Fatti:
A.
A._, cittadino italiano nato nel [...], è giunto in Svizzera il 9 marzo 2012, ottenendo un permesso di dimora UE/AELS con una validità di cinque anni, ovvero fino all'8 marzo 2017, per svolgere un'attività lucrativa dipendente.
Il 14 dicembre 2016 egli ha domandato che gli fosse rilasciato un permesso di domicilio UE/AELS.
B.
Dopo averlo fatto sentire dalla polizia cantonale, con decisione del 15 giugno 2018 la Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino ha negato ad A._ il rilascio del permesso di domicilio UE/AELS, revocandogli nel contempo (recte: non rinnovandogli, dato che il permesso precedente era "scaduto" l'8 marzo 2017) l'autorizzazione di dimora UE/AELS di cui disponeva, in ragione del fatto che il centro dei suoi interessi non si trovava nel nostro Paese, bensì in Italia.
Su ricorso dell'interessato, tale provvedimento è stato confermato anche dal Consiglio di Stato ticinese (20 marzo 2019).
C.
Pronunciandosi sull'impugnativa di A._ contro la decisione del Governo cantonale - per mezzo della quale veniva chiesto il rilascio di un permesso di domicilio o, in subordine, il rinnovo del permesso di dimora - con sentenza del 7 gennaio 2021 il Tribunale amministrativo ticinese l'ha invece parzialmente accolta, retrocedendo gli atti alle autorità migratorie, affinché decidessero:
(a) in via principale, sulla domanda di rilascio di un permesso di domicilio UE/AELS, che le stesse non avevano sin qui realmente esaminato sebbene, in base agli accordi conclusi tra Svizzera ed Italia, A._ avesse di principio la possibilità di chiederlo; (b) in subordine, sulla domanda di rinnovo del permesso di dimora UE/AELS, che non poteva essere respinta solo perché A._ mantiene con l'estero degli stretti legami familiari e affettivi, e in relazione alla quale nemmeno sono date rispettivamente sostanziate le condizioni per riconoscere un abuso di diritto.
D.
Con ricorso in materia di diritto pubblico del 10 febbraio 2021, la Segreteria di Stato della migrazione domanda al Tribunale federale che, in riforma del giudizio impugnato, le autorità migratorie ticinesi siano incaricate di rilasciare ad A._ un permesso quale lavoratore frontaliere UE/AELS.
Nel corso della procedura, la Corte cantonale ha chiesto la conferma della propria sentenza e alla stessa ha rinviato anche l'opponente. Il Consiglio di Stato si è rimesso al giudizio del Tribunale federale, mentre la Sezione della popolazione ha domandato: in via principale, che il ricorso sia accolto e la causa le sia rinviata per procedere al rilascio di un permesso per lavoratore frontaliere UE/AELS; in via subordinata, che il ricorso sia accolto e la causa le sia rinviata per nuovo esame.

Diritto:
1.
1.1. Il ricorso ha per oggetto un giudizio reso in ultima istanza cantonale da un tribunale superiore (art. 86 cpv. 1 lett. d e cpv. 2 LTF), è stato redatto nei termini (<ref-law>) da un'autorità legittimata in tal senso (<ref-law> in relazione con l'art. 14 cpv. 2 dell'ordinanza del 17 novembre 1999 sull'organizzazione del Dipartimento federale di giustizia e polizia [Org-DFGP; RS 172.213.1]) e sfugge all'art. 83 lett. c n. 2 LTF, perché domanda la verifica della reale estensione del diritto di soggiorno che l'accordo del 21 giugno 1999 sulla libera circolazione delle persone (ALC; RS 0.142.112.681) riconosce all'opponente (<ref-ruling> consid. 4.4.4; sentenza 2C_108/2020 del 10 luglio 2020 consid. 1, non pubblicato in 147 II 35). Nel contempo, la procedura riguarda il diritto a un permesso di domicilio ai sensi dell'accordo italo-svizzero del 10 agosto 1964 relativo all'emigrazione dei lavoratori italiani in Svizzera (RS 0.142.114.548; sentenze 2C_615/2020 del 20 maggio 2021 consid. 1.2; 2C_1008/2019 del 13 marzo 2020 consid. 1 e 2C_439/2018 del 7 maggio 2019 consid. 3.3).
Sotto i profili indicati, l'ammissibilità del gravame come ricorso ordinario in materia di diritto pubblico è quindi data.
1.2. La querelata sentenza non termina tuttavia la procedura, iniziata nel dicembre 2016 con la richiesta di rilascio di un permesso di domicilio, ma rinvia la causa alle autorità migratorie ticinesi.
Nella stessa, i Giudici cantonali hanno infatti osservato che la conclusione secondo cui l'autorizzazione di dimora UE/AELS dell'opponente era decaduta prima di giungere a scadenza (8 marzo 2017) era errata, e non poteva essere quindi condivisa; dopo di che, hanno constatato che sulla domanda di rilascio di un permesso di domicilio UE/AELS, il Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino non si era sin lì realmente pronunciato, poiché si era limitato a respingerla con riferimento alla decadenza medesima, che però non c'era stata. Di conseguenza, hanno deciso di rimandare gli atti all'autorità di prima istanza: (a) innanzitutto, per esaminare l'esistenza dei presupposti per accordare un'autorizzazione di domicilio UE/AELS, segnatamente in base agli accordi bilaterali conclusi tra Svizzera ed Italia; (b) qualora ciò non dovesse essere il caso - e quindi in subordine - per esprimersi sul rinnovo del permesso di dimora UE/AELS, tenendo conto di quanto esposto in merito nella pronuncia cantonale.
1.3. Il ricorso in materia di diritto pubblico è possibile contro decisioni che mettono fine al procedimento (<ref-law>; decisioni finali), oppure - a determinate condizioni - a una parte di esso (<ref-law>; decisioni parziali). Contro decisioni pregiudiziali e incidentali notificate separatamente, che non riguardano né la competenza né la ricusazione (<ref-law>), è invece lecito solo quando queste possono causare un pregiudizio irreparabile (<ref-law>) o l'accoglimento del ricorso comporterebbe immediatamente una decisione finale, consentendo di evitare una procedura probatoria defatigante o dispendiosa (<ref-law>). L'impugnazione autonoma di simili decisioni è infatti un'eccezione al principio secondo cui il Tribunale federale deve potersi esprimere su una fattispecie una sola volta ed è permessa unicamente in presenza di requisiti precisi, che occorre ammettere con riserbo (<ref-ruling> consid. 2.2 e 141 III 80 consid. 1.2; sentenza 2C_804/2019 del 21 aprile 2020 consid. 1.1.1).
Le decisioni di rinvio hanno di regola un carattere incidentale, perché non terminano la procedura (<ref-ruling> consid. 1.3 pag. 127 e 133 V 477 consid. 4 pag. 480 segg.). La situazione è diversa quando l'autorità alla quale è rimandata la causa non ha più nessuno spazio di manovra e il rinvio serve solo a mettere in atto quanto deciso in maniera vincolante dall'istanza di ricorso; in questo caso, la decisione di rinvio va infatti assimilata a una decisione finale, direttamente impugnabile davanti al Tribunale federale (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 1.3).
1.4. Con la sua impugnativa, nella quale viene sostenuto che "sancendo che la Sezione della popolazione deve rinnovare il permesso di dimora UE/AELS ad A._ - con riserva di un'eventuale concessione del permesso di domicilio UE/AELS - il Tribunale amministrativo del Cantone Ticino ha violato il diritto federale", la Segreteria di Stato della migrazione ritiene che proprio una situazione come quella appena descritta (caratterizzata dalla totale assenza di margine di manovra da parte dell'autorità alla quale è rinviato l'incarto) sia data anche nella fattispecie concreta.
Questo punto di vista non può essere tuttavia condiviso. In effetti, è vero che in merito al rinnovo del permesso di dimora UE/AELS, la Corte cantonale ha dato alle autorità migratorie delle istruzioni precise: indicando in sostanza alle stesse che, in presenza di una situazione di fatto invariata, come quella accertata nel giudizio impugnato, l'autorizzazione andrebbe rinnovata. Altrettanto vero è però: (a) che il Tribunale cantonale amministrativo non ha imposto alla Sezione della popolazione di rinnovare il permesso di dimora UE/AELS, "con riserva di un'eventuale concessione del permesso di domicilio UE/AELS", come indicato nel ricorso, bensì di esaminare in primo luogo l'esistenza delle condizioni per il rilascio di un permesso di domicilio, sin qui non ancora verificate; (b) che la questione del rinnovo del permesso di dimora si porrà e sarà quindi attuale solo se il rispetto delle condizioni per il rilascio di un permesso di domicilio dovesse essere negato; (c) che la Segreteria di Stato della migrazione osserva certo di non condividere nemmeno l'ipotesi del rilascio di un permesso di domicilio, ma che anche in questo contesto una decisione finale non è data; (d) che in merito alla questione prioritaria del diritto al rilascio di un permesso di domicilio le autorità migratorie ticinesi hanno in effetti facoltà di pronunciarsi del tutto libere da istruzioni da parte delle autorità giudiziarie, sia per quanto riguarda l'accertamento dei fatti che per quanto attiene all'applicazione del diritto; (e) che, nelle circostanze descritte, caratterizzate dalla priorità dell'esame del rilascio di un permesso di domicilio rispetto a quella del rinnovo del permesso di dimora e dalla pronuncia su questi due aspetti nell'ambito di un unico giudizio, è infine a priori escluso pure il richiamo all'<ref-law>, che definisce la facoltà di ricorso contro decisioni parziali, concernenti conclusioni che possono essere giudicate indipendentemente da altre (<ref-ruling> consid. 2.1 e 141 III 395 consid. 2.2).
1.5. Anche la querelata sentenza è quindi una decisione incidentale di rinvio, impugnabile soltanto in via di eccezione, se può causare un pregiudizio irreparabile (art. 93 cpv. 1 lett. a), oppure se l'accoglimento del ricorso può comportare immediatamente una decisione finale, consentendo così di evitare una procedura probatoria defatigante o dispendiosa (art. 93 cpv. 1 lett. b).
1.5.1. Ora, a tale riguardo va innanzitutto osservato che le condizioni poste dall'<ref-law> non sono adempiute, ciò che non viene del resto nemmeno preteso nell'impugnativa. Il rinvio dell'incarto alle autorità migratorie non appare infatti comportare nessuna procedura probatoria defatigante o dispendiosa, che è data unicamente se - sia per durata che per costi - si scosta in modo notevole da un processo abituale (sentenza 2C_693/2020 del 29 luglio 2021 consid. 1.4.2). Nel contempo, va constatato che una pronuncia nel senso richiesto dalla Segreteria di Stato della migrazione - nella forma di una decisione finale, atta a concludere la causa con il riconoscimento del diritto al rilascio di un permesso quale lavoratore frontaliere - presupporrebbe l'esistenza della possibilità di scartare non solo l'ipotesi del rilascio di un permesso di dimora, ma anche quella del rilascio di un permesso di domicilio: che non è stata finora verificata da nessuna istanza cantonale e in relazione alla quale non sono pertanto stati svolti nemmeno accertamenti di fatto specifici, su cui il Tribunale federale si possa a sua volta basare (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 5.3.2; sentenza 2C_262/2015 dell'8 gennaio 2016 consid. 7.2).
1.5.2. Oltre che le condizioni per ammettere un'entrata in materia in base all'<ref-law>, date rispettivamente sostanziate non sono però nemmeno quelle per ammettere un'entrata in materia in base all'<ref-law>. La Segreteria di Stato della migrazione, legittimata ad insorgere in questa sede in ragione dell'<ref-law> in relazione con l'<ref-law>, non risulta infatti avere già partecipato alla procedura davanti all'istanza precedente; d'altra parte, giusta l'<ref-law> dispone di principio anche della possibilità di ricorrere in sede cantonale contro una nuova decisione della Sezione della popolazione. Se necessario, avrà quindi la facoltà di adire le varie istanze di ricorso anche in seguito, compreso il Tribunale federale, davanti al quale potrà tra l'altro rimettere in discussione pure il giudizio che qui ci occupa (<ref-law>; sentenza 2C_798/2019 del 29 gennaio 2020 consid. 1.5.3 seg. con rinvii).
2.
Di conseguenza, il ricorso è inammissibile. Soccombente, la Segreteria di Stato della migrazione è dispensata dal pagamento di spese giudiziarie (<ref-law>). Essa corrisponderà tuttavia all'opponente, patrocinato da un avvocato che ha presentato una breve risposta al ricorso, un'indennità per ripetibili della sede federale (art. 68 cpv. 1 e 2 LTF; sentenza 2C_744/2019 del 20 agosto 2020 consid. 8).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è inammissibile.
2.
Non vengono prelevate spese.
3.
La Segreteria di Stato della migrazione verserà all'opponente un'indennità di fr. 500.-- a titolo di ripetibili per la sede federale.
4.
Comunicazione alle parti, alla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino.