Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Klage vom 28. Mai 2018 leitete A._ (Klägerin, Beschwerdegegnerin) ein Verfahren gegen die B._ AG (Beklagte, Beschwerdeführerin) beim Handelsgericht des Kantons Zürich ein. Sie beantragte die Aushändigung von Namenaktien beziehungsweise eines Zertifikats über das Eigentum an Namenaktien der B._ AG.
Nach Durchführung einer Vergleichsverhandlung, anlässlich welcher keine Einigung erzielt wurde, reichten die Parteien Replik und Duplik sowie je eine weitere Stellungnahme ein. Mit Eingabe vom 23. Januar 2020 teilte die B._ AG mit, dass sie auf die Durchführung einer mündlichen Hauptverhandlung nicht verzichte. Am 20. Februar 2020 wurden die Parteien zur Hauptverhandlung vom 7. April 2020 vorgeladen.
A.b. Mit E-Mail vom 18. März 2020 schlug Oberrichter Daniel Schwander den Rechtsvertretern der Parteien vor, die Hauptverhandlung mittels der Software "Zoom Cloud Meetings" abzuhalten. Die B._ AG erklärte daraufhin am 19. März 2020, an einer gesetzeskonformen Hauptverhandlung festzuhalten, da die Zivilprozessordnung Verhandlungen mittels Videokonferenz nicht vorsehe und überdies Sicherheitsbedenken bestünden.
Mit Schreiben vom 24. März 2020 gab die Vizepräsidentin des Handelsgerichts bekannt, dass die Hauptverhandlung im Rahmen einer Videokonferenz stattfinden werde. Sie hielt die "Vertreter und Parteien, die an der Hauptverhandlung von ihrem jeweiligen Standort aus teilnehmen", an, auf deren Mobiltelefonen die "Gratisapp 'ZOOM Cloud Meetings'" zu installieren, sich zu registrieren und dem Handelsgericht bis am 31. März 2020 schriftlich die Mobiltelefonnummern mitzuteilen. Sollte - so die Vizepräsidentin weiter - diese Mitteilung unterbleiben, werde "bezüglich der Hauptverhandlung" von Säumnis ausgegangen. Einige Tage vor der Verhandlung werde das Handelsgericht mit den beteiligten Anwälten einen kurzen Test beziehungsweise eine Instruktion durchführen. Allfällige Plädoyernotizen seien zu Beginn der Verhandlung per E-Mail an den zuständigen Gerichtsschreiber, an den Instruktionsrichter sowie an die Gegenpartei zu senden. Es bestehe weiterhin die Möglichkeit, nachträglich noch auf die Durchführung der Hauptverhandlung zu verzichten.
Am 30. März 2020 ersuchte die B._ AG um Verschiebung der Hauptverhandlung vom 7. April 2020. Dieses Gesuch wurde mit Verfügung vom 1. April 2020 abgewiesen. Mit Eingabe vom 6. April 2020 legte die B._ AG ihren Standpunkt - wonach sie mit der Durchführung der mündlichen Hauptverhandlung via Videokonferenz nicht einverstanden sei - nochmals dar und ersuchte das Handelsgericht, "nach Aufhebung der vom Bundesrat bereits verordneten oder noch erfolgenden Massnahmen zur Verhinderung der weiteren Verbreitung des neuen Coronavirus neu zu einer gesetzeskonformen Hauptverhandlung vorzuladen".
Am 7. April 2020 fand die Hauptverhandlung im Rahmen einer Videokonferenz statt. Die B._ AG (beziehungsweise deren Vertretung) blieb unentschuldigt fern beziehungsweise nahm an der Videokonferenz nicht teil.
A.c. Mit Urteil vom 7. April 2020 hiess das Handelsgericht die Klage vollumfänglich gut.
B.
Die B._ AG verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Handelsgerichts sei aufzuheben. Die Klage sei durch Nichteintreten zu erledigen oder vollumfänglich abzuweisen. Eventualiter sei die Sache "zur Durchführung einer gesetzeskonformen mündlichen Haupt verhandlung" an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem ersuchte sie - vorab superprovisorisch - um Erteilung der aufschiebenden Wirkung. Das Handelsgericht und die Beschwerdegegnerin verzichteten auf Vernehmlassung und stellten keine Anträge.
Am 12. Mai 2020 ordnete das Bundesgericht an, dass bis zum Entscheid über das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung alle Vollziehungsvorkehrungen zu unterbleiben hätten.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Handelsgerichts ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer einzigen kantonalen Instanz im Sinne von <ref-law>. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in Zivilsachen offen, gemäss <ref-law> unabhängig vom Streitwert (<ref-ruling> E. 1.2; siehe auch <ref-ruling> E. 1.1, 2 E. 1.2.2 S. 5).
Die Beschwerdeführerin wendet sich gegen die Verfügung des Handelsgerichts vom 1. April 2020, mit der das Gesuch um Verschiebung der Hauptverhandlung abgewiesen wurde. Sie ficht diesen Zwischenentscheid zulässigerweise durch Beschwerde gegen den Endentscheid an (siehe <ref-law>).
Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Heisst das Bundesgericht eine Beschwerde gut, so entscheidet es in der Sache selbst oder weist diese zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurück (<ref-law>).
2.2. Die Beschwerdeführerin beantragt im Hauptbegehrenein reformatorisches Urteil des Bundesgerichts. Sie begehrt, auf die Klage nicht einzutreten oder diese abzuweisen. Dabei macht sie namentlich geltend, die Prozessvoraussetzungen (<ref-law>) seien nicht erfüllt gewesen, das Handelsgericht habe den Dispositionsgrundsatz (<ref-law>) verletzt und die Klage sei rechtsmissbräuchlich (<ref-law> und <ref-law>) erhoben worden. Ausserdem habe die Vorinstanz zu Unrecht einen Anspruch des Aktionärs auf wertpapiermässige Verbriefung der Aktionärsstellung bejaht und damit <ref-law> beziehungsweise "aktienrechtliche Grundsätze" verletzt.
Im Eventualbegehren verlangt sie die Aufhebung des angefochtenen Urteils und die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz. Sie erblickt im Vorgehen des Handelsgerichts, die auf den 7. April 2020 angesetzte Hauptverhandlung im Rahmen einer Videokonferenz mittels der App "Zoom Cloud Meetings" durchzuführen, eine Verletzung des Grundsatzes von Treu und Glauben (<ref-law>; <ref-law>), ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>; <ref-law>) und ihres Anspruchs auf Durchführung einer gesetzeskonformen Hauptverhandlung. Die Beschwerdeführerin verweist ausserdem auf Art. 12 lit. a und Art. 13 Abs. 2 BGFA (SR 935.61). Aufgrund dieser Bestimmungen sei es ihrem Rechtsvertreter verboten gewesen, mittels der genannten App an der Hauptverhandlung vom 7. April 2020 teilzunehmen.
2.3. Ist das kantonale Verfahren spruchreif, so wird es durch Sach- oder Nichteintretensentscheid beendet (<ref-law>). Spruchreife setzt unter anderem voraus, dass das vom Gesetz vorgeschriebene Verfahren ordnungsgemäss durchgeführt worden ist (<ref-ruling> E. 4.3.2.2 S. 400; <ref-ruling> E. 3.2 S. 453). Nach <ref-law> haben die Parteien Anspruch auf rechtskonforme Abhaltung der Hauptverhandlung, soweit sie nicht gemeinsam auf eine solche verzichten (<ref-law>; BGE <ref-ruling> E. 3.2 f.; Urteil 4A_180/2020 vom 6. Juli 2020 E. 3.1, zur Publikation vorgesehen). Es ist daher - gemeinsamer Verzicht der Parteien vorbehalten - grundsätzlich unzulässig, einen Sachentscheid ohne Durchführung einer Hauptverhandlung zu fällen (BGE <ref-ruling> E. 3.2 S. 453 f.).
Sollte der im Eventualstandpunkt erhobene Vorwurf der Beschwerdeführerin zutreffen und die Hauptverhandlung nicht rechtskonform durchgeführt worden sein, wäre es dem Handelsgericht verwehrt gewesen, über die Klage zu befinden. War es aber der Vorinstanz untersagt, in der Sache zu entscheiden, so gilt dies auch für das Bundesgericht (vgl. <ref-law>: "Einheit des Verfahrens") und würde das von der Beschwerdeführerin im Hauptantrag anbegehrte reformatorische Urteil ausscheiden. Auch vor Bundesgericht wäre die Sache insoweit nicht spruchreif (vgl. <ref-law>). Aus diesem Grund ist zuerst das Eventualbegehren zu prüfen.
3.
3.1. Die an der vorinstanzlichen Verfahrensführung geübte Kritik der Beschwerdeführerin ist berechtigt: Wie das Bundesgericht in den Urteilen 4A_180/2020 (zur Publikation vorgesehen) und 4A_182/2020, beide vom 6. Juli 2020, E. 3-5 entschied, bestand zumindest bis zum Inkrafttreten der Verordnung vom 16. April 2020 über Massnahmen in der Justiz und im Verfahrensrecht im Zusammenhang mit dem Coronavirus (SR 272.81) keine rechtliche Grundlage, um eine Hauptverhandlung ohne Einverständnis aller Parteien im Rahmen einer Videokonferenz abzuhalten. Zur Begründung kann auf die genannten Urteile verwiesen werden. Der vorliegende - sowohl in tatsächlicher als auch in rechtlicher Hinsicht gleich gelagerte Fall - ist nicht anders zu beurteilen: Auch hier findet das Vorgehen des Handelsgerichts, die auf den 7. April 2020 anberaumte Hauptverhandlung mittels der App "Zoom Cloud Meetings" durchzuführen, im (damals) geltenden Recht keine Stütze. Die Beschwerdeführerin - die sich wiederholt gegen die Videokonferenz wehrte - moniert zu Recht, dass ihr Anspruch auf rechtskonforme Abhaltung der Hauptverhandlung verletzt worden ist.
Damit braucht nicht auf die weiteren Bedenken hinsichtlich der Benutzung der App "ZOOM Cloud Meetings" eingegangen zu werden, insbesondere auch was deren anwaltsrechtliche Zulässigkeit betrifft.
3.2. Nach dem Gesagten besteht bei diesem Ergebnis kein Raum für ein reformatorisches Urteil des Bundesgerichts (Erwägung 2.3). Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Es erübrigt sich, zu den Einwänden der Beschwerdeführerin Stellung zu nehmen, mit welchen sie das Urteil des Handelsgerichts in der Sache anficht.
4.
4.1. Die Beschwerde ist im Eventualbegehren gutzuheissen. Das angefochtene Urteil des Handelsgerichts ist aufzuheben. Die Sache ist zur rechtskonformen Durchführung der Hauptverhandlung und anschliessender neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um Erteilung der aufschiebenden Wirkung - dem das Bundesgericht im Sinne einer superprovisorischen Massnahme bereits entsprochen hatte - gegenstandslos.
4.2. Die Beschwerdeführerin darf mit Blick auf die Bemessung der Kosten- und Entschädigungsfolgen als vollumfänglich obsiegend betrachtet werden. Es rechtfertigt sich indes, die Beschwerdegegnerin von der Kostenpflicht zu entlasten. In der vorliegenden, besonderen Konstellation hat ein von ihr nicht mitverschuldeter Verfahrensfehler des Handelsgerichts zur Gutheissung des Rechtsmittels geführt. Ausserdem wurde die Hauptverhandlung nicht von ihr, sondern von der Beschwerdeführerin verlangt. Auch hat die Beschwerdegegnerin im bundesgerichtlichen Verfahren auf eine Vernehmlassung verzichtet und keinen Antrag gestellt (vgl. Urteil 4A_180/2020 vom 6. Juli 2020 E. 7, zur Publikation vorgesehen, mit Hinweisen). Der Kanton Zürich darf nicht mit Gerichtskosten belastet werden (<ref-law>). Mithin erscheint es angebracht, auf die Erhebung von Kosten zu verzichten (<ref-law>) und den Kanton Zürich zu verurteilen, der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Das Urteil des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 7. April 2020 wird aufgehoben. Die Sache wird zur Durchführung des Verfahrens im Sinne der Erwägungen und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Zürich hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Juli 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Stähle