Sachverhalt:
A.
Der 1952 geborene A._ war als IT Manager bei der B._ GmbH tätig und bei der Schweizerischen Versicherungsanstalt (Suva) gegen die Folgen von Unfällen versichert, als er am 8. Mai 2013 einen Verkehrsunfall erlitt. Ein Lenker eines Personenwagens verlor die Herrschaft über sein Auto, geriet rechts ins Wiesland und anschliessend wieder zurück auf die Fahrbahn. Dort kam es zu einer Frontalkollision mit dem vom Versicherten gelenkten Fahrzeug. Beide Wagen wurden durch die Wucht des Aufpralls ins angrenzende Wiesland geschleudert und kamen dort zum Stillstand. Sowohl der Versicherte als auch sein mitfahrender 16-Jähriger Sohn konnten das Auto selbstständig verlassen. Gemäss Bericht der interdisziplinären Notfallstation des Spitals C._ vom 22. Mai 2013 zog sich A._ beim Unfall eine nicht dislozierte Fraktur des 6. Halswirbelkörpers und eine Rissquetschwunde im Stirnbereich zu. Die Behandlung erfolgte in Form von Schmerzmitteln und dem Tragen eines weichen Halskragens. Die Suva anerkannte ihre Leistungspflicht für die Folgen dieses Ereignisses. Wegen eines protrahierten Heilungsverlaufs erfolgten verschiedene neurologische, neuroothologische und psychiatrische Abklärungen. Am 24. Mai 2016 wurde der Versicherte durch Dr. med. D._, Fachärztin für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, von der Abteilung Versicherungsmedizin der Suva untersucht. Im Bericht vom 1. Juni 2016 wurden die Diagnosen einer spezifischen phobischen Störung gemäss ICD-10 F40.2 mit Klaustrophobie und Autophobie, einer mittelschweren depressiven Episode ohne psychothische Symptome (ICD-10 F32.2) und einem schädlichen Gebrauch von Alkohol, Differentialdiagnose Abhängigkeitssyndrom (ICD-10 F10.1) gestellt. Diese stünden mit überwiegender Wahrscheinlichkeit in einem natürlichen Kausalzusammenhang zum versicherten Unfall. Die berufliche Leistungsfähigkeit sei durch das psychische Störungsbild umfassend und voraussichtlich dauerhaft eingeschränkt.
Mit Verfügung vom 5. Juli 2016 eröffnete die Suva dem Versicherten, mangels adäquatem Kausalzusammenhang zwischen seiner gesundheitlichen Beeinträchtigung und dem Unfall würden die Leistungen per 31. Juli 2016 eingestellt. Auf Einsprache hin hielt die Unfallversicherung mit Entscheid vom 14. September 2017 an ihrer Verfügung fest.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 23. Oktober 2018 in dem Sinne gut, als es den angefochtenen Einspracheentscheid aufhob und die Sache zur Prüfung allfälliger Leistungsansprüche des Beschwerdeführers und zum Erlass einer neuen Verfügung an die Suva zurückwies.
C.
Die Suva führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und stellt den Antrag, in Aufhebung des angefochtenen Entscheides sei der Einspracheentscheid vom 14. September 2017 zu bestätigen.
A._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Rückweisungsentscheid handelt es sich, da das Verfahren noch nicht abgeschlossen wird und die Rückweisung auch nicht einzig der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient (SVR 2008 IV Nr. 39 S. 131, 9C_684/2007 E. 1.1), um einen - selbstständig eröffneten - Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 4.2 S. 481 f. mit Hinweisen). Die Zulässigkeit der Beschwerde setzt somit - alternativ - voraus, dass der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b).
Indem die Vorinstanz entschieden hat, zwischen den über den 31. Juli 2016 hinaus geklagten Beschwerden und dem Unfall vom 8. Mai 2013 bestehe ein adäquater Kausalzusammenhang, macht sie der Suva Vorgaben für den Erlass einer ihres Erachtens rechtswidrigen Verfügung, was für diese ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von <ref-law> darstellt (<ref-ruling> E. 5.2 S. 483; Urteil 8C_682/2007 vom 30. Juli 2008 E. 1.2.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Auf die Beschwerde der Suva ist demnach einzutreten.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder der Unfallversicherung ist das Bundesgericht - anders als in den übrigen Sozialversicherungsbereichen (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG) - nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG). Es wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft indessen - unter Beachtung der Begründungspflicht in Beschwerdeverfahren (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) - nur die geltend gemachten Rügen, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
3.
Die Zusprechung von Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung setzt das Vorliegen eines Berufsunfalles, eines Nichtberufsunfalles oder einer Berufskrankheit voraus (<ref-law>). Der Unfallversicherer haftet jedoch für einen Gesundheitsschaden nur insoweit, als dieser nicht nur in einem natürlichen, sondern auch in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum versicherten Ereignis steht (<ref-ruling> E. 3 S. 181). Dabei spielt die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt (<ref-ruling> E. 2 S. 111 f.; <ref-ruling> E. 5b/bb S. 103). Objektivierbar sind Untersuchungsergebnisse, die reproduzierbar sind und von der Person des Untersuchenden und den Angaben des Patienten unabhängig sind. Von organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen kann somit erst dann gesprochen werden, wenn die erhobenen Befunde mit apparativen/bildgebenden Abklärungen bestätigt wurden und die hiebei angewendeten Untersuchungsmethoden wissenschaftlich anerkannt sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 251; <ref-ruling> E. 7 ff. S.118 ff.; vgl. auch <ref-ruling> E. 5 S. 361 ff.). Sind die geklagten Beschwerden natürlich unfallkausal, nicht aber in diesem Sinne objektiv ausgewiesen, so ist bei der Beurteilung der Adäquanz vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind gegebenenfalls weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 111 f.). Hat die versicherte Person einen Unfall erlitten, welcher die Anwendung der Schleudertrauma-Rechtsprechung rechtfertigt, so sind hierbei die durch <ref-ruling> E. 10 S. 126 ff. präzisierten Kriterien massgebend. Ist diese Rechtsprechung nicht anwendbar, so sind grundsätzlich die Adäquanzkriterien, welche für psychische Fehlentwicklungen nach einem Unfall entwickelt wurden (<ref-ruling> E. 6c/aa S. 140), anzuwenden (<ref-ruling> E. 2.1 S. 111 f.; vgl. auch SVR 2017 UV Nr. 8 S. 27, 8C_193/2016 E. 3.3).
Letztinstanzlich ist einzig streitig, ob die geklagten anhaltenden, organisch objektiv nicht ausgewiesenen Beschwerden adäquat-kausal auf den erlittenen Unfall zurückzuführen sind.
4.
4.1. Das kantonale Gericht hat die Adäquanz nach der bei einem Schleudertrauma, äquivalenter Verletzung der Halswirbelsäule und Schädel-Hirntrauma ohne organisch objektiv ausgewiesene Beschwerden (sog. Schleudertrauma-Praxis) anwendbaren Rechtsprechung (<ref-ruling>) geprüft. In der Begründung führte es aus, zwar hätten im Laufe der Zeit die psychischen Beschwerden mehrheitlich im Vordergrund gestanden. Dennoch gäbe der Versicherte auch immer an, dass er körperliche Beschwerden habe. Zudem beklage er weiterhin eine grosse Müdigkeit sowie Konzentrations- und Merkfähigkeitsstörungen, was zum typischen Beschwerdebild eines Schleudertraumas der Halswirbelsäule oder einer äquivalenten Verletzung gehöre. Zudem sei es nicht zulässig, längere Zeit nach dem Unfall, wenn die zum typischen Beschwerdebild gehörenden physischen Beschwerden weitgehend abgeklungen seien, die psychische Problematik aber fortbestehe, diese fortan nach der Rechtsprechung zu den psychischen Unfallfolgen zu beurteilen. Es rechtfertige sich daher die "Schleudertrauma-Praxis" anzuwenden. Die Beschwerdeführerin erachtet die sogenannte "Psycho-Praxis" (<ref-ruling>; vgl. zum Ganzen: <ref-ruling> E. 4 S. 250 f. mit Hinweisen) für massgebend. Welche dieser Auffassungen zutrifft, braucht nicht abschliessend beurteilt zu werden, wenn die in der Regel und jedenfalls hier für die versicherte Person vorteilhaftere Schleudertrauma-Rechtsprechung angewandt wird.
4.2.
4.2.1. Beim Entscheid ob ein adäquater Kausalzusammenhang gegeben ist, ist primär von der Schwere des erlittenen Unfalls auszugehen. Diese ist auf Grund des augenfälligen Geschehensablaufs mit den sich dabei entwickelnden Kräften zu beurteilen (Urteil U2/07 vom 19. November 2008 in: SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26 E. 5.3.2). Das kantonale Gericht hat das Ereignis vom 8. Mai 2013 dem Bereich der mittelschweren Unfälle an der Grenze zu den schweren Unfällen zugeordnet. Die Beschwerdeführerin macht geltend, der Unfall sei lediglich mittelschwer im engeren Sinn.
4.2.2. Unbestritten ist der Unfallablauf. Es handelte sich um eine Frontalkollision zwischen zwei Personenwagen, wobei die Wucht des Aufpralls die Fahrzeuge ins angrenzende Wiesland schleuderte, wo diese auf ihren Rädern zum Stillstand gekommen sind. Alle beteiligten Personen konnten die Autos selbstständig verlassen. Damit waren aber nicht höhere Krafteinwirkungen verbunden als bei zahlreichen anderen Unfallereignissen, welche von der Rechtsprechung noch als im engeren Sinne mittelschwer beurteilt wurden. Der Unfall entspricht weitgehend, wenn auch weniger heftig, demjenigen in Urteil 8C_720/2017 vom 12. März 2018. Dort geriet die versicherte Person mit ihrem Fahrzeug bei einer Geschwindigkeit von 80 km/h auf die Gegenfahrbahn. Es kam mit einem ersten Auto zu einer Streifkollision und anschliessend mit einem weiteren zu einer Frontalkollision. Das Fahrzeug der Versicherten wurde ins angrenzende Wiesland geschleudert. Die Airbags wurden ausgelöst (a.a.O. E. 4.3). Auch dieser Unfall wurde als im engeren Sinne mittelschwerer Unfall qualifiziert. Zu erwähnen sind hiezu weitere Ereignisse, bei welchen das Fahrzeug mit der versicherten Person ins Schleudern geriet, von der Strasse abkam, sich über eine Grasböschung seitlich überschlug und auf dem Dach zum Stillstand kam; bei einem Überholmanöver mit ca. 100 km/h abrupt abgebremst wurde, dabei ins Schleudern geriet, gegen einen Strassenwall prallte, sich überschlug und auf der Fahrerseite zu liegen kam; einen Lastwagen beim Überholen touchierte und sich überschlug; von der Strasse abkam und sich überschlug; auf der Autobahn in einer Kurve ins Schleudern geriet, sich überschlug und auf dem Dach liegend zum Stillstand kam; sich bei einer Geschwindigkeit von ca. 90 km/h auf einer Autobahn über eine Mittelleitplanke hinweg überschlug - wobei die versicherte Person hinausgeschleudert wurde - und mit Totalschaden auf der Gegenfahrbahn auf dem Dach zu liegen kam; mit einer Fahrgeschwindigkeit von 110 km/h auf den Fahrstreifen für den Gegenverkehr, dann auf das linksseitige Strassenbankett und schliesslich in den Strassengraben geriet, wobei es sich mehrere Male überschlug; frontal mit einem anderen Personenwagen kollidierte, wobei die Geschwindigkeit des unfallverursachenden Personenwagens 30 bis 40 km/h betrug und diejenige des beteiligten Fahrzeugs auf etwa 70 bis 80 km/h geschätzt wurde; bei einer Fahrgeschwindigkeit von ca. 80 km/h mit einem Drahtgitterzaun abseits der Strasse kollidierte, sich seitlich überschlug und auf dem Dach liegend im angrenzenden Wiesland zum Stillstand kam; mit einer Geschwindigkeit von ca. 90 km/h frontal in einen stehenden Personenwagen prallte; auf der Autobahn mit ca. 130 km/h wegen des Platzens eines Reifens ins Schleudern geriet, sich um die eigene Achse drehte, wobei es einen Schutzzaun durchbrach und anschliessend nach der Überquerung mehrerer Wassergräben auf einem Acker neben der Fahrbahn zum Stehen kam; ungebremst mit etwa 100 km/h in ein mit ca. 80 km/h fahrendes noch ein Abbrems- und Ausweichmanöver einleitendes Auto stiess (vgl. zu Autounfällen allgemein SVR 2013 UV Nr. 3 S. 7, 8C_398/2012 E. 5.2; Urteil 8C_434/2012 vom 21. November 2012 E. 7.2.2 je mit zahlreichen Hinweisen). Die dargelegte Kasuistik macht deutlich, dass entgegen der vorinstanzlichen Annahme, das Ereignis vom 8. Mai 2013 als mittelschwerer Unfall im engeren Sinne zu qualifizieren ist.
4.2.3. Entgegen den Ausführungen der Vorinstanz kann der hier zur Diskussion stehende Unfall nicht mit jenem im Urteil 8C_129/2009 vom 15. September 2009 verglichen werden, kam es doch am 8. Mai 2013 nicht zu einer seitlichen Kollision, sondern zu einer Frontalkollision. Auch der Sachverhalt im Urteil 8C_134/2015 ist wesentlich schwerer einzustufen als der vorliegende. Dort wurde eine Mitfahrerin auf einem Motorrad verletzt, welches frontal mit einem entgegenkommenden Personenwagen kollidierte. Der Motorradlenker und die Mitfahrerin wurden beim Zusammenstoss über das Auto hinweg rund zehn Meter durch die Luft geschleudert (a.a.O. E. 5.3.1). Die Adäquanz eines Kausalzusammenhanges wäre somit nur dann zu bejahen, wenn eines der relevanten Adäquanzkriterien in besonders ausgeprägter oder mehrere dieser Kriterien in gehäufter Weise erfüllt wären.
4.3.
4.3.1. Der Katalog dieser Kriterien lautet (vgl. <ref-ruling> E. 10.3 S. 130) :
- besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls;
- die Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen;
- fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung;
- erhebliche Beschwerden;
- ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert;
- schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen;
- erhebliche Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen.
4.3.2. Laut angefochtenem Entscheid ist unumstritten, dass die Kriterien der fortgesetzt spezifischen, belastenden ärztlichen Behandlung, der erheblichen Dauerbeschwerden, der ärztlichen Fehlbehandlung und dasjenige des schwierigen Heilungsverlaufs nicht erfüllt sind. Hingegen erachtete das kantonale Gericht das Kriterium der besonders dramatischen Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfall als erfüllt.
4.3.3. Der Berücksichtigung des Kriteriums der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls liegt der Gedanke zugrunde, dass solche Umstände geeignet sind, bei der betroffenen Person während des Unfallgeschehens oder nachher psychische Abläufe in Bewegung zu setzen, die an den nachfolgenden psychischen Fehlentwicklungen mitbeteiligt sein können. Dabei sind objektive Massstäbe anzuwenden. Nicht was im einzelnen Betroffenen beim Unfall psychisch vorgeht - sofern sich dies überhaupt zuverlässig feststellen liesse - soll entscheidend sein, sondern die objektive Eignung solcher Begleitumstände, bei Betroffenen psychische Vorgänge der genannten Art auszulösen. Zu beachten ist zudem, dass jedem mindestens mittelschweren Unfall eine gewisse Eindrücklichkeit eigen ist (Urteil 8C_720/2017 vom 12. März 2018 E. 4.4 mit weiteren Hinweisen).
Das kantonale Gericht begründete die Bejahung des Kriteriums damit, dass sich der Versicherte beim Unfall um seinen 16-jährigen neben ihm sitzenden Sohn geängstigt hatte und ihn in Todesgefahr wähnte. Es sei daher nachvollziehbar, dass es sich um ein prägendes Ereignis gehandelt habe.
Dem kann nicht beigepflichtet werden. Würde man der vorinstanzlichen Argumentation folgen, wäre jeder Autounfall, bei dem auch Familienangehörige im Fahrzeug sitzen, als "besonders eindrücklich" einzuschätzen. In dem im angefochtenen Entscheid angeführten Urteil 8C_590/2008 vom 3. Dezember 2008 E. 5.3 war die versicherte Person selbst in der 29. Schwangerschaftswoche. Dieser Umstand unterscheidet sich wesentlich vom vorliegenden Sachverhalt. Er ist vielmehr mit jenem von Urteil 8C_673/2008 vom 10. Juli 2009 zu vergleichen. In jenem Fall fuhr auf dem Beifahrersitz eine hochschwangere Frau mit, die überdies beim Unfall leicht verletzt wurde. Trotzdem verneinte das Bundesgericht das Kriterium der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit für den versicherten Lenker (a.a.O. E. 5.3.2). Das gilt auch vorliegend.
4.3.4. Im angefochtenen Entscheid wurde die Frage, ob das Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen erfüllt ist, letztlich offen gelassen. Dem ist auch letztinstanzlich zu folgen, da selbst dann, wenn dieses bejaht würde - was lediglich bei Anwendung der Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> in Betracht fiele -, nur ein einziges Kriterium - und dieses nicht in ausgeprägter Form - erfüllt wäre. Die Adäquanz des natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen den über den 31. Juli 2016 hinaus bestehenden psychischen Beschwerden und dem Unfallereignis vom 8. Mai 2013 ist somit zu verneinen. Die Beschwerde der Suva ist daher gutzuheissen.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdegegner aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 23. Oktober 2018 wird aufgehoben und der Einspracheentscheid der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (Suva) vom 14. September 2017 bestätigt.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 21. August 2019
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Schüpfer