Sachverhalt:
A.
A.a. Der kosovarische Staatsangehörige A._ (geb. 1974) kam im Alter von 17 Jahren in die Schweiz. Am 19. Januar 1994 heiratete er seine Landsfrau B._ (geb. 1976), welche am 26. August 1995 in die Schweiz einreiste. Aus der Ehe gingen drei Kinder hervor (geb. 1997, 1998 und 2001). Die ganze Familie verfügt je über Aufenthaltsbewilligungen. Am 1. Oktober 2014 widerrief das Amt für Migration des Kantons Schwyz die Aufenthaltsbewilligung von A._, wies ihn weg und hielt ihn an, die Schweiz bis zum 30. November 2014 zu verlassen. Das Bundesgericht bestätigte die entsprechende Verfügung letztinstanzlich mit Urteil vom 26. September 2016 (2C_159/2016). Es ging mit den kantonalen Behörden davon aus, dass A._ erheblich und wiederholt gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung in der Schweiz verstossen habe (Art. 62 Abs. 1 lit. c AuG [SR 142.20]).
A.b. Am 4. November 2016 forderte das Amt für Migration des Kantons Schwyz A._ auf, die Schweiz bis zum 31. Dezember 2016 zu verlassen. Am 12. Dezember 2016 ersuchte dieser darum, seine Ausreisefrist um drei Monate zu verlängern, was das Amt am 16. Dezember 2016 ablehnte. Die hiergegen an den Regierungsrat des Kantons Schwyz gerichtete Beschwerde blieb am 7. März 2017 ohne Erfolg. A._ habe sich in den bisherigen Verfahren - so die Begründung - nicht auf die von ihm neu geltend gemachten gesundheitlichen Probleme (Obstruktives Schlafapnoe-Syndrom [OSAS], primäre Glomerulonephritis [Entzündung der Nierenkörperchen], Kniebeschwerden sowie psychische Beeinträchtigungen) berufen; diese seien nicht lebensbedrohlich und machten keine akute ärztliche Behandlungen notwendig. A._ habe das Land neu bis zum 31. März 2017 zu verlassen; auf ein weiteres Verlängerungsgesuch mit identischer Begründung müsse das Amt für Migration nicht mehr eintreten.
A.c. Am 24. März 2017 ersuchte A._ darum, seine Ausreisefrist bis zum 30. April 2017 zu verlängern, da er sich noch einer Knieoperation unterziehen wolle. Das Amt für Migration des Kantons Schwyz trat am 28. März 2017 auf die entsprechende Eingabe nicht ein. A._ gelangte hiergegen an den Regierungsrat des Kantons Schwyz, welcher die Beschwerde an das Verwaltungsgericht weiterleitete. Am 31. März 2017 beging A._ einen Suizidversuch. Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz wies die Beschwerde gegen die Verfügung vom 28. März 2017 am 25. April 2017 im Sinne der Erwägungen ab: Die Auswirkungen der Gesundheitsbeschwerden seien am 7. März 2017 rechtskräftig beurteilt worden; die Berufung auf den Eingriff vom 27. März 2017 (nicht dringliche Knieoperation kurz vor Ablauf der Ausreisefrist) sei rechtsmissbräuchlich. Der Suizidversuch und die anschliessende fürsorgerische Unterbringung als neue, nach Gesuchs- und Beschwerdeeinreichung verwirklichte Tatsachen stünden indessen einem umgehenden Vollzug der Wegweisung entgegen. Die Dauer des Aufschubs sei durch das Amt für Migration in Zusammenarbeit mit den behandelnden Ärzten festzulegen.
B.
Am 9. Mai 2017 ersuchte A._ darum, ihm eine Härtefallbewilligung zu erteilen, worauf das Amt für Migration am 6. Juni 2017 nicht eintrat. Es stellte überdies fest, dass kein Anlass bestehe, dem Staatssekretariat für Migration (SEM) die Prüfung einer vorläufigen Aufnahme zu beantragen. A._ leide weder an somatischen noch psychischen Erkrankungen, die in seiner Heimat nicht behandelt werden könnten, weshalb sich eine Rückkehr weder als unzulässig noch unzumutbar oder unmöglich erweise. Soweit er um die Erteilung einer neuen Bewilligung ersuche, habe er den Ausgang eines entsprechenden Verfahrens im Ausland abzuwarten. Nachdem er die Schweiz nicht verlassen und sich (noch) nicht in der Heimat bewährt habe, erfülle er die Voraussetzungen hierfür so oder anders nicht. Die hiergegen gerichteten kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg (durch den Regierungsrat am 16. August 2017 genehmigte Präsidialverfügung des Landammans vom 7. August 2017 und Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Schwyz vom 20. Dezember 2017).
C.
A._ beantragt vor Bundesgericht, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Schwyz betreffend "Erteilung Aufenthaltsbewilligung/vorläufige Aufnahme" vollumfänglich aufzuheben, festzustellen, dass der Vollzug der Wegweisung unzulässig sei, und das Amt für Migration anzuweisen, das Staatssekretariat für Migration (SEM) um die Erteilung der vorläufigen Aufnahme zu ersuchen; eventuell sei die Sache zu weiteren Abklärungen an die Vorinstanz zurückzuweisen; zudem seien ihm "für das verwaltungsinterne Beschwerdeverfahren (Regierungsrat des Kantons Schwyz) " die Verfahrenskosten zu erlassen sowie "eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen".
Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz hat darauf verzichtet, sich zur Beschwerde zu äussern. Der Regierungsrat und das Amt für Migration des Kantons Schwyz beantragen, die Beschwerde abzuweisen, da die verschiedenen geltend gemachten gesundheitlichen Probleme im Kosovo behandelt werden könnten. Der Regierungsrat ersucht das Bundesgericht darum, die Wegweisung von A._ "per sofort vollstreckbar zu erklären" und diesem "eine kurze, nicht erstreckbare Frist zur Ausreise anzusetzen". A._ hat am 18. Mai 2018 an seinen Anträgen und Ausführungen festgehalten. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) als beschwerdebefugte Bundesbehörde hat sich nicht vernehmen lassen.
Mit Verfügung vom 23. Februar 2018 legte der Abteilungspräsident der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung bei.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unzulässig gegen (1) Entscheide betreffend ausländerrechtliche Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>), (2) gegen die mit dem negativen Bewilligungsentscheid verbundene Wegweisungsverfügung (vgl. Art. 64 Abs. 1 lit. c AuG i.V.m. <ref-law>) sowie (3) gegen die vorläufige Aufnahme (<ref-law>). Ob und inwieweit die kantonalen Behörden wegen eines schwerwiegenden persönlichen Härtefallseine Bewilligung hätten erteilen müssen (vgl. Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG [allgemeiner Härtefall]), kann das Bundesgericht nicht prüfen, da sich seine Zuständigkeit auf Anspruchs bewilligungen beschränkt (vgl. <ref-law> und Art. 96 AuG; vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 348; Urteil 2C_120/2016 vom 9. Februar 2016 E. 2.1). Bei der Erteilung der mit dem Härtefall verbundenen Bewilligung geht es um einen kantonalen Ermessensentscheid im Rahmen von Art. 96 AuG (vgl. MARC SPESCHA, in: Spescha et al. [Hrsg.], Migrationsrecht, 4. Aufl. 2015, N. 2 und 5 zu <ref-law>). Da sich ein Anspruch auf Aufenthalt praxisgemäss weder aus dem Willkürverbot, dem Rechtsgleichheitsgebot noch dem Verhältnismässigkeitsprinzip ableiten lässt, ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten in diesem Zusammenhang ausgeschlossen (vgl. <ref-law>; vgl. in <ref-ruling> ff. nicht veröffentlichte E. 1.2; <ref-ruling> E. 2 S. 308; <ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 6.2; Urteile 2D_59/2011 vom 22. Oktober 2011 E. 2.2). Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist - unter Vorbehalt der "Star"-Praxis - mangels eines rechtlich geschützten Interesses der betroffenen Person ebenfalls nicht gegeben (vgl. die Urteile 2C_1035/2017 vom 20. Juli 2018 E. 1.1 und 2C_866/2017 vom 7. März 2018 E. 1, mit weiteren Hinweisen).
1.2. Weggewiesene Personen können gegen den kantonalen Wegweisungsentscheid bzw. das Verneinen von Vollzugshindernissen durch die kantonalen Behörden indessen mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht gelangen, soweit sie sich dabei in vertretbarer Weise auf besondere verfassungsmässige Rechte berufen, die ihnen unmittelbar ein rechtlich geschütztes Interesse im Sinne von <ref-law> verschaffen. Zu denken ist dabei an das Recht auf Schutz des Lebens (Art. 2 EMRK/<ref-law>), an das Verbot jeder Art grausamer, unmenschlicher oder erniedrigender Behandlung oder Bestrafung (Art. 3 EMRK/Art. 10 Abs. 3 und Art. 25 Abs. 3 BV) sowie an das Gebot, Flüchtlinge nicht in einen Staat auszuschaffen oder auszuliefern, in dem sie verfolgt werden (<ref-law>; BGE <ref-ruling> E. 3.3 mit Hinweisen; vgl. auch das Urteil 2C_819/2016 vom 14. November 2016 E. 1 u. 2.4). Sind entsprechende besondere verfassungsmässige Rechte als verletzt gerügt, kann auch vorgebracht werden, der angefochtene Entscheid missachte das Willkürverbot oder das Rechtsgleichheitsgebot (vgl. Urteil 2C_868/2016 vom 23. Juni 2017 E. 3.1).
1.3. Der Beschwerdeführer macht geltend, seine schweren Krankheiten, insbesondere die Posttraumatische Belastungsstörung in Verbindung mit der rezidivierenden depressiven Störung mit schweren Episoden und akuter Suizidalität, könnten im Kosovo nicht angemessen behandelt werden; durch die Wegweisung werde sein Leben gefährdet. Die Rückführung in den Kosovo bzw. die Feststellung im angefochtenen Entscheid, es bestünden keine Vollzugshindernisse, verletzten Art. 3 EMRK, Art. 10 Abs. 3 und Art. 25 Abs. 3 BV (Verbot grausamer, unmenschlicher oder erniedrigender Behandlung). Im Kanton Zürich sei bei einer analogen Situation auf Antrag des kantonalen Migrationsamts eine vorläufige Aufnahme durch das Staatssekretariat für Migration (SEM) gewährt worden; die Weigerung der kantonalen Behörde, eine solche zu beantragen, verletze deshalb das Gleichbehandlungsgebot. Die Eingabe des Beschwerdeführers erfüllt die gesetzlichen Zulässigkeitsvoraussetzungen (vgl. auch Art. 100, 113, 115 und <ref-law>); auf seine subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist einzutreten
2.
2.1. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Dabei gilt eine qualifizierte Begründungspflicht: Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten mit Einschluss der aus der EMRK fliessenden Ansprüche nur insofern, als die entsprechende Rüge in der Beschwerdeschrift klar vorgebracht und verfassungsbezogen begründet wird (Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>). Es ist darzulegen, welches Grundrecht im angefochtenen Entscheid inwiefern verletzt worden sein soll. Ohne entsprechende rechtsgenüglich begründet erhobene Rüge kann das Bundesgericht eine Beschwerde selbst dann nicht gutheissen, wenn tatsächlich eine Verfassungsverletzung vorliegt (<ref-ruling> E. 2.2 S. 232 und 2C_643/2015 vom 24. November 2015 E. 2.1). Es genügt nicht, Verfassungs- oder Konventionsverletzungen zu behaupten, ohne qualifiziert zu begründen, worin diese liegen.
2.2. Beanstandet die beschwerdeführende Person die Sachverhaltsfeststellung, so muss sie in Auseinandersetzung mit den Ausführungen der Vorinstanz dartun, dass und inwiefern diese den Sachverhalt willkürlich festgestellt hat (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 1.3). Da es sich dabei um eine Grundrechtsrüge handelt, muss die Begründung auch diesbezüglich die Anforderungen von <ref-law> erfüllen. Rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsermittlung und an der Beweiswürdigung genügt den gesetzlichen Begründungs- und Rügeanforderungen nicht (vgl. <ref-ruling> E. 10.1 S. 445 mit Hinweisen).
2.3. Der Beschwerdeführer kritisiert den angefochtenen Entscheid teilweise appellatorisch, etwa wenn er eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör geltend macht (<ref-law>), indessen nicht weiter darlegt, inwiefern, d.h. in welchem Teilgehalt von <ref-law>, die Vorinstanz seine verfassungsmässigen Verfahrensrechte missachtet haben soll. Auch soweit der Beschwerdeführer einwendet, die Vorinstanz habe seine diagnostizierten Krankheiten bzw. deren Tragweite "unrichtig" festgestellt, er jedoch damit verbunden keine Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts rügt, ist auf seine Ausführungen nicht weiter einzugehen.
3.
Der Beschwerdeführer macht in formeller Hinsicht geltend, die Vorinstanz habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) insofern verletzt, als sie ihren Entscheid nicht hinreichend begründet habe und zu wenig auf seine Situation eingegangen sei. Im Übrigen habe sie den Sachverhalt hinsichtlich seiner gesundheitlichen Situation und den Behandlungsmöglichkeiten im Kosovo willkürlich festgestellt.
3.1.
3.1.1. Der durch <ref-law> gewährleistete Grundsatz des rechtlichen Gehörs garantiert ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht im Verfahren. Die von einer Verfügung betroffene Person soll zu den wesentlichen Punkten Stellung nehmen können, bevor die Behörde entscheidet. Die Begründung des Entscheids muss zumindest kurz die wesentlichen Überlegungen nennen, von denen die Behörde sich hat leiten lassen und auf die sie ihren Entscheid stützt. Hingegen ist nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 236, 184 E. 2.2.1 S. 188; je mit Hinweisen).
3.1.2. Die Kritik des Beschwerdeführers erweist sich als unbegründet: Das Verwaltungsgericht ist auf seine Vorbringen eingegangen und hat auf die konkreten gesundheitlichen Probleme Bezug genommen. Es hat die vom Beschwerdeführer eingereichten Berichte der Schweizerischen Flüchtlingshilfe "Kosovo: Behandlung einer posttraumatischen Belastungsstörung und einer schweren depressiven Episode" vom 31. August 2016, "Kosovo: Psychiatrische und psychotherapeutische Behandlung" vom 3. April 2017 und "Kosovo: Behandlungsmöglichkeiten bei akutem Nierenversagen" vom 10. Dezember 2013 berücksichtigt (vgl. E. 2.4 des angefochtenen Entscheids). In der Folge ist es detailliert darauf eingegangen, warum gestützt auf die Focus-Berichte des Staatssekretariats für Migration (SEM) und unter Einbezug weiterer Quellen (bundesgerichtliche und bundesverwaltungsgerichtliche Urteile) davon auszugehen sei, dass die gesundheitlichen Probleme des Beschwerdeführers grundsätzlich auch im Kosovo behandelt werden könnten und der Wegweisung diesbezüglich kein Vollzugshindernis entgegenstehe. Dass das Verwaltungsgericht dabei teilweise auf von ihm bereits beurteilte Punkte in seinem rechtskräftigen Urteil vom 25. April 2017 Bezug genommen hat, verstösst nicht gegen die verfassungsrechtliche Pflicht, seinen zweiten Entscheid sachgerecht zu begründen.
3.1.3. Trotz des Verweises auf seine früheren Darlegungen ging das Verwaltungsgericht im Hinblick auf das Vorliegen allfälliger Vollzugshindernisse detailliert auf die verschiedenen Krankheiten und die entsprechenden Arztberichte ein (Kniebeschwerden: E. 3.3.3; IgA-Nephropathie sowie mässige bis schwere Arteriolohyalinose: E. 3.3.4; psychische Probleme [Posttraumatische Belastungsstörung in Kombination mit rezidivierender depressiver Störung, akute Suizidalität und schizoaffektive Erkrankung]: E. 3.3.5). Der Beschwerdeführer war gestützt hierauf ohne Weiteres in der Lage, die Tragweite des Urteils zu erkennen und dieses sachgerecht anzufechten (vgl. <ref-ruling> E. 5.2).
3.2. Nach der bundesgerichtlichen Praxis liegt keine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör vor (<ref-law>), wenn das Gericht auf die Abnahme beantragter Beweismittel verzichtet, weil es auf Grund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener (antizipierter) Beweiswürdigung annehmen darf, dass seine Erkenntnisse auch durch weitere Erhebungen nicht mehr entscheidwesentlich beeinflusst würden (<ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f. mit Hinweisen; Urteil 2C_785/2015 vom 29. März 2016 E. 3.1). Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, das Verwaltungsgericht habe die Beweise willkürlich gewürdigt bzw. zu Unrecht in antizipierter Beweiswürdigung entschieden, sind seine Ausführungen bei den entsprechenden materiellen Punkten zu behandeln (vgl. nachstehend E. 5 und 6.1).
4.
4.1. Der Vollzug der Weg- oder Ausweisung einer physisch oder psychisch erkrankten Person kann nach der Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (EGMR) den Schutzbereich von Art. 3 EMRK tangieren, wenn die Erkrankung eine gewisse Schwere erreicht und hinreichend substanziiert dargetan ist, dass die erkrankte Person im Falle einer Ausschaffung in den Heimatstaat ernsthaft und konkret Gefahr läuft, einer durch Art. 3 EMRK verbotenen Behandlung ausgesetzt zu sein (Urteil des EGMR N. gegen United Kingdom vom 27. Mai 2008 [Nr. 26565/05], § 29 f.). Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn sie sich in einem lebenskritischen Zustand befindet, und der Staat, in welchen sie ausgeschafft werden soll, keine genügende medizinische Versorgung bietet und dort keine Familienangehörigen für ihre grundlegendsten Lebensbedürfnisse aufkommen können (Urteil des EGMR N. gegen United Kingdom vom 27. Mai 2008 [Nr. 26565/05], § 42; BGE <ref-ruling> E. 4.3 S. 311 f.; vgl. auch das Urteil 2C_1130/2013 vom 23. Januar 2015 E. 3).
4.2. Der EGMR hat im Grundsatzentscheid Paposhvili seine Position zum Verhältnis von Krankheit und Zulässigkeit eines Wegweisungsvollzugs im Lichte von Art. 3 EMRK vertieft (Urteil des EGMR Paposhvili gegen Belgien vom 13. Dezember 2016 [Nr. 41738/10] § 183) : Ein aussergewöhnlicher Fall, in dem eine aufenthaltsbeendende Massnahme unter Verbringung einer gesundheitlich angeschlagenen Person in ihren Heimatstaat Art. 3 EMRK verletzt, liegt demnach vor, wenn für diese im Fall der Rückschiebung die konkrete Gefahr besteht, dass sie aufgrund fehlender angemessener Behandlungsmöglichkeiten oder fehlenden Zugangs zu Behandlungen, einer ernsthaften, rapiden und irreversiblen Verschlechterung des Gesundheitszustands ausgesetzt wird, die intensives Leiden oder eine wesentliche Verringerung der Lebenserwartung nach sich zieht.
4.3. Aus Art. 3 EMRK bzw. Art. 10 Abs. 3 und Art. 25 Abs. 3 BV ergeben sich nicht nur inhaltliche, sondern auch verfahrensrechtliche Pflichten: Hat die betroffene Person die ernsthafte Gefahr, wegen gesundheitlicher Probleme einer unmenschlichen oder erniedrigenden Behandlung ausgesetzt zu sein, hinreichend konkretisiert ("real risk"), sind alle vernünftigen Zweifel zu beseitigen, dass sich im Zusammenhang mit ihrer Verbringung in den Heimat- oder in einen Drittstaat die drohende Gefahr realisiert: Bei der Prüfung, ob und welches Risiko medizinisch besteht, sind allgemeine Berichte, etwa solche der Weltgesundheitsorganisation (WHO) oder anerkannter NGOs, sowie die konkrete medizinische Diagnose im Einzelfall zu berücksichtigen. Dabei muss von Fall zu Fall abgeschätzt werden, wie sich der Gesundheitszustand nach der Rückschiebung entwickeln dürfte. Es geht dabei weder darum, dass der gleiche Behandlungsstandard im Zielstaat garantiert wird wie im Staat, der zu verlassen ist, noch dass aus Art. 3 EMRK ein Recht auf eine spezifische Behandlung abgeleitet wird, welche auch dem Rest der Bevölkerung nicht zur Verfügung steht. Die Behörden haben zu prüfen, inwieweit die betroffene Person einen wirksamen Zugang zur notwendigen Behandlung im Zielstaat hat. Bei fortbestehenden ernsthaften Zweifeln sind gegebenenfalls - als Voraussetzung der Rückschiebung - Garantien vom Zielstaat bezüglich des Zugangs zu einer angemessenen medizinischen Versorgung einzuholen (Urteil des EGMR Paposhvili gegen Belgien, a.a.O., § 191; vgl. auch FANNY DE WECK/STEPHANIE MOTZ, Die Relevanz von Krankheit oder Behinderung für die Flüchtlingseigenschaft und für das Refoulement-Verbot gemäss Art. 3 EMRK, in: ASYL, 3/2017 S. 9 ff. dort S. 10 f.).
5.
5.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, ihm drohe bei einem Vollzug der Wegweisung in den Kosovo eine erhebliche Verschlimmerung seines Gesundheitszustands und im ungünstigsten Fall der Tod. Dies sei mit Art. 3 EMRK (bzw. Art. 10 Abs. 3 und Art. 25 Abs. 3 BV) unvereinbar. Ohne angemessene Behandlung, wie er sie in der Schweiz stationär wie ambulant erhalte, werde sich sein Gesundheitszustand "schnell und erheblich" verschlechtern, nachdem er im Kosovo auf sich alleine gestellt wäre und er sich die teuren Behandlungen nicht leisten könnte. Er leide unter anderem an einer rezidivierenden depressiven Beeinträchtigung mit gegenwärtig schwerer Episode sowie an einer schizoaffektiven Störung (ICD-10 F25.1). Nach dem Austrittsbericht der Psychiatrischen Klinik vom 28. November 2017 habe er bei der Aufnahme in die Klinik "unter schwerem Stimmenhören (fremde männliche Stimme, sehr abwertend, beleidigend, imperativ zum Suizid auffordernd), ausgeprägten Ängsten, paranoidem Erleben" und "Schlafstörungen mit häufigen Albträumen" und schwerer Niedergeschlagenheit gelitten. Gestützt auf sein Krankheitsbild habe er sich bereits sechs Mal in stationärer Behandlung in einer psychiatrischen Klinik befunden. Im Übrigen leide er an akuter Suizidalität, so sei es am 31. März 2017 und zuvor im Jahr 2012 zu Selbsttötungsversuchen gekommen. Auch sei bei ihm eine Posttraumatische Belastungsstörung (ICD-10 F43.1) diagnostiziert worden. Neben den psychischen Beschwerden leide er an Nephropathie sowie an Arteriolohyalinose; eine Dialyse-Behandlung werde "demnächst wohl angeordnet", allenfalls sei auch eine Nierentransplantation nötig; schliesslich plagten ihn erhebliche Kniebeschwerden, die eine umfassende Schmerztherapie nötig machten. Die verschiedenen Krankheiten könnten im Kosovo nicht adäquat behandelt werden.
5.2.
5.2.1. Mit der Vorinstanz ist davon auszugehen, dass die psychischen und physischen Beeinträchtigungen des Beschwerdeführers im Kosovo grundsätzlich behandelbar sind und zurzeit nicht gesagt werden kann, dass er im Sinne der Rechtsprechung des EGMR zu Art. 3 EMRK bei einer Rückkehr in seine Heimat einer ernsthaften, rapiden und irreversiblen Verschlechterung des Gesundheitszustands ausgesetzt wäre, die intensives Leiden oder eine wesentliche Verringerung der Lebenserwartung nach sich zöge. Nach dem Bericht des Staatssekretariats für Migration "Focus Kosovo: Behandlungsangebote bei psychischen Erkrankungen" vom 26. Oktober 2016, der gemäss den EU-Leitlinien für die Bearbeitung von Informationen über Herkunftsländer erstellt worden ist, bestehen heute im Kosovo verschiedene Pflegemöglichkeiten auch für schwere Fälle psychischer Beeinträchtigungen: Die am 1. August 2005 eingeweihte "Intensive Care Psychiatric Unit (ICUP) ", welche der Psychiatrischen Abteilung der Universitätsklinik Pristina angegliedert ist, gewährleistet eine sichere Unterbringung von Patienten mit Selbst- und/oder Fremdgefährdung. Grundsätzlich können - so der Bericht weiter - in den verschiedenen staatlichen psychiatrischen Einrichtungen "alle Krankheitsbilder, das heisst leichte bis schwere Depressionen, Psychosen oder paranoide Schizophrenie", behandelt werden. Auch wenn die gesprächstherapeutischen Möglichkeiten - gemessen an westeuropäischen Ansprüchen - primär aus Kapazitätsgründen eingeschränkt sind, wird durch die medikamentöse Behandlung doch eine wesentliche Symptom-Reduktion erreicht. Gemäss der selben Quelle bestehen im Kosovo Strukturen, Ressourcen und Erfahrungen für die Behandlung von Posttraumatischen Belastungsstörungen. Diese stellten eine grosse Herausforderung dar und könnten selbst in der Schweiz nicht immer erfolgreich behandelt werden. Personengruppen, die eine kostenlose medizinische Grundversorgung erhielten, kämen auch in den Genuss einer unentgeltlichen psychiatrischen Betreuung. Generell sei schliesslich ein Grossteil der Medikamente zur Behandlung psychischer Erkrankungen auch im Kosovo erhältlich.
5.2.2. Dem Beschwerdeführer ist zuzugestehen, dass die Berichte der Schweizerischen Flüchtlingshilfe "Kosovo: Psychiatrische und psychotherapeutische Behandlung" vom 3. April 2017 sowie "Kosovo: Behandlung einer posttraumatischen Belastungsstörung und einer schweren depressiven Episode" vom 31. August 2016 die Betreuungsmöglichkeiten und die Pflegequalität im Kosovo kritischer einschätzen als die Berichte des SEM, doch ist es nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz im Rahmen ihrer Beweiswürdigung und gestützt auf die Rechtsprechung stärker auf die Analyse und Länderberichte des Staatssekretariats als Fachinstanz abgestellt hat; dieses ist letztlich gegebenfalls zuständig, über ein allfälliges Gesuch um vorläufige Aufnahme zu befinden. Die vorinstanzliche Einschätzung der Betreuungs- und Pflegemöglichkeiten bzw. der Behandelbarkeit der psychischen Beeinträchtigungen des Beschwerdeführers ist verfassungsrechtlich haltbar. Es ist dabei zu berücksichtigen, dass für die Zulässigkeit des Vollzugs einer Wegweisung nicht schweizerische Pflege- und Betreuungsverhältnisse erforderlich sind, sondern es im Rahmen von Art. 3 EMRK genügt, dass die weitere lebensnotwendige Grundversorgung - allenfalls auf einem tiefern, aber nicht lebensgefährdenden Niveau - sichergestellt bleibt. Mit der Vorinstanz ist festzustellen, dass im Kosovo eine genügende psychiatrische Versorgung inklusive der notwendigen Medikamente besteht (vgl. die Urteile 2C_925/2011 vom 22. Juni 2012 E. 5.3 und 2C_856/2015 vom 10. Oktober 2015 E. 3.2.1 und 3.2.2).
5.2.3. Der Austrittsbericht aus der Psychiatrischen Klinik Zugersee vom 28. November 2017 hält zum Zustand des Beschwerdeführers fest, dass es dank der antipsychotischen Medikation und dem Einsatz von Benzodiazepinen "zu einer deutlichen Remission der psychotischen und depressiven Symptomatik sowie (Re-) Aktivierung von Compingstrategien" (Bewältigungsstrategien) gekommen sei und der Beschwerdeführer sich bei Austritt aus der Klinik klar und glaubhaft von einer akuten Suizidalität distanziert habe, was die Ausführungen in der Beschwerdeschrift (Bestehen einer akuten Suizidalität) relativiert (zur Suizidprävention und psychiatrischen Betreuung im Kosovo: Urteile 2C_1130/2013 vom 23. Januar 2015 E. 3; 2C_856/2015 vom 10. Oktober 2015 E. 3.2.2 und 2C_925/2011 vom 22. Juni 2012 E. 5.3).
5.2.4. Soweit der Beschwerdeführer darauf hinweist, dass er an einer IgA-Nephropathie und einer mässigen bis schweren Arteriolohyalinose leide, ist eine solche grundsätzlich auch in seiner Heimat behandelbar. Gemäss dem Bericht der Schweizerischen Flüchtlingshilfe (SFH) zu Behandlungsmöglichkeiten bei akutem Nierenversagen werden im Kosovo Dialysebehandlungsmöglichkeiten angeboten. Zurzeit macht der Beschwerdeführer die Notwendigkeit einer Dialysebehandlung bzw. einer Nierentransplantation nur als künftige Möglichkeit geltend; aufgrund seiner Ausführungen haben sich entsprechende Behandlungen bisher noch nicht als nötig erwiesen. Hämodialysen werden im Kosovo grundsätzlich in mehreren Spitälern angeboten. Sie fallen in den Aufgabenbereich der Regionalspitäler und der Universitätsklinik in Pristina. Personen, die in der weiteren Umgebung der entsprechenden Spitäler leben und eine Dialyse benötigen, wird eine Transportmöglichkeit zur Verfügung gestellt (SEM, "Focus Kosovo - Medizinische Grundversorgung" vom 9. März 2017 S. 18).
5.2.5. Auch unter Berücksichtigung der hohen Auslastung der vorhandenen Dialyse-Behandlungsplätze aufgrund der steigenden Anzahl an Patienten ist nicht davon auszugehen, dass dem Beschwerdeführer im Kosovo der Zugang zu der von ihm - allenfalls - künftig benötigten medizinischen Betreuung verwehrt wäre. Die medizinische Behandlung von Dialysepatienten ist im Übrigen grundsätzlich kostenlos (vgl. das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts E-3853/2015 vom 20. August 2015 E. 6.3.2 mit Hinweisen auf verschiedene Quellen; zur gesundheitlichen Grundversorgung im Kosovo: Urteil 2C_1130/2013 vom 23. Januar 2015 E. 3.3 mit Hinweisen; vgl. SEM, "Focus - Medizinische Grundversorgung", a.a.O., S. 30 f.).
6.
6.1. Die Folgerung der Vorinstanz, dass der Beschwerdeführer an keiner Krankheit leide, die seine Rückkehr in den Kosovo als im Lichte von Art. 3 EMRK unzulässigerscheinen lässt, ist nicht zu beanstanden. Auch ist die Vorinstanz ihren Abklärungspflichten nach Art. 3 EMRK nachgekommen. Die dem angefochtenen Entscheid zugrunde liegende Sachverhaltsfeststellung erweist sich weder als willkürlich noch als unter Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör ermittelt (<ref-law>; vgl. vorstehende E. 3.2). Wenn die kantonalen Behörden unter diesen Umständen davon abgesehen haben, beim SEM derzeit eine vorläufige Aufnahme zu beantragen, verstösst dies weder gegen bundesverfassungs- noch konventionsrechtliche Vorgaben.
6.2. Der Beschwerdeführer weist auf einen Fall aus dem Kanton Zürich hin, bei dem das SEM in ähnlicher gesundheitlicher Ausgangslage eine vorläufige Aufnahme verfügt habe, weshalb ein Anspruch darauf bestehe, dass er zumindest in den Genuss eines entsprechenden Antrags seitens des kantonalen Amts für Migration komme. Der Beschwerdeführer übersieht, dass aus den von ihm eingereichten Unterlagen nicht ersichtlich wird, ob sich der angerufene Fall tatsächlich in allen Punkten mit seiner Situation vergleichen lässt (familiäre Verhältnisse, Beziehung zum Heimatstaat usw.). Eine abweichende Praxis zwischen zwei Kantonen hinsichtlich der Übermittlung von Gesuchen um vorläufige Aufnahme aus medizinischen Überlegungen begründet noch keinen Anspruch auf Gleichbehandlung, auch wenn das SEM als Bundesbehörde zentral über die Gesuche bezüglich einer vorläufigen Aufnahme befindet. Im Zürcher Fall wurde eine solche wegen Unzumutbarkeit der Rückkehr gewährt (Art. 83 Abs. 4 AuG); dies kommt beim Beschwerdeführer indessen nicht infrage: Nach Art. 83 Abs. 7 lit. b AuG, kann die vorläufige Aufnahme nur im Falle der Unzulässigkeit verfügt werden (vgl. Art. 83 Abs. 3 AuG), wenn der Betroffene - wie hier - erheblich gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung verstossen hat und ihm gerade deswegen die Bewilligung entzogen worden ist (vgl. Art. 62 Abs. 1 lit. c AuG).
6.3. Da Art. 3 EMRK bei einer Rückkehr des Beschwerdeführers in seine Heimat nicht verletzt wird, ist es grundsätzlich zulässig, seine Wegweisung zu vollziehen, zumal er die heimatliche Sprache spricht, mit den dortigen Verhältnissen vertraut ist und im Kosovo noch zwei Schwestern leben, die er jeweils einmal pro Jahr besucht hat und die ihm bezüglich seiner gesundheitlichen Probleme zur Seite stehen können (vgl. das Urteil 2C_159/2016 vom 26. September 2016 E. 4.2). Auch ist nicht ausgeschlossen, dass er in den Genuss einer finanziellen Unterstützung seitens seiner in der Schweiz aufenthaltsberechtigten Angehörigen kommen wird. Im Zürcher Vergleichsfall war über die familiäre Situation im Kosovo - anders als hier - wenig bis nichts bekannt.
7.
7.1. Die wegweisungs- oder krankheitsbedingte Gefahr, dass die betroffene Person bei einer Aufenthaltsbeendigung ihrem Leben ein Ende setzen könnte, genügt für sich allein nicht, um die Wegweisung bzw. den Vollzug bereits als unverhältnismässig oder unzulässig erscheinen zu lassen. Die schweizerischen Behörden sind generell (auch ausserhalb des Anwendungsbereichs von Art. 3 EMRK) gehalten, im Rahmen der konkreten Rückkehrmassnahmen alles ihnen Zumutbare vorzukehren, um medizinisch bzw. betreuungsmässig sicherzustellen, dass das Leben und die Gesundheit der rückkehrpflichtigen Person möglichst nicht beeinträchtigt wird; sie sind verfassungsrechtlich jedoch nicht gehalten, im Hinblick auf kritische psychische Krankheitsbilder, die auch im Heimatland behandelt werden können, in Abweichung von den gesetzlichen Vorgaben einem Gesuch auf Erteilung bzw. Verlängerung der Anwesenheitsberechtigung zu entsprechen (vgl. <ref-ruling> E. 5.2.2 S. 403 und die Urteile 2C_300/2016 vom 19. August 2016 E. 4.4.5; 2C_856/2015 vom 10. Oktober 2015 E. 3.2.1 und 2C_573/2014 vom 4. Dezember 2014 E. 4.3).
7.2. Der Vollzug der Wegweisung muss in solchen Fällen sorgfältig geplant und durchgeführt werden. Allenfalls ist die Möglichkeit einer vorgängigen fürsorgerischen Unterbringung (<ref-law>) in zeitlicher Nähe zum Wegweisungsvollzug, eine ärztliche Begleitung auf dem Flug oder eine Übergabe an bzw. eine Kontaktaufnahme mit entsprechenden Spezialisten im Heimatland zu prüfen. Nur wenn der Vollzug der Wegweisung auch mit adäquater medizinischer Rückkehrhilfe und entsprechenden Vorsichtsmassnahmen längerfristig nicht möglich ist, stellt sich die Frage einer Unzumutbarkeit oder einer Unmöglichkeit des Wegweisungsvollzugs und der sich daraus ergebenden aufenthaltsrechtlichen Konsequenzen (vgl. die Urteile 2C_856/2015 vom 10. Oktober 2015 E. 3.2.1 und 2C_573/2014 vom 4. Dezember 2014 E. 4.3.2).
7.3. Die kantonalen Behörden sind sich im vorliegenden Fall der gesundheitlichen Probleme des Beschwerdeführers bewusst. Das Verwaltungsgericht hat in seinem Urteil vom 25. April 2017 festgehalten, dass dessen fürsorgerische Unterbringung nach seinem Suizidversuch in einer geeigneten Anstalt unabdingbar war und dem umgehenden Vollzug der Wegweisung entgegenstand. Es habe sich - so das Gericht weiter - um einen Gesundheitszustand gehandelt, der eine sofortige medizinische Behandlung notwendig machte, was eine Verlängerung der Ausreisefrist rechtfertigte. Eine Ausreise falle allenfalls dann in Betracht, wenn eine nahtlose (inkl. Transport), sachgerechte und dem Schwächezustand angemessene Betreuung im Herkunftsstaat gewährleistet sei, d.h. etwa die fürsorgerische Unterbringung weitergeführt werden könne. Es werde am Migrationsamt und den Ärzten liegen, festzustellen, wann und unter welchen Bedingungen der Beschwerdeführer wegen der psychischen Beeinträchtigung als reisefähig gelten und unter welchen vorher zu treffenden Abklärungen und Rahmenbedingungen er in seine Heimat verbracht werden könne. Entgegen dem Antrag des Regierungsrats des Kantons Schwyz kann das Bundesgericht unter diesen Umständen keine Ausreisefrist ansetzen: Es ist an den kantonalen Behörden, den Wegweisungsvollzug verfassungs- und gesetzeskonform zu organisieren und dabei den geschilderten Vorgaben im Urteil des Verwaltungsgerichts vom 25. April 2017 Rechnung zu tragen.
8.
Der Beschwerdeführer macht geltend, dass er im Verfahren vor dem Regierungsrat des Kantons Schwyz von den Kosten hätte befreit werden und ihm eine Parteientschädigung hätte zugesprochen werden müssen, da er mit der Rüge durchgedrungen sei, das Migrationsamt habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt. Der Einwand ist unberechtigt:
8.1. Der Regierungsrat hat in seinem Entscheid vom 16./7. August 2017 festgestellt, dass das Amt für Migration auf das Gesuch des Be-schwerdeführers zwar hätte eintreten müssen, es indessen trotz des formellen Nichteintretensentscheids die materiellen Fragen tatsächlich unter dem Titel der Zumutbarkeit des Wegweisungsvollzugs geprüft habe. Seine Vorinstanz habe mit Bezug auf das Härtefallgesuch zwar formell einen Nichteintretensentscheid gefällt, doch habe sie das Gesuch dennoch materiell behandelt und im Resultat abgewiesen. Soweit in diesem rein formellen Mangel eine Verletzung des rechtlichen Gehörs des Beschwerdeführers "erblickt werden könnte", werde diese im regierungsrätlichen Verfahren geheilt (E. 4.4 des regierungsrätlichen Entscheids vom 16./7. August 2017).
8.2. Diese Ausgangslage kann - entgegen den Darlegungen des Beschwerdeführers - nicht mit der Situation verglichen werden, in der die Rechtsmittelinstanz eine Verletzung des Gehörsanspruchs einer Partei heilt und dabei faktisch anstelle ihrer Vorinstanz entscheidet. In dieser Situation muss die betroffene Person Beschwerde führen, um überhaupt zu einer formell korrekten Streiterledigung zu kommen. Nur unter diesen Voraussetzungen zieht die ursprüngliche Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör unnötige Kosten nach sich, da der Betroffene wegen des Rechtsfehlers handeln muss, um seinen Anspruch auf rechtliches Gehör durchzusetzen (vgl. das Urteil 1C_4/2012 vom 19. April 2012 E. 8). Bloss in solchen Fällen besteht allenfalls ein Anspruch darauf, dass der erforderlichen Heilung der Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör bei der Kostenverteilung angemessen Rechnung getragen wird.
8.3. Zwar hat sich das Verwaltungsgericht nicht ausdrücklich zum Antrag des Beschwerdeführers geäussert, ihm für das vorinstanzliche Verwaltungsbeschwerdeverfahren die Verfahrenskosten im Hinblick auf sein teilweises Obsiegen zu erlassen und ihm eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen; die Abweisung des Antrags ergibt sich jedoch inhaltlich aus dem Zusammenspiel der Erwägungen in E. 2.3 des Urteils und E. 4.4 des regierungsrätlichen Entscheids.
9.
Die Beschwerde ist unbegründet und deshalb abzuweisen. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. August 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar