Sachverhalt:
A.
Mit Eingabe vom 29. September 2015 erhob die damalige Gesellschaft B._, seit dem 6. Juni 2018 B._ AG, (Gesuchsgegnerin, Beschwerdegegnerin) beim Kantonsgericht Zug Klage gegen A._ (Gesuchsteller, Beschwerdeführer) und sechs weitere Beklagte (darunter C._ und D._). Sie beantragte, die Beklagten seien solidarisch zu verpflichten, ihr Fr. 191'338.55 nebst Zins zu bezahlen. Am 7. Oktober 2015 forderte das Kantonsgericht den Gesuchsteller auf, die Klageantwort einzureichen. Mit Eingabe vom 11. Dezember 2015 ersuchte der Gesuchsteller um eine Fristerstreckung von 30 Tagen. In Gutheissung seines Gesuchs erstreckte ihm das Kantonsgericht die Frist zur Einreichung der Klageantwort bis zum 11. Januar 2016. Innert erstreckter Frist reichte er keine Klageantwort ein, weshalb ihm das Kantonsgericht am 22. Februar 2016 eine Nachfrist von 5 Tagen ansetzte. Er liess auch diese Nachfrist unbenutzt verstreichen. Mit Entscheid vom 28. September 2017 verpflichtete das Kantonsgericht Zug ihn und vier weitere Beklagte, die sich zur Klage ebenfalls nicht hatten vernehmen lassen, der Gesuchsgegnerin Fr. 191'338.55 nebst Zins unter solidarischer Haftbarkeit zu bezahlen. Dieser Entscheid wurde dem Gesuchsteller am 2. Oktober 2017 zugestellt. Er erhob innert Frist keine Berufung.
Mit Entscheid vom 27. März 2018 erteilte das Bezirksgericht Brugg der Gesuchsgegnerin in der von ihr gegen den Gesuchsteller angehobenen Betreibung Nr. xxx für den Betrag von Fr. 202'688.55 die definitive Rechtsöffnung. In der Folge stellte die Gesuchsgegnerin das Fortsetzungsbegehren, worauf das Betreibungsamt Holderbank/ Schinznach Bad die Pfändung vollzog.
B.
Mit Eingabe vom 27. April 2018 beim Obergericht des Kantons Zug beantragte der Gesuchsteller, es sei der Entscheid des Kantonsgerichts Zug vom 28. September 2017 aufzuheben. Es sei ihm die Frist zur Erstattung der Klageantwort in diesem Verfahren wiederherzustellen und die Angelegenheit an das Kantonsgericht zur Durchführung des ordentlichen Verfahrens zurückzuweisen. Eventualiter beantragte er die Wiederherstellung der Berufungsfrist.
Mit Verfügung vom 9. Mai 2018 leitete der Präsident der I. Zivilabteilung des Obergerichts das Gesuch um Wiederherstellung der Frist zur Einreichung der Klageantwort an das Kantonsgericht weiter und sistierte das Verfahren betreffend Wiederherstellung der Berufungsfrist bis zum Entscheid des Kantonsgerichts betreffend Wiederherstellung der Frist zur Einreichung der Klageantwort.
Mit Entscheid vom 5. Juli 2018 trat das Kantonsgericht auf das Gesuch um Wiederherstellung der Frist zur Einreichung der Klageantwort nicht ein.
Auf die dagegen erhobene Berufung des Gesuchstellers vom 14. August 2018 trat der Präsident der I. Zivilabteilung des Obergerichts mit Verfügung vom 10. September 2018 nicht ein. Er hob die mit Verfügung vom 9. Mai 2018 angeordnete Sistierung des Verfahrens wieder auf. Ergänzend hielt er fest, es werde in einem nächsten Schritt darüber zu entscheiden sein, ob dem Gesuchsteller die Berufungsfrist wiederherzustellen sei; nachdem die Parteien zu dieser Frage in den Eingaben vom 4. und 20. Juni 2018 beim Kantonsgericht materiell bereits Stellung genommen hätten und ihre dortigen Ausführungen auch im vorliegenden Verfahren zu berücksichtigen seien, würden sich weitere prozessleitende Anordnungen erübrigen. Diese Verfügung blieb unangefochten.
Mit Beschluss vom 7. Dezember 2018 wies das Obergericht das Gesuch um Wiederherstellung der Berufungsfrist ab. Es erwog, der Gesuchsteller habe nicht glaubhaft gemacht, dass ihm die Wahrung der Frist unmöglich gewesen sei und ihn kein oder nur ein leichtes Verschulden treffe.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Gesuchsteller dem Bundesgericht, den Beschluss des Obergerichts aufzuheben und die Frist zur Einreichung einer Berufung gegen den Säumnisentscheid des Kantonsgerichts wiederherzustellen. Eventualiter sei die Sache zur erneuten Beurteilung an das Obergericht zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz beantragt ebenso, die Beschwerde abzuweisen. Der Beschwerdeführer hat unaufgefordert repliziert.
Mit Verfügung vom 21. März 2019 wurde in Gutheissung des Gesuchs des Beschwerdeführers um vorsorgliche Massnahmen das Betreibungsamt Holderbank/Schinznach Bad angewiesen, das Betreibungsverfahren Nr. xxx bis zum Entscheid des Bundesgerichts über die vorliegende Beschwerde zu sistieren.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (Art. 29 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 59; <ref-ruling> E. 1 S. 133; je mit Hinweisen).
1.1. Der Beschwerdeführer hatte den Säumnisentscheid des Kantonsgerichts nicht mit Berufung angefochten, sondern er hat um Wiederherstellung der Berufungsfrist ersucht. Mit dem angefochtenen Beschluss hat die Vorinstanz dieses Gesuch abgewiesen und damit das Verfahren beendet. Es liegt daher ein Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG vor (vgl. Urteile 4A_260/2016 vom 5. August 2016 E. 1.1; 4A_137/2013 vom 7. November 2013 E. 7.3, nicht publ. in: <ref-ruling>). Der Beschwerdeführer bezweckt mit dem Gesuch um Wiederherstellung der Berufungsfrist, das rechtskräftig abgeschlossene Verfahren vor Kantonsgericht wiederzueröffnen, um den Säumnisentscheid, mit welchem er zur Zahlung von Fr. 191'338.55 verpflichtet wurde, mit Berufung anfechten zu können. Die Abweisung des Gesuchs um Fristwiederherstellung hat damit zum definitiven Rechtsverlust des Beschwerdeführers geführt; der Entscheid ist daher ungeachtet der Bestimmung von Art. 149 ZPO mit Beschwerde anfechtbar (<ref-ruling> E. 6 mit Hinweisen; vgl. auch zit. Urteil 4A_260/2016 E. 1.1; Urteil 5A_964/2014 vom 2. April 2015 E. 2.3 a.E.).
1.2. Unbeachtlich sind die Ausführungen in der Beschwerde, soweit sie sich gegen den Säumnisentscheid des Kantonsgerichts richten. Die Beschwerde ist nur gegen den letztinstanzlichen Entscheid zulässig (Art. 75 Abs. 1 BGG). Da im Übrigen die Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt einer hinreichenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) - auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f. mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117, 264 E. 2.3 S. 266). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (Art. 97 Abs. 1 BGG).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von Art. 106 Abs. 2 BGG (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die genannten Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
2.2.
2.2.1. Zu beachten ist, dass das Bundesgericht in die Beweiswürdigung des Sachgerichts nur eingreift, wenn diese willkürlich ist. Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.; <ref-ruling> E. 3.2.5 S. 339). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 362).
2.2.2. Das Recht auf Beweis hindert das Gericht nicht daran, die Beweise antizipiert zu würdigen, wenn es zum Schluss kommt, dass weitere Beweiserhebungen an seinem Urteil nichts zu ändern vermöchten, weil die entsprechenden Beweisanträge offensichtlich untauglich sind oder eine rechtsunerhebliche Tatsache betreffen oder weil das Gericht aufgrund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und willkürfrei davon ausgehen darf, diese würde durch weitere Beweiserhebungen nicht erschüttert (<ref-ruling> E. 5.3 S. 148). Hinsichtlich seiner Kognition ordnet das Bundesgericht die antizipierte Beweiswürdigung unterschiedslos der Sachverhaltsfeststellung resp. Beweiswürdigung zu und greift in diese nur ein, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 376 mit Hinweis).
3.
Umstritten ist, ob der Beschwerdeführer einen Säumnisgrund gemäss Art. 148 Abs. 1 ZPO glaubhaft gemacht hat.
3.1.
3.1.1. Die Vorinstanz hielt fest, der Beschwerdeführer habe in seinem Gesuch um Wiederherstellung der Berufungsfrist ausführen lassen, er leide seit ungefähr drei Jahren an " gewissen geistigen Beeinträchtigungen ", die zur Folge hätten, dass er die Tragweite und/oder die Wichtigkeit von gewissen Sachverhalten nicht erfassen und dementsprechend nicht danach handeln könne. Dies gelte auch für komplexe Rechtsschriften, wie die Klage der Beschwerdegegnerin und Anordnungen von Gerichten und deren Folgen.
Er reiche zum Nachweis seiner geistigen Beeinträchtigungen einen ärztlichen Bericht von Dr. E._ vom 19. April 2018 ins Recht. Darin halte dieser fest, er sei vom Beschwerdeführer und dessen (ehemaligen) Rechtsanwalt F._ am 16. April 2018 aufgesucht worden und habe ihm dringend empfohlen, sich in seinem neuen Wohnkanton einer Untersuchung durch einen Spezialisten zu unterziehen, um den Bedarf an Unterstützung bei der Führung seiner Geschäfte zu ermitteln. Es scheine, dass für ihn aus medizinischen Gründen seit drei Jahren Hilfe notwendig geworden sei.
Aus dem Bericht gehe weder hervor, dass Dr. E._ den Beschwerdeführer untersucht habe, noch werde die von diesem geltend gemachte geistige Beeinträchtigung umschrieben. Die medizinische Situation bleibe damit völlig unklar. Es liege weder ein Befund vor, noch werde eine Diagnose über das Krankheitsbild gestellt. Der Bericht lasse auch offen, in welchen Bereichen und in welchem Mass der Beschwerdeführer beeinträchtigt sei. Vielmehr halte Dr. E._ einzig und ohne irgendwelche Erläuterung fest, es dränge sich eine Untersuchung durch einen Spezialisten auf. Er lege auch nicht ansatzweise dar, weshalb er zum Schluss gelange, der Beschwerdeführer benötige seit rund drei Jahren medizinische Hilfe. Dies erwecke den Anschein, er habe ohne eingehende Untersuchungen unreflektiert die Aussage des Beschwerdeführers bzw. von dessen Rechtsvertreter übernommen. Dies gelte umso mehr, als er den Beschwerdeführer nur bis ins Jahr 2014 ärztlich betreut habe und über die folgende Zeit bis zur Konsultation im April 2018 keinen eigenen Befund habe erheben können. Mit diesem ärztlichen Bericht habe der Beschwerdeführer nicht glaubhaft gemacht, dass er aufgrund einer geistigen Beeinträchtigung nicht in der Lage gewesen sei, fristgerecht zu handeln.
Mit Verweis auf die Beweiswürdigung des ärztlichen Berichts verzichtete die Vorinstanz in antizipierter Beweiswürdigung auch auf die Befragung von Dr. E._.
3.1.2. Die Vorinstanz merkte weiter an, der Beschwerdeführer habe mit Eingabe vom 5. November 2018 mitteilen lassen, er bemühe sich, eine medizinische Diagnose zu erhalten, weshalb er sich bei der Psychiatrische Dienste Aargau AG (PDAG) in neuropsychologischer Abklärung befinde. Dies werde zwar von dieser mit dem der Eingabe beigelegten Schreiben bestätigt, wobei sich aber diesem Schreiben nur entnehmen lasse, der Beschwerdeführer befinde sich bei der PDAG in ambulanter Abklärung. Es habe offenbar noch keine Diagnose gestellt werden können, weshalb völlig offenbleibe, inwieweit er allenfalls geistig beeinträchtigt sei.
3.1.3. Die Vorinstanz erwog sodann in antizipierter Beweiswürdigung, die vom Beschwerdeführer offerierten Zeugen würden nicht bestätigen können, dass er während der 30-tägigen Berufungsfrist sowie der 10-tägigen Wiederherstellungsfrist (das heisst im Zeitraum von Anfang Oktober 2017 bis Mitte November 2017) aufgrund seines Gesundheitszustands nicht in der Lage gewesen sei, seine Rechte zu wahren.
Allgemein sei festzuhalten, dass (abgesehen von Dr. E._) alle angerufenen Zeugen medizinische Laien seien und daher aus dem von ihnen wahrgenommenen Verhalten des Beschwerdeführers keine zuverlässigen Schlüsse auf dessen Gesundheitszustand ziehen könnten. Dies gelte umso mehr, als anzunehmen sei, die Zeugen hätten sich nur sporadisch und jeweils für kurze Zeit mit ihm getroffen. Hinzu komme, dass die Rechtsanwälte F._ und Thierry Cagianut sowie C._ erst im April 2018 mit dem Beschwerdeführer (wieder) in Kontakt gekommen seien und daher nicht bestätigen könnten, dass dieser von Anfang Oktober bis Mitte November 2017 an einer geistigen Beeinträchtigung gelitten habe.
Auch D._, der dem Beschwerdeführer im Rechtsöffnungsverfahren geholfen haben soll, könne nichts über dessen Gesundheitszustand im relevanten Zeitraum aussagen, da das Rechtsöffnungsverfahren erst nach Mitte November 2017 durchgeführt worden sei. Auch wenn dieser in der E-Mail vom 27. April 2018 an Rechtsanwalt Thierry Cagianut bestätigt habe, er habe den Beschwerdeführer unterstützt (Vorbereitung der Fristerstreckungsgesuche vom 12. und 26. Januar 2018 sowie der Stellungnahme vom 9. Februar 2018), nachdem er habe feststellen müssen, dass dieser dazu nicht in der Lage und auf Hilfestellung angewiesen gewesen sei, würde die Schilderung nur belegen, dass der Beschwerdeführer allenfalls " auf Hilfestellung angewiesen sei ". Auf der anderen Seite habe der Beschwerdeführer offenbar hinsichtlich des Rechtsöffnungsverfahrens den Ernst der Lage erkannt und sei nicht nur bereit gewesen, die ihm angebotene Hilfe anzunehmen, sondern auch in der Lage die von D._ vorbereitete Eingaben zu unterzeichnen und dem Gericht einzureichen. Insofern sei nicht glaubhaft, dass es ihm permanent nicht möglich oder zumutbar gewesen sei, zumindest die Interessenwahrung an einen Dritten zu übertragen.
3.2. Soweit der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde unter dem Titel Prozessgeschichte Ausführungen tatsächlicher Natur macht, ohne jedoch hinreichende Sachverhaltsrügen zu erheben (vgl. hiervor E. 2.1), kann darauf nicht eingetreten werden. Es ist vom Sachverhalt auszugehen, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat.
3.3. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör. Die Vorinstanz habe seine Eingabe vom 6. Dezember 2018 nicht berücksichtigt, womit er ein ärztliches Attest von Dr. G._ eingereicht habe. Die Noveneingabe sei nicht verspätet erfolgt. Denn die Vorinstanz hätte ihm mittels förmlicher Mitteilung den Übergang des Verfahrens in die Urteilsberatung anzeigen müssen. Ebenso hätte die Gehörsverletzung verhindert werden können, wenn das Verfahren nach seiner Eingabe vom 5. November 2018 (vgl. E. 3.1.2 hiervor) sistiert worden wäre.
Es ist unbestritten, dass die Vorinstanz die Eingabe des Beschwerdeführers vom 6. Dezember 2018 nicht berücksichtigt hat. Sie führt in ihrer Vernehmlassung dazu aus, die entsprechende Eingabe sei erst am 11. Dezember 2018 bei ihr eingegangen, sodass sie - weil der angefochtene Beschluss bereits am 7. Dezember 2018 gefällt worden sei - die Eingabe schon rein faktisch nicht (mehr) habe berücksichtigen können.
Die Rüge des Beschwerdeführers geht fehl. Aufgrund der Präsidialverfügung vom 10. September 2018 (vgl. hiervor Sachverhalt B) war für ihn klar erkennbar, dass das Verfahren aufgrund Spruchreife in die Phase der Urteilsberatung übergegangen ist (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.5 S. 418). Damit war sowohl die erste Noveneingabe vom 5. November 2018 als auch die zweite Noveneingabe vom 6. Dezember 2018 verspätet. Die Vorinstanz hat daher keine Gehörsverletzung begangen, wenn sie seine Eingabe vom 6. Dezember 2018 in ihrem Entscheid nicht berücksichtigt hat. Entgegen dem Beschwerdeführer ändert daran auch der Umstand nichts, dass die Vorinstanz die erste verspätete Noveneingabe vom 5. November 2018 nicht aus dem Recht gewiesen, sondern der Beschwerdegegnerin zur Kenntnisnahme zugestellt hat und in ihrem Beschluss ergänzend auf die Eingabe eingegangen ist. Aus der Zustellung der Noveneingabe an die Beschwerdegegnerin durfte er jedenfalls nicht ohne Weiteres ableiten, die Vorinstanz hätte die Präsidialverfügung vom 10. September 2018 widerrufen wollen. Unbegründet ist auch die Rüge, wonach die Vorinstanz das Verfahren hätte sistieren sollen. Wie die Beschwerdegegnerin zu Recht ausführt, hat der Beschwerdeführer in seiner Eingabe vom 5. November 2018 keine Sistierung beantragt. Vielmehr hat er in dieser Eingabe die Vorinstanz ausdrücklich ersucht, "die Glaubhaftmachung des Säumnisgrundes [...] anhand der bereits offerierten Beweismittel zu überprüfen". Die Vorinstanz musste somit nicht davon ausgehen, er habe weitere Tatsachen ins Verfahren einbringen wollen. Damit kann offenbleiben, ob die Berücksichtigung der Eingabe überhaupt etwas am Verfahrensausgang geändert hätte.
3.4. Der Beschwerdeführer rügt eine willkürliche Beweiswürdigung des ärztlichen Berichts von Dr. E._. Zudem wirft er der Vorinstanz vor, sie habe in unzulässiger antizipierter Beweiswürdigung auf dessen Befragung verzichtet.
3.4.1. Vorab ist festzuhalten, dass es sich beim eingereichten ärztlichen Bericht nicht um eine Urkunde gemäss Art. 168 Abs. 1 lit. b ZPO handelt, sondern nur um eine Parteibehauptung. Denn der Beschwerdeführer hat Dr. E._ am 16. April 2018 zusammen mit seinem früheren Anwalt F._ konsultiert und am 27. April 2018 wurde das Gesuch um Wiederherstellung der Frist beim Obergericht des Kantons Zug eingereicht. Es ist somit davon auszugehen, dass der ärztliche Bericht im Hinblick auf das Gesuch um Wiederherstellung der Berufungsfrist erstellt wurde. Von den Parteien in Auftrag gegebene Stellungnahmen sind in Bezug auf Fragen, die in gleicher Weise zum Gegenstand eines Gerichtsgutachtens gemacht werden könnten, nach dem Willen des Gesetzgebers für sich allein nicht zum Beweis geeignet und fallen insoweit auch nicht unter den Begriff der Urkunde (<ref-ruling> E. 2.5.3 S. 437; Urteil 4A_66/2018 vom 15. Mai 2019 E. 2.2). Sie gelten vielmehr als blosse Parteibehauptungen (<ref-ruling> E. 2.6 S. 437; vgl. zum Ganzen auch Urteile 4A_9/2018 vom 31. Oktober 2018 E. 5.1; 4A_309/2017 vom 26. März 2018 E. 2.3.6).
Selbst wenn beim besagten ärztlichen Bericht von einer Urkunde ausgegangen würde, geht die Rüge des Beschwerdeführers fehl. Denn er legt nicht rechtsgenügend dar, inwiefern die Würdigung des ärztlichen Berichts offensichtlich unhaltbar sein soll (vgl. E. 2.2.1). Die Vorinstanz hat ihre Feststellung - der ärztliche Bericht erwecke den Eindruck, es seien ohne eigene eingehende Untersuchung unreflektiert die Aussagen des Beschwerdeführers bzw. seines Rechtsvertreters wiedergegeben worden - ausführlich begründet (vgl. hiervor E. 3.1.1). Damit setzt sich der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde kaum auseinander. Er begnügt sich im Wesentlichen mit dem Hinweis, Dr. E._ sei Mitglied der FMH. Gemäss deren Standesordnung sei bei der Erstellung von Arztzeugnissen sorgfältig vorzugehen und dürften keine Gefälligkeitszeugnisse erstellt werden. Dies genügt nicht, um die Beweiswürdigung der Vorinstanz als willkürlich auszuweisen. Entgegen dem Beschwerdeführer ging die Vorinstanz im Übrigen auch nicht davon aus, es habe überhaupt keine Untersuchung stattgefunden, sondern nur, dass keine eingehende Untersuchung stattgefunden habe und sich aus dem Bericht selbst nicht ergebe, ob eine Untersuchung stattgefunden habe.
3.4.2. Auch der Verzicht auf die Befragung von Dr. E._ in antizipierter Beweiswürdigung ist - entgegen dem Beschwerdeführer - nicht willkürlich. Der Beschwerdeführer legt nicht ansatzweise dar, was Dr. E._ im Falle einer Zeugenbefragung zu seinen Gunsten ausgesagt hätte, was sich nicht bereits aus dem ärztlichen Bericht ergibt. Damit ist aber auch nicht dargetan, inwiefern die Zeugenbefragung die vorinstanzliche Würdigung des ärztlichen Berichts verändert hätte, zumal von der Vorinstanz im Rahmen der Würdigung des ärztlichen Berichts berücksichtigte Umstände, wie beispielsweise die auftragsrechtliche Vertrauensstellung, auch im Falle einer Beweisabnahme weiter bestanden hätten. Es ist daher jedenfalls nicht willkürlich, wenn die Vorinstanz davon ausgeht, der Zeuge würde im Wesentlichen wiederholen, was sich bereits aus dem ärztlichen Bericht ergibt.
3.5. Der Beschwerdeführer rügt auch im Bezug auf die übrigen offerierten Zeugen eine unzulässige antizipierte Beweiswürdigung.
3.5.1. Die antizipierte Beweiswürdigung der Vorinstanz betreffend die Zeugen F._, Thierry Cagianut sowie C._ beruhte darauf, dass es sich bei den Zeugen um medizinische Laien handle, welche erst im April 2018 mit dem Beschwerdeführer (wieder) in Kontakt gekommen seien und daher keine Angaben zum relevanten Zeitraum (Anfang Oktober bis Mitte November 2017) machen könnten (vgl. hiervor E. 3.1.3).
Der Beschwerdeführer legt nicht rechtsgenügend dar, inwiefern dies offensichtlich unrichtig sein soll. Er ist der Ansicht, es sei ausreichend, wenn die Zeugen das Vorliegen des Säumnisgrundes zu gewissen Zeitpunkten innerhalb des relevanten Zeitraumes bezeugen könnten, daraus könne man ableiten, der Säumnisgrund habe während des ganzen relevanten Zeitraums vorgelegen. Der Beschwerdeführer übersieht dabei, dass der vorliegend relevante Zeitraum von Anfang Oktober bis Mitte November 2017 dauerte. Während dieser gesamten Zeitspanne haben die offerierten Zeugen den Beschwerdeführer gemäss den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz nicht getroffen (vgl. hiervor E. 3.1.3). Aussagen dieser Zeugen zum Verhalten bzw. Zustand des Beschwerdeführers würden sich somit nicht auf den relevanten Zeitraum, sondern auf April 2018 beziehen. Damit wäre nicht glaubhaft gemacht, dass der Beschwerdeführer während dem relevanten Zeitraum von Anfang Oktober bis Mitte November 2017 nicht in der Lage war, seine Rechte zu wahren bzw. einen Dritten damit zu beauftragen.
3.5.2. Die obigen Ausführungen gelten grundsätzlich auch betreffend den Zeugen D._, wobei dieser den Beschwerdeführer nach dessen Aussage bereits Ende Dezember 2017 besucht haben soll, was aber immer noch ausserhalb des relevanten Zeitraums liegt.
Der Beschwerdeführer ist aber der Ansicht, wenn D._ die geistigen Beeinträchtigungen per Ende Dezember 2017 hätte bezeugen können, sei es nach allgemeiner Lebenserfahrung zumindest wahrscheinlich, dass die Erkrankung des Beschwerdeführers bereits drei Monate vorher - ab dem 2. Oktober 2017 - vorgelegen habe.
Die Rüge geht fehl. Der Zeuge als medizinischer Laie hätte nicht eine Erkrankung des Beschwerdeführers bezeugen, sondern nur Aussagen zu dessen Verhalten während des besagten Besuchs Ende Dezember 2017 machen können, woraus bestenfalls Rückschlüsse auf dessen medizinische Verfassung zu diesem Zeitpunkt hätten gezogen werden können. Der Beschwerdeführer legt im Übrigen auch nicht hinreichend dar, was D._ im Rahmen einer Zeugenbefragung hätte aussagen können, was sich nicht bereits aus der E-Mail vom 27. April 2018 ergibt (vgl. hiervor E. 3.1.3). Zudem war der Beschwerdeführer im Rahmen des Rechtsöffnungsverfahrens durchaus in der Lage Hilfe beizuziehen. Es stellt sich daher die Frage, weshalb er offenbar in der ganzen Zeit bis zum Besuch bei Dr. E._ am 16. April 2018 keinen Arzt aufgesucht hat, wenn er angeblich bereits Monate vorher krank gewesen sein soll. Es ist daher jedenfalls nicht willkürlich, wenn die Vorinstanz auf die Befragung von D._ verzichtet.
Die Vorinstanz konnte somit - ohne in Willkür zu verfallen - in antizipierter Beweiswürdigung auf die Befragung der offerierten Zeugen verzichten.
4.
Die Beschwerde ist demnach abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zug, I. Zivilabteilung, und dem Betreibungsamt Holderbank/Schinznach Bad schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Juli 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Gross