Sachverhalt:
A.
Mit Schreiben vom 23. November 2015 wurden A.A._ und B.A._ (nachfolgend: die Steuerpflichtigen) vom Steueramt des Kantons Solothurn (nachfolgend: das kantonale Steueramt) darüber in Kenntnis gesetzt, dass hinsichtlich der Steuerperiode 2010 ein Nachsteuerverfahren gegen sie eingeleitet werde. Anlass dazu gab, dass der Steuerpflichtige in diesem Jahr nach Auffassung des kantonalen Steueramts Patente aus dem Geschäftsvermögen ins Privatvermögen überführt habe, um diese in der Folge in eine neu gegründete Gesellschaft (B._ AG i.Gr.) einzubringen.
B.
Ausgehend von der Annahme, dass bei der genannten Überführung von Patenten aus dem Geschäftsvermögen ins Privatvermögen steuersystematisch betrachtet Einkünfte aus selbständiger Erwerbstätigkeit im Betrag von Fr. 3'902'096.-- erzielt worden seien, erliess das kantonale Steueramt am 30. Januar 2017 gegenüber den Steuerpflichtigen eine Nachsteuerverfügung für die Steuerperiode 2010. Es veranlagte Nachsteuerbeträge von Fr. 433'795.80 für die Staatssteuer und Fr. 459'322.50 für die direkte Bundessteuer. Unter Einbezug des gesetzlich geschuldeten Verzugszinses ergaben sich daraus Forderungen von Fr. 503'244.35 (Staatssteuer) und Fr. 532'858.75 (direkte Bundessteuer). Auf Einsprache der Steuerpflichtigen hin bestätigte das kantonale Steueramt die Nachsteuerverfügung mit Entscheid vom 12. September 2017.
Das Steuergericht des Kantons Solothurn hiess die von den Steuerpflichtigen gegen den Einspracheentscheid erhobenen Rechtsmittel hingegen gut und hob die Verfügungen des kantonalen Steueramts vom 30. Januar 2017 und 12. September 2017 mit Urteil vom 2. Dezember 2019 auf (Dispositivziffer 1). Es auferlegte den Steuerpflichtigen Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- (Dispositivziffer 2), sprach ihnen gleichzeitig jedoch auch eine Parteientschädigung von Fr. 1'000.-- zu (Dispositivziffer 3).
C.
C.a. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 27. Januar 2020 (Verfahren 2C_101/2020) beantragt das kantonale Steueramt dem Bundesgericht die Aufhebung des Urteils vom 2. Dezember 2019 und die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung an das kantonale Steuergericht.
Die Steuerpflichtigen stellen den Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Die Eidgenössische Steuerverwaltung beantragt die Gutheissung der Beschwerde.
C.b. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 9. Januar 2020 (Verfahren 2C_23/2020) beantragen die Steuerpflichtigen dem Bundesgericht die Aufhebung der Dispositivziffern 2 und 3 des Urteils vom 2. Dezember 2019. Das kantonale Steuergericht sei anzuweisen, die Parteientschädigung neu festzusetzen im Sinne der Erwägungen. Eventualiter sei ihnen eine Parteientschädigung von Fr. 112'061.40 zu bezahlen.
Das kantonale Steueramt und die Eidgenössische Steuerverwaltung beantragen die Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Steuergericht stellt den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
1.1. Die beiden Beschwerden (vgl. Bst. C.a und C.b hiervor) richten sich gegen denselben Entscheid des Steuergerichts des Kantons Solothurn. Sie betreffen die gleichen Parteien und den gleichen Sachverhalt. Überdies hängt der Ausgang des Verfahrens 2C_23/2020 massgeblich von der Entscheidung im Verfahren 2C_101/2020 ab (vgl. E. 3 hiernach). Es rechtfertigt sich vor diesem Hintergrund, die zwei Verfahren zu vereinigen (vgl. <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2).
1.2. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sind gegeben (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1 [Verfahren 2C_23/2020] bzw. Art. 89 Abs. 2 lit. d [Verfahren 2C_101/2020], Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG in Verbindung mit <ref-law> [SR 642.11] und Art. 73 StHG [SR 642.14]). Auf die frist- und formgerecht eingereichten Beschwerden (Art. 100 Abs. 1, Art. 42 BGG) ist einzutreten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) prüft das Bundesgericht jedoch grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.5 S. 144; <ref-ruling> E. 1.6; <ref-ruling> E. 1.4.1).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Eine Berichtigung oder Ergänzung der vorinstanzlichen Feststellungen ist von Amtes wegen (<ref-law>) oder auf Rüge hin (<ref-law>) möglich. Von den tatsächlichen Grundlagen des vorinstanzlichen Urteils weicht das Bundesgericht jedoch nur ab, wenn diese offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen, und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang zudem entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.6). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2). Eine entsprechende Rüge ist hinreichend zu substanziieren (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 5.1, <ref-ruling> E. 1.4.3).
3.
In der Sache strittig ist vorliegend, ob die Vorinstanz mit Recht davon ausgegangen ist, dass die vom kantonalen Steueramt mit der Nachsteuer erfasste steuersystematische Realisation der auf den streitbetroffenen Patenten lastenden stillen Reserven nicht in der Steuerperiode 2010, sondern nur in der Steuerperiode 2009 gelegen haben kann. Soweit im vorliegenden Verfahren der gegenteiligen Auffassung des kantonalen Steueramts zu folgen wäre, mithin die Realisation der auf den Patenten lastenden stillen Reserven im Jahr 2010 verortet werden müsste und der angefochtene Entscheid deshalb in der Sache aufzuheben wäre (vgl. Beschwerdeanträge im Verfahren 2C_101/2020), würde sich dies auch auf die Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens auswirken (Gegenstand des Verfahrens 2C_23/2020); diesfalls hätten die Steuerpflichtigen in diesem Verfahren nämlich (jedenfalls vorläufig) nicht mehr obsiegt. Bei dieser Ausgangslage sind zunächst die im Verfahren 2C_101/2020 aufgeworfenen materiellen Fragen zu klären (vgl. E. 4. hiernach), bevor auf die Frage der vorinstanzlich angeordneten Parteientschädigung einzugehen ist (vgl. E. 5 hiernach).
4.
Zu prüfen ist nachfolgend zunächst die Frage, ob die Vorinstanz die Nachsteuerverfügung (en) des kantonalen Steueramts vom 30. Januar 2017 bzw. 17. September 2017 zu Recht aufgehoben hat (Verfahren 2C_101/2020; vgl. E. 3 hiervor).
4.1. Die Vorinstanz begründete ihren Entscheid in der Sache im Wesentlichen damit, dass aufgrund von Belegen, die von den Steuerpflichtigen im steuergerichtlichen Verfahren neu eingereicht worden seien, festgestellt werden könne, dass der Patentübergang von der C._ GmbH auf den Steuerpflichtigen am 3. April 2009 und nicht (wie vom Steueramt zuvor angenommen) erst im Jahr 2010 erfolgt sei. Der Steuerpflichtige habe die Patente sodann bis zur Weiterübertragung auf die B._ AG in seinem Privatvermögen gehalten, weshalb allfällige Kapitalgewinne zwischen 2009 und 2010 nicht der Einkommenssteuer unterliegen würden. Steuerbares Einkommen aus der steuersystematischen Realisation der auf den Patenten lastenden stillen Reserven hätte daher höchstens in der Steuerperiode 2009 resultiert; die Steuerperiode 2009 sei jedoch im vorliegenden - die Steuerperiode 2010 betreffenden - Nachsteuerverfahren nicht zu beurteilen.
4.2. Das kantonale Steueramt beanstandet die Feststellung des Zeitpunkts des Patentübergangs von der C._ GmbH auf den Steuerpflichtigen ausdrücklich nicht (vgl. Beschwerde, Ziff. 7). Auszugehen ist damit von der Feststellung, dass die hier interessierenden Patente im April 2009 zum Preis von Fr. 18'040.15 von der C._ GmbH auf den Steuerpflichtigen übertragen wurden. Unbestritten ist auch die Tatsache, dass der Steuerpflichtige die Patente am 30. Juni 2010 zum Preis von Fr. 18'000.-- an die B._ AG (in Gründung) weiter veräusserte.
Das kantonale Steueramt vertritt auf Basis dieser Feststellungen die Auffassung, dass die Patente im Jahr 2009 in das Geschäftsvermögen (und nicht in das Privatvermögen) des Steuerpflichtigen überführt worden seien. Im Zusammenhang mit der Weiterübertragung der Patente im Jahr 2010 sei es deshalb zu einer steuerbaren Privatentnahme gekommen (<ref-law>; Art. 8 Abs. 1 StHG; § 24 Abs. 1 Satz 2 des Gesetzes des Kantons Solothurn über die Staats- und Gemeindesteuern [StG/SO; BGS 641.11] StG/SO). Insgesamt resultiere für die Steuerperiode 2010 zusätzliches steuerbares Einkommen in der Höhe des Verkehrswerts der betreffenden Patente (per Tag der Veräusserung am 30. Juni 2010) abzüglich des Verkaufspreises.
4.3. Der vorliegende Fall wirft die Frage auf, ob - und gegebenenfalls zu welchen Zeitpunkten - auf den streitbetroffenen Patenten lastende (stille) Reserven vom Steuerpflichtigen steuersystematisch realisiert worden sind und deshalb der Einkommenssteuer unterworfen werden müssen.
4.3.1. Ein erster Realisationstatbestand liegt - wie die Vorinstanz zutreffend annimmt - in der unbestritten (vgl. Beschwerde des kantonalen Steueramts, Rz. 18) unterpreislich erfolgten - Übertragung der streitbetroffenen Patente im April 2009 von der C._ GmbH auf den Steuerpflichtigen. In dem Umfang, in dem diese Patentübertragung unterpreislich, d.h. ohne Aufdeckung bereits damals existierender stiller Reserven erfolgt ist, fand eine verdeckte Gewinnausschüttung statt. Diese verdeckte Gewinnausschüttung wäre beim Steuerpflichtigen als Anteilsinhaber der C._ GmbH als steuerbarer Beteiligungsertrag (vgl. <ref-law>; § 26 Abs. 1 lit. b StG/SO) zu erfassen gewesen und hätte bei ihm entsprechende Einkom-menssteuerfolgen nach sich gezogen (vgl. MADELEINE SIMONEK, Unternehmenssteuerrecht, 2019, § 17 N. 22 ff.). Die Vorinstanz beschränkte sich - wie im Folgenden aufzuzeigen ist - zu Unrecht allein auf die Prüfung des Zeitpunkts dieses ersten Realisationstatbestands.
4.3.2. Nach Auffassung des kantonalen Steueramts hat im Jahr 2010 ein zweiter steuerbarer Realisationstatbestand stattgefunden. Auszugehen ist in diesem Zusammenhang von der unbestrittenen Feststel-lung, dass der Steuerpflichtige die streitbetroffenen Patente im Juni 2010 (ebenfalls) unter dem Marktwert an die B._ AG verkauft hat; insoweit liegt unstrittig eine verdeckte Kapitaleinlage vor, was einkommenssteuerrechtlich für sich genommen ohne direkte Folgen bliebe.
Die Beteiligungen an der B._ AG, die durch die verdeckte Kapitaleinlage in der Substanz erheblich an Wert gewonnen haben, hält der Steuerpflichtige allerdings im Privatvermögen (vgl. Steuererklärung der Steuerpflichtigen 2010, act. 37 [d] der vorinstanzlichen Akten [<ref-law>]). Damit muss auch die verdeckte Kapitaleinlage im Jahr 2010 aus Privatvermögen erfolgt sein. Die Beantwortung der Frage, ob es im Vorfeld der verdeckten Kapitaleinlage zu der vom kantonalen Steueramt postulierten steuerbaren Privatent-nahme gekommen ist (vgl. E. 4.2 hiervor), hängt unter diesen Umständen davon ab, ob der Steuerpflichtige die Patente im April 2009 in sein Geschäftsvermögen überführt hat: Wäre diese Frage zu bejahen, hätte der Steuerpflichtige die Patente im Juni 2010 eine logische Sekunde vor der verdeckten Kapitaleinlage von seinem Geschäftsvermögen in das Privatvermögen überführen müssen; damit würde aber tatsächlich - wie vom kantonalen Steueramt behauptet - eine steuerbare Privatentnahme vorliegen (<ref-law>; Art. 8 Abs. 1 StHG; § 24 Abs. 1 StG/SO; vgl. auch MÜLLER/SCHREIBER, in: Kommentar zum Schweizerischen Steuerrecht, Umstrukturierungen, 2015, § 2 N 200). Entgegen der Auffassung des Steuerpflichtigen könnte diese Privatentnahme nicht als steuerneutraler Umstrukturierungstatbestand gewertet werden, zumal einzelne Patente nicht als Betrieb oder Teilbetrieb im Sinne von <ref-law> bzw. Art. 8 Abs. 3 lit. b StHG und § 25 Abs. 1 lit. b StG/SO qualifiziert werden können (vgl. zu diesem Begriff <ref-ruling> E. 3.2 S. 287 f.).
Von entscheidender Bedeutung ist nach dem eben Ausgeführten die Beantwortung der Frage, ob der Steuerpflichtige die Patente im Jahr 2009 in sein Geschäftsvermögen überführt hat. Eine Überführung ins Geschäftsvermögen kommt freilich nur in Betracht, wenn der Steuerpflichtige zwischen April 2009 und Juni 2010 eine selbständige Erwerbstätigkeit entfaltet hat (vgl. <ref-law>; Art. 8 Abs. 1 StHG; § 23 Abs. 1 StG/SO).
4.3.2.1. Für eine selbstständige Erwerbstätigkeit kennzeichnend ist die Tätigkeit einer natürlichen Person, mit der diese auf eigenes Risiko, unter Einsatz der Produktionsfaktoren Arbeit und Kapital, in einer von ihr frei gewählten Arbeitsorganisation, dauernd oder vorübergehend, haupt- oder nebenberuflich, in jedem Fall aber mit der Absicht der Gewinnerzielung am Wirtschaftsverkehr teilnimmt. Untergeordnete Anhaltspunkte sind etwa die Beschäftigung von Personal, das Ausmass der Investitionen, ein vielfältiger wechselnder Kundenstamm und das Vorliegen eigener Geschäftsräumlichkeiten. Die Prüfung ist von Fall zu Fall aufgrund einer umfassenden Würdigung der tatsächlichen Umstände vorzunehmen. Die einzelnen Gesichtspunkte dürfen dabei nicht isoliert betrachtet werden und können auch in unterschiedlicher Intensität auftreten (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 2.4.2; <ref-ruling> E. 5b, je mit Hinweisen; Urteile 2C_298/2019 vom 18. August 2020 E. 3.2; 2C_ 890/2018 vom 18. September 2019 E. 5.1).
4.3.2.2. Als Geschäftsvermögen gelten alle Vermögenswerte, die ganz oder vorwiegend der selbständigen Erwerbstätigkeit dienen (Art. 18 Abs. 2 Satz 3 erster Teil DBG; § 24 Abs. 5 StG/SO). Ob ein Wertgegenstand dem Privat- oder dem Geschäftsvermögen zuzuordnen ist, entscheidet sich aufgrund einer Würdigung aller in Betracht kommenden tatsächlichen Umstände. Ausschlaggebendes Zuteilungskriterium ist die aktuelle technisch-wirtschaftliche Funktion des Gegenstands; massgeblich ist mithin in erster Linie, ob er dem Geschäft dient (vgl. Urteil 2C_475/2008 vom 1. Juli 2009 E. 2.2).
4.3.2.3. Der Frage, ob mit der Übertragung der Patente vom Steuerpflichtigen auf die B._ AG im Juni 2010 eine steuerbare Privatentnahme stattgefunden habe, ging die Vorinstanz nur summarisch nach. Entnehmen lässt sich dem Urteil nur, dass der Steuerpflichtige und sein damaliger Geschäftspartner nach Auffassung der Vorinstanz vor der Gründung der Firma C._ GmbH nicht gewinnstrebig tätig gewesen seien; sie hätten im Hinblick auf die Verschärfung der Grenzwerte für Feinstaubemissionen vielmehr in der Freizeit an einer Filterlösung getüftelt. Eine gewinnstrebige Aktivität mit Marktauftritt habe erst mit der Gründung der Firma C._ GmbH eingesetzt (E. 5 des angefochtenen Entscheids). Daraus schloss die Vorinstanz, dass der Steuerpflichtige auch nach der Patentanmeldung (und damit auch in der hier interessierenden Zeit zwischen April 2009 und Juni 2010) keine selbständige Erwerbstätigkeit entfaltet habe (vgl. E. 7 zweiter Absatz des angefochtenen Entscheids).
4.3.2.4. Soweit in den vorstehend (vgl. E. 4.3.2.3 hiervor) wiedergegebenen Erwägungen der Vorinstanz überhaupt eine Auseinandersetzung mit der Frage erblickt werden kann, ob der Steuerpflichtige zwischen April 2009 und Juni 2010 eine selbständige Erwerbstätigkeit entfaltet hat, kann der Vorinstanz nicht gefolgt werden. Es ist nicht nachvollziehbar, inwiefern aus dem Fehlen einer selbständigen Erwerbstätigkeit des Steuerpflichtigen vor der Gründung der C._ GmbH am 6. Oktober 2006 geschlossen werden könnte, dass der Steuerpflichtige auch später keine selbständige Erwerbstätigkeit entfaltet hat. Aufgrund der Akten ist vielmehr davon auszugehen, dass die beruflichen Aktivitäten des Steuerpflichtigen sich ab Kündigung seiner An-stellung bei der D._ AG darauf fokussierten, den in der Freizeit entwickelten Feinstaubfilter marktreif zu machen, die entsprechende Erfindung immaterialgüterrechtlich zu schützen und auf Grundlage dieser Erfindung serienmässig Feinstaubfilter zu produzieren und über geeignete Kanäle zu vertreiben.
4.3.2.5. In seiner abschliessenden Stellungnahme an die Vorinstanz (vgl. angefochtenes Urteil, Sachverhalt Ziff. 6) erklärte der Steuerpflichtige die Übertragung des Patents auf sich selber damit, dass er das "Risiko eines Patentverlusts infolge eines allfälligen Konkurses der C._ GmbH" habe vermeiden wollen. Gleichzeitig schloss er als Organ der C._ GmbH noch am 30. November 2009 einen Lizenzvertrag zwischen der C._ GmbH und der neu gegründeten E._ GmbH (vorgesehen zur Verwaltung von an ausländische Fabrikanten vergebenen Lizenzen), obschon die C._ GmbH zu diesem Zeitpunkt aufgrund der Übertragung im April 2009 gar nicht mehr über die Patente verfügen konnte; auch bezog er weiterhin Lohn von der C._ GmbH, obschon diese an den Patenten nicht mehr berechtigt war. Am 30. Juni 2010 - dem Tag der Weiterübertragung der Patente vom Steuerpflichtigen auf die B._ AG - wurde sodann ein neuer "Master-Lizenzvertrag" zwischen der neuen Patentinhaberin (der B._ AG) und der E._ GmbH (der Lizenzverwaltungsgesellschaft) abgeschlossen.
4.3.2.6. Das oben (vgl. E. 4.3.2.5 hiervor) skizzierte Vorgehen des Steuerpflichtigen erscheint in wesentlichen Teilen als inkohärent; jedenfalls zwischen April 2009 und Juni 2010 hat er in verschiedener Hinsicht nur unzureichend zwischen den Vermögenssphären der von ihm gehaltenen Gesellschaften und seiner privaten Vermögenssphäre unterschieden. Insofern lässt sich zumindest aufgrund des gegenwärtigen Aktenstands nicht klar sagen, welche Handlungen der Steuerpflichtige in seiner Eigenschaft als Arbeitnehmer der C._ GmbH vorgenommen hat, welche Handlungen ihm als Privatperson zuzurechnen sind und wo er für die E._ GmbH tätig geworden ist. Starkes Gewicht muss aber in dieser Hinsicht dem Umstand beigemessen werden, dass die streitbetroffenen Patente zwischen April 2009 und Juni 2010 dem Steuerpflichtigen persönlich gehörten. Mit der Übertragung des Rechts am Patent (<ref-law>) im April 2009 konnte nurmehr der Steuerpflichtige darüber verfügen; entsprechend sind an sich sämtliche Handlungen, die er in der Zeit zwischen April 2009 und Juni 2010 im Zusammenhang mit der Bewirtschaftung dieser Patente vornahm (z.B. Abschluss von Lizenzverträgen, Änderungen am Patent, Verwertung der Erfindung), seiner privaten Sphäre zuzuordnen, und zwar unbesehen des Umstands, dass er von der C._ GmbH einen Lohn von Fr. 101'911.-- (vgl. Steuererklärung der Steuerpflichtigen 2010, act. 37 [d] der vorinstanzlichen Akten; <ref-law>) aus unselbständiger Erwerbstätigkeit bezog. Zu bedenken ist ferner, dass sich die technisch-wirtschaftliche Funktion der Patente (vgl. E. 4.3.2.2 hiervor) mit der Übertragung der Patente von der C._ GmbH auf den Steuerpflichtigen nicht verändert hat: Die Patente dienten seit ihrer Eintragung Erwerbszwecken (insbesondere durch das Hinarbeiten auf Einnahmen aus Lizenzgebühren und die Verwertung der Erfindung auf dem Markt). Auch das dürfte für die Frage, ob in der hier interessierenden Steuerperiode selbständige Erwerbstätigkeit vorlag und ob die Patente dem Geschäftsvermögen des Steuerpflichtigen zuzuordnen waren, von nicht zu vernachlässigender Bedeutung sein.
