Sachverhalt:
A.
A.A._ (geb. 1969; Beschwerdeführer) und B.A._ (geb. 1962; Beschwerdegegnerin) heirateten 1996. Sie sind die gemeinsamen Eltern eines mittlerweile volljährigen Sohnes. Im April 2008 trennten sich die Eheleute. Nach Abschluss des Eheschutzverfahrens klagte B.A._ am 25. Mai 2010 beim Bezirksgericht Uster auf Scheidung der Ehe und Regelung der Nebenfolgen.
Mit Verfügung vom 13. Juli 2016 wies das Bezirksgericht den Antrag von A.A._ ab, über den Scheidungspunkt ein Teilurteil zu fällen und die Ehe der Parteien in Gutheissung der Klage sofort zu scheiden.
B.
Hiergegen erhob A.A._ am 1. August 2016 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich und wiederholte sein Begehren, es sei die Ehe in einem Teilurteil sofort zu scheiden. Mit Beschluss vom 5. Oktober 2016 (eröffnet am 25. Oktober 2016) trat das Obergericht auf die Beschwerde nicht ein.
C.
Am 7. November 2016 ist A.A._ mit Beschwerde in Zivilsachen ans Bundesgericht gelangt. Er beantragt, in Aufhebung des Beschlusses des Obergerichts sei über den Scheidungspunkt ein Teilurteil zu fällen und seine Ehe mit B.A._ sofort zu scheiden. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen.
Mit Eingaben vom 26. Januar und vom 16. Februar 2018 verzichten das Obergericht und B.A._ auf das Einreichen einer Vernehmlassung und stellen keine Anträge. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Nichteintretensentscheid (<ref-law>) über die Anfechtung einer erstinstanzlichen prozessualen Anordnung in einem Scheidungsverfahren, nämlich die Weigerung im Scheidungspunkt ein Teilurteil zu fällen. Hierbei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der vor Bundesgericht insbesondere anfechtbar ist, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG; <ref-ruling> E. 1.1).
1.1.1. Ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG muss rechtlicher Natur sein, was voraussetzt, dass er sich auch mit einem späteren günstigen Entscheid nicht oder nicht gänzlich beseitigen lässt. Die blosse Möglichkeit eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils rechtlicher Natur genügt. Dagegen reichen tatsächliche Nachteile wie die Verfahrensverlängerung oder -verteuerung nicht aus (<ref-ruling> E. 2.5; <ref-ruling> E. 6; je mit Hinweisen).
Vorliegend ist das Obergericht nicht auf die Beschwerde vom 1. August 2016 eingetreten, weil kein nicht leicht wiedergutzumachender Nachteil nach Art. 319 Bst. b Ziff. 2 ZPO drohe. Gegenstand des vorliegenden Verfahrens ist damit einzig die Frage, ob dieser Nichteintretensentscheid der Vorinstanz rechtens war. Trotz dieser Beschränkung des Verfahrensthemas bemisst sich die Frage des nicht wieder gutzumachenden Nachteils nach Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG nicht aufgrund des Nichteintretensentscheids der Vorinstanz als solchem, d.h. daran, ob dieses Prozessurteil mit Beschwerde gegen den Endentscheid noch überprüft werden könnte. Massgebend sind vielmehr die Auswirkungen des Zwischenentscheids auf die Hauptsache (zum Ganzen <ref-ruling> E. 1.2.2; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.2).
1.1.2. Der Beschwerdeführer sieht durch das Vorgehen der Vorinstanz vorab sein Recht auf Ehe nach Art. 12 EMRK sowie <ref-law> als verletzt an. Indem die kantonalen Gerichte sich weigerten, in einem Teilurteil die Ehe mit der Beschwerdegegnerin zu scheiden - es sei unbestritten, dass die Ehe aufgelöst werden solle -, verunmöglichten sie es ihm bis zum Abschluss des Scheidungsverfahrens, der noch Jahre entfernt sei, seine neue Lebenspartnerin zu heiraten. Dieser Nachteil könne auch mit dem Endurteil in der Hauptsache nicht beseitigt werden.
1.1.3. Ob der Beschwerdeführer gestützt auf das verfassungsmässige Recht auf Ehe, welches auch das Recht auf Wiederverheiratung umfasst, im Scheidungsverfahren Anspruch auf ein Teilurteil über den Scheidungspunkt hat, kann an dieser Stelle nicht beantwortet werden. Dies beschlägt die Begründetheit der Beschwerde an das Obergericht und ist nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens (vgl. E. 1.1.1 hiervor). Immerhin wird dieser Standpunkt für gewisse Fallkonstellationen in der Lehre vertreten (vgl. dazu das Urteil 5A_638/2016 vom 2. Dezember 2016 E. 3.5.3 und die dortigen Hinweise). Erfolgt die anbegehrte Scheidung nicht, kann der Beschwerdeführer erst nach Ausfällung des Endurteils eine neue Ehe eingehen (<ref-law>). Durch Verweigerung eines Teilurteils wird damit bis dahin gegebenenfalls in sein verfassungsmässiges Recht auf Ehe eingegriffen, was vorliegend umso gravierender erscheint, als das Scheidungsverfahren sich aktenkundig schon fast über acht Jahre hinzieht und sein Abschluss noch nicht absehbar ist. Dieser Eingriff liesse sich auch mit dem Endurteil nicht mehr beseitigen. Der angefochtene Zwischenentscheid könnte damit einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken.
1.2. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1). Diese beschlägt ein Ehescheidungsverfahren und damit eine insgesamt nicht vermögensrechtliche Zivilsache im Sinn von <ref-law> (vgl. Urteil 5A_573/2017 vom 19. Oktober 2017 E. 1.1). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit auch gegen den Zwischenentscheid gegeben. Der Beschwerdeführer ist weiter gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Vor Bundesgericht ist (allein) strittig, ob das Obergericht auf die bei ihm erhobene Beschwerde hätte eintreten müssen (vgl. vorne E. 1.1.1). Gemäss Art. 319 Bst. b Ziff. 2 ZPO sind prozessleitende Verfügungen mit Beschwerde anfechtbar, wenn durch sie ein nicht leicht wiedergutzumachender Nachteil droht.
Nach Ansicht der Vorinstanz sind damit nur solche rechtlichen oder tatsächlichen Nachteile angesprochen, die sich direkt im Verfahren auf die Rechtsstellung der Parteien auswirken bzw. auswirken können. Die Verweigerung des Teilurteils im Scheidungspunkt begründe keinen Nachteil rechtlicher Natur, der sich direkt im Verfahren oder potentiell auf den Verfahrensgang auswirke. Insbesondere werde der Scheidungsanspruch des Beschwerdeführers nicht gefährdet und sei nicht ersichtlich, dass dessen sonstige rechtliche Stellung im Verfahren beeinträchtigt würde, namentlich durch einen unmittelbaren Eingriff in geschützte Rechte. Weiter habe der Beschwerdeführer nicht dargetan, dass ihm aus der Verfügung der Erstinstanz ein Nachteil tatsächlicher Natur erwachse. Ein solcher könne auch nicht darin gesehen werden, dass er mit dem Eingehen der neuen Ehe noch zuwarten müsse. Allfällige Nachteile würden ihn bzw. die neue Lebenspartnerin ohnehin einzig ausserhalb des Verfahrens treffen.
2.2. Wie dargelegt vermag der Beschwerdeführer einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil geltend zu machen, sodass das Bundesgericht auf die Beschwerde in Zivilsachen eintritt (vorne E. 1.1). Hieraus folgt ohne weiteres, dass auch das Obergericht die Beschwerde hätte an die Hand nehmen müssen: Nach der Rechtsprechung zieht ein Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil nach Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG bewirkt, erst recht einen nicht leicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 319 Bst. b Ziff. 2 ZPO nach sich (<ref-ruling> E. 2.2; Urteile 5A_638/2016 vom 2. Dezember 2016 E. 2.5.3; 4A_713/2014 vom 17. Dezember 2015 E. 3; 4A_415/2014 vom 12. Januar 2015 E. 2, nicht publiziert in: <ref-ruling>). Unter diesen Umständen erübrigen sich Weiterungen zu dieser Eintretensfrage. Folglich ist das Obergericht zu Unrecht nicht auf die Beschwerde vom 1. August 2016 eingetreten.
3.
3.1. Nach dem Ausgeführten erweist sich die Beschwerde in Zivilsachen als begründet. Der angefochtene Beschluss ist aufzuheben und die Sache ist zur Prüfung der Frage, ob über den Scheidungspunkt ein Teilurteil zu fällen ist, an die Vorinstanz zurückzuweisen (<ref-law>). Nachdem das Obergericht sich im angefochtenen Beschluss hierzu nicht äusserte, besteht für das Bundesgericht entgegen dem Hauptantrag des Beschwerdeführers kein Anlass, selbst über diese Frage zu entscheiden (vgl. <ref-ruling> E. 3.2). Die Vorinstanz wird sodann die Kosten der kantonalen Verfahren neu zu verlegen haben.
Unter diesen Umständen braucht auf die weiteren Vorbringen des Beschwerdeführers nicht mehr eingegangen zu werden. Dies gilt namentlich auch für die Rüge der Gehörsverletzung (<ref-law>) sowie den Vorwurf der Rechtsverzögerung im Scheidungsverfahren. Letzterer geht ohnehin am Streitgegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens vorbei, der einzig die Frage des Eintretens auf die Beschwerde vom 1. August 2016 umfasst.
3.2. Die Rückweisung der Sache zum erneuten Entscheid gilt, selbst wenn der Ausgang des Verfahrens offen ist, im Hinblick auf die Gerichtskosten und die Parteientschädigung als vollständiges Obsiegen. Unerheblich bleibt, ob sie beantragt und ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder Eventualantrag gestellt wurde (<ref-ruling> E. 11.1; Urteil 5A_577/2016 vom 13. Februar 2017 E. 4). Dementsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>) und hat diese dem Beschwerdeführer die Parteikosten zu ersetzen (<ref-law>). Hieran ändert nichts, dass sie im bundesgerichtlichen Verfahren keine Anträge gestellt hat: Zwar hat sie den aufzuhebenden Entscheid nicht mitverschuldet. Indes liegt kein derart gravierender Verfahrensfehler (Justizpanne) vor, dass sich ausnahmsweise ein Abweichen von den Grundsätzen der Kostenverlegung rechtfertigen würde (vgl. Urteile 5A_932/2016 vom 24. Juli 2017 E. 2.2.4; 5A_61/2012 vom 23. März 2012 E. 4; je mit Hinweisen).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
In teilweiser Gutheissung der Beschwerde wird der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, vom 5. Oktober 2016 aufgehoben und die Sache zum Entscheid an das Obergericht zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, und dem Bezirksgericht Uster schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. März 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber