Sachverhalt:
A.
A.a. Der nordmazedonische Staatsangehörige A._ (geb. 1987) reiste 1996 im Familiennachzug in die Schweiz ein und erhielt eine Niederlassungsbewilligung. Nachdem er wiederholt straffällig geworden war und Schulden angehäuft hatte, widerrief die Einwohnergemeinde (EG) Bern, Einwohnerdienste, Migration und Fremdenpolizei, am 3. Juli 2018 seine Niederlassungsbewilligung und wies ihn aus der Schweiz weg. Auf Beschwerde hin bestätigte die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern (heute: Sicherheitsdirektion) diese Verfügung mit Entscheid vom 19. September 2019. Sie verzichtete auf die Ansetzung einer Ausreisefrist und erwog, es werde Sache der zuständigen Ausländerbehörde sein, den Zeitpunkt der Ausreise zu bestimmen, wenn aus Sicht der Strafverfolgungsbehörden die Anwesenheit von A._ in der Schweiz nicht mehr erforderlich sei. Gegen diesen Entscheid erhob A._ Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern. Dieses trat mit Urteil vom 29. November 2019 auf die Beschwerde nicht ein, weil der Kostenvorschuss nicht geleistet worden war.
A.b. Mit Verfallsanzeige vom 2. Januar 2020 wurde A._ auf den baldigen Ablauf der Kontrollfrist seiner Niederlassungsbewilligung (11. März 2020) hingewiesen. Die EG Bern verlängerte auf sein Ersuchen hin am 14. Januar 2020 die Kontrollfrist um weitere fünf Jahre und stellte ihm einen neuen Ausweis C zu. Am 21. Januar 2020 teilte die EG Bern A._ mit, die Kontrollfrist sei auf sein Ersuchen hin bloss verlängert worden, weil die Verfügung vom 8. Juli 2018 noch nicht in Rechtskraft erwachsen sei. Sobald dies der Fall sei, werde sie sich mit ihm zwecks Klärung der Ausreisemodalitäten in Verbindung setzen.
A.c. Am 30. Januar 2020 bestätigte das Verwaltungsgericht die Rechtskraft seines Urteils vom 29. November 2019. Am gleichen Tag setzte die EG Bern A._ eine neue Ausreisefrist bis am 1. Mai 2020 an.
B.
B.a. Am 20. Februar 2020 reichte A._ bei der EG Bern ein Gesuch um Belassung resp. Neuerteilung der Niederlassungsbewilligung ein mit den Rechtsbegehren, es sei festzustellen, dass ihm am 14. Januar 2020 die Niederlassungsbewilligung neu erteilt worden sei; es sei ihm die Niederlassungsbewilligung aufgrund neuer Umstände nicht zu widerrufen resp. ihm zu belassen; eventualiter sei ihm die Niederlassungsbewilligung aufgrund neuer Umstände neu zu erteilen; subeventualiter sei ihm eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Mit Verfügung vom 21. Februar 2020 trat die EG Bern auf das Gesuch nicht ein.
B.b. Dagegen erhob A._ am 25. März 2020 Beschwerde an die Sicherheitsdirektion. Diese wies die Beschwerde am 27. Juli 2020 ab, soweit sie darauf eintrat. Dagegen erhob A._ am 27. August 2020 Beschwerde an das Verwaltungsgericht mit dem Antrag, in Aufhebung des angefochtenen Entscheids sei die Beschwerde gutzuheissen und festzuhalten, dass die EG Bern zu Unrecht nicht auf das Gesuch um Belassung resp. Neuerteilung der Niederlassungsbewilligung eingetreten sei; eventuell sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 4. Dezember 2020 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
A._ erhebt am 23. Dezember 2020 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht mit dem Antrag, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und unter Anordnung resp. Hinweis auf die Pflicht zum Eintreten auf das Gesuch um Belassung, resp. Neuerteilung der Niederlassungsbewilligung an die Vorin-stanz (en) zurückzuweisen. Eventualiter sei der Entscheid aufzuheben und zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht und die EG Bern beantragen Abweisung der Beschwerde. Die Sicherheitsdirektion hat sich nicht geäussert. Der Beschwerdeführer hält replikweise an seinen Anträgen fest.
Mit Verfügung des Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 29. Dezember 2020 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG) auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist unzulässig, wenn es um die Erteilung einer Bewilligung geht, auf welche kein Anspruch besteht (<ref-law>). Für das Eintreten genügt es, dass ein Anspruch in vertretbarer Weise geltend gemacht wird (<ref-ruling> E. 1.1). Ohne weiteres zulässig ist die Beschwerde, soweit es um den Fortbestand einer Niederlassungsbewilligung geht, weil darauf grundsätzlich ein Rechtsanspruch besteht (Art. 83 lit. c Ziff. 2 e contrario BGG; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 4). Der Beschwerdeführer macht primär geltend, er verfüge über eine Niederlassungsbewilligung. Insoweit ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig.
2.
2.1. Streitgegenstand im System der nachträglichen Verwaltungs-rechtspflege ist das Rechtsverhältnis, welches - im Rahmen des durch die Verfügung bestimmten Anfechtungsgegenstandes - den auf Grund der Beschwerdebegehren effektiv angefochtenen Verfügungsgegenstand bildet. Im bundesgerichtlichen Verfahren kann der Streitgegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens zwar eingeschränkt (minus), nicht aber ausgeweitet (plus) oder geändert (aliud) werden (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 3.4). Wird ein Nichteintretensentscheid (bzw. ein diesen bestätigendes letztinstanzliches kantonales Urteil) angefochten, bildet nur die Frage des Nichteintretens Verfahrensgegenstand; Rechtsbegehren in der Sache selber sind in diesem Fall unzulässig, ausser die Vorinstanz habe in einer Eventualbegründung die Sache dennoch materiell geprüft (<ref-ruling> E. 3.2 S. 235 f.).
2.2. Mit seinem an die EG Bern gestellten Gesuch vom 20. Februar 2020 hatte der Beschwerdeführer drei verschiedene Begehren gestellt, nämlich
(1) Feststellung, dass ihm am 14. Januar 2020 eine neue Niederlassungsbewilligung erteilt worden sei,
(2) Nicht-Widerruf bzw. Belassung der (früheren) Niederlassungsbewilligung,
(3) Erteilung einer neuen Niederlassungs- oder Aufenthaltsbewilligung.
Das erste Rechtsbegehren zielte darauf ab, dass der Beschwerdeführer aktuell im Besitz einer Niederlassungsbewilligung sei; würde dies bejaht, würden das zweite und das dritte Rechtsbegehren gegenstandslos; ebenso würde das dritte Rechtsbegehren gegenstandslos, wenn das zweite gutgeheissen würde.
2.3. Das zweite und das dritte Rechtsbegehren haben zum Thema, ob ein rechtskräftiger Widerrufsentscheid in Wiedererwägung gezogen bzw. ob nach einem solchen Entscheid eine neue Bewilligung erteilt werden könne. Das erste Begehren hat hingegen mit dieser Thematik nichts zu tun: Wäre dem Beschwerdeführer - wie er geltend macht - am 14. Januar 2020 eine neue Niederlassungsbewilligung erteilt worden, würde sich nicht mehr die Frage stellen, ob eine Bewilligung neu oder wieder erteilt werden könne, sondern höchstens ob ihm die erteilte neue Bewilligung wieder widerrufen werden könnte oder diese allenfalls nichtig sei (vgl. dazu Urteil 2C_315/2019 vom 2. Oktober 2019).
2.4. Allerdings haben sowohl die Vorinstanzen als auch der Beschwerdeführer die drei Fragen nicht immer völlig konsequent auseinandergehalten: Die EG Bern trat im Dispositiv ihrer Verfügung auf das Gesuch nicht ein. In den Erwägungen führte sie aus, es bestehe kein Grund für eine Wiederaufnahme. Dies bezog sich auf die Rechtsbegehren (2) und (3). Weiter führte sie aus, der Beschwerdeführer könne aus der Verlängerung der Kontrollfrist am 14. Januar 2020 nichts ableiten. Mit dieser Erwägung hat die EG Bern in Wirklichkeit das Rechtsbegehren (1) materiell beurteilt. Die Sicherheitsdirektion hat in ihrem Entscheid zwar zunächst (E. 3.2) ausgeführt, der Beschwerdeführer habe kein schutzwürdiges Interesse am Feststellungsbegehren (d.h. am Rechtsbegehren [1]), doch sei im Rahmen des Rechtsbegehrens (2) vorfrageweise der Besitz einer Niederlassungsbewilligung zu prüfen; in E. 4.2 ihres Entscheids hat sie sich sodann materiell mit den diesbezüglichen Vorbringen des Beschwerdeführers auseinandergesetzt und verneint, dass am 14. Januar 2020 eine neue Bewilligung erteilt worden sei. Ebenso hat das Verwaltungsgericht in E. 4.2 seines Urteils zunächst das Vorgehen der Sicherheitsdirektion und sodann in E. 4.3.2 und 4.3.3 ihre materielle Beurteilung bestätigt. Die Vorinstanzen haben somit im Ergebnis das Rechtsbegehren (1) materiell beurteilt, auch wenn sie formell den Nichteintretensentscheid der EG Bern bestätigt haben.
Der Beschwerdeführer hat denn auch offensichtlich den angefochtenen Entscheid so verstanden: In seiner Beschwerde an das Bundesgericht setzt er sich primär materiell mit der Argumentation der Vorinstanz auseinander, am 14. Januar 2020 sei keine neue Niederlassungsbewilligung erteilt worden. Es rechtfertigt sich daher, diese Frage materiell zu beurteilen (hinten E. 3). Erweist sich die vorinstanzliche Beurteilung als zutreffend, ist in der Folge zu prüfen, ob die EG Bern zu Recht auf die Rechtsbegehren (2) und (3) nicht eingetreten ist (hinten E. 4).
3.
3.1. Die Vorinstanz erwog, der rechtskräftige Widerruf der Niederlassungsbewilligung werde nicht dadurch in Frage gestellt, dass am 14. Januar 2020 die Kontrollfrist um fünf Jahre verlängert und dem Beschwerdeführer ein neuer Ausweis C ausgestellt worden sei; denn die Kontrollfrist habe keinen Einfluss auf die Rechtsbeständigkeit der Niederlassungsbewilligung, sondern sei rein deklaratorischer Natur. Die EG Bern habe sich mit der Verlängerung der Kontrollfrist auch nicht widersprüchlich und gegen Treu und Glauben verhalten; mit der Verlängerung der Kontrollfrist sei nicht zwingend eine Überprüfung der Voraussetzungen der Niederlassungsbewilligung verbunden. Es bestünden keine Anzeichen, dass die EG Bern mit der Verlängerung der Kontrollfrist wiedererwägungsweise auf ihre Verfügung vom 3. Juli 2018 zurückgekommen wäre; im Gegenteil habe sie dem Beschwerdeführer am 21. Januar 2021 ausdrücklich mitgeteilt, die Kontrollfrist sei bloss verlängert worden, weil ihre Verfügung vom 3. Juli 2018 noch nicht in Rechtskraft erwachsen sei. Erst am 30. Januar 2020 sei der EG Bern die Rechtskraftbestätigung des Verwaltungsgerichts ausgestellt worden.
3.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, ihm sei im Dezember 2019 durch die EG Bern mitgeteilt worden, er solle alle Unterlagen einreichen, damit ihm die Bewilligung erneut erteilt werden könne; er habe dies getan, die Gebühren bezahlt und am 14. Januar 2020 den neuen C-Ausweis entgegengenommen. Damit sei ihm die Niederlassungsbewilligung wieder resp. neu erteilt worden; deshalb habe er davon abgesehen, den Entscheid des Verwaltungsgerichts an das Bundesgericht weiterzuziehen. Die bisherige Kontrollfrist wäre noch bis zum 11. März 2020 gelaufen, so dass keine Eile bestanden hätte, ihn zur Einreichung von Unterlagen aufzufordern, wenn es nicht um eine Neuerteilung der Niederlassungsbewilligung gegangen wäre. Es könne sachlogisch nur davon ausgegangen werden, dass die EG Bern ihm eine neue Niederlassungsbewilligung habe erteilen wollen.
3.3. Die Niederlassungsbewilligung ist gemäss <ref-law> (SR 142.20) unbefristeter Natur. Einzig zu Kontrollzwecken ist die Gültigkeitsdauer des Ausweises auf fünf Jahre beschränkt (<ref-law>; Art. 63 der Verordnung über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit vom 24. Oktober 2007 [VZAE; SR 142.201]). Dieser Ausweis stellt keine Bewilligung dar und hat keine Auswirkungen auf den materiellen Bestand der Niederlassungsbewilligung des Beschwerdeführers; er ist rein deklaratorischer Natur (Urteil 2C_499/2020 vom 25. September 2020 E. 3.5.1). Der Widerruf der Bewilligung zeitigt daher seine Rechtswirkungen unabhängig davon, ob der Betroffene im Besitz eines C-Ausweises ist. Mit der Verlängerung der Kontrollfrist ist nicht zwingend eine materielle Prüfung der Voraussetzungen der Bewilligungserteilung verbunden (Urteile 2C_126/2017 vom 7. September 2017 E. 4.1; 2C_881/2015 vom 26. Januar 2016 E. 2.3; 2C_213/2014 vom 5. November 2014 E. 4.3.1 mit Hinweisen). Die Verlängerung der Kontrollfrist ist deshalb grundsätzlich nicht geeignet, ein berechtigtes Vertrauen zu schaffen, dass die materiellen Voraussetzungen für eine (neue) Niederlassungsbewilligung geprüft worden wären (vgl. zit. Urteile 2C_126/2017 E. 4.2; 2C_881/2015 E. 2.3). Sodann muss gemäss <ref-law> der Ausweis für Personen mit Niederlassungsbewilligung spätestens 14 Tage vor Ablauf der Laufzeit der Migrationsbehörde zur Verlängerung vorgelegt oder abgegeben werden; die Verlängerung erfolgt grundsätzlich frühestens drei Monate vor Ablauf der Laufzeit. In Anwendung dieser Bestimmung wurde der Beschwerdeführer, dessen Kontrollfrist am 11. März 2020 ablief, im Laufe des Dezembers 2019 aufgefordert, den Ausweis zur Verlängerung einzureichen. Wie die EG Bern nachvollziehbar darlegt, erfolgt diese Aufforderung automatisiert aufgrund der Angaben im ZEMIS, in welchem der Widerruf einer Niederlassungsbewilligung erst eingetragen wird, wenn er rechtskräftig geworden ist. Dies erklärt den auf den ersten Blick seltsamen Umstand, dass ein neuer Ausweis C ausgestellt wurde, nachdem die Niederlassungsbewilligung widerrufen worden war. Der Beschwerdeführer macht zwar geltend, die Behörden hätten sich damit widersprüchlich und treuwidrig verhalten. Er kann aber nicht in guten Treuen darauf vertraut haben, die EG Bern habe ihm wirklich eine neue Bewilligung erteilen wollen, nachdem kurz zuvor auf seine Beschwerde hin der Nichteintretensentscheid des Verwaltungsgerichts im Widerrufsverfahren ergangen war. Er macht auch nicht ernsthaft geltend, er hätte - wenn ihm kein neuer Ausweis ausgestellt worden wäre - das Urteil des Verwaltungsgerichts beim Bundesgericht angefochten und nur wegen des neuen Ausweises darauf verzichtet.
3.4. Insgesamt hat somit die EG Bern am 14. Januar 2020 keine neue Niederlassungsbewilligung erteilt. Damit bleibt es dabei, dass die ursprünglich bestehende Bewilligung rechtskräftig widerrufen wurde und aktuell keine Niederlassungsbewilligung besteht.
4.
Zu prüfen bleibt, ob die EG Bern auf das Gesuch um Wiedererwägung bzw. Erteilung einer neuen Niederlassungsbewilligung hätte eintreten müssen. Ist eine bisherige Niederlassungsbewilligung widerrufen und dieser Widerrufsentscheid durch eine Rechtsmittelinstanz rechtskräftig bestätigt worden, so gibt es zwei Möglichkeiten, wieder zu einer Bewilligung zu gelangen (vgl. <ref-ruling> E. 4.1) :
4.1. Einerseits kann der Rechtsmittelentscheid auf dem Wege der prozessualen Revision angefochten werden. Das wäre vorliegend der Beschwerdeentscheid der Direktion vom 19. September 2019 gewesen. Ein solches Revisionsgesuch hätte an die Direktion gerichtet werden müssen. Die EG Bern war offensichtlich nicht zuständig, den Beschwerdeentscheid in Revision zu ziehen. Soweit der Beschwerdeführer in seinem Gesuch vom 20. Februar 2020 in der Sache inhaltliche Kritik gegen diesen Entscheid vorbrachte, ist die EG Bern mit Recht auf das Gesuch nicht eingetreten.
4.2. Andererseits kann die zuständige Behörde eine neue Bewilligung erteilen.
4.2.1. Wird eine solche neue Bewilligung erteilt, lebt damit nicht die frühere, rechtskräftig aufgehobene Bewilligung wieder auf, sondern es handelt sich um eine neue Bewilligung, die voraussetzt, dass im Zeitpunkt ihrer Erteilung die dannzumal geltenden Bewilligungsvoraussetzungen erfüllt sind (Urteile 2D_30/2020 vom 16. November 2020 E. 1.3.1; 2C_572/2020 vom 22. Oktober 2020 E. 1.3). Für das Verfahren vor Bundesgericht ist zu beachten, dass in diesem Fall die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur zulässig ist in Bezug auf Bewilligungen, auf welche grundsätzlich ein Anspruch besteht (vorne E. 1). Das gilt auch für neue Bewilligungen nach rechtskräftigem Widerruf einer früheren Bewilligung (Urteile 2C_620/2019 vom 1. Juli 2019 E. 2.1; 2C_644/2014 vom 9. Februar 2015 E. 1.3).
4.2.2. Ein Rechtsanspruch auf Erteilung einer (neuen) Niederlassungsbewilligung wird nicht geltend gemacht und ist auch nicht ersichtlich (vgl. die "Kann"-Formulierung in <ref-law>; Urteil 2C_114/2016 vom 24. November 2016 E. 1.1). Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
4.2.3. Auch ein Anspruch auf Erteilung einer (neuen) Aufenthaltsbewilligung wird nicht geltend gemacht. Soweit ein solcher grundsätzlicher Anspruch gestützt auf den langjährigen Aufenthalt des Beschwerdeführers in der Schweiz bejaht würde (Art. 8 EMRK; <ref-ruling> E. 3.9), hat die Vorinstanz erwogen, eine neue Bewilligung nach rechtskräftigem Widerruf komme nur in Frage, wenn eine wesentliche Änderung der rechtserheblichen Sachumstände vorlägen; solche würden vom Beschwerdeführer aber nicht aufgezeigt. Zudem wäre eine Neubeurteilung grundsätzlich erst angezeigt, wenn die Entfernungsmassnahme durchgesetzt worden sei und der Betroffene sich für eine angemessene Dauer in seiner Heimat klaglos verhalten hätte.
Diese Ausführungen entsprechen der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 2; Urteil 2C_935/2017 vom 17. Mai 2018 E. 4.3; 2C_935/2017 vom 17. Mai 2018 E. 4.3). Der Beschwerdeführer macht diesbezüglich hauptsächlich geltend, die Verlängerung der Kontrollfrist sei ein solcher neuer Umstand, der eine Neubeurteilung rechtfertige. Das überzeugt nicht: Wäre die Verlängerung der Kontrollfrist gleichbedeutend mit der Erteilung einer neuen Niederlassungsbewilligung, würde sich die Frage des Eintretens auf das Gesuch gar nicht mehr stellen (vorne E. 2.2). Ist dies aber zu verneinen (vorne E. 3), ist nicht ersichtlich, weshalb die Verlängerung der rein deklaratorischen Kontrollfrist ein Umstand sein soll, der ein Eintreten auf ein Gesuch um Erteilung einer neuen Bewilligung rechtfertigt.
Im Übrigen bringt der Beschwerdeführer bloss beiläufig vor, er habe seit dem Jahre 2018 Schulden abgebaut, keine neuen ins Gewicht fallenden Delikte begangen und oft und häufig die Betreuung der Tochter übernommen. Damit beruft er sich auf Sachverhalte, welche die Vorinstanz nicht festgestellt hat und die nicht substantiiert sind. Selbst wenn sie zuträfen, wären dies nicht Gründe, welche eine Neubeurteilung nach so kurzer Zeit rechtfertigen würden. Die EG Bern ist daher mit Recht auf das Gesuch nicht eingetreten.
5.
Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschwerdeführer trägt die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, Einzelrichter, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Februar 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein