Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Schaffhausen führt eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen Verdachts des Betrugs, der einfachen Körperverletzung, des mehrfachen Hausfriedensbruchs, der Drohung, der Nötigung sowie der Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte. Mit Schreiben vom 12. März 2020 verlangte der sich in Untersuchungshaft befindliche Beschuldigte u.a. die "Absetzung" von a.o. Staatsanwalt B._.
Das Obergericht des Kantons Schaffhausen stellte dem amtlichen Verteidiger des Beschuldigten das Ausstandsgesuch vom 12. März 2020 sowie die Stellungnahme des a.o. Staatsanwalts zu und setzte ihm Frist bis 23. April 2020 zur Einreichung allfälliger Bemerkungen. Mit Schreiben vom 15. April 2020 wandte sich A._ persönlich an das Obergericht und ersuchte dabei um Erstreckung der seinem amtlichen Verteidiger bis 23. April 2020 gesetzten Frist. Das Obergericht des Kantons Schaffhausen wies mit Verfügung vom 17. April 2020 das Fristerstreckungsgesuch vom 15. April 2020 ab.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 22. April 2020 Beschwerde in Strafsachen gegen die Verfügung des Obergerichts des Kantons Schaffhausen. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Streitgegenstand ist vorliegend die Ablehnung des Fristerstreckungsgesuchs. Soweit der Beschwerdeführer sinngemäss Ausführungen betreffend eines Wechsels der amtlichen Verteidigung macht, liegen diese ausserhalb des Streitgegenstandes, weshalb darauf von vornherein nicht eingetreten werden kann.
4.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer setzt sich nicht mit der Begründung des Obergerichts auseinander und vermag mit seinen nicht sachbezogenen Ausführungen nicht ansatzweise aufzuzeigen, inwiefern die Begründung des Obergerichts, die zur Abweisung des Fristerstreckungsgesuchs führte, bzw. die Verfügung des Obergerichts selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
5.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Beiordnung eines (neuen) Anwalts (<ref-law>) nicht zu entsprechen. Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen, Vizepräsidentin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. April 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli