Erwägungen:
1.
Am 14. Juli 2020 ersuchte die Beschwerdegegnerin gegenüber dem Beschwerdeführer um Erteilung der definitiven Rechtsöffnung für Fr. 4'810.35 in der Betreibung Nr. yyy des Betreibungsamtes Zürich 9. Nachdem die Beschwerdegegnerin die Betreibung zurückgezogen hatte, schrieb das Bezirksgericht Zürich das Rechtsöffnungsverfahren mit Verfügung vom 7. September 2020 als gegenstandslos ab. Die Kosten auferlegte es der Beschwerdegegnerin.
Am 1. Oktober und 16. Oktober 2020 erhob der Beschwerdeführer Beschwerde. Das Obergericht des Kantons Zürich wies mit Beschluss vom 2. Februar 2021 das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Beschwerdeverfahren ab und trat auf die Beschwerde nicht ein.
Gegen diesen Entscheid (sowie einen weiteren; dazu Verfahren 5D_39/2021) hat der Beschwerdeführer am 18. März 2021 Beschwerde in Zivilsachen und/oder subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht erhoben.
2.
Aufgrund des unter Fr. 30'000.-- liegenden Streitwerts (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-law>) ist die Beschwerde in Zivilsachen unzulässig und die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln (<ref-law>). Soweit der Beschwerdeführer die Beschwerde auch gegen die "Vorverfahren" richtet, ist darauf nicht einzutreten (Art. 114 i.V.m. <ref-law>). Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 117 i.V.m. <ref-law> in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399; <ref-ruling> E. 2.4 S. 368).
3.
Das Obergericht hat erwogen, es sei weder dargetan noch ersichtlich, inwiefern der Beschwerdeführer aufgrund der Verfahrensabschreibung und der Kostenauflage an die Beschwerdegegnerin einen Nachteil erlitten habe. Zudem sei weder dargetan noch ersichtlich, inwiefern bei dieser Sachlage die für das bezirksgerichtliche Verfahren beantragte, jedoch unterbliebene Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands zur Wahrung der Rechte des Beschwerdeführers notwendig gewesen wäre. Das Obergericht ist insoweit auf die Beschwerde mangels Rechtsschutzinteresses nicht eingetreten. Sodann hat das Obergericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Beschwerdeverfahren wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde abgewiesen.
4.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit diesen Erwägungen nicht auseinander. Er geht nicht auf das fehlende Rechtsschutzinteresse ein. Sodann genügt es nicht zu behaupten, die Angelegenheit sei nicht aussichtslos gewesen. Ebenso unbehelflich ist der Hinweis auf die Waffengleichheit. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, was die Bestellung eines Anwalts an der aussichtslosen Ausgangslage des obergerichtlichen Verfahrens hätte ändern können. Nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens sind schliesslich die vom Beschwerdeführer geltend gemachten Schadenersatz- und Genugtuungsforderungen.
5.
Die Beschwerde ist damit offensichtlich unzulässig und sie enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG).
6.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war die Beschwerde von vornherein aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen (<ref-law>). Was das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung im Besonderen betrifft, so hat sich der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht vertreten lassen. Das Bundesgericht hat ihm am 22. März 2021 mitgeteilt, dass es an ihm liegt, einen Anwalt oder eine Anwältin mit der Interessenwahrung zu betrauen. Es ist nicht ersichtlich, dass der Beschwerdeführer offensichtlich nicht imstande wäre, seine Sache selber zu führen, und ihm deshalb von Amtes wegen ein Anwalt oder eine Anwältin zu bestellen wäre (<ref-law>). Eine Parteientschädigung an den Beschwerdeführer fällt ausser Betracht (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. März 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg