Sachverhalt:
A.
C._ und A._ sind die nicht miteinander verheirateten Eltern des Sohns B._ (geb. xxx 2002). Mit Unterhaltsvertrag vom 23. Dezember 2002 verpflichtete sich der Vater zur Bezahlung von monatlich vorschüssigen Kindesunterhaltsbeiträgen von Fr. 700.-- von der Geburt bis zum vollendeten 6. Altersjahr des Kindes, von Fr. 850.-- bis zum vollendeten 12. Altersjahr und von Fr. 1'000.-- bis zur vollen Erwerbsfähigkeit bzw. bis zur Mündigkeit, zuzüglich Kinderzulagen, Sozialversicherungsrenten und ähnlicher für den Unterhalt des Kindes bestimmter Leistungen. Der Unterhaltsvertrag wurde am 6. Januar 2003 von der Vormundschaftsbehörde Suhr genehmigt.
B.
B.a. Nach erfolgloser Schlichtung reichte A._ am 5. September 2017 Klage beim Bezirksgericht Baden ein, auf die das Gericht am 28. September 2017 mangels örtlicher Zuständigkeit nicht eintrat. Darauf gelangte A._ am 30. Oktober 2017 an das Bezirksgericht Aarau und stellte in der Sache die folgenden Rechtsbegehren:
"1. Es sei festzustellen, dass der zwischen den Parteien abgeschlossene Unterhaltsvertrag vom 23. Dezember 2002 nichtig ist.
2. Eventualiter seien die gemäss Unterhaltsvertrag vom 23. Dezember 2002 unter Ziffer 2 vorgesehenen Unterhaltsbeiträge an [B._] angemessen zu reduzieren."
Anlässlich der Hauptverhandlung vom 31. Oktober 2018 änderte A._ sein Eventualbegehren dahingehend ab, dass er seinem Sohn seit dem 25. März 2017, dem Zeitpunkt der Einreichung des Schlichtungsgesuchs, keinen Unterhalt mehr schulde.
B.b. Am 3. Dezember 2018 wies das Gerichtspräsidium Aarau die Klage in der Hauptsache ab. In Gutheissung des Eventualbegehrens änderte es den Unterhaltsvertrag vom 23. Dezember 2002 dahingehend, dass es die Unterhaltspflicht des Vaters gegenüber seinem Sohn aufhob.
B.c. Gegen diesen Entscheid wandten sich beide Parteien an das Obergericht des Kantons Aarau. In seiner Berufung vom 17. Juni 2019 wiederholte A._ seine vor erster Instanz gestellten Rechtsbegehren, wobei die Unterhaltspflicht bei Gutheissung des Eventualantrags neu ab dem 15. März 2017 entfallen sollte. B._ verlangte in seiner Berufung vom 18. Juni 2018 die Aufhebung der Ziffern 2 bis 4 des Entscheids des Bezirksgerichts und die vollumfängliche Abweisung der Klage auf Abänderung des Unterhaltsvertrags.
B.d. Mit Urteil vom 28. April 2020 wies das Obergericht die Berufung von A._ ab, soweit es auf diese eintrat. Die Berufung von B._ hiess es teilweise gut, indem es A._ in Abänderung der Ziffer 2 des Unterhaltsvertrags vom 23. Dezember 2002 dazu verpflichtete, an den Unterhalt seines Sohnes monatlich vorschüssige Beiträge von Fr. 50.-- zu bezahlen. Am 23. Juni 2020 berichtigte das Obergericht sein Urteil in einem untergeordneten Punkt.
C.
Mit Beschwerde vom 22. Juni 2020 gelangt A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt, den vorinstanzlichen Entscheid aufzuheben und den Unterhaltsvertrag vom 23. Dezember 2002 dahingehend abzuändern, dass der neu auf Fr. 50.-- festgesetzte Unterhalt ab dem 15. März 2017 geschuldet ist. Zudem stellt der Beschwerdeführer ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Verfahren vor dem Bundesgericht.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin (<ref-law>) entschieden hat. Streitig ist der Kindesunterhalt (<ref-law>). Das ist eine Zivilsache (<ref-law>) vermögensrechtlicher Natur, wobei der Streitwert über Fr. 30'000.-- liegt (Art. 74 Abs. 1 Bst. b i.V.m. Art. 51 Abs. 1 Bst. a und Abs. 4 BGG). Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Auf die im Übrigen rechtzeitig (<ref-law>) eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
1.2. Der Beschwerdegegner war im bisherigen Verfahren durch seine Mutter gesetzlich vertreten. Am 2. Dezember 2020 ist er volljährig geworden (vgl. <ref-law>). Nach ständiger Praxis kann der bisherige gesetzliche Vertreter den hängigen Prozess in einem solchen Fall nur unter der Voraussetzung weiterführen, dass das nun volljährige Kind dieser Prozessführung zustimmt (<ref-ruling> E. 3.1.5; Urteil 5D_81/2015 vom 4. April 2016 Bst. D.b). Mit Blick auf den Ausgang des Verfahrens konnte indes von der Einholung einer entsprechenden Stellungnahme abgesehen werden.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden. In der Beschwerdebegründung ist daher in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid rechtswidrig sein soll. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken; die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 2; je mit Hinweisen). Für die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt ausserdem das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (<ref-ruling> E. 1.2.2; <ref-ruling> E. 2.4).
2.2. Soweit die Festsetzung von Unterhalt in Frage steht, ist zu beachten, dass der Sachrichter in verschiedener Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4; <ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 3a). Bei der Überprüfung solcher Entscheide auferlegt sich das Bundesgericht Zurückhaltung. Es schreitet nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 4.5; <ref-ruling> E. 2.2.1).
3.
3.1. Unbestritten ist, dass der Beschwerdeführer seinem Sohn (Beschwerdegegner) neu einen auf Fr. 50.-- reduzierten Unterhalt bezahlen muss. Umstritten ist, ab wann dies der Fall ist. Das Dispositiv des Entscheids lässt die Frage offen. Immerhin lässt sich dessen Begründung (E. 5.4) entnehmen, dass der abgeänderte Unterhaltsbeitrag "mit Wirkung ab dem ausgefällten Entscheid" gilt. Der Entscheid datiert vom 28. April 2020 (s. Sachverhalt Bst. B.d). Auf den Antrag des Beschwerdeführers, wonach die Unterhaltspflicht auf den 15. März 2017 aufzuheben ist, tritt die Vorinstanz mangels Begründung nicht ein.
3.2.
3.2.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, dass es sich bei der Frage, ab welchem Zeitpunkt eine Abänderungsklage ihre Wirkung entfaltet, um eine Rechtsfrage handle. Die Vorinstanz gehe deshalb in ihrer Auffassung fehl, wenn sie meine, dass er, der Beschwerdeführer, sein Begehren bezüglich des Zeitpunkts der Aufhebung seiner Unterhaltspflicht hätte begründen müssen. In Anwendung des Grundsatzes "iura novit curia" hätte vielmehr die Vorinstanz von Amtes wegen zu überprüfen und zu entscheiden gehabt, ab wann die Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers gemäss Unterhaltsvertrag vom 23. Dezember 2002 aufzuheben bzw. zu reduzieren sei. Es habe diesbezüglich weder eines Antrags noch einer Begründung seitens des Beschwerdeführers bedurft. Die Vorinstanz sei somit zu Unrecht auf die Berufung des Beschwerdeführers bzw. sein Eventualbegehren nicht eingetreten.
3.2.2. In der Sache macht der Beschwerdeführer geltend, dass gemäss Lehre und Rechtsprechung die vom Unterhaltsschuldner beantragte Abänderung frühestens ab dem Zeitpunkt der Klageeinreichung wirke. Er habe aktenkundig mit Eingabe vom 15. März 2017 beim zuständigen Friedensrichteramt ein Vermittlungsbegehren gestellt und anschliessend innert Frist Klage beim zuständigen Bezirksgericht Aarau eingereicht. Die Abänderungsklage des Beschwerdeführers wirke daher ab diesem Zeitpunkt, d.h. ab dem 15. März 2017. Es würden denn auch zu Recht weder vom Beschwerdegegner noch von der Vorinstanz Gründe vorgebracht, welche es rechtfertigen würden, die Wirkungen der Abänderungsklage auf einen späteren Zeitpunkt festzusetzen. Die Fixierung der Rechtswirkungen einer Abänderungsklage auf den Zeitpunkt der Klageeinreichung mache denn auch Sinn, da andernfalls der Eintritt der Rechtskraft von der jeweiligen Länge eines Gerichtsverfahrens abhängig wäre, auf welche der Unterhaltsschuldner keinen (oder kaum) Einfluss habe.
3.3.
3.3.1. In Bezug auf den umstrittenen Punkt, ab wann das Abänderungsurteil Wirkungen entfaltet, hat die Vorinstanz einen Nichteintretensentscheid gefällt. Streitgegenstand des Verfahrens vor dem Bundesgericht ist damit allein das Nichteintreten, nicht aber die materielle Streitfrage (<ref-ruling> E. 1.2).
3.3.2. Gemäss <ref-law> ist die Berufung begründet einzureichen (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.3). Der Beschwerdeführer behauptet nicht, dieser Pflicht nachgekommen zu sein. Stattdessen wirft er der Vorinstanz vor, das Recht nicht von Amtes wegen angewendet zu haben. Damit verkennt er den Zusammenhang von Begründungspflicht und Rechtsanwendung von Amtes wegen: Die Begründung eines Antrags nach <ref-law> ist eine Eintretensvoraussetzung im Berufungsverfahren (Urteil 5A_347/2019 vom 9. April 2020 E. 4). Die Berufungsinstanz wendet das Recht nur von Amtes wegen an, wenn sie mit einer ausreichend begründeten Berufung konfrontiert ist. Dies gilt auch dann, wenn wie im vorliegenden Fall, die Offizialmaxime Anwendung findet (<ref-law>; vgl. Urteil 5A_94/2020 vom 30. März 2020 E. 6.3). Fehlt es an einer solchen Begründung bleibt der Berufungsinstanz nichts anderes übrig, als auf das Rechtsmittel nicht einzutreten. Damit erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Zum Zeitpunkt der Wirkung einer Abänderung ist im Übrigen auf Folgendes zu verweisen:
3.3.3. Zutreffend weist der Beschwerdeführer darauf hin, dass nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts die vom Unterhaltsschuldner verlangte Abänderung der Unterhaltsleistung frühestens ab dem Zeitpunkt der Klageeinreichung wirkt (<ref-ruling> E. 6a; <ref-ruling> E. 3b/aa). Abzustellen ist dabei auf das Datum der Einreichung des Schlichtungsgesuchs (Urteil 5A_399/2016 vom 6. März 2017 E. 4.1.2 [nicht publiziert in: <ref-ruling>], unter Hinweis auf <ref-law> und BGE <ref-ruling>). Dieser Zeitpunkt wird insbesondere dann massgeblich sein, wenn die Abänderungsvoraussetzungen bei Klageeinreichung bereits erfüllt sind (Urteile 5A_964/2018 vom 26. Juni 2019 E. 4.1; 5A_831/2016 vom 21. März 2017 E. 4.3.1). Daraus darf nun aber nicht der Umkehrschuss gezogen werden, dass es dem Gericht verwehrt wäre, einen späteren Zeitpunkt für massgeblich zu bezeichnen (vgl. Urteil 5A_101/2013 vom 25. Juli 2013 E. 3.1 [<ref-law> betreffend], wonach ein Abänderungsentscheid grundsätzlich nur für die Zukunft wirkt, d.h. ab Eintritt seiner formellen Rechtskraft). Im Kontext der Abänderung eines Scheidungsurteils finden sich zahlreiche auf <ref-ruling> E. 4c zurückgehende Urteile, wonach namentlich dann auf einen späteren Zeitpunkt abzustellen ist, wenn eine Rückerstattung des Unterhalts unbillig wäre (jüngst etwa Urteil 5A_230/2019 vom 31. Januar 2020 E. 6.1 am Ende). In diesem Zusammenhang kann auch entscheidend sein, ob die von einem Abänderungsgesuch betroffenen Unterhaltsbeiträge während der Dauer des Verfahrens bezahlt und bestimmungsgemäss verbraucht worden sind (Urteil 5A_217/2009 vom 30. Oktober 2009 E. 3.3.2). Hierzu äussert der Beschwerdeführer sich freilich nicht (vgl. E. 3.2.2 hiervor). Vor diesem Hintergrund kann der Vorinstanz nicht vorgeworfen werden, mit ihrem Entscheid, auf den Urteilszeitpunkt abzustellen, offensichtlich Bundesrecht verletzt zu haben. Daran ändert auch nichts, dass der Beschwerdeführer damit das Risiko trägt, das mit einer langen Verfahrensdauer verbunden ist.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Er hat deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Eine Entschädigung des Beschwerdegegners entfällt, zumal dieser nicht zur Vernehmlassung eingeladen worden ist (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Dem Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren kann entsprochen werden. Die gesetzlichen Voraussetzungen sind erfüllt (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn er später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird dem Beschwerdeführer Rechtsanwältin Claudia Camastral als Rechtsbeiständin beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Rechtsanwältin Claudia Camastral wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Dezember 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber