Sachverhalt:
A.
E._ und F._ sind die geschiedenen Eltern der Kinder A._ (geb. 2006), B._ (geb. 2007), C._ (geb. 2007) und D._ (geb. 2010).
B.
Im Scheidungsurteil vom 10. November 2015 übertrug das Bezirksgericht Zürich E._ die alleinige Sorge und Obhut über die vier Kinder. Gleichzeitig genehmigte das Bezirksgericht die von den Eltern getroffene Regelung des Besuchsrechts. Zudem bestellte das Bezirksgericht den vier Kindern einen Beistand im Sinne von <ref-law>.
C.
C.a. Am 20. September 2016 reichte F._ beim Bezirksgericht Zürich ein Gesuch um Vollstreckung des Besuchsrechts ein. Mit Entscheid vom 23. November 2016 drohte das Bezirksgericht der Mutter eine Strafe wegen Ungehorsams gegen eine amtliche Verfügung im Sinne von <ref-law> (Busse bis Fr. 10'000.--) an, sollte sie nicht dafür sorgen, dass der Vater das Besuchsrecht gemäss der Scheidungsvereinbarung vom 10. November 2015 ausüben kann.
C.b. Die vier Kinder, vertreten durch die Mutter, legten Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich ein. Dieses wies das Rechtsmittel ab, soweit es darauf eintrat. Auch dem Armenrechtsgesuch der Kinder für das Beschwerdeverfahren war kein Erfolg beschieden. Die zweitinstanzliche Entscheidgebühr von Fr. 800.-- wurde den Beschwerdeführern auferlegt (Urteil vom 13. Januar 2017).
C.c. Die dagegen gerichtete Beschwerde der Kinder hiess das Bundesgericht teilweise gut. Der obergerichtliche Entscheid wurde aufgehoben und die Sache im Sinne der Erwägungen an das Obergericht zurückgewiesen. Im Übrigen wies das Bundesgericht die Beschwerde ab (Urteil 5A_167/2017 vom 11. September 2017).
C.d. In der Folge hob das Obergericht den Entscheid des Bezirksgerichts vom 23. November 2016 (Bst. C.a) auf und wies "die Sache zur Ergänzung des Verfahrens und zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz" zurück. Das Gesuch der Kinder um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das kantonale Beschwerdeverfahren wurde abgewiesen, die zweitinstanzliche Entscheidgebühr auf Fr. 800.-- festgesetzt und die Regelung der Prozesskosten des Beschwerdeverfahrens "dem neuen Entscheid des Bezirksgerichts vorbehalten". Der Beschluss datiert vom 11. Oktober 2017 und wurde am 13. Oktober 2017 versandt.
D.
D.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 22. November 2017 wenden sich A._, B._, C._ und D._, vertreten durch ihre Mutter, an das Bundesgericht. Die Beschwerdeführer verlangen, das Urteil des Obergerichts vollumfänglich aufzuheben und "die Sache zur Entscheidung im Sinne der Erwägungen des Bundesgerichtsurteils vom 11. September 2017 an eine der Vorinstanzen zurückzuweisen". Ausserdem ersuchen sie darum, ihrer Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
D.b. Dazu eingeladen, zu diesen Begehren Stellung zu nehmen, beantragt F._ (Beschwerdegegner), sowohl die Beschwerde als auch das Gesuch um aufschiebende Wirkung abzuweisen. Zugleich stellt der Beschwerdegegner ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht (Eingabe vom 30. November 2017). Das Obergericht erklärte, auf eine Vernehmlassung zu verzichten (Schreiben vom 27. November 2017).
D.c. Mit Verfügung vom 21. Dezember 2017 wies der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab. Gleichentags wurden die Vernehmlassungsantworten (Bst. D.b) den Beschwerdeführern zur Kenntnis gebracht.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht überprüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine Beschwerde zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1 S. 397).
2.
Der angefochtene Entscheid ist auf einen Rückweisungsentscheid des Bundesgerichts hin ergangen. Das Obergericht seinerseits weist die Sache an das Bezirksgericht zurück, damit dieses das Verfahren ergänze und neu entscheide (s. Sachverhalt Bst. C.c und C.d).
2.1. Entgegen dem, was die Beschwerdeführer anzunehmen scheinen, ist der angefochtene Entscheid kein Zwischenentscheid "betreffend die (innerkantonale) Zuständigkeit", der vor Bundesgericht gestützt auf <ref-law> angefochten werden kann. Wie sich aus Art. 327 Abs. 3 Bst. a ZPO ergibt, setzt ein Rückweisungsentscheid im kantonalen Beschwerdeverfahren voraus, dass die Beschwerdeinstanz das Rechtsmittel - hier als Folge des bundesgerichtlichen Urteils 5A_167/2017 vom 11. September 2017 - in der Sache gutheisst und damit implizite auch ihre Zuständigkeit bejaht, freilich ohne über diese Prozessvoraussetzung einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid zu fällen, wie dies eine Anfechtung nach <ref-law> voraussetzen würde (s. Urteil 4A_407/2016 vom 7. Februar 2017 E. 1.6.1). Die Zuständigkeit des Obergerichts ist im angefochtenen Entscheid denn auch an keiner Stelle ein Thema.
2.2. Das Obergericht weist die Sache zur Fortführung des Verfahrens an das Bezirksgericht zurück. Es bringt den Streit um die Vollstreckung des Besuchsrechts nicht zum Abschluss. Der angefochtene Entscheid ist also kein Endentscheid im Sinne von <ref-law>, sondern ein selbständig eröffneter Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 1 S. 315; <ref-ruling> E. 1.2 S. 216, 329 E. 1.2). Die Beschwerde an das Bundesgericht ist deshalb - abgesehen vom hier nicht gegebenen Ausnahmefall gemäss Art. 93 Abs. 1 Bst. b BGG - nur zulässig, wenn der Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG). Im Sinne einer Gegenausnahme wird ein Rückweisungsentscheid, welcher der unteren kantonalen Behörde verbindliche Anweisungen erteilt und ihr keinen eigenen Beurteilungsspielraum mehr lässt, wie ein Endentscheid behandelt (<ref-ruling> E. 1.2 S. 148; <ref-ruling> E. 1.2 S. 138). Der nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG muss rechtlicher Natur sein (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 335 mit Hinweisen).
Nicht wieder gutzumachen ist der Nachteil nur, wenn ihn auch ein für die Beschwerdeführer günstiger Endentscheid nicht oder nicht vollumfänglich zu beheben vermöchte (BGE <ref-ruling> E. 2.5 S. 399 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 525 mit Hinweisen). Ausschlaggebend ist somit, wie sich der Zwischenentscheid auf die Hauptsache auswirkt (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 383). Die blosse Möglichkeit eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils rechtlicher Natur genügt. Dagegen reichen rein tatsächliche Nachteile wie die Verfahrensverlängerung oder -verteuerung nicht aus (<ref-ruling> E. 6 S. 192; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 382; je mit Hinweisen). Nach der Rechtsprechung obliegt es der rechtsuchenden Partei darzutun, dass eine der Voraussetzungen gemäss <ref-law> erfüllt ist (<ref-ruling> E. 1.1 S. 329; <ref-ruling> E. 1.2 S. 429), es sei denn, deren Vorliegen springe geradezu in die Augen (<ref-ruling> E. 2.4.2 S. 633).
2.3. Die Beschwerdeführer argumentieren, dass der angefochtene Entscheid die Bindungswirkung des bundesgerichtlichen Rückweisungsentscheids (s. Sachverhalt Bst. C.c) verletze. Das Obergericht definiere die Rückweisungsvorgaben für den erstinstanzlichen Vollstreckungsentscheid neu, reduziere diese "auf seine eigenen Ausführungen" und fasse sie enger als im Rückweisungsentscheid des Bundesgerichts, wonach der Vollstreckungsrichter unter dem Aspekt des Kindeswohls "auch die Angemessenheit der Besuchsrechtsregelung an sich" überprüfen könne. Weil die erste Instanz laut Ziffer 2 des angefochtenen Urteilsspruchs nur an die Erwägungen des Obergerichts und nicht an diejenigen des Bundesgerichts gebunden sei, werde die Umsetzung des bundesgerichtlichen Rückweisungsentscheids nicht ausreichend gewährleistet und sie, die Beschwerdeführer, könnten sich nach Eintritt der Rechtskraft des angefochtenen Entscheids auch nicht mehr auf die Bindungswirkung gemäss dem bundesgerichtlichen Urteil berufen. Dadurch würde ihnen ein nicht wieder gutzumachender Nachteil entstehen.
2.4. Die Befürchtungen der Beschwerdeführer sind unbegründet. Formelle Rechtskraft bedeutet nach gängiger Lehre die Unabänderlichkeit des Urteils im betreffenden Verfahren; sie tritt ein, wenn das Urteil mit keinem ordentlichen Rechtsmittel mehr angefochten werden kann (s. zum Ganzen <ref-ruling> E. 3 S. 487 f.). Mit der materiellen Rechtskraft ist die Massgeblichkeit eines formell rechtskräftigen Urteils in jedem späteren Verfahren unter denselben Parteien gemeint (ausführlich zur materiellen Rechtskraft <ref-ruling> E. 3.1 S. 128 f.). Erachtet das Bundesgericht die vorliegende Beschwerde gegen den vorinstanzlichen Rückweisungsentscheid als unzulässig, so wird dieser zwar formell rechtskräftig. Dies allein bedeutet für die Beschwerdeführer jedoch keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil in dem Sinne, dass das Bundesgericht einen späteren (oberinstanzlichen) Endentscheid nicht daraufhin überprüfen könnte, ob die Vorgaben aus dem bundesgerichtlichen Urteil 5A_167/2017 vom 11. September 2017 eingehalten sind. Soweit sich der Zwischenentscheid - entsprechend den Bedenken der Beschwerdeführer - auf den Inhalt des Endentscheids auswirken sollte, können ihn die Beschwerdeführer nach der ausdrücklichen Vorschrift von <ref-law> immer noch in einer Beschwerde gegen den Endentscheid beanstanden. Auch die materielle Rechtskraft steht den Beschwerdeführern nicht im Weg, falls sie sich später im Rahmen der Anfechtung des Endentscheids auf die Bindungswirkung des Urteils 5A_167/2017 vom 11. September 2017 berufen sollten. Mit dem angefochtenen Rückweisungsentscheid nimmt das Verfahren vor dem Bezirksgericht seinen Fortgang. Bezogen auf den streitigen Anspruch - hier denjenigen auf Vollstreckung des Besuchsrechts - kommt es also gerade nicht zu einem neuen Prozess. Entsprechend stellt sich unter dem Blickwinkel der (materiellen) Rechtskraft auch nicht die Frage nach der Präjudizialitäts- oder Bindungswirkung des hier angefochtenen Zwischenentscheids, falls die Beschwerdeführer später einen neuen erstinstanzlichen Endentscheids anfechten. Nach dem Gesagten täuschen sich die Beschwerdeführer, wenn sie meinen, die Bindungswirkung eines Rückwirkungsentscheids sei ein Problem der Rechtskraft, und gestützt auf diese These argumentieren, dass angebliche Diskrepanzen zwischen dem bundesgerichtlichen und dem obergerichtlichen Rückweisungsentscheid mit Blick auf die Hauptsache einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könnten. Andere Gründe, weshalb die Beschwerde gegen den angefochtenen Zwischenentscheid im Streit um die Vollstreckung des Besuchsrechts gestützt auf Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG zulässig sein soll, werden in der Beschwerde nicht genannt und springen auch nicht in die Augen. Auf die Beschwerde ist deshalb nicht einzutreten.
3.
3.1. Unzulässig ist die Beschwerde auch mit Bezug auf den weiteren Vorwurf, dass die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid eine neue Gerichtsgebühr festsetze und sich damit über die Rechtskraftwirkung des bundesgerichtlichen Urteils 5A_167/2017 vom 11. September 2017 hinwegsetze, das diesbezüglich eine abschliessende Regelung enthalte. Als blosser Nebenpunkt bildet die Kosten- und Entschädigungsregelung in einem Zwischenentscheid ebenfalls nur einen Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3; S. 95 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 331; <ref-ruling> E. 2.1 S. 647). Allerdings setzt das Obergericht im angefochtenen Entscheid lediglich die Höhe der zweitinstanzlichen Entscheidgebühr fest. Die Regelung der Prozesskosten behält es dem neuen Entscheid des Bezirksgerichts vor. Mithin steht noch gar nicht fest, ob die Beschwerdeführer überhaupt für Prozesskosten des vorinstanzlichen Verfahrens aufkommen müssen. In dieser Situation fehlt es den Beschwerdeführern offensichtlich an einem schutzwürdigen Interesse daran, den angefochtenen Entscheid vom Bundesgericht diesbezüglich aufheben oder abändern zu lassen (Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG).
3.2. Das Gesagte gilt sinngemäss, soweit sich die Beschwerdeführer daran stören, dass das Obergericht ihr Armenrechtsgesuch für das Beschwerdeverfahren abweist. Die Beschwerdeführer selbst erklären, an diesem Gesuch nicht mehr festzuhalten. Entsprechend ist nicht ersichtlich, welches schutzwürdige Interesse sie an der Beurteilung des Vorwurfs haben, dass das Obergericht offensichtlich unrichtig (<ref-law>) von einem solchen Gesuch ausgegangen sei und "zu Unrecht über den längst überholten Antrag" entschieden habe. Insbesondere behaupten die Beschwerdeführer auch nicht, dass das Obergericht für die Abweisung ihres Armenrechtsgesuchs Kosten ausgeschieden und ihnen auferlegt hätte.
3.3. Schliesslich bemängeln die Beschwerdeführer, dass das Obergericht nicht begründe, weshalb es sie als unterliegende Partei betrachtet und einen neuen Entscheid über die Tragweite der Rückweisung erlässt. Ausserdem beklagen sie sich darüber, dass ihnen "seit Rückweisung durch das Bundesgericht kein Teilnahmerecht am neuen Verfahren gewährt" worden sei. Sie erblicken darin unheilbare Verletzungen ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Auch in dieser Hinsicht ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Aus der blossen Rüge der Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör lässt sich kein nicht wieder gutzumachender Nachteil rechtlicher Natur im Sinne von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG ableiten. Massgebend zur Anfechtbarkeit eines Zwischenentscheids ist grundsätzlich nicht die Rüge, die dagegen erhoben wird, sondern die Frage, ob selbst im Falle eines für die Beschwerdeführer günstigen Endentscheids ein rechtlicher Nachteil resultieren kann (Urteil 5A_157/2017 vom 16. Oktober 2017 E. 2.3.3 mit Hinweisen). Dass es an einem solchen Nachteil fehlt, wurde bereits ausgeführt (E. 2.4).
4.
Wie die vorigen Erwägungen zeigen, erweist sich die Beschwerde insgesamt als unzulässig. Das Bundesgericht tritt darauf nicht ein. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegen die Beschwerdeführer. Sie haben deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>) und den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1, 2 und 4 i.V.m. <ref-law>). Zu Recht weist der Beschwerdegegner darauf hin, dass die Beschwerde querulatorische Züge erkennen lässt und einzig dem Zweck zu dienen scheint, das (Vollstreckungs-) Verfahren zu verzögern. Bei dieser Prozesskostenregelung erweist sich das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren als gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung auferlegt.
4.
Die Beschwerdeführer haben den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen. Diese Entschädigungspflicht wird den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bezirksgericht Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Februar 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Monn