Sachverhalt:
A.
Mit Urteil 2E_4/2019 vom 28. Oktober 2021 wies das Bundesgericht die auf Art. 3 des Bundesgesetzes vom 14. März 1958 über die Verantwortlichkeit des Bundes sowie seiner Behördenmitglieder und Beamten (VG; SR 170.32) gestützte Klage von A._ (nachfolgend: der Kläger bzw. Gesuchsteller) gegen die Schweizerische Eidgenossenschaft ab. Der Kläger hatte seine Klage damit begründet, dass er seiner beruflichen Existenz aufgrund dessen beraubt worden sei, dass sein Name in Verfahren, die er als damals noch zugelassener Rechtsanwalt vor Bundesgericht geführt hatte, trotz Kostenauflage an ihn nicht anonymisiert worden sei. Das Bundesgericht beschränkte das Verfahren auf den Aspekt des widerrechtlichen Verhaltens von gewesenen oder gegenwärtigen Mitgliedern des Schweizerischen Bundesgerichts zum Nachteil des Klägers. Im Urteil 2E_4/2019 vom 28. Oktober 2021 gelangte es zum Schluss, dass die Klage sich unter dem Gesichtspunkt der Widerrechtlichkeit als unbegründet erweise. Daher erübrige es sich, die weiteren Tatbestandselemente des öffentlich-rechtlichen Haftungstatbestandes (Schaden, Kausalität) zu prüfen.
B.
B.a. Mit Eingabe vom 21. November 2020 (und einer weiteren vom 1. Dezember 2020) hatte der damalige Kläger bei den Geschäftsprüfungskommissionen eine Aufsichtsanzeige gegen das Bundesgericht erhoben. Die Subkommissionen Gerichte/Bundesanwaltschaft leiteten die Eingaben mit E-Mails vom 28. Januar 2021 an das Bundesgericht weiter, wobei dieses eingeladen wurde, bis zum 12. Februar 2021 bzw. 15. März 2021 Stellung zu nehmen. Das Bundesgericht antwortete mit Schreiben vom 10. Februar 2021.
B.b. Inhalt des Schreibens vom 10. Februar 2021 bildeten die beiden Themenbereiche "Anonymisierung der Urteile" und "Spruchkörperbildung mit Hilfe von CompCour". Hier von Interesse ist nur der erste Bereich. Dazu äusserte sich das Bundesgericht, handelnd durch die Verwaltungskommission, am 10. Februar 2021 folgendermassen (Originalzitat) :
"Die Regeln zur Anonymisierung der Urteile sind seit letztem Jahr aus Transparenzgründen auf der Internetseite des Bundesgerichts in allen Amtssprachen aufgeschaltet. Die von Herrn A._ beanstandeten Anonymisierungsregeln liegen an der Schnittstelle von Rechtsprechung und justiznaher Verwaltung, weshalb es sich um gemeinsame Regeln von Verwaltungskommission und Präsidentenkonferenz handelt.
Wie Herr A._ in seiner Anzeige richtig schreibt, führt er in dieser Angelegenheit derzeit vor Bundesgericht einen Prozess (Verfahren 2E_4/2019; Schadenersatz aus Verantwortlichkeitsgesetz); die am 5. Februar 2021 vorgesehene öffentliche Parteiverhandlung musste infolge eines Ausstandsbegehrens verschoben werden. Dem pendenten Gerichtsverfahren kann das Bundesgericht nicht vorgreifen. Wir müssen zuerst das begründete Urteil abwarten; anschliessend können wir uns dazu in der Sache äussern, sofern die aufgeworfenen Fragen nicht schon durch das bundesgerichtliche Urteil beantwortet sind. Wir schlagen Ihnen daher vor, diese Frage an der jährlichen Sitzung zwischen GPK und Bundesgericht vom 21. April 2021 zu besprechen."
Es ist unstreitig, dass der Kläger bis zum Nichteintretensentscheid der Subkommissionen Gerichte/Bundesanwaltschaft vom Schreiben vom 10. Februar 2021 keine Kenntnis hatte.
C.
C.a. Mit Eingabe vom 3. Januar 2022 unterbreitet der seinerzeitige Kläger dem Bundesgericht ein Revisionsgesuch. Er ersucht um revisionsweise Aufhebung des Urteils vom 28. Oktober 2021. Weiter beantragt er, die mündliche Fortsetzungsverhandlung vom 16. April 2021 sei zu wiederholen und unter neuer Besetzung von Spruchkörper und Gerichtsschreiber zu führen. In verfahrensrechtlicher Hinsicht sei ihm das Recht zur unentgeltlichen Rechtspflege zu erteilen.
C.b. Der Gesuchsteller macht geltend, das Bundesgericht habe sich in seiner Antwort vom 10. Februar 2021 an die Subkommissionen Gerichte/Bundesanwaltschaft im Wesentlichen darauf beschränkt, auf das hängige Verfahren 2E_4/2019 hinzuweisen, ohne die rechtlichen Grundlagen der Anonymisierung darzulegen. Daraus sei der Schluss zu ziehen, dass es zu diesem Zeitpunkt "eben genau an einer rechtlichen Grundlage" für die Namensoffenlegung in den Urteilen gefehlt habe. Zudem zeige sich, dass das Bundesgericht das Aufsichtsverfahren habe verhindern wollen. Von der bundesgerichtlichen Antwort vom 10. Februar 2021 habe er, der Gesuchsteller, erst aufgrund des Schreibens der Subkommissionen vom 21. Dezember 2021 erfahren. Hätte er vorher darum gewusst, hätte er den für die Fortsetzungsverhandlung zuständigen Spruchkörper rechtzeitig abgelehnt. Der damalige Spruchkörper (Bundesrichterin Hänni als präsidierendes Mitglied, Bundesrichter Donzallaz, Bundesrichter Beusch) und Gerichtsschreiber Kocher sei rückblickend als befangen zu betrachten. Der Spruchkörper habe "nicht unbefangen in der Sache geurteilt, sondern in eigener Sache entschieden".
C.c. Diese Sachumstände hätten, so der Gesuchsteller abschliessend, zur Revision des Urteils vom 28. Oktober 2021 zu führen. Das Antwortschreiben vom 10. Februar 2021 begründe nicht nur den Revisionsgrund gemäss <ref-law> (Revision zufolge verletzter Ausstandsvorschriften). Es stelle auch ein unechtes Novum im Sinne von <ref-law> dar (Revision aufgrund nachträglich erlangter Kenntnis über eine erhebliche Tatsache oder ein entscheidendes Beweismittel).
D.
Von Instruktionsmassnahmen, insbesondere einem Schriftenwechsel (<ref-law>), hat das Bundesgericht abgesehen.

Erwägungen:
1.
Der Gesuchsteller ersucht um Revision des Urteils 2E_4/2019 vom 28. Oktober 2021 und begründet dies hauptsächlich damit, dass der seinerzeitige Spruchkörper in den Ausstand hätte treten müssen. Er nimmt die angebliche Befangenheit zum Anlass, um das Revisionsgesuch zu begründen und um gleichzeitig darzutun, dass das Verfahren mit neuer Besetzung wieder aufzunehmen sei. Es ist davon auszugehen, dass er die bisherige Besetzung auch im vorliegenden Revisionsverfahren ablehnt.
2.
2.1. Formelle Beanstandungen - wie namentlich Gehörsrügen oder die Rüge der Befangenheit - können ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids führen, weshalb sie vorab zu behandeln sind (Urteile 2C_551/2021 vom 24. Januar 2022 E. 2.1; 2C_788/2021 vom 27. Oktober 2021 E. 3.1; 2C_196/2017 vom 21. Februar 2019 E. 3, nicht publ. in: <ref-ruling>).
2.2. Demnach ist in einem ersten Schritt das für das vorliegende Revisionsverfahren gestellte Ausstandsgesuch zu prüfen.
2.2.1. Will eine Partei den Ausstand einer Gerichtsperson des Bundesgerichts verlangen, so hat sie dem Bundesgericht ein schriftliches Begehren einzureichen, sobald sie vom Ausstandsgrund Kenntnis erhalten hat. Die den Ausstand begründenden objektiven Tatsachen sind glaubhaft zu machen (<ref-law>). Auf das bloss subjektive Empfinden einer Partei kann bei der Beurteilung nicht abgestellt werden. Die abgelehnte Gerichtsperson muss nicht tatsächlich befangen sein; der Anschein ihrer Befangenheit genügt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.3.1; <ref-ruling> E. 4.3; Urteil 2F_4/2022 vom 28. Januar 2022 E. 3.3). Die Mitwirkung in einem früheren Verfahren des Bundesgerichts bildet für sich allein aber keinen Ausstandsgrund (<ref-law>; zur procédure antérieure bzw. zur même cause ausführlich <ref-ruling> E. 3.1).
2.2.2. Ein hauptsächlich mit der Mitwirkung am früheren Verfahren begründetes Ausstandsbegehren erscheint als rechtsmissbräuchlich, weshalb darauf ohne Ausstandsverfahren nach <ref-law> unter Mitwirkung der abgelehnten Gerichtspersonen nicht einzutreten ist (<ref-ruling> E. 4.2.2; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1c, je zur analogen Regelung im damaligen Bundesgesetz vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege [OG; AS 60 271]; Urteile 6B_1452/2021 vom 2. Februar 2022 E. 3; 13Y_2/2021 vom 25. Juni 2021 E. 2.3; 4A_194/2021 vom 7. Mai 2021 E. 1; 2C_287/2018 vom 7. Mai 2018 E. 2.4). Insbesondere dürfen jene Gerichtspersonen, die an einem Urteil mitgewirkt haben, gegen welches später ein Revisionsgesuch gestellt wird, auch am Revisionsverfahren mitwirken (Urteile 2C_853/2017 vom 13. Dezember 2017 E. 2.1; 2F_19/2013 vom 4. Oktober 2013 E. 2), es sei denn, sie hätten aus einem anderen Grund in den Ausstand zu treten.
2.3.
2.3.1. Für das vorliegende Revisionsverfahren ist von einem sinngemäss gestellten Ausstandsgesuch auszugehen, auch wenn der Gesuchsteller hierzu kaum Ausführungen macht. Tatsache ist dagegen, dass er keinerlei neue Argumente vorbringt, die sich spezifisch auf das Revisionsverfahren beziehen. Er differenziert mithin nicht zwischen dem Ausstandsgrund, der im Klageverfahren bestanden haben soll und jenem, der das Revisionsverfahren betreffe. Das Ausstandsgesuch ist damit anhand der allgemeinen Argumentation des Gesuchstellers zu prüfen. Diese geht dahin, dass "das Bundesgericht" befangen sei, weil es in seinem Schreiben vom 10. Februar 2021 (Sachverhalt, lit. B.b) weder positiv noch negativ auf die gestellte Frage geantwortet habe.
2.3.2. Der Gesuchsteller scheint dem oberaufsichtsrechtlichen Verfahren insgesamt eine Bedeutung beizumessen, die diesem von vornherein nicht zukommt. Dies ist richtigzustellen: Wie die Subkommissionen Gerichte/Bundesanwaltschaft in ihrem Nichteintretensentscheid vom 21. Dezember 2021 zuhanden des heutigen Gesuchstellers zutreffend ausführten, übt die Bundesversammlung die Oberaufsicht über das Bundesgericht aus (Art. 26 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 13. Dezember 2002 über die Bundesversammlung [ParlG; SR 171.10]). Dasselbe ergibt sich aus Art. 3 des Bundesgesetzes vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (BGG; SR 173.110). Zum Prüfungsgegenstand der Oberaufsicht zählen namentlich die Justizverwaltung und der äussere Geschäftsgang (Finanzhaushalt, Organisation, Funktionsweise, Abläufe usw.) sowie die blosse Kenntnisnahme der Rechtsprechung (Heinrich Koller, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 16 zu <ref-law>; Alain Wurzburger, in: Corboz et al., Commentaire de la LTF, 2. Aufl. 2014, N. 10 ff. zu <ref-law>). Demgegenüber ist die Bundesversammlung weder befugt, Entscheide aufzuheben noch solche zu ändern. Die inhaltliche Kontrolle bundesgerichtlicher Entscheide durch die Bundesversammlung ist ausgeschlossen (<ref-law>).
2.3.3. Eine Schnittmenge zwischen Oberaufsicht und Rechtsprechung besteht grundsätzlich nicht (Näheres dazu bei Wurzburger, a.a.O., N. 13 zu <ref-law>; Hansjörg Seiler, in: Seiler et al., Bundesgerichtsgesetz, Kommentar, 2. Aufl. 2015, N. 10 zu <ref-law>). Aus eben diesem Grund sind die Subkommissionen Gerichte/Bundesanwaltschaft auf die ihr vom heutigen Gesuchsteller unterbreitete Aufsichtsanzeige auch gar nicht eingetreten, hatte dieser doch ein Begehren gestellt, das auf einen oberaufsichtsrechtlichen Eingriff in die Rechtsprechungshoheit des Bundesgerichts hinausgelaufen wäre. Im Umkehrschluss vermag eine in einem oberaufsichtsrechtlichen Verfahren erteilte Auskunft die Rechtsprechung auch nicht zu präjudizieren.
2.3.4. Hinzu kommt, dass die für das Bundesgericht handelnde Verwaltungskommission im Oberaufsichtsverfahren lediglich zum Ausdruck gebracht hat, dass dem durch die II. öffentlich-rechtliche Abteilung im hängigen Klageverfahren zu treffenden Entscheid nicht vorzugreifen sei (Sachverhalt lit. B.b). Dem Gesuchsteller ist immerhin insofern zuzustimmen, dass die Verwaltungskommission die gestellte Frage tatsächlich weder positiv noch negativ beantwortet hat. Dies geschah aber einzig aus dem Grund, dass das Klageverfahren noch rechtshängig war. Aus diesen Gegebenheiten zu schliessen, das Schreiben der Verwaltungskommission vom 10. Februar 2021 lege das Fehlen einer gesetzlichen Grundlage offen und deute auf eine Verzögerungstaktik hin, zielt an der Wirklichkeit vorbei. Die Verwaltungskommission ist nicht befugt, ein von einer Abteilung zu behandelndes Rechtsmittelverfahren vorwegzunehmen. Im Übrigen hatte das Bundesgericht dem damaligen Kläger die allgemeine Rechtslage verschiedentlich dargelegt (Schreiben des Generalsekretärs des Bundesgerichts vom 13. Oktober 2020 an den damaligen Kläger; Urteil 2E_4/2019 vom 28. Oktober 2021, Sachverhalt lit. G). Später, im Urteil 2E_4/2019, insbesondere in der dortigen E. 5.4, hat das Bundesgericht dann das Vorliegen einer hinreichenden gesetzlichen Grundlage ausdrücklich bejaht und einlässlich begründet.
2.3.5. Dass und inwiefern das Schreiben der Verwaltungskommission vom 10. Februar 2021 in irgendeiner Weise zur Beeinflussung des heutigen Spruchkörpers führen könnte, zeigt der Gesuchsteller nicht auf. Der heutige Spruchkörper ist weder durch das Urteil der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung vom 28. Oktober 2021 noch durch die Stellungnahme der Verwaltungskommission vom 10. Februar 2021 in irgendeiner rechtserheblichen Weise in seiner Entscheidfindung eingeschränkt. Insbesondere reicht es auch nicht aus, die heutige Befangenheit mit der Mitwirkung am seinerzeitigen Urteil zu begründen (<ref-law>), zumal der heutige Spruchkörper weitgehend neu zusammengesetzt ist. Auf das für das Revisionsverfahren gestellte Ausstandsgesuch, das unzureichend begründet ist (<ref-law>), ist mithin nicht einzutreten.
3.
3.1. In einem zweiten Schritt ist das Revisionsgesuch zu prüfen.
3.1.1. Entscheide des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (<ref-law>). Eine Beschwerde gegen ein bundesgerichtliches Urteil sieht das Gesetz nicht vor. Das Bundesgericht kann auf eines seiner Urteile nur zurückkommen, soweit ein gesetzlicher Revisionsgrund gegeben ist. Die gesetzlichen Revisionsgründe unterliegen einem Numerus clausus (<ref-ruling> E. 3.1). Weitere Aufhebungs- oder Abänderungsgründe als die im Gesetz genannten sind ausgeschlossen. Liegt kein Revisionsgrund vor, hat es bei der Rechtskraft des revisionsbetroffenen Urteils zu bleiben (zum Ganzen: Urteile 2F_7/2022 vom 16. Februar 2022 E. 2.1; 2F_36/2021 vom 11. Januar 2022 E. 2.1; 2F_29/2021 vom 11. November 2021 E. 2.1).
3.1.2. Die um Revision eines bundesgerichtlichen Urteils ersuchende Person hat die allgemeinen Sachurteilsvoraussetzungen zu erfüllen. Sie hat insbesondere in gedrängter Form darzulegen, inwiefern das revisionsbetroffene Urteil an einem revisionserheblichen Mangel leiden soll, ansonsten auf das Gesuch nicht einzutreten ist (Art. 36 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.2). Zudem ist im Revisionsgesuch aufzuzeigen, inwieweit das Dispositiv des revisionsbetroffenen Urteils abzuändern sei. Die Revision darf nicht dazu dienen, rechtskräftige Entscheide immer wieder in Frage zu stellen oder gesetzliche Vorschriften über die Rechtsmittelfristen zu umgehen (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.2; Urteil 2F_7/2022 vom 16. Februar 2022 E. 2.2).
3.1.3. Erachtet das Bundesgericht ein Revisionsgesuch als zulässig, tritt es darauf ein und prüft es, ob der geltend gemachte Revisionsgrund vorliege (BGE <ref-ruling> E. 1.2). Ob ein Grund zur Revision gegeben ist, ist keine Frage des Eintretens, sondern der materiellen Beurteilung (Urteil 2F_4/2022 vom 28. Januar 2022 E. 3.1).
3.2. Der Gesuchsteller macht das Vorliegen eines Revisionsgrundes (<ref-law>) in vertretbarer, für das Eintreten ausreichender Weise geltend. Die Frist gemäss <ref-law> ist gewahrt. Auf das Revisionsgesuch ist einzutreten.
3.3.
3.3.1. Der Gesuchsteller beruft sich einerseits auf <ref-law>, anderseits auf <ref-law>. Der Gesuchsteller begründet auch das Revisionsgesuch mit Kenntnissen, die er erst im Rahmen des parlamentarischen Aufsichtsverfahrens, konkret aufgrund des Schreibens vom 21. Dezember 2021, erfahren hat.
3.3.2. Was zunächst <ref-law> (Revision zufolge verletzter Ausstandsvorschriften) betrifft, so kann dem Gesuch mangels einer Verletzung der Ausstandsvorschriften von vornherein nicht entsprochen werden. Das vorne in E. 2 zum Revisionsverfahren Ausgeführte trifft in gleicher Weise auf das Klageverfahren zu. Mit dem Urteil 2E_4/2019 vom 28. Oktober 2021 hat das Bundesgericht die Vorschriften über die Besetzung des Gerichts oder über den Ausstand eingehalten.
3.4. Gemäss <ref-law> kann in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten die Revision eines (bundesgerichtlichen) Entscheids auch verlangt werden, wenn die um Revision ersuchende Person nachträglich erhebliche Tatsachen erfährt und/oder entscheidende Beweismittel auffindet, die sie im revisionsbetroffenen Verfahren - trotz sorgfältiger Verfahrensführung - nicht hatte beibringen können (unechte Noven). Unter dem Titel von <ref-law> können mithin ausschliesslich Sachverhaltselemente dargetan werden, die einerseits rechtserheblich sind und von welchen die um Revision ersuchende Person erst nachträglich - d.h. nach Abschluss des Schriftenwechsels im bundesgerichtlichen Verfahren - erfahren hat. Ausgeschlossen sind Tatsachen und Beweismittel, die erst nach dem Entscheid entstanden sind (echte Noven; Urteile 2F_29/2021 vom 11. November 2021 E. 2.2; 2C_629/2021 vom 19. Oktober 2021 E. 2.4.2).
3.5. Der Gesuchsteller misst dem Schreiben an die Subkommissionen Gerichte/Bundesanwaltschaft die Bedeutung einer für den Revisionsgrund qualifizierenden Tatsache bzw. eines qualifizierenden Beweismittels im Sinne von <ref-law> bei. Er argumentiert dahingehend, dass es ihm bei Kenntnis der Antwort vom 10. Februar 2021 möglich gewesen wäre, rechtzeitig tätig zu werden und die damalige Besetzung in globo abzulehnen. Es ist dem Gesuchsteller - wie gezeigt - entgegenzuhalten, dass dem Schreiben vom 10. Februar 2021 weder eine positive noch eine negative Beantwortung der Fragestellung entnommen werden kann, sondern einzig der Hinweis darauf, dass das Klageverfahren noch rechtshängig sei. Vor diesem Hintergrund von einer "erheblichen Tatsache" oder einem "entscheidenden Beweismittel" auszugehen, die oder das dem Verfahren eine andere Wende hätte geben können, lässt sich vernünftigerweise nicht halten. Aus einer "Nichtaussage" der Verwaltungskommission auf die Vorbefassung der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung zu schliessen, findet in den Sachumständen keine Grundlage. Weitere Ausführungen erübrigen sich. Das Revisionsgesuch ist unbegründet und abzuweisen.
3.6. Das Gesuch, es sei die mündliche Fortsetzungsverhandlung vom 16. April 2021 zu wiederholen und unter neuer Besetzung von Spruchkörper und Gerichtsschreiber zu führen, ist damit gegenstandslos.
4.
4.1. Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Gesuchsteller aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG)
4.2. Die in der Hauptsache gestellten Begehren erweisen sich als aussichtslos (<ref-ruling> E. 5.1). Das Gesuch um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist daher abzuweisen (vgl. <ref-law> bzw. Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Praxisgemäss werden die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens reduziert, wenn erst zusammen mit dem Endentscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege entschieden wird.
4.3. Der schweizerischen Eidgenossenschaft, die in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Entschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das für das Revisionsverfahren gestellte Ausstandsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen.
3.
Das Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Die reduzierten Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'000.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten mitgeteilt.
Lausanne, 16. März 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Der Gerichtsschreiber: Kocher