Faits :
A.
Par jugement du 26 septembre 2018, le Tribunal de police de l'arrondissement de La Côte a condamné X._, pour violation grave des règles de la circulation routière, à une peine pécuniaire de 50 jours-amende à 30 fr. le jour, avec sursis durant trois ans, ainsi qu'à une amende de 500 francs.
B.
Par jugement du 15 janvier 2019, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté l'appel formé par le prénommé contre ce jugement et a confirmé celui-ci.
La cour cantonale a retenu les faits suivants.
B.a. Le 30 juin 2016, à 06 h 15, X._ circulait au volant de sa voiture sur la route principale entre A._ et B._. Ayant constaté qu'un autre automobiliste violait des règles de la circulation routière, il a filmé celui-ci au moyen des caméras fixées à bord de son véhicule, puis a accéléré afin de rattraper l'intéressé et de lire ses plaques d'immatriculation. X._ a alors dépassé la limite de circulation de 50 km/h en localité.
B.b. Mandaté par le ministère public afin de déterminer la vitesse à laquelle avait circulé X._ lorsqu'il avait franchi le panneau de limitation de vitesse à 50 km/h, le Centre de tests dynamiques a déposé un rapport d'expertise technique de circulation le 23 novembre 2017. L'expert a indiqué qu'il avait analysé les enregistrements effectués par X._. Sur cette base, il a estimé que le prénommé avait roulé à une vitesse moyenne comprise entre 82 et 88 km/h sur un tronçon qui englobait le panneau de limitation de vitesse. L'expert a précisé que, dans le virage qui suivait le panneau de limitation de vitesse, on percevait, sur la vidéo, le crissement des pneus, ce qui indiquait que la limite d'adhérence avait presque été atteinte.
Dans un rapport complémentaire du 23 février 2018, l'expert a notamment précisé que, dans le meilleur des cas, la vitesse moyenne du véhicule de X._ sur le tronçon analysé avait été de 81,3 km/h.
C.
X._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 15 janvier 2019, en concluant, avec suite de frais et dépens, principalement à sa réforme en ce sens qu'il est acquitté et, subsidiairement, à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision.

Considérant en droit :
1.
Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir établi les faits de manière arbitraire. Il se plaint en outre, à cet égard, d'une violation de la présomption d'innocence.
1.1. Le Tribunal fédéral n'est pas une autorité d'appel, auprès de laquelle les faits pourraient être rediscutés librement. Il est lié par les constatations de fait de la décision entreprise (<ref-law>), à moins qu'elles n'aient été établies en violation du droit ou de manière manifestement inexacte au sens des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, soit pour l'essentiel de façon arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. Une décision n'est pas arbitraire du seul fait qu'elle apparaît discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable et cela non seulement dans sa motivation mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 244). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 368 et les références citées). La présomption d'innocence, garantie par les <ref-law>, 32 al. 1 Cst., 14 par. 2 Pacte ONU II et 6 par. 2 CEDH, ainsi que son corollaire, le principe "in dubio pro reo", concernent tant le fardeau de la preuve que l'appréciation des preuves au sens large (<ref-ruling> consid. 2.2.3.1 p. 348 s.; <ref-ruling> consid. 2a p. 40 s.). En tant que règle sur le fardeau de la preuve, elle signifie, au stade du jugement, que le fardeau de la preuve incombe à l'accusation et que le doute doit profiter au prévenu. Comme règle d'appréciation des preuves (sur la portée et le sens précis de la règle sous cet angle, cf. <ref-ruling> consid. 2.2.3.3 p. 351 s.), la présomption d'innocence signifie que le juge ne doit pas se déclarer convaincu de l'existence d'un fait défavorable à l'accusé si, d'un point de vue objectif, il existe des doutes quant à l'existence de ce fait. Il importe peu qu'il subsiste des doutes seulement abstraits et théoriques, qui sont toujours possibles, une certitude absolue ne pouvant être exigée. Il doit s'agir de doutes sérieux et irréductibles, c'est-à-dire de doutes qui s'imposent à l'esprit en fonction de la situation objective. Lorsque l'appréciation des preuves et la constatation des faits sont critiquées en référence au principe "in dubio pro reo", celui-ci n'a pas de portée plus large que l'interdiction de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.2.3.3 p. 351 s.; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 503; <ref-ruling> consid. 7 p. 82).
1.2. La cour cantonale a exposé que les événements litigieux s'étaient produits tandis que le recourant poursuivait à vive allure un autre automobiliste en excès de vitesse, afin de filmer la plaque arrière du véhicule en question. Selon les indications du GPS équipant la caméra fixée dans le véhicule du recourant, la vitesse de ce dernier était de 114 km/h à l'entrée de la localité de C._. En procédant à une analyse détaillée de la configuration des lieux et de toutes les données en sa possession, l'expert avait indiqué que, sur une distance de 17,4 m - tronçon qui englobait l'emplacement du panneau d'entrée dans le village de C._ et le panneau de limitation de vitesse à 50 km/h -, le recourant avait roulé à une vitesse moyenne de 81,3 km/h selon le calcul qui lui était le plus favorable. Si la vitesse exacte du recourant au moment du passage du panneau de limitation de vitesse n'avait pu être déterminée, celui-ci avait circulé à une vitesse supérieure à 50 km/h lorsqu'il était entré dans la localité de C._. La vitesse excessive était confirmée par le fait que, dans le virage de près de 32 m de rayon situé immédiatement après l'entrée de la localité, les pneus du véhicule avaient crissé, ce qui révélait que la limite d'adhérence avait presque été atteinte à cet endroit. Ainsi, selon la cour cantonale, la vitesse du recourant avait avoisiné 81,3 km/h dans la localité de C._.
1.3. Le recourant commence par expliquer les raisons pour lesquelles les caméras telles que celle avec laquelle il filmait la route au moment des faits ne peuvent être assimilées à des instruments officiels de contrôle de vitesse, au vu de leur manque de précision sur ce point. Il en déduit que la détermination de la vitesse d'un véhicule à partir d'images d'une telle caméra doit s'effectuer à l'aide de repères au sol, ce qui a précisément été accompli en l'espèce. Le recourant se réfère ensuite en vain aux exigences existant pour la mesure officielle des vitesses de circulation des véhicules, dès lors que, en l'occurrence, un expert a été chargé d'analyser en détail les images filmées et de déterminer la vitesse de l'intéressé, en ne procédant précisément pas à une mesure standardisée prévue par l'Office fédéral des routes.
Dans son rapport du 23 novembre 2017 (cf. pièce 28 du dossier cantonal), l'expert a indiqué qu'il avait déterminé deux points caractéristiques où s'était situé le véhicule du recourant. La distance entre ces deux points - le premier situé avant le panneau de limitation de vitesse et le second sis après celui-ci - était de 17,4 mètres. En calculant la vitesse moyenne entre un repère peint sur la chaussée et le second repère situé après le panneau de limitation de vitesse, l'expert avait déterminé une distance de 7,6 m parcourue à une vitesse moyenne de 82 km/h, avec une marge de plus ou moins 5 km/h, de sorte que la vitesse en question était inférieure à la vitesse moyenne sur l'intégralité du tronçon considéré, au milieu duquel était placé le panneau de limitation de vitesse. On peut certes admettre, comme le relève le recourant, que, compte tenu des remarques formulées par l'expert dans son rapport complémentaire du 23 février 2018 concernant le nombre variable d'images par seconde sur la vidéo (cf. pièce 33/2 du dossier cantonal, p. 4), le précédent calcul peut - en tenant compte des paramètres les plus favorables pour lui - être complété afin d'arriver à une vitesse moyenne d'un peu plus de 80 km/h, avec une marge de plus ou moins 5 km/h. On ne saurait en revanche entrer en matière sur ses critiques purement appellatoires concernant les images retenues à titre de limites pour ses calculs, l'expert ayant au demeurant tenu compte d'une marge de tolérance dont le recourant ne démontre pas en quoi elle serait inadéquate.
Compte tenu de ce qui précède, le recourant ne démontre pas en quoi l'autorité précédente aurait établi les faits de manière arbitraire en se fondant sur les conclusions de l'expertise. Il n'était pas insoutenable - eu égard à la vitesse moyenne de 81,3 km/h à laquelle le recourant a parcouru le tronçon total pris en compte et à la vitesse supérieure à 80 km/h, avec une marge de plus ou moins 5 km/h, adoptée sur la seconde portion dudit tronçon - de retenir que l'intéressé avait circulé à une vitesse voisine de 81,3 km/h au moment de franchir le panneau de limitation de vitesse à 50 km/h.
1.4. Le recourant conteste ensuite les éléments retenus à propos de sa vitesse dans le virage suivant l'entrée dans la localité de C._. Son argumentation est cependant dénuée de pertinence, dès lors qu'on ne voit pas en quoi la correction d'un éventuel vice concernant la détermination de sa vitesse dans le virage serait susceptible d'influer sur le sort de la cause (cf. <ref-law>). En effet, dans ses considérations relatives à la violation grave des règles de la circulation routière, la cour cantonale n'a pas tenu compte de cette vitesse, mais du fait - incontesté par le recourant - que la limite d'adhérence avait presque été atteinte dans le virage, ce qui, selon l'expert, pouvait être déduit directement du crissement de pneus ressortant de l'enregistrement vidéo (cf. pièce 28 du dossier cantonal, p. 7).
2.
Le recourant conteste sa condamnation pour violation grave des règles de la circulation routière.
2.1. Aux termes de l'<ref-law>, celui qui, par une violation grave d'une règle de la circulation, crée un sérieux danger pour la sécurité d'autrui ou en prend le risque est puni d'une peine privative de liberté de trois ans au plus ou d'une peine pécuniaire.
D'un point de vue objectif, la violation grave d'une règle de circulation au sens de l'<ref-law> suppose que l'auteur ait mis sérieusement en danger la sécurité du trafic. Il y a création d'un danger sérieux pour la sécurité d'autrui non seulement en cas de mise en danger concrète, mais déjà en cas de mise en danger abstraite accrue (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 512; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 96; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 136). Subjectivement, l'état de fait de l'<ref-law> exige, selon la jurisprudence, un comportement sans scrupules ou gravement contraire aux règles de la circulation, c'est-à-dire une faute grave et, en cas d'acte commis par négligence, à tout le moins une négligence grossière (ATF <ref-ruling> consid. 3.1 p. 96). Celle-ci doit être admise lorsque le conducteur est conscient du caractère généralement dangereux de son comportement contraire aux règles de la circulation. Une négligence grossière peut également exister lorsque, contrairement à ses devoirs, l'auteur ne prend absolument pas en compte le fait qu'il met en danger les autres usagers, en d'autres termes s'il se rend coupable d'une négligence inconsciente. Dans de tels cas, une négligence grossière ne peut être admise que si l'absence de prise de conscience du danger créé pour autrui repose elle-même sur une absence de scrupules (ATF <ref-ruling> consid. 3.2 p. 136; arrêt 6B_1300/2016 du 5 décembre 2017 consid. 2 non publié aux ATF <ref-ruling>).
Dans le domaine des excès de vitesse, la jurisprudence a été amenée à fixer des règles précises afin d'assurer l'égalité de traitement. Ainsi, le cas est objectivement grave au sens de l'<ref-law>, sans égard aux circonstances concrètes, notamment en cas de dépassement de la vitesse autorisée de 25 km/h ou plus à l'intérieur des localités (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 512; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 237 s.; <ref-ruling> consid. 2b p. 261 ss).
Selon l'art. 27 al. 1 1ère phrase LCR, chacun se conformera aux signaux et aux marques ainsi qu'aux ordres de la police. L'art. 4a al. 1 let. a de l'ordonnance sur les règles de la circulation routière (OCR; RS 741.11) dispose que la vitesse maximale générale des véhicules peut atteindre 50 km/h dans les localités lorsque les conditions de la route, de la circulation et de visibilité sont favorables.
2.2. La cour cantonale a considéré que le recourant avait circulé à une vitesse moyenne de 81,3 km/h sur une distance incluant le panneau de limitation de vitesse à 50 km/h situé à l'entrée de la localité de C._. L'intéressé connaissait très bien cette route, puisqu'il l'empruntait quotidiennement pour se rendre au travail. Le jour des faits, il avait donc eu conscience de la présence d'un virage "en épingle à cheveux" immédiatement après l'entrée dans la localité de C._. Il aurait dû réduire sa vitesse en conséquence. Or, en poursuivant un chauffard dans cette localité et en empruntant un virage serré à droite à une vitesse excessive, le recourant - obnubilé par le comportement dangereux du chauffard qu'il pourchassait - avait lui-même adopté une conduite périlleuse, au risque de perdre la maîtrise de son véhicule, ce qui avait créé un danger sérieux pour la circulation et pour les usagers. Il avait ainsi signalé un manque de scrupule. La vitesse exacte du recourant à la hauteur du panneau de limitation de vitesse à 50 km/h n'avait pu être déterminée. Cependant, celle-ci était de toute manière excessive compte tenu de la présence d'un virage serré immédiatement après ce signal ainsi que du crissement de pneus qui avait révélé que la limite d'adhérence avait presque été atteinte. A supposer même que la vitesse du recourant fût inférieure à 75 km/h lors du franchissement du panneau de limitation de vitesse, sa faute devait néanmoins être qualifiée de grave au vu du risque de perte de maîtrise du véhicule engendré par une vitesse inadaptée au virage emprunté.
2.3. En l'occurrence, le cas était objectivement grave au sens de l'<ref-law>, puisque le recourant a, même en tenant compte des chiffres lui étant les plus favorables, circulé à une vitesse moyenne supérieure à 75 km/h sur la portion du tronçon - suivant le panneau de limitation de vitesse à 50 km/h - prise en compte par l'expert.
Subjectivement, comme l'a à juste titre relevé la cour cantonale, le recourant connaissait les particularités de la route et l'existence d'un virage serré immédiatement après l'entrée dans la localité de C._. Il a néanmoins volontairement circulé à une vitesse excessive, y compris dans ce virage en atteignant presque la limite d'adhérence, au risque de perdre la maîtrise de son véhicule. Peu importe, à cet égard, qu'il eût roulé de cette façon dans le but de suivre "un autre véhicule circulant de manière manifestement trop rapide afin d'éviter qu'un danger pour autrui ne se produise à l'avenir", puisqu'il n'appartient pas aux particuliers de se substituer à l'Etat dans ses tâches de police. Est seul déterminant en l'espèce le fait que le recourant eût sciemment roulé à une vitesse excessive pour traquer une autre automobile qui pouvait lui aussi circuler au-delà de la limite déterminante dans une localité.
Au vu de ce qui précède, la cour cantonale n'a pas violé l'<ref-law> en condamnant le recourant pour violation grave des règles de la circulation routière. Le grief doit être rejeté.
3.
Le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Le recourant, qui succombe, supporte les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 18 avril 2019
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Graa