Faits :
A.
A._ et B._ sont les parents de C._ (2015) et D._ (2017). Les parties, non mariées, bénéficient de l'autorité parentale conjointe.
Rencontrant des difficultés dans leur couple, les parents se sont séparés en mai, " respectivement " septembre 2017. Ils se partagent depuis lors la garde de leurs enfants.
B.
B.a. Le 24 octobre 2017, après avoir appris que la mère souhaitait retourner en Espagne, le père a déposé devant l'autorité de protection de l'enfant et de l'adulte du canton du Jura (ci-après: l'APEA) une requête en attribution de l'autorité parentale et de la garde, une requête de mesures provisionnelles et une requête de mesures superprovisionnelles. Il a notamment conclu à ce que la garde sur ses deux enfants lui soit attribuée et à ce qu'il soit fait interdiction à la mère de quitter le territoire suisse avec ceux-ci.
B.b. Par décision de mesures superprovisionnelles du 30 octobre 2017, l'APEA a fait interdiction à la mère de quitter le territoire suisse avec ses enfants et lui a ordonné de remettre les passeports ainsi que tout autre document d'identité concernant ceux-ci au siège de l'autorité. Par ordonnance du même jour, l'APEA a ouvert une procédure en faveur des enfants.
B.c. Par décision de mesures provisionnelles du 16 novembre 2017, l'APEA a partiellement fait droit à la requête du père en faisant interdiction à la mère de quitter le territoire suisse avec ses enfants. Elle a requis une évaluation de la situation et a restitué à la mère les documents d'identité des enfants.
B.d. Par pli du 24 janvier 2018, la mère a conclu au maintien de l'autorité parentale conjointe, à l'attribution en sa faveur de la garde sur ses enfants, à l'autorisation de déplacer leur lieu de résidence en Espagne, avec effet immédiat, et à la fixation de la manière la plus large possible du droit de visite du père.
B.e. Par décision du 16 mai 2018, l'APEA a autorisé la mère à modifier le lieu de résidence de ses enfants en Espagne et a fixé le droit de visite du père, à défaut d'entente entre les parents, à raison d'un week-end sur deux en Espagne et de la moitié des vacances scolaires.
B.f. Statuant sur appel du père, la Cour administrative du Tribunal cantonal du canton du Jura (ci-après: la Cour administrative) a, par arrêt du 22 février 2019, annulé la décision de l'APEA, rejeté la demande de la mère du 24 janvier 2018 tendant à obtenir l'autorisation de déplacer le lieu de résidence de ses enfants en Espagne et dit qu'en cas de déménagement de la mère en Espagne, la garde sur les enfants serait attribuée au père. Dans l'hypothèse où la mère renonçait à son projet de déménagement en Espagne et restait domiciliée dans le canton du Jura, une garde alternée était instaurée, à raison d'une semaine auprès de chaque parent et de la moitié des vacances scolaires.
B.g. Par arrêt du 9 décembre 2019 (cause 5A_271/2019), le Tribunal fédéral a admis, dans la mesure de sa recevabilité, le recours formé par la mère et renvoyé la cause à la juridiction précédente pour nouvelle décision au sens des considérants.
B.h. Le 15 janvier 2020, la mère, se prévalant d'un rapport de la Dresse E._ du Centre F._ du 7 janvier 2020 intitulé " Résumé d'investigation faisant office de signalement " (<ref-law>), a saisi la Cour administrative d'une requête de mesures provisionnelles tendant à l'attribution de la garde sur ses enfants, à la fixation du droit de visite du père et à la mise en place d'un suivi psychothérapeutique pour C._.
B.i. La Présidente de la Cour administrative (ci-après: la Présidente) a ordonné le 22 janvier 2020 la reprise de la procédure ensuite de l'arrêt de renvoi du Tribunal fédéral, ainsi qu'un complément d'enquête sociale.
B.j. Par jugement du 15 avril 2020, la Présidente a rejeté la requête de mesures provisionnelles de la mère, considérant que les éléments du dossier ne justifiaient pas une modification de la situation avant la reddition du complément d'enquête sociale.
B.k. Dans son rapport du 19 juin 2020, l'assistante sociale a proposé de maintenir la garde partagée, le domicile des enfants étant fixé chez le père, et d'exhorter les parents à entamer, après la fin de la procédure, une démarche de médiation avec pour objectif de retrouver la capacité de dialoguer de manière constructive et de collaborer au sujet des enfants, cette collaboration étant indispensable dans le cadre d'une garde partagée.
B.l. Les parties ainsi que l'assistante sociale ont été entendues lors d'une audience tenue le 10 juillet 2020.
B.m. Par arrêt du 25 août 2020, la Cour administrative a annulé la décision de l'APEA du 16 mai 2018, pris acte du retrait de la demande de la mère du 24 janvier 2018 tendant à obtenir l'autorisation de déplacer le lieu de résidence de ses enfants en Espagne, instauré une garde alternée sur les enfants, à raison d'une semaine auprès de chaque parent, selon les modalités actuellement prévues par les parties, le domicile des enfants étant chez leur père, et invité les parties à mettre sur pied une médiation entre elles et une évaluation psychologique pour C._.
C.
Par acte du 24 septembre 2020, la mère exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle conclut principalement à la réforme de l'arrêt querellé en ce sens que la garde sur les enfants lui est confiée, le droit de visite du père étant fixé de manière aussi large que possible. Subsidiairement, elle conclut à ce qu'une garde alternée soit instaurée, le domicile des enfants étant fixé chez elle. Plus subsidiairement, elle conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Elle requiert également le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Des observations n'ont pas été requises.

Considérant en droit :
1.
Déposé en temps utile (<ref-law>) et dans la forme légale (<ref-law>), le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (<ref-law>), dans une affaire civile (<ref-law>), de nature non pécuniaire (arrêt 5A_794/2017 du 7 février 2018 consid. 1). La recourante, qui a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt digne de protection à l'annulation ou la modification de la décision attaquée, a qualité pour recourir (<ref-law>). Le recours en matière civile est donc en principe recevable.
2.
2.1. En vertu du principe de l'autorité de l'arrêt de renvoi du Tribunal fédéral, l'autorité cantonale à laquelle une affaire est renvoyée est tenue de fonder sa nouvelle décision sur les considérants de droit de cet arrêt; sa cognition est limitée par les motifs de l'arrêt de renvoi (<ref-ruling> consid. 5.2 et les références; arrêt 5A_690/2020 du 5 novembre 2020 consid. 2.1). Saisi d'un recours contre la nouvelle décision cantonale, le Tribunal fédéral est aussi lié par son arrêt de renvoi (<ref-ruling> consid. 4.2.1; <ref-ruling> consid. 2a et la référence).
Dans ces limites, le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés (<ref-ruling> consid. 2.4 et les références). Le recourant doit par conséquent discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (<ref-ruling> consid. 1.7.1; <ref-ruling> consid. 2.4 et la référence). Le Tribunal fédéral ne connaît par ailleurs de la violation de droits fondamentaux que si un tel grief a été expressément invoqué et motivé de façon claire et détaillée par le recourant (" principe d'allégation ", <ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 5.1).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte - à savoir arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 6.7; <ref-ruling> consid. 2.2 et la référence) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il n'y a arbitraire que lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 1.1 et la référence). Le recourant ne peut pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; il doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont arbitraires (<ref-ruling> consid. 1.4.3). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 1.3.1 et la référence).
En l'occurrence, dans la partie " En faits " de son mémoire, la recourante renvoie à l'état de fait de l'arrêt querellé, tout en précisant qu'il " s'agira également de tenir compte des faits retenus dans les autres décisions au dossier, notamment ceux retenus dans l'arrêt du 22 février 2019 de la Cour administrative ". Compte tenu des exigences de motivation susmentionnées, cette remarque n'a pas de portée propre; seuls les éléments faisant l'objet d'une critique d'établissement arbitraire des faits ou d'appréciation arbitraire des preuves seront par conséquent examinés ci-après.
3.
3.1. Invoquant son droit d'être entendue et le principe de l'interdiction de l'arbitraire, la recourante se plaint de ce que la juridiction précédente aurait violé son droit à une décision motivée. Elle lui reproche de ne pas avoir examiné le critère de l'âge des enfants, alors que l'arrêt de renvoi l' "exhortait " à le faire. Pour attribuer la garde alternée, la juridiction précédente se serait basée sur la politique du fait accompli et se serait contentée de considérations générales et vagues pour fonder sa décision, ce d'autant que les éléments retenus seraient insoutenables et ne permettraient pas de déterminer quelles sont les conséquences de la garde alternée sur les enfants. L'autorité cantonale aurait également refusé de tirer les conséquences du manque de coopération et de communication entre les parents au motif que les difficultés rencontrées ne portaient pas sur des questions organisationnelles et que la situation s'améliorerait une fois la procédure terminée. Or, cette motivation - portant sur un élément central - serait manifestement insuffisante. Enfin, le droit à une décision motivée serait également violé s'agissant de la fixation du domicile chez le père, ce point n'étant développé " que de manière lapidaire, sur un petit paragraphe ", sans que la cour cantonale explique pour quelles raisons cette solution devrait être privilégiée alors qu'elle engendre des complications supplémentaires.
3.2. Le droit d'être entendu garanti par les art. 29 al. 2 Cst. et 53 CPC, qui ont de ce point de vue la même portée (arrêts 5A_360/2019 du 30 mars 2020 consid. 4.3.1; 5A_362/2018 du 2 juillet 2019 consid. 3.1 non publié in <ref-ruling>), comprend notamment l'obligation pour l'autorité de motiver sa décision. Cette obligation est respectée lorsque le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause (<ref-ruling> consid. 3.4.1; <ref-ruling> consid. 5.2; <ref-ruling> consid. 4.3.2 et les références). L'autorité n'a pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à ceux qui, sans arbitraire, lui paraissent pertinents (ATF <ref-ruling> consid. 5.2; <ref-ruling> consid. 4.2 et les références). La motivation peut être implicite et résulter des différents considérants de la décision (<ref-ruling> consid. 3.2.1 et la référence).
3.3. En l'espèce, même si elle n'a pas effectué de longs développements sur chacun des points, la cour cantonale a examiné les différents critères pour l'attribution de la garde, y compris ceux relatifs à l'âge des enfants et aux capacités de communication des parties, et les a ensuite pondérés, expliquant pourquoi il convenait selon elle de maintenir le statu quo. Sur la base de ces éléments, la recourante était en mesure de contester la décision attaquée en connaissance de cause, ce qu'elle a au demeurant fait (cf. infra consid. 5 et 7). L'arrêt attaqué apparaît ainsi suffisamment motivé au regard de la jurisprudence susmentionnée (cf. supra consid. 3.2), de sorte que le grief, infondé, doit être rejeté.
Pour le surplus, le grief de la recourante se confond en réalité avec celui d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits qui sera examiné ci-après (cf. infra consid. 4.3.2 et 5.2).
4.
La recourante reproche également à la juridiction précédente d'avoir violé son droit à la preuve et le principe de l'interdiction de l'arbitraire en écartant sa demande tendant à ce que des renseignements complémentaires soient pris auprès de la Dresse E._et en refusant d'ordonner une expertise pédopsychiatrique.
4.1. Le droit à la preuve est une composante du droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst.; il se déduit également de l'<ref-law> et trouve une consécration expresse à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 9.3.2; arrêt 4A_42/2017 du 29 janvier 2018 consid. 3.2 non publié in <ref-ruling>). Il implique que toute personne a droit, pour établir un fait pertinent contesté, de faire administrer les moyens de preuve adéquats, pour autant qu'ils aient été proposés régulièrement et en temps utile (<ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 9.3.2). Les <ref-law> et 152 CPC ne régissent pas l'appréciation des preuves et ne disent pas quelles mesures doivent être ordonnées, ni ne dictent au juge civil comment forger sa conviction (arrêt 4A_42/2017 précité consid. 3.2 et les références). En outre, le droit à la preuve n'interdit pas au juge de mettre un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis d'acquérir une conviction et que, procédant de manière non arbitraire à une appréciation anticipée des moyens de preuve qui lui sont encore proposés, il a la certitude que ceux-ci ne pourraient pas l'amener à modifier son opinion (<ref-ruling> consid. 5.2.2; <ref-ruling> consid. 4.1 et la référence).
4.2. S'agissant de la requête tendant à ce que des renseignements complémentaires soient pris auprès de la Dresse E._, la recourante indique qu'il s'agit d' " un moyen de preuve dont elle a demandé l'administration à de nombreuses reprises, la première fois dans sa requête de mesures provisionnelles du 15 janvier 2020, à laquelle il est renvoyé pour le détail ". Outre que l'entier de la critique doit se trouver dans le recours, le renvoi à d'autres écritures ou à des pièces n'étant pas admissible (<ref-ruling> consid. 3.2 et les références; arrêt 5A_11/2020 du 13 mai 2020 consid. 2.1), il ne ressort nullement de l'arrêt querellé (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.3.1) - et la recourante ne soulève pas de grief d'établissement arbitraire des faits à cet égard (cf. supra consid. 2.2) - qu'une telle réquisition de preuve aurait été formulée devant la juridiction précédente, l'arrêt attaqué indiquant seulement que la recourante contestait la valeur probante de l'enquête sociale au motif notamment que son auteure n'avait pas pris contact avec la Dresse E._. La critique est dès lors irrecevable (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2.2; <ref-ruling> consid. 1.1 et les références).
Pour le surplus, la critique porte en réalité sur l'établissement des faits en lien avec la question de la garde et sera examinée ci-après (cf. infra consid. 4.3.2 et 5.2).
4.3.
4.3.1. S'agissant de la réalisation d'une expertise pédopsychiatrique, la juridiction précédente a constaté que la mère l'avait requise le 3 juillet 2020, dans le but de déterminer les capacités éducatives des parties et de savoir si les enfants allaient bien et s'ils n'étaient pas instrumentalisés ou placés dans un conflit de loyauté. A cet égard, l'autorité cantonale a estimé que, si la situation entre les parents était conflictuelle, aucun élément au dossier ne justifiait la réalisation d'une expertise pédopsychiatrique, respectivement la nécessité de faire appel à des compétences psychiatriques, en raison notamment d'un comportement pathologique chez l'enfant. Le rapport de la Dresse E._, qui n'avait pas rencontré C._, mettait tout au plus en évidence un conflit de loyauté chez l'enfant, trouble fréquent, voire intrinsèque à toute séparation conflictuelle, ne nécessitant pas l'avis d'un expert pédopsychiatre. La Dresse E._, si elle préconisait une prise en charge thérapeutique de l'enfant, ne recommandait du reste pas une telle mesure. La mère n'avait pour sa part pas contesté la mesure d'instruction ordonnée par la direction de la procédure tendant à la réalisation d'un rapport d'enquête sociale, en sollicitant en lieu et place la mise sur pied d'une expertise pédopsychiatrique. Une enquête sociale était ainsi suffisante et appropriée dans le cas d'espèce pour se prononcer sur la garde. La juridiction précédente a par ailleurs estimé que le rapport de l'assistante sociale n'était pas discutable quant à la forme et qu'il était complet, convaincant et dûment motivé. Aucun élément ne justifiait ainsi qu'un autre complément de preuve soit ordonné pour trancher le sort du litige, les éléments au dossier étant suffisants pour se forger une opinion.
4.3.2. En l'espèce, le grief de violation du droit à la preuve n'est pas pertinent, partant, doit être rejeté, la cour cantonale ayant refusé d'ordonner l'expertise sur la base d'une appréciation anticipée des preuves qui ne peut être remise en cause que sous l'angle de l'arbitraire (cf. supra consid. 3.2.2), grief également soulevé par la recourante.
A cet égard, contrairement à ce que semble soutenir celle-ci, l'objet de la cause (attribution de la garde), la nature conflictuelle de la relation entre les parents ou l'existence d'un conflit de loyauté d'un des enfants - éléments dont la cour cantonale a au demeurant tenu compte dans son examen - ne signifient pas encore nécessairement qu'il faille procéder à une expertise pédopsychiatrique. En effet, sauf exceptions qui ne sont pas réalisées dans le cas présent, l'expertise ne constitue qu'une mesure probatoire parmi d'autres. Le juge doit l'ordonner lorsqu'elle apparaît comme le seul moyen de preuve idoine, en particulier lorsqu'il ne bénéficie pas de connaissances personnelles suffisantes pour se prononcer sur le bien de l'enfant, par exemple lorsque celui-ci souffre d'une maladie ou présente un comportement pathologique, ou encore lorsque le juge ne dispose d'aucun élément de preuve sur des faits pertinents pour la décision; il jouit à cet égard d'un large pouvoir d'appréciation (<ref-law>; arrêts 5A_228/2020 du 3 août 2020 consid. 4.1.2; 5A_266/2019 du 5 août 2019 consid. 3.3.2; 5A_191/2018 du 7 août 2018 consid. 5.2.1; 5A_184/2017 du 9 juin 2017 consid. 3.1 et les références). Dans la mesure où elle fait valoir que l'intimé aurait produit, à un stade antérieur de la procédure, une expertise pédopsychiatrique privée, la recourante se fonde sur un élément qui ne ressort pas de la décision querellée, sans démontrer qu'il aurait été arbitrairement écarté. Partant, sa critique est irrecevable (cf. supra consid. 2.2). Il en va de même lorsqu'elle soutient que la juridiction précédente aurait banalisé de manière choquante le conflit de loyauté de C._, la recourante se contentant de présenter, de manière appellatoire (cf. supra consid. 2.2), sa propre appréciation du contenu et de la valeur probante des rapports de l'assistante sociale et de la Dresse E._, accompagnée de considérations théoriques. A cet égard, la recourante ne discute pas le motif de la décision querellée selon lequel la Dresse E._ elle-même ne recommandait pas l'établissement d'une expertise. La recourante ne critique pas non plus le raisonnement de la juridiction précédente qui retient qu'elle ne s'est pas opposée à la réalisation d'un complément d'enquête sociale et qu'elle n'a pas sollicité l'établissement d'une expertise en lieu et place de celui-ci. En tant qu'elle soutient que les propositions de l'assistante sociale seraient en totale contradiction avec les recommandations de la Dresse E._, la recourante ne fait qu'opposer sa propre interprétation des rapports rédigés par les personnes précitées à celle de la cour cantonale, celle-ci ayant considéré que les conclusions de l'assistante sociale ne divergeaient pas fondamentalement de celles de la Dresse E._ au point de nier toute valeur probante à son rapport. La recourante ne s'en prend par ailleurs pas aux motifs de l'arrêt attaqué qui indiquent pour quelles raisons le rapport de l'assistante sociale apparaît exempt de tout reproche quant à la méthodologie employée, complet, convaincant et dûment motivé (cf. supra consid. 2.2). Enfin, contrairement à ce que soutient la recourante, le fait que la cour cantonale ait invité les parties à entreprendre une évaluation psychologique de C._ à la fin de la procédure n'apparaît, en l'espèce, pas manifestement contradictoire avec le refus d'ordonner une expertise pédopsychatrique lors de celle-ci, l'assistante sociale ayant recommandé la mise en place d'un suivi après la procédure afin de s'assurer que les enfants vont toujours bien et de rassurer les parents et la Dresse E._ ayant souligné la nécessité de clarifier le cadre, notamment les questions de la garde et de l'organisation des visites, avant le début d'un tel suivi.
Au vu de ce qui précède, l'autorité cantonale n'a pas versé dans l'arbitraire en considérant qu'elle était suffisamment renseignée sur la situation des enfants et en refusant d'ordonner une expertise pédopsychiatrique. Le grief d'arbitraire de la recourante doit par conséquent être rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
5.
La recourante reproche également à la cour cantonale d'avoir violé le droit et le principe de l'interdiction de l'arbitraire en confirmant la garde alternée.
5.1.
5.1.1. La garde alternée est la situation dans laquelle les parents exercent en commun l'autorité parentale, mais se partagent la garde de l'enfant d'une façon alternée pour des périodes plus ou moins égales, pouvant être fixées en jours ou en semaines, voire en mois (arrêts 5A_557/2020 du 2 février 2021 consid. 3.1; 5A_991/2019 du 19 janvier 2021 consid. 5.1.1; 5A_844/2019 du 17 septembre 2020 consid. 3.2.2). Bien que l'autorité parentale conjointe soit désormais la règle et qu'elle comprenne le droit de déterminer le lieu de résidence de l'enfant, elle n'implique pas nécessairement l'instauration d'une garde alternée. L'autorité compétente doit néanmoins examiner, nonobstant et indépendamment de l'accord des parents quant à une garde alternée, si celle-ci est possible et compatible avec le bien de l'enfant (<ref-ruling> consid. 4.2, 617 consid. 3.2.3). Le bien de l'enfant constitue en effet la règle fondamentale en matière d'attribution des droits parentaux (<ref-ruling> consid. 5.5.3; <ref-ruling> consid. 5.4), les intérêts des parents devant être relégués au second plan (<ref-ruling> consid. 3.2.3 et les références).
5.1.2. L'autorité compétente doit évaluer, sur la base de la situation de fait actuelle ainsi que de celle qui prévalait avant la séparation des parties, si l'instauration d'une garde alternée est effectivement à même de préserver le bien de l'enfant. A cette fin, elle doit en premier lieu examiner si chacun des parents dispose de capacités éducatives et s'il existe une bonne capacité et volonté de ceux-ci de communiquer et coopérer, compte tenu des mesures organisationnelles et de la transmission régulière d'informations que nécessite ce mode de garde. A cet égard, on ne saurait déduire une incapacité à coopérer entre les parents du seul refus d'instaurer la garde alternée. En revanche, un conflit marqué et persistant entre eux portant sur des questions liées à l'enfant laisse présager des difficultés futures de collaboration et aura en principe pour conséquence d'exposer de manière récurrente l'enfant à une situation conflictuelle, ce qui pourrait apparaître contraire à son intérêt (<ref-ruling> consid. 3.2.3; arrêts 5A_991/2019 précité consid. 5.1.2; 5A_844/2019 précité consid. 3.2.2).
Si les parents disposent tous deux de capacités éducatives, l'autorité compétente doit dans un deuxième temps évaluer les autres critères d'appréciation pertinents pour l'attribution de la garde à l'un des parents. Au nombre des critères essentiels pour cet examen, entrent en ligne de compte la situation géographique et la distance séparant les logements des deux parents, la stabilité que peut apporter à l'enfant le maintien de la situation antérieure - en ce sens notamment qu'une garde alternée sera instaurée plus facilement lorsque les deux parents s'occupaient de l'enfant en alternance déjà avant la séparation -, la possibilité pour chaque parent de s'occuper personnellement de l'enfant, l'âge de celui-ci et son appartenance à une fratrie ou à un cercle social ainsi que le souhait de l'enfant s'agissant de sa propre prise en charge quand bien même il ne disposerait pas de la capacité de discernement à cet égard. Les critères d'appréciation précités sont interdépendants et leur importance varie en fonction du cas d'espèce. Ainsi les critères de la stabilité et de la possibilité pour le parent de s'occuper personnellement de l'enfant auront un rôle prépondérant chez les nourrissons et les enfants en bas âge alors que l'appartenance à un cercle social sera particulièrement importante pour un adolescent. La capacité de collaboration et de communication des parents est, quant à elle, d'autant plus importante lorsque l'enfant concerné est déjà scolarisé ou qu'un certain éloignement géographique entre les domiciles respectifs des parents nécessite une plus grande organisation (<ref-ruling> consid. 3.2.3; arrêts 5A_991/2019 précité consid. 5.1.2; 5A_844/2019 précité consid. 3.2.2 et les références). Si l'autorité compétente arrive à la conclusion qu'une garde alternée n'est pas dans l'intérêt de l'enfant, elle devra alors déterminer auquel des deux parents elle attribue la garde en tenant compte, pour l'essentiel, des mêmes critères d'évaluation et en appréciant, en sus, la capacité de chaque parent à favoriser les contacts entre l'enfant et l'autre parent (<ref-ruling> consid. 3.2.4; arrêt 5A_991/2019 précité consid. 5.1.2 et les références).
5.1.3. Pour apprécier les critères d'attribution des droits parentaux, le juge du fait, qui connaît le mieux les parties et le milieu dans lequel vit l'enfant, dispose d'un large pouvoir d'appréciation (<ref-ruling> consid. 3.2.5 et les références; arrêt 5A_142/2020 du 24 décembre 2020 consid. 3.2.2). Le Tribunal fédéral ne substituera ainsi qu'avec retenue sa propre appréciation à celle de la juridiction cantonale. Il n'interviendra que si la décision s'écarte sans motif des principes établis par la doctrine et la jurisprudence, lorsque le juge s'est fondé sur des faits qui ne devaient jouer aucun rôle pour la solution du cas d'espèce, ou lorsque, au contraire, il n'a pas tenu compte de circonstances qui auraient impérativement dû être prises en considération (<ref-ruling> consid. 3.2.5 et les références; arrêt 5A_557/2020 précité consid. 3.1).
5.2.
5.2.1. La recourante reproche tout d'abord à la cour cantonale de n'avoir pas considéré que le manque de communication et de collaboration entre les parties était rédhibitoire au maintien de la garde alternée, le conflit ne cessant de s'amplifier et ayant des conséquences manifestes sur les enfants. Par sa critique - largement appellatoire (cf. supra consid. 2.2) -, la recourante ne fait toutefois qu'opposer sa propre appréciation à celle de la cour cantonale, qui s'est fondée sur l'attitude des parties pendant la durée de la procédure - celles-ci, en dépit des écritures prolixes et exacerbées de leurs mandataires, suivant les conseils qui leur étaient prodigués par les spécialistes, réussissant à communiquer sur les modalités d'organisation de la garde, même si cela se passait essentiellement par écrit, et se conformant aux décisions des autorités - pour en conclure que les parties avaient les compétences suffisantes pour surmonter leurs différends et, une fois la situation clarifiée, communiquer et coopérer, respectivement prendre les mesures nécessaires et se transmettre des informations régulièrement. Partant, la critique est irrecevable.
5.2.2. La recourante fait ensuite grief à la cour cantonale d'avoir basé sa décision sur la politique du fait accompli, en retenant que la garde alternée est exercée depuis plusieurs années sans qu'aucun élément ne permette d'admettre que cette situation a eu des impacts négatifs sur les enfants et en partant du postulat qu'un conflit de loyauté serait inhérent à toute situation de séparation. Elle fait valoir que le fait que les enfants se sont adaptés à la situation ne signifie pas que celle-ci est favorable à leur bon développement. Elle reproche également à la juridiction précédente de n'avoir nullement tenu compte du critère de l'âge des enfants.
5.2.2.1. La cour cantonale a constaté que, depuis leur séparation en septembre 2017, les parents prenaient en charge leurs enfants à raison d'une semaine chacun, avec quelques variations. Les enfants, qui étaient petits au début de la séparation, n'avaient ainsi connu depuis près de trois ans que cette situation. Si l'assistante sociale admettait que, de manière générale, un tel mode de garde n'était pas recommandé pour des enfants en bas âge, elle avait constaté que les enfants s'étaient adaptés à cette situation, étaient à l'aise chez chacun des parents et allaient bien. Pour aboutir à cette conclusion, l'enquêtrice sociale s'était fondée sur les entretiens qu'elle avait eu avec les enfants, ainsi que sur les renseignements pris auprès de leur maman de jour et de l'enseignante de C._. Si certains indices pouvaient laisser présager un certain mal-être chez C._, ils n'étaient pas imputables à la situation de garde alternée. La fatigue de celui-ci s'expliquait, selon l'appréciation de l'enseignante rapportée par l'assistante sociale, par son jeune âge, C._ faisant partie de quatre des plus jeunes enfants de sa classe. Elle ne relevait aucun élément marquant en lien avec la séparation et l'enseignante indiquait au contraire que l'enfant s'était bien adapté et avait de bonnes aptitudes pour l'école. S'agissant des bégaiements constatés chez l'enfant, un bilan avait été réalisé chez une logopédiste. Elle avait effectivement observé des éléments de l'ordre du bégaiement, mais la plupart des investigations d'un point de vue logopédique étaient dans la norme. Il ressortait du rapport de la Dresse E._ que les périodes de bégaiement étaient variables et pourraient être liées aux différents changements vécus par les enfants, la situation s'étant améliorée depuis quelques temps, dès lors que le déménagement de la mère avait permis de clarifier la situation et de l'apaiser quelque peu. S'agissant du conflit de loyauté de C._, s'il n'était évidemment pas à minimiser, il était intrinsèque à la situation selon l'assistante sociale et n'était pas lié au genre de garde adopté.
5.2.2.2. En l'espèce, contrairement à ce que semble soutenir la recourante lorsqu'elle reproche à la cour cantonale d'avoir fondé sa motivation sur la politique du fait accompli, celle-ci a à juste titre tenu compte du fait que la garde alternée était en réalité déjà mise en place depuis plus de trois ans, le mode de prise en charge effectif des enfants étant l'un des critères d'appréciation pour la question de la garde (cf. supra consid. 5.1.2). La recourante ne peut pas non plus être suivie lorsqu'elle affirme que la cour cantonale n'a pas examiné le critère de l'âge des enfants. Outre que sa critique sur ce point s'épuise en des considérations générales, la recourante perd en effet de vue que la juridiction précédente a tenu compte du fait qu'en principe, l'instauration d'une garde alternée n'est pas recommandée pour de jeunes enfants, mais a examiné quels effets ce mode de garde - effectivement pratiqué par les parents - avait, en l'espèce, sur les enfants. S'agissant du conflit de loyauté de C._, il n'apparaît pas que la cour cantonale aurait versé dans l'arbitraire en se fondant, en l'espèce, sur l'appréciation faite par l'assistante sociale, celle-ci ayant - contrairement à la Dresse E._ - rencontré les enfants et mené son enquête auprès de divers intervenants.
5.2.3.
5.2.3.1. S'agissant du critère de la situation géographique et de la distance séparant les logements des deux parents, la cour cantonale a constaté que le père était domicilié à U._ et la mère à V._. C._ était actuellement scolarisé à U._, à une distance de 12,7 km du domicile de la mère, ce qui représentait un trajet d'une durée d'environ 18 minutes (selon Google Maps), respectivement entre 15 et 20 minutes selon la recourante. Si elle entraînait certaines contraintes, en particulier pour D._, cette distance restait raisonnable et ne constituait pas une entrave à l'exercice de la garde alternée. La situation risquait toutefois de se compliquer lorsque D._ serait scolarisée à U._, à savoir à la rentrée scolaire 2021, et que C._ débuterait sa troisième année Harmos à W._. Même si un bus scolaire assurait les trajets entre U._ et W._, il était possible que les horaires des enfants ne concordent pas pour l'essentiel. Dans cette hypothèse, il faudrait trouver une solution quant aux trajets (taxi scolaire, système de garde de C._ ou D._ pendant que la mère accompagne l'autre enfant à l'école, voire déménagement), afin d'éviter que chaque enfant subisse en sus des siens les trajets nécessaires à son frère ou sa soeur.
5.2.3.2. La recourante soutient que la situation n'est déjà pas acceptable à l'heure actuelle. Cependant, il y a lieu de noter que les enfants effectuent déjà les trajets litigieux et qu'il ne ressort pas de l'arrêt attaqué (<ref-law>; cf. supra consid. 2.2) que ceux-ci auraient un impact négatif sur leur santé ou leur bien-être ou sur l'investissement scolaire de C._. Dans ces circonstances, on ne saurait reprocher à la juridiction précédente d'avoir outrepassé son pouvoir d'appréciation en estimant que la distance ne constituait actuellement pas une entrave à l'exercice de la garde alternée.
Il est vrai qu'à partir de la rentrée scolaire 2021, la situation sera plus compliquée du fait de l'entrée à l'école de D._ et du changement d'école de C._. La cour cantonale a toutefois estimé que des solutions pouvaient être mises en place pour pallier ces difficultés sans remettre en cause le principe de la garde alternée. A cet égard, la recourante fait valoir qu'un déménagement contreviendrait au principe de stabilité et la priverait de sa liberté d'établissement (art. 24 Cst.). Ce faisant, elle perd de vue que la juridiction précédente a également évoqué d'autres solutions que le déménagement (taxi scolaire, système de garde). Or, la recourante ne soutient pas que ces solutions ne pourraient pas être mises en place. Partant, autant que recevable, son grief doit être rejeté.
5.2.4. Au vu des considérations qui précèdent et compte tenu du pouvoir d'appréciation dont dispose le juge du fait et de la réserve exercée par le Tribunal fédéral en la matière (cf. supra consid. 5.1.3), la décision de l'autorité cantonale de maintenir, en l'état, la garde alternée sur les enfants échappe à la critique.
6.
Le sort du litige concernant la garde étant scellé, il n'y a pas lieu d'examiner plus avant les arguments que la recourante développe en lien avec l'attribution de la garde exclusive en sa faveur.
7.
La recourante fait valoir que si la garde alternée est confirmée, il y aurait lieu de fixer le domicile des enfants chez elle.
7.1. La cour cantonale a retenu qu'aucun élément ne justifiait de déplacer le domicile des enfants chez leur mère. Si le système d'école " à la journée continue " existait à V._, une prise en charge extrascolaire par une accueillante en milieu familial était déjà mise en place à U._et fonctionnait à satisfaction. A cela s'ajoutait le fait que les grands-parents paternels, qui avaient des relations hebdomadaires avec les enfants, étaient également domiciliés à U._.
7.2. La recourante reproche tout d'abord à la cour cantonale d'avoir retenu que le maintien du domicile chez le père éviterait un changement d'école, alors qu'un changement interviendra de toute façon pour les deux enfants à la rentrée scolaire 2021, quel que soit leur domicile. Par sa critique, la recourante perd toutefois de vue que, si l'assistante sociale a effectivement retenu ce motif dans son rapport, la cour cantonale ne l'a pas repris à son compte. Faute de s'en prendre à l'arrêt querellé, sa critique est donc irrecevable (cf. supra consid. 2.1).
La recourante soutient également que si les enfants étaient domiciliés chez elle, ils iraient tous deux à l'école au même endroit. Or, s'il ressort de l'arrêt attaqué que la recourante a fait valoir cet argument lors de l'audience du 10 juillet 2020, la cour cantonale n'a, pour sa part, pas constaté que tel serait effectivement le cas. Faute pour la recourante de soulever un grief clair et détaillé d'arbitraire dans l'établissement des faits, sa critique est irrecevable (cf. supra consid. 2.2).
Est également irrecevable la critique de la recourante selon laquelle la maman de jour de D._ et C._ prendra bientôt sa retraite et que la solution de garde mise en place par le père ne durera pas, cet élément n'étant nullement constaté dans l'arrêt attaqué (cf. supra consid. 2.2).
Dans la mesure où elle fait valoir que, si les enfants étaient domiciliés chez elle, elle pourrait également les accueillir pendant la semaine de garde du père lorsque leurs horaires seront incompatibles, la recourante tente par ce biais de remettre en cause les modalités prévues pour la garde (cf. supra consid. 4), de sorte que sa critique ne peut être admise. Sa proposition aurait en outre pour effet d'augmenter le nombre de transferts entre les parents, ce qui n'apparaît, en l'état, pas conforme au bien des enfants, lesdits transferts étant, de l'aveu même de la recourante, source de tensions.
Enfin, dans la mesure où elle fait valoir que les enfants ont leurs liens sociaux tant à U._ qu'à V._ puisqu'ils vivent actuellement chez leurs parents une semaine sur deux, la recourante se contente de substituer sa propre appréciation à celle de la cour cantonale, qui a retenu que les contacts hebdomadaires des enfants avec leurs grands-parents domiciliés à U._ plaidaient également en faveur du maintien du domicile des enfants chez le père.
Infondée, la critique de la recourante doit être rejetée dans la faible mesure de sa recevabilité.
8.
En conclusion, le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Les conclusions de la recourante étant d'emblée dénuée de chances de succès, sa demande d'assistance judiciaire est rejetée (<ref-law>). Les frais judiciaires sont mis à la charge de la recourante, qui succombe (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimé, qui n'a pas été invité à se déterminer (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire de la recourante est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour administrative du Tribunal cantonal du canton du Jura.
Lausanne, le 24 février 2021
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Feinberg