Sachverhalt:
A.
A._ reiste am 27. März 2017 zusammen mit einer weiteren Person am Grenzübergang Ramsen in die Schweiz ein. Bei der Kontrolle seines Autos wurden unter anderem 200 g einer weissen Substanz und ca. 1'600 Pillen gefunden. A._ wurde festgenommen und am 30. März 2017 vom Zwangsmassnahmengericht Schaffhausen wegen des Verdachts der Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz in Untersuchungshaft versetzt. Die Haft wurde in der Folge mehrmals verlängert.
Mit Urteil vom 1. Juni 2018 sprach das Kantonsgericht Schaffhausen A._ der einfachen und qualifizierten Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz, der Förderung der rechtswidrigen Einreise und des rechtswidrigen Aufenthalts sowie der mehrfachen Übertretung des Betäubungsmittelgesetzes schuldig. Es verurteilte ihn, als Zusatzstrafe zu einem Urteil des Tribunal de police de Lausanne vom 9. August 2017, zu 26 Monaten Freiheitsstrafe und einer Busse von Fr. 300.--. An die Strafe rechnete es 432 Tage Untersuchungs- und Sicherheitshaft an. Weiter ordnete es bis zur Rechtskraft des Urteils oder bis zum Antritt einer freiheitsentziehenden Sanktion, längstens jedoch bis zum 30. November 2018, die Verlängerung der Sicherheitshaft an. A._ wurde zudem für 5 Jahre des Landes verwiesen.
Gegen die Anordnung von Sicherheitshaft erhob A._ Beschwerde ans Obergericht des Kantons Schaffhausen. Mit Entscheid vom 19. Juni 2018 wies dieses das Rechtsmittel ab. Zudem lehnte es den Antrag, Rechtsanwalt Eric Stern für das Beschwerdeverfahren als amtlichen Verteidiger einzusetzen, ebenfalls ab. Zur Begründung führte es an, A._ werde bereits durch Rechtsanwalt B._ amtlich verteidigt und für die Bestellung eines zusätzlichen amtlichen Verteidigers bestehe kein Raum.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht vom 20. und 23. Juli 2018 beantragt A._, der Entscheid des Obergerichts sei aufzuheben und er selbst sei aus der Sicherheitshaft zu entlassen. Eventualiter sei die Frage der Sicherheitshaft zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das vorinstanzliche Verfahren sei Rechtsanwalt Eric Stern als amtlicher Verteidiger zu bestellen und die Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens seien auf die Staatskasse zu nehmen.
Die Staatsanwaltschaft Schaffhausen beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht verweist in seiner Vernehmlassung auf den angefochtenen Entscheid. Der Beschwerdeführer hat dazu Stellung genommen.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid betrifft die Verlängerung der Sicherheitshaft (Art. 220 Abs. 2 StPO). Dagegen ist die Beschwerde in Strafsachen nach Art. 78 ff. BGG gegeben. Der Beschwerdeführer nahm vor der Vorinstanz am Verfahren teil und befindet sich nach wie vor in Haft. Er ist deshalb nach Art. 81 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer macht zur Frage der amtlichen Verteidigung zunächst geltend, er habe dem Kantonsgericht am 6. Juli 2018 einen Wechsel des amtlichen Verteidigers beantragt. Bis heute sei jedoch kein gerichtlicher Entscheid ergangen. Soweit der Beschwerdeführer damit sinngemäss eine Verletzung des Beschleunigungsgebots geltend macht, ist auf sein Vorbringen nicht einzutreten, weil diesbezüglich der kantonale Instanzenzug nicht erschöpft ist (Art. 86 BGG).
2.2. Weiter kritisiert der Beschwerdeführer, das Obergericht habe seinen Verteidigungsanspruch verletzt, indem es ihm die amtliche Verteidigung durch Rechtsanwalt Eric Stern verweigert habe. Die Begründung, wonach eine einmal bestellte amtliche Verteidigung ohne Weiteres fortgelte, stehe im Widerspruch zu Art. 133 StPO.
Art. 133 StPO regelt die Bestellung der amtlichen Verteidigung, Art. 134 StPO deren Widerruf und Wechsel. Nach beiden Bestimmungen trifft die (im jeweiligen Verfahrensstadium zuständige) Verfahrensleitung den Entscheid. Der Beschwerdeführer hat denn auch mittlerweile gemäss seinen eigenen Angaben der Verfahrensleitung des Kantonsgerichts einen Wechsel der amtlichen Verteidigung beantragt. Bis zu einem allfälligen Wechsel gilt das Mandat des bisherigen amtlichen Verteidigers im kantonalen Verfahren weiter (vgl. NIKLAUS RUCKSTUHL, in: Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 5 zu Art. 132 StPO; LAURENT MOREILLON/AUDE PAREIN-REYMOND, Code de procédure pénale, 2. Aufl. 2016, N. 2 zu Art. 132 StPO). Das Obergericht hat deshalb kein Bundesrecht verletzt, indem es den Antrag, Rechtsanwalt Eric Stern für das Beschwerdeverfahren als (zusätzlichen) amtlichen Verteidiger einzusetzen, ablehnte.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt, die über den 1. Juni 2018 hinaus verlängerte Haft sei ungesetzlich gewesen, was auch zu klaren Haftungskonsequenzen führen müsse.
3.2. Das Obergericht hielt fest, werde die Haftverlängerung im Rahmen des erstinstanzlichen Urteils angeordnet, dieses zunächst nur im Dispositiv eröffnet und dessen schriftliche Begründung nicht unverzüglich zugestellt, müsse der Haftentscheid gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung als separate schriftliche Verfügung mit zumindest kurzer Begründung ausgefertigt werden. Diese Verfügung sei innert kürzester Frist zu eröffnen. Vorliegend habe das Kantonsgericht die Verlängerung der Sicherheitshaft angeordnet und mündlich begründet, jedoch nicht auch schriftlich. Damit habe es Art. 3 Abs. 2 lit. c und Art. 226 Abs. 2 StPO i.V.m. Art. 29 Abs. 2 BV verletzt. Diese Rechtsverletzung sei jedoch als geheilt zu betrachten, habe doch das Kantonsgericht in seiner Stellungnahme vom 8. Juni 2018 die Haftverlängerung hinreichend begründet und habe der Beschwerdeführer sich dazu äussern können.
3.3. Diese Ausführungen stehen, auch soweit sie die Frage der Heilung anbelangen, in Einklang mit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung, zumal das Obergericht die Verletzung des rechtlichen Gehörs auch im Rahmen der Kostenfolgen berücksichtigt hat (vgl. <ref-ruling> E. 2.6 f. S. 185 f. mit Hinweisen). Ungesetzlich war die den 1. Juni 2018 überdauernde Haft zudem ohnehin nicht, wurde sie doch im Entscheid des Kantonsgerichts von jenem Datum angeordnet.
4.
4.1. Weiter ist der Beschwerdeführer der Auffassung, die Vorinstanz sei ihrer Begründungspflicht nicht nachgekommen (Art. 29 Abs. 2 BV). Es werde nicht ein einziges konkretes Moment angeführt, das belegen könnte, dass er versucht habe, unterzutauchen. Auf den diesbezüglichen Einwand in der Eingabe vom 12. Juni 2018 (S. 8 f.) sei die Vorinstanz nicht eingegangen. Dasselbe gelte für den Hinweis, dass die verbleibende Reststrafe, nachdem nun weit über 15 Monate Haft verstrichen seien, kein ausreichendes Motiv für ein Untertauchen bilde, da er alles daran setze, seine Zukunft in der Schweiz in engem Kontakt mit seiner an Multipler Sklerose leidenden Mutter gestalten zu können.
4.2. Die Vorinstanz hat dargelegt, weshalb sie den Haftgrund der Fluchtgefahr als gegeben erachtet. Dass sie nicht auf das Argument der fehlenden Anstalten zur Flucht einging, ist nicht zu beanstanden - dies umso weniger, als der Beschwerdeführer dieses an der von ihm erwähnten Stelle entgegen seiner Behauptung nicht vorgebracht hatte. Der Beschwerdeführer war bei der Grenzkontrolle denn auch sofort verhaftet worden, so dass kaum eine Möglichkeit zur Flucht bestand. Das rechtliche Gehör verlangt nicht, dass sich eine Behörde mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken (vgl. <ref-ruling> E. 6.2 S. 274; <ref-ruling> E. 5.2 S. 236 mit Hinweisen). Das Obergericht hat im Übrigen sowohl die drohende Strafe als auch die bereits erstandene Untersuchungs- und Sicherheitshaft bei der Prüfung der Fluchtgefahr berücksichtigt. Die Rüge der Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV ist deshalb unbegründet.
5.
Nach Art. 221 StPO sind Untersuchungs- und Sicherheitshaft unter anderem zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist und ernsthaft zu befürchten ist, dass sie sich durch Flucht dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion entzieht (Abs. 1 lit. a). An ihrer Stelle sind Ersatzmassnahmen anzuordnen, wenn sie den gleichen Zweck wie die Haft erfüllen (Art. 212 Abs. 2 lit. c und Art. 237 ff. StPO).
Der Beschwerdeführer bestreitet das Vorliegen eines dringenden Tatverdachts nicht. Er ist jedoch der Auffassung, dass keine Fluchtgefahr bestehe bzw. dass einer allfälligen Fluchtgefahr mit Ersatzmassnahmen begegnet werden könnte.
6.
6.1. Die Annahme von Fluchtgefahr setzt ernsthafte Anhaltspunkte dafür voraus, dass die beschuldigte Person sich durch Flucht dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion entziehen könnte. Im Vordergrund steht dabei eine mögliche Flucht ins Ausland, denkbar ist jedoch auch ein Untertauchen im Inland. Bei der Bewertung, ob Fluchtgefahr besteht, sind die gesamten konkreten Verhältnisse zu berücksichtigen. Es müssen Gründe bestehen, die eine Flucht nicht nur als möglich, sondern als wahrscheinlich erscheinen lassen. Die Schwere der drohenden Strafe ist zwar ein Indiz für Fluchtgefahr, genügt jedoch für sich allein nicht, um den Haftgrund zu bejahen. Miteinzubeziehen sind die familiären und sozialen Bindungen, die berufliche und finanzielle Situation und die Kontakte zum Ausland. Selbst bei einer befürchteten Reise in ein Land, welches die beschuldigte Person grundsätzlich an die Schweiz ausliefern bzw. stellvertretend verfolgen könnte, ist die Annahme von Fluchtgefahr nicht ausgeschlossen. Die Wahrscheinlichkeit einer Flucht nimmt in der Regel mit zunehmender Verfahrens- bzw. Haftdauer ab, da sich auch die Dauer des allenfalls noch zu verbüssenden strafrechtlichen Freiheitsentzugs mit der bereits geleisteten prozessualen Haft, die auf die mutmassliche Freiheitsstrafe anzurechnen wäre (Art. 51 StGB), kontinuierlich verringert (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 4.3 S. 166 f. mit Hinweisen).
6.2.
6.2.1. Mit der erstinstanzlichen Verurteilung zu einer unbedingten Freiheitsstrafe von 26 Monaten als Zusatzstrafe zu einer früher ausgefällten, noch nicht verbüssten Freiheitsstrafe von 6 Monaten und einer Landesverweisung von 5 Jahren hat sich die Hoffnung des Beschwerdeführers, gemäss seinem Antrag freigesprochen zu werden, vorerst zerschlagen. Er muss mit der Möglichkeit rechnen, dass auch die Berufungsinstanz die Sache gleich oder ähnlich beurteilt wie die erste Instanz. Während die Freiheitsstrafe allein angesichts der anzurechnenden Untersuchungs- und Sicherheitshaft von mittlerweile ca. 16 Monaten einen gewissen, jedoch nicht einen erheblichen Fluchtanreiz darstellt, fällt umso mehr ins Gewicht, dass die erstinstanzlich angeordnete Landesverweisung die Aussicht des Beschwerdeführers auf einen langfristigen Verbleib in der Schweiz zwangsläufig beeinträchtigen muss. Das stellt fraglos einen weiteren Fluchtanreiz dar.
6.2.2. Das Obergericht berücksichtigte weiter, dass der Beschwerdeführer zwar bereits mit sechs Jahren in die Schweiz gekommen und in der Folge hier aufgewachsen sei und zudem über eine Niederlassungsbewilligung verfügt. Auch seine Mutter lebe in der Schweiz. Er sei jedoch schon vor seiner Verhaftung arbeitslos gewesen. Zwar möge er eine Arbeitsstelle in Aussicht haben, doch stehe deren Antritt jedenfalls die Freiheitsstrafe und die Landesverweisung entgegen. Seine Wohnung sei ihm nach der Verhaftung gekündigt worden. Er sei kinderlos und habe in der Schweiz keine feste Partnerschaft. In seinem Heimatstaat Serbien lebten noch sein Vater, seine Halbschwestern und seine Grosseltern, die er jeden Sommer besucht habe, nach seinen eigenen Angaben zuletzt für einige Monate bis Anfang 2016. Er habe in Serbien auch Freunde. Über die Person, die ihn am 27. März 2017 begleitete, habe er ausgesagt, sie wohne in Serbien an derselben Strasse, nur ca. 200 m entfernt. An seinem ursprünglichen Wohnort kenne er viele Leute. Obwohl er angegeben habe, er könne "nicht so gut" Serbisch, verstehe er die Sprache jedenfalls sehr gut und habe auch nicht abgestritten, mit Angehörigen und Freunden darin zu korrespondieren.
6.2.3. Der Beschwerdeführer macht dagegen geltend, er lebe seit mehr als 25 Jahren in der Schweiz und es bestünden zu Serbien nur noch äusserst geringe Bezugspunkte. Er habe alle Schulen und weiterführenden Ausbildungen im Waadtland absolviert und hier auch gearbeitet. Zudem verfüge er über eine Arbeitsplatzofferte. Zu seiner Mutter, die Schweizerin sei, ebenfalls im Waadtland lebe und an Multipler Sklerose leide, habe er eine sehr enge Beziehung.
6.2.4. Angesichts der dem Beschwerdeführer nach Verbüssung der Freiheitsstrafe drohenden Landesverweisung sind seine Perspektiven auf einen längerfristigen Verbleib in der Schweiz schlecht. Daran ändert nichts, dass ihm in einem hiesigen Unternehmen "unter gewissen Bedingungen" (so das in den Akten befindliche Schreiben) eine Arbeitsstelle in Aussicht gestellt wurde. Abgesehen von seiner Mutter macht er nicht geltend, über feste persönliche Beziehungen in der Schweiz zu verfügen. In Serbien hat er andererseits Angehörige, Freunde und viele Bekannte. Nach den vorinstanzlichen Feststellungen verfügt er zudem insgesamt über gute Kenntnisse der serbischen Sprache. Unter Berücksichtigung der weiteren von der Vorinstanz dargelegten Umstände (Arbeitslosigkeit im Zeitpunkt der Verhaftung, Verlust der Wohnung) ist trotz der Einwände des Beschwerdeführers deshalb von Fluchtgefahr auszugehen.
6.2.5. Nicht zu beanstanden ist auch, dass das Obergericht Ersatzmassnahmen nicht als ausreichend erachtete. Die vom Beschwerdeführer vorgeschlagenen Ersatzmassnahmen nach Art. 237 StPO - Ausweis- und Schriftensperre (Abs. 2 lit. b), elektronische Überwachung ("Electronic Monitoring") von Ein- bzw. Ausgrenzungen (Abs. 2 lit. c i.V.m. Abs. 3) und Meldepflicht (Abs. 2 lit. d) - würden eine Flucht im vorliegenden Fall nicht hinreichend reduzieren, sondern lediglich bewirken, dass sie Alarm auslösen und damit rasch entdeckt würde. Die Ausweis- und Schriftensperre ist zudem angesichts der serbischen Staatsangehörigkeit des Beschwerdeführers von beschränkter Wirkung, da die Schweiz ausländischen Behörden nicht verbieten kann, neue Ausweise auszustellen (Urteil 1B_211/2017 vom 27. Juni 2017 E. 4 mit Hinweisen). Die angebotene Kaution (Art. 237 Abs. 2 lit. a StPO) von Fr. 8'000.--, welche von der Mutter des Beschwerdeführers geleistet werden müsste, erscheint zu gering, um die Fluchtgefahr hinreichend zu reduzieren (vgl. dazu die Urteile 1B_251/2015 vom 12. August 2015 E. 4.5; 1B_325/2014 vom 16. Oktober 2014 E. 3.5; je mit Hinweisen). Mithin ist unter den vorliegenden Umständen nicht davon auszugehen, dass Ersatzmassnahmen, einzeln oder in Kombination, die Fluchtgefahr bannen könnten. Der angefochtene Entscheid ist auch insofern zu bestätigen.
7.
7.1. Der Beschwerdeführer ist schliesslich der Auffassung, es liege Überhaft vor.
7.2. Der Richter darf die Haft nur so lange erstrecken, als sie nicht in grosse zeitliche Nähe der (im Falle einer rechtskräftigen Verurteilung) konkret zu erwartenden Dauer der freiheitsentziehenden Sanktion rückt (Art. 212 Abs. 3 StPO; <ref-ruling> E. 3.1 S. 275; <ref-ruling> E. 3.4.2 S. 281; je mit Hinweisen). Bei der Beurteilung der Verhältnismässigkeit der Haftdauer ist grundsätzlich auf das erstinstanzliche Urteil abzustellen, falls ein solches bereits ergangen ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 275). Die Möglichkeit einer bedingten Entlassung ist bei der Berechnung der mutmasslichen Dauer der Freiheitsstrafe grundsätzlich ausser Acht zu lassen. Eine Ausnahme ist zu machen, wenn bereits vor dem Strafvollzug absehbar ist, dass eine bedingte Entlassung mit grosser Wahrscheinlichkeit erfolgen dürfte, etwa wenn die betroffene Person bereits zwei Drittel der erstinstanzlich verhängten Freiheitsstrafe in Untersuchungs- oder Sicherheitshaft bzw. im vorzeitigen Strafvollzug verbracht hat und die Strafe im Rechtsmittelverfahren noch verkürzt, nicht aber erhöht werden kann (Urteil 1B_338/2010 vom 12. November 2010 E. 3.3 mit Hinweisen).
7.3. Der Beschwerdeführer hat, wie bereits erwähnt, bisher ca. 16 Monate in Untersuchungs- oder Sicherheitshaft verbracht. Er wurde erstinstanzlich zu einer Freiheitsstrafe von 26 Monaten als Zusatzstrafe zu einer noch nicht verbüssten Freiheitsstrafe von 6 Monaten verurteilt. Somit beträgt die erstandene Untersuchungs- und Sicherheitshaft ca. die Hälfte der konkret zu erwartenden Freiheitsstrafe. Nach den dargelegten Grundsätzen liegt somit keine Überhaft vor.
8.
Die Beschwerde ist aus den genannten Erwägungen abzuweisen.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Da die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind, kann dem Gesuch entsprochen werden (Art. 64 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
2.1. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2. Rechtsanwalt Eric Stern wird zum unentgeltlichen Rechtsbeistand ernannt und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'500.-- entschädigt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. August 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Dold