Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer reichte am 3. September 2020 (Poststempel) eine Beschwerde gegen das Bezirksgericht Zürich beim Obergericht des Kantons Zürich ein. Hintergrund bildet offenbar eine Schadenersatzklage wegen früherer vormundschaftsrechtlicher Massnahmen und der Vorwurf der Rechtsverweigerung. Mit Verfügung vom 14. Dezember 2020 setzte das Obergericht dem Beschwerdeführer eine Frist bis zum 12. Januar 2021 zur Bezahlung eines Gerichtskostenvorschusses von Fr. 2'000.-- an.
Gegen diese Verfügung hat der Beschwerdeführer am 23. Dezember 2020 Beschwerde an das Bundesgericht erhoben.
2.
Die angefochtene Verfügung ist ein Zwischenentscheid nach <ref-law>, der vor Bundesgericht nur eingeschränkt angefochten werden kann. Vorliegend ist erforderlich, dass er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könnte (<ref-law>), was vom Beschwerdeführer darzulegen ist. Er legt jedoch keinen solchen Nachteil dar. Insbesondere zeigt er nicht auf, dass er finanziell nicht in der Lage wäre, den Kostenvorschuss zu bezahlen (<ref-ruling> E. 2 S. 800 ff.). Er macht auch nicht geltend, das Obergericht habe ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege übergangen.
Die Beschwerde ist damit offensichtlich unzulässig. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch den Abteilungspräsidenten nicht einzutreten (<ref-law>).
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Eine Parteientschädigung an ihn fällt ausser Betracht (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Januar 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Zingg