Sachverhalt:
A.
A.a. Am 21. Dezember 2018 stellte B._ beim Bezirksgericht Meilen gegen A._ ein Gesuch um provisorische Rechtsöffnung (Betreibung Nr. xxx, Betreibungsamt U._) gestützt auf einen Darlehensvertrag für die Beträge von Fr. 314'544.-- sowie von Fr. 177'717.45, jeweils nebst Zinsen. Auf entsprechenden Einwand hin klärte das Bezirksgericht zuerst die gesundheitliche Verfassung des Gesuchsgegners ab und bejahte dann dessen Prozessfähigkeit. Alsdann gewährte es mit Urteil vom 24. September 2019 dem Gesuchsteller die provisorische Rechtsöffnung im verlangten Umfang abzüglich des zur Verrechnung gestellten Betrages von Fr. 250'000.--.
A.b. Gegen das bezirksgerichtliche Urteil gelangten beide Parteien an das Obergericht des Kantons Zürich. Die von B._ erhobene Beschwerde wies das Obergericht am 24. März 2020 ab (RT190160-O/U). Die von A._ eingereichte Beschwerde wurde in einem separaten Verfahren behandelt (RT190165-O/U).
B.
A._ hat am 3. Juni 2020 Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhoben. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils vom 25. März 2020 und die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, indes keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als Rechtsmittelbehörde über die provisorische Rechtsöffnung entschieden hat. Die gesetzliche Streitwertgrenze wird erreicht. Die Beschwerde in Zivilsachen ist gegeben (Art. 72 Abs. 2 lit.a, Art. 74 Abs. 1 lit. b und Art. 75 Abs. 1 BGG). Damit erübrigt sich die ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>).
1.2. Der Beschwerdeführer ist als Betreibungsschuldner vorliegend zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>). Sein Antrag lautet auf Aufhebung des Urteils "vom 25. März 2020". Der Beschwerdeführer hat ohne Weiteres ein Interesse an der beantragten Aufhebung des obergerichtlichen Urteils vom 25. März 2020 im (in A.b) erwähnten Verfahren RT190165-O/U, mit welchem seine Beschwerde abgewiesen wurde. Dass der Beschwerdeführer durch das beigelegte Urteil (RT190160-O/U) vom 24. März 2020 beschwert ist und ein Interesse an der Aufhebung dieses Urteils hat, obwohl damit die Beschwerde der Gegenseite abgewiesen wurde, wird zwar nicht dargelegt, kann aber wegen der Verrechnungseinrede nicht ausgeschlossen werden. Weitere Erörterungen, erübrigen sich, weil die Berücksichtigung des Urteils vom 25. März 2020 ohne Einfluss auf den Ausgang des Verfahrens ist.
1.3. Ungeachtet des reformatorischen Charakters der Beschwerde (<ref-law>) genügt das Beschwerdebegehren (Antrag auf Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz), da das Bundesgericht (mit Blick auf die Prozessfähigkeit) im Gutheissungsfall nicht selber in der Sache entscheiden könnte. Insoweit kann auf die Beschwerde eingetreten werden.
1.4. Mit der vorliegenden Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen, wobei hier das Rügeprinzip gilt (BGE 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.4). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel sind nur zulässig, soweit der vorinstanzliche Entscheid dazu Anlass gibt (<ref-law>) was in der Beschwerde näher darzulegen ist (<ref-ruling> E. 3).
2.
Anlass zur Beschwerde gibt ein Rechtsöffnungsverfahren, in welchem die Prozessfähigkeit des Gesuchsgegners strittig war.
2.1. Das Gericht prüft von Amtes wegen, ob die Prozessvoraussetzungen erfüllt sind (<ref-law>). So kann auf eine Klage nur eingetreten werden, sofern die Partei- und Prozessfähigkeit des Antragstellers gegeben ist (<ref-law>). Prozessfähig ist, wer handlungsfähig ist (<ref-law>). Der prozessrechtliche Begriff der Handlungsfähigkeit ist derselbe wie jener im Zivilrecht, das heisst er setzt neben der Volljährigkeit (<ref-law>) voraus, dass der Betroffene urteilsfähig ist (<ref-law>). Das Gericht hat sich über die hierfür massgeblichen Tatsachen in Anwendung der beschränkten Untersuchungsmaxime ein Bild zu machen. Dies bedeutet, dass die Abklärung ohne Rücksicht auf eine allfällige Bestreitung des Beklagten erfolgen muss, indes keine Nachforschungen erfolgen müssen, die sich nicht aus den Parteivorbringen ergeben (ZINGG, in: Berner Kommentar, ZPO, 2012, N. 4 zu Art. 60). Zudem ist der Begriff der Urteilsfähigkeit relativer Natur, das heisst deren Vorhandensein hängt vom konkret zu beurteilenden Sachverhalt ab (<ref-ruling> E. 6.1.1). Der Entscheid, ob einer Person die Handlungsfähigkeit in umfassender Weise entzogen wird, bleibt hingegen der Erwachsenenschutzbehörde vorbehalten (<ref-law>; Urteil 5A_88/2013 vom 21. Mai 2013 E. 2.2).
2.2. Die Erstinstanz hat sich bei der Beurteilung des Rechtsöffnungsbegehrens eingehend mit dem gesundheitlichen Zustand des Gesuchsgegners befasst. Sie hat diesbezügliche Arztberichte gewürdigt und eine Einvernahme von Zeugen durchgeführt. Gestützt auf diese Beweisvorkehren gelangte sie zum Schluss, dass der Gesuchsgegner im massgeblichen Zeitraum urteils- und damit prozessfähig gewesen war. Er sei daher in der Lage gewesen, seinen Rechtsvertreter betreffend das Rechtsöffnungsverfahren zweckmässig zu instruieren.
2.3. Die Vorinstanz war ebenfalls mit dem Einwand der fehlenden Prozessfähigkeit des Gesuchsgegners konfrontiert. Sie wies darauf hin, dass der Beschwerdeführer durch einen Anwalt vertreten sei und er diesen einzig für die Einreichung einer Beschwerdeantwort instruieren müsse. Das Verfahren vor ihrer Instanz unterliege einem umfassenden Novenverbot, womit in der Sache keine zusätzlichen Abklärungen erforderlich seien. Es bestünden überdies keine Anzeichen, dass der Beschwerdeführer nicht fähig sei, seinem Anwalt Instruktionen zu erteilen, wofür auch der fristgerechte Eingang der Beschwerdeantwort spreche. Es sei daher von der Prozessfähigkeit des Beschwerdeführers auszugehen, weshalb der prozessuale Antrag auf Sistierung der Beschwerde bis zur Vorlage eines medizinischen Gutachtens abzuweisen sei. Bezüglich des Verfahrens vor dem Bezirksgericht verwies die Vorinstanz ebenfalls auf das Novenverbot. Demzufolge lehnte sie eine Begutachtung des Beschwerdeführers hinsichtlich des gesundheitlichen Zustandes in dieser Zeitspanne ab (Urteil RT190160-O/U E. 2; Urteil RT190165-O/U E. 2). Es bestätigte weiter das erstinstanzliche Beweisergebnis, dass der Beschwerdeführer im massgeblichen Zeitraum urteils- und prozessfähig war (Urteil RT190165-O/U E. 3).
2.4. Vor Bundesgericht macht der Beschwerdeführer erneut psychische Probleme geltend. Sein Rechtsvertreter betont, erst nachträglich von der schweren Depression seines Mandanten erfahren zu haben. Lange Zeit seien dessen somatische Beschwerden im Vordergrund gestanden, so dass niemand das psychische Leiden entdeckt habe. Daher habe er als Rechtsvertreter erst im Rahmen der Beschwerde an die Vorinstanz eine Sistierung des Verfahrens zwecks psychiatrischer Begutachtung verlangen können, um die fehlende Prozessfähigkeit seines Mandanten darzutun.
2.4.1. Konkret rügt der Beschwerdeführer die Verletzung seines rechtlichen Gehörs, da die Vorinstanz seinem Antrag auf psychiatrische Begutachtung nicht stattgegeben habe. Bereits aus diesem Grunde müsse das angefochtene Urteil aufgehoben werden. Damit erübrige sich die Prüfung der verschiedenen Gründe, welche nach Ansicht der Vorinstanz auf seine Prozessfähigkeit schliessen lassen. Mit diesen Vorbringen beschränkt sich der Beschwerdeführer auf die Frage, ob eine Begutachtung des Betroffenen zur Wahrung seiner Rechte notwendig war.
2.4.2. Jeder Partei steht im Prozess das Recht auf Beweis zu (<ref-law>). Dieser bundesrechtlich geregelte Anspruch (<ref-law>) hat seine Grundlage in der verfassungsmässigen Garantie auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Allgemein umfasst der Beweisanspruch das Recht einer Partei, für rechtserhebliche und streitige Sachvorbringen (<ref-law>) mit den gesetzlich vorgesehenen und tauglichen Beweismitteln zugelassen zu werden, sofern sie diese form- und fristgerecht beantragt hat (<ref-law>). Kann das Gericht aufgrund bereits gewürdigter Beweise den Sachverhalt feststellen, so darf es die Abnahme weiterer Beweise ablehnen, ohne das rechtliche Gehör der Partei zu verletzen (<ref-ruling> E. 9.3.2; BRÖNNIMANN, in: Berner Kommentar, ZPO, 2012, N. 1, 2, 59, 62 zu Art. 152; STAEHELIN/STAEHELIN/GROLIMUND, Zivilprozessrecht, 3. Aufl. 2019, § 18 Rz. 21).
2.4.3. Nach Ansicht des Beschwerdeführers widerspricht die Verweigerung einer psychiatrischen Begutachtung im Hinblick auf seine Prozessfähigkeit dem Anspruch auf Abnahme eines massgeblichen Beweismittels. Die Vorinstanz hätte sich - selbst wenn es sich um Noven handelt - mit den Gründen auseinandersetzen müssen, welche dem entsprechenden Antrag zugrunde gelegt wurden. Zudem habe bisher kein Anlass für eine Expertise über seinen psychischen Gesundheitszustand bestanden. Nunmehr sei dies der Fall, womit die Vorinstanz das Gutachten gestützt auf <ref-law> hätte zulassen müssen.
2.4.4. Mit diesen Vorbringen verkennt der Beschwerdeführer die Tragweite des grundsätzlichen Novenverbotes im kantonalen Beschwerdeverfahren (<ref-law>). Entscheidend für den Ausschluss neuer Tatsachenbehauptungen und neuer Beweismittel in der Hauptsache ist die Funktion der kantonalen Beschwerde als Mittel der rechtsstaatlichen Kontrolle des erstinstanzlichen Verfahrens (STERCHI, in: Berner Kommentar, ZPO, 2012, N. 1, 3 zu Art. 326; STAEHELIN/ STAEHELIN/GROLIMUND, a.a.O., § 26 Rz. 45). Gesetzlich geregelte Ausnahmen vom Novenverbot sind beispielsweise die Konkurseröffnung (<ref-law>) und die Arresteinsprache (<ref-law>). Nicht erfasst vom Novenverbot für neue Tatsachen und Beweismittel sind zudem die Prozessvoraussetzungen, da diese - von gewissen Ausnahmen abgesehen - in jeder Lage des Verfahrens von Amtes wegen zu prüfen sind (Urteil 5A_469/2019 vom 17. November 2020 E. 3.2; REUT, Noven nach der schweizerischen Zivilprozessordnung, 2017, Rz. 113).
2.4.5. Zwar besteht durchaus ein Zusammenhang zwischen dem Novenverbot im kantonalen Verfahren (<ref-law>) und demjenigen für das Verfahren vor Bundesgericht (<ref-law>). Es soll verhindert werden, dass die Prüfungsbefugnis der kantonalen Instanz enger ist als die des Bundesgerichts. So sind vor beiden Instanzen Tatsachen zu berücksichtigen, die das Verfahren gegenstandslos werden lassen. Zudem ist der Einwand der Nichtigkeit im Rahmen einer Beschwerde vom Novenverbot ausgeschlossen (vgl. <ref-ruling> E. 5.2; <ref-ruling> E. 3.4; Urteil 4A_20/2020 vom 26. Februar 2020 E. 5). Dies bedeutet aber nicht, dass in der kantonalen Beschwerde generell neue Tatsachen und Beweisanträge erfolgen können, weil das Urteil der Erstinstanz dazu Anlass geben soll, wie der Beschwerdeführer offenbar meint. Andernfalls würde das Novenverbot seine Bedeutung verlieren. Entscheidend ist letztlich, dass der Betroffene sich bisher nicht zur Sache äussern konnte, weil er beispielsweise durch die rechtliche Begründung eines Entscheides überrascht wurde und nur mit neuen Tatsachen und Beweisen darauf zielführend reagieren kann (REUT, a.a.O., Rz. 382). Dieser Grundsatz gilt nicht nur in Exequaturverfahren gemäss LugÜ, sondern hat allgemeine Bedeutung für sämtliche Verfahren (<ref-ruling> E. 5.2).
2.4.6. Dass ein Ausnahmefall vom Novenverbot im kantonalen Verfahren vorliegt, legt der Beschwerdeführer nicht dar. Er behauptet lediglich, erst nach Ausfällung des erstinstanzlichen Urteils von einer psychischen Beeinträchtigung erfahren zu haben, die sich auf seine Prozessfähigkeit negativ auswirke. Die ihn damals behandelnden Ärzte in der Klinik C._ hätten ihm mitgeteilt, dass er an einer schweren Dysthymie leide. Zwar hatte der Beschwerdeführer diesen Sachverhalt in allgemeiner Weise bereits gegenüber der Vorinstanz geschildert, indes keine Bestätigungen der Ärzte oder andere Beweise vorgelegt. Dies wäre aufgrund seiner Mitwirkungspflicht bei der Klärung des Sachverhaltes am Platz gewesen. Stattdessen hat er von der Vorinstanz ein psychiatrisches Gutachten verlangt, falls sie seine Prozessfähigkeit in Zweifel ziehe. Bestand - wie vorliegend - für die Vorinstanz kein Anlass, an der Prozessfähigkeit des Beschwerdeführers zu zweifeln, da sie lediglich mit allgemeinen Behauptungen konfrontiert war, war sie auch nicht verpflichtet, dessen psychische Gesundheit fachärztlich begutachten zu lassen.
2.4.7. Soweit der Beschwerdeführer sich schliesslich gegen die Erwägungen und den Schluss der Vorinstanz (Urteil RT190165-O/U E. 3) wendet, welche gestützt auf das erstinstanzliche Beweisergebnis die Urteils- und Prozessfähigkeit geprüft und bestätigt hat, sind seine Vorbringen unbehelflich. Es fehlt an hinreichenden Rügen, welche eine willkürliche Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz darlegen würden (<ref-law>; <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 4.2), um den rechtlichen Schluss in Frage zu stellen.
2.5. Nach dem Gesagten ist der Vorinstanz keine Verletzung von Bundesrecht vorzuwerfen.
3.
Soweit die Beschwerde den gesetzlichen Begründungsanforderungen entspricht, ist ihr kein Erfolg beschieden. Bei diesem Ausgang des Verfahrens werden die Kosten dem Beschwerdeführer auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Februar 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante