Faits :
A.
A.A._, ressortissant de la République démocratique du Congo né en 1987, est entré en Suisse en novembre 2009 et a déposé une demande d'asile, laquelle a été rejetée définitivement en mars 2012. En janvier 2011 est né B._, enfant issu de la relation du prénommé avec une ressortissante suisse épousée en mai 2011. Par la suite, l'intéressé a été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour. Le couple s'est séparé fin 2013.
B.
En janvier 2017, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service de la population) s'est déclaré favorable à la prolongation de l'autorisation de séjour de l'intéressé sous l'angle de l'art. 50 LEtr (LEI depuis le 1er janvier 2019; RS 142.20) et a transmis le dossier pour approbation au Secrétariat d'Etat aux migrations (ci-après: le SEM). Par décision du 12 mai 2017, le SEM, après avoir entendu l'intéressé, a refusé l'approbation à la prolongation d'une autorisation de séjour et lui a imparti un délai pour quitter la Suisse. Il a principalement retenu que si l'exigence d'un lien affectif particulièrement intense avec son enfant semblait remplie, tel n'était pas le cas du lien économique.
Par arrêt du 20 mars 2019, la Cour VI du Tribunal administratif fédéral (ci-après: le Tribunal administratif fédéral) a rejeté le recours interjeté par l'intéressé contre la décision précitée du SEM du 12 mai 2017.
C.
Par acte du 23 avril 2019, A.A._ a contesté devant le Tribunal fédéral l'arrêt susmentionné du Tribunal administratif fédéral en demandant, outre l'effet suspensif, le renouvellement de son autorisation de séjour. Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.
Par ordonnance présidentielle du 25 avril 2019, le Tribunal fédéral a admis la demande d'effet suspensif contenue dans le recours.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 116).
1.1. Le recourant a déclaré former un "recours". Cette désignation imprécise ne saurait lui nuire, à condition que le recours remplisse les exigences légales de la voie de droit qui lui est ouverte (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 370; arrêt 2C_340/2019 du 16 mai 2019 consid. 1.1).
1.2. Selon l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions relatives à une autorisation de droit des étrangers à laquelle ni le droit fédéral, ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit, sous l'angle de la recevabilité, qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et que, partant, la voie du recours en matière de droit public soit ouverte (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 332). Le recourant se prévaut de ses liens étroits avec son fils, citoyen suisse né en 2011. Cette relation est potentiellement de nature à lui conférer un droit à l'obtention d'une autorisation de séjour en Suisse (art. 50 al. 1 let. b LEI, 8 CEDH et 13 Cst.). Le recours échappe donc au motif d'irrecevabilité prévu à l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, étant précisé que le point de savoir si l'intéressé remplit les conditions pour obtenir l'autorisation requise relève du fond et non de la recevabilité (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 179). La voie du recours en matière de droit public est ainsi ouverte.
1.3. Pour le surplus, l'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>) rendue par une autorité cantonale supérieure de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d et 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>). Déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites (<ref-law>), par le destinataire de l'arrêt entrepris qui a qualité pour recourir (cf. <ref-law>), le recours est partant recevable.
1.4. Le recourant demande au Tribunal fédéral que la pièce n° 1 du dossier du SEM lui soit transmise et qu'un délai lui soit fixé pour prendre position. Le recourant ne se plaint toutefois pas d'une violation de son droit d'être entendu. Il ne prétend en particulier pas qu'une demande de sa part tendant à la consultation du dossier de la cause lui aurait été refusée par l'autorité précédente, ni n'explique en quoi il aurait été empêché de prendre position sur cette pièce dans son recours. Sa requête est ainsi irrecevable.
2.
2.1. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.4.3 p. 156). Le recourant ne peut critiquer les constatations de fait ressortant de la décision attaquée que si celles-ci ont été effectuées en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 6 p. 358). Conformément à l'<ref-law>, le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. Les faits et les critiques invoqués de manière appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 6.3 p. 375).
Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>). En principe, les nova ne sont pas admissibles, qu'il s'agisse de faits ou moyens de preuve survenus postérieurement à la décision attaquée, ou d'éléments que les parties ont négligé de présenter aux autorités cantonales (cf. <ref-ruling> consid. 3.1.2 p. 123; <ref-ruling> consid. 4.4.3 p. 128 s.).
2.2. En l'occurrence, le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir arbitrairement retenu qu'il n'existait une relation intense entre son fils et lui que depuis 2018. Il mentionne à cet égard les mesures protectrices de l'union conjugale du 8 avril 2015, un écrit du pédiatre de son enfant de mars 2017 et des attestations du Centre Social Régional Broye-Vully, qui établiraient selon lui son engagement auprès de son fils. Il n'explique toutefois pas en quoi ces éléments seraient propre à modifier l'issue du litige et son recours, sur ce point, ne répond pas aux exigences de l'<ref-law>. Au demeurant, supposé recevable, le grief devrait être écarté. En effet, les éléments que mentionne le recourant ne s'opposent pas à l'appréciation de l'autorité précédente. Celle-ci explique de façon soutenable pour quelles raisons elle estime que le lien affectif entre le recourant et son fils n'est particulièrement fort que depuis 2018 et pourquoi elle a retenu que ce premier ne bénéficiait d'un droit de visite usuel que depuis peu. Sur ce point, elle a relevé que les mesures protectrices de l'union conjugale du 8 avril 2015 n'octroyaient un tel droit de visite qu'à partir du moment où le recourant bénéficiera d'un logement approprié et constaté que celui-ci avait vécu à l'hôtel jusqu'en janvier 2018, soit dans un logement qui ne permettait pas de recevoir un enfant dans des conditions adéquates. Par ailleurs, l'autorité précédente ne nie pas que le recourant s'investit dans la prise en charge de son fils, ni qu'il exerce son droit de visite de manière effective (arrêt attaqué consid. 6.3.1). Elle retient cependant que le recourant n'avait pas tout entrepris pour améliorer sa situation relationnelle avec son fils, en essayant notamment de se reloger, ce que le recourant ne conteste pas, à tout le moins, sous l'angle de l'arbitraire.
Pour le surplus, dans la mesure où le recourant présente une argumentation partiellement appellatoire, en complétant librement l'état de fait retenu dans l'arrêt entrepris, sans invoquer l'arbitraire ou, lorsque c'est le cas, sans démontrer en quoi les faits retenus par l'instance précédente aurait été établis de manière insoutenable ou en violation du droit, le Tribunal fédéral ne peut pas en tenir compte.
En outre, les pièces postérieures à l'arrêt attaqué du 20 mars 2019, comme le contrat de mission du 28 mars 2019 et le courrier du 19 avril 2019, sont irrecevables, car nouvelles. Il en va de même des documents nouvellement produits devant le Tribunal fédéral, dans la mesure où l'on ne voit pas ce qui empêchait le recourant de les alléguer et de les produire devant l'autorité précédente.
Le Tribunal fédéral statuera donc sur la base des faits tels qu'ils ressortent de l'arrêt entrepris.
3.
Le recourant se plaint d'une violation de l'art. 50 LEI et de l'art. 8 CEDH. Il estime que le refus de prolonger son autorisation de séjour est contraire au principe de la proportionnalité.
3.1. Le recourant ne conteste pas, à raison, que l'union conjugale a duré moins de trois ans et que les conditions de l'art. 50 al. 1 let. a LEI ne sont partant pas remplies.
3.2. Concernant l'art. 50 al. 1 let. b LEI, le Tribunal administratif fédéral a correctement présenté la pratique en matière de raisons personnelles majeures, notamment lorsqu'il est question d'une relation avec un enfant séjournant durablement en Suisse (cf. <ref-ruling> consid. 4.1 p. 24; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 318 s.), en application de l'art. 8 CEDH (cf. <ref-ruling> consid. 5 p. 96 ss). Il a en particulier à juste titre rappelé que, sous l'angle du droit à une vie familiale (cf. art. 8 par. 1 CEDH), le parent étranger qui dispose d'un droit de visite sur son enfant habilité à résider en Suisse peut en principe exercer ce droit même s'il vit à l'étranger (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 96 s. et les références citées; <ref-ruling> consid. 5.5.4 p. 32). L'autorité précédente a également mentionné, à raison, qu'un droit plus étendu ne pouvait le cas échéant exister qu'en présence 1) des relations étroites et effectives avec l'enfant d'un point de vue affectif et 2) d'un point de vue économique, 3) de l'impossibilité pratique à maintenir la relation en raison de la distance qui sépare le pays de résidence de l'enfant du pays d'origine de son parent et 4) d'un comportement irréprochable. Ces exigences doivent être appréciées ensemble et faire l'objet d'une pesée des intérêts globale (cf. <ref-ruling> consid. 5.2 p. 97 s. et les références citées). La titularité de l'autorité parentale conjointe sur l'enfant, comme en l'espèce, ne s'oppose pas à ce qui précède (cf. <ref-ruling> consid. 5.2.1 p. 98). Pour le surplus, il peut être renvoyé à l'arrêt attaqué (<ref-law>).
3.3. En l'occurrence, dans une appréciation globale du cas, l'instance précédente a retenu, sans arbitraire, qu'il existait un lien affectif particulièrement fort entre le recourant et son fils, depuis environ mars 2018. Elle a en revanche nié l'existence d'un lien économique étroit, en relevant que le recourant n'avait jamais été astreint à verser une pension alimentaire, faute de moyens financiers, et après avoir examiné dans quelle mesure il était exigible d'attendre du recourant qu'il entretienne un lien économique avec son enfant. A cet égard, l'autorité précédente a en particulier pris en compte la situation financière et professionnelle de l'intéressé, les efforts entrepris par celui-ci pour créer un lien économique avec son fils, ainsi que les prestations financières qu'il aurait fournies dans un autre cadre, y compris en nature. Elle a ainsi retenu que le recourant n'avait pas établi avoir participé de manière significative à l'entretien de son fils, alors qu'il aurait été possible et raisonnablement exigible qu'il contribue, du moins par moment, à l'entretien de celui-ci et crée ainsi une relation économique avec lui. En outre, le Tribunal administratif fédéral a relevé que le recourant ne saurait se targuer d'un comportement irréprochable. Celui-ci a notamment été condamné pénalement à deux reprises: en 2013 et en 2015, respectivement, à 15 et 30 jours-amende, ainsi qu'à des peines d'amende pour des infractions aux règles de la circulation routière. En outre, il ressort également des faits de l'arrêt attaqué que le recourant a bénéficié de l'aide sociale durant de nombreuses années, à savoir jusqu'en 2017 (ayant touché, en partie avec son épouse, plus de 200'000 fr. depuis juillet 2011), qu'il a perçu indûment des prestations des services sociaux pendant plusieurs mois et qu'il a encore récemment accumulé des dettes et fait, depuis 2014, l'objet d'actes de défaut de bien pour plus de 33'000 fr., sans n'avoir rien entrepris pour se désendetter lorsqu'il bénéficiait d'un contrat à durée indéterminée.
3.4. Sur le vu de ces éléments, le Tribunal administratif fédéral n'a pas violé le droit fédéral en retenant que l'existence récente d'un lien affectif particulièrement fort, ainsi que l'intérêt de l'enfant à vivre auprès de son père (qui doit être pris en compte dans l'examen de la proportionnalité; cf. <ref-ruling> consid. 5.2 p. 97 s.), ne sauraient contrebalancer l'absence d'efforts entrepris pour créer un lien économique et respecter l'ordre juridique suisse. Par ailleurs, sous l'angle de la relation économique, le Tribunal administratif fédéral a, à raison, examiné dans quelle mesure on pouvait attendre du recourant qu'il entretienne une relation forte avec son fils, sans se limiter à la question de l'obligation de verser une pension alimentaire. L'arrêt rendu par la Cour EDH le 8 juillet 2014 (n° 3910/13) dont se prévaut le recourant ne lui est d'aucun secours. En effet, dans cet arrêt, il avait été reproché au Tribunal administratif fédéral d'avoir refusé l'admission provisoire d'un père sans prendre suffisamment en compte ses problèmes de santé et l'intérêt de l'enfant. Or, l'objet du présent cas est différent puisqu'il porte sur la prolongation d'une autorisation de séjour du recourant. En outre, dans la présente affaire, le recourant ne prétend pas avoir des problèmes de santé qui rendraient inexigible un retour dans son pays d'origine et l'autorité précédente n'a pas négligé les intérêts de l'enfant à vivre en Suisse auprès de son père. En particulier, elle n'a pas nié qu'un retour du recourant en République démocratique du Congo aura des effets préjudiciables sur leur relation. Elle a toutefois également relevé, à juste titre, que des contacts pourront tout de même être maintenus par le biais des moyens de communication modernes.
3.5. Enfin, l'autorité précédente a à bon droit nié l'existence d'autres raisons personnelles majeures au sens de l'art. 50 al. 1 let. b LEI. Il peut également être renvoyé à l'arrêt querellé sur ce point (<ref-law>). Le Tribunal administratif fédéral ne prête dès lors pas le flanc à la critique lorsqu'il confirme le refus d'approuver la prolongation de l'autorisation de séjour du recourant.
4.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours, en application de la procédure de l'<ref-law>. Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Secrétariat d'Etat aux migrations, au Tribunal administratif fédéral, Cour VI et au Service de la population du canton de Vaud.
Lausanne, le 27 juin 2019
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : de Chambrier