Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Zahlungsbefehl Nr. xxx des Betreibungsamtes Uzwil vom 5. April 2017 setzte die Stadt U._ für sich und den Kanton St. Gallen sowie für die Kirchgemeinden U._ gegen A._ offene Staats- und Gemeindesteuern aus den Jahren 1991, 1993, 1995 und 1996 in der Höhe von Fr. 23'806.25 nebst Kosten in Betreibung. A._ erhob Rechtsvorschlag sowohl gegen die Forderung als auch mit der Begründung, nicht zu neuem Vermögen gekommen zu sein. Das Betreibungsamt überwies die Angelegenheit gestützt auf <ref-law> an das Kreisgericht Wil zum Entscheid über die Bewilligung des Rechtsvorschlags.
A.b. Mit Entscheid (SS.2017.247) vom 23. Oktober 2017 verweigerte die Einzelrichterin des Kreisgerichts die Bewilligung des Rechtsvorschlags mangels neuen Vermögens, und stellte fest, dass A._ im Umfang von Fr. 9'000.-- zu neuem Vermögen gekommen sei. Mit separater Verfügung (UP.2017.190) vom gleichen Tag gewährte die Einzelrichterin A._ unentgeltliche Rechtspflege und bewilligte ihm einen unentgeltlichen Rechtsbeistand.
B.
Das Kantonsgericht St. Gallen trat am 23. April 2018 auf die Beschwerde von A._ gegen den Entscheid (SS.2017.247) über die verweigerte Bewilligung des Rechtsvorschlags infolge neuen Vermögens nicht ein. Es wies das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren ab.
C.
Mit Eingabe vom 24. Mai 2018 ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt im Wesentlichen die Aufhebung des kantonsgerichtlichen Entscheides und die Rückweisung der Sache zur Bewilligung des Rechtsvorschlags und der unentgeltlichen Rechtspflege für die Gerichtskosten.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der aufschiebenden Wirkung wurde mit Präsidialverfügung vom 6. Juni 2018 abgewiesen.
Der Beschwerdeführer stellt weiter ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Es sind die kantonalen Akten, indes keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist das Urteil des Kantonsgerichts, welches die Unzulässigkeit der Beschwerde gegen die Verweigerung des Rechtsvorschlages zufolge Feststellung neuen Vermögens (<ref-law>) zum Gegenstand hat und einen Endentscheid in einer Schuldbetreibungs- und Konkurssache mit Vermögenswert darstellt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1, 1.2).
1.2. Das Kreisgericht hat im summarischen Verfahren die materiellrechtliche Frage beurteilt, wogegen kein (kantonales) Rechtsmittel gegeben ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2). Der Entscheid des Kreisgerichts stellt einen letztinstanzlichen Entscheid (<ref-law>) dar, wenn eine Gehörsrüge vorgebracht wird, weil eine allfällige Verletzung im nachfolgenden Verfahren (<ref-law>) nicht mehr geheilt werden kann (<ref-ruling> E. 1.3 a.E.; <ref-ruling> E. 1.3). Der Entscheid des Kreisgerichts ist vorliegend nicht Anfechtungsgegenstand und eine dagegen gerichtete Beschwerde an das Bundesgericht wäre offensichtlich verspätet.
1.3. Gegen die Kostenregelung des Sachrichters ist die Beschwerde an die Rechtsmittelinstanz möglich (Art. 110 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2). Die (zugunsten des Beschwerdeführers ausgefallene) Kostenregelung des Kreisgerichts (UP.2017.190) ist nicht Gegenstand des angefochtenen Entscheides, welcher aufgrund der Beschwerde gegen die Nichtbewilligung des Rechtsvorschlags zufolge neuen Vermögens ergangen ist (Entscheid SS.2017.247).
1.4. Die gesetzliche Streitwertgrenze wird nicht erreicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2). Damit ist einzig die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegeben (<ref-law>). Geprüft werden kann somit nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>).
2.
Anlass zur Beschwerde gibt das Vorliegen neuen Vermögens, welches die Erstinstanz festgestellt hat, und die Beschwerde, welche das Kantonsgericht als unzulässig erachtet hat.
2.1. Erhebt der Schuldner Rechtsvorschlag mit der Begründung, er sei nicht zu neuem Vermögen gekommen, so legt das Betreibungsamt von Amtes wegen den Rechtsvorschlag dem Richter des Betreibungsortes vor, welcher die Parteien anhört und entscheidet (<ref-law>). Der Rechtsvorschlag wird bewilligt, wenn der Schuldner seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse darlegt und glaubhaft macht, dass er nicht zu neuem Vermögen gekommen ist (<ref-law>). Es obliegt also dem Schuldner, seine finanzielle Situation einschliesslich seines Bedarfs vollständig offenzulegen und dem Richter die hierfür nötigen Unterlagen einzureichen (Urteil 5D_194/2016 vom 5. April 2017 E. 2.1). Der Entscheid über das Vorliegen neuen Vermögens wird im summarischen Verfahren getroffen (<ref-law>).
2.2. Die Vorinstanz hat dem (anwaltlich vertretenen) Beschwerdeführer die Voraussetzungen und die Zuständigkeiten zur Prüfung des Rechtsvorschlags infolge neuen Vermögens klar dargelegt. Zudem hat sie auf die einlässliche Rechtsmittelbelehrung des Kreisgerichts verwiesen, woraus die fehlende Beschwerdemöglichkeit in der Sache und die Möglichkeit der Klage auf Bestreitung neuen Vermögens hervorgeht. Da sich die Vorbringen des Beschwerdeführers auf die Kritik an der Feststellung neuen Vermögens beschränke, worüber das Kreisgericht gemäss dem klaren Wortlaut von <ref-law> endgültig entschieden habe, falle eine Beschwerde offensichtlich nicht in Betracht. Aus dem selben Grund sei das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren wegen Aussichtslosigkeit der gestellten Begehren abzuweisen.
2.3. Der Beschwerdeführer setzt sich mit der vorinstanzlichen Begründung nicht einmal ansatzweise auseinander. Weshalb die Vorinstanz auf seine Beschwerde hätte eintreten müssen, geht aus seinen Ausführungen nicht hervor. Stattdessen kommentiert er absatzweise den angefochtenen Entscheid, indem er seine Sicht der Dinge darlegt. Alsdann schildert er seine finanziellen Verhältnisse, woraus er den Schluss zieht, das Kreisgericht und die Vorinstanz seien befangen und müssten in den Ausstand treten, da er entgegen deren Schlussfolgerungen nicht zu neuem Vermögen gekommen sei. Damit bringt der Beschwerdeführer keine Rügen vor, die das Bundesgericht im konkreten Fall prüfen könnte. Zwar macht der Beschwerdeführer geltend, die kantonalen Instanzen hätten sein rechtliches Gehör verletzt. Hierzu verweist er auf die Begründung in seiner kantonalen Beschwerde, wo er zu seinen finanziellen Verhältnissen Stellung nimmt, die die Vorinstanz übergangen habe. Dass die Vorinstanz diese Darlegungen nicht berücksichtigen konnte, ergibt sich aus der abschliessenden Kompetenz des Kreisgerichts (<ref-law>), sich zur materiellrechtlichen Frage des neuen Vermögens zu äussern. Die pauschale Berufung des Beschwerdeführers auf das rechtliche Gehör vermag an dieser Regelung nichts zu ändern.
2.4. Nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet der Bestand und die Tilgung der in Betreibung gesetzten Steuerforderungen. Die diesbezüglichen Ausführungen des Beschwerdeführers können nicht berücksichtigt werden.
2.5. Zwar erachtet der Beschwerdeführer die Abweisung seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und die Auferlegung der Gerichtskosten für das Weiterzugsverfahren vor der Vorinstanz als willkürlich. Das Kantonsgericht hat die Aussichtslosigkeit unter Hinweis auf die eindeutige gesetzliche Regelung begründet. Der Beschwerdeführer betont an dieser Stelle einzig, dass er niemals in der Lage sein werde, die Kosten zu bezahlen. Darauf ist in Ermangelung einer rechtsgenüglichen Begründung nicht einzutreten (Art. 117 i.V.m. <ref-law>).
3.
Nach dem Gesagten wird nicht erkennbar, inwiefern die Vorinstanz verfassungsmässige Rechte verletzt haben soll, als sie auf die Beschwerde gegen den Entscheid des Kreisgerichts über die Nichtbewilligung des Rechtsvorschlages und das Bestehen neuen Vermögens des Beschwerdeführers nicht eingetreten ist.
Den Anträgen des Beschwerdeführers im bundesgerichtlichen Verfahren konnte von Anfang an kein Erfolg beschieden sein. Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist damit abzuweisen (<ref-law>). Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdeführer die Verfahrenskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen, Einzelrichter für Beschwerden SchKG, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Februar 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante