Sachverhalt:
A.
A._ (geboren 1958 oder 1959) reiste am 7. April 2016 ohne gültiges Reisedokument von Frankreich her kommend bei Basel in die Schweiz ein. Er trug knapp 500 Gramm Kokain (Reinheitsgehalt rund 55%) bei sich. Er wurde verhaftet und am 26. August 2016 (namentlich) wegen eines Verbrechens im Sinne von <ref-law> zu einer Freiheitsstrafe von 30 Monaten verurteilt. Das Appellationsgericht des Kantons Basel bestätigte diese Verurteilung mit Urteil vom 14. Juli 2017 im Wesentlichen, und bewilligte für 15 Monate den teilbedingten Vollzug der Freiheitsstrafe.
Am 26. Juli 2017 wies das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt A._ aus der Schweiz weg und ordnete die Ausschaffungshaft an. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt bestätigte die Ausschaffungshaft mit Urteil vom 28. Juli 2017. Auf die hiergegen erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht nicht ein (Urteil 2C_692/2017 vom 17. August 2017). Die mit Verfügung des Migrationsamts vom 3. Oktober 2017 angeordnete Verlängerung der Ausschaffungshaft bis zum 24. Januar 2018 bestätigte das Appellationsgericht mit Urteil vom 23. Oktober 2017.
Am 13. November 2017 stellte A._ ein Asylgesuch.
Das Migrationsamt verfügte am 9. Januar 2018 die Verlängerung der Ausschaffungshaft um weitere drei Monate bis zum 24. April 2018.
B.
Mit Urteil der Einzelrichterin für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht vom 22. Januar 2018 stellte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht nach mündlicher Verhandlung fest, die Ausschaffungshaft erweise sich bis zum 24. April 2018 als rechtmässig und angemessen.
C.
Mit Eingabe vom 21. Februar 2018 erhebt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt, das angefochtene Urteil sowie die angeordnete Administrativhaft seien aufzuheben. In formeller Hinsicht ersucht er um Befreiung von der Bezahlung der Gerichtskosten.
Das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt verzichtet auf Vernehmlassung. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt hält in seiner Vernehmlassung an seinen Erwägungen fest. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) lässt sich vernehmen, ohne einen Antrag zu stellen. Mit Eingabe vom 7. März 2018 lässt das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt dem Bundesgericht ein E-Mail des SEM vom 5. März 2018 zukommen. Der Beschwerdeführer äussert sich innert der ihm eingeräumten Frist für eine fakultative Stellungnahme zu diesen Eingaben.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den kantonal letztinstanzlichen Entscheid über die Anordnung oder Verlängerung der Ausschaffungshaft steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> an das Bundesgericht offen (vgl. <ref-ruling> E. 1.1.3 S. 139 f. mit Hinweisen). Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde (Art. 42 und 100 Abs. 1 BGG) des hierzu legitimierten Beschwerdeführers (<ref-law>) ist einzutreten.
1.2. Gemäss <ref-law> sind Rechtsschriften in einer Amtssprache abzufassen. Das Verfahren vor dem Bundesgericht wird gemäss <ref-law> in einer der Amtssprachen (Deutsch, Französisch, Italienisch, Rumantsch Grischun) geführt, in der Regel in der Sprache des angefochtenen Entscheids. Dem Beschwerdeführer steht es frei, seine Eingabe in der Amtssprache seiner Wahl zu verfassen, die nicht notwendigerweise mit der Verfahrenssprache des vorinstanzlichen Verfahrens übereinstimmen muss (Urteil 2C_237/2013 vom 27. März 2013 E. 1.2 mit Hinweis).
Der Beschwerdeführer hat seine Eingaben in französischer Sprache verfasst. Dies ist nach dem Gesagten zulässig. Vorliegend ist indes Deutsch die Verfahrenssprache, sodass das Urteil in dieser Sprache erfolgt.
1.3. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>) grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.5 S. 144). Die Verletzung von Grundrechten untersucht das Bundesgericht in jedem Fall nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.5 S. 144 mit Hinweisen).
2.
Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe in der Schweiz um Asyl ersucht. Als erstes Land des Schengenraums, in dem er sich aufgehalten habe, sei Frankreich für die Behandlung seines Asylgesuchs zuständig, und er möchte dorthin zurückkehren. Das SEM behandle sein Gesuch ohne Priorität und verstosse damit gegen Art. 28 Abs. 3 der Verordnung (EU) Nr. 604/2013 des Europäischen Parlaments und des Rates vom 26. Juni 2013 zur Festlegung der Kriterien und Verfahren zur Bestimmung des Mitgliedstaats, der für die Prüfung eines von einem Drittstaatsangehörigen oder Staatenlosen in einem Mitgliedstaat gestellten Antrags auf internationalen Schutz zuständig ist (Dublin-III-VO). Danach habe die Haft so kurz wie möglich zu sein. Die Fristen für das Stellen des Aufnahmegesuchs und die Antwort des ersuchten Mitgliedstaates seien zudem gemäss Art. 28 Abs. 3 Dublin-III-VO kürzer als diejenigen gemäss Art. 21 f. Dublin-III-VO. Der Beschwerdeführer macht Ausführungen zu Art. 76a Abs. 3 lit.a-c AuG (SR 142.20) und bringt vor, er habe sich stets vorbildlich verhalten und widersetze sich einer Überstellung in den zuständigen Dublin-Staat nicht. Da auch weniger einschneidende Massnahmen möglich wären, sei die Verlängerung seiner Haft unverhältnismässig.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer geht davon aus, dass die Bestimmungen der Dublin-III-VO auf die vorliegend strittige Haftverlängerung anwendbar seien und es sich um eine Haft im Rahmen des Dublin-Verfahrens gemäss Art. 76a AuG handle. Dem ist indes nicht so: Ein in der Schweiz eingereichtes Asylgesuch und die behauptete Zuständigkeit eines Schengen-Mitgliedstaates führen bei der hier gegebenen Ausgangslage nicht automatisch dazu, dass die Haftverlängerung unter Art. 76a AuG zu prüfen wäre. Der Beschwerdeführer befand sich bereits in Ausschaffungshaft, als er in der Schweiz ein Asylgesuch einreichte. Die Vorinstanz prüfte daher die Voraussetzungen für die Verlängerung der Ausschaffungshaft gemäss Art. 79 Abs. 2 i.V.m. Art. 76 AuG sowie die Voraussetzungen für eine Vorbereitungshaft gemäss Art. 75 AuG. Dieses Vorgehen ist zu stützen, da die Haft nicht der Sicherstellung der Wegweisung in den für das Asylverfahren zuständigen Dublin-Staat diente (vgl. Art. 76a AuG), sondern grundsätzlich weiterhin seiner Ausschaffung in seinen Heimatstaat. Offenbar sind seitens des SEM seit Längerem Abklärungen im Gange, welche sich einerseits auf eine Ausschaffung nach Senegal und andererseits auf eine Ausschaffung nach Frankreich beziehen, von wo der Beschwerdeführer die Staatsbürgerschaft zu besitzen behauptet.
Das SEM führt in seiner Vernehmlassung aus, für die Anwendbarkeit von Art. 76a AuG hätte bereits die Inhaftierung zwecks Sicherstellung des Überstellungsverfahrens gemäss Dublin-III-VO angeordnet werden müssen, was vorliegend nicht der Fall sei. Das SEM habe die französischen Behörden am 3. Dezember 2017, wenige Tage nach der Befragung zur Person des Beschwerdeführers, im Rahmen eines Informationsaustauschs gemäss Art. 34 Dublin-III-VO um Informationen betreffend den Beschwerdeführer ersucht. Aufgrund des unklaren (angeblichen) Aufenthaltsrechts des Beschwerdeführers in Frankreich habe es die französischen Behörden insbesondere um ausführliche Überprüfung von dessen Status und um Abklärung, wann er dort behördlich in Erscheinung getreten sei, gebeten. Es habe weder eine Treffermeldung aus der Fingerabdruck-Datenbank Eurodac vorgelegen, noch habe der Beschwerdeführer belegen können, französischer Staatsbürger zu sein.
Die Anfrage des SEM an die französischen Behörden im Rahmen eines Informationsaustauschs war im Zeitpunkt des angefochtenen Entscheides über die Verlängerung der Ausschaffungshaft noch hängig, und es war weder ein Aufnahmegesuch gestellt worden noch eine Überstellung nach Frankreich beabsichtigt. Dass für den Beschwerdeführer keine Administrativhaft gemäss Art. 76a AuG (sog. "Dublin-Haft") angeordnet wurde, sondern die Vorinstanz die Verlängerung seiner Ausschaffungshaft gemäss Art. 79 Abs. 2 i.V.m. Art. 76 AuG sowie die Voraussetzungen für eine Vorbereitungshaft gemäss Art. 75 AuG prüfte, ist nach dem Gesagten nicht zu beanstanden.
Am 5. Februar 2018, nachdem die französischen Behörden trotz Mahnung innert Frist keine Antwort auf das Informationsersuchen gegeben hatten, stellte das SEM ein Gesuch um Aufnahme des Beschwerdeführers gemäss Art. 13 Abs. 2 Dublin-III-VO. Das SEM führt in seiner Vernehmlassung aus, dass die französischen Behörden dieses Gesuch am 1. März 2018 ablehnten, da der Beschwerdeführer nicht über die französische Staatsbürgerschaft verfüge, keine Aufenthaltsbewilligung in Frankreich besitze und dort letztmals im Jahr 2004 behördlich in Erscheinung getreten sei. Somit sei das Asylgesuch des Beschwerdeführers in der Schweiz zu prüfen.
3.2. Aus diesen Erwägungen folgt, dass Art. 76a AuG und die Haftbestimmungen von Art. 28 Dublin-III-VO auf das vorliegende Verfahren nicht anwendbar sind (vgl. Urteil des EuGH vom 30. Mai 2013 C-534/11 Arslan Randnr. 50 ff). Die Rüge des Beschwerdeführers, das SEM verstosse gegen Art. 28 Abs. 3 Dublin-III-VO, weil es sein Gesuch ohne Priorität behandle, geht damit ins Leere. Im Übrigen ist nicht ersichtlich, dass das SEM das Beschleunigungsgebot für Verfahren von Personen, die sich in ausländerrechtlicher Haft befinden, nicht beachten würde. Die Informationsanfrage an die französischen Behörden gemäss Art. 34 Dublin-III-VO erfolgte wenige Tage nach der Befragung zur Person und knapp drei Wochen nach dem Asylgesuch des Beschwerdeführers. Nach Ausbleiben einer Antwort stellte das SEM ein Gesuch um Aufnahme gemäss Art. 13 Abs. 2 Dublin-III-VO, welches nunmehr abgelehnt wurde. Ein Remonstrationsverfahren wird nicht durchgeführt. Gemäss den unbestrittenen Feststellungen der Vorinstanz sind zudem nach der Befragung des Beschwerdeführers durch eine senegalesische Delegation Abklärungen durch die Republik Senegal im Gange, und das kantonale Migrationsamt hat bereits mehrmals Anstrengungen unternommen, um seine wiederholt behauptete französische Staatsbürgerschaft zu überprüfen. Die in der Beschwerde nicht weiter begründete Behauptung, sein Fall werde nicht mit der erforderlichen Beschleunigung behandelt, entbehrt somit einer Grundlage.
3.3. Die Voraussetzungen für die Verlängerung der Ausschaffungshaft gemäss Art. 79 i.V.m. Art. 76 Abs. 1 AuG bzw. die Voraussetzungen für eine Vorbereitungshaft gemäss Art. 75 AuG werden in der Beschwerde nicht thematisiert. Es erfolgt weder eine Auseinandersetzung mit den diesbezüglichen rechtlichen Grundlagen noch mit den vorinstanzlichen Erwägungen. Mit seinem Vorbringen, er habe sich stets vorbildlich verhalten und widersetze sich einer Überstellung nach Frankreich nicht, hält der Beschwerdeführer den vorinstanzlichen Erwägungen, wonach er unter diversen Identitäten verzeichnet und wegen eines Verbrechens im Sinne von <ref-law> und damit einer erheblichen Gefährdung der Gesundheit verurteilt worden sei (vgl. Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 i.V.m. Art. 75 Abs. 1 lit. a und g AuG), nichts Substanzielles entgegen. Im Übrigen kommt entgegen der Annahme des Beschwerdeführers nicht in erster Linie eine Überstellung nach Frankreich, sondern vielmehr eine Ausschaffung nach Senegal infrage, sodass die Versicherung, er würde sich der Überstellung nach Frankreich nicht widersetzen, nicht ausreicht, um anzunehmen, er würde sich den Behörden tatsächlich zur Verfügung halten. Dass auch eine mildere Massnahme den erforderlichen Zweck erfüllen würde und die Haft deshalb unverhältnismässig wäre, ist damit jedenfalls nicht dargetan. Die Behauptung des Beschwerdeführers, das SEM habe Spuren verwischt, die den französischen Behörden erlaubt hätten, ihre Zuständigkeit anzuerkennen, entbehrt jeglicher Grundlage.
4.
4.1. Nach dem Gesagten erweist sich die vorliegende Beschwerde, soweit sie den Begründungsanforderungen überhaupt genügt, als unbegründet und ist abzuweisen.
4.2. Angesichts der Sach- und Rechtslage bestanden vorliegend keine realistischen Erfolgsaussichten. Die Beschwerde erweist sich damit als aussichtslos. Die Umstände des Falles rechtfertigen es indes, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird damit gegenstandslos. Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Einzelrichterin für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. März 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Straub