Sachverhalt:
A.
A._ stellte am 18. März 2020 bei der Kantonspolizei St. Gallen Strafantrag gegen B._ wegen Ehrverletzung. Dieser habe bei einem Schlichtungsverfahren nach Art. 202 ff. ZPO geäussert, Beweise zu haben, wonach er (A._) mit Schwarzgeld Geschäfte betreibe; diese Äusserung sei nicht näher konkretisiert worden; es seien weiter "mit hohem Puls so Fragmente aufgeworfen worden. Von CHF 10'000.00... von Subunternehmer bestochen". B._ seinerseits erklärte in der polizeilichen Befragung, A._ habe ihn damit attackiert, dass er ihm Schwarzgeld unterstelle; das habe er aber überhaupt nicht gesagt, das habe er (A._) ja selbst gesagt.
Die Staatsanwaltschaft St. Gallen (Untersuchungsamt) nahm die Strafanzeige am 16. April 2020 nicht anhand. B._ sei nicht geständig, die vorgeworfenen Äusserungen getätigt zu haben. Vermittlungsgespräche würden nicht protokolliert und unterlägen dem Amtsgeheimnis. Die Verfahrensleitung repräsentiere nicht die Öffentlichkeit. Somit seien die Aussagen, sofern diese tatsächlich geäussert worden seien, nicht geeignet, den Ruf des Klägers zu schädigen, weshalb die Tatbestandselemente der üblen Nachrede nicht erfüllt seien.
B.
Die Anklagekammer des Kantons St. Gallen wies am 23. Juni 2020 die von A._ gegen die Nichtanhandnahmeverfügung erhobene Beschwerde ab.
C.
A._ beantragt mit Beschwerde in Strafsachen, den vorinstanzlichen Entscheid aufzuheben und das Untersuchungsamt St. Gallen anzuweisen, das Strafverfahren zu eröffnen und fortzusetzen.
D.
Die Vorinstanz führt in ihrer Vernehmlassung zum Beschwerdevorwurf einer Gehörsrechtsverletzung durch Verweigerung der Akteneinsicht aus, dem Beschwerdeführer sei im Zuge des Schriftenwechsels am 14. Mai 2020 die Vernehmlassung der Staatsanwaltschaft samt Aktenverzeichnis der Strafakten eingeschrieben zugestellt worden (mit Hinweis auf AK-act. 9). Dies entspreche dem üblichen Ablauf und solle den Beschwerdeführer in die Lage versetzen, (1.) sein Replikrecht auszuüben sowie (2.) in Kenntnis der vorhandenen Strafakten gemäss Aktenverzeichnis, sofern nötig, ein gezieltes Einsichtsgesuch zu stellen. Erfahrungsgemäss seien auf Stufe des Beschwerdeverfahrens die Akten bereits ganz oder zumindest mehrheitlich bekannt.
Der Beschwerdeführer liess sich nach Zustellung dieser vorinstanzlichen Vernehmlassung nicht vernehmen.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer erklärte anlässlich seines Strafantrags bei der Kantonspolizei St. Gallen am 23. März 2020, sich als Strafkläger zu beteiligen und über eine Zivilklage erst später zu entscheiden. Er prozessiert vor Bundesgericht in der Parteistellung einer Privatklägerschaft. Als solche gilt nach der gesetzlichen Definition die geschädigte Person, die ausdrücklich erklärt hat, sich am Strafverfahren als Straf- oder Zivilklägerin zu beteiligen (Art. 118 Abs. 1 StPO). Als geschädigt gilt die Person, die durch die Straftat in ihren Rechten unmittelbar verletzt worden ist (Art. 115 Abs. 1 StPO; vgl. <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 80). Die zur Stellung eines Strafantrags berechtigte Person gilt in jedem Fall als geschädigte Person (Art. 115 Abs. 2 StPO). Die geltend gemachten Ehrverletzungen sind Antragsdelikte.
1.2. Die Berechtigung zur Beschwerde in Strafsachen richtet sich nach dem Bundesgesetz über das Bundesgericht (BGG; SR 173.110). Der Privatklägerschaft wird ein rechtlich geschütztes Interesse an der Beschwerde in Strafsachen nur zuerkannt, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Dies verlangt grundsätzlich, dass sie bereits adhäsionsweise Zivilforderungen geltend gemacht hat. Bei Nichtanhandnahme oder Einstellung des Strafverfahrens wird auf dieses Erfordernis verzichtet, da die Bezifferung und Begründung spätestens beim Parteivortrag in der Hauptverhandlung noch erfolgen kann (Art. 123 Abs. 2 i.V.m. Art. 346 Abs. 1 lit. b StPO). In jedem Fall muss die Privatklägerschaft im Verfahren vor Bundesgericht darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderungen auswirken kann, sofern dies, etwa aufgrund der Natur der untersuchten Straftat, nicht ohne Weiteres aus den Akten ersichtlich ist (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 247 f., 219 E. 2.4 S. 222 f.). An die Begründung werden strenge Anforderungen gestellt (<ref-ruling> E. 1.1 S. 4 f.; Urteil 6B_1285/2019 vom 22. Dezember 2020 E. 2.4.1).
1.3. Der Beschwerdeführer erklärt, die Voraussetzung von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG sei erfüllt, da er sich beim Strafantrag vom 23. März 2020 einen Entscheid darüber, ob er Zivilklage erheben möchte, vorbehalten habe. Hätte er, wie beantragt, Einsicht in die Akten und von der Einvernahme des Beschwerdegegners Kenntnis erhalten, hätte er mit einiger Sicherheit zumindest eine Genugtuung beantragt, deren Höhe sich nach den Umständen des konkreten Falls bemesse. Das Untersuchungsamt sei ihm mit der Nichtanhandnahme zuvorgekommen (Beschwerde S. 2).
Diese Erklärung des Beschwerdeführers ist unbehelflich. Eine Zivilforderung lässt sich nicht damit begründen, dass man sie sich im kantonalen Verfahren vorbehalten hat oder dass im kantonalen Verfahren die Akteneinsicht nicht gewährt worden sei. Damit ist nicht dargelegt, welche Schadenersatzansprüche der Beschwerdeführer aus der behaupteten Ehrverletzung abzuleiten gedenkt. Genugtuungsforderungen bestehen bei Ehrverletzungsdelikten nur, wenn es die Schwere der Verletzung rechtfertigt; der Eingriff muss aussergewöhnlich schwer sein und in seinen Auswirkungen das Mass einer Aufregung oder einer alltäglichen Sorge klar übersteigen. Entsprechend ist vor Bundesgericht in jedem Einzelfall aufzuzeigen, inwiefern die angebliche Ehrverletzung objektiv und subjektiv derart schwer wiegen soll, dass sie eine Genugtuung rechtfertigt (Urteile 6B_1046/2020 vom 16. November 2020 E. 3; 6B_803/2019 vom 21. August 2019 E. 3.2). Es ist weder "nach den Umständen des konkreten Falles" noch "aufgrund der Natur der behaupteten Straftat ohne Weiteres" ersichtlich, welche Schaden- oder Genugtuungsforderungen der Beschwerdeführer geltend machen will. Dass Ehrverletzungen grundsätzlich Zivilforderungen begründen können, genügt nicht. Der Beschwerdeführer ist zur Sache nicht legitimiert. Auf die vorinstanzliche Würdigung der Aussagen der beiden Kontrahenten und die fragliche Tatbestandsmässigkeit der Äusserungen ist somit nicht einzutreten.
1.4. Unbesehen der fehlenden Legitimation in der Sache kann vor Bundesgericht gerügt werden, im kantonalen Verfahren seien Parteirechte verletzt worden ("Star-Praxis"; <ref-ruling> E. 1.1 S. 4 f.). Zulässig sind Rügen, die formeller Natur sind und von der Prüfung der Sache getrennt werden können; unzulässig sind daher auch Rügen, die im Ergebnis (d.h. indirekt) auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen (<ref-ruling> E. 2 S. 79).
In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, "inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt" (Art. 42 Abs. 2 BGG). Eine qualifizierte Begründungspflicht obliegt, soweit die Verletzung von Grundrechten einschliesslich Willkür behauptet wird (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht ist kein Sachgericht (<ref-ruling> E. 2.8 S. 142). Es hat nicht in den Akten nach der Begründetheit von nur schwer einzuordnenden Beschwerdevorbringen zu forschen (Urteil 6B_1033/2019 vom 4. Dezember 2019 E. 6.1).
1.5. Der Beschwerdeführer bringt vor, er hätte bei Erhalt der "Aktennotiz für 10.25 Uhr" Protest eingelegt. Würde die Vermittlerin vom Amtsgeheimnis entbunden, könnte sie womöglich genau beschreiben, wie der Vermittlungsversuch verlief; dieser Zeugenbeweis oder diese Amtsauskunft sei aus unnötig grosser Distanz antizipiert worden.
1.5.1. Bei der "Aktennotiz für 10.25 Uhr" handelt es sich um eine handschriftliche Notiz des Beschwerdeführers anlässlich der Schlichtungsverhandlung vom 17. März 2020 des Inhalts: "A._ wird von B._ beschuldigt mit Schwarzgeld Geschäfte zu betreiben". Das ist eine Parteibehauptung des Beschwerdeführers, die vom Beschwerdegegner bestritten ist (oben Sachverhalt A). Darauf ist mangels Sachlegitimation nicht einzutreten.
Das Vorbringen ist weder nachvollziehbar noch lässt sich hierauf gestützt eine Gehörsrechtsverletzung wegen fehlender Akteneinsicht begründen. Der Beschwerdeführer war über die von ihm selbst verfasste "Aktennotiz" im Wortlaut aktenkundig.
1.5.2. Die Vorinstanz führt aus, die Vermittlerin sei Vertrauensperson und habe dargelegt, sie registriere in der Regel nur, was für die Verhandlung relevant sei und blende emotionale Aussagen aus; sie wisse daher nicht, ob sie der Strafbehörde überhaupt dienlich sein könne. Die Vorinstanz schliesst, es stehe entsprechend nicht zu erwarten, dass sich die Vermittlerin an allfällige emotionale Aussagen mit Bezug auf "Schwarzarbeit", den genauen Urheber und deren genaue Formulierung an einer für sie alltäglichen Schlichtungsverhandlung werde erinnern können. Von einer Einvernahme sei daher mangels Aussicht auf ein konkretes Ergebnis abzusehen. Damit entfalle auch die Pflicht zur Entbindung vom Amtsgeheimnis, wobei fraglich wäre, ob eine solche überhaupt bewilligt würde. Eine Ermächtigung werde nur erteilt, wenn das Interesse an der Wahrheitsfindung (allfällige Ehrverletzung) das Geheimhaltungsinteresse (Vertraulichkeit des Schlichtungsverfahrens) überwiege (Art. 170 Abs. 3 StPO; Entscheid S. 4 f.).
Der Beschwerdeführer nennt keine Rechtsnorm, die verletzt sein sollte. Art. 29 Abs. 2 BV gewährleistet den Anspruch auf Beweisabnahme, wenn diese zur Abklärung des Sachverhalts tauglich erscheint. Die Vorinstanz kann die Abnahme von Beweisen in willkürfrei vorweggenommener (antizipierter) Beweiswürdigung ablehnen (vgl. Urteil 6B_655/2020 vom 7. Oktober 2020 E. 2.4.3 mit Hinweisen). Eine Gehörsrechtsverletzung ist mithin nicht gegeben. Eine willkürlich antizipierte Beweiswürdigung ist nicht begründet. Als Sachfrage wäre darauf ohnehin nicht einzutreten, weil allfällige formelle Rügen, die auf eine inhaltliche Prüfung der Sache abzielen, im Rahmen der "Star-Praxis" nicht zu behandeln sind (Urteil 6B_1285/2019 vom 22. Dezember 2019 E. 2.4.2 am Ende).
1.6. Der Beschwerdeführer bringt vor, vom Untersuchungsamt und der Anklagekammer habe er zu keinem Zeitpunkt eine Antwort auf seine Einsichtsbegehren vom 19. und 22. April 2020 erhalten. Das [polizeiliche] Einvernahmeprotokoll des Beschwerdegegners habe er erstmals in der Rechtsmittelfrist zur (bundesgerichtlichen) Beschwerde in Strafsachen zu Gesicht bekommen (Beschwerde Ziff. 3.2).
1.6.1. Vom Beschwerdeführer liegen in den vorinstanzlichen Akten zwei diesbezügliche persönliche Schreiben an die Behörden vor: Ein erstes Schreiben vom 19. April 2020 (Eingang: 24. April 2020) an die Anklagekammer mit dem Ersuchen um Entbindung der Vermittlerin vom Amtsgeheimnis und dem Antrag auf Akteneinsicht sowie ein zweites Schreiben vom 22. April 2020 (Eingang: 23. April 2020) an die staatsanwaltschaftliche Sachbearbeiterin mit dem Ersuchen um eine "Abschrift der bei Ihnen lagernden Akten" zwecks Beschwerde an die Anklagekammer.
Die Vorinstanz (Anklagekammer) bestätigte dem Beschwerdeführer mit Schreiben vom 24. April 2020 seine Beschwerdeeinreichung und forderte ihn zur Sicherheitsleistung auf. Am 4. Mai 2020 forderte die Vorinstanz vom Untersuchungsamt die Akten an (mit Kopie z.K. der Parteien), das diese am 11. Mai 2020 übermittelte. Der vorinstanzliche Entscheid "aufgrund der Akten" (Brief an den Beschwerdeführer vom 25. Mai 2020 mit Zustellung der Stellungnahme des Beschwerdegegners, die Beschwerde abzuweisen) datiert vom 23. Juni 2020. Am 2. Juli 2020 ersuchte der Anwalt des Beschwerdeführers die Staatsanwaltschaft, an die er von der Vorinstanz am 30. Juni 2020 dazu verwiesen wurde, um Zustellung sämtlicher Akten. Deren Zustellung an den Anwalt erfolgte am 7. Juli 2020.
Somit gingen das Gesuch des Beschwerdeführers um Akteneinsicht (datiert mit 19. April 2020; Poststempel: 22. April 2020) und seine Beschwerde (Poststempel: 22. April 2020) gegen die Nichtanhandnahmeverfügung vom 16. April 2020 bei der Vorinstanz gleichzeitig ein (vgl. auch angefochtener Entscheid S. 2, E. I/3). Das vorangehend erwähnte Gesuch vom 22. April 2020 (Eingang: 23. April 2020) an die staatsanwaltschaftliche Sachbearbeiterin ging ebenfalls nach Abfassung der Beschwerde bei der Behörde ein. Die Vorinstanz hält im Entscheid fest, auf die Eingaben der Parteien werde, soweit erforderlich, in den Erwägungen eingegangen. Sie thematisiert im Entscheid die Gesuche des Beschwerdeführers um Akteneinsicht nicht.
1.6.2. Gemäss Art. 107 Abs. 1 lit. a StPO beinhaltet der Anspruch auf rechtliches Gehör namentlich das Recht, die Akten einzusehen. Es handelt sich um den prozessualen Anspruch auf Akteneinsicht während des laufenden Verfahrens. Die Parteien können spätestens nach der ersten Einvernahme der beschuldigten Person und der Erhebung der übrigen wichtigsten Beweise durch die Staatsanwaltschaft die Akten des Strafverfahrens einsehen (Art. 101 Abs. 1 StPO; unter Vorbehalt von Art. 108 StPO). Nach der Praxis des Bundesgerichtes besteht zu Beginn der Strafuntersuchung noch kein absoluter Anspruch auf eine vollständige Akteneinsicht (<ref-ruling> E. 3.1 S. 221 f.; <ref-ruling> E. 5.5.2 S. 36; <ref-ruling> E. 2.3 S. 174 f.).
Die Staatsanwaltschaft nahm die Strafanzeige am 16. April 2020 nicht anhand und stellte sie dem Beschwerdeführer gleichentags zu. Das Gesuch um Akteneinsicht ging bei der Staatsanwaltschaft erst am 23. April 2020 ein. Da noch keine Strafuntersuchung eröffnet worden war, bestand vor dem Entscheid grundsätzlich noch kein Anspruch auf Akteneinsicht (Urteil 1B_667/2011 vom 7. Februar 2012 E. 1.2; NIKLAUS OBERHOLZER, Grundzüge des Strafprozessrechts, 4. Aufl. 2020, Rz. 642, 1812). Das Gesuch war überdies verspätet.
1.6.3. Bei der Vorinstanz ging das Akteneinsichtsgesuch am 24. April 2020 nach Abfassung der Beschwerde ein (oben E. 1.6.1). Am 14. Mai 2020 stellte die Vorinstanz dem Beschwerdegegner Prozessunterlagen zur Stellungnahme und Akteneinreichung zu. Dieses Schreiben ging in Kopie zur Kenntnis an das Untersuchungsamt sowie an den Beschwerdeführer mit Kopien der untersuchungsamtlichen Vernehmlassung vom 11. Mai 2020 und einem Aktenverzeichnis (AK act. 9). Am 25. Mai 2020 stellte die Vorinstanz dem Beschwerdeführer die Stellungnahme des Beschwerdegegners zu (act. 11). Im Aktenverzeichnis ist u.a. der Polizeirapport aufgeführt (act. 8). Aus der Einstellungsverfügung ergibt sich, dass der Beschwerdegegner einvernommen wurde (oben Sachverhalt A).
1.6.4. Da der Anspruch auf rechtliches Gehör formeller Natur ist, führt seine Verletzung grundsätzlich ungeachtet der materiellen Begründetheit der Beschwerde zu deren Gutheissung und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids (<ref-ruling> E. 2.2 S. 197). Eine ausnahmsweise Heilung dieses Verfahrensmangels im bundesgerichtlichen Verfahren fällt regelmässig ausser Betracht. Das Bundesgericht verfügt in tatsächlicher Hinsicht nicht über volle Kognition (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. Art. 105 Abs. 1 BGG), was sich auch im Rahmen der Beschwerde gegen eine Nichtanhandnahmeverfügung im Sinne von Art. 310 Abs. 1 lit. a StPO spezifisch auswirken kann (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 244 f.). Indes soll eine Rückweisung nicht zu einem formalistischen Leerlauf führen (<ref-ruling> E. 2.3. 2 S. 197 f.).
1.6.5. Nach den vorliegenden Akten zu schliessen, reagierte die Vorinstanz auf das erst mit Einreichung der Beschwerde gestellte Akteneinsichtsgesuch des Beschwerdeführers neben den erwähnten Schreiben nicht weiter. Es erscheint theoretisch nicht ausgeschlossen, dass der Beschwerdeführer erstmals nach der Zustellung der Akten an seinen Anwalt am 7. Juli 2020 (oben E. 1.6.1) vom polizeilichen Einvernahmeprotokoll des Beschwerdegegners und der Auskunft der Vermittlerin Kenntnis nehmen konnte. Auf eine nicht erstellte, blosse theoretische Möglichkeit kann sachverhaltlich jedoch nicht abgestellt werden, um den angefochtenen Entscheid aufzuheben. Die Einvernahmeprotokolle des Beschwerdeführers und des Beschwerdegegners sowie die Auskunft der Vermittlerin sind Bestandteile des Rapports der Kantonspolizei. Dieser Polizeirapport war im Aktenverzeichnis aufgeführt.
1.7. Das Prozessverhalten des Beschwerdeführers wird von diesem entgegen den bundesrechtlichen Begründungsanforderungen nicht substanziiert dargelegt und ist letztlich nicht nachvollziehbar.
In entscheidender Hinsicht ergibt sich zusammengefasst, dass der Beschwerdeführer einerseits ohne Belege behauptet, von bestimmten Akten wegen Verweigerung der Akteneinsicht keine Kenntnis erhalten zu haben, und dass er andererseits die Darstellung der Vorinstanz in der Vernehmlassung nicht bestreitet. Er verzichtete vielmehr auf eine Replik, womit die Darstellung der Vorinstanz grundsätzlich als anerkannt gelten kann. Allerdings klärt die Vernehmlassung die Sachfrage auch nicht abschliessend. Hinzu kommt, dass der Beschwerdeführer nicht behauptet, keine Kenntnis vom Polizeirapport erhalten zu haben. Schliesslich und insbesondere machte er im kantonalen Beschwerdeverfahren weder fehlende Aktenkenntnis noch Verweigerung einer Akteneinsicht geltend. Dass er in dieser Beschwerde Akteneinsicht bei der Vorinstanz beantragte, ändert an dieser Rechtslage nichts. Die Vorinstanz beurteilte "den Fall aufgrund der Akten", wie sie dem Beschwerdeführer mit Schreiben vom 25. Mai 2020 mitteilte. Dagegen opponierte der Beschwerdeführer nicht. Eine Rechtsverletzung ist damit nicht begründet (oben E. 1.4).
Bei den im Sinne der "Star-Praxis" (oben E. 1.4) an sich grundsätzlich zulässig vorgebrachten formellen Rügen handelt es sich um neue Vorbringen (Art. 99 BGG). Der Instanzenzug muss indes nicht nur prozessual durchlaufen, sondern zudem materiell erschöpft sein. Verfahrensrechtliche Einwände, die im kantonalen Verfahren hätten geltend gemacht werden können, können nach dem Grundsatz der materiellen Ausschöpfung des kantonalen Instanzenzugs vor Bundesgericht nicht mehr vorgebracht werden (<ref-ruling> S. 93; Urteil 6B_673/2017 vom 2. Oktober 2017 E. 1.2.2). Die bundesgerichtliche Rechtsprechung verlangt gestützt auf den auch für Private geltenden Grundsatz von Treu und Glauben und das Verbot des Rechtsmissbrauchs (Art. 5 Abs. 3 BV), dass verfahrensrechtliche Einwände so früh wie möglich, das heisst nach Kenntnisnahme eines Mangels bei erster Gelegenheit, vorzubringen sind (<ref-ruling> E. 4.3 S. 69). Denn es verstösst gegen Treu und Glauben, verfahrensrechtliche Mängel erst in einem späteren Verfahrensstadium (etwa nach ungünstigem Prozessausgang) oder sogar erst in einem nachfolgenden Verfahren geltend zu machen, wenn der Einwand schon vorher hätte festgestellt und gerügt werden können (<ref-ruling> E. 4.3 S. 69 f.; Urteil 6B_178/2017 vom 25. Oktober 2017 E. 4; 6B_546/2020 vom 22. September 2020 E. 4). Da der Beschwerdeführer seine Rügen erstmals vor Bundesgericht erhebt, kann auch mangels Ausschöpfung des Instanzenzugs darauf nicht eingetreten werden (Urteile 6B_129/2019 vom 28. Mai 2019 E. 3.4.2; 6B_855/2018 vom 15. Mai 2019 E. 1.10, nicht publ. in <ref-ruling>).
1.8. Selbst wenn auf die Beschwerde einzutreten wäre, führte dies zu keinem anderen Ergebnis.
1.8.1. Der massgebende Sachverhalt (Art. 105 Abs. 1 BGG) erschöpft sich in der Parteibehauptung des Beschwerdeführers in seiner "Aktennotiz für 10.25 Uhr", er werde vom Beschwerdegegner "beschuldigt mit Schwarzgeld Geschäfte zu betreiben" (oben E. 1.5.1), sowie in der Bestreitung dieses Vorwurfs durch den Beschwerdegegner (oben Sachverhalt A).
1.8.2. Der Beschwerdeführer will die Vermittlerin vom Amtsgeheimnis entbinden lassen (oben E. 1.6.1). Die Vermittlerin führte in ihrem Schreiben vom 7. April 2020 u.a. aus, sie registriere in der Regel nur, was für ihre Verhandlung notwendig sei und blende emotionale Aussagen aus. Es sei das Wesen der Schlichtungsverhandlung, "dass hier die Klienten auch einmal frei von der Leber weg reden können. Gerade weil kein Protokoll geführt wird, dürfen sie sich sicher fühlen, dass geheim bleibt, was in diesem Büro gesprochen wird. Oft gehen die Emotionen gegenseitig hoch." Daher sei es gegen ihre richterliche und menschliche Überzeugung und gegen ihr Amtsgeheimnis, über die Gespräche der Parteien aussagen zu müssen. Die Vermittlerin nahm mithin eindeutig Stellung. Die Vorinstanz lehnt den Beweisantrag willkürfrei in antizipierter Beweiswürdigung ab, in casu zutreffend gestützt auch auf Art. 170 Abs. 3 StPO (oben E. 1.5.2).
1.8.3. Der bestrittene Vorwurf betrifft eine Äusserung, die im Rahmen eines Schlichtungsverfahrens nach Art. 202 ff. ZPO ergangen sein soll, in dem Äusserungen geheim bleiben und die Emotionen oftmals "hochgehen" und von der Vermittlerin als nicht sachwesentlich nicht "registriert" werden. Bei der fraglichen Äusserung, deren Kontext unklar bleibt, handelt es sich um eine blosse Parteibehauptung des Beschwerdeführers.
Das nicht öffentliche Schlichtungsverfahren ist vertraulich; Aussagen der Parteien dürfen weder protokolliert noch später im Entscheidverfahren verwendet werden (Art. 205 Abs. 1 ZPO). Das Institut des Schlichtungsverfahrens, in dem "die Klienten auch einmal frei von der Leber weg reden können", würde grundsätzlich und systemwidrig in Frage gestellt, wenn die Klienten mit strafrechtlichen Konsequenzen rechnen müssten. Es ist die Funktion der Vermittlerin, für eine geordnete Gesprächsführung besorgt zu sein. Das Schlichtungsverfahren darf nicht strafrechtlich instrumentalisiert werden, um Druck auszuüben oder um das Zivilverfahren präjudizieren zu wollen.
1.8.4. Eine Prüfung in der Sache führt zum Ergebnis, dass der entscheidwesentliche Sachverhalt dem Beschwerdeführer bekannt war und dass die Vorinstanz die laienhaften Beschwerdevorbringen umfassend beurteilt und ihren Entscheid hinreichend begründet. Sie gewährleistet damit den Gehörsanspruch des Beschwerdeführers im Sinne von Art. 29 Abs. 2 BV. Die Beschwerde erweist sich in der Sache als aussichtslos. Eine Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu neuer Beurteilung würde zu einem blossen formalistischen Leerlauf führen. Davon ist abzusehen. Es besteht kein diesbezügliches Rechtsschutzinteresse des Beschwerdeführers.
2.
Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Februar 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Denys
Der Gerichtsschreiber: Briw