Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl führte eine Strafuntersuchung gegen A._ u.a. wegen Betrugs. Am 28. Juni 2021 stellte A._ gegen Staatsanwalt B._ ein Ausstandsgesuch und reichte am 15. August 2021 Strafanzeige gegen diesen wegen Amtsmissbrauchs ein; überdies verlangte er die vorsorgliche Sicherstellung von Untersuchungsakten.
B.
Mit Beschluss vom 19. August 2021 trat das Obergericht des Kantons Zürich auf das Ausstandsgesuch gegen Staatsanwalt B._ und auf den Antrag auf vorsorgliche Sicherstellung von Untersuchungsakten nicht ein. Die Strafanzeige übermittelte es der Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 16. September 2021 gelangt A._ ans Bundesgericht und beantragt die Aufhebung des Beschlusses des Obergerichts vom 19. August 2021, soweit es auf das Ausstandsgesuch gegen Staatsanwalt B._ nicht eingetreten sei und dieses zum Entscheid dem Bezirksgericht Zürich weitergeleitet habe. Das Obergericht sei anzuweisen, auf das Ausstandsgesuch einzutreten und dieses materiell zu behandeln. Zudem ersucht er um Beilegung der aufschiebenden Wirkung.
Das Obergericht teilt am 23. September 2021 mit, es verzichte auf eine Stellungnahme und enthalte sich betreffend aufschiebende Wirkung ausdrücklich eines Antrags.
Die Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl beantragt am 6. Oktober 2021 die Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung, ohne sich zur Hauptsache zu äussern.
Mit Verfügung vom 11. Oktober 2021 hat das präsidierende Mitglied der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.
Der Beschwerdeführer hat sich mit Eingaben vom 3. November 2021 und 7. Dezember 2021 nochmals zur Sache geäussert; er hält an seinen Rechtsbegehren fest.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in Strafsachen ist zulässig u.a. gegen letztinstanzliche kantonale Entscheide (Art. 80 Abs. 1 BGG). Beim angefochtenen Beschluss handelt es sich um einen selbständig anfechtbaren Zwischenentscheid über die Zuständigkeit (und den Ausstand) im Rahmen eines Strafverfahrens (vgl. Art. 78 und 92 Abs. 1 BGG). Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist daher einzutreten.
2.
2.1. Die Vorinstanz hält sich als kantonale Beschwerdeinstanz im Sinne von Art. 20 Abs. 1 StPO nicht (mehr) für zuständig für die Behandlung eines Ausstandsbegehrens gegen einen Staatsanwalt, sobald Anklage erhoben worden und die Sache mithin beim erstinstanzlichen Gericht hängig ist. In diesem Fall sei Letzteres - und nicht die Beschwerdeinstanz - mit der Beurteilung des Ausstandsgesuchs zu befassen. Diese im Kanton Zürich offenbar etablierte Praxis ergebe sich aus einer teleologischen Auslegung von Art. 59 Abs. 1 StPO.
2.2. Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, die Vorinstanz verletze Bundesrecht, wenn sie nicht bereit sei, sein Ausstandsbegehren gegen einen Staatsanwalt zu behandeln, sondern dieses an das mit der Hauptsache befasste Bezirksgericht weiterleite. Die Zuständigkeit des Obergerichts als Beschwerdeinstanz werde durch Art. 59 Abs. 1 lit. b StPO abschliessend geregelt. In seiner Eingabe vom 7. Dezember 2021 bezieht sich der Beschwerdeführer überdies auf ein zur amtlichen Publikation vorgesehenes Urteil des Bundesgerichts (1B_333/ 2021 vom 5. November 2021).
Diese Vorbringen treffen zu:
2.3. Wie das Bundesgericht im (der Vorinstanz mitgeteilten und somit bekannten), zur amtlichen Publikation bestimmten Urteil 1B_333/2021 vom 5. November 2021 festgehalten hat, sieht, wenn wie vorliegend ein Ausstandsgrund nach Art. 56 lit. f StPO betreffend die Staatsanwaltschaft geltend gemacht wird, Art. 59 Abs. 1 lit. b StPO nach dem klaren Wortlaut vor, dass die Beschwerdeinstanz ("l'autorité de recours"; "la giurisdizione di reclamo") im Sinne von Art. 20 StPO - und nicht das Sachgericht - entscheidet, und zwar ohne weiteres Beweisverfahren und endgültig. Ist der Gesetzeswortlaut wie hier klar, kann das Gericht davon nur abweichen, wenn ein triftiger Grund für die Annahme besteht, der Wortlaut ziele am "wahren Sinn" der Regelung vorbei. Anlass für eine solche Annahme können die Entstehungsgeschichte der Bestimmung (historisch), ihr Zweck (teleologisch) oder der Zusammenhang mit anderen Vorschriften (systematisch) geben, so namentlich, wenn die grammatikalische Auslegung zu einem Ergebnis führt, das der Gesetzgeber nicht gewollt haben kann (<ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 4.3.1; <ref-ruling> E. 6.1; <ref-ruling> E. 4.4.2; je mit Hinweisen).
Besonders wenig Spielraum für eine Abweichung vom klaren Gesetzeswortlaut besteht im Licht von Art. 30 Abs. 1 BV bei Regelungen betreffend die gerichtliche Zuständigkeitsordnung (<ref-ruling> E. 3.3 S. 133 mit Hinweisen). Diese Bestimmung ist verletzt, wenn ein anderes als das im Gesetz vorgesehene Gericht entscheidet, das Gericht also seine Zuständigkeit in Missachtung des Gesetzes bejaht oder verneint (<ref-ruling> E. 3c und d S. 53 ff.; Urteil des Bundesgerichts 1B_126/2012 vom 28. März 2012 E. 2.2.1; je mit Hinweisen).
Die von der Vorinstanz vertretene teleologische Auslegung von Art. 59 Abs. 1 StPO, wonach die Beschwerdeinstanz für die Behandlung von Ausstandsbegehren gegen die Staatsanwaltschaft nur dann zuständig sein könne, wenn das Verfahren noch vor der Staatsanwaltschaft anhängig sei, hat das Bundesgericht im zitierten Urteil 1B_333/2021 verworfen. Ein triftiger Grund für die Annahme, der Wortlaut von Art. 59 Abs. 1 StPO ziele am "wahren Sinn" vorbei, gehe aus den Argumenten der Vorinstanz nicht hervor. Die Vorinstanz übersehe bei ihrer Auslegung die institutionelle Bedeutung der in Art. 59 Abs. 1 StPO festgelegten Zuständigkeitsordnung. Die Prüfung von Ausstandsgesuchen betreffend die Staatsanwaltschaft gemäss StPO durch die ihr hierarchisch übergeordnete Beschwerdeinstanz solle nämlich auch sicherstellen, dass Ausstandsfragen von einer institutionell möglichst unabhängigen Behörde, im ganzen Kanton einheitlich beurteilt werden. Somit sei nicht ersichtlich, dass der Gesetzgeber das auf einer grammatikalischen Auslegung gestützte Ergebnis nicht gewollt haben kann.
An den Erwägungen des zitierten Urteils des Bundesgerichts ist festzuhalten. Die von der Rechtsprechung des Obergerichts des Kantons Zürich entwickelte, vom Wortlaut von Art. 59 Abs. 1 lit. b StPO abweichende gerichtliche Zuständigkeit erweist sich als nicht gerechtfertigt und verletzt demnach Bundesrecht.
2.4. Nach dem Gesagten hätte das Ausstandsgesuch nach Art. 59 Abs. 1 lit. b StPO von der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich materiell behandelt werden müssen. Der angefochtene Beschluss ist daher im beantragten Umfang aufzuheben und die Sache an das Obergericht zum Entscheid zurückzuweisen.
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Beschwerdeführer beantragt die Zusprechung einer Parteientschädigung. Gemäss Art. 68 BGG i.V.m. Art. 1 und 11 des Reglements vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht (SR 173.110.210.3) umfasst diese in erster Linie die Anwaltskosten. Nur wenn besondere Verhältnisse es rechtfertigen, kann das Gericht der Partei eine angemessene Entschädigung für weitere notwendige, durch den Prozess verursachte Umtriebe zusprechen. Solche besonderen Verhältnisse sind vorliegend nicht gegeben; demnach kann keine Parteientschädigung zugesprochen werden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Beschluss des Obergerichts vom 19. August 2021 wird entsprechend aufgehoben und die Angelegenheit zum Entscheid ans Obergericht zurückgewiesen.
2.
Es werden weder Gerichtskosten erhoben noch eine Parteientschädigung zugesprochen.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt (zusammen mit der Eingabe des Beschwerdeführers vom 7. Dezember 2021).
Lausanne, 27. Dezember 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Die Gerichtsschreiberin: Dambeck