Erwägungen:
1.
Mit Urteil vom 7. November 2018 erteilte das Bezirksgericht Horgen der Beschwerdegegnerin gegenüber dem Beschwerdeführer in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes U._ definitive Rechtsöffnung für Fr. 6'558.50 nebst Zins, für Fr. 1'200.-- nebst Zins, für die Betreibungskosten sowie Kosten und Entschädigung des Rechtsöffnungsentscheids. Als Rechtsöffnungstitel diente ein Urteil des Bezirksgerichts Horgen vom 18. Mai 2018 betreffend ausstehenden Lohn, ausstehende Ferienentschädigung und Entschädigung für ungerechtfertigte fristlose Entlassung.
Gegen den Rechtsöffnungsentscheid erhob der Beschwerdeführer am 13. Dezember 2018 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Mit Urteil vom 27. März 2019 wies das Obergericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
Gegen dieses Urteil hat der Beschwerdeführer am 28. April 2019 Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Aufgrund des tiefen Streitwerts (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) und mangels Vorliegens einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG) ist die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln (Art. 113 ff. BGG). In einer subsidiären Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399; <ref-ruling> E. 2.4 S. 368).
3.
Das Obergericht hat erwogen, der Beschwerdeführer mache Ausführungen, die über das vor Bezirksgericht Dargelegte hinausgingen, und reiche neue Unterlagen ein. Beides sei wegen des Novenverbots unzulässig. Soweit der Beschwerdeführer lediglich das vor Bezirksgericht Dargelegte wiederhole, sei seine Beschwerdebegründung ungenügend. Im Übrigen bringe er im Wesentlichen vor, mit dem Urteil des Bezirksgerichts vom 18. Mai 2018 (d.h. dem Rechtsöffnungstitel) sowie mit der Verfügung desselben Gerichts vom 13. Juni 2018, mit welcher im damaligen Verfahren sein Begehren um Wiederherstellung der Frist zur Erstattung einer Klageantwort abgewiesen worden war, nicht einverstanden zu sein. Der Beschwerdeführer verkenne, dass im Rechtsöffnungsverfahren nicht mehr geprüft werde, ob eine Forderung zu Recht besteht oder nicht. Im Vollstreckungsverfahren werde der Sachentscheid nicht inhaltlich überprüft. Mit den diesbezüglichen, zutreffenden Erwägungen des Bezirksgerichts setze sich der Beschwerdeführer nicht auseinander.
4.
Vor Bundesgericht setzt sich der Beschwerdeführer nicht mit diesen Erwägungen auseinander und er zeigt nicht auf, inwiefern sie gegen verfassungsmässige Rechte verstossen sollen. Stattdessen wendet er sich nach wie vor hauptsächlich gegen das Urteil vom 18. Mai 2018 und gegen die Weigerung des Bezirksgerichts, die Klageantwortfrist wiederherzustellen. Er übergeht dabei, dass diese Entscheide nicht im Rechtsöffnungsverfahren überprüft werden können. Er behauptet auch nicht, dass der als Rechtsöffnungstitel dienende Entscheid geradezu nichtig wäre. Daran ändert nichts, dass er in Bezug auf das Urteil des Bezirksgerichts vom 18. Mai 2018 seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt sieht. Soweit er geltend macht, das Obergericht sei nicht auf seine Beschwerde eingegangen, erläutert er nicht, welche Punkte das Obergericht übergangen haben soll.
Die Beschwerde enthält damit offensichtlich keine hinreichende Begründung. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten, die angesichts des geringen entstandenen Aufwands reduziert werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Mai 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg