Sachverhalt:
A.
A.a. A._ wurde am 15. Juni 1977 in U._, Kalifornien/USA, geboren und ist Staatsangehöriger der Vereinigten Staaten und heute in der Schweiz domiziliert. Seine Mutter, B._, ist belgische Staatsangehörige und sein Vater, C._, ist Schweizer Bürger. Die Eltern haben nie geheiratet.
A.b. Am 27. August 2013 anerkannte C._, mit Wohnsitz in V._/BE, vor dem Zivilstandsamt in Bern (den damals 36-jährigen) A._ als sein Kind. Die Kindesanerkennung wurde im Personenstandsregister entsprechend beurkundet.
A.c. Am 27. November 2017 stellte A._ beim Regionalgericht Bern-Mittelland ein Gesuch um Bereinigung des Personenstandsregisters gemäss Art. 42 Abs. 1 ZGB. Er beantragte die Berichtigung dahingehend, dass das Datum der Kindesanerkennung (27. August 2013) neu auf den "1. Oktober 1986" (eventuell den 2. Oktober 1986, subeventuell auf ein gerichtlich zu bestimmendes Datum), und der Ort der Kindesanerkennung (Bern) neu in "Kalifornien (USA) " zu ändern sei.
A.d. Mit Entscheid vom 13. März 2018 wies das Regionalgericht das Gesuch ab.
B.
Gegen den Entscheid des Regionalgerichts gelangte A._ an das Obergericht des Kantons Bern. Mit Entscheid vom 14. Juni 2018 wies das Obergericht die Berufung ab, soweit darauf eingetreten wurde.
C.
Mit Eingabe vom 20. August 2018 hat A._ Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheides und verlangt in der Sache (wie im kantonalen Verfahren) die Berichtigung im Personenstandsregister dahingehend, dass das Datum der Kindesanerkennung (27. August 2013) neu auf den "1. Oktober 1986" (eventuell den 2. Oktober 1986, subeventuell auf ein gerichtlich zu bestimmendes Datum), und der Ort der Kindesanerkennung (Bern) neu in "Kalifornien (USA) " zu ändern sei.
Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Der Zivilstands- und Bürgerrechtsdienst des Kantons Bern hält an den Stellungnahmen im kantonalen Verfahren fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Entscheid des Obergerichts als Rechtsmittelinstanz betreffend die gerichtliche Berichtigung (Art. 42 ZGB) des Personenstandsregisters. Der Entscheid unterliegt der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. b BGG; <ref-ruling> E. 1.1; Urteil 5A_54/2016 vom 15. Juni 2016 E. 1.1, 2.3).
1.2. Der Beschwerdeführer, welcher die gerichtliche Berichtigung des Personenstandsregisters betreffend Angaben über seine Anerkennung als Kind verlangt, hat ein schutzwürdiges Interesse an der Beschwerdeführung (Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG), zumal er geltend macht, dass die betreffenden Angaben von den Behörden, welche sein Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung und der erleichterten Einbürgerung beurteilen, als entscheidend betrachtet werden.
1.3. Mit der Beschwerde kann die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG); zudem kann gerügt werden, ausländisches Recht sei nicht angewendet worden, wie es das schweizerische internationale Privatrecht vorschreibt, oder das nach dem schweizerischen internationalen Privatrecht massgebende ausländische Recht sei nicht richtig angewendet worden, sofern - wie hier - der Entscheid keine vermögensrechtliche Sache betrifft (Art. 96 BGG).
1.4. In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen, wobei hier das Rügeprinzip gilt (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.4). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel sind nur zulässig als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Nach Erlass des angefochtenen Entscheides eingetretene Tatsachen (wie die Feststellung des kantonalen Zivilstands- und Bürgerrechtsdienstes, der Beschwerdeführer habe einen belgischen Pass vorgelegt und auch die belgische Staatsangehörigkeit) können nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 2.1).
1.5. Der Beschwerdeführer beruft sich vergeblich auf Art. 112 Abs. 1 lit. b BGG. Aus dem obergerichtlichen Urteil gehen die massgebenden Gründe tatsächlicher und rechtlichen Natur hervor, damit es auf seine Richtigkeit hin überprüft und sachgemäss angefochten werden kann (<ref-ruling> E. 1.2.1).
2.
Das Obergericht hat geprüft, ob die Eintragung der in Bern erfolgten Kindesanerkennung vom 27. August 2013 in das Personenregister unrichtig war, weil der Zivilstandsbeamte in Unkenntnis wichtiger Tatsachen war. Dazu hat es verschiedene, vom Beschwerdeführer vorgelegte Dokumente geprüft: (1.) die von C._ am 1./2. Oktober 1986 beim Superior Court of California, Orange County, gegen B._ eingereichte Vaterschaftsklage, (2.) die in jenem Verfahren ergangene Verfügung (Court Order) vom 30. Oktober 1986, (3.) das in jenem Verfahren ergangene Urteil (Judgment) vom 11. März 2016 über die Feststellung der Vaterschaft von C._, und schliesslich (4.) die in Kalifornien ausgestellte Geburtsurkunde vom 19. Januar 2010. Das Obergericht ist zum Ergebnis gelangt, dass keines der Dokumente geeignet sei, um die Wirksamkeit der in Bern erfolgten Kindesanerkennung vom 27. August 2013 mit dem Argument zu berichtigen, dass ein Kindesverhältnis bereits bestanden habe und der Zivilstandsbeamte in Unkenntnis von wichtigen Tatsachen gewesen sei. Aus diesem Grund hat die Vorinstanz das Gesuch um Berichtigung von Datum und Ort der Kindesanerkennung abgewiesen.
3.
Anlass zur Beschwerde gibt das Gesuch des Beschwerdeführers um gerichtliche Berichtigung des Personenstandsregisters. Die Berichtigung bezieht sich auf Datum und Ort, mit welchen seine Anerkennung als Kind von C._ beurkundet worden ist. Das Obergericht hat keinen hinreichenden Grund erblickt, um eine Berichtigung anzuordnen. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz insbesondere eine Verletzung der Regeln über die Berichtigung (Art. 42 ZGB), die Kindesanerkennung (Art. 260 ZGB) sowie der Regeln des IPRG über die Anerkennung der im Ausland erfolgten Kindesanerkennung und der ausländischen Entscheide über die Feststellung des Kindesverhältnisses vor.
3.1. Eine Kindesanerkennung kann mit der gerichtlichen Berichtigung gemäss Art. 42 ZGB in Frage gestellt werden. Eine solche Klage betrifft die Gültigkeit (validité) der Anerkennung, und nicht deren Wahrhaftigkeit (veracité); letztere ist Gegenstand des Anfechtungsverfahrens gemäss Art. 260a ff. ZGB (<ref-ruling> E. 4.3; MEIER/STETTLER, Droit de la filiation, 6. Aufl. 2019, Rz. 125, 134).
3.1.1. In den hier vorliegenden internationalen Verhältnissen steht fest, dass C._, Schweizer Bürger mit Wohnsitz in der Schweiz, den Beschwerdeführer vor dem Zivilstandsamt in Bern am 27. August 2013 als sein Kind anerkannte und die Kindesanerkennung im Personenstandsregister entsprechend beurkundet wurde. Unstrittig ist, dass die schweizerischen Behörden zur Entgegennahme der Kindesanerkennung zuständig waren und die Kindesanerkennung nach schweizerischem Recht erfolgt ist (Art. 71 Abs. 1, Art. 72 Abs. 1 IPRG; Wohnsitzstaat des Vaters).
3.1.2. Voraussetzung für die Gültigkeit der Kindesanerkennung nach ZGB ist, dass (nebst dem hier unstrittig bestehenden Kindesverhältnis zur Mutter) nicht bereits ein Kindesverhältnis zu einem Mann - wie zum Vater des Beschwerdeführers - besteht (vgl. MEIER/STETTLER, a.a.O., Rz. 119). Wenn der Beschwerdeführer geltend macht, er sei nicht erst am 27. August 2013, sondern zu einem früheren Zeitpunkt von seinem Vater bereits gültig anerkannt worden, weshalb Datum und Ort zu berichtigen seien, stellt er die Gültigkeit der Kindesanerkennung vom 27. August 2013 in Frage. Dem Beschwerdeführer steht hierfür - wie die Vorinstanz zutreffend angenommen hat - das Vorgehen nach Art. 42 ZGB offen (MEIER/STETTLER, a.a.O., Rz. 134), denn es dient dazu, eine Eintragung zu korrigieren, die bereits im Zeitpunkt der Vornahme unrichtig war, sei es infolge eines Irrtums oder Fehlers des Zivilstandsbeamten, etwa durch unrichtige Gesetzesauslegung, oder deshalb, weil dieser in Unkenntnis wichtiger Tatsachen war (Urteil 5A_756/2015 vom 16. Juni 2016 E. 3.1.2 mit Hinweisen).
3.2. Gemäss Art. 73 Abs. 1 IPRG wird die im Ausland erfolgte Anerkennung eines Kindes in der Schweiz anerkannt, wenn sie nach dem Recht am gewöhnlichen Aufenthalt des Kindes, nach dessen Heimatrecht, nach dem Recht am Wohnsitz oder nach dem Heimatrecht der Mutter oder des Vaters gültig ist. Es genügt (in favorem recognitionis) zur Anerkennung, wenn eine im Ausland erfolgte Kindesanerkennung nach einer in Art. 73 Abs. 1 IPRG genannten Rechtsordnung inhaltlich und der Form nach gültig ist; die bezeichnete Rechtsordnung ist einschliesslich deren IPR anzuwenden (u.a. SCHWANDER, in: Basler Kommentar, Internationales Privatrecht, 3. Aufl. 2013, N. 2, 10, 13 zu Art. 73). Der Beschwerdeführer erblickt in der von seinem Vater am 1./2. Oktober 1986 in Kalifornien erhobenen Vaterschaftsklage eine im Ausland bereits erfolgte und anzuerkennende Kindesanerkennung. Die Vorinstanz geht zutreffend davon aus, dass für die (übergangsrechtliche) Frage, ob eine im Ausland erfolgte Anerkennung in der Schweiz anzuerkennen ist, grundsätzlich das (am 1. Januar 1989 in Kraft getretene) IPRG anzuwenden ist (vgl. Art. 199 IPRG; DUTOIT, Das neue internationale Familienrecht der Schweiz, SJK Nr. 943, 1990, Rz. 42, S. 12).
3.2.1. Anwendungsbereich von Art. 73 Abs. 1 IPRG ("im Ausland erfolgte Anerkennungen") sind in aller Regel keine gerichtliche oder behördliche Entscheidungen. Gegenstand sind private, meist formgebundene Erklärungen, die von ausländischen Behörden oder Gerichten entgegengenommen werden, oder einseitige formgebundene Erklärungen (wie Testament, öffentliche Urkunde) ausserhalb eines Behördenverfahrens (SIEHR/MARKUS, in: Zürcher Kommentar zum IPRG, 3. Aufl. 2018, N. 5 zu Art. 73; SCHWANDER, a.a.O., N. 3 zu Art. 73).
3.2.2. Das Obergericht hat zunächst erörtert, ob eine nach kalifornischem Recht (dem gemäss Art. 73 Abs. 1 IPRG vorgesehenen Heimatrecht des Kindes bzw. Beschwerdeführers) gültige ausländische Kindesanerkennung vorliege. In Kalifornien ist im Fall mit internationalen Bezügen die lex fori das anwendbare Recht (LORENZ, USA/California, in: Bergmann/Ferid, Internationales Ehe- und Kindschaftsrecht, Stand: 2017, S. 6). Die Vorinstanz hat (unter Hinweis auf die Bestimmungen des California Family Code und die Erläuterungen auf der Website des Superior Court of California, Orange County; www.occourts.org, unter "Family"/"Paternity") festgehalten, dass eine gültige Anerkennung für das in Kalifornien geborene Kind (den Beschwerdeführer) nicht bzw. nie vorgelegen habe, weil hierfür im Falle unverheirateter Eltern eine "Voluntary Declaration of Paternity" und damit das Einverständnis der Mutter notwendig sei. Wenn die Mutter nicht einverstanden sei, könne bzw. müsse der Vater gegen die Mutter auf Feststellung der Vaterschaft klagen (vgl. WARDLE/NOLAN, Family Law in the USA, 2011, S. 144, Ziff. 290, 293). Aus diesem Grund habe C._ bereits am 1./2. Oktober 1986 eine Vaterschaftsklage ("Petition" bzw. "Complaint to Establish a Parental Relationship") in Kalifornien gegen die Mutter eingeleitet, damit das Kindesverhältnis zum Beschwerdeführer gerichtlich festgestellt werde. Der Beschwerdeführer stellt die Anwendung des kalifornischen Rechts durch die Vorinstanz und das Ergebnis, dass eine nach kalifornischem Recht gültige Kindesanerkennung nicht vorliege, nicht in Frage. Anlass, die Anwendung des kalifornischen Rechts weiter zu erörtern, besteht nicht.
3.2.3. Weiter hat das Obergericht geprüft, ob nach belgischem Recht (dem gemäss Art. 73 Abs. 1 IPRG vorgesehenen Heimatrecht der Mutter des Beschwerdeführers) eine gültige ausländische Anerkennung vorliege. Nach belgischem internationalen Privatrecht unterliegt die Abstammung dem Heimatrecht derjenigen Person, deren Abstammungsverhältnis zum Kind zu beurteilen ist (vgl. RIGAUX/FALLON, Droit international privé, 3. Aufl. 2005, S. 589, Ziff. 12.114; PINTENS, Belgien, in: Bergmann/Ferid, Internationales Ehe- und Kindschaftsrecht, Stand: 2019, S. 43; vgl. Art. 62 § 1 des Code de droit international privé [ belg. IPRG]), was hier eine Verweisung auf schweizerisches Recht (Heimatrecht des Vaters des Beschwerdeführers; vgl. sogleich E. 3.2.4) sowie kalifornisches Recht (Domizilrecht des Kindes zum Zeitpunkt der umstrittenen Zustimmung; vgl. bereits E. 3.2.2) bedeutet. Die Vorinstanz hat eine Anerkennung der Vaterschaft (auch) nach belgischem Recht (unter Hinweis auf die Bestimmungen des belg. CC sowie eine Rechtsübersicht des Deutschen Instituts für Jugendhilfe und Familienrecht vom 11. März 2010 "Umgangsrecht des biologischen Vaters - Europäische Staaten im Vergleich") geprüft und festgehalten, dass die in Kalifornien am 1./2. Oktober 1986 eingereichte Vaterschaftsklage nicht als Kindesanerkennung gelten könne, zumal sie weder den Form- noch Zustimmungserfordernissen (zur Anerkennung) entspreche. Der Beschwerdeführer stellt zu Recht nicht in Frage, dass das belgische Recht unterscheidet zwischen (einerseits) der Anerkennung des Kindes als freiwilliger einseitiger und in authentischer (öffentlicher) Urkunde abgefasster Erklärung, womit ein Kindesverhältnis festgestellt wird, und (andererseits) dem Verfahren auf gerichtliche Feststellung (GALLUS, Filiation, 2016, S. 114, 133). Weder wird die Anwendung des belgischen Rechts durch die Vorinstanz noch das Ergebnis, dass eine nach belgischem Recht gültige Kindesanerkennung fehle, kritisiert.
