Erwägungen:
1.
1.1. Rechtsanwalt Dr. iur. B._ hatte bis zum Jahr 2010 A._ beraten und in rechtlichen Angelegenheiten vertreten. In dieser Eigenschaft hatte er diverse Bargeldtransaktionen für A._ ausgeführt; insbesondere hat er Bargeld entgegengenommen und dieses in der Folge - nach Bezahlung von verschiedenen Rechnungen - an die von A._ bezeichneten Stellen weitergeleitet.
1.2. A._ gelangte am 15. Februar 2016 an die Aufsichtskommission der Rechtsanwälte des Kantons Graubünden (AKR) mit dem sinngemässen Antrag, die Mandatsführung von Rechtsanwalt B._ zu überprüfen und ihn wegen der Verletzung von Berufsregeln zu sanktionieren. Die Aufsichtskommission verzichtete am 19. April 2016 auf die Einleitung eines Disziplinarverfahrens; sie begründete dies damit, dass der Anzeigeerstatter keinen Beweis habe erbringen können, dass die Rechenschaftsablage nicht vollständig gewesen sei und diesbezüglich eine Sorgfaltspflichverletzung nach dem Bundesgesetz vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte (Anwaltsgesetz [SR 935.61; BGFA]) vorliege. Das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden trat am 3. August 2016 auf die hiergegen gerichtete Beschwerde nicht ein.
2.
2.1. Am 22. Oktober 2018 gelangte A._ erneut mit einer Aufsichtsanzeige an die Aufsichtskommission. Er machte geltend, seine Anschuldigungen gegen Rechtsanwalt B._ seien Gegenstand eines Strafverfahrens und würden Veruntreuungen beziehungsweise Aneignungen von rund Fr. 1.1 Mio. betreffen. Rechtsanwalt B._ mache zu Unrecht geltend, dass es sich bei den Geldern um einen Garantiebetrag für allfällige Steuern der ESTV gegenüber handle, für die er infolge seiner Tätigkeit als Verwalter der im Ausland domizilierten Firmen C._ und D._ persönlich hafte. Rechtsanwalt B._ machte geltend, Ausschüttungen bei der ESTV im Hinblick auf allfällig geschuldete Verrechnungssteuern angemeldet zu haben; das entsprechende Verfahren sei noch nicht abgeschlossen. Die Aufsichtskommission der Rechtsanwälte des Kantons Graubünden hielt mit Beschluss vom 23. Mai 2019 fest, dass bis anhin kein "grobes Fehlverhalten" erstellt werden konnte; ein grobes, schuldhaftes, d.h. vorsätzliches und fahrlässiges, Fehlverhalten seitens von Rechtsanwalt B._ sei nicht ersichtlich. Die Beteiligten müssten - so die Aufsichtskommission weiter - zuerst den Ausgang der steuerrechtlichen, strafrechtlichen und allenfalls zivilrechtlichen Verfahren abwarten, bevor ermittelt werden könne, ob Anhaltspunkte für ein grobes Fehlverhalten von Rechtsanwalt B._ bestünden. Auf die Eröffnung eines Disziplinarverfahrens sei "zum jetzigen Zeitpunkt" zu verzichten.
2.2. Mit Urteil vom 23. August 2019 trat das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden auf die hiergegen gerichtete Beschwerde nicht ein. Es verneinte die Beschwerdelegitimation des Anzeigers und hielt fest, eine disziplinarrechtliche Untersuchung rechtfertige sich frühstens nach "Abschluss des steuerrechtlichen und allenfalls zivilrechtlichen Verfahrens".
2.3. Die Staatsanwaltschaft Graubünden stellte am 5. Juni 2019 das gegen Rechtsanwalt B._ gerichtete Strafverfahren ein; der Beschuldigte habe aufgrund seiner Intervention bei der Eidgenössischen Steuerverwaltung seinen Willen bekundet, die Gelder auszubezahlen, sobald feststehe, dass er nicht mehr persönlich zur Bezahlung einer allfälligen Verrechnungssteuer zur Rechenschaft gezogen werden könne. Der "Ersatzwille" und die "Ersatzfähigkeit" von Rechtsanwalt B._ seien gegeben. Weitere Ermittlungshandlungen, die an diesem Beweisergebnis etwas ändern könnten, bestünden nicht.
2.4. A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden vom 23. August 2019 aufzuheben und ein Disziplinarverfahren gegen Rechtsanwalt B._ einzuleiten.
3.
3.1. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>); es ist indessen nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich potentiell stellenden Fragen zu beantworten, wenn diese ihm nicht mehr formell korrekt unterbreitet werden (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem sowie interkantonalem Recht (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 232 mit Hinweisen). Das Bundesgericht ist zudem an den Sachverhalt gebunden, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig (<ref-law>). Es gilt auch diesbezüglich die qualifizierte Begründungspflicht (<ref-law>; vgl. BGE <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.).
3.2. Die vorliegende Beschwerde genügt den gesetzlichen Begründungsvorgaben nicht: Der Beschwerdeführer wiederholt lediglich appellatorisch, was er bereits im kantonalen Verfahren vorgebracht hat; er setzt sich mit der Argumentation der Vorinstanz - entgegen seiner Begründungspflicht (Art. 42 und 106 Abs. 2 BGG) - nicht sachbezogen auseinander. Der Beschwerdeführer kritisiert zwar die Sachverhaltsfeststellung bzw. die Beweiswürdigung, legt jedoch nicht dar, inwiefern die Vorinstanz den Sachverhalt in klar unhaltbarer Weise ermittelt oder gewürdigt hätte (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2.3 S. 246 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 261 f.). Eine "appellatorische" Begründung genügt im bundesgerichtlichen Verfahren praxisgemäss den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht (LAURENT MERZ, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger/Kneubühler [Hrsg.], Basler Kommentar BGG, 3. Aufl. 2018, N. 53 zu <ref-law> mit Hinweisen). Die beschwerdeführende Partei muss in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form plausibel darlegen, inwiefern die Vorinstanz Rechte bzw. Rechtsnormen verletzt hat (<ref-ruling> E. 2 S. 88 ff. mit Hinweisen).
3.3. Gegenstand vor Bundesgericht bildet ausschliesslich der Nichteintretensentscheid vom 23. Mai 2019 des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden. Sämtliche Ausführungen in der Sache selber sind somit nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens und deshalb unbeachtlich. Der Beschwerdeführer beruft sich auf Art. 6 EMRK, legt aber nicht dar, inwiefern die Vorinstanz unter welchem Titel (Zivil- oder Strafverfahren usw.) die Tragweite dieser Bestimmung verkannt haben soll. Dies ist auch nicht ersichtlich: Dem Beschwerdeführer steht das steuerrechtliche, das strafrechtliche und das zivilrechtliche Verfahren offen, um seine Ansprüche geltend machen zu können. Es ist somit nicht ersichtlich, inwiefern Art. 6 EMRK verletzt sein soll, wenn er im Disziplinarverfahren (allenfalls noch) nicht über die Beschwerdebefugnis verfügt. Die verschiedenen aufsichtsrechtlichen Entscheide wiesen auf die möglichen und teilweise bereits eingeschlagenen offenstehenden Verfahren hin, um den Sachverhalt abzuklären und gegebenenfalls danach noch einmal an die Aufsichtskommission gelangen zu können. Der Beschwerdeführer hat denn auch nach eigenen Angaben die Einstellung des Strafverfahrens angefochten; das Verfahren ist offenbar noch hängig.
3.4. Nach konstanter Rechtsprechung dient das anwaltsrechtliche Disziplinarverfahren dem allgemeinen öffentlichen Interesse an der korrekten Berufsausübung durch die Rechtsanwälte und nicht der Wahrung individueller privater Anliegen. Der Anzeiger wird durch die Nichteinleitung oder Einstellung eines Disziplinarverfahrens deshalb nicht in schutzwürdigen eigenen Interessen betroffen. Der Beschwerdeführer anerkennt, dass dem Anzeiger die Legitimation zur Beschwerde fehlt, wenn es um die nachträgliche disziplinarrechtliche Sanktionierung geht. Mangels eines schutzwürdigen Interesses verleiht die Rechtsweggarantie nach <ref-law> dem Anzeiger ebenfalls keinen Anspruch, auf kantonaler Ebene eine gerichtliche Überprüfung der erwähnten Entscheide zu erwirken (vgl. zudem <ref-ruling> E. 4.1-4.4 S. 253 ff.; Urteil 2C_122/2009 vom 22. September 2009 E. 3; siehe auch <ref-ruling> 2.1.2). Der Beschwerdeführer legt nicht in nachvollziehbarer Weise dar, inwiefern die Annahme der Vorinstanz, er sei als Anzeiger im Aufsichtsverfahren - zumindest zur Zeit - nicht beschwerdeberechtigt, rechts- und insbesondere verfassungswidrig wäre.
3.5. Der Beschwerdeführer macht hingegen geltend, dass er eine Strafuntersuchung verlangt habe. Es ist jedoch nicht ersichtlich, inwiefern die Aufsichtskommission oder das Verwaltungsgericht hierfür zuständig gewesen wären. Ob der Beschwerdegegner den Beschwerdeführer "mit falschen Dokumenten" hingehalten hat, ist eine materielle Frage, die als solche nichts mit dem Nichteintretensentscheid der Vorinstanz zu tun hat. Soweit der Beschwerdeführer einwendet, der Entscheid des Verwaltungsgerichts komme einer Rechtsverweigerung gleich, legt er nicht dar, inwiefern dies der Fall sein soll: Die Aufsichtskommission ist zutreffend davon ausgegangen, dass die strafrechtlichen Abklärungen durch die entsprechenden Behörden zu erfolgen hätten; die Einstellungsverfügung nimmt ihrerseits auf den Entscheid der Aufsichtskommission Bezug. Der Beschwerdeführer hat die Einstellungsverfügung angefochten; das entsprechende Verfahren ist offenbar noch hängig; er wird dort seine strafrechtliche Argumentation vortragen können. Inwiefern das angefochtene Urteil und die Einstellungsverfügung widersprüchlich sein sollen, legt der Beschwerdeführer nicht weiter dar; er behauptet dies einfach.
3.6. Die Aufsichtskommission geht davon aus, dass zuerst die Verfahren in der Sache (steuer-, straf- und zivilrechtliches Verfahren) zu erledigen sind; erst dann könne über die Notwendigkeit entschieden werden, ob im Interesse der Allgemeinheit ein Disziplinarverfahren zu eröffnen sei oder nicht. Inwiefern diese Annahme unhaltbar sein soll, legt der Beschwerdeführer wiederum nicht dar. Sollten sich aus dem Steuer-, Straf- und Zivilverfahren Hinweise auf eine Verletzung aufsichtsrechtlicher Normen ergeben, steht es dem Beschwerdeführer frei, diese erneut der Aufsichtskommission anzuzeigen.
4.
4.1. Auf die Beschwerde ist mangels Legitimation und einer den Anforderungen von Art. 42 bzw. 106 BGG genügenden Begründung nicht einzutreten. Dies kann durch den Einzelrichter im Verfahren nach <ref-law> geschehen.
4.2. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer die Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren zu tragen (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Dezember 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar