Sachverhalt:
A.
A._ hat im Januar 2015 den kynologischen Eintrittstest im ersten Wiederholungskurs Brevet C nicht bestanden. Am 8. Dezember 2015 wurde er deshalb aufgeboten, den Eintrittstest am folgenden Samstag, 12. Dezember 2015 zu wiederholen. Am 11. Dezember 2015 antwortete er hierauf, er habe die Prüfungen Lawinen 1 (LawH 1) am 22. Februar 2015 und Sanitäts 2 (SanH 2) am 1. November 2015 absolviert und bestanden. Diese seien nach dem Reglement der Lawinenhundeführer Oberwallis als Anerkennung gültig, sodass er vom Eintrittstest befreit sei. In der Folge trat er am 12. Dezember 2015 nicht zur Wiederholung des Eintrittstests an.
Mit Schreiben vom 19. Dezember 2015 wurde A._ mitgeteilt, dass er gemäss Reglement grundsätzlich als Lawinenhundeführer auszuschliessen wäre, da er dem Aufgebot nicht nachgekommen sei. Das Kurskader habe jedoch beschlossen, ihn ein letztes Mal aufzubieten. Im Schreiben wurde dabei ein falsches Kursdatum kommuniziert. Anstatt für den 14. Januar 2016 wurde er auf den 14. Dezember 2016 aufgeboten. Zudem wurde er darauf aufmerksam gemacht, dass ihm die Zugehörigkeit als Lawinenhundeführer der kantonalen Walliser Rettungsorganisation (KWRO) entzogen werde, falls er dem Kurs erneut fern bleibe. A._ nahm am Kurs vom 14. Januar 2016 nicht teil.
B.
Im Nachgang an den Kurs vom Januar 2016 beschloss das Kurskader an einer Sitzung, dass die von A._ absolvierten Prüfungen keine Gültigkeit hätten. Mit Schreiben vom 21. Januar 2016 wurde er informiert, dass ihm ab sofort die Zugehörigkeit als Lawinenhundeführer entzogen und er nicht mehr eingesetzt werde. Mit Entscheid vom 14. Juni 2017 stellte die KWRO fest, dass A._ die Voraussetzungen für eine Beschäftigung als Lawinenhundeführer der KWRO nicht mehr erfüllt und beschloss, dass er die Aufgebotsbefähigung und die Registrierung als Lawinenhundeführer für die Einsätze der Notrufzentrale verliert. Die dagegen erhobene Beschwerde wies der Staatsrat des Kantons Wallis mit Entscheid vom 13. Juli 2018 ab. Ebenso blieb die Beschwerde bei der öffentlichrechtlichen Abteilung des Kantonsgerichts Wallis ohne Erfolg (Urteil vom 8. Februar 2019).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 14. März 2019 gelangt A._ an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des Urteils des Kantonsgerichts vom 8. Feburar 2019. Aufgrund erfüllter Zulassungsvoraussetzungen sei er als Lawinenhundeführer und sein Hund als Lawinenhund zum kynologischen Test zuzulassen. Anschliessend sei durch die zuständige kantonale Instanz zu entscheiden, ob sie Anspruch auf die Aufnahme auf die Pikettliste 144 haben.
Sowohl die Vorinstanz als auch der Staatsrat beantragen die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Die frist- (Art. 100 Abs. 1 BGG) und formgerecht (Art. 42 BGG) eingereichte Eingabe betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a BGG) und richtet sich gegen das kantonal letztinstanzliche (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG), verfahrensabschliessende (Art. 90 BGG) Urteil eines oberen Gerichts (Art. 86 Abs. 2 BGG). Das Rechtsmittel ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig, da kein Ausschlussgrund - namentlich nicht derjenige von Art. 83 lit. t BGG - vorliegt (vgl. Urteile 2C_903/2015 vom 13. September 2016 E. 1; 2C_417/2011 vom 13. Januar 2012 E. 1). Der Beschwerdeführer ist bereits im kantonalen Verfahren als Partei beteiligt gewesen und dort mit seinen Anträgen nicht durchgedrungen. Ausserdem ist er durch das angefochtene Urteil in seinen schutzwürdigen Interessen besonders berührt. Er ist somit zur Erhebung des Rechtsmittels legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG). Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist einzutreten, was zugleich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ausschliesst (Art. 113 BGG). Auf Letztere ist demzufolge nicht einzutreten.
2.
Mit der Beschwerde kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), wobei es - unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 2 BGG) - grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen prüft, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.5 S. 144; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Der Verletzung von Grundrechten und kantonalem Recht geht das Bundesgericht nur nach, falls eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232). Diese qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit nach Art. 106 Abs. 2 BGG verlangt, dass in der Beschwerde klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt wird, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 5; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Die Anwendung des kantonalen Rechts wird sodann vom Bundesgericht nur daraufhin geprüft, ob dadurch Bundesrecht - namentlich das Willkürverbot - verletzt wurde (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 372; <ref-ruling> E. 2 S. 149 f.; Urteile 2C_1137/2018 vom 14. Mai 2019 E. 1.2; 2C_747/2018 vom 11. März 2019 E. 1.2).
3.
Seinem Urteil legt das Bundesgericht den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Der von der Vorinstanz festgestellte Sachverhalt kann nur erfolgreich gerügt, berichtigt oder ergänzt werden, wenn er offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 1.6 S. 144 f.; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.). Rügt die beschwerdeführende Partei eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung, haben ihre Vorbringen den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG zu genügen (vgl. <ref-ruling> E. 9.2.3.6 S. 96; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255).
Der Beschwerdeführer rügt eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung. Nach seiner Auffassung hat die Vorinstanz den Sachverhalt einseitig aus Sicht der KWRO dargestellt. Insoweit sich der Beschwerdeführer im Rahmen seiner Sachverhaltsbeanstandungen nicht bereits zu Rechtlichem äussert, genügen seine Vorbringen nicht den von Art. 106 Abs. 2 BGG gestellten Anforderungen (vgl. E. 2 hiervor). Entgegen seiner Ansicht geht auch aus dem vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt eindeutig hervor, dass das kommunizierte Aufgebot vom tatsächlichen Kurstag rund elf Monate abweicht. Im Weiteren legt der Beschwerdeführer nicht dar, was er aus der Tatsache ableiten möchte, dass er sich am fälschlicherweise kommunizierten Kurstermin (14. Dezember 2016) beim vorgesehenen Kursort einfand. Sodann hätte der Beschwerdeführer zumindest darlegen müssen, inwiefern die von ihm ergänzten Sachverhaltsaspekte entscheidend für den Ausgang des Verfahrens sind. Dies gilt unter anderem für die SMS-Nachrichten vom 18. Januar 2016 und die Sachverhaltsergänzungen mit Bezug auf den Zeitraum nach dem Schreiben vom 21. Januar 2016. Da er es unterlassen hat sich zur Entscheidrelevanz seiner Sachverhaltsdarstellung zu äussern, besteht im bundesgerichtlichen Verfahren keine Veranlassung vom vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt abzuweichen (vgl. Art. 97 Abs. 1 BGG i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG).
4.
Der Beschwerdeführer rügt an verschiedenen Stellen in seiner Beschwerde die Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör.
4.1. Nach Art. 29 Abs. 2 BV haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Dieses Recht ist formeller Natur. Seine Verletzung führt ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels zur Gutheissung der Beschwerde sowie zur Aufhebung des angefochtenen Urteils (vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 17 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 197). Deswegen ist die Rüge vorweg zu behandeln. Das rechtliche Gehör dient einerseits der Sachaufklärung und stellt andererseits ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheids dar, der in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Wie weit dieses Recht geht, lässt sich nicht generell, sondern nur unter Würdigung der konkreten Umstände beurteilen. Massgebend ist, ob es der betroffenen Person ermöglicht worden ist, ihren Standpunkt wirksam zur Geltung zu bringen (vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 17 f.; <ref-ruling> E. 3.2 S. 272; <ref-ruling> E. 5.1 S. 293).
4.2. Der Beschwerdeführer erkennt eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör aufgrund einer nach seiner Auffassung einseitigen Akten- und Beweiswürdigung. Er zeigt in diesem Zusammenhang zwar auf, welchen Akten die Vorinstanz wenig bis keine Beachtung schenkt. Inwiefern dadurch jedoch der verfassungsmässige Gehörsanspruch verletzt wird, legt der Beschwerdeführer nicht hinlänglich dar. Der Anspruch verlangt von der Vorinstanz nicht, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten, Beweismitteln und Aktenstücken einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 145; <ref-ruling> E. 5.2 S. 236; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; Urteil 2C_473/2018 vom 10. März 2019 E. 2). Weshalb das angefochtene Urteil diesen Ansprüchen aus formeller Sicht nicht genügen soll, ergibt sich aus den Vorbringen des Beschwerdeführers nicht in einer den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG genügenden Weise (vgl. E. 2 hiervor). Dies gilt insbesondere im Zusammenhang mit dem Ausstand der Staatsratspräsidentin beim Entscheid des Staatsrats vom 13. Juli 2018 (vgl. auch E. 5 hiernach) und mit dem falsch kommunizierten Kursdatum (vgl. auch E. 8 hiernach). Eine von der Auffassung des Beschwerdeführers abweichende Würdigung der Beweismittel und Aktenstücke stellt für sich allein keine Verletzung des rechtlichen Gehörs dar, solange der Beschwerdeführer seinen Standpunkt wirksam zur Geltung bringen konnte. Aus dem angefochtenen Urteil ergibt sich zweifelsfrei, dass die Standpunkte des Beschwerdeführers umfassend in die Erwägungen der Vorinstanz Eingang fanden (vgl. z.B. E. 3 und E. 5.2 des angefochtenen Urteils).
Der Beschwerdeführer bemängelt im Weiteren, ihm sei nie begründet worden, wie das Kurskader im Januar 2016 zum Schluss kam, dass die vom Beschwerdeführer gemachten Prüfungen keine Gültigkeit mehr hätten. Darin sieht er eine Verletzung des Begründungsanspruchs. Mit Blick auf diese Beanstandung fehlt eine Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Urteil. Massgebend ist allein, ob die Vorinstanz den Begründungsanspruch verletzt. Die Beanstandung betrifft indes die fehlende Begründung im Schreiben vom 21. Januar 2016 des Kurskaders. Inwiefern das angefochtene Urteil diesem Begründungsanspruch nicht nachkommt, ergibt sich aus der Beschwerde nicht hinreichend. Die Vorinstanz erwägt vielmehr, dass das neue Anforderungsprofil die Kompensationsmöglichkeit beim Eintrittstest nicht mehr vorsehe, weshalb die vom Beschwerdeführer absolvierten Prüfungen ihn vom Eintrittstest nicht befreien würden (vgl. E. 5.1 des angefochtenen Urteils). Damit wird ersichtlich, dass dem Beschwerdeführer spätestens mit dem vorinstanzlichen Urteil vom 8. Februar 2019 eine dem Anspruch auf rechtliches Gehör genügende Begründung gegeben wurde.
4.3. Nach dem Dargelegten ergibt sich, dass der Anspruch auf rechtliches Gehör nicht verletzt ist.
5.
Der Beschwerdeführer bringt im Weiteren vor, es sei nicht erwiesen, ob Frau Esther Waeber-Kalbermatten als Staatsratspräsidentin beim Entscheid des Staatsrats vom 13. Juli 2018 im Ausstand gewesen sei. Dieser Entscheid sei auf dem Zirkulationsweg beschlossen worden und sie habe dieses Verfahren als Präsidentin durchgeführt. Es sei für ihn nicht nachvollziehbar, dass sich die Vorinstanz bei einem Entscheid des Staatsrats als Rechtsmittelinstanz auf die Geheimhaltung berufe und keine Protokolle zum Zirkularbeschluss vorliegen würden. Die Vorinstanz hätte abklären müssen, ob sich die Staatsratspräsidentin effektiv im Ausstand befunden habe. Die Erwägungen der Vorinstanz beruhten auf einer willkürlichen, einseitigen Aktenwürdigung zugunsten des Walliser Staatsrats.
5.1. Die Vorinstanz erwägt, Frau Esther Waeber-Kalbermatten sei als Vorsteherin des Departements für Gesundheit, Soziales und Kultur des Kantons Wallis informiert und bereits im erstinstanzlichen Verfahren beteiligt gewesen. Zudem habe sie als Staatsratspräsidentin zusammen mit dem Staatskanzler den Entscheid vom 13. Juli 2018 unterzeichnet. Diesem Entscheid könne nicht entnommen werden, ob sie sich im Ausstand befunden habe. Ein entsprechendes Protokoll liege gemäss Auskunft des Staatsrats nicht vor, da der Entscheid in der Sommerpause als Zirkularbeschluss gefällt worden sei. Der Staatsrat habe weiter mitgeteilt, dass Frau Esther Waeber-Kalbermatten in der Angelegenheit in den Ausstand getreten sei und den Entscheid lediglich in ihrer Funktion als Präsidentin mitunterzeichnet habe (vgl. E. 3.3 des angefochtenen Urteils).
5.2. Gemäss Art. 10 Abs. 2 des Gesetzes über das Verwaltungsverfahren und die Verwaltungsrechtspflege vom 6. Oktober 1976 (VVRG VS; SGS VS 172.6) begibt sich das Mitglied einer Kollegialbehörde, dessen Departement oder Gerichtshof die angefochtene Verfügung erlassen hat, für den Entscheid dieser Behörde in den Ausstand. Ausserdem unterzeichnet der Präsident oder die Präsidentin des Staatsrats nach Art. 10 des Reglements des Staatsrates vom 15. Januar 1997 (SGS VS 172.011) mit dem Staatskanzler die im Namen des Staatsrats getroffenen Erlasse. Wenn Dringlichkeit besteht oder während der Sommerpause, kann ein Entscheid auf dem Zirkulationsweg getroffen werden. Dieser Entscheid muss im Protokoll der nächsten ordentlichen Sitzung unter "Zirkulationsentscheide" informationshalber aufgeführt werden (vgl. Art. 8 Abs. 1 des Reglements des Staatsrates).
5.3. Der Beschwerdeführer rügt im Zusammenhang mit dem Ausstand der Staatsratspräsidentin eine willkürliche, einseitige Aktenwürdigung zu seinen Ungunsten. Eine Verletzung von Art. 29 Abs. 1 BV und Art. 30 Abs. 1 BV wird nicht in diesem, sondern nur in einem anderen Zusammenhang vorgebracht (vgl. E. 6 hiernach; vgl. auch Urteile 2C_382/2018 vom 15. März 2019 E. 2; 2C_142/2018 vom 3. August 2018 E. 3.2). Selbst wenn sich der Beschwerdeführer auch in diesem Kontext auf Art. 29 Abs. 1 BV und Art. 30 Abs. 1 BV berufen würde, sind seine diesbezüglichen Rügen nicht hinreichend begründet (vgl. Art. 106 Abs. 2 BGG; E. 2 hiervor). Diese Rüge ist daher ausschliesslich im Lichte des Willkürverbots von Art. 9 BV zu beurteilen.
Die Rüge des Beschwerdeführers zielt im Wesentlichen darauf ab, dass die Vorinstanz hätte abklären müssen, ob sich die Staatsratspräsidentin effektiv im Ausstand befand. Indem sie dies unterlassen habe, habe die Vorinstanz willkürlich zuungunsten des Beschwerdeführers entschieden. Dieser Auffassung ist nicht zu folgen. Die Vorinstanz hat die entsprechenden Abklärungen im Rahmen der vorinstanzlichen Vernehmlassung beim Staatsrat durchgeführt (vgl. E. 5.1 hiervor). Im Ergebnis kommt sie zum Schluss, dass ein Formfehler bei der Mitteilung des Entscheids des Staatsrats vom 13. Juli 2018 vorliegt. Jedoch führe dies nicht zur Aufhebung des Entscheids, sondern höchstens zur Wiederholung der Mitteilung, woran der Beschwerdeführer aber kein schützenswertes Interesse habe (vgl. E. 3.3 des angefochtenen Urteils). Der Beschwerdeführer legt nicht dar, weshalb die Auffassung der Vorinstanz im Lichte der von ihr zitierten bundesgerichtlichen Rechtsprechung unhaltbar und damit willkürlich sein soll (zur erwähnten Rechtsprechung vgl. Urteil 1C_215/2016 vom 9. Januar 2017 E. 2; zum Begriff der Willkür vgl. <ref-ruling>3 E. 7.1 S. 124; <ref-ruling> E. 4.3 S. 380). Vor dem Hintergrund der vorinstanzlichen Erwägungen reicht es nicht aus, lediglich zu behaupten, es sei nicht mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit erwiesen, dass die Staatsratspräsidentin im Ausstand gewesen sei. Der Beschwerdeführer dringt demzufolge mit seiner diesbezüglichen Willkürrüge nicht durch.
6.
Der Beschwerdeführer macht sodann geltend, dass der Entscheid der KWRO vom 14. Juni 2017 durch das falsche Organ gefällt worden sei. Nach seiner Auffassung bestehe weder eine gesetzliche Grundlage für die alleinige Zuständigkeit noch für eine Entscheidkompetenz des Direktors der KWRO. Vielmehr sei für den Erlass einer solchen Verfügung die Direktion zuständig. Das vorinstanzliche Urteil sei diesbezüglich nicht nur widersprüchlich, sondern einseitig zuungunsten des Beschwerdeführers. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von Art. 30 Abs. 1 BV. Er habe einen Anspruch auf ein durch das Gesetz geschaffenes, unabhängiges und unparteiisches Gericht. Aus Art. 29 Abs. 1 BV ergebe sich eine analoge Garantie für Verwaltungsbehörden.
6.1. Die Vorinstanz führt aus, dass der Verfügungsadressat wissen müsse, wer an einer Verfügung mitwirke. Die KWRO habe den Entscheid vom 14. Juli 2017 als öffentlich-rechtliche Anstalt und damit als Behörde im Sinne von Art. 3 Abs. 1 VVRG VS gefällt (vgl. E. 4.6.2 des angefochtenen Urteils). Damit liege eine Verfügung vor. Diese trage das Logo der KWRO und sei vom Direktor der KWRO unterzeichnet worden. Auf der Verfügung werde zudem vermerkt "Objet traité par: Dr B._". Dass der Direktor an der Entscheidungsfindung mitgewirkt habe, sei folglich erstellt. Der Direktor habe die Verfügung gemäss Vermerk selbst verfasst und diese in seiner Funktion als Direktor unterzeichnet (vgl. E. 4.7.1 des angefochtenen Urteils). Dass dem Beschwerdeführer nicht bekannt gegeben worden sei, ob abgesehen vom Direktor der KWRO noch weitere Personen am Entscheid mitgewirkt hätten und allenfalls wer, hätte er zudem in Berücksichtigung des Grundsatzes von Treu und Glauben unverzüglich geltend machen müssen. Durch das Zuwarten über mehrere Monate und die Geltendmachung erst in der Beschwerde an den Staatsrat habe der Beschwerdeführer die Berufung darauf und auf allfällige Ausstandsgründe verwirkt (vgl. E. 4.7.2 des angefochtenen Urteils).
6.2.
6.2.1. Gemäss Art. 5 Abs. 1 des Gesetzes über die Organisation des sanitätsdienstlichen Rettungswesens vom 27. März 1996 (GOSR VS; SGS VS 810.8) handelt es sich bei der KWRO um eine selbständige öffentlich-rechtliche Anstalt mit eigener Rechtspersönlichkeit, die im Handelsregister eingetragen ist. Zu ihren Hauptaufgaben gehört unter anderem die Sicherstellung der Leistungsqualität im Rettungswesen (vgl. Art. 5 Abs. 2 lit. c GOSR VS). Die KWRO besteht aus dem Verwaltungsrat, der Direktion und der Revisionsstelle (vgl. Art. 6 Abs. 1 GOSR VS). Die Direktion ist insbesondere für die Beschlussfassung bezüglich aller Fragen und Massnahmen für die Erfüllung der betrieblichen Aufgaben und der Geschäftsführung zuständig und vertritt die KWRO gegenüber Dritten (Art. 6c Abs. 2 lit. b und lit. c GOSR VS).
6.2.2. Während Art. 30 Abs. 1 BV für gerichtliche Verfahren einen Anspruch auf ein durch Gesetz geschaffenes, zuständiges, unabhängiges und unparteiisches Gericht garantiert, gelten vor Verwaltungsinstanzen gemäss Art. 29 BV weniger weitreichende Verfahrensgarantien. Gewährleistet sind insbesondere der Anspruch auf gleiche und gerechte Behandlung und Beurteilung innert angemessener Frist, der Anspruch auf rechtliches Gehör und der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 173; <ref-ruling> E. 5 S. 328 ff.; <ref-ruling> E. 8d/bb S. 396; Urteile 2C_382/2018 vom 15. März 2019 E. 2.3; 2C_142/2018 vom 3. August 2018 E. 3.2). Besteht eine Verwaltungsinstanz aus einer bestimmten Zahl von Mitgliedern, müssen - unter Vorbehalt einer abweichenden gesetzlichen Regelung - beim Entscheid alle mitwirken. Jede verfahrensbeteiligte Person hat Anspruch darauf, dass die Verwaltungsinstanz den gesetzlichen Vorgaben entsprechend zusammengesetzt ist, vollständig und ohne Anwesenheit unbefugter Personen entscheidet. Die Verwaltungsinstanz, die entgegen den gesetzlichen Vorgaben in unvollständiger Besetzung entscheidet, begeht eine formelle Rechtsverweigerung (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 173 f.; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 342 f.; <ref-ruling> E. 4b S. 131; zur Kognition des Bundesgerichts bei der Überprüfung der Besetzung der Verwaltungsinstanz vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 174).
6.3. Die Vorinstanz stellt fest, dem Entscheid vom 14. Juni 2017 sei nicht zu entnehmen, dass dieser durch ein Entscheidgremium gefällt worden wäre. Vielmehr habe ihn der Direktor selbst gefällt (vgl. E. 4.7.1 des angefochtenen Entscheids). Der Beschwerdeführer beanstandet das Fehlen einer gesetzlichen Grundlage für die alleinige Zuständigkeit und die Entscheidkompetenz des Direktors der KWRO. Aus Art. 6c GOSR VS ergebe sich lediglich die Kompetenz der Direktion. Aus dieser Bestimmung sei zu entnehmen, dass die Direktion nicht aus einem Mitglied - dem Direktor -, sondern aus verschiedenen Mitgliedern bestehe. Dieser Auffassung ist nicht zu folgen. Aus der durch den Beschwerdeführer angerufenen Norm lassen sich nur die Zuständigkeiten der Direktion der KWRO entnehmen. Daraus ergibt sich indes nicht, dass die Direktion aus mehreren Mitgliedern zusammengesetzt sein müsste. Es ist grundsätzlich nicht ausgeschlossen, dass eine Direktion lediglich aus einer Person besteht. Ein Anspruch im Sinne von Art. 29 Abs. 1 BV auf eine Besetzung der Verwaltungsinstanz mit einer bestimmten Zahl von Mitgliedern, ergibt sich nur, falls dies gesetzlich derart vorgesehen ist. Diesfalls hat jede verfahrensbeteiligte Person einen Anspruch darauf, dass die Verwaltungsinstanz in der gesetzmässigen Zusammensetzung entscheidet. Vorliegend zeigt der Beschwerdeführer nicht überzeugend auf (z.B. durch Verordnungsbestimmungen, Handelsregistereinträge, Statuten oder Organisationsreglemente), dass die Direktion zwingend aus mehreren Personen zusammengesetzt und über seine Angelegenheit in einer anderen Besetzung hätte entscheiden müssen. Es ist folglich keine Verletzung von Art. 29 Abs. 1 BV zu erkennen.
7.
Ferner ist nach Auffassung des Beschwerdeführers auf die vorliegende Angelegenheit, die sich im Dezember 2015 ereignet hat, nicht das Gesetz über die Organisation des sanitätsdienstlichen Rettungswesens in der Fassung anwendbar, die am 8. September 2016 beschlossen wurde. Eine Rückwirkung des neuen Gesetzes sei nicht vorgesehen. Sodann habe das Kurskader und die KWRO gewisse kantonale Verfahrensbestimmungen nicht eingehalten. Der Beschwerdeführer vertritt die Ansicht, dass die Art und Weise wie er über die geltenden Anforderungsprofile orientiert worden sei, den minimalen Verfahrensanforderungen gemäss den kantonalen Verfahrensbestimmungen hätte entsprechen müssen.
7.1. Die Vorinstanz hält fest, dass für die im Januar 2015 nicht bestandene Prüfung das reglementarische Anforderungsprofil vom August 2010 anwendbar gewesen sei. Dieses habe keine Befreiung vom Eintrittstest vorgesehen. Das Gleiche gelte für das Anforderungsprofil vom Juni 2015, das für die Wiederholungsprüfungen im Dezember 2015 und im Januar 2016 zur Anwendung gelangt sei. Aufgrund der geltenden Anforderungsprofile könnten dem Beschwerdeführer die beiden Prüfungen nicht als Eintrittstest anerkannt werden. Der Beschwerdeführer sei deswegen verpflichtet, den kynologischen Eintrittstest zu wiederholen und zu bestehen, um das Brevet nicht zu verlieren. Es sei indes unbestritten, dass er den Kurs nicht absolviert habe (vgl. E. 5.1 des angefochtenen Urteils). Ferner sei aus den Akten ersichtlich, dass der Beschwerdeführer über das Bestehen eines neuen Reglements Bescheid gewusst habe. In seiner E-Mail vom 11. Dezember 2015 betreffend die Befreiung vom Eintrittstest habe er geschrieben, die bestandenen Prüfungen LawH 1 und SanH 2 seien nach dem Reglement der Lawinenhundeführer Oberwallis " (altes und neues Reglement) " als Anerkennung gültig (vgl. E. 5.2 des angefochtenen Urteils).
7.2. Sowohl beim Gesetz über die Organisation des sanitätsdienstlichen Rettungswesens (vgl. E. 6.2.1 hiervor) als auch beim Gesetz über die Verwaltungsverfahren und die Verwaltungsrechtspflege (vgl. E. 5.2 hiervor) handelt es sich um kantonale Erlasse. Der Verletzung von kantonalem Recht geht das Bundesgericht nur nach, falls eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und ausreichend begründet worden ist. Die Anwendung des kantonalen Rechts wird sodann nur daraufhin geprüft, ob dadurch Bundesrecht verletzt wird (vgl. E. 2 hiervor).
Die Vorinstanz begründet einlässlich, in welchem Zeitpunkt welches Anforderungsprofil zur Anwendung gelangt (vgl. E. 5.1 des angefochtenen Urteils). Der Beschwerdeführer stellt sich demgegenüber lediglich auf den Standpunkt, dass die Fassung der GOSR VS, die am 8. September 2016 beschlossen wurde, keine Rückwirkung vorsehe. Inwiefern die Anforderungsprofile August 2010 und Juni 2015 davon betroffen wären, legt er nicht dar. Im Übrigen äussert er sich auch nicht schlüssig zum vorinstanzlichen Argument, er habe über die Anwendbarkeit des neuen Reglements Bescheid gewusst. Diesbezüglich fehlt eine Auseinandersetzung mit der vorinstanzlichen Begründung. Ausserdem wird aus den Vorbringen des Beschwerdeführers nicht ersichtlich, welche Norm oder welcher Anspruch des Bundesrechts durch die - nach seiner Auffassung fehlerhafte - vorinstanzliche Anwendung des kantonalen Rechts verletzt wird. Dies gilt sowohl mit Blick auf die Anwendung der reglementarischen Anforderungsprofile als auch auf die Anwendung der kantonalen Verfahrensbestimmungen. Die Beschwerde genügt damit in keiner Weise den von Art. 106 Abs. 2 BGG gestellten Anforderungen.
8.
Der Beschwerdeführer bemängelt abschliessend, dass er eindeutig auf den 14. Dezember 2016 vorgeladen und ihm nie ein anderes Aufgebot zugestellt worden sei. Ihm sei in der Folge die Zugehörigkeit als Lawinenhundeführer der KWRO bereits am 21. Januar 2016 entzogen worden, ohne dass er den Kurstermin habe wahrnehmen können. Dieses Vorgehen sei willkürlich.
8.1. Die Vorinstanz führt aus, dass der Beschwerdeführer bereits seit zehn Jahren als Lawinenhundeführer tätig gewesen sei und an den entsprechenden Aus- und Weiterbildungen teilgenommen habe. Ihm sei bekannt gewesen, dass der jährliche Kurs seit über 15 Jahren immer im Januar stattgefunden habe. Ob dem Beschwerdeführer bereits anlässlich der Sitzung vom 19. Dezember 2015 das korrekte Datum mitgeteilt worden sei, ergebe sich nicht aus den Akten. Der Beschwerdeführer hätte sich aber vor dem Hintergrund seiner langjährigen Erfahrung und der Ungewöhnlichkeit des Datums erkundigen müssen, ob dieses nicht falsch sei. Im Übrigen sei es gemäss Anforderungsprofil bereits nach dem Nichtantreten und damit dem Nichtbestehen der Wiederholung des kynologischen Eintrittstests im Dezember 2015 möglich gewesen, dem Beschwerdeführer das Brevet C nicht zu erneuern. Es komme daher nicht auf die Mitteilung des falschen Kursdatums an (vgl. E. 5.2 des angefochtenen Urteils).
8.2. Der Beschwerdeführer bringt am vorinstanzlichen Urteil rein appellatorische Kritik vor und setzt sich mit der im angefochtenen Urteil ausgeführten Begründung nicht hinreichend auseinander. Die Vorinstanz anerkennt die Mangelhaftigkeit des mitgeteilten Kursdatums, begründet aber mit zwei Argumenten zugleich, weshalb sich der Beschwerdeführer nicht darauf berufen könne. Dies kritisiert der Beschwerdeführer als krass willkürliche Anwendung des kantonalen Rechts. Damit er mit seiner Rüge durchdringen könnte, hätte er zumindest darlegen müssen, weshalb die vorinstanzliche Erwägung, es sei gemäss Anforderungsprofil bereits nach dem Nichtbestehen der Wiederholung des kynologischen Eintrittstests im Dezember 2015 möglich gewesen, dem Beschwerdeführer das Brevet C nicht zu erneuern, willkürlich sein soll. Sodann äussert er sich auch nicht entkräftend zum vorinstanzlichen Vorwurf, er hätte sich nach Treu und Glauben aufgrund der Ungewöhnlichkeit des Kursdatums nach dessen Richtigkeit erkundigen müssen. Der Beschwerdeführer dringt mit seiner Rüge nicht durch, da er mit seiner Beschwerde den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG nicht genügt (vgl. E. 2 hiervor).
9.
Nach dem Dargelegten erweist sich die Beschwerde als unbegründet, weshalb sie abzuweisen ist. Diesem Verfahrensausgang entsprechend trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 1 und Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Staatsrat des Kantons Wallis, dem Kantonsgericht Wallis, Öffentlichrechtliche Abteilung, und dem Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation SBFI, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Juli 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Zollinger