Sachverhalt:
A.
Nachdem die 1962 geborene A._ am 10. Juni 2016 einen Motorradunfall erlitten hatte, meldete sie sich im August 2016 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich gewährte ein Aufbautraining vom 7. Januar bis zum 21. Juni 2019. Nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens ermittelte sie einen Invaliditätsgrad von 38 %, weshalb sie mit Verfügung vom 20. Mai 2020 einen Rentenanspruch verneinte.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 20. Juli 2021 teilweise gut. Es änderte die Verfügung vom 20. Mai 2020 dahingehend ab, als es A._ eine ganze Invalidenrente vom 1. Juni 2017 bis zum 31. März 2018 zusprach. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C.
A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, unter (teilweiser) Aufhebung des Urteils vom 20. Juli 2021 sei ihr auch über den 31. März 2018 hinaus eine Rente zuzusprechen; eventualiter sei die Sache zur Neuabklärung der Statusfrage und der Arbeitsfähigkeit und anschliessend neuer Leistungsfestlegung an das kantonale Gericht zurückzuweisen.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
Der Rentenanspruch ist abgestuft: Bei einem Invaliditätsgrad von mindestens 40 % resp. 50 %, 60 % oder 70 % besteht Anspruch auf eine Viertelsrente resp. halbe Rente, Dreiviertelsrente oder ganze Rente (<ref-law> in der hier anwendbaren, bis Ende 2021 geltenden Fassung).
Für die Bemessung der Invalidität von erwerbstätigen Versicherten ist <ref-law> anwendbar (Einkommensvergleich). Bei nicht erwerbstätigen Versicherten, die im Aufgabenbereich tätig sind, wird für die Bemessung der Invalidität darauf abgestellt, in welchem Masse sie unfähig sind, sich im Aufgabenbereich zu betätigen (Betätigungsvergleich). Bei Versicherten, die nur zum Teil erwerbstätig sind, wird für diesen Teil die Invalidität durch einen Einkommensvergleich festgelegt; waren sie daneben auch im Aufgabenbereich tätig, so wird die Invalidität für diese Tätigkeit durch einen Betätigungsvergleich festgelegt (gemischte Methode; vgl. <ref-law> in der bis Ende 2021 geltenden Fassung; <ref-ruling> E. 2.1).
3.
3.1. Das kantonale Gericht hat dem (von der Unfallversicherung veranlassten) polydisziplinären Gutachten des Swiss Medical Assessment- and Business-Centers (SMAB) vom 6. Dezember 2019 Beweiskraft beigemessen und gestützt darauf festgestellt, dass die Beschwerdeführerin seit dem Unfall vom 10. Juni 2016 bis Ende 2017 vollständig arbeitsunfähig gewesen sei, aber seit dem 1. Januar 2018 für eine leidensangepasste Tätigkeit (im Wesentlichen: einfache Routinetätigkeit in einem strukturierten Arbeitsumfeld, ohne Ablenkung, Zeitdruck und hohe visuell-räumliche Anforderungen, mit Unterbrechungsmöglichkeit wegen erhöhtem Pausenbedarf) wieder eine Arbeitsfähigkeit von 60 % bestehe. Sodann hat es (wie zuvor die IV-Stelle) die Beschwerdeführerin als im Gesundheitsfall zu 80 % Erwerbstätige ohne Aufgabenbereich qualifiziert. Für die Invaliditätsbemessung betreffend das Jahr 2018 hat es das Valideneinkommen auf Fr. 60'733.- und das Invalideneinkommen auf Fr. 32'809.- festgelegt. Die resultierende Einschränkung (46 %) hat es entsprechend dem hypothetischen Erwerbspensum (80 %) gewichtet und somit einen Invaliditätsgrad von 37 % ermittelt. Folglich hat die Vorinstanz (in Anwendung von <ref-law> [in der bis Ende 2021 geltenden Fassung] und <ref-law> [SR 831.201]) den Rentenanspruch der Beschwerdeführerin bis zum 31. März 2018 befristet.
3.2. Streitig ist lediglich der Rentenanspruch ab dem 1. April 2018. Die Beschwerdeführerin macht im Wesentlichen geltend, das SMAB-Gutachten sei nicht beweistauglich, weil sich die Experten nicht (genügend) mit den Ergebnissen des Aufbautrainings auseinandergesetzt hätten (dazu nachfolgend E. 4.1). Weiter sei sie zwar als zu 80 % Erwerbstätige zu qualifizieren, indessen sei ihr für die verbleibenden 20 % eine Tätigkeit im Aufgabenbereich Haushalt zuzugestehen; es seien keine Abklärungen "in diese Richtung" getroffen worden (dazu nachfolgend E. 4.2). Schliesslich sei der Invaliditätsgrad auch im Erwerbsbereich falsch ermittelt worden: Einerseits müsse das Valideneinkommen parallelisiert und auf Fr. 65'591.65 angehoben werden, weil sie vor dem Unfall unfreiwillig ein unterdurchschnittliches Einkommen erzielt habe (dazu nachfolgend E. 4.3); anderseits sei das Invalideneinkommen unter Berücksichtigung eines leidensbedingten Abzugs von 15 % auf Fr. 27'887.65 zu reduzieren (dazu nachfolgend E. 4.4).
4.
4.1.
4.1.1. Bei der Beurteilung der Arbeits (un) fähigkeit stützt sich die Ver waltung und im Beschwerdefall das Gericht auf Unterlagen, die von ärztlichen und gegebenenfalls auch anderen Fachleuten zur Verfügung zu stellen sind. Ärztliche Aufgabe ist es, den Gesundheits zustand zu beurteilen und dazu Stellung zu nehmen, in welchem Umfang und bezüglich welcher Tätigkeiten die versicherte Person arbeitsunfähig ist. Hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes ist entscheidend, ob dieser für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge sowie der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen der Experten begründet sind (<ref-ruling> E. 2.2.2; <ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 3a mit Hinweis).
Ob ein Gutachten beweiskräftig ist, stellt eine frei überprüfbare Rechtsfrage dar (Urteil 9C_18/2019 vom 14. Juni 2019 E. 2.2 mit Hin weis). Hingegen betreffen die konkrete Beweiswürdigung (vgl. E. 1) sowie die gerichtlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit Tatfragen (Urteil 9C_210/2021 vom 2. Juni 2021 E. 2.2.2).
4.1.2. Im (vom zuständigen Case-Manager verfassten) Abschlussbericht vom 20. Juni 2019 über das berufliche Aufbautraining wurde die Leistungsfähigkeit der Beschwerdeführerin auf dem "freien Arbeitsmarkt bei einem 50 % Pensum bei ca. 30 %" eingeschätzt und deshalb "eine verwertbare Leistung als unrealistisch" gesehen. Dieser Bericht war den Gutachtern des SMAB bekannt. Die Beschwerdeführerin schilderte insbesondere bei der neurologischen und der psychiatrischen Untersuchung den Verlauf des Aufbautrainings und weshalb sie sich zu maximal 30 bis 40 % resp. 20 bis 30 % für belastbar hielt. Dass die Experten diesen Angaben zu wenig Rechnung getragen haben sollen, ist nicht ersichtlich und wird auch nicht geltend gemacht. Wohl darf den Ergebnissen leistungsorientierter beruflicher Abklärungen nicht jegliche Aussagekraft für die Beurteilung der Restarbeitsfähigkeit abgesprochen werden (Urteil 9C_501/2019 vom 15. Oktober 2019 E. 3.4.3). Diesbezüglich führte die psychiatrische Expertin explizit - und einleuchtend - aus, dass die im Abschlussbericht über das Aufbautraining enthaltene Einschätzung einer vollständig aufgehobenen Arbeitsfähigkeit aufgrund der bei den Untersuchungen erhobenen neuropsychologischen Befunde nicht nachzuvollziehen sei. F ür die Arbeitsfähigkeit ist denn auch nicht die subjektive Arbeitsleistung, sondern die medizinisch-theoretisch ausgewiesene Leistungsfähigkeit entscheidend ( vgl. Urteil 9C_228/2020 vom 6. August 2020E. 3.1). Demnach genügt das SMAB-Gutachten (auch) mit Blick auf den Abschlussbericht über das berufliche Aufbautraining den Anforderungen an die Beweiskraft.
