Faits :
A.
Par jugement du 6 décembre 2017, le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de Lausanne a condamné X._, pour gestion fautive et violation de l'obligation de tenir une comptabilité, à une peine privative de liberté de 18 mois, avec sursis pendant cinq ans. Il a en outre dit que le prénommé est le débiteur de A._ d'un montant de 15'000 fr. pour ses dépens et a renvoyé le dernier nommé à agir devant le juge civil pour le surplus.
B.
Par jugement du 24 mai 2018, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud, statuant sur l'appel de X._ et sur l'appel joint formé par A._ contre ce jugement, a réformé celui-ci en ce sens que X._ est condamné, pour gestion fautive et violation de l'obligation de tenir une comptabilité, à une peine pécuniaire de 300 jours-amende à 20 fr. le jour, avec sursis pendant cinq ans, et que le prénommé est le débiteur de A._ d'un montant de 203'500 fr., avec intérêts, pour le dommage subi, ainsi que d'un montant de 15'000 fr. pour ses dépens.
Par arrêt du 23 novembre 2018 (6B_920/2018), le Tribunal fédéral a partiellement admis le recours formé par X._ contre le jugement du 24 mai 2018. Il a annulé celui-ci et a renvoyé la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. Pour le surplus, il a rejeté le recours dans la mesure de sa recevabilité.
C.
Par jugement du 14 mars 2019, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud, statuant à la suite de l'arrêt de renvoi du 23 novembre 2018, a réformé le jugement du 6 décembre 2017 en ce sens que X._ est condamné, pour gestion fautive et violation de l'obligation de tenir une comptabilité, à une peine pécuniaire de 300 jours-amende à 20 fr. le jour, avec sursis pendant cinq ans, et que le prénommé est le débiteur de A._ d'un montant de 203'500 fr., avec intérêts, pour le dommage subi, ainsi que d'un montant de 15'000 fr. pour ses dépens.
Il en ressort notamment ce qui suit.
C.a. X._, B._ et C._ étaient les actionnaires de la société D._ SA, créée le 27 février 2006, dont le but était l'exploitation d'établissements, notamment dans le domaine de la restauration. Le capital-actions avait été libéré par moitié, soit par 50'000 francs. Selon le Registre du commerce, E._ était l'administrateur unique de la société, avec signature individuelle. Il n'était en réalité qu'un homme de paille, puisque X._ prenait, de fait, toutes les décisions importantes concernant la société. Le 20 mars 2009, E._ avait d'ailleurs délivré une procuration générale à ce dernier, par laquelle il lui confiait tous pouvoirs de représenter la société dans sa gestion courante, ainsi que pour tout engagement contractuel.
Dès avril 2006, X._ et A._ ont entrepris d'aménager un restaurant dans un local sis à la rue F._, à G._, dont D._ SA était la locataire. A._ a participé au financement de la rénovation et des travaux à hauteur de 95'000 francs. L'exploitation du restaurant a débuté en 2007, sous l'enseigne H._. Le 26 octobre 2008, D._ SA, représentée par X._, a vendu le restaurant à A._. Le 8 novembre 2010, le dernier nommé a, à son tour, vendu le restaurant.
D._ SA a également exploité le restaurant I._ à J._. Le fonds de commerce a été vendu en octobre 2009 et la société a perçu un montant de 130'000 fr. sur son compte bancaire pour cette opération.
C.b. La faillite de D._ SA a été prononcée le 17 novembre 2011. La procédure de faillite a été clôturée le 12 novembre 2013. Le total des créances admises à l'état de collocation était de 417'150 fr., dont une créance de 250'000 fr. produite par A._.
C.c. Entre mars 2009 et le 17 novembre 2011, date de l'ouverture de la faillite de D._ SA, X._, en sa qualité d'administrateur de fait, n'a pas tenu la comptabilité de la société, de sorte que l'Office des faillites de Lausanne n'a pas été en mesure d'établir la situation financière de celle-ci.
C.d. Entre le 28 septembre 2009 et vraisemblablement la fin du mois de février 2011, X._ a prélevé de l'argent sur le compte de D._ SA au gré de ses besoins, sans tenir de journal ni fournir de pièces justificatives. Il a transféré de l'argent depuis le compte de la société vers ses comptes privés. Il n'a par ailleurs convoqué aucune assemblée générale.
Plus particulièrement, entre le 28 septembre 2009 et le 3 novembre 2009, X._ a transféré 130'000 fr. - produit de la vente du restaurant I._ à J._ - depuis le compte bancaire de la société sur son compte personnel. Il a ensuite retiré l'intégralité de ce montant en liquide, en plusieurs opérations.
Entre le 11 février 2011 et vraisemblablement la fin du mois de février 2011, X._ a transféré 203'500 fr. - produit de la vente du commerce H._ - sur son compte personnel, puis a viré au moins 165'000 fr. de ce montant aux trois actionnaires de D._ SA, dont lui-même.
C.e. L'Office des faillites de Lausanne a dénoncé les agissements précités le 15 août 2013. Les 24 mai et 17 juillet 2013, l'administration de la faillite a cédé ses droits notamment à A._.
D.
X._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 14 mars 2019, en concluant, avec suite de frais et dépens, principalement à sa réforme en ce sens qu'il est acquitté, que A._ est renvoyé à agir devant le juge civil, qu'il ne doit payer aucune somme à ce dernier et qu'une indemnité de 20'000 fr. lui est accordée à titre de l'<ref-law>. Subsidiairement, il conclut à son annulation. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
E.
Invités à se déterminer, la cour cantonale s'est référée aux considérants de sa décision, tandis que le ministère public n'a pas présenté d'observations dans le délai imparti. A._ a quant à lui conclu au rejet du recours, en sollicitant le bénéfice de l'assistance judiciaire.

Considérant en droit :
1.
Aux termes de l'art. 107 al. 2 1ère phrase LTF, si le Tribunal fédéral admet le recours, il statue lui-même sur le fond ou renvoie l'affaire à l'autorité précédente pour qu'elle prenne une nouvelle décision. Le principe de l'autorité de l'arrêt de renvoi découle du droit fédéral non écrit (<ref-ruling> consid. 5.3.3 p. 222; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 335). Conformément à ce principe, l'autorité cantonale à laquelle la cause est renvoyée par le Tribunal fédéral est tenue de fonder sa nouvelle décision sur les considérants de droit de l'arrêt du Tribunal fédéral. Elle est ainsi liée par ce qui a déjà été définitivement tranché par le Tribunal fédéral et par les constatations de fait qui n'ont pas été attaquées devant lui ou l'ont été sans succès (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 94; <ref-ruling> consid. 3d p. 277 s.; cf. aussi arrêt 6B_256/2019 du 22 mars 2019 consid. 2.1). La motivation de l'arrêt de renvoi détermine dans quelle mesure la cour cantonale est liée à la première décision, décision de renvoi qui fixe aussi bien le cadre du nouvel état de fait que celui de la nouvelle motivation juridique (ATF <ref-ruling> consid. 2 p. 335). Les faits nouveaux ne peuvent être pris en considération que sur les points ayant fait l'objet du renvoi, lesquels ne peuvent être ni étendus, ni fondés sur une base juridique nouvelle (ATF <ref-ruling> consid. 2 p. 335; arrêt 6B_256/2019 précité consid. 2.1).
En l'espèce, le recourant relève que la cour cantonale a, à la suite de l'arrêt de renvoi du 23 novembre 2018, rendu - "dans la même composition" - un dispositif qui "est exactement le même" que celui du jugement du 24 mai 2018, sans avoir préalablement ordonné de nouvelles mesures d'instruction. Ce faisant, il ne présente aucun grief, répondant aux exigences de motivation découlant de l'<ref-law>, propre à démontrer en quoi l'autorité précédente aurait, de ce point de vue, violé le droit fédéral, en particulier le principe de l'autorité de l'arrêt de renvoi.
Par ailleurs, le recourant conteste sa condamnation pour violation de l'obligation de tenir une comptabilité. Outre que sa motivation ne répond pas aux réquisits de motivation découlant de l'<ref-law>, l'intéressé ne saurait, à ce stade, revenir sur cet aspect. En effet, il avait, dans le cadre de son recours au Tribunal fédéral formé contre le jugement du 24 mai 2018, échoué à démontrer une violation de l'<ref-law> (cf. arrêt 6B_920/2018 précité consid. 4). Ce point ne saurait derechef être discuté devant le Tribunal fédéral, de sorte que le grief est irrecevable.
2.
Le recourant indique que s'il avait tout d'abord, à la suite de l'arrêt de renvoi du 23 novembre 2018, demandé diverses mesures d'instruction, il a par la suite retiré les réquisitions correspondantes. L'intéressé n'explique pas, de la sorte, en quoi la cour cantonale aurait pu violer le droit en n'ordonnant pas spontanément l'administration de nouvelles preuves.
3.
Le recourant se réfère à la jurisprudence du Tribunal fédéral en matière d'interrogatoire du prévenu par l'autorité d'appel (cf. notamment <ref-ruling> consid. 1.4 p. 290 ss; arrêts 6B_155/2019 du 29 mars 2019 consid. 3.1; 6B_903/2018 du 14 décembre 2018 consid. 3.2 non publié aux <ref-ruling>) et reproche à la cour cantonale de ne pas l'avoir suffisamment questionné lors de l'audience d'appel du 14 mars 2019. On peut se demander dans quelle mesure le recourant devait encore être interrogé après l'arrêt de renvoi du 23 novembre 2018, puisque l'autorité cantonale devait alors compléter son état de fait s'agissant de la question du surendettement de D._ SA puis examiner l'éventuelle réalisation de cette condition objective de punissabilité au sens de l'<ref-law>. On ne perçoit pas, en l'espèce, sur quel élément factuel encore contesté le recourant aurait dû être amené à s'exprimer. Quoi qu'il en soit, la question peut être laissée ouverte car le recours doit être admis dans la mesure où il porte sur les aspects qui demeuraient litigieux à l'issue de l'arrêt de renvoi du 23 novembre 2018 (cf. consid. 4 et 5 infra).
4.
Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir violé l'<ref-law>.
4.1. Aux termes de l'<ref-law>, le débiteur qui, de manières autres que celles visées à l'<ref-law>, par des fautes de gestion, notamment par une dotation insuffisante en capital, par des dépenses exagérées, par des spéculations hasardeuses, par l'octroi ou l'utilisation à la légère de crédits, par le bradage de valeurs patrimoniales ou par une négligence coupable dans l'exercice de sa profession ou dans l'administration de ses biens, aura causé ou aggravé son surendettement, aura causé sa propre insolvabilité ou aggravé sa situation alors qu'il se savait insolvable, sera, s'il a été déclaré en faillite ou si un acte de défaut de biens a été dressé contre lui, puni d'une peine privative de liberté de cinq ans au plus ou d'une peine pécuniaire.
La notion de surendettement, qui s'applique au débiteur soumis à la poursuite par la voie de la faillite, découle de l'<ref-law> et signifie que, sur le plan comptable, les dettes ne sont plus couvertes ni sur la base d'un bilan d'exploitation, ni sur la base d'un bilan de liquidation, autrement dit que les passifs excèdent les actifs. L'existence d'une situation d'insolvabilité ou d'un surendettement est une condition objective de punissabilité de l'infraction de gestion fautive (arrêts 6B_1269/2017 du 16 janvier 2019 consid. 3.1; 6B_920/2018 précité consid. 3.1; 6B_1107/2017 du 1er juin 2018 consid. 2.1; 6B_726/2017 du 20 octobre 2017 consid. 1.1).
4.2. Dans son arrêt de renvoi du 23 novembre 2018, le Tribunal fédéral avait indiqué que si la cour cantonale avait, dans son jugement du 24 mai 2018, mentionné la faillite de D._ SA, elle ne s'était pas prononcée sur le surendettement de cette société ni n'avait retenu les faits permettant de conclure à la réalisation de cette condition en lien avec les actes qui l'auraient causé ou aggravé. Le fait que des créances pour un montant total de 417'150 fr. eussent été admises à l'état de collocation de la faillite ne signifiait pas encore que les conditions de l'<ref-law> eussent été réalisées. Par ailleurs, s'il ressortait du jugement du 24 mai 2018 que D._ SA avait cessé de payer ses loyers, ses impôts et d'autres factures depuis 2009, on ne pouvait en déduire que la société avait été, dès lors, surendettée. Le fait que les seuls revenus de la société - entre 2009 et 2011 - eussent consisté dans les produits des ventes des fonds de commerce ne signifiait pas davantage que D._ SA était alors dépourvue d'actifs et, par conséquent, surendettée. En l'absence de toute indication comptable s'agissant des actifs et des passifs de cette société, il ne pouvait être déduit du résultat de sa faillite que les opérations imputées au recourant entre septembre et novembre 2009 puis en février 2011 avaient causé ou aggravé un surendettement.
4.3. Dans le jugement attaqué, la cour cantonale a exposé que la difficulté à mesurer et à dater le surendettement et ses causes dans la société D._ SA tenaient à l'infraction de violation de l'obligation de tenir une comptabilité commise par le recourant. La créance de l'intimé, par 250'000 fr., avait été admise lors du deuxième dépôt de l'état de collocation du 30 août 2013. Cet état de collocation mentionnait un créancier de deuxième classe - soit l'Administration fédérale des contributions - pour des actes de défaut de biens datés de 2011, ainsi que dix créanciers de troisième classe, dont certaines factures étaient impayées depuis 2007 déjà. Selon le "compte de frais et tableau de distribution des deniers" du 22 octobre 2013, le total du découvert s'élevait à 417'150 fr., dont la créance de l'intimé à hauteur de 250'000 francs. Sur le produit à distribuer, l'Office des faillites s'était désintéressée, le créancier de deuxième classe avait reçu 17,78 % de sa créance, tandis que les créanciers de troisième classe n'avaient rien reçu.
Selon l'autorité précédente, en automne 2009, le recourant avait prélevé 130'000 fr. du compte de D._ SA afin de transférer ce montant sur son compte personnel - alors que la société était déjà endettée - et de le retirer ensuite intégralement en plusieurs prélèvements. L'intéressé avait fait de même en février 2011, en transférant sur son compte privé la somme de 203'500 francs. Ces montants, qui correspondaient à la vente des fonds de commerce des deux restaurants I._ et H._ exploités par D._ SA, auraient d'abord dû servir à désintéresser les créanciers de la société. En les attribuant directement aux actionnaires, le recourant avait, de manière causale, provoqué ou aggravé, à tout le moins dès février 2011, l'état de surendettement de la société. Cette dernière s'était trouvée en cessation d'activité dès la vente du deuxième restaurant puis n'avait pas été en mesure de désintéresser l'ensemble de ses créanciers. La cour cantonale a ajouté qu'il ne s'agissait pas d'un manque de liquidités, puisque seul le créancier de deuxième classe avait en définitive reçu un dividende correspondant à 17,78 % de sa créance - soit 10'938 fr. 35 -, alors que les autres créanciers n'avaient rien perçu.
4.4. On peut tout d'abord relever que le fait que le recourant fût responsable de l'absence de comptabilité pour la société D._ SA - aspect pour lequel il a été condamné sur la base de l'<ref-law> - ne saurait conduire à abaisser les exigences en matière d'admission des éléments constitutifs d'une infraction à l'<ref-law>.
Dans son arrêt de renvoi du 23 novembre 2018, le Tribunal fédéral avait indiqué qu'en l'absence de toute indication comptable s'agissant des actifs et des passifs de la société, il ne pouvait être déduit du résultat de sa faillite que les opérations imputées au recourant en 2009 puis 2011 avaient causé ou aggravé un surendettement. Il avait ajouté qu'il aurait appartenu à la cour cantonale d'établir le montant et la date d'un éventuel surendettement, de même que l'existence d'un lien de causalité naturelle et adéquate entre les manquements reprochés au recourant et celui-ci.
En l'occurrence, la cour cantonale a relevé que le surendettement aurait été provoqué ou aggravé "à tout le moins dès février 2011", soit au moment où le recourant avait transféré sur son compte privé la somme de 203'500 francs. Il apparaît ainsi que le prélèvement de 130'000 fr., opéré en automne 2009, est intervenu à une époque durant laquelle l'autorité précédente n'a pas retenu que D._ SA aurait été surendettée, notamment avant que la société perçût un montant de 203'500 francs pour la vente du restaurant H._.
S'agissant du prélèvement de 203'500 fr., celui-ci est intervenu à une époque où D._ SA n'avait plus d'activités et après laquelle elle n'a plus perçu aucun revenu. On ne sait cependant pas quels étaient alors ses actifs et ses passifs. Cette information ne peut être déduite, a posteriori, d'un état de collocation, document qui ne comprend pas d'informations relatives à ces éléments. Quant au tableau de distribution des deniers, il révèle tout au plus que les actifs qui ont pu être réalisés durant la procédure de faillite n'ont pas suffi à désintéresser les créanciers admis à l'état de collocation, mais ne permet pas de savoir si, quand et dans quelle mesure les agissements du recourant ont pu causer un surendettement.
L'autorité précédente n'a donc pas, dans le jugement attaqué, établi que la condition objective de punissabilité du surendettement aurait été réalisée. Partant, une condamnation à titre de l'<ref-law> ne pouvait intervenir. Le recours doit être admis sur ce point, le jugement attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour qu'elle libère le recourant du chef de prévention de gestion fautive.
5.
Le recourant reproche à la cour cantonale de l'avoir condamné à payer à l'intimé une somme de 203'500 fr. avec intérêts.
Dans son arrêt de renvoi du 23 novembre 2018, le Tribunal fédéral avait notamment relevé, à cet égard, qu'on ignorait la cause de la créance de 250'000 fr. revendiquée par l'intimé. Dans le jugement attaqué, la cour cantonale a uniquement précisé que ce montant correspondait à celui figurant sur l'acte de défaut de biens obtenu par l'intimé ensuite de la faillite de D._ SA. Elle a ajouté que ce titre établissait la créance de l'intimé envers la société, puisque dite créance avait été admise, l'acte de défaut de biens indiquant : "le failli a reconnu la créance". Or, selon l'art. 265 al. 1 de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite (LP; RS 281.1), une mention, sur un acte de défaut de biens délivré après faillite, selon laquelle le failli a reconnu la créance, a pour effet que cet acte vaut comme reconnaissance de dette dans le sens de l'<ref-law>. On ne saurait en déduire - sans autre - que le créancier aurait effectivement subi un dommage correspondant à celui figurant sur l'acte de défaut de biens. Un tel raisonnement permettrait à chaque créancier de se prévaloir d'un acte de défaut de biens mentionnant que le failli a reconnu sa créance pour réclamer le montant correspondant au prévenu condamné pour infraction à l'<ref-law>, quand bien même ce dernier n'aurait aucunement reconnu les créances en question personnellement et sans lui permettre de contester l'existence, l'exigibilité ou le montant desdites créances.
En l'espèce, l'autorité précédente n'a pas examiné - comme le Tribunal fédéral le lui avait enjoint dans son arrêt de renvoi du 23 novembre 2018 - en quoi consistaient les 250'000 fr. réclamés par l'intimé, si bien que le recourant ne pouvait simplement se voir opposer ce montant, nonobstant sa réduction à la somme de 203'500 fr. pour tenir compte de l'argent prélevé par l'intéressé en février 2011.
De toute manière, dès lors que le recourant doit être libéré du chef de prévention de gestion fautive (cf. consid. 4.4 supra), soit l'infraction en raison de laquelle la cour cantonale a admis partiellement les conclusions civiles présentées par l'intimé, il appartiendra à l'autorité cantonale de se prononcer à nouveau, en conséquence, sur le sort des conclusions civiles en question.
6.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être partiellement admis, le jugement attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision (cf. consid. 4.4 et 5 supra). Pour le reste, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Le recourant, qui succombe partiellement, supportera une partie des frais judiciaires (<ref-law>). Il peut prétendre à des dépens réduits, à la charge du canton de Vaud (<ref-law>). La demande d'assistance judiciaire présentée par le recourant est sans objet dans la mesure où ce dernier a droit à des dépens; elle doit être rejetée pour le reste, dès lors que le recours était dénué de chances de succès s'agissant des aspects sur lesquels celui-ci a succombé (<ref-law>). Les frais judiciaires mis à la charge de l'intéressé seront cependant fixés en tenant compte de sa situation économique, laquelle n'apparaît pas favorable (<ref-law>).
Comme l'intimé est dans le besoin et que ses conclusions ne paraissaient pas d'emblée vouées à l'échec, sa demande d'assistance judiciaire doit être admise (<ref-law>). Par conséquent, il y a lieu d'allouer une indemnité à son mandataire, désigné comme avocat d'office (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis, le jugement attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. Pour le surplus, le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire du recourant est rejetée dans la mesure où elle n'est pas sans objet.
3.
La demande d'assistance judiciaire de l'intimé est admise. Me Philippe Girod est désigné comme conseil d'office et une indemnité de 500 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral.
4.
Une partie des frais judiciaires, arrêtée à 400 fr., est mise à la charge du recourant.
5.
Le canton de Vaud versera au conseil du recourant une indemnité de 2'000 fr. à titre de dépens réduits pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 10 septembre 2019
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Graa