Faits :
A.
A.a. A._, ressortissant turc né en 1969, est entré en Suisse le 18 juillet 1985. Par décision du 27 août 1986, l'autorité compétente a rejeté sa demande d'asile du 25 juillet 1985 et ordonné son renvoi de Suisse. Le 8 mars 1988, le recours interjeté par l'intéressé à l'encontre de cette décision a été rejeté.
A.b. Le 29 juillet 1988, A._ a épousé B._, ressortissante suisse, et obtenu de ce fait, le 29 juillet 1989, une autorisation de séjour au titre du regroupement familial. A la suite de la séparation des époux, le Service de la police des étrangers et des passeports du canton de Fribourg (actuellement: Service de la population et des migrants du canton de Fribourg; ci-après: le Service cantonal) a, par décision du 6 novembre 1991, refusé de prolonger l'autorisation de séjour de A._ tout en lui impartissant un délai de deux mois pour quitter le territoire helvétique. Cette décision n'a pas pu être notifiée à l'intéressé, qui avait quitté sa dernière adresse pour une destination inconnue.
A.c. Interpellé le 2 juillet 2008 à l'aéroport de Zurich, alors qu'il s'apprêtait à embarquer pour Izmir (Turquie), A._ a expliqué vivre en Suisse auprès de sa future épouse depuis quelque dix mois et s'être rendu, durant cette période, à plusieurs reprises à l'étranger. Le 22 juillet 2008, l'Office fédéral des étrangers (actuellement: Secrétariat d'Etat aux migrations; ci-après: le SEM) a prononcé à l'encontre de A._ une interdiction d'entrée en Suisse, valable jusqu'au 21 juillet 2010, en raison de l'illégalité de son entrée et de son séjour dans ce pays.
A.d. Le 6 août 2008, A._ a déposé auprès de l'ambassade suisse en Turquie une demande d'autorisation d'entrée en Suisse en vue de son mariage avec C._, ressortissante suisse née en 1952. A la suite de la suspension, le 20 février 2009, de l'interdiction d'entrée en Suisse qui le frappait, A._ a été autorisé à entrer en Suisse, où il a épousé, en mars 2009, C._. Le 3 avril 2009, après la levée de l'interdiction d'entrée en Suisse précitée, A._ a obtenu une autorisation de séjour au titre du regroupement familial, régulièrement renouvelée par la suite. Les époux se sont séparés le 31 mars 2013. Leur divorce a été prononcé le 9 juin 2015. Aucun enfant n'est issu de cette union.
A.e. Durant son séjour en Suisse, A._ a été condamné pénalement à deux reprises:
- le 13 août 2008, à une amende de 1'800 fr. pour entrée et séjour illégaux;
- le 20 février 2013, à une peine pécuniaire de 10 jours-amende à 40 fr. le jour, assortie d'un sursis de deux ans, pour violation grave des règles de la circulation routière.
A.f. Pendant son séjour en Suisse, A._ a travaillé de manière irrégulière. Il a ainsi été inscrit au chômage en 2016 puis du mois d'avril 2018 au mois de septembre 2018. Sur le plan financier, l'intéressé a été déclaré en faillite le 22 novembre 2010. Au 15 avril 2014, il avait accumulé des poursuites à concurrence de 8'026 fr., les actes de défaut de biens délivrés à son encontre s'élevant à cette date à 14'114 fr. A._ faisait alors également l'objet d'une saisie de salaire ou de revenu. Le 23 mars 2016, l'intéressé a informé le Service cantonal de l'aggravation de sa situation financière. Au mois d'août 2017, il a sollicité (et obtenu) un plan de remboursement auprès de l'Office des poursuites compétent. Le remboursement des dettes de l'intéressé a été opéré à partir du 1er septembre 2017, par le biais d'une saisie ordonnée par cette autorité. Dans les seize mois suivant le mois d'août 2017, vingt-deux nouvelles poursuites ont été introduites à l'encontre de A._, pour un montant total d'environ 27'700 fr. Au 13 novembre 2018, celui-ci faisait en outre l'objet de onze actes de défauts de bien pour un montant de 19'730 fr. La quasi-totalité des dettes de l'intéressé portent sur des contributions publiques communales, cantonales et fédérales ainsi que des primes d'assurance-maladie obligatoire. A._ a bénéficié de l'aide sociale pour un montant s'élevant à 465 fr. (valeur au 10 avril 2014).
B.
Le 25 septembre 2014, le Service cantonal s'est déclaré favorable à la poursuite du séjour en Suisse de A._, sous réserve de l'approbation du SEM. Par décision du 29 mai 2017, celui-ci a refusé d'approuver la prolongation de l'autorisation de séjour de l'intéressé et a prononcé son renvoi de Suisse. Par arrêt du 20 août 2019, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours formé par A._ contre cette décision.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ (ci-après: le recourant) demande en substance au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, outre le bénéfice de l'assistance judiciaire partielle et l'octroi de l'effet suspensif, l'annulation de l'arrêt du Tribunal administratif fédéral et l'approbation de la prolongation de son autorisation de séjour.
Le Tribunal administratif fédéral renonce à se déterminer et se réfère à son arrêt. Le SEM n'a pas déposé d'observations.
Par ordonnance du 1er octobre 2019, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a accordé l'effet suspensif au recours quant à l'obligation de départ résultant de l'arrêt attaqué.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (art. 29 al. 1 LTF; cf. <ref-ruling> consid. 1 p. 476).
1.2. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable à l'encontre des décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. En l'occurrence, le recourant invoque, de manière soutenable, l'ancien art. 50 al. 1 let. a LEtr (RO 2007 5437), applicable en l'espèce en vertu de l'art. 126 al. 1 LEI (RS 142.20). La voie du recours en matière de droit public est partant ouverte.
1.3. Déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites par la loi (art. 42 LTF), par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (art. 89 al. 1 LTF), le présent recours, dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue par le Tribunal administratif fédéral (art. 86 al. 1 let. a LTF) dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF), est recevable.
2.
2.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF (<ref-ruling> consid. 4.4.3 p. 156). Le recours ne peut critiquer les constatations de fait ressortant de la décision attaquée que si celles-ci ont été effectuées en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF; <ref-ruling> consid. 6 p. 358). Conformément à l'art. 106 al. 2 LTF, la partie recourante doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 6.3 p. 375).
2.2. Le Tribunal administratif fédéral a constaté que la situation financière du recourant s'était aggravée entre 2014 et 2016 et que, entre le mois d'août 2017 et le mois de novembre 2018, l'intéressé avait fait l'objet de vingt-deux nouvelles poursuites pour un montant total de 27'700 fr. Le Tribunal administratif fédéral a par ailleurs retenu qu'au mois de novembre 2018 le recourant présentait encore onze actes de défaut de biens pour un montant total de 19'730 fr. L'intéressé, qui ne remet pas en question ces constatations de fait, relève qu'en 2014 sa situation financière était meilleure qu'en 2016, méconnaissant ainsi toutefois que le Tribunal administratif fédéral est tenu de prendre en considération l'état de fait prévalant au moment où il statue (cf. art. 54 PA), ce qu'il n'a pas manqué de faire en l'espèce.
2.3. Au surplus, dans la mesure où le recourant présente une argumentation partiellement appellatoire, en opposant sa propre version des faits à celle du Tribunal administratif fédéral et en complétant librement l'état de fait retenu dans l'arrêt entrepris, sans invoquer ni l'arbitraire, ni une constatation manifestement inexacte des faits, le Tribunal fédéral ne peut pas en tenir compte. Il sera donc statué sur la base des faits tels qu'ils ressortent de l'arrêt attaqué.
2.4. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut en principe être présenté devant le Tribunal fédéral (art. 99 al. 1 LTF). Les pièces déposées par le recourant à l'appui de son recours qui sont postérieures à l'arrêt attaqué ou qui ne ressortent pas de celui-ci, ne seront donc pas prises en compte (cf. <ref-ruling> consid. 4.4.3 p. 128 s.). L'intéressé requiert en outre son audition. Il n'appartient toutefois pas au Tribunal fédéral de rectifier ou compléter des faits qui n'auraient pas été constatés de façon manifestement inexacte (cf. arrêts 2C_747/2019 du 19 novembre 2019 consid. 2 et 2C_543/2017 du 1er février 2018 consid. 2.4). Par ailleurs, le Tribunal fédéral n'ordonne des mesures probatoires (cf. art. 55 LTF) que de manière exceptionnelle (<ref-ruling> consid. 2 p. 104) et à condition que la partie qui les requiert motive sa demande (art. 42 al. 1 LTF), ce que l'intéressé n'a pas fait en l'occurrence. Sa requête ne peut donc qu'être écartée.
3.
Le recourant se plaint de la violation de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr. Il fait valoir que les conditions de cette disposition sont réunies.
3.1. Selon l'art. 50 al. 1 let. a LEtr, après dissolution de la famille, le droit du conjoint à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité en vertu des art. 42 et 43 LEtr subsiste si l'union conjugale a duré au moins trois ans et que l'intégration est réussie. Ces deux conditions sont cumulatives (<ref-ruling> consid. 3.8 p. 298; <ref-ruling> consid. 3.3.3 p. 119).
En l'occurrence, selon l'arrêt entrepris, le recourant et son ex-épouse ont fait ménage commun en Suisse du 11 mars 2009 au 31 mars 2013. L'union conjugale a ainsi duré plus de trois ans, de sorte que la première condition de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr est réalisée.
3.2. Le principe de l'intégration doit permettre aux étrangers dont le séjour est légal et durable de participer à la vie économique, sociale et culturelle de la Suisse (art. 4 al. 2 LEtr). D'après l'art. 77 al. 4 de l'ordonnance du 24 octobre 2007 relative à l'admission, au séjour et à l'exercice d'une activité lucrative (OASA; RS 142.201), dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2018 (RO 2007 5497), un étranger s'est bien intégré, au sens de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr, notamment lorsqu'il respecte l'ordre juridique suisse et les valeurs de la Constitution fédérale (let. a) et qu'il manifeste sa volonté de participer à la vie économique et d'apprendre la langue nationale parlée au lieu de domicile (let. b). Selon l'art. 4 de l'ancienne ordonnance du 24 octobre 2007 sur l'intégration des étrangers (aOIE; RO 2007 5551), remplacée au 1er janvier 2019 par l'ordonnance du même nom du 15 août 2018 (RS 142.205), la contribution des étrangers à l'intégration se manifeste notamment par le respect de l'ordre juridique et des valeurs de la Constitution fédérale (let. a), par l'apprentissage de la langue nationale parlée sur le lieu de domicile (let. b), par la connaissance du mode de vie suisse (let. c) et par la volonté de participer à la vie économique et d'acquérir une formation (let. d). L'adverbe "notamment", qui est employé tant à l'ancien art. 77 al. 4 OASA qu'à l'art. 4 aOIE, illustre le caractère non exhaustif des critères d'intégration qui sont énumérés par ces dispositions et met aussi en exergue le fait que la notion d'"intégration réussie" doit s'examiner à l'aune d'une appréciation globale des circonstances (arrêts 2C_615/2019 du 25 novembre 2019 consid. 5.2; 2C_686/2019 du 3 octobre 2019 consid. 5.1; 2C_352/2014 du 18 mars 2015 consid. 4.2). Dans l'examen de ces critères d'intégration, les autorités compétentes disposent d'un large pouvoir d'appréciation que le Tribunal fédéral ne revoit qu'avec retenue (cf. arrêts 2C_615/2019 du 25 novembre 2019 consid. 5.2; 2C_686/2019 du 3 octobre 2019 consid. 5.1 et les arrêts cités).
3.3. Selon la jurisprudence, il n'y a pas d'intégration réussie lorsque l'étranger n'exerce pas d'activité lucrative qui lui permette de couvrir ses besoins et qu'il dépend des prestations sociales pendant une période relativement longue. Le fait pour une personne de ne pas avoir commis d'infractions pénales et de pourvoir à son revenu sans recourir à l'aide sociale ne permet pas à lui seul de retenir une intégration réussie. Des périodes d'inactivité de durée raisonnable n'impliquent pas forcément une absence d'intégration professionnelle. Il n'est pas non plus indispensable que l'étranger fasse montre d'une carrière professionnelle exemplaire. L'essentiel en la matière est que la personne subvienne à ses besoins, n'émarge pas à l'aide sociale et ne s'endette pas de manière disproportionnée (arrêts 2C_615/2019 du 25 novembre 2019 consid. 5.3; 2C_686/2019 du 3 octobre 2019 consid. 5.2; 2C_925/2015 du 27 mars 2017 consid. 6.4.4; 2C_656/2016 du 9 février 2017 consid. 5.2). Lorsqu'il s'agit d'examiner l'étendue de l'intégration professionnelle d'un étranger, il y a lieu de se fonder sur la situation effective, à savoir sur la présence ou non de l'intéressé sur le marché du travail (cf. arrêts 2C_615/2019 du 25 novembre 2019 consid. 5.3; 2C_925/2015 du 27 mars 2017 consid. 6.4.4; 2C_656/2016 du 9 février 2017 consid. 5.2). Ainsi, la jurisprudence considère notamment que le point de savoir si un étranger a été durablement empêché de travailler pour des motifs de santé n'entre pas en ligne de compte pour juger de son niveau d'intégration professionnelle à proprement parler, mais peut expliquer qu'il ait émargé à l'aide sociale pendant une période (arrêts 2C_615/2019 du 25 novembre 2019 consid. 5.3; 2C_656/2016 du 9 février 2017 consid. 5.2; 2C_861/2015 du 11 février 2016 consid. 5.2 et 5.6.2).
3.4. S'agissant de l'endettement de l'intéressé, les constatations de l'autorité précédente démontrent clairement que la situation financière de celui-ci est obérée et qu'elle s'est aggravée au cours de la procédure. Les explications avancées par le recourant pour démontrer ses efforts pour assainir cette situation ne convainquent pas. En effet, le fait qu'il fasse l'objet de saisies de salaire ne signifie pas, contrairement à ce qu'il prétend, qu'il s'emploie de manière efficace à rembourser ses dettes, puisqu'il s'agit précisément de remboursements opérés par l'Office des poursuites qui ne reposent donc pas sur une base totalement volontaire. Concernant l'intégration professionnelle du recourant, celui-ci a connu plusieurs périodes de chômage et n'a pas toujours exercé une activité professionnelle régulière. Cela étant, même s'il faut relever, à l'instar de l'autorité précédente, que l'intéressé réalise, de manière générale, un salaire suffisant pour subvenir à ses besoins et progressivement rembourser ses dettes, il ne saurait se prévaloir d'une intégration économique et professionnelle réussie. Le fait que le recourant n'a bénéficié de l'aide sociale que de manière limitée - soit pour un montant de 465 fr. - ne saurait modifier cette conclusion. Il ne ressort en outre pas de l'arrêt entrepris - et le recourant ne le soutient pas non plus - que l'intéressé aurait tissé des liens forts avec la Suisse. Celui-ci a en revanche fait l'objet de condamnations pénales pour entrée et séjour illégaux et pour violation grave des règles de la circulation routière. La quasi-totalité de ses dettes a de surcroît trait à des contributions publiques (commune, canton et Confédération) d'une part et à des primes d'assurance-maladie obligatoire d'autre part. Les quelques facteurs favorables au recourant, à savoir la durée de son séjour en Suisse - qui doit cependant être relativisée puisqu'elle repose, depuis 2015, sur l'effet suspensif de ses recours -, les périodes de travail et l'absence de condamnations pénales depuis 2013, ne permettent pas dans ces conditions de conclure à une intégration sociale réussie. Il sied de relever qu'il en irait de même si le recourant avait démontré, conformément aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF - ce dont il s'est abstenu -, qu'il "parle un français impeccable" (recours, p. 6).
Il ressort de ce qui précède que l'examen global de l'autorité précédente niant l'intégration réussie de l'intéressé ne prête pas le flanc à la critique. Le grief de violation de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr est donc rejeté.
3.5. Quant à l'art. 50 al. 1 let. b LEtr, il ne ressort pas de l'arrêt attaqué que d'autres éléments seraient de nature à fonder l'existence de raisons personnelles majeures au sens de cette disposition. Du reste, le recourant, qui se borne à ce sujet à mentionner l'art. 31 OASA sans plus de précision, ne soutient ni ne démontre le contraire.
4.
L'intéressé se plaint d'une violation du principe de proportionnalité. Il estime que l'autorité précédente aurait dû, au lieu de confirmer la décision du SEM, prononcer à son encontre un simple avertissement au sens de l'art. 96 al. 2 LEtr. Dès lors que, comme on l'a vu ci-dessus, le recourant n'a pas de droit à une autorisation de séjour, cette disposition ne s'applique toutefois pas (cf. arrêt 2C_428/2019 du 20 août 2019 consid. 6). L'intéressé ne peut donc rien en déduire.
5.
Le recourant mentionne "une possible violation de la bonne foi" (recours, p. 11), fondée apparemment sur la durée - à son avis excessive - de la procédure devant le SEM. Telle qu'elle est formulée, cette critique ne répond pas aux exigences de motivation posées à l'art. 106 al. 2 LTF et ne sera dès lors pas examinée.
6.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours en matière de droit public.
Le recourant a demandé à être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire partielle. La cause paraissant d'emblée dépourvue de chances de succès, cette requête doit être rejetée (art. 64 al. 1 LTF). Les frais seront donc mis à la charge du recourant, qui succombe, mais fixés en tenant compte de sa situation financière précaire (art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF). Il ne sera pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué au représentant du recourant, au Secrétariat d'Etat aux migrations et au Tribunal administratif fédéral, Cour VI.
Lausanne, le 9 juin 2020
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Ermotti