Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 24. April 2020 trat der Einzelrichter am Bezirksgericht Höfe auf ein Gesuch von B._ (Gesuchsteller, Beschwerdegegner) um Rechtsschutz in klaren Fällen gegen A._ (Gesuchsgegner, Beschwerdeführer) betreffend die Herausgabe von Akten resp. eines Klientendossiers nicht ein. Der Einzelrichter auferlegte dem Gesuchsgegner in Anwendung von Art. 107 Abs. 1 lit. b und f ZPO die Gerichtskosten von Fr. 800.-- und verpflichtete ihn zur Zahlung einer Parteientschädigung von Fr. 1'200.--, da er durch sein Verhalten während des Verfahrens die Illiquidität des Sachverhalts herbeigeführt habe.
B.
Mit Beschluss vom 12. Oktober 2020 wies das Kantonsgericht Schwyz eine vom Gesuchsgegner gegen den erstinstanzlichen Kostenentscheid erhobene Beschwerde ab, soweit es auf sie eintrat, und auferlegte ihm die Prozesskosten des Rechtsmittelverfahrens.
C.
Mit Eingabe vom 20. November 2020 erhob der Gesuchsgegner beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegen das Urteil des Kantonsgerichts Schwyz vom 12. Oktober 2020 und beantragte, die Prozesskosten des kantonalen Verfahrens seien dem Beschwerdegegner aufzuerlegen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 143; <ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen).
1.1. Der Streitwert erreicht die Streitwertgrenze für eine Beschwerde in Zivilsachen gemäss <ref-law> nicht. Diese ist daher nur zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>). Eine solche ist nur zurückhaltend anzunehmen. Sie liegt vor, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (<ref-ruling> E. 1 S. 165; <ref-ruling> E. 1.2 S. 161; <ref-ruling> E. 1.1 S. 582 f.; je mit Hinweisen). Die Anwendung rechtsprechungsgemässer Prinzipien auf einen Einzelfall stellt keine Grundsatzfrage dar. Der blosse Umstand, dass die aufgeworfene Rechtsfrage noch nie entschieden wurde, genügt nicht. Es muss sich um eine Rechtsfrage handeln, deren Entscheid für die Praxis wegleitend sein kann und die von ihrem Gewicht her nach einer höchstrichterlichen Klärung ruft (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 428; <ref-ruling> E. 1.2.2.1 S. 21; <ref-ruling> E. 1.1.2 S. 147).
Im Rahmen ihrer Begründungspflicht hat die beschwerdeführende Partei darzutun, dass die Voraussetzung nach <ref-law> erfüllt ist (<ref-law>), ansonsten auf die Beschwerde nicht einzutreten ist (<ref-ruling> E. 2.6; <ref-ruling> E. 2.2.2.1; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 428).
1.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, es stelle sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung. Er bringt zur Begründung vor, er werde für ein Verfahren, das er gewonnen habe, "kostenrechtlich mit sage und schreibe Fr. 6'500.-- belastet", dies "unter Verdrehung der Kostenregel" von <ref-law>, der eine klare Regelung enthalte. Damit zeigt er keine konkrete Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung auf, an deren höchstrichterlicher Klärung ein allgemeines und dringendes Interesse bestünde. Auch mit dem Vorbringen, es handle "sich im vorliegenden Fall um einen Rechtsstreit, in welchem die Vorinstanz ihr Ermessen nach <ref-law> so ausgeübt hat, dass dem Beschwerdeführer wegen Illiquidität des Sachverhalts und darauffolgenden Nichteintreten die gesamten Prozesskosten auferlegt worden sind", zeigt er nicht auf, welche konkrete Rechtsfrage einer dringenden Klärung bedürfte. Die Anwendung rechtsprechungsgemässer Prinzipien auf einen Einzelfall stellt keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung dar.
Die Voraussetzung nach <ref-law> ist nicht erfüllt, weshalb die Beschwerde in Zivilsachen nicht offensteht. Die Eingabe des Beschwerdeführers ist daher als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln (<ref-law>).
2.
2.1. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft die Verletzung verfassungsmässiger Rechte jedoch nur, wenn diese Rüge gemäss den Anforderungen von <ref-law> ausdrücklich vorgebracht und klar und detailliert begründet wird (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.2). Dies bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.2; je mit weiteren Hinweisen).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kam (Art. 118 Abs. 2 und <ref-law>), was der Beschwerdeführer präzise geltend zu machen hat (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.2 S. 445). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-ruling> E. 7.1, 585 E. 4.1 S. 588 f.).
Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4 S. 566; <ref-ruling> E. 2.1, 167 E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.2.5 S. 339; je mit Hinweisen).
2.3. Der Beschwerdeführer zeigt keine willkürliche Anwendung von Art. 106 Abs. 1 bzw. <ref-law> durch die Vorinstanz auf, indem er dem Bundesgericht die Hintergründe des Rechtsstreits aus seiner Sicht schildert, die vorinstanzlichen Erwägungen als "unlogisch und rechtlich falsch" bezeichnet und behauptet, der beanstandete Kostenentscheid sei "in völlig willkürlicher Weise nach den Wünschen und Angaben des Beschwerdegegners" ausgerichtet worden. Die Vorbringen stossen ebenso ins Leere wie der Vorwurf des Beschwerdeführers, die Vorinstanzen hätten die beiden Bestimmungen "in völlig willkürlicher Weise angewendet, ohne dies zu rechtfertigen". Eine willkürliche Ermessensausübung vermag er nicht aufzuzeigen und es ist anhand seiner Ausführungen auch nicht erkennbar, inwiefern ihm die Begründung des angefochtenen Entscheids verunmöglicht hätte, diesen sachgerecht anzufechten (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 70 f.; <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 436; je mit Hinweisen).
Mit der blossen Behauptung, er sei durch den angefochtenen Entscheid "massiv finanziell geschädigt und dadurch in seiner Berufsausübung beeinträchtigt", zeigt der Beschwerdeführer im Übrigen keine Verletzung der Eigentumsgarantie (<ref-law>) oder der Handels- und Gewerbefreiheit bzw. der Wirtschaftsfreiheit (<ref-law>) auf.
3.
Die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner ist keine Parteientschädigung zuzusprechen, da ihm aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Schwyz, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Dezember 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Leemann