Sachverhalt:
A.
A.a. A._ wurde am 28. Dezember 2007 von der Eidgenössischen Revisionsaufsichtsbehörde RAB unbefristet als Revisionsexperte zugelassen und in das Revisorenregister eingetragen. Er ist Alleininhaber der B._ GmbH (hiernach: B._), die seit dem 16. Oktober 2008 als Revisionsexpertin zugelassen war. Auf Antrag von A._ hin wurde die Zulassung der B._ als Revisionsexpertin per 6. Februar 2017 aufgehoben und der entsprechende Eintrag im Revisorenregister gelöscht.
A.b. Mit Schreiben vom 9. Januar 2015 ersuchte die RAB die B._ und A._ um Erteilung diverser Auskünfte und um Einreichung von Unterlagen im Hinblick auf die Sachverhaltsabklärung betreffend eine Anzeige (Verletzung der Unabhängigkeit bzw. der Anzeigepflichten) gegen die B._. Am 27. Februar 2015 beantwortete A._ namens der B._ einige Fragen, verweigerte aber die Einreichung der verlangten Unterlagen.
A.c. Mit Schreiben vom 25. März 2015 teilte die RAB A._ mit, dass sie ein Verwaltungsverfahren wegen des Verdachts auf fehlende Gewähr für eine einwandfreie Prüftätigkeit gegen ihn eröffne und ersuchte ihn um Auskünfte. Gegen diese Mitteilung erhob A._ am 27. April 2015 Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht. Diese wurde mit Urteil B-2626/2015 vom 19. Januar 2016 abgewiesen, soweit darauf eingetreten wurde. Dagegen erhob A._ Beschwerde beim Bundesgericht. Mit Urteil 2C_167/2016 vom 17. März 2017 trat das Bundesgericht auf seine subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht ein und wies seine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ab.
A.d. Mit Schreiben vom 8. Februar und 30. Juni 2016 forderte die RAB die B._ und A._ auf, ihr verschiedene Auskünfte zu erteilen und Unterlagen einzureichen. Auf eine gegen das Schreiben vom 30. Juni 2016 eingereichte Beschwerde trat das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil B-4726/2016 vom 10. April 2017 nicht ein, soweit diese nicht gegenstandslos wurde. Das Bundesgericht trat mit Urteil 2C_516/2017 vom 14. September 2017 auf die gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht ein und wies die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ab.
B.
Mit Verfügung vom 31. August 2016 entzog die RAB A._ die Zulassung als Revisionsexperte solange, bis sie sämtliche verlangten Auskünfte und Unterlagen für die Sachverhaltsabklärung in Zusammenhang mit der erwähnten Anzeige erhalten und erstinstanzlich entschieden habe, ob die Zulassungsvoraussetzungen weiterhin gegeben seien.
Gegen diese Verfügung reichte A._ am 3. Oktober 2016 Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht ein. Mit Urteil vom 28. Dezember 2017 hiess das Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, die Beschwerde in Bezug auf die Höhe der Verfahrenskosten gut und wies sie im übrigen ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Eingabe vom 9. Februar 2018 erhebt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sowie Verfassungsbeschwerde "hinsichtlich aller als willkürlich bzw. <ref-law> verletzend bezeichneter Punkte" gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 28. Dezember 2017. Er beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und der an das Bundesverwaltungsgericht erhobenen Beschwerde sei stattzugeben.
Die RAB schliesst in ihrer Vernehmlassung auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D.
Mit Eingabe vom 23. April 2018 repliziert A._ zur Vernehmlassung der RAB und legt seiner Stellungnahme zwei neue Dokumente bei.
In ihrer Duplik vom 9. Mai 2018 schliesst die RAB erneut auf Abweisung der Beschwerde.
Mit Eingabe vom 29. Mai 2018 reicht A._ Bemerkungen zur Duplik der RAB ein. Darin teilt er dem Bundesgericht zudem mit, dass er eine Anzeige gegen die C._ AG und deren Partner und Partnergesellschaften bei der RAB eingereicht habe, und beantragt die Sistierung des Verfahrens vor Bundesgericht bis zur Erledigung der eingereichten Anzeige.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid (<ref-law>) des Bundesverwaltungsgerichts auf dem Gebiet der Revisionsaufsicht. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a BGG) und der Beschwerdeführer dazu legitimiert (<ref-law>). Im Übrigen wurde die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten frist- und formgerecht (<ref-law>, <ref-law>) eingereicht, so dass darauf einzutreten ist.
1.2. Für die gegen Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts ohnehin nicht zulässige subsidiäre Verfassungsbeschwerde bleibt gemäss <ref-law> kein Raum, weshalb darauf nicht einzutreten ist. Die damit geltend gemachte Verletzung von <ref-law> ist gemäss <ref-law> im Rahmen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zu prüfen.
1.3. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280). Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten, insbesondere des Willkürverbots, gilt eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1 S. 235; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232). In der Beschwerde ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 372; <ref-ruling> E. 1.3 S. 41). Auf bloss allgemeine, appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid geht das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 6.3 S. 375).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
1.5. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Das Novenrecht vor Bundesgericht kann nicht dazu dienen, im vorinstanzlichen Verfahren Versäumtes nachzuholen oder die verletzte Mitwirkungspflicht zu heilen (Urteil 2C_1115/2014 vom 29. August 2016 E. 1.4.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Soweit der Beschwerdeführer vor Bundesgericht mit seiner Replik vom 23. April 2018 zwei neue Dokumente einreicht (Auszug aus dem Arbeitspapier betreffend Unabhängigkeit und Jahresrechnung 2014 der Gesellschaft D._ AG,), sind diese Beilagen als echte Noven unbeachtlich.
1.6. Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht in verfahrensrechtlicher Hinsicht, das Verfahren bis zur Erledigung der von ihm bei der RAB eingereichten Anzeige gegen die C._ AG und deren Partner und Partnergesellschaften zu sistieren.
Das Gericht kann aus Gründen der Zweckmässigkeit das Verfahren aussetzen, insbesondere wenn das Urteil von der Entscheidung in einem anderen Rechtsstreit beeinflusst werden kann (<ref-law> i.V.m. Art. 6 Abs. 1 des Bundesgesetzes über den Zivilprozess [BZP; SR 273]; vgl. Urteile 2C_52/2010 vom 14. Juni 2010 E. 2; 2C_356/2011 vom 21. September 2011 E. 2). Es ist nicht ersichtlich, inwiefern die erwähnte Anzeige das bundesgerichtliche Verfahren beeinflussen könnte. Ausserdem ist die Sache beim Bundesgericht entscheidungsreif. Das Sistierungsgesuch ist daher abzuweisen.
2.
Streitgegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens bildete die Rechtmässigkeit des befristeten Entzugs der Zulassung des Beschwerdeführers als Revisionsexperte bis er der RAB sämtliche von ihm verlangten Auskünfte erteilt und Unterlagen aushändigt (vgl. E. 2 des angefochtenen Urteils). Nicht Gegenstand des Verfahrens war die Frage, ob es tatsächlich zu Verstössen durch den Beschwerdeführer in Zusammenhang mit der Anzeige betreffend die Verletzung der Unabhängigkeit und der Anzeigepflichten gekommen sei.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer macht im Wesentlichen eine Verletzung von Art. 15a Abs. 1 lit. a des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Zulassung und Beaufsichtigung der Revisorinnen und Revisoren (Revisionsaufsichtsgesetz, RAG; SR 221.302) geltend. Er behauptet, die RAB verlange Unterlagen, die sie für die Erfüllung ihrer gesetzlichen Aufgaben nicht benötige. Zudem wirft er der Vorinstanz sinngemäss vor, sie habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, indem sie sich mit der Rechtsfrage nicht auseinandergesetzt und unzulässige Schlussfolgerungen gezogen habe. Auch habe das Bundesverwaltungsgericht "nicht in der gebotenen Tiefe" geprüft, ob die von der RAB verlangten Akten für die Beurteilung der aufgeworfenen Fragen notwendig seien.
3.2. Der verfassungsmässige Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verlangt, dass die Behörde die rechtserheblichen Vorbringen der Parteien tatsächlich hört, ernsthaft prüft und bei der Entscheidfindung angemessen berücksichtigt (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 188; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88).
Wie nachfolgend aufzuzeigen sein wird, hat sich die Vorinstanz eingehend mit den Rügen des Beschwerdeführers auseinandergesetzt und ihren Entscheid ausführlich begründet. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs des Beschwerdeführers liegt deshalb nicht vor (vgl. E. 3.4 hiernach).
3.3. Gemäss <ref-law> kann die Aufsichtsbehörde die Zulassung einer natürlichen Person befristet oder unbefristet entziehen, wenn die Person die Zulassungsvoraussetzungen gemäss Artikel 4-6 oder 9a nicht mehr erfüllt. Wie das Bundesgericht bereits in den - den Beschwerdeführer betreffenden - Urteilen 2C_167/2016 vom 17. März 2017 (E. 2.1) und 2C_516/2017 vom 14. September 2017 (E. 2) dargelegt hat, müssen die Zulassungsvoraussetzungen zwangsläufig dauerhaft erfüllt sein; die Aufsichtsbehörde muss entsprechenden Hinweisen nachgehen und gegebenenfalls einen Entzug prüfen. Weiter hat das Bundesgericht ausgeführt, dass die Zulassungsvoraussetzungen u.a einen unbescholtenen Leumund und die Gewähr für eine einwandfreie Prüftätigkeit verlangten (vgl. <ref-law> und Art. 4 Abs. 1 Verordnung vom 22. August 2007 über die Zulassung und Beaufsichtigung der Revisorinnen und Revisoren [Revisionsaufsichtsverordnung, RAV; SR 221.302.3]). Zum beruflichen Leumund gehöre auch die Einhaltung der gesetzlichen Unabhängigkeitsvorschriften gemäss Art. 728 und 729 OR. Eine einwandfreie Prüftätigkeit erfordere fachliche Kompetenz und ein korrektes Verhalten im Geschäftsverkehr, wobei unter Letzterem primär die Einhaltung der gesamten Rechtsordnung, namentlich des Revisionsrechts, aber auch des Zivil- und Strafrechts sowie die Beachtung des Grundsatzes von Treu und Glauben zu verstehen sei (vgl. die erwähnten Urteile 2C_167/2016 vom 17. März 2017 E. 2.2 und 2C_516/2017 vom 14. September 2017 E. 2).
Zugelassene natürliche Personen müssen der Aufsichtsbehörde alle Auskünfte erteilen und Unterlagen herausgeben, die diese für die Erfüllung ihrer Aufgaben benötigt (<ref-law>; vor dem 1. Januar 2015 war eine Meldepflicht für Tatsachen, die für die Beurteilung der Zulassungsvoraussetzungen von Belang sind, in Art. 13 Abs. 1 RAV [AS 2007 3989] vorgesehen). Die Botschaft nennt beispielhaft als solche Aufgaben die Beurteilung der Zulassungsvoraussetzungen, Beaufsichtigung und Amtshilfe (vgl. Botschaft vom 28. August 2013 zur Bündelung der Aufsicht über Revisionsunternehmen und Prüfgesellschaften, BBl 2013 6857, 6878). Wie das Bundesgericht bereits festgehalten hat, benötigt die RAB die von ihr ersuchten Auskünfte und Unterlagen dafür, das Vorliegen der Zulassungsvoraussetzungen beim Beschwerdeführer zu prüfen, zumal der Verdacht auf Verletzung von Unabhängigkeitsbestimmungen und von Sorgfaltspflichten aufgekommen war (vgl. das erwähnte Urteil 2C_167/2016 vom 17. März 2017 E. 3.4). Das Bundesgericht hat ebenfalls festgehalten, dass es Aufgabe und Pflicht der RAB sei, einem solchen Verdacht nachzugehen (Urteil 2C_167/2016 vom 17. März 2017 E. 2).
3.4. Wie die Vorinstanz detailliert dargelegt hat, liegt es im Ermessen der Aufsichtsbehörde zu entscheiden, welche Unterlagen und Auskünfte sie zur Wahrnehmung ihrer Aufsichtsfunktion im Einzelfall benötigt. Das Bundesverwaltungsgericht hat ebenfalls ausgeführt, dass es in diesen Ermessensspielraum nur bei eigentlichen Ermessensfehlern eingreife. Es ist zum Schluss gekommen, dass kein Ermessensfehler der Aufsichtsbehörde vorliege und der Beschwerdeführer gegen seine gesetzliche Auskunfts- und Herausgabepflicht gemäss <ref-law> verstossen habe (vgl. E. 3 des angefochtenen Urteils). Entgegen den Behauptungen des Beschwerdeführers hat sich die Vorinstanz zudem sowohl mit der Zulässigkeit des befristeten Entzugs seiner Zulassung als auch mit der Verhältnismässigkeit dieser Massnahme eingehend auseinandergesetzt. Sie hat festgehalten, dass zwischen der Verletzung der Auskunfts- und Herausgabepflicht und dem Entzug der Zulassung insofern ein sachlicher Zusammenhang bestehe, als die Aufsichtsbehörde ohne Mitwirkung des Beschwerdeführers nicht abschliessend beurteilen könne, ob die in der Anzeige gegen ihn vorgebrachten Vorwürfe berechtigt seien bzw., ob er Gewähr für eine einwandfreie Prüftätigkeit biete und damit, ob er die Zulassungen noch erfülle. Mit Bezug auf die Verhältnismässigkeit ist sie zum Schluss gekommen, dass sich die Massnahme - angesichts des gewichtigen öffentlichen Interesses an einer ordnungsgemässen Erfüllung und Sicherung der Qualität von Revisionsdienstleistungen (<ref-law>) - als geeignet, erforderlich und zumutbar erweise (vgl. E. 4 des angefochtenen Urteils).
Die Ausführungen der Vorinstanz sind nicht zu beanstanden. Es ist vorliegend nicht ersichtlich, inwiefern der befristete Entzug der Zulassung des Beschwerdeführers als Revisionsexperte Bundesrecht verletzen könnte. Die Beschwerde erweist sich deshalb in diesem Punkt als unbegründet.
Soweit der Beschwerdeführer der Vorinstanz vorwirft, sie habe nicht seinem Rechtsbegehren entsprochen, es sei festzustellen, dass er keine Verstösse begangen habe bzw. sie habe nicht die Revisionsakten beigezogen, ist festzuhalten, dass der Verfahrensgegenstand auf die Rechtmässigkeit des befristeten Entzugs der Zulassung des Beschwerdeführers als Revisionsexperte beschränkt war (vgl. E. 2 hiervor). Nicht Gegenstand des Verfahrens bildete die Frage, ob der Beschwerdeführer tatsächlich gegen seine Unabhängigkeits- und Sorgfaltspflicht verstossen habe. Folglich hatte die Vorinstanz keinen Anlass, sich mit den diesbezüglichen Vorbringen des Beschwerdeführers auseinanderzusetzen oder die vom Beschwerdeführer angebotenen Revisionsunterlagen beizuziehen (vgl. auch E. 2.2 des angefochtenen Urteils).
3.5. Nach dem Gesagten verstösst das angefochtene Urteil nicht gegen Bundesrecht. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs des Beschwerdeführers liegt ebenfalls nicht vor.
4.
Der Beschwerdeführer macht schliesslich geltend, die von der RAB geltend gemachten Verfahrenskosten seien durch die Vorinstanz nicht korrekt gewürdigt worden. Zudem behauptet er, er kenne die Akten nicht, auf welche sich das Bundesverwaltungsgericht bei der Beurteilung der Höhe der Verfahrenskosten bezogen habe.
Dem angefochtenen Urteil kann entnommen werden, dass die Vorinstanz für die Prüfung der Verfahrenskosten der RAB das Leistungserfassungsdokument "Verfahrensaufwand", das sich in den Verfahrensakten befindet, beigezogen hat. Die Vorinstanz hat den durch die RAB geltend gemachten Aufwand reduziert und die Beschwerde in diesem Punkt gutgeheissen (vgl. Ziff. 5 des angefochtenen Urteils).
Der Beschwerdeführer legt vor Bundesgericht nicht substantiiert dar, inwiefern die Ausführungen des Bundesverwaltungsgerichts in Bezug auf die Festlegung der Verfahrenskosten willkürlich wären oder sonst gegen Bundesrecht verstossen. Einmal mehr erschöpfen sich seine Einwände in appellatorischer Kritik, weshalb auf diese Rüge nicht einzutreten ist.
5.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Entsprechend diesem Verfahrensausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Es ist keine Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Juni 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Ivanov