Faits :
A.
A._, née en 1975, travaille en qualité d'infirmière à l'hôpital C._ depuis le 1 er novembre 2014, à un taux d'activité de 40 %. A ce titre, elle est assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès d'Helsana Accidents SA (ci-après: Helsana). Le 19 juillet 2015, alors qu'elle faisait du jogging, elle s'est encoublée dans une racine et est tombée, se blessant au genou gauche. Helsana a pris en charge le cas.
Le 21 juillet 2015, l'assurée a consulté le docteur D._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, lequel a fait état de gonalgies au genou gauche par suite d'une entorse et, sur la base d'une IRM, a conclu à une chondropathie rotulienne stade IV, en lien de causalité avec l'accident (rapport du 27 août 2015). L'assurée a ensuite été suivie par le docteur E._, également spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, lequel a diagnostiqué une lésion cartilagéneuse de 3 ème degré dans la région de la crête rétropatellaire du genou gauche sur status après distorsion de l'articulation du genou. Il a reconnu un lien de causalité avec l'accident et nié l'influence d'une maladie antérieure (cf. rapports des 17 et 31 août 2015). En raison de la persistance des douleurs, il a procédé à une intervention chirurgicale le 20 août 2015 ("1. Arthroskopie Kniegelenk links, Microfrakturierung retropatellär; 2. Offenes, weichteiliges Patellabalancing").
Se fondant sur l'avis de son médecin-conseil, le docteur F._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur (rapport du 14 septembre 2015), Helsana a mis un terme au versement des prestations au 12 août 2015, considérant que les traitements au-delà de cette date n'étaient plus en rapport avec l'accident (décision du 15 septembre 2015).
Saisie d'une opposition par l'assurée, qui a subi une seconde arthroscopie du genou gauche le 15 janvier 2016, Helsana a confié la mise en oeuvre d'une expertise médicale au docteur G._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur. Dans son rapport du 7 juin 2016, ce médecin a posé les diagnostics de chondropathie rotulienne dégénérative bilatérale, morphotype hyperlaxe, status après arthroscopies du genou gauche et status après contusion bénigne de la rotule gauche le 19 juillet 2015. Il a fixé le statu quo sine au plus tard un mois après l'accident et indiqué que l'opération se rapportait à une maladie préexistante.
L'assurée a soumis les conclusions du rapport d'expertise au docteur E._, qui les a contestées, indiquant en particulier que l'accident n'avait pas causé une contusion bénigne mais une lésion cartilagineuse dans une zone où il est plutôt exceptionnel de trouver une problématique dégénérative. Il s'étonnait en outre de ce que le docteur G._ retienne une chondropathie rotulienne également du côté droit sur la base d'un simple examen clinique, sans recours à une IRM, et alors que l'intimée ne souffrait actuellement pas de ce genou-là (rapport du 7 juillet 2016). Interrogé, le docteur G._ a maintenu ses conclusions, considérant que le docteur E._ émettait un avis de partie basé sur une appréciation différente (rapport du 22 décembre 2016).
L'assurée a ensuite produit un rapport du docteur H._ du 11 avril 2017, lequel réfutait également les conclusions de l'expertise. Après avoir recueilli l'avis du docteur F._ sur dernier rapport, Helsana a rejeté l'opposition par décision du 3 octobre 2017.
B.
Par jugement du 18 décembre 2018, la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura a admis le recours contre la décision sur opposition. Les juges cantonaux ont ordonné à Helsana de prendre en charge l'intervention chirurgicale du 20 août 2015 et l'incapacité de travail qu'elle avait entraînée, soit de verser les indemnités journalières jusqu'au 30 octobre 2015. En ce qui concerne les prestations ultérieures, en particulier celles liées à l'opération du 15 janvier 2016, le dossier de la cause a été renvoyé à Helsana pour complément d'instruction, notamment par la mise en place d'une nouvelle expertise sur le plan de la chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur.
C.
Helsana forme un recours contre ce jugement dont elle requiert l'annulation. Elle conclut à ce que la date d'interruption de la causalité naturelle soit fixée au 12 août 2015 au plus tard. Subsidiairement, elle demande qu'il soit ordonné à la juridiction cantonale d'entreprendre une instruction complémentaire, soit une expertise médicale.
L'intimée et la cour cantonale concluent au rejet du recours dans la mesure où il est recevable.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours en matière de droit public est recevable contre les décisions finales, soit celles qui mettent fin à la procédure (art. 90 LTF) et contre les décisions partielles visées à l'art. 91 LTF. Sous réserve des hypothèses visées à l'art. 92 LTF, il n'est recevable contre les décisions incidentes que si celles-ci peuvent causer un préjudice irréparable (art. 93 al. 1 let. a LTF) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (art. 93 al. 1 let. b LTF).
1.2. Lorsque, comme en l'espèce, une autorité de première instance tranche définitivement le droit à des prestations relativement à une période déterminée et renvoie la cause à l'administration pour nouvelle décision concernant la période postérieure, la partie de la décision qui se rapporte à la question définitivement tranchée constitue une décision partielle susceptible d'être attaquée séparément et qui, en cas de non-contestation, entre en force de façon indépendante et ne peut plus être attaquée par la suite (<ref-ruling> consid. 1.4.4 à 1.4.6 p. 146 ss). La décision de renvoi pour la période postérieure constitue quant à elle une décision incidente contre laquelle un recours au Tribunal fédéral n'est recevable qu'aux conditions de l'art. 93 al. 1 LTF. Il appartient à la partie recourante d'expliquer en quoi la décision entreprise remplit les conditions de l'art. 93 LTF, sauf si ce point découle manifestement de la décision attaquée ou de la nature de la cause (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 28).
1.3. La recourante soutient que le jugement attaqué lui cause un préjudice irréparable car il a un effet contraignant pour elle, en ce sens qu'elle est tenue de statuer à nouveau tout en étant liée par l'existence d'un lien de causalité naturelle entre l'accident et l'état de santé de l'intimée jusqu'au 30 octobre 2015. Ce point de vue est mal fondé. En effet, le préjudice irréparable doit se rapporter à la décision incidente, soit à la question du renvoi, mais non à l'obligation de la recourante de prendre en charge les suites de l'accident jusqu'au 30 octobre 2015, contre laquelle le recours est d'emblée ouvert. Cela dit, il n'est pas manifeste que le complément d'instruction ordonné, qui ne contient aucune contrainte particulière, causerait à la recourante un dommage irréparable ou entraînerait une procédure probatoire longue et coûteuse (cf. arrêt 8C_413/2018 du 26 septembre 2018 consid. 5 à propos d'un renvoi pour mise en oeuvre d'une expertise orthopédique). Il s'ensuit que le recours est irrecevable en tant qu'il vise le renvoi de la cause pour instruction complémentaire.
2.
Le litige porte donc sur le droit de l'intimée à des prestations LAA jusqu'au 30 octobre 2015, singulièrement sur le point de savoir si la recourante était fondée à supprimer le droit aux prestations d'assurance au 12 août 2015.
Lorsque la procédure concerne l'octroi ou le refus de prestations en espèces et en nature de l'assurance-accidents, comme c'est le cas ici, le Tribunal fédéral dispose d'un pouvoir d'examen étendu en ce qui concerne les faits communs aux deux types de prestations (arrêt 8C_418/2018 du 12 juillet 2019 consid. 2 et les arrêts cités).
3.
3.1. L'art. 6 al. 1 LAA prévoit que les prestations de l'assurance-accidents obligatoire sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle. Par accident au sens de cette disposition, on entend toute atteinte dommageable, soudaine et involontaire, portée au corps humain par une cause extérieure extraordinaire qui compromet la santé physique, mentale ou psychique, ou qui entraîne la mort (art. 4 LPGA [RS 830.1]). Le droit à des prestations découlant d'un accident assuré suppose notamment entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé, un lien de causalité naturelle. Cette exigence est remplie lorsqu'il y a lieu d'admettre que, sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout, ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière. Pour admettre l'existence d'un lien de causalité naturelle, il n'est pas nécessaire que l'accident soit la cause unique ou immédiate de l'atteinte à la santé; il faut et il suffit que l'événement dommageable, associé éventuellement à d'autres facteurs, ait provoqué l'atteinte à la santé physique ou psychique de l'assuré, c'est-à-dire qu'il se présente comme la condition sine qua non de celle-ci (<ref-ruling> consid. 1 p. 438; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 181 et les références).
3.2. En vertu de l'art. 36 al. 1 LAA, les prestations pour soins, les remboursements de frais ainsi que les indemnités journalières et les allocations pour impotent ne sont pas réduits lorsque l'atteinte à la santé n'est que partiellement imputable à l'accident. Lorsqu'un état maladif préexistant est aggravé ou, de manière générale, apparaît consécutivement à un accident, le devoir de l'assurance-accidents d'allouer des prestations cesse si l'accident ne constitue pas la cause naturelle (et adéquate) du dommage, soit lorsque ce dernier résulte exclusivement de causes étrangères à l'accident. Tel est le cas lorsque l'état de santé de l'intéressé est similaire à celui qui existait immédiatement avant l'accident (statu quo ante) ou à celui qui serait survenu même sans l'accident par suite d'un développement ordinaire (statu quo sine). A contrario, aussi longtemps que le statu quo sine vel ante n'est pas rétabli, l'assureur-accidents doit prendre à sa charge le traitement de l'état maladif préexistant, dans la mesure où il a été causé ou aggravé par l'accident (cf. arrêts 8C_781/2017 du 21 septembre 2018 consid. 5.1, in SVR 2019 UV n° 18 p. 64; 8C_657/2017 du 14 mai 2018 consid. 3.2 et les références, in SVR 2018 UV n° 39 p. 141).
4.
4.1. En l'espèce, les premiers juges ont retenu que la recourante, à qui appartenait le fardeau de la preuve de la disparition du lien de causalité, ne pouvait pas mettre un terme à ses prestations au 12 août 2015 sur la base du rapport d'expertise du docteur G._. En effet, même si la lésion avait une origine maladive ou dégénérative, comme le retenait l'expert, il ressortait du dossier que l'accident avait au moins déclenché les symptômes de l'intimée et conduit à l'intervention chirurgicale du 20 août 2015.
4.2. De son côté, la recourante soutient que l'expertise du docteur G._ a pleine valeur probante car les avis contraires des docteurs E._ et H._ devraient être écartés. Elle fait valoir que le docteur E._ a interprété l'IRM initiale de manière contradictoire dans ses rapports des 17 août 2015 et 7 juillet 2016 et conteste qu'il est exceptionnel de trouver une problématique dégénérative au niveau de la crête rotulienne en renvoyant à deux articles de doctrine médicale annexés à son recours. En ce qui concerne le docteur H._, la recourante soutient en substance qu'il ne possède pas une expérience et des connaissances suffisantes pour émettre un avis en matière de chirurgie orthopédique. Enfin, elle fait valoir que la jurisprudence citée par les premiers juges à l'appui de son raisonnement, à savoir l'arrêt 8C_418/2017 du 4 avril 2018, n'est pas applicable au cas d'espèce mais concerne les lésions corporelles assimilées à un accident.
4.3.
4.3.1. En tant que la recourante tente de démontrer que le rapport d'expertise a pleine valeur probante en s'en prenant aux avis médicaux contraires, son argumentation se dirige surtout contre la motivation des premiers juges au sujet du renvoi pour instruction complémentaire, soit un aspect du litige qui ne peut être attaqué dans la présente procédure (supra consid. 1.3). Quoi qu'il en soit, ses arguments sont mal fondés. Il n'existe pas de contradiction entre les rapports du docteur E._ des 17 août 2015 et 7 juillet 2016. Dans le premier, le médecin mentionne les conclusions du radiologue alors que dans le second il interprète les documents d'imagerie. En outre, contrairement à ce que soutient la recourante, il n'a pas fait état de "nombreux autres oedèmes" dans le dernier rapport mais émet plutôt des hypothèses sur la base des constatations ("[...] ist zu bemerken, dass infrapatellär [...] sehr wohl eine etwas prominente Flüssigkeitskollektion im Unterhaut-Fettgewebe vorliegt, zudem präpatellär [...] ein zarter Flüssigkeitssaum ersichtlich ist, welcher einem kontusionsbedingten Ödem oder einer Einblutung entsprechen kann"). Pour le reste, il n'y a pas lieu d'examiner si les troubles génératifs dans la zone de la crête rotulienne sont fréquents ou exceptionnels (ce qu'il n'appartient d'ailleurs pas au juge de décider), ni de répondre aux critiques formulées à l'encontre du docteur H._. En effet, en tout état de cause, la recourante ne pouvait pas se fonder sur le rapport d'expertise du docteur G._ pour limiter l'étendue du droit aux prestations au 12 août 2015.
4.3.2. Premièrement, le docteur G._ a fixé le statu quo sine en se fondant uniquement sur le délai habituel de guérison d'une contusion d'un mois, soit de manière abstraite et théorique, alors que le dossier médical ne fait nullement état d'une amélioration de l'état de santé de l'intimée entre l'accident et l'opération du 20 août 2015. Deuxièmement, le médecin justifie en particulier l'absence de causalité entre l'accident et la lésion du genou gauche en raison d'une chondropathie rotulienne de l'autre genou, mais il conclut toutefois, en réponse aux questions relatives au rapport de causalité, que l'intimée présente certainement une chondropathie préexistante de la rotule gauche et "probablement" aussi à droite. A cela s'ajoute que l'intimée n'a pas subi d'intervention chirurgicale du genou droit ni ne s'est plaint d'une symptomatologie douloureuse de ce membre et qu'aucun rapport d'imagerie antérieur à l'accident ne vient corroborer l'existence d'un état maladif antérieur. Enfin, le docteur G._ indique lui-même que la symptomatologie relative à la chondropathie préexistante diagnostiquée aurait pu débuter en réponse à des événements bénins tels que des contusions. Force est d'admettre par conséquent que l'accident du 19 juillet 2015 a, à tout le moins, aggravé cet état antérieur et nécessité, en raison de la persistance des douleurs, l'intervention chirurgicale du 20 août 2015.
4.4. Pour le reste, la recourante se plaint d'un déni de justice du fait que le Tribunal cantonal ne se serait quasiment pas prononcé sur la valeur probante des rapports du docteur F._. Ce grief, invoqué "en passant" et de façon incomplète, ne répond pas aux exigences de motivation de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF.
4.5. Le jugement attaqué peut dès lors être confirmé sans qu'il soit nécessaire d'examiner si les premiers juges ont cité à juste titre l'arrêt 8C_418/2017.
5.
Il s'ensuit que le recours est mal fondé et doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité.
6.
La recourante, qui succombe, supportera les frais de justice (art. 66 al. 1 LTF). L'intimée a droit à une indemnité de dépens (art. 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à l'intimée la somme de 2'800 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 5 août 2019
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Castella