Faits :
A.
Le 25 février 2020, C._SA (ci-après: la partie intéressée à la procédure de récusation) a déposé une requête de conciliation à l'encontre de A._SA (ci-après: la recourante) auprès de la Juge de commune de Savièse (ci-après: la Juge de commune), concluant au paiement de 290'000 fr., intérêts en sus. D._ est administrateur unique de la recourante.
Le 26 mai 2020, la recourante a adressé un courrier à la Juge de commune, dans lequel elle (1) désignait celle-ci nommément, (2) indiquait se référer à l'appel téléphonique de la Juge de commune de la semaine précédente par lequel celle-ci lui avait proposé trois dates d'audience de conciliation et (3) l'informait de ses disponibilités.
Par ordonnance du 30 mai 2020, la Juge de commune a cité les parties à comparaître à une audience de conciliation fixée au 15 juin 2020.
B.
B.a. Le 4 juin 2020, la recourante a requis la récusation de la Juge de commune, au motif que celle-ci était en litige contre E._SA, dont D._ est également seul administrateur. La partie intéressée à la procédure de récusation a déclaré ne " pas s'opposer à la demande de récusation ".
Par décision du 18 août 2020, le Juge de commune de Veysonnaz a rejeté la demande de récusation. Il a retenu que, en l'absence d'indices concrets objectivement constatés permettant de retenir une quelconque apparence ou risque de prévention, le fait que la Juge de commune était personnellement partie à une procédure civile à l'encontre de E._SA n'était pas suffisant pour fonder un motif de récusation au sens de l'art. 47 al. 1 let. f CPC.
B.b. Par décision du 8 octobre 2020, le Tribunal cantonal du canton du Valais a rejeté le recours formé par la recourante. En substance, il a retenu que la demande de récusation aurait dû être déclarée irrecevable en raison de sa tardiveté.
C.
Le 6 novembre 2020, la recourante a formé un recours en matière civile contre cette décision, concluant, principalement, à ce que celle-ci soit annulée et réformée, en ce sens que la demande de récusation soit admise ou, subsidiairement, à ce que la cause soit renvoyée à la juridiction cantonale pour complément d'instruction.
La Juge de commune s'est référée à ses déterminations du 20 juillet 2020, dans lesquelles elle invoquait (1) qu'elle était en litige contre E._SA et non contre A._SA ou contre D._, (2) que la requête de conciliation était dirigée exclusivement contre A._SA, pour laquelle elle n'avait aucune inimitié particulière et (3) que, dès lors que la valeur litigieuse était en l'espèce supérieure à 5'000 fr., son rôle se cantonnait à tenter la conciliation et, en cas d'échec, à délivrer une autorisation de procéder. Elle conclut au rejet de la demande de récusation.
La partie intéressée à la procédure de récusation a renoncé à déposer une réponse.
La recourante a déposé de brèves observations complémentaires.
Le Tribunal cantonal se réfère aux considérants de sa décision.

Considérant en droit :
1.
La décision du Tribunal cantonal est une décision séparée relative à une demande de récusation; elle peut faire l'objet d'un recours (<ref-law>) et doit être immédiatement attaquée en vertu de l'<ref-law> (arrêts 5A_843/2019 du 8 avril 2020 consid. 1; 5A_998/2018 du 25 février 2019 consid. 1; 4A_278/2018 du 5 novembre 2018 consid. 4).
Interjeté dans le délai fixé par la loi (<ref-law>) par la recourante, qui a succombé (<ref-law>), et dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue sur appel par le tribunal supérieur du canton du Valais (<ref-law>) dans une affaire civile (<ref-law>) dont la valeur litigieuse dépasse 30'000 fr. (<ref-law>), le recours en matière civile est en principe recevable.
2.
2.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 4.1.2; <ref-ruling> consid. 5.1) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3 et les références citées). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 et les références citées). Si elle souhaite obtenir un complètement de l'état de fait, elle doit aussi démontrer, par des renvois précis aux pièces du dossier, qu'elle a présenté aux autorités précédentes, en conformité avec les règles de la procédure, les faits juridiquement pertinents à cet égard et les moyens de preuve adéquats (<ref-ruling> consid. 2). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (<ref-ruling> consid. 1.3.1). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 1.3).
Concernant l'appréciation des preuves, le Tribunal fédéral n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans raisons objectives de tenir compte des preuves pertinentes ou a effectué, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 1.4.3; <ref-ruling> consid. 2.1).
2.2. Le Tribunal fédéral applique en principe d'office le droit (<ref-law>) à l'état de fait constaté dans l'arrêt cantonal (ou à l'état de fait qu'il aura rectifié). Cela ne signifie pas que le Tribunal fédéral examine, comme le ferait un juge de première instance, toutes les questions juridiques qui pourraient se poser. Compte tenu de l'obligation de motiver imposée par l'<ref-law>, il ne traite que les questions qui sont soulevées devant lui par les parties, à moins que la violation du droit ne soit manifeste (<ref-ruling> consid. 2, 86 consid. 2). Il n'est en revanche pas lié par l'argumentation juridique développée par les parties ou par l'autorité précédente; il peut admettre le recours, comme il peut le rejeter en procédant à une substitution de motifs (<ref-ruling> consid. 1.4).
3.
En substance, la recourante fait valoir que sa demande de récusation n'était pas tardive et que la Juge de commune devait se récuser d'office.
3.1.
3.1.1. La garantie minimale d'un tribunal indépendant et impartial, telle qu'elle résulte des art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH - lesquels ont, de ce point de vue, la même portée - permet, indépendamment du droit de procédure (en l'occurrence l'<ref-law>), de demander la récusation d'un juge dont la situation ou le comportement est de nature à susciter des doutes quant à son impartialité. Elle vise à éviter que des circonstances extérieures à l'affaire ne puissent influencer le jugement en faveur ou au détriment d'une partie. Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective est établie, parce qu'une disposition relevant du for intérieur ne peut guère être prouvée; il suffit que les circonstances donnent l'apparence d'une prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat. Cependant, seules les circonstances objectivement constatées doivent être prises en compte, les impressions purement subjectives de la partie qui demande la récusation n'étant pas décisives (<ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 2.1.2; <ref-ruling> consid. 3.2.1; <ref-ruling> consid. 2.2 et les arrêts cités).
3.1.2. L'<ref-law> dresse une liste exhaustive des motifs de récusation. Les magistrats et fonctionnaires judiciaires sont récusables dans les cas énumérés à l'art. 47 al. 1 let. a-e CPC. Ils sont aussi récusables, selon l'art. 47 al. 1 let. f CPC - qui constitue une clause générale -, s'ils sont " de toute autre manière " suspects de partialité.
Selon la jurisprudence, l'art. 47 let. f CPC doit être appliqué dans le respect des principes de la garantie d'un tribunal indépendant et impartial instituée par l'art. 30 al. 1 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 2.2; arrêt 4A_172/2019 du 4 juin 2019 consid. 4. 1.2). En règle générale et dans la mesure où un litige est souvent le résultat ou la cause d'une certaine inimitié entre les parties, constitue ainsi un motif de récusation l'apparence de prévention causée par l'existence d'un litige entre le juge et une partie (REGINA KIENER, Richterliche Unabhängigkeit, 2001, p. 100; DAVID RÜETSCHI, in Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, t. I, 2012, no 54 ad <ref-law>).
3.1.3. L'<ref-law> est aussi applicable aux membres de l'autorité de conciliation (arrêt 4A_3/2012 du 27 juin 2012 consid. 2.3; MARC WEBER, in Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3e éd. 2017, no 10 ad <ref-law>; FRANÇOIS BOHNET, in Commentaire romand, Code de procédure civile, 2e éd. 2019, no 12 ad <ref-law>; STEPHAN WULLSCHLEGER, in Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, 3e éd. 2016, no 2 ad <ref-law> et les références citées; FORNARA/COCCHI, in Commentario pratico al Codice di diritto processuale civile svizzero, t. II, 2e éd. 2017, no 8 ad <ref-law>; contra : PETER DIGGELMANN, in Schweizerische Zivilprozessordnung, t. II, 2e éd. 2016, no 8 ad <ref-law>).
3.1.4. Conformément à l'<ref-law>, le magistrat ou le fonctionnaire judiciaire concerné fait état en temps utile d'un motif de récusation possible et se récuse lorsqu'il considère que le motif est réalisé. Lorsque les conditions sont remplies, il doit dès lors se récuser d'office (RÜETSCHI, op. cit., no 10 ad Intro. art. 47-51 CPC et les références citées et no 17 ad <ref-law>; WEBER, op. cit., no 3 ad <ref-law>).
3.1.5. Aux termes de l'art. 49 al. 1, 1ère phr., CPC, la partie qui entend obtenir la récusation d'un magistrat ou d'un fonctionnaire judiciaire la demande au tribunal aussitôt qu'elle a eu connaissance du motif de récusation. À défaut, elle est déchue du droit de s'en prévaloir ultérieurement (<ref-ruling> consid. 5.2; <ref-ruling> consid. 3.2.1; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 3.4; <ref-ruling> consid. 4.3.1; arrêt 4A_172/2019 précité consid. 4.1.3).
L'identité des juges appelés à statuer ne doit pas nécessairement être communiquée de manière expresse au justiciable; il suffit que le nom de ceux-ci ressorte d'une publication générale facilement accessible, par exemple l'annuaire officiel. La partie assistée d'un avocat est en tout cas présumée connaître la composition régulière du tribunal (ATF <ref-ruling> consid. 3.2.1).
La Cour de céans a laissé ouverte la question de savoir si " aussitôt " pouvait signifier plus de dix jours (arrêt 4A_600/2015 du 1er avril 2016 consid. 6.3). Elle a en revanche jugé qu'une requête formée 40 jours après la connaissance du motif de récusation était manifestement incompatible avec l'<ref-law> (arrêt 4A_104/2015 du 20 mai 2015 consid. 6).
3.1.6. La partie qui entend obtenir la récusation d'un magistrat ou d'un fonctionnaire judiciaire doit rendre vraisemblables les faits qui motivent sa demande (art. 49 al. 1, 2e phr., CPC). Le fardeau de la preuve qui lui incombe vaut tant pour le (s) motif (s) de récusation invoqué (s) que pour les autres conditions légales de la récusation, dont fait partie le respect du délai prévu à l'art. 49 al. 1, 1ère phr., CPC (DENIS TAPPY, in Commentaire romand, Code de procédure civile, 2e éd. 2019, no 26 ad <ref-law>; WULLSCHLEGER, op. cit., no 11 ad <ref-law>).
Au vu notamment de l'<ref-law> et des garanties constitutionnelle et conventionnelle d'un tribunal indépendant et impartial, le vice que constitue un cas grave de récusation doit toutefois être apprécié avec plus de rigueur qu'une éventuelle tardiveté de la demande de récusation (ATF <ref-ruling> consid. 4.3.2; KIENER, op. cit., p. 361 s.; RÜETSCHI, op. cit., nos 5 et 11 ad Intro. art. 47-51 CPC et no 17 ad <ref-law>).
3.2. L'apparence de prévention était, en l'occurrence, si évidente que la Juge de commune aurait dû, conformément à l'<ref-law>, se récuser spontanément (cf. ATF <ref-ruling> consid. 3.2.2; <ref-ruling> consid. 4.3.2). Ce grave vice doit être apprécié avec plus de rigueur que l'éventuelle tardiveté de la demande de récusation.
L'argumentation de la Juge de commune ne saurait être retenue. En effet, les personnes morales sont, en principe, tenues de comparaître en personne à l'audience de conciliation, par exemple par la participation de l'un de leurs organes (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.3 et 3; <ref-ruling> consid. 4.3-4.4; arrêt 4A_431/2018 du 14 septembre 2018 consid. 3.1). Or, D._ est l'administrateur unique tant de la recourante que de la société contre laquelle la Juge de commune a ouvert action et est donc en litige. Dès lors, la Juge de commune ne saurait tirer argument du fait que, formellement, elle est en litige avec une société différente de celle qui est ici recourante, dans la mesure où elle pouvait, de bonne foi, s'attendre à ce que toutes deux soient représentées par D._. Le fait que ses compétences auraient été limitées au vu de la valeur litigieuse du cas d'espèce n'est par ailleurs pas déterminant; la garantie d'un tribunal indépendant et impartial ne saurait être relativisée pour ce motif.
Partant, le grief tiré de la violation de la garantie d'un tribunal indépendant et impartial s'avère fondé. Cette garantie revêtant un caractère formel, sa violation doit entraîner l'annulation de la décision attaquée (arrêt 4A_271/2015 du 29 septembre 2015 consid. 8.3 et les arrêts cités).
4.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être admis par substitution des motifs qui précèdent. La décision attaquée est réformée, en ce sens que la demande de récusation est admise.
Il est ainsi superflu de se prononcer sur les autres griefs de la recourante.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires pour la présente procédure (<ref-law>). Le canton du Valais versera des dépens à la recourante (art. 68 al. 4 et art. 66 al. 3 LTF). La cause est renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision sur les frais judiciaires et les dépens de la procédure cantonale puis pour transmission à l'autorité de conciliation pour la suite de la procédure. Dans la mesure où C._SA a renoncé à déposer une réponse, il ne lui sera pas alloué de dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis et la décision attaquée est annulée et réformée, en ce sens que la demande de récusation est admise.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires pour la présente procédure.
3.
Le canton du Valais versera à la recourante une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens pour la procédure fédérale.
4.
La cause est renvoyée au Tribunal cantonal du canton du Valais pour nouvelle décision sur les frais judiciaires et les dépens de la procédure cantonale puis pour transmission à l'autorité de conciliation pour la suite de la procédure.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à C._SA et au Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 10 juin 2021
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Hohl
Le Greffier : Douzals