Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, durch eine widerrechtliche Enteignung zu Beginn der 1990er Jahre seien die C._ AG sowie die D._ AG in den Konkurs getrieben worden. Für einen Teil des angeblich entstandenen Schadens macht er die Bank B._ verantwortlich, welche ihn genötigt habe, das damalige Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau in der Enteignungssache zu akzeptieren. Der Beschwerdeführer gelangte unzählige Male an die Justizbehörden des Kantons Thurgau und auch an politische Behörden mit Begehren um Rückübertragung des enteigneten Grundstücks und um Schadenersatz.
Mit Entscheid vom 8. / 10. Mai 2017 trat das Bezirksgericht Arbon auf die vom Beschwerdeführer gegen die Bank B._erhobene Grundbuchberichtigungs- bzw. Schadenersatzklage von Fr. 70 Mio. nicht ein, da er den Kostenvorschuss nicht bezahlt hatte. Es auferlegte ihm die Verfahrenskosten von Fr. 1'000.--, unter Anrechnung von Fr. 10.--. Die gegen diesen Entscheid erhobenen Rechtsmittel blieben erfolglos (Urteil 5A_798/2017 vom 12. Oktober 2017).
Mit Entscheid vom 13. April 2018 erteilte das Bezirksgericht Arbon in der Betreibung Nr. zzz des Betreibungsamts W._ gegenüber dem Beschwerdeführer definitive Rechtsöffnung für die Verfahrenskosten von Fr. 990.--.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer unter anderem Beschwerde an das Obergericht des Kantons Thurgau. Mit Entscheid vom 4. April 2019wies das Obergericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
Am 7. Mai 2019 ist der Beschwerdeführer "zwecks Fristenwahrung" an das Bundesgericht gelangt, hat jedoch ausgeführt, er erwarte vorerst keine Überprüfung, da er die Bearbeitung durch das Bundesverwaltungsgericht abwarten wolle. Das Bundesgericht hat ihn gebeten mitzuteilen, wenn er die Eröffnung des Verfahrens wünsche. Am 13. Mai 2019 hat das Bundesverwaltungsgericht dem Beschwerdeführer mitgeteilt, weder als Beschwerde- noch als Aufsichtsinstanz zuständig zu sein. Am 20. Mai 2019 hat er das Bundesgericht sinngemäss gebeten, seine Beschwerde an die Hand zu nehmen, wenn die Auffassung des Bundesverwaltungsgerichts richtig sein sollte. Nachdem ihm das Bundesverwaltungsgericht mit einem weiteren Schreiben vom 27. Mai 2019 nochmals bestätigt hatte, nicht zuständig zu sein, hat der Beschwerdeführer das Bundesgericht am 28. Mai 2019 erneut um Eröffnung des Beschwerdeverfahrens gebeten.
2.
Gegen den Entscheid des Obergerichts vom 4. April 2019 steht der Rechtsmittelweg an das Bundesgericht offen. Aufgrund des tiefen Streitwerts (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-law>) ist die Eingabe des Beschwerdeführers als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln (<ref-law>). In einer subsidiären Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 117 i.V.m. <ref-law> in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399; <ref-ruling> E. 2.4 S. 368).
3.
Ansätze einer Beschwerdebegründung sind einzig der Eingabe vom 20. Mai 2019 zu entnehmen. Allenfalls will der Beschwerdeführer zudem seine an das Bundesverwaltungsgericht gerichtete Beschwerde berücksichtigt wissen, die er seiner Eingabe vom 7. Mai 2019 an das Bundesgericht im Original beigelegt hat. Der Beschwerdeführer legt jedoch in keiner seiner Eingaben in nachvollziehbarer Weise dar, weshalb der angefochtene Entscheid bzw. die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung gegen verfassungsmässige Rechte verstossen soll. Der vom Beschwerdeführer angerufene Anspruch auf Staatshaftung ist nicht Gegenstand des Rechtsöffnungsverfahrens. Das Rechtsöffnungsverfahren dient auch nicht dazu, abgeschlossene Verfahren (z.B. das gesamte Enteignungsverfahren oder auch nur das Verfahren, welches zum als Rechtsöffnungstitel dienenden Urteil geführt hat) neu aufzurollen. Nicht berücksichtigt werden kann das Schreiben des Bezirksgerichts vom 5. März 2019 über eine Sistierung des Betreibungsverfahrens (<ref-law>), zumal der Beschwerdeführer nicht aufzeigt, inwiefern dadurch das Rechtsöffnungsverfahren betroffen sein könnte. Soweit er sich gegen die Abweisung seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege durch das Obergericht wehrt und auf seine Mittellosigkeit verweist, übergeht er, dass das Obergericht sein Gesuch wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde abgewiesen hat.
Die Beschwerde enthält damit offensichtlich keine hinreichende Begründung. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch den Abteilungspräsidenten nicht einzutreten (Art. 117 i.V.m. <ref-law>).
4.
Es rechtfertigt sich ausnahmsweise, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird damit gegenstandslos. Soweit der Beschwerdeführer zusätzlich einen Offizialanwalt verlangt, hat ihm das Bundesgericht bereits mitgeteilt, es liege an ihm, einen Anwalt oder eine Anwältin mit der Interessenwahrung zu betrauen. Eine Unfähigkeit zur Prozessführung gemäss <ref-law>, die zur Bestellung eines Anwalts durch das Bundesgericht führen könnte, liegt nicht vor.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juni 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Zingg