Sachverhalt:
A.
Nachdem ein erstes Gesuch im Dezember 2008 abgelehnt worden war, meldete sich A._ im November 2012 erneut bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen (u.a. Gutachten Psychiatrische Klinik B._ vom 29. September 2014 mit ergänzenden Stellungnahmen vom 22. April 2015 und 6. Dezember 2017) und durchgeführtem Vorbescheidverfahren verneinte die IV-Stelle Luzern mit Verfügung vom 26. März 2018 einen Rentenanspruch.
B.
In Gutheissung der Beschwerde des A._ hob das Kantonsgericht Luzern mit Entscheid vom 17. April 2019 die Verfügung vom 26. März 2018 auf und sprach ihm eine ganze Rente rückwirkend ab 1. Mai 2013 zu.
C.
Die IV-Stelle Luzern führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 17. April 2019 sei aufzuheben und ihre Verfügung vom 26. März 2018 sei zu bestätigen. Im Weitern beantragt sie, dem Rechtsmittel sei aufschiebende Wirkung zu erteilen.
A._ beantragt die Abweisung der Beschwerde, wobei er um unentgeltliche Rechtspflege ersucht. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem wegen Verletzung von Bundesrecht erhoben werden (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig [wie die Beweiswürdigung willkürlich; <ref-ruling> E. 4.4 S. 444] ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dabei prüft es, unter Berücksichtigung der Begründungspflicht der Parteien (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG), grundsätzlich nur die vorgebrachten Rügen, sofern die Rechtsmängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
1.2. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>), was näher darzulegen ist (<ref-ruling> E. 3 S. 395). Die Beschwerdeführerin hat Unterlagen (im Zeitraum von November 2018 bis 16. April 2019 erstellte Akten der Luzerner Polizei und der Staatsanwaltschaft Luzern) eingereicht, bei denen es sich um unechte Noven im Sinne von <ref-law> handelt. Mit Blick auf den Ausgang des Verfahrens kann offenbleiben, inwiefern diese Dokumente nicht schon im kantonalen Verfahren hätten zu den Akten gegeben werden können und müssen (<ref-ruling> E. 2 S. 312; Urteil 9C_255/2017 vom 26. September 2017 E. 1.2).
2.
Streitgegenstand bildet die dem Beschwerdegegner im angefochtenen Entscheid zugesprochene ganze Rente der Invalidenversicherung ab 1. Mai 2013.
3.
Die Vorinstanz hat einen Einkommensvergleich (<ref-law> i.V.m. <ref-law>) durchgeführt. Es resultierte ein Invaliditätsgrad von 70 %, was Anspruch auf eine ganze Rente gibt (<ref-law>). Dabei hat sie vorgängig in Anwendung der Grundsätze zum strukturierten Beweisverfahren (Standardindikatorenprüfung) nach <ref-ruling> die im psychiatrischen Gutachten vom 29. September 2014 (samt Ergänzungen vom 22. April 2015 und 6. Dezember 2017) festgelegte verbliebene Arbeitsfähigkeit von 30 % auch rechtlich als massgebend erachtet und darauf abgestellt.
4.
Die Beschwerde führende IV-Stelle rügt eine rechtsfehlerhafte Anwendung des strukturierten Beweisverfahrens durch die Vorinstanz. Das im Rahmen der stationären Begutachtung vom 6. bis 18. Juni 2014 gezeigte unterschiedliche und unkooperative Verhalten des Beschwerdegegners und die diesbezüglich festgestellten Inkonsistenzen seien rechtlich nicht zutreffend gewürdigt worden, sowohl bei der Frage nach dem Vorliegen von Ausschlussgründen (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 287) als auch bei der Prüfung der "Konsistenz" (<ref-ruling> E. 4.4 S. 303). Sinngemäss sei sodann den vorhandenen Ressourcen zu wenig Rechnung getragen worden. Im Übrigen bestünden erhebliche psychosoziale Faktoren.
5.
5.1. Im psychiatrischen Gutachten vom 29. September 2014, auf welches die Vorinstanz abgestellt hat, wurden folgende Diagnosen gestellt: (mit Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit) Anhaltende somatoforme Schmerzstörung (ICD-10 F45.4), rezidivierende depressive Störung, gegenwärtig chronifizierte mittelgradige Episode (ICD-10 F33.1); (ohne Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit) akzentuierte Persönlichkeitszüge (passiv-aggressiv, narzisstisch). Auf dieses Beschwerdebild ist die Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> anwendbar (vgl. auch <ref-ruling>).
5.1.1. Danach beurteilt sich das Vorliegen einer rechtlich relevanten Arbeits- und Erwerbsunfähigkeit im Rahmen eines strukturierten Beweisverfahrens anhand von systematisierten Indikatoren (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.1.3 S. 297 f.), die - unter Berücksichtigung von leistungshindernden äusseren Belastungsfaktoren einerseits und von Kompensationspotenzialen (Ressourcen) andererseits - erlauben, das tatsächlich erreichbare Leistungsvermögen einzuschätzen (Urteile 9C_289/2018 vom 11. Dezember 2018 E. 6.1 und 9C_590/2017 vom 15. Februar 2018 E. 5.1). Beweisrechtlich entscheidend ist die Kategorie "Konsistenz (Gesichtspunkte des Verhaltens) " (<ref-ruling> E. 4.1.3 S. 298) mit den Indikatoren "gleichmässige Einschränkung des Aktivitätenniveaus in allen vergleichbaren Lebensbereichen" und "behandlungs- und eingliederungsanamnestisch ausgewiesener Leidensdruck" (<ref-ruling> E. 4.4-4.4.2 S. 303 f.).
5.1.2. Beruht die Leistungseinschränkung auf Aggravation (zu diesem Begriff Urteil 9C_899/2014 vom 29. Juni 2015 E. 4.2.2, in: SVR 2015 IV Nr. 38 S. 121) oder einer ähnlichen Erscheinung, die eindeutig über die blosse unbewusste Tendenz zur Schmerzausweitung und -verdeutlichung hinausgeht, ohne dass das betreffende Verhalten auf eine verselbständigte, krankheitswertige psychische Störung zurückzuführen wäre, liegt regelmässig keine versicherte Gesundheitsschädigung vor (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 287; Urteil 9C_658/2018 vom 11. Januar 2019 E. 4.1). In einem solchen Fall, d.h. bei Vorliegen von Ausschlussgründen, erübrigt sich ein strukturiertes Beweisverfahren. Inkonsistentem Verhalten, soweit es über blosse Verdeutlichung hinausgeht, d.h. aggravatorische Züge aufweist, darf bei der Beurteilung der Auswirkungen einer psychischen Störung auf das funktionelle Leistungsvermögen Rechnung getragen (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 288) und auf tatsächlich vorhandene Ressourcen geschlossen werden (Urteil 9C_289/2018 vom 11. Dezember 2018 E. 6.2.2; vgl. auch Urteil 9C_636/2018 vom 20. Dezember 2018 E. 6.1.2).
5.1.3. Auch im Rahmen eines strukturierten Beweisverfahrens nach <ref-ruling> gilt der Grundsatz, wonach das Invalidenversicherungsrecht soziale Faktoren so weit ausklammert, als es darum geht, die für die Einschätzung der Arbeitsunfähigkeit kausalen versicherten Faktoren zu umschreiben. Die funktionellen Folgen von Gesundheitsschädigungen werden hingegen auch mit Blick auf psychosoziale und soziokulturelle Belastungsfaktoren abgeschätzt, welche den Wirkungsgrad der Folgen einer Gesundheitsschädigung beeinflussen (<ref-ruling> E. 3.4.2.1 S. 293). Soweit sie direkt negative funktionelle Folgen zeitigen, bleiben sie mithin ausser Acht (<ref-ruling> E. 3.4.3.3 S. 303; <ref-ruling> E. 5a S. 299). Psychosoziale Belastungsfaktoren können jedoch mittelbar zur Invalidität beitragen, wenn und soweit sie zu einer ausgewiesenen Beeinträchtigung der psychischen Integrität als solcher führen, welche ihrerseits eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit bewirkt, wenn sie einen verselbständigten Gesundheitsschaden aufrechterhalten oder den Wirkungsgrad seiner - unabhängig von den invaliditätsfremden Elementen bestehenden - Folgen verschlimmern (Urteil 9C_680/2017 vom 22. Juni 2018 E. 5.2 mit Hinweisen).
5.2. Die Vorinstanz hat Ausschlussgründe im Wesentlichen unter Hinweis auf die gutachterliche Stellungnahme vom 22. April 2015 verneint. Danach hätte keine Klarheit darüber bestanden, dass aus medizinischer Sicht die Anhaltspunkte für das Vorliegen einer Aggravation eindeutig überwogen. Ein "Malingering" lediglich nicht ausschliessen können, reiche nicht aus. Im Übrigen sei die gutachterliche Beurteilung eines Ausschlussgrundes in Kenntnis des "unkooperativen Verhaltens und der inkonsistenten Angaben zu den Beschwerden" erfolgt. Die Beschwerdeführerin hält dagegen, die Vorinstanz gehe von einem bundesrechtswidrig überhöhten Beweismass aus, indem sie für die Annahme eines Ausschlussgrundes den Nachweis von Malingering "mittels Videobeweisen oder ähnlichen Massnahmen" verlange. Die Frage kann offenbleiben.
5.3. Die Vorinstanz prüfte in erster Linie die Indikatoren der Kategorie "funktioneller Schweregrad" (<ref-ruling> E. 4.1.3 S. 297). Sie bejahte eine schwere Ausprägung der diagnoserelevanten Befunde. Im Weitern sei zwar trotz langjähriger psychiatrischer Behandlung gemäss dem Gutachten nach wie vor ein Potenzial im Bereich der Behandlungen und der Eingliederung vorhanden. Die Prognose werde jedoch als ungünstig bezeichnet. Sodann bestünden im Bereich des sozialen Kontextes durchaus grössere Einschränkungen. Diese hielten der Konsistenzprüfung auch stand. So sei im Gutachten vom 29. September 2014 explizit festgehalten worden, die Angaben in den Akten und die in der Untersuchung festgestellten Beschwerden seien weitgehend konsistent. Dementsprechend habe ein allfälliges Malingering-Verhalten nicht bestätigt werden können. Somit sei auf die gutachterlich attestierte Arbeitsunfähigkeit von 70 % abzustellen.
5.3.1. Es ist fraglich, ob die Vorinstanz dem im Rahmen der stationären Begutachtung vom 6. bis 18. Juni 2014 beobachteten inkonsistenten und zum Teil widersprüchlichen Verhalten des Beschwerdegegners bei der Indikatorenprüfung genügend Rechnung getragen hat (E. 5.1.2), wie die Beschwerdeführerin vorbringt. Sodann beruht die Diagnose einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung im Wesentlichen darauf, dass der Versicherte "in den Akten und während der Hospitalisation verschiedene körperliche Beschwerden angegeben habe". Andere dieses Leiden kennzeichnende Symptome (u.a. Auftreten des Schmerzes in Verbindung mit emotionalen Konflikten oder psychosozialen Problemen; <ref-ruling> E. 6.1 S. 400 oben) wurden im Gutachten nicht erwähnt oder diskutiert. Es kommt dazu, dass von keiner massgebenden Komorbidität, weder in somatischer noch in psychischer Hinsicht, auszugehen ist. Insbesondere konnten die Gutachter keine Persönlichkeitsstörung diagnostizieren. Unter diesen Umständen durfte die Vorinstanz nicht auf eine eingehende Konsistenzprüfung verzichten und sich mit der Feststellung begnügen, gemäss dem Gutachten seien die Angaben in den Akten und die in der Untersuchung festgestellten Beschwerden weitgehend konsistent.
5.3.2. Mit dem Vorstehenden eng in Zusammenhang stehen die in der Beschwerde geltend gemachten psychosozialen Belastungsfaktoren, zu denen sich die Vorinstanz nicht geäussert hat, wozu jedoch Anlass bestanden hätte. Der behandelnde Psychiater hatte in seinem Bericht vom 30. November 2012 zu Handen der Migrationsbehörden und der IV-Stelle erwähnt, dass dem Beschwerdegegner im März dieses Jahres definitiv die schweizerische Staatsbürgerschaft aberkannt worden sei und er bereits 2004 die türkische Staatsangehörigkeit zurückgegeben habe. Er und die beiden Kinder (aus zweiter Ehe) seien somit "de facto staatenlos". Weiter hielt der behandelnde Arzt fest, der Versicherte habe ein Gesuch um Wiedererteilung einer Aufenthaltsbewilligung gestellt. Aufgrund der Erkrankung seiner Schwiegermutter sei zusätzlich eine grosse Belastung entstanden, da seine Ehefrau und die beiden Kinder nicht in die Türkei und wieder zurück reisen könnten. Auf Anfrage der IV-Stelle bestätigte das kantonale Amt für Migration mit Schreiben vom 23. Januar 2013, dass dem Beschwerdegegner die (schweizerische) Staatsbürgerschaft aberkannt worden sei. Der behandelnde Psychiater erwähnte in seinem Bericht vom 29. Juli 2013 an den regionalen ärztlichen Dienst (RAD), dass gegen den Ausweisungsentscheid der Familie ein Rekurs laufe. Im RAD-Bericht vom 27. August 2013 wurde auf ein (laufendes) Asylverfahren hingewiesen, was neben der fehlenden (aberkannten) Staatsbürgerschaft auch eine fehlende (entzogene) Niederlassungsbewilligung voraussetzt. Das Amt für Migration hielt in seinem Schreiben vom 17. Dezember 2014 fest, dass beim Justizdepartement eine Beschwerde hängig sei.
Die seit Jahren bestandene prekäre aufenthaltsrechtliche Situation des Beschwerdegegners und seiner Familie stellt einen gewichtigen psychosozialen Belastungsfaktor dar, worauf auch der behandelnde Psychiater in seinem Bericht vom 6. Juli 2017 hinwies. Weder im Gutachten vom 29. September 2014 und den ergänzenden Stellungnahmen vom 22. April 2015 und 6. Dezember 2017 noch im angefochtenen Entscheid wurde dessen Bedeutung für die Frage nach dem Vorliegen eines invalidenversicherungsrechtlich relevanten psychischen Gesundheitsschadens diskutiert, insbesondere nicht, ob ein Zusammenhang mit dem inkonsistenten Verhalten des Beschwerdegegners besteht. Es kommt dazu, dass gemäss der Expertise der Versicherte die Frage nach laufenden Verfahren verneint hatte, dies im Widerspruch zu den Akten.
5.4. Nach dem Gesagten vermag die Indikatorenprüfung der Vorinstanz in verschiedenen Punkten nicht zu überzeugen. Sodann stellt sich die Frage, inwiefern psychosoziale Belastungsfaktoren den Wirkungsgrad der Folgen der gesundheitlichen Beeinträchtigung beeinflussen (E. 5.1.3). Die Vorinstanz wird daher ein Gerichtsgutachten einzuholen haben und danach über den Anspruch des Beschwerdegegners auf eine Rente der Invalidenversicherung ab 1. Mai 2013 neu entscheiden. In diesem Sinne ist die Beschwerde begründet.
6.
Mit dem Entscheid in der Sache ist die Frage der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
7.
Ausgangsgemäss hat grundsätzlich der Beschwerdegegner die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann jedoch entsprochen werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4a S. 202). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> hingewiesen, wonach er der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn er später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Kantonsgerichts Luzern vom 17. April 2019 wird aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an dieses zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen und es wird dem Beschwerdegegner Rechtsanwältin Tania Teixeira als Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt, indes einstweilen auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Der Rechtsvertreterin des Beschwerdegegners wird für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Oktober 2019
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Der Gerichtsschreiber: Fessler