Erwägungen:
1.
Der Kanton Schwyz (Gläubiger) betreibt den Beschwerdeführer für eine Forderung von Fr. 1'033.--. Als Forderungsgrund wurde "Rückerstattungsanspruch unentgeltliche Rechtspflege gemäss Entscheid vom 9. Dezember 2013 (Proz. Nr. ZK2 12 70) " angegeben (Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Zürich 4). Gegen den Zahlungsbefehl vom 28. April 2021 erhob der Beschwerdeführer Rechtsvorschlag. Anfang Oktober 2021 stellte der Beschwerdeführer beim Betreibungsamt ein Gesuch um Nichtbekanntgabe der Betreibung an Dritte. Das Betreibungsamt holte eine Stellungnahme des Gläubigers ein. Mit Verfügung vom 18. Oktober 2021 wies das Betreibungsamt das Gesuch ab, da ein Verfahren um Beseitigung des Rechtsvorschlags eingeleitet worden sei.
Am 21. Oktober 2021 (Poststempel) erhob der Beschwerdeführer Beschwerde. Mit Zirkulationsbeschluss vom 25. November 2021 wies das Bezirksgericht Zürich die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer am 2. Dezember 2021 (Poststempel) Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Mit Beschluss und Urteil vom 3. Januar 2022 wies das Obergericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
Dagegen hat der Beschwerdeführer am 10. Januar 2022 (Postaufgabe) Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen.
2.
Die Beschwerde an das Bundesgericht hat eine Begründung zu enthalten (<ref-law>), in der in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheides massgeblichen Erwägungen aufzuzeigen ist, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 116). Der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt ist für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (<ref-law>). Die unrichtige Feststellung des Sachverhalts kann nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> gerügt werden (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266).
3.
Das Obergericht hat zusammengefasst festgehalten, der Gläubiger habe mit dem Nachweis eines hängigen Nachzahlungsverfahrens gemäss <ref-law> zugleich den Nachweis erbracht, dass ein Verfahren zur Beseitigung des Rechtsvorschlags eingeleitet worden sei. Damit fehle es an einer Voraussetzung für die Nichtbekanntgabe der Betreibung an Dritte (<ref-law>). Soweit der Beschwerdeführer geltend mache, nicht über die finanziellen Mittel zu verfügen, um die Nachforderung zu tilgen, sei dies nicht mit betreibungsrechtlicher Beschwerde, sondern im Nachzahlungsverfahren geltend zu machen. Ausführungen zur Befangenheit von Mitarbeitern des Kantonsgerichts Schwyz seien nicht Verfahrensgegenstand.
4.
Die Beschwerde ist zu einem grossen Teil schwer verständlich. Soweit sich der Beschwerdeführer gegen die Nachzahlungspflicht zu wenden scheint und soweit er dem Kantonsgericht Schwyz Befangenheit vorwirft, setzt er sich nicht damit auseinander, dass all dies nicht Verfahrensthema ist. Er behauptet sodann, ihm sei von der ersten Instanz keine Kopie der Stellungnahme des Gläubigers zugestellt worden. Das Obergericht hat diesbezüglich jedoch festgestellt, das Bezirksgericht habe dem Beschwerdeführer alle beigezogenen Akten des Betreibungsamtes zugestellt und er habe dazu Stellung genommen. Die blosse Behauptung des Gegenteils durch den Beschwerdeführer stellt keine genügende Sachverhaltsrüge dar. Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht sodann vor, Beweise ignoriert zu haben, ohne konkret zu benennen, was das Obergericht übergangen haben soll.
Die Beschwerde enthält damit offensichtlich keine hinreichende Begründung. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten (<ref-law>).
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war die Beschwerde von vornherein aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist folglich abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer als obere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs, mitgeteilt.
Lausanne, 24. Januar 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg