Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1964 geborene A._ arbeitete im Oktober und November 2006 sowie ab dem 19. Februar 2007 bei der B._ AG im IT-Support und war für die berufliche Vorsorge bei der Pensionskasse der Credit Suisse Group (Schweiz) versichert. Am 7. Januar 2009 sprach die Arbeitgeberin die Kündigung aus, weil die Arbeitsleistung seit längerer Zeit nicht mehr den Anforderungen entspreche. Daraufhin endete das Arbeitsverhältnis unter Berücksichtigung der 90-tägigen Sperrfrist in Folge Arbeitsunfähigkeit ab dem 6. Februar 2009 per 31. Juli 2009. Anschliessend war die Versicherte mit einer Vermittlungsfähigkeit von 100 % arbeitslos (1. März 2010 bis 31. März 2011; 23. Juli 2012 bis 12. Mai 2013 [Berufsvorsorgeversicherung: Stiftung Auffangeinrichtung BVG]), wobei die Arbeitslosigkeit von verschiedenen Phasen der Erwerbstätigkeit unterbrochen war, so insbesondere durch eine Anstellung vom 12. Juli 2011 bis 31. Mai 2012 bei der C._ AG, von der sie als externe Mitarbeiterin bei der Bank D._ AG eingesetzt wurde (Berufsvorsorgeversicherung: AXA Stiftung Berufliche Vorsorge).
A.b. Die IV-Stelle des Kantons Zürich sprach der Versicherten aufgrund des Gutachtens der medizinischen Abklärungsstelle E._ vom 17. Januar 2014 wegen einer rezidivierenden depressiven Störung und einer mittelgradigen Hirnfunktionsstörung als Folge eines Sauerstoffmangels bei der Geburt a b 1. Oktober 2013 eine halbe Rente und ab 1. Januar 2015 eine ganze Rente zu (Verfügungen vom 19. Februar 2016). Die Pensionskasse der Credit Suisse Group (Schreiben vom 22. Mai 2018) sowie die Stiftung Auffangeinrichtung BVG (Schreiben vom 5. Oktober 2016) verneinten hingegen ihre Leistungspflicht.
B.
A._ liess am 20. September 2018 gegen die Pensionskasse der Credit Suisse Group, die AXA Stiftung Berufliche Vorsorge und die Stiftung Auffangeinrichtung BVG Klage beim Sozialversicherungs gericht des Kantons Zürich einreichen. Sie liess beantragen, die Pensionskasse der Credit Suisse Group bzw. eventualiter die AXA Stiftung Berufliche Vorsorge oder die Stiftung Auffangeinrichtung BVG sei zu verpflichten, ihr rückwirkend ab 1. Oktober 2013 die gesetzlichen und reglementarischen Rentenleistungen zu erbringen.
In Gutheissung der Klage verpflichtete das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Pensionskasse der Credit Suisse Group, A._ ab 1. Oktober 2013 eine halbe und ab 1. Januar 2015 eine ganze reglementarische Rente auszurichten (Entscheid vom 25. Februar 2020).
C.
Die Pensionskasse der Credit Suisse Group lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und die Klage abzuweisen, soweit diese die Pensionskasse der Credit Suisse Group betreffe. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG) und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.2. Vorinstanzliche Feststellungen zur Art des Gesundheitsschadens und zur Arbeitsfähigkeit, die Ergebnis einer Beweiswürdigung sind, sind für das Bundesgericht grundsätzlich bindend (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 397). Tatfrage ist auch jene nach dem Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat (Urteil 9C_182/2007 vom 7. Dezember 2007 E. 4.1.1, in: SVR 2008 BVG Nr. 31 S. 126). Gleiches gilt für die aufgrund einer konkreten Beweiswürdigung getroffene Feststellung des zeitlichen Konnexes. Frei überprüfbare Rechtsfrage ist dagegen, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung über den Zeitpunkt des Eintritts einer massgebenden Arbeitsunfähigkeit zu erfolgen hat, und hinsichtlich des zeitlichen Zusammenhangs, ob die Beweiswürdigung unter Beachtung der rechtsprechungsgemäss relevanten Kriterien erfolgte (Urteil 9C_333/2018 vom 25. Januar 2019 E. 1.2 mit Hinweisen).
2.
