Sachverhalt:
A.
Am 2. März 2021 verlor A._ in Buttwil/AG als Lenker die Kontrolle über sein Motorfahrzeug wegen überhöhter Geschwindigkeit von rund 200 km/h bei einer zulässigen Höchstgeschwindigkeit von 80 km/h. Dabei verursachte er einen Verkehrsunfall, bei dem er und seine beiden Mitfahrerinnen verletzt wurden. Vorher hatte er sich mit zwei weiteren Fahrzeuglenkern in Seengen getroffen und mit diesen vereinbart, mit ihren drei Fahrzeugen gemeinsam zum Horben (Anhöhe bei Beinwil mit Schloss und Restaurant) zu fahren. Gemäss Aussage eines Anwohners fuhren sie um ungefähr 21.00 Uhr gleichzeitig in rasanter Weise ab. In der Folge eröffnete die Staatsanwaltschaft Muri-Bremgarten gegen A._ ein Strafverfahren wegen qualifizierter grober Verletzung der Verkehrsregeln. Konkret wirft sie A._ im Wesentlichen vor, massiv zu schnell mit dem Auto gefahren zu sein sowie dadurch einen Verkehrsunfall mit Verletzungsfolge verschuldet und sich zu früh vom Unfallort entfernt zu haben. Am 4. März 2021 liess die Staatsanwaltschaft das Mobiltelefon von A._ sicherstellen. Dieser verlangte gleichentags dessen Siegelung. Am 17. März 2021 beantragte die Staatsanwaltschaft beim Zwangsmassnahmengericht des Kantons Aargau die Entsiegelung. Sie begründete dies im Wesentlichen damit, auf dem Mobiltelefon könnten sich für das Strafverfahren einschlägige Beweise wie telefonische Absprachen oder Filmaufnahmen befinden. Insbesondere gebe es Hinweise darauf, dass zwischen zwei oder allen drei Fahrzeuglenkern vor der Abfahrt aus Seengen ein Rennen vereinbart worden sei, was strafrechtlich von Belang wäre. Dagegen wehrte sich A._. Mit Verfügung vom 9. Juni 2021 ermächtigte das Zwangsmassnahmengericht die Staatsanwaltschaft, das fragliche Mobiltelefon zu entsiegeln und alle Audionachrichten, Voicemail, Anrufprotokolle, Nachrichten, Fotos und Videos (ausser Spielfilme und Musik) zu durchsuchen und auszuwerten, wobei die Erkenntnisse als Beweismittel verwendet werden dürften.
B.
A._ führt Beschwerde beim Bundesgericht mit dem Antrag, den Entscheid des Zwangsmassnahmengerichts aufzuheben und sein Mobiltelefon nicht zu entsiegeln bzw. dieses herauszugeben; eventuell sei das Untersuchungsverfahren abzuschliessen und das Mobiltelefon je nach Ergebnis unentsiegelt herauszugeben. In prozessualer Hinsicht ersuchte er um Erteilung der aufschiebenden Wirkung.
Die Staatsanwaltschaft beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten, eventuell sie abzuweisen. Das Zwangsmassnahmengericht verzichtete auf eine Stellungnahme. A._ äusserte sich in der Folge nochmals zur Sache.
C.
Mit prozessleitender Verfügung vom 3. August 2021 erteilte das präsidierende Mitglied der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist eine kantonal letztinstanzliche Verfügung über die Entsiegelung von Daten, die in Anwendung von <ref-law> in einem Strafverfahren sichergestellt wurden. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht nach <ref-law> offen. Es handelt sich um einen Zwischenentscheid, der einen auch durch einen Endentscheid in Strafsachen nicht mehr korrigierbaren möglichen Eingriff in die Geheimsphäre des Beschwerdeführers mit sich bringt. Entgegen der Auffassung der Staatsanwaltschaft genügt dies, um von einem möglichen nicht wieder gutzumachenden Nachteil für den Beschwerdeführer auszugehen, denn insoweit muss er seine Geheimhaltungsinteressen nicht konkretisieren. Die Beschwerde erweist sich daher als grundsätzlich zulässig (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.2 mit Hinweisen; nicht amtl. publ. E. 1 von <ref-ruling> und E. 1.2 von <ref-ruling>).
1.2. Der Beschwerdeführer ist Inhaber des sichergestellten Mobiltelefons sowie der vom angefochtenen Entsiegelungsentscheid betroffenen Daten. Er ist daher zur Beschwerde berechtigt (vgl. <ref-law>).
1.3. Mit der Beschwerde an das Bundesgericht kann, von hier nicht interessierenden weiteren Möglichkeiten abgesehen, insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Zwangsmassnahmen können nur ergriffen werden, wenn ein hinreichender Tatverdacht vorliegt (<ref-law>). Der Beschwerdeführer bestreitet einen solchen mit der Begründung, es gebe keine genügenden Hinweise auf Filmaufnahmen auf seinem Mobiltelefon sowie auf eine mögliche Absprache, ein Rennen durchzuführen. Im Gegensatz zum erkennenden Sachrichter hat das für die Beurteilung von Zwangsmassnahmen im Vorverfahren zuständige Gericht bei der Überprüfung des hinreichenden Tatverdachtes jedoch keine erschöpfende Abwägung sämtlicher belastender und entlastender Beweisergebnisse vorzunehmen. Bestreitet die beschuldigte oder eine von Zwangsmassnahmen betroffene andere Person den Tatverdacht, ist vielmehr zu prüfen, ob aufgrund der bisherigen Untersuchungsergebnisse genügend konkrete Anhaltspunkte für eine Straftat und eine Beteiligung der beschuldigten Person an dieser Tat vorliegen, die Strafbehörden somit das Bestehen eines hinreichenden Tatverdachts mit vertretbaren Gründen bejahen durften. Hinweise auf eine strafbare Handlung müssen erheblich und konkreter Natur sein, um einen hinreichenden Tatverdacht begründen zu können, und in einem ausreichenden minimalen Konnex zur vorgeworfenen Tat stehen (<ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 3.2 und 189 E. 5.1.1; vgl. auch das Urteil des Bundesgerichts 1B_355/2021 vom 26. August 2021 E. 2.4; je mit Hinweisen).
2.2. Der Sachverhalt des Fahrens mit überhöhter Geschwindigkeit von rund 200 km/h ist durch die Aussagen verschiedener Personen sowie das entsprechende Geständnis des Beschwerdeführers weitgehend erhärtet und im Wesentlichen nicht strittig. Damit liegt ein hinreichender Tatverdacht für ein Verkehrsdelikt vor. Da sich die drei Fahrzeuglenker vorher getroffen hatten und praktisch gleichzeitig weggefahren sind, ist es sodann nicht von vornherein unwahrscheinlich, dass sie ein Rennen vereinbart hatten. Überdies hatte eine Beifahrerin des Beschwerdeführers die Raserfahrt mit ihrem eigenen Mobiltelefon gefilmt, was als Anzeichen für eine vorherige Absprache gelten kann. Damit gibt es auch ausreichende Anhaltspunkte für die mögliche Absprache eines Rennens, was strafrechtlich von Bedeutung sein kann. Die Staatsanwaltschaft führte diese Zusammenhänge in ihrem Entsiegelungsgesuch vom 17. März 2021 eingehend und nachvollziehbar aus. Unter diesen Umständen sind das Vorliegen eines hinreichenden Tatverdachts sowie ein ausreichender Deliktskonnex zu bejahen.
3.
3.1. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung trifft den Inhaber von zu Durchsuchungszwecken sichergestellten Aufzeichnungen und Gegenständen, der ein Siegelungsbegehren gestellt hat, die prozessuale Obliegenheit, die von ihm angerufenen Geheimhaltungsinteressen (im Sinne von <ref-law>) ausreichend zu substanziieren. Dies gilt besonders bei grossen Datenmengen. Kommt der Betroffene seiner Mitwirkungs- und Substanziierungsobliegenheit im Entsiegelungsverfahren nicht nach, ist das Zwangsmassnahmengericht nicht gehalten, von Amtes wegen nach allfälligen materiellen Durchsuchungshindernissen zu forschen. Berührte Geheimnisinteressen sind wenigstens kurz zu umschreiben und glaubhaft zu machen. Auch sind diejenigen Aufzeichnungen und Dateien zu benennen, die dem Geheimnisschutz unterliegen. Dabei ist der Betroffene nicht gehalten, die angerufenen Geheimnisrechte bereits inhaltlich offenzulegen (<ref-ruling> E. 7.1.5 S. 211, E. 11 S. 228, Urteile 1B_394/2017 vom 17. Januar 2018 E. 6, nicht publ. in: <ref-ruling>; Urteil des Bundesgerichts 1B_355/2021 vom 26. August 2021 E. 2.5; je mit Hinweisen).
3.2. Der Beschwerdeführer beruft sich einzig auf seine allgemeine Geheimsphäre nach <ref-law>. Für einen Eingriff in dieses Grundrecht stellen die <ref-law> jedoch eine genügende gesetzliche Grundlage dar. Die Entsiegelung liegt sodann im öffentlichen Interesse der Strafverfolgung und ist aufgrund des bestehenden möglichen Deliktskonnexes grundsätzlich auch verhältnismässig. Erneut kann darauf verwiesen werden, dass die Staatsanwaltschaft ihr Entsiegelungsgesuch vom 17. März 2021 ausreichend und nachvollziehbar begründet hatte. Der Beschwerdeführer macht keine speziellen Geheimhaltungsinteressen wie namentlich solche geltend, die gesetzlich besonders geschützt sind, wie das insbesondere auf Anwaltskorrespondenz oder medizinische Daten zutrifft. Allfällige massgebliche Geheimnisinteressen müsste er jedoch zumindest glaubhaft machen. Das gilt ebenfalls für die eventuelle Unmassgeblichkeit einzelner Dateninhalte, deren behauptete Irrelevanz mit ausreichender konkreter Differenzierung nachvollziehbar zu bezeichnen ist (vgl. das Urteil des Bundesgerichts 1B_355/2021 vom 26. August 2021 E. 4.5.2). Dafür genügt es nicht, wenn sich der Beschwerdeführer ganz allgemein auf seine Geheim- bzw. Privatsphäre beruft. Damit erweisen sich die Voraussetzungen nach <ref-law> für einen Eingriff in <ref-law> als erfüllt.
4.
Die Beschwerde ist unbegründet und abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Muri-Bremgarten und dem Zwangsmassnahmengericht des Kantons Aargau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Dezember 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Uebersax