Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1957 geborene A._ war vom 1. Mai 2002 bis 31. Juli 2006 als kaufmännische Mitarbeiterin bei der Gemeinde U._ tätig und bei der BVG-Sammelstiftung Swiss Life (nachfolgend: Swiss Life) berufsvorsorgeversichert. Im November 2009 meldete sie sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach medizinischen Abklärungen sprach ihr die IV-Stelle Glarus mit Verfügung vom 15. Februar 2012 bei einem Invaliditätsgrad von 50 % ab 1. Mai 2010 eine halbe Rente der Invalidenversicherung zu. Im November 2012 ersuchte die Versicherte die Swiss Life um Invalidenleistungen aus beruflicher Vorsorge. Diese anerkannte gestützt auf eine Erwerbsunfähigkeit ab 21. November 2005 einen Anspruch auf eine halbe Invalidenrente rückwirkend ab dem 21. November 2006.
A.b. Im Zuge der Gemeindestrukturreform des Kantons Glarus schloss sich die Gemeinde U._ per 1. Januar 2011 mit mehreren Nachbargemeinden zur neuen Gemeinde V._ zusammen. Aus diesem Grund kündigte die Gemeinde U._ ihren Anschlussvertrag mit der Swiss Life per 31. Dezember 2010; die neue Gemeinde V._ schloss sich mit Wirkung ab dem 1. Januar 2011 der Glarner Pensionskasse an. Mit Schreiben vom 22. Dezember 2010 bestätigte die Glarner Pensionskasse der Swiss Life die Übernahme der aktiven Versicherten und der Rentenbezüger der ehemaligen Gemeinde U._. Am 27. Januar 2014 stellte die Swiss Life der Glarner Pensionskasse ein Schreiben mit dem Betreff "Abrechnung Vertragsauflösung Invalide per 30.06.2013" zu. In der Folge richtete neu die Glarner Pensionskasse der Versicherten die halbe Invalidenrente aus.
A.c. Mit Verfügung vom 19. Juli 2016 erhöhte die IV-Stelle Glarus - basierend auf einem Invaliditätsgrad von 100 % - die bisher ausgerichtete halbe Rente auf eine ganze ab 1. März 2015. Sowohl die Glarner Pensionskasse als auch die Swiss Life lehnten in Bezug auf die Erhöhung des Invaliditätsgrades von 50 % auf 100 % eine Leistungspflicht aus beruflicher Vorsorge ab.
B.
Am 3. April 2020 erhob A._ vor dem Verwaltungsgericht des Kantons Glarus Klage gegen die Swiss Life, eventuell gegen die Glarner Pensionskasse, unter anderem mit dem Rechtsbegehren, ihr sei ab dem 1. März 2015 eine Invalidenre nte bei einem Invaliditätsgrad von 100 % zuzüglich Zinsen auszurichten. Das kantonale Gericht hiess diese Klage mit Urteil vom 19. November 2020 teilweise gut und verpflichtete die Swiss Life, A._ ab 1. März 2015 eine auf einem Invaliditätsgrad von 100 % basierende Invalidenrente, abzüglich der von der Glarner Pensionskasse ausgerichteten Invalidenrente, zuzüglich Zins von 5 % ab dem 6. April 2020 zu bezahlen.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die Swiss Life, das Urteil vom 19. November 2020 sei insoweit aufzuheben, als es die Beschwerdeführerin zum Erbringen von Invalidenleistungen verurteilt; eventuell sei die Sache zu neuer Beurteilung an das kantonale Gericht zurückzuweisen.
Während die Glarner Pensionskasse auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist, schliesst, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung.
In ihrer Eingabe vom 5. Mai 2021 schliesst sich A._ den Ausführungen der Glarner Pensionskasse an. Mit Eingabe vom 5. Oktober 2021 ersucht sie zudem um unentgeltliche Rechtspflege.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerdeschrift hat unter anderem ein Rechtsbegehren zu enthalten (<ref-law>). Das Begehren umschreibt den Umfang des Rechtsstreits und muss grundsätzlich so formuliert werden, dass es bei Gutheissung zum Urteil erhoben werden kann. Rechtsbegehren sind nach Treu und Glauben auszulegen, insbesondere im Lichte der dazu gegebenen Begründung (<ref-ruling> E. 1). Es genügt, wenn der Beschwerde insgesamt entnommen werden kann, was die beschwerdeführende Person verlangt (Urteil 9C_344/2020 vom 22. Februar 2021 E. 1.2).
Aus den von der Beschwerdeführerin letztinstanzlich gestellten Anträgen geht im Lichte der dazu gegebenen Begründung mit hinreichender Klarheit hervor, dass sie ihre Leistungspflicht ablehnt und daher unter Aufhebung des kantonalen Urteils eine Abweisung der Klage, soweit sie gegen sie gerichtet ist, verlangt. Dass sie es unterlässt, in ihrem Rechtsbegehren ausdrücklich die Abweisung der Klage zu beantragen, lässt die Beschwerde - entgegen den Ausführungen der Beschwerdegegnerin 2 - nicht als unzulässig erscheinen.
1.2. Die Beschwerdeführerin hat in Bezug auf die von der Versicherten geltend gemachte Erhöhung der Invalidenrente im gesamten Verfahren ihre Leistungspflicht stets verneint. Somit erscheint auch im Lichte des Verbotes eines "venire contra factum proprium" (vgl. <ref-ruling> E. 3) das Festhalten an dieser Position und damit die Beschwerde insgesamt - entgegen der Auffassung der Beschwerdegegnerin 2 - nicht als rechtsmissbräuchlich.
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
3.
Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, als sie der Beschwerdegegnerin 1 eine Invalidenrente zu Lasten der Beschwerdeführerin zusprach.
4.
4.1. Der Arbeitgeber, der obligatorisch zu versichernde Arbeitnehmer beschäftigt, muss eine in das Register für die berufliche Vorsorge eingetragene Vorsorgeeinrichtung errichten oder sich einer solchen anschliessen (Art. 11 Abs. 1 BVG). Verfügt der Arbeitgeber nicht bereits über eine Vorsorgeeinrichtung, so wählt er eine solche im Einverständnis mit seinem Personal oder der allfälligen Arbeitnehmervertretung (Art. 11 Abs. 2 BVG).
4.2. Löst der Arbeitgeber den Anschlussvertrag mit seiner Vorsorgeeinrichtung auf, so haben sich die bisherige und die neue Vorsorgeeinrichtung über den Verbleib der Rentenbezüger bei der bisherigen oder den Wechsel zur neuen Vorsorgeeinrichtung zu einigen, sofern der Anschlussvertrag für diesen Fall keine Regelung vorsieht. Fehlt eine Regelung im Anschlussvertrag oder kommt zwischen der bisherigen und der neuen Vorsorgeeinrichtung keine Vereinbarung zustande, so verbleiben die Rentenbezüger bei der bisherigen Vorsorgeeinrichtung (Art. 53e Abs. 4 BVG).
4.3.
4.3.1. Beim Anschlussvertrag zwischen einem Arbeitgeber und einer Vorsorgeeinrichtung handelt es sich um einen Innominatvertrag sui generis im engeren Sinne (<ref-ruling> E. 4a). Der Anschlussvertrag begründet ein privatrechtliches Verhältnis (<ref-ruling> E. 3.5). Auf diesen sind die allgemeinen Bestimmungen des Obligationenrechts über das Zustandekommen von Verträgen (<ref-law>) anwendbar (Urteil 9C_104/2021 vom 10. August 2021 E. 3.2 mit Hinweisen). Die allgemeinen Bestimmungen des Obligationenrechts sind im Weiteren auch auf die Auflösung des Anschlussvertrages sowie auf einen allfälligen Vertrag im Sinne von Art. 53e Abs. 4 BVG über den Verbleib oder den Wechsel der Rentenbezüger anwendbar.
4.3.2. Zum Abschlusse eines Vertrages ist die übereinstimmende gegenseitige Willensäusserung der Parteien erforderlich (<ref-law>). Sie kann eine ausdrückliche oder stillschweigende sein (<ref-law>). Verträge bedürfen zu ihrer Gültigkeit nur dann einer besonderen Form, wenn das Gesetz eine solche vorschreibt (<ref-law>).
5.
5.1. Es steht fest und ist unbestritten, dass die ehemalige Arbeitgeberin der Versicherten, die inzwischen in der neuen Gemeinde V._ aufgegangene Gemeinde U._, den Anschlussvertrag zwischen ihr und der Swiss Life per 31. Dezember 2010 aufgelöst hat. Weiter nicht strittig ist, dass besagter Anschlussvertrag keine Regelung über den Verbleib oder den Wechsel der Rentenbezüger vorsieht. Es stellt sich somit die Frage, ob zwischen der Swiss Life und der Glarner Pensionskasse eine Vereinbarung über die Übernahme der Rentenbezüger im Sinne von Art. 53e Abs. 4 BVG vorliegt.
5.2.
5.2.1. Das kantonale Gericht hat erwogen, es könne offen bleiben, ob der Übernahmevertrag per 1. Januar 2011 zwischen der Swiss Life und der Glarner Pensionskasse die vollständige Aufnahme des Versichertenkollektivs und damit auch die Übernahme der Rentenbezüger vorgesehen habe. Aus den Akten gehe nämlich hervor und werde im Übrigen auch nicht bestritten, dass die Versicherte von der Auflösung und vom Neuabschluss des Anschlussvertrages im Jahr 2011 nicht berührt gewesen sei. Vielmehr habe die Swiss Life ab November 2012 die gesetzlichen Leistungen an die Versicherte ausgerichtet.
5.2.2. Diese Erwägungen des kantonalen Gerichts geben zu folgenden Bemerkungen Anlass: Zum einen hat die Beschwerdeführerin bereits im vorinstanzlichen Verfahren ausdrücklich geltend gemacht, die Versicherte sei von der Glarner Pensionskasse per 1. Januar 2011 übernommen worden. Die Feststellung der Vorinstanz, wonach die Versicherte von der Auflösung und vom Neuabschluss des Anschlussvertrages im Jahr 2011 nicht berührt gewesen sei, ist somit - auch vor Bundesgericht - keineswegs unbestritten. Zum anderen ist nicht ohne Weiteres ersichtlich, inwiefern sich diese Feststellung aus den Akten ergeben soll. Alleine der Umstand, dass die Swiss Life ab November 2012 - zunächst - Leistungen an die Versicherte ausrichtete, lässt nicht zwingend den Schluss zu, Letztere sei vom Abschluss des Anschlussvertrages mit der Glarner Pensionskasse im Jahr 2011 nicht berührt gewesen (vgl. dazu auch E. 5.3.2).
5.3.
5.3.1. In den Akten liegt kein schriftlicher Vertrag der bisherigen und der neuen Vorsorgeeinrichtung über den Verbleib oder den Wechsel der Rentenbezüger im Sinne von Art. 53e Abs. 4 BVG. Die Swiss Life macht jedoch geltend, es sei diesbezüglich eine - grundsätzlich zulässige (vgl. E. 4.3) - mündliche Abrede getroffen worden. Tatsächlich findet sich in den Akten eine von der Glarner Pensionskasse ausgestellte (und offenbar unwidersprochen gebliebene) Bestätigung vom 22. Dezember 2010 über die Übernahme der bisherigen Rentner, aus welcher sich Rückschlüsse auf den Inhalt der mündlichen Vereinbarungen zwischen der Swiss Life und der Glarner Pensionskasse ziehen lassen. Danach übernimmt die Glarner Pensionskasse per 1. Januar 2011 die aktiven Versicherten und die Rentenbezüger der Vorsorgeeinrichtung der Gemeinde U._. Den Invalidenrentnern gleichgestellt sind gemäss dieser Bestätigung jene Invaliditätsfälle, bei denen die Invalidität nach Auflösung des Anschlussvertrages, die Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, aber vor der Auflösung des Anschlussvertrages eingetreten ist. Damit sind auch sog. latente Invaliditätsfälle (vgl. Urteil 9C_530/2020 vom 9. Dezember 2020 E. 3.2) von der Übernahme erfasst. Ob unter den Begriff der "Rentenbezüger" gemäss dieser Bestätigung auch versicherte Personen fallen, deren Invalidität - wie vorliegend - noch vor Auflösung des Anschlussvertrages eingetreten war, deren Rentenfestsetzung sich aber in der Folge noch verzögerte (vgl. Sachverhalt lit. A.a und A.b), braucht nicht abschliessend geprüft zu werden. Selbst wenn man diese Frage verneinen würde, wären solche Personen jedenfalls den Invalidenrentnern gleichzustellen, sind doch auch latente Invaliditätsfälle von der Übernahme erfasst. So oder anders wurde die Versicherte von der Glarner Pensionskasse per 1. Januar 2011 übernommen.
5.3.2. Mit Blick auf das Dargelegte - und entgegen den vorinstanzlichen Erwägungen - ist somit festzuhalten, dass seit dem 1. Januar 2011 die Glarner Pensionskasse die zuständige Vorsorgeeinrichtung der Versicherten war. Daran nichts zu ändern vermag der Umstand, dass die Swiss Life der Versicherten - als ab 1. Januar 2011 unzuständige Vorsorgeeinrichtung - auch für die Zeit danach eine (halbe) Invalidenrente ausrichtete (vgl. Schreiben vom 27. Januar 2014 betreffend "Abrechnung Vertragsauflösung Invalide per 30.06.2013"). Massgebend ist vielmehr, dass die Glarner Pensionskasse in ihrer Bestätigung vom 22. Dezember 2010 die Übernahme der Rentenbezüger (resp. der ihnen gleichgestellten Personen) vorbehaltlos erklärt hat. Aufgrund dieser Deckungszusage ist davon auszugehen, dass die Glarner Pensionskasse die Rentenbezüger zu den gleichen Bedingungen wie sie in der vorherigen Vorsorgeeinrichtung galten, übernommen hat (vgl. Bericht der Kommission für soziale Sicherheit und Gesundheit des Nationalrates vom 26. Mai 2005 zur parlamentarischen Initiative "Wechsel der Vorsorgeeinrichtung"; BBl 2005 5946 [zu Art. 53e Abs. 4bis BVG]). Daraus folgt, dass jede spätere Änderung des Invaliditätsgrades - aufgrund derselben gesundheitlichen Beeinträchtigung, die zur Gewährung der halben Rente geführt hat - von der neuen Vorsorgeeinrichtung zu tragen ist (vgl. in diesem Sinne bereits das Urteil B 101/02 vom 22. August 2003 E. 4.4, in: SVR 2005 BVG Nr. 17 S. 55). Als ab 1. Januar 2011 zuständige Vorsorgeeinrichtung hat die Glarner Pensionskasse demzufolge die nach 2011 eingetretene Erhöhung des Invaliditätsgrades zu übernehmen; entgegen der Auffassung des kantonalen Gerichts ist hierfür keine eingehendere Regelung "betreffend die Übernahme des gesamten Versicherungsrisikos" erforderlich.
6.
Unbehelflich ist schliesslich das Vorbringen der Glarner Pensionskasse, solange die Beschwerdeführerin "das nötige Deckungskapital für die Übernahme der zweiten Hälfte der Invalidenleistungen" nicht bezahle, halte sie ihr die Einrede des nicht erfüllten Vertrages (<ref-law>) entgegen. Ob die Swiss Life der Gl arner Pensionskasse neben den geleisteten Zahlungen noch weitere Zahlungen schuldet, ist nicht im vorliegenden Verfahren zu prüfen. Da die Glarner Pensionskasse keinen direkten Anspruch gegen die Versicherte hat, kann die Einrede des nicht erfüllten Vertrages dieser nicht entgegengehalten werden (vgl. <ref-ruling> E. 2d). Aus dem von der Glarner Pensionskasse zitierten <ref-ruling>, in welchem es um einen Vertrag zugunsten eines Dritten (<ref-law>) und nicht um einen Wechsel der Vorsorgeeinrichtung im Sinne von Art. 53e Abs. 4 BVG geht, lässt sich für den vorliegenden Fall nichts Gegenteiliges ableiten.
7.
Zusammenfassend ergibt sich, dass das kantonale Gericht Bundesrecht verletzte, als es einen Anspruch der Versicherten gegen die Beschwerdeführerin auf eine Invalidenrente bejahte. Entsprechend ist die Beschwerde gutzuheissen, das vorinstanzliche Urteil ist aufzuheben und die Sache ist an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit dieses unter Beachtung der obigen Vorgaben über die Klage der Versicherten neu urteile.
8.
Aufgrund des Verfahrensausgangs rechtfertigt es sich, die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin 2 aufzuerlegen. Damit wird das Gesuch der Beschwerdegegnerin 1 um Erlass der Gerichtskosten gegenstandslos. Die Übernahme der Anwaltskosten für die Beschwerdeantwort entfällt von vornherein, da die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege nicht rückwirkend erfolgt (<ref-ruling> E. 2c; Urteil 9C_589/2017 vom 17. April 2018 E. 10); weitergehende Aufwendungen werden von der Beschwerdegegnerin 1 nicht geltend gemacht.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Glarus vom 19. November 2020 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3000.- werden der Beschwerdegegnerin 2 auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Glarus und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. November 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Stanger