Sachverhalt:
A.
B._, A._ und ihre Kinder C._, D._ und E._ befanden sich am 4. Juli 2014 mit weiteren syrischen Staatsangehörigen im Nachtzug von Mailand nach Paris, als die französische Grenzpolizei ihnen nach einer Kontrolle die Weiterreise verweigerte und sie zur Rückführung nach Italien dem Schweizerischen Grenzwachtkorps (nachfolgend: Grenzwachtkorps) übergab. Die Familie wurde vom Grenzwachtkorps zunächst nach Brig verbracht. Obschon B._, die sich damals im siebten Schwangerschaftsmonat befand, über starke Bauchschmerzen klagte, wurde die Familie sodann mit dem Zug nach Domodossola (Italien) überführt. Nach Ankunft in Domodossola wurde B._ mit der Ambulanz ins Spital gebracht, wo der Tod des Fötus festgestellt wurde.
B.
B.a. Aufgrund der Vorkommnisse vom 4. Juli 2014 stellten B._, A._ und ihre Kinder C._, D._ und E._ beim Eidgenössischen Finanzdepartement am 3. Juli 2015 Genugtuungs- und Schadenersatzbegehren.
Das Eidgenössische Finanzdepartement wies diese Begehren mit Verfügung vom 13. Januar 2021 ab.
B.b. Mit Eingabe vom 15. Februar 2021 gelangten B._, A._ und ihre Kinder C._, D._ und E._ gegen die Verfügung vom 13. Januar 2021 an das Bundesverwaltungsgericht und beantragten Genugtuung (Fr. 65'000.-- für B._, Fr. 55'000.-- für A._, Fr. 15'000.-- für den Sohn C._ und Fr. 12'000.-- für die Söhne D._ und E._, je zzgl. Zins von 5 % seit dem 4. Juli 2014). sowie Schadenersatz im Betrag von insgesamt Fr. 136'473.-- zuzüglich Zins von 5 % mittleren Verfalls.
Prozessual ersuchten sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Beiordnung eines amtlichen Rechtsbeistands in Person ihrer Rechtsvertreterin.
B.c. Mit Zwischenverfügung vom 6. April 2021 hiess das Bundesverwaltungsgericht die Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege und amtliche Verbeiständung in Bezug auf B._ und die drei Kinder C._, D._ und E._ gut (Dispositivziffer 1); in Bezug auf A._ wurden die Gesuche hingegen abgewiesen (Dispositivziffer 2). A._ wurde unter Androhung des Nichteintretens dazu aufgefordert, innert angesetzter Frist einen Kostenvorschuss von Fr. 4'000.-- zu leisten (Dispositivziffern 3 und 4).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 11. Mai 2021 gelangt A._ an das Bundesgericht. Er ersucht darum, ihm unter Aufhebung der Zwischenverfügung vom 6. April 2021 die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren und ihn von der Leistung eines Prozesskostenvorschusses für das Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht zu befreien.
In prozessualer Hinsicht ersucht A._ für das bundesgerichtliche Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege, Verzicht auf die Erhebung eines Kostenvorschusses und Beiordnung eines amtlichen Rechtsbeistands in Person seiner Rechtsvertreterin.
Das Bundesgericht hat auf Instruktionsmassnahmen verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Der angefochtene Entscheid, mit welchem dem Beschwerdeführer für das bundesverwaltungsgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege verweigert wurde, ist als Zwischenentscheid zu qualifizieren. Die Anfechtung von Zwischenentscheiden ist unter anderem dann möglich, wenn der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG). Für Zwischenentscheide, mit denen die unentgeltliche Rechtspflege verweigert wird, bejaht das Bundesgericht diese Voraussetzung in aller Regel (<ref-ruling> E. 1.1; Urteil 2C_367/2020 vom 7. Oktober 2020 E. 1.1). Von einem nicht wieder gutzumachenden Nachteil ist auch im vorliegenden Fall auszugehen, nachdem die Vorinstanz den Beschwerdeführer parallel zur Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Prozessführung dazu verpflichtet hat, einen Kostenvorschuss von Fr. 4'000.-- zu bezahlen, und der Beschwerdeführer nachvollziehbar geltend macht, dass er nicht im Ansatz in der Lage ist, einen solchen Betrag zu bezahlen.
1.2. Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens sind Zwischenentscheide mit dem in der Hauptsache zulässigen Rechtsmittel anzufechten (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.2). In der vorliegenden Angelegenheit wird gegen den Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht geführt werden können (Art. 82 lit. a BGG, Art. 83 BGG e contrario, Art. 85 Abs. 1 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a BGG, Art. 90 BGG). Entsprechend steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten auch für die Anfechtung des hier interessierenden Zwischenentscheids zur Verfügung.
1.3. Als Adressat des angefochtenen Entscheids ist der Beschwerdeführer zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich berechtigt (Art. 89 Abs. 1 lit. a BGG); materiell beschwert ist er allerdings nur bezüglich der Dispositivziffern 2, 3 und 4 der Zwischenverfügung des Bundesverwaltungsgerichts (vgl. zum Inhalt dieser Dispositivziffern Bst. B hiervor). Auf die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde (Art. 42 und Art. 100 Abs. 1 BGG) ist daher nur insoweit einzutreten, als sich die vorliegende Beschwerde auf diese Dispositivziffern bezieht. Soweit sich der Beschwerdeführer mit seinen Anträgen auch auf die weiteren Dispositivziffern des angefochtenen Entscheids beziehen sollte, ist auf seine Beschwerde nicht einzutreten.
Zu bemerken ist ferner, dass sich die Anträge des Beschwerdeführers ausdrücklich nur auf die vorinstanzlich verweigerte unentgeltliche Prozessführung und die Erhebung eines Kostenvorschusses beziehen, nicht hingegen auf die Frage der amtlichen Verbeiständung.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), prüft jedoch unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nur die geltend gemachten Rechtsverletzungen, sofern rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.5).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2).
3.
3.1. Die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht richtet sich nach Art. 65 Abs. 1 VwVG. Danach kann die Instruktionsrichterin eine Partei, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, auf Antrag hin von der Bezahlung der Verfahrenskosten befreien, sofern ihr Begehren nicht aussichtslos erscheint. Dieselben Ansprüche ergeben sich aus Art. 29 Abs. 3 BV.
3.2. Vorliegend hat die Vorinstanz erkannt, dass das Rechtsmittel des Beschwerdeführers und seiner Familienangehörigen nicht zum vornherein als aussichtslos zu betrachten sei (S. 3 des angefochtenen Entscheids). Hingegen habe der Beschwerdeführer - anders als seine Familienangehörigen - seine Pflicht zur Mitwirkung gemäss Art. 13 Abs. 1 lit. a VwVG vernachlässigt, indem er der Aufforderung zur Dokumentation seiner Einkünfte bzw. Auslagen sowie seines Vermögens und seiner Schulden nicht nachgekommen sei. Unter diesen Umständen könne nicht davon ausgegangen werden, dass ihm die erforderlichen Mittel zur Bezahlung der Verfahrenskosten fehlten. Entsprechend sei sein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung mangels Nachweises der Bedürftigkeit abzuweisen.
3.3. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz sei zu Unrecht davon ausgegangen, dass seine Mittellosigkeit nicht erstellt sei. Als Asylsuchender habe er in Italien ab dem 4. Juli 2014 bis August 2015 lediglich 580 Euro im Monat erhalten; ab dann habe die Kirche ihm und seiner Familie Unterschlupf gewährt. Ab September 2015 habe er zeitweise als Tagelöhner mit Bar-Lohnauszahlung gearbeitet und sich damit knapp über Wasser halten können. Einen schriftlichen Arbeitsvertrag bzw. eine Lohnabrechnung habe er jedoch nie erhalten. Seit Mai 2020 habe er keinen Lohn mehr erwirtschaftet und deshalb im "Gesuchsformular unentgeltliche Rechtspflege" wahrheitsgemäss angegeben, arbeitslos zu sein. Aus diesem Grund habe er keine Einnahmen verzeichnet und demzufolge auch keine solchen belegen können; weitere Angaben zu seiner finanziellen Situation hätten sich vor diesem Hintergrund erübrigt (negativa non sunt probanda). Seine Mittellosigkeit sei im Übrigen schon seit seiner Einreise in die Schweiz im Juli 2014 ausgewiesen.
3.4. Die Entscheidung des vorliegenden Falls hängt von der Beantwortung der Frage ab, ob die Vorinstanz dem Beschwerdeführer unter Hinweis auf eine Verletzung seiner Mitwirkungspflicht die unentgeltliche Rechtspflege verweigern durfte, oder ob - wie der Beschwerdeführer geltend macht - seine Mittellosigkeit hinreichend belegt ist.
3.4.1. Eine Partei, welche die erforderlichen Prozess- und Parteikosten nur bezahlen kann, wenn sie die Mittel angreift, die sie zur Deckung des Grundbedarfs für sich und ihre Familie benötigt, gilt nach der Rechtsprechung als bedürftig (<ref-ruling> E. 4a). Bei der Prüfung der Bedürftigkeit hat die entscheidende Behörde der gesamten wirtschaftlichen Situation der Partei im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs Rechnung zu tragen (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 5.1).
3.4.2. Es obliegt grundsätzlich der gesuchstellenden Partei, ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend darzustellen und soweit möglich auch zu belegen. Unbeholfene Rechtsuchende hat die Behörde auf die Angaben hinzuweisen, die sie zur Beurteilung des Gesuchs benötigt (<ref-ruling> E. 3a; Urteil 2C_955/2019 vom 29. Januar 2020 E. 4.3). Verweigert ein Gesuchsteller die zur Beurteilung seiner aktuellen Gesamtsituation erforderlichen Angaben oder Belege, so kann die Behörde die Bedürftigkeit ohne Verletzung des Anspruchs auf unentgeltliche Rechtspflege verneinen. Insbesondere ist die mit dem Gesuch befasste Behörde weder verpflichtet, den Sachverhalt von sich aus nach jeder Richtung hin abzuklären, noch muss sie unbesehen alles, was behauptet wird, von Amtes wegen überprüfen. Sie muss den Sachverhalt nur dort (weiter) abklären, wo noch Unsicherheiten und Unklarheiten bestehen, sei es, dass sie von einer Partei auf solche - wirkliche oder vermeintliche - Fehler hingewiesen wird, sei es, dass sie sie selbst feststellt (Urteile 2C_367/2020 vom 10. Juli 2020 E. 3.3; 5A_716/2018 vom 27. November 2018 E. 3.2; 9C_784/2017 vom 12. Januar 2018 E. 2, je mit weiteren Hinweisen).
3.4.3. Der Vorinstanz war seit dem 16. März 2021 bekannt, dass der Beschwerdeführer Wohnung bei seiner Familie in Deutschland genommen hatte (vgl. auch S. 5 des angefochtenen Entscheids); nunmehr hält sich der Beschwerdeführer in der Nähe seiner Familie in einer Aufnahmeeinrichtung für Asylsuchende auf. Wenn es bei der Prüfung der Bedürftigkeit rechtlich darauf ankommt, ob zur Bezahlung der Verfahrenskosten und der Rechtsvertretung in den Grundbedarf der Familieeingegriffen werden muss (vgl. E. 3.4.1 hiervor), überzeugt es vor dem Hintergrund dieses Sachverhalts kaum, dass die Vorinstanz die Bedürftigkeit zwar in Bezug auf die Familienangehörigen bejaht hat, nicht hingegen in Bezug auf den Beschwerdeführer. Kommt hinzu, dass vorliegend nicht die Rede davon sein kann, dass der Beschwerdeführer seine Mitwirkungspflichten verletzt hat. Der Beschwerdeführer hat im "Gesuchsformular unentgeltliche Rechtspflege" vielmehr ausdrücklich angegeben, arbeitslos zu sein. Sofern die Vorinstanz diese Angabe für unzureichend gehalten hat, weil sie der Ansicht war, dass in dem Gesuchsformular auch die Einkünftetabelle im Einzelnen ausgefüllt werden muss, hätte sie den Beschwerdeführer vor dem Hintergrund seiner besonderen Situation (Status als Asylsuchender, keine Kenntnisse der Verfahrenssprache, wechselnder Wohnort, Wohnort in einiger Distanz zur Rechtsvertreterin) auf diesen Fehler aufmerksam machen müssen (vgl. E. 3.4.2 hiervor).
3.4.4. Mit Blick auf die (nunmehr) vorliegenden Akten (Beleg Aufnahmeeinrichtung für Asylbewerbende vom 3. März 2021, Ausweis Asylbewerbende vom 23. März 2021, Laufzettel Taschengeld; Art. 99 Abs. 2 BGG) ergibt sich ohne Weiteres, dass der Beschwerdeführer - wie auch seine Familienangehörigen - nicht in der Lage ist, die Kosten des Verfahrens vor Bundesverwaltungsgericht zu bezahlen, ohne in den Grundbedarf der Familie einzugreifen. Die Vorinstanz hat die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers vor diesem Hintergrund zu Unrecht verneint. Nachdem die weiteren Anspruchsvoraussetzungen von der Vorinstanz bejaht worden sind (vgl. E. 3.1 hiervor), hat der Beschwerdeführer für das Verfahren vor Bundesverwaltungsgericht Anspruch auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege; entsprechend ist er von der Pflicht zur Bezahlung eines Kostenvorschusses zu befreien.
3.5. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist. Dispositivziffer 2 des angefochtenen Entscheids ist teilweise aufzuheben und dem Beschwerdeführer ist für das bundesverwaltungsgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren. In Aufhebung der Dispositivziffern 3 und 4 des angefochtenen Entscheids ist zudem auf die Erhebung eines Kostenvorschusses zu verzichten.
4.
Bei diesem Verfahrensausgang (vgl. E. 3.5 hiervor) ist auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 4 BGG). Die Vorinstanz hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren hingegen angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird damit gegenstandslos und ist abzuschreiben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf eingetreten wird. Dispositivziffer 2 des angefochtenen Entscheids wird teilweise aufgehoben und dem Beschwerdeführer wird für das bundesverwaltungsgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Prozessführung gewährt. In Aufhebung der Dispositivziffern 3 und 4 des angefochtenen Entscheids wird der Beschwerdeführer für das Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht zudem von der Pflicht zur Bezahlung eines Kostenvorschusses befreit.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Das Bundesverwaltungsgericht hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4.
Die Gesuche um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und amtlichen Verbeiständung werden als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Juni 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner