Sachverhalt:
A.
B._ betrieb in Deutschland eine Zucht für Hunde der Rasse Rottweiler. Infolge Zwangsräumung des Zuchtbetriebs verbrachte sie die Hunde am 30. Januar 2018 in eine Liegenschaft in U._ (Kanton Zürich), die sich im Gesamteigentum von B._ und ihrem Bruder befand. Am gleichen Tag wurde das Veterinäramt des Kantons Zürich (nachfolgend: VETA) von der Kantonspolizei Zürich informiert, dass auf dem besagten Grundstück zehn Hundetransportboxen mit grossen Hunden stehen würden. In der aus diesem Grund erfolgten Kontrolle stellte das VETA elf erwachsene Hunde und sechs Welpen der Rasse Rottweiler fest. Aufgrund von unklaren Herkunfts-, Halte- und Betreuungsverhältnissen ordnete das VETA mit Verfügung vom 30. Januar 2018 die vorsorgliche Beschlagnahmung der 17 Hunde an.
Mit Verfügung vom 5. Februar 2018 stellte das VETA fest, dass eine Hündin (Fritze) am 1. Februar 2018 mangels Gehfähigkeit, eingeschränktem Schluckreflex und einer Erkrankung an Neosporose euthanasiert und gleichentags einer pathologischen Untersuchung zugeführt worden war. Mit Verfügung vom 27. April 2018 ordnete das VETA die Durchführung einer Probelaparotomie sowie weitere Untersuchungen bei einer anderen Hündin (Chicca) an. Diese Hündin musste am 15. Dezember 2018 aufgrund einer tumorbedingten akuten hochgradigen Lahmheit euthanasiert werden. Mit Verfügung vom 3. Juli 2018 stellte das VETA sodann fest, dass ein weiterer Hund (Baby) aufgrund von Blutergüssen im Abdomen und im Herzbeutel am 7. Juni 2018 euthanasiert worden war.
Im Verlauf des Septembers 2018 wurden die sechs Welpen mit entsprechenden Verfügungen per 7. September 2018 (Elele, Olina, Kalea und Kelani) und per 18. September 2018 (Mali und Koa) sowie drei der erwachsenen Hunde per 12. September 2018 (Bobella und Ana) und per 17. September 2018 (Chenney) an mehrere Tierheime zu Eigentum übertragen.
B.
Mit Verfügung vom 20. April 2018 sprach das VETA gegenüber B._ ein teilweises Hundehalteverbot aus, demgemäss ihr nur noch die Haltung von maximal fünf Hunden erlaubt war. Sodann auferlegte es ihr ein Zuchtverbot für Hunde zwecks Sicherstellung des Hundehalteverbots. Die in diesem Zeitpunkt noch lebenden 16 Hunde wurden definitiv beschlagnahmt. B._ wurde indes die Möglichkeit eingeräumt, die Herausgabe von fünf Hunden zu beantragen, sofern sie innert einer Frist von 14 Tagen diese Hunde und ein professionelles Transportunternehmen für den Transport dieser Hunde an den neuen Haltungsort benenne sowie den Nachweis für eine geordnete Unterbringung der fünf Hunde erbringe.
Den Rekurs gegen die Verfügung vom 20. April 2018 hiess die Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich mit Verfügung vom 31. August 2018 teilweise gut. Sie sah von der Auflage ab, ein professionelles Transportunternehmen mit dem Transport der allfällig herauszugebenden Hunde zu benennen. Anstelle dessen verfügte die Gesundheitsdirektion nunmehr die definitive Beschlagnahmung unter dem Vorbehalt, dass B._ den Nachweis eines tierschutzkonformen Transports der Hunde an den neuen Haltungsort nachweise. Im Übrigen wurde der Rekurs abgewiesen.
Dagegen erhob B._ am 27. September 2018 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Mit Präsidialverfügung vom 12. Oktober 2018 nahm das Verwaltungsgericht A._, der mit Eingabe vom 2. Oktober 2018 das Eigentum an einigen Hunden für sich beansprucht hatte, als Mitbeteiligten in das kantonale Beschwerdeverfahren auf. Das Verwaltungsgericht hiess die Beschwerde mit Urteil vom 8. März 2019 teilweise gut. Die Verfügung der Gesundheitsdirektion vom 31. August 2018 wurde insoweit aufgehoben, als die Herausgabe der fünf Hunde an B._ vom Nachweis einer geordneten Unterbringung sowie eines tierschutzkonformen Transports der Hunde abhängig gemacht wurde. Die fünf noch in Obhut des VETA befindlichen Hunde waren B._ herauszugeben. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C.
Mit als Beschwerde bezeichneten Eingaben gelangen A._ am 17. April 2019 (Verfahren 2C_367/2019) und B._ am 18. April 2019 (Verfahren 2C_372/2019) an das Bundesgericht. Sie beantragen, das angefochtene Urteil sei nichtig zu erklären. Eventualiter sei das angefochtene Urteil ersatzlos aufzuheben. Im Weiteren verlangen sie eine Wiedergutmachung, die Löschung sämtlicher erfassten personenbezogenen Daten, die Löschung aller Einträge in den Hundedatenbanken Oblon und Amicus sowie die Richtigstellung an die deutschen Behörden. Ausserdem sei die Eigentumsübertragung rückgängig zu machen, und alle Hunde seien zurückzugeben. Sodann stellt B._ ein Rechtsbegehren, das auf "diverse Expertengutachten / Zustand B._ / Gesundheitszustand Hund per 30.01.2018 / Wesensbeurteilung Hunde" lautet. Während A._ eine Parteientschädigung verlangt, beantragt B._ zudem die Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und der unentgeltlichen Rechtsverbeiständung.

Erwägungen:
1.
Die frist- (<ref-law>) und formgerecht (<ref-law>) eingereichten Eingaben betreffen eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>). Die Rechtsmittel sind als Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig, da kein Ausschlussgrund vorliegt (<ref-law>). Die Beschwerdeführer sind bereits im kantonalen Verfahren als Parteien beteiligt gewesen und dort mit ihren Anträgen nicht durchgedrungen. Ausserdem sind die Beschwerdeführerin insbesondere durch die vorinstanzlich bestätigten Verbote und der Beschwerdeführer durch die vorinstanzlich angeordnete Herausgabe der Hunde als deren angeblicher Eigentümer durch das angefochtene Urteil in ihren schutzwürdigen Interessen besonders berührt. Sie sind somit zur Erhebung des Rechtsmittels legitimiert (<ref-law>).
1.1. Die beiden Verfahren 2C_367/2019 und 2C_372/2019 betreffen denselben Sachverhalt und es stellen sich zusammenhängende Rechtsfragen. Bereits die Vorinstanz hat den Beschwerdeführer als Mitbeteiligten in das kantonale Beschwerdeverfahren aufgenommen und ein einziges Urteil gefällt. Es rechtfertigt sich daher die beiden Verfahren zu vereinigen (vgl. <ref-law> i.V.m. <ref-law> [SR 273]; Urteile 2C_682/2018 vom 14. Mai 2019 E. 1; 2C_181/2019 vom 11. März 2019 E. 1.1; 2C_1021/2016 vom 18. Juli 2017 E. 4, nicht publ. in: <ref-ruling>; 2C_850/2014 vom 10. Juni 2016 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>).
1.2. Als Hauptantrag verlangen die Beschwerdeführer, das angefochtene Urteil sei nichtig zu erklären. In der Beschwerde finden sich mit Blick auf die Nichtigkeit des angefochtenen Urteils indes keine schlüssigen Begründungen, sodass die Beschwerden nicht ansatzweise den von <ref-law> gestellten Anforderungen genügen. Insofern die Nichtigkeit von Amtes wegen berücksichtigt werden müsste, ergibt sich nicht ohne Weiteres, weshalb das angefochtene Urteil nichtig sein soll (zur Nichtigkeit wegen schwerwiegendem Zuständigkeitsfehler vgl. auch E. 3.3 hiernach). Insoweit die Beschwerdeführer im Weiteren eine Wiedergutmachung, die Löschung sämtlicher erfassten personenbezogenen Daten, die Löschung aller Einträge in den Datenbanken Oblon und Amicus sowie die Richtigstellung an die deutschen Behörden verlangen, beziehen sich ihre Rechtsbegehren auf Angelegenheiten, die nicht Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens gewesen sind. Diesbezüglich liegt kein anfechtbarer Endentscheid im Sinne von <ref-law> vor. Ferner genügen die Beschwerden hinsichtlich dieser Rechtsbegehren nicht den Begründungsanforderungen im Sinne von <ref-law>. Letzteres gilt auch für den Antrag der Beschwerdeführerin betreffend "diverse Expertengutachten / Zustand B._ / Gesundheitszustand Hund per 30.01.2018 / Wesensbeurteilung Hunde". Auch hierzu fehlen die entsprechenden Ausführungen zur Begründung in der Beschwerdeschrift. Auf diese Rechtsbegehren ist demzufolge nicht einzutreten.
1.3. Im Übrigen richten sich die Beschwerden gegen ein kantonal letztinstanzliches (<ref-law>), verfahrensabschliessendes (<ref-law>) Urteil eines oberen Gerichts (<ref-law>). Mit Blick auf die definitive Beschlagnahmung stellen die Beschwerdeführer den reformatorischen Antrag, die Eigentumsübergabe sei rückgängig zu machen und alle Hunde seien zurückzugeben. Mit Bezug auf das teilweise Hundehalteverbot und Zuchtverbot, von deren Bestätigung durch das vorinstanzliche Urteil der Beschwerdeführer mangels Betroffenheit nicht besonders berührt ist (<ref-law>), stellt die Beschwerdeführerin einen kassatorischen Eventualantrag auf Aufhebung des angefochtenen Urteils. Dies ist bei belastenden Verfügungen zulässig. Auf die beiden Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist in diesem Umfang einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer legt in seiner Beschwerdeschrift zwar dar, dass er den Behörden von Anfang an bekannt gewesen sei und er der Eigentümer der Hunde sei. Die Urkunden, die dies nachweisen würden, lägen vor. Sie werden vom Beschwerdeführer indes nicht bezeichnet. Selbst unter Berücksichtigung, dass der Beschwerdeführer nicht anwaltlich vertreten ist, ergibt sich nicht ohne Weiteres, auf welche Urkunden der Beschwerdeführer Bezug nimmt, ob und wo sich diese in den Akten befinden sowie was aus ihnen hervorgeht. Bereits die Vorinstanz bemängelt, dass das angebliche Eigentum des Beschwerdeführers an den beschlagnahmten Hunden nicht glaubhaft dargelegt sei. Zudem habe sich der Beschwerdeführer wiederholt mit der Herausgabe der Hunde an die Beschwerdeführerin einverstanden erklärt (vgl. E. 6 des angefochtenen Urteils). Es ist daher nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz davon ausgeht, die Beschwerdeführerin sei die Eigentümerin der Hunde. Demzufolge ist der Antrag des Beschwerdeführers im Verfahren 2C_367/2019 auf Herausgabe aller Hunde an ihn zufolge Eigentums als unbegründet abzuweisen.
3.
Im Folgenden sind damit nur noch die Vorbringen der Beschwerdeführerin zu beurteilen.
3.1. Die Beschwerdeführerin begnügt sich mit Blick auf die Sachverhaltsdarstellung über weite Strecken mit rein appellatorischer Kritik am angefochtenen Urteil. Seinem Urteil legt das Bundesgericht den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Der festgestellte Sachverhalt kann nur erfolgreich gerügt sowie berichtigt oder ergänzt werden, wenn er offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.6 S. 144 f.; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.). Rügt die beschwerdeführende Partei eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung, haben ihre Vorbringen den Anforderungen von <ref-law> zu genügen (vgl. <ref-ruling> E. 9.2.3.6 S. 96; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255; Urteil 2C_1106/2018 vom 4. Januar 2019 E. 2.2). Diese qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit verlangt, dass in der Beschwerde klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt wird, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 5; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Diesen Anforderungen kommt die Beschwerdeführerin nicht nach, weshalb im bundesgerichtlichen Verfahren keine Veranlassung besteht, vom vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt abzuweichen.
3.2. Mit der Beschwerde kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), wobei es - unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>) - grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen prüft, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.5 S. 144; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). In Bezug auf die vorinstanzlichen Erwägungen im Zusammenhang mit der Tierschutzgesetzgebung (vgl. E. 2 des angefochtenen Urteils) und der Verhältnismässigkeitsprüfung der angeordneten Massnahmen (vgl. E. 4 und E. 5 des angefochtenen Urteils) fehlt eine Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Urteil, sodass darauf nicht weiter einzugehen ist (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 116 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 88 ff.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.). Eine hinreichende Beanstandung ist lediglich ansatzweise mit Bezug auf die Zuständigkeit des VETA zu erkennen.
3.3. Die Beschwerdeführerin legt dar, sie habe ihren Wohnsitz im Ausland und nicht in der Schweiz. Sodann würden die Hunde nicht in der Schweiz gehalten. Sie habe auch nie beabsichtigt, die Hunde in der Schweiz zu halten. Eine Haltung müsse sich auf einen dauerhaften sowie längerfristigen Zeitraum beziehen und liege erst ab einem Zeitraum von vier Monaten vor. Sie sei mit den Hunden indes lediglich zu Besuch in der Schweiz gewesen. Ferner züchte sie keine Hunde in der Schweiz. Sinngemäss bestreitet die Beschwerdeführerin damit die örtliche und sachliche Zuständigkeit des VETA.
3.3.1. Die Vorinstanz erwägt im Wesentlichen, es ergebe sich aus den Akten nicht, wo die Beschwerdeführerin derzeit ihren Wohnsitz habe. Aus dem Umstand, dass die Beschwerdeführerin der Kantonspolizei Zürich am 30. Januar 2018 gesagt habe, sie beabsichtige die Hunde in der Liegenschaft in U._ unterzubringen, schliesst die Vorinstanz auf eine zumindest vorübergehende Absicht, die Hunde im Kanton Zürich zu halten. Damit seien die Behörden des Kantons Zürich zum Erlass der angefochtenen Verfügungen zuständig gewesen (vgl. E. 3 des angefochtenen Urteils).
3.3.2. Im Bereich des Tierschutzes erteilt <ref-law> dem Bund eine umfassende Gesetzgebungskompetenz, die er mit dem Erlass des Tierschutzgesetzes vom 16. Dezember 2005 (TSchG; SR 455) wahrgenommen hat. Gestützt darauf enthält die Tierschutzverordnung vom 23. April 2008 (TSchV; SR 455.1) Vorschriften über die Hundehaltung und den Umgang mit Hunden. Gemäss <ref-law> ist für die Verfügung eines Tierhalteverbots nach <ref-law> die Behörde des Kantons zuständig, in dem die betroffene Person Wohnsitz hat oder in dem die Tiere gehalten oder gezüchtet werden. Als Tierhalter im Sinne der Tierschutzgesetzgebung gilt eine Person, die ein Tier in seine Obhut nimmt (vgl. Bolliger/Richner/Rüttimann/Stohner, Schweizer Tierschutzstrafrecht in Theorie und Praxis, 2. Aufl. 2019, S. 193). Eine zeitliche Mindestdauer ist nicht verlangt, um als Tierhalter in Frage zu kommen.
3.3.3. Die Vorinstanz erwägt zutreffend, dass die Beschwerdeführerin geltend mache, sie sei in der Schweiz nur zu Besuch und auf Durchreise. Es bleibe aber unklar, an welchen Ort sie die Hunde letztlich hätte bringen wollen. In dem von der Vorinstanz erwähnten Polizeiprotokoll vom 30. Januar 2018 gebe die Beschwerdeführerin eindeutig zu verstehen, sie habe die Absicht, die Hunde im Haus in U._ zu halten. Sie habe Gesamteigentum an der Liegenschaft in U._. Ein Gericht in Deutschland habe entschieden, dass ihr Haus in Deutschland verkauft werde. Somit brauche sie auf die Schnelle eine neue Bleibe.
In diesem Lichte und unter Berücksichtigung des erläuterten Tierhalterbegriffs ist nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz darauf schliesst, dass die Beschwerdeführerin die Hunde zumindest vorübergehend in U._ halten wollte. Die vorinstanzliche Folgerung, die Behörden des Kantons Zürich seien zur Anordnung der Tierhalteverbote im Sinne von <ref-law> zuständig gewesen, ist demzufolge bundesrechtskonform.
3.4. Mit dem vorinstanzlichen Urteil ist die Herausgabe der fünf in Obhut des VETA befindlichen Hunde angeordnet worden. Soweit die Beschwerdeführerin darüber hinaus beantragt, die Eigentumsübertragungen an die Tierheime seien rückgängig zu machen und alle Hunde seien an sie zurückzugeben, fehlt es an einer hinreichenden Begründung (vgl. E. 3.2 hiervor). Der entsprechende Antrag ist daher auch im Verfahren 2C_372/2019 abzuweisen.
4.
Die Beschwerdeführerin beantragt, ihr die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann nicht entsprochen werden, da das Rechtsmittel als von vornherein aussichtslos bezeichnet werden muss (<ref-law>).
5.
Nach dem Dargelegten erweisen sich die Beschwerden als unbegründet, weshalb sie abzuweisen sind, soweit darauf eingetreten wird. Nach dem Unterliegerprinzip tragen die Beschwerdeführer die umständehalber reduzierten Gerichtskosten von je Fr. 1'000.-- (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_367/2019 und 2C_372/2019 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im Verfahren 2C_372/2019 wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- im Verfahren 2C_367/2019 werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- im Verfahren 2C_372/2019 werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
6.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, und dem Bundesamt für Lebensmittelsicherheit und Veterinärwesen BLV schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Juli 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Zollinger