Sachverhalt:
A.
A._ erschoss am 13. August 2013 seinen Bruder nach einer verbalen Auseinandersetzung. Das Obergericht des Kantons Solothurn sprach A._ am 8. Dezember 2016 vom Vorwurf der vorsätzlichen Tötung infolge Schuldunfähigkeit frei. Es ordnete eine stationäre therapeutische Behandlung von psychischen Störungen an. Die von A._ erhobene Beschwerde in Strafsachen wies das Bundesgericht am 24. März 2017 ab (Verfahren 6B_242/2017).
A._ war in den vergangenen Jahren in verschiedenen Institutionen untergebracht und befindet sich seit dem 16. Januar 2018 zum Vollzug der stationären therapeutischen Massnahme in der Justizvollzugsanstalt (JVA) Solothurn. Dort sollte eine medikamentöse Behandlung etabliert werden, was aufgrund der Verweigerung von A._ bisher nicht erfolgt ist. Die forensisch-therapeutische Behandlung wurde aufgrund von anzunehmender Fremdgefährdung sistiert.
B.
Das Departement des Innern des Kantons Solothurn, Amt für Justizvollzug, ordnete am 21. Juni 2021 an, dass A._ zur Durchführung einer massnahmen-indizierten Zwangsmedikation (medikamentöse Behandlung mit Neuroleptika in geeigneter Form verabreicht) und der in diesem Zusammenhang zu tätigenden medizinischen Abklärungen in die UPK Basel eingewiesen wird. Weiter verfügte es, dass die UPK Basel nach erfolgter ärztlicher Einschätzung, bei entsprechender Indikation sowie vorgängiger Berichterstattung an die Vollzugsbehörde mit der Durchführung der angeordneten massnahmen-indizierten Zwangsmedikation nach Regeln der ärztlichen Kunst und Ethik beauftragt wird und die behandelnden Fachpersonen sicherzustellen haben, dass es sich um eine Medikation handelt, die nach den anerkannten Regeln der medizinischen und pharmazeutischen Wissenschaften zur Behandlung der Krankheiten gemäss ICD oder DSM vorgesehen sind und die massnahmen-indizierte Zwangsmedikation unter fachärztlicher Leitung erfolgt. Weiter ordnete das Departement des Innern, Amt für Justizvollzug, die massnahmen-indizierte Zwangsmedikation für die Dauer von maximal sechs Monaten an und entschied, dass die behandelnden Fachärzte vor Ablauf dieser Dauer angehalten sind, rechtzeitig einen Bericht zur weiteren möglichen Notwendigkeit der massnahmen-indizierten Zwangsbehandlung einzureichen.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn wies die von A._ erhobene Beschwerde am 5. Oktober 2021 ab.
C.
A._ beantragt mit Beschwerde in Strafsachen, das verwaltungsgerichtliche Urteil sei aufzuheben. Er ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung und beantragt, seiner Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu gewähren.
D.
Die Präsidentin der Strafrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts erteilte der Beschwerde am 25. November 2021 die aufschiebende Wirkung.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Anordnung einer Zwangsmedikation während eines strafrechtlichen Massnahmenvollzugs ist ein Entscheid über den Vollzug von Massnahmen im Sinne von <ref-law>. Dagegen ist die Beschwerde in Strafsachen zulässig. Zu ihrer Beurteilung ist die Strafrechtliche Abteilung des Bundesgerichts zuständig (Urteile 6B_554/2021 vom 25. Juni 2021 E. 1.1; 6B_1075/2020 vom 14. Oktober 2020 E. 1; 6B_824/2015 vom 22. September 2015 E. 1.1; je mit Hinweisen).
1.2. Der Beschwerdeführer stellt ein kassatorisches Rechtsbegehren. Aus der Begründung, die zur Interpretation des Rechtsbegehrens herangezogen werden kann, ergibt sich, was mit der Beschwerde in der Sache angestrebt wird (<ref-ruling> E. 1.2; Urteile 6B_1409/2020 vom 6. Oktober 2021 E. 1.2; 6B_205/2020 vom 5. Februar 2021 E. 1). Auf die Beschwerde kann eingetreten werden.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, die zwangsweise medikamentöse Behandlung sei ein unverhältnismässiger Eingriff in seine persönliche Freiheit, insbesondere in den Schutz der körperlichen und geistigen Unversehrtheit (vgl. Art. 10 Abs. 2 i.V.m. Art. 36 Abs. 3 sowie <ref-law> und Art. 8 Ziff. 1 EMRK). Er rügt, die Vorinstanz nehme entgegen den Anforderungen der bundesgerichtlichen Rechtsprechung keine umfassende Interessenabwägung vor. Insbesondere gehe sie auf einzelne Punkte nicht ein, würdige seine persönlichen Interessen nicht bzw. nicht genügend und argumentiere mehrheitlich zu seinen Lasten. Er vertritt den Standpunkt, dass eine medikamentöse Zwangsbehandlung nicht indiziert sei, sondern die mildere Massnahme darin bestehe, die stationäre therapeutische Behandlung ohne Zwangsmedikation zu verlängern.
2.2. Die Vorinstanz erwägt zusammengefasst, beim Beschwerdeführer liege eine paranoide Schizophrenie vor, die auch Auslöser der Anlasstat gewesen sei. Unstrittig sei, dass er bis anhin die unabdingbare Medikation verweigert habe und eine Krankheitseinsicht gänzlich fehle. In dieser Hinsicht sei ihm Urteilsunfähigkeit attestiert worden. Ohne die notwendige Behandlung bestehe weiterhin die Gefahr, dass der Beschwerdeführer schwere Gewaltstraftaten begehe. Zudem richte sich seine Aggressivität inzwischen auch gegen den Therapeuten, sodass auch das Risiko einer Eskalation innerhalb der Anstalt hoch sei. Wenn der Beschwerdeführer es vorziehe, die Massnahme ohne Medikation zu verlängern, verkenne er den eigentlichen Zweck des Massnahmenrechts. Dieses ziele nicht so sehr auf eine Heilung, sondern auf eine Verbesserung der Legalprognose ab. Der Chefarzt der Forensischen Psychiatrie der Forensischen Dienste Solothurn (nachfolgend: Chefarzt) habe diesbezüglich im Therapiebericht vom 3. Mai 2021 (nachfolgend: Therapiebericht) ausgeführt, alleine durch Unterbringung und Warten verbessere sich die Legalprognose nicht. Die Fachpersonen seien sich einig, dass die antipsychotische Medikation eine essentielle Säule im Behandlungskonzept schizophrener Patienten darstelle. Zwar lasse sich nicht im Voraus sicher bestimmen, ob die neuroleptische Zwangsmedikation geeignet sei, das komplexe Wahnsystem des Beschwerdeführers zu behandeln. Wenn er die neuroleptische Medikation vertrage und diese die erwünschte Wirkung zeige, könne sie ihn durch Abklingen der produktiven Wahnsymptomatik zur Entwicklung eines Krankheitsverständnisses bzw. Problembewusstseins befähigen. Die vorgesehene Zwangsmedikation sei daher geeignet und erforderlich, um eine Krankheitseinsicht zu erreichen und langfristig die Legalprognose zu verbessern. Nachdem die Therapieversuche der letzten Jahre keinerlei Besserung gebracht hätten, sei eine mildere Massnahme nicht ersichtlich. Das öffentliche Interesse an einer Verminderung der Rückfallgefahr und der Schutz des Betreuungspersonals vor einer Eskalation würden gegenüber den Interessen des nicht krankheitseinsichtigen Beschwerdeführers, nicht gegen seinen Willen Medikamente einnehmen zu müssen, überwiegen. Im Falle einer Nichtbehandlung bestehe die Gefahr, dass sich die Legalprognose zusehends verschlechtere. Insgesamt erscheine die Zwangsmedikation und die Verlegung des Beschwerdeführers in die UPK Basel als geeignet, erforderlich sowie zumutbar und stelle die mildere Alternative dar als eine etwaige Verwahrung nach <ref-law> (Urteil S. 10 ff.).
2.3.
2.3.1. Mit therapeutischen Massnahmen sollen weitere Straftaten zum Schutz der Allgemeinheit verhindert bzw. vermindert werden. Sie dienen der Deliktsprävention. Ihr oberstes Ziel ist die Reduktion des Rückfallrisikos bzw. die künftige Straflosigkeit des Täters. Dessen Besserung interessiert das Strafrecht grundsätzlich nur insoweit, als sich diese im Erlöschen seiner Gefährlichkeit auswirkt, sich also auf den Schutz der Öffentlichkeit vor weiterer Delinquenz bezieht (vgl. <ref-ruling> E. 3.5.3; <ref-ruling> E. 5.4; <ref-ruling> E. 3.7; <ref-ruling> E. 3b; Urteil 6B_486/2021 vom 21. Juli 2021 E. 1.4; je mit Hinweisen). Nach <ref-law> ist eine stationäre therapeutische Massnahme nur anzuordnen, wenn und soweit zu erwarten ist, dass sich dadurch der Gefahr weiterer Straftaten begegnen lässt. Die Massnahme muss mit andern Worten im Hinblick auf die Deliktsprävention Erfolg versprechen (BGE <ref-ruling> E. 3.7; <ref-ruling> E. 1.3; Urteil 6B_796/2019 vom 16. Oktober 2019 E. 3.2.2). Ihre Dauer hängt vom Behandlungsbedürfnis des Massnahmeunterworfenen und der Erfolgsaussicht der Massnahme (vgl. <ref-law>), letztlich also von den Auswirkungen der Massnahme auf die Gefahr weiterer Straftaten ab (vgl. BGE <ref-ruling> E. 5.4; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.3). Eine Massnahme, für welche die Voraussetzungen nicht mehr erfüllt sind, ist aufzuheben (<ref-law>).
2.3.2. Die medikamentöse Zwangsbehandlung stellt einen schweren Eingriff in die körperliche und geistige Integrität (<ref-law> und Art. 8 Ziff. 1 EMRK) dar; sie betrifft die menschliche Würde (<ref-law>) zentral (<ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 5). Nebst der mit Blick auf den schweren Grundrechtseingriff erforderlichen formellgesetzlichen Grundlage verlangt der Eingriff nach der Rechtsprechung daher eine vollständige und umfassende Interessenabwägung. Zu berücksichtigen sind dabei die öffentlichen Interessen, die Notwendigkeit der Behandlung, die Auswirkungen einer Nichtbehandlung, die Prüfung von Alternativen sowie die Beurteilung von Selbst- und Fremdgefährdung (<ref-ruling> E. 4 und 5; Urteile 6B_554/2021 vom 25. Juni 2021 E. 2.3.2; 6B_1075/2020 vom 14. Oktober 2020 E. 2.1; 6B_821/2018 vom 26. Oktober 2018 E. 4.4). In diese Interessenabwägung miteinzubeziehen sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung insbesondere auch langfristige Nebenwirkungen einer zwangsweise vorgesehenen Neuroleptika-Behandlung (<ref-ruling> E. 5.3; Urteile 6B_554/2021 vom 25. Juni 2021 E. 2.3.2; 6B_821/2018 vom 26. Oktober 2018 E. 4.4).
2.3.3. Gemäss § 28 Abs. 1 des Gesetzes des Kantons Solothurn vom 13. November 2013 über den Justizvollzug (JUVG; BSG 331.11, in seiner bis zum 31. Oktober 2021 in Kraft stehenden Fassung) kann gegenüber Gefangenen, an denen eine therapeutische Massnahme zu vollziehen ist, eine dem Zweck der Massnahme entsprechende Zwangsmedikation angeordnet werden, soweit dies zur Erfolg versprechenden Durchführung der Massnahme unter forensisch-psychiatrischen Gesichtspunkten unumgänglich erscheint. Die massnahmen-indizierte Zwangsmedikation ist nur zulässig, wenn sie durch einen Facharzt oder eine Fachärztin empfohlen wird, und ist unter fachärztlicher Leitung durchzuführen (§ 28 Abs. 2 und 3 JUVG). Wird die massnahmen-indizierte Zwangsmedikation für längere Zeit angeordnet, muss diese nach Abs. 4 der Bestimmung regelmässig überprüft und neu angeordnet werden. Dem Departement des Innern obliegt die Anordnung von Zwangsbehandlungen gemäss § 26 ff. JUVG (vgl. § 6 Abs. 2 lit. d JUVG und § 3 Abs. 1 lit. d der Verordnung des Kantons Solothurn vom 24. März 2014 über den Justizvollzug [BSG 331.12, in ihrer bis zum 31. Oktober 2021 in Kraft stehenden Fassung]).
2.4. Die Zwangsmedikation und die Verlegung des Beschwerdeführers in die UPK Basel zu deren Vornahme beruhen nach dem Ausgeführten auf einer formellgesetzlichen Grundlage (vgl. E. 2.3.3). Es ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer an paranoider Schizophrenie leidet und von ihm ein hohes Risiko für weitere schwere Gewalttaten ausgeht. Die Zwangsbehandlung dient dem Massnahmenzweck (vgl. E. 2.3.1), womit ein öffentliches Interesse daran besteht. Der Beschwerdeführer trägt nichts vor, das die Zwangsmedikation als unverhältnismässig erscheinen liesse. Entgegen seinem Einwand setzt sich die Vorinstanz auch hinreichend mit seinen Interessen auseinander. Sie zeigt überzeugend auf, dass er trotz therapeutischer Bemühungen bisher keine Krankheits- und Behandlungseinsicht entwickelt habe und eine medikamentöse Behandlung zwingend notwendig sei, um überhaupt mit einer geordneten Psychotherapie beginnen zu können (vgl. auch kantonale Akten, Gutachten vom 28. November 2019 [nachfolgend: Gutachten] S. 39 f. und 44 f.). Gemäss dem Sachverständigen und dem Chefarzt ist ohne angemessene neuroleptisch medikamentöse Behandlung von einer ungünstigen Legalprognose auszugehen, wobei auch ein hohes Risiko für eine intramurale Eskalation anzunehmen sei (kantonale Akten, Gutachten S. 40 und 45; Therapiebericht S. 2). Nur mit einer neuroleptischen Behandlung gelinge es vielleicht, eine Verbesserung zu erreichen, andere gangbare Wege oder Erfolg versprechende alternative Behandlungsmethoden gebe es nicht (kantonale Akten, Therapiebericht S. 3).
Ferner berücksichtigt die Vorinstanz, dass eine medikamentöse Zwangsbehandlung einen schweren Eingriff in die persönliche Freiheit des Beschwerdeführers darstellt und seine Menschenwürde betrifft. Auch zieht sie in Erwägung, dass sich gemäss den Angaben der Fachpersonen im Voraus nicht sicher bestimmen lasse, ob die neuroleptische Zwangsbehandlung geeignet sei, das komplexe Wahnsystem des Beschwerdeführers zu behandeln. Dass sie nach Würdigung der Ausführungen im Gutachten und im Therapiebericht zum Schluss gelangt, die Erfolgsaussichten einer fachgerechten Medikation seien nicht von Vornherein als gering einzustufen, und die Zwangsmedikation als geeignet betrachtet, ist nicht zu beanstanden. Daran ändert nichts, dass mit der Zwangsmedikation lediglich der Versuch unternommen wird, den gewünschten Erfolg zu erzielen. Wie im Therapiebericht zutreffend festgehalten wird, würde ein Absehen von einer Zwangsbehandlung bedeuten, auf die Chance einer deutlichen Verbesserung des Störungsbildes und der Legalprognose zu verzichten (vgl. kantonale Akten, Therapiebericht S. 5). Ob die Zwangsmedikation tatsächlich die erhoffte Wirkung erzielt, wird sich zeigen und im Hinblick auf deren allfällige Weiterführung vertiefter zu prüfen sein (vgl. Urteil 6B_1075/2020 vom 14. Oktober 2020 E. 2.3). Der Beschwerdeführer wendet ein, die Zwangsbehandlung könnte bei ihm allenfalls ein Trauma hervorrufen. Diesbezüglich ist dem Therapiebericht jedoch einschränkend zu entnehmen, dass sich die Belastung bei einer geplanten Zwangsmedikation mit Vorlaufzeit anders und weniger dramatisch präsentiere, als bei der Notfallbehandlung akut psychotischer, hoch erregter Menschen (kantonale Akten, Therapiebericht S. 3 f.).
Soweit der Beschwerdeführer argumentiert, die Verlängerung der stationären therapeutischen Behandlung gemäss <ref-law> ohne Anordnung einer medikamentösen Zwangsbehandlung sei milder und ebenso zielführend, da faktisch jegliche Gefahr für seine Familienmitglieder durch den Verbleib in der JVA unterbunden werde, verkennt er den Zweck der angeordneten stationären therapeutischen Behandlung gemäss <ref-law>. Gegenstand der Massnahme ist eine Therapie, mit welcher das Ziel verfolgt wird, die "Gefahr weiterer mit dem Zustand des Täters in Zusammenhang stehender Taten" zu reduzieren (<ref-law>), d.h. die Legalprognose zu verbessern (<ref-ruling> E. 3.5.3; ausführlich E. 2.3.1). Der Chefarzt hält im Therapiebericht ausdrücklich fest, dass sich die Legalprognose nicht verbessert, wenn der Beschwerdeführer einzig in der JVA untergebracht wird (kantonale Akten, Therapiebericht S. 3). Damit gibt es keine ebenso geeignete, aber mildere Massnahme. Inwiefern das Alter des Beschwerdeführers an dieser Einschätzung etwas ändern soll, ist nicht ersichtlich. Kommt hinzu, dass die stationäre therapeutische Behandlung von psychischen Störungen im Falle des Absehens von einer (zwangsweisen) medikamentösen Behandlung angesichts der eindeutigen Einschätzungen der Fachpersonen wegen Aussichtslosigkeit aufzuheben wäre (vgl. insbesondere kantonale Akten, Therapiebericht S. 4), da sie nicht der reinen Sicherung des Beschwerdeführers dient. Diesfalls wäre die Anordnung einer Verwahrung gemäss <ref-law> zu prüfen. Derzeit stellt sich diese Frage jedoch nicht, da noch nicht alle indizierten Interventionen ausgeschöpft sind (vgl. kantonale Akten, Gutachten S. 40, 44, 46 und 48).
Insgesamt nimmt die Vorinstanz eine umfassende und detaillierte Interessenabwägung vor und gelangt ohne Rechtsverletzung zum Schluss, dass die gesetzlichen Anforderungen an eine Zwangsbehandlung erfüllt sind.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist infolge Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren abzuweisen (<ref-law>). Dem Beschwerdeführer sind reduzierte Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Dem Beschwerdeführer werden Gerichtskosten in der Höhe von Fr. 1'200.-- auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Dezember 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Jacquemoud-Rossari
Die Gerichtsschreiberin: Andres