Sachverhalt:
A.
Die Immobiliengesellschaft B._ AG (nachstehend: B._), ist Eigentümerin verschiedener Grundstücke, die Teil eines rund 58'000 m2 umfassenden Areals bilden. Dieses reicht von der Kuppe des Rosenbergs (Höhenweg) nach Norden hangabwärts bis zur Dietlistrasse und wurde gemäss dem Zonenplan der Stadt St. Gallen den Wohnzonen 2a, 3 oder 3a zugeteilt. Das Areal ist weitgehend mit Schul- und Institutsgebäuden sowie Sport- und Freizeitanlagen der Privatschule "Institut auf dem Rosenberg" überbaut. Noch unüberbaut ist jedoch die im nordöstlichen Teil des Areals gelegene grossflächige Parzelle Nr. W1950.
B.
B.a. Der Überbauungsplan "Sporthalle Institut auf dem Rosenberg" (nachstehend: ÜP Sporthalle) sollte im entsprechenden Planungsgebiet die Voraussetzungen für den Bau einer neuen Sporthalle schaffen und zudem die Erschliessung der ausserhalb des Gebiets gelegenen Parzelle Nr. W1950 sichern, was eine Waldrodung erfordert. Das entsprechende Rodungsgesuch und der ÜP Sporthalle wurden im Amtsblatt des Kantons St. Gallen vom 28. Januar 2013 veröffentlicht. Dagegen erhob C._ als Eigentümer eines nördlich an die Parzelle Nr. W1950 angrenzenden Grundstücks Einsprache. Mit Beschluss vom 22. Oktober 2013 stimmte die Politische Gemeinde St. Gallen dem ÜP Sporthalle zu. Mit Verfügung vom 14. Januar 2014 erteilte das Forstamt des Kantons St. Gallen die dazu erforderliche Rodungsbewilligung. Diese schrieb als Ersatzmassnahme für die Rodung die planerisch im Sondernutzungsplan "Masterplanung Institut auf dem Rosenberg" festzulegende Schaffung von 1'000 m2einheimischer Gehölzstrukturen auf der Parzelle Nr. W1950 vor. Zudem sah die Bewilligung vor, sie falle dahin, wenn die bewilligte Rodung bis Ende 2016 noch nicht ausgeführt sei.
Am 3. Februar 2014 genehmigte das Amt für Raumentwicklung und Geoinformation des Kantons St. Gallen (AREG) den ÜP Sporthalle. Diese Genehmigung und die Rodungsbewilligung wurden den Verfahrensbeteiligten mit Gesamtentscheid der Direktion Bau- und Planung vom 30. April 2014eröffnet. Die von C._ dagegen erhobenen Rechtsmittel wies der Regierungsrat des Kantons St. Gallen am 8. Dezember 2015 und das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 22. November 2017 ab. Dieser Entscheid erwuchs in Rechtskraft.
Auf Gesuch der B._ vom 15. Mai 2018 verlängerte das Kantonsforstamt des Kantons St. Gallen die ursprünglich auf Ende 2016 festgesetzte Frist zur Ausführung der Rodung bis Ende 2021 und verfügte, dass der Rodungsersatz bis Ende 2022 auszuführen sei.
B.b. Am 30. Juni 2015 leitete der Stadtrat St. Gallen das Verfahren für den Erlass des Überbauungsplans "Institut auf dem Rosenberg" (nachstehend: ÜP Rosenberg) ein. Dagegen erhoben A._ und D._ als Eigentümer von nördlich an die Parzelle Nr. W1950 grenzenden Grundstücken Einsprachen. Mit Beschluss vom 5. Juli 2016 wies der Stadtrat der Stadt St. Gallen die Einsprachen ab und stimmte dem Überbauungsplan Rosenberg zu. Dagegen rekurrierten A._ und D._ an das Baudepartement des Kantons St. Gallen, das einen Augenschein durchführte und mit Entscheid vom 7. Juni 2018 den Rekurs abwies, nachdem das AREG den ÜP Rosenberg am 5. Juli 2018 genehmigt hatte.
A._ und die Erben der zwischenzeitlich verstorbenen D._ fochten den Departementsentscheid vom 7. Juni 2018 mit Beschwerde an, die das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 20. Mai 2019 bezüglich der Verteilung der amtlichen Kosten des Rekursverfahrens teilweise guthiess und im Übrigen abwies, soweit es darauf eintrat.
C.
A._ und die Erben von D._ erhoben beim Bundesgericht Beschwerde mit den sinngemässen Anträgen, den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 20. Mai 2019 aufzuheben und den ÜP Rosenberg nicht zu genehmigen.
Mit Schreiben vom 1. Juli 2019 teilten die Erben von D._ mit, dass sie sich aus dem Verfahren zurückziehen. Mit Präsidialverfügung vom 16. Juli 2019 wies das Bundesgericht das Gesuch, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen, ab.
Das Verwaltungsgericht und der Stadtrat der Stadt St. Gallen schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Die B._ beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
1.1. Der angefochtene, kantonal letztinstanzliche Entscheid betrifft die Genehmigung eines Überbauungsplans und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht offen (<ref-law>). Der Beschwerdeführer ist beschwerdelegitimiert, da er am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und er als Eigentümer eines an das Plangebiet grenzenden Grundstücks ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (<ref-law>). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen gegeben sind, ist auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und interkantonalem Recht gerügt werden (Art. 95 lit. a, b und e BGG). Zulässig ist auch die Rüge der Verletzung von kantonalen verfassungsmässigen Rechten und kantonalen Bestimmungen über die politische Stimmberechtigung der Bürger und über Volkswahlen und -abstimmungen (Art. 95 lit. c und d BGG). Abgesehen davon überprüft das Bundesgericht die Anwendung des kantonalen Rechts nicht als solche. Jedoch kann gerügt werden, diese Anwendung widerspreche dem Bundesrecht, namentlich dem Willkürverbot gemäss <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.1 S. 372 mit Hinweisen). Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid im Ergebnis offensichtlich unhaltbar ist. Dies kann zutreffen, wenn er eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.1 S. 19 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 72; <ref-ruling> E. 7.1 S. 124; je mit Hinweisen).
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 2.4; je mit Hinweisen). Es prüft die Verletzung von Grundrechten (vgl. Art. 7-34 BV) jedoch nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Gemäss dem insoweit geltenden Rügeprinzip ist in der Beschwerde klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwieweit Grundrechte verletzt wurden. Auf ungenügend substanziierte Rügen tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368 mit Hinweisen). Die Begründung muss in der Beschwerde selber enthalten sein, weshalb es nicht genügt, insoweit auf andere Rechtsschriften oder die Akten zu verweisen (<ref-ruling> E. 1.2.3 S. 286; <ref-ruling> E. 3.2 S. 258). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>).
2.
Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> folgt die grundsätzliche Pflicht der Gerichte, ihre Entscheide zu begründen. Die Begründung muss kurz die wesentlichen Überlegungen nennen, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die sich sein Entscheid stützt, damit der Betroffene ihn sachgerecht anfechten kann. Nicht erforderlich ist hingegen, dass sich der Entscheid mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinander setzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt (<ref-ruling> E. 3.3 S. 445; <ref-ruling> E. 6.2 S. 65; je mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer rügt mehrfach sinngemäss eine Verletzung der Begründungspflicht. Diese Rügen sind unbegründet, weil der angefochtene Entscheid die wesentlichen Überlegungen nennt, von denen sich die Vorinstanz hat leiten lassen und er daher sachgerecht angefochten werden kann. So ist namentlich erkennbar, dass die Vorinstanz den Erlass von zwei aufeinander abgestimmten Überbauungsplänen als zulässig und zweckmässig ansah, um die rasche Realisierung eines zeitlich dringenden Projekts zur Errichtung einer Sporthalle in einem Teilbereich des Geländes zu ermöglichen (vgl. E. 5.1 hiernach).
3.
3.1. Unbestritten ist, dass vorliegend übergangsrechtlich das Gesetz über die Raumplanung und das öffentliche Baurecht des Kantons St. Gallen vom 6. Juni 1972 (Baugesetz, BauG; sGS 731.1) anwendbar ist. Gemäss Art. 11 Abs. 1 BauG umfassen Wohnzonen Gebiete, die sich für Wohnzwecke und nichtstörende Gewerbebetriebe eignen. Sie sollen ruhige und gesunde Wohnverhältnisse gewährleisten. Nach Art. 23 lit. b BauG kann ein Überbauun gsplan mit besonderen Vorschriften (besV) die besondere Bauweise, vor allem hinsichtlich der Baumasse und der Ausnützungsziffer, regeln; unter Beibehaltung der Zweckbestimmung der Zone kann von den allgemeinen Zonenvorschriften abgewichen werden.
3.2. Die Vorinstanz ging davon aus, der ÜP Rosenberg sehe von der Zweckbestimmung der Wohnzonen gemäss Art. 11 BauG keine Abweichungen im Sinne von Art. 23 lit. b BauG vor. Die vorgesehenen Abweichungen von der Regelbauweise namentlich bezüglich der Geschosszahl, der Gebäudehöhe und -länge sowie bei der Gebäudetiefe seien mit der Wohnzone gemäss Art. 11 BauG vereinbar, zumal in dieser Zone auch "nicht störende Gewerbebetriebe" zulässig seien. Die Art. 3-20 besV zum ÜP Rosenberg regelten keine die Zonenkonformität tangierenden Sachverhalte, und Art. 2 besV halte lediglich fest, dass die baulichen Absichten des Instituts auf dem Rosenberg unter Beibehaltung des bestehenden baulichen und freiräumlichen Charakters umgesetzt werden sollen. Der ÜP Rosenberg könne auch nicht eine aktuell bestehende Zonenwidrigkeit verstärken, soweit eine solche zu bejahen wäre. Dies umso weniger, als der ÜP Rosenberg keine Bestimmungen enthalte, die sich auf bereits bestehende Bauten und Anlagen auswirken. Die Beibehaltung der Zweckbestimmung der Wohnzone sei daher nicht in Frage gestellt. Da der ÜP Rosenberg die künftige Nutzung des Gebiets zum Gegenstand habe, sei im departementalen Verfahren zu Recht nicht geprüft worden, ob die gegenwärtige Überbauung, die zum grössten Teil aus Bauten einer Privatschule für reine Wohnzwecke (Schülerwohnräume) bestehe, zonenkonform sei. Die Zonenkonformität von künftigen Bauten und Anlagen sei erst in konkreten Baubewilligungsverfahren zu prüfen, in denen die geplanten Nutzungen im Detail zur Sprache kämen. Ein visueller Vergleich gestützt auf den Situationsplan des ÜP Rosenberg zeige ein ausgewogenes Verhältnis zwischen den Baubereichs- und den Freiflächen. Die ausgeschiedenen Baubereiche machten einen kleinen Teil der Gesamtfläche aus. Das im Vergleich zur Regelbauweise grössere Bauvolumen im Baubereich A sei durch die Lage unmittelbar beim Institutsgebäude gerechtfertigt. In den Baubereichen M und E begrenze der ÜP Rosenberg die Gebäudehöhe auf 8.5 bzw. 10.5 m anstelle der nach Bauordnung für dreigeschossige Bauten geltenden Gebäudehöhe von 11 m. Das Baudepartement sei demnach nachvollziehbar zum Schluss gelangt, die im ÜP Rosenberg zugelassenen Abweichungen von der Regelbauweise führten zu keiner materiellen Zonenplanänderung, weshalb insoweit eine Ermessensüberschreitung zu verneinen sei.
3.3. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe Art. 23 lit. b BauG willkürlich angewandt. Soweit sie implizit davon ausgehe, der gegenwärtige Betrieb einer Internatsschule sei in der Wohnzone zonenkonform, da der Grossteil ihrer Bauten für reine Wohnzwecke genutzt werde, verkenne sie, dass die Wohnzonen gemäss Art. 11 BauG auf das Wohnen der Personen ausgerichtet seien, die dort mit der Absicht des dauernden Verbleibens wohnen. Dies treffe für die ortsansässige Bevölkerung, nicht jedoch die Internatsschüler zu, die nur vorübergehend im Institut Rosenberg wohnten. Zudem umfasse die Internatsschule mit Institutsgebäuden sowie Sport und Freizeitanlagen weit mehr als bloss Schülerwohnheime, weshalb ihr der funktionale Zusammenhang zur Wohnzone fehle. Der ÜP Rosenberg führe zu einer weiteren Verstärkung der zonenwidrigen Nutzung. Gemäss der Praxis der Vorinstanz seien mit der Zweckbestimmung einer Zone Abweichungen von der Regelbauweise bezüglich der Höhe oder der Geschossigkeit von Bauten nur vereinbar, wenn sie sich auf eine untergeordnete Teilfläche beschränkten oder sie durch die Schaffung von zusätzlichen Freiräumen kompensiert würden. Die Vorinstanz sei ohne sachlichen Grund von dieser Praxis abgewichen, zumal der ÜP Rosenberg keine Kompensation durch zusätzliche Freiräume vorsehe.
3.4. Gemäss der Rechtsprechung des Bundesgerichts dürfen in einem Gestaltungsplan vorgesehene Abweichungen von den Bestimmungen über die Regelbauweise nicht dazu führen, dass die planerisch und demokratisch abgestützte Grundordnung, die unterschiedliche Aspekte des Natur- und Heimatschutzes bzw. des Ortsbildschutzes konkretisiert, ihres Sinngehalts entleert würde (<ref-ruling> E. 5.2 und E. 5.3 S. 219).
3.5. Dafür, dass die gemäss Art. 11 Abs. 1 BauG in Wohnzonen gewährleisteten ruhigen und gesunden Wohnverhältnisse der ortsansässigen Bevölkerung vorbehalten werden sollen, nennt der Beschwerdeführer keine Gründe. Solche sind auch nicht ersichtlich, da auch Internatsschüler oder andere Personen mit vorübergehendem Aufenthalt in ruhigen und gesunden Verhältnissen wohnen sollten. Sodann legt der Beschwerdeführer nicht dar, weshalb es unhaltbar sein soll, eine Internatsschule als nichtstörenden Gewerbebetrieb im Sinne von Art. 11 BauG zu qualifizieren, was auch nicht ersichtlich ist. Damit verfiel die Vorinstanz nicht in Willkür wenn sie zumindest implizit davon ausging, der Betrieb einer Internatsschule sei in einer Wohnzone gemäss Art. 11 BauG zonenkonform. Soweit der Beschwerdeführer die Abweichung von einer kantonalen Praxis geltend macht, belegt er diese in der Beschwerde nicht, sondern verweist insoweit lediglich auf Rechtsschriften im vorinstanzlichen Verfahren, was den Begründungsanforderungen an eine Willkürrüge nicht genügt (vgl. E. 1.2 hievor). Mit seinen allgemeinen Angaben zu den verbleibenden Freiflächen geht er nicht auf die entsprechenden vorinstanzlichen Feststellungen ein und widerlegt diese nicht. Er bestreitet auch nicht, dass der ÜP Rosenberg nur in gewissen Bereichen eine Überschreitung von allgemeinen Höhenvorschriften zulässt. Inwiefern damit die Wohnzone ihres Sinngehalts entleert werden sollte, legt der Beschwerdeführer nicht substanziiert dar und ist auch nicht ersichtlich. Damit erweist sich die Rüge der willkürlichen Anwendung von Art. 23 lit. b BauG als unbegründet, soweit sie den Begründungsanforderungen genügt.
4.
4.1. Gemäss Art. 29 Abs. 2 BauG werden bei Überbauungs-, Gestaltungs-, Deponie- und Abbauplänen die Eigentümer von Grundstücken im Plangebiet sowie die Anstösser durch eingeschriebenen Brief benachrichtigt: Anstösser im Sinn dieser Vorschrift sind Grundeigentümer, deren Grundstück nicht mehr als 30 Meter vom Plangebiet entfernt ist.
4.2. Im vorinstanzlichen Verfahren machte der Beschwerdeführer geltend, er sei als Anstösser in das Verfahren betreffend das Rodungsgesuch und den darin vorgesehenen Ersatzmassnahmen auf dem Grundstück Nr. W1950 nicht einbezogen worden. Diese Gehörsverletzung sei im Beschwerdeverfahren nicht heilbar.
4.3. Die Vorinstanz führte dazu aus, das für den Bereich des ÜP Sporthalle gestellte Rodungsgesuch, das die Art und die Realisierung der Ersatzmassnahmen festhalte, sei im Amtsblatt publiziert worden. Der Beschwerdeführer sei zu einer Informationsveranstaltung betreffend den ÜP Sporthalle vom 24. Januar 2013 eingeladen worden. Er habe in der Folge im raumplanungsrechtlichen Verfahren gegen den öffentlich aufgelegten Überbauungsplan und die darin vorgesehene Rodung zwar keine Einsprache erhoben. Dennoch hätte ihm die im waldrechtlichen Verfahren erlassene Rodungsbewilligung vom 14. Januar 2014 als direkt betroffener Anstösser zugestellt werden müssen, weshalb insoweit eine Gehörsverletzung zu bejahen sei. Diese sei jedoch im vorinstanzlichen Verfahren geheilt worden, da die Vorinstanz über volle Kognition verfüge und der Beschwerdeführer sich in diesem Verfahren zur Rodungsbewilligung umfassend habe äussern können. Eine Rückweisung zur Einräumung des rechtlichen Gehörs würde lediglich zu einem formalistischen Leerlauf führen, zumal die Rodungsbewilligung vom 14. Januar 2014 für die planerische Festlegung der Ersatzmassnahmen auf Parzelle Nr. W1950 auf den hier streitigen Sondernutzungsplan verweise.
4.4. Der Beschwerdeführer macht geltend, sein Grundstück grenze nicht an den Perimeter des ÜP Sporthalle an. Wenn die Vorinstanz ihn dennoch als "Anstösser" bezeichne und dafürhalte, dass er deswegen einen Anspruch auf Einbezug in das waldrechtliche Verfahren gehabt habe, dann müsse dies auch für das Planerlassverfahren für den ÜP Sporthalle gelten, da darin Grundsatzentscheide gefällt worden seien, die erst im nachträglich erlassenen ÜP Rosenberg ihren Niederschlag gefunden hätten. Der Beschwerdeführer hätte daher im Verfahren betreffend den ÜP Sporthalle ebenfalls als Anstösser behandelt werden und damit gemäss Art. 29 Abs. 2 BauG über die Einsprachemöglichkeit informiert werden müssen. Die Einladung zu einer Informationsveranstaltung reiche dazu nicht aus. Demnach sei mit der Vorinstanz von einer Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör auszugehen. Jedoch könne von einer Heilung im Rahmen des Beschwerdeverfahrens keine Rede sein.
4.5. Mit diesen Ausführungen geht der Beschwerdeführer selber davon aus, dass er bezüglich des ÜP Sporthalle und der entsprechenden Rodungsbewilligung nicht Anstösser im Sinne von Art. 29 Abs. 2 BauG ist, weil sein Grundstück mehr als 30 Meter vom entsprechenden Planungs- bzw. Rodungsgebiet entfernt liegt, wie dies die Akten bestätigen. Daran vermag nichts zu ändern, dass die Rodungsbewilligung dem Grundsatz nach eine Verpflichtung zu einer Ersatzpflanzung von 1'000 m2 auf der an sein Grundstück angrenzenden Parzelle Nr. W1950 vorsieht, weil damit nicht bestimmt wird, in welchem Bereich dieser ca. 16'400 m2 umfassenden Parzelle die Ersatzpflanzung vorgenommen werden sollte. Da die entsprechende planerische Festsetzung im ÜP Rosenberg erfolgte, bestimmte erst dieser Sondernutzungsplan, ob die Ersatzpflanzung in der Nähe des Grundstücks des Beschwerdeführers vorgenommen wird und er dadurch belastet sein könnte. Er war daher lediglich in Bezug auf diesen Plan, nicht jedoch in Bezug auf den ÜP Sporthalle und der entsprechenden Rodungsbewilligung Anstösser im Sinne Art. 29 Abs. 2 BauG, weshalb ihm diese Bewilligung bzw. der entsprechende Überbauungsplan entgegen der Meinung der Vorinstanz nicht mit eingeschriebenem Brief zugestellt werden musste. Dies führte für den Beschwerdeführer nicht zu einer Schmälerung seiner Rechte, weil er als Anstösser des Gebiets des ÜP Rosenberg gegen die darin in der Nähe seines Grundstücks planerisch bestimmten Ersatzpflanzungen Einsprache erheben konnte, was er auch tat. Damit ist bezüglich der Rodungsbewilligung entgegen der Meinung der Vorinstanz und des Beschwerdeführers eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör zu verneinen, weshalb sich die Frage einer Heilung einer Gehörsverletzung nicht stellt. Gleiches hat in Bezug auf den ÜP Sporthalle zu gelten.
5.
5.1. Die Vorinstanz führte aus, sie habe im Verfahren betreffend den ÜP Sporthalle im Entscheid vom 22. November 2017 bestätigt, dass auf einem sehr grossflächigen Areal ein etappenweises Vorgehen mit verschiedenen, aufeinander abgestimmten Sondernutzungsplänen grundsätzlich zulässig und zweckmässig sei. Die Politische Gemeinde St. Gallen habe die Aufteilung des Gesamtprojekts in zwei Überbauungspläne damit begründet, dass mit dem ÜP Sporthalle ein zeitlich dringenderes Projekt in einem kleineren Bereich des Geländes vorgezogen worden sei. Im späteren ÜP Rosenberg sei für die Parzelle Nr. W1950, deren spätere Nutzung (Schulbetrieb oder Wohnüberbauung) zur Zeit noch offen sei, mit der Ausscheidung als Baubereich K eine spezielle Regelung getroffen worden. Damit stehe die im ÜP Rosenberg planerisch festgelegte Erschliessung der Parzelle Nr. W1950 im Einklang, weshalb im Ergebnis die Koordination inhaltlich gewährleistet sei. Die Rüge der Verletzung der Koordinationspflicht mit dem ÜP Sporthalle erweise sich daher als unbegründet.
5.2. Der Beschwerdeführer wendet ein, er habe nie bestritten, dass die Erschliessung des Grundstücks Nr. W1950 im Baubereich K des ÜP Rosenberg inhaltlich mit dem ÜP Sporthalle abgestimmt worden sei. Gerade diese inhaltlich gegenseitige Abhängigkeit und die sich daraus zu Lasten des Beschwerdeführers ergebenden Beeinträchtigungen, die im Wesentlichen Folge des ÜP Sporthalle seien, hätten die Behörden jedoch verpflichtet, die Verfahren bezüglich dieser beiden Pläne gleichzeitig und einheitlich durchzuführen. Die Aufteilung in zwei zeitlich gestaffelte Verfahren verstosse daher gegen das Koordinationsgebot von Art. 25a RPG.
5.3. Das Koordinationsgebot gemäss Art. 25a RPG verlangt, dass die für die Errichtung einer Baute erforderlichen Verfügungen materiell und soweit möglich formell koordiniert ergehen (Abs. 1-3). Der Grundsatz der Einheit des Bauentscheids lässt die teilweise Bewilligung einer Baute oder Überbauung nur zu, wenn der bewilligte Teil unabhängig vom nicht bewilligten Teil beurteilt werden kann. Demnach kann die Aufteilung einer Baubewilligung in mehrere Zwischen- oder Teilverfügungen gegen den Grundsatz der Einheit des Bauentscheids mit umfassender Interessenabwägung und das Gebot der materiellen Koordination gemäss Art. 25a RPG verstossen, wenn sich einzelne Aspekte oder Anlagenteile nicht sinnvoll isoliert beurteilen lassen, sondern eine Gesamtschau verlangen (Urteil 1C_658/2017 vom 18. September 2018 E. 3.3 mit Hinweisen). So ist bei der etappenweise Vergrösserung der Parkplatzzahl eines Flughafens die Umweltverträglichkeit des einzelnen Vorhabens grundsätzlich unter Einbezug der anderen Teile zu prüfen. Dies schliesst indessen nicht aus, ein besonders dringliches Teilprojekt aus einem Baupaket herauszulösen und in einem vorgezogenen Bewilligungsverfahren zu behandeln (vgl. <ref-ruling> E. 26b S. 346 f.). Diese Grundsätze können analog auf Verfahren zum Erlass von Sondernutzungsplänen übertragen werden. So kann es zulässig sein, in einem Gebiet mit Gestaltungsplanpflicht für Teilbereiche Gestaltungspläne festzusetzen, wenn eine zweckmässige Unterteilung möglich ist und dadurch das übrige Gestaltungsplanpflichtgebiet nicht in seiner Entwicklung beeinträchtigt wird (vgl. Urteil 1C_75/2018 vom 31. Oktober 2018 E. 4 betreffend Art. 4 Ziff. 3 BZO der Bau- und Zonenordnung der Stadt Wetzikon vom 15. und 18. Dezember 2014). Eine solche Beeinträchtigung kann namentlich entstehen, wenn ein Gestaltungsplan für ein Teilgebiet die Erschliessung des restlichen noch unüberbauten Gebiets verunmöglicht. So hat ein Gestaltungsplan für ein Kiesabbaugebiet die Erschliessung für alle Abbauetappen zu gewährleisten (<ref-ruling> E. 2a S. 73).
5.4. Der Beschwerdeführer anerkennt, dass der ÜP Sporthalle und der ÜP Rosenberg bezüglich der Erschliessung der Parzelle Nr. W1950 aufeinander abgestimmt wurden und insoweit eine Koordination stattgefunden hat. Er macht jedoch sinngemäss geltend, er sei durch den fehlenden Einbezug in das Verfahren betreffend den ÜP Sporthalle in verfahrensrechtlicher Hinsicht benachteiligt worden, weil er sich gegen die Ersatzpflanzungen, die im Wesentlichen Folge dieses Plans seien, nicht habe wirksam wehren können. Dieser Einwand ist jedoch unbegründet, da er zum einen - gleich wie C._ - gegen den öffentlich aufgelegten ÜP Sporthalle mit der entsprechenden Rodungsbewilligung hätte Einsprache erheben können, ohne Anstösser im Sinne von Art. 29 Abs. 2 BauG zu sein. Zum anderen wurden die vom Beschwerdeführer beanstandeten Ersatzpflanzungen planerisch erst im den ÜP Rosenberg bestimmt, gegen den er Einsprache erhob (vgl. E. 4.5 hievor). Unter diesen Umständen verletzte die Vorinstanz kein Bundesrecht, wenn sie den Erlass von zwei zeitlich gestaffelten aber inhaltlich koordinierten Überbauungsplänen als zulässig ansah.
6.
6.1. Die Vorinstanz führte zusammengefasst aus, gemäss Art. 5 Abs. 5 des Bundesgesetzes über den Wald (Waldgesetz, WaG; SR 921.0) sei eine Rodungsbewilligung zu befristen. Entsprechend habe die Rodungsbewilligung vom 14. Januar 2014 die Ausführung der Rodung bis Ende 2016 verlangt. Diese Frist sei jedoch bereits vor dem Abschluss des Rechtsmittelverfahrens mit dem Entscheid vom 22. November 2017 abgelaufen, weshalb die Beschwerdegegnerin gar keine Möglichkeit gehabt habe, von der Rodungsbewilligung innert der angesetzten Frist Gebrauch zu machen. Aus diesem Grund habe der Ablauf der Frist nicht das Dahinfallen der damals noch nicht rechtskräftig beurteilten Rodungsbewilligung bewirken können. Diese sei sodann auch nach Eintritt der Rechtskraft des Entscheids vom 22. November 2017 nicht zufolge Fristablaufs dahingefallen, da die Frist schon lange vorher abgelaufen gewesen sei. Das Kantonsforstamt habe daher auf Gesuch der Beschwerdegegnerin vom 15. Mai 2018 die Frist zur Ausführung der Rodung mit Verfügung 18. Juni 2018 bis Ende 2021 verlängern dürfen, zumal es sich bei der Befristung einer Rodungsbewilligung um eine behördliche und nicht um eine gesetzliche Frist handle. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers sei somit mit der Fristverlängerung vom 18. Juni 2018 keine neue Rodungsbewilligung erteilt worden.
6.2. Der Beschwerdeführer wendet ein, die Rodungsbewilligung vom 14. Januar 2014 falle gemäss Ziff. 10 ihres Dispositivs dahin, wenn die bewilligte Rodung bis Ende 2016 noch nicht ausgeführt sei. Die Vorinstanz habe sich in willkürlicher Weise über diesen klaren Wortlaut hinweggesetzt, wenn sie ohne sachliche Begründung verneint habe, dass der Ablauf der gesetzten Frist zum Dahinfallen der Bewilligung führt. Die nach dem Fristablauf dahingefallene Rodungsbewilligung habe nicht mehr "verlängert" werden können. Sie hätte unter Einhaltung des dafür vorgeschriebenen Verfahrens neu erteilt werden müssen. Demnach sei "Fristverlängerung" vom 18. Juni 2018 aufgrund schwerwiegender Verfahrensmängel nichtig. Mangels einer gültigen Rodungsbewilligung im Bereich des ÜP Sporthalle sei die Erschliessung des Baubereichs K des ÜP Rosenberg nicht gewährleistet, was die Vorinstanz in unhaltbarer Weise verkannt habe.
6.3. <ref-law> schreibt vor, dass Rodungsbewilligungen zu befristen sind, überlässt jedoch die Dauer der Befristung der zuständigen Behörde. Die von dieser festgesetzte Frist kann verlängert werden. Der Bewilligungsinhaber hat jedoch damit zu rechnen, dass die Bewilligung wegen neuer rechtlicher oder tatsächlicher Verhältnisse nicht mehr verlängert wird (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 133 f.). Läuft eine behördlich festgesetzte Frist während des Rechtsmittelverfahrens ab, ist grundsätzlich eine neue Frist zu setzen (vgl. Urteile 1A.208/ 1999 vom 15. Mai 2000 E. 5; 1C_561/2012 vom 4. Oktober 2013 E. 4.4; 1C_200/2011 vom 5. September 2011 E. 3; 1C_85/2010 vom 4. Juni 2010 E. 4).
Eine rechtswidrige Verfügung ist im Allgemeinen anfechtbar und nur ausnahmsweise nichtig, wenn der ihr anhaftende Mangel besonders schwer und offensichtlich oder zumindest leicht erkennbar ist und die Rechtssicherheit durch die Annahme der Nichtigkeit nicht ernsthaft gefährdet wird. Als Nichtigkeitsgrund fallen hauptsächlich funktionelle und sachliche Unzuständigkeit einer Behörde sowie schwerwiegende Verfahrensfehler in Betracht (<ref-ruling> E. 11.2 S. 260; <ref-ruling> E. 3.1 S. 503 f. mit Hinweisen). Verfahrensmängel, wie nachträglich heilbare Gehörsverletzungen, führen in der Regel nur zur Anfechtbarkeit des fehlerhaften Entscheids (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 363 mit Hinweisen). So führt der Umstand, dass eine Person zu Unrecht nicht in ein Baubewilligungsverfahren einbezogen wurde, gemäss der Rechtsprechung dazu, dass die Anfechtungsfrist für diese Person grundsätzlich erst mit der tatsächlichen Kenntnisnahme des Entscheids zu laufen beginnt (<ref-ruling> E. 4.2 S. 312 f. mit Hinweisen). Inhaltliche Mängel haben nur in seltenen Ausnahmefällen die Nichtigkeit einer Verfügung zur Folge; erforderlich ist hierzu ein ausserordentlich schwerwiegender Mangel (<ref-ruling> E. 3.1 S. 275). Ein solcher wurde bezüglich der Verlängerung einer Baubewilligung bejaht, wenn sich die rechtlichen Verhältnisse seit dem Bauentscheid so verändert haben, dass im Zeitpunkt der Verlängerung offensichtlich keine entsprechende Baubewilligung mehr hätte erteilt werden dürfen (Urteil 1C_471/2016 vom 8. März 2017 E. 5.2).
6.4. Zwar fällt die Rodungsbewilligung vom 14. Januar 2014 gemäss dem Wortlaut der Ziff. 5 des Dispositivs dahin, wenn die bewilligte Rodung bis Ende 2016 noch nicht ausgeführt ist. Die Ausführung dieser Rodung war jedoch gemäss Ziff. 3 des Dispositivs erst zulässig, wenn alle erforderlichen Bewilligungen in rechtskräftiger Form vorliegen. Das Kantonsforstamt ging somit im Zeitpunkt, als sie die Ausführung der Rodung bis Ende 2016 verlangte, erkennbar davon aus, dass die erforderlichen Bewilligungen vor dem gesetzten Termin rechtskräftig sein werden. Da dies nicht zutraf und es sinnwidrig wäre, die Ausführung der Rodung zu verlangen, bevor diese möglich ist, ist für diese Konstellation bezüglich der gesetzten Frist zur Ausführung der Rodung eine planwidrige Unvollständigkeit bzw. eine echte Lücke der Rodungsbewilligung anzunehmen. Diese durfte das Kantonsforstamt schliessen, indem sie die gesetzte Frist bei der Unmöglichkeit ihrer Einhaltung nachträglich verlängerte. Dass die in der Verfügung vom 18. Juni 2018 vorgenommene Verlängerung aufgrund veränderter rechtlicher oder tatsächlicher Umstände unzulässig und daher nichtig sei, macht der Beschwerdeführer nicht geltend und ist auch nicht ersichtlich. Demnach durfte die Vorinstanz bundesrechtskonform davon ausgehen, die vom Kantonsforstamt eingeräumte Fristverlängerung sei nicht nichtig, sondern höchstens anfechtbar. Dass der Beschwerdeführer diese Verlängerung nach ihrer Kenntnisnahme im vorinstanzlichen Verfahren innert der damit beginnenden Anfechtungsfrist angefochten hat, macht er nicht geltend. Damit war die Erschliessung der Parzelle Nr. W1950 im Gebiet des ÜP Rosenberg durch den ÜP Sporthalle und die entsprechende Rodungsbewilligung mit der verlängerten Frist zur Ausführung der Rodung gesichert, weshalb der ÜP Rosenberg insoweit entgegen der Meinung des Beschwerdeführers keinen Mangel aufweist.
7.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der unterliegende Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 und 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die private Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Politischen Gemeinde St. Gallen, dem Baudepartement des Kantons St. Gallen und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. April 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Gelzer