Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1961 geborene A._ arbeitete seit 1. August 1990 als Kurier bei der B._ AG. Am 1. März 2005 meldete er sich bei der IV-Stelle des Kantons Zürich zum Leistungsbezug an. Diese verneinte mit unangefochtener Verfügung vom 6. Mai 2008 einen Leistungsanspruch.
A.b. Vom 7. Juli 2014 bis 31. März 2017 arbeitete A._ bei der Stiftung C._ zu 80 % als Betriebsallrounder. Am 31. Mai 2017 meldete er sich bei der IV-Stelle erneut zum Leistungsbezug an. Diese übernahm die Kosten für ein Belastbarkeitstraining bei der Arbeitsintegration D._ vom 10. September bis 9. Dezember 2018. Diese Massnahme wurde per 9. November 2018 frühzeitig beendet. Mit Verfügung vom 20. Juni 2019 verneinte die IV-Stelle einen Leistungsanspruch des Versicherten, da bei ihm keine dauerhafte Arbeitsunfähigkeit vorliege.
B.
Die hiergegen von A._ erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 5. Juni 2020 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei ihm eine Rente zuzusprechen. Eventuell sie die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie weitere medizinische Abklärungen vornehme. Für das bundesgerichtliche Verfahren sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG). Als Rechtsfrage gilt, ob die rechtserheblichen Tatsachen vollständig festgestellt und ob der Untersuchungsgrundsatz bzw. die Beweiswürdigungsregeln nach <ref-law> beachtet wurden. Gleiches gilt für die Frage, ob den medizinischen Gutachten und Arztberichten im Lichte der rechtsprechungsgemässen Anforderungen Beweiswert zukommt (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Bei den aufgrund dieser Berichte getroffenen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit und bei der konkreten Beweiswürdigung geht es um Sachverhaltsfragen (nicht publ. E. 1 des Urteils <ref-ruling>).
2.
Die Vorinstanz hat die rechtlichen Grundlagen und die Rechtsprechung betreffend die Erwerbsunfähigkeit (<ref-law>), die Invalidität (<ref-law>), die Voraussetzungen des Rentenanspruchs (<ref-law>), die bei der Neuanmeldung analog anwendbaren Revisionsregeln (<ref-law>; Art. 87 Abs. 2 f. IVV; <ref-ruling> E. 2.3 S. 10, 585 E. 5.3 in fine S. 588; <ref-ruling> E. 3 S. 132, 117 V 198 E. 3a) und den Beweiswert ärztlicher Berichte (E. 1 hiervor; <ref-ruling> E. 5.2 S. 229, 135 V 465 E. 4.4 S. 470, 125 V 351 E. 3a S. 352 f.) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3.
Streitig ist, ob die vorinstanzliche Verneinung eines Rentenanspruchs des Beschwerdeführers vor Bundesrecht standhält.
Die Vorinstanz erwog im Wesentlichen, Grundlage der leistungsablehnenden Verfügung vom 6. Mai 2008 sei das polydisziplinäre Gutachten des Medizinischen Zentrums Römerhof (MZR), Zürich, vom 14. Januar 2008 gewesen. Hierin sei ein somatischer Gesundheitsschaden mit einer dauerhaften Einschränkung der Arbeitsfähigkeit in der bisherigen Tätigkeit verneint worden. In psychischer Hinsicht habe eine Affektlabilität mit teilweise aggressiven Impulsausbrüchen bei akzentuierter Persönlichkeit bestanden. In der bisherigen Tätigkeit sei keine Arbeitsunfähigkeit attestiert worden. Somatischerseits liessen sich seit damals keine relevanten Veränderungen erkennen. Es lägen nur die Berichte des Hausarztes Dr. med. E._, Allgemeine Medizin FMH, vom 19. März und 23. November 2018 vor, der als somatische Diagnose ohne eigene Befundaufnahme bloss eine Osteochondrose aufgeführt habe. Dr. med. F._, Facharzt für Innere Medizin, Regionaler Ärztlicher Dienst (RAD) der IV-Stelle, habe in der Stellungnahme vom 15. März 2019 zutreffend erkannt, dass die Rückenproblematik des Beschwerdeführers mit geringgradigen degenerativen Veränderungen, statischer Dysbalance, initialer Unkarthrose zervikal sowie diskreter Spondylarthrose LWK 4/5 und LWK 5/SWK1 bereits den MZR-Ärzten im Jahr 2008 bekannt gewesen sei. Den Berichten des Dr. med. E._ lasse sich diesbezüglich keine Verschlechterung entnehmen. Somit handle es sich bei seiner Arbeitsfähigkeitsschätzung bloss um eine andere Beurteilung desselben Sachverhalts, die keine gesundheitliche Veränderung belege. Weiter erwog die Vorinstanz, auch gemäss der Beurteilung des RAD-Psychiaters G._ vom 30. April 2019 liege einzig eine andere Beurteilung eines unveränderten Sachverhalts vor. Die Psychiaterin Dr. med. H._ und der Psychotherapeut I._ hätten zwar in den Berichten vom 12. August und 22. Dezember 2017 sowie 18. Dezember 2018 andere Diagnosen gestellt als die MZR-Gutachter im Jahr 2008. Indessen seien sämtliche von Dr. med. H._ und vom Psychotherapeuten I._ gestellten Diagnosen von den behandelnden Ärzten bereits in den Jahren 2005 bis 2007 und somit vor der erstmaligen Leistungsabweisung genannt worden. Hinsichtlich der von Dr. med. H._ und vom Psychotherapeuten I._ erhobenen psychopathologischen Befunde und Funktionseinschränkungen sei keine wesentliche Änderung seit dem MZR-Gutachten zu erkennen. So seien insbesondere die Antriebslosigkeit, die rasche Ermüdbarkeit, die Schlafstörungen, der soziale Rückzug und das eingeschränkte Denken auf die schwierige psychosoziale Situation sowie die erlittenen Kränkungen und Mobbingerfahrungen bereits im MZR-Gutachten beschrieben worden. Soweit Dr. med. H._ und der Psychotherapeut I._ eine Erwerbstätigkeit aufgrund einer deutlich reduzierten Belastbarkeit und einer sehr geringen Stressresistenz als nicht mehr möglich erachtet hätten, seien diese Eigenschaften ebenfalls bereits von den MZR-Gutachtern gewürdigt worden, indem sie Tätigkeiten mit besonderen Stressoren und hohen Anforderungen an die soziale Kompetenz als ungeeignet erachtet hätten. Wenn Dr. med. H._ und der Psychotherapeut I._ eine vollständige Arbeitsunfähigkeit des Versicherten mit dem Verlauf der Integrationsmassnahme begründet hätten, belege dies keine Veränderung des Gesundheitszustands. Insgesamt habe sich dieser weder somatisch noch psychisch wesentlich geändert, weshalb die angefochtene Verfügung rechtens sei.
4.
Der Beschwerdeführer macht geltend, im Rahmen der Einreichung seines Leistungsgesuchs vom 31. Mai 2017 sei der damals zuständige RAD-Arzt Dr. med. K._, Facharzt Orthopädische Chirurgie und Traumatologie, am 28. September 2017 der Ansicht gewesen, sein Gesundheitszustand habe sich gestützt auf die eingereichten Arztberichte verschlechtert. Dem ist entgegenzuhalten, dass sich Dr. med. K._ damals zur Frage der IV-Stelle geäussert hat, ob auf das Leistungsgesuch des Beschwerdeführers einzutreten sei. Eine umfassende Prüfung des Leistungsbegehrens fand damit noch nicht statt (vgl. zum Ganzen Art. 87 Abs. 2 f. IVV; <ref-ruling> E. 2.2 S. 72, 117 V 198 E. 4b S. 200).
5.
5.1. In somatischer Hinsicht bringt der Beschwerdeführer im Wesentlichen vor, gemäss dem Bericht der Stiftung C._ vom 30. März 2017 habe er in den letzten Monaten des Einsatzes vermehrt an Nackenschmerzen gelitten, weshalb das Arbeitsverhältnis habe abgebrochen werden müssen. Seine physische Erkrankung sei mit dem realen Arbeitsmarkt nicht kompatibel. In den Berichten des Hausarztes und der Arbeitsintegration D._ fänden sich Hinweise, dass sich die somatische Situation seit dem MZR-Gutachten vom 14. Januar 2008 verschlechtert habe. Laut dem Bericht der Arbeitsintegration D._ vom 26. (recte 20.) November 2018 hätten u.a. die konstant auftretenden Rücken- und Nackenschmerzen zu vielen Absenzen und zum Trainingsabbruch geführt. Bei der Osteochondrose handle es sich um eine schleichende Erkrankung, die sich über die Jahre verschlechtere. Zudem sei das MZR-Gutachten vom 14. Januar 2008 mangelhaft gewesen, da darin seine Trichterbrust nicht erwähnt worden sei. Es sei denkbar, dass sie Auswirkungen auf seine Leistungsfähigkeit habe. Aufgrund des Untersuchungsgrundsatzes wären somit weitere Abklärungen angezeigt gewesen.
5.2.
5.2.1. Praxisgemäss genügt es für die Anerkennung eines verschlechterten Gesundheitszustandes nicht, dass im Vergleich zu früheren ärztlichen Einschätzungen abweichende Diagnosen gestellt werden und eine höhere Arbeitsunfähigkeit attestiert wird. Notwendig ist vielmehr eine veränderte Befundlage (Urteile 8C_170/2020 vom 2. Juli 2020 E. 2.3 und 8C_664/2019 vom 8. April 2020 E. 4.1).
5.2.2. Dr. med. F._ kam am 15. März 2019 zum Schluss, der somatische Gesundheitszustand des Beschwerdeführers sei seit dem MZR-Gutachten vom 14. Januar 2008 unverändert. Was er vorbringt, lässt keine auch nur geringen Zweifel an dieser Beurteilung aufkommen (vgl. <ref-ruling> E. 8.5 S. 105). Die Vorinstanz hat nämlich anhand der medizinischen Akten einlässlich und nachvollziehbar begründet, dass somatischerseits eine rechtserheblich veränderte Befundlage nicht erstellt sei, woran auch die Berichte des Dr. med. E._ nichts änderten (vgl. E. 3 hiervor). Die Einwände des Beschwerdeführers vermögen zu keinem anderen Ergebnis zu führen. Soweit er sich zusätzlich auf seine Trichterbrust beruft, ist dem entgegenzuhalten, dass selbst Dr. med. E._ eine damit verbundene Einschränkung der Arbeitsfähigkeit nicht erwähnte. Aus seinen Verweisen auf die Berichte der Stiftung C._ vom 30. März 2017 und der Arbeitsintegration D._ vom 20. November 2018 kann der Beschwerdeführer im Lichte der medizinischen Aktenlage ebenfalls nicht zu seinen Gunsten ableiten.
Nach dem Gesagten stellte die Vorinstanz zu Recht auf die Aktenbeurteilung des Dr. med. F._ vom 15. März 2019 ab. Sie erfüllt die Beweisanforderungen an eine beweiskräftige medizinische Aktenstellungnahme (hierzu siehe SVR 2010 UV Nr. 17 S. 63, 8C_239/2008 E. 7.2; RKUV 1993 Nr. U 167 S. 95 E. 5d).
6.
6.1. In psychischer Hinsicht wendet der Beschwerdeführer im Wesentlichen ein, im MZR-Gutachten vom 14. Januar 2008 sei weder eine relevante depressive Störung noch eine somatoforme Schmerzstörung diagnostiziert worden. Die behandelnde Psychiaterin Dr. med. H._ habe am 12. August 2017 eine rezidivierende depressive Störung, gegenwärtig mittelgradige depressive Episode mit somatischem Syndrom (ICD-10 F33.11) sowie den Verdacht auf eine posttraumatische Belastungsstörung (ICD F43.1) und auf eine kombinierte Persönlichkeitsstörung (ICD-10 F61.0) diagnostiziert. Gemäss dem Bericht der Stiftung C._ vom 30. März 2017 habe er in den letzten Einsatzmonaten vermehrt an Depressionen und psychosomatisch bedingten Nackenschmerzen gelitten, weshalb das Arbeitsverhältnis habe abgebrochen werden müssen. Seine psychische Erkrankung sei mit dem realen Arbeitsmarkt nicht kompatibel. Gemäss dem Bericht der D._ vom 20. November 2018 hätten u.a. die Schlafstörungen und die Symptome der Depression zu vielen Absenzen und zum Trainingsabbruch geführt. Der RAD-Psychiater Dr. med. G._ sei auf die ausführliche Begründung der Dr. med. H._, weshalb sich seine Arbeitsfähigkeit seit 2007 verringert habe, nicht eingegangen. Auch habe er sich nicht damit befasst, dass er während 2 1⁄2 Jahren zu 80 % als Betriebsmitarbeiter und Chauffeur habe arbeiten können. Sein kurzer, pauschaler und oberflächlicher Bericht sei kein rechtsgenüglicher Aktenbericht.
6.2.
6.2.1. Unbehelflich ist die Berufung des Beschwerdeführers auf die von Dr. med. H._ am 12. August 2017 gestellten blossen Verdachtsdiagnosen der posttraumatischen Belastungsstörung (ICD F43.1) und der kombinierten Persönlichkeitsstörung (ICD-10 F61.0). Denn damit sind diese Leiden nicht mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit erstellt (Urteil 8C_113/2020 vom 27. März 2020 E. 8.2.2.1).
6.2.2. Die Vorinstanz stellte auf die Einschätzung des RAD-Psychiaters G._ vom 30. April 2019 ab, wonach in psychischer Hinsicht seit dem MZR-Gutachten vom 14. Januar 2008 keine relevante Veränderung des Gesundheitszustandes eingetreten ist. Die Vorbringen des Beschwerdeführers erwecken keine auch nur geringen Zweifel an seiner Beurteilung. Auch diesbezüglich legte die Vorinstanz anhand der medizinischen Akten eingehend und schlüssig dar, dass eine rechtserheblich veränderte Befundlage nicht erwiesen sei (vgl. E. 3 und E. 5.2.1 hiervor). Die Einwände des Beschwerdeführers vermögen zu keinem anderen Ergebnis zu führen. Die Beurteilung des Dr. med. G._ ist zwar knapp, aber ausreichend ausgefallen. Bekannt war ihm insbesondere auch der vom Beschwerdeführer u.a ins Feld geführte Bericht der Stiftung C._ vom 30. März 2017 betreffend seine dortige 80%ige Tätigkeit. Inwiefern durch eine persönliche psychiatrische Untersuchung des Beschwerdeführers zusätzliche Erkenntnisse hätten gewonnen werden können, ist nicht ersichtlich (hierzu vgl. E. 7 hiernach).
6.2.3. Da sich nach dem Gesagten der psychische Zustand des Beschwerdeführers seit der leistungsablehnenden Verfügung vom 6. Mai 2008 nicht erheblich verändert hat, ist es nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz keine Indikatorenprüfung nach <ref-ruling> vornahm (vgl. Urteil 8C_603/2019 vom 22. November 2019 E. 6.2).
7.
Insgesamt kann entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers nicht gesagt werden, die Vorinstanz habe zu Unrecht ohne weitere Abklärungen ihr medizinisches Ermessen der Auffassung der behandelnden Arztpersonen vorgezogen. Vielmehr setzte sie sich eingehend mit den medizinischen Akten auseinander und legte nachvollziehbar dar, weshalb auf die Aktenbeurteilungen der RAD-Ärzte abzustellen sei (vgl. E 3 und E. 5.2.1 hiervor). Der Beschwerdeführer vermag nicht hinreichend darzulegen, dass die Vorinstanz den rechtserheblichen Sachverhalt offensichtlich unrichtig oder sonstwie bundesrechtswidrig festgestellt hätte. Da von weiteren medizinischen Abklärungen keine entscheidrelevanten Resultate zu erwarten waren, durfte die Vorinstanz darauf verzichten. Dies verstösst weder gegen den Untersuchungsgrundsatz (<ref-law>) noch gegen die Ansprüche auf rechtliches Gehör (<ref-law>) sowie freie Beweiswürdigung und Beweisabnahme (<ref-law>; antizipierte Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 6.5 S. 368 f., 136 I 229 E. 5.3 S. 236; Urteil 8C_54/2020 vom 26. Mai 2020 E. 11.5).
8.
Der unterliegende Beschwerdeführer trägt die Gerichtskosten (<ref-law>). Die unentgeltliche Rechtspflege kann ihm gewährt werden (<ref-law>). Er hat der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn er später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen. Rechtsanwältin Lotti Sigg wird als seine unentgeltliche Anwältin bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Der Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. November 2020
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Jancar