Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1970) ist kosovarischer Staatsangehöriger. Am 27. Februar 2007 heiratete er in seinem Heimatland die in der Schweiz niederlassungsberechtigte portugiesische Staatsangehörige B._ (geb. 1962). Am 27. April 2008 reiste er in die Schweiz ein. In der Folge erhielt er zum Verbleib bei seiner Ehefrau eine bis zum 26. April 2013 befristete Aufenthaltsbewilligung EG/EFTA. Das eheliche Zusammenleben wurde im Mai oder Juni 2010 aufgegeben und in der Folge nicht wieder aufgenommen. Die Ehe von A._ und B._ ist mittlerweile geschieden.
B.
Mit Verfügung vom 11. Februar 2016 wies das Migrationsamt des Kantons Zürich ein Gesuch A._ um Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung bzw. Erteilung der Niederlassungsbewilligung ab und ordnete die Wegweisung an. Die gegen diesen Entscheid erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg (vgl. Entscheid der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich vom 8. März 2018 und Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 26. Juni 2018).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 31. Juli 2018 gelangt A._ an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 26. Juni 2018 sei aufzuheben und die Aufenthaltsbewilligung sei zu verlängern. In einem Eventualantrag ersucht er um Rückweisung der Sache zu neuer Beurteilung an das Verwaltungsgericht.
Das Bundesgericht hat der Beschwerde mit Präsidialverfügung vom 3. August 2018 antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Die Sicherheitsdirektion, das Verwaltungsgericht und das Staatssekretariat für Migration verzichten auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer beruft sich in vertretbarer Weise auf einen Bewilligungsanspruch nach Art. 8 EMRK (Privatleben), sodass die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist (Art. 82 lit. a, Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG e contrario). Ob der geltend gemachte Anspruch tatsächlich besteht, ist im Rahmen der materiellen Beurteilung zu prüfen (<ref-ruling> E. 2.5 S. 315; <ref-ruling> E. 1.1 S. 179 f.; Urteil 2C_394/2017 vom 28. September 2017 E. 1.1). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind (Art. 42, Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 89 Abs. 1, Art. 90, Art. 100 Abs. 1 BGG), ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2).
3.
Der Beschwerdeführer bringt einzig vor, das Recht auf Achtung seines Privatlebens (Art. 8 Ziff. 1 EMRK) vermittle ihm einen Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung.
3.1. Unter bestimmten Umständen kann eine ausländerrechtliche Fernhaltemassnahme in das Recht auf Privatleben (Art. 8 Ziff. 1 EMRK) eingreifen. Eine lange Anwesenheit und die damit verbundene normale Integration genügen dafür nicht; erforderlich sind vielmehr besonders intensive, über eine normale Integration hinausgehende private Beziehungen beruflicher oder gesellschaftlicher Natur (<ref-ruling> E. 6.1 S. 13; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 286; <ref-ruling> E. 2c S. 384 ff.; <ref-ruling> E. 3b S. 22; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 250 f.). Regelmässig der Fall ist dies bei Ausländern der zweiten Generation (vgl. <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 20). Im Sinne einer Leitlinie gilt überdies, dass der Anspruch nach zehnjährigem rechtmässigem Aufenthalt in der Schweiz zumindest tangiert ist; weil davon ausgegangen werden kann, dass nach einer solchen Zeitdauer in der Schweiz enge soziale Bindungen bestehen, bedarf es für eine Aufenthaltsbeendigung in solchen Fällen besonderer Gründe. Im Einzelfall kann es sich freilich anders verhalten und die Integration zu wünschen übrig lassen. Vorkommen kann umgekehrt auch, dass der Anspruch auf Achtung des Privatlebens schon vor Ablauf der zehn Jahre betroffen ist (<ref-ruling> E. 3.9 S. 277 ff.).
3.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, sich seit seiner Einreise im Jahr 2008 mehr als zehn Jahre in der Schweiz aufgehalten zu haben; entsprechend kämen in seinem Fall die Leitlinien nach <ref-ruling> zum Tragen (vgl. E. 3.1 hiervor) und bedürfe die Beendigung seines Aufenthalts besonderer Gründe. Diese Sichtweise verfängt nicht.
Eine rein prozedural begründete Anwesenheit wird nach der Rechtsprechung nicht als "ordnungsgemässer Aufenthalt" im Sinne des AIG (SR 142.20) betrachtet, weil in mehrstufigen Rechtsmittelverfahren erhebliche Verzögerungsmöglichkeiten bestehen, und es einem Beschwerdeführer sonst möglich wäre, durch das Einlegen von Rechtsmitteln mit Blick auf sein Aufenthaltsrecht vollendete Tatsachen zu schaffen (<ref-ruling> E. 4.2 S. 12). Die Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers ist im Jahr 2013 ausgelaufen und in der Folge nicht mehr verlängert worden; mit der Nichtverlängerung im Jahr 2016 wurde die Wegweisung angeordnet. Sein Aufenthalt in der Schweiz ist seither rein prozedural begründet, indem seinen Rechtsmitteln gegen die Ausgangsverfügung vom 11. Februar 2016 die aufschiebende Wirkung von Gesetzes wegen zukam (§ 25 [in Verbindung mit § 55] des Verwaltungsrechtspflegegesetzes des Kantons Zürich vom 24. Mai 1959) beziehungsweise vorsorglich zuerkannt wurde (<ref-law>). Der "ordnungsgemässe Aufenthalt" des Beschwerdeführers hat somit geendet, als seine Aufenthaltsbewilligung im Jahr 2013 ausgelaufen ist, spätestens aber mit der erstinstanzlich verfügten Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung im Februar 2016. Im damaligen Zeitpunkt war der Beschwerdeführer erst gut sieben Jahre in der Schweiz. Entsprechend greift die Beendigung seines Aufenthaltsrechts in der Schweiz nicht in das Recht auf Achtung des Privatlebens (Art. 8 Ziff. 1 EMRK; vgl. dazu E. 3.1 hiervor) ein.
3.3. Selbst wenn im Übrigen das Bundesgericht in <ref-ruling> (vgl. dort E. 3.9; überblicksweise zusammengefasst in E. 3.1 hiervor) den Begriff des "ordnungsgemässen Aufenthalts" nicht in strikter Anlehnung an den Terminus des AIG verwendet hätte (vgl. dazu E. 3.2 hiervor), wäre zu berücksichtigen, dass dem prozeduralen Aufenthalt des Beschwerdeführers mit Blick auf seine Integration in die hiesigen Verhältnisse nicht dasselbe Gewicht zugemessen werden könnte, wie einer bewilligten Anwesenheit (vgl. Urteile 2C_403/2018 vom 19. Februar 2019 E. 5.3; 2C_625/2017 vom 13. Dezember 2017 E. 3.1 mit Hinweisen). Auch bei einer solchen Betrachtungsweise wäre das Recht auf Achtung des Privatlebens (Art. 8 Ziff. 1 EMRK) durch die angeordnete Fernhaltemassnahme nicht tangiert, zumal aus der Beschwerdeschrift (<ref-law>) nicht hervorgeht, dass der Beschwerdeführer besonders intensive, über eine normale Integration hinausgehende private Beziehungen zur Schweiz geknüpft hätte. Die in Ziff. 9 der Beschwerde geschilderte Erwerbstätigkeit des Beschwerdeführers in der C._ AG und seine familiären Beziehungen zu Schweizer Staatsangehörigen genügen dafür jedenfalls nicht. Im Gegenteil verweist der Beschwerdeführer in seiner Beschwerdeschrift selbst darauf, die Rekursinstanz habe "eine normale berufliche und soziale Integration" festgestellt.
3.4. Die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers verletzt Art. 8 EMRK nach dem Gesagten nicht. Die entsprechende Rüge des Beschwerdeführers ist unbegründet.
4.
Zusammengefasst kann der Beschwerdeführer aus Art. 8 EMRK keinen Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung ableiten.
Weitere mögliche Anspruchsgrundlagen werden in der Beschwerde nicht genannt und sind auch nicht ersichtlich. Die Beschwerde ist daher abzuweisen.
Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Juli 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner