Faits :
A.
Le 20 avril 2021, la Centrale commune d'achats de la République et canton de Genève, rattachée à la Direction générale des finances de l'Etat de Genève (ci-après : la Direction), a publié un appel d'offres en procédure ouverte "pour des prestations de nettoyage du linge, des rideaux, des voilages et des tapis" sur la plateforme www.simap.ch. L'appel d'offres était divisé en deux lots, le lot no 1 pour le nettoyage du linge et le lot no 2 pour le nettoyage des rideaux, des voilages et des tapis.
Le premier critère d'aptitude qu'un soumissionnaire devait remplir consistait à "présenter des garanties de pérennité et de solvabilité relatives à son entreprise". Chacun des deux lots serait attribué au soumissionnaire ayant présenté l'offre économiquement la plus avantageuse, eu égard au prix (60 %), au délai de livraison (34 %) et à la contribution de l'entreprise au développement durable social et environnemental (6 %).
B._ SA et A._ SA ont déposé une offre pour le lot n° 1.
B.
Par décision du 6 août 2021, la Direction a attribué le lot n° 1 à B._ SA, A._ SA étant classée en seconde position pour chacun des trois critères d'analyse.
A._ SA a recouru contre cette décision auprès de la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après : la Cour de justice), en sollicitant l'octroi de l'effet suspensif et en concluant à l'annulation de la décision attaquée, ainsi qu'à l'attribution du marché en sa faveur. Elle a notamment reproché à la Direction d'avoir violé les dispositions légales applicables en attribuant le marché à B._ SA, alors que celle-ci ne présentait pas, selon la recourante, les garanties de solvabilité et de pérennité requises.
Par décision du 24 septembre 2021, la Cour de justice a accordé l'effet suspensif. Par arrêt du 9 novembre 2021, elle a admis partiellement le recours de A._ SA. Elle a annulé la décision du 6 août 2021 de la Direction et renvoyé la cause à celle-ci "pour organisation d'un nouvel appel d'offres". Elle a par ailleurs mis un émolument de 1'300 fr. à la charge de B._ SA et a alloué une indemnité de procédure de 2'500 fr. à A._ SA, à la charge solidaire de la Direction et de B._ SA. La Cour de justice a retenu, en substance, que la Direction aurait dû demander à B._ SA des explications supplémentaires sur sa situation financière et que, ne l'ayant pas fait, elle avait "mésusé de son pouvoir d'appréciation en retenant que le critère de l'aptitude lié à la pérennité et la solvabilité de l'adjudicataire était rempli" (consid. 6 in fine). Elle a néanmoins considéré ne pas être en mesure de réformer la décision attaquée en vue d'attribuer le marché, ignorant "comment l'autorité adjudicatrice a, d'une part, apprécié les différents critères d'adjudication et, d'autre part, évalué les offres au regard de ces critères" (consid. 7b).
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public et celle du recours constitutionnel subsidiaire, avec requête d'effet suspensif, A._ SA conclut à l'annulation et à la réforme de l'arrêt du 9 novembre 2021 de la Cour de justice afin que le lot n° 1 portant sur le nettoyage du linge lui soit attribué, la Direction et B._ SA étant condamnées à supporter les frais et dépens de la procédure.
Par ordonnance présidentielle du 6 janvier 2022, la requête d'effet suspensif a été rejetée.
B._ SA conclut, principalement, à l'irrecevabilité des recours et, subsidiairement, à leur rejet, en sollicitant l'octroi de dépens. La Direction conclut, quant à la recevabilité, à l'irrecevabilité du recours en matière de droit public ainsi qu'à l'absence d'objet du recours constitutionnel subsidiaire et, quant au fond, au rejet des deux recours. La Cour de justice renonce à se déterminer sur les recours, tout en renvoyant aux considérants de l'arrêt attaqué. A._ SA a déposé d'ultimes observations, en persistant dans ses conclusions.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF). Il contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 1).
1.1. Le présent recours est dirigé contre une décision en matière de marchés publics, ce qui pose la question de sa recevabilité en tant que recours en matière de droit public compte tenu de l'art. 83 let. f LTF. Il est par ailleurs dirigé contre une décision de renvoi, de sorte qu'il convient d'examiner s'il est recevable au regard de l'art. 93 LTF pour autant que la présente cause porte sur une autre décision préjudicielle et incidente au sens de cette dernière disposition.
1.2. Du moment que la recourante forme à la fois un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire, dans lequel elle invoque des droits constitutionnels, il se justifie d'examiner en premier lieu l'art. 93 LTF. Si l'arrêt attaqué devait effectivement constituer une autre décision préjudicielle et incidente au sens de cet article et si les conditions prévues à celui-ci ne devaient pas être réunies en l'espèce, tant le recours en matière de droit public que le recours constitutionnel subsidiaire seraient irrecevables compte tenu de l'art. 117 LTF. Il ne serait alors pas nécessaire de déterminer si la valeur estimée du mandat à attribuer atteint les seuils déterminants et si le recours soulève une question juridique de principe (art. 83 let. f ch. 1 et 2 LTF), ces deux conditions étant cumulatives pour que le recours en matière de droit public soit recevable (ATF <ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 1.2).
2.
2.1. En vertu de l'art. 93 LTF, les décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément et non visées par les art. 92 et 93 al. 2, 1ère phrase, LTF peuvent faire l'objet d'un recours immédiat si elles peuvent causer un préjudice irréparable (art. 93 al. 1 let. a LTF) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (art. 93 al. 1 let. b LTF). Un arrêt renvoyant la cause à l'autorité précédente constitue en principe une autre décision préjudicielle et incidente notifiée séparément au sens de l'art. 93 al. 1 in initio LTF (<ref-ruling> consid. 1.4; <ref-ruling> consid. 1.1). En droit public, un tel arrêt est néanmoins qualifié de décision finale (cf. art. 90 LTF), directement attaquable devant le Tribunal fédéral, lorsque l'autorité à laquelle la cause est renvoyée n'a aucune marge de manoeuvre et que le renvoi ne sert qu'à exécuter la décision de l'instance supérieure (par exemple en marchés publics, ATF <ref-ruling> consid. 1.1; cf. <ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 1.4; <ref-ruling> consid. 1.2).
2.2. En l'occurrence, l'arrêt attaqué annule la décision de la Direction du 6 août 2021 et renvoie la cause à celle-ci pour organisation d'un nouvel appel d'offres. L'obligation d'organiser un nouvel appel d'offres s'inscrit dans le cadre de la procédure en cours et ne fait pas débuter une nouvelle procédure en matière de marchés publics. L'arrêt attaqué ne met ainsi pas un terme à la procédure et doit être qualifié de décision incidente. Par ailleurs, l'arrêt attaqué n'est aucunement assimilable à une décision ne laissant aucune marge d'appréciation à l'autorité précédente au point de devoir être qualifié de décision finale au sens de l'art. 90 LTF.
Il sera encore noté que l'obligation d'organiser un nouvel appel d'offres aurait pu être contestée en tant que telle, mais la recourante se borne à demander que le marché lui soit adjugé, sans conclure subsidiairement à ce que la cause soit renvoyée à la Direction pour un nouvel examen du critère d'aptitude lié à la pérennité et à la solvabilité des soumissionnaires ou des critères d'adjudication et de l'évaluation de ceux-ci. Il n'y a dès lors pas lieu d'examiner cette question (cf. art. 42 al. 1 et 2 LTF), si bien qu'il convient maintenant d'analyser tour à tour les deux hypothèses prévues à l'art. 93 al. 1 LTF.
3.
3.1. Le recours est, en premier lieu, recevable si la décision attaquée peut causer un préjudice irréparable (art. 93 al. 1 let. a LTF), notion qui a été reprise de l'art. 87 al. 2 de la loi fédérale d'organisation judiciaire du 16 décembre 1943 (OJ; RS 3 521; <ref-ruling> consid. 2.3). La réalisation de cette condition suppose - si l'on excepte quelques situations particulières liées à la durée de certaines procédures, notamment en matière de droit public, susceptibles de porter atteinte au principe de célérité (cf. <ref-ruling> consid. 6; <ref-ruling> consid. 1.2.1; <ref-ruling> consid. 1.3.4) - que la partie recourante soit exposée à un préjudice de nature juridique (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 1.3.1). Tel est le cas lorsqu'une décision finale favorable au recourant, prise le cas échéant par le Tribunal fédéral (ATF <ref-ruling> consid. 1.2.1; <ref-ruling> consid. 2.1), ne ferait pas disparaître entièrement le préjudice, comme dans l'hypothèse où la décision incidente contestée ne pourrait plus être attaquée avec la décision finale, contrairement à la règle posée à l'art. 93 al. 3 LTF, rendant ainsi impossible le contrôle par le Tribunal fédéral. En revanche, un dommage économique ou de pur fait, tel que l'accroissement des frais de la procédure ou la prolongation de celle-ci, n'est pas considéré comme un préjudice irréparable de ce point de vue (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 2.3.1 et les arrêts cités). Cette réglementation est fondée sur des motifs d'économie de la procédure, le Tribunal fédéral ne devant en principe s'occuper d'une affaire qu'une seule fois, quand il est acquis que la partie recourante subit effectivement un préjudice juridique irréparable (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 2.2).
3.2. L'art. 93 al. 1 let. a LTF, tel qu'il est formulé, subordonne certes la recevabilité du recours immédiat contre une décision incidente visée par lui à la simple possibilité que cette décision entraîne un préjudice irréparable (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 2.1). Il n'en demeure pas moins que c'est au recourant qu'il appartient d'établir l'existence d'un tel risque, en démontrant dans quelle mesure il est concrètement menacé d'un préjudice irréparable de nature juridique, sous peine de voir son recours déclaré irrecevable (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 1.2 in fine; <ref-ruling> consid 1.2; <ref-ruling> consid. 1.1).
3.3. En l'espèce, la recourante n'indique aucunement en quoi l'arrêt attaqué peut lui causer un préjudice irréparable. Tel n'est d'ailleurs manifestement pas le cas. La Cour de justice a ordonné l'organisation d'un nouvel appel d'offres, auquel pourra participer la recourante. De surcroît, la Direction sera tenue d'examiner soigneusement la solvabilité et la pérennité de l'entreprise intimée notamment, si celle-ci dépose à nouveau une offre (cf. arrêt attaqué, consid. 6). Il est d'ailleurs possible que la recourante obtienne le marché à la suite de ce nouvel appel d'offres, ce qui lui ferait perdre tout intérêt à recourir. Tout reste ouvert à cet égard. La nouvelle décision d'adjudication de la Direction pourra ensuite faire l'objet d'un contrôle judiciaire par la Cour de justice et, le cas échéant, d'un recours au Tribunal fédéral où il sera possible de contester l'arrêt de renvoi (art. 93 al. 3 LTF).
La Cour de justice ne s'est prononcée, dans l'arrêt attaqué, ni sur le respect par tout ou partie des soumissionnaires du critère d'aptitude lié à la pérennité et à la solvabilité, ni sur les différents critères d'adjudication, ni enfin sur l'évaluation des offres au regard des critères (cf. arrêt attaqué, consid. 6 et 7). Toutes ces questions demeurent non tranchées en justice. La recourante conservera la possibilité de faire valoir ses arguments devant la Cour de justice, si elle soumet une offre, mais n'obtient pas le marché. Dans ces circonstances, l'arrêt entrepris n'est pas susceptible de lui causer un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF.
4.
4.1. Le recours est, en second lieu, recevable si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (art. 93 al. 1 let. b LTF). Cette règle est également fondée sur des motifs d'économie de la procédure. En tant que Cour suprême, le Tribunal fédéral ne devrait en principe connaître qu'une seule fois de la même affaire, à la fin de la procédure, à moins que l'on se trouve dans l'un des cas où la loi autorise exceptionnellement, précisément pour des raisons d'économie de la procédure, un recours immédiat contre une décision préjudicielle ou incidente (<ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 2.1). L'art. 93 al. 1 let. b LTF doit en outre être interprété de manière restrictive (ATF <ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling> consid. 1.4).
La première des deux conditions - cumulatives (cf. <ref-ruling> consid. 4.1) - requises par l'art. 93 al. 1 let. b LTF est réalisée si le Tribunal fédéral peut mettre fin une fois pour toutes à la procédure en jugeant différemment la question tranchée dans la décision préjudicielle ou incidente (cf. <ref-ruling> consid. 2.4.1; <ref-ruling> consid. 4.1 et les arrêts cités; arrêt 4A_293/2016 du 13 décembre 2016 consid. 1.2 non publié in <ref-ruling>).
Quant à la seconde condition, il appartient au recourant d'établir qu'une décision finale immédiate permettrait d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse, si cela n'est pas manifeste; il doit en particulier indiquer de manière détaillée quelles questions de fait sont encore litigieuses, quelles preuves - déjà offertes ou requises - devraient encore être administrées et en quoi celles-ci entraîneraient une procédure probatoire longue et coûteuse (<ref-ruling> consid. 2.4.2; <ref-ruling> consid. 1a; arrêt 4A_293/2016 du 13 décembre 2016 consid. 1.2 non publié in <ref-ruling>). Tout complément d'instruction entraîne nécessairement des frais et un prolongement de la procédure, de sorte que cela ne suffit pas en soi pour ouvrir le recours immédiat. La procédure probatoire, par sa durée et son coût, doit s'écarter notablement des procès habituels. Si l'administration des preuves doit se limiter à l'audition des parties, à la production de pièces et à l'interrogatoire de quelques témoins, un recours immédiat n'est pas justifié. Il en va différemment s'il faut envisager une expertise complexe, plusieurs expertises, l'audition de très nombreux témoins ou l'envoi de commissions rogatoires dans des pays lointains (arrêts 4A_274/2021 du 6 octobre 2021 consid. 1.1.2; 1B_399/2018 du 23 janvier 2019 consid. 2.2; 6B_927/2018 du 8 octobre 2018 consid. 2.4; 1B_152/2017 du 24 avril 2017 consid. 2.2; 6B_376/2016 du 21 février 2017 consid. 3.1.2).
4.2. En l'espèce, le Tribunal fédéral pourrait mettre fin à la procédure en adjugeant le marché à la recourante, si bien que la première condition serait théoriquement remplie. Il convient néanmoins d'observer, même si cela relève plutôt de la seconde condition de l'art. 93 al. 1 let. b LTF (cf. infra consid. 4.3), que la Cour de justice a considéré que la décision de la Direction était insuffisamment motivée quant à la réalisation par l'entreprise intimée du critère d'aptitude lié à la pérennité et à la solvabilité de celle-ci (arrêt attaqué, consid. 6), puis a indiqué qu'elle ignorait comment "l'autorité adjudicatrice a[vait], d'une part, apprécié les différents critères d'adjudication et, d'autre part, évalué les offres au regard de ces critères" en ajoutant que "les faits ne sauraient être considérés comme étant entièrement élucidés" (arrêt attaqué, consid. 7b). Ainsi, la Cour de justice n'a pas tranché elle-même diverses questions litigieuses. Dans ces circonstances, le Tribunal fédéral serait bien en peine d'adjuger lui-même le marché.
4.3. Indépendamment de ce qui précède, la seconde condition de l'art. 93 al. 1 let. b LTF n'est de toute façon pas remplie en l'espèce. La recourante n'a aucunement indiqué de manière détaillée quelles questions de fait sont encore litigieuses, quelles preuves - déjà offertes ou requises - devraient encore être administrées et en quoi celles-ci entraîneraient une procédure probatoire longue et coûteuse. Les indications dans son mémoire de recours à ce propos (p. 9-11) sont purement descriptives et ne sont pas formulées du point de vue de l'autorité. Elles ne portent ni sur les mesures probatoires ni sur la durée concrète de la procédure.
Par ailleurs, il résulte de l'arrêt entrepris que l'appel d'offres a été publié le 20 avril 2021, que la décision d'adjudication de la Direction est intervenue le 6 août 2021 et que l'arrêt de la Cour de justice a été rendu le 9 novembre 2021. Toutes ces étapes ont été effectuées dans un laps de temps de quatre mois environ. Certes, l'analyse que devra effectuer la Direction sera plus détaillée, compte tenu des exigences posées par la Cour de justice dans l'arrêt attaqué, mais la Direction connaît maintenant bien ce marché et les enjeux juridiques et factuels qu'il soulève. Rien n'indique qu'il faille, par exemple, envisager une expertise complexe, plusieurs expertises ou l'audition de très nombreux témoins. Tout porte à croire, au contraire, que la procédure ne s'écartera pas d'une procédure usuelle en matière de marchés publics. Dans cette optique, le renvoi de la cause à la Direction pour organisation d'un nouvel appel d'offres n'est nullement de nature à entraîner une procédure probatoire longue et coûteuse. La recourante aurait d'ailleurs pu chercher à raccourcir la durée de la procédure en concluant, subsidiairement, au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision d'adjudication sans organisation d'un second appel d'offres. Ne l'ayant pas fait, elle ne saurait se plaindre de la trop longue durée de la procédure en raison de l'obligation, imposée par la Cour de justice, d'organiser un nouvel appel d'offres.
4.4. Enfin, selon les indications fournies par la Direction elle-même dans sa réponse au recours, un nouvel appel d'offres pour le lot n° 1 litigieux a été publié sur la plateforme www.simap.ch le 27 janvier 2022, suite à l'ordonnance du Tribunal fédéral rejetant la requête d'effet suspensif formée par la recourante (réponse, p. 3). La date de clôture pour le dépôt des offres a été arrêtée au 18 mars 2022 à 11h30; l'appel d'offres est donc clos et la procédure suit son cours. Il est prévu que les prestations de nettoyage du linge soient fournies dès le 1 er juin 2022.
L'économie de la procédure, soit la ratio legis de l'art. 93 al. 1 let. b LTF, commande de laisser se dérouler la procédure devant la Direction, puis devant la Cour de justice si celle-ci devait être saisie, et de renoncer à ce que le Tribunal fédéral adjuge un marché cantonal sur la base d'un dossier que la Cour de justice - le tribunal supérieur du canton concerné - a elle-même qualifié d'incomplet (cf. également arrêt 2C_688/2016 du 12 août 2016 consid. 2.2). Ce dossier lacunaire a conduit la Cour de justice à ne pas se prononcer sur le fond et à ordonner l'organisation d'un nouvel appel d'offres menant ensuite à une nouvelle décision d'adjudication. Le seul examen d'un critère d'aptitude suppose déjà, en principe, que le dossier soit complet du moins pour ce qui le concerne, y compris pour effectuer un examen de la proportionnalité de la décision attaquée (cf. <ref-ruling> consid. 3.3) ou pour examiner une éventuelle "neutralisation" de ce critère (cf. <ref-ruling> consid. 7.3). En l'espèce, ni le critère de l'aptitude lié à la pérennité et à la solvabilité de l'entreprise intimée, ni les critères d'adjudication, ni l'évaluation de ceux-ci n'ont pu être examinés par la Cour de justice.
5.
Il résulte de ce qui précède qu'aucune des deux hypothèses prévues à l'art. 93 al. 1 LTF n'est réalisée en l'espèce, si bien que tant le recours en matière de droit public que le recours constitutionnel subsidiaire doivent être déclarés irrecevables.
6.
Succombant, la recourante doit supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF) et verser une indemnité de dépens à l'entreprise intimée. Il n'est en revanche pas alloué de dépens à la Direction (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les recours sont irrecevables.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera une indemnité de dépens de 1'500 fr. à B._ SA.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, à la Direction générale des finances de l'Etat de Genève et au mandataire de B._ SA, ainsi qu'à la Cour de justice de la République et canton de Genève, chambre administrative.
Lausanne, le 2 mai 2022
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : F. Aubry Girardin
La Greffière : E. Kleber