Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1976) stammt aus dem Kosovo und hielt sich gestützt auf einen Familiennachzug (ab dem 1. Juni 2007 mit einer Niederlassungsbewilligung) im Kanton St. Gallen auf. Am 29. September 2011 wurde die Ehe geschieden. Am 26. April 2017 widerrief das Migrationsamt des Kantons St. Gallen die Niederlassungsbewilligung von A._ und hielt ihn an, das Land zu verlassen. Der entsprechende Entscheid ist rechtskräftig.
1.2. A._ ersuchte das Migrationsamt des Kantons St. Gallen am 24. August 2020 darum, von der Wegweisung abzusehen, ihm eine Bewilligung wegen eines schwerwiegenden persönlichen Härtefalls zu erteilen und dem Staatssekretariat für Migration (SEM) seine vorläufige Aufnahme zu beantragen. Das Migrationsamt des Kantons St. Gallen wies das Gesuch am 9. Oktober 2020 ab; die hiergegen eingereichten kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg.
1.3. A._ beantragt vor Bundesgericht mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde unter anderem, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 4. Januar 2022 aufzuheben, vom Ansetzen einer Ausreisefrist abzusehen, ihn vorläufig aufzunehmen bzw. das Migrationsamt des Kantons St. Gallen anzuhalten, dem SEM seine vorläufige Aufnahme zu beantragen; gegebenenfalls sei die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. A._ ersucht für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung sowie aufschiebende Wirkung. Es sind keine Instruktionsmassnahmen erforderlich.
2.
Der Beschwerdeführer ersucht um die Erteilung einer allgemeinen Härtefallbewilligung im Rahmen von <ref-law>. Dabei geht es um eine Ermessensbewilligung, auf deren Erteilung kein Anspruch besteht, weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten - wie gegen Entscheide über die vorläufige Aufnahme (<ref-law>) - ausgeschlossen ist (<ref-law>; vgl. die Urteile 2C_34/2022 vom 13. Januar 2022 E. 2.1 und 2C_110/2022 vom 2. Februar 2022 E. 2.2). Ein entsprechender Anspruch ergibt sich weder aus dem vom Beschwerdeführer angerufenen Willkürverbot, noch dem Rechtsgleichheitsgebot oder dem Verhältnismässigkeitsgrundsatz (vgl. <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 6.2). Es sind deshalb (im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde) ausschliesslich Rügen bezüglich verfahrensrechtlicher Punkte zulässig, deren Verletzung einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommt und die das Gericht von der Bewilligungsfrage getrennt beurteilen kann (sog. "Star"-Praxis; <ref-ruling> E. 2). Solche bringt der Beschwerdeführer nicht vor; seine Darlegungen erschöpfen sich in Kritik am angefochtenen Entscheid (bspw. Gesundheitszustand, Zumutbarkeit der Ausreise, Pflegeverhältnisse im Kosovo usw.), die nicht von der Beurteilung in der Sache getrennt werden kann.
3.
3.1. Auf die unzulässige Beschwerde ist durch die Abteilungspräsidentin im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
3.2. Der Beschwerdeführer ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung (<ref-law>). Da die Eingabe als zum Vornherein aussichtslos zu gelten hatte, ist das Gesuch abzuweisen.
3.3. Der Beschwerdeführer hat somit die Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren zu tragen (<ref-law>). Bei der Festsetzung von deren Höhe wird berücksichtigt, dass über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nicht vorweg entschieden wurde, was es dem Beschwerdeführer noch ermöglicht hätte, seine Beschwerde zurückzuziehen. Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).
3.4. Mit dem vorliegenden Prozessentscheid wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
2.1. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
2.2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung II, und dem Staatssekretariat für Migration mitgeteilt.
Lausanne, 15. Februar 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar