Faits :
A.
A.a. A._ a travaillé comme plâtrier pour B._ Sàrl. Le 25 janvier 2016, il a chuté et s'est blessé à l'épaule droite. La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA), auprès de laquelle il était assuré obligatoirement contre le risque d'accidents, a pris en charge le cas.
Par décision du 13 mars 2018, la CNA a refusé d'octroyer à l'assuré une indemnité pour atteinte à l'intégrité (IPAI), au motif qu'il ne souffrait pas d'une atteinte importante à l'intégrité physique. Dès lors qu'il présentait une pleine capacité de travail dès le 1 er septembre 2017, la question de l'octroi d'autres prestations ne se posait pas.
A.b. Par déclaration de sinistre du 8 novembre 2017, l'intéressé a signalé à Helsana Assurances SA (ci-après: Helsana), assurance collective d'indemnités journalières en cas de maladie de son employeur, qu'il ne travaillait plus depuis le 27 octobre 2017 en raison de douleurs à un orteil du pied droit.
A.c. Le 5 avril 2018, A._ a appelé la CNA. Selon la notice téléphonique de l'assureur, il a notamment évoqué des douleurs à l'épaule droite pour lesquelles il avait consulté un médecin le jour même. Par déclaration de sinistre du 28 mai 2018, l'employeur a annoncé à la CNA que le 27 octobre 2017, son employé s'était déchiré les ligaments de l'épaule droite en glissant d'une échelle et en se retenant avec les mains sur les murs.
Par décision du 28 février 2019, confirmée sur opposition le 24 juin 2019, la CNA a refusé d'allouer à l'assuré des prestations en lien avec la déclaration de sinistre du 28 mai 2018, au motif que la survenance d'un accident le 27 octobre 2017 n'avait pas été rendue vraisemblable.
B.
Saisie d'un recours contre la décision sur opposition, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud l'a rejeté par jugement du 9 mars 2020.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant à sa réforme en ce sens que le droit à des prestations liées au sinistre du 27 octobre 2017 lui soit reconnu. A titre subsidiaire, il conclut à l'annulation du jugement attaqué et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.

Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
2.1. S'agissant d'une procédure concernant l'octroi de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par la juridiction précédente (<ref-law>).
2.2. L'objet du litige se limite au point de savoir si l'autorité précédente a violé le droit fédéral en ne reconnaissant pas au recourant le droit à des prestations de l'intimée pour les faits annoncés dans la déclaration de sinistre du 28 mai 2018.
3.
3.1. Le jugement entrepris expose de manière complète les dispositions légales et la jurisprudence relatives à la notion d'accident (<ref-law> [RS 830.1]; <ref-ruling> consid. 4.3.1 p. 221; <ref-ruling> consid. 4b p. 140 s.) et à la déclaration d'accident (<ref-law>). Il suffit d'y renvoyer.
3.2. La juridiction cantonale a relevé que de nombreuses incohérences faisaient sérieusement douter de la survenance d'un accident le 27 octobre 2017. L'annonce du prétendu événement accidentel n'avait été faite que le 28 mai 2018 et les explications avancées par le recourant pour justifier cette tardiveté, à savoir que les douleurs ne se seraient exacerbées qu'au printemps 2018 et qu'il n'aurait pas été rompu aux subtilités en matière d'assurance-accidents, ne s'avéraient pas convaincantes; il ne pouvait pas ignorer son devoir général de collaborer et l'annonce d'un accident n'avait rien de nouveau pour lui. Les juges cantonaux ont en outre retenu que son attitude ne pouvait pas être mise sur le compte d'une simple inadvertance, au vu de ses déclarations fragmentaires et contradictoires. Il avait sollicité des prestations d'Helsana sans jamais évoquer la survenance d'un accident le 27 octobre 2017 et le compte-rendu de l'entretien téléphonique du 5 mai 2018 n'en faisait pas mention. Par ailleurs, à la lecture des pièces médicales au dossier (en particulier les rapports du docteur C._ des 6 avril 2018 et 13 juin 2018 et l'attestation du docteur D._ du 24 juin 2018), ses médecins traitants ne semblaient pas avoir été informés d'un accident. Sans remettre en cause l'existence de lésions à l'épaule droite, les premiers juges en ont conclu que l'existence d'un accident n'avait pas été rendue vraisemblable et que l'intimée avait à bon droit refusé d'allouer des prestations. Ils ont encore précisé que leur jugement ne préjugeait pas d'un éventuel droit aux prestations qui découlerait d'un cas de rechute ou de lésions assimilées à un accident. Par appréciation anticipée des preuves, les requêtes du recourant tendant à son audition personnelle et à celle de témoins ont été rejetées.
4.
4.1. Dans un grief d'ordre formel, le recourant reproche à l'instance précédente d'avoir violé son droit d'être entendu en refusant de l'interroger en personne. Il soutient que son audition aurait permis aux juges cantonaux de se rendre compte de sa sincérité et de mieux appréhender son profil social. Ceux-ci auraient en outre violé son droit de faire administrer des preuves en rejetant ses réquisitions tendant à l'audition de témoins.
4.2. Le droit d'être entendu, tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., comprend notamment celui de produire ou de faire administrer des preuves, à condition qu'elles soient pertinentes et de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 72; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 222; <ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 229 et les références). Le juge peut renoncer à accomplir certains actes d'instruction, sans que cela entraîne une violation du droit d'être entendu, s'il est convaincu, en se fondant sur une appréciation consciencieuse des preuves (voir <ref-ruling> consid. 3a p. 352), que certains faits présentent un degré de vraisemblance prépondérante et que d'autres mesures probatoires ne pourraient plus modifier cette appréciation (sur l'appréciation anticipée des preuves en général: <ref-ruling> consid. 3.1.3 p. 435; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 64).
4.3. En l'espèce, la juridiction cantonale a rejeté les réquisitions de preuves du recourant en se référant à la jurisprudence susmentionnée. Cette appréciation ne prête pas le flanc à la critique. Le recourant a pu amplement faire valoir ses moyens par écrit au cours de la procédure devant l'intimée, puis devant les juges cantonaux. Les éléments au dossier - en particulier ceux relatifs à ses demandes de prestations auprès d'Helsana et de l'intimée - s'avèrent par ailleurs suffisants pour trancher le litige. Les premiers juges pouvaient dès lors s'estimer suffisamment renseignés par les pièces au dossier et ainsi renoncer, sans violer le droit d'être entendu du recourant, à ordonner sa comparution personnelle et celle de témoins, étant précisé que devant la cour cantonale, le recourant s'est borné à "se réserve[r] de solliciter des auditions de témoins à l'audience pour établir ce que l'intimée persiste à nier". Au reste, l'art. 29 al. 2 Cst. ne confère pas le droit d'être entendu oralement, ni celui d'obtenir l'audition de témoins (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 148; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 428 s.). Les griefs du recourant tombent ainsi à faux.
5.
5.1. Le recourant soutient que l'annonce tardive de son prétendu accident ne lui serait pas imputable, dès lors que son incapacité de travail immédiate était couverte par Helsana et qu'il pensait que la lésion de son épaule droite allait se résorber au cours de son arrêt-maladie consécutif à l'atteinte à son orteil; ce n'est qu'au printemps 2018 qu'il se serait inquiété de la guérison imparfaite de son épaule. En outre, il ne serait qu'un simple peintre en bâtiment ignorant la différence entre maladie et accident, ce qui expliquerait également le fait qu'il n'ait pas formellement annoncé un accident lors de son appel téléphonique à l'intimée du 5 avril 2018. Il explique encore que le rapport médical du docteur C._ du 6 avril 2018 mentionnerait bien qu'il s'est plaint de douleurs à l'épaule et qu'une lésion "postérieure à la réparation" a été objectivée par IRM, mais que l'entretien avec son médecin a surtout porté sur d'autres problématiques comme la maladie de son orteil. S'agissant de ses démarches auprès d'Helsana, il prétend ne pas l'avoir informée de son accident du 27 octobre 2017 au motif qu'il n'avait alors pas encore annoncé le cas à l'intimée. Par ailleurs, le docteur D._ n'aurait pas indiqué avoir été consulté pour un nouvel accident parce qu'il ne serait pas rompu aux distinctions juridiques; il avait d'ailleurs d'abord lié l'atteinte à l'épaule à une maladie, avant de se corriger quelques jours plus tard. Il ne serait toutefois pas exclu que l'événement du 27 octobre 2017 doive au final être considéré comme une rechute de l'accident du 25 janvier 2016. Enfin, un autre médecin, à savoir le docteur (recte: la doctoresse) E._, aurait conseillé à l'intimée, le 10 septembre 2018, de faire une enquête sur le "mécanisme de la nouvelle chute"; la cour cantonale aurait écarté à tort ce moyen de preuve.
5.2. Le recourant ne saurait se retrancher derrière sa déclaration de sinistre à Helsana pour justifier son annonce tardive à l'intimée, dès lors que son incapacité de travail a été couverte par Helsana au titre d'une maladie à son orteil droit sans rapport avec ses plaintes à l'épaule droite relevant selon lui d'un accident. Au demeurant, il n'a jamais informé Helsana d'un accident survenu le 27 octobre 2017. C'est également à tort qu'il argue de sa méconnaissance de la loi; la procédure d'annonce d'un cas de sinistre à l'assureur-accidents ne lui était d'ailleurs pas étrangère ensuite de son accident du 25 janvier 2016. Force est de constater avec l'autorité précédente qu'avant la déclaration de sinistre du 28 mai 2018, soit sept mois après les faits allégués, ni le recourant ni son employeur n'ont fait état d'un accident le 27 octobre 2017 auprès de l'intimée. Il ne ressort pas non plus des rapports et certificats médicaux au dossier que les médecins consultés auraient été informés d'un événement accidentel ce jour-là. Il n'en va pas autrement du rapport du docteur C._ du 6 avril 2018, qui se limite à objectiver par IRM des douleurs à l'épaule droite dans le contexte d'une opération de la coiffe des rotateurs de cette épaule effectuée en septembre 2016, sans toutefois qu'aucun rapport avec des faits survenus en octobre 2017 soit évoqué. Le docteur D._ n'a pas non plus fait état d'un accident le 27 octobre 2017 qui serait à l'origine d'une atteinte ou de l'aggravation d'une atteinte à l'épaule droite. Enfin, il ressort de l'évaluation du 10 septembre 2018 de la doctoresse E._ que celle-ci s'est contentée, en qualité de médecin d'arrondissement de l'intimée, de conseiller à cette dernière de se renseigner sur les circonstances du prétendu nouvel accident et ses suites. Cette évaluation n'est donc pas de nature à rendre vraisemblable l'accident allégué. Les griefs du recourant, en bonne partie appellatoires, s'avèrent ainsi infondés et son recours doit être rejeté.
6.
Dès lors que le recours apparaissait d'emblée voué à l'échec, la demande d'assistance judiciaire doit être rejetée (<ref-law>). Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 30 novembre 2020
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
Le Greffier : Ourny