Sachverhalt:
A.
Nachdem ein Gesuch des 1953 geborenen A._ um Ergänzungsleistungen zur Altersrente der Alters- und Hinterlassenenversicherung abgelehnt worden war (Verfügung vom 20. Oktober 2017; Einspracheentscheid vom 22. Dezember 2017 und Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 4. Juni 2018), meldete sich der Versicherte im Mai 2018 erneut zum Bezug von Ergänzungs leistungen an. Die Ausgleichskasse des Kantons Bern anerkannte mit Verfügung vom 16. November 2018 einen Anspruch auf monatlich Fr. 392.-, welcher Betrag als Prämienpauschale direkt dem Krankenversicherer ausbezahlt werde, ab dem 1. Mai 2018. Dabei berück sichtigte sie (wiederum) insbesondere ein hypothetisches Erwerbseinkommen der 1959geborenen Ehefrau des A._ von jährlich Fr. 36'000.-. Am 8. Oktober 2019 verlegten A._ und seine Ehefrau ihren Wohnsitz nach Thailand. Die Einsprache gegen die Ver fügung vom 16. November 2018 wies die Ausgleichskasse mit Einspracheentscheid vom 25. Mai 2020 ab.
B.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern hiess die dagegen erhobene Beschwerde mit Urteil vom 8. Januar 2021 gut, soweit es darauf eintrat. Es hob den Einspracheentscheid vom 25. Mai 2020 auf und wies die Sache an die Ausgleichskasse zurück, damit sie im Sinne der Erwägungen über den Anspruch auf Ergänzungsleistungen neu verfüge (Dispositiv Ziffer 1). Ausserdem sprach es A._ eine Parteientschädigung von Fr. 1016.35 (inklusive Auslagen und Mehrwertsteuer) zu (Dispositiv Ziffer 3).
C.
Die Ausgleichskasse beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, der Entscheid vom 8. Januar 2021 sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass mangels eines schutzwürdigen Interesses auf die im vorinstanzlichen Verfahren erhobene Beschwerde "nicht einzutreten ist"; eventualiter sei der Einspracheentscheid vom 25. Mai 2020 zu bestätigen.
A._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehm lassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Ob es sich beim angefochtenen Rückweisungsentscheid um einen End- oder einen Zwischenentscheid handelt (vgl. Art. 90 und 93 BGG), kann offen bleiben. Er enthält Anordnungen über das hypothetische Einkommen der Ehefrau des Versicherten, die den Beurteilungsspielraum der Beschwerdeführerin zumindest wesentlich einschränken. Sie wird damit gezwungen, eine ihres Erachtens rechtswidrige Verfügung zu erlassen. Die Zulässigkeitsvoraussetzung des nicht wieder gutzumachenden Nachteils im Sinne von <ref-law> ist erfüllt und es ist auf die Beschwerde (grundsätzlich; vgl. E. 6) einzutreten (<ref-ruling> E. 4.2 S. 285 f.; SVR 2019 EL Nr. 15 S. 37, 9C_653/2018 E. 1).
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Gegenstand des vorinstanzlichen und dieses Verfahrens bildet der Anspruch des Beschwerdegegners auf Ergänzungsleistungen bis zum Erlass des Einspracheentscheids vom 25. Mai 2020, welcher Zeitpunkt den gerichtlichen Prüfungszeitraum begrenzt (vgl. <ref-ruling> E. 3.1.1; <ref-ruling> E. 2.1.2.1). Somit sind hier nach den allgemeinen intertemporalrechtlichen Grundsätzen (vgl. <ref-ruling> E. 6.3.1 mit Hinweisen) die Bestimmungen des ELG (SR 831.30) und der ELV (SR 831.301) in der bis Ende 2020 geltenden Fassung anwendbar. Sie werden im Folgenden jeweils in dieser Version wiedergegeben, zitiert und angewendet.
2.2.
2.2.1. Laut Art. 4 Abs. 1 ELG (Ingress) setzt der Anspruch auf Ergänzungsleistungen insbesondere den Wohnsitz und gewöhnlichen Aufenthalt in der Schweiz voraus.
2.2.2. Die jährliche Ergänzungsleistung (Art. 3 Abs. 1 lit. a ELG) entspricht dem Betrag, um den die anerkannten Ausgaben die anrechenbaren Einnahmen übersteigen (Art. 9 Abs. 1 ELG). Unter dem Titel des Verzichtseinkommens (Art. 11 Abs. 1 lit. a und g ELG) ist auch ein hypothetisches Einkommen des Ehegatten eines Ergänzungsleistungsansprechers als Einnahme anzurechnen (vgl. Art. 9 Abs. 2 ELG), sofern auf eine zumutbare Erwerbstätigkeit oder deren zumutbare Ausdehnung verzichtet wird. Bei der Ermittlung einer allfälligen zumutbaren Erwerbstätigkeit der Ehefrau oder des Ehemannes ist der konkrete Einzelfall unter Anwendung familienrechtlicher Grundsätze (vgl. <ref-law>) zu berücksichtigen. Dementsprechend ist auf das Alter, den Gesundheitszustand, die Sprachkenntnisse, die Ausbildung, die bisherige Tätigkeit, die konkrete Arbeitsmarktlage sowie gegebenenfalls auf die Dauer der Abwesenheit vom Berufsleben abzustellen (<ref-ruling> E. 3.2 mit Hinweisen). Bemüht sich der Ehegatte trotz (teilweiser) Arbeitsfähigkeit nicht oder nur ungenügend um eine Stelle, verletzt er die ihm obliegende Schadenminderungspflicht (SZS 2010 S. 48, 9C_184/2009 E. 2.2). Eine (in grundsätzlicher oder masslicher Hinsicht) fehlende Verwertbarkeit der (Rest-) Arbeitsfähigkeit kann nur angenommen werden, wenn sie mit überwiegender Wahrscheinlichkeit feststeht (SVR 2016 EL Nr. 1 S. 1, 9C_265/2015 E. 3.2.1 mit Hinweisen; Urteil 9C_680/2016 vom 14. Juni 2017 E. 3.5.1).
Die Festsetzung des hypothetischen Einkommens stellt, soweit sie auf der Würdigung konkreter Umstände beruht, eine Tatfrage dar, die lediglich unter eingeschränktem Blickwinkel überprüfbar ist. Rechtsfrage ist dagegen, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung über die Verwertbarkeit der (Rest-) Arbeitsfähigkeit erfolgt (<ref-ruling> E. 2.4 mit Hinweisen; SVR 2016 EL Nr. 1 S. 1, 9C_265/2015 E. 3.2.2; Urteil 9C_680/2016 vom 14. Juni 2017 E. 3.5.2).
3.
3.1. Die Vorinstanz ist auf die bei ihr erhobene Beschwerde lediglich insoweit nicht eingetreten, als die Aufhebung auch der Verfügung vom 16. November 2018(statt lediglich jene des Einspracheentscheids vom 25. Mai 2020) verlangt worden war. Sie hat die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens für die Ehefrau für unzulässig gehalten und diesbezüglich festgestellt, diese habe sich in den Monaten März und April 2018 rund 16 Mal und im Mai 2018 acht Mal spontan beworben. Von Juni bis August 2018 seien rund 20 Spontanbewerbungen und zwei Bewerbungen auf ausgeschriebene Stellen erfolgt. Im September und November 2018 habe sie sich sechs mal spontan und zwölf Mal auf ausgeschriebene Stellen beworben. Die quantitativ genügenden Stellenbemühungen seien offensichtlich systematisch und gezielt erfolgt und hätten alle dem Leistungsprofil der Ehefrau entsprochen (Hilfsarbeitertätigkeiten in der Produktion, in der Reinigung, im Gastgewerbe [Hotellerie, Küche, Reinigung] oder in der Wäscherei). Weiter hat die Vorinstanz die Bewerbungen auch in qualitativer Hinsicht als genügend erachtet. Sie hätten hinsichtlich der in Frage kommenden Hilfsarbeiten in Bezug auf Inhalt (Bezugnahme auf Stellenprofil), Sprache und Rechtschreibung den Anforderungen genügt und seien sprachlich und inhaltlich ohne Weiteres verständlich gewesen. Die Ehefrau habe auch bei der Arbeitslosenversicherung Unterstützung für die Stellensuche geholt und für die Monate März und September bis November 2018 beim Regionalen Arbeitsvermittlungszentrum (RAV) unbeanstandet gebliebene Arbeitsbemühungen nachgewiesen. Die Ehefrau habe im Juli/August und im November 2018 an zwei (befristeten) Stellen vorübergehend gearbeitet und damit den Tatbeweis für ernsthafte und inhaltlich genügende Arbeitsbemühungen erbracht. Daraus hat das kantonale Gericht geschlossen, dass die Ehefrau ausserstande gewesen sei, ihre Arbeitsfähigkeit (dauerhaft) zu verwerten. Dementsprechend hat es die Ausgleichskasse verpflichtet, die Ergänzungsleistungen ohne Berücksichtigung eines hypothetischen Erwerbseinkommens neu zu berechnen.
3.2. Die Ausgleichskasse bestreitet die Beschwerdebefugnis des Leistungsansprechers im vorinstanzlichen Verfahren und die Exportierbarkeit der Ergänzungsleistungen ins Ausland (dazu nachfolgende E. 4). Ausserdem besteht sie auf der Anrechnung eines hypothetischen Erwerbseinkommens von jährlich Fr. 36'000.- für die Ehefrau, deren Arbeitsbemühungen sie für unzureichend hält (dazu nachfolgende E. 5).
4.
4.1. Nach <ref-law> (SR 830.1) ist zur Beschwerde (beim kantonalen Sozialversicherungsgericht) berechtigt, wer durch die angefochtene Verfügung oder den Einspracheentscheid berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an deren Aufhebung oder Änderung hat.
4.2. Die Ausgleichskasse bringt vor, Ergänzungsleistungen seien gemäss Art. 4 Abs. 1 ELG nicht ins Ausland exportierbar. Laut Art. 22 Abs. 3 ELV erlösche der Anspruch auf bereits zugesprochene, aber unzustellbare Ergänzungsleistungen, wenn innert Jahresfrist keine Zahlung verlangt wurde. Bereits mit dem Wegzug des Versicherten aus der Schweiz am 8. Oktober 2019 sei die Ergänzungsleistung resp. eine allfällige Nachzahlung infolge des Exportverbots unzustellbar geworden. Mit Blick auf <ref-law> und Art. 22 Abs. 4 ELV könne die Leistung auch nicht einer anderen Stelle ausgerichtet werden. Somit hätte das kantonale Gericht mangels eines schutzwürdigen, d.h. aktuellen und praktischen Interesses des Versicherten gar nicht auf die bei ihm erhobene Beschwerde eintreten dürfen.
4.3. Ob diese Argumentation, nachdem die Ausgleichskasse im vorinstanzlichen Verfahren ein schutzwürdiges Interesse des Versicherten an der Aufhebung (recte: Anpassung) des Einspracheentscheids ausdrücklich anerkannt hatte, gegen den Grundsatz von Treu und Glauben verstösst (vgl. <ref-ruling> E. 4.3), kann offenbleiben. Einerseits betrifft die Frage nach der "Exportfähigkeit" des (in grösserer Höhe) geltend gemachten Anspruchs einen materiellrechtlichen Aspekt (vgl. Art. 4 Abs. 1 ELG; Urteil 9C_580/2011 vom 23. September 2011 E. 4.2). Anderseits zieht die Wohnsitzverlegung ins Ausland nicht zwingend die Unzustellbarkeit allfälliger Nachzahlungen nach sich (vgl. Art. 21 Abs. 4 ELG; Urteil 9C_952/2010 vom 7. März 2011 E. 2.2; vgl. auch Rz. 5260.01 der Wegleitung des Bundesamts für Sozialversicherungen über die Ergänzungsleistungen zur AHV und IV [WEL]). Der Versicherte hatte somit ein schutzwürdiges Interesse an der gerichtlichen Überprüfung des Ergänzungsleistungsanspruchs. Es ist nicht ersichtlich und wird (resp. wurde) auch nicht geltend gemacht, dass die Vorinstanz aus einem anderen Grund nicht auf die bei ihr erhobene Beschwerde hätte eintreten dürfen.
5.
5.1. Dass die vorinstanzlichen Feststellungen betreffend die Arbeitsbemühungen offensichtlich unrichtig (unhaltbar, willkürlich: <ref-ruling> E. 8.1; Urteil 9C_607/2012 vom 17. April 2013 E. 5.2) sein sollen, ist nicht ersichtlich und macht die Beschwerdeführerin auch nicht geltend. Sie kritisiert einzig die Qualität der Bewerbungen. Die Ehefrau des Leistungsansprechers habe stets das gleiche Bewerbungsschreiben verwendet und sich "hauptsächlich" resp. "zumeist" spontan und damit gar nicht auf freie Stellen beworben. Deshalb sei nicht von ernsthaften (aber erfolglosen) Stellengesuchen auszugehen.
5.2. Anders als die Ausgleichskasse glauben machen will, belegte der Beschwerdegegner nicht weitgehend von vornherein aussichtslose Arbeitsbemühungen seiner Ehefrau. So sind auch nach November 2018 - und damit über den von den vorinstanzlichen Feststellungen abgedeckten Zeitraum hinaus - zahlreiche weitere Bewerbungen auf ausgeschriebene (und dem Tätigkeitsprofil der Ehefrau entsprechende) Stellen verschiedener Arbeitgeber aktenkundig. Zudem bezog sich die Stellenbewerberin jeweils konkret auf die ausgeschriebenen Stellen und richtete ihre Bewerbungsschreiben an die zuständigen Kontaktpersonen. Dass die Schreiben im Übrigen übereinstimmten, schadet in concreto angesichts der weitgehend fehlenden Qualifikationen (geringe Berufserfahrung, Ausbildung und Kenntnis der deutschen Sprache) nicht. Die Ausgleichskasse legt denn auch nicht substanziiert dar, inwiefern die Bewerbungsschreiben weiter hätten individualisiert werden müssen, sondern beschränkt sich auf die pauschale Forderung nach einer - zumindest teilweisen - Anpassung an die jeweils ausgeschriebenen Stellen. Sodann ist der hier zur Diskussion stehende Sachverhalt nicht vergleichbar mit den Fällen, die den von der Beschwerdeführerin angerufenen Urteilen zugrunde lagen (vgl. Urteile 9C_515/2018 vom 18. April 2019 E. 3.3: fehlende Belege über erfolglose Stellenbewerbungen oder Anmeldung beim RAV; 9C_759/2017 vom 29. November 2017 E. 3.2: Stellensuche nur wenige Tage im Monat, mengenmässig eher im unteren Bereich; 9C_680/2016 vom 14. Juni 2017 E. 3.5.5: klar ungenügende Bewerbungen, insbesondere hinsichtlich Verschiedenheit von Arbeitgeber, Branchen und Tätigkeiten; 9C_234/2016 vom 24. Juni 2016 E. 5.5: keine gesundheitlich bedingte Einschränkung der "Bewerbungsfähigkeit"). Weiter hat die Vorinstanz nicht (allein) auf Einschätzungen des RAV abgestellt, sondern vielmehr (mit) berücksichtigt, dass die Ehefrau dort professionelle Hilfe für die Stellensuche beansprucht hatte. Was schliesslich die tatsächlichen, befristeten Arbeitsverhältnisse anbelangt, so leuchtet nicht ein, weshalb sie nicht als weiteres Indiz für genügende Arbeitsbemühungen hinsichtlich unbefristeter Hilfsarbeitsstellen berücksichtigt werden dürften. Die Beschwerdeführerin führt denn auch nicht substanziiert aus, dass - regelmässig oder in concreto - für eine befristete Anstellung keine ernsthafte Bewerbung erforderlich (gewesen) sein soll.
5.3. Nach dem Gesagten beruhen die vorinstanzlichen Feststellungen betreffend die Arbeitsbemühungen der Ehefrau auch nicht auf einer Rechtsverletzung. Sie bleiben daher für das Bundesgericht verbindlich (E. 1.2). Das gilt auch für den daraus gezogenen Schluss des kantonalen Gerichts, dass ihre Arbeitsfähigkeit nicht verwertbar gewesen sei. Damit bleibt es bei der vorinstanzlichen Anordnung, wonach der Ergänzungsleistungsanspruch ohne Einbezug eines hypothetischen Einkommens der Ehefrau neu zu berechnen ist.
5.4. Indessen ist Folgendes von Amtes wegen (vgl. E. 1.2 und 2.1) zu berücksichtigen: Das Erlöschen des Ergänzungsleistungsanspruchs aufgrund der am 8. Oktober 2019 erfolgten Wohnsitzverlegung ins Ausland wurde weder im Einspracheentscheid vom 25. Mai 2020 noch im angefochtenen vorinstanzlichen Urteil thematisiert. Die Ausgleichskasse wird sich damit im Rahmen der erneuten Anspruchsbeurteilung ebenfalls zu befassen haben.
6.
Entsprechend dem Ausgang dieses Verfahrens bleibt es beim Anspruch auf eine Parteientschädigung für das vorinstanzliche Verfahren (vgl. <ref-law>). In diesem Zusammenhang weist die Beschwerdeführerin lediglich "der guten Ordnung halber" darauf hin, dass keine Mehrwertsteuer (Fr. 72.65) zu berücksichtigen gewesen wäre. Diesbezüglich stellt sie aber keinen Antrag, weshalb sich entsprechende Weiterungen erübrigen.
Für das bundesgerichtliche Verfahren hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Der obsiegende Beschwerdegegner hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Dispositiv Ziffer 1 des Urteils des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 8. Januar 2021 wird von Amtes wegen insoweit ergänzt, als die Verwaltung auch die Wohnsitzverlegung des Beschwerdegegners zu berücksichtigen hat.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. Juni 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Dormann