Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1972) ist Staatsangehöriger der Republik Kongo. In der Schweiz wurde ihm eine Aufenthalts- und dann eine Niederlassungsbewilligung ausgestellt (1999 bzw. 2004), die im Zusammenhang mit einer von vier Ehe- bzw. Konkubinatsbeziehungen (und daraus insgesamt hervorgegangenen fünf Kindern) mit Schweizer Bürgerinnen stand. Die Bewilligung wurde ihm mit Verfügung vom 13. Mai 2011 aufgrund jahrelanger Sozialhilfeabhängigkeit rechtskräftig widerrufen. Aus der Schweiz weggewiesen (Ausreisefrist bis am 12. August 2011), verblieb er in der Folge ohne gültigen Aufenthaltstitel bis heute in der Schweiz.
B.
Am 12. März 2020 ersuchte A._ im Kanton Zürich darum, ihm eine Kurzaufenthaltsbewilligung auszustellen, um die Schweizer Bürgerin B._ heiraten zu können, mit der (sowie dem gemeinsamen Sohn C._, ebenfalls Schweizer Bürger, geboren 2012) er seit August 2018 zusammenlebt. Das Gesuch erging, nachdem gleiche Gesuche (vom 27. Juli 2018, 6. März 2019, 28. März 2019 und 16. April 2019) ohne Erfolg geblieben waren und er seine Konkubinatspartnerin am 19. Oktober 2018 in der Republik Kongo (in Abwesenheit beider) geheiratet hatte, diese Ehe in der Schweiz jedoch nicht anerkannt wurde.
C.
Das Migrationsamt des Kantons Zürich wies das Gesuch am 24. April 2020 ab und wies den Betroffenen weg. Die kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg (Entscheide der Sicherheitsdirektion vom 24. August 2020 und des Verwaltungsgerichts vom 16. Dezember 2020). Die kantonalen Behörden erwogen, dass die Schuldenwirtschaft des Beschwerdeführers (im Umfang von Fr. 285'000.--) der Bewilligung entgegenstehe. Es sei nicht davon auszugehen, dass er künftig für seinen Lebensunterhalt selbständig werde aufkommen können. Im Hinblick auf die Kinder bestehe kein Bewilligungsanspruch, da er sich nicht tadellos verhalten habe. Die Rückkehr in die Heimat sei ihm zumutbar.
D.
A._ macht vor Bundesgericht mit (einer in französischer Sprache verfassten) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiärer Verfassungsbeschwerde geltend, das angefochtene Urteil verletze seinen Anspruch auf Familien- und Privatleben. Es sei unverhältnismässig und trage dem Kindesinteresse nicht hinreichend Rechnung. Im Übrigen verletze es das Recht auf Heirat. Er ersucht darum, das Urteil aufzuheben und ihm eine (Kurz-) Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Im Übrigen ersucht er um kostenloses Verfahren.
E.
Das kantonale Migrationsamt und das Staatssekretariat für Migration haben sich nicht vernehmen lassen. Die Sicherheitsdirektion verzichtet auf eine Stellungnahme. Das Verwaltungsgericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
F.
Mit Verfügung vom 15. Februar 2021 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten auf dem Gebiet des Ausländerrechts unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen. Ein bundes- oder völkerrechtlicher Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung besteht grundsätzlich nur dann, wenn sich der Ausländer oder seine in der Schweiz lebenden Angehörigen auf eine Sondernorm des Bundesrechts oder eines Staatsvertrags berufen können (noch zum alten Recht: <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 1.1.1; Urteile 2C_202/2018 vom 19. Juli 2019 E. 1.1; 2C_381/2018 vom 29. November 2018 E. 1.2).
Der Beschwerdeführer macht in vertretbarer Weise geltend, gestützt auf Art. 8 Ziff. 1 EMRK (Privat-/Familienleben), <ref-law> (Privat-/Familienleben) und <ref-law> sowie Art. 12 EMRK (Recht auf Ehe) einen Anspruch auf die beantragte (Kurz-) Aufenthaltsbewilligung zu haben. Ob der Bewilligungsanspruch tatsächlich besteht, ist praxisgemäss eine Frage der materiellen Beurteilung und keine solche des Eintretens (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.1).
1.2. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG). Auf die gleichzeitig eingereichte subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist dementsprechend nicht einzutreten (vgl. <ref-law>).
1.3. Gemäss <ref-law> sind Rechtsschriften in einer Amtssprache abzufassen. Das Verfahren vor dem Bundesgericht wird gemäss <ref-law> in einer der Amtssprachen (Deutsch, Französisch, Italienisch, Rumantsch Grischun) geführt, in der Regel in der Sprache des angefochtenen Entscheids. Dem Beschwerdeführer steht es frei, seine Eingabe in der Amtssprache seiner Wahl zu verfassen, die nicht notwendigerweise mit der Verfahrenssprache des vorinstanzlichen Verfahrens übereinstimmen muss (Urteil 2C_237/2013 vom 27. März 2013 E. 1.2 mit Hinweis). Der Beschwerdeführer hat seine Eingabe in französischer Sprache verfasst. Dies ist nach dem Gesagten zulässig. Vorliegend ist indes Deutsch die Verfahrenssprache, sodass das Urteil in dieser Sprache ergeht.
1.4. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Bei der Prüfung wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.5) und verfügt es über volle Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem Recht gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.7.2; <ref-ruling> E. 2.2).
1.5. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Von den tatsächlichen Grundlagen des vorinstanzlichen Urteils weicht es nur ab, wenn diese offensichtlich unrichtig, unvollständig oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensrechte ermittelt wurden und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.6; Urteil 2C_827/2019 vom 17. Januar 2020 E. 2.2). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen; auf rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsfeststellung bzw. Beweiswürdigung geht das Gericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 10.1).
2.
2.1. Im angefochtenen Urteil werden die hier massgeblichen Bestimmungen umfassend wiedergegeben.
2.1.1. Das gilt vorab für Art. 98 Abs. 4 des Zivilgesetzbuchs vom 10. Dezember 1907 (ZGB). Danach müssen Verlobte, die nicht Schweizerbürgerinnen oder Schweizerbürger sind, während des Vorbereitungsverfahrens ihren rechtmässigen Aufenthalt in der Schweiz nachweisen, ansonsten die Zivilstandsbeamten die Trauung nicht vollziehen dürfen (vgl. auch Art. 66 Abs. 2 lit. e i.V.m. Art. 67 Abs. 3 der Zivilstandsverordnung vom 28. April 2004 [ZStV]).
2.1.2. Aufgrund des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer und über die Integration (Ausländer- und Integrationsgesetz, AIG, SR 142.20) steht einem Ausländer vor der Heirat mit seiner Schweizer Verlobten ebenfalls kein Bewilligungsanspruch im Sinne von <ref-law> zu. Im Hinblick auf die geplante Eheschliessung vermag er allerdings unter bestimmten Voraussetzungen aus dem in Art. 12 EMRK und <ref-law> garantierten Recht auf Ehe einen Anwesenheitsanspruch zum Zweck der Eheschliessung in der Schweiz abzuleiten. Gemäss diesen Bestimmungen und im Einklang mit Art. 8 Abs. 1 EMRK (Recht auf Schutz des Familienlebens) sind die Migrationsbehörden gehalten, Ehewilligen ohne Aufenthaltsrecht eine vorübergehende (Kurz-) Aufenthaltsbewilligung zu erteilen, sofern keine Hinweise vorliegen, dass die ausländischen Personen mit ihrem Vorhaben die Bestimmungen über den Familiennachzug umgehen wollen, und feststeht, dass sie nach der Heirat die Zulassungsvoraussetzungen in der Schweiz offensichtlich erfüllen (analoge Anwendung von <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.5 u. 3.7; Urteil 2C_827/2019 vom 17. Januar 2020 E. 3). Eine Kurzaufenthaltsbewilligung zum Zweck der Eheschliessung soll indes nur erteilt werden, wenn mit dem Eheschluss in absehbarer Zeit zu rechnen ist.
2.2. Vor dem Hintergrund dieser Vorschriften hat das Verwaltungsgericht geprüft, ob der Beschwerdeführer, wäre er bereits mit seiner Konkubinatspartnerin verheiratet, gestützt auf <ref-law> eine Aufenthaltsbewilligung erhalten würde. Danach haben ausländische Ehegatten von Schweizerinnen und Schweizern Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen. Der Anspruch erlischt und eine Aufenthaltsbewilligung wird nicht gewährt, wenn er rechtsmissbräuchlich geltend gemacht wird oder Widerrufsgründe nach <ref-law> vorliegen (<ref-law>). Das ist der Fall, wenn die ausländische Person in schwerwiegender Weise gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung in der Schweiz oder im Ausland verstossen hat oder diese gefährdet oder die innere oder äussere Sicherheit gefährdet hat (<ref-law>). Ein Verstoss gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung ist nach Art. 77a Abs. 1 lit. b der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über die Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit (VZAE; SR 142.021) unter anderem bei mutwilliger Nichterfüllung der öffentlich-rechtlichen oder privatrechtlichen Verpflichtungen anzunehmen.
2.3. Die Vorinstanz hat den Grund für die Nichtgewährung gemäss <ref-law> als erfüllt erachtet, da der Beschwerdeführer in der durch diese Bestimmung geforderten schwerwiegenden Weise gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung in der Schweiz verstossen hat. Dies kann auch bei einer mutwilligen Nichterfüllung öffentlich-rechtlicher oder privatrechtlicher Verpflichtungen der Fall sein (vgl. <ref-law>).
2.3.1. Erforderlich ist ein erheblicher Ordnungsverstoss durch Nichterfüllung eingegangener Verpflichtungen. Diese Erheblichkeit beurteilt sich in erster Linie nach Massgabe des Umfangs der Schulden (Urteil 2C_93/2018 vom 21. Januar 2019 E. 3.5). Eine schwerwiegende Gefährdung der öffentlichen Ordnung nahm das Bundesgericht bei mutwillig unbezahlt gebliebenen öffentlich- oder privatrechtlichen Schulden in der Höhe von Fr. 213'790.48 (Verlustscheine; Urteil 2C_928/2019 vom 26. Februar 2020), Fr. 169'995.45 (Verlustscheine; Urteil 2C_797/2019 vom 20. Februar 2020), Fr. 188'000.-- (Verlustscheine; Urteil 2C_517/2017 vom 4. Juli 2018), Fr. 303'732.95 (Verlustscheine; Urteil 2C_164/2017 vom 12. September 2017) und Fr. 172'543.-- (Verlustscheine, zusätzlich offene Betreibungen im Umfang von Fr.4'239.--; Urteil 2C_997/2013 vom 21. Juli 2014) an.
2.3.2. Schuldenwirtschaft allein genügt für die Nichtgewährung einer (Kurz-) Aufenthaltsbewilligung jedoch nicht. Sie vermag eine solche Massnahme bloss dann zu rechtfertigen, wenn ein erschwerendes Merkmal hinzukommt (Urteile 2C_81/2018 vom 14. November 2018 E. 3.2.2; 2C_273/2010 vom 6. Oktober 2010 E. 3.3). Vorausgesetzt ist zusätzlich Mutwilligkeit der Verschuldung. Die Verschuldung muss mit anderen Worten selbst verschuldet und qualifiziert vorwerfbar sein (<ref-ruling> E. 3.3). Davon ist nicht leichthin auszugehen (vgl. Urteile 2C_185/2021 vom 29. Juni 2021 E. 3.2; 2C_58/2019 vom 31. Januar 2019 E. 3.1; 2C_164/2017 vom 12. September 2017 E. 3.1; je mit Hinweisen).
2.3.3. Dabei ist u.a. auch wesentlich, ob und inwiefern der Betroffene sich bemüht hat, seine Verbindlichkeiten abzubauen und mit den Gläubigern nach einer Lösung zu suchen. Eine durch Schicksalsschläge bedingte Nichterfüllung öffentlich-rechtlicher oder privatrechtlicher Verpflichtungen gilt nicht als mutwillig. Die Mutwilligkeit setzt vielmehr ein von Absicht, Böswilligkeit oder qualifizierter Leichtfertigkeit getragenes Verhalten voraus (Urteile 2C_81/2018 vom 14. November 2018 E. 3.2.2; 2C_789/2017 vom 7. März 2018 E. 3.3.1).
2.4. Das Verwaltungsgericht hat festgestellt, dass der Beschwerdeführer eine Gesamtverschuldung von Fr. 285'000.-- aufweise, die er über einen Zeitraum von 17 Jahren kontinuierlich geäufnet habe. Bis Mai 2017 seien Schulden von Fr. 213'761.64 zusammengekommen, wovon Fr. 123'000.-- Alimentschulden für einen Sohn aus anderer Beziehung (vgl. E. 3.2 u. 3.3 des angefochtenen Urteils). Das Gericht hat die aufgehäufte Schuldenlast (in Übereinstimmung mit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung; vgl. E. oben E. 2.3.1) als hinreichend umfangreich beurteilt, um - zusammen mit einem qualifiziert vorwerfbaren Verhalten - einen Grund für die Nichtgewährung einer Aufenthaltsbewilligung zu setzen. Dagegen bringt der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nichts vor.
2.5. Die Vorinstanz hat weiter geurteilt, dass der Beschwerdeführer die von ihm eingegangenen Schulden mutwillig habe zusammenkommen lassen.
2.5.1. Dafür spreche u.a., dass die Schuldenlast auch in der Zeit (vom 1. Dezember 2005 bis Ende Februar 2013) um mehr als Fr. 50'000.-- zugenommen habe, in der er von der Sozialhilfe unterstützt worden sei. Qualifiziert vorwerfbar seien ihm auch die im Rahmen des bis heute andauernden Konkubinats zusätzlich aufgehäuften Schulden. Diese seien neu hinzugekommen, obwohl seine Partnerin genug verdiene, um für beide und den gemeinsamen Sohn aufzukommen.
Um eine Schuldensanierung hat der Beschwerdeführer sich - gemäss den für das Bundesgericht verbindlichen vorinstanzlichen Feststellungen - zu keiner Zeit irgendwie bemüht; er habe nicht einmal eine Beratungsstelle aufgesucht, um bei einem Abbau der Last seiner massiven und kontinuierlich wachsenden Verpflichtungen Hilfe zu erhalten (vgl. E. 3.2 u. 3.3 des angefochtenen Urteils).
2.5.2. Dagegen argumentiert der Beschwerdeführer, es könne ihm schon deshalb keine Mutwilligkeit bei der Anhäufung der eingegangenen Schulden vorgeworfen werden, weil er während all der Jahre nicht berechtigt gewesen sei, in der Schweiz einer Erwerbstätigkeit nachzugehen. Sowohl die Entstehung der Schulden als deren Zuwachs und Nichtabbau könnten ihm somit nicht entgegengehalten werden. Auch habe er sich in mehrfacher Hinsicht sehr wohl um eine Reduzierung seiner Schuldenlast bemüht.
Diese Argumentation ist vom Ansatz her unbegründet, soweit sie aus den Folgen dessen, dass er sich seit August 2011 widerrechtlich in der Schweiz aufhält, etwas gegen die Vorwerfbarkeit seiner Schuldenaufhäufung abzuleiten versucht. Zudem lässt das Vorbringen ausser Acht, dass ihm namentlich das mutwillige Zusammenkommen von Schulden vorgeworfen wird, die in Zeiträumen entstanden sind, in denen er entweder von der Sozialhilfe unterstützt wurde oder seine Lebensabschnittspartnerin in genügendem Ausmass für den gesamten Haushalt aufkam. Wenn er im Übrigen behauptet, sich sehr wohl um einen Abbau seiner Schulden bemüht zu haben, so erweisen sich diese Vorbringen als rein appellatorisch; sie vermögen die für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz in keiner Weise als offensichtlich unrichtig erscheinen zu lassen (vgl. oben E. 1.5), soweit sie sich überhaupt auf die (hier einzig massgebliche) Zeit vor dem angefochtenen Urteil beziehen.
2.6. Somit hat das Verwaltungsgericht zu Recht geurteilt, dass ein der Gewährung der (Kurz-) Aufenthaltsbewilligung entgegenstehender Widerrufsgrund erfüllt ist.
3.
Zu prüfen ist ausserdem, ob die gegenüber dem Beschwerdeführer erfolgte Nichtgewährung der Kurzaufenthaltsbewilligung sich als verhältnismässig erweist.
3.1. Im Falle des Widerrufs oder der Nichtverlängerung einer Aufenthaltsbewilligung, auf die nach Art. 42 bzw. 43 AIG ein Anspruch besteht, bezieht sich diese Verhältnismässigkeitsprüfung auf Art. 8 Ziff. 2 EMRK, <ref-law> und <ref-law>. Zu berücksichtigen sind dabei insbesondere die Natur des Fehlverhaltens des Betroffenen, der Grad seiner Integration bzw. die Dauer der bisherigen Anwesenheit und die ihm und seiner Familie drohenden Nachteile. Auch ist der Qualität der sozialen, kulturellen und familiären Beziehungen zum Gast- wie zum Heimatstaat Rechnung zu tragen (<ref-ruling> E. 3.7; <ref-ruling> E. 2.2.1; <ref-ruling> E. 4.3, je m.w.H.).
Hier geht es jedoch nicht um einen Eingriff in Art. 8 EMRK, sondern um <ref-law> bzw. Art. 12 EMRK. Der Grund für die Kurzaufenthaltsbewilligung liegt nur darin, dass es den Betroffenen nicht zugemutet werden soll, in ihre Heimat zurückzukehren und von dort aus um eine Einreisebewilligung zwecks Heirat zu ersuchen, wenn nach der Eheschliessung die Voraussetzungen für einen Bewilligungsanspruch offensichtlich erfüllt wären (<ref-ruling> E. 3.5.2, 137 I 351 E. 3.7; vgl. dazu auch schon oben E. 2.1).
3.2. Hier besteht ein überwiegendes öffentliches Interesse an der Nichtgewährung einer Kurzaufenthaltsbewilligung gegenüber dem Beschwerdeführer. Es kann ihm ohne weiteres zugemutet werden, in seine Heimat zurückzukehren und von dort aus um eine Einreisebewilligung zwecks Heirat zu ersuchen.
3.2.1. Der Beschwerdeführer ist im Alter von 25 Jahren eingereist, nachdem er die prägenden Jahre seiner Jugendzeit und seines jungen Erwachsenenlebens in der Republik Kongo verbracht hat. Nur von 1999 bis 2011 lebte er rechtmässig in der Schweiz, danach hat er sich aber dauerhaft und bis heute einer rechtskräftigen Wegweisung widersetzt. Zudem geht sogar die Dauer seiner rechtmässigen Anwesenheit in der Schweiz nicht mit einer entsprechenden wirtschaftlichen und sozialen Integration einher (bestenfalls rudimentäre Deutschkenntnisse; kein persönliches Umfeld über den familiären Bereich hinaus, vgl. E. 4.1 des angefochtenen Urteils).
3.2.2. Das überwiegende öffentliche Interesse beruht im Wesentlichen darauf, dass der Beschwerdeführer kontinuierlich Schulden angehäuft hat und keine Bemühungen um deren Tilgung hat dartun können. Obwohl er mehr als 10 Jahre rechtmässig in der Schweiz verbrachte, hat die Vorinstanz zu Recht angenommen, dass keine gelungene wirtschaftliche Integration vorliegt. Auch seine gesellschaftliche Integration ist ungenügend, u.a. aufgrund der gegen ihn ausgesprochenen strafrechtlichen Verurteilungen (vgl. E. 4.1 des angefochtenen Urteils).
3.3. Am Ergebnis der hier vorzunehmenden Interessenabwägung ändert es auch nicht, wenn der Beschwerdeführer sinngemäss einen aus Art. 8 EMRK und <ref-law> abgeleiteten Anspruch auf den umgekehrten Familiennachzug zu seinem in der Schweiz lebenden Sohn mit Schweizer Bürgerrecht geltend macht.
3.3.1. Gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung fällt auch die Beziehung zu hier lebenden minderjährigen Kindern mit gefestigtem hiesigem Aufenthalt in den Schutzbereich des Rechts auf Familienleben. Dabei soll aber nur das intakte und gelebte Familienleben geschützt werden (<ref-ruling> E. 1.3). Auch kann der nicht sorge- oder hauptsächlich betreuungsberechtigte ausländische Elternteil die familiäre Beziehung mit seinem Kind in der Regel nur im beschränkten Rahmen leben, nämlich durch die Ausübung des ihm eingeräumten Rechts auf angemessenen persönlichen Verkehr und den damit verbundenen Betreuungsanteilen im Rahmen des Besuchsrechts (vgl. <ref-law>). Hierfür ist nicht unbedingt erforderlich, dass er sich dauerhaft im selben Land aufhält wie das Kind und dort über ein Anwesenheitsrecht verfügt. Unter dem Gesichtspunkt des Anspruchs auf Familienleben gemäss <ref-law> und Art. 8 Ziff. 1 EMRK ist es grundsätzlich ausreichend, wenn das Besuchsrecht im Rahmen von Kurzaufenthalten vom Ausland her ausgeübt werden kann, wobei allenfalls die Modalitäten des Besuchsrechts entsprechend auszugestalten sind (vgl. <ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 2.2).
Ein weitergehender Anspruch kann nur dann in Betracht fallen, wenn eine in affektiver und wirtschaftlicher Hinsicht besonders enge Beziehung zum Kind besteht, diese Beziehung wegen der Distanz zum Heimatland des Ausländers praktisch nicht aufrechterhalten werden könnte und das bisherige Verhalten der ausländischen Person in der Schweiz zu keinerlei namhaften Klagen Anlass gegeben hat (vgl. u.a. <ref-ruling> E. 5.2; <ref-ruling> E. 5.2; m.w.H.). Dies ist in der Regel nicht der Fall, wenn gegen die ausländische Person, welche sich auf Art. 8 EMRK und <ref-law> beruft, ausländerrechtliche Entfernungs- und Fernhaltegründe sprechen, insbesondere falls sie sich massgebliches straf- oder ausländerrechtlich verpöntes Fehlverhalten hat zuschulden kommen lassen (<ref-ruling> E. 5.2.4 mit Hinweisen).
3.3.2. Das Verwaltungsgericht hat auch diesbezüglich die massgebliche Rechtsprechung zutreffend dargestellt (vgl. E. 4.3.2.1 des angefochtenen Urteils), um sie dann bundesrechtskonform auf den vorliegenden Fall anzuwenden. Der Beschwerdeführer verfüge weder über die Obhut noch über das Sorgerecht gegenüber dem gemeinsamen Sohn mit seiner Konkubinatspartnerin. Mit diesem unterhalte er unbestrittenermassen eine in affektiver Hinsicht enge Beziehung. Er komme zwar nicht finanziell für seinen Sohn auf, übernehme aber Betreuungsaufgaben, so dass seine Partnerin arbeiten gehen könne.
Er habe jedoch durch sein Verhalten zu Klagen Anlass gegeben, insbesondere habe er sich der Wegweisung widersetzt, sich über Jahre ohne gültigen Aufenthaltstitel in der Schweiz aufgehalten und durch seine hohe Verschuldung einen Widerrufsgrund gesetzt. Daneben würden auch der jahrelange Sozialhilfebezug sowie die Strafbefehle negativ ins Gewicht fallen. Es könne ihm somit kein tadelloses Verhalten zugebilligt werden, weshalb er mit Blick auf die Beziehung zu seinem Sohn weder aus der EMRK noch aus der Bundesverfassung etwas zu seinen Gunsten ableiten könne. Gleiches gelte für seine weiteren vier Kinder in der Schweiz (vgl. zum Ganzen E. 4.3.2.2 des angefochtenen Urteils).
3.3.3. Mit dieser Rechtsprechung und den vorinstanzlichen Erwägungen dazu setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Stattdessen beruft er sich auf unspezifische Grundsätze aus der Praxis (vgl. insb. <ref-ruling> E. 3.1 nebst einer ebenfalls unzureichend substanziierten Berufung auf Art. 3 KRK sowie auf Art. 5 Abs. 2, Art. 24 Abs. 1 und Art. 25 Abs. 1 BV), aus denen er jedoch unter den hier konkret gegebenen Umständen nichts zu seinen Gunsten abzuleiten vermag. Ebenso wenig ist es stichhaltig, wenn er geltend macht, er lebe mit seiner Konkubinatspartnerin und seinem Sohn in einem faktisch und rechtlichen intakten Familienhaushalt (Ziff. II.B.1 S. 3). Deshalb würde eine allfällige Trennung für den Sohn negative Folgen haben (vgl. S. 11). In rechtlicher Hinsicht ist es jedoch vielmehr so, dass seine Niederlassungsbewilligung schon vor beinahe zehn Jahren widerrufen wurde und er seither trotz rechtskräftiger Wegweisung rechtswidrig in der Schweiz verblieben ist. Zudem hat er durch seine massive und mutwillige Schuldenwirtschaft einen weiteren Grund gesetzt, um sich nicht auf einen umgekehrten Familiennachzug zu seinem Sohn berufen zu können.
3.3.4. Es ist nicht ersichtlich, wie die Nichtgewährung der Kurzaufenthaltsbewilligung unter diesen Gesichtspunkten als unverhältnismässig zu erachten wäre und dem Beschwerdeführer nicht zugemutet werden könnte, sein Gesuch von seiner Heimat aus zu stellen.
3.4. Gegen die Verhältnismässigkeit der hier angefochtenen Massnahme beruft sich der Beschwerdeführer schliesslich erfolglos auf seine Beziehung zu seiner Konkubinatspartnerin, aufgrund von Art. 8 EMRK und <ref-law>.
3.4.1. Wie das Verwaltungsgericht festgehalten hat, leben der Beschwerdeführer und seine Partnerin in einem gefestigten Konkubinat, so dass deren Beziehung in den Schutzbereich der EMRK und der Bundesverfassung falle. Ihr beachtliches Interesse an seinem Verbleib in der Schweiz werde jedoch durch den Umstand relativiert, dass der Beschwerdeführer mit Verfügung vom 13. Mai 2011 rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen worden sei. Danach hätten sie von Februar 2013 bis Januar 2014 zusammengelebt, sich getrennt und seien im August 2018 wieder zusammengekommen. Bei Wiederaufnahme ihrer Beziehung hätten die beiden daher von Anfang an gewusst, dass sie ihre Beziehung nicht sicher in der Schweiz würden leben können (vgl. <ref-ruling> E. 2.4; Urteil 2C_608/2015 vom 1. Februar 2016 E. 5). Der Beschwerdeführer habe darüber hinaus durch seine Schuldenwirtschaft einen weiteren Grund gesetzt, aufgrund dessen jetzt die beantragte (Kurz-) Aufenthaltsbewilligung nicht gewährt werden könne. Er habe mit seinem Verhalten den Fortbestand seines Familienlebens in der Schweiz selbstverschuldet und mutwillig aufs Spiel gesetzt. Daher sei es hinzunehmen, wenn die familiären Beziehungen künftig nur noch unter erschwerten Bedingungen gelebt werden könnten (vgl. zum Ganzen E. 4.3.2.2 des angefochtenen Urteils). Das gelte selbst dann, wenn der Partnerin - ebenso wie dem gemeinsamen Sohn - nicht zugemutet werden könne, dem Beschwerdeführer in die Republik Kongo zu folgen (vgl. dort E. 4.3.2 einleitend).
3.4.2. Auch gegen diese vorinstanzlichen Erwägungen bringt der Beschwerdeführer nicht genügend Substanziiertes vor. Als unzureichend erweist es sich u.a., wenn er sich auf das nunmehr seit drei Jahren intakt gelebte Konkubinatsverhältnis oder auf die (überaus) schmerzvollen Folgen einer Trennung beruft. Wenngleich dieses Vorbringen als nachvollziehbar erscheint, so vermag es nichts daran zu ändern, dass der Beschwerdeführer durch sein in mehrfacher Hinsicht schwerwiegendes Fehlverhalten selbst die Gründe gesetzt hat, die unter den gegebenen Umständen die Gewährung einer (Kurz-) Aufenthaltsbewilligung ausschliessen.
3.4.3. Somit wäre auch unter diesem Aspekt ein Bewilligungsanspruch auf Kurzaufenthalt zwecks Eheschliessung nicht offensichtlich erfüllt. Vielmehr ist eine Rückkehr in die Heimat für den den Beschwerdeführer durchaus zumutbar und verhältnismässig.
4.
4.1. Nach dem Gesagten erweist sich das angefochtene Urteil in allen Punkten als bundesrechtskonform. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlchen Angelegenheiten ist abzuweisen, während auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht eingetreten werden kann (vgl. oben E. 1.2).
4.2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Er hat ein Gesuch um kostenloses Verfahren und damit um unentgeltliche Rechtspflege gestellt (<ref-law>). Dieses ist unbegründet: Der Beschwerdeführer mag zwar bedürftig sein, sein Rechtsbegehren musste jedoch - aus denselben Gründen wie im vorinstanzlichen Verfahren (vgl. E. 4.5 des angefochtenen Urteils) - von vornherein als aussichtslos erscheinen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
1.2. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Oktober 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Matter