Sachverhalt:
A.
Am 20. April 2015 erhielt A._ (Jahrgang 1997) den Führerausweis auf Probe. Am 23. November 2017, d.h. während der Probezeit, fuhr A._ als Lenker eines Personenwagens um ca. 7:45 Uhr auf dem Gemeindegebiet Birmenstorf auf der Autobahn A1 in Fahrtrichtung Zürich auf der 2. Überholspur. Dabei streifte er mit seinem Fahrzeug die Mittelleitplanke. Gemäss eigenen Angaben hielt A._ nach der Kollision auf dem Pannenstreifen an und überprüfte sein Fahrzeug und (aus der Ferne) die Mittelleitplanke. An der Mittelleitplanke konnte er keinen Schaden erkennen. Darauf setzte er seine Fahrt fort. Von seinem Arbeitsort aus, ca. eine halbe Stunde nach der Kollision, meldete er den Vorfall der Polizei.
Mit Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Baden wurde A._ wegen Vereitelung von Massnahmen zur Feststellung der Fahrunfähigkeit, wegen fahrlässiger Verletzung der Verkehrsregeln durch Nichtbeherrschen des Fahrzeuges in Folge mangelnder Aufmerksamkeit und wegen pflichtwidrigem Verhalten bei Unfall verurteilt. Auf seine Einsprache hin wurde er mit Urteil des Bezirksgerichts Baden vom 22. November 2018 vom Vorwurf der Vereitelung von Massnahmen zur Feststellung der Fahrunfähigkeit und vom Vorwurf des pflichtwidrigen Verhaltens bei Unfall freigesprochen. Hingegen wurde er mit diesem Strafurteil der fahrlässigen (einfachen) Verletzung von Verkehrsregeln durch Nichtbeherrschens des Fahrzeugs in Folge mangelnder Aufmerksamkeit schuldig gesprochen und mit einer Busse von CHF 200.00 bestraft. Die Verkehrsregelverletzung wurde als leicht eingestuft. Das Urteil erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
Die Motorfahrzeugkontrolle des Kantons Solothurn (nachfolgend: MFK), hatte A._ im April 2018 den unbefristeten Führerausweis mit Vorbehalt wegen des Vorfalls vom 23. November 2017 ausgestellt. Am 28. Februar 2019 verfügte die MFK, namens des kantonalen Bau- und Justizdepartements, gegen A._ den Entzug des Führerausweises für einen Monat und verlängerte die Probezeit um ein Jahr. Sie stufte die Widerhandlung vom 23. November 2017 als mittelschwere Verletzung der Verkehrsregeln ein. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn am 28. Mai 2019 ab.
B.
Mit als Verwaltungsgerichtsbeschwerde bezeichneter Eingabe vom 3. Juli 2019 verlangt A._, das angefochtene Urteil sei aufzuheben; eventualiter sei eine Verwarnung auszusprechen.
Das Verwaltungsgericht beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die MFK und das Bundesamt für Strassen (ASTRA) schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
C.
Das präsidierende Mitglied der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung hat der Beschwerde am 21. August 2019 aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid über einen Führerausweisentzug. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> offen. Die unzutreffende Bezeichnung des Rechtsmittels schadet nicht (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 499 mit Hinweis). Die Beschwerde wurde rechtzeitig eingereicht (vgl. Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Gemäss <ref-law> muss der Führer das Fahrzeug ständig so beherrschen, dass er seinen Vorsichtspflichten nachkommen kann. Der Fahrzeugführer muss seine Aufmerksamkeit der Strasse und dem Verkehr zuwenden (vgl. 3 Abs. 1 VRV; SR 741.11). Dass der Beschwerdeführer bei der Kollision mit der Mittelleitplanke der Autobahn A1 gegen diese Verkehrsregel verstossen hat, ist unbestritten.
2.2. Das Gesetz unterscheidet zwischen der leichten, mittelschweren und schweren Widerhandlung (Art. 16a-c SVG). Gemäss <ref-law> begeht eine leichte Widerhandlung, wer durch Verletzung von Verkehrsregeln eine geringe Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft und ihn dabei nur ein leichtes Verschulden trifft (Abs. 1 lit. a). Eine mittelschwere Widerhandlung begeht, wer durch Verletzung von Verkehrsregeln eine Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft oder in Kauf nimmt (<ref-law>). Gemäss <ref-law> begeht eine schwere Widerhandlung, wer durch grobe Verletzung von Verkehrsregeln eine ernstliche Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft oder in Kauf nimmt.
2.3. Die mittelschwere Widerhandlung nach <ref-law> stellt einen Auffangtatbestand dar. Sie liegt vor, wenn nicht alle privilegierenden Elemente einer leichten Widerhandlung nach <ref-law> und nicht alle qualifizierenden Elemente einer schweren Widerhandlung nach <ref-law> gegeben sind. Demgegenüber setzt die Annahme einer leichten Widerhandlung kumulativ eine geringe Gefahr und ein geringes Verschulden voraus (<ref-ruling> E. 2.2.2 f. S. 141). Bei einer schweren Widerhandlung muss kumulativ eine qualifizierte objektive Gefährdung und ein qualifiziertes Verschulden gegeben sein. Ist die Gefährdung gering, aber das Verschulden hoch, oder umgekehrt die Gefährdung hoch und das Verschulden gering, liegt eine mittelschwere Widerhandlung vor (vgl. zum Ganzen: <ref-ruling> E. 3.2 S. 452; Urteil 1C_120/2016 vom 8. Juli 2016 E. 3.1 mit Hinweisen). Eine Gefahr für die Sicherheit anderer im Sinne von Art. 16a-c SVG ist bei einer konkreten oder auch bei einer erhöhten abstrakten Gefährdung zu bejahen. Eine erhöhte abstrakte Gefahr besteht, wenn die Möglichkeit einer konkreten Gefährdung oder Verletzung naheliegt. Ob eine solche Gefährdung vorliegt, ist anhand der jeweiligen Verhältnisse im Einzelfall zu beurteilen (vgl. Urteil 1C_634/2017 vom 10. April 2018 E. 5.1 mit Hinweisen).
3.
3.1. Das Verwaltungsgericht hat eine (objektiv) bloss geringe Gefahr beim Vorfall verneint. Es hielt fest, der Beschwerdeführer habe sich durch seinen Fahrfehler (Streifkollision mit der Mittelleitplanke) als Lenker primär selbst gefährdet und Sachschaden am eigenen Fahrzeug verursacht. Zwar sei es glücklicherweise zu keinen schwereren (Unfall-) Folgen und zu keiner direkten oder indirekten Beteiligung von dritten Personen gekommen. Dies schliesse aber unter Verweis auf das Urteil 1C_478/2014 vom 14. Juli 2015 E. 2.3 eine massgebende Gefahr für andere Verkehrsteilnehmer im Sinne von <ref-law> nicht aus. Der Vorfall habe sich am 23. November 2017, einem Donnerstagmorgen, ca. 7:45 Uhr auf trockener, ebener Fahrbahn ereignet. Bei der A1 handle es sich besonders zu Zeiten des Berufsverkehrs um eine sehr stark frequentierte Autobahn. Die Höchstgeschwindigkeit beträgt auf dem fraglichen Strassenabschnitt 100 km/h. Aus dem Entscheid des Bezirksgerichts Baden ergebe sich nicht, mit welcher Wucht der Personenwagen des Beschwerdeführers mit der Leitplanke kollidierte. Aus den sich bei den Akten befindenden Fotografien sei jedenfalls ersichtlich, dass das Fahrzeug des Beschwerdeführers auf der ganzen linken Seite Kratzspuren aufweise (vorderer und hinterer Radkasten, Türe, Seitenspiegel). Gemäss Aussagen des Beschwerdeführers habe er das Fahrzeug (nach der Kollision) zwar umgehend wieder unter Kontrolle bringen können. Dies hätte jedoch für weitere Verkehrsteilnehmer auf der stark frequentierten Autobahn gravierende Folgen haben können. Bei gesamthafter Betrachtung sei nicht nur von einer Selbstgefährdung des Lenkers auszugehen, sondern zudem von einer erhöhten abstrakten Gefahr der übrigen Verkehrsteilnehmer. Es gehöre zu den elementaren SorgfaItspflichten des Fahrzeugführers, sein Fahrzeug zu beherrschen.
3.2. Der Beschwerdeführer entgegnet, die Gefahr sei gering gewesen. Er beanstandet, aus der Begründung der Vorinstanz lasse sich nicht entnehmen, wie sich die geschaffene erhöhte abstrakte Gefahr hätte verwirklichen können bzw. was konkret hätte passieren können.
3.3. Die vorinstanzliche Beurteilung verletzt in diesem Punkt kein Bundesrecht. Gestützt auf den willkürfrei festgestellten Sachverhalt hat die Vorinstanz zu Recht geschlossen, durch das Verhalten des Beschwerdeführers habe sich eine erhöhte abstrakte Gefahr der übrigen Verkehrsteilnehmer ergeben. Dass es zu keiner konkreten Gefährdung kam, ist unbestritten. Ein vom Lenker nicht mehr beherrschtes Fahrzeug bedeutet indessen insbesondere auf Autobahnen, wo ausschliesslich mit hohen Geschwindigkeiten gefahren wird, immer eine ernstliche Gefahr für andere Verkehrsteilnehmer. Es besteht vor allem das Risiko von Auffahrunfällen mit erheblichen Folgen für die Beteiligten (vgl. <ref-ruling> E. 4c S. 316). Infolge der Streifkollision mit der Mittelleitplanke musste der Beschwerdeführer angesichts seiner hohen Geschwindigkeit von 100 km/h mit einem unkontrollierten Verhalten des von ihm gelenkten Personenwagens rechnen. Unter den gegebenen Umständen wäre eine konkrete Gefährdung oder gar eine Verletzung Dritter wegen des Verlusts der Kontrolle über das Fahrzeug denkbar gewesen, weshalb nicht mehr von einer geringen Gefahr im Sinne von <ref-law> ausgegangen werden kann. Die Vorinstanz hatte sich daher nicht weiter mit der Argumentationsweise des Beschwerdeführers auseinanderzusetzen, wonach ein Drehen des Fahrzeugs nach dem Streifen der Mittelleitplanke physikalisch nicht möglich gewesen sei. Für die Verursachung einer mehr als geringen Gefahr musste im konkreten Fall ein Drehen des Fahrzeugs gar nicht gegeben sein.
4.
4.1. Das Verwaltungsgericht hat erwogen, der Beschwerdeführer habe gemäss seinen Aussagen das Fahrzeug (nach der Kollision) zwar umgehend wieder unter Kontrolle bringen können. Gegenüber der Polizei habe er aber unterschriftlich zu Protokoll gegeben, dass er «ein kleines Blackout», eventuell einen Sekundenschlaf gehabt habe.
4.2. Der Beschwerdeführer kritisiert, mit dieser Erwägung werde über seine spätere Aussage vom 7. Februar 2018 gegenüber der Staatsanwaltschaft hinweggegangen, wonach er sich nicht mehr genau erinnern könne, warum es zur Streifkollision gekommen sei. Die polizeiliche Befragung, an welcher der Beschwerdeführer bereits anwaltlich verbeiständet war, erfolgte am 23. November 2017, mithin am Tag des Vorfalls. Dass die Vorinstanz seine Aussagen an jener Einvernahme zutreffend wiedergegeben hat, stellt er vor Bundesgericht nicht konkret in Abrede. Die Befragung durch die Staatsanwaltschaft vom 7. Februar 2018 fand mehr als zwei Monate später statt. In der Befragung vom 7. Februar 2018 konnte der Beschwerdeführer nicht mehr angeben, warum sich die Streifkollision ereignet hatte. Er sagte aus, es könne auch sein, dass er zu weit links gefahren sei. Er habe sich überlegt, was passiert sei. Er habe genug geschlafen, habe seinen Rhythmus eingehalten und sei nicht mit besonderer Müdigkeit herumgefahren. Wenn die Vorinstanz auf die tatnächsten Aussagen des Beschwerdeführers abgestellt hat - die er im Nachhinein nicht als unzutreffend bezeichnete, sondern nur zu relativieren versuchte -, kann dies nicht als eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts gemäss <ref-law> qualifiziert werden.
4.3. Die polizeiliche Befragung vom 23. November 2017 lag bei den Akten der MFK. Diese Akten stellte die MFK dem Beschwerdeführer auf sein Akteneinsichtsgesuch vom 29. Januar 2019 hin zu. Den Nachweis der Zustellung dieser Akten leistete der Beschwerdeführer selber, indem er das entsprechende Begleitschreiben der MFK als Beilage 10 zu seiner Beschwerde vom 15. März 2019 bei der Vorinstanz einreichte. Überdies ist davon auszugehen, dass dem Beschwerdeführer respektive seinem Rechtsvertreter im strafrechtlichen Verfahren der Inhalt der polizeilichen Befragung vom 23. November 2017 zur Kenntnis gebracht worden war, nachdem darauf im Protokoll der Befragung durch die Staatsanwaltschaft vom 7. Februar 2018 verwiesen wird. Wenn die Vorinstanz in ihrem Urteil auf die Aussagen der polizeilichen Befragung Bezug nahm, so kann darin keine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> oder von Art. 6 Ziff. 1 EMRK ausgemacht werden. Das Protokoll dieser polizeilichen Befragung lag bei den Akten und war dem Beschwerdeführer bekannt. Thema des vorinstanzlichen Verfahrens war die Frage, wie es zum Kollisionsereignis mit der Mittelleitplanke kommen konnte, und dafür konnte die polizeiliche Befragung sachdienliche Angaben enthalten. Die Vorinstanz musste dem Beschwerdeführer daher deswegen nicht noch vorgängig das rechtliche Gehör gewähren.
4.4. Die Vorinstanz hat im Rahmen ihrer Erwägungen die Beurteilung der MFK bestätigt, wonach ein zumindest leichtes Verschulden und eine (objektiv) mehr als bloss geringe Gefahr vorliegen würden. Damit ist die Vorinstanz zusammen mit ihren Ausführungen zum Vorfall, zu den Örtlichkeiten und den Folgen des Ereignisses hinreichend ihrer Begründungspflicht nachgekommen. Auch diesbezüglich liegt keine Verletzung von <ref-law> oder Art. 6 Ziff. 1 EMRK vor.
5.
Insgesamt sind die Vorinstanz und die MFK zu Recht davon ausgegangen, dass vorliegend der Auffangtatbestand der mittelschweren Widerhandlung im Sinne von <ref-law> erfüllt ist. Mit der Einstufung als mittelschwere Widerhandlung wurde auch kein Widerspruch zum Ausgang des Strafverfahrens geschaffen; eine einfache Verkehrsregelverletzung entspricht sowohl einer leichten als auch einer mittelschweren Widerhandlung (vgl. <ref-ruling> E. 2.4 S. 143).
Deshalb ist dem Beschwerdeführer nach <ref-law> der Führerausweises für mindestens einen Monat zu entziehen. Zudem ist nach <ref-law> die Probezeit um ein Jahr zu verlängern (vgl. <ref-ruling> E. 4.6 S. 502). Der angefochtene Entscheid verstösst demzufolge auch insoweit und somit insgesamt nicht gegen Bundesrecht.
6.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 3 lit. a und Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Strassen, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Februar 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Kessler Coendet