Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt führt eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen des Verdachts der Drohung, Beschimpfung und Widerhandlung gegen das Tierschutzgesetz. Sie wirft A._ vor, er habe seinen Hund am 23. Februar 2019 in der Steinenvorstadt in Basel gequält, was von zwei Passanten beobachtet worden sei. Als diese ihn darauf angesprochen hätten, habe er sie beschimpft und bedroht. Zu diesem Vorwurf wurde A._ am 31. Januar 2020 einvernommen und im Anschluss daran erkennungsdienstlich erfasst. Zudem wurde ihm ein Wangenschleimhautabstrich abgenommen und die Erstellung eines DNA-Profils angeordnet. Dagegen erhob A._ am 3. Februar 2020 Beschwerde beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Dieses hiess die Beschwerde am 18. Mai 2020 gut und hob den Befehl für die erkennungsdienstliche Erfassung und die nicht-invasive Probenahme auf. Weiter wies es die Staatsanwaltschaft an, die Daten der erkennungsdienstlichen Erfassung und den Wangenschleimhautabstrich zu vernichten sowie das DNA-Profil von A._ löschen zu lassen.
B.
Mit Eingabe vom 22. Juli 2020 führt die Staatsanwaltschaft Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Sie beantragt, der Entscheid des Appellationsgerichts vom 18. Mai 2020 sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass der polizeiliche Befehl zur erkennungsdienstlichen Erfassung und zur Abnahme eines Wangenschleimhautabstrichs vom 31. Januar 2020 sowie die spätere Erstellung eines DNA-Profils rechtens sei.
Der Beschwerdegegner stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen. Das Appellationsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung und beantragt ebenfalls die Abweisung der Beschwerde.
C.
Mit Präsidialverfügung vom 19. August 2020 entsprach das Bundesgericht dem Gesuch der Beschwerdeführerin, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid in einer strafrechtlichen Angelegenheit, gegen den die Beschwerde in Strafsachen grundsätzlich offensteht (Art. 78 Abs. 1 und Art. 80 BGG). Die strittigen Zwangsmassnahmen dienen nicht der Aufklärung der Straftaten, deren der Beschwerdegegner im laufenden Strafverfahren verdächtigt wird. Vielmehr sind sie mit Blick auf allfällige andere - bereits begangene oder künftige - Delikte angeordnet worden. Ihnen kommt somit eine über das Strafverfahren hinausgehende eigenständige Bedeutung zu. Der vorinstanzliche Entscheid ist deshalb praxisgemäss als Endentscheid zu behandeln, der nach <ref-law> anfechtbar ist (vgl. Urteile 1B_17/2019 vom 24. April 2019 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>; 1B_111/2015 vom 20. August 2015 E. 2.4; 1B_57/2013 vom 2. Juli 2013 E. 1.5; je mit Hinweisen).
1.2. Gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 BGG ist die Staatsanwaltschaft grundsätzlich zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt. Diese Bestimmung allein verleiht der Staatsanwaltschaft indes nicht das rechtlich geschützte Interesse, welches zur Beschwerdeerhebung vorausgesetzt ist (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 123 f. mit Hinweisen). Vorliegend ist fraglich, inwiefern das rechtlich geschützte Interesse der Staatsanwaltschaft, welches sich aus dem staatlichen Strafanspruch ableitet, tangiert und sie überhaupt zur Beschwerde berechtigt ist (vgl. Urteil 1B_526/2020 vom 4. Februar 2021 E. 1 mit Hinweisen). Die Frage braucht jedoch nicht weiter geprüft zu werden, da sich die Anordnung der Zwangsmassnahmen ohnehin als untauglich bzw. unverhältnismässig erweist und die Beschwerde abzuweisen ist (vgl. E. 3 f. hiernach).
1.3. Besteht eine für den ganzen Kanton zuständige Oberstaatsanwaltschaft oder eine vergleichbare Behörde, die innerhalb des Kantons für die Strafverfolgung aller Straftaten im ganzen Kantonsgebiet zuständig ist und für eine einheitliche Rechtsanwendung zu sorgen hat, ist diese allein zur Beschwerde in Strafsachen legitimiert (<ref-ruling> E. 1.5.2 S. 199 f.; Urteil 6B_1360/2019 vom 20. November 2020 E. 1; je mit Hinweisen). Der Kanton Basel-Stadt kennt keine Oberstaatsanwaltschaft. Die Staatsanwaltschaft wird vom Ersten Staatsanwalt geleitet (§ 95 Abs. 1 des Gesetzes vom 3. Juni 2015 betreffend die Organisation der Gerichte und der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt [Gerichtsorganisationsgesetz, GOG/BS; SG 154.100]). Die Erste Staatsanwältin oder der Erste Staatsanwalt, die Leitenden Staatsanwältinnen und Staatsanwälte und die Leitende Jugendanwältin oder der Leitende Jugendanwalt bilden die Geschäftsleitung der Staatsanwaltschaft (§ 95 Abs. 4 GOG/BS). Mit der Geschäftsleitung verfügt der Kanton Basel-Stadt über ein Leitungsorgan, das für die einheitliche Rechtsanwendung zu sorgen hat. Demzufolge sind nur die der Geschäftsleitung angehörenden Leitungspersonen, nicht aber auch die übrigen Staatsanwältinnen und Staatsanwälte zur Beschwerde in Strafsachen legitimiert (Urteil 6B_1360/2019 vom 20. November 2020 E. 1 mit Hinweis). Auf die vom Ersten Staatsanwalt des Kantons Basel-Stadt und Mitglied der Geschäftsleitung (mit-) erhobene Beschwerde kann somit grundsätzlich - unter dem in E. 1.2 formulierten Vorbehalt - eingetreten werden.
1.4. Hingegen ist auf die Beschwerde nicht einzutreten, soweit die Beschwerdeführerin eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung geltend macht. Sie begründet diesbezüglich nicht in substanziierter Weise, inwiefern die Vorinstanz den Sachverhalt offensichtlich unrichtig bzw. im Sinne von <ref-law> rechtsverletzend festgestellt haben sollte (vgl. Art. 97 Abs. 1 i.V.m. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG). Soweit die Beschwerdeführerin eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung in der vorinstanzlichen Feststellung erblicken will, die erkennungsdienstliche Erfassung und die Abnahme des Wangenschleimhautabstrichs sowie dessen spätere Analyse seien weder notwendig noch verhältnismässig gewesen, handelt es sich im Übrigen um eine Rechtsfrage (vgl. E. 3 f. hiernach). Aus dieser vorinstanzlichen Feststellung kann jedenfalls nicht geschlossen werden, die Vorinstanz habe den Sachverhalt unrichtig festgestellt. Es ist mithin vom von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt auszugehen (vgl. Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
2.
Zur Aufklärung eines Verbrechens oder eines Vergehens kann von der beschuldigten Person eine Probe genommen und ein DNA-Profil erstellt werden (<ref-law>). Ein solches Vorgehen ist nicht nur möglich zur Aufklärung bereits begangener und den Strafverfolgungsbehörden bekannter Delikte, deren die beschuldigte Person verdächtigt wird. Wie aus <ref-law> in Verbindung mit Art. 1 Abs. 2 lit. a DNA-Profil-Gesetz vom 20. Juni 2003 (SR 363) klarer hervorgeht, soll die Erstellung eines DNA-Profils vielmehr auch erlauben, Täter von Delikten zu identifizieren, die den Strafverfolgungsbehörden noch unbekannt sind. Dabei kann es sich um vergangene oder künftige Delikte handeln. Das DNA-Profil kann so Irrtümer bei der Identifikation einer Person und die Verdächtigung Unschuldiger verhindern. Es kann auch präventiv wirken und damit zum Schutz Dritter beitragen. Auch hinsichtlich derartiger Straftaten bildet <ref-law> eine gesetzliche Grundlage für die DNA-Probenahme und -Profilerstellung (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 3.3 S. 265 ff. mit Hinweisen). <ref-law> ermöglicht aber nicht bei jedem hinreichenden Tatverdacht die routinemässige Entnahme von DNA-Proben, geschweige denn deren generelle Analyse (vgl. <ref-ruling> E. 3.4 S. 267; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 91 f.; je mit Hinweisen).
Das zur DNA-Probenahme und -Profilerstellung Ausgeführte gilt gleichermassen für die erkennungsdienstliche Erfassung gemäss <ref-law>, mit dem Unterschied, dass diese auch für Übertretungen angeordnet werden kann (Urteil 1B_336/2019 vom 3. Dezember 2019 E. 3.3 mit Hinweisen). <ref-law> erlaubt indessen ebensowenig wie <ref-law> eine routinemässige erkennungsdienstliche Erfassung (vgl. BGE <ref-ruling> E. 1.3 S. 90 f.; Urteil 6B_236/2020 vom 27. August 2020 E. 2.5 mit Hinweis).
3.
3.1. Die Vorinstanz erwog, die angeordneten Zwangsmassnahmen seien für die Sachverhaltsabklärung des laufenden Verfahrens nicht erforderlich. Die Strafverfolgungsbehörde sei bereits im Besitz eines Fotos des Beschwerdegegners gewesen, der aufgrund des Nummernschilds seines Autos habe ermittelt werden können. Der Beschwerdegegner habe zudem nie bestritten, am Vorfall vom 23. Februar 2019 beteiligt gewesen zu sein. Im Übrigen liessen sich die dem Beschwerdegegner vorgeworfenen Schläge gegenüber seinem Hund sowie die Beschimpfung und Drohung gegenüber den Passanten ohnehin nicht durch einen Abgleich seiner DNA nachweisen.
3.2. Diese Ausführungen der Vorinstanz sind nicht zu beanstanden. Die angeordneten Zwangsmassnahmen sind für die Aufklärung des laufenden Verfahrens nicht erforderlich. Der von der Beschwerdeführerin dagegen vorgebrachte Einwand, das dank der erkennungsdienstlichen Erfassung angeordnete aktuelle Foto hätte, je nach Verlauf der Beweiserhebungen, auch im aktuellen Verfahren zum Zuge kommen können, überzeugt nicht. Die Beschwerdeführerin bestätigte, anders als noch vor der Vorinstanz, dass sie bereits vor der erkennungsdienstlichen Erfassung über ein Foto des Beschwerdegegners verfügt hatte. Da der Beschwerdegegner aufgrund dieses Fotos von den Auskunftspersonen bereits am 29. Oktober 2019 anhand einer Fotowahldokumentation identifiziert werden konnte, ist nicht ersichtlich, wozu ein neues Foto notwendig ist bzw. war. Der Beschwerdegegner hat seine Anwesenheit beim Vorfall nie bestritten. Aus diesem Grund ist auch der Einwand der Beschwerdeführerin unbehelflich, wonach sie den Auskunftspersonen dank der angeordneten erkennungsdienstlichen Erfassung später ein aktuelles Foto hätte vorlegen können, um allfällige Unsicherheiten zu beseitigen. Welchen Erkenntnisgewinn sich die Beschwerdeführerin aus der DNA-Abnahme bzw. aus dem DNA-Profil für die Aufklärung des laufenden Verfahrens erhoffte, ist weder dargetan noch ersichtlich, zumal ohnehin keine DNA-Spuren sichergestellt wurden.
4.
4.1. Da die angeordneten Massnahmen nach dem Gesagten nicht der Aufklärung der Straftaten dienen, derer der Beschwerdegegner im laufenden Strafverfahren beschuldigt wird, müssen erhebliche und konkrete Anhaltspunkte dafür bestehen, dass er in andere - auch künftige - Delikte verwickelt sein könnte, damit die Erstellung des DNA-Profils verhältnismässig ist. Dabei muss es sich allerdings um Delikte von einer gewissen Schwere handeln. Zu berücksichtigen ist im Rahmen einer gesamthaften Verhältnismässigkeitsprüfung auch, ob der Beschuldigte vorbestraft ist; trifft dies nicht zu, schliesst das die Erstellung eines DNA-Profils jedoch nicht aus, sondern es fliesst als eines von vielen Kriterien in die Gesamtabwägung ein und ist entsprechend zu gewichten (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 3.4 S. 267 mit Hinweisen).
4.2. Die Vorinstanz erwog, es bestünden grosse Zweifel, ob alleine aufgrund der Vorstrafe des Beschwerdegegners wegen Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte (begangen am 5. August 2009) zu erwarten sei, er habe Delikte von einer gewissen Schwere begangen oder werde solche noch begehen. Die weitere Verurteilung wegen Beschimpfung (begangen am 16. Oktober 2014) weise die vom Bundesgericht geforderte Schwere jedenfalls nicht auf, um die Zwangsmassnahmen zu rechtfertigen, die nicht der Aufklärung des aktuellen Vorwurfs dienen würden. Zudem sei eine von der Beschwerdeführerin erwähnte Anzeige wegen Drohung zurückgezogen worden, diesbezüglich gelte die Unschuldsvermutung. Im Übrigen sei aber, selbst wenn erhebliche und konkrete Anhaltspunkte aufgrund der Vorstrafen zu bejahen wären, nicht ersichtlich, inwiefern die erkennungsdienstlich erhobenen Daten oder die Speicherung der DNA des Beschwerdegegners in der Datenbank zur Aufklärung der zu erwartenden Delikte wie Drohungen oder Tierquälerei beitragen könnten.
4.3. Diese vorinstanzlichen Ausführungen stehen in Übereinstimmung mit der erwähnten bundesgerichtlichen Rechtsprechung (vgl. E. 4.1 hiervor). Sie sind nicht zu beanstanden und es kann grundsätzlich darauf verwiesen werden. Die gegenteilige Argumentation der Beschwerdeführerin, insbesondere dass der Beschwerdegegner "innerhalb kurzer Zeit mehrfach delinquiert" habe, überzeugt wie nachfolgend aufzuzeigen ist, nicht.
Die Vorinstanz hat nachvollziehbar dargelegt, dass keine mehrfache Delinquenz innert kurzer Zeit vorliegt. So hat sie zu Recht festgehalten, dass es der von der Beschwerdeführerin angeführten Vorstrafe wegen Beschimpfung von vornherein an der gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung erforderlichen Schwere mangle. Die weitere Vorstrafe wegen Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte liegt sodann inzwischen über 10 Jahre zurück. Gemäss den Ausführungen des Beschwerdegegners steht sie zudem im Zusammenhang mit einer telefonischen Auseinandersetzung mit einer Beamtin des Arbeitsamtes. Trifft dies zu, ist fraglich, ob die telefonische Drohung tatsächlich als genügend schwer einzustufen ist. Die Frage kann indes aufgrund mangelnder Kenntnis der genauen Umstände ebenso wenig beantwortet werden, wie die Behauptung der Beschwerdeführerin verifiziert werden kann, wonach mehr vorgefallen sein müsse, da es sich um eine Verurteilung wegen mehrfacher Tatbegehung handle. Entscheidend ist aber, dass die Tat bereits über 10 Jahre zurück liegt und dem Beschwerdegegner gemäss der unwidersprochen gebliebenen vorinstanzlichen Erwägung bisher nie ein Eingriff in die körperliche oder sexuelle Integrität einer Person, mithin in ein besonders schützenswertes Rechtsgut, vorgeworfen wurde.
Daran ändert schliesslich auch der Verweis der Beschwerdeführerin auf <ref-ruling> nichts. Soweit sie geltend macht, das Bundesgericht habe in jenem Entscheid den Vergehenstatbestand der Sachbeschädigung als genügend schwer eingestuft, weshalb auch die Strafanträge wegen Drohung die erforderliche Schwere erreichen würden, kann sie nichts zu ihren Gunsten ableiten. Sie übersieht, dass die konkreten Umstände nicht vergleichbar sind.
Den nicht publizierten E. 4.1 und E. 4.2 des erwähnten Entscheids (vgl. Urteil 1B_17/2019 vom 24. April 2019) kann entnommen werden, dass der dort zu beurteilende Beschwerdeführer an einer ärztlich diagnostizierten Persönlichkeitsstörung litt und insbesondere aufgrund seiner Probleme mit Aggressionen und seiner Impulskontrolle in Behandlung war. Daraus folgerte das Bundesgericht, es bestünden erhebliche Anhaltspunkte dafür, dass der dortige Beschwerdeführer in Zukunft in einer vergleichbaren Situation erneut so reagieren und schwere Delikte begehen könnte. Vorliegend ist indes keine psychische Erkrankung des Beschwerdegegners bekannt, gestützt auf welche gefolgert werden könnte, es lägen konkrete Anhaltspunkte vor, dieser könnte in andere vergangene oder zukünftige schwerwiegende Delikte verwickelt sein. Einzig aus der Wahrnehmung bzw. der Würdigung der Beschwerdeführerin, wonach der vorliegend von den angeordneten Zwangsmassnahmen betroffene Beschwerdegegner eine "aufbrausende Persönlichkeit" besitze bzw. sich seine Gewalttätigkeit gegenüber seinem Hund manifestiert habe, lassen sich solche jedenfalls nicht ableiten.
Andere erhebliche und konkrete Anhaltspunkte, dass der Beschwerdegegner künftig erneut Delikte von einer gewissen Schwere begehen könnte bzw. früher solche Delikte begangen hat, sind nicht ersichtlich und werden von der Beschwerdeführerin auch nicht geltend gemacht.
4.4. Nach dem Gesagten lassen sich aufgrund der fehlenden Anhaltspunkte die Zwangsmassnahmen nicht mit anderen, möglicherweise vom Beschwerdegegner begangenen oder noch zu begehenden Straftaten einer gewissen Schwere begründen. Die Vorinstanz hat daher kein Bundesrecht verletzt, wenn sie festgehalten hat, die angeordneten Zwangsmassnahmen seien unverhältnismässig.
5.
Ob die Vorinstanz schliesslich, wie von der Beschwerdeführerin behauptet, überhöhte Anforderungen an die Begründungsdichte des polizeilichen Befehls zur erkennungsdienstlichen Erfassung und zur Abnahme eines Wangenschleimhautabstrichs stellte, braucht nach der Feststellung der Unverhältnismässigkeit der angeordneten Zwangsmassnahmen nicht weiter geklärt zu werden.
6.
Die Beschwerde ist demnach abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Der Beschwerdegegner beantragt eine Parteientschädigung in der Höhe von Fr. 4'500.--. Da er nicht anwaltlich vertreten ist, hat er jedoch keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 4 S. 446).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. März 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier