Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geboren 1991) ist serbischer Staatsangehöriger. Er reiste am 26. Juli 1999 in die Schweiz ein, ersuchte erfolglos um Asyl und wurde 2001 vorläufig aufgenommen. Nach seiner Heirat mit einer Schweizerin, mit der er eine gemeinsame Tochter hat, erhielt er am 27. Februar 2018 eine Aufenthaltsbewilligung für den Kanton Zürich.
1.2. Aufgrund seiner Straffälligkeit, Schuldenwirtschaft und Sozialhilfeabhängigkeit verweigerte ihm das Migrationsamt des Kantons Zürich am 20. März 2019 die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung und wies ihn aus der Schweiz weg. Auf den dagegen erhobenen Rekurs trat die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich am 17. April 2019 wegen offensichtlicher Unbegründetheit nicht ein. Das daraufhin angerufene Verwaltungsgericht des Kantons Zürich setzte A._ am 27. Mai 2019 Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses an mit der Androhung, dass auf die Beschwerde sonst nicht eingetreten werde. Nachdem der Kostenvorschuss um einen Tag verspätet geleistet worden war, wies das Verwaltungsgericht am 12. September 2019 ein Fristwiederherstellungsgesuch ab und trat auf die Beschwerde nicht ein.
1.3. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sowie subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 25. Oktober 2019 beantragt A._ dem Bundesgericht, das Verwaltungsgericht sei anzuweisen, seine Beschwerde materiell zu behandeln. In prozessualer Hinsicht beantragt er die Erteilung der aufschiebenden Wirkung. Das Bundesgericht hat keine Instruktionsmassnahmen verfügt.
2.
Der Beschwerdeführer lebt seit über zwanzig Jahren in der Schweiz und hat hier eine Familie, die über das Schweizer Bürgerrecht verfügt. Er macht in materieller Hinsicht in vertretbarer Weise einen Aufenthaltsanspruch gestützt auf <ref-law> (SR 142.20) sowie Art. 8 Ziff. 1 EMRK geltend. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 83 lit. c Ziff. 2 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d, Abs. 2 und Art. 90 BGG). Für die gleichzeitig erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde bleibt kein Raum. Mit dem vorliegenden Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
3.
Streitgegenstand vor Bundesgericht ist, ob das Verwaltungsgericht auf die Beschwerde zu Recht nicht eingetreten ist. Dabei ist unbestritten, dass im vorinstanzlichen Verfahren die Voraussetzungen für die Erhebung eines Kostenvorschusses vorgelegen haben und der Vorschuss um einen Tag verspätet geleistet worden ist.
4.
Der von der Vorinstanz erhobene Kostenvorschuss stützt sich auf § 15 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes des Kantons Zürich vom 24. Mai 1959 (VRG/ZH; LS 175.2) ab. Der Beschwerdeführer bringt zu Recht nicht vor, dass das kantonale Recht die Ansetzung einer Nachfrist bei Nichtbezahlung des Kostenvorschusses vorsieht. Er rügt, es sei überspitzt formalistisch, willkürlich und unverhältnismässig, dass ihm keine Nachfrist angesetzt worden sei.
4.1. Gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung begründet das Nichteintreten auf eine Beschwerde wegen Nichtleistung des Kostenvorschusses jedenfalls dann keinen Verfassungsverstoss, wenn eine entsprechende gesetzliche Grundlage besteht und das Nichteintreten für den Unterlassungsfall angedroht worden ist. Insbesondere liegt weder Rechtsverweigerung noch überspitzter Formalismus vor. Die Kantone sind verfassungsrechtlich nicht verpflichtet, dem Betroffenen eine Nachfrist anzusetzen (Urteile 2D_6/2018 vom 28. Mai 2018 E. 2.3; 2C_705/2016 vom 10. November 2016 E. 4.1 f.). Dabei spielt es keine Rolle, dass gewisse (hier nicht anwendbare) Prozessgesetze die Nachfristansetzung vorsehen (vgl. <ref-law>). Das Verwaltungsgericht war somit nicht verpflichtet, dem Beschwerdeführer eine Nachfrist anzusetzen.
4.2. Ebenso bestand keine Verpflichtung, in der Kostenvorschussverfügung auf die fehlende Nachfrist hinzuweisen. Zwar hält KASPAR PLÜSS (in: Alain Griffel [Hrsg.], Kommentar VRG, 3. Aufl. 2014, N. 56 zu § 15) diesen Hinweis für notwendig; dem von ihm angeführten Entscheid des Bundesgerichts (<ref-ruling> E. 3 S. 382 f.) lässt sich hingegen nichts dergleichen entnehmen. Wie das Verwaltungsgericht zutreffend erwogen hat, verlangt das Bundesgericht einen unmissverständlichen Hinweis auf die Säumnisfolgen. Gemäss der bindenden vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung (<ref-law>) ist dem Beschwerdeführer das Nichteintreten im Säumnisfall in der Kostenvorschussverfügung angedroht worden.
4.3. Schliesslich ist nicht ersichtlich, was der Beschwerdeführer aus dem Umstand ableiten will, dass er bei Erhalt der Kostenvorschussverfügung noch nicht anwaltlich vertreten war. Auch bei fehlender anwaltlicher Vertretung sind Fristen einzuhalten und gelten die entsprechenden Säumnisfolgen. Im Übrigen hat das Verwaltungsgericht festgehalten, dass der Beschwerdeführer bereits vor Fristablauf anwaltlich vertreten war. Dass der Rechtsvertreter seinen Auftrag nach eigenen Angaben "vordergründig" darin sah, eine verbesserte Beschwerdeschrift auszuarbeiten, und "kein Anlass" bestanden habe, die Frist zu überwachen (vgl. S. 7 Ziff. 16 der Beschwerde) führt nicht dazu, dass die angedrohten Säumnisfolgen unwirksam werden, besonders vor dem Hintergrund, dass die verbesserte Beschwerdeschrift bereits am 14. Juni 2019 eingereicht wurde, während der Kostenvorschuss bis 24. Juni 2019 zu bezahlen war. Es kann auch keine Rede davon sein, dass der Beschwerdeführer in guten Treuen mit einer Nachfrist rechnen durfte, nur weil ihm eine Nachfrist zur Beschwerdeverbesserung angesetzt worden war. Zuletzt ist nicht ersichtlich, inwieweit es von Bedeutung ist, dass der Beschwerdeführer den Kostenvorschuss nach Fristablauf doch noch geleistet hat. Dass durch das Nichteintreten keine materielle Prüfung erfolgt, liegt in der Natur der Sache und ist weder unverhältnismässig noch sonstwie rechtswidrig.
5.
Der Beschwerdeführer bringt weiter vor, ihm hätte zumindest eine Fristwiederherstellung gewährt werden müssen. In dieser Hinsicht setzt sich die Beschwerde nur sporadisch mit den vorinstanzlichen Erwägungen auseinander (vgl. E. 6 des angefochtenen Entscheids). Wie erwähnt, durfte der Beschwerdeführer nicht auf die Ansetzung einer Nachfrist vertrauen und war er bereits vor Ablauf der Kostenvorschussfrist anwaltlich vertreten. Das (Nicht-) Handeln seines Rechtsvertreters bzw. des als Hilfsperson beigezogenen Vaters ist ihm ohne Weiteres anzurechnen. Schliesslich spielt es keine Rolle, dass die Frist nur um einen Tag und damit "geringfügig" überschritten worden ist. Wenn das Verwaltungsgericht bei dieser Sachlage das Vorliegen von Fristwiederherstellungsgründen verneint hat, ist das nicht zu beanstanden.
6.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich als offensichtlich unbegründet und ist im vereinfachten Verfahren abzuweisen (<ref-law>). Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist nicht einzutreten. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. November 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Businger