Sachverhalt:
A.
A._ und B._ sind die mittlerweile geschiedenen Eltern der Tochter C._ (geb. 2009).
B.
B.a. Mit Eheschutzentscheid vom 23. Oktober 2015 stellte das Regionalgericht Bern-Mittelland das Kind unter die Obhut der Mutter. Zusätzlich regelte das Gericht das (provisorische) Besuchsrecht des Vaters. Für C._ wurde eine Beistandschaft im Sinne von <ref-law> errichtet. Die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Oberaargau (im Folgenden: KESB Oberaargau) wurde mit dem Vollzug der angeordneten Massnahmen betraut. Nach einer Ausweitung der Beistandschaft auf <ref-law> erfuhr das Kontaktrecht zwischen Vater und Kind in der Folge mehrere Anpassungen.
B.b. Mit Entscheid vom 24. September 2018 beauftragte die KESB Oberaargau die Beiständin, ein Besuchsrecht für den Vater auszuarbeiten und der KESB Oberaargau entsprechende Empfehlungen abzugeben. Die Beiständin beantragte der Vorinstanz mit Schreiben vom 10. April 2019 eine behördliche Anhörung der Eltern, da keine zufriedenstellende Besuchsregelung habe festgelegt werden können.
B.c. Mit Entscheid vom 6. Juni 2019 regelte die KESB Oberaargau das Besuchsrecht des Vaters neu und beschränkte die Besuche auf einen Sonntag pro Monat.
B.d. Auf Beschwerde des Vaters hin hob das Kindes- und Erwachsenenschutzgericht des Kantons Bern (Obergericht) den Entscheid der KESB Oberaargau wegen einer Verletzung des rechtlichen Gehörs auf und wies die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurück (Entscheid vom 28. August 2019). Nach einer Anhörung beider Elternteile entschied die KESB Oberaargau am 30. Januar 2020 neu wie folgt (Dispositiv-Ziff. 1) :
"a) Die Besuche finden am zweiten und am vierten Sonntag im Monat von 09.00 Uhr bis 18.00 Uhr statt.
b) Der Kindsvater holt C._ jeweils pünktlich ab und bringt sie pünkt lich zurück nach Hause.
c) Die Beiständin macht einen Besuchsplan mit den Daten der Besuchstage.
d) Die Beiständin führt mit den Kindseltern Quartalsgespräche durch und stellt der KESB entsprechende Anträge."
B.e. Gegen diesen Entscheid erhob A._ Beschwerde beim Obergericht des Kantons Bern. Sie stellte den folgenden Antrag:
"1. [...] Die Besuche zwischen dem Kindsvater [...] und C._ [...] finden während sechs Monaten seit Rechtskraft des vorliegenden Entscheids jeweils am letzten Sonntag im Monat von 09.00 Uhr - 18.00 Uhr statt, wobei der Kindsvater C._ bei der Kindsmutter abholt und sie wieder zu ihr zurückbringt. Nach Ablauf dieser sechs Monate soll C._ gefragt werden, ob sie eine Änderung wünsche, wobei ihre Sichtweise von einer Be zugsperson, in Abwesenheit der Kindsmutter, aufgenommen wird.
Zusätzlich holt der Kindsvater C._ wöchentlich [gemäss Korrektur vom 20. Februar 2020: monatlich] an einem (von ihm noch auszuwählenden) Wochentag um 12.35 Uhr von der Schule in Solothurn ab und bringt sie um 18.00 Uhr wieder zur Kindsmutter zurück."
Eventualiter beantragte A._, die Sache an die KESB Oberaargau zurückzuweisen mit der Anweisung, den rechtserheblichen Sachverhalt richtig und vollständig abzuklären und anschliessend das Besuchsrecht des Vaters neu festzulegen. Am 31. März 2020 reichte sie ausserdem eine Dokumentation über den Verlauf des Besuchsrechts ab Februar 2020 nach und stellte den Antrag, bei der Therapeutin von C._, lic. phil. D._, einen aktuellen Bericht zu den Vorstellungen und Wünschen von C._ betreffend den Kontakt zum Vater einzuholen.
B.f. Mit Entscheid vom 27. Mai 2020 wies das Obergericht die Beschwerde ab. Wie sich aus der Entscheidbegründung ergibt, wurde auch der Antrag der Beschwerdeführerin abgewiesen, einen Bericht der Therapeutin einzuholen.
C.
