Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1979) stammt aus dem Kosovo. Er kam 1991 im Familiennachzug in die Schweiz. Am 22. Februar 2000 heiratete er eine Landsfrau. Aus der Beziehung ging eine Tochter hervor (geb. 2002). A._ wurde hier wiederholt straffällig (Verurteilung 1995: sexuelle Nötigung, Diebstahl, einfache Körperverletzung usw.; Strafbefehle wegen Besitzes und Konsums von Betäubungsmitteln; Verurteilung 2001: Raub und Diebstahl). Das Kreisgericht U._ sprach ihn am 16. Januar 2003 mangels Schuldfähigkeit vom Vorwurf der versuchten vorsätzlichen Tötung frei und ordnete seine Verwahrung an; diese wurde am 16. Januar 2015 in eine stationäre therapeutische Massnahme gemäss <ref-law> (SR 311.0) umgewandelt. Die Ehe ist am 26. Februar 2010 geschieden und die Tochter unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt worden. Das zuständige Regionalgericht verlängerte am 5. Dezember 2019 - unter jährlicher Prüfung einer allfälligen vorzeitigen bedingten Entlassung - die stationäre Behandlung des Beschwerdeführers bis zum 15. Januar 2024.
B.
Die Einwohnergemeinde (EG) Bern, Fremdenpolizei (heute: Einwohnerdienste, Migration und Fremdenpolizei [EMF]) lehnte es am 2. Juli 2019 ab, die Aufenthaltsbewilligung von A._ zu verlängern. Die Polizei- und Militärdirektion (heute: Sicherheitsdirektion) und das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wiesen die jeweiligen Beschwerden hiergegen ab. Sie gingen davon aus, dass trotz gewisser Fortschritte bei A._ nach wie vor eine Rückfallgefahr bestehe, die seine privaten Interessen an einem Verbleib in der Schweiz, wo seine Mutter, ein Bruder und seine volljährige Tochter lebten, überwiege; die medizinische Betreuung von A._ sei auch in seiner Heimat möglich.
C.
A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 17. Juni 2021 aufzuheben, seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern und von seiner Wegweisung abzusehen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. A._ macht geltend, die aufenthaltsbeendende Massnahme sei unverhältnismässig; er sei im Rahmen seines psychiatrischen "Settings" auf die Unterstützung seiner Familienangehörigen angewiesen; er könne nicht in den Kosovo zurückkehren. Das Verwaltungsgericht und die Einwohnerdienste der Stadt Bern beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Von der Sicherheitsdirektion des Kantons Bern und dem Staatssekretariat für Migration (SEM) sind keine Vernehmlassungen eingegangen.

Erwägungen:
1.
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlichrechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>). Der Beschwerdeführer, der sich inzwischen seit rund 30 Jahren in der Schweiz aufhält, kann sich für den entsprechenden Bewilligungsanspruch auf den Schutz seines Privatlebens im Rahmen von Art. 8 EMRK (bzw. <ref-law>) berufen (vgl. <ref-ruling> ff. E. 3.8 und 3.9). Ob die Bewilligung zu Recht nicht verlängert wurde, ist praxisgemäss eine Frage der materiellen Beurteilung und keine solche des Eintretens (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen).
1.2. Nicht in vertretbarer Weise beruft sich der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang hingegen auf den Schutz seines Familienlebens (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen) : Der Umstand, das sein Bruder und die volljährige Tochter im Rahmen des psychiatrischen "Settings" motivierend und administrativ eine gewisse Rolle spielen, genügt nicht, um davon ausgehen zu können, dass zwischen dem Beschwerdeführer und ihnen ein Abhängigkeitsverhältnis im Sinne der Rechtsprechung zu Art. 8 EMRK bzw. <ref-law> besteht (vgl. <ref-ruling> E. 6.1 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 3.4.2) : Der Beschwerdeführer befindet sich - trotz gewisser Vollzugslockerungen - immer noch in einer stationären Massnahme im Heim B._. Er macht zwar geltend, dass die Vorinstanz der Hilfestellung der Familie zu wenig Rechnung getragen habe und diese unterschätze; die behauptete "essentielle Bedeutung" des Betreuungsbeitrags zeigt er jedoch weder auf, noch belegt er sie. Der Einwand, dass er den Kontakt mit seiner Tochter "weiterhin" so intensiv ausüben "möchte" wie bisher, genügt hierfür nicht. Im Übrigen ist die Interessenabwägung nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK dieselbe unabhängig davon, ob es sich um einen Eingriff in das Privat- oder das Familienleben handelt.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft - unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Parteien - jedoch nur die vorgebrachten Rügen, sofern andere rechtliche Mängel nicht auf den ersten Blick erkennbar sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten besteht eine qualifizierte Begründungspflicht (<ref-ruling> E. 1.4 S. 5). Das Bundesgericht ist an den Sachverhalt gebunden, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig. Inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung oder die Sachverhaltsfeststellung klarerweise unhaltbar sein sollen, muss in der Beschwerdeschrift detailliert aufgezeigt werden (<ref-ruling> E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
2.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe einzelne Sachverhaltselemente willkürlich gewichtet; er legt - entgegen seiner Begründungspflicht - indessen nur punktuell verfassungsbezogen dar, dass und inwiefern dies der Fall sein soll. Soweit der Beschwerdeführer der Begründung des angefochtenen kantonalen Urteils lediglich seine Sicht der Dinge gegenüberstellt, ohne darzulegen, inwiefern die Vorinstanz die Beweise in Verletzung von <ref-law> (Willkür) gewürdigt oder den Sachverhalt offensichtlich unzutreffend bzw. in Verletzung von <ref-law> festgestellt hat, sind seine Vorbringen unzureichend substanziiert (vgl. LAURENT MERZ, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger/Kneubühler [Hrsg.], Basler Kommentar zum BGG, 3. Aufl. 2018, N. 53 zu <ref-law>).
2.3. Es genügt vor Bundesgericht nicht, wie dies der Beschwerdeführer tut, bloss die eigene, bereits in den kantonalen Verfahren vertretene Auffassung ohne Auseinandersetzung mit der Begründung im angefochtenen Entscheid zu wiederholen und lediglich ein willkürliches Handeln der Vorinstanz zu behaupten (vgl. Urteile 2C_99/2019 vom 28. Mai 2019 E. 2.2.2 und 2C_941/2018 vom 1. Mai 2019 E. 2). Dass der vom Gericht festgestellte Sachverhalt nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Person übereinstimmt, begründet für sich allein noch keine Willkür (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; Urteil 2C_846/2018 vom 26. März 2019 E. 2.2.3). Das Bundesgericht behandelt im Folgenden nur jene Rügen, welche der Beschwerdeführer den gesetzlichen Anforderungen entsprechend begründet und nicht rein appellatorisch erhebt; es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat, nachdem der Beschwerdeführer nicht rechtsgenügend dartut, dass und inwiefern dieser als offensichtlich fehlerhaft zu gelten hätte.
3.
3.1. Der Bewilligungsanspruch aus Art. 8 EMRK gilt nicht absolut. Ein Eingriff in dessen Anwendungsbereich ist nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK statthaft, soweit dieser gesetzlich vorgesehen ist und eine verhältnismässige Massnahme darstellt, die in einer demokratischen Gesellschaft für die nationale Sicherheit, die öffentliche Ruhe und Ordnung, das wirtschaftliche Wohl des Landes, zur Verhinderung von strafbaren Handlungen, zum Schutz der Gesellschaft und Moral sowie der Rechte und Freiheiten anderer notwendig ist. Die Konvention verlangt im Rahmen von Art. 8 Ziff. 2 EMRK, die privaten Interessen der betroffenen Person am Verbleib im Land in einer Gesamtsicht zu erfassen und sie sorgfältig und fair dem öffentlichen Interesse an der aufenthaltsbeendenden Massnahme gegenüberzustellen (vgl. zu den dabei zu berücksichtigenden Elementen das Urteile des EGMR Saber und Boughassal gegen Spanien vom 18. Dezember 2018 [Nr. 76550/13 und 45938/14] § 40; siehe auch <ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 2.1, 153 E. 2.2.1; <ref-ruling> E. 2 mit Hinweisen; Urteil 2C_1064/2017 vom 15. Juni 2018 E. 4.2.2).