4.4. Die Annahme der Vorinstanz, dass für das Steuerjahr 2010 keine Nachsteuern erhoben werden könnten, weil kein Einkommen aus selbständiger Erwerbstätigkeit vorliege, erweist sich aufgrund des gegenwärtigen Aktenstands jedenfalls als unvollständig und deshalb bundesrechtswidrig. Die Beschwerde des kantonalen Steueramts ist entsprechend gutzuheissen und die Sache zur Ergänzung des massgeblichen Sachverhalts (insbesondere bezüglich der Fragen, ob der Beschwerdeführer eine selbständige Erwerbstätigkeit entfaltet und ob er die Patente im April 2009 in sein Geschäftsvermögen überführt hat) an die Vorinstanz zurückzuweisen.
4.5. Aus verfahrensökonomischen Gründen drängen sich einige Ausführungen dazu auf, wie ein möglicher Realisationstatbestand im Jahr 2010 (vgl. E. 4.3.2 hiervor) im Verhältnis zum (unbestrittenen) Realisationstatbestand im Jahr 2009 (vgl. E. 4.3.1 hiervor) steuerrechtlich zu verorten wäre. Im Ausgangspunkt ist diesbezüglich festzuhalten, dass die auf den streitbetroffenen Patenten bis und mit der Steuerperiode 2009 geäufneten stillen Reserven beim Steuerpflichtigen nicht zwei Mal mit der Einkommenssteuer erfasst werden dürfen. An sich hätten sie anlässlich der verdeckten Gewinnausschüttung im Jahr 2009 er-fasst werden müssen (vgl. E. 4.3.1 hiervor). Sofern die C._ GmbH einerseits und (unter Annahme einer selbständigen Erwerbstätigkeit) der Steuerpflichtige anderseits den Steuerbehörden damals Handelsbilanzen vorgelegt hätten, die korrespondierend auf dem unbestrittenermassen deutlich unter dem Marktwert liegenden Veräusserungspreis von Fr. 18'040.15 basiert hätten, hätten entsprechende steuerrechtliche Korrekturen erfolgen müssen. In den Folgeperioden wäre insoweit nicht mehr auf die Buchwerte gemäss handelsrechtlicher Bilanz abzustellen gewesen, sondern auf die steuerlich korrigierten Ansätze (vgl. BRÜLISAUER/MÜHLEMANN, in: Kommentar zum Schweizerischen Steuerrecht, DBG, N. 179 zu <ref-law>). Davon wäre beim Steuerpflichtigen auch für die Folgeperioden auszugehen gewesen. Anlässlich des zweiten (möglichen) Realisationstatbestands im Jahr 2010 (vgl. E. 4.3.2 hiervor) wäre damit nur noch die Wertsteigerung der Patente zwischen April 2009 und Juni 2010 mit der Einkommenssteuer erfasst worden. Ein solches Vorgehen hätte sichergestellt, dass die richtigen Personen (d.h. die C._ GmbH und der Steuerpflichtige) für die richtige Zeit und im richtigen Umfang (auf Seiten des Steuerpflichtigen Teilbesteuerung nach <ref-law> in der Fassung vom 1. Januar 2009 [AS 2008 2893]) besteuert worden wären.
Eine Besteuerung nach vorstehend dargelegter Konzeption ist heute allerdings nicht mehr möglich, weil Nachsteuerforderungen für das Jahr 2009 nicht mehr geltend gemacht werden können (<ref-law>; Art. 53 Abs. 2 StHG und § 171 Abs. 1 StG/SO). Ginge man deshalb von der Verbindlichkeit der Werte aus, die der insoweit nicht mehr abänderbaren Steuerveranlagung 2009 zugrunde liegen, hatten die streitbetroffenen Patente per 31.12.2009 den vom Beschwerdeführer selbst deklarierten (und vom kantonalen Steueramt implizit anerkannten) Buchwert von Fr. 18'040.15. Soweit davon auszugehen wäre, dass der Steuerpflichtige selbständig erwerbstätig gewesen wäre und die Patente 2009 in sein Geschäftsvermögen überführt hätte, hätte der Steuerpflichtige im Umfang der damit auch weiterhin auf den Patenten lastenden (und weiter sich äufnenden) stillen Reserven bei der Privatentnahme der Patente (vgl. E. 4.3.2 hiervor) im Juni 2010 einen erheblichen Vermögensertrag erzielt. Dieser Ertrag würde als Einkommen aus selbständiger Erwerbstätigkeit (<ref-law>; Art. 8 Abs. 1 StHG; § 24 Abs. 1 StG/SO) zu qualifizieren.
4.6. Angesichts ihrer unzutreffenden Rechtsauffassung hat sich die Vorinstanz im angefochtenen Urteil konsequenterweise nicht mit der Frage auseinandergesetzt, ob bei der Eröffnung des Nachsteuerverfahrens gegen die Steuerpflichtigen überhaupt Tatsachen oder Beweismittel vorlagen, die den solothurnischen Steuerbehörden im ordentlichen Veranlagungsverfahren unbekannt gewesen sind (vgl. zu dieser Voraussetzung <ref-law>; Art. 53 Abs. 1 StHG und § 170 Abs. 1 StG/SO). Auch konnte sie offen lassen, welchen Verkehrswert die Patente per 30. Juni 2010 hatten. Ohne Beantwortung dieser Fragen kann jedoch nicht definitiv über die gegen die Steuerpflichtigen für die Steuerperiode 2010 erhobenen Nachsteuerforderungen entschieden werden. Falls davon auszugehen ist, dass der Steuerpflichtige zwischen April 2009 und Juni 2010 eine selbständige Erwerbstätigkeit entfaltet hat und die Patente in sein Privatvermögen überführt hätte (vgl. E. 4.3 und 4.4 hiervor), wird die Vorinstanz im neuen Rechtsgang auch über diese Fragen befinden müssen.
5.
Die Gutheissung der Beschwerde des kantonalen Steueramts (vgl. E. 4.4 hiervor) zieht die Aufhebung des angefochtenen Urteils auch im Kostenpunkt nach sich (vgl. E. 3 hiervor) Die Beschwerde der Steuerpflichtigen erweist sich daher als gegenstandslos und ist abzuschreiben (<ref-law> i.V.m. <ref-law>; vgl. Urteil 2C_651/2019 vom 21. Januar 2020 E. 6).
6.
Die Rückweisung der Sache zu neuerlicher Behandlung mit offenem Ausgang gilt für die Frage der Gerichtskosten und der Parteientschädigung als vollständiges Obsiegen im Sinne von Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG (<ref-ruling> E. 7.1 S. 271 mit Hinweisen). Damit unterliegen die Steuerpflichtigen im Verfahren 2C_101/2020 (vgl. E. 4.8 hiervor). Die Kosten für das Verfahren sind den Steuerpflichtigen aufzuerlegen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet, da der Kanton Solothurn in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_101/2020 und 2C_23/2020 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde im Verfahren 2C_101/2020 wird gutgeheissen. Das angefochtene Urteil wird aufgehoben und die Angelegenheit zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an das Steuergericht des Kantons Solothurn zurückgewiesen.
3.
Das Verfahren 2C_23/2020 wird als gegenstandslos abgeschrieben.
4.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 5'000.-- werden A.A._ und B.A._ auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonalen Steuergericht Solothurn und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juli 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner