Sachverhalt:
A.
Am 25. April 2011 schloss die A._ ag (Beklagte, Beschwerdeführerin) mit B._ (Kläger, Beschwerdegegner) einen Arbeitsvertrag ab. Mit Einschreiben vom 23. Oktober 2017 kündigte die Beklagte das Arbeitsverhältnis fristlos. Am 25. Oktober 2017 teilte der Kläger der Beklagten mit, dass er die Voraussetzungen für eine fristlose Kündigung als nicht gegeben und die Entlassung als missbräuchlich erachte. Er erhob vorsorglich Einsprache und bot seine Arbeitsleistung per sofort an.
B.
B.a. Am 25. Oktober 2018 reichte der Kläger beim Regionalgericht Emmental-Oberaargau eine Klage ein. Er stellte folgende materielle Rechtsbegehren:
"1. Die Beklagte sei zu verpflichten, dem Kläger den Betrag von netto CHF 138'273.40 nebst Zins zu 5 % seit 24.10.2017 zu bezahlen.
[...]
3. Im Umfang von CHF 120'470.00 nebst Zins zu 5 % seit 24.10.2017 sowie CHF 203.30 für die Ausstellung des Zahlungsbefehls, sei der in der Betrei bung Nr. xxx des Betreibungsamtes U._, Dienststelle V._, erhobene Rechtsvorschlag zu beseitigen.
4. Die Beklagte sei zu verurteilen, dem Kläger eine Entschädigung im Sinne von <ref-law> in richterlich zu bestimmendem Umfang, nebst Zins zu 5 % seit dem 24.10.2017 zu bezahlen."
Die Beklagte begehrte die Abweisung der Klage.
An der Hauptverhandlung vom 13. November 2019 hielten die Parteien an ihren Rechtsbegehren fest.
B.b. Mit Eingaben vom 29. und 31. Januar 2020 reichten die Parteien ihre schriftlichen Parteivorträge ein. Der Kläger begehrte neu was folgt:
"1. D ie Beklagte sei zu verpflichten, nach Abzug von CHF 2'000.00 gemäss Zif fer 5 hiernach, dem Kläger den Betrag von netto CHF 115'699.20, nebst Zins zu 5 % seit 24.10.2017 zu bezahlen.
[...]
3. Im Umfang von CHF 115'699.20 nebst Zins zu 5 % seit 24.10.2017 sowie CHF 203.30 für die Ausstellung des Zahlungsbefehls, sei der in der Betrei bung Nr. xxx des Betreibungsamtes U._, Dienststelle V._, erhobene Rechtsvorschlag zu beseitigen.
4. Die Beklagte sei zu verurteilen, dem Kläger eine Entschädigung im Sinne von <ref-law> im Umfang von zwei Monatslöhnen, nebst Zins zu 5 % seit dem 24.10.2017 zu bezahlen.
5. Der retinierte BMW 520d sei dem Kläger zu Alleineigentum zu überlassen und ihm an die Klageforderung im Betrag von CHF 2'000.00 anzurechnen."
B.c. Mit Entscheid vom 19. Februar 2020 wies das Regionalgericht die Klage ab.
B.d. Die dagegen erhobene Berufung hiess das Obergericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 16. Juni 2021 teilweise gut. Es verurteilte die Beklagte in teilweiser Gutheissung der Klage, dem Kläger den Betrag von Fr. 88'031.-- nebst Zins zu 5 % seit 25. Oktober 2017 zu bezahlen, und beseitigte in diesem Umfang den Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts U._, Dienststelle V._. Es auferlegte die Prozesskosten sowohl des erst- als auch des zweitinstanzlichen Verfahrens im Umfang von zwei Dritteln der Beklagten und im Umfang von einem Drittel dem Kläger.
Das Obergericht gelangte - wie bereits das Regionalgericht - zum Ergebnis, dass die fristlose Kündigung aus wichtigem Grund und damit gerechtfertigt erfolgt sei. Es hielt sodann fest, dass der Kläger eine Lohnnachforderung in Höhe von Fr. 99'895.80 nebst Zins geltend mache, welche die Beklagte grundsätzlich anerkenne. Diese habe jedoch Verrechnung erklärt, insbesondere mit verschiedenen Schadensposten im Zusammenhang mit konkurrenzierenden Tätigkeiten des Klägers. Der Kläger wiederum habe diese Gegenforderungen bestritten.
Die Vorinstanz schloss in Würdigung all dieser zur Verrechnung gestellten Forderungen, dass die Beklagte mit Ansprüchen im Umfang von insgesamt Fr. 11'864.80 verrechnen könne, die darüber hinausgehenden Gegenforderungen indes nicht ausgewiesen seien. Entsprechend sei die Klage im Betrag von Fr. 88'031.-- nebst Zins gutzuheissen (Differenz von Fr. 99'895.80 und Fr. 11'864.80). Das Regionalgericht hatte die Verrechnung noch über den gesamten eingeklagten Betrag zugelassen und die Klage aus diesem Grund abgewiesen.
C.
Die Beklagte verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, der Entscheid des Obergerichts sei aufzuheben und die Klage sei abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Unabhängig vom Erfolg der in der Beschwerde materiell erhobenen Rügen beantragt sie, die Gerichtskosten des erstinstanzlichen Verfahrens hälftig den Parteien (im Umfang von je Fr. 6'000.--) aufzuerlegen und die vor Regionalgericht angefallenen Parteikosten wettzuschlagen.
Der Beschwerdegegner begehrt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz verzichtete auf Vernehmlassung, unter Hinweis auf die Erwägungen im angefochtenen Entscheid.
Die Parteien haben je eine weitere Eingabe eingereicht.
Mit Präsidialverfügung vom 11. Oktober 2021 wurde dem Gesuch der Beschwerdeführerin um Erteilung der aufschiebenden Wirkung entsprochen und diese - wie vom Beschwerdegegner beantragt - zur Sicherstellung einer allfälligen Parteientschädigung im Umfang von Fr. 5'500.-- verpflichtet. Diese wurde fristgemäss an die Bundesgerichtskasse geleistet.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid des Obergerichts ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer Vorinstanz im Sinne von <ref-law>. Weiter erreicht der Streitwert den nach <ref-law> in arbeitsrechtlichen Fällen geltenden Mindestbetrag von Fr. 15'000.--.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90).
2.3. Soweit die Parteien die vorinstanzliche Beweiswürdigung kritisieren, ist zu beachten, dass das Bundesgericht in diese nur eingreift, wenn sie willkürlich ist. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern bloss, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 4.2.1). Dies ist dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 4.2). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (BGE <ref-ruling> E. 2.2). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266 f.; <ref-ruling> E. 2b).
3.
Die in der Beschwerde formulierte appellatorische Kritik genügt diesen Anforderungen nicht.
3.1. Vor Vorinstanz war - soweit hier interessierend - einzig streitig, ob die von der Beschwerdeführerin zur Verrechnung gestellten Forderungen bewiesen sind. Das Obergericht stellte ausdrücklich fest, dass der Beschwerdegegner diese Gegenforderungen bestritten hatte.
In der beim Bundesgericht eingereichten Beschwerde behauptet die Beschwerdeführerin nun unter ausführlicher Wiedergabe der Vorbringen in den kantonalen Rechtsschriften, diese Forderungen seien vom Beschwerdegegner gar nicht "rechtsgenüglich bestritten" worden, weshalb sie als anerkannt gelten würden und die Vorinstanz darüber nicht Beweis hätte abnehmen dürfen.
Der Beschwerdegegner entgegnet, es treffe zwar zu, dass er "gewisse Bestreitungen nur summarisch" vorgetragen habe. Indes könne die Bestreitungslast auch mit "impliziten" Bestreitungen erfüllt werden. Wenn er etwa allgemein die Konkurrenzierung bestritten habe, sei darin implizit auch eine Bestreitung der einzelnen Verrechnungsforderungen zu sehen. Es sei von ihm ganz grundsätzlich bestritten worden, Kunden abgeworben zu haben, weshalb es nicht nötig sei, "zusätzlich" eine "explizite Bestreitung bei jedem einzelnen Kunden" anzubringen. Jedenfalls habe er nicht nur "pauschal" sämtliche Gegenforderungen, sondern "auch die einzelnen Forderungen unter Verweis auf die eingereichten Beweisurkunden" bestritten.
Richtig ist, dass es - analog zu impliziten beziehungsweise mitbehaupteten Tatsachen (<ref-ruling> E. 5.3.2 S. 526) - auch implizite Bestreitungen gibt. Zwar hat die Vorinstanz nicht spezifiziert, wo welche Verrechnungsforderung "bestritten" wurde, sondern nur allgemein festgehalten, die Gegenforderungen seien "bestritten". Entscheidend ist, ob die Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren derart exakte Behauptungen aufgestellt hat, welche die - allenfalls relativ allgemein gefassten, eventuell "impliziten" - Bestreitungen des Beschwerdegegners als unzureichend erscheinen lassen. Der erforderliche Grad der Substanziierung der Bestreitungen hängt insofern vom Grad der Substanziierung der Behauptungen ab (im Einzelnen <ref-ruling> E. 5.2.1.1 und 5.2.2.3: "plus les allégués du demandeur sont motivés, plus les exigences de contestation de ceux-ci par la partie adverse sont élevées"). Es gelingt der Beschwerdeführerin nicht, aufzuzeigen, inwiefern die Vorinstanz ihren Erwägungen vor diesem Hintergrund eine unrichtige Rechtsauffassung zugrunde gelegt hätte. Zu beachten ist im Übrigen, dass die Beschwerde in Zivilsachen nicht dazu dient, das kantonale Verfahren neu aufzurollen. Das Bundesgericht ist an die vorinstanzlich festgestellten Tatsachen - wozu auch der Prozesssachverhalt gehört - gebunden. Es ist nicht seine Aufgabe, die im kantonalen Verfahren eingereichten Rechtsschriften auszulegen und Aussagen darüber zu treffen, wie die darin enthaltenen Behauptungen und Bestreitungen zu interpretieren sind. Es bleibt daher bei der obergerichtlichen Erkenntnis, die zur Verrechnung gestellten Forderungen seien "bestritten" worden.
3.2. Im Eventualstandpunkt - "[s]elbst für den Fall" rechtsgenüglicher Bestreitung - vertritt die Beschwerdeführerin die Auffassung, eine "korrekte Würdigung" des Sachverhalts hätte zur Zulassung ihrer Verrechnungsforderungen führen müssen. Sie kritisiert unter Hinweis auf <ref-law> eine "falsche Beweiswürdigung", unterlässt es aber auch hier, eine rechtsgenüglich begründete Willkürrüge zu erheben.
3.3. Die Beschwerdeführerin nennt über die ganze Beschwerdeschrift verteilt verschiedene Rechtsnormen, welche die Vorinstanz angeblich verletzt habe, so <ref-law>, <ref-law>, <ref-law> oder Art. 55, Art. 58, Art. 221 und Art. 317 ZPO. Nicht nur laufen diese Rügen stets auf den Vorwurf unzutreffender Beweiswürdigung hinaus, sie beruhen auch auf einem vorinstanzlich nicht festgestellten Tatsachenfundament und stellen eine Vermengung von Rechts- und Sachverhaltskritik dar, ohne dass aufgezeigt würde, inwiefern das Obergericht die - entscheiderheblichen - Tatsachen offensichtlich unrichtig festgestellt haben soll. Damit ist die Beschwerdeführerin nicht zu hören.
3.4. Insoweit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
4.
Die Beschwerdeführerin beanstandet unabhängig vom Ausgang in der Sache die obergerichtliche Verteilung der erstinstanzlichen Prozesskosten.
4.1. Der Beschwerdegegner verlangte (anfänglich) in Klagebegehren-Ziffer 1 die Bezahlung von Fr. 138'273.40 nebst Zins. An der Hauptverhandlung hielt er daran fest. Im anstelle des Schlussvortrags eingereichten schriftlichen Parteivortrag (<ref-law>) begehrte er in Rechtsbegehren-Ziffer 1 nur noch die Bezahlung von Fr. 115'699.20 nebst Zins. Dies stellt eine Beschränkung der Klage im Sinne von <ref-law> dar, wie das Regionalgericht zutreffend festgestellt hat.
Dementsprechend war vor Obergericht in Bezug auf dieses Begehren einzig die Bezahlung von Fr. 115'699.20 strittig. Unter Addition der eingeklagten zwei Monatslöhne unter dem Titel von <ref-law> "in der Grössenordnung" von Fr. 20'000.-- (vgl. Rechtsbegehren-Ziffer 4; insgesamt somit Fr. 135'699.20) errechnete die Vorinstanz, dass die Beschwerdeführerin im obergerichtlichen Verfahren zu zwei Dritteln unterlag (Klage im Umfang von Fr. 88'031.-- gutgeheissen, bei insgesamt strittigen Fr. 135'699.20).
Diesen Verteilungsschlüssel (zwei Drittel vs. ein Drittel) wandte das Obergericht auch auf die erstinstanzlichen Prozesskosten an.
4.2. Die Beschwerdeführerin bringt vor, dass der Beschwerdegegner im ursprünglichen Klagebegehren-Ziffer 1 noch die Bezahlung von Fr. 138'273.40 verlangt und die in Klagebegehren-Ziffer 4 beantragte Entschädigung (<ref-law>) auf richterliche Nachfrage auf mindestens Fr. 30'000.-- beziffert habe. Bei einem vor Regionalgericht (zunächst) eingeklagten Betrag von demnach mindestens Fr. 168'273.40 und Unterliegen in Höhe von Fr. 88'031.-- hätten die Kosten des erstinstanzlichen Prozesses - so die Beschwerdeführerin - den Parteien je hälftig auferlegt werden müssen. Es könne für die Verteilung der Prozesskosten nicht allein auf die Rechtsbegehren nach der Klagereduktion abgestellt werden, zumal der Beschwerdegegner die Klage erst im Schlussvortrag beschränkt und folglich bis zu diesem Zeitpunkt einen erheblichen, unnötigen Aufwand verursacht habe.
4.3. Der Beschwerdegegner entgegnet, dass für die Kostenverteilung einzig jener Betrag relevant sei, den er "- nach allfälliger Reduktion der Klageforderung - im Zeitpunkt der Urteilsfällung geltend gemacht" habe.
4.4. Dies trifft nicht zu:
Eine Beschränkung der Klage während des Verfahrens (<ref-law>) ist einem teilweisen Klagerückzug (im Sinne von <ref-law>; vgl. ferner Art. 208 Abs. 2 und Art. 241 ZPO) gleichzustellen. Sie hat - zumindest wenn sie ohne Zustimmung der Gegenpartei und beim an sich zuständigen Gericht erfolgt - Rechtskraftwirkung und schliesst ein erneutes Verfahren über den fallengelassenen Teil des Rechtsbegehrens zwischen den gleichen Parteien aus (Urteile 5A_216/2018 vom 11. September 2018 E. 5.1.2; 4A_138/2013 vom 27. Juni 2013 E. 3.3).
Eine Partei, welche die Klage im Sinne von <ref-law> beschränkt, gilt in diesem Umfang als unterliegend, mit entsprechender Kostenfolge (<ref-law>; vgl. Urteil 4A_401/2019 vom 9. Dezember 2019 E. 5.3.2; HEINZMANN/CLÉMENT, in: CPC, Code de procédure civile, Chabloz/Dietschy-Martenet/Heinzmann [Hrsg.], 2020, N. 24 zu <ref-law>; LAURENT KILLIAS, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. II, 2012, N. 43 zu <ref-law>).
4.5. Dies hat das Obergericht ausser Acht gelassen, wenn es für die Verteilung der Kosten des erstinstanzlichen Verfahrens (<ref-law>) offenbar ausschliesslich auf den Ausgang des obergerichtlichen Prozesses abgestellt hat, ohne in Rechnung zu stellen, dass der Beschwerdegegner vor Regionalgericht zunächst einen höheren Betrag eingeklagt, darauf in der Folge aber (teilweise) verzichtet hat.
Im erstinstanzlichen Entscheid blieb diese Unterscheidung noch ohne Belang, da der Beschwerdegegner nach regionalgerichtlicher Auffassung ohnehin im vollen Umfang unterlag (<ref-law>). Das Obergericht, das in der Sache neu entschied und die vor Regionalgericht entstandenen Kosten nach dem Ausgang des Verfahrens (<ref-law>) verteilte, hätte für das erstinstanzliche Verfahren die ursprünglich gestellten Klagebegehren mitberücksichtigen müssen. Dies schliesst nicht aus, dass die im Laufe des Verfahrens erfolgte Klagebeschränkung bei der Verteilung der Prozesskosten ermessensweise in Anschlag gebracht werden kann (vgl. Urteil 4A_401/2019 vom 9. Dezember 2019 E. 5.3.2).
4.6. Die Sache ist zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des erstinstanzlichen Verfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Dispositivziffern 6 und 7 des angefochtenen Entscheids, in denen über die Kosten des Prozesses vor Regionalgericht entschieden wurde, sind demzufolge aufzuheben.
5.
Die Beschwerde ist teilweise gutzuheissen - soweit sie die Festsetzung der erstinstanzlichen Prozesskosten betrifft -, im Übrigen ist sie abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Hinsichtlich der Kosten- und Entschädigungsfolgen des bundesgerichtlichen Verfahrens rechtfertigt es sich, der Beschwerdeführerin neun Zehntel und dem Beschwerdegegner einen Zehntel der Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin hat dem Beschwerdegegner nach Kompensation der gegenseitigen Ansprüche eine entsprechend reduzierte Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Diese ist aus der an die Bundesgerichtskasse geleisteten Sicherheit auszurichten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Die Dispositivziffern 6 und 7 des Entscheids des Obergerichts des Kantons Bern vom 16. Juni 2021 werden aufgehoben. Die Sache wird zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des erstinstanzlichen Verfahrens an die Vorinstanz zurückgewiesen.
Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'500.-- werden im Umfang von Fr. 4'050.-- der Beschwerdeführerin und im Umfang von Fr. 450.-- dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 4'400.-- zu entschädigen. Diese Entschädigung wird aus der an die Bundesgerichtskasse bezahlten Sicherheitsleistung ausgerichtet. Der Restbetrag von Fr. 1'100.-- wird der Beschwerdeführerin zurückerstattet.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Februar 2022
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Stähle