Sachverhalt:
A.
A.A._ (geb. 1968) und B.A._ (geb.1969) sind die geschiedenen Eltern der Kinder C.A._ (geb. 1998) und D.A._ (geb. 2000). Im Scheidungsurteil des Bezirksgerichts Hochdorf vom 18. Mai 2011 war A.A._ verurteilt worden, monatliche Kinderalimente von je Fr. 1'050 (zuzüglich allfälliger Kinder- bzw. Ausbildungszulagen) zu bezahlen. Dem Urteil lagen auf Seiten von A.A._ ein monatliches Nettoeinkommen von Fr. 6'173.-- (inkl. Anteil 13. Monatslohn) und Auslagen von Fr. 3'670.-- zugrunde.
B.
Mit Klage vom 20. September 2014 verlangte A.A._, die Kinderunterhaltsbeiträge sofort aufzuheben und an sein neues Gehalt anzupassen, sobald er eine neue Stelle gefunden habe. Mit Entscheid vom 17. Dezember 2014 genehmigte das Bezirksgericht Hochdorf eine am 3. Dezember 2014 abgeschlossene Vereinbarung der Parteien. Demnach hat A.A._ seinen Kindern ab 1. Oktober 2014 bis zum ordentlichen Abschluss der Erstausbildung monatliche Unterhaltsbeiträge von je Fr. 600.-- (zuzüglich allfälliger Kinder- bzw. Ausbildungszulagen) zu bezahlen. Der Entscheid beruhte auf einem hypothetischen Nettoeinkommen von A.A._ von Fr. 4'640.-- (inkl. Anteil 13. Monatslohn) und auf einem Bedarf von rund Fr. 3'430.--.
C.
C.a. Am 29. September 2015 reichte A.A._ beim Bezirksgericht Kriens eine weitere Abänderungsklage ein. Er beantragte, in Abänderung des Entscheids vom 17. Dezember 2014 festzustellen, dass er ab sofort mangels Leistungsfähigkeit keine Kinderunterhaltsbeiträge mehr bezahlen könne. Das Bezirksgericht Kriens wies die Klage mit Urteil vom 14. Februar 2017 ab.
C.b. A.A._ legte darauf Berufung beim Kantonsgericht Luzern ein und hielt an seinem Begehren fest. Das Kantonsgericht hiess das Rechtsmittel teilweise gut und entschied, die Unterhaltspflicht von A.A._ (Bst. B) für die Zeit vom 1. März bis zum 30. September 2017 zu sistieren. Das Urteil datiert vom 28. August 2017 und wurde am 31. August 2017 versandt.
D.
Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 28. September 2018 (Datum der Postaufgabe) wendet sich A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, seine Unterhaltspflicht gemäss dem Entscheid des Bezirksgerichts Hochdorf vom 17. Dezember 2014 für die Zeit ab 1. März 2017 aufzuheben; eventualiter sei die Sache "zu einer neuen Beurteilung" an die Vorinstanz zurückzuweisen. Mit separater Eingabe vom selben Tag ersucht der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. In der Folge ergänzte der Beschwerdeführer sein Armenrechtsgesuch monatlich mit neuen ärztlichen Zeugnissen betreffend seine Arbeitsfähigkeit. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, jedoch keinen Schriftenwechsel angeordnet.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob die Eintretensvoraussetzungen gegeben sind (<ref-ruling> E. 1 S. 143).
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin (<ref-law>) entschieden hat. Streitig ist die Abänderung von Kinderunterhaltsbeiträgen (Art. 134 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>). Das ist eine Zivilsache (<ref-law>) vermögensrechtlicher Natur.
1.2. In vermögensrechtlichen Angelegenheiten ist die Beschwerde an das Bundesgericht nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). Entgegen der klaren Vorschrift von Art. 112 Abs. 1 Bst. d BGG gibt der angefochtene Entscheid keinen Aufschluss über den Streitwert. Der Beschwerdeführer erklärt, vor der Vorinstanz sei "die Frage der Aufhebung der monatlichen Unterhaltspflicht von je CHF 600.00 ab September 2015 bis zum ordentlichen Abschluss der Erstausbildung des Sohnes (geb. 2000) strittig" gewesen. Der Sohn habe im August 2016 eine dreijährige Ausbildung begonnen, die er "voraussichtlich" im August 2019 abschliessen werde. Die gesetzliche Streitwertgrenze sei damit "knapp nicht erreicht". Auch von den in <ref-law> umschriebenen Ausnahmefällen sei keiner gegeben, so dass die Beschwerde in Zivilsachen ausgeschlossen und lediglich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) gegeben sei. Dieser Beurteilung kann nicht gefolgt werden. Gemäss <ref-law> gilt als Streitwert wiederkehrender Leistungen der Kapitalwert und als Kapitalwert bei ungewisser oder unbeschränkter Dauer der zwanzigfache Betrag der einjährigen Leistung. Auch wenn eine Ausbildung üblicherweise auf eine konkrete Zeitdauer angelegt ist bzw. die betroffene Person damit rechnet, ihre Ausbildung zu einem bestimmten Zeitpunkt abzuschliessen, kann nicht im Sinne von <ref-law> als "gewiss" gelten, dass der Sohn des Beschwerdeführers seine Erstausbildung im August 2019 tatsächlich abschliessen und die väterliche Unterhaltspflicht als Folge davon erlöschen wird (s. Sachverhalt Bst. B). Der Streitwert ist nach Massgabe der zitierten Norm zu kapitalisieren, was zur Folge hat, dass die gesetzliche Streitwertgrenze überschritten und die Beschwerde in Zivilsachen von daher gegeben ist.
1.3. Auf die im Übrigen rechtzeitig (<ref-law>) eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 88 ff. mit Hinweisen). Für die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt ausserdem das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; dazu <ref-ruling> E. 3.2 S. 444).
2.2. Soweit die Festsetzung von Unterhalt in Frage steht, ist zu beachten, dass der Sachrichter in verschiedener Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4 S. 64; <ref-ruling> E. 3a S. 141). Bei der Überprüfung solcher Entscheide auferlegt sich das Bundesgericht Zurückhaltung. Es schreitet nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 4.5 S. 617; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 279; <ref-ruling> E. 2 S. 123 f.; <ref-ruling> E. 5.4 S. 211).
2.3. Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (<ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig (<ref-law>), das heisst willkürlich (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 1.5 S. 130 mit Hinweis), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1). In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22).
3.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör. Angesichts der formellen Natur des Gehörsanspruchs (<ref-ruling> E. 3 S. 118; <ref-ruling> E. 4a S. 469) ist dieser Vorwurf vorweg zu prüfen.
3.1. Der Beschwerdeführer wirft dem Kantonsgericht vor, seinen Entscheid nicht hinreichend zu begründen. Seiner Meinung nach gelten im konkreten Fall besonders hohe Anforderungen an die Begründung des Urteils, weil die Vorinstanz über einen grossen Ermessensspielraum verfüge und mit der Anrechnung eines hypothetischen Einkommens intensiv in seine Rechtsstellung eingreife. Die Vorinstanz verneine eine dauerhafte Veränderung der Verhältnisse mit dem blossen Hinweis auf den Bericht von Dr. med. E._ vom 4. April 2017, wonach davon auszugehen sei, dass er, der Beschwerdeführer, nach Remission der depressiven Symptomatik wieder in seinem erlernten Beruf als Betriebsfachmann arbeiten könne. Der Beschwerdeführer meint, dass die "äusserst knapp gehaltenen" Ausführungen zur Dauerhaftigkeit der veränderten Verhältnisse und zur tatsächlichen Möglichkeit und Zumutbarkeit, ab 1. Oktober 2017 ein Monatseinkommen von Fr. 4'640.-- zu erzielen, den Anforderungen von <ref-law> nicht genügen. Er vermisst im angefochtenen Entscheid eine Erklärung, inwieweit die prognostizierte Möglichkeit, in den erlernten Beruf zurückzukehren, und die fehlende Dauerhaftigkeit der veränderten Verhältnisse zusammenhängen.
3.2. Der in <ref-law> verankerte Anspruch auf rechtliches Gehör verlangt, dass das Gericht die Vorbringen der vom Entscheid in ihrer Rechtsstellung betroffenen Person tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Die Behörde darf sich auf die wesentlichen Gesichtspunkte und Leitlinien beschränken. Sie braucht sich nicht vertieft mit jedem sachverhaltlichen oder rechtlichen Einwand auseinanderzusetzen (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 677 mit Hinweisen), muss die Begründung aber so abfassen, dass sich die betroffene Person über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann (<ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445; <ref-ruling> E. 4.3 S. 540). An die Begründung sind umso höhere Anforderungen zu stellen, je grösser der Spielraum ist, über den die Behörde infolge Ermessen und unbestimmter Rechtsbegriffe verfügt, und je stärker ein Entscheid in die individuellen Rechte eingreift (<ref-ruling> E. 2b S. 110). Zu begründen ist das Ergebnis des Entscheides, das im Urteilsspruch zum Ausdruck kommt und das allein die Rechtsstellung der betroffenen Person berührt. Die Begründung ist also nicht an sich selbst, sondern am Rechtsspruch zu messen (Urteil 5A_382/2013 vom 12. September 2013 E. 3.1).
3.3. Im Lichte dieser Vorgaben sind die Befürchtungen des Beschwerdeführers unbegründet. Dass sich der angefochtene Entscheid mit einem Hinweis auf den Arztbericht vom 4. April 2017 begnügt, trifft nicht zu. In Würdigung einer ganzen Reihe ärztlicher Zeugnisse und Berichte stellt die Vorinstanz fest, dass die behandelnden Ärzte keine Langzeitprognose vornehmen und den Beschwerdeführer jeweils nur für die kommenden 22 bis 30 Tage krankschreiben würden. Ausserdem erwähnt sie, dass auch keine IV-Anmeldung zur Diskussion stehe. Zusammen mit der erwähnten Prognose von Dr. med. E._ führen diese Feststellungen die Vorinstanz zum Schluss, eine dauerhafte Veränderung der Verhältnisse könne nicht angenommen werden. Entgegen dem, was der Beschwerdeführer unterstellt, lassen diese vorinstanzlichen Erwägungen mit hinreichender Deutlichkeit einen Zusammenhang zwischen seiner Rückkehr in den angestammten Beruf und der Dauerhaftigkeit der Veränderung der Verhältnisse erkennen. Ist der Beschwerdeführer mit der Entscheidfindung des Kantonsgerichts nicht einverstanden, so beschlägt dies nicht das rechtliche Gehör, sondern die Feststellung des Sachverhalts oder die Anwendung des Rechts.
4.
Der Abänderungsprozess dreht sich um die wirtschaftliche Leistungsfähigkeit des Beschwerdeführers. Dabei ist streitig, ob dem Beschwerdeführer ab September 2017 ein hypothetisches monatliches Erwerbseinkommen von Fr. 4'640.-- anzurechnen ist.
4.1. Die Abänderung des Kinderunterhalts (<ref-law>) setzt voraus, dass sich die Verhältnisse nachträglich erheblich und dauerhaft verändert haben. Eine Abänderungsklage bezweckt nicht die Korrektur eines fehlerhaften rechtskräftigen Urteils, sondern nur die Anpassung eines rechtskräftigen Urteils - ob fehlerhaft oder nicht - an veränderte Verhältnisse (<ref-ruling> E. 4.1.1. S. 606; <ref-ruling> E. 2.7.4 S. 199; <ref-ruling> E. 3a S. 178; <ref-ruling> E. 4b S. 292 f.). Bei der Neufestsetzung der Kinderalimente sind die einzelnen Parameter der Unterhaltsbemessung zu aktualisieren (<ref-ruling> E. 4.1.2 S. 606). Als erhebliche Veränderung der Verhältnisse im Sinne von <ref-law> fallen unter anderem qualifiziert veränderte wirtschaftliche Umstände seitens des Unterhaltspflichtigen in Betracht, namentlich eine Invalidität oder lange Erkrankung, der Übertritt in den Ruhestand oder der Verlust einer Arbeitsstelle (s. Urteil 5A_217/2009 vom 30. Oktober 2009 E. 3.2). Eine erhebliche und dauerhafte nachträgliche Veränderung der Verhältnisse führt nur dann zu einer Neufestsetzung der Unterhaltspflicht, wenn ansonsten mit Blick auf das ursprüngliche Scheidungsurteil ein unzumutbares Ungleichgewicht zwischen den involvierten Personen entstehen könnte. Zur Beurteilung dieser Voraussetzung gilt es, die Interessen von Vater, Mutter und Kindern gegeneinander abzuwägen (<ref-ruling> E. 4.1.1 S. 606; Urteil 5A_760/2016, 5A_925/2016 vom 5. September 2017 E. 5.1).
Die wirtschaftliche Leistungsfähigkeit des Unterhaltspflichtigen ergibt sich aus der Gegenüberstellung von seinem Eigenbedarf, der auf der Basis seines betreibungsrechtlichen Existenzminimums zu ermitteln ist (<ref-ruling> E. 4.2.1 S. 62 mit Hinweisen), und seinem Nettoeinkommen. Diesbezüglich ist grundsätzlich vom Einkommen auszugehen, das der Unterhaltspflichtige tatsächlich erzielt. Soweit dieses Einkommen nicht ausreicht, um den ausgewiesenen Bedarf zu decken, kann der Richter ein hypothetisches Einkommen anrechnen, sofern dieses zu erreichen zumutbar und möglich ist (<ref-ruling> E. 2.3 S. 120 f. mit Hinweisen). Damit ein Einkommen überhaupt oder ein höheres Einkommen als das tatsächlich erzielte angerechnet werden kann, genügt es nicht, dass der betroffenen Partei weitere Anstrengungen zugemutet werden können. Vielmehr muss es auch möglich sein, aufgrund dieser Anstrengungen ein höheres Einkommen zu erzielen (zum Ganzen <ref-ruling> E. 4a S. 5). Mit Bezug auf das hypothetische Einkommen ist Rechtsfrage, welche Tätigkeit aufzunehmen als zumutbar erscheint, Tatfrage hingegen, ob die als zumutbar erkannte Tätigkeit möglich und das angenommene Einkommen effektiv erzielbar ist (<ref-ruling> E. 2.3 S. 121 mit Hinweisen). Ein hypothetisches Einkommen kann auch bei unverschuldeter Einkommensverminderung angerechnet werden, denn die gesetzliche Unterhaltspflicht hat zur Folge, dass der Pflichtige alles in seiner Macht Stehende unternehmen und insbesondere seine wirtschaftliche Leistungsfähigkeit voll ausschöpfen muss, um das erforderliche Einkommen zu generieren (zur Frage des Rechtsmissbrauchs vgl. <ref-ruling> E. 3.4 S. 236 f.). Rechtsprechungsgemäss hängt die Zulässigkeit der Anrechnung eines hypothetischen Einkommens nur davon ab, ob der Pflichtige bei gutem Willen bzw. bei ihm zuzumutender Anstrengung unter den gegebenen Umständen mehr zu erwirtschaften vermöchte, als er effektiv verdient (<ref-ruling> E. 4a S. 5). Im Verhältnis zu einem minderjährigen Kind sind besonders hohe Anforderungen an die Ausnützung der Erwerbskraft zu stellen, vorab in jenen Fällen, wo wirtschaftlich enge Verhältnisse vorliegen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 121).
4.2. Das Kantonsgericht befasst sich zuerst mit der Frage, ob sich die Verhältnisse hinsichtlich der tatsächlichen Möglichkeit des Beschwerdeführers, eine in der erwähnten Höhe entlöhnte Stelle zu finden, verändert haben. Es erinnert an die Ausführungen der ersten Instanz. Demnach sei gestützt auf das dem Entscheid vom 17. Dezember 2014 (s. Sachverhalt Bst. B) zugrunde liegende hypothetische Einkommen von Fr. 4'640.-- davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer bereits damals gehalten gewesen sei, sich bei den Stellenbemühungen breit auszurichten und sich nicht nur in seiner eigenen Berufsgattung zu bewerben. Das Kantonsgericht konstatiert, dass der Beschwerdeführer diesen erstinstanzlichen Erwägungen nichts entgegen halte. In der Folge prüft es, ob der Beschwerdeführer sich entsprechend diesen Vorgaben um Stellen bemüht habe. Es würdigt die Aktenlage und beschäftigt sich namentlich mit einer E-Mail des Schweizerischen Arbeiterhilfswerks vom 7. Dezember 2015 und mit einem Schreiben der Dienststelle Wirtschaft und Arbeit, Fachstelle Praktika, vom 1. April 2016. Als Ergebnis hält der angefochtene Entscheid fest, der Beschwerdeführer vermöge mit diesen Urkunden nicht aufzuzeigen, dass er sich tatsächlich intensiv und vor allem auch in Tätigkeitsgebieten um eine Anstellung bemüht hat, die nicht exakt seinen Qualifikationen bzw. seiner Ausbildung entsprechen. Ohne eine genügende Anzahl entsprechender Bewerbungen lasse sich auch die Behauptung nicht erhärten, wonach eine Vollzeitstelle als Hilfsarbeiter im Baugewerbe unrealistisch sei. So bestätigt das Kantonsgericht das erstinstanzliche Urteil, das die Stellenbemühungen des Beschwerdeführers bezüglich der Wahl der Stellen als nicht ausreichend bewertete und nicht von veränderten Verhältnissen ausging.
Als nächstes befasst sich das Kantonsgericht mit dem neuen Vorbringen des Beschwerdeführers, er habe einen physischen und psychischen Zusammenbruch erlitten und sei voraussichtlich langfristig zu 100 % arbeitsunfähig. Die Vorinstanz verweist auf die Arztzeugnisse und -berichte, die der Beschwerdeführer hierzu einreichte. Laut Diagnose von Dr. med. E._ vom 23. März 2017 sei es im Rahmen einer multifaktoriellen, psychosozialen Belastungssituation zur Dekompensation einer depressiven Symptomatik gekommen. Berichte der Luzerner Psychiatrie vom 28. März und 4. April 2017 hätten die Diagnose bestätigt; die depressive Symptomatik sei mit einer starken Reduktion der Vitalgefühle i.S.v. Energie- und Kräftemangel assoziiert und der körperliche Allgemeinzustand beeinträchtigt. Ferner sei davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer nach Remission der depressiven Symptomatik wieder in seinem erlernten Beruf als Betriebsfachmann arbeiten könne; gegebenenfalls sei er auch für eine Umschulung motiviert. Das Kantonsgericht zählt weitere Arztzeugnisse auf, die dem Beschwerdeführer eine krankheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit attestieren, und zieht den bereits erwähnten Schluss, dass der Beschwerdeführer die Voraussetzung der veränderten Verhältnisse - insbesondere diejenige der Dauerhaftigkeit -nicht nachzuweisen vermöge (s. E. 3.3). Bei diesem Ergebnis könne die Frage der Einholung eines fachärztlichen Gutachtens offenbleiben; veränderte Verhältnisse seien "somit auch nicht aus gesundheitlichen Gründen" des Beschwerdeführers anzunehmen.
4.3.
4.3.1. Der Beschwerdeführer rügt mit Bezug auf die Beurteilung seiner Arbeitsfähigkeit Willkür in der Sachverhaltsfeststellung. Indem es die Arbeitsunfähigkeitsbescheinigungen vom 2. März bis 6. September 2017 zu den Akten nehme, seine Arbeitsunfähigkeit über ein halbes Jahr feststelle und ihm trotzdem ab 1. Oktober 2017 ein hypothetisches Einkommen von Fr. 4'640.-- anrechne, verletze das Kantonsgericht <ref-law>. Konkret bemängelt der Beschwerdeführer, der angefochtene Entscheid stelle nicht fest, dass Dr. med. E._ in Ziffer 1 ihres Berichts vom 4. April 2017 eine mittel- bis schwergradige Symptomatik im Rahmen einer multifaktoriellen psychosozialen Belastungssituation diagnostiziert habe. Hätte das Kantonsgericht diese Diagnose berücksichtigt, so hätte es nicht ohne weitere Abklärungen zum Schluss kommen können, die Dauerhaftigkeit der veränderten Verhältnisse sei nicht gegeben. Die Rüge geht fehl. Die Vorinstanz hat gestützt auf die eingereichten Arztberichte sehr wohl festgestellt, dass Dr. med. E._ beim Beschwerdeführer eine Depression diagnostizierte (s. oben E. 4.2). Offensichtlich vermisst der Beschwerdeführer im angefochtenen Entscheid einzig die Qualifikation der Depression als "mittel- bis schwergradig". Allein mit Mutmassungen darüber, zu welchen Schlüssen die Vorinstanz aufgrund dieser genaueren Beurteilung des Krankheitsgrades hätte kommen sollen, ist nichts gewonnen. Um mit seiner Rüge durchzudringen, müsste der Beschwerdeführer die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen, so wie sie im angefochtenen Entscheid zum Ausdruck kommen, als offensichtlich unrichtig ausweisen. Dazu genügt es nicht, einzelne Punkte der Beweiswürdigung in Zweifel zu ziehen und andere Elemente unangefochten stehen zu lassen. Auf die vorinstanzliche Erkenntnis, dass die behandelnden Ärzte keine Langzeitprognose vornehmen und ihn nie für mehr als einen Monat krank schreiben, geht der Beschwerdeführer nicht ein. Auch zur Überlegung des Kantonsgerichts, wonach "denn auch keine IV-Anmeldung zur Diskussion" stehe, äussert er sich nicht. Mithin bleibt der Beschwerdeführer eine Erklärung schuldig, inwiefern die Vorinstanz trotz dieser Gesichtspunkte allein wegen der Qualifikation der depressiven Symptomatik als "mittel- bis schwergradig" geradezu zwingend zum Schluss hätte kommen müssen, dass sich die Verhältnisse dauerhaft verändert haben.
4.3.2. Auch die Art und Weise, wie das Kantonsgericht das Recht anwendet, tadelt der Beschwerdeführer als willkürlich. Er beruft sich darauf, im Urteilszeitpunkt mit der Diagnose einer mittel- bis schwergradigen Depression zu 100 % arbeitsunfähig geschrieben gewesen zu sein. Der angefochtene Entscheid erörtere nicht, ob ihm die Erzielung des hypothetischen Einkommens aufgrund dieser Diagnose ab 1. Oktober 2017 möglich sei. Indem die Vorinstanz die Diagnose "nicht offensichtlich" feststelle, verfalle sie in Willkür; dieses Sachverhaltselement sei bedeutsam, weil ihm, dem Beschwerdeführer, entgegen der klaren Gerichtspraxis ab 1. Oktober 2017 trotz weiterhin hundertprozentiger Arbeitsunfähigkeit ein hypothetisches Einkommen angerechnet werde. Nach der Meinung des Beschwerdeführers weicht die Vorinstanz bei der Anrechnung eines hypothetischen Einkommens vom Grundsatz der Zumutbarkeit ab; bei einer hundertprozentigen Arbeitsunfähigkeit sei es dem Beschwerdeführer nicht zumutbar, ein Monatseinkommen von Fr. 4'640.-- zu erzielen, weil er bereits seit August 2014 ausgesteuert sei und somit auch kein Ersatzeinkommen während seiner Arbeitsunfähigkeit erziele. Die Einwände sind schon deshalb unbehelflich, weil der Beschwerdeführer damit unterstellt, dass er auch über September 2017 hinaus "weiterhin" zu 100 % arbeitsunfähig gewesen sei. Diese Behauptung findet im angefochtenen Entscheid keine Stütze. Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, inwiefern die Vorinstanz mit seiner gesundheitlichen Situation ab Oktober 2017 befasst gewesen wäre. Insbesondere macht er nicht geltend, dass die Vorinstanz diesbezügliche Arztberichte oder -zeugnisse übersehen hätte. Die im bundesgerichtlichen Verfahren neu eingereichten ärztlichen Atteste, mit denen der Beschwerdeführer seine Arbeitsunfähigkeit seit dem 4. September 2017 belegen will, betreffen Tatsachen, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid zugetragen haben. Solche echten Noven sind im bundesgerichtlichen Verfahren von vornherein unbeachtlich (<ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.).
Mit Bezug auf die Rechtsfrage der Zumutbarkeit, eine entsprechend entlöhnte Erwerbstätigkeit aufzunehmen, übersieht der Beschwerdeführer, dass die Anrechnung eines hypothetischen Monatseinkommens von Fr. 4'640.-- dem angefochtenen Entscheid zufolge schon dem Urteil vom 17. Dezember 2014 zugrunde lag, dessen Abänderung hier umstritten ist (E. 4.2). Gegen diese vorinstanzliche Erkenntnis hat der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nichts einzuwenden. Vom Streitgegenstand her ist der vorliegende Abänderungsprozess also auf die Frage beschränkt, ob sich die Verhältnisse, auf denen das Urteil vom 17. Dezember 2014 beruhte, nachträglich in einer Weise verändert haben, die eine Anpassung erfordert (E. 4.1). Dass nur dauerhafte Veränderungen zu einer Abänderung führen können, bestreitet der Beschwerdeführer nicht. Gegen die vorinstanzliche Erkenntnis, dass seine gesundheitliche Situation nicht als dauerhafte Veränderung der Verhältnisse gelten kann, kommt er nach dem Gesagten nicht auf. Gibt die diagnostizierte psychische Erkrankung aber gar nicht Anlass zur Abänderung, so kann sich der Beschwerdeführer losgelöst von einem Abänderungsgrund im vorliegenden Prozess nicht darauf berufen, die Aufnahme einer Erwerbstätigkeit sei ihm (neu) aus gesundheitlichen Gründen nicht zumutbar.
4.4. Im Ergebnis bleibt es dabei, dass aus gesundheitlichen Gründen des Beschwerdeführers keine veränderten Verhältnisse gegeben sind, die nach Massgabe von <ref-law> in Abänderung des Urteils vom 17. Dezember 2014 eine Aufhebung der Unterhaltspflicht ab 1. März 2017 zu begründen vermöchten. Auf die weitere Erkenntnis der Vorinstanz, dass auch unter dem Gesichtspunkt der Stellenbemühungen des Beschwerdeführers nicht von veränderten Verhältnissen auszugehen ist, kommt der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht zu sprechen. Diesbezügliche Erörterungen erübrigen sich.
5.
Die Beschwerde ist also unbegründet. Sie ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Er hat deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Wie die vorigen Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Begehren als von Anfang an aussichtslos gelten. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren (<ref-law>). Das entsprechende Gesuch des Beschwerdeführers ist abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Juni 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Monn