Erwägungen:
1.
1.1. A._ erhob beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn Beschwerde betreffend Erteilung der Niederlassungsbewilligung und ersuchte um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Verfügung vom 19. Januar 2021 wies das Verwaltungsgericht das Gesuch wegen Aussichtslosigkeit ab und setzte ihm eine Frist bis 8. Februar 2021 an, um einen Kostenvorschuss von Fr. 1'500.-- zu bezahlen.
1.2. Mit Beschwerde vom 21. Januar 2021 wandte sich A._ an das Bundesgericht. Dieses wies ihn mit Schreiben vom 26. Januar 2021 darauf hin, dass seine Beschwerde den Begründungsanforderungen nicht genüge und er sie innert der noch laufenden Beschwerdefrist verbessern müsse. Am 27. Januar 2021 reichte er eine verbesserte Beschwerde ein.
2.
Angefochten ist ein Zwischenentscheid betreffend die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege. Streitgegenstand vor Bundesgericht ist deshalb ausschliesslich die Frage, ob die Vorinstanz das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu Recht abgewiesen hat. Soweit der Beschwerdeführer beantragt, es sei seine Staatenlosigkeit zu beenden, ihm den Eintritt in den Arbeitsmarkt zu ermöglichen oder ihn bei Weiterbildungen zu unterstützen, kann darauf von vornherein nicht eingetreten werden.
3.
3.1. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1). Dort geht es um die Erteilung der Niederlassungsbewilligung. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (<ref-law>).
3.2. Aus der Beschwerde ergibt sich nicht in vertretbarer Weise, dass der Beschwerdeführer einen Rechtsanspruch auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung besitzt. Der blosse Verweis auf seine angebliche Staatenlosigkeit und die "Genfer Konvention für Staatenlose" (gemeint wohl: Übereinkommen über die Rechtsstellung der Staatenlosen vom 28. September 1954 [SR 0.142.40]) genügt dabei nicht; es ist nicht ersichtlich, inwieweit ihm dieses Übereinkommen einen Anspruch auf eine Niederlassungsbewilligung verschaffen soll. Als staatenlos anerkannte Personen haben Anspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung im Kanton, in dem sie sich rechtmässig aufhalten (<ref-law> [SR 142.20]). Die Vorinstanz hat das Gesuch des Beschwerdeführers um Erteilung der Niederlassungsbewilligung deshalb summarisch unter den allgemeinen Voraussetzungen von <ref-law> geprüft und festgehalten, dass der Beschwerdeführer weder die Voraussetzungen für die ordentliche noch für die vorzeitige Erteilung der Niederlassungsbewilligung erfülle. <ref-law> ist als "Kann"-Bestimmung ausgestaltet und verleiht keinen Rechtsanspruch auf eine Bewilligungserteilung. Folglich kann auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mangels Bewilligungsanspruchs nicht eingetreten werden.
4.
Soweit die Beschwerde als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen werden kann, genügt sie der qualifizierten Begründungspflicht von Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law> offensichtlich nicht. Der Beschwerdeführer zählt zwar diverse verfassungsmässige Rechte auf, die angeblich verletzt worden sein sollen, begründet seine Rüge allerdings nicht näher. Damit kann auch auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht eingetreten werden.
5.
Zusammenfassend kann auf die Beschwerde aus mehreren Gründen nicht eingetreten werden. Dies erfolgt durch den Einzelrichter im vereinfachten Verfahren (Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG).
6.
Es rechtfertigt sich, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Februar 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Businger