Faits:
A.
Le 15 novembre 2012, A.A._, ressortissante U._ née en 1984, a épousé dans son pays d'origine B.A._, compatriote né en 1973 séjournant en Suisse depuis 2004 et bénéficiant d'une autorisation d'établissement dans ce pays depuis le 21 décembre 2009. A plusieurs reprises en 2017, 2018 et 2019, A.A._ a rendu visite à son époux en Suisse à la faveur de visas touristiques. Le 18 mai 2019, elle est entrée en Suisse munie d'un visa touristique et, le 26 juin 2019, elle a sollicité le regroupement familial pour vivre auprès de son époux.
Dans une lettre accompagnant la demande de regroupement familial, B.A._, affranchi de l'aide des services sociaux en mai 2019 après une période de dépendance sans interruption depuis janvier 2011, a motivé la demande de regroupement familial par le fait qu'il avait un travail stable et qu'il s'en sortait financièrement.
Sur invitation du Service des migrations du canton de Neuchâtel (ci-après: le Service des migrations) à exposer quelle raison familiale majeure avait empêché les époux de déposer la demande dans le délai de cinq ans dès la conclusion de leur mariage, B.A._ a répondu, par courrier du 13 janvier 2020, qu'il avait maintenant un travail et que sa situation allait mieux.
Le 25 mai 2020, B.A._ a été naturalisé suisse.
B.
Le 12 juin 2020, le Service des migrations a refusé l'octroi d'une autorisation de séjour à A.A._ et a prononcé son renvoi de Suisse, lui fixant un délai au 31 août 2020 pour quitter le pays. Cette autorité a notamment retenu que la demande était tardive, que la situation financière ne constituait pas une raison familiale majeure et que rien ne s'opposait à ce que les époux mènent leur vie conjugale dans leur pays d'origine.
Le 15 juillet 2020, A.A._ a interjeté un recours contre la décision du Service des migrations auprès du Département de l'économie et de l'action sociale de la République et canton de Neuchâtel, devenu le Département de l'emploi et de la cohésion sociale (ci-après: le Département). Par décision du 18 février 2021, le Département a confirmé la décision attaquée, en estimant notamment que les allégations de A.A._ selon lesquelles son époux avait formulé plusieurs demandes orales de regroupement familial dans les cinq ans à compter de leur mariage n'étaient pas fondées, et il a rejeté les moyens de preuves requis par l'intéressée à l'appui de ses allégations.
Le 9 juillet 2021, la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours déposé par A.A._ contre la décision du Département du 18 février 2021.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A.A._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, outre l'octroi de l'assistance judiciaire, principalement à ce que l'arrêt du Tribunal cantonal du 9 juillet 2021soit annulé et qu'une autorisation de séjour lui soit délivrée. Subsidiairement, elle demande que la cause soit renvoyée au Tribunal cantonal pour nouvelle décision.
Aucun échange d'écriture n'a été ordonné.

Considérant en droit :
1.
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et, partant, que la voie du recours en matière de droit public soit ouverte. La question de savoir si les conditions d'un tel droit sont effectivement réunies relève du fond (<ref-ruling> consid. 1.1 et les arrêts cités).
En l'espèce, comme l'époux de la recourante était titulaire d'une autorisation d'établissement lors du dépôt de la demande de regroupement familial, l'intéressée a potentiellement un droit audit regroupement sur la base des art. 43 al. 1 et 47 de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEI; RS 142.20). De plus, la naturalisation de l'époux de la recourante en mai 2020 est également susceptible de fonder un droit au regroupement familial en faveur de cette dernière, au sens de l'art. 42 al. 1 et 47 LEI. La voie du recours en matière de droit public est ainsi ouverte.
1.2. Pour le surplus, l'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). Le recours a en outre été formé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites (<ref-law>), par la destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification, de sorte qu'elle a la qualité pour recourir (<ref-law>). Il convient donc d'entrer en matière.
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (cf. art. 95 let. a et art. 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'<ref-law>. Aux termes de cet alinéa, le Tribunal fédéral n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant.
2.2. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sauf exception de l'<ref-law>. Le recourant ne peut critiquer les constatations de fait ressortant de la décision attaquée que si celles-ci ont été effectuées en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 6). Conformément à l'<ref-law>, le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 6.3).
Par ailleurs, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut en principe être présenté devant le Tribunal fédéral (<ref-law>). Il découle notamment de cette règle qu'il n'est pas possible de présenter devant le Tribunal fédéral des pièces que l'on a négligé de produire devant l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 4.4.3).
2.3. En l'espèce, dans la mesure où la recourante se plaint d'établissement inexact des faits, sa critique n'est pas recevable. Elle ne motive en effet pas à suffisance son grief, se contentant de présenter sa propre version des faits, en complétant celle de l'arrêt entrepris, comme elle le ferait devant une juridiction d'appel, ce que le Tribunal fédéral n'est pas (cf. notamment arrêts 2C_1051/2020 du 26 mars 2021 consid. 2.2; 2C_814/2020 du 18 mars 2021 consid. 2.2), et sans exposer du reste en quoi la correction desdits faits aurait une quelconque influence sur le sort du litige. Tel est notamment le cas lorsqu'elle affirme que son époux a fait des efforts considérables pour se sortir de l'aide sociale, qu'il s'est entièrement dévoué à trouver un emploi, que son moral a été fortement éprouvé par les décisions des instances précédentes, ou encore que son couple s'est toujours soutenu dans les épreuves.
Pour le reste, en tant que la recourante allègue que les problèmes de santé psychique de son époux, les motifs à la base de la naturalisation de celui-ci, et les difficultés qu'il rencontrerait en cas de retour au U._ n'auraient pas correctement été pris en compte par l'autorité précédente lors de l'examen des raisons familiales majeures, sa critique relève du droit et non des faits et sera examinée ci-après (cf. infra consid. 3 et 5). La Cour de céans statuera donc sur la base des faits tels qu'ils ressortent de l'arrêt attaqué.
Pour le surplus, les pièces nouvelles accompagnant le recours ne peuvent pas être prises en considération, la recourante n'expliquant pas ce qui l'aurait empêchée de produire celles-ci en temps utile devant le Tribunal cantonal si elle les jugeait pertinentes (<ref-law>).
3.
Soulevant un grief d'ordre formel qu'il convient d'examiner en premier lieu (cf. <ref-ruling> consid. 3), la recourante se plaint d'une violation de son droit d'être entendue (art. 29 al. 1 Cst.) et du principe de la maxime inquisitoire.
Selon elle, les autorités précédentes n'auraient pas suffisamment motivé leurs décisions et instruit la cause s'agissant de l'existence de raisons familiales majeures pouvant justifier le dépôt tardif de la demande de regroupement familial. En particulier, la recourante estime que les juges précédents auraient dû procéder à des mesures d'instruction sur les problèmes de santé psychique du regroupant, les motifs qui ont conduit à l'octroi de la naturalisation à ce dernier, l'existence d'une vie familiale et conjugale entre les époux, et la possibilité d'imposer au couple de retourner vivre dans leur Etat d'origine.
3.1. Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. comprend notamment pour l'autorité l'obligation de motiver ses décisions, afin que le justiciable puisse les comprendre et exercer son droit de recours à bon escient (cf. <ref-ruling> consid. 3.4.3). Pour satisfaire à cette exigence, il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision (<ref-ruling> consid. 3.2.1 et les arrêts cités). L'autorité n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à ceux qui lui paraissent pertinents (cf. <ref-ruling> consid. 4.2 et les arrêts cités). Le droit d'être entendu implique également le droit pour l'intéressé d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes. L'autorité peut cependant renoncer à procéder à des mesures d'instruction, lorsque les preuves administrées lui ont permis de forger sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient l'amener à modifier son opinion (cf. <ref-ruling> consid. 6.3.1; <ref-ruling> consid. 5.3).
Selon la maxime inquisitoire, qui prévaut en général en droit public (<ref-ruling> consid. 6.3.1), l'autorité définit les faits pertinents et ne tient pour existants que ceux qui sont dûment prouvés. Cela ne dispense pas pour autant les parties de collaborer à l'établissement des faits; spécialement lorsqu'il s'agit d'élucider des faits qu'elles sont le mieux à même de connaître (cf. <ref-ruling> consid. 6.3.1; arrêt 2C_1156/2018 du 12 juillet 2019 consid. 3.3 et les arrêts cités). En matière de droit des étrangers, l'art. 90 LEI impose un devoir spécifique de collaborer à la constatation des faits déterminants à la charge de l'étranger ou des tiers participants (<ref-ruling> consid. 3.2; arrêts 2C_323/2018 du 21 septembre 2018 consid. 8.3.3; 2C_767/2015 du 19 février 2016 consid. 5.3.1).
3.2. En l'espèce, l'argument de la recourante selon lequel une instruction approfondie sur l'état de santé psychique de son époux était déterminante pour établir l'existence de raisons familiales majeures est invoqué pour la première fois devant la Cour de céans, si bien que l'on ne saurait reprocher au Tribunal cantonal ou aux instances précédentes de ne pas avoir instruit sur ce point. En effet, il ressort de l'arrêt attaqué que le Tribunal cantonal était informé de la prise en charge de l'époux de la recourante par un psychiatre de fin 2012 à juin 2018, mais que ce fait a uniquement été invoqué par la recourante pour appuyer son allégation selon laquelle son époux avait communiqué audit psychiatre qu'il avait déposé des demandes informelles de regroupement familial dans les cinq ans à compter de leur mariage. Les problèmes de santé psychique de l'époux de la recourante n'ont ainsi jamais été détaillés, ni évoqués par cette dernière pour justifier le dépôt tardif de la demande de regroupement familial, alors qu'il le lui appartenait, étant rappelé son devoir de collaboration (art. 90 LEI). Dans ces circonstances, on ne voit pas en quoi le Tribunal cantonal aurait violé le droit d'être entendu ou la maxime inquisitoire en n'instruisant pas davantage et d'office sur ce point.
Par ailleurs, en tant que la recourante considère qu'une instruction sur les motifs de la naturalisation de son époux aurait permis de démontrer que ce dernier était au bénéfice de " raisons personnelles majeures ", elle ne peut pas non plus être suivie. En effet, il ressort, à juste titre, de l'arrêt attaqué que l'appréciation du caractère tardif de la demande de regroupement familial et l'existence de raisons familiales majeures sont indépendantes de la nationalité du conjoint étranger, de sorte que la naturalisation du regroupant et les raisons à la base de celle-ci ne peuvent pas être déterminantes. Au demeurant, il était loisible à la recourante d'informer directement le Département et le Tribunal cantonal de la teneur des motifs de naturalisation si elle estimait ces derniers pertinents dans le cadre de la demande de regroupement familial (art. 90 LEI). On ne voit donc pas, et la recourante ne le démontre pas non plus conformément aux exigences de motivation requises (<ref-law>), en quoi le Tribunal cantonal aurait violé son droit d'être entendu ou la maxime inquisitoire en n'instruisant pas sur ce point.
Enfin, en ce que la recourante reproche à l'autorité précédente de n'avoir pas suffisamment instruit ni motivé l'arrêt attaqué eu égard à l'existence d'une vie familiale et conjugale effective avec son époux, d'une part, et de la possibilité de leur imposer de retourner vivre dans leur Etat d'origine, d'autre part, son argumentation ne relève pas d'une éventuelle violation du droit d'être entendu ou de la maxime inquisitoire. En effet, ce faisant, la recourante remet en cause la pesée des intérêts opérée par l'autorité précédente et prétend que certains intérêts à l'octroi d'une autorisation de séjour au titre de regroupement familial n'auraient, à tort, pas été suffisamment pris en compte. Elle se plaint ainsi d'une mauvaise application du droit, qui sera vérifiée ci-après.
3.3. Mal fondés, les griefs de violation du droit d'être entendu et de la maxime inquisitoire doivent partant être rejetés.
4.
Le litige porte sur la question de savoir si c'est à juste titre que le Tribunal cantonal a confirmé le refus de la demande de regroupement familial déposé par la recourante pour venir vivre en Suisse auprès de son époux.
La recourante ayant sollicité le regroupement familial en juin 2019, soit après le 1er janvier 2019, le litige est soumis aux dispositions de la LEI dans sa teneur en vigueur à compter de cette date (art. 126 al. 1 LEI).
5.
La recourante se plaint que l'arrêt attaqué violerait les art. 43, 47 al. 4 et 96 LEI, l'art. 8 CEDH et les art. 9 et 13 Cst.
En substance, la recourante explique que son époux et elle-même ont toujours souhaité vivre ensemble en Suisse et que ce dernier a tout mis en oeuvre pour ne plus émarger à l'aide sociale. Or, dans le cadre de la pesée des intérêts en présence, le Tribunal cantonal n'aurait pas pris en compte la durée du séjour de son époux en Suisse, le fait qu'il travaille et qu'il se soit construit un réseau social et professionnel fort dans ce pays, qu'il souffre de troubles psychiques qui ne pourraient être soignés avec la même qualité au U._, et qu'il est désormais de nationalité suisse, ce qui lui accorderait le droit de vivre en Suisse et de ne pas devoir mener sa vie conjugale au U._. Ces manquements auraient conduit les juges précédents à apprécier la situation de façon arbitraire et à rendre une décision disproportionnée.
5.1. A teneur de l'art. 42 al. 1 LEI, le conjoint d'un ressortissant suisse ainsi que ses enfants célibataires de moins de 18 ans ont droit à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité à condition de vivre en ménage commun avec lui. Selon l'art. 43 al. 1 LEI, le conjoint étranger du titulaire d'une autorisation d'établissement ainsi que ses enfants célibataires étrangers de moins de 18 ans ont droit à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité s'ils vivent en ménage commun avec lui et ne dépendent pas de l'aide sociale notamment.
Dans ce contexte, la demande de regroupement familial, qu'elle se fonde sur l'art. 42 al. 1 ou sur l'art. 43 al. 1 LEI, doit être présentée dans les délais fixés à l'art. 47 LEI, à savoir, en ce qui concerne le conjoint, dans un délai de cinq ans (al. 1). L'art. 47 al. 3 LEI précise en outre que, eu égard aux membres de la famille de ressortissants suisses, ce délai commence à courir au moment de l'entrée en Suisse ou de l'établissement du lien familial (let. a) et, eu égard aux membres de la famille d'étrangers établis en Suisse, au moment de l'octroi de l'autorisation de séjour ou d'établissement ou dès l'établissement du lien familial (let. b). Par ailleurs, selon la jurisprudence, la naturalisation de l'étranger que la famille cherche à rejoindre déclenche un nouveau délai pour demander le regroupement familial uniquement si une première demande a été préalablement déposée dans les délais de l'art. 47 LEI et si la seconde demande intervient également dans ces délais (cf. <ref-ruling> consid. 3.3; arrêts 2C_1028/2018 du 27 mai 2019 consid. 4.1; 2C_259/2018 du 9 novembre 2018 consid. 3.1).
En l'occurrence, il n'est pas contesté que la demande de regroupement familial de la recourante a été déposée en juin 2019, tandis que l'intéressée s'est mariée en novembre 2012 avec son époux, alors titulaire d'une autorisation d'établissement. Par conséquent, la demande a été formée tardivement au regard des art. 43 al. 1 et 47 al. 1 et al. 3 let. b LEI. La naturalisation de l'époux de la recourante en mai 2020 ne change rien à cet égard. En effet, compte tenu du caractère tardif de la demande de regroupement familial, cette dernière ne peut pas être considérée comme une première demande de regroupement valable au sens de la jurisprudence précitée. Ainsi, la recourante ne peut se prévaloir du déclenchement d'un nouveau délai au sens de l'art. 47 al. 3 let. a LEI. Par conséquent, ce n'est qu'en présence de raisons familiales majeures que le regroupement familial pourrait être accordé (art. 47 al. 4 LEI).
5.2. Les raisons familiales majeures, au sens de l'art. 47 al. 4 LEI, sont explicitées dans l'ordonnance du 24 octobre 2007 relative à l'admission, au séjour et à l'exercice d'une activité lucrative (OASA; RS 142.201). Elles sont données lorsque le bien de l'enfant ne peut être garanti que par un regroupement familial en Suisse (art. 75 OASA). Eu égard au conjoint, toutefois, ni cette ordonnance ni la jurisprudence et la doctrine n'ont arrêté les contours de cette exigence de façon déterminante (cf. <ref-ruling> consid. 7.1.1; arrêt 2C_323/2018 du 21 septembre 2018 consid. 8.2.1). Le Tribunal fédéral a cependant eu l'occasion de préciser que le fait que le regroupant bénéficie tardivement de moyens de subsistance suffisants pour sa famille ne constitue en principe pas une telle raison au sens de l'art. 47 al. 4 LEI (cf. arrêts 2C_948/2019 du 27 avril 2020 consid. 3.4.1; 2C_1/2017 du 22 mai 2017 consid. 4.2.6).
Par ailleurs, il ne doit être fait usage de l'art. 47 al. 4 LEI qu'avec retenue (<ref-ruling> consid. 7.1.1; arrêt 2C_728/2021 du 25 février 2021 consid. 5.3 et les arrêts cités). Les raisons familiales majeures pour le regroupement familial hors délai doivent être interprétées d'une manière conforme au droit fondamental au respect de la vie familiale (art. 13 Cst. et 8 CEDH; <ref-ruling> consid. 7.1.1 et les arrêts cités, cf. infra consid. 5.3). Selon la jurisprudence relative à l'art 47 al. 4 LEI, le désir de voir tous les membres de la famille réunis en Suisse est à la base de toute demande de regroupement familial, y compris celles déposées dans les délais, et représente même une des conditions du regroupement. La seule volonté de voir la famille réunie ne constitue dès lors pas une raison familiale majeure et, lorsqu'une demande de regroupement familial est effectuée hors délai et que la famille a vécu séparée volontairement, d'autres raisons sont nécessaires (cf. <ref-ruling> consid. 7.1.1; arrêt 2C_1028/2018 du 27 mai 2019 consid. 5.3).
5.3. Aux termes de l'art. 8 par. 1 CEDH, toute personne a notamment droit au respect de sa vie privée et familiale. Pour autant, les liens familiaux ne sauraient conférer de manière absolue un droit d'entrée et de séjour en Suisse (cf. <ref-ruling> consid. 6.1). Une ingérence dans l'exercice du droit au respect de la vie privée et familiale garanti par l'art. 8 par. 1 CEDH est en effet possible aux conditions de l'art. 8 par. 2 CEDH. Dans la pesée des intérêts commandée par cette disposition, il convient de tenir compte des exigences accrues liées au fait qu'une famille a renoncé à former une demande de regroupement familial dans les délais prévus à l'art. 47 LEI (cf. <ref-ruling> consid. 6.2; arrêt 2C_728/2020 du 25 février 2021 consid. 5.1).
5.4. En l'espèce, depuis leur mariage en 2012, la recourante et son époux ont vécu une vie conjugale commune partielle en Suisse pendant la durée des visas touristiques. Pendant de nombreuses années, ils n'ont pas formulé de demande de regroupement familial, et il ressort de l'arrêt attaqué que le seul motif invoqué par la recourante pour justifier le dépôt tardif d'une telle demande est la situation financière de son époux, respectivement le fait qu'il émargeait à l'aide sociale jusqu'en mai 2019. L'intéressé a été dépendant de l'aide sociale sans interruption de janvier 2011 à mai 2019 et n'a pas réussi à créer en temps utile les conditions du regroupement familial, alors qu'il lui appartenait de tout mettre en oeuvre à cette fin. Les juges précédents ont aussi relevé que, contrairement aux allégations de la recourante, il ne ressortait pas du dossier que son époux ait consenti des efforts particuliers pour trouver un emploi stable durant cette période. L'absence de ressources financières suffisantes n'a donc pas été retenue comme étant une raison familiale majeure au sens de l'art. 47 al. 4 LEI.
Dans ces circonstances, on ne voit pas en quoi l'appréciation du Département, confirmée par le Tribunal cantonal, violerait le droit fédéral. En effet, la recourante, qui admet que la situation financière précaire de son époux jusqu'en mai 2019 est le seul motif allégué pour justifier le dépôt tardif de sa demande, n'explique pas pourquoi ce dernier aurait eu besoin de plus de huit ans pour acquérir une autonomie financière. Conformément à la pratique du Tribunal fédéral, l'acquisition tardive d'une stabilité financière ne peut donc être imputée qu'à l'intéressé. Dès lors, la situation financière de l'époux de la recourante ne constitue pas une raison familiale majeure au sens
de l'art. 47 al. 4 LEI. L a naturalisation de celui-ci en mai 2020 n'ayant pas fait naître de nouveau délai (cf. supra consid. 5.1), la recourante ne peut donc se prévaloir d'aucune violation de cette disposition.
L'application des art. 8 CEDH et 13 Cst., en lien avec l'art. 96 LEI, ne conduit du reste pas à un résultat différent, la présence de raisons familiales majeures n'étant pas donnée en l'espèce. Au demeurant, la recourante apparaît avoir vécu toute sa vie au U._ et n'allègue pas posséder des attaches particulières avec la Suisse en dehors de son époux. Le fait qu'elle vive dans ce pays depuis deux ans et qu'elle parle le français ne modifie pas ce constat. Quant à son époux, il vit en Suisse depuis septembre 2004 mais ne bénéficie d'un emploi stable que depuis mai 2019. Certes, il possède la nationalité suisse depuis mai 2020 et, compte tenu de la durée de son séjour en Suisse, il y a vraisemblablement développé des liens sociaux. Cependant, comme l'a retenu l'autorité précédente, ces éléments ne suffisent pas à faire apparaître comme disproportionné le fait d'attendre des époux qu'ils continuent à vivre leur relation comme ils l'ont fait depuis 2012, à savoir par le biais de séjours touristiques en Suisse et des moyens de communication modernes. En ce sens, l'arrêt attaqué ne fait que maintenir le statu quo et ne porte pas une atteinte intolérable à la vie conjugale des intéressés, dès lors que ceux-ci peuvent vivre ensemble dans le pays de l'épouse, dont l'époux est aussi originaire. En tout état de cause, si les époux désiraient poursuivre leur vie conjugale au U._, on ne voit pas en quoi la prise en charge psychiatrique de l'époux de la recourante au U._ serait impossible, et cette dernière n'étaye pas à suffisance ses allégations sur ce point.
5.5. Dans ces conditions, le Tribunal cantonal pouvait, tout en respectant les art. 8 CEDH, 9 et 13 Cst., et sans violer le droit fédéral, conclure à l'absence de raisons familiales majeures au sens de l'art. 47 al. 4 LEI et rejeter la demande autorisation de séjour déposée par la recourante en vue d'un regroupement familial.
5.5. Dans ces conditions, le Tribunal cantonal pouvait, tout en respectant les art. 8 CEDH, 9 et 13 Cst., et sans violer le droit fédéral, conclure à l'absence de raisons familiales majeures au sens de l'art. 47 al. 4 LEI et rejeter la demande autorisation de séjour déposée par la recourante en vue d'un regroupement familial.
6. Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours. Le recours étant d'emblée dénué de chance de succès, la demande d'assistance judiciaire est rejetée (cf. <ref-law>). Succombant, la recourante doit supporter les frais judiciaires (cf. <ref-law>), qui seront toutefois réduits compte tenu de la situation financière de son couple. Il n'est pas alloué de dépens (cf. art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué à la recourante, au Service des migrations du canton de Neuchâtel, au Département de l'emploi et de la cohésion sociale de la République et canton de Neuchâtel DEAS, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 18 mars 2022
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : F. Aubry Girardin
La Greffière : S. Colella