Faits :
A.
A.a. A._ exerce la profession d'avocat. Elle est membre de l'Ordre des avocats de Genève (ci-après: l'ODA).
A.b. Par décision du 26 novembre 2015, la Commission de discipline de l'ODA (ci-après: la Commission) a constaté que A._ avait procédé contre B._ et C._ en les dénonçant séparément à la Commission du barreau sans autorisation préalable du Bâtonnier, contrevenant ainsi à l'art. 6 al. 1 des Statuts de l'ODA. La Commission lui a infligé un blâme.
A.c. Par requête en vue de conciliation déposée le 8 décembre 2015, puis introduite le 15 mars 2016 auprès du Tribunal de première instance de Genève, l'intéressée a conclu principalement à la constatation de la nullité de la décision précitée, subsidiairement, à son annulation.
L'ODA a déposé une réponse le 6 juillet 2016. Il a conclu au rejet de la requête.
Le 15 juillet 2016, A._ a déposé une réplique spontanée, dans laquelle elle s'est déterminée sur les allégués du mémoire de réponse et a formulé de nouvelles allégations de fait.
A.d. Par ordonnance du 28 juillet 2016, le Tribunal de première instance a considéré que, bien que l'intéressée avait la possibilité de prendre position sur les arguments de l'ODA en vertu de son droit de réplique découlant des art. 6 al. 1 CEDH et 29 al. 2 Cst., sa réponse devait être déclarée irrecevable et lui être retournée, dès lors qu'un deuxième échange d'écritures au sens de l'<ref-law> n'avait pas été ordonné.
Lors de l'audience de débats d'instruction du 5 octobre 2016, A._ a demandé à pouvoir déposer sa réplique spontanée du 15 juillet 2016 ou à donner lecture de celle-ci, ce que le Tribunal de première instance a refusé. Cette autorité a également refusé que la requérante se prononce sur la réfutation de ses propres allégués contenue dans le mémoire de réponse de l'ODA.
Invitée par le Tribunal de première instance à se déterminer oralement sur la partie " en fait " de la réponse de l'ODA, A._ a contesté les allégués 1 à 22 y figurant et a sollicité l'audition de D._ et B._ en qualité de parties, ce à quoi l'ODA s'est opposé. Elle a ensuite indiqué qu'elle n'avait pas d'autre allégué ou offre de preuve à formuler.
Par ordonnance de preuve du 13 janvier 2017, le Tribunal de première instance a refusé l'audition de D._ et B._, clôt les débats principaux et convoqué les parties à une audience de plaidoiries finales.
Par ordonnance du 24 janvier 2017, le Tribunal de première instance a pris acte de la renonciation des parties aux plaidoiries orales et leur a fixé un délai au 9 mars 2017 pour déposer leurs plaidoiries écrites.
A.e. Par acte déposé le 27 janvier 2017, A._ a reproché au Tribunal de première instance d'avoir violé son droit d'être entendue en déclarant sa réplique spontanée du 15 juillet 2016 irrecevable. Un tirage de cette réplique était annexé à sa plaidoirie. L'intéressée a par ailleurs allégué des faits nouveaux et persisté dans ses conclusions.
Aux termes de sa plaidoirie écrite déposée le 9 mars 2017, l'ODA a persisté dans les conclusions qu'il avait prises dans le cadre de sa propre réponse.
A.f. Le 17 mai 2017, le Tribunal de première instance a rejeté la requête de A._, considérant en substance que le blâme qui lui avait été infligé était conforme aux Statuts de l'ODA. Par ailleurs, il a considéré qu'il n'avait pas contrevenu au droit d'être entendu de l'intéressée en déclarant irrecevables ses écritures spontanées du 15 juillet 2016 et en refusant de les verser à la procédure.
Le greffe du Tribunal de première instance a communiqué ce jugement pour notification aux parties le 18 mai 2017, en même temps que les plaidoiries finales des 27 janvier et 9 mars 2017.
A.g. A._ a fait appel de ce jugement. Invoquant la violation de son droit d'être entendue, elle a sollicité son annulation et le renvoi de la cause au Tribunal de première instance pour nouvelle décision.
Par arrêt du 23 janvier 2018, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) a confirmé le jugement rendu par le Tribunal de première instance.
B.
Par mémoire du 7 février 2018, A._ interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle sollicite l'annulation de l'arrêt cantonal et du jugement du Tribunal de première instance. Elle demande aussi que l'Ordre des avocats de Genève soit condamné à s'acquitter des frais de première instance (200 fr. + 1'200 fr.), d'appel (1'000 fr.) et de recours au Tribunal fédéral, ainsi que des dépens de première instance (4'000 fr.), d'appel (2'000 fr.) et de recours au Tribunal fédéral, ces montants devant lui être versés. Enfin, elle requiert le renvoi de la cause au Tribunal de première instance pour nouvelle décision.
Invité à se déterminer, l'Ordre des avocats de Genève a conclu au rejet du recours. La cour cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt. La recourante a adressé une réplique spontanée.
C.
La requête d'effet suspensif de la recourante a été admise par ordonnance présidentielle du 19 février 2018.

Considérant en droit :
1.
L'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>) prise par une autorité cantonale de dernière instance (<ref-law>) dans un litige relatif à la contestation d'une décision par laquelle une association a prononcé un blâme à l'encontre de l'un de ses membres (<ref-law>), soit un litige de nature civile (<ref-law>) et non pécuniaire. Le recours a été déposé en temps utile (<ref-law>) et dans la forme prévue par la loi (<ref-law>). La recourante, qui a succombé devant la cour cantonale et qui a un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de la décision entreprise, a qualité pour recourir (<ref-law>).
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui pourraient se poser, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.4). En outre, le Tribunal fédéral ne connaît de la violation des droits fondamentaux que si de tels griefs ont été invoqués et motivés par le recourant (" principe d'allégation ", <ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.3), c'est-à-dire s'ils ont été expressément soulevés et exposés de façon claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1.3 et les références).
2.2. Les conclusions purement cassatoires prises par la recourante sont recevables, dès lors que si le Tribunal fédéral accueillait le recours, il ne serait de toute manière pas en mesure de statuer lui-même sur le fond (<ref-ruling> consid. 1.3).
3.
L'autorité cantonale a constaté que le Tribunal de première instance avait violé le droit d'être entendue de A._ à deux reprises. D'une part il avait, à tort, déclaré irrecevable sa réplique spontanée du 15 juillet 2016. D'autre part, il ne lui avait transmis la plaidoirie finale de l'ODA qu'au moment de la notification de son jugement, violant également, à cette occasion, le droit d'être entendu de l'ODA, celui-ci n'ayant reçu la plaidoirie écrite de A._ qu'au moment de la réception dudit jugement. La Cour de justice a relevé qu'il incombait au Tribunal de première instance de communiquer les plaidoiries aux parties en leur laissant un laps de temps raisonnable pour se déterminer sur celles-ci avant de rendre sa décision.
Examinant si ces violations justifiaient d'annuler le jugement du 17 mai 2017, la Cour de justice a relevé que A._ ne se prévalait pas du fait que le Tribunal de première instance aurait fondé sa décision sur des éléments résultant uniquement du mémoire de réponse et des plaidoiries écrites de l'ODA, éléments sur lesquels elle n'aurait pas eu l'occasion de s'exprimer. Elle a retenu que tel n'était du reste pas le cas. En effet, A._ avait tout d'abord pu se déterminer sur les allégués de fait de l'ODA lors de l'audience de débats d'instruction du 5 octobre 2016. Elle avait ensuite à nouveau pu s'exprimer sur ces allégués et sur les arguments de droit de l'ODA dans ses écritures finales du 27 janvier 2017. A._ n'avait pas non plus été privée de son droit d'alléguer les faits nouveaux qui étaient contenus dans sa réplique spontanée du 15 juillet 2016. Alors qu'elle avait, conformément à l'<ref-law>, la possibilité d'alléguer de tels faits à l'audience de débats d'instruction du 5 octobre 2016, elle avait indiqué à l'issue de cette audience ne pas avoir d'autres allégations à formuler.
La Cour de justice a ensuite relevé que A._ n'avait certes pas eu l'occasion de répliquer aux plaidoiries écrites de l'ODA, mais que celles-ci ne comportaient aucun nouvel élément de fait pertinent pour la cause, sur lequel elle n'avait pas encore eu l'occasion de prendre position. A._ avait en outre pu faire valoir ses arguments sur la recevabilité de sa réplique lors de l'audience du 5 octobre 2016 et dans ses propres plaidoiries finales, étant au demeurant relevé que le Tribunal de première instance avait déjà tranché cette question dans son ordonnance du 28 juillet 2016. Par conséquent, il ne pouvait être considéré que le fait de ne pas avoir pu répliquer à la plaidoirie écrite de l'ODA du 9 mars 2017 l'avait privée de la possibilité d'invoquer des éléments essentiels dans le cadre de la présente procédure.
Au vu de l'ensemble des circonstances, la Cour de justice a considéré que la violation du droit d'être entendue de A._ n'était pas particulièrement grave, de sorte que, disposant pour sa part d'un pouvoir d'examen complet en fait et en droit, elle était en mesure de la réparer. Elle a retenu qu'ayant eu connaissance de la plaidoirie écrite de l'ODA en même temps que du jugement de première instance, A._ était tenue d'exercer son droit d'être entendue dans son mémoire d'appel. Dès lors qu'elle se limitait, dans ses écritures, à se plaindre de la violation de son droit d'être entendue sans exposer les allégués de fait et les arguments de droit qu'elle s'estimait avoir été empêchée d'invoquer en première instance, elle ne se conformait pas au principe de la bonne foi en procédure. Pour ces motifs, le grief de violation du droit d'être entendu a été rejeté.
Enfin, la Cour de justice a relevé que l'appel aurait également pu être déclaré irrecevable. En effet, dès lors que le vice dont l'appelante se prévalait était, en principe, de nature à pouvoir être réparé en appel, il lui appartenait de formuler des conclusions au fond dans le cadre de son appel - ce qu'elle n'avait pas fait -, afin de permettre à la Cour de justice de statuer en réforme.
4.
La recourante se plaint de la violation de son droit d'être entendue et de constatation manifestement inexacte des faits, ajoutant que l'arrêt entrepris est entaché d'arbitraire. Elle fait valoir que la Cour de justice a considéré à tort que la violation de son droit d'être entendue commise par le premier juge pouvait être réparée en appel.
En particulier, elle expose que la réparation d'une telle violation, qui est de nature formelle, doit rester l'exception, et rappelle que le droit d'être entendu garantit notamment le droit de se déterminer sur toutes les écritures présentées au tribunal, que celles-ci contiennent ou non de nouveaux éléments de fait ou de droit. En retenant qu'il n'y aurait pas de violation du droit à la réplique lorsque les observations non communiquées ne contiennent aucun élément nouveau ou pertinent pour l'affaire, la cour cantonale violerait son droit d'être entendue. A titre superfétatoire, la recourante explique qu'il est manifestement erroné de retenir que les notes de plaidoiries finales de l'ODA, qui comportaient 14 pages, ne contenaient aucun élément nouveau ou pertinent. A titre d'exemple, elle indique que dans ce document, l'ODA prétend que la Justice de paix a considéré que son client, M. E._, était confronté à un conflit objectif d'intérêts, fait qui aurait été confirmé par la Cour de justice puis par le Tribunal fédéral, et que c'est à juste titre que Me B._ a considéré qu'elle se trouvait elle-même dans une situation de conflit d'intérêts et qu'il l'a sommée de cesser d'occuper (plaidoirie de l'ODA, p. 3 ch. 7 à 10). Or, selon elle, tant le Juge de paix que la Cour de justice et le Tribunal fédéral ont en réalité constaté qu'en sa qualité de conseil dans le cadre de la procédure successorale, elle n'était pas confrontée à un conflit d'intérêts. D'autre part, elle indique que dans ses déterminations, l'ODA a mentionné des faits en contradiction avec les pièces du dossier, tout en alléguant faussement qu'elle les avait admis, ce qu'elle aurait dûment contesté, pièces à l'appui, si elle avait pu répliquer. Elle cite, notamment et en substance, le fait qu'elle se serait trouvée dans une situation de conflit d'intérêts et qu'elle aurait porté plainte à la Commission du Barreau contre Me B._ et Me C._. Elle affirme n'avoir déposé " aucune plainte disciplinaire ou autre à l'encontre de Me B._ ". En réalité, une plainte aurait été déposée par Me B._ et c'est dans ce contexte qu'elle aurait été invitée par la Commission du Barreau à présenter ses observations. Elle ajoute que la cour cantonale reprend dans sa partie "en fait " (arrêt entrepris, p. 2 let. B.a) ces faits allégués faussement par l'ODA dans ses plaidoiries finales, de sorte qu'il est manifestement erroné de dire que ces éléments n'ont pas eu d'influence sur l'issue du litige. Enfin, la recourante explique que par son comportement, la Cour de justice prive les justiciables d'un degré de juridiction.
5.
Une violation du droit d'être entendu qui n'est pas particulièrement grave peut être exceptionnellement réparée devant l'autorité de recours lorsque l'intéressé jouit de la possibilité de s'exprimer librement devant une telle autorité disposant du même pouvoir d'examen que l'autorité précédente sur les questions qui demeurent litigieuses (<ref-ruling> consid. 5.1.2; <ref-ruling> consid. 2.2; arrêt 5A_897/2015 du 1er février 2016 consid. 3.2.2), et qu'il n'en résulte aucun préjudice pour le justiciable (<ref-ruling> consid. 5.1.2 a contrario). A ces conditions, même si la violation du droit d'être entendu est grave, une réparation de ce vice procédural devant l'autorité de recours est également envisageable si le renvoi à l'autorité inférieure constituerait une vaine formalité. L'allongement inutile de la procédure qui en découlerait est en effet incompatible avec l'intérêt de la partie concernée à ce que sa cause soit tranchée dans un délai raisonnable (<ref-ruling> consid. 2.3.2 et les références; arrêts 5A_897/2015 du 1er février 2016 consid. 3.2.1; 5A_296/2013 du 9 juillet 2013 consid. 3.1).
6.
Il convient tout d'abord de se pencher sur le refus du premier juge de prendre en considération la réplique spontanée écrite de la recourante, refus dont la Cour de justice a considéré qu'il s'agissait d'une violation du droit d'être entendu qui pouvait être réparée en appel.
Il ressort de l'arrêt querellé que, s'il est vrai que ce document a été déclaré irrecevable par l'autorité de première instance, la recourante a cependant pu se déterminer sur les allégués de fait de l'intimé lors de l'audience de débats d'instruction puis dans ses écritures finales, dans lesquelles elle a aussi eu la possibilité de se prononcer sur les arguments de droit développés par l'ODA. En outre, lors de l'audience de débats d'instruction, elle a expressément indiqué qu'elle n'avait pas d'autres allégations à formuler. Dans ces conditions, il ne saurait être question d'une violation de son droit d'être entendue, dont il convient de rappeler qu'il ne confère pas le droit de s'exprimer par écrit plutôt que par oral, seul étant déterminant le fait que le justiciable ait eu la possibilité de s'expliquer (cf. <ref-ruling> consid. 5.3 p. 148; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 428 ss et la jurisprudence citée).
7.
Quant au point de savoir si, en l'occurrence en présence d'une renonciation aux plaidoiries orales, le fait que la recourante n'a pas pu s'exprimer sur la plaidoirie finale de l'ODA avant que le premier jugement ne soit rendu constitue une violation de son droit à la réplique, il peut demeurer indécis. En effet, le droit inconditionnel de répliquer ne la dispensait de toute manière pas d'exposer, de manière suffisante au plan procédural, en quoi, à son avis, la plaidoirie précitée contenait des éléments déterminants qui appelaient des observations de sa part (dans ce sens, cf. arrêt 4A_213/2015 du 31 août 2015 consid. 2.1.2 in fine; sur les exigences de motivation de l'appel, cf. arrêts 5A_438/2012 du 27 août 2012 consid. 2.2 et 2.4; 4A_659/2011 du 7 décembre 2011 consid. 3). Or, la recourante ne prétend pas avoir expliqué, dans son appel, quels éléments déterminants elle aurait voulu évoquer ni, a fortiori, pour quel motif la violation alléguée serait grave (cf. à ce sujet supra consid. 5), ni pourquoi un renvoi de la cause en première instance ne risquerait pas, en l'espèce, de conduire à une vaine formalitéet de prolonger inutilement la procédure (sur ces éléments, cf. supra consid. 5), explications qu'elle ne fournit que dans le cadre de son recours au Tribunal fédéral. A la lecture de son appel du 24 mai 2017, de même que dans sa réplique du 5 septembre 2017, force est de constater que la recourante s'est limitée à affirmer qu'au vu de la nature formelle du droit d'être entendu, il y avait lieu de renvoyer la cause en première instance pour nouvelle décision. Son appel étant insuffisamment motivé, c'est à bon droit que la Cour de justice l'a rejeté.
8.
En conclusion, le recours est rejeté, aux frais de la recourante (<ref-law>), qui versera en outre à l'intimé une indemnité de dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Une indemnité de 2'000 fr., à verser à l'intimé à titre de dépens, est mise à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal de première instance du canton de Genève et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 14 septembre 2018
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : von Werdt
La Greffière : Dolivo