Erwägungen:
1.
A._ (Beschwerdeführer) verlangte in einem am Arbeitsgericht Bülach hängigen Verfahren den Ausstand von Bezirksrichter C._ und von Arbeitsrichterin D._. Mit Beschluss vom 18. Oktober 2019 trat das Arbeitsgericht auf die Ausstandsgesuche nicht ein.
Dagegen erhob A._ mit Schreiben vom 24. November 2019 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich. Mit Präsidialverfügung vom 3. Januar 2020 wurde ihm im Sinne von <ref-law> eine Nachfrist von 10 Tagen angesetzt, um seine Eingabe zu verbessern, mit der Androhung, dass diese ansonsten als nicht erfolgt gelte. Hierzu liess sich A._ am 23. Januar 2020 vernehmen.
Am 9. März 2020 beschloss das Obergericht, dass die Eingabe vom 24. November 2019 als nicht erfolgt gelte. Es schrieb das Beschwerdeverfahren ab. Zur Begründung führte es aus, A._ werfe Bezirksrichter C._ vor, "nazistisches Gedankengut verbreitet" und mit hoher Wahrscheinlichkeit Überzeugungen zu haben, die darauf abzielten, "Menschen mit lebensreformerischen Gedanken für ihre Ideen ungerechtfertigterweise zu hart zu bestrafen, in Konzentrationslager zu stecken oder sogar zu ermorden". Mit diesen Aussagen - die in den eingereichten Unterlagen keine Stütze fänden - verletze A._ den prozessualen Anstand und die Würde des Gerichts.
A._ hat mit Eingabe vom 17. Mai 2020 (Postaufgabe am 18. Mai 2020) Beschwerde in Zivilsachen sowie subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegen diesen Beschluss erhoben und um Erteilung der aufschiebenden Wirkung ersucht.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Der angefochtene Beschluss ist ein Vor- und Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> einer Vorinstanz gemäss <ref-law>. Da der Streitwert von <ref-law> erreicht ist, fällt die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ausser Betracht (vgl. <ref-law>).
Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
3.
Der Beschwerdeführer verfehlt diese Begründungsanforderungen. Wie bereits im kantonalen Verfahren unterstellt er Bezirksrichter C._ an mehreren Stellen seiner Beschwerdeschrift erneut, "nazistisches Gedankengut" zu hegen und dafür öffentlich eingestanden zu sein. Er führt aus, was "nazistisches Gedankengut konkret auf den vorliegenden Fall bezogen" bedeute, "nämlich in erster Linie die Unterdrückung bis hin zur Eliminierung von Andersdenkenden und von anderen Volksgruppen zugunsten eines einheitlichen Volks". Dies sei "für die menschliche Gemeinschaft äusserst gefährlich". Dem Obergericht wirft er vor, "unbeirrt und entgegen jeder fachlich-historischen Herleitung, aber auch entgegen jeder Vernunft [...] den nazistisches Gedankengut hegenden Vorderrichter zu schützen". Dadurch habe es offensichtlich das Willkürverbot verletzt.
Ferner mutmasst er insbesondere gegenüber der "Obergerichtspräsidentin i.V." und der zuständigen Gerichtsschreiberin über verschiedene strafbare Handlungen, in der "mutmasslichen Absicht", das Verfahren "kurzerhand mit dem prozessualen Theatercoup coupieren zu können". Er erblickt im angefochtenen Beschluss einen "prozessualen Trick" und nennt verschiedene Verfassungsbestimmungen, die missachtet worden seien. Der Beschwerdeführer unterlässt es, mit einer sachgerechten Begründung darzutun, inwiefern es sich im vorliegenden Fall nicht mit <ref-law> vertragen soll, sein Schreiben vom 24. November 2019 sowie seine "verbesserte" Eingabe vom 23. Januar 2020 als ungebührlich zu qualifizieren und das Beschwerdeverfahren folglich abzuschreiben. Namentlich genügt es den Anforderungen von <ref-law> nicht, die vom Obergericht als ungebührlich bezeichneten Behauptungen als wahr auszugeben und vor Bundesgericht zu wiederholen.
Soweit der Beschwerde immerhin der Vorwurf entnommen werden kann, der Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) sei verletzt worden, weil eine zweite Gelegenheit zur Beschwerdeverbesserung hätte gegeben werden müssen, ist dieser offensichtlich unbegründet. Nachdem das Obergericht dem Beschwerdeführer - unter Androhung der Säumnisfolgen - eine Nachfrist zur Verbesserung gewährte (vgl. Art. 132 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>), und dieser auch in seiner zweiten Eingabe an den ungebührlichen Äusserungen festhielt, erübrigte sich unter gehörsrechtlichen Gesichtspunkten eine weitere Nachfristansetzung.
4.
Die Beschwerde ist offensichtlich unbegründet und im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch des Beschwerdeführers um Erteilung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten gemäss <ref-law> dem Beschwerdeführer aufzuerlegen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. August 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Stähle