Sachverhalt:
A.
Am 22. August 2019 erhob János Fábián, stellvertretender Erster Staatsanwalt des Kantons Basel-Landschaft, beim Strafgericht Basel-Landschaft Anklage gegen A._ wegen mehrfacher, teilweise qualifizierter Veruntreuung (eventuell mehrfacher qualifizierter ungetreuer Geschäftsbesorgung) sowie mehrfacher Urkundenfälschung und falscher Anschuldigung. Am 23. August 2019 informierte die Staatsanwaltschaft mit einer auf ihrer Internetseite aufgeschalteten Medienmitteilung über die Anklageerhebung, worauf zwischen dem 23. und dem 26. August 2019 in regionalen und überregionalen Medien entsprechende Meldungen erschienen. Wegen der Medieninformation reichte A._ am 18. September 2019 Strafanzeige gegen János Fábián ein betreffend Verleumdung und Amtsgeheimnisverletzung. Am 1. Oktober 2019 stellte sie im gegen sie hängigen Strafverfahren zudem ein Ausstandsgesuch gegen ihn. Das Strafgericht überwies dieses dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, das mit Beschluss vom 3. Dezember 2019 nicht darauf eintrat, da es verspätet sei.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 10. Januar 2020 an das Bundesgericht beantragt A._, den Beschluss des Kantonsgerichts aufzuheben und ihr Ausstandsgesuch gutzuheissen bzw. eventuell die Sache zum Entscheid in ihrem Sinn an das Kantonsgericht zurückzuweisen. Subeventuell habe dieses in den Ausstand zu treten und sei von einer geeigneten ausserkantonalen Gerichtsinstanz über das Gesuch zu entscheiden.
János Fábián beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Kantonsgericht schliesst auf Abweisung. A._ hat sich nicht mehr geäussert.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein selbständig eröffneter Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren in einer Strafsache, den die Vorinstanz als letzte und einzige kantonale Instanz gefällt hat. Dagegen steht die Beschwerde in Strafsachen offen (Art. 78 Abs. 1 und Art. 92 Abs. 1 BGG, Art. 80 BGG i.V.m. Art. 59 Abs. 1 StPO). Die Beschwerdeführerin ist gemäss Art. 81 Abs. 1 BGG zur Beschwerde befugt. Auch sonst steht einem Sachurteil grundsätzlich nichts entgegen.
1.2. Streitgegenstand bildet einzig die Frage, ob die Vorinstanz zu Recht nicht auf das Ausstandsgesuch eingetreten ist (<ref-ruling> E. 1.2 S. 41; Urteil 1B_559/2019 vom 27. Januar 2020 E. 1). Soweit die Beschwerdeführerin darüber hinausgehend beantragt, der Beschwerdegegner sei in den Ausstand zu versetzen bzw. die Vorinstanz sei entsprechend anzuweisen, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Das subeventuell gestellte pauschale Ausstandsbegehren gegen die Vorinstanz ist unzulässig (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.3. S. 227; Urteil 1B_138/2013 vom 24. September 2013 E. 2.1), weshalb insoweit ebenfalls nicht auf die Beschwerde eingetreten werden kann.
2.
Mit der Beschwerde in Strafsachen kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, die von der beschwerdeführenden Person geltend gemacht und begründet werden (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten, soweit die Verletzung von Grundrechten gerügt wird (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil weiter den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (vgl. <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62), oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (Art. 42 Abs. 2 BGG i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG).
3.
3.1. Gemäss Art. 58 Abs. 1 StPO hat eine Partei, die den Ausstand einer in einer Strafbehörde tätigen Person verlangen will, der Verfahrensleitung ohne Verzug ein entsprechendes Gesuch zu stellen, sobald sie vom Ausstandsgrund Kenntnis hat; die den Ausstand begründenden Tatsachen sind glaubhaft zu machen. Nach der Rechtsprechung ist der Ausstand in den nächsten Tagen nach Kenntnisnahme zu verlangen; andernfalls verwirkt der Anspruch. Ein Gesuch, das sechs bis sieben Tage nach Kenntnis des Ausstandsgrunds eingereicht wird, gilt als rechtzeitig. Unzulässig ist jedenfalls ein Zuwarten während zwei Wochen (zum Ganzen: Urteile 1B_559/2019 vom 27. Januar 2020 E. 2.2; 1B_120/2019 vom 7. Juni 2019 E. 2.2 mit Hinweis).
3.2. Die Beschwerdeführerin begründete ihr Ausstandsgesuch vom 1. Oktober 2019 mit der Medienmitteilung der Staatsanwaltschaft vom 23. August 2019 über die gegen sie erhobene Anklage. Mit dieser Mitteilung habe der Gesuchsgegner ohne gesetzliche Grundlage und in Verletzung des Amtsgeheimnisses regionalen und überregionalen Medien konkrete Informationen preisgegeben, was dazu geführt habe, dass sie öffentlich verunglimpft und vorverurteilt worden sei. Sein Vorgehen, für das sie ihn habe anzeigen müsse, mache deutlich, dass er im Sinne von Art. 56 lit. f StPO befangen sei.
Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid ausgeführt, die Beschwerdeführerin habe das Ausstandsgesuch erst mehr als einen Monat nach der Medienmitteilung und den in der Folge zwischen dem 23. und dem 26. August 2019 in regionalen und überregionalen Medien erschienenen Meldungen eingereicht. Dies sei offenkundig verspätet, sei doch bei einer lebensnahen Betrachtung davon auszugehen, sie habe vom Ausstandsgrund unmittelbar nach dem Erscheinen dieser Meldungen Kenntnis gehabt. Auf jeden Fall anzunehmen sei, dass ihr dieser spätestens am 18. September 2019 bekannt gewesen sei, als sie wegen der fraglichen Medienmitteilung Strafanzeige gegen den Beschwerdegegner wegen Amtsgeheimnisverletzung und Verleumdung eingereicht habe. Auch in diesem Fall hätte das Ausstandsgesuch als verspätet zu gelten.
3.3. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz sei zu Unrecht von einer verspäteten Gesuchseinreichung im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ausgegangen. In den Tagen und Wochen nach den betreffenden Medienmeldungen sei sie in der Öffentlichkeit immer häufiger verunglimpft, beschimpft und sogar tätlich angegriffen und bedroht worden. Als diese Vorkommnisse wider Erwarten nicht abgenommen, sondern unzumutbar zugenommen hätten, sei ihr bewusst geworden, dass der Beschwerdegegner diese Hetzkampagne sowie die damit einhergehende Vorverurteilung und unzulässige Beeinflussung des urteilenden Strafgerichts zweifellos beabsichtigt habe und dies im Einklang mit seiner bisherigen einseitigen Untersuchungsführung stehe. Erst nach dieser Überlegungszeit und in der Gesamtbetrachtung sei ihr klar geworden, dass er ihr gegenüber feindlich eingestellt sei sowie einseitig die Interessen seiner Amtsstelle in den Vordergrund stelle. Unmittelbar nach dieser Erkenntnis und nach gründlicher rechtlicher Beratung vor allem im Hinblick auf zu befürchtende nachhaltige Repressalien habe sie ohne Zeitverzug das Ausstandsgesuch gestellt.
3.4. Diese Vorbringen der Beschwerdeführerin stellen den angefochtenen Entscheid nicht in Frage. Weder legt sie hinreichend dar noch ergibt sich sonst aus ihren Ausführungen, dass die Feststellung der Vorinstanz, der geltend gemachte Ausstandsgrund sei ihr bereits unmittelbar nach den betreffenden Medienmeldungen, spätestens jedoch am 18. September 2019 bekannt gewesen, offensichtlich unrichtig bzw. willkürlich wäre (vgl. <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; vorne E. 2). Ebenso wenig ist ersichtlich, dass die Beurteilung der Vorinstanz, unter diesen Umständen habe das Ausstandsgesuch als verspätet zu gelten, gegen Art. 58 Abs. 1 StPO oder sonst gegen Bundesrecht verstossen würde. Insbesondere ergibt sich solches nicht daraus, dass sich der vorliegende Fall von dem mit Urteil 1P.457/2006 vom 19. Dezember 2006 beurteilten unterscheidet, wie die Beschwerdeführerin geltend macht. Die erwähnte bundesgerichtliche Rechtsprechung zur Rechtzeitigkeit von Ausstandsgesuchen (vgl. vorne E. 3.1) setzt keine Umstände wie im damals beurteilten Fall voraus. Vielmehr gilt sie allgemein und damit auch im vorliegenden Fall.
Entgegen der Darstellung der Beschwerdeführerin ist der angefochtene Entscheid somit bundesrechtlich nicht zu beanstanden. Vielmehr erweist sich ihre Beschwerde als offensichtlich unbegründet, woran ihre weiteren Vorbringen - soweit diese überhaupt die massgebliche Frage der Rechtzeitigkeit des Ausstandsgesuchs betreffen - nichts zu ändern vermögen.
4.
Demnach ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Zwar stellt sie für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Dieses ist jedoch abzuweisen, da ihr Rechtsbegehren aussichtslos war (vgl. Art. 64 BGG). Ihrer finanziellen Lage ist durch reduzierte Gerichtskosten Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG). Parteientschädigungen sind keine zuzusprechen (Art. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Strafrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. März 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Baur