3.2.4. Der Beschwerdeführer beruft sich im Wesentlichen darauf, dass die in Kalifornien erfolgte ausländische "Anerkennung" in der Schweiz anzuerkennen sei, da sie nach schweizerischem Recht (dem gemäss Art. 73 Abs. 1 IPRG vorgesehenen Heimatrecht seines Vaters) gültig sei. Er macht geltend, dass die Vaterschaftsklage vom 1. Oktober 1986 sowie die Beilage vom 2. Oktober 1986 "ohne Weiteres" eine Kindesanerkennung im Sinne von Art. 260 Abs. 3 ZGB darstellen könne. Wenn - so das Argument des Beschwerdeführers unter Hinweis auf die Bestimmung des ZGB - die Anerkennung einer von der Mutter oder dem Kind eingereichten Vaterschaftsklage als Kindesanerkennung vor Gericht gelte, dann sei "erst recht" von einer Anerkennung der Vaterschaft auszugehen, wenn der Vater selber eine Vaterschaftsklage gegen die Mutter einreiche und damit dem Gericht beantrage, die Vaterschaft festzustellen; mit der Klage komme der "Wille zur Anerkennung" des Kindesverhältnisses bereits genügend zum Ausdruck.
Die Argumentation überzeugt nicht. Der Beschwerdeführer übergeht, dass Gegenstand von Art. 73 Abs. 1 IPRG grundsätzlich private, formgebundene Erklärungen sind, die von ausländischen Behörden oder Gerichten entgegengenommen werden (E. 3.2.1), welche darauf zu prüfen sind, ob sie statusrechtliche Folgen haben. Worauf sich der Beschwerdeführer beruft, sind jedoch unstrittig Rechtsschriften (bzw. Anträge an das Gericht), mit welchen ein gerichtlicher Entscheid mit statusrechtlichen Folgen erst herbeigeführt werden soll; letzterer kann gegebenenfalls nach Art. 70 IPRG (als "ausländische Entscheidung") anerkannt werden. Der Umstand, dass der Vater des Beschwerdeführers in seiner Klage an ein Gericht gelangt ist - und auch in der Schweiz eine Anerkennung vor Richter erklärt werden kann (Art. 260 Abs. 3 ZGB) -, macht die "Klageeinleitung" nicht zur "Kindesanerkennung". Der Beschwerdeführer stellt selber nicht in Frage, dass sein Vater über die in Kalifornien erhobene Klage vom 1. Oktober 1986 ("Complaint to Establish Parental Relationship") verfügen konnte. Das gilt auch für die Klagebeilage vom 2. Oktober 1986 ("Declaration in Support of OSC ['Order to Show Cause'] requested Orders of Petitioner"), welche der Beschwerdeführer als "eidesstattliche Erklärung" bezeichnet, d.h. als wahre Angabe über Tatsachen, aufgrund derer das Kindesverhältnis festgestellt und Anträge (wie betreffend Vaterschaftstest, Besuchs- und Informationsrechte) begründet werden sollen. Besteht eine Möglichkeit zum Klagerückzug, lässt sich nicht behaupten, die kalifornische Klageschrift und -beilage vom 1./2. Oktober 1986 stelle inhaltlich bereits eine rechtsgestaltende Kindesanerkennung nach schweizerischem Recht dar: Es fehlt die Unwiderruflichkeit der Erklärung, wie sie der Kindesanerkennung eigen ist (vgl. MEIER/ STETTLER, a.a.O., Rz. 118). Dies bringt die Vorinstanz (indirekt) zum Ausdruck, wenn sie darauf hingewiesen hat, die Kindesanerkennung vor dem Richter nach Art. 260 Abs. 3 ZGB setze die Vaterschaftsklage des Kindes oder der Mutter voraus, d.h. nur in diesem Fall führe die vor dem Richter abgegebene einseitige, unwiderrufliche Erklärung zur Anerkennung eines Kindes. Aus der Darstellung des Beschwerdeführers, sein Vater sei im kalifornischen Verfahren (auch) "Beklagter" gewesen, kann er jedenfalls nichts für sich ableiten: Mit der Klage, welche B._ gegen ihn eingeleitet hatte (und mit welcher seine Vaterschaftsklage verbunden wurde), wollte sie gemeinsames Grundeigentum und die Vaterschaft des Beschwerdeführers zu ihrem zweiten Sohn D._ feststellen lassen; eine Klage auf Feststellung der Vaterschaft zum Beschwerdeführer hatte sie nicht erhoben. Dies geht aus der Klage und Beilage vom 1./2. Oktober 1986 hervor, auf welche sich der Beschwerdeführer selber beruft. Wenn das Obergericht zum Ergebnis gelangt ist, dass die beim kalifornischen Gericht eingereichte Klage und Beilage vom 1./2. Oktober 1986 inhaltlich nicht einer schweizerische Kindesanerkennung gleichkomme, stellt dies keine Rechtsverletzung dar.
3.2.5. Nach dem Dargelegten vermag eine frühere, im Ausland erfolgte Kindesanerkennung die Gültigkeit der in Bern erfolgten Kindesanerkennung vom 27. August 2013 nicht in Frage zu stellen.
3.3. Gemäss Art. 70 IPRG werden ausländische Entscheidungen betreffend die Feststellung oder Anfechtung des Kindesverhältnisses in der Schweiz anerkannt, wenn sie im Staat des gewöhnlichen Aufenthaltes des Kindes, in dessen Heimatstaat oder im Wohnsitz- oder im Heimatstaat der Mutter oder des Vaters ergangen sind. Die indirekte Zuständigkeit der kalifornischen Gerichte - im Heimatstaat des Beschwerdeführers - ist ohne Weiteres gegeben.
3.3.1. Der Beschwerdeführer beruft sich zunächst auf die Verfügung ("Court Order") vom 30. Oktober 1986 ("Stipulation and Order on Order to Show Cause or for Judgment"), welche der Superior Court of California, County of Orange, in der anhängig gemachten Streitsache erlassen hat. Diese Verfügung stelle bereits eine ausländische Entscheidung über die Feststellung der Vaterschaft von C._ dar, welche nach Art. 70 IPRG anzuerkennen sei (und der in Bern am 27. August 2013 abgegebenen Kindesanerkennung entgegenstehe). Der Beschwerdeführer übergeht jedoch die allgemeine Anerkennungsvoraussetzung gemäss Art. 25 lit. b IPRG: Erforderlich ist, dass gegen die Entscheidung kein ordentliches Rechtsmittel mehr geltend gemacht werden kann oder dass sie endgültig sein muss. Das trifft für eine prozessuale Verfügung (wie hier mit der Verpflichtung der Parteien, "an der Ausarbeitung eines Berichts zur Sorgerechts- und Besuchsregelung teilzunehmen") jedoch nicht zu (vgl. JAMETTI GREINER, Der Begriff der Entscheidung im schweizerischen internationalen Zivilverfahrensrecht, 1998, S. 105 f.). Beim Court Order vom 30. Oktober 1986 soll es sich - wie der Beschwerdeführer darstellt - um eine Verfügung handeln, welche (mit u.a. der Verpflichtung der Parteien, "über den Wohnsitz zu informieren", "mit den Kindern nicht über Sorgerechts- und Obhutsfragen zu diskutieren") im Sinne einer (materiellen) Vor- oder Zwischenentscheidung das Bestehen einer Vaterschaft bereits voraussetze. Dass mit dem Court Order der Prozess betreffend Vaterschaft abgeschlossen sei, wird nicht behauptet und ist auch nicht ersichtlich, weshalb der Verfügung das grundsätzliche Erfordernis der Endgültigkeit zur Anerkennungsfähigkeit fehlt; eine bloss innerprozessuale Wirkung genügt jedenfalls nicht (vgl. JAMETTI GREINER, a.a.O., S. 108). Soweit der Beschwerdeführer weiter ausführt (mit u.a. Hinweis auf SIEHR/ MARKUS, a.a.O., N. 23 zu Art. 66), in amerikanischen Urteilen über den Kindesunterhalt werde (als Vorfrage auch) über die Vaterschaft entschieden, geht er von vornherein fehl, weil ein derartiges Urteil gar nicht vorliegt. Wenn das Obergericht im Ergebnis angenommen hat, dass der erwähnte Court Order nicht geeignet sei, ein Kindesverhältnis zwischen dem Beschwerdeführer und C._ zu belegen, und die betreffende Verfügung als nicht weiter erheblich betrachtet hat, ist dies nicht zu beanstanden.
3.3.2. Weiter beruft sich der Beschwerdeführer auf das Urteil (Judgment) vom Superior Court of California, County of Orange, welches das Gericht am 11. März 2016 in der Sache erlassen hat. Das Urteil belege, dass das Kindesverhältnis des Beschwerdeführers zu C._ bereits vor der Kindesanerkennung am 27. März 2013 in Bern festgestanden habe. Das Vorbringen ist unbehelflich. Gemäss dem Urteil vom 11. März 2016 hat das kalifornische Gericht gestützt auf die übereinstimmenden, von B._ und C._ am 2. bzw. 9. März 2016 abgegebenen Erklärungen festgestellt ("The parties stipulate and the court finds..."), dass seit der Geburt ein Kindesverhältnis zwischen dem Beschwerdeführer und C._ besteht. Gegenstand des Entscheides sind diese Erklärungen und deren Wirkungen. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers lässt sich dem Urteil nicht entnehmen, dass Gegenstand des Urteils die Feststellung eines bereits früher (z.B. gesetzlich oder durch Anerkennung oder Erklärungen) entstandenen Kindesverhältnisses sei. Ausser Frage steht, dass das Urteil in der im Jahre 1986 angehobenen Streitsache (Verfahrens-Nr. AD 40645) ergangen und (mit Hinweis auf den Rechtsmittelverzicht) rechtskräftig ist. Das Obergericht hat zutreffend geschlossen, dass dieses kalifornische Urteil aus dem Jahre 2016 - mit dem Kindesverhältnis als Gegenstand - in der Schweiz keine weitere Wirkung entfalten kann, weil der Gegenstand bereits wirksam geregelt ist (vgl. Art. 27 Abs. 2 lit. c IPRG; SIEHR/MARKUS, a.a.O., N. 24 zu Art. 70). Das betreffende Urteil vermag die Kindesanerkennung von C._, die früher (am 27. August 2013) in der Schweiz erfolgte und beurkundet ist, in ihrer Gültigkeit nicht in Frage zu stellen.
3.4. Gemäss Art. 32 IPRG wird eine ausländische Entscheidung oder Urkunde über den Zivilstand aufgrund einer Verfügung der kantonalen Aufsichtsbehörde in das Zivilstandsregister eingetragen; die Eintragung wird bewilligt, wenn die Voraussetzungen der Art. 25-27 IPRG (betreffend Kindesanerkennung i.V.m. Art. 73 IPRG) erfüllt sind. Das Obergericht hat zutreffend angenommen, dass Art. 32 IPRG die Befugnisse des Gerichts im Rahmen der Klage nach Art. 42 ZGB nicht einschränkt (Urteil 5A_54/2018 vom 15. Juni 2016 E. 2.3), und sich mit der vom Staat Kalifornien, Department of Public Health, erlassenen Geburtsurkunde vom 19. Januar 2010 befasst ("Certificate of Vital Record, Amendment of Birth Record to reflect Court Order Change of Name").
3.4.1. Der Beschwerdeführer beruft sich auf die kalifornische Geburtsurkunde vom 19. Januar 2010, welche im Zusammenhang mit seiner Namensänderung neu ausgestellt worden sei. Daraus und dem Hinweis auf die zu ersetzende Geburtsurkunde leitet er ab, dass C._ bereits als sein Vater aufgeführt und die Vaterschaft somit bereits rechtsgültig per Geburtsdatum begründet worden sei. Dies habe das Obergericht mit der Weigerung der Nichteintragung bzw. Berichtigung übergangen.
3.4.2. Liegt zum Nachweis der Entstehung eines Kindesverhältnisses (bloss) eine ausländische Geburtsurkunde vor, ist abzuklären ob, wie und wann das Kindesverhältnis zu dem in der Geburtsurkunde als Vater des Kindes bezeichneten Mann entstanden ist (Eidgenössisches Amt für das Zivilstandswesen, Geschäftsfall Anerkennung [Kindesanerkennung im In- und Ausland], Nr. 33.1 vom 1. Dezember 2016, Ziff. 2.2, S. 6). Dass dieses Vorgehen nicht richtig sei, behauptet der Beschwerdeführer zu Recht nicht. Er beschränkt sich auf den aus der Geburtsurkunde zu ziehenden Schluss, dass die Vaterschaftsklage vom 1./2. Oktober 1986 die wirksame Grundlage für die Eintragung von C._ als Vater in der Geburtsurkunde vom 19. Januar 2010 gewesen sei. Rechtliche Anhaltspunkte für diese Auffassung kann der Beschwerdeführer indes - wie bereits dargelegt - nicht ableiten. Dass eine - nach seiner eigenen Darstellung notwendige - Voluntary Declaration of Paternity oder Gerichtsentscheidung über die Feststellung der Vaterschaft vorgelegen hätten, trifft unstrittig nicht zu. Unter diesen Umständen kann dem Obergericht keine Verletzung von Bundesrecht vorgeworfen werden, wenn es in der blossen Nennung von C._ im Birth Certificate aus dem Jahre 2010 keinen Grund gesehen hat, um die Gültigkeit der in der Schweiz am 27. August 2013 erfolgten Kindesanerkennung zu bezweifeln und die verlangte Eintragung einer Kindesanerkennung gestützt auf die vorgelegte Geburtsurkunde vorzunehmen.
3.5. Die weiteren Vorbringen des Beschwerdeführers sind unbehelflich. Er kritisiert als unrichtige Sachverhaltsfeststellung (gemäss Art. 97 BGG) und als Gehörsverletzung (Art. 29 Abs. 2 BV), dass die Vorinstanz an der Identität von C._ gezweifelt habe, weil er u.a. in der Klage vom 1./2. Oktober 1986 mit "C._" (ohne Umlaut) erscheine. Dabei handelt es sich um Eventualerwägungen der Vorinstanz, welche für den Ausgang des Verfahrens - wie dargelegt - nicht entscheiderheblich sind.
3.6. Nach dem Dargelegten hat das Obergericht keine im Ausland vorgängig erfolgte Anerkennung eines Kindes, welche für den Beschwerdeführer nach dem kalifornischen, belgischen oder schweizerischen Recht wirksam wäre, übergangen. Auch der weitere Vorwurf, die Vorinstanz habe eine ausländische Entscheidung oder Zivilstandsurkunde verkannt, ist nicht begründet. Es ist nicht zu beanstanden, wenn das Obergericht zufolge Gültigkeit der von C._ in der Schweiz vorgenommenen Anerkennung des Beschwerdeführers eine Berichtigung (Art. 42 ZGB) der Beurkundung im Personenstandsregisters abgelehnt hat. Damit bleibt es beim beurkundeten Datum (27. August 2013) und Ort der Kindesanerkennung (Bern).
4.
Der Beschwerde ist kein Erfolg beschieden. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zu sprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Zivilstands- und Bürgerrechtsdienst des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. November 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Levante