Erwägungen:
1.
Mit Urteil 4D_26/2020 vom 16. Juli 2020 ist das Bundesgericht im Verfahren nach <ref-law> auf eine Beschwerde des Gesuchstellers nicht eingetreten. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- sind dem Gesuchsteller auferlegt worden.
Am 12. August 2020 hat der Gesuchsteller um Revision dieses Urteils ersucht. Mit Verfügung vom 18. August 2020 ist der Gesuchsteller zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 1'000.-- aufgefordert worden. Am 19. April 2020 retournierte der Gesuchsteller die genannte Verfügung und vermerkte darauf handschriftlich, dass er eine Strafanzeige bei der Bundesstaatsanwaltschaft einreichen werde.
In der Folge setzte das Bundesgericht mit Verfügung vom 7. September 2020 dem Gesuchsteller eine Nachfrist zur Bezahlung des Kostenvorschusses an, unter Androhung des Nichteintretens auf das Rechtsmittel bei nicht rechtzeitiger Bezahlung (<ref-law>). Am 8. September 2020 reichte der Gesuchsteller dem Bundesgericht eine weitere Eingabe ein. Er hält darin nochmals fest, dass er eine Strafanzeige einreichen werde.
Den Kostenvorschuss hat der Beschwerdeführer innert Nachfrist aber nicht geleistet. Er hat im Übrigen kein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege eingereicht. Androhungsgemäss ist demnach gestützt auf <ref-law> auf das Revisionsgesuch nicht einzutreten (<ref-law>).
2.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Gesuchsteller aufzuerlegen (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Oktober 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger