Erwägungen:
1.
Die Bau-, Werk- und Planungskommission Dornach erteilte der Wohnbaugenossenschaft B._ am 19. Januar 2017 die Baubewilligung zum Neubau eines Wohngebäudes mit Nebennutzung, dem Neubau eines Mehrfamilienhauses, der Erstellung von Parkplätzen sowie zum Abbruch einer Garage und eines Schopfes. Eine von A._ dagegen erhobene Beschwerde hiess das Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 12. September 2017 gut. Dagegen erhob die Wohnbaugenossenschaft B._ Beschwerde, welche das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 11. Dezember 2018 guthiess und die kommunale Baubewilligung bestätigte. Mit Urteil 1C_13/2019 vom 19. Juni 2019 wies das Bundesgericht die von A._ dagegen erhobene Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Mit Urteil 1F_39/2019 vom 26. August 2019 wies das Bundesgericht das Revisionsgesuch von A._ gegen das bundesgerichtliche Urteil ab, soweit es darauf eintrat. Auf ein weiteres Revisionsgesuch von A._ trat das Bundesgericht mit Urteil 1F_30/2020 vom 12. November 2020 nicht ein.
2.
Am 12. April 2021 wurde eine Projektänderung publiziert. Es ging dabei um den Einbau einer Abgasanlage und die Verschiebung von Fenstern. Am 4. Juni 2021 trat die kommunale Baubehörde auf die von A._ erhobene Einsprache nicht ein und erteilte die Baubewilligung. Die vom Einsprecher vorgebrachten Punkte würden allesamt die bereits rechtskräftige Baubewilligung betreffen. Darauf könne nicht mehr eingegangen werden. Dagegen erhob A._ Verwaltungsbeschwerde. Das Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn entzog der Beschwerde mit Zwischenverfügung vom 6. August 2021 die aufschiebende Wirkung. Es führte dabei u.a. aus, die Prozessaussichten des Beschwerdeführers seien als gering einzuschätzen. Der Entzug der aufschiebenden Wirkung stelle für ihn keinen schwerwiegenden Eingriff dar. Die Bauherrschaft baue aber auf eigenes Risiko.
Gegen die Zwischenverfügung erhob A._ Beschwerde, auf welche das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 8. November 2021 nicht eintrat. Zur Begründung führte das Verwaltungsgericht zusammenfassend aus, Zwischenentscheide seien anfechtbar, wenn sie entweder präjudizierlich oder für eine Partei von erheblichem Nachteil seien (§ 66 des kantonalen Verwaltungsrechtspflegegesetzes). Der Schwebezustand, der durch die anhängige Beschwerde geschaffen werde, habe für den Beschwerdeführer, im Gegensatz zur Bauherrschaft, keinen Nachteil. Es frage sich zudem, worin das aktuelle praktische Interesse an der aufschiebenden Wirkung für den Beschwerdeführer bestehen soll, nachdem der Bau heute praktisch fertiggestellt sei.
3.
A._ führt mit Eingabe vom 10. Dezember 2021 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 8. November 2021. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Streitgegenstand ist vorliegend einzig die Frage, ob das Bau- und Justizdepartement der Verwaltungsbeschwerde zu Recht die aufschiebende Wirkung entzogen hat. Soweit der Beschwerdeführer Anträge stellt, die darüber hinausgehen, kann darauf von vornherein nicht eingetreten werden.
5.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer vermag mit seinen zum Teil sachfremden Ausführungen nicht verständlich aufzuzeigen, inwiefern ihm ein erheblicher Nachteil entstehen sollte, wenn die Beschwerdegegnerin ihren praktisch fertiggestellten Bau während dem Beschwerdeverfahren fertigstellen könnte. Solches ist im Übrigen auch nicht ersichtlich, zumal die Beschwerdegegnerin gemäss angefochtener Verfügung des Bau- und Justizdepartements vom 6. August 2021 auf eigenes Risiko baue. Der Beschwerdeführer vermag nicht im Einzelnen und konkret aufzuzeigen, inwiefern die Begründung des Verwaltungsgerichts, die zum Nichteintreten auf die Beschwerde führte, bzw. das Urteil des Verwaltungsgerichts selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
6.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Bau-, Werk- und Planungskommission der Einwohnergemeinde Dornach, dem Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Dezember 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli