Sachverhalt:
A.
Der 1975 geborene B._ arbeitete seit Februar 2003 als Pflegeassistent im Spital C._. Am 4. Oktober 2014 erlitt er als Mitfahrer bei einem Autounfall eine Fraktur des 7. Halswirbelkörpers mit inkompletter Tetraplegie nach einem HWS-Distorsionstrauma. Die A._ Versicherungen AG (nachfolgend: A._ oder Beschwerdeführerin) erbrachte die gesetzlichen Leistungen nach UVG (Heilbehandlung und Taggeld). Zur Abklärung ihrer weiteren Leistungspflicht gab die Unfallversicherung beim Institut D._ am 29. Januar 2016 und wiederum am 2. Februar 2017 je eine polydisziplinäre Untersuchung in Auftrag. Die Expertisen datieren vom 26. April 2016 und vom 25. April 2017. Gestützt auf letztere teilte die A._ dem Versicherten mit, da ihm in einer angepassten Tätigkeit eine Erwerbstätigkeit in einem zeitlichen Umfang von 80% zumutbar sei, ergebe sich ein Invaliditätsgrad von 24%, womit er ab dem 1. Oktober 2017 Anspruch auf eine entsprechende Rente habe. Weiter werde ihm eine Integritätsentschädigung auf der Basis eines Integritätsschadens von 10% ausgerichtet. In teilweiser Gutheissung der dagegen geführten Einsprache erhöhte die Unfallversicherung den Rentenanspruch auf 25% (Einspracheentscheid vom 3. Mai 2018).
B.
Die hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt gut. Es hob den Einspracheentscheid vom 3. Mai 2018 auf und sprach dem Versicherten eine Invalidenrente entsprechend einer Erwerbseinbusse von 56% und eine Integritätsentschädigung auf der Basis eines Integritätsschadens von 15% zu.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die A._, in Aufhebung des angefochtenen Entscheides sei der Einspracheentscheid vom 3. Mai 2018 zu bestätigen.
Während der Versicherte auf Beschwerdeabweisung schliesst, verzichten die Vorinstanz und das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1 S. 236 mit Hinweisen).
1.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung hingegen ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
2.1. Streitig ist, ob die Vorinstanz zu Recht den Einspracheentscheid vom 3. Mai 2018 aufhob und dem Versicherten eine Rente von 56% und eine Integritätsentschädigung von 15% zusprach.
2.2. Das kantonale Gericht legte die für die Beurteilung der Streitsache massgebenden Rechtsgrundlagen zutreffend dar. Dies betrifft namentlich die Ausführungen zu den Voraussetzungen des Rentenanspruchs (Art. 18 Abs. 1 und Art. 19 Abs. 1 UVG) sowie zu den Anspruchsvoraussetzungen und zur Bemessung der Integritätsentschädigung (Art. 24 und 25 Abs. 1 UVG, <ref-law> i.V.m. Anhang 3 zur UVV; <ref-ruling> E. 1c S. 32, E. 3c S. 35 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 147; <ref-ruling> E. 4b S. 221 f.). Gleiches gilt für die Ausführungen zum Beweiswert von ärztlichen Gutachten und Berichten. Darauf kann verwiesen werden.
3.
3.1. Die Vorinstanz stellte im Wesentlichen fest, unter den Parteien sei unbestritten, dass der Endzustand per 30. September 2017 eingetreten sei. Nach Darstellung der medizinischen Aktenlage erwog das kantonale Gericht, es könne nicht auf die Gutachten des Instituts D._ und deren ergänzende Stellungnahme vom 28. November 2017 abgestellt werden. Gestützt auf den Bericht der Klinik E._, Zentrum für Querschnittgelähmte und Hirnverletzte, vom 17. Juni 2017 (nachfolgend: Klinik E._) sei vielmehr davon auszugehen, dass der Versicherte in einer leidensbedingten Tätigkeit nur zu 50% arbeitsfähig sei. Da die Schmerzen an der rechten oberen Extremität organisch objektivierbar seien und zum Gesamtbild des Beschwerdegeschehens gehörten, stünden sie auch in einem natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang mit dem Unfall vom 4. Oktober 2014. Es lägen keine Anzeichen für eine schwere psychische Störung vor. Unter Berücksichtigung eines leidensbedingten Abzuges von 5% ermittelte das kantonale Gericht einen Invaliditätsgrad von 56%. Da anzunehmen sei, dass der Versicherte aufgrund seiner Beschwerden an der rechten oberen Extremität stärker eingeschränkt sei als von den Gutachtern angenommen, sei auch die Integritätsentschädigung auf 15% zu erhöhen.
3.2. Die A._ macht vorab geltend, die Vorinstanz habe zu Unrecht nicht auf die versicherungsexternen polydisziplinären Gutachten und Stellungnahmen des Instituts D._ abgestellt. Es gäbe keine medizinischen Beurteilungen, welche den Beweiswert der Expertisen mindern würden. Das kantonale Gericht habe die medizinischen Akten nicht rechtsgenüglich gewürdigt.
4.
4.1.
4.1.1. Nach <ref-law> stellt das kantonale Gericht unter Mitwirkung der Parteien die für den Entscheid erheblichen Tatsachen fest; es erhebt die notwendigen Beweise und ist in der Beweiswürdigung frei.
4.1.2. Hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes ist entscheidend, ob dieser für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge sowie der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen der Experten begründet sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352 mit Hinweis).
4.1.3. Grundsätzlich sind Administrativgutachten auch für das kantonale Gericht verbindlich, sofern nicht konkrete Indizien gegen die Zuverlässigkeit der Expertise sprechen (BGE <ref-ruling> E. 3b/bb S. 353; vgl. auch <ref-ruling> E. 4.4 S. 470 sowie Urteil 9C_609/2018 vom 6. März 2019 E. 3.2.2). Dazu bedarf es, dass die Vorinstanz sich zuerst mit den im betreffenden Fall bei den Akten befindlichen medizinischen Berichten auseinandersetzt und folglich begründet, weshalb nicht auf ein nach <ref-law> eingeholtes Administrativgutachten abgestellt werden kann.
4.2. Damit ist vorerst zu prüfen, ob das kantonale Gericht zu Recht die Gutachten des Instituts D._ nicht berücksichtigt hat.
4.2.1. Die Vorinstanz hat sich ausführlich mit den medizinischen Akten auseinandergesetzt. Es verneinte die Beweiskraft der Gutachten des Instituts D._ mit der Begründung, diese erschienen in Anbetracht der Schilderungen der behandelnden Fachärzte nicht schlüssig. Dies gelte insbesondere auch bezüglich der Einschätzung der Arbeitsfähigkeit, da die Experten des Instituts D._ den objektivierbaren Schmerzen des Versicherten am rechten Arm sowie an der rechten Hand zu wenig Rechnung getragen hätten, indem sie sie als psychogene Schmerzfehlverarbeitung interpretierten und bei der Gesamtbeurteilung ausser Acht liessen. Entgegen der Annahme in den genannten Gutachten lägen organisch bedingte Schmerzen vor, welche den Versicherten beeinträchtigten. Das kantonale Gericht bezieht sich dabei hauptsächlich auf den Bericht der Klinik E._ vom 27. Juni 2017. Demnach weise der Patient eine Bisswunde (Selbstverletzung zur Schmerzbekämpfung) am rechten Handgelenk auf. Es sei entgegen der Annahme der Unfallversicherung beziehungsweise der Gutachter des Instituts D._ nicht ausgewiesen, dass der Versicherte Falschangaben bezüglich der Einnahme von Medikamenten gemacht habe. Die Vorinstanz bezieht sich diesbezüglich auf einen Bericht über eine neurographische Standortbestimmung des Dr. med. F._, leitender Arzt Neurologie der Klinik E._ vom 6. September 2018. Darin wird ausgeführt, der Versicherte sei aufgrund einer pharmakologischen Besonderheit (Enzyminduktion bei Medikamentenabbau) medikamentös schwierig einzustellen.
4.2.2. In der Beschwerde wird bezüglich des Berichts des Dr. med. F._ vom 6. September 2018 argumentiert, daraus lasse sich keine Aussage bezüglich des Medikamentenkonsums im Zeitpunkt der gutachterlichen Untersuchung ableiten. Darüber hinaus sei der Sachverhalt bei Erlass des Einspracheentscheides vom 3. Mai 2018 massgebend. Der Bericht datiere vier Monate später. Schliesslich sei er ungeeignet, eine objektivierbare Ursache der vom Versicherten angegebenen Schmerzen mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit zu belegen.
4.2.3. Insgesamt bestehen zwischen dem Gutachten des Instituts D._ vom 25. April 2017 einerseits und den übrigen medizinischen Akten, insbesondere der neurographischen und der elektromyographischen Standortbestimmungen vom 6. September 2018 andererseits, einige Widersprüche. Die Gutachter des Instituts D._ waren offenbar nicht darüber informiert, dass beim Beschwerdegegner eine Enzymindukation beim Medikamentenabbau vorliegt. Daher ist auch nicht bekannt, ob Tests in anderer Form durchgeführt worden seien und eine andere Erklärung den niedrigen Medikamentenspiegel für denkbar wäre. Noch wichtiger aber ist die Diskrepanz bezüglich der apparativ eruierten und damit objektivierbaren neurologischen Werte. Dr. med. F._ hat bei der sensiblen Stimulation der Nervi Radialis beidseits in ihrem distalen Abschnitt einen signifikanten Amplitudenunterschied von 80% zuungunsten von rechts festgestellt. Aus dem Gutachten des Instituts D._ ist nicht ersichtlich, ob diese Nerven überhaupt geprüft worden sind. Erschwerdend kommt hinzu, dass aus dem Gutachten nicht ersichtlich ist, welche Untersuchungen durchgeführt wurden. Jedenfalls vermerkte der neurologische Teilgutachter, er habe nur geringfügige Auffälligkeiten gefunden, weshalb er daraus schloss, die vom Exploranden angegebenen Schmerzen beruhten entweder auf einer Fehlverarbeitung ohne Krankheitswert oder einer chronischen Schmerzstörung mit somatischen und psychischen Faktoren.
Entgegen der Darstellung in der Beschwerde ist es nicht relevant, dass der Bericht des Dr. med. F._ vom 6. September 2018 erst nach Erlass des Einspracheentscheides vom 3. Mai 2018 erfolgte, da der geschilderte Gesundheitszustand des Beschwerdegegners auch den Zeitraum bei Verfügungserlass abdeckt.
4.3. Weiter zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht gestützt auf den Arztbericht der Klinik E._ vom 27. Juni 2017 zu Recht von einer 50%igen Arbeitsfähigkeit ausging.
Die behandelnden Ärztinnen fügen darin an, im Rahmen einer Jahreskontrolle könne nur begrenzt zur Arbeitsfähigkeit Stellung genommen werden. Aktuell erachteten sie eine behinderungsangepasste Tätigkeit von 3-4 Stunden täglich mit verlängerten und vermehrten Pausen als zumutbar. Zur genauen Einschätzung empfahlen sie eine Belastungserprobung. Der Bericht vermag für sich allein schon deshalb nicht zu überzeugen, weil er nicht die formalen und inhaltlichen Merkmale eines Gutachtens aufweist, sondern lediglich einen Jahresbericht an den Hausarzt darstellt. Damit eignet sich auch dieser Bericht nicht als Grundlage zur Ermittlung der Erwerbsfähigkeit.
4.4. Der angefochtene Entscheid beruht somit nicht auf einem vollständig und schlüssig ermittelten Bild des Gesundheitszustandes. Angesichts der ins Gewicht fallenden Unzulänglichkeiten des Administrativgutachtens und der ebenso wenig beweistauglichen Grundlagen im Bericht der Klinik E._ hat die Vorinstanz den Untersuchungsgrundsatz (<ref-law>) und das Gebot der freien und umfassenden Beweiswürdigung verletzt, indem sie keine weiteren Abklärungen hinsichtlich der zentralen strittigen Fragen bezüglich der Objektivierbarkeit der vom Versicherten geltend gemachten Schmerzen an seiner rechten oberen Extremität und der ihm zumutbaren Arbeitsfähigkeit veranlasst hat. Sie wird ein diesbezügliches Gerichtsgutachten bei einer in paraplegologischen Fragen erfahrenen neurologischen Fachperson einzuholen haben.
5.
Schliesslich hat das kantonale Gericht die auf der Grundlage einer medizinischen Beurteilung der Gutachter des Instituts D._ zugesprochene Integritätsentschädigung von 10% auf 15% erhöht, ohne sich seinerseits auf eine medizinische Fachmeinung abstützen zu können. Im Rahmen des anzuordnenden Gerichtsgutachtens wird daher auch die Frage nach der Höhe des Integritätsschadens zu prüfen sein.
6.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Die Rückweisung der Sache an den Versicherungsträger oder an das vorinstanzliche Gericht zu erneuter Abklärung (mit noch offenem Ausgang) gilt für die Auferlegung der Gerichtskosten und der Parteientschädigung als volles Obsiegen der Beschwerdeführerin (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 6.1 S. 235; SVR 2019 UV Nr. 12 S. 47, 8C_62/2018 E. 6 mit Hinweisen). Dementsprechend hat der Beschwerdegegner die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 28. November 2018 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. Februar 2020
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Schüpfer