Faits :
A.
A.a. A._ a entretenu une relation d'amitié et de tendresse très forte avec C._, qui était propriétaire d'un appartement d'une superficie de 156 m 2 sis à U._, dans lequel elle habitait (ci-après: l'appartement litigieux).
Par testament du 3 novembre 1998 (ci-après: le premier testament), C._ a institué comme héritière de tous ses biens D._ ou, à défaut, la fille de celle-ci, sous réserve de la délivrance de certains legs.
Dans un nouveau testament du 19 août 2002 (ci-après: le second testament), elle a révoqué les dispositions testamentaires prises antérieurement et institué héritiers de tous ses biens son amie, E._, ainsi que A._, sous réserve de la délivrance de certains legs. Elle a en particulier disposé que l'appartement litigieux et la moitié de sa fortune mobilière revinssent à celui-ci et que l'autre moitié de ladite fortune fût allouée à celle-là.
C._ (ci-après: la défunte) est décédée le 19 novembre 2002.
A.b. Le 6 février 2003, D._ a fait opposition au second testament et à la délivrance du certificat d'héritier. Le 6 octobre 2004, elle a ouvert action contre A._ et E._ devant la Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud, concluant en substance à l'annulation du second testament et à l'homologation du premier testament (ci-après: la procédure en annulation du testament).
Par jugement du 27 novembre 2006, la Cour civile a rejeté la demande, D._ ne s'étant pas présentée à l'audience préliminaire. La requête de relief de D._ a été rejetée le 3 octobre 2007 car celle-ci avait à nouveau fait défaut à l'audience de reprise. D._ n'a ensuite pas procédé à l'avance de frais pour son recours laconique déposé le 15 octobre 2007 à l'encontre de cette décision. La cause a été rayée du rôle le 13 décembre 2007.
A.c. Pour l'assister dans le contexte de la succession de la défunte, A._ (ci-après: le client, le demandeur ou le recourant) a fait appel à B._, avocat (ci-après: l'avocat, le défendeur ou l'intimé).
A.c.a. Durant la procédure en annulation du testament, l'avocat a notamment effectué diverses démarches afin que son client puisse occuper l'appartement de la défunte. À compter d'octobre 2004, il a ainsi proposé à F._, administrateur officiel de la succession (ci-après: l'administrateur officiel), que ledit appartement fût loué à son client pour un loyer mensuel de 1'000 fr. Il a eu de nombreux échanges avec l'administrateur officiel de la succession, la Justice de paix du cercle de U._, D._, qui s'est opposée à la proposition de location, et E._.
Le 7 octobre 2005, l'avocat a informé son client qu'il avait invité l'administrateur officiel à établir un contrat de bail et à prendre position sur le montant du loyer, en précisant que si celui-ci n'agissait pas, il le mettrait en demeure. L'avocat n'a toutefois pas ouvert de procédure aux fins d'obtenir de l'administrateur officiel que l'appartement fût loué au client, ce que celui-ci lui reproche.
En effet, le client n'a pu prendre possession de l'appartement litigieux que le 1er novembre 2008, après avoir signé une convention de partage avec sa cohéritière, E._.
A.c.b. Le 5 mars 2009, l'avocat a ouvert au nom du client une action en dommages-intérêts contre D._ devant le Tribunal d'arrondissement de U._, lui réclamant le remboursement des frais d'avocat en relation avec la procédure en annulation du testament et un dédommagement pour le fait que l'appartement était demeuré inoccupé durant cette procédure. Cette action a été définitivement rejetée par arrêt 4A_557/2014 du 2 février 2015. Le client reproche à l'avocat d'avoir violé son devoir de diligence dans ce contexte.
A.c.c. L'avocat a également agi pour qu'un avocat français dépose une plainte pénale contre D._ en France. Le client lui reproche aussi d'avoir violé ses devoirs à cet égard.
A.d. Le 8 juillet 2014, le client a résilié le mandat qu'il avait confié à l'avocat.
B.
Après que la conciliation a échoué, le client a déposé sa demande contre l'avocat le 13 mai 2016 auprès de la Chambre patrimoniale cantonale du canton de Vaud, concluant à ce qu'il soit dit que l'avocat lui doit immédiatement le paiement de 397'438 fr. 35, intérêts en sus. Cette somme correspond aux honoraires, aux frais judiciaires et aux dépens relatifs à l'action en dommages-intérêts du 5 mars 2019 et qui ont, selon le client, été engagés en vain (92'238 fr. 35), à la perte locative de l'appartement litigieux pendant la procédure en annulation du testament (117'000 fr.), au préjudice résultant de l'absence de dépôt de plainte pénale en Suisse (175'000 fr.), ce point n'étant ici plus litigieux, et aux honoraires versés à l'avocat français en lien avec la plainte pénale déposée en France (13'200 fr.).
Le défendeur a conclu à ce que la demande soit rejetée et, à titre reconventionnel, à ce que le client soit reconnu débiteur à son endroit d'un solde d'honoraires de 10'527 fr. 85, intérêts en sus.
Par jugement du 11 juin 2020, la Chambre patrimoniale cantonale a rejeté la demande du client et admis la demande reconventionnelle de l'avocat.
Par arrêt du 5 juillet 2021, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté l'appel formé par le client.
C.
Contre cet arrêt, qui lui a été notifié le 12 juillet 2021, le demandeur a formé un recours en matière civile auprès du Tribunal fédéral le 13 septembre 2021. En substance, il conclut à ce que l'arrêt entrepris soit annulé et, principalement, à ce que la cause soit renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants et, subsidiairement, à ce que sa demande soit admise et la demande reconventionnelle de l'avocat rejetée.
L'intimé conclut au rejet du recours.
Le recourant a déposé des observations complémentaires.
La cour cantonale se réfère aux considérants de son arrêt.

Considérant en droit :
1.
Interjeté dans le délai fixé par la loi (art. 100 al. 1, art. 46 al. 1 let. b et art. 45 al. 1 LTF) par le demandeur, qui a succombé dans ses conclusions (art. 76 al. 1 LTF), et dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue sur appel par le tribunal supérieur du canton de Vaud (art. 75 LTF) dans une affaire civile (art. 72 al. 1 LTF) dont la valeur litigieuse dépasse 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF), le recours en matière civile est en principe recevable.
2.
2.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 4.1.2; <ref-ruling> consid. 5.1) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
Concernant l'appréciation des preuves, le Tribunal fédéral n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans raisons objectives de tenir compte des preuves pertinentes ou a effectué, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 1.4.3; <ref-ruling> consid. 2.1).
La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'art. 106 al. 2 LTF (<ref-ruling> consid. 2.3 et les références citées). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 et les références citées). Si elle souhaite obtenir un complètement de l'état de fait, elle doit aussi démontrer, par des renvois précis aux pièces du dossier, qu'elle a présenté aux autorités précédentes, en conformité avec les règles de la procédure, les faits juridiquement pertinents à cet égard et les moyens de preuve adéquats (<ref-ruling> consid. 2). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (<ref-ruling> consid. 1.3.1). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 1.3).
2.2. Le Tribunal fédéral applique en principe d'office le droit (art. 106 al. 1 LTF) à l'état de fait constaté dans l'arrêt cantonal (ou à l'état de fait qu'il aura rectifié). Cela ne signifie pas que le Tribunal fédéral examine, comme le ferait un juge de première instance, toutes les questions juridiques qui pourraient se poser. Compte tenu de l'obligation de motiver imposée par l'art. 42 al. 2 LTF, il ne traite que les questions qui sont soulevées devant lui par les parties, à moins que la violation du droit ne soit manifeste (<ref-ruling> consid. 2, 86 consid. 2). Il n'est en revanche pas lié par l'argumentation juridique développée par les parties ou par l'autorité précédente; il peut admettre le recours, comme il peut le rejeter en procédant à une substitution de motifs (<ref-ruling> consid. 1.4).
3.
Le litige porte présentement sur la question de savoir si l'avocat a violé son devoir de diligence à l'égard du client sur trois points, soit (1) en déposant l'action en dommages-intérêts contre D._ le 5 mars 2009, (2) en omettant d'ouvrir action contre l'administrateur officiel de la succession aux fins d'obtenir que l'appartement de la défunte fût loué au client et (3) en intervenant auprès d'un confrère français afin que celui-ci déposât une plainte pénale en France contre D._.
Il porte également sur la question du bien-fondé de la demande reconventionnelle de l'avocat en paiement du solde de ses honoraires.
4.
4.1. En vertu de l'art. 398 al. 1 CO, qui renvoie à l'art. 321e al. 1 CO, l'avocat mandataire répond du dommage qu'il cause au mandant intentionnellement ou par négligence. Sa responsabilité est donc subordonnée aux quatre conditions suivantes, conformément au régime général de l'art. 97 CO: (1) une violation des obligations qui lui incombent en vertu du contrat, notamment la violation de ses obligations de diligence et de fidélité (art. 398 al. 2 CO); (2) un dommage; (3) un rapport de causalité (naturelle et adéquate) entre la violation du contrat et le dommage; et (4) une faute (arrêts 4A_187/2021 du 22 septembre 2021 consid. 3.1.1; 4A_2/2020 du 19 septembre 2020 consid. 3.1; 4A_350/2019 du 9 janvier 2020 consid. 3.1 et les arrêts cités).
Conformément à l'art. 8 CC, le client mandant supporte le fardeau de l'allégation objectif ( objektive Behauptungslast) et le fardeau de la preuve ( Beweislast) des trois premières conditions; il incombe en revanche à l'avocat mandataire de prouver qu'aucune faute ne lui est imputable ( " à moins qu'il ne prouve... ") (arrêts 4A_187/2021 précité consid. 3.1.1; 4A_2/2020 précité consid. 3.1).
4.2. En sa qualité de mandataire, l'avocat est tenu à la bonne et fidèle exécution du mandat (art. 398 al. 2 CO). S'il n'est pas tenu à une obligation de résultat, il doit accomplir son activité selon les règles de l'art. Toutefois, il ne répond pas des risques spécifiques qui sont liés à la formation et à la reconnaissance d'une opinion juridique déterminée. En particulier, il ne saurait voir engager sa responsabilité pour chaque mesure ou omission dont il s'avère a posteriori qu'elle a provoqué le dommage ou qui aurait pu éviter sa survenance. C'est aux parties de supporter les risques du procès; elles ne peuvent pas les transférer sur les épaules de leur conseil (<ref-ruling> consid. 3.2.2; <ref-ruling> consid. 1b; <ref-ruling> consid. 2a).
Le degré de diligence qui incombe au mandataire ne doit pas se déterminer une fois pour toutes, mais en fonction des capacités, des connaissances techniques et des aptitudes propres de ce dernier que le mandant connaît ou aurait dû connaître. Ce sont les circonstances concrètes de l'affaire qui importent à cet égard. Savoir si la manière d'agir d'un avocat doit être qualifiée de conforme ou non à son devoir de diligence résulte d'une pesée appréciative entre, d'une part, le risque engendré par le métier d'avocat et, d'autre part, l'autorité renforcée dont il est revêtu à l'égard de son client (<ref-ruling> consid. 3.2.2; <ref-ruling> consid. 1c).
5.
Premièrement, le recourant critique l'appréciation de la cour cantonale selon laquelle l'intimé n'a pas violé son devoir de diligence s'agissant de l'action en responsabilité du 5 mars 2009 dirigée contre D._ (ci-après: la demande litigieuse).
5.1. Dans la mesure où le droit de procédure civile détermine les dépens auxquels le plaideur victorieux peut prétendre, ce droit est seul applicable. Il ne laisse aucune place à une action fondée sur le droit civil fédéral, séparée ou ultérieure, tendant au remboursement des frais par la partie adverse; les actions en dommages-intérêts accordées par le droit de la responsabilité civile ne sont pas disponibles pour éluder les règles spécifiques du droit de procédure civile et procurer au plaideur victorieux, en dépit de ces règles, une réparation que le législateur compétent a exclue. Une telle action est donc possible uniquement pour les frais d'avocat engagés avant l'ouverture du procès civil, lorsque la consultation de l'avocat était nécessaire et adéquate et que les frais ne sont pas couverts ni présumés couverts par les dépens. Cependant, le plaideur victorieux bénéficie d'un régime plus favorable lorsqu'il s'est heurté à un comportement procédural illicite de la partie adverse, c'est-à-dire lorsque, dans le procès, celle-ci a adopté une position téméraire qu'elle savait ou devait savoir indéfendable. Un tel comportement engendre l'obligation de réparer le dommage sur la base de l'art. 41 CO. Il existe alors un concours entre l'action accordée par cette disposition de droit matériel fédéral et celle régie, le cas échéant, par le droit de procédure (<ref-ruling> consid. 4.2 et 4.4; <ref-ruling> consid. 3; arrêt 4A_557/2014 du 2 février 2015 et la référence citée).
5.2. Il ressort des faits constatés par la cour cantonale que, suite à la procédure en annulation du testament, le client et son avocat ont discuté de la possibilité d'introduire une action civile en Suisse à l'encontre de D._, dans la mesure où, par l'ouverture d'une procédure et par son opposition à la location de l'appartement litigieux, elle aurait retardé la prise de possession de celui-ci par le client, engendré des frais judiciaires et d'avocat et, partant, causé un dommage de manière illicite au sens des art. 41 ss CO.
Dans un courrier daté du 12 janvier 2009, l'avocat a expliqué de manière détaillée les conditions de l'acte illicite et du dommage et la problématique du délai de prescription relatif d'un an (art. 60 al. 1 aCO). Il a précisé qu'" un procès perdu n'est pas nécessairement un acte illicite " et que la condition de l'acte illicite " [lui] sembl[ait] réalisée ". Le client et lui ont ensuite eu de nombreux échanges sur ces éléments et sur l'opportunité d'ouvrir action contre D._.
5.2.1. Le 5 mars 2009, le client, représenté par son avocat, a ouvert action contre D._ auprès du Tribunal d'arrondissement de U._ afin d'obtenir le remboursement de ses frais d'avocat en relation avec la procédure en annulation du testament et le dédommagement découlant de l'absence de location de l'appartement litigieux durant cette procédure, invoquant un loyer mensuel de 3'500 fr., charges comprises. Il a limité ses conclusions à la somme de 100'000 fr., intérêts en sus.
Par jugement du 2 juillet 2013, le tribunal a rejeté la demande, dans la mesure notamment (1) où le client n'avait, en ne tenant pas compte des prétentions éventuelles de sa cohéritière, pas établi le montant exact de son dommage et où la condition de la faute n'était pas réalisée s'agissant de la perte de loyers, (2) où le client devait se voir imputer une faute concomitante car il n'avait pas contesté la décision de l'administrateur officiel ou invoqué un déni de justice quand bien même il aurait pu le faire, et (3) où D._ n'avait fait qu'utiliser la possibilité, offerte par l'art. 519 CC, d'ouvrir une action en annulation du testament. En tant que la succession - et non le seul client - aurait dû interrompre la prescription à l'égard de D._, les prétentions qu'aurait pu faire valoir la succession étaient par ailleurs prescrites.
5.2.2. Le 25 novembre 2013, l'avocat a communiqué au client la motivation du jugement du 2 juillet 2013 reçue le 20 novembre 2013, a ouvertement remis en question l'appréciation du tribunal et a précisé: " Nous pouvons interjeter appel [...] auprès de la Cour d'appel du Tribunal cantonal vaudois. Nous devons déposer un appel motivé. "
Le client lui a répondu que ledit jugement le surprenait énormément, " dans la mesure où ses arguments et motivations sont à l'encontre de[s] nombreuses analyses juridiques [de l'avocat], et de se [sic] que [l'avocat] av[ait] toujours soutenu, sauf pour la prescription ", ce à quoi l'avocat lui a répondu qu'il avait été " très confiant quant à l'issue de cette première manche " mais qu'il n'était " malheureusement pas devin et ne pouvai[t] prévoir un aussi triste score " et qu'" il n'est pas possible pour un avocat de garantir, à 100 %, le résultat ".
Après que l'avocat l'avait informé qu'il lui était " évidemment difficile de [ s]e prononcer sur les chances de succès d'un appel "et que, " [ s]elon [ s] on expérience, les cas d'appels qui sont admis sont inférieurs à ceux qui sont rejetés ", le client a donné son accord le 11 décembre 2013 pour interjeter appel.
5.2.3. Par arrêt du 21 mai 2014, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté l'appel formé par le client. En substance, elle a retenu que le client n'avait pas établi les conditions d'un acte illicite fautif de la part de D._, que le fait que la location de l'appartement litigieux dépendait exclusivement de l'administrateur officiel et que le client n'avait pas entrepris sa passivité en justice alors qu'il le pouvait étaient de nature à rompre la causalité adéquate de l'attitude reprochée à D._, que le client ne disposait pas de la légitimation active s'agissant des loyers non perçus, dans la mesure où lesdits loyers auraient été dus à la succession et non au client personnellement, et que le client n'avait pas droit au remboursement de ses frais d'avocat engagés pour la procédure d'annulation du testament dès lors que D._ ne l'avait pas introduite abusivement.
5.2.4. Représenté par un autre avocat, le client a recouru contre ledit arrêt cantonal auprès du Tribunal fédéral sur la seule prétention en remboursement de ses frais d'avocat liés à la procédure en annulation du testament.
Par arrêt 4A_557/2014 du 2 février 2015, la Cour de céans a rejeté son recours, dans la mesure de sa recevabilité, retenant, en substance, que le client n'avait pas démontré un comportement procédural illicite ou contraire aux moeurs de la part de D._.
5.3. La Chambre patrimoniale cantonale a considéré que l'avocat avait proposé d'appréhender l'action en responsabilité délictuelle dirigée contre D._ sous deux angles.
La première approche consistait à soutenir que le dépôt de l'action en annulation du testament constituait un acte illicite ayant causé deux dommages, soit celui résultant de la non-location de l'appartement litigieux durant ladite procédure et celui résultant des frais supportés par le client en lien avec cette procédure. L'avocat avait certes indiqué au client qu'il lui " semblait " que la condition de l'acte illicite était réalisée, au vu du comportement de D._ en procédure et de son opposition à l'occupation de l'appartement litigieux par le client, et qu'il restait " serein " quant à cette question, mais il avait spécialement attiré l'attention du client sur la jurisprudence restrictive du Tribunal fédéral en la matière. Par ailleurs, les parties n'avaient vraisemblablement pas connaissance, au moment de la préparation de cette demande, du fait que certains manquements de D._ durant la procédure d'annulation du testament étaient dus à son conseil. Dès lors, on ne saurait retenir que l'opinion exprimée par l'avocat était insoutenable ou particulièrement hasardeuse.
La seconde approche consistait à plaider que D._ avait commis un acte illicite en s'opposant auprès de l'administrateur officiel de la succession à la location au client de l'appartement litigieux durant la procédure en annulation du testament et qu'elle avait ainsi empêché la perception de loyers. L'avocat avait exposé que l'existence d'un acte illicite lui " semblait " réalisée, en tant que D._ s'était opposée à la location de l'appartement litigieux tandis que E._ et la Justice de paix avaient exprimé leur accord. Les juges de première et de deuxième instances n'avaient pas examiné si une telle opposition constituait un acte illicite et avaient relevé que les revenus locatifs revenaient à la succession jusqu'au partage de celle-ci, qu'il incombait ainsi à l'ensemble de la succession d'agir et qu'il n'existait pas de lien de causalité entre ladite opposition et le dommage, dans la mesure où la location de l'appartement litigieux dépendait exclusivement de l'administrateur officiel. Aucun élément du dossier ne permettait de retenir que l'avocat aurait fait un quelconque commentaire au client s'agissant de la légitimation active; quand bien même la position de l'avocat, selon laquelle une éventuelle perte locative devait revenir au client car il avait été institué seul héritier de l'appartement litigieux, ne paraissait pas complètement insoutenable, il aurait été préférable que l'avocat attirât l'attention du client sur ce point. Toutefois, compte tenu du fait que l'action ne reposait pas uniquement sur cette seconde approche et que la première approche n'était pas vouée à l'échec, on ne saurait considérer cette omission comme une violation du devoir de diligence de l'avocat.
Enfin, on ne saurait déduire de l'état de fait que l'avocat aurait garanti au client le succès de l'action litigieuse et/ou de l'appel.
La Chambre patrimoniale cantonale a ainsi conclu que l'avocat n'avait pas violé son obligation de diligence s'agissant du dépôt de l'action en responsabilité litigieuse.
5.4. La cour cantonale a confirmé le jugement par substitution partielle de motifs.
Premièrement, elle a retenu que l'avis de droit du 12 janvier 2009 faisait suite au souhait du client, qu'il avait été établi d'entente entre celui-ci et l'avocat et qu'il devait être considéré comme un document de base pour la discussion entre ceux-ci, de sorte qu'il y avait lieu de " nuancer le fait qu'il serait dû exclusivement à l'initiative de l'[avocat] ".
Deuxièmement, elle a jugé qu'on ne saurait pas non plus exclure d'emblée toute chance de succès de l'action en responsabilité litigieuse, dès lors qu'elle est en principe admise lorsque le plaideur agit de manière illicite, qu'il convenait de se placer au moment où l'action avait été introduite en 2009, que D._ avait alors adopté un comportement singulier dans le contexte de l'action en annulation du testament qu'elle avait introduite, faisant défaut à deux reprises et ne procédant pas au paiement de l'avance de frais (cf. supra consid. A.b) et que ce comportement permettait à tout mandataire consciencieux, placé dans la même situation, d'envisager une action en responsabilité civile, ce d'autant plus qu'il n'était pas établi que l'avocat et le client eussent eu connaissance, au moment du dépôt de l'action en responsabilité, de la situation personnelle du conseil de D._ et que le client s'était par la suite opposé à toute négociation.
Troisièmement, elle a considéré (1) que le raisonnement du jugement entrepris n'était pas clair s'agissant de la connaissance des parties, au moment de la préparation de l'action litigieuse, quant à la capacité de discernement de la défunte mais que ce qui était déterminant était que l'action en annulation du testament n'avait alors pas été tranchée au fond suite au comportement procédural singulier de D._, ce qui permettait, pour un mandataire consciencieux placé dans la même situation, de déduire que D._ doutait fortement de la pertinence de son argument quant à l'incapacité de discernement de la défunte pour obtenir l'annulation du testament et que son action ne visait qu'à exercer une pression sur le client pour l'amener à accepter un arrangement, (2) que le client considérait lui-même que D._ s'était rendue compte que sa requête n'était pas du tout fondée et que sa proposition transactionnelle n'était qu'une démarche désespérée, (3) qu'on ne saurait dès lors s'appuyer sur le jugement du Tribunal civil, comme l'avait fait le client, pour en déduire que l'avocat avait alors déjà connaissance des doutes quant à la capacité de discernement de la défunte et qu'il était ainsi indéniable que l'action en annulation n'était pas vouée à l'échec et, donc, abusive, (4) que cela était d'autant plus vrai que la justice de paix avait, en s'écartant de l'opposition formée par D._, autorisé l'administrateur officiel à procéder à toutes les opérations en vue de la location de l'appartement litigieux, et (5) que le contexte de l'époque était donc favorable au dépôt de l'action en responsabilité, auquel s'ajoutait encore la détermination du client à agir en justice.
Quatrièmement, s'agissant de la légitimation active du client, la cour cantonale a jugé (1) qu'il y avait lieu de rappeler que l'action en responsabilité avait été introduite après le partage de la succession, (2) que le Tribunal civil avait retenu, au sujet des loyers réclamés, que le client n'avait pas clairement établi le montant de son dommage, dès lors qu'une partie des loyers revenait à l'autre héritière, mais que cela ne " rev[enait] pas à remettre en cause fondamentalement sa légitimation active ni à imposer une consorité nécessaire ", comme le soutenait le client, (3) que le Tribunal cantonal avait relevé que le client n'avait pas la légitimation active pour l'ensemble des postes de dommage réclamés, les loyers étant dus à la succession et l'attribution au client des revenus avant partage étant une question d'interprétation de la règle de partage testamentaire devant être réglée entre les cohéritiers, et (4) qu'il y avait lieu de rappeler que la défunte avait désigné le seul client comme héritier de l'appartement litigieux.
Cinquièmement, la cour cantonale a considéré que c'est le client qui avait, en toute connaissance de cause, décidé de faire appel, en indiquant qu'il agissait en mémoire de la défunte ainsi que pour lui-même et la notaire ayant instrumenté le testament contesté par D._ quand bien même l'avocat lui avait indiqué (1) qu'il lui était difficile de se prononcer sur les chances de succès de l'appel, (2) que, selon son expérience, les cas d'appels qui étaient admis étaient inférieurs à ceux qui étaient rejetés, (3) qu'il y avait deux points de vue quant à l'argumentation juridique et (4) qu'il comprendrait parfaitement la renonciation du client à faire appel. Dès lors, la causalité naturelle était ici dépassée.
5.5. Le recourant invoque que l'action en responsabilité litigieuse n'avait jamais eu aucune chance d'aboutir et procédait d'une analyse juridique erronée. Il conteste un à un les cinq arguments de la cour cantonale.
Premièrement, les précisions apportées par la cour cantonale au sujet de l'initiative et de l'utilisation de l'avis de droit du 12 janvier 2009 seraient superflues, dans la mesure où seul importerait le fait que ledit avis avait été établi par l'intimé en sa qualité de mandataire.
Deuxièmement, il serait faux de retenir que l'action en responsabilité délictuelle serait en principe admise par la jurisprudence, une telle responsabilité constituant selon lui une exception extrêmement marginale qui ne saurait être envisagée que lorsque le plaideur adopte clairement un comportement immoral, intentionnel ou de négligence grave au sens de l'art. 41 CO et sait ou devait savoir que sa position était indéfendable. Or, la position de D._ n'avait clairement pas été indéfendable, dans la mesure où elle avait été instituée héritière par la défunte. Il ne pourrait par ailleurs rien être déduit de son opposition à la participation à une séance de négociation, celle-ci n'ayant été possible que plus de trois ans après le dépôt de l'action en annulation.
Troisièmement, à supposer que D._ eût douté de la pertinence de son argument quant à l'incapacité de discernement de la défunte, elle n'aurait manifestement pas commis un acte illicite dès lors que sa position était largement défendable. Il serait par ailleurs possible de s'appuyer sur le jugement du Tribunal civil, qui démontrerait l'existence de doutes quant à la capacité de discernement de la défunte.
Quatrièmement, le fait que la défunte avait désigné le seul recourant comme héritier de l'appartement litigieux ne permettrait aucunement d'excuser la violation du devoir de diligence commise par l'intimé, dès lors que celui-ci réclamait au nom et pour le compte de son client les montants des loyers dudit appartement, lesquels étaient dus à la succession.
Cinquièmement, c'était l'intimé qui aurait convaincu le recourant d'interjeter appel, dans la mesure où il aurait ouvertement remis en question l'appréciation du tribunal et où il aurait indiqué: " nous devons déposer un appel ". Il serait donc erroné de considérer que la causalité naturelle eût été dépassée. L'intimé, en n'établissant pas le montant du dommage du recourant et en ne s'interrogeant même pas sur les questions de légitimation, aurait manifestement violé son devoir de diligence.
5.6. La position du recourant ne saurait prospérer.
Comme les premiers juges l'ont à juste titre relevé, l'intimé avait attiré l'attention du recourant sur le fait que la jurisprudence en matière de responsabilité civile du plaideur est restrictive. Au moment du dépôt de l'action litigieuse, le recourant et lui ont considéré que le comportement particulier de D._, qui avait par deux fois fait défaut et qui ne s'était pas acquittée de l'avance de frais requise, justifiait cette action. Le recourant considérait lui-même que D._ s'était rendue compte que sa requête n'était pas du tout fondée et que sa proposition transactionnelle n'était qu'une démarche désespérée. Malgré la jurisprudence restrictive en la matière, le recourant ne peut donc être suivi lorsqu'il affirme que l'action litigieuse n'avait jamais eu aucune chance d'aboutir.
Contrairement à ce que soutient le recourant, c'est par ailleurs à l'aune des connaissances prévalant lors du dépôt de l'action litigieuse que le comportement de l'intimé doit être jugé. On ne saurait dès lors lui imputer des faits dont les parties n'ont eu connaissance qu'ultérieurement. Tel est en l'occurrence le cas des doutes relatifs à la capacité de discernement de la défunte, ce que le recourant ne conteste pas.
La question de savoir si l'intimé a violé son devoir de diligence en n'examinant pas la question de la légitimation active du recourant et en n'établissant pas précisément le dommage de celui-ci peut par ailleurs rester ouverte, dans la mesure où la demande litigieuse a été rejetée pour un autre motif, soit parce qu'il n'avait pas été prouvé que D._ aurait commis un acte illicite fautif (cf. supra consid. 5.2.1 et 5.2.3).
S'agissant de la décision de faire appel, il convient de rappeler, d'une part, que l'intimé a expliqué au recourant qu'il lui était difficile de se prononcer sur les chances de succès d'un appel et que, selon son expérience, " les cas d'appels qui sont admis sont inférieurs à ceux qui sont rejetés " et, d'autre part, que l'intimé n'a pas garanti le résultat de cette procédure, ce que les premiers juges ont relevé à juste titre. Le recourant n'établit ainsi pas que la constatation de la cour cantonale, selon laquelle il avait décidé de faire appel en toute connaissance de cause, serait arbitraire.
Enfin, c'est à tort que le recourant se prévaut d'une citation tronquée (" Nous devons déposer un appel ") d'un courriel de l'intimé, dans lequel celui-ci a indiqué: " Nous pouvons interjeter appel [...] auprès de la Cour d'appel du Tribunal cantonal vaudois. Nous devons déposer un appel motivé. " (cf. supra consid. 5.2.2). Il ne saurait donc être question d'un impératif d'interjeter appel; l'intimé a uniquement précisé qu'un appel éventuel devrait être motivé.
Le grief doit donc être rejeté.
6.
Deuxièmement, le recourant considère que c'est à tort que la cour cantonale a retenu que l'intimé n'avait pas violé son devoir de diligence en n'ouvrant pas action à l'encontre de l'administrateur officiel de la succession.
6.1. La Chambre patrimoniale cantonale a considéré (1) que l'administrateur officiel avait pour mission de conserver le patrimoine successoral de la défunte et que le fait de ne pas avoir mis en location l'appartement litigieux était propre à engager sa responsabilité, (2) que les loyers qui auraient pu être perçus auraient été dus à la succession et qu'il incombait donc à celle-ci dans son entier de demander la réparation du dommage causé par les manquements de l'administrateur officiel, (3) qu'aucun élément du dossier ne permettait de considérer que l'avocat aurait conseillé au client d'intenter une telle action avec E._ mais que, étant donné que les parties avaient d'abord essayé d'obtenir la réparation du dommage par l'action en responsabilité ouverte contre D._, " ce qui était plus favorable au [client], puisqu'il aurait ainsi été le seul créancier de ces loyers ", on ne saurait reprocher à l'avocat de ne pas avoir proposé au client l'introduction d'une telle action avant qu'une décision définitive ne soit rendue dans le contexte de l'action contre D._, et (4) que l'action en responsabilité de l'administrateur officiel se prescrivait par dix ans et qu'au moment de la résiliation du mandat de l'avocat, l'action n'était pas encore prescrite et que le client aurait pu encore agir, ce qu'il n'a pas fait. Elle a retenu que l'avocat n'avait ainsi pas violé son obligation de diligence.
6.2. Procédant à nouveau par substitution partielle de motifs, la cour cantonale a confirmé dans son résultat l'appréciation des premiers juges et retenu (1) que l'action dirigée contre l'administrateur officiel supposait une décision de celui-ci, soit en l'occurrence une décision de refus de louer l'appartement litigieux, (2) qu'un tel refus ne ressortait pas du dossier, l'administrateur officiel ayant fait preuve tout au plus de passivité et ayant privilégié un arrangement entre les parties, (3) que D._ venait alors d'ouvrir une action en annulation du testament, (4) que, si le client et l'avocat avaient alors insisté pour que l'administrateur officiel rendît une décision au sujet de la location de l'appartement litigieux, celui-ci aurait décidé de le louer soit au client soit à un tiers, (5) que, en cas de location au client et au vu du fait que celui-ci souhaitait occuper lui-même l'appartement litigieux à un loyer avantageux s'écartant de l'estimation faite par la gérance immobilière, on ne voyait pas, au degré de la vraisemblance prépondérante et selon l'expérience générale de la vie, que l'avocat aurait encore pu, voire dû, intenter avec succès une action en responsabilité contre l'administrateur officiel, sans compter l'opposition de D._, et (6) que, en cas de location à un tiers, le client aurait couru le risque d'une prolongation du délai durant lequel il n'aurait pas pu prendre possession de l'appartement litigieux.
6.3. Le recourant considère que l'intimé a procédé à une analyse juridique insoutenable et argue (1) que l'action dirigée contre D._ était manifestement vouée à l'échec et n'aurait pas permis d'atteindre le but visé, soit le fait pour le recourant d'occuper l'appartement litigieux avant le partage de la succession, dans la mesure où ladite action avait été déposée après le partage de la succession, (2) que l'intimé aurait pu et dû lui conseiller d'invoquer que l'administrateur officiel aurait commis un déni de justice, l'opposition de D._ n'ayant aucun poids en tant que seul l'administrateur officiel avait la compétence de trancher la question, et (3) que l'arrêt entrepris procède de la simple supputation s'agissant de la prétendue inopportunité d'enjoindre l'administrateur officiel à rendre une décision.
6.4. Le recourant perd de vue qu'il souhaitait, comme la cour cantonale l'a relevé à juste titre, prendre possession de l'appartement litigieux dès que possible tout en bénéficiant d'un loyer de faveur. C'est ainsi qu'il avait proposé un loyer mensuel de 1'000 fr., tandis que l'estimation effectuée par la régie s'élevait à 2'200 fr. S'agissant de cette estimation, le recourant avait par ailleurs indiqué à l'intimé avoir " fait [...] un clin d'oeil [...] [à l'employé de la régie] pour qu'il revoit à la baisse son estimation de loyer pour [lui] permettre de le louer à bon prix ", ce qui confirme, d'une part, que le loyer mensuel usuel devait probablement être supérieur à 2'200 fr. et, d'autre part, que le recourant souhaitait obtenir l'usage dudit appartement à un prix réduit.
Dès lors, le raisonnement de la cour cantonale ne saurait être critiqué: si l'administrateur officiel avait été contraint de rendre une décision conforme à son mandat de préserver la fortune de la défunte, il aurait loué l'appartement soit à un tiers, contrairement au souhait du recourant de l'occuper, soit au recourant mais à un loyer qui n'aurait pas été celui souhaité par celui-ci. Un recours pour déni de justice intenté contre l'administrateur officiel n'aurait donc pas été dans l'intérêt du recourant, de sorte que l'on ne saurait reprocher à l'intimé d'avoir violé par omission son devoir de diligence. Le recourant n'indique du reste pas quelle autre décision l'administrateur officiel aurait pu prendre.
Le grief doit donc être rejeté.
7.
Troisièmement, le recourant fait grief à la cour cantonale d'avoir jugé que l'intimé n'avait pas violé son devoir de diligence dans le contexte du dépôt de la plainte pénale en France à l'encontre de D._.
7.1. La cour cantonale a constaté qu'en 2005, le client avait chargé l'avocat d'examiner les possibles infractions pénales commises par D._ au début des années 2000 dans le contexte de la gestion des avoirs bancaires que la défunte détenait sur le territoire français afin d'ouvrir action en France contre elle et contre la société qui l'employait.
7.1.1. Le 26 novembre 2008, l'avocat a ainsi fait appel à G._, avocat à Paris (ci-après: le premier avocat parisien). Il l'a notamment informé que, selon un carnet bancaire tenu à l'époque par la défunte et que le client avait retrouvé, celle-ci avait gratifié D._ et sa fille de montants importants.
L'avocat ayant demandé des nouvelles de ce dossier au premier avocat parisien le 26 mai 2010, celui-ci lui a répondu qu' " il [lui] appara[issait] pour le moins difficile d'envisager une action à l'encontre de D._ ", en tant qu'une action pénale fondée sur l'abus de faiblesse ne peut être engagée que par la victime directe et qu'une action en responsabilité nécessite de justifier de l'existence d'un préjudice subi par la faute de D._. Or, ce préjudice ne ressortait pas, selon le premier avocat parisien, des pièces fournies par le client, dans la mesure où D._ n'avait " pas engagé de démarche de nature à altérer ce patrimoine, mais au contraire, [...] a[vait] tout mis en oeuvre pour le faire fructifier et l'enrichir, pensant en être la future légataire ".
Le 28 mai 2010, l'avocat a indiqué au client qu'il n'était " guère favorable à cette appréciation ". Le client lui a répondu qu'il ne partageait pas non plus l'appréciation du premier avocat parisien.
Le 6 octobre 2010, le premier avocat parisien a de nouveau indiqué à l'avocat qu'il lui apparaissait difficile d'envisager une procédure pénale ou civile à l'encontre de D._ et de son ancienne employeuse.
7.1.2. Le 3 novembre 2010, l'avocat a confirmé au client qu'il prenait bonne note qu'il convenait de chercher un autre cabinet d'avocats. Les 11 et 22 novembre 2010, le client a confirmé sa volonté de trouver un autre avocat, en en précisant le profil.
L'avocat a ainsi rencontré H._, avocat à Paris (ci-après: le second avocat parisien) et a indiqué au client que le second avocat parisien considérait que seule une action pénale devait être introduite et qu'ils étaient " dans les délais ".
Le 8 février 2011, le client a écrit à l'avocat afin que celui-ci s'assure auprès du second avocat parisien qu'une action pénale serait bien recevable s'agissant de la qualité pour agir et lui demande d'évaluer les chances de succès dans le contexte de cette affaire.
Le 22 février 2011, l'avocat a informé le client que le second avocat parisien avait commencé la rédaction du projet de plainte pénale, ce à quoi le client a répondu qu'il avouait ne pas comprendre la situation, dans la mesure où le second avocat parisien devait, afin de ne pas engager en vain d'importants frais, répondre à toutes les questions posées avant d'aller de l'avant et de commencer la rédaction du projet de plainte pénale.
Le même jour, le second avocat parisien a adressé à l'avocat un avis de droit concernant la possibilité d'un dépôt de plainte en France. L'avocat a transmis au client ledit avis de droit, lui a expliqué que le second avocat parisien était " relativement serein s'agissant de [...] la question de la prescription " et l'a remercié de " [lui] donner le feu vert afin qu['il] puisse le retranscrire [au second avocat parisien] ".
Le 28 février 2011, le client, représenté par le second avocat parisien, a déposé plainte contre X pour abus frauduleux de l'état d'ignorance et de faiblesse auprès du Procureur de la République à Versailles.
Le client a indiqué à l'avocat qu'il avait eu un entretien téléphonique avec la collaboratrice du second avocat parisien les 28 février et 18 mai 2011.
7.1.3. L'avocat a donné l'ordre à sa banque de verser 10'000 EUR au second avocat français.
7.1.4. Le 23 mai 2011, le client a informé l'avocat qu'il avait eu une très brève conversation téléphonique avec le second avocat français, qui lui avait confirmé qu'il était " hors délais [sic] pour la plainte et que il nous (vous) la dit [sic] dès le début ", qu'il n'a rien pu répondre à cela car c'est l'avocat qui était en contact avec lui depuis le début de l'affaire et que c'était uniquement parce que le second avocat parisien leur avait assuré qu'ils étaient " dans les délais pour la prescription " qu'il lui avait " donné [s]on feu vert pour le dépôt de la plainte à Versailles avec le versement de 10'000 EUR qui le suivait ".
Le 25 mai 2011, l'avocat lui a répondu qu'il était " assez surpris des déclarations faites par [le second avocat parisien] "et lui a transmis une copie du courriel qu'il avait adressé à celui-ci, dans lequel il faisait référence à l'appel téléphonique qu'il avait eu " avec [leur] client commun ", contestait que le second avocat parisien eût expliqué au client, dès le début, que l'affaire était prescrite et indiquait que, à sa question de savoir s'il y avait un risque de prescription, il lui avait répondu que tel n'était pas le cas.
7.1.5. Le 31 mai 2011, le second avocat parisien a adressé un courrier à D._, dans lequel il affirmait qu'il lui écrivait en qualité de conseil du client, qu'elle avait pu se faire remettre de fortes sommes d'argent par la défunte, qu'elle avait sciemment abusé de la faiblesse de celle-ci à de nombreuses reprises et à son préjudice, qu'une plainte pénale avait été déposée le 28 février 2011 et que le client restait disposé à régler ce litige à l'amiable si elle acceptait, par son intermédiaire, de lui restituer les montants perçus.
Le 6 septembre 2011, le second avocat parisien a écrit au client que le Doyen des Juges d'Instruction du Tribunal de Grande Instance de Versailles lui avait indiqué que, selon lui, les faits visés dans la plainte pénale dirigée contre D._ étaient prescrits. Selon lui, il restait toutefois possible de " pousser encore [son] dossier en sollicitant qu'un juge d'instruction soit saisi ".
7.1.6. Le 18 novembre 2011, l'avocat a indiqué au client que le second avocat parisien leur avait laissé entendre qu'il n'y avait pas de risque de prescription, qu'il lui était impossible de recouvrer les honoraires versés et que le client n'avait dès lors pas d'autre choix que d'initier une procédure en France contre le second avocat parisien.
7.2. La Chambre patrimoniale cantonale a considéré que l'avocat avait certes expliqué au client qu'il n'était pas favorable à l'appréciation du premier avocat parisien, selon laquelle une procédure pénale dirigée contre D._ aurait peu de chance d'aboutir au vu notamment du fait que la question de la prescription risquait de causer des difficultés, mais qu'il avait toutefois exposé au client les arguments soulevés dans ladite appréciation. C'était probablement parce que le client avait indiqué qu'il ne partageait pas non plus cette appréciation qu'il avait été décidé de faire appel à un nouvel avocat français. Le second avocat parisien était favorable au dépôt d'une plainte pénale et a indiqué être serein s'agissant de la question de prescription. La plainte pénale a toutefois été rejetée car la prescription était déjà acquise. Le second avocat parisien a ensuite assuré au client et à l'avocat qu'il les avait avertis dès le début que l'affaire était prescrite, ce qui n'était toutefois pas établi.
Les premiers juges ont dès lors considéré qu'on ne saurait reprocher à l'avocat une violation de son devoir de diligence, dans la mesure (1) où il s'imposait de solliciter les conseils d'un avocat français, compte tenu du fait qu'un avocat suisse ne devrait en principe pas prodiguer de conseils dans un droit autre que le sien, (2) où il était utile d'obtenir un deuxième avis avant de renoncer définitivement à faire valoir les prétentions du client après que le premier avocat parisien était arrivé à la conclusion qu'une procédure pénale en France aurait peu de chances d'aboutir, (3) où aucun élément du dossier ne permettait de considérer que l'avocat eût lourdement insisté auprès du client pour obtenir ce second avis, et (4) où l'avocat s'était contenté de rapporter au client l'avis du second avocat parisien, sans toutefois émettre de garanties quant à son bien-fondé.
Par ailleurs, la Chambre patrimoniale cantonale a jugé qu'on ne pouvait pas retenir que le second avocat parisien eût été un auxiliaire de l'avocat, dès lors qu'il agissait de manière indépendante, sous sa seule responsabilité et sans surveillance de l'avocat, que le cas d'espèce s'assimilait plutôt à celui du confrère auquel un avocat réfère un client pour une prestation spécialisée, que le second avocat parisien agissait ainsi comme substitut du défendeur, voire comme mandataire direct du client. En cas de substitution, celle-ci était incontestablement dictée par l'intérêt du client et on ne saurait considérer que l'avocat eût commis une faute dans le choix de l'avocat français ou omis de lui donner des instructions, de sorte qu'il ne pouvait être tenu responsable des éventuels manquements du second avocat parisien.
7.3. Au vu du fait que le client avait remis des documents complémentaires au premier avocat parisien, qu'il était passé en son cabinet et qu'il avait été contacté directement par ledit cabinet à tout le moins en février et mai 2011, la cour cantonale a considéré que le rôle de l'avocat apparaissait comme ayant été celui d'un " intermédiaire " entre le client et les avocats parisiens et qu'il pouvait être exclu que ceux-ci eussent été des auxiliaires de l'avocat, dès lors qu'ils avaient agi de manière indépendante et non pas sous sa surveillance.
À supposer que les rapports entre l'avocat et les avocats parisiens dussent être qualifiés de substitution, l'autorité précédente a retenu que le client était intervenu auprès d'eux, qu'il avait fait preuve de détermination à intenter une action contre D._ - ce qui excluait la pression alléguée qu'aurait exercée l'avocat - et qu'après avoir reçu l'avis du premier avocat parisien, il avait souhaité consulter un autre avocat français au profil bien déterminé, de sorte qu'il ne pouvait être retenu que l'avocat aurait violé ses obligations ni quant au choix de ces avocats ni s'agissant des instructions, précises et nuancées, qu'il leur avait données.
7.4. Le recourant soutient que toutes les correspondances ont été échangées directement entre le premier avocat parisien et l'intimé, qu'il était toujours mentionné comme " client " de l'intimé et non du premier avocat parisien, que celui-ci et lui n'ont pas conclu de " contrat direct ", que l'intimé a contesté sans aucune motivation et sans véritable fondement l'appréciation juridique du premier avocat parisien, qu'il a ensuite rencontré le second avocat parisien qui a indiqué: " Nous sommes dans les délais ", que le recourant a formulé de nombreuses questions que l'intimé devait poser au second avocat parisien et qu'il lui avait demandé de faire évaluer par celui-ci les chances de succès de la démarche, que l'intimé n'a toutefois pas donné suite à ses demandes, le second avocat parisien ayant alors commencé la rédaction du projet de plainte pénale, ce qui avait mis une forme de pression sur le recourant pour aller de l'avant, que l'intimé ne l'aurait pas aidé à récupérer les honoraires versés au second avocat parisien, que l'intimé a mentionné qu'il était évident " qu['il] n'aurai[t] jamais donné l'instruction de déposer une plainte pénale sachant que les faits étaient définitivement prescrits ", que, à l'exception d'un appel téléphonique de deux minutes, l'intégralité des correspondances avec le second avocat parisien ont été échangées entre celui-ci et l'intimé, et que le recourant et lui n'avaient donc pas " conclu un contrat direct ". Selon lui, les deux avocats parisiens étaient des substituts de l'intimé et la cour cantonale aurait violé l'art. 399 CO.
Le recourant avance que l'intimé n'aurait pas choisi le second avocat parisien avec soin, car un mandataire diligent n'aurait jamais choisi un confrère qui accepte de déposer une plainte pénale portant sur des faits prescrits alors que son client avait spécialement attiré son attention sur ses préoccupations liées à cette problématique, et ne l'aurait pas instruit correctement en le laissant déposer une plainte pénale pour des faits prescrits.
7.5. Le recourant n'invoque ni n'établit que l'appréciation de la cour cantonale, selon laquelle l'intimé avait un rôle d'" intermédiaire " entre le recourant et le second avocat parisien, serait arbitraire. Cette constatation factuelle, basée sur la volonté des parties, lie donc la Cour de céans.
Cette interprétation de la volonté des parties est confirmée par le comportement de celles-ci et, notamment, par le fait que l'intimé, s'adressant au second avocat parisien, se réfère au recourant en tant que " [leur] client commun "et par le courrier que le second avocat parisien a fait parvenir à D._ " en qualité de conseil d[u client] ".
Dès lors, l'intimé ne saurait être considéré responsable des éventuels manquements du second avocat parisien auquel l'intimé avait fait appel conformément au souhait du recourant.
Le grief doit être rejeté.
L'intimé n'ayant pas violé son devoir de diligence, point n'est par ailleurs nécessaire d'examiner les griefs du recourant relatifs aux autres conditions de sa responsabilité.
8.
Dans un second temps, le recourant fait grief à la cour cantonale d'avoir admis la demande reconventionnelle de l'avocat, de ne pas avoir " analysé la créance d'honoraires réclamée par l'intimé " et d'avoir " simplement confirmé le Jugement de première instance ".
8.1. En vertu du principe de l'épuisement des griefs, le recours au Tribunal fédéral n'est ouvert qu'à l'encontre des décisions rendues par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1 LTF), ce qui signifie que les voies de droit cantonales doivent avoir été non seulement utilisées sur le plan formel, mais aussi épuisées sur le plan matériel (<ref-ruling> consid. 1.1). Lorsque l'autorité de dernière instance cantonale peut se limiter à examiner les griefs régulièrement soulevés, le principe de l'épuisement matériel veut que les griefs soumis au Tribunal fédéral aient déjà été invoqués devant l'instance précédente (arrêts 4A_245/2021 du 26 octobre 2021 consid. 4.1; 4A_40/2021 du 10 juin 2021 consid. 3.2 et les arrêts cités).
Aux termes de l'art. 57 CPC, le tribunal applique le droit d'office. Cela ne signifie pas que la cour cantonale doive examiner toutes les questions de fait et de droit qui pourraient se poser. Compte tenu de l'obligation de motiver imposée par l'art. 311 al. 1 CPC s'agissant de l'appel, il appartient à l'appelant de motiver son appel. La même obligation incombe à l'intimé, qui doit soulever ses griefs dans sa réponse. Selon la jurisprudence, la cour cantonale n'est pas tenue, comme un tribunal de première instance, d'examiner toutes les questions de fait et de droit qui pourraient se poser lorsque les parties ne soulèvent pas de griefs correspondants en deuxième instance. À moins que la violation du droit ne soit manifeste, la cour cantonale se limitera en principe à examiner les griefs que les parties adressent à la motivation du premier jugement dans l'appel et dans la réponse. Ce sont les griefs des parties qui forment le cadre de l'examen de la cour cantonale; le jugement attaqué ne doit en principe être examiné que sur les points ainsi remis en cause. Toutefois, lorsque des questions de droit sont ainsi discutées, la cour cantonale revoit librement l'application du droit, n'étant liée ni par l'argumentation juridique développée par les parties ni par la motivation du tribunal de première instance (<ref-ruling> consid. 4.1.4; <ref-ruling> consid. 2.2.4; arrêts 4A_245/2021 précité consid. 4.1; 4A_40/2021 précité consid. 3.2 et les arrêts cités).
8.2. Au vu de ses contestations réitérées quant à la qualité, au nombre et à la nécessité des prestations de l'intimé et des nombreuses violations du devoir de diligence de celui-ci, il serait insoutenable, selon le recourant, que l'intimé pût réclamer le paiement d'un montant de 10'527 fr. 85. En tout état de cause, celui-ci n'aurait pas respecté les incombances lui permettant de réclamer le prétendu solde de ses honoraires, dans la mesure où sa demande reconventionnelle ne contenait notamment pas d'allégués reprenant les décomptes d'activités mentionnant le travail réalisé, le temps passé et le tarif horaire.
8.3. Dans la mesure où le recourant n'établit pas, avec références précises au dossier, qu'il aurait fait valoir devant la cour cantonale un grief relatif à la demande reconventionnelle de l'avocat admise en première instance, il ne satisfait pas au principe de l'épuisement des griefs (cf. supra consid. 8.1) et son grief est irrecevable.
Pour le même motif, une violation de son droit d'être entendu ne saurait entrer en ligne de compte.
9.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable.
Les frais judiciaires et les dépens seront mis à la charge du recourant, qui succombe (art. 66 al. 1 et art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 5'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimé une indemnité de 6'500 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 4 avril 2022
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Hohl
Le Greffier : Douzals