Erwägungen:
1.
1.1. A._ (nachfolgend: der Steuerpflichtige) hatte in den hier interessierenden Steuerperioden 2014 und 2015 steuerrechtlichen Wohnsitz in U._/AR.
Mit Schreiben vom 27. September 2019 (zur Steuerperiode 2014) und 12. Oktober 2020 (zur Steuerperiode 2015) gelangte die Steuerverwaltung des Kantons Appenzell Ausserrhoden (nachfolgend: die Veranlagungsbehörde) an den Steuerpflichtigen. Darin teilte sie ihm folgendes mit:
"Die Steuerveranlagung für die Steuerperiode [...] konnte leider noch nicht vorgenommen werden, weshalb wir mit diesem Schreiben die Veranlagungsverjährung für die Staats- und Gemeindesteuern sowie die direkte Bundessteuer [...] unterbrechen".
Die Veranlagungsbehörde versandte die beiden Schreiben im Verfahren "A-Post Plus".
1.2. Mit Verfügungen vom 20. April 2021 nahm die Veranlagungsbehörde die Veranlagungen zu den Steuerperioden 2014 und 2015 vor. Die dagegen gerichteten Einsprachen blieben erfolglos (Einspracheentscheide vom 28. Mai 2021). Hierauf gelangte der Steuerpflichtige an das Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden. Mit den Entscheiden O2V 21 33 (Staats- und Gemeindesteuern) sowie O2V 21 35 (direkte Bundessteuer) vom 18. Januar 2022 wies das Obergericht die Beschwerden ab. Das Obergericht erwog, dass der Steuerpflichtige geltend mache, das streitbetroffene Schreiben vom 27. September 2019 nicht erhalten zu haben, dass es gemäss "Track & Trace" aber ordnungsgemäss zugestellt worden sei. In der Sache selbst habe die Veranlagungsbehörde mit den beiden Mitteilungen vom 27. September 2019 und 12. Oktober 2020 die jeweilige Veranlagungsverjährung unterbrochen. Der Einwand des Steuerpflichtigen, wonach in beiden Fällen die Veranlagungsverjährung eingetreten sei, erweise sich als unbegründet.
1.3. Der Steuerpflichtige erhebt mit zwei gesonderten Eingaben vom 21. Februar 2022 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt sinngemäss, die beiden angefochtenen Entscheide seien aufzuheben und es sei festzustellen, dass die Veranlagungsverjährung bezüglich beider Steuerperioden eingetreten sei. In verfahrensrechtlicher Hinsicht stellt er den Antrag, das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren bezüglich der direkten Bundessteuer sei zu sistieren, bis das Bundesgericht über die Staats- und Gemeindesteuern befunden habe.
1.4. Die Instruktionsrichterin (Art. 32 Abs. 1 BGG [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen, insbesondere von einem Schriftenwechsel gemäss Art. 102 Abs. 1 BGG, abgesehen.
2.
2.1. Dem Bundesgericht liegt je eine Beschwerde der steuerpflichtigen Person zu den Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Appenzell Ausserrhoden (2C_174/2022) und zur direkten Bundessteuer (2C_175/2022), Steuerperioden 2014 und 2015, vor. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG in Verbindung mit Art. 146 DBG [SR 642.11] bzw. Art. 73 StHG [SR 642.14]) sind in beiden Fällen gegeben. Auf die Beschwerden ist einzutreten.
2.2. Die beiden Beschwerden beruhen auf demselben Sachverhalt und werfen dieselben Rechtsfragen auf. Es rechtfertigt sich daher, die beiden Verfahren zu vereinigen und die Beschwerden in einem einzigen Urteil zu entscheiden (Art. 71 BGG in Verbindung mit Art. 24 BZP [SR 273]; <ref-ruling> E. 1.2). Damit wird der im Verfahren 2C_175/2022 gestellte Antrag, das Verfahren sei bis zum Entscheid im Verfahren 2C_174/2022 zu sistieren, gegenstandslos.
2.3. Das Bundesgericht wendet das Bundesgesetzesrecht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und prüft es mit uneingeschränkter (voller) Kognition (Art. 95 lit. a BGG; <ref-ruling> E. 1). Bei aller Rechtsanwendung von Amtes wegen werden, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), aber nur die geltend gemachten Rügen geprüft, es sei denn, die rechtlichen Mängel lägen geradezu auf der Hand (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 1.3.2).
2.4. Im Unterschied zum Bundesgesetzesrecht geht das Bundesgericht der Verletzung verfassungsmässiger Individualrechte (einschliesslich der Grundrechte) und des kantonalen Rechts nur nach, falls und soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 3.4; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 7.2.3). Die beschwerdeführende Person hat daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, dass und inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 2.4 Ingress; <ref-ruling> E. 1 Ingress; <ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 2.1).
2.5. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.1). Es stellt deshalb grundsätzlich auf die sachverhaltlichen Elemente im Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids ab (<ref-ruling> E. 3.3). Die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen können von Amtes wegen oder auf Rüge hin berichtigt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen und wenn zudem die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 105 Abs. 2 und Art. 97 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 4.1.1). "Offensichtlich unrichtig" ist mit "willkürlich" gleichzusetzen (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 1.3.1).
3.
3.1. Streitig und zu prüfen bleibt im bundesgerichtlichen Verfahren, ob die Veranlagungsbehörde mit ihren Mitteilungen vom 27. September 2019 (betreffend die Steuerperiode 2014) und 12. Oktober 2020 (zur Steuerperiode 2015; vorne E. 1.1) die Veranlagungsverjährung zu unterbrechen vermocht habe. Die ordnungsgemässe Zustellung des Schreibens vom 27. September 2019 ist nicht mehr bestritten.
3.2.
Zunächst ist auf die direkte Bundessteuer der Steuerperioden 2014 und 2015 einzugehen.
3.2.1. Das Recht des zuständigen Kantons, die direkte Bundessteuer zu veranlagen, verjährt fünf Jahre nach Ablauf der betreffenden Steuerperiode (Art. 120 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer [DBG; SR 642.11]; relative Verjährung), in jedem Fall aber 15 Jahre nach Ablauf der Steuerperiode (Art. 120 Abs. 4 DBG; absolute Verjährung). "Verjährung" in diesem Sinne bedeutet, dass nicht nur die ziffernmässige Steuerforderung untergeht, sondern der noch nicht perfektionierte Steueranspruch insgesamt (Michael Beusch, Der Untergang der Steuerforderung, 2012, S. 270 und insb. 276; Lydia Masmejean-Fey/Guillaume Vianin, in: Yves Noël/Florence Aubry Girardin [Hrsg.], Commentaire romand zum LIFD, 2. Aufl. 2017, N. 3 zu Art. 120 DBG; Peter Locher, Kommentar zum DBG, III. Teil, 2015, N. 2 zu Art. 120 DBG).
3.2.2. Die Verjährung beginnt mit jeder auf Feststellung oder Geltendmachung der Steuerforderung gerichteten Amtshandlung neu zu laufen, die einer steuerpflichtigen oder mithaftenden Person zur Kenntnis gebracht wird (Art. 120 Abs. 3 lit. a DBG; <ref-ruling> E. 2.1). Zur Unterbrechung des Laufs der Veranlagungsverjährung genügt die schriftliche Mitteilung der Veranlagungsbehörde, worin diese die noch zu treffende Veranlagungsverfügung in Aussicht stellt und womit sie einstweilen lediglich beabsichtigt, den Lauf der Verjährung zu unterbrechen (<ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 3.4.3; <ref-ruling> E. 2; Urteil 2C_1098/2014 vom 1. Dezember 2015 E. 5.1; vgl. <ref-ruling> zur Vollstreckung verjährter periodischer Steueransprüche).
3.2.3. Die Veranlagungsverjährung bezüglich der Steuerperioden 2014 und 2015 wäre, läge keine rechtsgenügliche Unterbrechung seitens der Veranlagungsbehörde vor, am 1. Januar 2020 bzw. 1. Januar 2021 eingetreten. Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (Art. 105 Abs. 1 BGG; vorne E. 2.4) hat die Veranlagungsbehörde indes am 27. September 2019 (betreffend die Steuerperiode 2014) und 12. Oktober 2020 (betreffend die Steuerperiode 2015) je ein Schreiben erlassen, dessen Inhalt auf die Unterbrechung der Veranlagungsverjährung gerichtet war. Den beiden Briefen (auszugsweise vorne E. 1.1) kann vernünftigerweise kein anderer Sinn beigemessen werden als die Kundgabe dessen, dass die Veranlagungstätigkeit noch nicht in Angriff genommen worden sei, aber zu einem späteren Zeitpunkt noch vorgenommen werde. Im Lichte der klaren bundesgerichtlichen Rechtsprechung (vorne E. 3.2.2) handelt es sich um eine rechtsgenügliche schriftliche Mitteilung der Veranlagungsbehörde, worin diese die noch zu treffende Veranlagungsverfügung in Aussicht stellt und womit sie einstweilen lediglich beabsichtigt, den Lauf der Verjährung zu unterbrechen.
3.2.4. Was der Steuerpflichtige dagegen vorbringt, zielt am Kern der Sache vorbei. Insbesondere bedarf es keiner Auseinandersetzung mit BGE 79 I 248 und <ref-ruling>, um den wahren Sinn von Art. 120 Abs. 3 lit. a DBG zu erkennen (dazu <ref-ruling> E. 3.2.5). Die vorgebrachten Einwände finden im Bundesgesetzesrecht keine Grundlage.
3.3. Weiter zu prüfen ist der Bereich der Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Appenzell Ausserrhoden.
3.3.1. Die Veranlagungsverjährung erfährt in Art. 47 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden (StHG; SR 642.14) lediglich eine rudimentäre Regelung. Der Gesetzgeber stellt einzig fest, dass die Veranlagungsverjährung bei Stillstand oder Unterbrechung "spätestens 15 Jahre" nach Ablauf der Steuerperiode eintrete. Dies erlaubt den Kantonen auch kürzere Verjährungsfristen. Das Nähere zu Stillstand und Unterbrechung bleibt ungeregelt (<ref-ruling> E. 2.2.3; Michael Beusch, in: Martin Zweifel/Michael Beusch [Hrsg.], Kommentar StHG, 3. Aufl. 2017, N. 35 zu Art. 47 StHG). Die vertikale Harmonisierung der Steuerrechtsordnungen von Bund einerseits und Kantonen und Gemeinden anderseits (Art. 128 und 129 BV) entspricht aber einem Grundanliegen des Gesetzgebers von 1990. Daher legt das Bundesgericht die Art. 120 DBG und Art. 47 StHG grundsätzlich übereinstimmend aus (<ref-ruling> E. 2.2.4; <ref-ruling> E. 3.2.1).
3.3.2. Gemäss Art. 174 des Steuergesetzes [des Kantons Appenzell Ausserrhoden] vom 21. Mai 2000 (StG/AR; bGS 621.11) herrschen eine fünfjährige relative (Abs. 1) und eine 15-jährige absolute Frist bis zum Eintritt der Veranlagungsverjährung (Abs. 3). Sodann findet sich in Art. 174 Abs. 2 lit. a StG/AR eine Regelung zur Unterbrechung seitens der Veranlagungsbehörde, die wörtlich mit Art. 120 Abs. 3 lit. a DBG übereinstimmt. Die Vorinstanz ist damit bei Auslegung und Anwendung des nicht harmonisierten kantonalen Steuerrechts verfassungsrechtlich haltbar vorgegangen. Dies trifft umso mehr zu, als der Steuerpflichtige diesbezüglich nichts vorbringt, womit er der ihn treffenden qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit (Art. 106 Abs. 2 BGG; vorne E. 2.4) genügen könnte. Auch insofern sind die Vorbringen grundlos.
3.4. Die Beschwerde erweist sich damit in allen Teilen als offensichtlich unbegründet. Die Sache kann im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG entschieden werden.
4.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Steuerpflichtigen aufzuerlegen (Art. 65 in Verbindung mit Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Kanton Appenzell Ausserrhoden, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_174/2022 und 2C_175/2022 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde im Verfahren 2C_174/2022 (Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Appenzell Ausserrhoden, Steuerperioden 2014 und 2015), wird abgewiesen.
3.
Die Beschwerde im Verfahren 2C_175/2022 (direkte Bundessteuer, Steuerperioden 2014 und 2015), wird abgewiesen.
4.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden, 2. Abteilung, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung mitgeteilt.
Lausanne, 31. März 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Der Gerichtsschreiber: Kocher