Sachverhalt:
A.
A._ erstattete am 25. April 2020 Strafanzeige bei der Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland gegen Michèle Häberlin, ehemalige Gerichtsschreiberin am Bezirksgericht Bülach, und Christian Stalder, Bezirksrichter am Bezirksgericht Bülach, wegen Falschbeurkundung. Mit Schreiben vom 24. Mai 2020 präzisierte A._ seine Anzeige. Er führte aus, Michèle Häberlin und Christian Stalder hätten in einem ihn betreffenden Verfahren im Zusammenhang mit einer arbeitsrechtlichen Forderung absichtlich ein inhaltlich falsches Protokoll erstellt. Dies, um seine Klage abweisen zu können. Im Protokoll der Hauptverhandlung vom 4. März 2019 stehe auf S. 30 betreffend das weitere Vorgehen wahrheitswidrig, dass den Parteien mitgeteilt worden sei, das Verfahren trete in die Phase der Urteilsberatung. Richtig sei hingegen, dass Christian Stalder erklärt habe, den Parteien werde zu gegebener Zeit mitgeteilt, wann die Urteilsberatung beginne.
Am 27. Mai 2020 übermittelte die Staatsanwaltschaft die Akten dem Obergericht des Kantons Zürich. Sie beantragte, die Ermächtigung zur Strafverfolgung nicht zu erteilen, da nach summarischer Prüfung kein deliktsrelevanter Verdacht vorliege. Mit Beschluss vom 3. August 2020 erteilte das Obergericht der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung zum Entscheid über die Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen Michèle Häberlin (Beschwerdegegnerin 1) und Christian Stalder (Beschwerdegegner 2) nicht. Zur Begründung führte es aus, es fehle an einem Anfangsverdacht für eine strafbare Handlung.
B.
Mit Eingabe vom 14. September 2020 führt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt, der Beschluss des Obergerichts vom 3. August 2020 sei aufzuheben. Der Staatsanwaltschaft sei die Ermächtigung zur Strafverfolgung (Entscheid über die Untersuchungseröffnung bzw. Nichtanhandnahme des Verfahrens) gegen Michèle Häberlin und Christian Stalder zu erteilen.
Die Staatsanwaltschaft beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Sie hält fest, dass für die behauptete unrichtige Protokollierung der Weg über die zivilrechtliche Protokollberichtigungsklage und nicht das Strafverfahren vorgesehen sei. Michèle Häberlin und Christian Stalder haben sich nicht vernehmen lassen. Das Obergericht verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den angefochtenen Beschluss ist gemäss <ref-law> die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegeben (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 272). Die Beschwerdegegner gehören nicht den obersten kantonalen Vollziehungs- und Gerichtsbehörden an. Der Ausschlussgrund von <ref-law> kommt daher nicht zur Anwendung (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 272 f.). Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist nach <ref-law> zulässig. Der Beschwerdeführer, dessen Strafanzeige nicht weiter behandelt wird, ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde befugt. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vorbehältlich zulässiger und genügend begründeter Rügen grundsätzlich einzutreten (vgl. Art. 42 Abs. 2 sowie Art. 106 Abs. 2 BGG).
1.2. Nicht einzutreten ist hingegen auf die Beschwerde hinsichtlich der Rüge, die Vorinstanz habe den Sachverhalt unrichtig festgestellt. Der Beschwerdeführer legt nicht substanziiert dar, inwiefern die Vorinstanz den entscheidwesentlichen Sachverhalt geradezu willkürlich oder sonst im Sinne von <ref-law> rechtsverletzend festgestellt haben soll. Dies ist auch nicht ersichtlich, sodass vom vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt auszugehen ist (vgl. Art. 97 Abs. 1 i.V.m. Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
2.
Gemäss <ref-law> können die Kantone vorsehen, dass die Strafverfolgung der Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen von der Ermächtigung einer nicht richterlichen Behörde abhängt. Nach der Rechtsprechung können die Kantone auch eine richterliche Behörde als Ermächtigungsbehörde einsetzen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 276).
Gemäss § 148 des Gesetzes vom 10. Mai 2010 des Kantons Zürich über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess (GOG/ZH; LS 211.1) entscheidet das Obergericht über die Ermächtigung zur Strafverfolgung von Beamten gemäss <ref-law> wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen. Vorbehalten bleibt die Zuständigkeit des Kantonsrates. Letztere ist hier nicht gegeben (vgl. § 131 Abs. 1 des Kantonsratsgesetzes vom 25. März 2019 des Kantons Zürich [LS 171.1]). Mit § 148 GOG/ZH sollen Staatsbedienstete vor mutwilliger Strafverfolgung geschützt werden. Das Strafverfahren soll daher erst durchgeführt werden können, wenn das Obergericht vorher seine Zustimmung dazu erteilt hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 277).
In verfassungskonformer Auslegung von <ref-law> dürfen in solchen Ermächtigungsverfahren - ausser bei obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden - nur strafrechtliche Gesichtspunkte berücksichtigt werden. Über die Ermächtigung zur Strafverfolgung darf insbesondere nicht nach Opportunität entschieden werden (<ref-ruling> E. 2.4 S. 277 f.). Das schliesst aber nicht aus, für die Erteilung der Ermächtigung genügende minimale Hinweise auf strafrechtliches Verhalten zu verlangen. Nicht jeder behördliche Fehler begründet eine Pflicht, die Ermächtigung zur Strafverfolgung zu erteilen. Vielmehr darf dafür vorausgesetzt werden, dass ein strafrechtlich relevantes Verhalten in minimaler Weise glaubhaft erscheint, mithin genügende Anhaltspunkte für eine strafbare Handlung vorliegen (Urteil 1C_395/2019 vom 19. Oktober 2020 E. 3.1 mit Hinweis).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt vorab eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Zur Begründung führt er aus, die Vorinstanz habe den Prozessausgang zu seinen Ungunsten beeinflusst und sei nicht auf seine diversen Hinweise betreffend der von ihm geltend gemachten Protokollfehler im ganzen Protokoll eingegangen.
3.2. Vorab ist nicht ersichtlich und vom Beschwerdeführer auch nicht rechtsgenüglich dargetan, auf welche weiteren Protokollfehler, neben dem angeblich unzutreffend wiedergegebenen Hinweis über das weitere Vorgehen auf S. 30 des Protokolls, er sich bezieht. Sein diesbezüglicher Verweis auf frühere Rechtsschriften genügt den Anforderungen an <ref-law> nicht und ist nicht zu hören (<ref-ruling> E. 5.1 S. 144 mit Hinweis). Indes ist ohnehin keine Gehörsverletzung ersichtlich. Die Vorinstanz hat sich mit den entscheidwesentlichen Argumenten des Beschwerdeführers auseinandergesetzt und ihre Schlussfolgerung nachvollziehbar begründet. Es ist nicht erforderlich, dass sie sich mit jeder tatsächlichen Behauptung und mit jedem rechtlichen Einwand ausdrücklich auseinandersetzt. Entscheidend ist einzig, dass der Entscheid so begründet ist, dass er sachgerecht angefochten werden kann und die Begründung die Überlegungen nennt, auf welche die Behörde ihren Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 9.2 S. 65 mit Hinweisen). Diese Voraussetzungen sind vorliegend erfüllt. Der Beschwerdeführer konnte sich ein Bild über die Tragweite des Entscheids machen und diesen sachgerecht anfechten. Lediglich der Umstand, dass die Vorinstanz der Argumentation des Beschwerdeführers materiell nicht gefolgt ist, verletzt sein rechtliches Gehör sodann von vornherein nicht. Die Rüge der Gehörsverletzung erweist sich als unbegründet.
4.
Zu prüfen ist weiter, ob ein strafrechtlich relevantes Verhalten der Beschwerdegegner in minimaler Weise glaubhaft erscheint, mithin genügend Anhaltspunkte für eine strafbare Handlung vorliegen, wie dies der Beschwerdeführer geltend macht.
4.1. Die Vorinstanz hat dies verneint. Sie erwog, es bestünden stichhaltige Anhaltspunkte dafür, dass das Protokoll richtig sei. Die protokollierte Mitteilung entspreche den gesetzlichen Bestimmungen des vereinfachten Verfahrens nach <ref-law>. Nachdem die Parteien anlässlich der Verhandlung vom 4. März 2019 die Gelegenheit zur Klagebegründung, Klageantwort, Replik, Duplik sowie zur Stellungnahme zu Dupliknoven und je einer weiteren Stellungnahme gehabt hätten, sei der Aktenschluss eingetreten und die Sache habe sich als spruchreif erwiesen. Es sei deshalb wenig plausibel, dass der Beschwerdegegner 2 den Parteien erklärt haben soll, der Beginn der Urteilsberatung würde ihnen zu gegebener Zeit mitgeteilt.
4.2. Diese nachvollziehbaren vorinstanzlichen Ausführungen überzeugen und sind nicht zu beanstanden. Daran vermögen die Einwände des Beschwerdeführers nichts zu ändern. Aus seinen Behauptungen lassen sich jedenfalls keine ausreichenden Anhaltspunkte für eine Urkundenfälschung im Sinne von <ref-law> ableiten. Namentlich wird durch nichts belegt, dass die Beschwerdegegner das Protokoll der Hauptverhandlung vom 4. März 2019 absichtlich gefälscht haben, indem sie den Hinweis über den weiteren Verfahrensablauf unrichtig protokolliert haben sollen. Es ist denn auch nicht ersichtlich, welches Motiv die Beschwerdegegner gehabt hätten, diesen Hinweis über den weiteren Verfahrensablauf unrichtig zu protokollieren. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, die Beschwerdegegner hätten die falsche Protokollierung vorgenommen, um seine Klage abzuweisen, ist kein Zusammenhang ersichtlich. Der Fälschungsvorwurf betrifft den Hinweis über den Fortgang des Verfahrens; diesbezüglich spielt es keine Rolle, ob den Parteien mitgeteilt worden ist, "das Verfahren trete nun in die Phase der Urteilsberatung" oder "der Beginn der Urteilsberatung werde den Parteien zu gegebener Zeit mitgeteilt". Wie von der Vorinstanz festgestellt, war der Aktenschluss bereits eingetreten, weshalb der Beschwerdeführer ohnehin keine neuen Beweise mehr hätte einreichen können. Solches hatte er gemäss den unbestritten gebliebenen vorinstanzlichen Feststellungen auf Nachfrage anlässlich der Hauptverhandlung vom 4. März 2019, ob er noch weitere Unterlagen einreichen wolle, ohnehin nicht beabsichtigt (vgl. E. 4.3 des angefochtenen Entscheids).
Wenn die Vorinstanz daraus folgerte, es lägen keine Hinweise vor, dass das Protokoll absichtlich falsch geführt worden sei, ist dies nicht zu beanstanden. Selbst wenn allenfalls eine unzutreffende Protokollierung vorliegen würde, könnte entgegen dem Vorwurf des Beschwerdeführers jedenfalls nicht von einem "vorsätzlich krass wahrheitswidrig erstellten Verhandlungsprotokoll" gesprochen werden. Die unrichtige Protokollierung wäre diesfalls über die zivilrechtliche Protokollberichtigungsklage gemäss <ref-law> zu berichtigen gewesen und nicht über ein Strafverfahren, wie dies die Staatsanwaltschaft in ihrer Stellungnahme zutreffend darlegt.
Der Schluss der Vorinstanz, die Ermächtigung sei nicht zu erteilen, verletzt sodann entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers auch nicht seinen Anspruch auf ein unabhängiges und unparteiisches Gericht. Die Vorinstanz hat dadurch weder die Beschwerdegegner trotz deren, wie vom Beschwerdeführer behauptet, "mutmasslich strafbaren Verhaltens" geschützt, noch hat sie "willkürlich" den Prozessausgang zu seinen Ungunsten beeinflusst. Vielmehr hat sie geltendes Recht in Übereinstimmung mit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung angewandt (vgl. E. 2 hiervor), wenn sie die Ermächtigung zur Strafverfolgung aufgrund fehlender minimaler Hinweise auf strafrechtliches Verhalten nicht erteilt hat. Inwiefern im Übrigen darin eine Verletzung des Verhältnismässigkeitsprinzips vorliegen soll, erschliesst sich aus den unzureichend substanziierten Ausführungen des Beschwerdeführers nicht. Darauf ist nicht weiter einzugehen.
Die diversen Vorbringen des Beschwerdeführers sind mithin nicht geeignet aufzuzeigen, dass die Beschwerdegegner vorsätzlich eine Falschbeurkundung im strafrechtlichen Sinn begangen haben könnten. Daran ändert ebenfalls nichts, dass die Ermächtigung grundsätzlich bereits bei einer geringeren Wahrscheinlichkeit einer strafrechtlichen Verantwortlichkeit erteilt werden muss, als sie für die Einstellung eines schon eröffneten Strafverfahrens erforderlich ist (vgl. Urteil 1C_420/2020 vom 16. November 2020 E. 2.2 mit Hinweisen). Entscheidend ist, dass es vorliegend keine auch nur minimalen Hinweise dafür gibt, wonach die Beschwerdegegner vorsätzlich das Protokoll gefälscht und sich folglich einer Urkundenfälschung im Amt (<ref-law>) schuldig gemacht hätten. Wenn die Vorinstanz aus diesem Grund die Ermächtigung zur Strafverfolgung der Beschwerdegegner verneint hat, verletzt dies daher weder das vom Beschwerdeführer angerufene Opportunitätsprinzip noch andere Bestimmungen des Bundesrechts.
5.
Die Beschwerde erweist sich nach dem Gesagten als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Winterthur/ Unterland und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Dezember 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier