Faits :
A.
B._ (née en 1997) et C._ (né en 1993), sont les parents non mariés de l'enfant A._, né en 2017.
Le père a reconnu son fils devant l'Officier de l'état civil le 27 novembre 2017, mais la mère est seule détentrice de l'autorité parentale.
Le père n'a jamais contribué à l'entretien de son fils.
A.a. Le 2 avril 2019, B._ a déposé une requête de conciliation concernant les prérogatives parentales sur l'enfant A._, ainsi qu'une requête de mesures provisionnelles en fixation d'aliments tendant à ce que le père contribue à l'entretien de l'enfant par le versement d'une pension mensuelle d'un montant à fixer en cours d'instance, mais pas inférieur à 2'900 fr., dès le 1er avril 2018, éventuelles allocations familiales en sus.
A.b. Par ordonnance du 7 août 2019, la Présidente du Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois a partiellement admis la requête de mesures provisionnelles du 2 avril 2019 (ch. 1 du dispositif), arrêté le montant assurant l'entretien convenable de l'enfant A._ à 1'975 fr. pour la période du 1er avril au 31 octobre 2018, à 3'350 fr. pour la période du 1er novembre 2018 au 31 mars 2019 et à 2'050 fr., dès et y compris le 1er avril 2019 (ch. 3), et astreint C._ à contribuer à l'entretien de son fils A._ par le versement d'une pension mensuelle de 1'920 fr., du 1er juin au 31 octobre 2018, puis dès le 1er avril 2019 (ch. 4).
Le 22 août 2019, B._ a interjeté appel, concluant à ce que la contribution due par le père pour l'entretien de l'enfant soit fixée à 1'920 fr., dès le 1er avril 2018.
C._ a également formé appel contre cette ordonnance le 23 août 2019, sollicitant que la contribution qu'il doit verser mensuellement pour l'entretien de son fils soit fixée à 500 fr., dès le 1er septembre 2019.
A.c. Par arrêt du 1er novembre 2019, le Juge délégué de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: Juge délégué) a partiellement admis les appels de B._ et C._ et réformé le chiffre 3 du dispositif de l'ordonnance du 7 août 2019, en ce sens qu'il a astreint C._ à contribuer à l'entretien de l'enfant A._ par le versement d'une pension mensuelle de 1'920 fr. pour la période du 1er juin au 31 octobre 2018 et du 1er février au 28 février 2019, puis de 1'335 fr. à compter du 1er avril 2019.
B.
Par acte du 9 décembre 2019, l'enfant A._, représenté par sa mère, B._, exerce un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral, tendant à ce que son père, C._, soit astreint à contribuer son entretien par le versement d'une pension mensuelle de 1'920 fr. pour la période du 1er avril 2018 au 31 mars 2019, puis de 1'335 fr. à compter du 1er avril 2019.
Dans le mémoire de recours, B._, la représentante légale de l'enfant, a requis le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Des réponses n'ont pas été requises.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours a été interjeté en temps utile (<ref-law>) et en la forme prévue par la loi (<ref-law>). Il est dirigé contre un arrêt statuant, sur mesures provisionnelles, sur une demande en fixation d'aliments en faveur d'un enfant (<ref-law>), à savoir contre une décision finale (<ref-law>) rendue dans une affaire civile (<ref-law>) par un tribunal supérieur statuant sur recours en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF). Comme le litige porte uniquement sur le montant de la contribution d'entretien, le recours a pour objet une affaire pécuniaire, de sorte que le recours en matière civile est ouvert pour autant que la valeur litigieuse atteigne 30'000 fr. (<ref-law>). Celle-ci est déterminée par les conclusions restées litigieuses devant l'autorité précédente (<ref-law>) juste avant qu'elle prononce le jugement (arrêt 5A_117/2016 du 9 juin 2016 consid. 1.1, avec les références). En l'occurrence, le débirentier a conclu devant l'autorité d'appel à ce que la contribution d'entretien mensuelle, fixée par le premier juge à 1'920 fr. puis à 1'335 fr. pour une durée indéterminée, soit réduite à 500 fr., alors que la mère du recourant a conclu en appel au versement de la contribution d'entretien sur une période plus étendue de façon rétroactive. La valeur litigieuse dépasse ainsi manifestement le seuil de 30'000 fr. (art. 51 al. 4 et 74 al. 1 let. b LTF), ainsi que l'a au demeurant constaté la cour cantonale au pied de son arrêt. La voie du recours en matière civile étant ouverte en l'espèce, le recours constitutionnel subsidiaire interjeté est d'emblée irrecevable (<ref-law>). Cela étant, l'intitulé erroné d'un recours ne nuit pas à son auteur, pour autant que les conditions de recevabilité du recours qui aurait dû être interjeté soient réunies (<ref-ruling> consid. 1.2 et les arrêts cités), de sorte que le présent recours constitutionnel subsidiaire est traité comme un recours en matière civile.
1.2. Le présent recours est interjeté par l'enfant, représenté par sa mère, B._, alors qu'à teneur de l'arrêt cantonal entrepris, seule la mère a interjeté appel. En dépit de cette inexactitude dans l'arrêt déféré, il ressort explicitement du mémoire d'appel qu'il a été interjeté " par la mère en son nom propre et en qualité de représentante légale de l'enfant ". L'état de fait est donc complété d'office sur ce point (<ref-law>), sur la base du dossier cantonal. En réalité la mère de l'enfant n'a pas fait valoir de prétention propre devant les instances cantonales, de sorte qu'il convient de considérer qu'elle est réputée avoir toujours agi comme représentante légale, respectivement pour le compte de l'enfant, conformément à l'<ref-law>. Il faut donc admettre, au vu de ce qui précède, que le présent recours est interjeté par une partie, l'enfant, qui a succombé dans ses conclusions prises devant l'autorité précédente et qui jouit d'un intérêt à l'annulation ou à la modification de l'arrêt déféré et qui a dès lors qualité pour recourir au Tribunal fédéral (art. 76 al. 1 let. a et b LTF).
2.
2.1. Dès lors que la décision entreprise porte sur des mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law>, la partie recourante ne peut dénoncer que la violation de droits constitutionnels à leur encontre. Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés ("principe d'allégation", <ref-law>), à savoir expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.4; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 6). Le recourant qui se plaint de la violation d'un droit fondamental doit ainsi indiquer quelle disposition aurait été violée et démontrer, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation (<ref-ruling> consid. 3). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (ATF <ref-ruling> consid. 2.4; <ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 10.1 et les arrêts cités).
2.2. Une décision est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 7.3; <ref-ruling> consid. 4.1); il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 7.1, 170 consid. 7.3; <ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 4.1 et les références). Pour être jugée arbitraire, la violation du droit doit être manifeste et pouvoir être reconnue d'emblée (<ref-ruling> consid. 4.4.1); le Tribunal fédéral n'a pas à examiner quelle est l'interprétation correcte que l'autorité cantonale aurait dû donner des dispositions applicables; il doit uniquement dire si l'interprétation qui a été faite est défendable (<ref-ruling> consid. 5.1). Le recourant doit démontrer en quoi l'application qui a été faite du droit est arbitraire (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 2.3; cf. supra consid. 2.1).
3.
Le recours a pour objet la période de versement de la contribution d'entretien fixée à 1'920 fr., au regard de la capacité contributive du débirentier au cours de périodes déterminées écoulées.
S'agissant de la capacité contributive du père pour les mois d'avril et mai 2018, le Juge délégué a considéré que le père n'avait pas réalisé de revenus pour cette période, ce qui était corroboré par ses relevés de compte bancaire ne faisant état d'aucun montant crédité, mais qu'il disposait d'une fiche de salaire dès le mois de juin 2018, attestant, au degré de la vraisemblance, son allégation selon laquelle il a débuté son activité professionnelle le 4 juin 2018. Quant à l'imputation d'un revenu hypothétique pour cette période de deux mois, l'autorité précédente a jugé que, quand bien même les conditions pour lui imputer un tel revenu seraient réalisées, il faudrait alors accorder, en fonction des circonstances concrètes, un certain délai d'adaptation au débirentier, lequel délai faisait alors obstacle à l'imputation d'un revenu hypothétique pour les mois d'avril et mai 2018.
Pour les mois de novembre 2018 à mars 2019, le Juge délégué s'est référé à la jurisprudence selon laquelle il faut tenir compte des saisies de salaire déjà opérées pour déterminer le revenu effectif d'un individu (arrêt 5A_810/2011 du 7 février 2012 consid. 3.2.1), quel que soit le type de dette pour lequel la saisie a été opérée. Il fallait donc en l'espèce tenir compte des saisies effectivement opérées sur le salaire du père, alors que l'obligation d'entretien - certes en principe prioritaire - n'était pas encore définie à cette époque, puisque celui-ci n'avait en définitive reçu, lors des mois où la saisie a été ordonnée - ce qui n'était pas le cas en février 2019 -, qu'un montant lui permettant de couvrir son minimum vital du droit des poursuites, sans capacité contributive résiduelle. Aussi, le Juge délégué a prononcé que pour les mois de novembre 2018 à janvier 2019 compris et pour le mois de mars 2019, le père ne devait aucune contribution pour l'entretien de son fils.
4.
Se référant aux art. 279 al. 1 et 285 al. 1 CC en lien avec l'absence de détermination d'un revenu hypothétique, le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir arbitrairement considéré qu'il faudrait en l'espèce accorder un délai d'adaptation au débirentier, de sorte que ce délai faisait obstacle à l'imputation d'un revenu pour les mois d'avril et mai 2018. Le recourant affirme que le père, débiteur d'un entretien pour un enfant mineur, devait effectuer des recherches d'emploi afin de se procurer un revenu sur cette période, alors que le Juge délégué se serait contenté de constater que le père n'avait eu aucune rentrée d'argent sur cette période. L'autorité d'appel devait, selon le recourant, examiner la possibilité d'imputer un revenu hypothétique au débirentier, en tenant compte des pièces attestant de la capacité contributive de celui-ci. Dès lors que le père n'avait pas mobilisé sa capacité de gain pour s'acquitter de ses obligations financières, l'autorité cantonale devait écarter l'octroi d'un délai d'adaptation et imputer un revenu hypothétique au père pour les mois d'avril et mai 2018. Ce faisant, le Juge délégué aurait versé dans l'arbitraire dans l'application des art. 279 et 285 CC, aboutissant au résultat insoutenable de cautionner l'inactivité professionnelle injustifiée du père et de faire supporter à la collectivité publique les carences de celui-ci.
En l'occurrence, le recourant se méprend en tant qu'il considère que le Juge délégué n'a que constaté l'absence de revenus effectifs du père sur la période d'avril et mai 2018, sans s'interroger sur la possibilité d'imputer un revenu hypothétique au père (cf. supra consid. 3). En réalité, le recourant présente sa propre appréciation de la cause selon laquelle il convient d'imputer un revenu hypothétique au père sans aucun délai d'adaptation, mais sans motiver plus avant cette question, notamment au regard des conditions d'imputation d'un tel revenu et de l'octroi d'un délai raisonnable d'adaptation. Ce faisant, il se limite à contester le raisonnement de l'autorité précédente n'allant pas dans son sens, mais il ne démontre nullement en quoi le Juge délégué aurait versé dans l'arbitraire en considérant qu'un délai d'adaptation raisonnable devait être laissé au débirentier à qui l'on impute un revenu hypothétique, lequel empêchait de retenir un tel revenu sur une période de deux mois. Le grief d'arbitraire est ainsi irrecevable (cf. supra consid. 2.1 et 2.2).
5.
Le recourant dénonce ensuite la déduction sur les revenus du père des saisies sur salaire opérées par l'Office des poursuites, avec pour conséquence de dispenser le débirentier du versement de toute contribution d'entretien pour les mois de novembre 2018 à janvier 2019 et pour le mois de mars 2019. Dès lors que le devoir d'entretien du droit de la famille prime l'acquittement des dettes personnelles envers des tiers, la prise en compte de ces saisies sur salaire serait arbitraire, parce qu'elle contraindrait l'enfant à saisir les autorités lorsque le débirentier fait l'objet d'une saisie de salaire, contrairement à la lettre de l'<ref-law>. Le résultat de ce raisonnement serait arbitraire puisqu'il priverait l'enfant de son entretien pour les mois de novembre 2018 à janvier 2019 et pour le mois de mars 2019, au profit des créanciers personnels du père.
Ignorant à nouveau les motifs, singulièrement la jurisprudence, ayant conduit l'autorité précédente à tenir compte de ces retenues de salaire, le recourant présente sa propre appréciation de la cause. Dès lors qu'il occulte le raisonnement cantonal, selon lequel les saisies étaient effectives alors que l'entretien n'était pas encore fixé (cf. supra consid. 3), il ne présente aucune argumentation tendant à démontrer le caractère insoutenable du raisonnement attaqué qu'il se contente d'écarter au profit de sa version. A nouveau, le grief d'arbitraire soulevé est irrecevable (cf. supra consid. 2.1 et 2.2).
6.
Enfin, le recourant se plaint de la répartition des frais et dépens de la procédure de deuxième instance, dès lors que l'admission de son recours aurait pour effet de réformer l'arrêt déféré, en ce sens qu'il obtient plus largement gain de cause que le débirentier.
Au vu de l'irrecevabilité des deux griefs soulevés (cf. supra consid. 4 et 5), la critique de la répartition des frais et dépens reposant sur le postulat qu'il obtiendrait gain de cause est d'emblée privée de son fondement. Le grief est en conséquence rejeté.
7.
En définitive, le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable. Le recours était d'emblée dénué de chances de succès, de sorte que la requête d'assistance judiciaire déposée pour le compte du recourant doit être rejetée (<ref-law>). Dès lors que le recourant succombe, il doit supporter les frais de la présente procédure (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer une indemnité de dépens à l'intimé qui n'a pas été invité à se déterminer (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'200 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Juge délégué de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 15 mai 2020
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Gauron-Carlin