Faits :
A.
A._ a travaillé, du 1er décembre 2015 au 31 décembre 2016, en tant que chef de projet au sein de la branche lausannoise du B._ Institute for Cancer Research (ci-après: B._ Institute), qui dépend de la Faculté de biologie et de médecine de l'Université de Lausanne (ci-après: UNIL). Son supérieur hiérarchique était le Pr C._, directeur de ladite branche et chef du Département d'oncologie de l'UNIL-CHUV.
Par courriels des 18 et 19 juin 2017, A._ a dénoncé le Pr C._ pour violation de l'intégrité scientifique au Pr D._ (ci-après: le Doyen), doyen de la Faculté de biologie et de médecine de l'UNIL (ci-après: la Faculté de médecine). Selon A._, le Pr C._ aurait volontairement déclaré de manière incomplète des fonds de recherche et, dans le cadre d'une commission de nomination, aurait ordonné la modification du rang de candidats. A la suite de cette dénonciation, le Doyen a requis du Pr E._, délégué à l'intégrité scientifique au sein de la Faculté de médecine, une enquête préliminaire quant aux faits dénoncés, afin de déterminer si le professeur en cause avait commis une infraction à l'intégrité scientifique.
Le Pr E._ a, dans son rapport du 4 juillet 2017, recommandé de rejeter la dénonciation dont les faits rapportés ne constituaient pas, selon lui, une violation de l'intégrité scientifique. Le 7 juillet 2017, le Doyen a informé la Direction de l'UNIL que, sur la base dudit rapport, il ne voyait pas de raison de diligenter une commission d'enquête. Il a communiqué cette information à A._, en date du 19 juillet 2017.
Dans un courrier du 26 juillet 2017 adressé au Doyen, A._ a contesté les conclusions du rapport du Pr E._. Le Service juridique de l'UNIL a transmis ce courrier, le 22 août 2017, à la Commission de recours de l'UNIL (ci-après: la Commission de recours) comme objet de sa compétence. Après différents échanges de correspondances entre ladite commission et A._, celui-ci a confirmé son intention de recourir par courrier du 23 février 2018.
Le 29 août 2017, le Doyen a informé l'intéressé que son courrier du 7 juillet 2017 ne constituait pas une décision et qu'il n'y avait donc pas lieu de faire recours à son encontre; la Direction de l'UNIL était, en effet, l'autorité décisionnelle compétente dans le cadre de cette procédure; tout en mentionnant la disposition topique réservant la qualité pour recourir au dénonciateur lésé, il précisait à A._ qu'il pourrait attaquer cette décision lorsque la Direction lui aurait transmis sa décision (<ref-law>).
La Commission de recours a, par arrêt du 27 mars 2018, déclaré irrecevable le recours de A._, au motif que son statut de dénonciateur ne lui conférait pas la qualité pour recourir.
B.
Par arrêt du 28 décembre 2018, la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours de A._ à l'encontre de la décision du 27 mars 2018 de la Commission de recours. Elle a en substance souligné que, par son recours, celui-ci entendait préserver l'intérêt général, ce qui ne lui octroyait pas un intérêt digne de protection.
C.
A._ a déposé un "recours" devant le Tribunal fédéral, auquel il demande, sous suite de frais et dépens, d'annuler la décision du 27 mars 2018 de la Commission de recours et d'enjoindre à la Direction de l'UNIL de se prononcer sur sa dénonciation, subsidiairement, d'annuler l'arrêt du 28 décembre 2018 du Tribunal cantonal et de lui reconnaître un intérêt digne de protection.
La Direction de l'UNIL conclut à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement, à son rejet. Le Tribunal cantonal se réfère aux considérants de son arrêt.
A._ s'est encore prononcé par écriture du 8 mars 2019.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law> [RS 173.110]) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 186; <ref-ruling> consid. 1 p. 143).
1.1. Le recourant, qui n'est pas représenté par un mandataire, n'a pas indiqué par quelle voie de recours il procède auprès du Tribunal fédéral. Dans son écriture, il détermine la recevabilité sous l'angle des dispositions de la LTF relative au recours en matière civile. Cette erreur ne saurait lui nuire si son recours remplit les exigences légales de la voie de droit qui lui est ouverte (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 491; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 444).
1.2. L'arrêt attaqué a été rendu par une autorité judiciaire supérieure ayant statué en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d et 2 LTF) dans une affaire relevant du droit public (<ref-law>), puisqu'elle a pour objet une procédure relative à l'intégrité scientifique d'un professeur directeur du B._ Institute qui dépend de l'UNIL, et qui ne tombe pas sous le coup de l'une des exceptions prévues à l'<ref-law>.
2.
2.1. Afin de déterminer quel type de décision est en cause, il convient d'examiner la Directive 4.2 de la Direction de l'UNIL Intégrité scientifique dans le domaine de la recherche et procédure à suivre en cas de manquement à l'intégrité (ci-après: la Directive; https://www.unil.ch/ interne/fr/home/menuinst/documents---formulaires/textes-legaux/ directives-internes-de-lunil/directives-internes-a-lunive.html, consultée le 15 mai 2019).
Le ch. 4 de cette directive règle le déroulement de la procédure en cas de dénonciation. Le Doyen a notamment pour tâche de transmettre le dossier au délégué à l'intégrité. Si, à l'issue de la procédure devant ce délégué, celui-ci propose de procéder au classement de la dénonciation qui paraît à l'évidence non fondée, le Doyen examine cette proposition; s'il est à son tour d'avis que la dénonciation n'est pas fondée, il propose dans un rapport à l'attention de la Direction le classement du dossier (art. 4.5 de la Directive). A réception du rapport du Doyen, la Direction notifie, dans un délai de 30 jours, la décision finale de culpabilité ou d'acquittement à l'endroit de la personne mise en cause et la communique au dénonciateur (art. 4.6 de la Directive). La décision est susceptible de recours, en vertu de l'art. 4.8 de la Directive; selon cet article, quiconque est tenu pour coupable ou se trouve dans la position de dénonciateur individuellement lésé par la décision finale peut recourir auprès de la Commission de recours de l'UNIL dans les 10 jours qui suivent la notification de la décision.
Il découle de ces dispositions que le Doyen est chargé de l'instruction de la cause et que, une fois celle-ci terminée, il a pour tâche d'établir un rapport à l'intention de la Direction, lui proposant le cas échéant de classer le dossier. La Direction est l'autorité décisionnelle.
2.2. En l'espèce, ce n'est pas la décision de la Direction qui est en cause (décision qui n'a apparemment toujours pas été rendue) mais le courrier du 7 juillet 2017 du Doyen de la Faculté de médecine adressé à la Direction de l'UNIL dans lequel celui-ci mentionnait qu'il ne voyait pas de raison de diligenter une commission d'enquête (et dont il est au demeurant douteux qu'il constituât une décision attaquable). Selon l'arrêt entrepris, confirmé par le Tribunal cantonal, c'est à bon droit que la Commission de recours avait dénié à l'intéressé la qualité pour recourir à l'encontre dudit courrier. L'arrêt attaqué n'est ainsi pas une décision finale, au sens de l'<ref-law>, car il ne met pas un terme à la procédure. Celle-ci trouvera son épilogue avec la décision de la Direction. Est donc en cause une décision incidente à l'encontre de laquelle le recours devant le Tribunal fédéral suppose que la condition de l'<ref-law> soit remplie, la lettre b de cette disposition n'entrant pas en considération en l'espèce.
2.3. En vertu de l'<ref-law>, et sous réserve d'exceptions non réalisées ici (cf. <ref-law>), les décisions incidentes ne sont susceptibles de faire l'objet d'un recours au Tribunal fédéral que si elles peuvent causer un préjudice irréparable. Par préjudice irréparable, on entend le dommage juridique qu'une décision finale, même favorable au recourant, ne ferait pas disparaître complètement, en particulier lorsque la décision incidente contestée ne peut plus être attaquée avec la décision finale, rendant ainsi impossible le contrôle par le Tribunal fédéral (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 479; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 419). L'existence d'un tel préjudice s'apprécie en fonction des effets de la décision incidente sur la cause principale, respectivement de la procédure principale (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 80). Il appartient au recourant d'alléguer et d'établir la possibilité que la décision incidente lui cause un dommage irréparable, à moins que celui-ci ne fasse d'emblée aucun doute (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 479).
En l'espèce, contrairement à cette exigence de motivation, le recourant n'allègue ni ne démontre que la décision litigieuse lui cause un préjudice irréparable, ce qui a pour conséquence que son recours doit être déclaré irrecevable. De toute façon, on ne voit pas que celle-ci puisse avoir un effet sur la décision finale. En effet, l'intéressé pourra contester la décision finale, que la Direction doit prononcer, auprès de la Commission de recours (art. 4.8 de la Directive); et dans l'hypothèse où cette autorité administrative lui nierait la qualité pour recourir dans son arrêt, celui-ci pourra formellement l'attaquer, ce qui ne préjugera pas de sa qualité de dénonciateur individuellement lésé. Les conditions de l'ouverture d'un recours immédiat selon l'<ref-law> ne sont donc pas réalisées. Il s'ensuit que ni la voie du recours en matière de droit public ni celle du recours constitutionnel subsidiaire (cf. <ref-law> qui renvoie à l'<ref-law>) ne sont ouvertes.
3.
Il découle de ce qui précède que le recours est irrecevable.
Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>). Le recours se révélant d'emblée dénué de chances de succès (<ref-ruling> consid. 7.1 p. 2), l'intéressé ne saurait bénéficier de l'assistance judiciaire (<ref-law>). Néanmoins, compte tenu des circonstances, à savoir le déroulement particulier de la procédure et l'absence de décision de la Direction, il sera renoncé aux frais judiciaires (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, à la Direction de l'Université de Lausanne et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lausanne, le 11 juin 2019
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Jolidon