Erwägungen:
1.
1.1. Die heute getrennt lebenden Eheleute A._ und B._ geb. H._ hatten in den Steuerperioden 2005 und 2006 gemeinsamen Wohnsitz in U._/SG. Zu dieser Zeit war der Ehemann unter anderem Arbeitnehmer der D._ AG. Über diese wurde durch Verfügung des Bezirksgerichts V._/GR vom 21. Februar 2007 der Konkurs eröffnet und durch Verfügung vom 27. Februar 2007 mangels Aktiven eingestellt. Bis zum 14. Juli 2009 (Publikation im SHAB) war der Ehemann zudem Mitglied des Verwaltungsrats der E._ AG (zuvor als F._ AG bzw. G._ firmierend; nachfolgend stets E._ AG). Über diese eröffnete das Bezirksgericht W._/GR am 9. Juni 2010 den Konkurs. Mit Verfügung vom 30. Juni 2010 wurde auch dieses Verfahren mangels Aktiven eingestellt. Am 22. März 2007 bzw. 19. März 2008 veranlagte das Steueramt des Kantons St. Gallen (KStA/SG) die Eheleute für die Steuerperioden 2005 und 2006. Dabei gelangte es zu einem steuerbaren Einkommen von Fr. 46'000.-- und Fr. 33'700.-- (Staats- und Gemeindesteuern des Kantons St. Gallen) bzw. Fr. 42'500.-- und Fr. 29'200.-- (direkte Bundessteuern). Das steuerbare Vermögen belief sich in beiden Steuerperioden auf Fr. 0.--.
1.2. Aufgrund einer Meldung der Abteilung für juristische Personen des KStA/SG rechnete dieses auf Ebene der Eheleute mit Verfügungen vom 20. März 2014 geldwerte Leistungen der E._ AG auf. Dabei handelte es sich um Beträge von Fr. 60'000.-- (2005) und Fr. 198'000.-- (2006). Auf Einsprache hin bestätigte das KStA/SG dies.
1.3. Die von den Eheleuten angerufene Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen hiess den Rekurs teilweise gut (Entscheid vom 30. Juni 2015). Sie erkannte, dass die D._ AG der E._ AG in den Geschäftsjahren 2005 und 2006 gegen Honorar Personal zur Verfügung gestellt und die E._ AG den Personalaufwand von je rund Fr. 236'000.-- (2005) bzw. Fr. 224'000.-- (2006) dem Konto yyy ("Gesellschafter") gutgeschrieben habe. Im Geschäftsjahr 2006 seien rund Fr. 226'000.-- zunächst dem Konto "Kreditoren" und danach rund Fr. 243'000.-- wiederum dem Konto yyy gutgeschrieben worden. Ferner habe die E._ AG die EDV und den Wagenpark der D._ AG übernommen und die Zahlung von rund Fr. 344'000.-- im Geschäftsjahr 2005 ebenso über das Konto yyy verbucht. Es sei anzunehmen, dass A._ zumindest im Jahr 2005 eine 100-prozentige Beteiligung an der E._ AG gehalten habe. Es wäre Sache der E._ AG gewesen, so die Verwaltungsrekurskommission, eine Mutation im Aktionariat nachzuweisen. Es stehe zu vermuten, dass der Ehemann bzw. die Eheleute zugunsten der E._ AG eine Vorfinanzierung vorgenommen hätten, wobei sich frage, mit welchen Mitteln sie dies hätten bewerkstelligen können. Der Umstand, dass die Veranlagungsbehörde lediglich auf die "nicht nachvollziehbaren Veranlagungsverfügungen" der E._ AG abstelle, begründe eine Verletzung der behördlichen Untersuchungspflicht. Die Sache sei zur Abklärung des Sachverhalts im Sinne der Erwägungen an das KStA/SG zurückzuweisen.
1.4. Das KStA/SG forderte die Eheleute in der Folge am 18. März 2016 auf, den Zahlungsnachweis sowie den Mittelfluss für die Vorfinanzierung der Leistungen bezüglich des Personalaufwandes (2005/2006) sowie des Erwerbs des beweglichen Vermögens (2005) beizubringen. Der Ehemann wies dies zurück, da es Sache der Veranlagungsbehörde sei, die erforderlichen Unterlagen zu erheben. Zwei Einladungen zu Besprechungen mit der Veranlagungsbehörde schlug er aus. Nach Zustellung eines Veranlagungsvorschlages setzte das KStA/SG mit Verfügungen vom 27. Oktober 2016 das steuerbare Einkommen fest auf Fr. 626'000.-- (Staats- und Gemeindesteuern des Kantons St. Gallen) bzw. Fr. 609'900.-- (direkte Bundessteuern, Steuerperiode 2005) sowie Fr. 500'300.-- (Staats- und Gemeindesteuern des Kantons St. Gallen) bzw. Fr. 495'800.-- (direkte Bundessteuern, Steuerperiode 2006). Die Einsprachen blieben erfolglos (Einspracheentscheide vom 15. Mai 2017).
1.5. Die Eheleute gelangten an die Verwaltungsrekurskommission, welche die Rechtsmittel im zweiten Rechtsgang guthiess (Entscheid vom 21. August 2018) und die Kosten je hälftig auf die Eheleute und das KStA/SG (Fr. 2'000.-- im Verfahren gegen den Ehemann, Fr. 1'000.-- in jenem gegen die Ehefrau) verlegte. Die Begründung ging nunmehr dahin, es sei zwar unstreitig, dass der Ehemann in den beiden Steuerperioden als einziges Mitglied des Verwaltungsrates der E._ AG fungiert habe. Demgegenüber sei nach wie vor ungewiss, wer Anteilsinhaber der E._ AG gewesen sei.
Insbesondere sei nicht dargetan, dass der Ehemann sämtliche Aktien gehalten habe, weswegen die wirtschaftliche Berechtigung am Konto yyy offen geblieben sei. Aus dem Vertrag vom 6. Mai 2005 über den Kauf der Namenaktien der E._ AG gehe zwar hervor, dass C._, X._/ZH, als Erwerber sämtlicher Aktien aufgetreten sei. Dem Protokoll der ausserordentlichen Generalversammlung der E._ AG vom 31. Mai 2005 lasse sich aber entnehmen, dass damals das gesamte Aktienkapital vertreten und neben dem Ehemann einzig der Protokollführer anwesend gewesen sei. Und in der Steuererklärung der E._ AG zur Steuerperiode sei vermerkt, die Aktien seien im Juni 2005 durch den Ehemann "mit Konsorten" übernommen worden. Schliesslich hätten weder die Eheleute A._-B._ noch C._ habe die Beteiligung in ihrer jeweiligen Steuererklärung 2005 und 2006 deklariert.
Insgesamt seien die Beherrschungsverhältnisse keineswegs klar. Was die Gutschrift vom 30. November 2006 über Fr. 83'280.-- an den Ehemann betreffe, könne es sich auch um ein Honorar für die Tätigkeit als Verwaltungsrat handeln. Entsprechend sei die Beschwerde gutzuheissen.
1.6. Die Eheleute und das KStA/SG fochten den Entscheid vom 21. August 2018 beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen an. Das KStA/SG beantragte, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und der Einspracheentscheid vom 15. Mai 2017 zu bestätigen. Eventualiter sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zur Durchführung der Veranlagung nach pflichtgemässem Ermessen an das KStA/SG zurückzuweisen. Subeventualiter sei er aufzuheben und die Sache zur Abklärung des Sachverhalts und zu neuem Entscheid an das KStA/SG zurückzuweisen. Die Steuerpflichtigen beschränkten sich darauf, die hälftige Kostenbeteiligung (ausmachend Fr. 1'000.-- bzw. Fr. 500.--) zu bestreiten, die Verlegung an den Staat und das Ausrichten einer Parteientschädigung zu beantragen.
Mit Entscheid in den Verfahren B 2018/212, B 2018/213, B 2018/214 und B 2018/215 vom 1. April 2019 erklärte das Verwaltungsgericht, Abteilung III, die von den Eheleuten veranlassten Beschwerdeverfahren als gegenstandslos. Die Beschwerden des KStA/SG hiess es teilweise gut; im Sinne des Subeventualantrages wies es die Sache zur weiteren Abklärung an das KStA/SG zurück. Es teilte die Ansicht der Verwaltungsrekurskommission, wonach die Beteiligungsverhältnisse an der E._ AG unzulänglich feststünden, weshalb das KStA/SG mit der weiteren Abklärung zu betrauen sei.
Der Entscheid der Verwaltungsrekurskommission vom 30. Juni 2015 (vorne E. 1.3) habe nur insoweit in Rechtskraft erwachsen können, als die Sache "zur Abklärung des Sachverhalts im Sinne der Erwägungen" an das KStA/SG zurückgewiesen worden sei. Entsprechend sei es der Verwaltungsrekurskommission im zweiten Rechtsgang unbenommen gewesen, auf die unklaren Beteiligungsverhältnisse hinzuweisen. Die Kontoblätter yyy datierten vom 23. Januar 2009, weswegen es unklar sei, ob es sich um rechtsverbindliche Abschlussunterlagen handle, zumal der Zugriff auf die Akten des Konkursamtes nicht mehr möglich gewesen sei (aufgrund der Einstellung des Konkurses mangels Aktiven; vorne E. 1.1).
1.7. Mit Eingabe vom 7. Mai 2019 erheben die Eheleute beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache zur Beurteilung ihres im verwaltungsgerichtlichen Verfahren gestellten Antrags an die Vorinstanz zurückzuweisen. Was den im verwaltungsgerichtlichen Verfahren gestellten Antrag des KStA/SG betreffe, würde, wie sie erklären, die Angelegenheit durch Gutheissung der Beschwerde rechtskräftig. In verfahrensrechtlicher Hinsicht stellen sie den Antrag, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
1.8. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (<ref-law> [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen - insbesondere von einem Schriftenwechsel (<ref-law>) - abgesehen.
2.
2.1. Das Bundesgericht soll sich der Konzeption nach nur einmal mit derselben Angelegenheit befassen müssen und diese hierbei abschliessend beurteilen können (<ref-ruling> E. 1.3 S. 366). Die (Einheits-) Beschwerde ist daher grundsätzlich nur gegen Entscheide zulässig, die das Verfahren ganz oder teilweise abschliessen (End- oder Teilentscheide gemäss Art. 90 und 91 BGG). Gegen Vor- und Zwischenentscheide, die weder zu Ausstandsbegehren noch zur Zuständigkeit ergehen (dazu <ref-law>), ist die Beschwerde lediglich unter den Voraussetzungen von <ref-law> gegeben. Dieser Bestimmung zufolge ist die Beschwerde (nur) zulässig, wenn solche Entscheide entweder einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur bewirken können (lit. a; <ref-ruling> E. 2.3 S. 328 f.), weshalb rein tatsächliche Nachteile wie die Verlängerung und/oder Verteuerung des Verfahrens nicht ungenügend sind (<ref-ruling> E. 1.2 S. 479), oder die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b; <ref-ruling> E. 1.1 S. 28).
2.2. Will die beschwerdeführende Person einen Zwischenentscheid anfechten, hat sie darzutun, dass die Voraussetzungen zur Anfechtung gegeben sind, es sei denn, deren Vorliegen springe geradezu in die Augen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 28; <ref-ruling> E. 1.2 S. 81).
2.3. Rückweisungsentscheide führen begrifflich zu keinem Verfahrensabschluss, weshalb es sich bei ihnen grundsätzlich um einen Zwischenentscheid handelt (<ref-ruling> E. 2.3 S. 328 f.). Wenn die Rückweisung einzig noch der (rechnerischen) Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient und der Unterinstanz daher keinerlei Entscheidungsspielraum verbleibt, nimmt die öffentlich-rechtliche Praxis des Bundesgerichts einen anfechtbaren (Quasi-) Endentscheid im Sinne von <ref-law> an (<ref-ruling> E. 2.1 S. 45). Im Übrigen sind Rückweisungsentscheide im bundesgerichtlichen Verfahren nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> anfechtbar. Fehlen diese Voraussetzungen, bleibt die Möglichkeit, im Anschluss an den aufgrund des Rückweisungsentscheids neu ergehenden Endentscheid an das Bundesgericht zu gelangen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 366).
3.
3.1. Im vorinstanzlichen Verfahren war die Aufrechnung der dem Konto yyy ("Gesellschafter") gutgeschriebenen Beträge von Fr. 580'048.-- (2005) und Fr. 466'580.-- (2006) streitig. Die Vorinstanz nahm bei ihrer Beurteilung daran Anstoss, dass die Beteiligungsverhältnisse an der E._ AG nach wie vor nur unzulänglich feststünden, sodass namentlich auch unklar sei, wem die wirtschaftliche Berechtigung am Konto yyy zustehe. Aus diesem Grund entsprach sie dem Subeventualantrag der Veranlagungsbehörde und wies sie die Sache an diese zurück. Der angefochtene Entscheid vom 1. April 2019 führt mithin, wie die Eheleute insofern zutreffend ausführen, dazu, dass das KStA/SG die Sache zum dritten Mal wird an die Hand nehmen müssen.
3.2. Folglich fragt sich, ob der vorinstanzliche (Rückweisungs-) Entscheid vor Bundesgericht selbständig angefochten werden kann. Von einem (Quasi-) Endentscheid im Sinne von <ref-law> lässt sich nicht sprechen (vorne E. 2.3). Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.5 S. 31) erscheinen die Beteiligungsverhältnisse als ungewiss. Wie es sich damit verhält, hätte die Veranlagungsbehörde, wollte man der Vorinstanz folgen, detailliert zu erheben und in einem zweiten Schritt die Aufrechnung möglicherweise neu zu bemessen. Der mit der Rückweisung verbundene Auftrag an das KStA/SG reicht damit über eine bloss rechnerische Umsetzung hinaus.
3.3.
3.3.1. Es bleibt die Prüfung, wie es sich mit <ref-law> verhält. Die materiell-rechtlichen Aspekte, welche die Steuerpflichtigen vortragen, lassen aber keinen nicht wieder gutzumachenden Anspruch im Sinne von <ref-law> erkennen. Einen solchen scheinen die Eheleute implizit daran festmachen zu wollen, dass eine dritte Rückweisung an die Veranlagungsbehörde gegen den "Anspruch auf fair trial" verstosse. Die blosse Verlängerung und/oder Verteuerung des Verfahrens begründet allerdings nach ständiger Praxis des Bundesgerichts keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil (<ref-ruling> E. 1.2 S. 479).
3.3.2. Möglicherweise mit Blick auf <ref-law> bringen die Eheleute vor, mit einer Gutheissung ihrer Beschwerde würde der unterinstanzliche Entscheid vom 21. August 2018 bestätigt und in Rechtskraft erwachsen. Indessen beantragen sie selber, die Sache sei zur Bearbeitung und Entscheidfällung an die Vorinstanz zurückzuweisen, ohne einen reformatorischen Antrag zu stellen. Das Bundesgericht könnte somit von vornherein keinen Endentscheid treffen, weshalb auch die Voraussetzungen von <ref-law> fehlen.
3.4. Die Steuerpflichtigen haben die Voraussetzungen von <ref-law> nicht nachgewiesen. Auf ihre Beschwerde ist nicht einzutreten, was im vereinfachten Verfahren durch einzelrichterlichen Entscheid des Abteilungspräsidenten zu geschehen hat (Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG). Einer späteren Beschwerde steht dies nicht entgegen (<ref-law>; vorne E. 2.3). Mit dem vorliegenden Entscheid wird das Gesuch um Zuerkennung der aufschiebenden Wirkung an die Beschwerde (<ref-law>) gegenstandslos (<ref-ruling> E. 10 S. 410).
4.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens den Steuerpflichtigen aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Diese tragen ihren Anteil zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftbarkeit (<ref-law>). Dem Kanton St. Gallen, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Entschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt. Diese tragen ihren Anteil zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftbarkeit.
2. Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt. Diese tragen ihren Anteil zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftbarkeit.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung III, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Juli 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher