Sachverhalt:
A.
A.a. Die A._ AG hat Sitz in U._ und V._ und betreibt eine Bank. Sie ist an der Börse kotiert.
Mit Prospekt vom 29. September 2014 unterbreitete sie ihren Aktionären das Angebot, ihre Aktien gegen solche der A._ Group AG zu tauschen. Die für diesen Zweck erforderlichen Aktien würden von der A._ Group AG durch ordentliche Kapitalerhöhung geschaffen. Nach den Angaben im Prospekt bezweckten die A._ Group AG und die A._ AG mit dem Umtauschangebot die Schaffung einer Struktur, in welcher die A._ Group AG 100 % der Aktien der A._ AG halten würde. Damit sollte die Abwicklungsfähigkeit der Gruppe A._ mit Blick auf bankenaufsichtsrechtliche Anforderungen verbessert werden. Im Angebotsprospekt wurde überdies festgehalten, die A._ Group AG habe im Sinn, eine Kraftloserklärung der restlichen Beteiligungspapiere (sog. börsenrechtlicher Squeeze-out; vgl. Art. 33 des Bundesgesetzes über die Börsen und den Effektenhandel vom 24. März 1995 [aBEHG]; die Bestimmung wurde per 1. Januar 2016 aufgehoben, vgl. in diesem Zusammenhang Anhang Ziff. 11 des Finanzmarktinfrastrukturgesetzes vom 19. Juni 2015 [Finanzmarktinfrastrukturgesetz, FinFraG; AS 2015 5339]) zu veranlassen, wenn sie im Rahmen des Umtauschangebots zumindest 98 % aller ausgegebenen Aktien der A._ AG erwerben könne. Werde diese Schwelle nicht erreicht, gelinge aber zumindest der Erwerb von 90 % der Aktien, werde voraussichtlich eine Fusion unter Abfindung (sog. Squeeze-out-Fusion; vgl. Art. 18 Abs. 5 in Verbindung mit Art. 8 Abs. 2 des Bundesgesetzes über Fusion, Spaltung, Umwandlung und Vermögensübertragung vom 3. Oktober 2003 [Fusionsgesetz, FusG; SR 221.301]) zwischen der A._ AG und der B._ durchgeführt; die B._ sei eine zu 100 % von der A._ Group AG gehaltene Tochtergesellschaft und werde die Transaktion überleben.
A.b. Anlässlich des eben erläuterten Umtauschprogramms (vgl. Bst. A.a hiervor) gelang es der A._ Group AG, 97.3 % der Aktien der A._ AG zu erwerben. Die für diese Konstellation angekündigte Squeeze-out-Fusion wurde in der Folge nicht durchgeführt, weil sie den Untergang der A._ AG zur Folge gehabt hätte und damit ein Teil der von der A._ AG weltweit gehaltenen Banklizenzen verloren gegangen wäre. Um den für einen börsenrechtlichen Squeeze-out damals (und auch heute noch [vgl. Art. 137 FinFraG]) erforderlichen Schwellenwert von 98 % der Stimmrechte doch noch zu erreichen, beschloss die Generalversammlung (GV) der A._ AG am 7. Mai 2015 zum einen "eine Ausschüttung pro Aktie von, nach Wahl jedes Aktionärs, entweder (i) 0.50 Franken in bar aus Kapitaleinlagereserven oder (ii) einer Anzahl neuer A._ AG-Aktien, die so zu bestimmen ist, dass sie im Wesentlichen 0.50 Franken entspricht". Zum anderen beschloss sie, "ein neues bedingtes Kapital im Betrag von höchstens 5 000 000 Franken zum Zwecke der Bar- oder Titeldividende [...] zu schaffen". Am 8. Mai 2015 informierte der Verwaltungsrat der A._ AG, A._ AG-Aktonäre ohne gültige und rechtzeitige Wahl würden pro Aktie Fr. 0.50 in bar erhalten.
A.c. In der Folge wurden die für die Ausschüttung der Titeldividende erforderlichen Aktien wie folgt bereitgestellt: Die Bezugsrechte im Rahmen der von der Generalversammlung der A._ AG beschlossenen bedingten Kapitalerhöhung wurden ausschliesslich der A.B._ AG, einer vollständig von der A._ AG gehaltenen Tochtergesellschaft, eingeräumt. Jedes dieser Bezugsrechte gab der A.B._ AG das Recht, eine neue Aktie der A._ AG zum Nominalwert von Fr. 0.10 zu liberieren. Die A.B._ AG und die A._ AG schlossen überdies einen Vertrag, wonach die A.B._ AG nur so viele Bezugsrechte ausüben dürfe, wie für die Ausrichtung der Titeldividende gemäss dem Generalversammlungsbeschluss vom 7. Mai 2015 erforderlich wären. Diese Zahl stand erst nach Ablauf der den Aktionären der A._ AG für die Wahl zwischen Bar- oder Titeldividende eingeräumten Frist fest (am 21. Mai 2015). Bestimmt werden sollte die Zahl ausgehend vom volumengewichteten Durchschnittspreis der Aktie der A._ AG an der SIX Swiss Stock Exchange am 22. Mai 2015 (Fr. xx.xx). Mit Blick auf den Dividendenbeschluss vom 7. Mai 2015 führte dies dazu, dass ein Aktionär, der sich für die Titeldividende entschieden hatte, für jeweils 40.81 gehaltene Aktien eine neue Aktie erhielt. Zur Finanzierung der in der Folge durchgeführten Aktienliberierung gewährte die A._ AG der A.B._ AG ein Darlehen. Zugleich verpflichtete sich die A.B._ AG, der A._ AG die durch die Ausübung der Bezugsrechte geschaffenen Aktien zum Nennwert zurück zu übertragen. Die Kaufpreisforderung der A.B._ AG wurde in der Folge mit der Forderung der A._ AG auf Rückzahlung des Darlehens für die Aktienliberierung verrechnet.
A.d. Mit der Umsetzung des Generalversammlungsbeschlusses vom 7. Mai 2015 wurden im Ergebnis 13'847'553 neue Aktien der A._ AG mit einem Nennwert von je Fr. 0.10 geschaffen. Die Übertragung dieser Aktien von der A._ AG an die Aktionäre, welche die Titeldividende gewählt hatten, erfolgte am oder um den 27. Mai 2015. Sie bewirkte, dass die A._ Group AG mehr als 98 % des eingetragenen Aktienkapitals der A._ AG hielt und damit einen börsenrechtlichen Squeeze-out der verbliebenen anderen Aktionäre veranlassen konnte.
B.
B.a. Nach einem Meinungsaustausch reichte die A._ AG (nachfolgend: die Steuerpflichtige) der Eidgenössischen Steuerverwaltung (ESTV) am 29. Juli 2015 das Formular 3 betreffend "Abrechnung über die Emissionsabgabe" ein. Darin deklarierte sie im Zusammenhang mit der "Ausübung der Cash or Title Dividenden aus bedingtem Kapital in der Zeit vom 8.-21. Mai" die Ausgabe von Aktien im Nennwert von insgesamt Fr. 1'384'755.-- mit einem Überpari-Ausgabepreis von Fr. 282'490'081.--; überdies machte sie Ausgabekosten von Fr. 91'238.-- geltend. Daraus resultierte ein Emissionsabgabebetrag von Fr. 2'796'028.--.
Bei Einreichung des Formulars bestritt die Steuerpflichtige, den deklarierten Abgabebetrag zu schulden. Zudem verlangte sie von der ESTV diesbezüglich den Erlass einer anfechtbaren Verfügung. Mit Valuta 29. Juli 2015 bezahlte die Steuerpflichtige der ESTV den Betrag von Fr. 2'796'028.-- unter Vorbehalt.
B.b. Mit Verfügung vom 13. Januar 2016 stellte die ESTV fest, die Steuerpflichtige schulde ihr gemäss dem eingereichten Formular 3 einen Emissionsabgabebetrag von Fr. 2'796'028.-- und habe diesen Betrag zu Recht entrichtet. Die gegen diese Verfügung erhobene Einsprache wies die ESTV mit Entscheid vom 26. Oktober 2017 ab.
B.c. Gegen den Einspracheentscheid der ESTV vom 26. Oktober 2017 gelangte die Steuerpflichtige an das Bundesverwaltungsgericht.
Dieses hiess ihre Beschwerde mit Urteil vom 29. Oktober 2018 teilweise gut und stellte fest, dass die Steuerpflichtige der ESTV die Emissionsabgabe (nur) im Betrag von Fr. 3'847.55 zu Recht entrichtet habe. Es verpflichtete die ESTV, der Steuerpflichtigen nach Rechtskraft des Urteils den zu Unrecht entrichteten Betrag von Fr. 2'792'180.45 zurückzuerstatten und einen allfälligen Vergütungszins zu bezahlen.
C.
C.a. Mit Eingabe vom 3. Dezember 2018 erhebt die ESTV Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts vom 29. Oktober 2018 und die Bestätigung des Einspracheentscheids vom 26. Oktober 2017. Eventualiter sei die Emissionsabgabe auf den Betrag von Fr. 13'847.55 und der von der ESTV zurückzuerstattende Betrag auf Fr. 2'782'180.45 festzusetzen.
C.b. Die Steuerpflichtige beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf weitere inhaltliche Ausführungen und verweist stattdessen auf den angefochtenen Entscheid.
Im Rahmen eines zweiten Schriftenwechsels halten die Verfahrensbeteiligten an ihren Anträgen fest; das Bundesverwaltungsgericht verzichtet ein weiteres Mal auf eine Stellungnahme. Die ESTV reicht Schlussbemerkungen ein, welche den bereits zuvor eingenommenen Standpunkt untermauern.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten richtet sich gegen einen Endentscheid (Art. 90 BGG) des Bundesverwaltungsgerichts (Art. 86 Abs. 1 lit. a BGG) in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a BGG). Die ESTV ist gemäss Art. 89 Abs. 2 lit. a BGG zur Beschwerde berechtigt, da sie in ihrem Aufgabenbereich - Erhebung der Stempelabgaben (Art. 31 und 38 StG; SR 641.10; Art. 1 der Verordnung vom 3. Dezember 1973 über die Stempelabgaben [StV; SR 641.101]) - betroffen ist. Auf die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde (Art. 42 und 100 Abs. 1 BGG) ist einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Rügen im Sinne von Art. 106 Abs. 2 BGG werden nicht erhoben.
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG), sofern die diesbezüglichen Feststellungen nicht offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 105 Abs. 2 BGG).
3.
3.1. Gemäss Art. 5 Abs. 1 lit. a StG erhebt der Bund eine Emissionsabgabe auf der entgeltlichen oder unentgeltlichen Begründung und Erhöhung des Nennwertes u.a. von Beteiligungsrechten in Form von Aktien inländischer Gesellschaften. Steuersubjekt und damit abgabepflichtig für die Beteiligungsrechte ist die inländische Gesellschaft (Art. 10 Abs. 1 StG). Die Abgabe beträgt 1 % und wird vom Betrag berechnet, welcher der Gesellschaft als Gegenleistung für die Beteiligungsrechte zufliesst, mindestens aber vom Nennwert (Art. 8 Abs. 1 lit. a StG).
3.2. Stempelabgaben sind Rechtsverkehrssteuern. Abzustellen ist auf den wirklichen Inhalt der Urkunden oder Rechtsvorgänge (Art. 27 Abs. 1 StG; Urteil des Bundesgerichts vom 26. November 1993 E. 3a), in: ASA 63 [1994/1995], S. 53 ff.). Massgebend ist insofern eine rein formell-zivilrechtliche Betrachtungsweise (<ref-ruling> E. 2.2), die nur bei Steuerumgehung durchbrochen werden kann.
4.
Zu prüfen ist vorab das Argument der Steuerpflichtigen, die vorliegend zu beurteilende Ausgabe von Aktien im Zusammenhang mit der Ausschüttung einer Aktiendividende sei Teil eines von der Emissionsabgabe befreiten Umstrukturierungsvorgangs (vgl. Art. 6 Abs. 1 lit. a bis StG). Träfe dieses Argument zu, wäre die Beschwerde der ESTV abzuweisen.
Verfahrensrechtlich ist mit Blick auf die Ausführungen der ESTV in der Replik vom 30. April 2019 darauf hinzuweisen, dass es der Steuerpflichtigen offenstand, im bundesgerichtlichen Verfahren innerhalb des Streitgegenstands sämtliche rechtlichen Argumente vorzubringen, die zu einer Abweisung der Beschwerde führen konnten. Dazu gehört das Argument, dass aufgrund von Art. 6 Abs. 1 lit. a bis StG die von der ESTV behauptete Emissionsabgabe im Umfang von Fr. 2'796'028.-- (gar) nicht geschuldet sei. Dass die Steuerpflichtige das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 29. Oktober 2018 nicht (auch) angefochten hat, bewirkt lediglich, dass das Bundesgericht sie selbst bei Zutreffen ihres Arguments und darauf gestützter Abweisung der Beschwerde nicht von der (rechtskräftigen) Umsatzabgabe in Höhe von Fr. 3'847.55 befreien könnte.
4.1. Gemäss Art. 6 Abs. 1 lit. a bis StG sind von der Emissionsabgabe ausgenommen "Beteiligungsrechte, die in Durchführung von Beschlüssen über Fusionen oder diesen wirtschaftlich gleichkommende Zusammenschlüsse, Umwandlungen und Spaltungen von Aktiengesellschaften (...) begründet oder erhöht werden". Der Begriff des "wirtschaftlich einer Fusion gleichkommenden Zusammenschlusses von Gesellschaften" (bzw. der "Quasifusion") wird im StG nicht näher umschrieben (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 143 ff.). Die Rechtsprechung hat den Begriff aber dahingehend konkretisiert, dass eine "Zusammenführung von Unternehmen zu einer engen wirtschaftlichen Einheit unter Wahrung der rechtlichen Identität der einzelnen Unternehmen" vorliegen muss (vgl. Urteil 2C_1001/2014 vom 10. August 2015 E. 3.3). Erforderlich ist, dass die übernehmende Gesellschaft nach der Übernahme mindestens 50 Prozent der Stimmrechte der übernommenen Gesellschaft hält und den Gesellschaftern an der übernommenen Gesellschaft höchstens 50 Prozent des effektiven Werts der übernommenen Beteiligungsrechte gutgeschrieben oder ausbezahlt wird; von der bundesgerichtlich bestätigten Verwaltungspraxis wird weiter vorausgesetzt, dass bei der übernehmenden Gesellschaft eine Kapitalerhöhung unter Ausschluss der Bezugsrechte der bisherigen Gesellschafter vorgenommen wird (vgl. Urteil 2C_976/2014 vom 10. Juni 2015 E. 3.4 und E. 4.2 mit Hinweis auf ESTV, Kreisschreiben Nr. 5 vom 1. Juni 2004 [Ziff. 4.1.7.1]; vgl. ferner NORDIN/WILD, Kommentar zum Schweizerischen Steuerrecht, StG, 2. Aufl. 2019, N. 47 zu Art. 6 StG).
4.2. Mit Blick auf die eben wiedergegebene Praxis erwog die Vorinstanz, die Abwicklung des Umtauschangebotes gemäss dem Prospekt vom 29. September 2014 sei zwar als Quasifusion einzustufen. Die Ausgabe von Aktien durch die Steuerpflichtige im Jahr 2015 könne diesem Vorgang jedoch nicht zugerechnet werden, weil kein hinreichend enger Konnex dazu bestehe. Die Ausgabe von Aktien im Mai 2015 sei nämlich nicht von Anfang an als notwendiger Schritt zum Erreichen der Zielstruktur einer vollständigen Beherrschung der Steuerpflichtigen durch die A._ Group AG eingeplant gewesen und qualifiziere auch für sich genommen nicht als Quasifusion.
4.3. Die Begründung der Vorinstanz überzeugt. Zu Recht wird vorliegend von keiner Seite bestritten, dass die Ausgabe neuer Aktien im Zusammenhang mit der Ausschüttung einer Aktiendividende zumindest für sich genommen nicht als "Quasifusion" einzustufen ist. Vor diesem Hintergrund könnte überhaupt nur dann von einer "Quasifusion" die Rede sein, wenn zwischen der Auszahlung der Aktiendividende im Jahr 2015 und dem unbestrittenermassen als "Quasifusion" zu qualifizierenden Aktienumtausch im Jahr 2014 ein derart enger Zusammenhang bestehen würde, dass von einem einheitlichen Umstrukturierungsvorgang gesprochen werden müsste, auf den Art. 6 Abs. 1 lit. a bis StG integral zur Anwendung gelangt. Andernfalls wäre nämlich jede Ausgabe neuer Aktien im Zusammenhang mit Ausschüttungen von Aktiendividenden, die - auf kurze oder lange Sicht, gewollt oder ungewollt - einen im Zusammenhang mit einer Umstrukturierung stehenden börsenrechtlichen "Squeeze-out" begünstigen würde, zumindest dann von der Emissionsabgabe ausgenommen, wenn die Schwelle von 50 Prozent (vgl. E. 4.1 hiervor) überschritten wäre. Eine solche Auslegung entspräche offensichtlich nicht dem Sinn und Zweck von Art. 6 Abs. 1 lit. abis StG, Kapitalbeschaffungen im Zusammenhang mit oftmals unter dem Druck wirtschaftlicher Notwendigkeit erfolgenden Umstrukturierungen zu entlasten (vgl. Urteil 2C_1001/2014 vom 10. August 2015 E. 3.2, mit Hinweis auf die Materialien).
Bezüglich der Frage, ob zwischen dem Aktienumtausch im Jahr 2014 und der Ausschüttung der Aktiendividende im Jahr 2015 ein hinreichend enger Zusammenhang im eben beschriebenen Sinne besteht, ist zunächst auf die vorinstanzliche Feststellung hinzuweisen, dass die Ausgabe von Aktien im Mai 2015 von der Steuerpflichtigen nie als notwendiger Schritt zum Erreichen der vorgesehenen Zielstruktur vorgesehen war (vgl. Bst. A.a hiervor). Dass diese Feststellung der Vorinstanz qualifiziert unrichtig wäre, wird von der Steuerpflichtigen nicht behauptet; vielmehr macht sie geltend, die Notwendigkeit eines weiteren Teilschritts könne sich auch erst während der Umstrukturierung ergeben. Dies mag im Ausgangspunkt zutreffen. Allerdings ist vorliegend zu beachten, dass die im Angebotsprospekt vom 29. September 2014 (als Mindestziel) avisierte Beteiligungsquote der A._ Group AG von 90 % nach der Abwicklung des Umtauschangebots bereits erreicht (vgl. Bst. A.b. hiervor) und die Umstrukturierung damit zumindest nach der von der A._ AG ursprünglich kommunizierten Konzeption beendet war. Hinzu kommt, dass die im Zusammenhang mit der Ausschüttung der Aktiendividende vorgenommene Kapitalerhöhung auch zeitlich in deutlichem Abstand zur Abwicklung des Umtauschangebots erfolgte. Die hier zu beurteilende Kapitalerhöhung aus dem Jahr 2015 steht zur "Quasifusion" im Jahr 2014 damit in einer Gesamtbetrachtung zeitlich und sachlich nicht in einem derart engen Zusammenhang, dass von einem einheitlichen Umstrukturierungsvorgang gesprochen werden könnte. Die Vorinstanz hat deshalb zutreffend erkannt, in der Ausgabe von Aktien im Rahmen der Dividendenausschüttung von Mai 2015 sei kein Anwendungsfall von Art. 6 Abs. 1 lit. abis StG zu erblicken.
5.
Strittig ist weiter, ob und in welchem Umfang der Steuerpflichtigen für die Emission der von ihr in Umsetzung des GV-Beschlusses vom 7. Mai 2015 neu geschaffenen Aktien eine Gegenleistung zugeflossen ist. Die ESTV geht davon aus, der Steuerpflichtigen seien von jenen Aktionären, welche die Titeldividende gewählt hätten, Fr. 282'490'081.-- zugegangen (Nennwert plus Agio). Die Steuerpflichtige bestreitet dies und stellt sich auf den Standpunkt, zu besteuern sei - wenn überhaupt - nur der neu geschaffene Nennwert in Höhe von Fr. 1'384'755.30.
5.1. Mit Blick auf die Frage, was der Steuerpflichtigen für die Ausgabe der neu geschaffenen Aktien zugeflossen sei, erwog die Vorinstanz, die Steuerpflichtige habe mit dem GV-Beschluss vom 7. Mai 2015 eine Wahlobligation im Sinne von Art. 72 OR begründet. Schuldnerin dieser Obligation sei die Steuerpflichtige selber gewesen, Gläubiger ihre Aktionäre. Letztere hätten gestützt auf den GV-Beschluss entweder die Bar- oder die Titeldividende fordern können. Nach getroffener Wahl habe nur noch eine einfache Obligation bestanden, gerichtet auf den durch die Wahlerklärung bestimmten Leistungsgegenstand; die ursprüngliche "obligatio alternativa" habe sich in eine "obligatio simplex" gewandelt und die Aktionäre, welche die Titeldividende gewählt hätten, seien so zu behandeln, als hätten sie gegenüber der Steuerpflichtigen von Anfang an nur Anspruch auf die Titeldividende gehabt. Damit bestehe aber kein Raum für die Annahme, diese Aktionäre hätten im Gegenzug zur Ausgabe von Aktien auf einen Anspruch auf Ausschüttung von Bardividenden verzichtet. Vielmehr sei davon auszugehen, dass die Übertragung der neuen Aktien auf diesen Aktionärskreis gegenleistungslos erfolgt sei. Besteuert werden könne nur, was der Steuerpflichtigen für die Ausgabe der Aktien zugeflossen sei, und dieser Zufluss beschränke sich vorliegend auf die von der A.B._ AG im Zusammenhang mit der Zeichnung der Aktien geleistete Bareinlage (in Höhe des Nennwerts). Vor diesem Hintergrund brauche nicht geklärt zu werden, ob der Emissionsvorgang schon mit der Zeichnung der Aktien durch die A.B._ AG, oder aber erst mit der Übertragung der Aktien an einen Teil der Aktionäre abgeschlossen worden sei.
5.2. Die ESTV ist der Auffassung, entgegen der Vorinstanz müsse vorab geklärt werden, in welchem Zeitpunkt die Emission der von der Steuerpflichtigen im Zusammenhang mit der Dividendenauszahlung neu geschaffenen Aktien abgeschlossen gewesen sei. Nur auf dieser Grundlage könne ermittelt werden, was ihr im Gegenzug zur Ausgabe dieser Aktien zugeflossen sei.
Dieser Einwand verfängt zumindest für den hier zu beurteilenden Fall nicht: Im Ausgangspunkt mag zwar zutreffen, dass eine Abgrenzung des Emissionsvorgangs von einer anderweitigen Übertragung von Wertpapieren erforderlich ist, um den Anwendungsbereich der Emissionsabgabe zu umreissen; zu beachten ist in diesem Zusammenhang namentlich Art. 14 Abs. 1 lit. a StG, wonach "die Ausgabe inländischer Aktien (...) einschliesslich der Festübernahme durch eine Bank oder Beteiligungsgesellschaft und der Zuteilung bei einer nachfolgenden Emission" von der Umsatzabgabe ausgenommen ist (und stattdessen der Emissionsabgabe unterliegt [vgl. WIDMER/LIENHARD, in: Kommentar zum Schweizerischen Steuerrecht, StG, 2. Aufl. 2019, N. 1 zu Art. 14 StG]). Vorliegend bedarf dieser Aspekt aber keiner weiteren Erörterung: Für die Bemessung der Emissionsabgabe kommt es nämlich nicht darauf an, ob der Emissionsvorgang bereits mit der Zeichnung der Aktien durch die A.B._ AG, oder erst mit der Auszahlung der Titeldividende an die Aktionäre der A._ AG abgeschlossen worden ist. In beiden Konstellationen ist das Ergebnis dasselbe (vgl. nachfolgend E. 5.3 und 5.4). Die Frage, ob allenfalls eine Umsatzabgabe geschuldet ist, weil die A.B._ AG die neu gezeichneten Aktien an die Steuerpflichtige veräussert bzw. weil die Steuerpflichtige diese Aktien in der Folge auf einen Teil ihrer Aktionäre weiter übertragen hat, sprengt sodann den Gegenstand des vorliegenden Verfahrens; auch insoweit bedarf die Frage, wann der Emissionsvorgang vorliegend abgeschlossen worden ist, keiner Klärung.
5.3. Aufgrund der im Stempelabgaberecht massgeblichen formell-zivilrechtlichen Betrachtungsweise (vgl. E. 3.2 hiervor) könnte man vorliegend mit guten Gründen die Auffassung vertreten, die für die Bemessung der Emissionsabgabe massgebliche Ausgabe von Wertpapieren sei in der Zeichnung der Aktien der Steuerpflichtigen durch die A.B._ AG zu erblicken. Mit Erfüllung der Einlagepflicht hat die A.B._ AG nämlich die üblichen Aktionärsrechte erlangt (Art. 653e Abs. 3 OR), ohne dass weitere Formalitäten seitens der A._ AG nötig gewesen wären (vgl. ZINDEL/ISLER, in: BSK OR II, 5. Aufl. 2016, N. 3 zu Art. 653 OR); dies gilt unbesehen des Umstands, dass die A.B._ AG das Geld für die Zeichnung der Aktien von der A._ AG als Darlehen zur Verfügung gestellt bekommen hat. Vor diesem Hintergrund ist unklar, worauf sich die ESTV abstützt, wenn sie behauptet, die A.B._ AG habe "faktisch nie Eigentum an den von ihr gezeichneten Aktien" erhalten (vgl. Beschwerde, S. 11).
Ginge man im Sinne dieser Überlegungen davon aus, die Ausgabe der neu geschaffenen Aktien von der A._ AG an die A.B._ AG sei der durch die Emissionsabgabe besteuerte Vorgang, hätte die A._ AG nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz im Gegenzug zur Ausgabe der Aktien von der A.B._ AG nur den Nennwert dieser Aktien erhalten. Auf diesem Wert wäre dann auch die Emissionsabgabe zu bemessen (Art. 8 Abs. 1 lit. a StG). Eine davon abweichende emissionsabgaberechtliche Behandlung des Geschäfts käme nur in Betracht, wenn der Steuerpflichtigen der Vorwurf gemacht werden könnte, sie habe die A.B._ AG für die Auszahlung der Titeldividende nur deshalb zwischengeschaltet, um Steuern zu umgehen. Die Vorinstanz hat jedoch festgestellt, eine Absicht zur Steuerumgehung sei vorliegend nicht erstellt. Mit dieser Feststellung setzt sich die ESTV im vorliegenden Verfahren nicht auseinander; auch dass die Vorinstanz den Sachverhalt in diesem Punkt willkürlich festgestellt hätte, ist nicht ersichtlich. Für das Bundesgericht besteht damit kein Anlass, von den vorinstanzlichen Feststellungen abzuweichen. Eine nähere Prüfung einer allfälligen Steuerumgehung ist nicht vorzunehmen (vgl. zu den diesbezüglichen Voraussetzungen Urteil 2C_1001/2014 vom 10. August 2015 E. 4.2).
5.4. Zu beachten ist allerdings, dass die A.B._ AG die Aktien der Steuerpflichtigen von allem Anfang an nur "treuhänderisch" gezeichnet hat, mit dem Ziel (und der schuldrechtlichen Verpflichtung), sie auf die Steuerpflichtige zurück zu übertragen, damit diese die Aktiendividende würde auszahlen können. Funktionell weist das gewählte Vorgehen eine gewisse Nähe auf zu einem Festübernahmeverfahren, bei dem die Emissionsabgabe nach einhelliger Lehre ausgehend vom Platzierungs- oder Bezugspreis zu berechnen ist (vgl. WEBER/WAEBER, in: Kommentar zum Schweizerischen Steuerrecht, StG, 2. Aufl. 2019, N. 22 zu Art. 13 StG; WOLFGANG MÜLLER, in: Handkommentar zum Schweizer Privatrecht, Art. 530-771 OR - VegüV, 3. Aufl. 2016, N. 36 zu Art. 650 OR). Vor diesem Hintergrund könnte man in Erwägung ziehen, den vorliegend der Emissionsabgabe unterstehenden Vorgang in der Übertragung der neu geschaffenen Aktien von der Steuerpflichtigen auf die Aktionäre zu erblicken. Teilte man diese (von der ESTV und der Steuerpflichtigen aus unterschiedlichen Gründen vertretene) Auffassung, fiele ausser Betracht, die technisch-formale Ausstellung der Wertpapiere und die in diesem Zusammenhang erfolgte Zahlung des Nennwerts von der A.B._ AG an die A._ AG für die Bemessung der Emissionsabgabe zu berücksichtigen (so aber die Vorinstanz, E. 4.6 in fine des angefochtenen Urteils); bemessen würde die Emissionsabgabe vielmehr danach, was der Steuerpflichtigen vonseiten ihrer Aktionäre für die Ausgabe der Aktien zugeflossen ist. Auch bei einer solchen (wirtschaftlichen) Betrachtungsweise änderte sich aber - wie nachfolgend aufzuzeigen ist - nichts daran, dass vorliegend höchstens der Nennwert der neu geschaffenen Aktien mit der Emissionsabgabe zu besteuern wäre:
5.4.1. Bundesrechtlich nicht zu beanstanden ist in diesem Zusammenhang die vorinstanzliche Würdigung, mit dem GV-Beschluss vom 7. Mai 2015 sei eine Wahlobligation im Sinne von Art. 72 OR begründet worden. Schon aus dem oben wiedergegebenen Wortlaut des GV-Beschlusses vom 7. Mai 2015 (vgl. Bst. A.b. hiervor) geht nämlich klar hervor, dass die Aktionäre entweder die Auszahlung einer Bardividende oder die Auszahlung einer Titeldividende wählen konnten; der genaue Gehalt des Dividendenanspruchs konkretisierte sich sodann erst mit Ausübung der Wahlerklärung durch die Aktionäre ("duae res in obligatione, una in solutione"; vgl. URS LEU, in: BSK OR I, 6. Aufl. 2015, N. 1 zu Art. 72 OR; ROLF H. WEBER, Berner Kommentar OR, 4. Teilband, Art. 68-96 OR, 2. Aufl. 2005, S. 157). Die Dividendenansprüche der Aktionäre gegenüber der Steuerpflichtigen waren also erst mit Ablauf der Wahlausübungsfrist am 21. Mai 2015 genauer bestimmt, und spiegelbildlich stand für die Steuerpflichtige auch erst in diesem Zeitpunkt fest, welchen Aktionären sie die Bardividende und welchen Aktionären sie die Titeldividende würde ausrichten müssen. Unabhängig davon, wie der Vorgang verbucht worden ist, bestand damit zivilrechtlich betrachtet für jene Aktionäre, welche letztlich die Titeldividende wählten, zu keinem Zeitpunkt ein Anspruch auf Ausrichtung einer Bardividende (vgl. zur Massgeblichkeit der zivilrechtlichen Betrachtungsweise E. 3.2 hiervor).
5.4.2. Wenn die Aktionäre, die letztlich die Titeldividende wählten, gestützt auf den GV-Beschluss vom 7. Mai 2015 nie über einen Anspruch auf Ausrichtung einer Bardividende verfügten (vgl. E. 5.4.1 hiervor), konnten sie damit aber auch nicht im Rahmen einer (von der ESTV zumindest sinngemäss postulierten) Verrechnungsliberierung neue Aktien der Steuerpflichtigen zeichnen. Auch fällt ausser Betracht, dass sie auf die Erfüllung eines solchen Bardividendenanspruchs im Zusammenhang mit der Begründung von Nennwert der Steuerpflichtigen und unter Inkaufnahme emissionsabgaberechtlicher Folgen (Art. 5 Abs. 2 lit. a StG) verzichtet hätten. Von einer (bilanziellen) "Bereicherung der Steuerpflichtigen", die auf eine Emissionsabgabepflicht hindeuten würde, kann nicht die Rede sein.
Dies lässt sich auch buchungstechnisch nachvollziehen: Wie die Steuerpflichtige unter Hinweis auf die von ihr vorgenommenen - und von ihrer Revisorin als handelskonform bestätigten - Buchungssätze zutreffend darlegt, ist es vorliegend nicht etwa zu einer Umschichtung von Fremd- in Eigenkapital gekommen, sondern zu einer Umschichtung innerhalb des Eigenkapitals (nämlich von den frei verfügbaren Gewinnreserven ins Aktienkapital); insoweit lässt sich der Vorgang buchungstechnisch durchaus mit der Ausgabe von Gratisaktien vergleichen (vgl. zur umsatzabgaberechtlichen Behandlung der Ausgabe von Gratisaktien CONRAD STOCKAR, Übersicht und Fallbeispiele zu den Stempelabgaben und zur Verrechnungssteuer, 4. Aufl. 2006, S. 40; LAMBERT/GERICKE, in: OFK OR, 3. Aufl. 2016, N. 6 zu Art. 652d OR; kritisch zur Erfassung von Gratiskapitalerhöhungen durch die Emissionsabgabe [auf dem Betrag des Nennwerts] PETER BÖCKLI, Schweizer Aktienrecht, 4. Aufl. 2009, § 2 N. 22) und hat die Forderung der Steuerpflichtigen nach einer analogen emissionsabgaberechtlichen Behandlung ihre Berechtigung.
5.4.3. Anders wäre der vorliegende Fall zu beurteilen gewesen, wenn die Aktionäre der Steuerpflichtigen auf die Auszahlung einer fälligen Dividende verzichtet hätten; darin wäre ein Forderungsverzicht zu erblicken gewesen, und insoweit hätte auch ein steuerbarer Zuschuss vorgelegen (vgl. Urteil 2C_115/2007 vom 11. Februar 2008 E. 7.2, in: StR 2008, S. 368 ff.). Anders als im vorliegenden Fall wäre die ausgebende Gesellschaft in dieser Konstellation auch "bereichert" gewesen, wäre für sie doch die Verpflichtung zur Ausrichtung der beschlossenen und fälligen Dividende an ihre Aktionäre entfallen (vgl. TADDEI/ FELBER, Kommentar zum Schweizerischen Steuerrecht, StG, 2. Aufl. 2019, N. 90 zu Art. 5 StG). Vorliegend ist nach dem oben Ausgeführten aber davon auszugehen, dass die Ausgabe der Aktien durch die Steuerpflichtige gegenleistungslos erfolgt ist.
5.4.4. Dass der hier strittigen Ausgabe der Aktien durch die Steuerpflichtige keine Gegenleistung von Seiten der Aktionäre gegenüberstand, gilt also unabhängig davon, ob die der Emissionsabgabe unterstehende Ausgabe der Aktien bereits mit der Zeichnung durch die A.B._ AG abgeschlossen war, oder erst mit der Übertragung dieser Aktien an die Aktionäre. Zu besteuern ist so oder anders einzig der Nennwert (Art. 8 Abs. 1 lit. a StG). Entsprechend ist der Hauptantrag der ESTV abzuweisen.
6.
Zu prüfen bleibt damit die Rüge der ESTV, die Vorinstanz sei in Verletzung von Art. 6 Abs. 1 lit. h StG davon ausgegangen, die Steuerpflichtige könne von der Freigrenze von 1 Mio. Franken profitieren. In diesem Punkt stimmt die Steuerpflichtige der ESTV zu.
Tatsächlich handelt es sich bei Art. 6 Abs. 1 lit. h StG entgegen der Annahme der Vorinstanz nicht um eine Freigrenze, sondern um einen Freibetrag, der insgesamt nur einmal "verbraucht" werden kann (vgl. NORDIN/WILD, a.a.O., N. 1c zu Art. 6 StG). Wie die ESTV weiter zutreffend darlegt, hat die Steuerpflichtige diesen Betrag schon mit der Kapitalerhöhung vom 19. Mai 1998 auf Fr. 4'287'519'820.-- überschritten. Für die vorliegend strittige Ausgabe von Aktien ist die Emissionsabgabe deshalb auf dem Betrag von Fr. 1'384'755.-- zu bemessen und beträgt die Emissionsabgabe Fr. 13'847.55 (Art. 8 Abs. 1 lit. a StG). Entsprechend hat die ESTV der Steuerpflichtigen einen Betrag von Fr. 2'782'180.45 zurückzuerstatten. Der Eventualantrag der ESTV ist gutzuheissen.
7.
Entsprechend den vorstehenden Erwägungen ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen und die Emissionsabgabe neu auf Fr. 13'847.55 festzusetzen (vgl. Eventualantrag der ESTV).
Die ESTV hat damit zwar teilweise obsiegt; im Verhältnis zu der von ihr beantragten Emissionsabgabe von Fr. 2'796'028.-- bewegt sich die nun festgesetzte Abgabe von Fr. 13'847.55 jedoch auf derart geringer Höhe, dass es sich rechtfertigt, die Gerichtskosten vollumfänglich der in ihren Vermögensinteressen betroffenen Eidgenossenschaft aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 4 BGG; vgl. analog Urteil 2C_905/2017 vom 11. März 2019 E. 4). Die Steuerpflichtige hat Anspruch auf Ausrichtung einer Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 BGG), die aufgrund der Akten festzusetzen ist (Art. 12 Abs. 1 des Reglements über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht [SR 173.110.210.3]). Bei dieser Kostenverlegung erübrigt sich die Rückweisung der Angelegenheit zur Neuverlegung der Kosten- und Entschädigungsfolgen (Art. 67, Art. 68 Abs. 5 BGG) an das Bundesverwaltungsgericht.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen teilweise gutgeheissen. Die von der Beschwerdegegnerin geschuldete Emissionsabgabe wird auf Fr. 13'847.55 festgesetzt.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 21'750.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 22'500.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. November 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner