Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 15. Januar 2016 verneinte die IV-Stelle des Kantons Zürich im Wesentlichen gestützt auf ein Gutachten des Swiss Medical Assessement- and Business-Centers (SMAB) vom 21. September 2015 einen Rentenanspruch des 1970 geborenen A._, was das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 4. Mai 2017 bestätigte. Am 18. Juli 2019 meldete sich A._ erneut bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an, wobei er insbesondere gestützt auf ein im Rahmen eines Unterhaltsstreits zu Handen des Bezirksgerichts U._ erstattetes psychiatrisches Gutachten des Dr. med. B._ vom 6. Juni 2018 eine gesundheitliche Verschlechterung geltend machte. Mit Verfügung vom 22. November 2019 verneinte die IV-Stelle wiederum einen Leistungsanspruch.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 31. August 2020 ab. Dabei beschied es auch das Gesuch des A._ um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung abschlägig und auferlegte ihm die Gerichtskosten von Fr. 700.-.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen A._ und - in eigenem Namen - seine Rechtsvertreterin, Rechtsanwältin Susanne Friedauer, unter Aufhebung des Beschlusses im Dispositiv des angefochtenen Entscheids sei die unentgeltliche Rechtspflege für das vorinstanzliche Verfahren zu gewähren und die Sache zur Festsetzung der Prozessentschädigung an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Die auferlegten Prozesskosten seien zurückzuerstatten. Zudem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege auch für das bundesgerichtliche Verfahren.
Die Vorinstanz verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob die Eintretensvoraussetzungen gegeben sind (<ref-ruling> E. 1 S. 143). Vorliegend stellt sich insbesondere die Frage der Beschwerdelegitimation der Anwältin des Versicherten (Beschwerdeführerin 2).
1.1. Beschwerdelegitimiert ist nach Art. 81 Abs. 1 BGG, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b).
1.2. Anders, als wenn die Höhe der im Rahmen der unentgeltlichen Rechtspflege zugesprochenen Entschädigung angefochten wird (<ref-ruling> E. 1 S. 155, Urteil 8C_365/2015 vom 17. Juli 2015 E. 2.1), ist nur diejenige Person, deren Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen worden ist, berechtigt, den abweisenden Entscheid anzufechten. Da der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege ausschliesslich dem Gesuchsteller zusteht, kann die Anwältin, die im Namen der von ihr vertretenen Person erfolglos ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt hat, dagegen nicht in eigenem Namen vorgehen (Urteile 8C_470/2016 vom 16. Dezember 2016 E. 1.2; 8C_613/2015 vom 9. Dezember 2016 E. 2.2). Zwar hat sie unter Umständen ein faktisches Interesse an der Abänderung des ablehnenden Entscheids, nämlich wenn sich die Forderung gegenüber der von ihr vertretenen Person für bereits erbrachte Leistungen als nicht einbringlich erweist. Es fehlt ihr diesbezüglich indessen ein rechtlich geschütztes Interesse im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b BGG (<ref-ruling> E. 2a S. 162; Urteile 8C_470/2016 vom 16. Dezember 2016 E. 1.2; 8C_613/2015 vom 9. Dezember 2016 E. 2.2; 8C_365/2015 vom 17. Juli 2015 E. 2.1 mit Hinweisen; 1B_705/2011 vom 9. Mai 2012 E. 2.2). Auf die Beschwerde der Rechtsvertreterin des Versicherten (Beschwerdeführerin 2) ist somit nicht einzutreten.
1.3. Demgegenüber erfüllt die Beschwerde des Versicherten (Beschwerdeführer 1) sämtliche Sachurteilsvoraussetzungen, so dass auf diese einzutreten ist.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
3.
3.1. Strittig und zu prüfen ist einzig, ob die Vorinstanz den Anspruch des Beschwerdeführers 1 auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu Recht wegen Aussichtslosigkeit des erhobenen Rechtsmittels verneint hat und diesem deshalb als unterliegende Partei Verfahrenskosten auferlegen durfte. Nicht zu prüfen ist die vom kantonalen Gericht bestätigte Rentenablehnung.
3.2. Die Vorinstanz hat die Bestimmungen von Art. 29 Abs. 3 BV sowie Art. 61 lit. f ATSG über den Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege resp. Verbeiständung und die Rechtsprechung zu der dafür vorausgesetzten Nichtaussichtslosigkeit (<ref-ruling> E. 9.1 S. 537) zutreffend dargelegt. Es wird darauf verwiesen.
4.
4.1. Die normative Frage, ob ein Rechtsmittel aussichtslos ist, prüft das Bundesgericht grundsätzlich frei (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 136; Urteile 8C_283/2012 vom 3. Juli 2012 E. 1.3; 9C_286/2009 vom 28. Mai 2009 E. 2.3 und 3.2.1-3.2.3 [Zusammenfassung publiziert in: SZS 2009 S. 397]). Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde; eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Wie es sich damit verhält, prüft das Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht mit freier Kognition. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich nach den Verhältnissen zur Zeit, in der das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt wird (<ref-ruling> E. 9.1 S. 537 mit Hinweisen).
4.2. In materieller Hinsicht war im kantonalen Verfahren im Wesentlichen zu klären, ob sich der Gesundheitszustand des Beschwerdeführers 1 im Zeitraum zwischen der anspruchsverneinenden Verfügung vom 15. Januar 2016 resp. dem Entscheid der Vorinstanz vom 4. Mai 2017 und der Verfügung vom 22. November 2019 im revisionsrechtlichen Sinne erheblich verändert hat. Nach ausführlicher Darstellung der relevanten medizinischen Akten in den beiden Vergleichszeitpunkten kam die Vorinstanz zum Schluss, dass aus dem psychiatrischen Gutachten des Dr. med. B._ vom 6. Juni 2018 keine neuen Beschwerden hervorgehen und auch keine psychopathologischen Befunde beschrieben würden, welche zu wesentlichen (neuen) funktionellen Einschränkungen führen würden. Die gesundheitlichen Beeinträchtigungen seien ausdrücklich als seit 2012 resp. 2015 bestehend beschrieben worden. Damit liege eine im Vergleich zu den früheren Berichten andere Beurteilung des im Wesentlichen unverändert gebliebenen Sachverhalts vor, was keinen Revisionsgrund darstelle.
4.3. Die Vorinstanz begründete die Aussichtslosigkeit des erhobenen Rechtsmittels damit, dass die vom Beschwerdeführer 1 gegen die von der IV-Stelle vorgenommene Würdigung des Gutachtens des Dr. med. B._ vorgebrachten Einwände nicht stichhaltig und der konstanten bundesgerichtlichen Rechtsprechung widersprechend seien, so dass von einer erfolgsversprechenden Anfechtung der Verfügung nicht die Rede sein könne. Der Beschwerdeführer 1 habe weder dargetan, dass bei ihm eine durch einen nachweisbaren Gesundheitsschaden verursachte wesentliche Veränderung der Arbeitsfähigkeit bestehe noch habe er weitere relevante Rügen vorgebracht. Angesichts der klaren Sach- und Rechtslage sowie der entsprechenden konstanten bundesgerichtlichen Rechtsprechung habe er daher nicht ernsthaft damit rechnen können, dass seine Beschwerde gutgeheissen würde.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer 1 rügt eine Verletzung von Art. 29 Abs. 3 BV und Art. 61 lit. f ATSG. Er bringt vor, der angefochtene Entscheid umfasse 23 Seiten und setze sich eingehend mit dem SMAB-Gutachten vom 21. September 2015 und dem Gutachten des Dr. med. B._ vom 6. Juni 2018 auseinander. Bereits aus diesem Grund sei nicht nachvollziehbar, weshalb die Vorinstanz die Beschwerde als aussichtslos erklärt habe. Eine klare Sach- und Rechtslage liege damit jedenfalls nicht vor. Während die SMAB-Gutachter von einer 100%igen Arbeitsfähigkeit ausgegangen seien, habe ihn der Gerichtsgutachter Dr. med. B._ als 100 % arbeitsunfähig erachtet. Folglich habe er - der Beschwerdeführer 1 - von einer Verschlechterung des Gesundheitszustands ausgehen dürfen, zumal Dr. med. B._ neu auch eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung (ICD-10 F45.4) diagnostiziert habe. Die von der IV-Stelle eingeholte Beurteilung des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) stehe in einem diametralen Widerspruch zum Gutachten des Dr. med. B._. Es verletze den Anspruch auf ein faires Verfahren, wenn die versicherungsinterne Stellungnahme genüge, um ein umfangreiches Gerichtsgutachten auszuhebeln. Insofern hätte sich auch eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfüge, bei vernünftiger Überlegung zu einer Beschwerde entschlossen (vgl. E. 4.1 hiervor).
5.2. Dem Beschwerdeführer 1 ist darin beizupflichten, dass mit Blick auf das zu Handen des Bezirksgerichts U._ erstattete 118-seitige psychiatrische Gutachten des Dr. med. B._ vom 6. Juni 2018 und die darin attestierte 100%ige Arbeitsunfähigkeit die anhängig gemachte Beschwerde zumindest nicht als von vornherein aussichtslos bezeichnet werden kann, zumal die Frage nach einer gesundheitlichen Veränderung im massgeblichen Vergleichszeitraum nicht Gegenstand des Gutachtens war. Ausserdem setzte sich das kantonale Gericht ausführlich mit dem SMAB-Gutachten und der Expertise des Dr. med. B._ auseinander, was ebenfalls gegen die Aussichtslosigkeit des erhobenen Rechtsmittels spricht. Hinzu kommt, dass der RAD das Gutachten des Dr. med. B._ als überzeugend erachtete und Letzterer immerhin neu die Diagnose einer somatoformen Schmerzstörung stellte, so dass sich für die Vorinstanz offenbar eine eingehende Befassung mit der entscheidwesentlichen Frage nach einer gesundheitlichen Veränderung im Vergleichszeitraum aufdrängte. Zwar hielt der RAD in seiner Stellungnahme vom 16. August 2019 auch fest, aus seiner Sicht ergebe sich aus dem Gutachten des Dr. med. B._ nichts, was nicht auch schon durch die SMAB-Experten gewürdigt worden wäre. Ein sorgfältiger Vergleich der Befunde, wie ihn etwa die Vorinstanz vornahm, ist der RAD-Beurteilung aber nicht zu entnehmen. Mit dem Beschwerdeführer 1 ist somit davon auszugehen, dass bei den gegebenen Umständen auch eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einer Beschwerde entschlossen hätte.
6.
Nach dem Gesagten verletzt die vorinstanzliche Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Rechtsverbeiständung wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde Bundesrecht. Die Sache ist an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie die übrigen Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung prüfe (vgl. Art. 107 Abs. 2 BGG) und hernach erneut über die Gewährung oder Verweigerung sowie - damit einhergehend - die Kosten- und Entschädigungsfolgen befinde.
7.
Praxisgemäss entspricht die Rückweisung einem vollen Obsiegen (<ref-ruling> E. 7.1 S. 271 mit Hinweisen). Die unterliegende Vorinstanz resp. der Kanton Zürich hat keine Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 4 BGG), jedoch dem Beschwerdeführer 1 eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 BGG). Da auf die Beschwerde der Beschwerdeführerin 2 nicht eingetreten wird, rechtfertigt es sich, ihr einen Teil der Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde der Beschwerdeführerin 2 wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde des Beschwerdeführers 1 wird teilweise gutgeheissen. Der Beschluss des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich betreffend unentgeltliche Prozessführung und unentgeltliche Rechtsvertretung sowie Ziffer 2 des Dispositivs des Entscheids vom 31. August 2020 werden aufgehoben. Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie über den Anspruch des Beschwerdeführers 1 auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das kantonale Verfahren neu entscheide. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
3.
Der Beschwerdeführerin 2 werden Gerichtskosten von Fr. 500.- auferlegt.
4.
Der Kanton Zürich hat den Beschwerdeführer 1 für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, der IV-Stelle des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. Januar 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Wüest