Sachverhalt:
A.
B._ erlangte in den Jahren 2009 und 2010 für Fr. 88'800.-- und Fr. 95'800.-- Forschungsbeiträge von einer privaten Organisation, ohne sie in ihrer Steuererklärung zu deklarieren. Die entsprechenden Veranlagungsverfügungen der Steuerverwaltung des Kantons Basel-Stadt vom 7. April 2011 und vom 6. Oktober 2011 erwuchsen unangefochten in Rechtskraft.
B.
Mit Verfügungen vom 25. August 2015 setzte die Steuerverwaltung gegenüber B._ für 2009 und 2010 (Kantons- und Gemeindesteuern sowie direkte Bundessteuer) Nachsteuern (inkl. Belastungszinsen) von rund Fr. 63'000.-- fest. Dagegen erhob die Betroffene vergeblich Einsprachen und gelangte dann erfolglos an die Steuerrekurskommission des Kantons Basel-Stadt. Mit Rekurs und Beschwerde wandte sie sich an das kantonale Appellationsgericht (als Verwaltungsgericht), das ihre Rechtsmittel am 1. Februar 2019 guthiess und die vorinstanzlichen Entscheide mit der Begründung aufhob, die in den beiden Jahren 2009 und 2010 bezogenen Forschungsbeiträge würden nicht steuerbares Einkommen darstellen, sondern seien als steuerfreie Schenkungen mit Auflagen zu qualifizieren.
C.
Am 24. April 2019 hat die Steuerverwaltung des Kantons Basel-Stadt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht eingereicht. Sie stellt den Antrag, das appellationsgerichtliche Urteil aufzuheben und die Entscheide der kantonalen Steuerrekurskommission vom 22. Juni 2017 zu bestätigen.
D.
Die Eheleute A._ und B._ schliessen auf Abweisung der Beschwerde (soweit darauf einzutreten sei), ebenso wie das Verwaltungsgericht des Kantons Basel-Stadt, im Gegensatz zur Eidgenössischen Steuerverwaltung, die sich im Bereich der direkten Bundessteuer für eine Gutheissung ausspricht.

Erwägungen:
I. Prozessuales
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den verfahrensabschliessenden Entscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sind erfüllt (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 2 lit. d und Art. 90 BGG i.V.m. Art. 146 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer [DBG; SR 642.11] und Art. 73 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden [StHG; SR 642.14]).
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (<ref-law>). Die betroffene Person muss rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern der festgestellte Sachverhalt in diesem Sinn mangelhaft erscheint und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law> i.V.m. Art. 42 Abs. 2 und 106 Abs. 2 BGG).
II. Direkte Bundessteuer
2.
Ergibt sich aufgrund von Tatsachen oder Beweismitteln, die der Steuerbehörde nicht bekannt waren, dass eine Veranlagung zu Unrecht unterblieben oder eine rechtskräftige Veranlagung unvollständig ist, so wird die nicht erhobene Steuer samt Zins als Nachsteuer eingefordert (<ref-law>). Hier ist unbestritten, dass die von der Beschwerdegegnerin nicht deklarierten Forschungsbeiträge für 2009 und 2010 in den jeweiligen Steuerperioden unbesteuert blieben. Fraglich ist jedoch, ob die Besteuerung dieser Beträge zu Unrecht unterblieb. Das Appellationsgericht hat sich auf die genannte Bestimmung gestützt und geurteilt, dass die beiden Forschungsbeiträge an sich Einkünfte darstellen und unter den Grundsatz- und Auffangtatbestand von <ref-law> (sog. Prinzip der Gesamtreineinkommensbesteuerung) fallen könnten; jedoch sei in beiden Fällen eine Schenkung mit Auflagen gegeben, so dass gemäss <ref-law> eine Steuerbefreiung gegeben und die Besteuerung zu Recht unterblieben sei.
2.1. Gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung besteht eine nach <ref-law> steuerfreie Schenkung, wenn eine unentgeltliche Zuwendung unter Lebenden mit Schenkungsabsicht (animus donandi) erfolgt. Das objektive Merkmal der Unentgeltlichkeit der Vermögenszuwendung liegt vor, wenn der Zuwendungsempfänger für seinen Vermögenserwerb keine Gegenleistung erbracht hat; dabei ist weder der wirtschaftliche Wert noch die Art der Gegenleistung massgeblich. Die subjektive Voraussetzung der Schenkungsabsicht ist gegeben, wenn die Zuwendung nicht mit dem Willen, eine Gegenleistung zu erbringen, ausgerichtet wird; der Zuwendende muss Wissen und Wollen bezüglich der Vermögenszuwendung und der Unentgeltlichkeit haben (vgl. <ref-ruling> E. 2b/aa S. 500; Urteile 2C_44/2018 vom 31. Januar 2020 E. 7.1 in: BGE 146 X xxx; 2C_703/2017 vom 15. März 2019 E. 3.3.1 in: ASA 87 669; 2C_597/2017 vom 27. März 2018 E. 3.1.2; 2C_842/2009 vom 21. Mai 2010 E. 4.2; 2P.296/2005 vom 29. August 2006 E. 3.2.2; 2A.668/2004 vom 22. April 2005 E. 3.3 in: ASA 76 675; 2A.303/1994 vom 23. Dezember 1996 E. 3c; je mit Hinweisen).
2.2. Im konkreten Fall hat das Appellationsgericht geurteilt, die Voraussetzungen einer steuerfreien Schenkung mit Auflagen seien erfüllt.
2.2.1. Vorab hat das Gericht erwogen, das objektive Merkmal der Unentgeltlichkeit bzw. der fehlenden Gegenleistung sei gegeben. Von einer Gegenleistung könne schon deshalb nicht ausgegangen werden, weil die Beschwerdegegnerin nicht verpflichtet gewesen sei, eine wissenschaftliche Publikation abzuliefern, was sie denn auch nicht getan habe. Zwar habe sie den Gegenstand ihrer Forschung nicht ohne das Einverständnis der Organisation verändern dürfen, aber ansonsten sei sie im Wesentlichen nur verpflichtet gewesen, jährlich eine kurze Beschreibung über das Fortschreiten ihres Forschungsprojekts (den sog. "wissenschaftlichen Bericht") zu verfassen und am Ende ihrer gesamten Arbeit einen "finanziellen Bericht" zu erstellen.
Am Fehlen einer Gegenleistung hätten inbesondere auch zwei zusätzliche Verpflichtungen nichts geändert. Einerseits sei die Empfängerin zwar gehalten gewesen, während der gesamten Dauer ihrer Forschungsarbeit keiner Erwerbstätigkeit nachzugehen; damit habe aber nur ihre Unabhängkeit gegenüber (im Wesentlichen wirtschaftlichen) Drittinteressen sichergestellt werden sollen. Andererseits habe sie wohl im Falle eines vorzeitigen Abbrechens ihrer Arbeit ohne abgeschlossenes, veröffentlichtes Forschungsergebnis bereits bezogenene Beiträge zurückerstatten müssen, soweit diese sich auf die noch nicht abgelaufene Zeit der Dreijahresfrist bezogen hätten. Auch daraus könne jedoch nicht auf eine Gegenleistung geschlossen werden.
2.2.2. Weiter hat die Vorinstanz erwogen, wenn die Organisation die ausgerichteten Forschungsbeiträge der Beschwerdegegnerin unentgeltlich bzw. ohne Gegenleistung habe zukommen lassen, so sei damit (ohne Weiteres) auch der Schenkungswille erstellt (vgl. dazu E. 2.2.3.3 des angefochtenen Urteils).
2.3. Die Beurteilung der Vorinstanz vermag indessen nicht zu überzeugen.
2.3.1. Das gilt zuerst einmal hinsichtlich des objektiven Merkmals der Unentgeltlichkeit. Diesbezüglich ist unbestritten, dass die hier massgebliche Organisation keinen gewerblichen oder sonst wirtschaftlichen Zweck verfolgt. Sie ist eine gemeinnützige Stiftung mit einem international weit reichenden Wirkungskreis und hat sich zur Aufgabe gemacht, die wissenschaftliche Grundlagenforschung auf hoher Qualitätsstufe, u.a. in den sog. "life sciences", zu fördern.
Es steht weiter ausser Streit, dass die Beschwerdegegnerin am Ende der unterstützten Forschungszeit von drei Jahren keine Publikation vorweisen musste und eine solche auch nicht abschloss. Dieser reglementarische Rahmen bleibt somit hinter den Anforderungen anderer Organisationen oder Institutionen zurück, bei denen die fremdfinanzierte Forschungszeit mit einer vorzeigbaren Veröffentlichung beendet werden muss, bei gleichzeitiger Nennung der finanziellen Unterstützung und der dahinter stehenden Institution (vgl. das Urteil 2C_715/2007 vom 28. April 2008 E. 2.2). Im Vergleich dazu war das hier zu beurteilende Finanzierungssystem nicht ganz so streng, hatte aber sehr wohl Forderungs- und Sanktionsmechanismen, die zwar nicht ebenso weit gingen bzw. derart explizit ausformuliert waren, aber als durchaus bestimmend und einschränkend einzustufen sind.
Auf jeden Fall lässt sich nicht sagen, dass die der Beschwerdegegnerin zugekommenen Geldbeträge zu ihrer freien Verfügung gestanden hätten, vielleicht mit ein paar wenigen Auflagen (z.B. in Bezug darauf, wie und ab wann sowie zu welchen Zwecken die Gelder zu verwenden gewesen wären). Vielmehr musste sich die Beschwerdegegnerin zu einem konkreten und anforderungsintensiven Tätigwerden verpflichten, unter Umständen und Voraussetzungen, welche diese Verpflichtung sehr wohl als Gegenleistung für die bezogenen Gelder beurteilen lassen.
Diese konkrete Gegenverpflichtung des geforderten spezifischen Tätigwerdens war - wie sich direkt aus dem Zusammenspiel mit den anderen, im Reglement der Stiftung vorgesehenen Erfordernissen ergibt - so ausgestaltet, dass die Beschwerdegegnerin während der ganzen Dreijahresfrist vollzeitlich am unterstützten Forschungsprojekt arbeiten musste und es ihr während der gesamten Dauer untersagt war, einer - und sei es auch nur teilzeitlichen - Erwerbstätigkeit nachzugehen. Diese Verbotsregel im Reglement ist entgegen der Auffassung der Vorinstanz nicht von untergeordneter Bedeutung, sondern ganz wesentlich. Auch ist sie nicht so zu verstehen, dass es bloss darum gegangen wäre, die Unabhängigkeit der unternommenen Forschung sicherzustellen. Vielmehr wird da im Kern festgehalten, was die Beschwerdegegnerin als Gegenleistung für die bezogenen Gelder zu tun und zu unterlassen hatte.
In die gleiche Richtung ging die von der Beschwerdegegnerin einzugehende Verpflichtung, eine allfällige Änderung in der Ausrichtung ihrer Forschungstätigkeit nicht nur einfach mitzuteilen, sondern im jährlich zu verfassenden wissenschaftlichen Bericht (hinsichtlich des Fortschreitens der unternommenen Arbeit) explizit anzukündigen und zu begründen, worauf die Organisation die Neuausrichtung zu genehmigen hatte. Auch darin lag nicht bloss eine Auflage zur Sicherstellung der zweck- und reglementskonformen Verwendung der Beiträge, sondern eine zusätzliche Verstärkung der von ihr geforderten Gegenverpflichtung.
Zudem galt im Falle eines vorzeitigen Abbrechens des Forschungsprojekts wohl keine Pflicht zur Rückerstattung für die bis zu jenem Zeitpunkt zulässig verbrauchten Geldbeträge, aber doch eine solche für die ganze Zeit danach bis zum Ende der Dreijahresfrist. Gemäss den Vorstellungen der Organisation wurden also Gelder dafür und nur dafür ausgerichtet, dass (angehende) Spitzenforscher in einem als erfolgversprechend genehmigten und unterstützten Kompetenzbereich mit voller Arbeitskraft weiterforschen konnten - wenn möglich, aber nicht (ganz) zwingend bis zum Abschluss einer Publikation. Wenn diese Voraussetzungen nicht mehr gegeben waren, dann bestand kein Grund, über das bereits ausbezahlte Geld weiter verfügen zu können oder zusätzliche Beträge zu erhalten. Und wenn die Organisation aufgrund des bei Abschluss des Projekts zu erstellenden finanziellen Berichts zum Schluss gekommen wäre, dass die Beschwerdegegnerin z.B. unzulässige Auslagen geltend gemacht oder falsche Abrechnungen eingereicht hätte, dann hätte sie sogar Gelder für die bereits verbrachte Zeit zurückerstatten müssen.
Aufgrund der vorzunehmenden Gesamtbetrachtung all dieser konkreten Umstände erweist es sich somit als zutreffend, wenn die kantonale Steuerverwaltung und dann die Steuerrekurskommission erwogen haben, dass schon das objektive Merkmal einer Schenkung nicht gegeben war. Das Appellationsgericht hat <ref-law> zu Unrecht zur Anwendung gebracht.
2.3.2. Dann muss aber die Schenkungsabsicht als subjektiver Gesichtspunkt von <ref-law> nicht näher geprüft werden. Insbesondere kann offen bleiben, ob die Feststellung der Vorinstanz, eine solche Schenkungsabsicht habe im vorliegenden Fall bestanden, eine Sachverhaltsfeststellung darstellt, die sich für das Bundesgericht als verbindlich erweist, wenn nicht dargetan ist, dass sie als geradezu offensichtlich unzutreffend einzustufen ist (vgl. oben E. 1.2). Ebenfalls erübrigt sich zu erörtern, ob eine solche Willkür gegebenenfalls anzunehmen ist.
Zu Recht weist die kantonale Steuerverwaltung in ihrer Beschwerdeschrift vor Bundesgericht auf folgenden Umstand hin: Eine Stiftung, welche Leistungen an Begünstigte in Erfüllung einer ihr durch die Stiftungsurkunde auferlegten Rechtspflicht ausrichtet, hat keinen Schenkungswillen (vgl. Urteile 2C_44/2018 vom 31. Januar 2020 E. 7.1; 2A.668/2004 vom 22. April 2005 E. 3.4.3; siehe auch das Urteil 2C_711/2012 vom 20. Dezember 2012 E. 2.2). Sogar das Fehlen einer Rechtspflicht zur Bezahlung einer Zuwendung lässt noch nicht automatisch auf eine Schenkung schliessen (Urteil 2C_703/2017 vom 15. März 2019 E. 3.3.4). Im vorliegenden Fall ist namentlich angesichts der rechtlich-zwingend ausgestalteten Reglementserfordernisse (mit Einschluss eines präzis formalisierten Verfahrensprozederes) nicht ersichtlich, wie seitens einer so entscheidenden Organisation auf eine Schenkungsabsicht geschlossen werden könnte. Wie es sich aber letztlich damit verhält, kann hier ohne Antwort bleiben.
2.3.3. Auch ist nicht überzeugend, was das Appellationsgericht in seiner Vernehmlassung ausführt.
Vorab kann offen bleiben, inwiefern die Ausführungen des Gerichts in einem anderen Fall, in dem sich dieses bereits vor dem hier zu beurteilenden Verfahren gegen die bundesgerichtliche Rechtsprechung gestellt hat, Bundesrecht verletzen könnten. Ebenso wenig muss erörtert werden, in welchem Ausmass das hier angefochtene Urteil vom Kreisschreiben Nr. 43 der EStV vom 26. Februar 2018 zur steuerlichen Behandlung u.a. von Preisen, Auszeichnungen und Förderbeiträgen abweicht.
In ihrer Vernehmlassung hebt die Vorinstanz noch einmal eine Bestimmung im Reglement der betroffenen Organisation hervor, wonach die Beiträge "non compensatory" gewesen seien. Ebenda ist ausserdem die Formulierung zu finden, es habe sich nicht um "a salary or wage paid for service" gehandelt. Zudem hebt die Organisation in einer Erklärung selbst hervor: "Fellowship is not considered to be a fee for service rendered to the organization but given for advanced training in basic life science research." All diese Einzeleinschätzungen der betroffenen Förderinstitution sind zwar im Rahmen der notwendigen Gesamtbeurteilung zu berücksichtigen. Diese muss aber dazu führen, dass es sich nicht nur um Auflagen einer Schenkung handelte, sondern um Gegenverpflichtungen im Rahmen eines Tätigwerden-Müssens, das schon die Unentgetlichkeit der bezogenen Geldbeträge ausschliesst.
An mehreren Stellen äussert die Vorinstanz im Übrigen Argumente hinsichtlich des von ihr angenommenen Schenkungswillens (vgl. Ziff. 8 bis 8 S. 5-7 ihrer Vernehmlassung). Auf all diese Argumente ist schon deshalb nicht mehr weiter einzugehen, weil bereits das objektive Element der fehlenden Gegenleistung nicht erfüllt ist.
2.3.4. Ebenso wenig kann den Argumenten gefolgt werden, welche die Beschwerdegegnerin in ihrer Stellungnahme vorbringt.
Sie vertritt die Auffassung, die Organisation vergebe ihre Awards, ohne dass sich die Preisträger zu einer Gegenleistung verpflichten müssten; sie könnten sich bei der Umsetzung des unterstützten Forschungsprojekts frei organisieren und müssten sich an keine Vorgaben halten. Diese Sichtweise erweist sich jedoch nicht als zureichend, um die durch das Reglement vorgesehenen Gegenverpflichtungen für die Zuwendung der erhaltenen Forschungsbeiträge gebührend zu berücksichtigen und zu gewichten, was dazu führen muss, das objektive Merkmal der Unentgeltlichkeit zu verneinen.
Daran ändern auch die durch die Beschwerdegegnerin angeführten hypothetischen Alternativ-Beispiele nichts. Sie erwähnt dasjenige eines Vaters, der seinem Sohn ein Start-up-Unternehmen unter Auflagen finanziere, sowie dasjenige einer Mutter, die ihrer bereits über 40-jährigen Tochter beträchtliche Unterstützungsbeträge für ein spätes MBA-Studium (ebenfalls unter ganz bestimmten Auflagen) zur Verfügung stellen würde. Die Beispiele scheinen aber ziemlich realitätsfremd und weichen in mehrfacher Hinsicht von den hier zu beurteilenden Umständen ab. Viel näher am vorliegenden Fall ist die Eidgenössische Steuerverwaltung in ihrer Vernehmlassung (Ziff. 8 S. 4), wenn sie die hier massgebliche Situation mit derjenigen eines privatrechtlichen Auftragsverhältnisses im obligationenrechtlichen Sinne vergleicht; da verpflichtet sich der Beauftragte nicht so, dass ein Erfolg oder ein konkretes Ergebnis geschuldet wäre, sondern ein Tätigwerden (wie hier das Betreiben von Grundlagenforschung); niemand - so die Behörde - würde auf die Idee kommen zu behaupten, die im Rahmen eines solchen Auftrags bezahlten Geldbeträge seien unentgeltlich und ohne Gegenleistung zugewendet.
3.
Wenn eine Schenkung mit Auflagen gemäss <ref-law> nicht gegeben ist, stellt sich die Frage, ob (zumindest teilweise) ein steuerfreier Unterstützungsbeitrag aus privaten Mitteln im Sinne von <ref-law> vorliegt (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 331 f.; siehe auch die Urteile 2C_44/2018 vom 31. Januar 2020 E. 7.2; 2C_74/2014 vom 26. Mai 2014 E. 3.1 in StE 2014 B 28 12; 2C_903/2012 vom 12. Februar 2013 E. 4.2.1 u. 4.2.6 in RDAF 2014 II 23; 2C_715/2007 vom 28. April 2008 E. 2.3 u. 2.4).
3.1. Dafür müssten gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung drei Bedingungen kumulativ erfüllt sein: Unterstützung, Unentgeltlichkeit der Zuwendung, Bedürftigkeit des Empfängers (vgl. u.a. <ref-ruling> E. 4.3 S. 332).
3.2. Vorliegend kann angesichts des schon zu <ref-law> Gesagten (vgl. oben E. 2.3.1 u. 2.3.3) auch im Rahmen von <ref-law> nicht darauf geschlossen werden, dass das Merkmal der Unentgeltlichkeit gegeben wäre. Ebenso wenig ist ersichtlich, wie dasjenige der Bedürftigkeit der Beschwerdegegnerin erfüllt sein könnte. Auch mit einer solchen Begründung liesse sich das Urteil des Appellationsgerichts somit nicht aufrechterhalten.
III. Kantons- und Gemeindesteuern
4.
Die für die Beurteilung der Kantons- und Gemeindesteuern massgeblichen Bestimmungen (Art. 53 Abs. 1, Art. 7 Abs. 1 u. Abs. 4 lit. c und f StHG sowie § 177 sowie § 17 Abs. 1, 25 lit. c und f des Steuergesetzes des Kantons Basel-Stadt vom 4. April 2000) stimmen mit denen zur direkten Bundessteuer überein. Das muss bei der Staatssteuer zum gleichen Ergebnis führen.
IV. Kosten- und Entschädigungsfolgen
5.
5.1. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde für die direkte Bundessteuer sowie für die Kantons- und Gemeindesteuern gutzuheissen und das angefochtene Urteil aufzuheben; die Entscheide der kantonalen Steuerrekurskommission sind zu bestätigen.
5.2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten den Beschwerdegegnern unter Solidarhaft aufzuerlegen. Zudem ist die Sache an die Vorinstanz zur Neuverlegung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens zurückzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Betreffend die direkte Bundessteuer 2009 und 2010 wird die Beschwerde gutgeheissen, das angefochtene Urteil aufgehoben und der Entscheid der Steuerrekurskommission des Kantons Basel-Stadt vom 22. Juni 2017 bestätigt.
2.
Betreffend die Staatssteuer 2009 und 2010 wird die Beschwerde gutgeheissen, das angefochtene Urteil aufgehoben und der Entscheid der Steuerrekurskommission des Kantons Basel-Stadt vom 22. Juni 2017 bestätigt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdegegnern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Mai 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Matter