Sachverhalt:
A.
A._ befindet sich seit dem 19. Januar 2016 in einer stationären therapeutischen Massnahme nach <ref-law>, zugunsten derer eine Freiheitsstrafe von 15 Jahren aufgeschoben worden ist (vgl. Urteil des Bezirksgerichts Bülach vom 1. November 2016). Wegen vorläufiger Undurchführbarkeit der Massnahme versetzte das Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich (heute: Amt für Justizvollzug und Wiedereingliederung [JUWE]) A._ mit Verfügung vom 8. November 2019 in Sicherheitshaft (§ 22a des zürcherischen Straf- und Justizvollzugsgesetzes [StJVG]).
Die Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich wies den dagegen erhobenen Rekurs ab, soweit sie darauf eintrat. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Vertretung wies sie ab und auferlegte A._ Verfahrenskosten (Entscheid vom 20. Dezember 2019).
B.
A._ erhob Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und verlangte u.a. die Aufhebung der Sicherheitshaft.
Das Verwaltungsgericht hiess die Beschwerde am 20. März 2020 teilweise gut und beschränkte die Dauer der Sicherheitshaft vorerst auf (längstens) bis 31. August 2020. Nach Ablauf dieser Frist werde die Vollzugsbehörde über das weitere Vorgehen (erneute Anordnung von Sicherheitshaft, Wiederaufnahme der stationären Behandlung, Aufhebung der Massnahme) zu entscheiden haben. Im Übrigen wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
Die Kosten des (verwaltungsinternen) Rekursverfahrens auferlegte das Verwaltungsgericht A._ zu zwei Dritteln. Die Kosten des (verwaltungsgerichtlichen) Beschwerdeverfahrens auferlegte es A._ zur Hälfte, gewährte ihm indes die unentgeltliche Prozessführung. Seinen Rechtsvertreter entschädigte es als unentgeltlichen Rechtsbeistand mit Fr. 1'808.82 (einschliesslich Mehrwertsteuer).
C.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt, die Kosten des Rekursverfahrens seien vollständig der Vollzugsbehörde aufzuerlegen. Für das Rekursverfahren sei ihm eine Parteientschädigung von Fr. 2'300.-- zuzusprechen. Hinsichtlich des verwaltungsgerichtlichen Beschwerdeverfahrens sei das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zufolge seines Obsiegens abzuschreiben. Dem Rechtsvertreter sei eine Parteientschädigung von Fr. 1'808.82 zuzusprechen. Eventuell sei für das Rekursverfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und unter diesem Titel eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- zuzusprechen. Die Verfahrenskosten seien auf die Staatskasse zu nehmen, ebenso die Kosten des verwaltungsgerichtlichen Beschwerdeverfahrens. Subeventuell sei die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Für das bundesgerichtliche Verfahren beantragt A._ die unentgeltliche Rechtspflege.
Das JUWE und das Verwaltungsgericht verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die strittige Kostenregelung ist Teil eines Endentscheids (Art. 78 Abs. 1, Art. 80 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer ist zur Erhebung einer Beschwerde in Strafsachen legitimiert, da er im Rahmen seiner Rechtsbegehren ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheides hat (<ref-law>). Die bundesrechtlichen Bestimmungen und Garantien über die Kostenfolgen im kantonalen Verfahren begründen einen subjektiven Anspruch darauf, nur unter den rechtlich umschriebenen Voraussetzungen mit Kosten belastet resp. gegebenenfalls von der Kostentragung befreit zu werden.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, die im Rechtsmittelverfahren erwirkte Beschränkung der Dauer der Sicherheitshaft bedeute, dass er einen vollständigen Erfolg erzielt habe. Mindestens aber sei von einem Obsiegen zu zwei Dritteln auszugehen. Die Auferlegung von zwei Dritteln der Verfahrenskosten (im Rekursverfahren) sei damit nicht vereinbar. Hinzu komme, dass eine Kostenaufteilung von 50 Prozent (für das Beschwerdeverfahren) sinnlos sei, wenn die Vorinstanz davon ausgehe, der Beschwerdeführer habe zu einem Drittel obsiegt. Ausserdem werde die Kostenverlegung nicht begründet, was <ref-law> verletze; die ungewöhnliche Regelung erfordere ohnehin eine entsprechend qualifizierte Begründung. Willkürlich sei es schliesslich, ihm mit der Begründung, er obsiege nicht überwiegend, eine Parteientschädigung vollständig zu verweigern.
2.2. Die Vorinstanz verlegt die Kosten des verwaltungsinternen Rekursverfahrens im Umfang von zwei Dritteln zulasten des Beschwerdeführers. Mangels Obsiegens sei ihm gemäss § 17 Abs. 2 des (kantonalzürcherischen) Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 24. Mai 1959 (VRG) keine Parteientschädigung zuzusprechen.
Hinsichtlich der Kosten des verwaltungsgerichtlichen Beschwerdeverfahrens hält die Vorinstanz fest, grundsätzlich gelte auch hier das Unterliegerprinzip (§ 13 Abs. 2 VRG). Allerdings sei zu berücksichtigen, dass die Vollzugsbehörde die Rekursfrist zu Unrecht auf fünf Tage abgekürzt habe (vgl. § 22 Abs. 3 VRG). Aufgrund des Beschleunigungsgebots rechtfertige es sich nicht, die Sache deswegen an die Verwaltung zurückzuweisen, damit sie den Entscheid mit (ordentlicher) dreissigtägiger Rekursfrist nochmals eröffne. Bei der Festlegung der Kostenfolgen im Beschwerdeverfahren sei dem Rechtsfehler aber Rechnung zu tragen. Die Gerichtskosten seien daher je hälftig auf den Beschwerdeführer und die Vollzugsbehörde zu verteilen. Eine Parteientschädigung stehe dem Beschwerdeführer nicht zu, da er nicht überwiegend obsiege (vgl. § 17 Abs. 2 VRG).
2.3.
2.3.1. Die strittigen Kostenpunkte richten sich im vorliegenden Zusammenhang (Massnahmenvollzug) nach kantonalem Verfahrensrecht (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft die Auslegung und Anwendung des kantonalen Rechts unter dem beschränkten Aspekt der Verletzung verfassungsmässiger Rechte, so auch des Willkürverbots (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.3).
2.3.2. Vor Vorinstanz hatte der Beschwerdeführer den Verzicht auf Sicherheitshaft verlangt. Die Vorinstanz hiess sein Rechtsmittel nur insoweit - teilweise - gut, als es die Sicherheitshaft unter Festlegung eines Termins auf die zu erwartende Dauer von (u.a. gutachterlichen) Abklärungen im Hinblick auf den weiteren Massnahmevollzug beschränkte (angefochtenes Urteil S. 13 f. E. 5.4 und 5.6). Implizit begrenzten schon die Verfügung der Vollzugsbehörde und der verwaltungsinterne Rekursentscheid die Dauer der Sicherheitshaft bis zum (noch offenen) Zeitpunkt, zu welchem klar würde, unter welchem Titel der Freiheitsentzug fortgeführt werden sollte. Somit ist die vorinstanzliche Festlegung, wonach der Beschwerdeführer bloss zu einem Drittel obsiegt, jedenfalls nicht willkürlich.
2.3.3. Was die verweigerte Parteientschädigung betrifft, so "kann" die unterliegende Partei oder Amtsstelle im Rekursverfahren und im Verfahren vor Verwaltungsgericht namentlich (u.a.) dann zur Bezahlung einer angemessenen Entschädigung verpflichtet werden, wenn die angefochtene Anordnung offensichtlich unbegründet war (§ 17 Abs. 2 lit. b VRG). Diese "Kann-Bestimmung" räumt der Behörde ein Auswahl- und Entschliessungsermessen ein. Die Vorinstanz verweigerte die Entschädigung, weil die Anordnung von Sicherheitshaft im Grundsatz zu bestätigen war und der Beschwerdeführer nur soweit durchdrang, als die (inhärente) Befristung ausdrücklich terminiert werden musste. Diese Auslegung und Handhabung von § 17 Abs. 2 VRG hält vor dem Willkürverbot stand. Dies gilt unabhängig davon, ob das Ausmass des Unterliegens der Gegenpartei, das für eine Entschädigung der teilweise obsiegenden Partei vorauszusetzen ist, nach dem Massstab einer "offensichtlich unbegründeten" Verwaltungsanordnung konkretisiert wird oder nach demjenigen des überwiegenden Obsiegens (vgl. angefochtenes Urteil S. 14 E. 6.1 und S. 16 E. 7.1).
2.3.4. Die Verlegung der Verfahrenskosten im Rekurs- und im Beschwerdeverfahren wiederum erscheint keineswegs so ungewöhnlich oder erklärungsbedürftig, dass daraus ein Anspruch auf eine entsprechend qualifizierte Begründung des Kostenentscheids folgen müsste (vgl. zum Zusammenhang zwischen normativer Bestimmtheit und Verfahrensgarantien: <ref-ruling> E. 2.5 a.E. mit Hinweisen). So besteht auch kein Widerspruch zwischen der Annahme, der Beschwerdeführer obsiege zu einem Drittel, und der hälftigen Verteilung der Gerichtskosten im Beschwerdeverfahren. Diese Aufteilung der vorinstanzlichen Gerichtskosten wird nicht mit dem Unterliegerprinzip resp. mit dem Ausmass des Obsiegens, sondern mit der unrechtmässigen Verkürzung der verwaltungsinternen Rekursfrist begründet (vgl. oben E. 2.2).
3.
3.1. Im Eventualstandpunkt verlangt der Beschwerdeführer, es sei ihm nicht nur im Beschwerde-, sondern auch im Rekursverfahren die unentgeltliche Rechtspflege (Verfahrenskosten, Rechtsvertretung; <ref-law>) zu bewilligen. Er macht u.a. Willkür der vorinstanzlichen Feststellung geltend, seine Mittellosigkeit sei nicht behördennotorisch. Er befinde sich seit Jahren im Massnahmevollzug und sei schon vorher lange Zeit inhaftiert gewesen. Der Stand seines Insassenkontos sei den Behörden bekannt. Wenn die Rekursinstanz in dieser Situation die (offensichtliche) Mittellosigkeit belegt haben wolle, so müsse sie darauf hinweisen, bevor sie das Gesuch ablehne.
3.2. Die Vorinstanz heisst das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im Beschwerdeverfahren gut, da der Beschwerdeführer die Mittellosigkeit knapp genügend substantiiert habe und auch die übrigen Voraussetzungen (fehlende Aussichtslosigkeit, sachliche Notwendigkeit der Rechtsvertretung) erfüllt seien. Hingegen schützt die Vorinstanz den Entscheid der Rekursinstanz, das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen fehlender Mitwirkung des Gesuchstellers abzulehnen.
Sie erwägt, wer ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege stelle, müsse beim Nachweis seiner Mittellosigkeit mitwirken (§ 7 Abs. 2 lit. a VRG). Gegenüber einem rechtskundig vertretenen Gesuchsteller müsse nicht eigens auf die Mitwirkungspflicht hingewiesen werden. In der Rekursschrift habe der Beschwerdeführer nicht substantiiert, aus welchen Akten sich seine Mittellosigkeit ergebe, und auch keine entsprechenden Belege eingereicht. Er habe nur geltend gemacht, seine Mittellosigkeit sei gerichtsnotorisch. Der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer sei damit seiner Mitwirkungspflicht nicht nachgekommen. Daran ändere die unzulässig verkürzte Frist zur Anfechtung des Rekursentscheids nichts; es wäre dem Beschwerdeführer freigestanden, nachträglich weitere Tatsachenbehauptungen und Beweismittel einzureichen (§ 20a Abs. 2 VRG). Die Mittellosigkeit könne sich zwar auch aus den Akten oder aus den Umständen ergeben, etwa bei Sozialhilfe oder Ergänzungsleistungen beziehenden Personen. Es sei jedoch nicht schon deswegen von Bedürftigkeit auszugehen, weil sich der Beschwerdeführer im Strafvollzug befinde; auch dort liessen sich ein Arbeitsentgelt erzielen und daraus Ersparnisse anlegen. Ferner bestehe die Möglichkeit, während des Strafvollzugs zu erben oder bereits vorher im Besitz eines gewissen Vermögens gewesen zu sein.
3.3. Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege wird in erster Linie durch § 16 VRG geregelt. Unabhängig davon besteht auch ein Anspruch aufgrund von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.1; Urteil 2C_367/2020 vom 7. Oktober 2020 E. 3.1; zur Geltung des Anspruchs im Verwaltungsverfahren: <ref-ruling> E. 2.2; BERNHARD WALDMANN, in: Bundesverfassung, Basler Kommentar, 2015, N 66 zu <ref-law>; GEROLD STEINMANN, in: Die schweizerische Bundesverfassung, St. Galler Kommentar, 3. Aufl. 2014, N 65 zu <ref-law>). Danach hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand.
Bei der Prüfung der Mittellosigkeit berücksichtigt die Behörde die wirtschaftliche Situation der gesuchstellenden Partei im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs (<ref-ruling> E. 4.1; Urteil 6B_304/2021 vom 12. April 2021 E. 3). Der Gesuchsteller ist mitwirkungspflichtig: Die mit dem Gesuch befasste Behörde ist weder verpflichtet, den betreffenden Sachverhalt von sich aus umfassend abzuklären, noch muss sie alles Behauptete von Amtes wegen überprüfen (Urteile 2C_367/2020 vom 7. Oktober 2021 E. 3.3; 5A_716/2018 vom 27. November 2018 E. 3.2; 9C_784/2017 vom 12. Januar 2018 E. 2). Vielmehr liegt es am Gesuchsteller, seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse sowie alle finanziellen Verpflichtungen vollständig offenzulegen und, soweit möglich, zu belegen (<ref-ruling> E. 5.1). Verweigert der Gesuchsteller die zur Beurteilung erforderlichen Angaben oder Belege, so kann die Behörde die Bedürftigkeit umgehend verneinen, ohne dadurch den Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege zu verletzen (erwähntes Urteil 2C_367/2020 E. 3.3). In der Regel ist dem Betroffenen vorher eine Frist zu setzen (vgl. Urteil 1B_245/2020 vom 23. Juli 2020 E. 3.7).
3.4. Die Vorinstanz geht davon aus, die Rekursinstanz habe das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ohne Weiterungen ablehnen dürfen. Seine Mittellosigkeit sei nicht evident. Nachdem der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer in seiner Rekursschrift weder die Bedürftigkeit substantiiert noch Belege dazu eingereicht habe, sei die Rekursinstanz nicht verpflichtet gewesen, ihn auf seine Mitwirkungspflicht aufmerksam zu machen (vgl. Urteil 2C_955/2019 vom 29. Januar 2020 E. 4.3). Eine Information über nachzureichende Belege - mit Ansetzung einer Einreichungsfrist - kann in bestimmten Fällen jedoch auch gegenüber rechtskundig begleiteten Gesuchstellern angezeigt sein. So hält die Vorinstanz fest, dass die Bedürftigkeit etwa bei bekanntem Sozialhilfebezug regelmässig vorausgesetzt werden kann ("notorische Mittellosigkeit"). Angesichts des seit Jahren bestehenden Freiheitsentzugs durfte der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers grundsätzlich von einer Situation ausgehen, die mit dem Fall eines Sozialhilfebezugs vergleichbar ist. Die Vorinstanz führt freilich Gründe an, weshalb eine seit langem im Freiheitsentzug befindliche Person im Einzelfall dennoch über die Mittel zur Bezahlung der Verfahrenskosten und ihrer Rechtsvertretung verfügen könnte (z.B. vorbestehendes Vermögen). Im Hinblick darauf ist die Behörde befugt - bei entsprechenden Anhaltspunkten gegebenenfalls verpflichtet -, entsprechende Angaben und Belege einzufordern.
Dies ist hier aber nicht geschehen. Eine verweigerte Mitwirkung liegt von vornherein nicht vor. Weil der langfristige Freiheitsentzug eine prozessuale Bedürftigkeit grundsätzlich nahelegt, kann unter den gegebenen Umständen auch nicht von einer Säumnis des anwaltlich vertretenen Gesuchstellers ausgegangen werden, die die Behörde zur umgehenden und ungeprüften Ablehnung des Gesuchs berechtigen würde.
3.5. Die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege im verwaltungsinternen Rekursverfahren verletzt somit <ref-law>. Die Sache ist an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie, nach allfälligen Abklärungen, den betreffenden Anspruch des Beschwerdeführers beurteilt.
4.
Insofern ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen. Im Übrigen ist sie abzuweisen.
Der Kanton Zürich entschädigt den Beschwerdeführer angemessen für das bundesgerichtliche Verfahren (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Die Entschädigung wird an seinen Rechtsvertreter ausgerichtet. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist in diesem Umfang gegenstandslos. Soweit der Beschwerdeführer unterliegt, ist das Gesuch wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (<ref-law>). Der Beschwerdeführer wird im Umfang seines Unterliegens kostenpflichtig. Seiner finanziellen Lage ist mit herabgesetzten Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 20. März 2020 aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
3.
Dem Beschwerdeführer werden Gerichtskosten von Fr. 600.-- auferlegt.
4.
Der Kanton Zürich hat den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Justizvollzug und Wiedereingliederung und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, Einzelrichterin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. August 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Denys
Der Gerichtsschreiber: Traub