Sachverhalt:
A.
Die IV-Stelle des Kantons Zürich sprach dem 1969 geborenen A._ mit Verfügungen vom 14. Januar 2000 rückwirkend vom 1. Juli 1997 bis 31. März 1999 eine ganze und ab 1. April 1999 eine halbe Invalidenrente zu. Am 27. August 2001 verfügte die Verwaltung ab 1. Juni 2000 wiederum einen Anspruch auf eine ganze Rente, den sie mit Mitteilungen vom 5. August 2003 und 2. Februar 2007 bestätigte.
Im Rahmen eines von Amtes wegen eingeleiteten Revisionsverfahrens liess die IV-Stelle A._ polydisziplinär begutachten (Expertise der Ärztliches Begutachtungsinstitut [ABI] GmbH, Basel, vom 16. September 2013) und hob die bisher ausgerichtete Rente mit Verfügung vom 18. März 2015 auf. Die dagegen eingereichte Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 12. August 2015 gut. Es hob die angefochtene Verfügung auf und stellte fest, A._ habe weiterhin einen Anspruch auf eine ganze Rente.
Im Anschluss gewährte die Verwaltung dem Versicherten berufliche Massnahmen und verfügte am 2. August 2018 die Einstellung der bisher ausgerichteten Rente.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 20. Februar 2020 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben. Die IV-Stelle sei anzuweisen, ergänzende medizinische Abklärungen durchzuführen und nach allfälliger Durchführung von Eingliederungsmassnahmen neu über den Rentenanspruch zu verfügen.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Die Vorinstanz mass dem ABI-Gutachten vom 16. September 2013 Beweiskraft zu und kam in Anlehnung daran zum Schluss, im Vergleich zum Sachverhalt betreffend die Leistungszusprache im Jahr 2000 und deren Bestätigung im Jahr 2003 sei eine revisionsrelevante Veränderung eingetreten. Gemäss ABI-Expertise könne seit der Begutachtung von einer weitgehend uneingeschränkten Arbeitsfähigkeit ausgegangen werden. Das kantonale Gericht erkannte ausserdem, dass der Beschwerdeführer den ihm gemachten Auflagen im Rahmen der Eingliederungsmassnahmen nicht nachgekommen sei. Die IV-Stelle habe demnach zu Recht die ihm angedrohten Säumnisfolgen - es werde von der Arbeitsfähigkeit gemäss ABI-Gutachten ausgegangen - eintreten lassen und angesichts der anzunehmenden Arbeitsfähigkeit die bisher ausgerichtete Rente aufgehoben.
2.2. Der Beschwerdeführer zieht den Beweiswert des ABI-Gutachtens in Zweifel und macht darüber hinaus geltend, die Eingliederungsmassnahmen der IV-Stelle seien nicht hinreichend gewesen. Ausserdem wirft er der Vorinstanz überspitzten Formalismus vor.
3.
3.1. Die Rüge des Beschwerdeführers, angesichts der Expertisen aus den Jahren 1999 und 2003 hätten die neurologischen Abklärungen durch das ABI wesentlich fundierter ausfallen müssen, zielt ins Leere. Damit setzte sich bereits die Vorinstanz auseinander. Sie legte (verbindlich; E. 1) dar, der neurologische ABI-Gutachter habe einen vollständigen Status erhoben und sei gestützt darauf, mangels relevanter Befunde, zum Schluss gelangt, die Untersuchung sei völlig regelrecht ausgefallen. Der Neurologe habe einen gesunden Versicherten mit den seiner Ausbildung entsprechenden kognitiven Leistungen vorgefunden. Das kantonale Gericht erkannte im Weiteren, vor diesem Hintergrund sei folgerichtig, dass der neurologische Gutachter - im Unterschied zu früheren Einschätzungen - die Angaben des Beschwerdeführers zu Frequenz und Intensität der Kopfschmerzen nicht einfach unbesehen übernommen habe.
Der ABI-Expertise ist darüber hinaus zu entnehmen, dass dem Neurologen die medizinischen Vorakten und somit die früheren gutachterlichen Stellungnahmen bekannt waren. Im Übrigen ist es grundsätzlich Sache der Gutachter zu entscheiden, ob und welche Abklärungen und Untersuchungen für eine umfassende Expertise notwendig sind (Urteil 9C_297/2017 vom 6. April 2018 E. 4.3 mit Hinweis). Daran vermag auch der Hinweis des Beschwerdeführers auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung zu Cluster-Kopfschmerzen (Urteil 8C_350/2017 vom 30. November 2017, in: SVR 2018 IV Nr. 31 S. 99) nichts zu ändern.
3.2. Soweit der Versicherte dem neurologischen ABI-Teilgutachten die Schlüssigkeit abspricht mit der Begründung, es bleibe unklar, ob der Experte die Angaben des Beschwerdeführers für glaubhaft halte oder nicht, kann ihm mit Blick auf das Gesagte (E. 3.1) nicht gefolgt werden. Die Vorinstanz stellte ausserdem (verbindlich; E. 1) fest, der Umstand, dass der Neurologe vom ABI die Angaben des Versicherten in Bezug auf die Kopfschmerzen nicht unbesehen übernommen habe, sei kongruent mit der aus der Berufsberatung hervorgegangenen Erkenntnis im Jahr 2003. Damals sei berichtet worden, der Beschwerdeführer strebe eine ganze Berentung an, weshalb er, dem Ziel der Berentung nachlebend, zum passiven Abwarten und allfälligen Versagen bei gestellten Anforderungen gezwungen sei. Je besser und überzeugender er seine Beschwerden belegen könne, desto umfangreicher werde die finanzielle Leistung.
3.3. Das kantonale Gericht erkannte, in Übereinstimmung mit der Einschätzung des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) vom 4. September 2017 würden die nach dem ABI-Gutachten vom 16. September 2013 erstatteten Berichte keine Anhaltspunkte bieten, um von der Expertise abzuweichen.
So kam die Vorinstanz willkürfrei zum Schluss, auf die Berichte der behandelnden Neurologen Dres. med. B._ und C._ vom 2. Mai 2017 und 7. August 2018 könne nicht abgestellt werden, da sich diese rein auf die Angaben des Versicherten gestützt hätten. Die Rüge, die Einschätzung des ABI-Neurologen sei in Anlehnung an die Stellungnahmen der Dres. med. B._ und C._ falsch, dringt folglich nicht durch. Der Beschwerdeführer vermag mit dem Hinweis auf die besagten Berichte auch nicht aufzuzeigen, dass seit der ABI-Expertise im Jahr 2013 eine Verschlechterung eingetreten sein soll. Denn die behandelnden Neurologen nahmen keinen Bezug auf die ABI-Begutachtung im Jahr 2013 und berichteten auch nicht von einer seither eingetretenen Verschlechterung, sondern gingen von einer seit 1996 bestehenden Migräne ohne Aura aus. Zum Verlauf lässt sich dem Bericht vom 2. Mai 2017 einzig entnehmen, dass es sich um ein weitgehend therapierefraktäres mit unveränderter Frequenz und Intensität vorliegendes Leiden handelt.
3.4. Nach dem Gesagten durfte das kantonale Gericht dem ABI-Gutachten vom 16. September 2013 Beweiskraft beimessen, ohne Bundesrecht zu verletzen. Dass die Feststellungen des kantonalen Gerichts in Bezug auf die Arbeitsfähigkeit offensichtlich unrichtig oder sonstwie bundesrechtswidrig sein sollen, wird vom Beschwerdeführer nicht (substanziiert) gerügt, weshalb sie für das Bundesgericht verbindlich sind (vgl. E. 1 oben). Eine Rückweisung zu weiteren Abklärungen erübrigt sich damit.
4.
4.1. Zur Kritik des Versicherten, es könne ihm nicht vorgeworfen werden, er habe seine Mitwirkungspflicht an verschiedenen beruflichen Massnahmen schuldhaft verletzt, hielt bereits das kantonale Gericht fest, dass nicht, wie in der Verfügung vom 2. August 2018 ausgeführt, "verschiedentlich" berufliche Massnahmen angeboten worden seien, sondern lediglich eine Potenzialanalyse im September 2015 stattgefunden habe. Die in diesem Zusammenhang vorinstanzlich festgestellte fehlende subjektive Eingliederungsfähigkeit ist für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (Urteile 8C_480/2018 vom 26. November 2018 E. 7.3 und 9C_666/2017 vom 6. September 2018 E. 4.5.2). Mit dem Hinweis, er habe unverschuldeterweise an 16 von 20 Tagen nicht an der Potenzialerhebung teilnehmen können, tut er nichts dar, das die Feststellung als offensichtlich unrichtig oder sonstwie bundesrechtswidrig erscheinen lässt.
4.2.
4.2.1. Das kantonale Gericht erkannte, die IV-Stelle habe dem Versicherten im Rahmen des Mahn- und Bedenkzeitverfahrens eine Frist angesetzt, um eine Bereitschaftserklärung zu unterzeichnen, und ihm angedroht, sie werde von der Arbeitsfähigkeit gemäss ABI-Gutachten ausgehen, sollte der Beschwerdeführer dieser Aufforderung nicht nachkommen. Zwischen den Verfahrensparteien ist unbestritten, dass sich bis zum Zeitpunkt der Verfügung vom 2. August 2018 keine vom Versicherten unterzeichnete Bereitschaftserklärung bei den Akten befand. Die Vorinstanz führte aus, spätestens mit Erhalt des Vorbescheids vom 24. Januar 2018 sei erkennbar gewesen, dass der IV-Stelle keine unterzeichnete Bereitschaftserklärung vorgelegen habe. Es wäre dem Versicherten daher möglich gewesen, jedenfalls in diesem Zeitpunkt, eine solche Erklärung - noch einmal oder erstmals - einzureichen, was er unterlassen habe. Die Vorinstanz erwog, damit sei der Beschwerdeführer den ihm gemachten Auflagen nicht nachgekommen und die IV-Stelle habe zu Recht die angedrohten Säumnisfolgen eintreten lassen.
4.2.2. Der Versicherte wirft dem kantonalen Gericht überspitzten Formalismus (<ref-law>) vor. Er macht geltend, die IV-Stelle habe dem Einwand vom 24. Februar 2018 entnehmen können, dass er seine Rechtsvertreterin über die fristgerechte Retournierung der unterzeichneten Bereitschaftserklärung informiert habe. Wenn die Beschwerdegegnerin es für nötig erachtet hätte, zusätzlich noch eine von ihm unterzeichnete Bereitschaftserklärung bei den Akten zu haben, hätte sie ihm nochmals ein entsprechendes Formular zustellen und ihm eine Nachfrist zur Retournierung ansetzen müssen.
4.2.3. Benutzte der Beschwerdeführer, wie er selber geltend macht, für die Übermittlung der Bereitschaftserklärung die Post, umfasst die Beweislast das Beweisrisiko für die effektive Postaufgabe (<ref-ruling> E. 3b S. 185; Urteil 9C_830/2015 vom 6. April 2016 E. 5.3.1). Ein solcher Beweis war hier durch die von der Rechtsvertreterin mit Einwand vom 24. Februar 2018 (gegen den Vorbescheid vom 24. Januar 2018) gemachte Aussage, der Versicherte habe ihr telefonisch mitgeteilt, er hätte die Erklärung abgeschickt, nicht erbracht. Eine Umkehr der Beweislast, auf die sich der Beschwerdeführer beruft, fällt nur in Betracht, wenn die Partei den Beweis aus Gründen nicht erbringen kann, die von der Behörde zu verantworten sind (<ref-ruling> E. 8.1.1 S. 223), wofür hier jegliche Anhaltspunkte fehlen. Bei dieser Ausgangslage verfiel das kantonale Gericht nicht in überspitzten Formalismus.
5.
Die Beschwerde ist unbegründet und der vorinstanzliche Entscheid zu bestätigen.
6.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer zu überbinden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 21. Oktober 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Huber