Erwägungen:
1.
1.1. A._ hat steuerrechtlichen Wohnsitz in U._/BS. Bezüglich der Steuerperioden 2012 bis 2014 stellte sie Erlassgesuche, welche auch die Steuerrekurskommission des Kantons Basel-Stadt abwies (Entscheide vom 25. Oktober 2017). Am 2. Dezember 2017 rekurrierte die Steuerpflichtige dagegen an das Appellationsgericht Basel-Stadt. Das Appellationsgericht forderte die Steuerpflichtige mit Verfügung vom 6. Dezember 2017 auf, bis zum 22. Dezember 2017 den vom Instruktionsrichter festgelegten Gerichtskostenvorschuss zu leisten, dies unter Androhung des Dahinfallens der Rekurse im Säumnisfall. Die Verfügung wurde der Steuerpflichtigen am 7. Dezember 2017 von der Post zur Abholung gemeldet. Aufgrund eines mehrmals, zuletzt bis zum 11. Januar 2018 verlängerten Rückbehalteauftrags unterliess die Steuerpflichtige eine rechtzeitige Zahlung.
1.2. Mit Präsidialverfügung vom 4. Januar 2018 stellte das Appellationsgericht Basel-Stadt fest, die Zahlungsfrist sei versäumt. Der Rekurs sei daher gemäss § 30 Abs. 2 des Gesetzes (des Kantons Basel-Stadt) vom 14. Juni 1928 über die Verfassungs- und Verwaltungsrechtspflege (VRPG/BS; SG 270.100) dahingefallen. Das Verfahren werde als erledigt abgeschrieben. Auf die dagegen gerichtete Beschwerde trat das Bundesgericht nicht ein (Urteil 2C_158/2018 vom 19. Februar 2018).
1.3. Die Steuerpflichtige unterbreitete dem Appellationsgericht Basel-Stadt am 10. Januar 2018 ein Gesuch um Wiedereinsetzung in die verpasste Frist zur Leistung des Kostenvorschusses. Das Appellationsgericht erwog im Wesentlichen, gemäss § 147 Abs. 5 des Gesetzes (des Kantons Basel-Stadt) vom 12. April 2000 über die direkten Steuern (StG/BS; SG 640.100), der analog anwendbar sei, und mit Blick auf die eidgenössischen Verfahrensgesetze bedinge die Wiedereinsetzung, dass die säumige Partei von der Einhaltung der versäumten Frist durch ein unverschuldetes Hindernis abgehalten worden sei. Daran fehle es. Die "rekurserfahrene" Steuerpflichtige habe es unterlassen, das Gericht über die Abwesenheit zu informieren und für eine Vertretung zu sorgen. Das Gesuch sei daher abzuweisen.
1.4. Mit Eingabe vom 15. Februar 2018 erhebt die Steuerpflichtige beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt, die angefochtene Verfügung sei aufzuheben.
1.5. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (Art. 32 Abs. 1 BGG [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen abgesehen.
1.6. Die Beschwerde betrifft einen Steuererlass, ohne dass die Voraussetzungen von Art. 83 lit. m zweiter Halbsatz BGG erfüllt wären. Die Beschwerde in öffentlichrechtlichen Angelegenheiten ist daher unzulässig. In Frage kommt einzig eine subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff.)
2.
2.1. Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Das Bundesgericht prüft die Verletzung solcher Rechte nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 i.V.m. Art. 117 BGG). In der Beschwerde ist daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 5).
2.2. Diesen formellen Anforderungen genügt die Eingabe offenkundig nicht. Die Steuerpflichtige wiederholt den zeitlichen Verlauf und beruft sich darauf, dass es ihr aufgrund ihrer Abwesenheit unmöglich gewesen sei, die Sendung rechtzeitig entgegenzunehmen; sie sei auch nicht verpflichtet gewesen, dem Gericht über ihre Abwesenheiten Auskunft zu geben. Die Beschwerdeführerin legt jedoch nicht dar, inwiefern die Argumentation der Vorinstanz verfassungsmässige Rechte verletzen soll. Der blosse Hinweis auf Art. 9 und 29a BV reicht dazu nicht aus. Dass der betreffende Richter die Beschwerdeführerin auf die Möglichkeit eines Fristwiederherstellungsgesuchs hingewiesen, dieses dann aber abgewiesen habe, kann von vornherein keinen Einfluss haben auf die Frage, ob das Gesuch zu Recht abgewiesen wurde. Die Beschwerde enthält somit offensichtlich keine hinreichende Begründung, so dass darauf durch Entscheid des Einzelrichters nicht einzutreten ist (Art. 108 Abs. 1 lit. b i.V.m. Art. 117 BGG).
2.3. Ergänzend ist festzustellen, dass selbst dann, wenn eine formgültige Rüge erhoben worden wäre, nicht ersichtlich ist, inwiefern der angefochtene Entscheid verfassungsmässige Rechte verletzen soll.
3.
Nach dem Unterliegerprinzip (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG) sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der Steuerpflichtigen aufzuerlegen. Dem Kanton Basel-Stadt, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Entschädigung zu (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Präsident, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Februar 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher