Sachverhalt:
A.
Nach einem anonymen Hinweis aus der Bevölkerung stellte die Einwohnergemeinde Vechigen bei einem Augenschein fest, dass auf der Parzelle "Vechigen Gbbl. Nr. 1630" ohne Baubewilligung eine Wohnung in den Speicher "B._ Nr. x" eingebaut und ein Schwimmbecken im Aussenbereich des Bauernhauses "B._ Nr. y" erstellt worden war. Die Parzelle liegt in der Landwirtschaftszone; der Speicher ist wie das Bauernhaus im Bauinventar als schützenswertes K-Objekt und Bestandteil der Baugruppe D (B._) eingetragen. Am 20. September 2013 reichte der Grundeigentümer A._ bei der Gemeinde nachträgliche Baugesuche für den Umbau des Speichers und den Neubau des Schwimmbeckens ein. Die Denkmalpflege des Kantons Bern (KDP) beantragte mit Berichten vom 27. November 2013 und 4. August 2014, die Baubewilligungen seien nicht zu erteilen. Mit Verfügungen vom 16. Juli 2015 verweigerte das Amt für Gemeinden und Raumordnung des Kantons Bern (AGR) Ausnahmebewilligungen für das Bauen ausserhalb der Bauzone. In der Folge wies die Gemeinde die Baugesuche mit Gesamtbauentscheid vom 18. Februar 2016 ab und ordnete die Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands an.
B.
Gegen diesen Entscheid gelangte A._ an die Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion des Kantons Bern (BVE), die sein Rechtsmittel am 21. Juni 2016 abwies. Deren Entscheid zog er an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern weiter. Mit Urteil vom 21. März 2017 wies dieses seine Beschwerde ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 25. April 2017 an das Bundesgericht beantragt A._, es sei das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und ihm die Baubewilligung für den Umbau des Speichers und den Neubau des Schwimmbeckens zu erteilen. Zudem stellt er mehrere Eventualbegehren. Mit Eingabe vom 13. Juli 2017 ersucht er um Sistierung des bundesgerichtlichen Verfahrens, bis die Behörden des Kantons Bern über sein Gesuch um Aufhebung der Unterschutzstellung des Speichers entschieden hätten.
Die Gemeinde hat auf eine Vernehmlassung verzichtet und beantragt die Abweisung des Sistierungsgesuchs. Die BVE und das Verwaltungsgericht schliessen unter Hinweis auf das angefochtene Urteil auf Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht beantragt zudem die Abweisung des Sistierungsgesuchs; die Direktion verzichtet diesbezüglich auf eine Stellungnahme. Das Bundesamt für Raumentwicklung ARE erachtet den Entscheid des Verwaltungsgerichts im Ergebnis als richtig. A._ hat am 19. April 2018 weitere Bemerkungen eingereicht.
D.
Mit Verfügung vom 19. Mai 2017 erteilte das präsidierende Mitglied der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid über die Bewilligungsfähigkeit zweier (bereits realisierter) Bauvorhaben und die Zulässigkeit einer Wiederherstellungsanordnung. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG); ein Ausschlussgrund nach <ref-law> liegt nicht vor. Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist als Eigentümer der von der Bewilligungsverweigerung und Wiederherstellungsanordnung betroffenen Bauten zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Auch sonst steht einem Sachurteil grundsätzlich nichts entgegen.
1.2. Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit sie sich gegen die Entscheide der Vorinstanzen des Verwaltungsgerichts richtet. Diese sind durch dessen Urteil ersetzt worden (Devolutiveffekt des Rechtsmittels) und gelten inhaltlich als mitangefochten (<ref-ruling> E. 1.4 S. 144).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer bringt zur Begründung seines Sistierungsgesuchs vor, die Vorinstanz erachte den Umbau des Speichers insbesondere wegen überwiegender Interessen des Denkmalschutzes als nicht bewilligungsfähig. Die Denkmalpflege habe den Speicher hingegen mehrmals als nicht mehr schutzwürdig beurteilt. Der Entscheid der kantonalen Behörden über sein Gesuch um Aufhebung der Unterschutzstellung des Speichers könne für die Beurteilung seiner Beschwerde daher von entscheidender Bedeutung sein.
2.2. Zwar hat die Vorinstanz überwiegende Interessen des Denkmalschutzes bejaht. Sie tat dies jedoch nicht, weil sie den Speicher weiterhin als schutzwürdig erachten würde, sondern wegen dessen früherer Schutzwürdigkeit, die durch den unbewilligten Umbau zerstört worden sei. Der Entscheid der kantonalen Behörden über das erwähnte Gesuch des Beschwerdeführers ist für die Überprüfung des angefochtenen Urteils demnach nicht von Belang, weshalb eine Sistierung des vorliegenden Beschwerdeverfahrens nicht erforderlich und das Sistierungsgesuch abzuweisen ist.
3.
3.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet dieses von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, die der Beschwerdeführer vorbringt und begründet (vgl. <ref-law>). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten, soweit die Verletzung von Grundrechten gerügt wird (<ref-law>).
3.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Die beschwerdeführende Person wiederum darf die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung nur rügen, wenn sie mit einem solchen Mangel behaftet ist und dessen Behebung für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen sodann nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
3.3. Der Beschwerdeführer rügt, die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz beruhe hinsichtlich verschiedener Fragen auf einer Gehörsverletzung und sei insoweit zudem unrichtig (vgl. nachfolgend E. 4). Sie sei überdies auch in weiteren Punkten falsch. So sei unzutreffend, dass die Arbeiten zum Umbau des Speichers nach 2007 stattgefunden haben müssten. Ebenso sei unrichtig, dass kein Generationenwechsel bzw. keine Betriebsübergabe absehbar sei. Inwiefern diese weiteren als falsch kritisierten Sachverhaltsfeststellungen offensichtlich unrichtig, also willkürlich (<ref-law>), sein sollen, legt er allerdings nicht dar. Auch bringt er in diesem Zusammenhang teilweise unzulässige Noven vor. Auf Tatfragen ist daher nur im nachfolgend geprüften Umfang einzugehen, zumal eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung nicht ersichtlich ist.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer bringt im Zusammenhang mit der Rüge der gehörsverletzenden und unrichtigen Sachverhaltsfeststellung vor, die Vorinstanz habe seine Beweisanträge zu verschiedenen strittigen Sachverhaltsfragen ohne hinreichende Begründung abgewiesen. Dies gelte zunächst für die Fragen, ob dem Speicher bereits im Zeitpunkt der Umbauarbeiten die Denkmalqualität gefehlt habe, sein Betrieb als landwirtschaftliches Gewerbe zu qualifizieren sei und das Schwimmbecken die äussere Erscheinung des Bauernhauses beeinträchtige. Es gelte ausserdem für die Fragen, ob er gutgläubig darauf vertraut habe, er bedürfe keiner Baubewilligung, ob der Speicher und das Schwimmbecken verbessert bzw. anders genutzt werden könnten, dieses für Dritte einsehbar sei und ein Standbecken mehr stören würde.
4.2. Zum Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) gehört das Recht auf Abnahme der rechtzeitig und formrichtig angebotenen rechtserheblichen Beweismittel. Der Richter kann indes das Beweisverfahren schliessen, wenn die Anträge nicht erhebliche Tatsachen betreffen. Gleichermassen kann er Beweisanträge ohne Verletzung des rechtlichen Gehörs abweisen, wenn er aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener (antizipierter) Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 3.3 S. 64 mit Hinweis).
4.3. Die Vorinstanz hat die fraglichen Beweisanträge - soweit eigentliche Anträge überhaupt vorlagen - zum einen Teil abgewiesen, weil sie sich ihre Überzeugung bereits gebildet hatte (Zerstörung der Denkmalqualität des Speichers durch die Umbauarbeiten, Beeinträchtigung der äusseren Erscheinung des Bauernhauses durch das Schwimmbecken, keine Gutgläubigkeit des Beschwerdeführers). Zum anderen Teil hat sie die Anträge abgelehnt, weil sie die jeweiligen Sachverhaltsfragen als nicht entscheidwesentlich qualifizierte (Qualifikation des Betriebs als landwirtschaftliches Gewerbe, Einsehbarkeit des Schwimmbeckens, Wirkung eines Standbeckens, Verbesserung bzw. andere Nutzung von Schwimmbecken und Speicher). Ihre Beurteilung der betreffenden Sachverhaltsfragen als nicht entscheidwesentlich trifft zu. Dass eine Beweisabnahme bezüglich der übrigen Sachverhaltsfragen einen massgeblichen Erkenntnisgewinn gebracht hätte, ist nicht ersichtlich. Die Vorinstanz durfte daher ohne Willkür annehmen, ihre Überzeugung würde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert. Sie war somit insbesondere befugt, in antizipierter Beweiswürdigung auf die zum Beweis der Gutgläubigkeit des Beschwerdeführers beantragten Zeugeneinvernahmen zu verzichten.
4.4. Im Zusammenhang mit der Frage der Gutgläubigkeit macht der Beschwerdeführer geltend, die Vorinstanz habe die Aussage des ehemaligen Bauverwalters "zu Unrecht und in geradezu willkürlicher Weise" zu seinen Ungunsten gewürdigt. Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich gewesen sein soll, erläutert er jedoch nicht. Solches ist zudem, wie bei den übrigen hier interessierenden Sachverhaltsfragen auch, nicht ersichtlich, zumal nicht davon auszugehen ist, der ehemalige Bauverwalter habe die Vornahme der erwähnten Bauarbeiten ohne Baubewilligung oder die mündliche Erteilung oder Zusicherung einer solchen Bewilligung ohne Durchführung eines Baubewilligungsverfahrens für zulässig gehalten. Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung beruht hinsichtlich der genannten Fragen demnach weder auf einer Gehörsverletzung noch ist sie offensichtlich unrichtig. Dem vorliegenden Urteil ist daher auch insofern der von der Vorinstanz festgestellte Sachverhalt zugrunde zu legen. Soweit der Beschwerdeführer im vorliegenden Verfahren in dieser Hinsicht Beweisanträge stellt, sind diese abzuweisen.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer rügt in formeller Hinsicht weiter, die Vorinstanz habe zwar anerkannt, dass die Gemeinde seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt habe, indem sie ihm verschiedene Dokumente (Stellungnahme des ehemaligen Bauverwalters vom 8. Juni 2015, Fachbericht der Denkmalpflege vom 19. Juni 2015, Verfügungen des Amts für Gemeinden und Raumordnung vom 16. Juli 2015, Amtsbericht Gewässerschutz vom 11. November 2013, Fachbericht Brandschutz vom 16. November 2013) nicht bzw. erst zusammen mit der Verfügung zur Kenntnis gebracht habe. Sie sei aber zu Unrecht davon ausgegangen, diese Gehörsverletzung habe im Verfahren vor der Direktion geheilt werden dürfen.
5.2. Eine nicht besonders schwerwiegende Verletzung des rechtlichen Gehörs kann ausnahmsweise als geheilt gelten, wenn der Mangel im Verfahren vor der Rechtsmittelinstanz kompensiert wird, die betroffene Person namentlich die Möglichkeit erhält, sich vor einer Rechtsmittelinstanz zu äussern, welche die von der Gehörsverletzung betroffenen Aspekte mit derselben Kognition überprüfen kann wie die untere Instanz. Unter dieser Voraussetzung ist darüber hinaus - im Sinne einer Heilung des Mangels - selbst bei einer schwerwiegenden Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör von einer Rückweisung der Sache an die Vorinstanz abzusehen, wenn und soweit die Rückweisung zu einem formalistischen Leerlauf und damit zu unnötigen Verzögerungen führen würde, die mit dem Interesse der betroffenen Partei an einer beförderlichen Beurteilung der Sache nicht zu vereinbaren wären (<ref-ruling> E. 4 und 4.3 S. 84 f.; <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 197 f. mit Hinweisen).
5.3. Die Vorinstanz hat die Heilung der im erstinstanzlichen Verfahren erfolgten Gehörsverletzung (Verletzung des Rechts auf Orientierung über und Einsichtnahme in die fraglichen Dokumente sowie Äusserung dazu vor Erlass der Verfügung) durch die Direktion aus folgenden Gründen als zulässig erachtet: Der Beschwerdeführer habe sich im Verfahren vor der Direktion, der die gleiche Überprüfungsbefugnis zustehe wie der Gemeinde, zu den fraglichen Dokumenten äussern können. Die Gehörsverletzung sei zudem nicht besonders schwerwiegend gewesen, da die Einschätzungen des Amts für Gemeinden und Raumordnung sowie der Denkmalpflege dem Beschwerdeführer bereits aus früheren Amts- bzw. Fachberichten bekannt gewesen seien und die positiven Berichte zum Gewässer- und Brandschutz keinen Einfluss auf den Ausgang des erstinstanzlichen Verfahrens gehabt hätten. Die Stellungnahme des ehemaligen Bauverwalters habe die Gemeinde in ihrer Verfügung zwar erwähnt, für die Beurteilung der geltend gemachten Gutgläubigkeit des Beschwerdeführers aber nicht als entscheidend erachtet. Diesem sei durch die Heilung der Gehörsverletzung somit auch insofern kein Nachteil entstanden.
5.4. Diese zutreffenden Ausführungen vermag der Beschwerdeführer nicht in Frage zu stellen. Weder aus seinen Vorbringen zur Tragweite und zu den Konsequenzen der erstinstanzlichen Verfügung noch aus seinen Ausführungen zum Inhalt und zur rechtlichen Relevanz der Stellungnahme des ehemaligen Bauverwalters ergibt sich, dass ihm durch die Gehörsverletzung nennenswerte Nachteile entstanden wären. Auch sonst ist solches nicht erkennbar. Die Vorinstanz hat die Zulässigkeit der Heilung demnach zu Recht bejaht.
5.5. Der Beschwerdeführer bringt für diesen Fall vor, die Vorinstanz habe zu Unrecht verneint, dass die Direktion die Heilung zumindest bei der Kostenregelung hätte berücksichtigen müssen. Zwar führte das Bundesgericht in dem vom Beschwerdeführer zitierten Urteil 1C_215/2016 aus, ein Entscheid, der unter Verletzung der Gehörsansprüche ergehe, sei stets rechtsfehlerhaft, weshalb die Anfechtung grundsätzlich zu Recht erfolge. Erweise sich das Rechtsmittel in der Sache als unbegründet, seien die Verfahrenskosten des Rechtsmittelverfahrens vom Staat zu tragen, weil die beschwerdeführende Person diese nicht verursacht habe (Urteil 1C_215/2016 vom 9. Januar 2017 E. 3.4). Dass die Kosten des Verfahrens vor der Direktion wegen der erwähnten Gehörsverletzung entstanden wären, ist indes nicht ersichtlich, erhielt der Beschwerdeführer doch bereits mit dem Entscheid der Gemeinde Kenntnis von den fraglichen Dokumenten und ist davon auszugehen, dass er diesen ohnehin angefochten hätte. Die Heilung der Gehörsverletzung wirkte sich zudem nicht massgeblich auf die Höhe dieser Kosten aus. Dass die Vorinstanz den Entscheid der Direktion, die Heilung im Kostenpunkt nicht zu berücksichtigen und dem Beschwerdeführer die Verfahrenskosten aufzuerlegen, schützte, erweist sich daher nicht als bundesrechtswidrig.
6.
6.1. In materieller Hinsicht ist zunächst strittig, ob dem Beschwerdeführer zu Recht die nachträgliche Baubewilligung für den Umbau des Speichers in eine Wohnung verweigert worden ist. Der Beschwerdeführer verneint dies mit der Begründung, der Speicher habe seine Denkmalqualität bereits im Zeitpunkt der Umbauarbeiten verloren gehabt. Zudem sei sein Betrieb als landwirtschaftliches Gewerbe im Sinne von Art. 7 des Bundesgesetzes vom 4. Oktober 1991 über das bäuerliche Bodenrecht (BGBB; SR 211.412.11) zu beurteilen und ein Generationenwechsel bzw. die Betriebsübergabe absehbar. Dem Umbau des Speichers als Wohnsitz für die abtretende Generation stünden somit keine überwiegenden Interessen des Denkmalschutzes entgegen und auch die übrigen Voraussetzungen von Art. 34 Abs. 3 und 4 RPV für die Erteilung der Baubewilligung seien erfüllt.
6.2. Gemäss Art. 16a Abs. 1 RPG sind in der Landwirtschaftszone nur Bauten und Anlagen zonenkonform, die zur landwirtschaftlichen Bewirtschaftung oder für den produzierenden Gartenbau nötig sind. Bauten für den Wohnbedarf sind zonenkonform, wenn der Wohnraum für den Betrieb des entsprechenden landwirtschaftlichen Gewerbes unentbehrlich ist, einschliesslich des Wohnbedarfs der abtretenden Generation (<ref-law>). Neben der Notwendigkeit der Baute oder Anlage für die in Frage stehende Bewirtschaftung (<ref-law>) ist für die Bewilligungserteilung zudem erforderlich, dass der Baute oder Anlage am vorgesehenen Standort keine überwiegenden Interessen entgegenstehen und der Betrieb voraussichtlich längerfristig bestehen kann (Art. 34 Abs. 4 lit. b und c RPV).
6.3. Lenkender Massstab der in <ref-law> verlangten Interessenabwägung bilden namentlich die Ziele und Grundsätze der Raumplanung gemäss Art. 1 und 3 RPG. In die Abwägung einzubeziehen sind auch die spezialgesetzlich geschützten Interessen (Urteil 1C_616/2015 vom 8. Dezember 2016 E. 3.1 mit Hinweisen). Die Anliegen des Denkmalschutzes sind somit zu berücksichtigen (vgl. insb. Art. 3 Abs. 2 sowie Art. 17 Abs. 1 lit. c und Abs. 2 RPG). Soweit das positive Verfassungs- und Gesetzesrecht einzelne Aspekte der Interessenabwägung konkret regelt, ist vorweg zu klären, ob das Vorhaben mit diesen Vorschriften zu vereinbaren ist. Erst wenn dies zutrifft, ist die Abwägung aller zu berücksichtigenden Interessen koordiniert durchzuführen (Urteil 1C_437/2009 vom 16. Juni 2010 E. 7.2).
6.4. Nach der verbindlichen Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz haben die unbewilligten Umbauarbeiten die Qualität des Speichers als schützenswertes Baudenkmal im Sinne von Art. 10a Abs. 2 des Baugesetzes des Kantons Bern vom 19. Juni 1985 (BauG/BE; BSG 721.0) unwiederbringlich zerstört. Diese Feststellung stützt sich insbesondere auf den Fachbericht der Denkmalpflege vom 19. Juni 2015. Durch den Umbau wurde der Speicher somit in einer Weise verändert, die das kantonale Baugesetz gemäss der vom Beschwerdeführer nicht beanstandeten vorinstanzlichen Beurteilung aus Gründen des Denkmalschutzes untersagt (vgl. Art. 10b Abs. 1 und 2 BauG/BE). Hätte der Beschwerdeführer vor dem Umbau ein Baugesuch gestellt, hätte diesem demnach wegen entgegenstehender überwiegender (öffentlicher) Interessen im Sinne von <ref-law> nicht stattgegeben werden dürfen. Dass er das Gesuch erst danach eingereicht hat, ändert am Vorliegen derartiger Interessen nichts. Zwar bestehen diese nicht mehr darin, den Speicher in seiner denkmalgeschützten Qualität zu erhalten. Es geht jedoch darum, den Interessen des Denkmalschutzes gegenüber dem Beschwerdeführer wie auch der Allgemeinheit dadurch Nachdruck zu verleihen, dass die Zerstörung der Denkmalqualität des Speichers nicht durch die Erteilung einer nachträglichen Baubewilligung belohnt wird. Ausserdem gilt es in genereller Weise zu verhindern, dass der illegal bauende Beschwerdeführer besser gestellt wird als Bauherren, die gesetzeskonform vorgängig um eine Baubewilligung ersuchen.
6.5. Dass die Vorinstanz die Verweigerung der nachträglichen Baubewilligung für den Umbau des Speichers als rechtmässig beurteilt hat, erweist sich damit bereits aus diesem Grund als bundesrechtskonform. Hinzu kommt, dass nach ihrer verbindlichen Sachverhaltsfeststellung kein Generationenwechsel bzw. keine Betriebsübergabe absehbar ist. Damit mangelt es am geltend gemachten Bedarf an zusätzlichem Wohnraum für die abtretende Generation, weshalb auch aus diesem Grund nach Art. 34 Abs. 3 und 4 RPV keine nachträgliche Bewilligung des Umbaus in Frage kommt. Es ist daher nicht darauf einzugehen, ob es sich beim Betrieb des Beschwerdeführers um ein landwirtschaftliches Gewerbe im Sinne von <ref-law> handelt.
7.
7.1. Strittig ist weiter, ob dem Beschwerdeführer die nachträgliche Baubewilligung für das Schwimmbecken verweigert werden durfte. Der Beschwerdeführer verneint dies und macht geltend, auch insoweit bestünden keine überwiegenden Denkmalschutzinteressen. Ausserdem sei sein Betrieb ein landwirtschaftliches Gewerbe und falle das Schwimmbecken unter eine zeitgemässe Wohnnutzung.
7.2. Nach der verbindlichen Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz ist das Schwimmbecken zu gross und zu nahe an das mit Vertrag in seiner äusseren Erscheinung geschützte - und, wie erwähnt, als schützenswertes K-Objekt und Bestandteil der Baugruppe D (B._) im Bauinventar eingetragene - Bauernhaus gebaut. Ausserdem beeinträchtigen die tonnenförmige Kindersicherung und der grosse, mit Zementsteinen befestigte Vorplatz die bäuerliche Umgebungsgestaltung nachteilig. Diese Feststellung stützt sich auf den Amtsbericht der Denkmalpflege vom 4. August 2014, mit dem diese dem Bau des Schwimmbeckens wegen der genannten nachteiligen Umstände bzw. Auswirkungen auf der Grundlage von Art. 14 und 17 des Denkmalpflegegesetzes vom 8. September 1999 des Kantons Bern (DPG; BSG 426.41) die nachträgliche Zustimmung verweigert hat. Das Schwimmbecken ist somit mit den gesetzlich geschützten Anliegen des Denkmalschutzes nicht vereinbar, weshalb der nachträglichen Erteilung der Baubewilligung überwiegende (öffentliche) Interessen im Sinne von <ref-law> entgegenstehen.
7.3. Damit erweist sich der Entscheid der Vorinstanz hinsichtlich des Schwimmbeckens bereits aus diesem Grund als bundesrechtskonform. Ob es sich beim Betrieb des Beschwerdeführers um ein landwirtschaftliches Gewerbe im Sinne von <ref-law> handelt, ist daher auch in diesem Zusammenhang nicht zu prüfen. Ebenfalls nicht einzugehen ist auf die Frage, ob das Schwimmbecken für eine zeitgemässe Wohnnutzung nötig sei (vgl. Art. 24c Abs. 2 und 4 RPG).
8.
8.1. Strittig ist schliesslich die Rechtmässigkeit der Wiederherstellungsanordnung. Der Beschwerdeführer rügt in diesem Zusammenhang zum einen, die Anordnung verletze den Grundsatz des Vertrauensschutzes, da er in Bezug auf die Rechtmässigkeit der durchgeführten Bauarbeiten gutgläubig gewesen sei. Zum anderen macht er geltend, dem öffentlichen Interesse an der Einhaltung der baurechtlichen Ordnung stünden mehrere gewichtigere Interessen entgegen. Zudem sei die Wiederherstellungsanordnung unverhältnismässig.
8.2. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist die Befugnis der Behörden, im Falle einer rechtswidrig errichteten bzw. genutzten Baute die Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands anzuordnen, im Interesse der Rechtssicherheit grundsätzlich auf 30 Jahre beschränkt (<ref-ruling> E. 6.3 S. 35 sowie mit gewissen Vorbehalten <ref-ruling> E. 8 S. 367). Auch vorher ist die Anordnung der Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands im Einzelfall unzulässig, wenn sie allgemeinen Prinzipien des Verfassungs- und Verwaltungsrechts entgegensteht. Dazu gehören namentlich die in Art. 5 Abs. 2 und 3 sowie <ref-law> festgehaltenen Grundsätze der Verhältnismässigkeit und des Schutzes des guten Glaubens (<ref-ruling> E. 6 S. 364 f.).
8.3. Die Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands kann unterbleiben, wenn die Abweichung vom Erlaubten nur unbedeutend ist oder die Wiederherstellung nicht im öffentlichen Interesse liegt. Gleiches gilt, wenn der Bauherr in gutem Glauben angenommen hat, die von ihm ausgeübte Nutzung stehe mit der Baubewilligung im Einklang, und ihre Fortsetzung nicht schwerwiegenden öffentlichen Interessen widerspricht (<ref-ruling> E. 6 S. 35 mit Hinweis). Eine Berufung auf den guten Glauben fällt nur in Betracht, wenn die Bauherrschaft bei zumutbarer Aufmerksamkeit und Sorgfalt annehmen durfte, sie sei zur Bauausführung oder Nutzung berechtigt (<ref-ruling> E. 7.1 S. 365). Auf die Verhältnismässigkeit berufen kann sich auch ein Bauherr, der nicht gutgläubig gehandelt hat. Er muss aber in Kauf nehmen, dass die Behörden aus grundsätzlichen Erwägungen, namentlich zum Schutz der Rechtsgleichheit und der baulichen Ordnung, dem Interesse an der Wiederherstellung des gesetzmässigen Zustands erhöhtes Gewicht beimessen und die dem Bauherrn allenfalls erwachsenden Nachteile nicht oder nur in verringertem Masse berücksichtigen (<ref-ruling> E. 6.4 S. 39 f.).
8.4. Nach der verbindlichen Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz konnte der Beschwerdeführer trotz seiner gegenteiligen Vorbringen nicht gutgläubig davon ausgehen, der Umbau des Speichers und der Neubau des Schwimmbeckens seien ohne Baubewilligung zulässig. Damit kann er sich nicht mit Erfolg auf den Vertrauensgrundsatz berufen bzw. steht dieser der Zulässigkeit der Wiederherstellungsanordnung nicht entgegen.
8.5. Rechtssicherheitsinteressen, wie sie der Beschwerdeführer geltend macht, liegen keine vor, zumal die Bauarbeiten nach der verbindlichen Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nach 2007 stattgefunden haben müssen, also nicht bereits in den Jahren 2004 und 2005 ausgeführt worden sein können. Vertrauensschutzinteressen bestehen, wie erwähnt, ebenfalls keine. Die Wiederherstellungsanordnung zielt weiter im Einklang mit dem Bericht der Denkmalpflege vom 19. Juni 2015 im Wesentlichen nur darauf ab, die widerrechtliche Wohnnutzung zu unterbinden, und nicht - was gemäss der Denkmalpflege gar nicht möglich ist - den Speicher in seiner früheren, durch den Umbau zerstörten denkmalgeschützten Qualität zu rekonstruieren. Dass ein wiederhergestellter Speicher eine schlechte Rekonstruktion in neuen Materialien wäre, wie die Denkmalpflege vorbringt, begründet somit keine dem Anliegen der Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands entgegenstehende Interessen. Nicht von Belang ist überdies, ob das Schwimmbecken für Dritte einsehbar ist oder ein in den Sommermonaten aufgestelltes Standbecken weitaus besser sichtbar wäre.
8.6. Da der Beschwerdeführer nicht gutgläubig war, stellen weder der Vertrauensschutz noch der Zeitablauf seit der Realisierung der Bauvorhaben die Verhältnismässigkeit der Wiederherstellungsanordnung in Frage. Gleiches gilt für die Kosten der Wiederherstellung. Wegen des erwähnten Anordnungszwecks ist für die Frage der Verhältnismässigkeit ausserdem unerheblich, ob ein rekonstruierter Speicher ein "unerwünschtes Kunstprodukt" wäre, wie der Beschwerdeführer geltend macht. Die Vorinstanz legt sodann überzeugend dar, dass keine milderen Massnahmen als die von der Gemeinde angeordneten bestehen. Der Beschwerdeführer vermag diese Ausführungen mit seinen Vorbringen nicht in Zweifel zu ziehen, weshalb insofern auf das vorinstanzliche Urteil verwiesen werden kann. Die Vorinstanz hat die Verhältnismässigkeit wie auch die Rechtmässigkeit der Wiederherstellungsanordnung zu Recht bejaht.
9.
Demnach ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Parteientschädigungen für das bundesgerichtliche Verfahren sind keine auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Sistierungsgesuch des Beschwerdeführers wird abgewiesen.
2.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Einwohnergemeinde Vechigen, der Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion des Kantons Bern, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Raumentwicklung ARE schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. September 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Baur