Sachverhalt:
A.
Die griechischen Strafverfolgungsbehörden führen ein Strafverfahren wegen Korruption (aktive und passive Bestechung von griechischen Amtsträgern) und Geldwäscherei (insbesondere im Zeitraum zwischen Oktober 2002 und November 2003). Mit Rechtshilfeersuchen vom 27. April 2018 beantragten die griechischen Behörden (Staatsanwaltschaft beim Oberlandesgericht Athen) die Herausgabe von Kontenunterlagen der (in Panama domizilierten) Foundation A._ bei einer Schweizer Privatbank.
B.
Mit Schlussverfügung vom 16. April 2019 bewilligte die Bundesanwaltschaft (BA) die rechtshilfeweise Herausgabe diverser Bankunterlagen an die ersuchende Behörde. Eine von der Konteninhaberin dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, mit Entscheid vom 24. Juli 2019 ab.
C.
Gegen den Entscheid vom 24. Juli 2019 des Bundesstrafgerichts gelangte die Konteninhaberin mit Beschwerde vom 5. August 2019 an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Abweisung des Rechtshilfeersuchens.
Die BA beantragt mit Stellungnahme vom 14. August 2019, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten. Das Bundesstrafgericht liess sich am 13. August 2019 vernehmen. Die Beschwerdeführerin replizierte am 30. August 2019.

Erwägungen:
1.
Zwar geht es im vorliegenden Fall um die rechtshilfeweise Übermittlung von Informationen aus dem Geheimbereich (Bankunterlagen) und damit um ein Sachgebiet, bei dem die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten - gemäss Artikel 84 Absatz 1 BGG - insoweit zulässig wäre (<ref-ruling> E. 1.4 S. 128 f.; 132 E. 1.3 S. 133 f.). Zu prüfen ist jedoch zusätzlich noch, ob es sich hier um einen besonders bedeutenden Fall - im Sinne von Artikel 84 Absatz 2 BGG - handelt:
Ein besonders bedeutender Fall liegt gemäss Artikel 84 Absatz 2 BGG "insbesondere" vor, wenn Gründe für die Annahme bestehen, dass elementare Verfahrensgrundsätze verletzt worden sind oder das Verfahren im Ausland schwere Mängel aufweist. Das Gesetz enthält eine nicht abschliessende, nur beispielhafte Aufzählung von möglichen besonders bedeutenden Fällen. Darunter fallen nicht nur Beschwerdesachen, die Rechtsfragen von grundsätzlicher Tragweite aufwerfen, sondern überdies auch solche, die aus anderen Gründen besonders bedeutsam sind (<ref-ruling> E. 1.2 S. 22; <ref-ruling> E. 1.2 S. 218; vgl. Donatsch/Heimgartner/Meyer/Simonek, Internationale Rechtshilfe, 2. Auflage, Zürich 2015, S. 155-157; Marc Forster, in: Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, Art. 84 N. 29-32d; Seiler/von Werdt/Güngerich/Oberholzer, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl., Bern 2015, Art. 84 N. 14; Spühler/Aemisegger/Dolge/Vock, Praxiskommentar BGG, 2. Aufl., Zürich 2013, Art. 84 N. 9).
Artikel 84 BGG bezweckt die wirksame Begrenzung des Zugangs zum Bundesgericht im Bereich der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen. Bei der Beantwortung der Frage, ob ein besonders bedeutender Fall gegeben ist, steht dem Bundesgericht ein weiter Ermessensspielraum zu (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 160; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.4 S. 128 f.; 131 E. 2-3 S. 131 f.; je mit Hinweisen). Gerade im Bereich der sogenannten "kleinen" (akzessorischen) Rechtshilfe kann ein besonders bedeutender Fall nur ausnahmsweise angenommen werden. In der Regel stellen sich namentlich keine wichtigen bzw. erstmals zu beurteilenden Rechtsfragen, die einer Klärung durch das Bundesgericht bedürften (<ref-ruling> E. 1.2 S. 22; <ref-ruling> E. 1.3.4 S. 161; vgl. Forster, a.a.O., Art. 84 N. 29; Spühler/Aemisegger/Dolge/Vock, a.a.O., Art. 84 N. 7, 10; Alain Wurzburger, in: Commentaire de la LTF, 2. Aufl., Bern 2014, Art. 84 N. 8). An einem besonders bedeutenden Fall bzw. an einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Tragweite fehlt es insbesondere, wenn sich der Vorwurf, die Vorinstanz sei von einer ständigen Praxis des Bundesgerichtes abgewichen, in appellatorischer Kritik an den materiellen Erwägungen des angefochtenen Entscheides erschöpft (<ref-ruling> E. 1.2 S. 105 mit Hinweisen).
Nach der Praxis des Bundesgerichtes kann auch die drohende Verletzung elementarer Verfahrensgrundsätze im schweizerischen Rechtshilfeverfahren - etwa des rechtlichen Gehörs - einen besonders bedeutenden Fall begründen. Diesbezüglich sind die Gesetzeswortlaute von Artikel 84 Absatz 2 BGG auf Deutsch und Italienisch massgeblich (<ref-ruling> E. 1.3 S. 105 f.; vgl. Forster, a.a.O., Art. 84 N. 31; Wurzburger, a.a.O., Art. 84 N. 14). Das blosse pauschale Vorbringen des Rechtsuchenden, die Behörden hätten sein rechtliches Gehör oder andere elementare Verfahrensgrundsätze verletzt, lässt einen Rechtshilfefall indessen noch nicht als besonders bedeutend erscheinen. Vielmehr müssen dafür ernsthafte Anhaltspunkte objektiv vorliegen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 106 f.; <ref-ruling> E. 1.4 S. 129; je mit Hinweisen).
2.
Die Beschwerdeführerin begründet das Vorliegen eines besonders bedeutenden Rechtshilfefalles wie folgt: Aufgrund einer von Griechenland auf den 1. Juli 2019 in Kraft gesetzten Gesetzesänderung könnten die Beschuldigten in Griechenland seither nicht mehr wegen passiver oder aktiver Bestechung verfolgt werden. Es fehle an der beidseitigen Strafbarkeit. Dabei handle es sich um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Tragweite, die vom Bundesgericht bisher noch nicht geprüft worden sei. Ausserdem habe die BA elementare Verfahrensgrundsätze verletzt, indem sie die amtlichen Akten "offenbar unvollständig" erfasst bzw. nicht alle Parteieingaben einbezogen habe.
2.1. Mit ihrer Berufung auf kürzlich in Kraft getretenes griechisches Strafrecht wiederholt die Beschwerdeführerin ihren materiellen Standpunkt, wonach es an der Rechtshilfevoraussetzung der beidseitigen Strafbarkeit fehle. Damit hat sich die Vorinstanz ausführlich befasst. Das Bundesstrafgericht erwägt insbesondere, für die Prüfung der beidseitigen Strafbarkeit sei der im Ersuchen dargelegte Sachverhalt nach schweizerischem Strafrecht so zu subsumieren, wie wenn die hiesigen Strafbehörden wegen eines (der schweizerischen Strafhoheit unterliegenden) analogen Sachverhaltes ein Strafverfahren eingeleitet hätten. Der schweizerische Rechtshilferichter prüfe, ob der Sachverhalt (falls er analog in der Schweiz verwirklicht worden wäre) prima facie die Tatbestandsmerkmale einer schweizerischen Strafnorm erfüllen würde. Was das ausländische Strafrecht (des ersuchenden Staates) betrifft, bräuchten die im Ersuchen dargelegten Straftatbestände mit den schweizerischen Strafnormen nicht identisch zu sein. Unter Vorbehalt einer Missbrauchsprüfung (in begründeten Ausnahmefällen) habe der Rechtshilferichter grundsätzlich auch nicht zu beurteilen, ob die im Ersuchen dargelegten Straftatbestände des ausländischen Rechts erfüllt seien oder nicht. Die Vorinstanz verweist diesbezüglich auf die einschlägige Praxis des Bundesgerichtes. Die Strafbarkeit nach schweizerischem Recht sei im vorliegenden Fall grundsätzlich gegeben und von der Beschwerdeführerin nicht bestritten worden. Gemäss den nachvollziehbaren Angaben der ersuchenden Behörde sei der inkriminierte Sachverhalt auch nach griechischem Recht strafbar. Zusätzliche Abklärungen zum ausländischen Recht habe das Bundesstrafgericht nicht vorzunehmen. Insbesondere habe sich der Rechtshilferichter mit dem von der Beschwerdeführerin eingereichten Parteigutachten vom 1. Juli 2019 zum griechischen Korruptionsstrafrecht bzw. mit ihren diesbezüglichen Rechtsbehauptungen nicht näher zu befassen (vgl. angefochtener Entscheid, E. 8, S. 14-16).
In diesem Zusammenhang stellen sich keine Rechtsfragen von grundsätzlicher Tragweite. Der angefochtene Entscheid stützt sich bei der Prüfung der beidseitigen Strafbarkeit auf die massgeblichen Rechtsquellen und die einschlägige Praxis des Bundesgerichtes, auf die zurückzukommen hier kein Anlass besteht.
2.2. Ebenso wenig bestehen objektive Anhaltspunkte für eine Verletzung elementarer Verfahrensgrundsätze im innerstaatlichen Verfahren:
Die Beschwerdeführerin stellt sich auf den Standpunkt, die BA habe die amtlichen Akten "offenbar unvollständig" erfasst bzw. nicht alle Parteieingaben einbezogen. Im angefochtenen Entscheid wird diesbezüglich erwogen, die Beschwerdeführerin habe im vorinstanzlichen Verfahren nicht ausgeführt, in welche Akten der verschiedenen konnexen Rechtshilfeverfahren sie erfolglos Einsicht verlangt hätte. Ebenso wenig habe sie entsprechende Schreiben an die BA bei der Vorinstanz eingereicht. Die Beschwerdeführerin bestreitet die Tatsachenfeststellungen des Bundesstrafgerichtes nicht. Sie macht geltend, diese liessen sich "damit begründen, dass sie davon ausgegangen" sei, ein solches Schreiben befände sich "bei den amtlichen Akten". Aus welchen Gründen dies offenbar nicht der Fall sei, entziehe sich ihrer Kenntnis.
Diese Vorbringen setzen sich mit den ausführlichen einschlägigen Erwägungen der Vorinstanz betreffend Aktenerhebung in den konnexen Rechtshilfeverfahren, Akteneinsicht und rechtliches Gehör nicht nachvollziehbar auseinander und begründen keine objektiven Anhaltspunkte für eine Verletzung elementarer Verfahrensgrundsätze (vgl. angefochtener Entscheid, E. 5, S. 7-10). Es besteht auch kein Anlass, in diesem Zusammenhang auf unzulässige Noven der Beschwerdeführerin einzugehen.
3.
Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten.
Die Gerichtskosten sind der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (<ref-law>). Mit dem vorliegenden Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde hinfällig, um so mehr, als diese Wirkung - angesichts der streitigen Übermittlung von Auskünften aus dem Geheimbereich - schon von Gesetzes wegen bestand (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, und dem Bundesamt für Justiz, Fachbereich Rechtshilfe, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. September 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Forster