Considérant en fait et en droit :
1.
Le 7 janvier 2019, A._ a déposé une " plainte " auprès de la Commission de surveillance des professions de la santé et des droits des patients du canton de Genève (ci-après: la Commission de surveillance) à l'encontre de la doctoresse B._, au sujet de l'expertise judiciaire, prétendument mensongère et nuisible à la santé de sa fille mineure C._, qu'elle avait rendue le 5 novembre 2018 dans le cadre de la procédure civile qui avait été ouverte notamment pour attribuer les droits parentaux concernant cette enfant.
Par courriers des 5 et 19 février 2019, la Commission de surveillance a informé A._ qu'elle ne se prononçait pas sur les expertises rédigées par des professionnels de la santé dans le cadre de procédures ouvertes par d'autres autorités, qu'elle avait immédiatement classé sa dénonciation et qu'elle n'entendait pas revenir sur cette décision, dès lors que A._ mettait en cause les conclusions de l'expertise et pas un traitement médical qui aurait été prodigué à sa fille. Donnant encore suite, le 10 juillet 2019, à un courriel de A._ qui lui demandait " officiellement une réponse par courrier ", la Commission de surveillance lui a à nouveau signifié que le dossier était clos.
Le 15 août 2019, A._ a saisi la Cour de justice du canton de Genève, reprochant à la Commission de surveillance d'avoir commis un déni de justice en refusant d'instruire sa plainte et concluant notamment à l'invalidation de l'expertise du 5 novembre 2018.
Le 19 août 2019, A._ a demandé l'assistance juridique pour cette procédure. Par décision du 30 août 2019, le Vice-Président du Tribunal civil du canton de Genève a rejeté cette requête.
Par arrêt du 23 octobre 2019, le Vice-Président de la Cour de justice a rejeté le recours formé par A._ contre la décision du 30 août 2019. En substance, il a retenu qu'il était vraisemblable que le recours du 15 août 2019 de A._ soit déclaré irrecevable, de sorte que c'était à bon droit que le Vice-président du Tribunal civil lui avait refusé l'assistance juridique, sa cause étant dénuée de chances de succès.
2.
Contre l'arrêt du 23 octobre 2019, A._ forme un " recours en matière d'assistance judiciaire " au Tribunal fédéral. Elle demande en substance son annulation, à ce que l'assistance judiciaire lui soit accordée et qu'un avocat d'office lui soit désigné.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.
3.
Le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>) de dernière instance cantonale rendue par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), dans une cause de droit public selon le litige principal et qui ne tombe pas sous le coup de l'une des exceptions de l'<ref-law>. L'arrêt attaqué, qui confirme sur recours le rejet de la demande d'assistance juridique formé par la recourante, est une décision incidente dont il est admis qu'elle cause en principe un dommage irréparable. Le recours au Tribunal fédéral est partant immédiatement ouvert contre cette décision en vertu de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 602; arrêt 2C_239/2018 du 26 mars 2019 consid. 1.2).
La voie du recours en matière de droit public est donc ouverte en l'espèce, étant précisé que le fait que la recourante ait qualifié improprement son recours ne lui nuit pas (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 370; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 302 s.). Le recours a par ailleurs été interjeté en temps utile (<ref-law>) par la destinataire de l'arrêt attaqué, qui a qualité pour recourir (cf. <ref-law>). Il convient donc d'entrer en matière.
4.
4.1. D'après l'<ref-law>, le Tribunal fédéral applique le droit d'office. En vertu de l'<ref-law> toutefois, il n'examine la violation de droits fondamentaux ainsi que celle de dispositions de droit cantonal et intercantonal que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant. L'acte de recours doit alors, sous peine d'irrecevabilité, contenir un exposé succinct des droits et principes constitutionnels violés et préciser de manière claire et détaillée en quoi consiste la violation (cf. <ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 286; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 232 s.).
4.2. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>). Selon l'<ref-law>, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-ruling> consid. 6 p. 358; <ref-ruling> consid. 1.6 p. 377 s.), ce que le recourant doit démontrer, conformément à l'<ref-law>.
En l'espèce, la recourante avance des éléments de fait et produit des documents propres, selon elle, à remettre en cause la validité de l'expertise du 5 novembre 2018, sans démontrer en quoi ces faits seraient susceptibles d'influer sur le sort de la cause. Le Tribunal fédéral statuera donc exclusivement sur la base des faits constatés dans l'arrêt attaqué.
5.
La recourante reproche à l'instance précédente d'avoir jugé que son recours du 15 août 2019 était dénué de chances de succès, alors que la Commission de surveillance avait, selon elle, l'obligation de statuer sur sa plainte.
5.1. Le droit à l'assistance judiciaire est défini en premier lieu par le droit cantonal. Le droit à l'assistance judiciaire découle aussi de l'art. 29 al. 3 Cst., dont le Tribunal fédéral examine librement le respect (cf. <ref-ruling> consid. 5 p. 616; 2C_1176/2014 du 1er mai 2015). Dans la mesure où la recourante n'établit pas que les dispositions cantonales qu'elle cite lui offriraient une protection plus étendue que celle de l'art. 29 al. 3 Cst., l'examen du Tribunal fédéral portera seulement sur cette dernière garantie.
5.2. Selon l'art. 29 al. 3 Cst., toute personne qui ne dispose pas de ressources suffisantes a droit, à moins que sa cause paraisse dépourvue de toute chance de succès, à l'assistance judiciaire gratuite. Selon la jurisprudence, un procès est dépourvu de chances de succès lorsque les perspectives de le gagner sont notablement plus faibles que les risques de le perdre, et qu'elles ne peuvent donc être considérées comme sérieuses, de sorte qu'une personne raisonnable et de condition aisée renoncerait à s'y engager en raison des frais qu'elle s'exposerait à devoir supporter; il ne l'est pas non plus lorsque les chances de succès et les risques d'échec s'équilibrent à peu près, ou que les premières ne sont que légèrement inférieures aux secondes. L'élément déterminant réside dans le fait que l'indigent ne doit pas se lancer, parce qu'il plaide aux frais de la collectivité, dans des démarches vaines qu'une personne raisonnable n'entreprendrait pas si, disposant de moyens suffisants, elle devait les financer de ses propres deniers (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 139 s.; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 476 s.; <ref-ruling> consid. 2.2.4 p. 218).
L'issue du litige dépend donc du point de savoir si c'est à juste titre que la Cour de justice a considéré que le recours formé le 15 août 2019 par la recourante contre le classement de la Commission de surveillance était dépourvu de chances de succès.
6.
A cet égard, la recourante reproche en substance à l'instance précédente d'être tombée dans l'arbitraire en considérant qu'elle n'avait pas qualité pour recourir contre le classement de sa plainte.
6.1. Une décision est arbitraire (art. 9 Cst.) lorsqu'elle contredit clairement la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté ou qu'elle heurte d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une solution autre que celle de l'autorité cantonale semble concevable, voire préférable. Pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que sa motivation soit insoutenable; il faut encore que cette décision soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 516 et les références; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 205).
6.2. En droit genevois, l'art. 9 de la loi sur la commission de surveillance des professions de la santé et des droits des patients du 7 avril 2006 (LComPS; RS/GE K 3 03) confère la qualité de partie au patient qui saisit la commission de surveillance, à la personne habilitée à décider des soins en son nom, au professionnel de la santé ou à l'institution de santé mis en cause. L'art. 21 al. 3 LComPS prévoit que le dénonciateur est informé de manière appropriée du traitement de sa dénonciation par la commission de surveillance. L'art. 15 LComPS prévoit que les dénonciations peuvent être classées, notamment si elles sont manifestement mal fondées ou qu'elles se situent hors du champ de compétences de la commission de surveillance, et que le dénonciateur en est informé par simple avis.
6.3. L'instance précédente a rappelé que, conformément à sa jurisprudence, un patient au sens de l'art. 9 LComPS était une personne qui entretenait ou avait entretenu une relation thérapeutique avec un professionnel de la santé dont l'activité était régie par la LComPS, et qu'il n'existait pas de telle relation thérapeutique entre une personne expertisée et le médecin chargé de procéder à une expertise judiciaire. En l'espèce, la recourante n'avait aucun lien thérapeutique avec la doctoresse B._. Le point de savoir si la recourante avait agi au nom de sa fille pouvait rester ouvert, puisqu'il n'existait pas non plus de lien thérapeutique entre celle-ci et la doctoresse qui l'avait expertisée. La recourante apparaissait ainsi comme une dénonciatrice dans la procédure. Or, les art. 15 et 21 al. 3 LComPS se limitaient à prévoir que le dénonciateur devait être informé de manière appropriée du traitement réservé à sa dénonciation. Si la Commission de surveillance décidait de classer une dénonciation, cette décision n'était donc pas notifiée au dénonciateur, qui en était seulement informé. Le dénonciateur n'était donc pas destinataire d'une décision de classement, qui ne le touchait qu'indirectement, et il ne pouvait partant pas se voir reconnaître la qualité de partie pour exiger la notification d'une décision contre laquelle recourir. Cette approche rejoignait la jurisprudence constante qui déniait au dénonciateur la qualité de partie. Au surplus, il était de toute manière douteux que la Commission de surveillance soit compétente pour contrôler une expertise judiciaire, cette compétence apparaissant être du ressort du juge qui l'avait ordonnée, les dispositions du Code de procédure civile lui permettant notamment de sanctionner l'expert qui aurait manqué à ses obligations.
6.4. On ne voit pas en quoi le raisonnement de l'instance précédente et le résultat auquel il aboutit seraient insoutenables. En premier lieu, le Tribunal fédéral a déjà eu l'occasion de souligner qu'il n'était pas arbitraire de considérer qu'une personne expertisée n'avait pas qualité de patient au sens de l'art. 9 LComPS (cf. arrêt 2C_1176/2014 du 1 er mai 2015 consid. 4.3 et les références). C'est donc sans arbitraire que l'instance précédente a laissé ouverte la question de savoir si la recourante pouvait agir au nom de sa fille, qui avait été expertisée. La recourante ne formule du reste aucun grief à l'encontre de l'arrêt attaqué sur ce point. En deuxième lieu, l'instance précédente a exposé les motifs pour lesquels elle a estimé que la LComPS ne conférait pas la qualité de partie au dénonciateur. La recourante n'explique pas en quoi l'instance précédente aurait interprété de manière arbitraire le droit cantonal à cet égard, et elle ne remet pas non plus en cause sa qualité de dénonciatrice.
6.5. La recourante soutient en revanche que la Commission de surveillance devait statuer sur sa plainte contre l'expertise judiciaire du 5 novembre 2018, prétendument contraire aux dispositions de la loi sur la santé, et lui donner qualité pour recourir pour faire constater un déni de justice de sa part. Elle cite l'art. 7 LComPS, qui prévoit que la Commission de surveillance instruit d'office ou sur requête notamment les cas de violation des dispositions de la loi sur la santé concernant les professionnels de la santé et les institutions de santé.
L'instance précédente a souligné qu'il était douteux que la Commission de surveillance ait compétence pour se prononcer sur des expertises judiciaires, et la recourante n'explique pas en quoi le droit cantonal aurait été appliqué arbitrairement sur ce point. Elle n'expose au surplus pas en quoi une éventuelle instruction par la Commission de surveillance lui aurait donné qualité de partie à la procédure, alors qu'elle n'est que dénonciatrice.
6.6. Il s'ensuit que c'est sans violer l'art. 29 al. 3 Cst. que l'instance précédente a confirmé la décision du Vice-Président du Tribunal civil, selon laquelle le recours formé le 15 août 2019 par la recourante contre la décision de classement était dénué de chances de succès parce qu'il serait vraisemblablement déclaré irrecevable et que, partant, le bénéfice de l'assistance juridique devait lui être refusé.
7.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours.
Indépendamment de savoir si la sauvegarde de ses droits le requiert, la demande d'assistance judiciaire tendant à la désignation d'un avocat d'office pour la procédure fédérale formulée par la recourante le dernier jour du délai pour recourir au Tribunal fédéral (<ref-law>) est vaine, dès lors qu'un mandataire ne serait de toute manière plus en mesure de déposer un acte dans le délai de recours non prolongeable de l'<ref-law>. Au demeurant, le recours était manifestement dénué de chances de succès, de sorte que la requête d'assistance judiciaire est rejetée (<ref-law>). Les frais judiciaires sont par conséquent mis à la charge de la recourante, qui succombe (<ref-law>). Leur montant sera toutefois fixé en tenant compte de sa situation financière (<ref-law>).


Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué à la recourante, à la Commission de surveillance des professions de la santé et des droits des patients du canton de Genève, au Vice-président du Tribunal civil du canton de Genève et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Assistance judiciaire.
Lausanne, le 8 janvier 2020
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Vuadens