Sachverhalt:
A.
Mit Eingabe vom 16. Januar 2019 ersuchte B._ beim Bezirksgericht Zürich um Erteilung der definitiven Rechtsöffnung in der gegen A._ eingeleiteten Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Zürich 7 über den Betrag von Fr. 3'748.-- nebst Zins und Kosten. Gestützt auf ein schwedisches Gerichtsurteil (Urteil des Amtsgerichts Södertälje vom 21. Dezember 2015) in Betreibung gesetzt wurden Kinderunterhaltsbeiträge für den gemeinsamen Sohn C._ (Jahrgang 2002) betreffend die Zeitspanne vom 1. Dezember 2016 bis 30. November 2018. Mit Urteil vom 13. August 2019 erteilte das Bezirksgericht definitive Rechtsöffnung über den Betrag von Fr. 3'748.--. Im Mehrumfang wurde das Begehren abgewiesen.
B.
Mit Urteil vom 22. November 2019 wies das Obergericht des Kantons Zürich die von A._ dagegen erhobene Beschwerde ab.
C.
A._ ist mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 13. Januar 2020 an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt im Wesentlichen, der obergerichtliche Entscheid sei aufzuheben und das Rechtsöffnungsgesuch von B._ (Beschwerdegegnerin) abzuweisen.
Die Gesuche des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung bzw. vorsorgliche Massnahmen wurden mit Verfügungen vom 15. Januar 2020 bzw. 17. Februar 2020 abgewiesen.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Da in der vorliegenden vermögensrechtlichen Zwangsvollstreckungssache (Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG) der Streitwert von Fr. 30'000.-- nicht erreicht ist (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG), kann der obergerichtliche Entscheid nur mit Beschwerde in Zivilsachen angefochten werden, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG). Dabei hat die beschwerdeführende Partei zu begründen, inwiefern diese Voraussetzung erfüllt ist (Art. 42 Abs. 2 Satz 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.6). Der Beschwerdeführer macht zwar geltend, es stellten sich sechs Grundsatzfragen mit Bezug zum SchKG. Er zeigt jedoch nicht auf, inwiefern dies zutreffen sollte. So behauptet er weder, dass die von ihm aufgeworfenen Fragen umstritten sein sollen, noch dass ein allgemeines und dringendes Interesse bestehe, diese höchstrichterlich zu klären, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (vgl. <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.1). Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist somit nicht einzutreten. Offen steht damit die eventuell erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 BGG), sofern die Eingabe die Begründungsanforderungen dieses Rechtsmittels erfüllt.
1.2. Mangels schutzwürdigen Interesses unzulässig ist der Antrag, es sei festzustellen, dass die Ordnungsfrist gemäss Art. 84 Abs. 2 SchKG nicht eingehalten wurde, zumal eine Überschreitung der Ordnungsfrist die Gültigkeit des gefällten Rechtsöffnungsentscheids in keiner Weise tangiert (vgl. STAEHELIN, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 62 zu Art. 84 SchKG).
1.3. Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 2.4).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 118 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der angefochtene Entscheid dazu Anlass gibt (Art. 117 i.V.m. Art. 99 Abs. 1 BGG), was in der Beschwerde näher darzulegen ist (<ref-ruling> E. 3). Der vorinstanzliche Verfahrensausgang allein bildet noch keinen hinreichenden Anlass im Sinne von Art. 99 Abs. 1 BGG für die Zulässigkeit von unechten Noven, die bereits im kantonalen Verfahren ohne Weiteres hätten vorgebracht werden können (<ref-ruling> E. 1.2).
2.
Die Vorinstanz hat zusammengefasst erwogen, die vorliegend vorfrageweise zu beurteilende Vollstreckbarkeit des schwedischen Urteils richte sich nach dem Haager Übereinkommen vom 2. Oktober 1973 über die Anerkennung und Vollstreckung von Unterhaltsentscheidungen (SR 0.211.213.02; UVÜ). Der Beschwerdeführer habe es pflichtwidrig unterlassen, darzutun, dass eine fehlende Unterschrift des mitwirkenden Richters nach schwedischem Recht bzw. nach dessen einschlägiger Lehre und Rechtspraxis zur Ungültigkeit des Entscheids führe. Weitere Hinweise, wonach es sich beim schwedischen Urteil lediglich um einen Entwurf handeln sollte oder dieses Urteil ungültig sein könnte, seien keine ersichtlich. Es sei daher davon auszugehen, dass es sich dabei in formeller Hinsicht um eine Entscheidung im Sinne von Art. 1 UVÜ handle. Die Beschwerdegegnerin habe das schwedische Urteil lediglich in unbeglaubigter Kopie eingereicht. Auf der eingereichten Kopie des Urteils seien indes zwei Stempel betreffend die Rechtskraftbescheinigung und die Bescheinigung der Übereinstimmung der Kopie mit dem Original mitkopiert worden, welche beide von D._, Rezeptionistin, unterzeichnet wurden. Dies genüge, zumal der Beschwerdeführer nicht geltend gemacht habe, die Urkunden seien gefälscht, und auch keine entsprechenden Verdachtsgründe ersichtlich seien. Der Beschwerdeführer habe auch nicht bestritten, dass die eingereichte Kopie dem Original entspreche, welches er für ungültig erachte. Es liege damit eine ausreichende Ausfertigung der Entscheidung im Sinne von Art. 17 Abs. 1 Ziff. 1 UVÜ vor. Die Vollstreckbarkeitsvoraussetzung der (indirekten) Zuständigkeit des schwedischen Amtsgerichts Södertälje sei zu bejahen, weil der gemeinsame Sohn der Parteien im Herbst 2013, als die Klage eingeleitet wurde, bei der Gesuchstellerin in Schweden gelebt habe. Ein Versäumnisurteil (Art. 6 UVÜ) liege nicht vor, weil der Beschwerdeführer an der Hauptverhandlung vom 19. November 2015 in Schweden anwesend gewesen sei. Allfällige Verweigerungsgründe gemäss Art. 5 Ziff. 1 bis 4 UVÜ seien nicht ersichtlich. Die Ausführungen des Beschwerdeführers betreffend eine angebliche Verletzung schwedischen Rechts seien aufgrund von Art. 12 UVÜ unbeachtlich. Die Beschwerdegegnerin könne die Unterhaltsbeiträge für ihren noch minderjährigen Sohn in ihrem eigenen Namen eintreiben und sei daher befugt, persönlich als Partei aufzutreten. Weil die Forderung durch den Titel betragsmässig ausgewiesen sei, habe das Bezirksgericht der Gesuchstellerin zu Recht definitive Rechtsöffnung erteilt.
3.
Das Lugano-Übereinkommen lässt zwar die Wirksamkeit des UVÜ als speziellere Konvention unberührt (Art. 67 Ziff. 5 LugÜ), jedoch schliesst Art. 23 UVÜ die Anwendung anerkennungsfreundlicherer internationaler Verträge nicht aus (siehe z.B. ANDRAE, Internationales Familienrecht, 4. Aufl. 2019, S. 737 f. Rz. 203 f. sowie betreffend das Verhältnis des UVÜ zum LugÜ 1988 SCHWANDER, Anerkennung und Vollstreckbarerklärung ausländischer Scheidungsurteile, FamPra.ch 2009 S. 849). Vorliegend wird die Anwendbarkeit des UVÜ vom Beschwerdeführer nicht beanstandet, weshalb auf das Verhältnis von UVÜ und LugÜ nicht näher einzugehen ist.
4.
Anlass zur Beschwerde gibt die definitive Rechtsöffnung aufgrund eines schwedischen Unterhaltsentscheids, den die Vorinstanzen vorfrageweise unter Anwendung des Haager Unterhaltsvollstreckungsübereinkommens von 1973 für vollstreckbar erklärt haben.
4.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, die vorinstanzliche Begründung, wonach er nicht nur hätte nachweisen müssen, dass schwedische Zivilurteile von den an der Entscheidung beteiligten Richtern zu unterzeichnen sind, sondern auch anhand der einschlägigen ausländischen Lehre und Rechtsprechung die Tragweite einer vorschriftswidrig fehlenden Unterschrift hätte aufzeigen müssen, erweise sich als willkürlich. Es sei offensichtlich, dass es sich beim eingereichten Urteil mangels Unterschrift des mitwirkenden Richters gar nicht um eine Entscheidung im Sinne von Art. 1 UVÜ handeln könne.
4.1.1. Willkürlich ist ein Entscheid nach konstanter Praxis nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint. Willkür in der Rechtsanwendung liegt nur vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft; dabei ist erforderlich, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen). Entsprechendes gilt auch für die Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung (<ref-ruling> E. 2.3).
4.1.2. Gemäss der vom Beschwerdeführer bereits im erstinstanzlichen Verfahren ins Feld geführten Vorschrift von Kapitel 17 § 10 der schwedischen Prozessordnung vom 18. Juli 1942 [ (Rättegångsbalk; schwedisches Gesetzblatt 1942:740], sind Urteile besonders aufzusetzen und von den rechtskundigen Richtern zu unterschreiben, die an der Entscheidung beteiligt waren. Es kann offenbleiben, ob die Vorinstanz vom Beschwerdeführer als Schuldner willkürfrei verlangen durfte, anhand der Lehre und Rechtsprechung zum schwedischen Recht ausserdem aufzuzeigen, dass vom Richter vorschriftswidrig nicht unterzeichnete schwedische Zivilurteile nichtig sind, da aus nachfolgenden Gründen davon auszugehen ist, dass die vom Beschwerdeführer zitierte Vorschrift beachtet wurde.
4.1.3. Die Beschwerdegegnerin hat ihrem Rechtsöffnungsgesuch in Kopie die nachträgliche Ausfertigung eines Duplikats beigelegt mit der Bestätigung des Amtsgerichts Södertälje, dass die Kopie mit dem Original übereinstimmt. Es trifft zwar zu, dass sich auf dem Duplikat keine photokopierte Unterschrift des in der Sache zuständigen Berufsrichters befindet. Zumal das Amtsgericht Södertälje gleichzeitig auch die Rechtskraft bescheinigt hat, kann aus diesem Umstand indes nicht ohne Weiteres geschlossen werden, dass die Urschrift vom zuständigen Richter nicht unterzeichnet wurde. Vor Bundesgericht reicht der Beschwerdeführer nun den Ausdruck eines vom gemeinsamen Sohn aufgenommenen Fotos der letzten Seite der der Beschwerdegegnerin zugestellten Kopie des schwedischen Urteils ein, auf welcher sich über dem dort aufgeführten Namen des mitwirkenden Richters E._ allem Anschein nach dessen Unterschrift befindet. Das ausdrückliche Zugeständnis des Vorhandenseins einer Unterschrift ist zulässig und der Beschwerdeführer darauf zu behaften (<ref-ruling> E. 7.3.2 mit Hinweis). Soweit der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang gleichzeitig moniert, dass sich auf dem der Beschwerdegegnerin zugestellten Exemplar keine Originalunterschrift des Richters befindet, erweckt dieser Umstand keine Bedenken, ist doch die vom Beschwerdeführer angeführte Vorschrift in Verbindung mit dem vorstehenden § 9 des 17. Kapitels der schwedischen Prozessordnung und der dazugehörigen Verordnung zu lesen. Aus Kapitel 17 § 10 der schwedischen Prozessordnung lässt sich keineswegs entnehmen, dass den Parteien ein Exemplar mit der Originalunterschrift des Richters zugestellt werden muss. Die einschlägigen schwedischen Verfahrensvorschriften sehen vielmehr vor, dass bei nicht in der Hauptverhandlung gefällten Urteilen die Information der Parteien über den Ausgang des Verfahrens im Sinne von Kapitel 17 § 9 siebter Absatz der schwedischen Prozessordnung durch Zusendung einer Kopie des Urteils erfolgt, während das vom Richter zu unterzeichnende Original von den Parteien zum angekündigten Zeitpunkt auf der Geschäftsstelle des Gerichts eingesehen werden kann (Kapitel 17 § 9 der schwedischen Prozessordnung vom 18. Juli 1942 in Verbindung mit § 1 der Verordnung 1987:1099 vom 3. Dezember 1987 über die Verpflichtung des Gerichts, die Parteien über den Ausgang von Rechtssachen zu informieren [Förordning om skyldighet för domstol att underrätta parterna om utgången i mål och ärenden]). Diese Art der Urteilsverkündung wurde im vom Beschwerdeführer inklusive Übersetzung eingereichten Protokoll der Hauptverhandlung vom 19. November 2015 denn auch ausdrücklich festgehalten. Selbstredend stellt nach dem Gesagten das vom Beschwerdeführer hervorgehobene Fehlen der (gemäss § 1 der Verordnung 1987:1099 nicht verlangten) Originalunterschrift auf der der Beschwerdegegnerin zugesandten Urteilskopie auch kein Indiz für einen Betrug dar. Die Theorie des Beschwerdeführers, der zuständige Richter habe das als Fehlurteil erkannte Urteil bewusst nicht unterzeichnet, um keine Amtspflichtverletzung zu begehen, weshalb seine Unterschrift wohl von einer anderen Person zwecks Begünstigung der Beschwerdegegnerin gefälscht worden sein müsse, ist offensichtlich rein spekulativ. Dafür bestehen bei objektiver Betrachtung keine Anhaltspunkte. Die Befürchtung des Beschwerdeführers, Opfer eines Betrugs geworden zu sein, scheint im Übrigen auch deshalb nicht nachvollziehbar, weil die Beschwerdegegnerin mit ihrem Rechtsöffnungsgesuch zum Nachweis des Bestands und der Vollstreckbarkeit des Unterhaltstitels ausserdem das vom am Amtsgericht Södertälje tätigen Richter F._ unterzeichnete Formblatt gemäss Anhang V zum LugÜ eingereicht hat, wobei die vom Beschwerdeführer offenbar zunächst in Zweifel gezogene Echtheit der Bescheinigung auf dessen Nachfrage vom ebenfalls am Amtsgericht tätigen Richter G._ noch einmal unterschriftlich bekräftigt wurde (Gesuchsbeilage act. 4/6 und Gesuchsantwortbeilage act. 10/23). Im Ergebnis ist die Vorinstanz somit nicht in Willkür verfallen, wenn sie zum Schluss gelangt ist, das unter der Verfahrensnummer T 2507-13 ergangene schwedische Urteil sei gültig erlassen worden und stelle mithin eine Entscheidung im Sinne von Art. 1 UVÜ dar.
4.2. Art. 17 Abs. 1 Ziff. 1 UVÜ verlangt die Vorlage einer (authentischen) Ausfertigung der vollständigen Entscheidung. Unbestrittenermassen befindet sich auf dem dem Rechtsöffnungsgesuch in Kopie beigelegten Duplikat des schwedischen Urteils neben der Rechts kraftbescheinigung auch eine Bestätigung des Amtsgerichts Södertälje, dass die nachträgliche Ausfertigung mit dem Original übereinstimmt. Der Beschwerdeführer macht geltend, indem die Vorinstanz festgehalten habe, dass eine als Kopie vorgelegte Gerichtsurkunde gar nicht amtlich beglaubigt sein müsse, sei Art. 17 Abs. 1 Ziff. 1 UVÜ unrichtig angewendet worden. Im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde genügt die blosse Geltendmachung einer Verletzung von Völkerrecht indes nicht (Urteil 5A_356/2009 vom 4. August 2009 E. 5, in: Pra 2010 Nr. 10 S. 60). Weil der Beschwerdeführer keine willkürliche (Art. 9 BV) Anwendung von Art. 17 Abs. 1 Ziff. 1 UVÜ rügt, kann auf die Beschwerde in diesem Punkt nicht eingetreten werden.
4.3. Auch die weiteren Vorbringen des Beschwerdeführers genügen den Begründungsanforderungen von Art. 117 i.V.m Art. 106 Abs. 2 BGG nicht. So legt er nicht dar, dass die Vorinstanz bei der Prüfung der indirekten internationalen Zuständigkeit (Art. 4 Abs. 1 Ziff. 1 UVÜ) den Begriff des "gewöhnlichen Aufenthalts" gemäss Art. 7 Ziff. 1 UVÜ willkürlich ausgelegt habe, indem sie nicht auf die im Sommer 2013 im Beisein des Beschwerdeführers erfolgte Anmeldung beim Personenmeldeamt in Zürich, sondern auf den tatsächlichen Mittelpunkt der Lebensführung des gemeinsamen Sohnes im Herbst 2013 abgestellt hat. Auch in den rein appellatorischen und mit unzulässigen Noven angereicherten Ausführungen des Beschwerdeführers zum Vorliegen eines "Lügengebäudes" oder eines "fiktiven Konstrukts" ist keine rechtsgenüglich begründete Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte zu erblicken. Betreffend die im schwedischen Entscheid statuierte Verpflichtung zur Zahlung des Unterhalts für C._ an die Beschwerdegegnerin liegt, wie die Vorinstanz offensichtlich willkürfrei erkannt hat, kein Verstoss gegen den schweizerischen Ordre public (Art. 5 Ziff. 1 UVÜ) vor, statuiert Art. 289 Abs. 1 ZGB doch ausdrücklich, dass während der Minderjährigkeit des Kindes die Unterhaltsforderung durch Zahlung an die gesetzliche Vertretung erfüllt wird. Soweit der Beschwerdeführer schliesslich in diesem Zusammenhang die von ihm angerufene Bestimmung von Kapitel 7 § 2 des schwedischen Elterngesetzbuches (Föräldrabalk; 1949:381) dahingehend interpretiert wissen möchte, dass das Einziehungsrecht im zu vollstreckenden Entscheid nicht der Beschwerdegegnerin hätte zuerkannt werden dürfen, ist nicht ersichtlich, inwiefern das Obergericht mit seinem Hinweis auf Art. 12 UVÜ in Willkür verfallen sein soll, wonach die ausländische Entscheidung grundsätzlich inhaltlich nicht überprüft werden darf.
5.
Insgesamt ist auf die Beschwerde in Zivilsachen nicht einzutreten und die subsidiäre Verfassungsbeschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Gegenpartei ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in Zivilsachen wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. August 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident : Der Gerichtsschreiber:
Herrmann Buss