3.2. Befindet sich eine ausländische Person bereits seit längerer Zeit in der Schweiz, soll ihr Aufenthalt nur mit Zurückhaltung beendet werden. Bei gewichtigen Straftaten und bei Rückfall sowie bei wiederholter (unverbesserlicher) Delinquenz besteht indessen praxisgemäss regelmässig auch in diesen Fällen ein erhebliches öffentliches Interesse daran, die weitere Anwesenheit der ausländischen Täterin oder des ausländischen Täters zu beenden, da und soweit sie (1) hochwertige Rechtsgüter verletzt oder in Gefahr gebracht haben bzw. (2) sich von straf- und ausländerrechtlichen Massnahmen nicht beeindrucken lassen und damit zeigen, dass sie auch künftig weder gewillt noch fähig erscheinen, sich an die hiesige Rechtsordnung zu halten (vgl. <ref-ruling> E. 2.1, 31 E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.3). Der Grad der von der betroffenen ausländischen Person fortbestehenden Bedrohung ist aufgrund ihres bisherigen Verhaltens abzuschätzen. Die entsprechende Gefahr setzt nicht voraus, dass ein Straftäter mit Sicherheit wieder delinquieren wird; ebensowenig wird (umgekehrt) verlangt, dass überhaupt kein Restrisiko mehr besteht (vgl. das Urteil 2C_270/2015 vom 6. August 2015 E. 4 mit Hinweisen). Je schwerer die zu befürchtende bzw. vernünftigerweise absehbare Rechtsgutsverletzung wiegt, umso weniger ist die Möglichkeit eines Rückfalls ausländerrechtlich hinzunehmen (vgl. <ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 4.2; <ref-ruling> E. 4.3.1).
4.
Die Vorinstanz hat die verschiedenen Interessen umfassend geprüft und in vertretbarer Weise gegeneinander abgewogen:
4.1.
4.1.1. Der Beschwerdeführer ist hier (wiederholt) schwer straffällig geworden; er erfüllt, was nicht bestritten ist, den Widerrufsgrund von Art. 62 Abs. 1 lit. b (strafrechtliche Massnahme nach <ref-law>) bzw. von <ref-law> (erheblicher oder wiederholter Verstoss gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung). Er griff einen Bekannten mit einem Messer von hinten an. Aufgrund des Warnrufs eines Dritten drehte sich das Opfer noch rechtzeitig um, weshalb es "nur" am linken Oberarm verletzt wurde. Das Strafgericht ging davon aus, dass der Beschwerdeführer mit voller Kraft und Wucht, ungezielt und unkontrolliert auf den Bekannten eingestochen hat; er habe sein Opfer töten wollen; der Tatbestand des vollendeten Versuchs der vorsätzlichen Tötung sei objektiv und subjektiv erfüllt; Rechtfertigungsgründe gebe es keine. Der Beschwerdeführer wurde dennoch freigesprochen, weil er gestützt auf die diagnostizierte paranoide Schizophrenie zum Zeitpunkt der Tat unzurechnungsfähig gewesen war. Das Gericht stufte ihn als gemeingefährlich ein und ordnete seine Verwahrung an.
4.1.2. In der Folge manifestierte der Beschwerdeführer weiterhin eine gewisse Gewaltbereitschaft und sein Verhalten blieb mangels Einsicht in seine Krankheit und mangels Therapiebereitschaft während längerer Zeit unberechenbar. Die Kommission zur Überprüfung der Gemeingefährlichkeit von Straftätern (heute: Konkordatliche Fachkommission zur Beurteilung der Gemeingefährlichkeit von Straftätern) stufte ihn wiederholt als gemeingefährlich ein (letztmals im Jahr 2011). Das Amt für Justizvollzug des Kantons Bern (AJV), Bewährungs- und Vollzugsdienste (BVD), beantragte am 22. August 2019 - trotz einer Besserung des Zustands des Beschwerdeführers (Aufenthalt in Wohnheim, externe Beschäftigung, Besuch bei der Mutter unter sorgfältiger Planung, strikten Weisungen und Kontrollen sowie engmaschiger Betreuung) - die stationäre Massnahme zu verlängern, was das Regionalgericht am 5. Dezember 2019 tat; es erachtete eine solche um vier Jahre (bis zum 15. Januar 2024) - vorbehältlich einer allfälligen vorzeitigen Entlassung im Rahmen der jährlichen Überprüfung - als angezeigt.
4.1.3. Mit der Vorinstanz ist davon auszugehen (vgl. zum öffentlichen Interesse die E. 4 des angefochtenen Entscheids), dass das inzwischen gute Verhalten des Beschwerdeführers im Massnahmenvollzug noch keine entscheidenden Rückschlüsse auf sein künftiges Verhalten zulässt; ohne engmaschige Betreuung kann eine Dekompensation nicht ausgeschlossen werden. Der Beschwerdeführer wendet selber ein, dass er "wegen seiner nicht vollständigen Compliance stets wieder aufs Neue motiviert werden" müsse. Dem Straf- und Massnahmenvollzug kommt nebst der Sicherungsfunktion eine resozialisierende und therapeutische Bedeutung zu; für die Ausländerbehörden steht demgegenüber in erster Linie das Interesse der öffentlichen Sicherheit und Ordnung im Vordergrund (<ref-ruling> E. 5.2.2; Urteil 2C_1024/2020 vom 19. Mai 2021 E. 5.3.3). Die stationäre therapeutische Massnahme ist unter anderem dann aufzuheben (<ref-law>), wenn die Durch- oder Fortführung der Massnahme als aussichtslos erscheint, weshalb ein Interesse daran besteht, den ausländerrechtlichen Status des Beschwerdeführers trotz des Fortdauerns der strafrechtlichen Massnahme zu prüfen. Die Vorinstanz durfte dabei, ohne Bundesrecht zu verletzen, davon ausgehen, dass beim Beschwerdeführer nach wie vor eine ausländerrechtlich relevante, im Hinblick auf die potentiell gefährdeten Rechtsgüter (Leib und Leben) nicht hinnehmbare Rückfallgefahr besteht (vgl. E. 6 des angefochtenen Entscheids). Der Beschwerdeführer hat sich seit August 2002 nicht mehr in Freiheit befunden, weshalb er nichts daraus ableiten kann, dass seine Anlasstat inzwischen Jahre zurückliegt (vgl. das Urteil 2C_1024/2020 vom 19. Mai 2021 E. 5.3.5).
4.2.
4.2.1. Der Beschwerdeführer befindet sich seit rund 30 Jahren in der Schweiz; er hat sich hier aber weder beruflich noch sozial vertieft integriert (hierzu E. 5 des angefochtenen Entscheids). Er bringt nichts vor, was die entsprechende Beweiswürdigung als offensichtlich fehlerhaft erscheinen liesse: Er ist im Kosovo geboren und hat dort einen Teil seiner Jugend verbracht; im Übrigen war er mit einer Landsfrau verheiratet, die ihrerseits anfänglich kaum Deutsch sprach. Er wendet nicht ein, die Annahme, dass er die heimatliche Sprache beherrsche und mit den Gegebenheiten in der Heimat (noch) vertraut sei, sei offensichtlich unzutreffend. Es wird ihm sicher nicht leicht fallen, im Kosovo wieder Fuss zu fassen. Dennoch ist dies - wie die Vorinstanz zu Recht ausführt (E. 5.3 und 5.4 des angefochtenen Entscheids) - bei geeigneten Vorkehrungen nicht ausgeschlossen und ihm zumutbar: Der Beschwerdeführer verfügt über eine IV-Rente von derzeit monatlich Fr. 1'586.--, welche ihm (auch) in der Heimat ausbezahlt wird (vgl. das Urteil 2C_512/2019 vom 21. November 2019 E. 6.3), was es ihm erlaubt, dort für seinen Lebensunterhalt und eine geeignete Wohn- und Betreuungsform aufzukommen. Seine in der Schweiz anwesenden Angehörigen können ihn zudem von hieraus finanziell und psychologisch unterstützen. Die entsprechenden persönlichen Kontakte lassen sich besuchsweise in der Heimat und gegebenenfalls täglich über die Neuen Medien leben.
4.2.2. Entgegen der Kritik des Beschwerdeführers lässt sich seine paranoide Schizophrenie auch in der Heimat - wenn allenfalls auch nicht so gut wie in der Schweiz - behandeln (vgl. E. 5.3 und 5.4 des angefochtenen Entscheids; Urteil 2D_14/2018 vom 13. August 2018 E. 5.2.1) : Es gibt dort ein mehrstufiges, nahezu flächendeckendes staatliches psychiatrisches Behandlungssystem für einen Grossteil der psychischen Erkrankungen, auch wenn eigentliche Psychotherapien nur sehr beschränkt durchgeführt werden (vgl. STAATSSEKRETARIAT FÜR MIGRATION [SEM], Focus Kosovo, Behandlungsangebote bei psychischen Erkrankungen, 25. Oktober 2016, S. 16 ff.). Gemäss dem SEM ist die Behandlung von chronischen Psychosen (Schizophrenie) und bipolaren Störungen in staatlichen Institutionen kostenlos (S. 27). Neuere und teurere Medikamente müssen zwar teilweise kostenpflichtig in privaten Apotheken beschafft werden (S. 25 f.), doch ist dem Beschwerdeführer dies mit seiner IV-Rente und der Hilfe seiner Angehörigen möglich. Er wird auch in seiner Heimat unbestrittenermassen langfristig auf eine sorgfältig eingestellte medikamentöse Behandlung angewiesen sein; es besteht jedoch die Möglichkeit, noch während des Massnahmenvollzugs in der Schweiz die weiteren Schritte im Kosovo zu planen und dort ein "Setting" aufzubauen, um seine paranoide Schizophrenie nach der Rückkehr in die Heimat adäquat behandeln und einen Therapieunterbruch vermeiden zu können.
4.3. Das Bundesgericht teilt die Ansicht des Verwaltungsgerichts, dass mit Blick auf die schwere psychische Erkrankung und die Tatsache, dass der Beschwerdeführer nur eingeschränkt Einsicht in seine Pflegebedürftigkeit zeigt, eine ausländerrechtlich relevant Rückfallgefahr fortdauert. Das öffentliche Interesse daran, dass er das Land nach Beendigung der strafrechtlichen Massnahme aus Sicherheitsgründen verlässt, überwiegt sein privates, hier verbleiben zu können. Er ist bloss unterdurchschnittlich integriert und seine Rückkehr in die Heimat ist ihm bei einer sorgfältigen Planung trotz seiner Schizophrenie zumutbar.
5.
5.1. Der angefochtene Entscheid verletzt weder Art. 8 EMRK noch <ref-law>; er ist auch nicht willkürlich. Die Beschwerde ist deshalb abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
5.2. Gestützt auf die zutreffenden Ausführungen der Vorinstanz hatte die vorliegende Beschwerde kaum ernsthafte Aussichten auf Erfolg, weshalb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung abzuweisen ist (<ref-law>). Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der Beschwerdeführer somit kostenpflichtig (<ref-law>). Bei der Festsetzung der Höhe der Kosten wird dem Umstand Rechnung getragen, dass über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nicht vorweg entschieden wurde, was es dem Beschwerdeführer allenfalls noch erlaubt hätte, seine Beschwerde zurückzuziehen. Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
2.1. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
2.2. Die Kosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Staatssekretariat für Migration mitgeteilt.
Lausanne, 18. Februar 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar