Sachverhalt:
A.
A._ führt vor dem Regionalgericht Berner Jura-Seeland verschiedene "zivilrechtliche Auskunfts- und Informationsklagen" im Zusammenhang mit einer Erbstreitigkeit, darunter das hier betroffene Verfahren CIV 19 4651 gegen die B._ AG "präparatorisch zur Einreichung einer Staatshaftungsklage gegen den Kanton Bern".
B.
B.a. Mit Eingabe vom 12. April 2021 beantragte A._ dem Regionalgericht, das Verfahren CIV 19 4651 zu sistieren, bis das Bundesgericht über die Beschwerde gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 18. März 2021 entschieden habe. Das fragliche Beschwerdeverfahren 1C_183/2021 ist bei der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung hängig. Gegenstand dieser verwaltungsrechtlichen Streitigkeit bildet ein Auskunftsbegehren von A._ gegenüber der Gebäudeversicherung des Kantons Bern zum Versicherungswert diverser Liegenschaften in U._ (BE) und V._ (BE). Mit Verfügung vom 21. April 2021 wies das Regionalgericht das Sistierungsgesuch ab; auf A._s Begehren hin begründete es diesen Entscheid am 27. April 2021 schriftlich.
B.b. A._ erhob beim Obergericht des Kantons Bern Beschwerde. Er hielt an seinem Sistierungsantrag fest und stellte diverse Anträge prozessualer Natur. Das Obergericht kam in der Sache zum Schluss, die erstinstanzliche Verfügung sei als Zwischenentscheid nicht anfechtbar, und trat auf die Beschwerde nicht ein. A._s Gesuch um aufschiebende Wirkung schrieb es als gegenstandslos ab (Entscheid vom 12. Mai 2021).
C.
Mit Beschwerde vom 1. Juni 2021 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und im Sinne eines reformatorischen Entscheids die Sistierung des Hauptverfahrens CIV 19 4651 anzuordnen. Eventualiter sei die Sache "als Zwischenentscheid anzuerkennen und zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen". Subeventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung zurückzuweisen; subsubeventualiter sei der angefochtene Entscheid für nichtig zu erklären und das Regionalgericht anzuweisen, das Sistierungsgesuch nach Massgabe der bundesgerichtlichen Erwägungen erneut zu prüfen und diesbezüglich einen neuen, "mit einer rechtlich zutreffenden bzw. vollständigen Rechtsmittelbelehrung" versehenen Entscheid zu erlassen. Für den Fall der Rückweisung an das Obergericht fordert der Beschwerdeführer "eine öffentliche Verhandlung gemäss Art. 6 Abs. 1 EMRK"; eventualiter führe das Bundesgericht selbst eine öffentliche Verhandlung durch. Weiter sei der angefochtene Entscheid in dem Sinne neu zu fassen, dass das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gutgeheissen wird. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung für das bundesgerichtliche Verfahren und dasjenige um Erlass des Kostenvorschusses wies die II. zivilrechtliche Abteilung mit Verfügung vom 3. Juni 2021 ab. Im Übrigen hat sich das Bundesgericht die kantonalen Akten überweisen lassen, jedoch keinen Schriftenwechsel angeordnet.

Erwägungen:
1.
Soweit der Beschwerdeführer vom Bundesgericht fordert, eine öffentliche Verhandlung durchzuführen (s. Sachverhalt Bst. C), ist sein (Eventual-) Antrag abzuweisen. Eine mündliche Parteiverhandlung (<ref-law>) findet vor Bundesgericht nur ausnahmsweise statt. Die Parteien haben darauf grundsätzlich keinen Anspruch (s. etwa Urteil 5A_14/2020 vom 9. Januar 2020 E. 2). Wer trotzdem eine Verhandlung fordert, muss besondere Umstände dartun, die ausnahmsweise eine Verhandlung gebieten (Urteil 5D_7/2015 vom 13. August 2015 E. 2 mit Hinweis). Soweit sich der Beschwerdeführer in seinem wenig kohärenten Schriftsatz überhaupt zum fraglichen Antrag äussert, tut er jedenfalls keine besonderen Gründe für die Durchführung einer Parteiverhandlung im hiesigen Verfahren dar. Wie die nachfolgenden Erwägungen zeigen, kann die vorliegende Beschwerde ohne Weiteres anhand der Akten beurteilt werden. Ob ein Rechtsmittel zulässig ist, prüft das Bundesgericht von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1).
2.
Der Beschwerdeführer wehrt sich - binnen Frist (<ref-law>) - gegen den Entscheid, mit dem das Obergericht als letzte kantonale Instanz (<ref-law>) auf seine kantonale Beschwerde, mit der er die erstinstanzliche Abweisung seines Begehrens um Sistierung des Hauptverfahrens anfocht, nicht eintritt. Der Rechtsmittelentscheid über diese prozessuale Anordnung beschlägt - in der Terminologie der Schweizerischen Zivilprozessordnung - eine prozessleitende Verfügung (Art. 319 Bst. b ZPO) und nicht einen Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen). In der Begrifflichkeit des Bundesgerichtsgesetzes ist die streitige Verfügung jedoch ein Vor- oder Zwischenentscheid (<ref-law>; Urteil 5D_182/2015 vom 2. Februar 2016 E. 1.1). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> 1.1; <ref-ruling> E. 2.2). Dort geht es um eine erbrechtliche Zivilsache (<ref-law>), deren Streitwert Fr. 30'000.-- übersteigt (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). Von daher stünde die Beschwerde an sich offen.
3.
3.1. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide nur zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (Bst. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Bst. b). Nach der Rechtsprechung obliegt es der Beschwerde führenden Partei darzutun, dass eine dieser beiden Voraussetzungen erfüllt ist (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.2), es sei denn, deren Vorliegen springe geradezu in die Augen (<ref-ruling> E. 1.2).
3.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, dass der angefochtene Entscheid im Sinne von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könne.
3.2.1. Der Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG muss rechtlicher Natur sein (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Nicht wieder gutzumachen ist der Nachteil nur, wenn ihn auch ein für den Beschwerdeführer günstiger Endentscheid nicht oder nicht vollumfänglich zu beheben vermöchte (<ref-ruling> E. 2.5; <ref-ruling> E. 1.3 mit Hinweisen). Ausschlaggebend ist also, wie sich der Zwischenentscheid auf die Hauptsache auswirkt (<ref-ruling> E. 1.2.2). Die blosse Möglichkeit eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils rechtlicher Natur genügt. Dagegen reichen rein tatsächliche Nachteile wie die Verfahrensverlängerung oder -verteuerung nicht aus (<ref-ruling> E. 6; <ref-ruling> E. 1.2.1; je mit Hinweisen).
3.2.2. Für den Beschwerdeführer besteht der nicht wieder gutzumachende Nachteil rechtlicher Natur darin, dass ein für ihn günstiger erstinstanzlicher Endentscheid in der Hauptsache aufgrund der Verwirkungsregel von <ref-law> gar nicht mehr ergehen dürfte. Dieser Nachteil des "drohenden verwirkten Anfechtungsrechts" könne nicht mehr behoben werden, weil sich die Beschwerdegegnerin darauf berufen könnte, dass der erstinstanzlich gemäss <ref-law> erlassene Zwischenentscheid vom 27. April 2021 mangels Anfechtung in Rechtskraft erwachsen und der darin geregelte Sachverhalt "im Hinblick auf die... Feststellung des Fehlens von Prozessvoraussetzungen der Dispositionsfreiheit der Parteien entzogen worden sei". Die Argumentation geht an der Sache vorbei. Wie eingangs erwähnt, ist die umstrittene Verfügung, mit der das Regionalgericht das Sistierungsgesuch des Beschwerdeführers abwies, kein Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law>, sondern eine prozessleitende Verfügung im Sinne von Art. 319 Bst. b ZPO (E. 2). Daran ändern auch der Einwand des Beschwerdeführers nichts, wonach das Regionalgericht in Verletzung diverser Normen der Bundesverfassung und der EMRK Grund zur Annahme gegeben habe, die besagte Verfügung vom 27. April 2021 sei ein Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law>. Dass ihm bei nicht sofortiger Anfechtbarkeit in anderer Hinsicht nach Massgabe von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG ein nicht wieder gutzumachender Nachteil rechtlicher Natur drohen würde, macht der Beschwerdeführer nicht geltend und ist auch nicht ersichtlich. Insbesondere steht allein der Umstand, dass die Verweigerung der Sistierung - im Unterschied zur Anordnung einer Sistierung (Art. 126 Abs. 2 i.V.m. Art. 319 Bst. b Ziff. 1 ZPO) - bereits auf kantonaler Ebene nur im Rahmen von Art. 319 Bst. b Ziff. 2 ZPO anfechtbar ist, einer Anfechtung zusammen mit dem Rechtsmittel gegen den Endentscheid nicht entgegen (vgl. Urteil 5D_182/2015 vom 2. Februar 2016).
3.3. Der Beschwerdeführer hält seine Beschwerde auch gestützt auf Art. 93 Abs. 1 Bst. b BGG für zulässig. Die Gutheissung seines Gesuchs, das Hauptverfahren bis zum Erlass des bundesgerichtlichen Urteils im Verfahren 1C_183/2021 zu sistieren, hätte im Hauptverfahren den sofortigen Wegfall eines aufwendigen Beweisverfahrens zur Folge, "weil die Frage der Anwendbarkeit von Erbrecht durch das Bundesgericht zur Entscheidung beantragt ist und damit durch Beantwortung dieser Frage durch das Bundesgericht eine erhebliche Einsparung an Zeit und Kosten resultieren würde". Das Regionalgericht könnte hinsichtlich der Frage der örtlichen Zuständigkeit sofort einen selbständigen Zwischenentscheid erlassen. Bei "anwendbarem Erbrecht" im Hauptverfahren hätte er, der Beschwerdeführer, eine "reelle Chance auf einen gerichtlichen Vergleich"; andernfalls wäre die Klage direkt mit einem Nichteintretensentscheid abzuweisen. Der Beschwerdeführer verkennt die Gesetzeslage. Die Voraussetzung nach Art. 93 Abs. 1 Bst. b BGG ist nur erfüllt, wenn das Bundesgericht selbst im konkret betroffenen Verfahren sofort einen Endentscheid herbeiführen könnte, indem es die Frage, die Gegenstand des Zwischenentscheids ist, anders als die Vorinstanz beantwortet (<ref-ruling> E. 2.4.1; <ref-ruling> E. 4.1 mit Hinweisen). Hier vor Bundesgericht konkret betroffen ist nicht der Streit um die Hauptsache selbst (s. Sachverhalt Bst. A), sondern allein die Sistierung des die Hauptsache betreffenden Verfahrens (s. Sachverhalt Bst. B). Der Entscheid darüber kann - wie auch immer er ausfällt - kein Endentscheid im Rechtssinne sein, da er als prozessleitende Verfügung (E. 2) nicht den Streitgegenstand, sondern den Ablauf und die Gestaltung des Prozesses betrifft. Entsprechend fällt eine Anfechtung gestützt auf Art. 93 Abs. 1 Bst. b BGG von vornherein ausser Betracht.
3.4. Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde gegen den angefochtenen Zwischenentscheid vom 27. April 2021 als unzulässig. Daran ändert auch der Umstand nichts, dass der Beschwerdeführer vor Bundesgericht weiterhin an seinen Vorwürfen festhält, wonach der angefochtene Entscheid den Makel der Nichtigkeit aufweise und das Obergericht zu Unrecht die Nichtigkeit der erstinstanzlichen Verfügung vom 27. April 2021 verneine. Ausserhalb einer hängigen und zulässigen Beschwerde kann die Nichtigkeit nicht geltend gemacht werden, da dem Bundesgericht keine Oberaufsichtsfunktion über die kantonale Zivilgerichtsbarkeit zukommt (vgl. <ref-ruling> E. 3 mit Hinweisen; Urteil 5A_827/2019 vom 18. März 2021 E. 4.4.2, zur Publikation vorgesehen).
4.
Im Ergebnis tritt das Bundesgericht nicht auf die Beschwerde ein. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Er hat deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juli 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn