechenden Bestimmungen des Reglements zur Befreiung der Beitragspflicht für die Sparbeiträge an das Altersguthaben zu verpflichten.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt hiess die Klage mit Urteil vom 2. März 2021 gut. Es verpflichtete die Personalvorsorgestiftung, B._ ab 1. Dezember 2015 eine ganze Rente aus der obligatorischen bzw. aus der überobligatorischen Vorsorge zuzüglich Verzugszins von 5 % seit Klageeinreichung auf den ausstehenden Rentenbetreffnissen bzw. ab Fälligkeit der Teilforderungen zu entrichten. Ausserdem hielt es fest, dass das Alterskonto von B._ ab dem 1. Juni 2015 weiterzuführen sei.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die Personalvorsorgestiftung die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils sowie die Abweisung der Klage gegen sie.
B._ macht geltend, die Beschwerde sei abzuweisen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>), die Feststellung des Sachverhalts nur, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
1.2. Die vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitsschaden und zur Arbeitsfähigkeit sind, da tatsächlicher Natur, für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich. Tatfrage ist auch jene nach dem Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat (Art. 23 lit. a BVG). Gleiches gilt für die aufgrund einer konkreten Beweiswürdigung getroffene Feststellung des zeitlichen Konnexes. Frei überprüfbare Rechtsfrage ist dagegen, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung über den Zeitpunkt des Eintritts einer massgebenden Arbeitsunfähigkeit zu erfolgen hat, und hinsichtlich des zeitlichen Zusammenhangs, ob die Beweiswürdigung unter Beachtung der rechtsprechungsgemäss relevanten Kriterien erfolgte (Urteil 9C_387/2019 vom 10. September 2019 E. 4.1 mit Hinweis).
2.
2.1. Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestimmungen zu den Invalidenleistungen der obligatorischen beruflichen Vorsorge (Art. 23 lit. a BVG) korrekt wiedergegeben. Richtig sind auch die Ausführungen zum sachlichen und zeitlichen Konnex zwischen einer allfälligen Leistungsunfähigkeit während des Vorsorgeverhältnisses und der späteren Invalidität (<ref-ruling> E. 3.2). Darauf wird verwiesen.
2.2. Hervorzuheben ist nochmals, dass der enge zeitliche Zusammenhang so lange nicht unterbrochen ist, als dass mindestens eine 20%ige Arbeitsunfähigkeit in einer angepassten Tätigkeit besteht (<ref-ruling> E. 4.4). Eine nachhaltige, den zeitlichen Konnex unterbrechende Erholung liegt hingegen grundsätzlich vor, wenn während mehr als drei Monaten eine Arbeitsfähigkeit von über 80 % in einer angepassten Erwerbstätigkeit gegeben ist (BGE 144 V E. 4.4 f.) und - kumulativ bezogen auf die angestammte Tätigkeit - ein rentenausschliessendes Einkommen erzielt werden kann (Urteil 9C_465/2018 vom 30. Januar 2019 E. 3.2; <ref-ruling> E. 5.3). Eine solch drei Monate oder länger andauernde (annähernd) vollständige Arbeitsfähigkeit ist ein gewichtiges Indiz für eine Unterbrechung des zeitlichen Zusammenhangs, sofern sich eine dauerhafte Wiedererlangung der Erwerbsfähigkeit als objektiv wahrscheinlich darstellt. Der zeitliche Zusammenhang kann daher auch bei einer länger als drei Monate dauernden Tätigkeit gewahrt sein, wenn eine dauerhafte berufliche Wiedereingliederung unwahrscheinlich war, etwa weil die Tätigkeit (allenfalls auch erst im Rückblick) als Eingliederungsversuch zu werten ist oder massgeblich auf sozialen Erwägungen des Arbeitgebers beruhte (<ref-ruling> E. 3.2.1; Urteil 9C_340/2016 vom 21. November 2016 E. 4.1.2).
3.
Unbestrittenermassen leidet die Beschwerdegegnerin seit Jahren an einer kombinierten Persönlichkeitsstörung mit abhängigen und emotional instabilen Anteilen, an einer depressiven Erkrankung sowie an einer Suchtproblematik. Unangefochten ist auch die erstmals während des Arbeitsverhältnisses bei der der Personalvorsorgestiftung angeschlossenen Arbeitgeberin aufgetretene Arbeitsunfähigkeit. Die Parteien sind sich ausserdem dahingehend einig, dass zwischen der ab Ende 2009 attestierten Arbeitsunfähigkeit und der gesundheitlichen Problematik, die zur Invalidenrente geführt hat, ein sachlicher Zusammenhang besteht.
Streitig und zu prüfen ist demgegenüber, ob ein zeitlicher Konnex im Sinne von Art. 23 lit. a BVG vorliegt, was die Vorinstanz bejaht hat.
4.
4.1. Das kantonale Gericht ging im Rahmen der Beweiswürdigung insbesondere auf den Bericht des Dr. med. E._, Facharzt Psychiatrie und Psychotherapie, vom 20. Februar 2012 sowie auf das Gerichtsgutachten der asim (Academy of Swiss Insurance Medicine), Universitätsspital Basel, von Dr. med. F._, Fachärztin für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 15. August 2018 ein. Es hielt fest, Dr. med. E._ sei von einer Stabilisierung der Beschwerdegegnerin im Verlauf der letzten eineinhalb Jahre ausgegangen und habe ab 1. Juli 2011 eine 10%ige Arbeitsunfähigkeit als Betreuerin einer Kindertagesstätte attestiert. Gemäss Vorinstanz könne dem Arztbericht weiter entnommen werden, dass die Versicherte im Zeitpunkt der Konsultation (30. Januar 2012) seit ca. einem Jahr weder Cannabis noch Kokain konsumiert habe. Gelegentlich habe sie noch zu Alkohol gegriffen, aber nur wenige Male im Übermass. Dr. med. E._ sei von einer günstigeren Prognose als ursprünglich befürchtet ausgegangen. Das kantonale Gericht erkannte ausserdem, Dr. med. F._ stimme mit der von Dr. med. E._ attestierten Arbeitsunfähigkeit von 10 % ab 1. Juli 2011 bis 31. Januar 2012 überein. In diesem Zeitraum habe die Beschwerdegegnerin nur im Umfang von 75 % gearbeitet, wobei es sich bis zum 31. Dezember 2011 um eine berufliche Massnahme der Invalidenversicherung gehandelt habe und der Versicherten währenddessen ein Taggeld ausbezahlt worden sei. Es sei hervorzuheben, dass der Arbeitgeber bei den D._ um die gesundheitlichen Probleme der Beschwerdegegnerin gewusst habe. Schliesslich kam die Vorinstanz zum Schluss, die Einschätzung der 10%igen Arbeitsunfähigkeit könne nur für den Zeitraum bis maximal Mitte Februar 2012 gelten. Darüber hinaus handle es sich lediglich um eine Prognose des Dr. med. E._. Sodann sei die Gutachterin Dr. med. F._ ab Anfang Juni 2013 von einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit ausgegangen. Über den Zeitraum dazwischen lägen keine Angaben vor.
Das kantonale Gericht erwog, mit Blick auf die von Dr. med. F._ beschriebenen gesundheitlichen Probleme, die sowohl vor der Arbeitstätigkeit bei den D._ als auch danach aufgetreten seien, bestehe eine grosse Unsicherheit, ob die Versicherte dauerhaft, ohne dass es als Eingliederungsversuch zu werten sei, ein Pensum von über 80 % bei den D._ hätte bewältigen können. Eine dauerhafte Wiedererlangung einer Arbeitsfähigkeit von über 80 % sei somit objektiv nicht wahrscheinlich gewesen.
4.2. Die Beschwerdeführerin macht insbesondere geltend, die Versicherte sei mit überwiegender Wahrscheinlichkeit während rund zwei Jahren 90 % arbeitsfähig gewesen. Dies müsse zu einem Unterbruch des zeitlichen Konnexes führen.
5.
5.1. Die Feststellungen der Vorinstanz sind für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich. Dieses kann die unvollständige Sachverhaltsfeststellung ergänzen (vgl. vorangehende E. 1).
5.2. Zu Recht hat das kantonale Gericht den Umstand, dass die Versicherte bei den D._ nie über 75 % gearbeitet hat, für die Frage nach dem zeitlichen Zusammenhang berücksichtigt (vgl. E. 2.2 oben). Ausserdem ist, wie bereits erwähnt, unbestritten, dass die Beschwerdegegnerin seit Jahren an psychischen Beeinträchtigungen - aus deren Vorliegen nicht unbesehen auf eine relevante Arbeitsunfähigkeit geschlossen werden kann (vgl. Urteil 9C_521/2020 vom 29. Juni 2021 E. 4.2 a.E.) - leidet. Darüber hinaus ist zu beachten, dass einerseits Dr. med. E._ (echtzeitlich), anderseits aber auch die Gutachterin Dr. med. F._ (retrospektiv) vom 1. Juli 2011 bis 31. Januar 2012, und damit während sieben Monaten, übereinstimmend von einer 90%igen Arbeitsfähigkeit der Versicherten ausgegangen sind. Dies deutet, auch im Lichte der von Dr. med. E._ festgehaltenen günstigen Prognose, entgegen der Beschwerdegegnerin auf eine damals weitgehend stabilisierte psychische Verfassung hin. Zum weiteren Verlauf der Arbeitsfähigkeit ist lediglich der bereits genannte Bericht des Dr. med. E._ aktenkundig, der ab dem 1. Januar 2012 eine 10%ige Arbeitsunfähigkeit attestiert hat. Erst ab Juni 2013 hat Dr. med. F._ in ihrem Gutachten von einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit der Versicherten aufgrund eines stationären Klinikaufenthaltes berichtet. In der Expertise ist zu lesen, dass die Beziehung der Beschwerdegegnerin auseinandergegangen und ein Alkoholrückfall eingetreten war. Mithin befinden sich über das ganze Jahr 2012 keine Berichte in den Akten, die weder eine andere als die von Dr. med. E._ attestierte Arbeitsfähigkeit von 90 % noch längere krankheitsbedingte Absenzen bei den D._ festhalten würden. Wenn das kantonale Gericht somit ohne Weiteres zum Schluss gekommen ist, die Einschätzung der 10%igen Arbeitsunfähigkeit könne nur für den Zeitraum bis maximal Mitte Februar 2012 gelten, ist ihm mit Blick auf das soeben Gesagte nicht zu folgen.
Die Beschwerdegegnerin hat sich bis 31. Dezember 2011 noch im Arbeitstraining bei den D._ befunden. Sie ist dabei positiv aufgefallen, so dass ihr ab dem 1. Januar 2012 eine Festanstellung angeboten wurde. Das Praktikumszeugnis vom 18. April 2012 (das dem Grundsatz der Wahrheit unterliegt; vgl. <ref-ruling> E. 5.3.4) ist sehr gut ausgefallen. Es ist ersichtlich, dass sich die Versicherte im pädagogischen Berufsumfeld bewährt hat. Die Betriebsleitung hat ausgeführt, dass die Beschwerdegegnerin eine umfangreiche Palette von Aufgaben übernommen und sehr guten Zugang zu den Kindern gefunden habe. Sie sei in allen Bereichen sehr zuverlässig, engagiert und selbstständig gewesen. Ausserdem habe sie erfolgreich an den Themen "eigene Belastbarkeit", "Wege suchen für einen gesunden Ausgleich", "sich selber abgrenzen können" und "Umgang mit hohen Erwartungen an sich selbst" gearbeitet. Daraus erhellt, dass die Versicherte bei den D._ ihre Tätigkeit gut erfüllen konnte. Dies bedeutet allerdings nicht automatisch, dass sie dies nur im Umfang von 75 % hätte tun können. Die Beschwerdeführerin bringt zu Recht vor, für eine Arbeitstätigkeit von über 80 % (vgl. E. 2.2 oben) sei lediglich eine Erhöhung des Arbeitspensums um 6 % notwendig gewesen. Ihr kann gefolgt werden, dass im Lichte der ärztlich attestierten Arbeitsfähigkeit von 90 % ab 1. Juli 2011 und dem positiv lautenden Praktikumszeugnis nicht nachvollziehbar ist, weshalb eine Arbeitstätigkeit von über 80 % nicht hätte möglich sein sollen.
Soweit die Beschwerdegegnerin rügt, sie sei im Vergleich zu ihrer angestammten Tätigkeit nur noch in der Lage gewesen, deutlich weniger qualifizierte und schlechter bezahlte Arbeiten zu verrichten, kann sie nichts zu ihren Gunsten ableiten. Entscheidend ist, dass eine Arbeitsfähigkeit von über 80 % in einer angepassten Erwerbstätigkeit während mehr als drei Monaten und - kumulativ bezogen auf die angestammte Tätigkeit - ein rentenausschliessendes Einkommen erzielt werden kann (E. 2.2 hiervor), was mit einem von ihr vorgebrachten Invaliditätsgrad von 35 % zu bejahen ist.
5.3. Vor dem Hintergrund des Gesagten ist festzuhalten, dass weder die vor dem Stellenantritt bei den D._ bereits vorhandenen gesundheitlichen Probleme noch die im Juni 2013 eingetretene Verschlechterung gegen die Perspektive auf eine dauerhafte Berufsausübung oder für die Annahme eines blossen Arbeitsversuchs sprechen. Die gegenteilige Auffassung der Vorinstanz ist bundesrechtswidrig. Ist die zeitliche Konnexität zu verneinen, ist die Beschwerdeführerin für die bei der Versicherten eingetretene Invalidität nicht leistungspflichtig. Die Beschwerde ist begründet.
6.
6.1. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Die obsiegende Beschwerdeführerin hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>; Urteil 9C_767/2012 vom 22. Mai 2013 E. 4, in: SVR 2013 BVG Nr. 46 S. 197).
6.2. Die Sache ist zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 2. März 2021 wird aufgehoben. Die Klage der Beschwerdegegnerin wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt zurückgewiesen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. Februar 2022
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Huber