Erwägungen:
1.
A._ (Beschwerdeführer) klagte am 17. Juni 2019 vor dem Bezirksgericht U._ gegen B._ und die C._ GmbH auf Bezahlung von EUR 850'000.-- zuzüglich Zins als "Entgelt [...] für den Aktienverkauf gemäss 7seitige Vereinbarung vom 26.02.2010". Mit Verfügung vom 17. Juli 2019 wies der Präsident des Bezirksgerichts das Gesuch von A._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für dieses Verfahren wegen Aussichtslosigkeit ab.
Die dagegen von A._ erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 21. August 2019 ab.
A._ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, der Entscheid des Obergerichts sei aufzuheben und es sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, eventualiter sei die Sache an das Obergericht zurückzuweisen. Zudem hat er dem Sinn nach um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht ersucht.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Das Obergericht hat als letzte kantonale Instanz im Sinne von <ref-law> entschieden. Demgegenüber ist das Bezirksgericht keine direkte Vorinstanz des Bundesgerichts und die Beschwerde somit von vornherein unzulässig, soweit sie sich direkt gegen seine - vom Obergericht in Erwägung 2.3 zusammengefassten - Erwägungen richtet.
Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann. Dafür muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen).
3.
Die Beschwerde genügt den dargelegten Begründungsanforderungen über weite Strecken nicht, da der Beschwerdeführer darin nicht hinreichend auf die Erwägungen der Vorinstanz eingeht und zudem nach Belieben von den tatsächlichen Feststellungen des angefochtenen Entscheids abweicht, ohne im Einzelnen Sachverhaltsrügen gemäss den eben dargelegten Grundsätzen zu formulieren oder aufzuzeigen, inwiefern seine neuen Vorbringen nach <ref-law> zulässig sein sollen.
Soweit der Beschwerdeführer rügen möchte, die Abtretung der von der C._ GmbH ihm gegenüber zur Verrechnung gebrachten Forderung hätte vom Bezirksgericht bei der Beurteilung der Erfolgsaussichten seiner Klage nicht berücksichtigt werden dürfen, da davon "bisher im ganzen Verfahren seit [s]einer Klage nie die Rede" gewesen sei, ist ausserdem nicht erkennbar, dass er bereits vor dem Obergericht eine dahingehende Rüge formuliert hätte. Damit fehlt es insofern an der materiellen Ausschöpfung des Instanzenzugs (siehe <ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen).
Schliesslich ist nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz Bundesrecht verletzt haben soll, wenn sie die neuen Tatsachenbehauptungen des Beschwerdeführers im kantonalen Beschwerdeverfahren gestützt auf <ref-law> und unter Hinweis auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung zu dieser Bestimmung (Urteil 5A_405/2011 vom 27. September 2011 E. 4.5.3, nicht publ. in: <ref-ruling>) nicht zugelassen hat.
4.
Die Beschwerde ist offensichtlich unbegründet und daher im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen, weil die Beschwerde von vornherein aussichtslos war (siehe <ref-law>). Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten gemäss <ref-law> dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Es ist keine Parteientschädigung zu sprechen (siehe <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. September 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz