Sachverhalt:
A.
A.a. A._, E._ und D._ begründeten mit schriftlicher Vereinbarung vom 29. Januar 1996 Miteigentum am Gemälde "xxx" von V._, Öl auf Leinwand, 65 cm x 56 cm, gerahmt. Von total 75 Anteilen wiesen sie A._ und E._ je 28.125 Anteile und D._ 18.75 Anteile zu.
A.b. Mit Erklärung vom 21. Januar 2016 bestätigte E._, dass er keine rechtlichen Ansprüche mehr am Gemälde habe und seine Anteile auf B._ übergegangen seien. Diese übertrug am 29. Juni 2016 zehn ihrer 28.125 Anteile an F._ zu Eigentum, welche die zehn Anteile wiederum mit Vereinbarung vom 23. März 2017 der G._ AG verkaufte.
A.c. Die G._ AG fusionierte am 21. Juni 2017 mit der C._ AG und wurde am selben Tag im Handelsregister gelöscht.
B.
B.a. Nach erfolglosem Schlichtungsversuch erhob die C._ AG mit Eingabe vom 24. Januar 2018 beim Regionalgericht Plessur Klage auf Aufhebung des Miteigentums gegen A._, D._ und B._.
B.b. Die Beklagten erstatteten am 16. April 2018 ihre Klageantwort, woraufhin ein zweiter Schriftenwechsel stattfand. In dessen Rahmen replizierte die Klägerin am 29. Mai 2018 und duplizierten die Beklagten am 3. September 2018.
B.c. Das Regionalgericht führte am 8. November 2018 eine Instruktionsverhandlung durch und vernahm am 14. März 2019 E._ und F._ als Zeugen ein. Die Hauptverhandlung fand am 28. Mai 2019 statt.
B.d. Mit Entscheid vom 5. Juni 2019 wies das Regionalgericht die Klage ab mit der Begründung, die Klägerin habe ihre Aktivlegitimation sowie die Passivlegitimation von A._ nicht beweisen können. Es auferlegte der Klägerin die Gerichtskosten und sprach den Beklagten eine Parteientschädigung zu.
C.
C.a. Dagegen ergriff die C._ AG am 29. August 2019 Berufung an das Kantonsgericht Graubünden, mit welcher sie ihre in erster Instanz gestellten Rechtsbegehren aufrechterhielt.
C.b. A._ und B._ erhoben mit ihrer Berufungsantwort vom 2. Oktober 2019 Anschlussberufung und verlangten die Zusprechung einer höheren Parteientschädigung für das erstinstanzliche Verfahren.
C.c. D._ erklärte am 23. Oktober 2019, dass er sich dem in der Sache zu fällenden Urteil unterziehe und dieses vorbehaltlos anerkenne.
C.d. Das Kantonsgericht hiess die Berufung mit Urteil vom 9. Juli 2021 gut und wies die Sache zu neuem Entscheid an das Regionalgericht zurück. Die Anschlussberufung schrieb es zufolge Gegenstandslosigkeit ab. Es setzte die Gerichtskosten des Berufungsverfahrens auf Fr. 10'000.-- fest und überliess die Festsetzung einer Parteientschädigung und die Verteilung der Prozesskosten des Berufungsverfahrens dem Regionalgericht. Das Berufungsurteil wurde den Parteien am 18. bzw. 19. August 2021 zugestellt.
D.
D.a. A._ (Beschwerdeführer) und B._ (Beschwerdeführerin) gelangen mit Beschwerde vom 15. September 2021 an das Bundesgericht. Sie beantragen, in Aufhebung des Urteils des Kantonsgerichts vom 9. Juli 2021 sei die Berufung der C._ AG (Beschwerdegegnerin) vollumfänglich abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei, und die Anschlussberufung sei gutzuheissen.
D.b. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob auf eine Beschwerde eingetreten werden kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 mit Hinweisen).
1.1. Die Beschwerde ist in der Regel erst gegen Endentscheide zulässig (<ref-law>). Rückweisungsentscheide kantonaler Rechtsmittelinstanzen schliessen das Verfahren nicht ab und sind deshalb keine End-, sondern Vor- und Zwischenentscheide (<ref-ruling> E. 1.3 mit Hinweisen). Gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide, die weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betreffen, ist die Beschwerde nur zulässig, wenn der Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (<ref-law>). Es obliegt der beschwerdeführenden Partei darzutun, dass diese Voraussetzungen erfüllt sind (<ref-ruling> E. 4.1 in fine; <ref-ruling> E. 2.2 in fine; <ref-ruling> E. 1.2 in fine; je mit Hinweisen). Ist die Beschwerde nicht zulässig oder wurde von ihr kein Gebrauch gemacht, so sind die betreffenden Vor- und Zwischenentscheide durch Beschwerde gegen den Endentscheid anfechtbar, soweit sie sich auf dessen Inhalt auswirken (<ref-law>).
1.2. Die Beschwerdeführer vertreten unter Verweis auf <ref-ruling> E. 1.3 den Standpunkt, dass es sich beim angefochtenen Rückweisungsentscheid um einen Endentscheid handle, da er dem Regionalgericht keine Entscheidungsfreiheit einräume.
1.2.1. Damit verkennen sie die neuere bundesgerichtliche Rechtsprechung, wonach Rückweisungsentscheide des Berufungsgerichts generell als Vor- und Zwischenentscheide zu qualifizieren sind (<ref-ruling> E. 1.4). Im Übrigen ist der Ausgang des erstinstanzlichen Verfahrens - was die Vorinstanz auch explizit im angefochtenen Entscheid festhält - entgegen ihrer Auffassung wieder offen, zumal die Sache zur Prüfung und Entscheidung einer Reihe von Fragen an das Regionalgericht zurückgewiesen wurde.
1.2.2. Der angefochtene Entscheid ist demnach ein Zwischenentscheid. Diese Qualifikation umfasst auch die Abschreibung des Anschlussberufungsverfahrens, welches einzig die erstinstanzliche Parteientschädigung zum Gegenstand hatte. Das Verfahren ist diesbezüglich nicht abgeschlossen, zumal das Regionalgericht darüber ebenfalls neu zu entscheiden haben wird.
1.3. Die Beschwerdeführer machen geltend, der angefochtene Entscheid könne einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken.
1.3.1. Der drohende nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne von <ref-law> muss rechtlicher Natur sein. Das setzt voraus, dass er sich auch mit einem späteren günstigen Endentscheid nicht oder nicht gänzlich beseitigen lässt (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.2; je mit Hinweisen). Die blosse Möglichkeit eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils rechtlicher Natur genügt (<ref-ruling> E. 2.5). Rein tatsächliche Nachteile wie die Verlängerung oder Verteuerung des Verfahrens reichen nicht aus (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2.5; je mit Hinweisen).
1.3.2. Im Wesentlichen bemängeln die Beschwerdeführer, dass das Regionalgericht aufgrund der Bindungswirkung des Rückweisungsentscheids über die Aktivlegitimation der Beschwerdegegnerin nicht mehr entscheiden könnte und der Endentscheid abgewartet werden müsse, um die Angelegenheit für die Überprüfung der Frage der Aktivlegitimation ans Bundesgericht weiterziehen zu können. Darin liegt aber gerade kein rechtlicher nicht wieder gutzumachender Nachteil. Eine allfällige Fehlbeurteilung der Frage der Aktivlegitimation wäre, wie dies die Beschwerdeführer selbst ausführen, im Rahmen der Beurteilung der Beschwerde gegen den Endentscheid ans Bundesgericht wieder gutzumachen, zumal sich diese Frage auf den Inhalt des Endentscheids auswirkt, was einen klassischen Anwendungsfall von <ref-law> darstellt. Die dadurch entstehende, blosse Verfahrensverlängerung ist ein - nicht massgeblicher - Nachteil tatsächlicher Natur. Damit ist kein nicht wieder gutzumachender Nachteil rechtlicher Natur dargetan.
1.4. Schliesslich halten die Beschwerdeführer dafür, die Gutheissung der Beschwerde würde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen.
1.4.1. Wer sich auf die Ausnahme gemäss <ref-law> beruft, hat detailliert aufzuzeigen, welche Tatfragen offen sind und welche betreffenden Beweise im kantonalen Verfahren bereits angerufen wurden und inwiefern deren Abnahme ein langes und kostspieliges Beweisverfahren erfordert, sofern dies nicht offensichtlich ist (<ref-ruling> E. 2.4.2; Urteile 5A_959/2021 vom 13. Januar 2022 E. 1.2; 4A_274/2021 vom 6. Oktober 2021 E. 1.1.2; je mit Hinweisen). Das durch den sofortigen Endentscheid entfallende Beweisverfahren muss sowohl lang als auch kostspielig sein (Urteil 5A_297/2021 vom 29. Oktober 2021 E. 3.1 mit Hinweis).
1.4.2. In der Tat hätte die Gutheissung der Beschwerde die Abweisung der Klage der Beschwerdegegnerin und damit einen Endentscheid zur Folge. Die Beschwerdeführer machen geltend, diesfalls müssten sich die Gerichtsinstanzen nicht mehr mit den ungeklärten Themen befassen, deretwegen die Vorinstanz einen Rückweisungsentscheid getroffen habe. Die Parteien hätten sodann hierzu diverse Beweisanträge stellen lassen, deren Beweisabnahme noch nicht erfolgt sei. Vor diesem Hintergrund könne durch die Zulassung der Beschwerde ein weitläufiges Beweisverfahren vermieden werden.
1.4.3. Das Regionalgericht ordnete einen doppelten Schriftenwechsel an, führte eine Instruktionsverhandlung durch, vernahm Zeugen ein und tagte an einer Hauptverhandlung (vgl. vorne Sachverhalt lit. B.b f.). Die Vorinstanz begründete die Rückweisung im angefochtenen Entscheid nicht damit, dass der Sachverhalt in wesentlichen Teilen zu vervollständigen sei (Art. 318 Abs. 1 lit. c Ziff. 2 ZPO), sondern damit, dass das Regionalgericht einen wesentlichen Teil der Klage nicht beurteilt habe (Art. 318 Abs. 1 lit. c Ziff. 1 ZPO). Angesichts dessen ist nicht ersichtlich, inwiefern die Zulassung der Beschwerde ein weitläufiges zeit- und kostenintensives Beweisverfahren ersparen könnte. Die Beschwerdeführer erläutern nicht, weshalb das Regionalgericht die von ihnen anerbotenen Beweise noch abnehmen müsste, obwohl es bereits ein Beweisverfahren durchführte. Sie präzisieren nicht einmal, im Zusammenhang mit welchen Beweisthemen sie die genannten Partei- und Zeugenbefragungen beantragten. Der allgemeine Verweis auf die Klageantwortschrift und die Replik ohne Bezeichnung genauer Passagen genügt hierzu nicht (vgl. <ref-ruling> E. 2 mit Hinweis). Sodann bedingte allein der Umstand, dass die Parteien zu befragen und Zeugen einzuvernehmen wären, noch keinen erheblichen Zeit- und Kostenaufwand, solange es sich nicht um die Anhörung einer sehr hohen Anzahl von Zeugen oder die Einvernahme von Zeugen auf dem Rechtshilfeweg in fernen Ländern handelt (Urteile 5A_959/2021 vom 13. Januar 2022 E. 1.2; 4A_274/2021 vom 6. Oktober 2021 E. 1.1.2; je mit Hinweisen). Auch die pauschale Äusserung, es könne nicht zweifelhaft sein, dass "ein solch weitläufiges Beweisverfahren" mit erheblichem Aufwand an Zeit und Kosten verbunden sei, vermag einen solchen nicht darzutun. Namentlich behaupten die Beschwerdeführer nicht, dass und weshalb ein komplexes oder mehrere Gutachten für die Prüfung der Fragen, welche das Regionalgericht in seinem neuen Entscheid zu beantworten haben wird, notwendig wären und dies einen bedeutenden Kosten- und Zeitaufwand nach sich ziehen würde, was ein Eintreten auf die Beschwerde rechtfertigen würde (Urteile 5A_959/2021 vom 13. Januar 2022 E. 1.2; 4A_274/2021 vom 6. Oktober 2021 E. 1.1.2; je mit Hinweisen).
1.5. Damit ist nicht dargetan, dass die Voraussetzungen von <ref-law> erfüllt wären. Auf die Beschwerde in Zivilsachen kann nicht eingetreten werden.
2.
Bei diesem Verfahrensausgang werden die Beschwerdeführer zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet, zumal keine Vernehmlassungen eingeholt wurden (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht von Graubünden, I. Zivilkammer, mitgeteilt.
Lausanne, 21. März 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Gutzwiller