Sachverhalt:
A.
Die Industriellen Betriebe Landquart (nachfolgend Vergabestelle) sind eine selbständige Anstalt des öffentlichen Rechts, deren Anstaltsträger die Gemeinde Landquart/GR ist. Sie schrieben im offenen Verfahren die Sammlung und Verwertung biogener Abfälle auf dem Gebiet der Gemeinde Landquart/GR für die Jahre 2020 bis 2022 (mit stillschweigender Verlängerung um drei Jahre) aus. Es gingen zwei Angebote ein. Mit Beschluss des Gemeindevorstands der Gemeinde Landquart/GR vom 11. Juli 2019 erhielt die B._ den Zuschlag.
B.
Hiergegen erhob die zweitplatzierte A._ Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden und beantragte, die Vergabeverfügung sei aufzuheben und der Zuschlag sei ihr zu erteilen. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 12. November 2019 vollumfänglich ab.
C.
Am 13. Januar 2020 erhob die A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht. Sie beantragt, unter Aufhebung des angefochtenen Urteils sei der Zuschlagsentscheid der Vergabestelle vom 16. Juli 2019 aufzuheben und stattdessen sei ihr der Zuschlag zu erteilen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Subeventualiter stellt sie den Antrag, dass für den Fall, dass die Vergabestelle und B._ bereits einen Vertrag abgeschlossen hätten, dieser aufzuheben sei. Zudem sei in diesem Fall die Rechtswidrigkeit des Vergabeentscheids festzustellen.
Einem seitens der Beschwerdeführerin gestellten Gesuch um aufschiebende Wirkung sowie um superprovisorische Massnahmen wurde mit Präsidialverfügung vom 16. Januar 2020 insoweit entsprochen, als angeordnet wurde, dass bis zum Entscheid über die Gewährung der aufschiebenden Wirkung ein Vertragsschluss zu unterbleiben habe.
Im Rahmen eines Schriftenwechsels hinsichtlich des Gesuchs um aufschiebende Wirkung teilten die B._ und die Vergabestelle mit, dass sie am 13. Dezember 2019 untereinander den ausgeschriebenen Auftrag abgeschlossen hätten. Infolgedessen wurde das Gesuch um aufschiebende Wirkung mit Präsidialverfügung vom 6. Februar 2020 als gegenstandslos abgeschrieben.
Die Vorinstanz beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Vergabestelle sowie die B._ stellen beide den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Beschwerdeführerin hält replikweise an ihren Beschwerdeanträgen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wurde unter Einhaltung der gesetzlichen Frist (<ref-law>) und Form (<ref-law>) eingereicht und richtet sich gegen ein kantonal letztinstanzliches, beim Bundesverwaltungsgericht nicht anfechtbares, verfahrensabschliessendes (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG; Art. 33 lit. i VGG [SR 173.32]) Urteil in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>).
1.2. Der angefochtene Entscheid erging auf dem Gebiet der öffentlichen Beschaffungen. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten deshalb nur zulässig, wenn der geschätzte Wert des zu vergebenden Auftrags den massgebenden Schwellenwert des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1994 über das öffentliche Beschaffungswesen (BöB; SR 172.056.1) oder des Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und der Europäischen Gemeinschaft über bestimmte Aspekte des öffentlichen Beschaffungswesens (SR 0.172.052.68) erreicht (Ziff. 1) und wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Ziff. 2). Die beiden genannten Voraussetzungen müssen kumulativ erfüllt sein (anstelle vieler: Urteil 2C_979/2018 vom 22. Januar 2020 E. 1.2, zur Publikation vorgesehen). Dass der zum fraglichen Zeitpunkt massgebliche Schwellenwert für die Zulässigkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erreicht ist, ist unbestritten und bedarf keiner weiteren Erörterung (vgl. Art. 6 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1994 über das öffentliche Beschaffungswesen [Beschaffungsgesetz, BöB; SR 172.056] i.V.m. Art. 1 lit. b der Verordnung des WBF vom 22. November 2017 über die Anpassung der Schwellenwerte im öffentlichen Beschaffungswesen für die Jahre 2018 und 2019 [SR 172.056.12]).
1.3. Bei der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung muss es sich um eine Rechtsfrage aus dem Gebiet des öffentlichen Beschaffungsrechts handeln (<ref-ruling> E. 1.3 S. 195). Die Beschwerdeführerin hat die Erfüllung der Voraussetzung des Vorliegens einer "Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung" darzutun (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2.1 S. 21; <ref-ruling> E. 1.2 S. 116 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 399). Die entsprechende Voraussetzung ist restriktiv zu handhaben (<ref-ruling> E. 1.1.2 S. 147). Die Anwendung rechtsprechungsgemässer Prinzipien auf einen Einzelfall stellt keine Grundsatzfrage dar. Der blosse Umstand, dass die aufgeworfene Rechtsfrage noch nie entschieden wurde, genügt nicht. Es muss sich um eine umstrittene Rechtsfrage handeln, deren Entscheid für die Praxis wegleitend sein kann (<ref-ruling> E. 1.2.2.1 S. 21; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 118 f.) und bei der ein allgemeines und dringendes Interesse daran besteht, dass sie höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 4, 397 E. 1.2 S. 399 f.; <ref-ruling> E. 2.4 S. 648 f.).
1.4. Die Beschwerdeführerin unterbreitet dem Bundesgericht zwei Rechtsfragen, denen sie grundsätzliche Bedeutung beimisst: Erstens sei höchstrichterlich zu klären, ob einem Anbieter der Zuschlag erteilt werden dürfe, ohne dass dieser den Nachweis erbracht habe, dass er die für die Auftragserteilung massgebenden öffentlich-rechtlichen Vorschriften - im konkreten Fall jene des Raumplanungs-, Gewässer- und Umweltschutzrechts - eingehalten habe. Zweitens sei durch das Bundesgericht zu beurteilen, ob die Eignungskriterien im Zeitpunkt des Vergabeentscheids oder erst anlässlich der Vertragsdurchführung erfüllt sein müssen.
1.5. Die Rechtsfrage, ob die Vergabebehörde oder ein kantonales Gericht in Beachtung der Untersuchungsmaxime und des Offizialprinzips verpflichtet ist zu prüfen, ob die Zuschlagsempfängerin die Eignungskriterien und auch die einschlägigen gesetzlichen Vorschriften, die nicht ausdrücklich als Eignungskriterien aufgeführt sind, erfüllt, hat das Bundesgericht bereits beantwortet. Das Bundesgericht hat sich dahingehend geäussert, dass wie in jedem Verwaltungsverfahren die Behörde auch im Submissionsverfahren grundsätzlich den erhobenen Sachverhalt von Amtes wegen abzuklären habe, ohne dabei an die Vorbringen oder Beweisanträge der Beteiligten gebunden zu sein. Dabei stelle die Behörde in der Regel primär auf die von den Anbietern eingereichten Unterlagen und gegebenenfalls auch auf die eigenen Erfahrungswerte ab und sei insbesondere nicht verpflichtet, von Amtes wegen mangelhaft oder unvollständig eingereichte Unterlagen oder Angaben zu vervollständigen (zum Ganzen <ref-ruling> E. 3.2 S. 495 f.; Urteil 2D_39/2014 vom 26. Juli 2014 E. 5.5). Die Tragweite der die Vergabestelle treffenden Untersuchungsmaxime wurde nach dem Dargelegten vom Bundesgericht bereits geklärt. Da die von der Beschwerdeführerin aufgeworfene Rechtsfrage keinen darüber hinausgehenden Klärungsbedarf aufwirft, sondern einzig die Anwendung der genannten Grundsätze auf den konkreten Einzelfall überprüft haben möchte, handelt es sich nicht um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von <ref-law>.
1.6. Ebenfalls bereits mehrfach auseinandergesetzt hat sich das Bundesgericht mit der Frage, zu welchem Zeitpunkt ein Anbieter die von der Vergabebehörde definierten Eignungskriterien erfüllen muss. Das Bundesgericht hat hierzu erwogen, dass Eignungskriterien grundsätzlich als Ausschlusskriterien zu definieren und zu verstehen seien, d.h. dass bei Nichterfüllen eines Eignungskriteriums ein Ausschluss die Folge sein müsse (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 181 f.; <ref-ruling> E. 7.1 S. 369), ausser wenn die Mängel geringfügig seien und der Ausschluss deshalb unverhältnismässig wäre (<ref-ruling> E. 3.3 S. 250; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 182). In <ref-ruling> hat das Bundesgericht diese Grundsätze weiter präzisiert, indem es festgehalten hat, dass es für eine rechtmässige Zuschlagserteilung grundsätzlich nicht ausreiche, wenn eine Anbieterin die Eignungskriterien erst nach dem Zeitpunkt des Zuschlagsentscheids erfülle. Sofern jedoch aufgrund der Natur des Auftragsgegenstands hervorgehe, dass es für die Zuschlagserteilung genüge, wenn der Zuschlagsempfänger die wesentlichen Eigenschaften für die Auftragsausführung erst zu einem späteren Zeitpunkt erfülle oder sich ein solcher Wille aus der Interpretation und Auslegung der Ausschreibung klar ergebe, dann sei ein Zuschlag auch dann rechtmässig, wenn der Zuschlagsempfänger die Eignungskriterien im Zeitpunkt des Zuschlagsentscheids (noch) nicht erfülle (<ref-ruling> E. 3 S. 251). Mangels weiterem höchstrichterlichen Klärungs- oder Präzisierungsbedarfs der Frage, zu welchem Zeitpunk die Anbieter die von der Vergabebehörde definierten Eignungskriterien erfüllen müssen, ist die Voraussetzung von <ref-law> auch hier nicht erfüllt, weshalb auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht eingetreten werden kann.
1.7.
Zu prüfen bleibt die Zulässigkeit der subsidiären Verfassungsbeschwerde (<ref-law>).
1.7.1. Da der Vertrag zwischen der Vergabestelle und der Beschwerdegegnerin bereits am 13. Dezember 2019 und somit vor der Beschwerdeerhebung an das Bundesgericht abgeschlossen wurde, ist der Beschwerdeantrag auf Aufhebung des Vergabezuschlags nicht zulässig. Insoweit ist deshalb auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten (Urteile 2C_412/2019 vom 13. Februar 2020 E. 1.3.1; 2C_384/2016 vom 6. März 2017 E. 1.3.1, nicht publ. in: <ref-ruling>).
1.7.2. Vor Bundesgericht sind sodann neue Rechtsbegehren, die nicht bereits vor der Vorinstanz gestellt wurden, nicht zulässig (<ref-law>). Der Abschluss des zivilrechtlichen Beschaffungsvertrags bildete keinen Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens. Soweit die Beschwerdeführerin deshalb die Aufhebung des am 13. Dezember 2019 zwischen der Vergabestelle und der B._ bereits abgeschlossenen Vertrags beantragt, kann auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ebenfalls nicht eingetreten werden (Urteil 2C_412/2019 vom 13. Februar 2020 E. 1.3.2).
1.7.3. Hingegen kann die Beschwerdeführerin, die nebst der Beschwerdegegnerin als einzige weitere Anbieterin mit einer Offerte an der Ausschreibung teilgenommen hat, aber nach dem angefochtenen Urteil nicht berücksichtigt worden ist, die Feststellung der Rechtswidrigkeit des Zuschlags an die Beschwerdegegnerin beantragen. Dies erlaubt ihr gegebenenfalls die Geltendmachung von Schadenersatz (Art. 18 Abs. 2 der Interkantonalen Vereinbarung vom 15. März 2001 über das öffentliche Beschaffungswesen [IVöB]; Art. 9 Abs. 3 des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 1995 über den Binnenmarkt [BGBM; SR 943.02]; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 317; <ref-ruling> E. 3 S. 88 f.). Damit ist die Beschwerdeführerin zur vorliegenden subsidiären Verfassungsbeschwerde legitimiert (vgl. <ref-law> sowie Urteile 2C_412/2019 vom 13. Februar 2020 E. 1.3.1; 2C_384/2016 vom 6. März 2017 E. 1.3.1, nicht publ. in: <ref-ruling>).
2.
2.1. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Ausgeschlossen ist damit die Rüge der Missachtung von Gesetzes- und Konkordatsrecht (Urteile 2C_412/2019 vom 13. Februar 2020 E. 2.1; 2C_1014/2015 vom 21. Juli 2016 E. 4). Zulässig ist hingegen die Rüge einer willkürlichen (<ref-law>) Anwendung der massgebenden Submissionsgesetzgebung, da die Anbieter im öffentlichen Beschaffungsrecht ein rechtlich geschütztes Interesse an der Einhaltung der entsprechenden Gesetzgebung haben (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 95 f.; Urteile 2C_412/2019 vom 13. Februar 2020 E. 2.1; 2C_384/2016 vom 6. März 2017 E. 1.3.4; nicht publ. in: <ref-ruling>).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz berichtigen oder ergänzen, wenn sie auf einer Verletzung von verfassungsmässigen Rechten beruhen (Art. 118 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>), namentlich wenn sie willkürlich sind.
Ob ein angefochtener Entscheid verfassungsmässige Rechte verletzt, prüft das Bundesgericht nur, soweit eine entsprechende Rüge vorgebracht und begründet worden ist. In ihrer Eingabe muss die Beschwerdeführerin darlegen, welche verfassungsmässigen Rechte inwiefern verletzt worden sind (sog. Rügeprinzip; Art. 117 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2. S. 232 mit Hinweisen; Urteil 2C_412/2019 vom 13. Februar 2020 E. 2.2). Beruft sich die Beschwerdeführerin dabei auf das Willkürverbot (<ref-law>), muss sie anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids dartun, dass und inwiefern der angefochtene Entscheid willkürlich, d.h. unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234; <ref-ruling> E. 6 S. 397). Das Bundesgericht hebt einen Entscheid nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 4.3 S. 380; <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 177). Auf eine rein appellatorische Kritik am angefochtenen Urteil tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 253; <ref-ruling> E. 10.1 S. 445).
2.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Das Vorbringen von Tatsachen, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid ereigneten oder entstanden (echte Noven), ist vor Bundesgericht unzulässig (<ref-ruling> E. 1.2 S. 22 f. mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin hat vor Bundesgericht ein Schreiben der Stadt V._/GR vom 14. November 2019 eingereicht, womit sie den Nachweis zu erbringen versucht, dass die Beschwerdegegnerin zum aktuellen Zeitpunkt über keinen rechtmässigen Standort für die Verwertung der biogenen Abfälle der Gemeinde Landquart/GR verfüge. Da dieses Schreiben erst nach dem angefochtenen Urteil vom 12. November 2019 entstand, handelt es sich um ein echtes Novum, welches im bundesgerichtlichen Verfahren schon deshalb nicht berücksichtigt werden kann. Überdies ist festzuhalten, dass selbst bei Berücksichtigung des Schreibens, die Beschwerdeführerin daraus nichts zu ihren Gunsten ableiten könnte. Das Schreiben bestätigt einzig, dass die Stadt V._/GR die öffentliche Ausschreibung für den Betrieb des Grüngutsammelplatzes U._ zurückgezogen hat. Dies hat jedoch keinerlei Auswirkung auf die Vermietung eines Teilbereichs des Sammelplatzes an die Beschwerdegegnerin. Aus dem von der Beschwerdeführerin ebenfalls als Beweismittel eingereichten Schreiben vom 19. August 2019 der Stadt V._/GR an die Beschwerdegegnerin geht nämlich hervor, dass die Vermietung unabhängig eines allfälligen Zuschlags für den Sammelplatzbetrieb erfolgt.
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin macht zunächst geltend, dass die Vorinstanz ihren Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt habe, indem sie ihre Beweisanträge betreffend den Nachweis der Rechtmässigkeit der von der Beschwerdegegnerin im Vergabeverfahren angegebenen Referenzobjekte (Edition der dortigen Baubewilligungen; Edition Amtsberichte betreffend Einhaltung der umweltschutz- und raumplanungsrechtlichen Vorschriften) sowie des für die konkrete Auftragserfüllung angegebenen Sammel- und Verwertungsplatzes abgelehnt habe. Nach Ansicht der Beschwerdeführerin sei durch den Verzicht auf die Einholung der genannten Beweismittel sodann auch der rechtserhebliche Sachverhalt unvollständig und somit willkürlich (<ref-law>) festgestellt worden.
3.2. Der in <ref-law> garantierte Anspruch auf rechtliches Gehör räumt den Verfahrensparteien das Mitwirkungsrecht ein, erhebliche Beweise beizubringen und Beweisanträge zu stellen. Dieses Recht korreliert mit der Pflicht der Behörden, die Argumente, Beweismittel und Verfahrensanträge der Verfahrensbeteiligten entgegenzunehmen und zu prüfen, sowie die ihr rechtzeitig und formrichtig angebotenen Beweismittel abzunehmen, wenn diese zur Abklärung des rechtserheblichen Sachverhalts tauglich erscheinen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 127; <ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f.). Umgekehrt folgt daraus, dass keine Verletzung des rechtlichen Gehörs vorliegt, wenn eine Behörde auf die Abnahme beantragter Beweismittel verzichtet, weil sie aufgrund der bereits abgenommenen Beweise ihre Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener (antizipierter) Beweiswürdigung annehmen kann, dass ihre Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (BGE <ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f. mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148).
3.3. Gemäss den für das Bundesgericht verbindlichen und unbestrittenen Ausführungen der Vorinstanz (<ref-law>; vorne E. 2.2) erachtet die Vergabestelle beide Parteien als "ausgewiesene Logistiker-Unternehmen", mit denen sie in der Vergangenheit bereits erfolgreich zusammengearbeit und dabei positive Erfahrungen gemacht habe (E. 6.2.1 des angefochtenen Urteils). Weiter geht aus den nicht substanziiert bestrittenen vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen (vorne E. 2.2) hervor, dass in den Ausschreibungsunterlagen kein Nachweis für die Rechtmässigkeit des Sammel- und Verwertungsplatzes verlangt wurde (E. 3.3 des angefochtenen Urteils). Vielmehr sei die Beibringung und Einholung allfälliger Bewilligungen für die Auftragserfüllung Sache des Unternehmens gewesen (E. 5.2 des angefochtenen Entscheids). Vor dem Hintergrund, dass die Vorinstanz im Submissionsverfahren bei der Abklärung des rechtserheblichen Sachverhalts nicht an die Beweisanträge der Beteiligten gebunden ist und diesbezüglich insbesondere auf die eingereichten Unterlagen und die eigenen Erfahrungswerte abstützen darf (vorne E. 1.5), ist es - entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin - im Lichte von <ref-law> nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz die Beweisanträge betreffend die Beibringung einer Baubewilligung für den für die Auftragsausführung verwendeten Deponieplatz in antizipierter Beweiswürdigung abgelehnt hat.
3.4. Gleiches gilt hinsichtlich des Nachweises der Rechtmässigkeit der Referenzobjekte der Beschwerdegegnerin, zumal diesbezüglich nicht substanziiert dargelegt wird, inwiefern die Referenzobjekte überhaupt einen Einfluss auf die Rechtmässigkeit der konkreten Auftragsofferte der Beschwerdegegnerin haben. Ein solcher ist für das Bundesgericht auch nicht ersichtlich, denn selbst wenn sich gegebenenfalls herausstellen sollte, dass bei einem Referenzobjekt eine Betriebs- oder Baubewilligung fehlt, liesse dies nicht automatisch den Rückschluss zu, dass dies auch beim konkreten Auftrag der Fall ist. Nachdem somit keine Verletzung des rechtlichen Gehörs der Beschwerdeführerin durch die Vorinstanz vorliegt, erweist sich auch die Rüge, die Vorinstanz habe den rechtserheblichen Sachverhalt mangels Einholung der beantragten Beweismittel unvollständig festgestellt, als unbegründet.
4.
4.1. In der Sache beanstandet die Beschwerdeführerin eine willkürliche (<ref-law>) Auslegung und Anwendung von Art. 22 des Submissionsgesetzes des Kantons Graubünden vom 10. Februar 2004 (SubG/GR; BR 803.300). Die Vorinstanz habe den Vergabeentscheid geschützt, obwohl die Vergabestelle die Offerte der Beschwerdegegnerin nicht hätte berücksichtigen dürfen, da zum Zeitpunkt des Vergabeentscheids mehrere Ausschlussgründe gemäss Art. 22 SubG/GR erfüllt gewesen seien. Weiter wirft die Beschwerdeführerin den kantonalen Instanzen vor, sie hätten sie als ausserkantonale Anbieterin gegenüber der Beschwerdegegnerin benachteiligt und somit rechtsungleich (<ref-law>) behandelt.
4.2. Die streitgegenständliche Bestimmung von Art. 22 Abs. 1 SubG/GR besagt, dass ein Angebot vom Submissionsverfahren insbesondere dann ausgeschlossen wird, wenn der Anbieter ein Angebot einreicht, das unvollständig ist oder den Anforderungen der Ausschreibung nicht entspricht (lit. c), der Anbieter die geforderten Eigungskriterien nicht oder nicht mehr erfüllt (lit. d) oder sich nicht an die Vorschriften über den Umweltschutz hält (lit. i).
5.
Strittig ist zuerst, ob die Offertunterlagen der Beschwerdegegnerin vollständig gewesen sind (Art. 22 Abs. 1 lit. c SubG/GR e contrario) und ob sich diese im Vergabezeitpunkt an die geltenden Umweltschutzvorschriften gehalten (Art. 22 Abs. 1 lit. i SubG/GR) sowie die Eignungskriterien erfüllt (Art. 22 Abs. 1 lit d SubG/GR e contrario) hat.
5.1. Die Vorinstanz hat angenommen, dass die Offerte der Beschwerdegegnerin zum Zeitpunkt des Vergabeentscheids vollständig gewesen sei und diese die geforderten Eignungskriterien erfüllt habe. Sie hat weiter erwogen, dass die Unternehmen gemäss Ausschreibungsunterlagen in der Art und der Verwertung der eingesammelten biogenen Abfälle frei gewesen seien, insbesondere konnten sie die Abfälle stofflich (Kompostierung) oder energetisch (Vergärung) verwerten. Zudem sei in den Ausschreibungsunterlagen vermerkt gewesen, dass die Einholung allfälliger Bewilligungen für die Auftragserfüllung die Sache des jeweiligen Unternehmens sei. Sodann habe die Beschwerdegegnerin im Rahmen ihrer Offerte in einem separaten Verwertungskonzept konkret Auskunft über die Art und die Modalitäten der Verwertung gegeben. Weitere Vorgaben habe die Vergabestelle in ihrer Ausschreibung nicht gemacht (E. 5.2 des angefochtenen Entscheids). Namentlich sei nicht verlangt gewesen, dass der Verwertungsstandort genau zu bezeichnen sei oder dass irgendwelche Bewilligungen für den Verwertungsbetrieb beizubringen seien. Ungeachtet dessen habe die Beschwerdegegnerin von sich aus im Rahmen ihres Verwertungskonzepts angegeben, dass sie die eingesammelten Abfälle auf dem Annahme- und Sortierplatz in der Stadt V._/GR für die Verwertung aussortiere. Im Verlauf des vorinstanzlichen Verfahrens habe die Beschwerdegegnerin weiter dargelegt, dass sie die Verhandlungen mit der Stadt V._/GR betreffend die Pacht des genannten Annahme- und Sortierplatzes bis zur Abschlussreife geführt habe (E. 5.2 des angefochtenen Entscheids). Die Vorinstanz hat weiter in Erwägung gezogen, dass die Beschwerdegegnerin in ihrem Verwertungskonzept auftragsbezogen darlege, wie sie den Sammeldienst organisiere und wie sie auf dem Annahme- und Sortierplatz die Triage für die anschliessende Verwertung vornehmen werde. Bei den angegebenen Verwertungsmethoden zeige das Konzept der Beschwerdegegnerin überdies auf, dass die Kompostierung und Vergärung CO2-neutral ablaufe und die Karbonisierung eines Teils der Abfälle das CO2 sogar binde. Davon dass das Angebot der Beschwerdegegnerin die Eignungskriterien nicht erfülle, könne deshalb nicht gesprochen werden (E. 5.3 des angefochtenen Entscheids).
5.2. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin kann der Vorinstanz bei dieser Sachlage - wie zu zeigen - keine Willkür (<ref-law>; vorne E. 2.2) vorgeworfen werden, wenn sie angenommen hat, dass das Angebot der Beschwerdegegnerin zum Zeitpunkt des Vergabeentscheids den Vorgaben der kantonalen Submissionsgesetzgebung entsprochen hat.
5.3. Zunächst ist das pauschale Vorbringen der Beschwerdeführerin (zum Rügeprinzip vorne E. 2.2), beim Verwertungskonzept der Beschwerdegegnerin handle es sich lediglich um ein Grundsatzpapier, nicht geeignet, die Beurteilung der Vorinstanz in Frage zu stellen, wonach das Verwertungskonzept der Beschwerdegegnerin vollständig sei und auftragsbezogen aufzeige, wie der Prozess vom Einsammeln der biogenen Abfälle bis zur Verwertung (Kompostierung und Vergärung sowie teilweiser Karbonisierung) ablaufe (E. 5.3 des angefochtenen Entscheids). Insoweit erfüllt die Beschwerdegegnerin jedenfalls unter dem Gesichtswinkel der Willkür (vorne E. 2.1 f.) die Eignungskriterien.
5.4. Unbegründet ist weiter der nicht näher substanziierte Einwand, die Offerte der Beschwerdegegnerin sei im Vergabezeitpunkt unvollständig gewesen (Art. 22 Abs. 1 lit. c SubG/GR e contrario), da diese in ihrem Verwertungskonzept keine Sammel- und Verwertungsstandorte angegeben habe. Einerseits hat die Vergabebehörde im vorinstanzlichen Verfahren ausgeführt, dass die Angabe konkreter Sammel- und Verwertungsstandorte nicht zwingend gewesen sei (E. 5.1 des angefochtenen Entscheids). Andererseits geht aus der Offerte der Beschwerdegegnerin (<ref-law>) hervor, dass diese sowohl den Standort des Sammel- und Sortierplatzes wie auch den Verwertungsort genannt hat. Als Sammelplatz gibt die Beschwerdegegnerin einen Annahme- und Sortierplatz in der Stadt V._/GR an; im vorinstanzlichen Verfahren hat sie diese Angaben weiter präzisiert (vorne E. 5.1). Die Verwertung erfolgt in der unternehmenseigenen Carbonisierungsanlage.
5.5. Ebenfalls nicht gefolgt werden kann der Rüge, wonach die Beschwerdegegnerin unter Berücksichtigung der bundesgerichtlichen Rechtsprechung vom Submissionsverfahren hätte ausgeschlossen werden müssen, da sie keinen Nachweis erbracht habe, dass sie sich an die geltenden Vorschriften des Umweltschutz- und Raumplanungsrechts (Art. 22 Abs. 1 lit. i SubG/GR) halte. Mangels entsprechender Belege sei deshalb erstellt, dass die Beschwerdegegnerin die gesetzeskonforme Verwertung der eingesammelten biogenen Abfälle im Vergabezeitpunkt nicht habe gewährleisten können und somit ein zentrales Eignungskriterium (Art. 22 Abs. 1 lit. d SubG/GR) nicht erfüllt habe.
5.5.1. Zunächst kann die Beschwerdeführerin aus den von ihr vorgebrachten Urteilen des Bundesgerichts <ref-ruling> sowie 2C_498/2017 vom 5. Oktober 2017 nichts zu ihren Gunsten ableiten. Wohl hat das Bundesgericht festgehalten, dass die Vergabestelle die Eignungskriterien überprüfen können muss, weshalb die Zuschlagsempfängerin die wesentlichen Eigenschaften zur Auftragsausführung grundsätzlich bereits im Vergabezeitpunkt zu erfüllen hat (<ref-ruling> E. 3.3 S. 250 f.). Zu den für die Auftragsausführung wesentlichen Eigenschaften zählt dabei auch, dass die Bewerberinnen ihre Leistungen in Übereinstimmung mit der Rechtsordnung erbringen. Dies muss in der Ausschreibung nicht explizit genannt werden, weil ein eine rechtswidrige Leistung vorsehendes Angebot vom Vergabeverfahren auszuschliessen ist (<ref-law>; Urteil 2C_498/2017 vom 5. Oktober 2017 E. 4.2.1). Das Bundesgericht hat jedoch auch erwogen, dass die Eignungskriterien nicht in jedem Fall im Vergabezeitpunkt vorliegen müssen. Anders verhalten kann es sich, wenn aus den Ausschreibungsunterlagen klar hervorgeht, dass es für die Zuschlagserteilung ausreichend ist, dass die Anbieter lediglich Gewähr dafür leisten, dass sie im Zeitpunkt der Auftragsausführung die hierfür benötigten Eigenschaften besitzen (<ref-ruling> E. 3.3 S. 250 f.; vgl. auch vorne E. 1.6).
5.5.2. Sodann ist festzuhalten, dass die Vorinstanz zwar grundsätzlich mit umfassender Kognition zu gewährleisten hat, dass die einschlägigen gesetzlichen Vorschriften eingehalten werden (vgl. vorne E. 1.5). Dabei hat sie aber nicht verbindlich darüber zu befinden, ob das von der Zuschlagsempfängerin vorgesehene Verwertungskonzept (inkl. der damit einhergehenden Gesetzmässigkeit der Deponieplätze) materiell bundesrechtskonform ist, sondern nur darüber, ob der Entscheid der Vergabestelle über die zu erfüllenden Kriterien unter Berücksichtigung der geltenden Rechtslage als vertretbar erscheint (Urteile 2C_916/2018 vom 11. Juni 2019 E. 6.1; 2P.264/2004 vom 9. Februar 2005 E. 2.2; vgl. auch GRIFFEL/RAUSCH, Kommentar zum Umweltschutzgesetz, Ergänzungsband zur 2. Auflage, 2011, N. 16 zu Art. 30). Zu beachten ist weiter, dass die im Rahmen einer Ausschreibung formulierten Eignungskriterien bei einer unklaren Formulierung auslegungsbedürftig sind. Auszulegen und anzuwenden sind die Eignungskriterien diesfalls derart, wie sie von den Anbietern in guten Treuen verstanden werden konnten und mussten. Auf den subjektiven Willen der Vergabestelle oder der dort tätigen Personen kommt es nicht an, doch verfügt die Vergabestelle bei der Formulierung und Anwendung der Eignungskriterien über einen grossen Ermessens- oder Beurteilungsbereich, in den die Beschwerdeinstanzen - im Rahmen der Sachverhalts- und Rechtskontrolle - unter dem Titel der Auslegung nicht eingreifen dürfen (vgl. <ref-ruling> E. 7.1 S. 35 f.; Urteil 2C_111/2019 vom 2. Juli 2019 E. 3.3.2). Von mehreren möglichen Auslegungen hat die gerichtliche Beschwerdeinstanz somit nicht die ihr zweckmässig scheinende auszuwählen, sondern die Grenzen des rechtlich Zulässigen abzustecken (Urteile 2C_111/2019 vom 2. Juli 2019 E. 3.3.2, 2C_916/2018 vom 11. Juni 2019 E. 6.1).
5.6. Ausgehend von diesen vergaberechtlichen Grundsätzen ist es nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz die Annahme der Vergabebehörde stützte, dass die Beschwerdegegnerin im Vergabezeitpunkt die Vorgaben des Bau-, Raumplanungs- und Umweltrechts (Art. 22 Abs. 1 lit. i SubG/GR) eingehalten und die in der Ausschreibung geforderten Eignungskriterien (Art. 22 Abs. 1 lit. d SubG/GR) erfüllt hat.
5.6.1. Gemäss verbindlicher Feststellung der Vorinstanz hat die Vergabestelle in den Ausschreibungsunterlagen vermerkt, dass die Beibringung allfälliger Bewilligungen für die Auftragserfüllung Sache des jeweiligen Unternehmens sei (vorne E. 5.1). Wie die Vorinstanz zu Recht ausführt, durften die Auftragsunterlagen in guten Treuen so verstanden werden (<ref-ruling> E. 3.3 S. 250 f.), dass der Offerte keine Bewilligungen beizulegen sind (E. 5.2 des angefochtenen Urteils). Bezeichnenderweise - wie sich aus den kantonalen Vorakten ergibt (<ref-law>; vorne E. 2.2) - hat nämlich auch die Beschwerdeführerin ihrer Offerte keine entsprechenden Bau- oder sonstige Bewilligungen beigelegt. Insoweit erweist sich der Einwand der Beschwerdeführerin, die Beschwerdegegnerin halte sich nicht an die massgebenden Vorschriften des Bau-, Raumplanungs- und Umweltrechts, da sie ihrer Offerte keine entsprechenden Bewilligungen beilegte, als nicht stichhaltig.
5.6.2. Die Vorinstanz hat weiter festgehalten, dass die Vergabestelle in der Vergangenheit bereits mit beiden Bewerberinnen positive Erfahrungen gemacht habe und sich dabei beide als ausgewiesene Logistik-Unternehmen erwiesen hätten (E. 6.2.1 des angefochtenen Entscheids). Zudem ergibt sich aus der von der Beschwerdeführerin vor Bundesgericht eingereichten Vernehmlassung der Beschwerdegegnerin im vorinstanzlichen Verfahren, dass der für die Auftragsausführung angegebene Grüngutsammelplatz von der Beschwerdegegnerin gepachtet wird. Verpächterin und Eigentümerin ist die Stadt V._/GR. Der Sammelplatz selber gehört gemäss den unbestrittenen Feststellungen im angefochtenen Urteil zur bestehenden städtischen Grüngutdeponie und liegt raumplanungsrechtlich in der Deponiezone (E. 5.2 des angefochtenen Entscheids). Wie sich aus den eingereichten Beweismitteln der Beschwerdeführerin weiter ergibt, wurde die Deponie im Vergabezeitpunkt von der Stadt selber betrieben, wobei sie den Betrieb der Deponie zeitweise ausgeschrieben hatte. Dies hatte jedoch keinerlei Einfluss auf den Pachtvertrag zwischen der Stadt und der Beschwerdegegnerin (vorne E. 2.3).
5.7. Bei dieser Ausgangslage bestand für die Vergabestelle kein Grund daran zu zweifeln, dass die Beschwerdegegnerin die Eignungskriterien zur Auftragsausführung erfüllt und die Vorgaben des Umweltrechts einhält. Das Angebot der Beschwerdegegnerin bot hierfür genügend Gewähr. Nicht nur kannte die Vergabestelle beide Anbieterinnen aus der Vergangenheit. Vielmehr bestanden auch keine Gründe, die Rechtmässigkeit des bereits in der Offerte der Beschwerdegegnerin (<ref-law>) angegebenen Sammel- und Sortierplatzes in Frage zu stellen, schliesslich befand sich dieser innerhalb einer gemeindebetriebenen Grüngutdeponie. Wie die Vorinstanz zutreffend ausführt, war die Vergabestelle daher nicht verpflichtet, weitere Abklärungen in diese Richtung vorzunehmen, zumal aufgrund der konkreten Formulierung der Ausschreibungsunterlagen die Beibringung allfälliger Bewilligungen für den Sammel- und Verwertungsbetrieb ohnehin Sache des Unternehmens war. Unter dem Gesichtswinkel der Willkür nicht zu beanstanden ist demnach auch, dass der Pachtvertrag für die Benutzung des Sammelplatzes im Vergabezeitpunkt noch nicht unterzeichnet war. Die Standortangabe konkreter Sammel- und Verwertungsplätze wurde in den Ausschreibungsunterlagen nicht verlangt. Die Bewerberinnen mussten einzig in einem separaten Verwertungskonzept konkret Auskunft über die Art und die Modalitäten der Verwertung geben (vorne E. 5.1). War somit die Standortangabe des Sammelplatzes für die Zuschlagserteilung nicht zwingend nötig, so musste hierfür auch kein allfälliger Pachtvertrag eingereicht werden. Der Vorinstanz ist deshalb zuzustimmen, dass die Vergabestelle die Beschwerdegegnerin und deren Angebot zu Recht nicht vom Vergabeverfahren ausgeschlossen hat. Aufgrund der gegebenen Umstände durfte die Vergabestelle berechtigterweise darauf vertrauen, dass sich die Beschwerdegegnerin - aber auch die Beschwerdeführerin, die ihrer Offerte ebenfalls keinerlei Bewilligungen beilegte - im Falle eines Zuschlags wie bei der vergangenen Zusammenarbeit an die Rechtsordnung halten und allfällige zur Auftragsausführung noch einzuholenden Bewilligungen besorgen würde.
5.8. Der Beschwerdeführerin gelingt es weder vor Bundesgericht noch im vorinstanzlichen Verfahren überzeugend darzutun, dass und gegebenenfalls inwieweit die Vergabestelle die Rechtmässigkeit der Offerte der Beschwerdegegnerin hätte anzweifeln müssen (vgl. zur Beweislast der Nichterfüllung von in den Ausschreibungsunterlagen nicht geforderten Eignungskriterien MARTIN BEYELER et al., Konformität von Angebot und Ausschreibung, in BR/DC 1/2018 S. 57). Hierfür genügen die vor Bundesgericht eingereichten Fotoaufnahmen weiterer von der Beschwerdegegnerin vermeintlich illegal betriebener Deponien, aber auch die pauschale und nicht näher substanziierte Behauptung nicht, die Beschwerdegegnerin halte sich nicht an die geltenden Umweltschutzvorschriften. Weder geht aus den Fotoaufnahmen eindeutig hervor, dass es sich um Deponien der Beschwerdegegnerin handelt noch lassen die Aufnahmen auch nur ansatzweise den Rückschluss zu, dass die abgebildeten Deponien illegal wären.
5.9. Der Vorinstanz kann nach dem Dargelegten, anders als in einem vergleichbaren Urteil aus dem Kanton Tessin, in welchem in tatsächlicher Hinsicht feststand, dass die kommunale Vergabestelle sowie die kantonalen Behörden davon Kenntnis hatten, dass die Zuschlagsempfängerin für ihre Kompostieranlage im Vergleich zu den anderen Anbietern seit Jahren keine rechtsgültige Baubewilligung besass (Urteil 2C_498/2017 vom 5. Oktober 2017 E. 4.1), keine Willkür vorgeworfen werden, wenn sie die Vorgehensweise der Vergabestelle als bundesrechtkonform beurteilte und daher keine Verletzung von Art. 22 Abs. 1 lit. d und lit. i SubG/GR feststellte (vorne E. 5.1).
6.
6.1. Nachdem sich die Offerte der Beschwerdegegnerin als rechtskonform herausgestellt hat, kann den kantonalen Instanzen von vornherein und auch schon deshalb nicht vorgeworfen werden, sie hätten die ausserkantonale Beschwerdeführerin mit dem Zuschlag gegenüber der Beschwerdegegnerin benachteiligt und somit rechtsungleich (Art. 8 und 9 BV) behandelt. Das entsprechende Vorbringen der Beschwerdeführerin ist nicht begründet.
6.2. Ins Leere zielt schliesslich auch der Vorwurf, die Vergabestelle habe gegen den in <ref-law> verankerten Grundsatz von Treu und Glauben verstossen, indem sie mit der Beschwerdegegnerin am 13. Dezember 2019 den Vertrag für die Auftragsausführung bereits abgeschlossen habe. Die Tätigkeit musste durch die Beschwerdegegnerin per 1. Januar 2020 aufgenommen werden. Bei dieser zeitlichen Dringlichkeit kann der Vergabestelle nicht vorgeworfen werden, sie habe treuwidrig gehandelt, indem sie den Vertrag mit der Beschwerdegegnerin bereits am 13. Dezember 2019 abgeschlossen habe, obwohl sie von der Beschwerdeführerin mit Schreiben vom 11. Dezember 2019 darüber in Kenntnis gesetzt wurde, dass gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts Beschwerde beim Bundesgericht erhoben werde.
7.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde erweist sich nach dem Dargelegten als unbegründet und ist abzuweisen. Die unterliegende Beschwerdeführerin trägt die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (<ref-law>) und hat der obsiegenden Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>). Die Vergabestelle hat, obwohl sie sich anwaltlich vertreten liess, keinen Anspruch auf Parteientschädigung, da der streitbetroffene Auftrag mit ihrem amtlichen Wirkungskreis zusammenhängt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 10'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 5'000.-- zu bezahlen.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 1. Kammer, und der Wettbewerbskommission WEKO schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Oktober 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hahn