Sachverhalt:
A.
A._ (Kläger und Beschwerdeführer) wurde von einem Journalisten der B._ AG (Beklagte und Beschwerdegegnerin) mittels E-Mail vom 31. Januar 2018 angefragt, im Hinblick auf eine Berichterstattung über sein Gesuch um Aufenthaltsbewilligung in der Schweiz zu verschiedenen Aussagen Stellung zu nehmen. Die Aussagen betrafen den Zweck des Gesuchs sowie die Gründe für den Rückzug des Gesuchs.
B.
B.a. Auf Antrag des Beschwerdeführers vom 2. Februar 2018 erteilte das Handelsgericht des Kantons Zürich der Beschwerdegegnerin gleichentags und ohne deren Anhörung unter Androhung von Busse nach <ref-law> (Busse bis Fr. 10'000.--) das Verbot, die folgenden Aussagen wörtlich oder sinngemäss in irgendeiner Publikation (inkl. Print, Online, E-Paper, Social Media) zu publizieren:
- der Kläger habe unter dem Verdacht der Geldwäscherei gestanden und angeblich Kontakte zu kriminellen Organisationen gehabt und/oder die Bundesbehörden für Migration und Polizei hätten von einer Gutheissung des Aufenthaltsbewilligungsgesuches des Klägers abgeraten, weil er angeblich unter Geldwäschereiverdacht gestanden und angebliche Kontakte zu kriminellen Organisationen gehabt hätte;
- der Kläger stelle eine Gefahr für die öffentliche Sicherheit und ein Reputationsrisiko für die Schweiz dar und/oder die Bundesbehörden für Migration und Polizei würden den Kläger als eine Gefahr für die öffentliche Sicherheit und als Reputationsrisiko für die Schweiz erachten;
- der Rückzug des Gesuchs um Aufenthaltsbewilligung in der Schweiz sei aufgrund kritischer Stellungnahme der Bundesbehörden für Migration und Polizei erfolgt.
Mit Bezug auf das beantragte Verbot der Aussage, der Beschwerdeführer habe nach U._ ziehen wollen und im Kanton V._ um Pauschalbesteuerung nachgesucht, wies das Handelsgericht das Dringlichkeitsbegehren ab (Verfügung vom 2. Februar 2018). Am 9. Februar 2018 ergänzte der Beschwerdeführer sein Gesuch um rund zehn Aussagen zum gleichen Thema, die in Zeitungen der Beschwerdegegnerin am 4. ds. veröffentlicht worden waren. Den Antrag, die ergänzten Aussagen superprovisorisch zu verbieten und aus sämtlichen elektronischen Archiven löschen zu lassen, wies das Handelsgericht ab. Es bestätigte hingegen superprovisorisch die am 2. ds. angeordneten superprovisorischen Massnahmen (Verfügung vom 9. Februar 2018).
B.b. Die Beschwerdegegnerin schloss auf Abweisung des Gesuchs vom 2. und 9. Februar 2018 und verlangte, den Beschwerdeführer unter Nichteintretensfolge zu verpflichten, seinen Wohnsitz zu belegen. Sie erstattete weiter eine Noveneingabe. Der Beschwerdeführer nahm zur Gesuchsantwort und zur Noveneingabe Stellung und reichte Belege zu seinem Wohnsitz ein.
B.c. Mit Urteil vom 24. April 2018 verfügte das Handelsgericht, dass die mit Verfügung vom 2. Februar 2018 superprovisorisch angeordneten Massnahmen aufgehoben werden (Dispositiv-Ziff. 1 der Verfügung). Es erkannte auf Abweisung des Nichteintretensantrags der Beschwerdegegnerin (Dispositiv-Ziff. 1) und auf Abweisung des Massnahmebegehrens (Dispositiv-Ziff. 2), setzte die Gerichtsgebühr auf Fr. 10'000.-- fest (Dispositiv-Ziff. 3) und auferlegte dem Beschwerdeführer die Kosten (Dispositiv-Ziff. 4) und eine Umtriebsentschädigung von Fr. 6'000.-- an die Beschwerdegegnerin (Dispositiv-Ziff. 5 des Erkenntnisses vom 24. April 2018).
C.
C.a. Am 25. April 2018 (Postaufgabe) hat der Beschwerdeführer eine summarisch begründete Beschwerde zusammen mit einem Gesuch um aufschiebende Wirkung eingereicht und angekündigt, eine ausführlich begründete Beschwerde innert Frist nachzureichen. Sein Beschwerdebegehren-Ziff. 1 hat folgenden Wortlaut:
"Dispositiv Ziffer 1 der Verfügung sowie Dispositiv Ziffern 2, 4 und 5 im Erkenntnis des angefochtenen Entscheids seien aufzuheben und das Gesuch des Klägers um vorsorgliche Massnahmen sei wie folgt gutzuheissen:
1. Das der Beschwerdegegnerin superprovisorisch - unter Androhung von Strafe nach <ref-law> mit Busse bis CHF 10'000.-- - auferlegte Verbot, die folgenden Aussagen wörtlich oder sinngemäss in irgendeiner Publikation (inkl. Print, Online, E-Paper, Social Media) zu publizieren sei für die gesamte Dauer des Massnahmeverfahrens aufrechtzuerhalten :
- der Kläger habe unter dem Verdacht der Geldwäscherei gestanden und angeblich Kontakte zu kriminellen Organisationen gehabt und/oder die Bundesbehörden für Migration und Polizei hätten von einer Gutheissung des Aufenthaltsbewilligungsgesuches des Klägers abgeraten, weil er angeblich unter Geldwäschereiverdacht gestanden und angebliche Kontakte zu kriminellen Organisationen gehabt hätte;
- der Kläger stelle eine Gefahr für die öffentliche Sicherheit und ein Reputationsrisiko für die Schweiz dar und/oder die Bundesbehörden für Migration und Polizei würden den Kläger als eine Gefahr für die öffentliche Sicherheit und als Reputationsrisiko für die Schweiz erachten;
- der Rückzug des Gesuchs des Klägers um Aufenthaltsbewilligung in der Schweiz sei aufgrund kritischer Stellungnahme der Bundesbehörden für Migration und Polizei erfolgt."
Im Eventualstandpunkt beantragt der Beschwerdeführer, die entsprechenden Dispositiv-Ziffern aufzuheben und die Sache an das Handelsgericht zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen zurückzuweisen. Der Beschwerdeführer ersucht um aufschiebende Wirkung, die superprovisorisch, ohne Anhörung der Gegenpartei, eventualiter vorsorglich zu erteilen sei.
C.b. Das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat die nachgesuchten, der handelsgerichtlichen Verfügung vom 2. Februar 2018 entsprechenden Verbote gestützt auf <ref-law> superprovisorisch erlassen und das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen (Verfügung vom 26. April 2018). Während das Handelsgericht auf eine Stellungnahme verzichtet hat, schliesst die Beschwerdegegnerin, auf das Gesuch um aufschiebende Wirkung und auf das angebliche Gesuch um vorsorgliche Massnahmen nicht einzutreten, eventualiter die Gesuche abzuweisen. Der Beschwerdeführer hat sich zur Präsidialverfügung vernehmen lassen. Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat die superprovisorisch erlassenen Publikationsverbote für die Dauer des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens angeordnet (Verfügung vom 15. Mai 2018). Die Stellungnahme der Beschwerdegegnerin zum Gesuch wurde dem Beschwerdeführer am 17. Mai 2018 wunschgemäss übermittelt.
C.c. Mit Eingabe vom 25. Mai 2018 (Postaufgabe) wiederholt der Beschwerdeführer die bereits am 25. April 2018 dem Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren. In formeller Hinsicht unterscheiden sich die Begehren einzig dadurch, dass der Satz "für die gesamte Dauer des Massnahmeverfahrens aufrechtzuerhalten" nicht unterstrichen ist. Mit zusätzlichen Prozessanträgen verlangt der Beschwerdeführer, in der für die Veröffentlichung bestimmten Fassung des bundesgerichtlichen Entscheids die Vorwürfe gegenüber dem Beschwerdeführer, d.h. die inkriminierten Aussagen gemäss Rechtsbegehren Ziff. 1, vollständig zu schwärzen und durch den Passus "[inkriminierte Aussagen]" zu ersetzen und die Namen der Verfahrensparteien zu anonymisieren, auf die öffentliche Auflage des nicht anonymisierten Dispositivs und Rubrums zu verzichten, auszuschliessen, dass Dritten ein Gesuch um Einsichtnahme in das nicht anonymisierte Urteil bewilligt wird, eine allfällige mündliche Entscheidberatung unter vollständigem Ausschluss der Öffentlichkeit durchzuführen und eventualiter andere sachdienliche Schutzmassnahmen zur Wahrung der Persönlichkeitsrechte des Beschwerdeführers im Ermessen des Gerichts anzuordnen (Prozessanträge-Ziff. 1-6). Es sind die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil betrifft den Schutz der Persönlichkeit (<ref-law>) durch vorsorgliche Massnahmen (<ref-law>) und damit eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 403). Es ist kantonal letztinstanzlich (<ref-law>) und entspricht nicht den Begehren des Beschwerdeführers (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 426).
1.2. Selbstständig eröffnete Massnahmeentscheide, die vor oder während eines Hauptverfahrens erlassen werden und nur für die Dauer des Hauptverfahrens bzw. unter der Bedingung, dass ein Hauptverfahren eingeleitet wird, Bestand haben, sind Zwischenentscheide im Sinne von <ref-law>, gegen die die Beschwerde nur zulässig ist, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (<ref-law>). Dies gilt nicht nur bei Anordnung der Massnahme, sondern auch bei Verweigerung derselben (<ref-ruling> E. 1.1 S. 328; Urteile 4A_230/2017 vom 4. September 2017 E. 1.1; 5A_923/2017 vom 4. Juni 2018 E. 1.1, betreffend vorsorgliche Massnahmen im Persönlichkeitsschutz). Der drohende nicht wieder gutzumachende Nachteil liegt insoweit auf der Hand, als die behauptete Verletzung der Persönlichkeitsrechte selbst bei einem für den Beschwerdeführer günstigen Entscheid in der Hauptsache real nicht mehr rückgängig gemacht werden könnte (Urteile 5A_934/2014 vom 5. März 2015 E. 3.1; 5A_923/2017 vom 4. Juni 2018 E. 1.2).
1.3. Mit "Massnahmeentscheiden" (E. 1.2 soeben) sind gerichtliche Anordnungen über vorsorgliche Massnahmen auf Gesuch der einen Partei und nach Anhörung der anderen Partei gemeint und damit nicht superprovisorische Massnahmen, die das Gericht ohne Anhörung der Gegenpartei anordnen kann (<ref-law>). Soweit sich die Beschwerde gegen die Verfügung des Handelsgerichts über die superprovisorische Massnahme richtet, ist sie folglich unzulässig (<ref-ruling> E. 1.2-1.4 S. 418 ff.; Urteil 4A_160/2013 vom 21. August 2013 E. 2.1, in: sic! 2014 S. 29).
1.4. Mit Beschwerde gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Der Grundsatz der gerichtlichen Rechtsanwendung von Amtes wegen (<ref-law>) kommt in diesem Bereich nicht zum Tragen (<ref-ruling> E. 2 S. 591; <ref-ruling> E. 1.5 S. 576). Erforderlich sind klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368).
1.5. Der Beschwerdeführer bringt neue Tatsachen und Beweismittel vor (S. 31 Rz. 93 der Beschwerdeschrift). Sie betreffen einen Sachverhalt, der nach dem angefochtenen Urteil eingetreten ist, und damit echte Noven, die vor Bundesgericht nicht berücksichtigt werden können (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 22 f.).
1.6.
1.6.1. Im Gesuch um vorsorgliche Massnahmen sind Anträge zu stellen, die konkret und klar zum Ausdruck bringen, was die gesuchstellende Partei will und das Massnahmegericht umzusetzen hat (THOMAS SPRECHER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 9 zu <ref-law>; FRANCESCO TREZZINI, in: Commentario pratico al Codice di diritto processuale civile svizzero, Trezzini et al. [Hrsg.], Volume 2, 2. Aufl. 2017, N. 51 zu <ref-law>; JOHANN ZÜRCHER, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Brunner/ Gasser/Schwander [Hrsg.], 2. Aufl. 2016, N. 8 zu <ref-law>). Entsprechende Begehren in der Sache und nicht blosse Aufhebungsanträge sind auch dem Bundesgericht ungeachtet seiner nur beschränkten Prüfungsbefugnis zu stellen (Urteil 5A_832/2008 vom 16. Februar 2009 E. 1.3, betreffend vorsorgliche Massnahmen im Persönlichkeitsschutz). Sie sind gegebenenfalls im Lichte der Begründung auszulegen (<ref-ruling> E. 6.2 S. 622; <ref-ruling> E. 1.3 S. 317).
1.6.2. Mit Gesuch vom 2. Februar 2018 hat der Beschwerdeführer vier Aussagen vorsorglich zu verbieten beantragt, deren drei das Handelsgericht superprovisorisch verboten hat (Bst. B.a oben). Mit ergänzendem Gesuch vom 9. Februar 2018 hat der Beschwerdeführer weitere rund zehn Aussagen zu verbieten und zu löschen begehrt und die ersten Massnahmebegehren insofern erneuert, als das der Beschwerdegegnerin superprovisorisch erteilte Verbot " für die gesamte Dauer des Massnahmeverfahrens aufrechtzuerhalten " sei. Diesen Zusatz hat das Handelsgericht in seiner Verfügung vom 9. Februar 2018 für nicht erforderlich gehalten, weil die Verfügung vom 2. ds. das Verbot nicht befriste und von Gesetzes wegen eine vorsorgliche Massnahme bis zum rechtskräftigen Abschluss des Hauptsacheverfahrens gölte, sofern die Prosequierung rechtzeitig erfolge (E. 3 S. 2 der Verfügung). Vor Bundesgericht hat der Beschwerdeführer in seiner summarisch begründeten Beschwerde alle Begehren fallengelassen ausser den superprovisorisch gutgeheissenen Begehren, die " für die gesamte Dauer des Massnahmeverfahrens aufrechtzuerhalten " seien (Bst. C.a oben). In seiner Verfügung vom 26. April 2018 hat das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts dazu festgehalten, dass "trotz der etwas verwirrlichen Darstellung der Rechtsbegehren" gestützt auf <ref-law> (superprovisorische) vorsorgliche Massnahmen verlangt würden und offensichtlich beabsichtigt seien (3. in Erwägung, dass). Ungeachtet dessen hat der Beschwerdeführer die Formulierung in seiner ausführlich begründeten Beschwerde beibehalten und seine Massnahmebegehren unter dem Vorbehalt, "für die gesamte Dauer des Massnahmeverfahrens aufrechtzuerhalten", gestellt (Bst. C.c. oben).
1.6.3. Der Beschwerdeführer wurde im bisherigen Verfahren zweimal auf die Unzulänglichkeit bzw. Missverständlichkeit seiner Begehren hingewiesen, hat an deren Formulierung aber festgehalten. Sein prozessuales Verhalten verbietet es, auf dem Weg der Auslegung den angebrachten Vorbehalt einfach wegzulassen, wie es das Handelsgericht getan hat. Vielmehr hat der Vorbehalt gemäss seinem klaren Wortlaut zu gelten. Es ist davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer vorsorgliche Massnahmen für die Dauer des Massnahmeverfahrens begehrt und nicht für die Dauer des - gegebenenfalls innert Frist noch einzuleitenden (<ref-law>) - Hauptverfahrens (<ref-law>). Vorsorgliche Massnahmen sind indessen notwendigerweise auf den Hauptanspruch bezogen. Daran ändert nichts, dass gerade vorsorgliche Massnahmen im Persönlichkeitsschutz häufig nicht durch Klage prosequiert werden, weil das Prozessziel mit ihrer Anordnung bereits erreicht ist (PIERRE TERCIER, Le nouveau droit de la personnalité, 1984, S. 160 Rz. 1198 und 1199; SPRECHER, a.a.O., N. 3 zu <ref-law>). Ein Gesuch um vorsorgliche Massnahmen ohne den erwähnten Bezug zum Hauptanspruch bedeutet einen Institutsmissbrauch, der auch im Zivilprozess keinen Rechtsschutz finden darf (vgl. für Beispiele aus der Praxis: CHRISTOPH HURNI, Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 55 ff. zu <ref-law>).
1.7. Aus den dargelegten Gründen ist mangels schutzwürdigen Interesses auf die Beschwerde nicht einzutreten (vgl. SIMON ZINGG, Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 48 zu <ref-law>; FRANÇOIS BOHNET, in: Code de procédure civile commenté, 2011, N. 89 zu <ref-law>; je mit Hinweisen).
2.
Die Prozessanträge des Beschwerdeführers betreffen die öffentliche Auflage und die Veröffentlichung des vorliegenden Urteils.
2.1. Der Antrag auf Ausschluss der Öffentlichkeit vom Verfahren ist insoweit gegenstandslos, als keine öffentliche mündliche Verhandlung und keine öffentliche Urteilsberatung oder Abstimmung stattfindet. Zu prüfen sind hingegen die weiteren Prozessanträge. Gemäss <ref-law> legt das Bundesgericht das Dispositiv von Entscheiden, die nicht öffentlich beraten worden sind, nach dessen Eröffnung während 30 Tagen öffentlich auf. Die öffentliche Auflage von Rubrum und Dispositiv aller Urteile erfolgt in nicht anonymisierter Form, soweit das Gesetz nicht eine Anonymisierung verlangt (Art. 60 des Reglements für das Bundesgericht, BGerR; SR 173.110.131). Allgemein ist das Bundesgericht verpflichtet, die Öffentlichkeit über seine Rechtsprechung zu informieren, wobei die Veröffentlichung der Entscheide grundsätzlich in anonymisierter Form zu erfolgen hat (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Mittel der Information ist neben der Amtlichen Sammlung der Entscheidungen des Schweizerischen Bundesgerichts insbesondere die Veröffentlichung aller End- und Teilentscheide sowie der vom Abteilungspräsidium bezeichneten Vor- und Zwischenentscheide im Internet (<ref-law>). In der Verantwortung des Abteilungspräsidiums liegt es, die geeigneten Massnahmen zum Persönlichkeitsschutz der Parteien zu treffen (<ref-law>). Die Bestimmungen gewährleisten das Gebot der Transparenz der Rechtsprechung, das erhebliche Bedeutung hat (<ref-ruling> E. 8.2 und E. 8.3 S. 108).
2.2. Es besteht für den vorliegenden Fall keine gesetzliche Regelung, wonach das Urteilsdispositiv nur in anonymisierter Form aufgelegt werden dürfte. Andere Ausnahmen sind höchstens sehr zurückhaltend anzunehmen, wenn durch die nicht anonymisierte Auflage des Dispositivs das Persönlichkeitsrecht besonders schwer beeinträchtigt würde (Urteile 2C_949/2010 vom 18. Mai 2011 E. 7.2 und 2C_370/2018 vom 4. Mai 2018 E. 5). Der Beschwerdeführer begründet eine besonders schwere Beeinträchtigung in seiner Persönlichkeit unter der Annahme, dass seine Beschwerdebegehren gutgeheissen und im Urteilsdispositiv konkrete Verbote verhängt werden würden. Da sich diese Annahme nicht verwirklicht hat, ist der Informationsgehalt der Auflage von nicht anonymisiertem Rubrum und Dispositiv darauf beschränkt, dass der Beschwerdeführer gegen die Beschwerdegegnerin eine Beschwerde betreffend vorsorgliche Massnahmen im Persönlichkeitsschutz erhoben hat und dass das Bundesgericht auf die Beschwerde nicht eingetreten ist. Allein darin besteht keine besonders schwere Beeinträchtigung des Persönlichkeitsrechts.
2.3. Das Urteil wird einzig in anonymisierter Fassung auf Internet aufgeschaltet und auch nur in anonymisierter Form später an interessierte Drittpersonen abgegeben (vgl. <ref-ruling> E. 3.6 S. 136 f.). Auch insoweit sind die Prozessanträge des Beschwerdeführers gegenstandslos.
2.4. Die Anonymisierung des Urteils trägt dem berechtigten Interesse des Beschwerdeführers am Persönlichkeits- und Datenschutz hinreichend Rechnung. Sie darf indessen nicht dazu führen, dass das Urteil nicht mehr verständlich ist. Es kann deshalb nicht ausgeschlossen werden, dass Personen, die mit den Einzelheiten des Falles vertraut sind, erkennen können, um wen es geht. So verhält es sich jedoch bei nahezu allen Urteilen, welche das Bundesgericht der Öffentlichkeit zugänglich macht. Dies allein stellt keinen zureichenden Grund für einen Verzicht auf die Veröffentlichung dar. Andernfalls wäre eine transparente Rechtsprechung unmöglich (<ref-ruling> E. 8.3 S. 109). Dazu aber führte die vom Beschwerdeführer vorgeschlagene Anonymisierung durch Schwärzen der inkriminierten Aussagen (S. 41 Rz. 131 und 132 der Beschwerdeschrift).
2.5. Die Prozessanträge müssen aus den dargelegten Gründen abgewiesen werden, soweit sie nicht gegenstandslos geworden sind.
3.
Insgesamt ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Beschwerdeführer wird damit kosten-, hingegen nicht entschädigungspflichtig, da in der Sache keine Vernehmlassung eingeholt und das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen vor Bundesgericht - entgegen dem Antrag der Beschwerdegegnerin - gutgeheissen wurde (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Prozessanträge des Beschwerdeführers betreffend öffentliche Auflage und Veröffentlichung dieses Urteils werden abgewiesen, soweit sie nicht gegenstandslos geworden sind.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. September 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: von Roten