Faits :
A.
Le Ministère public de l'arrondissement du Nord vaudois a ouvert une instruction pénale contre B._, sous la référence PE20.011513. Le 27 juillet 2020, le prévenu, agissant sous la plume de son avocat A._, a demandé le dessaisissement du Procureur Gabriel Moret en charge de l'instruction, motif pris d'apparences de prévention réputées connues du magistrat saisi. Me A._ a notamment affirmé avoir été consulté le 28 mai 2020 par le prévenu, soit avant l'ouverture de cette enquête par ce magistrat. Cette cause a, de fait, été reprise par le Procureur Christian Maire le 29 juillet 2020.
B.
Le 17 septembre 2020, le Ministère public a ouvert une nouvelle instruction pénale contre B._ pour avoir, entre le 11 et le 13 septembre 2020, pris à partie physiquement son fils. Inscrite au rôle sous la référence PE20.015827, la cause avait été confiée le jour précéde nt au Procureur Gabriel Moret, alors de permanence. Ce magistrat a, par ordonnance du 18 septembre 2020, ordonné l'établissement du profil ADN à partir du prélèvement d'ADN n° _, effectué sur le prévenu dans cette cause.
C.
Le 25 septembre 2020, l'avocat A._ a d éposé une demande de levée du secret professionnel devant la Cour administrative du Tribunal cantonal vaudois (ci-après: la Cour administrative). Il a exposé avoir été mandaté ce même jour par le prévenu, en ajoutant qu'il entendait, à l'appui du recours qui serait interjeté contre l'ordonnance du 18 septembre 2020, demander la récusation du Procureur Gabriel Moret en raison de son apparence de prévention, inhérente au fait que son étude représentait la partie adverse dans une procédure civile pendante à laquelle était partie ce magistrat. L'avocat a précisé qu'il lui serait dans cette mesure nécessaire d'évoquer des faits couverts par le secret professionnel.
D.
Par acte du 28 septembre 2020, B._ a recouru auprès de la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal vaudois contre l'ordonnance du Ministère public du 18 septembre 2020, en concluant notamment à l'admission de sa demande de récusation à l'encontre du Procureur Gabriel Moret, à l'annulation de l'ordonnance du 18 septembre 2020 et à la destruction des échantillons d'ADN dans un délai de 10 jours.
E.
La Chambre des recours pénale a, par décision du 20 novembre 2020, interdit à l'avocat A._ d'assister ou de représenter le prévenu dans la présente cause pénale (chiffre I), a imparti un délai de 10 jours au prévenu pour qu'il ratifie l'acte déposé en son nom le 28 septembre 2020 (chiffre II), a rejeté la demande de récusation présentée le 28 septembre 2020 à l'encontre du Procureur Gabriel Moret (chiffre III), a mis les frais de la procédure de récusation à la charge de Me A._ (chiffre IV) et a déclaré exécutoire la présente décision (chiffre V).
F.
Agissant par la voie du recours en matière pénale, Me A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler les chiffres I et II de l'arrêt du 20 novembre 2020 en ce sens qu'il est autorisé à défendre les intérêts de B._ dans l'affaire pénale PE20.015827, ainsi que de modifier le chiffre IV en ce sens que les frais de la procédure de récusation sont laissés à la charge de l'Etat. A titre subsidiaire, le recourant demande l'annulation de l'arrêt entrepris et le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Le recourant sollicite également l'octroi de l'effet suspensif au recours, qui a été accordé par ordonnance présidentielle du 23 décembre 2020.
La Chambre des recours pénale renonce à se déterminer et se réfère aux considérants de sa décision. Le Procureur Gabriel Moret renonce à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre une décision prise en dernière instance cantonale (<ref-law>) interdisant à Me A._ de représenter le prévenu B._ dans la présente cause pénale (PE20.015827) et rejetant la demande de récusation formée à l'encontre du Procureur Gabriel Moret. Le recours est donc en principe recevable comme un recours en matière pénale au sens des <ref-law> (arrêts 1B_191/2020 du 26 août 2020 consid. 1; 1B_20/2017 du 23 février 2017 consid. 1.1).
Le recours de l'avocat évincé est recevable, la décision attaquée présentant, pour lui, un caractère final (<ref-law>; arrêts 1B_191/2020 du 26 août 2020 consid. 1; 1B_209/2019 du 19 septembre 2019 consid. 2.2; 1B_226/2016 du 15 septembre 2016 consid. 1).
Les autres conditions de recevabilité étant remplies, il y a lieu d'entrer en matière sur le fond.
2.
Aux termes de son arrêt du 20 novembre 2020, la Chambre des recours pénale a interdit à l'avocat A._ d'assister ou de représenter le prévenu dans la présente cause pénale (chiffre I), a imparti un délai de 10 jours au prévenu pour qu'il ratifie l'acte déposé en son nom le 28 septembre 2020 (chiffre II) et a rejeté la demande de récusation présentée le 28 septembre 2020 à l'encontre du Procureur Gabriel Moret (chiffre III). La cour cantonale a considéré qu'il existait un conflit d'intérêts au regard de l'art. 12 let. a, b et c LLCA, respectivement 13 LLCA, entre Me A._ et son client B._, le motif de ce conflit résidant dans la personne de l'avocat. Ainsi, selon la cour cantonale, les circonstances invoquées, à l'appui de la demande de récusation, devaient non seulement conduire Me A._ à en informer son client lorsque celui-ci l'avait consulté le 25 septembre 2020, mais également à refuser le mandat ou à résilier celui-ci s'il l'avait accepté. Au vu de l'existence de ce conflit, la capacité de postuler devait être déniée à Me A._. La demande de récusation était ainsi manifestement mal fondée, puisqu'elle reposait sur un motif qui n'existait plus dès lors que la capacité de postuler de l'avocat recourant était déniée. Enfin, le recours dirigé contre la décision du 18 septembre 2020 ordonnant l'établissement d'un profil ADN était touché par l'incapacité de postuler de l'avocat dans la présente procédure pénale et émanait donc d'un représentant sans pouvoirs; à défaut de ratification, l'acte de recours était donc affecté d'un vice.
3.
Dans un grief de nature formelle, le recourant se plaint d'une violation du droit d'être entendu en tant que l'instance précédente, appelée notamment à statuer sur une demande de récusation, a prononcé une interdiction de postuler dans la présente cause pénale, sans lui avoir offert la possibilité de se déterminer à ce sujet. Il ne pouvait pas s'y attendre dans la mesure où le Procureur intimé avait affirmé qu'il se dessaisirait de l'affaire et que la Cour administrative ne lui avait pas interdit de postuler. De plus, il ignorait que la Chambre des recours pénale avait obtenu une copie non caviardée de la décision rendue le 26 octobre 2020 par la Cour administrative concernant la demande de levée du secret professionnel; son droit d'être entendu avait également été violé sur ce second point dès lors qu'il n'avait pas été informé que cette décision du 26 octobre 2020 avait été versée au dossier et qu'il n'avait pas pu exercer son droit à la réplique.
3.1. Tel qu'il est garanti à l'art. 29 al. 2 Cst., le droit d'être entendu comprend notamment le droit pour l'intéressé de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique, le droit de consulter le dossier, de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou à tout le moins de s'exprimer sur son résultat, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 17; <ref-ruling> consid. 3.4.1 p. 72; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 272). Le droit d'être entendu porte avant tout sur les questions de fait. Les parties doivent éventuellement aussi être entendues sur les questions de droit lorsque l'autorité concernée entend se fonder sur des normes légales dont la prise en compte ne pouvait pas être raisonnablement prévue par les parties, lorsque la situation juridique a changé ou lorsqu'il existe un pouvoir d'appréciation particulièrement large (<ref-ruling> consid. 12.3 p. 265; <ref-ruling> consid. 5 p. 39; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 504 s.).
3.2. En l'occurrence, le prononcé de l'interdiction de postuler faite à l'avocat par la Chambre des recours pénale - qui était notamment saisie d'une demande de récusation à l'encontre du Procureur intimé - ne pouvait pas être raisonnablement prévue par l'avocat. En effet, le magistrat visé par la demande de récusation n'avait en particulier formulé aucune conclusion en ce sens; il avait d'ailleurs affirmé que la cause serait confiée, par la voie d'une ordonnance de jonction, au magistrat en charge de la première affaire pénale ouverte contre le prévenu, de sorte que la demande de récusation paraissait désormais sans objet. Dans ces circonstances, la Chambre des recours pénale devait offrir à l'avocat recourant l'occasion de s'exprimer sur la question d'une éventuelle interdiction de postuler. En omettant de le faire, l'instance précédente a violé le droit d'être entendu de l'avocat recourant. La violation du droit d'être entendu ne peut pas être réparée devant le Tribunal fédéral (cf. arrêt 1B_348/2019 du 18 septembre 2019 consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 2.7 p. 199).
Partant, le recours est adm is et les chiffres I, III et IV du dispositif de l'arrêt attaqué (interdiction de postuler; rejet de la demande de récusation et frais) sont annulés, sans qu'il soit nécessaire d'examiner les autres griefs soulevés. La cause sera renvoyée à la Chambre des recours pénale pour nouvelle décision, après avoir octroyé à l'avocat recourant la possibilité d'exercer son droit d'être entendu.
4.
Le présent arrêt sera rendu sans frais (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens à l'avocat recourant qui, comme en l'espèce, agit dans sa propre cause sans invoquer un investissement particulier et qui ne fait pas valoir de frais spécifiques (<ref-ruling> consid. 5 p. 304; arrêt 2C_45/2016 du 11 juillet 2016 consid. 3).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. Les chiffres I, III et IV du dispositif de l'arrêt attaqué sont annulés et la cause est renvoyée à la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal vaudois pour nouvelle décision.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires, ni alloué de dépens.
3.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Ministère public central du canton de Vaud, à B._ et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Chambre des recours pénale.
Lausanne, le 17 mars 2021
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Kneubühler
La Greffière : Arn