Fatti:
A.
A.a. Il 18 gennaio 2008 A._, cittadino italiano residente in Italia, ha aperto presso la succursale di Lugano della banca B._SA un conto. Il 10 giugno 2016 egli ha, tramite il suo avvocato, invano chiesto di chiudere la relazione con la consegna a contanti del saldo di fr. 487'881.32. La banca ha indicato che non avrebbe dato seguito all'ordine fintanto che il cliente non le avrebbe mandato uno dei due specificati documenti concernenti la situazione fiscale, ma che avrebbe eseguito un eventuale ordine di trasferimento degli averi presso un istituto bancario in Svizzera o in un paese con il quale può essere attuato lo scambio di informazioni nel senso delle convenzioni per evitare la doppia imposizione con l'Italia. Essa ha pure soggiunto che non era possibile effettuare l'operazione, perché il cliente non aveva nemmeno indicato l'uso o l'investimento al quale erano destinati i contanti.
A.b. Con istanza 27 giugno 2016, promossa innanzi alla Pretura di Lugano nella procedura sommaria a tutela giurisdizionale nei casi manifesti, A._ ha chiesto che la banca B._SA fosse condannata a estinguere il conto e a consegnargli l'integralità degli averi (fr. 487'082.71) con la comminatoria penale e una multa disciplinare per ogni giorno di ritardo. Il Pretore ha dichiarato inammissibile l'istanza con decisione 14 settembre 2016.
B.
Con sentenza 24 maggio 2018 la II Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino ha respinto, nella misura in cui era ricevibile, l'appello presentato da A._. Dopo aver considerato il gravame irricevibile nella misura in cui erano semplicemente invocate in modo generico una serie di norme, la Corte cantonale ha indicato che il primo giudice non ha negato la possibilità di prelevare a contanti gli averi, ma ha evidenziato l'importanza del concetto di tracciabilità dell'operazione alla luce dell'obbligo di tenere un comportamento irreprensibile previsto dall'art. 3 cpv. 2 lett. c della legge federale sulle banche (RS 952.0; LBCR). Ha poi ritenuto che per negare il presupposto del caso manifesto basta che la parte convenuta formuli delle eccezioni o obbiezioni, che dal punto di vista fattuale non possono essere subito confutate dal giudice, ciò che la banca ha in concreto fatto, fornendo un'approfondita analisi sui rischi giuridici e reputazionali in cui incorrerebbe effettuando il richiesto pagamento.
C.
Con ricorso in materia civile del 28 giugno 2018 A._ postula l'annullamento della sentenza impugnata e la sua riforma nel senso che il suo appello sia accolto e che sia ordinato alla banca, con una comminatoria penale e la minaccia di una multa, di consegnargli in contanti fr. 487'082.71. Afferma che giusta gli art. 84 CO e 2 della legge federale sull'unità monetaria e i mezzi di pagamento (RS 941.10; LUMP) il pagamento in contanti è l'unica modalità imposta dalla legge per l'estinzione di obbligazioni pecuniarie in caso di disaccordo fra le parti. Contesta poi che l'art. 3 LBCR possa giustificare il mancato versamento a contanti dell'avere bancario. Afferma inoltre che la banca non ha sostanziato o reso verosimile che gli averi non siano conformi al diritto fiscale italiano o che essa possa essere perseguita penalmente dalle autorità italiane. Conclude sostenendo che nemmeno l'assenza di una tracciabilità del flusso di denaro potrebbe giustificare il mancato versamento.
Con risposta 3 settembre 2018 la banca B._SA propone, in ordine, di dichiarare il ricorso inammissibile e, nel merito, di respingerlo.
A._, il 18 settembre 2018, e la banca B._SA, il 3 ottobre 2018, hanno proceduto spontaneamente a un secondo scambio di scritti.

Diritto:
1.
Il ricorso è presentato dalla parte soccombente nella procedura cantonale (art. 76 cpv. 1 lett. a LTF), è tempestivo (art. 100 cpv. 1 LTF) ed è volto contro una sentenza finale (art. 90 LTF) emanata su ricorso dall'autorità ticinese di ultima istanza (art. 75 LTF) in una causa civile (art. 72 cpv. 1 LTF) con un valore di lite superiore a fr. 30'000.-- (art. 74 cpv. 1 lett. b LTF). Esso si rivela pertanto in linea di principio ammissibile.
2.
2.1. Giusta l'art. 42 cpv. 2 LTF nei motivi del ricorso occorre spiegare in modo conciso perché l'atto impugnato viola il diritto. Un ricorso non sufficientemente motivato è inammissibile (<ref-ruling> consid. 2.1). Per soddisfare le esigenze di motivazione, il ricorrente deve confrontarsi con l'argomentazione della sentenza impugnata e spiegare in cosa consiste la violazione del diritto. Egli non può limitarsi a ribadire le posizioni giuridiche assunte durante la procedura cantonale, ma deve criticare i considerandi del giudizio attaccato che ritiene lesivi del diritto (sentenza 4A_273/2012 del 30 ottobre 2012 consid. 2.1, non pubblicato in <ref-ruling>). La motivazione dev'essere contenuta nell'atto presentato entro il termine di ricorso: il ricorrente non può completare o migliorare la sua impugnativa con la replica (sentenza 4A_86/2013 del 1° luglio 2013 consid. 1.2.2, non pubblicato in <ref-ruling>; <ref-ruling> consid. 2.2).
Il Tribunale federale, pur applicando d'ufficio il diritto federale (art. 106 cpv. 1 LTF), considera di regola solo gli argomenti proposti nell'atto di ricorso (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.1) e fonda la sua sentenza sui fatti accertati dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 1 LTF). A questi appartengono sia le constatazioni concernenti le circostanze relative all'oggetto del litigio sia quelle riguardanti lo svolgimento della procedura innanzi all'autorità inferiore e in prima istanza, vale a dire gli accertamenti che attengono ai fatti procedurali (<ref-ruling> consid. 1.3.1 con riferimenti). Il Tribunale federale può unicamente rettificare o completare l'accertamento dei fatti dell'autorità inferiore, se esso è manifestamente inesatto o risulta da una violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF (art. 105 cpv. 2 LTF). "Manifestamente inesatto" significa in questo ambito "arbitrario" (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.5). La parte che critica la fattispecie accertata nella sentenza impugnata deve sollevare la censura e motivarla in modo preciso, come esige l'art. 106 cpv. 2 LTF (<ref-ruling> consid. 2.3, con rinvii). Essa deve spiegare in maniera chiara e circostanziata in che modo queste condizioni sarebbero soddisfatte (<ref-ruling> consid. 1.3.1 con rinvii). Se vuole completare la fattispecie deve dimostrare, con precisi rinvii agli atti della causa, di aver già presentato alle istanze inferiori, rispettando le regole della procedura, i relativi fatti giuridicamente pertinenti e le prove adeguate (<ref-ruling> consid. 2). Se la critica non soddisfa queste esigenze, le allegazioni relative a una fattispecie che si scosta da quella accertata non possono essere prese in considerazione (<ref-ruling> consid. 1.3.1). L'eliminazione del vizio deve inoltre poter essere determinante per l'esito del procedimento (art. 97 cpv. 1 LTF).
2.2. È esatto che il ricorrente riprende in larga misura (addirittura testualmente) il suo appello, ma - diversamente da quanto sostiene l'opponente nella sua risposta - il gravame non si esaurisce in un'inammissibile riesposizione di quanto sostenuto innanzi all'autorità inferiore. Qui di seguito l'impugnativa verrà esaminata alla luce dei predetti requisiti di motivazione, ricordato che - contrariamente a quanto affermato nella replica - il fatto che un'argomentazione non sarebbe stata esaminata dalla Corte cantonale non permette di semplicemente riproporla innanzi al Tribunale federale. Anche nel caso di una siffatta eventualità, incombe al ricorrente spiegare perché l'asserita omissione dell'autorità inferiore viola il diritto.
3.
Giusta l'art. 257 cpv. 1 CPC il giudice accorda tutela giurisdizionale in procedura sommaria se i fatti sono incontestati o immediatamente comprovabili (lett. a) e la situazione giuridica è chiara (lett. b). I fatti sono incontestati, se essi non sono stati contestati dal convenuto e sono immediatamente comprovabili, se essi possono essere accertati senza indugio e senza troppe spese. Di regola la prova è addotta mediante la produzione di documenti conformemente all'art. 254 cpv. 1 CPC. Se il convenuto fa valere delle obbiezioni motivate e concludenti, che non possono essere subito scartate e che sono di natura da far vacillare il convincimento del giudice, la procedura dei casi manifesti è inammissibile (<ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 5.1.1).
La situazione giuridica è chiara se l'applicazione della norma al caso concreto si impone in modo evidente con riguardo al testo legale o in base a una dottrina e una giurisprudenza invalse. Per contro la situazione giuridica non è di regola chiara se la parte convenuta oppone delle obiezioni o eccezioni motivate su cui il giudice non può statuire immediatamente o se l'applicazione di una norma richiede l'emanazione di una decisione di apprezzamento o in equità con una valutazione di tutte le circostanze del caso (<ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 2.1.2, con rif.). Per impedire l'accoglimento di una domanda fondata sull'art. 257 CPC non basta tuttavia che la parte convenuta semplicemente sostenga che ci si trova in presenza di una simile situazione o che la stessa potrebbe remotamente entrare in linea di conto (cfr. con riferimento ad un preteso abuso di diritto la sentenza 4A_329/2013 del 10 dicembre 2013 consid. 6.1). Non è nemmeno possibile vanificare la procedura in discussione invocando degli argomenti speciosi, eccependo segnatamente in modo artificioso del diritto straniero (sentenza 4A_415/2013 del 20 gennaio 2014 consid. 7).
4.
4.1. Rispondendo all'obbiezione dell'attore secondo cui l'uso di contanti costituisce l'unico mezzo previsto dalla legge per l'estinzione di obbligazioni pecuniarie, la Corte cantonale ha ritenuto che alla luce dell'obbligo delle banche di tenere un comportamento irreprensibile giusta l'art. 3 cpv. 2 lett. c LBCR il concetto di tracciabilità dell'operazione appare importante, anche con riferimento al reato - previsto dal diritto italiano - di auto-riciclaggio. Essa ha osservato che la posizione della FINMA sui rischi transfrontalieri del 22 ottobre 2010, citata dal Pretore, è funzionale all'interpretazione dell'art. 3 cpv. 2 LBCR, norma che ha un "effetto duplice e speculare di tutela, nel senso che protegge sia il cliente sia la banca ". La Corte cantonale ha poi indicato che la banca ha fornito un'approfondita analisi sui rischi giuridici e reputazionali, rendendo così non manifesta nel senso dell'art. 257 CPC la pretesa fatta valere dall'istante e ha per questo motivo ritenuto corretta la decisione pretorile di dichiarare inammissibile l'istanza.
4.2. Il ricorrente ribadisce che la consegna di contanti sarebbe l'unica modalità di estinzione di un debito pecuniario prevista dalla legge (art. 84 CO) nel caso in cui le parti non si siano accordate in altro modo. Sostiene poi, basandosi sul tenore letterale dell'art. 3 cpv. 2 lett. c LBCR, che tale norma si riferisce alle persone incaricate dell'amministrazione e della direzione della banca e condiziona unicamente il rilascio di una licenza bancaria, ragione per cui non potrebbe influire sui contratti fra banca e cliente. In via subordinata indica che la banca avrebbe ritenuto assodato di incorrere in un rischio reputazionale consegnando in contanti gli averi e omesso di indicare in che modo potrebbe essere sottoposta alla giurisdizione italiana.
4.3. È innanzi tutto opportuno osservare che in base alla giurisprudenza l'art. 3 cpv. 2 lett. c LBCR non si limita a porre delle condizioni ai direttori e agli amministratori delle banche, ma impone pure a queste di condurre un'attività irreprensibile. Una tale attività non è data se esse sono coinvolte in affari illeciti o contrari ai buoni costumi (<ref-ruling> consid. 3a). Nella <ref-ruling> questo Tribunale ha ad esempio segnatamente indicato che la partecipazione di una banca ad operazioni fittizie destinate ad impedire un pignoramento o un sequestro imminenti è incompatibile con il requisito dell'attività irreprensibile richiesta dalla predetta norma. La disposizione in questione si riferisce ai presupposti che regolano la concessione di un'autorizzazione alla banca a esercitare la sua attività ed è quindi di diritto pubblico. Ciò non significa però che essa non possa avere delle ripercussioni sul rapporto fra banca e cliente (contra: CARLO LOMBARDINI, Banques et clients en situation fiscale irrégulière: un état des lieux, in Not@lex 2015, pag. 46) : sarebbe infatti contraddittorio pretendere in una procedura civile che la banca esegua operazioni contrarie al requisito in discussione per poi sanzionarla in una procedura amministrativa avviata dall'autorità di vigilanza.
In concreto, la Corte cantonale ha accertato che l'opponente ha fornito un'approfondita analisi sui rischi giuridici e reputazionali e ha ritenuto che questa fa sì che la pretesa dell'attore non sia manifesta. Il ricorrente afferma invero in particolare che " occorre segnalare " che la banca si sarebbe accontentata " a dare per scontato " di incorrere in un rischio reputazionale consegnando in contanti gli averi e che essa nemmeno avrebbe indicato in che modo il suo agire possa rientrare nella giurisdizione italiana. Sennonché, nel ricorso, in cui in parte semplicemente ricopia quanto allegato con l'appello, egli non formula alcuna ammissibile critica del predetto accertamento (v. sulle esigenze di motivazione, supra consid. 2.1). Ora, sapere se i rischi corsi dalla banca giustificano la mancata esecuzione dell'ordine del cliente è una questione di apprezzamento (cfr. CARLO LOMBARDINI, op. cit., pag. 37 segg; SUSAN EMMENEGGER/RAHEL GOOD, Der Einfluss ausländischer (Steuer-) Regulierung auf die Bank/Kunden-Beziehung: Welche Rechte haben Abschleicher? in: Verhaltensregeln, Schweizerische Bankrechtstagung 2015, pag. 71 segg.).
Non soccorre il ricorrente nemmeno l'invocazione degli art. 84 CO e 2 LUMP. Si tratta infatti da un lato in larga misura di un'inammissibile trascrizione del rimedio cantonale e d'altro canto le predette norme non impongono che in qualsiasi circostanza un debito debba venire incondizionatamente estinto con un pagamento a contanti. Determinare se in concreto effettivamente sussistano tali eccezioni esula dalla procedura incoata dal ricorrente, poiché basta che la loro esistenza non possa essere immediatamente esclusa. Altrettanto vale per le contestazioni attinenti alla pretesa irrilevanza della tracciabilità del flusso di denaro. Giova infine rilevare che già nella sentenza 4A_168/2015 del 28 ottobre 2015 il Tribunale federale aveva indicato che, sebbene in linea di principio il cliente di una banca sita in Svizzera abbia diritto, in base alle norme del diritto civile applicabili, a ottenere alla fine della relazione contrattuale il pagamento a contanti dei propri averi anche senza aver previamente firmato dei documenti che ne attestano la conformità fiscale (consid. 4), potevano essere ipotizzabili delle obbiezioni da parte della banca che escludono la possibilità di decidere nella procedura dell'art. 257 CPC le richieste di pagamento in contanti (consid. 8).
La Corte cantonale non ha quindi violato il diritto federale respingendo, nella misura in cui era ammissibile, l'appello inoltrato dall'attore contro la decisione con cui il Pretore ha dichiarato inammissibile l'istanza, presentata nella procedura di tutela giurisdizionale nei casi manifesti, tendente a ordinare alla banca la consegna a contanti degli averi bancari.
5.
Da quanto precede discende che il ricorso si rivela, nella misura in cui è ammissibile, infondato e come tale va respinto. Le spese giudiziarie e le ripetibili seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 LTF).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 8'000.-- sono poste a carico del ricorrente, che rifonderà all'opponente fr. 9'000.-- a titolo di ripetibili per la procedura innanzi al Tribunale federale.
3.
Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.