Sachverhalt:
A.
Am 24. September 2009 reiste die kosovarische Staatsangehörige B.A._ (geb. 1987) im Rahmen des Familiennachzugs zu ihren Eltern in die Schweiz ein und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung. Am 4. Januar 2010 wurde ihr eine Niederlassungsbewilligung ausgestellt. Am 22. Oktober 2010 heiratete sie in ihrem Heimatland den Kosovaren A.A._ (geb. 1978). Aus dieser Beziehung entsprangen die beiden Söhne C.A._ (geb. 2005) und D.A._ (geb. 2010). Während Ersterer bei seinem Vater im Kosovo lebt, hält sich Letzterer bei seiner Mutter in der Schweiz auf. Am 1. August 2011 zog B.A._ vom Kanton Fribourg in den Kanton Luzern.
B.
B.A._ stellte am 10. Juli 2016 für ihren Sohn C.A._ und am 8. März 2017 für ihren Ehemann A.A._ beim Amt für Migration des Kantons Luzern ein Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung im Rahmen des Familiennachzugs. Das Amt für Migration lehnte mit Verfügung vom 21. Februar 2018 beide Gesuche ab. Die dagegen erhobene Verwaltungsbeschwerde wies das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern mit Entscheid vom 29. Oktober 2018 ab. Ebenso blieb die Verwaltungsgerichtsbeschwerde des Sohns C.A._ und des Ehemanns A.A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern ohne Erfolg (Urteil vom 24. April 2019).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 11. Juni 2019 gelangen C.A._ und A.A._ an das Bundesgericht. Sie beantragen die Aufhebung des Urteils vom 24. April 2019. Ihnen sei eine Ermächtigung zur Einreise sowie eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Vorinstanz verzichtet auf eine Vernehmlassung und beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Amt für Migration des Kantons Luzern und das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern sowie das Staatssekretariat für Migration haben sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
Die frist- (<ref-law>) und formgerecht (<ref-law>) eingereichte Eingabe betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>) und richtet sich gegen das kantonal letztinstanzliche (<ref-law>), verfahrensabschliessende (<ref-law>) Urteil eines oberen Gerichts (<ref-law>). Das Rechtsmittel ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig, da vorliegend auf die Erteilung der Aufenthaltsbewilligung im Rahmen des Familiennachzugs grundsätzlich ein Anspruch besteht (<ref-law> i.V.m. <ref-law> [SR 142.20; bis 31. Dezember 2018 und soweit im Folgenden die altrechtliche Fassung massgeblich ist: AuG] bzw. Art. 43 AuG). Ob die Voraussetzungen für die Erteilung der Bewilligung vorliegen, ist indes nicht Gegenstand der Eintretensfrage, sondern der materiellen Beurteilung (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 332; <ref-ruling> E. 1.1 S. 179; Urteil 2C_27/2018 vom 10. September 2018 E. 1.2). Soweit die Beschwerdeführer beantragen, es sei ihnen eine Ermächtigung zur Einreise zu erteilen, beziehen sie sich sinngemäss ebenfalls auf ihr Ersuchen um Erteilung der Aufenthaltsbewilligung. Die Beschwerdeführer sind bereits im kantonalen Verfahren als Partei beteiligt gewesen und dort mit ihren Anträgen nicht durchgedrungen. Ausserdem sind sie durch das angefochtene Urteil in ihren schutzwürdigen Interessen besonders berührt. Sie sind somit zur Erhebung des Rechtsmittels legitimiert (<ref-law>). Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist einzutreten.
2.
Mit der Beschwerde kann namentlich die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), wobei es - unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>) - grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen prüft, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.5 S. 144; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Der Verletzung von Grundrechten und kantonalem Recht geht das Bundesgericht nur nach, falls eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232). Diese qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit nach <ref-law> verlangt, dass in der Beschwerde klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt wird, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 5; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
Seinem Urteil legt das Bundesgericht den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Der festgestellte Sachverhalt kann nur erfolgreich gerügt sowie berichtigt oder ergänzt werden, wenn er offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.6 S. 144 f.; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.). Rügt die beschwerdeführende Partei eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung, haben ihre Vorbringen den Anforderungen von <ref-law> zu genügen (vgl. <ref-ruling> E. 9.2.3.6 S. 96; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255).
3.
Die Vorinstanz stellt zunächst fest, dass sich der Sachverhalt ereignet hat, bevor die neue Fassung des Ausländer- und Integrationsgesetzes am 1. Januar 2019 in Kraft getreten ist. Sie beurteilt die vorliegende Angelegenheit deshalb zu Recht anhand der altrechtlichen Normen des Ausländergesetzes (vgl. E. 2 des angefochtenen Urteils).
3.1. In tatsächlicher Hinsicht stellt die Vorinstanz fest, das Amt für Migration habe der Mutter und Ehefrau der Beschwerdeführer nach ihrem Umzug in den Kanton Luzern vom 1. August 2011 nicht eine eigenständige Niederlassungsbewilligung erteilt, sondern die durch den Kanton Fribourg erteilte Niederlassungsbewilligung unter einer neu auf den Kanton Luzern lautenden Referenznummer registriert. Die laufende Kontrollfrist sei übernommen worden. Im Kanton Fribourg habe die Mutter und Ehefrau der Beschwerdeführer nie ein Gesuch um Familiennachzug gestellt (vgl. 3.4 des angefochtenen Urteils). Am 10. Juli 2016 sei für den beschwerdeführenden Sohn und am 8. März 2017 für den beschwerdeführenden Ehemann ein Familiennachzugsgesuch beim Amt für Migration eingereicht worden (vgl. E. 3.5 des angefochtenen Urteils).
3.2. In rechtlicher Hinsicht vertritt die Vorinstanz die Auffassung, dass die in Art. 47 Abs. 1 AuG vorgesehene gesetzliche Nachzugsfrist unabhängig davon gelte, ob die betroffene Person über eine Niederlassungs- oder Aufenthaltsbewilligung verfüge. Ein Statuswechsel bei der Bewilligung löse keine neue Frist aus, wenn zuvor kein fristgerechtes Gesuch gestellt worden sei. Wenn hingegen ein Gesuch eingereicht und abgelehnt worden sei, könne die betroffene Person nach einer Änderung des ausländerrechtlichen Status erneut ein Familiennachzugsgesuch einreichen. Sowohl das erste als auch das spätere Gesuch müssten indes innerhalb der gesetzlich vorgesehenen Frist eingereicht werden (vgl. E. 3.3 des angefochtenen Urteils). Ein Kantonswechsel habe ebenso keinen Einfluss auf die Nachzugsfrist (vgl. 3.4 des angefochtenen Urteils). Sodann könnten zwar die finanziellen Verhältnisse selbst beim Familiennachzug von Personen mit einer Niederlassungsbewilligung für die Beurteilung der Voraussetzungen im Sinne von Art. 51 Abs. 2 lit. b AuG in Verbindung mit Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG von Belang sein. Keine Rolle spiele indes, ob ein Gesuch um Familiennachzug innerhalb der Nachzugsfrist deshalb chancenlos gewesen wäre und aufgrunddessen nicht eingereicht worden sei. Die gesuchstellende Person sei in jedem Fall dafür verantwortlich, die zeitlichen Voraussetzungen des Familiennachzugs einzuhalten (vgl. E. 3.5 des angefochtenen Urteils).
3.3. In ihrer rechtlichen Würdigung kommt die Vorinstanz zum Schluss, dass die fünfjährige Nachzugsfrist für den beschwerdeführenden Sohn mit der Ausstellung der Niederlassungsbewilligung an seine Mutter am 4. Januar 2010 und für den beschwerdeführenden Ehemann ab dem Tag der Heirat am 22. Oktober 2010 zu laufen begonnen habe. Sowohl das Gesuch für den beschwerdeführenden Sohn vom 10. Juli 2016 als auch jenes für den beschwerdeführenden Ehemann vom 8. März 2017 sei nach Ablauf der Fünfjahresfrist erfolgt (vgl. E. 3.4 des angefochtenen Urteils). Zu prüfen bleibe daher, ob die verspäteten Nachzugsgesuche die Voraussetzungen von Art. 47 Abs. 4 AuG erfüllen würden. Die hierzu erforderlichen wichtigen familiären Gründe würden bei den Beschwerdeführern nicht vorliegen (vgl. E. 4 des angefochtenen Urteils).
4.
Die Beschwerdeführer rügen eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör. Die Vorinstanz begründe ihr Urteil unter anderem damit, dass der beschwerdeführende Vater seinen beschwerdeführenden Sohn ausreichend betreuen könne. Aus ihren Ausführungen und den Beweismitteln in der vorinstanzlichen Verwaltungsgerichtsbeschwerde gehe eindeutig hervor, dass neben der Grossmutter und dem Onkel keine andere Betreuungsmöglichkeit im Kosovo bestehen würden. Diese beiden Personen kämen indes für die Betreuung nicht (mehr) in Frage. Wenn die Vorinstanz in überraschender Weise annehme, der beschwerdeführende Vater sei in der Lage, sämtliche Betreuungsaufgaben zu übernehmen, wäre sie verpflichtet gewesen, den Beschwerdeführern das rechtliche Gehör zu gewähren. Sodann verlange das Übereinkommen über die Rechte des Kindes vom 20. November 1989 (Kinderrechtskonvention, KRK; SR 0.107) eine Anhörung des beschwerdeführenden Sohns.
4.1. Nach <ref-law> haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Dieses Recht ist formeller Natur. Seine Verletzung führt ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels zur Gutheissung der Beschwerde sowie zur Aufhebung des angefochtenen Urteils (vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 17 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 197). Deshalb ist die Rüge vorweg zu behandeln. Das rechtliche Gehör dient einerseits der Sachaufklärung. Anderseits stellt es ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheids dar, welcher in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Dazu gehört insbesondere das Recht des Betroffenen, sich vor Fällung eines solchen Entscheids zur Sache zu äussern, erhebliche Beweise beizubringen und Einsicht in die Akten zu nehmen. Wie weit dieses Recht geht, lässt sich nicht generell, sondern nur unter Würdigung der konkreten Umstände beurteilen. Massgebend ist, ob es der betroffenen Person ermöglicht worden ist, ihren Standpunkt wirksam zur Geltung zu bringen (vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 17 f.; <ref-ruling> E. 3.2 S. 272; <ref-ruling> E. 5.1 S. 293). Eine persönliche Anhörung des Kindes erscheint hierzu nicht in jedem Fall erforderlich. So kann der Verzicht mit dem Anspruch auf rechtliches Gehör und mit Art. 12 Abs. 2 KRK je nach den konkreten Umständen des Einzelfalls vereinbar sein, wenn das Kind durch seine Eltern vertreten wird und beider Interessen gleichläufig sind. Zudem muss der rechtserhebliche Sachverhalt auch ohne diese persönliche Anhörung rechtsgenüglich festgestellt werden können (vgl. <ref-ruling> E. 6.5 S. 14 f.; <ref-ruling> E. 3c S. 368; Urteil 2C_723/2018 vom 13. November 2018 E. 3.1).
4.2.
4.2.1. Die Vorinstanz bestätigt die Auffassung des Justiz- und Sicherheitsdepartements, wonach für die Wahrung des Kindeswohls des beschwerdeführenden Sohns im Kosovo nicht entscheidend sei, ob seine Grossmutter oder allenfalls sein Onkel ihn betreuen könne. Für seine Betreuung sei vielmehr und primär sein Vater zuständig. Dabei sei zu beachten, dass der beschwerdeführende Sohn sich mittlerweile in einem Alter befinde, in dem keine umfassende Betreuung mehr notwendig sei. Sodann habe auch die Mutter des beschwerdeführenden Sohns in ihrem Familiennachzugsgesuch bestätigt, dass dieser bis anhin von seinem Vater betreut worden sei und mit diesem zusammenlebe (vgl. E. 4.4.1 des angefochtenen Urteils). Dagegen brächten die Beschwerdeführer nur behauptungsweise und nicht genügend substanziiert vor, dass der beschwerdeführende Vater seinen Sohn im Kosovo nicht betreuen könne (vgl. E. 4.4.2 des angefochtenen Urteils).
Aus der Begründung des angefochtenen Urteils ergibt sich, dass sich die Vorinstanz nicht in überraschender Weise auf die Betreuungsmöglichkeit des beschwerdeführenden Vaters beruft. Entgegen den Vorbringen der Beschwerdeführer steht diese Erwägung auch nicht im klaren Widerspruch zur bisherigen Beurteilung. Vielmehr findet sich die Begründung, wonach primär ohnehin der beschwerdeführende Vater für die Betreuung seines älteren Sohns verantwortlich sei, bereits im Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements vom 29. Oktober 2018. Somit hat es für die Vorinstanz auch keine Veranlassung gegeben, den Beschwerdeführern mit Blick auf diese Begründung ausdrücklich das rechtliche Gehör zu gewähren. Den Beschwerdeführern ist diesbezüglich nicht zu folgen.
4.2.2. Im Weiteren geht aus der Beschwerde nicht hervor, welche Beweise die Vorinstanz nicht abgenommen hätte. Zwar machen die Beschwerdeführer gelten, sie hätten eine weitergehende Befragung beantragt, falls die Vorinstanz Zweifel an der Betreuungsmöglichkeit durch den beschwerdeführenden Vater hätte. Indessen kommt die Vorinstanz in ihrer Beweiswürdigung - entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer - zum Schluss, dass eine Betreuung des älteren Sohns durch seinen Vater möglich sei. Eine von der Auffassung der Beschwerdeführer abweichende Würdigung der Beweismittel und Aktenstücke stellt für sich allein keine Verletzung des rechtlichen Gehörs dar, solange die Beschwerdeführer ihren Standpunkt wirksam zur Geltung bringen konnten. Aus dem angefochtenen Urteil ergibt sich zweifelsfrei, dass die Standpunkte der Beschwerdeführer Eingang in die Erwägungen der Vorinstanz gefunden haben (vgl. E. 4.4 des angefochten Urteils).
4.2.3. Mit Blick auf Art. 12 Abs. 2 KRK drängt sich eine persönliche Anhörung des beschwerdeführenden Sohns nicht auf, da er sowohl durch seine Mutter als auch durch den beschwerdeführenden Vater vertreten wird. Die Vorinstanz erwägt, dass bereits die Mutter bei der Einreichung des Familiennachzugsgesuchs als auch der Vater bei seiner Befragung auf der Botschaft in Pristina den Standpunkt ihres älteren Sohns zum Ausdruck gebracht hätten. Während der Vater mitgeteilt habe, sein Sohn möchte in die Schweiz, da er seine Mutter vermisse, habe die Mutter angegeben, dass ihr Sohn in der Schweiz eine gute Schulbildung erhalten sollte (vgl. E. 6.2 des angefochtenen Urteils). Sodann sind die Interessen des Sohns gleichläufig wie jene seiner Eltern, da alle betroffenen Personen einen Familiennachzug in die Schweiz anstreben. Inwiefern ausserdem der rechtserhebliche Sachverhalt nicht ohne diese persönliche Anhörung rechtsgenüglich festgestellt werden könnte, legen die Beschwerdeführer nicht dar (vgl. <ref-law>; E. 2 hiervor) und ist auch nicht ersichtlich. Der Verzicht auf eine persönliche Anhörung des beschwerdeführenden Sohns ist daher im Lichte von Art. 12 Abs. 2 KRK nicht zu beanstanden. Ausserdem verletzt der Verzicht auch nicht die Vorgabe von Art. 47 Abs. 4 AuG, wonach Kinder über 14 Jahren zum Familiennachzug angehört werden, sofern dies erforderlich ist. Der beschwerdeführende Sohn ist im Zeitpunkt des vorinstanzlichen Urteils noch nicht über 14 Jahre alt gewesen.
4.3. Zusammenfassend ergibt sich, dass der Anspruch auf rechtliches Gehör nicht verletzt ist. Sowohl bei der vorinstanzlichen Feststellung des Sachverhalts als auch bei der Wahrung des persönlichkeitsbezogenen Mitwirkungsrechts der Beschwerdeführer sind keine formellen Mängel und auch keine willkürliche antizipierte Beweiswürdigung zu erkennen (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 64; <ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f.). Insoweit die Beschwerdeführer diesbezüglich die Verletzung von kantonalen Verfahrensbestimmungen rügen, genügen sie nicht den von <ref-law> gestellten Anforderungen (vgl. E. 2 hiervor).
5.
Die Beschwerdeführer bringen in der Sache zunächst vor, dass sie aufgrund der Informationen des Amts für Migration davon abgehalten worden seien, die Gesuche einzureichen, obwohl sie solche einreichen wollten. Aufgrund der Beweismittel - namentlich der Bestätigungen der Verwandten der Mutter und Ehefrau der Beschwerdeführer - sei ausreichend erstellt, dass das Amt für Migration sie bewusst und gezielt im Glauben gelassen hätten, ein Nachzugsgesuch sei erst möglich, wenn die Mutter und Ehefrau der Beschwerdeführer ein ausreichendes Einkommen erzielen würde. Damit verletze die Vorinstanz Art. 47 Abs. 1 und Abs. 3 AuG in treuwidriger und überspitzt formalistischer Weise. Dementsprechend hätten die Beschwerdeführer die Frist gewahrt. Die gegebenenfalls abgelaufene Frist dürfe ihnen jedenfalls nicht entgegengehalten werden.
5.1. Der ausländerrechtliche Familiennachzug ist in den Art. 42 ff. AuG und in den Art. 73 ff. der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit (VZAE; SR 142.201) geregelt. Der Nachzug von Kindern von Personen mit Aufenthaltsbewilligung muss innerhalb von fünf Jahren geltend gemacht werden. Kinder über zwölf Jahren müssen innerhalb von zwölf Monaten nachgezogen werden (vgl. Art. 47 Abs. 1 AuG; <ref-law>). Die Nachzugsfristen beginnen gemäss Art. 47 Abs. 3 lit. b AuG und <ref-law> mit der Erteilung der Aufenthaltsbewilligung oder der Entstehung des Familienverhältnisses zu laufen. Die Nachzugsfrist von Art. 47 Abs. 1 AuG gilt unabhängig davon, ob die ausländische Person über die Niederlassungs- oder die Aufenthaltsbewilligung verfügt und ob ein Anspruch auf Familiennachzug besteht oder nicht. Ein Statuswechsel von einer Aufenthalts- zur Niederlassungsbewilligung löst keine neue Frist aus, wenn zuvor kein fristgerechtes Gesuch gestellt worden ist. Anders verhält es sich, wenn dieses Gesuch gestellt, es aber abgelehnt worden ist. Diesfalls ist es den Betroffenen nicht verwehrt, erneut um den Nachzug zu ersuchen, sobald sich ihr ausländerrechtlicher Status ändert und daraus bessere Nachzugsvoraussetzungen resultieren. Allerdings muss sowohl das erste Gesuch wie auch das spätere Gesuch innerhalb der gesetzlichen Frist eingereicht worden sein (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 107; <ref-ruling> E. 3.3 S. 395 ff.; Urteile 2C_920/2018 vom 28. Mai 2019 E. 2.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; 2C_1154/2016 vom 25. August 2017 E. 2.2; 2C_386/2016 vom 22. Mai 2017 E. 2.1; 2C_160/2016 vom 15. November 2016 E. 2.1; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.7 S. 293 f.). Mit dem Fristenregime für den Familiennachzug nach Art. 47 AuG und <ref-law> bezweckt der Gesetzgeber die Förderung eines frühzeitigen Nachzugs zwecks besserer Integration und möglichst umfassender Schulbildung der Kinder im Einklang mit <ref-law> und Art. 8 EMRK (vgl. <ref-ruling> E. 3.6 S. 109; <ref-ruling> E. 4.3 S. 82; <ref-ruling> E. 5.4 S. 20 ff.; Urteile 2C_323/2018 vom 21. September 2018 E. 6; 2C_1154/2016 vom 25. August 2017 E. 2.2.2; 2C_363/2016 vom 25. August 2016 E. 2.2; 2C_147/2015 vom 22. März 2016 E. 2.4.1).
5.2. In tatsächlicher Hinsicht rügen die Beschwerdeführer, die Vorinstanz habe den Sachverhalt mit Blick auf die Unmöglichkeit einer früheren Gesuchseinreichung offensichtlich unrichtig festgestellt (vgl. E. 3.5 des angefochtenen Urteils).
Die Beschwerdeführer bringen vor, das Amt für Migration hätte sie informiert, dass ein Gesuch um Familiennachzug dann aussichtslos sei, wenn die in der Schweiz lebende Person selber über kein ausreichendes Einkommen für die gesamte Familie verfüge. Dagegen bringt die Vorinstanz in ihrer Beweiswürdigung zum Ausdruck, in den Akten würden die Hinweise fehlen, dass das Amt für Migration - wie von den Beschwerdeführern behauptet werde - tatsächlich darauf hingewiesen habe, ein Gesuch um Familiennachzug könne ohne genügenden finanzielle Mittel mit Blick auf die Voraussetzung von Art. 51 Abs. 2 lit. b AuG in Verbindung mit Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG nicht gestellt werden (vgl. E. 3.5 des angefochtenen Urteils). Weshalb die Vorinstanz in ihrer Beweiswürdigung zwingend zu einem anderen Schluss hätte kommen müssen, legen die Beschwerdeführer nicht hinreichend dar. Ausserdem äussern sie sich auch nicht genüglich dazu, inwiefern eine gegenteilige oder andere Feststellung einen Einfluss auf das Verfahren hätte.
Da die Beschwerdeführer mit ihrer Sachverhaltsrüge damit nicht den von <ref-law> gestellten Anforderungen genügen, besteht im bundesgerichtlichen Verfahren keine Veranlassung vom vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt abzuweichen.
5.3. In rechtlicher Hinsicht ist das vorinstanzliche Urteil mit Blick auf die Anwendung von Art. 47 Abs. 1 und Abs. 3 AuG sowie <ref-law> nicht zu beanstanden. Wie die Vorinstanz zutreffend ausführt, hat die fünfjährige Nachzugsfrist für den beschwerdeführenden Sohn spätestens mit der Ausstellung der Niederlassungsbewilligung an seine Mutter am 4. Januar 2010 zu laufen begonnen. Das Gesuch vom 10. Juli 2016 ist damit verspätet eingereicht worden. Gleiches ist mit Blick auf das Gesuch für den beschwerdeführenden Ehemann vom 8. März 2017 zu erwägen. Die fünfjährige Frist für dieses Gesuch hat indes ab dem Tag der Heirat am 22. Oktober 2010 zu laufen begonnen. Wegen des Ablaufs der Fünfjahresfrist hat auch dieses somit als verspätet zu gelten. Dass die Mutter und Ehefrau der Beschwerdeführer am 1. August 2011 vom Kanton Fribourg in den Kanton Luzern umgezogen ist, hat - wie die Vorinstanz zutreffend anerkannt hat - auf den Fristenlauf keinen Einfluss. Andernfalls würde ein blosser Kantonswechsel den Integrationszweck des Fristenregimes für den Familiennachzug nach Art. 47 AuG und <ref-law> in Frage stellen.
Wie die Vorinstanz weiter zu Recht vorbringt, wäre ebenso unerheblich, wenn die sachverhaltliche Rüge des Beschwerdeführers zutreffen würde (vgl. E. 5.2 hiervor). Auf den Lauf der Nachzugsfristen haben die Erfolgsaussichten eines Nachzugsgesuchs keinen Einfluss, zumal es die gesuchsstellende Person selber zu verantworten hat, wenn nicht bereits vor Fristablauf gute Nachzugsbedingungen vorliegen würden. Selbst wenn daher ein Nachzugsgesuch infolge einer ungenügenden Einkommenssituation hätte abgewiesen werden müssen, hätte dies keinen Einfluss auf den Lauf der Nachzugsfristen von Art. 47 Abs. 1 und Abs. 3 AuG sowie <ref-law> (vgl. Urteil 2C_1154/2016 vom 25. August 2017 E. 2.5). Ein entsprechendes Gesuch ist in jedem Fall vor Ablauf der gesetzlichen Fristen einzureichen.
5.4. Nichts zu ihren Gunsten ableiten können die Beschwerdeführer schliesslich aus dem Grundsatz von Treu und Glauben (vgl. <ref-law>) und dem Verbot des überspitzten Formalismus (vgl. <ref-law>) im Zusammenhang mit einer angeblich falschen Auskunft des Amts für Migration. Die entsprechenden Vorbringen genügen in keiner Weise den von <ref-law> gestellten Anforderungen an die Rüge von Grundrechtsverletzungen (vgl. E. 2 hiervor).
5.5. Zusammenfassend ergibt sich, dass innerhalb der in der vorliegenden Angelegenheit anwendbaren Fünfjahresfristen nach Art. 47 Abs. 1 und Abs. 3 AuG sowie <ref-law> für die Beschwerdeführer keine Familiennachzugsgesuche eingereicht worden sind. Das angefochtene Urteil ist diesbezüglich nicht zu beanstanden.
6.
Die Beschwerdeführer weisen sodann darauf hin, dass es die Vorinstanz als glaubhaft erachtet habe, dass die Grossmutter und Mutter sowie der Onkel und Bruder der Beschwerdeführer nicht (mehr) zum beschwerdeführenden Sohn schauen könnten. Da der beschwerdeführende Vater seinen Sohn nicht betreuen könne und in der Heimat keine anderweitige Betreuung möglich sei, stelle nur ein Familiennachzug in die Schweiz eine Lösung dar. Die Mutter und Ehefrau der Beschwerdeführer sowie deren Verwandte seien gewillt, diese Betreuung zu übernehmen. Mangels möglicher Drittbetreuung im Kosovo sei ausreichend dargelegt, dass nachträglich ein wichtiger Grund im Sinne von Art. 47 Abs. 4 AuG eingetreten sei. Indem die Vorinstanz den Beschwerdeführern die Aufenthaltsbewilligung im Rahmen des Familiennachzugs verweigere, verletze sie Art. 47 Abs. 4 AuG und <ref-law>.
6.1. Ausserhalb der Nachzugsfristen von Art. 47 Abs. 1 und Abs. 3 AuG und <ref-law> (vgl. E. 5.1 hiervor) ist der Familiennachzug bloss möglich, wenn hierfür wichtige familiäre Gründe sprechen (vgl. Art. 47 Abs. 4 AuG; <ref-law>). Solche Gründe liegen nach <ref-law> vor, wenn das Kindeswohl nur durch einen Nachzug in die Schweiz sachgerecht gewahrt werden kann. Entgegen dem Wortlaut der Verordnungsbestimmung ist dabei jedoch nicht ausschliesslich auf das Kindeswohl abzustellen. Es bedarf vielmehr einer Gesamtschau unter Berücksichtigung aller relevanten Elemente im Einzelfall. Ein wichtiger Grund liegt demnach vor, wenn die weiterhin notwendige Betreuung der Kinder im Herkunftsland beispielsweise wegen des Todes oder der Krankheit der betreuenden Person nicht mehr gewährleistet ist und keine sinnvolle andere Alternative in der Heimat gefunden werden kann. Für den Nachweis der fehlenden Betreuungsmöglichkeit im Heimatland bestehen gemäss Rechtsprechung umso höhere Anforderungen, je älter das nachzuziehende Kind ist und je grösser die Integrationsschwierigkeiten erscheinen, die ihm in der Schweiz drohen (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 289 und E. 2.3.1 i.f. S. 291; Urteile 2C_550/2018 vom 21. Dezember 2018 E. 2.2; 2C_1154/2016 vom 25. August 2017 E. 3.1; 2C_147/2015 vom 22. März 2016 E. 2.4.3; 2C_767/2015 vom 19. Februar 2016 E. 5.1; 2C_176/2015 vom 27. August 2015 E. 3; vgl. auch Urteil 2C_386/2016 vom 22. Mai 2017 E. 2.3). Es obliegt im Rahmen ihrer Mitwirkungspflichten der nachzugswilligen Person, die entsprechenden Umstände nicht nur zu behaupten, sondern auch zu belegen (vgl. Art. 90 AuG; Urteile 2C_1/2017 vom 22. Mai 2017 E. 4.1.4; 2C_767/2015 vom 19. Februar 2016 E. 5.1.3 i.f.; 2C_176/2015 vom 27. August 2015 E. 3.3 i.f.; 2C_303/2014 vom 20. Februar 2015 E. 6.1 i.f.).
6.2. In tatsächlicher Hinsicht beanstanden die Beschwerdeführer eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung mit Blick auf die Betreuung des beschwerdeführenden Sohns durch seinen beschwerdeführenden Vater (vgl. E. 4.4.1 f. des angefochtenen Urteils). Die diesbezüglich geltend gemachten Mängel hätten eine entscheidende Auswirkung auf den Ausgang des Verfahrens, da die Vorinstanz fälschlicherweise davon ausgehe, dass der beschwerdeführende Vater in der Lage sei, den beschwerdeführenden Sohn zu betreuen.
6.2.1. Gegen die vorinstanzliche Feststellung, wonach der beschwerdeführende Vater die Möglichkeit habe, seinen Sohn selbst zu betreuen, bringen die Beschwerdeführer lediglich behauptungsweise vor, dass dem nicht so sei. Die Vorinstanz berücksichtigt in ihrer Beweiswürdigung, die Ehefrau und Mutter der Beschwerdeführer habe in ihrem Familiennachzugsgesuch bestätigt, dass der Sohn bei seinem Vater lebe und von ihm betreut werde. Sie habe bei ihrer Befragung sogar explizit verneint, dass sich an der Betreuungssituation etwas verändert habe. Sodann hätten die Beschwerdeführer auch nicht substanziiert vorgebracht, dass die Betreuung des 14-jährigen Sohns mit der Berufstätigkeit oder sonstigen zwingenden Abwesenheit seines Vater nicht vereinbar wäre (vgl. E. 4.4.1 des angefochtenen Urteils). Solches bringen die Beschwerdeführer auch im bundesgerichtlichen Verfahren nicht substanziiert vor. Sie führen lediglich aus, dass die Betreuung des beschwerdeführenden Sohns ausschliesslich von dessen Grossmutter väterlicherseits wahrgenommen worden sei. Der beschwerdeführende Vater sei beruflich absorbiert und zur Betreuung nicht in der Lage. Aus diesen Vorbringen der Beschwerdeführer ergibt sich aber nicht hinreichend, weshalb die Auffassung der Vorinstanz unhaltbar sein soll. Auch das Vorbringen, eine anderweitige Drittbetreuung des beschwerdeführenden Sohns im Kosovo sei nicht möglich, bleibt unsubstanziiert. Damit ist auch unklar, ob eine andere sachverhaltliche Feststellung im Hinblick auf die Betreuungsmöglichkeit des beschwerdeführenden Vaters einen Einfluss auf den Ausgang des Verfahrens hätte.
6.2.2. Die Vorinstanz führt weiter aus, dass sich aus der Prozessgeschichte ergebe, dass die Betreuungssituation des beschwerdeführenden Sohns erst spät im Verfahren als Grund für den Familiennachzug angegeben worden sei. Sodann habe die Mutter und Ehefrau der Beschwerdeführer den Behörden nicht im Rahmen ihres eigenen Familiennachzugs im Jahr 2009, sondern erst im Gesuch vom 10. Juli 2016 mitgeteilt, dass sie im Kosovo noch einen weiteren Sohn habe (vgl. E. 4.4.1 i.f. des angefochtenen Urteils). In diesem Lichte und aufgrund des Umstands, dass es im Rahmen der Mitwirkungspflichten nach Art. 90 AuG der nachzugswilligen Person obliegt, die entsprechenden sachverhaltlichen Umstände nicht nur zu behaupten, sondern auch zu belegen, sind die Vorbringen der Beschwerdeführer jedenfalls nicht stichhaltig. Auch wenn der schlechtere gesundheitliche Zustand der Grossmutter und Mutter der Beschwerdeführer, die bis anhin Betreuungsaufgaben im Kosovo wahrgenommen habe, unbestritten sind, spricht dies nicht gegen die Betreuungsmöglichkeit des beschwerdeführenden Vaters. Zusammenfassend ergibt sich, dass im bundesgerichtlichen Verfahren keine Veranlassung besteht, vom vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt abzuweichen.
6.3. In rechtlicher Hinsicht ist das vorinstanzliche Urteil auch mit Blick auf die Anwendung von Art. 47 Abs. 4 AuG, <ref-law> sowie <ref-law> nicht zu beanstanden.
6.3.1. Da nach ständiger Rechtsprechung an den Nachweis der fehlenden Betreuungsmöglichkeit im Heimatland umso höhere Anforderungen gestellt werden, je älter das nachzuziehende Kind ist und je grösser die Integrationsschwierigkeiten in der Schweiz erscheinen, reicht der blosse Hinweis, der beschwerdeführende Vater sei beruflich vollständig absorbiert und wäre mit der Kinderbetreuung vollständig überfordert, in keiner Weise aus, um wichtige familiäre Gründe im Sinne von Art. 47 Abs. 4 AuG und <ref-law> nachzuweisen. Der im Sommer 2005 geborene beschwerdeführende Sohn ist mittlerweile 14 Jahre alt und bedarf - wie die Vorinstanz zu Recht anführt - keiner jederzeitigen und umfassenden Betreuung. Vor diesem Hintergrund ist - zumindest ohne weitere Begründung - nicht nachvollziehbar, weshalb die Betreuungsmöglichkeit des beschwerdeführenden Vaters dem Kindeswohl seines Sohns nicht genügen würde. Jedenfalls sind keine Gründe ersichtlich, weshalb das Kindeswohl des beschwerdeführenden Sohns nur durch einen Nachzug in die Schweiz gewahrt werden könnte (vgl. <ref-law>). Die behauptete fehlende Betreuungsmöglichkeiten im Kosovo, an deren Nachweis angesichts des Alters des beschwerdeführenden Sohns erhöhte Anforderungen gelten, sind damit nicht dargetan.
6.3.2. Mit Blick auf sein Kindeswohl ist sodann zu berücksichtigen, dass der beschwerdeführende Sohn in der Schweiz von erheblichen sprachlichen Intergrationsschwierigkeiten betroffen sein dürfte. Nachdem der 14-Jährige sein gesamtes bisheriges Leben getrennt von seiner Mutter im Kosovo verbracht hat, im Heimatland sozialisiert worden ist, dort seine gewohnte Umgebung mit einem bestehenden Beziehungsnetz hat und in der Schweiz mit erheblichen Schwierigkeiten bei der Integration in das Schul- und spätere Berufsleben gerechnet werden muss, ist fraglich, ob mit einem Familiennachzug dem Kindeswohl überhaupt Rechnung getragen würde. Damit liegen - auch unter Berücksichtigung des Anspruchs auf Familienleben (vgl. <ref-law> und Art. 8 Ziff. 1 EMRK) - keine wichtigen Gründe für einen nachträglichen Familiennachzug gemäss Art. 47 Abs. 4 AuG und <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> vor.
6.3.3. Andere wichtige familiäre Gründe im Sinne von Art. 47 Abs. 4 AuG und <ref-law>, die losgelöst von den Überlegungen zum Kindeswohl lediglich den beschwerdeführenden Vater und Ehemann beträfen und in deren Lichte sich ein Familiennachzug aufdrängen würde, werden nicht erkennbar vorgebracht.
6.4. Inwiefern das angefochtene Urteil mit Blick auf das Vorliegen von wichtigen familiären Gründen ferner den Ansprüchen aus Art. 3 KRK, Art. 9 KRK und Art. 10 KRK und weiteren Ansprüchen aus Art. 8 EMRK entgegenstehen würde, ergibt sich nicht hinreichend aus der Beschwerdeschrift. Es reicht nicht aus, lediglich vorzubringen, die genannten Bestimmungen seien verletzt (vgl. <ref-law>; E. 2 hiervor).
6.5. Zusammenfassend ergibt sich, dass es den Beschwerdeführern nicht gelingt wichtige familiäre Gründe im Sinne von Art. 47 Abs. 4 AuG und <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> nachzuweisen. Das angefochtene Urteil ist diesbezüglich ebenfalls nicht zu beanstanden.
7.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde als unbegründet, weshalb sie abzuweisen ist. Diesem Verfahrensausgang entsprechend sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens den Beschwerdeführern aufzuerlegen, wobei der beschwerdeführende Vater auch für den Kostenanteil seines minderjährigen, beschwerdeführenden Sohns aufzukommen hat (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. November 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Zollinger