Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Eingabe vom 4. Mai 2016 verzeigte B._ (nachfolgend: Verzeiger) Rechtsanwalt Dr. iur. A._ bei der Aufsichtskommission über Anwältinnen und Anwälte des Kantons Zürich (nachfolgend: Aufsichtskommission) wegen Verletzung der Berufspflichten.
Nachdem er von der Aufsichtskommission mit Schreiben vom 23. Mai 2016 aufgefordert worden war, ergänzende Ausführungen zu machen und Unterlagen einzureichen, liess der Verzeiger der Aufsichtskommission ein Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 11. Juli 2016 zukommen, womit Rechtsanwalt Dr. iur. A._ verpflichtet worden war, dem Verzeiger infolge mehrerer Sorgfaltspflichtverletzungen Schadenersatz von rund Fr. 180'000.-- zu bezahlen.
A.b. Mit Beschluss vom 6. Oktober 2016 eröffnete die Aufsichtskommission ein Disziplinarverfahren gegen Rechtsanwalt Dr. iur. A._ wegen mehrfacher Verletzung der Berufsregeln im Sinne von Art. 12 lit. a des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte (Anwaltsgesetz, BGFA; SR 935.61) und setzte ihm Frist an, um zu den gegen ihn erhobenen Vorwürfen Stellung zu nehmen.
Mit Eingabe vom 2. Dezember 2016 wandte sich Rechtsanwalt Dr. iur. A._ mit diversen Verfahrensanträgen an die Aufsichtskommission. Mit Verfügung vom 15. Dezember 2016 äusserte sich diese zu diesen Verfahrensanträgen, deutete die besagte Eingabe im Übrigen als sinngemässes Fristerstreckungsgesuch und erstreckte die Frist.
Auf eine gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde trat das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 23. November 2017 nicht ein, wobei es in den Erwägungen anmerkte, dass die Aufsichtskommission noch "formell korrekt" über die diversen verfahrensrechtlichen Anträge von Rechtsanwalt Dr. iur. A._ zu verfügen haben werde.
A.c. Mit Urteil vom 5. Juli 2017 wies das Obergericht des Kantons Zürich die von Rechtsanwalt Dr. iur. A._ gegen das Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 11. Juli 2016 (vgl. vorne "A.a") eingelegte Berufung ab und bestätigte dieses, soweit es noch nicht rechtskräftig geworden war. Die dagegen erhobene Beschwerde von Rechtsanwalt Dr. iur. A._ wies das Bundesgericht mit Urteil vom 12. März 2018 (Verfahren 4A_462/2017) ab, soweit es darauf eintrat.
A.d. Mit Schreiben vom 2. Oktober 2017 unterbrach die Aufsichtskommission die Verjährung der disziplinarischen Verfolgung der zu prüfenden Berufspflichtverletzungen von Rechtsanwalt Dr. iur. A._.
A.e. Mit Verfügung vom 27. April 2018 wies die Aufsichtskommission die mit Eingabe vom 2. Dezember 2016 gestellten verfahrensrechtlichen Anträge von Rechtsanwalt Dr. iur. A._ ab. Auf eine dagegen erhobene Beschwerde trat das Verwaltungsgericht mit Beschluss vom 23. August 2018 nicht ein.
B.
Mit Beschluss vom 7. November 2019 auferlegte die Aufsichtskommission Rechtsanwalt Dr. iur. A._ wegen mehrfacher Verletzung der Berufsregeln im S inne von Art. 12 lit. a BGFA eine Busse von Fr. 2'000.-- sowie die Verfahrenskosten. Eine gegen diesen Beschluss erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, mit Urteil vom 7. Januar 2021 ab.
C.
Mit Eingabe vom 5. März 2021 reicht Rechtsanwalt Dr. iur. A._ Beschwe rde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht ein. Er beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 7. Januar 2021 sei aufzuheben und es sei von jeglicher Disziplinierung abzusehen.
Die Aufsichtskommission verzichtet auf Vernehmlassung. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei, und verzichtet im Übrigen auf Vernehmlassung. Das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement lässt sich nicht vernehmen.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein Endentscheid einer letzten oberen kantonalen Instanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Anwaltsrecht), die unter keinen Ausschlussgrund fällt (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90 BGG). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit zulässig. Der Beschwerdeführer ist ausserdem durch den Entscheid besonders berührt und verfügt über ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (Art. 89 Abs. 1 BGG).
Auf die im Übrigen form- und fristgerecht (Art. 42 Abs. 1 und 2 und Art. 100 Abs. 1 BGG) eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Bei der Prüfung wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 4.4.5) und verfügt es über volle Kognition (Art. 95 BGG; <ref-ruling> E. 2). Die Verletzung von verfassungsmässigen Individualrechten (einschliesslich der Grundrechte) und von kantonalem Recht prüft das Bundesgericht nur, soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.7.2).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Deren Sachverhaltsfeststellung kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 BGG). Eine Sachverhaltsrüge ist substanziiert vorzubringen; auf rein appellatorische Kritik an der (vorinstanzlichen) Sachverhaltsfeststellung geht das Gericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 10.1; <ref-ruling> E. 4.1.2).
3.
Das BGFA regelt in Art. 12 die Berufsregeln der Anwältinnen und Anwälte. Insbesondere haben sie "ihren Beruf sorgfältig und gewissenhaft" auszuüben (Art. 12 lit. a BGFA). Diese Verpflichtung hat für die gesamte Berufstätigkeit Geltung und erfasst neben der Beziehung zum eigenen Klienten sowohl die Kontakte mit der Gegenpartei als auch jene mit den Behörden (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 3.2; Urteil 2C_507/2019 vom 14. November 2019 E. 5.1.1, mit Hinweisen).
3.1. Der Anwalt ist bereits gestützt auf sein Auftragsverhältnis zum Klienten gehalten, das ihm übertragene Geschäft getreu und sorgfältig auszuführen (Art. 398 Abs. 2 OR). Er hat die Interessen des Auftraggebers nach besten Kräften zu wahren und alles zu unterlassen, was diese Interessen schädigen könnte (<ref-ruling> E. 3a).
Die auftragsrechtliche Treuepflicht nach Art. 398 Abs. 2 OR ist für die Beziehung zwischen Anwalt und Klient von grundsätzlicher Bedeutung (WALTER FELLMANN, in: Fellmann/Zindel [Hrsg.], Kommentar zum Anwaltsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 25 zu Art. 12 BGFA [nachfolgend: FELLMANN, Kommentar zum Anwaltsgesetz]). Sie beinhaltet unter anderem eine umfassende Aufklärungs- und Benachrichtigungspflicht. Als Ausfluss der Treuepflicht obliegt dem Anwalt insbesondere, seinen Mandanten über die Schwierigkeit und die Risiken der Geschäftsbesorgung umfassend aufzuklären, damit dieser sich über das von ihm getragene Risiko bewusst werde (<ref-ruling> E. 1d; Urteil 4A_550/2018 vom 29. Mai 2019 E. 4.1; ausführlich dazu WALTER FELLMANN, Anwaltsrecht, 2. Aufl. 2017, a.a.O., N. 1301 ff. [nachfolgend: FELLMANN, Anwaltsrecht]).
3.2. Das Bundesgericht hat bereits festgehalten, dass Art. 12 lit. a BGFA eng mit Art. 398 Abs. 2 OR verknüpft ist. Die in Art. 12 lit. a BGFA statuierte Sorgfaltspflicht wird direkt aus Art. 398 Abs. 2 OR abgeleitet und verbietet es dem Anwalt, Schritte zu unternehmen, die den Interessen seines Klienten schaden könnten. Zugleich fassen die beiden Bestimmungen die Sorgfaltspflicht des Anwalts indes aus teilweise unterschiedlichen Perspektiven. So betrifft Art. 12 lit. a BGFA die Sorgfalt, die der Anwalt bei der Ausübung seines Berufs einschliesslich - aber nicht nur - gegenüber seinem Klienten an den Tag legen muss. Demgegenüber hat Art. 398 Abs. 2 OR nur die getreue und sorgfältige Auftragserfüllung zum Gegenstand, zu welcher der Anwalt ausschliesslich gegenüber seinem Klienten verpflichtet ist. Daraus folgt, dass eine Verletzung der auftragsrechtlichen Sorgfaltspflicht (Art. 398 Abs. 2 OR) durch den Anwalt sehr häufig, aber nicht zwingend auch eine Verletzung der anwaltlichen Berufspflichten (Art. 12 lit. a BGFA) bildet (<ref-ruling> E. 5.3.1; Urteil 2C_1000/ 2020 vom 2. Juni 2021 E. 4.3.4).
3.3. Art. 12 lit. a BGFA dient als Auffangtatbestand. Praxisgemäss rechtfertigt eine unsorgfältige Berufsausübung im Sinne dieser Bestimmung ein staatliches Eingreifen nur dann, wenn diese objektiv eine solche Schwere erreicht, dass - über die bestehenden Rechtsbehelfe aus Auftragsrecht wegen unsorgfältiger Mandatsführung hinaus - eine zusätzliche Sanktion im überwiegenden öffentlichen Interesse liegt und verhältnismässig erscheint. Diese Voraussetzung ist erst bei einer qualifizierten Norm- bzw. Sorgfaltswidrigkeit - mithin bei einem bedeutsamen Verstoss gegen die Berufspflichten ("un manquement significatif aux devoirs de la profession") - gegeben (<ref-ruling> E. 4.1, mit Hinweisen; Urteile 2C_500/2020 vom 17. März 2021 E. 4.3; 2C_131/2019 vom 27. August 2019 E. 4.3.3; 2C_507/2019 vom 14. November 2019 E. 5.1.2; MICHEL VALTICOS, in: Commentaire romand, Loi sur les avocats, 2010, N. 24 zu Art. 12 BGFA; FRANÇOIS BOHNET/VINCENT MARTENET, Droit de la profession d'avocat, 2009, N. 1162 ff.).
Somit stellt nicht jede unrichtige Beratung bzw. jedes prozessual falsches Vorgehen eine Verletzung der Treuepflicht unter dem Blickwinkel des öffentlich-rechtlichen Berufsrechts dar (FELLMANN, Kommentar zum Anwaltsgesetz, a.a.O., N. 26 zu Art. 12 BGFA; BOHNET/MARTENET, a.a.O., N. 1202). Disziplinarrechtlich relevant sind nur qualifizierte bzw. bedeutsame Verstösse gegen die Berufspflichten.
4.
Gemäss dem angefochtenen Urteil und den Akten liegt dem vorliegenden Disziplinarverfahren folgender Sachverhalt zugrunde (vgl. E. 3 des angefochtenen Urteils) :
4.1. Der als Einzelunternehmer im Bereich Fördertechnik und Liftmontage tätige Verzeiger fiel im November 2003 auf einer Baustelle von einem Baugerüst und zog sich dabei unter anderem schwere Kopfverletzungen zu. Aufgrund dieses Unfalls verlangte er vor dem Bezirksgericht Liestal mit Teilklage vom August 2008 von der B._ AG die Bezahlung von Fr. 7'000'000.--. Dabei wurde er vom Beschwerdeführer vertreten, der sich die Ansprüche des Verzeigers "zahlungshalber" hatte abtreten lassen. In der Klagebegründung wurde die Gesamtforderung auf Fr. 8'796'597.-- veranschlagt.
Mit Urteil vom 7. Dezember 2011 wies das Bezirksgericht Liestal die Klage ab und verpflichtete den Anzeiger, die Gerichtskosten von Fr. 10'000.-- zu übernehmen und der B._ AG eine Parteientschädigung von Fr. 126'900.-- zu bezahlen. Dieses Urteil erwuchs am 15. Mai 2012 unangefochten in Rechtskraft (Art. 105 Abs. 2 BGG). Darin erwog das Bezirksgericht Liestal, der Verzeiger sei zur Geltendmachung der eingeklagten Ansprüche gar nicht aktivlegitimiert, da er diese an den Beschwerdeführer abgetreten habe. Zudem fehle es an dem für die ausservertragliche Haftung der B._ AG notwendigen Kausalzusammenhang. Daher könne offenbleiben, ob der geltend gemachte Schaden hinreichend belegt sei. Festzustellen sei immerhin - so das Bezirksgericht Liestal weiter - dass das jährliche Einkommen von Fr. 300'000.-- bis Fr. 350'000.--, das für die Tätigkeit in der Schweiz geltend gemacht werde, in Anbetracht der Steuerunterlagen für die Zeit unmittelbar vor dem Unfall, denen ein Einkommen von maximal Fr. 164'000.-- zu entnehmen sei, zu hoch bemessen sei. Für den Erwerbsausfall von Fr. 3'000'000.--, der in Zusammenhang mit der beabsichtigten Gründung eines Liftbauunternehmens in Bosnien behauptet werde, fehle es gar an jeglichen objektiv verwertbaren Anhaltspunkten. Zusammenfassend kam das Bezirksgericht Liestal daher zum Schluss, dass der vom Verzeiger geltend gemachte Gesamtschaden von Fr. 8'796'597.-- in weiten Teilen als unbelegt zu gelten habe.
4.2. In der Folge klagte der Verzeiger den Beschwerdeführer vor dem Bezirksgericht Zürich auf Schadenersatz ein. In teilweiser Gutheissung der Klage verpflichtete das Bezirksgericht Zürich den Beschwerdeführer, dem Verzeiger Schadenersatz im Umfang von Fr. 176'866.-- (bestehend aus den Gerichtskosten von Fr. 10'000.-- und der Parteientschädigung von Fr. 126'900.--, die der Verzeiger gemäss dem Urteil des Bezirksgerichts Liestal vom 7. Dezember 2011 zu leisten verpflichtet worden war, sowie aus an den Beschwerdeführer geleisteten Vorschüssen von Fr. 39'966.--) zuzüglich Zins zu bezahlen.
Eine Widerklage des Beschwerdeführers auf Bezahlung von Honorar im Umfang von Fr. 98'566.10 wies das Bezirksgericht Zürich ab, mit der Begründung, dieser habe verschiedene Sorgfaltspflichtverletzungen begangen. So habe er sich zunächst vom Verzeiger alle Ansprüche gegen Haftpflichtige zahlungshalber abtreten lassen und anschliessend gleichwohl im Namen des Verzeigers Klage beim Bezirksgericht Liestal erhoben, ohne zu erkennen, dass es an der Aktivlegitimation gefehlt habe. Weiter habe der Beschwerdeführer die Klage mit überhöhtem Streitwert eingeleitet bzw. den Schaden falsch berechnet, wobei er weder habe dartun können, dass ein bewusstes Überklagen mit dem Verzeiger abgesprochen worden sei, noch wie der geltend gemachte Schaden auch nur zu einem kleinen Teil hätte bewiesen werden können. Weiter habe der Beschwerdeführer den Verzeiger nicht mit der nötigen Deutlichkeit über die Prozess- und Kostenrisiken aufgeklärt. Zusammenfassend hätten nach Auffassung des Bezirksgerichts Zürich keine vernünftigen Chancen bestanden, im Verfahren vor dem Bezirksgericht Liestal auch nur annähernd einen Prozessgewinn in der Grössenordnung der eingeklagten Streitsumme zu realisieren, worüber sich der Verzeiger aufgrund der diesbezüglichen mangelhaften Aufklärung nicht habe im Klaren sein können. Genauso wenig sei er sich der möglichen Konsequenzen bewusst gewesen, die ein derart waghalsiges Prozessieren mit sich bringen könne, insbesondere hinsichtlich des Kostenrisikos. Es sei davon auszugehen - so das Bezirksgericht Zürich weiter - dass der Verzeiger bei einer ordnungsgemässer Aufklärung über die Prozess- und Kostenrisiken den Prozess vor Bezirksgericht Liestal mit überwiegender bzw. an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit nicht geführt hätte.
4.3. Die Auffassung des Bezirksgerichts Zürich wurde vom Obergericht des Kantons Zürich im anschliessenden Rechtsmittelverfahren bestätigt. Dieses hielt in seinem Urteil vom 5. Juli 2017 ebenfalls unter anderem fest, dass der Beschwerdeführer vor Bezirksgericht Liestal eine Klage mit überhöhtem Streitwert eingeleitet bzw. den Schaden falsch berechnet habe, was als Sorgfaltspflichtverletzung zu qualifizieren sei (vgl. dort E. III/3.6.8). Eine weitere Sorgfaltspflichtverletzung habe der Beschwerdeführer begangen, indem er seiner Aufklärungspflicht hinsichtlich Prozesschancen und -risiken, insbesondere betreffend die Kostenrisiken, nicht nachgekommen sei (vgl. dort E. III/3.8.3).
4.4. Die gegen dieses Urteil erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht schliesslich ab, soweit es darauf eintrat wurde (Urteil 4A_462/ 2017 vom 12. März 2018, insb. E. 6.2). Damit wurde letztinstanzlich entschieden, dass der Beschwerdeführer durch die Einleitung einer Klage mit überhöhtem Streitwert, eine mangelhafte Schadensberechnung und eine ungenügende Aufklärung des Verzeigers über die Prozesschancen und -risiken seine sich aus dem Auftragsverhältnis zu seinem ehemaligen Klienten ergebenden Sorgfaltspflichten (Art. 398 Abs. 2 OR) verletzt hat.
5.
Zunächst ist auf die vom Beschwerdeführer erhobene Rüge der Nichtigkeit des angefochtenen Urteils einzugehen.
5.1. Die Nichtigkeit einer Verfügung wird nach der sogenannten Evidenztheorie nur ausnahmsweise angenommen, wenn der ihr anhaftende Mangel besonders schwer und offensichtlich oder zumindest leicht erkennbar ist und die Rechtssicherheit durch die Annahme der Nichtigkeit nicht ernsthaft gefährdet wird (<ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 2.1; Urteil 1C_423/2012 vom 15. März 2013 E. 2.5, nicht publ. in: <ref-ruling>). Als Nichtigkeitsgründe fallen hauptsächlich die funktionelle und sachliche Unzuständigkeit einer Behörde sowie schwerwiegende Verfahrensfehler in Betracht (<ref-ruling> E. 3.1, mit zahlreichen Hinweisen). Fehlerhafte Verwaltungsakte sind in der Regel nicht nichtig, sondern nur anfechtbar (vgl. <ref-ruling> E. 3.1; Urteil 2C_387/2018 vom 18. Dezember 2018 E. 3.2).
5.2. Die Vorbringen des Beschwerdeführers, wonach die Vorinstanz in Verletzung von Bundesrecht, insbesondere von Art. 110-112 BGG, von einer Bindungswirkung der Zivilurteile ausgegangen sei, auf ein erstinstanzliches Urteil eines Zivilgerichts abgestellt habe und aktenwidrige Behauptungen des Bezirksgerichts Zürich nicht korrigiert habe, stellen - selbst wenn sie zutreffen würden - keine besonders schwerwiegenden Mängel des angefochtenen Urteils bzw. krassen Verfahrensfehler dar, die ausnahmsweise dessen Nichtigkeit begründen könnten. Die Rüge erweist sich somit als unbegründet.
6.
Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz im Wesentlichen vor, sie habe zu Unrecht auf die Sachverhaltsfeststellungen des Zivilrichters abgestellt und keine eigene Prüfung des rechtserheblichen Sachverhalts vorgenommen. Damit habe sie Art. 110-112 BGG, die Rechtsweggarantie (Art. 29a BV; Art. 6 Ziff. 1 EMRK) sowie seinen Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) verletzt.
6.1. Der Kritik des Beschwerdeführers kann nicht gefolgt werden.
6.1.1. Der Grundsatz der Einheit der Rechtsordnung gebietet, sich widersprechende Entscheide im Rahmen des Möglichen zu vermeiden. Daraus abgeleitet wird beispielsweise, dass die Verwaltungsbehörde nicht ohne gewichtigen Grund von den Sachverhaltsfeststellungen oder den rechtlichen Würdigungen des Strafrichters abweichen soll (vgl. <ref-ruling> E. 3.1). Dem Grundsatz der Einheit der Rechtsordnung kommt namentlich im Schnittstellenbereich verschiedener Rechtsgebiete Bedeutung zu. Dort können sich fremdrechtliche Vorfragen stellen, welche nach einer einheitlichen, harmonisierenden Beantwortung rufen (<ref-ruling> E. 7.3).
Nach der Rechtsprechung sind Gerichte und Behörden befugt, Vorfragen aus einem anderen Zuständigkeitsbereich zu beurteilen, solange die hierfür zuständigen Behörden und Gerichte im konkreten Fall noch keinen rechtskräftigen Entscheid gefällt haben (<ref-ruling> E. 3.3.1; <ref-ruling> E. 2.3). Die Frage der Bindungswirkung von Entscheiden aus anderen Rechtsgebieten wird in der Rechtsprechung differenziert beurteilt. So wird teilweise die Bindung an einen rechtskräftigen Entscheid einer zuständigen Behörde grundsätzlich bejaht, soweit sich der jeweilige Entscheid nicht als nichtig erweist (vgl. den von der Vorinstanz zitierten <ref-ruling> E. 2; vgl. auch <ref-ruling> E. 4.4.3 betreffend die Bindung des Zivilrichters an Verfügungen von Verwaltungsbehörden). Zum Teil wird dieser Grundsatz auf Fälle eingeschränkt, in welchen der rechtskräftige Entscheid zwischen den gleichen Parteien erging (vgl. <ref-ruling> E. 2.3). Sodann gilt hinsichtlich der Bindungswirkung von Strafurteilen für Verwaltungsbehörden praxisgemäss, dass die Verwaltungsbehörde nicht ohne Not von den tatsächlichen Feststellungen der mit demselben Sachverhalt befassten Strafbehörde abweichen soll (vgl. <ref-ruling> E. 3.2; Urteile 2C_197/2021 vom 6. Mai 2021 E. 3.3.1; 2C_606/2020 vom 5. März 2021 E. 3.3.1).
Mit Blick auf den Grundsatz der Einheit der Rechtsordnung und auf die Rechtssicherheit rechtfertigt es sich, von der grundsätzlichen Bindungswirkung eines rechtskräftigen Zivilurteils auszugehen, soweit die im aktuellen Verfahren betroffene Partei die Möglichkeit hatte, dieses anzufechten.
6.1.2. Anlass für die hier strittige Disziplinarmassnahme bilden nach dem Gesagten verschiedene Verletzungen der (auftragsrechtlichen) Sorgfaltspflichten gemäss Art. 398 Abs. 2 OR durch den Beschwerdeführer. Diese Sorgfaltspflichtverletzungen wurden durch die zuständigen Zivilgerichte anerkannt und letztinstanzlich durch das Bundesgericht bestätigt (vgl. E. 4 hiervor). Somit haben die sachkompetenten zivilrechtlichen Behörden die auch für die Disziplinierung des Beschwerdeführers relevante Frage der Verletzung auftragsrechtlicher Sorgfaltspflichten (vgl. dazu E. 3.2 und 3.3 hiervor) bereits rechtskräftig beantwortet.
6.1.3. Die Vorbringen des Beschwerdeführers, wonach unter anderem die übersetzte Schadensforderung aktenwidrig sei, er das Prozessrisiko mit seinem ehemaligen Klienten besprochen und diesen stets über das Prozessgeschehen und das Kostenrisiko aufgeklärt habe, der Verzeiger mit einer Firma im ehemaligen Jugoslawien (Bosnien) hohe Gewinne hätte erzielen können und die B._ AG nur die Haftungsfrage, nicht aber das Quantitativ des Schadens bestritten habe, zielen auf eine nochmalige Überprüfung der in Rechtskraft erwachsenen zivilrechtlichen Urteile ab. Dies ist im vorliegenden Verfahren nicht mehr möglich ist.
6.1.4. Soweit der Beschwerdeführer sodann sinngemäss behauptet, der Verzeiger sei in Bezug auf die vor Bezirksgericht Liestal eingereichte Klage - entgegen den vorinstanzlichen Ausführungen - aktiv legitimiert gewesen, ist Folgendes festzuhalten: Das Bezirksgericht Liestal verneinte in seinem aktenkundigen Urteil vom 7. Dezember 2011 die Aktivlegitimation des Verzeigers zur Geltendmachung der eingeklagten Ansprüche, da er diese an den Beschwerdeführer abgetreten hatte. Zudem hielt das Bezirksgericht Liestal im Sinn einer Alternativbegründung fest, die Klage sei auch mangels Kausalzusammenhangs zwischen Schadenereignis und Schaden abzuweisen (vgl. E. 4.1 hiervor). Dieses Urteil erwuchs unangefochten in Rechtskraft (vgl. das den Beschwerdeführer betreffende Urteil 4A_462/2017 vom 12. März 2018, Sachverhalt A.b).
Die Frage der Aktivlegitimation des Verzeigers wurde anschliessend im Verfahren vor dem Bezirksgericht Zürich zwischen dem Beschwerdeführer und dem Verzeiger thematisiert. Wie zuvor das Bezirksgericht Liestal kamen auch das Bezirksgericht Zürich und das Obergericht des Kantons Zürich zum Schluss, dem Verzeiger habe es an der Aktivlegitimation gefehlt (vgl. Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 11. Juli 2016 E. V/2.4.1 und Urteil des Obergerichts vom 5. Juli 2017 E. III/3.5.3). Zwar trifft es zu, wie der Beschwerdeführer vorbringt, dass das Bundesgericht diese Frage - mangels Relevanz für den Ausgang des Verfahrens - nicht mehr prüfte (vgl. Urteil 4A_462/2017 vom 12. März 2018 E. 6.1). Dies ändert indessen nichts daran, dass die Vorinstanzen im vorliegenden Disziplinarverfahren das rechtskräftige Urteil des Bezirksgerichts Liestal sowie die Erwägungen der Zürcher Zivilgerichte in die Beurteilung der Verfehlungen des Beschwerdeführers einbeziehen durften.
6.2. Im Ergebnis ist festzuhalten, dass das Bezirksgericht Zürich in seinem Urteil vom 11. Juli 2016 die Verletzung auftragsrechtlicher Sorgfaltspflichten, die auch Anlass für das vorliegende Disziplinarverfahren bildet, anerkannte. Der Beschwerdeführer hatte sodann die Möglichkeit, dieses Urteil anzufechten, wovon er auch bis vor Bundesgericht Gebrauch machte. Folglich verletzt es kein Bundesrecht, wenn sich die Vorinstanzen bei der Prüfung der Einhaltung der Berufspflichten durch den Beschwerdeführer an die Urteile der Zivilgerichte gebunden erachteten und keine nochmalige Kontrolle deren Rechtmässigkeit bzw. keine weitere Untersuchungshandlungen vorgenommen haben. Festzuhalten ist in diesem Zusammenhang, dass - entgegen den Behauptungen des Beschwerdeführers - sowohl die Vorinstanz als auch die Aufsichtskommission nicht nur auf das Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 11. Juli 2016, sondern auch auf die Rechtsmittelentscheide hingewiesen haben, mit welchen das erstinstanzliche Urteil bestätigt wurde (vgl. Beschluss der Aufsichtskommission vom 7. November 2019, Ziff. III/3; E. 4.1 des angefochtenen Urteils). Inwiefern die verschiedenen Instanzen, wie der Beschwerdeführer behauptet, in Bezug auf die hier interessierenden Sorgfaltspflichtverletzungen neue Begründungen vorgebracht hätten, ist nicht ersichtlich und wird nicht konkret dargetan.
Erweist sich das Vorgehen der Vorinstanz als bundesrechtskonform, ist auf die einzelnen im Zusammenhang mit der Bindungswirkung zivilrechtlicher Urteile erhobenen Rügen des Beschwerdeführers nicht weiter einzugehen.
7.
Zu prüfen bleibt, ob es bei der zivilrechtlichen Verantwortlichkeit des Beschwerdeführers sein Bewenden hat oder ob die festgestellten Mandatsverletzungen einen qualifizierten bzw. bedeutsamen Verstoss gegen die Berufspflichten darstellen, soda ss im öffentlichen Interesse zusätzlich eine Disziplinarmassnahme gestützt auf Art. 12 lit. a BGFA als gerechtfertigt erscheint (vgl. E. 3.3 hiervor).
7.1. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz in diesem Zusammenhang eine Verletzung der Begründungspflicht als Teilgehalt des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV) vor. Das Verwaltungsgericht habe sich mit dem Begriff der Sorgfalt gemäss Art. 12 lit. a BGFA nicht auseinandergesetzt und auch nicht dargelegt, inwiefern der Beschwerdeführer überhaupt gegen Berufsregeln verstossen habe.
7.2. Der Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) verlangt, dass die Behörde die rechtserheblichen Vorbringen der Parteien tatsächlich hört, ernsthaft prüft und bei der Entscheidfindung angemessen berücksichtigt (<ref-ruling> E. 2.2.1; <ref-ruling> E. 4.1). Daraus folgt auch die Pflicht der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 9.2; <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 5.2).
7.3. Vorliegend trifft es zu, dass die Begründung der Vorinstanz knapp gehalten ist. Dem angefochtenen Urteil kann indessen entnommen werden, dass das Verwaltungsgericht die Beurteilung der Aufsichtskommission als bundesrechtskonform erachtete (vgl. E. 5.3 i.V.m. E. 2.1 und 4.2 des angefochtenen Urteils). Diese hatte erwogen, dass die Fehleinschätzungen des Beschwerdeführers teilweise nur schwer nachvollziehbar seien, was insbesondere für die Frage der Aktivlegitimation des Verzeigers hinsichtlich einer Forderung, die sich der Beschwerdeführer selbst habe abtreten lasse, gelte. Zudem berührten diese Verfehlungen zentrale Pflichten eines Rechtsanwalts, wie jene, den Klienten über die Prozess- und Kostenrisiken aufzuklären. Bei einer Betrachtung der Verfehlungen in ihrer Gesamtheit sei eine grobe Verletzung der auftragsrechtlichen Pflichten zu bejahen und ergebe sich das Bild einer Berufsausübung, die als unverantwortlich zu qualifizieren sei und unter dem Gesichtspunkt des Schutzes potentieller weiterer Klienten zu Sorgen Anlass gebe. Die Aufsichtskommission kam deshalb zum Schluss, es liege ein grobes Fehlverhalten vor, welches die Interessen des rechtsuchenden Publikums sowie das Vertrauen in die Anwaltschaft tangiere, sodass ein Einschreiten gestützt auf Art. 12 lit. a BGFA erforderlich erscheine (Beschluss der Aufsichtskommission vom 7. November 2019, Ziff. III/5 und E. 4.2 des angefochtenen Urteils). Der Beschwerdeführer war sodann in der Lage, das vorinstanzliche Urteil anzufechten. Eine Verletzung der Mindestanforderungen von Art. 29 Abs. 2 BV liegt nicht vor.
7.4. Wie bereits erwogen, führt die Verletzung zivilrechtlicher Pflichten nicht in jedem Fall zu berufsrechtlichen Sanktionen. Die Generalklausel von Art. 12 lit. a BGFA greift nur ein, wenn das Verhalten des Anwalts einen qualifizierten bzw. bedeutsamen Verstoss gegen Berufspflichten darstellt (vgl. E. 3.3 hiervor).
7.4.1. Die Aufklärungs- und Benachrichtigungspflicht des Anwalts ist für sein Verhältnis zum Klienten von derart zentraler Bedeutung, dass ihre Verletzung einen Verstoss gegen die berufsrechtliche Pflicht gemäss Art. 12 lit. a BGFA darstellt und disziplinarrechtliche Konsequenzen haben kann (vgl. FELLMANN, Anwaltsrecht, a.a.O., N. 249 ff. und N. 1295; BARBARA KLETT, Aufklärungspflicht des Anwalts und Folgen ihrer Verletzung, in: Haftpflichtprozess 2017, S. 41 ff., S. 63; vgl. auch Urteil 2A.561/2004 vom 21. Oktober 2004 E. 4). Der Anwalt hat den Klienten insbesondere möglichst objektiv über die Prozesschancen und -risiken, einschliesslich der Kostenrisiken, aufzuklären (vgl. FELLMANN, Anwaltsrecht, a.a.O., N. 250; VALTICOS, a.a.O., N. 21 zu Art. 12 BGFA). Zudem verbieten es die Berufsregeln dem Anwalt insbesondere, seinen Mandanten leichtfertig oder mutwillig zu einem Prozess zu verleiten, der von Anfang an aussichtslos erscheint (Urteil 2C_150/ 2008 vom 10. Juli 2008 E. 7.1.3; VALTICOS, a.a.O., N. 21 zu Art. 12 BGFA; KLETT, a.a.O., S. 50).
Daraus kann indessen keine allgemeine Pflicht des Anwalts abgeleitet werden, nur risikolose Prozesse zu führen. Ist der Klient entsprechend belehrt worden und hat er zum gewählten Vorgehen sein Einverständnis gegeben, kann in der Prozessführung - vorbehältlich gravierender Fälle - auch bei geringen Erfolgsaussichten keine berufsrechtlich relevante Pflichtverletzung gesehen werden (vgl. FELLMANN, Kommentar zum Anwaltsgesetz, a.a.O., N. 43 zu Art. 12 BGFA; KLETT, a.a.O., S. 50 f.; BOHNET/MARTENET, a.a.O., N. 1219).
7.4.2. Vorliegend ist erstellt, dass der Beschwerdeführer - ohne seinen ehemaligen Klienten hinreichend über die Prozess- und Kostenrisiken aufzuklären - vor dem Bezirksgericht Liestal eine Klage mit überhöhtem Streitwert eingeleitet hat. Sowohl das Bezirksgericht Zürich als auch das Obergericht kamen übereinstimmend zum Schluss, dass keine vernünftigen Chancen bestanden hatten, auch nur annähernd einen Prozessgewinn in der Grössenordnung der eingeklagten Streitsumme zu realisieren, und dass der Verzeiger bei einer ordnungsgemässer Aufklärung über die Prozess- und Kostenrisiken das Verfahren vor dem Bezirksgericht Liestal mit überwiegender bzw. an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit nicht geführt hätte (vgl. E. 4.2 und 4.3 hiervor). Ein solches Verhalten liegt nicht im Interesse des Klienten und ist mit einer sorgfältigen und gewissenhaften Berufsausübung nicht zu vereinbaren. Bereits aus diesem Grund ist nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanzen das Vorgehen des Beschwerdeführers als unverantwortlich bzw. als Verletzung auftragsrechtlicher Pflichten, die gestützt auf Art. 12 lit. a BGFA zur Anordnung einer Disziplinarmassnahme führen kann, qualifiziert haben.
7.4.3. Sodann wurde festgehalten, dass der Beschwerdeführer seine auftragsrechtliche Sorgfaltspflicht auch dadurch verletzt hat, dass er im Namen seines ehemaligen Klienten eine Forderung eingeklagt hatte, die er sich selbst hatte abtreten lassen (vgl. E. 4.1 hiervor).
Er verursachte durch dieses prozessual falsche Verhalten für seinen Klienten einen erheblichen Nachteil. Wie die Vorinstanzen erwogen haben, ergibt sich bei einer gesamthaften Betrachtung der verschiedenen Verfehlungen des Beschwerdeführers, insbesondere der Verletzung der Aufklärungspflicht, ein Bild einer unverantwortlichen Berufsausübung, die - mit Blick auf den Schutz des rechtsuchenden Publikums sowie auf das Vertrauen in die Anwaltschaft - ein Einschreiten gestützt auf Art. 12 lit. a BGFA erforderlich macht.
7.5. In Anbetracht der konkreten Umstände hat die Vorinstanz zu Recht einen Verstoss gegen Art. 12 lit. a BGFA bejaht.
8.
Der Beschwerdeführer beanstandet die Verhältnismässigkeit der Sanktion nicht ausdrücklich, sondern macht lediglich geltend, ihm sei keine Sanktion aufzuerlegen.
8.1. Bei Verletzungen der Sorgfaltspflichten kann die Aufsichtsbehörde gemäss Art. 17 Abs. 1 BGFA als Disziplinarmassnahme eine Verwarnung (lit. a), einen Verweis (lit. b), eine Busse bis zu Fr. 20'000.-- (lit. c) oder ein befristetes (lit. d) oder dauerndes (lit. e) Berufsausübungsverbot anordnen. Die Bestimmung der zu ergreifenden Disziplinarmassnahme ist vorab Sache der zuständigen Aufsichtsbehörde. Anders als bei der Frage, ob ein Verstoss gegen die Berufsregeln vorliegt, welche das Bundesgericht mit freier Kognition prüft, auferlegt sich dieses Zurückhaltung, soweit es um die auszufällende Massnahme geht. Insoweit greift das Bundesgericht nur ein, wenn die angefochtene Disziplinarsanktion den Rahmen des pflichtgemässen Ermessens sprengt und damit als klar unverhältnismässig und geradezu willkürlich erscheint (Urteile 2C_314/2020 vom 3. Juli 2020 E. 5.1; 2C_933/2018 vom 25. März 2019 E. 6; 2C_783/2008 vom 4. Mai 2009 E. 3.1).
8.2. Die dem Beschwerdeführer auferlegte Sanktion von Fr. 2'000.-- liegt im unteren Bereich des gesetzlichen Rahmens (vgl. Art. 17 Abs. 1 lit. c BGFA). Bei der Festlegung der Sanktion hat die Aufsichtskommission das Verschulden des Beschwerdeführers berücksichtigt, welches als erheblich bezeichnet wurde. Zu seinen Gunsten hat sie dem Umstand Rechnung getragen, dass er Schadenersatz habe leisten und auf sein Honorar verzichten müssen. Zudem sei er im Zeitpunkt des vorliegend zu beurteilenden Fehlverhaltens noch nie diszipliniert worden. Erst am 1. November 2018 sei erstmals gegen ihn eine Disziplinarmassnahme verhängt worden (vgl. E. 5.4 i.V.m. E. 4.3 des angefochtenen Urteils). Aufgrund der konkreten Umstände sprengt die ausgesprochene Sanktion den Rahmen des pflichtgemässen Ermessen der Aufsichtskommission nicht und erscheint weder als klar unverhältnismässig noch als willkürlich.
9.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als unbegründet und ist abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der unterliegende Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, und dem Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juli 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Ivanov