Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich führte eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen versuchter schwerer Körperverletzung. Sie warf ihm vor, als Insasse im (offenen) Vollzugszentrum Bachtel in Hinwil am 5. September 2019 einen Mitinsassen am Hals gepackt, ihn gewürgt und ihm mehrere Faustschläge verpasst zu haben sowie, als dieser bereits am Boden gelegen sei, mit dem Fuss auf dessen linke Kopfseite "gekickt" zu haben. Am 6. April 2020 erhob die Staatsanwaltschaft Anklage beim Bezirksgericht Hinwil und beantragte die Anordnung von Sicherheitshaft für A._. Mit Verfügung vom 9. April 2020 ordnete das Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Hinwil gegenüber A._ Sicherheitshaft bis zur Eröffnung des Urteils in der Hauptsache, vorerst jedoch längstens bis zum 9. Oktober 2020 an. Dagegen erhob A._, damals vertreten durch seinen Rechtsanwalt, Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich. Dieses wies die Beschwerde mit Beschluss vom 19. Mai 2020 ab.
Anlässlich der Hauptverhandlung vom 4. Juni 2020 erkannte das Bezirksgericht Hinwil A._ der versuchten schweren Körperverletzung schuldig und verurteilte ihn zu einer vollziehbaren Freiheitsstrafe von 26 Monaten, unter Anrechnung von 281 Tagen Untersuchungshaft. Ausserdem ordnete es eine ambulante Massnahme an. Gleichentags verlängerte es die Sicherheitshaft bis zum Strafantritt bzw. zum Entscheid der Verfahrensleitung des Berufungsgerichts, längstens bis zum 11. Dezember 2020.
B.
Mit eigenhändiger Eingabe vom 15. Juni 2020 führt A._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Er beantragt sinngemäss die Aufhebung des Entscheids der Vorinstanz vom 19. Mai 2020 und die Rückversetzung in den Strafvollzug. Ausserdem stellt er mit separatem Schreiben einen Antrag auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand.
Das Obergericht sowie die Staatsanwaltschaft verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Zwischenentscheid, der geeignet ist, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zu bewirken. Gegen ihn steht grundsätzlich die Beschwerde in Strafsachen offen (vgl. Art. 78 Abs. 1, Art. 80 Abs. 1 und 2 sowie <ref-law>). Der Beschwerdeführer ist durch die Verweigerung der Entlassung aus der Sicherheitshaft in seinen rechtlich geschützten Interessen betroffen und damit zur Beschwerde befugt (<ref-law>). Indem der Beschwerdeführer geltend macht, es liege kein Grund vor, ihn in Sicherheitshaft zu belassen, namentlich liege die von der Vorinstanz angenommene Wiederholungsgefahr nicht vor, macht er eine Verletzung von Bundesrecht (<ref-law>) geltend, was zulässig ist (<ref-law>). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass, sodass auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten ist.
1.2. Nicht einzutreten ist hingegen auf die Ausführungen des Beschwerdeführers im Zusammenhang mit der Würdigung des ihm vorgeworfenen Straftatbestands der versuchten schweren Körperverletzung. Die Vorbringen des Beschwerdeführers wird das Sachgericht bzw. die Berufungsinstanz zu prüfen haben. Mit ihnen kann der Beschwerdeführer jedenfalls nicht darlegen, dass und inwiefern der angefochtene Haftentscheid bundesrechtswidrig sein könnte.
1.3. Soweit der Beschwerdeführer weiter einen Antrag auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand stellt, ist diesem nicht statt zu geben. Wie die vorliegende Beschwerde aufzeigt, war er, der mit den hiesigen Verhältnissen vertraut und deutscher Muttersprache ist, auch ohne anwaltliche Vertretung in der Lage, seine Rechte hinreichend geltend zu machen.
2.
Der Beschwerdeführer bestreitet den Tatverdacht grundsätzlich nicht. Er ist aber der Auffassung, die Begründung der Wiederholungsgefahr sei "ein Witz". Diese liege nicht vor, es habe bisher nie irgendeinen Vorfall dieser Art gegeben. Zudem bestehe kein Grund, ihn in Sicherheitshaft zu behalten, da er ohnehin zurück in den Strafvollzug müsse.
2.1. Untersuchungs- und Sicherheitshaft kann unter anderem angeordnet werden, wenn ein dringender Tatverdacht in Bezug auf ein Verbrechen oder Vergehen sowie Flucht-, Kollusions- oder Wiederholungsgefahr besteht (<ref-law>). Nach der Auffassung des Obergerichts im angefochtenen Entscheid ist nebst dem allgemeinen Haftgrund des dringenden Tatverdachts Wiederholungsgefahr gemäss <ref-law> gegeben.
Die Annahme von Wiederholungsgefahr setzt gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung Verbrechen oder schwere Vergehen als Vortaten voraus; sodann müssen Verbrechen oder schwere Vergehen drohen, welche die Sicherheit anderer erheblich gefährden und die Tatwiederholung muss ernsthaft zu befürchten sein. Im Vordergrund stehen insoweit Delikte gegen die körperliche und sexuelle Integrität. Betreffend die Anforderungen an die Rückfallgefahr besteht eine umgekehrte Proportionalität: Je schwerer die drohenden Taten sind und je höher die Gefährdung der Sicherheit anderer ist, desto geringere Anforderungen sind an die Rückfallgefahr zu stellen. Liegen die Tatschwere und die Sicherheitsrelevanz am oberen Ende der Skala, ist die Messlatte zur Annahme einer rechtserheblichen Rückfallgefahr tiefer anzusetzen. Zugleich ist daran festzuhalten, dass der Haftgrund der Wiederholungsgefahr restriktiv zu handhaben ist. Hieraus folgt, dass eine negative, d.h. eine ungünstige Rückfallprognose zur Annahme von Wiederholungsgefahr notwendig, grundsätzlich aber auch ausreichend ist. Besonders bei drohenden schweren Gewaltverbrechen ist dabei auch dem psychischen Zustand der verdächtigen bzw. verurteilten Person bzw. ihrer Unberechenbarkeit oder Aggressivität Rechnung zu tragen (vgl. zum Ganzen: <ref-ruling>; Urteil 1B_251/2020 vom 17. Juni 2020 E. 4.1 mit Hinweis).
2.2. Indem der Beschwerdeführer vorbringt, es habe bisher "nie irgendeinen Vorfall dieser Art gegeben", wendet er sich sinngemäss gegen die Annahme des Vortatenerfordernisses. Dass diese Behauptung indessen unzutreffend ist, zeigt sich bereits an den neun, zum Teil einschlägigen, Vorstrafen wegen Verbrechen und Vergehen, die der Beschwerdeführer in seinem Strafregisterauszug aufweist. Den Akten kann entnommen werden, dass davon mehrere wegen Gewaltdelikten (u.a. wegen Körperverletzung, Raub, versuchte Vergewaltigung) ergingen. Wie die Vorinstanz zu Recht ausführte, war der Beschwerdeführer demnach schon wiederholt an Gewalttätigkeiten beteiligt, weshalb nicht zu beanstanden ist, dass die Vorinstanz das Vortatenerfordernis als erfüllt erachtete. Daran ändert auch nichts, dass der Beschwerdeführer bisher nie in einer Straf- oder Massnahmenanstalt gewalttätig wurde. Dies ist indessen auch nicht erforderlich. Nicht der Ort der begangenen Delikte ist entscheidend, sondern der Umstand, dass sich die Verbrechen und Vergehen grösstenteils gegen die körperliche Integrität anderer gerichtet haben.
Die Vorinstanz verwies zur Begründung der Wiederholungsgefahr sodann insbesondere auf das psychiatrische Gutachten vom 27. Februar 2020. Dieses attestiert dem Beschwerdeführer aufgrund seiner mittelgradigen dissozialen Persönlichkeitsstörung mit emotional instabilen und "psychopathy"-Anteilen sowie seiner schweren Alkohol- und Opioidabhängigkeiteine mittelgradige bis erhöhte Wahrscheinlichkeit für zukünftige Gewaltdelikte und Delikte der allgemeinen Kriminalität. Weiter hielt die Gutachterin fest, dass im Rahmen eines Suchtmitteleinflusses die Wahrscheinlichkeit von zukünftigen gewalttätigen Handlungen sogar als hoch eingeschätzt werden müsse. Zudem sei auffällig, dass beim Beschwerdeführer eine grundsätzliche Bereitschaft vorliege, bei subjektiv wahrgenommenen Ungerechtigkeiten und Kränkungen Gewalt anzuwenden. Der Schluss der Vorinstanz, sie halte die gutachterlichen Erwägungen als nachvollziehbar und schlüssig, weshalb von einer ungünstigen Rückfallprognose auszugehen und die Wiederholungsgefahr zu bejahen sei, ist nicht zu beanstanden. Sie hat zudem zu Recht darauf hingewiesen, dass für eine ungünstige Legalprognose neben den einschlägigen Vorstrafen des Beschwerdeführers und dessen psychischen Zustand auch die Tatsache spreche, dass er sich selbst unter den geschützten Bedingungen einer Haftanstalt im Strafvollzug - kurz vor seiner Entlassung - nicht von der Begehung weiterer schwerer Delikte abhalten liess. Auf die ausführlichen und zutreffenden Erwägungen der Vorinstanz kann verwiesen werden (vgl. E. 5 des angefochtenen Entscheids). Damit liegt Wiederholungsgefahr gemäss <ref-law> vor.
2.3. An dieser Beurteilung ändert schliesslich auch der Einwand des Beschwerdeführers nichts, wonach er ohnehin in den Strafvollzug zurück müsse, weshalb er aus der Sicherheitshaft zu entlassen sei. Die Vorinstanz hat in diesem Zusammenhang nachvollziehbar aufgezeigt, weshalb eine Rückführung in den Strafvollzug die Wiederholungsgefahr nicht erheblich zu verringern vermöge. Die Gefahr der Begehung weiterer Gewaltdelikte in Untersuchungs- bzw. Sicherheitshaft und des dort herrschenden strengen Regimes, insbesondere des sehr eingeschränkten Kontakts zu anderen Mitinsassen, ist weit geringer als im offenen Vollzug des Vollzugszentrums Bachtel, wo es zum Vorfall vom 5. September 2019 kam.
2.4. Vor diesem Hintergrund hält auch die Einschätzung der Vorinstanz, dem dargelegten Haftgrund könne mit blossen Ersatzmassnahmen für Sicherheitshaft derzeit nicht ausreichend begegnet werden, vor Bundesrecht stand.
3.
Unbehelflich sind auch die weiteren Ausführungen in der Beschwerde. Dies betrifft insbesondere den Einwand des Beschwerdeführers, wonach es ihm unlogisch erscheine oder es sogar auf eine Art Erpressung hinauslaufe, dass er nur in den Normalvollzug zurück dürfe, wenn er das Urteil akzeptiere, ansonsten er in Sicherheitshaft bleiben müsse. Damit nimmt der Beschwerdeführer Bezug auf den Beschluss des Bezirksgerichts Hinwil vom 11. Juni 2020, wonach er bis zum Straf- bzw. Massnahmeantritt bzw. bis zum Entscheid der Verfahrensleitung des Berufungsgerichts, längstens bis zum 11. Dezember 2020, in Sicherheitshaft zu bleiben habe. Dieser Beschluss ist erst nach dem angefochtenen Entscheid der Vorinstanz vom 19. Mai 2020 ergangen und bildet demzufolge nicht Streitgegenstand.
4.
Demnach erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer grundsätzlich kostenpflichtig (<ref-law>). Obschon er ausdrücklich nur einen Antrag auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand gestellt hat (vgl. E. 1.3 hiervor), kann seinem Schreiben indirekt auch ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung entnommen werden. Denn er macht geltend, er sei aufgrund seiner seit Dezember 2017 andauernden Haft nicht in der Lage, die Gerichtskosten zu bezahlen. Dieses Gesuch ist vorliegend gutzuheissen und es ist auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung wird gutgeheissen und es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich, dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, und B._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Juli 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kneubühler
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier