Faits :
A.
Par jugement du 18 février 2020, le Tribunal criminel de l'arrondissement de la Broye et du Nord vaudois a reconnu A._ coupable d'entrée illégale, de séjour illégal (art. 115 al. 1 let. a et b de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers et l'intégration [LEI; RS 142.20]) et de crime contre la loi fédérale du 3 octobre 1951 sur les stupéfiants et les substances psychotropes (LStup; RS 812.121; art. 19 al. 1 let. b, c, d, g et al. 2 let. a LStup). Il a été condamné à une peine privative de liberté de 66 mois, sous déduction de 345 jours de détention avant jugement, ainsi que de 90 jours à titre de réparation du tort moral pour des jours de détention subis dans des conditions illicites; son expulsion du territoire suisse pour une durée de quinze ans a été prononcée. Le maintien en détention pour des motifs de sûreté a été ordonné pour garantir l'exécution du solde de la peine et celle de l'expulsion pénale.
Le prévenu a déposé, le 24 février 2020, une annonce d'appel contre ce jugement.
B.
Le 24 mars 2020, le Président de la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois a refusé la désignation de Me Michaël Aymon - avocat de choix - en tant que défenseur d'office de A._; ce faisant, cette autorité a confirmé sa décision du 11 mars précédent.
C.
Par acte du 26 mars 2020, A._ forme un recours en matière pénale contre cette décision, concluant à son annulation et à l'octroi d'une défense d'office dans le cadre de la procédure d'appel pendante dans la cause PE19.004964, avec effet au 21 février 2020, ainsi qu'à la désignation de Me Michaël Aymon en tant que défenseur d'office. Le recourant sollicite l'allocation d'une indemnité de 3'500 fr. en faveur de son conseil pour la procédure fédérale. A titre subsidiaire, il demande le renvoi de la cause à l'autorité précédente et l'allocation de l'indemnité susmentionnée. En tout état, le recourant requiert l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Invitée à se déterminer, l'autorité précédente a conclu au rejet du recours. Le 28 avril 2020, le recourant a persisté dans ses conclusions et, le 20 mai 2019, il a déposé des déterminations, indiquant notamment que les débats d'appel avaient été agendés au 9 juillet 2020.

Considérant en droit :
1.
Conformément à l'<ref-law>, une décision relative à la défense d'office dans une cause pénale peut faire l'objet d'un recours en matière pénale. Le recourant, prévenu et auteur de la demande de désignation d'un défenseur d'office, a qualité pour recourir (art. 81 al. LTF). Le refus de désigner un avocat d'office au prévenu est susceptible de lui causer un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 205; <ref-ruling> consid. 4 p. 338 et les références). Pour le surplus, le recours a été formé en temps utile (<ref-law>) contre une décision rendue par une autorité statuant en tant qu'instance cantonale unique (<ref-law>) et les conclusions présentées sont recevables au regard de l'<ref-law>.
Partant, il y a lieu d'entrer en matière.
2.
Le recourant reproche en substance à l'autorité précédente de n'avoir pas désigné son avocat de choix en tant que défenseur d'office pour la procédure d'appel.
2.1. Si la relation de confiance entre le prévenu et le défenseur d'office est gravement perturbée ou si une défense efficace n'est plus assurée pour d'autres raisons, la direction de la procédure confie la défense d'office à une autre personne (<ref-law>). L'<ref-law> n'empêche toutefois pas le prévenu, à n'importe quel stade de la procédure, moyennant une procuration écrite ou une déclaration consignée au procès-verbal, de charger de sa défense un conseil juridique au sens de l'<ref-law> (<ref-law>; arrêts 1B_419/2017 du 7 février 2018 consid. 2.2; 1B_392/2017 du 14 décembre 2017 consid. 2.1; 1B_394/2014 du 27 janvier 2015 consid. 2.2.1 publié in SJ 2015 I 389).
Lorsqu'un mandataire de choix s'annonce alors qu'un mandat de défense d'office existe en faveur d'un autre avocat, l'autorité doit s'assurer, avant de révoquer le mandat d'office, que le prévenu en cause est à même de s'acquitter des honoraires de son nouveau conseil (arrêts 1B_392/2017 du 14 décembre 2017 consid. 2.3; 1B_394/2014 du 27 janvier 2015 consid. 2.2.2 et 2.2.3 in SJ 2015 I 389; HARARI/JAKOB/SANTAMARIA, in Commentaire romand, Code de procédure pénale suisse, 2e éd. 2019, n° 6 ad <ref-law>), cela au moins jusqu'à la clôture de la procédure de première instance (arrêts 1B_364/2019 du 28 août 2019 consid. 3.4; 1B_394/2014 du 27 janvier 2015 consid. 2.2.2; 1B_289/2012 du 28 juin 2012 consid. 2.3.2; MOREILLON/PAREIN-REYMOND, Petit commentaire, Code de procédure pénale, 2e éd. 2016, n° 3 ad <ref-law>; NIKLAUS RUCKSTUHL, in Basler Kommentar, Strafprozessordnung, Art. 1-195 StPO, 2e éd. 2014, n° 2 ad <ref-law>). Lorsque cette rémunération est assurée, le motif à l'origine de la défense d'office disparaît et la direction de la procédure révoque le mandat du défenseur désigné (<ref-law>).
Si, au cours de la procédure, le justiciable change d'avis, il lui est loisible de résilier le mandat de son défenseur de choix et de présenter une nouvelle requête d'assistance judiciaire. Il ne peut en revanche pas jouer sur les deux tableaux en désignant un défenseur de son choix puis réclamer à l'État le paiement des frais de sa défense (arrêt 6B_390/2018 du 25 juillet 2018 consid. 8.1). Admettre sans autre cette façon de pratiquer permettrait de contourner de manière inadmissible la procédure prévue à l'<ref-law> pour obtenir le changement d'un avocat d'office; cela vaut en particulier quand les circonstances amenant la nouvelle requête sont les mêmes que celles qui prévalaient au moment de la constitution du mandat de choix (arrêts 1B_364/2019 du 28 août 2019 consid. 3.4; 1B_392/2017 du 14 décembre 2017 consid. 2.3).
En tout état de cause, le fait de se trouver dans un cas de défense obligatoire ne permet pas d'utiliser les droits conférés à la défense d'une façon constitutive d'un abus de droit (<ref-ruling> consid. 3.2.4 p. 192 s.).
2.2. En l'occurrence, il n'est pas contesté que le recourant se trouve dans un cas de défense obligatoire (cf. <ref-law>). Il est également établi qu'il a pu bénéficier, au début de l'instruction, de l'assistance d'un avocat d'office; ce mandat a cependant été révoqué le 22 juillet 2019 dès lors que le recourant a décidé de confier sa défense à un avocat de choix, soit Me Michaël Aymon. Dans le cadre de la présente cause, le recourant ne prétend pas à la prise en charge des honoraires de cet avocat en lien avec la procédure de première instance. Il demande en revanche à obtenir la désignation de ce mandataire en tant que défenseur d'office pour la procédure d'appel.
Pour écarter cette requête, l'autorité précédente a relevé que tout défenseur était à même de réaliser que, compte tenu de l'enjeu et des risques concrets d'une lourde condamnation, il serait nécessaire d'assurer la défense du recourant devant une instance d'appel. Ce faisant, le Président de la Cour d'appel pénale a - implicitement - considéré que les provisions et garanties invoquées lors de la constitution du mandat privé en juillet 2019 devaient couvrir tant l'instruction, la procédure de première instance que celle d'appel. Certes, les infractions en cause et la peine encourue entrent en considération pour l'avocat lors de ses demandes de provisions et garanties en vue de reprendre un mandat confié d'office à un autre mandataire. Ces deux éléments ne sauraient cependant suffire pour considérer d'emblée qu'il faudra contester le jugement de première instance et obtenir des provisions et garanties pour une - hypothétique - procédure d'appel. Une modification des circonstances doit pouvoir être invoquée, que ce soit au demeurant au cours de l'instruction - dont il ne peut être d'emblée exclu qu'elle puisse se compliquer et durer au-delà de toute prévision - ou, pour le moins, après le jugement de première instance. Ce raisonnement vaut en particulier pour ce stade de la procédure, dès lors que l'opportunité d'un appel n'apparaît en principe qu'à la lecture de ce jugement. Sauf cependant à contourner de manière contraire à la bonne foi les conditions posées à l'<ref-law>, il appartient alors au requérant de motiver les raisons qui l'amènent à présenter une nouvelle requête de désignation de défenseur d'office, ce que ne fait pas le recourant.
Il se limite en effet à affirmer n'avoir plus les moyens financiers de payer son avocat (cf. ad 4.5 p. 7 de son recours), sans expliquer en quoi cette situation se distinguerait de celle existant lors de la désignation de son avocat d'office, respectivement de celle lors de sa demande d'assistance judiciaire du 15 janvier 2020 auprès du tribunal de première instance, affirmant alors que ses proches lui avaient "apparemment tourné le dos", ne payant plus son avocat. Pour le moins dès cette date, Me Michaël Aymon connaissait donc l'indigence de son client. Il savait alors également que le premier mandataire d'office refuserait une éventuelle nouvelle désignation vu l'opposition manifestée lors de la révocation de son mandat en juillet 2019. Eu égard à la jurisprudence rappelée ci-dessus et à l'absence de motivation quant à la nécessité de requérir à nouveau un défenseur d'office, le prévenu ne saurait prétendre à la désignation de son mandataire de choix actuel en qualité de défenseur d'office pour la suite de la procédure.
Au vu de l'ensemble de ces considérations, il apparaît que la manière de procéder du prévenu et de son conseil revient à éviter les règles en matière de changement d'avocat d'office, ce qui ne saurait être protégé. Partant, l'autorité précédente ne viole pas le droit fédéral en rejetant la demande de désignation de Me Michaël Aymon en tant qu'avocat d'office.
Si le mandataire de choix du recourant devait mettre un terme à son mandat, il appartiendra donc à la direction de la procédure de la juridiction d'appel de désigner un nouvel avocat d'office au recourant - autre que celui désigné précédemment vu son courrier de juillet 2019 - et de lui accorder le temps nécessaire à la prise de connaissance du dossier avant la tenue des débats devant la juridiction d'appel.
3.
Il s'ensuit que le recours est rejeté.
Le recourant a demandé l'assistance judiciaire. Vu la motivation erronée de la décision attaquée retenant implicitement que les provisions versées au conseil de choix devaient d'emblée couvrir les opérations de la procédure d'appel, le recours n'était pas d'emblée dénué de chances de succès et la requête d'assistance judiciaire doit être admise. Par conséquent, il y a lieu de désigner Me Michaël Aymon en tant qu'avocat d'office du recourant pour la procédure fédérale et de lui allouer une indemnité, fixée de manière forfaitaire, à titre d'honoraires, qui seront supportés par la caisse du Tribunal fédéral. Il n'est pas perçu de frais judiciaires (<ref-law>), ni alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La requête d'assistance judiciaire est admise. Me Michaël Aymon est désigné comme avocat d'office du recourant et une indemnité de 1'500 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant et au Président de la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 28 mai 2020
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Chaix
La Greffière : Kropf