C.a. A._ (Beschwerdeführerin) wendet sich mit Beschwerde in Zivilsachen vom 2. Juli 2020 an das Bundesgericht und beantragt, das Besuchsrecht zwischen dem Kindsvater und C._ wie bereits vor der Vorinstanz beantragt zu regeln (vgl. Bst. B.e). Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht die Beschwerdeführerin ausserdem um unentgeltliche Rechtspflege.
C.b. Mit Schreiben vom 11. September 2020 informiert das Regionalgericht Emmental-Oberaargau das Bundesgericht über den Entscheid betreffend die Ehescheidung der Eltern, der am 15. Juli 2020 ergangen und in Rechtskraft erwachsen war. Integrierenden Bestandteil des dem Bundesgericht übermittelten Scheidungsurteils bildet eine Vereinbarung, die sich zur elterlichen Sorge (unter Einschluss der Obhut) und zum persönlichen Verkehr von Vater und Kind äussert.
C.c. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 168).
2.
2.1. Angefochten ist der Endentscheid (<ref-law>) eines oberen kantonalen Gerichts, das als Rechtsmittelinstanz (<ref-law>) über den persönlichen Verkehr zwischen einem minderjährigen Kind und dem nicht obhutsberechtigten Elternteil und damit über eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache nach <ref-law> entschieden hat. Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Auf die rechtzeitige (<ref-law>) Beschwerde ist unter Vorbehalt des im Folgenden Gesagten grundsätzlich einzutreten.
2.2. Die Beschwerdebefugnis setzt in der Regel ein aktuelles und praktisches Interesse an der Gutheissung der Beschwerde voraus, das auch im Zeitpunkt der Fällung des bundesgerichtlichen Urteils noch vorhanden sein muss (s. <ref-ruling> E. 1.2 S. 157). Die Beschwerdeführerin muss eine im konkreten Fall eingetretene Verletzung ihrer Rechte geltend machen; sie kann sich nicht damit begnügen, faktisch irrelevante Rechtsfragen aufzuwerfen (Urteil 5A_273/2020 vom 23. Juni 2020 E. 3.1 mit Hinweis). Ist das schutzwürdige Interesse schon bei Einreichung der Beschwerde nicht gegeben, so tritt das Bundesgericht auf die Beschwerde nicht ein. Liegt das praktische Interesse im Zeitpunkt der Beschwerdeerhebung hingegen vor, fällt es aber nachträglich weg, ist der Rechtsstreit gemäss <ref-law> (SR 273) in Verbindung mit <ref-law> als gegenstandslos geworden abzuschreiben (<ref-ruling> E. 2.1 S. 500 mit Hinweisen). Dieser Vorschrift zufolge entscheidet das Gericht mit summarischer Begründung über die Prozesskosten aufgrund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes (<ref-ruling> E. 4a S. 494 f.).
Im vorliegenden Fall steht fest, dass die Ehe der Parteien am 15. Juli 2020 geschieden wurde und das Scheidungsurteil am selben Tag in Rechtskraft erwachsen ist (s. Sachverhalt Bst. C.b). Damit hat die Beschwerdeführerin ihr Interesse am Eheschutzentscheid und gestützt darauf auch dasjenige an den Massnahmen verloren, welche die KESB Oberaargau angeordnet und das Obergericht bestätigt hat. Das Scheidungsurteil erging, nachdem die Beschwerdeführerin am 2. Juli 2020 an das Bundesgericht gelangte. Entsprechend ist vom nachträglichen Wegfall des Interesses auszugehen. Die Beschwerde ist damit als gegenstandslos geworden abzuschreiben und die Rechtslage wird nur im Hinblick auf die Kostenregelung überprüft. Diesbezüglich gilt, was folgt:
3.
3.1. Eheschutzentscheide gelten als Entscheide über vorsorgliche Massnahmen im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 5 S. 396 f.). Daher kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Auch die Anwendung von Bundesgesetzen prüft das Bundesgericht im Rahmen von <ref-law> nur auf die Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) hin (vgl. Urteil 5A_857/2016 vom 8. November 2017 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>). In Verfahren nach <ref-law> kommt zudem eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588 f. mit Hinweisen). Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; Rügeprinzip). Es prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368).
3.2. Im vorliegenden Fall muss Gleiches gelten. Anfechtungsobjekt ist zwar ein Urteil, das formell auf den Entscheid einer Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde zurückgeht. In der Sache aber erging dieser Entscheid im Anschluss an die von der Vorinstanz als provisorisch bezeichnete Besuchsrechtsregelung im Eheschutzentscheid des Regionalgerichts Bern-Mittelland vom 23. Oktober 2015 (s. Sachverhalt Bst. B.a). Wie dieser Eheschutzentscheid regelt auch der Entscheid der KESB Oberaargau das Getrenntleben der zum damaligen Zeitpunkt noch verheirateten Eltern. Nach dem Gesagten könnte das Bundesgericht deshalb bloss prüfen, ob die Vorinstanz verfassungsmässige Rechte der Beschwerdeführerin verletzt hat, und es würde das Rügeprinzip gelten. Nicht einzutreten wäre auf die Beschwerde daher insofern, als die Beschwerdeführerin eine Verletzung von <ref-law> geltend macht, ohne dabei einen Willkürvorwurf (<ref-law>) zu erheben. Zu prüfen bleibt, ob der Vorinstanz vorgeworfen werden kann, das rechtliche Gehör der Beschwerdeführerin (<ref-law>) verletzt zu haben.
3.3. Die Beschwerdeführerin begründet die angebliche Gehörsverletzung damit, dass sie bereits in ihrer Beschwerde an die Vorinstanz (s. Sachverhalt Bst. B.e) eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht habe, da sich die Situation in Bezug auf das Besuchsrecht im Zeitpunkt des Entscheids vom 30. Januar 2020 (s. Sachverhalt Bst. B.d) gleich präsentiert habe wie anlässlich der Anhörung vom 7. Mai 2019, die KESB Oberaargau jedoch auf eine entsprechende Reduktion des Besuchsrechts verzichtet habe. Die Vorinstanz sei auf die geltend gemachte Verletzung des Willkürverbots nicht eingegangen. Sie habe dieses Vorbringen weder gehört, geprüft noch in ihrer Entscheidfindung berücksichtigt.
Eine Gehörsverletzung erblickt die Beschwerdeführerin auch darin, dass die Vorinstanz auf eine Abnahme der ihr rechtzeitig und formrichtig angebotenen Beweismittel verzichtet habe. Gemäss <ref-law> sei der Sachverhalt von Amtes wegen zu erforschen gewesen. Die Untersuchungspflicht des Gerichts reiche so weit und daure so lange, bis über die Tatsachen, die für die Beurteilung des streitigen Anspruchs erforderlich sind, hinreichend Klarheit bestehe. Gemäss <ref-law> werde das Kind durch das Gericht oder eine beauftragte Drittperson in geeigneter Weise persönlich angehört, sofern sein Alter oder andere wichtige Gründe nicht dagegen sprechen würden. Kinder zwischen sechs und zwölf Jahren seien grundsätzlich anzuhören. Wegen der Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes, des Rechts auf Anhörung nach <ref-law> und des rechtlichen Gehörs gemäss <ref-law> habe die Vorinstanz zugleich auch den Sachverhalt in Verletzung von <ref-law> festgestellt.
Weiter macht die Beschwerdeführerin geltend, dass der Wille des Kindes für die Regelung des Besuchsrechts von herausragender Bedeutung sei. Sie habe mit Eingabe vom 31. März 2020 der Vorinstanz beantragt, einen aktuellen Bericht bei der behandelnden Therapeutin von C._ einzuholen, der sich insbesondere zu ihren Vorstellungen und Wünschen betreffend Kontakt mit ihrem Vater äussere (s. Sachverhalt Bst. B.e). Hierbei sei weiter zu erwähnen, dass C._ von der KESB Oberaargau (auf eigenen Wunsch hin) nicht angehört worden sei, da das von dieser geplante Setting nicht kindgerecht gewesen sei. Ein solches Setting sei C._ aufgrund ihrer bisherigen negativen Erfahrungen mit den Behörden, insbesondere aufgrund ihrer Fremdplatzierung, nicht zumutbar gewesen. Aus dem gleichen Grund habe man auch nicht die Anhörung durch die Vorinstanz, sondern die Einholung eines Berichts der behandelnden Therapeutin beantragt. Zu dieser habe bereits ein Vertrauensverhältnis bestanden. Auch habe diese das Thema Besuchsrecht mit C._ besprochen, um deren Willen zu ermitteln.
Die Vorinstanz habe diesen Antrag einzig mit der Begründung abgewiesen, dass von einem solchen Bericht keine entscheidwesentlichen Informationen zu erwarten gewesen wären und - pauschal - dass das Besuchsrecht nicht vom Willen des Kindes abhängig gemacht werden dürfe. Damit habe es die Vorinstanz unterlassen, den Willen des Kindes festzustellen. Folglich habe die Vorinstanz den Willen des Kindes bei ihrer Entscheidfindung auch nicht berücksichtigt, da ein solcher gar nicht erst ermittelt worden sei. So vorzugehen sei umso gravierender, als C._, obwohl 12-jährig und zur autonomen Willensbildung fähig, bis anhin gar noch nicht zu ihren Vorstellungen angehört wurde. Die richtige Feststellung des Sachverhalts sei entscheidend für den Ausgang des Verfahrens, da der Wille des Kindes für die Regelung des Besuchsrechts von herausragender Bedeutung sei. Bei korrekter und vollständiger Ermittlung des Sachverhalts sei ein anderer Entscheid in der Sache möglich und denkbar.
3.4.
3.4.1. Der verfassungsmässige Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verlangt, dass das Gericht die Vorbringen der vom Entscheid in ihrer Rechtsstellung Betroffenen tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt (<ref-ruling> E. 4.1 S. 88 mit Hinweisen). Damit sich sowohl die Parteien als auch die Rechtsmittelinstanz über die Tragweite des Entscheids ein Bild machen können, hat das Gericht seinen Entscheid zu begründen. Die Begründung muss kurz die Überlegungen nennen, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die sich sein Entscheid stützt. Nicht erforderlich ist hingegen, dass sich der Entscheid mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt; es genügt, wenn der Entscheid gegebenenfalls sachgerecht angefochten werden kann (<ref-ruling> E. 6.2 S. 274; <ref-ruling> E. 2.2 S. 183; <ref-ruling> E. 2.2 S. 84; <ref-ruling> E. 3.2 S. 270; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 188). Der angefochtene Entscheid entspricht diesen Anforderungen. Das Obergericht bringt hinreichend klar zum Ausdruck, warum es sich hinter den Entscheid der KESB Oberaargau stellt. Dies gilt auch für den Vorwurf, diese sei in Willkür verfallen. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs der Beschwerdeführerin ist nicht auszumachen.
3.4.2. Zum Scheitern verurteilt ist auch der Versuch der Beschwerdeführerin, der Vorinstanz unter dem Deckmantel einer Gehörsrüge eine mangelhafte Feststellung des Sachverhalts vorzuwerfen. In Tat und Wahrheit zielt der Vorwurf der Beschwerdeführerin auch in diesem Fall darauf, der Vorinstanz eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes (<ref-law>) sowie der Bestimmung über die Anhörung des Kindes vorzuwerfen (<ref-law>). Um erfolgreich zu sein, müsste die Beschwerdeführerin deshalb Willkür dartun. Davon kann keine Rede sein. Vielmehr muss es sich die Beschwerdeführerin selbst zuschreiben, wenn ihre Tochter der Einladung zur Kindesanhörung keine Folge leistete. Bloss zu behaupten, die von der KESB Oberaargau geplante Anhörung sei nicht kindgerecht und C._ habe schlechte Erfahrungen mit Behörden gemacht, genügt nicht, um einer Kindesanhörung auszuweichen. Unter Verfassungsgesichtspunkten ist es nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz darauf nicht eingegangen ist, d.h. den Kindeswillen nicht weiter abgeklärt hat. Daran ändert auch nichts, dass eine antizipierte Beweiswürdigung im Zusammenhang mit der Kindesanhörung nur unter qualifizierten Voraussetzungen in Frage kommt (s. dazu <ref-ruling> E. 3.3.2 S. 207 f.).
4.
Bei diesem mutmasslichen Ausgang des Verfahrens in der Sache unterliegt die Beschwerdeführerin (vgl. Urteil 5A_966/2016 vom 16. März 2018 E. 5.1.5). Sie muss deshalb für die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens aufkommen (Art. 66 Abs. 1 und 2 BGG). Ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist abzuweisen, da der Beschwerde zum Vornherein keine Erfolgsaussichten beschieden waren (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Dem Beschwerdegegner sind keine Kosten entstanden. Weder er noch die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde sind zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Verfahren wird zufolge Gegenstandslosigkeit abgeschrieben.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Oberaargau, C._, der Sozialabteilung Herzogenbuchsee und dem Obergericht des Kantons Bern, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Januar 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn