Sachverhalt:
A.
Der 1963 geborene A._ meldete sich im November 2014 unter Hinweis auf psychische Störungen bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach beruflichen Massnahmen, Abklärungen - insbesondere Einholung des psychiatrischen Gutachtens des Dr. med. B._ vom 30. November 2017 und des bidisziplinären (psychiatrisch/orthopädisch) Gutachtens der Dres. med. B._ und C._ vom 23. Juli 2018 - und Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte die IV-Stelle des Kantons St. Gallen mit Verfügung vom 15. Januar 2020 einen Rentenanspruch.
B.
Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen hiess die dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 31. März 2021gut; es hob die Verfügung vom 15. Januar 2020 auf und sprach A._ eine halbe Invalidenrente ab dem 1. Mai 2015zu.
C.
Die IV-Stelle beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten die Aufhebung des Entscheids vom 31. März 2021 und die Bestätigung ihrer Verfügung vom 15. Januar 2020. Ferner ersucht sie um aufschiebende Wirkung der Beschwerde.
A._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen und unentgeltliche Rechtspflege beantragen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
Im angefochtenen Entscheid wurden die rechtlichen Grundlagen für den Anspruch auf eine Invalidenrente (Art. 7 f. ATSG und <ref-law>), zur Invaliditätsbemessung (<ref-law>) sowie zur Bedeutung und Beweiskraft medizinischer Unterlagen (<ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 3a) zutreffend dargelegt. Richtig ist auch der vorinstanzliche Hinweis, wonach die Einschränkungen infolge psychischer Erkrankungen grundsätzlich anhand systematisierter Indikatoren zu beurteilen sind (<ref-ruling>; <ref-ruling>). Darauf wird verwiesen.
3.
Im bidisziplinären Gutachten vom 23. Juli 2018 stellten die Dres. med. B._ und C._ folgende Diagnosen mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit: chronisches zervikozephales Schmerzsyndrom ohne Radikulopathie (ICD-10: M35.0); Belastungs- und Bewegungseinschränkung des rechten Schultergelenks (ICD-10: M57.4); medial betonte Gonarthrose des rechten Kniegelenks (ICD-10: M17.1); chronifizierte, rezidivierende depressive Störung, gegenwärtig und im Verlauf überwiegend mittelgradig (ICD-10: F33.8). In somatischer Hinsicht hielten die Experten die angestammte Tätigkeit für nicht mehr, hingegen leidensadaptierte (d.h. körperlich leichte bis intermittierend mittelschwere, wechselbelastende, überwiegend sitzend auszuübende) Arbeiten für uneingeschränkt zumutbar. Unter psychischen Aspekten attestierten sie eine Arbeitsunfähigkeit von 50 % vom Mai 2014 bis November 2017 und von 70 % ab Dezember 2017.
Die Vorinstanz hat diesem Gutachten in Bezug auf den medizinischen Sachverhalt Beweiskraft beigemessen; von den ärztlichen Einschätzungen der Arbeitsfähigkeit ist sie lediglich insoweit abgewichen, als sie zwischen November und Dezember 2017 keine Zustandsverschlechterung eruieren konnte. Dementsprechend hat sie festgestellt, der Versicherte sei seit der "Krankschreibung" vom 27. Mai 2014 - abgesehen von Zeiten stationärer und teilstationärer Behandlungen - in leidensangepassten Tätigkeiten zu 50 % arbeitsfähig. Sodann hat sie mittels eines Prozentvergleichs den Invaliditätsgrad auf 50 % festgelegt und den Anspruch auf eine halbe Invalidenrente ab Mai 2015 bejaht.
4.
4.1. Umstritten ist einzig, ob die vom psychiatrischen Experten Dr. med. B._ attestierte Arbeitsunfähigkeit in Bezug auf einen Rentenanspruch von rechtlicher Relevanz ist. Die IV-Stelle verneint dies, indem sie im Wesentlichen argumentiert, Dr. med. B._ sei ausdrücklich von einem bio-psycho-sozialen Krankheitsbild ausgegangen, und das Beschwerdebild sei massgeblich durch psychosoziale und soziokulturelle Faktoren geprägt. Nach Darstellung des Gutachters würde deren Wegfallen zu einer weitgehenden Besserung der gesundheitlichen Störung führen, weshalb von vornherein nicht von einem verselbstständigten, rechtlich relevanten Gesundheitsschaden auszugehen sei.
4.2. Der im Hinblick auf Rentenleistungen der Invalidenversicherung geltende enge (bio-psychische) Krankheitsbegriff klammert soziale Faktoren so weit aus, als es darum geht, die für die Einschätzung der Arbeitsunfähigkeit kausalen versicherten Faktoren zu umschreiben. Die funktionellen Folgen von Gesundheitsschädigungen werden hingegen auch mit Blick auf psychosoziale und soziokulturelle Belastungsfaktoren abgeschätzt, welche den Wirkungsgrad der Folgen einer Gesundheitsschädigung beeinflussen (<ref-ruling> E. 3.4.2.1 mit Hinweisen). Soweit soziale Belastungen direkt negative funktionelle Folgen zeitigen, bleiben sie ausgeklammert, gilt es doch sicherzustellen, dass gesundheitlich bedingte Erwerbsunfähigkeit zum einen (<ref-law>) und nicht versicherte Erwerbslosigkeit oder andere belastende Lebenslagen zum andern nicht ineinander aufgehen (<ref-ruling> E. 4.3.3 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 5a; vgl. auch <ref-ruling> E. 4.5.2). Psychosoziale Belastungsfaktoren können jedoch mittelbar zur Invalidität beitragen, wenn und soweit sie zu einer ausgewiesenen Beeinträchtigung der psychischen Integrität als solcher führen, welche ihrerseits eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit bewirkt, wenn sie einen verselbstständigten Gesundheitsschaden aufrechterhalten oder den Wirkungsgrad seiner Folgen verschlimmern (Urteile 9C_10/2021 vom 15. Juni 2021 E. 3.3.1; 8C_559/2019 vom 20. Januar 2020 E. 3.2 mit Hinweis; vgl. auch Urteil 8C_407/2020 vom 3. März 2021 E. 4.1).
Da die Invalidenversicherung finalen, nicht kausalen Charakter hat, ist die Ursache einer einwandfrei festgestellten psychischen Erkrankung invalidenversicherungsrechtlich nicht von Bedeutung. Es braucht für die Annahme einer Invalidität ein medizinisches Substrat, das (fach-) ärztlicherseits schlüssig festgestellt wird und nachgewiesenermassen die Arbeits- und Erwerbsfähigkeit wesentlich beeinträchtigt (Urteile 8C_407/2020 vom 3. März 2021 E. 4.2; 8C_207/2020 vom 5. August 2020 E. 5.2.2; vgl. auch <ref-ruling> E. 5a).
4.3. Die Vorinstanz hat gestützt auf die Beurteilungen des Dr. med. B._ und unter Berücksichtigung der gesamten Aktenlage festgestellt, psychosoziale Faktoren - namentlich die Kündigung des langjährigen Anstellungsverhältnisses im Mai 2014 und die Problematik im Zusammenhang mit der Trennung und Scheidung von der Ehefrau - hätten zur Entstehung und Aufrechterhaltung der ärztlich diagnostizierten rezidivierenden depressiven Störung beigetragen oder seien allenfalls gar Hauptursachen für deren Entstehung gewesen. Dr. med. B._ habe aber ein eigenständiges medizinisches Substrat mit funktionellen Auswirkungen schlüssig festgestellt und dargelegt, dass sich eine im Klassifizierungssystem des ICD-10 gelistete psychische Störung entwickelt habe. Mehrere Ärzte (so auch Dr. med. D._ vom Regionalen Ärztlichen Dienst und der behandelnde Psychiater Dr. med. E._) hätten e inen verselbstständigten Gesundheitsschaden attestiert.
4.4.
4.4.1. Die IV-Stelle macht nicht geltend, und es ist auch nicht ersichtlich, dass die soeben wiedergegebenen vorinstanzlichen Feststellungen offensichtlich unrichtig (unhaltbar, willkürlich: <ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweisen; Urteil 9C_84/2021 vom 2. August 2021 E. 2) sein sollen, oder dass die Diagnose einer chronifizierten, rezidivierenden depressiven Störung, gegenwärtig und im Verlauf überwiegend mittelgradig (ICD-10: F33.8), vom psychiatrischen Gutachter nicht lege artis gestellt worden wäre.
4.4.2. Entgegen der Auffassung der IV-Stelle lässt sich in concreto ein verselbstständigter Gesundheitsschaden nicht einzig mit dem Argument verneinen, die gesundheitliche Störung würde sich verbessern oder möglicherweise ganz entfallen, wenn die psychosozialen und soziokulturellen Belastungsfaktoren wegfielen. Solche Faktoren und ihre Entwicklung sind mit Blick auf die Komplexe "Persönlichkeit" und "sozialer Kontext" (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2 und 4.3.3) bei der Beurteilung von Einschränkungen infolge psychischer Erkrankungen grundsätzlich stets zu berücksichtigen. Dem trug Dr. med. B._ Rechnung, indem er zwar ausführte, dass die Depression ohne die genannten Faktoren "deutlich schwächer" ausfiele, aber gleichzeitig darlegte, dass sich der Versicherte diesen nicht entziehen könne. Zudem konnte der Experte weder die zu erwartende Verbesserung quantifizieren noch sagen, ob die seit Jahren in mittelgradiger Ausprägung bestehende depressive Störung "komplett sistieren würde".
Aus der von der Beschwerdeführerin angerufenen Rechtsprechung ergibt sich nichts zu ihren Gunsten. Im Urteil 9C_194/2017 vom 29. Januar 2018 E. 6.3.4 wurde ein verselbstständigter Gesundheitsschaden nicht verneint, vielmehr wurde den psychosozialen Verhältnissen bei der Würdigung der Indikatoren gemäss <ref-ruling> Rechnung getragen. Auch im Urteil 9C_740/2018 vom 7. Mai 2019 E. 5 standen psychosoziale Faktoren der Annahme eines relevanten Leidens nicht entgegen. Im Urteil 9C_171/2020 vom 12. Mai 2020 E. 5.1 wurde - anders als hier - bereits im zugrunde liegenden, als beweiskräftig erachteten Gutachten eine eigenständige Störung verneint. Im Urteil 8C_582/2017 vom 22. März 2018 E. 5.4 wurde zwar angesichts psychosozialer Belastungsfaktoren ein verselbstständigtes psychisches Leiden mit Krankheitswert verneint. Indessen stellte das Bundesgericht im Urteil 8C_407/2020 vom 3. März 2021 E. 4.1 klar, dass die Beurteilung der psychosozialen Belastungsfaktoren der eigentlichen Prüfung der Standardindikatoren nicht vorangestellt und, gleichsam als läge ein Ausschlussgrund (vgl. <ref-ruling> E. 2.2) vor, ein invalidisierender Gesundheitsschaden losgelöst von dieser Prüfung verneint werden darf. Somit ging die Vorinstanz auch nicht von einem falschen Verständnis des Begriffs eines "verselbstständigten" Leidens aus.
4.4.3. Demnach bleibt die (implizite) vorinstanzliche Feststellung eines verselbstständigten Gesundheitsschadens für das Bundesgericht verbindlich (vgl. vorangehende E. 1 und E. 4.3 in fine).
4.5. Sodann hat die Vorinstanz zutreffend (vgl. vorangehende E. 4.2) erwogen, dass die ärztlich festgestellte Pathologie invalidenversicherungsrechtlich relevant bleibt, solange - wie hier - psychosoziale oder soziokulturelle Faktoren einen Gesundheitsschaden aufrechterhalten oder den Wirkungsgrad seiner Folgen verschlimmern.
In concreto sind zudem keine Ausschlussgründe für die Bejahung einer Invalidität (im Sinne von <ref-ruling> E. 2.2) ersichtlich, und solche werden auch nicht vorgebracht. Demnach hat das kantonale Gericht kein Recht verletzt, indem es dem festgestellten psychischen Leiden nicht von vornherein unter Verweis auf vorhandene psychosoziale und soziokulturelle Belastungsfaktoren die invalidisierende Wirkung abgesprochen hat.
4.6. Zur Beweiskraft des bidisziplinären Gutachtens vom 23. Juli 2018 und zur vorinstanzlichen Feststellung, wonach sich Dr. med. B._ bei seiner Einschätzung der Arbeitsfähigkeit am strukturierten Beweisverfahren resp. an den massgeblichen Standardindikatoren (vgl. <ref-ruling> E. 4.1.3) orientiert habe, äussert sich die IV-Stelle mit keinem Wort, weshalb sich diesbezügliche Weiterungen erübrigen. Damit bleibt auch die vorinstanzliche Feststellung betreffend die Arbeitsfähigkeit (vgl. vorangehende E. 3) für das Bundesgericht verbindlich. Die Beschwerde ist unbegründet.
5.
Mit diesem Urteil wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
6.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Der obsiegende Beschwerdegegner hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat Rechtsanwältin Amanda Guyot für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieser Entscheid wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. September 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Dormann