Sachverhalt:
A.
A.a. B.E._ (geb. 2010; Beschwerdegegnerin 1) und C.E._ (geb. 2012; Beschwerdegegnerin 2) sind die Kinder von D.E._. Zur Zeit der Geburt der Kinder war Letztere mit F._ verheiratet. Mit rechtskräftigem Urteil vom 17. Mai 2013 beseitigte das Bezirksgericht Zürich die Vaterschaft des Ehemannes.
A.b. In der Folge klagte D.E._ für sich und als gesetzliche Vertreterin ihrer Kinder beim Bezirksgericht Meilen (nachfolgend: Bezirksgericht) gegen A._ (Beschwerdeführer) auf Feststellung der Vaterschaft und auf Festsetzung des Kindesunterhalts. Mit Teilurteil vom 3. Juli 2014 stellte das Bezirksgericht fest, dass A._ der Vater der beiden Kinder ist. Die von A._ gegen dieses Urteil erhobenen Rechtsmittel blieben ebenso erfolglos (vgl. Urteil 5A_794/2014 vom 6. Mai 2015) wie die seither eingereichten Gesuche um Revision bzw. Wiedererwägung (vgl. Urteile 5F_6/2016 vom 23. Mai 2016; 5F_13/2016 vom 15. Dezember 2016; 5F_26/2018 vom 18. Juli 2019).
A.c. Mit Eingabe vom 8. Juni 2015 beantragten B.E._ und C.E._, vertreten durch ihre Mutter, den Erlass vorsorglicher Massnahmen im verbleibenden Unterhaltsprozess. Mit Urteil vom 15. November 2016 verurteilte das Bezirksgericht A._ dazu, für die Dauer des Verfahrens an die Kindsmutter monatlichen Unterhalt für die Töchter zu bezahlen. Zugleich merkte das Bezirksgericht vor, dass A._ seiner Unterhaltspflicht im Umfang von mindestens Fr. 45'000.-- bereits nachgekommen ist.
B.
Hiergegen reichten sowohl B.E._ und C.E._ als auch A._ Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich ein. Mit Urteil vom 28. November 2017 (eröffnet am 30. November 2017) setzte dieses soweit hier interessierend die von A._ vorsorglich zu bezahlenden Unterhaltsbeiträge neu fest. Weiter berechtigte das Obergericht A._ dazu, durch Urkunden sofort belegbare Zahlungen von den verfallenen Unterhaltsbeiträgen in Abzug zu bringen. Die Gerichtskosten auferlegte es den Parteien je zur Hälfte und die Parteikosten schlug es wett.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde gelangt A._ am 27. Dezember 2017 an das Bundesgericht. Er beantragt die teilweise Aufhebung des Entscheids des Obergerichts und die Neufestsetzung der vorsorglichen Unterhaltsbeiträge, welche er im Einzelnen beziffert. Die Zahlung sei auf ein von der Beiständin der Töchter verwaltetes Kinderkonto, eventuell an die gesetzliche Vertreterin zu leisten. Weiter beantragt A._, es sei die zweitinstanzliche Entscheidgebühr auf Fr. 5'000.-- festzusetzen und der Kindsmutter, eventuell den Töchtern, aufzuerlegen und es sei ihm für dieses Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 8'000.-- auszurichten. Ausserdem ersucht er darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen und die Vollstreckung des Urteils des Obergerichts aufzuschieben, eventuell nur für alle rückwirkenden (d.h. vor dem Entscheid über den Vollstreckungsaufschub fälligen) Beiträge. Subeventualiter sei er zu berechtigen, allfällige rückwirkende Unterhaltsbeiträge leistungsbefreiend auf ein Kinderkonto zu bezahlen.
Mit Verfügung vom 2. Februar 2018 hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde nach Anhörung der weiteren Verfahrensbeteiligten für die verfallenen, nicht aber für die laufenden Unterhaltsbeiträge die aufschiebende Wirkung gewährt.
Am 16. Mai 2018 hat das Obergericht auf eine Vernehmlassung in der Sache verzichtet und am 14. Juni 2018 schliessen B.E._ und C.E._ sowie D.E._ auf Abweisung der Beschwerde, soweit auf diese einzutreten sei. Mit Replik vom 25. Juni 2018 und Duplik vom 9. Juli 2018 haben die Verfahrensbeteiligten an ihren Begehren festgehalten.
Im Übrigen hat A._ dem Bundesgericht eine superprovisorische Verfügung des Bezirksgerichts vom 16. Mai 2018 zukommen lassen, mit welcher das Urteil vom 15. November 2016 (vorne Bst. A.c) insoweit abgeändert wurde, als die strittigen Unterhaltsbeiträge neu auf ein von der Beiständin der Töchter verwaltetes Kinderkonto zu bezahlen sind. Sodann haben B.E._ und C.E._ sowie D.E._ dem Bundesgericht das Urteil des Bezirksgerichts vom 19. September 2018 in der Hauptsache (Kindesunterhalt) zugestellt, zu dem sich sämtliche Verfahrensbeteiligten geäussert haben. Weitergehend hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht (<ref-law>) vorsorglich über den vom Beschwerdeführer an seine minderjährigen Töchter zu bezahlenden Unterhalt und damit eine vermögensrechtliche Zivilsache nach <ref-law> entschieden hat. Die Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- ist erreicht (Art. 74 Abs. 1 Bst. b sowie Art. 51 Abs. 1 und 4 BGG; zum Ganzen Urteil 5A_955/2017 vom 3. Mai 2018 E. 1). Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel und die ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist unzulässig (<ref-law>). Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und er hat diese auch fristgerecht erhoben (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 2 BGG).
Die Beschwerdegegnerinnen und die Kindsmutter sind der Ansicht, auf die Beschwerde könne nicht eingetreten werden, weil ein Zwischenentscheid nach <ref-law> vorliege und dem Beschwerdeführer kein nicht wieder gutzumachender Nachteil drohe. Damit verkennen sie die Rechtsprechung, wonach in Konstellationen wie der hier zu beurteilenden ein Endentscheid nach <ref-law> vorliegt, gegen den die Beschwerde ohne weitere Voraussetzungen zulässig ist (<ref-ruling> E. 1.2; kürzlich etwa Urteil 5A_678/2018 vom 19. Juni 2019 E. 1.1; kritisch: ZOGG, "Vorsorgliche" Unterhaltszahlungen im Familienrecht, in: FamPra.ch 2018 S. 47 ff., 96 ff.). Auf die Beschwerde ist daher unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen einzutreten.
1.2. Keinen Einfluss auf das vorliegende Verfahren haben die vom Bezirksgericht zwischenzeitlich getroffenen Anordnungen (vgl. vorne Bst. C) : Soweit diese sich überhaupt auf den Gegenstand des vorliegenden Verfahrens auszuwirken vermöchten, sind sie nach Angabe der Parteien jedenfalls noch nicht in Rechtskraft erwachsen.
1.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Inwiefern dies der Fall ist, ist in der Beschwerde näher darzulegen (vgl. <ref-law>). Hiervon erfasst sind unechte Noven, also Tatsachen, die im bisherigen Verfahren bereits hätten vorgebracht werden können, aber nicht vorgebracht wurden. Echte Noven, d.h. Tatsachen, die erst entstanden sind, nachdem vor der Vorinstanz keine neuen Tatsachen und Beweismittel mehr vorgetragen werden konnten, sind im Verfahren vor Bundesgericht demgegenüber unbeachtlich (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.1.2).
Damit bleibt es den Parteien verwehrt, sich vor Bundesgericht auf nach der Ausfällung des angefochtenen Entscheids eingetretene Umstände zu berufen. Dies gilt beispielsweise insoweit, als der Beschwerdeführer auf die Verhandlung in der Hauptsache vom 15. Dezember 2017 verweist und das Bundesgericht verschiedentlich über neuste Entwicklungen informiert.
1.4. Der Beschwerdeführer beantragt unter anderem die Aufhebung von Ziffer 1 des angefochtenen Urteils, in welcher das Obergericht die einzelnen Unterhaltsbeiträge festsetzte. Eine Ausnahme macht er für den letzten Absatz dieser Ziffer, "gegen welchen keine Beschwerde erhoben" werde (Rechtsbegehren, Ziffer 1). In diesem Absatz regelte das Obergericht die Anrechnung bereits erbrachter Unterhaltsleistungen. Dennoch äussert der Beschwerdeführer sich in der Beschwerdebegründung in einiger Länge "zur Anrechnung der bereits geleisteten Zahlungen".
Der Beschwerdeführer ist anwaltlich vertreten und erhebt gegen die vom Obergericht getroffene Regelung zur Anrechnung früherer Zahlungen ausdrücklich keine Beschwerde. Unter diesen Umständen ist auch mit Blick auf die Regeln zur Auslegung von Rechtsbegehren (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 6.2; <ref-ruling> E. 2a) auf seine Ausführungen zu diesem Thema nicht einzugehen.
2.
2.1. Mit der Beschwerde gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.2). Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz solche Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Die rechtsuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266). Wird eine Verletzung des Willkürverbots nach <ref-law> geltend gemacht, reicht es dabei nicht aus, die Lage aus der eigenen Sicht darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Es ist im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 1.4.1; <ref-ruling> E. 2.2).
Der Beschwerdeführer verkennt die zulässigen Rügegründe, soweit er in der Beschwerdeschrift einleitend festhält, er rüge die unrichtige Rechtsanwendung. Entgegen seiner Ansicht spielt ebenfalls keine Rolle, ob sich Rechtsfragen von grundsätzlicher Bedeutung stellen (vgl. Urteil 5A_781/2017 vom 20. Dezember 2017 E. 1.1; vgl. auch E. 2.3 hiernach). Nachfolgend ist allein zu prüfen, ob durch das angefochtene Urteil verfassungsmässige Rechte des Beschwerdeführers verletzt werden, soweit dieser entsprechende Verletzungen hinreichend präzise aufzeigt.
2.2. Verschiedentlich wirft der Beschwerdeführer dem Obergericht eine aktenwidrige oder sonst willkürliche Feststellung des Sachverhalts vor, so namentlich im Zusammenhang mit dem Aufenthalt der Beschwerdegegnerinnen in der Republik Trinidad und Tobago sowie mit der Berechnung von deren Bedarf. Freilich beschränkt er sich dabei über weite Strecken darauf, seine eigene Sicht der Dinge darzustellen und dem Obergericht Willkür vorzuwerfen. Er unterlässt es, mit hinreichender Präzision und unter Bezugnahme auf den angefochtenen Entscheid aufzuzeigen, inwieweit seine verfassungsmässigen Rechte verletzt worden sein sollen. Damit genügt die Beschwerde in diesem Umfang den Begründungsanforderungen nicht und auf sie ist insoweit nicht einzutreten.
2.3. Weiter moniert der Beschwerdeführer verschiedene Rechtsverletzungen bei der Festsetzung des Unterhalts. Dabei beschränkt er sich indessen über weite Strecken darauf, dem Obergericht vorzuwerfen, es habe die falschen Rechtsgrundlagen oder die massgebenden Bestimmungen falsch angewendet. Weiter verweist er auf das Vorliegen von Rechtsfragen von grundsätzlicher Bedeutung. Eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte macht er insoweit nicht geltend. Verschiedentlich wirft der Beschwerdeführer dem Obergericht sodann Willkür in der Rechtsanwendung vor. Diesbezüglich beschränkt er sich allerdings regelmässig darauf, seine Einschätzung der Dinge darzulegen, ohne in hinreichender Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Urteil eine Verfassungsverletzung aufzuzeigen. Soweit der Beschwerdeführer damit überhaupt zulässige Rügen erhebt, fehlt es an einer hinreichenden Begründung der Beschwerde. Ebenfalls allzu pauschal bleibt zuletzt der knappe Vorwurf, das Obergericht habe dem Beschwerdeführer das "Replikrecht" zu einzelnen Aktenstücken verwehrt. Auf die Beschwerde kann auch insoweit nicht eingetreten werden.
3.
3.1. In der Sache strittig ist die Festsetzung des Kindesunterhalts. Mit Blick auf die beim Bedarf der Beschwerdegegnerinnen angerechneten Wohnkosten rügt der Beschwerdeführer, die Vorinstanz habe ihn offenbar mit dem Ehemann der Kindsmutter verwechselt. Sie habe erwogen, dass
"die Kindsmutter zur Zeit der Beziehung mit dem Beschwerdeführer in der Eigentumswohnung in U._ wohnte, was für gehobene Verhältnisse spricht und was sich der Beklagte entgegenhalten lassen muss".
Tatsächlich habe der Beschwerdeführer nie in einer Paarbeziehung mit der Kindsmutter gestanden, sondern mit dieser eine aussereheliche Affäre unterhalten. Damit müsse allein der Ehemann den damaligen Lebensstandard aufrecht erhalten und finanzieren. Die Herstellung eines finanziellen Bezugs zwischen dem Ehemann der Kindsmutter und dem Unterhalt der Beschwerdegegnerinnen sei qualifiziert falsch.
Wie die Beschwerdegegnerinnen richtig einwenden, lässt das angefochtene Urteil nicht darauf schliessen, dass das Obergericht von einer Wohngemeinschaft zwischen dem Beschwerdeführer und der Kindsmutter ausging. Vielmehr äusserte sich das Obergericht einzig zur Wohnsituation der Kindsmutter zu der Zeit, als die Beziehung zum Beschwerdeführer andauerte. Soweit der Beschwerdeführer daher aus diesem Grund eine aktenwidrige und damit willkürliche Sachverhaltsfeststellung rügt (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.1.2; Urteil 5A_678/2018 vom 19. Juni 2019 E. 2.2), ist die Beschwerde unbegründet. Soweit der Beschwerdeführer dagegen die Art und Weise der Berechnung der Wohnkosten für diesen Zeitabschnitt als willkürlich beanstandet, erweist die Beschwerde sich wiederum als ungenügend begründet: Wie sich dem angefochtenen Urteil entnehmen lässt, hat das Obergericht den Beschwerdegegnerinnen für diese Zeit deshalb die der damaligen Lebenshaltung entsprechenden Wohnkosten angerechnet, weil der Beschwerdeführer in seinen im erstinstanzlichen Verfahren angestellten Berechnungen von eben diesen Zahlen ausgegangen sei und weil die Beteiligten ihre finanziellen Verhältnisse nicht offengelegt hätten. Unter diesen Umständen sei die Veranschlagung des Mietpreises für die Wohnung ein gangbarer Weg und vertretbar. Mit diesen Überlegungen setzt der Beschwerdeführer sich nicht hinreichend auseinander. Ganz im Gegenteil führt er selbst aus, vor Obergericht vorgebracht zu haben, dass er in Ermangelung anderweitiger Angaben der Kindsmutter hilfsweise auf die entsprechenden Zahlen abgestellt habe.
3.2. Im Zusammenhang mit dem Bedarf der Beschwerdegegnerinnen wendet der Beschwerdeführer sich sodann gegen die Anrechnung von zusätzlichen Betreuungsgeldern. Diesbezüglich verweist er auf S. 26 des angefochtenen Urteils und macht geltend, das Obergericht habe die beiden Kinder verwechselt und sei deshalb in Willkür verfallen. Anders als das Obergericht dies ausführe, erhalte nicht die Beschwerdegegnerin 1, sondern die Beschwerdegegnerin 2 Zahlungen der Invalidenversicherung.
Zwar trifft zu, dass das Obergericht an der fraglichen Stelle von den "IV-Zahlungen bei B.E._" spricht. Aus den unmittelbar vorangehenden Erwägungen ergibt sich jedoch, dass die Vorinstanz sich vollauf bewusst war, dass es die Beschwerdegegnerin 2 ist, welche an einem Rett-Syndrom leidet, bei der erhöhter Betreuungsaufwand anfällt und der deshalb eine Entschädigung der Invalidenversicherung zusteht. Bei der vom Beschwerdeführer angesprochenen Verwechslung handelt es sich um einen offenbaren Verschreiber. Wie die Beschwerdegegnerinnen zu Recht darlegen, ist sodann nicht ersichtlich, dass sich dieses Versehen weiter auswirken würde. Solche Auswirkungen werden vom Beschwerdeführer denn auch nicht aufgezeigt; der pauschale Hinweis, die Unterhaltsbeiträge würden unterschiedlich lange in unterschiedlicher Höhe anfallen, reicht hierzu nicht. Eine willkürliche Feststellung des Sachverhalts liegt auch insoweit nicht vor.
4.
4.1. Nach dem Ausgeführten erweist die Beschwerde sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Damit rechtfertigt es sich nicht, die Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens neu zu verlegen (Art. 67 und 68 Abs. 5 BGG), zumal der Beschwerdeführer seinen entsprechenden Antrag allein mit dem von ihm beantragten abweichenden Verfahrensausgang begründet. Zum weiteren Antrag, die Kosten des Berufungsverfahrens seien auf Fr. 5'000.-- zu reduzieren, findet sich in der Beschwerde sodann einzig der Hinweis, dies erscheine als sachgerecht. Die Beschwerde genügt auch insoweit den Begründungsanforderungen nicht (vorne E. 2.1).
4.2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Dieser hat den Beschwerdegegnerinnen und D.E._ ausserdem die Parteikosten zu ersetzen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 8'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerinnen und D.E._ für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 9'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, D.E._, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, und dem Bezirksgericht Meilen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. September 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber