Faits :
A.
A._ a travaillé en qualité de directeur opérationnel au service de la société B._ SA à partir du 1 er septembre 2011. Le contrat de travail prévoyait une prohibition de concurrence, assortie d'une indemnité mensuelle de carence de 4'500 fr., pour une durée de deux ans dès la cessation effective des rapports de travail. Cette durée a été portée à trois ans par avenant du 12 avril 2013. En sa qualité d'employé de B._, l'intéressé bénéficiait d'une assurance collective perte de gain en cas de maladie auprès de la Vaudoise Générale, Compagnie d'Assurances SA (ci-après: la Vaudoise).
A._ a subi une incapacité entière de travail durant la période du 29 septembre 2015 au 28 février 2017. Le 5 octobre 2015 son employeur a résilié les rapports de travail avec effet immédiat pour justes motifs. Le 17 décembre 2015 l'assuré a saisi la Chambre patrimoniale cantonale du canton de Vaud d'une requête tendant à ce que B._ soit condamnée à lui payer des dommages et intérêts pour licenciement immédiat injustifié et le salaire dû jusqu'à la fin " théorique " des rapports de travail, ainsi que le salaire afférent aux vacances non prises et une indemnité au sens de l'<ref-law>. En outre l'intéressé a contesté la validité de la clause de non-concurrence. En vertu d'une convention extrajudiciaire passée les 23 février / 2 mars 2017 avec la Vaudoise, il a été mis au bénéfice d'une assurance individuelle perte de gain avec effet rétroactif au 6 octobre 2015.
L'assuré a présenté une demande tendant à l'octroi de prestations de l'assurance-chômage à compter du 1 er mars 2017. Par deux décisions du 19 avril 2017, confirmées sur opposition le 14 juillet suivant, la Caisse cantonale de chômage du canton de Vaud (ci-après: la caisse de chômage) a constaté que l'intéressé était libéré des conditions relatives à la période de cotisation en raison de sa maladie et lui a alloué, à partir du 1 er mars 2017, une indemnité journalière d'un montant de 101 fr. 60 calculé sur la base d'un montant forfaitaire. En outre elle a fixé le délai d'attente à cinq jours indemnisables à compter du 1 er mars 2017.
B.
A._ a recouru contre la décision sur opposition du 14 juillet 2017 devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud en concluant à l'octroi d'une indemnité journalière de chômage d'un montant de 284 fr. 20 à partir du 1 er mars 2017.
Par jugement du 7 février 2018 la cour cantonale a réformé la décision sur opposition attaquée en ce sens que l'assuré présente une période de cotisation de plus de douze mois et elle a annulé ladite décision en tant qu'elle prévoit un délai d'attente de cinq jours indemnisables dès le 1 er mars 2017.
C.
Le Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO) forme un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation en concluant à la confirmation de la décision de la caisse de chômage du 14 juillet 2017 reconnaissant le droit à l'indemnité de chômage sur la base d'une libération de l'obligation de cotiser et prévoyant un délai d'attente de cinq jours indemnisables dès le 1 er mars 2017, le tout sous suite de frais et dépens. Le recourant demande en outre l'attribution de l'effet suspensif à son recours.
L'intimé conclut à l'irrecevabilité, subsidiairement au rejet du recours et s'oppose à l'attribution de l'effet suspensif, le tout sous suite de frais et dépens. La cour cantonale a renoncé à présenter des observations et se réfère purement et simplement au jugement attaqué. De son côté la caisse de chômage s'en remet à justice.
D.
Par ordonnance du 13 juillet 2018 le Juge instructeur a admis la requête d'effet suspensif.

Considérant en droit :
1.
D'après l'<ref-law>, ont notamment qualité pour interjeter un recours de droit public au Tribunal fédéral la Chancellerie fédérale, les départements fédéraux ou, pour autant que le droit fédéral le prévoie, les unités qui leur sont subordonnées, si l'acte attaqué est susceptible de violer la législation fédérale dans leur domaine d'attribution. En l'occurrence, le SECO peut se prévaloir de la qualité pour recourir devant le Tribunal fédéral contre les jugements rendus par les tribunaux cantonaux des assurances, que lui confère l'<ref-law> (RS 837.0) dans le domaine de l'assurance-chômage.
2.
2.1. L'intimé fait valoir que le recours est manifestement irrecevable au motif qu'en dépit du fait que la cour cantonale a renvoyé le dossier pour calcul du montant de l'indemnité journalière, la caisse de chômage n'a pas rendu de décision à ce sujet. Aussi soutient-il que le recourant n'a pas épuisé les voies de droit cantonales " dans le cadre desquelles il pourra également interjeter recours contre la décision de la caisse à intervenir au sens de l'<ref-law> ".
2.2. Le recours en matière de droit public (<ref-law>) est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure (<ref-law>), les décisions partielles (<ref-law>), ainsi que contre les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (<ref-law>). Selon l'<ref-law>, les autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément peuvent faire l'objet d'un recours si elles peuvent causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b).
2.3. Les jugements qui renvoient la cause à l'autorité inférieure constituent des décisions incidentes car ils ne mettent pas fin à la procédure (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 127; <ref-ruling> consid. 4 p. 480 ss). En revanche, lorsque l'autorité inférieure à laquelle la cause est renvoyée ne dispose plus d'aucune marge de manoeuvre parce que le renvoi ne porte que sur l'exécution (par simple calcul) des injonctions de l'autorité supérieure, le jugement constitue une décision finale (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 143; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 127; cf. aussi StE 2009 B 96.21 n° 14, 2C_258/2008, consid. 3.3). Etant donné le but de l'<ref-law>, un jugement de renvoi ne peut être qualifié de décision incidente qu'à la condition que le Tribunal fédéral ne doive pas statuer une seconde fois sur l'objet du litige (arrêt 2C_394/2015 du 4 juin 2015 consid. 2.1 et les arrêts cités). Par ailleurs, un jugement qui ne tranche que certains aspects d'un rapport juridique litigieux n'est en règle générale pas un jugement partiel, mais un jugement incident qui ne peut faire l'objet d'un recours qu'aux conditions de l'<ref-law>. Tel sera généralement le cas, par exemple, d'un jugement par lequel un tribunal renvoie la cause à un assureur social pour nouvelle décision, en lui donnant des instructions sur la manière de trancher certains aspects du rapport de droit litigieux (ATF <ref-ruling> consid. 4 p. 480 ss; DTA 2014 p. 313, 8C_311/2014, consid. 2.2).
3.
3.1. Par le jugement attaqué la cour cantonale a réformé la décision sur opposition litigieuse en ce sens que l'assuré présente une période de cotisation de plus de douze mois au sens de l'<ref-law> (chiffre 2 du dispositif) et l'a annulée en tant qu'elle prévoit un délai d'attente de cinq jours indemnisables dès le 1 er mars 2017 (chiffre 3 du dispositif). Elle a retenu que dans la mesure où l'indemnité de carence d'un montant mensuel de 4'500 fr., liée à la prohibition de concurrence et due par l'ex-employeur dès la cessation effective des rapports de travail, soit depuis le 5 octobre 2015, était soumise ex lege à cotisation, l'assuré pouvait se prévaloir d'une période de cotisation de plus de douze mois durant le délai-cadre de cotisation. C'est pourquoi la réglementation relative à la libération des conditions relatives à la période de cotisation en raison de la maladie (<ref-law>) ne s'appliquait pas en l'occurrence et la caisse de chômage n'était pas fondée, par sa décision sur opposition du 14 juillet 2017, à calculer l'indemnité journalière sur la base d'un montant forfaitaire (<ref-law> et <ref-law> [RS 837.02]) ni à fixer le délai d'attente à cinq jours indemnisables à compter du 1er mars 2017 (<ref-law> et <ref-law>). A l'appui de leur point de vue, les premiers juges ont considéré que dans la mesure où elle est soumise à cotisation en vertu de l'art. 7 let. q RAVS (RS 831.101), la période durant laquelle l'indemnité de carence est due constitue une période de cotisation. En effet, lorsqu'une telle indemnité est due, l'activité soumise à la clause de non-concurrence ne peut plus être exercée et l'indemnité de carence compense l'impossibilité d'exercer ladite activité pendant un certain temps. Le montant payé pour que le travailleur s'abstienne d'exercer cette profession représente ainsi la contrepartie d'une prestation de travail. Aussi, selon la cour cantonale, l'indemnité de carence présente-t-elle une certaine analogie avec l'indemnité due en cas de résiliation anticipée des rapports de travail, laquelle permet au travailleur de se prévaloir d'une période de cotisation, et elle doit être assimilée à une prestation volontaire de l'employeur au sens de l'<ref-law>, telle que définie à l'<ref-law>.
3.2. Il importe de préciser le cadre légal sur lequel se fonde le jugement attaqué:
Aux termes de l'<ref-law>, la perte de travail n'est pas prise en considération tant que des prestations volontaires versées par l'employeur couvrent la perte de revenu résultant de la résiliation des rapports de travail. Par prestations volontaires de l'employeur au sens de l'<ref-law>, il faut entendre les prestations allouées en cas de résiliation de rapports de travail régis par le droit privé ou par le droit public qui ne constituent pas des prétentions de salaire ou d'indemnités selon l'<ref-law> (<ref-law>). Cette disposition réglementaire donne une définition négative des prestations volontaires de l'employeur en cas de résiliation des rapports de travail, en ce sens que sont considérées comme telles les prestations qui ne constituent pas des prétentions de salaire ou des indemnités pour cause de résiliation anticipée des rapports de travail au sens de l'<ref-law>. Les périodes pendant lesquelles la perte de travail n'est pas prise en considération en raison du versement, par l'employeur, de prestations volontaires sont assimilées à des périodes de cotisation (<ref-law>) et les prestations volontaires prises en compte entrent dans le calcul du gain assuré selon l'<ref-law> (<ref-law>). Aux termes de l'<ref-law>, le délai-cadre d'indemnisation de l'assuré qui a perçu des prestations volontaires de l'employeur commence à courir le premier jour où la perte de travail est prise en considération et où toutes les conditions à remplir pour avoir droit à l'indemnité de chômage sont réunies (<ref-law>). Enfin, selon l'<ref-law>, lorsque des prestations volontaires mensuelles ont été convenues pour une période déterminée, le montant maximum du gain annuel assuré visé à l'<ref-law> est déduit de la somme de ces prestations mensuelles et le résultat est divisé par le nombre de mois convenu; le montant qui en résulte est déduit de l'indemnité de chômage.
3.3. En l'occurrence, le jugement attaqué reconnaît le droit de l'assuré à une indemnité de chômage fondée sur une période de cotisation de plus de douze mois en raison du droit de l'intéressé à des prestations volontaires de l'ex-employeur sous la forme d'une indemnité de carence soumise à cotisation. En revanche il ne dit rien quant au moment de la naissance du délai-cadre d'indemnisation, lequel dépend forcément du calcul de la période pendant laquelle la perte de travail est différée en raison du droit auxdites prestations.
Cela étant, même s'il n'est pas un jugement de renvoi proprement dit, le jugement attaqué implique que la caisse de chômage rende une nouvelle décision sur le droit de l'assuré à l'indemnité de chômage. Or il ne tranche que certains des éléments nécessaires pour définir ce droit: calcul de l'indemnité compte tenu de la réalisation des conditions relatives à la période de cotisation selon l'<ref-law> et suppression du délai d'attente de cinq jours indemnisables à compter du 1er mars 2017. En revanche ce jugement ne contient aucune injonction quant au calcul de la période de report de la perte de travail à prendre en considération ni, partant, quant au moment de la naissance du délai-cadre d'indemnisation. Dans la mesure où il ne tranche que certains aspects d'un rapport juridique litigieux, ce prononcé apparaît dès lors comme un jugement incident qui ne peut faire l'objet d'un recours qu'aux conditions de l'<ref-law> (cf. consid. 2.3 supra).
4.
4.1. Selon l'<ref-law>, une décision préjudicielle ou incidente peut être entreprise immédiatement si elle peut causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b). Les deux conditions requises par l'<ref-law> sont cumulatives (cf. <ref-ruling> consid. 2.4.1 p. 633). Par préjudice irréparable, on entend le dommage juridique qu'une décision finale, même favorable au recourant, ne ferait pas disparaître complètement (<ref-ruling> consid. 1.3.4 p. 36; <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 430; <ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 632 et les arrêts cités).
4.2. En l'espèce, le SECO pourra recourir contre la décision que la caisse de chômage va devoir rendre à la suite du jugement attaqué, de sorte que les conditions de l'ouverture d'un recours immédiat selon l'<ref-law> ne sont pas réalisées (<ref-law>; pour des cas semblables concernant également le SECO, voir: arrêts 8C_311/2014 du 9 juillet 2014; 8C_817/2008 du 19 juin 2009). Par ailleurs les conditions de l'<ref-law> ne sont manifestement pas remplies.
5.
En conséquence, le recours doit être déclaré irrecevable. L'intimé, qui est représenté par un avocat a droit à des dépens à la charge du recourant (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Il n'y a pas lieu de percevoir des frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le recourant versera à l'intimé la somme de 2'000 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à l'Office cantonal de l'assurance-chômage et à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lucerne, le 26 octobre 2018
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
Le Greffier : Beauverd