Faits :
A.
Le Ministère public de la République et canton de Genève - représenté par la Procureure Alexandra Sigrist - instruit une enquête contre A._, ressortissant étranger né en 1984, pour voies de fait (art. 126 al. 2 CP), abus de confiance (art. 138 CP), escroquerie (art. 146 CP), usure (art. 157 CP), tentative de contrainte (art. 22 CP et art. 181 CP), traite d'êtres humains (art. 182 CP), séquestration (art. 183 CP), faux dans les certificats étrangers (art. 252 et 255 CP), dénonciation calomnieuse (art. 303 CP), ainsi que pour des infractions aux lois fédérales sur les étrangers et l'intégration (LEI; RS 142.20), sur l'assurance-vieillesse et survivants (LAVS; RS 831.10), sur la prévoyance professionnelle vieillesse, survivants et invalidité (LPP; RS 831.40) et sur l'impôt anticipé (LIA; RS 642.21).
A._ a été arrêté le 13 octobre 2017 à Sion et a été placé en détention provisoire par ordonnance du 17 octobre 2017 du Tribunal des mesures de contrainte du canton du Valais. Cette mesure a ensuite été régulièrement prolongée par ordonnances du Tribunal des mesures de contrainte du canton de Genève, autorité compétente à la suite de la reprise de for par les autorités de ce canton le 16 octobre 2017. Certaines de ces décisions ont été confirmées sur recours, soit notamment par le Tribunal fédéral le 18 juillet 2019 (cause 1B_325/2019) et la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève le 3 septembre 2019 (ACPR_2019).
B.
Par acte daté du 7 septembre 2019 et adressé le 10 suivant au greffe du Ministère public, A._ a déposé une demande de récusation à l'encontre de la Procureure Alexandr mandataire a Sigrist.
Le 15 octobre 2019, la Chambre pénale de recours a rejeté cette requête dans la mesure où elle était recevable.
C.
Par courrier du 15 novembre 2019, A._, agissant par le biais de sa, interjette un recours en matière pénale contre cet arrêt. Il conclut, sous suite de frais et dépens, principalement à son annulation et à l'admission de la requête de récusation dirigée contre la Procureure Alexandra Sigrist. Subsidiairement, il demande le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants. Le recourant sollicite également l'octroi de l'assistance judiciaire.
A._ a encore déposé un courrier manuscrit daté du 14 novembre 2019 envoyé par recommandé le 19 novembre 2019, lequel était notamment accompagné de copies de pièces du dossier.
La Chambre pénale de recours n'a pas formulé d'observations, renvoyant aux considérants de sa décision. Pour sa part, la Procureure intimée a conclu au rejet du recours.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 2 p. 241).
Conformément aux art. 78 et 92 al. 1 LTF, une décision relative à la récusation d'un magistrat pénal peut faire immédiatement l'objet d'un recours en matière pénale. Le recourant, dont la demande de récusation a été rejetée, a qualité pour recourir en vertu de l'art. 81 al. 1 LTF. Pour le surplus le recours a été formé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) contre une décision rendue en instance cantonale unique (art. 80 al. 2 in fine LTF) et les conclusions qui y sont prises sont recevables (art. 107 al. 2 LTF).
Dans la mesure où les pièces produites par le recourant sont ultérieures à l'arrêt attaqué, elles sont irrecevables (art. 99 al. 1 LT).
Partant, dans les limites susmentionnées, il y a lieu d'entrer en matière.
2.
Le recourant reproche à l'autorité cantonale d'avoir retenu qu'onze des treize motifs qu'il avait invoqués pour justifier sa demande de récusation étaient tardifs. Il considère que ces griefs formulés contre l'attitude de la Procureure intimée à son égard ne devraient pas être pris individuellement mais bien dans leur ensemble et que c'est le cumul des différents faits qui démontrerait une volonté de la magistrate intimée de faire une instruction uniquement à charge. Le recourant est d'avis que les faits dénoncés pris dans leur globalité seraient de nature à faire naître un doute sur l'impartialité de la Procureure intimée. Le recourant reproche aussi à l'autorité cantonale d'avoir violé son droit d'être entendu en ne se prononçant pas sur les griefs pris globalement.
3.
Il y a lieu d'examiner si la juridiction précédente a violé le droit d'être entendu du recourant.
3.1. Selon la jurisprudence, l'autorité qui ne traite pas un grief relevant de sa compétence, motivé de façon suffisante et pertinent pour l'issue du litige, commet un déni de justice formel proscrit par l'art. 29 al. 1 Cst. Elle viole en revanche le droit d'être entendu découlant de l'art. 29 al. 2 Cst. lorsqu'elle ne respecte pas son obligation de motiver ses décisions afin que le justiciable puisse les comprendre et exercer ses droits de recours à bon escient. Pour satisfaire à cette exigence, il suffit que l'autorité mentionne au moins brièvement les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé sa décision. Elle n'a pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à ceux qui, sans arbitraire, peuvent être tenus pour pertinents (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 157; arrêt 6B_23/2020 du 28 février 2020 consid. 1.1).
3.2. En l'espèce, l'autorité cantonale a retenu la tardiveté de l'invocation des motifs 1 à 11 pour les écarter. Cela étant, dans sa motivation en lien avec les griefs 12 et 13 - sur lesquels elle est entrée en matière -, l'autorité cantonale a également constaté qu'à la lecture du dossier - dont il y a lieu de préciser qu'il contient tous les faits auxquels le recourant se réfère pour demander la récusation -, elle n'avait pas décelé d'indices d'inimitié au sens de la jurisprudence et qu'en plus, le recourant n'avait fourni aucun élément précis à cet égard. Vu cette motivation, on ne saurait donc considérer que la juridiction précédente n'a pas examiné si un motif de récusation résulterait en l'espèce d'un complexe de faits. Elle a ainsi expliqué, d'une manière satisfaisante du point de vue du droit d'être entendu, pourquoi elle n'avait pas retenu de motifs de récusation sur la base de l'ensemble du dossier. Le recourant a d'ailleurs bien compris cette argumentation puisqu'il la critique dans son recours (cf. en particulier les arguments en lien avec l'intensité des antagonismes l'opposant au Ministère public qui auraient influencé la procédure, notamment en prolongeant sa durée, ainsi que celle de sa détention).
Par conséquent, le grief de violation du droit d'être entendu doit être rejeté.
4.
Le recourant reproche ensuite à l'autorité cantonale de ne pas avoir prononcé la récusation de la Procureure intimée en violation de l'art. 56 let. f CPP.
4.1. Aux termes de cette disposition légale, un magistrat est récusable lorsque d'autres motifs que ceux prévus à l'art. 56 let. a à e CPP, notamment un rapport d'amitié étroit ou d'inimité avec une partie ou son conseil juridique, sont de nature à le rendre suspect de prévention. Cette disposition a la portée d'une clause générale recouvrant tous les motifs de récusation non expressément prévus aux lettres précédentes. Elle correspond à la garantie d'un tribunal indépendant et impartial instituée par les art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH. Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective du magistrat est établie, car une disposition interne de sa part ne peut guère être prouvée. Il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat. Seules les circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération. Les impressions purement individuelles d'une des parties au procès ne sont pas décisives (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 162; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 74 et les références citées).
Dans la phase de l'enquête préliminaire, ainsi que de l'instruction et jusqu'à la mise en accusation, le ministère public est l'autorité investie de la direction de la procédure (art. 61 let. a CPP). A ce titre, il doit veiller au bon déroulement et à la légalité de la procédure (art. 62 al. 1 CPP). A ce stade, il doit établir, d'office et avec un soin égal, les faits à charge et à décharge (art. 6 CPP); il doit statuer sur les réquisitions de preuves et peut rendre des décisions quant à la suite de la procédure (classement ou mise en accusation), voire rendre une ordonnance pénale pour laquelle il assume une fonction juridictionnelle. Dans ce cadre, le ministère public est tenu à une certaine impartialité même s'il peut être amené, provisoirement du moins, à adopter une attitude plus orientée à l'égard du prévenu ou à faire état de ses convictions à un moment donné de l'enquête (<ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 145); tel est notamment le cas lorsqu'il décide de l'ouverture d'une instruction (qui suppose l'existence de soupçons suffisants au sens de l'art. 309 al. 1 CPP) ou lorsqu'il ordonne des mesures de contrainte (arrêt 1B_583/2019 du 17 février 2020 consid. 3.1 et les arrêts cités). Tout en disposant, dans le cadre de ses investigations, d'une certaine liberté, le magistrat reste cependant tenu à un devoir de réserve et doit s'abstenir de tout procédé déloyal, instruire tant à charge qu'à décharge et ne point avantager une partie au détriment d'une autre (<ref-ruling> consid. 3.2.2 p. 180; <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 145). De manière générale, ses déclarations doivent être interprétées de façon objective, en tenant compte de leur contexte, de leurs modalités et du but apparemment recherché par leur auteur (arrêt 1B_583/2019 du 17 février 2020 consid. 3.1 et les arrêts cités).
Des décisions ou des actes de procédure qui se révèlent par la suite erronés ne fondent pas en soi une apparence objective de prévention; seules des erreurs particulièrement lourdes ou répétées, constitutives de violations graves des devoirs du magistrat, peuvent fonder une suspicion de partialité, pour autant que les circonstances dénotent que le magistrat est prévenu ou justifient à tout le moins objectivement l'apparence de prévention. En effet, la fonction judiciaire oblige à se déterminer rapidement sur des éléments souvent contestés et délicats. Il appartient en outre aux juridictions de recours normalement compétentes de constater et de redresser les erreurs éventuellement commises dans ce cadre. La procédure de récusation n'a donc pas pour objet de permettre aux parties de remettre en cause la manière dont est menée l'instruction et les différentes décisions incidentes prises notamment par la direction de la procédure (ATF <ref-ruling> consid. 3.2 p. 74 s.).
La partie qui a connaissance d'un motif récusation doit l'invoquer aussitôt, sous peine d'être déchue du droit de s'en prévaloir ultérieurement (cf. art. 58 al. 1 CPP; <ref-ruling> consid. 8.4.3. p. 275; arrêt 1B_72/2019 du 2 avril 2019 consid. 5).
4.2. L'autorité cantonale a retenu que tous les motifs soulevés par le recourant avaient été invoqués tardivement à l'exception de ceux concernant d'éventuelles falsifications dans la procédure d'instruction et de complot ourdi par la Procureure intimée avec d'autres participants (cf. nos 12 et 13). La juridiction précédente a examiné séparément ces deux derniers griefs. S'agissant des falsifications d'actes et de signatures, elle a constaté que le recourant n'avait pas précisé quels étaient les actes qu'il considérait comme ayant été falsifiés et qu'aucune falsification de signatures n'avait été étayée; l'éventuelle absence de signature du recourant sur certains documents n'établissait pas une falsification, mais révélait simplement le fait qu'il n'était pas présent personnellement à l'audience, son avocat comparaissant seul. Concernant le grief de complot, les juges cantonaux ont relevé que les faits reprochés étaient tellement imprécis qu'ils étaient impossibles à examiner. De plus, ils ont considéré que rien au dossier ne permettait de conduire à une récusation de la Procureure intimée; un signe d'inimitié de la part de cette dernière ne résultait en particulier ni du fait qu'il avait été amené de force à une audience, ni de la sécurité assurée par la Brigade de sécurité et des audiences (BSA); il avait en outre été pris note de son refus d'assister aux audiences d'instruction, ainsi que de son droit de refuser de répondre. La cour cantonale a enfin précisé que l'accès aux soins dépendait de la prison et non pas de la Procureure intimée.
4.3. Le recourant ne semble pas contester la tardiveté de sa demande au regard des griefs pris individuellement, développant uniquement une argumentation en lien avec le fond s'agissant des motifs nos 5, 7, 8, 9 et 10 (cf. ad IV p. 6 s. de son mémoire) et reconnaissant que les violations invoquées à titre de motifs nos 1, 2, 3, 4 et 6 remontaient à 2017 (cf. ad IV p. 7 de cette même écriture). Il considère en revanche que les reproches, pris dans leur globalité, établiraient que la Procureure intimée n'aurait fait qu'une instruction à charge et démontreraient l'existence d'antagonismes entre celle-ci et le recourant. Selon le recourant, la totalité des griefs ferait ainsi naître un doute sur l'impartialité de la magistrate intimée qui devrait conduire à sa récusation.
4.4. L'argumentation du recourant ne saurait être suivie. En effet, les griefs invoqués ne permettent pas de retenir une prévention de la Procureure intimée à l'encontre du recourant.
Concernant les critiques relatives à une mise en prévention prétendument injustifiée, à l'ordonnance en vue de la saisie de données signalétiques et d'un prélèvement pour établir le profil ADN, puis l'exécution de ces mesures par la force en raison du refus du recourant de s'y soumettre, à la détention considérée comme illégale entre le 20 et le 24 octobre 2017, au prétendu refus de la direction de la procédure de désigner un autre avocat au recourant et aux agissements de la magistrate intimée en rapport avec le dépôt de plaintes pénales par le recourant, il y a lieu de constater que celle-ci a uniquement appliqué les dispositions du CPP (cf. notamment les art. 134, 221 ss, 255, 260 et 309 al. 3 CPP); sans autre explication, cela ne saurait démontrer un parti pris contre le recourant. Ce dernier ne peut au demeurant contester lesdites mesures par le biais de la procédure de récusation.
S'agissant ensuite des menaces alléguées de représailles contre la famille du recourant, de l'usage de la torture à son égard, du fait que le recourant aurait été contraint de comparaître aux audiences contre sa volonté, des pressions morales ou physiques contre le recourant, de l'existence d'un complot contre lui, de la falsification de pièces du dossier (signatures prétendument manquantes ou falsifiées) ou encore du refus de la Procureure intimée d'engager des poursuites pénales pour faux témoignages, force est de constater que ces griefs sont restés au stade de l'allégation et que le recourant ne les a ni prouvés, ni offert de les prouver. Faute d'être établis, ceux-ci ne sauraient donc pas être retenus dans une appréciation globale des agissements de la magistrate intimée à l'égard du recourant.
Enfin, concernant le non-respect des délais dans l'enquête et le retard intentionnel dans la recherche de témoins et de victimes, la seule appréciation du recourant sur ces questions, sans la moindre référence claire à la chronologie de l'enquête, ne saurait suffire pour établir une prévention de la part de la magistrate intimée (cf. au demeurant l'arrêt 1B_500/2019 du 25 octobre 2019 consid. 5.2 concernant le recourant qui relève les difficultés de la procédure en lien avec l'identification et l'interrogatoire des lésés potentiels dans un contexte international, respectivement le comportement oppositionnel du recourant, dont les chefs de prévention avaient été élargis durant l'enquête notamment à des actes de dénonciation calomnieuse commis en cours de procédure) En tout état de cause, c'est le lieu de rappeler qu'il n'appartient pas à l'autorité compétente en matière de récusation d'examiner la proportionnalité de la durée de la détention provisoire, notamment en lien avec la peine encourue, et/ou d'apprécier la crédibilité des témoignages figurant au dossier.
Sur la base du dossier et des arguments du recourant, l'autorité cantonale pouvait ainsi, sans violer le droit fédéral, admettre qu'il n'existait aucun motif de récusation à l'encontre de la Procureure intimée.
5.
Le recours doit par conséquent être rejeté.
La demande d'assistance judiciaire doit être rejetée, faute de chances de succès (art. 64 al. 1 LTF). Les frais de la procédure sont mis à la charge du recourant qui succombe (art. 66 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 1 er avril 2020
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Chaix
La Greffière : Kropf