Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1971; Beschwerdeführerin) und B._ (geb. 1970; Beschwerdegegner) heirateten im Juli 2007. Im März 2010 kam die Tochter C._ zur Welt. Die Ehegatten trennten sich im Juli 2013.
A.b. Ende November 2013 ersuchte A._ das Bezirksgericht Zürich um Regelung des Getrenntlebens. Das Eheschutzverfahren wurde wieder abgeschrieben, nachdem beide Ehegatten im Februar 2014 je eine Scheidungsklage eingereicht hatten. Es folgte ein äusserst langes Scheidungsverfahren, in dem die Eltern namentlich um die elterliche Sorge und die Betreuung der Tochter heftig stritten. Das Kind befand sich nach der Trennung bei der Mutter, wurde im Mai 2015 aber fremdplaziert. Am 23. August 2019 bestätigte das Obergericht des Kantons Zürich die Rückplatzierung vom C._ zum Vater.
Mit Urteil vom 11. Dezember 2020 schied das Bezirksgericht die Ehe von A._ und B._ und regelte die Nebenfolgen der Scheidung. Dabei übertrug es namtlich die elterliche Sorge und die Obhut über die Tochter dem Vater und regelte das (vorerst begleitete) Besuchsrecht der Mutter. Eine bereits zuvor für C._ errichtete Beistandschaft führte das Bezirksgericht unter Neufestlegung der Aufgaben der Beiständin weiter. Den von A._ für die Tochter zu bezahlenden Kindesunterhalt bezifferte das Gericht mit monatlich Fr. 1'100.-- (zzgl. allfälliger Kinderzulagen) ab Rechtskraft des Scheidungsurteils. Ausserdem genehmigte das Bezirksgericht die Teilscheidungsvereinbarung vom 7. Oktober 2020, in welcher die Ehegatten gegenseitig auf nachehlichen Unterhalt verzichteten sowie den Vorsorgeausgleich, das Güterrecht und die Entschädigungsfolgen des Scheidungsverfahrens regelten.
B.
Die von A._ hiergegen eingereichte Berufung wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 9. März 2021 (eröffnet am 19. März 2021) unter Bestätigung des erstinstanzlichen Erkenntnisses ab, soweit es darauf eintrat.
C.
A._ gelangt am 14. April 2021 mit Beschwerde in Zivilsachen ans Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des Urteils vom 9. März 2021 und stellt zahlreiche Anträge, die schwergewichtig auf die weitere Abklärung verschiedener tatsächlicher Umstände gerichtet sind (vgl. im Einzelnen hinten E. 4.1).
Mit Eingaben vom 30. April, 26. Juni, 18. Juli sowie vom 2. und 27. September 2021 gelangt A._ mit weiteren Anträgen ans Bundesgericht.
Das Bundesgericht hat keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin (<ref-law>) über eine Ehescheidung und deren Nebenfolgen (insbesondere elterliche Sorge, Betreuung der Tochter, persönlicher Verkehr, Kindesunterhalt) und damit eine insgesamt nicht vermögensrechtliche Zivilsache nach <ref-law> entschieden hat (<ref-ruling> E. 1.1). Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Die Beschwerdeführerin ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt, die sie auch fristgerecht eingereicht hat (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 1 Bst. a BGG).
1.2. Unbeachtlich bleiben die zahlreichen unaufgefordert eingereichten Eingaben der Beschwerdeführerin (vgl. vorne Bst. C), soweit diese nach Ablauf der Beschwerdefrist, mithin nach dem 3. Mai 2021, und damit verspätet eingereicht wurden. Eine Ergänzung der Beschwerde ist ab diesem Zeitpunkt nicht mehr möglich (Urteile 5A_96/2021 vom 3. August 2021 E. 2; 5A_724/2017 vom 15. Mai 2018 E. 1.2). Zu berücksichtigen ist nach dem Ausgeführten neben der Beschwerdeschrift einzig die Eingabe vom 30. April 2021. Ohnehin wäre es nicht zulässig, vor Bundesgericht echte Noven einzureichen, mithin Tatsachen oder Beweismittel, die erst entstanden sind, nachdem vor der Vorinstanz keine neuen Tatsachen und Beweismittel mehr vorgetragen werden konnten (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.1.2). Somit wäre die Beschwerdeführerin mit ihren Verweisen - sie sind in den verspäteten Eingaben enthalten - auf neue Angaben und Schreiben des Beschwerdegegners in keinem Fall zu hören.
Soweit die Beschwerdeführerin in der Eingabe vom 27. September 2021 (vgl. vorne Bst. C) mit dem Hinweis, sie wünsche unverzüglich eine Verfügung über die "Auskunftspflicht" des Beschwerdegegners, der Kindesvertreterin, der Beiständinnen und der Gerichte ein Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen im bundesgerichtlichen Verfahren stellen sollte (<ref-law>), wäre auf dieses nicht einzutreten: Weder ergibt sich aus der Eingabe, welche Auskünfte die Beschwerdeführerin im Einzelnen zu erlangen versucht, noch findet sich eine auch nur ansatzweise nachvollziehbare Begründung ihres Begehrens (vgl. Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG).
2.
2.1. Themata des vorliegenden Verfahrens sind die Scheidung der Parteien und die Regelung der Scheidungsnebenfolgen (vgl. vorne Bst. A.b und E. 1.1). Entsprechend trat das Obergericht auf die Berufung nicht ein, soweit die Beschwerdeführerin sich zur "Haftpflicht in Medizin" äusserte. Sodann verneinte die Vorinstanz ihre Zuständigkeit zur Behandlung einer von der Beschwerdeführerin erhobenen Beschwerde an den Europäischen Gerichtshof für Menschenrechte (EGMR).
Zur "Haftpflicht" äussert die Beschwerdeführerin sich auch vor Bundesgericht ausführlich, wobei sie namentlich auf deren "Auslöser" und "Folgen" eingeht. Sie setzt sich jedoch nicht mit dem vorinstanzlichen Nichteintretensentscheid auseinander und legt in keiner Weise dar, weshalb das Obergericht sich mit dieser "Haftpflicht" hätte auseinandersetzen müssen. Die Beschwerde ist insoweit ungenügend begründet (<ref-law>).
Was die Beschwerde an den EGMR betrifft, führt die Beschwerdeführerin aus, es müsse der innerstaatliche Instanzenzug ausgeschöpft sein, bevor eine solche möglich sei. Die Zuständigkeit des Obergerichts sei daher gegeben. Zwar trifft zu, dass eine Beschwerde an den EGMR erst nach Erschöpfung aller innerstaatlichen Rechtsbehelfe möglich ist (Art. 35 Abs. 1 EMRK). Dies macht das Obergericht aber nicht zur Behandlung von Beschwerden an den EGMR zuständig. Weiter ist nicht ersichtlich oder geltend gemacht, dass das Obergericht im Rahmen seiner Zuständigkeit die inhaltlich Prüfung von verfassungsmässigen Rechten unzulässig unterlassen hätte. Die Beschwerde erweist sich insoweit als unbegründet.
2.2. Gänzlich ausserhalb des Gegenstands des vorliegenden Verfahrens (vgl. <ref-ruling> E. 4.4.2 mit Hinweisen) liegt sodann der soweit ersichtlich vorab im Verfahren vor Bundesgericht erhobene Vorwurf, die frühere Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin, D._, habe "Kl ientenverrat" begangen, bwz. es sei abzuklären, ob ein solcher Verrat vorliege. Auf die Beschwerde ist insoweit nicht einzutreten. Ohnehin bleibt unklar, was die Beschwerdeführerin damit genau anspricht. Zudem fällt auf, dass sie sich andernorts sehr positiv über ihre frühere Vertreterin äussert und ausführt, sie würde diese "heute noch sehr schätz[en] und rühm[en]".
2.3. Einzugehen ist nachfolgend nach dem Ausgeführten auf die Beschwerde insoweit, als diese sich auf die Scheidung der Ehe der Parteien und die Regelung von deren Nebenfolgen bezieht.
3.
3.1. Die Beschwerdeschrift hat ein Begehren zu enthalten (<ref-law>). Da die Beschwerde in Zivilsachen ein reformatorisches Rechtsmittel ist (vgl. <ref-law>), muss dieses Begehren grundsätzlich reformatorisch gestellt werden. Die rechtsuchende Partei hat daher einen Antrag in der Sache zu stellen. Rechtsbegehren, die eine Geldsumme zum Gegenstand haben, müssen ausserdem beziffert werden (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2). Hiervon ausgenommen ist namentlich der Fall, dass das Bundesgericht ohnehin nicht reformatorisch entscheiden könnte, etwa weil es an den nötigen Sachverhaltsfeststellungen fehlt (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 3.1; Urteil 5A_789/2019 vom 16. Juni 2020 E. 2.1, nicht publiziert in: <ref-ruling>).
3.2. Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (<ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (<ref-law>), oder würden auf einer anderen Bundesrechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. Verletzung von <ref-law> oder <ref-law>) beruhen. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (<ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.3).
Dieselben Rüge- und Begründungsvoraussetzungen gelten für das Vorbringen der Verletzung verfassungsmässiger Rechte (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 1.2.2).
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin beantragt in allgemeiner Weise die Aufhebung des Urteils des Obergerichts. Weitergehend ersucht sie (zusammenfassend) um erneute Abklärung der tatsächlichen Grundlagen ( "neutrale Begutachtung des gesamten Falles", "unabhängige Gesamtschau des Falles", "neue Gutachten [...], welche den tatsächlichen Fallverlauf aufgrund von Akten wiedergeben") bzw. um Neubeurteilung der Scheidungsnebenfolgen ( "das alleinige Sorgerecht und die alleinige Obhut [...] prüfen", "[die] Kosten als auch der Unterhalt [...] neu zu regeln"). Entsprechend führt sie aus, mit der Beschwerde gehe es ihr "alleine und einzig um die Frage, ob Abklärungen statt zu finden haben oder nicht".
Damit stellt die Beschwerdeführerin keine hinreichenden Rechtsbegehren im vorgenannten Sinne. Namentlich bleibt unklar, welche Regelung der elterlichen Sorge und Obhut sie im Einzelnen erreichen möchte und wie der persönliche Verkehr der Tochter zum nicht obhutsberechtigten Elternteil ihrer Meinung nach auszugestalten ist. Ebenso wenig gibt sie (beziffert) an, welche Unterhaltsregelung ihr vorschwebt und wie die Kosten des kantonalen Verfahrens ihrer Meinung nach zu verlegen sind. Der Beschwerde lässt sich jedoch entnehmen, dass die Vorinstanz nach Ansicht der Beschwerdeführerin den massgebenden Sachverhalt nur ungenügend abgeklärt hat. Je nach Zutreffen dieses Vorwurfs wäre es der Beschwerdeführerin daher nicht möglich, hinreichende (reformatorische und bezifferte) Begehren zu stellen. Entsprechend ist nachfolgend aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde zu prüfen, ob sich ein Verzicht auf hinreichende Rechtsbegehren aus diesem Grund rechtfertigt (vgl. dazu Urteil 5A_96/2021 vom 3. August 2021 E. 3).
4.2. Die sehr ausführlichen und teilweise repetitiven Ausführungen der Beschwerdeführerin sind nicht immer leicht verständlich. Es ist unter diesen Umständen nicht möglich, auf alle Vorbringen einzeln einzugehen. Dies ist jedoch auch nicht notwendig und es reicht aus, die wesentlichen für das Bundesgericht ausschlaggebenden Überlegungen wiederzugeben (<ref-ruling> E. 5.2).
In ihren Ausführungen stellt die Beschwerdeführerin über weite Strecken ihre eigene Einschätzung der Sachlage dar, ohne dem Obergericht konkret eine qualifiziert unrichtige Feststellung des Sachverhalts vorzuwerfen. Zu verweisen ist beispielsweise auf das wiederholt erhobene Vorbringen, das Gutachten zur Erziehungsfähigkeit der Beschwerdeführerin sei veraltet. Dies genügt den Anforderungen an eine Beschwerde in Zivilsachen von vornherein nicht (vgl. vorne E. 3.2). Hieran ändert auch das seitenlange Aufzählen einzelner Bestimmungen der BV, der EMRK und von weiteren Staatsverträgen nichts, zumal die Beschwerdeführerin sich nicht weiter zu den fraglichen Normen äussert (Urteil 5A_81/2018 vom 30. Januar 2018 E. 3). Doch auch dort, wo die Beschwerdeführerin im Zusammenhang mit der Sachverhaltsabklärung erkennbar die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend macht, bleibt die Beschwerde rein appellatorisch und geht die Beschwerdeführerin in keiner Weise auf die angeblich verletzten Rechte ein. So etwa, wenn sie ausführt:
"Ihre [C._s] menschliche Würde, die Rechtssicherheit und das Festhalten ihrer Aussagen wurde[n] massiv torpediert und aktiv verhindert. [...] Lediglich aufgrund der Aussagen [des Beschwerdegegners] stellte Dr. E._ die Diagnose, dass ich ein Wahnsystem hätte und C._ umgehend fremdplatziert werden müsse. Verbunden hat man diese Diagnose und freie Einschätzung mit dem Besuchsrecht, welches damals vom Vater nicht wahrgenommen wurde. Er wollte C._ entweder gar nicht sehen und die Obhut nicht wahrnehmen. Bis 2017 nicht, obwohl er immer wieder diese Anträge stellte. Gleichzeitig setzte der Vater C._ regelmässig Misshandlungen aus oder nahm ihre medizinischen Belange nicht wahr. Blockierte die Abklärung, erfand Unwahrheiten oder sagte immer zu, dass dies ein Gericht entscheiden [werde]."
"Es geht gegen meine Menschenwürde und das Recht auf ein faires Verfahren (gem. der Bundesverfassung) von einer Behörde über Jahre als gestört und wahnhaft hingestellt zu werden, nur [weil] man die Folgen dieser Fremdplatzierung nicht anschauen möchte. Dazu muss ich mir noch sagen lassen, dass ich mich allem verweigere. [...] Ich bin heute noch der Ansicht[, dass] spätestens bei der Hauptverhandlung alle Beweise nochmals zu würdigen gewesen wären. Heute kann das Gericht lediglich sich selbst zusammen fassen."
Derartige Ausführungen genügen den an eine Beschwerde in Zivilsachen zu stellenden Anforderungen in keiner Weise (vgl. vorne E. 3.2).
4.3. Damit bestehen keine Anhaltspunkte für eine qualifiziert fehlerhafte Feststellung der tatsächlichen Grundlagen des Verfahrens durch die Vorinstanz. Folglich konnte die Beschwerdeführerin aus diesem Grund nicht auf hinreichende Rechtsbegehren verzichten, womit die Beschwerde den Anforderungen von <ref-law> nicht genügt und auch mit Blick auf die Scheidung und die Regelung von deren Nebenfolgen nicht darauf einzutreten ist.
Vergebens beruft die Beschwerdeführerin sich im Übrigen auf fehlende juristische Kenntnisse: Es ist auch die anwaltlich nicht vertretene Partei für ihre Eingaben und deren hinreichende Begründung selbst verantwortlich (Urteile 5A_510/2019 vom 31. Oktober 2019 E. 2 a.E.; 5D_83/2017 vom 27. November 2017 E. 1.3). Von der Pflicht zur ausreichenden Begründung entbindet die Beschwerdeführerin auch nicht ein "medizinische[r] Notfall in der Familie". Ohnehin führt die Beschwerdeführerin in keiner Weise aus, worin dieser Notfall bestand und weshalb sie deswegen an der gehörigen Beschwerdeerhebung gehindert worden sein sollte. Dies ist umso weniger nachvollziehbar, als die Beschwerdeführerin trotz allem die Zeit für das Verfassen einer sehr umfangreichen Beschwerde fand.
5.
Die Beschwerdeführerin wünscht sich vom Bundesgericht, dass es im Sinne eines Leitentscheids für sämtliche Scheidungsverfahren, die Kinder betreffen, die Durchführung einer Mediation sowie eine "zeitnahe aber auch konstante Abklärung" vorsehe. Das Bundesgericht solle ein "klares Bekenntnis für Kinder in der Schweiz" abgeben. Vorab wird auch insoweit nicht in in allen Teilen klar, was die Beschwerdeführerin mit ihrer Eingabe genau erreichen möchte. Ohnehin ist sie in grundlegender Hinsicht daran zu erinnern, dass die Ausgestaltung des Scheidungsverfahrens Sache des Gesetzgebers und nicht des Bundesgerichts ist (Art. 163 Abs. 1 und 188 Abs. 1 BV). Im Übrigen gilt nach der Rechtsprechung das Kindeswohl bereits als die oberste Maxime des Kindesrechts (<ref-ruling> E. 5.4).
6.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der unterliegenden Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind keine zu sprechen, da dem obsiegenden Beschwerdegegner mangels Einholens einer Vernehmlassung keine entschädigungspflichtigen Kosten angefallen sind (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Soweit die Beschwerdeführerin mit dem Hinweis darauf, sie verfüge über kein Einkommen und habe erhebliche Schulden, ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflegen stellt, ist dieses abzuweisen, da die Beschwerde nach dem Ausgeführten als von vornherein aussichtlos beurteilt werden muss (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Das weitere Gesuch um Verzicht auf die Erhebung eines Kostenvorschusses (<ref-law>), braucht nach der Bezahlung des Vorschusses nicht mehr behandelt zu werden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, und dem Bezirksgericht Zürich, 5. Abteilung, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. September 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber