Sachverhalt:
A.
Am 13. November 2020 erstattete A._ Strafanzeige gegen B._ (Stadträtin und Vorsteherin des Sicherheitsdepartements von Zürich) sowie gegen unbekannte Täterschaft. Er warf B._ und den am betreffenden Entscheid mitbeteiligten Personen vor, mehrfach Amtsmissbrauch begangen zu haben, indem sie die Anlässe "Marsch fürs Läbe 2020" (geplant am 19. September 2020 in Winterthur) und "Marsch fürs Läbe 2021" (geplant am 18. September 2021 in Zürich) nicht bewilligt hätten.
Die Staatsanwaltschaft leitete die Angelegenheit ans Obergericht des Kantons Zürich weiter, damit dieses über die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung gegen die angezeigten Beamten entscheide. Sie beantragte, die Ermächtigung zu verweigern.
Mit Beschluss vom 28. Januar 2021 verweigerte das Obergericht die Ermächtigung zur Strafverfolgung.
B.
Am 22. Februar 2021 erhob A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht. Er beantragt sinngemäss, unter entsprechender teilweiser Aufhebung des Beschlusses des Obergerichts sei die Ermächtigung zur Strafverfolgung zu erteilen, soweit es um Amtsmissbrauch durch Verweigerung der Bewilligung eines Demonstrationsumzuges anlässlich des "Marsches fürs Läbe 2021" gehe.
Die Staatsanwaltschaft, die Oberstaatsanwaltschaft und das Obergericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. B._ beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten und eventualiter das Rechtsmittel abzuweisen. Der Beschwerdeführer hält in seiner Replik an seinem Standpunkt fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den angefochtenen Entscheid, mit welchem es das Obergericht abgelehnt hat, die Staatsanwaltschaft zur Strafverfolgung der Beschwerdegegner zu ermächtigen, ist gemäss Art. 82 lit. a BGG die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich zulässig (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 272).
Gemäss Art. 83 lit. e BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide über die Verweigerung der Ermächtigung zur Strafverfolgung von Behördenmitgliedern oder von Bundespersonal. Dieser Ausschlussgrund greift nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung nur, soweit es um die Strafverfolgung der Mitglieder der obersten kantonalen Vollziehungs- und Gerichtsbehörden geht (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 272 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 116).
Die Beschwerdegegner sind Mitglieder einer städtischen Behörde. Sie gehören damit nicht zu den Mitgliedern der obersten kantonalen Vollziehungs- und Gerichtsbehörden im Sinne dieser Rechtsprechung. Der Ausschlussgrund von Art. 83 lit. e BGG greift somit nicht.
Ob die weiteren Prozessvoraussetzungen gegeben sind (wie namentlich die Legitimation des Beschwerdeführers [vgl. Art. 89 Abs. 1 BGG sowie Urteil 1C_192/2020 vom 14. Mai 2020 E. 2]), kann hier offen bleiben. Denn wie im Folgenden ersichtlich wird, ist die Beschwerde ohnehin abzuweisen.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht sowie von kantonalem Verfassungsrecht und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a-c BGG). Insofern verfügt das Bundesgericht über uneingeschränkte Kognition. Die Auslegung und Anwendung des übrigen kantonalen Rechts überprüft das Bundesgericht hingegen nicht frei, sondern nur auf Vereinbarkeit mit dem Bundesrecht, insbesondere mit dem Willkürverbot (Art. 9 BV), hin (<ref-ruling> E. 2.1 S. 372; <ref-ruling> E. 2 S. 149 f.).
1.3.
1.3.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet nach der Rechtsprechung "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.1 S. 155 f.). Der Beschwerdeführer kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Für eine entsprechende Rüge gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht; auf rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsfeststellung geht das Gericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 10.1 S. 444 f.).
Offensichtlich unrichtig bzw. willkürlich ist die Sachverhaltsfeststellung, wenn die vorinstanzliche Beweiswürdigung schlechterdings unhaltbar ist, d.h. wenn die Behörde in ihrem Entscheid von Tatsachen ausgeht, die mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen, aktenwidrig sind oder auf einem offenkundigen Fehler beruhen (<ref-ruling> E. 2.3.1; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; je mit Hinweisen).
1.3.2. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Tatsachen, welche der Beschwerdeführer erstmals vor Bundesgericht anspricht, die sich aber aus den kantonalen Verfahrensakten ergeben, sind nicht neu. Der vorinstanzliche Verfahrensausgang allein bildet noch keinen hinreichenden Anlass für die Zulässigkeit von unechten Noven, die bereits im kantonalen Verfahren ohne Weiteres hätten vorgebracht werden können (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 23 mit Hinweisen).
1.4.
1.4.1. In tatsächlicher Hinsicht macht der Beschwerdeführer insbesondere geltend, die Aggressionen, Provokationen und Ausschreitungen anlässlich der Veranstaltung "Marsch fürs Läbe 2019" seien nicht von den Demonstrationsteilnehmern, sondern ausschliesslich von Gegendemonstranten ausgegangen.
Dieser behauptete Sachumstand wurde im angefochtenen Urteil nicht festgestellt. Wie im Folgenden ersichtlich wird, würde sich am Ausgang des Verfahrens aber selbst dann nichts ändern, wenn in diesem Punkt der Darstellung des Beschwerdeführers gefolgt würde. Mit anderen Worten macht er insoweit eine nicht rechtserhebliche Tatsache geltend. Folglich kann hier dahingestellt bleiben, ob auf das entsprechende Vorbringen mit Blick auf das Novenverbot (vgl. Art. 99 Abs. 1 BGG; vorne E. 1.3.2) von vornherein nicht einzugehen wäre.
1.4.2. Der Beschwerdeführer macht auch geltend, der Stadtrat von Zürich hätte für den "Marsch fürs Läbe 2021" anstelle der blossen Platzkundgebung einen Demonstrationsumzug mit einer anderen als der gewünschten Route erlauben können. Er geht dabei davon aus, dass es eine alternative Route gegeben hätte, bei welcher die Sicherheit aller Beteiligten bestmöglichst hätte geschützt werden können. Zudem erklärt er, die Gegendemonstration im Jahr 2019 sei nicht bewilligt gewesen. Sodann stellt es der Beschwerdeführer als gegeben hin, dass die Bewilligung eines Demonstrationsumzuges von Klimaschützern nicht über Monate im Voraus allein wegen drohender Gewalt von "Anti-Klima-Aktivisten" verweigert würde.
Mit diesen nicht substanziierten Ausführungen schildert der Beschwerdeführer lediglich die Sachlage aus seiner Sicht, ohne der Vorinstanz eine offensichtlich unrichtige oder eine unvollständige Sachverhaltsfeststellung vorzuwerfen. Auch legt er nicht dar, inwiefern ihn erst das angefochtene Urteil dazu veranlasste, sich auf die entsprechenden neuen Tatsachen zu berufen. Diese Vorbringen sind daher im Folgenden nicht zu berücksichtigen (vgl. vorne E. 1.3).
2.
2.1. Um Behördenmitglieder und Beamte vor mutwilliger Strafverfolgung zu schützen und damit das reibungslose Funktionieren staatlicher Organe sicherzustellen, sind Ermächtigungsverfahren vorgesehen. Gemäss Art. 7 Abs. 2 lit. b StPO können die Kantone vorsehen, dass die Strafverfolgung der Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen von der Ermächtigung einer nicht richterlichen Behörde abhängt. Diese Bestimmung bietet den Kantonen die Möglichkeit, die Strafverfolgung sämtlicher Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden von einer Ermächtigung abhängig zu machen. Als Vollziehungsbehörden gelten dabei alle Organisationen, die öffentliche Aufgaben wahrnehmen (vgl. Urteile 1C_420/2020 vom 16. November 2020 E. 1.2; 1C_422/2019 vom 1. September 2020 E. 2.1).
Der Kanton Zürich hat von seiner gesetzlichen Kompetenz Gebrauch gemacht und ein Ermächtigungsverfahren eingeführt (vgl. § 148 des Gesetzes des Kantons Zürich vom 10. Mai 2010 über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess [GOG; LS 211.1]).
2.2. Im vorliegenden Verfahren ist zu prüfen, ob das Obergericht die Ermächtigung zur strafrechtlichen Verfolgung der Beschwerdegegner ohne Verletzung von Bundesrecht verweigern konnte. Es geht dabei einzig um die Ermächtigung zur Strafverfolgung der Beschwerdegegner wegen Amtsmissbrauches im Sinne von Art. 312 StGB. Nach Ansicht des Beschwerdeführers soll ein entsprechender Amtsmissbrauch im Zusammenhang mit dem Entscheid des Stadtrates von Zürich vorliegen, den zum 18. September 2021 geplanten Demonstrationsumzug "Marsch fürs Läbe 2021" nicht zu erlauben und stattdessen lediglich eine Platzkundgebung zu bewilligen.
Mit dem angefochtenen Beschluss des Obergerichts abgelehnt wurde auch die Ermächtigung zur Strafverfolgung wegen Verstosses gegen Art. 312 StGB im Zusammenhang mit dem stadträtlichen Entscheid, einen für das Jahr 2020 geplant gewesenen Demonstrationsumzug ("Marsch fürs Läbe 2020") nicht zu bewilligen. Insoweit ficht der Beschwerdeführer den Beschluss des Obergerichts nicht an. Das Bundesgericht hat sich deshalb hierzu nicht zu äussern.
3.
Für die Erteilung der Ermächtigung müssen minimale Hinweise auf ein strafrechtlich relevantes Verhalten vorliegen. Nicht jeder behördliche Fehler begründet die Pflicht zur Erteilung der Ermächtigung zur Strafverfolgung. Vielmehr bedarf es genügender Anhaltspunkte für ein strafbares Verhalten (Urteile 1C_120/2020 vom 30. November 2020 E. 2.2; 1B_49/2020 vom 16. Oktober 2020 E. 3.2). In Zweifelsfällen ist die Ermächtigung zu erteilen. Es gilt der Grundsatz "in dubio pro duriore". Ist zum Zeitpunkt des Ermächtigungsentscheids die Sach- oder Rechtslage nicht von vornherein klar, darf die zuständige Behörde die Ermächtigung zur Strafverfolgung nicht mit der Begründung verweigern, es fehle an einem hinreichenden Tatverdacht (vgl. Urteile 1C_356/2020 vom 19. Oktober 2020 E. 2.3; 1C_34/2020 vom 3. Februar 2020 E. 2).
4.
Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, es seien zumindest minimale Hinweise für einen Amtsmissbrauch im Zusammenhang mit der Verweigerung der Bewilligung des Demonstrationsumzuges vom 18. September 2021 gegeben.
4.1. Nach Art. 312 StGB wird Amtsmissbrauch mit Freiheitsstrafe bis zu fünf Jahren oder Geldstrafe bestraft. Die Amtsgewalt missbraucht, wer die Machtbefugnisse, die ihm sein Amt verleiht, unrechtmässig anwendet, das heisst kraft seines Amtes verfügt oder Zwang ausübt, wo dies nicht geschehen dürfte (<ref-ruling> E. 1a/aa S. 211 mit Hinweisen; Urteil 1C_120/2020 vom 30. November 2020 E. 2.3). In subjektiver Hinsicht ist (Eventual-) Vorsatz erforderlich. Daran fehlt es etwa, wenn der Amtsträger im Glauben handelt, er übe seine Machtbefugnisse pflichtgemäss aus. Vorausgesetzt ist zudem die Absicht, sich oder einem Dritten einen unrechtmässigen Vorteil zu verschaffen oder einem anderen einen Nachteil zuzufügen, wobei Eventualabsicht genügt (Urteil 1C_422/2019 vom 1. September 2020 E. 4.2 mit Hinweisen).
4.2.
4.2.1. Die Vorinstanz schloss genügende Anhaltspunkte für einen Amtsmissbrauch der Beschwerdegegnerin und einer anderen, unbekannten Täterschaft im Zusammenhang mit dem stadträtlichen Entscheid betreffend die Veranstaltung "Marsch fürs Läbe 2021" aus. Deshalb lehnte sie die Ermächtigung zur Eröffnung einer diesbezüglichen Strafuntersuchung ab. Sie führte aus, der Stadtrat habe kein Kundgebungsverbot ausgesprochen, sondern eine länger dauernde Platzkundgebung zum gewünschten Zeitpunkt im Zentrum von Zürich bewilligt. Abgelehnt habe der Stadtrat zwar den beantragten Umzug samt gewünschtem Kundgebungsplatz. Doch habe der Stadtrat diesen Entscheid auf rechtliche Überlegungen gestützt. Insbesondere habe er einlässlich begründet, weshalb die Ausgangslage nicht mehr der vom Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit einem Urteil vom 27. August 2019 gewürdigten Sachlage im Vorfeld der im Jahr 2019 durchgeführten Veranstaltung "Marsch fürs Läbe" entspreche.
4.2.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, es könne keine Rede davon sein, dass mit seiner Strafanzeige eine mutwillige Strafverfolgung angestrebt werde. Insbesondere handle es sich nicht um eine "ins Blaue" hinaus gestellte Strafanzeige. Diese betreffe nämlich den konkreten, namentlich von der Beschwerdegegnerin getroffenen Entscheid, den Demonstrationsumzug "Marsch fürs Läbe 2021" schon Monate im Voraus nicht zu bewilligen. Der Zweck des Ermächtigungsverfahrens rechtfertige es deshalb nicht, vorliegend keine Ermächtigung zur Strafverfolgung zu erteilen.
Der Beschwerdeführer vertritt sodann den Standpunkt, es sei mit der Meinungs- und der Versammlungsfreiheit nicht vereinbar, dass die Bewilligung des Demonstrationsumzuges allein unter Hinweis auf Sicherheitsüberlegungen schon Monate im Voraus verweigert worden sei. Weil das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich im Jahr 2019 bei vergleichbarer Sachlage die gleiche Veranstaltung erlaubt habe, würden (angebliche) massive Gewaltandrohungen durch Gegendemonstranten die Bewilligungsverweigerung nicht rechtfertigen. Andernfalls könne jede Demonstration bereits im Voraus allein deshalb verhindert werden, weil "gegnerische Fraktionen" jeweils genügend bestimmt und konkret Gewalt androhen würden. Im Zeitpunkt der Bewilligungsverweigerung habe es im Übrigen an konkreten Gewaltandrohungen gefehlt. Es handle sich damit nicht um einen Fall, bei welchem sich die Lage kurzfristig und auf unvorhergesehene Weise zugespitzt habe und die Sicherheit der Demonstranten deshalb nicht mehr gewährleistet werden könne. Vielmehr läge mindestens ansatzweise ein Anfangsverdacht für einen Amtsmissbrauch vor. Es verstehe sich von selbst, dass die bewilligte Platzkundgebung weit weniger Aufmerksamkeit errege als ein Demonstrationsumzug. Eine Standkundgebung könne grundsätzlich nicht als Ersatz für einen Demonstrationsumzug gelten. Soweit erkennbar sei es vorliegend einzig darum gegangen, eine unliebsame und dem politischen Denken der Beschwerdegegnerin zuwiderlaufende Demonstration schon im Voraus zu verunmöglichen. Mithin bestehe der Verdacht, es sei eine tendenziöse, unsachliche und rechtswidrige Entscheidung getroffen worden.
Nach Ansicht des Beschwerdeführers ist bei der Beurteilung, ob minimale Hinweise auf einen Amtsmissbrauch vorliegen, auch zu berücksichtigen, dass sich die Teilnehmer der bewilligten Kundgebung im Jahr 2019 an sämtliche Auflagen gehalten haben und die Aggressionen, Provokationen sowie Ausschreitungen damals ausschliesslich von Gegendemonstranten ausgegangen seien. Es bestehe nämlich bei dieser Sachlage kein Grund, diese Teilnehmer trotz ihres rechtskonformen Verhaltens mit der Verweigerung der Bewilligung des Demonstrationsumzuges im Jahr 2021 abzustrafen.
4.3. Zu klären ist die Frage, ob minimale Hinweise vorliegen, dass die am stadträtlichen Beschluss betreffend den "Marsch fürs Läbe 2021" beteiligt gewesenen Personen die Machtbefugnisse, die ihnen ihr Amt verlieh, unrechtmässig und mit den für einen Amtsmissbrauch erforderlichen subjektiven Tatbestandselementen angewendet haben. Wäre dies der Fall, hätte die Vorinstanz Bundesrecht verletzt, indem sie genügende Anhaltspunkte für einen Amtsmissbrauch durch die Beschwerdegegner verneint und dementsprechend die Ermächtigung zur Strafverfolgung nicht erteilt hat.
4.3.1. Nach den bindenden Feststellungen im angefochtenen Urteil (vgl. Art. 105 Abs. 1 BGG; vorne E. 1.3.1) verwies der Stadtrat zur Begründung seines Entscheids, den "Marsch fürs Läbe 2021" nur als Standkundgebung zu bewilligen, auf die negativen Erfahrungen, welche man anlässlich der Veranstaltung "Marsch fürs Läbe" vom 14. September 2019 gemacht hat. Der Stadtrat erwog, letztere Veranstaltung sei völlig ausgeartet und die Gefährdungslage habe sich weiter akzentuiert. Es sei daher davon auszugehen, dass sich die Situation bei einem erneuten Umzug zumindest ähnlich wie im Jahr 2019 oder gar schlimmer präsentieren werde. Es lägen konkrete Hinweise auf unfriedliche Gegendemonstrationen gewaltbereiter Abtreibungsbefürworter sowie gewaltsame Zusammenstösse mit Abtreibungsgegnern des "Marsches fürs Läbe" vor. Somit bestehe eine grosse Gefährdung der öffentlichen Ordnung und Sicherheit im öffentlichen Raum.
4.3.2. Aufgrund der Meinungs- und Versammlungsfreiheit (Art. 16 und Art. 22 BV) besteht grundsätzlich ein bedingter Anspruch, für Kundgebungen mit Appellwirkung öffentlichen Grund zu benützen (<ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 2.2.2; Urteil 1C_181/2019 vom 29. April 2020 E. 4.2 [nicht publ. in: <ref-ruling>]). Die Behörden sind verpflichtet, durch geeignete Massnahmen wie etwa durch Gewährung eines ausreichenden Polizeischutzes dafür zu sorgen, dass öffentliche Kundgebungen tatsächlich stattfinden können und nicht durch gegnerische Kreise gestört oder verhindert werden (<ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 3b).
Es kann hier dahingestellt bleiben, ob seitens des Stadtrates mit der Verweigerung der Bewilligung des Demonstrationsumzuges "Marsch fürs Läbe 2021" die genannte behördliche Pflicht verletzt worden ist. Denn selbst wenn es (wie der Beschwerdeführer behauptet) aufgrund der Meinungs- und Versammlungsfreiheit geboten gewesen wäre, diese Veranstaltung zu bewilligen, fehlt es jedenfalls an minimalen Hinweisen auf das Vorliegen der subjektiven Tatbestandselemente des Amtsmissbrauches. Insbesondere bestehen keine objektiven Hinweise, dass bei den Entscheidungsträgern die Eventualabsicht bestand, mit der Verweigerung der Bewilligung sich oder Dritten (wie etwa Abtreibungsbefürwortern) einen unrechtmässigen Vorteil zu verschaffen oder Anderen (wie beispielsweise Teilnehmern der Kundgebung) einen Nachteil zuzufügen (vgl. auch Urteil 1C_57/2018 vom 19. November 2018 E. 4.3). Objektive Anhaltspunkte für die Annahme des Beschwerdeführers, man habe eine dem politischen Denken der Beschwerdegegnerin zuwiderlaufende Demonstration im Voraus verunmöglichen wollen, sind nicht ersichtlich (vgl. auch vorne E. 1.4.2). Die Vorinstanz hat demnach kein Bundesrecht verletzt, indem sie die Ermächtigung zur Strafverfolgung der Beschwerdegegner verweigert hat.
5.
Die Beschwerde ist demnach abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Der Beschwerdegegnerin ist keine Parteientschädigung zuzusprechen, da sie nicht anwaltlich vertreten ist und im vorliegenden Fall kein besonderer Aufwand angefallen sowie belegt ist (vgl. Art. 68 Abs. 2 BGG e contrario; <ref-ruling> E. 4 S. 446; <ref-ruling> E. 4.1 S. 116; Urteil 1C_660/2017 vom 15. Juni 2018 E. 5).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juni 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: König