Sachverhalt:
A.
Mit Verfügungen vom 10. Mai und 1. Juli 2016 lehnte die Sanitas Grundversicherungen AG Gesuche der A._ vom 9. Juni 2015 und 1. Juni 2016 um Kostengutsprache für eine stationäre psychiatrische Behandlung wegen nicht ausgewiesener akuter Spitalbedürftigkeit ab. Daran hielt der Versicherer mit Einspracheentscheid vom 28. Februar 2017 fest.
B.
Die Beschwerde der A._ wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau nach zweifachem Schriftenwechsel mit Entscheid vom 14. November 2017 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._ hauptsächlich, es sei ihr Kostengutsprache für einen stationären Aufenthalt zu erteilen, und es sei ihr die unentgeltliche Rechtsverbeiständung für die Einspracheverfahren und das Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht zu gewähren, welches Begehren sie auch für das bundesgerichtliche Verfahren stellt.

Erwägungen:
1.
Die Rechtsbegehren in der Beschwerde sind aufgrund der Rügen, der Anfechtungsobjekt bildende Entscheid der Vorinstanz vom 14. November 2017 verletze in verschiedener Hinsicht Bundesrecht (<ref-law>) im Sinne von "unter Aufhebung dieses Erkenntnisses" zu verstehen.
2.
Die Beschwerdeführerin rügt, die von der Vorinstanz als zulässig erachtete Vereinigung der Einspracheverfahren durch die Beschwerdegegnerin verletze das Willkürverbot. Ihre Vorbringen genügen indessen den diesbezüglich geltenden qualifizierten Begründungsanforderungen nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.3 S. 60) nicht. Sie erschöpfen sich im Wesentlichen in einer verspäteten Kritik an der langen Dauer des ersten Verfügungsverfahrens. Im Übrigen wird die Feststellung der Vorinstanz nicht bestritten, dass der Einspracheentscheid vom 28. Februar 2017 eine Beurteilung beider Kostengutsprachegesuche (vom 9. Juni 2015 und 1. Juli 2016) enthält.
3.
3.1. Das kantonale Versicherungsgericht hat eine (akute) Spitalbedürftigkeit als Voraussetzung für die Übernahme der Kosten für eine stationäre Behandlung durch die obligatorische Krankenpflegeversicherung (vgl. <ref-ruling> E. 1b. S. 179) wegen Fehlens einer "psychiatrischen Erkrankung" verneint. Dabei hat es sich im Wesentlichen auf vom Berufsvorsorgeversicherer der Beschwerdeführerin eingeholte Unterlagen (Bericht vom 7. Juli 2015 über die Observation im Zeitraum vom 20. Oktober 2014 bis 25. Juni 2015 sowie Gutachten Dr. med. B._, Fachärztin für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 15. August 2015) abgestützt.
3.2.
3.2.1. In Bezug auf die bestrittene Verwertbarkeit der Observationsergebnisse in grundsätzlicher Hinsicht kann auf das Urteil 9C_385/2017 vom 21. August 2017 E. 3.3 verwiesen werden. Entgegen den Vorbringen in der Beschwerde ist das Observationsmaterial nicht bereits deswegen nicht schlüssig, weil "dort medizinische Beurteilungen vorgenommen" werden, "die nicht in die Kompetenz eines Privatdetektivs gehören". Sodann geht es hier nicht um die Arbeitsfähigkeit.
3.2.2. Im Weitern spricht der Umstand allein, dass das Gutachten vom 15. August 2015 vom BVG-Versicherer eingeholt worden war, nicht gegen den Beweiswert der Expertise. Im Übrigen ist Dr. med. B._ Vertrauensärztin SGV (Schweizerische Gesellschaft der Vertrauens- und Versicherungsärzte) und nicht etwa Vertrauensärztin der Auftraggeberin, wie die Beschwerdeführerin anzunehmen scheint. Dem Einwand, das Gutachten vom 15. August 2015 sei im Zeitpunkt des Einspracheentscheids vom 28. Februar 2017 veraltet gewesen, ist vorab zu entgegnen, dass es zwischen den beiden Kostenübernahmegesuchen vom 9. Juni 2015 und 1. Juni 2016 erstellt worden war. Sodann kann aus dem Umstand allein, dass die Beschwerdeführerin sich vom 27. Mai bis 21. Juni 2016 in der Klinik C._ aufhielt, nicht auf einen (spital-) behandlungsbedürftigen (verschlechterten) psychischen Gesundheitszustand geschlossen werden. Im Übrigen hat sich die Vorinstanz mit der abweichenden Beurteilung der behandelnden Psychiaterin auseinandergesetzt. Schliesslich bleibt offen und wird nicht weiter substanziiert, welche anderen "Ärzte und Institutionen" in der Zeit nach der Begutachtung ebenfalls eine Spitalbedürftigkeit als indiziert erachtet haben sollen.
4.
4.1. Die Vorinstanz hat den Anspruch der Beschwerdeführerin auf unentgeltliche Rechtsverbeiständung in den beiden Einspracheverfahren (<ref-law>) und im vorinstanzlichen Verfahren (<ref-law>) wegen Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 35) abgewiesen. Eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, hätte "sich in Kenntnis der Observationsunterlagen und des psychiatrischen Gutachtens bei vernünftiger Überlegung nicht zur Anhebung eines Einspracheverfahrens bzw. eines Verfahrens vor Gericht entschlossen" (u.a. unter Hinweis auf <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135 f.).
4.2. Die Beschwerdeführerin rügt die Verletzung von Art. 37 Abs. 4 und <ref-law>. Die Vorinstanz würdige "die einzelnen Problematiken, die eine Notwendigkeit einer Vertretung erforderlich machen, nicht". Es gehe um die Frage, ob die von einem anderen Sozialversicherungsträger veranlasste Observation verwertbar sei und ob überhaupt eine ausreichende gesetzliche Grundlage hierfür vorgelegen habe. Es habe "Rechtsunsicherheit bezüglich der Gesetzmässigkeit und der Verwertbarkeit des Observationsmaterials" bestanden. Weiter liege ein komplexer medizinischer Sachverhalt vor mit gegensätzlichen fachärztlichen Einschätzungen.
4.3.
4.3.1. In den Verfügungen vom 10. Mai und 1. Juli 2016 wurden die Gesuche um Übernahme der Kosten für eine stationäre psychiatrische Behandlung gestützt auf die vertrauensärztliche Beurteilung, wonach eine akute Spitalbedürftigkeit nicht ausgewiesen sei, abgelehnt. Im Einspracheentscheid vom 28. Februar 2017 wurden zusätzlich das Gutachten der Frau Dr. med. B._ vom 15. August 2015 sowie der Bericht vom 7. Juli 2015 über die Observation der Beschwerdeführerin im Zeitraum vom 20. Oktober 2014 bis 25. Juni 2015 zur Begründung der fehlenden Spitalbedürftigkeit verwendet. Von diesen Unterlagen hatte die Beschwerdeführerin nach für das Bundesgericht verbindlicher Feststellung der Vorinstanz (<ref-law>) vor Erhebung ihrer Einsprachen vom 6. Juni und 1. September 2016 Kenntnis.
4.3.2. Unter diesen Umständen kann in Bezug auf die Einspracheverfahren die Notwendigkeit bzw. sachliche Gebotenheit einer Rechtsverbeiständung und auch die Nichtaussichtslosigkeit der Rechtsbegehren nicht mit der "Rechtsunsicherheit bezüglich der Gesetzmässigkeit und der Verwertbarkeit des Observationsmaterials" begründet werden. Im Übrigen kann nicht von einer schwierigen Fragestellung oder einem unübersichtlichen Sachverhalt gesprochen werden, welche die Interessenwahrung durch einen Rechtsanwalt erforderten (Urteil 8C_246/2015 vom 6. Januar 2016 E. 2.1).
Im erstinstanzlichen Beschwerdeverfahren sind die Voraussetzungen für die Bewilligung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes zwar weniger streng (Urteil 8C_669/2016 vom 7. April 2017 E. 2.1 mit Hinweisen, in: SVR 2017 IV Nr. 57 S. 177). Nach dem Urteil des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (EGMR) in Sachen Vukota-Bojic gegen die Schweiz (61838/10) vom 18. Oktober 2016 genügte es jedoch, die Zulässigkeit und Verwertbarkeit des Observationsmaterials (und des Beweiswerts des Gutachtens vom 15. August 2015, soweit es sich wesentlich darauf abstützte) zu bestreiten, ohne dass es diesbezüglich tiefer gehender rechtlicher Ausführungen bedurfte (<ref-law>). Im Übrigen hatte die anwaltlich vertretene Beschwerdeführerin bereits in der Replik vom 12. Dezember 2016 im Verfahren VBE. 2016.511 betreffend eine IV-Rentenrevision vor derselben Vorinstanz unter Verweis auf das erwähnte EGMR-Urteil die Verwertbarkeit der Ergebnisse der Observation bestritten.
5.
Die Beschwerde ist unbegründet.
6.
Ausgangsgemäss wird die Beschwerdeführerin grundsätzlich kostenpflichtig (<ref-law>). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann jedoch entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 4a S. 202). Sie hat indessen der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen und der Beschwerdeführerin Rechtsanwalt Urs Hochstrasser als unentgeltlicher Anwalt beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, einstweilen indessen auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 13. März 2018
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Der Gerichtsschreiber: Fessler