Erwägungen:
1.
Das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons St. Gallen entzog A._ am 22. September 2015 den Führerausweis für die Dauer von 13 Monaten, weil er auf der Autobahn die zulässige Höchstgeschwindigkeit von 120 km/h um 47 km/h überschritten hatte. Die Staatsanwaltschaft See/Oberland bestrafte ihn deswegen mit Strafbefehl vom 25. Januar 2016 wegen grober Verkehrsregelverletzung mit einer bedingten Geldstrafe von 30 Tagessätzen zu je Fr. 30.-- und einer Busse von Fr. 300.--. Nach Ablauf der Einsprachefrist ersuchte A._ um Fristwiederherstellung. Die Staatsanwaltschaft wies das Gesuch ab und das Obergericht des Kantons Zürich am 22. Juli 2016 eine von A._ dagegen erhobene Beschwerde. Mit Urteil 6B_1039/2016 vom 21. Dezember 2016 wies das Bundesgericht eine von A._ dagegen erhobene Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
Gegen den Entzug des Führerausweises erhob A._ am 5. Oktober 2015 Rekurs und ersuchte um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Der Präsident der Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen wies das Gesuch mit Verfügung vom 10. November 2017 ab. Auf eine dagegen erhobene Beschwerde trat das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 5. Dezember 2017 und in der Folge das Bundesgericht mit Urteil vom 2. Februar 2018 (Verfahren 1C_51/2018) nicht ein.
Die Verwaltungsrekurskommission wies mit Entscheid vom 27. September 2018 den Rekurs gegen Entzug des Führerausweises ab. A._ erhob dagegen am 15. Oktober 2018 Beschwerde. Mit Verfügung vom 16. Oktober 2018 forderte ihn das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen auf, seine Beschwerde bis am 12. November 2018 zu ergänzen. A._ ersuchte am 12. November 2018 um Erstreckung der Nachfrist sowie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. In der Folge erhielt er Gelegenheit, bis am 6. Dezember 2018 das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu begründen und die Beschwerde zu ergänzen. Mit Postaufgabe vom 5. Dezember 2018 reichte A._ das Formular "Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege" ohne Beilagen ein und stellte das Gesuch, die Frist zur Beschwerdeergänzung sei nach Einsetzung seines Anwalts als unentgeltlichen Rechtsbeistand neu anzusetzen. Das Verwaltungsgericht erstreckte ihm mit Verfügung vom 6. Dezember 2018 die Frist zur Einreichung einer Beschwerdeergänzung letztmals bis am 21. Dezember 2018. Mit Eingabe vom 21. Dezember 2018 teilte A._ dem Verwaltungsgericht mit, sein Anwalt werde die Angelegenheit erst behandeln, wenn die unentgeltliche Rechtspflege genehmigt worden sei. Mit Entscheid vom 4. Januar 2019 trat das Verwaltungsgericht auf die Beschwerde nicht ein. Zur Begründung führte es zusammenfassend aus, dass es den Eingaben von A._ vollständig an einer Begründung fehle, weshalb wegen offensichtlich fehlender hinreichender Begründung auf die Beschwerde nicht einzutreten sei. Auf die Erhebung einer Entscheidgebühr sei zu verzichten, womit das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos geworden sei.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 4. Februar 2019 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 4. Januar 2019. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer beanstandet, dass das Verwaltungsgericht sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege als gegenstandslos geworden abgeschrieben habe. Zumindest hätte das Verwaltungsgericht das Gesuch ablehnen und ihm eine Nachfrist für die Zahlung des Kostenvorschusses ansetzen müssen. Das Verwaltungsgericht ist indessen nicht wegen fehlender Zahlung des Kostenvorschusses, sondern wegen einer fehlenden hinreichenden Beschwerdebegründung auf die Beschwerde nicht eingetreten. Wie unter diesen Umständen das beanstandete Vorgehen des Verwaltungsgerichts rechts- oder verfassungswidrig sein soll, lässt sich den Ausführungen des Beschwerdeführers nicht nachvollziehbar entnehmen. Weiter beanstandet der Beschwerdeführer, das Verwaltungsgericht hätte ihm eine angemessene Nachfrist zur Einreichung einer Beschwerdeergänzung ansetzen müssen. Bei dieser Rüge blendet der Beschwerdeführer wohl aus, dass ihm das Verwaltungsgericht mehrmals die Nachfrist zur Beschwerdeergänzung erstreckt hatte. Weshalb es nun verfassungsrechtlich verpflichtet gewesen wäre, ihm die letztmals bis am 21. Dezember 2018 erstreckte Frist erneut zu erstrecken, vermag der Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen. Im Übrigen vermag der Beschwerdeführer mit seinen Ausführung nicht aufzuzeigen, inwiefern die Begründung des Verwaltungsgerichts bzw. dessen Entscheid selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>). Mit dem vorliegenden Entscheid in der Sache selbst wird das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons St. Gallen, der Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Februar 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli