Faits :
A.
A la suite d'une plainte pénale déposée par le Service cantonal d'avance et de recouvrement (ci-après: SCARPA), le Ministère public de la République et canton de Genève a, par ordonnance pénale du 21 avril 2020, reconnu A._ coupable de l'infraction de violation d'une obligation d'entretien pour avoir omis, entre mars 2019 et janvier 2020, de verser la pension alimentaire qu'il devait à son enfant. Le Ministère public l'a condamné à une peine pécuniaire de 60 jours-amende à 30 fr. le jour.
Sur opposition de A._, le Ministère public a, en date du 27 mai 2020, maintenu son ordonnance pénale et transmis la cause au Tribunal de police. À l'issue des débats tenus le 4 février 2021, le Tribunal de police a confirmé la culpabilité de A._, réduit le montant du jour-amende à 20 fr. et accordé le sursis.
B.
Le lendemain, soit le 5 février 2021, A._ a fait parvenir au Ministère public, qui l'a transmise au Tribunal de police le 10 suivant, une demande de désignation d'un défenseur d'office, invoquant comme motif un appel contre ce jugement.
Par pli déposé le 16 février 2021 auprès du Tribunal de police, A._, agissant par l'intermédiaire de Me Cédric Kurth, a formellement annoncé faire appel dudit jugement.
Le Tribunal de police a, par ordonnance du 17 février 2021, refusé d'ordonner une défense d'office. Il a considéré que les conditions d'une telle défense n'étaient pas réalisée sous l'angle des art. 132 al. 2 et al. 3 CPP, dans la mesure où la cause ne présentait pas de difficultés particulières juridiques et factuelles et où la peine encourue permettait de considérer que l'affaire était de peu de gravité, étant rappelé qu'en première instance, la peine prononcée se situait bien en dessous de la limite des 120 jours-amende visée à l'art. 132 al. 3 in fine CPP et que la peine à laquelle A._ était exposé, en cas de confirmation du verdict de culpabilité, serait de toute évidence du même ordre.
Par acte du 25 février 2021, A._ a personnellement recouru auprès de la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève contre l'ordonnance du Tribunal de police du 17 février 2021.
Le 29 mars 2021, le Tribunal de police a transmis son jugement motivé, ainsi que l'annonce d'appel, à la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice.
Par lettre du 1 er avril 2021, A._ a communiqué personnellement ce jugement à la Chambre pénale de recours, affirmant être incapable d'en comprendre les considérants et de déposer un appel sans le secours d'un avocat.
C.
Le 16 avril 2021, Me Cédric Kurth a demandé à la Chambre pénale d'appel et de révision de lui confirmer que A._ s'était vu octroyer l'assistance juridique, le cas échéant à titre provisoire, pour l'appel qu'il souhaitait déposer.
Par prononcé du 19 avril 2021, le Président de la Chambre pénale d'appel et de révision a refusé de mettre A._ au bénéfice d'une défense d'office.
Par acte du 17 mai 2021, A._ forme auprès du Tribunal fédéral un recours en matière pénale à l'encontre du prononcé du 19 avril 2021, assorti d'une requête de mesures provisionnelles. Le recourant conclut entre autres à l'annulation de ce prononcé, à la constatation d'un déni de justice par la Chambre pénale de recours, ainsi qu'à la constatation de violations du principe de la bonne foi par les deux Chambres précitées de la Cour de justice et par le Tribunal de police. A titre subsidiaire, il demande le renvoi de la cause à la Cour de justice pour qu'elle rende une décision au sens des considérants s'agissant du recours déposé auprès de la Chambre pénale de recours le 25 février 2021. Le Tribunal fédéral a enregistré le recours contre le prononcé de la Chambre pénale d'appel et de révision sous la référence 1B_252/2021 et le recours pour déni de justice de la part de la Chambre pénale de recours sous la référence 1B_289/2021. Le recourant sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire pour les procédures devant le Tribunal fédéral.
Par ordonnance du 27 mai 2011, le Juge présidant de la Ire Cour de droit public du Tribunal fédéral a admis la requête de mesures provisionnelles et a ainsi suspendu le délai de 20 jours ordonné le 11 mai 2021 par la Chambre pénale d'appel et de révision pour produire un mémoire d'appel motivé.
D.
Par arrêt du 18 mai 2021, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice a déclaré sans objet le recours du 25 février 2021 déposé par A._ contre l'ordonnance du 17 février 2021, a rayé la cause du rôle et a laissé les frais de la procédure de recours à la charge de l'Etat. Elle a constaté que la Chambre pénale d'appel et de révision était désormais saisie de la cause et a considéré que le recours précité avait perdu son objet dès lors que le Président de cette chambre avait statué le 19 avril 2021 sur la demande présentée par A._. Ce dernier - qui demandait une défense d'office précisément dans l'optique de l'appel qu'il annonçait - avait reçu une réponse de l'autorité devenue compétente pour en connaître.
Par acte du 18 juin 2021 (cause 1B_345/2021), A._ forme un recours en matière pénale par lequel il demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt de la Chambre pénale de recours du 18 mai 2021 et de lui octroyer l'assistance judiciaire pour sa défense en qualité de prévenu, appelant, dans la procédure P/20236/2019. A titre subsidiaire, il demande le renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvelle décision. Le recourant sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
E.
Invités à se déterminer au sujet du mémoire de recours déposé le 17 mai 2021 par le recourant (causes 1B_289/2021 et 1B_252/2021), la Chambre pénale d'appel et de révision s'est référée à son prononcé du 19 avril 2021, aux termes de ses observations datées du 25 mai 2021; elle a également précisé, le 4 juin 2021, que conformément à la volonté du recourant, des débats d'appel seraient ordonnés en temps voulu. La Chambre pénale de recours ne s'est pas déterminée. Le Ministère public a, quant à lui, conclu au rejet du recours. Le recourant a répliqué.
Invitée à se déterminer au sujet du mémoire de recours déposé le 18 juin 2021 (cause 1B_345/2021), la Chambre pénale de recours s'est référée à son arrêt du 18 mai 2021 et le Ministère public a conclu au rejet du recours.

Considérant en droit :
1.
Si les recours déposés par le prévenu dans les causes 1B_252/2021 et 1B_345/2021 sont dirigés contre deux décisions différentes du Président de la Chambre pénale d'appel et de révision, respectivement de la Chambre pénale de recours, ces décisions traitent cependant toutes deux de la demande d'assistance judiciaire déposée par le recourant pour former un appel dans la procédure pénale litigieuse. Quant à la cause 1B_289/2021 ayant pour objet un recours pour déni de justice à l'encontre de la Chambre pénale de recours, elle est intimement liée à la cause 1B_345/2021 ayant trait à un arrêt de cette autorité qui rend sans objet ledit recours pour déni de justice (cf. ci-dessous consid. 2.4); ce recours pour déni de justice est par ailleurs formé dans la même écriture que celui formé dans la cause 1B_252/2021. Partant, il y a lieu de joindre ces trois causes et, par économie de procédure, de les traiter dans un seul arrêt (art. 24 PCF [RS 273], applicable par renvoi de l'art. 71 LTF).
2.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis.
2.1. Conformément à l'art. 78 LTF, une décision relative à la défense d'office dans une cause pénale peut faire l'objet d'un recours en matière pénale. Le refus de désigner un avocat d'office au prévenu est susceptible de lui causer un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF, de sorte qu'il peut faire l'objet d'un recours immédiat au Tribunal fédéral, malgré son caractère de décision incidente (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 4). Le recourant, prévenu et auteur de la demande de désignation d'un défenseur d'office, a qualité pour recourir (art. 81 al. 1 LTF).
2.2. Le recours du 17 mai 2021 en tant qu'il est dirigé contre le prononcé de refus de nomination d'un avocat d'office rendu le 19 avril 2021 par le Président de la Chambre pénale d'appel et de révision (cause 1B_252/2021), en dernière instance cantonale (art. 80 LTF), est recevable, sous réserve des conclusions nos 6 à 10 (portant en particulier sur des requêtes en constatation de violations du principe de la bonne foi) qui ne font pas partie du présent contentieux judiciaire et qui, de surcroît, reposent sur des faits qui ne ressortent pas de la décision entreprise, sans qu'il soit établi qu'ils auraient été arbitrairement omis ou seraient déterminants pour le présent litige (cf. consid. 3 ci-dessous).
2.3. Le recours du 18 juin 2021 formé contre l'arrêt de radiation du rôle rendu le 18 mai 2021 par la Chambre pénale de recours (cause 1B_345/2021), en dernière instance (art. 80 LTF), est recevable, le recourant ne pouvant toutefois conclure dans ce cadre qu'au renvoi de la cause à la Chambre pénale de recours afin qu'elle statue sur le fond (cf. <ref-ruling> consid. 4). Il s'ensuit que la conclusion principale du recourant tendant à ce que le Tribunal fédéral se prononce lui-même sur le fond de l'affaire, en lui octroyant l'assistance judiciaire pénale cantonale pour sa défense dans la procédure P/20236/2019, est irrecevable.
2.4. Le recours du 17 mai 2021 en tant qu'il a trait au déni de justice (cause 1B_289/2021) est recevable; il est cependant devenu sans objet, dès lors que la Chambre pénale de recours s'est prononcée, par arrêt de radiation du 18 mai 2021, sur le recours formé par le recourant à l'encontre de l'ordonnance du 17 février 2021 du Tribunal de police (cf. arrêts 2C_6/2020 du 22 janvier 2020 consid. 2.2; 2C_1014/2013 du 22 août 2014 consid. 7.1 in fine; 8C_698/2012 du 12 décembre 2012 consid. 1).
3.
Conformément à l'art. 42 al. 1 LTF, le mémoire de recours doit être motivé. A teneur de l'art. 42 al. 2 LTF, les motifs doivent exposer succinctement en quoi la décision attaquée viole le droit. Selon la jurisprudence, pour répondre à cette exigence, la partie recourante est tenue de discuter au moins sommairement les considérants de l'arrêt entrepris (<ref-ruling> consid. 2); en particulier, la motivation doit être topique, c'est-à-dire se rapporter à la question juridique tranchée par l'autorité cantonale (<ref-ruling>). Par ailleurs, le Tribunal fédéral est lié par les constatations de fait de la décision entreprise (art. 105 al. 1 LTF), sous les réserves découlant des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, soit pour l'essentiel de l'arbitraire dans la constatation des faits. Il n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce moyen est invoqué et motivé par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de manière claire et détaillée. Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 2.4).
4.
Dans le prononcé attaqué du 19 avril 2021, le Président de la Chambre pénale d'appel et de révision a considéré que l'assistance judiciaire ne pouvait être accordée au recourant, qui n'en remplissait pas les conditions. Il a relevé que, s'il pouvait certes remplir les critères de l'indigence, il y avait lieu de se référer à l'ordonnance de refus de nomination d'avocat d'office rendue le 17 février 2021 par le Tribunal de police. Il a retenu que ladite ordonnance n'avait pas été contestée par-devant la Chambre pénale de recours, que la situation du recourant n'avait apparemment pas évolué depuis lors et qu'il n'y avait aucun fait nouveau autorisant de réapprécier la situation depuis ladite ordonnance.
Dans son arrêt du 18 mai 2021, la Chambre pénale de recours a, quant à elle, déclaré sans objet le recours du 25 février 2021 dirigé contre l'ordonnance du 17 février 2021 du Tribunal de police et a rayé la cause du rôle. Elle a estimé que pouvait rester indécise la question de savoir si le recours au sens de l'art. 393 al. 1 let. b CPP était ouvert contre une décision prise par le Tribunal de première instance postérieurement à son jugement. En effet, si le Tribunal de police conservait la direction de la procédure jusqu'à ce qu'un jugement motivé soit rédigé et que l'annonce d'appel et le dossier soient transmis à la juridiction d'appel (art. 399 al. 2 CPP), il était de fait, en l'espèce, que la Chambre pénale d'appel et de révision - juridiction d'appel - était désormais saisie de la cause. Or, la direction de la procédure avait statué le 19 avril 2021 sur la demande présentée par le recourant. Ce dernier - qui demandait une défense d'office précisément dans l'optique de l'appel qu'il annonçait - avait reçu une réponse de l'autorité devenue compétente pour en connaître (cf. art. 133 al. 1 CPP). Selon la cour cantonale, le recours, eût-il été recevable, avait perdu son objet.
5.
Dans la partie intitulée " Faits " de son acte de recours du 17 mai 2021, mais également dan s celui du 18 juin 2021, le recourant présente son propre exposé des faits. Dans la mesure où le recourant s'écarte des faits établis dans les décisions attaquées ou les complète, sans indiquer, respectivement démontrer que ceux-ci seraient manifestement inexacts ou arbitraires, il ne formule aucun grief recevable au regard des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF (consid. 3 ci-dessus). Il n'y a dès lors pas lieu de prendre en considération d'autres faits que ceux retenus dans lesdites décisions. Les critiques qui se fondent sur des faits non établis sont irrecevables.
En tant que le recours du 17 mai 2021 est dirigé contre les motifs de l'ordonnance du Tribunal de police, il est irrecevable; il en va ainsi également des motifs invoqués en lien avec les conclusions déclarées irrecevables (cf. consid. 2.2 ci-dessus). On peine à trouver, dans cette écriture du 17 mai 2021 de plus de 18 pages, une argumentation qui satisfasse aux exigences de motivation précitées de l'art. 42 LTF.
Cela étant, dans une brève critique, le recourant fait grief à l'instance précédente d'avoir retenu à tort que l'ordonnance de refus de nomination d'avocat d'office du Tribunal de police n'avait pas été contestée par-devant la Chambre pénale de recours. Cette critique est fondée dès lors que le Président de la Chambre pénale d'appel et de révision a ignoré qu'un recours avait été déposé à l'encontre de l'ordonnance du Tribunal de police et a donc à tort considéré qu'il convenait de se référer à dite ordonnance qui n'avait pas été attaquée. Considérant que cette ordonnance était entrée force, la direction de la juridiction d'appel a estimé en substance que le recourant devait faire valoir une évolution de sa situation, respectivement un fait nouveau déterminant pour déposer une nouvelle demande d'assistance judiciaire. Dans la mesure où cette décision repose sur la prémisse erronée que l'ordonnance du Tribunal de police était entrée en force, elle doit être annulée. La cause est renvoyé à la juridiction d'appel pour qu'elle statue, indépendamment de la décision du Tribunal de police, sur la demande initiale d'assistance judiciaire formulée (le 5 février 2021) en vue de la procédure d'appel, par une décision suffisamment motivée en fait et en droit. La question de savoir si le Tribunal de police pouvait en l'espèce statuer d'emblée sur la question de l'assistance judiciaire en vue de l'appel peut rester indécise, dès lors que la juridiction d'appel, désormais direction de la procédure (art. 399 al. 2 CPP; cf. arrêt 1B_250/2014 du 4 août 2014 consid. 2.1), est compétente pour statuer sur une demande d'assistance judiciaire au stade de la procédure d'appel (art. 133 al. 1 CPP).
Vu que la direction de la juridiction d'appel s'était saisie de la demande d'assistance judiciaire et avait statué à son sujet dans le cadre de ses compétences, la Chambre pénale de recours pouvait déclarer la procédure introduite auprès d'elle sans objet, indépendamment de la question de savoir si la décision de la juridiction d'appel était correcte. Dès lors, le recours déposé par le recourant à l'encontre de l'arrêt de la Chambre pénale de recours est mal fondé.
6.
En conclusion, le recours dans la cause 1B_252/2021 à l'encontre du prononcé du 19 avril 2021 doit être admis. Ce prononcé est annulé et la cause renvoyée à la Chambre pénale d'appel et de révision pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Quant au recours formé dans la cause 1B_345/2021, il est mal fondé et doit être rejeté. Enfin, le recours formé dans la cause 1B_289/2021 est devenu sans objet et la cause doit être rayée du rôle, comme exposé précédemment (cf. consid. 2.4). Par ailleurs, la Chambre pénale d'appel et de révision fixera un nouveau délai au recourant pour produire un mémoire d'appel motivé.
Dans la mesure où le recourant a requis l'assistance judiciaire pour les procédures fédérales, cette requête est devenue sans objet, vu ce qui précède, pour la cause 1B_252/2021. Le recourant peut, dans cette mesure, prétendre à une indemnité de dépens à la charge du canton de Genève. La requête d'assistance judiciaire est en revanche rejetée en ce qui concerne les causes 1B_289/2021 et 1B_345/2021, faute de chance de succès du recours (cf. art. 64 al. 1 LTF). En effet, s'agissant en particulier du recours pour déni de justice, force est de constater que le recourant n'a pas démontré avoir entrepris des démarches auprès de la Chambre pénale de recours afin qu'elle accélère la procédure et statue sur son recours du 25 février 2021; or, il est contraire au principe de la bonne foi qu'un justiciable puisse valablement se plaindre d'un déni de justice devant l'autorité de recours, alors qu'il n'a entrepris aucune démarche auprès de l'autorité précédente afin de remédier à la situation (cf. <ref-ruling> consid. 2b/aa; arrêts 1B_309/2021 du 3 septembre 2021 consid. 4 et 2C_1014/2013 du 22 août 2014 consid. 7.1 non publié in <ref-ruling>). Pour le surplus, le présent arrêt sera rendu sans frais (art. 66 al. 1 et 4 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 1B_289/2021, 1B_252/2021 et 1B_345/2021 sont jointes.
2.
Le recours formé le 17 mai 2021 à l'encontre du prononcé du 19 avril 2021 du Président de la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice de la République et canton de Genève est admis (cause 1B_252/2021). Ce prononcé est annulé et la cause est renvoyée à la Chambre pénale d'appel et de révision pour qu'elle rende une nouvelle décision au sens des considérants.
3.
Le recours formé le 17 mai 2021 pour déni de justice est devenu sans objet et la cause 1B_289/2021 est rayée du rôle.
4.
Le recours formé le 18 juin 2021 à l'encontre de l'arrêt du 18 mai 2021 de la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève est rejeté (cause 1B_345/2021).
5.
Une indemnité de 1'500 fr., à payer au recourant à titre de dépens, est mise à la charge du canton de Genève.
6.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
7.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Ministère public de la République et canton de Genève, au Président de la Chambre pénale d'appel et de révision ainsi qu'à la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 28 septembre 2021
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le juge présidant : Chaix
La Greffière : Arn