Sachverhalt:
A.
Am 13. März 2019 wies das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern das Gesuch von A._ um Erteilung des Kantonsbürgerrechts ab. Dagegen erhob sie am 12. April 2019 Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Kantonsgericht Luzern. Mit Verfügung vom 17. April 2019 forderte das Gericht A._ unter Hinweis auf die Gesetzgebung über die Verwaltungsrechtspflege auf, bis zum 1. Mai 2019 einen Kostenvorschuss von Fr. 1'500.-- zu bezahlen, ansonsten auf die Beschwerde unter Kostenfolgen nicht eingetreten werde. Am 25. April 2019 ersuchte A._ darum, den Kostenvorschuss in drei Raten bezahlen zu können, erstmals auf den 1. Mai 2019. Das Gericht gab diesem Ersuchen mit Verfügung vom 29. April 2019 statt und setzte als Zahlungsfrist für die erste Rate von Fr. 500.-- antragsgemäss den 1. Mai 2019 fest, erneut mit dem Hinweis auf die Folge des Nichteintretens bei nicht rechtzeitiger Bezahlung.
Nachdem die erste Ratenzahlung von Fr. 500.-- erst am 3. statt am 1. Mai 2019 überwiesen worden war, räumte das Gericht A._ am 10. Mai 2019 die Möglichkeit ein, zur Rechtzeitigkeit der Zahlung Stellung zu nehmen. Davon machte sie am 17. Mai 2019 Gebrauch. Mit Urteil vom 20. Mai 2019 trat das Verwaltungsgericht Luzern wegen verspäteter Leistung der ersten Rate des Kostenvorschusses auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht ein. In der Folge zahlte A._ auch noch eine zweite Rate von Fr. 500.--, wohingegen die Leistung der dritten ausgesetzt wurde.
B.
Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 26. Juni 2019 an das Bundesgericht beantragt A._, den Entscheid des Kantonsgerichts aufzuheben und dieses anzuweisen, ihr eine neue Frist zur Bezahlung der dritten Rate des Kostenvorschusses anzusetzen. Zur Begründung führt sie im Wesentlichen aus, der Nichteintretensentscheid sei willkürlich und treuwidrig und verstosse gegen die Rechtsweggarantie.
Das Justiz- und Sicherheitsdepartement verzichtete auf eine Stellungnahme. Das Kantonsgericht schliesst unter Verzicht auf weitere Ausführungen auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Aufgrund des Grundsatzes der Einheit des Verfahrens folgt das Verfahren über prozessuale Entscheide demjenigen über solche in der Sache. Da gegen Entscheide über die ordentliche Einbürgerung die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Sinne von <ref-law> gemäss <ref-law> ausgeschlossen ist, steht gegen den angefochtenen Entscheid nur die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss <ref-law> offen. Der Entscheid der Vorinstanz kann mit keinem kantonalen Rechtsmittel angefochten werden und ist daher kantonal letztinstanzlich (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 269).
1.2. Streitgegenstand bildet einzig die Frage, ob das Kantonsgericht zu Recht wegen nicht rechtzeitiger Leistung der ersten Rate des Kostenvorschusses auf die bei ihm erhobene Beschwerde nicht eingetreten ist. Nicht Streitgegenstand bildet die Frage einer allfälligen Fristwiederherstellung, die zwar vom Kantonsgericht angesprochen wird, worüber dieses aber nicht abschliessend zu befinden hatte, da ihm gar kein entsprechender Antrag vorlag.
1.3. Die Beschwerdeführerin hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist als Gesuchstellerin und vom angefochtenen Nichteintretensentscheid direkt Betroffene zur subsidiären Verfassungsbeschwerde legitimiert (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4 S. 309 ff.). Dabei kann sie auch die Verletzung ihrer Parteirechte geltend machen.
1.4. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann nach <ref-law> die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden.
1.5. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft jedoch unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.5 S. 144). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten, soweit die Verletzung von Grundrechten gerügt wird (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen).
2.
2.1. Die Beschwerdeführerin rügt den angefochtenen Entscheid als willkürlich. Sie tut jedoch nicht dar, welche kantonale Bestimmung von der Vorinstanz in unhaltbarer Weise ausgelegt und angewendet worden ist. Sie macht einzig geltend, das angefochtene Urteil sei stossend. Überdies rügt sie einen Verstoss gegen Treu und Glauben nach <ref-law> sowie gegen die Rechtsweggarantie.
2.2. Nach der Rechtsprechung ist ein Entscheid unter anderem dann willkürlich im Sinne von <ref-law>, wenn er in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (vgl. <ref-ruling> E. 7.3 S. 174 f. mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin ersuchte für die Leistung des Kostenvorschusses am 25. April 2019 um Ratenzahlung und schlug selbst den 1. Mai als Zahlungstermin für die erste Rate vor. Diese Frist entsprach der ursprünglichen vom Gericht angesetzten Frist zur Zahlung des ganzen Kostenvorschusses. Die Beschwerdeführerin war dabei durch ihre Anwältin vertreten, welcher bewusst sein musste, dass die zeitlichen Verhältnisse eher knapp waren. Weshalb die Rechtsvertreterin nicht eine längere Frist beantragt hatte, ist nicht nachvollziehbar.
Der Antrag vom 25. April 2019 ging am 26. April 2019 beim Gericht ein. Dessen Verfügung erging am 29. April 2019, wurde gleichentags noch versandt, war ab dem 30. April 2019 abholbereit und wurde von der Anwältin am 1. Mai 2019 abgeholt. Welche Rechtslage gelten würde, wenn die Rechtsvertreterin die Verfügung erst später entgegen genommen hätte, was theoretisch möglich gewesen wäre, kann offenbleiben. Jedenfalls hatte sie am 1. Mai 2019 auch inhaltlich Kenntnis von der richterlichen Verfügung, was sich die Beschwerdeführerin entgegenhalten lassen muss. Es hätte also die Gelegenheit bestanden, die erste Rate noch rechtzeitig zu leisten. Dies erscheint umso dringlicher, als das Gericht in seiner Verfügung über die Ratenzahlung auf die Folge des Nichteintretens bei nicht rechtzeitiger Bezahlung (nochmals) ausdrücklich hingewiesen hatte. Dass die Anwältin die Zahlung der Rate innert Frist nicht sichergestellt hat, sondern der Beschwerdeführerin selbst überliess, muss sich diese ebenfalls anrechnen lassen. Selbst wenn sie davon ausgehen durfte, dass die Ratenzahlung praxisgemäss bewilligt würde, musste sie jedenfalls darauf vorbereitet sein, zumindest den Betrag der ersten Rate bis zum 1. Mai 2019 zu begleichen, wie sie dies selbst beantragt hatte. Der angefochtene Entscheid, der zweifellos mit einem erheblichen Rechtsverlust für die Beschwerdeführerin verbunden ist, ist demnach zwar allenfalls hart, aber nicht stossend.
2.3. Analoges gilt für die Rüge, der Vertrauensgrundsatz sei verletzt. Die Beschwerdeführerin hatte nicht eine Kostenbefreiung bzw. die unentgeltliche Rechtspflege beantragt, sondern eine Ratenzahlung mit einer Frist für die erste Rate bis zum 1. Mai 2019. Selbst wenn sie darauf vertrauen durfte, dass damit die Verpflichtung zur Leistung des ganzen Kostenvorschusses bis zum 1. Mai 2019 aufgehoben würde, so musste sie doch gemäss ihrem eigenen Antrag davon ausgehen, bis zu diesem Termin zumindest die erste Rate bezahlen zu müssen. Wie eine Vertrauensgrundlage für einen entsprechenden späteren Zahlungstermin entstanden sein sollte, ist nicht ersichtlich.
2.4. Schliesslich verstösst der angefochtene Entscheid auch nicht gegen die Rechtsweggarantie gemäss dem - von der Beschwerdeführerin nicht genannten - <ref-law>. Ob und gegebenenfalls wie sich die Rechtsweggarantie insoweit allenfalls von der von der Beschwerdeführerin nicht angerufenen formellen Rechtsverweigerung nach <ref-law> abgrenzt, kann dahingestellt bleiben. So oder so trifft es zwar zu, dass die Beschwerdeführerin einen Anspruch auf Ansetzung angemessener Fristen hat. Sie hat aber die Frist bis zum 1. Mai 2019 unter Vertretung durch eine fachkundige Anwältin selbst beantragt und somit zu erkennen gegeben, dass sie selbst diese Frist als ausreichend beurteilt. Als Anwältin musste die Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin, was sich diese erneut anrechnen zu lassen hat, auch damit rechnen, dass das Gericht ihr Gesuch um Ratenzahlung nicht zwingend gleich am ersten Tag behandeln würde, sondern dafür ein paar Tage benötigen könnte. Eine dreitägige Bearbeitungsdauer erscheint nicht übermässig. Im Übrigen benötigte die Beschwerdeführerin selbst mehrere Tage, bis sie nach Erhalt der Verfügung vom 17. April 2019 über die Anordnung eines Kostenvorschusses ein schriftliches Gesuch um Ratenzahlung stellte. Sie hat sich die engen zeitlichen Verhältnisse damit teilweise auch selbst zuzuschreiben. Der Beschwerdeführerin wurde weder der Justizzugang ungerechtfertigt verweigert noch handelte die Vorinstanz überspitzt formalistisch.
2.5. Der angefochtene Entscheid verstösst demnach nicht gegen Verfassungsrecht.
3.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang wird die unterliegende Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. August 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Uebersax