Sachverhalt:
A.
A.A._ (Beschwerdeführer; geb. 1962; Staatsangehöriger der USA) und B.A._ (Beschwerdegegnerin; geb. 1980; ukrainische Staatsangehörige) heirateten 2007 in U._ und haben einen gemeinsamen Sohn C.A._ (geb. 2008). Sie trennten sich per 1. Januar 2009 und reichten am 20. Mai 2011 die Scheidung ein. Es kam zu diversen Eheschutz- und anderen Verfahren, die mehrfach auch das Bundesgericht beschäftigten (Urteile 5A_564/2010 vom 4. Oktober 2010, 5A_150/2012 vom 28. März 2012, 5A_447/2012 vom 27. August 2012, 5A_451/2012 vom 27. August 2012, 5A_579/2012 vom 10. September 2012, 5A_463/2016 vom 12. August 2016, 5A_697/2016 vom 25. November 2016 u.a.).
B.
Mit Urteil vom 16. Juli 2015 schied das Bezirksgericht Luzern die Parteien unter Genehmigung einer von den Parteien geschlossenen Scheidungsvereinbarung. Der Sohn wurde unter die elterliche Sorge und Obhut der Mutter gestellt. Dem Vater wurde ein Besuchsrecht an acht Terminen pro Jahr eingeräumt, wobei die Ausgestaltung zusammen mit Kinderanwalt I._ als Mediator zu regeln sei und unter folgenden Vorgaben:
"a) Die Besuchstermine sind jeweils zwei Monate im Voraus zwischen beiden Eltern zu vereinbaren.
b) Pro Besuchstermin des Vaters sind mehrere Einzel-Kontakte zu ermöglichen.
c) Der Vater hat während der Kontakte die Anwesenheit der Mutter zu akzeptieren. Auf die Begleitung durch eine zusätzliche Drittperson ist zu verzichten.
d) Die Kosten der Besuche sind durch den Vater, diejenigen für Mediation je zur Hälfte durch beide Eltern zu tragen."
Das Urteil hielt weiter fest, dass beide Parteien auf nachehelichen Unterhalt verzichteten und dass der Beschwerdeführer seit dem 30. Oktober 2012 nicht mehr in der Lage sei, Kinderunterhalt zu leisten, er sich aber verpflichte, ab 1. Juli 2016 wieder seinen finanziellen Möglichkeiten angemessene Kinderunterhaltsbeiträge zu leisten.
C.
C.a. Hiergegen reichte der Beschwerdeführer Berufung beim Kantonsgericht Luzern ein. Er verlangte die gemeinsame elterliche Sorge, die Erhöhung auf 12 Besuchstermine jährlich bei dreiwöchiger Vorankündigung, wobei die Anwesenheit der Mutter nicht zwingend zu akzeptieren sei und er mit dem Sohn auch Sportaktivitäten ausserhalb des Kantons Luzern unternehmen könne, sowie ein Ferienrecht im Umfang der Hälfte der Ferien des Jungen, mindestens aber drei Wochen.
C.b. Am 30. August 2016 fand ein Mediationsgespräch mit dem Kindesvertreter I._ und den beiden Eltern statt, an welchem der Präsident des Kantonsgerichts teilnahm, und in dem eine Kindesanhörung vereinbart wurde. Der Junge wurde am 7. September 2016 angehört.
C.c. Mit Urteil vom 3. Dezember 2016 ordnete das Kantonsgericht neu die gemeinsame elterliche Sorge für den Sohn an. Bezüglich Besuchsrecht bestätigte es die acht Besuchstermine inkl. den Vorgaben gemäss dem erstinstanzlichen Urteil (s. Sachverhalt Bst. B).
Anstelle der beantragten vollumfänglichen unentgeltlichen Rechtspflege wurde dem Beschwerdeführer nur eine teilweise unentgeltliche Rechtspflege erteilt. In erster Instanz wurden ihm Fr. 9'562.40 auferlegt; abzüglich Fr. 3'000.-- vor erster Instanz geleistetem Gerichtskostenvorschuss und abzüglich Fr. 1'912.50 für unentgeltliche Rechtspflege resultierte ein noch zu bezahlender Betrag von Fr. 4'650.--. In zweiter Instanz wurden ihm Fr. 3'079.50 auferlegt, welche dem von ihm für den Kindesvertreter geleisteten Vorschuss in eben dieser Höhe entnommen wurden; weiter sollte er dem Kantonsgericht die Entschädigung seiner Anwältin zurückerstatten, für welche er Kostengutstand erhielt. Die Anwaltskostenentschädigung setzte das Kantonsgericht auf pauschal Fr. 4'550.-- fest, inkl. Fr. 50.-- Auslagen. Unter Berücksichtigung der unentgeltlichen Rechtspflege ergab dies einen Betrag von Fr. 4'185.--, welchen die Anwältin vom Kantonsgericht erhalten sollte (Fr. 3'825.-- = 85 % des Honorars, Fr. 50.-- Auslagen, Fr. 310.-- MWSt), d.h. zusammen mit der erstinstanzlichen Entschädigung von Fr. 2'160.-- total Fr. 6'345.--. Daraus ergab sich ein vom Beschwerdeführer dem Kantonsgericht zu bezahlender Betrag von total Fr. 8'835.-- (Fr. 4'650.-- Gerichtskosten erste Instanz und Fr. 4'185.-- Anwaltskostenentschädigung zweite Instanz).
D.
Vor Bundesgericht verlangt der Beschwerdeführer, die Besuchstermine seien a) jeweils einen Monat im Voraus zwischen beiden Eltern zu vereinbaren und b) habe er während der Kontakte die Anwesenheit der Mutter nicht zwingend zu akzeptieren; eine Drittbegleitung nach seiner Wahl sei zuzulassen. Weiter sei ihm c) die vollumfängliche unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren zu gewähren und d) habe die Anwaltskostenentschädigung zulasten der unentgeltlichen Rechtspflege zu gehen, sei die Nachzahlungspflicht nach Art. 123 ZPO vorzubehalten und der von ihm dem Kantonsgericht zu bezahlende Betrag auf Fr. 4'650.-- zu korrigieren. Er beantragt auch für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege.
E.
In Bezug auf die Höhe der Anwaltskostenentschädigung tritt Rechtsanwältin F._ selbständig als Beschwerdeführerin auf. Sie beantragt, ihr Honorar sei pauschal auf Fr. 7'947.-- inkl. Spesen und MWSt und einschliesslich der Kürzung zufolge des Armenrechts festzusetzen.
F.
Mit Eingabe vom 11. Dezember 2017 teilte der Beschwerdeführer mit, dass er seine Rechtsbegehren a) und b) mangels eines praktischen Interesses zurückziehe. Er habe am 11. Oktober 2017 bei der KESB Luzern einen Antrag auf Neuregelung des Besuchsrechts gestellt.
G.
Das Bundesgericht hat die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1 S. 143 mit Hinweisen).
2.
Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid (Art. 75 Abs. 1, Art. 90 BGG) betreffend Nebenfolgen einer Scheidung sowie betreffend unentgeltliche Rechtspflege und Entschädigung der unentgeltlichen Anwältin. In der Hauptsache ging es namentlich um das Besuchsrecht für ein Kind, mithin um eine Angelegenheit des Zivilrechts (Art. 72 Abs. 1 BGG) ohne Vermögenswert. Die Zulässigkeit der Beschwerde gegen die Nebenpunkte, wie dies die unentgeltliche Rechtspflege sowie die Entschädigung der unentgeltlichen Rechtsanwältin darstellen, richtet sich ebenfalls nach der Hauptsache. Da vor der Vorinstanz die Hauptsache noch strittig war, ist auch die Beschwerde gegen die Entschädigung streitwertunabhängig zulässig (anders, wenn vor der Vorinstanz nur noch das Honorar strittig war: Urteil 5A_480/2013 vom 22. August 2013 E. 1). Der Beschwerdeführer ist in Bezug auf das Besuchsrecht sowie die unentgeltliche Rechtspflege, die Beschwerdeführerin in Bezug auf ihre Entschädigung beschwerdeberechtigt (Art. 76 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 BGG), womit die Beschwerde in Zivilsachen offen steht.
3.
Soweit der Beschwerdeführer seine Rechtsbegehren zurückgezogen hat (Rechtsbegehren a und b; vgl. Sachverhalt lit. D und F), ist die Beschwerde abzuschreiben (Art. 71 BGG i.V.m. Art. 73 BZP).
4.
Der Beschwerdeführer rügt, dass ihm die unentgeltliche Rechtspflege nur teilweise und nicht wie beantragt vollumfänglich gewährt worden sei.
4.1. Eine Person hat Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (Art. 117 Bst. a ZPO) und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (Art. 117 Bst. b ZPO). Dabei hat die Person, die ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege stellt, ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse darzulegen und sich zur Sache sowie über ihre Beweismittel zu äussern (Art. 119 Abs. 2 ZPO). Insoweit trifft sie eine umfassende Mitwirkungspflicht. Die Behörde hat allenfalls unbeholfene Rechtsuchende auf die Angaben hinzuweisen, die sie zur Beurteilung des Gesuches um unentgeltliche Rechtspflege benötigt. Grundsätzlich obliegt der um unentgeltliche Rechtspflege ersuchenden Person, sämtliche für die Ermittlung der Bedürftigkeit erforderlichen Tatsachen und Beweismittel vorzutragen (<ref-ruling> E. 3a S. 181 f.). Insofern gilt im Verfahren betreffend die unentgeltliche Rechtspflege ein durch die umfassende Mitwirkungsobliegenheit eingeschränkter Untersuchungsgrundsatz (Urteile 4A_274/2016 vom 19. Oktober 2016 E. 2.3 mit Hinweis auf die Botschaft vom 28. Juni 2006 zur ZPO, BBl 2006 7303; 5A_380/2015 vom 1. Juli 2015 E. 3.2.2). An die klare und gründliche Darstellung der finanziellen Situation durch die gesuchstellende Person selbst dürfen umso höhere Anforderungen gestellt werden, je komplexer diese Verhältnisse sind (<ref-ruling> E. 4a S. 164 f.; <ref-ruling> E. 3a S. 182). Kommt der Gesuchsteller seiner Pflicht nicht nach, kann das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen werden (<ref-ruling> E. 3a S. 182).
4.2. Die Vorinstanz hat festgestellt, die Unterlagen seien nicht in allen Teilen schlüssig, vermöchten aber eine Bedürftigkeit im Zeitpunkt der Gesuchstellung glaubhaft zu machen. Der Beschwerdeführer selbst gehe jedoch ab 2016 von verbesserten finanziellen Verhältnissen aus. Da auf ihn keine amtlichen Kosten entfielen und die Kostennote seiner Vertreterin in bescheidenem Rahmen festzusetzen sei, rechtfertige es sich, ihn von der Vorschusspflicht gegenüber Gericht und Anwalt zu befreien und ihm für die unentgeltliche Rechtsvertretung Kostengutstand durch den Staat zu erteilen.
4.3. Der Beschwerdeführer hält dem entgegen, er habe zwar angegeben, dass er ab Mitte 2016 von veränderten besseren Verhältnissen ausgehe. Das Gericht hätte aber nicht auf diese Aussage abstützen dürfen, sondern hätte genau abklären müssen, ob sich diese finanzielle Verbesserung tatsächlich eingestellt habe. Die Verbesserung sei nicht eingetreten. Es sei in der Eingabe vom 18. [gemeint wohl 19.] Juli 2016 darauf hingewiesen worden. Es hätte auf den Zeitpunkt der Gesuchseinreichung abgestellt werden müssen. Die Bedürftigkeit sei ausgewiesen.
4.4. Im vom Beschwerdeführer erwähnten Schreiben vom 19. Juli 2016 liess dieser ausführen, "An der Vermögenslage (Schulden) und deren Rückzahlung sowie Einkommen hat sich seither nichts geändert. Angesichts des Umstandes, dass die Verhältnisse im Zeitpunkt des Gesuches massgebend sind, wird auf Weiterungen verzichtet." Weiter wird ausgeführt, dass er "für den Zeitraum Januar bis und mit August 2015" mit einem Resteinkommen von USD 1'472.-- ausgekommen sei. Angesichts der umfassenden Mitwirkungspflicht des Beschwerdeführers im Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege (E. 3.1) hätte er seine Verhältnisse klar und deutlich darlegen müssen. Er hatte ursprünglich angekündigt, dass ab Sommer 2016 mit besseren Verhältnissen gerechnet werden könne. Entsprechend hätte er vor der Vorinstanz umso klarer ausführen und belegen müssen, falls sich die Erwartungen nicht erfüllt hätten. Dies hat er mit den widersprüchlichen Aussagen im Schreiben vom 19. Juli 2016 nicht getan. Denn erstens wird davon gesprochen, dass sich die Situation nicht geändert habe. Daraus hätte auch geschlossen werden können, dass weiterhin mit einem Anstieg des Einkommens ab Sommer 2016 hätte gerechnet werden können. Zweitens wird beim Einkommen nur eine Periode aus dem Jahr 2015 erwähnt, um seine Bedürftigkeit zu belegen, also gerade nicht dargelegt, dass sich das Einkommen effektiv anders als angekündigt im Jahr 2016 nicht verbessert hätte resp. verbessern würde. Angesichts dessen ist es nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz auf die vom Beschwerdeführer selbst angekündigte Einkommensverbesserung abstützte, zumal ihm dennoch zumindest eine teilweise unentgeltliche Rechtspflege erteilt wurde. Die Begehren c) und d) des Beschwerdeführers sind damit abzuweisen.
5.
Soweit die Rechtsanwältin in eigener Sache das Bundesgericht anruft, ist die Höhe ihrer Entschädigung betroffen.
5.1. Die Vorinstanz setzte die Anwaltsentschädigung gestützt auf kantonales Recht fest (§ 31 Abs. 2 i.V.m. § 8 Abs. 1 und § 9 JusKV). Die Verletzung von kantonalem Recht prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; es gilt das Rügeprinzip). Die Verletzung kantonalen Rechts per se ist indes auch im ordentlichen Beschwerdeverfahren (abgesehen von hier nicht gegebenen Ausnahmen, vgl. Art. 95 lit. c-e BGG) kein Beschwerdegrund vor Bundesgericht. Vielmehr kann diesbezüglich nur gerügt werden, die Anwendung des kantonalen Rechts durch die Vorinstanz verletze Bundesrecht im Sinne von Art. 95 lit. a BGG - namentlich das Willkürverbot (Art. 9 BV) oder andere verfassungsmässige Rechte - oder Völkerrecht im Sinne von Art. 95 lit. b BGG (<ref-ruling> E. 2.3 S. 466; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 251 f.).
Der unentgeltliche Rechtsbeistand kann aus Art. 29 Abs. 3 BV einen Anspruch auf Entschädigung und Rückerstattung seiner Auslagen herleiten. Dieser umfasst aber nicht alles, was für die Wahrnehmung der Interessen des Mandanten von Bedeutung ist. Ein Anspruch besteht von Verfassungs wegen nur, soweit der Aufwand zur Wahrung der Rechte notwendig ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 126), somit nicht schon, soweit er bloss vertretbar erscheint. Für den Anwendungsbereich der ZPO hat der Bundesgesetzgeber bewusst darauf verzichtet, eine volle Entschädigung vorzuschreiben (<ref-ruling> E. 5.2 S. 188 mit Hinweis auf die Materialien). Art. 122 Abs. 1 lit. a ZPO verpflichtet nur zu einer "angemessenen" Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsvertreters (vgl. auch Art. 96 ZPO). Es ist Sache der kantonalen Behörden, die Angemessenheit anwaltlicher Bemühungen zu beurteilen. Das Bundesgericht greift nur ein, wenn die Festsetzung des Honorars ausserhalb jeden vernünftigen Verhältnisses zu den vom Anwalt geleisteten Diensten steht und in krasser Weise gegen das Gerechtigkeitsgefühl verstösst. Das Honorar muss allerdings so festgesetzt werden, dass die unentgeltliche Rechtsvertretung über den Handlungsspielraum verfügt, den sie zur wirksamen Ausübung des Mandates benötigt (<ref-ruling> E. 3.1 und 3.2 S. 126 mit Hinweisen). Im Sinne einer Faustregel hat das Bundesgericht festgehalten, dass sich die Entschädigung für einen amtlichen Anwalt im schweizerischen Durchschnitt in der Grössenordnung von 180 Franken pro Stunde (zuzüglich Mehrwertsteuer) bewegen muss, um vor der Verfassung standzuhalten (vgl. zum Ganzen Urteil 5A_868/2016; mit Hinweisen auf <ref-ruling> E. 3.2 S. 127; <ref-ruling> E. 5.4 S. 191; <ref-ruling> E. 8.6 und 8.7 S. 217; Urteile 6B_558/2015 vom 29. Januar 2016 E. 1.2.2 a.E. und 5A_157/2015 vom 12. November 2015 E. 3.2.2).
5.2. Die Kürzung der von der Beschwerdeführerin eingereichten Kostennote von Fr. 11'489.--, plus Spesen von Fr. 103.--, auf Fr. 4'550.-- inkl. Auslagen und MWSt begründete die Vorinstanz damit, dass die Angelegenheit rechtlich nicht anspruchsvoll gewesen sei, was sich in den knappen Ausführungen in den Rechtsschriften niedergeschlagen habe. Es habe seitenlange Schilderungen gegeben, die nichts Wesentliches zum Sachverhalt resp. zur Falllösung beigetragen hätten. Weiter verglich die Vorinstanz die Kostennote der Beschwerdeführerin mit denjenigen der Gegenanwältin (Fr. 1'690.--) und des Kindesvertreters (Fr. 7'000.--), wozu sie erwog, dass der Kindesvertreter wesentlich mehr Aufwand gehabt habe als die Beschwerdeführerin, weshalb ihre Entschädigung jedenfalls tiefer liegen müsse. Schliesslich ging die Vorinstanz auf einzelne Rechtsschriften ein, welche sie in Bezug auf den in Rechnung gestellten Zeitaufwand als überrissen taxierte. Einen Grund für den hohen Aufwand sah die Vorinstanz sodann in einer nicht konzisen Prozessführung, inkl. freiwilligen Eingaben mit teilweise verspäteten Vorbringen und Anträgen.
5.3. Die Beschwerdeführerin anerkennt, dass die Berufung in rechtlicher Hinsicht nicht besonders schwierig gewesen sei. Sie führt aber aus, die Schwierigkeit liege im Sachverhalt selber, der speziellen Situation des Klienten und der Renitenz der Kindsmutter angesichts derer ein Aufbau einer Beziehung zwischen Vater und Sohn schwierig sei. An anderer Stelle führt sie aus, der (damals im Ausland lebende) Beschwerdeführer habe den Sohn aus finanziellen Gründen nicht besuchen können. Eine konzise Prozessführung sei aufgrund des Sachverhalts nicht möglich gewesen. Das Dossier sei insbesondere aufwendig, was die finanzielle Situation des Klienten anbelange, da er früher im Hedge Fund-Bereich tätig gewesen sei, aber kaum noch Gelder geflossen seien, er demgegenüber aber über recht hohe Darlehenssummen seiner Familie verfügt habe. Sie habe viel mehr Aufwand gehabt als die Gegenanwältin. Sie erhalte alle Unterlagen per E-Mail und müsse diese dann noch detailliert ansehen und verarbeiten.
Die Ausführungen vermögen keine Willkür darzutun. Da es heute üblich ist, Korrespondenz inkl. Unterlagen via E-Mail zu schicken, ist nicht ersichtlich, inwiefern dies einen bedeutenden Mehraufwand hätte verursachen sollen. Bezüglich den konkret von der Vorinstanz als überrissen in Rechnung gestellt beanstandeten Rechtsschriften geht die Beschwerdeführerin nur auf diejenige vom 19. Juli 2017 [gemeint wohl 2016] ein; die Eingabe sei aus Angst gemacht worden, dass diejenige vom 11. September 2015 nicht ausreiche und damit es für das Gericht einfacher sei, die Unterlagen verstehen zu können. Das reicht ebenfalls nicht, um Willkür der Vorinstanz darzutun, wenn hier gekürzt resp. gestrichen wurde. Der Tatsache schliesslich, dass die Beschwerdeführerin einen grösseren Aufwand gehabt hat als die Gegenanwältin, hat die Vorinstanz durch Zusprechung eines höheren Honorars entsprochen. Zusammengefasst erweist sich auch die Beschwerde in Bezug auf die Anwaltsentschädigung als unbegründet.
6.
Die Beschwerde ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens müssen die Beschwerdeführenden für die Gerichtskosten aufkommen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Die Beschwerdegegnerin wurde nicht zur Vernehmlassung eingeladen, zumal der Beschwerdeführer die Begehren bezüglich Besuchsrecht zurückgezogen hat. Weder ihr noch dem Kanton ist eine Parteientschädigung geschuldet. Der teilweise Rückzug der Begehren durch den Beschwerdeführer hat vorliegend keine Folgen für die Kosten- und Entschädigungsregelung, da das Verfahren in Bezug auf die anderen Begehren weiterzuführen war (zur Kostentragung bei Rückzug generell Art. 66 Abs. 1, 2 und 3 BGG und Art. 68 BGG; Verfügung 2C_661/2012 vom 19. November 2013 E. 2.2 mit Hinweisen). Da sich die Beschwerde als von vornherein aussichtslos erweist, ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird in Bezug auf Rechtsbegehren a und b als durch Rückzug erledigt abgeschrieben.
2.
Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführenden unter solidarischer Haftung auferlegt.
4.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Januar 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann