Erwägungen:
1.
1.1. A._ (nachfolgend: der Steuerpflichtige) war in der hier interessierenden Steuerperiode 2015 im Kanton Basel-Landschaft steuerpflichtig. Die Steuerverwaltung des Kantons Basel-Landschaft (KSTV/BL) veranlagte ihn für die Steuerperiode 2015 nach pflichtgemässem Ermessen (für die Staats- und die Gemeindesteuern des Kantons und die direkte Bundessteuer). Dagegen erhob der Steuerpflichtige Einsprachen, auf welche die KSTV/BL mit Einspracheentscheiden vom 18. April 2018 nicht eintrat.
1.2. Der Steuerpflichtige gelangte mit Beschwerde an das Steuer- und Enteignungsgericht des Kantons Basel-Landschaft, Abteilung Steuergericht, das diesen mit Verfügung vom 16. Mai 2018 aufforderte, bis zum 18. Juni 2018 einen Kostenvorschuss von Fr. 500.-- zu erbringen. Der Steuerpflichtige berief sich auf Prozessarmut und ersuchte um unentgeltliche Prozessführung (Eingabe vom 28. Mai 2018). Alsdann forderte das Steuergericht den Steuerpflichtigen am 29. Mai 2018 auf, das Formular "Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege", samt Beilagen, bis zum 18. Juni 2018 einzureichen. Der Steuerpflichtige kam der Aufforderung nach, worauf der Präsident des Steuergerichts das Gesuch mit Verfügung vom 20. Juni 2018 abwies und eine nicht erstreckbare Frist bis zum 4. Juli 2018 ansetzte, um der Aufforderung zur Leistung des Kostenvorschusses nachzukommen, ansonsten das Rechtsmittel als gegenstandslos abgeschrieben werde. Der Präsident war zum Schluss gelangt, das Rechtsmittelverfahren müsse als aussichtslos im Sinne des Armenrechts beurteilt werden, zumal dem Steuerpflichtigen genügend finanzielle Mittel zur Verfügung stünden, um den Kostenvorschuss zu leisten.
1.3. Gegen die Abweisung des Gesuchs um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Prozessführung erhob der Steuerpflichtige am 29. Juni 2018 Einsprache beim Steuergericht. Mit Entscheid vom 2. Juli 2018 trat der Präsident des Steuergerichts zufolge Verspätung auf die Einsprache nicht ein. Diese Verfügung ist unangefochten rechtskräftig geworden. Mit weiterem Entscheid vom 10. August 2018 schrieb der Präsident des Steuergerichts das Rechtsmittelverfahren wegen Nichtbezahlens des Kostenvorschusses als gegenstandslos ab.
1.4. Der Steuerpflichtige gelangte mit Eingabe vom 17. September 2018 gegen den Entscheid vom 10. August 2018 an das Kantonsgericht des Kantons Basel-Landschaft, dessen Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht mit den Entscheiden 810 18 253 / 810 18 255 vom 19. Dezember 2018 die Beschwerden abwies, soweit darauf eingetreten werden konnte. Das Kantonsgericht erkannte, mit Schreiben vom 25. September 2018 habe es den Eingang der Eingaben bestätigt und den Steuerpflichtigen darauf aufmerksam gemacht, dass im Beschwerdeverfahren gegen die Abschreibungsverfügung vom 10. August 2018 einzig die Rechtmässigkeit der Abschreibung des Verfahrens vor dem Steuergericht überprüft werden könne. Das Steuergericht habe in der Sache selbst nicht entschieden. Am 2. Oktober 2018 habe der Steuerpflichtige dann eine Beschwerdebegründung eingereicht, nun aber Ausführungen zur Sache gemacht. Er habe vorgebracht, dass er über ein Vermögen von Fr. 450'000.-- verfügt haben soll, sei für ihn nicht nachvollziehbar. Sein gesamtes Barvermögen sei aufgebraucht, er warte immer noch auf den Entscheid der Eidgenössischen Invalidenversicherung. Er werde die Kontoauszüge zum Jahr 2015 und einen aktuellen Bankkontoauszug nachreichen. Vor diesem Hintergrund liessen sich den Eingaben, so das Kantonsgericht, keine Sachumstände zu entnehmen, welche zu einer Wiederherstellung der versäumten Kostenvorschusspflicht führen könnten.
1.5. Mit Eingabe vom 2. Januar 2019 erhebt der Steuerpflichtige beim Bundesgericht sinngemäss Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, wobei er sein Rechtsmittel als "gegen alle vorinstanzlichen Verfügungen und Urteile" gerichtet verstanden haben will und deren Aufhebung zu beantragen scheint. Die Begründung geht dahin, er sei selbständig erwerbstätig gewesen und habe im Jahr 2015 eine "kleine Ersatzliegenschaft" erworben, nachdem er seine Werkstatt verkauft habe. Mittlerweile sei sein "bescheidenes Vermögen auf null gesunken". Er erhoffe sich, vor Bundesgericht "endlich Gehör" zu finden. Hierzu beantragt er die Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege (Prozessführung und anwaltliche Verbeiständung).
2.
2.1. Nachdem der Einspracheentscheid vom 2. Juli 2018 zur (verweigerten) unentgeltlichen Rechtspflege unangefochten in Rechtskraft erwachsen war (vorne E. 1.3), hatte die Vorinstanz einzig das Rechtsmittel gegen die Abschreibungsverfügung vom 10. August 2018 zu beurteilen. Zur Abschreibung der vor dem Steuergericht erhobenen Verfahren war es gekommen, da der Steuerpflichtige innert Frist - trotz rechtskräftiger Verweigerung des prozessualen Armenrechts - den Kostenvorschuss nicht geleistet hatte. Den dergestalt beschränkten Streitgegenstand legte die Vorinstanz dem Steuerpflichtigen bereits dar, worauf dieser zwar weitere Begründungselemente nachlieferte, die aber ausserhalb des Streitgegenstandes lagen. Folglich hatte die Vorinstanz die Rechtsmittel abzuweisen.
2.2. Im bundesgerichtlichen Verfahren kann der Streitgegenstand, verglichen mit dem vorinstanzlichen Verfahren, zwar eingeschränkt ( minus), nicht aber ausgeweitet ( plus) oder geändert ( aliud) werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 22). Auch vor Bundesgericht kann einzig thematisiert werden, ob das Steuergericht, bestätigt durch das Kantonsgericht, mit Recht die Beschwerdeverfahren abgeschrieben habe. Da es sich dabei um eine Rechtsfrage des kantonalen Verfahrensrechts handelt, kann zudem nur gerügt werden, durch die Abschreibungsverfügung hätten die kantonalen Instanzen gegen verfassungsmässige Individualrechte des Steuerpflichtigen verstossen. Dies setzt eine Eingabe voraus, die der qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit genügt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.1 S. 319). In der Beschwerde ist daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, dass und inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 5).
2.3. Diesen Voraussetzungen genügt die Eingabe vom 2. Januar 2019 in zweifacher Hinsicht nicht, und zwar selbst dann nicht, wenn berücksichtigt wird, dass die Beschwerde aus der Feder eines juristischen Laien stammt, weshalb die formellen Anforderungen nicht allzu hoch anzusetzen sind (zuletzt etwa Urteil 2C_1010/2018 vom 21. Dezember 2018 E. 2.2). Zum einen äussert der Steuerpflichtige sich ausschliesslich zum Inhalt der Veranlagungsverfügungen, ohne überhaupt auf die Abschreibungsverfügung einzugehen. Zum andern fehlt seinen knappen Ausführungen jede Auseinandersetzung mit der sich stellenden verfassungsrechtlichen Frage.
2.4. Die Beschwerde enthält damit offensichtlich keine hinreichende Begründung. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> durch Entscheid des Abteilungspräsidenten als Einzelrichter nicht einzutreten. Im Übrigen ist angesichts des beschränkten Streitgegenstands nicht ersichtlich, wie sich die vorinstanzlichen Entscheide erfolgreich anfechten liessen.
3.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der unterliegenden Partei aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Die Umstände rechtfertigen es, von einer Kostenverlegung abzusehen (<ref-law>). Damit wird das für das bundesgerichtliche Verfahren gestellte Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege gegenstandslos (<ref-ruling> E. 5 S. 126). Die Beiordnung eines amtlichen Anwalts war vor Bundesgericht nicht geboten. Dem Kanton Basel-Landschaft, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer, Steuerperiode 2015, wird nicht eingetreten.
2.
Auf die Beschwerde betreffend die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Basel-Landschaft, Steuerperiode 2015, wird nicht eingetreten.
3.
Für das bundesgerichtliche Verfahren werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Januar 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher