Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ (geb. 1991; Staatsangehörige von Nigeria) reiste am 21. Juni 2008 in die Schweiz ein, wo sie um Asyl nachsuchte. Am 2. September 2008 gebar sie B.A._. Wer B.A._s Vater ist, konnte nicht geklärt werden. Im Mai 2009 zog A.A._ mit B.A._ nach U._. Mit Beschluss vom 20. Januar 2010 errichtete die Sozialbehörde U._ für B.A._ eine Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB. Die Beiständin wurde beauftragt, der Mutter in der Sorge um das Kind mit Rat und Tat beizustehen. Laut dem ersten Rechenschaftsbericht der Beiständin für die Zeit bis zum 31. Januar 2012 war A.A._s Asylgesuch abgewiesen worden, wobei mit einer Ausschaffung nicht binnen Jahresfrist zu rechnen war. A.A._ soll die Rückkehr und die Möglichkeit einer Rückkehrhilfe abgelehnt haben. Der Bericht schilderte die Situation des Kindes und das Verhalten der Mutter; diese erkenne die Notwendigkeit emotionaler und fürsorglicher Zuwendung und körperlicher Nähe und Aufmerksamkeit als wichtige Grundbedürfnisse für eine gesunde Entwicklung ihres Sohnes nicht und sei mit seinen Reaktionen überfordert.
A.b. Am 8. Mai 2014 gebar A.A._ den Sohn C.A._. Die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Dübendorf errichtete zur Feststellung der Vaterschaft und Regelung des Unterhalts sowie zur Beratung und Betreuung der Mutter eine Beistandschaft nach <ref-law>.
A.c. Mit Schreiben vom 11. September 2014 ersuchte die Beiständin die KESB, die Familie umfassend abzuklären. Am 16. September 2014 sandte die Schule U._ der KESB Dübendorf eine Gefährdungsmeldung, wonach B.A._s Situation nicht mehr trag- und verantwortbar sei. Eine von der KESB angeordnete sozialpädagogische Intensivabklärung führte zu ähnlichen Ergebnissen wie der erste Rechenschaftsbericht (Bst. A.a). Mit Verfügung vom 17. Februar 2015 wies die Schulpflege U._ B.A._ der Einzelbeschulung zu.
A.d. In einer E-Mail vom 19. Februar 2015 wies die Asylkoordinatorin die Beiständin darauf hin, dass B.A._ von seiner Mutter grob be- bzw. misshandelt worden sein soll. Am 3. März 2015 hörte die KESB die Mutter an. Gleichentags entzog sie ihr vorsorglich das Aufenthaltsbestimmungsrecht für B.A._, brachte das Kind in der Stiftung B._, V._, unter und bestellte ihm eine Kindesvertreterin. Für C.A._ ordnete die KESB mit Entscheid vom 10. März 2015 eine sozialpädagogische Familienbegleitung sowie die zeitweise Fremdbetreuung an. Mit Entscheid vom 1. Dezember 2015 bestätigte die KESB B.A._s vorsorgliche Fremdplatzierung und die Weiterführung der sozialpädagogischen Familienbegleitung. In der Folge verlängerte die Behörde diese Massnahme, nachdem zwar von deutlichen Fortschritten in A.A._s Erziehungsverhalten berichtet, eine Familienbegleitung jedoch weiterhin als notwendig erachtet wurde.
A.e. Mit Entscheid vom 23. Mai 2017 stellte das Bezirksgericht Uster fest, dass C._ (geb. 1982; Staatsangehöriger von Nigeria, unbekannten Aufenthalts) der Vater von C.A._ ist, und verurteilte den Vater zu Unterhaltszahlungen. C.A._ wurde der alleinigen elterlichen Sorge und Obhut der Mutter unterstellt.
A.f. Mit E-Mail vom 14. Juni 2017 teilte die KESB dem Migrationsamt des Kantons Zürich mit, dass sie gegen eine allfällige Ausreise der gesamten Familie A._ aus der Schweiz nicht opponieren und die Massnahme nach <ref-law> für B.A._ voraussichtlich umgehend nach Vollzug der Ausreise aufheben würde.
A.g. Per Ende August 2017 wurde die sozialpädagogische Familienbegleitung eingestellt. Laut dem Schlussrechenschaftsbericht der Beiständin vom 28. Februar 2018 wurde die Familie am 22. November 2017 nach Nigeria ausgeschafft. Mit Entscheid vom 17. April 2018 hob die KESB die Kindesschutzmassnahmen für B.A._ auf und erteilte der Mutter rückwirkend ab 22. November 2017 wiederum das Aufenthaltsbestimmungsrecht. Gleichentags hob sie auch die für C.A._ bestehende Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB auf. Die Entscheide wurden am 27. April 2018 amtlich publiziert.
B.
B.a. Mutter und Kinder legten beim Bezirksrat Uster Beschwerde ein. Sie beantragten, die Beschlüsse der KESB nichtig zu erklären; eventuell sei die Sache zur Sachverhaltsabklärung und Neubeurteilung durch einen rechtskonform zusammengesetzten Spruchkörper zurückzuweisen; subeventuell seien die Beschlüsse ersatzlos aufzuheben. Mit Urteil vom 16. April 2019 wies der Bezirksrat die Beschwerde ab, soweit er darauf eintrat. Zugleich bewilligte er den Beschwerdeführern im Umfang von fünfzig Prozent die unentgeltliche Rechtsvertretung.
B.b. A.A._ und ihre Söhne gelangten an das Obergericht des Kantons Zürich. Sie verlangten, die Kindesschutzmassnahmen weiterzuführen, den Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts aufrechtzuerhalten und die KESB anzuweisen, B.A._ in einem geeigneten Heim zu platzieren, vorzugsweise im Heim B._. Eventualiter sei die Sache an die KESB zurückzuweisen, wobei die beteiligten Mitglieder in den Ausstand zu treten hätten. Überdies verlangten sie, die unentgeltliche Rechtsvertretung für das bezirksrätliche Verfahren in vollem Umfang zu gewähren. Das Obergericht entsprach diesem Begehren und hiess auch das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das oberinstanzliche Verfahren gut. In der Sache wies es die Beschwerde ab (Beschluss und Urteil vom 5. Juli 2019).
C.
Mit Beschwerde vom 11. September 2019 wenden sich A.A._, B.A._ und C.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Sie halten an den vor dem Obergericht gestellten Sachbegehren (Bst. B.b) fest und ersuchen für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, indes keinen Schriftenwechsel angeordnet.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist der Entscheid, mit dem das Obergericht die Aufhebung der Kindesschutzmassnahmen für die Beschwerdeführer 2 und 3 bestätigt. Das ist ein Endentscheid im Sinne von <ref-law> über eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit, die in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG) und keiner Streitwertgrenze (<ref-law>) unterliegt. Die Vorinstanz ist ein oberes Gericht, das als letzte kantonale Instanz auf Rechtsmittel hin entschieden hat (<ref-law>). Von daher stünde die rechtzeitig (<ref-law>) eingereichte Beschwerde an sich offen.
2.
Die Zulässigkeit der Beschwerde in Zivilsachen setzt weiter das Beschwerderecht voraus.
2.1. Nach <ref-law> ist zur Beschwerde in Zivilsachen berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (Bst. a) und durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (Bst. b). Das schutzwürdige Interesse besteht im praktischen Nutzen, den die Gutheissung des Rechtsmittels der rechtsuchenden Partei verschaffen würde, indem ihr der Nachteil (wirtschaftlicher, ideeller, materieller oder anderer Natur) erspart bliebe, den der angefochtene Entscheid für sie bedeutet (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 539 mit Hinweisen). Die Beschwerdebefugnis setzt in der Regel ein aktuelles und praktisches Interesse an der Gutheissung der gestellten Rechtsbegehren voraus, das auch im Zeitpunkt der Fällung des bundesgerichtlichen Urteils vorhanden sein muss (s. <ref-ruling> E. 1.2 S. 157). Die rechtsuchende Partei muss eine im konkreten Fall eingetretene Verletzung ihrer Rechte geltend machen. Sie kann sich nicht damit begnügen, faktisch irrelevante Rechtsfragen aufzuwerfen (Urteil 5A_845/2017 vom 14. Mai 2018 E. 3.1 mit Hinweis). Ob ein aktuelles Interesse gegeben ist, beurteilt sich deshalb nach den Wirkungen und der Tragweite einer allfälligen Gutheissung der Beschwerde (vgl. <ref-ruling> a.a.O.). Ist das aktuelle Interesse schon bei Einreichung der Beschwerde nicht gegeben, so tritt das Bundesgericht auf die Beschwerde nicht ein (<ref-ruling> E. 2.1 S. 500 mit Hinweisen).
Die Beschwerde führende Partei hat unter Gewärtigung der Nichteintretensfolge darzulegen, dass die gesetzlichen Voraussetzungen des Beschwerderechts gegeben sind. Soweit diese nicht ohne Weiteres ersichtlich sind, ist es nicht Aufgabe des Bundesgerichts, anhand der Akten oder weiterer, noch beizuziehender Unterlagen nachzuforschen, ob und inwiefern die Beschwerde zuzulassen ist (<ref-ruling> a.a.O.; <ref-ruling> E. 4 S. 47; je mit Hinweisen).
2.2. Die Beschwerdeführer machen geltend, sie seien alle drei im Sinne von <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Was die Beschwerdeführerin 1 angehe, habe die Aufhebung der Kindesschutzmassnahmen unmittelbar Auswirkungen auf ihre Rechte und Pflichten als Inhaberin der elterlichen Sorge. Das schutzwürdige Interesse der Beschwerdeführerin 1 an der Aufhebung bestehe "bei abstrakter Betrachtung" darin, dass die Kindesschutzmassnahmen der Förderung des Kindeswohls dienen. Die Beschwerdeführerin 1 habe als Mutter ein tatsächliches Interesse daran, dass ihre Kinder in optimalen Verhältnissen aufwachsen. Wenn dazu Kindesschutzmassnahmen notwendig sind, habe sie ein Interesse an deren Aufrechterhaltung. Ausserdem sei die Beschwerdeführerin 1 mit den Pflichten und der Verantwortung, die ihr mit der Aufhebung der Massnahmen wieder zufielen, überfordert. Der Beschwerdeführer 2 sei direkt von der Aufhebung der Massnahme betroffen und habe ein Interesse daran, dass die Obhut entzogen bleibt, solange die Voraussetzungen für die Wiedererteilung nicht gegeben sind. Dasselbe gelte für den Beschwerdeführer 3.
2.3. Was es damit auf sich hat, kann offenbleiben. Denn allein mit den resümierten Ausführungen ist noch nichts darüber ausgesagt, ob die Beschwerdeführer auch ein aktuelles und praktisches Interesse an der Gutheissung ihrer Beschwerde bzw. an der Aufrechterhaltung der Kindesschutzmassnahmen haben. Mit Blick auf die Wirkungen und die Tragweite einer solchen Gutheissung ist nicht zu übersehen, dass alle drei Beschwerdeführer heute in Nigeria leben, nachdem sie am 22. November 2017 aus der Schweiz ausgeschafft wurden (s. Sachverhalt Bst. A.g). Der Beschwerde ist nicht zu entnehmen, inwiefern die KESB die Wiederaufnahme der fraglichen Massnahmen im Ausland organisieren könnte (oder gar müsste). Vielmehr schwebt den Beschwerdeführern auch vor Bundesgericht vor, dass der Beschwerdeführer 2 "bevorzugt" ins zürcherische Heim zurückkehren soll, in welchem er bis zur Ausreise untergebracht war. Dass die Gutheissung der Beschwerde ihnen allen oder wenigstens den Beschwerdeführern 2 und 3 eine (rechtliche) Möglichkeit gäbe, sich zur Weiterführung der Kindesschutzmassnahmen in der Schweiz aufzuhalten, behaupten die Beschwerdeführer nicht und ist auch nicht ersichtlich. Namentlich machen die Beschwerdeführer vor Bundesgericht auch nicht geltend, dass im Falle einer Gutheissung der vorliegenden Beschwerde die zuständigen schweizerischen Behörden auf den Asylentscheid zurückkommen müssten, der am 22. November 2017 zur Ausreise der Beschwerdeführer aus der Schweiz führte, oder dieser Asylentscheid sonstwie seine Geltung verlöre. Daran ändert auch das aktenkundige Schreiben des Staatssekretariats für Migration SEM vom 2. Mai 2019 an die Zürcher Beratungsstelle für Asylsuchende nichts, das der angefochtene Entscheid erwähnt und in welchem das SEM "im Hinblick auf ein neues Pflegeverhältnis" in Aussicht stellt, den Beschwerdeführern 2 und 3 die zur Einreise in die Schweiz benötigten Visa zu erteilen. Das SEM macht dieses Angebot nicht nur davon abhängig, dass die KESB die Platzierung in der Stiftung B._ unterstützt, sondern verlangt auch, dass das zuständige kantonale Migrationsamt bereit ist, gestützt auf Art. 33 der Verordnung über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit vom 24. Oktober 2007 (VZAE; SR 142.201) eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen.
Nach alledem fehlt der mit der Beschwerde aufgeworfenen Frage, ob die KESB die Kindesschutzmassnahmen für die Beschwerdeführer 2 und 3 am 17. April 2018 zu Recht aufhob, die praktische Relevanz. Die Wirkungen einer allfälligen Gutheissung der Beschwerde wären bei der gegebenen Ausgangslage rein hypothetischer Natur. Damit fehlt es an der Eintretensvoraussetzung des aktuellen und praktischen Interesses (vgl. auch Urteil 5A_391/2013 vom 7. November 2013 E. 2.2). Ein Grund, von diesem Erfordernis eine Ausnahme zu machen (s. zu den Voraussetzungen Urteil 2C_899/2008 vom 18. Juni 2009 E. 1.2.2, nicht publ. in: <ref-ruling>) ist weder dargetan noch ersichtlich.
2.4. Nach dem Gesagten steht fest, dass die Beschwerdeführer kein im Sinne von Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des vorinstanzlichen Entscheids haben. Folglich kann das Bundesgericht auf die Beschwerde nicht eintreten. Entsprechend erübrigen sich Erörterungen zum Vorwurf der Beschwerdeführer, wonach die KESB ihre Rolle im Rahmen des Asylverfahrens nicht richtig wahrgenommen und ihre Pflicht, für das Wohl der Kinder zu sorgen, "in eklatanter Weise verletzt" habe, weil sie gegenüber dem Migrationsamt "in vorauseilendem Gehorsam" die Aufhebung jeglicher Kindesschutzmassnahmen in Aussicht stellte. Immerhin ist auf die vorinstanzlichen Erwägungen hinzuweisen, wonach es nicht in die Kompetenz der KESB fiel, über den Verbleib der Kinder in der Schweiz bzw. deren Wegweisung mit ihrer Mutter zu entscheiden, und es nicht darum gehen kann, mittels Kindesschutzmassnahmen den endgültigen Asylentscheid aus den Angeln zu heben. Damit setzen sich die Beschwerdeführer nicht auseinander.
3.
3.1. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegen die Beschwerdeführer. Sie hätten deshalb grundsätzlich für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Angesichts der Umstände verzichtet das Bundesgericht aber darauf, Kosten zu erheben (<ref-law>). Dem Kanton Zürich ist keine Entschädigung geschuldet (<ref-law>).
3.2. Soweit es die Befreiung von der Bezahlung von Gerichtskosten beschlägt, ist das Gesuch der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gegenstandslos geworden. Im Übrigen ist das Gesuch abzuweisen. Wie die vorigen Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren als von Anfang an aussichtslos gelten. Damit mangelt es an einer materiellen Voraussetzung für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Dübendorf, dem Staatssekretariat für Migration SEM und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Februar 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn