Sachverhalt:
A.
Der 1972 in der heutigen Republik Kosovo geborene A._ lernte im Juli 2000 in seinem Herkunftsland die Schweizerin B._ (geb. 1962) kennen. Im April 2003 reiste er in die Schweiz ein und ersuchte um Asyl. Im Mai 2003 wies das Bundesamt für Flüchtlinge BFF (heute: Staatssekretariat für Migration SEM) sein Asylgesuch ab und wies ihn aus der Schweiz weg. Während des diesen Entscheid betreffenden Rechtsmittelverfahrens heiratete A._ am 12. Juni 2003 B._. Daraufhin wurde ihm der Aufenthalt in der Schweiz bewilligt; zudem zog er sein Asylgesuch zurück. Am 28. April 2008 ersuchte er um erleichterte Einbürgerung. Am 8. Dezember 2008 unterzeichneten er und B._ eine gemeinsame Erklärung, wonach sie in einer intakten Ehe lebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten hegten. Mit Verfügung vom 7. Januar 2009 wurde A._ erleichtert eingebürgert.
B.
Am 6. April 2010 reichten die Eheleute beim Bezirksgericht Luzern ein Eheschutzbegehren ein; am 1. Juni 2010 lösten sie den gemeinsamen Haushalt auf. Mit Entscheid vom 10. November 2012 wurde ihre kinderlos gebliebene Ehe auf gemeinsames Scheidungsbegehren vom 15. Februar 2012 hin geschieden. Im Januar 2014 heiratete A._ eine 1975 geborene Kosovarin. Im Oktober 2014 wurde ihm das Sorgerecht für seinen am 7. Dezember 2006 im Kosovo geborenen ausserehelichen Sohn zugesprochen, den er sowohl im Einbürgerungsverfahren als auch gegenüber seiner Ex-Frau verschwiegen hatte. Im Juni 2015 eröffnete das Staatssekretariat für Migration SEM ein Verfahren zur Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung. Am 20. Dezember 2016 erklärte es diese mit Zustimmung des Kantons Luzern für nichtig.
C.
Gegen diesen Entscheid gelangte A._ an das Bundesverwaltungsgericht. Mit Urteil vom 31. Juli 2018 wies dieses sein Rechtsmittel ab.
D.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 14. September 2018 an das Bundesgericht beantragt A._, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts aufzuheben und von der Nichtigerklärung seiner erleichterten Einbürgerung Umgang zu nehmen.
Das Staatssekretariat und das Bundesverwaltungsgericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. A._ hat sich nicht mehr geäussert.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts über die Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a sowie Art. 90 BGG); ein Ausschlussgrund nach <ref-law> liegt nicht vor (<ref-law> e contrario). Der Beschwerdeführer nahm am vorinstanzlichen Verfahren teil, ist durch den angefochtenen Entscheid auch materiell beschwert und damit nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Auch sonst steht einem Sachurteil nichts entgegen.
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet dieses von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, die der Beschwerdeführer vorbringt und begründet (vgl. <ref-law>). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten, soweit die Verletzung von Grundrechten gerügt wird (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil weiter den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Die beschwerdeführende Person wiederum darf die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung nur rügen, wenn sie mit einem solchen Mangel behaftet ist und dessen Behebung für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
3.
3.1. Gemäss Art. 50 Abs. 1 des am 1. Januar 2018 in Kraft getretenen Bürgerrechtsgesetzes vom 20. Juni 2014 (BüG; SR 141.0) richten sich Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts nach dem Recht, das bei Eintritt des massgebenden Tatbestands in Kraft steht. Die vorliegende Streitsache ist somit nach dem Bürgerrechtsgesetz vom 29. September 1952 (aBüG; AS 1952 1087) zu beurteilen, das im Zeitpunkt der erleichterten Einbürgerung des Beschwerdeführers und deren strittiger Nichtigerklärung in Kraft stand.
3.2. Nach Art. 27 Abs. 1 aBüG kann ein Ausländer nach der Eheschliessung mit einer Schweizerin ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung stellen, wenn er insgesamt fünf Jahre in der Schweiz gewohnt hat, seit einem Jahr hier wohnt und seit drei Jahren in ehelicher Gemeinschaft mit der Schweizerin lebt. Neben dem formellen Bestehen der Ehe ist das Vorliegen einer tatsächlichen Lebensgemeinschaft erforderlich, die vom intakten gemeinsamen Willen zu einer stabilen ehelichen Gemeinschaft getragen wird. Zweifel bezüglich eines derartigen Willens sind namentlich angebracht, wenn kurze Zeit nach der erleichterten Einbürgerung die Trennung erfolgt oder die Scheidung eingeleitet wird (<ref-ruling> E. 2 S. 165 mit Hinweisen). Art. 26 Abs. 1 aBüG setzt für die erleichterte Einbürgerung ferner voraus, dass der Bewerber in der Schweiz integriert ist, die schweizerische Rechtsordnung beachtet und die innere und äussere Sicherheit der Schweiz nicht gefährdet. Alle Einbürgerungsvoraussetzungen müssen sowohl im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung als auch in demjenigen der Einbürgerungsverfügung erfüllt sein (<ref-ruling> E. 2.1 S. 67).
3.3. Nach Art. 41 Abs. 1 aBüG kann die Einbürgerung vom Bundesamt mit Zustimmung der Behörde des Heimatkantons nichtig erklärt werden, wenn sie durch falsche Angaben oder Verheimlichung erheblicher Tatsachen erschlichen worden ist. Das blosse Fehlen der Einbürgerungsvoraussetzungen genügt nicht. Die Nichtigerklärung der Einbürgerung setzt vielmehr voraus, dass diese "erschlichen", das heisst mit einem unlauteren und täuschenden Verhalten erwirkt worden ist. Arglist im Sinne des strafrechtlichen Betrugstatbestands ist nicht erforderlich. Immerhin ist notwendig, dass die betroffene Person bewusst falsche Angaben macht bzw. die Behörde bewusst in einem falschen Glauben lässt und so den Vorwurf auf sich zieht, es unterlassen zu haben, diese über eine erhebliche Tatsache zu informieren (zum Ganzen <ref-ruling> E. 2.2 S. 67 mit Hinweisen). Die Möglichkeit zur Nichtigerklärung besteht im Weiteren nicht unbegrenzt, sondern geht durch Zeitablauf unter (vgl. Art. 41 Abs. 1 bis aBüG).
3.4. Bei der Prüfung der Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung hat die Behörde insbesondere zu untersuchen (vgl. <ref-law>), ob die Ehe im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung tatsächlich gelebt wurde, wobei die eingebürgerte Person mitwirkungspflichtig ist. Da es im Wesentlichen um innere Vorgänge geht, die der beweisbelasteten Behörde oft nicht bekannt und nur schwer zu beweisen sind, kann sich diese veranlasst sehen, von bekannten Tatsachen (Vermutungsbasis) auf unbekannte (Vermutungsfolge) zu schliessen (sog. tatsächliche Vermutung). Solche Wahrscheinlichkeitsfolgerungen, die aufgrund der Lebenserfahrung gezogen werden, betreffen die Beweiswürdigung und bewirken keine Umkehr der Beweislast. Die eingebürgerte Person muss daher nicht den Beweis des Gegenteils erbringen. Es genügt, wenn sie einen Grund anführt, der es als plausibel erscheinen lässt, dass sie im massgeblichen Zeitpunkt mit dem Schweizer Ehepartner bzw. der Schweizer Ehepartnerin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft lebte und diesbezüglich nicht gelogen hat. Dabei kann es sich etwa um ein ausserordentliches Ereignis handeln, das nach der erleichterten Einbürgerung eintrat und zum raschen Zerfall des Willens zur ehelichen Gemeinschaft führte, oder darum, dass die eingebürgerte Person die Schwere der ehelichen Probleme nicht erkannte und im massgeblichen Zeitpunkt den wirklichen Willen hatte, mit dem Schweizer Ehepartner auch weiterhin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft zu leben (zum Ganzen <ref-ruling> E. 3 S. 165 f; <ref-ruling> E. 3.2 S. 485 f.).
4.
4.1. Die Vorinstanz erachtet die Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung des Beschwerdeführers bereits deshalb als begründet, weil dieser im Einbürgerungsverfahren absichtlich seinen während der Ehe mit seiner Ex-Frau ausserehelich gezeugten und geborenen Sohn verschwiegen habe. Damit habe er direkt den Nichtigkeitsgrund des Erschleichens im Sinne von Art. 41 Abs. 1 aBüG gesetzt. Dies gelte selbst dann, wenn von der These einer zum massgeblichen Zeitpunkt noch intakten Ehe ausgegangen würde. Die Zeugung bzw. die Geburt des ausserehelichen Sohnes hätte einen Hinderungsgrund für die erleichterte Einbürgerung dargestellt resp. diese verhindert oder zumindest bis zur Klärung der ehelichen Verhältnisse hinausgezögert.
4.2. Der Beschwerdeführer verneint den von der Vorinstanz geltend gemachten Nichtigkeitsgrund. Da er und seine Ex-Frau übereinstimmend finanzielle Probleme als Grund für die Scheidung angegeben hätten und Letztere das aussereheliche Kind nie explizit als Scheidungsgrund genannt habe, hätte dieses entgegen der willkürlichen Annahme der Vorinstanz keinen Hinderungsgrund für die erleichterte Einbürgerung dargestellt. Die Nichtangabe des Kindes im Einbürgerungsverfahren sei somit entschuldbar und wegen der durch die aussergewöhnlichen Umstände bedingten grossen Ungewissheit über seine Vaterschaft auch nachvollziehbar gewesen.
4.3. Das bewusste Verschweigen eines ausserehelichen Kindes im Rahmen eines Gesuchs um erleichterte Einbürgerung stellt eine Pflichtverletzung dar, zumal aussereheliche Kinder ein Indiz für die Instabilität einer Ehe sein können und zwar unabhängig davon, ob die Ehefrau darüber informiert ist. Verschweigt demnach ein Gesuchsteller, dass er während der Ehe ein aussereheliches Kind gezeugt hat, kann nicht leichthin angenommen werden, es habe zum Zeitpunkt des Gesuchs bzw. der Einbürgerung eine stabile eheliche Gemeinschaft bestanden (zum Ganzen Urteil 1C_244/2016 vom 3. August 2016 E. 4.3.3; 1C_570/2012 vom 27. Februar 2013 E. 2.8 mit Hinweisen). Zeigt sich in einem solchen Fall unter Berücksichtigung der gesamten Umstände dennoch, dass die Voraussetzungen für die erleichterte Einbürgerung nach Art. 27 Abs. 1 aBüG im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und des Einbürgerungsentscheids erfüllt waren, kann nach der früheren Rechtsprechung nicht von einem Erschleichen im Sinne von Art. 41 Abs. 1 aBüG ausgegangen werden (Urteil 1C_570/2012 vom 27. Februar 2013 E. 2.8 mit Hinweisen). In einem neueren Urteil, auf das die Vorinstanz verweist, hält das Bundesgericht demgegenüber fest, die - im Gesuch um erleichterte Einbürgerung - verschwiegene Schwangerschaft und bevorstehende Geburt des bei einem Seitensprung gezeugten ausserehelichen Kindes stellten rechtlich relevante Vorkommnisse dar, welche die Einbürgerung verhindert oder zumindest bis zur Klärung der ehelichen Verhältnisse hinausgezögert hätten. Durch die absichtlich unterlassene Aufklärung über die Vaterschaft für das - während des Einbürgerungsverfahrens geborene - aussereheliche Kind habe der erleichtert Eingebürgerte direkt den Nichtigkeitsgrund des Erschleichens im Sinne von Art. 41 Abs. 1 aBüG gesetzt. Dies gelte selbst dann, wenn von der - im Urteil verneinten - These einer im massgeblichen Zeitpunkt noch intakten Ehe ausgegangen würde (Urteil 1C_244/2016 vom 3. August 2016 E. 4.3.3).
4.4. Ob das absichtliche Verschweigen eines ausserehelich gezeugten Kindes im Einbürgerungsverfahren auch dann als Erschleichen im Sinne von Art. 41 Abs. 1 aBüG zu beurteilen ist, wenn im massgeblichen Zeitpunkt trotz dieses Kindes eine intakte Ehe bestand und dessen Offenlegung die erleichterte Einbürgerung lediglich hinausgezögert hätte, kann vorliegend offen bleiben. Wie nachfolgend darzulegen ist, muss eine solche Ehe hier bereits aus anderen Gründen verneint werden, weshalb die Frage nicht entscheidrelevant ist. Da eine intakte Ehe ohnehin nicht bestand, erübrigen sich im Weiteren Ausführungen zur Frage, ob die Offenlegung des ausserehelichen Kindes des Beschwerdeführers zur Verneinung einer solchen Ehe und zur Verweigerung der erleichterten Einbürgerung geführt hätte, die Vorinstanz den erwähnten Nichtigkeitsgrund insoweit mithin zu Recht bejaht hat. Auf diesen bzw. die diesbezüglichen Ausführungen der Parteien ist daher nicht weiter einzugehen.
5.
5.1. Die Vorinstanz erachtet die Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung des Beschwerdeführers auch deshalb als begründet, weil es diesem nicht gelungen sei, eine plausible Alternative zu der aufgrund des Ereignisablaufs bestehenden tatsächlichen Vermutung zu präsentieren, er und seine Ex-Frau hätten im massgeblichen Zeitpunkt nicht mehr in einer tatsächlichen und stabilen ehelichen Gemeinschaft gelebt. Mangels einer solchen Alternative sei davon auszugehen, die erleichterte Einbürgerung sei im Sinne von Art. 41 Abs. 1 aBüG durch falsche Angaben und das Verheimlichen erheblicher Tatsachen erschlichen worden.
5.2. Der Beschwerdeführer rügt, die Zeitspanne zwischen der erleichterten Einbürgerung und der Auflösung des gemeinsamen Haushalts könne nicht mehr als kurz bezeichnet werden und vermöge die tatsächliche Vermutung der Vorinstanz nicht zu begründen. Deren Mutmassungen hinsichtlich einer schon vor der Einbürgerung angeschlagenen Ehegemeinschaft seien weiter haltlos, realitätsfremd und willkürlich. Die Ehe sei erst später aufgrund der anhaltend belastenden finanziellen Situation in Schieflage geraten. Erst mit der Ablehnung seines Gesuchs um eine Rente der Invalidenversicherung im September 2009 und dem Stellenverlust der Ex-Frau im Oktober 2009 habe sich die wirtschaftliche Situation erheblich verschlechtert. Sein abgelehntes Sozialhilfegesuch im März 2010 habe schliesslich das Fass zum Überlaufen gebracht und ihn und seine Ex-Frau aus finanziellen Gründen zur Trennung gezwungen.
5.3. Zweifel bezüglich eines intakten gemeinsamen Willens zu einer stabilen ehelichen Gemeinschaft sind namentlich angebracht, wenn kurze Zeit nach der erleichterten Einbürgerung die Trennung erfolgt oder die Scheidung eingeleitet wird (vgl. E. 3.2). Als kurze Zeit gilt nach der Rechtsprechung eine Zeitspanne von bis zu zwei Jahren (Urteil 1C_377/2017 vom 12. Oktober 2017 E. 2.1.2 mit Hinweisen). Nach der erleichterten Einbürgerung des Beschwerdeführers im Januar 2009 verstrichen gut 14 Monate bis zum Trennungsentschluss der Ehegatten Ende März 2010 und nicht ganz 17 Monate bis zur Auflösung des gemeinsamen Haushalts im Juni 2010. Die Vorinstanz durfte demnach davon ausgehen, die Trennung sei kurz nach der erleichterten Einbürgerung erfolgt (vgl. etwa Urteil 1C_472/2011 vom 22. Dezember 2011 [19 Monate]; 1C_158/2011 vom 26. August 2011 [20 Monate]; 1C_172/2012 vom 11. Mai 2012 [22 Monate]) und damit innert einer Zeitspanne, welche die erwähnte tatsächliche Vermutung begründe (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 166; Urteil 1C_377/2017 vom 12. 2017 E. 2.1.1 f.).
5.4. Was der Beschwerdeführer gegen diese Vermutung vorbringt, überzeugt nicht. Die Vorinstanz erläutert im angefochtenen Urteil ausführlich, wieso entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers mehrere Faktoren dafür sprächen, dass die Ehe bereits im massgeblichen Zeitpunkt nicht (mehr) auf Dauer angelegt gewesen sei. Sie legt insbesondere dar, dass die finanziellen Verhältnisse schon während des im April 2008 eingeleiteten Einbürgerungsverfahrens angespannt gewesen resp. die finanziellen Probleme spätestens 2008 aufgetreten seien bzw. sich akzentuiert hätten. Ausserdem führt sie aus, wieso die Zerrüttung nicht erst nach Abschluss des Verfahrens auf erleichterte Einbürgerung eingesetzt haben könne. Im Weiteren verweist sie auf das nach ihrer Beurteilung planmässige Vorgehen des Beschwerdeführers bei der Regelung der Vaterschaft für den ausserehelichen Sohn. Dass ihre Sachverhaltsfeststellung haltlos und realitätsfremd bzw. willkürlich wäre, ergibt sich aus den Vorbringen des Beschwerdeführers nicht und ist auch sonst nicht ersichtlich. Die Vorinstanz durfte daher willkürfrei die vom Beschwerdeführer vorgebrachte Erklärung für das rasche Scheitern der Ehe nach der erleichterten Einbürgerung als unplausibel zurückweisen und mangels plausibler Alternative zur erwähnten tatsächlichen Vermutung davon ausgehen, die erleichterte Einbürgerung sei im Sinne von Art. 41 Abs. 1 aBüG durch falsche Angaben und das Verheimlichen erheblicher Tatsachen erschlichen worden.
5.5. Dass die Vorinstanz den Nichtigkeitsgrund des Erschleichens im Sinne von Art. 41 Abs. 1 aBüG bejaht hat, verstösst demnach nicht gegen Bundesrecht. Sie beurteilt die Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung im Weiteren zu Recht weder als unverhältnismässig noch als rechtsfehlerhafte Ermessensausübung (vgl. dazu Urteil 1C_578/2008 vom 11. November 2009 E. 3.1), was der Beschwerdeführer im vorliegenden Beschwerdeverfahren denn auch nicht in Frage stellt. Der angefochtene Entscheid bzw. die strittige Nichtigerklärung verletzt daher auch insoweit und damit insgesamt kein Bundesrecht, zumal die Fristen von Art. 41 Abs. 1 bis aBüG ebenfalls eingehalten sind.
6.
Demnach ist die Beschwerde abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Parteientschädigungen für das bundesgerichtliche Verfahren sind keine auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Staatssekretariat für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung VI, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Januar 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Baur