Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat führte eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen mehrfach qualifizierter Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz und qualifizierter Geldwäscherei. A._ wurde am 4. Juli 2020 in Deutschland verhaftet. Am 30. Juli 2020 wurde er an die Schweiz ausgeliefert und in Untersuchungshaft versetzt.
Die Staatsanwaltschaft wirft A._ vor, zusammen mit einem Mitbeschuldigten von Oktober 2016 bis Juni 2020 fortgesetzt mindestens 7 kg Kokain und 6 Liter flüssiges Amphetamin aus dem Ausland, insbesondere Holland, in die Schweiz eingeführt und diese Betäubungsmittel mittels eines Vertriebsnetzes in der Schweiz an Drittpersonen veräussert zu haben. Weiter wird ihm vorgeworfen, das aus dem Drogenhandel gelöste Bargeld in Euro gewechselt oder damit Gold erworben und dieses ins Ausland transportiert zu haben.
Am 18. Oktober 2021 erhob die Staatsanwaltschaft Anklage gegen A._ beim Bezirksgericht Zürich. Dieses setzte mit Verfügung vom 2. Dezember 2021 die Hauptverhandlung auf den 29. Juni 2022 an und ersuchte das Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich um Verlängerung der Sicherheitshaft bis zum 8. Juli 2022. Letzteres hiess das Gesuch mit Verfügung vom 14. Dezember 2021 teilweise gut und verlängerte die Sicherheitshaft bis zum 14. Juni 2022, längstens aber bis zum erstinstanzlichen Urteil. Dagegen erhob A._ Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich, welches die Beschwerde am 10. Januar 2022 abwies. Eine dagegen von A._ erhobene Beschwerde an das Bundesgericht hiess dieses mit Urteil vom 8. Februar 2022 teilweise gut. Der angefochtene Entscheid wurde insoweit abgeändert, als eine Verletzung des Beschleunigungsgebots in Haftsachen durch das Bezirksgericht Zürich festgestellt und dieses angewiesen wurde, den Termin für die Hauptverhandlung auf spätestens April 2022 vorzuverlegen. Im Übrigen wies das Bundesgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 1B_22/2022).
B.
Mit Schreiben vom 21. Februar 2022 teilte das Bezirksgericht den Parteien mit, dem Ansinnen des Bundesgerichts könne infolge der Belastung und im Hinblick auf eine seriöse Vorbereitung nicht nachgekommen werden. Es bleibe beim angesetzten Hauptverhandlungstermin vom 29. Juni 2022. Am 25. Februar 2022 stellte A._ ein Haftentlassungsgesuch, welches das Bezirksgericht mit Verfügung vom 28. Februar 2022 zusammen mit einem Gesuch um Verlängerung der Sicherheitshaft bis zum 1. Juli 2022 an das Zwangsmassnahmengericht überwies. Letzteres wies am 7. März 2022 sowohl das Haftentlassungsgesuch als auch das Gesuch um Haftverlängerung ab und befristete die Sicherheitshaft bis zum 30. April 2022, längstens aber bis zum erstinstanzlichen Urteil. Auf eine dagegen von A._ erhobene Beschwerde trat das Obergericht am 23. März 2022 nicht ein.
C.
Mit Eingabe vom 30. März 2022 führt A._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Er beantragt, er sei unverzüglich aus der Sicherheitshaft zu entlassen.
Die Staatsanwaltschaft stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Obergericht verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid betreffend Verlängerung der Sicherheitshaft bzw. Haftentlassung. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht gemäss <ref-law> offen. Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und befindet sich nach wie vor in Haft. Er hat folglich ein aktuelles, rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids und ist somit gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
1.2. Wie dem Dispositiv des angefochtenen Entscheids entnommen werden kann, ist die Vorinstanz auf die Beschwerde nicht eingetreten. Zur Begründung erwog sie, dem Beschwerdeführer mangle es an einem aktuellen, rechtlich geschützten Interesse an der Aufhebung oder Änderung des Entscheids. Das Bezirksgericht habe nach wie vor die Möglichkeit, dafür zu sorgen, dass die Hauptverhandlung, wie vom Bundesgericht mit Urteil 1B_22/2022 vom 8. Februar 2022 beantragt, im April 2022 durchgeführt werde. Es bestehe kein Anlass, in das Verfahren einzugreifen. Das Interesse des Beschwerdeführers an der Haftentlassung sei derzeit rein tatsächlicher Natur.
Diese Rechtsauffassung ist nicht nachvollziehbar. Der Beschwerdeführer befindet sich weiterhin in Haft und hat im Verfahren vor der Vorinstanz die Haftentlassung beantragt. Entgegen der Auffassung des Obergerichts hat er selbstverständlich jederzeit ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung (vgl. <ref-law>) des Haftentscheids, stellt doch die Freiheit eines der wichtigsten, vom Staat anerkannten Rechtsgüter dar (vgl. nur Art. 10 Abs. 2 und Art. 31 BV, aber auch <ref-law>). Dies gilt unabhängig davon, ob die theoretische Möglichkeit besteht, dass das Bezirksgericht, entgegen seinem Schreiben, die Hauptverhandlung doch noch im April 2022 durchführen wird.
1.3. Der Streitgegenstand vor Bundesgericht wäre grundsätzlich auf die Eintretensfrage beschränkt. Die Sache wäre daher zur materiellen Prüfung an die Vorinstanz, die zu Unrecht nicht auf die Beschwerde eingetreten ist, zurückzuweisen. Die Vorinstanz hat sich indes, zumindest sinngemäss, auch inhaltlich mit dem Gesuch um Verlängerung der Sicherheitshaft bzw. dem Haftentlassungsgesuch auseinandergesetzt. Aus ihren Ausführungen ergibt sich - jedenfalls implizit -, dass sie die Beschwerde abgewiesen hätte, wenn sie darauf eingetreten wäre. Um einen unnötigen prozessualen Leerlauf und eine weitere Verzögerung des Verfahrens zu vermeiden, rechtfertigt es sich daher, dass sich das Bundesgericht mit den sich hier stellenden materiellrechtlichen Fragen auseinandersetzt. Dies gilt umso mehr, als der Beschwerdeführer selbst einzig den materiellrechtlichen Antrag auf Haftentlassung stellt, ohne sich vertieft zur Frage des Nichteintretens zu äussern.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer macht vor Bundesgericht, wie bereits im Verfahren 1B_22/2022, eine Verletzung des Beschleunigungsgebots gemäss <ref-law> geltend. Er ist der Auffassung, er sei unverzüglich aus der Haft zu entlassen, da das Bezirksgericht "klar gemacht habe", es werde die Hauptverhandlung nicht im April 2022 durchführen. Aufgrund des ihn betreffenden Bundesgerichtsurteils 1B_22/2022 vom 8. Februar 2022, in welchem eine Verletzung des Beschleunigungsgebots festgestellt worden sei, dürfe davon ausgegangen werden, dass er folglich aus der Haft zu entlassen sei.
2.2. Betreffend die theoretischen Ausführungen zum Beschleunigungsgebot bzw. dessen Verletzung kann grundsätzlich auf die Ausführungen im den Beschwerdeführer betreffenden Urteil 1B_22/2022 vom 8. Februar 2022 E. 2.2 verwiesen werden. Die Umstände haben sich seit dem Urteil nicht wesentlich verändert. Seit dem aktenkundigen Schreiben des Bezirksgerichts vom 21. Februar 2022 steht einzig fest, dass sich dieses aufgrund seiner Belastung und unter dem Aspekt der seriösen Vorbereitung des Falles nicht in der Lage sieht, die Hauptverhandlung, wie vom Bundesgericht gefordert (vgl. E. 2.5 des erwähnten Urteils), im April 2022 durchzuführen. Die Weigerung des Bezirksgerichts, die Hauptverhandlung vorzuverlegen, führt jedoch, entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers, nicht zu seiner sofortigen Haftentlassung. Dies kann so auch nicht dem Urteil 1B_22/2022 vom 8. Februar 2022 entnommen werden. Darin wird vielmehr festgehalten, eine Haftentlassung komme nur in Frage, wenn die Verletzung des Beschleunigungsgebots derart gravierend sei, dass deshalb die Rechtmässigkeit der Haft zu verneinen sei (vgl. E. 2.4 des erwähnten Urteils). Davon kann vorliegend aber auch dann nicht gesprochen werden, wenn die Hauptverhandlung tatsächlich erst Ende Juni 2022 stattfinden wird. Darin liegt zwar eine klare Verletzung des Beschleunigungsgebots, diese erreicht aber nicht den erforderlichen Schweregrad, welcher eine Haftentlassung zur Folge hätte. Bei seiner Beurteilung wird das Sachgericht die Verletzung aber strafmindernd zu berücksichtigen haben (vgl. <ref-ruling> E. 3.2; Urteile 1B_22/2022 vom 8. Februar 2022 E. 2.4; 1B_672/2021 vom 30. Dezember 2021 E. 3.2; je mit Hinweisen).
Sodann sind die strafprozessualen Haftgründe des dringenden Tatverdachts sowie der Fluchtgefahr erfüllt und werden vom Beschwerdeführer auch nicht substanziiert bestritten. Weiter erweist sich die bisherige Haftdauer von ca. 22 Monaten angesichts der Schwere der dem Beschwerdeführer vorgeworfenen Delikte und unter Berücksichtigung der von der Staatsanwaltschaft für die zur Anklage gebrachten Straftaten beantragten Freiheitsstrafe von 10 Jahren auch noch nicht als unverhältnismässig lang. Ein Haftentlassungsgrund ist folglich zu verneinen.
3.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde insoweit als unbegründet, als die sofortige Haftentlassung beantragt wird. Diesbezüglich ist sie abzuweisen. Demgegenüber ist der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben, soweit auf die Beschwerde nicht eingetreten und Gerichtskosten in der Höhe von Fr. 1'000.-- erhoben wurden.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Kosten zu erheben. Der Kanton Zürich hat dem Beschwerdeführer eine angemessene Parteientschädigung für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Damit wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos. Die Sache ist zur Neuverlegung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Der angefochtene Entscheid des Obergerichts des Kantons Zürich vom 23. März 2022 wird insoweit aufgehoben, als auf die Beschwerde nicht eingetreten und Gerichtskosten in der Höhe von Fr. 1'000.-- erhoben wurden. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens an die Vorinstanz zurückgewiesen.
4.
Der Kanton Zürich hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. April 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier