Sachverhalt:
A.
A._, geboren 1986, war ab 1. Juni 2014 als Badaushilfe im Stundenlohn in der Abteilung Sport des Erziehungsdepartements des Kantons Basel-Stadt, tätig. Ab 1. Oktober 2014 übernahm sie vollzeitlich die Funktion als technische Mitarbeiterin/Badangestellte. Wegen Beschwerden zweier Badegäste fand am 30. August 2018 ein Gespräch zwischen ihr (und ihrer Begleitung), ihrem direkten Vorgesetzten, dem Leiter sowie der Personalverantwortlichen Bereich Jugend, Familie und Sport, statt. Gleichzeitig legte das Erziehungsdepartement eine seinerseits am Vortag unterzeichnete "Vereinbarung betreffend Auflösung des Arbeitsverhältnisses im gegenseitigen Einvernehmen gemäss § 33 Personalgesetz" vor. Darin wurde namentlich eine Freistellung mit Beibehaltung des Lohnanspruchs bis zu ihrem Austritt per 31. Dezember 2018 sowie eine einmalige Abfindungssumme von brutto Fr. 2853.25 festgehalten. Sollte keine einvernehmliche Auflösung des Arbeitsverhältnisses zustande kommen, wurde A._ die Kündigung desselben in Aussicht gestellt. Am 3. September 2018 unterzeichnete A._ die Vereinbarung innert eingeräumter Bedenkfrist.
Am 14. September 2018 gelangte A._ mit einem Schreiben an die Anstellungsbehörde und machte geltend, sie habe die Vereinbarung unter Zwang unterzeichnet, weshalb sie gegen diese rekurriere. Mit Verfügung vom 19. September 2018 stellte die Bereichsleitung Jugend, Familie und Sport des Erziehungsdepartements u.a. fest, dass das Arbeitsverhältnis mit A._ unter Beibehaltung des Lohnanspruchs mit sofortiger Freistellung ende. Den dagegen geführten Rekurs wies das Erziehungsdepartement mit Entscheid vom 17. Dezember 2018 ab.
B.
Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt wies den hiergegen eingereichten Rekurs mit Entscheid vom 21. August 2019 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die Nichtigkeit der Aufhebungsvereinbarung vom 29. August 2018 und das Weiterbestehen des Arbeitsverhältnisses festzustellen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz, subeventualiter an den Beschwerdegegner zurückzuweisen.
Das Bundesgericht hat keinen Schriftenwechsel durchgeführt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die (weiteren) Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 44 mit Hinweisen).
1.2. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid im Sinne von <ref-law>. Der Entscheid wurde von einer letzten kantonalen Instanz erlassen und ist nicht beim Bundesverwaltungsgericht anfechtbar (<ref-law>). Er betrifft ein öffentlich-rechtliches Arbeitsverhältnis, d.h. eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit (<ref-law>). Mit der anbegehrten Weiterbeschäftigung werden aufgelaufene und zukünftige Lohnforderungen geltend gemacht, weshalb es sich um eine vermögensrechtliche Angelegenheit handelt (Urteil 8C_334/2015 vom 19. August 2015 E. 1). Der Ausschlussgrund von <ref-law> ist somit nicht gegeben und die Streitwertgrenze von Fr. 15'000.- klar überschritten (Art. 51 Abs. 1 lit. a, Art. 85 Abs. 1 lit. b BGG). Die Beschwerdeführerin ist als Adressatin des angefochtenen Entscheids besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung (<ref-law>). Die Beschwerde gegen den Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt ist somit zulässig (Art. 86 Abs. 1 Bst. d BGG).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht (einschliesslich der verfassungsmässigen Rechte) gerügt werden. Die Verletzung von kantonalrechtlichen Bestimmungen stellt demgegenüber - vorbehältlich kantonaler verfassungsmässiger Rechte (<ref-law>) oder politische Rechte umschreibender Normen (<ref-law>) - keinen eigenständigen Beschwerdegrund dar. Sie kann nur insoweit angerufen werden, als damit zugleich Bundesrecht oder Völkerrecht verletzt wird. Im Vordergrund steht diesfalls die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, insbesondere des Willkürverbots (<ref-law>).
2.2. Eine willkürliche Anwendung kantonalen Rechts liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch dessen Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar als zutreffender erscheinen mag, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.2 S. 72 mit Hinweisen).
2.3. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Für die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem sowie interkantonalem Recht gilt demgegenüber eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.6 S. 281; <ref-ruling> E. 3.3 S. 310 f.). Das Bundesgericht untersucht nicht von sich aus, ob der angefochtene kantonale Entscheid die Grundrechte oder kantonales und interkantonales Recht verletzt, sondern prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid geht es nicht ein (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 3.2 S. 400).
2.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Offensichtlich unrichtig bedeutet dabei willkürlich (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252).
3.
3.1. Streitig und zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht Bundesrecht verletzte, indem es die vergleichsweise erfolgte Beendigung des Arbeitsverhältnisses vollumfänglich schützte.
3.2. Der vorinstanzliche Entscheid stützt sich namentlich auf die Bestimmungen und Grundsätze des Personalgesetzes des Kantons Basel-Stadt vom 17. November 1999 (PG; SG 162.100), mithin auf kantonales Recht. Laut § 27 PG kann das Arbeitsverhältnis auf verschiedene Weise enden. Dies kann u.a. durch ordentliche Kündigung (lit. a) oder durch Auflösung im gegenseitigen Einvernehmen (lit. d) geschehen. Eine ordentliche Kündigung nach § 30 Abs. 2 lit. d PG kann erfolgen, wenn die Mitarbeiterin oder der Mitarbeiter die vertraglichen oder gesetzlichen Pflichten wiederholt missachtet oder eine schwere Pflichtverletzung begangen hat. Eine Kündigung durch die Anstellungsbehörde gemäss Abs. 2 lit. c (ungenügende Leistungen) und bei wiederholter Pflichtverletzung gemäss Abs. 2 lit. d kann nur ausgesprochen werden, wenn der Mitarbeiterin oder dem Mitarbeiter eine angemessene Bewährungsfrist eingeräumt worden ist (§ 30 Abs. 3). Gemäss § 33 PG kann das Arbeitsverhältnis in gegenseitigem Einvernehmen jederzeit aufgelöst werden. In § 4 PG wird sodann festgehalten, dass für das Arbeitsverhältnis die Artikel 319-362 des schweizerischen Obligationenrechts als kantonales öffentliches Recht gelten. Entsprechend ist die Bundesrechtsrüge gemäss <ref-law> auf die Verletzung verfassungsmässiger Rechte beschränkt (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 322; Urteile 8C_75/2019 vom 17. Mai 2019 E. 3.2; 8C_462/2018 vom 18. März 2019 E. 3; 8C_323/2018 vom 4. Oktober 2018 E. 2.1 mit Hinweis).
4.
4.1. Das kantonale Gericht erwog, die Beschwerdeführerin habe eine ausreichende Überlegungsfrist von fünf Tagen vor Abschluss der Vereinbarung erhalten und es sei nicht erwiesen, dass unzulässiger Druck beim Abschluss ausgeübt worden sei. Vielmehr habe man ihr eine echte Wahlmöglichkeit gelassen. Es sei ferner nicht nötig gewesen, dass die Anstellungsbehörde im Zeitpunkt des Gesprächs vom 30. August 2018 schon alle Ungewissheiten in Bezug auf eine mögliche Kündigung umfassend geprüft gehabt habe. Deshalb habe die Behörde auch nicht über eine allenfalls in Betracht zu ziehende Bewährungsfrist vor der Kündigung informieren müssen. Es sei daher nicht ersichtlich, weshalb die Beschwerdeführerin das ihr nicht genehme Angebot über eine einvernehmliche Beendigung des Arbeitsverhältnisses nicht hätte ausschlagen können, wobei ein begründetes Risiko einer durchsetzbaren ordentlichen Kündigung ohne Einräumung einer Bewährungsfrist bestanden habe, zumal ein offensichtlich unangemessener Umgang der Beschwerdeführerin mit Badegästen belegt sei. Insgesamt sei weder ein Willensmangel noch eine Übervorteilung ersichtlich. Aufgrund der gegenseitigen Zugeständnisse handle es sich bei der Aufhebungsvereinbarung um einen echten Vergleich ohne offenbares Missverhältnis zwischen Leistung und Gegenleistung. Die Vereinbarung sei daher in analoger Berücksichtigung von <ref-law> (vgl. § 4 PG; E. 3.2 hievor) rechtens.
4.2. Die Beschwerdeführerin geht von der Nichtigkeit der Aufhebungsvereinbarung aus und rügt namentlich eine willkürliche Anwendung von § 4 PG in Verbindung mit <ref-law>. Dieser gelangt, wie dargelegt (E. 3.2), lediglich als subsidiäres kantonales Recht zur Anwendung.
5.
5.1. Was die Aufhebungsvereinbarung anbelangt, ist mit der Vorinstanz festzuhalten, dass dabei beide Parteien Konzessionen machen müssen, damit es sich um einen echten Vergleich handelt, mit gegenseitigem Nachgeben, der nicht nur dem Arbeitgeber Vorteile bringt (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 449 f.; <ref-ruling> E. 2b S. 61; Urteil 8C_368/2011 vom 5. September 2011 E. 2.2 mit weiteren Hinweisen). Der Aufhebungsvertrag bedarf daher einer Rechtfertigung durch die Interessen des Arbeitnehmers (Urteil 4A_563/2011 vom 19. Januar 2012 E. 4.1). Es ist folglich zu prüfen, ob die beidseitigen Ansprüche, auf die verzichtet wird, von ungefähr gleichem Wert sind (Urteile 4A_673/2016 vom 3. Juli 2017 E. 4.1 mit weiteren Hinweisen).
5.2.
5.2.1. Mit Blick auf die soeben geschilderten Anforderungen erachtete das kantonale Gericht die Aufhebungsvereinbarung zu Recht als zulässig. Wie es willkürfrei feststellte, entspricht die Fortdauer des Arbeitsverhältnisses bis 31. Dezember 2018 einer im Monat September 2018 ausgesprochenen ordentlichen Kündigung. Nicht zu beanstanden ist dabei, dass es die Voraussetzungen einer ordentlichen Kündigung nach § 30 Abs. 2 lit. d PG nur summarisch prüfte mit der Begründung, das Arbeitsverhältnis sei vergleichsweise beendet worden. Die Vorinstanz liess dabei explizit offen, ob eine ordentliche Kündigung sofort, wovon das Erziehungsdepartement in seinem Entscheid vom 17. Dezember 2018 ausgeht, oder nur unter Gewährung einer Bewährungsfrist, wie die Beschwerdeführerin annimmt, hätte ausgesprochen werden können. Dieses Vorgehen verletzt kein Bundesrecht. Denn entgegen den Darlegungen in der Beschwerde verzichtete die Beschwerdeführerin nicht, wie sie ausführt, auf ihren Anspruch auf unbefristete Weiterbeschäftigung, was als besonders schwer zu gewichtendes Zugeständnis zu qualifizieren sei. Selbst wenn bei der vorliegenden Sachlage vor einer beabsichtigten ordentlichen Kündigung zwingend eine Bewährungsfrist hätte eingeräumt werden müssen, wäre eine sofortige Kündigung zwar allenfalls unzulässig, aber nicht nichtig gewesen wie eine während einer Sperrfrist ausgesprochene Kündigung (vgl. § 37 PG in Verbindung mit <ref-law>). Damit hätte das Arbeitsverhältnis ohnehin nicht weiter bestanden.
5.2.2. Auf eine krankheitsbedingte Sperrfrist kann sich die Beschwerdeführerin sodann nicht berufen. Das kantonale Gericht hielt dazu verbindlich fest, dass die behauptete Krankheit in dieser Zeit nicht bewiesen sei. Anders als die Beschwerdeführerin meint, liess das kantonale Gericht zudem bei der Beurteilung der inhaltlichen Ausgewogenheit der Vereinbarung willkürfrei einen bloss möglichen, hypothetischen Eintritt eines Sperrfristtatbestands im Sinne einer Krankheit ausser Acht.
5.2.3. In finanzieller Hinsicht liegt sodann durchaus ein Entgegenkommen des Arbeitgebers vor. Wie die Vorinstanz festhielt, bot dieser der Beschwerdeführerin eine Lohnfortzahlung bis Ende Dezember 2018 bei gleichzeitiger Freistellung von der Arbeitsverpflichtung sowie eine Abfindung im nach kantonaler Regelung höchst möglichen Umfang von Fr. 2853.25 an (§ 36 PG in Verbindung mit § 16 Abs. 2 der Verordnung zum Personalgesetz vom 27. Juni 2000 [PVG; SG 162.110]. Hierauf hätte die Beschwerdeführerin bei einer ordentlichen Kündigung keinen Anspruch gehabt.
5.2.4. Nicht ersichtlich ist überdies, inwiefern die Beschwerdeführerin bei einem allfälligen Stellenantritt während einer laufenden Kündigungsfrist im Vergleich zur Freistellung besser gestellt gewesen wäre, wie sie einwendet. Diesfalls hätte das Arbeitsverhältnis grundsätzlich bis zum Ablauf der Kündigungsfrist angedauert und eine vorzeitige Beendigung desselben das Einverständnis des Arbeitgebers bedurft. Hieraus lässt sich kein Vorteil des Arbeitgebers ableiten. Dass die Beschwerdeführerin im Gegenzug noch auf Ansprüche aus Ferien- und Überstundenarbeit verzichtet habe, wird erstmals geltend gemacht. Soweit es sich dabei nicht ohnehin um ein unzulässiges neues Sachvorbringen handelt (vgl. <ref-law>), begründet sie nicht, weshalb es einer Übervorteilung entsprechen soll, wenn die restlichen Ferien und Überstunden als mit der Abfindungssumme abgegolten bezeichnet wurden. Allein aus der Saldoklausel lässt sich solches jedenfalls nicht ableiten. Wenn die Vorinstanz die Freistellung in persönlicher Hinsicht sodann insofern als Mehrwert bezeichnete, als die Beschwerdeführerin damit dem von beiden Seiten als belastet bezeichneten Verhältnis mit ihrem Vorgesetzten nicht mehr ausgesetzt gewesen sei und zudem ihre kleine Tochter persönlich habe betreuen können, ist dies ebenso wenig offensichtlich unrichtig wie die Annahme, dass eine Freistellung bei einer ordentlichen Kündigung nicht bewiesen sei. Ausserdem ist es für das Fortkommen der Arbeitnehmerin besser, wenn sie darauf hinweisen kann, dass das Arbeitsverhältnis im gegenseitigen Einvernehmen aufgelöst worden ist, als wenn sie vom Arbeitgeber entlassen worden wäre.
5.2.5. Soweit die Beschwerdeführerin rügt, es sei im Zusammenhang mit der Unterzeichnung der Auflösungsvereinbarung unzulässiger Druck ausgeübt worden, dringt sie damit ebenfalls nicht durch. Wie die Vorinstanz nicht offensichtlich unrichtig erkannte, stellt die Vereinbarung beidseits eine vorteilhafte Übereinkunft mit gegenseitigem Entgegenkommen dar, welche die Beschwerdeführerin nicht hätte unterzeichnen müssen, sofern sie das Risiko einer ordentlichen Kündigung vorgezogen hätte. Es bestehen keinerlei Anhaltspunkte dafür, dass zudem der Erhalt der Arbeitsstelle des Ehemannes, der zu diesem Zeitpunkt bereits seit zwanzig Jahren im Bad arbeitete, gefährdet gewesen wäre, hätte sie der Vereinbarung nicht zugestimmt. Nicht zu beanstanden ist dabei, dass es die Vorinstanz nicht als unzulässigen Druck wertete, dass der Arbeitgeber dem Ehemann in einem Einzelgespräch die Unterzeichnung der Aufhebungsvereinbarung durch seine Ehegattin empfahl. Eine unzulässige Druckausübung erkannte das kantonale Gericht willkürfrei ebenso wenig bezüglich des Einwandes der Beschwerdeführerin, ihr sei ein schlechtes Arbeitszeugnis in Aussicht gestellt worden, falls sie den Vertrag nicht unterzeichne. Es führte dazu korrekt aus, der Umstand, dass die Anstellungsbehörde bei der Unterredung am 30. August 2018 darauf hingewiesen habe, dass der Vorfall im Arbeitszeugnis bei einer Unterzeichnung der Aufhebungsvereinbarung nicht erwähnt werde, könne dieser nicht zur Last gelegt werden. Bei einer Kündigung durch die Anstellungsbehörde müssten, so das Gericht weiter, bestimmte Gründe gegeben sein, weshalb entsprechende Rückschlüsse aus der Angabe der Art der Beendigung des Arbeitsverhältnisses im Zeugnis gezogen werden könnten. Auch in diesem Punkt vermag die Beschwerdeführerin keine willkürliche Beweiswürdigung durch die Vorinstanz aufzuzeigen. Eine widerrechtliche Drohung oder Erpressung kann in Bezug auf die gesamte Sachlage nicht erblickt werden, zumal der Arbeitgeber in der vorliegenden Konstellation hieraus keine übermässigen Vorteile erlangt hätte. Das kantonale Gericht durfte damit bundesrechtskonform von einer gültigen Aufhebungsvereinbarung ausgehen. Die Beschwerde ist unbegründet.
6.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und dem Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. Dezember 2019
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Polla