Sachverhalt:
A.
A.A._ (geb. 1976) und B.A._ (geb. 1982) sind verheiratet und haben den Sohn C.A._ (geb. 2010). Mit Eheschutzurteil des Einzelgerichts am Bezirksgericht Andelfingen vom 2. Oktober 2015 wurde eine Trennungsvereinbarung der Parteien vom 30. September 2015 genehmigt und die Obhut des Sohns vereinbarungsgemäss der Mutter übertragen; dem Vater wurde ein ausgedehntes Besuchsrecht eingeräumt.
B.
B.a. Ein erstes Begehren von A.A._ auf Abänderung der Eheschutzmassnahmen wurde in Bezug auf den Antrag auf Zuteilung der Obhut an ihn mit Urteil vom 19. August 2016 abgewiesen. Das Urteil sprach zudem B.A._ das alleinige Entscheidungsrecht betreffend Kindergarten- und Schulanmeldung des Kindes zu und schränkte die elterliche Sorge von A.A._ entsprechend ein (Dispositiv-Ziff. 3 und 4). Dieses Urteil focht A.A._ nicht an.
B.b. Am 7. November 2016 leitete der Vater ein zweites Abänderungsverfahren ein und beantragte eine "Neuberechnung der Alimente", dies namentlich weil er neu zwei anstatt nur einen Tag Fremdbetreuung für den Sohn benötige und - ebenfalls neu - die Kosten für die Fremdbetreuung auch noch selbst bezahlen müsse. Sein Gesuch richtete sich aber weder gegen die Obhut von B.A._ noch gegen deren alleiniges Entscheidungsrecht in Bezug auf die Schule.
B.c. Im Laufe dieses den Unterhalt betreffenden Abänderungsverfahrens verlangte A.A._ mit Gesuch vom 30. Juni 2017 um Erlass vorsorglicher und superprovisorischer Massnahmen zusammengefasst, der Kindsmutter sei unter Strafandrohung von <ref-law> zu verbieten, für den Sohn einen Aufenthaltswechsel von U._ nach V._ vorzunehmen (Ziff. 1), ebenso sei ihr zu verbieten, den Kindergarten bzw. Schulortwechsel von U._ nach V._ vorzunehmen (Ziff. 2). Für den Eventualfall, dass die Kindsmutter ihren Wohnsitz nach V._ verlege, sei das Kind unter seine Obhut zu stellen inkl. Wohnsitz für schulische Belange bei ihm; der Sohn sei in U._ eingeschult zu lassen (Ziff. 3). Subeventualiter sei die alternierende Obhut anzuordnen mit Wohnsitz für schulische Belange bei ihm; der Sohn sei in U._ eingeschult zu lassen (Ziff. 4). Die Einschränkung der elterlichen Sorge des Kindsvaters betreffend Kindergarten- und Schulanmeldung des Kindes und das diesbezüglich alleinige Entscheidungsrecht der Kindsmutter gemäss Urteil des Bezirksgerichts vom 19. August 2016 (Dispositiv-Ziff. 3 und 4) seien aufzuheben (Ziff. 5). Sodann stellte er Anträge zur Regelung des Besuchsrechts der Kindsmutter im Falle des Obhutswechsels.
B.d. Die Kindsmutter widersetzte sich den Anträgen. Auf das Gesuch sei nicht einzutreten, subsidiär dieses abzuweisen.
B.e. Mit Verfügung vom 14. August 2017 teilte der Einzelrichter am Bezirksgericht Andelfingen die Obhut über C.A._ vorsorglich und für die Dauer des Eheschutzverfahrens dem Kindsvater zu (Ziff. 1); das Kind habe seinen Wohnsitz beim Vater. Der Mutter wurde ein Besuchsrecht von Samstag nach Arbeitsschluss bis Schulbeginn am Montag zugesprochen (Ziff. 2). Das alleinige Entscheidungsrecht betreffend Schule hob der Richter auf (Ziff. 5).
B.f. Unmittelbar nach dem Erlass des Entscheids schulte A.A._ das Kind - entgegen seinem eigenen Antrag auf Verbleib des Kindes in der Schule U._ (vorstehend B.c) - in W._ ein.
C.
C.a. Gegen die Verfügung vom 14. August 2017 gelangte B.A._ mit Berufung vom 18./25. August 2017 an das Obergericht des Kantons Zürich. Sie beantragte, auf das Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen sei zufolge Widerhandlung gegen Treu und Glauben nicht einzutreten, eventualiter dieses abzuweisen, und ersuchte um Erteilung der aufschiebenden Wirkung. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung wies das Obergericht mit Beschluss vom 18. August 2017 ab.
C.b. Die Berufungsantwort von A.A._ datiert vom 6. Oktober 2017. Er beantragte die Berufung abzuweisen. Beide Parteien äusserten sich (mindestens) ein weiteres Mal.
C.c. Im Laufe des Verfahrens wurde das Obergericht vom Kindsvater darüber in Kenntnis gesetzt, dass die Kindsmutter am 4. Dezember 2017 beim Bezirksgericht Zürich eine Scheidungsklage anhängig gemacht hatte. Das Obergericht setzte daraufhin beiden Parteien Frist, sich zur sachlichen Zuständigkeit des Eheschutzrichters betreffend die im Berufungsverfahren strittigen Kinderbelange nach Rechtshängigkeit der Scheidungsklage zu äussern. Eine bereits angeordnete Kindesanhörung wurde durch das Gericht wieder abgesagt.
C.d. Mit Beschluss vom 6. April 2018 hiess das Obergericht die Berufung gut, hob die Verfügung des Einzelgerichts vom 14. August 2017 wegen fehlender sachlicher Zuständigkeit des Eheschutzgerichts auf und trat auf das Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen (Bst. B.c) nicht ein. Die Kosten des Berufungsverfahrens auferlegte das Obergericht den Parteien je hälftig.
D.
D.a. Mit Eingabe vom 11. April 2018 erhob A.A._ (Beschwerdeführer) Beschwerde beim Bundesgericht und ersuchte um superprovisorische und provisorische Gewährung der aufschiebenden Wirkung, damit der Sohn nicht im laufenden Verfahren Schule und Aufenthaltsort wechseln - und je nach Ausgang des Verfahrens dann wieder zurückwechseln - müsse. Die Beschwerdebegründung stellte er für später in Aussicht.
D.b. Mit Verfügung vom 12. April 2018 wurde der Beschwerde in dem Sinne superprovisorisch die aufschiebende Wikrung erteilt, als die aktuelle Obhuts-, Betreuungs- und Beschulungssituation aufrecht erhalten bleiben sollte. Gleichzeitig wurde B.A._ (Beschwerdegegnerin) eingeladen zur aufschiebenden Wirkung Stellung zu nehmen.
D.c. Die Beschwerdegegnerin widersetzte sich mit Eingabe vom 3. Mai 2018 einer aufschiebenden Wirkung. Mit separater Eingabe ebenfalls vom 3. Mai ersucht sie sodann um unentgeltliche Rechtspflege inkl. Verbeiständung. Das Obergericht verzichtete auf eine Vernehmlassung.
D.d. Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung erteilte der Beschwerde mit Verfügung vom 14. Mai 2018 aufschiebende Wirkung, um in Fortsetzung der superprovisorischen Anordnung vom 12. April 2018 die erstinstanzlich verfügte und aktuell bestehende Obhuts-, Betreuungs- und Beschulungssituation aufrechtzuerhalten.
E.
E.a. Am 11. Mai 2018 reichte der Beschwerdeführer die Beschwerdebegründung ein. Er beantragt, das angefochtene Urteil sei unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten der Beschwerdegegnerin aufzuheben und die Angelegenheit zur Beurteilung in der Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventualiter sei in Aufhebung des angefochtenen Urteils auf die Berufung der Beschwerdegegnerin nicht einzutreten, dieser die Kosten des zweitinstanzlichen Verfahrens aufzuerlegen und ihm eine Parteientschädigung in Höhe von Fr. 13'350.-- zuzusprechen.
E.b. Mit Vernehmlassung vom 28. Mai 2018 beantragt die Beschwerdegegnerin, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
E.c. Am 11. Juni 2018 äusserte sich der Beschwerdeführer ein weiteres Mal. Diese Eingabe wurde der Beschwerdegegnerin zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt.
E.d. Am 7. Februar 2019 äusserte sich die Beschwerdegegnerin unaufgefordert ein weiteres Mal und reichte u.a. eine von ihr an die zuständige KESB gerichtete Gefährdungsmeldung vom 21. Januar 2019 ein.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob die Eintretensvoraussetzungen gegeben sind (<ref-ruling> E. 1 S. 99; <ref-ruling> E. 1 S. 186; <ref-ruling> E. 1 S. 143).
1.2. Die Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, mit dem diese - "aufgrund der fehlenden sachlichen Zuständigkeit des Eheschutzgerichts" - eine Verfügung vom 14. August 2017 des erstinstanzlichen Richters betreffend vorsorgliche Massnahmen in einem Verfahren auf Abänderung von Eheschutzmassnahmen aufgehoben und in Bezug auf das zugrunde liegende Gesuch des Klägers ein Nichteintreten beschlossen hat. In der Sache geht es um nicht vermögensrechtliche Zivilsachen (<ref-law>). Die Beschwerde unterliegt deshalb keinem Streitwerterfordernis. Der Beschwerdeführer ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Insofern ist die Beschwerde zulässig.
2.
2.1. Eheschutzentscheide und Entscheide über vorsorgliche Massnahmen unterstehen <ref-law> (<ref-ruling> E. 5.1 und 5.2 S. 396 f.). Daher kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.1 S. 588). Auch die Anwendung von Bundesgesetzen prüft das Bundesgericht im Rahmen von <ref-law> nur auf Willkür, das heisst auf eine Verletzung von <ref-law> hin (vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 628; für das BGG bestätigt in den Urteilen 5A_899/2016 vom 27. November 2017 E. 1.3, nicht publ. in: <ref-ruling>; 5A_890/2013 vom 22. Mai 2014 E. 1.5, nicht publ. in: <ref-ruling>; 5A_261/2009 vom 1. September 2009 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; zum Willkürbegriff vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 133). Für die Geltendmachung der Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das Rügeprinzip (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.4 S. 368; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588), was die rechtsuchende Partei wiederum präzise geltend zu machen hat (Art. 97Abs. 1 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266).
2.2. Mit der Beschwerde in Zivilsachen darf der Beschwerdeführer keine neuen Tatsachen und Beweismittel vorbringen, es sei denn, erst der Entscheid der Vorinstanz habe dazu Anlass gegeben (<ref-law>). Diese Voraussetzung ist zum vornherein nicht erfüllt, soweit eine Tatsache sich zwar auf das vorinstanzliche Prozessthema bezieht, jedoch erst nach dem Zeitpunkt eingetreten ist, in welchem sie im vorinstanzlichen Verfahren letztmals hätte berücksichtigt werden können. Solch "echte" Noven sind im bundesgerichtlichen Verfahren unzulässig. Gleiches gilt auch für Beweismittel, die erst nach dem angefochtenen Entscheid erstellt wurden (<ref-ruling> E. 5.2.4 S. 229; <ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.).
Die von der Beschwerdegegnerin am 7. Februar 2019 eingereichten Vorbringen und Unterlagen, insbesondere die Gefährdungsmeldung vom 21. Januar 2019, sind neu und damit im vorliegenden Verfahren unbeachtlich. Die Tatsachen sind vor der für den Erlass allenfalls notwendiger (neuer) Kindesschutzmassnahmen zuständigen Stelle geltend zu machen, deren Zuständigkeit durch das bundesgerichtliche Verfahren nicht tangiert wird. Anzurufen ist das in der Hauptsache zuständige Gericht oder - wenn das Gericht die notwendigen Massnahmen voraussichtlich nicht rechtzeitig treffen kann (<ref-law>) - die KESB.
3.
3.1. Umstritten ist, ob die Vorinstanz zu Recht die Zuständigkeit des erstinstanzlichen Richters nachträglich verneint hat, weil im Laufe des Abänderungsverfahrens das Scheidungsverfahren anhängig gemacht wurde. Der Beschwerdeführer rügt in diesem Zusammenhang Verletzungen des Willkürverbots (<ref-law>), der Rechtsweggarantie (<ref-law>) sowie des Verbots des überspitzten Formalismus (<ref-law>).
3.2. Das Bundesgericht hat in <ref-ruling> aufgezeigt, wie die Zuständigkeitsabgrenzung zwischen Eheschutz- und Scheidungsgericht vorzunehmen ist, wenn während des Eheschutzverfahrens die Scheidung rechtshängig gemacht wird, und dies in <ref-ruling> E. 3.3.2 S. 648 f. präzisiert. Demnach wird ein Eheschutzverfahren durch die Einleitung der Scheidung nicht hinfällig. Das Eheschutzgericht bleibt zuständig für Massnahmen bis zum Eintritt der Rechtshängigkeit der Scheidung, selbst wenn es darüber erst nach diesem Zeitpunkt entscheiden kann (<ref-ruling> E. 3.3.2 S. 648 f.; <ref-ruling> E. 3 S. 62 f. und E. 4.2 S. 63; mit Hinweis auf <ref-ruling> S. 2 f.; zuletzt bestätigt in Urteil 5A_627/2016 vom 28. August 2017 E. 1.3). Die Eheschutzmassnahmen wirken über den Entscheid - und damit auch über die Rechtshängigkeit des Scheidungsverfahrens - hinaus, bis der Scheidungsrichter etwas anderes verfügt (<ref-ruling> E. 3.3.2 S. 648 f.; Urteil 5A_627/2016 vom 28. August 2017 E. 1.3).
3.3. Aus dem angefochtenen Urteil geht nicht hervor, dass das Scheidungsgericht bereits vorsorgliche Massnahmen erlassen hätte. Gemäss den Aussagen beider Parteien wurden vielmehr im Scheidungsverfahren noch gar keine Massnahmebegehren gestellt.
Das Scheidungsverfahren wurde am 4. Dezember 2017 anhängig gemacht (Sachverhalt lit. C.c). Bei Einleitung des Verfahrens auf Abänderung des Eheschutzentscheids am 7. November 2016 (Sachverhalt lit. B.b) war das angerufene Gericht damit zweifellos sachlich zuständig. Entgegen der Ansicht der Vorinstanz ist das Eheschutzgericht auch für die strittige Anordnung vom 14. August 2017 (Sachverhalt lit. B.e) zuständig gewesen. Die Zuständigkeit besteht nach wie vor; das der vorsorglichen Massnahme zugrunde liegende Eheschutzverfahren ist weiterhin pendent und im Lichte der bundesgerichtlichen Rechtsprechung noch zu Ende zu führen. Mangels im Scheidungsverfahren gestellter Massnahmebegehren, werden die zu treffenden Entscheide über die Einleitung des Scheidungsverfahrens hinaus Geltung haben, bis der Scheidungsrichter andere Anordnungen trifft.
3.4. Nach dem Gesagten ist das angefochtene Urteil aufzuheben, soweit die Vorinstanz zum Schluss kam, mangels sachlicher Zuständigkeit des Eheschutzrichters seien die Entscheidung vom 14. August 2017 aufzuheben und auf das zugrunde liegende Massnahmegesuch nicht einzutreten.
4.
Die Beschwerde ist vor diesem Hintergrund gutzuheissen und die Angelegenheit zu neuer Entscheidung an das Obergericht zurückzuweisen (<ref-law>).
Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt die Beschwerdegegnerin; entsprechend hat sie für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>) und sie hat den Beschwerdeführer zu entschädigen (<ref-law>). Aufgrund der Umstände wird ihr das Armenrecht inkl. Verbeiständung gewährt (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin ist darauf hinzuweisen, dass sie der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Zürich vom 6. April 2018 wird aufgehoben und die Sache zur neuen Entscheidung im Sinne der Erwägungen an das Obergericht zurückgewiesen.
2.
Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt, vorerst aber auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
5.
Rechtsanwalt Urs Bürgin wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdegegnerin bestellt und ihm wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- ausgerichtet.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. März 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann