Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1987, kosovarischer Staatsangehöriger) und B._ (geb. 1984, türkische Staatsangehörige) sind die unverheirateten Eltern der Kinder C._ (geb. 2016) und D._ (geb. 2018). Die Eltern üben die elterliche Sorge gemeinsam aus. Seit ihrer Trennung im Dezember 2017 leben die Kinder bei der Mutter, welche für die Kinderbetreuung teilweise die Unterstützung ihrer Schwester in Anspruch nimmt.
B.
B.a. Am 18. April 2018 reichte der Vater bei der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde des Bezirks Dietikon (KESB) ein Gesuch um Regelung der Kinderbelange ein, mit welchem er namentlich die alleinige Obhut über den Sohn C._ und ein Besuchsrecht hinsichtlich der Tochter D._ verlangte.
B.b. Im Rahmen der am 22. Juni 2018 durchgeführten Einigungsverhandlung trafen die Eltern eine Besuchsrechtsvereinbarung für die nachfolgenden drei Monate. Diese sah im Wesentlichen vor, der Vater könne den Sohn zwei Tage die Woche (inkl. Übernachtung) zu sich nehmen und die Tochter anlässlich dieser Besuche jeweils für drei Stunden sehen.
B.c. Mit Entscheid vom 24. Januar 2019 stellte die KESB nebst anderem die Kinder unter die Obhut der Mutter und regelte den persönlichen Verkehr zum Vater.
C.
C.a. Dagegen erhob der Vater am 31. Januar 2019 Beschwerde an den Bezirksrat Dietikon. Er begehrte darin, es sei ihm die alleinige Obhut über die beiden Kinder zuzuteilen, und stellte sinngemäss den Eventualantrag, sein Besuchsrecht sei auszuweiten.
C.b. Der Bezirksrat wies die Beschwerde mit Entscheid vom 2. Mai 2019 ab und wies im Übrigen die KESB an, das angefochtene Urteil zu ergänzen, indem sie mit separatem Entscheid eine geeignete Person oder Stelle als Erziehungsaufsicht im Sinne von <ref-law> bestimme.
D.
D.a. Der Vater erhob hiergegen am 22. Mai 2019 wiederum Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Er hielt an seinen vor dem Bezirksrat gestellten Begehren fest.
D.b. Das Obergericht wies das Rechtsmittel mit Urteil vom 6. August 2019 ab, welches dem Vater am 12. August 2019 zugestellt wurde.
E.
E.a. Mit Beschwerde vom 10. September 2019 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt in Aufhebung des angefochtenen Entscheids, die Kinder seien unter seine alleinige Obhut zu stellen und B._ (Beschwerdegegnerin) sei ein gerichtsübliches Besuchsrecht einzuräumen. Sodann stellt er für das bundesgerichtliche Verfahren ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege, welches er mit Eingaben vom 8. Oktober 2019 und 11. November 2019 ergänzt.
E.b. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist der Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, welche auf Rechtsmittel hin (<ref-law>) über die Obhut und den persönlichen Verkehr betreffend Kinder nicht verheirateter Eltern geurteilt hat. Für diese nicht vermögensrechtliche Zivilsache (<ref-law>) gilt kein Streitwerterfordernis. Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>) und hat sie rechtzeitig erhoben (<ref-law> i.V.m. Art. 46 Abs. 1 lit. b und Art. 45 Abs. 1 BGG). Unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen ist auf die Beschwerde nach <ref-law> einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann sie mit einer Begründung abweisen, die von der Argumentation der Vorinstanz abweicht (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 465 f. mit Hinweisen). Es befasst sich aber grundsätzlich nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286). Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; Rügeprinzip). Es prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368). Sodann ist es an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (<ref-law>). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann einzig vorgebracht werden, sie seien offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweis), oder sie würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) beruhen. Ausserdem muss in der Beschwerde aufgezeigt werden, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234 mit Hinweis). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Soweit sie nach Erlass des angefochtenen Entscheids entstanden sind, sind sie als echte Noven von vornherein unzulässig (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123 mit Hinweis). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Voraussetzungen für eine nachträgliche Einreichung von Tatsachen und Beweismitteln erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 3 S. 346).
2.2. Der Beschwerdeführer trägt vor, die Beschwerdegegnerin habe ihm am Bayram 2019 keine Gelegenheit gegeben, mit seinen Kindern zu sprechen. An welchem Datum dieser Feiertag stattgefunden hat, präzisiert der Beschwerdeführer nicht. Da er darauf verweist, dies sei für ihn der wichtigste Feiertag des Jahres, ist davon auszugehen, dass er das Opferfest (11.-13. August 2019) meint, welches nach Erlass des angefochtenen Entscheids stattfand. Seine Tatsachenbehauptung stellt somit ein von vornherein unzulässiges echtes Novum dar. Dasselbe gilt mit Bezug auf seine Ausführungen zu den Herbstferien im Jahr 2019.
3.
Der Beschwerdeführer bezweckt mit seiner Beschwerde, die alleinige Obhut über die beiden Kinder zu erlangen.
3.1.
3.1.1. Für die Zuteilung der Obhut gelten auch bei unverheirateten Eltern die für den Scheidungsfall entwickelten Kriterien. Nach der Rechtsprechung hat dabei das Wohl des Kindes Vorrang vor allen übrigen Überlegungen, insbesondere vor den Wünschen der Eltern. Vorab ist deren Erziehungsfähigkeit zu klären. Ist sie bei beiden Elternteilen gegeben, kann die Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse ausschlaggebend sein. Schliesslich ist - je nach Alter der Kinder - ihrem eindeutigen Wunsch Rechnung zu tragen. Diesen Kriterien lassen sich die weiteren Gesichtspunkte zuordnen, so die Bereitschaft eines Elternteils, mit dem andern in Kinderbelangen zusammenzuarbeiten, oder die Forderung, dass eine Zuteilung der Obhut von einer persönlichen Bindung und echter Zuneigung getragen sein sollte (Urteil 5A_262/2019 vom 30. September 2019 E. 6.1 mit Hinweisen; vgl. <ref-ruling> E. 3.2.3 f. S. 621 f., 612 E. 4.3 f. S. 615 f.; <ref-ruling> E. 5.3 S. 180 f.). Wesentlich sein kann ferner der Grundsatz, Geschwister nach Möglichkeit nicht zu trennen. Ist aber bei Geschwistern, zum Beispiel aufgrund eines Altersunterschiedes, von unterschiedlichen Bedürfnissen und insbesondere von verschiedenen emotionalen Bindungen und Wünschen auszugehen, steht einer Trennung der Kinder nichts entgegen (Urteile 5A_236/2016 vom 15. Januar 2018 E. 4.1; 5A_444/2008 vom 14. August 2008 E. 3.1 und 3.6). Die Möglichkeit der Eltern, die Kinder persönlich zu betreuen, spielt hauptsächlich dann eine Rolle, wenn spezifische Bedürfnisse der Kinder eine persönliche Betreuung notwendig erscheinen lassen oder wenn ein Elternteil auch in den Randzeiten (morgens, abends und an den Wochenenden) nicht bzw. kaum zur Verfügung stünde; ansonsten ist von der Gleichwertigkeit von Eigen- und Fremdbetreuung auszugehen (vgl. <ref-ruling> E. 4.6.3 und E. 4.7 S. 493 f.; Urteil 5A_241/2018 vom 18. März 2019 E. 5.1).
3.1.2. Beim Entscheid über die Obhut ist der Sachrichter in vielfacher Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen. Ermessensentscheide dieser Art überprüft das Bundesgericht an sich frei; es greift allerdings nur ein, wenn die kantonale Instanz von dem ihr zustehenden Ermessen einen falschen Gebrauch gemacht hat, d.h. wenn sie grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgegangen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 3.2.5 S. 622 mit Hinweisen, 612 E. 4.5 S. 617 mit Hinweisen).
3.2. Die Vorinstanz erwog, es sei nicht strittig, dass die Beschwerdegegnerin seit der Geburt der Kinder deren Hauptbezugsperson darstelle. Es seien keine Aspekte ersichtlich, welche gegen die Erziehungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin sprächen. Ferner spreche nicht gegen die Obhutszuteilung an die Beschwerdegegnerin, dass sie für die Kinderbetreuung die Unterstützung ihrer Schwester in Anspruch nehme. Schliesslich bestünden hinsichtlich der Erziehungs- und Betreuungsfähigkeit des Beschwerdeführers Vorbehalte und sei nicht bekannt, wie er bei Wiederaufnahme einer Erwerbstätigkeit die Kinderbetreuung organisieren würde. Da er Zahlungen der Arbeitslosenversicherung erhalte, sei anzunehmen, dass er Suchbemühungen unternehme. Die Obhutszuteilung an die Beschwerdegegnerin vermöge das Kindeswohl besser zu wahren.
3.3. Der Beschwerdeführer spricht der Beschwerdegegnerin die Erziehungsfähigkeit nicht ab, sodass vorliegend angesichts des jungen Alters der Kinder der Parteien dem Aspekt der Kindeswohlwirksamkeit der Stabilität besondere Bedeutung zukommt. Gemäss der für das Bundesgericht verbindlichen (<ref-law>) und vom Beschwerdeführer nicht beanstandeten Feststellung der Vorinstanz war sowohl während des Zusammenlebens der Parteien als auch danach die Beschwerdegegnerin die Hauptbezugsperson für den gemeinsamen Sohn, was - diesen betreffend - bereits massgeblich gegen eine Obhutszuteilung an den Beschwerdegegner spricht. Die Tochter der Parteien kam erst nach der Trennung der Parteien zur Welt. Hier fällt gegen eine Obhutszuteilung an den Beschwerdeführer erheblich ins Gewicht, dass Geschwister grundsätzlich nicht getrennt werden sollen (vgl. vorne E. 3.1.1) und die Beschwerdegegnerin für die Tochter seit deren Geburt ebenfalls die Hauptbezugsperson ist. Im Übrigen beantragte der Beschwerdeführer im Verfahren vor der KESB mit Bezug auf seine Tochter nicht einmal - wie für den Sohn - die alleinige Obhut, sondern bloss ein Besuchsrecht (vgl. vorne Sachverhalt lit. B.a). Zu diesen Gesichtspunkten verliert der Beschwerdeführer in seiner Beschwerdeschrift kein Wort. Ebenso wenig äussert er sich zu den Erwägungen der Vorinstanz, wonach er ausgeprägt empfindlich und impulsiv reagiere, wenn nicht sofort auf seine Wünsche eingegangen werde und diese erfüllt würden, er diesfalls wiederholt erpresserisches und drohendes Verhalten an den Tag gelegt habe (etwa Drohungen mit Hungerstreik oder Selbstmord) und bei ihm keine Fähigkeit bzw. kein Wille zur Konflikteinsicht und keine Kompromissbereitschaft erkennbar seien.
3.4. Stattdessen beanstandet der Beschwerdeführer, dass die Beschwerdegegnerin die Kinderbetreuung nicht vollumfänglich selbst wahrnimmt, und stellt die Betreuungsfähigkeit ihrer Schwester in Abrede. In der seiner Auffassung nach inadäquaten Kinderbetreuung erblickt er eine Kindeswohlgefährdung.
3.4.1. Die Vorinstanz hält dem Beschwerdeführer implizit vor, er habe seine gegenüber der Beschwerdegegnerin und ihrer Schwester geäusserten Bedenken nicht substanziiert. Der Beschwerdeführer moniert, es gehe aus den im Recht liegenden Akten hervor, dass er vor der KESB und den Beschwerdeinstanzen substanziiert geltend gemacht habe, es sei abzuklären, ob von der Beschwerdegegnerin und ihrer Schwester ein kindswohlgefährdendes Verhalten ausgehe. Die Betreuungsfähigkeiten der Beschwerdegegnerin und ihrer Schwester seien bis heute strittig und er habe diesbezüglich genügend Hinweise geliefert, welche zu einer umfassenden Sachverhaltsabklärung hätten führen müssen. Welche spezifischen Ausführungen in früheren Rechtsschriften er als genügend substanziiert erachtet und welche konkreten Hinweise er den kantonalen Instanzen unterbreitet haben will, präzisiert er indessen nicht. Auch unterlässt er den Verweis auf einschlägige Aktenstellen. Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, in den kantonalen Verfahrensakten nach Aktenstücken zu forschen, welche den Rechtsstandpunkt des Beschwerdeführers stützen könnten (Urteil 5A_917/2018 vom 20. Juni 2019 E. 4.5 mit Hinweisen; vgl. <ref-ruling> E. 6.2 S. 288). Bereits aus diesem Grund ist seiner Rüge kein Erfolg beschieden.
3.4.2. Im Übrigen kann nicht die Rede davon sein, die Beschwerdegegnerin lasse die Kinder "hauptsächlich" von einer Drittperson betreuen. Diese kümmert sich vielmehr grösstenteils - d.h. unter der Woche tagsüber und an ihren Betreuungswochenenden - selbst um die Kinder und nimmt die Unterstützung ihrer Schwester lediglich abends unter der Woche in Anspruch (vgl. angefochtener Entscheid, E. 3.1 S. 6 und E. 3.3.3 S. 11). Abgesehen davon ist seit dem Inkrafttreten des neuen Kindesunterhaltsrechts die Möglichkeit zur persönlichen Betreuung der Kinder ohnehin grundsätzlich kein entscheidwesentliches Kriterium mehr für die Zuteilung der Obhut (vgl. vorne E. 3.1.1). Ein Ausnahmefall wie derjenige eines die Obhut innehabenden Elternteils, welcher die Kinder sowohl tagsüber als auch an den Randzeiten und an den Wochenenden (mehrheitlich) fremd betreuen lässt, ist vorliegend offenkundig nicht gegeben, sodass die Kritik des Beschwerdeführers am angefochtenen Entscheid auch hier fehl geht. Sein Vorbringen, er könne die Kinder im Unterschied zur Beschwerdegegnerin zu 100 % selbst betreuen, ist deshalb nicht von Belang. Ohnehin wäre diese Tatsachenbehauptung bereits deshalb nicht zu berücksichtigen, da er hier auf einen Sachverhalt abstellt, der sich nicht aus dem angefochtenen Entscheid ergibt, ohne diesbezüglich eine Sachverhaltsrüge zu erheben (<ref-law>).
3.4.3. Schliesslich beschränkt sich der Beschwerdeführer auch vor Bundesgericht auf die pauschale Behauptung, die Schwester der Beschwerdegegnerin sei aufgrund ihrer körperlichen Einschränkungen und Unerfahrenheit mit Kindern für die Kinderbetreuung nicht geeignet und gefährde das Kindeswohl. Entgegen seiner Auffassung fehlt einem derartigen Vorwurf die nötige Substanziierung. Weder präzisiert er, worin die angeblichen Beschwerden der Schwester der Beschwerdegegnerin bestehen sollen, noch benennt er spezifische unabdingbare Aufgaben der Kinderbetreuung, welche die Schwester der Beschwerdegegnerin deshalb nicht soll verrichten können und deren Unterlassung das Kindeswohl gefährden würden. Soweit er ausführt, die Vorinstanz verkenne, dass er vorgetragen habe, die Schwester der Beschwerdegegnerin könne aufgrund ihrer körperlichen Einschränkungen mit den Kindern nicht ins Freie und beispielsweise auf den Spielplatz gehen, unterlässt er es aufzuzeigen, inwiefern dadurch das Kindeswohl gefährdet sein sollte, und ohnehin fehlt auch hier der notwendige Aktenverweis. Aus dem angefochtenen Entscheid ergibt sich nicht, dass bzw. an welcher Stelle der Beschwerdeführer dieses Argument in den kantonalen Verfahren vorgebracht hätte. Schliesslich unterlässt er auch jegliche Auseinandersetzung mit der vorinstanzlichen Erkenntnis, die Schwester der Beschwerdegegnerin betreue die Kinder nun bereits seit einiger Zeit, sodass eine allfällig anfänglich existierende Unerfahrenheit im Umgang mit Kindern nicht mehr bestehe.
3.5. Für den Entscheid über die Obhut relevant sein kann auch die Kooperationsbereitschaft und Bindungstoleranz der Eltern. In diesem Zusammenhang moniert der Beschwerdeführer, die Beschwerdegegnerin sabotiere die Beziehung zwischen ihm und seinen Kindern, indem sie versuche, seine Besuchsrechte zu unterbinden.
3.5.1. Die Vorinstanz erwog, der Beschwerdeführer habe die Besuchswochenenden, anlässlich welcher die Kinder ihm im Jahr 2018 vorenthalten worden sein sollen, nicht mittels Datumsangabe näher bezeichnet. Dem entgegnet der Beschwerdeführer, er habe vorgebracht, die Kinder im Jahr 2018 mehrmals für ca. 3-4 Wochen nicht gesehen zu haben und in dieser Zeit von der Beschwerdegegnerin nicht darüber informiert worden zu sein, wie es den Kindern gehe. Die Vorinstanz verkenne, dass es nicht die Pflicht des Beschwerdeführers sei, den genauen Sachverhalt inklusive Datumsangaben darzulegen, denn die KESB sowie die Beschwerdeinstanzen hätten den Sachverhalt von Amtes wegen zu erforschen und über die strittigen Punkte Beweis zu führen. Es sei willkürlich, wenn die Vorinstanz die Behauptung des Beschwerdeführers, die Kinder seien ihm vorenthalten worden, auf die Besuche beziehe, welche infolge Krankheit der Kinder ausgefallen seien. Die Vorinstanz verkenne, dass es nicht einmalige Vorfälle seien, sondern die Beschwerdegegnerin systematisch die Beziehung der Kinder zum Beschwerdeführer sabotiere.
3.5.2. Der Beschwerdeführer irrt, wenn er meint, es genüge die pauschale Behauptung, die Beschwerdegegnerin habe wiederholt den persönlichen Verkehr zu seinen Kindern vereitelt. Auch im Anwendungsbereich der strengen Untersuchungsmaxime obliegen den Parteien bei der Aufarbeitung des Sachverhalts Mitwirkungspflichten (Urteil 5A_565/2019 vom 19. Dezember 2019 E. 2.5.2). Da nicht grundsätzlich davon auszugehen ist, dass der die Kinder betreuende Elternteil dem anderen die Ausübung des Besuchsrechts zu verweigern beabsichtigt, sind entsprechende Behauptungen des besuchsberechtigten Elternteils zu substanziieren. Ohne Vortragen konkreter Anhaltspunkte (etwa der Benennung spezifischer, mehrfacher Begebenheiten, anlässlich derer ohne sachlichen Grund das Besuchsrecht verunmöglicht worden sein soll) waren die KESB bzw. die kantonalen Beschwerdeinstanzen nicht gehalten, das pauschal behauptete Unterbinden des persönlichen Verkehrs zu untersuchen. Für das Vorbringen des Beschwerdeführers, er habe der KESB und den Beschwerdeinstanzen genügend Sachverhalte vorgetragen, damit diese hinsichtlich der Beschwerdegegnerin und ihrer Schwester den Sachverhalt genau hätten abklären müssen, fehlen wiederum die Bezeichnung der fraglichen Geschehnisse und der Verweis auf einschlägige Aktenstellen. Der angefochtene Entscheid ist deshalb auch in diesem Punkt nicht zu beanstanden.
3.6. Im Ergebnis erweisen sich die Rügen des Beschwerdeführers als unbegründet und es ist weder dargetan noch ersichtlich, dass die Vorinstanz ihr Ermessen bundesrechtswidrig ausgeübt hätte. Demnach ist die Beschwerde abzuweisen.
4.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kosten- (<ref-law>), nicht aber entschädigungspflichtig, zumal keine Vernehmlassungen eingeholt wurden (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Die vorstehenden Ausführungen verdeutlichen, dass die Beschwerde als von vornherein aussichtslos zu beurteilen ist, sodass dem Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden kann (Art. 64 Abs. 1 in fine BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. August 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied : Die Gerichtsschreiberin:
von Werdt Gutzwiller