Sachverhalt:
A.
Am 15. Juni 2019 erstattete A._ in eigenem Namen und im Namen der "wiedereinzutragenden C._ AG" Strafanzeige gegen die Sozialversicherungsanstalt des Kantons Zürich (SVA) und deren Angestellte B._ wegen "Bearbeitung einer inhaltlich falschen Lohndeklaration zu Lasten der C._ AG, eingereicht durch einen unbefugten Dritten, Beihilfe zur Erbringung falscher Tatsachen, die zum Konkurs der C._ AG und seiner Verurteilung geführt hätten, Verletzung der Datenschutzrechte durch Weitergabe von persönlichen Daten der C._ AG an Dritte und allenfalls weiteren Straftaten in diesem Zusammenhang".
Die Staatsanwaltschaft Zü rich-Limmat verfügte am 17. April 2020 die Nichtanhandnahme des Verfahrens.
B.
A._ erhob beim Obergericht Zürich Beschwerde gegen die Nichtanhandnahmeverfügung. Mit Entscheid vom 10. Juli 2020 wurde auf die Beschwerde nicht eingetreten.
C.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen. In seiner Beschwerde vom 27. August 2020 beantragt er, der Entscheid des Obergerichts vom 10. Juli 2020 sowie die Nichtanhandnahmeverfügung seien aufzuheben. Es sei ein Strafverfahren zur Überprüfung der angezeigten Straftaten zu eröffnen. Es sollen zur Sicherstellung der noch ausstehenden SVA-Beiträge dringende Massnahmen vorgenommen werden. Er sei von der Bezahlung der Gerichtsgebühr für den vorinstanzlichen Entscheid zu befreien und für das bundesgerichtliche Verfahren sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Am 4. September 2020 reichte A._ eine weitere Eingabe ein, zusammen mit einer Zahlungsaufforderung der Vorsorgestiftung D._.

Erwägungen:
1.
Anfechtungsobjekt bildet vorliegend ausschliesslich der Entscheid des Obergerichts Zürich vom 10. Juli 2020 (vgl. <ref-law>). Soweit der Beschwerdeführer die Aufhebung der Nichtanhandnahmeverfügung vom 17. April 2020 beantragt, kann daher auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
2.
Der Privatklägerschaft wird ein rechtlich geschütztes Interesse an der Beschwerde zuerkannt, wenn sich der angefochtene Entscheid auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Unbekümmert um die fehlende Legitimation in der Sache selbst kann der Privatkläger die Verletzung jener Parteirechte geltend machen, die ihm nach dem Verfahrensrecht, der Bundesverfassung oder der EMRK zustehen und deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung bedeutet. Zulässig sind nur Rügen formeller Na tur, die von der Prüfung der Sache getrennt werden können. Nicht zu hören sind Rügen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen (sog. "Star-Praxis"; <ref-ruling> E. 1.1 S. 4 f. mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz sei zu Unrecht nicht auf seine Beschwerde eingetreten. Diese Beanstandung ist gemäss "Star-Praxis" einer bundesgerichtlichen Überprüfung zugänglich. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
3.
3.1. Wie soeben dargelegt, beanstandet der Beschwerdeführer, dass die Vorinstanz auf seine Beschwerde nicht eingetreten ist und rügt damit im Wesentlichen eine Verletzung von <ref-law>.
3.2. Jede Partei, die ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung eines Entscheids hat, kann ein Rechtsmittel ergreifen (<ref-law>). Partei ist namentlich die Privatklägerschaft (<ref-law>). Als solche gilt die geschädigte Person, die im Sinne von <ref-law> erklärt, sich am Strafverfahren als Straf- oder Zivilklägerin zu beteiligen, wobei der Strafantrag dieser Erklärung gleichgestellt ist. Als "geschädigt" gilt die Person, die durch die Straftat in ihren Rechten unmittelbar verletzt worden ist (<ref-law>). Unmittelbar verletzt und damit in eigenen Rechten betroffen ist, wer Träger des durch die verletzte Strafnorm geschützten oder zumindest mitgeschützten Rechtsguts ist (<ref-ruling> E. 2.3 S. 495; <ref-ruling> E. 2.2 S. 78; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 457).
Im Zusammenhang mit Strafnormen, die nicht primär Individualrechtsgüter schützen, gelten praxisgemäss nur diejenigen Personen als Geschädigte, die durch die darin umschriebenen Tatbestände in ihren Rechten beeinträchtigt werden, sofern diese Beeinträchtigung unmittelbare Folge der tatbestandsmässigen Handlung ist. Bei Straftaten gegen kollektive Interessen reicht es für die Annahme der Geschä digtenstellung im Allgemeinen aus, dass das von der geschädigten Person angerufene Individualrechtsgut durch den Straftatbestand auch nur nachrangig oder als Nebenzweck geschützt wird. Werden durch Delikte, die (nur) öffentliche Interessen verletzen, private Interessen auch, aber bloss mittelbar beeinträchtigt, so ist die betroffene Person nicht Geschädigte im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 495; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 457).
3.3. Die Vorinstanz erwägt, sofern die "wiedereinzutragende C._ AG" in ihren Rechten unmittelbar betroffen sein sollte, wäre der Beschwerdeführer selbst nicht zur Erhebung der Beschwerde befugt, da er die Rechte der Aktiengesellschaft nicht in eigenem Namen geltend machen könne. Hätte er die Beschwerde im Namen der "wiedereinzutragenden C._ AG" erhoben, wäre darauf nicht einzutreten. Die Aktiengesellschaft sei infolge Konkurs im Jahr 2015 aus dem Handelsregister gelöscht worden. Sie müsste zuerst wieder ins Handelsregister eingetragen werden, um handlungsfähig zu sein. Für eine Wiedereintragung sei weder die Staatsanwaltschaft noch die kantonale Beschwerdeinstanz in Strafsachen zuständig. Insoweit könne auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
Der Beschwerdeführer befasst sich in seiner Beschwerde mit den genannten Erwägungen nicht und er zeigt nicht auf, inwiefern diese unzutreffend sein sollten. Soweit die Vorinstanz auf die im Namen der C._ AG erhobene Beschwerde nicht eingetreten ist, erübrigen sich vorliegend weitere Ausführungen.
3.4. Anschliessend prüft die Vorinstanz die Beschwerdelegitimation des Beschwerdeführers in Bezug auf sämtliche von ihm beanzeigten Delikte. Mit Blick auf den Vorwurf der Amtsgeheimnisverletzung warf der Beschwerdeführer der Beschwerdegegnerin 2 vor, sie habe im Oktober 2013 als Angestellte der Sozialversicherungsanstalt des Kantons Zürich (SVA) eine Kopie der von der C._ AG stammenden Lohndeklaration vom Juni 2013 der Vorsorgestiftung D._ zugestellt. Die Beschwerdegegnerin 2 habe gewusst, dass dies rechtswidrig sei und dazu gedient habe, "unrechtmässige Anpassungen" bezüglich der Angestellten der C._ AG vorzunehmen.
3.4.1. Die Vorinstanz erwägt, der Beschwerdeführer lege weder dar, inwiefern er durch die angebliche Verletzung des Amtsgeheimnisses in seinen eigenen Rechten unmittelbar betroffen sein soll noch sei dies ersichtlich. Jedenfalls gehe es nach seiner Darstellung nicht um eine geheimhaltungswürdige Tatsache aus seiner Privatsphäre. Er sei nicht Geheimnisherr des angeblich von der Beschwerdegegnerin 2 offenbarten Geheimnisses. Ein Geheimhaltungsinteresse könnten nach seiner Darstellung die im Handelsregister gelöschte C._ AG oder allenfalls die damalige Angestellte dieser Gesellschaft (E._) haben. Der Beschwerdeführer sei nicht befugt, deren Rechte im Beschwerdeverfahren geltend zu machen. Auf die Beschwerde sei in Bezug auf den Vorwurf der Verletzung des Amtsgeheimnisses nicht einzutreten.
3.4.2. Der Beschwerdeführer macht unter Verweis auf die beigelegte Lohndeklaration der C._ AG vom 20. Juni 2013 geltend, die Beschwerdegegnerin 2 habe mit der Weitergabe der Kopie der SVA-Lohndeklaration seine privaten und persönlichen Daten wie etwa den versicherten Jahreslohn, die AHV-Nummer und die Beschäftigungszeit einem unbefugten Dritten zugänglich gemacht und damit eine geheimhaltungsbedürftige Tatsache aus seiner Privatsphäre preisgegeben. Dadurch sei er unmittelbar in seinen Rechten verletzt worden und zur Beschwerde vor Vorinstanz legitimiert gewesen.
3.4.3. Gemäss <ref-law> macht sich der Verletzung des Amtsgeheimnisses schuldig, wer ein Geheimnis offenbart, das ihm in seiner Eigenschaft als Mitglied einer Behörde oder als Beamter anvertraut worden ist oder das er in seiner amtlichen oder dienstlichen Stellung wahrgenommen hat. Der Tatbestand von <ref-law> schützt das Interesse der Allgemeinheit an der zur ungehinderten Erfüllung der staatlichen Aufgaben unabdingbaren Verschwiegenheit der Behördenmitglieder und Beamten. Der Tatbestand bezweckt damit in erster Linie die Wahrung öffentlicher Interessen, namentlich das reibungslose Funktionieren der Verwaltung und der Rechtspflege. Soweit das Amtsgeheimnis eine geheimhaltungsbedürftige Tatsache aus der Privatsphäre des Einzelnen betrifft, schützt <ref-law> aber auch das Geheimhaltungsinteresse des Einzelnen. Bei dieser Konstellation erscheint jener in Bezug auf die Verletzung des Amtsgeheimnisses als geschädigte Person (<ref-ruling> E. 5.1 S. 68; Urteile 1B_29/2018 vom 24. August 2018 E. 2.3; 6B_1200/2017 vom 4. Juni 2018 E. 2.3.2; 6B_761/2016 vom 16. Mai 2017 E. 3.4.3; 6B_103/2016 vom 13. Mai 2016 E. 2.2.2).
3.4.4. Die Vorinstanz nimmt in ihrem Entscheid nicht explizit auf die vom Beschwerdeführer im bundesgerichtlichen Verfahren als Beilage 4 eingereichten Unterlagen Bezug. Es ist daher fraglich, ob der Beschwerdeführer die erwähnte Beilage bereits im vorinstanzlichen Verfahren eingereicht hatte und ob er bereits dort geltend gemacht hat, das Amtsgeheimnis beziehe sich auf seine AHV-Nummer und seinen Lohn. Der Beschwerdeführer äussert sich hierzu in seiner Beschwerde vor Bundesgericht nicht. Es kann daher nicht ausgeschlossen werden, dass es sich bei seinem Einwand und den eingereichten Unterlagen um im bundesgerichtlichen Verfahren unzulässige Noven handelt (vgl. <ref-law>). Den besagten Unterlagen kann zudem auch kein Hinweis darauf entnommen werden, dass die Beschwerdegegnerin 2 die Unterlagen einer unbeteiligten Dritten zugestellt hat. Angehängt ist lediglich eine von der Beschwerdegegnerin 2 im Namen der SVA Zürich gestellte Rechnung, die allerdings an die C._ AG adressiert ist. Damit handelt es sich bei den Ausführungen des Beschwerdeführers um blosse Behauptungen, für die er keine hinreichenden Belege einreicht. Die Beschwerde ist in diesem Punkt abzuweisen.
3.5. Der Beschwerdeführer machte in der Strafanzeige weiter geltend, die Vorsorgestiftung D._ habe auf der von der Beschwerdegegnerin 2 zugestellten Lohndeklaration von Hand Anpassungen zugunsten der Vorsorgestiftung D._ vorgenommen. Die angepasste Lohndeklaration habe die Vorsorgestiftung D._ als Beilage zu einem Schreiben vom 28. Oktober 2013 der Beschwerdegegnerin 2 retourniert. Damit habe sich die Beschwerdegegnerin 2 der Beihilfe zur Urkundenfälschung im Amt schuldig gemacht.
3.5.1. Hierzu führt die Vorinstanz aus, der Beschwerdeführer lege nicht dar, inwiefern er durch die angebliche Urkundenfälschung in seinen eigenen Rechten unmittelbar betroffen sein sollte. Soweit ersichtlich, sei der Beschwerdeführer durch die angebliche Urkundenfälschung nicht konkret gefährdet bzw. unmittelbar in seinen eigenen Rechten verletzt worden. Die Lohndeklaration betreffe allenfalls die C._ AG, die Vorsorgestiftung D._ oder E._. Der Beschwerdeführer sei aber nicht befugt, deren Rechte im Beschwerdeverfahren geltend zu machen. Dass der von ihm geschilderte Sachverhalt zu einer strafrechtlichen Verurteilung im Jahr 2014 geführt haben soll und die SVA im Jahr 2019 Schadenersatz für unbezahlt gebliebene SVA-Beiträge von der C._ AG bzw. vom Beschwerdeführer verlangt habe, bewirke zudem lediglich seine mittelbare Betroffenheit. Auf die Beschwerde könne auch in diesem Punkt nicht eingetreten werden.
3.5.2. Die Tatbestände des Urkundenstrafrechts dienen dem Schutz von Sicherheit und Zuverlässigkeit des Rechtsverkehrs mit Urkunden. Sie schützen das besondere Vertrauen, welches von den Teilnehmern am Rechtsverkehr einer Urkunde als Beweismittel entgegengebracht wird (<ref-ruling> E. 3.3.3 S. 159; Urteil 6B_139/2019 vom 22. Oktober 2019 E. 3.1.2). Die Urkundenfälschung im Amt gemäss <ref-law> schützt zusätzlich das besondere Vertrauen, das die Öffentlichkeit den Amtshandlungen des Staates entgegenbringt und ebenso das Interesse des Staates an einer zuverlässigen Amtsführung seiner Beamten, mithin das Vertrauen in die Verlässlichkeit der Beamten und die Amtspflichttreue (MARKUS BOOG, in: Basler Kommentar, Strafrecht II, 4. Aufl. 2019, N. 1 zu <ref-law>). Die Urkundendelikte bezwecken in erster Linie den Schutz der Allgemeinheit. Private Interessen können nur dann unmittelbar verletzt sein, wenn sich das Delikt auf die Benachteiligung einer bestimmten Person richtet, etwa, wenn die Urkundenfälschung auf die Verfolgung eines weitergehenden, wirtschaftlichen Zwecks abzielt und insofern als blosse Vorbereitungshandlung eines schädigenden Vermögensdelikts erscheint. Der Schutz der Strafbestimmung erfasst jedenfalls im Kontext der Urkundenfälschung i.e.S. regelmässig nur diejenigen Teilnehmer am Rechtsverkehr, denen gegenüber die falsche oder unwahre Urkunde gebraucht wird oder gebraucht werden soll, und die gestützt hierauf nachteilige rechtserhebliche Entscheidungen treffen könnten (<ref-ruling> E. 3.3.3 S. 159; Urteile 6B_139/2019 vom 22. Oktober 2019 E. 3.1.2; 6B_968/2018 vom 8. April 2019 E. 2.2.1).
3.5.3. Der Beschwerdeführer wiederholt im bundesgerichtlichen Verfahren die bereits vor Vorinstanz vorgebrachte Argumentation. Die Vorinstanz setzt sich eingehend mit seinen Argumenten auseinander. Sie geht zutreffend davon aus, dass die seiner Ansicht nach zu Unrecht ergangene Verurteilung und seine Verpflichtung zur Leistung von Schadenersatz höchstens eine mittelbare Folge der behaupteten Urkundenfälschung darstellen, dass aber ansonsten keine unmittelbare Betroffenheit ersichtlich ist. Damit verneint die Vorinstanz die Beschwerdelegitimation zu Recht. Soweit der Beschwerdeführer argumentiert, seine strafrechtliche Verurteilung sei nicht rechtmässig und es liege in Bezug auf das Strafurteil ein Revisionsgrund vor, geht die Argumentation fehl. Ein allfälliger Revisionsgrund im bereits rechtskräftig abgeschlossenen Strafverfahren kann nicht Gegenstand der vorliegenden Beurteilung bilden.
3.6. Schliesslich führte der Beschwerdeführer in der Strafanzeige aus, die Beschwerdegegnerin 2 habe sich des Amtsmissbrauchs schuldig gemacht. Sie habe gewusst, dass die von der Vorsorgestiftung D._ zurückgesandte Lohndeklaration rechtswidrig und nicht rechtsgültig unterzeichnet gewesen sei und sich die C._ AG sowie die Vorsorgestiftung D._ in einem Rechtsstreit befunden hätten. Dennoch habe die Beschwerdegegnerin 2 im Oktober 2013 die Lohndeklaration entgegengenommen. Sie habe die Angestellten von der Versichertenliste der C._ AG rückwirkend per 1. Januar 2013 gelöscht. Damit habe sie in Kauf genommen, das der C._ AG zustehende Honorar "nichtig" zu machen und ihr einen erheblichen Schaden zuzufügen. Gleichzeitig habe sie der Vorsorgestiftung D._ und allenfalls sich selbst einen erheblichen Vorteil verschafft.
3.6.1. Dazu erwägt die Vorinstanz, aus den Ausführungen des Beschwerdeführers gehe nicht hervor, inwiefern er durch den angeblichen Amtsmissbrauch in seinen eigenen Rechten unmittelbar verletzt worden sein soll. Dass er aufgrund des behaupteten Amtsmissbrauchs letztlich verurteilt worden sei, lege er nicht plausibel dar und wäre ohnehin eine lediglich mittelbare Auswirkung des angeblichen Delikts. Auf die Beschwerde sei somit auch in Bezug auf den Vorwurf des Amtsmissbrauchs nicht einzutreten.
3.6.2. Amtsmissbrauch ist der zweckentfremdete Einsatz staatlicher Macht. <ref-law> schützt einerseits das Interesse des Staates an zuverlässigen Beamten, welche mit der ihnen anvertrauten Machtposition pflichtbewusst umgehen, und andererseits das Interesse der Bürger, nicht unkontrollierter und willkürlicher staatlicher Machtentfaltung ausgesetzt zu werden (<ref-ruling> E. 1b S. 212; Urteile 6B_297/2018 vom 6. September 2018 E. 4.6.1; 6B_1318/2017 vom 9. Februar 2018 E. 7.2.3 mit Hinweisen). <ref-law> schützt damit sowohl individuelle als auch kollektive Interessen. Es gilt allerdings zu berücksichtigen, dass der Tatbestand inhaltlich weit formuliert ist und dementsprechend auf vielfältige Weise begangen werden kann. Daher hat die betroffene Person, die aus <ref-law> Rechte abzuleiten gedenkt, exakt darzulegen, inwieweit die behauptete amtliche Handlung ihre privaten Interessen verletzt (Urteile 6B_837/2018 vom 9. November 2018 E. 4.2; 6B_1318/2017 vom 9. Februar 2018 E. 7.3 mit Hinweisen).
3.6.3. Auch hier wiederholt der Beschwerdeführer die bereits vor Vorinstanz vorgetragenen Argumente. Inwiefern ihm durch den behaupteten Amtsmissbrauch ein unmittelbarer Schaden entstanden sein soll, ist damit nicht dargelegt. Es kann grundsätzlich auf die zutreffenden vorinstanzlichen Erwägungen verwiesen werden. Auch hier ist die Beurteilung der Vorinstanz, dass die vom Beschwerdeführer als unrechtmässig bezeichnete Verurteilung und die daraus resultierenden finanziellen Folgen nicht als unmittelbarer, sondern allenfalls als mittelbarer Schaden zu qualifizieren sind, bundesrechtskonform. Nicht zielführend ist im Hinblick auf die Frage der Beschwerdelegitimation die Argumentation, wonach die Beschwerdegegnerin 2 vorsätzlich gehandelt habe. Auch aus dem in diesem Zusammenhang eingereichten Schreiben der Beschwerdegegnerin 2 vom 10. April 2013 lässt sich hinsichtlich der Beschwerdelegitimation des Beschwerdeführers im vorinstanzlichen Verfahren nichts ableiten.
3.7. Der Beschwerdeführer macht abschliessend geltend, die Behörden hätten verschiedene seiner Nachträge nicht beachtet und der Sachverhalt sei unrichtig festgestellt worden. Die Vorinstanz befasst sich mit diesen Vorbringen und legt dar, weshalb es nicht erforderlich war, auf sämtliche Vorbringen und Nachträge des Beschwerdeführers einzugehen. Mit diesen Erwägungen setzt sich der Beschwerdeführer nicht substanziiert auseinander. Vielmehr wiederholt er primär seine Ausführungen in der Beschwerdebegründung vor Vorinstanz oder bemängelt die Begründung der Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft. Darauf kann nicht eingegangen werden.
4.
Sein Gesuch um Neuverteilung der kantonalen Verfahrenskosten begründet der Beschwerdeführer nicht, weshalb darauf nicht eingetreten werden kann (vgl. <ref-law>).
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer wird kostenpflichtig (<ref-law>). Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist infolge Aussichtslosigkeit abzuweisen (<ref-law> e contrario). Seinen angespannten finanziellen Verhältnissen ist mit reduzierten Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin 2 ist keine Entschädigung zuzusprechen, da sie im bundesgerichtlichen Verfahren nicht zur Vernehmlassung eingeladen wurde und ihr somit keine Umtriebe entstanden sind. Mit dem Entscheid in der Sache wird das sinngemässe Gesuch um Anordnung vorsorglicher Massnahmen gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. September 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Schär