Erwägungen:
1.
1.1. Am 3. November 2020 erliess das Steueramt des Kantons St. Gallen (KStA/SG; nachfolgend: die Veranlagungsbehörde) gegenüber den Eheleuten A._ und B._ Nachsteuerverfügungen zu den Staats- und Gemeindesteuern des Kantons St. Gallen und der direkten Bundessteuer, Steuerperioden 2014-2016. Diese beruhten auf einer Veranlagung nach pflichtgemässem Ermessen. Der Versand erfolgte zunächst mit eingeschriebener Briefpost vom selben Tag, die aber von den Eheleuten nicht abgeholt wurde, sodann im Verfahren "A-Post Plus".
1.2. Dagegen erhoben der Ehemann für sich und seine Gattin und die Gattin für sich Einsprache, wobei sie jeweils auch um die Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege (Prozessführung und anwaltliche Verbeiständung) ersuchten. In einem Schreiben vom 23. Dezember 2020 teilte die Veranlagungsbehörde den Eheleuten mit, dass die Einsprachen verspätet seien, weshalb darauf nicht einzutreten sei. Die Eheleute reagierten am 28. Januar 2021 (Poststempel: 30. Januar 2021) mit einem Fristwiederherstellungsgesuch, worauf die Veranlagungsbehörde am 9. April 2021 ausführte, die massgebenden Fristen seien versäumt worden. Danach übermittelte die Veranlagungsbehörde die Einsprachen zuständigkeitshalber an das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen (SJD/SG), das die Gesuche mit Verfügung vom 18. Mai 2021 abwies.
1.3. Der Ehemann erhob für sich und seine Ehefrau mit Eingabe vom 30. Mai 2021 Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, das die Beschwerde abwies und das im verwaltungsgerichtlichen Verfahren gestellte Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege (Prozessführung und anwaltliche Verbeiständung) zufolge Gegenstandslosigkeit abschrieb (Entscheid B 2021/126 vom 15. Juli 2021). Das Verwaltungsgericht erwog, es sei unbestritten, dass die Einsprachen vom 14. Dezember 2020 nach Fristablauf ergangen seien. Was die Einsprache vom 1. Dezember 2020 betreffe, sei diese im Verfahren "A-Post Plus" versandt worden, wobei der Poststempel unleserlich sei. Den Beweis der Rechtzeitigkeit hätten die Steuerpflichtigen nicht angetreten. Der Steuerpflichtige mache indes geltend, dass er sich vom 6. November bis zum 14. Dezember 2020 aufgrund seiner Erkrankung an Covid-19 durchgehend in einer Isolation befunden habe. Seinen eigenen Angaben zufolge sei ihm der Versand der Einsprache daher erst am 14. Dezember 2020 möglich gewesen. Eine Erkrankung des Steuerpflichtigen an Corona sei aber, so das Verwaltungsgericht, unbewiesen geblieben. Auch wenn die Erkrankung tatsächlich bestanden haben sollte, wäre das Fristwiederherstellungsgesuch vom 30. Januar 2021 bis spätestens am 18. Januar 2021 (direkte Bundessteuer) bzw. am 28. Dezember 2020 (Staats- und Gemeindesteuern des Kantons St. Gallen) zu stellen gewesen. Zur Gebotenheit der anwaltlichen Vertretung sei festzuhalten, dass keine Verbeiständung erforderlich sei, um die Akten einzusehen und die erforderlichen Schriftstücke im Einspracheverfahren vorzulegen.
1.4. A._ erhebt am 15. August 2021 Beschwerde an das Bundesgericht mit dem Antrag, in Aufhebung des angefochtenen Entscheids sei ihm die unentgeltliche Rechtsbeistandschaft zu bewilligen. Er beantragt unentgeltliche Prozessführung auch für das Verfahren vor Bundesgericht.
1.5. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (<ref-law> [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen abgesehen.
2.
2.1. Rechtsschriften an das Bundesgericht haben den Antrag, eine Begründung und die Beweismittel zu enthalten. Die Begründung hat sich auf den Streitgegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens zu beziehen. Dieser kann vor Bundesgericht, verglichen mit dem vorinstanzlichen Verfahren, zwar eingeschränkt (minus), nicht aber ausgeweitet (plus) oder geändert (aliud) werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, dass und inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.3.2). Die Verletzung von verfassungsmässigen Individualrechten (einschliesslich der Grundrechte) und des rein kantonalen und kommunalen Rechts prüft das Bundesgericht in jedem Fall nur, soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit gemäss <ref-law>). In der Beschwerde ist daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, dass und inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.4; <ref-ruling> E. 1.; <ref-ruling> E. 7.2.3). Bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid ist nicht zu hören und führt zum Nichteintreten auf die Eingabe (<ref-ruling> E. 1.3.1).
2.2. Im vorliegenden Fall stellen sich Fragen beweisrechtlicher Natur. Aufgrund der im Steuerrecht herrschenden Normentheorie sind steuerbegründende und steuererhöhende Tatsachen von der Veranlagungsbehörde, steuerausschliessende und steuermindernde Tatsachen von der steuerpflichtigen Person nachzuweisen (<ref-ruling> E. 8.3.1; <ref-ruling> E. 3.8.2; <ref-ruling> E. 3.5). Der vorinstanzlichen Beweiswürdigung zufolge haben die Steuerpflichtigen nicht rechtsgenüglich aufgezeigt, dass die angeblich am 1. Dezember 2020 versandte Einsprache tatsächlich an diesem Tag zur Post gebracht wurde, wodurch die Frist gewahrt worden wäre. Ebenso wenig habe der Ehemann nachzuweisen vermocht, dass er bis zum 14. Dezember 2020 krankheitsbedingt daran gehindert gewesen sei, eigenständig oder durch Beizug einer Drittperson tätig zu werden.
2.3. Tatfrage ist auch die Beweiswürdigung, namentlich die antizipierte Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 8.2). Die Anfechtung der vorinstanzlichen Feststellungen unterliegt der qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit (<ref-ruling> E. 4.1.2). Die beschwerdeführende Person hat daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, dass und inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 2.1). Von Gesetzes wegen wäre daher vom hier alleine noch beschwerdeführenden Ehemann zu erwarten gewesen, dass er sich mit der vorinstanzlichen Beweiswürdigung auseinandersetzt und diese unter verfassungsrechtlichen Gesichtspunkten beleuchtet. Selbst unter Berücksichtigung dessen, dass eine Laienbeschwerde vorliegt, weswegen die formellen Anforderungen praxisgemäss niedriger angesetzt werden (Urteil 2C_616/2021 vom 17. August 2021 E. 2.2.2), unterbleibt jede auch nur beiläufige Auseinandersetzung mit der Verfassungsfrage, was aber unerlässlich wäre, damit das Bundesgericht den angefochtenen Entscheid inhaltlich prüfen könnte.
2.4. Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung (<ref-law>). Auf die Eingabe ist nicht einzutreten, was durch einzelrichterlichen Entscheid des Abteilungspräsidenten zu geschehen hat (<ref-law>).
3.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der unterliegenden Partei aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Das im bundesgerichtlichen Verfahren erhobene Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Prozessführung (<ref-law> bzw. Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG) erweist sich mit Blick auf die in der Hauptsache gestellten Anträge von vornherein als aussichtslos (<ref-ruling> E. 5.1). Es ist abzuweisen, was ebenfalls einzelrichterlich geschehen kann (<ref-law>). Damit entfällt von vornherein ein Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung. Praxisgemäss werden die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens reduziert, wenn erst zusammen mit dem Endentscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege entschieden wird. Dem Kanton St. Gallen, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die reduzierten Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung III, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. August 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher