Faits :
A.
Par jugement du 30 mars 2020, le Tribunal d'application des peines et des mesures genevois (ci-après : TAPEM) a ordonné la poursuite du traitement institutionnel dont bénéficie A._, jusqu'au prochain contrôle annuel.
B.
Par arrêt du 2 juin 2020, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève a rejeté le recours formé par A._ contre ce jugement.
Il en ressort ce qui suit.
B.a. A._, ressortissant suisse et haïtien, est né en 1977.
Son casier judiciaire fait état d'une condamnation, en 2011, pour délit contre la LStup et blanchiment d'argent, d'une condamnation, en 2015, pour opposition aux actes de l'autorité, divers délits et contraventions à la LCR et contravention à la LStup, ainsi que d'une condamnation, en 2018, pour lésions corporelles simples, dommages à la propriété et injure.
B.b. Par jugement du 30 mai 2018, le Tribunal correctionnel de la République et canton de Genève a condamné A._, pour lésions corporelles graves, à une peine privative de liberté de neuf mois. Il a en outre ordonné, au profit du prénommé, un traitement thérapeutique institutionnel au sens de l'<ref-law>. Il a en substance été retenu que A._ avait, le 29 juillet 2017, attiré dans sa chambre le concierge de l'hôtel dans lequel il résidait et l'avait frappé en divers endroits, lui causant plusieurs lésions. L'intéressé avait expliqué aux policiers, puis aux différents intervenants, qu'il aurait été harcelé depuis des mois par des inconnus qui s'introduisaient dans sa chambre nuitamment pour lui couper les cheveux et la barbe durant son sommeil, et qu'il aurait à cet égard soupçonné le concierge car ce dernier possédait une clé.
Dans le cadre de cette procédure, une expertise psychiatrique avait été mise en oeuvre. Dans un rapport du 11 janvier 2018, les experts avaient posé un diagnostic de psychose dissociative. Au moment des faits, A._ avait souffert d'une schizophrénie paranoïde, voire héboïdophrénique, de sévérité élevée, sa responsabilité ayant été fortement restreinte. Les experts avaient par ailleurs indiqué qu'en raison du caractère chronique et envahissant de la maladie, il existait un risque important de récidive d'actes de violence. Selon eux, un traitement médical dispensé en milieu institutionnel fermé semblait nécessaire pour la prise en charge du trouble mental diagnostiqué et afin de diminuer le risque de récidive.
A._ a été incarcéré en prison du 30 juillet 2017 au 20 mai 2019, date à laquelle il a été transféré dans l'établissement de B._.
B.c. Selon le rapport d'évaluation du 10 octobre 2019 établi par le Service des mesures institutionnelles (ci-après : SMI), A._ avait, pendant l'entretien, présenté un récit laconique, sans contextualisation dans le temps, avec une absence frappante d'investissement émotionnel. Le prénommé niait les faits ayant conduit à son arrestation, qu'il qualifiait de "bagarre". Les éléments délirants de persécution étaient bien présents. L'anosognosie était complète. En conclusion, A._ présentait, "en plus d'une symptomatologie délirante floride, des symptômes négatifs en premier plan, tels que l'appauvrissement de la pensée jusqu'à l'alogie, l'isolement, l'abrasement majeur des affects et une certaine forme d'aboulie". Le diagnostic posé par les experts psychiatres, soit une schizophrénie heboïdophrénique, apparaissait tout à fait pertinent, ainsi que l'orientation vers un placement en milieu fermé.
B.d. Une séance de réseau s'est tenue le 21 octobre 2019. Au terme de la discussion entre les intervenants, le diagnostic de schizophrénie paranoïde a été repris, mais aucun symptôme psychotique, idée délirante franche ou bizarrerie n'avait été observé. Le bilan neuropsychologique effectué en octobre 2019 avait mis en évidence une absence de retard mental mais des difficultés et des limites à la cognition sociale et la reconnaissance des émotions ressenties par autrui. Le maintien du placement à B._ était préavisé, pour continuer le suivi et permettre de confirmer ou infirmer les conclusions de l'expertise réalisée en 2018.
B.e. La direction de B._ a préavisé, le 1er novembre 2019, en faveur du maintien de la mesure actuelle et de la poursuite du séjour de A._ dans l'établissement.
B.f. Selon le rapport de suivi médico-psychologique établi par le SMI le 7 janvier 2020, A._ n'avait pas souhaité entamer de suivi avec la psychologue de l'unité ni ne bénéficiait d'aucun traitement médicamenteux. Sur le plan clinique, le prénommé faisait preuve de stabilité depuis son admission dans l'établissement en mai 2019. Il ne manifestait pas d'hostilité ni ne tenait des propos menaçants. Son humeur était globalement stable. Aucun trouble formel de la pensée ou de contenu mental délirant n'avait été objectivé, ni aucun trouble de la perception détecté. Le bilan neuropsychologique, effectué en octobre 2019, avait mis en évidence un fonctionnement intellectuel limite, caractérisé par un faible niveau de raisonnement verbal et perceptif. Selon les médecins, l'attitude de A._ reflétait une remise en question quasi inexistante couplée à une anosognosie complète, en lien avec une forte peur de la stigmatisation. L'intéressé espérait que l'absence de symptômes durables persuaderait les autorités du défaut d'indication pour la poursuite de sa détention à B._. Les médecins avaient conclu à l'absence de symptomatologie floride du registre psychotique. L'établissement d'un lien thérapeutique avec A._ représentait l'objectif principal pour la suite de sa prise en charge. Une clarification du contour diagnostique serait faite d'ici au prochain rapport, en se fondant sur la capacité de l'intéressé à gérer des frustrations et investir les relations interpersonnelles.
B.g. Le 17 janvier 2020, le Service de l'application des peines et mesures (ci-après : SAPEM) a préavisé en faveur du maintien de la mesure institutionnelle. Aucune progression n'avait été réalisée par A._, lequel avait besoin d'être encadré et suivi pour le traitement de la schizophrénie heboïdophrénique, afin d'éviter tout risque de récidive.
B.h. Par requête du 24 février 2020, le ministère public a conclu au maintien de la mesure thérapeutique.
C.
A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 2 juin 2020, en concluant, avec suite de frais et dépens, à sa réforme en ce sens que le SAPEM est enjoint de saisir la Commission d'évaluation de la dangerosité (ci-après : CED) à très bref délai et que la procédure est suspendue jusqu'à réception du préavis de cette commission. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.

Considérant en droit :
1.
Aux termes de l'<ref-law>, sont notamment sujettes au recours en matière pénale les décisions sur l'exécution de peines et de mesures.
2.
Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir violé l'<ref-law>.
2.1. Selon l'<ref-law>, lorsque l'auteur souffre d'un grave trouble mental, le juge peut ordonner un traitement institutionnel si l'auteur a commis un crime ou un délit en relation avec ce trouble (let. a) et qu'il est à prévoir que cette mesure le détournera de nouvelles infractions en relation avec ce trouble (let. b).
Aux termes de l'<ref-law>, l'autorité compétente examine, d'office ou sur demande, si l'auteur peut être libéré conditionnellement de l'exécution de la mesure ou si la mesure peut être levée et, si tel est le cas, quand elle peut l'être. Elle prend une décision à ce sujet au moins une fois par an. Au préalable, elle entend l'auteur et demande un rapport à la direction de l'établissement chargé de l'exécution de la mesure (al. 1). Si l'auteur a commis une infraction prévue à l'<ref-law>, l'autorité compétente prend une décision sur la base d'une expertise indépendante, après avoir entendu une commission composée de représentants des autorités de poursuite pénale, des autorités d'exécution et des milieux de la psychiatrie. L'expert et les représentants des milieux de la psychiatrie ne doivent ni avoir traité l'auteur ni s'être occupés de lui d'une quelconque manière (al. 2).
Le rapport exigé par l'<ref-law> doit émaner du médecin traitant, dresser un bilan du traitement, comporter les éléments d'appréciation médicaux utiles à l'évaluation de la dangerosité actuelle de l'auteur et se prononcer sur l'évolution probable de ces éléments en cas de poursuite du traitement selon les modalités les plus indiquées (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 202).
2.2. La cour cantonale a exposé que, selon l'expertise psychiatrique de 2018, le recourant souffrait d'un grave trouble mental et présentait un risque de récidive important d'actes de violence. Au moment de l'établissement du dernier rapport de suivi médico-psychologique, le 7 janvier 2020, le recourant était observé depuis un peu plus de sept mois. Il ressortait du dossier que si le recourant n'avait pas, durant ce laps de temps, présenté de symptôme de type psychotique, celui-ci était anosognosique, minimisait les faits - voire se présentait comme une victime -, niait tout lien entre son passage à l'acte et un trouble mental, n'acceptait pas de traitement médicamenteux ou psychothérapeutique, n'avait créé aucun lien thérapeutique ni n'avait entamé de remise en question. En l'état, aucun bilan ne pouvait encore être tiré de l'absence d'agressivité chez le recourant relevée par les médecins. Le risque de récidive d'actes violents, constaté par les experts psychiatres en 2018, ne s'était aucunement atténué. Les médecins du SMI, qui n'avaient pas remis en doute les conclusions de l'expertise de 2018, même s'ils n'avaient pas constaté de manifestations psychotiques, considéraient que l'observation du recourant, en milieu fermé, devait se poursuivre afin de clarifier le diagnostic ainsi que de déterminer la capacité de ce dernier à gérer les frustrations et à investir les relations interpersonnelles. La mesure institutionnelle en milieu fermé conservait ainsi ses chances de succès.
Selon l'autorité précédente, l'absence au dossier d'une nouvelle expertise et d'un préavis de la CED n'était pas critiquable. Le TAPEM n'avait pas été saisi d'une demande de libération conditionnelle de la mesure, et le recourant n'avait pris aucune conclusion en ce sens. Pour décider de la poursuite d'une mesure, le juge devait se fonder tout d'abord sur la requête ou l'avis de l'autorité d'exécution. Une expertise ne devait être mise en oeuvre que si le juge l'estimait nécessaire. Il en allait de même s'agissant du préavis de la CED, laquelle ne devait être consultée qu'en vue d'une libération conditionnelle, non pour chaque contrôle annuel. Dès lors que les conditions pour une éventuelle levée de la mesure n'étaient manifestement pas réunies en l'espèce, le TAPEM avait pu valablement prendre sa décision sans demander l'avis de la CED ni ordonner la mise en oeuvre d'une nouvelle expertise, celle figurant au dossier n'étant pas ancienne et la situation du recourant n'ayant pas évolué de façon à la faire apparaître comme obsolète. La cour cantonale a ajouté que puisque l'expertise psychiatrique de 2018 avait été réalisée sans entretien avec le recourant - ce dernier l'ayant refusé -, que l'intéressé paraissait désormais vouloir y prendre part et que les médecins de B._ n'avaient pas constaté de troubles psychotiques durant sept mois, une nouvelle expertise psychiatrique devrait être ordonnée en vue du prochain contrôle annuel de la mesure, le SAPEM étant invité à mettre en oeuvre celle-ci.
2.3. Dans le cadre de l'examen de la libération ou de la levée de la mesure, l'<ref-law> distingue le cas dans lequel l'auteur a commis une infraction prévue à l'<ref-law> (<ref-law>) et celui dans lequel tel n'est pas le cas (<ref-law>). Ce n'est que dans le cas où l'auteur a commis une infraction prévue à l'<ref-law> que la décision en question doit être, selon la lettre de la loi, fondée sur une expertise indépendante ainsi que sur l'audition d'une commission composée de représentants des autorités de poursuite pénale, des autorités d'exécution et des milieux de la psychiatrie. Ces exigences doivent constituer un "verrou de sécurité supplémentaire" pour une libération conditionnelle ou une levée de la mesure, s'agissant "d'auteurs d'actes de violence dangereux" (cf. Message concernant la modification du code pénal suisse [dispositions générales, entrée en vigueur et application du code pénal] et du code pénal militaire ainsi qu'une loi fédérale régissant la condition pénale des mineurs du 21 septembre 1998, FF 1999 II 1787, 1895).
Ainsi, dès lors que le recourant a été condamné pour lésions corporelles graves - infraction énoncée à l'<ref-law> -, une libération conditionnelle ou une levée de sa mesure aurait, selon l'<ref-law>, notamment supposé que l'autorité compétente fonde sa décision sur une expertise indépendante ainsi que sur l'audition d'une commission composée de représentants des autorités de poursuite pénale, des autorités d'exécution et des milieux de la psychiatrie, afin que toutes les précautions nécessaires soient prises s'agissant d'un auteur d'actes violents dangereux. Or, en l'occurrence, aucun intervenant, non plus que le recourant, n'a envisagé une libération conditionnelle ou une levée de la mesure prononcée en faveur de celui-ci. Point n'était donc besoin de recueillir les avis évoqués à l'<ref-law> pour ordonner la poursuite de ladite mesure. Il serait en effet contraire à la ratio legis de l'<ref-law> que la simple poursuite d'une mesure thérapeutique institutionnelle puisse être ordonnée sur la seule base de l'audition de l'auteur et d'un rapport de la direction de l'établissement chargé de l'exécution de la mesure lorsqu'une infraction ne pouvant pas fonder un internement a été commise, mais que cette même poursuite nécessite - s'agissant d'un auteur d'actes de violence énumérés à l'<ref-law> - des renseignements supplémentaires dont la récolte a été exigée par le législateur afin de mieux garantir la sécurité publique.
Dans l'arrêt publié aux <ref-ruling> - auquel se réfère le recourant - le Tribunal fédéral avait certes admis un recours en constatant que l'autorité compétente n'avait pas procédé à l'audition d'une commission de représentants des autorités de poursuite pénale, des autorités d'exécution et des milieux de la psychiatrie avant de refuser d'accorder à l'auteur une libération conditionnelle de sa peine privative de liberté exécutée avant un internement. Dans ce cas, le Tribunal fédéral avait seulement estimé qu'il ne se justifiait pas de poser des exigences moindres que celles ressortant de l'art. 64b al. 2, respectivement 62d al. 2 CP, dès lors que le risque potentiel présenté par l'auteur n'est pas moins important. En outre, dans l'affaire concernée, l'auteur reprochait aux autorités cantonales d'avoir formulé un pronostic défavorable pour lui refuser la libération conditionnelle, tandis que le recourant ne prétend pas, dans la présente cause, qu'il pourrait bénéficier d'une libération conditionnelle ou d'une levée de la mesure.
Compte tenu de ce qui précède, le dossier sur la base duquel la cour cantonale a pris sa décision n'était pas incomplet. Le droit d'être entendu du recourant n'a aucunement été violé à cet égard. Ce dernier n'émet d'ailleurs aucune critique concernant l'expertise psychiatrique de 2018 - sur laquelle l'autorité précédente a fondé sa décision -, ou relative à un autre avis exprimé par l'un des intervenants, si bien qu'on ignore absolument ce qu'il entendait déduire d'une nouvelle expertise psychique ou d'un avis de la CED.
A défaut de violation de l'<ref-law> par la cour cantonale, le grief doit être rejeté.
3.
Le recours doit être rejeté. Comme il était voué à l'échec, l'assistance judiciaire doit être refusée (<ref-law>). Le recourant, qui succombe, supporte les frais judiciaires (<ref-law>), fixés en tenant compte de sa situation financière, qui n'apparaît pas favorable.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'200 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre pénale de recours.
Lausanne, le 11 novembre 2020
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Graa