Sachverhalt:
A.
Der jamaikanische Staatsangehörige A._ (geb. 1982) ist mit einer polnischen Staatsangehörigen verheiratet und hat mit ihr drei Kinder (geb. 2010, 2013 und 2014). Die Familie reiste gemeinsam am 9. Mai 2016 in die Schweiz ein, wo die Ehefrau und die Kinder seither aufenthaltsberechtigt sind. Die Ehefrau stellte am 17. Mai 2016 ein Gesuch um Familiennachzug für ihren Ehemann, zog dieses aber am 29. Oktober 2017 unter Hinweis auf die erfolgte Trennung der Ehegatten zurück. Am 17. September 2018 bestätigte das Zivilgericht Basel-Stadt das Getrenntleben gerichtlich.
B.
Am 27. März 2018 beantragte A._ seinerseits die Erteilung einer Bewilligung zum Aufenthalt im Kanton Basel-Stadt. Das Migrationsamt wies das Gesuch am 28. Oktober 2019 ab und verpflichtete ihn zur Ausreise bis spätestens 24. November 2019. A._ erhob dagegen Rekurs an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt. In prozessualer Hinsicht beantragte er, es sei im Sinne einer vorsorglichen Massnahme festzustellen, dass er im Rahmen seines Aufenthalts während des Rekursverfahrens berechtigt sei, einer unselbständigen Arbeitstätigkeit nachzugehen. Eventualiter sei ihm die Ausübung einer unselbständigen Arbeitstätigkeit während des Rekursverfahrens zu bewilligen. Mit Zwischenentscheid vom 13. November 2019 wies das Departement den Antrag auf Erlass einer vorsorglichen Massnahme ab und beschied dem Rekurrenten, dass ihm die Aufnahme einer Erwerbstätigkeit bis zum rechtskräftigen Abschluss des Rekursverfahrens nicht gestattet sei. Den dagegen erhobenen Rekurs wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Urteil vom 27. April 2020 unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab.
C.
A._ erhebt am 9. Juni 2020 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht mit dem Antrag, das Urteil vom 27. April 2020 sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass er im Rahmen seines Aufenthalts während des Rekursverfahrens berechtigt sei, einer unselbständigen Arbeitstätigkeit nachzugehen; eventualiter sei ihm die Ausübung einer unselbständigen Arbeitstätigkeit während des Rekursverfahrens zu bewilligen, subeventualiter sei die Angelegenheit zur neuen Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem beantragt er die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Das Appellationsgericht und das Justiz- und Sicherheitsdepartement beantragen die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzliches Urteil betreffend einen Zwischenentscheid über vorsorgliche Massnahmen. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382). Dort geht es um die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung, wobei sich der Beschwerdeführer in vertretbarer Weise auf einen Rechtsanspruch u.a. gestützt auf Art. 8 EMRK beruft. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten steht insoweit zur Verfügung (Art. 82 lit. a, Art. 83 lit. c Ziff. 2 sowie Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG).
1.2. Gegen den angefochtenen Zwischenentscheid ist die Beschwerde nur zulässig, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>). Der Beschwerdeführer wird durch den Zwischenentscheid daran gehindert, während des Verfahrens einer Erwerbstätigkeit nachzugehen. Der daraus entstehende Nachteil - u.a. wird dem Beschwerdeführer verwehrt, seine berufliche Integration voranzutreiben - kann auch durch einen günstigen Endentscheid nicht behoben werden. Die Voraussetzungen von <ref-law> liegen vor. Inzwischen hat das Justiz- und Sicherheitsdepartement über den Rekurs entschieden, so dass eine vorsorgliche Massnahme gegenstandslos ist. Es rechtfertigt sich aber trotzdem auf die Beschwerde einzutreten (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 143).
1.3. Der angefochtene Entscheid betrifft eine vorsorgliche Massnahme, so dass einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann (<ref-law>). Als verfassungsmässige Rechte gelten auch Rechte, die durch internationale Menschenrechtskonventionen garantiert werden (<ref-ruling> E. 1b S. 2; <ref-ruling> E. 5a S. 255; Urteil 2C_756/2015 vom 3. April 2017 E. 1.3.10, nicht publ. in <ref-ruling>); abgesehen davon kann im Rahmen von <ref-law> auch die Verletzung von Völkerrecht nur auf Willkür hin überprüft werden (Urteil 2C_253/2017 vom 30. Mai 2017 E. 2). Das Bundesgericht prüft Rügen wegen Verletzung verfassungsmässiger Rechte nur insofern, als sie in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind (<ref-law>). In der Beschwerde ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 5). Auf Rügen, die nicht rechtsgenüglich vorgebracht und begründet werden, geht das Bundesgericht nicht ein.
2.
Vorab ist darauf hinzuweisen, dass sich weder aus dem angefochtenen Urteil noch den Akten ergibt, dass dem Beschwerdeführer der Aufenthalt in der Schweiz während des Rekursverfahrens untersagt worden ist. Zwar hat das Migrationsamt in der Verfügung vom 28. Oktober 2019 erwogen, dass sich der Beschwerdeführer mittlerweile rechtswidrig in der Schweiz aufhalte und kein Anlass bestehe, ihm gestützt auf <ref-law> (SR 142.20) den Aufenthalt während des Verfahrens in der Schweiz zu gestatten. In der Folge sind aber sowohl das Departement wie auch das Appellationsgericht offenkundig davon ausgegangen, dass der Beschwerdeführer den Ausgang des Rekursverfahrens in der Schweiz abwarten darf. Der Streitgegenstand vor Bundesgericht beschränkt sich deshalb darauf, ob die Vorinstanzen dem Beschwerdeführer zu Recht eine Arbeitstätigkeit während des Rekursverfahrens untersagt haben.
3.
3.1. Die Vorinstanz hat in einem ersten Schritt die allgemeinen Voraussetzungen für den Erlass vorsorglicher Massnahmen dargelegt (vgl. E. 2.1 des angefochtenen Urteils). Sie hat in der Folge erwogen, dass sich der Beschwerdeführer nicht auf einen offensichtlich bestehenden Anspruch gestützt auf das Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (FZA; SR 0.142.112.681) berufen könne und die Frage, inwieweit ein landesrechtlicher bzw. konventionsrechtlicher Aufenthaltsanspruch bestehe, im Verfahren in der Sache zu klären sei (vgl. E. 3 des angefochtenen Urteils). Vor diesem Hintergrund sei aufgrund einer summarischen Prüfung der Sach- und Rechtslage die Abwägung der Interessen vorzunehmen. Die Vorinstanz habe zutreffend festgestellt, dass keine gesetzliche Grundlage für die Ausübung einer Erwerbstätigkeit während eines laufenden Bewilligungsverfahrens bestehe. Die gesetzgeberische Wertung von <ref-law>, wonach das Bewilligungsverfahren grundsätzlich im Ausland abzuwarten sei, sei auch beim Gesuch um vorläufige Bewilligung der Erwerbstätigkeit zu berücksichtigen. Deshalb könne auf ein erhebliches öffentliches Interesse geschlossen werden, dass am Erwerbsleben in der Schweiz nur teilnehmen könne, wer die rechtlichen Voraussetzungen dafür erfülle und über einen bewilligten Aufenthalt verfüge. Zwar besitze der Beschwerdeführer ein erhebliches persönliches Interesse daran, bis zum Entscheid über sein Bewilligungsgesuch seinen Unterhalt selber bestreiten zu können, doch bestreite er in dieser Hinsicht nicht, dass es ihm möglich sei, während der Dauer des Verfahrens im Ausland einer Erwerbstätigkeit nachzugehen. Deshalb sei kein überwiegendes privates Interesse erkennbar. In Beachtung des grossen Beurteilungsspielraums, welcher der Vorinstanz bei der Interessenabwägung zustehe, sei der Zwischenentscheid daher zu bestätigen (vgl. E. 4 des angefochtenen Urteils).
3.2. Der Beschwerdeführer bringt zusammengefasst vor, das angefochtene Urteil verstosse gegen das Diskriminierungsverbot nach <ref-law> und Art. 2 FZA, den Anspruch auf Achtung des Privat- und Familienlebens nach Art. 8 EMRK, die Verfahrensgarantien nach <ref-law> und Art. 11 FZA sowie das Übereinkommen vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (Kinderrechtskonvention, KRK; SR 0.107). Seine Ehefrau und die gemeinsamen Kinder hätten gestützt auf das FZA ein Verbleiberecht in der Schweiz. Er könne sich weiterhin auf das FZA berufen, weil der Ehewille trotz Getrenntleben noch nicht vollständig erloschen sei. Selbst wenn von einer unheilbar zerrütteten Ehe ausgegangen werde, könne er seinen weiteren Aufenthalt aus <ref-law> ableiten, da die Ehe in Polen über sechs Jahre lang gelebt worden sei. Schliesslich habe er auch einen Aufenthaltsanspruch nach <ref-law> i.V.m. Art. 8 EMRK, weil er eine intensive Beziehung zu seinen drei Kindern unterhalte.
3.3.
3.3.1. Im Kern stützt sich das angefochtene Urteil auf eine analoge Anwendung von <ref-law>. Diese Bestimmung sieht vor, dass eine ausländische Person, die für einen vorübergehenden Aufenthalt rechtmässig eingereist ist und nachträglich ein Bewilligungsgesuch stellt oder ihren illegalen Aufenthalt durch ein Bewilligungsgesuch zu legalisieren versucht, den Entscheid im Ausland abzuwarten hat (<ref-ruling> E. 2.1 S. 40). Beides trifft auf den Beschwerdeführer nicht zu. Weder ist er für einen vorübergehenden Aufenthalt im Sinne von <ref-law> eingereist noch kann ihm vorgeworfen werden, er halte sich illegal in der Schweiz auf. Die kantonalen Behörden machen nicht geltend, dass sich der Beschwerdeführer im Zeitpunkt der Einreise nicht auf die Bestimmungen des FZA berufen konnte; er war deshalb mutmasslich zum Aufenthalt in der Schweiz und zur Ausübung einer Erwerbstätigkeit berechtigt (Art. 3 Abs. 5 Anhang I FZA). Dass er sich seit mittlerweile 4,5 Jahren in der Schweiz ohne Aufenthaltsbewilligung aufhält, ist hauptsächlich auf die lange Verfahrensdauer zurückzuführen und insoweit den kantonalen Behörden anzulasten, wobei darauf hinzuweisen ist, dass der Aufenthaltsbewilligung im Bereich des FZA von vornherein nur eine deklaratorische Bedeutung zukommt (<ref-ruling> E. 2.2 S. 332 f.). Vor dem Hintergrund, dass sich der Beschwerdeführer in vertretbarer Weise auf einen Aufenthaltsanspruch berufen kann (vgl. vorne E. 1.1) und ihm der vorläufige Aufenthalt denn auch bewilligt worden ist (vorne E. 2), muss das Heranziehen von <ref-law> als willkürlich bezeichnet werden. Unter Berücksichtigung der Besonderheiten des vorliegenden Falles erscheint die analoge Anwendung der Bestimmungen über die Bewilligungsverlängerung (Art. 59 Abs. 2 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit [VZAE; SR 142.201]) als sachgerecht, auch wenn es sich formell um die erstmalige Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung handelt. Somit ist der Beschwerdeführer während des Bewilligungsverfahrens (weiterhin) zur Ausübung einer Erwerbstätigkeit berechtigt.
3.3.2. Es kommt hinzu, dass auch die Interessenabwägung der Vorinstanz einer Willkürprüfung nicht standhält. Zu Recht hat das Appellationsgericht festgehalten, dass der Beschwerdeführer ein erhebliches persönliches Interesse besitzt, während des Bewilligungsverfahrens seinen Unterhalt selber bestreiten zu können. Denn seine berufliche Integration und die wirtschaftliche Beziehung zu seinen Kindern wird beim Sachentscheid zu berücksichtigen sein, wenn die behaupteten Aufenthaltsansprüche nach <ref-law> bzw. Art. 8 EMRK geprüft werden. Das allgemeine öffentliche Interesse, wonach grundsätzlich nur jene Personen am Erwerbsleben in der Schweiz teilnehmen sollen, die über ein bewilligtes Aufenthaltsrecht verfügen, vermag dieses persönliche Interesse nicht aufzuwiegen. Dabei ist auch zu berücksichtigen, dass es nicht im öffentlichen Interesse liegt, einem Ausländer den Aufenthalt während des Bewilligungsverfahrens zu gestatten und ihm gleichzeitig die Ausübung einer Erwerbstätigkeit zu verbieten, sodass letztlich die öffentliche Hand für seinen Unterhalt aufkommen muss, obwohl er ihn selber bestreiten könnte.
3.3.3. Erweist sich das Verbot einer Erwerbstätigkeit während des Rekursverfahrens bereits aus den vorstehenden Erwägungen als willkürlich, muss auf die übrigen Rügen in der Beschwerde nicht weiter eingegangen werden. Die Beschwerde ist gutzuheissen und das angefochtene Urteil aufzuheben. Der Beschwerdeführer ist berechtigt, während des Rekursverfahrens eine unselbständige Erwerbstätigkeit auszuüben. Zur Neuverlegung der Kosten- und Entschädigungsfolgen im kantonalen Verfahren ist die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen.
4.
Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Der Kanton Basel-Stadt hat dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Damit wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 27. April 2020 aufgehoben. Es wird festgestellt, dass der Beschwerdeführer berechtigt ist, während des Rekursverfahrens eine unselbständige Erwerbstätigkeit auszuüben.
2.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an die Vorinstanz zurückgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Der Kanton Basel-Stadt hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. November 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Businger