Faits :
A.
A.a. Le 19 juin 2013, à la suite d'un différend entre A._ et des scootéristes, les gendarmes X._ et B._ sont intervenus sur les lieux de l'altercation. X._ a demandé à A._ de présenter ses papiers d'identité. Celui-ci a refusé de les présenter, ainsi que de suivre les gendarmes au poste de police. Lorsque les gendarmes ont tenté de l'interpeller pour l'emmener, il ne s'est pas laissé faire. X._ a alors pratiqué un contrôle du cou pour plaquer au sol A._, qui a été menotté et conduit dans les locaux de la police. Par courrier du 19 septembre 2013, A._ a déposé plainte pénale à l'encontre de X._ en raison des faits survenus le 19 juin 2013 pour abus d'autorité (art. 312 CP), lésions corporelles simples (art. 123 CP), menaces (art. 180 CP), injures (art. 177 CP) et voies de fait (art. 126 CP).
A.b. Le 22 septembre 2013, X._ a été entendu par la police en tant que personne appelée à donner des renseignements. Il a porté plainte contre A._ au motif que la confrontation avait été violente et qu'il avait senti des coups de la part de A._ sur son flanc droit. Lors de son audition, il a déposé plainte pénale contre A._, mais a répondu " non " aux questions de savoir s'il souhaitait participer à la procédure comme demandeur au pénal et au civil si une infraction poursuivie d'office ou sur plainte était retenue. Ces déclarations figurent au procès-verbal, que X._ a dûment signé.
A.c. Le 13 février 2014, X._ a été entendu par la police en qualité de prévenu. Par ordonnance du 2 mai 2014, le Ministère public de la République et canton de Genève a ouvert une instruction pénale contre X._ et A._. Par courrier du 17 juillet 2014, Me C._ a informé le ministère public que X._ l'avait chargé de la défense de ses intérêts. Lors des actes de l'instruction préliminaire, en particulier des auditions, le ministère public a considéré X._, qui était assisté puis représenté par son conseil, en qualité de prévenu et de partie plaignante. Par ordonnance pénale du 4 juin 2015, le ministère public a classé la procédure menée à l'encontre de X._, sans statuer sur ses frais de défense. X._ n'a pas recouru contre cette décision.
Le ministère public a considéré X._ comme partie plaignante tout au long de la procédure préliminaire, le retrait intervenu devant la police lui ayant échappé.
B.
Par jugement du 6 octobre 2016, le Tribunal de police du canton de Genève a dénié à X._ la qualité de partie plaignante (demanderesse au pénal et au civil), a déclaré ses conclusions civiles irrecevables, a reconnu A._ coupable de violences ou menaces contre les autorités et les fonctionnaires et l'a condamné à un travail d'intérêt général de 40 heures, avec sursis durant trois ans, ainsi qu'aux frais de procédure. Il a considéré en substance que X._ avait renoncé expressément et irrévocablement à participer à la procédure en qualité de demandeur au pénal et au civil (art. 120 al. 1 et 2 CPP). Il était très peu vraisemblable qu'il se soit trompé au sens de l'art. 23 CO, vu sa qualité de policier amené à expliquer aux justiciables les conséquences d'une renonciation à faire valoir ses droits.
C.
Par acte du 22 novembre 2016, X._ a formé une déclaration d'appel contre le jugement du Tribunal de police, concluant à être admis en qualité de partie plaignante (demanderesse au pénal et au civil), ainsi qu'à la condamnation de A._ à lui payer la somme de 17'402 fr. 30, plus intérêts, au titre de ses frais de défense.
Après délibération, la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice du canton de Genève a dénié la qualité de partie plaignante à X._, n'est pas entrée en matière sur l'appel principal formé par celui-ci et a constaté la caducité des appels joints formés par le ministère public et A._. Au surplus, la cause a été gardée à juger sur les frais de procédure et les honoraires d'avocat. X._ a renoncé à toute indemnisation de ses frais de défense pour la procédure d'appel. Me C._, avocat de choix de X._, a déposé auprès du Tribunal de police un état de frais pour la procédure de première instance pour un montant total de 17'402 fr. 30. Me D._, avocat de choix de A._, a déposé un état de frais pour ses prestations durant la procédure d'appel pour un montant total de 5'508 francs.
Par arrêt du 19 mai 2017, la cour cantonale a déclaré irrecevable l'appel formé par X._, a constaté la caducité des appels joints formés par le ministère public et par A._, a condamné X._ aux deux tiers des frais de la procédure d'appel, lui a alloué une indemnité de 8'000 fr., plus intérêts, à la charge de l'Etat, pour ses frais de première instance et l'a condamné à verser à A._ la somme de 1'600 fr. au titre de ses frais de défense durant la procédure d'appel.
D.
Le ministère public forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 19 mai 2017, en concluant, avec suite de frais, principalement à sa réforme en ce sens qu'une indemnité de 8'000 fr., plus intérêts, n'est pas allouée à X._, que ses conclusions relatives au paiement de ses frais de défense sont déclarées irrecevables et qu'il est condamné à la totalité des frais de la procédure d'appel. Subsidiairement, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué en tant qu'il alloue à X._, à charge de l'Etat, une indemnité de 8'000 fr., plus intérêts, pour ses frais de défense de première instance et le condamne aux deux tiers des frais de la procédure d'appel, et à ce qu'il soit débouté de ses conclusions en indemnisation et condamné à la totalité des frais de la procédure d'appel. Plus subsidiairement, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision.
Invité à se déterminer sur le recours, l'intimé conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour violation du droit d'être entendu. La cour cantonale persiste dans les termes de son arrêt et renonce à formuler des observations.

Considérant en droit :
1.
L'accusateur public, auquel l'art. 81 al. 1 let. b ch. 3 LTF confère, sans réserve, la qualité pour former un recours en matière pénale, est en principe habilité à invoquer toute violation du droit commise dans l'application du droit pénal matériel ou du droit de procédure pénale, donc aussi une violation des droits constitutionnels, comme notamment le droit d'être entendu ou l'interdiction de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 39 ss; arrêt 6B_657/2009 du 18 février 2010 consid. 1).
2.
Le ministère public se plaint d'une violation de son droit d'être entendu, dans la mesure où la cour cantonale a accordé une indemnité à l'intimé sur la base de l'art. 434 al. 1 CPP, alors que cette question n'avait pas été soulevée au cours des débats et que les parties n'avaient pas eu l'opportunité de se prononcer sur celle-ci.
2.1. Le droit d'être entendu, tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., comprend notamment le droit pour l'intéressé de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique, d'obtenir l'administration des preuves pertinentes et valablement offertes, de participer à l'administration des preuves essentielles et de se déterminer sur son résultat lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 222 s.; <ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 299; arrêt 6B_111/2017 du 17 octobre 2017 consid. 1.1).
Le droit d'être entendu porte avant tout sur les questions de fait (arrêt 6B_111/2017 précité consid. 1.1). De manière générale, en vertu de la règle "jura novit curia", le juge n'a ainsi pas à soumettre à la discussion des parties les principes juridiques sur lesquels il va fonder son jugement. Il peut appliquer d'office, sans avoir à attirer préalablement l'attention des parties sur l'existence de tel ou tel problème juridique, une disposition de droit matériel (arrêt 5A_795/2009 du 10 mars 2010 consid. 3.1, non publié aux <ref-ruling>; <ref-ruling> consid. 2b p. 102 s.). Selon la jurisprudence, les parties doivent cependant être entendues sur les questions de droit lorsque l'autorité concernée entend se fonder sur des normes légales dont la prise en compte ne pouvait pas être raisonnablement prévue, et dont les parties ne pouvaient supputer la pertinence (<ref-ruling> consid. 5 p. 39; <ref-ruling> consid. 5b/bb p. 278; arrêts 6B_1368/2016 du 15 novembre 2017 consid. 2.1 non publié aux <ref-ruling> et 6B_111/2017 précité consid. 1.1).
2.2. En l'espèce, la cour cantonale a déclaré irrecevable l'appel formé par l'intimé, au motif qu'il n'avait pas la qualité de partie plaignante, dans la mesure où il avait expressément renoncé, lors du dépôt de sa plainte pénale, à participer à la procédure et faire valoir des conclusions civiles et pénales. Elle l'a également débouté de ses conclusions tendant à la condamnation de A._ au remboursement de ses frais de défense pour la procédure de première instance. Elle lui a cependant accordé une indemnité, à charge de l'Etat, de 8'000 fr., sur la base de l'art. 434 al. 1 CPP, qui prévoit que " les tiers, qui par le fait d'actes de procédure ou du fait de l'aide apportée aux autorités pénales, subissent un dommage ont droit à une juste compensation si le dommage n'est pas couvert d'une autre manière ".
2.3. Comme le relève le recourant, l'intimé n'a jamais sollicité l'octroi d'une indemnité au sens de l'art. 434 al. 1 CPP en première ou en deuxième instance. Devant le Tribunal de police, il a conclu à ce que A._ soit condamné pour violence ou menace contre les autorités et les fonctionnaires et à ce qu'il soit condamné au paiement de ses frais d'avocat. Le juge de première instance lui a dénié la qualité de partie plaignante et a déclaré ses conclusions irrecevables. Dans sa déclaration d'appel, l'intimé a conclu à être admis en qualité de partie plaignante (demanderesse au pénal et au civil) et à ce que A._ soit condamné au paiement de ses frais de défense pour la première instance. Il n'a jamais été question d'application de l'art. 434 al. 1 CPP, soit de savoir si l'intimé avait la qualité de " tiers " et s'il avait subi un " dommage " au sens de cette disposition. Le recourant n'a dès lors jamais eu l'occasion de se prononcer sur cette disposition légale, laquelle n'a été évoquée ni en première instance, ni devant la cour cantonale.
Après avoir dénié la qualité de partie plaignante à l'intimé et déclaré ne pas entrer en matière sur l'appel de celui-ci, la cour cantonale a certes gardé la cause à juger sur les frais de procédure et les honoraires d'avocat. Cela étant, comme le relève le recourant, il ne pouvait pas s'attendre à ce que la cour cantonale se prononce sur la question de l'octroi d'une indemnité au sens de l'art. 434 al. 1 CPP pour les frais d'avocat de première instance, alors que l'appel de l'intimé avait été déclaré irrecevable. Tout au plus, il pouvait s'attendre à ce que la cour cantonale se prononce sur les prétentions en indemnisation des frais de défense de A._ pour la procédure en cours, soit la procédure d'appel, X._ ayant renoncé à toute indemnisation de ses frais de défense pour la procédure d'appel. Le recourant pouvait d'autant moins s'attendre à ce que la cour cantonale octroie à l'intimé une telle indemnité, dès lors que celui-ci n'avait pas respecté l'obligation d'adresser ses prétentions à l'autorité pénale, de les chiffrer et de les justifier prévue à l'art. 433 al. 2 CPP, par renvoi de l'art. 434 al. 1 in fine CPP. Dans son arrêt, la cour cantonale a estimé que " ce défaut de motivation ne [pouvait] être retenu contre [l'intimé] ", dans la mesure où il n'avait pas eu l'occasion, lors des débats d'appel, de motiver les conclusions de sa demande, ni d'éventuellement les modifier. Or, comme le relève le recourant, l'arrêt attaqué n'explique pas les raisons pour lesquelles la cour cantonale a statué sur la question de l'art. 434 al. 1 CPP, sans que les parties n'aient été invitées à se prononcer. La cour cantonale a ainsi introduit une motivation juridique entièrement nouvelle et dont aucune partie ne pouvait prévoir l'adoption, le débat ayant exclusivement porté, jusqu'alors, sur la question des prétentions pour frais de défense découlant de la qualité de partie plaignante de l'intimé. Il s'ensuit que le recourant n'a pas pu exercer son droit d'être entendu. Son grief doit être admis.
2.4. La procédure devant le Tribunal fédéral ne permet pas de considérer que ce vice pourrait être guéri devant lui. La violation du droit d'être entendu constatée entraîne donc l'annulation de la décision entreprise, indépendamment des chances de succès du recours sur le fond. Ce qui précède rend sans objet les autres griefs soulevés par le recourant.
3.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être admis et l'arrêt entrepris partiellement annulé en ce qu'il alloue à l'intimé une indemnité de 8'000 fr., plus intérêts, à la charge de l'Etat. La cause est renvoyée à l'autorité précédente afin qu'elle statue à nouveau sur la question de l'application de l'art. 434 al. 1 CPP, après avoir entendu les parties.
4.
Le ministère public, qui obtient ainsi gain de cause, ne saurait se voir allouer de dépens (art. 68 al. 3 LTF). Il n'y a pas lieu de mettre les frais à la charge de l'intimé, qui a conclu à l'admission du recours sur la question du droit d'être entendu (art. 66 al. 1 LTF). Il ne saurait pour autant avoir droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis, l'arrêt attaqué est partiellement annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre pénale d'appel et de révision.
Lausanne, le 23 mai 2018
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
La Greffière : Thalmann