Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1974) leidet an einer chronischen paranoiden Schizophrenie mit Residuum. Sein Zustand hat seit 2006 mehrfach zu fürsorgerischen Unterbringungen geführt.
A.a.a. Anfang Juni 2019 entfachte sich nachts, während A._ unter Alkolhol- und Drogeneinfluss schlief, ein Brand in der Küche seiner Wohnung. Daraufhin wurde er am 9. Juni 2019 in die Klinik B._ AG eingewiesen, auf Beschwerde hin allerdings am 18. Juni 2019 wieder entlassen.
A.a.b. Im Rahmen einer vom Familiengericht Baden als Erwachsenenschutzbehörde angeordneten ambulanten Massnahme erhielt A._ während mehreren Jahren in der Klinik B._ AG eine Depotmedikation mit dem Neuroleptikum Haldol decanoas (intramuskuläre Injektion). Er musste wiederholt zur Verabreichung der Depotspritze polizeilich in die Klinik gebracht werden, zuletzt am 13. August 2019. Am 14. August 2019 kam es zu einer weiteren Anordnung einer fürsorgerischen Unterbringung. A._ entwich jedoch am 17. August 2019 aus der Klinik.
A.a.c. Am 10. September 2019 trat A._ freiwillig in die Klinik B._ AG ein. Am 11. September 2019 ordnete die Klinik B._ AG die Zurückbehaltung und am 13. September 2019 Dr. med. C._ eine fürsorgerische Unterbringung in der Klinik B._ AG an. Mit Entscheid vom 20. September 2019 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau die gegen diesen Unterbringungsentscheid erhobene Beschwerde ab.
A.a.d. Am 2. Oktober 2019 übertrug das Familiengericht Baden die Entlassungszuständigkeit der Klinik B._ AG und hielt fest, dass die nächste periodische Überprüfung der fürsorgerischen Unterbringung spätestens per 11. März 2020 erfolgen werde.
A.b. Am 31. Januar 2020 stellte A._ ein Entlassungsgesuch, welches die Klinik B._ AG gleichentags abwies. Dagegen erhob der Betroffene am 10. Februar 2020 beim Verwaltungsgericht Beschwerde. Dieses führte am 18. Februar 2020 in der Klinik eine Verhandlung durch und wies die Beschwerde gleichentags ab. Das Urteil wurde den Beteiligten mit einer Kurzbegründung im Dispositv eröffnet (WBE.2020.49). Am 12. März 2020 ersuchte A._ um Ausfertigung einer vollständigen schriftlichen Begründung. Diese wurde ihm am 21. März 2020 zugestellt. Dagegen hat A._ Beschwerde beim Bundesgericht geführt (Verfahren 5A_385/2020).
B.
B.a. Mit Entscheid vom 4. März 2020 bestätigte das Familiengericht im Rahmen der ersten periodischen Überprüfung (vgl. Bst. A.a.d) die fürsorgerische Unterbringung; es setzte die nächste Überprüfung per 11. April 2020 fest. Mit Entscheid vom 11. März 2020 berichtigte das Familiengericht seinen Entscheid vom 4. März 2020 dahingehend, dass die nächste periodische Überprüfung spätestens per 11. Juni 2020 erfolgen solle.
B.b. Am 18. März 2020 erhob A._ gegen den Entscheid des Familiengerichts vom 4. bzw. 11. März 2020 beim Verwaltungsgericht Beschwerde. Dieses wies das Rechtsmittel mit Entscheid vom 1. April 2020 ab (WBE.2020.98).
C.
Mit Eingabe vom 19. Mai 2020 führt A._ Beschwerde gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 1. April 2020 (WBE.2020.98). Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die unverzügliche Entlassung aus der fürsorgerischen Unterbringung. Ausserdem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.
Mit Entscheid vom heutigen Tag ist das Bundesgericht auf die Beschwerde im Verfahren 5A_385/2020 (Sachverhalt Bst. A.b) nicht eingetreten.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht über ein Rechtsmittel entschieden hat (<ref-law>). Der angefochtene Entscheid bestätigt die fürsorgerische Unterbringung des Beschwerdeführers. Das ist ein öffentlich-rechtlicher Entscheid in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG). Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>) und die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law> und Art. 46 Abs. 1 Bst. a BGG i.V.m. Art. 1 Abs. 1 der Verordnung über den Stillstand der Fristen in Zivil- und Verwaltungsverfahren zur Aufrechterhaltung der Justiz im Zusammenhang mit dem Coronavirus [SR 173.110.4]). Auf die Beschwerde ist somit einzutreten.
2.
2.1. Eine Person, die an einer psychischen Störung oder an geistiger Behinderung leidet oder schwer verwahrlost ist, darf in einer geeigneten Einrichtung untergebracht werden, wenn die nötige Behandlung oder Betreuung nicht anders erfolgen kann (<ref-law>). Die Belastung und der Schutz von Angehörigen und Dritten sind zu berücksichtigen (<ref-law>). Die betroffene Person wird entlassen, sobald die Voraussetzungen für die Unterbringung nicht mehr erfüllt sind (<ref-law>). Die Behandlung einer psychischen Störung einer urteilsunfähigen Person in einer psychiatrischen Klinik richtet sich nach den Bestimmungen über die fürsorgerische Unterbringung (<ref-law>). Die Behauptung des Beschwerdeführers, es gebe keine gesetzliche Grundlage für seine fürsorgerische Unterbringung, trifft offensichtlich nicht zu. Damit zielen seine auf die Art. 10 Abs. 2 und Art. 24 Abs. 1 BV gestützten Argumente an der Sache vorbei (vgl. <ref-law>); darauf ist nicht einzutreten. Vielmehr ist die vorliegende Angelegenheit in Anwendung der Art. 426 und <ref-law> zu prüfen.
2.2. Im Kern geht das Verwaltungsgericht davon aus, dass der Beschwerdeführer an einer psychischen Störung leide, die eine medikamentöse Behandlung erfordere. Hingegen benötige er im heutigen Zeitpunkt keine akutpsychiatrische Behandlung mehr, weshalb die fürsorgerische Unterbringung in der Klinik B._ AG im Grunde nicht mehr notwendig sei. Allerdings bedürfe der Beschwerdeführer einer Betreuung, im Rahmen derer insbesondere die Medikation sichergestellt werden könne. Eine solche Anschlusslösung stehe nicht zur Verfügung. Das Wohnangebot der Stiftung D._ sei überlastet. Auch eine eigene Wohnung mit zusätzlicher Betreuung und Unterstützung, wie der Beschwerdeführer vorschlage, stehe bisher ebenso wenig als Alternative zur Verfügung wie eine Alterswohnung oder eine geschützte Wohnform ohne Betreuung. Die Möglichkeit eines Austritts in eine Übergangslösung, von der aus allenfalls ein freier Platz in einer Institution organisiert werden könne, bestehe im heutigen Zeitpunkt nicht. Ein Austritt in ein Hotel oder Monatszimmer stelle selbst mit zusätzlicher Spitex-Betreuung keine geeignete Anschlusslösung dar und werde entsprechend ebenfalls seitens der Klinik und des Beistands klar abgelehnt. Mangels geeigneter Alternativen könne dem Beschwerdeführer die nötige Sorge derzeit nicht anders erwiesen werden als im Rahmen der fürsorgerischen Unterbringung in der Klinik. Demgegenüber müsse bei einem heutigen Austritt ohne Anschlusslösung mit einer raschen Eskalation gerechnet werden, sodass, entsprechend der gutachterlichen Einschätzung, ein erneuter Rückfall verbunden mit einer gesundheitlichen Gefährdung sehr wahrscheinlich wäre und der Beschwerdeführer vermutlich bald in einem schlechteren Zustand wieder gegen seinen Willen in die Klinik gebracht werden müsste. Aufgrund der grossen Gefahr eines sofortigen Rückfalls sei die Entlassung vor diesem Hintergrund im heutigen Zeitpunkt nicht angezeigt.
2.3. Der Beschwerdeführer beanstandet die tatsächlichen Feststellungen des Verwaltungsgerichts nicht. Hingegen meint er, der Umstand, dass keine Wohnmöglichkeiten bestünden, spiele im konkreten Fall keine Rolle, denn er könne auch "im Wald im Zelt respektive unter freiem Himmel übernachten". Ebenso unerheblich sei die fehlende Krankheitseinsicht; entscheidend sei vielmehr, dass er die notwendige Behandlung zulasse. Aufgrund der langjährigen Erfahrungen in der Vergangenheit sei von einer Kooperation auszugehen. Die medikamentöse Behandlung könne beispielsweise durch Einnahme in einer Apotheke oder Abgabe durch eine psychiatrische Spitex erfolgen, allenfalls begleitet durch eine ärztliche Kontrolle und weitere Auflagen. Letztlich sieht der Beschwerdeführer eine Verletzung des Verhältnismässigkeitsgrundsatzes darin, dass ihm nicht die Chance gegeben werde, zu zeigen, dass er in der Lage sei, sein Leben zu meistern. Falls er diese Chance nicht ergreife, könne später immer noch mit verhältnismässigen Mitteln versucht werden, eine andere Lösung zu suchen.
2.4. Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers kommt der fehlenden Krankheitseinsicht bzw. der fehlenden Einsicht in seine Behandlungsbedürftigkeit sehr wohl eine entscheidende Rolle zu, denn diese beschlägt die Verlaufsprognose im Fall einer ungeregelten Entlassung. Im Rahmen der Prüfung, ob die Zurückbehaltung verhältnismässig ist, darf das Risiko einer Wiedereinweisung für den Fall, dass der Beschwerdeführer sich, einmal entlassen, einer medikamentösen Behandlung entzieht, in die Interessenabwägung einbezogen werden und es vermag eine Zurückbehaltung zu rechtfertigen (vgl. Philippe Meier/ Suzana Lukic, Introduction au nouveau droit de la protection de l'adulte, 2011, Fn. 881 zu Rz. 705 mit weiteren Hinweisen; Eugen Spirig, in: Zürcher Kommentar, 3. Aufl. 1995, N. 303 zu <ref-law>). Der Verhältnismässigkeitsgrundsatz untersagt Verlaufsprognosen nicht und erfordert insbesondere nicht, dass man es gleichsam einmal einfach darauf ankommen lassen muss. Das Verwaltungsgericht hat ausgeführt, dass und weshalb im Fall einer ungeregelten Entlassung des Beschwerdeführers ein hohes Risiko einer Wiedereinweisung besteht. Bedarf die betroffene Person auch nach der Entlassung aus der fürsorgerischen Unterbringung einer medikamentösen Behandlung und droht eine Wiedereinweisung, wenn sie die Behandlung nicht fortsetzt, muss vor der Entlassung die notwendige ambulante Nachbetreuung geregelt sein (Urteil 5A_228/2016 vom 11. Juli 2016 E. 4.3.3). Trotz zahlreicher Bemühungen ist es den kantonalen Behörden unbestrittenermassen bisher nicht gelungen, eine vertretbare Anschlusslösung zu finden. Den Beschwerdeführer im Wald im Zelt oder unter freiem Himmel übernachten zu lassen, kommt für eine Person, die an einer psychischen Störung leidet, keine Krankheitseinsicht zeigt und eine medikamentöse Behandlung erfordert, von vornherein nicht infrage. Aus den genannten Gründen erweist sich der angefochtene Entscheid unter Verhältnismässigkeitsgesichtspunkten als bundesrechtskonform.
3.
Damit ist die Beschwerde abzuweisen. Der Beschwerdeführer unterliegt, und er wird kosten- (<ref-law>), nicht aber entschädigungspflichtig (<ref-law>). Angesichts der besonderen Umstände wird auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet. In diesem Umfang wird das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege gegenstandslos. Soweit weitergehend, kann sie nicht gewährt werden, denn die Beschwerde war, wie die vorstehenden Ausführungen aufzeigen, von Anfang an aussichtslos (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksgericht Baden, Familiengericht, und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juni 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Gutzwiller