Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 2006) besuchte im Schuljahr 2017/18 die 6. Klasse der Privatschule C._ in U._. Seit dem Schuljahr 2018/19 besucht er die Oberstufe der Privatschule D._ in V_.
In einem Bericht vom 2. März 2017 stellte der Schulpsychologische Dienst bei A._ eine erhebliche soziale Beeinträchtigung und einen erhöhten Bedarf (Schwierigkeiten in der Selbststeuerung, Selbst-/Fremdwahrnehmung, Umgang mit Anforderungen) fest, mit einer Minderleistungsproblematik, bei einem diskrepanten kognitiven Potential (weit-überdurchschnittliche sprachliche Kompetenzen und durchschnittliche Kompetenzen in den restlichen Bereichen).
In einem Fachbericht vom 21. März 2018 hielt der Schulpsychologische Dienst zudem folgende Beeinträchtigungen fest: schwere Lese- und Rechtschreibstörung (gemäss Logopädischem Fachbericht vom 29. September 2017), Unsicherheit im Selbstwerterleben und wenig Selbstwirksamkeitsüberzeugung, motorische Ungeschicklichkeit (beobachtet).
Im Hinblick auf den Oberstufenübertritt empfahl der Schulpsychologische Dienst ein Wocheninternat in der Institution E._ als Hauptförderort.
A.b. Die Mutter von A._, B._, sowie dessen Psychotherapeutin, sprachen sich für eine Beschulung in der D._ in V._ aus. Die Schulpflege Bözberg anerkannte in der Sitzung vom 28. Mai 2018, dass es sich bei dieser Institution - mit der Weiterführung der Psychotherapie - um einen geeigneten Förderort handelt. Mit Protokollauszug vom 28. Mai 2018 ersuchte sie die "Gemeinde Bözberg" zu prüfen, ob die betreffenden Privatschulkosten im Umfang des Gemeindebeitrags entsprechend der Betreuungsgesetzgebung übernommen werden können.
An seiner Sitzung vom 11. bzw. 26. Juni 2018 lehnte der Gemeinderat Bözberg das Gesuch von A._ um finanzielle Beteiligung am Schulgeld der Privatschule D._ ab. Zudem beschloss er unter anderem, eine Kostengutsprache für die von der Fachstelle empfohlene Unterbringung von A._ im Wocheninternat Institut E._ zu leisten.
A.c. Am 5. Februar 2019 beantragte A._ bei der Schulpflege Bözberg, der Privatschule D._ in V._ zugewiesen zu werden. Auf entsprechende Nachfrage der Schulpflege hin teilte das Departement Bildung, Kultur und Sport (BKS; nachfolgend: Departement BKS), Abteilung Sonderschulung, Heime und Werkstätten, im Schreiben vom 19. Juni 2019 mit, der Besuch der D._ könne nicht über die Betreuungsgesetzgebung finanziert werden. Zuständig für Kostenübernahmegesuche für Privatschulen sei der Gemeinderat, wobei bei Uneinigkeit verwaltungsrechtliche Klage erhoben werden könne.
B.
Mit Urteil vom 24. März 2021 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, die von A._ gegen die Einwohnergemeinde Bözberg erhobene verwaltungsrechtliche Klage ab.
C.
Mit Eingabe vom 10. Mai 2021 lässt A._, gesetzlich vertreten durch seine Mutter, Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht führen. Er beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 24. März 2021 sei aufzuheben und die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten, die Kosten für seine Beschulung an der D._ in V._ für die Schuljahre 2018/19 und 2019/20 in der Höhe von jährlich Fr. 37'000.-- und damit insgesamt Fr. 74'000.--, zu bezahlen. Zudem beantragt er, es sei ihm für das vorinstanzliche Klageverfahren eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen. Eventualiter sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und an die Vorinstanz zum Neuentscheid zurückzuweisen.
Die Einwohnergemeinde Bözberg und das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau schliessen sinngemäss auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene kantonal letztinstanzliche Endentscheid (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG) betrifft die Übernahme der Kosten für Sonderschulung und somit eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts, weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich offensteht (<ref-law>). Die Ausnahme gemäss Art. 83 lit. t BGG greift nicht (vgl. Urteile 2C_713/2018 vom 27. Mai 2019 E. 1.1; 2C_405/2016 vom 9. Januar 2017 E. 1.1; 2C_971/2011 vom 13. April 2012 E. 1.1, nicht publiziert in: <ref-ruling>).
Der Mutter des Beschwerdeführers steht als Inhaberin der elterlichen Sorge die Vertretung ihres Sohnes von Gesetzes wegen zu (<ref-law>). Sie ist damit zur Ergreifung des Rechtsmittels im Namen ihres Sohnes berechtigt (Urteil 2C_33/2021 vom 29. Juni 2021 E. 1). Der Beschwerdeführer, der am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen hat und mit seinen Begehren vor der Vorinstanz nicht durchgedrungen ist, hat ein berechtigtes Interesse an der Überprüfung des angefochtenen Entscheids durch das Bundesgericht (<ref-law>). Auf die im Übrigen frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde ist daher einzutreten (Art. 100 Abs. 1, Art. 42 BGG).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Bei der Prüfung wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.5) und verfügt es über volle Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2). Die Anwendung kantonalen Rechts prüft das Bundesgericht hingegen - abgesehen von den Fällen gemäss Art. 95 lit. c-e BGG - nur auf Bundesrechtsverletzungen, namentlich auf Willkür, hin (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2). Die Verletzung von verfassungsmässigen Individualrechten (einschliesslich der Grundrechte) und von kantonalem Recht prüft das Bundesgericht nur, soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht gemäss <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.7.2).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, sofern sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>), und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-ruling> E. 2.2). Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn Zweifel bestehen, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (<ref-ruling> E. 3.1; Urteil 2C_713/2018 vom 27. Mai 2019 E. 2.1).
3.
Strittig und zu prüfen ist vorliegend die Frage, ob die Einwohnergemeinde Bözberg verpflichtet sei, die Kosten für die Beschulung des Beschwerdeführers, dessen Sonderschulbedürftigkeit anerkannt ist, an der D._ in V._ für die Schuljahre 2018/19 und 2019/20 zu übernehmen. Unbestritten ist, dass es sich bei dieser Institution um eine ausserkantonale Privatschule handelt, die weder vom Kanton Aargau anerkannt noch der Interkantonalen Vereinbarung vom 13. Februar 2002 für Soziale Einrichtungen (IVSE; SAR 428.030) unterstellt ist (vgl. E. II/1 des angefochtenen Urteils).
3.1. <ref-law> gewährleistet als Grundrecht einen Anspruch auf ausreichenden und unentgeltlichen Grundschulunterricht.
3.1.1. Zuständig für das Schulwesen sind die Kantone (vgl. <ref-law>). Sie gewähren einen ausreichenden Grundschulunterricht, der allen Kindern offensteht. Er ist obligatorisch und an öffentlichen Schulen unentgeltlich (vgl. <ref-law>). Die Kantone sorgen sodann für eine ausreichende Sonderschulung aller behinderten Kinder und Jugendlichen bis längstens zum vollendeten 20. Lebensjahr (vgl. <ref-law>). Der verfassungsmässige Anspruch auf staatliche Leistung betrifft nur die öffentliche Grundschule (vgl. <ref-ruling> E. 4.2). Gemäss Art. 20 des Bundesgesetzes vom 13. Dezember 2002 über die Beseitigung von Benachteiligungen von Menschen mit Behinderungen (Behindertengleichstellungsgesetz [BehiG; SR 151.3]) sorgen die Kantone dafür, dass behinderte Kinder und Jugendliche eine Grundausbildung erhalten, die ihren besonderen Bedürfnissen entspricht (Abs. 1). Die Kantone fördern, soweit dies möglich ist und dem Wohl des behinderten Kindes oder Jugendlichen dient, mit entsprechenden Schulungsformen die Integration behinderter Kinder und Jugendlicher in die Regelschule (Abs. 2). Diese Bestimmung konkretisiert das verfassungsrechtliche Diskriminierungsverbot von <ref-law> sowie die verfassungsrechtlichen Ansprüche von <ref-law> und <ref-law>, geht aber kaum über sie hinaus (vgl. <ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 3.1).
3.1.2. Im Rahmen der genannten Grundsätze verfügen die Kantone praxisgemäss über einen erheblichen Gestaltungsspielraum, was auch für die Sonderschulung gilt (vgl. <ref-law>; Urteil 2C_264/2016 vom 23. Juni 2017 E. 2.2). Der verfassungsrechtliche Anspruch umfasst ein angemessenes, erfahrungsgemäss ausreichendes Bildungsangebot an öffentlichen Schulen. Ein darüber hinausgehendes Mass an individueller Betreuung, das theoretisch immer möglich wäre, kann jedoch mit Rücksicht auf das limitierte staatliche Leistungsvermögen nicht eingefordert werden. Der verfassungsmässige Anspruch auf unentgeltlichen Grundschulunterricht verpflichtet den Kanton demnach nicht zur optimalen oder am besten geeigneten Schulung von behinderten Kindern (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 3.2; Urteil 2C_33/2021 vom 29. Juni 2021 E. 3.2.2). Die Ausgestaltung der Sonderschulung ist grundsätzlich Sache des kantonalen Rechts, dessen Auslegung und Anwendung vom Bundesgericht nur auf die Verletzung des übergeordneten Rechts hin überprüft wird (vgl. E. 2.1 hiervor). Die dargelegten bundesrechtlichen Mindestgrundsätze müssen jedoch eingehalten werden, was das Bundesgericht frei prüft (vgl. <ref-ruling> E. 3.3; vgl. auch BGE <ref-ruling> E. 3.3 i.f.).
3.1.3. Rechtsprechungsgemäss verleihen <ref-law> und <ref-law> keinen (bundesverfassungsrechtlich) Anspruch darauf, einer bestimmten Privatschule zugewiesen zu werden. Ob ein solcher Anspruch besteht, regelt gegebenenfalls das kantonale Recht (Urteil 2C_33/2021 vom 29. Juni 2021 E. 3.4.1, mit Hinweisen).
Indessen kann der Besuch einer Privatschule ausnahmsweise unentgeltlich sein, wenn an öffentlichen (Sonder-) Schulen im spezifischen Fall kein ausreichendes schulisches Angebot zur Verfügung steht. Unterhält der Staat ein geeignetes und zumutbares Angebot, ist er selbst dann nicht verpflichtet, eine private Lösung zu finanzieren, wenn dort ein noch besserer Unterricht zur Verfügung stünde (vgl. Urteil 2C_405/2016 vom 9. Januar 2017 E. 4.2; vgl. auch Urteil 2C_686/2012 vom 13. Juni 2013 E. 4.1.1 i.f.).
3.2.
3.2.1. Gemäss § 28 Abs. 1 der Verfassung des Kantons Aargau vom 25. Juni 1980 (KV/AG; SAR 110.000) hat jedes Kind Anspruch auf eine seinen Fähigkeiten angemessene Bildung. Der Unterricht an öffentlichen Schulen und Bildungsanstalten ist für Kantonseinwohnerinnen und Kantonseinwohner unentgeltlich. Ausnahmen bestimmt das Gesetz (§ 34 Abs. 1 KV/AG). Für Kinder, die wegen der Lage ihres Wohnortes oder aus sozialen Gründen oder wegen Behinderung benachteiligt sind, sorgen die Träger der Schulen für ausgleichende Massnahmen (§ 34 Abs. 3 KV/AG).
Die Schulpflicht ist in der Regel in den öffentlichen Schulen der Wohngemeinde oder des Schulkreises, zu dem die Wohngemeinde gehört, zu erfüllen (§ 6 Abs. 1 des Schulgesetzes vom 17. März 1981 [SchulG/AG; SAR 401.100]). Für Kinder und Jugendliche mit Aufenthalt im Kanton ist der Unterricht an den öffentlichen Volksschulen unentgeltlich (§ 3 Abs. 3 SchulG/AG). Erfolgt der Unterrichtsbesuch ohne wichtige Gründe an der Volksschule einer anderen Gemeinde, entfällt die Unentgeltlichkeit gemäss § 3 Abs. 3 (§ 6 Abs. 2 Satz 1 SchulG/AG).
3.2.2. Die Schulpflicht kann auch im Rahmen einer Privatschule oder einer privaten Schulung erfüllt werden (§ 4 Abs. 4 SchulG/AG).
Die Vorinstanz führt diesbezüglich aus, aus § 3 Abs. 3 SchulG/AG ergebe sich e contrario, dass die Betroffenen für die Kosten des entgeltlichen Unterrichts an Privatschulen selber aufzukommen hätten. Das Gemeinwesen werde gestützt auf § 34 Abs. 3 KV/AG ausnahmsweise kostenpflichtig, wenn ausserordentliche Situationen Besonderheiten herbeiführen würden, welche den unterhaltspflichtigen Eltern unverhältnismässige Lasten aufbürden würden. Soziale Benachteiligung oder Invalidität, die insbesondere die Unterrichtung Schulpflichtiger in Sonderschulen und Heimen erfordere, könne eine Ausnahmesituation begründen und finanzielle oder tatsächliche Hilfe und Unterstützung gebieten. Weitergehende Leistungsansprüche, insbesondere beim Besuch von Privatschulen, garantiere das kantonale Recht nicht (vgl. E. II/3 des angefochtenen Urteils).
Unabdingbare Voraussetzung für einen Anspruch auf Schulgelder für den Besuch einer Privatschule oder für einen staatlichen Beitrag an eine private Schulung sei - so das Verwaltungsgericht weiter - dass an den öffentlichen Schulen, welche die Aufenthaltsgemeinde anbiete, die Erfüllung der Schulpflicht im Einzelfall nicht möglich oder nicht ausreichend sei. Ein Anspruch auf staatliche Leistungen an die Schulkosten, wenn der Volksschulunterricht ohne wichtige Gründe ausserhalb von öffentlichen Schulen in Anspruch genommen werde, ergebe sich weder aus dem Gesetz über die Einrichtungen für Menschen mit besonderen Betreuungsbedürfnissen vom 2. Mai 2006 (Betreuungsgesetz/AG; SAR 428.500) noch aus der Verordnung über die Schulung von Kindern und Jugendlichen mit Behinderungen sowie die besonderen Förder- und Stützmassnahmen vom 8. November 2006 (V Schulung und Förderung bei Behinderungen/AG; SAR 428.513; vgl. E. II/4 des angefochtenen Urteils).
Der Beschwerdeführer behauptet nicht, die vorinstanzliche Auslegung und Anwendung des kantonalen Rechts sei offensichtlich unhaltbar bzw. willkürlich (vgl. E. 2.1 hiervor), sodass kein Anlass besteht, von den Erwägungen des Verwaltungsgerichts abzuweichen.
3.2.3. Die Zuweisung in eine ausserkantonale Sonderschule setzt unter anderem die Bewilligung durch das Departement BKS voraus (vgl. § 15 Abs. 1 lit. e und § 16 Abs. 3 V Schulung und Förderung bei Behinderungen/AG). Bei Platzierungen in Sonderkindergärten und Sonderschulen, die ohne Zustimmung der zuständigen Schulpflege erfolgen, entfällt jede Leistungspflicht von Kanton und Gemeinden (§ 16 Abs. 4 V Schulung und Förderung bei Behinderungen/AG). Gemäss § 49 Abs. 1 lit. b und c der Verordnung vom 8. November 2006 über die Einrichtungen für Menschen mit besonderen Betreuungsbedürfnissen (Betreuungsverordnung/AG; SAR 428.511) werden Leistungen ausserkantonaler Sonderschulen und stationärer Kinder- und Jugendeinrichtungen bewilligt, unter anderem wenn im Kanton Aargau kein geeigneter Platz in einer anerkannten Einrichtung zur Verfügung steht und die ausserkantonale Einrichtung die Kriterien der §§ 2 Abs. 1 bzw. 3 Abs. 1 erfüllt und vom Standortkanton der IVSE unterstellt worden ist.
4.
Der Beschwerdeführer rügt eine unrichtige bzw. willkürliche Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung sowie eine Verletzung seines rechtlichen Gehörs (<ref-law>; § 22 KV/AG) und seines Rechts auf Beweis (<ref-law>). Dadurch habe das Verwaltungsgericht auch seinen Anspruch auf ausreichenden und unentgeltlichen Grundschulunterricht (<ref-law>; § 28 KV/AG) sowie den Anspruch auf Beseitigung von Benachteiligungen von Menschen mit Behinderungen (<ref-law>; § 34 Abs. 3 KV/AG) vereitelt.
4.1. Zur Begründung bringt der Beschwerdeführer einerseits vor, die Vorinstanz habe ausschliesslich auf den schulpsychologischen Fachbericht vom 21. März 2018 abgestellt und das Fachgutachten seiner Psychotherapeutin vom 2. Mai 2018 als unmassgebliches Parteigutachten bezeichnet. Andererseits wirft er dem Verwaltungsgericht vor, seine Beweisofferten, insbesondere die Befragung verschiedener Zeugen, zu Unrecht abgelehnt zu haben. Bei den von ihm genannten Zeugen handelt es sich um den stellvertretenden Internatsleiter und den Fachstellenverantwortlichen der Institution E._, die Mutter und die Psychotherapeutin des Beschwerdeführers, zwei ehemalige Lehrer des Beschwerdeführers und eine Schulpsychologin. Seiner Auffassung nach wären die Aussagen dieser Personen für die Klärung des Sachverhalts, so namentlich der Frage, ob es sich bei der Institution E._ um eine geeignete Sonderschule gehandelt und ob diese Institution über einen freien Platz verfügt habe, von entscheidender Bedeutung gewesen.
4.2. Die Sachverhaltsfeststellung bzw. die Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich im Sinne von <ref-law>, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3; Urteil 2C_169/2018 vom 17. August 2018 E. 1.2.2). Inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung bzw. die Sachverhaltsfeststellung offensichtlich unhaltbar ist, muss in der Beschwerdeschrift klar und detailliert aufgezeigt werden; an die Begründung gelten, wie bei den in <ref-law> genannten Rügen, strenge Anforderungen (<ref-ruling> E. 9.2.3.6; Urteil 2C_325/2018 vom 18. Februar 2019 E. 2).
4.3. Das rechtliche Gehör (<ref-law>) verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt (<ref-ruling> E. 5.2). Ferner gewährt es den Parteien das Recht, mit rechtzeitig und formrichtig angebotenen erheblichen Beweismitteln gehört zu werden (<ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 2.2). Keine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt vor, wenn ein Gericht darauf verzichtet, beantragte Beweise abzunehmen, weil es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 5.3; Urteil 2C_272/2016 vom 28. April 2016 E. 2.2).
Aus <ref-law> (Recht auf Beweis), der kraft Verweises (vgl. § 63 des Gesetzes des Kantons Aargau vom 4. Dezember 2017 über die Verwaltungsrechtspflege [Verwaltungsrechtspflegegesetz, VRPG/AG; SAR 271.200]) als ergänzendes kantonales Recht sinngemäss zur Anwendung gelangt (vgl. <ref-ruling> E. 2), können vorliegend keine über <ref-law> hinausgehenden Ansprüche abgeleitet werden.
4.4. Soweit der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe den Sachverhalt willkürlich festgestellt, weil sie primär auf den Bericht des Schulpsychologischen Dienstes vom 21. März 2018 abgestellt habe, ist Folgendes festzuhalten:
4.4.1. Zutreffend ist, dass das Verwaltungsgericht seinen Entscheid hauptsächlich auf den besagten schulpsychologischen Fachbericht stützte. Dieser enthält ausführliche Angaben zu den Entwicklungen und Veränderungen des Beschwerdeführers, eine aktuelle Beurteilung seines Bedarfs nach verstärkten Massnahmen, eine Einschätzung hinsichtlich Bildungs- und Entwicklungsziele sowie verschiedene Empfehlungen. Hinsichtlich des Hauptförderungsortes hält der Bericht fest, dass keine kantonale Institution ein geeignetes Angebot für das Leistungsniveau des Beschwerdeführers anbieten könne, weshalb auf eine ausserkantonale Institution auszuweichen sei. Die Institution E._ könne im Rahmen eines Wocheninternats dessen Bedürfnisse abdecken, auch im Hinblick auf seinen hohen Bedarf nach Individualisierung im Leistungsbereich. Dem Bericht lässt sich entnehmen, dass er sich auch auf Telefonate mit der Mutter und der Psychotherapeutin des Beschwerdeführers, einer Logopädin und der Schulleitung Bözberg sowie auf Überprüfungsgespräche mit den Eltern, der Psychotherapeutin und einer Klassenlehrperson des Beschwerdeführers stützt.
Das Verwaltungsgericht führte namentlich unter Hinweis auf § 17 Abs. 1 V Schulung und Förderung bei Behinderungen/AG aus, der Schulpsychologische Dienst habe von Gesetzes wegen die Aufgabe, den Bildungs- und Förderbedarf bei bestimmten Laufbahnentscheiden zu beurteilen und zu ermitteln. Im Bereich der Sonderschulung führe er die notwendigen Abklärungen durch, ermittle den Bildungs- und Förderbedarf des Kindes oder Jugendlichen mittels standardisiertem Abklärungsverfahren, erstelle einen Fachbericht und gebe eine Empfehlung zur künftigen Schulung ab. Bei der Schulung und Förderung von Personen mit Behinderung könne er auch Stellungnahmen anderer Fachstellen und Fachpersonen miteinbeziehen, was er vorliegend getan habe, indem er die Psychotherapeutin des Beschwerdeführers vor der Abfassung des Fachberichts kontaktiert habe.
4.4.2. Sodann würdigte die Vorinstanz zwei aktenkundige Berichte der Psychotherapeutin des Beschwerdeführers, die vom 2. Mai 2018 und 6. November 2018 datiert sind. Darin führt die Psychotherapeutin namentlich aus, bei der Institution E._ handle es sich um eine Einrichtung für Kinder mit Verhaltensauffälligkeiten, weshalb sie für den Beschwerdeführer ungeeignet sei. Daher sei in seinem Fall vom Besuch einer solchen Einrichtung dringend abzuraten. Demgegenüber verfüge die D._ über sehr individualisierte Beschulungsmöglichkeiten auf dem Niveau Bezirks-/Kantonsschule, wie es der Beschwerdeführer brauche, um seinen individuellen Fähigkeiten und Bedürfnissen gerecht zu werden.
Die Vorinstanz erwog, die Behauptung, wonach sich E._ auf verhaltensauffällige Jugendliche fokussiere, sei durch nichts belegt und lasse sich namentlich auch dem Internetauftritt der Schule nicht entnehmen. Sodann ergebe sich weder aus den Berichten der Psychotherapeutin noch aus den übrigen Akten, dass der Beschwerdeführer auf ein Leistungsniveau angewiesen sei, das nur in der D._ gewährt werden könne. Zudem habe der Beschwerdeführer anhand der Berichte seiner Psychotherapeutin nicht konkret darlegen können, dass eine adäquate, seinen Bedürfnissen angepasste Förderung in der Institution E._ nicht gewährleistet werden könne. Dies gelte umso mehr, als der schulpsychologische Fachbericht den hohen Individualisierungsgrad dieser Institution hervorhebe.
Im Ergebnis erachtete die Vorinstanz die Stellungnahmen der Psychotherapeutin als zu wenig schlüssig bzw. fragwürdig; demgegenüber sei der schulpsychologische Bericht, insbesondere die darin enthaltene Einschätzung der Bildungs- und Entwicklungsziele sowie die Empfehlungen bezüglich der persönlichen und sozialen Entwicklung, deutlich konkreter und damit überzeugender (vgl. E. II/6.3 des angefochtenen Urteils).
4.4.3. Der Beschwerdeführer setzt sich mit den vorinstanzlichen Erwägungen kaum auseinander und zeigt nicht konkret auf, inwiefern die Sachverhaltsfeststellungen und die Beweiswürdigung des Verwaltungsgerichts willkürlich sein soll. Wie die Vorinstanz zu Recht ausführt, lässt sich den Berichten der Psychotherapeutin des Beschwerdeführers weder konkret entnehmen, dass die Institution E._ für den Beschwerdeführer ungeeignet sei, noch dass die D._ die einzige Einrichtung sei, die seinen Bedürfnissen entspreche.
Zudem vermag der Beschwerdeführer keine Zweifel an der Sachlichkeit und Glaubhaftigkeit des schulpsychologischen Fachberichts vom 21. März 2018 zu begründen. Es besteht somit kein Grund zur Annahme, dass diese Beurteilung der notwendigen Sorgfalt und Objektivität entbehrt. Daran ändern auch der Umstand nichts, dass der Kanton für die Erteilung der Bewilligung für die Zuweisung in eine ausserkantonale Privatschule zuständig ist, zumal der Schulpsychologische Dienst nach dem Gesagten von Gesetzes wegen die Aufgabe hat, die entsprechenden Abklärungen zu treffen (vgl. E. 4.4.1 hiervor).
Im Übrigen entspricht es der Rechtsprechung, dass (ärztlichen) Stellungnahmen, die von einer Partei eingeholt und in das Verfahren eingebracht werden, nicht die Qualität von Beweismitteln, sondern von Parteibehauptungen beizumessen ist (<ref-ruling> E. 2.3, mit Hinweisen), sodass nicht zu beanstanden ist, wenn die Vorinstanz die Auffassung der Psychotherapeutin des Beschwerdeführers weniger stark gewichtete als den Bericht des Schulpsychologischen Dienstes.
4.5. Sodann ist weder ersichtlich noch dargetan, welchen wesentlichen Beitrag an der Entscheidfindung eine Befragung der vom Beschwerdeführer angerufenen Zeugen geleistet hätte.
4.5.1. Wie die Vorinstanz zu Recht ausführt, kommen die Standpunkte der Mutter und der Psychotherapeutin des Beschwerdeführers in den Rechtsschriften und Unterlagen klar zum Ausdruck (vgl. E. II/8 des angefochtenen Urteils). Zudem geht aus dem Bericht des Schulpsychologischen Dienstes hervor, dass die Verfasserin verschiedene Telefonate, namentlich mit der Mutter und der Psychotherapeutin geführt hatte, sodass davon auszugehen ist, dass deren Standpunkte in den Bericht Eingang fanden.
Bei der ebenfalls als Zeugin angerufenen Schulpsychologin F._ handelt es sich um die Verfasserin des schulpsychologischen Berichts vom 21. März 2018. Auch in diesem Fall ist nicht ersichtlich und wird nicht konkret dargetan, welche zusätzlichen entscheidrelevanten Erkenntnisse durch eine Befragung derselben gewonnen werden könnten.
4.5.2. Die ehemaligen Lehrer des Beschwerdeführers, die ebenfalls als Zeugen angerufen werden, konnten sich im Rahmen des vorinstanzlichen schriftlich Verfahrens äussern. So ist namentlich ein Bericht vom 20. Dezember 2018 aktenkundig, in welchem diese ausführen, dass die D._ als beste Lösung für den Beschwerdeführer erscheine und ein Sonderschulheim für seine Bedürfnisse mit Sicherheit ungeeignet sei. Dabei äussern sie sich weder konkret zu der vom Kanton vorgeschlagenen Institution noch legen sie dar, dass nur die D._ eine geeignete Institution für den Beschwerdeführer darstelle. Im Übrigen ist mit der Vorinstanz davon auszugehen, dass sich die beiden Lehrpersonen zwar zum bekannten und letztlich unbestrittenen schulischen Bedarf des Beschwerdeführers äussern könnten, jedoch höchstens nur sehr eingeschränkt zur Eignung der Institution E._ (vgl. E. II/8 des angefochtenen Urteils). Der Beschwerdeführer zeigt jedenfalls nicht konkret auf, dass es sich anders verhalten würde.
4.5.3. Nicht näher begründet bzw. rein spekulativ sind ferner die Behauptungen des Beschwerdeführers, wonach der stellvertretende Internatsleiter und der Fachstellenverantwortliche der Institution E._ hätten aussagen können, dass diese Einrichtung seine Bedürfnisse nicht abdecken könne. Konkrete Hinweise, dass es sich so verhalte, finden sich in den Akten nicht. Insbesondere wurde bereits ausgeführt, dass die Behauptungen des Beschwerdeführers bzw. seiner Psychotherapeutin im vorinstanzlichen Verfahren, wonach sich die Institution E._ auf verhaltensauffällige Jugendliche fokussiere, durch nichts belegt sind (vgl. E. II/6.3 des angefochtenen Urteils und E. 4.4.2 hiervor). Demgegenüber hält der schulpsychologische Fachbericht, dessen Sachlichkeit der Beschwerdeführer nach dem Gesagten nicht in Zweifel zu ziehen vermag, ausdrücklich fest, dass E._ einen hohen Individualisierungsgrad biete.
4.5.4. Vor diesem Hintergrund durfte die Vorinstanz willkürfrei zum Schluss gelangen, dass der massgebende Sachverhalt in Bezug auf die Eignung der Institution E._ gestützt auf die Akten genügend erstellt sei und auf die Befragung der vom Beschwerdeführer angerufenen Zeugen in antizipierter Beweiswürdigung verzichten.
4.6. Schliesslich ist unbestritten, dass die Mutter des Beschwerdeführers bereits am 26. April 2018 einen Mietvertrag für eine Wohnung in V._ unterzeichnet und sich somit auf die D._ festgelegt hatte (vgl. E. II/7.3 des angefochtenen Urteils). Daraus kann mit der Vorinstanz geschlossen werden, dass sie spätestens ab jenem Zeitpunkt kein Interesse mehr hatte, mit den Schulbehörden im Hinblick auf einen Besuch der Institution E._ durch den Beschwerdeführer zu kooperieren. Daher ist nicht mehr entscheidrelevant, ob auf Beginn des Schuljahrs 2018/19 ein freier Platz an der Institution E._ verfügbar gewesen wäre. Im Übrigen liegt den Akten eine E-Mail des Schulpsychologischen Dienstes vom 22. August 2018 bei, in welcher bestätigt wird, dass dies der Fall gewesen wäre (vgl. auch E. II/8 des angefochtenen Urteils). Indem die Vorinstanz auf weitere Abklärungen bzw. Beweisabnahmen in Bezug auf diese Frage verzichtet hat, hat sie weder den Sachverhalt willkürlich erstellt noch das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers (<ref-law>) verletzt.
4.7. Im Ergebnis verletzt das angefochtene Urteil das rechtliche Gehör (<ref-law>) des Beschwerdeführers nicht. Zudem vermag der Beschwerdeführer nicht konkret darzutun, dass die kantonal anerkannte vom Schulpsychologischen Dienst empfohlene Institution E._ seine Bedürfnisse nicht abdeckt oder dass die D._ die einzige geeignete Institution für ihn darstellt. Der Umstand, dass die D._ ihm eine bessere Betreuung als das Institut E._ bieten könnte, lässt die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung - auch mit Blick darauf, dass der verfassungsmässige Anspruch auf ausreichenden Grundschulunterricht den Kanton nicht zur optimalen und am besten geeigneten Schulung von behinderten Kindern verpflichtet (vgl. E. 3.1.2 hiervor) - noch nicht als willkürlich erscheinen.
Folglich ist auf seine Rügen, wonach das Verwaltungsgericht aufgrund einer willkürlichen Beweiswürdigung und in Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehörs seinen Anspruch auf ausreichenden und unentgeltlichen Grundschulunterricht (<ref-law>; § 28 KV/AG) sowie den Anspruch auf Beseitigung von Benachteiligungen von Menschen mit Behinderungen (<ref-law> § 34 Abs. 3 KV/AG) vereitelt habe, nicht weiter einzugehen.
5.
Der Beschwerdeführer rügt weiter eine Verletzung der Rechtsgleichheit (<ref-law>; § 10 Abs. 1 KV/AG). Er bringt vor, der Kanton Aargau habe in den Jahren 2013/14 und 2016/17 seine Zustimmung für die Zuweisung von Sonderschülern in die D._ erteilt und den Unterricht an dieser Schule finanziert. Auch diesbezüglich wirft er der Vorinstanz vor, den Sachverhalt willkürlich erstellt und seinen Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt zu haben.
5.1. Die Vorinstanz führt aus, die Rechtsgleichheit beziehe sich grundsätzlich nur auf den Zuständigkeitsbereich ein und derselben Gebietskörperschaft. Da vorliegend die Gemeinde Bözberg Beklagte und der Kanton nicht beteiligt sei, sei nicht relevant, ob der Kanton in den Schuljahren 2013/2014 und seit 2017/18 das Schulgeld für Schüler an der D._ bezahlt habe und einen dieser Schüler nach wie vor mitfinanziere. Ferner weist die Vorinstanz auf ein Schreiben des Departements BKS vom 17. Februar 2020 hin, in welchem dieses bestätigt habe, dass es seit dem 1. Januar 2012 keine Zustimmung mehr für ausserkantonale Platzierungen in der D._ erteile. Unabhängig davon stehe es der jeweiligen Gemeinde zu, im Rahmen einer einvernehmlichen Lösung für die Kosten des Besuchs einer Privatschule ganz oder teilweise aufzukommen. Vor diesem Hintergrund verzichtete die Vorinstanz auf weitere Beweisabnahmen (vgl. E. II/11 des angefochtenen Urteils).
5.2. Nach ständiger Rechtsprechung ist der Grundsatz der rechtsgleichen Behandlung verletzt (<ref-law>), wenn rechtliche Unterscheidungen getroffen werden, für die ein vernünftiger Grund in den zu regelnden Verhältnissen nicht ersichtlich ist, oder wenn Unterscheidungen unterlassen werden, welche sich aufgrund der Verhältnisse aufdrängen. Die Rechtsgleichheit wird insbesondere dann verletzt, wenn Gleiches nicht nach Massgabe seiner Gleichheit gleich oder Ungleiches nicht nach Massgabe seiner Ungleichheit ungleich behandelt wird. Vorausgesetzt ist, dass sich die ungerechtfertigte Gleich- bzw. Ungleichbehandlung auf eine wesentliche Tatsache bezieht (<ref-ruling> E. 3.4.2).
5.3. Wie bereits erwogen (vgl. E. 3.2.3 hiervor), setzt die Zuweisung in eine ausserkantonale Sonderschule unter anderem die Bewilligung des Departements BKS voraus (vgl. § 15 Abs. 1 lit. e und § 16 Abs. 3 V Schulung und Förderung bei Behinderungen/AG). Leistungen ausserkantonaler Sonderschulen werden unter anderem bewilligt, wenn im Kanton Aargau kein geeigneter Platz in einer anerkannten Einrichtung zur Verfügung steht und die ausserkantonale Einrichtung der IVSE unterstellt worden ist (§ 49 Abs. 1 lit. b und c Betreuungsverordnung/AG).
5.3.1. Vorliegend ist unbestritten, dass im Kanton Aargau keine gesetzliche Grundlage dafür besteht, dass der Kanton das Schulgeld für die D._ bezahlt, zumal diese Institution nicht der IVSE unterstellt ist.
5.3.2. Sodann trifft es einerseits zu, wie der Beschwerdeführer vorbringt, dass das Departement BKS gemäss einer aktenkundigen E-Mail der D._ vom 17. Juli 2020 als Rechnungsempfänger für eine Schülerin gedient habe, die vom Schuljahr 2013/14 bis Schuljahr 2016/17 dort gewesen sei und nach wie vor einen Schüler mitfinanziere, der seit dem Schuljahr 2017/18 die Institution besuche. Andererseits liegt den Akten ein Schreiben des Departements BKS, Abteilung Sonderschulung, Heime und Werkstätten, bei, in welchem festgehalten wird, dass diese Abteilung seit dem 1. Januar 2012 keine Zustimmungen mehr für die Platzierung bzw. Finanzierungen für die D._ erteile.
5.3.3. Es bestehen somit gewisse Indizien, dass das Departement BKS bzw. der Kanton Aargau in Einzelfällen seine Zustimmung für die Zuweisung in die D._ erteilt bzw. die Finanzierung übernommen hat, wobei die genauen Umstände nicht bekannt sind.
Wie es sich genau damit verhält, braucht indessen nicht abschliessend geklärt zu werden: Selbst wenn es zutreffen sollte, dass das Departement BKS in zwei Einzelfällen eine Sonderschulung in der D._ bewilligt und finanziert hat, würde dies nicht ausreichen, um eine langjährige Praxis (vgl. z.B. <ref-ruling> E. 2.5) zu begründen, was der Beschwerdeführer im Übrigen auch nicht behauptet. Zudem vermag er nicht substanziiert darzutun, dass seine Situation mit jener der in der besagten E-Mail der D._ erwähnten Schüler vergleichbar sei. So sind namentlich weder die Ursachen der Sonderschulbedürftigkeit jener Schüler ersichtlich noch ist klar, ob für sie ein geeigneter Platz in einer kantonal anerkannten Einrichtung verfügbar gewesen wäre.
Inwiefern die Befragung einer Mitarbeiterin der Buchhaltungsabteilung der D._, wie vom Beschwerdeführer beantragt, zur Klärung dieser Frage beigetragen hätte, ist vorliegend nicht ersichtlich, sodass die Vorinstanz - ohne in Willkür zu verfallen - darauf verzichten durfte (vgl. E. 4.2 hiervor).
Auf die Rüge der Verletzung der Rechtsgleichheit (<ref-law>) ist demnach nicht weiter einzugehen.
6.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen.
Die Verfahren betreffend Streitigkeiten im Sinne von <ref-law> und <ref-law> sind grundsätzlich unentgeltlich (vgl. <ref-law>). Davon erfasst sind unter anderem Streitigkeiten über den benachteiligungsfreien Zugang zu Aus- und Weiterbildung (vgl. <ref-law> i.V.m. <ref-law>; Urteile 2C_154/2017 vom 23. Mai 2017 E. 8.2.1; 2C_686/2012 vom 13. Juni 2013 E. 6.1). Mit der sachverhaltlich erstellten Sonderschulungsbedürftigkeit liegt ein genügend enger Zusammenhang mit einer Behinderung vor. Für das Verfahren vor Bundesgericht gilt gemäss <ref-law> jedoch die Regelung des Bundesgerichtsgesetzes, welche für die Ansprüche nach <ref-law> und <ref-law> reduzierte Gerichtskosten vorsieht (vgl. <ref-law>). Demgemäss sind dem Beschwerdeführer reduzierte Gerichtskosten aufzuerlegen. Parteientschädigungen sind nicht zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Die reduzierten Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. September 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Ivanov