Sachverhalt:
A.
Die 1968 geborene A._, zuletzt vom 1. Januar bis zum 11. Februar 2003 als Betriebsmitarbeiterin der B._ AG tätig, meldete sich am 14. Oktober 2003 zum Leistungsbezug bei der Invalidenversicherung an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich (nachfolgend: IV-Stelle) sprach der Versicherten mit Verfügung vom 14. Februar 2005 eine ganze Invalidenrente ab dem 1. August 2004 zu (Invaliditätsgrad 100 %). Diesen Rentenanspruch bestätigte die Verwaltung im Rahmen zweier Revisionsverfahren (Mitteilungen vom 24. August 2005 und vom 5. August 2011).
Anlässlich einer Ende Oktober 2016 eingeleiteten dritten Rentenüberprüfung veranlasste die IV-Stelle eine polydisziplinäre Begutachtung bei der Medizinisches Gutachtenzentrum Region St. Gallen GmbH (MGSG; Expertise vom 27. Juli 2017). Gestützt darauf stellte die IV-Stelle A._ in Aussicht, die bisherige Rente auf eine Viertelsrente zu reduzieren. Nachdem die Versicherte dagegen unter Einreichung diverser Arztberichte verschiedene Einwände erhoben hatte, reduzierte die IV-Stelle die Rente mit Verfügung vom 20. Juni 2018 per 1. August 2018 auf eine Viertelsrente wie vorbeschieden (Invaliditätsgrad 40 %).
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 27. Februar 2020 ab.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, die Sache sei unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids an die Vorinstanz, eventualiter an die IV-Stelle zurückzuweisen, damit diese eine neue Verlaufsbegutachtung bei einer neuen Gutachterstelle einhole; subeventualiter sei die Sache an die Vorinstanz, subsubeventualiter an die IV-Stelle zurückzuweisen, damit diese das vorliegende Verlaufsgutachten ergänzen lasse. In formeller Hinsicht ersucht A._ um unentgeltliche Rechtspflege.
Während die IV-Stelle unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist ein reformatorisches Rechtsmittel (<ref-law>), weshalb auch ein Rechtsbegehren grundsätzlich reformatorisch gestellt sein muss. Ein rein kassatorisches Begehren ist jedoch zulässig, wenn das Bundesgericht ohnehin nicht in der Sache entscheiden könnte. Dies ist namentlich bei einer ungenügenden Sachverhaltsabklärung durch die Vorinstanz der Fall (Urteil 9C_548/2019 vom 16. Januar 2020 E. 1). Mit der Beschwerde wird unter anderem gerügt, das kantonale Gericht habe auf ein nicht beweiswertiges Gutachten abgestellt und notwendige weitere Abklärungen unterlassen. Sie habe damit in Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes entschieden. Auf die Beschwerde, mit der eine ungenügende Sachverhaltsabklärung gerügt wird, ist demnach einzutreten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Unter Beachtung der Begründungspflicht in Beschwerdeverfahren (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4 S. 176; <ref-ruling> E. 2.1 und 2.2 S. 245 f.) prüft es indessen nur geltend gemachte Rügen, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind.
2.2. Bei den gerichtlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit respektive deren Veränderung in einem bestimmten Zeitraum handelt es sich grundsätzlich um eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.). Gleiches gilt für die konkrete Beweiswürdigung. Dagegen sind frei überprüfbare Rechtsfragen (Urteil 9C_194/2017 vom 29. Januar 2018 E. 3.2) die unvollständige Feststellung rechtserheblicher Tatsachen sowie die Missachtung des Untersuchungsgrundsatzes (Art. 43 Abs. 1, Art. 61 lit. c ATSG) und der Anforderungen an den Beweiswert ärztlicher Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232).
3.
3.1. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>), was in der Beschwerde näher darzulegen ist (<ref-ruling> E. 3 S. 395; Urteil 9C_221/2016 vom 21. Juni 2016 E. 1.1). Echte Noven, d.h. Tatsachen und Beweismittel, die erst nach dem vorinstanzlichen Entscheid entstanden sind, sind vor Bundesgericht unzulässig (<ref-ruling> E. 1.2 S. 22 f. mit Hinweisen; Urteil 9C_274/2020 vom 5. November 2020 E. 2.2).
3.2. Die Beschwerdeführerin legt im bundesgerichtlichen Verfahren eine Stellungnahme des Dr. med. C._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, vom 27. April 2020 ins Recht. Dabei handelt es sich um ein echtes Novum, das von vornherein ausser Acht zu bleiben hat.
4.
Streitig ist, ob die von der Vorinstanz bestätigte Herabsetzung der bisherigen ganzen Rente auf eine Viertelsrente vor Bundesrecht standhält.
4.1. Das kantonale Gericht hat die rechtlichen Grundlagen betreffend die Erwerbsunfähigkeit (<ref-law>), die Invalidität (<ref-law>), die Voraussetzungen des Rentenanspruchs (<ref-law>), die Invaliditätsbemessung nach der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs (<ref-law>) und die Modalitäten der Revision einer Invalidenrente (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3 S. 10; <ref-ruling> E. 3 S. 132; je mit Hinweisen), insbesondere der zu vergleichenden Zeitpunkte (<ref-ruling>; in <ref-ruling> nicht, jedoch in SVR 2017 IV Nr. 51 S. 152 publ. E. 2.2 des Urteils 9C_297/2016), zutreffend dargelegt. Gleiches gilt hinsichtlich der Beurteilung der Invalidität bei psychischen Erkrankungen (<ref-ruling> und 418; <ref-ruling>), des Untersuchungsgrundsatzes (Art. 43 Abs. 1, Art. 61 lit. c ATSG; vgl. auch <ref-ruling> E. 6 S. 221) und der allgemeinen beweisrechtlichen Anforderungen an einen ärztlichen Bericht (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352). Darauf wird verwiesen.
4.2. Die Vorinstanz stellte fest, den Mitteilungen vom 24. August 2005 und vom 5. August 2011 habe keine materielle Prüfung mit rechtskonformer Sachverhaltsabklärung zugrunde gelegen. Folglich bilde zeitliche Vergleichsbasis für die Beurteilung einer anspruchserheblichen Änderung des Invaliditätsgrads die Verfügung vom 14. Februar 2005. Das kantonale Gericht stellte weiter fest, es sei "zumindest bezüglich des Brustkrebses und der Analfissuren von einer evidenten Verbesserung des Gesundheitszustandes" auszugehen, womit ein Revisionsgrund vorliege. Der Rentenanspruch sei deshalb in rechtlicher und tatsächlicher Hinsicht umfassend zu prüfen. Im Rahmen dieser Prüfung mass die Vorinstanz der nach <ref-law> eingeholten Expertise des MGSG vom 27. Juli 2017 vollen Beweiswert zu. Danach leidet die Beschwerdeführerin (mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit) an einem im Gutachten näher umschriebenen Cervicovertebralsyndrom sowie an einer rezidivierenden depressiven Störung, gegenwärtig mittelgradige Episode (ICD-10 F33.1), und ist deshalb in der Arbeitsfähigkeit seit Januar 2016 zu 50 % (angestammt) und zu 40 % (angepasst) eingeschränkt. Gestützt darauf ermittelte die Vorinstanz einen Invaliditätsgrad von 40 %.
5.
5.1. In formeller Hinsicht rügt die Beschwerdeführerin, das kantonale Gericht habe ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt. Zur Begründung führt sie aus, die IV-Stelle habe in Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes darauf verzichtet, bereits im Vorbescheidverfahren eingereichte und dem Gutachten des MGSG diametral widersprechende Arztberichte und Dokumente den Gutachtern zur Stellungnahme zu unterbreiten. Die Verwaltung habe sich darauf beschränkt, die Akten dem Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) zuzustellen. Es fehle insgesamt an einer Auseinandersetzung mit den Argumenten und den eingereichten Unterlagen, womit die elementarsten Verfahrensrechte der Beschwerdeführerin verletzt worden seien.
5.2. Mit diesen Einwänden verkennt die Beschwerdeführerin, dass im vorliegenden Verfahren nicht die Verfügung der IV-Stelle vom 20. Juni 2018, sondern der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 27. Februar 2020 auf dem Prüfstand steht. Dieses setzte sich bereits mit den vor Bundesgericht erneuerten Standpunkten betreffend die gerügte Gehörsverletzung auseinander. Es kam zum Schluss, eine sachgerechte Anfechtung sei möglich gewesen, auch wenn die IV-Stelle in ihrer Begründung nicht auf alle eingewendeten Kritikpunkte eingegangen sei (zur Begründungspflicht vgl. <ref-ruling> E. 9.2 S. 65); eine Gehörsverletzung liege nicht vor. Im Sinne einer Eventualbegründung wies die Vorinstanz zudem darauf hin, dass eine allfällige solche Verletzung ohnehin geheilt wäre. Mit diesen Erwägungen im angefochtenen Entscheid (sowohl die Haupt- wie die Eventualbegründung betreffend) setzt sich die Beschwerdeführerin nicht ansatzweise auseinander. Ihre Begründung genügt diesbezüglich den in E. 2.1 dargelegten Begründungsanforderungen nicht.
6.
6.1. In materieller Hinsicht erklärt sich die Beschwerdeführerin nicht einverstanden damit, dass das kantonale Gericht die Verfügung vom 14. Februar 2005 als zeitliche Vergleichsbasis für die Beurteilung einer anspruchserheblichen Änderung des Invaliditätsgrads herangezogen hat. Sie begründet dies einzig mit einem Verweis auf die im Rahmen der Rentenüberprüfungen 2005 und 2011 vorgelegenen Verlaufsberichte, welche ihrer Auffassung nach eine materielle Rentenprüfung erlaubt hätten. Auch in diesem Punkt genügt die Beschwerde den Begründungsanforderungen nicht. Die Beschwerdeführerin geht mit keinem Wort auf die massgeblichen Erwägungen des angefochtenen Entscheids ein. Es betrifft dies namentlich die vorinstanzliche E. 3.4, wonach die Verlaufsberichte insbesondere aufgrund des komplexen Beschwerdebilds mit einem ausgewiesenen Zusammenspiel zwischen somatischen und psychischen Beschwerden für eine materielle Anspruchsprüfung nicht ausgereicht hätten. Da diese in der Beschwerdeschrift nicht aufgegriffenen vorinstanzlichen Erwägungen auch an keinem offensichtlichen Mangel leiden (vgl. E. 2.1 hievor), erübrigen sich Weiterungen zur Rechtsfrage (vgl. Urteil 9C_213/2015 vom 5. November 2015 E. 4.1 mit Hinweis), welche Vergleichszeitpunkte heranzuziehen sind.
6.2. Nicht näher einzugehen ist des Weiteren auf die bereits im kantonalen Verfahren vorgebrachte Rüge, bei der MGSG-Expertise vom 27. Juli 2017 handle es sich um eine unzulässige second opinion. Auch diesbezüglich nimmt die Beschwerdeführerin keinen Bezug auf die massgebenden Darlegungen im angefochtenen Entscheid, namentlich auf den vorinstanzlichen Schluss, in Ermangelung einer zweiten Expertise könne zum Vornherein nicht von einer second opinion ausgegangen werden.
6.3. Die Beschwerdeführerin bezweifelt den Beweiswert der MGSG-Expertise vom 27. Juli 2017. Zur Begründung wendet sie primär ein, die Gutachter hätten sich nicht hinreichend mit der Aktenlage auseinandergesetzt, was - insbesondere bei einem zwecks Rentenrevision erstellten Gutachten - zwingend erforderlich gewesen wäre. Wie das kantonale Gericht diesbezüglich richtig erwogen hat, wurde die Expertise durchaus in Kenntnis sowie in Auseinandersetzung mit den Vorakten erstattet. Dass sich in der Folge weder der orthopädische noch der psychiatrische Gutachter zu einer allfälligen Veränderung des Gesundheitszustands im relevanten Zeitraum zu äussern vermochten, ist nicht einer mangelhaften Auseinandersetzung mit den medizinischen Vorakten, sondern der diesbezüglich auffallend dürftigen Aktenlage geschuldet. Sowohl der Orthopäde wie auch der Psychiater wiesen darauf hin, es fehle an Gutachten oder fachärztlichen Untersuchungen, mit welchen sich die Frage nach einer wesentlichen Veränderung des Gesundheitszustands im relevanten Zeitraum schlüssig beantworten liesse. Dieser gutachterliche Schluss ist zu respektieren und schadet dem Beweiswert der Expertise nicht. Daran ändert nichts, dass nach dem Dafürhalten der Beschwerdeführerin als medizinische Laiin namentlich der Bericht des Dr. med. D._, FMH Allgemeine Medizin, vom 5. März 2004 und "zahlreiche psychiatrischen Arztberichte" eine entsprechende medizinische Einschätzung hätten zulassen sollen. Abgesehen davon, dass diese Vorbringen im Wesentlichen rein appellatorischer Natur und damit unzulässig sind (<ref-ruling> E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen), lässt die Beschwerdeführerin ausser Acht, was folgt: Beim Bericht vom 5. März 2004 handelt es sich lediglich um einen hausärztlichen Bericht, welchen Dr. med. D._ auf entsprechende Aufforderung hin zu Handen der IV-Stelle verfasste. Aus diesem geht hervor, dass der Hausarzt die Beschwerdeführerin am 5. März 2004 - das heisst mehr als anderthalb Jahre vor Erstattung des Berichts - letztmals untersucht hatte. Er sah sich denn auch ausser Stande, eine Einschätzung der Arbeitsfähigkeit abzugeben. Es ist offensichtlich nicht zu beanstanden, dass der orthopädische Gutachter darin keine zum Vergleich taugliche fachärztliche Untersuchung erblickte.
Was die nicht näher bezeichneten "zahlreichen psychiatrischen Arztberichte" anbelangt, gilt es festzuhalten, dass die Beschwerdeführerin erst seit Anfang 2017 überhaupt eine regelmässige (wöchentliche) fachärztliche Behandlung bei einem Psychiater in Anspruch nimmt (Bericht von Dr. med. C._ vom 21. Mai 2017). Davor hatte sie jahrelang lediglich die Dienste ihres Hausarztes in Anspruch genommen bzw. sich im Zeitraum vom 25. Januar 2008 bis zum 10. Mai 2011 äusserst niederfrequent (alle drei bis fünf Wochen nach Bedarf) fachärztlich behandeln lassen (undatierter Bericht von Dr. med. E._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie). Auch diesbezüglich leuchtet somit die gutachterliche Zurückhaltung bei der Frage nach einer allfälligen Veränderung des Gesundheitszustands im relevanten Zeitraum ohne Weiteres ein.
6.4. Die Beschwerdeführerin bemängelt weiter, es fehle in der MGSG-Expertise vom 27. Juli 2017 eine lege artis durchgeführte Indikatorenprüfung. Wie das kantonale Gericht diesbezüglich richtig erwogen hat, wurde das Gutachten vor der mit <ref-ruling> eingeleiteten Praxisänderung erstellt, weshalb es diesem Entscheid offensichtlich keine Rechnung tragen konnte. Ebenfalls richtig ist die vorinstanzliche Erkenntnis, dass vor dieser Rechtsprechungsänderung eingeholte Gutachten nicht per se ihren Beweiswert verlieren, sondern im Einzelfall zu prüfen ist, ob sie eine schlüssige Beurteilung im Lichte der massgeblichen Indikatoren erlauben (BGE <ref-ruling> E. 8 S. 309 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 6 S. 266). Den vorinstanzlichen Schluss, die MGSG-Expertise lasse eine solche Beurteilung grundsätzlich zu, bestreitet die Beschwerdeführerin nicht. Der Expertise kommt somit - auch mit Blick auf die in Revisionsverfahren geltenden speziellen beweismässigen Anforderungen - Beweiskraft zu.
7.
Die Beschwerdeführerin bestreitet weiter das Vorliegen einer erheblichen Veränderung des Gesundheitszustands und damit das Vorliegen eines Revisionsgrunds.
7.1. Das kantonale Gericht erblickte einen Revisionsgrund im Umstand, dass zumindest bezüglich des Brustkrebses und der Analfissuren, worauf sich die seinerzeitige Rentenzusprache im Wesentlichen gestützt habe, von einer evidenten Verbesserung des Gesundheitszustandes auszugehen sei. Diesbezüglich ist der Beschwerdeführerin beizupflichten, dass ein depressives Geschehen bereits im Rahmen der Rentenzusprache eine (wichtige) Rolle gespielt hatte. Der vorinstanzliche Schluss, aus dem Feststellungsblatt vom 13. August 2004 ergebe sich, dass die Rente ursprünglich im Wesentlichen wegen den Behandlungen und Operationen im Zusammenhang mit der Brustkrebserkrankung und den Analfissuren zugesprochen worden sei, ist aktenwidrig und offensichtlich unrichtig. So lassen sich diesem Feststellungsblatt folgende Hauptdiagnosen entnehmen: Mammakarzinom, Panvertebralsyndrom zervikal und lumbal betont, Status nach Meniskektomie und reaktive Depression. Dass bei der unbefristeten Rentenzusprache das Krebsleiden und die Operationen im Zusammenhang mit den Analfissuren im Zentrum gestanden hätten, lässt sich weder diesem Feststellungsblatt noch der gleichentags versendeten Mitteilung an die Beschwerdeführerin oder der Verfügung vom 14. Februar 2005 entnehmen. Auch im Feststellungsblatt vom 10. November 2017 bezeichnete die IV-Stelle unter anderem die reaktive Depression als "Hauptdiagnose für Rente". Entgegen den Vorbringen in der Beschwerde lassen die Akten aber auch den gegenteiligen Schluss nicht zu, von Anfang an habe hauptsächlich das depressive Geschehen die Arbeitsfähigkeit beeinflusst, nicht aber die Behandlungen und Operationen im Zusammenhang mit der Brustkrebserkrankung und den Analfissuren, bei welchen es sich naturgemäss um vorübergehende, rasch behandelbare Krankheitsbilder handle.
Es bleibt vielmehr festzuhalten, dass die - zumindest betreffend den Zeitpunkt der Rentenzusprache - Aktenlage keinerlei Rückschlüsse zulässt, welche Beschwerdebilder seinerzeit welchen Einfluss auf die Rentenzusprache gehabt hatten. Einhergehend mit dieser Erkenntnis sahen sich denn auch weder der RAD in der Stellungnahme vom 24. April 2017 noch die Gutachter in der eigens zur Klärung dieser Frage von der IV-Stelle veranlassten Expertise vom 27. Juli 2017 im Stande zu beurteilen, ob im relevanten Zeitraum eine gesundheitliche Veränderung eingetreten sei. Auch die im Anschluss an das Gutachten beim RAD eingeholte Stellungnahme vom 18. September 2017 hilft nicht weiter. Es fehlen darin aus wenig nachvollziehbaren Gründen jegliche Aussagen zur zentralen Frage nach dem Vorliegen eines veränderten Gesundheitszustands.
7.2. Mit Blick auf das Gesagte ist in Bezug auf den zur Diskussion stehenden Revisionsgrund nach <ref-law> von Beweislosigkeit auszugehen. Dies geht zu Lasten der Verwaltung, welche die ganze Rente reduzieren will (<ref-law>; Urteile 9C_621/2018 vom 27. November 2018 E. 5.3.3 und 8C_110/2012 vom 16. November 2012 E. 2, in: SVR 2013 UV Nr. 6 S. 21).
8.
Die Beschwerdeführerin stellt formal einzig Antrag, es sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zur Einholung einer neuen Begutachtung bzw. einer Ergänzung der MGSG-Expertise vom 27. Juli 2017 zurückzuweisen. Aus der Beschwerdebegründung, die zur Interpretation des Rechtsbegehrens beigezogen werden kann (<ref-ruling> E. 1.3 S. 317), ergibt sich indessen, dass sie die Weiterausrichtung ihrer bisherigen ganzen Rente anstrebt. Das Rechtsbegehren ist in diesem Sinne zu interpretieren, weshalb sich die beantragte Rückweisung der Sache erübrigt.
9.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Sie hat der Beschwerdeführerin überdies eine Parteientschädigung (gemäss Honorarnote ihres damaligen Rechtsvertreters, Rechtsanwalt Heusser, vom 1. Mai 2020) zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 27. Februar 2020 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 20. Juni 2018 werden aufgehoben.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2427.30 zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. Dezember 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Der Gerichtsschreiber: Williner