4.1.3. Die vorinstanzliche Feststellung betreffend die Arbeitsfähigkeit beruht somit nicht auf einer Rechtsverletzung. Sie ist auch nicht offensichtlich unrichtig, weshalb sie für das Bundesgericht verbindlich bleibt (vgl. vorangehende E. 1).
4.2.
4.2.1. Das Gesetz regelt nicht, welche Beschäftigungen unter den Begriff der Tätigkeit in einem Aufgabenbereich nach Art. 28a Abs. 2 und 3 IVG (in der bis Ende 2021 geltenden Fassung; vgl. auch <ref-law>) fallen. Gemäss <ref-law> gelten als Aufgabenbereich der im Haushalt tätigen Versicherten die übliche Tätigkeit im Haushalt sowie die Pflege und Betreuung von Angehörigen. Nicht dazu gehören reine Freizeitbeschäftigungen (<ref-ruling> E. 5; <ref-ruling> E. 4.4; <ref-ruling> E. 5.2). Ist ein Aufgabenbereich Haushalt vorhanden, so wird dessen Anteil nicht in Abhängigkeit vom Umfang der im Aufgabenbereich anfallenden Arbeiten festgesetzt; vielmehr entspricht er grundsätzlich der Differenz zwischen dem Erwerbsanteil und einem Pensum von 100 % (BGE <ref-ruling> E. 4.5; vgl. auch Urteil 9C_522/2019 vom 30. Oktober 2019E. 6.4).
Die Frage nach der im Einzelfall anwendbaren Methode der Invaliditätsbemessung (Einkommensvergleich mit den Untervarianten Schätzungs- und Prozentvergleich sowie ausserordentliches Bemessungsverfahren, Betätigungsvergleich, gemischte Methode) ist eine Rechtsfrage (Urteil 8C_208/2019 vom 26. November 2019 E. 3.4).
4.2.2. Die Vorinstanz hat nicht näher begründet, weshalb sie der Beschwerdeführerin - neben dem Erwerbspensum von (unbestritten) 80 % - keinen Aufgabenbereich zugestanden hat. Diesbezüglich hat sie auch keine Feststellungen getroffen, sondern lediglich die Qualifikation der IV-Stelle bestätigt. Diese hatte im Feststellungsblatt vom 23. März 2020 ausgeführt, die Beschwerdeführerin sei nie einer 100 %igen Arbeitstätigkeit nachgegangen; ihre (1989, 1991 und 1993 geborenen) Kinder seien bereits erwachsen und es beständen keine Betreuungspflichten mehr; sie arbeite freiwillig 80 %. Deshalb würden 20 % in den Freizeitbereich fallen. Diese Folgerung ist ebenfalls nicht nachvollziehbar. Das Bundesgericht kann den Sachverhalt ergänzen (vgl. vorangehende E. 1).
Anlässlich der Begutachtung hatte die Beschwerdeführerin angegeben, sie sei für knapp zehn Jahre Hausfrau gewesen, in dieser Zeit seien ihre Kinder geboren. 1997 habe sie wieder begonnen zu arbeiten, zunächst stundenweise als Raumpflegerin. Von 2013 bis zum Unfall habe sie als Pflegehilfskraft in einem Altersheim zu 80 % gearbeitet. Momentan helfe sie ihrem verunfallten Ehemann bei der Körperpflege, ansonsten verrichte sie am Morgen Tätigkeiten im Haushalt, eventuell gehe sie einkaufen und bereite das Mittagessen zu. Die geschilderten Umstände lassen den Schluss zu, dass die Beschwerdeführerin auch ohne Gesundheitsschaden regelmässig übliche Tätigkeiten im Haushalt verrichtet hätte.
4.2.3. Damit ist ein Aufgabenbereich Haushalt zu bejahen und die Invaliditätsbemessung nach der gemischten Methode vorzunehmen. Die IV-Stelle wird die Einschränkung im Haushalt abzuklären und anschliessend die Invalidität neu zu bemessen haben.
4.3.
4.3.1. Für die Ermittlung des Valideneinkommens ist entscheidend, was die versicherte Person im Zeitpunkt des frühestmöglichen Renten beginns nach dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit als Gesunde tatsächlich verdient hätte. Dabei wird in der Regel am zuletzt erzielten, nötigenfalls der Teuerung und der realen Einkommensentwicklung angepassten Verdienst angeknüpft, da es empirischer Erfahrung entspricht, dass die bisherige Tätigkeit ohne Gesundheitsschaden fortgesetzt worden wäre. Bezog eine versicherte Person aus invaliditätsfremden Gründen (z.B. geringe Schulbildung, fehlende berufliche Ausbildung, mangelnde Deutschkenntnisse, beschränkte Anstellungsmöglichkeiten wegen Saisonnierstatus) ein deutlich unterdurchschnittliches Einkommen, ist diesem Umstand bei der Invaliditätsbemessung nach <ref-law> Rechnung zu tragen, sofern keine Anhaltspunkte dafür bestehen, dass sie sich aus freien Stücken mit einem bescheideneren Einkommensniveau begnügen wollte (<ref-ruling> E. 4.1). Weicht der tatsächlich erzielte Verdienst mindestens 5 % vom branchenüblichen Tabellenlohn ab, ist er im Sinne von <ref-ruling> E. 4 deutlich unterdurchschnittlich und rechtfertigt - bei Erfüllung der übrigen Voraussetzungen - eine Parallelisierung der Vergleichseinkommen im Umfang, in dem die prozentuale Abweichung den Erheblichkeitsgrenzwert von 5 % übersteigt (<ref-ruling> E. 6.1.3).
4.3.2. Das kantonale Gericht hat das Valideneinkommen 2018 von Fr. 60'733.- gestützt auf den zuletzt als Pflegehilfskraft resp. Assistentin Betreuung und Pflege erzielten Lohn ermittelt. Ob der diesbezügliche Einwand der Beschwerdeführerin zutrifft, kann offenbleiben. Weil die Sache ohnehin an die Verwaltung zurückzuweisen ist, wird diese auch die Voraussetzungen für eine Parallelisierung zu prüfen haben.
4.4.
4.4.1. Die Vorinstanz hat das Invalideneinkommen ausgehend von einem Tabellenlohn der LSE bestimmt. Vom auf einer solchen Grundlage ermittelten Invalideneinkommen kann unter bestimmten Voraussetzungen ein Abzug vorgenommen werden. Damit soll der Tatsache Rechnung getragen werden, dass persönliche und berufliche Merkmale wie Art und Ausmass der Behinderung, Lebensalter, Dienstjahre, Nationalität oder Aufenthaltskategorie und Beschäftigungsgrad Auswirkungen auf die Lohnhöhe haben können und je nach Ausprägung die versicherte Person deswegen die verbliebene Arbeitsfähigkeit auch auf einem ausgeglichenen Arbeitsmarkt nur mit unterdurchschnittlichem erwerblichem Erfolg verwerten kann. Der Einfluss aller Merkmale auf das Invalideneinkommen ist unter Würdigung der Umstände im Einzelfall nach pflichtgemässem Ermessen gesamthaft zu schätzen. Der Abzug darf 25 % nicht übersteigen (<ref-ruling> E. 5.2; <ref-ruling> E. 5b/aa-cc; SVR 2019 UV Nr. 7 S. 27, 8C_58/2018 E. 3.1.1). Ausserdem ist zu beachten, dass allfällige bereits bei der Parallelisierung der Vergleichseinkommen mitverantwortliche invaliditätsfremde Faktoren im Rahmen des Abzuges nicht nochmals berücksichtigt werden dürfen (<ref-ruling> E. 5.2).
4.4.2. Die Beschwerdeführerin rügt, dass kein Abzug vom Tabellenlohn zugestanden wurde. Die IV-Stelle hat im intern vorgenommenen Einkommensvergleich vom 23. März 2020 keinen (leidensbedingten) Abzug gewährt, weil "dieser bereits in dem verminderten Belastungsprofil berücksichtigt" worden sei.
4.4.3. Den qualitativen Anforderungen an eine leidensangepasste Tätigkeit hat das kantonale Gericht Rechnung getragen, indem es dem Invalideneinkommen einen Tabellenlohn im Anforderungsniveau 1 zugrunde gelegt hat. Das Anforderungsprofil für zumutbare Arbeiten (vgl. vorangehende E. 3.1) ist denn auch nicht erheblich eingeschränkt. In quantitativer Hinsicht ist - über die vorinstanzlich festgestellte Arbeitsunfähigkeit hinaus - keine weitere Einschränkung ersichtlich; eine solche wird auch nicht geltend gemacht. Ein Teilzeitpensum zwischen 50 und 89 % wirkt sich für Frauen (ohne Kaderfunktion) im Vergleich zum Totalwert lohnerhöhend aus (LSE 2018, Tabelle T18; vgl. auch Urteil 9C_238/2018 vom 30. April 2018 E. 5.2). Das fortgeschrittene Alter - soweit nicht ohnehin bereits bei der Parallelisierung des Valideneinkommens berücksichtigt - hat nicht zwingend einen lohnsenkenden Effekt (<ref-ruling> E. 7.2.1; Urteil 8C_627/2021 vom 25. November 2021 E. 6.1; vgl. auch LSE 2018, Tabellen T9 und T9_b). Schliesslich rechtfertigt allein ein niedriger Ausbildungsstand mit Blick auf das berücksichtigte Anforderungsniveau 1 keinen Abzug (Urteile 8C_239/2021 vom 4. November 2021 E. 5.3; 8C_549/2019 vom 26. November 2019 E. 7.7; vgl. auch <ref-ruling> E. 6.2.3). Demnach besteht kein Anlass für einen Abzug vom Tabellenlohn; das vorinstanzlich festgestellte Invalideneinkommen von Fr. 32'809.- bleibt für das Bundesgericht verbindlich.
4.5. Zusammengefasst ergibt sich Folgendes: Für das Jahr 2018 ist im Erwerbsbereich eine Parallelisierung des Valideneinkommens zu prüfen. Eine allfällige Einschränkung im Aufgabenbereich ist zu berücksichtigen, bedarf aber weiterer Abklärungen. Anschliessend ist der Gesamtinvaliditätsgrad festzulegen und über den Rentenanspruch ab dem 1. April 2018 neu zu entscheiden. Insoweit ist die Beschwerde begründet.
5.
Hinsichtlich der Prozesskosten gilt die Rückweisung der Sache zu neuem Entscheid praxisgemäss als volles Obsiegen (vgl. statt vieler: Urteil 9C_279/2019 vom 1. Juli 2019 E. 3 mit Hinweisen). Dem entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin hat Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Dieses Urteil bleibt ohne Auswirkung auf die vorinstanzliche Kostenverlegung, weshalb sich eine diesbezügliche Rückweisung erübrigt (vgl. Art. 67 und 68 Abs. 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Das Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 20. Juli 2021 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 20. Mai 2020 werden aufgehoben, soweit sie den Rentenanspruch ab dem 1. April 2018 betreffen. Die Sache wird in diesem Umfang zu neuer Verfügung an die IV-Stelle zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. März 2022
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Dormann