Sachverhalt:
A.
A._ reichte bei der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich mehrere Strafanzeigen gegen Behördenmitglieder und Beamte ein.
B.
B.a. In der Folge wandte sich A._ wiederholt mit Informationsanliegen an die Oberstaatsanwaltschaft. Am 18. und 28. März 2020 erhob er Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich wegen Rechtsverweigerung. In der Folge reichte er mehrere Eingaben ein. Mit solcher vom 2. Mai 2020 führte er aus, die Oberstaatsanwaltschaft habe ihn nunmehr informiert, weshalb das Verfahren als gegenstandslos abzuschreiben sei, reichte jedoch in einer weiteren separaten Eingabe erneut eine Beschwerde wegen Rechtsverweigerung ein. Am 15. Mai 2020 beantragte er, die Strafanzeigen gegen die Oberstaatsanwaltschaft seien unverzüglich einem unabhängigen Staatsanwalt vorzulegen. Mit Verfügung und Beschluss UV200012 vom 28. Juli 2020 schrieb das Obergericht die Beschwerde vom 18. März 2020 als infolge Rückzugs erledigt ab, wies die übrigen Beschwerden ab, soweit es darauf eintrat, auferlegte A._ eine Gerichtsgebühr von Fr. 500.-- und sprach ihm keine Entschädigung zu.
B.b. Mit Beschwerde vom 4. August 2020 an das Bundesgericht beantragt A._, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und ihm eine Entschädigung zuzusprechen. Überdies ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Bundesgericht eröffnete dazu das Verfahren 1B_403/2020. Die Oberstaatsanwaltschaft und das Obergericht verzichteten auf eine Stellungnahme. A._ äusserte sich in weiteren Eingaben zur Sache.
B.c. A._ reichte dem Bundesgericht in der Folge in den hängigen Strafverfahren noch verschiedene weitere Beschwerden ein (Verfahren 1B_395/2020, 1B_409/2020, 1B_413/2020, 1B_439/2020). In allen bundesgerichtlichen Verfahren ist er nicht anwaltlich vertreten. Am 3. November 2020 stellte er ein Gesuch um Zustellung sämtlicher Akten der damals hängigen Verfahren zur Einsicht. Nachdem die vom Präsidenten der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts eingesetzte Instruktionsrichterin den übrigen Verfahrensbeteiligten Gelegenheit gegeben hatte, sich dazu zu äussern, wies sie am 26. November 2020 die verlangte Aktenzustellung ab, erteilte aber Akteneinsicht am Bundesgericht innert einer angesetzten Frist. A._ nahm diese Möglichkeit in der Folge nicht wahr. Hingegen beantragte er mit Eingabe vom 27. November 2020 im vorliegenden bundesgerichtlichen Verfahren 1B_403/2020 sowie in den weiteren Verfahren 1B_395/2020, 1B_409/2020 1B_413/2020 und 1B_439/2020 den Ausstand der Instruktionsrichterin. Mit Urteil 1B_611/2020 vom 4. Dezember 2020 wies das Bundesgericht dieses Ausstandsgesuch ab. Mit einem weiteren Urteil 1F_37/2020 vom 21. Dezember 2020 wies es ebenfalls ein dagegen von A._ eingereichtes Revisionsgesuch ab.
C.
C.a. Am 6. Oktober 2020 erhob A._ beim Obergericht eine Rechtsverzögerungsbeschwerde gegen die Oberstaatsanwaltschaft, weil diese seit rund zehn Monaten eine von ihm am 10. Dezember 2019 gegen die Staatsanwältin Christine Braunschweig eingereichte Strafanzeige noch nicht behandelt habe. Die Oberstaatsanwaltschaft habe zudem alle von ihm gegen die genannte Staatsanwältin erstatteten Strafanzeigen aus Gründen der Unabhängigkeit einem vom Regierungsrat zu bestimmenden ausserordentlichen Staatsanwalt zur Bearbeitung zu übergeben. Mit Verfügung und Beschluss UV200031 vom 25. November 2020 wies das Obergericht die Beschwerde ab.
C.b. Mit dagegen erhobener Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht beantragt A._, erneut ohne anwaltliche Vertretung, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und die Streitsache zu neuem Entscheid an dieses zurückzuweisen. Überdies ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesgericht eröffnete dazu das Verfahren 1B_613/2020. Die Oberstaatsanwaltschaft und das Obergericht verzichteten auf eine Stellungnahme. A._ äusserte sich nochmals zur Sache.

Erwägungen:
1.
Die beiden Beschwerden verfügen über die gleichen Verfahrensbeteiligten, und es geht in der Sache um gleich oder zumindest sehr ähnlich gelagerte Streitfragen der Rechtsverweigerung oder -verzögerung. Es rechtfertigt sich daher, die bundesgerichtlichen Verfahren 1B_403/2020 und 1B_613/2020 zu vereinigen.
2.
Angefochten sind zwei strafrechtliche Entscheide, bei dem sich die Frage der Zulässigkeit einer Beschwerde in Strafsachen nach <ref-law> stellt. Es kann hier offenbleiben, ob es sich bei den beiden angefochtenen Entscheiden um anfechtbare End- oder Zwischenentscheide nach Art. 90 und 93 Abs. 1 BGG handelt, da die Beschwerden ohnehin abzuweisen sind, soweit darauf eingetreten werden kann.
3.
Nach <ref-law> prüft das Bundesgericht nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Es ist allerdings weder an die in der Beschwerde vorgetragenen Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. 3 S. 415). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind (<ref-ruling> E. 2.5 S. 314). Der Beschwerdeführer ist seiner Rüge- und Substanziierungspflicht weitgehend nicht nachgekommen. Insbesondere genügt es nicht, die Verletzung des Grundsatzes von Treu und Glauben nach Art. 5 Abs. 3 und <ref-law>, des Verhältnismässigkeitsprinzips gemäss <ref-law> sowie des Willkürverbots nach <ref-law> zu behaupten. Vielmehr ist darzulegen, worauf die Vertrauensgrundlage beruhen soll und welche Dispositionen mit nachteiligen Folgen gestützt darauf ergriffen worden sein sollen. Bei der Willkürrüge ist auszuführen, welche Bestimmung oder welcher Rechtsgrundsatz in unhaltbarer Weise angewandt worden sein und worin die Willkür liegen soll. Der Beschwerdeführer erfüllt diese Anforderungen nicht, weshalb auf die Beschwerden nicht eingetreten werden kann.
4.
Ergänzend kann im Übrigen darauf hingewiesen werden, dass die behaupteten Verfassungsverstösse auch nicht ersichtlich sind. Wie das Obergericht zutreffend ausführt, hat es sich der Beschwerdeführer mit seinen unzähligen Eingaben in einer Vielzahl von meist von ihm eingeleiteten Verfahren wesentlich selbst zuzuschreiben, wenn die Bearbeitung seiner Anliegen eine gewisse Zeit beansprucht. Er hat es ebenfalls in Kauf zu nehmen, dass die Stellung häufiger neuer, nicht immer eindeutig einem hängigen Verfahren zuzuweisbarer Anträge dazu führt, dass diese mitunter von den Behörden als eigenständig und nicht bloss als Eingaben im Schriftenwechsel eines bestehenden Verfahrens verstanden werden, weshalb neue kostenpflichtige Verfahren entstehen können. Es gibt in diesem Sinne, ohne dass dies erschöpfend zu behandeln ist, bei den angefochtenen Entscheiden, mit denen das Obergericht die behaupteten Rechtsverweigerungen bzw. -verzögerungen durch die Oberstaatsanwaltschaft verneinte, keine Hinweise auf verfassungsrelevante Treuwidrigkeit oder Willkür. Was der Beschwerdeführer sonst noch an Argumenten vorträgt, ist von vornherein nicht geeignet, seinen Standpunkt zu belegen. Dass es inzwischen auf Seiten der Staatsanwaltschaft und Oberstaatsanwaltschaft zu Ausstandserklärungen gekommen ist, wie der Beschwerdeführer geltend macht, führt nicht zur Rechtswidrigkeit der hier strittigen Entscheide, die einzig aufgrund der damaligen Ausgangslage zu prüfen sind. Selbst wenn auf die Beschwerden einzutreten wäre, wäre daher nicht zu erkennen, wie die angefochtenen Entscheide gegen Bundesrecht unter Einschluss der Grund- und Menschenrechte verstossen sollten.
5.
Auf die Beschwerden ist nicht einzutreten.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig. Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen (vgl. <ref-law>). Es ist bereits fraglich, ob er seine Bedürftigkeit, trotz einer eingereichten Steuerveranlagung für das Jahr 2019, zureichend belegt hat. So oder so erscheinen seine Rechtsbegehren jedoch als von vornherein aussichtslos. Damit sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen, wobei insbesondere auf den am Bundesgericht konkret für die Bearbeitung des vorliegenden Urteils angefallenen Aufwand abzustellen ist und den angeblich angespannten finanziellen Verhältnissen des Beschwerdeführers bei der Festlegung der Gerichtsgebühr Rechnung getragen werden kann (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die bundesgerichtlichen Verfahren 1B_403/2020 und 1B_613/2020 werden vereinigt.
2.
Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird in beiden Verfahren abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, sowie B._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Januar 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Uebersax