Faits :
A.
A.a. A._, né en 1968, travaillait en qualité d'aide-monteur pour une société concevant des cheminées. Arguant souffrir de différentes affections (état anxio-dépressif, condylomes acuminés, fracture-tassement L1 avec lumbago) incapacitantes depuis le mois de janvier 2010, il a déposé une première demande de prestations auprès de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) le 17 août 2010. Sa requête a été rejetée à l'issue de la procédure (décision du 27 mai 2014). Se basant pour l'essentiel sur les conclusions d'un examen psychiatrique réalisé par la doctoresse B._, médecin de son Service médical régional (SMR), spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (rapport du 10 octobre 2013), ainsi que sur celles d'une expertise mise en oeuvre par le docteur C._, spécialiste en médecine interne générale (rapport du 17 mars 2014), l'office AI a considéré que les troubles observés n'influençaient plus la capacité de travail depuis le mois d'août 2010 déjà (courrier du 27 mai 2014).
A.b. L'assuré a déposé une deuxième demande de prestations le 8 juillet 2015. L'administration n'est pas entrée en matière sur sa requête (décision du 14 juin 2016). Elle a considéré que l'avis de la doctoresse D._, médecin traitant, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (rapport du 16 février 2016) ne rendait pas plausible une modification significative de la situation (courrier du 14 juin 2016).
A.c. L'intéressé a déposé une troisième demande de prestations le 20 mars 2018. Se fondant sur les conclusions d'une nouvelle expertise réalisée par le docteur E._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (rapport du 20 septembre 2019), l'office AI a rejeté la requête (décision du 30 avril 2020). Il a considéré que les critiques de la doctoresse D._ (rapport du 30 octobre 2019) ne remettaient pas valablement en cause le rapport d'expertise qui mettait en évidence une absence d'évolution depuis la dernière demande de prestations (courrier du 30 avril 2020).
B.
Saisi d'un recours de A._, le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, l'a rejeté. Il a confirmé la décision du 30 avril 2020 (arrêt du 24 novembre 2020).
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre cet arrêt, dont il requiert l'annulation. Il conclut principalement à l'octroi d'une rente entière d'invalidité à partir du mois de septembre 2018 et, subsidiairement, au renvoi de la cause à l'administration ou au tribunal cantonal pour instruction complémentaire et nouvelle décision.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public (au sens des art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par cette dernière (art. 105 al. 1 LTF). Cependant, il peut rectifier les faits ou les compléter d'office s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant ne peut critiquer les faits que s'ils ont été constatés de façon manifestement inexacte ou contraire au droit et si la correction d'un tel vice peut influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
2.
Le litige porte sur le droit du recourant à une rente d'invalidité dans le cadre d'une nouvelle requête de prestations, en particulier sur l'appréciation de sa capacité de travail et l'évaluation de l'invalidité qui en résulte.
3.
L'acte attaqué expose les normes et la jurisprudence indispensables à la résolution du cas, notamment celles concernant la notion d'invalidité (art. 7 et 8 al. 1 LPGA, en lien avec l'art. 4 al. 1 LAI), le droit à la rente (art. 28 al. 1 LAI), le traitement de nouvelles demandes (art. 87 al. 2 et 3 RAI; art. 17 al. 1 LPGA; <ref-ruling> consid. 3 et les références), le rôle des médecins (<ref-ruling> consid. 4), le principe de la libre appréciation des preuves, la valeur probante des rapports médicaux (<ref-ruling> consid. 5.1; cf. également <ref-ruling> consid. 2.2.2), y compris ceux du SMR (<ref-ruling> consid. 3b/ee; cf. aussi art. 59 al. 2 bis RAI; arrêt 9C_542/2011 du 26 janvier 2012 consid. 4.1) et l'appréciation du caractère invalidant des troubles psychosomatiques (<ref-ruling>; <ref-ruling>; 418). Il suffit d'y renvoyer.
4.
4.1. L'assuré fait grief au tribunal cantonal de ne pas l'avoir auditionné, d'avoir rejeté sa demande d'entendre des témoins et d'avoir refusé de compléter l'instruction par une expertise pluridisciplinaire. Il prétend en substance que l'autorité précédente a ainsi violé son droit à la preuve, dès lors que son interrogatoire ou celui des témoins proposés auraient pu établir utilement les limitations fonctionnelles liées aux pathologies psychiques décrites par le psychiatre traitant et que des investigations pluridisciplinaires auraient été nécessaires pour établir l'évolution des troubles somatiques qu'il présentait déjà avant le dépôt de la première demande de prestations.
4.2. Cette argumentation est infondée. En effet, le recourant se limite en l'espèce à exposer son point de vue, personnel et très général, sur l'utilité ou la nécessité de réaliser les différentes mesures d'instruction qu'il avait proposées sans émettre la moindre critique contre les motifs qui ont amené les premiers juges à y renoncer. Il ne démontre dès lors pas en quoi la juridiction cantonale aurait fait preuve d'arbitraire ou violé le droit fédéral en considérant que, compte tenu du rapport d'expertise du docteur E._, jugé probant et convaincant malgré les critiques de la doctoresse D._, son audition ainsi que celles d'une assistante sociale et d'un maître socio-professionnel n'étaient pas de nature à apporter un éclairage nouveau sur la capacité de travail du point de vue médical. Il ne démontre pas davantage en quoi il était arbitraire ou contraire au droit fédéral de ne pas avoir instruit la cause sur le plan somatique dans la mesure où, comme l'a constaté le tribunal cantonal, il n'a à aucun moment durant la procédure administrative ou de recours produit de documents médicaux attestant une éventuelle aggravation de la situation sur ce plan ni émis la moindre plainte allant dans ce sens.
5.
Pour le surplus, l'assuré reproche aux premiers juges de s'être fondés "de façon quasi dogmatique" sur le rapport du docteur E._. Il s'étonne que l'expert ait jugé peu crédibles des éléments médicaux tels que les manifestations psychotiques. Il se déclare perplexe face au fait d'écarter un diagnostic supposé ancien au motif que des médecins consultés récemment ne l'avaient pas mis en évidence. Il se dit gêné par le fait que l'expert accorde beaucoup d'importance à des facteurs tels que les démarches concernant le droit de séjour en Suisse. Il reproche à celui-ci de s'être focalisé sur les questions diagnostiques plutôt que sur la capacité de travail, d'avoir écarté un rapport d'évaluation neuropsychologique sans avoir lui-même procédé à une nouvelle évaluation ou de ne pas s'être entretenu directement avec le médecin traitant pour résoudre les divergences diagnostiques. Il estime qu'un abattement de 20 à 25 % se justifierait à tout le moins en l'occurrence. Outre le fait que, par cette argumentation, le recourant se contente de faire valoir ses interrogations ou sa propre appréciation des preuves, on relèvera que la motivation de son recours adressé au Tribunal fédéral correspond mot pour mot à celle déposée en instance cantonale et ne s'en démarque que sur de rares points secondaires. L'assuré ne discute aucunement les considérants de l'arrêt cantonal portant sur l'appréciation du dossier médical, de sorte que son recours sur les différents griefs évoqués ne remplit pas les conditions minimales de motivation selon l'art. 42 al. 2 LTF et n'est pas recevable (à cet égard, cf. <ref-ruling>).
6.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge de l'assuré (art. 66 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 25 octobre 2021
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Cretton