Sachverhalt:
A.
A.a. Die A._ AG (Beklagte, Beschwerdeführerin) ist eine Aktiengesellschaft mit Sitz in U._. Ihr Aktienkapital von Fr. 150'000.-- ist in 150 Namenaktien zu je Fr. 1'000.-- gestückelt. Aktionäre sind B.B._ (Klägerin, Beschwerdegegnerin; 30 Aktien) sowie ihre Kinder C.B._ (40 Aktien) und D.B._ (40 Aktien), ferner die Personalfürsorgestiftung der A._ AG (40 Aktien).
Dem Verwaltungsrat der A._ AG gehörten bis am 1. November 2019 C.B._ (Präsidentin), B.B._ und D.B._ an, alle mit Kollektivzeichnungsberechtigung zu zweien.
Die Personalfürsorgestiftung der A._ AG ist patronal konstituiert. Der Stiftungsrat ist nicht paritätisch mit Vertretern der Arbeitgeberin und der Arbeitnehmer besetzt, sondern wird vom Verwaltungsrat der A._ AG bestimmt. Zurzeit gehören C.B._ (Präsidentin mit Stichentscheid) und D.B._ dem Stiftungsrat an.
A.b. Am 23. Oktober 2019 lud C.B._ auf den 1. November 2019, 14 Uhr, zu einer ausserordentlichen Generalversammlung der A._ AG ein. Als Traktanden waren insbesondere vorgesehen:
- Antrag auf Abwahl von D.B._ aus dem Verwaltungsrat;
- Antrag auf Abwahl von C.B._ aus dem Verwaltungsrat;
- Neuwahl von Verwaltungsratsmitgliedern.
A.c. Am 1. November 2019 um 00.22 Uhr berief C.B._ per E-Mail an D.B._ auf den gleichen Tag, 13.30 Uhr, eine Sitzung des Stiftungsrats der Personalfürsorgestiftung ein. An dieser Sitzung nahmen einzig C.B._ als Stiftungsratsmitglied und Rechtsanwalt C._ als (nicht dem Stiftungsrat angehörender) Protokollführer teil. Gemäss Protokoll stellte C.B._ den Antrag, "dass die Stiftung ihre Stimmrechte als Aktionärin anlässlich der heutigen Generalversammlung ausübt und die Präsidentin des Stiftungsrats die Stiftung entsprechend vertritt". Dieser Antrag wurde laut Protokoll angenommen.
A.d. An der folgenden ausserordentlichen Generalversammlung der A._ AG stimmte C.B._ nicht nur mit ihren eigenen 40 Aktien, sondern auch mit den 40 Aktien der Stiftung ab (zusammen 80 Stimmen). An der Generalversammlung nahmen ferner B.B._ und D.B._ teil (zusammen 70 Stimmen). Folgende Abstimmungsergebnisse wurden protokolliert:
- Ablehnung der Abwahl von C.B._ aus dem Verwaltungsrat mit 80 zu 70 Stimmen;
- Neuwahl von D._ in den Verwaltungsrat mit 80 zu 70 Stimmen;
- Neuwahl von Rechtsanwalt E._ in den Verwaltungsrat mit 80 zu 70 Stimmen;
- Neuwahl von Rechtsanwalt C._ in den Verwaltungsrat mit 80 zu 70 Stimmen.
B.B._ und D.B._ protestierten gegen die Stimmrechtsausübung durch C.B._ für die Personalfürsorgestiftung.
A.e. Im Anschluss an die Generalversammlung wurde (ebenfalls am 1. November 2019) eine Verwaltungsratssitzung durchgeführt. Es nahmen neben B.B._, D.B._ und C.B._ auch die Rechtsanwälte C._ und E._ teil (D._ war abwesend).
B.B._ und D.B._ protestierten gegen diese Zusammensetzung.
C.B._ sowie die Rechtsanwälte C._ und E._ beschlossen jeweils mit den Gegenstimmen von B.B._ und D.B._ eine Änderung der Vertretungsbefugnisse: C.B._ wurde die Berechtigung zur Einzelunterschrift verliehen, D.B._ die Kollektivzeichnungsberechtigung entzogen und den drei neu gewählten Verwaltungsratsmitgliedern je die Berechtigung zur Kollektivunterschrift zu zweien eingeräumt. Ausserdem wurde der Antrag von C.B._ auf fristlose Kündigung des Arbeitsverhältnisses mit D.B._ von dieser selbst und den neu gewählten Verwaltungsratsmitgliedern angenommen. B.B._ sprach sich explizit dagegen aus.
A.f. Um die Eintragung der Beschlüsse vom 1. November 2019 in das Handelsregister zu verhindern, erwirkte B.B._ in der Folge eine Handelsregistersperre.
A.g. Am 28. November 2019 fand erneut eine Verwaltungsratssitzung statt. An dieser Sitzung wurde Rechtsanwalt C._ ermächtigt, die A._ AG im handelsgerichtlichen Verfahren HE190445-O zu vertreten. B.B._ trat bei dieser Abstimmung in den Ausstand.
B.
B.a. Bereits am 11. November 2019 hatte B.B._ beim Handelsgericht des Kantons Zürich ein Gesuch um vorsorgliche Massnahmen eingegeben (Verfahren HE190445-O). Mit Verfügung vom 15. Januar 2020 hiess die Einzelrichterin am Handelsgericht das Gesuch gut und wies das Handelsregisteramt des Kantons Zürich an, die Handelsregistersperre aufrecht zu erhalten.
B.b. Am 30. Dezember 2019 reichte B.B._ beim Handelsgericht Klage mit folgenden materiellen Rechtsbegehren ein:
1. Es sei festzustellen, dass die protokollierte Zählweise der im Rahmen der ausserordentlichen Generalversammlung der Beklagten vom 1. November 2019 gefassten Beschlüsse fehlerhaft ist, und dass die Beschlüsse wie folgt zustande gekommen sind:
a) Abwahl von C.B._ aus dem Verwaltungsrat mit 70 zu 40 Stimmen;
b) Ablehnung der Neuwahl von D._ in den Verwaltungsrat mit 70 zu 40 Stimmen;
c) Ablehnung der Neuwahl von Rechtsanwalt E._ in den Verwal tungsrat mit 70 zu 40 Stimmen;
d) Ablehnung der Neuwahl von Rechtsanwalt C._ in den Verwal tungsrat mit 70 zu 40 Stimmen.
2. Eventuell (zu Ziff. 1) : Alle im Rahmen der ausserordentlichen Generalversammlung der Beklagten vom 1. November 2019 gefassten Beschlüsse seien aufzuheben und ungültig zu erklären.
3. Es sei festzustellen, dass die im Rahmen der Verwaltungsratssitzungen der Beklagten vom 1. November 2019 und vom 29. November 2019[recte wohl: 28. November 2019] gefassten Beschlüsse ungültig (nichtig) sind. Dies betrifft insbesondere:
a) Erteilung einer E i nzelzeichnungsberechtigung an C.B._;
b) Erteilung der kollektiven Zeichnungsberechtigung an Rechtsanwalt C._, Rechtsanwalt E._ und D._;
c) E n tzug der kollektiven Zeichnungsberechtigung von D.B._.
Mit Beschluss und Urteil vom 18. Mai 2021 trat das Handelsgericht auf die Rechtsbegehren 1b, c und d sowie teilweise auch auf Rechtsbegehren 3 nicht ein. Im Übrigen erkannte es was folgt:
1. In Gutheissung von Rechtsbegehren 1a wird festgestellt, dass die proto kollierte Zählweise des an der ausserordentlichen Generalversammlung der Beklagten vom 1. November 2019 gefassten Beschlusses betreffend Abwahl von C.B._ aus dem Verwaltungsrat fehlerhaft ist und dass der Beschluss wie folgt zustande gekommen ist: Abwahl von C.B._ aus dem Verwaltungsrat mit 70 zu 40 Stimmen.
2. (Eventual-) Rechtsbegehren 2 wird in Bezug auf die Beschlüsse der aus serordentlichen Generalversammlung der Beklagten vom 1. November 2019 betreffend Neuwahl von D._, Rechtsanwalt E._ und Rechtsanwalt C._ in den Verwaltungsrat gutgeheissen und die vorgenannten Beschlüsse werden ex tunc aufgehoben und ungültig erklärt.
3. Es wird festgestellt, dass die an der Verwaltungsratssitzung der Beklagten vom 1. November 2019 gefassten Beschlüsse betreffend Erteilung einer Einzelzeichnungsberechtigung an C.B._; Erteilung der kollektiven Zeichnungsberechtigung an Rechtsanwalt C._, Rechtsanwalt E._ und D._; Entzug der kollektiven Zeichnungsberechtigung von D.B._ und fristlose Kündigung von D.B._ nichtig sind.
Weiter wird festgestellt, dass der an der Verwaltungsratssitzung der Be klagten vom 28. November 2019 gefasste Beschluss betreffend Mandatierung von Rechtsanwalt C._ für das Verfahren HE190445-O nichtig ist.
C.
Die A._ AG verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Handelsgerichts sei aufzuheben und die Klage sei abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin begehrt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Handelsgericht verzichtete auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil des Handelsgerichts ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer einzigen kantonalen Instanz im Sinne von <ref-law>. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in Zivilsachen offen, gemäss <ref-law> unabhängig vom Streitwert (<ref-ruling> E. 1.2; siehe auch <ref-ruling> E. 1.1, 2 E. 1.2.2 S. 5).
1.2. Die dem Bundesgericht eingereichte Beschwerdeschrift ist von Rechtsanwalt C._ unterzeichnet, unter Beilage einer namens der Beschwerdeführerin am 28. November 2019 signierten Vollmacht. Dem vorinstanzlichen Urteil zufolge ist der Verwaltungsratsbeschluss vom 28. November 2019 betreffend die Mandatierung von Rechtsanwalt C._ nichtig. Es stellt sich daher die Frage nach seiner Vertretungsbefugnis (siehe dazu Urteil 4A_93/2015 vom 22. September 2015 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Nachdem diese von der Gültigkeit der Generalversammlungs- und Verwaltungsratsbeschlüsse abhängt, die ihrerseits Gegenstand des vorinstanzlichen und nun auch des bundesgerichtlichen Verfahrens bildet, ist auf die Beschwerde praxisgemäss einzutreten und sie materiell zu entscheiden (vgl. Urteil 4A_454/2018 vom 5. Juni 2019 E. 1.4.2).
2.
Die Beschwerdeführerin wirft verschiedene Auslegungsfragen auf: Einerseits geht es um die Frage, ob das Stimmrecht analog <ref-law> ruht, wenn eine patronale Personalfürsorgestiftung Aktien einer Gesellschaft hält, von der sie beherrscht wird (Erwägungen 3-5). Andererseits stehen die möglichen Rechtsfolgen der aktienrechtlichen Stimmrechtsklage zur Diskussion (Erwägung 6).
Die entsprechenden Normen sind auszulegen (siehe zu den Rechtsfindungselementen im Einzelnen etwa <ref-ruling> E. 5; <ref-ruling> E. 6.6; <ref-ruling> E. 4.4.1; Urteil 4A_50/2021 vom 6. September 2021 E. 2.3.3.1, zur Publikation vorgesehen). Dabei befolgt das Bundesgericht einen pragmatischen Methodenpluralismus und lehnt es ab, die einzelnen Auslegungselemente einer Prioritätsordnung zu unterstellen. Erweist sich eine Regelung als unvollständig, liegt nach herkömmlicher Praxis eine Lücke vor. Diese ist vom Gericht zu füllen, wenn der Gesetzgeber etwas zu regeln unterlassen hat, was er hätte regeln sollen (vgl. <ref-ruling> E. 3.4.1; <ref-ruling> E. 2.1 mit weiteren Hinweisen). Ist ein lückenhaftes Gesetz zu ergänzen, gelten als Massstab die dem Gesetz selbst zugrunde liegenden Zielsetzungen und Werte (<ref-ruling> E. 3.1 S. 429; <ref-ruling> E. 2.2). Ein Hilfsmittel bei der Rechtsanwendung kann der Analogieschluss sein, das heisst die Anwendung einer Gesetzesbestimmung auf einen Sachverhalt, der von dieser nicht ausdrücklich erfasst wird. Dies setzt voraus, dass der Grundgedanke der Bestimmung auch für den nicht geregelten Fall zutrifft (<ref-ruling> E. 3).
3.
3.1. Wirken Personen, die zur Teilnahme an der Generalversammlung nicht befugt sind, bei einem Beschluss mit, so kann jeder Aktionär, auch wenn er nicht Einspruch erhoben hat, diesen Beschluss anfechten, sofern die beklagte Gesellschaft nicht nachweist, dass diese Mitwirkung keinen Einfluss auf die Beschlussfassung ausgeübt hatte (<ref-law>).
Das Ruhen des Stimmrechts eigener Aktien nach <ref-law> ist eine gesetzliche Stimmrechtsbeschränkung, deren Missachtung einen Anfechtungsgrund nach <ref-law> bilden kann.
3.2. Vorliegend ist umstritten, ob dies auch dann gilt, wenn es nicht um das Stimmrecht eigener Aktien geht, sondern wenn eine patronale Personalfürsorgestiftung Aktien der Gesellschaft hält.
3.2.1. Die Vorinstanz folgte der Auffassung der Beschwerdegegnerin, wonach die Vertretung der 40 Aktien der Personalfürsorgestiftung durch C.B._ an der Generalversammlung vom 1. November 2019 den Anfechtungsgrund von <ref-law> erfülle. Die Personalfürsorgestiftung (der Beschwerdeführerin) werde vom Verwaltungsrat (der Beschwerdeführerin) beherrscht. Die 40 Aktien, welche die Personalfürsorgestiftung an der Beschwerdeführerin halte, gäben daher - analog zum Erwerb eigener Aktien beziehungsweise zum Erwerb von Aktien der Mutter- durch die Tochtergesellschaft - kein Stimmrecht. Dennoch habe C.B._ anlässlich der Generalversammlung für die Personalfürsorgestiftung abgestimmt und damit einen Anfechtungsgrund im Sinne von <ref-law> gesetzt. Ohne die mit den betreffenden 40 Aktien verbundenen Stimmen wären die Abstimmungsergebnisse - so schlossen das Handelsgericht und die Beschwerdegegnerin - anders ausgefallen: Statt ein Verhältnis von 80 zu 70 Stimmen im Sinne von C.B._ hätte ein Verhältnis von 40 zu 70 Stimmen zu ihren Ungunsten resultiert.
3.2.2. Die Beschwerdeführerin bestreitet das Vorliegen einer gesetzlichen Grundlage, welche es einer Personalfürsorgestiftung verbiete, das Stimmrecht der von ihr gehaltenen Aktien auszuüben. Die Stiftung stehe - anders als eine Tochtergesellschaft - nicht im Eigentum der Muttergesellschaft, sondern werde staatlich beaufsichtigt. Der Stiftungsrat sei stiftungsrechtlich dazu verpflichtet, das Stiftungsvermögen im Rahmen des Stifterwillens sorgfältig zu verwalten und dementsprechend auch die Aktionärsrechte auszuüben. Die Stiftung, vertreten durch C.B._, sei zur Teilnahme an der Generalversammlung folglich befugt und zur Stimmabgabe berechtigt gewesen.
4.
4.1. Gemäss <ref-law> darf die Gesellschaft eigene Aktien nur dann erwerben, wenn frei verwendbares Eigenkapital in der Höhe der dafür nötigen Mittel vorhanden ist und der gesamte Nennwert dieser Aktien 10 Prozent des Aktienkapitals nicht übersteigt (Abs. 1). Werden im Zusammenhang mit einer Übertragbarkeitsbeschränkung Namenaktien erworben, so beträgt die Höchstgrenze 20 Prozent (Abs. 2 Satz 1).
<ref-law> hält fest, dass das Stimmrecht und die damit verbundenen Rechte eigener Aktien ruhen.
Diese Bestimmungen haben nicht den gleichen Hintergrund: Während <ref-law> in erster Linie im Dienste des Kapitalschutzes steht, bezweckt <ref-law> vordringlich die Wahrung des Bestimmungsrechts der Generalversammlung (siehe Erwägung 5.2.1).
4.2. Das Gleiche gilt aufgrund des später im Gesetz eingefügten <ref-law> im Fall einer Mehrheitsbeteiligung einer Gesellschaft an ihrer Tochtergesellschaft: Ist eine Gesellschaft an Tochtergesellschaften mehrheitlich beteiligt, so gelten gemäss Abs. 1 dieser Bestimmung für den Erwerb ihrer Aktien durch diese Tochtergesellschaften die gleichen Einschränkungen und Folgen wie für den Erwerb eigener Aktien.
Im Rahmen der am 19. Juni 2020 beschlossenen Revision des Aktienrechts ist diese Bestimmung neu gefasst worden. Nun lautet sie:
Kontrolliert eine Gesellschaft ein oder mehrere Unternehmen (Art. 963), so gelten für den Erwerb ihrer Aktien durch diese Unternehmen die Vor aussetzungen, Einschränkungen und Folgen wie für den Erwerb eigener Aktien sinngemäss.
"Materiell" - so führte der Bundesrat aus - ändere sich gegenüber dem geltenden Recht "nichts" (Botschaft vom 23. November 2016 zur Änderung des Obligationenrechts [Aktienrecht], BBl 2017 521 zu <ref-law>; anders hingegen HANS CASPAR VON DER CRONE, Aktienrecht, 2. Aufl. 2020, Rz. 567 S. 290 und Rz. 572 S. 292, der darin eine "substanzielle Verschärfung" im Vergleich zur bisherigen Rechtslage sieht).
5.
5.1. Im vorliegenden Fall geht es nicht um eine Mehrheitsbeteiligung an einer Tochtergesellschaft, sondern um das Halten von Aktien durch eine Personalfürsorgestiftung, welche von der Aktiengesellschaft beherrscht wird: Der Stiftungsrat wird vom Verwaltungsrat der Beschwerdeführerin bestimmt. C.B._ und D.B._ sind Verwaltungsratsmitglieder der Beschwerdeführerin und gleichzeitig alleinige Stiftungsratsmitglieder. Erstere ist zudem Präsidentin beider Räte und verfügt über den Stichentscheid im (zweiköpfigen) Stiftungsrat (Sachverhalt Bst. A.a). Es fragt sich, ob die Personalfürsorgestiftung unter diesen Umständen die mit den von ihr gehaltenen Aktien verbundenen Stimmrechte in der Generalversammlung der Beschwerdeführerin ausüben durfte.
5.2.
5.2.1. Die Personalfürsorgestiftung ist eine eigenständige juristische Person (vgl. auch <ref-law> und <ref-law>). Sie hat eine eigene finanzielle Grundlage (vgl. <ref-law>). Ihre Mittelverwendung ist gebunden durch die Zwecke der Stiftung und sie untersteht staatlicher Aufsicht, hier der BVG- und Stiftungsaufsicht des Kantons Zürich. Diese Aspekte betont die Beschwerdeführerin zu Recht. In der Tat ist eine Personalfürsorgestiftung in dieser Hinsicht nicht zu vergleichen mit einer (Tochter-) Gesellschaft, deren Aktien im Eigentum der Muttergesellschaft stehen. Für diese stellt das Gesetz denn auch die Erwerbsschranken (Höchstgrenzen, Eigenkapitalvorschriften) nach Art. 659b Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law> auf, damit die Bestimmungen zum Schutz des Gesellschaftskapitals und namentlich zur Verhinderung der Aushöhlung der Gesellschaft nicht durch Zwischenschaltung von Tochtergesellschaften umgangen werden.
Hier geht es aber nicht um den Kapitalschutz, sondern um die Willensbildung in der Generalversammlung. Das in <ref-law> vorgeschriebene Ruhen des Stimmrechts bezweckt, die "Gefahr der Konzentration von Macht ohne Risiko" beim Verwaltungsrat zu verhindern (Botschaft vom 23. Februar 1983 über die Revision des Aktienrechts, BBl 1983 II 807). Die Regel ist - wie schon ihre Vorgängerbestimmungen in aArt. 659 Abs. 1 OR [eingefügt 1936] und Art. 628 aOR/1881 - auf die Erwägung zurückzuführen, dass sich aus dem Erwerb eigener Aktien "eine unzulässige Beeinflussung der Stimmrechtsverhältnisse in der Generalversammlung durch die Gesellschaftsorgane ergeben" kann (grundlegend bereits BGE 43 II 293 E. 2 S. 298; bestätigt dann in <ref-ruling> E. 2a und in <ref-ruling> E. 4d/aa S. 297). Dieser Schutzgedanke gilt unabhängig vom Erwerbsverbot: Auch wo dieses nicht greift (etwa bis zur Grenze von 10 % beziehungsweise 20 % des Aktienkapitals), muss die Entschlussfreiheit der Generalversammlung sichergestellt sein und sind die Stimmrechte suspendiert. Denn in der Generalversammlung üben die Aktionäre ihre Herrschaftsrechte aus und hier soll ausschliesslich von ihnen, nicht von den Gesellschaftsorganen, über die Geschicke der Gesellschaft entschieden werden (BGE 72 II 275 E. 3 S. 283 f.). Folglich kann es auch in der vorliegenden Konstellation nicht auf die formale Trennung der Gesellschaft und der Personalfürsorgestiftung als deren Aktionärin ankommen.
Entscheidend ist vielmehr das zwischen ihnen bestehende Abhängigkeitsverhältnis. Ist die Personalfürsorgestiftung derart von der Gesellschaft beherrscht, dass ihr dieser gegenüber kein selbständiger Wille zukommt, so ist der Gesellschaft die Verfügungsgewalt über die im Eigentum der Personalfürsorgestiftung befindlichen Aktien gegeben (siehe BGE 72 II 275 E. 3 S. 285). Der damit verbundene Einfluss des Verwaltungsrats auf die Entscheide der Generalversammlung ist eine Konsequenz, die der Gesetzgeber mit <ref-law> gerade zu verhindern suchte.
Sie liefe auch der innergesellschaftlichen Kompetenzverteilung zuwider, weil der Verwaltungsrat qua seines Stiftungsamtes Befugnisse ausüben würde, welche das Gesetz in unübertragbarer Weise der Generalversammlung zuteilt (Art. 698 in Verbindung mit <ref-law>).
Zu bedenken ist schliesslich ein Letztes: Nimmt eine Aktionärsmehrheit indirekt über den von ihr bestellten Verwaltungsrat auf die Stimmrechte der von der Gesellschaft kontrollierten patronalen Personalfürsorgestiftung Einfluss, wachsen ihr im Ergebnis - bei gleichem Kapitaleinsatz - Stimmrechte an. Dies kann insbesondere zur Folge haben, dass Beschlussquoren (vgl. <ref-law>) erreicht werden, obwohl dies nach den tatsächlichen Machtverhältnissen in der Generalversammlung nicht der Fall wäre. Der gesetzlich (und allenfalls statutarisch) vorgesehene Minderheitenschutz würde damit unterlaufen.
Aus diesen Gründen drängt sich in der vorliegenden Konstellation eine analoge Anwendung von <ref-law> (ruhendes Stimmrecht) auf.
Auch das Schrifttum spricht sich für einen Stimmrechtsausschluss in derartigen Verhältnissen aus (PETER BÖCKLI, Schweizer Aktienrecht, 4. Aufl. 2009, § 12 Rz. 447; FORSTMOSER/MEIER-HAYOZ/NOBEL, Schweizerisches Aktienrecht, 1996, § 24 Rz. 88c; CHRISTOF HELBLING, Mitarbeiteraktien und Mitarbeiteroptionen in der Schweiz, 2. Aufl. 2003, S. 281 f.; KARL HOFSTETTER, Erwerb und Wiederveräusserung eigener Aktien, in: Aktienrecht 1992-1997: Versuch einer Bilanz, Zum 70. Geburtstag von Rolf Bär, 1998, S. 142; LENZ/VON PLANTA, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht II, 5. Aufl. 2016, N. 2e zu <ref-law>; RITA TRIGO TRINDADE, in: Commentaire romand, Code des obligations II, 2. Aufl. 2017, N. 34 zu <ref-law>; DIETER ZOBL, Rechtliche Probleme im Zusammenhang mit der Schaffung von Vorratsaktien, SZW 1991, S. 16; wohl auch LUKAS HANDSCHIN, in: Zürcher Kommentar, 2. Aufl. 2016, N. 110 f. zu Art. 659-659b OR; anders noch HAROLD GRÜNINGER, Die Unternehmensstiftung in der Schweiz, 1984, S. 54 f.; vgl. aus der kantonalen Rechtsprechung etwa Urteil des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 6. Februar 1995, in: SJZ 1995, S. 200; siehe allgemein schliesslich PETER NOBEL, Vom Umgang mit eigenen Aktien, 1994, S. 28 f.; grundlegend zu alledem: WERNER V. STEIGER, Die Rechtsverhältnisse der Holdinggesellschaften in der Schweiz, ZSR 1943, S. 321a).
5.2.2. Dass die Personalfürsorgestiftung im hier zu beurteilenden Fall von der Beschwerdeführerin und deren Verwaltungsratsmitgliedern beherrscht wird, ist angesichts der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen ausgewiesen. Die Beschwerdeführerin stellt denn auch nicht in Abrede, dass sie alle Stiftungsratsmitglieder stellt (oder zumindest bestellt) und dass (teilweise) Personalunion besteht zwischen den Mitgliedern von Verwaltungs- und Stiftungsrat. Sie betont, dass die Stiftung staatlicher Aufsicht unterstehe und der Stiftungsrat dem Stifterwillen sowie dem Stiftungszweck verpflichtet sei. Dies allein löst das Abhängigkeitsverhältnis und die Möglichkeit zur Einflussnahme jedoch nicht. Es würde den wirtschaftlichen Gegebenheiten nicht gerecht, in Konstellationen patronaler Stiftungsorganisation und personeller Verquickung der Entscheidungsträger - wie sie vorliegend gegeben sind - der Stiftung einen von der Aktiengesellschaft autonomen Willen zuzugestehen. Auf den Umstand, dass C.B._ als Stiftungsratspräsidentin im konkreten Fall nur das Beste für die Stiftung im Sinne gehabt haben will (sie habe nämlich verhindern wollen, dass sich ihr Bruder D.B._ am Vermögen der Beschwerdeführerin persönlich bereichere), kann es deshalb nicht ankommen.
5.2.3. Eine andere Beurteilung würde jedenfalls voraussetzen, dass durch adäquate organisatorische Massnahmen gewährleistet wird, dass der Stiftungsrat von der Aktiengesellschaft effektiv und dauernd unabhängig ist (siehe BÖCKLI, a.a.O., § 12 Rz. 448). Im vorliegenden Fall liegt ein "Anlagereglement" der Stiftung im Recht. Dieses schreibt in Ziffer 1.6 unter anderem vor, dass der Stiftungsrat "im Normalfall auf die Ausübung der Aktionärsrechte" verzichte, "im Einzelfall" auf Antrag eines Mitglieds aber davon abgewichen werden könne. Diese Regel stellt die Unabhängigkeit des Stiftungsrats nicht sicher.
5.2.4. Die aufgeworfene Rechtsfrage wird demnach wie folgt beantwortet:
Hält eine patronale Personalfürsorgestiftung Aktien der Gesellschaft, von der sie beherrscht wird, ruht das aus diesen Aktien fliessende Stimmrecht, sofern nicht mit geeigneten strukturellen Massnahmen sichergestellt ist, dass der Stiftungsrat effektiv und dauernd unabhängig agiert.
5.3. Die Vorinstanz hat folglich zu Recht erkannt, dass die betreffenden Aktien im Stimmrecht eingestellt sind. Dennoch hat C.B._ das Stimmrecht ausgeübt. Wären diese 40 Stimmen nicht mitgezählt worden, hätten umgekehrte Abstimmungsergebnisse resultiert: statt 80 zu 70 jeweils 40 zu 70 Stimmen. Der Antrag auf Abwahl von C.B._ wäre angenommen, die Anträge auf Wahl der neuen Verwaltungsratsmitglieder wären abgelehnt worden. Die unbefugte Mitwirkung war demnach kausal für die Beschlussfassung im Sinne von <ref-law> in fine.
6.
6.1. Dies hat zur Konsequenz, dass jeder Aktionär die betreffenden Generalversammlungsbeschlüsse mit Stimmrechtsklage "anfechten" kann (<ref-law>; "attaquer", "contestare"). Es handelt sich um eine Gestaltungsklage (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.1; <ref-ruling> E. 2 S. 281; je mit Hinweisen), mit welcher in erster Linie die Aufhebung der jeweiligen Beschlüsse erwirkt werden kann (vgl. <ref-law>; "annulation", "annullamento"). Entsprechend hat die Vorinstanz jene Beschlüsse für ungültig erklärt, welche auf Wahl von D._, Rechtsanwalt E._ und Rechtsanwalt C._ lauteten (Urteilsdispositiv-Ziffer 2).
6.2. Hinsichtlich der beantragten Abwahl von C.B._ erweist sich dieses Instrument, soweit es einzig die Aufhebung eines Generalversammlungsbeschlusses ermöglicht, als untauglich. Aufgrund der unbefugten Mitwirkung der Personalfürsorgestiftung ist die Ablehnung des Antrags auf Abwahl protokolliert worden, das korrekte Beschlussergebnis würde hingegen auf Annahme des Antrags lauten. Die blosse Aufhebung des betreffenden Beschlusses führt für die Beschwerdegegnerin nicht zum Ziel, bliebe C.B._ doch Mitglied des Verwaltungsrats. Das rechtmässige Ergebnis kann durch blosse Aufhebung nicht hergestellt werden: Im Ergebnis gälte der Antrag als nicht angenommen, obwohl er ohne die unbefugte Teilnahme an der Abstimmung angenommen worden wäre.
Die herrschende Lehre anerkennt daher die sogenannte positive Beschlussfeststellungsklage. Mit dieser wird über die kassatorische Wirkung der Ungültigkeitserklärung hinaus verlangt, den rechtmässigen Beschlussinhalt klarzustellen, das heisst im Regelfall auf gerichtliche Feststellung der Annahme anstelle der protokollierten Ablehnung eines Antrags zu erkennen (siehe BGE <ref-ruling> E. 3c/bb mit Hinweisen auf das Schrifttum; aus der neueren Lehre: BÖCKLI, a.a.O., § 12 Rz. 500a; BOHRER/KUMMER, in: Zürcher Kommentar, 2. Aufl. 2021, N. 54 zu <ref-law>; BÜHLER/VON DER CRONE, Positive Beschlussfeststellungsklage, SZW 2014, S. 571 f.; DUBS/TRUFFER, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht II, 5. Aufl. 2016, N. 4a zu <ref-law> und N. 9c zu <ref-law>; A NDREAS LÄNZLINGER, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht II, 5. Aufl. 2016, N. 14 zu <ref-law>; PATRICK SCHLEIFFER, Der gesetzliche Stimmrechtsausschluss im schweizerischen Aktienrecht, 1993, S. 312 f.; SCHWANDER/DUBS, Die positive Beschlussfeststellungsklage im Aktienrecht, in: Aktienrecht 1992-1997: Versuch einer Bilanz, Zum 70. Geburtstag von Rolf Bär, 1998, S. 343-361, insb. S. 354-358; TRIGO TRINDADE, a.a.O., N. 32 zu <ref-law>; siehe ferner HANS MICHAEL RIEMER, Anfechtungs- und Nichtigkeitsklage im schweizerischen Gesellschaftsrecht, 1998, Rz. 320-324 S. 149 f., und mit einlässlicher dogmatischer Begründung MIGUEL SOGO, Gestaltungsklagen und Gestaltungsurteile des materiellen Rechts und ihre Auswirkungen auf das Verfahren, 2007, S. 150 f. und 158 f.; dagegen: STEFAN KNOBLOCH, Das System zur Durchsetzung von Aktionärsrechten, 2011, S. 138-143).
Ziel dieser positiven Beschlussfeststellungsklage ist es, einen rechtmässigen Beschluss an die Stelle des rechtswidrig zustande gekommenen zu setzen. Demzufolge ist sie ihrem Wesen nach nicht Feststellungs-, sondern Gestaltungsklage, gerichtet auf die Herstellung des rechtmässigen Beschlussergebnisses, auf die Änderung des Beschlussinhalts und damit auf eine gerichtliche Neuordnung der gesellschaftlichen Rechtslage (siehe BGE <ref-ruling> E. 3c/bb S. 285).
6.3. Das Bundesgericht hat die Zulässigkeit dieser Klage bisher offengelassen (BGE <ref-ruling> E. 3c/bb S. 285; 75 II 149 E. 2b S. 154 am Ende; Urteile 4A_188/2020 vom 3. September 2020 E. 4; 4A_48/2014 vom 2. Juni 2014 E. 3.1; 4P.22/2000 vom 28. März 2000 E. 3b/cc; in diesem Sinn befürwortet für den Fall eines Beschlusses der Ersten Gläubigerversammlung: Urteil 5A_345/2018 vom 8. August 2019 E. 3.2.4).
6.4. Die Zivilprozessordnung regelt die Gestaltungsklage ("l'action formatrice"; "l'azione costitutiva") in Art. 87. Mit ihr verlangt die klagende Partei die Begründung, Änderung oder Aufhebung eines bestimmten Rechts oder Rechtsverhältnisses. Welche Rechte oder Rechtsverhältnisse Gegenstand einer Gestaltungsklage sein können, ist indes keine Frage des Prozessrechts, sondern des materiellen Rechts (siehe BESSENICH/BOPP, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger [Hrsg.], 3. Aufl. 2016, N. 5 zu <ref-law>; FABIENNE HOHL, Procédure civile, Bd. I, 2. Aufl. 2016, Rz. 209 S. 51).
6.5. Jedenfalls in einem Fall wie dem vorliegenden ist die positive Beschlussfeststellungsklage in Form einer Gestaltungsklage statthaft:
6.5.1. Die dem Aktionär in <ref-law> gegebene Stimmrechtsklage ist ein Unterfall der allgemeinen Anfechtungsklage nach Art. 706 f. OR (BGE <ref-ruling> E. 2 S. 281). Weder am einen noch am anderen Ort äussert sich das Gesetz deutlich zur Zulässigkeit der positiven Beschlussfeststellungsklage. In <ref-law> ist von der "Anfechtung" die Rede, während <ref-law> ausdrücklich ein den Generalversammlungsbeschluss "aufhebendes" Urteil vorsieht, aber auch andere Entscheidformen zu billigen scheint.
6.5.2. Jeder Aktionär hat, auch wenn er nur eine Aktie besitzt, zum mindesten eine Stimme (<ref-law>). Generalversammlungsbeschlüsse, welche das Recht auf Teilnahme an der Generalversammlung oder dieses Mindeststimmrecht entziehen oder beschränken, sind nichtig (<ref-law>). Damit bringt das Gesetz die zentrale Bedeutung zum Ausdruck, welche dem unentziehbaren Stimmrecht des Aktionärs als Mitwirkungsrecht in Angelegenheiten der Aktiengesellschaft zukommt. Dies schliesst ein, dass die Stimme eines Aktionärs an der Generalversammlung nur anderen gültigen Stimmen anderer Aktionäre gegenübergestellt wird. Die Zulassung unbefugter Teilnehmer zur Abstimmung in der Generalversammlung entwertet das Stimmrecht. Dies waren denn auch die grundlegenden gesetzgeberischen Gedanken, welche zur Schaffung des Rechtsbehelfs in <ref-law> führten (siehe Bericht von EUGEN HUBER zuhanden des schweizerischen Justiz- und Polizeidepartements über die Revision der Titel 24 bis 33 des schweizerischen Obligationenrechts, 1920, S. 125 f.; ferner Botschaft vom 21. Februar 1928 zu einem Gesetzesentwurf über die Revision der Titel XXIV bis XXXIII des schweizerischen Obligationenrechts [nachfolgend: Botschaft 1928], BBl 1928 I 247).
Wäre das Gericht einzig befugt, ablehnende Generalversammlungsbeschlüsse (wie etwa die Ablehnung der Wahl eines Verwaltungsratsmitglieds) aufzuheben, könnte über dieses Traktandum erst anlässlich einer folgenden Generalversammlung - möglicherweise erst erhebliche Zeit später und unter veränderten Umständen, insbesondere mit allenfalls anders zusammengesetztem Aktionärskreis - abgestimmt werden. Der Zustand, der rechtmässig herausgekommen wäre, kann damit im Regelfall nicht mehr hergestellt werden (siehe B ÖCKLI, a.a.O., § 12 Rz. 500a). Dies kommt einer Vereitelung des Stimmrechts gleich. Dies kann in zerrütteten Verhältnissen besonders stossend sein, wenn der Verwaltungsrat beziehungsweise der Vorsitzende der Generalversammlung (vgl. <ref-law>) anlässlich der folgenden Generalversammlung erneut nicht korrekt zählen lässt respektive wiederum unbefugte Personen zur Stimmrechtsausübung zulässt. Räumt das Gesetz den Aktionären aber ein Stimmrecht ein, muss dieses eines ernsthaften staatlichen Schutzes teilhaftig sein. Es ist denn auch nicht einzusehen, weshalb bei der Anfechtung eines positiven Beschlussergebnisses der rechtmässige Zustand mittels Kassation hergestellt werden kann, dem Aktionär im Falle eines ablehnenden Beschlusses ein vergleichbarer Rechtsschutz indes versagt sein soll (siehe BÜHLER/VON DER CRONE, a.a.O., S. 571). Ferner ist auf Folgendes hinzuweisen: Nach <ref-law> ist jeder Aktionär befugt, gegen die Teilnahme unberechtigter Personen vor oder in der Generalversammlung Einspruch zu erheben. Über den Einspruch entscheidet der Verwaltungsrat beziehungsweise der Vorsitzende der Generalversammlung; der Gesetzgeber hat ausdrücklich von einer Intervention des Gerichts in diesem Stadium abgesehen, mit dem Hinweis auf das "vorbehaltlose Recht zur Anfechtung eines unter Mitwirkung unberechtigter Personen zustande gekommenen Beschlusses" (Botschaft 1928, BBl 1928 I 247). Sind somit den Wirkungen des Einspruchs Grenzen gesetzt, muss zumindest die Anfechtung einen effektiven Rechtsschutz sicherstellen. Dieser ist allein mit der positiven Beschlussfeststellungsklage gewährleistet. Der von der Beschwerdeführerin erhobene Einwand, <ref-law> sehe "lediglich die Aufhebung des Beschlusses vor, nicht jedoch eine positive Anordnung", greift zu kurz und übergeht namentlich die fundamentale Bedeutung, die dem unentziehbaren Stimmrecht der übrigen (befugterweise anwesenden) Aktionäre zukommt. Diesem ist zur Durchsetzung zu verhelfen.
Diese Grundsätze liegen der höchstrichterlichen Rechtsprechung im Übrigen seit jeher zugrunde. So gestand das Bundesgericht den Aktionären das Recht zur gerichtlichen Anfechtung gesetzes- oder statutenwidriger Generalversammlungsbeschlüsse (heute <ref-law>) zu einem Zeitpunkt zu, als diese Klage noch nicht ausdrücklichen Eingang in das Gesetz gefunden hatte (vgl. BGE 20 940 E. 7 S. 951 f. und dann Botschaft 1928, BBl 1928 I 251). Ob sich die Zulässigkeit der positiven Beschlussfeststellungsklage unmittelbar durch Auslegung von <ref-law> oder durch (zulässige) Lückenfüllung ergibt, kann dahingestellt bleiben (siehe zur "schillernden Bedeutungsvielfalt" des Lückenbegriffs <ref-ruling> E. 2 S. 711; <ref-ruling> E. 1d/aa S. 226). Die Klage ist jedenfalls im Gesetz angelegt und fügt sich nahtlos ein in das normative Gefüge; sie ist notwendig, um das System und die Wertungen des Aktienrechts prozessual zu verwirklichen.
6.5.3. Das Gesagte setzt allerdings voraus, dass das Gericht ohne Weiteres in der Lage ist, den Zustand festzustellen, der bei rechtmässiger Auszählung der Stimmen herausgekommen wäre. Das Gericht tritt nicht an die Stelle der Generalversammlung oder der Aktionäre (und fällt schon gar nicht einen Ermessensentscheid), sondern merzt einen Fehler in der Ermittlung des Abstimmungsergebnisses aus. Dementsprechend muss das formell korrekte Ergebnis zweifelsfrei ermittelt werden können. Es hat festzustehen, dass wegen des Mitzählens unzulässiger Stimmen ein Beschlussantrag als abgelehnt verkündet wurde, der nach den tatsächlich gegebenen Stimmverhältnissen als angenommen hätte protokolliert werden müssen (BÖCKLI, a.a.O., § 12 Rz. 500a; BÜHLER/VON DER CRONE, a.a.O., S. 571 f.; RITA TRIGO TRINDADE, Erreur de l'actionnaire et contestation des décisions de l'AG, in: Mélanges à la mémoire de Bernard Corboz, 2019, S. 266). So wird sichergestellt, dass die Willensbildungsautonomie der Generalversammlung sowie die Stimmrechtsträgerschaft der Aktionäre unangetastet bleibt, und nicht das Gericht inhaltlich über gesellschaftliche Belange befindet (siehe SCHWANDER/DUBS, a.a.O., S. 351 f. und 355).
6.5.4. Demnach ist das aufgeworfene Rechtsproblem auf folgende Weise zu entscheiden:
Die positive Beschlussfeststellungsklage als Gestaltungsklage ist zulässig, wenn zweifelsfrei feststeht, dass wegen des Mitzählens unzulässiger Stimmen ein Beschlussantrag als abgelehnt festgehalten wurde, der nach den tatsächlich gegebenen Stimmverhältnissen als angenommen hätte protokolliert werden müssen.
6.6. Die Beschwerdeführerin bestreitet nicht, dass die eben dargestellten Voraussetzungen gegeben sind. Ebenso wenig nennt sie andere Gründe, welche der positiven Beschlussfeststellungsklage im konkreten Fall entgegenstehen. Sie macht namentlich nicht geltend, dass der Beschluss, dessen Zustandekommen die Vorinstanz positiv angeordnet hat, mit sonstigen Mängeln behaftet wäre. Nichtig erscheint er jedenfalls nicht (dazu <ref-ruling> E. 3.3.4.1 f.). Somit ist nicht zu beanstanden, wenn das Handelsgericht (in Urteilsdispositiv-Ziffer 1) in Neugestaltung der gesellschaftlichen Rechtslage feststellte, dass die protokollierte Zählweise des im Rahmen der ausserordentlichen Generalversammlung vom 1. November 2019 gefällten Beschlusses betreffend die Abwahl von C.B._ fehlerhaft und der Beschluss wie folgt zustande gekommen ist: Abwahl von C.B._ aus dem Verwaltungsrat mit 70 zu 40 Stimmen.
7.
Die Vorinstanz kam somit zum Ergebnis, dass an der Generalversammlung vom 1. November 2019 erstens C.B._ als Verwaltungsratsmitglied abgewählt wurde und zweitens D._ sowie die Rechtsanwälte C._ und E._ nicht in den Verwaltungsrat gewählt worden sind.
Dennoch - so erwog das Handelsgericht weiter - hätten diese Personen an den Verwaltungsratssitzungen vom 1. November 2019 und vom 28. November 2019 teilgenommen. Die anlässlich dieser Sitzungen gefällten Beschlüsse seien daher nichtig (Urteilsdispositiv-Ziffer 3). Diesen Schluss zieht die Beschwerdeführerin nicht in Zweifel. Dabei hat es sein Bewenden.
8.
Die Beschwerde ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (siehe Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Oktober 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Stähle