Fatti:
A.
Il Ministero pubblico del Cantone Ticino ha aperto nel 2018 due procedimenti penali nei confronti di A._ per i titoli di appropriazione indebita, truffa per mestiere, amministrazione infedele aggravata, falsità in documenti e riciclaggio di denaro. L'imputato è patrocinato dal mese di ottobre del 2018 dall'avv. Costantino Castelli quale difensore di fiducia.
B.
Nel corso di un interrogatorio tenutosi il 9 aprile 2021, il Procuratore pubblico (PP) ha informato l'imputato che il procedimento penale veniva esteso, per le ipotesi di truffa e di riciclaggio di denaro, anche ai genitori e alla sorella nonché al suo consulente.
C.
Il 7 maggio 2021, richiamata l'estensione del procedimento penale, l'avv. Costantino Castelli ha chiesto al PP di essere nominato difensore d'ufficio dell'imputato. Con decisione del 12 maggio 2021 il PP ha respinto l'istanza rilevando che l'imputato disponeva delle risorse finanziarie per sostenere i costi della sua difesa.
D.
Con sentenza del 17 agosto 2021, la Corte dei reclami penali del Tribunale d'appello (CRP) ha respinto un reclamo presentato da A._ e dal suo difensore contro la decisione del PP.
E.
A._ e l'avv. Costantino Castelli impugnano questa sentenza con un ricorso in materia penale del 14 settembre 2021 al Tribunale federale, chiedendo di annullarla e di riformare la decisione del 12 maggio 2021 del PP nel senso di nominare il patrocinatore quale difensore d'ufficio con effetto a partire del 7 maggio 2021. I ricorrenti fanno valere la violazione degli <ref-law> e 6 CEDU.
F.
La Corte cantonale si rimette al giudizio del Tribunale federale, mentre il PP chiede di respingere il ricorso.

Diritto:
1.
La decisione impugnata, che conferma il diniego della designazione del patrocinatore di fiducia quale difensore d'ufficio, costituisce una decisione di natura incidentale (<ref-law>) pronunciata in materia penale (<ref-law>), da un'autorità cantonale di ultima istanza (<ref-law>). Il rifiuto di nominare un patrocinatore d'ufficio all'imputato è suscettibile di causargli un pregiudizio irreparabile ai sensi dell'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4; sentenza 1B_364/2019 del 28 agosto 2019 consid. 1). A._, quale imputato che ha chiesto la designazione di un difensore d'ufficio, è abilitato a ricorrere (<ref-law>). La legittimazione ricorsuale dell'avv. Costantino Castelli può, in tali circostanze, rimanere indecisa. Il ricorso, tempestivo (<ref-law>), è sotto i citati aspetti ammissibile.
2.
2.1. Conformemente a quanto stabilito dall'<ref-law>, il ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale può essere presentato per la violazione del diritto federale (lett. a), nel quale rientra pure il diritto costituzionale (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 1.4.1), e per quella del diritto internazionale (lett. b). Secondo l'<ref-law>, nel ricorso occorre spiegare per quali ragioni l'atto impugnato viola il diritto. I ricorrenti devono quindi confrontarsi con le considerazioni esposte nella sentenza impugnata, spiegando per quali motivi tale giudizio lede il diritto (<ref-ruling> consid. 1.7.1). II Tribunale federale esamina inoltre le censure di violazione di diritti costituzionali solo se adempiono le rigorose esigenze di motivazione dell'<ref-law>. Ciò significa che, con riferimento ai motivi della decisione impugnata, i ricorrenti devono indicare in modo chiaro e dettagliato in che modo sarebbero stati violati i loro diritti costituzionali (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1.2.2; <ref-ruling> consid. 2.4).
2.2. I ricorrenti invocano gli <ref-law> e 6 CEDU. Nella motivazione del loro gravame, essi censurano tuttavia unicamente una violazione dell'<ref-law>, limitandosi ad accennare all'art. 6 CEDU. Nella misura in cui i ricorrenti fanno semplicemente riferimento alla disposizione convenzionale, senza confrontarsi con i considerandi del giudizio impugnato, spiegando puntualmente per quali ragioni la violerebbero, il ricorso non adempie gli esposti requisiti di motivazione ed è pertanto inammissibile.
3.
3.1. I ricorrenti rilevano che finora l'onorario del legale è stato pagato dai genitori dell'imputato. Sostengono che con l'estensione delle indagini anche nei confronti dei familiari per le ipotesi di truffa e di riciclaggio di denaro non potrebbe essere escluso che i valori patrimoniali che verrebbero impiegati per pagare le note professionali costituiscano provento di reato. Adducono che vi sarebbe pertanto il rischio di una possibile confisca da parte del Ministero pubblico degli importi versati al patrocinatore, sicché si giustificherebbe di designarlo quale difensore d'ufficio. Secondo i ricorrenti, pretendere che l'imputato dimostri o renda verosimile di non disporre di fondi leciti con cui finanziare la propria difesa, equivarrebbe a chiedergli di autoincriminarsi, ciò che violerebbe l'<ref-law>.
3.2. Giusta l'<ref-law>, chi dirige il procedimento dispone una difesa d'ufficio se, in caso di difesa obbligatoria secondo l'<ref-law>, nonostante l'ingiunzione l'imputato non designa un difensore di fiducia (lett. a n. 1), o il mandato è revocato al difensore di fiducia oppure questi lo rimette e l'imputato non designa un nuovo difensore (lett. a n. 2). Negli altri casi, la difesa d'ufficio è disposta se l'imputato è sprovvisto dei mezzi necessari e una sua difesa s'impone per tutelare i suoi interessi (lett. b). L'<ref-law> prevede che una difesa s'impone per tutelare gli interessi dell'imputato segnatamente se non si tratta di un caso bagatellare e il caso penale presenta in fatto o in diritto difficoltà cui l'imputato non potrebbe far fronte da solo.
3.3. In concreto è litigiosa la questione di sapere se l'imputato disponga o meno dei mezzi finanziari per rimunerare il suo difensore. La Corte cantonale non ha stabilito se nella fattispecie si tratti di un caso di difesa obbligatoria o meno. Questo aspetto non deve essere approfondito in questa sede, l'<ref-law> applicandosi infatti anche in caso di difesa obbligatoria, qualora l'imputato che beneficia di un difensore di fiducia veda la sua situazione finanziaria evolvere al punto tale da non più disporre dei mezzi necessari a rimunerarlo (sentenze 1B_364/2019, citata, consid. 3.4; 1B_461/2016 del 9 febbraio 2017 consid. 2.2.2). Spetta però al richiedente sostanziare la sua indigenza (cfr. sentenza 1B_364/2019, citata, 3.5 e 3.6). L'indigenza è data quando l'interessato non sia in grado di affrontare i costi della procedura senza dovere utilizzare i mezzi necessari per soddisfare il suo minimo vitale e quello della sua famiglia (<ref-ruling> consid. 4.1 e rinvii). Per stabilire lo stato di bisogno occorre prendere in considerazione l'intera situazione dell'istante, e cioè non solo il suo reddito, ma anche i suoi rapporti patrimoniali (<ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 2a). In quest'ambito non è determinante l'applicazione schematica del minimo esistenziale secondo il diritto esecutivo, occorrendo piuttosto tenere conto dell'insieme delle circostanze individuali del richiedente (<ref-ruling> consid. 2.4.3 pag. 100). Egli deve quindi sostanziare in modo esaustivo la sua domanda, fornendo la necessaria documentazione riguardo al reddito e al patrimonio attuali, nonché all'insieme degli oneri finanziari e dei bisogni. Queste esigenze sono maggiormente severe laddove la situazione finanziaria del richiedente è particolarmente complessa (<ref-ruling> consid. 4a; sentenza 1B_245/2020 del 23 luglio 2020 consid. 3.5).
3.4. Nella fattispecie, i ricorrenti non hanno minimamente sostanziato l'indigenza dell'imputato. Hanno giustificato la designazione dell'attuale patrocinatore di fiducia quale difensore d'ufficio solo facendo riferimento in modo generico all'estensione delle indagini ai familiari dell'imputato. I ricorrenti sostengono che le spese legali sarebbero finora state pagate dai genitori dell'imputato e paventano un possibile rischio di confisca dei relativi importi. Premesso tuttavia che le parti non adducono che i valori patrimoniali oggetto dei versamenti al legale sarebbero stati oggetto di sequestri, il semplice fatto che il procedimento penale sia stato esteso alle persone che sostenevano le spese legali dell'imputato, non basta a dimostrare ch'egli è attualmente sprovvisto dei mezzi necessari per fare fronte alla sua difesa. A maggior ragione ove si consideri che, nella risposta al ricorso, il PP ha precisato che l'inchiesta nei confronti degli altri imputati non riguarda né i loro beni precedenti i fatti oggetto delle indagini né i redditi conseguiti lecitamente, bensì unicamente i bonifici effettuati a loro favore mediante i fondi contestati dagli accusatori privati. I ricorrenti non sostengono che i familiari non disporrebbero più dei fondi originari e che non sarebbero di conseguenza più in grado di sostenere l'imputato. Ad ogni modo, a prescindere dalle condizioni economiche dei familiari, sarebbe spettato al ricorrente esporre in modo completo la sua situazione finanziaria al fine di dimostrare il suo stato di indigenza. Ciò anche in considerazione del fatto che, alla luce del procedimento penale, tale situazione appare complessa. Per chiarire se s'impone una difesa d'ufficio dell'imputato sulla base dell'indigenza secondo l'art. 132 cpv. 1 lett. CPP, la direzione del procedimento è infatti tenuta a fare capo alla sua collaborazione. Egli può certo rifiutarsi di esporre la sua situazione finanziaria invocando il suo diritto di non deporre (<ref-law>). Tuttavia, qualora l'imputato sia patrocinato da un difensore di fiducia, come è il caso in concreto, l'autorità penale può legittimamente ritenere che, rifiutandosi di chiarire le sue condizioni economiche, egli non abbia reso credibile il suo asserito stato di bisogno (cfr. sentenza 1B_364/2019, citata, consid. 3.6 e 3.9). Nelle esposte circostanze, negandogli allo stadio attuale del procedimento la designazione di un difensore d'ufficio, la Corte cantonale non ha violato l'<ref-law>.
4.
Ne segue che il ricorso deve essere respinto nella misura della sua ammissibilità. Le spese giudiziarie seguono la soccombenza e sono pertanto poste a carico dei ricorrenti in solido (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 2'000.-- sono poste carico dei ricorrenti in solido.
3.
Comunicazione alle parti e alla Corte dei reclami penali del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.