Faits :
A.
X._ est un ressortissant portugais vivant en Suisse depuis le 12 janvier 2015. En 2015, il a fait l'acquisition, au Portugal, d'un chien né le 15 septembre 2015. Le 2 janvier 2017, une vétérinaire portugaise a établi un passeport pour le chien, comportant l'indication que l'animal était de race indéterminée.
Le 7 mai 2018, un cabinet vétérinaire suisse a enregistré le chien de X._ dans la banque de données nationale pour les chiens, avec les indications que l'animal était un "croisé grand pitbull terrier", de race indéterminée et de poids moyen, importé en Suisse le 2 février 2018. Le même jour, le Service de la consommation et des affaires vétérinaires de la République et canton de Genève (ci-après: le Service vétérinaire) a été informé de cet enregistrement et l'un de ses inspecteurs s'est rendu chez X._ le 23 mai 2018, afin d'y constater la présence du chien. Cet inspecteur a rapporté que l'aspect du chien et sa morphologie démontraient que l'animal avait probablement une "origine de race molossoïde".
B.
Le 25 mai 2018, en raison du fait que le chien était suspecté d'appartenir à un croisement issu d'une race interdite sur le territoire genevois, le Service vétérinaire a ordonné le séquestre provisoire de cet animal, mesure qui a été exécutée le même jour. Après que X._ eut transmis une attestation d'une vétérinaire portugaise du 28 mai 2018 constatant que le chien était de race indéterminée et que le Service vétérinaire eut entendu l'intéressé, ce service a ordonné le séquestre définitif de l'animal par décision du 4 juin 2018. X._ a contesté ce prononcé le 14 juin 2018 auprès de la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) qui, par arrêt du 30 octobre 2018, a rejeté le recours.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, outre l'assistance judiciaire, d'annuler l'arrêt de la Cour de justice du 30 octobre 2018 et d'ordonner la restitution immédiate de son chien; subsidiairement de renvoyer la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
La Cour de justice persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. Le Service vétérinaire conclut au rejet du recours. Dans des observations finales, X._ a confirmé ses conclusions.

Considérant en droit :
1.
L'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>). Le recours, qui ne tombe pas sous le coup de l'une des exceptions prévues à l'<ref-law> et qui a été déposé par le destinataire de l'arrêt attaqué et détenteur du chien dont le séquestre a été ordonné, bénéficiant de ce fait de la qualité pour recourir (<ref-law>), a été formé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites (<ref-law>), si bien qu'il est recevable.
2.
Dans un premier grief, le recourant se plaint, à tout le moins implicitement, d'un établissement inexact des faits par la Cour de justice, estimant que celle-ci a mal retranscrit un courrier électronique interne du Service vétérinaire du 30 mai 2018. L'autorité précédente a retenu de ce courrier que le recourant avait demandé la modification de l'enregistrement de la race de son chien en "croisé am'staff" dans la banque de donnée nationale pour les chiens.
2.1. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.4.3 p. 156). Le recourant ne peut critiquer les constatations de fait ressortant de la décision attaquée que si celles-ci ont été effectuées en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 6 p. 358). Conformément à l'<ref-law>, le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. Les faits invoqués de manière appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 6.3 p. 375). Par ailleurs, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut en principe être présenté devant le Tribunal fédéral (<ref-law>).
2.2. En l'occurrence, le recourant explique que la modification des faits qu'il demande est importante, car les parties s'opposent sur la race de son chien, celle-ci n'ayant pas été établie de manière scientifique, élément déterminant selon lui pour l'examen du respect du principe de la proportionnalité. Or, il ressort des faits que le chien du recourant est un croisé pitbull. Si celui-ci affirme dans son recours que les parties s'opposent sur la race de l'animal et remet en cause la race de son chien, à aucun moment il ne fait toutefois valoir, de manière suffisante, conformément à l'obligation de motivation de l'<ref-law>, que la Cour de justice aurait procédé à une mauvaise appréciation des moyens de preuve en relation avec cette question. Partant, les explications du recourant quant à l'incidence sur la cause de l'élément de fait dont il demande la rectification sont sans pertinence. Son grief d'établissement inexact des faits doit par conséquent être écarté. Le Tribunal fédéral vérifiera la correcte application du droit sur la seule base des faits retenus par l'autorité précédente.
3.
Citant les art. 13 al. 1 et 26 al. 1 Cst., le recourant invoque la protection de sa sphère privée et la garantie de la propriété. Il estime en particulier que la mesure de séquestre définitif de son chien, confirmée par l'autorité précédente, est disproportionnée et viole ainsi l'art. 36 al. 3 Cst.
3.1. Selon l'art. 26 al. 1 Cst., la propriété est garantie. Cette garantie protège les droits patrimoniaux concrets du propriétaire, soit celui de conserver sa propriété, d'en jouir et de l'aliéner. Le Tribunal fédéral a déjà eu l'occasion de juger que le séquestre définitif d'un chien constituait une restriction grave de la garantie de la propriété (cf. arrêt 2C_325/2018 du 18 février 2019 consid. 4.1 et la référence).
Aux termes de l'art. 13 al. 1 Cst., toute personne a droit au respect de sa vie privée et familiale, de son domicile, de sa correspondance et des relations qu'elle établit par la poste et les télécommunications. Dans l'arrêt 2C_1200/2012 du 3 juin 2013 consid. 3.2, le Tribunal fédéral a considéré que si le séquestre provisoire d'un chien pouvait constituer une violation de l'art. 10 al. 2 Cst., c'est-à-dire du droit à la liberté personnelle, on ne voyait en revanche pas en quoi un tel séquestre constituerait une violation de l'art. 13 al. 1 Cst. Il n'y a pas à s'écarter de ces considérations, même en présence d'un séquestre définitif, les explications du recourant, qui fait référence au préambule de la convention européenne du 13 novembre 1987 pour la protection des animaux de compagnie (RS 0.456) et à l'art. 1 de la loi du 16 décembre 2005 sur la protection des animaux (LPA; RS 455), ne permettant pas de déterminer dans quelle mesure l'art. 13 al. 1 Cst. serait concerné en l'espèce. L'art. 1 LPA prévoit en effet que cette loi vise à protéger la dignité et le bien-être de l'animal et la convention précitée, pour autant qu'elle soit directement applicable (cf. art. 2 qui mentionne que les parties contractantes s'engagent à prendre des mesures pour donner effet aux dispositions de la convention), vise à protéger les animaux de compagnie. Aucun de ces deux textes ne traite directement du rapport existant entre un animal de compagnie et son maître. Seul le bien être de l'animal est visé. Le recourant reconnaît d'ailleurs lui-même que la violation du droit au respect de la vie privée est moins évidente que celle de la garantie de la propriété. En tout état de cause, il ne motive pas à suffisance, conformément au devoir accru de motivation prévu par l'<ref-law>, en quoi l'éventuelle restriction à sa vie privée et familiale serait contraire à l'art. 36 Cst., si bien qu'il convient d'écarter le grief de violation de l'art. 13 al. 1 Cst.
3.2. La garantie de la propriété n'est toutefois pas absolue. Conformément à l'art. 36 Cst., toute restriction d'un droit fondamental doit reposer sur une base légale qui doit être de rang législatif en cas de restriction grave (al. 1); elle doit en outre être justifiée par un intérêt public ou par la protection d'un droit fondamental d'autrui (al. 2) et proportionnée au but visé (al. 3), sans violer l'essence du droit en question (al. 4).
3.2.1. Les restrictions graves, telle la présente, nécessitent donc une réglementation expresse dans une loi au sens formel (art. 36 al. 1 Cst.; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 284 et les références).
En l'occurrence, la loi genevoise du 18 mars 2011 sur les chiens (LChiens/GE; RSGE M 3 45), qui est une loi au sens formel, adoptée par le Grand Conseil de la République et canton de Genève, a pour but de régler les conditions d'élevage, d'éducation et de détention des chiens, en vue a) de garantir leur santé et leur bien-être conformément au droit fédéral; b) d'assurer la sécurité, la salubrité et la tranquillité publiques; c) de préserver les biens et l'environnement, en particulier les cultures agricoles, les animaux, la faune et la flore sauvages (art. 1 LChiens/GE). Le Chapitre IV (art. 22 ss LChiens/GE) de la loi traite des chiens dangereux. L'art. 23 al. 1 LChiens/GE dispose ainsi que les chiens appartenant à des races dites d'attaque ou jugées dangereuses, dont le Conseil d'Etat dresse la liste par voie réglementaire après consultation de la commission, ainsi que les croisements issus de l'une de ces races, sont interdits sur le territoire du canton. Sur cette base, le Conseil d'Etat de la République et canton de Genève a arrêté le règlement genevois d'application de la loi sur les chiens du 27 juillet 2011 (RChiens/GE; RSGE M 3 45.01) et, à l'art. 17 de ce règlement, dressé la liste prévue par l'art. 23 al. 1 LChiens/GE. Selon l'art. 17 al. 2 let. i RChiens/GE, en relation avec l'art. 23 al. 1 LChiens, les chiens de race pitbull ou croisé avec cette race sont interdits sur le territoire genevois.
Le Chapitre VII de la LChiens/GE (art. 36 ss LChiens/GE) prévoit quant à lui des mesures et sanctions. Ainsi, selon l'art. 38 al. 1 LChiens/GE, dès réception d'une dénonciation ou d'un constat d'infraction, le département procède à l'instruction du dossier conformément à la loi genevoise du 12 septembre 1985 sur la procédure administrative (LPA/GE; RSGE E 5 10). Aux termes de l'art. 38 al. 1 LChiens/GE, le département peut séquestrer immédiatement l'animal et procéder à une évaluation générale ou faire appel à des experts, afin d'évaluer le degré de dangerosité du chien, et ce aux frais du détenteur. L'art. 38 al. 3 LChiens/GE prévoit pour sa part qu'à l'issue de la procédure, le département statue et prend, le cas échéant, les mesures prévues par la LChiens/GE. Ces mesures sont énumérées à l'art. 39 al. 1 let. a à o LChiens/GE et sont de divers ordres, en fonction de la gravité des faits reprochés. Elles vont de l'obligation de suivre des cours d'éducation canine (let. a) à l'interdiction de détenir un chien (let. o), en passant par le séquestre provisoire ou définitif du chien (let. g), le refoulement du chien dont le détenteur n'est pas domicilié sur le territoire du canton (let. h) ou son euthanasie (let. i).
Dans la présente cause, le chien du recourant est un croisement issu d'une race pitbull et donc interdit sur le territoire genevois, conformément à l'art. 23 al. 1 LChiens/GE en relation avec l'art. 17 al. 2 let. i RChiens/GE. Malgré cette interdiction, le recourant, domicilié à Genève, y a tout de même amené son animal. Constatant cette infraction et après instruction de la cause, le Service vétérinaire a ordonné le séquestre définitif du chien, fondé sur l'art. 39 al. 1 let. g LChiens/GE. C'est ce séquestre définitif qui a conduit à la restriction de la propriété du recourant, séquestre qui, comme on l'a vu, repose sur une base légale au sens formel et respecte donc l'art. 36 al. 1 Cst., ce que le recourant ne conteste d'ailleurs pas.
3.2.2. Il convient également d'admettre que le séquestre du chien en cause vise un intérêt public. L'art. 1 let. b LChiens/GE tend en particulier à assurer la sécurité publique. Or, les chiens de race pitbull ou croisés avec une telle race peuvent, en raison de leur constitution, de leur dentition, de leur force et de leur agressivité, causer de graves blessures. En raison de leur comportement, ils peuvent en outre facilement être dressés pour être agressifs et une mauvaise prise en charge par leur détenteur peut s'avérer dévastatrice (<ref-ruling> consid. 4.3.1 p. 7). Afin de protéger la population, il existe ainsi un intérêt public à séquestrer les chiens de race pitbull ou croisés avec une telle race, interdits sur le territoire genevois (cf. <ref-ruling> consid. 5.4.1 p. 14). Le recourant ne le conteste pas non plus. Il se plaint avant tout de la proportionnalité de la mesure.
3.2.3. Pour être conforme au principe de la proportionnalité (art. 36 al. 3 Cst.), une restriction d'un droit fondamental doit être apte à atteindre le but visé, lequel ne peut pas être obtenu par une mesure moins incisive; il faut en outre qu'il existe un rapport raisonnable entre les effets de la mesure sur la situation de la personne visée et le résultat escompté du point de vue de l'intérêt public (<ref-ruling> consid. 5.6.3 p. 412 et les références).
Le recourant estime en particulier que la mesure prononcée à son encontre n'est pas nécessaire pour atteindre le but visé, c'est-à-dire qu'elle ne constitue pas la mesure la moins incisive, faisant notamment référence à l'art. 39 al. 1 LChiens/GE et à la liste des diverses mesures à disposition de l'autorité. Il propose un renvoi de son chien auprès de sa mère au Portugal, pays où, à terme, il irait le retrouver. Certes, une telle mesure ne fait pas partie de la liste arrêtée par le législateur cantonal à l'art. 39 al. 1 LChiens/GE. Toutefois, le principe de proportionnalité n'exclut pas de prendre une mesure qui ne serait pas prévue par le législateur, lorsque celle-ci est moins incisive que les mesures légales (cf. <ref-ruling> consid. 9.1 p. 196 s.). La solution proposée par le recourant, détenteur de l'animal, de se séparer de son chien est effectivement moins incisive que celle ordonnée par le Service vétérinaire et confirmée par la Cour de justice, puisqu'elle lui permet de garder un contact avec son chien, lors de visites dans son pays d'origine (cf. dans ce sens arrêt 2C_1070/2015 du 26 septembre 2016 consid. 2.4.2). Elle est en outre apte et permet de ménager aussi bien les intérêts du recourant que ceux de la collectivité, car en ramenant son animal au Portugal, le recourant met fin à la situation illicite consistant à détenir un chien dangereux sur le territoire cantonal genevois. Partant, il convient d'autoriser le recourant à agir dans ce sens. Néanmoins, afin de s'assurer que ce renvoi sera effectif, le Service vétérinaire veillera à poser des conditions strictes au recourant, pour que celui-ci démontre à cette autorité que l'animal est nouvellement détenu au Portugal. Par ailleurs, lors de la remise du chien au recourant, le Service vétérinaire s'assurera que la mesure sera exécutée dans les plus brefs délais. A défaut, ou si la présence du chien devait à nouveau être constatée sur le territoire cantonal, le Service vétérinaire pourrait prendre d'autres mesures, plus contraignantes.
3.3. La mesure prononcée par le Service vétérinaire et confirmée par la Cour de justice, si elle est certes fondée sur une base légale formelle et répond à un intérêt public, est cependant disproportionnée en lien avec la solution proposée par le détenteur du chien. Il convient par conséquent d'admettre le recours et d'enjoindre le Service vétérinaire de remettre l'animal au recourant, conformément à ce qui a été exposé ci-avant.
4.
Sur le vu de ce qui précède, il n'est pas perçu de frais judiciaires (art. 66 al. 1 et 4 LTF). La demande d'assistance judiciaire est sans objet. Le recourant a en outre droit à une indemnité de partie, à charge du canton de Genève (<ref-law>). La cause est renvoyée à la Cour de justice pour qu'elle procède à une nouvelle répartition des frais et dépens de la procédure qui s'est déroulée devant elle (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. L'arrêt de la Cour de justice du 30 octobre 2018 est annulé et la cause est transmise au Service vétérinaire pour qu'il procède dans le sens des considérants.
2.
La demande d'assistance judiciaire est sans objet.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le canton de Genève versera au recourant la somme de 2'000 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
5.
La cause est renvoyée à la Cour de justice, afin qu'elle statue à nouveau sur le sort des frais et dépens de la procédure devant elle.
6.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service de la consommation et des affaires vétérinaires et à la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève, ainsi qu'à l'Office fédéral de la sécurité alimentaire et des affaires vétérinaires.
Lausanne, le 13 mai 2019
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Tissot-Daguette