Erwägungen:
1.
Zwischen A._ (Kläger, Beschwerdeführer) und B._ (Beklagter) ist am Friedensrichteramt Bauma ein Schlichtungsverfahren hängig. Mit Eingabe vom 28. Februar 2021 ersuchte A._ beim Bezirksgericht Pfäffikon (Einzelgericht) um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für dieses Schlichtungsverfahren.
Mit Urteil vom 23. März 2021 wies das Bezirksgericht das Gesuch mangels Erfolgsaussichten der klägerischen Begehren ab (<ref-law>). Das Obergericht des Kantons Zürich trat auf die dagegen erhobene Beschwerde mit Beschluss vom 8. Juni 2021 nicht ein.
A._ hat mit Eingabe an das Bundesgericht vom 1. Juli 2021 erklärt, diesen Beschluss mit Beschwerde ("1. Art. 119: Ordentliche Beschwerde sowie 2. Art. 115: Subsidiäre Verfassungsbeschwerde") anzufechten.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
3.
Der Beschwerdeführer gibt zahlreiche Bestimmungen der Bundesverfassung im Wortlaut wieder, nennt verschiedene Normen der EMRK, die "von Anfang an ignoriert" worden seien, und macht Ausführungen zu "Mikrowellen-Folter". Mit der Begründung im angefochtenen Beschluss setzt er sich mit keinem Wort auseinander. Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung, weshalb im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> nicht auf sie einzutreten ist.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten gemäss <ref-law> dem Beschwerdeführer aufzuerlegen.

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, und B._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juli 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Stähle