Sachverhalt:
A.
Mit Eingabe vom 19. Juni 2019 beanstandete B._ (im Folgenden: Anzeigesteller) bei der Aufsichtsbehörde über die Anwältinnen und Anwälte des Kantons Luzern namentlich, sein früherer, im Zusammenhang mit einer Strafsache und einem Haftungsverfahren gegen die Ausgleichskasse beigezogener Anwalt, Dr. A._, habe in beiden Angelegenheiten das Honorar nicht mit ihm besprochen. Die Aufsichtsbehörde nahm das Schreiben als Aufsichtsanzeige entgegen.
Mit Entscheid vom 14. Februar 2020 erteilte die Aufsichtsbehörde Rechtsanwalt A._ einen Verweis und auferlegte ihm die Verfahrenskosten. Zur Begründung führte sie aus, Rechtsanwalt A._ habe gegen Art. 12 lit. i des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte (Anwaltsgesetz, BGFA; SR 935.61) verstossen, indem er den Anzeigesteller zum einen nicht über das Stundenhonorar bei beiden Mandaten aufgeklärt und zum anderen nicht periodisch über die Höhe des geschuldeten Honorars informiert habe.
B.
Eine gegen den Entscheid der Aufsichtsbehörde vom 14. Februar 2020 erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde wies das Kantonsgericht Luzern mit Urteil vom 14. Oktober 2020 ab, wobei es Rechtsanwalt A._ zusätzlich die Kosten des Verfahrens vor dem Kantonsgericht auferlegte.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 30. November 2020 beantragt Rechtsanwalt A._ beim Bundesgericht, das Urteil des Kantonsgerichts Luzern vom 10. Juli 2019 (sic! recte: 14. Oktober 2020) sei aufzuheben und die Sache sei zur Neuverlegung der Kosten der Verfahren vor der Aufsichtsbehörde und dem Kantonsgericht an Letzteres zurückzuweisen. Eventualiter beantragt Rechtsanwalt A._, unter Aufhebung des genannten Urteils sei die Sache zur Neubeurteilung an das Kantonsgericht Luzern zurückzuweisen.
Die Aufsichtsbehörde und das Kantonsgericht Luzern verzichteten auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid einer letzten oberen kantonalen Instanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Anwaltsrecht), die unter keinen Ausschlussgrund fällt (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90 BGG). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit zulässig. Der Beschwerdeführer ist ausserdem durch den Entscheid besonders berührt und verfügt über ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (Art. 89 Abs. 1 BGG).
1.2. Da die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ein reformatorisches Rechtsmittel ist (Art. 107 Abs. 2 BGG), muss auch das Rechtsbegehren grundsätzlich reformatorisch gestellt werden. Die beschwerdeführende Partei darf sich praxisgemäss nicht darauf beschränken, einen rein kassatorischen Antrag zu stellen, ausser wenn das Bundesgericht ohnehin nicht reformatorisch entscheiden könnte (<ref-ruling> E. 1.2; Urteil 2C_122/2019 vom 6. Juni 2019 E. 1.1), oder wenn es um eine belastende Anordnung geht, so dass mit deren Aufhebung die Belastung beseitigt wird (vgl. Urteile 2C_314/2020 vom 3. Juli 2020 E. 1.2; 2C_576/2018 vom 16. November 2018 E. 1.2.3.1, mit Hinweisen). Inhaltlich geht es vorliegend um den vorinstanzlich bestätigten disziplinarischen Verweis gegen den Beschwerdeführer. Der rein kassatorische Antrag des Beschwerdeführers auf Aufhebung dieser ihn belastenden Anordnung ist zulässig.
1.3. Auf die im Übrigen form- und fristgerecht (Art. 42 und Art. 45 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 100 Abs. 1 BGG) eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Bei der Prüfung wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 4.4.5) und verfügt es über volle Kognition (Art. 95 BGG; <ref-ruling> E. 2). Die Anwendung kantonalen Rechts prüft das Bundesgericht hingegen - abgesehen von den Fällen gemäss Art. 95 lit. c-e BGG - nur auf Bundesrechtsverletzungen, namentlich auf Willkür, hin (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2). Die Verletzung von verfassungsmässigen Individualrechten (einschliesslich der Grundrechte) und von kantonalem Recht prüft das Bundesgericht zudem nur, soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.7.2).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung durch die Vorinstanz und macht eine Verletzung seines rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV) bzw. des Rechts auf Beweisabnahme geltend. Er bringt vor, die Vorinstanz sei in unhaltbarer Weise davon ausgegangen, dass er anlässlich der ersten Besprechung mit dem Anzeigesteller diesen nicht über die Grundsätze der Berechnungselemente seines Honorars aufgeklärt und damals mit ihm keine Honorarvereinbarung getroffen habe. Die entsprechende Feststellung der Vorinstanz sei aktenwidrig, da der Anzeigesteller auf Empfang eines Besprechungsprotokolls vom 8. Juli 2016 hin unterschriftlich bestätigt habe, mit dem Beschwerdeführer im Rahmen der Besprechung zur Strafsache eine Honorarvereinbarung getroffen zu haben. Die Vorinstanz habe in diesem Kontext zudem in willkürlicher Weise einen Antrag des Beschwerdeführers auf Parteieinvernahme und Beweisaussage abgewiesen.
3.2.
3.2.1. Gemäss Art. 97 Abs. 1 BGG kann die Feststellung des Sachverhalts nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (Art. 9 BV) ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-ruling> E. 2.2). Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn (an ihr) Zweifel bestehen, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (<ref-ruling> E. 3.1; Urteil 2C_271/2020 vom 8. Oktober 2020 E. 3.1.1). Inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung bzw. Sachverhaltsfeststellung offensichtlich unhaltbar ist, muss in der Beschwerdeschrift klar und detailliert aufgezeigt werden; an die Begründung gelten, wie bei den in Art. 106 Abs. 2 BGG genannten Rügen, strenge Anforderungen (<ref-ruling> E. 9.2.3.6; Urteil 2C_325/2018 vom 18. Februar 2019 E. 2). Demzufolge genügt es nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten. Vielmehr ist in der Beschwerdeschrift gemäss den erwähnten gesetzlichen Erfordernissen darzulegen, inwiefern diese Feststellungen willkürlich zustande gekommen sind. Andernfalls können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der von den Feststellungen im angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.4.3; Urteil 2C_961/2018 vom 24. Januar 2019 E. 2.2).
3.2.2. Das rechtliche Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt (<ref-ruling> E. 5.2). Ferner gewährt es den Parteien das Recht, mit rechtzeitig und formrichtig angebotenen erheblichen Beweismitteln gehört zu werden (<ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 2.2), wobei kein absoluter Anspruch auf Abnahme eines Beweismittels besteht (vgl. Urteil 5A_510/2016 vom 31. August 2017 E. 4.2). Keine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt vor, wenn ein Gericht darauf verzichtet, beantragte Beweise abzunehmen, weil es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 5.3; Urteil 2C_272/2016 vom 28. April 2016 E. 2.2).
3.3. Gemäss insoweit nicht bestrittenen Feststellungen im angefochtenen Urteil erfolgten die den Anzeigesteller betreffenden Mandatsübernahmen durch den Beschwerdeführer am 17. Mai 2016 (betreffend die Strafsache) und am 8. Juli 2016 (betreffend die Haftungssache). Im vom Beschwerdeführer erwähnten Besprechungsprotokoll vom 8. Juli 2016, welches durch den Anzeigesteller gegengezeichnet worden ist, wurde dabei gemäss den Feststellungen der Vorinstanz lediglich festgehalten, dass im Zusammenhang mit dem Honorar des Beschwerdeführers dasselbe vereinbart worden sei, was bereits in der Strafsache vereinbart worden war (E. 7.4.2 des angefochtenen Urteils).
Nach der Würdigung der Vorinstanz lässt sich aus letzterem Vermerk nicht ableiten, dass sich die Parteien bei den beiden Mandatsübernahmen am 17. Mai und 8. Juli 2016 hinsichtlich der Stundenaufwandsentschädigung geeinigt hätten. Zumindest in Bezug auf die Mandatsübernahme am 8. Juli 2016 erscheint diese Würdigung als fraglich. Denn der Umstand, dass im entsprechenden Besprechungsprotokoll festgehalten wurde, es sei in Bezug auf das Honorar des Beschwerdeführers das Gleiche vereinbart worden wie bereits in der Strafsache, spricht dafür, dass seinerzeit nicht bloss die Entgeltlichkeit der Dienstleistung des Beschwerdeführers vereinbart worden ist, sondern eine Einigung über weitere Einzelheiten des Honorars zustande gekommen ist.
3.4. Gleichwohl ist aber jedenfalls nicht hinreichend substantiiert dargetan oder ersichtlich, dass der Beschwerdeführer mit dem Anzeigesteller Vereinbarungen über die Modalitäten betreffend die Information über die Höhe des Honorares während der Dauer der Mandate abgeschlossen hätte. Es bestehen auch keine Anhaltspunkte für die Annahme, dass der Abschluss solcher Vereinbarungen hätte nachgewiesen werden können, wenn den vom Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren gestellten Beweisanträgen entsprochen worden wäre. Ob anderweitige Vereinbarungen betreffend das Honorar abgeschlossen wurden, ist sodann - wie im Folgenden ersichtlich wird - für die Bundesrechtskonformität des erteilten Verweises nicht rechtserheblich.
Vor diesem Hintergrund stösst der Beschwerdeführer ins Leere, soweit er im Zusammenhang mit der Frage, ob er bei Übernahme der Mandate über die Grundsätze seiner Rechnungsstellung aufgeklärt und Honorarvereinbarungen getroffen hat, eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung und eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) rügt. Gleiches gilt, soweit er im Zusammenhang mit dieser Rüge geltend macht, die Vorinstanz habe §§ 88 und 89 des Gesetzes des Kantons Luzern vom 3. Juli 1972 über die Verwaltungsrechtspflege (SRL 40) zur Beweisaussage und die einzuvernehmende Person in einer gegen das Willkürverbot (Art. 9 BV) verstossenden Weise angewendet.
4.
4.1. Das BGFA regelt in Art. 12 die Berufsregeln der Anwältinnen und Anwälte. Gemäss Art. 12 lit. i 2. Teilsatz BGFA haben die Anwältinnen und Anwälte ihre Klientschaft periodisch oder auf Verlangen über die Höhe des geschuldeten Honorars zu informieren.
Gemäss der bundesgerichtlichen Praxis kann der Klient jederzeit eine detaillierte Rechnung verlangen und verletzt der Anwalt unter Umständen seine Pflichten nach Art. 12 lit. i BGFA, wenn er dieser Aufforderung nicht nachkommt (Urteile 2C_1086/2016 vom 10. Mai 2017 E. 4.1, 2C_133/2012 vom 18. Juni 2012 E. 4.3). Auch in der Lehre ist unbestritten, dass Auskünfte über die Höhe des Honorars innert nützlicher Frist zu erfolgen haben, wenn die Klientschaft dies verlangt (vgl. BENOÎT CHAPPUIS, La profession d'avocat, Bd. I, 2. Aufl. 2016, S. 90; WALTER FELLMANN, in: Fellmann/Zindel [Hrsg.], Kommentar zum Anwaltsgesetz, 2005, N. 171 zu Art. 12 BGFA).
Streitig und zu klären ist hingegen die Frage, ob der Anwalt den Klienten nur auf entsprechendes Ersuchen hin zu informieren oder ob er ihn auch unaufgefordert periodisch über die Höhe des geschuldeten Honorars zu unterrichten hat: Während ein Anwalt nach Auffassung der Vorinstanz seinen Klienten unaufgefordert periodisch über die Höhe des Honorars ins Bild zu setzen hat, stellt sich der Beschwerdeführer auf den Standpunkt, dass sich die entsprechende anwaltliche Pflicht darauf beschränkt, den Klienten auf dessen Verlangen hin über die Höhe des Honorars zu informieren.
Zur Beantwortung der genannten Frage ist Art. 12 lit. i 2. Teilsatz BGFA auszulegen.
4.2. Ausgangspunkt jeder Auslegung bildet der Wortlaut der massgeblichen Norm (Auslegung nach dem Wortlaut). Ist der Text nicht ganz klar und sind verschiedene Auslegungen möglich, so muss das Gericht unter Berücksichtigung aller Auslegungselemente nach der wahren Tragweite der Norm suchen. Dabei hat es insbesondere den Willen des Gesetzgebers zu berücksichtigen, wie er sich namentlich aus den Gesetzesmaterialien ergibt (historische Auslegung). Weiter hat das Gericht nach dem Zweck, dem Sinn und den dem Text zugrunde liegenden Wertungen zu forschen, namentlich nach dem durch die Norm geschützten Interesse (teleologische Auslegung). Wichtig ist auch der Sinn, der einer Norm im Kontext zukommt, und das Verhältnis, in welchem sie zu anderen Gesetzesvorschriften steht (systematische Auslegung). Das Bundesgericht befolgt bei der Auslegung von Gesetzesnormen einen pragmatischen Methodenpluralismus und lehnt es ab, die einzelnen Auslegungselemente einer Prioritätsordnung zu unterstellen (<ref-ruling> E. 4.5.1; <ref-ruling> E. 4.3.1; je mit Hinweisen).
4.3.
4.3.1. Gemäss dem deutschen Wortlaut von Art. 12 lit. i 2. Teilsatz BGFA informieren die Anwälte ihre Klientschaft "periodisch oder auf Verlangen" über die Höhe des geschuldeten Honorars. Aus dem französischen und dem italienischen Wortlaut ergibt sich insoweit nichts anderes (vgl. die Wendungen "[l'avocat] le renseigne périodiquement ou à sa demande sur le montant des honoraires dus" und "[l'avoccato] lo informa inoltre regolarmente, o su sua domanda, circa l'importo degli onorari dovuti"). Zwar dürfte mit der genannten Formulierung der Bestimmung nicht gemeint sein, dass Anwälte die freie Wahl haben, ob sie ihre Klientschaft (unaufgefordert) periodisch oder aber bloss auf Verlangen hin informieren. Der Gesetzeswortlaut scheint indessen eine Vereinbarung zwischen Anwalt und Klient zuzulassen, wonach erst am Ende des Mandatsverhältnisses abgerechnet wird und periodische Zwischenabrechnungen bzw. Zwischeninformationen unterbleiben. In welchem Verhältnis die beiden Formen der Information (periodische Information und Information auf Verlangen) stehen, ist dem Gesetzeswortlaut aber letztlich nicht eindeutig zu entnehmen.
4.3.2. In der Botschaft vom 28. April 1999 zum Bundesgesetz über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte wird zur hier interessierenden Regelung Folgendes festgehalten (BBl 1999, 6013 ff., 6057 f.) :
"Zur Vermeidung von Streitigkeiten über die Höhe der Honorare verpflichtet Artikel 11 Buchstabe i die Anwältinnen und Anwälte, ihre Klientinnen und Klienten periodisch über die Höhe des geschuldeten Honorars zu informieren. Diese Obliegenheit besteht in einigen Kantonen bereits, manchmal in Form einer Bestimmung, die den Anwältinnen und Anwälten vorschreibt, von ihrer Klientschaft nach Massgabe der Entwicklung des Rechtsstreits ausreichende Vorschüsse zu verlangen."
Diese Ausführungen machen deutlich, dass der Gesetzgeber mit der Statuierung von Art. 12 lit. i 2. Teilsatz BGFA Unklarheiten betreffend die Honorarhöhe und daraus resultierende Streitigkeiten zu verhindern suchte (vgl. auch Urteil 2A.18/2004 vom 13. August 2004 E. 7.2.3). Auch geht daraus hervor, dass die periodische Information der Klientschaft als wesentliches Instrument zum Erreichen dieses Ziels betrachtet wurde. Bezeichnenderweise wird an der einschlägigen Stelle der Botschaft nicht erwähnt, dass (auch oder gar nur) auf Verlangen hin über die Höhe des Honorars zu informieren ist.
Die genannte Stelle der Botschaft spricht somit dafür, dass das Gesetz die Anwälte dazu verpflichtet, ihre Klientschaft - auch unaufgefordert - periodisch über die Höhe des Honorars in Kenntnis zu setzen. Das historische Auslegungselement stützt somit die Auffassung der Vorinstanz. Der blosse Umstand, dass der Bundesrat von einer "Obliegenheit" sprach, weist entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers nicht in eine andere Richtung. Zum einen erklärte der Bundesrat im vorangehenden Satz, dass die Regelung die Anwälte zur periodischen Information verpflichte. Zum anderen bezog sich die Rede von einer "Obliegenheit" in erster Linie auf die zum damaligen Zeitpunkt bereits vorhanden gewesenen kantonalen Ordnungen. Der Bundesrat erläuterte an der einschlägigen Stelle der Botschaft denn auch nicht, ob und gegebenenfalls welche Rechtsfolgen nach dem damaligen Entwurf des Bundesgesetzes bei nicht erfolgender periodischer Information der Klientschaft über die Höhe des Honorars eintreten sollten.
4.3.3. In teleologischer Hinsicht ist entscheidend, dass eine unaufgeforderte periodische Information der Klientschaft über die Höhe des Honorars Honorarstreitigkeiten eher vorzubeugen vermag als eine bloss auf Ersuchen des Klienten hin erfolgende Auskunftserteilung. Eine unaufgeforderte periodische Information trägt dazu bei, dass sich der Rechtsuchende nicht mit unerwarteten Honorarforderungen konfrontiert sieht. Letzteres entspricht dem allgemeinen Zweck der gesetzlichen Pflicht zur Information über die Höhe des Honorars. Ebenso wie die in Art. 12 lit. i 1. Teilsatz BGFA statuierte Pflicht, die Klientschaft bei Übernahme des Mandats über die Grundsätze der Rechnungsstellung aufzuklären, dient diese Pflicht nämlich indirekt dazu, das Vertrauen in die korrekte Mandatsführung und damit das Vertrauensverhältnis zwischen Anwalt und Klient zu stärken sowie Streitigkeiten über das Honorar vorzubeugen (vgl. <ref-ruling> E. 2.7.5 S. 614; WALTER FELLMANN, Anwaltsrecht, 2. Aufl. 2017 [nachfolgend: FELLMANN, Anwaltsrecht], N. 490 mit Hinweis). Dem Vertrauen in eine korrekte Mandatsführung bzw. in den Anwalt kommt es zugute, wenn der Anwalt seinen Klienten nicht nur auf Aufforderung, sondern unaufgefordert über die Höhe des Honorars informiert. Damit wird nicht zuletzt ein Beitrag dazu geleistet, dass das im öffentlichen Interesse liegende Ansehen der Anwaltschaft gewahrt wird.
Der Gesetzeszweck legt es vor diesem Hintergrund (ebenso wie das historische Auslegungselement) nahe, grundsätzlich nur dann von einer Erfüllung der Pflicht von Art. 12 lit. i 2. Teilsatz BGFA auszugehen, wenn der Anwalt nicht nur auf Verlangen des Klienten, sondern auch unaufgefordert periodisch über die Höhe des Honorars informiert.
4.3.4. In systematischer Hinsicht ist zu beachten, dass in Bezug auf das Verhältnis zwischen dem Klienten und dem Anwalt unter Vorbehalt von Sondervorschriften, wie sie sich namentlich aus dem BGFA ergeben können, das Auftragsrecht (Art. 394 ff. OR) greift.
Zum Auftragsrecht schreibt Art. 400 OR nur eine Rechenschaftsablegung auf Verlangen vor. Im Übrigen kommt als auftragsrechtliche Grundlage einer Pflicht zur unaufgeforderten Aufklärung allein die allgemeine Sorgfalts- und Treuepflicht bei der Auftragserfüllung nach Art. 398 Abs. 2 OR in Frage. Gemäss letzterer Bestimmung haftet der Beauftragte dem Auftraggeber für die getreue und sorgfältige Ausführung des ihm übertragenen Geschäfts.
Das Bundesgericht hat in <ref-ruling> E. 5.3.1 festgehalten, dass Art. 12 lit. a BGFA, welcher eine sorgfältige und gewissenhafte Berufsausübung durch den Anwalt vorschreibt, eng mit Art. 398 Abs. 2 OR verknüpft sei. Die in Art. 12 lit. a BGFA statuierte Sorgfaltspflicht sei letztlich direkt aus Art. 398 Abs. 2 OR abgeleitet und verbiete es dem Anwalt, Schritte zu unternehmen, welche den Interessen seines Klienten schaden könnten. Zugleich würden die beiden Bestimmungen aber die Sorgfaltspflicht des Anwalts aus jeweils unterschiedlichen Perspektiven ins Auge fassen. Art. 12 lit. a BGFA betreffe die Sorgfalt, welche der Anwalt bei der Ausübung seines Berufs - insbesondere, aber nicht nur mit Blick auf seinen Klienten - an den Tag legen müsse. Demgegenüber habe Art. 398 Abs. 2 OR nur die getreue und sorgfältige Auftragserfüllung zum Gegenstand, zu welcher der Anwalt ausschliesslich gegenüber seinem Klienten verpflichtet sei. Daraus folge, dass eine Verletzung der auftragsrechtlichen Sorgfaltspflicht (Art. 398 Abs. 2 OR) durch den Anwalt sehr häufig, aber nicht zwingend auch eine Verletzung der anwaltlichen Berufspflichten (Art. 12 lit. a BGFA) bilde.
Die in diesem Entscheid in Bezug auf Art. 12 lit. a BGFA angestellten Überlegungen lassen sich (entgegen der Beschwerde) ohne Weiteres sinngemäss auch auf die Fragen nach der Tragweite von Art. 12 lit. i 2. Halbsatz BGFA und dem Verhältnis zwischen dieser Bestimmung zu Art. 398 Abs. 2 sowie Art. 400 OR übertragen, zumal Art. 12 lit. a BGFA als Auffangtatbestand dient (vgl. zur Qualifikation von Art. 12 lit. a BGFA als Auffangtatbestand Urteil 2C_507/2019 vom 14. November 2019 E. 5.1.2 Satz 1). Daraus ist abzuleiten, dass Art. 12 lit. i 2. Halbsatz BGFA die auftragsrechtlichen Vorgaben teilweise konkretisiert, teilweise aber auch darüber hinausgeht bzw. hinausgehen kann (vgl. auch Urteil 4A_512/2019 vom 12. November 2020 E. 5.3).
Vor diesem Hintergrund schliesst das Auftragsrecht nicht aus, dass Anwälte gemäss Art. 12 lit. i 2. Teilsatz BGFA schon während der Dauer des Mandats "periodisch", also aktiv und in regelmässigen Abständen, sowie unaufgefordert über die Höhe des Honorars informieren müssen (vgl. auch CHAPPUIS, a.a.O., S. 90; LUCIEN W. VALLONI/MARCEL C. STEINEGGER, Bundesgesetz über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte [Anwaltsgesetz, BGFA], 2002, S. 49; a.M. Beschluss des Obergerichts Zürich, III. Zivilkammer, vom 21. März 2006, in: SJZ 2007 S. 101 f., sowie GIOVANNI ANDREA TESTA, Die zivil- und standesrechtlichen Pflichten des Rechtsanwaltes gegenüber dem Klienten, 2011, S. 234, wonach eine Informationspflicht ohne eine Anfrage des Klienten nur in denjenigen Konstellationen gerechtfertigt sei, bei welchen sich für die Wahrnehmung der Interessen des Klienten unvorhergesehene wesentliche Mehraufwendungen abzeichneten).
4.3.5. Angesichts des erwähnten historischen Auslegungselements und des Zwecks von Art. 12 lit. i 2. Teilsatz BGFA ist diese Vorschrift richtigerweise so zu verstehen, dass Anwälte ihre Klienten unabhängig von Auskunftsbegehren unaufgefordert periodisch über die Höhe des geschuldeten Honorars zu unterrichten haben. Dies gilt jedenfalls, wenn der Anwalt und der Klient zu Beginn des Mandats keine Vereinbarungen darüber getroffen haben, wie die Information über die Höhe des geschuldeten Honorars während der laufenden Mandatsführung erfolgen soll (im Ergebnis ebenso Entscheid der Aufsichtskommission über die Rechtsanwälte des Kantons Zug vom 5. Juni 2018 E. 4.1, in: GVP 2018, S. 197 ff.; ALEXANDER BRUNNER et al., Anwaltsrecht, 2015, S. 175; FELLMANN, Anwaltsrecht, N. 504 mit Hinweisen; ders., in: Fellmann/Zindel [Hrsg.], a.a.O., N. 171 zu Art. 12 BGFA; vorliegend nicht einzugehen ist auf die Frage, ob und ggf. inwieweit ein vorgängiger und bedingungsloser Verzicht auf jegliche Information betreffend Kosten während eines langen Zeitraums zu behandeln ist). Dieser Schluss rechtfertigt sich umso mehr, als Rechtsverfahren - wie der Beschwerdeführer zutreffend selbst festhält - notorischerweise häufig lange dauern und deshalb das Interesse am Schutz des Klienten durch periodische (unaufgeforderte) Information über die Höhe des Honorars umso gewichtiger ist. Nur mit einer solchen Information hat der Klient nämlich die Möglichkeit, von seinem grundsätzlichen Recht Gebrauch zu machen, das Mandatsverhältnis aufgrund der Honorarentwicklung zu beenden oder anzupassen. Ins Gewicht fällt in diesem Kontext auch, dass die unaufgeforderte periodische Information über die Höhe des Honorars - wie erwähnt - auch im öffentlichen Interesse an der Wahrung des Ansehens der Anwaltschaft liegt. Mit Blick auf diese Interessen erscheint es als verhältnismässig (vgl. Art. 5 Abs. 2 BV), den Anwälten die Pflicht zur unaufgeforderten periodischen Information aufzuerlegen, selbst wenn dies für die Anwälte mit einem gewissen Aufwand verbunden ist.
Zum hiervor gezogenen Schluss ins Bild passt nicht zuletzt, dass die Rechtsanwälte gemäss Art. 21 der Standesregeln des Schweizerischen Anwaltsverbandes (abrufbar unter https://www.sav-fsa.ch/de/ anwaltsrecht/berufsregeln-national.html [zuletzt eingesehen am 2. Juni 2021]) periodisch über die Höhe des Honorars und der Auslagen zu informieren haben (Abs. 1) und sie auf Verlangen des Mandanten die Rechnung detaillieren müssen (Abs. 2). Auch gemäss diesen Standesregeln hat die periodische Information über die Honorarhöhe unaufgefordert zu erfolgen. Insoweit widerspiegeln sie eine national verbreitete Auffassung (vgl. hiervor E. 4.3.5 Abs. 1), so dass sie (entsprechend der Rechtsprechung [vgl. <ref-ruling> E. 4.4]) zur Bestimmung der Tragweite der im BGFA abschliessend festgelegten Berufsregeln für Anwälte herangezogen werden können (vgl. [in Bezug auf die anwaltliche Pflicht zur Erstellung detaillierter Rechnungen] auch Urteil 2A.18/2004 vom 13. August 2004 E. 7.2.3).
5.
Was unter periodischer Information im Sinne von Art. 12 lit. i 2. Teilsatz BGFA zu verstehen ist bzw. in welcher Kadenz Informationen über die Höhe des Honorars zu erteilen sind, ist im Gesetz nicht festgelegt. Auch in den erwähnten Standesregeln, welche grundsätzlich zur Auslegung der Berufspflichten herangezogen werden können (vgl. E. 4.3.5 hiervor), ist diese Pflicht nicht näher konkretisiert. Massgebend sind hierfür die Verhältnisse im Einzelfall (FELLMANN, Anwaltsrecht, N. 505 mit Hinweisen). Dabei ist stets die ratio legis im Auge zu behalten: Der Mandant soll davor geschützt werden, plötzlich mit einer unerwarteten Honorarforderung konfrontiert zu werden (vgl. vorne E. 4.3.3). Mit Blick auf diesen Zweck der Regelung sind etwa dann häufigere Informationen über die Höhe des Honorars bzw. Informationen in kürzeren Abständen geboten, wenn der Klient dem Anwalt Kostenvorschüsse bezahlt hat und sich abzeichnet, dass das Honorar die geleisteten Vorschüsse übersteigen wird. Denn eine in einer solchen Konstellation über längere Zeit unterbleibende Information über die Höhe des Honorars hätte regelmässig zur Folge, dass der Klient damit rechnet, dass die Abrechnung in der Höhe der Vorschüsse ausfallen wird, und er in der Folge in dieser Erwartung enttäuscht wird, ohne rechtzeitig (etwa mittels einer Anpassung oder gar eines Entzuges des Mandats) reagieren zu können.
Angesichts des Umstands, dass (wie ausgeführt) auf die Verhältnisse im Einzelfall abzustellen ist, kann von einer Verletzung der Pflicht zur periodischen Information von Art. 12 lit. i 2. Teilsatz BGFA, welche Disziplinarmassnahmen rechtfertigt, von vornherein nur ausgegangen werden, wenn die Zeit, welche ein Anwalt bis zu einer unaufgeforderten Information über die Honorarhöhe verstreichen lässt, klarerweise nicht mehr als angemessen erscheint. Andernfalls würde ein Anwalt in unverhältnismässiger Weise jedesmal diszipliniert, wenn ex post gesehen eine etwas häufigere Information als wünschbar erscheint (vgl. dazu auch TESTA, a.a.O., S. 234, wonach es zu weit gehen würde, vom Anwalt in monatlichen oder gar wöchentlichen Abständen eine Information bezüglich des aufgelaufenen Honorars zu verlangen).
6.
6.1. Wie gesehen ist davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer mit dem Anzeigesteller keine Vereinbarungen über die Modalitäten betreffend die Information über die Höhe des Honorars während der Dauer der Mandate abgeschlossen hat (vgl. vorne E. 3.4). Dementsprechend war der Beschwerdeführer gemäss Art. 12 lit. i 2. Halbsatz BGFA dazu verpflichtet, seinen Mandanten periodisch über die Höhe des Honorars zu informieren (vgl. vorne E. 4).
6.2. Gemäss den bindenden Feststellungen der Vorinstanz (vgl. Art. 105 Abs. 1 BGG) hat der Beschwerdeführer in der Zeit ab der Übernahme des ersten Mandats am 17. Mai 2016 bis zum 25. Oktober 2017 dem Anzeigesteller keine Rechnung gestellt und ihn in dieser Zeitspanne auch nicht über die Höhe des Honorars (bzw. die Entwicklung des Honorars) informiert (vgl. E. 8.3.3 des angefochtenen Urteils). Der alsdann mit Rechnung vom 25. Oktober 2017 fakturierte Betrag für Leistungen in der Zeit vom 13. Mai 2016 bis 25. Oktober 2017 von insgesamt Fr. 20'565.-- machte mehr als das Doppelte der Summe der vom Anzeigesteller zuvor dem Beschwerdeführer am 17. Mai 2016 (Fr. 3'500.--), 12. Juni 2017 (Fr. 2'500.--) und 27. Juli 2017 (Fr. 3'500.--) geleisteten Kostenvorschüsse aus (vgl. E. 8.3.3 des angefochtenen Urteils). Es kann unter diesen Umständen klarerweise nicht die Rede davon sein, dass der Beschwerdeführer innert angemessener Frist ab dem Zeitpunkt, als sich abzeichnete, dass das Honorar die Vorschüsse übersteigen wird, den Anzeigesteller über die Honorarhöhe informiert hat. Eine Information über die Honorarentwicklung vor dem 25. Oktober 2017 wäre gemäss Art. 12 lit. i 2. Halbsatz BGFA umso mehr geboten gewesen, als der Beschwerdeführer im Zeitpunkt der Abrechnung vom 25. Oktober 2017 schon während knapp eineinhalb Jahren in einem Mandatsverhältnis zum Anzeigesteller stand (vgl. dazu auch FRANÇOIS BOHNET/VINCENT MARTENET, Droit de la profession de l'avocat, 2009, N. 1783, wonach bei Fällen, die keine intensiven anwaltlichen Bemühungen erfordern, eine jährliche Information als angemessen erscheine) und mit Blick darauf, dass er ab dem 8. Juli 2016 zwei Mandate für den Anzeigesteller führte, ein erhöhtes Risiko bestand, dass die Kosten beim Anzeigesteller Fragen aufwerfen könnten. Keine Rolle spielt entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers, ob der Anzeigesteller aufgrund einer selbständigen Erwerbstätigkeit mit finanziellen Angelegenheiten vertraut war und ob die Anforderungen überspannt wären, wenn bei ruhenden Verfahren alle drei Monate eine periodische Information über die Höhe des Honorars verlangt würde.
Die Vorinstanz hat nach dem Gesagten zu Recht angenommen, dass der Beschwerdeführer die Pflicht zur periodischen Information über die Höhe des Honorars im Sinne von Art. 12 lit. i BGFA verletzt hat.
7.
Der Beschwerdeführer beanstandet die Verhältnismässigkeit der Sanktion nicht ausdrücklich, sondern macht lediglich sinngemäss geltend, ihm sei keine Sanktion aufzuerlegen.
7.1. Bei Verletzungen der Sorgfaltspflichten kann die Aufsichtsbehörde gemäss Art. 17 Abs. 1 BGFA als Disziplinarmassnahme eine Verwarnung (lit. a), einen Verweis (lit. b), eine Busse (lit. c) oder ein befristetes (lit. d) oder dauerndes (lit. e) Berufsausübungsverbot anordnen. Die Bestimmung der zu ergreifenden Disziplinarmassnahme ist vorab Sache der zuständigen Aufsichtsbehörde. Anders als bei der Frage, ob ein Verstoss gegen die Berufsregeln vorliegt, welche das Bundesgericht mit freier Kognition prüft, auferlegt sich dieses Zurückhaltung, soweit es um die auszufällende Massnahme geht. Insoweit greift das Bundesgericht nur ein, wenn die angefochtene Disziplinarsanktion den Rahmen des pflichtgemässen Ermessens sprengt und damit als klar unverhältnismässig und geradezu willkürlich erscheint (Urteile 2C_314/2020 vom 3. Juli 2020 E. 5.1; 2C_933/2018 vom 25. März 2019 E. 6; 2C_783/2008 vom 4. Mai 2009 E. 3.1; 2C_344/2007 vom 22. Mai 2008 E. 5).
7.2. Die Vorinstanz hat dargelegt, aus welchen Gründen die gegen den Beschwerdeführer angeordnete Sanktion ihrer Ansicht nach die Verhältnismässigkeit wahrt. Sie hat insbesondere ausgeführt, bei der periodischen Informationspflicht hinsichtlich der Entwicklung des Honorars handle es sich um einen bedeutenden Ausfluss der Pflicht zur Schaffung klarer Verhältnisse. Weil der Beschwerdeführer dieser Pflicht nicht nachgekommen sei, sei das Vertrauensverhältnis zwischen ihm und seinem Klienten gefährdet gewesen und seien Honorarstreitigkeiten, wie sie nun anscheinend vorliegen würden, vorprogrammiert gewesen. Der Beschwerdeführer habe mit seiner Vorgehensweise nicht nur den Interessen seines Klienten, sondern auch dem Ansehen der Anwaltschaft allgemein geschadet und die Interessen seines Klienten nicht sorgfältig gewahrt. Gestützt auf diese Erwägungen hat die Vorinstanz die Auffassung der Aufsichtsbehörde, wonach den Beschwerdeführer selbst unter Berücksichtigung des Umstandes, dass gegen ihn zuvor noch keine Disziplinarmassnahmen ausgesprochen worden waren, ein nicht leichtes Verschulden am Berufsregelverstoss treffe, bestätigt. Ferner hat die Vorinstanz ausgeführt, dass die Verwarnung als milderes Mittel nicht in Betracht komme, da eine solche nur bei geringfügigen Verfehlungen ausgesprochen werden könne (E. 9.3 und 9.4 des angefochtenen Urteils).
7.3. Zwar hat die Vorinstanz für die Begründung der Verhältnismässigkeit des Verweises auch die von ihr angenommene Verletzung von Art. 12 lit. i 1. Teilsatz BGFA (Aufklärung über Grundsätze der Rechnungsstellung bei Mandatsübernahme) ins Feld geführt. Selbst wenn vorliegend kein entsprechender Verstoss gegeben wäre, sprengt die ausgesprochene Sanktion aber den Rahmen des pflichtgemässen Ermessens der Aufsichtskommission nicht und erscheint sie weder als klar unverhältnismässig noch als willkürlich. Die Schlussfolgerung der Vorinstanz ist damit bundesrechtsmässig.
8.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als unbegründet, weshalb sie abzuweisen ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der unterliegende Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Juni 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: König