Sachverhalt:
A.
Die B._ GmbH will die A._ GmbH, eine in V._ (Deutschland) ansässige Gesellschaft mit einer Zweigniederlassung in U._ (SG), auf Bezahlung einer Forderung von Fr. 6'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 3. Januar 2018 betreiben. Am 28. Februar 2018 erliess das Betreibungsamt U._ an die Adresse der Zweigniederlassung einen entsprechenden Zahlungsbefehl (Betreibung Nr. xxx). Der Forderungsgrund ist mit dem Vermerk "Parteientschädigung laut Dispositivziffer 3 des Bundesgerichtsurteils vom 3. Januar 2018 (Verfahren Nr. 4A_429/2017) " angegeben.
B.
B.a. Gegen diesen Zahlungsbefehl erhoben die A._ GmbH und ihre Zweigniederlassung Beschwerde beim Kreisgericht Rheintal als unterer Aufsichtsbehörde für das Betreibungswesen. Sie beantragten, die Nichtigkeit der Betreibung und des Zahlungsbefehls festzustellen; eventualiter seien die Betreibung und der Zahlungsbefehl aufzuheben. Weiter verlangten sie, das Betreibungsamt anzuweisen, den Zahlungsbefehl in der fraglichen Betreibung aufzuheben und die Betreibung im Betreibungsregister zu löschen. Mit Entscheid vom 24. April 2018 wies der Einzelrichter des Kreisgerichts Rheintal die Beschwerde ab, soweit darauf einzutreten war.
B.b. Die A._ GmbH erhob darauf Beschwerde beim Kantonsgericht St. Gallen als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs. Sie verlangte, den Entscheid des Kreisgerichts aufzuheben, und hielt im Wesentlichen an den dort gestellten Begehren fest. Das Kantonsgericht trat auf die Beschwerde nicht ein. Dieser Entscheid datiert vom 31. Juli 2018 und wurde der A._ GmbH am 8. August 2018 eröffnet.
C.
Mit Beschwerde vom 20. August 2018 wendet sich die A._ GmbH (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, den Entscheid des Kantonsgerichts sowie die Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts U._ und den Zahlungsbefehl vom 28. Februar 2018 aufzuheben (Ziff. 1). Weiter sei das Betreibungsamt U._ anzuweisen, den Zahlungsbefehl in der Betreibung Nr. xxx aufzuheben und die Betreibung im Betreibungsregister zu löschen (Ziff. 2). Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, jedoch keinen Schriftenwechsel angeordnet.

Erwägungen:
1.
Entscheide kantonaler Aufsichtsbehörden über Beschwerden gegen Verfügungen von Vollstreckungsorganen gemäss <ref-law> unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 Bst. a BGG i.V.m. <ref-law>). Die Beschwerde ist unabhängig von einer Streitwertgrenze zulässig (Art. 74 Abs. 2 Bst. c BGG). Sie richtet sich gegen den Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin entschieden hat (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin, auf deren kantonale Beschwerde die obere kantonale Aufsichtsbehörde nicht eintrat, ist mit ihren Anträgen vor der Vorinstanz unterlegen und somit zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Die rechtzeitig (Art. 100 Abs. 2 Bst. a i.V.m. <ref-law>) eingereichte Beschwerde ist zulässig.
2.
Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind vor Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Unter Vorbehalt der Verletzung verfassungsmässiger Rechte wendet das Bundesgericht das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist allerdings nicht gehalten, wie ein erstinstanzliches Gericht alle sich stellenden rechtlichen Fragen von sich aus zu untersuchen, wenn der Beschwerdeführer diese nicht mehr thematisiert (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 584; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Deshalb ist in der Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin muss auf den angefochtenen Entscheid eingehen und aufzeigen, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt; sie soll im Schriftsatz mit ihrer Kritik an den Erwägungen der Vorinstanz ansetzen, die sie als rechtsfehlerhaft erachtet (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 400). Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht. In tatsächlicher Hinsicht legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Diesbezüglich kann nur vorgebracht werden, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig (<ref-law>), das heisst willkürlich (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 1.5 S. 130 mit Hinweis), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1). In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22).
3.
Im Ausland wohnende Schuldner, die in der Schweiz eine Geschäftsniederlassung besitzen, können für die auf Rechnung der letztern eingegangenen Verbindlichkeiten am Sitz derselben betrieben werden (<ref-law>). Der Streit dreht sich um die Frage, wie weit die Prüfungsbefugnis der kantonalen Aufsichtsbehörden (<ref-law>) im Streit darüber reicht, ob der Betreibungsort des im Ausland wohnenden Schuldners gegeben ist.
3.1. Das Kantonsgericht erinnert zunächst daran, dass die Geschäftsniederlassung selbst nicht betreibungsfähig sei, gegenüber ihrem Inhaber aber einen Betreibungsort begründe. Der besondere Betreibungsort nach <ref-law> könne nur für Schulden der Geschäftsniederlassung in Anspruch genommen werden "bzw. genauer, Schulden der Inhaber der Geschäftsniederlassung, die aus dem Geschäftsbetrieb dieser Niederlassung stammen". Dieser Betreibungsort gelte auch für ausservertragliche Schulden. Mit Blick auf die Kognition der Aufsichtsbehörden erklärt das Kantonsgericht, im Aufsichtsverfahren sei in diesem Kontext lediglich die Rüge zulässig, dass die Voraussetzung "Schuldner mit Wohnsitz im Ausland und Geschäftsniederlassung in der Schweiz" nicht gegeben sei. Ob die in Betreibung gesetzte Verbindlichkeit die Geschäftsniederlassung in der Schweiz und nicht den Hauptsitz im Ausland betrifft, sei nach der Rechtsprechung hingegen eine Sachverhaltsfrage, die im Rechtsöffnungsverfahren zu prüfen sei. Was den konkreten Fall angeht, konstatiert das Kantonsgericht, dass die Beschwerdeführerin diese Rechtsprechung denn auch nicht in Zweifel ziehe, sondern lediglich anführe, dass das Bundesgericht in BGE 47 III 14 explizit offengelassen habe, ob die Aufsichtsbehörde zur Beurteilung dieser Frage allenfalls dann zuständig sei, wenn offensichtlich kein Zusammenhang zur Geschäftsniederlassung vorliegt. Die Vorinstanz erläutert in der Folge nicht näher, was es damit auf sich hat. Sie verweist auf ihren rechtskräftigen Entscheid vom 28. Juni 2016 in einem Verfahren zwischen denselben Parteien, in welchem sie sich bereits eingehend mit derselben Frage befasst habe und zum Schluss gekommen sei, dass die Aufsichtsbehörde keine Zuständigkeit zur Überprüfung dieser Frage habe. An dieser Rechtsprechung sei auch vorliegend festzuhalten. Gestützt auf diese Erwägungen findet das Kantonsgericht, dass auf die Beschwerde "nicht einzutreten" sei.
3.2. Die Beschwerdeführerin beklagt sich darüber, dass die Vorinstanz die "vorliegende Situation" mit derjenigen im Verfahren AB.2016.10-AS gleichsetze, das im Kantonsgerichtsentscheid vom 28. Juni 2016 mündete, und dass sie ohne Prüfung der Rechtsfrage auf die Beschwerde nicht eintrete. Die Vorinstanz handle willkürlich und verletze den Anspruch auf Prüfung der Anträge durch das Gericht, der sich aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) ableite. Die Vorinstanz verkenne, dass sich die im Entscheid vom 28. Juni 2016 beurteilte Ausgangslage gänzlich von der hier zu beurteilenden Frage unterscheide. Denn in jenem früheren Verfahren habe der Zusammenhang der Betreibungsforderung mit der Zweigniederlassung tatsächlich nicht offensichtlich auf der Hand gelegen. Hier sei der mangelnde Zusammenhang der in Betreibung gesetzten Parteientschädigungsforderung zur Zweigniederlassung offensichtlich. Deshalb hätte das Kantonsgericht die konkreten Umstände prüfen und sich mit der Rechtsfrage der Kognition auseinandersetzen müssen.
Zu Recht äussert die Beschwerdeführerin ihr Befremden darüber, dass die Vorinstanz auf ihre Beschwerde nicht eintritt. Warum das kantonale Rechtsmittel nicht zulässig gewesen sein soll und das Kantonsgericht nur einen Prozessentscheid fällen konnte, ist in der Tat nicht einsichtig. Von der Sache her bestätigt das Kantonsgericht nämlich den Entscheid der unteren kantonalen Aufsichtsbehörde, die den Antrag der Beschwerdeführerin, die Betreibung aufgrund mangelnder örtlicher Zuständigkeit des Betreibungsamts U._ aufzuheben, ebenfalls mit der Begründung "abgelehnt" hatte, dass der in <ref-law> vorausgesetzte Zusammenhang der Verbindlichkeit mit der Geschäftsniederlassung im Rechtsöffnungsverfahren zu prüfen sei. Drehte sich das vorinstanzliche Verfahren aber gerade um die Prüfungsbefugnis der kantonalen Aufsichtsbehörden, so durfte die Vorinstanz die Zulässigkeit des Rechtsmittels gegen den Entscheid der unteren Aufsichtsbehörde nicht mit der Begründung verneinen, dass ihre Prüfungsbefugnis mit Bezug auf die Frage, ob die Betreibungsforderung die Geschäftsniederlassung betrifft, nicht gegeben sei. Zutreffend stellt die Beschwerdeführerin im hiesigen Verfahren deshalb auch keinen Rückweisungsantrag, sondern ein reformatorisches Begehren in der Sache.
Nach dem Gesagten hat die Vorinstanz zwar fälschlicherweise einen Nichteintretensentscheid gefällt, tatsächlich aber doch eine Erklärung dafür geliefert, warum die (Rechtsmittel-) Anträge der Beschwerdeführerin nicht gutgeheissen werden können. Die Rüge, dass der angefochtene Entscheid nicht auf die gestellten Anträge eingehe und sich deswegen nicht mit <ref-law> vertrage, stösst damit ins Leere. Zum Scheitern verurteilt ist auch der Vorwurf, dass die Vorinstanz in Willkür verfalle. Entgegen dem, was die Beschwerdeführerin unterstellt, ist im angefochtenen Entscheid an keiner Stelle davon die Rede, dass die hier gegebene Situation derjenigen im Verfahren AB.2016.10-AS entspreche. Das Kantonsgericht erklärt bloss, an der Rechtsprechung festhalten zu wollen, wonach die Aufsichtsbehörde nicht prüfen könne, ob die Betreibungsforderung die schweizerische Geschäftsniederlassung des im Ausland ansässigen Schuldners betrifft (s. E. 3.1). Wie der Erwägung 5.a) des aktenkundigen Entscheids vom 28. Juni 2016 ohne Weiteres (<ref-law>) zu entnehmen ist, argumentierte die Beschwerdeführerin schon im Verfahren AB.2016.10-AS, dass die Aufsichtsbehörde die "an sich materiellrechtliche Frage" nach dem Zusammenhang der betriebenen Forderung mit der Zweigniederlassung "bei offensichtlicher Unzuständigkeit" prüfen könne. Das Kantonsgericht geht im Entscheid vom 28. Juni 2016 mit Hinweisen auf die Rechtsprechung und die Literatur auf dieses Argument ein. Der pauschalen Behauptung, die Vorinstanz habe sich im besagten früheren Entscheid nicht eingehend mit der Frage befasst, ist damit der Boden entzogen.
3.3. In der Sache wiederholt die Beschwerdeführerin das schon im Verfahren AB.2016.10-AS vorgetragene Argument (s. E. 3.2), wonach die kantonalen Aufsichtsbehörden (<ref-law>) eine Betreibung wegen fehlenden Betreibungsorts nach <ref-law> aufheben können, "wenn offensichtlich jeglicher Zusammenhang der Schuld mit der Geschäftsniederlassung fehlt und eine materiell-rechtliche Prüfung der Forderung für diese Feststellung nicht erforderlich ist". Die Beschwerdeführerin legt ausführlich dar, warum die hier in Betreibung gesetzte Parteientschädigung, die der Beschwerdegegnerin vom Bundesgericht im Urteil 4A_429/2017 vom 3. Januar 2018 zugesprochen wurde, ihrer Anschauung nach überhaupt keinen Bezug zur Zweigniederlassung in U._ hat, der Betreibungsort am Ort der Geschäftsniederlassung im Sinne von <ref-law> also nicht gegeben ist. Allein damit ist für den Ausgang des Streits freilich noch nichts gewonnen. Denn wie es sich mit dem Zusammenhang zwischen der in Betreibung gesetzten Verbindlichkeit und der Geschäftsniederlassung im konkreten Fall tatsächlich verhält, müsste die Vorinstanz nur und erst dann prüfen, wenn sie von Bundesrechts wegen dazu verpflichtet wäre.
Zur Erklärung, weshalb dies der Fall sein soll, verweist die Beschwerdeführerin zunächst auf BGE 47 III 14 und <ref-ruling>. Der erste Entscheid lasse "explizit" offen, "ob die Aufsichtsbehörden vielleicht dann, wenn auf der Hand liegt, dass es an jeglichem Zusammenhang der Schuld mit der Geschäftsniederlassung gänzlich fehlt, auf Beschwerde des Schuldners hin doch einschreiten könnten" (BGE 47 III 14 E. 1 S. 16 f.). In <ref-ruling> werde diese Frage nicht mehr thematisiert; das Bundesgericht verweise dort lediglich auf BGE 47 III 14. Mit diesen Hinweisen vermag die Beschwerdeführerin nicht in einer <ref-law> genügenden Weise darzutun, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (vgl. E. 2). Dass das Bundesgericht die streitige Frage nach der Kognition der Aufsichtsbehörden in BGE 47 III 14 offenlässt und in <ref-ruling> nicht mehr darauf zu sprechen kommt, trifft zwar zu. Allein mit dieser Erkenntnis liefert die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht aber keine Begründung, weshalb das Kantonsgericht Bundesrecht verletzt, wenn es sich als Aufsichtsbehörde (auch in offensichtlichen Fällen) für unbefugt erklärt, den Zusammenhang zwischen der Betreibungsforderung und der Geschäftsniederlassung zu prüfen: Lässt das Bundesgericht - wie in BGE 47 III 14 - eine bestimmte Rechtsfrage ausdrücklich offen, so bleibt eben gerade ungewiss, wie das Bundesgericht diese Rechtsfrage beurteilt. Damit lässt sich nichts begründen. Auch <ref-ruling> hilft der Beschwerdeführerin nicht weiter. Wie das Bundesgericht selbst klarstellt, war in diesem Entscheid gar nicht zu beurteilen, ob die Betreibungsforderung die schweizerische Geschäftsniederlassung des ausländischen Schuldners betrifft. Entsprechend kommt dem beiläufigen Hinweis auf BGE 47 III 14 in <ref-ruling> keine Bedeutung zu. Streitig war in <ref-ruling> einzig die Frage, ob die im Ausland ansässige Gesellschaft am Ort, wo der Zahlungsbefehl zugestellt wurde, eine Geschäftsniederlassung im Sinne von <ref-law> besass (s. insbes. BGE a.a.O. E. 1 S. 8).
Weiter beruft sich die Beschwerdeführerin auf einen Entscheid des Kreisgerichts Rheintal vom 24. November 2014, den sie ihrem Schriftsatz beilegt. Dieser Entscheid setze sich mit einer betreibungsrechtlichen Beschwerde auseinander, die exakt dieselbe Ausgangslage aufweise, und heisse das Rechtsmittel in Bezug auf die vom Handelsgericht Aargau zugesprochene Parteientschädigung gut, weil aus dem Urteilsspruch klar hervorgegangen sei, dass die Forderung nur auf die Parteien laute und daher in Bezug auf die Parteientschädigung kein spezieller Betreibungsort im Sinne von <ref-law> bestehe. Auch dieser Hinweis taugt nicht zur Begründung der Beschwerde an das Bundesgericht, wie sie <ref-law> vorschreibt. Der fragliche Entscheid erläutert die Voraussetzungen, unter denen der Betreibungsort nach <ref-law> gegeben ist. Wie die Beschwerdeführerin zutreffend feststellt, kommt das Kreisgericht Rheintal bezüglich der Parteientschädigungsforderung zum Schluss, dass der Betreibungsort nach <ref-law> nicht gegeben sei. Hingegen diskutiert der Entscheid an keiner Stelle die Frage, ob und gegebenenfalls unter welchen Voraussetzungen die Aufsichtsbehörden prüfen dürfen, inwiefern die Verbindlichkeit im Sinne von <ref-law> "auf Rechnung" der Geschäftsniederlassung eingegangen wurde. Insbesondere legt das Kreisgericht im Entscheid vom 24. November 2014 keine Rechenschaft darüber ab, weshalb es im konkreten Fall von der bundesgerichtlichen Praxis abweicht, wonach diese Frage die materiell-rechtliche Qualifikation der Forderung beschlägt und daher im Rechtsöffnungsverfahren zu prüfen ist (BGE 47 III 4 E. 1 S. 16). Namentlich ist dem besagten Entscheid auch nicht zu entnehmen, dass in offensichtlichen Fällen eine Ausnahme von dieser Rechtsprechung am Platz sei. Im Ergebnis liefert die Beschwerdeführerin mit dem Hinweis auf diesen Entscheid nichts, was ihre Sicht der Rechtslage zu begründen vermöchte. Ihre Argumentation reduziert sich auf die Erkenntnis, dass sich eine untere kantonale Aufsichtsbehörde ohne jegliche Begründung schon einmal über die bundesgerichtliche Rechtsprechung hinweggesetzt und sich angemasst hat, die materiell-rechtliche Qualifikation der Betreibungsforderung zu prüfen. Damit lässt sich der angefochtene Entscheid, der auf der Linie dieser bundesgerichtlichen Rechtsprechung liegt, nicht in Zweifel ziehen.
4.
Nach alledem bleibt es dabei, dass die Beschwerdeführerin mit dem Argument, der Betreibungsort nach <ref-law> sei mangels eines Zusammenhangs der Betreibungsforderung mit ihrer schweizerischen Geschäftsniederlassung nicht gegeben, auf das Rechtsöffnungsverfahren verwiesen ist. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt die Beschwerdeführerin. Sie hat deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Betreibungsamt U._ und dem Kantonsgericht St. Gallen, als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. September 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Monn