Sachverhalt:
A.
A._ (Beklagte, Beschwerdeführerin) ist Präsidentin des Verwaltungsrates und Geschäftsführerin der C._ AG. Am 6. Dezember 2011 unterzeichnete sie einen Antrag auf Abschluss einer Kollektiv-Krankentaggeldversicherung der B._ AG (Klägerin, Beschwerdegegnerin). Sie beantwortete dabei alle auf dem Formular "Gesundheitsdeklaration für Betriebsinhaber/in oder Einzelperson" enthaltenen Fragen zu gesundheitlichen Einschränkungen oder Behandlungen mit "Nein". Die Klägerin nahm den Antrag an und versicherte die C._ AG mit einer Lohnausfallversicherung für Unternehmen ab dem 1. Januar 2012.
Mit Krankheitsanzeige vom 14. Juni 2016 meldete die C._ AG der Klägerin, dass die Beklagte ab dem 13. Juni 2016 arbeitsunfähig sei. In der Folge leistete die Klägerin nach Abzug der vereinbarten Wartefrist von 30 Tagen vom 13. Juli 2016 bis zum 31. Dezember 2016 Taggelder für eine 100%ige Arbeitsunfähigkeit in der Höhe von insgesamt Fr. 113'098.60. Mit Schreiben vom 30. Juni 2017 kündigte die Klägerin den Krankentaggeldversicherungsvertrag und machte eine Anzeigepflichtverletzung der Beklagten geltend.
B.
Mit Klage vom 9. Mai 2018 beantragte die Klägerin beim Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt, die Beklagte sei zu verpflichten, ihr Taggelder von insgesamt Fr. 113'098.60 nebst 5 % Zins seit dem 4. Juli 2017 zurückzuerstatten; eventualiter mit einem anderen, im Rechtsbegehren dargelegten Zinsenlauf. Es sei festzustellen, dass die Klägerin der Beklagten ab dem 1. Januar 2017 keine Taggeldleistungen mehr schulde und die Versicherungsdeckung der Beklagten per 3. Juli 2017 gekündigt sei.
Mit Urteil vom 6. März 2019 kam das Sozialversicherungsgericht zusammengefasst zum Schluss, dass die Klägerin berechtigt gewesen sei, aufgrund der Anzeigepflichtverletzung den Versicherungsvertrag per 3. Juli 2017 zu kündigen. Von Seiten der Beklagten werde weder die Höhe der Forderung noch der Beginn des Zinsenlaufs bestritten. Die Klägerin könne daher, nachdem die Kündigung rechtzeitig und formgültig erfolgt sei, die in der Höhe von Fr. 113'098.60 geleisteten Versicherungsleistungen von der Beklagten zurückfordern, zuzüglich Verzugszins von 5 % ab 4. Juli 2017. Entsprechend hiess das Sozialversicherungsgericht die Klage gut.
C.
Dagegen erhob die Beschwerdeführerin Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Sie beantragte, der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts sei aufzuheben und die Klage der Beschwerdegegnerin sei abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Die Beschwerdegegnerin beantragte, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten und die aufschiebende Wirkung sei nicht zu gewähren. Eventualiter sei die Beschwerde abzuweisen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts sei zu bestätigen. Subeventualiter sei die Beschwerdeführerin zu verpflichten, der Beschwerdegegnerin ein Taggeld von insgesamt Fr. 113'098.60 samt den im Rechtsbegehren darlegten Zins zurückzuerstatten. Die Vorinstanz erachtete die Gewährung der aufschiebenden Wirkung als "sinnvoll". Sie beantragte aber die Abweisung der Beschwerde.
Die Beschwerdeführerin reichte, neu durch einen Rechtsanwalt vertreten, unaufgefordert eine Beschwerdereplik ein. Die Beschwerdegegnerin duplizierte, wobei sie neu nicht mehr beantragte, dass auf die Beschwerde nicht einzutreten sei.
Mit Präsidialverfügung vom 25. September 2019 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
Die Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Unter Vorbehalt einer rechtsgenüglichen Begründung (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>; vgl. Erwägung 2) ist daher auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
Macht die beschwerdeführende Partei eine Verletzung des Willkürverbots von <ref-law> geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich (<ref-ruling> E. 3 S. 352; <ref-ruling> E. 5.5). Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.2.5 S. 339). Dass die von Sachgerichten gezogenen Schlüsse nicht mit der eigenen Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmen, belegt keine Willkür (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Erforderlich ist zudem, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 2.1 S. 19 mit Hinweisen).
2.2. Die Beschwerde ist innert der Beschwerdefrist vollständig begründet einzureichen (vgl. <ref-law>). Vor Bundesgericht findet in der Regel nur ein Schriftenwechsel statt (<ref-law>). Kommt es zu einem zweiten Schriftenwechsel, darf die beschwerdeführende Partei die Replik nicht dazu verwenden, ihre Beschwerde zu ergänzen oder zu verbessern (<ref-ruling> E. 1.7; <ref-ruling> E. 3.3.4). Mit Rügen, welche die beschwerdeführende Partei bereits in der Beschwerde hätte erheben können, ist sie nach Ablauf der Beschwerdefrist ausgeschlossen (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.7; <ref-ruling> E. 3.3.4 mit Hinweisen). Die Replik ist nur zu Darlegungen zu verwenden, zu denen die Ausführungen in der Vernehmlassung eines anderen Verfahrensbeteiligten Anlass geben (vgl. <ref-ruling> E. 2.2).
Soweit die Beschwerdeführerin in der Replik versucht, die Beschwerdeschrift zu ergänzen oder zu verbessern, ist sie nicht zu hören. Das gilt insbesondere bezüglich der Abschnitte "Vollmacht / Entgegennahme der Kündigung" und "Verletzung der Anzeigepflicht".
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
Die Beschwerdeführerin schildert ausführlich die Unterschiede ihrer Erkrankungen und deren Verlauf. Sie geht dabei mehrfach über den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt hinaus, ohne eine hinreichende Sachverhaltsrüge nach den gerade genannten Grundsätzen zu erheben. Darauf kann sie sich im Folgenden nicht stützen. Das Gleiche gilt, wenn sie sich in der Beschwerdereplik auf die Diagnose aus dem Bericht der Klinik D._ stützt und damit über den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt hinausgeht.
3.
3.1. Die Vorinstanz prüfte, ob die Beschwerdegegnerin die für den Zeitraum vom 13. Juni bis und mit 31. Dezember 2016 bereits geleisteten Krankentaggelder aufgrund einer vorvertraglichen Anzeigepflichtverletzung der Beschwerdeführerin zurückfordern könne. Dafür klärte sie zunächst, ob die Beschwerdeführerin eine Anzeigepflichtverletzung begangen habe. Dabei kam sie zum Schluss, dass die Beschwerdeführerin die Fragen 2 - 5 auf dem Gesundheitsfragebogen der Beschwerdegegnerin falsch beantwortet habe. Das stellt die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht nicht in Frage.
3.2. Die Vorinstanz beurteilte anschliessend, ob die Kündigung des Versicherungsvertrags durch die Beschwerdegegnerin formell rechtsgültig und rechtzeitig erfolgt sei. Auch das bejahte sie.
Dagegen beharrt die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht auf ihrem bereits vor der Vorinstanz eingenommenen Standpunkt, dass ein Zustellungsmangel bezüglich der Kündigung vorliege. Ihr Rechtsvertreter, der sie vor der Vorinstanz vertreten habe, sei nicht zur Entgegennahme der Kündigung bevollmächtigt gewesen. Die Vorinstanz habe sodann das Urteil 4A_325/2010 vom 1. Oktober 2010 missverstanden, die konkreten Umstände des Einzelfalls ignoriert, den "Vertrauensschutz" unrichtig angewandt und willkürlich entschieden.
Diese Rügen gehen fehl: Die Vorinstanz stützte sich einleitend auf das genannte Bundesgerichtsurteil und erwog, dass eine unwiderrufene Vollmacht des Rechtsvertreters vorgelegen habe, sodass die Beschwerdegegnerin grundsätzlich in guten Treuen habe annehmen dürfen, dass dieser auch zur Entgegennahme von Erklärungen befugt sei. Inwiefern die Vorinstanz damit Bundesrecht verletzt hätte, legt die Beschwerdeführerin nicht hinreichend dar und ist auch nicht ersichtlich.
Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin liess es die Vorinstanz sodann weder bei diesen Ausführungen bewenden, noch ignorierte sie die konkreten Umstände des vorliegenden Falls. Im Gegenteil: Sie legte daran anschliessend im Einzelnen dar, aus welchen konkreten Gründen sich die Beschwerdegegnerin auf die Vollmacht verlassen durfte, und warum der Argumentation der Beschwerdeführerin nicht gefolgt werden könne. Damit setzt sich die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht nicht rechtsgenüglich auseinander (Erwägung 2.1), geschweige denn zeigt sie hinreichend auf, inwiefern die Vorinstanz diesbezüglich ihre Rechte verletzt haben soll.
4.
4.1. Die Vorinstanz erwog in der Folge, dass eine gestützt auf <ref-law> ausgesprochene Kündigung ihre Rechtsfolgen grundsätzlich ex nunc zeitige, d.h. sie lasse den Versicherungsschutz und die Prämienzahlungspflicht für die Zukunft erlöschen. Demgemäss hielt sie fest, dass die Versicherungsdeckung der Beschwerdeführerin per 3. Juli 2017 erloschen sei.
Zu prüfen bleibe, so die Vorinstanz, die Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin im Zusammenhang mit der krankheitsbedingten Arbeitsunfähigkeit, für welche sie bereits Taggelder ausgerichtet habe. Nach <ref-law> erlösche die Leistungspflicht des Versicherers für bereits eingetretene Schäden, deren Eintritt oder Umfang durch die nicht oder unrichtig angezeigte erhebliche Gefahrstatsache beeinflusst worden sei. Sei die Leistungspflicht schon erfüllt worden, habe der Versicherer nach Art. 6 Abs. 3 VGG Anspruch auf Rückerstattung, wenn der Schadenseintritt in einem klaren Konnex zur Anzeigepflichtverletzung stehe. Nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung sei der Kausalitätsbegriff, wie in er in <ref-law> stipuliert werde, weit zu verstehen. Danach sei es nicht erforderlich, dass die verschwiegene Krankheit gleich diagnostiziert worden sei wie die während der Vertragsdauer aufgetretene. Entscheidend seien die psychopathologischen Befunde und der Schweregrad der Symptomatik bzw. die Notwendigkeit einer Behandlung.
Ein solcher Zusammenhang bestehe vorliegend: Den aktenkundigen medizinischen Berichten könne entnommen werden, dass bei der Beschwerdeführerin sowohl 2010/2011 als auch 2016 ein Burnout vorgelegen habe. So ergebe sich aus dem Bericht von Prof. Dr. E._ vom 4. März 2011, dass bei der Beklagten "initial ein Erschöpfungssyndrom im Sinne eines Burnout-Syndroms (ICD-10 Z73.0) bestanden" habe. Hierzu lege Prof. Dr. E._ zwei Beilagen mit den Titeln "Das Burnout Syndrom" und "Burnout (Vortrag 10.9.2010) " bei. Im Bericht vom 23. Juni 2016 von Prof. Dr. E._ werde unter den Diagnosen ein "Burnout-Syndrom mit schwerem Erschöpfungszustand" aufgeführt und in seinem Bericht vom 11. November 2016 bestätigt. Das Gleiche gelte für die bei der Beschwerdeführerin bestehende Depressionsproblematik. Bereits im Bericht vom 4. März 2011 werde eine "mittelgradig depressive Störung mit somatischem Syndrom ICD-10 F32.11" genannt und im Bericht vom 23. Juni 2016 werde unter den Diagnosen eine "rezidivierende depressive Störung, gegenwärtig mittelgradige Episode" aufgeführt. Das in diesem Zusammenhang verwendete Wort "rezidivierend" zeige deutlich, dass es sich um eine wiederkehrende Erkrankung handle und folglich ein Zusammenhang zwischen den 2010/2011 und den 2016 aufgetretenen Beschwerden bestehe. Ferner finde sich auch im Bericht der Klinik D._ sowohl die Diagnose einer rezidivierenden depressiven Störung, gegenwärtig schwere Episode ohne psychotische Symptome (F33.2), als auch die Diagnose eines Burnout-Syndroms.
In Anbetracht dieser Ausführungen sei der Beschwerdegegnerin beizupflichten, dass die aktuellen psychischen Beschwerden der Beschwerdeführerin, welche bereits 2010/2011 eine Arbeitsunfähigkeit begründet hätten, einen Zusammenhang mit den Beschwerden und der Behandlung im Jahr 2016 aufwiesen. Die Arbeitsunfähigkeit der Beschwerdeführerin wegen ihrer psychischen Erkrankung ab 13. Juni 2016 sei demnach durch die verschwiegene Gefahrtatsache (Arbeitsunfähigkeit wegen psychischer Erkrankung ab März 2010) nachweislich beeinflusst. Der Kausalzusammenhang zwischen den verschwiegenen, früheren psychischen Beschwerden und den nunmehr geltend gemachten depressiven Beschwerden, aufgrund welcher die Beschwerdeführerin vom 13. Juli 2016 bis zum 31. Dezember 2016 von der Beschwerdegegnerin Taggelder beansprucht habe, sei zu bejahen.
4.2.
4.2.1. Die Beschwerdeführerin bestreitet, dass zwischen der Erkrankung im Jahre 2011 und derjenigen im Jahre 2016/2017 ein Zusammenhang bestehe.
Sie stützt sich dabei vor Bundesgericht auf neue Tatsachen und Beweismittel. Sie habe nicht damit rechnen müssen, dass vor Vorinstanz ihren gestellten Beweisanträgen nicht Folge leistet werde. Erst der Entscheid der Vorinstanz habe Anlass dazu gegeben, das Vorbringen des fehlenden Kausalzusammenhangs mit noch weiteren, als den bereits vor der Vorinstanz eingebrachten Beweisen zu belegen. Solche Noven seien "analog zu <ref-law>" zulässig, da erst die Vorbringen der Beschwerdegegnerin eine weitere Vertiefung der Kausalität der verschiedenen Erkrankungen als zwingend erscheinen liesse.
4.2.2. Die postulierte Analogie zur Novenregelung im kantonalen Berufungsverfahren geht an der Sache vorbei. Ob neue Tatsachen und Beweismittel vor Bundesgericht vorgebracht werden können, beurteilt sich einzig nach dem Bundesgerichtsgesetz und nicht nach der Zivilprozessordnung. Nach <ref-law> dürfen vor Bundesgericht neue Tatsachen und Beweismittel nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-ruling> E. 4.4.3 S. 129 mit Hinweisen), was in der Beschwerde näher darzulegen ist (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 226; <ref-ruling> E. 3 S. 395).
Diesen Anforderungen genügt die Beschwerdeführerin nicht, denn sie legt nicht hinreichend dar, dass erst der angefochtene Entscheid der Vorinstanz zu ihren neuen Tatsachen und Beweismitteln Anlass gegeben hat. Der Zusammenhang zwischen den beiden Erkrankungen ist nicht erst seit dem Urteil der Vorinstanz Prozessthema, sondern bildete von Anfang an Thema der Rückforderungsklage. Es handelt sich damit um unzulässige Noven, die im bundesgerichtlichen Verfahren nicht berücksichtigt werden können.
4.3.
4.3.1. Die Beschwerdeführerin moniert, die Vorinstanz handle willkürlich und stellte den Sachverhalt nicht richtig fest, wenn sie aufgrund der festgestellten Symptome einen kausalen Zusammenhang erblicke, ohne die Ursachen der beiden Erkrankungen zu ergründen und zu würdigen. Zu diesem Zweck sei anlässlich der Klageantwort ein Expertengutachten zur Evaluation der Ursachen der Erkrankungen und damit des Kausalzusammenhangs beantragt worden. Im Rahmen der geltenden Untersuchungsmaxime hätte die Vorinstanz die Ursachen genauer abklären müssen. Dies sei trotz Antrag unter Verletzung der Untersuchungsmaxime unterlassen worden.
4.3.2. Im vorinstanzlichen Sachverhalt ist nicht festgestellt, dass die Beschwerdeführerin zu den Ursachen der beiden Erkrankungen ein Gutachten beantragt hätte. Damit das Bundesgericht auf ihre Rüge eintreten könnte, hätte sie eine Ergänzung des Sachverhalts verlangen müssen. Dafür hätte sie mit präzisen Aktenhinweisen darlegen müssen, dass sie für die hier sich stellende Frage ein solches Gutachten prozesskonform ins vorinstanzliche Verfahren eingebracht hätte (dazu Erwägung 2.3). Dies zeigt sie nicht auf, sodass darauf nicht einzutreten ist. Da es an einem prozesskonformen Beweisantrag fehlt, erübrigt sich auch die Rüge der Verletzung der Untersuchungsmaxime, die sie darin erblickt, dass "trotz Antrag" die Ursachen nicht genauer abgeklärt worden seien. Im Übrigen wurde in den Berichten von Prof. Dr. E._ und der Klinik D._ unbestrittenermassen festgestellt, dass es sich bei der depressiven Störung der Beschwerdeführerin um eine wiederkehrende Erkrankung handle.
Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass die Vorinstanz in anderem Zusammenhang, nämlich mit der von der Beschwerdeführerin begangenen Anzeigepflichtverletzung feststellte, dass die Beschwerdeführerin eine Zeugenbefragung von Prof. Dr. E._ und ein Sachverständigengutachten beantragte habe. Die Vorinstanz ging dort aber ausführlich auf die verschiedenen bei den Akten befindlichen Urkunden ein und kam zu einem Beweisergebnis (vorinstanzlicher Entscheid E. 4.4.2 - 4.4.4). In antizipierter Beweiswürdigung verzichtete die Vorinstanz daher auf die von der Beschwerdeführerin beantragten Beweisabnahmen. Diese antizipierte Beweiswürdigung stellt die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht nicht in Frage, zumindest nicht hinreichend (vgl. <ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen).
4.4. Die Beschwerdeführerin rügt, es sei willkürlich, dass sich die Vorinstanz bezüglich des Zusammenhangs zwischen den Krankheiten der Jahre 2010/2011 und 2016 lediglich auf den Arztbericht von Dr. F._ der Klinik D._ stütze. Dr. F._ verfüge als Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie über keine vertieften Kenntnisse in Diabetologie.
Mit diesen Ausführungen zeigt die Beschwerdeführerin nicht rechtsgenüglich auf, inwiefern der Entscheid der Vorinstanz diesbezüglich offensichtlich unrichtig wäre (vgl. Erwägung 2.1), zumal sich die Vorinstanz entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin für die Frage der Konnexität nach Art. 6 Abs. 3 VGG nicht nur auf Dr. F._, sondern auch auf Prof. Dr. E._ abstützte.
4.5. Die Beschwerdeführerin beanstandet schliesslich, entscheidend für einen kausalen Zusammenhang der beiden Erkrankungen sei nicht die Diagnose, sondern die der Krankheit zugrundeliegende Ursache. Die Vorinstanz verletze Art. 6 Abs. 3 VGG und es sei keine Rückzahlung geschuldet.
Auch diese Rüge geht fehl: Die Vorinstanz ging zutreffend davon aus, dass nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung der Kausalitätsbegriff, wie er in <ref-law> stipuliert wird, weit zu verstehen ist (Urteil 9C_18/2016 vom 7. Oktober 2016 E. 6.2.2 mit Hinweisen). Sie stellte sodann fest, dass bei der Beschwerdeführerin im Jahre 2010/2011 ein "Erschöpfungssyndrom im Sinne eines Burnout-Syndrom" und eine "mittelgradig depressive Episode mit somatischem Syndrom" und im Jahre 2016 ein "Burnout-Syndrom mit schwerem Erschöpfungszustand" und eine wiederkehrende "depressive Störung" diagnostiziert wurde. Unter diesen Umständen verletzte die Vorinstanz kein Bundesrecht, wenn sie zwischen den verschwiegenen psychischen Erkrankungen der Jahre 2010/2011 und den nunmehr geltend gemachten, wiederkehrenden depressiven Beschwerden, für welche die Beschwerdeführerin von der Beschwerdegegnerin Taggelder beanspruchte, einen Zusammenhang im Sinne von <ref-law> bejahte.
5.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie überhaupt eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin, die nicht durch einen extern mandatierten Anwalt vertreten ist, steht keine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 4).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Oktober 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger