Sachverhalt:
A.
A._ (geboren 1991) stammt aus Bosnien und Herzegowina und reiste 1998 im Alter von knapp sieben Jahren mit seinen Eltern in die Schweiz ein. Er wurde im März 2001 vorläufig in der Schweiz aufgenommen und erhielt im September 2005 im Rahmen einer Härtefallregelung eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seinen Eltern. Diese wurde in der Folge jeweils verlängert, letztmals (zwecks Stellensuche) bis zum 31. August 2017.
A._ wurde in der Schweiz wiederholt straffällig. Mit Verfügung des Amts für Migration und Integration des Kantons Aargau (MIKA) vom 24. Juli 2015 wurde er deshalb verwarnt und unter Androhung des Widerrufs seiner Aufenthaltsbewilligung und der Wegweisung aus der Schweiz darauf aufmerksam gemacht, dass er sich inskünftig in jeder Hinsicht wohlzuverhalten habe. Dennoch ergingen gegen gegen ihn weitere Verurteilungen.
In deren Folge verfügte das MIKA am 25. Oktober 2017 die Nichtverlängerung der abgelaufenen Aufenthaltsbewilligung von A._ und wies ihn unter Ansetzung einer Ausreisefrist von 90 Tagen aus der Schweiz weg.
B.
Die gegen diese Verfügung erhobene Einsprache wies der Rechtsdienst des MIKA mit Entscheid vom 3. Juli 2018 ab. Die Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau blieb ebenfalls ohne Erfolg (Urteil vom 19. Juni 2019).
C.
Mit Eingabe an das Bundesgericht vom 26. August 2019 erhebt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt, das angefochtene Urteil sei vollumfänglich aufzuheben, seine Aufenthaltsbewilligung sei zu verlängern und auf eine Ausweisung (recte: Wegweisung) sei zu verzichten. In formeller Hinsicht beantragt er die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Das Verwaltungsgericht und der Rechtsdienst des MIKA beantragen die Abweisung der Beschwerde und verzichten unter Verweis auf das angefochtene Urteil auf eine Vernehmlassung. Das MIKA und das Staatssekretariat für Migration lassen sich nicht vernehmen.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit bzw. die Zulässigkeit eines Rechtsmittels gemäss <ref-law> von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1 S. 476 mit Hinweisen). Es untersucht deshalb grundsätzlich von Amtes wegen, ob und inwiefern auf eine Beschwerde eingetreten werden kann. Immerhin ist die Beschwerde gemäss <ref-law> hinreichend zu begründen. Ist die Zulässigkeit eines Rechtsmittels zweifelhaft, beschlägt die der beschwerdeführenden Partei obliegende Begründungspflicht gemäss <ref-law> grundsätzlich auch die Eintretensvoraussetzungen; die für deren Vorliegen massgeblichen Aspekte müssen diesfalls aufgezeigt werden (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 48; <ref-ruling> E. 1.1 S. 251). Hängt die Zulässigkeit des Rechtsmittels vom Bestehen eines Rechtsanspruchs ab, ist ein potenzieller Anspruch in vertretbarer Weise geltend zu machen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 332 mit Hinweisen).
1.2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist gemäss <ref-law> unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Ziff. 2) und betreffend die Wegweisung (Ziff. 4). Die nicht verlängerte Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers wurde ihm im Rahmen einer Härtefallregelung zum Verbleib bei seinen Eltern erteilt. Die rechtliche Grundlage hierfür fand sich in Art. 13 lit. f der Verordnung vom 6. Oktober 1986 über die Begrenzung der Zahl der Ausländer (BVO; [AS 1986 1792]), welche unterdessen nicht mehr in Kraft ist. Es handelte sich bei der Bewilligung des Beschwerdeführers somit um eine Ermessensbewilligung, auf deren Erteilung und Verlängerungen kein Rechtsanspruch besteht. Folglich fehlt ein bundesrechtlicher Bewilligungsanspruch.
Angesichts seines langjährigen Aufenthalts in der Schweiz könnte sich der Beschwerdeführer allenfalls - worauf das Verwaltungsgericht hinweist - auf den Schutz des Privatlebens gemäss Art. 8 EMRK bzw. <ref-law> berufen. Eine Verletzung von Art. 8 EMRK bzw. einen aus Art. 8 EMRK folgenden Anspruch auf eine Aufenthaltsregelung in der Schweiz macht der Beschwerdeführer indes nicht geltend. Seine Ausführungen zu seinem privaten Interesse am Verbleib in der Schweiz und den zu erwartenden Schwierigkeiten bei der Wiedereingliederung in Bosnien und Herzegowina sind weitgehend appellatorisch und setzen sich mit den vorinstanzlichen Erwägungen zur Verhältnismässigkeit des Eingriffs in Art. 8 EMRK nicht auseinander. Es ergibt sich auch aus der Beschwerdebegründung kein in vertretbarer Weise geltend gemachter Anspruch aus Art. 8 EMRK. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist nicht einzutreten.
1.3. Der Beschwerdeführer bezeichnet seine Eingabe ohne nähere Präzisierung als "Beschwerde". Da sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als unzulässig erweist, ist zu prüfen, ob bzw. inwiefern die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen werden kann (<ref-law>).
Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) kann die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Entsprechende Rügen bedürfen spezifischer Geltendmachung und Begründung (Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>). Die Berechtigung zur Verfassungsbeschwerde setzt voraus, dass der Beschwerdeführer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (<ref-law>). Da kein Rechtsanspruch auf eine erneute Erteilung einer Härtefallbewilligung besteht, fehlt es insofern an einem rechtlich geschützten Interesse (<ref-ruling> E. 6 S. 197 ff.). Mit Blick auf Art. 8 EMRK und den Schutz des Privatlebens fehlt eine den Anforderungen von <ref-law> genügende Rüge verfassungsrechtlicher Natur. Dasselbe gilt in Bezug auf den beantragten Verzicht auf eine Wegweisung aus der Schweiz bei nicht verlängerter Bewilligung; der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern diesbezüglich verfassungsmässige Rechte verletzt worden seien. Im Umfang der Zulässigkeit der Verfassungsbeschwerde fehlt es offensichtlich an einer den strengen Anforderungen gemäss <ref-law> genügenden Begründung. Es kann darauf nicht eingetreten werden.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, da sich die Beschwerde bereits aus prozessrechtlichen Gründen als aussichtslos erweist (<ref-law>). Die Gerichtskosten sind dem Verfahrensausgang entsprechend dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 2. Kammer, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Dezember 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Straub