Erwägungen:
1.
Mit Urteil vom 13. Januar 2021 hiess der Einzelrichter am Bezirksgericht Einsiedeln eine von B._ erhobene Klage teilweise gut. Er verurteilte A._ (Beschwerdeführer), ihr netto Fr. 306.50 nebst Zins zu bezahlen und ihr Lohnabrechnungen sowie einen Lohnausweis zuzustellen. Auf verschiedene von A._ gestellte Anträge (darunter ein - neuerliches - Ausstandsgesuch) trat der Einzelrichter nicht ein.
Auf die von A._ gegen dieses Urteil erhobene Berufung trat die Vizepräsidentin des Kantonsgerichts Schwyz mit Verfügung vom 24. März 2021 nicht ein. Zur Begründung führte sie aus, dass die Berufungseingabe weder hinreichende Begehren zur Sache noch eine den gesetzlichen Anforderungen genügende Begründung enthalte.
Mit Eingabe vom 8. Mai 2021 (Postaufgabe: 10. Mai 2021), ergänzt mit Schreiben vom 11. Mai 2021, hat A._ erklärt, diese Verfügung mit Beschwerde in Zivilsachen "oder" subsidiärer Verfassungsbeschwerde anzufechten.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
3.
Die Beschwerde genügt diesen Begründungsanforderungen offensichtlich nicht.
Der Beschwerdeführer - respektive sein Rechtsvertreter - setzt sich nicht ansatzweise mit den Gründen der Kantonsgerichtsvizepräsidentin für ihr Nichteintreten auseinander und legt nicht hinreichend dar, welche Rechte die Vorinstanz inwiefern verletzt haben soll. Stattdessen unterbreitet er dem Bundesgericht eine schwer verständliche "Begründung" und mehrere Seiten umfassende "Anträge", welche überwiegend nicht belegte Tatsachenbehauptungen enthalten, sich als unzulässig erweisen oder keinen für den Verfahrensausgang erheblichen Sachzusammenhang haben. Auf die vorinstanzlichen Erwägungen wird nicht nachvollziehbar Bezug genommen. Auch soweit die "Anträge" prozessualer Natur sind - so scheint der Beschwerdeführer etwa das "vorliegende Verfahren einstweilen [...] sistieren" zu wollen -, mangelt es an einer tauglichen Begründung.
Die Beschwerde enthält somit offensichtlich keine hinreichende Begründung, weshalb im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> nicht auf sie einzutreten ist.
4.
Wie bereits verschiedene beim Bundesgericht eingereichte Rechtsschriften von Rechtsanwalt Wetli ist auch die vorliegende Beschwerdeschrift in Sprache und Darstellung wirr. Die Eingabe erscheint in jeder Hinsicht völlig untauglich. Aus diesen Gründen sind die Gerichtskosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Rechtsvertreter persönlich aufzuerlegen (vgl. <ref-law>; so bereits Urteile 5A_771/2020 vom 23. September 2020; 5A_658/2020 vom 28. August 2020; 6B_445/2018 vom 5. Juni 2019; 2F_14/2018 vom 9. August 2018; 2C_529/2018 vom 11. Juli 2018).

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden Rechtsanwalt Martin Wetli auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, Rechtsanwalt Martin Wetli persönlich und dem Kantonsgericht Schwyz, Kantonsgerichtsvizepräsidentin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juni 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Stähle