2.1. Strittig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie die Klage der Versicherten guthiess und die Beschwerdeführerin verpflichtete, der Versicherten ab 1. Oktober 2013 eine halbe und ab 1. Januar 2015 eine ganze reglementarische Rente auszurichten.
2.2. Invalidenleistungen der obligatorischen beruflichen Vorsorge werden von derjenigen Vorsorgeeinrichtung geschuldet, bei welcher die ansprechende Person bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert war (Art. 23 lit. a BVG; <ref-ruling> E. 2.6 S. 17). Dieser Grundsatz findet auch in der weitergehenden Vorsorge Anwendung, wenn - wie hier - Reglement oder Statuten nichts anderes vorsehen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 69). Der Anspruch auf Invalidenleistungen setzt einen engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhang zwischen der während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses bestandenen Arbeitsunfähigkeit und der allenfalls erst später eingetretenen Invalidität voraus. Ein enger zeitlicher Zusammenhang liegt vor, wenn die versicherte Person nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, nicht während längerer Zeit wieder arbeitsfähig war (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 22). Eine Unterbrechung des zeitlichen Konnexes ist dann anzunehmen, wenn während mehr als dreier Monate eine Arbeitsfähigkeit von über 80 % gegeben ist (<ref-ruling> E. 4.5 S. 63), sofern sich eine dauerhafte Wiedererlangung der Arbeitsfähigkeit als objektiv wahrscheinlich darstellt (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 22). Anders verhält es sich, wenn die fragliche, allenfalls mehr als dreimonatige Tätigkeit als Eingliederungsversuch zu werten ist oder massgeblich auf sozialen Erwägungen des Arbeitgebers beruhte und eine dauerhafte Wiedereingliederung unwahrscheinlich war (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 22 f.; <ref-ruling> E. 1c S. 264; Urteil 9C_333/2018 vom 25. Januar 2019 E. 4).
3.
3.1. Das kantonale Gericht stellte fest, im Jahr 2007 sei keine Arbeitsunfähigkeit dokumentiert. Die ab Anfang des Jahres 2008 von der B._ AG monierte mangelhafte Leistung sei mit den Teilleistungsschwächen der Versicherten zu erklären. Der Eintritt einer mindestens 20%igen Arbeitsunfähigkeit sei ab dem 6. Februar 2009 und damit während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses bei der Beschwerdeführerin mit echtzeitlichen Zeugnissen dokumentiert. Der zeitliche Zusammenhang sei in der Folge weder durch den Bezug von Arbeitslosentaggeldern noch durch die Tätigkeit bei der Bank D._ AG unterbrochen worden.
3.2. Die Beschwerdeführerin bringt dagegen im Wesentlichen vor, die im Jahr 2009 eingetretene Arbeitsunfähigkeit sei durch die Depression bedingt gewesen. Hingegen hätten die seit Kindheit bestehenden Teilleistungsschwächen zu keiner Arbeitsunfähigkeit während des Versicherungsverhältnisses geführt. Der spätere Bezug von Arbeitslosentaggeldern und die Anstellung bei der C._ AG habe den zeitlichen Zusammenhang unterbrochen.
4.
4.1. Entgegen der Beschwerdeführerin konnte die Versicherte nach einer Anmeldung zum Leistungsbezug bei der Invalidenversicherung im April 2013 keinen Rentenanspruch vor Oktober 2013 durchsetzen, sieht doch Art. 29 Abs. 1 IVG vor, dass ein solcher Anspruch frühestens nach Ablauf von sechs Monaten nach der Geltendmachung des Leistungsanspruchs entsteht (Urteil 8C_544/2016 vom 28. November 2016 E. 4.2.2). Daran ändert nichts, dass die IV-Stelle von einer Arbeitsunfähigkeit (zumindest) seit dem 16. Juli 2012 ausging. Wie die Vorinstanz richtig feststellte, ist damit der Entscheid der Invalidenversicherung bezüglich dem Beginn des Wartejahres für das Verfahren der beruflichen Vorsorge nicht verbindlich. Es ist deshalb nicht ersichtlich, inwiefern sich die Versicherte widersprüchlich verhält, wenn sie nun im berufsvorsorgerechtlichen Verfahren eine Arbeitsunfähigkeit vor dem 16. Juli 2012 geltend macht, den Entscheid der IV-Stelle jedoch akzeptierte.
4.2. Unbestritten und nicht offenkundig unrichtig ist, dass im Jahr 2007 weder Arbeitsunfähigkeiten noch Leistungseinbussen durch die damalige Arbeitgeberin (B._ AG) dokumentiert sind und ein zeitlicher Zusammenhang mit einer allfällig vor dieser Tätigkeit bestehenden Arbeitsunfähigkeit unterbrochen wurde. Strittig ist hingegen, ob die von der B._ AG festgestellte mangelhafte Leistung ab Anfang des Jahres 2008 durch die Teilleistungsstörungen wegen der mittelgradigen Hirnfunktionsstörungen bedingt war.
4.2.1. Dr. med. F._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, legte mit Bericht vom 16. Juli 2012 dar, dass Teilleistungsstörungen durch einen geburtstraumatischen Hirnschaden und eine rezidivierende depressive Störung vorlägen. Er gab an, aufgrund der Teilleistungsstörungen sei die Arbeitsfähigkeit immer wieder begrenzt. Fehler häuften sich, die Patientin benötige mehr Zeit für Aufgaben wie Gesunde. Ihre Belastbarkeit und Leistungsfähigkeit seien eingeschränkt. Sie habe Mühe neue Aufgaben zu erfassen. Wenn sie durch vermehrte Konzentration und Anstrengung dauernd Defizite kompensieren müsse, ermüde sie rascher, sei weniger flexibel und weniger belastbar. Diese Einschränkungen passen zu den während des Arbeitsverhältnisses bei der B._ AG in Erscheinung getretenen Leistungsdefiziten, wonach die Versicherte bei guter Motivation mit der grösseren Arbeitsbelastung und mit dem selbständigen Lösen von Problemen nicht innerhalb der ihr zur Verfügung stehenden Zeit zu Recht kam. Auch im von der IV-Stelle eingeholten Gutachten der medizinischen Abklärungsstelle E._ vom 17. Januar 2014 werden derartige Defizite wie sprachliche Probleme (Kommunikation, Sprachverständnis, spontane Kontaktaufnahme, schnelle Entscheide) und mangelnde Fähigkeiten bei der Stressbewältigung mit der Folge, dass verschiedene Arbeitgeber der Versicherten kündigten, auf die Hirnfunktionsstörung zurückgeführt. Aus dem genannten Bericht des Dr. med. F._ geht zudem hervor, dass die mittelschweren bis schweren depressiven Episoden (2005, 2006 und 2009) zum Teil reaktiv auf die Behinderung durch die Teilleistungsstörung folgten. Vor diesem Hintergrund ist nicht willkürlich, wenn die Vorinstanz als erstellt erachtete, die ab 2008 von der B._ AG festgestellte mangelhafte Leistung der Versicherten sei durch die Teilleistungsstörungen erklärt und es verletzt daher kein Bundesrecht, wenn das kantonale Gericht eine dadurch bedingte Arbeitsunfähigkeit bejahte. Daran ändert nichts, dass in den echtzeitlichen Arztzeugnissen die Arbeitsunfähigkeit zunächst nicht auch mit den Teilleistungsstörungen begründet wurde.
4.2.2. Nachdem ein zeitlicher Zusammenhang zu einer allfälligen Beeinträchtigung durch diesen Gesundheitsschaden vor der Anstellung bei der B._ AG unterbrochen wurde (E. 4.2 hiervor), ist entgegen der Beschwerdeführerin nicht massgebend, dass der Hirnschaden schon seit der Geburt der Versicherten besteht. Entscheidend ist vielmehr, dass sich eine reduzierte Arbeitsfähigkeit aufgrund der Teilleistungsstörungen und der Depression, die zu einer Invalidität führte, während der Versicherungsdeckung bei die Beschwerdeführerin manifestierte (vgl. Urteil 9C_515/2019 vom 22. Oktober 2019 E. 2.4).
4.3. Weiter ist strittig, ob in der Folge der zeitliche Zusammenhang unterbrochen wurde.
4.3.1. Die Vorinstanz erwog, aus der gegenüber der Arbeitslosenversicherung gemeldeten Vermittlungsfähigkeit von 100 % könne nicht geschlossen werden, die Versicherte sei mindestens 80 % arbeitsfähig gewesen. Dem könne nicht die gleiche Bedeutung wie einer effektiven Erwerbstätigkeit beigemessen werden. Zudem sei zu beachten, dass die Versicherte ihre Behinderung negiere und bagatellisiere. Eine solche Dissimulation sei auch beim Arbeitslosentaggeldbezug ab dem 23. Juli 2012 zu beobachten gewesen, habe sich die Versicherte trotz einer 50%igen Arbeitsunfähigkeit zu 100 % vermittlungsfähig gehalten. Es bestünden keine Anhaltspunkte, dass von März 2010 bis März 2011 eine dauerhafte Wiedererlangung einer Erwerbstätigkeit von mehr als 80 % objektiv wahrscheinlich erscheine. Auch die verschiedenen kurzen Arbeitseinsätze nach dem Arbeitsverhältnis bei der B._ AG sowie der gescheiterte Arbeitsversuch als externe Mitarbeiterin für die Bank D._ AG liessen eine dauerhafte Wiedererlangung einer Arbeitsfähigkeit von mehr als 80 % unwahr scheinlich erscheinen. Die Versicherte sei bereits zu Beginn dieser Tätigkeit am 12. Juli 2011 nicht voll leistungsfähig gewesen. Die Bank D._ AG habe ihr mit dem Schreiben vom 31. Mai 2012 die festgestellten Schwächen bestätigt, die aufgrund des Arbeitsverhält nisses sichtbar gewesen seien. Dass das Arbeitsverhältnis dennoch zehn Monate gedauert habe, sei auf die befristete Anstellung zurückzuführen, die nur in Ausnahmefällen vorzeitig aufgelöst werden könne.
4.3.2. Entgegen der Beschwerdeführerin lassen fehlende Massnahmen zur Steigerung der Leistungsfähigkeit durch die C._ AG bzw. die Bank D._ AG die vorinstanzlichen Schlussfolgerungen nicht als bundesrechtswidrig erscheinen, kann doch nachvollzogen werden, dass eine Arbeitgeberin im Rahmen eines befristeten Arbeits verhältnisses auf solche verzichtet.
4.3.3. Die vorinstanzliche Beweiswürdigung wird auch nicht durch das undatierte Arztzeugnis des Dr. med. F._ in Frage gestellt, in welchem er festhielt, es sei mit einer Steigerung der Arbeitsfähigkeit zu rechnen, erschliesst sich doch daraus weiter, dass bei der Aus stellung des Zeugnisses noch eine 100%ige Arbeitsunfähigkeit bestand, wobei Dr. med. F._ eventuell ab Januar (2010) eine Teilarbeitsfähigkeit für möglich hielt. Daraus ergibt sich aber nicht, dass er mit einer den zeitlichen Zusammenhang unterbrechenden Arbeitsfähigkeit rechnete. Zudem hat er im Bericht vom 16. Juli 2012 als die Versicherte von April 2009 bis April 2010 behandelnder Arzt in erster Linie aufgrund der Teilleistungsschwächen - die rezidivierende depressive Störung war gegenwärtig remittiert - die Förderung einer Beschäftigung zu 50 % empfohlen und im Übrigen eine Berentung für angezeigt erachtet. Nebst den gescheiterten beruflichen Integrationsbemühungen spricht somit auch der Bericht des Dr. med. F._ vom 16. Juli 2012 dafür, dass nach April 2010 weiterhin eine Arbeitsunfähigkeit in relevantem Ausmass vorlag. Nachdem im Gutachten der medizinischen Abklärungsstelle E._ vom 17. Januar 2014 diese Einschätzung als schlüssig und nachvollziehbar eingeschätzt wurde, ist die vorinstanzliche Schlussfolgerung, die Versicherte sei auch nach April 2010 in ihrer Arbeitsfähigkeit dauerhaft und in rele vantem Ausmass eingeschränkt gewesen, keine Spekulation. Die vorinstanzlichen Erwägungen zeigen vielmehr eine eingehende und bundesrechtskonforme Auseinandersetzung mit dem zeitlichen Zusammenhang zwischen der während der Versicherungsdeckung bei der Beschwerdeführerin eingetretenen Arbeitsunfähigkeit und dem weiteren Verlauf.
4.4. Die Vorinstanz hat somit kein Bundesrecht verletzt, indem sie die Beschwerdeführerin als leistungspflichtig beurteilte. Die Beschwerde ist unbegründet.
5.
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Stiftung Auffangeinrichtung BVG, der AXA Stiftung Berufliche Vorsorge, Winterthur, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. November 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Möckli