Sachverhalt:
A.
Prof. Dr. sc. techn. A._ ist bei der Universität Zürich angestellt. Per 1. August 2007 wurde er zum ausserordentlichen Professor ad personam für Physiologie und Biomechanik des Kausystems am damaligen Zentrum für Zahn-, Mund- und Kieferheilkunde (ZZMK, später: Zentrum für Zahnmedizin [ZZM]) der Universität Zürich und per 1. April 2015 zum ordentlichen Professor ad personam ernannt. Nach dem Rücktritt des Vorstehers des ZZMK und Leiters der damaligen Klinik für Kaufunktionsstörungen, abnehmbare Rekonstruktionen und Alters- und Behindertenzahnmedizin (KFS-KAB) wurde A._ mit Verfügung vom 9. Juni 2009 per 1. August 2009 und "bis zur Regelung der Nachfolge, längstens jedoch bis zum 31. Juli 2013" zum interimistischen Direktor der KFS-KAB ernannt. Die Ernennung zum interimistischen Klinikdirektor wurde mit Verfügung vom 17. Juli 2013 wiederum "bis zur Regelung der Nachfolge, längstens jedoch bis zum 31. Juli 2017" verlängert. Am 31. Mai 2017 ersuchte A._ erneut um Verlängerung der interimistischen Direktion der (seit Mai 2017 getrennt von der KAB geführten) KFS. Indes wurde am 18. Juli 2017 - vorerst für ein Jahr - ab 1. August 2017 Prof. Dr. med. Dr. med. dent. B._ als interimistischer Leiter der KFS eingesetzt. Am 21. August 2018 wies die Universitätsleitung A._s Gesuch um Verlängerung der interimistischen Direktionstätigkeit ab. Den gegen diese Verfügung gerichteten Rekurs wies die Rekurskommission der Zürcher Hochschulen mit Beschluss vom 16. Juli 2019 ab.
B.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 9. April 2020 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Universität Zürich sei zu verpflichten, ihm eine Entschädigung wegen missbräuchlicher Kündigung von Fr. 10'962.-, den Ersatz weiteren Schadens von Fr. 130'992.32 sowie eine Abfindung von Fr. 27'405.- zu leisten. Eventualiter sei die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Bundesgericht holte die vorinstanzlichen Akten ein. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG) und betrifft ein öffentlich-rechtliches Arbeitsverhältnis, d.h. eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinn von <ref-law>. Der Streitwert beträgt gemäss den unbestrittenen Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>) Fr. 169'359.32.-. Es handelt sich um eine vermögensrechtliche Streitigkeit, weshalb der Ausschlussgrund von <ref-law> nicht gegeben ist. Die Streitwertgrenze von Fr. 15'000.- (Art. 51 Abs. 1 lit. a, Art. 85 Abs. 1 lit. b BGG) ist erreicht. Auf die Beschwerde ist daher einzutreten.
2.
2.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1 S. 236 mit Hinweisen).
Die richtige Anwendung des kantonalen Rechts als solches bildet nicht Beschwerdegrund und es kann nur überprüft werden, ob der angefochtene Entscheid auf willkürlicher Gesetzesanwendung beruht oder ob das Gesetz oder seine Anwendung auf andere Weise gegen übergeordnetes Recht verstösst (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 227 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 60 f.; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 251 f.; Urteil 2C_959/2014 vom 24. April 2015 E. 1.3 i.f.). Eine willkürliche Anwendung kantonalen Rechts liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch dessen Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar als zutreffender erscheinen mag, genügt nicht (<ref-ruling> E. 7.3 S. 174 f.; <ref-ruling> E. 4.2 S. 516; <ref-ruling> E. 2.2 S. 72; je mit Hinweisen).
Für die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem sowie interkantonalem Recht gilt eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f. mit Hinweisen). Das Bundesgericht untersucht nicht von sich aus, ob der angefochtene kantonale Entscheid die Grundrechte oder kantonales und interkantonales Recht verletzt, sondern prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid geht es nicht ein (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 253; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266; Urteil 8C_812/2019 vom 19. Mai 2020 E. 2.4).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat; es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz auf entsprechende Rüge hin oder von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Offensichtlich unrichtig bedeutet dabei willkürlich (<ref-ruling> E. 2 S. 190; <ref-ruling> E. 2 S. 117).
3.
Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz den Beschluss der Universitätsleitung vom 21. August 2018 betreffend die Nichternennung des Beschwerdeführers zum interimistischen Direktor der KFS zu Recht bestätigte und den geltend gemachten Anspruch auf Schadenersatz verneinen durfte.
4.
4.1. Die hier massgeblichen rechtlichen Grundlagen werden im angefochtenen Entscheid einlässlich dargestellt. Es sind dies im Wesentlichen das Universitätsgesetz vom 15. März 1998 (UniG; LS 415.11) und die Personalverordnung der Universität Zürich vom 29. September 2014 (PVO-UZH; LS 415.21), mit ergänzender Anwendbarkeit der Personalgesetzgebung (vgl. § 11 UniG, §§ 1 und 2 PVO-UZH), mithin insbesondere des kantonalen Personalgesetzes (PG, LS 177.10). Zutreffend sind sodann die vorinstanzlichen Ausführungen zum Vertrauensschutz (vgl. Art. 5 Abs. 3 und Art. 9 BV; <ref-ruling> E. 2.5.1; Urteil 2C_151/2017 vom 16. Dezember 2019 E. 2.2). Darauf kann verwiesen werden.
4.2.
4.2.1. Das kantonale Gericht stellte zunächst fest, dass der Beschwerdeführer als Professor in einem durch Verfügung begründeten, unbefristeten Anstellungsverhältnis mit der Beschwerdegegnerin steht. Nach § 46 Abs. 1 PVO-UZH zähle es zu den mit der unbefristeten Anstellung einhergehenden Pflichten der Professorinnen und Professoren, Ämter und Aufgaben im Rahmen der Selbstverwaltung der Universität - wie hier die Klinikleitung - zu übernehmen, wofür sie gemäss dem Reglement über Funktionszulagen für Professorinnen und Professoren der Universität vom 4. Februar 2000 (ZulagenR; LS 415.215) zusätzlich entschädigt würden. Derartige Zusatzfunktionen nur befristet zu vergeben, entspreche einer weit verbreiteten Praxis auch in anderen Institutionen (z.B. bei der Vergabe des Gesamtgerichtspräsidiums der obersten kantonalen Gerichte). Inwiefern eine solche Praxis rechtswidrig sein soll, sei nicht ersichtlich. Der Beschwerdeführer vermöge zudem nicht darzutun, woraus sich ein Anspruch auf unbefristete Übertragung solcher Zusatzfunktionen ergebe. Mithin habe die Verlängerung der Zusatzfunktion bzw. die Besetzung mit einer anderen Person im Ermessen der Beschwerdegegnerin gestanden. Dass dieses Ermessen bei der Ernennung von Prof. Dr. med. Dr. med. dent. B._ statt des Beschwerdeführers zum (interimistischen) Klinikleiter in rechtswidriger Weise ausgeübt worden wäre, sei nicht ersichtlich.
4.2.2. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz eine willkürliche Anwendung des kantonalen Rechts vor, insbesondere der § 15 Abs. 2 PG und § 10 Abs. 1 PVO-UZH. Soweit es sich bei seinen Vorbringen um eine rein appellatorische Kritik handelt, ist darauf nicht einzugehen. Festzuhalten ist immerhin Folgendes: Gemäss § 15 Abs. 1 PG bleiben in Bezug auf Begründung und Dauer des Arbeitsverhältnisses die Bestimmungen über die Wahl auf Amtsdauer vorbehalten für die gemäss Verfassung oder Gesetz vom Volk gewählten Angestellten (lit. a) und die dem Gesetz unterstellten Mitglieder von Behörden im Nebenamt sowie Personen mit weiteren nebenamtlichen Aufgaben (lit. b). § 15 Abs. 2 PG sieht vor, dass die Nichtwiederwahl nur aus einem sachlich zureichenden Grund zulässig ist und begründet werden muss, sofern nicht das Volk Wahlorgan ist. Abs. 2 von § 15 PG steht in systematischem Zusammenhang mit dessen Abs. 1. Folglich kann der Beschwerdeführer nichts aus § 15 Abs. 2 PG ableiten, weil die Funktion des interimistischen Klinikdirektors weder in einer Volkswahl vergeben wird noch ein Nebenamt bzw. eine nebenamtliche Aufgabe im Sinn dieser Bestimmung darstellt (vgl. § 2 PG i.V.m. § 2 der Personalverordnung des Kantons Zürich [PV; LS 177.11], worauf auch die Beschwerdegegnerin hinwies. Für die Ernennung von Klinikdirektoren ist vielmehr die Universitätsleitung zuständig (§ 5 Abs. 2 PVO-UZH). Die Beschwerdegegnerin zeigte ausserdem anhand der Gesetzesmaterialien auf, dass Professorinnen und Professoren von § 15 PG nicht erfasst werden (vgl. Amtsblatt des Kantons Zürich 1996, Antrag Nr. 3505 des Regierungsrats vom 22. Mai 1996 zur Änderung des Personalrechts, S. 43 [Separatdruck]). Der Vorinstanz ist auch darin zuzustimmen, wenn sie ausführt, dass kein befristetes Anstellungsverhältnis vorliegt, das gemäss § 10 Abs. 1 PVO-UZH längstens für die Dauer eines Jahres eingegangen werden kann und bei einer Weiterführung darüber hinaus als unbefristetes gilt. Vielmehr geht es hier um die Ausübung einer (immerhin auf vier Jahre) befristeten Zusatzfunktion im Rahmen eines unbefristeten Anstellungsverhältnisses. Vor diesem Hintergrund entbehren die Vorwürfe der willkürlichen Rechtsanwendung und der Missbräuchlichkeit der Nichtwiederwahl jeglicher Grundlage. Entgegen dem Beschwerdeführer wurde des Weiteren das Legalitätsprinzip (<ref-law>) nicht verletzt. Denn wie die vorinstanzlichen Ausführungen zeigen, erfolgt die Ernennung in Zusatzfunktionen, wie hier der Klinikdirektion, in Anwendung des kantonalen Personalrechts und beruht daher auf einer gesetzlichen Grundlage im weiteren Sinn. Da die Ernennung zum Klinikdirektor befristet war und die Zusatzfunktion mit Ablauf der Frist endete, stösst schliesslich die Argumentation des Beschwerdeführers betreffend eine missbräuchlichen Kündigung ins Leere.
4.3.
4.3.1. Die Vorinstanz versagte dem Beschwerdeführer sodann die Berufung auf den Vertrauensschutz. Sie wies zunächst darauf hin, dass es bereits an einer genügenden Vertrauensgrundlage gebreche. So sei die befristete Verlängerung der Zusatzfunktion nicht geeignet gewesen, berechtigtes Vertrauen zu erwecken, dass die Zusatzfunktion nach Fristablauf erneut verlängert werde, zumal der Beschwerdeführer die Klinikleitung stets nur interimistisch ausgeübt habe. Auch dem Schreiben des Rektors vom 5. Juli 2017, wonach über den Antrag auf Verlängerung der Zusatzfunktion nicht vor dem Auslaufen der Befristung entschieden werden könne, weil einerseits kein entsprechender Antrag der medizinischen Fakultät vorliege und andererseits derzeit ein den Beschwerdeführer betreffendes Administrativverfahren im Gang sei, lasse sich keine Zusicherung auf Verlängerung der Zusatzfunktion bei positivem Ausgang des Administrativverfahrens entnehmen. Im Übrigen seien keine Vertrauensdispositionen dargetan oder anderweitig ersichtlich.
4.3.2. Der Beschwerdeführer wirft dem kantonalen Gericht vor, es habe in willkürlicher Weise nicht sämtliche Akten und Umstände gewürdigt. Er beruft sich namentlich auf ein Schreiben des Dekans vom 27. Juli 2017, wonach die Leitung der KFS während der Dauer bis zu einem Entscheid über die laufenden Untersuchungen betreffend Spesen gegen den Beschwerdeführer vorerst maximal während eines Jahres an Prof. Dr. med. Dr. med. dent. B._ übertragen werden. Zwar trifft es zu, dass die Vorinstanz hierzu nicht explizit Stellung genommen hat. Allerdings ergibt sich weder aus diesem Schreiben noch aus der Sistierung des Verfahrens betreffend das Gesuch um Wiederernennung zum Klinikdirektor, dass die Beschwerdegegnerin unmissverständlich zugesichert hätte, den Beschwerdeführer bei positivem Ausgang der die Spesen betreffenden Untersuchung wieder als Klinikdirektor einzusetzen. Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung erweist sich damit nicht als offensichtlich unrichtig.
4.4. Nicht zu beanstanden ist schliesslich die Schlussfolgerung der Vorinstanz, dass der Beschwerdeführer nicht anzuhören war, weil seine befristete Zusatzfunktion mit Fristablauf automatisch endete, zumal er, wie eben gezeigt, auch nicht darauf vertrauen durfte, wieder in die Funktion eingesetzt zu werden. Auch § 31 Abs. 1 PG, den der Beschwerdeführer anruft, legt keinen anderen Schluss nahe. Soweit der Beschwerdeführer ferner Gehörsverletzungen im Zusammenhang mit dem Administrativverfahren betreffend die Spesenabrechnungen und mit der Ernennung von Prof. Dr. med. Dr. med. dent. B._ geltend macht, ist er nicht zu hören, bilden diese Fragen doch nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens. Im Ergebnis ist die Beschwerde abzuweisen.
5.
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und der Rekurskommission der Zürcher Hochschulen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. August 2020
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Betschart