Sachverhalt:
A.
Die 1967 geborene, in Deutschland wohnhafte und im Kanton Aargau erwerbstätige deutsche Staatsangehörige A._ verfügte seit dem 1. Juli 2002 über eine Grenzgängerbewilligung G. Anfang August 2002 gelangte sie an das aargauische Departement Gesundheit und Soziales (nachfolgend: Departement) und ersuchte um Befreiung von der obligatorischen Krankenversicherungspflicht in der Schweiz. Mit Schreiben vom 13. November 2002 bewilligte die Verwaltung das Gesuch.
Nachdem A._ zunächst bei der Vivao Sympany AG (nachfolgend: Sympany) krankenpflegeversichert gewesen war, schloss sie dasselbe VVG-Versicherungsprodukt Mondial per 1. Januar 2016 auch bei der SWICA Gesundheitsorganisation (nachfolgend: SWICA) ab. Am 30. April 2018 kam sie auf ihr Gesuch vom August 2002 zurück und verlangte, in die schweizerische Krankenpflegeversicherung aufgenommen zu werden, habe doch die SWICA das VVG-Versicherungsmodell Mondial per Ende Dezember 2016 aufgelöst. Das Departement wies diesen Antrag mit Verfügung vom 15. Juni 2018 ab, da für A._ bereits eine formelle Befreiung im Kanton Aargau vorliege. Daher sei ein Versicherer ausserhalb des KVG-Systems für die Deckung im Wohnsitzstaat und während eines Aufenthalts in einem anderen Mitgliedsstaat der Europäischen Union oder der Schweiz zuständig. Eine Versicherung nach KVG sei nicht mehr möglich. Dass die SWICA das Versicherungsprodukt Mondial eingestellt respektive das Versicherungsverhältnis aufgelöst habe, ändere nichts. Daran hielt die Verwaltung mit Einspracheentscheid vom 28. Januar 2019 fest.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde der A._ wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Urteil vom 20. November 2019 ab.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, in Aufhebung des angefochtenen Urteils sowie des Einspracheentscheides vom 28. Januar 2019 sei das Departement anzuweisen, ihr Gesuch um Beitritt zur schweizerischen obligatorischen Krankenpflegeversicherung gutzuheissen.
Das Departement und das Bundesamt für Gesundheit (BAG) verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Soweit die Beschwerdeführerin vorab in formeller Hinsicht geltend macht, das kantonale Gericht habe den angefochtenen Entscheid nicht hinreichend begründet, dringt sie nicht durch. Die Vorinstanz hat insbesondere klar zu erkennen gegeben, weshalb sie den Standpunkt vertritt, dass kein Tatbestand vorliegt, welcher eine neuerliche Wahl zwischen in- und ausländischem Versicherungssystem zuliesse. Mit Blick auf diese Begründung war die Beschwerdeführerin zweifellos in der Lage, den kantonalen Entscheid sachgerecht anzufechten. Denn es ist nicht erforderlich, dass sich das kantonale Gericht mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jede einzelne Rüge ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann es sich - wie hier - auf die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte beschränken (statt vieler: <ref-ruling> E. 5.2; <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling>, je mit Hinweisen). Eine Verletzung der Begründungspflicht (<ref-law>) liegt nicht vor.
3.
Es steht fest, dass die Beschwerdeführerin grundsätzlich in der Schweiz versicherungspflichtig ist, jedoch bisher rechtswirksam (vgl. <ref-ruling>) vom schweizerischen Krankenpflegeversicherungsobligatorium befreit war (Schreiben vom 13. November 2002).
Streitig und zu prüfen ist, ob aufgrund der Einstellung des VVG-Versicherungsmodells Mondial durch die SWICA eine nochmalige Ausübung des Optionsrechts zulässig ist.
3.1. Die Vorinstanz hat diesbezüglich im Wesentlichen erwogen, die grundsätzliche Unwiderruflichkeit des Optionsrechts entspreche sowohl der vom BAG im Informationsschreiben vom 16. Dezember 2016 an die Kantonsregierungen und die für die Kontrolle der Versicherungspflicht zuständigen kantonalen Stellen (nachfolgend: Informationsschreiben 2016) vertretenen Auffassung als auch der Rechtsprechung. Schon vor diesem Hintergrund sei die Beschwerdeführerin an ihre im Jahr 2002 getroffene Wahl - Befreiung von der obligatorischen Krankenversicherungspflicht in der Schweiz - gebunden. Im Weiteren sei weder ersichtlich noch geltend gemacht, dass die Beschwerdeführerin den damaligen Wechsel zur (schweizerischen) Krankenkasse Sympany (und später zur SWICA) vollzogen habe, weil sie ihre vormalige deutsche Versicherung unverschuldet verloren hätte oder sich bei keiner anderen deutschen Krankenpflegeversicherung mehr hätte versichern können. Das Optionsrecht sei nicht dazu da, der versicherten Person die für ihre jeweilige Lebenssituation günstigste Versicherungslösung zu ermöglichen, sondern beinhalte eine grundsätzlich einmalige und unwiderrufliche Entscheidung bezüglich der Befreiung von der schweizerischen obligatorischen Krankenversicherungspflicht. Den Behörden könne auch keine unrichtige Information vorgeworfen werden, da die fehlende Widerrufsmöglichkeit von Anfang an geltende Praxis dargestellt habe; Anhaltspunkte für eine Praxisänderung seien nicht zu erkennen. Gestützt darauf hat das kantonale Gericht eine zweite Ausübung des Optionsrechts verneint und den Einspracheentscheid vom 28. Januar 2019 bestätigt.
3.2. Die Beschwerdeführerin vertritt demgegenüber in der Hauptsache die Auffassung, die Ausübung des Optionsrechts gemäss <ref-law> sei frei widerruflich. Sodann macht sie im Sinne einer Eventualbegründung geltend, das Optionsrecht sei relativ unwiderruflichen Charakters. Nachdem sie ihre Versicherungsdeckung unverschuldet verloren habe, liege ein besonderer Grund vor, weshalb die Novation des Optionsrechts ausnahmsweise zugelassen werden müsse. Subeventualiter wird in der Beschwerde schliesslich vorgebracht, das Gesuch um Beitritt zur obligatorischen schweizerischen Krankenpflegeversicherung sei aufgrund des Vertrauensschutzes zu bewilligen, weil von behördlicher Seite her kein Hinweis erfolgt sei, dass das einmal ausgeübte Optionsrecht als absolut unwiderruflich gelte.
4.
4.1. Im Urteil 9C_30/2020 vom 14. Juni 2021 (zur Publikation vorgesehen) hat das Bundesgericht ein Zurückkommen auf den getroffenen Optionsentscheid - (auch) unter Berücksichtigung der vom kantonalen Gericht erwähnten Rechtsprechung (<ref-ruling>; SVR 2018 KV Nr. 18, S. 104, 9C_561/2016 E. 7) und des Informationsschreibens 2016 - im vorliegend interessierenden Kontext umfassend geprüft. Gemäss dessen Erwägung 7 gilt das von deutschen Grenzgängern in der Schweiz ausgeübte Optionsrecht als relativ widerruflich, wenn die eingetretene Veränderung für das Versicherungsverhältnis erheblich ist. Es sind die jeweiligen tatsächlichen Verhältnisse im konkreten Einzelfall massgeblich. Der betroffene deutsche Grenzgänger war im Zeitpunkt der Befreiung vom schweizerischen Krankenpflegeversicherungsobligatorium allein dem von der SWICA angebotenen VVG-Versicherungsprodukt Mondial unterstellt. Mit der Einstellung dieses Versicherungsmodells per 31. Dezember 2016 entfiel der Versicherungsschutz. Die betreffende Veränderung sah das Bundesgericht als erheblich an, weil damit insbesondere eine der Hauptvoraussetzungen für die ursprüngliche Ausübung der Option, nämlich der Nachweis einer hinreichenden alternativen Deckung für den Krankheitsfall, nicht mehr gegeben war (vgl. Anhang II Abschnitt A Ziff. 1/i/3/b des Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit, Freizügigkeitsabkommen [FZA; SR 0.142.112.681], sowie <ref-law> [SR 832.102]). Davon ausgehend ist eine erneute Optierung zulässig, sofern die versicherte Person auf den Wegfall ihrer (alternativen) Versicherung keinen Einfluss hatte. Würde ihr in dieser Situation - Wegfall der Versicherungsdeckung durch Aufhebung des VVG-Versicherungsmodells Mondial - die erneute Ausübung des Optionsrechts verwehrt, so bliebe offen, ob sie weiterhin Zugang zu einer alternativen (mutmasslich viel teureren) vergleichbaren Versicherungslösung in ihrem Heimatland hätte, wodurch sie für den Krankheitsfall in der Schweiz und in Deutschland gleichwertig versichert wäre. Damit bestünde ein erhöhtes Risiko der Unter- oder Nichtversicherung, welches durch die Regelungen von FZA Anhang II Abschnitt A Ziff. 1/i/3/b, bzw. der gleich lautenden Verordnung Nr. 883/2004 Anhang XI (Schweiz) Ziff. 3 lit. b sowie von <ref-law> mit dem Nachweis der genügenden Deckung bei Ausübung der Option gerade vermieden werden soll. Vor diesem Hintergrund ist der unverschuldete Verlust der Krankenversicherungsdeckung durch Einstellung des VVG-Versicherungsprodukts Mondial als besonderer Grund zu berücksichtigen, welcher eine erneute Optierung bzw. das Zurückkommen auf den Optionsentscheid zulässt.
4.2. Nachdem hier eine identische Sach- und Rechtslage besteht, sind dieselben Überlegungen relevant. Demnach ist auch im Fall der Beschwerdeführerin, welche als deutsche Grenzgängerin im Kanton Aargau arbeitet, davon auszugehen, dass der Verlust der Krankenversicherungsdeckung durch Einstellung des VVG-Versicherungsprodukts Mondial per Ende 2016 einen besonderen Grund darstellt, welcher ein erneutes Wahlrecht ermöglicht. Nachdem ein Verschulden am Verlust der Versicherungsdeckung nicht zur Diskussion steht, hat dies in Anbetracht des soeben erwähnten Urteils zur Folge, dass der Beschwerdeführerin der Beitritt zum schweizerischen Krankenversicherungsobligatorium ohne Weiteres zu gewähren ist. Fragen zum Vertrauensschutz stellen sich bei diesem Resultat keine. Die Beschwerde ist begründet.
5.
Der unterliegende Beschwerdegegner hat in diesem Verfahren nicht in eigenem Vermögensinteresse gehandelt; er trägt daher keine Kosten (<ref-law>). Der Beschwerdegegner hat der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 20. November 2019 und der Einspracheentscheid des Departements Gesundheit und Soziales des Kantons Aargau vom 28. Januar 2019 werden aufgehoben. Es wird festgestellt, dass die Beschwerdeführerin Anspruch hat, in die schweizerische obligatorische Krankenpflegeversicherung aufgenommen zu werden.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons Aargau zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 21. Oktober 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Der Gerichtsschreiber: Grünenfelder