Sachverhalt:
A.
A._ (Kläger, Beschwerdeführer) reichte am 12. Mai 2020 eine Klage am Handelsgericht Zürich ein. Mit Beschluss vom 27. Mai 2020 beurteilte das Handelsgericht die Klageschrift als eine mangelhafte Eingabe im Sinne von <ref-law> und trat auf diese ohne Nachfristansetzung nicht ein (Dispositivziffer 1). Im Weiteren setzte es die Gerichtskosten auf Fr. 3'000.-- fest und auferlegte die Kosten dem Kläger (Dispositivziffer 2 und 3).
B.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Er beantragte, der Beschluss des Handelsgerichts sei aufzuheben und die Sache sei unter Festsetzung des Streitwertes auf Fr. 40'000.-- zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventualiter sei die Sache zu neuer Beurteilung zurückzuweisen. Subeventualiter sei die Dispositivziffer 2 des Beschlusses aufzuheben und wie folgt neu zu fassen: "2. Die Gerichtsgebühr wird festgesetzt auf CHF 1'600.--".
Am 4. Juli 2020 reichte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht eine weitere Eingabe ein.
Die Beschwerdegegnerin beantragte die Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz verzichtete auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Das Handelsgericht erwog, die Eingabe des Beschwerdeführers bestehe aus sehr langen, teilweise nur schwer oder gänzlich unverständlichen Sätzen, in welchen tatsächliche und rechtliche Ausführungen durchgehend und weitschweifig (unter anderem auch in Fussnoten auf engstem Raum) vermischt würden. Eine klare Struktur des Geschilderten fehle. Das Lesen der Eingabe erweise sich als äusserst mühsam. Der Leser könne nicht ohne grosse Mühe die relevanten Tatsachen herausschälen bzw. ergründen, auf welchen Sachverhalt sich die Klage stütze. Einhergehend damit erweise sich sowohl das Rechtsbegehren als auch die Begründung der Klage insgesamt als unverständlich, so dass für den Leser unklar bleibe, was mit der Klage gefordert werde. Eine solche Mühe bei der Lektüre einer Klagebegründung sei weder dem Gericht noch der Gegenpartei zumutbar.
Der Beschwerdeführer habe vor dem Handelsgericht Zürich bereits drei Prozesse geführt (HG150050, HG170204 und HG190213). Mit Verfügung vom 20. Oktober 2017 im Prozess HG170204 sei ihm eine Nachfrist zur Verbesserung seiner damaligen Klage und des Rechtsbegehrens angesetzt worden; jene Klage sei - wie die vorliegende - aufgrund der Darstellung nicht ohne grosse Mühe zu lesen gewesen. Dasselbe gelte auch für das Verfahren HG190213, indem die betreffende Klage als ungenügend qualifiziert und entsprechend auf diese nicht eingetreten worden sei. Da dem Beschwerdeführer die hier in Frage stehenden Anforderungen an eine Klageschrift folglich bestens bekannt seien, sei eine Nachfrist zur Verbesserung der Klage nicht anzusetzen. Auf die vorliegende, mangelhafte Klage sei vielmehr nicht einzutreten.
2.
Dagegen stellt sich der Beschwerdeführer auf den Standpunkt, seine Klageschrift habe mit Bezug auf die Lesbarkeit, die Verständlichkeit und die Klarheit dieselben Charakteristiken wie Gesetzestexte, Bundesgerichtsurteile und die von der Vorinstanz akzeptierte, verbesserte Klageschrift im Verfahren HG170204. Das Vorgehen der Vorinstanz, seine Eingabe als formungültige Klage einzustufen, beruhe auf einer exzessiven Formstrenge, die durch kein schutzwürdiges Interesse gerechtfertigt sei. Es handle sich um eine Verweigerung des rechtlichen Gehörs. Ihm werde in unzulässiger, überspitzt formalistischer Weise der Rechtsweg versperrt. Behördliches Verhalten, das einer Partei den Rechtsweg verunmögliche oder verkürze, sei mit <ref-law> nicht vereinbar.
3.
Vor Bundesgericht stellt sich damit die Frage, ob die Klageschrift des Beschwerdeführers mangelhaft war und die Vorinstanz auf diese ohne Nachfristansetzung zur Verbesserung nicht eintreten konnte.
3.1. Gemäss <ref-law> sind Mängel wie fehlende Unterschrift und fehlende Vollmacht innert einer gerichtlichen Nachfrist zu verbessern. Andernfalls gilt die Eingabe als nicht erfolgt. Gleiches gilt nach <ref-law> für unleserliche, ungebührliche, unverständliche oder weitschweifige Eingaben. Bereits aus dem Wortlaut der Bestimmungen ergibt sich, dass das Gericht der Partei bei mangelhaften Eingaben nach Art. 132 Abs. 1 und 2 ZPO eine Nachfrist zu setzen hat, damit die Partei die Möglichkeit hat, ihre Eingabe zu verbessern und den Mangel zu heilen ("Le tribunal fixe un délai pour la rectification des vices de forme [...]"; "Carenze formali [...] vanno sanate entro il termine fissato dal giudice").
Es besteht somit eine gerichtliche Pflicht, derartig mangelhafte Eingaben zur Verbesserung an den Verfasser zurückzuweisen (François Bohnet, in: François Bohnet et al, Commentaire Romand, Code de procédure civile, 2. Aufl. 2018, N. 3 und N. 25 zu <ref-law>; Nina J. Frei, Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 20 zu <ref-law>; Michael Kramer / Nadja Erk, in: Alexander Brunner et al [Hrsg.], Schweizerische Zivilprozessordnung ZPO, 2. Aufl. 2016, N. 2 zu <ref-law>; Mario Kumschick, in: Baker & McKenzie [Hrsg.], Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], 2010, N. 3 und N. 6 zu <ref-law>). Die Parteien haben mit anderen Worten ein Recht, ihre mangelhafte Eingabe nachzubessern, d.h. die Nachbesserung ist nicht in das Ermessen des Gerichts gestellt (Frei, a.a.O.). Dieser in der Zivilprozessordnung ausdrücklich kodifizierte Anspruch auf Nachbesserung ergibt sich im Übrigen bereits aus dem verfassungsmässig garantierten Verbot des überspitzten Formalismus als besondere Form der Rechtsverweigerung (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.3; <ref-ruling> E. 2.4.2 f.; <ref-ruling> E. 5a).
3.2. Die gerichtliche Nachfristansetzung bei mangelhaften Eingaben gründet indes auf dem Gedanken, die prozessuale Formstrenge dort zu mildern, wo sie sich nicht durch ein schutzwürdiges Interesse rechtfertigt (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.4.5; <ref-ruling> E. 5c S. 419). Die Nachfrist ist somit anzusetzen, wenn die Partei versehentlich oder unabsichtlich eine mangelhafte Eingabe im Sinne von <ref-law> einreichte. Kein Schutz besteht demgegenüber, wenn der Mangel auf ein bewusst unzulässiges Verhalten zurückzuführen ist (vgl. Urteile 5D_124/2016 vom 26. September 2016 E. 2.2; 5A_979/2014 vom 12. Februar 2015 E. 2.2; 5A_639/2014 vom 8. September 2015 E. 13.3.2; 4D_2/2013 vom 1. Mai 2013 E. 3.1). Ausgenommen von der grundsätzlichen Pflicht zur Nachfristansetzung sind somit Fälle des offensichtlichen Rechtsmissbrauchs (BGE <ref-ruling> E. 2.4.7; <ref-ruling> E. 1.3.4 S. 306; <ref-ruling> E. 4.5 S. 159).
Auf einen solchen Missbrauch läuft es beispielsweise hinaus, wenn ein Anwalt eine bewusst mangelhafte Rechtsschrift einreicht, um sich damit eine Nachfrist für die Begründung zu erwirken (BGE <ref-ruling> E. 2.4.7; <ref-ruling> E. 1.3.4 S. 306; <ref-ruling> E. 4.5 S. 159). Auch bei nicht anwaltlich vertretenen Parteien kann die Ansetzung einer Nachfrist entfallen, wenn ihr Verhalten als offensichtlich rechtsmissbräuchlich erscheint. So hat das Bundesgericht ein rechtsmissbräuchliches Verhalten etwa bei einer Partei bejaht, die absichtlich die Vollmacht nicht beilegte, um eine (erneute) Nachfrist zu erwirken, und die Partei aufgrund früherer Verfahren wusste, dass sie das Begehren für eine andere Person nur unter Einreichung einer Vollmacht stellen kann (Urteil 5D_124/2016 vom 26. September 2016 E. 2.2). Ebenso hat das Bundesgericht aufgrund des bisherigen Verhaltens einer Partei auf ein rechtsmissbräuchliches Verhalten geschlossen, die mit ihrer mangelhaften Eingabe (Einreichung der Stellungnahme als CD-ROM) eine Verschleppung des Verfahrens beabsichtigte (Urteil 5D_94/2017 vom 15. Dezember 2017 E. 4.3 f.).
3.3. In der Lehre wird kommentarlos darauf hingewiesen, dass das Bundesgericht bei wiederholter wissentlicher Missachtung von Formvorschriften auf eine Rückweisung der Rechtsschrift zur Verbesserung verzichtet habe (Frei, a.a.O., N. 20 zu <ref-law>). Ebenso wird vertreten, das Gericht könne nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung auf die Ansetzung einer Nachfrist absehen, wenn Rechtsschriften der Parteien erneut diejenigen Mängel aufwiesen, auf welche das Gericht bereits bei vorangegangenen Rechtsschriften ausdrücklich hingewiesen habe (Kramer/Erk, a.a.O., N. 7 zu <ref-law>). Bei "Wiederholungstätern" könne sich somit eine Nachfrist erübrigen (Dominik Gasser / Brigitte Rickli, Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Kurzkommentar, 2. Aufl. 2014, N. 4 zu <ref-law>).
Das Bundesgericht beurteilte in den von der Lehre genannten Entscheiden das Verhalten der jeweiligen Partei als rechtsmissbräuchlich. So qualifizierte es das wiederholte Einreichen von ungebührlichen Eingaben in Kenntnis des Verbots als rechtsmissbräuchlich (Urteile 5A_486/2011 vom 25. August 2011 E. 5.2; 5A_355/2008 vom 6. Oktober 2008 E. 2.3; 5P.410/2005 vom 6. April 2006 E. 3.2; die Letzteren noch zu § 131 GVG/ZH). In einem anderen Entscheid qualifizierte es die notorische Missachtung des in <ref-law> festgeschriebenen Anwaltsmonopols als rechtsmissbräuchlich, wobei der Vertreter das Anwaltsmonopol systematisch unterlief (Urteil 5A_677/2008 vom 16. Oktober 2008 E. 3).
Bei diesen Entscheiden handelt es sich um spezielle Konstellationen, bei denen das jeweilige Verhalten unter den gesamten Umständen des konkreten Einzelfalls als offensichtlich rechtsmissbräuchlich beurteilt wurde und daher in der konkreten Situation auf eine Nachfristansetzung verzichtet werden konnte. Diese Entscheide können aber nicht insofern verallgemeinert werden, als das Gericht in jedem Fall auf eine Nachfristansetzung nach Art. 132 Abs. 1 und 2 ZPO verzichten kann, wenn die Eingabe den gleichen Mangel aufweist, auf welchen das Gericht die Partei bereits früher einmal ausdrücklich aufmerksam machte. Vielmehr handelt es sich beim Verzicht auf die Nachfrist um eine Ausnahme vom Grundsatz, dass das Gericht eine Nachfrist ansetzen muss, die sich einzig bei einem offensichtlich rechtsmissbräuchlichen Verhalten der Partei rechtfertigt (Erwägung 3.2). Auch bei "Wiederholungstätern" kann daher nur dann auf eine Nachfrist verzichtet werden, wenn ihr Verhalten unter den gesamten Umständen des konkreten Einzelfalls als rechtsmissbräuchlich erscheint.
4.
Im vorinstanzlichen Entscheid ist nicht festgestellt, dass der nicht durch einen Rechtsanwalt vertretene Beschwerdeführer bewusst eine mangelhafte Klageschrift einreichte, um etwa eine Nachfrist zu erwirken oder den Prozess zu verschleppen. Die Vorinstanz leitet den Verzicht auf die Nachfristansetzung vielmehr einzig daraus ab, dass die Klageschrift des Beschwerdeführers erneut diejenigen inhaltlichen Mängel aufweise, auf welche er bereits früher hingewiesen worden sei. Diesbezüglich ist nur festgestellt, dass der Beschwerdeführer vor der Vorinstanz schon drei Prozesse führte und die Vorinstanz in zwei Verfahren seine Klage als mangelhaft einstufte. In einem dieser Prozesse setzte ihm die Vorinstanz zur Verbesserung eine Nachfrist an, weil seine Rechtsschrift "aufgrund der Darstellung nicht ohne grosse Mühe" gelesen werden konnte. Für das andere Verfahren ist einzig festgestellt, dass die Vorinstanz die Eingabe als "ungenügend" qualifizierte, wobei sich aus den Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz nicht eindeutig ergibt, ob dem Beschwerdeführer eine Nachfrist zur Verbesserung seiner mangelhaften Eingabe angesetzt wurde. Auch im vorliegenden Verfahren kommt die Vorinstanz zum Schluss, dass das Lesen der Klageschrift des Beschwerdeführers sich als "äusserst mühsam" erweise, die Klage unverständlich sei und unklar bleibe, was er fordere.
Die Vorinstanz stufte damit die Klageschrift des Beschwerdeführers im vorliegenden Verfahren als unleserlich und unverständlich im Sinne von <ref-law> ein, wie bereits zwei seiner früheren Eingaben. Reicht eine Partei eine unleserliche oder unverständliche Eingabe ein, dürfte es sich oftmals um kein bewusst unzulässiges und damit um kein rechtsmissbräuchliches Verhalten handeln (Erwägung 3.2). Insbesondere der juristische Laie könnte meinen, seine Eingabe sei klar und verständlich. So geht auch der nicht anwaltlich vertretene Beschwerdeführer im vorliegenden Verfahren davon aus, dass seine bei der Vorinstanz eingereichte Klageschrift verständlich sei und in Bezug auf die Lesbarkeit, die Verständlichkeit und die Klarheit dieselben Charakteristiken wie frühere Eingaben, Gesetzestexte und Bundesgerichtsentscheide aufweise (vgl. Erwägung 2).
Ob dies zutrifft oder ob die bei der Vorinstanz eingereichte Klageschrift des Beschwerdeführers vom 12. Mai 2020 unleserlich oder unverständlich ist, kann dahingestellt bleiben. Denn gestützt auf die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen kann nicht geschlossen werden, dass der nicht anwaltlich vertretene Beschwerdeführer offensichtlich rechtsmissbräuchlich handelte, als er mit der vorliegenden Klageschrift erneut eine Eingabe einreichte, welche die Vorinstanz als unleserlich und unverständlich qualifizierte. Das gilt auch wenn berücksichtigt wird, dass die Vorinstanz die Eingaben des Beschwerdeführers in zwei vorangegangenen Verfahren als ungenügend qualifizierte und ihn zumindest in einem Verfahren auf die Anforderungen an die Klageschrift aufmerksam machte und seine Eingabe damit aus dem gleichen Grund wie dem vorliegenden zur Verbesserung zurückwies.
War die Vorinstanz der Auffassung, die Klageschrift des Beschwerdeführers sei unleserlich oder unverständlich, hatte sie ihn unter den vorliegenden Umständen vielmehr auf den inhaltlichen Mangel seiner Klageschrift aufmerksam zu machen und ihm eine Nachfrist zur Verbesserung seiner Eingabe anzusetzen. Indem die Vorinstanz darauf verzichtete und direkt einen Nichteintretensentscheid fällte, verletzte sie den Anspruch des Beschwerdeführers, die als mangelhaft eingestufte Eingabe zu verbessern. Die Vorinstanz verstiess damit gegen <ref-law>.
5.
Bei diesem Verfahrensausgang braucht, wie erwähnt, nicht beurteilt zu werden, ob die Klageschrift des Beschwerdeführers im Sinne von <ref-law> mangelhaft war. Es muss auch nicht geprüft werden, ob die Streitwertfestsetzung durch die Vorinstanz korrekt erfolgte. Ebensowenig brauchen die Akten der vorgängigen Verfahren des Beschwerdeführers vor der Vorinstanz, Verfahren Nr. HG190213 und HG170204, beigezogen zu werden. Der entsprechende Verfahrensantrag des Beschwerdeführers wird abgewiesen.
6.
Die Beschwerde ist daher im Eventualbegehren gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschluss des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 27. Mai 2020, HG200078, wird vollständig aufgehoben. Die Sache wird zur Fortführung des Verfahrens an die Vorinstanz zurückgewiesen. Die Vorinstanz hat dem Beschwerdeführer eine Nachfrist zur Verbesserung der von ihr als mangelhaft eingestuften Klageschrift vom 12. Mai 2020 anzusetzen.
7.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die unterliegende Beschwerdegegnerin kostenpflichtig (<ref-law>). Dem Beschwerdeführer, der nicht durch einen Rechtsanwalt vertreten ist, steht keine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 4).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Beschluss des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 27. Mai 2020 (HG200078) wird aufgehoben. Die Sache wird zur Fortführung des Verfahrens im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Oktober 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger