Sachverhalt:
A.
A.a. A._ Inc., T._ (A._ Inc., Klägerin, Beschwerdeführerin) ist eine Gesellschaft panamaischen Rechts.
Die B._ AG, U._ (Beklagte) bezweckt die Bewirtschaftung von Produktions- und Lagerflächen, insbesondere des Industrieparks "V._" als Standort für Unternehmen, Lager- und Produktionshallen und Betriebe aller Art sowie das Erbringen von Dienstleistungen im Facility Management.
C.C._ (Nebenintervenient) ist eine natürliche Person mit Wohnsitz in W._. D.C._ und E.C._ sind die Söhne von C.C._.
Die Gesellschafterverhältnisse der A._ Inc. sind umstritten. Nach Darstellung des Nebenintervenienten soll er seinen beiden Söhnen am 19. November 2015 je einen Drittel der Aktien der A._ Inc. geschenkt, diese Schenkung jedoch am 6. bzw. 8. April 2016 widerrufen haben.
A.b. Am 4. Mai 2017 reichte die A._ Inc., vertreten durch die Rechtsanwälte F._ und G._, sowie D.C._ und E.C._ beim Handelsgericht des Kantons Aargau Klage ein gegen die B._ AG.

Mit Verfügung vom 29. Mai 2017 wurde das Verfahren auf die Frage der rechtmässigen Vertretung der (angeblichen) Klägerin durch die Rechtsanwälte F._, G._ und/oder MLaw O._ beschränkt. Mit Verfügung vom 30. August 2017 zog der Vizepräsident des Handelsgerichts, Oberrichter Meinrad Vetter, Folgendes in Erwägung:
"9.1.
Das vorliegende Verfahren ist vorerst auf die Frage der rechtmässigen Vertretung der Klägerin durch die Rechtsanwälte lic. iur. F._, Dr. iur. G._ und/oder MLaw O._ beschränkt (vgl. oben 6.2).
9.2 Gelingt der Klägerin dieser Nachweis nicht, sind die ohne Vollmacht vorgenommenen Prozesshandlungen unwirksam. Sie sind vom Gericht zurückzuweisen. Eine nachträgliche Genehmigung der unzulässigen Eingabe kommt nicht in Betracht, sondern ist von der Partei selber oder einem zulässigen Vertreter zu wiederholen. Zudem ist es diesfalls opportun, gestützt auf <ref-law> die Prozesskosten den Rechtsanwälten lic. iur. F._, Dr. iur. G._ und/oder MLaw O._ aufzuerlegen."
Mit Eingabe vom 16. September 2017 zeigte lic. iur. K._ an, er sei von der A._ Inc. mit der Rechtsvertretung betraut worden. Diese habe keine Klage eingereicht und auch keine Dritten hiermit beauftragt. Entsprechend sei die Klägerin auch nicht Partei des vorliegenden Verfahrens. In der Folge wurde Rechtsanwalt K._ im Verfahren zugelassen.
Mit Entscheid vom 25. Juni 2018 trat das Handelsgericht auf die Klage aufgrund vollmachtlosen Handelns, eventualiter eines Interessenkonflikts von lic. iur. F._ und Dr. iur. G._ nicht ein und auferlegte die Prozesskosten diesen persönlich.
Die von lic. iur. Christian Brunner im Namen der A._ Inc. geführte Beschwerde in Zivilsachen hiess das Bundesgericht mit Urteil vom 5. Juni 2019 teilweise gut; der Entscheid des Handelsgerichts vom 25. Juni 2018 wurde aufgehoben und die Sache zu neuer Beurteilung an das Handelsgericht zurückgewiesen (Urteil 4A_454/2018 vom 5. Juni 2019).
B.
B.a. Mit Eingabe vom 18. Juni 2019 teilte Dr. iur. Peter Lutz mit, dass er anstelle von lic. iur. K._ die A._ Inc. vertrete. In der Folge wurde Dr. iur. Peter Lutz im Verfahren zugelassen.
Mit Eingabe vom 22. Juni 2019 teilte lic. iur. Christian Brunner mit, dass er die Klägerin vertrete.
Mit Verfügung vom 26. Juni 2019 wurde den Parteien mitgeteilt, dass zur Beurteilung der rechtsgültigen Vertretung durch lic. iur. Christian Brunner oder Dr. iur. Peter Lutz das Recht von Panama zu berücksichtigen sei. Der Nachweis dieses Rechts sei mit Verfügung vom 9. Mai 2017 den Parteien überbunden worden, jedoch lasse sich der für die Beantwortung der relevanten Rechtsfragen erforderliche Nachweis des panamaischen Rechts den zahlreichen Unterlagen der Parteien nicht entnehmen. Daher sei beim Schweizerischen Institut für Rechtsvergleichung in Lausanne ein Gutachten gemäss <ref-law> einzuholen. Als verantwortliche Gutachterin bestellte das Handelsgericht mit Verfügung vom 13. August 2019 Prof. Dr. iur. Q._.
In der gleichen Verfügung zog der Vizepräsident sodann Folgendes in Erwägung:
"8. Lic. iur. Christian Brunner wird darauf aufmerksam gemacht, dass gestützt auf <ref-law> die Prozesskosten ihm auferlegt werden, sollte der Nachweis einer rechtsgültigen Vollmacht scheitern (vgl. bereits E. 9.2 der Verfügung vom 30. August 2017). Die Gültigkeit der Vollmacht vom 19. Juni 2019 (Beilage 151) ist umstritten und, die Ergebnisse des Gutachtens vorbehalten, zumindest zweifelhaft."
B.b. Mit Eingabe vom 19. August 2019 beantragte lic. iur. Christian Brunner namens der Klägerin, Oberrichter Vetter (nachfolgend: der Oberrichter) und Obergerichtsschreiber Schneuwly (nachfolgend: der Obergerichtsschreiber) seien kostenfällig zu verpflichten, im Verfahren HOR.2017.38 i.S. A._ Inc. gegen B._ AG und C.C._ in den Ausstand zu treten und es sei ein anderer Handelsrichter/eine andere Handelsrichterin als primär für die Prozessleitung (<ref-law>) zuständig zu bezeichnen sowie ein anderer Gerichtsschreiber einzusetzen.
Mit Entscheid vom 4. Oktober 2019 wies das Handelsgericht (ohne Oberrichter Vetter und unter Mitwirkung eines andern Gerichtsschreibers) das Ausstandsgesuch ab. Kosten wurden nicht auferlegt und keine Parteientschädigung zugesprochen.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt Rechtsanwalt Christian Brunner im Namen der Klägerin unter Aufrechterhaltung der vor Handelsgericht gestellten Ausstandsbegehren die Aufhebung des Entscheids vom 4. Oktober 2019.
Der Oberrichter und der Obergerichtsschreiber (nachfolgend zusammen: das Instruktionsgremium) bestritten mit Eingabe vom 29. Oktober 2019 verschiedene, von der Beschwerdeführerin vorgebrachten Behauptungen, stellten aber keinen Antrag.
Die Vorinstanz verzichtete auf Vernehmlassung und teilt mit Schreiben vom 5. November 2019 mit, das Verfahren sei zumindest bis zum Entscheid des Bundesgerichts über das Ausstandsgesuch sistiert.
Der Nebenintervenient bzw. die Beklagte trugen mit Vernehmlassungen vom 4. bzw. 5. Dezember 2019 auf Abweisung der Beschwerde an, soweit darauf einzutreten sei; unter Kosten- und Entschädigungsfolge zulasten von Rechtsanwalt Christian Brunner.
Die Beschwerdeführerin hat am 23. Dezember 2019 unaufgefordert repliziert.
Erwägungen:
1.
Nach <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch darauf, dass ihre Streitsache von einem unbefangenen, unvoreingenommenen und unparteiischen Richter beurteilt wird. Es soll garantiert werden, dass keine sachfremden Umstände, die ausserhalb des Prozesses liegen, in sachwidriger Weise zugunsten oder zulasten einer Partei auf das gerichtliche Urteil einwirken. <ref-law> soll zu der für einen korrekten und fairen Prozess erforderlichen Offenheit des Verfahrens im Einzelfall beitragen und damit ein gerechtes Urteil ermöglichen (<ref-ruling> E. 4.3; <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 736; <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 124, 433 E. 2.1.2).
Die Garantie des verfassungsmässigen Richters wird verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Voreingenommenheit und Befangenheit in diesem Sinne werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn im Einzelfall anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände Gegebenheiten aufscheinen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Dabei ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit hervorrufen. Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist (<ref-ruling> E. 4.3; <ref-ruling> E. 3.1.1; <ref-ruling> E. 4.1 S. 222; je mit Hinweisen).
2.
Die Beschwerdeführerin bringt mehrfach vor, die Vorinstanz habe die Begründungspflicht (<ref-law>) verletzt.
Die aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör fliessende grundsätzliche Pflicht der gerichtlichen Behörde, ihren Entscheid zu begründen, bedeutet nicht, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzen und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegen muss. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (vgl. <ref-ruling> E. 9.2 S. 65 mit Hinweisen).
Diesen Anforderungen genügt der Entscheid der Vorinstanz. Soweit die Beschwerdeführerin eine Verletzung von <ref-law> in hinreichender Weise gerügt und begründet hat (vgl. <ref-law>), vermag sie damit nicht durchzudringen.
3.
Die Beschwerdeführerin beruft sich auf keinen der spezifischen Ausstandsgründe gemäss Art. 47 Abs. 1 lit. a-e ZPO, sondern auf eine Befangenheit "aus anderen Gründen" im Sinn von <ref-law>.
Sie macht geltend, nach dem Rückweisungsentscheid des Bundesgerichts müsse das Handelsgericht beurteilen, ob Rechtsanwalt Lutz oder Rechtsanwalt Brunner die Klägerin vertreten könne. Die oben (B.a) zitierte Äusserung in der Verfügung vom 13. August 2019 zeige nun die Einseitigkeit und Voreingenommenheit des Instruktionsgremiums in zweifacher Hinsicht. Lediglich Rechtsanwalt Brunner werde die Auferlegung von Kosten angedroht, nicht aber auch Rechtsanwalt Lutz. Und nur die von Rechtsanwalt Brunner beigebrachte Vollmacht werde als "zumindest zweifelhaft" beschrieben.
Allgemein rügt sie, die beiden Gerichtspersonen würden mit dem Text gemäss Verfügung vom 13. August 2019 " (wieder) einseitig zum Nachteil der Klägerin Partei" ergreifen. Die Verwendung des Wortes "wieder" macht deutlich, dass es ihr letztlich darum geht zu verhindern, dass nicht jene Gerichtspersonen am Entscheid in der Sache beteiligt sein werden, die bereits einmal einen für sie negativen Entscheid mitverantwortet haben. Im gleichen Sinn weist sie darauf hin, dass das Urteil der Vorinstanz vom 25. Juni 2018 aufgehoben und das Bundesgericht der Vorinstanz Rechtsverweigerung, überspitzten Formalismus und Handeln gegen Treu und Glauben zum Nachteil der Klägerin vorgeworfen habe. Die jetzt vorgeworfene einseitige Äusserung sei auch vor diesem Hintergrund zu betrachten.
3.1. Die Regeln über den Ausstand sind auch auf Gerichtsschreiber anwendbar, sofern diese an der richterlichen Willensbildung des Spruchkörpers mitwirken, beispielsweise durch ihre beratende Funktion (<ref-ruling> E. 2b S. 501 mit Hinweisen; Urteile 2C_89/2019 vom 22. August 2019 E. 5.2 und 1C_517/2018 vom 4. April 2019 E. 2.1).
Die Beschwerdeführerin begründet ihr Ausstandsgesuch auch gegen den Obergerichtsschreiber namentlich mit dem Text der Verfügung vom 13. August 2019. Diese trägt neben der Fallnummer das Kürzel "as", also offensichtlich die Abkürzung für Vorname/Name des Obergerichtsschreibers. Demgegenüber trägt die ebenfalls zitierte Verfügung vom 26. Juni 2019 neben der Fallnummer das Kürzel "mv", also offensichtlich die Abkürzung für Vorname/Name des Oberrichters. Auch wenn die Verfügung vom 13. August 2019 lediglich vom Oberrichter unterzeichnet wurde, ist deshalb davon auszugehen, dass der Obergerichtsschreiber mitwirkte. In ihrer Stellungnahme vom 29. Oktober 2019 bestreiten die beiden dies denn auch nicht. Sie weisen lediglich darauf hin, dass die Verfahrensinstruktion dem Instruktionsrichter obliege und der Obergerichtsschreiber die Verfügung vom 13. August 2019 nicht unterzeichnet habe. Im Übrigen wurde auch im angefochtenen Entscheid die Mitwirkung des Obergerichtsschreibers an der Verfügung vom 13. August 2019 nicht in Frage gestellt.
Massgebend ist somit, ob der Obergerichtsschreiber bei der (künftigen) Urteilsfindung an der richterlichen Willensbildung mitwirkt. Diesbezüglich machen der Oberrichter und der Obergerichtsschreiber geltend, der Entscheid obliege dem fünfköpfigen Richtergremium. Der Obergerichtsschreiber sei nicht Teil dieses Richtergremiums und habe kein Stimmrecht. Er hat jedoch bei der Entscheidfindung beratende Stimme (§ 43 Gerichtsorganisationsgesetz des Kantons Aargau vom 6. Dezember 2011, SAR 155.200), was wie erwähnt genügt.
3.2. Wenn eine Gerichtsperson, die an einem durch die Rechtsmittelinstanz aufgehobenen Entscheid beteiligt war, nach der Rückweisung der Sache an der Neubeurteilung mitwirkt, liegt darin noch keine unzulässige Mehrfachbefassung (Urteil des Bundesgerichts 1B_94/2019 vom 15. Mai 2019 E. 2.4; vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 410). Von den beteiligten Gerichtspersonen wird grundsätzlich erwartet, dass sie die Sache mit der nötigen Professionalität und Unvoreingenommenheit nochmals behandeln. Anders verhält es sich nur ausnahmsweise, etwa wenn eine Gerichtsperson durch ihr Verhalten oder durch Bemerkungen klar zum Ausdruck gebracht hat, dass sie nicht willens oder fähig ist, von ihrer im aufgehobenen Entscheid vertretenen Auffassung Abstand zu nehmen und die Sache unbefangen neu wieder aufzunehmen (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 146; Urteile des Bundesgerichts 1B_269/2019 vom 9. Dezember 2019 E. 4.1 und 1B_94/2019 vom 15. Mai 2019 E. 2.4).
3.3. Zu prüfen bleibt, ob der erneut als Instruktionsrichter wirkende Oberrichter und der Obergerichtsschreiber durch ihr Verhalten zum Ausdruck gebracht haben, dass sie nicht in der Lage sind, die Sache unbefangen neu wieder aufzunehmen.
3.3.1. In der Verfügung vom 26. Juni 2019, mit welcher den Parteien Gelegenheit gegeben wurde, sich zur vorgesehenen Gutachterin zu äussern, wurde in E. 1 in Erwägung gezogen, für die Beurteilung der rechtsgültigen Vertretung der angeblichen Klägerin "durch lic. iur. Christian Brunner, Rechtsanwalt, oder Dr. Peter Lutz, Rechtsanwalt" sei das Recht von Panama zu berücksichtigen. Darauf bezieht sich der Beschwerdeführer. Er leitet u.a. daraus ab, dass es gleichermassen um beide Anwälte gehe und dass daher sowohl hinsichtlich der Androhung der Kostenauflage wie hinsichtlich des Hinweises, die Vollmacht sei "zumindest zweifelhaft", die Bezugnahme lediglich auf Rechtsanwalt Brunner die Voreingenommenheit belege. Die Ungleichbehandlung werde auch nicht durch die Verfahrensbeschränkung gerechtfertigt. Damit bezieht sie sich auf den Hinweis im angefochtenen Entscheid, es sei zu berücksichtigen, dass das Verfahren vor dem Eintritt von Rechtsanwalt K._ bzw. dessen Nachfolger Rechtsanwalt Lutz beschränkt worden sei. Die Gültigkeit der von diesen Rechtsvertretern zu den Akten gereichten Vollmachten sei aufgrund dieser Verfahrensbeschränkung zurzeit nicht zu prüfen. Auch der Oberrichter und der Obergerichtsschreiber wenden ein, die Erwähnung auch von Rechtsanwalt Lutz hätte angesichts der Verfahrensbeschränkung keinen Sinn gemacht. Diese sei nicht als Grund vorgeschoben worden. Sie verweisen diesbezüglich auf ihre Stellungnahme an die Vorinstanz. Die Beschwerdeführerin zitiere die Verfügung vom 26. Juni 2019 falsch.
3.3.2. Die Beschränkung des Verfahrens gemäss Verfügung vom 29. Mai 2017 war eine sehr enge, indem lediglich die rechtmässige Vertretung der A._ Inc. durch die Anwälte F._, G._ und/oder O._ (nachfolgend: die drei Rechtsanwälte) geprüft werden sollte - also jene Rechtsvertreter, welche für die A._ Inc. Klage eingereicht hatten. In der Verfügung (E. 7) wurde ausdrücklich darauf hingewiesen, dass diese Verfahrensbeschränkung enger sei als die von der Beschwerdegegnerin mit Eingabe vom 29. Mai 2017 beantragte Beschränkung auf die Frage der rechtsgültigen Vertretung der A._ Inc. und auf die Frage deren Aktivlegitimation. Gleichzeitig wurde den drei Rechtsanwälten wie erwähnt (A.b hiervor) die Auferlegung der Kosten angedroht. Hätte sich im Rahmen dieses eingeschränkten Prozessgegenstands ergeben, dass die drei Rechtsanwälte gültig bevollmächtigt waren, hätten die Kosten gemäss <ref-law> der unterliegenden Beschwerdegegnerin (und unter Umständen auch dem Nebenintervenienten) auferlegt werden können. Hätten sich die Vollmachten aber als ungültig erwiesen, wäre das Verfahren ohne Bevollmächtigung eingeleitet worden. Der Oberrichter und der Obergerichtsschreiber gingen deshalb davon aus, in diesem Fall hätten die Prozesskosten nicht der A._ Inc. auferlegt werden können. Da dennoch jemand der Beschwerdegegnerin und dem Gericht deren Prozesskosten hätte ersetzen müssen, hätten sie den diesfalls die Kosten verursachenden drei Rechtsanwälten auferlegt werden müssen. Daher sei diesen zur Gewährung des rechtlichen Gehörs die Kostenauflage angedroht worden (Vernehmlassung vom 22. August 2019 an die Vorinstanz, act. 1404). Da nach der Rückweisung vom Bundesgericht Rechtsanwalt Brunner neu - anstelle der drei Rechtsanwälte - geltend gemacht habe, die Beschwerdeführerin zu vertreten, sei es mit der Verfügung vom 13. August 2019 einzig darum gegangen, gleichsam "spiegelbildlich" auch diesen - wie zuvor die drei Rechtsanwälte - auf das Kostenrisiko hinzuweisen (Vernehmlassung an das Bundesgericht, S. 3 unten). Diese Ausführungen - insbesondere dass auch Rechtsanwalt Brunner als Nachfolger der früheren Vertreter auf eine mögliche Kostenauflage hingewiesen wurde - sind ohne weiteres nachvollziehbar.
Nachvollziehbar ist auch, dass vor dem Hintergrund dieser Prozessgeschichte nicht auch gleichzeitig Rechtsanwalt Lutz die Kostenauflage angedroht wurde. Nach der Verfahrensbeschränkung vom 29. Mai 2017 waren die drei Rechtsanwälte die einzigen behaupteten Vertreter der Klägerin, weshalb der Schriftenwechsel gemäss Verfügung vom 30. August 2017 nicht zur Sache, sondern lediglich zur Frage der rechtsgültigen Vertretung der Klägerin durch diese drei Anwälte angeordnet wurde. Dies änderte sich mit der Anzeige von Rechtsanwalt K._ vom 16. September 2017, mit welcher dieser seinerseits die rechtsgültige Vertretung der Klägerin beanspruchte. Da damit erstmals mehrere gegensätzliche Vertreter vorhanden waren, wäre es eigentlich bei der grundsätzlich vom Instruktionsgremium vertretenen Rechtsauffassung angezeigt gewesen, auch in Bezug auf Rechtsanwalt K._ die Kostenauflage anzudrohen. Denn ab diesem Zeitpunkt konnte sich die Frage der rechtsgültigen Vertretung der (angeblichen) Klägerin A._ Inc. nicht mehr nur auf die Vollmacht der drei Rechtsanwälte beziehen, sondern umfasste ohne weiteres auch die Vollmacht von Rechtsanwalt K._; entsprechend musste auch die Verfahrensbeschränkung verstanden werden. In diesem Sinn wird sie denn auch heute vom Instruktionsgremium verstanden, wird in der Verfügung vom 26. Juni 2019 (auf die in der Verfügung vom 13. August 2019 verwiesen wird) doch unmissverständlich davon ausgegangen, es sei die rechtsgültige Vertretung der angeblichen Klägerin durch Rechtsanwalt Brunner oder durch Rechtsanwalt Lutz zu beurteilen (E. 1). Dass eine Kostenandrohung an Rechtsanwalt K._ unterblieb, wurde aber nicht einmal von den damaligen "Gegenanwälten" F._, G._ und O._ als Voreingenommenheit aufgefasst; jedenfalls wurde nicht festgestellt und auch die Beschwerdeführerin behauptet nicht, diese hätten dagegen protestiert. Umso weniger lässt sich sagen, dass daraus bei objektiver Betrachtung eine einseitige Haltung des Instruktionsgremiums folgt. Es ist nun aber auch nachvollziehbar, dass das Instruktionsgremium bei Erlass der Verfügung vom 13. August 2019 sich schlicht an der früheren Praxis (Kostenandrohung gegenüber F._, G._ und O._, aber nicht gegenüber K._) orientierte und nun gegenüber Rechtsanwalt Brunner bzw. Rechtsanwalt Lutz parallel vorging. Es ist zu bedenken, dass das Dossier zwischenzeitlich auf rund 1400 Seiten Verfahrensakten angeschwollen war. Bei objektiver Betrachtung kann allein daraus, dass die frühere einseitige Handhabung fortgeführt wurde, nachdem nun zwischenzeitlich eine Rückweisung erfolgt war, nicht als Voreingenommenheit aufgefasst werden.
3.4. Auch die Formulierung, wonach die Vollmacht von Rechtsanwalt Brunner "umstritten und, die Ergebnisse des Gutachtens vorbehalten, zumindest zweifelhaft" ist, belegt objektiv betrachtet keine Voreingenommenheit. Insbesondere wird das Rechtsgutachten gerade vorbehalten und es bestehen keine Anhaltspunkte, dass das Gericht dessen Ergebnisse ignorieren könnte. Darüber hinaus erschliesst sich die Formulierung auch ohne weiteres als Folge der Kostenandrohung. Denn wäre die Gültigkeit der Vollmacht praktisch sicher, hätte die Kostenandrohung allenfalls unterbleiben können. Insofern trifft der Einwand der Beschwerdeführerin nicht zu, es sei evident, dass es überhaupt keinen Grund für diese Äusserung gerade in diesem Stadium des Verfahrens gegeben habe.
4.
4.1. Die Beschwerde ist somit abzuweisen. Da nach wie vor umstritten ist, wer die Beschwerdeführerin gültig vertreten darf, stellt sich die Frage, wie die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu verteilen sind.
Vorwegzunehmen ist, dass die Prozesskosten nicht dem Anwalt der Beschwerdeführerin auferlegt werden können. Zwar sind im bundesgerichtlichen Verfahren gemäss <ref-law> wie auch im kantonalen Verfahren (vgl. <ref-law>) unnötige Prozesskosten von deren Verursacher zu tragen. Eine Kostenauflage kommt jedoch gestützt auf <ref-law> grundsätzlich nur in Frage, wenn die Prozesskosten bei Wahrung gehöriger Sorgfalt nicht entstanden wären. Mit Blick auf die effektive Gewährleistung des Rechts der Prozessparteien auf den Beizug eines Vertreters ist bei der Auferlegung von Kosten an einen Rechtsanwalt besondere Zurückhaltung geboten. Prozesskosten können zwar auch einem Parteivertreter in Anwendung von <ref-law> bzw. <ref-law> auferlegt werden (vgl. <ref-ruling> E. 2.4.3; <ref-ruling> E. 2). Dies trifft jedoch nur zu, wenn der Parteivertreter die Grundsätze elementarer Sorgfalt missachtet (GEISER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N 24 zu <ref-law>). Entsprechende Sorgfaltspflichtverletzungen seitens der beigezogenen Anwälte sind vorliegend im bundesgerichtlichen Verfahren nicht ersichtlich, weshalb eine Kostenauflage an den Anwalt der Beschwerdeführerin nicht in Frage kommt.
Entsprechend der Regel von Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG sind vorliegend vielmehr die Prozesskosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der unterliegenden Partei aufzuerlegen. Da die A._ Inc. formell als Beschwerdeführerin auftritt, hat sie diese Kosten zu tragen. Sollte sich anlässlich der Klärung der Gesellschafterverhältnisse der A._ Inc. herausstellen, dass die Söhne von C.C._ nicht zu deren Vertretung befugt waren, könnte die A._ Inc. diese Kosten von diesen allenfalls zurückfordern.
4.2. Den Beschwerdegegnern 1 und 2 sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>). Hingegen haben der zur Vernehmlassung eingeladene Nebenintervenient und die Beklagte, welche Abweisung der Beschwerde beantragt hatten und mit diesem Antrag obsiegten, Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>). Dabei ist zu berücksichtigen, dass die Beklagte hauptsächlich auf die Eingabe des Nebenintervenienten verwies.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat C.C._ mit Fr. 3'000.-- und die B._ AG mit Fr. 2'000.-- für deren Parteikosten im bundesgerichtlichen Verfahren zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der B._ AG, C.C._ und dem Handelsgericht des Kantons Aargau, 2. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. März 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Curchod