Erwägungen:
Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern fällte am 8. August 2018 ein Urteil im Rechtsstreit zwischen dem Arzt A._ und dem Ärztlichen Bezirksverein Bern Regio betreffend die ärztliche Notfalldienstpflicht von A._. Am 14. September 2018 gelangte dieser gegen das verwaltungsgerichtliche Urteil mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Nach Durchführung eines doppelten Schriftenwechsels erklärt der Beschwerdeführer mit Schreiben seines Vertreters vom 27. Februar 2019, er ziehe die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 14. September 2018 zurück; gemeinsam mit dem Beschwerdegegner, dessen Vertreter die Eingabe mit unterzeichnet hat, beantragt er dem Bundesgericht, das Verfahren infolge Rückzugs als gegenstandslos abzuschreiben, den Parteien die entstandenen Verfahrenskosten je hälftig zur Tragung aufzuerlegen und die Parteikosten wettzuschlagen (die Parteien tragen die ihnen entstandenen Parteikosten selbst).
Gemäss <ref-law> entscheidet der Instruktionsrichter (hier das präsidierende Mitglied der Abteilung, vgl. <ref-law>) als Einzelrichter über die Abschreibung von Verfahren infolge Rückzugs. Er befindet dabei auch über die Gerichtskosten und Parteientschädigungen (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Es gibt keinen Grund, von der von den beiden Parteien gemeinsam vorgeschlagenen Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen abzuweichen.
Die Höhe der Gerichtskosten richtet sich nach Art. 65 und 66 Abs. 2 BGG.

Demnach verfügt das präsidierende Mitglied:
1.
Das Verfahren wird infolge Rückzugs der Beschwerde abgeschrieben.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer und dem Ärztlichen Bezirksverein Bern-Regio je zur Hälfte auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Diese Verfügung wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsarztamt des Kantons Bern, der Gesundheits- und Fürsorgedirektion des Kantons Bern und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. März 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller