Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat führt gegen den italienischen Staatsangehörigen A._, der in der Schweiz über keinen festen Wohnsitz verfügt, eine Strafuntersuchung wegen des Verdachts des Betrugs nach <ref-law> bzw. des Diebstahls gemäss <ref-law>. Namentlich soll er mit zwei Mitbeschuldigten zwei Geschädigten, die teure Rolex-Uhren verkaufen wollten, ein echtes Kaufinteresse vorgespiegelt und in der Folge mit Falschgeld bezahlt und einem dritten Geschädigten einen Plastiksack mit der zu verkaufenden Uhr entrissen haben. Am 8. Januar 2021 wurden A._ und ein Mitbeschuldigter festgenommen. In der Folge beantragte die Staatsanwaltschaft beim Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich Untersuchungshaft. Der Rechtsvertreter von A._ verlangte daraufhin die Zustellung der Haftbeilagen per Mail oder Fax, was das Zwangsmassnahmengericht unter Hinweis auf die Möglichkeit, die Akten vor Ort einzusehen, ablehnte. In der Folge verzichtete A._ auf eine Verhandlung und nahm schriftlich Stellung. Am 12. Januar 2021 ordnete das Zwangsmassnahmengericht die Untersuchungshaft an.
B.
Dagegen erhob A._ Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich. Dessen III. Strafkammer wies die Beschwerde am 8. Februar 2021 ab.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht beantragt A._, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und festzustellen, dass sein Gehörsanspruch im Haftverfahren vor dem Zwangsmassnahmengericht wegen Verweigerung einer rechtskonformen Zustellung der Haftakten an den Rechtsbeistand verletzt worden sei; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an das Zwangsmassnahmengericht zurückzuweisen. Überdies ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Zur Begründung macht er im Wesentlichen geltend, aufgrund der kurzen Frist von 48 Stunden für das haftrichterliche Verfahren und weil seinem Rechtsvertreter im vorliegenden Fall nur fünf Stunden für die Stellungnahme zum Haftantrag der Staatsanwaltschaft verblieben seien, hätte ihm das Zwangsmassnahmengericht die Strafakten elektronisch oder per Fax zustellen müssen.
Die Staatsanwaltschaft, das Bezirksgericht und das Obergericht verzichteten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Gegen einen kantonal letztinstanzlichen (vgl. <ref-law>, <ref-law>) Entscheid über die Anordnung von Untersuchungshaft im Verfahren vor der Staatsanwaltschaft (vgl. <ref-law>) steht die Beschwerde in Strafsachen nach <ref-law> an das Bundesgericht offen.
2.
2.1. Im vorliegenden Fall bestätigte die Vorinstanz die gegenüber dem Beschwerdeführer ausgesprochene Haft und dieser wurde daraus noch nicht entlassen. Der Beschwerdeführer ficht den Freiheitsentzug als solchen, im Unterschied zu seinem Antrag vor dem Obergericht, vor Bundesgericht nicht mehr an, sondern stellt Antrag auf Feststellung eines Verfahrensfehlers. Dazu vertritt er den Standpunkt, die Frage der rechtskonformen Zustellung der Haftakten an den Rechtsvertreter eines in Untersuchungshaft gesetzten Beschuldigten stelle eine bisher ungeklärte Grundsatzfrage dar, an deren Beantwortung mit Blick auf eine einheitliche Anwendung der Strafprozessordnung ein hohes und über den vorliegenden Fall hinausreichendes Interesse bestehe.
2.2. Beim Entscheid über die Aktenzustellung im Haftverfahren handelt es sich um einen Zwischenentscheid. Ein solcher kann beim Bundesgericht grundsätzlich, mit Ausnahmen, nur mit dem Endentscheid angefochten werden (vgl. <ref-law>). Gegen die Entscheide über die Untersuchungshaft selbst steht jedoch nach ständiger Rechtsprechung die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht offen (siehe E. 1). Das muss auch für prozessuale Zwischenentscheide im Haftverfahren gelten, die mit dem Haftentscheid angefochten werden. Der Beschwerdeführer hat nicht unmittelbar gegen den Entscheid des Zwangsmassnahmengerichts, mit dem sein Antrag auf Zustellung der Akten per Mail oder Fax abgewiesen und sein Rechtsvertreter auf Einsichtnahme in die Akten am Gericht verwiesen wurde, sondern erst gegen den Haftentscheid als solchen Beschwerde erhoben. Die Beschwerde an das Bundesgericht ist daher grundsätzlich zulässig. Ein Entscheid, mit dem in einem Haftverfahren der Aktenzugang verweigert wird, kann im Übrigen geeignet sein, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil gemäss <ref-law> zu bewirken (vgl. <ref-ruling> E. 2.2).
3.
3.1. Gemäss <ref-law> ist zur Beschwerde berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat (...) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat, insbesondere die beschuldigte Person (lit. a und b Ziff. 1). Der Beschwerdeführer beschränkt sich auf den Antrag, es sei festzustellen, dass ihm das Zwangsmassnahmengericht das Gehör verweigert habe.
3.2. Der Beschwerdeführer nahm am vorinstanzlichen Verfahren teil und hat grundsätzlich ein Interesse an der Beantwortung der Frage, ob sein Gehörsanspruch gewahrt wurde. Dabei muss es sich jedoch um ein rechtlich geschütztes Interesse handeln. Damit soll unter anderem sichergestellt werden, dass das Gericht aktuelle konkrete und nicht bloss theoretische Fragen entscheidet, was der Prozessökonomie dient (<ref-ruling> E. 3 S. 84; <ref-ruling> E. 4a S. 397; je mit Hinweisen).
3.3. Nach der Rechtsprechung führt nicht jeder Verfahrensmangel zu einer Haftentlassung. Unter besonderen Umständen sind einzelne das Haftverfahren betreffende Rügen trotz Entlassung eines Beschuldigten aus der Untersuchungshaft materiell zu behandeln und gegebenenfalls ist eine Rechtsverletzung festzustellen (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 5f). Es muss einem Häftling daher auch möglich sein, prozessuale Mängel bzw. eine Verletzung seiner Verfahrensrechte feststellen zu lassen, ohne die Zulässigkeit der Haft als solcher anzufechten, wenn er trotzdem an der aufgeworfenen Rechtsfrage ein rechtlich geschütztes Interesse hat. Im vorliegenden Fall stellt sich jedoch die Frage, ob der Beschwerdeführer anstelle seines Feststellungsbegehrens nicht mit einem Gestaltungsantrag die Haftentlassung hätte beantragen können und die von ihm vorgetragene Rüge vorfrageweise als prozessualen Grund für die Rechtswidrigkeit der Haft hätte aufwerfen müssen.
3.4. Der Beschwerdeführer beruft sich darauf, dass ausnahmsweise auch ohne aktuelles schutzwürdiges Interesse auf eine Beschwerde einzutreten ist, wenn sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum möglich wäre und die Beantwortung wegen deren grundsätzlicher Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (<ref-ruling> E. 1.1, mit Hinweisen). Diese Voraussetzungen sind im vorliegenden Fall jedoch nicht erfüllt. Insbesondere erweist sich eine rechtzeitige Prüfung der aufgeworfenen Rechtsfrage im Einzelfall im Rahmen eines Antrags auf Haftentlassung nicht als von vornherein ausgeschlossen.
3.5. Sodann mag die abstrakte Klärung der rechtzeitigen Einsichtnahme in die Akten des Haftverfahrens bzw. der behördlichen Pflicht, diese der Verteidigung in geeigneter Form zuzustellen, zwar allenfalls von allgemeinerem Interesse sein, wie der Beschwerdeführer behauptet. Er macht aber selbst nicht nachvollziehbar geltend, vor der Verhandlung über keine ausreichende Kenntnis der Haftakten verfügt zu haben. Überdies führt er ebenfalls nicht ausreichend aus und es ist auch nicht ersichtlich, dass er im vorliegenden Verfahren selbst ein rechtlich geschütztes Interesse an der Feststellung des behaupteten prozessualen Mangels in Form einer abstrakten Fragestellung hat, solange wie in seinem Fall noch ein Gestaltungsantrag möglich gewesen wäre und er nicht begründet, warum ein solches Rechtsbegehren von vornherein hätte aussichtslos sein sollen. Dass hier die Grundlage für ein Entschädigungsbegehren wegen rechtswidriger Haft nach Art. 5 Ziff. 5 EMRK bestehen könnte, womit sich unter Umständen gegebenenfalls die Beschwerdeberechtigung begründen liesse, legt der Beschwerdeführer schliesslich ebenfalls nicht in zureichendem Masse dar. Damit fehlt es am erforderlichen rechtlich geschützten Interesse an der erhobenen Beschwerde.
3.6. Die Beschwerde erweist sich wegen fehlender Legitimation des Beschwerdeführers als unzulässig.
4.
Demnach ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
Dem, soweit bekannt, bedürftigen, unterliegenden Beschwerdeführer ist für das bundesgerichtliche Verfahren antragsgemäss die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung mit seinem Rechtsvertreter zu gewähren (<ref-law>). Damit sind keine Kosten zu erheben, und der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers ist aus der Bundesgerichtskasse angemessen zu entschädigen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird dem Beschwerdeführer Rechtsanwalt Kenad Melunovic Marini als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Rechtsanwalt Kenad Melunovic Marini wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat, dem Bezirksgericht Zürich, Zwangsmassnahmengericht, und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. April 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Uebersax