Sachverhalt:
A.
B._ (Beschwerdeführerin) und C._ sind die nicht miteinander verheirateten und getrennt lebenden Eltern von A._ (geb. 2011; Beschwerdeführer), wobei die elterliche Sorge zuerst bei der Mutter allein lag.
B.
B.a. A._ trat im September 2016 in den Kindergarten ein, wo es bald zu Problemen kam. Infolge einer Gefährdungsmeldung des Vaters errichtete die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Frauenfeld (nachfolgend: KESB) mit Entscheid vom 8. März 2017 eine Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB, regelte das Besuchsrecht des Vaters und erteilte den Eltern die Weisung, dem Kind therapeutische Unterstützung beim Zentrum D._ in U._ zukommen zu lassen und konstruktiv mit der Therapeutin zusammenzuarbeiten. Am 8. September 2017 befand die Schulleiterin der Schule, zu welcher der Kindergarten gehörte, dass sich die Situation verschlechtert habe; ein geregelter Schulunterricht sei nicht mehr möglich. A._ wurde in der Folge vom Kindergarten dispensiert.
B.b. Mit Entscheid vom 16. November 2017 wurde den Eltern die gemeinsame elterliche Sorge für A._ übertragen und eine neue Beiständin ernannt.
B.c. Vom 8. Januar bis 17. Mai 2018 hielt sich A._ zwecks Abklärung in der Tagesklinik des Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienstes V._ (KJPD) auf. Per 22. Mai 2018 trat er in die Sonderschule E._ ein, vorerst im Externat, d.h. ohne Übernachtungen.
C.
C.a. Mit Entscheid vom 25. Mai 2018 wies das Amt für Volksschule des Kantons Thurgau A._ der Sonderschule E._ zu und zwar ab 1. August 2018 bis zum 31. Juli 2020 in Form einer Internatsplatzierung, d.h. inkl. Übernachtungen. Hiergegen erhob die Beschwerdeführerin am 18. Juni 2018 Rekurs beim Departement für Erziehung und Kultur. Die Kindsmutter war mit der Sonderbeschulung zwar grundsätzlich einverstanden, allerdings nur im Externat, nicht im Internat. Das Departement für Erziehung und Kultur verweigerte dem Rekurs mit Entscheid vom 15. August 2018 die aufschiebende Wirkung.
C.b. Entgegen dem Entscheid des Departements für Erziehung und Kultur verbrachte die Beschwerdeführerin den Sohn am 13. August 2018 in die Privatschule F._. Sie informierte die KESB noch am selben Tag entsprechend.
C.c. Am 14. August 2018 entzog die KESB Frauenfeld der Beschwerdeführerin superprovisorisch das Aufenthaltsbestimmungsrecht und die elterliche Sorge über A._ in schulischen Belangen.
C.d. In einer Intervention vom 16. August 2018 wurde A._ von Beiständin und Vater in der Privatschule abgeholt und in die Schule E._ überführt.
D.
D.a. Am 20. August 2018 reichte die Privatschule F._ beim Obergericht des Kantons Thurgau eine Beschwerde gegen die KESB ein, weil das Vorgehen der Beiständin und des Kindsvaters die anwesenden Kinder so schockiert habe, dass diese vom Ereignis traumatisiert seien.
D.b. Mit Entscheid vom 23. August 2018 bestätigte die KESB den bereits superprovisorisch angeordneten Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts sowie der elterlichen Sorge der Mutter in schulischen Belangen. Im selben Entscheid wies die KESB das Kind bis auf weiteres der Schule E._ zur internen Beschulung zu.
D.c. Mit Eingaben vom 24. August sowie 23. und 24. September 2018 erhob auch die Beschwerdeführerin Beschwerde beim Obergericht. Sie beantragte, dass der Sohn unverzüglich wieder die Privatschule F._ besuchen dürfe. Ausserdem sei der Beiständin aufgrund ihres Vorgehens das Dossier zu entziehen und diese sei ihres Amts zu entheben. Die Beschwerdeführerin beantragte superprovisorisch und vorsorglich die aufschiebende Wirkung.
D.d. Das Obergericht wies mit Entscheid vom 25. September 2018 die Beschwerde der Schule ab.
D.e. Mit Entscheid vom 5. Oktober 2018 wies das Obergericht auch die Beschwerde der Beschwerdeführerin ab.
E.
E.a. Gegen diesen Entscheid gelangt die Beschwerdeführerin mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht. Sie verlangt, der Entscheid der Vorinstanz sei aufzuheben sowie auch Ziff. 1-6, 8 und 9 des "mitangefochtenen" Entscheids der KESB Frauenfeld vom 23. August 2018, dies auch superprovisorisch und vorsorglich. Weiter beantragt sie die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege inkl. Rechtsvertretung.
E.b. Am 7. November 2018 hat das Bundesgericht den Antrag der Beschwerdeführerin auf vorsorgliche bzw. superprovisorische Aufhebung des angefochtenen Entscheids abgewiesen, weil er darauf gerichtet ist, in unzulässiger Weise den bundesgerichtlichen Entscheid in der Sache vorwegzunehmen.
E.c. Der Kindsvater, die KESB und das Obergericht verzichteten auf die Einreichung einer Vernehmlassung. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), die als oberes Gericht der Kindsmutter das Aufenthaltsbestimmungsrecht entzogen und verfügt hat, dass ihr Sohn in einem Internat platziert wird. Es geht damit um einen Entscheid auf dem Gebiet des Kindesschutzrechtes im Sinne von Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG nicht vermögensrechtlicher Natur. Als zutreffendes Rechtsmittel erweist sich die Beschwerde in Zivilsachen; die ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) ist unzulässig.
1.2. Zur Beschwerde in Zivilsachen ist berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat und durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung hat. Unbestritten sind diese Voraussetzungen bei der Kindsmutter und auch beim Kind erfüllt. Die weiteren Voraussetzungen, um auf die Beschwerde in Zivilsachen einzutreten, sind ebenfalls erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
1.3. Wie aus dem Sachverhalt hervorgeht, erfolgte der Entzug des Aufenthaltsrechts und dem die Schule betreffenden Teil der elterlichen Sorge ausschliesslich gegenüber der Kindsmutter. Der Kindsvater wurde im vorinstanzlichen Verfahren nicht als Partei aufgeführt. Als ebenfalls Sorgeberechtigter ist er aber mitbetroffen. Er ist daher im vorliegenden Verfahren als Betroffener beizuziehen. Entsprechend hat ihn das Bundesgericht auch zur Einreichung einer Vernehmlassung eingeladen.
2.
2.1. Gemäss <ref-law> hat die Beschwerde die Begehren und deren Begründung zu enthalten. In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken. Die beschwerdeführende Person hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2; 115 E. 2). Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten geltend gemacht wird. Diesen Vorwurf prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (vgl. <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.3).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann lediglich gerügt werden, die Sachverhaltsfeststellung sei offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (<ref-law>), oder beruhe auf einer Rechtsverletzung nach <ref-law>. Die Behebung des Mangels muss zudem für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Es gilt wiederum das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Auf rein appellatorische Kritik tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368 mit Hinweis).
In der Beschwerde wird der Sachverhalt teilweise anders dargestellt, als sich dieser aus dem angefochtenen Entscheid ergibt. Soweit dies ohne rechtsgenüglich begründete Sachverhaltsrügen geschieht, werden diese abweichenden Darstellungen nicht berücksichtigt.
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin rügt, das rechtliche Gehör von ihr selbst und von ihrem Sohn seien missachtet worden und dadurch insb. die Art. 8 EMRK, Art. 29 Abs. 1 und 2 BV, Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 12 KRK verletzt worden. Sie führt dazu aus, der Sohn sei überhaupt nie angehört worden. Die Erziehungsberechtigten sodann seien zwar am 27. April 2018 angehört worden, damals habe (sinngemäss) aber noch gar nicht über eine Internatslösung gesprochen werden müssen/können. Zuerst hätte die Zeit im Externat der Schule E._ abgewartet und ausgewertet werden müssen, danach wäre den Eltern erneut das rechtliche Gehör zu gewähren gewesen.
3.2. Der Anspruch auf rechtliches Gehör ist formeller Natur, womit seine Verletzung ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids führt (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 386; <ref-ruling> E. 2.8.1 S. 226; <ref-ruling> E. 2.2 S. 190 mit Hinweisen), wenn eine Heilung in oberer Instanz ausser Betracht fällt (zu den Voraussetzungen vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.8.1 S. 226; <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 197 f.). Die entsprechenden Verfassungsrügen sind deshalb vorweg zu prüfen. Die Wahrung des rechtlichen Gehörs stellt aber keinen Selbstzweck dar. Ungeachtet der formellen Natur des Gehörsanspruchs besteht dann kein schützenswertes Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids, wenn nicht bestritten ist, dass eine allfällige Verletzung des rechtlichen Gehörs keinen Einfluss auf den Verfahrensausgang gehabt hätte (Urteile 5A_561/2018 vom 14. Dezember 2018 E. 2.3 und 2.4; 4A_112/2018 vom 20. Juni 2018 E. 3.2; 5A_483/2017 vom 6. November 2017 E. 3.1.2. ff.; 4A_453/2016 vom 16. Februar 2017 E. 4.2.3; je mit weiteren Hinweisen).
3.3. In Bezug auf das Kind steht fest, dass die Beschwerdeführerin dessen Anhörung explizit beantragt hatte. Die Vorinstanz lehnte eine Anhörung von A._ namentlich ab, weil dieser erst sieben Jahre alt sei, er also nicht nach konkreten Zuteilungswünschen befragt werden könne. Auch von der KESB war der Junge nicht angehört worden.
3.3.1. Die Kindesanhörung wird für das Verfahren vor der Kindesschutzbehörde in <ref-law> und für Verfahren, in welchen die schweizerische Zivilprozessordnung anwendbar ist, in <ref-law> geregelt. <ref-law> und <ref-law> konkretisieren die Ansprüche aus <ref-law>, Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 12 KRK (Übereinkommen vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes, Kinderrechtskonvention; SR 0.107). Die Anhörung des Kindes ist zum einen Ausfluss seiner Persönlichkeit und dient zum anderen der Sachverhaltsfeststellung. In seinem Leitentscheid ist das Bundesgericht davon ausgegangen, dass die Anhörung im Sinn einer Richtlinie ab dem vollendeten sechsten Altersjahr möglich ist, wobei es nicht ausgeschlossen ist, je nach den konkreten Umständen auch ein etwas jüngeres Kind anzuhören, etwa wenn bei Geschwistern das jüngere Kind kurz vor dem genannten Schwellenalter steht (<ref-ruling> E. 1.2.3). Während bei älteren Kindern der persönlichkeitsrechtliche Aspekt im Vordergrund steht und das Kind ein eigenes Mitwirkungsrecht hat, ist die Anhörung bei kleineren Kindern im Sinn eines Beweismittels zu verlangen (<ref-ruling> E. 1.1). Unabhängig von der Anspruchsgrundlage des Anhörungsrechts kann eine mehrmalige Anhörung dort unterbleiben, wo sie einzig um der Anhörung willen stattfände, namentlich wenn sie für das Kind eine unnötige Belastung bedeuten würde, wie etwa bei akuten Loyalitätskonflikten, und überdies keine neuen Erkenntnisse zu erwarten wären (<ref-ruling> E. 4; zuletzt Urteil 5A_951/2018 vom 6. Februar 2019 E. 2.1; ferner 5A_821/2013 vom 16. Juni 2014 E. 4, in: FamPra.ch 2014 S. 1115). Um eine solche Anhörung um der Anhörung willen zu vermeiden, besteht die Pflicht, ein Kind anzuhören, in der Regel nur einmal im Verfahren (Urteil 5A_299/2011 vom 8. August 2011 E. 5.2, in: FamPra.ch 2011 S. 1026 [Kindesschutz, Besuchsrecht]), und zwar grundsätzlich nicht nur auf die einzelne Instanz gesehen, sondern einschliesslich Instanzenzug (vgl. Urteile 5A_160/2011 vom 29. März 2011 E. 5.2.1, in: FamPra.ch 2011 S. 740 [Besuchsrecht]; 5A_352/2009 vom 8. September 2009 E. 2.4 [Ehescheidung]). Ein Verzicht auf eine erneute Anhörung setzt allerdings voraus, dass das Kind zu den entscheidrelevanten Punkten befragt worden und das Ergebnis der Anhörung noch aktuell ist (<ref-ruling> E. 4; Urteile 5A_821/2013 vom 16. Juni 2014 E. 4, in: FamPra.ch 2014 S. 1115; 5A_505/2013 vom 20. August 2013 E. 5.2.2, in: FamPra.ch.ch 2013 S. 1045; 5A_138/2012 vom 26. Juni 2012 E. 4, in: FamPra.ch 2012 S. 1171; alle mit weiteren Hinweisen; zum Ganzen zuletzt Urteil 5A_721/2018 vom 6. Juni 2019 E. 2.4.1).
3.3.2. Nach dem Gesagten geht die Ansicht der Vorinstanz, auf eine Anhörung des Jungen könne verzichtet werden, fehl. A._ war zur Zeit der Fällung des angefochtenen Urteils sieben Jahre alt und damit über dem allgemein anerkannten Schwellenalter von sechs Jahren. Er hätte namentlich darüber Auskunft geben können, ob er sich im Internat, das er in Form der Tagesschule bereits kennengelernt hatte, wohlfühlt. Auch in Bezug auf die der Vorinstanz bekannten Vorfälle in der Internatsschule (zwei tätliche Zwischenfälle und ein sexueller Übergriff, den er durch einen älteren Jungen erlitt) hätte die Notwendigkeit bestanden, den Jungen anzuhören. Eine Anhörung hätte sodann Informationen sowohl über die Beziehung zwischen Kind und Mutter sowie zwischen Kind und Vater als auch zur Schulproblematik liefern können. Indem weder die KESB noch das Obergericht den Jungen persönlich anhörten, haben diese Bundesrecht verletzt.
3.3.3. Es ist davon auszugehen, dass eine Anhörung einen Einfluss auf den Ausgang des Verfahrens hätte haben können. Das angefochtene Urteil ist daher aufzuheben und die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese die vom Gesetz verlangte Anhörung durchführt. Den Kindseltern ist die Gelegenheit einzuräumen, sich zum Resultat der Kindesanhörung zu äussern.
3.4. Die Beschwerdeführerin beantragte vor der Vorinstanz auch eine erneute Anhörung von sich selbst, was die Vorinstanz ebenfalls ablehnte. Die Vorinstanz begründete dies damit, dass die Beschwerdeführerin bereits von der KESB angehört worden sei, und verweist dabei auf Act. 113 der Vorakten. Dabei handelt es sich um das Protokoll einer Anhörung der KESB vom 28. Juni 2018.
3.4.1. Das rechtliche Gehör gemäss <ref-law> dient einerseits der Sachaufklärung, andererseits stellt es ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheides dar, welcher in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Dazu gehört insbesondere das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines solchen Entscheides zur Sache zu äussern, erhebliche Beweise beizubringen, Einsicht in die Akten zu nehmen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen (vgl. Urteil 5A_763/2018 vom 1. Juli 2019 E. 2.1.1 mit einer Zusammenfassung der Voraussetzungen des Rechts auf Beweis; zum rechtlichen Gehör allgemein vgl. auch <ref-ruling> E. 5.3 S. 17; <ref-ruling> E. 5.1 S. 293; <ref-ruling> E. 3.2 S. 494; <ref-ruling> E. 2b S. 56; <ref-ruling> E. 4b S. 268 mit Hinweisen).
3.4.2. Wie aus dem angefochtenen Entscheid hervorgeht, wurde die Beschwerdeführerin vorliegend am 28. Juni 2018 durch die KESB angehört. Gemäss Protokoll der Anhörung erfolgte die Anhörung aufgrund eines Antrages der Beiständin des Jungen vom 1. Juni 2018, der Mutter sei das Aufenthaltsbestimmungsrecht zu entziehen und ihre elterliche Sorge in Bezug auf medizinische Belange einzuschränken. Das Internat wurde dabei angesprochen. Die Beschwerdeführerin wurde gefragt, weshalb sie eine Internatslösung nicht befürworte. Sie verwies darauf, die Familie sei für sie das Wichtigste und sie befürchte, dass der Sohn sie verliere und das Internat ihm auch mental schaden werde, mit allem, was er bereits in der Tagesschule des Internats erlebt habe. Aus dem angefochtenen Entscheid geht weiter hervor, dass die Beiständin ihren Antrag vom 1. Juni 2018 am 4. Juli 2018 zurückgezogen hat. Dies wurde mit dem Entscheid des Volksschulamts begründet. Die Anhörung fusste also zumindest teilweise auf einem nachträglich weggefallenen Grund. Zudem ging die KESB nicht auf die von der Mutter bereits dort angesprochene Lösung mit der Privatschule F._ ein. Gerade im Hinblick darauf, dass Internatsplatzierungen nur zulässig sind, wenn alle anderen Massnahmen ungenügend sein sollten, hätte diese Möglichkeit erörtert werden sollen. Die KESB hätte der Beschwerdeführerin die Gelegenheit einräumen müssen, sich zu der von ihr vorgeschlagenen Alternative zu äussern, oder aber es hätte ihr wenigstens erklärt werden müssen, weshalb eine externe Lösung für nicht genügend erachtet wurde. Ohne diese Kenntnisse konnte sich die Beschwerdeführerin nicht rechtsgenüglich dazu äussern. Ebensowenig hatte sie die Gelegenheit, ausreichend zu ihrer Wahrnehmung der Situation zu Hause, der schulischen Defizite des Sohns und allfälliger anderer Probleme des Jungen inkl. der Vaterbeziehung und Erlebnissen in der Tagesschule des Internats Stellung zu nehmen.
3.4.3. In der Folge hatte die Beschwerdeführerin im Rahmen des Beschwerdeverfahrens aber ausreichend Gelegenheit, ihren Standpunkt vor der Vorinstanz geltend zu machen, womit eine Verletzung des rechtlichen Gehörs zu verneinen ist.
Die Beschwerde ist in Bezug auf diesen Punkt abzuweisen. Nichtsdestotrotz wird die Kindsmutter noch zur Kindesanhörung anzuhören sein (vgl. vorstehend E. 3.3.3 in fine).
4.
Nach der erfolgten Kindesanhörung und anschliessender Gehörsgewährung gegenüber den Eltern hat die Vorinstanz neu zu entscheiden, ob eine Kindeswohlgefährdung vorliegt, welche es rechtfertigt, den Jungen der Obhut der Mutter zu entziehen und in einem Internat zu platzieren, oder ob und welche milderen Massnahmen angeordnet werden können.
Bis zum Vorliegen des neuen Entscheids bleibt die aktuelle Situation aufrechterhalten. Vorbehalten bleiben Umstände, welche ein sofortiges Handeln erfordern.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens erübrigt es sich, auf die weiteren Rügen und Beweisanträge der Beschwerdeführerin (z.B. bezüglich Arztbericht vom 15. August 2018 von Dr. med. G._ und Schreiben der Privatschule F._ an das Obergericht, eingegangen beim Gericht am 20. August 2018) einzugehen.
Soweit die Beschwerdeführerin zusätzlich die Absetzung der Beiständin verlangt, setzt sie sich nicht mit der Argumentation der Vorinstanz auseinander, wonach die Vorinstanz gar keine Kompetenz gehabt hätte, einen solchen Entscheid zu treffen. Auf das Begehren ist daher nicht einzutreten (vgl. E. 2.1).
6.
Auf die Erhebung von Gerichtskosten ist zu verzichten, zumal sie dem unterliegenden Kanton nicht auferlegt werden können (<ref-law>). Der Kanton hat die Beschwerdeführerin zu entschädigen (<ref-law>). Den anderen Verfahrensbeteiligten sind keine entschädigungspflichtigen Kosten entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Obergerichts des Kantons Thurgau vom 5. Oktober 2018 wird aufgehoben und die Sache wird zur Durchführung einer Anhörung von A._ und zu neuem Entscheid an das Obergericht zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Thurgau hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, C._, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Frauenfeld und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Dezember 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann