Sachverhalt:
A.
A._, portugiesische Staatsangehörige und ihr Ehemann, B._, indischer Staatsangehöriger, erhoben am 22. Mai 2017 Verwaltungsbeschwerde beim Justiz- und Sicherheitsdepartement (JSD) des Kantons Luzern gegen die Verfügung des kantonalen Amts für Migration vom 21. April 2017 betreffend Erlöschen ihrer Aufenthaltsbewilligungen.
Das JSD forderte in der Folge A._ und B._ mit Schreiben vom 24. Mai 2017 dazu auf, bis 9. Juni 2017 einen Kostenvorschuss von Fr. 1'500.-- zu bezahlen oder ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege einzureichen. A._ und B._ leisteten dieser Aufforderung innert der angesetzten Frist keine Folge, weshalb das JSD mit Entscheid vom 22. Juni 2017 auf die Verwaltungsbeschwerde nicht eintrat.
Eine gegen diesen Entscheid am 26. Juli 2017 eingereichte Verwaltungsgerichtsbeschwerde wies das Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, mit Urteil vom 6. November 2017 ab.
B.
Gegen dieses Urteil reichen A._ und B._ mit Eingabe vom 14. Dezember 2017 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, eventuell subsidiäre Verfassungsbeschwerde, beim Bundesgericht ein. Sie beantragen, das Urteil des Kantonsgerichts vom 6. November 2017 sei aufzuheben, die Verwaltungsgerichtsbeschwerde sei gutzuheissen, der Nichteintretensentscheid sei aufzuheben und die Sache sei zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Mit Eingabe vom 8. März 2018 reichten die Beschwerdeführer zusätzliche Bemerkungen ein.
Das Kantonsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
C.
Mit Verfügung vom 18. Dezember 2017 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit bzw. die Art und Zulässigkeit von Rechtsmitteln von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 188). Vorweg ist die Zulässigkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss <ref-law> zu prüfen, welche gegenüber der subsidiären Verfassungsbeschwerde das prinzipale Rechtsmittel darstellt (<ref-law>).
1.2. Angefochten ist vorliegend ein Urteil, welches bloss einen Nichteintretensentscheid zum Gegenstand hat. Gegen einen Nichteintretensentscheid ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur zulässig, wenn auch ein Entscheid in der Sache mit diesem Rechtsmittel anfechtbar wäre, d.h. wenn kein Ausschlussgrund gemäss <ref-law> zum Zug kommt (Urteil 2C_64/2007 vom 29. März 2007 E. 2.1).
1.3. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten auf dem Gebiet des Ausländerrechts unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen. Ein bundes- oder völkerrechtlicher Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung besteht grundsätzlich nur dann, wenn sich der Ausländer oder seine in der Schweiz lebenden Angehörigen auf eine Sondernorm des Bundesrechts oder eines Staatsvertrags berufen können (<ref-ruling> E. 1.1.1 S. 148).
Die Beschwerdeführerin 1 ist portugiesische Staatsangehörige. Portugal ist Vertragspartei des Freizügigkeitsabkommens (FZA; SR 0.142.112.681). Die Beschwerdeführerin 1 könnte sich deshalb auf das FZA berufen. Der Beschwerdeführer 2 ist indischer Staatsangehöriger. Als Ehemann der Beschwerdeführerin 1 könnte er sich ebenfalls auf das FZA berufen. Allerdings lebt die Beschwerdeführerin 1 in Portugal und plant auch nicht, demnächst in die Schweiz zurückzukehren (vgl. Ziff. 2c und 35 der Beschwerdeschrift). Obwohl formell beide Beschwerdeführer Beschwerde erheben, ist in der Begründung lediglich vom Beschwerdeführer 2 die Rede. Einen aus dem FZA abgeleiteten Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung machen die Beschwerdeführer im Übrigen auch nicht geltend; vielmehr beruft sich der Beschwerdeführer 2 auf Art. 27 des Bundesgesetzes über die Ausländerinnen und Ausländer vom 16. Dezember 2005 (AuG; SR 142.20), welcher die Aufenthaltsbewilligung zu Studienzwecken regelt (vgl. Ziff. 2a und 33 der Beschwerdeschrift). Diese Bestimmung verschafft keinen Rechtsanspruch auf die Erteilung oder Verlängerung der Bewilligung. Damit kann auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht eingetreten werden.
2.
Zu prüfen ist, ob die Beschwerde als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln ist.
2.1. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>); entsprechende Rügen bedürfen spezifischer Geltendmachung und Begründung (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Zur Beschwerde ist gemäss <ref-law> berechtigt, wer am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen oder zu Unrecht keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids dartun kann (lit. b). Das erforderliche rechtlich geschützte Interesse ist in Bezug zu setzen zu den einzig möglichen Rügegründen der Verletzung verfassungsmässiger Rechte; die Legitimation ergibt sich bei der Anrufung spezieller Verfassungsrechte bereits aus der Grundrechtsträgerschaft und dem Inhalt des als verletzt gerügten Verfassungsrechts (<ref-ruling> E. 1.2 S. 290; <ref-ruling> E. 1.3 S. 269 f.). Die Verletzung des Willkürverbots kann im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde nur gerügt werden, wenn die gesetzlichen Bestimmungen, deren willkürliche Anwendung geltend gemacht wurde, dem Beschwerdeführer einen Rechtsanspruch einräumen (<ref-ruling> E. 4-6 S. 191 ff.). Die Verletzung von Parteirechten, deren Missachtung einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommt, können Betroffene gemäss der "Star-Praxis" auch ohne Legitimation in der Sache rügen (<ref-ruling> E. 2 S. 308).
Die Beschwerdeführer haben am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und rügen insbesondere die Verletzung des Verbots des überspitzten Formalismus (<ref-law>) und des Grundsatzes des Vorrangs des Bundesrechts (<ref-law>). Sie sind zu diesen Rügen legitimiert.
2.2. Auf die im Übrigen frist- und formgerecht eingereichte Verfassungsbeschwerde ist einzutreten (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>).
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kam (Art. 118 Abs. 2 und 116 BGG).
3.
3.1. Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet einzig die Frage, ob die Vorinstanz den Nichteintretensentscheid des JSD zu Recht bestätigt hat. Sofern der Beschwerdeführer 2 geltend macht, er habe Anspruch auf die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Ebenfalls nicht Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens bildet die Frage, ob die Beschwerdeführer unverschuldet davon abgehalten wurden, rechtzeitig zu handeln: Wären sie der Auffassung gewesen, dass dies der Fall sei, hätten sie ein Wiederherstellungsgesuch im Sinne von § 36 des Gesetzes des Kantons Luzern über die Verwaltungsrechtspflege vom 3. Juli 1972 (VRG/LU; SRL 40) einreichen können. Von dieser Möglichkeit haben sie jedoch keinen Gebrauch gemacht (vgl. auch E. 2.5 des angefochtenen Urteils).
3.2. Gemäss § 195 Abs. 1 VRG/LU kann die Behörde von der Partei, die ein Verfahren einleitet und kostenpflichtig werden kann, einen angemessenen Vorschuss zur Sicherstellung der amtlichen Kosten verlangen. Wenn die Partei den Vorschuss trotz Androhung der Folgen innert eingeräumter Frist nicht leistet und das Verfahren nicht von Amtes wegen durchzuführen ist, braucht die Behörde auf die Rechtsvorkehr nicht einzutreten (§ 195 Abs. 2 VRG/LU).
Vorliegend setzte das JSD den Beschwerdeführern mit Schreiben vom 24. Mai 2017 eine Frist bis 9. Juni 2017 für die Bezahlung des Kostenvorschusses in der Höhe von Fr. 1'500.-- bzw. für die Einreichung eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege. Das Schreiben enthielt die Androhung, dass auf die Beschwerde nicht eingetreten werde, wenn der Kostenvorschuss innert Frist nicht bezahlt bzw. kein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege eingereicht werde. Die Beschwerdeführer leisteten dieser Anordnung innert der eingeräumten Frist keine Folge.
Die Beschwerdeführer bestreiten den Sachverhalt nicht, so dass diesbezüglich auf die Feststellungen der Vorinstanz abzustellen ist. (vgl. E. 2.3 hiervor)
4.
4.1. Die Beschwerdeführer machen eine Verletzung des Verbots des überspitzten Formalismus im Sinne von <ref-law> sowie des Verhältnismässigkeitsprinzips gemäss <ref-law> geltend. Sie bringen im Wesentlichen vor, die Frist für die Bezahlung des Kostenvorschusses sei zu kurz bemessen gewesen, die strikte Anwendung der Formvorschriften stehe in keinerlei Verhältnis zum schutzwürdigen Interesse des Beschwerdeführers 2, sein Studium in der Schweiz zu beenden, und das JSD habe bei der Ausübung seines Ermessens das Verhältnismässigkeitsprinzip verletzt.
4.2.
4.2.1. <ref-law> verbietet überspitzten Formalismus als besondere Form der Rechtsverweigerung. Eine solche liegt vor, wenn für ein Verfahren rigorose Formvorschriften aufgestellt werden, ohne dass die Strenge sachlich gerechtfertigt wäre, wenn die Behörde formelle Vorschriften mit übertriebener Schärfe handhabt oder an Rechtsschriften überspannte Anforderungen stellt und den Rechtssuchenden den Rechtsweg in unzulässiger Weise versperrt (<ref-ruling> E. 5 S. 253; <ref-ruling> E. 2.1 S. 9).
4.2.2. Prozessuale Formen sind im Rechtsgang unerlässlich, um die ordnungsgemässe und rechtsgleiche Abwicklung des Verfahrens sowie die Durchsetzung des materiellen Rechts zu gewährleisten. Nicht jede prozessuale Formstrenge steht demnach mit <ref-law> im Widerspruch. Überspitzter Formalismus ist nur gegeben, wenn die strikte Anwendung der Formvorschriften durch keine schutzwürdigen Interessen gerechtfertigt ist, zum blossen Selbstzweck wird und die Verwirklichung des materiellen Rechts in unhaltbarer Weise erschwert oder verhindert (<ref-ruling> E. 1.3.2 und 1.3.3 S. 304 f.; <ref-ruling> E. 2.4.2 S. 11). Allein die strikte Anwendung der Formvorschriften stellt keinen überspitzten Formalismus dar (<ref-ruling> E. 1.3.3 S. 305).
Nach ständiger bundesgerichtlicher Rechtsprechung stellt das Nichteintreten auf ein Rechtsmittel mangels rechtzeitiger Leistung des Kostenvorschusses keinen überspitzten Formalismus dar, wenn der Gesuchsteller über die Höhe des Vorschusses, die Zahlungsfrist und die Säumnisfolgen rechtsgenüglich informiert worden ist (Urteil 1C_629/2014 vom 12. August 2015 E. 4.2).
4.3.
4.3.1. Aus dem Verbot des überspitzten Formalismus und der daraus entwickelten Rechtsprechung können die Beschwerdeführer nichts zu ihren Gunsten ableiten. Die Verpflichtung zur Leistung eines Kostenvorschusses innert einer bestimmten Frist lässt sich sachlich begründen, so etwa mit dem Interesse an einer effizienten, auf Beschleunigung ausgerichteten Verfahrensführung. Bei der Fristansetzung zur Leistung des Kostenvorschusses steht der Behörde ein erheblicher Ermessensspielraum zu, was die Beschwerdeführer im Übrigen auch nicht bestreiten. Die Frist ist grundsätzlich so anzusetzen, dass dem Beschwerdeführer, unter Berücksichtigung der Erfordernisse des Verfahrens, genügend Zeit zur Verfügung gestellt wird, um den geforderten Betrag verfügbar machen und überweisen zu können (Urteile 2C_703/2009 und 2C_22/2010 vom 21. September 2010 E. 4.3).
4.3.2. Wie die Vorinstanz zu Recht ausführt, mussten die anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer mit der Zustellung einer behördlichen Mitteilung rechnen, nachdem sie das Rechtsmittelverfahren vor dem JSD selber eingeleitet hatten. Die Auffassung der Vorinstanz, wonach die Beschwerdeführer über genügend Zeit verfügten, den Kostenvorschuss zu leisten (vgl. E. 2.4 des angefochtenen Entscheides), ist nicht zu beanstanden.
Die Beschwerdeführer wurden über die Höhe des Vorschusses, die Zahlungsfrist und die Säumnisfolgen rechtsgenüglich informiert. Ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege haben sie nicht gestellt. Das JSD hat somit nicht gegen das Verbot des überspitzten Formalismus verstossen, indem es wegen des unbestrittenerweise zu spät geleisteten Kostenvorschusses auf die Verwaltungsbeschwerde nicht eingetreten ist.
4.4. Soweit die Beschwerdeführer einen Verstoss gegen das Verhältnismässigkeitsprinzip (<ref-law>) monieren, handelt es sich dabei um kein verfassungsmässiges Individualrecht, sondern um einen Verfassungsgrundsatz (<ref-ruling> E. 4.1 S. 156). Seine Verletzung kann im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde daher nur im Zusammenhang mit einem besonderen Grundrecht gerügt werden. Der Rüge der Unverhältnismässigkeit kommt somit keine selbständige Bedeutung zu.
4.5. Nach dem Gesagten verletzt der vorliegend zur Diskussion stehende Nichteintretensentscheid weder das Verbot des überspitzten Formalismus noch das Verhältnismässigkeitsprinzip. Im Übrigen ist es fraglich, ob die Länge der eingeräumten Frist von rund zwei Wochen für das Versäumnis der Beschwerdeführer kausal war, zumal sich die Beschwerdeführerin 1 offenbar im Ausland aufhielt und der Beschwerdeführer 2 seinen Briefkasten nur unregelmässig leerte; den Kostenvorschuss hat er nämlich erst elf Tage nach Ablauf der Frist bezahlt.
5.
Die Beschwerdeführer rügen ferner die Verletzung des Willkürverbots im Sinne von <ref-law>. Sie machen im Wesentlichen geltend, es laufe in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwider, dass der Beschwerdeführer 2 kurz vor Abschluss seines Studiums aus der Schweiz weggewiesen werde. Darüber hinaus erfülle er sämtliche Voraussetzungen, um gestützt auf Art. 27 Abs. 1 AuG eine neue Aufenthaltsbewilligung zu erhalten.
Wie bereits erwähnt, verschafft Art. 27 AuG keinen Rechtsanspruch auf die Erteilung oder Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung (vgl. E. 1.3 hiervor). Die Willkürrüge ist daher im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde nicht zulässig (vgl. E. 2.1 hiervor). Im Übrigen bildet die Frage, ob der Beschwerdeführer 2 Anspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung gehabt hätte, nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens (vgl. E. 3.1 hiervor).
6.
6.1. Die Beschwerdeführer machen eine Verletzung des Vorrangs des Bundesrechts im Sinne von <ref-law> geltend. Sie sind der Auffassung, dass die Behörde ihnen eine Nachfrist zur Begleichung des Kostenvorschusses hätte ansetzen müssen. Die Pflicht zur Ansetzung einer angemessenen Nachfrist bei Säumnis sei selbst im "Bundesrechtspflegegesetz" [recte: Bundesgerichtsgesetz] (<ref-law>) vorgesehen und könne deshalb als unumstrittene höherrangige Norm bzw. Rechtsgrundsatz qualifiziert werden. Ferner sei die Ansetzung einer Nachfrist auch in <ref-law> vorgesehen. Dass kantonale Behörden eigenhändig strengere Formvorschriften vorsehen, sei nicht mit dem Bundesrecht vereinbar. Dadurch verletze der angefochtene Nichteintretensentscheid das Verbot des überspitzten Formalismus, den Vorrang des Bundesrechts sowie das Verhältnismässigkeitsprinzip.
6.2. Der Grundsatz des Vorrangs von Bundesrecht nach <ref-law> schliesst in Sachgebieten, welche die Bundesgesetzgebung abschliessend regelt, eine Rechtssetzung durch die Kantone aus. In Sachgebieten, die das Bundesrecht nicht abschliessend ordnet, dürfen die Kantone nur solche Vorschriften erlassen, die nicht gegen Sinn und Geist des Bundesrechts verstossen und dessen Zweck nicht beeinträchtigen oder vereiteln (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 470).
6.3. Das öffentliche Verfahrensrecht zum Vollzug des Bundesrechts durch die Kantone wird nicht durch das Bundesrecht geregelt, sondern fällt in die Zuständigkeit der Kantone. Das massgebende kantonale Recht sieht keine Pflicht der Behörden zur Ansetzung einer Nachfrist vor, sofern eine Frist versäumt wurde.
Nach ständiger Rechtsprechung des Bundesgerichts entspricht die Nachfristsetzung bei verpasster Frist zur Leistung des Kostenvorschusses keinem allgemeinem Rechtsgrundsatz. Die Kantone sind nicht verpflichtet, eine analoge Bestimmung, wie sie in <ref-law> und <ref-law> enthalten ist, ins kantonale Verfahrensrecht zu übernehmen (Urteile 1C_629/2014 vom 12. August 2015 E. 4.2; 1C_206/2014 vom 13. Juni 2014 E. 5.3; mit Bezug auf das VwVG, welches ebenfalls keine Verpflichtung zur Ansetzung einer Nachfrist vorsieht, vgl. Urteile 2C_703/2009 und 2C_22/2010 vom 21. September 2010 E. 4.4.1). Auch vor dem Hintergrund des überspitzten Formalismus kann der Verzicht auf Ansetzung einer Nachfrist nicht als rigorose, sachlich nicht begründete oder treuwidrige Anwendung einer Prozessrechtsvorschrift betrachtet werden (Urteile 2C_703/2009 und 2C_22/2010 vom 21. September 2010 E. 4.4.1)
6.4. Der Verzicht des kantonalen Gesetzgebers auf die Ansetzung einer Nachfrist zur Begleichung des Kostenvorschusses verletzt den Vorrang des Bundesrechts i.S.v. <ref-law> nicht.
7.
7.1. Die Beschwerdeführer machen schliesslich geltend, der von der Vorinstanz bestätigte Nichteintretensentscheid des JSD käme einer formellen Rechtsverweigerung bzw. einer weiteren Verletzung von <ref-law> gleich.
7.2. Eine formelle Rechtsverweigerung liegt vor, wenn eine Behörde auf eine ihr frist- und formgerecht unterbreitete Sache nicht eintritt, obschon sie darüber befinden müsste (<ref-ruling> E. 2.1 S. 9).
Die fristgerechte Leistung des Kostenvorschusses stellt gemäss § 195 Abs. 1 VRG/LU eine Eintretensvoraussetzung dar. Vorliegend hat das JSD die Beschwerdeführer darauf hingewiesen, dass auf die Beschwerde nicht eingetreten werde, wenn innert der gesetzten Frist weder der Kostenvorschuss bezahlt noch ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt werde. Somit waren vorliegend nicht alle Eintretensvoraussetzungen erfüllt. Die Beschwerdeführer können sich unter diesen Umständen nicht mit Erfolg auf das Verbot der formellen Rechtsverweigerung berufen (<ref-law>; Urteil 1C_629/2014 vom 12. August 2015 E. 4.4).
8.
8.1. Nach dem Gesagten erweist sich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
8.2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens werden die unterliegenden Beschwerdeführer unter solidarischer Haftung kostenpflichtig (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Juni 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Ivanov