Sachverhalt:
A.
Am 20. Oktober 2013 erschien auf dem von der Ringier AG herausgegebenen Blick-Online-Portal (www.blick.ch) ein Artikel mit folgender Schlagzeile:
"C.B._ aus Rafz ZH
Dieser Schweizer hilft Kinderquäl-Sekte"
Der Untertitel lautete wie folgt:
"Die deutsche Justiz ermittelt gegen 'Zwölf Stämme'. Die Sekte quält Kinder - mit Unterstützung aus der Schweiz."
Vor dem eigentlichen Berichtsteil wurde eine Fotografie eingefügt, die C.B._ identifizierbar im Zentrum der Aufnahme zeigt. Später wurde C.B._s voller Name aus dem Onlineartikel entfernt und durch die Initialen seines Vor- und Nachnamens ersetzt. In dieser Form ist der Artikel bis zum heutigen Tag im Internet abrufbar.
B.
B.a. Mit Klage vom 8. November 2017 stellte C.B._ beim Bezirksgericht Zofingen das folgende Rechtsbegehren:
"Die Ringier AG (Blick) hat alle Daten, die mit der Veröffentlichung meiner Person vom 20. Oktober 2013 zu tun haben zu löschen, so dass diese nicht mehr öffentlich zugänglich sind. Die Widerrechtlichkeit sei festzustellen."
Das Bezirksgericht wies die Klage kostenfällig ab (Entscheid vom 25. April 2019).
B.b. C.B._ erhob Berufung beim Obergericht des Kantons Aargau. Als Vornamen verwendete er nun "A._". Das Obergericht hiess das Rechtsmittel teilweise gut. Es hob den Entscheid des Bezirksgerichts vollständig auf und urteilte in der Sache wie folgt:
"1. In teilweiser Gutheissung der Klage wird
a) festgestellt, dass die Beklagte im Onlinebericht "Dieser Schweizer hilft Kinderquäl-Sekte" auf der Website www.blick.ch vom 20. Oktober 2013 den Kläger durch die Nennung seines vollständigen Namens (nur in der ursprünglichen Version des Berichts) und das angefügte Bild (in der ursprünglichen und aktuellen Version des Berichts) sowie durch den zweiten Satzteil des zweiten Satzes des Untertitels "... - mit Unterstützung aus der Schweiz" (in der ursprünglichen und aktuellen Version des Berichts) widerrechtlich in seiner Persönlichkeit verletzt hat, und
b) die Beklagte verpflichtet, im Onlinebericht "Dieser Schweizer hilft Kinderquäl-Sekte" auf der Website www.blick.ch vom 20. Oktober 2013 (aktuell abrufbar unter https://www.blick.ch/news/schweiz/a-r-aus-rafz-zh-dieser-schweizer-hilft-kinderquael-sekte-id7652113.html) den zweiten Satzteil des Untertitels "... - mit Unterstützung aus der Schweiz" zu löschen und auf der angefügten Fotografie den Kopf des Klägers so zu verpixeln, dass dieser gestützt darauf nicht mehr identifiziert werden kann.
b) die Beklagte verpflichtet, im Onlinebericht "Dieser Schweizer hilft Kinderquäl-Sekte" auf der Website www.blick.ch vom 20. Oktober 2013 (aktuell abrufbar unter https://www.blick.ch/news/schweiz/a-r-aus-rafz-zh-dieser-schweizer-hilft-kinderquael-sekte-id7652113.html) den zweiten Satzteil des Untertitels "... - mit Unterstützung aus der Schweiz" zu löschen und auf der angefügten Fotografie den Kopf des Klägers so zu verpixeln, dass dieser gestützt darauf nicht mehr identifiziert werden kann.
2. Im Übrigen wird die Klage abgewiesen."
Der Entscheid des Obergerichts datiert vom 16. Januar 2020 und wurde den Parteien am 3. März 2020 (Ringier AG) bzw. 4. März 2020 (A.B._) zugestellt.
C.
C.a. Mit Beschwerde vom 1. April 2020 wendet sich die Ringier AG (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, den angefochtenen Entscheid aufzuheben, soweit das Obergericht die Berufung gutheisst, und die Klage abzuweisen. Das Bundesgericht hat einen Schriftenwechsel angeordnet. In einer 40-seitigen Eingabe vom 5. Mai 2020 (Datum der Postaufgabe) bestreitet A.B._ (Beschwerdegegner) den Standpunkt der Beschwerdeführerin; dabei nimmt er in erster Linie auf seine eigene Beschwerde gegen den Entscheid vom 16. Januar 2020 (s. dazu das Urteil 5A_254/2020 vom 18. Februar 2021) und die dort vertretenen Ansichten Bezug. Das Obergericht verzichtete auf eine Vernehmlassung (Schreiben vom 8. April 2020). Die Zuschriften wurden der Beschwerdeführerin zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.
C.b. Das Bundesgericht hat die Sache am 18. Februar 2021 öffentlich beraten.

Erwägungen:
1.
Der Streit dreht sich um die Frage, ob bzw. inwiefern ein über ihn erschienener Pressebericht (s. Sachverhalt Bst. A.) das Persönlichkeitsrecht (Art. 28 f. ZGB) des Beschwerdegegners verletzt. Das ist eine Zivilsache (<ref-law>) nicht vermögensrechtlicher Natur (<ref-ruling> E. 1a S. 483). Die Vorinstanz ist ein oberes Gericht. Sie hat als letzte kantonale Instanz auf Rechtsmittel hin entschieden (<ref-law>). Der angefochtene Entscheid heisst die Berufung des Beschwerdegegners teilweise gut, lautet insofern also zum Nachteil der Beschwerdeführerin (<ref-law>), und schliesst das Verfahren ab (<ref-law>). Die Beschwerde erfolgte, bevor die gesetzliche Rechtsmittelfrist abgelaufen war (<ref-law>; Art. 1 der Verordnung über den Stillstand der Fristen in Zivil- und Verwaltungsverfahren zur Aufrechterhaltung der Justiz im Zusammenhang mit dem Coronavirus [COVID-19] vom 20. März 2020 [AS 2020 849]). Die Beschwerde in Zivilsachen steht demnach offen.
2.
In prozessrechtlicher Hinsicht ist umstritten, welche Klagebegehren vor der Vorinstanz überhaupt zur Beurteilung standen.
2.1. Dem angefochtenen Entscheid zufolge erweiterte der Beschwerdegegner den Streitgegenstand in seiner Klage gegenüber der Klagebewilligung um ein Feststellungsbegehren, indem er neben der Löschung aller Daten auch verlangte, die Widerrechtlichkeit festzustellen (vgl. Sachverhalt Bst. B.a). Die Vorinstanz erklärt, das sei eine zulässige Klageänderung. In der Folge widerspricht sie der Ansicht des Bezirksgerichts, wonach der Beschwerdegegner in der Replik sein ursprüngliches Beseitigungsbegehren gegen eine "mindere" Feststellung "ausgetauscht" habe. Nachdem die Klage beide Begehren enthalte, sei lediglich zu prüfen, ob der Beschwerdegegner das rechtshängige Beseitigungsbegehren zurückzog. Aus dem Umstand, dass der Beschwerdegegner in den vom Bezirksgericht herangezogenen Textpassagen das Beseitigungsbegehren im Gegensatz zum Feststellungsbegehren nicht explizit erwähnte, lasse sich kein Rückzug des Beseitigungsbegehrens ableiten, zumal ein Rückzug jedenfalls schriftlich, mithin ausdrücklich, hätte erklärt werden müssen, sofern er nicht gemäss <ref-law> zu Protokoll gegeben wurde. Das Obergericht fügt hinzu, aus der Replik werde deutlich, dass der Beschwerdegegner mit den Folgen des streitigen Onlineberichts zu kämpfen hat. Eine blosse Feststellungsklage wäre für ihn daher weniger sinnvoll als eine mit einem Beseitigungsbegehren gehäufte Klage. Nach Treu und Glauben könne nicht davon ausgegangen werden, dass der Beschwerdegegner in der Replik von einer sinnvollen Häufung von Feststellungs- und Beseitigungsklage auf eine weniger zielführende ausschliessliche Feststellungsklage habe wechseln wollen.
2.2. Die Beschwerdeführerin besteht darauf, dass der Beschwerdegegner vor erster Instanz sein Begehren auf blosse Feststellung reduzierte und damit sein ursprüngliches Beseitigungsbegehren fallen liess. Im Berufungsverfahren sei einzig noch der Feststellungsantrag Prozessthema gewesen; soweit die Vorinstanz das Beseitigungsbegehren gutheisse, verletze sie Bundesrecht.
2.3. Die Beschwerdeführerin beschränkt sich darauf, dem angefochtenen Entscheid eigene Behauptungen gegenüber zu stellen. Die vorinstanzliche Erkenntnis, wonach das Beseitigungsbegehren in den Ziffern 2.1, 2.32 und 2.41 der Replik nicht ausdrücklich zur Sprache kommt, stellt sie nicht in Frage. Sie bestreitet auch nicht, dass der Rückzug des fraglichen Begehrens ausdrücklich hätte erklärt werden müssen, noch zeigt sie auf, inwiefern sich eine solche ausdrückliche schriftliche Erklärung aus einer anderen Stelle der Replik ergibt, die vom Obergericht bundesrechtswidrig übergangen wurde. Auch auf die zusätzliche Erklärung, wonach unter dem Blickwinkel von Treu und Glauben (<ref-law>) nicht von einem Rückzug des Beseitigungsbegehrens ausgegangen werden könne, geht die Beschwerdeführerin nicht ein. Insofern vermag ihr Schriftsatz den gesetzlichen Anforderungen an die Beschwerdebegründung (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2 S 286; <ref-ruling> E. 2 S. 116) nicht gerecht zu werden.
3.
Der Streit dreht sich auch um die Vorgabe, wonach sich die Persönlichkeitsverletzung weiterhin störend auswirken muss, damit die Feststellung ihrer Widerrechtlichkeit verlangt werden kann (<ref-law>).
3.1. Das Obergericht konstatiert, die von der Beschwerdeführerin herausgegebene Tageszeitung "Blick" habe den fraglichen Onlinebericht in seiner ersten Version (mit Nennung des vollständigen Namens des Beschwerdegegners) am 20. Oktober 2013 im Internet publiziert. Es handle sich um eine klassische Presseäusserung eines periodisch erscheinenden Mediums, die von einer unbestimmten Vielzahl von Lesern konsumiert werde. Daher sei gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung davon auszugehen, dass ein allfälliger, dadurch einmal geschaffener persönlichkeitsverletzender Eindruck nachhaltig wirke, auch wenn dies vom Beschwerdegegner nicht konkret nachgewiesen worden sein sollte. Die Vorinstanz erklärt, auch die ursprüngliche Version des Onlineartikels bleibe aufgrund der heutigen Archivierungstechniken unbefristet zugänglich; insofern werde ein Störungszustand fortbestehen. Dass der Name des Beschwerdegegners in der zweiten, nach wie vor online einsehbaren Version durch dessen Initialen ersetzt wurde, vermöge daran nichts zu ändern. Ein schutzwürdiges Interesse an der gerichtlichen Feststellung der Widerrechtlichkeit könnte dem Beschwerdegegner nur abgesprochen werden, wenn sich die Verhältnisse derart geändert hätten, dass die Äusserung jede Aktualität eingebüsst oder eine beim Durchschnittsleser hervorgerufene Vorstellung jede Bedeutung verloren hätte und deshalb auch auszuschliessen wäre, dass die verletzende Äusserung bei einem neuen aktuellen Anlass (auch in der ursprünglichen Fassung) wieder aufgegriffen und erneut verbreitet würde. Solche Umstände sind laut Vorinstanz nicht ersichtlich. Infolgedessen sei ein Interesse des Beschwerdegegners an der Feststellung der Widerrechtlichkeit der ersten Version des fraglichen Onlineberichts nicht schon deshalb zu verneinen, weil diese erste Version aktuell im Internet nicht mehr einsehbar ist.
3.2. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von Bundesrecht. Sie erinnert daran, dass der ursprüngliche Onlinebericht vom 20. Oktober 2013 im Internet nicht mehr abrufbar ist, und argumentiert, dass bezüglich eines gelöschten Berichts kein Feststellungsanspruch möglich sei. Der angefochtene Entscheid laufe darauf hinaus, dass aus einer irgendwann erfolgten Internetpublikation ein zeitlich unbeschränkter Feststellungsanspruch folge, was nicht bundesrechtskonform sein könne. Der Beschwerdegegner habe vor den kantonalen Instanzen nicht bewiesen, dass der Bericht noch zugänglich ist. Soweit die Vorinstanz trotzdem davon ausgehe, stelle sie den Sachverhalt willkürlich fest. In der Folge beklagt sich die Beschwerdeführerin darüber, dass sich die Vorinstanz auf die Störungswirkung bzw. auf den blossen Störungszustand verlege, der nach der Bundesgerichtspraxis ausreichend sei. Auch dafür habe der Beschwerdegegner keinen Beweis erbracht. Das Obergericht verkenne dies und behandle den Störungszustand fälschlicherweise als Rechtsfrage. In einer Kaskade beweisloser Annahmen erkläre es, dass ein Artikel als solcher einen Eindruck schaffe, dieser erhalten bleibe und nachwirke, auch wenn dies nicht konkret nachweisbar ist.
Die Beschwerdeführerin wirft dem Obergericht vor, von der theoretischen Existenz moderner Archivierungstechniken und Speichermöglichkeiten auf ein schutzwürdiges Feststellungsinteresse zu schliessen. Anstatt vom Beschwerdegegner einen entsprechenden Beweis zu fordern, unterstelle es die fortgesetzte Aktualität der Verletzung. Die Aktualität folge jedoch weder aus der blossen Publikation des Artikels vor über sechs Jahren und der Tatsache seiner Existenz als historisches Faktum, noch ergebe sie sich allein aus der technischen Möglichkeit, dass der Bericht irgendwo gespeichert sein könnte. Die Störung dürfe nicht mit "Speichermöglichkeit" und/oder "Aktualität" gleichgesetzt, sondern müsse als Tatsache bewiesen werden, die von der eigentlichen Verletzung unabhängig ist und im Urteilszeitpunkt fortwirkt. Im konkreten Fall sei nicht einmal erwiesen, dass es noch einen Äusserungsträger mit der ursprünglichen Meldung gibt; noch weniger sei erwiesen, dass der Bericht heute bei irgendwem irgendwelche Eindrücke hinterlassen hätte, das heisst sich im Sinne von <ref-law> weiter störend auswirkt. Die Vorinstanz ersetze die gesetzlich vorausgesetzte Störungswirkung durch die blosse Annahme einer Störung, indem sie ohne Beweisverfahren und ohne empirischen Beleg einfach behaupte, dass eine einst erschienene Publikation störe, bloss weil sie erschienen ist und gespeichert worden sein könnte.
Ungeklärt bleibt gemäss der Beschwerdeführerin auch, warum die Ersetzung des Namens des Beschwerdegegners durch seine Initialen den angeblichen Störungszustand nicht beseitigt habe. Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz vor, blosse Annahmen über ein gesetzliches Tatbestandsmerkmal zu wiederholen. Der Störungszustand sei aber keine Rechts-, sondern eine Tatfrage, die sich als solche nicht durch Ableitungen aus irgendwelchen Annahmen oder Bundesgerichtsurteilen ergeben könne, sondern immer nur als Folge von Parteibehauptungen und von einem Beweisergebnis. Auch gegenüber dem online noch zugänglichen Artikel, in dem der Name des Beschwerdegegners durch seine Initialen ersetzt ist, könne kein Feststellungsanspruch bestehen, da der Beschwerdegegner auch diesbezüglich keinen Beweis für die Störungswirkung geliefert habe.
3.3. Wer in seiner Persönlichkeit widerrechtlich verletzt ist, kann dem Gericht beantragen, die Widerrechtlichkeit der Verletzung festzustellen, wenn sich diese weiterhin störend auswirkt (<ref-law>). Besteht ein durch eine Verletzung in den persönlichen Verhältnissen hervorgerufener Störungszustand, nimmt das Begehren um gerichtliche Feststellung einer widerrechtlichen Persönlichkeitsverletzung eine dem Verletzten dienende Beseitigungsfunktion wahr. Ein Störungszustand, der mit der auf Beseitigung zielenden Feststellungsklage behoben werden soll, ist dabei im Fortbestand der verletzenden Äusserung auf einem Äusserungsträger zu erblicken, der geeignet ist, die Verletzung fortwährend kundzutun und hierdurch Persönlichkeitsgüter des Verletzten unablässig oder erneut zu beeinträchtigen. Nach der Rechtsprechung meint die in <ref-law> vorausgesetzte weiterhin störende Auswirkung nichts anderes als den eben umschriebenen Störungszustand. Hierbei fällt ins Gewicht, dass der Störungszustand nicht im Laufe der Zeit von selbst verschwindet. Wohl mag seine relative Bedeutung mit fortschreitender Zeit abnehmen. Indessen können persönlichkeitsverletzende Äusserungen selbst nach einer erheblichen Zeitdauer beispielsweise ansehensmindernd nachwirken. Hinzu kommt, dass Medieninhalte heutzutage angesichts neuer, elektronischer Archivierungstechniken auch nach ihrem erstmaligen, zeitgebundenen Erscheinen allgemein zugänglich bleiben und eingesehen werden können (<ref-ruling> E. 1c/aa S. 484 f. mit Hinweis). Will der Verletzte nach Massgabe von <ref-law> eine Feststellungsklage erheben, so hat er aufzuzeigen, dass sich der negative Eindruck, der von einer in der Vergangenheit erschienenen Publikation herrührt, weiterhin störend auswirkt, mithin die Tatsache, dass der verletzende Artikel weiterhin abrufbar ist, einem fortbestehenden Störungszustand gleichkommt (Urteile 5A_100/2015 vom 29. Oktober 2015 E. 6.1 und 5A_93/2010 vom 16. Dezember 2010 E. 6.1). Darin liegt das schutzwürdige Interesse an der Beseitigung eines fortbestehenden Störungszustandes, das der Kläger zu beweisen hat (zit. Urteil 5A_100/2015 a.a.O.). Das so verstandene Interesse an der gerichtlichen Feststellung der Widerrechtlichkeit einer Verletzung kann dem Verletzten nur abgesprochen werden, wenn sich die Verhältnisse derart geändert haben, dass die persönlichkeitsverletzende Äusserung jede Aktualität eingebüsst oder eine beim Durchschnittsleser hervorgerufene Vorstellung jede Bedeutung verloren hat, und deshalb auch auszuschliessen ist, dass die verletzende Äusserung bei neuem aktuellem Anlass wieder aufgegriffen und neuerdings verbreitet wird (<ref-ruling> E. 1c/aa S. 485 mit Hinweis).
Mit Bezug auf im Internet publizierte Medieninhalte folgt aus dem Gesagten, dass der Grundsatz, wonach Veröffentlichungen im Internet im Allgemeinen immer abrufbar sind, im spezifischen Fall der Konkretisierung bedarf. Mit anderen Worten genügt es nicht, die geschehene Veröffentlichung zu behaupten (Urteil 5A_100/2015 vom 29. Oktober 2015 E. 6.4). Der zitierte Entscheid schützt die Abweisung der Klage durch die Vorinstanz und verweist auf deren Feststellungen, wonach der Beschwerdeführer nie behauptete, dass die Öffentlichkeit den streitigen Artikel in papierenen oder digitalen Archiven noch immer hätte finden können (a.a.O.). Auf derselben Linie liegt die Rechtsprechung, wonach allein die Tatsache, dass die Quelle der Persönlichkeitsverletzung noch aufgefunden werden kann, nicht zur Begründung eines Feststellungsinteresses im Sinne von <ref-law> genügt, es sei denn, die Verbreitung dauere an, beispielsweise im Internet (Urteil 5A_328/2008 vom 26. November 2008 E. 6.2). Zur Begründung, weshalb die kantonalen Instanzen auf die Feststellungsklage zu Recht nicht eintraten, führt das zitierte Urteil aus, die beklagte Tageszeitung habe ihren Fehler in einer später veröffentlichten Berichtigung eingestanden und korrigiert, womit die ursprüngliche Verletzung weggefallen sei (a.a.O.). Demgegenüber bejahte das Bundesgericht das Feststellungsinteresse in einem Fall, in welchem als Tatsache feststand, dass der Medienbericht mit den persönlichkeitsverletzenden Aussagen aus dem Plädoyer eines Anwalts nach wie vor im Internet aufgerufen werden konnte (Urteil 5A_605/2007 vom 4. Dezember 2008 E. 3.2).
3.4. Im Lichte dieser Erwägungen erweckt der angefochtene Entscheid jedenfalls insofern Bedenken, als er dem Beschwerdegegner ein Interesse an der Feststellung der Widerrechtlichkeit der ersten Version des fraglichen Onlineberichts zugesteht, obwohl diese Version - den vorinstanzlichen Feststellungen zufolge - gar nicht mehr im Internet einsehbar ist. Die Überlegung des Obergerichts, dass die ursprüngliche Version des Artikels "aufgrund der heutigen Archivierungstechniken" unbefristet zugänglich bleibe (s. E. 3.1), hat keinen Bezug zum konkreten Fall. Sie ist - wie die Beschwerdeführerin zutreffend beanstandet - abstrakter Natur. Ein allgemeiner Hinweis auf nicht näher bezeichnete Technologien genügt gemäss der erläuterten Rechtsprechung aber gerade nicht, um einen fortbestehenden Störungszustand zu bejahen. Konkrete Anhaltspunkte dafür, auf welche Art und Weise die Öffentlichkeit auch heute noch ungehindert und ohne besondere Anstrengungen an die ursprüngliche Version des Onlineartikels vom 20. Oktober 2013 gelangen kann, sind dem angefochtenen Entscheid nicht zu entnehmen. In tatsächlicher Hinsicht stellt die Vorinstanz vielmehr fest, dass die erste Version, die den Beschwerdegegner mit Vor- und Nachnamen nennt, aktuell im Internet nicht mehr einsehbar ist. Angesichts dessen trotzdem von einem fortbestehenden Störungszustand auszugehen, verträgt sich nicht mit <ref-law>.
Nichts anderes gilt, soweit die Vorinstanz in ihren theoretischen Erwägungen unter Hinweis auf ein Urteil des Bundesgerichts als "offenkundig" unterstellt, "dass das, was einmal im Internet publiziert ist, dort grundsätzlich unbefristet zugänglich bleibt" (Urteil 2C_372/2018 vom 25. Juli 2018 E. 3.3). Ob es sich dabei um eine bekannte Tatsache im Sinne von <ref-law> handelt, erscheint fraglich, kann jedoch offenbleiben. Im zitierten Urteil hatte das Bundesgericht nicht die Zulässigkeit einer Feststellungsklage nach <ref-law> zu beurteilen. Vielmehr ging es um die Frage, in welchem Zeitpunkt der durch eine Internetpublikation Geschädigte ein Haftungsbegehren gegen die Schweizerische Eidgenossenschaft stellen (und damit die Frist nach Art. 20 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 14. März 1958 über die Verantwortlichkeit des Bundes sowie seiner Behördemitglieder und Beamten [SR 170.32] einhalten) kann. Vor allem aber verkennt die Vorinstanz mit ihrem Hinweis auf das zitierte Urteil 2C_372/2018, dass sich ein fortbestehender Störungszustand, wie ihn <ref-law> voraussetzt, nicht allein gestützt auf allgemeine Aussagen über die dauerhafte Zugänglichkeit von Internetpublikationen bejahen lässt, sondern hierfür im konkreten Fall in tatsächlicher Hinsicht erstellt sein muss, dass der verletzende Artikel weiterhin im Netz abrufbar ist (E. 3.3). Soweit das Obergericht hinsichtlich der ersten Version des streitigen Onlineartikels einen fortbestehenden Störungszustand bejaht, verletzt der angefochtene Entscheid somit <ref-law>. Die Beschwerde ist in diesem Punkt begründet.
Auch mit Bezug auf die zweite Version des streitigen Berichts, in welcher der volle Name des Beschwerdegegners durch seine Initialen ersetzt wurde, wirft die Beschwerdeführerin der Vorinstanz sinngemäss vor, einen fortbestehenden Störungszustand zu bejahen. Hinsichtlich dieser Fassung steht laut Vorinstanz in tatsächlicher Hinsicht fest, dass der Artikel nach wie vor im Internet abrufbar ist (s. Sachverhalt Bst. A.). Weshalb sich die von der Beschwerdeführerin bestrittenen (s. dazu unten E. 4.) Persönlichkeitsverletzungen trotzdem nicht (mehr) im Sinne von <ref-law> störend auswirken sollen, ist der Beschwerde nicht zu entnehmen. Die Beschwerdeführerin erklärt, es sei eine "unbewiesene Annahme", dass der Bericht im Internet noch zugänglich oder irgendwo archiviert sei. Allein mit dieser Gegenbehauptung vermag sie die erwähnte vorinstanzliche Feststellung nicht umzustossen. Unbehelflich ist auch ihr Einwand, wonach die Aktualität der Verletzung nicht aus der Tatsache der Verletzung selbst folgen könne. Die Beschwerdeführerin bestreitet, die "Nicht-Aktualität" als negative Tatsache begründen zu müssen; vielmehr sei es am Beschwerdegegner als Kläger, die Aktualität zu beweisen. Bei alledem übersieht sie, dass sich die Vorinstanz mit der Frage der Aktualität der Verletzung befasst, und zwar auch bezogen auf den konkreten Fall: Sie kommt zur Erkenntnis, es seien keine Umstände ersichtlich, die den Schluss zuliessen, dass die Äusserung jede Aktualität eingebüsst oder eine beim Durchschnittsleser hervorgerufene Vorstellung jede Bedeutung verloren hätte, und aufgrund derer deshalb auszuschliessen wäre, dass die verletzende Äusserung bei neuem aktuellem Anlass wieder aufgegriffen und erneut verbreitet würde. Dieser Erkenntnis hat die Beschwerdeführerin nichts Substantielles entgegenzusetzen. Allein mit der Mutmassung, es sei "nicht anzunehmen", dass ein alter Bericht über die Störung einer Mahnwache noch für irgendwen aktuell ist, vermag sie nichts auszurichten. Soweit die Vorinstanz mit Bezug auf die zweite, aktuell abrufbare Fassung des umstrittenen Onlineartikels ein im Sinne von <ref-law> schutzwürdiges Feststellungsinteresse des Beschwerdegegners bejaht, hat es mit dem angefochtenen Entscheid somit sein Bewenden.
4.
In der Sache - dem Streit um die Begründetheit der Klage des Beschwerdegegners - bleiben nach dem Gesagten (E. 3.) diejenigen Beanstandungen zu prüfen, die sich auf die aktuell abrufbare Fassung des Onlineberichts vom 20. Oktober 2013 bzw. auf die diesbezüglichen Teile des angefochtenen Entscheids beziehen.
4.1.
4.1.1. Die Beschwerdeführerin hält daran fest, dass die (angeblichen) Ansprüche des Beschwerdegegners auf Feststellung und Beseitigung der Verjährung unterliegen. Dass das Persönlichkeitsrecht als solches nicht verjähren kann, besage überhaupt nichts über die Verjährung der aus ihm abgeleiteten bzw. gesetzlich eingeräumten Ansprüche aus. Da eine Persönlichkeitsverletzung eine unerlaubte Handlung sei, gelte die allgemeine Verjährungsfrist des <ref-law> "auch in diesem Zusammenhang". Diese Frist sei "irgendwann Ende 2014, spätestens Anfang 2015 eingetreten" und "nie unterbrochen" worden.
4.1.2. Die Beschwerdeführerin verkennt die gesetzliche Ordnung. <ref-law> gilt nicht für unerlaubte Handlungen als solche, sondern für Obligationen, die durch unerlaubte Handlungen entstanden sind (s. den ersten Titel "Die Entstehung durch Obligationen" sowie dessen zweiten Abschnitt "Die Entstehung durch unerlaubte Handlungen" des Schweizerischen Obligationenrechts [SR 220]). Entgegen dem, was die Beschwerdeführerin unterstellt, sind die Persönlichkeitsrechte und die daraus fliessenden Abwehransprüche keine Obligationen (relativen Rechte), sondern absolute Rechte (s. dazu Christian Brückner, Das Personenrecht des ZGB, 2000, S. 123 f.). Als solche sind sie unverjährbar. Der Verletzte kann sich so lange zur Wehr setzen, wie eine faktische Störung andauert oder eine entsprechende Gefährdung besteht. Dies hat das Bundesgericht schon vor längerer Zeit im Zusammenhang mit einer Persönlichkeitsverletzung durch Namensänderung festgehalten (<ref-ruling> E. 5 S. 5, bestätigt in Urteil 5C.233/2002 vom 30. April 2003 E. 2.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Die Regel gilt für die Persönlichkeitsrechte generell: Dem Verletzten stehen auch die Abwehrklagen nach Art. 28 und Art. 28a Abs. 1 ZGB so lange zur Verfügung, wie die entsprechenden Voraussetzungen gegeben sind; einzig die reparatorischen Klagen auf Schadenersatz, Genugtuung und Gewinnherausgabe (<ref-law>) unterliegen der Verjährung (so auch die herrschende Lehre, vgl. etwa Andreas Meili, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 6. Aufl., 2018, N 8 zu <ref-law>; Heinz Hausheer/Regina E. Aebi-Müller, Das Personenrecht des Schweizerischen Zivilgesetzbuches, 5. Aufl., 2020, S. 139 f.; Nicolas Jeandin, in: Commentaire Romand, Code civil I, 2010, N 19 zu <ref-law>; Pierre Tercier, Le nouveau droit de la personnalité, 1984, S. 51 und 257).
4.2. Was die eigentliche Persönlichkeitsverletzung angeht, gibt zunächst die vorinstanzliche Beurteilung des Untertitels des umstrittenen Onlineartikels (s. Sachverhalt Bst. A) Anlass zur Beschwerde.
4.2.1. Das Obergericht widerspricht dem erstinstanzlichen Entscheid, wonach Titel und Untertitel nur im Gesamtzusammenhang betrachtet werden können. Auch einzelne Teile einer Gesamtaussage, zum Beispiel einzelne Teile eines Presseerzeugnisses (etwa ein Titel oder Bilder) könnten für sich allein betrachtet persönlichkeitsverletzend sein. Dies gelte umso mehr, als mancher Leser eines Presseerzeugnisses nur Titel überfliegt und sich nicht zwingend die Mühe nimmt, den Artikel durchzulesen. Nicht überzeugend ist laut Vorinstanz auch die erstinstanzliche Einschätzung, wonach sich aus dem eigentlichen Bericht, das heisst aus dem Kontext, ergebe, dass mit "Unterstützung" bloss die verbale Verteidigung der Gemeinschaft der Zwölf Stämme und das von ihr proklamierte Züchtigungsrecht gemeint ist. Diese Schlussfolgerung möge zwar auf den Haupttitel zutreffen, wo das konjugierte Verb "hilft" für sich alleine steht, das heisst ohne Konkretisierung, worin die Hilfe besteht. Anders verhalte es sich beim Untertitel. Dessen erster Satz erscheine, isoliert betrachtet, in Bezug auf den Kläger noch unproblematisch. Im zweiten Satz werde das Wort "Unterstützung" nicht für sich alleine verwendet und damit die Unterstützungsleistung an sich in den Vordergrund gestellt oder etwas Unbestimmtes ausgedrückt, das durch einen Folgetext erst erläutert werden müsste. Vielmehr beziehe sich die Unterstützung auf den ersten Teilsatz, in welchem die Aussage gemacht werde, die Sekte "quäle" Kinder, was grundsätzlich eine Tatsachenbehauptung darstelle. Mit der "Sekte" werde ohne Zweifel auf die Gemeinschaft der Zwölf Stämme und mit "aus der Schweiz" auf den Kläger Bezug genommen. Der Gedankenstrich zeige sodann an, dass der zweite Teilsatz am ersten anknüpft. Der Inhalt des zweiten Teilsatzes des zweiten Satzes des Untertitels beziehe sich daher auf jenen des ersten Teilsatzes und könne aufgrund seiner klaren Formulierung - auch unter Berücksichtigung des Haupttextes - nicht anders verstanden werden als ein Vorwurf an den Beschwerdegegner, die Gemeinschaft der Zwölf Stämme in einer Weise zu unterstützen, die das Quälen von Kindern ermögliche oder erleichtere. Mit anderen Worten beziehe sich die Unterstützung nicht auf die Gemeinschaft der Zwölf Stämme als solche, sondern auf das von ihr (angeblich) praktizierte Quälen der eigenen Kinder. Anders könne ein Durchschnittsleser diesen Satz nicht verstehen, so die Beurteilung des Obergerichts.
In der Folge erinnert der angefochtene Entscheid daran, dass nach allgemeiner Auffassung kein charakterlich anständiger Mensch Dritte beim Quälen ihrer Kinder unterstütze. In dieser Unterstellung liege eine klare Verletzung der Ehre des Beschwerdegegners. Ferner handle es sich bei der fraglichen Aussage nicht bloss um eine journalistische Ungenauigkeit. Vielmehr werde der Beschwerdegegner in ein falsches Licht gerückt, denn es sei nicht nachgewiesen (und werde von der Beschwerdeführerin auch nicht behauptet), dass der Beschwerdegegner einen tatsächlich erfolgten Akt des Quälens bzw. der Züchtigung von Kindern unterstützt hat. Soweit er sich auf den Beschwerdegegner beziehe, enthalte der zweite Satz des Untertitels falsche Informationen. Weil an falschen Informationen von vornherein kein öffentliches Interesse bestehe, sei mangels Vorliegens eines Rechtfertigungsgrundes in teilweiser Gutheissung der Feststellungsklage festzustellen, dass die Beschwerdeführerin das Persönlichkeitsrecht des Beschwerdegegners mit der Aussage "[d]ie Sekte quält Kinder - mit Unterstützung aus der Schweiz" widerrechtlich verletzt. Ferner verpflichtet die Vorinstanz in teilweiser Gutheissung des Beseitigungsbegehrens die Beschwerdeführerin, den Passus "mit Unterstützung aus der Schweiz" zu löschen.
4.2.2. Die Beschwerdeführerin wirft dem Obergericht vor, die Inhalte des Hauptartikels auszublenden und sich bundesrechtswidrig und den Regeln der Interpretation eines Medien-Textes widersprechend einzig auf die Formulierung des Untertitels zu beschränken. Der Untertitel bzw. allein das darin verwendete Hauptwort "Unterstützung" besage nach einem vernünftigen Verständnis aber gerade nicht, dass der Beschwerdegegner fremde Kinder geschlagen oder dabei geholfen (solches "unterstützt") habe, und der Passus "aus der Schweiz" sei eine rein geografische Angabe ohne jeden Bezug zu einem konkreten Akt der körperlichen Misshandlung. Es gehe nicht an, einen zufolge seiner relativen Offenheit auf vielfältige konkrete Inhalte passenden Titel gestützt auf eine absolut nicht naheliegende, völlig verengte Sachverhaltsvariante, die er auch noch abdecken könnte, als rechtswidrig zu beurteilen. Gerade deshalb stelle die Bundesgerichtspraxis auf den Gesamtzusammenhang einer Äusserung ab.
Die Beschwerdeführerin argumentiert, wenn sich das Obergericht unbegründeterweise auf eine isolierte Betrachtung einlasse, müsse es die Unbestimmtheit des Untertitels auch gelten lassen. Warum sich die Unterstützung des Beschwerdegegners konkret aufs Kinderquälen und nicht (bloss) auf die Gemeinschaft der Zwölf Stämme beziehen soll, bleibe vollkommen ungeklärt; unter Beizug des Haupttextes werde aber klar, dass niemand die Beschwerdeführerin so verstehen kann, als lege der Beschwerdegegner selbst Hand an die Kinder der Sektenmitglieder. Indem die Vorinstanz genau dies als einzigen Sinn des zweiten Satzes des Untertitels darstelle, verfalle sie "in schon ziemlich krasse Willkür". Die Beschwerdeführerin pocht darauf, dass das Zeitwort "quälen" einen weiten Bedeutungsinhalt habe und der Leser des Untertitels gerade nicht eindeutig erkennen könne, was es mit dem Quälen genau auf sich hat. Dass mit dem Untertitel eine konkrete Mithilfe des Beschwerdegegners beim tatsächlichen Schlagen ausgedrückt werde, sei "nach allen Regeln der deutschen Sprache ausgeschlossen". Das vom Obergericht behauptete Verständnis des Durchschnittslesers sei "seine Erfindung", so der Tadel der Beschwerdeführerin.
Besonders vehement bestreitet die Beschwerdeführerin, im Titel oder Untertitel des streitigen Artikels geschrieben zu haben, dass der Beschwerdegegner die Gemeinschaft der Zwölf Stämme "beim" Quälen ihrer Kinder unterstütze. Entgegen den unbelegten Behauptungen der Vorinstanz habe sie lediglich gesagt, dass der Beschwerdegegner die Erziehungsmethoden vorbehaltlos unterstützt und öffentlich verteidigt, nicht jedoch, dass er fremde Kinder schlage oder dabei helfe. Mit dem Wort "beim" nehme das Obergericht eine nicht vom Untertitel getragene inhaltliche Ergänzung vor; das konkret auf den Akt des Schlagens, den direkten Vollzug von Gewaltanwendung bezogene Verständnis der Vorinstanz sei eine unzulässige Verdrehung des Artikelinhalts und eine willkürliche Deutung von Titel und Untertitel. Angesichts dieser unhaltbaren Deutung des zweiten Teils des zweiten Satzes des Untertitels sei dem Vorwurf des Obergerichts, dass sie über den Beschwerdegegner falsche Informationen verbreitet habe, der Boden entzogen. Unzutreffend sei in der Folge auch der Vorwurf, dass damit ein öffentliches Interesse entfalle, denn eine verkehrte Prämisse könne nicht die daraus gezogenen Folgerungen tragen. Die Frage nach dem Rechtfertigungsgrund stelle sich nicht so wie im angefochtenen Entscheid dar.
4.2.3. Die Persönlichkeit umfasst alles, was zur Individualisierung einer Person dient und im Hinblick auf die Beziehung zwischen den einzelnen Individuen und im Rahmen der guten Sitten als schutzwürdig erscheint (BGE 70 II 127 E. 2 S. 130; 45 II 623 E. 1 S. 625). Das Persönlichkeitsrecht verschafft seinem Träger die privatrechtliche Befugnis, über die persönlichen Güter grundsätzlich frei von fremder Einwirkung zu herrschen (<ref-ruling> E. 6.4.2 S. 308).
<ref-law> enthält keine Umschreibung des rechtserheblichen unerlaubten Verhaltens, das die Verletzung der Persönlichkeit begründet. Das Zivilrecht bietet Schutz gegen verschiedenste Arten und Modalitäten von Verletzungen. Eingriffe durch Informationstätigkeiten von Medienschaffenden und Medien können beispielsweise dadurch erfolgen, dass die Presse die verbreiteten Informationen mit verbotenen Mitteln oder auf unfaire oder sonstwie unerlaubte Weise beschafft, dass sie grundsätzlich nicht öffentliche Personeninformationen verbreitet oder dass sie jemanden in den Medien blossstellt und lächerlich macht. Wie für jede Persönlichkeitsverletzung gilt auch für die Beeinträchtigungen der Persönlichkeit durch Informationstätigkeiten der Medien, dass das rechtserhebliche Verhalten eine gewisse Intensität erreichen muss, so dass ein eigentliches "Eindringen" vorliegt (<ref-ruling> E. 6.4.3 S. 309 f. mit Hinweisen). Für die Beurteilung des Eingriffes in die Persönlichkeit muss darauf abgestellt werden, wie der Pressebericht bei einem durchschnittlichen Leser ankommt (<ref-ruling> E. 2b/aa S. 487; <ref-ruling> E. 3a S. 213; <ref-ruling> E. 2 S. 211; <ref-ruling> E. 2a S. 96 f.). Dessen Eindruck und Verständnis einer Presseäusserung behandelt das Bundesgericht nicht als Tatsachenfeststellung, sondern als Rechtsfrage bzw. als ihr gleichgestellte Folgerung aus der allgemeinen Lebenserfahrung (Urteil 5A_376/2013 vom 29. Oktober 2013 E. 3.2 mit Hinweisen).
Die Persönlichkeitsverletzung kann sich aus einzelnen Behauptungen oder Passagen eines Medienberichts, aus dem Zusammenhang einer Darstellung oder auch aus dem Zusammenspiel mehrerer Meldungen ergeben (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3a S. 212; Meili, a.a.O., N 42 zu <ref-law>; Peter Nobel/Rolf H. Weber, Medienrecht, 3. Aufl., 2007, S. 207). Speziell im Zusammenhang mit der (schriftlichen) Wortberichterstattung ist sodann zu beachten, dass Leser den ausführlichen (Haupt-) Text eines Medienberichts oft nicht in allen Einzelheiten von A bis Z durchlesen, sondern ihre Aufmerksamkeit vor allem oder gar ausschliesslich den Schlagzeilen, Unter- und Zwischentiteln oder Bildlegenden zuwenden (vgl. <ref-ruling> E. 5b S. 42). Dies gilt in besonderem Mass für die Art und Weise, wie Medienberichte für die Veröffentlichung auf Onlineportalen aufbereitet und von der Leserschaft über diese Kanäle konsumiert werden. Auch dieser Umstand ist - als allgemeine Erfahrungstatsache - zu berücksichtigen, wenn zur Beurteilung steht, wie ein Durchschnittsleser den fraglichen Bericht wahrnimmt. Entsprechend können durchaus auch einzelne Bestandteile eines Presseerzeugnisses für sich allein betrachtet persönlichkeitsverletzend sein, soweit nach der allgemeinen Lebenserfahrung damit zu rechnen ist, dass die fraglichen Elemente mitunter losgelöst von den übrigen Inhalten zur Kenntnis genommen werden. Beschränkt sich die zu erwartende Wahrnehmung des Durchschnittslesers aber auf einzelne Teile eines Presseerzeugnisses, so "schrumpft" damit auch der Gesamteindruck des Durchschnittslesers, auf den es nach der Rechtsprechung (s. BGE <ref-ruling> a.a.O.) bei der Beurteilung der Widerrechtlichkeit ankommt, denn diesen Gesamteindruck vermag der Durchschnittsleser unweigerlich nur aus dem Wahrgenommenen zu gewinnen.
4.2.4. Angesichts der vorstehenden Erläuterungen erweisen sich die in der Beschwerde erhobenen Beanstandungen als unbegründet. Zwar reklamiert die Beschwerdeführerin unablässig, dass der Haupttext des streitigen Onlineartikels in die Beurteilung des Untertitels einzubeziehen ist, weil erst dieser klar aufzeige, wie der Beschwerdegegner die Gemeinschaft der Zwölf Stämme unterstützt. Die Erkenntnis des Obergerichts, wonach sich mancher Leser eines Presseerzeugnisses nur die Titel ansieht und nicht notwendigerweise den gesamten Artikel durchliest, stellt sie nicht in Abrede. Sie argumentiert aber, dass ein Titel gar nicht mehr als ein grober Inhaltshinweis sein könne. Was ein flüchtiger Leser zu verstehen meint, könne gerade nicht massgeblich sein. Ein flüchtiger Leser habe keinen Anspruch darauf, mit dem blossen Titel einen differenzierten Inhalt vollständig zu erfassen; umgekehrt könne sich ohne Bezugnahme auf den Inhalt eines Artikels gar nicht entscheiden, was mit einem Titel eigentlich genau gemeint ist. Allein damit vermag sie die vorinstanzliche Erklärung, weshalb auch bloss einzelne Titel oder Bilder in einem Medienbericht für sich allein betrachtet persönlichkeitsverletzend sein können, nicht zu Fall zu bringen. Soweit sie geltend macht, dass die Bundesgerichtspraxis auf den "Gesamtzusammenhang" einer Äusserung abstelle, übersieht sie, dass sich dieser Gesamtzusammenhang nicht unbedingt aus der Summe aller Inhalte des fraglichen Medienberichts ergibt, sondern wesentlich davon beeinflusst wird, welche Inhalte der Durchschnittsleser überhaupt erfasst. Gewiss sind in der Wortberichterstattung gebräuchliche Textelemente wie Spitzmarken, Schlagzeilen, Untertitel und Lead darauf angelegt, die Aufmerksamkeit des Lesers zu erhaschen und ihn zur Lektüre des eigentlichen Haupttextes zu motivieren, ohne dessen Inhalt in allen Feinheiten vermitteln zu können. Allein daraus folgt entgegen der Meinung der Beschwerdeführerin aber nicht, dass die bundesrechtskonforme Beurteilung einer Publikation zwingend eine Gesamtschau von Titel, Untertitel und Artikel erfordert. Um die Neugier ihrer Leserschaft zu wecken und Spannung aufzubauen, bedient sich die Presse nicht immer prägnanter und aufschlussreicher Informationen. Bisweilen greift sie zu diesem Zweck auch auf Anspielungen und Vieldeutigkeiten zurück. Ist - wie mit Bezug auf die fraglichen Textbestandteile - aber damit zu rechnen, dass Leser den Haupttext trotz allen Werbens nicht in seiner Gesamtheit zur Kenntnis nehmen, so kann sich ein Medienunternehmen nicht darauf berufen, dass die vollständige Lektüre des Berichts allfällige, in den einleitenden Teilen enthaltene Doppelbödigkeiten oder Andeutungen ausgeräumt hätte. Lässt sich die Presse bei der Gestaltung von Schlagzeilen und (Unter-) Titeln auf das Spiel mit der relativen Offenheit der verwendeten Formulierungen ein, so geht sie mit anderen Worten auch unter dem Blickwinkel des Persönlichkeitsschutzes ein Risiko ein: Entgegen dem, was die Beschwerdeführerin glauben machen will, muss sie sich auch Lesarten entgegenhalten lassen, die vielleicht nicht ganz so naheliegend erscheinen beziehungsweise nicht beabsichtigt waren, aber trotzdem in den beschränkten Wahrnehmungshorizont eines Durchschnittslesers fallen, der sich mit den Textinhalten nur flüchtig oder summarisch beschäftigt.
Soweit die Beschwerdeführerin die vorinstanzliche Analyse der streitigen Passage des Untertitels des Onlineartikels in Frage stellt, begnügt sie sich damit, dem angefochtenen Entscheid ihre eigene Interpretation gegenüber zu stellen. Wie die resümierten Erwägungen des Obergerichts zeigen (E. 4.2.1), ist insbesondere auch der Vorwurf unbegründet, wonach die Vorinstanz nicht erkläre, inwiefern sich der Untertitel vom Haupttitel unterscheidet. Bloss zu behaupten, es lasse sich kein rechtlich und sachlich relevanter Unterschied darlegen, genügt nicht. Weiter meint die Beschwerdeführerin, wenn "Unterstützung" etwas anderes als "Helfen" sei, dann sei damit auch nicht gesagt, dass die Unterstützung "aus der Schweiz" diejenige des Beschwerdegegners ist, denn die fragliche Passage laute nicht "mit seiner Unterstützung aus der Schweiz". Inwiefern es für die Deutung von "Dieser Schweizer" (Titel) bzw. "aus der Schweiz" (Untertitel) darauf ankommt, dass im Titel von "helfen" und im Untertitel von "Unterstützung" die Rede ist, mag die Beschwerdeführerin nicht erklären. Ihrem Schriftsatz ist auch nicht zu entnehmen, warum ein Durchschnittsleser bei der Lektüre der einleitenden Elemente des Artikels ausgerechnet zum Schluss kommen soll, dass sich die im Untertitel erwähnte Unterstützung nicht auf den Beschwerdegegner bezieht, nachdem die Oberzeile den Beschwerdegegner mit den Initialen konkret benennt und der Titel mit "Dieser Schweizer" eindeutig auf den identifizierten Beschwerdegegner Bezug nimmt. Im Dunkeln bleibt auch, weshalb es für die Beurteilung der streitigen Stelle im Untertitel darauf ankommen soll, ob die Gemeinschaft der Zwölf Stämme eigene oder fremde Kinder quält.
Wortreich wehrt sich die Beschwerdeführerin schliesslich dagegen, dass mit dem Untertitel aus der Sicht eines Durchschnittslesers eine konkrete Mithilfe (des Beschwerdegegners) beim tatsächlichen Schlagen der Kinder ausgedrückt werde. Entgegen dem, was die Beschwerdeführerin behauptet, kann der angefochtene Entscheid gerade nicht in diesem Sinn verstanden werden. Die Vorinstanz stellt klar, mit der verwendeten Formulierung werde "nicht zwingend ausgedrückt", dass der Beschwerdegegner beim "Akt des Quälens an sich" helfe, sondern dem Beschwerdegegner lediglich vorgeworfen, die Gemeinschaft in einer Weise zu unterstützen, die das Quälen von Kindern ermögliche oder erleichtere. Soweit ihre Erörterungen um die vorinstanzliche Ausdrucksweise "beim Quälen" kreisen, übersieht die Beschwerdeführerin, dass hier der tatsächliche Wortlaut des streitigen Untertitels zur Beurteilung steht und nicht die Art und Weise, wie das Obergericht die umstrittene Passage aus dem Onlineartikel wiedergibt oder zusammenfasst. Inwiefern der Formulierung "beim Quälen" eine andere Bedeutung als diejenige einer blossen Paraphrase des bereits Gesagten beizumessen ist, vermag die Beschwerdeführerin bei aller Breite ihres Vortrags nicht nachvollziehbar darzulegen. Die Vorinstanz erblickt in der streitigen Passage die Unterstellung, dass der Beschwerdegegner einen tatsächlich erfolgten Akt des Quälens bzw. der Züchtigung von Kindern unterstützt habe. Dass sie den Beschwerdegegner an der fraglichen Stelle des Untertitels bezichtigt hätte, selbst "Hand angelegt", also in tätlicher Weise beim Schlagen von Kindern mitgeholfen zu haben, wirft das Obergericht der Beschwerdeführerin damit nicht vor.
4.3. Zu prüfen bleibt, ob der Onlineartikel die Persönlichkeit des Beschwerdegegners deshalb verletzt, weil er diesen mit den Initialen seines Vor- und Nachnamens nennt und eine Fotografie verwendet, die ihn erkennbar in Nahaufnahme zeigt (s. Sachverhalt Bst. A).
4.3.1. Die Vorinstanz erinnert daran, dass der Beschwerdegegner eine von Dritten organisierte öffentliche Kundgebung gestört hat. Deshalb müsse er sich eine Berichterstattung über die Kundgebung und deren Störung durch ihn gefallen lassen. Hingegen sei grundsätzlich kein schützenswertes Interesse ersichtlich, den nicht prominenten Urheber einer solchen Aktion, zumal wenn er nicht namentlich auftritt, zuhanden einer weiteren Öffentlichkeit (Leserschaft) zu identifizieren. Ein Interesse einer Person, trotz Exponierung für eine Sache möglichst anonym zu bleiben, bestehe umso mehr, als im Zeitalter des Internets sich jederzeit ein medial (aber auch privat) veranlasster Sturm der Entrüstung über Individuen ergiessen könne. Das gelte namentlich dann, wenn die Person eine (Aussenseiter-) Meinung vertritt bzw. sich für Aussenseiter einsetzt und ihr Engagement geeignet erscheint, ihre Stellung in ihrem engeren oder weiteren Umfeld (etwa mit Blick auf künftige Stellenbewerbungen) in tiefgreifender Weise zu verändern. Im konkreten Fall setze sich der Beschwerdegegner für die von der Beschwerdeführerin ausdrücklich als Sekte bezeichnete religiöse Gemeinschaft der Zwölf Stämme ein, die (angeblich) Körperstrafen an Kindern praktiziere und sich insoweit "seltsam" verhalte. Das Obergericht folgert, dass eine personifizierte Berichterstattung über den Beschwerdegegner für diesen erhebliche negative Konsequenzen haben könne, beispielsweise "Shitstorms" auf sozialen Medien oder Absagen bei Stellenbewerbungen. Die Interessenabwägung zugunsten des Beschwerdegegners ergebe sich nicht zuletzt aus der zur Gerichtsberichterstattung entwickelten Rechtsprechung und der Rechtsprechung zu relativen Personen der Zeitgeschichte, denn in beiden Fällen müsse die Berichterstattung grundsätzlich anonymisiert sein.
Für das Obergericht steht fest, dass der Beschwerdegegner auch in der aktuell online abrufbaren Version des Onlineartikels identifizierbar sei, wenn auch für einen beschränkteren Leserkreis (Verwandte und Bekannte). Zwar sei der volle Name durch die Initialen ersetzt worden. Dem Artikel sei aber noch immer die Fotografie beigefügt, in deren Zentrum der Beschwerdegegner klar erkennbar sei. Darin liege eine Verletzung des Rechts am eigenen Bild, denn grundsätzlich dürfe eine sich in der Öffentlichkeit (Gemeinbereich) aufhaltende Person (ohne Einwilligung zu einer Grossaufnahme) nur als Teil der Umgebung abgebildet werden. Zwar könne eine Wortberichterstattung, die einen Rechtfertigungsgrund in Anspruch nehmen kann, ein legitimer Grund sein, eine der Illustration dienende Fotografie des Portraitierten mit zu veröffentlichen, doch habe immer eine sorgfältige Interessenabwägung zu erfolgen. Hier müsse diese Abwägung zugunsten des Beschwerdegegners ausfallen, denn im Unterschied zum Fall, der <ref-ruling> zugrunde liegt, handle es sich bei ihm nicht um eine "relativ prominente Persönlichkeit". Der Beschwerdegegner sei - soweit ersichtlich - einzig an der Mahnwache in U._ (D) öffentlich aufgetreten, dazu noch "seltsam", das heisst wenig vorteilhaft. Dies rechtfertige keine ihn individualisierende Abbildung, so die Schlussfolgerung der Vorinstanz. Gestützt auf diese Erwägungen stellt das Obergericht in teilweiser Gutheissung des klägerischen Feststellungsbegehrens fest, dass die Beschwerdeführerin im Onlineartikel vom 20. Oktober 2013 mit dem verwendeten Bild des Beschwerdegegners dessen Persönlichkeit (sein Recht am eigenen Bild bzw. auf informationelle Privatheit) verletzt hat. Zudem verpflichtet es die Beschwerdeführerin in teilweiser Gutheissung des Beseitigungsbegehrens, die im Onlinebericht verwendete Fotografie so zu verpixeln, dass der Beschwerdegegner nicht mehr individualisiert werden kann.
4.3.2. Die Beschwerdeführerin rügt, die verquere Logik der Vorinstanz schütze unvorteilhafte Aktionen von Unprominenten vor Berichterstattung. Die Medien- und Meinungsfreiheit sei nicht darauf verwiesen, über Unprominente nur Vorteilhaftes und über Prominente nur Unvorteilhaftes berichten zu dürfen. Die vorbestehende Prominenz zum entscheidenden Kriterium zu erheben, sei falsch; warum die Prominenz hier eine Rolle spielen könnte, sei nicht ersichtlich. Der unprominente Beschwerdegegner verdiene keinen Schutz vor identifizierender Berichterstattung, da er durch seine Aktion erst zum relativ Prominenten im Sinne der Rechtsprechung werde und sein Handeln den Bericht überhaupt erst rechtfertige. Dazu komme, dass der Beschwerdegegner auf öffentlichem Grund, also in der Gemeinsphäre gehandelt und seine Handlung nichts mit seiner Privat- oder Geheimsphäre zu tun habe. Wer öffentlich seine Überzeugungen erkläre, verzichte auf jeden Schutz in diesem Zusammenhang. Nachdem der Beschwerdegegner als einzelner und einziger mit einem Megafon eine öffentliche Veranstaltung gestört habe, könne er nicht in Anspruch nehmen, in der Masse zu verbleiben, aus der er ja bewusst und gewollt herausgetreten sei. Weil er allein, als einzelner Schweizer gehandelt habe, mache ihn sein Handeln in der Öffentlichkeit in Deutschland relativ prominent und bilde gerade den Anlass für die Berichterstattung. Die Beschwerdeführerin besteht darauf, dass es im fraglichen Artikel allein um die Störung der Mahnwache durch den Beschwerdegegner gehe. Dessen Auftritt sei Ausdruck einer gelebten und bis heute aufrecht erhaltenen Haltung, und bette sich in weitere Unterstützungshandlungen zugunsten der Gemeinschaft der Zwölf Stämme ein. Als einziger Anlass der Berichterstattung müsse sich der Beschwerdegegner die Namensnennung und Abbildung gefallen lassen, denn jemand, der sich öffentlich exponiere, könne mit seiner Exponierung nicht wiederum Persönlichkeitsschutz beanspruchen.
Die Beschwerdeführerin insistiert, dass Aussenseitermeinungen nicht deshalb "mehr geschützt" seien, weil sie Aussenseitermeinungen sind. Wer öffentlich Unsinn vertrete, müsse damit leben, dass man darüber berichtet. Setze sich der Beschwerdegegner entgegen dem allgemeinen Konsens für einen gewaltsamen Erziehungsstil ein, so müsse er sich das auch entgegenhalten lassen, wenn er nicht prominent ist. Der Persönlichkeitsschutz gehe nicht so weit, dass ein wahrheitsgemässer und nicht herabsetzender Bericht über abwegige Auftritte in der Öffentlichkeit allein deshalb widerrechtlich ist, weil der Protagonist keine absolute Person der Zeitgeschichte ist. Ausserdem übergehe die Vorinstanz in ihrer Interessenabwägung, dass der Beschwerdegegner im Jahr 2014 im Internet unbestrittenermassen den Beitrag "D._" publiziert habe, in welchem er sich zustimmend zum Einsatz von Schlaginstrumenten in der Kindererziehung äussere. Auch der bloss mögliche, nicht bewiesene "Shitstorm" ist für die Beschwerdeführerin kein Argument, weil niemand Anrecht darauf habe, für seine umstrittenen, geradezu abwegigen Auffassungen nicht kritisiert zu werden. Dass der Bericht keine negativen Folgen für den Beschwerdegegner hatte - die Vorinstanz erwähne den "Sturm der Entrüstung" und die "Shitstorms" nur als möglich - bestätige die Richtigkeit ihres Standpunkts, so die Beschwerdeführerin.
Schliesslich wehrt sich die Beschwerdeführerin dagegen, dass der Fall mit Gerichtsberichterstattung zu tun habe. Sie habe dem Beschwerdegegner "an keiner Stelle ihrer Rechtsschriften" vorgehalten, dass die Störung der Mahnwache eine Straftat sei. Dem Obergericht wirft sie vor, von einer gar nicht behaupteten, erfundenen und insbesondere nicht bewiesenen Straftat ausgehend auf nicht einschlägige Argumente bezüglich Gerichtsberichterstattung zurückzugreifen. Das Bundesrecht erlaube nicht, jede denkbare Assoziation in die Interessenabwägung einzubeziehen. Schliesslich sei die Tatsache, dass sich jemand einem Medienunternehmen gegenüber äussert, selbstverständlich ein ausreichender Grund, ihn zu nennen. Wer mit Medien spreche, müsse mit der Veröffentlichung dessen rechnen, was er sagt; ja meist wolle er es sogar. Deshalb dürfe er auch genannt und gezeigt werden. Da eine identifizierende Berichterstattung in jedem Fall zulässig sei, komme es auch nicht darauf an, ob der Beschwerdegegner vom Durchschnittsleser oder - infolge der Ersetzung seines Namens durch die Initialen - von seinem sozialen Umfeld erkannt wird. Gemäss <ref-ruling> ff. liege auch keine Verletzung des Rechts am eigenen Bild vor, denn wer auf öffentlichem Grund eine Störaktion vornehme, müsse sich die Berichterstattung auch mit Bild gefallen lassen. Das Obergericht verkenne den Begriff der "relativ prominenten Person", weil es die "Anlassgebundenheit der relativen Prominenz" nicht zu begreifen scheine und offenbar glaube, die Prominenz müsse vorbestehend sein und den Grad der "absoluten Person der Zeitgeschichte" erreicht haben. Indem es die Einmaligkeit der Aktion plötzlich zum Schutzfaktor erhebe und ausblende, dass der Beschwerdegegner die Gemeinschaft der Zwölf Stämme auch vorher und nachher unterstützte, verletze es die bundesrechtlich massgebenden Kriterien in der Interessenabwägung. Und indem es auch die Seltsamkeit der klägerischen Position zum Schutz des Beschwerdegegners nehme, wiederhole es den gleichen Fehler.
4.3.3. Die Figur der absoluten bzw. relativen Person der Zeitgeschichte umschreibt in typisierter Weise den Rechtfertigungsgrund des öffentlichen Interesses, dem insbesondere dort eine gewichtige Funktion zukommt, wo die Medien unter Namensnennung über eine Person berichten, ohne dass diese dazu ihre Einwilligung gegeben hat. Nach der Unterscheidung, welche die Rechtsprechung von der Lehre übernommen hat, sind absolute Personen der Zeitgeschichte solche, die kraft ihrer Stellung, ihrer Funktion oder ihrer Leistung derart in das Blickfeld der Öffentlichkeit getreten sind, dass ein legitimes Informationsinteresse an ihrer Person und ihrer gesamten Teilnahme am öffentlichen Leben zu bejahen ist, was etwa für Politiker, Spitzenbeamte, berühmte Sportler, Wissenschaftler oder Künstler zutrifft. Merkmal der relativen Person der Zeitgeschichte ist es demgegenüber, dass ein zur Berichterstattung legitimierendes Informationsbedürfnis nur vorübergehend, aufgrund und in Zusammenhang mit einem bestimmten aussergewöhnlichen Ereignis besteht (<ref-ruling> E. 2c/aa S. 488 f.). Als Beispiele solch aussergewöhnlicher Ereignisse werden im Schrifttum Naturkatastrophen, spektakuläre Unfälle, aufsehenerregende Verbrechen, Wettbewerbe oder hervorragende Leistungen genannt (s. etwa Anne-Sophie Morand, Die Person der Zeitgeschichte, in: Medialex 2015, S. 51; Steinauer/Fountoulakis, Droit des personnes physiques et de la protection de l'adulte, 2014, Rz. 538a S. 192; Géraldine Auberson, Personnalités publiques et vie privée, Etude de droit privé suisse à la lumière du droit privé américain, 2013, S. 28 f.; Nobel/Weber, Medienrecht, 3. Aufl., 2007, S. 186). Über daran beteiligte Personen darf ohne deren Einwilligung nur im Zusammenhang mit dem betreffenden Ereignis resp. Anlass - demnach punktuell - berichtet werden. Ohne den Ereignisbezug ist eine Berichterstattung nicht durch das öffentliche Interesse zu rechtfertigen und demnach unzulässig (Morand, a.a.O.). Wie das Bundesgericht im zitierten Entscheid klarstellt, vermag die strikte Zweiteilung in absolute und relative Personen der Zeitgeschichte nicht die gesamte Wirklichkeit sachgerecht zu erfassen. Den verschiedenen Abstufungen ist deshalb mit einer die Umstände des Einzelfalles würdigenden Abwägung gerecht zu werden, indem jeweils zu fragen ist, ob an der Berichterstattung über die betroffene, relativ prominente Person ein schutzwürdiges Informationsinteresse besteht, das deren Anspruch auf Privatsphäre überwiegt (<ref-ruling> E. 2c/bb S. 490; vgl. auch Steinauer/Fountoulakis, a.a.O.). Gehört eine Person nicht zum Kreis der Personen des öffentlichen Interesses, so kann sie grundsätzlich Anonymität in der Berichterstattung beanspruchen (vgl. Urteile 5A_658/2014 vom 6. Mai 2015 E. 5.6; 1B_87/2018 vom 9. Mai 2018 E. 3.5). Aber auch in der Öffentlichkeit stehende Personen der Zeitgeschichte brauchen sich nach der erörterten Rechtsprechung nicht gefallen zu lassen, dass die Massenmedien mehr über sie berichten, als durch ein legitimes Informationsbedürfnis gerechtfertigt ist (<ref-ruling> E. 5c/bb S. 161). Denn in jedem Fall gilt der Grundsatz der Verhältnismässigkeit (<ref-ruling> E. 4b/aa S. 307).
Das Recht am eigenen Bild ist als Konkretisierung des in <ref-law> verankerten Persönlichkeitsrechtes in Rechtsprechung und Lehre anerkannt. Eine Verletzung dieses Rechts ist zu bejahen, wenn jemand ohne seine Zustimmung um seiner Person willen fotografiert (oder auf andere Weise abgebildet) oder eine bestehende Abbildung ohne seine Einwilligung veröffentlicht wird (s. zu den verschiedenen Arten von Abbildungen Urteil 5C.26/2003 vom 27. Mai 2003 E. 2.2). Nicht anders verhält es sich dort, wo eine Aufnahme, die mit dem Einverständnis der abgebildeten Person gemacht wurde, ohne deren Einwilligung in einem nicht vorgesehenen Zusammenhang verwendet wird (<ref-ruling> E. 4.1 S. 723 f. mit Hinweisen). Erfolgt die Veröffentlichung durch die Presse, ist deren Interesse auf Information der Allgemeinheit, wozu auch die Illustrierung der Wortberichterstattung mit Bildmaterial gehört, gegen dasjenige des Individuums auf Unversehrtheit seiner Person sorgsam abzuwägen (<ref-ruling> E. 3a/aa S. 492). Es gilt derselbe Massstab wie bei der Beurteilung der Frage, ob sich die (Wort-) Berichterstattung an sich mit einem überwiegenden öffentlichen Informationsinteresse rechtfertigen lässt. In der Regel stellt zudem eine Wortberichterstattung, die einen Rechtfertigungsgrund in Anspruch nehmen kann, ihrerseits einen legitimen Grund dar, eine der Illustration dienende Fotografie des Portraitierten mitzuveröffentlichen (BGE a.a.O. E. 3b S. 493).
4.3.4. Im Lichte dieser Vorgaben vermag die Beschwerde den angefochtenen Entscheid nicht zu erschüttern. Die Beschwerdeführerin verstrickt sich in Widersprüche, wenn sie zum einen darauf pocht, dass die Prominenz keine Rolle spiele, zum andern aber argumentiert, der Beschwerdegegner habe sich durch seinen öffentlichen Auftritt an der Mahnwache in U._ (D) "relativ prominent" gemacht. Entgegen dem, was die Beschwerdeführerin unterstellt, beruht der angefochtene Entscheid auch nicht auf der Vorstellung, dass die Prominenz einer Person der Zeitgeschichte "vorbestehend" sein müsse, zieht die Vorinstanz doch ausdrücklich in Betracht, dass sich der Beschwerdegegner durch die Störung der Mahnwache - also durch das die Berichterstattung auslösende Ereignis - zu einer relativen Person der Zeitgeschichte gemacht haben dürfte. Daran ändert auch die vorinstanzliche Erwägung nichts, wonach der Beschwerdegegner keine "relativ prominente Persönlichkeit" sei, denn in der fraglichen Passage stellt das Obergericht lediglich klar, dass der Beschwerdegegner anders als der Rechtsanwalt, um den es in <ref-ruling> ging, nicht als Person gelten kann, die sich in gewissen Kreisen "eines beträchtlichen Bekanntheitsgrads" erfreut (vgl. BGE a.a.O., E. 2c/bb S. 489). Dass sie im kantonalen Verfahren - entgegen der diesbezüglichen Feststellung des Obergerichts - Gegenteiliges aufgezeigt hätte, macht die Beschwerdeführerin jedenfalls nicht in einer Weise geltend, die den Anforderungen an Sachverhaltsrügen genügen würde (vgl. dazu <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.). Hierzu genügt es nicht, einfach zu behaupten, der Auftritt des Beschwerdegegners in Deutschland sei kein isolierter "Akt der Verblendung", sondern Ausdruck einer Haltung, die der Beschwerdegegner "vorher und nachher auch in anderer Weise vertreten" habe.
Ebenso täuscht sich die Beschwerdeführerin, wenn sie meint, der Beschwerdegegner verwirke mit seiner Einordnung als relative Person der Zeitgeschichte bzw. dadurch, dass er durch die fragliche Störung der öffentlichen Mahnwache den alleinigen Anlass für die Berichterstattung gesetzt habe, jeden Schutz "in diesem Zusammenhang", insbesondere auch seinen Anspruch auf anonyme Berichterstattung. Wie oben ausgeführt, verbietet sich im Recht des Persönlichkeitsschutzes eine schematische Betrachtungsweise, die sich allein an abstrakten Konzepten wie demjenigen der (absoluten oder relativen) Person der Zeitgeschichte orientiert. Das Gericht hat im konkreten Einzelfall zu prüfen, ob an der fraglichen Berichterstattung ein schutzwürdiges Interesse besteht, das den Anspruch der betroffenen Person auf Privatsphäre überwiegt. Die Beantwortung der Frage, ob das Interesse des Urhebers der Persönlichkeitsverletzung dem grundsätzlich schutzwürdigen Interesse des Verletzten mindestens gleichwertig ist, bedingt eine Abwägung der auf dem Spiel stehenden Interessen. Das Gericht muss eruieren, ob sowohl die Ziele, die der Urheber verfolgt, als auch die Mittel, derer er sich bedient, schutzwürdig sind. Damit verbunden ist ein gewisses Ermessen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1 S. 644; <ref-ruling> E. 3.1 S. 531; <ref-ruling> E. 4a S. 306). Die geschilderten Richtlinien gelten nicht nur für die Prüfung, ob eine Berichterstattung als solche persönlichkeitsverletzend ist, sondern auch mit Blick auf die Frage, ob jemand eine individualisierende Berichterstattung mit Namensnennung und Abbildung dulden muss. Die Befürchtung der Beschwerdeführerin, dass den angefochtenen Entscheid diesbezüglich der Makel einer Bundesrechtsverletzung treffe, ist unbegründet.
So stört sich die Beschwerdeführerin daran, dass das Obergericht auf die Gerichtsberichterstattung in Strafsachen zu sprechen kommt. Dass ihr vom Obergericht vorgehalten wird, die Störung der Mahnwache in ihren Rechtsschriften als Straftat bezeichnet zu haben, stimmt jedoch nicht. Denn überhaupt stehen hier nicht die Rechtsschriften der Beschwerdeführerin zur Beurteilung, sondern der von ihr veröffentlichte Online-Artikel vom 20. Oktober 2013 (in der heute noch abrufbaren Version). Dass ihr die Vorinstanz vorwirft, den Beschwerdegegner in diesem Artikel einer Straftat bezichtigt zu haben, macht die Beschwerdeführerin zu Recht nicht geltend. Im Übrigen geht es der Vorinstanz darum, die im Zusammenhang mit der Gerichtsberichterstattung entwickelte Rechtsprechung auf den konkreten Streit um das Recht des Beschwerdegegners auf anonymisierte Berichterstattung anzuwenden. Inwiefern dies das Bundesrecht verletzen soll, ist der Beschwerde nicht zu entnehmen und auch nicht ersichtlich. In der Folge beruft sich die Beschwerdeführerin darauf, dass jemand, der mit Medien spreche, dies auch wolle und deshalb genannt und gezeigt werden dürfe. Sie begnügt sich jedoch mit der pauschalen Behauptung, dies sei eine Selbstverständlichkeit. Allein damit vermag sie die vorinstanzliche Interessenabwägung nicht als bundesrechtswidrig auszuweisen. Der angefochtene Entscheid beruht auf der Überlegung, dass sich die Presse unter bestimmten Umständen (auch ohne entsprechende Bitte der betroffenen Person) veranlasst sehen muss, von einer identifizierenden Berichterstattung abzusehen. Dem Grundsatz nach stellt die Beschwerdeführerin dies nicht in Abrede. Bezogen auf den konkreten Fall macht sie aber geltend, allein die Befürchtung erheblicher negativer Konsequenzen für den Beschwerdegegner rechtfertige keine anonymisierte Berichterstattung. Dabei übersieht sie, dass die Vorinstanz durchaus nicht mit blossen Hypothesen arbeitet, verweist sie in diesem Zusammenhang doch ausdrücklich auf diejenige Stelle in der Klageschrift, wo der Beschwerdegegner konkrete Beispiele dafür präsentiert, wie sich der streitige Artikel ungünstig für ihn auswirkte. Damit setzt sich die Beschwerdeführerin nicht auseinander. Nicht anders verhält es sich mit der vorinstanzlichen Einsicht, wonach ein überwiegendes öffentliches Interesse, das Gebaren des Beschwerdegegners in Gestalt einer personifizierten Berichterstattung an die Öffentlichkeit zu tragen, insbesondere deshalb zu verneinen ist, weil die fragliche Aktivität den Beschwerdegegner in den Augen der Öffentlichkeit in ein ungünstiges Licht rückt. Bloss zu reklamieren, die "Seltsamkeit der klägerischen Position" werde zum Schutz des Beschwerdegegners ins Feld geführt, genügt nicht. Ins Leere läuft schliesslich der Vorwurf, die Vorinstanz erhebe die Einmaligkeit der Aktion des Beschwerdegegners zum Schutzfaktor. Die Beschwerdeführerin äussert sich nicht dazu, weshalb die Unterstützung, die der Beschwerdegegner der Gemeinschaft der Zwölf Stämme (angeblich) auch vor und nach seinem Auftritt an der Mahnwache in U._ (D) zukommen liess, eine identifizierende Berichterstattung als geradezu zwingend erscheinen lässt. Mag der Beschwerdegegner durch seine öffentliche Exponierung für eine Sache - entsprechend den von Rechtsprechung und Lehre entwickelten Kriterien - auch relative Prominenz errungen haben: Dieser Umstand allein verschafft der Beschwerdeführerin nicht notwendigerweise auch ein überwiegendes schützenswertes Interesse daran, den Beschwerdegegner mittels eines Porträtbildes jedenfalls in seinem Bekanntenkreis zu identifizieren. In diesem Sinne hält der angefochtene Entscheid vor Bundesrecht stand.
5.
Im Ergebnis ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen. Der vorinstanzliche Urteilsspruch ist (ersatzlos) aufzuheben, soweit das Obergericht in (teilweiser) Gutheissung der Klage feststellt, dass die Beschwerdeführerin den Beschwerdegegner auch durch die ursprüngliche Version des streitigen Onlineberichts widerrechtlich in seiner Persönlichkeit verletzt hat (vgl. E. 3.4). Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens rechtfertigt es sich, die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- zu vier Fünfteln der Beschwerdeführerin und zu einem Fünftel dem Beschwerdegegner aufzuerlegen (<ref-law>). Der Beschwerdegegner hat keinen Anspruch auf Entschädigung. Er tritt vor Bundesgericht ohne anwaltliche Vertretung auf; dass ihm persönlich für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren konkrete notwendige Kosten entstanden sind, macht er nicht geltend. Der Beschwerdeführerin, die für die Zwecke des hiesigen Verfahrens einen Anwalt mandatiert und bevollmächtigt hat, steht in dieser Situation nach Massgabe ihres Obsiegens eine Entschädigung zu Lasten des Beschwerdegegners zu (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
1.1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Ziffer 1/1/a des Entscheids des Obergerichts des Kantons Aargau, Zivilgericht, 1. Kammer, vom 16. Januar 2020 wird aufgehoben und es wird wie folgt neu erkannt:
1. In teilweiser Gutheissung der Klage wird:
a) festgestellt, dass die Beklagte den Kläger im Onlinebericht "Dieser Schweizer hilft Kinderquäl-Sekte" auf der Website www.blick.ch vom 20. Oktober 2013 (aktuell abrufbar unter https://www.blick.ch/news/schweiz/a-r-aus-rafz-zh-dieser-schweizer-hilft-kinderquael-sekte-id7652113.html) durch das angefügte Bild sowie durch den zweiten Satzteil des zweiten Satzes des Untertitels "... - mit Unterstützung aus der Schweiz" widerrechtlich in seiner Persönlichkeit verletzt hat [...]
1.2. Die Sache wird zur Neuverteilung der Kosten und der Parteientschädigungen des kantonalen Verfahrens an die Vorinstanz zurückgewiesen.
1.3. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden zu Fr. 3'200.-- der Beschwerdeführerin und zu Fr. 800.-- dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Februar 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn