Faits :
A.
Par requête du 3 février 2020, le Parquet général portugais a demandé à l'Office fédéral de la justice - Unité extradition - (OFJ) l'extradition de A._, ressortissant portugais né le 12 août 1992 au Portugal, sur la base d'un mandat d'arrêt européen émis le 10 juillet 2019 par le Tribunal de Grande instance de l'arrondissement judiciaire de Lisbonne Ouest. Les autorités portugaises recherchaient le précité aux fins de l'exécution d'une peine privative de liberté de onze ans prononcée le 15 septembre 2015 par le Tribunal Judicial da Comarca de Lisboa Oeste pour des faits qualifiés, par l'État requérant, de délit de vol aggravé et de deux crimes de viol, faits perpétrés le 13 juillet 2009.
Le 7 février 2020, l'OFJ a rendu un mandat d'arrêt en vue de l'extradition à l'encontre de A._. Ce même jour, cet office a requis du Ministère public central du canton de Vaud de procéder à l'arrestation du prénommé, ainsi qu'à son audition. Lors de celle-ci - le 16 suivant -, A._ s'est opposé à son extradition par le biais d'une procédure simplifiée vers le Portugal. Le 20 février 2020, A._ a formé recours contre le mandat d'arrestation en vue de l'extradition, concluant à sa libération immédiate. Le 17 mars 2020, ce recours a été rejeté par le Tribunal pénal fédéral (RR._3).
Par décision du 15 avril 2020, l'OFJ a accordé l'extradition de A._ pour les faits indiqués dans la demande portugaise du 3 février 2020.
B.
Le 16 juin 2020, la Cour des plaintes du Tribunal pénal fédéral a rejeté le recours formé contre cette décision par A._.
Cette autorité a en particulier considéré que l'art. 8 de la Convention du 27 septembre 1996 relative à l'extradition entre les États membres de l'Union européenne (ci-après : CE-UE; publiée au JO C 313 du 23.10.1996 p. 12) - entrée en vigueur le 5 novembre 2019 - s'appliquait, l'éventuelle prescription de l'exécution de la peine dans l'État requis ne constituant ainsi pas un motif de refus de l'extradition (cf. consid. 3).
C.
Par acte du 29 juin 2020, A._ forme un recours en matière de droit public contre cet arrêt, concluant à son annulation, à l'irrecevabilité de la demande d'extradition le concernant et à l'allocation d'une indemnité de 250 fr. par jour de détention illicite et/ou injustifiée dans le cadre de la procédure d'extradition. A titre subsidiaire, il demande le rejet de la demande d'extradition et l'octroi de l'indemnité susmentionnée. Encore plus subsidiairement, il requiert le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision. Le recourant sollicite également l'octroi de l'effet suspensif - accordé de par la loi (<ref-ruling> consid. 8.2 p. 261 s.) -, ainsi que l'assistance judiciaire.
Invité à se déterminer, l'OFJ a conclu à l'irrecevabilité du recours. Quant à l'autorité précédente, elle a persisté dans les termes de ses considérants, sans former d'observations. Le 16 juillet 2020, le recourant a persisté dans ses conclusions; il a également produit une liste des honoraires et frais de son avocat s'élevant à 3'702 fr. 83.

Considérant en droit :
1.
1.1. Selon l'<ref-law>, le recours en matière de droit public est recevable à l'encontre d'un arrêt du Tribunal pénal fédéral, notamment lorsque celui-ci a pour objet une extradition. Il doit toutefois s'agir d'un cas particulièrement important (<ref-law>). Un cas est particulièrement important notamment lorsqu'il y a des raisons de supposer que la procédure à l'étranger viole des principes fondamentaux ou comporte d'autres vices graves (al. 2; <ref-ruling> consid. 1 p. 104 ss). Ces motifs d'entrée en matière ne sont toutefois pas exhaustifs et le Tribunal fédéral peut aussi être appelé à intervenir lorsqu'il s'agit de trancher une question juridique de principe ou lorsque l'instance précédente s'est écartée de la jurisprudence suivie jusque-là (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 22; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 218 s.; arrêt 1C_228/2020 du 12 juin 2020 consid. 2.2 non destiné à la publication).
Dans le domaine de l'extradition, l'existence d'un cas particulièrement important n'est admise qu'exceptionnellement (<ref-ruling> consid. 1.3.4 p. 161). En vertu de l'<ref-law>, il incombe au recourant de démontrer que les conditions d'entrée en matière posées à l'<ref-law> sont réunies (<ref-ruling> consid. 3 p. 132; arrêt 1C_291/2020 du 15 juin 2020 consid. 1).
1.2. Dans la présente cause, se pose la question de l'entrée en vigueur et de l'application en Suisse d'une convention internationale - à savoir la CE-UE - avant sa publication en Suisse au Recueil officiel (RO). Or, une telle publication est en principe imposée par le droit national interne pour pouvoir déployer des effets juridiques en Suisse (cf. en particulier les art. 3, 7 et 8 de la loi fédérale du 18 juin 2004 sur les recueils du droit fédéral et la Feuille fédérale [LPubl; RS 170.512]; voir également le Message du Conseil fédéral du 28 août 2013 relatif à la modification de la loi sur les publications [FF 2013 6325, notamment p. 6342 ss et 6345]).
Dans l'hypothèse où la CE-UE ne serait pas applicable au moment du dépôt de la demande d'entraide de février 2020 (cf. art. 18 par. 5 CE-UE), le recourant pourrait, en vertu de l'art. 10 de la Convention européenne d'extradition du 13 décembre 1957 (CEEx; RS 0.353.1), se prévaloir a priori de la prescription de l'exécution de la peine en application de l'art. 37 al. 2 de la loi fédérale du 20 juin 2003 régissant la condition pénale des mineurs (DPMin; RS 311.1). Bien que condamné à une peine privative de liberté de onze ans par les autorités judiciaires portugaises pour des infractions commises alors qu'il était mineur, il pourrait ainsi s'opposer à son extradition (voir également l'art. 62 par. 1 de la Convention d'application de l'Accord de Schengen [CAAS] qui ne traite que de la problématique de l'interruption de la prescription).
En revanche, dans l'hypothèse où la CE-UE serait applicable au moment du dépôt de la demande d'entraide de février 2020, l'extradition ne pourrait être refusée au motif qu'il y a prescription de l'action ou de la peine selon la législation de l'État membre requis (art. 8 par. 1 CE-UE).
1.3. Au regard de ces considérations - qui mettent notamment en lumière un éventuel conflit entre droit positif interne et droit international -, la problématique soulevée constitue une question juridique de principe justifiant l'entrée en matière.
Les autres questions de recevabilité étant réalisées, il y a lieu d'entrer en matière.
2.
Invoquant notamment les art. 5, 8 Cst., 26 du Pacte ONU II et 14 CEDH, le recourant fait valoir des violations du principe de prévisibilité du droit et de l'interdiction de la rétroactivité. Il soutient en substance que la CE-UE ne serait pas entrée en vigueur en Suisse le 5 novembre 2019. En effet, faute de publication à cette date au RO, cette convention ne serait entrée en vigueur en Suisse qu'ultérieurement à sa publication au RO en mars 2020 (RO 2020 1121).
2.1. Aux termes de l'art. 190 Cst., le Tribunal fédéral et les autres autorités suisses sont tenus d'appliquer les lois fédérales et le droit international. Ni l'art. 190 Cst., ni l'art. 5 al. 4 Cst. n'instaurent de rang hiérarchique entre les normes de droit international et celles de droit interne.
Selon la jurisprudence, en cas de conflit, les normes du droit international qui lient la Suisse priment en principe celles du droit interne qui lui sont contraires (<ref-ruling> consid. 6.3 p. 311; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 39; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 28 s.; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 532 s.; <ref-ruling> consid. 4d p. 425; arrêt 9C_460/2018 du 21 janvier 2020 consid. 8.2.2 destiné à la publication). A teneur de l'art. 27 1ère phrase de la Convention de Vienne du 23 mai 1969 sur le droit des traités (RS 0.111), une partie ne peut invoquer les dispositions de son droit interne comme justifiant la non-exécution d'un traité (voir également ROBERT ZIMMERMANN, La coopération judiciaire internationale en matière pénale, 5e éd. 2019, n° 227 p. 240 s. qui relève notamment que la primauté des traités est admise sans restriction dans le domaine de la coopération internationale).
On rappellera qu'il faut présumer que le législateur fédéral a entendu respecter les dispositions des traités internationaux régulièrement conclus, à moins qu'il ait en pleine connaissance de cause décidé d'édicter une règle interne contraire au droit international. En cas de doute, le droit interne doit s'interpréter conformément au droit international (arrêt 9C_460/2018 du 21 janvier 2020 consid. 8.2.2 destiné à la publication; <ref-ruling> consid. 3 p. 43 [jurisprudence Schubert]).
2.2. Le recourant ne remet pas en cause le fait que la Suisse est liée par les engagements pris dans le cadre de l'Accord entre la Confédération suisse, l'Union européenne et la Communauté européenne sur l'association de la Confédération suisse à la mise en oeuvre, à l'application et au développement de l'acquis de Schengen du 26 octobre 2004 (ci-après : Accord Schengen; RS 0.362.31). Selon le préambule de l'annexe B de cet accord, la Suisse appliquera le contenu notamment de la CE-UE à partir de la date fixée par le Conseil conformément à l'art. 15 de l'Accord Schengen, sous réserve du cas où, à cette date, la CE-UE n'est pas entrée en vigueur pour l'ensemble des États membres de l'Union européenne au moment de l'adoption de l'acte concerné. Le recourant ne conteste pas non plus la compétence donnée au Conseil au sens de l'art. 15 par. 1 de l'Accord Schengen pour décider de cette date (cf. ad 34 de son recours).
Dès lors que ce Conseil a, par décision du 1er octobre 2019, fixé au 5 novembre 2019 la date d'entrée en vigueur de la CE-UE (JO 2019 C 329/2), la Suisse était liée dès cette date (STÉPHANE ZENGER, Les conséquences en droit suisse de l'association à Schengen et Dublin, in LAURENT MOREILLON (édit.), Aspects pénaux des Accords bilatéraux Suisse/Union européenne, 2008, ad V/A p. 301 et V/A 2 p. 302 s.); cela vaut d'autant plus que, pour les actes prévus à l'annexe B de l'Accord Schengen au moment de sa signature - parmi lesquels figurait la CE-UE (RO 2008 481) -, aucune procédure de reprise n'était encore nécessaire (cf. le Message du Conseil fédéral du 1er octobre 2004 relatif à l'approbation des accords bilatéraux entre la Suisse et l'Union européenne, y compris les actes législatifs relatifs à la transposition des accords [«accords bilatéraux II]» [FF 2004 5593 p. 5778 s.]). Sauf à violer les engagements conventionnels pris, le droit national en matière de publication s'appliquant certes aussi aux traités internationaux (cf. <ref-law>) ne saurait ainsi dans le cas d'espèce constituer un empêchement à l'entrée en vigueur à la date fixée - et publiée - par la seule autorité compétente, à savoir le Conseil au sens de l'art. 15 de l'Accord Schengen.
A partir du 5 novembre 2019, le Portugal - État membre de l'Union européenne (cf. https://europa.eu/european-union/about-eu/countries/member-countries/portugal_fr, consulté le 21 juillet 2020, 13h51) et signataire de la CE-UE - pouvait se prévaloir auprès de la Suisse de l'application en particulier de l'art. 8 CE-UE - à titre d'acquis de Schengen que la Suisse s'était engagée à reprendre lors de la signature de l'Accord Schengen (cf. annexe B de l'Accord Schengen; ZENGER, op. cit., ad V/A et note de bas de page 131 p. 301) - pour obtenir l'extradition du recourant. Il ne pouvait dès lors être opposé à une telle requête le défaut de publication en application du droit interne par les autorités suisses pour obtenir l'application des art. 10 CEEx et/ou 5 al. 1 let. c EIMP (RS 351.1). Au demeurant, dans la mesure où les Accords de Schengen ont été ratifiés par l'Assemblée fédérale le 17 décembre 2014, soit postérieurement à l'adoption de la LPubl, le 18 juin 2004, la question de la pratique "Schubert" ne se pose pas.
2.3. Il résulte de la jurisprudence précitée et des considérations précédentes que les engagements pris dans le cadre de l'Accord Schengen en lien avec la mise en vigueur de la CE-UE à la date fixée par le Conseil au sens de l'art. 15 de l'Accord Schengen priment en l'occurrence, à titre de règle spéciale, les obligations en matière de publication - non respectées en temps utile dans le cas d'espèce - découlant du droit interne. On ne saurait cependant déduire de la présente cause que les autorités seraient dispensées à l'avenir de publier de manière conforme aux art. 5 à 8 LPubl les traités et décisions de droit international, y compris dans le cadre des reprises de l'acquis Schengen.
Partant, la Cour des plaintes pouvait, sans violer le droit conventionnel et fédéral, confirmer la décision d'extradition du 15 avril 2020 de l'OFJ.
3.
Les considérations précédentes permettent également sans autre développement complémentaire de rejeter les autres griefs soulevés par le recourant, ainsi que ses conclusions tendant à la fixation d'une indemnité pour détention illicite.
4.
Il s'ensuit que le recours est rejeté.
Le recourant a demandé l'assistance judiciaire (<ref-law>). Eu égard à la question juridique soulevée et à l'enjeu de la procédure, cette requête doit être admise. Il y a lieu de désigner Me Gaëtan-Charles Barraud en tant qu'avocat d'office du recourant et de lui allouer une indemnité, fixée de manière forfaitaire, à titre d'honoraires, qui seront supportés par la caisse du Tribunal fédéral. Il n'est pas perçu de frais judiciaires (<ref-law>), ni alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est admise; Me Gaëtan-Charles Barraud est désigné comme avocat d'office du recourant et une indemnité de 2'000 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à l'Office fédéral de la justice - Unité Extraditions - et à la Cour des plaintes du Tribunal pénal fédéral.
Lausanne, le 27 juillet 2020
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Chaix
La Greffière : Kropf