Sachverhalt:
A.
B._ und A._ sind die mittlerweile geschiedenen Eltern des am 16. Januar 2014 geborenen Sohns C._ (nachfolgend: C._). Seit dem Eheschutzentscheid des Familiengerichts Bremgarten vom 14. März 2016 lebt C._ unter der alleinigen Obhut der Mutter.
B.
Mit Klage vom 22. März 2018 hatte A._ beim Bezirksgericht Bremgarten (Familiengericht) das Scheidungsverfahren anhängig gemacht. In der Klageantwort vom 31. Januar 2019 hatte B._ unter anderem das Begehren gestellt, sie sei berechtigt zu erklären, nach vorgängiger Anzeige an A._ mit C._ nach Deutschland umzuziehen.
C.
C.a. Am 14. Mai 2019 ersuchte die Mutter das Bezirksgericht Bremgarten (Familiengericht), mit C._ nach Deutschland ziehen zu dürfen. Der Vater opponierte dagegen. Mit Entscheid vom 19. Juni 2019 trat das Bezirksgericht Bremgarten auf das Gesuch mangels sachlicher Zuständigkeit nicht ein. Es erwog, die Kindesschutzbehörde des Bezirks Lenzburg, in welchem das Kind Wohnsitz hatte, sei örtlich und sachlich zuständig.
C.b. Am 1. Juli 2019 reichte B._ ihr Gesuch beim Bezirksgericht Lenzburg (Familiengericht) als Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (nachfolgend: KESB) Lenzburg ein. Mit Entscheid vom 15. Juli 2019 stimmte die KESB Lenzburg dem Wechsel des Aufenthaltsortes des Kindes nach Deutschland (Bayern) zu (Art. 301a Abs. 2 ZGB). Auf das Gesuch des Vaters um superprovisorische Umteilung der Obhut trat sie nicht ein. Einer allfälligen Beschwerde entzog sie die aufschiebende Wirkung.
C.c. In der Folge meldete sich die Mutter mit C._ am 17. Juli 2019 in U._ (AG) ab und verlegte ihren Wohnsitz am 18. Juli 2019 nach V._ in Deutschland.
C.d. Gegen den am 25. Juli 2019 in begründeter Ausfertigung zugestellten Entscheid der KESB Lenzburg (s. Bst. C.b) erhob A._ am 27. Juli 2019 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Aargau. A._s Gesuch, der Mutter die Ausreise und Wohnsitzverlegung superprovisorisch zu verbieten bzw. ihr gegebenenfalls die unverzügliche Rückreise nach U._ zu befehlen, C._ unter seine Obhut zu stellen und seiner Beschwerde die aufschiebende Wirkung wieder zu erteilen, wies das Obergericht mit Verfügung vom 30. Juli 2019 ab. In der Sache trat es angesichts des erfolgten Wegzuges des Kindes nicht auf die Beschwerde ein. Das Gesuch des Vaters um unentgeltliche Rechtspflege wies es ab (Entscheid vom 12. November 2019).
D.
D.a. Gegen diesen Entscheid hat A._ (Beschwerdeführer) am 16. Dezember 2019 beim Bundesgericht eine Beschwerde eingereicht. Er stellt das Begehren, die Vorinstanz anzuweisen, auf die Beschwerde einzutreten und einen inhaltlichen Entscheid zu erlassen. Im Eventualbegehren beantragt er, auf das Gesuch von B._ (Beschwerdegegnerin) vom 1. Juli 2019 (s. Bst. C.b) nicht einzutreten. Weiter stellt er das Subeventualbegehren, die KESB Lenzburg zur Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege anzuweisen, sowie das Subsubeventualbegehren, eine Rechtsverzögerung bzw. Rechtsverweigerung festzustellen. Schliesslich ersucht er für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege.
D.b. Die vom Bundesgericht zur Vernehmlassung eingeladene Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde. Auch sie stellt ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht (Eingabe vom 2. März 2020). Sowohl das Obergericht als auch die KESB Lenzburg verzichteten auf eine Vernehmlassung; die KESB Lenzburg unter Hinweis auf die Begründung im angefochtenen Entscheid. Am 16. März 2020 replizierte der Beschwerdeführer. Im Rahmen der Duplik wies das Bezirksgericht Lenzburg "der guten Ordnung halber" darauf hin, dass die Eltern am 15. Juli 2019 praxisgemäss durch eine Delegation der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Lenzburg angehört worden waren. Die Eingabe vom 27. März 2020 wurde dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.

Erwägungen:
1.
1.1. Rechtzeitig angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid betreffend den Wegzug eines Kindes ins Ausland (Art. 301a Abs. 2 Bst. a ZGB). Die Beschwerde in Zivilsachen steht somit offen (Art. 72 Abs. 1, Art. 75 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 45 Abs. 1 BGG). Die Vorinstanz ist auf das Rechtsmittel des Beschwerdeführers nicht eingetreten. Streitgegenstand ist deshalb grundsätzlich nur die Frage, ob die Vorinstanz zu Recht einen Nichteintretensentscheid gefällt hat (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 41).
1.2. Nach Art. 76 Abs. 1 BGG ist zur Beschwerde in Zivilsachen berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (Bst. a) und durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (Bst. b). Das schutzwürdige Interesse besteht im praktischen Nutzen, den die Gutheissung des Rechtsmittels der rechtsuchenden Partei verschaffen würde, indem ihr der Nachteil (wirtschaftlicher, ideeller, materieller oder anderer Natur) erspart bliebe, den der angefochtene Entscheid für sie bedeutet (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 539 mit Hinweisen). Die Beschwerdebefugnis setzt in der Regel ein aktuelles und praktisches Interesse an der Gutheissung der gestellten Rechtsbegehren voraus, das auch im Zeitpunkt der Fällung des bundesgerichtlichen Urteils vorhanden sein muss (s. <ref-ruling> E. 1.2 S. 157). Ein solches Interesse ist im vorliegenden Fall zu bejahen, ungeachtet der Tatsache, dass mittlerweile ein rechtskräftiges Scheidungsurteil vorliegt, das die Obhut über den Sohn der Beschwerdegegnerin zugesprochen hat.
2.
Die Vorinstanz erwägt, dass die Beschwerdegegnerin im Anschluss an den Entscheid der KESB Lenzburg vom 15. Juli 2019 zusammen mit C._ nach Deutschland ausgereist und dort einen neuen Wohnsitz begründet habe. Da die KESB Lenzburg einer allfälligen Beschwerde gegen ihren Entscheid die aufschiebende Wirkung entzogen habe, sei die Ausreise nach Deutschland rechtmässig erfolgt. Es sei davon auszugehen, dass sich der gewöhnliche Aufenthalt des Kindes mit dem Umzug nach Deutschland verschoben habe, da die Aufenthaltsbegründung in Deutschland mit dortiger Einschulung auf lange Dauer mit einhergehender sozialer Integration des Sohnes ausgerichtet sei. Bei dieser Ausgangslage lasse sich die Begründung eines neuen gewöhnlichen Aufenthalts in Deutschland nicht ernsthaft bestreiten. Daher sei mit dem Wegzug der Beschwerdegegnerin und des Sohnes die Zuständigkeit der schweizerischen Gerichte weggefallen und auf die Beschwerde somit nicht einzutreten.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt in verschiedener Hinsicht eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV). Er wirft der Vorinstanz vor, seine Rüge, dass die KESB Lenzburg nicht ordnungsgemäss zusammengesetzt gewesen sei, gar nicht zu behandeln. Eine sachgerechte Beschwerde sei so gar nicht möglich gewesen. Weiter habe das Obergericht seine Rüge, wonach die KESB Lenzburg sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege noch nicht behandelt habe, nicht "ins Dispositiv überführt", sondern sich mit der "Empfehlung" begnügt, die Vorinstanz solle diesbezüglich noch einen Entscheid fällen. Schliesslich ignoriere das Obergericht seine Rüge, wonach die KESB Lenzburg sachlich überhaupt nicht zuständig gewesen sei; es handele sich in Bezug auf die Kosten- und Entschädigungsfolgen um einen entscheidenden Aspekt.
3.2. Nach der Rechtsprechung zur behördlichen Begründungspflicht, wie sie sich aus Art. 29 Abs. 2 BV ergibt, braucht sich die Behörde nicht mit jedem sachverhaltlichen oder rechtlichen Einwand auseinanderzusetzen, noch muss sie jedes einzelne Vorbringen widerlegen. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 667; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88). Die Begründung eines behördlichen Entscheids muss so abgefasst sein, dass sich die betroffene Person über dessen Tragweite Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann (BGE <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445). Ob diese Anforderungen erfüllt sind, beurteilt sich anhand des Ergebnisses des Entscheides, das im Urteilsspruch zum Ausdruck kommt und das allein die Rechtsstellung der betroffenen Person berührt. Die Begründung ist also nicht an sich selbst, sondern am Rechtsspruch zu messen (<ref-ruling> E. 6.1 S. 327). Über dessen Tragweite - und nicht über ihm zugrunde liegende Erwägungen - soll sich die betroffene Person anhand der Begründung Rechenschaft geben können (Urteil 5A_382/2013 vom 12. September 2013 E. 3.1).
3.3. Eingedenk dieser Vorgaben hält der angefochtene Entscheid vor Art. 29 Abs. 2 BV stand. Die vorinstanzlichen Erwägungen lassen sehr wohl erkennen, weshalb das Obergericht das kantonale Rechtsmittel des Beschwerdeführers als unzulässig erachtet. Wie seine Rügen bzw. Ausführungen vor Bundesgericht zeigen, war der Beschwerdeführer auch in der Lage, das kantonsgerichtliche Urteil sachgerecht anzufechten. Ob die Vorinstanz zumindest mit Bezug auf die gehörige Zusammensetzung und die sachliche Zuständigkeit der KESB Lenzburg auf die Beschwerde hätte eintreten und die Beurteilung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege (auch) in ihrem Urteilsspruch hätte anordnen müssen, ist keine Frage des rechtlichen Gehörs, sondern eine solche der korrekten Anwendung des (Prozess-) Rechts.
4.
4.1. In der Sache beanstandet der Beschwerdeführer zunächst, dass seiner kantonalen Beschwerde die aufschiebende Wirkung entzogen bzw. von der Vorinstanz entgegen seinem Antrag nicht wieder zuerkannt wurde (vgl. Sachverhalt Bst. C.b und C.d). Bereits anlässlich der Verhandlung vor der KESB Lenzburg habe die Beschwerdegegnerin angekündigt, dass sie auch dann wegziehen werde, wenn das Gericht oder die KESB Lenzburg nein zum Umzug sagen würden. Unter diesen Umständen der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu entziehen, sei unfair, ungerecht und bar jeder Rechtsstaatlichkeit; ihm sei die Möglichkeit genommen worden, sich überhaupt je einmal beschweren zu können, bevor die Beschwerdegegnerin ein "fait accompli" geschaffen habe. Der Entzug des Suspensiveffekts sei unter dem Gesichtspunkt der Verfahrensfairness umso stossender, als die Beschwerdegegnerin die angebliche Dringlichkeit selbst verschuldet habe. Obwohl sie bereits seit Januar 2019 habe wegziehen wollen, habe sie mit dem Gesuch bis zur allerletzten Sekunde zugewartet und zuerst noch die angeblich falsche Instanz mit der Sache befasst. Der Beschwerdeführer macht eine gravierende Verletzung von Art. 450c ZGB und Rechtsmissbrauch geltend. Daneben seien auch Art. 8 i.V.m. Art. 13 EMRK sowie der Grundsatz von "fair trial" gemäss Art. 6 EMRK und der Anspruch auf einen begründeten Entscheid (Art. 29 Abs. 2 BV und Art. 6 EMRK) verletzt.
4.2. Mit der Frage, ob der Beschwerde gegen den Entscheid der KESB Lenzburg aufschiebende Wirkung zukommen soll, war die Vorinstanz in der Verfügung vom 30. Juli 2019 befasst (s. Sachverhalt Bst. C.d). Soweit der Beschwerdeführer vor Bundesgericht - gestützt auf Art. 93 Abs. 3 BGG - diesen Zwischenentscheid anfechten will, tut er in keiner Weise dar, inwiefern die dortigen Erwägungen nicht hinreichend Aufschluss darüber geben, weshalb das Begehren, seiner Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen, abgewiesen wurde. Bloss zu behaupten, die Begründungspflicht sei verletzt, genügt nicht.
Im Übrigen weist der Beschwerdeführer zutreffend darauf hin, dass er wegen des von der KESB Lenzburg verfügten Entzugs der aufschiebenden Wirkung praktisch keine Möglichkeit hatte, den Wegzug der Beschwerdegegnerin nach Deutschland auf dem Rechtsweg zu verhindern. Allein dies bedeutet jedoch nicht, dass die kantonalen Instanzen Art. 450c ZGB verletzt hätten. Nach dieser Bestimmung, die auch im Kindesschutzverfahren anwendbar ist (Art. 314 Abs. 1 BGG), steht es im Ermessen der Kindesschutzbehörde oder der gerichtlichen Beschwerdeinstanz, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu entziehen. Dabei ist zwar zu berücksichtigen, dass die schweizerische Jurisdiktion wegfällt, wenn ein Elternteil den Aufenthaltsort des Kindes rechtmässig in einen Vertragsstaat des Haager Kindesschutzübereinkommens vom 19. Oktober 1996 (HKsÜ; SR 0.211.231.011) verlegt (<ref-ruling> E. 4 S. 196 f.). Allein deshalb ist es den kantonalen Behörden jedoch nicht versagt, einer Beschwerde im Szenario des Wegzugs eines Kindes ins Ausland die aufschiebende Wirkung zu entziehen bzw. nicht wieder zuzuerkennen. Im konkreten Fall beschränkt sich der Beschwerdeführer darauf, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid zu üben. Damit ist er nicht zu hören. Weder steht fest, dass die Beschwerdegegnerin die Dringlichkeit selbst verursacht hätte, noch liegt auf der Hand, dass sich die Beschwerdegegnerin nie an einen abschlägigen Entscheid gehalten hätte.
5.
5.1. Weiter stellt sich der Beschwerdeführer auf den Standpunkt, wenn der erstinstanzliche Entscheid aus den erwähnten formellen Gründen (E. 3.1) aufzuheben war, wäre der Wegzug der Beschwerdegegnerin mit C._ nach Deutschland nicht im Sinne von Art. 5 Abs. 2 HKsÜ) rechtmässig gewesen. Entsprechend hätte die Vorinstanz auf seine Beschwerde eintreten müssen. In diesem Zusammenhang rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung von Art. 9 und 29 Abs. 1 und 2 BV sowie von Art. 6, 8 und 13 EMRK.
Dass die Beschwerdegegnerin mit C._ rechtmässig ins Ausland umziehen konnte, ist grundsätzlich darauf zurückzuführen, dass dem kantonalen Rechtsmittel des Beschwerdeführers die aufschiebende Wirkung entzogen (und auch nicht wieder zuerkannt) wurde (s. Sachverhalt Bst. C.b und C.d). Die Rechtmässigkeit des Wegzugs könnte nur dann entfallen, wenn die vom Beschwerdeführer geltend gemachten formellen Mängel den erstinstanzlichen Entscheid als geradezu nichtig, das heisst als absolut unwirksam zu Fall brächten (s. zum Begriff der Nichtigkeit <ref-ruling> E. 11.2 S. 260). Denn diesfalls wäre auch dem in diesem Entscheid enthaltenen Entzug der aufschiebenden Wirkung mit Wirkung ex tunc (vgl. Häfelin/Müller/Uhlmann, Allgemeines Verwaltungsrecht, 7. Aufl., 2016, Rz. 1096) der Boden entzogen. Insofern wirkt sich die Begründetheit der vor der Vorinstanz erhobenen Rügen in der Tat auf die Frage aus, ob die Vorinstanz ihre örtliche Zuständigkeit wegen des (zwischenzeitlichen) Wechsels des Aufenthaltsorts des Kindes verneinen durfte (s. dazu <ref-ruling> E. 2 S. 195; <ref-ruling> E. 2.1 S. 4 m.w.H.). Entsprechend hätte das Obergericht die Begründetheit der fraglichen Rügen - in Anlehnung an die Theorie der doppelrelevanten Tatsache (<ref-ruling> E. 5.1 f. S. 297 f.) - im Rahmen der Prüfung seiner Zuständigkeit unterstellen müssen. Allein daraus folgt indes nicht, dass das Bundesgericht die Sache in Gutheissung der Beschwerde an die Vorinstanz zurückweisen muss. Das zeigen die nachfolgenden Erwägungen.
5.2. Was die Rüge betreffend die Zusammensetzung der KESB Lenzburg angeht, trifft es zwar zu, dass sich das Obergericht dazu im angefochtenen Entscheid nicht äussert. Daraus folgt aber entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers nicht, dass sich die Vorinstanz "implizit dieser Rüge" angeschlossen hätte. Entsprechend ist der Beschwerdeführer im hiesigen Verfahren auch nicht von seinen Begründungs- und Rügeobliegenheiten (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) entbunden. In seiner Beschwerde an das Bundesgericht äussert er sich nicht zur Frage, weshalb die KESB Lenzburg nicht ordentlich zusammengesetzt gewesen sein soll. Erst aus der Replik (s. Sachverhalt Bst. D.b) und damit verspätet (<ref-ruling> E. 1.2.3. S. 286) erfährt man, dass sich der Beschwerdeführer daran stört, dass die KESB Lenzburg mit zwei und nicht mit drei Fachrichtern besetzt gewesen sei. Darauf ist nicht einzutreten.
5.3. Entgegen dem, was der Beschwerdeführer glauben machen will, kann die Vorgabe im angefochtenen Entscheid, wonach die KESB Lenzburg einen Entscheid über das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege gegebenenfalls "noch vorzunehmen" hat, auch nicht als blosse Empfehlung verstanden werden. Warum das Obergericht diese klare Anweisung an das Bezirksgericht zwingend in seinen Urteilsspruch hätte aufnehmen müssen, vermag der Beschwerdeführer nicht zu erklären. Er begnügt sich mit der vagen Behauptung, die Vorinstanz habe "unter diversen Gesichtspunkten Art. 29 Abs. 1 BV verletzt". Allein damit ist nichts gewonnen.
5.4.
5.4.1. Drittens beruft sich der Beschwerdeführer darauf, die fehlende Zuständigkeit der KESB Lenzburg vor der Vorinstanz gerügt zu haben. Er argumentiert, für die Zustimmung zum Wechsel von C._s Aufenthaltsort wäre das Bezirksgericht Bremgarten (als Scheidungsgericht) zuständig gewesen. Die Vorinstanz übersehe in willkürlicher Feststellung des Sachverhalts, dass die Beschwerdegegnerin bereits im Scheidungsverfahren beantragte, mit C._ nach Deutschland umziehen zu dürfen. Weiter verschweige das Obergericht, dass auch vor der KESB Lenzburg beantragt worden sei, die Obhut über C._ ihm, dem Beschwerdeführer, zuzuteilen. Beide Punkte würden die materielle Beurteilung beeinflussen: So sei entscheidrelevant, dass das Scheidungsgericht bereits mit der Sache befasst war und dass die KESB Lenzburg auf das Gesuch gar nicht hätte eintreten dürfen. Ebenfalls entscheidrelevant sei, dass er an der Verhandlung vom 15. Juli 2019 den Antrag auf alleinige Obhut gestellt habe.
5.4.2. Auch diese Vorwürfe halten einer kritischen Überprüfung nicht stand. Zwar ist dem Beschwerdeführer darin beizupflichten, dass für die Zustimmung zum Wechsel des Aufenthaltsorts des Kindes nach Art. 301a Abs. 2 ZGB im konkreten Fall nicht die KESB Lenzburg, sondern das mit der Scheidungsklage befasste Bezirksgericht Bremgarten (s. Sachverhalt Bst. B) zuständig gewesen wäre. Diese Zuständigkeit hängt nicht davon ab, dass die Beschwerdegegnerin im Scheidungsprozess bereits einen entsprechenden Antrag gestellt hatte. Befinden sich die Eltern in einem Scheidungsverfahren, so obliegt der Entscheid betreffend den Wechsel des Aufenthaltsorts des Kindes dem Scheidungsgericht und nicht der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (Büchler/Clausen, in: FamKomm Scheidung, Band I, 3. Aufl. 2017, N 13 zu Art. 301a ZGB). Mit Blick auf die Frage, ob die Beschwerdegegnerin mit C._ am 17./18. Juli 2019 (s. Sachverhalt Bst. C.c) rechtmässig nach Deutschland umzog, bleibt nach dem Gesagten zu prüfen, ob die Missachtung der Regeln über die sachliche Zuständigkeit den Entscheid der KESB Lenzburg als geradezu nichtig erscheinen lässt (s. E. 5.1).
Der Entscheid einer sachlich und funktionell unzuständigen Behörde leidet an einem schwerwiegenden Mangel, der nach der Praxis einen Nichtigkeitsgrund darstellt, es sei denn, der verfügenden Behörde komme auf dem betreffenden Gebiet allgemeine Entscheidgewalt zu oder der Schluss auf Nichtigkeit vertrüge sich nicht mit der Rechtssicherheit (<ref-ruling> E. 2.4.3 S. 225; <ref-ruling> E. 3g S. 47 f.). Nach der Rechtsprechung ist die KESB grundsätzlich zur Regelung von Kinderbelangen bzw. zur Anordnung von Kindesschutzmassnahmen zuständig (Art. 315 ZGB), soweit nicht bereits ein Gericht mit den entsprechenden Fragen befasst ist, namentlich im Rahmen eines Eheschutz- oder, wie hier, eines Scheidungsverfahrens (Art. 133, Art. 176 Abs. 3, Art. 298 und Art. 315a f. ZGB). Ist ein Gericht mit der Unterhaltsfrage befasst, so hat die KESB ihre Entscheidkompetenz auch in einem bereits hängigen Verfahren an das Gericht abzugeben (Art. 304 Abs. 2 ZPO). Ein in Verletzung der richterlichen Kompetenzattraktion ergangener KESB-Entscheid über die Obhut und/oder die Betreuungsanteile ist nach der bundesgerichtlichen Praxis jedoch nicht nichtig, zumal die KESB hier im Bereich ihrer genuinen Kernzuständigkeit entscheidet (<ref-ruling> E. 4 S. 438 ff.).
5.4.3. Auch im vorliegenden Streit um den Wegzug eines minderjährigen Kindes ins Ausland hat die KESB Lenzburg nicht über eine Sache befunden, die ausschliesslich einer anderen Behörde zugewiesen ist: Anders als ein Spezialgericht, das fälschlicherweise über ein Geschäft aus dem Zuständigkeitsbereich der ordentlichen Gerichte entscheidet, hat die Kindesschutzbehörde die "Schranken ihres rechtlichen Könnens" (vgl. Wey, in: Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl., 2016, N 7 zu Art. 4 ZPO) nicht generell, sondern nur in der gegebenen Konstellation überschritten, da bereits ein Scheidungsverfahren hängig war. Insbesondere bei unverheirateten Eltern ist die Kindesschutzbehörde für den Entscheid über den Wechsel des Aufenthaltsorts des Kindes (Art. 301a Abs. 2 ZGB) - unter Vorbehalt der erwähnten Ausnahme - sachlich zuständig (Schwenzer/Cottier, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 6. Aufl., 2018, N 26 ff. zu Art. 301a ZGB). Im Fall des Kantons Aargau kommt dazu, dass die Familiengerichte (als Abteilungen der ordentlichen Bezirksgerichte) von Gesetzes wegen auch als Kindes- und Erwachsenenschutzbehörden amten (§ 21 Abs. 1 des aargauischen Einführungsgesetzes zum Schweizerischen Zivilgesetzbuch vom 27. Juni 2017 [EG ZGB/AG; SAR 210.300]). Mithin ist davon auszugehen, dass das Familiengericht Lenzburg (als KESB) und das Familiengericht Bremgarten (als ordentliches Gericht) gleichermassen qualifiziert sind, ein Gesuch nach Art. 301a Abs. 2 ZGB zu beurteilen.
Nach Massgabe der erwähnten Kriterien kann der Entscheid der KESB Lenzburg vom 15. Juli 2019 (s. Sachverhalt Bst. C.b) nicht als nichtig bezeichnet werden. Entsprechend hat der Entzug der aufschiebenden Wirkung im kantonalen Rechtsmittelverfahren Bestand, so dass die Beschwerdegegnerin am 17./18. Juli 2019 rechtmässig mit C._ nach Deutschland umzog. Dass die KESB Lenzburg für den fraglichen Entscheid sachlich nicht zuständig war, hatte also keinen Einfluss auf die örtliche (internationale) Zuständigkeit des Obergerichts. Allein dass die Vorinstanz es versäumte, dem Beschwerdeführer diese Rechtslage aufzuzeigen, führt aber nicht zur Gutheissung der Beschwerde und zur Rückweisung der Sache an die Vorinstanz. Es genügt, dass das Bundesgericht dem Beschwerdeführer (und dem Obergericht) mit den vorigen Erwägungen im Sinne einer Motivsubstitution (<ref-ruling> E. 2.3 S. 23 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 89) vor Augen führt, dass die formelle Rüge nichts am Wegfall der Zuständigkeit des Obergerichts ändert. Die Beschwerde erweist sich auch in dieser Hinsicht als unbegründet.
6.
Anlass zur Beschwerde gibt auch der Entscheid, mit dem die Vorinstanz dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Beschwerdeverfahren versagt (s. Sachverhalt Bst. C.d).
6.1. Das Obergericht erklärt, der Beschwerdeführer verfüge über einen monatlichen Überschuss von Fr. 808.--. Dieser erlaube es ihm, innerhalb eines Jahres die Gerichts- und Anwaltskosten zu bezahlen. Der Beschwerdeführer sei somit nicht mittellos im Sinn von Art. 117 Bst. a ZPO. Zudem bleibe unklar, ob der Beschwerdeführer allfällige Vermögenswerte besitze; er habe keine Kontoauszüge eingereicht, die über seine effektiv vorhandenen und verfügbaren Mittel Auskunft gäben.
6.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, dass er nicht nur das Verfahren vor der Vorinstanz zu finanzieren habe. Im Scheidungsverfahren sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege ebenfalls versagt worden und auch das KESB-Verfahren müsse er bezahlen. Es sei daher offensichtlich, dass er mit dem angeblichen Überschuss die Anwalts- und Gerichtskosten des kantonalen Beschwerdeverfahrens nicht selbst tragen könne. Sodann übersehe die Vorinstanz, dass er zwischen März und Juli nur Fr. 917.35 an Insolvenzentschädigung erhalten habe.
6.2.1. Die Ausführungen des Beschwerdeführers sind nicht geeignet, den angefochtenen Entscheid in Frage zu stellen. Weder legt er dar, wo er im vorinstanzlichen Verfahren seine Aufwendungen für das Scheidungsverfahren in Anschlag gebracht hätte, noch setzt er sich mit dem Vorwurf der Vorinstanz auseinander, nicht transparent über seine Vermögensverhältnisse Auskunft gegeben zu haben. Auch der isolierte Hinweis auf die Insolvenzentschädigung genügt als Begründung nicht, den angefochtenen Entscheid in Frage zu stellen.
7.
7.1. Losgelöst vom Streit um die unentgeltliche Rechtspflege wirft der Beschwerdeführer der Vorinstanz schliesslich vor, ihm Gerichtskosten auferlegt zu haben. Er beteuert, er habe zum Zeitpunkt der Beschwerde nicht wissen können, dass die Beschwerdegegnerin bereits weggezogen sei. Sodann habe er gewichtige formelle Rügen erhoben, welche die Vorinstanz nicht behandelt habe. Mindestens aus Gründen der Effizienz hätte die Vorinstanz deshalb nicht auch noch Kosten verlegen dürfen; damit habe sie ihn ins Verfahren gezwungen. In hohem Masse stossend und willkürlich sei zudem, dass er der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung zahlen müsse, obwohl sie mit dem Kind abgereist sei, bevor er ein Rechtsmittel hätte einlegen können.
7.2. Der angefochtene Entscheid ist in einem Kindesschutzverfahren ergangen. Dieses Verfahren untersteht dem kantonalen Recht, soweit das Bundesrecht keine abschliessende Regelung enthält. Was die Verteilung der Prozesskosten angeht, enthalten die Art. 450-450e ZGB über das Verfahren vor der Beschwerdeinstanz, die auch im Kindesschutzverfahren gelten (Art. 314 Abs. 1 ZGB), keine bundesrechtliche Vorgabe. Gemäss Art. 450f ZGB sind somit die Bestimmungen der Zivilprozessordnung sinngemäss anwendbar, soweit die Kantone nichts anderes bestimmen. Auch § 38 Abs. 3 EG ZGB/AG, der von den Kosten im Kindesschutzverfahren handelt, erklärt für die Kostenverteilung im Beschwerdeverfahren die Bestimmungen der Zivilprozessordnung anwendbar. Mit Blick auf das Verfahren der Beschwerde in Zivilsachen gilt diese als ergänzendes kantonales Recht (Urteile 5A_367/2016 vom 6. Februar 2017 E. 2.2; 5A_49/2015 vom 4. Mai 2015 E. 2; 5A_765/2014 vom 5. Dezember 2014 E. 2). Dessen Anwendung prüft das Bundesgericht - von hier nicht zutreffenden Ausnahmen (Art. 95 Bst. c-e BGG) abgesehen - nur auf die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, namentlich auf Willkür hin, wenn und soweit entsprechende Rügen erhoben und begründet werden (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.3 S. 386 f.; <ref-ruling> E. 2.3 S. 231; Urteil 5A_724/2015 vom 2. Juni 2016 E. 2.2, nicht publ. in <ref-ruling>).
7.3. Die Beschwerde genügt den geschilderten Begründungsanforderungen nicht. Der Beschwerdeführer nennt keine konkrete Vorschrift der Zivilprozessordnung, die seinen Standpunkt zu stützen vermöchte, geschweige denn zeigt er auf, inwiefern das Obergericht das anwendbare Prozessrecht bei der Verlegung der Prozesskosten des kantonalen Beschwerdeverfahrens willkürlich oder sonstwie verfassungswidrig gehandhabt hätte. Allein Willkür zu behaupten und an die Gründe der Effizienz zu appellieren, genügt nicht. Darauf ist nicht einzutreten.
8.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren (Art. 64 BGG) ist insoweit gutzuheissen, als der Beschwerdeführer die sachliche Zuständigkeit der KESB Lenzburg für den Entscheid nach Art. 301a Abs. 2 ZGB bestritt (s. E. 5.4). Ein Teil der Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG) ist daher vorläufig auf die Bundesgerichtskasse zu nehmen. Im Übrigen hat der Beschwerdeführer die Beschwerdegegnerin, die ihrerseits Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege hat, zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 BGG). Die Parteien werden darauf hingewiesen, dass sie der Gerichtskasse Ersatz leisten müssen, wenn sie später dazu in der Lage sind (Art. 64 Abs. 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
2.1. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird teilweise gutgeheissen und es wird dem Beschwerdeführer Rechtsanwalt Julian Burkhalter als Rechtsbeistand beigegeben.
2.2. Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, und es wird der Beschwerdegegnerin Rechtsanwältin Nadia Flury als Rechtsbeiständin beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, im Betrag von Fr. 1'000.-- indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen. Die Entschädigung wird indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen und Rechtsanwältin Nadia Flury wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
5.
Rechtsanwalt Julian Burkhalter wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'000.-- entschädigt.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, C._, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Lenzburg, dem Bezirksgericht Bremgarten, Familiengericht, und dem Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Oktober 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn