Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1984) hat steuerrechtlichen Wohnsitz in U._/ZH. Zu den Steuerperioden 2009-2012 reichte er die Steuererklärungen trotz Mahnung nicht ein, worauf ihn das Steueramt des Kantons Zürich (KStA/ZH) nach pflichtgemässem Ermessen veranlagte. Die Veranlagungsverfügungen erwuchsen unangefochten in Rechtskraft.
B.
Der Steuerpflichtige leidet an einer schizoiden Persönlichkeitsstörung, die im Dezember 2014 diagnostiziert wurde. Am 4. März 2015 ersuchteer das KStA/ZH um Revision der Veranlagungsverfügungen 2009-2012. Dieses nahm die Eingabe als Revisionsgesuch und Gesuch um Wiedereinsetzung in den früheren Stand entgegen, worauf es am 4. Januar 2016 auf die Eingabe nicht eintrat. Das Steuerrekursgericht des Kantons Zürich und zuletzt das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, bestätigten dies (Entscheid SB.2016.00085 / SB.2016.00086 vom 31. Januar 2018).
C.
Mit Urteil 2C_251/2018 vom 16. März 2018 trat das Bundesgericht auf die Beschwerde und das Fristwiederherstellungsgesuch des Steuerpflichtigen vom 12. März 2018 nicht ein. Der Steuerpflichtige hatte die Eingabe durch die B._ AG, V._/SG, einreichen lassen, wobei die Rechtsschrift durch C._, Präsidentin des Verwaltungsrates mit Einzelunterschrift, unterzeichnet war. Das Bundesgericht erkannte, im Beschwerdepunkt fehle jedwede Begründung, und im Wiedereinsetzungspunkt sei auch im bundesgerichtlichen Verfahren zu verlangen, dass innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses ein Gesuch gestellt und die versäumte Rechtshandlung nachgeholt wird (<ref-law>). Es bleibe unklar, was der Steuerpflichtige mit seiner Eingabe im Einzelnen bewirken möchte.
D.
Der Steuerpflichtige liess alsdann mit Eingabe beim Bundesgericht vom 9. April 2018 um "Revision bzw. Aufhebung" des Urteils 2C_251/2018 vom 16. März 2018 ersuchen. Der Steuerpflichtige hatte auch diese Eingabe durch die B._ AG ausarbeiten lassen, wobei die Rechtsschrift abermals die alleinige Unterschrift von C._ trug. Das Bundesgericht wies das Revisionsgesuch mit Urteil 2F_6/2018 vom 7. Mai 2018 (Versand: 15. Mai 2018; Zustellung: 22. Mai 2018) ab. Es hielt unter anderem fest (E. 2.5) :
"Der Steuerpflichtige lässt im Revisionsverfahren erstmals vorbringen, im Auftrag der Steuervertreterin habe sich Rechtsanwalt D._, V._/ SG, vor Versand der Eingabe vom 12. März 2018 mit dem Bundesgericht telefonisch in Verbindung gesetzt und erkundigt, wie zu verfahren sei, nachdem die Steuervertreterin erkrankt sei. Eine namentlich bezeichnete Gerichtsschreiberin habe ihm dargelegt, dass "möglichst Beschwerde innerhalb der Beschwerdefrist einzureichen sei, diese aber bis zur Erlangung der Arbeitsfähigkeit [...] nicht begründet werden muss". Von einer derartigen Auskunft der besagten Gerichtsschreiberin ist dem Bundesgericht nichts bekannt, was aber ohnehin von keiner Bedeutung wäre, nachdem der Beginn des Fristenlaufs noch bevorsteht. Dieser wird erst einsetzen, sobald die krankheitsbedingte Verhinderung der Steuervertreterin behoben ist. Innerhalb der gesetzlichen Frist von 30 Tagen wird sie dann ein Fristwiederherstellungsgesuch stellen und Beschwerde erheben können. Über die Sachurteilsvoraussetzungen und die materielle Begründetheit der beiden erforderlichen Eingaben wird erst dann zu entscheiden sein."
E.
Am 25. Juni 2018 (Poststempel) liess die E._ AG, W._/ZG, beim Bundesgericht eine detailliert ausgearbeitete 17-seitige Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid SB.2017.00081 des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 9. Mai 2018 (Versand: 22. Mai 2018) einreichen. Vertreterin des Steuerpflichtigen war die B._ AG, deren Eingabe die (alleinige) Unterschrift von C._ enthält. Das Bundesgericht hat in diesem Zusammenhang das Verfahren 2C_549/2018 eröffnet. Dieses ist rechtshängig.
F.
Die B._ AG reichte am 10. Oktober 2018 (Poststempel) namens des Steuerpflichtigen im Anschluss an das Urteil 2F_6/2018 vom 7. Mai 2018 beim Bundesgericht ein Gesuch um Wiedereinsetzung in den früheren Stand und eine Beschwerdebegründung ein. Alleinunterzeichnerin der Rechtsschrift ist C._. Zur Begründung des Fristwiederherstellungsgesuchs führte die B._ AG aus:
"1. (...) Die Verhinderung fiel sodann am 10. September 2018 (teilweise) dahin; das Versäumte wird nun innert Frist nachgeholt. Die Vertreterin wurde währen ihrer krankheitsbedingten Arbeitsunfähigkeit auch in prozessualer Hinsicht krankgeschrieben. Obschon sie noch eine teilweise Arbeitsunfähigkeit aufweist, kommt sie der gesetzlichen Frist nach.
2. (...) Die Vertreterin wurde vom 6. März 2018 bis zum 10. September 2018 zu 100% krankgeschrieben; eine Prozesserstehungsfähigkeit wurde ihr seitens des behandelnden Onkologen während der Dauer dieser Behandlung (Chemotherapie) aberkannt. Die gesetzliche Frist zur Einreichung der Beschwerde im Fristwiederherstellungsgesuch gemäss <ref-law> binnen 30 Tagen ist mit heutiger Eingabe gewahrt. Es wird daher um Fristwiederherstellung der Beschwerde binnen Frist höflich ersucht."
G.
Die B._ AG bzw. C._ belegen die Arbeitsunfähigkeit mit folgenden ärztlichen Attesten:
- Arztzeugnis vom 9. März 2018, Zentrum für Gastroenterologie und Hepatologie AG, Zürich, Prof. Dr. med. Stephan Vavricka: "... seit dem 6. März 2018 arbeitsunfähig ist. Der Zeitpunkt der Wiederaufnahme der Arbeitsfähigkeit ist aktuell noch nicht absehbar".
- Arztzeugnis vom 5. April 2018, Onkologie Bellevue, Zürich, Dr. med. Basil A. Bättig: "... ab dem 6. März 2018 arbeitsunfähig ist. Frau C._ wurde vom 14. März 2018 bis zum 25. März 2018 in der Klinik Bethanien stationär behandelt".
- Arztbericht vom 19. Juni 2018, GZO Spital Wetzikon, Prof. Dr. med. Ursula Kapp: " (zum senosierenden Adenokarzinom vom muzinösen Typ nach WHO [...]) 15. März 2018: CT Abdomen (...). 19. März 2018: Hemikolektomie rechts (...). 17. April bis 29. Mai 2018: Dritte Zyklen einer aduvanten Chemotherapie (...), Abbruch der Therapie nach dem dritten Zyklus wegen unerträglichen Nebenwirkungen (...). 19. Juni 2018: Empfehlung der Fortführung der Chemotherapie".
- Arztzeugnis vom 21. Juni 2018, GZO Spital Wetzikon, Prof. Dr. med. Ursula Kapp: "... sich vom 6. April 2018 bis 19. Juni 2018 in meiner Behandlung befand und bis zum 30. Juni 100% arbeitsunfähig sein wird. Sie hat eine intensive Chemotherapie erhalten, auf die sie leider mit heftigen polyneuropathischen Nebenwirkungen reagiert hat".
- Arztzeugnis vom 10. August 2018, Onkologie Bellevue, Zürich, Dr. med. Basil A. Bättig: "... wird folgende Arbeitsunfähigkeit bescheinigt: 100% vom 1. Juli 2018 bis zum 31. August 2018, nicht prozesserstehungsfähig".
- Arztzeugnis vom 4. Oktober 2018, Onkologie Bellevue, Zürich, Dr. med. Basil A. Bättig: "... wird folgende Arbeitsunfähigkeit bescheinigt: 100% vom 1. September 2018 bis zum 10. September 2018, nicht prozesserstehungsfähig".
H.
Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (<ref-law> [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen abgesehen.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten liegen - abgesehen von der Fristwahrung, die mittels eines Gesuchs um Wiedereinsetzung in den früheren Stand nachgeholt werden soll - vor (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 BGG in Verbindung mit <ref-law> [SR 642.11] und Art. 73 StHG [SR 642.14]).
1.2. Das Bundesgericht prüft das Bundesrecht von Amtes wegen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3 S. 23 f.) und mit uneingeschränkter (voller) Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 236).
1.3. Im Unterschied dazu geht das Bundesgericht der angeblichen Verletzung verfassungsmässiger Individualrechte (unter Einschluss der Grundrechte) nur nach, falls eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (<ref-law>; qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil grundsätzlich den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 175).
2.
2.1. Der Steuerpflichtige hat die 30-tägige Frist (<ref-law>) zur Anfechtung des streitbetroffenen Entscheids SB.2016.00085 / SB.2016.00086 des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 31. Januar 2018 (Sachverhalt, lit. B) versäumt. Streitig und zu prüfen ist vorab, ob im bundesgerichtlichen Verfahren die 30-tägige Frist zur Einreichung eines Gesuchs um Wiedereinsetzung in den früheren Stand gewahrt sei. Nur falls dies zuträfe, wäre die Beschwerde bzw. die Sache selbst zu untersuchen.
2.2.
2.2.1. Ist eine Partei oder ihre Vertretung durch einen anderen Grund als die mangelhafte Eröffnung unverschuldeterweise abgehalten worden, fristgerecht zu handeln, wird die Frist wiederhergestellt, sofern die Partei unter Angabe des Grundes innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses darum ersucht und die versäumte Rechtshandlung nachholt (<ref-law>). Wiederherstellung kann auch nach Eröffnung des Urteils bewilligt werden; wird sie bewilligt, so wird das Urteil aufgehoben (<ref-law>).
2.2.2. Mithin ist auf eine verspätete Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur einzutreten, wenn die steuerpflichtige Person einerseits nachweist, dass sie oder ihre Vertretung unverschuldet - durch Militär- oder Zivildienst, Krankheit, Landesabwesenheit oder andere erhebliche Gründe - an der rechtzeitigen Einreichung verhindert war (materielle Voraussetzung) und anderseits das Rechtsmittel innert 30 Tagen nach Wegfall der Hinderungsgründe eingereicht wurde (formelle Voraussetzung). Wird eine Krankheit als Hinderungsgrund angerufen, muss die Beeinträchtigung praxisgemäss derart erheblich ausfallen, dass die steuerpflichtige Person durch sie geradezu davon abgehalten wird, innert Frist zu handeln oder eine Drittperson mit der notwendigen Vertretung zu betrauen (<ref-ruling> E. 2 S. 87; <ref-ruling> E. 2a S. 255 f.).
2.2.3. Der Nachweis der hinreichend schweren Krankheit unterliegt nach dem Grundsatz der freien Beweiswürdigung zwar keiner festen Beweisregel. Wird eine Erkrankung als Grund für die versäumte Frist angerufen, kommt in der Praxis einem zeitnah erstellten, aussagekräftigen Arztzeugnis, dem zufolge das Fristversäumnis gar nicht oder höchstens leicht verschuldet ist, ausschlaggebende Bedeutung zu (zum Ganzen Urteil 2C_451/2016 vom 8. Juli 2016 E. 2.2, in: ASA 85 S. 90, StR 71/2016 S. 811). Die Beweislast hierfür trägt die zur Prozesshandlung verpflichtete Person, denn diese leitet aus dem unverschuldeten Hindernis Rechte ab (so <ref-law>, der als allgemeiner Grundsatz auch im Verwaltungsrecht massgebend ist; dazu <ref-ruling> E. 3.2.6 S. 439; Urteil 2C_181/2018 vom 12. März 2018 E. 2.2.2).
2.3.
2.3.1. Das Bundesgericht ist mit Urteil 2C_251/2018 vom 16. März 2018 auf die Beschwerde und das Fristwiederherstellungsgesuch des Steuerpflichtigen vom 12. März 2018(verfasst durch die B._ AG und [allein] unterzeichnet durch C._) nicht eingetreten, zumal unklar geblieben war, was der Steuerpflichtige mit seiner Eingabe im Einzelnen bewirken wollte. Im Wiedereinsetzungspunkt sei ein etwaiges Gesuch gemäss <ref-law> innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses zu stellen (Sachverhalt, lit. C). Mit Eingabe vom 9. April 2018(verfasst wiederum durch die B._ AG und [allein] unterzeichnet durch C._) ersuchte der Steuerpflichtige um "Revision bzw. Aufhebung" des Urteils 2C_251/2018 vom 16. März 2018, was zur Abweisung führte (Urteil 2F_6/2018 vom 7. Mai 2018; Sachverhalt, lit. D). Am 25. Juni 2018verfasste die B._ AG ([allein] unterzeichnet durch C._) zugunsten einer Drittpartei eine detailliert ausgearbeitete 17-seitige Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Sachverhalt, lit. E), ehe sie am 10. Oktober 2018in der ursprünglichen Angelegenheit ein Gesuch um Wiedereinsetzung in den früheren Stand und eine nunmehr begründete Beschwerde einreichte (Sachverhalt, lit. F).
2.3.2. In ihrer jüngsten Eingabe vom 10. Oktober 2018 macht die B._ AG nun geltend, die vorbestehende Arbeitsunfähigkeit von C._ sei (erst) am 10. September 2018 entfallen, und zwar nur "teilweise". Tatsache ist aber, dass die B._ AG, stets durch C._ handelnd, trotz unstreitig attestierter Arbeitsunfähigkeit vom 6. März 2018 bis zum 10. September 2018 mit ausführlichen Schreiben vom 12. März 2018, 9. April 2018 und 25. Juni 2018 an das Bundesgericht zu gelangen vermochte. Weshalb der Vertreterin diese anspruchsvollen Prozesshandlungen (so jedenfalls die 17-seitige Beschwerde vom 25. Juni 2018; Sachverhalt, lit. E) möglich waren, es ihr gleichzeitig aber benommen gewesen sein soll, in Bezug auf die streitbetroffene Angelegenheit zu handeln, ist nicht ersichtlich und liegt nicht auf der Hand. Die B._ AG geht auf diese Unstimmigkeit auch gar nicht ein. Die Chemotherapie ist zwischen dem 17. April 2018 und dem 29. Mai 2018 nachgewiesen. Rund einen Monat nach Abschluss der Therapie war C._ dann wohl in der Lage, die Beschwerde vom 25. Juni 2018 einzureichen. Mit Blick auf diese überholende Handlung von C._ erübrigt es sich, die Arztzeugnisse im Detail zu würdigen.
2.3.3. Wann die 30-tägige Frist, um im vorliegenden Fall die Wiedereinsetzung in den früheren Stand zu beantragen, eingesetzt hat, kann dabei offenbleiben. In Gesamtwürdigung der Umstände ist immerhin davon auszugehen, dass die Beschwerde kaum erst am letzten Tag der Frist verfasst, sondern mit einem gewissen Vorlauf an die Hand genommen worden ist (Versand durch das Verwaltungsgericht: 22. Mai 2018; Sachverhalt, lit. E). Die 30-tägige Frist setzte im Wiederherstellungspunkt (spätestens) am 25. Juni 2018 ein. Für den massgebenden Zeitraum bis zum 24. Juli 2018 fehlt ein zeitnah erstelltes und vor allem inhaltlich spezifisches Arztzeugnis, welchem entnommen werden könnte, dass die Vertreterin gesundheitlich zu sehr beeinträchtigt war, um innert der Wiederherstellungsfrist zu handeln oder eine Drittperson mit der notwendigen Vertretung zu betrauen (vorne E..2.2.2).
2.3.4. Die gesundheitlichen Umstände können es gebieten, dass die Vertretung eine Stellvertretung bezeichnet. Streitgegenstand des Verfahrens vor dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, das zum Entscheid SB.2016.00085 / SB.2016.00086 vom 31. Januar 2018 führte (Sachverhalt, lit. B), war die rein rechtliche Frage, ob das KStA/ZH bundesrechtskonform auf das Revisionsgesuch und das Gesuch um Wiedereinsetzung in den früheren Stand vom 4. März 2015 nicht eingetreten sei. Weshalb es hierzu der Mitwirkung des Steuerpflichtigen bedurft hätte, der an einer schizoiden Persönlichkeitsstörung leidet und nach den Darlegungen der B._ AG auf einen Vertreterwechsel höchst sensibel reagieren soll, ist nicht einsichtig.
2.3.5. Die B._ AG erklärte hierzu in ihrer Eingabe vom 9. April 2018, eine namentlich bezeichnete Gerichtsschreiberin des Bundesgerichts habe "RA lic. iur. D._, F._ Rechtsanwälte in V._, für dessen Kanzlei die Unterzeichnete ebenfalls arbeitet, auf dessen telefonische Anfrage" konkrete Auskünfte erteilt. Abgesehen davon, dass dem Bundesgericht von einer derartigen Auskunft der besagten Gerichtsschreiberin nichts bekannt ist (Urteil 2F_6/2016 vom 7. Mai 2018 E. 2.5; Sachverhalt, lit. D) und das Vorbringen als wenig glaubwürdig erscheint, räumt die B._ AG selber ein, dass in der streitbetroffenen Angelegenheit auch eine fachkundige Drittperson tätig geworden sei. Nachdem das Mandat aufgrund der rein rechtlichen Fragestellung, die keinen vertieften persönlichen Kontakt mit dem Steuerpflichtigen erforderte, durchaus delegiert werden konnte und Rechtsanwalt D._ bereits mit der Sache befasst war, wäre es der B._ AG schon längst vor dem 10. Oktober 2018 möglich gewesen, ein Fristwiederherstellungsgesuch stellen zu lassen, soweit C._ hierzu nicht ohnehin selber imstande gewesen wäre.
2.4. Zusammenfassend ergibt sich, dass das Gesuch um Wiedereinsetzung in den früheren Stand vom 10. Oktober 2018 verspätet erfolgt ist, wobei offenbleiben kann, zu welchem Zeitpunkt die Frist zu laufen begonnen hat. Dies war aber jedenfalls vor dem 10. September 2018 der Fall. Das Gesuch ist mithin abzuweisen, weshalb die Beschwerde verspätet erfolgt und auf sie nicht einzutreten ist.
3.
3.1. Nach dem Unterliegerprinzip (<ref-law>) trägt der Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens.
3.2. Dem Kanton Zürich, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Entschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
1.1. Das Gesuch um Wiederherstellung der Frist betreffend die direkte Bundessteuer, Steuerperioden 2009-2012, wird abgewiesen.
1.2. Auf die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer, Steuerperioden 2009-2012, wird nicht eingetreten.
2.
2.1. Das Gesuch um Wiederherstellung der Frist betreffend die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Zürich, Steuerperioden 2009-2012, wird abgewiesen.
2.2. Auf die Beschwerde betreffend die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Zürich, Steuerperioden 2009-2012, wird nicht eingetreten.
3.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. November 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher