Sachverhalt:
A.
Die Eheleute B._ und A._ geb. C._ (nachfolgend: die Steuerpflichtigen) haben steuerrechtlichen Wohnsitz in U._/BS. Im Wertschriftenverzeichnis zur Steuererklärung 2015 deklarierten sie unter anderem 30'000 Namenaktien der D._ AG, einer Kommanditaktiengesellschaft mit Sitz in U._/BS. Die Beteiligung verzeichneten sie mit dem Steuerwert von Fr. 4'200'000.--, ohne aber die in der Steuerperiode 2015 fällig gewordene Bruttodividende von Fr. 900'000.-- zu vermerken.
Mit Veranlagungsverfügungen vom 4. Mai 2017 rechnete die Steuerverwaltung des Kantons Basel-Stadt (KSTV/BS) die Bruttodividende von Fr. 900'000.-- auf. Zudem gab sie den Steuerpflichtigen bekannt, dass der Anspruch auf Rückerstattung der Verrechnungssteuer (Fr. 315'000.--) mangels Deklaration entfalle.
B.
Die Steuerpflichtigen erhoben hiergegen Einsprache, welche die KSTV/BS, soweit hier interessierend, mit Einspracheentscheid vom 31. Juli 2017 abwies.
Dagegen gelangten die Steuerpflichtigen mit Beschwerde an die Steuerrekurskommission des Kantons Basel-Stadt. Diese wies das Rechtsmittel am 20. September 2018 ab. Der Beschwerdeentscheid wurde am 4. Dezember 2018 an die Steuerpflichtigen versandt.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 10. Januar 2019 beantragen die Steuerpflichtigen (nachfolgend: die Beschwerdeführer) beim Bundesgericht, der Entscheid der Steuerrekurskommission des Kantons Basel-Stadt vom 20. September 2018 sei aufzuheben und es sei ihnen die Verrechnungssteuer von Fr. 315'000.--, welche von der Dividende der D._ AG in Abzug gebracht worden sei, samt Verzugszins zurückzuerstatten.
Die KSTV/BS schliesst am 13. Februar 2019 unter Hinweis auf die per 1. Januar 2019 in Kraft getretene Neuregelung der Verwirkung des Anspruchs auf Rückerstattung der Verrechnungssteuer in <ref-law> (SR 642.21; Änderung vom 28. September 2018; AS 2019 433) auf Gutheissung der Beschwerde.
Die ESTV beantragt mit Vernehmlassung vom 15. Februar 2019, die Beschwerde sei abzuweisen. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese den für die Voraussetzungen von <ref-law> in der Fassung vom 28. September 2018 wesentlichen Sachverhalt prüfe.
Im Rahmen eines zweiten Schriftenwechsels halten die KSTV/BS, die ESTV und die Beschwerdeführer an ihren Begehren fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen verfahrensabschliessenden Entscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten liegen vor (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 BGG i.V.m. <ref-law>). Auf die form- und fristgerecht (Art. 42 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 1 lit. c i.V.m. <ref-law>) eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
1.2. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f. mit Hinweis).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann diesen bloss berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig, unvollständig oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensrechte ermittelt wurde (<ref-law>).
2.
Streitig ist, ob der Anspruch der Beschwerdeführer auf Rückerstattung der auf der Bruttodividende der D._ AG von Fr. 900'000.-- abgezogenen Verrechnungssteuer von Fr. 315'000.-- verwirkt ist.
2.1. Die Verwirkung des Anspruchs auf Rückerstattung der Verrechnungssteuer (<ref-law>) ist - wie erwähnt - per 1. Januar 2019 neu geregelt worden (Änderung vom Änderung vom 28. September 2018; AS 2019 433). Die neue Ordnung gestaltet sich wie folgt:
Wer mit der Verrechnungssteuer belastete Einkünfte oder Vermögen, woraus solche Einkünfte fliessen, entgegen gesetzlicher Vorschrift der zuständigen Steuerbehörde nicht angibt, verwirkt den Anspruch auf Rückerstattung der von diesen Einkünften abgezogenen Verrechnungssteuer (<ref-law>). Die Verwirkung tritt nach <ref-law> nicht ein, wenn die Einkünfte oder Vermögen in der Steuererklärung fahrlässig nicht angegeben wurden und in einem noch nicht rechtskräftig abgeschlossenen Veranlagungs-, Revisions- oder Nachsteuerverfahren nachträglich angegeben werden (lit. a) oder von der Steuerbehörde aus eigener Feststellung zu den Einkünften oder Vermögen hinzugerechnet werden (lit. b).
Zeitlich gilt das neue Recht für Ansprüche, die seit dem 1. Januar 2014 entstanden sind, sofern über den Anspruch auf Rückerstattung der Verrechnungssteuer noch nicht rechtskräftig entschieden worden ist (<ref-law>).
2.2. Der vorliegende Fall betrifft einen Anspruch aus der Steuerperiode 2015, über den noch nicht rechtskräftig befunden worden ist. Das neue Recht findet somit Anwendung.
Unter den Verfahrensbeteiligten ist unbestritten, dass die Angabe der Dividende von Fr. 900'000.-- vorliegend nicht in der Steuererklärung, sondern nachträglich in einem noch nicht rechtskräftig abgeschlossenen Veranlagungsverfahren erfolgte und die KSTV/BS den Ertrag aus eigener Feststellung zu den Einkünften hinzugerechnet hat. Zu prüfen ist damit einzig, ob die Beschwerdeführer die Dividende in ihrer Steuererklärung 2015 im Sinne von <ref-law> fahrlässig nicht angegeben haben und dementsprechend die Verwirkungsfolge nicht eintritt (vgl. auch Stellungnahme der Beschwerdeführer vom 22. März 2019, S. 3).
3.
Um zu klären, wann statt von einer vorsätzlichen Nichtdeklaration von einer fahrlässigen Nichtdeklaration im Sinne von <ref-law> auszugehen ist, drängt es sich auf, die zur Steuerhinterziehung entwickelten Grundsätze heranzuziehen (Urteil 2C_1066/2018 vom 21. Juni 2019 E. 4.1).
Eine vorsätzliche Steuerhinterziehung oder ein vorsätzlicher Versuch der Steuerhinterziehung setzt voraus, dass der Steuerpflichtige mit Wissen und Willen gehandelt hat (vgl. Art. 12 Abs. 2 i.V.m. Art. 104 und Art. 333 Abs. 1 StGB). Eventualvorsatz genügt; ein solcher liegt vor, wenn der Betroffene den Eintritt des Erfolgs bzw. die Verwirklichung des Tatbestands für möglich hält, aber dennoch handelt, weil er den Erfolg für den Fall seines Eintritts in Kauf nimmt und sich mit ihm abfindet, mag er ihm auch unerwünscht sein (vgl. <ref-ruling> E. 2.2, mit Hinweisen). Im Einzelfall kann die Abgrenzung zwischen Eventualvorsatz und (bewusster) Fahrlässigkeit schwierig sein (<ref-ruling> E. 4.1 S. 16; Urteile 2C_129/2018 vom 24. September 2018 E. 9.1; 2C_32/2016 vom 24. November 2016 E. 15.2). Tatfrage ist, ob sich ein Steuerpflichtiger beim Ausfüllen der Steuererklärung der Unrichtigkeit seiner Angaben bewusst gewesen ist (Wissenselement) und eine unrichtige Veranlagung gewollt oder zumindest in Kauf genommen hat (Willenselement). Entsprechend kann das Bundesgericht nur unter dem Gesichtspunkt der offensichtlichen Unrichtigkeit bzw. einer Rechtsverletzung (Art. 105 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>) prüfen, ob die diesbezüglichen Annahmen der Vorinstanz zutreffen (vgl. Urteil 2C_362/2018 vom 19. Juni 2019 E. 4, mit Hinweisen). Soweit hingegen strittig ist, ob die Vorinstanz vom richtigen Begriff des Vorsatzes ausgegangen ist, geht es um eine Rechtsfrage, für welche im Verfahren vor dem Bundesgericht keine Kognitionsbeschränkung besteht (Urteile 2C_362/2018 vom 19. Juni 2019 E. 4; 2C_129/2018 vom 24. September 2018 E. 9.1). Der Nachweis des Vorsatzes gilt nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung als erbracht, wenn mit hinreichender Sicherheit feststeht, dass sich der Beschuldigte der Unrichtigkeit oder Unvollständigkeit der gemachten Angaben bewusst war. Ist dieses Wissen erwiesen, so ist zu vermuten, dass er auch mit Willen handelte, d.h. eine Täuschung der Steuerbehörden beabsichtigt und eine zu niedrige Veranlagung bezweckt (direkter Vorsatz) oder zumindest in Kauf genommen hat (Eventualvorsatz). Diese Vermutung lässt sich nicht leicht entkräften, weil in der Regel ein anderer Beweggrund für die Unrichtigkeit oder Unvollständigkeit der gemachten Angaben nur schwer vorstellbar ist (<ref-ruling> E. 3a S. 29 f.; Urteile 2C_1066/2018 vom 21. Juni 2019 E. 4.1; 2C_362/2018 vom 19. Juni 2019 E. 3.4; 2C_129/2018 vom 24. September 2018 E. 9.1; 2C_1157/2016 vom 2. November 2017 E. 6.2; 2C_32/2016 vom 24. November 2016 E. 15.2).
Der bewusst fahrlässig Handelnde vertraut aus pflichtwidriger Unvorsichtigkeit darauf, dass der von ihm als möglich vorausgesehene Erfolg nicht eintreten, das Risiko der Tatbestandserfüllung sich mithin nicht verwirklichen werde (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 und 4.4; <ref-ruling> E. 8.4). Die Unvorsichtigkeit ist pflichtwidrig, wenn der Steuerpflichtige nicht die Sorgfalt walten lässt, die nach den Umständen und seiner (durch seine Ausbildung, seine intellektuellen Fähigkeiten sowie seine Berufserfahrung geprägten) persönlichen Situation geboten ist (<ref-ruling> E. 4.3; Urteil 2C_1066/2018 vom 21. Juni 2019 E. 4.1, mit Hinweisen).
4.
4.1. Die Beschwerdeführer erklärten im vorinstanzlichen Verfahren, es könne ihnen lediglich eine fahrlässige Nichtdeklaration der Dividende vorgeworfen werden. Sie begründeten dies mit der Komplexität ihrer Vermögenssituation (mit einer Steuererklärung mit angeblich rund 100 Seiten und einer "extrem hohen Zahl" verschiedener Wertschriftentitel), der mehrmaligen Umwandlung sowie Umfirmierung der D._ AG in den Jahren 2014 und 2015, ihrem fortgeschrittenen Alter von weit über 70 Jahren, der ihnen fehlenden juristischen und/oder steuerlichen Ausbildung, gesundheitlichen Problemen und mit der (behaupteten) Tatsache, dass der Dividendenbeleg im Zeitpunkt der Erstellung der Steuererklärung entweder gar nicht vorgelegen habe oder sie sich nicht mehr an die Dividendenzahlung hätten erinnern können. Vor dem Bundesgericht führen die Beschwerdeführer aus, trotz schriftlicher und anschliessender mündlicher Rückfrage ihres Rechtsvertreters hätten sie sich nicht an die Dividende erinnern können. Zudem bringen sie vor, es widerspreche der allgemeinen Lebenserfahrung und dem gewöhnlichen Lauf der Dinge, dass sie in der Steuererklärung 2015 nicht verrechnungssteuerpflichtige Erträge aus einem der D._ AG eingeräumten Pflichtwandeldarlehen (mitsamt dem Darlehen selbst) deklariert hätten und demgegenüber die der Verrechnungssteuer unterliegende Dividende absichtlich nicht angegeben haben sollen. Für eine Hinterziehung von Einkommenssteuern hätte es sich nämlich nach Auffassung der Beschwerdeführer aufgedrängt, die verrechnungssteuerpflichtige Dividende zu deklarieren und demgegenüber die verrechnungssteuerfreien Zinsen auf dem Pflichtwandeldarlehen nicht in die Steuererklärung aufzunehmen.
Die KSTV/BS geht mit den Beschwerdeführern davon aus, dass diese die hier streitbetroffene Dividende bloss fahrlässig nicht deklarierten. Die KSTV/BS stellt sich auf den Standpunkt, die Nichtdeklaration sei trotz der Höhe der Dividende und trotz des Umstandes, dass der Beschwerdeführer auf Nachfrage seines Rechtsvertreters hin eine Dividendenausschüttung verneint habe, auf blosse Unachtsamkeit zurückzuführen. Es fehle an einem Hinterziehungsvorsatz oder einer Betrugsabsicht.
Nach Auffassung der ESTV musste dem Beschwerdeführer bekannt sein, dass die D._ AG im Jahr 2015 eine Dividende ausbezahlt hatte, und zwar deshalb, weil er gemäss Eintrag im Handelsregister seit April 2014 Aufsichtsorgan dieser Gesellschaft sei. Seine Behauptung, er habe von der Dividende schlicht keine Kenntnis gehabt, sei folglich unzutreffend. Deshalb und weil sich der Steuer- und Rechtsvertreter der Beschwerdeführer zweimal, im Februar und im August 2016, nach einer allfälligen Dividende der D._ AG erkundigt habe, sei ein schlichtes Vergessen der Dividende aus Fahrlässigkeit beim Ausfüllen der Steuererklärung ausgeschlossen. Dem Beschwerdeführer habe die Dividende als Aufsichtsorgan spätestens im August 2016 bekannt sein müssen, da die Jahresrechnung 2015 der D._ AG jedenfalls bis dann zu genehmigen gewesen sei. Auch habe ihm nach der zweimaligen Nachfrage des Steuer- und Rechtsvertreters bewusst sein müssen, dass eine von dieser Gesellschaft im Jahr 2015 ausgeschüttete Dividende in der Steuererklärung 2015 zu deklarieren wäre. Aufgrund der aussergewöhnlichen Höhe der Dividende könne diese nach allgemeiner Lebenserfahrung auch für eine sehr wohlhabende Person wie den Beschwerdeführer nicht als völlig nebensächlich und vernachlässigbar eingestuft werden. Dennoch habe der Beschwerdeführer, ohne weitere Abklärungen vorzunehmen, gegenüber seinem Steuer- und Rechtsvertreter das Vorliegen einer zu deklarierenden Dividende klar verneint.
4.2.
4.2.1. Gemäss einem am 10. April 2014 im Schweizerischen Handelsamtsblatt (SHAB) publizierten, am 7. April 2014 in das Tagebuch aufgenommenen Eintrag im Handelsregister ist der Beschwerdeführer als (nicht zeichnungsberechtigte) Aufsichtsstelle der D._ AG eingetragen.
Nach weiteren Einträgen im Handelsregister firmierte die im April 2014 gegründete D._ AG bis zum 30. Oktober 2015 unter dem Namen "E._".
Die genannten Handelsregistereinträge sind vorliegend in die Beurteilung, ob die Beschwerdeführer fahrlässig oder eventualvorsätzlich gehandelt haben, mit einzubeziehen. Denn bei rechtskonform publizierten Handelsregistereinträgen handelt es sich um Tatsachen, die jedermann zugänglich sind und deren Kenntnis fingiert wird; prozessual handelt es sich um offenkundige bzw. notorische Tatsachen (Urteil 4A_412/2011 vom 4. Mai 2012 E. 2.2, nicht publiziert in <ref-ruling>; Urteil 5A_62/2009 vom 2. Juli 2009 E. 2.1, in: Praxis 99/2010 Nr. 17 S. 120; Urteil 2C_952/2010 vom 29. März 2011 E. 2.3). Als solche können rechtskonforme Handelsregistereinträge im Verfahren vor Bundesgericht von Amtes wegen berücksichtigt werden (<ref-law>; Urteil 4A_560/2012 vom 1. März 2013 E. 2.2; Urteil 4A_412/2011 vom 4. Mai 2012 E. 2.2, nicht publiziert in <ref-ruling>).
4.2.2. Im vorliegenden Fall hat sich die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid nicht darüber geäussert, ob die Beschwerdeführer die Dividende eventualvorsätzlich oder nur fahrlässig nicht deklariert haben. Dies kann ihr nicht vorgeworfen werden, war doch das Kriterium, ob vorsätzliches oder stattdessen nur fahrlässiges Handeln vorliegt, unter dem früheren Recht nicht relevant.
Die im angefochtenen Entscheid berücksichtigten Tatsachen erlauben auch in Verbindung mit den erwähnten Handelsregistereinträgen keine abschliessende Würdigung der hier streitigen subjektiven Tatbestandsvoraussetzung von <ref-law>. Zwar führen die Verfahrensbeteiligten verschiedene Elemente ins Feld, welche für ihre jeweiligen Standpunkte sprechen sollen (vgl. hiervor E. 4.1). Doch kann gestützt auf den von der Vorinstanz im angefochtenen Entscheid festgestellten Sachverhalt und unter Einbezug der genannten Handelsregistereinträge nicht auf Fahrlässigkeit oder Eventualvorsatz geschlossen werden. Insbesondere wecken zwar die Stellung des Beschwerdeführers als Aufsichtsorgan der D._ AG und der Umstand, dass diese Gesellschaft bis im Oktober 2015 unter einem mit dem Familiennamen des Beschwerdeführers identischen Namen firmierte, Zweifel an seiner Darstellung, wonach er namentlich infolge (angeblich) mehrmaliger Umwandlungen und Umfirmierungen der D._ AG in den Jahren 2014 und 2015 nicht über die Dividendenzahlung im Bild gewesen sei. Gleichwohl bedarf es näherer Abklärungen zur Beantwortung der Tatfrage, ob der Beschwerdeführer im Zusammenhang mit dem Ausfüllen seiner Steuererklärung (und der Erteilung von diesbezüglichen Weisungen bzw. Informationen an seinen Steuer- und Rechtsvertreter) tatsächlich Kenntnis von der Dividende hatte, er sich also der Unrichtigkeit oder Unvollständigkeit der gegenüber den Steuerbehörden gemachten Angaben bewusst war.
Selbst wenn die Beschwerdeführer verrechnungssteuerfreie Zinsen auf einem der D._ AG eingeräumten Pflichtwandeldarlehen korrekt in der Steuererklärung angegeben haben sollten, würde dies eine vorsätzliche Nichtdeklaration der Dividende nicht per se ausschliessen. Vorinstanzliche Feststellungen zu Umfang und Art des übrigen Einkommens der Beschwerdeführer sowie zu deren Vermögenslage finden sich sodann im angefochtenen Entscheid nicht, so dass sich auch nicht ohne Weiteres sagen lässt, die - absolut betrachtet hohe - Dividende sei für die Beschwerdeführer unbedeutend gewesen und habe so ihrer Aufmerksamkeit entgehen können. Hinzu kommt, dass soweit ersichtlich nicht näher abgeklärt wurde, ob die Beschwerdeführer tatsächlich an gesundheitlichen Problemen litten, welche Indizien für eine bloss fahrlässige Nichtdeklaration bilden könnten.
Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, Beweise abzunehmen und Tatsachen festzustellen, über die sich das kantonale Sachgericht nicht ausgesprochen hat (vgl. <ref-ruling> E. 6.1 S. 214 f.). Deshalb und mit Blick darauf, dass es zu vermeiden gilt, den Rechtssuchenden den Instanzenzug zu verkürzen (vgl. Urteil 2C_1066/2018 vom 21. Juni 2019 E. 4.2), drängt es sich auf, die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese den Sachverhalt bezüglich der Frage, ob die Beschwerdeführer die Dividende vorsätzlich oder fahrlässig nicht angegeben haben, näher abklärt und gestützt darauf neu über das Rückerstattungsbegehren befindet.
5.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zu weiteren Abklärungen sowie neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Bei dieser Sachlage erübrigt es sich, auf die weiteren Vorbringen der Verfahrensbeteiligten einzugehen.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zu weiteren Abklärungen sowie neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Bei dieser Sachlage erübrigt es sich, auf die weiteren Vorbringen der Verfahrensbeteiligten einzugehen.
6. Mit Blick darauf, dass vorliegend nach dem Erlass des angefochtenen Entscheids eine Revision der einschlägigen Gesetzesregelung in Kraft trat, rechtfertigt es sich nicht, dem unterliegenden Kanton Basel-Stadt Kosten aufzuerlegen (vgl. Art. 66 Abs. 1 in fine BGG; Urteil 2C_1066/2018 vom 21. Juni E. 5.1). Ebenso wenig sind die Kosten den obsiegenden Beschwerdeführern aufzuerlegen. Entgegen der Auffassung der ESTV (vgl. insbesondere Vernehmlassung der ESTV vom 15. Februar 2019, S. 9) erscheint es vorliegend nicht als angezeigt, bei der Kostenverlegung darauf abzustellen, ob der Rückerstattungsantrag der Beschwerdeführer unter dem im Zeitpunkt des Erlasses des angefochtenen Entscheids noch gültig gewesenen früheren Recht richtigerweise abgewiesen wurde oder nicht.
Aufgrund der Umstände des vorliegenden Falles drängt es sich sodann (anders als nach Meinung der KSTV/BS und der ESTV) auf, den rechtsvertretenen Beschwerdeführern zulasten des Kantons Basel-Stadt eine Parteientschädigung zuzusprechen (vgl. Art. 68Abs. 1 BGG; Urteil 2C_1066/2018 vom 21. Juni E. 5.2).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird gutgeheissen und der Entscheid der Steuerrekurskommission des Kantons Basel-Stadt vom 20. September 2018 aufgehoben. Die Sache wird im Sinne der Erwägungen zu weiteren Sachverhaltsabklärungen und neuem Entscheid an die Steuerrekurskommission des Kantons Basel-Stadt zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Basel-Stadt hat die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Steuerverwaltung des Kantons Basel-Stadt, der Steuerrekurskommission des Kantons Basel-Stadt und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. August 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: König