Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geboren 1980) ist Staatsangehöriger von Sri Lanka. Er reiste im November 1998 erstmals in die Schweiz ein, ersuchte erfolglos um Asyl und blieb bis im Juni 2003 in der Schweiz. Im Januar 2006 reiste er erneut ein und stellt wiederum eine Asylgesuch, das abgewiesen wurde. In der Folge wurde A._ vorläufig aufgenommen.
Aufgrund der Heirat mit einer ursprünglich aus Sri Lanka stammenden Schweizerin am 22. Juli 2009 erhielt A._ eine zuletzt bis am 21. Juli 2016 verlängerte Aufenthaltsbewilligung. Das Ehepaar hat drei gemeinsame Töchter (geboren 2009, 2012 und 2017), die das Schweizer Bürgerrecht besitzen.
A.b. A._ trat insbesondere wie folgt strafrechtlich in Erscheinung:
- Widerhandlung gegen die Ausländergesetzgebung und Verwendung eines echten, ihm nicht zustehenden fremdenpolizeilichen Ausweispapiers: bedingte Freiheitsstrafe von zwei Monaten (Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland vom 16. Januar 2006);
- Diebstahl: bedingte Geldstrafe von 30 Tagessätzen zu Fr. 30.-- und Busse von Fr. 200.-- (Strafmandat des Amtsstatthalteramtes Luzern vom 25. September 2009);
- Angriff (mehrfache Begehung), Versuch der schweren Körperverletzung, Tätlichkeiten, Fälschung von Ausweisen, Fahren ohne Führerausweis und Vergehen gegen das Waffengesetz: bedingte Freiheitsstrafe von 15 Monaten und Busse von Fr. 700.-- (Urteil des Kreisgerichts VIII Bern-Laupen vom 17. März 2010);
- Angriff, Fahren in fahrunfähigem Zustand, Fälschung von Ausweisen und geringfügiges Vermögensdelikt (Erschleichen einer Leistung) : gemeinnützige Arbeit von 360 Stunden (Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat vom 12. August 2010);
- Drohung: Geldstrafe von 20 Tagessätzen zu Fr. 30.-- (Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Bern-Mittelland vom 23. April 2013);
- Angriff: Freiheitsstrafe von 28 Monaten (Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 20. Dezember 2013);
- Raufhandel: Geldstrafe von 50 Tagessätzen zu Fr. 40.-- (Strafbefehl des Regionalgerichts Bern-Mittelland vom 20. August 2014);
- falsche Anschuldigung, Führen eines Motorfahrzeuges trotz Verweigerung, Entzuges oder Aberkennung des Ausweises, Verletzung der Verkehrsregeln und Übertretung (Betäubungsmitteldelikt) : Geldstrafe von 90 Tagessätzen zu Fr. 50.-- und Busse von Fr. 400.-- (Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Bern-Mittelland vom 12. Oktober 2016).
A._ wurde sodann wegen verschiedener weiterer SVG-Delikte verurteilt.
A.c. Am 18. April 2012 wurde A._ ausländerrechtlich verwarnt.
A._, seine Ehefrau und die gemeinsamen Kinder bezogen bis am 3. Oktober 2016 Sozialhilfeleistungen von insgesamt Fr. 113'800.--. Per 4. November 2016 war A._ mit Betreibungen in der Höhe von Fr. 24'496.95 sowie Verlustscheinen von Fr. 49'940.35 im Betreibungsregister verzeichnet.
Am 9. Juli 2017 wurde A._, der sich seit dem 25. April 2016 im Strafvollzug befunden hatte, bedingt entlassen.
A.d. Am 10. Juli 2017 verweigerte das damalige Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern (heute: Amt für Bevölkerungsdienste des Kantons Bern) die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A._. Zugleich wies es einen Antrag, beim Staatssekretariat für Migration (SEM) die vorläufige Aufnahme zu beantragen, ab. Schliesslich wies es A._ unter Ansetzung einer Ausreisefrist aus der Schweiz weg.
B.
Eine hiergegen bei der damaligen Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern (heute: Sicherheitsdirektion des Kantons Bern) erhobene Beschwerde blieb ohne Erfolg (Entscheid vom 12. November 2018).
A._ gelangte in der Folge mit Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit dem Antrag, unter Aufhebung des Entscheids der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern vom 12. November 2018 sei ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern und eventualiter die Sache zur Neubeurteilung an die untere Instanz zurückzuweisen.
In das Verfahren wurde eine Meldung des Regionalgerichts Bern-Mittelland vom 4. Februar 2020 eingebracht. Gemäss dieser hat sich A._ von seiner Ehefrau getrennt und wurde der gemeinsame Haushalt am 1. April 2019 aufgehoben.
A._ orientierte das Verwaltungsgericht in einer Stellungnahme darüber, dass er eine neue schweizerische Partnerin und mit dieser ein gemeinsames, im Jahr 2019 geborenes Kind habe. Das Kind ist schweizerischer Staatsangehörigkeit.
Mit Urteil vom 6. August 2020 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab. Zugleich setzte es A._ eine neue Ausreisefrist bis zum 30. September 2020.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 14. September 2020 beantragt A._ (nachfolgend: Beschwerdeführer), unter Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts vom 6. August 2020 sei ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern und eventualiter die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Subeventualiter stellt der Beschwerdeführer den Antrag, es sei ihm für die Ausreise aus der Schweiz ein Frist von sechs Monaten anzusetzen. Schliesslich ersucht der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege und Bestellung von Rechtsanwalt Dominic Nellen als unentgeltlichen Rechtsbeistand.
Das Amt für Bevölkerungsdienste des Kantons Bern beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern beantragt ebenfalls Abweisung der Beschwerde, erklärt aber zugleich, auf einen Antrag betreffend das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren zu verzichten.
Das Staatssekretariat für Migration verzichtete auf Vernehmlassung.
Mit Eingabe vom 12. November 2020 hält der Beschwerdeführer an seinen Anträgen fest.
Mit Präsidialverfügung vom 22. September 2020 erteilte das Bundesgericht der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer beruft sich als Vater von vier minderjährigen Kindern, die in der Schweiz wohnen und Schweizer Bürger sind, auf den Schutz des Privat- und Familienlebens i.S.v. Art. 8 EMRK (bzw. <ref-law>). Ferner beruft er sich auf Art. 50 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; seit 1. Januar 2019: Bundesgesetz über die Ausländerinnen und Ausländer und über die Integration [AIG; SR 142.20]; zum Intertemporalrecht vgl. hinten E. 4.2) aufgrund seiner Ehe mit einer Schweizer Bürgerin. Dadurch macht er in vertretbarer Weise geltend, dass potenziell ein Bewilligungsanspruch besteht, was für das Eintreten auf die Beschwerde unter dem Aspekt von <ref-law> genügt. Die Frage, ob der Anspruch tatsächlich besteht, bildet Gegenstand der materiellen Prüfung (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.1).
Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, soweit damit die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung angefochten wird, einzutreten (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG).
1.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, es verletze Bundesrecht, dass die Vorinstanz keinen Anlass gesehen habe, beim Staatssekretariat für Migration ein Verfahren zur vorläufigen Aufnahme in die Wege zu leiten. Betreffend die vorläufige Aufnahme ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen (<ref-law>), weswegen diesbezüglich einzig eine subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) in Frage kommt. Da den Vorbringen des Beschwerdeführers zu allfälligen Vollzugshindernissen im Rahmen der Verhältnismässigkeitsprüfung Rechnung zu tragen ist (vgl. Urteile 2C_396/2017 vom 8. Januar 2018 E. 7.6; 2C_120/2015 vom 2. Februar 2016 E. 3.3), bleibt vorliegend freilich kein Raum für die Entgegennahme des Rechtsmittels als gegen die Wegweisung und den Verzicht auf die Beantragung einer vorläufigen Aufnahme erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde (vgl. Urteil 2C_881/2018 vom 14. Dezember 2018 E. 2; siehe ferner Urteil 2C_682/2019 vom 26. Februar 2020 E. 1.2).
1.3. Insoweit der Beschwerdeführer beantragt, ihm sei eine neue Ausreisefrist von sechs Monaten anzusetzen, richtet sich das Rechtsmittel gegen seine Wegweisung. Dagegen ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht zulässig (<ref-law>), wobei grundsätzlich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen stünde (vgl. <ref-law>). Allerdings ist die dem Beschwerdeführer angesetzte Ausreisefrist bereits abgelaufen und ist kein schutzwürdiges Interesse an der Überprüfung dieser Frist ersichtlich. Was die im Falle der Bestätigung der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung anzusetzende neue Ausreisefrist betrifft, ist darauf hinzuweisen, dass im Beschwerdeverfahren grundsätzlich nur Rechtsverhältnisse zu überprüfen und beurteilen sind, zu denen die zuständige Verwaltungsbehörde vorgängig verbindlich Stellung genommen hat (vgl. <ref-ruling> E. 2.1). Die Vorinstanz hat darauf verzichtet, eine neue Ausreisefrist für den Fall anzusetzen, dass die Ausreisefrist bis zum 30. September 2020 während eines gegen das Urteil vom 6. August 2020 eingeleiteten Beschwerdeverfahrens abläuft (vgl. auch E. 6.3 des angefochtenen Urteils). Demzufolge liegt bis anhin kein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid betreffend die Ausreisefrist vor, zu welchem sich das Bundesgericht äussern könnte (vgl. <ref-law>). Dem Beschwerdeführer ist es aber unbenommen, nach Ansetzung einer neuen Ausreisefrist durch die kantonalen Behörden bzw. den Migrationsdienst gegebenenfalls den dafür vorgesehenen ordentlichen Rechtsweg zu beschreiten (vgl. Urteil 2C_169/2017 vom 6. November 2017 E. 4.6).
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>); es prüft jedoch unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nur die vorgebrachten Rügen, falls weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.5). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.5).
2.2. Das Bundesgericht ist an den Sachverhalt gebunden, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch (d.h. willkürlich) oder unvollständig (<ref-ruling> E. 1.6; <ref-ruling> E. 1.4.1).
Die Sachverhaltsfeststellung bzw. die Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich im Sinne von <ref-law>, wenn sie offensichtlich unhaltbar oder aktenwidrig ist, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt liess oder es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3; Urteile 2C_1072/2014 vom 9. Juli 2015 E. 1.4; 2C_310/2014 vom 25. November 2014 E. 1.2).
Inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung und die Sachverhaltsfeststellung klarerweise unhaltbar sind, muss in der Beschwerdeschrift detailliert aufgezeigt werden (<ref-ruling> E. 4.2; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.3). Auf rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsdarstellung bzw. Beweiswürdigung der Vorinstanz geht das Gericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 10.1).
2.3.
2.3.1. Soweit der Beschwerdeführer vorliegend den Sachverhalt vorträgt, wie er sich aus seiner Sicht zugetragen hat, ohne sich in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form sachbezogen auseinanderzusetzen, erhebt er eine rein appellatorische Kritik am angefochtenen Urteil, welche den Anforderungen an die Beschwerdebegründung im bundesgerichtlichen Verfahren nicht genügt und auf die folglich nicht weiter einzugehen ist (vgl. E. 2.2 hiervor; siehe dazu auch Urteil 2C_9/2020 vom 29. Juni 2020 E. 2.3 mit Hinweis). Das gilt insbesondere für die Kritik an der Feststellung der Vorinstanz, wonach die Integration nicht gelungen sei (Beschwerde, S. 5-7), soweit es sich dabei nicht ohnehin um rechtliche Würdigung handelt.
2.3.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe aus Urteilen des Bundesverwaltungsgerichts, welche sich nur auf das Risiko der Verfolgung im Heimatland beziehen würden, in unhaltbarer Weise Schlüsse betreffend die allgemeine Sicherheits- und Menschenrechtslage in Sri Lanka gezogen. Seiner Auffassung nach hat die Vorinstanz dabei auch in willkürlicher Weise den Reisehinweisen des Eidgenössischen Departements für auswärtige Angelegenheiten und den Zeitungsartikeln, welche er eingereicht hat, jeglichen Beweiswert abgesprochen.
Nach den Feststellungen im angefochtenen Urteil hat das Bundesverwaltungsgericht in den von der Vorinstanz herangezogenen Entscheiden festgehalten, "dass sich die allgemeine Situation in Sri Lanka nach zwischenzeitlichen innenpolitischen Wirren und Machtkämpfen im Jahr 2018 wieder beruhigt habe und nicht von einer generell erhöhten Gefährdung für sri-lankische Staatsangehörige auszugehen sei" (E. 5.3.3 des angefochtenen Urteils, insbesondere mit Hinweis auf die Urteile des BVGer D-3213/2019 vom 23. September 2019 E. 9.4; D-3726/2019 vom 25. September 2019). Zwar ging es in den betreffenden Entscheiden des Bundesverwaltungsgerichts jeweils um die Frage, ob die Betroffenen im Sinne des Asylgesetzes Personen sind, die in ihrem Heimatstaat oder im Land, in dem sie zuletzt wohnten, wegen ihrer Rasse, Religion, Nationalität, Zugehörigkeit zu einer bestimmten sozialen Gruppe oder wegen ihrer politischen Anschauungen ernsthaften Nachteilen ausgesetzt sind oder begründete Furcht haben, solchen Nachteilen ausgesetzt zu werden (vgl. zum Begriff des Flüchtlings <ref-law> [SR 142.31]). Es ist jedoch nicht ersichtlich, dass die Vorinstanz aus diesen Entscheiden unhaltbare Schlüsse gezogen hätte, indem sie gestützt darauf annahm, dass die allgemeine Sicherheits- und Menschenrechtslage in Sri Lanka einer Rückkehr grundsätzlich nicht entgegensteht (E. 5.3.3 des angefochtenen Urteils). Namentlich legt der Beschwerdeführer vor dem Bundesgericht nicht dar, inwiefern diese Annahme mit Blick auf die von ihm angerufenen Reisehinweise des Eidgenössischen Departements für auswärtige Angelegenheiten und Zeitungsartikel unhaltbar sein soll. Auch legt der Beschwerdeführer nicht dar, dass die Vorinstanz Anhaltspunkte dafür, dass die von ihr herangezogenen Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts nicht mehr aktuell sind, übergangen hat.
2.3.3. Als willkürlich erachtet der Beschwerdeführer auch die Feststellung der Vorinstanz, wonach seine Rückkehr nach Sri Lanka mit der damit verbundenen Retraumatisierung infolge einer posttraumatischen Belastungsstörung nicht zu einer raschen und lebensgefährdenden Beeinträchtigung seines Gesundheitszustandes führen würde (vgl. dazu E. 5.3.7 des angefochtenen Urteils). Der Beschwerdeführer rügt in diesem Zusammenhang, die Vorinstanz habe ein ärztliches Gutachten vom 16. April 2019 willkürlich gewürdigt. Damit greift er aber schon deshalb ins Leere, weil dem entsprechenden Arztzeugnis (Akten Vorinstanz, pag. 10A Beilage 28) konkret zu den Folgen einer allfälligen Rückkehr in der Heimat nur zu entnehmen ist, dass der Beschwerdeführer retraumatisiert würde und es vor allem aufgrund der Trennung von seinen Kindern zu einer Verschlimmerung des psychischen Zustandes käme. Konkrete Hinweise auf eine lebensgefährdende Beeinträchtigung des Gesundheitszustandes im Falle der Wegweisung lassen sich dem Arztzeugnis nicht entnehmen, obschon darin auch von einer Spitaleinweisung im Frühjahr 2019 aufgrund einer Zustandsverschlechterung mit bereits länger vorhandenen suizidalen Vorstellungen und aggressiven Durchbrüchen die Rede ist und darauf hingewiesen wird, dass zur Behandlung des Beschwerdeführers eine sichere Umgebung und Vertrauen in das therapeutische Setting erforderlich sind. Die Beweiswürdigung der Vorinstanz kann in diesem Punkt auch deshalb nicht als willkürlich bezeichnet werden, weil gemäss den Feststellungen im angefochtenen Urteil für die Leiden des Beschwerdeführers (eine posttraumatische Belastungsstörung, eine Persönlichkeitsstörung und eine Alkoholabhängigkeit) adäquate Therapiemöglichkeiten in seinem Heimatland bestehen (vgl. E. 5.3.7 des angefochtenen Urteils).
2.3.4. Entgegen Ausführungen an anderer Stelle in der Beschwerde (Beschwerde, S. 11) durfte die Vorinstanz auch, ohne damit in Willkür zu verfallen, adäquate Behandlungsmöglichkeiten für die Erkrankungen des Beschwerdeführers allein aufgrund des Umstandes annehmen, dass es (gemäss Ausführungen des Bundesverwaltungsgerichts) in Sri Lanka 23 Spitäler mit psychiatrischen Abteilungen für die stationäre Behandlung sowie mehr als 300 Kliniken zur ambulanten Behandlung psychisch kranker Patienten gibt (vgl. E. 5.3.7 des angefochtenen Urteils, namentlich mit Hinweis auf das Urteil des BVGer D-1265/2019 vom 25. April 2019 E. 4.2.1).
2.3.5. Entgegen dem Beschwerdeführer erscheint es auch nicht als willkürlich, dass die Vorinstanz den von ihm im Asylverfahren geltend gemachten Umstand, dass er in Sri Lanka wegen Depressionen in Behandlung war, als Indiz dafür gewertet hat, dass ihm dort adäquate Behandlungsmöglichkeiten zur Verfügung stehen. Nichts daran ändern kann eine allfällige Nichtberücksichtigung der diesbezüglichen Beweismittel im Asylverfahren. Auch muss es bei dieser Einschätzung bleiben, obschon der Beschwerdeführer heute andere psychische Krankheiten als eine Depression hat.
2.3.6. Der Beschwerdeführer macht auch geltend, namentlich in willkürlicher Würdigung des Arztzeugnisses vom 16. April 2019 (Akten Vorinstanz, pag. 10A Beilage 28) habe die Vorinstanz dem Umstand keine Beachtung geschenkt, dass er für eine adäquate medizinische Behandlung in seinem Heimatland eines tragfähigen familiären oder sozialen Beziehungsnetzes bedürfe (vgl. dazu Beschwerde, S. 11 f.). Damit stösst er aber ins Leere, da dem entsprechenden Arztzeugnis nicht zu entnehmen ist, dass über eine sichere Umgebung und Vertrauen in das therapeutische Setting hinaus ein familiäres oder soziales Beziehungsnetz im Heimatland erforderlich ist. Dies gilt selbst unter Berücksichtigung des Umstandes, dass der behandelnde Psychiater davon ausgeht, dass eine Trennung von den Kindern die psychischen Leiden des Beschwerdeführers verschlimmern würde.
2.4. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen im bundesgerichtlichen Verfahren lediglich insoweit vorgebracht werden, als der angefochtene Entscheid hierzu Anlass gibt (<ref-law>). Nur weil das Verwaltungsgericht die rechtliche Einschätzung des Beschwerdeführers nicht geteilt hat, gibt das angefochtene Urteil nicht bereits Anlass dazu, im bundesgerichtlichen Verfahren die Beweismittel zu ergänzen. Hierfür müsste die Vorinstanz materielles Recht derart angewendet haben, das bestimmte Sachumstände neu und erstmals - durch den angefochtenen Entscheid - Rechtserheblichkeit erhielten (vgl. Urteile 2C_9/2020 vom 29. Juni 2020 E. 2.4; 2C_270/2020 vom 14. April 2020 E. 2.4). Letzteres ist hier nicht der Fall. Die in der Beschwerde angerufenen Berichte des Staatssekretariates für Migration vom 7. Februar 2020 und der Schweizerischen Flüchtlingshilfe vom 10. April 2020 sowie 26. Juni 2020 und die dazu gemachten Ausführungen des Beschwerdeführers sind vor diesem Hintergrund im Folgenden nicht zu berücksichtigen. Diese Dokumente wurden nämlich im angefochtenen Urteil nicht genannt. Auch wurde nicht hinreichend dargelegt, dass diese Dokumente dem Verwaltungsgericht bei Erlass des angefochtenen Urteils vorlagen und zu Unrecht unberücksichtigt geblieben wären.
2.5. Nach dem Gesagten ist im Folgenden vom vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt auszugehen.
3.
Der Beschwerdeführer rügt sinngemäss, in Missachtung von Art. 12 Abs. 1 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (Kinderrechtskonvention; KRK; SR 0.107) sei keine persönliche Anhörung seiner Kinder durchgeführt worden (vgl. Beschwerde, S. 14).
Nach Art. 12 Abs. 1 KRK sichern die Vertragsstaaten dem Kind, das fähig ist, sich eine eigene Meinung zu bilden, das Recht zu, diese Meinung in allen das Kind berührenden Angelegenheiten frei zu äussern, und berücksichtigen die Meinung des Kindes angemessen und entsprechend seinem Alter und seiner Reife. Nach Art. 12 Abs. 2 KRK wird dem Kind zu diesem Zweck insbesondere Gelegenheit gegeben, in allen das Kind berührenden Gerichts- oder Verwaltungsverfahren entweder unmittelbar oder durch einen Vertreter oder eine geeignete Stelle im Einklang mit den innerstaatlichen Verfahrensvorschriften gehört zu werden. Art. 12 KRK stellt einen direkt anwendbaren Rechtssatz dar, dessen Verletzung beim Bundesgericht angefochten werden kann (<ref-ruling> E. 3a). Wie sich aus dem Wortlaut von Art. 12 Abs. 2 KRK ergibt, ist allerdings eine persönliche Anhörung nicht in jedem Fall unerlässlich; wenn die Kinder durch ihre Eltern vertreten werden und beider Interessen gleichläufig sind, kann die Ansicht der Kinder auch ohne persönliche Anhörung durch ihre Eltern eingebracht werden, sofern der rechtserhebliche Sachverhalt auch ohne diese Anhörung rechtsgenüglich festgestellt werden kann (<ref-ruling> E. 6.5; Urteil 2C_1026/2019 vom 16. Juli 2020 E. 3.2 [zur Publikation vorgesehen]).
Vorliegend kann davon ausgegangen werden, dass die Interessen des Beschwerdeführers und seiner Kinder gleichgelagert sind und der Beschwerdeführer den Standpunkt seiner Kinder ins Verfahren einbringen konnte. Es bestehen keine Anhaltspunkte, dass der rechtserhebliche Sachverhalt ohne Anhörung der Kinder nicht vollständig ermittelt ist. Vor diesem Hintergrund stösst der Beschwerdeführer mit dem genannten Vorbringen ins Leere.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer beruft sich zunächst auf Art. 50 Abs. 1 AuG im Zusammenhang mit seiner inzwischen geschiedenen Ehe mit einer Schweizer Bürgerin. Im Folgenden ist deshalb zu prüfen, ob er nach Auflösung der Familiengemeinschaft aus seiner Ehe ein Recht auf Verbleib in der Schweiz ableiten kann.
4.2. Das erstinstanzliche Verfahren betreffend die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers wurde vor dem 1. Januar 2019 eingeleitet, so dass in materieller Hinsicht das AuG massgebend ist (vgl. <ref-law>; Urteil 2C_9/2020 vom 29. Juni 2020 E. 4.1).
4.3. Nach Auflösung der Ehe oder der Familiengemeinschaft besteht der Anspruch des Ehegatten auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung weiter, wenn die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre gedauert hat und eine erfolgreiche Integration besteht (Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG) oder wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen (Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG). Die beiden Kriterien nach Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG müssen kumulativ erfüllt sein (<ref-ruling> E. 3.5.3). Wichtige persönliche Gründe im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG können namentlich vorliegen, wenn die Ehegattin oder der Ehegatte Opfer ehelicher Gewalt wurde oder die Ehe nicht aus freiem Willen geschlossen hat oder die soziale Wiedereingliederung im Herkunftsland stark gefährdet erscheint (Art. 50 Abs. 2 AuG). Im Rahmen von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG ist sodann den Interessen allfälliger Kinder Rechnung zu tragen, falls eine enge Beziehung zu ihnen besteht und sie in der Schweiz ihrerseits gut integriert erscheinen (vgl. Urteile 2C_417/2018 vom 19. November 2018 E. 5; 2C_515/2016 vom 22. August 2017 E. 2.1).
Gemäss Art. 51 Abs. 2 lit. b AuG erlöschen namentlich die Ansprüche nach Art. 50 AuG, wenn Widerrufsgründe nach Art. 62 Abs. 1 AuG bestehen. Die zuständige Behörde kann die Aufenthaltsbewilligung namentlich widerrufen bzw. nicht verlängern, wenn der Ausländer zu einer längerfristigen, d.h. über einjährigen Freiheitsstrafe verurteilt wurde (vgl. Art. 62 Abs. 1 lit. b AuG [für die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung in Verbindung mit Art. 51 Abs. 2 lit. b AuG] sowie <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 4.2 und E. 4.5). Aufgrund der Verurteilung vom 20. Dezember 2013 zu einer Freiheitsstrafe von 28 Monaten steht bereits fest, dass der Beschwerdeführer den Widerrufsgrund von Art. 62 Abs. 1 lit. b AuG erfüllt.
Von vornherein keine Anwendung findet vorliegend Art. 62 Abs. 2 AuG, wonach ein Widerruf unzulässig ist, der nur damit begründet wird, dass ein Delikt begangen wurde, für das ein Strafgericht bereits eine Strafe oder Massnahme verhängt, jedoch von einer Landesverweisung abgesehen hat. Die neuen Bestimmungen über die Landesverweisung (<ref-law> [SR 311.0]), die am 1. Oktober 2016 in Kraft getreten sind (AS 2016 2329), sind aufgrund des strafrechtlichen Rückwirkungsverbots nur anwendbar, wenn das auslösende Delikt nach diesem Datum begangen wurde (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.1.2; Urteile 2C_488/2019 vom 4. Februar 2020 E. 5.1; 2C_358/2019 vom 18. November 2019 E. 3.2 und 3.3; 2C_305/2018 vom 18. November 2019 E. 4.2 und 4.3; jeweils mit Hinweisen). Gemäss den vorinstanzlichen Feststellungen erfolgte die den Widerrufsgrund setzende Verurteilung des Beschwerdeführers wegen Angriffs (<ref-law>) mit Urteil vom 20. Dezember 2013. Demnach hat er die entsprechende Tat vor dem 1. Oktober 2016 begangen und lag die Kompetenz zum Widerruf resp. zur Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers bei den Migrationsbehörden.
4.4. Weil nach dem Gesagten ein nachehelicher Aufenthaltsanspruch des Beschwerdeführers im Sinne von Art. 50 Abs. 1 AuG infolge eines Widerrufgrundes gemäss Art. 62 Abs. 1 AuG erloschen wäre (Art. 51 Abs. 2 lit. b AuG), erübrigt sich eine Prüfung der Voraussetzungen von Art. 50 Abs. 1 AuG. Im Übrigen kann der Beschwerdeführer aufgrund seiner erheblichen Delinquenz von vornherein nicht als erfolgreich integriert im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG gelten. Auch ist bei der Beurteilung des Vorliegens wichtiger persönlicher Gründe im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG ohnehin die Gesamtsituation zu würdigen und ist die entsprechende Regelung verfassungs- bzw. konventionskonform anzuwenden. Der Anspruch aus Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG geht in diesem Zusammenhang nicht weniger weit als jener aus <ref-law> und Art. 8 EMRK, auf welche sich der Beschwerdeführer ebenfalls beruft (vgl. Urteile 2C_417/2018 vom 19. November 2018 E. 5; 2C_1125/ 2014 vom 9. September 2015 E. 4.1 mit Hinweisen).
5.
Der Beschwerdeführer beruft sich ferner auf den Schutz seines Familienlebens gemäss Art. 8 EMRK und 13 Abs. 1 BV. Er bringt im Wesentlichen vor, zwischen ihm und seinen Kindern liege eine besonders intensive Beziehung vor, die durch die Vorinstanz nicht genügend gewürdigt worden sei.
5.1. Die BV bzw. die EMRK verschaffen in Art. 13 Abs. 1 bzw. Art. 8 praxisgemäss keine vorbehaltlosen Ansprüche auf Einreise und Aufenthalt bzw. auf Wahl des von der betroffenen Person gewünschten Wohnorts (vgl. <ref-ruling> E. 6.1; <ref-ruling> E. 2; je mit Hinweisen). Soweit ein Bewilligungsanspruch besteht, gilt er nicht absolut: Liegt eine aufenthaltsbeendende oder -verweigernde Massnahme im Schutz- und Anwendungsbereich von Art. 8 EMRK, erweist sich diese dennoch als zulässig, falls sie gesetzlich vorgesehen ist (vgl. dazu sogleich E. 4.3), einem legitimen Zweck dient und sich in einer demokratischen Gesellschaft als notwendig erweist (<ref-ruling> E. 6.1; <ref-ruling> E. 2.2).
5.2. Das Verfassungs- (Art. 13 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law>) und das Konventionsrecht (Art. 8 EMRK) gebieten, die individuellen Anliegen an der Erteilung bzw. am Erhalt des Anwesenheitsrechts und die öffentlichen Interessen an dessen Beendigung gegeneinander abzuwägen, wenn zumindest eine der beteiligten Personen in der Schweiz über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht verfügt, was hier gestützt auf das Schweizer Bürgerrecht der vier Kinder des Beschwerdeführers der Fall ist (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.1, 143 E. 2.1; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 3; Urteil 2C_1142/2012 vom 14. März 2013 E. 3.4 mit weiteren Hinweisen). Voraussetzung für die Erteilung bzw. Verlängerung einer Aufenthaltsbewilligung zur Wahrnehmung des Rechts auf persönlichen Umgang (Besuchsrecht) mit dem Kind ist (1) eine in affektiver Hinsicht zumindest normale und (2) in wirtschaftlicher Hinsicht enge Eltern-Kind-Beziehung; (3) der Umstand, dass diese wegen der Distanz zwischen der Schweiz und dem Staat, in welchen die ausländische Person auszureisen hätte, praktisch nicht mehr aufrechterhalten werden könnte, und (4) dass sich die ausreisepflichtige Person in der Schweiz bisher weitgehend "tadellos" verhalten hat ("umgekehrter Familiennachzug": <ref-ruling> E. 5.2 mit Hinweisen; Urteil 2C_614/2020 vom 26. November 2020 E. 4.3.1). Diese Kriterien sind in ihrer Gesamtheit in die Beurteilung mit einzubeziehen und haben Gegenstand einer Abwägung von sämtlichen in Frage stehenden Interessen zu bilden (<ref-ruling> E. 5.2).
5.3. Die erstgenannte Voraussetzung einer in affektiver Hinsicht mindestens normalen Eltern-Kind Beziehung ist erfüllt, wenn die persönlichen Kontakte im Rahmen eines üblichen, nach heutigen Standards ausgeübten Besuchsrechts tatsächlich gepflegt werden (<ref-ruling> E. 5.2.1; <ref-ruling> E. 3.2). Das Kriterium des "tadellosen Verhaltens" ist zu relativieren im Falle eines ausländischen Elternteils, der noch über ein Sorgerecht gegenüber dem gemeinsamen Schweizer Kind verfügt, sofern die Beziehung zu diesem tatsächlich sehr eng ist (BGE <ref-ruling> E. 4.3 und 4.4; Urteil 2C_904/2018 vom 24. April 2019 E. 5.1). Eine untergeordnete Delinquenz ist in solchen Fällen nicht notwendigerweise dermassen gewichtig, dass sie zum Vornherein die anderen Kriterien (beispielsweise Kindesinteressen, Grad der Integration usw.) aufzuwiegen vermag (vgl. <ref-ruling> E. 5.2.4; Urteile 2C_493/2018 vom 9. Dezember 2019 E. 3.2; 2C_904/2018 vom 24. April 2019 E. 5.2; 2C_723/2014 vom 6. August 2015 E. 2.3; 2C_728/2014 vom 3. Juni 2015 E. 4.1).
5.4. Der nicht sorge- bzw. hauptsächlich betreuungsberechtigte ausländische Elternteil kann die familiäre Beziehung mit seinem Kind in der Regel nur in beschränktem Rahmen leben, nämlich durch die Ausübung des ihm eingeräumten Rechts auf angemessenen persönlichen Umgang und dem damit verbundenen Betreuungsanteil (<ref-law> ["Besuchsrecht"]). Hierfür ist nicht erforderlich, dass er sich dauerhaft im selben Land aufhält wie das Kind und dort über ein Anwesenheitsrecht verfügt (<ref-ruling> E. 5.1; Urteil 2C_614/2020 vom 26. November 2020 E. 4.3.1). Die per 1. Juli 2014 in Kraft getretenen zivilrechtlichen Bestimmungen sehen im Scheidungsfall heute die gemeinsame elterliche Sorge als Regel vor; massgeblich für das ausländerrechtliche Bewilligungsverfahren bleibt jedoch - wie bisher - der Umfang des persönlichen Kontakts, d.h. die tatsächlich gelebte Tiefe der Beziehung in affektiver wie wirtschaftlicher Hinsicht, und nicht allein die formelle Tragweite der Zuteilung bzw. der Abmachungen der Eltern in Bezug auf das Sorge- bzw. Betreuungsrecht (vgl. <ref-ruling> E. 5.5.4 mit Hinweisen).
5.5. Selbst wenn der Beschwerdeführer enge affektive und wirtschaftliche Beziehungen zu seinen drei Kindern unterhalten und über ein mit den beiden Müttern geteiltes Sorgerecht betreffend die vier schweizerischen Kinder verfügen sollte, fehlt es doch an einem weitgehend tadellosen Verhalten: Der Beschwerdeführer hat sich über einen längeren Zeitraum verschiedener Delikte schuldig gemacht und wurde dabei nicht ausschliesslich wegen ausländer- oder ordnungsrechtlicher (untergeordneter) Vorkommnisse, sondern unter anderem wegen - vor dem 1. Oktober 2016 (Inkrafttreten von <ref-law> [AS 2016 2329]; vgl. dazu <ref-ruling> sowie hinten E. 6.2) begangenen - mehrfachen Angriffs (<ref-law>) verurteilt. Die Praxis, gewisse "untergeordnete" Vorkommnisse ("atteintes de peu d'importance à l'ordre public") in einer Gesamtabwägung etwas weniger stark zu gewichten, kommt nur in spezifischen Fällen bzw. bei besonderen Umständen zum Tragen. Solche bestehen hier nicht (vgl. BGE <ref-ruling> E. 4.3; Urteil 2C_397/2020 vom 26. August 2020 E. 5.3). Ein aus <ref-law> bzw. Art. 8 EMRK abgeleiteter Aufenthaltsanspruch des Beschwerdeführers aufgrund seiner Beziehung zu seinen Kindern besteht vor diesem Hintergrund nicht.
6.
Wie gesehen, wäre ein allfälliger Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers infolge eines Widerrufgrundes erloschen (vgl. vorne E. 4). Die aufenthaltsbeendende Massnahme erscheint zudem entgegen der Kritik des Beschwerdeführers auch als verhältnismässig:
6.1. Bei der Verhältnismässigkeitsprüfung gemäss Art. 96 AuG zu berücksichtigen sind insbesondere (1) die Schwere des Fehlverhaltens des Ausländers; (2) die Dauer seiner Anwesenheit in der Schweiz; (3) der seit der Tat verstrichene Zeitraum; (4) das Verhalten des Betroffenen während diesem; (5) die jeweilige Nationalität der beteiligten Personen; (6) Art und Natur der familiären Bindungen; (7) die Frage, ob der Ehepartner bei Eingehen der Beziehung über die Straftaten Bescheid wusste; (8) das Vorhandensein von Kindern bzw. (9) die der Familie drohenden Nachteile sowie (10) die Qualität der sozialen, kulturellen und familiären Beziehungen zum Gast- wie zum Heimatstaat (vgl. das Urteil des EGMR Kissiwa Koffi gegen die Schweiz vom 15. November 2012 [Nr. 38005/07] § 63; <ref-ruling> E. 2.2, 330 E. 2.3). Keines dieser Elemente ist für sich allein ausschlaggebend; erforderlich ist eine Würdigung der gesamten Umstände im Einzelfall (vgl. Urteile 2C_488/2019 vom 4. Februar 2020 E. 5.3; 2C_410/2018 vom 7. September 2018 E. 4.2; 2C_846/2014 vom 16. Dezember 2014 E. 2.4 mit Hinweisen). Das Kindeswohl ist in der Interessenabwägung ein wesentliches Element unter anderen und somit nicht alleine ausschlaggebend (vgl. <ref-ruling> E. 5.2; <ref-ruling> E. 5.5; <ref-ruling> E. 4.2; Urteile 2C_221/2019 vom 25. Juli 2019 E. 3.4; 2C_904/2018 vom 24. April 2019 E. 2.4).
Bei schweren Straftaten muss zum Schutz der Öffentlichkeit ausländerrechtlich selbst ein geringes Restrisiko weiterer Beeinträchtigungen der dadurch gefährdeten Rechtsgüter (Gesundheit, Leib und Leben usw.) nicht in Kauf genommen werden (<ref-ruling> E. 2.3.2; <ref-ruling> E. 4.2-4.4).
6.2. Der Beschwerdeführer ist in einem Zeitraum von rund dreizehn Jahren wiederholt straffällig geworden und hat sich weder von strafrechtlichen Verurteilungen noch von einer ausländerrechtlichen Verwarnung beeindrucken lassen. Er ist insbesondere mehrfach wegen Angriffs (<ref-law>) verurteilt worden, wobei die für den letzten Angriff am 20. Dezember 2013 ausgesprochene Freiheitsstrafe von 28 Monaten auf ein schweres Verschulden schliessen lässt. Ins Gewicht fällt dabei, dass der Angriff zu den Verhaltensweisen zählt, welche seit dem 1. Oktober 2016 eine obligatorische Landesverweisung nach sich ziehen (<ref-law>). Auch wenn diese Regelung nicht rückwirkend Anwendung auf den Beschwerdeführer findet, darf bei einer Interessenabwägung berücksichtigt werden, dass der Verfassungs- und Gesetzgeber eine Verhaltensweise wie den Angriff als besonders verwerflich erachtet (vgl. Urteile 2C_488/2019 vom 4. Februar 2020 E. 5.4.2; 2C_108/2018 vom 28. September 2018 E. 4.3.3; 2C_393/2017 vom 5. April 2018 E. 3.3.1; 2C_172/2017 vom 12. September 2017 E. 3.3). Die Vorinstanz hat unter diesen Umständen zu Recht erwogen, dass von einer nicht unerheblichen Rückfallgefahr auszugehen ist und ein gewichtiges öffentliches Interesse an der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung und an der Wegweisung besteht (vgl. E. 4 des angefochtenen Urteils).
6.3. In Bezug auf die privaten Interesse am Verbleib des Beschwerdeführers in der Schweiz hielt die Vorinstanz (in E. 5.1 des angefochtenen Urteils) vorab fest, dass noch von keiner langen Aufenthaltsdauer in der Schweiz auszugehen sei, insbesondere weil rechtsprechungsgemäss die blosse Anwesenheit während der Dauer eines erfolglos verlaufenden Asylverfahrens nicht als rechtmässiger Aufenthalt gelte (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.6; Urteil 2C_258/2019 vom 18. März 2019 E. 2.3) und einem illegalen oder allein auf der aufschiebenden Wirkung von Rechtsmitteln basierenden Aufenthalt kein besonderes Gewicht beizumessen sei (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.3; Urteile 2C_413/2020 vom 24. August 2020 E. 3.1; 2C_417/2018 vom 19. November 2018 E. 7.2).
Die Vorinstanz führte weiter aus, gegen eine erfolgreiche Integration des Beschwerdeführers spreche schon seine erhebliche Straffälligkeit (E. 5.2.1 des angefochtenen Urteils). Namentlich in wirtschaftlicher Hinsicht könne die Integration nicht als gelungen bezeichnet werden, weil der Beschwerdeführer mit seiner Ehefrau und den gemeinsamen Kindern bis am 3. Oktober 2016 Sozialhilfeleistungen von insgesamt Fr. 113'800.-- bezogen habe, Rückzahlungen seitens des Beschwerdeführers bislang nur im Umfang von Fr. 1'000.-- belegt seien und der Beschwerdeführer per 4. November 2016 mit Betreibungen in der Höhe von Fr. 24'496.95 sowie Verlustscheinen von Fr. 49'940.35 im Betreibungsregister verzeichnet gewesen sei (E. 5.2.2 des angefochtenen Urteils). Es bestünden zwar Hinweise auf das Vorhandensein gewisser sozialer Kontakte zur schweizerischen Bevölkerung, doch seien keine intensiven sozialen Bindungen dargetan, deren Abbruch den Beschwerdeführer besonders hart treffen würde (E. 5.2.3 des angefochtenen Urteils). Auch wenn bei einer Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung (und der Wegweisung) gewichtige familiäre Nachteile drohen würden, falle ins Gewicht, dass sich der Beschwerdeführer diese familiären Konsequenzen selbst zuzuschreiben habe, zumal ihn seine Verantwortung als Vater nicht von schwerer Gewaltdelinquenz abgehalten habe, das jüngste eheliche Kind erst nach dem Strafurteil vom 20. Dezember 2013 geboren worden sei und das mit der neuen Partnerin gezeugte Kind erst nach dem die Wegweisung bestätigenden Entscheid der Polizei- und Militärdirektion vom 12. November 2018 zur Welt gekommen sei. Die familiären Beziehungen könnten mittels der üblichen Kommunikationsmittel oder gelegentlicher Besuche in Sri Lanka bzw. in der Schweiz in bescheidenem Rahmen auch über die Distanz gelebt werden. Auch sei es dem Beschwerdeführer unbenommen, um Neuerteilung einer Bewilligung zu ersuchen, wenn er sich in seiner Heimat bewähre, von ihm keine Gefahr für die Sicherheit und Ordnung mehr ausgehe und dannzumal ein Bewilligungsanspruch bestehe (E. 5.3.8 des angefochtenen Urteils).
Die Rückkehr nach Sri Lanka sei dem Beschwerdeführer - so die Vorinstanz - überdies zumutbar, auch wenn er dort über keine tragende soziale Verankerung mehr verfüge, an einer posttraumatischen Belastungsstörung, einer Persönlichkeitsstörung sowie einer Alkoholabhängigkeit leide und im Fall einer Rückkehr nach Angaben seines Therapeuten retraumatisiert würde. Es sei angesichts der in Sri Lanka bestehenden Behandlungsmöglichkeiten (mit 23 Spitälern mit psychiatrischen Abteilungen und über 300 Kliniken für ambulante Behandlungen psychisch kranker Patienten) nicht erstellt, dass die Rückkehr des Beschwerdeführers in sein Heimatland zu einer raschen und lebensgefährdenden Beeinträchtigung seines Gesundheitszustandes führen würde. Die allgemeine Sicherheits- und Menschenrechtslage in Sri Lanka habe sich nach zwischenzeitlichen innenpolitischen Wirren und Machtkämpfen im Jahr 2018 wieder beruhigt, so dass nicht von einer generell erhöhten Gefährdung für Staatsangehörige Sri Lankas auszugehen sei. Eine konkrete Gefährdung vermöge der Beschwerdeführer - wie schon im Asylverfahren - nicht darzutun, zumal das von ihm geltend gemachte exilpolitische Engagement nur marginal sei und ausser einigen, im kantonalen Verfahren eingereichten Fotos keine Belege für Verbindungen des Beschwerdeführers zu den B._ bestehen würden (siehe zum Ganzen E. 5.3 des angefochtenen Urteils).
Die Vorinstanz kam mit den genannten Erwägungen zum Schluss, dass das öffentliche Interesse an der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung und der Wegweisung des Beschwerdeführers die privaten Interessen an dessen Verbleib in der Schweiz überwiegen und damit die Verhältnismässigkeit der ausländerrechtlichen Massnahme gegeben sei (E. 6.1 des angefochtenen Urteils).
6.4. Was der Beschwerdeführer gegen die hiervor zusammengefasst wiedergegebenen vorinstanzlichen Ausführungen und die vorgenommene Interessenabwägung vorbringt, lässt das angefochtene Urteil nicht als bundesrechtswidrig erscheinen:
6.4.1. Der Beschwerdeführer bestreitet, dass mit Blick auf seine Straffälligkeit von einer misslungenen Integration auszugehen ist. Er macht geltend, er habe "seit vier Jahren bis auf einen Zwischenfall ein deliktsfreies Leben geführt" und zuletzt ein leichtes Vergehen begangen, welches mit Blick auf die Straffälligkeit in den Jahren 2008 bis 2014 kaum ins Gewicht falle. Zudem sei ihm "erst am 10. Juli 2017 der Entzug bzw. die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung angedroht" worden, weshalb allein das letzte von ihm begangene Delikt in eine Zeit falle, in welcher er unter dem Eindruck des hängigen ausländerrechtlichen Verfahrens gestanden habe (Beschwerde, S. 5 f.).
Diese Ausführungen verfangen schon deshalb nicht, weil dem Beschwerdeführer nicht erst am 10. Juli 2017, als die Ausgangsverfügung des vorliegenden Verfahrens erlassen wurde, sondern bereits am 18. April 2012 im Rahmen einer Verwarnung ausländerrechtliche Massnahmen angedroht worden sind (vgl. E. 4.4.1 des angefochtenen Urteils). Der Beschwerdeführer liess sich selbst durch diese Verwarnung nicht davon abhalten, weitere Delikte zu begehen. Das zuletzt begangene Delikt (Führen eines Motorfahrzeuges ohne den erforderlichen Führerausweis gemäss Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Bern-Mittelland vom 20. August 2019) mag zwar für sich betrachtet nicht als gravierend erscheinen. Zu Ungunsten des Beschwerdeführers fällt jedoch ins Gewicht, dass er sich schon zuvor, und nach dem für das Vorliegen eines Widerrufgrundes massgebenden Strafurteil vom 20. Dezember 2013 mehrfach des Führens eines Motorfahrzeuges ohne den erforderlichen Führerausweis schuldig gemacht hat. Er zeigte damit eine besondere Uneinsichtigkeit und eine fehlende Bereitschaft, sich in die hiesige Rechtsordnung einzufügen. Im Übrigen darf ein Wohlverhalten ab Entlassung aus dem Strafvollzug ausländerrechtlich erwartet werden; eine erneute - auch geringe - Straffälligkeit in der Zeit ab Entlassung aus dem Strafvollzug erhöht lediglich das öffentliche Interesse an der Beendigung des Aufenthalts der straffällig gewordenen ausländischen Person (vgl. Urteil 2C_392/2015 vom 22. Mai 2015 E. 3.3). Von einer biographischen Kehrtwende, wie sie in der Beschwerde behauptet wird, kann angesichts des Deliktskataloges und des Fehlens einer längeren deliktsfreien Zeit nicht ansatzweise die Rede sein (vgl. zur biographischen Kehrtwende Urteil 2C_634/ 2018 vom 5. Februar 2019 E. 6.3.1).
6.4.2. Nach Auffassung des Beschwerdeführers hat die Vorinstanz in bundesrechtswidriger Weise auch seine wirtschaftliche Integration als nicht gelungen qualifiziert. Er macht in diesem Kontext geltend, die Vorinstanz habe die Gründe für die - ohnehin nicht als erheblich zu bezeichnende - Sozialhilfeabhängigkeit und Schuldenwirtschaft zu Unrecht nicht berücksichtigt. Die Vorinstanz habe auch nicht dem Umstand Rechnung getragen, dass seit dem Jahr 2016 keine neuen Betreibungen und Verlustscheine mehr im Betreibungsregister eingetragen worden seien. Prospektiv bestehe bei einem Verbleib des Beschwerdeführers in der Schweiz "keine Gefährdung der Sozialwerke sowie weiterer Gläubiger" (Beschwerde, S. 6 f.).
Rechtsprechungsgemäss ist eine erfolgreiche wirtschaftliche Integration grundsätzlich zu bejahen, wenn die ausländische Person für sich sorgen kann, keine (nennenswerten) Sozialhilfeleistungen bezieht und sich nicht (in nennenswerter Weise) verschuldet (Urteile 2C_221/2019 vom 25. Juli 2019 E. 2.2; 2C_352/2014 vom 18. März 2015 E. 4.5; 2C_430/2011 vom 11. Oktober 2011 E. 4.2). Mit Blick auf die Gewichtung der öffentlichen Fernhalteinteressen unterscheidet die Rechtsprechung (worauf der Beschwerdeführer zutreffend hinweist), ob die Sozialhilfeabhängigkeit selbstverschuldet ist oder nicht (vgl. Urteile 2C_122/2020 vom 7. Juli 2020 E. 3.2; 2C_23/2018 vom 11. März 2019 E. 4.2.2; 2C_775/2017 vom 28. März 2018 E. 3.2). Eine Verschuldung schliesst eine erfolgreiche Integration nicht aus, wenn die ausländische Person im Begriff ist, die Schulden in wirksamer Weise zurückzubezahlen (vgl. Urteile 2C_725/2019 vom 12. September 2019 E. 7.2; 2C_283/2016 vom 23. Dezember 2016 E. 4.3.4; 2C_352/2014 vom 18. März 2015 E. 4.5). Massgebend sind zudem die Höhe sowie die Ursachen der Verschuldung (vgl. Urteile 2C_512/2019 vom 21. November 2019 E. 5.1.1; 2C_725/2019 vom 12. September 2019 E. 7.2; 2C_ 352/2014 vom 18. März 2015 E. 4.3).
Der Beschwerdeführer, seine Ehefrau und die gemeinsamen minderjährigen Kinder haben bis anfangs Oktober 2016 Sozialhilfeleistungen von rund Fr. 113'800.-- bezogen. Damit ist praxisgemäss von einem Bezug von Sozialhilfeleistungen in nennenswertem Umfang auszugehen (nach der Rechtsprechung kann schon ein Betrag von Fr. 50'000.-- als erheblich gelten; vgl. Urteil 2C_263/2016 vom 10. November 2016 E. 3.1.3 mit Hinweisen). Zwar hat der Beschwerdeführer regelmässig und auch im Zeitpunkt des Erlasses des angefochtenen Urteils eine Erwerbstätigkeit ausgeübt, gleichwohl war er auf die genannten Sozialhilfeleistungen angewiesen.
Vorliegend enthält das angefochtene Urteil keine tatsächlichen Feststellungen, welche eine Beurteilung des Verschuldens des Beschwerdeführers am Sozialhilfebezug erlauben würden. Ebensowenig enthält dieses Urteil Tatsachenfeststellungen, welche eine Würdigung der Ursachen für die Verschuldung des Beschwerdeführers (bzw. für die Einträge im Betreibungsregister per 4. November 2016 mit Betreibungen von Fr. 24'496.95 bzw. Fr. 49'940.35) ermöglichen würden (vgl. E. 5.2.2 des angefochtenen Urteils). Wie es sich in Bezug auf das genannte Verschulden und die Ursachen für die Schuldensituation verhält, kann jedoch ebenso dahingestellt bleiben wie die Frage, ob trotz der nach den Ausführungen der Vorinstanz nur im Umfang von Fr. 1'000.-- belegten Rückzahlungen bei einer prospektiven Abschätzung der finanziellen Entwicklung auf längere Sicht die frühere Sozialhilfeabhängigkeit zu relativieren ist (vgl. zur Berücksichtigung der finanziellen Entwicklung Urteil 2C_23/2018 vom 11. März 2019 E. 4.1 mit Hinweisen). Denn die privaten Interessen am Verbleib des Beschwerdeführers in der Schweiz vermögen angesichts der schweren Delinquenz auch bei Annahme einer gelungenen wirtschaftlichen Integration das gewichtige öffentliche Interesse an der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung und der Wegweisung nicht aufzuwiegen.
6.4.3. Der Beschwerdeführer hält dafür, dass er als sozial integriert zu betrachten sei, weil er mit seinen in der Schweiz unterhaltenen verwandtschaftlichen Beziehungen Kontakte zur schweizerischen Bevölkerung pflege und besonders enge Beziehungen für eine gelungene soziale Integration nicht erforderlich seien. Dieses Vorbringen ist schon deshalb nicht stichhaltig, weil der Beschwerdeführer aufgrund seiner Straffälligkeit nicht als sozial integriert betrachtet werden kann.
6.4.4. Ferner macht der Beschwerdeführer geltend, die Vorinstanz habe in Verletzung von Art. 8 EMRK (bzw. <ref-law>) den Beziehungen zu seiner Partnerin und seinen Kindern sowie den von ihm ausserhalb der Kernfamilie in der Schweiz unterhaltenen familiären Beziehungen (zu seinen Geschwistern, seiner neuen Partnerin und weiteren Verwandten wie namentlich einem Onkel) nicht oder nicht hinreichend Rechnung getragen und damit die privaten Interessen an seinem Verbleib in der Schweiz nicht genügend stark gewichtet.
6.4.5. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist die von der Vorinstanz vorgenommene Verhältnismässigkeitsprüfung mit Blick auf die Interessen seiner Kinder und seiner Partnerin mit Art. 8 EMRK (bzw. <ref-law>) vereinbar. Denn insbesondere hat die Vorinstanz -anders als in der Beschwerde suggeriert wird - anerkannt, dass eine Wegweisung des Beschwerdeführers das aktuelle Familienleben sowie die Beziehungspflege zu den Kindern stark beeinträchtigen würde. Die Vorinstanz hat insgesamt dem zu berücksichtigenden Kriterium der dem Betroffenen und seiner Familie drohenden Nachteile bei einer Ausreise in den Heimat- oder in einen Drittstaat und dem in diesem Kontext mit einzubeziehenden besonderen Schutz der Kindesinteressen, möglichst mit beiden Elternteilen gemeinsam aufwachsen zu können und nicht von ihnen getrennt zu werden (<ref-ruling> E. 5.5; <ref-ruling> E. 4.3), in rechtskonformer Weise Rechnung getragen. Wie erwähnt, sind die Voraussetzungen für einen Nachzugsanspruch gestützt auf Art. 8 EMRK (bzw. <ref-law>) vorliegend aufgrund der erheblichen Straffälligkeit nicht erfüllt (vgl. vorne E. 5.5). Der Beschwerdeführer bringt in diesem Punkt nichts vor, was nicht bereits im angefochtenen Urteil hinreichend gewürdigt worden wäre (auch die in diesem Kontext in der Beschwerde angerufenen Vorschriften der Kinderrechtskonvention sind nicht verletzt, da diese Konvention - wie die Vorinstanz zutreffend festgehalten hat [E. 5.3.8 des angefochtenen Urteils] - praxisgemäss keine über die Garantien von Art. 8 EMRK bzw. <ref-law> hinausgehenden eigenständigen Bewilligungsansprüche verschafft [<ref-ruling> E. 5.5.2]).
Es ist sodann nicht dargetan oder ersichtlich, dass ein besonderes Abhängigkeitsverhältnis zwischen dem Beschwerdeführer und den von ihm nebst seinen Kindern sowie seiner früheren Ehefrau genannten Familienangehörigen besteht, wie es für einen ausnahmsweisen Schutz von familiären Beziehungen ausserhalb der Kernfamilie (bzw. der Beziehungen zwischen den Eltern und den minderjährigen Kindern) durch Art. 8 EMRK bzw. <ref-law> rechtsprechungsgemäss erforderlich ist (vgl. <ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1d).
Zwar hat sich der Beschwerdeführer im Lichte der mehrjährigen Dauer der vorläufigen Aufnahme und der daran anschliessenden Erteilung sowie Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung bis am 31. Oktober 2015 schon verhältnismässig lange hier aufgehalten, so dass er sich möglicherweise grundsätzlich auf das nach Art. 8 Ziff. 1 EMRK (bzw. <ref-law>) geschützte Recht auf Achtung des Privatlebens berufen könnte (vgl. <ref-ruling> E. 3.8 und 3.9; Urteile 2C_666/2019 vom 8. Juni 2020 E. 4.1; 2C_326/2019 vom 3. Februar 2020 E. 2.2.4; 2C_360/2016 vom 31. Januar 2017 E. 5.2; 2C_639/2012 vom 13. Februar 2013 E. 1.2.2). Dies macht der Beschwerdeführer aber nicht substanziiert geltend. Auch ändert sich dadurch nichts am Ergebnis der Interessenabwägung. Denn die privaten Interessen, die geltend gemachten Beziehungen ausserhalb der Kernfamilie hierzulande weiterzuführen, vermögen das öffentliche Interesse an der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung und der Wegweisung des Beschwerdeführers nicht aufzuwiegen. Zu berücksichtigen ist insbesondere, dass diese Beziehungen - wie die Vorinstanz in der Vernehmlassung zutreffend ausführt - bei einer Rückkehr des Beschwerdeführers in sein Heimatland mittels der üblichen Kommunikationsmittel weiter gepflegt werden können.
6.4.6. Anders als nach Meinung des Beschwerdeführers ist ihm die Rückkehr in seine Heimat auch zumutbar, zumal dort - wie gesehen - namentlich adäquate Behandlungsmöglichkeiten für seine psychische Erkrankung bestehen und er auch nicht als einer konkreten Gefährdung ausgesetzt gelten kann.
6.5. Nach dem Dargelegten erweist sich die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung als verhältnismässig und bundesrechtskonform. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist demnach, soweit darauf einzutreten ist (vgl. E. 1.2 und 1.3), abzuweisen.
7.
7.1. Der Beschwerdeführer ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Da seine Beschwerde - namentlich mit Blick auf seine familiären Beziehungen in der Schweiz - nicht von Vornherein aussichtslos war, ist dem Antrag zu entsprechen (vgl. <ref-law>). Der Beizug eines Rechtsvertreters ist in einer Streitsache wie der vorliegenden notwendig. Rechtsanwalt Dominic Nellen ist als unentgeltlicher Rechtsbeistand des Beschwerdeführers zu bestellen. Als solcher hat er Anspruch auf eine angemessene Entschädigung (<ref-law>). Die vom Rechtsvertreter eingereichte Kostennote weist einen Aufwand (inkl. Auslagen und Mehrwertsteuer) von Fr. 5'533.20 aus, wobei als Vertretungsaufwand (ohne Auslagen und Mehrwertsteuer) 20,26 Stunden à Fr. 250.-- geltend gemacht werden. Dieser Aufwand erscheint als überhöht, da der Prozessstoff dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers aufgrund der kantonalen Rechtsmittelverfahren bereits hinlänglich bekannt war. Die Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes wird vom Bundesgericht deshalb auf einen Pauschalbetrag (inkl. Auslagen und Mehrwertsteuer) von Fr. 3'500.-- festgesetzt.
7.2. Parteientschädigungen werden keine zugesprochen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen.
2.1. Es werden keine Kosten erhoben.
2.2. Dem Beschwerdeführer wird Rechtsanwalt Dominic Nellen als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben; dieser wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 3'500.-- entschädigt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. März 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: König