Sachverhalt:
A.
Der von der A._ AG gegen den am 8. Februar 2021 zugestellten Zahlungsbefehl erhobene Rechtsvorschlag wurde mit Urteil des Richteramtes Olten-Gösgen vom 19. April 2021 beseitigt und der Gläubigerin wurde in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Olten-Gösgen die definitive Rechtsöffnung erteilt. Dieser Entscheid wurde mit Urteil vom 2. Juni 2021 durch das Obergericht des Kantons Solothurn bestätigt. Dagegen erhob die A._ AG am 7. Juli 2021 Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht, welches der Beschwerde am 22. September 2021 superprovisorisch und am 7. Oktober 2021 definitiv die aufschiebende Wirkung bewilligte (Verfahren 5A_562/2021).
B.
Am 3. August 2021 stellte die Gläubigerin das Fortsetzungsbegehren, woraufhin das Betreibungsamt Olten-Gösgen der Schuldnerin den Konkurs androhte. Mit Eingabe vom 16. August 2021 erhob die A._ AG bei der Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn fristgerecht Beschwerde gegen die Konkursandrohung vom 4. August 2021 und beantragt deren Aufhebung, da diese rechtsmissbräuchlich sei.
C.
Mit Verfügung vom 6. September 2021 wies die Aufsichtsbehörde das Sistierungsgesuch und mit Endurteil vom 13. September 2021 die Beschwerde ab. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wies sie ab. Gerichtskosten wurden keine erhoben.
D.
Mit Eingabe vom 27. September 2021 ist die A._ AG an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin verlangt u.a. sinngemäss die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und der Konkursandrohung; eventuell sei die Angelegenheit an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Zudem stellt sie ein Gesuch um aufschiebende Wirkung und Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Die Vorinstanz und das Betreibungsamt haben mit Eingaben vom 29. September 2021 auf eine Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet. Mit Präsidialverfügung vom 30. September 2021 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung im Sinne der Erwägungen zuerkannt.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, in der Sache hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Entscheide kantonaler Aufsichtsbehörden in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen unabhängig eines Streitwertes der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 2 lit. c BGG). Die Beschwerde ist fristgerecht erhoben worden (<ref-law>) und grundsätzlich zulässig.
1.2. Die Vorinstanz hat das am 31. August 2021 gestellte Gesuch um unentgeltliche Prozessführung für das vorinstanzliche Verfahren im angefochtenen Entscheid wegen Aussichtslosigkeit abgewiesen. Da die Vorinstanz keine Gerichtskosten erhoben hat und das Gesuch der Beschwerdeführerin daher eigentlich als gegenstandslos zu betrachten gewesen wäre, ist die Beschwerdeführerin in dieser Hinsicht nicht beschwert.
1.3. Nach <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheides massgeblichen Erwägungen aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 2).
2.
Vergeblich bringt die Beschwerdeführerin vor, dem Rechtsvertreter der Gläubigerin hätte die Vertretung derselben wegen "Verletzung der Berufsregeln nach Art. 12 lit. a und c BGFA" untersagt werden müssen. Diesbezüglich kann auf das in Erwägung 3.3.2 des Urteils 5A_562/2021 vom 3. Dezember 2021 Gesagte verwiesen werden. Zu Recht hat die Vorinstanz sodann das vor Bundesgericht wiederholte Begehren abgewiesen, es sei das Betreibungsverfahren bis zum Abschluss diverser Strafverfahren zu sistieren und auch für einen weitergehenden Aktenbeizug besteht kein Anlass, zumal Anfechtungsobjekt der vorliegenden Beschwerde einzig der Entscheid der Aufsichtsbehörde ist, welcher die von der Beschwerdeführerin angefochtene Konkursandrohung vom 4. August 2021 zum Gegenstand hat.
3.
Anlass zur Beschwerde gibt die Frage, ob die Konkursandrohung vom Betreibungsamt gültig erlassen wurde.
3.1. Die Fortsetzung der Betreibung auf Pfändung oder auf Konkurs erfolgt nur auf Gesuch des Gläubigers. Sie kann verlangt werden, wenn ein rechtskräftiger Zahlungsbefehl vorliegt (<ref-law>). Dies ist der Fall, wenn kein Rechtsvorschlag erhoben oder ein solcher zurückgezogen worden ist. Hat der Schuldner Rechtsvorschlag erhoben, so kann die Fortsetzung der Betreibung nur aufgrund eines vollstreckbaren Entscheides verlangt werden, der den Rechtsvorschlag ausdrücklich beseitigt (<ref-law>; Urteil 5A_78/2017 vom 18. Mai 2017 E. 2.2).
3.2. Die Vorinstanz hat dazu erwogen, es sei der Gläubigerin in der streitgegenständlichen Betreibung die definitive Rechtsöffnung erteilt worden. Eine Beschwerde an das Bundesgericht habe gemäss <ref-law> in der Regel keine aufschiebende Wirkung und hindere folglich die Vollstreckbarkeit nicht. Die A._ AG sei seit dem 6. Januar 2015 im Handelsregister eingetragen, womit sie nach Art. 39 Abs. 1 Ziff. 8 i.V.m. <ref-law> der Konkursbetreibung unterliege. Dass das Betreibungsamt nach Erhalt des Fortsetzungsbegehrens vom 3. August 2021 die Konkursandrohung erlassen habe, sei folglich nicht zu beanstanden. Im Übrigen könnten mit Beschwerde nach <ref-law> Verfügungen der Betreibungsämter wegen Gesetzesverletzung, Unangemessenheit, Rechtsverweigerung oder -verzögerung angefochten werden. Die in den Rechtsschriften gemachten Ausführungen seien - soweit nachvollziehbar - materiellrechtlicher Natur und würden keinen der vorgenannten Beschwerdegründe erfüllen.
3.3. Soweit die Beschwerdeführerin mit ihren weitschweifigen Ausführungen unter Hinweis auf ihren Anspruch auf rechtliches Gehör den von der Vorinstanz zutreffend dargelegten Grundsatz missachtet, dass im Verfahren nach <ref-law> in der Regel nur Rechtssätze betreibungsrechtlicher Natur als verletzt gerügt werden können und das Betreibungsamt und die Aufsichtsbehörde die in Betreibung gesetzte Forderung nicht auf ihre materielle Berechtigung zu prüfen haben (vgl. LORANDI, Betreibungsrechtliche Beschwerde und Nichtigkeit, 2000, N. 101 zu <ref-law>), ist auf ihre Vorbringen auch vor Bundesgericht nicht weiter einzugehen. Im Übrigen ist die Vorinstanz zutreffend davon ausgegangen, dass ein Rechtsöffnungsentscheid mit seiner Eröffnung sofort vollstreckbar ist, womit umgehend das Fortsetzungsbegehren gestellt werden kann. Die Konkursandrohung kann auch dann erlassen werden, wenn gegen den Rechtsöffnungsentscheid Beschwerde erhoben wurde, ausser dieser Beschwerde wurde aufschiebende Wirkung zuerkannt (Urteil 5A_78/2017 vom 18. Mai 2017 E. 2.2; SIEVI, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 3. Aufl. 2021, N. 6a zu <ref-law>). Für den vorliegenden Fall ergibt sich, dass die Konkursandrohung vor Anordnung der aufschiebenden Wirkung durch das Bundesgericht im Verfahren 5A_562/2021 und damit gültig erfolgt ist (vgl. Sachverhalt Bst. A). Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
3.4. Da der vorliegenden Beschwerde sowie der bundesgerichtlichen Beschwerde gegen den vom Obergericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 2. Juni 2021 bestätigten Rechtsöffnungsentscheid (Verfahren 5A_562/2021) aufschiebende Wirkung zuerkannt worden ist, bleibt anzufügen, dass die angefochtene Konkursandrohung zwar erst mit Ausfällung der heutigen Urteile wirksam wird, jedoch eine Neuzustellung der von der Gläubigerin gültig erwirkten Konkursandrohung nicht zu erfolgen hat (vgl. <ref-ruling> E. 2.2).
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war die Beschwerde von vornherein aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Betreibungsamt Olten-Gösgen, der Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn, der B._ AG und dem Richteramt Olten-Gösgen, Zivilabteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Dezember 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss