Erwägungen:
1.
1.1. A._ (nachfolgend: die Steuerpflichtige) war in den hier interessierenden Steuerperioden 2015 und 2016 im Kanton Zürich steuerpflichtig. Zu den beiden Steuerperioden reichte sie die Steuererklärungen nicht ein. Nachdem sie erfolglos gemahnt worden war, schritt das Steueramt des Kantons Zürich (KStA/ZH; nachfolgend: die Veranlagungsbehörde) bezüglich der Staats- und Gemeindesteuern sowie der direkten Bundessteuer zur Veranlagung nach pflichtgemässem Ermessen (Veranlagungsverfügungen vom 3. April 2017 [Steuerperiode 2015] bzw. 26. April 2018 [Steuerperiode 2016]).
1.2. Die Steuerpflichtige macht im vorliegenden Verfahren geltend, von Anfang Oktober 2016 bis zirka Mitte August 2019 an erheblichen psychischen Beschwerden gelitten zu haben. Entsprechend sei es ihr unmöglich gewesen sei, ihren direktsteuerlichen Mitwirkungspflichten zu den Steuerperioden 2015 und 2016nachzukommen. Noch während der genannten Dauer erhob die Steuerpflichtige am 8. November 2018 Einsprache gegen die ebenfalls nach pflichtgemässem Ermessen ergangene Veranlagungsverfügung zur Steuerperiode 2017, wozu sie eine vollständig ausgefüllte Steuererklärung einreichte. Gut ein Jahr später, am 5. September 2019, erklärte sie Einsprache gegen die Veranlagungsverfügungen vom 3. April 2017 bzw. 26. April 2018 und unterbreitete sie der Veranlagungsbehörde ein Gesuch um Wiederherstellung der versäumten Einsprachefrist. Die Veranlagungsbehörde wies das Fristwiederherstellungsgesuch ab und trat auf die Eingaben nicht ein (Einspracheentscheide vom 6. November 2019 [Steuerperiode 2015] bzw. 7. November 2019 [Steuerperiode 2016]). Dagegen gelangte die Steuerpflichtige am 9. Dezember 2019 (Steuerperiode 2015) bzw. 16. Dezember 2019 (Steuerperiode 2016) an das Steuerrekursgericht des Kantons Zürich. Die beiden Rechtsmittelverfahren führten zur Abweisung (Entscheide vom 13. Juli 2021).
1.3.
1.3.1. In der Folge wandte die Steuerpflichtige sich am 22. August 2021 mit Beschwerde und Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Beschwerde und Gesuch führten zur Abweisung (einzelrichterlicher Entscheid SB.2021.00104 / SB.2021.00105 vom 27. Oktober 2021). In der Sache selbst erwog das Verwaltungsgericht, dass die Einsprachefrist mit den Einsprachen vom 5. September 2019 offensichtlich nicht habe gewahrt werden können. Zwecks Begründung des Fristwiederherstellungsgesuchs bringe die Steuerpflichtige vor, dass sie durch ihre schwere psychische Krankheit vom rechtzeitigen Tätigwerden abgehalten worden sei, dies von Oktober 2016 bis Mitte August 2019. Die Ärztin, die die Steuerpflichtige ab Anfang Mai 2018 betreut habe, habe ihr für den vorangehenden Zeitraum aber kein Arztzeugnis erstellen können, welche die krankheitsbedingte Hinderung belege.
1.3.2. Aus dem Gesuch vom 5. September 2019 um Wiedereinsetzung in den früheren Stand gingen zwar gewichtige Indizien hervor, die auf einen objektiven Hinderungsgrund schliessen lassen könnten, fährt das Verwaltungsgericht fort. Der Steuerpflichtigen sei aber entgegenzuhalten, dass es ihr am 9. November 2018, also während der angeblichen Dauer der Beeinträchtigung, durchaus möglich gewesen sei, Einsprache gegen die nach pflichtgemässem Ermessen ergangene Veranlagungsverfügung zur Steuerperiode 2017 zu erheben und eine Steuererklärung einzureichen. Es sei anzunehmen, so das Verwaltungsgericht, dass die Steuerpflichtige spätestens zu diesem Zeitpunkt imstande gewesen wäre, in Bezug auf die Veranlagungsverfügungen vom 3. April 2017 bzw. 26. April 2018 Einsprache zu erheben und um Fristwiederherstellung zu ersuchen bzw. eine Drittperson damit zu betrauen. Weder den Akten noch den Eingaben liessen sich Umstände entnehmen, die den Schluss nahelegten, dass die Steuerpflichtige hierzu krankheitsbedingt ausserstande gewesen sein könnte.
1.3.3. Mithin sei der Entscheid des Steuerrekursgerichts vom 13. Juli 2021, auch hinsichtlich der Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege, nicht zu beanstanden. Folglich erweise sich das für das verwaltungsgerichtliche Verfahren gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege als aussichtslos.
1.4. Mit Eingabe vom 15. Dezember 2021 (Poststempel: 16. Dezember 2021) erhebt die Steuerpflichtige beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt, in Aufhebung des angefochtenen Entscheids sei das Gesuch um Wiedereinsetzung in den früheren Stand gutzuheissen und ihr das Recht zur unentgeltlichen Rechtspflege zu erteilen. Für das bundesgerichtliche Verfahren stellt sie das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und anwaltliche Verbeiständung).
1.5. Das Bundesgericht hat von Instruktionsmassnahmen, insbesondere einem Schriftenwechsel (<ref-law>), abgesehen.
2.
2.1. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG in Verbindung mit <ref-law> [SR 642.11] und Art. 73 StHG [SR 642.14]) sind gegeben.
2.2. Das Bundesgericht wendet das Bundesgesetzesrecht von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft es mit uneingeschränkter (voller) Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1).
2.3. Im Unterschied zum Bundesgesetzesrecht geht das Bundesgericht der Verletzung verfassungsmässiger Individualrechte (einschliesslich der Grundrechte) und des kantonalen Rechts nur nach, falls und soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit gemäss <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.4; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 7.2.3). Die beschwerdeführende Person hat daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, dass und inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 2.1).
2.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1). Tatfrage ist auch die Beweiswürdigung, namentlich die antizipierte Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 8.2). Die Anfechtung der vorinstanzlichen Feststellungen unterliegt der qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit (<ref-ruling> E. 4.1.2; vorne E. 2.3).
3.
3.1. Streitig und zu prüfen ist die Rechtsfrage, ob die Steuerpflichtige mit ihren Gesuchen vom 5. September 2019 die 30-tägige Frist zur Wiedereinsetzung in den früheren Stand habe wahren können. Wiederherzustellen wären die Einsprachefristen gegenüber den Veranlagungsverfügungen vom 3. April 2017 bzw. 26. April 2018 gewesen.
3.2.
3.2.1. Im Bereich der direkten Bundessteuer findet sich das massgebende Recht in <ref-law>. In Art. 48 StHG ("Einsprache") erfährt die Wiedereinsetzung in den früheren Stand demgegenüber keine ausdrückliche Regelung. Die Fristwiederherstellung im Bereich der Staats- und Gemeindesteuern ist daher Sache des kantonalen Rechts (Urteil 2C_896/2021 vom 19. November 2021 E. 2.2; Martin Zweifel/Silvia Hunziker, in: Martin Zweifel/Michael Beusch [Hrsg.], StHG, Kommentar, 3. Aufl. 2017, N. 24 zu Art. 48 StHG). Gemäss § 15 Abs. 1 und 2 der Verordnung (des Kantons Zürich) vom 1. April 1998 zum Steuergesetz (StV/ZH; LS 631.11) herrscht auf kantonaler Ebene eine mit <ref-law> vergleichbare Regelung (vgl. Urteil 2C_213/2016 vom 30. Juni 2016 E. 3). Eine gesonderte Prüfung nach Massgabe der Steuerhoheit erübrigt sich daher. Entsprechend kann integral auf das Urteil 2C_566/2020 vom 10. Juli 2020 E. 4.3.1 und 4.3.2 verwiesen werden. Darin war es in Bezug auf die heutige Steuerpflichtige um die direkte Bundessteuer, Steuerperioden 2015 bis 2017, Steuerbussen, gegangen.
3.2.2. Im damaligen Urteil konnte sich das Bundesgericht bereits ausführlich mit den ärztlichen Zeugnissen vom 29. August 2019 und vom 4. Februar 2020 auseinandersetzen. Hier zusammenfassend, erwog es damals, nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen des Verwaltungsgerichts (<ref-law>; vorne E. 2.4) spreche das zweite Zeugnis in allgemeiner Weise davon, dass die Steuerpflichtige "bis mindestens Mitte August 2019" daran gehindert gewesen sei, administrative Arbeiten zu erledigen. Dessen ungeachtet habe sie am 8. November 2018 sowohl eine Einsprache als auch eine vollständig ausgefüllte Steuererklärung vorzulegen vermocht. Die ärztlichen Zeugnisse seien von keinen unabhängigen Ärzten erstellt worden und insgesamt "wenig stimmig". Es bleibe namentlich auch unklar, in welchem Zeitraum die angebliche Handlungsunfähigkeit in administrativen Belangen bestanden habe und weshalb es der Steuerpflichtigen unmöglich gewesen sein soll, zumindest eine Vertretung beizuziehen (Urteil 2C_566/2020 vom 10. Juli 2020 E. 4.3.3).
3.2.3. Dieser beweiswürdigenden Erörterung der Vorinstanz hielt die Steuerpflichtige im Wesentlichen nur entgegen, dem "detaillierten ärztlichen Zeugnis" sei zu entnehmen, dass die schwere psychische Krankheit, die sie "von Oktober 2016 bis mindestens Mitte August 2019" am Handeln gehindert habe, den "kausalen Grund für die Nichteinreichung der Steuererklärungen" bilde. Wenn die Vorinstanz meine, dass "in den Arztzeugnissen Widersprüche zu finden" seien, so stütze sie sich dabei "auf falsche Annahmen/Interpretationen" (Urteil 2C_566/2020 vom 10. Juli 2020 E. 4.3.4).
3.2.4. Das Bundesgericht setzte sich in der Folge mit der verwaltungsgerichtlichen Beweiswürdigung und den Einwänden der Steuerpflichtigen detailliert auseinander (Urteil 2C_566/2020 vom 10. Juli 2020 E. 4.3.5). Es erwog, die Vorinstanz habe verfassungsrechtlich haltbar annehmen dürfen, dass die Krankheit im streitbetroffenen Zeitraum kein Ausmass angenommen habe, das die Steuerpflichtige hätte davon abhalten können, entweder selbst tätig zu werden oder zumindest eine Vertretung zu bezeichnen (Urteil 2C_566/2020 vom 10. Juli 2020 E. 4.3.5). Dies alles betraf zwar die Ordnungsbussen, welche die Veranlagungsbehörde bezüglich der direkten Bundessteuer, Steuerperioden 2015 bis 2017, ausgesprochen hatte, während es heute um die Veranlagungsverfügungen zu den Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Zürich und die direkte Bundessteuer, Steuerperioden 2015 und 2016, geht. Die Tat- und Rechtsfragen sind freilich dieselben, wobei die Steuerpflichtige im vorliegenden Verfahren auch keinerlei neue Argumente vorbringt. Damals wie heute durfte die Veranlagungsbehörde verfassungsrechtlich haltbar schliessen, dass es der Steuerpflichtigen schon im November 2018 möglich und zumutbar gewesen sei, zumindest eine Steuervertretung zu mandatieren. Demzufolge konnte sie auch rechtsfehlerfrei (direkte Bundessteuer) bzw. verfassungsrechtlich haltbar (Staats- und Gemeindesteuern) erwägen, die 30-tägige Frist zum Stellen eines Fristwiederherstellungsgesuchs im jeweiligen Verfahren sei ungenutzt verstrichen. Dementsprechend war das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht gutzuheissen. Der angefochtene Entscheid ist nicht zu beanstanden.
3.3. Die Beschwerde erweist sich mithin als offensichtlich unbegründet. Die Sache kann im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden.
3.4.
3.4.1. Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der Steuerpflichtigen aufzuerlegen (Art. 65 in Verbindung mit <ref-law>).
3.4.2. Die Steuerpflichtige ersucht für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und anwaltliche Verbeiständung) Die Bestellung einer unentgeltlichen Rechtsvertretung kommt einzig in Frage, wenn sie sachlich geboten ist (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.2.1; <ref-ruling> E. 3.2.3). Hierzu sind drei kumulative Voraussetzungen zu verlangen: Der Entscheid muss für die gesuchstellende Partei eine erhebliche Tragweite haben; die die gesuchstellende Partei darf in eigener Person nicht hinreichend rechtskundig sein; und im Verfahren müssen sich unausweichliche Fragen stellen, die sich nicht leicht beantworten lassen (<ref-ruling> E. 3c mit Hinweisen; Urteil 2D_50/2021 vom 9. Dezember 2021 E. 2.5). Dass diese Voraussetzungen allesamt erfüllt sein könnten, unterliegt zumindest ganz erheblichen Zweifeln, zumal die in der Hauptsache gestellten Anträge ohnehin aussichtslos waren, sodass die unentgeltliche Verbeiständung (<ref-ruling> E. 7.1) und die unentgeltliche Prozessführung im eigentlichen Sinn (<ref-ruling> E. 5.1) schon aus diesem Grund ausser Betracht fallen (<ref-law>). Das Gesuch ist abzuweisen. Praxisgemäss werden die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens aber reduziert, wenn erst zusammen mit dem Endentscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege entschieden wird (unter vielen: Urteil 2C_873/2021 vom 17. November 2021 E. 3).
3.4.3. Dem Kanton Zürich, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer, Steuerperioden 2015 und 2016, wird abgewiesen.
2.
Die Beschwerde betreffend die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Zürich, Steuerperioden 2015 und 2016, wird abgewiesen.
3.
3.1. Das Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege (Prozessführung und anwaltliche Vertretung) wird abgewiesen.
3.2. Die reduzierten Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, Einzelrichter, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung mitgeteilt.
Lausanne, 25. Januar 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Der Gerichtsschreiber: Kocher