Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ (geb. 1963) und B.A._ (geb. 1971), beide Staatsangehörige von Sri Lanka, reisten am 4. Juli 1989 bzw. 18. Dezember 1992 in die Schweiz ein und stellten jeweils ein Asylgesuch. Sie heirateten am 11. Mai 1994, worauf 1995 die Tochter D.A._ zur Welt kam. Das Bundesamt für Flüchtlinge (heute Staatssekretariat für Migration [SEM]) wies die genannten Asylgesuche am 26. November 1996 ab, nahm die Familie jedoch vorläufig auf. Eine gegen den abschlägigen Asylentscheid erhobene Beschwerde blieb erfolglos. 1998 kam die Tochter C.A._ zur Welt. Ab dem 7. November 2001 verfügte die Familie über eine Aufenthaltsbewilligung.
A.b. Mit Entscheid vom 16. Dezember 2010 lehnte das Migrationsamt des Kantons Thurgau (Migrationsamt) die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und wies die Familie aus der Schweiz weg. Nach einem erfolglosen Rekurs hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 26. Oktober 2011 die dagegen gerichtete Beschwerde teilweise gut und wies das Migrationsamt an, die Aufenthaltsbewilligung sämtlicher Familienmitglieder zu verlängern. Gleichzeitig wurde angesichts der Fürsorgeabhängigkeit eine Verwarnung ausgesprochen sowie A.A._ und B.A._ die Auflage erteilt, unter anderem die deutsche Sprache zu erlernen und sich im ersten Arbeitsmarkt zu integrieren, um eine weitere Fürsorgeabhängigkeit zu vermeiden. Am 29. April 2015 wurden A.A._ und B.A._ erneut ausländerrechtlich verwarnt und die Aufenthaltsbewilligung mit der Bedingung verknüpft, unter anderem wirtschaftlich (von Fürsorgeleistungen) unabhängig zu werden sowie einen Sprachkurs zu besuchen. Die Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführer wurde letztmals mit Gültigkeit bis zum 1. November 2016 verlängert.
B.
Mit Entscheid vom 29. März 2018 lehnte das Migrationsamt die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A.A._, B.A._ und C.A._ ab und wies sie an, die Schweiz innert 30 Tagen ab Rechtskraft des Entscheides zu verlassen. Ein dagegen gerichteter Rekurs blieb gemäss Entscheid des Departements für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau (Departement) vom 6. Mai 2019 erfolglos. Die daraufhin erhobene Beschwerde wurde mit Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 26. Februar 2020 insoweit gutgeheissen, als Rechtsanwalt Peter Bolzli der Beschwerdeführerin C.A._ für das Rekursverfahren als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben wurde. Im Hauptpunkt bzw. bezüglich des Begehrens um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung wurde die Beschwerde jedoch abgewiesen; C.A._ wurde auch für das Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 27. April 2020 an das Bundesgericht beantragen A.A._ (Beschwerdeführer 1), B.A._ (Beschwerdeführerin 2) und C.A._ (Beschwerdeführerin 3) die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides. Das Migrationsamt sei anzuweisen, das Gesuch der Beschwerdeführer 1, 2 und 3 vom 4. Oktober 2016 um Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung gutzuheissen. Eventualiter sei das Migrationsamt anzuweisen, die Sache zwecks Anordnung einer vorläufigen Aufnahme der Beschwerdeführer an das Staatssekretariat für Migration (SEM) zu überweisen. Der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Im Weiteren sei den Beschwerdeführern für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und es sei ihnen in der Person des unterzeichnenden Rechtsanwaltes ein unentgeltlicher Rechtsvertreter zu bestellen. Die Vorinstanz sei anzuweisen, die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung für die vorangegangenen kantonalen Verfahren auch den Beschwerdeführern 1 und 2 zu gewähren.
Das Migrationsamt und die Vorinstanz beantragen in ihren Vernehmlassungen die Abweisung der Beschwerde, während das Staatssekretariat für Migration auf eine Vernehmlassung verzichtet hat.
Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung hat der Beschwerde mit Verfügung vom 26. Mai 2020 antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unzulässig gegen Entscheide im Zusammenhang mit ausländerrechtlichen Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>). Für das Eintreten genügt es jedoch, wenn die Beschwerdeführer, welche seit 2001 über eine Aufenthaltsbewilligung verfügen, wie vorliegend in vertretbarer Weise einen potentiellen Aufenthaltsanspruch gemäss Art. 8 EMRK geltend machen. Ob ein solcher Anspruch besteht, ist Gegenstand der materiellen Beurteilung (Urteil 2C_105/2017 vom 8. Mai 2018 E. 1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 332). Die Beschwerdeführer sind zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>). Da die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90 BGG), ist auf die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde, unter Vorbehalt von E. 1.2, einzutreten (Art. 42 und Art. 100 Abs. 1 BGG).
1.2. Da das Bundesgericht hinsichtlich Entscheiden bzw. mit Anträgen bezüglich vorläufiger Aufnahme nicht angerufen werden kann, ist auf den Eventualantrag nicht einzutreten (<ref-law>).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Bei der Prüfung wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), wobei es unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) grundsätzlich nur die geltend gemachten Rechtsverletzungen prüft, sofern rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.5 S. 144). Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und ausreichend begründet worden ist. Es ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids aufzuzeigen, inwiefern die entsprechenden Rechtsnormen verletzt worden sein sollen (<ref-law>; strenges Rügeprinzip bzw. qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht). Andernfalls tritt das Bundesgericht auf die Rüge nicht ein und eine Beschwerde kann selbst dann nicht gutgeheissen werden, wenn eine Rechtsverletzung tatsächlich vorliegt (<ref-ruling> E. 8 S. 156; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232 mit Hinweisen).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Eine Berichtigung oder Ergänzung der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen ist von Amtes wegen (<ref-law>) oder auf Rüge hin (<ref-law>) möglich. Von den tatsächlichen Grundlagen des vorinstanzlichen Urteils weicht das Bundesgericht jedoch nur ab, wenn diese offensichtlich unrichtig, sprich willkürlich sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.6 S. 144 f.). Eine entsprechende Rüge hat der qualifizierten Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>) zu genügen bzw. ist substanziiert vorzubringen; auf rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsfeststellung geht das Gericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 10.1 S. 444 f.).
2.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). <ref-law> zielt auf Tatsachen ab, die erst durch das angefochtene Urteil rechtserheblich werden. Solche sogenannte "unechte Noven" sind beispielsweise zulässig, wenn die Vorinstanz ein neues rechtliches Argument anführt, mit dem die Partei zuvor nicht konfrontiert worden war (Urteil 2C_395/2017 vom 7. Juni 2018 E. 2.1). Unzulässig sind hingegen neue Tatsachen, die bereits der Vorinstanz hätten vorgelegt werden können (<ref-ruling> E. 4.4.3 S. 128 f.).
3.
Die Beschwerdeführer rügen eine teilweise offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts. Allerdings legen sie nicht dar, welcher Teil des Sachverhalts inwiefern willkürlich festgestellt worden sein soll. Mangels Substantiierung ist auf die entsprechende Rüge nicht einzugehen und von der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung auszugehen.
Beschwerdeführer 1 und 2
4.
4.1. Vorliegend ist unbestritten, dass die Beschwerdeführer 1 und 2 bis Juni 2019 Sozialhilfe im Umfang von Fr. 241'982.95 bezogen haben. Letztere anerkennen denn auch in ihrer Beschwerde ausdrücklich, dass der Widerrufs- bzw. Nichtverlängerungsgrund der Sozialhilfeabhängigkeit bezüglich der Aufenthaltsbewilligung von Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG (ab 1. Januar 2019: AIG) erfüllt ist. Sie rügen jedoch eine Verletzung des Verhältnismässigkeitsprinzips sowie von Art. 8 EMRK (Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens). Die höchst einseitige, vorinstanzliche Würdigung, wonach die Beschwerdeführer 1 und 2 die Sozialhilfeabhängigkeit klarerweise selbst verschuldet hätten, berücksichtige nicht die schwierigen Umstände auf dem Arbeitsmarkt. Schlecht ausgebildete, langzeitarbeitslose, ältere Migranten hätten kaum Chancen auf einen beruflichen Wiedereinstieg. Ausserdem habe der Beschwerdeführer 1 im Februar 2020 einen Arbeitsvertrag als Küchenhilfe in einem Restaurant abgeschlossen. Dass er die Arbeitsstelle aufgrund der Corona-Krise umgehend wieder habe aufgeben müssen, ändere nichts daran, dass er damit seinen Willen zur Verbesserung der Situation gezeigt habe. Das Verschulden (an der Sozialhilfeabhängigkeit) sei in der Verhältnismässigkeitsprüfung angesichts der Umstände, wonach die Schweiz längst zur zweiten Heimat geworden sei und die engsten Familienangehörigen (bzw. die ältere Tochter D.A._, welche mittlerweile selbst Mutter geworden sei) in der Schweiz lebten, ohnehin nicht ausschlaggebend. Ihr (Beschwerdeführer 1 und 2) privates Interesse an einem Verbleib in der Schweiz sei damit ausserordentlich gross. In Sri Lanka könnten sie dagegen nicht mehr auf ein tragfähiges familiäres und soziales Netz zählen. Sri Lanka habe ausserdem mit grossen gesellschaftlichen und sozialen Problemen zu kämpfen.
4.2. Die Vorinstanz hat bezüglich Art. 8 EMRK unter Berufung auf <ref-ruling> im Wesentlichen erwogen, die angesichts des mehr als zehnjährigen Aufenthalts der Beschwerdeführer 1 und 2 in der Schweiz nötigen besonderen Gründe, um die Aufenthaltsbewilligung nicht zu verlängern, seien gegeben. Die Beschwerdeführerin 2 habe ihre Deutschkenntnisse nur mässig verbessert, während der Beschwerdeführer 1 sich dem Besuch von Deutschkursen mehr oder weniger konstant verweigert habe. Die Beschwerdeführer 1 und 2 hätten die letzten Jahre nicht genutzt, um ihre Chancen auf dem Arbeitsmarkt zu verbessern. Dass der Beschwerdeführer 1 per 1. März 2020 eine Stelle (als Küchenhilfe) gefunden habe, ändere am Gesamtbild nichts. Der Bezug der Sozialhilfe sei klar selbstverschuldet und eine sprachliche und berufliche Integration habe überhaupt nicht stattgefunden. In der Interessenabwägung (im Rahmen von Art. 8 EMRK, Recht auf Achtung des Privatlebens) überwiege das öffentliche Interesse an der Fernhaltung von dauerhaft von der Sozialhilfe abhängigen Ausländern das vorliegende private Interesse am Verbleib in der Schweiz. Die Rückkehr nach Sri Lanka sei den Beschwerdeführern 1 und 2 angesichts des Umstandes, dass sie ihre Kindheit, Jugend und ersten Erwachsenenjahre in Sri Lanka verbracht hätten, trotz Umstellungsbedarf zumutbar.
4.3. Die Beschwerdeführer 1 und 2 können kein Aufenthaltsrecht aus Art. 42 ff. AuG (ab 1. Januar 2019: AIG) ableiten. Das Bundesgericht hat jedoch in <ref-ruling> entschieden, dass ein Anwesenheitsrecht gestützt auf das Recht auf Achtung des Privatlebens gemäss Art. 8 Ziff. 1 EMRK zu vermuten ist, wenn die betroffene Person sich seit rund zehn Jahren ordnungsgemäss in der Schweiz aufhält sowie beruflich und sozial sehr gut integriert ist, mit anderen Worten eine Landessprache sehr gut spricht, nie straffällig geworden ist und nie Sozialhilfe bezogen hat. In solchen Fällen erschöpft sich das öffentliche Interesse an der Entziehung bzw. Nichtverlängerung des Aufenthaltsrechts im Bestreben, eine restriktive Einwanderungspolitik durchzusetzen, was in der Interessenabwägung den entgegenstehenden privaten (und auch öffentlichen) Interessen unterliegt (<ref-ruling> E. 3.9 und E. 4 S. 277 ff.; vgl. auch Urteil 2D_37/2018 vom 29. Oktober 2018 E. 3.3). Ob die seit 2001 in der Schweiz über eine Aufenthaltsbewilligung verfügenden Beschwerdeführer 1 und 2 angesichts ihrer mangelhaften beruflichen und sozialen Integration, insbesondere angesichts ihres langjährigen Sozialhilfebezugs, die Voraussetzungen für eine Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung gestützt auf das Recht auf Achtung des Privatlebens gemäss Art. 8 EMRK erfüllen, ist fraglich, kann aber letztlich aufgrund der Interessenabwägung offengelassen werden (dazu E. 4.5 unten; vgl. Urteil 2C_64/2020 vom 24. Juli 2020 E. 3.1).
4.4. Kein Aufenthaltsrecht können die Beschwerdeführer 1 und 2 dagegen aus dem Recht auf Achtung des Familienlebens gemäss Art. 8 EMRK ableiten. Erstgenanntes Recht kann verletzt sein, wenn einer ausländischen Person, deren Familienangehörige sich hier aufhalten und über ein gefestigtes Aufenthaltsrecht verfügen, die Anwesenheit untersagt und damit ihr Zusammenleben vereitelt wird (<ref-ruling> E. 4.2 S. 96; <ref-ruling> E. 5.1 S. 26; <ref-ruling> E. 6.1 S. 46 mit Hinweisen). Art. 8 EMRK schützt in diesem Zusammenhang in erster Linie die Kernfamilie, d.h. die Gemeinschaft der Ehegatten mit ihren minderjährigen Kindern (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 146; Urteil 2C_269/2018 vom 23. April 2019 E. 4.3). Die Töchter D.A._ und C.A._ waren zum Zeitpunkt des angefochtenen Urteils jedoch bereits volljährig (25-jährig bzw. 21-jährig). Über die Kernfamilie hinaus kann Art. 8 EMRK auch für nahe Verwandte einer in der Schweiz fest anwesenheitsberechtigten Person ein Aufenthaltsrecht entstehen lassen, sofern bestimmte, weitere Voraussetzungen (Abhängigkeitsverhältnis, vgl. dazu Urteil 2C_269/2018 vom 23. April 2019 E. 4.3 mit Hinweisen) erfüllt sind. Eine entsprechende Konstellation, insbesondere ein Abhängigkeitsverhältnis im Bezug auf die Töchter D.A._ oder C.A._, wird von den Beschwerdeführern 1, 2 und 3 jedoch weder geltend gemacht noch dargelegt.
4.5. Die vorzunehmende, vorinstanzliche Interessenabwägung bzw. Verhältnismässigkeitsprüfung im Rahmen von Art. 8 Ziff. 2 EMRK (dazu <ref-ruling> E. 3.7 S. 276 f.; Urteil 2C_64/2020 vom 24. Juli 2020 E. 3.2 mit Hinweisen) ist inhaltlich nicht zu beanstanden. Der rund 30-jährige (Beschwerdeführer 1) bzw. rund 27-jährige (Beschwerdeführerin 2) Aufenthalt in der Schweiz bedeutet zweifellos einen langjährigen Aufenthalt. Den Beschwerdeführern 1 und 2 ist jedoch entgegen zu halten, dass die eingetretene Situation, Langzeitarbeitslosigkeit und wenig Aussicht auf Loslösung von der Sozialhilfe, primär darauf zurückzuführen ist, dass sie aus den ausländerrechtlichen Verwarnungen (2011 und 2015) und dem bereits in den Jahren 2010 und 2011 durchgeführten, ausländerrechtlichen Widerrufsverfahren (welches ebenfalls wegen Sozialhilfebezug angestrengt worden war und primär aus Rücksicht auf die Ausbildung der älteren Tochter zugunsten der Beschwerdeführer 1 und 2 endete) nicht die nötigen Lehren gezogen haben. Angesichts des erheblichen Verschuldens der Beschwerdeführer 1 und 2 an der Sozialhilfeabhängigkeit überwiegt vorliegend das öffentliche Interesse an der Aufenthaltsbeendigung trotz sehr langem Aufenthalt das private Interesse am Verbleib in der Schweiz. Der Umstand, dass die wirtschaftliche und gesellschaftliche Situation in Sri Lanka schwieriger ist als in der Schweiz, führt nicht zur Unverhältnismässigkeit der Aufenthaltsbeendigung in Bezug auf die Beschwerdeführer 1 und 2. Letztere sind ausserdem zumindest sprachlich nach wie vor stark mit Sri Lanka verbunden und werden sich dort relativ rasch wieder zurechtfinden.
4.6. In Bezug auf den Eventualantrag bringen die Beschwerdeführer 1 und 2 vor, die lange Aufenthaltsdauer in der Schweiz und das fehlende, tragfähige, familiäre und soziale Netz in Sri Lanka führten zur Unverhältnismässigkeit "wenn nicht sogar zur Unzumutbarkeit im Sinne von Art. 83 Abs. 4 AuG."
4.7. Entscheide bzw. Anträge betreffend die vorläufige Aufnahme können dem Bundesgericht nicht unterbreitet werden (<ref-law>). Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten (vgl. E. 1.2 oben). Sollte mit dem Verweis auf Art. 83 Abs. 4 AuG (ab 1. Januar 2019: AIG) - der Vollzug (der Wegweisung) kann für Ausländerinnen und Ausländer unzumutbar sein, wenn sie in Situationen wie Krieg, Bürgerkrieg, allgemeiner Gewalt und medizinischer Notlage im Heimat- oder Herkunftsstaat konkret gefährdet sind - der materielle Einbezug der erwähnten Kriterien in die Güterabwägung anbegehrt werden sollen, so werden diese Gründe rechtsprechungsgemäss bereits in der Verhältnismässigkeitsprüfung gemäss Art. 96 Abs. 2 AuG berücksichtigt (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 118 f.; Urteile 2C_459/2018 vom 17. September 2018 E. 5.6; 2C_396/2017 vom 8. Januar 2018 E. 7.1 und 7.6 mit Hinweisen). Die Beschwerdeführer 1 und 2 legen allerdings nicht konkret dar, inwiefern ein entsprechender Unzumutbarkeitsgrund vorliegt (vgl. dazu beispielsweise Urteil 2C_837/2016 vom 23. Dezember 2016 E. 4.4.6). Auch führen sie nicht aus, ob und gegebenenfalls inwiefern sie in Sri Lanka konkret gefährdet wären. Die Anrufung der entsprechenden Gründe führt deshalb vorliegend nicht zu einem anderen Resultat der Verhältnismässigkeitsprüfung.
4.8. Das vorinstanzliche Urteil erweist sich damit in Bezug auf die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführer 1 und 2 als bundes- und völkerrechtskonform. Die Beschwerde ist demzufolge in diesem Punkt abzuweisen.
Beschwerdeführerin 3
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin 3 rügt ebenfalls eine Verletzung des Rechts auf Achtung des Privatlebens gemäss Art. 8 EMRK und macht in diesem Zusammenhang die Unverhältnismässigkeit der Nichtverlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung geltend. Sie sei in der Schweiz geboren bzw. aufgewachsen und habe hier die Schulen besucht. "Faktisch" sei sie Schweizerin. Bei einer Ausreise nach Sri Lanka sei dort mit massiven Eingliederungsschwierigkeiten zu rechnen. Ausserdem habe sie als eigenständige Person den Widerrufs- bzw. Nichtverlängerungsgrund betreffend Aufenthaltsbewilligung von Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG (Sozialhilfeabhängigkeit) nicht gesetzt. Trotz fehlender Berufslehre sehe die Prognose für sie aufgrund ihres noch jungen Alters und der gesammelten Praktikumserfahrung nicht dermassen schlecht aus. Immerhin arbeite sie auch heute unbestrittenermassen wieder zehn Stunden pro Woche in der Hotelreinigung. Die Beschwerdeführerin 3 rügt damit sinngemäss auch eine Verletzung von Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG. Ausserdem folgert sich daraus, dass auch der Widerrufs- bzw. Nichtverlängerungsgrund von Art. 62 Abs. 1 lit. d AuG (Nichteinhalten einer mit der Verfügung verbundenen Bedingung) nicht zur Anwendung kommt.
5.2. Unbestritten ist, dass die Beschwerdeführerin 3 bis Juni 2019 Fr. 15'755.04 Sozialhilfe bezogen hat. Die Vorinstanz hat erwogen, angesichts des Arbeitspensums von in der Regel zehn Stunden pro Woche zu einem Stundenlohn von brutto Fr. 21.32 werde sich an der Sozialhilfeabhängigkeit der Beschwerdeführerin 3 auf absehbare Zeit nichts ändern, womit sie von der Erfüllung des Widerrufs- bzw. Nichtverlängerungsgrundes von Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG ausgeht. Zudem sei der Aufenthaltszweck der Beschwerdeführerin 3, nämlich Aufenthalt bei den Eltern, mit Erreichen ihrer Volljährigkeit sowie spätestens mit Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung der Eltern weggefallen, weshalb auch der Widerrufs- bzw. Nichtverlängerungsgrund von Art. 62 Abs. 1 lit. d AuG erfüllt sei.
5.3. Vor Bundesgericht beruft sich die Beschwerdeführerin 3 erstmals auf ein Arbeitszeugnis der B._ AG vom 31. Oktober 2019 in Bezug auf ihre temporäre Beschäftigung (Pensum 70% bis 100%) als Aushilfs-Hauswirtschaftsmitarbeiterin in der Hotellerie vom 1. Juni 2019 bis 31. Oktober 2019. Dieses sei als Novum entgegen zu nehmen, nachdem die Vorinstanz unerwartet trotz eingereichtem Arbeitsvertrag die tatsächliche Beschäftigung bestreite. Gemäss angefochtenem Entscheid hat die Beschwerdeführerin 3 trotz ausdrücklicher, vorinstanzlicher Aufforderung bezüglich dieser Arbeitsstelle keine Lohnabrechnungen vorgelegt. Die Vorinstanz folgerte daraus, es sei nicht nachgewiesen, dass die Beschwerdeführerin in diesem Arbeitsverhältnis auf Abruf überhaupt je eingesetzt worden sei.
Da die bisherige Arbeitstätigkeit der Beschwerdeführerin 3 bereits vor der Vorinstanz thematisiert wurde und letztere zudem ausdrücklich die Lohnausweise bezüglich der betroffenen Stelle angefordert hatte, wäre es Sache der Beschwerdeführerin 3 gewesen, das genannte Arbeitszeugnis bereits im vorinstanzlichen Verfahren einzubringen. Entgegen der Beschwerdeführerin 3 kommt die festgestellte Beweislosigkeit der genannten Arbeitstätigkeit, nachdem die Vorinstanz die Lohnausweise verlangt hatte, auch nicht unerwartet. Das genannte Arbeitszeugnis ist deshalb als unzulässiges Novum unbeachtlich (vgl. E. 2.3 oben).
5.4. Auch die Beschwerdeführerin 3 kann kein Aufenthaltsrecht aus Art. 42 ff. AuG ableiten. Allerdings bestreitet sie, dass sie die Voraussetzungen für eine Nichtverlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung aufgrund Sozialhilfeabhängigkeit (Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG) erfüllt. Rechtsprechungsgemäss besteht nach einem 10-jährigen, ordnungsgemässen Aufenthalt vermutungsweise ein Anwesenheitsrecht gestützt auf das Recht auf Achtung des Privatlebens gemäss Art. 8 EMRK, da davon ausgegangen werden kann, dass die sozialen Beziehungen in der Schweiz so eng geworden sind, dass es für eine Aufenthaltsbeendigung besonderer Gründe bedarf (<ref-ruling> E. 3.9 S. 277 ff.). Da die Beschwerdeführerin 3 (im Jahr 1998) in der Schweiz geboren und aufgewachsen ist, ihr ganzes bisheriges Leben hier verbracht hat und seit 2001 über eine Aufenthaltsbewilligung verfügt, ist vorliegend das Recht auf Achtung des Privatlebens gemäss Art. 8 EMRK tangiert. Ein besonderer Grund, um die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung zu verweigern, liegt bei Sozialhilfeabhängigkeit im Sinne von Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG vor (vgl. Urteile 2C_122/2020 vom 7. Juli 2020 E. 3.1; 2C_13/2018 vom 16. November 2018 E. 1.1 und 3.1). Diesbezüglich ist wesentlich, ob konkret die Gefahr einer Fürsorgeabhängigkeit besteht; blosse finanzielle Bedenken, Hypothesen und pauschalierte Gründe genügen nicht. Neben den bisherigen und den aktuellen Verhältnissen muss dabei als entscheidendes Element die wahrscheinliche finanzielle Entwicklung auf längere Sicht hin in die Beurteilung miteinbezogen werden. Ausschlaggebend ist eine Prognose zur voraussichtlichen Entwicklung der finanziellen Situation in Berücksichtigung der realisierbaren Einkommensaussichten. In erster Linie geht es darum, eine zusätzliche und damit künftige Belastung der öffentlichen Wohlfahrt zu vermeiden (Urteile 2C_834/2016 vom 31. Juli 2017 E. 2.1 mit Hinweisen; 2C_1109/2014 vom 20. Juli 2015 E. 2.1 f.; 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 2.2 f.).
5.5. Der Sozialhilfebezug hat bei der Beschwerdeführerin 3 im November 2016 bzw. mit der Volljährigkeit eingesetzt (Art. 105 Abs. 2). Die Beschwerdeführerin 3 hat gemäss vorinstanzlicher Sachverhaltsfeststellung 2016 eine Lehre als Detailhandelsfachfrau begonnen und wieder abgebrochen. Davor (<ref-law>) und danach hat sie Praktika absolviert, vor allem im Bereich Betreuung, in der Folge aber keine Berufslehre in diesem Bereich angetreten. Ob sie anschliessend bei der B._ AG tatsächlich während fünf Monaten in der Hotellerie tätig war, wurde vorinstanzlich nicht festgestellt, wobei sie immerhin einen Arbeitsvertrag vorgelegt hat. Momentan ist sie in der Regel während zehn Stunden pro Woche in der Hotelreinigung bei der C._ AG tätig. Der Start in das Berufsleben ist der Beschwerdeführerin 3 bis jetzt nicht geglückt. Allerdings hat sie verschiedene, wenn auch bisher wenig erfolgreiche Anläufe genommen. Dass die Beschwerdeführerin 3 bereits mit Beginn ihres Erwachsenenalters Sozialhilfe bezieht, ist ebenfalls negativ zu werten. Allerdings ist fraglich, ob bei einer Person im Alter von 21 Jahren bereits eine Prognose über die finanzielle Entwicklung auf längere Sicht hin möglich ist. Gerade in dieser Altersperiode sind noch Entwicklungen in alle Richtungen, auch in eine positive, möglich. Die Situation der Beschwerdeführerin 3 ist damit gerade nicht mit derjenigen der Beschwerdeführer 1 und 2 zu vergleichen, welche als beruflich unqualifizierte Personen bereits seit über zehn Jahren (<ref-law>) Sozialhilfe beziehen und bei denen aufgrund der gesamten Umstände (Langzeitarbeitslosigkeit; fehlende Sprachkenntnisse trotz wiederholter Aufforderung, die deutsche Sprache zu erlernen; Alter von fast 57 bzw. 49 Jahren) für die nächsten Jahre nicht mehr mit einer positiven Entwicklung zu rechnen ist. Die Ausgangslage der Beschwerdeführerin 3 ist deutlich besser, hat sie doch in der Schweiz die gesamte obligatorische Schulzeit (Primar- und Sekundarschule) absolviert und ist hier sozial, sprich sprachlich und kulturell, vollständig integriert. Der Widerrufs- bzw. Nichtverlängerungsgrund der Sozialhilfeabhängigkeit im Sinne von Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG ist deshalb bei der Beschwerdeführerin 3 nichterfüllt. Eine Verhältnismässigkeitsprüfung im Rahmen von Art. 8 Ziff. 1 EMRK erübrigt sich damit (vgl. Urteile 2C_122/2020 vom 7. Juli 2020 E. 3.2; 2C_13/2018 vom 16. November 2018 E. 3.1). Vielmehr hat die Beschwerdeführerin 3 Anspruch auf eine Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung gestützt auf Art. 8 Ziff. 1 EMRK (Schutz des Privatlebens). Sollte der Beschwerdeführerin 3 die berufliche Integration innert nützlicher Frist nicht gelingen, kann immer noch ein neuerliches Verfahren betreffend Widerruf bzw. Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung angestrengt werden.
5.6. Nachdem die Vorinstanz korrekterweise erwogen hat, die Situation der Beschwerdeführerin 3 sei entgegen dem Entscheid des Departements aufgrund ihrer Volljährigkeit unabhängig von derjenigen der Beschwerdeführer 1 und 2 zu beurteilen (E. 3.3.2 angefochtener Entscheid), kann der Wegfall des vorgenannten Aufenthaltszwecks (Aufenthalt bei den Eltern) keine Rolle mehr spielen. Der Widerrufs- bzw. Nichtverlängerungsgrund von Art. 62 Abs. 1 lit. d AuG (ab 1. Januar 2019: AIG) ist deshalb nicht erfüllt.
5.7. Nach dem Gesagten erweist sich die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführerin 3 als völker- und bundesrechtswidrig. Der Beschwerde ist demzufolge in Bezug auf das Aufenthaltsrecht der Beschwerdeführerin 3 begründet und somit gutzuheissen.
6.
6.1. Die Beschwerde (der Beschwerdeführer 1, 2 und 3) wird nach dem Gesagten teilweise gutgeheissen. Ziff. 1 des Dispositivs des vorinstanzlichen Urteils wird in Bezug auf die Verweigerung der Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführerin 3 und deren Wegweisung aufgehoben. Das Migrationsamt wird angewiesen, die Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführerin 3 zu verlängern. In Bezug auf die Verweigerung der Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführer 1 und 2 (ebenfalls Ziff. 1 des Dispositivs des vorinstanzlichen Urteils) wird die Beschwerde abgewiesen.
6.2.
6.2.1. Der Antrag der Beschwerdeführerin 3 um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren erweist sich aufgrund der vorgenannten teilweisen Gutheissung der Beschwerde als gegenstandslos. In Bezug auf die Beschwerdeführerin 3 werden für das bundesgerichtliche Verfahren keine Gerichtskosten erhoben (Art. 65, Art. 66 Abs. 4 BGG). Der Kanton Thurgau wird verpflichtet, dem Vertreter der Beschwerdeführerin 3 für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
6.2.2. In Bezug auf die Beschwerdeführerin 3 sind die Kosten- und Entschädigungsfolgen der kantonalen Rechtsmittelverfahren neu festzulegen. Die Sache wird diesbezüglich an die Vorinstanz zurückgewiesen (Art. 67 und Art. 68 Abs. 5 BGG).
6.3.
6.3.1. Den Beschwerdeführern 1 und 2 hat die Vorinstanz die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege in den kantonalen Rechtsmittelverfahren verweigert. Erstere bringen vor, entgegen der Vorinstanz seien ihre Rechtsmittel auf kantonaler Ebene nicht aussichtslos gewesen, und rügen damit sinngemäss eine Verletzung von <ref-law>. Sie machen geltend, alleine angesichts ihrer langen Aufenthaltsdauer in der Schweiz und der offenkundigen Wiedereingliederungsschwierigkeiten in Sri Lanka sei die Annahme der Aussichtslosigkeit haltlos.
6.3.2. Die Vorinstanz hat diesbezüglich im Wesentlichen erwogen, gemäss dem einschlägigen, kantonalen Verfahrensrecht könne bei bedürftigen Beschwerdeführern die unentgeltliche Rechtspflege nur bewilligt werden, wenn das Verfahren nicht als aussichtslos erscheine. Bereits im Jahr 2011 sei die Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführer nur aus Rücksicht auf die Ausbildungssituation der älteren Tochter verlängert worden. Auch eine anschliessende, zweimalige Verwarnung der Beschwerdeführer 1 und 2 habe nicht zu einer Verbesserung der Situation geführt, sondern diese habe sich weiter verschlechtert. Es sei deshalb mit der Rekursinstanz von der Aussichtslosigkeit bezüglich der Verfahren der Beschwerdeführer 1 und 2 auszugehen. Die Situation sei nicht vergleichbar mit jener der Beschwerdeführerin 3, denn diese sei in der Schweiz geboren und habe ihr ganzes, bisheriges Leben hier verbracht. Abgesehen davon sei der Sozialhilfebezug der Beschwerdeführerin 3 nicht dermassen hoch wie bei den Beschwerdeführern 1 und 2.
6.3.3. Aussichtslosigkeit liegt rechtsprechungsgemäss vor, wenn bei einem Rechtsmittel die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und das Rechtsmittel deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden kann. Dagegen gilt ein Rechtsmittel nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie - zumindest vorläufig - nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten, wobei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgebend sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 139 f.; Urteil 2C_239/2018 vom 26. März 2019 E. 2.2).
6.3.4. Es trifft zu, dass eine langjährige Aufenthaltsdauer bei einem Verfahren wegen Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung grundsätzlich einen wesentlichen Faktor zugunsten der betroffenen Person darstellt. Vorliegend ist jedoch zu berücksichtigen, dass ab dem verwaltungsgerichtlichen Entscheid im Jahre 2011 nur noch mit einer Aufrechterhaltung der Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführer 1 und 2 gerechnet werden konnte, wenn sich diese von der Sozialhilfe würden lösen können. Das vorliegende, in diesem Sinne zweite Verfahren wegen Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung, eingeleitet 2018, nachdem 2015 eine neuerliche Verwarnung erfolgt war, hatte deshalb kaum Erfolgsaussichten. Die diesbezüglichen Erwägungen der Vorinstanz und folglich der angefochtene Entscheid sind bundesrechtlich nicht zu beanstanden. Die Beschwerde ist demnach in diesem Punkt abzuweisen.
6.3.5. Aus denselben Überlegungen ist auch das Gesuch der Beschwerdeführer 1 und 2 um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen (vgl. <ref-law>). Auf die Erhebung von Gerichtskosten für das bundesgerichtliche Verfahren wird jedoch verzichtet (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Ziff. 1 des Dispositivs des vorinstanzlichen Urteils wird in Bezug auf die Verweigerung der Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführerin 3 und deren Wegweisung aufgehoben. Das Migrationsamt wird angewiesen, die Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführerin 3 zu verlängern. In Bezug auf die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführer 1 und 2 und die übrigen Punkte wird die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführer 1 und 2 um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Auf die Erhebung von Gerichtskosten für das bundesgerichtliche Verfahren wird verzichtet.
4.
Der Kanton Thurgau hat den Vertreter der Beschwerdeführerin 3 für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
5.
Die Sache wird in Bezug auf die Beschwerdeführerin 3 zur Neuverlegung der Kosten und Entschädigungen der kantonalen Rechtsmittelverfahren an die Vorinstanz zurückgewiesen.
6.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Oktober 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Quinto