Sachverhalt:
A.
A.a. A._ und B._ heirateten am 16. April 2003. Sie haben die gemeinsamen Kinder C._ (geb. 2003), D._ (geb. 2005), E._ (geb. 2007) und F._ (geb. 2014).
A.b. Mit Eheschutzentscheid vom 11. Juni 2018 hob das Bezirksgericht Willisau den gemeinsamen Haushalt der Parteien auf und berechtigte sie zum Getrenntleben. Weiter genehmigte es die Vereinbarung der Ehegatten über die Folgen der Aufhebung des gemeinsamen Haushalts. Demnach wurden die Kinder in die Obhut der Kindsmutter gegeben, unter Einräumung eines Besuchsrechts an den Kindsvater. Sodann wurde der Kindsvater zur Bezahlung von Kindesunterhalt verpflichtet, unter Anrechnung bereits erbrachter Unterhaltsleistungen.
B.
Gegen diesen Entscheid erhob A._ Berufung beim Kantonsgericht des Kantons Luzern, wobei er mit seinen Anträgen auf Herabsetzung der Kindesunterhaltsbeiträge nahezu umfassend durchdrang. Das Kantonsgericht änderte die Kindesunterhaltsbeiträge mit Urteil vom 12. April 2019 entsprechend ab (Disp.-Ziff. 1). Zufolge Obsiegens des Beschwerdeführers vor der Berufungsinstanz auferlegte das Kantonsgericht die Gerichtskosten des Berufungsverfahrens B._ (Disp.-Ziff. 6 Abschnitte 1 und 2) und verpflichtete dieselbe zur Bezahlung einer Parteientschädigung in Höhe von Fr. 1'615.50 (inkl. Auslagen und MWST) an A._ (Disp.-Ziff. 6 Abschnitt 3).
C.
C.a. Mit Eingabe vom 3. Juni 2019 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung von Disp.-Ziff. 6, Abschnitt 3 des Urteils des Kantonsgerichts (vgl. Bst. B) sowie die Zusprechung einer Parteientschädigung von mindestens Fr. 6'000.-- für das vorinstanzliche Verfahren. Eventualiter sei die Sache zur Entscheidung über die Parteientschädigung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter sei die Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor Bundesgericht zur Bezahlung eines Gerichtskosten- sowie eines Anwaltskostenvorschusses in Höhe von mindestens Fr. 3'000.-- zu Gunsten des Beschwerdeführers zu verpflichten. Eventualiter sei dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
C.b. Das Bundesgericht teilte dem Beschwerdeführer am 4. Juni 2019 mit, zufolge des Gesuchs um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege auf die Einforderung eines Kostenvorschusses zu verzichten.
C.c. Die Vorinstanz hat sich mit Eingabe vom 12. Juni 2019 auf Einladung hin geäussert, wobei sie die Abweisung der Beschwerde unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten des Beschwerdeführers beantragt. Die Beschwerdegegnerin hat sich dagegen - trotz beantragter bzw. bewilligter Fristverlängerung - nicht vernehmen lassen.
C.d. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer ficht die im Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz festgelegte Parteientschädigung für das oberinstanzliche Verfahren an. Diesbezüglich folgt der Rechtsweg an das Bundesgericht grundsätzlich demjenigen der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 160; <ref-ruling> E. 3 S. 144). In der Hauptsache geht es um eine vermögensrechtliche Streitigkeit (Kindesunterhalt), wobei der gesetzliche Mindeststreitwert überschritten wird (<ref-law>). Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerde berechtigt (Art. 76 Abs. 1 lit. a und b BGG). Auf die fristgerecht (<ref-law>) eingereichte Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. Da die massgebliche Streitwertgrenze vorliegend erreicht ist, erübrigt es sich auf die Ausführungen des Beschwerdeführers, wonach sich vorliegend eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, einzugehen (vgl. <ref-law>).
1.3. Das Gesuch des Beschwerdeführers um Leistung eines Anwaltskostenvorschusses ist unzulässig. Ein Gesuch um provisio ad litem (Gesuch um Bevorschussung von Prozesskosten) kann vor Bundesgericht nicht im Kleid eines Gesuchs um Erlass einer vorsorglichen Massnahme gestellt werden. Der aus <ref-law> fliessende Anspruch auf eheliche Unterstützung ist vor dem dafür zuständigen erstinstanzlichen Massnahmegericht geltend zu machen (Urteile 5A_393/2018 vom 21. August 2018 E. 3; 5A_382/2010 vom 22. September 2010 E. 1.4; 5A_793/2008 vom 8. Mai 2009 E. 6.2). Auf das Gesuch wird entsprechend nicht eingetreten.
2.
2.1. Eheschutzurteile gelten als vorsorgliche Massnahmen im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588), so dass nur die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte möglich ist. Auch die Anwendung von Bundes- und kantonalen Gesetzen prüft das Bundesgericht im Rahmen von <ref-law> allein auf die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, namentlich auf die Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>), hin. Vorliegend ist dies gerade im Zusammenhang mit den Prozesskosten relevant, zumal die Tarife von den Kantonen festgesetzt werden (<ref-law>). Es gilt somit das strenge Rügeprinzip im Sinne von <ref-law>. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene Rügen, während es auf appellatorische Kritik nicht eintritt (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368).
Daraus folgt, dass soweit der Beschwerdeführer die Verletzung von bundesrechtlichen Vorschriften des Eherechts rügt, er nicht zu hören ist.
2.2. Seinem Urteil legt das Bundesgericht sodann den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt ebenfalls nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588).
Der Beschwerdeführer fasst in seiner Beschwerde vorab den Gang des bisherigen Verfahrens zusammen, ohne dem Kantonsgericht diesbezüglich eine (offensichtlich) unrichtige Sachverhaltsfeststellung vorzuwerfen. Diese Ausführungen bleiben somit unbeachtlich; das Bundesgericht stellt auf den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt ab.
3.
Anlass zur Beschwerde gibt die von der Vorinstanz für das Berufungsverfahren festgelegte Parteientschädigung in Höhe von Fr. 1'500.-- (inkl. Auslagen, zzgl. Fr. 115.50 MWST).
3.1. Die Parteientschädigungen sind Teil der Prozesskosten (<ref-law>). Dazu gehören nebst dem Ersatz notwendiger Auslagen auch die Kosten einer berufsmässigen Vertretung (<ref-law>). Berufsmässige Vertreter im Sinn dieser Bestimmung sind namentlich Anwältinnen und Anwälte, die nach dem Anwaltsgesetz vom 23. Juni 2000 (BGFA; SR 935.61) berechtigt sind, Parteien vor schweizerischen Gerichten zu vertreten (<ref-law>). Die Kosten umfassen das Honorar und die Auslagen eines zugelassenen Parteivertreters sowie die darauf entfallende Mehrwertsteuer. Das Anwaltshonorar muss in einem vernünftigen Verhältnis zur tatsächlich erbrachten Leistung und der mit der Parteivertretung verbundenen Verantwortung stehen (Urteil 5A_767/2018 vom 1. Juli 2019 E. 2.2).
Grundsätzlich greift das Bundesgericht auf der Basis der ihm in Bezug auf die Anwendung kantonalen Rechts zustehenden Verfassungskontrolle (vgl. E. 2.1) nur ein, wenn ein kantonales Gericht eine Entschädigung zuspricht, die - positiv oder negativ - ausserhalb jeden Verhältnisses zur erbrachten Leistung steht (<ref-ruling> E. 5b S. 123; Urteil 5A_767/2018 vom 1. Juli 2019 E. 2.2).
3.2. Im Kanton Luzern gilt für die Entschädigung der Rechtsanwälte die Verordnung über die Kosten in Zivil-, Straf- und verwaltungsgerichtlichen Verfahren (Justiz-Kostenverordnung; JusKV; SRL Nr. 265). Danach beträgt die ordentliche Gebühr für die berufsmässige Vertretung im Rechtsmittelverfahren 50 % bis 120 % der Gerichtsgebühr (§ 31 Abs. 2 JusKV). Für Eheschutzverfahren gilt für die Gerichtsgebühren gestützt auf die kantonale Rechtsprechung der Gebührenrahmen für summarische Verfahren bis zu einem Streitwert von Fr. 100'000.--, d.h. Fr. 300.-- bis Fr. 5'000.-- (§ 7 Abs. 2 lit. a JusKV; Kantonsgericht Luzern, LGVE 2014 II Nr. 11 E. 5.1). Dieser Gebührenrahmen hat auch für das Berufungsverfahren Geltung (§ 9 JusKV). Für die Parteientschädigung im vorliegenden Berufungsverfahren folgt daraus ein ordentlicher Gebührenrahmen von Fr. 150.-- bis Fr. 6'000.-- (§ 31 Abs. 2 JusKV i.V.m. § 9 und § 7 Abs. 2 lit. a JusKV). Innerhalb des vorgegebenen Rahmens bemisst sich die Gebühr nach Umfang, Bedeutung und Schwierigkeit der Streitsache, nach dem Umfang der Prozesshandlungen, nach dem Zeitaufwand für die Verfahrenserledigung und den Interessen an der Beurteilung der Streitsache (§ 1 JusKV).
3.3. In der Vernehmlassung erwog die Vorinstanz zusammengefasst, dass es im vorliegenden Fall im Wesentlichen ausschliesslich um die (vergleichsweise eher geringfügige) Anpassung der Höhe der Kindesunterhaltsbeiträge ging, die der Offizial- und Untersuchungsmaxime unterliegen, weshalb sich der notwendige Aufwand des Beschwerdeführers im Wesentlichen auf die Einreichung der begründeten Berufung und das Stellen der Anträge betreffend Höhe der geltend gemachten Unterhaltsbeiträge beschränkt habe. Damit erweise sich (auch im Vergleich zu anders gelagerten Eheschutzverfahren) die Festsetzung der Parteientschädigung im unteren Bereich des Gebührenrahmens in der Höhe von Fr. 1'500.-- (inkl. Auslagen, zzgl. Fr. 115.50 MWST) als gerechtfertigt.
3.4.
3.4.1. Der Beschwerdeführer rechnet demgegenüber vor, er habe 13 Stunden für die Berufungsschrift, zwei Stunden für neue Unterhaltsberechnungen, vier Stunden für die Replik, vier Stunden für ein Instruktionsgespräch und Telefonate, zwei Stunden für die übrigen Schriften, wie z.B. das Gesuch um Akteneinsicht, und zwei Stunden für das Studium des vorinstanzlichen Urteils und das Abschlussgespräch aufgewendet. Dies ergebe einen Aufwand von mindestens 27 "Anwaltsstunden", entsprechend einem Betrag von Fr. 6'210.-- (27h x Fr. 230.--). Indem die Vorinstanz die Gerichtsgebühr pauschal und ohne Rücksicht auf den Ersatz notwendiger Auslagen und Kosten einer berufsmässigen Vertretung (<ref-law>) auf Fr. 1'500.-- festgelegt habe, habe sie willkürlich gehandelt (<ref-law>) und sei ferner ihrer Begründungspflicht (<ref-law>) nicht nachgekommen.
3.4.2. Was die Begründungspflicht anbelangt, verkennt der Beschwerdeführer dessen Tragweite bezüglich des Kostenpunkts. Nach der Rechtsprechung muss der Entscheid über die Höhe der Parteientschädigung in der Regel nicht begründet werden. Ist eine Prozesspartei - wie hier - anwaltlich vertreten und hat sie sich das Wissen ihres Gehilfen deshalb entgegenhalten zu lassen, so muss sie wissen, dass das Gericht die Parteientschädigung in Abhängigkeit von der Natur und vom Ausmass der Bemühungen festsetzt, die der Prozess im konkreten Fall erforderte. Eine allgemeine Begründungspflicht im Bereich der Festsetzung der Parteientschädigung liefe Gefahr, in formelhafte Standardsätze zu münden, die einer fehlenden Begründung kaum vorzuziehen wären. Strengere Begründungsanforderungen gelten, wenn das Gericht einen vorgegebenen Tarifrahmen nicht einhält oder ausserordentliche Umstände vorgebracht werden (<ref-ruling> E. 2a S. 1 f.; Urteil 5A_749/2019 vom 15. November 2019 E. 3.3). Dass das Luzerner Recht für Kostenentscheide innerhalb des gesetzlichen Tarifrahmens eine spezielle Pflicht zur Begründung des Entschädigungspunktes vorsieht, tut der Beschwerdeführer nicht dar. Ebenso wenig nennt er ausserordentliche Umstände, aufgrund derer eine (ausführlichere) Begründung notwendig erschiene. Soweit er sich darüber beklagt, dass die Vorinstanz keine Aufwandübersicht bzw. Kostennote einverlangt habe, übersieht er <ref-law>, wonach die Parteien eine Kostennote einreichen können (vgl. hierzu auch Urteil 4A_171/2017 vom 26. September 2017 E. 4). Weshalb die Vorinstanz angesichts dieser bundesgesetzlichen Vorgabe verpflichtet gewesen sein soll, ihn zur Einreichung einer Kostennote oder von sonstigen Aufstellungen der gehabten Aufwendungen aufzufordern, mag der Beschwerdeführer nicht erklären. Die diesbezüglichen pauschalen Vorwürfe, die Vorinstanz habe willkürlich gehandelt bzw. den Sachverhalt unvollständig festgestellt, genügen jedenfalls nicht. Unbehelflich ist auch der Einwand des Beschwerdeführers, wonach das Nichteinreichen einer Kostennote keinen Verzicht auf eine Parteientschädigung darstelle, zumal die Vorinstanz ihm eine - wenn auch nach seinem Dafürhalten zu tiefe - Parteientschädigung zugesprochen hat.
3.4.3. Hinsichtlich der Höhe der Entschädigung bewegt sich der von der Vorinstanz festgesetzte Betrag (Fr. 1'500.--) innerhalb des ordentlichen Tarifrahmens (Fr. 150.-- bis Fr. 6'000.--; vgl. E. 3.2). Der Beschwerdeführer beschränkt sich namentlich darauf, auf die Anzahl Seiten der Berufung und Replik sowie auf die Zeit, die er für das Aktenstudium und Klientengespräche benötigte, hinzuweisen. Dabei zeigt er jedoch nicht auf, aus welchen Gründen hier die Vorinstanz - im Vergleich zu anderen Eheschutzfällen - zwingend gehalten gewesen wäre, die Entschädigung im oberen Bereich des Gebührenrahmens anzusetzen. Weiter hat er es - wie bereits erwähnt - unterlassen, im vorinstanzlichen Verfahren eine Kostennote einzureichen. Die vorinstanzliche Festsetzung der Parteientschädigung vermag er damit nicht als willkürlich auszuweisen.
3.4.4. Der Beschwerdeführer bringt schliesslich vor, mit der pauschalen Festsetzung der Parteientschädigung werde der garantierte freie Zugang zum Gericht eingeschränkt, womit er sinngemäss die Verletzung der Rechtsweggarantie (<ref-law>) geltend macht. Diese Rüge zielt insofern an der Sache vorbei, als die Vorinstanz die Berufung offensichtlich behandelt hat. Entsprechend kann von einer Einschränkung des Zugangs zum Gericht - wenigstens im konkreten Fall - nicht die Rede sein. Soweit der Beschwerdeführer in Bezug auf zukünftige Fälle argumentieren möchte, dass der Zugang zum Gericht infolge zu tiefer Parteientschädigungen in faktischer Hinsicht eingeschränkt werde, handelt es sich um appellatorische Kritik, womit er nicht zu hören ist (vgl. E. 2.1). Bei der Aussage des Beschwerdeführers, wonach er bei Gewährung von unentgeltlicher Rechtspflege zufolge der praxisgemässen Einholung einer Kostennote finanziell besser gestellt gewesen wäre, handelt es sich um eine reine Behauptung, auf die nicht weiter einzugehen ist. Was die Kritik des Beschwerdeführers an der pauschalen Festsetzung der Entschädigung anbelangt, kann der Vorinstanz kein Vorwurf gemacht werden, war es doch der Beschwerdeführer, der auf die Einreichung einer Kostennote verzichtete. Dass die Vorinstanz nicht verpflichtet war, eine Kostennote einzuholen, wurde bereits dargelegt (vgl. E. 3.4.2). Eine Verletzung von <ref-law> ist nicht auszumachen.
4.
Die Beschwerde ist also unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer unterliegt und ist damit kosten- (<ref-law>), nicht aber entschädigungspflichtig, zumal die Beschwerdegegnerin sich nicht vernehmen lassen hat und dem Kanton Luzern gestützt auf <ref-law> keine Entschädigung geschuldet ist. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war die Beschwerde von Anfang an aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist deshalb abzuweisen (<ref-law>). Indes rechtfertigt es sich, angesichts der konkreten Umstände auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Auf das Gesuch des Beschwerdeführers um Leistung eines Anwaltskostenvorschusses für das bundesgerichtliche Verfahren wird nicht eingetreten.
3.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
4.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. März 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Scheiwiller