Faits :
A.
A.a. A.X._, ressortissant de la République démocratique du Congo né en 1986, est entré en Suisse en juin 2003 pour y déposer une demande d'asile, qui a été rejetée en novembre 2004.
A.X._ et sa compatriote Y._, titulaire d'une autorisation d'établissement, ont eu une fille (C._) le 25 novembre 2004 et se sont mariés le 23 septembre 2005; l'intéressé a de ce fait été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour au titre du regroupement familial. Le couple a divorcé en mai 2007; l'autorité parentale sur C._ - qui dispose d'une autorisation d'établissement - a été attribuée à sa mère et A.X._ a été astreint à verser à celle-ci une contribution d'entretien en faveur de sa fille.
Le 1er février 2008, A.X._ a épousé la ressortissante suisse B.X._et a ainsi obtenu la prolongation de son permis de séjour. L'intéressé et son épouse ont eu une fille (D._, ressortissante suisse) le 29 janvier 2009. Le couple s'est séparé une première fois en 2009, avant de faire à nouveau ménage commun au printemps 2010. Le 17 juin 2010, l'autorisation de séjour de A.X._ a été renouvelée. A.X._ et B.X._sont devenus les parents d'une deuxième fille (E._, ressortissante suisse) le 10 août 2011. Le couple s'est séparé une seconde fois en avril 2012. Par ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugale du 22 juin 2012, le Tribunal d'arrondissement de la Broye et du nord vaudois a confié la garde de D._ et de E._ à leur mère, octroyé à A.X._ un libre et large droit de visite sur ses filles et condamné l'intéressé à contribuer à l'entretien de celles-ci par le versement mensuel d'une somme de 400 fr. "dès qu'il réaliserait à nouveau un revenu".
Le 17 juin 2013, le Secrétariat d'Etat aux migrations (ci-après: le SEM), auquel le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) avait soumis le dossier de A.X._ pour approbation à la prolongation de l'autorisation de séjour de celui-ci, a octroyé l'approbation requise.
A.b. Sur le plan professionnel, durant son séjour en Suisse, A.X._ n'a travaillé que de manière épisodique. Il a suivi des cours de formation professionnelle en 2012 (conduite de chariots élévateurs, bases de logistique) et en 2017 (aide-peintre) et a ensuite travaillé pendant quelques mois en 2019 comme ouvrier (cf. <ref-law>). Depuis le 1er mai 2021, A.X._ est actif comme aide de cuisine (cf. <ref-law>) auprès de U._ sur la base d'un contrat de durée indéterminée.
Au 22 juillet 2019, l'intéressé faisait l'objet de poursuites pour un montant de 87'026 fr. 05 et d'actes de défaut de biens s'élevant à 180'703 fr. 40. Entre janvier 2006 et juin 2019, il a perçu le revenu d'insertion, pour un montant total de 328'519 fr. 70.
A.c. Depuis son arrivée en Suisse, A.X._ a été condamné pénalement à plusieurs reprises:
- le 20 mars 2008, à une peine privative de liberté de 18 mois pour lésions corporelles simples, mise en danger de la vie d'autrui, dommages à la propriété, injure, menaces, utilisation abusive d'une installation de télécommunication, violation de domicile, faux dans les certificats, insoumission à une décision de l'autorité, violence ou menace contre les autorités et les fonctionnaires et conduite sans permis de conduire ou malgré un retrait;
- le 13 août 2009, à une peine privative de liberté de 20 jours pour violence ou menace contre les autorités et les fonctionnaires;
- le 17 janvier 2012, à une peine pécuniaire de 100 jours-amende à 30 fr. pour violation d'une obligation d'entretien;
- le 23 août 2012, à une peine pécuniaire de 20 jours-amende à 40 fr. pour usage abusif de permis et/ou de plaques de contrôle et usurpation de plaques de contrôle;
- le 6 mars 2014, à une peine pécuniaire de 90 jours-amende à 30 fr. pour conduite en état d'ébriété et violation grave des règles de la circulation routière;
- le 25 janvier 2017, à une peine pécuniaire de 40 jours-amende à 30 fr. pour conduite d'un véhicule automobile malgré un permis de conduire à l'essai caduc;
- le 28 mars 2017, à une peine pécuniaire de 80 jours-amende à 30 fr. pour recel et incitation à l'entrée, à la sortie ou au séjour illégal (peine complémentaire à celle prononcée le 25 janvier 2017).
L'intéressé a été incarcéré le 1er octobre 2008 et il a été libéré le 6 juillet 2009. Il a de nouveau été mis en détention le 4 mai 2018 - pour exécuter une peine privative de liberté de substitution - et a été libéré conditionnellement le 23 juillet 2018.
B.
B.a. Par décision du 19 juin 2015, le Service cantonal, ayant appris que A.X._ s'était séparé de B.X._en avril 2012, a refusé de renouveler l'autorisation de séjour de l'intéressé et prononcé son renvoi de Suisse. Par arrêt du 11 décembre 2015, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a confirmé cette décision. Le 28 novembre 2016, le Tribunal fédéral a constaté une violation du droit d'être entendu, a annulé l'arrêt du 11 décembre 2015 et a renvoyé la cause au Tribunal cantonal pour qu'il instruise la question de l'exercice effectif du droit de visite ainsi que des liens entretenus par A.X._ avec ses trois filles, puis rende une nouvelle décision (arrêt 2C_104/2016 du 28 novembre 2016).
Par arrêt du 10 novembre 2017, le Tribunal cantonal a admis partiellement le recours interjeté par l'intéressé, a annulé la décision du Service cantonal du 19 juin 2015 et a renvoyé la cause à cette autorité pour instruction complémentaire et nouvelle décision.
B.b. Le 24 mai 2019, après avoir procédé à diverses mesures d'instruction, le Service cantonal s'est déclaré favorable à la prolongation de l'autorisation de séjour de A.X._ et a transmis le dossier au SEM pour approbation. Par décision du 28 novembre 2019, cette autorité a refusé d'octroyer l'approbation requise et prononcé le renvoi de Suisse de l'intéressé.
Par arrêt du 2 juillet 2021, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours formé par A.X._ contre la décision du SEM du 28 novembre 2019.
C.
A l'encontre de l'arrêt du 2 juillet 2021, A.X._ dépose auprès du Tribunal fédéral un recours en matière de droit public. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt entrepris et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour complément d'instruction et nouvelle décision dans le sens des considérants. Subsidiairement, il demande que son autorisation de séjour soit "prolongée pour une durée de deux ans". Il sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire devant le Tribunal fédéral.
Le Tribunal administratif fédéral renonce à se déterminer sur le recours. Le SEM propose le rejet du recours.
Par ordonnance du 14 septembre 2021, la Juge présidant de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a accordé l'effet suspensif au recours.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1).
1.1. Aux termes de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions relatives à une autorisation de droit des étrangers à laquelle ni le droit fédéral, ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit, sous l'angle de la recevabilité, qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et que, partant, la voie du recours en matière de droit public soit ouverte (cf. <ref-ruling> consid. 1.1).
En l'espèce, le recourant invoque notamment l'art. 8 CEDH, se prévalant de ses liens étroits avec ses trois filles, dont deux sont de nationalité suisse. Ces relations sont potentiellement de nature à lui conférer un droit à l'obtention d'une autorisation de séjour en Suisse sous l'angle du droit au respect de sa vie familiale. Le recours échappe donc au motif d'irrecevabilité prévu à l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, étant précisé que le point de savoir si l'intéressé remplit les conditions pour obtenir l'autorisation requise relève du fond et non de la recevabilité (cf. <ref-ruling> consid. 1.1). La voie du recours en matière de droit public est ainsi ouverte.
1.2. Au surplus, l'arrêt attaqué constitue une décision finale (<ref-law>) rendue par le Tribunal administratif fédéral (<ref-law>). Déposé en temps utile, compte tenu des féries (art. 46 al. 1 let. b et 100 al. 1 LTF), et dans les formes requises (<ref-law>) par le destinataire de l'arrêt entrepris qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (<ref-law>), le recours est recevable.
1.3. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>). Dans la mesure où elles ne ressortiraient pas du dossier du Tribunal administratif fédéral, les pièces accompagnant le recours ne seront pas prises en considération.
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), alors qu'il n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant, conformément au principe d'allégation (<ref-law>). Dans ce cas, l'acte de recours doit contenir un exposé succinct des droits fondamentaux violés et préciser en quoi consiste la violation (cf. <ref-ruling> consid. 2.1).
2.2. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Selon l'<ref-law>, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-ruling> consid. 6; <ref-ruling> consid. 1.6). Conformément à l'<ref-law>, la partie recourante doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (cf. arrêt 2C_300/2019 du 31 janvier 2020 consid. 2.2, non publié in <ref-ruling>).
3.
Dans un grief d'ordre formel, qu'il convient d'examiner en premier lieu (<ref-ruling> consid. 3), le recourant se plaint de la violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.). Il reproche au Tribunal administratif fédéral de n'avoir pas "ordonné les mesures probatoires idoines" à clarifier la question de l'effectivité de sa relation avec ses trois filles (recours, p. 5).
3.1. La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. le droit pour le justiciable de fournir des preuves quant aux faits de nature à influer sur le sort de la décision (<ref-ruling> consid. 2.3). Le droit de faire administrer des preuves suppose que le fait à prouver soit pertinent, que le moyen de preuve proposé soit nécessaire pour constater ce fait et que la demande soit présentée selon les formes et délais prescrits (cf. <ref-ruling> consid. 5.3; arrêt 2C_498/2020 du 14 janvier 2021 consid. 4.1). Cette garantie constitutionnelle n'empêche pas l'autorité de mettre un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude qu'elles ne pourraient l'amener à modifier son opinion (<ref-ruling> consid. 6.3.1). Le refus d'une mesure probatoire par appréciation anticipée des preuves ne peut être remis en cause devant le Tribunal fédéral qu'en invoquant l'arbitraire (art. 9 Cst.) de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 5.2.2; arrêt 2C_429/2021 du 16 décembre 2021 consid. 3.1).
3.2. En l'espèce, le recourant ne soutient pas qu'il aurait proposé au Tribunal administratif fédéral des moyens de preuve au sujet de sa relation avec ses filles et que cette autorité aurait (arbitrairement) refusé de les administrer en violation de son droit d'être entendu. Il se limite à affirmer que l'autorité précédente aurait dû ordonner (apparemment d'office) des mesures probatoires en ce sens. Dans ces conditions, toute violation du droit d'être entendu est exclue. Le grief est infondé et doit être rejeté.
4.
Le recourant invoque une constatation arbitraire des faits au sujet de la date à laquelle il a été mis au bénéfice pour la première fois d'une autorisation de séjour. Il affirme que le Tribunal administratif fédéral serait tombé dans l'arbitraire en omettant de prendre en considération l'autorisation de séjour qui lui avait été octroyée le 23 septembre 2005, lors de son premier mariage (recours, p. 3 s.). Il soutient qu'il aurait ainsi résidé en Suisse au bénéfice d'une autorisation de séjour pendant "une période de dix ans moins trois mois" (recours, p. 3).
4.1. S'agissant de l'appréciation des preuves et des constatations de fait, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 1.1).
4.2. En l'espèce, le Tribunal administratif fédéral a constaté que le recourant avait épousé sa première femme le 23 septembre 2005 et qu'il avait "été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour au titre du regroupement familial" (arrêt entrepris, p. 2). L'autorité précédente a toutefois par la suite retenu - de manière contradictoire - que "l'intéressé, bien qu'arrivé en Suisse en 2003, n'a obtenu une autorisation de séjour qu'en 2008, en raison de son mariage avec [sa seconde femme]" (arrêt entrepris, p. 19). Du moment que la question de la durée du séjour légal du recourant en Suisse est pertinente pour l'application de l'art. 8 CEDH (cf. infra consid. 8.1), il y a lieu de corriger l'état de fait sur ce point et de retenir que l'intéressé a été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour pour la première fois en septembre 2005.
5.
Le recourant s'étant séparé en 2012 de sa seconde femme, il ne peut, ce qu'il ne fait d'ailleurs pas, se prévaloir de l'art. 42 al. 1 LEI pour en déduire un droit de séjour en Suisse.
6.
Le Tribunal administratif fédéral a retenu que le recourant n'était pas intégré en Suisse et qu'il ne pouvait donc rien déduire de l'art. 50 al. 1 let. a LEI. A juste titre, l'intéressé ne critique pas cette appréciation. Indépendamment de la question de savoir si la cohabitation effective (cf. <ref-ruling> consid. 4.1) avec sa seconde femme a duré plus de trois ans (question laissée ouverte par l'autorité précédente), le recourant, qui a fait l'objet de nombreuses condamnations pénales, se trouve dans une situation financière catastrophique et a perçu pendant treize ans le revenu d'insertion (pour un montant total de 328'519 fr. 70), ne peut pas se prévaloir d'une intégration réussie au sens de l'art. 50 al. 1 let. a LEI (sur cette notion, cf. arrêt 2C_477/2020 du 17 juillet 2020 consid. 4.2 et les arrêts cités).
7.
Le recourant se prévaut de l'art. 50 al. 1 let. b LEI sous l'angle de sa relation avec ses filles.
7.1. L'art. 50 al. 1 let. b LEI permet au conjoint étranger de demeurer en Suisse après la dissolution de l'union conjugale, lorsque la poursuite de son séjour s'impose pour des raisons personnelles majeures. En vertu de l'art. 51 al. 2 let. b LEI, les droits prévus aux art. 43, 48 et 50 LEI s'éteignent s'il existe des motifs de révocation au sens des art. 62 ou 63 al. 2 LEI. A ce sujet, l'art. 62 al. 1 let. b LEI prévoit notamment que l'autorité compétente peut révoquer une autorisation, à l'exception de l'autorisation d'établissement, lorsque la personne étrangère a été condamnée à une peine privative de liberté de longue durée, soit - selon la jurisprudence - d'une durée supérieure à une année (<ref-ruling> consid. 2.1).
7.2. En l'espèce, le recourant a été condamné à une peine privative de liberté de 18 mois et, en application de l'art. 51 al. 2 let. b LEI, il ne peut pas invoquer l'art. 50 al. 1 let. b LEI pour en déduire un droit de séjour en Suisse. Dans ces conditions, le grief de violation de l'art. 50 al. 1 let. b LEI ne peut qu'être rejeté, indépendamment de la question de savoir s'il existe des raisons personnelles majeures imposant la poursuite du séjour de l'intéressé en Suisse.
8.
Le recourant se prévaut d'une violation de l'art. 8 CEDH. Il invoque son séjour légal "de plus de dix ans" en Suisse et ses "relations personnelles étroites avec ses trois filles" (recours, p. 7).
8.1. S'agissant de la protection de la vie privée, selon la jurisprudence constante du Tribunal fédéral, les années passées en Suisse dans l'illégalité ou au bénéfice d'une simple tolérance - par exemple en raison de l'effet suspensif attaché à des procédures de recours - ne sont pas déterminantes pour le calcul de la durée du séjour légal dans ce pays (arrêts 2D_11/2021 du 20 septembre 2021 consid. 3 et 2C_603/2019 du 16 décembre 2019 consid. 6.2).
En l'espèce, il ressort des faits constatés par le Tribunal administratif fédéral que, par décision du 19 juin 2015, le Service cantonal a refusé de renouveler l'autorisation de séjour du recourant. Le séjour effectué en Suisse par le recourant après cette date correspond à un séjour passé dans ce pays au bénéfice d'une simple tolérance et ne peut pas être assimilé à un séjour légal. Du moment que l'intéressé a été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour pour la première fois en septembre 2005 (cf. supra consid. 4.2), c'est à juste titre que l'autorité précédente a retenu que son séjour légal en Suisse était inférieur à dix ans et que, dans ces circonstances, le recourant - qui ne peut pas se prévaloir d'une intégration exceptionnelle dans notre pays - ne pouvait pas invoquer l'art. 8 CEDH sous l'angle de la protection de la vie privée (à ce sujet, cf. <ref-ruling> consid. 3; arrêt 2C_670/2020 du 28 décembre 2020 consid. 4.1). En effet, contrairement à l'opinion de l'intéressé (cf. recours, p. 4), le séjour effectué dans le cadre d'une procédure d'asile (en l'occurrence entre juin 2003 et novembre 2004) ne doit pas être pris en compte dans l'examen de la durée du séjour en Suisse sous l'angle de l'art. 8 CEDH (cf. arrêt 2C_104/2021 du 28 avril 2021 consid. 3.3).
8.2. Pour ce qui concerne la protection de la vie familiale, l'art. 8 CEDH ne confère en principe pas un droit à séjourner dans un Etat déterminé. Le fait de refuser un droit de séjour à un étranger dont la famille se trouve en Suisse peut toutefois entraver sa vie familiale et porter ainsi atteinte au droit au respect de celle-ci garanti par l'art. 8 CEDH (<ref-ruling> consid. 4.2). En l'espèce, le recourant se prévaut de sa relation avec ses trois filles mineures, lesquelles disposent d'un droit de présence durable en Suisse (autorisation d'établissement, respectivement nationalité suisse). Il peut donc invoquer l'art. 8 CEDH sous l'angle du droit au respect de sa vie familiale.
8.3. Selon la jurisprudence, lorsque le parent étranger n'a pas l'autorité parentale ni la garde (ou a l'autorité parentale conjointe, mais sans la garde) d'un enfant mineur disposant d'un droit durable de résider en Suisse et ne bénéficie ainsi que d'un droit de visite sur son enfant habilité à résider en Suisse, il n'est en principe pas nécessaire que, dans l'optique de pouvoir exercer ce droit de visite, ce parent soit habilité à résider durablement dans le même pays que son enfant. Sous l'angle du droit à une vie familiale, il suffit en règle générale que le parent vivant à l'étranger exerce son droit de visite dans le cadre de séjours brefs, au besoin en aménageant les modalités de celui-ci quant à la fréquence et à la durée (cf. <ref-ruling> consid. 5.3; arrêts 2C_1047/2020 du 5 mai 2021 consid. 6.3 et 2C_340/2019 du 16 mai 2019 consid. 6.2). Le droit de visite d'un parent sur son enfant peut en effet être organisé de manière à être compatible avec des séjours dans des pays différents (cf. <ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 3.2). Selon la jurisprudence constante du Tribunal fédéral, un droit plus étendu ne peut le cas échéant exister qu'en présence de liens familiaux particulièrement forts d'un point de vue affectif et économique, lorsque cette relation ne pourrait pratiquement pas être maintenue en raison de la distance qui sépare le pays de résidence de l'enfant du pays d'origine de son parent, et que l'étranger a fait preuve en Suisse d'un comportement irréprochable (<ref-ruling> consid. 5.2).
Ces exigences doivent être appréciées ensemble et faire l'objet d'une pesée des intérêts globale (<ref-ruling> consid. 5.2 et les références citées). Dans le cadre de l'examen de la proportionnalité de la mesure (cf. art. 8 par. 2 CEDH), il faut aussi tenir compte de l'intérêt fondamental de l'enfant (cf. art. 3 de la Convention du 20 novembre 1989 relative aux droits de l'enfant [CDE; RS 0.107]) à pouvoir grandir en jouissant d'un contact étroit avec ses deux parents (<ref-ruling> consid. 5.5.1; arrêt 2C_1047/2020 du 5 mai 2021 consid. 6.3).
8.3.1. Concernant le critère des liens affectifs, dans l'hypothèse où - comme en l'espèce - la personne étrangère possédait déjà une autorisation de séjour en Suisse en raison d'une communauté conjugale (entre-temps dissoute) avec une personne de nationalité suisse ou titulaire d'une autorisation d'établissement, l'exigence du lien affectif particulièrement fort doit être considérée comme remplie lorsque les contacts personnels sont exercés dans le cadre d'un droit de visite usuel selon les standards d'aujourd'hui (<ref-ruling> consid. 5.2.1; arrêts 2C_1047/2020 du 5 mai 2021 consid. 6.3 et 2C_340/2019 du 16 mai 2019 consid. 6.2.1).
8.3.2. Quant aux liens économiques, ils supposent que l'étranger verse une contribution financière pour l'entretien de l'enfant. Cette contribution peut également avoir lieu en nature, en particulier en cas de garde alternée (<ref-ruling> consid. 5.2.2). Le Tribunal fédéral a toutefois admis qu'il convient de distinguer la situation dans laquelle l'étranger ne contribue pas à l'entretien de l'enfant faute d'avoir été autorisé à travailler de celle dans laquelle il ne fait aucun effort pour trouver un emploi. Les exigences relatives à l'étendue de la relation que l'étranger doit entretenir avec son enfant d'un point de vue affectif et économique doivent rester dans l'ordre du possible et du raisonnable (<ref-ruling> consid. 5.2.2; arrêt 2C_1047/2020 du 5 mai 2021 consid. 6.3).
8.3.3. La possibilité d'exercer le droit de visite depuis le pays d'origine, pour éviter qu'il ne s'agisse que d'une possibilité théorique, doit être examinée concrètement et tenir compte des circonstances du cas d'espèce, notamment de l'âge des intéressés, des moyens financiers, des techniques de communication et des types de transport à disposition ainsi que de la distance entre les lieux de résidence; l'impossibilité pratique à maintenir la relation sera tenue pour réalisée si le pays de l'étranger qui bénéficie d'un droit de visite est très éloigné de la Suisse (<ref-ruling> consid. 5.2.3; arrêt 2C_1047/2020 du 5 mai 2021 consid. 6.3).
8.3.4. Enfin, concernant la condition du "comportement irréprochable", celle-ci n'est pas remplie lorsqu'il existe, à l'encontre de l'étranger, des motifs d'éloignement, en particulier si on peut lui reprocher un comportement répréhensible sur le plan pénal ou en regard de la législation sur les étrangers, étant précisé que l'appréciation émise par l'autorité de police des étrangers peut s'avérer plus rigoureuse que celle de l'autorité pénale (<ref-ruling> consid. 5.2.4 et les références citées). La jurisprudence a cependant relativisé cette condition dans des situations spécifiques, non réalisées en l'espèce, notamment lorsque le séjour de l'enfant de nationalité suisse serait mis en cause (<ref-ruling> consid. 5.2.4).
8.4.
8.4.1. En l'espèce, s'agissant des relations personnelles entre le recourant et ses trois filles mineures, il ressort des constatations du Tribunal administratif fédéral que le Service vaudois de protection de la jeunesse a confirmé, dans un écrit du 8 mars 2017, que l'intéressé "exer[çait] régulièrement son droit de visite auprès de ses filles depuis décembre 2015" (arrêt entrepris, p. 22). Le recourant, interrogé sur ce point par l'autorité précédente, n'a pas été en mesure de fournir des attestations quant à l'exercice de son droit de visite après 2017. Invitées par le Service cantonal à se déterminer à ce sujet, la mère de C._ n'a pas répondu, alors que la mère des deux autres filles du recourant a déclaré que celles-ci "voyaient de moins en moins leur père car elles préféraient rester avec elle", tout en relevant, dans un deuxième temps, que "l'absence du recourant risquerait de provoquer un choc émotionnel pour ses filles" (arrêt attaqué, p. 23).
Dans ces conditions, contrairement à ce que soutient le recourant, c'est à bon droit que l'autorité précédente a considéré que celui-ci ne pouvait pas se prévaloir d'un lien affectif particulièrement fort avec ses filles. Les faits constatés dans l'arrêt entrepris ne permettent en effet pas de retenir l'exercice d'un droit de visite usuel après 2017 et les quelques éléments mentionnés dans l'arrêt entrepris (voyage à Paris, photos d'une fête d'anniversaire) ne suffisent pas à démontrer que la relation de l'intéressé avec ses filles serait particulièrement intense.
8.4.2. Concernant le critère du lien économique, il ressort de l'arrêt attaqué que le recourant ne s'est pas acquitté régulièrement des contributions d'entretien en faveur de ses filles et que sa situation financière difficile n'était pas due à l'absence d'une autorisation de travail. Dans ces circonstances, même si l'on retenait que l'intéressé a effectué des achats à certaines occasions en faveur de ses filles (cf. arrêt entrepris, p. 23), cela ne suffirait pas à établir un lien économique étroit, de tels achats occasionnels ne pouvant être assimilés à une contribution à l'entretien en nature susceptible de remplacer les prestations financières (cf. arrêt 2C_1047/2020 du 5 mai 2021 consid. 6.5.2). C'est donc à juste titre que le Tribunal administratif fédéral a constaté l'absence d'un lien économique étroit entre le recourant et ses filles.
8.4.3. Pour ce qui est de la possibilité d'exercer le droit de visite depuis le pays d'origine ou de résidence du parent étranger, au vu de la distance entre la Suisse et la République démocratique du Congo, du coût du voyage et de la situation financière du recourant, cette possibilité apparaît en l'espèce uniquement théorique, et ce malgré les possibilités offertes par les moyens de communication modernes.
8.4.4. Enfin, s'agissant de l'exigence du "comportement irréprochable", l'intéressé, qui a été condamné pénalement à plusieurs reprises - y compris à des peines privatives de liberté - ne saurait de toute évidence se prévaloir d'un tel comportement.
8.5. Compte tenu de l'ensemble des circonstances, notamment du comportement du recourant en Suisse, ainsi que de l'absence d'un lien affectif et économique particulièrement fort entre celui-ci et ses filles, force est de constater que, malgré les difficultés relatives à l'exercice du droit de visite depuis la République démocratique du Congo, le Tribunal administratif fédéral n'a pas violé l'art. 8 CEDH en considérant que l'intéressé ne pouvait pas prétendre à un titre de séjour en Suisse en invoquant cette disposition.
9.
Finalement, le recourant se prévaut d'une violation de l'art. 29 al. 3 Cst. Il soutient que le Tribunal administratif fédéral aurait dû l'informer de la possibilité de solliciter l'assistance judiciaire et lui attribuer un avocat d'office.
9.1. D'après l'art. 29 al. 3 Cst., toute personne qui ne dispose pas de ressources suffisantes a droit, à moins que sa cause ne paraisse dépourvue de toute chance de succès, à l'assistance judiciaire gratuite. Elle a en outre droit à l'assistance gratuite d'un défenseur, dans la mesure où la sauvegarde de ses droits le requiert. Ce principe est concrétisé à l'art. 65 de la loi fédérale du 20 décembre 1968 sur la procédure administrative (PA; RS 172.021), applicable à la procédure devant le Tribunal administratif fédéral en vertu de l'art. 37 de la loi fédérale du 17 juin 2005 sur le Tribunal administratif fédéral (LTAF; RS 173.32).
9.2. En l'occurrence, le recourant ne soutient pas qu'il aurait requis l'assistance judiciaire devant l'autorité précédente. On ne voit dès lors pas comment le Tribunal administratif fédéral aurait pu violer l'art. 29 al. 3 Cst., étant précisé que cette disposition n'impose pas aux autorités administratives d'octroyer d'office l'assistance judiciaire aux parties. Le grief est rejeté.
10.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours.
Le recourant a sollicité sa mise au bénéfice de l'assistance judiciaire. La cause paraissant d'emblée dépourvue de chances de succès, cette requête doit être rejetée (<ref-law>). Les frais, calculés en tenant compte de la situation financière précaire de l'intéressé, seront mis à la charge de celui-ci, qui succombe (cf. <ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service de la population du canton de Vaud, au Tribunal administratif fédéral, Cour VI, ainsi qu'au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 8 mars 2022
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : F. Aubry Girardin
Le Greffier : A. Ermotti