Fatti:
A.
Nel luglio 2015 A._, studente di master presso l'Università di X._, si è rivolta all'Ufficio delle borse di studio e dei sussidi del Cantone Ticino (ora Ufficio degli aiuti allo studio) domandando un aiuto allo studio per l'anno accademico 2015/2016.
Il 1° settembre 2015 il citato Ufficio ha concesso una borsa di studio di fr. 7'600.--. Nella sua decisione, ha indicato che l'importo era stato determinato tenendo conto della situazione finanziaria della madre della richiedente (con il nuovo coniuge) e di quella del padre naturale, in base all'ultima tassazione disponibile (2014); inoltre, che la borsa di studio per i richiedenti che seguono un master è convertita in prestito nella misura di un terzo.
B.
L'originaria decisione è stata in seguito confermata sia su reclamo all'Ufficio medesimo, sia su ricorso al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino.
Esposto il quadro legale di riferimento, anche la Corte cantonale ha infatti rilevato che la presa in considerazione, ai fini del calcolo del reddito disponibile di riferimento, dei redditi del patrigno rispondeva al volere del legislatore cantonale ed il calcolo eseguito era corretto. In mancanza di una possibilità di esito favorevole, ha inoltre respinto l'istanza di assistenza giudiziaria presentata con il gravame.
C.
Il 28 febbraio 2018, A._ ha impugnato quest'ultimo giudizio con ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, chiedendone l'annullamento e la concessione dell'aiuto allo studio per un ammontare di fr. 16'000.-- nonché il riconoscimento dell'assistenza giudiziaria.
In corso di procedura, il Tribunale cantonale amministrativo si è riconfermato nelle motivazioni e nelle conclusioni della propria sentenza. Il rigetto del ricorso è stato domandato anche dal Dipartimento cantonale competente. Il Consiglio di Stato si è invece rimesso al giudizio di questa Corte.

Diritto:
1.
1.1. Il Tribunale federale esamina d'ufficio e con piena cognizione la sua competenza (<ref-law>), rispettivamente l'ammissibilità dei gravami che gli vengono sottoposti (<ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 1.1 con riferimenti).
Secondo l'art. 83 lett. k LTF il ricorso in materia di diritto pubblico è escluso contro decisioni concernenti sussidi al cui ottenimento la legislazione non conferisce un diritto e, contrariamente a quanto ritiene la ricorrente, tra i sussidi ai sensi di questa norma rientrano anche borse di studio previste dal diritto cantonale (sentenze 2C_1181/2014 del 19 gennaio 2016 consid. 1.1 e 2C_798/2014 del 21 febbraio 2015 consid. 1, non pubblicato in <ref-ruling>).
1.2. Per giurisprudenza, vi è diritto ad un sussidio giusta l'art. 83 lett. k LTF quando l'ordinamento legale fissa le condizioni per la concessione della prestazione e non lascia all'apprezzamento dell'autorità chiamata ad applicare la legge la facoltà di decidere se accordare o meno il finanziamento (<ref-ruling> consid. 4.2.4 pag. 200; sentenze 2C_1181/2014 del 19 gennaio 2016 consid. 1.1, 2C_818/2015 del 18 luglio 2016 consid. 1.1; 2C_360/2012 del 17 agosto 2012 consid. 1.1 e 2C_762/2008 dell'8 maggio 2009 consid. 1.1). Quando le condizioni sono sufficientemente precise, esiste un diritto alla sovvenzione anche se l'autorità ha un certo margine di manovra, segnatamente in merito alla fissazione del montante dell'aiuto chiesto (sentenza 2C_222/2015 del 31 marzo 2016 consid. 1.2.2). I termini utilizzati dal legislatore non sono sempre decisivi; a diverse riprese, il Tribunale federale ha ammesso l'esistenza di un diritto anche quando la legge era formulata in maniera potestativa, ed all'autorità veniva quindi a priori riconosciuto un certo potere di apprezzamento (sentenza 2C_222/2015 del 31 marzo 2016 consid. 1.2.2 con ulteriori rinvii). Benché tale aspetto costituisca più un indizio in senso contrario, al riconoscimento di un diritto al sussidio non osta nemmeno il fatto che, in base alla normativa applicabile, i sussidi siano erogati nei limiti dei crediti autorizzati e soggiacciano alla riserva che vi siano fondi sufficienti (sentenze 2C_222/2015 del 31 marzo 2016 consid. 1.2.2; 2C_461/2011 del 9 novembre 2011 consid. 1 e 2C_619/2008 del 27 marzo 2009 consid. 1.1).
1.3. La procedura riguarda la concessione di aiuti allo studio sulla base dell'omonima legge ticinese del 23 febbraio 2015 (LASt; RL/TI 431.100). Espressosi sul conferimento di una borsa di studio erogata giusta la normativa vigente prima dell'entrata in vigore della LASt, il Tribunale federale aveva rilevato che, rispettate le condizioni previste, la legislazione ticinese riconosceva un diritto all'aiuto domandato e che, di conseguenza, l'art. 83 lett. k LTF non ostava all'entrata in materia (sentenza 2C_244/2008 del 5 giugno 2009 consid. 2.2).
Stessa conclusione va tratta anche con riferimento alle nuove disposizioni che - concretizzando l'art. 14 della Costituzione ticinese del 14 dicembre 1997 (Cost./TI; RL/TI 101.000) - regolano ora l'erogazione dell'aiuto allo studio (art. 1 segg. LASt). In effetti, secondo i materiali legislativi, esse riprendono in gran parte i concetti codificati in precedenza, consolidando il contesto giuridico in questa materia e accordando aiuti allo studio per le stesse casistiche (messaggio del Consiglio di Stato n. 6955 del 25 giugno 2014 p.to 4 e p.to 6). D'altro canto, e sempre secondo i materiali (citato messaggio, p.to 1), dette disposizioni hanno quale obiettivo di adattare la legislazione cantonale all'accordo intercantonale sull'armonizzazione dei criteri per la concessione delle borse di studio del 18 giugno 2009 (RL/TI 432.100), che parla anch'esso espressamente di diritto a un aiuto allo studio (art. 5 segg. del menzionato accordo intercantonale).
1.4. Diretto contro una decisione finale resa da un tribunale superiore (art. 86 cpv. 2 e 90 LTF) e presentato nei termini (<ref-law>) dalla destinataria della pronuncia contestata, con interesse al suo annullamento (<ref-law>), il gravame è quindi ammissibile quale ricorso in materia di diritto pubblico.
2.
2.1. Con il ricorso in materia di diritto pubblico può essere fatta valere la violazione del diritto federale (<ref-law>), che include i diritti costituzionali dei cittadini (<ref-ruling> consid. 3.1 pag. 447). Salvo che per i casi citati dall'<ref-law>, non può invece essere censurata la semplice violazione del diritto cantonale. È però possibile fare valere che l'errata applicazione del diritto cantonale da parte dell'autorità precedente comporti una violazione del diritto federale, segnatamente del divieto d'arbitrio o di altri diritti costituzionali (<ref-ruling> consid. 2.3 pag. 466).
2.2. Il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto federale (<ref-law>). Nondimeno, tenuto conto dell'onere di allegazione e motivazione posto dall'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, esamina di regola solo le censure sollevate (<ref-ruling> consid. 1.1 pag. 104 seg.). Chi ricorre deve pertanto spiegare in modo conciso, riferendosi all'oggetto del litigio, in cosa consiste la violazione del diritto e su quali punti il giudizio contestato è impugnato (<ref-ruling> consid. 2.1 pag. 245 seg.); semplici rinvii alle argomentazioni sostenute davanti alle istanze precedenti non sono sufficienti (<ref-ruling> consid. 3.2 pag. 400; sentenza 2C_420/2010 del 28 aprile 2011 consid. 1.4). Le esigenze di motivazione sono inoltre più rigorose quando è fatta valere la violazione di diritti fondamentali. In effetti, iI Tribunale federale esamina queste censure solo se formulate con precisione (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2 pag. 246).
2.3. L'impugnativa adempie solo in parte alle condizioni di motivazione esposte. Nella misura in cui non le rispetta - in particolare, limitandosi a formulare semplici rimandi alle argomentazioni addotte davanti alla Corte cantonale - essa non può pertanto essere esaminata oltre. Siccome gli estremi per scostarsene non sono dati rispettivamente sostanziati, i fatti accertati dalla Corte cantonale vincolano inoltre il Tribunale federale anche nel caso concreto (<ref-law>).
3.
Come detto, chiamato ad esprimersi sulla fattispecie, il Tribunale cantonale amministrativo ha confermato la decisione di prima istanza, con la quale la domanda di aiuto allo studio era stata accolta unicamente per un importo di fr. 7'600.-- invece che per l'ammontare massimo consentito e richiesto, pari a fr. 16'000.--. Esposto il quadro legale di riferimento e fatto rinvio ai materiali legislativi, anch'esso ha infatti considerato che, per determinare la sussistenza o meno degli estremi per l'erogazione dell'aiuto allo studio, occorreva tenere conto della situazione finanziaria dei genitori della ricorrente, da anni divorziati, ma anche di quella del nuovo coniuge della madre.
L'insorgente non concorda invece con tali conclusioni, che ritiene lesive del divieto d'arbitrio (<ref-law>) e del principio dell'uguaglianza giuridica (<ref-law>; art. 8 in relazione con l'art. 14 CEDU).
4.
La ricorrente è dell'avviso che il divieto d'arbitrio sia stato leso, in quanto nessuna delle disposizioni applicabili alla materia prescrive la presa in considerazione del reddito del patrigno in modo esplicito. Fa poi notare che l'interpretazione estensiva del diritto cantonale proposta nel giudizio impugnato non contrasta soltanto col testo di legge, ma anche col diritto superiore e, in particolare, con il codice civile svizzero, che non prevede nessun obbligo di mantenimento da parte di patrigni e matrigne.
4.1. Per giurisprudenza, l'arbitrio vietato dall'<ref-law> non è ravvisabile già nella possibilità che un'altra soluzione sembri possibile o addirittura preferibile, ma solo quando la decisione impugnata è manifestamente insostenibile, gravemente lesiva di una norma o di un principio giuridico indiscusso, o in contraddizione urtante con il sentimento di giustizia ed equità; per ammettere una lesione del divieto d'arbitrio, simile situazione dev'essere riscontrata sia per quanto attiene alla motivazione che al risultato al quale essa porta (<ref-ruling> consid. 3.1 pag. 155; <ref-ruling> consid. 6 pag. 397; <ref-ruling> consid. 2.1 pag. 211; <ref-ruling> consid. 2.1 pag. 9).
4.2. Nel caso in esame, ricordato in particolare che gli aiuti allo studio sono concessi quando la capacità finanziaria della persona interessata, quella dei suoi genitori, del coniuge o partner registrato, del partner convivente, così come prestazioni provenienti da terzi è insufficiente (art. 1 cpv. 3 LASt), i Giudici ticinesi hanno tra l'altro rilevato:
che il semplice fatto che la legge cantonale non contempli esplicitamente la situazione della cosiddetta "famiglia allargata", non permette di affermare che il legislatore abbia voluto escludere di regolarla;
che dai materiali relativi alla LASt emerge in modo chiaro la preminenza del principio della sussidiarietà;
che, in via prioritaria, il richiedente deve perciò far capo a mezzi propri o all'aiuto dei genitori (e di loro eventuali coniugi), del coniuge/partner registrato, rispettivamente del partner convivente, quando la convivenza è considerata stabile;
che, anche quando sono divorziati, entrambi i genitori devono provvedere al mantenimento del figlio in formazione e che il calcolo di quanto ognuno di essi deve al figlio quale contributo alla formazione va basato sulle entrate indicate nella tassazione fiscale, tenendo conto delle due unità di riferimento con i relativi costi;
che questo calcolo va effettuato considerando anche le entrate e i relativi costi di nuovi coniugi dei genitori.
4.3. Sennonché, a differenza di quanto ritenuto nell'impugnativa, così argomentando il Tribunale cantonale amministrativo non ha affatto violato il divieto d'arbitrio.
4.3.1. Come indicato anche dalla ricorrente, gli artt. 276 segg. CCS non fondano nessuna pretesa diretta di mantenimento nei confronti di patrigni e matrigne (PETER BREITSCHMID, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 5a ed. 2014, n. 4 ad art. 278 CCS; DENIS PIOTET, in: Commentaire romand, Code civil I, n. 4 ad art. 278 CCS; già citata sentenza 2C_1181/2014 del 19 gennaio 2016 consid. 3.3, relativa ad un caso del tutto analogo a quello qui in esame).
Nella misura in cui si riferisce al messaggio governativo - che a torto include tra le persone "legalmente" tenute al mantenimento di chi richiede gli aiuti anche il nuovo coniuge del padre o della madre (ivi, p.to 5.1 pag. 12) - e accenna alle cosiddette "famiglie allargate", la motivazione che viene addotta nella querelata sentenza può quindi effettivamente dare adito a fraintendimenti.
In primo luogo, anche in questa sede va di conseguenza ribadito che, in base al diritto federale, patrigni e matrigne non possono affatto essere definiti quali persone obbligate al mantenimento di figli del loro coniuge (al riguardo, cfr. ancora la sentenza 2C_1181/2014 del 19 gennaio 2016 consid. 3.3 con rinvii).
4.3.2. Detto ciò, l'applicazione del diritto cantonale da parte dei Giudici ticinesi non risulta certo arbitraria o altrimenti lesiva del diritto federale.
Rilevato che non è possibile fare rientrare matrigne e patrigni tra le persone tenute "legalmente" al mantenimento dei figli che il coniuge ha avuto in precedenza con una terza persona, la volontà del legislatore ticinese resta infatti chiara ed è quella che - in ossequio al principio di sussidiarietà, ancorato anche nell'art. 3 dell'accordo intercantonale del 18 luglio 2009 al quale il Cantone Ticino ha aderito - venga tenuto conto anche della capacità finanziaria che dai primi deriva (messaggio governativo, p.to 1 pag. 3 e p.to 5.1 pag. 12 seg.).
D'altra parte, tale obiettivo risulta perfettamente conciliabile sia con l'art. 1 cpv. 3, 6, 8 e 9 LASt, sia con il già citato art. 278 cpv. 2 CCS. In effetti, in base agli art. 1 cpv. 3, 6, 8 e 9 LASt la capacità finanziaria del genitore va chiaramente presa in considerazione; in relazione al diritto civile, il fatto che detta capacità finanziaria venga stimata anche tenendo conto degli introiti del coniuge non presta nel contempo il fianco a critica alcuna (citata sentenza 2C_1181/2014 del 19 gennaio 2016 consid. 3 e 5, resa per l'appunto in materia di concessione di aiuti allo studio; <ref-ruling> consid. 3 pag. 256 seg., resa in materia di anticipo dei contributi di mantenimento).
5.
Secondo la ricorrente, la pratica di considerare gli introiti del patrigno (o della matrigna) nella valutazione del reddito di riferimento ha nel contempo l'effetto di creare una differenza di trattamento tra studenti con genitori divorziati risposati e studenti con genitori divorziati non risposati, che non trova giustificazione alcuna.
5.1. Un atto normativo lede il principio di uguaglianza sancito dall'<ref-law> se a fronte di situazioni simili opera distinzioni giuridiche non giustificate da motivi ragionevoli, oppure se sottopone a regime identico situazioni che presentano differenze tali da rendere necessario un trattamento diverso (<ref-ruling> consid. 5.1 pag. 80; <ref-ruling> consid. 3.3.2 pag. 127 seg.; <ref-ruling> consid. 4.1 pag. 5 seg.; <ref-ruling> consid. 3.3 pag. 254 seg.). In tale contesto, il legislatore dispone di un ampio potere di apprezzamento e il Tribunale federale interviene solo se, su punti importanti, la scelta attuata risulta insostenibile (<ref-ruling> consid. 6.2 pag. 137; <ref-ruling> consid. 4.2 pag. 6, 313 consid. 3.2 pag. 317; <ref-ruling> consid. 5 pag. 192).
5.2. Anche l'ulteriore critica presentata non va però accolta. Come rilevato dal Tribunale federale nel considerando 5 della già più volte menzionata sentenza 2C_1181/2014 del 19 gennaio 2016, un genitore divorziato non risposato deve in effetti sopperire alle proprie spese correnti in maniera indipendente, mentre un genitore risposato può (di fatto) condividere tali oneri con il coniuge (precedente consid. 4).
Alla luce dell'obbligo di assistenza che il coniuge ha nei suoi confronti, il genitore risposato dispone pertanto di una capacità finanziaria che non è data solo dal suo reddito, ma che può essere maggiore. Attraverso la presa in considerazione di tale aspetto, l'<ref-law> non viene quindi violato; al contrario, viene semmai garantito che gli aiuti allo studio siano concessi tenendo conto delle possibilità economiche effettive dei richiedenti rispettivamente dei loro genitori.
5.3. Così stando le cose, a tale conclusione nulla muta evidentemente nemmeno il richiamo all'art. 8 in relazione con l'art. 14 CEDU. Al riguardo, la critica è del resto solo abbozzata e quindi lesiva dell'<ref-law> (precedente consid. 2).
6.
Per quanto precede, il ricorso dev'essere respinto. Considerato che, segnatamente alla luce della sentenza 2C_1181/2014 del 19 gennaio 2016, esso doveva apparire sin dall'inizio privo di probabilità di successo, l'istanza di assistenza giudiziaria presentata col gravame va parimenti respinta (art. 64 cpv. 1 e 2 LTF).
Nell'addossare le spese giudiziarie alla ricorrente, viene comunque tenuto conto delle circostanze e fissato un importo ridotto (art. 65 cpv. 1 e 2, <ref-law>). Non vengono assegnate ripetibili (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è respinto.
2.
La domanda di assistenza giudiziaria è respinta.
3.
Le spese giudiziarie di fr. 800.-- sono poste a carico della ricorrente.
4.
Comunicazione al patrocinatore della ricorrente, all'Ufficio degli aiuti allo studio del Dipartimento dell'educazione, della cultura e dello sport, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino.