Faits :
A.
A.a. A._, né en 1962, a été engagé en qualité d'agent au sein de la police municipale par la Commune de Veyrier (ci-après: la commune) le 1er août 1988. Après avoir été confirmé dans ses fonctions deux ans plus tard, il a été nommé au grade d'appointé en 1992, puis de caporal en 2009 et, enfin, de sergent en 2010 avec le titre d'adjoint du chef de service depuis 2016. Son cahier des charges incluait notamment la gestion des plannings, des horaires et des vacances des agents et des patrouilleuses scolaires ainsi que le contrôle et la correction des événements inscrits sur la main courante.
Le 1er juillet 2018, le sergent-major B._ a été nommé chef de service en remplacement de son prédécesseur, C._. Dès 2019, avec le caporal K._ (chef de groupe et remplaçant du sergent) et quatre agents, à savoir D._, E._ et F._ - qui avaient au moins 10 années de service à leur actif - ainsi que G._, entré en fonction le 3 janvier 2019, la police municipale de la commune comptait sept personnes.
A.b. Dès son entrée en fonction, le sergent-major a entrepris de mettre à jour les procédures en place. Constatant qu'à différentes reprises, le service n'était assuré que par un seul agent alors que la sécurité commandait un service en binôme, il a requis du sergent et du caporal davantage de rigueur dans la planification des congés (voir son courriel 17 décembre 2018). Il a également décidé de procéder à des entretiens d'évaluation semestrielle de tous les collaborateurs, lesquels n'avaient plus eu lieu depuis 2011. A._ a été convoqué à un tel entretien le 1er mars 2019. Sa qualité de travail a été qualifiée d'insuffisante par le chef de service: il était attendu davantage d'esprit d'initiative et de leadership de la part du sergent, notamment en relation avec les nouvelles compétences de la police municipale depuis la réforme de 2013; l'intéressé était invité à privilégier les besoins du service et à responsabiliser le caporal K._ en lui déléguant les actions opératives. B._ a également exprimé ses vives préoccupations en ce qui concernait le comportement du sergent au travail, jugé insatisfaisant. Depuis sa prise de service, il avait constaté que l'ambiance n'était pas sereine et qu'il existait une coupure entre les agents, d'une part, et le sergent et le caporal, d'autre part, qui s'isolaient du groupe et ne jouaient pas leur rôle d'encadrement. Le malaise de l'équipe était très perceptible. Par ailleurs, lors des entretiens d'évaluation avec les agents, certains d'entre eux lui avaient parlé de propos peu flatteurs tenus par le sergent envers eux ainsi que d'insultes du type "idiot" ou "connard". Contestant ces faits, A._ n'a pas signé le formulaire d'évaluation. Il a alors été convoqué à un entretien de service qui s'est déroulé le 11 mars 2019 en présence notamment de la secrétaire générale et d'une conseillère administrative de la commune.
A.c. Par lettre du 1er avril 2019, le Conseil administratif communal (ci-après: le conseil administratif) a informé A._ de son intention de lui infliger un avertissement et lui a imparti un délai pour se déterminer à ce sujet. Il lui était reproché de dévaloriser régulièrement les membres de son équipe par des commentaires dénigrants, ainsi que d'avoir traité de "connard" l'appointé F._ le 21 décembre 2018 au cours du repas de fin d'année et d' "idiot" l'appointé G._ à une autre occasion. Dans cette lettre, le conseil administratif a par ailleurs pris acte du fait que le sergent avait en partie reconnu les faits lors de l'entretien de service et s'était engagé à ce qu'ils ne se reproduisent plus. Agissant par l'intermédiaire d'un avocat, A._ a vivement contesté les allégations d'insultes dont il n'existait pas de preuve, indiquant qu'il se réservait d'agir à l'encontre des personnes ayant tenu ces fausses accusations; il suggérait une séance de médiation (cf. détermination du 5 mai 2019).
Le 22 mai 2019, le conseil administratif a tenu une séance au cours de laquelle il a entendu un à un les agents au sujet de leurs déclarations au chef de service lors des entretiens d'évaluation. Par décision du 3 juin 2019, le conseil administratif a finalement infligé un blâme à A._. En sus de l'usage de termes dénigrants à l'égard des membres de l'équipe, ce prononcé mentionnait le fait que le sergent ne respectait pas les directives du chef de service et qu'avant même la prise de fonction de ce dernier, il avait oeuvré à jeter le discrédit sur lui auprès des agents.
A.d. Le 3 juin 2019, le conseil administratif a également adressé une lettre de mise en demeure formelle au sergent, par laquelle il l'informait qu'après avoir auditionné les agents le 22 mai 2019 et s'être entretenu avec le chef de service, de nouvelles violations des obligations lui incombant et survenues postérieurement aux évaluations personnelles du mois de février avaient été portées à sa connaissance. Il s'agissait en particulier des infractions suivantes: refus de travailler en binôme avec les agents de la police municipale; refus d'effectuer les tâches qui lui étaient assignées ou qui relevaient de son cahier des charges ou de son grade; diffusion de fausses informations à la population; refus de relayer (fidèlement) aux agents de la police municipale les instructions du chef de service; non-respect des horaires assignés; et, enfin, tenue incorrecte (notamment cheveux aux épaules et barbe mal taillée). Dans cette lettre, il était précisé que si le sergent ne se conformait pas à ses obligations, le conseil administratif ouvrirait à son encontre une nouvelle procédure disciplinaire pouvant aboutir à son licenciement.
A.e. En prévision de son absence du 30 mai au 9 juin 2019, B._ a encore une fois insisté auprès de tous pour que la planification des services journaliers soit respectée. Par courriel du 3 juin 2019, F._ s'est plaint auprès de la secrétaire générale de la commune du fait que le sergent et le caporal ne respectaient pas la planification du service prévue. D._ a fait de même le 5 juin suivant. A la suite de ces courriels, la secrétaire générale a agendé une séance avec tous les agents le 21 juin 2019.
A.f. Dans l'intervalle, le 7 juin 2019, le docteur H._ a établi un certificat attestant une incapacité de travail de 100 % de A._ du 7 au 30 juin 2019, laquelle a ensuite été prolongée régulièrement.
A.g. Le 6 janvier 2020, le conseil administratif a informé A._ qu'il envisageait de résilier son contrat de travail de façon ordinaire et lui a imparti un délai non prolongeable de 20 jours pour exercer son droit d'être entendu. Parmi les reproches retenus figuraient le non-respect des instructions du chef de service, le fait de consigner des informations contraires à la vérité dans les mains courantes et le fait de modifier abusivement les plannings, notamment dans le but de dissimuler une absence non justifiée du caporal; référence était faite à des épisodes qui s'étaient déroulés durant l'absence du chef de service du 30 mai au 9 juin 2019. L'intéressé, représenté par un avocat, a produit une détermination le 27 janvier 2020. Par décision du 27 février 2020, la commune a prononcé le licenciement au terme du délai de congé de six mois et a déclaré la décision exécutoire nonobstant recours. Le sergent a été libéré de son obligation de travailler durant cette période (lettre du 26 mars 2020).
Par ailleurs, après avoir donné à A._ l'occasion d'exercer son droit d'être entendu, le conseil administratif a refusé de lui octroyer l'augmentation ordinaire de traitement afférente à l'année 2020 au motif qu'il avait manqué à ses obligations contractuelles durant la période de juillet 2018 à juin 2019 (décision du 24 mars 2020).
B.
Par acte du 4 juillet 2019, A._ a recouru contre la décision de sanction disciplinaire du 3 juin 2019 devant la Chambre administrative de la Cour de Justice de la République et canton de Genève. Celle-ci a entendu les parties en audience de comparution personnelle le 2 décembre 2019. Le 27 avril 2020, le prénommé a également formé recours contre la décision de licenciement ainsi que contre le refus d'augmentation de traitement. Par décision du 12 mai 2020, la chambre administrative a ordonné la jonction des trois causes sous le numéro A/2550/2019.
Par arrêt du 6 octobre 2020, elle a rejeté les recours.
C.
A._ forme un recours en matière de droit public contre cet arrêt dont il requiert l'annulation, en concluant principalement à l'annulation des décisions des 3 juin 2019 (sanction disciplinaire), 27 février 2020 (résiliation ordinaire) et 24 mars 2020 (refus d'augmentation du traitement) ainsi qu'à sa réintégration au poste de sergent de la police municipale de la commune. Subsidiairement, il conclut au prononcé d'un avertissement en lieu et place d'un blâme ainsi qu'au versement d'une indemnité de 261'966 fr. correspondant à vingt-quatre mois de traitement en catégorie maximum avec intérêt à 5 % dès le 27 février 2020. Plus subsidiairement encore, il demande le renvoi de la cause à l'instance précédente pour qu'elle statue conformément aux considérants.
La commune conclut au rejet du recours.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours en matière de droit public n'est pas recevable contre les décisions en matière de rapports de travail de droit public qui concernent une contestation non pécuniaire, sauf si elles touchent à la question de l'égalité des sexes (art. 83 let. g LTF). En présence de contestations pécuniaires, toujours en matière de rapports de travail de droit public, le recours n'est recevable que si la valeur litigieuse est de 15'000 francs au moins ou si la contestation soulève une question juridique de principe (<ref-law>).
1.2. Dans la mesure où le recourant conteste la fin des rapports de travail et le refus d'augmentation de traitement qui lui est liée, il s'agit de contestations pécuniaires atteignant la valeur-seuil de 15'000 fr. (<ref-law>). La contestation ne peut en revanche pas être qualifiée de pécuniaire en tant qu'elle porte sur la sanction disciplinaire prononcée contre le recourant, de sorte que le recours en matière de droit public sur ce point n'est en principe pas recevable, eu égard à l'art. 83 let. g LTF. Toutefois, dès lors que le recourant invoque dans ce cadre la violation de ses droits constitutionnels, en particulier les art. 9 et 29 al. 2 Cst., son recours peut être reçu comme recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 et 116 LTF). En tant que partie à la procédure cantonale, disposant de surcroît d'un intérêt juridique à l'annulation de la décision attaquée, le recourant a qualité pour agir au sens de l'<ref-law>.
1.3. Pour le surplus, le recours a été interjeté en temps utile (<ref-law>) contre une décision finale (<ref-law>) prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il est donc recevable.
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (<ref-law>). Si la partie recourante entend s'en écarter, elle doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ils ont été établis de façon manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2 p. 117), ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>) et en quoi la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques appellatoires portant sur l'appréciation des preuves ou l'établissement des faits par l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 2.3). Dans le cas d'un recours constitutionnel subsidiaire, il statue également sur la base des faits constatés dans la décision attaquée; il ne peut toutefois rectifier ou compléter les constatations de fait de l'autorité précédente que si les faits ont été établis en violation des droits constitutionnels (<ref-law> en corrélation avec l'<ref-law>).
2.2. En outre, le Tribunal fédéral ne revoit l'interprétation et l'application du droit cantonal que sous l'angle de l'arbitraire. Il ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci se révèle insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, ou si elle a été adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain, ce qu'il appartient au recourant de démontrer par une argumentation qui réponde aux exigences des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF (cf. <ref-ruling> consid. 3.2). En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision critiquée soient insoutenables, encore faut-il que cette dernière soit arbitraire dans son résultat. Si l'interprétation défendue par l'autorité précédente ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, elle sera confirmée, même si une autre solution paraît également concevable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 4.3 et les arrêts cités).
3.
Le recourant se plaint d'une violation de son droit d'être entendu à différents titres.
3.1. Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. comporte plusieurs aspects, dont le droit pour l'intéressé de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision soit prise touchant sa situation juridique, d'avoir accès au dossier, de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou à tout le moins de s'exprimer sur son résultat, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 4.1 et les arrêts cités). Par ailleurs, la garantie constitutionnelle n'empêche pas le juge de mettre un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, il a la certitude que ces dernières ne pourraient pas l'amener à modifier son opinion (<ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 6.3.1). En particulier, le droit d'être entendu ne comprend pas le droit d'être entendu oralement, ni celui d'obtenir l'audition de témoins; l'autorité de jugement peut renoncer à faire citer des témoins si elle peut dénier à ces témoignages une valeur probante décisive pour le jugement (<ref-ruling> consid. 2.1; arrêt 2C_850/2014 du 10 juin 2016 consid. 6.1, non publié in <ref-ruling>). Le refus d'une mesure probatoire par appréciation anticipée des preuves ne peut être remis en cause devant le Tribunal fédéral qu'en invoquant l'arbitraire (art. 9 Cst.) de manière claire et détaillée (<ref-law>; cf. arrêt 2C_1125/2018 du 7 janvier 2019 consid. 5.1 et les références citées).
3.2.
3.2.1. Le recourant reproche tout d'abord à la cour cantonale d'avoir violé l'art. 29 al. 2 Cst. en retenant que la commune avait respecté son droit de s'exprimer avant le licenciement. Il relève que l'intimée lui avait certes offert, le 6 janvier 2020, la possibilité de se déterminer conformément à ce qui est prévu dans le Règlement du personnel communal, mais elle l'avait fait en sachant qu'il était en incapacité de travail totale dûment attestée par des certificats médicaux. Pourtant, il l'avait informée, par courrier du 27 janvier 2020, du fait que son état de santé s'était fortement dégradé et qu'il n'était pas en mesure d'exercer son droit d'être entendu, l'invitant à attendre son retour au travail ou qu'il fût en état de se défendre. Ce nonobstant, la commune l'avait licencié le 27 février 2020. Par ailleurs, il avait demandé à la cour cantonale d'auditionner ses médecins traitants, les docteurs H._ et I._, qui avaient établi les certificats médicaux. Leur témoignage lui aurait permis de démontrer qu'il n'était pas capable de prendre position sur les motifs de son licenciement. Enfin, quand bien même il avait pu s'exprimer par écrit durant la procédure cantonale, il était de jurisprudence constante que l'omission pour un employeur public d'entendre le fonctionnaire auquel elle voulait signifier son congé constituait une violation du droit d'être entendu, dont la gravité empêchait toute réparation devant l'autorité de recours.
En l'occurrence, il ne ressort pas de l'arrêt attaqué que le recourant aurait saisi la cour cantonale du moyen tiré d'une violation de son droit d'être entendu en rapport avec l'impossibilité de se déterminer, pour des raisons de santé, sur le licenciement envisagé et ses motifs. Devant l'instance précédente, le recourant a certes invoqué le même grief constitutionnel, mais uniquement en relation avec son droit de participer à l'administration des preuves, qui est un autre aspect du droit d'être entendu (voir le recours cantonal du 27 avril 2020 p. 13 dans lequel il s'est plaint du fait que la décision de l'intimée de le licencier prenait appui sur des auditions des agents de la police municipale menées de manière non contradictoire). Par ailleurs, il résulte clairement du consid. 2 de l'arrêt attaqué que la requête d'audition des médecins ne visait pas à prouver l'incapacité du recourant de se déterminer devant l'intimée, mais à attester que l'évolution de sa situation au travail avait eu un impact négatif sur sa santé (voir également le mémoire de réplique de ce dernier du 27 août 2020 p. 14). Le présent grief n'a donc pas été soumis à l'examen de la cour cantonale. Certes, il est admissible d'invoquer un nouveau grief d'ordre constitutionnel devant le Tribunal fédéral dans la mesure où l'autorité précédente disposait d'un plein pouvoir d'examen et devait appliquer le droit d'office; toutefois, le Tribunal fédéral ne doit pas entrer en matière lorsque la partie recourante invoque pour la première fois la violation d'une garantie de procédure (par exemple du droit d'être entendu) qu'elle aurait pu et dû invoquer devant l'autorité précédente en application du principe de la bonne foi (<ref-ruling> consid. 4.4.6). En l'espèce, tel qu'il est soulevé pour la première fois devant le Tribunal fédéral alors qu'il aurait pu et dû l'être déjà devant la cour cantonale, le grief est irrecevable.
3.2.2. Le recourant invoque également une violation de son droit d'être entendu par la juridiction cantonale. En effet, cette dernière avait tenu une seule audience de comparution personnelle le 2 décembre 2019 dans la cause qui était alors uniquement consacrée à la sanction disciplinaire du 3 juin 2019. L'audience s'était déroulée avant la décision de licenciement du 27 février 2020, qui avait ensuite donné lieu à l'ouverture d'une deuxième procédure, jointe à la première par ordonnance du 12 mai 2020. Depuis lors, la cour cantonale n'avait procédé à aucune audition. Ainsi, dans le cadre du recours qu'il avait formé contre la décision de licenciement, il ne lui avait pas été donné la possibilité d'être interrogé par son mandataire et d'interroger son employeur alors qu'était en jeu la fin d'une relation de travail de 32 ans.
Le grief est infondé car le recourant a eu largement l'occasion, devant la cour cantonale, d'exposer ses arguments et de répondre à ceux de l'intimée par écrit, étant rappelé que l'art. 29 al. 2 Cst. ne garantit pas, de façon générale, le droit d'être entendu oralement par l'autorité. En outre, le recourant est malvenu de se plaindre du fait que ce n'est que dans le cadre de la procédure relative à la sanction disciplinaire qu'il a été entendu personnellement, puisqu'il n'a pas demandé à être auditionné une nouvelle fois après avoir recouru contre les décisions subséquentes des 27 février et 24 mars 2020, comme l'ont au demeurant souligné les juges précédents (cf. consid. 2 p. 32 de l'arrêt attaqué).
3.2.3. Enfin, le recourant reproche à la cour cantonale de n'avoir pas donné suite à son offre de preuve tendant à l'audition de C._ (ancien sergent-major de la police municipale), de J._ (ancien technicien de la commune), de son ex-collègue K._ (dont les rapports de service ont également été résiliés le 27 février 2020 par l'intimée), ainsi que des docteurs H._ et I._. Il fait valoir que les auditions des trois premiers nommés lui auraient permis de démontrer que son licenciement s'inscrivait dans une réorganisation de la police municipale planifiée et invisible, ainsi que d'accréditer sa thèse selon laquelle la mise à pied rapide de plusieurs piliers historiques de celle-ci était issue d'une volonté politique et ne résidait pas dans la sanction de comportements individuels défaillants. Dans ce contexte, il entendait établir que le sort de certains témoins, à l'instar du sien, avait été scellé bien avant que fussent invoqués des motifs "cousus de fil blanc" pour aboutir à leur éviction. Quant à l'audition de ses médecins, elle était pertinente pour éclairer la cour cantonale sur une possible forme de mobbing à son égard. Toujours selon le recourant, vu les versions contradictoires des parties, la prise en compte de ces témoignages était indispensable pour clarifier les véritables motifs du blâme et du licenciement prononcés à son encontre, étant rappelé qu'il avait contesté dès le début les accusations émises contre lui (en particulier l'emploi du terme "connard" à l'encontre de F._ lors de la soirée du 21 décembre 2018 à laquelle C._ était présent). En refusant de procéder aux actes d'instruction proposés, la cour cantonale aurait ainsi arbitrairement privilégié l'une des versions des faits alors même que les intérêts en présence justifiaient une instruction complète quant aux motifs de mettre un terme à des rapports de service qui s'étaient déroulés sans le moindre accroc jusque-là.
En l'occurrence, la cour cantonale a rejeté l'offre de preuve par témoins dès lors qu'il ressortait d'ores et déjà des éléments versés à la procédure qu'un "nouveau vent a[vait] soufflé" avec l'arrivée du sergent-major B._ en remplacement de C._. En outre, les circonstances dans lesquelles l'ancien chef du service avait été amené à prendre sa retraite anticipée n'étaient pas pertinentes pour l'issue du litige. Quand bien même l'intimée avait eu l'intention de "remettre de l'ordre" dans une police municipale selon elle dysfonctionnelle, il convenait de recentrer la procédure sur la seule problématique à trancher, à savoir le comportement du recourant et ses effets sur le fonctionnement du service. A cet égard, la cour cantonale s'est estimée suffisamment renseignée par les pièces versées au dossier, qui exposaient l'enchaînement des circonstances ayant abouti aux décisions litigieuses et qui intégraient de manière suffisamment détaillée les points de vue de l'employeur et du recourant (dossier personnel; formulaires d'entretien d'évaluation couvrant la période du 1er juillet 2018 au 1er mars 2019; échanges de courriels entre le sergent-major et le sergent ou encore entre les agents et le conseil administratif; procès-verbaux d'entretien devant ce dernier). Par ailleurs, le recourant avait eu l'occasion de s'exprimer par écrit devant l'intimée et dans les nombreuses écritures qu'il avait déposées en instance cantonale.
Les critiques du recourant ne sont pas de nature à faire apparaître arbitraire le refus d'auditionner les témoins. Les reproches retenus contre lui qui ont conduit à la résiliation de ses rapports de service tiennent à son comportement dans l'exercice de sa fonction sous les ordres de B._. S'agissant d'examiner le bien-fondé de ces reproches, on ne voit pas, dès lors, ce que les déclarations de l'ancien chef du recourant ainsi que celles d'un ancien technicien de la commune pourraient apporter d'utile sur les faits de la cause. De plus, il apparaît que la cour cantonale a tenu compte du contexte dans lequel B._ a succédé à C._ puisqu'elle a évoqué, dans son arrêt, le fait que l'intimée estimait que sa police municipale remplissait mal les nouvelles attributions qui lui étaient confiées par la réforme de la loi cantonale sur les agents de la police municipale et qu'elle entendait faire évoluer la situation (consid. 4 en fait p. 2 et consid. 2 en droit p. 32). En ce qui concerne le témoignage requis de l'ancien chef de service dans le contexte de la sanction disciplinaire, quand bien même il viendrait appuyer la thèse du recourant selon laquelle il n'avait pas traité F._ de "connard" lors de la soirée du 21 décembre 2018, il ne suffirait pas à modifier la solution retenue par la cour cantonale ainsi qu'on le verra plus loin (cf. infra consid. 4.2.2). Quand à K._, la portée de ses déclarations devrait en tout état de cause être appréciée avec la plus grande retenue. En effet, non seulement le prénommé entretenait des relations étroites avec le recourant - la cour cantonale a constaté sans être contredite que le sergent et le caporal formaient un bloc soudé, le premier protégeant le second (consid. 9 p. 39 de l'arrêt attaqué) - mais, en outre, il avait été licencié simultanément à celui-ci, une procédure à ce sujet étant également pendante. Aussi la cour cantonale pouvait-elle implicitement renoncer à son audition. Enfin, il ne ressort pas de l'arrêt attaqué qu'il existerait en l'espèce des circonstances qui justifieraient une instruction sur un éventuel mobbing. Le recourant ne s'en est jamais plaint, soulignant même en comparution personnelle qu'il n'avait "pas de souci ou de conflit avec [B._] au sujet de l'organisation [du service]". La cour cantonale n'avait donc aucune raison non plus d'entendre les docteur H._ et I._.
4.
Sur le fond, le recourant s'en prend en premier lieu au blâme qui lui a été infligé. Il conteste l'existence de manquements à ses obligations d'une gravité suffisante pour justifier le prononcé d'une sanction disciplinaire plus sévère qu'un avertissement. Plus particulièrement, le recourant invoque une constatation manifestement inexacte des faits et une appréciation arbitraire des preuves (art. 9 Cst.) en relation avec la violation du principe de la proportionnalité.
4.1.
4.1.1. En tant qu'employé de l'intimée, le recourant est soumis au Règlement du personnel communal de la Ville de Veyrier du 13 juin 2013 (RPers; LC 45 151). Aux termes des alinéas 1 et 2 de l'art. 22 RPers, le collaborateur exécute en personne et avec soin les tâches qui lui sont confiées conformément au descriptif de son poste et dans le respect des règlements de l'administration; il veille fidèlement à la sauvegarde des intérêts de la ville et au respect de l'environnement, entretient des relations dignes et respectueuses avec ses collègues, ses supérieurs et les administrés et renforce la considération et la confiance dont l'administration communale doit être l'objet. Sous le titre IV "Sanctions disciplinaires", l'art. 52 RPers prévoit, à son alinéa premier, que le collaborateur qui enfreint ses obligations, intentionnellement ou par négligence, est passible, selon la gravité de la violation, des sanctions disciplinaires suivantes prononcées par la ville: l'avertissement (a.); le blâme (b.); la mise à pied pendant deux jours au plus avec suppression du salaire (c.); la révocation (d.).
4.1.2. En bref, se fondant sur les procès-verbaux d'évaluation des agents par B._, la cour cantonale a retenu que le recourant avait employé des propos injurieux et dénigrants envers des membres de son équipe dans le cadre du travail - tels que "garce" à l'égard de D._, "connard" à propos de F._ et "idiot" pour G._ -, ce d'autant que les allégations d'insultes étaient portées par trois appointés différents. Sur la base des mêmes documents, elle a également tenu pour établi qu'avant l'arrivée du nouveau chef de service, tant le sergent que le caporal avaient installé dans l'équipe un climat de peur et de défiance vis-à-vis de celui-ci, annoncé comme un "coupeur de tête" venu "faire le ménage" dans le service. Les appointés en avaient été déstabilisés, comme il ressortait de leurs déclarations, avant de constater que B._ les faisait progresser dans la bonne direction. En outre, le sergent et le caporal avaient instauré un clivage entre eux et l'équipe, se coupant volontairement de leurs subordonnés, ce qui était aussi corroboré par les observations de B._. Pour la cour cantonale, ce faisant, le recourant avait nui à la mission du nouveau chef et au fonctionnement même du service. Partant, elle a jugé que l'intimée avait à bon droit prononcé un blâme à son encontre, les faits reprochés étant avérés et d'une gravité justifiant une telle sanction, laquelle était également proportionnée. En effet, un avertissement n'apparaissait plus suffisant dès lors que le recourant, qui avait dans un premier temps admis avoir usé de termes dénigrants devant le conseil administratif le 11 mars 2019, au lieu de se remettre en cause et de faire amende honorable, avait contesté et banalisé son comportement, cherchant même à rejeter les torts sur les autres.
4.2.
4.2.1. Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir apprécié les preuves d'une manière insoutenable. Son comportement ne pourrait être qualifié de grave car les faits qui lui étaient reprochés ne seraient pas avérés. Selon les propres déclarations de D._, le terme "garce" avait été prononcé par le caporal K._ et non pas par lui. Il y avait des incohérences dans les propos des appointés consignés par B._ dans les formulaires d'évaluation: tantôt c'était E._ qui aurait insulté F._ en le traitant de "connard", tantôt c'était le recourant qui était accusé par le même E._ d'avoir employé ce terme à l'encontre de F._; des propos inconcevables lui étaient attribués, alors qu'ils auraient été prononcés par le caporal. Le recourant conteste quoi qu'il en soit avoir traité F._ de "connard". Quant au qualificatif "idiot", il l'avait utilisé pour décrire une situation dans un contexte bien précis: un jour où D._ et G._ voulaient remplacer une patrouilleuse scolaire, il avait alors exprimé l'opinion que c'était "idiot" d'y aller à deux. Le recourant ajoute encore qu'il serait douteux qu'il puisse être tenu pour responsable à lui seul d'avoir crée un clivage avec ses collègues et qu'il serait arbitraire de lui infliger une sanction disciplinaire plus sévère (un blâme au lieu d'un simple avertissement) du seul motif qu'il avait contesté les faits.
4.2.2. En l'occurrence, le recourant ne parvient pas à démontrer le caractère arbitraire de l'appréciation des déclarations des appointés. Ceux-ci ont de manière unanime et concordante fait état de dévalorisations et de commentaires injurieux de la part du sergent à leur égard, étant précisé que la cour cantonale a aussi examiné et écarté la thèse du recourant selon laquelle les appointés auraient cherché par une fronde commune à l'évincer de son poste. En particulier, sa tentative de charger quelqu'un d'autre ou de minimiser sa responsabilité dans le climat de travail délétère décrit par les agents est vaine. En effet, à tout le moins, le recourant a reconnu lors de sa comparution personnelle avoir dit qu'il partageait les propos de l'agent E._ qui avait un jour traité de "connard" son collègue F._ pour avoir roulé avec une voiture de service dans les marais et refusé de la nettoyer. Il a également admis avoir qualifié G._ d"idiot" avant de préciser dans un deuxième temps avoir voulu qualifier de cette manière l'action de celui-ci et non sa personne. Quant au terme "garce" pour D._, il est vrai que selon les déclarations de la prénommée à B._, l'insulte émanait de la bouche du caporal K._ au cours d'une conversation avec le sergent. On peut cependant relever qu'interpellé par D._ à ce sujet, le recourant s'est contenté de confirmer ce fait; il ne prétend pas avoir entrepris la moindre démarche pour remettre à l'ordre le caporal et protéger la personnalité de sa subordonnée. Ces éléments suffisent à établir que le recourant manquait de respect vis-à-vis de son équipe en adoptant lui-même un langage dévalorisant ou en laissant faire, alors qu'il lui appartenait en sa qualité de supérieur hiérarchique de créer et de maintenir les conditions d'un climat de travail digne et respectueux. Pour le reste, le recourant ne fait qu'exposer sa propre vision des choses dans une démarche appellatoire. Cela étant, on ne voit pas en quoi il serait arbitraire de la part de la cour cantonale de retenir également en défaveur du recourant l'attitude qu'il a eue consistant à accabler ses subordonnés de répandre de fausses accusations à son encontre alors qu'il avait dans un premier temps reconnu en partie les faits qui lui étaient reprochés et s'était engagé à ce qu'ils ne se reproduisent plus. Une telle attitude permettait en effet de retenir qu'il n'avait pas pris la mesure de ses devoirs et obligations à l'égard de ses collaborateurs, de sorte que le blâme constituait une sanction proportionnée.
5.
Le recourant conteste ensuite l'existence d'un motif objectivement suffisant de résiliation de ses rapports de service en invoquant l'arbitraire ainsi qu'une violation du principe de la proportionnalité.
5.1. La fin des rapports de travail est régie par le chapitre 3 du règlement (art. 13 à 21 RPers). Selon l'art. 17RPers, qui s'applique aux contrats de durée indéterminée, chacune des parties peut mettre fin aux rapports de travail en résiliant le contrat pour le terme du délai de congé applicable (al. 1); après le temps d'essai, une résiliation ordinaire par la ville nécessite cependant un motif objectivement suffisant, notamment la violation de devoirs légaux ou contractuels par le collaborateur, l'inaptitude avérée du collaborateur au poste auquel il a été engagé ou la disparition durable des conditions d'engagement fixées dans le contrat individuel de travail (al. 2 let. a); si la résiliation est motivée par des manquements du collaborateur, elle nécessite en outre un avis préalable écrit mentionnant les faits en cause et offrant au collaborateur vingt jours pour exercer son droit d'être entendu auprès du Conseil administratif (al. 2 let. b).
5.2. La cour cantonale a considéré que la résiliation ordinaire des rapports de travail du recourant était fondée au sens des dispositions précitées. En dépit de plusieurs remises à l'ordre sur le respect du service en binôme notamment, et des critiques formulées par B._ lors de l'entretien d'évaluation, le recourant, qui formait avec le caporal un bloc soudé, n'avait pas modifié sa manière de travailler ni son comportement envers les agents, entretenant au contraire une séparation entre eux et le reste de l'équipe. Le blâme et la mise en demeure n'y avaient rien changé. Entendus par le conseil administratif le 21 juin 2019, tous les agents avaient confirmé que la situation n'avait pas évolué dans le bon sens, que lors des absences du chef de service, les ordres de celui-ci n'étaient jamais respectés par le sergent et le caporal, que la communication avec eux s'était réduite au strict minimum et que l'ambiance ne s'était pas améliorée si ce n'était à compter de l'absence des intéressés pour maladie. Force était donc de constater qu'à tout le moins du 1er juillet 2018 au 7 juin 2019, le recourant avait manqué à ses devoirs de fonction tant envers son chef de service qu'à l'égard de ses subordonnés, nuisant ainsi gravement au fonctionnement de la police municipale.
5.3. A l'encontre des considérants précités, le recourant se contente de faire valoir que seuls trois comportements dysfonctionnels isolés restaient dans la balance après ceux (selon lui injustifiés) ayant fait l'objet de la sanction disciplinaire, soit le fait qu'il n'avait pas consigné des informations conformément à la vérité, qu'il n'avait pas travaillé en binôme et qu'il avait modifié une main courante. Par cette argumentation, le recourant ne fait qu'opposer sa propre appréciation des faits à celle de la cour cantonale. Comme l'a relevé à juste titre l'instance précédente, ces comportements, intervenus après qu'il eut fait déjà l'objet d'un blâme et d'une mise en demeure formelle, montraient qu'il était réfractaire à respecter les ordres et les procédures mises en place par le nouveau chef de service, en d'autres termes qu'il n'avait pas l'intention de s'adapter aux nouvelles exigences posées à la police municipale. Par ailleurs, le recourant passe sous silence qu'il ne bénéficiait plus de la confiance de ses subordonnés alors qu'il devait assumer un rôle d'encadrement pour l'équipe. Dans ces conditions, il n'était pas arbitraire de considérer que la poursuite des rapports de travail avec le recourant n'était plus compatible avec le bon fonctionnement de la police municipale et qu'il existait donc un motif fondé pour prononcer son licenciement.
6.
Selon l'art. 31 RPers, dès la deuxième année de service, le conseil administratif augmente le salaire de base d'un échelon au début de chaque année civile, jusqu'à atteindre le montant maximum de salaire de la classe correspondant au poste du collaborateur (al. 1, première phrase). Exceptionnellement, le conseil administratif peut décider de ne pas octroyer l'augmentation ordinaire prévue au premier alinéa du présent article, lorsque le collaborateur n'exécute pas les obligations qui lui incombent au sens du présent règlement et de son contrat de travail individuel, ou lorsqu'il ne possède pas les compétences requises pour assumer les responsabilités qui lui sont confiées dans le cadre de son contrat de travail (al. 2).
Compte tenu des considérants qui précèdent, la cour cantonale n'a pas fait preuve d'arbitraire en confirmant le refus de l'intimée d'accorder au recourant l'augmentation ordinaire de traitement pour l'année 2020.
7.
Mal fondé, le recours doit être rejeté.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaire (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lucerne, le 1er décembre 2021
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : von Zwehl