Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1976; Beschwerdeführerin) und B._ (geb. 1976; Beschwerdegegner) heirateten am 10. Januar 2007. Sie sind die Eltern der beiden Kinder C._ (geb. 2008) und D._ (geb. 2012).
Das nach der Trennung der Eheleute durchgeführte Eheschutzverfahren endete mit zwischenzeitlich rechtskräftigem Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 12. Dezember 2017. Darin ordnete das Obergericht soweit hier interessierend die geteilte Obhut über die Kinder mit wechselnder Betreuung an und verpflichtete A._ zur Zahlung von Kindes- und Ehegattenunterhalt an B._. Den für den Sohn zu bezahlenden Unterhalt legte das Obergericht fest auf Fr. 620.-- im Monat ab dem 1. Dezember 2015 für die weitere Dauer des Getrenntlebens. Für die Tochter sah es monatlichen Unterhalt von Fr. 620.-- ab dem 1. Dezember 2015 bis zum 31. Dezember 2016, Fr. 1'840.-- ab dem 1. Januar bis zum 31. August 2017, Fr. 1'500.-- ab dem 1. September 2017 bis zum 31. Mai 2018 und Fr. 1'085.-- ab dem 1. Juni 2018 für die weitere Dauer des Getrenntlebens vor. Den Ehegattenunterhalt bezifferte das Obergericht mit monatlich Fr. 1'820.-- ab dem 19. August bis zum 30. November 2015, Fr. 2'715.-- vom 1. bis zum 31. Dezember 2015, Fr. 930.-- ab dem 1. Januar bis zum 13. März 2016, Fr. 290.-- ab dem 1. April bis zum 31. Juli 2016 und Fr. 570.-- ab dem 1. August bis zum 31. Dezember 2016. Ab dem 1. Januar 2017 sah es keinen Ehegattenunterhalt mehr vor.
A.b. Seit dem 21. Dezember 2017 ist vor dem Bezirksgericht Zürich das Scheidungsverfahren hängig. Am 13. Februar und am 24. September 2018 beantragte B._ unter anderem, es sei A._ in Abänderung des Urteils des Obergerichts vom 12. Dezember 2017 ab dem 1. Februar 2018 und bis zum Abschluss des Scheidungsverfahrens zur Zahlung von monatlichem Kindesunterhalt von Fr. 595.-- für jedes der beiden Kinder und Fr. 1'220.-- Betreuungsunterhalt sowie von Ehegattenunterhalt von Fr. 277.-- im Monat zu verpflichten. A._ ihrerseits stellte am 15. August 2018 das Begehren, das Urteil vom 12. Dezember 2017 sei soweit den (einzig verbleibenden) Kindesunterhalt betreffend aufzuheben.
Am 20. Dezember 2018 passte das Bezirksgericht das Urteil des Obergerichts im Unterhaltspunkt an. Dabei verpflichtete es A._, an B._ ab dem Entscheidzeitpunkt für die Dauer des Scheidungsverfahrens Kindesunterhalt von Fr. 660.-- im Monat für den Sohn und von monatlich Fr. 685.-- bis 30. Juni 2019 und Fr. 595.-- ab dem 1. Juli 2019 für die Tochter zu bezahlen. Den ab Entscheidzeitpunkt für die Dauer des Scheidungsverfahrens, längstens aber bis zum 30. Juni 2019, von A._ zu bezahlenden Ehegattenunterhalt bezifferte das Bezirksgericht mit Fr. 599.-- im Monat.
B.
In teilweiser Gutheissung der von A._ hiergegen erhobenen Berufung setzte das Obergericht die von dieser zu bezahlenden Kindesunterhaltsbeiträge mit Urteil vom 3. April 2019 (eröffnet am 16. April 2019) fest auf Fr. 660.-- im Monat ab dem 20. Dezember 2018 für die weitere Dauer des Scheidungsverfahrens für den Sohn und auf monatlich Fr. 995.-- ab dem 20. Dezember 2018 bis 30. Juni 2019 bzw. Fr. 595.-- ab dem 1. Juli 2019 für die weitere Dauer des Scheidungsverfahrens für die Tochter. Den Antrag von B._ auf Abänderung des Urteils vom 12. Dezember 2017 betreffend den Ehegattenunterhalt wies das Obergericht ab (Dispositivziffer 1). Die Gerichtskosten auferlegte es den Parteien je hälftig, nahm diese zufolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege aber einstweilen auf die Gerichtskasse (Dispositivziffer 3).
C.
A._ gelangt am 15. Mai 2019 mit Beschwerde in Zivilsachen ans Bundesgericht. Sie beantragt, das Urteil des Obergerichts sei teilweise aufzuheben und es sei festzustellen, dass sie mangels Leistungsfähigkeit nicht zur Bezahlung von Kindesunterhaltsbeiträgen an den Ehemann verpflichtet sei. Weiter seien die Kosten des Berufungsverfahrens vollumfänglich dem Ehemann aufzuerlegen und dieser sei zur Bezahlung einer angemessenen Parteientschädigung zu verpflichten. Ausserdem ersucht A._ darum, ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege unter Beiordnung ihrer Rechtsvertreterin als unentgeltliche Rechtsbeiständin zu bewilligen.
Das Obergericht hat am 4. November 2019 auf eine Vernehmlassung verzichtet. Am 6. November 2019 hat A._ das Bundesgericht darüber informiert, dass sie vor Bezirksgericht ein erneutes Gesuch um Abänderung der vorsorglichen Massnahmen während des Scheidungsverfahrens gestellt habe. Mit Eingabe vom 18. November 2019 beantragt B._, es seien die Anträge von A._ abzuweisen. Ausserdem ersucht auch B._ für das Verfahren vor dem Bundesgericht um unentgeltliche Rechtspflege und Beiordnung seines Rechtsvertreters als unentgeltlicher Rechtsbeistand. Mit Replik vom 26. November 2019 hat A._ an ihren bisherigen Anträgen festgehalten. Duplik ist beim Bundesgericht keine eingegangen. Am 3. und 9. Dezember 2019 haben die Parteien weitere Unterlagen eingereicht. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid (<ref-law>) eines oberen kantonalen Gerichts, das als Rechtsmittelinstanz (<ref-law>) über die Anpassung von Eheschutzmassnamen für die Dauer des Scheidungsverfahrens (Kindesunterhalt; vgl. hinten E. 3.1) und damit eine vermögensrechtliche Zivilsache (<ref-law>) entschieden hat. Der Streitwert erreicht Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b, Art. 51 Abs. 1 Bst. a und Abs. 4 BGG). Damit ist die Beschwerde in Zivilsachen das zutreffende Rechtsmittel. Die Beschwerdeführerin ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt, die sie fristgerecht eingereicht hat (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 2 BGG). Auf die Beschwerde ist einzutreten. Entgegen den Mutmassungen des Beschwerdegegners ist die Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin gehörig bevollmächtigt (act. 9; vgl. <ref-law>).
1.2. Die Beschwerdeführerin beantragt, es sei festzustellen, dass sie dem Ehemann keinen Kindesunterhalt schulde (vgl. vorne Bst. C). Feststellungsbegehren haben nach einem allgemeinen prozessualen Grundsatz gegenüber Leistungs- und Gestaltungsbegehren grundsätzlich subsidiären Charakter und sind nur zulässig, wenn jene ausgeschlossen sind (<ref-ruling> E. 1.7; <ref-ruling> E. 2.2). Aus dem Rechtsbegehren selbst sowie der Begründung der Beschwerde - diese ist zur Auslegung der Rechtsbegehren beizuziehen (<ref-ruling> E. 6.2; <ref-ruling> E. 1.3) - ergibt sich, dass nach Ansicht der Beschwerdeführerin die Voraussetzungen für eine Unterhaltspflicht mangels Leistungsfähigkeit nicht mehr erfüllt sind. Entsprechend ist ihr Begehren als Antrag entgegenzunehmen, sie sei in Abänderung des Urteils vom 12. Dezember 2017 von der Pflicht zur Leistung von Kindesunterhalt zu befreien.
2.
2.1. Massnahmeentscheide, die gestützt auf <ref-law> ergehen, unterstehen <ref-law> (Urteil 5A_501/2018 vom 22. November 2018 E. 1.2 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 5.1 und 5.2). Daher kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz solche Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Die rechtsuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266).
2.2. Wird eine Verletzung des Willkürverbots nach <ref-law> geltend gemacht, reicht es nicht aus, die Lage aus der eigenen Sicht darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Es ist im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 1.4.1; <ref-ruling> E. 2.2).
Eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung ist dabei gegeben, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 4.4). Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.1).
3.
3.1. Vor Bundesgericht strittig ist die Anpassung des Eheschutzentscheids vom 12. Dezember 2017 hinsichtlich des Kindesunterhalts für die Dauer des Scheidungsverfahrens (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Unbestritten ist dabei das Vorliegen eines Abänderungsgrundes (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3.1). Anlass zur Beschwerde gibt aber die Frage, welches Einkommen der Beschwerdeführerin im Rahmen der Neufestsetzung des Unterhalts (vgl. dazu <ref-ruling> E. 11.1.1; Urteil 5A_1005/2017 vom 23. August 2018 E. 3.1.1) anzurechnen ist.
3.2. Diesbezüglich erwog das Obergericht, die Beschwerdeführerin - sie ist von Beruf Pflegefachfrau - sei bis zum 31. Mai 2018 zu 80 % am E._-Spital beschäftigt gewesen und habe Fr. 7'650.-- im Monat verdient (inkl. 13. Monatslohn, exkl. Kinderzulagen). Die Beschwerdeführerin habe diese Anstellung aufgegeben und erziele ab dem 1. Juni 2018 bei F._ und ab dem 1. September 2018 beim Spital G._ ein Einkommen von Fr. 5'250.-- bzw. Fr. 5'350.-- im Monat (jeweils inkl. 13. Monatslohn). Beim Spital G._ betrage ihr Beschäftigungsgrad 80 %.
Mit ihrem Vorgehen habe die Beschwerdeführerin bewusst eine erhebliche Lohneinbusse und damit eine Unterdeckung ihres eigenen Bedarfs und des Bedarfs der Kinder in Kauf genommen. Dies sei mit Blick auf die Unterhaltspflicht diesen gegenüber nicht nachvollziehbar, zumal das Erzielen eines genügend hohen Einkommens für die Beschwerdeführerin als alleinige Versorgerin der Familie an erster Stelle stehe. Arbeitsmarkttaktische Überlegungen bezüglich des alten Arbeitsplatzes (ungenügende Einsätze bei Operationen, Reaktion auf kommende Umstrukturierungen) seien dagegen zweitrangig. Aufgrund der Angaben der Beschwerdeführerin selbst sei zudem nicht damit zu rechnen, dass sie im Spital G._ einen dem früheren Einkommen vergleichbaren Lohn erzielen könne. Dies gelte auch bei Aufrechterhaltung der Operationserfahrung, was das Argument wenig überzeugend erscheinen lasse, mit dem Stellenwechsel habe die Beschwerdeführerin ihre Position auf dem Arbeitsmarkt sichern wollen. Weiter sei eine konkrete Gefährdung der früheren Anstellung nicht glaubhaft. Aufgrund des zeitlichen Ablaufs glaubhaft sei dagegen eine prozesstaktische Motivation für die kurz nach Anhebung der Scheidungsklage erfolgte Kündigung. Auch betreuungstechnische Beweggründe könnten den Stellenwechsel nicht erklären. Nach Angaben der Beschwerdeführerin sei der Stellenwechsel nötig geworden, damit sie bei einer Abreise ihrer Mutter aus der Schweiz - diese helfe bei der Betreuung der Kinder mit -weiterhin arbeiten könne. Dieses Argument wirke nachgeschoben, nachdem das Bezirksgericht ihre weiteren Vorbringen verworfen habe. Die Grossmutter der Kinder befinde sich denn auch nach wie vor im Land. Zwar habe die Beschwerdeführerin neben der Kinderbetreuung ein sehr hohes Arbeitspensum und schöpfe sie ihre Leistungsfähigkeit damit zweifellos aus. Sie arbeite aber schon seit Jahren in diesem Umfang. Auch gehe es um Kindesunterhalt und seien die Finanzen knapp.
Alles in allem fehle es an objektiv nachvollziehbaren Gründen für die freiwillige Kündigung beim E._-Spital. Damit sei auf eine Schädigungsabsicht der Beschwerdeführerin zu schliessen. Dieser sei folglich ein hypothetisches Einkommen in der Höhe von Fr. 7'650.-- anzurechnen, ohne dass es darauf ankomme, ob es ihr heute noch möglich sei, einen solchen Lohn zu erzielen.
3.3. Der Beschwerdegegner verweist im Wesentlichen auf die Ausführungen der Vorinstanz.
3.4. Die Beschwerdeführerin erachtet es zusammengefasst als willkürlich, ihr Schädigungsabsicht zu unterstellen und in der Folge ein höheres (hypothetisches) Einkommen anzurechnen, als sie tatsächlich erzielt. Abgesehen davon, dass sie gute Gründe für ihr Handeln gehabt habe (arbeitsmarkttaktische Überlegungen; Kinderbetreuung), habe sie nicht unmittelbar nach der Kündigung der Stelle am E._-Spital um Abänderung des Eheschutzentscheides ersucht, sondern die Folgen der Lohneinbusse vorerst selbst getragen. Allerdings habe die neue Anstellung dann nicht ihren Erwartungen und Hoffnungen entsprochen. Sie habe sich getäuscht und sei getäuscht worden.
4.
4.1. Im Verhältnis zum unmündigen Kind sind besonders hohe Anforderungen an die Ausnützung der eigenen Erwerbskraft zu stellen, zumal in engen wirtschaftlichen Verhältnissen (<ref-ruling> E. 3.1). Schöpft ein Elternteil seine Erwerbskraft nicht voll aus, kann ihm ein hypothetisches Einkommen angerechnet werden, sofern dieses zu erreichen ihm zumutbar und möglich ist. Welche Tätigkeit aufzunehmen als zumutbar erscheint, ist eine Rechtsfrage. Tatfrage bildet hingegen, ob die als zumutbar erkannte Tätigkeit möglich und das angenommene Einkommen effektiv erzielbar ist (<ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 4.2.2.2).
Ein hypothetisches Einkommen kann einem Elternteil auch im Fall der Verminderung des tatsächlich erzielten Verdienstes angerechnet werden. Dabei ist der Grund für die Einkommensverminderung unerheblich, sofern der betroffene Elternteil bei zumutbarer Anstrengung mehr zu verdienen vermöchte, mithin bei voller Ausschöpfung der Leistungsfähigkeit die Einkommensverminderung rückgängig machen könnte. Diesfalls ist die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens auch bei einer unverschuldeten Einkommensverminderung zulässig (<ref-ruling> E. 4a; Urteil 5A_1008/2018 vom 28. Juni 2019 E. 5.2.2). Ist die Verminderung des Einkommens dagegen tatsächlich unumkehrbar, darf ein hypothetisches Einkommen nach der (jüngsten) Rechtsprechung nur angerechnet werden, wenn der betroffene Elternteil seinen Verdienst in Schädigungsabsicht geschmälert hat (BGE <ref-ruling> E. 3.4; Urteile 5A_1008/2018 vom 28. Juni 2019 E. 5.2.2; 5A_1005/2017 vom 23. August 2018, E. 3.4.1; 5A_589/2017 und 5A_590/2017 vom 30. November 2017 E. 5.3.2). Notwendig ist dabei, dass der Elternteil böswillig handelt (Urteile 5A_685/2018 vom 15. Mai 2019 E. 5.1; 5A_724/2018 vom 14. März 2019 E. 3.2.4) und sich ein rechtsmissbräuchliches Verhalten vorwerfen lassen muss (BGE <ref-ruling> E. 3.4; Urteile 5D_183/2017 vom 13. Juni 2018 E. 4.1; 5A_35/2018 vom 31. Mai 2018 E. 3.1).
4.2. Diese Rechtsprechung nimmt den in <ref-law> normierten allgemeinen Rechtsgrundsatz auf, wonach der offenbare Missbrauch eines Rechts keinen Rechtsschutz findet (ausdrücklich: BGE <ref-ruling> nicht publ. E. 4.4.2 [publ. in: FamPra.ch 2017 S. 822]). Das Rechtsmissbrauchsverbot weist das Gericht an, besonderen Umständen des Einzelfalls Rechnung zu tragen. <ref-law> dient als korrigierender "Notbehelf" für Fälle, in denen formales Recht zu materiell krassem Unrecht führen würde. Die Verwendung des Begriffs "offenbar" im Gesetzestext macht deutlich, dass Rechtsmissbrauch nur mit Zurückhaltung angenommen werden darf (<ref-ruling> E. 4.2.3; <ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 2.1). Dem gilt es auch im vorliegenden Kontext Rechnung zu tragen. Dementsprechend führt nicht jede Verminderung des Einkommens zufolge freiwilliger Kündigung einer Anstellung auch dann zur Anrechnung eines hypothetischen Einkommens, wenn sie nicht wieder rückgängig gemacht werden kann. Notwendig ist vielmehr Schädigungsabsicht, mithin, dass die Einkommensreduktion gerade im Hinblick auf den zu führenden Prozess erfolgt, um den Zufluss der finanziellen Mittel zum anderen Elternteil zu unterbinden (BGE <ref-ruling> E. 3.4 und nicht publ. E. 4.4.2 [publ. in: FamPra.ch 2017 S. 822] mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 3b und 104 Ia 31 E. 4; vgl. auch AEBI-MÜLLER, Aktuelle Rechtsprechung des Bundesgerichts zum Familienrecht, in: Jusletter vom 2. Oktober 2017, Rz. 13; Dieselbe, Die privatrechtliche Rechtsprechung des Bundesgerichts im Jahr 2017, in: ZBJV 2018/154 S. 602 ff., 607; HRUBESCH-MILLAUER/FUHRER, Rechtsprechungspanorama Einleitungsartikel und Personenrecht, in: AJP 2018 S. 634 ff., 636 f.).
4.3. Nach dem Ausgeführten kommt es vorliegend entscheidend auf die Beweggründe der Beschwerdeführerin zum Stellenwechsel an. Hierbei handelt es sich um eine innere Tatsache, die sich nur anhand äusserer Umstände nachweisen lässt und daher einzig einem Indizienbeweis zugänglich ist (vgl. <ref-ruling> E. 7.1; <ref-ruling> E. 2.3.1). Beim Indizienbeweis wird vermutet, dass eine nicht bewiesene Tatsache gegeben ist, weil sich diese Schlussfolgerung aus bewiesenen Tatsachen (Indizien) nach der Lebenserfahrung aufdrängt (Urteil 5A.8/2005 vom 15. September 2005 E. 4.1; vgl. auch Urteile 6B_781/2010 vom 13. Dezember 2010 E. 3.1; 6B_890/2009 vom 22. April 2010 E. 6.1).
4.3.1. Das Obergericht schloss auf eine Schädigungsabsicht der Beschwerdegegnerin im vorgenannten Sinne, weil es "an objektiv nachvollziehbaren Gründen" für die Kündigung ihrer Anstellung am E._-Spital fehle.
Diese Schlussfolgerung lässt sich aufgrund der von der Vorinstanz getroffenen Feststellungen nicht begründen: Wie dargelegt liess das Obergericht den Einwand der Beschwerdeführerin nicht gelten, sie hätte aus "arbeitsmarkttaktischen" Motiven gehandelt. Dies geschah deshalb, weil die Pflicht der Beschwerdeführerin, als alleinige Versorgerin der Familie für ein genügendes Einkommen zu sorgen, vorgehe und die Beschwerdeführerin ihre Prioritäten anders hätte setzen müssen (vgl. vorne E. 3.2). Selbst aus einer allfälligen (wie auch immer gearteten) Pflichtwidrigkeit der Beschwerdeführerin kann indes nicht ohne Weiteres darauf geschlossen werden, diese habe gehandelt, um den Beschwerdegegner zu schädigen bzw. den Mittelfluss zu diesem zu unterbinden. Gleiches gilt für den Einwand, es sei keine Gefährdung der früheren Arbeitsstelle glaubhaft. Dass die Beschwerdeführerin mit ihrem Handeln die beabsichtigte Wirkung - die Neupositionierung auf dem Arbeitsmarkt - nicht erreicht hat, ist sodann nicht bestritten, tut letztlich aber nichts zur Sache. Aus nachträglichen Entwicklungen lassen sich von vornherein keine Hinweise auf die ursprüngliche Motivation der Beschwerdeführerin gewinnen. Auch kann der Beschwerdeführerin keine Schädigungsabsicht unterstellt werden, nur weil sie auf der Grundlage falscher Annahmen bzw. Überlegungen gehandelt hat. Dies gilt auch mit Blick auf die weiter strittigen "betreuungstechnischen" Beweggründe und bezüglich des Einwandes des Obergerichts, die Grossmutter der Kinder habe die Schweiz bis heute nicht verlassen. Mit alledem ist letztlich nichts zu den Überlegungen gesagt, welche die Beschwerdeführerin vor dem Stellenwechsel angestellt hatte. Die von der Beschwerdeführerin angeführten Beweggründe können auch nicht allein mit dem Argument weggewischt werden, sie wirkten nachgeschoben.
4.3.2. Unbesehen der Begründetheit ihrer Darlegungen schliesst die Vorinstanz aber allzu leicht auf eine Schädigungsabsicht: Eine solche ist nicht leichthin, sondern nur mit Zurückhaltung anzunehmen (vgl. E. 4.2 hiervor). Nur weil das Verhalten der Beschwerdeführerin aus objektivierter Sicht (im Nachhinein) wenig sinnvoll erscheint, kann dieser keine Schädigungsabsicht und in der Folge kein Rechtsmissbrauch vorgeworfen werden. Hierzu wären vielmehr eindeutige Indizien notwendig, welche unzweifelhaft darauf schliessen lassen, dass sie ihre Anstellung gerade deshalb aufgegeben hat, um dem Beschwerdegegner zu schaden. Davon könnte etwa ausgegangen werden, wenn die von der Beschwerdeführerin genannten Beweggründe in keinem Zusammenhang mit den festgestellten Tatsachen stünden oder wenn ihr Verhalten vor oder nach der Kündigung offensichtlich auf einen Missbrauch schliessen liesse. Letzteres spricht das Obergericht insofern an, als es auf den zeitlichen Ablauf verweist und ausführt, die Kündigung sei kurz nach Anhebung der Scheidungsklage erfolgt. Allerdings missachtet die Vorinstanz dabei, dass vorab nicht die Beschwerdeführerin in der Scheidungsklage um Anpassung des Eheschutzentscheides ersuchte, sondern der Beschwerdegegner kurz nach Anhebung des Scheidungsverfahrens. Der Antrag der Beschwerdeführerin um Aufhebung der Unterhaltspflicht datiert vom 15. August 2018 und damit nach der Kündigung Ende Mai 2018 (vgl. vorne Bst. A.b und E. 3.2). Folglich wendet die Beschwerdeführerin zutreffend ein, sie habe die Folgen des Stellenwechsels in einer ersten Phase selbst getragen und überzeugt die Schlussfolgerung der Vorinstanz nicht. Der vorliegende Sachverhalt unterscheidet sich denn auch wesentlich von dem mit dem Entscheid <ref-ruling> beurteilten, wo die Kündigung der Anstellung einzig auf die Renitenz des Unterhaltspflichtigen zurückzuführen war (nicht publ. E. 4.4.2).
4.3.3. Zusammenfassend hat die Vorinstanz aufgrund der festgestellten Tatsachen in nicht haltbarer Art und Weise auf eine Schädigungsabsicht der Beschwerdeführerin geschlossen und im Ergebnis ein rechtsmissbräuchliches Verhalten derselben bejaht. Das angefochtene Urteil ist damit qualifiziert fehlerhaft und es geht nicht an, der Beschwerdeführerin unbesehen der tatsächlichen Möglichkeit, den früheren Lohn wieder zu erzielen, ein hypothetisches Einkommen in der entsprechenden Höhe anzurechnen. Da eine Lohneinbusse von über Fr. 2'000.-- im Monat in Streit steht (vgl. vorne E. 3.2), vermag der Fehler des Obergerichts sich (gegebenenfalls; vgl. sogleich E. 4.4) auch auf die Einkommensberechnung auszuwirken.
4.4. Die Beschwerde erweist sich damit als begründet und der angefochtene Entscheid ist soweit den Kindesunterhalt betreffend aufzuheben. Anders als die Beschwerdeführerin meint, steht indes nicht fest, dass sie keinen Unterhalt mehr schuldet. Vielmehr kann ihr nach wie vor ein hypothetisches Einkommen in Höhe ihres früheren Verdienstes angerechnet werden, wenn es ihr tatsächlich möglich und auch zumutbar sein sollte, wieder eine entsprechend bezahlte Anstellung zu finden (vgl. vorne E. 4.1). Dies wird vom Beschwerdegegner behauptet und von der Beschwerdeführerin bestritten. Die Vorinstanz hat hierzu jedoch keine Feststellungen getroffen. Die Sache ist daher zur Ergänzung des Sachverhalts und zum erneuten Entscheid an das Obergericht zurückzuweisen (<ref-law>). Das Obergericht wird sodann neu über die Verlegung der Prozesskosten des Berufungsverfahrens zu entscheiden haben.
5.
5.1. Die Rückweisung der Angelegenheit zum erneuten Entscheid gilt im Hinblick auf die Gerichtskosten und die Parteientschädigung als Obsiegen der Beschwerdeführerin, auch wenn sie keinen entsprechenden Antrag gestellt hat und der Ausgang des Verfahrens offen ist (<ref-ruling> E. 11.1; Urteil 5A_139/2018 vom 23. Juni 2019 E. 3). Folglich sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdegegner aufzuerlegen (<ref-law>) und hat dieser der Beschwerdeführerin die Parteikosten zu ersetzen (<ref-law>).
5.2. Beide Parteien ersuchen für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Beiordnung ihrer Anwälte als unentgeltliche Rechtsvertreter. Die diesbezüglichen Voraussetzungen sind erfüllt (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Da die Beschwerdeführerin keine Verfahrenskosten zu tragen hat, ist ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege allerdings gegenstandslos geworden, soweit es die Befreiung von den Gerichtskosten betrifft (<ref-ruling> E. 5). Nicht gegenstandslos wird es hingegen hinsichtlich der Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands: Zwar wird der obsiegenden Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zugesprochen. Angesichts der wirtschaftlichen Verhältnisse des Beschwerdegegners ist indessen nicht anzunehmen, dass sie die ihr zustehende Entschädigung wird erhältlich machen können. Deshalb ist auch die Anwältin der Beschwerdeführerin aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen (<ref-ruling> E. 3d). Beide Parteien werden darauf hingewiesen, dass sie der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten haben, falls sie dazu später in der Lage sind (<ref-law>; vgl. zum Ganzen Urteil 5A_295/2016 vom 23. Februar 2017 E. 6.2, nicht publ. in: <ref-ruling>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, die Ziffer 1 soweit den Kindesunterhalt betreffend und die Ziffer 3 und 4 des Urteils des Obergerichts des Kantons Zürich vom 3. April 2019 werden aufgehoben und die Sache wird zum erneuten Entscheid an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
2.1. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, und es wird ihr Rechtsanwältin Christina Frank als Rechtsbeiständin beigegeben.
2.2. Das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird ihm Rechtsanwalt Ruadi Thöni als Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen. Die Entschädigung wird indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen und Rechtsanwältin Christina Frank wird aus dieser mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
5.
Rechtsanwalt Ruadi Thöni wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. März 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber