Sachverhalt:
A.
A.a. B._ (geb. 1964; Beschwerdegegnerin) und A._ (geb. 1957; Beschwerdeführer), beides Staatsangehörige der Tschechischen Republik, heirateten am 15. November 1990 in der gemeinsamen Heimat. Sie haben einen mittlerweile volljährigen Sohn. Gegen Ende des Jahres 2012 hoben die Ehegatten den gemeinsamen Haushalt auf, der sich zuletzt in der Schweiz befand. Heute lebt B._ in der Schweiz und A._ in der Tschechischen Republik. Mit Urteil vom 28. Januar 2014 schied das Kreisgericht Jesenik/Tschechien auf Klage von A._ hin die Ehe nach Massgabe des tschechischen Rechts. Die Nebenfolgen der Scheidung regelte es nicht. Dieses Urteil ist in Rechtskraft erwachsen.
Bereits am 22. Januar 2014 hatte B._ beim Regionalgericht Oberland Klage auf Scheidung der Ehe und eventuell Ergänzung des tschechischen Scheidungsurteils erhoben. In der Schweiz sollten die Scheidungsnebenfolgen geregelt werden, namentlich der nacheheliche Unterhalt. Gleichzeitig hatte B._ den Erlass verschiedener vorsorglicher Massnahmen beantragt, darunter die Verpflichtung von A._ zur Zahlung von monatlichem Unterhalt von Fr. 15'000.-- für die Zukunft und das Jahr vor Klageeinreichung. In der Klagebegründung hatte B._ präzisiert, der vorsorgliche Unterhalt sei ihr "bis zur Rechtskraft des Ergänzungsurteils" zuzusprechen.
A.b. Mit Entscheid vom 6. Oktober 2014 wies das Regionalgericht das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen ab, soweit es darauf eintrat. Die von B._ hiergegen eingereichte Berufung hiess das Obergericht des Kantons Bern am 11. Februar 2015 gut und wies die Sache zur erneuten Entscheidung an das Regionalgericht zurück.
A.c. Am 28. April 2016 entschied das Regionalgericht erneut über die vorsorglichen Massnahmen. Dabei nahm es davon Vormerk, dass die Ehe seit dem 21. Februar 2014 rechtskräftig geschieden ist, und verpflichtete A._ soweit hier interessierend dazu, an B._ ab dem Datum der Scheidung für die Dauer des Hauptverfahrens Unterhalt von Fr. 9'850.-- im Monat zu bezahlen.
B.
Auch gegen diesen Entscheid reichte B._ Berufung ein und beantragte unter anderem, ihr sei ab dem 17. November 2012, eventualiter ab dem 22. Januar 2013, während der Dauer des Hauptverfahrens ein monatlicher Unterhaltsbeitrag von Fr. 86'000.-- zuzusprechen. A._ erhob ebenfalls Berufung mit dem Antrag auf Feststellung, dass er für die Dauer des Hauptprozesses keinen Unterhalt schulde. In teilweiser Gutheissung der Berufung von B._ verpflichtete das Obergericht A._ mit Entscheid vom 18. Mai 2017 (eröffnet am 26. Mai 2017) dazu, an diese ab dem 22. Januar 2013 und während der Dauer des Hauptverfahrens Unterhalt von Fr. 19'390.-- im Monat zu bezahlen (Dispositivziffer 3). Ausserdem verlegte das Obergericht die Kosten der kantonalen Verfahren (Dispositivziffern 4-7).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 26. Juni 2017 gelangt A._ mit folgenden Anträgen in der Sache ans Bundesgericht:
"1. Die Ziff. 3 des Entscheids des Obergerichts des Kantons Bern vom 18. Mai 2017 sei aufzuheben und der Antrag der [Beschwerdegegnerin] vom 22. Januar 2014 auf Unterhalt vollumfänglich abzuweisen.
2. Eventualiter: Die Ziff. 3 des Entscheids des Obergerichts des Kantons Bern vom 18. Mai 2017 sei aufzuheben und die Angelegenheit zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
3. Die Ziff. 4 bis 7 des Entscheiddispositivs des Obergerichts des Kantons Bern vom 18. Mai 2017 seien aufzuheben und zu neuer Verlegung der Prozesskosten an die Vorinstanz zurückzuweisen.
4. Verfahrensantrag: Es sei der vorliegenden Beschwerde in Zivilsachen die aufschiebende Wirkung zu erteilen."
Mit Eingabe vom 4. Juli 2017 (Poststempel) verzichtet das Obergericht auf eine Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung. B._ beantragt am 11. Juli 2017 die Abweisung des Gesuchs. Mit Verfügung vom 14. Juli 2017 hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde in Bezug auf die bis und mit Mai 2017 angefallenen, nicht aber für die ab Juni 2017 geschuldeten Unterhaltsbeiträge die aufschiebende Wirkung erteilt.
Am 27. Dezember 2017 verzichtet das Obergericht auch auf eine Vernehmlassung in der Sache. B._ beantragt am 19. Januar 2018 die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Mit Eingaben vom 26. Februar und vom 12. März 2018 haben die Parteien zu den Vorbringen der jeweiligen Gegenpartei Stellung genommen und dabei an ihren bisherigen Anträgen festgehalten. Am 17. April 2018 informiert B._ das Bundesgericht ausserdem darüber, dass sie zwischenzeitlich in der Schweiz eingebürgert worden ist.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht (<ref-law>) über den Unterhalt zwischen den früheren Ehegatten für die Dauer des Verfahrens betreffend die Regelung der Scheidungsnebenfolgen entschieden hat. Strittig ist damit eine vermögensrechtliche Zivilsache (<ref-law>). Der erforderliche Streitwert ist erreicht (Art. 74 Abs. 1 Bst. b sowie Art. 51 Abs. 1 Bst. a und Abs. 4 BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Auf die form- und fristgerecht erhobene (Art. 42 Abs. 2 und Art. 100 Abs. 1 BGG) Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. Der angefochtene Entscheid betrifft die vorsorgliche Regelung des Unterhalts zwischen den Parteien bis zum Abschluss des Verfahrens über die Scheidungsnebenfolgen. Mit der Beschwerde gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.3). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Die rechtsuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266). Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat, was die rechtsuchende Partei wiederum präzise geltend zu machen hat (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 4.1).
1.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Hiervon erfasst sind unechte Noven, also Tatsachen, die im bisherigen Verfahren bereits hätten vorgebracht werden können, aber nicht vorgebracht wurden. Echte Noven, also Tatsachen, die erst nach dem angefochtenen Entscheid entstanden sind, sind im Verfahren vor Bundesgericht demgegenüber grundsätzlich unbeachtlich (<ref-ruling> E. 3.1.2; <ref-ruling> E. 2.1).
In ihren Eingaben vom 19. Januar und 17. April 2018 hat die Beschwerdegegnerin zahlreiche Unterlagen eingereicht, die hauptsächlich der Berechnung des geltend gemachten Unterhaltsanspruchs dienen. Wie sie selbst einräumt, handelt es sich hierbei teilweise um echte Noven, welche nach dem Gesagten von vornherein unbeachtlich sind. Soweit es sich um unechte Noven handelt, ist zwischen den Parteien strittig, ob diese vor Bundesgericht noch vorgebracht werden dürfen. Mit Blick auf den Ausgang des Verfahrens, kann diese Frage offenbleiben.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer lebt in der Tschechischen Republik, die Beschwerdegegnerin seit längerem in der Schweiz (vgl. vorne Bst. A.a). Strittig ist damit ein Gesuch um (vorsorglichen) Unterhalt in einem internationalen Verhältnis, wobei das Obergericht die internationale Zuständigkeit der schweizerischen Gerichte zu dessen Beurteilung zu Recht bejaht hat (vgl. Art. 59 Bst. b, Art. 62 und 64 IPRG [SR 291]; betreffend den Unterhalt vgl. auch Art. 5 Ziff. 2 und Art. 31 LugÜ [SR 0.275.12]).
2.2. Der Beschwerdeführer rügt es als willkürlich (<ref-law>), dass das Obergericht in Anwendung des schweizerischen und nicht des tschechischen Rechts über das Gesuch um Unterhalt entschieden hat. Seit Rechtskraft des Scheidungsurteils vom 28. Januar 2014 - dieses sei in der Schweiz inzident anzuerkennen - befinde man sich in der nachehelichen Phase und die Beschwerdegegnerin habe um Zusprechung von nachehelichem Unterhalt ersucht. Damit bestimme sich das anwendbare Recht nach Art. 8 des Haager Übereinkommens vom 2. Oktober 1973 über das auf Unterhaltspflichten anzuwendende Recht (HUÜ; SR 0.211.213.01), der auf das tschechische Recht verweise. Im Zeitpunkt der Einreichung der Klage in der Schweiz sei das Scheidungsurteil in Tschechien sodann absehbar gewesen. Das Verhalten der Beschwerdegegnerin sei daher rechtsmissbräuchlich; die Anwendung des tschechischen Rechts könne hierdurch nicht aufgehoben werden.
2.3. Zur Bestimmung des anwendbaren Rechts hat das Obergericht auf das Haager Unterhaltsübereinkommen abgestellt, was zu Recht nicht strittig ist (Art. 1 und 3 HUÜ; Art. 62 Abs. 3 i.V.m. <ref-law> und dazu statt vieler ZEITER/KOLLER, in: Handkommentar zum Schweizerischen Privatrecht, Internationales Privatrecht, 3. Aufl. 2016, N. 9 zu <ref-law>; ANDREAS BUCHER, Commentaire Romand, Loi sur le droit international privé - Convention de Lugano, 2011, N. 18 zu <ref-law>; LUKAS BOPP, in: Basler Kommentar, Internationales Privatrecht, 3. Aufl. 2013, N. 13 zu <ref-law>).
Nach Ansicht des Obergerichts ist im vorliegenden Massnahmeverfahren allerdings nicht über nachehelichen Unterhalt zu befinden. Vielmehr stehe allein der Unterhalt während des Scheidungsverfahrens im Streit, wobei dieses Verfahren erst mit dem Entscheid nicht nur über den Scheidungspunkt, sondern auch über die Scheidungsnebenfolgen abgeschlossen werde. Damit gelange vorliegend die allgemeine Regelung von Art. 4 Abs. 1 HUÜ zur Anwendung, welche auf das am gewöhnlichen Aufenthalt der unterhaltsberechtigten Person geltende innerstaatliche Recht verweise. Erst der nacheheliche Unterhalt unterliege Art. 8 Abs. 1 HUÜ und erst wenn über diesen Unterhalt zu entscheiden sei, stelle sich die weitere Frage nach der Anerkennung des tschechischen Scheidungsurteils. Diese Sichtweise decke sich mit derjenigen des schweizerischen Prozessrechtes, welches als lex fori zur Anwendung gelange: Gemäss <ref-law> könne das Gericht vorsorgliche Massnahmen auch dann anordnen, wenn die Ehe aufgelöst sei, das Verfahren über die Scheidungsfolgen aber noch andauere. Dies mache deutlich, dass das Scheidungsverfahren seinen Abschluss erst finde, wenn auch über die Nebenfolgen rechtskräftig entschieden sei. Damit sei vorliegend das Recht der Schweiz massgebend, dem gewöhnlichen Aufenthaltsort der Beschwerdegegnerin.
Die Beschwerdegegnerin schliesst sich im Wesentlichen der Vorinstanz an. Die Anwendung des schweizerischen Rechts sei sachgerecht, da die Familie hier gelebt habe, die Unterhaltskosten hier anfielen sowie sämtliche Scheidungsnebenfolgen hier geregelt würden und namentlich auch die güterrechtliche Auseinandersetzung nach diesem Recht erfolge. Ausserdem könne Art. 8 Abs. 1 HUÜ nach seinem klaren Wortlaut erst Anwendung finden, wenn das tschechische Scheidungsurteil formell in der Schweiz anerkannt werde, was bisher nicht geschehen sei. Zudem verweist die Beschwerdegegnerin auf das Haager Protokoll vom 23. November 2007 über das auf Unterhaltspflichten anzuwendende Recht (HUP), welches ebenfalls das schweizerische Recht für anwendbar erkläre.
3.
3.1. Vorab fragt sich, ob das Obergericht ohne Willkür gestützt auf das Haager Unterhaltsübereinkommen schweizerisches Recht zur Anwendung bringen konnte. Hierbei ist zu beachten, dass Thema des Verfahrens in der Hauptsache entsprechend dem Antrag der Beschwerdegegnerin im Gesuch vom 22. Januar 2014 und nach Rechtskraft der in Tschechien ausgesprochenen Scheidung (vgl. vorne Bst. A.a und hinten E. 3.5) einzig noch die Regelung der Scheidungsnebenfolgen ist (vgl. zum Streitgegenstand Urteil 4A_556/2016 vom 19. September 2017 E. 4.1 mit Hinweisen, in: sic! 2018 S. 162). Damit betreffen auch die beantragten vorsorglichen Massnahmen keinen anderen Gegenstand (vgl. LUCIUS HUBER, in: Sutter-Somm et al. [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 3. Aufl. 2016, N. 6 zu <ref-law>; THOMAS SPRECHER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 37 zu <ref-law>; JOHANN ZÜRCHER, in: Brunner et al. [Hrsg.], Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], 2. Aufl. 2016, N. 5 zu <ref-law>) und insbesondere nicht den Unterhalt bis zur Auflösung der Ehe.
Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht; zudem ist erforderlich, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 4.2; <ref-ruling> E. 2.1).
3.2. Das anwendbare Recht bestimmt sich vorliegend wie vorne in E. 2.3 dargelegt nach Massgabe des Haager Unterhaltsübereinkommens. Von vornherein unbehelflich ist daher der Hinweis des Obergerichts auf das schweizerische Prozessrecht, zumal das Übereinkommen nicht unter Rückgriff auf das Landesrecht auszulegen ist (vgl. KURT SIEHR, in: Münchner Kommentar, Internationales Privatrecht, Band 10, 5. Aufl. 2010, N. 12 zu Anhang I zu Art 18 EGBGB [UStA]; allgemein zur Auslegung von Staatsverträgen vgl. <ref-ruling> E. 5.3.1 und 5.3.2 mit Hinweisen).
Gemäss Art. 4 Abs. 1 HUÜ ist für die vom Übereinkommen erfassten Unterhaltspflichten das am gewöhnlichen Aufenthalt der unterhaltsberechtigten Person geltende innerstaatliche Recht massgebend. Abweichend hiervon ist nach Art. 8 Abs. 1 HUÜ in einem Vertragsstaat, in dem die Ehescheidung ausgesprochen oder anerkannt worden ist, für die Unterhaltspflichten zwischen den geschiedenen Ehegatten und die Änderung von Entscheidungen über diese Pflichten das auf die Ehescheidung angewandte Recht massgebend.
3.3. Nach Massgabe von Art. 8 Abs. 1 HUÜ bestimmt sich das anwendbare Recht gemäss dem Wortlaut der Norm folglich dann, wenn ein rechtskräftiges Scheidungsurteil vorliegt bzw. die Scheidung anerkannt ist (vgl. KURT SIEHR, Das Internationale Privatrecht der Schweiz, 2002, S. 61; SUTTER-SOMM/STANISCHEWSKI, in: Sutter-Somm et al. [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 3. Aufl. 2016, N. 48 zu <ref-law>; DANIEL BÄHLER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 14 zu <ref-law>; STAUDINGER/MANKOWSKI, Kommentar zum Bürgerlichen Gesetzbuch, EGBGB/IPR, Neubearbeitung 2003, N. 162 zu Anhang I zu Art. 18 EGBGB, mit Hinweisen).
Entsprechend ist diese Bestimmung massgebend, soweit nachehelicher Unterhalt im Rahmen der Regelung der Scheidungsfolgen beantragt oder die Abänderung eines Scheidungsurteils in diesem Punkt strittig ist (vgl. <ref-ruling> E. 5 S. 295; Urteile 5A_891/2012 vom 2. April 2013 E. 2; 5A_267/2010 vom 31. August 2010 E. 2 und 3, in: FamPra.ch 2010 S. 905; 5C.86/2004 vom 18. August 2004 E. 3.3, in: SJ 2005 I S. 169 und FamPra.ch 2005 S. 131; 5C.5/1991 vom 19. April 1991 E. 5; 5C.37/1988 vom 25. November 1988 E. 3b). Demgegenüber ist für die Regelung des Unterhalts zwischen Ehegatten, die sich im Hinblick auf die Scheidung getrennt haben (vgl. Art. 175 und 176 Abs. 1 Ziff. 1 ZGB), gemäss Art. 4 Abs. 1 HUÜ das am gewöhnlichen Aufenthalt der unterhaltsberechtigten Person geltende Recht massgebend (vgl. <ref-ruling> E. 3a/bb; Urteile 5A_474/2016 und 5A_487/2016 vom 27. Oktober 2016 E. 3; 5A_470/2016 vom 13. Dezember 2016 E. 3; 5C.287/2006 vom 6. Dezember 2007 E. 4, nicht publiziert in: <ref-ruling>; anders dagegen im Fall der Trennung der Eheleute ohne Auflösung des Ehebandes [Art. 8 Abs. 2 HUÜ]; vgl. zu dieser Unterscheidung MICHEL VERWILGHEN, Conférence de La Haye de droit international privé, actes et documents de la douzième session, Tome IV, Obligation alimentaires, Rapport explicativ, 1973, N. 155 S. 448 f.). Ebenfalls nach Art. 4 Abs. 1 HUÜ bestimmt sich das anwendbare Recht, wenn Unterhalt im Rahmen einer vorsorglichen Massnahme während des Scheidungsverfahrens in Frage steht, sofern noch kein rechtskräftiges Scheidungsurteil vorliegt (vgl. Urteile 5A_920/2016 vom 5. Juli 2017 E. 3; 5A_328/2014 vom 18. August 2014 E. 1.2; 5A_103/2011 vom 23. Mai 2011 E. 1.1, in: AJP 2012 S. 1618).
3.4. Mit der Frage des anwendbaren Rechts bei vorsorglich für die Dauer des Verfahrens auf Ergänzung eines Scheidungsurteils beantragtem Unterhalt hat das Bundesgericht sich bisher nicht vertieft auseinanderzusetzen brauchen (vgl. <ref-ruling> E. 2.2; Urteile 5A_163/2015 vom 14. Oktober 2015 E. 2; 5A_393/2010 und 5A_394/2010 vom 9. März 2011 E. 2; 5P.3/2004 vom 26. März 2004 E. 2). Da in dieser Situation ein Scheidungsurteil vorliegt und damit der Unterhalt zwischen geschiedenen Ehegatten in Frage steht, mithin nachehelicher Unterhalt, ist nach dem Ausgeführten auch in dieser Situation Art. 8 Abs. 1 HUÜ massgebend. Damit bestimmen sich die im Hinblick auf die spätere Regelung des nachehelichen Unterhalts getroffenen vorsorglichen Massnahmen nach demselben Recht wie dieser Unterhalt, was allein sachgerecht ist (vgl. DANIEL CANDRIAN, Scheidung und Trennung im internationalen Privatrecht der Schweiz, Diss. St.Gallen, 1994, S. 128; IVO SCHWANDER, Gutachten zur Frage des Internationalen Privat- und des Internationalen Zivilprozessrechts im Zusammenhang mit der Modernisierung des Familienrechts vom 25. Oktober 2013, S. 21; derselbe, Einführung in das internationale Privatrecht, 2. Aufl. 1990, Rz. 667 S. 310; PAUL VOLKEN, in: Zürcher Kommentar zum IPRG, 2. Aufl. 2004, N. 29 zu <ref-law>; vgl. auch HAUSHEER/REUSSER/GEISER, in: Berner Kommentar, 1999, N. 57 zu <ref-law>). Der abweichenden Meinung von MICHEL CZITRON (Die vorsorglichen Massnahmen während des Scheidungsprozesses unter Berücksichtigung des am 1. Januar 1988 in Kraft getretenen neuen Eherechts, des in Revision begriffenen Scheidungsrechts sowie des Prozessrechts und der Praxis im Kanton Zürich, Diss. St. Gallen, 1995, S. 177) kann nicht gefolgt werden. Unbehelflich erweist sich auch der Hinweis der Beschwerdegegnerin auf das HUP, das für die Schweiz derzeit nicht in Kraft steht (vgl. zu diesem Übereinkommen etwa MARCO LEVANTE, Das Haager Übereinkommen und das Protokoll über das auf Unterhaltspflichten anwendbare Recht von 2007, in: Lorandi/Staehelin [Hrsg.], Innovatives Recht, Festschrift für Ivo Schwander, 2011, S. 729 ff.; JANINE SPRENGER, Ehegattenunterhalt und nachehelicher Unterhalt im internationalen Kontext, in: AJP 2017, S. 1062 ff., 1069 ff.).
3.5. Damit bestimmt sich vorliegend das anwendbare Recht nach Art. 8 Abs. 1 des HUÜ, sofern das in der Tschechischen Republik ausgesprochene und unstrittig rechtskräftige Scheidungsurteil in der Schweiz anerkannt ist.
Dies wird von der Beschwerdegegnerin bestritten. Zu Unrecht: Das Regionalgericht hat das Scheidungsurteil im Entscheid vom 28. April 2016 ausdrücklich anerkannt. Zwar nahm es im Entscheiddispositiv von der Scheidung einzig "Vormerk". Aus der Entscheidbegründung, die zur Auslegung des Dispositivs beizuziehen ist (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 3.4), ergibt sich indessen, dass es die Scheidung damit anerkennen wollte, führte es doch aus, es könne vorfrageweise auch im Massnahmeverfahren über die Anerkennung des Scheidungsurteils befinden und stehe dieser nichts entgegen. Das Obergericht hat diese Frage zwar offengelassen. Die Auffassung des Regionalgerichts ist indessen nicht zu beanstanden: Beide Parteien waren im Zeitpunkt der Scheidung Staatsangehörige der Tschechischen Republik (vgl. Art. 1 Abs. 1 und Art. 2 Abs. 3 des Haager Übereinkommens vom 1. Juni 1970 über die Anerkennung von Ehescheidungen und Ehetrennungen [ÜAEE; SR 0.211.212.3]) und der Grundsatz der Einheit des Scheidungsurteils zählt im Kontext der Vollstreckung ausländischer Urteile nicht zum schweizerischen Ordre public (vgl. <ref-ruling> E. 2a; Urteil 5A_599/2009 vom 3. März 2010 E. 3.4), sodass die fehlende Regelung der Nebenfolgen im tschechischen Urteil der Anerkennung nicht entgegensteht (vgl. Art. 10 ÜAEE). Weitere Anerkennungshindernisse (vgl. dazu Art. 7 ff. ÜAEE), sind sodann nicht geltend gemacht oder offensichtlich. Auch hat das Massnahmegericht zulässigerweise über die Anerkennung entschieden (vgl. <ref-law>; Urteil 5A_214/2016 vom 26. August 2016 E. 6; vgl. auch <ref-ruling> E. 5.1.2).
3.6. Nach dem Ausgeführten beurteilt sich der hier vorsorglich geltend gemachte Unterhalt nach dem Recht der Tschechischen Republik und erweist sich die Anwendung des schweizerischen Rechts durch das Obergericht als offensichtlich unhaltbar. Unbestritten sieht sodann das tschechische Recht eine gegenüber dem schweizerischen Recht beschränkte Unterhaltspflicht vor, womit das angefochtene Urteil von vornherein auch im Ergebnis nicht zu überzeugen vermag. Damit ist die Ziffer 3 dieses Urteils in Gutheissung der Beschwerde aufzuheben und die Sache ist, da es nicht Aufgabe des Bundesgerichts ist, in Anwendung des ausländischen Rechts erstmals über den Unterhalt zu entscheiden (vgl. auch Art. 96 Bst. b BGG im Umkehrschluss), entsprechend dem Eventualantrag des Beschwerdeführers zum erneuten Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen (<ref-law>). Die Vorinstanz wird auch über die Kosten des kantonalen Verfahrens neu zu entscheiden haben, weshalb auch die Ziffern 4-7 des angefochtenen Urteils aufzuheben sind.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Kosten des Verfahrens (inkl. den Kosten des Verfahrens betreffend die aufschiebende Wirkung) der unterliegenden Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat dem Beschwerdeführer sodann die gesamten im bundesgerichtlichen Verfahren angefallenen Parteikosten zu ersetzen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, die Ziffern 3-7 des Urteils des Obergerichts des Kantons Bern vom 18. Mai 2017 werden aufgehoben und die Sache wird zum erneuten Entscheid an das Obergericht zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 10'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 12'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Mai 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber