Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Scheidungsurteil vom 21. Januar 2011 genehmigte das Bezirksgericht Schwyz die zwischen A.A._ und C.A._ am 13. Januar 2011 abgeschlossene Vereinbarung. Damit wurde A.A._ unter anderem zu einem monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'000.-- zuzüglich gesetzlicher oder vertraglicher Kinderzulagen an die gemeinsame Tochter B.A._ (geboren am 10. Juli 1999) verpflichtet. Die Unterhaltspflicht wurde beschränkt bis zur Mündigkeit des Kindes bzw. dem Abschluss einer Erstausbildung. A.A._ leistete die Unterhaltsbeiträge an seine Tochter bis Juli 2018. Dann stellte er seine Zahlungen ein.
A.b. B.A._ setzte mit Zahlungsbefehl vom 5. Oktober 2018 (Nr. xxx) des Betreibungsamtes Oberland, Dienststelle Oberland Ost, die Unterhaltsbeiträge der Monate August, September und Oktober 2018 von je Fr. 1'000.-- samt Zinsen in Betreibung. A.A._ erhob Rechtsvorschlag. Das Regionalgericht Oberland wies das von B.A._ eingereichte Gesuch um definitive Rechtsöffnung für die in Betreibung gesetzten Unterhaltsbeiträge am 7. März 2019 ab.
A.c. Das Obergericht des Kantons Bern hiess die von B.A._ gegen den erstinstanzlichen Entscheid erhobene Beschwerde am 22. Mai 2019 gut und erteilte ihr in der Betreibung (Nr. xxx des Betreibungsamtes Oberland, Dienststelle Oberland Ost) die definitive Rechtsöffnung für die geforderten Unterhaltsbeiträge (je Fr. 1'000.--) der Monate August, September und Oktober 2018 je zuzüglich Zins.
B.
A.A._ ist mit Beschwerde in Zivilsachen/subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 21. Juni 2019 an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheides und die Abweisung des Gesuchs um definitive Rechtsöffnung.
Mit Verfügung vom 15. Juli 2019 ist der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt worden.
Es sind die kantonalen Akten, indes keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts, das als Rechtsmittelinstanz über eine definitive Rechtsöffnung für eine Betreibungsforderung in der Höhe von Fr. 3'000.-- befunden hat. Dagegen steht die Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>) wegen der Streitwertgrenze nur zur Verfügung, sofern sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, was der Beschwerdeführer denn auch geltend macht (<ref-law>).
1.2. Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung ist nur zurückhaltend anzunehmen. Sie liegt vor, wenn ein allgemeines Interesse daran besteht, dass das Bundesgericht eine umstrittene Frage höchstrichterlich klärt, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit Rechtssicherheit herzustellen (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1.2). Im vorliegenden Fall hatte der Rechtsöffnungsrichter aufgrund der richterlich genehmigten Scheidungskonvention unter anderem über die Dauer der Unterhaltsbeiträge an eine volljährige Tochter zu entscheiden. Zu diesem Thema hat das Bundesgericht sich bereits verschiedentlich geäussert (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 mit Hinweisen). Die Vorbringen des Beschwerdeführers erschöpfen sich in der Anwendung dieser Grundsätze auf den konkreten Fall. Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung ist darin nicht auszumachen. Damit ist die Eingabe des Beschwerdeführers als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (Art. 75 Abs. 1 und Art. 113 f. BGG). Als Schuldner ist der Beschwerdeführer von angefochtenen Entscheid hinreichend betroffen und daher zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>).
1.3. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden. (<ref-law>). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip präzise vorgebracht und begründet werden (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und einlässlich darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 2.4).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der angefochtene Entscheid dazu Anlass gibt. Der (nicht begründete) Antrag auf Durchführung eines Parteiverhöres ist unzulässig. Neue Begehren sind nicht zulässig (Art. 117 i.V.m. <ref-law>).
2.
Anlass zur Beschwerde gibt der Einwand des Beschwerdeführers gegen die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung für die Unterhaltsbeiträge an seine volljährige Tochter und Beschwerdegegnerin, welche diese gestützt auf das Urteil über die Scheidung ihrer Eltern verlangt. Strittig ist einzig die Höhe und die Dauer der Unterhaltspflicht.
2.1. Das Urteil, welches ausdrücklich die Zahlung von Unterhalt über die Volljährigkeit hinaus anordnet, stellt einen definitiven Rechtsöffnungstitel dar, wenn es die geschuldeten Unterhaltsbeiträge betragsmässig festlegt und deren Dauer bestimmt (<ref-ruling> E. 2.2). Die Fortgeltung der Zahlungspflicht über die Volljährigkeit hinaus bis zum Ende der Ausbildung muss im Urteil oder dem gerichtlich genehmigten Vergleich ausdrücklich angeordnet sein. Es muss darin klar zum Ausdruck kommen, dass dem Unterhaltsberechtigten ein definitiver Rechtsöffnungsentscheid für diesen Zeitabschnitt eingeräumt werden soll (<ref-ruling> E. 2.4.1). Bei der Prüfung, ob ein definitiver Rechtsöffnungstitel vorliegt, darf sich der Rechtsöffnungsrichter nicht auf die Lektüre des Dispositivs beschränken. Er hat zudem die Urteilsbegründung und weitere Dokumente, auf die darin verwiesen wird, miteinzubeziehen. Erst wenn sich die Zweifel am Inhalt des Dispositivs dadurch nicht klären lassen, ist die Rechtsöffnung zu verweigern. Hingegen steht es dem Rechtsöffnungsrichter nicht zu, das Urteil oder den Vergleich auf den Bestand der Forderung oder sonstwie materiell zu überprüfen oder im Sinne von <ref-law> auszulegen (<ref-ruling> E. 4.3.1, E. 4.3.2 und E. 4.5).
2.2. Mit Scheidungsurteil vom 21. Januar 2011 nahm das Bezirksgericht Schwyz von der Scheidungsvereinbarung des Beschwerdeführers und seiner Ehefrau vom 13. Januar 2011 Vormerk und genehmigte sie. Darin wurden unter anderem die Unterhaltsverpflichtungen des Beschwerdeführers festgelegt. Gemäss Ziff. 5 lit. b der Scheidungsvereinbarung zahlt dieser monatlich und voraus ab 1. Februar 2011 Unterhaltsbeiträge:
"an die Tochter B.A._; Fr. 1'000.-- zuzüglich gesetzliche oder vertragliche Kinderzulagen. Die Unterhaltspflicht gegenüber den Kindern dauert bis zu deren Mündigkeit. Hat es dann noch keine angemessene Ausbildung, dauert die Unterhaltspflicht bis die Erstausbildung ordentlicherweise abgeschlossen werden kann."
2.3. Die Vorinstanz erachtete die gerichtlich genehmigte Scheidungsvereinbarung in Bezug auf die strittigen Unterhaltsbeiträge als betragsmässig klar und hinreichend bestimmt. Sie kam daher zum Schluss, dass ein definitiver Rechtsöffnungstitel für den monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'000.-- an die Beschwerdegegnerin bis zum Abschluss einer ordentlichen Erstausbildung vorliege. Weiter hielt das Obergericht (unter Hinweis auf <ref-ruling> E. 2.2) fest, der Beschwerdeführer könne den Eintritt der Resolutivbedingung, dass die Beschwerdegegnerin die Erstausbildung abgeschlossen habe, nicht zweifelsfrei mittels Urkunden nachweisen, weshalb die definitive Rechtsöffnung für die geforderten Unterhaltsbeiträge zu erteilen sei.
2.4. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz in verschiedener Hinsicht die Verletzung verfassungsmässiger Rechte vor. So macht er die Verletzung des rechtlichen Gehörs geltend, da sie seine absolut zentralen Vorbringen nicht berücksichtigt habe. Zudem habe die Vorinstanz in willkürlicher Weise wesentliche Rechtsgrundsätze missachtet, was mit der Erteilung der definitiven Rechtsöffnung über die Unterhaltsbeiträge über die Volljährigkeit hinaus zu einem unhaltbaren Ergebnis geführt habe.
2.5. Soweit der Beschwerdeführer der Vorinstanz zunächst vorwirft, die Umstände, unter welchen die Scheidungsvereinbarung abgeschlossen worden waren, nicht berücksichtigt und damit seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt zu haben, kann ihm nicht gefolgt werden.
2.5.1. Um den Anforderungen von <ref-law> zu genügen, muss die Begründung so abgefasst sein, dass sich die betroffene Partei über die Tragweite des angefochtenen Entscheides Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann (<ref-ruling> E. 6.1). Hingegen muss sich die Behörde nicht mit sämtlichen Prozessstandpunkten einlässlich auseinandersetzen und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegen. Sie kann sich auf die für die Entscheidfindung wesentlichen Punkte beschränken (<ref-ruling> E. 4.1).
2.5.2. Diese Voraussetzungen sind im vorliegenden Fall erfüllt. Insbesondere musste die Vorinstanz zur (nicht belegten) Behauptung des Beschwerdeführers nicht Stellung nehmen, dass beim Abschluss der seinerzeitigen Scheidungsvereinbarung bewusst auf die Festlegung eines Volljährigenunterhalts an die Beschwerdegegnerin verzichtet worden sei. Sie konnte sich bei der Beantwortung der Frage, ob für die strittigen Unterhaltsbeiträge ein definitiver Rechtsöffnungstitel vorliegt, auf die Prüfung des Scheidungsurteils, mit dem die Scheidungsvereinbarung genehmigt worden war, beschränken. Entgegen der Lesart des Beschwerdeführers hat sich die Vorinstanz mit der konkreten Formulierung der Unterhaltsregelung eingehend auseinandergesetzt. Sie ist auch auf den Vorwurf, diese enthalte bloss einen Verweis auf <ref-law> und keine eigenständige Regelung, eingegangen. Dass sie dabei - unter Berücksichtigung von Wortlaut und Aufbau der Klausel sowie im Vergleich zu <ref-law> - zu einem anderen Schluss als der Beschwerdeführer gekommen ist, beschlägt nicht die Begründungspflicht, sondern einzig die Würdigung der vorhandenen Belege und deren rechtliche Beurteilung. Die Rüge der Gehörsverletzung erweist sich damit als unbegründet.
2.6. Als unbehelflich erweist sich auch der Vorwurf der willkürlichen Missachtung von wesentlichen Rechtsgrundsätzen.
2.6.1. Willkür in der Rechtsanwendung ist nur gegeben, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz klar verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 7.1).
2.6.2. Entgegen der Behauptung des Beschwerdeführers hat die Vorinstanz ihre Kompetenzen bei der Prüfung der gerichtlich genehmigten Scheidungsvereinbarung nicht in willkürlicher Weise ausgedehnt. Sie hat anhand verschiedener Elemente im Dispositiv des vorgelegten Urteils festgestellt, dass der Beschwerdeführer über die Volljährigkeit der Beschwerdegegnerin hinaus zur Zahlung von Unterhaltsbeiträgen verpflichtet ist. Dabei hat sie nicht die gerichtlich genehmigte Scheidungsvereinbarung nach dem wirklichen Willen der Vertragsparteien gemäss <ref-law> hinterfragt oder eine materielle Prüfung der vereinbarten Unterhaltsregelung vorgenommen. Wenn die Vorinstanz anhand des Wortlautes unter Berücksichtigung des Aufbaus der Klausel und im Vergleich zu <ref-law> zum Schluss gelangt ist, dass für die in Betreibung gesetzten Unterhaltsbeiträge ein definitiver Rechtsöffnungstitel besteht, kann darin keine geradezu unhaltbare bzw. willkürliche Rechtsanwendung erblickt werden. Die Rüge erweist sich daher als unbegründet.
2.7. Nach dem Gesagten kann der Vorinstanz keine Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorgeworfen werden, weil sie der Beschwerdegegnerin die definitive Rechtsöffnung für die von ihr in Betreibung gesetzten Unterhaltsbeiträge erteilt hat.
3.
Der Beschwerde ist kein Erfolg beschieden. Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zu leisten, da der Beschwerdegegnerin keine ersatzpflichtige Kosten entstanden sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Eingabe des Beschwerdeführers wird als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen.
2.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Februar 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Levante