Sachverhalt:
A.
Mit Eingabe vom 22. September 2017 klagte A._ am Bezirksgericht Zürich auf Scheidung von seiner Ehefrau B._.
Mit Verfügung vom 16. Januar 2018 verpflichtete das Bezirksgericht A._, B._ einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 5'000.-- zu bezahlen. Es setzte dazu keine Frist an. Mit Verfügung vom 23. November 2018 setzte das Bezirksgericht A._ eine Frist von zwanzig Tagen an, um B._ den Vorschuss zu überweisen und dem Gericht den Beleg für die Überweisung zukommen zu lassen. Mit Verfügung vom 25. Januar 2019 sistierte das Bezirksgericht das Verfahren bis Ende Juni 2019 und hielt B._ dazu an, den Nachweis der Uneinbringlichkeit des ihr zugesprochenen Prozesskostenvorschusses zu erbringen. Der Vorschuss konnte mittels Betreibung nicht erhältlich gemacht werden, was B._ aufforderungsgemäss nachwies. Mit Verfügung vom 21. Juni 2019 setzte das Bezirksgericht A._ eine erneute Frist von zwanzig Tagen an, um die Überweisung vorzunehmen und gegenüber dem Gericht den entsprechenden Nachweis zu erbringen, unter Androhung, dass im Säumnisfall auf die Klage nicht eingetreten werde.
Mit Verfügung vom 17. September 2019 trat das Bezirksgericht auf die Scheidungsklage nicht ein (Dispositiv-Ziff. 1). Es gewährte B._ die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung (Dispositiv-Ziff. 2), auferlegte A._ die Gerichtskosten und verpflichtete ihn zur Bezahlung einer Parteientschädigung an B._ (Dispositiv-Ziff. 4 und 5).
B.
Gegen diese Verfügung erhob A._ am 18. Oktober 2019 Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich. Er verlangte, Dispositiv-Ziff. 1 der Verfügung vom 17. September 2019 unter Kosten- und Entschädigungsfolgen aufzuheben und das Bezirksgericht anzuweisen, das Scheidungsverfahren fortzuführen. Zudem ersuchte er für das Berufungsverfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Mit Berufungsantwort vom 14. November 2019 beantragte B._ die Abweisung der Berufung, soweit auf sie einzutreten sei. Zudem sei A._ zur Leistung eines Kostenvorschusses zu verpflichten und ihr sei für das Berufungsverfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
Mit Beschluss und Urteil vom 28. Mai 2020 wies das Obergericht die Berufung ab und bestätigte die Verfügung vom 17. September 2019, soweit sie nicht in Rechtskraft erwachsen ist (Dispositiv-Ziff. 1 des Urteils). Das Obergericht merkte vor, dass Dispositiv-Ziff. 2 der Verfügung in Rechtskraft erwachsen ist (Dispositiv-Ziff. 1 des Beschlusses), wies das Gesuch von A._ um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ab (Dispositiv-Ziff. 2 des Beschlusses), trat auf den Antrag von B._, A._ zur Leistung eines Kostenvorschusses zu verpflichten, nicht ein (Dispositiv-Ziff. 3 des Beschlusses) und wies das Gesuch von B._ um unentgeltliche Rechtspflege ab, soweit es nicht als gegenstandslos abgeschrieben wurde (Dispositiv-Ziff. 4 und 5 des Beschlusses). Die Kosten des obergerichtlichen Verfahrens von Fr. 3'000.-- auferlegte es A._ (Dispositiv-Ziff. 2 und 3 des Urteils) und es verpflichtete ihn, B._ für das obergerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 1'000.-- zu bezahlen (Dispositiv-Ziff. 4 des Urteils).
C.
Am 9. Juli 2020 hat A._ (Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht erhoben. Er verlangt die vollumfängliche Aufhebung von Beschluss und Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 28. Mai 2020. Die Sache sei zur Beurteilung an das Bezirksgericht Zürich und zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des obergerichtlichen Verfahrens an das Obergericht zurückzuweisen. Eventuell sei die Sache an das Obergericht zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Zudem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen. Das Obergericht hat am 15. Juli 2020 auf Vernehmlassung verzichtet. B._ (Beschwerdegegnerin) hat mit Vernehmlassung vom 1. September 2020 beantragt, die Berufung (recte: Beschwerde) sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Beschwerdeführer sei zur Bezahlung einer angemessenen Parteientschädigung von mindestens Fr. 1'500.-- zu verpflichten. Eventuell sei die unentgeltliche Verbeiständung zu gewähren. Auf die Erhebung von Verfahrens- und Prozesskosten zulasten der Beschwerdegegnerin sei zu verzichten; die Voraussetzungen zur Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege seien erfüllt. Weitere Eingaben sind nicht eingegangen.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in Zivilsachen ist vorliegend grundsätzlich zulässig (Art. 72 Abs. 1, Art. 75, Art. 76, Art. 90, Art. 100 Abs. 1 BGG).
2.
Gegenstand des Verfahrens ist die Frage, welche Folgen daran geknüpft werden dürfen, dass der auf Scheidung klagende Ehegatte den ihm zugunsten des anderen Ehegatten auferlegten Prozesskostenvorschuss (provisio ad litem) nicht bezahlt. Das Obergericht hat es als zweck- und rechtmässig erachtet, gestützt auf <ref-law> für den Fall der Nichtleistung das Nichteintreten auf die Scheidungsklage anzudrohen und in der Folge auf die Klage nicht einzutreten.
3.
3.1. Gemäss <ref-law> ist eine Partei säumig, wenn sie eine Prozesshandlung nicht fristgerecht vornimmt oder zu einem Termin nicht erscheint.
Die Verpflichtung eines Ehegatten, dem anderen in Rechtsstreitigkeiten durch Leistung eines Prozesskostenvorschusses beizustehen, ist Ausfluss der ehelichen Unterhaltspflicht nach <ref-law> und der ehelichen Beistandspflicht nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 6.3; <ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweisen). Die Pflicht zur Bevorschussung wurzelt im materiellen Eherecht. Somit ist auch die Erfüllung dieser Pflicht eine materiell- bzw. privatrechtliche Handlung und die Nichterfüllung hat materiell- bzw. privatrechtliche Konsequenzen. Daran ändert weder die Zwecksetzung des Vorschusses (Finanzierung eines Prozesses) etwas, noch der allfällige Umstand, dass Bestand und Umfang der Vorschusspflicht in einem gerichtlichen Entscheid festgelegt worden sind, oder der Umstand, dass das Gericht eine Zahlungsfrist angesetzt hat. Die Erfüllung der Pflicht zur Zahlung eines Prozesskostenvorschusses ist ein Rechtsgeschäft des Privatrechts, sie erfolgt direkt an die vorschussberechtigte Partei und nicht an das Gericht und sie zielt nicht in erster Linie auf eine prozessuale Wirkung. Allerdings kann die Erfüllung oder Nichterfüllung dieser Pflicht prozessuale Wirkungen haben, und zwar primär in Bezug auf den allfälligen, subsidiären Anspruch der vorschussberechtigten Partei auf unentgeltliche Rechtspflege im Hauptverfahren, für das der Prozesskostenvorschuss zugesprochen wurde (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweis). Eine privatrechtliche Handlung, auch wenn sie reflexweise prozessuale Bedeutung hat, stellt jedoch keine Prozesshandlung im eigentlichen Sinne dar (MAX GULDENER, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 3. Aufl. 1979, S. 258; vgl. auch BAUMGARTNER/DOLGE/MARKUS/SPÜHLER, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 10. Aufl. 2018, 9. Kap. Rz. 73 ff.). Prozesshandlungen sind demgegenüber Zahlungen auf prozessrechtlicher Grundlage an das Gericht, insbesondere die Zahlung von Gerichtskostenvorschüssen und Sicherheiten für die Parteientschädigung gemäss Art. 98 f. ZPO (vgl. SARAH SCHEIWILLER, Säumnisfolgen nach der Schweizerischen Zivilprozessordnung, 2016, Rz. 11; NICCOLÒ GOZZI, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 4 zu <ref-law>). Es ist demnach bereits fraglich, ob die Erfüllung der Pflicht zur Zahlung eines eherechtlichen Prozesskostenvorschusses unter den Begriff der Prozesshandlung (acte de procédure, atto processuale) im Sinne von <ref-law> fällt. Der Begriff der Prozesshandlung im Sinne von <ref-law> müsste dafür anders definiert werden als er im Zivilprozessrecht ansonsten üblicherweise verwendet wird. Die Frage braucht aus den nachfolgenden Gründen nicht abschliessend geklärt zu werden.
3.2. Selbst wenn man entgegen dem üblichen Sprachgebrauch davon ausginge, <ref-law> umfasse auch privatrechtliche Handlungen mit blosser Reflexwirkung auf einen Prozess, so wäre Abs. 2 dieser Norm zu bedenken. Nach <ref-law> wird das Verfahren ohne die versäumte Handlung weitergeführt, sofern das Gesetz nichts anderes bestimmt. Der Grundsatz ist somit die Weiterführung des Prozesses. Im Falle der Nichtleistung eines Prozesskostenvorschusses würde dies bedeuten, dass die Eingaben des vorschusspflichtigen Ehegatten weiter zu behandeln sind, dass aber nunmehr - allenfalls vorgängig - ein allfälliges, subsidiäres Gesuch des vorschussberechtigten Ehegatten um unentgeltliche Rechtspflege zu behandeln ist. Das Nichteintreten auf die Klage des vorschusspflichtigen Ehegatten erhebt die Bezahlung des Prozesskostenvorschusses demgegenüber in den Rang einer Prozessvoraussetzung (<ref-law>). Dies bedarf nach der Vorschrift von <ref-law> einer gesetzlichen Grundlage, da damit vom Grundsatz der Weiterführung des Prozesses abgewichen wird (vgl. Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], BBl 2006 7309 Ziff. 5.9.3 zu Art. 145-147 des Entwurfs).
Eine Grundlage für eine solche Abweichung von den üblichen Säumnisfolgen findet sich in <ref-law>, wonach das Gericht auf eine Klage oder ein Gesuch nicht eintritt, wenn ein Gerichtskostenvorschuss (<ref-law>) oder die Sicherheit für eine Parteientschädigung (<ref-law>) nicht innert Nachfrist geleistet werden. Dasselbe ergibt sich aus <ref-law>, wonach die Leistung des Vorschusses und der Sicherheit für die Prozesskosten Prozessvoraussetzungen darstellen (<ref-ruling> E. 4.1). Weder das ZGB noch die ZPO sehen hingegen ausdrücklich vor, dass die Nichtleistung eines eherechtlichen Prozesskostenvorschusses durch den klagenden und vorschusspflichtigen Ehegatten mit dem Nichteintreten auf dessen Klage sanktioniert werden könnte. Insbesondere liesse sich solches nicht auf <ref-law> stützen, denn diese Norm ist trotz ihres unscharfen Wortlauts bloss eine Wiederholung von <ref-law> (BORIS MÜLLER, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Brunner/Gasser/Schwander [Hrsg.], 2. Aufl. 2016, N. 74 zu <ref-law>; MYRIAM A. GEHRI, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 20 f. zu <ref-law>; COPT/ CHABLOZ, in: CPC, Code de procédure civile, 2021, N. 46 zu <ref-law>). Es besteht demnach keine ausdrückliche gesetzliche Grundlage, um für den Fall der Säumnis bei der Bezahlung des eherechtlichen Prozesskostenvorschusses durch den klagenden Ehegatten das Nichteintreten auf dessen Klage anzudrohen. Die blosse Zweckmässigkeit einer solchen Androhung oder das Ermessen bei der Prozessleitung (<ref-law>) helfen über die fehlende gesetzliche Grundlage nicht hinweg. Es bleibt die Frage, ob das Gesetz diesbezüglich lückenhaft erscheint und ergänzt werden muss.
Das Bundesgericht hat in einem älteren Entscheid festgehalten, dass der Richter, wenn er den Ehemann zur Aufbringung von Parteikosten (d.h. zu einer provisio ad litem) verpflichtet, seine Verfügung nicht mit der Androhung verbinden darf, dass mangels Erlegung die Scheidungsklage von der Hand gewiesen werde (<ref-ruling>, unter Abstützung auf A. EGGER, Zürcher Kommentar, 2. Aufl. 1936, N. 17 zu <ref-law>). Die Lehre ist diesbezüglich geteilter Auffassung (gegen die Zulässigkeit der Androhung des Nichteintretens bzw. einer Vonderhandweisung neben EGGER, a.a.O., auch ERNST ETTER, Die vorsorglichen Massregeln im Ehescheidungs- u. Ehetrennungsprozess nach <ref-law>, 1933, S. 96; EMIL WEINMANN, Die Prozesskostenvorschusspflicht der Ehegatten im Scheidungsverfahren, 1950, S. 72; R. STEFFEN, Die Parteikostenvorschusspflicht im Scheidungsprozess, ZBJV 122/1986 S. 101; für die Zulässigkeit BÜHLER/SPÜHLER, Berner Kommentar, 3. Aufl. 1980, N. 297 zu <ref-law>; MICHEL CZITRON, Die vorsorglichen Massnahmen während des Scheidungsprozesses unter Berücksichtigung des am 1. Januar 1988 in Kraft getretenen neuen Eherechts, des in Revision begriffenen Scheidungsrechts sowie des Prozessrechts und der Praxis im Kanton Zürich, 1995, S. 125; unentschieden HINDERLING/STECK, Das schweizerische Ehescheidungsrecht, 4. Aufl. 1995, S. 554).
Die Aufzählung der Prozessvoraussetzungen in <ref-law> ist zwar nach dessen klaren Wortlaut nicht abschliessend. Allerdings ist vor dem Hintergrund der Rechtsweggarantie von <ref-law> mit der Annahme weiterer, ungeschriebener Prozessvoraussetzungen Zurückhaltung geboten (vgl. IVO SCHWANDER, Prozessvoraussetzungen in der neuen Schweizerischen Zivilprozessordnung, ZZZ 2008/09 S. 201 f.; ALEXANDER ZÜRCHER, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger [Hrsg.], 3. Aufl. 2016, N. 10 f. zu <ref-law>, der insbesondere die Auffassung vertritt, dass das Gesetz die Sanktionierung von Säumnissen und Verfehlungen der Parteien im Prozessverlauf grundsätzlich abschliessend regle und spätere Säumnisse und Verfahrensverfehlungen regelmässig nicht zu einem Prozessurteil führten, solange die Klage die gesetzlichen Voraussetzungen erfülle [<ref-law>]). Dies gilt wenigstens insofern, als es nicht um den durch Rechtsprechung und Lehre eindeutig anerkannten Bestand weiterer Prozessvoraussetzungen geht, wozu jedoch die Bezahlung des eherechtlichen Prozesskostenvorschusses nach dem Gesagten nicht gehört. Sodann ist bei der Annahme weiterer Prozessvoraussetzungen zu berücksichtigen, dass das Prozessrecht der Verwirklichung des materiellen Rechts dient, Letzteres nicht vereiteln soll und nicht zum Selbstzweck verkommen darf. Durch die Annahme, bei der Bezahlung des Prozesskostenvorschusses durch den auf Scheidung klagenden Ehegatten handle es sich um eine Prozessvoraussetzung, kann jedoch dessen materiell-rechtlicher Scheidungsanspruch (<ref-law>) vereitelt werden. Dabei besteht die Gefahr, dass es nicht bei einer einmaligen Vereitelung in einem Scheidungsverfahren bleibt. Vielmehr besteht die Gefahr einer dauerhaften Vereitelung des Scheidungsanspruchs, nämlich dann, wenn der klagende Ehegatte auch in einem neuen Scheidungsverfahren zu einem Prozesskostenvorschuss verpflichtet würde, der anschliessend nicht erhältlich zu machen wäre, und auf die Klage in der Folge wiederum nicht eingetreten würde.
Diesen Nachteilen und Gefahren steht kein unabweisliches Bedürfnis gegenüber, die Bezahlung des Prozesskostenvorschusses zu einer Prozessvoraussetzung zu erheben. Die Erhebung zur Prozessvoraussetzung würde zunächst einer Grundwertung des Scheidungsverfahrensrechts der ZPO widersprechen. <ref-law> schliesst nämlich die Leistung einer Sicherheit für die Parteientschädigung im Scheidungsverfahren und damit eine potentielle Prozessvoraussetzung aus. Die ZPO macht damit den Scheidungsprozess gerade nicht von Zahlungen durch die eine Partei abhängig, die zwar an das Gericht, aber im Interesse der anderen Partei erfolgen. Es wäre mit dieser gesetzgeberischen Wertung nicht zu vereinbaren, andernorts eine finanzielle Leistung des einen Ehegatten an den andern zur Prozessvoraussetzung zu erheben und damit die Durchführung des Scheidungsprozesses zu erschweren. Die vorschussberechtigte, beklagte Partei hat sodann kein schützenswertes Interesse daran, den Scheidungsprozess nicht führen zu müssen. Ihre Interessen sind mit ihrem subsidiären Anspruch, diesen Prozess nicht unentgeltlich führen zu müssen, genügend gewahrt. Schliesslich besteht auch für das Gericht keine Veranlassung zu einer Einmischung in die Erfüllung privatrechtlicher Forderungen. Es ist grundsätzlich Sache der Privaten, hier des vorschussberechtigten Ehegatten, sich um die Durchsetzung ihrer privatrechtlichen Forderungen zu kümmern, und nicht des Gerichts, das die privatrechtliche Forderung zugesprochen hat. Die Vollstreckung erfolgt bei einer Geldforderung auf dem Wege des SchKG (<ref-law>) und bedarf des indirekten Zwanges durch das Sachgericht nicht, der mit der Androhung des Nichteintretens auf die Scheidungsklage ausgeübt wird. Zwar stellt die Anordnung der Leistung eines Prozesskostenvorschusses während eines Scheidungsverfahrens eine vorsorgliche Massnahme dar, doch lässt sich eine solche Vollstreckungshilfe auch nicht auf <ref-law> stützen. Das Betreibungsverfahren stellt gewissermassen den "Realitätstest" für die Prozesskostenvorschussverfügung dar. Aus dem Betreibungsverfahren ergibt sich nämlich, inwieweit auf die in der Prozesskostenvorschussverfügung angenommenen Vermögenswerte des vorschusspflichtigen Ehegatten tatsächlich zugegriffen werden kann. Die Aufgabe des Sachgerichts besteht demgegenüber in der Durchführung des Hauptverfahrens. Soweit die Leistung oder Nichtleistung des Prozesskostenvorschusses für das Hauptverfahren Folgen haben kann, hat es ein Interesse, über die Ergebnisse der Zwangsvollstreckung informiert zu werden. Dies ist dann der Fall, wenn die vorschussberechtigte Partei ein Eventualgesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt hat. Ebenso ist die Mitteilung über das Ende des Zwangsvollstreckungsverfahrens von Bedeutung für die Aufhebung einer allfälligen Sistierung des Hauptverfahrens, die für die Dauer der Festlegung des Prozesskostenvorschusses und der Zwangsvollstreckung verfügt worden ist. Darüber hinausgehend hat das Sachgericht jedoch keinen Anlass, von sich aus auf die Erfüllung der eherechtlichen Vorschussforderung hinzuwirken. Ob es in der Absicht, das Hauptverfahren zu beschleunigen, überhaupt eine Erfüllungsfrist ansetzen darf, ohne dass die vorschussberechtigte Partei in ihrem Gesuch um Prozesskostenvorschuss einenentsprechenden Antrag gestellt hätte, braucht vorliegend nicht beurteilt zu werden. Jedenfalls hat es aber keinen Anlass, die Ergebnisse des Betreibungsverfahrens indirekt in Frage zu stellen, indem es - wie vorliegend - eine weitere Zahlungsfrist ansetzt, nachdem ihm mitgeteilt worden ist, dass das Betreibungsverfahren ergebnislos verlaufen ist. Damit gibt es zu erkennen, dass es die Auffassung des Betreibungsamtes über das Fehlen von Vermögenswerten zur Begleichung der Vorschussforderung nicht teilt. Dies ist jedoch nicht seine Aufgabe; die Überprüfung der Arbeitsweise der Betreibungsämter obliegt nicht den Sachgerichten, sondern den Aufsichtsbehörden. Sodann ist es von den Sachgerichten hinzunehmen, dass sich die von ihnen zugesprochenen Ansprüche allenfalls nicht durchsetzen lassen. Ein solcher Umstand bildet keinen Grund, der anspruchsberechtigten Partei von Amtes wegen unter die Arme zu greifen und ausserhalb der dafür vorgesehenen Vollstreckungswege auf die Erfüllung hinzuwirken. Ist der Prozesskostenvorschuss nicht erhältlich zu machen, so beschränkt sich die Rolle des Sachgerichts vielmehr auf die Beurteilung, ob der vorschussberechtigten Partei der Nachweis der Uneinbringlichkeit der Vorschussforderung gelungen ist oder nicht, und es hat daraus die weiteren Konsequenzen für das Hauptverfahren zu ziehen. An all dem ändert der Verdacht nichts, der vorschusspflichtige Ehegatte könne den Vorschuss sehr wohl bezahlen. Es ist in erster Linie Aufgabe der Betreibungsämter, einem solchen Verdacht im Rahmen des SchKG nachzugehen (vgl. etwa die Auskunftspflicht Dritter gemäss <ref-law>). Es ist hingegen nicht Aufgabe der ZPO und des Säumnisrechts bzw. der Sachgerichte, missbräuchliche Verhaltensweisen der Parteien in jeglichen Lebensbereichen, insbesondere bei der Erfüllung privatrechtlicher Pflichten, zu bekämpfen. Vielmehr erscheint es grundsätzlich als sachfremd, einen allfälligen Missbrauch bei der Erfüllung privatrechtlicher Verpflichtungen mit der Zulässigkeit eines Gerichtsverfahrens zu verknüpfen. Schliesslich ist es auch nicht Zweck der ZPO, die Staatskasse unter allen Umständen von Ausgaben für die unentgeltliche Rechtspflege der vorschussberechtigten Partei zu verschonen. Vielmehr muss es diesbezüglich für das Sachgericht sein Bewenden damit haben, dass die vorschussberechtigte Partei die Uneinbringlichkeit des ihr zugesprochenen Prozesskostenvorschusses nachweist.
Demnach ist an der Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> auch unter der ZPO und dem revidierten Ehe- und Scheidungsrecht festzuhalten. Mangels entsprechender gesetzlicher Grundlage darf die Begleichung der Pflicht zur Bezahlung einer provisio ad litem nicht zur Prozessvoraussetzung erhoben werden, und zwar auch nicht über den Weg des Säumnisrechts. Es bestehen keine genügenden Gründe, um diesbezüglich einen ungeschriebenen Nichteintretensgrund anzunehmen und das Gesetz in diesem Sinne zu ergänzen.
3.3. Vorliegend hat die Beschwerdegegnerin gegen den Beschwerdeführer den Betreibungsweg beschritten. Wie der Beschwerdeführer zu Recht vorbringt und sich aus den Akten ergibt (<ref-law>), reichte die Beschwerdegegnerin dem Bezirksgericht am 24. Mai 2019 einen provisorischen Verlustschein gemäss <ref-law> vom 7. Mai 2019 ein (Akten Bezirksgericht; act. 47 und 48/1). Ob damit der Nachweis der Uneinbringlichkeit bereits erbracht war oder ob aufgrund der Umstände - unklar scheint der Verbleib des Vermögens des Beschwerdeführers zu sein - die Beschwerdegegnerin auch noch z.B. die Rechtsbehelfe nach <ref-law> hätte ergreifen müssen, ist nicht Verfahrensthema. Jedenfalls bestand für das Bezirksgericht - wie dargelegt - keine Grundlage, um danach dem Beschwerdeführer nochmals eine Frist zur Leistung des Prozesskostenvorschusses anzusetzen und ihm für den Fall der ausbleibenden Leistung Nichteintreten auf die Scheidungsklage anzudrohen. Vielmehr wäre der Prozess ohne die ausgefallene Handlung (Leistung des Prozesskostenvorschusses) fortzusetzen gewesen (<ref-law>), sofern <ref-law> überhaupt anwendbar sein sollte.
An all dem ändert der von der Beschwerdegegnerin erhobene Vorwurf des Rechtsmissbrauchs nichts. Sollte sich der Beschwerdeführer der Bezahlung seiner Schulden entziehen, so mag dies stossend sein, ist jedoch kein Grund, weshalb sich die Beschwerdegegnerin nicht dem vom Beschwerdeführer angehobenen Scheidungsverfahren unterziehen müsste. Zur Durchsetzung ihrer Forderung ist sie auf die von <ref-law> genannten weiteren Rechtsbehelfe zu verweisen, insbesondere auf das Recht zur Nachpfändung und die Anfechtungsklagen nach <ref-law>. Durch die Weiterführung des Scheidungsverfahrens trotz Ausfalls des ihr zugesprochenen Prozesskostenvorschusses erleidet sie keinen unzumutbaren Nachteil, wird sie den Prozess bei gegebenen Voraussetzungen doch unentgeltlich führen können (<ref-law>). Inwieweit der vorliegende Entscheid sämtliche im Zusammenhang mit den Unterhaltsbeiträgen stehenden Entscheide präjudizieren könnte, wie sie geltend macht, ist nicht ersichtlich. Werden ihr im Scheidungsverfahren oder im Rahmen vorsorglicher Massnahmen Unterhaltsbeiträge zugesprochen, hat sie auch diese nötigenfalls mit den Mitteln des SchKG durchzusetzen.
3.4. Die Beschwerde ist damit im Hauptpunkt gutzuheissen und das angefochtene Urteil ist aufzuheben (zum Umfang der Aufhebung des Beschlusses sogleich). Die Angelegenheit wird an das Bezirksgericht Zürich zur Weiterführung des Scheidungsverfahrens zurückgewiesen.
Der Aufhebungsantrag in der Beschwerde bezieht sich auf den Beschluss und das Urteil des Obergerichts insgesamt. Allerdings ist auf die Beschwerde nicht einzutreten, soweit sich der Aufhebungsantrag auf Dispositiv-Ziff. 3 des Beschlusses (Nichteintreten auf das Gesuch um Prozesskostenvorschuss der Beschwerdegegnerin im obergerichtlichen Verfahren) bezieht. Der Beschwerdeführer hat kein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Abänderung dieser Dispositiv-Ziffer (<ref-law>). Dispositiv-Ziff. 1 des Beschlusses ist sodann bloss deklaratorischer Natur, indem festgehalten wird, dass die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung an die Beschwerdegegnerin im bezirksgerichtlichen Verfahren rechtskräftig geworden ist. Der entsprechende Punkt war damit gar nicht mehr Gegenstand des obergerichtlichen Verfahrens. Auch diese Dispositiv-Ziffer ist damit nicht aufzuheben.
Zur Neuverlegung der Kosten des obergerichtlichen Verfahrens wird die Angelegenheit an das Obergericht zurückgewiesen (Art. 67 und Art. 68 Abs. 5 BGG). In Abhängigkeit von der neuen Prozesskostenverteilung werden auch die Beschlüsse über die beiderseitigen Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das obergerichtliche Verfahren neu zu fassen sein (Dispositiv-Ziff. 2, 4 und 5 des Beschlusses). Dabei ist zu beachten, dass das Obergericht das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen hat, weil er seine Mittellosigkeit nicht glaubhaft gemacht hat. Vor Bundesgericht setzt sich der Beschwerdeführer damit nicht in genügender Weise auseinander (Art. 42 Abs. 2, Art. 97 Abs. 1 BGG), sondern verweist bloss pauschal auf sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im Berufungsverfahren und auf die Akten. Darauf ist demnach nicht einzugehen; insbesondere fällt eine Rückweisung zur inhaltlichen Neubeurteilung durch das Obergericht ausser Betracht.
4.
Es rechtfertigt sich, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>). Die beiderseitigen Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege werden insoweit gegenstandslos. Hinsichtlich der Parteientschädigung fällt das minimale Unterliegen des Beschwerdeführers (oben E. 3.4) nicht ins Gewicht. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (<ref-law>). Für den Fall der Uneinbringlichkeit ist das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Verbeiständung gutzuheissen und Rechtsanwalt Fraefel eine Entschädigung aus der Bundesgerichtskasse zu entrichten. Ebenso ist das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Verbeiständung gutzuheissen und Rechtsanwalt Stulz aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen. Die Beschwerdegegnerin hat der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage sein sollte (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschluss (hinsichtlich Dispositiv-Ziff. 2, 4 und 5) und das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, vom 28. Mai 2020 werden aufgehoben. Zur Weiterführung des Scheidungsverfahrens wird die Angelegenheit an das Bezirksgericht Zürich zurückgewiesen. Zur Neuverlegung der obergerichtlichen Kosten wird die Sache an das Obergericht zurückgewiesen.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist. Ihm wird Rechtsanwalt Dr. Christian Fraefel, Gotthardstrasse 52, 8002 Zürich, als unentgeltlicher Vertreter beigeordnet.
3.
Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist. Ihr wird Rechtsanwalt Stephan Stulz, Hahnrainweg 4, Postfach 249, 5400 Baden, als unentgeltlicher Vertreter beigeordnet.
4.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
5.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen. Bei Uneinbringlichkeit der Parteientschädigung wird Rechtsanwalt Fraefel mit Fr. 2'500.-- aus der Bundesgerichtskasse entschädigt.
6.
Rechtsanwalt Stulz wird mit Fr. 500.-- aus der Bundesgerichtskasse entschädigt.
7.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. September 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Zingg