Faits :
A.
A.a. Par arrêt du 16 mai 2019 (cause 2C_340/2019), le Tribunal fédéral a rejeté le recours en matière de droit public formé par A._ contre un jugement rendu le 1er mars 2019 par la Cour des affaires de langue française du Tribunal administratif du canton de Berne (ci-après: le Tribunal administratif). Les frais de procédure ont été fixés à 1'000 fr. et mis à la charge du recourant.
A.b. Le 28 mai 2019, l'Ambassade de Suisse en France (ci-après: l'Ambassade) a transmis au Tribunal fédéral une requête d'assistance judiciaire concernant la cause 2C_340/2019 précitée, que A._ avait déposée auprès de cette autorité le 14 mai 2019.
B.
Par acte daté du 11 juin 2019, adressé à l'Ambassade et transmis par celle-ci au Tribunal fédéral le 21 juin 2019, A._ demande à la Cour de céans de "prendre en considération [s]a demande d'assistance judiciaire gratuite déposée à l'Ambassade de Suisse à Paris le 14 mai 2019". L'intéressé demande, en substance, d'être dispensé du paiement des frais de procédure relatifs à la cause 2C_340/2019, que le Tribunal fédéral avait mis à sa charge par arrêt du 16 mai 2019 (cf. supra let. A.a).
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.

Considérant en droit :
1.
Il y a lieu d'interpréter la requête de A._, qui n'est pas assisté d'un avocat, comme une demande de révision de l'arrêt 2C_340/2019 du 16 mai 2019, fondée sur l'art. 121 let. c LTF.
2.
La présente demande de révision a été déposée dans le délai de 30 jours prévu à l'<ref-law>, par l'intéressé qui était partie à la procédure ayant abouti à l'arrêt du Tribunal fédéral dont la révision est demandée et qui bénéficie de la qualité pour agir (cf. arrêt 2F_22/2016 du 6 juillet 2018 consid. 3.2). Au surplus, la requête indique le motif de révision invoqué et en quoi consiste la modification de l'arrêt demandée. La demande de révision est donc recevable à la forme (cf. art. 42 al. 1 et 2 LTF) et il convient d'entrer en matière.
3.
3.1. Aux termes de l'art. 121 let. c LTF, la révision d'un arrêt du Tribunal fédéral peut être demandée si le tribunal n'a pas statué sur certaines conclusions. Selon la jurisprudence, l'omission de statuer sur une conclusion tendant à l'octroi de l'assistance judiciaire constitue un motif de révision, à moins que l'on puisse déduire de l'arrêt que le Tribunal fédéral a statué implicitement sur cette conclusion (cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 142 ss; arrêt 6F_8/2011 du 6 juin 2011 consid. 1).
3.2. En l'occurrence, la requête d'assistance judiciaire a été déposée auprès de l'Ambassade (cf. <ref-law>) le 14 mai 2019 et ne pouvait donc pas être connue par le Tribunal fédéral au moment où il a rendu l'arrêt 2C_340/2019 précité (16 mai 2019). Dans ces circonstances, le fait que la Cour de céans n'ait pas statué sur la requête en question ne saurait fonder un motif de révision au sens de l'art. 121 let. c LTF.
3.3. Au demeurant, même si la requête d'assistance judiciaire était parvenue au Tribunal fédéral avant le prononcé de l'arrêt 2C_340/2019, ce qui aurait pu constituer un motif de révision (art. 121 let. c LTF), dite requête aurait de toute manière dû être rejetée, car le recours déposé par l'intéressé à l'encontre du jugement rendu le 1er mars 2019 par le Tribunal administratif apparaissait d'emblée dénué de chances de succès (cf. <ref-law>).
4.
Sur le vu de ce qui précède, la demande de révision se révèle infondée et doit être rejetée.
Le requérant n'a pas à supporter de frais, car il ne se justifie pas de lui faire assumer les conséquences du fait que l'arrêt 2C_340/2019 a été rendu alors que sa requête d'assistance judiciaire avait déjà été déposée auprès de l'Ambassade, mais n'était pas encore parvenue au Tribunal fédéral (cf. <ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
La demande de révision est rejetée.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires, ni alloué de dépens.
3.
Le présent arrêt est communiqué au requérant, au Service des migrations de l'Office de la population et des migrations du canton de Berne, à la Direction de la police et des affaires militaires du canton de Berne, au Tribunal administratif du canton de Berne, Cour des affaires de langue française, ainsi qu'au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 18 juillet 2019
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Ermotti