Sachverhalt:
A.
A._ (Mieter; Gesuchsteller) schloss am 10. April 2014 mit B._ (Vermieter; Gesuchsgegner) einen Mietvertrag für eine 4.5-Zimmerwohnung in U._ ab. Der Vermieter kündigte den Mietvertrag am 14. Januar 2020 wegen Zahlungsrückstands auf den 29. Februar 2020.
B.
B.a. Am 5. März 2020 beantragte der Vermieter dem Regionalgericht Bern-Mittelland, der Mieter sei im Verfahren um Rechtsschutz in klaren Fällen aus der genannten Wohnung auszuweisen.
Mit Entscheid vom 29. Mai 2020 verpflichtete das Regionalgericht den Mieter, die Wohnung innerhalb von zehn Tagen seit Erhalt des Entscheids zu räumen und zu verlassen, unter Androhung der zwangsweisen Durchsetzung im Falle der Nichtbefolgung.
Mit Entscheid vom 25. August 2020 wies das Obergericht des Kantons Bern eine vom Mieter gegen diesen Entscheid erhobene Berufung ab, soweit es darauf eintrat, und setzte ihm eine neue Räumungsfrist an.
Eine vom Mieter dagegen erhobene Beschwerde hiess das Bundesgericht mit Urteil 4A_451/2020 vom 12. November 2020 gut, und wies die Sache zur Neubeurteilung an das Regionalgericht zurück, weil dieses bei der im Verfahren nach <ref-law> beurteilten Mieterausweisung, bei der vorfrageweise auch die Gültigkeit der Kündigung zu prüfen war, trotz ausdrücklichem Antrag des Mieters zu Unrecht eine öffentliche mündliche Verhandlung verweigert hatte.
B.b. Am 24. März 2021 fand vor dem Regionalgericht die mündliche Verhandlung statt. Mit Entscheid vom gleichen Tag verpflichtete das Regionalgericht den Mieter erneut, die Wohnung innerhalb einer Räumungsfrist von zehn Tagen resp. - falls keine Partei eine schriftliche Begründung verlangt hätte - bis zum 16. April 2021 zu räumen. Eine dagegen erhobene Berufung wies das Obergericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 18. Juni 2021 ab und verurteilte den Mieter, die Wohnung innert 10 Tagen ab Erhalt des Berufungsentscheids zu räumen und zu verlassen.
B.c. Gegen diesen Entscheid erhob der Mieter erneut Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht.
Mit Urteil vom 4A_343/2021 vom 27. Juli 2021 beurteilte das Bundesgericht die Beschwerde als unzulässig und trat darauf im vereinfachten Verfahren nach Art. 42 Abs. 7 und Art. 108 Abs. 1 lit. c BGG nicht ein. Das Bundesgericht kam im Wesentlichen zum Schluss, dass unter den vorliegenden Umständen die Prozessführung des Mieters als rein trölerisch und missbräuchlich erfolge und einzig zum Ziel habe, seine Ausweisung aus der Wohnung so lange wie möglich hinauszuzögern (Urteil 4A_343/2021 vom 27. Juli 2021 E. 4).
C.
Mit Eingabe vom 18. August 2021 beantragt der Gesuchsteller, das Urteil 4A_343/2021 vom 27. Juli 2021 sei in Revision zu ziehen und aufzuheben. Es sei das Beschwerdeverfahren 4A_343/2021 unter neuer Besetzung des Spruchkörpers fortzuführen. Sodann sei superprovisorisch zu verfügen, dass die Vollstreckung aus dem Entscheid ZK21 211 vom 18. Juni 2021 des Obergerichts des Kantons Bern dem Gesuchsgegner untersagt werde.
Mit Verfügung vom 20. August 2021 wurde das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung bzw. um Anordnung von vorsorglichen Massnahmen abgewiesen, weil das Revisionsgesuch als aussichtslos erscheine.
Mit Schreiben vom 25. August 2021 stellte der Gesuchsteller ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.

Erwägungen:
1.
1.1. Urteile des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (<ref-law>). Sie können mit keinem ordentlichen Rechtsmittel angefochten werden und eine nochmalige Überprüfung der einem Urteil des Bundesgerichts zu Grunde liegenden Streitsache ist grundsätzlich ausgeschlossen. Das Bundesgericht kann aber auf sein Urteil zurückkommen, wenn einer der in den Art. 121 - 123 BGG abschliessend aufgeführten Revisionsgründe vorliegt (<ref-ruling> E. 1.1).
1.2. Wegen Verletzung von Verfahrensvorschriften kann die Revision gemäss <ref-law> unter anderem verlangt werden, wenn die Vorschriften über den Ausstand verletzt worden sind. Diese Bestimmung verweist damit auf <ref-law>. Danach treten die am Bundesgericht tätigen Gerichtspersonen (Richter und Gerichtsschreiber) von Amtes wegen in den Ausstand, wenn einer der in Art. 34 Abs. 1 lit. a-e BGG genannten Gründe erfüllt ist. Gemäss <ref-law> bildet die Mitwirkung in einem früheren bundesgerichtlichen Verfahren für sich allein keinen Ausstandsgrund.
1.3. Auch für das Revisionsgesuch gelten die in <ref-law> genannten Anforderungen, wonach die gestellten Begehren zu begründen sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.1). Der Gesuchsteller hat mithin in gedrängter Form, sachbezogen und in Auseinandersetzung mit den Ausführungen im zur Revision beantragten Entscheid darzutun, weshalb und inwiefern ein Revisionsgrund vorliegen soll (Urteil 2F_2/2020 vom 5. April 2020 E. 2.2). Die Revision dient nicht dazu, angebliche Rechtsfehler zu korrigieren (<ref-ruling> E. 3) oder in der ursprünglichen Rechtsschrift Verpasstes nachzuholen (Urteile 4F_7/2021 vom 5. Mai 2021 E. 1.1; 4F_5/2020 vom 17. September 2020 E. 1; 2F_2/2020 vom 5. April 2020 E. 2.2).
2.
Der Gesuchsteller macht geltend, es liege der Revisionsgrund von <ref-law> vor. Sowohl die als "Bundesrichterin getarnte Politikerin Kiss" als auch Gerichtsschreiber Widmer hätten das Urteil 4A_343/2021 trotz vorliegender Parteilichkeit und fehlender Unabhängigkeit zum Nachteil des Gesuchsgegners gefällt. Es sei die "gerichtsnotorische Arbeitsweise am Bundesgericht", Urteile so "zusammenzuschreiben", damit der Gesuchsteller in einem schlechten Licht dargestellt werde. Es sei im Entscheid nicht darum gegangen, die Sache ordentlich zu entscheiden, sondern in "Fortführung des Mobbings gegen den Gesuchsteller" ein für den Gesuchsgegner angenehmes Urteil zu verfassen. Das Urteil stelle in der vorliegenden Form ab der Landesgrenze der Schweiz "schlichtweg ein wertloses Stück Papier dar". Im bundesgerichtlichen Entscheid werde davon ausgegangen, der Gesuchsteller würde die Miete oder den Schadenersatz nicht bezahlen, obwohl dies zu keiner Zeit geltend gemacht worden sei. Das zeige auf, wie einseitig Bundesrichterin Kiss "einmal mehr einen Schweizer gegenüber einem Ausländer bevorzuge". Bezeichnenderweise habe der Gesuchsgegner denn bis heute auch keine Anstalten getroffen, seine angebliche Forderung gerichtlich durchzusetzen, was im Entscheid "ebenfalls vergessen" worden sei.
Der Gesuchssteller habe in der "summarisch begründeten Beschwerde in Zivilsachen" geltend gemacht, dass das kantonale Urteil nicht nur ein "einziges Wirrwarr" darstelle, sondern auch mangels "Verkündigung" nicht existent sei und aus der Sicht der "rechtsstaatlich organisierten Mitgliedsstaaten der EU ein Versagungsgrund" bestehe. Die Urteile seien auch mittels Prozessbetrug erlangt worden, weshalb sie ebenfalls nicht anerkennungswürdig seien. Dies müsse umso mehr gelten, wenn es sich - wie hier - um ein konzentriertes Vorgehen von Rechtsanwaltschaft und Gerichten zum Nachteil des Gesuchstellers handle. Werde das Urteil noch vor dem Hintergrund des zwischenzeitlich unbestreitbaren Mobbings betrachtet, dürfte ein Gesuch um Anerkennung zur Vollstreckung aussichtslos sein.
Sodann sei der Rechtsvertreter des Gesuchsgegners zusammen mit dem Obergericht des Kantons Bern und auch Bundesrichterin Kiss bzw. Gerichtsschreiber Widmer "gleich mehrmals besonders übel aufgefallen". Der Gesuchsteller habe in seiner Beschwerde "begründete prozessuale Fehler" geltend gemacht, zu deren Korrektur ein Gericht berufen wäre. Von einer missbräuchlichen Beschwerdeerhebung könne keine Rede sein. Indem Bundesrichterin Kiss unter Verdrehung der Tatsachen die Beschwerde für unzulässig erklärt habe, sei der Beweis für ihre Parteilichkeit erbracht worden. Würden diese Fehler nicht behoben, habe das schwerwiegende Folgen für den Gesuchsgegner im Hinblick auf eine Anerkennung im Ausland. Bundesrichterin Kiss habe folglich erneut lediglich die Schädigung und Diffamierung des Gesuchstellers im Auge gehabt, aber letztendlich den Gesuchsgegner "reingeritten", anstatt eine neutrale und unbefangene Beurteilung der Beschwerde anzubieten. Es sei damit erstellt, dass Bundesrichterin Kiss und Gerichtsschreiber Widmer das Urteil unter Verletzung der Ausstandspflichten gefällt haben.
3.
3.1. Mit diesen Vorbringen kritisiert der Gesuchsteller weitgehend die tatsächliche und rechtliche Würdigung im Urteil 4A_343/2021 vom 27. Juli 2021. Dazu steht jedoch das Revisionsverfahren nicht zur Verfügung, eröffnet es dem Gesuchsteller doch nicht die Möglichkeit, einen Entscheid, den er für unrichtig hält, neu beurteilen zu lassen (Erwägung 1.3). Dass das Bundesgericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hätte (<ref-law>), macht der Gesuchsteller nicht, zumindest nicht rechtsgenüglich geltend.
3.2. Kein Revisionsgrund besteht aufgrund des Umstandes, dass die am Urteil 4A_343/2021 vom 27. Juli 2021 beteiligten Gerichtspersonen schon an früheren Verfahren des Gesuchstellers mitgewirkt haben (<ref-law>). Ebensowenig zeigt der Gesuchsteller rechtsgenüglich auf, inwiefern ein Revisionsgrund nach Art. 121 - 123 BGG bestünde, indem er geltend macht, dass das Urteil des Bundesgerichts im Ausland nicht anerkannt oder vollstreckt werden könne.
3.3. Der Gesuchsteller behauptet sodann zwar eine Parteilichkeit und fehlende Unabhängigkeit der Bundesrichterin und des Gerichtsschreibers im vorgängigen Beschwerdeverfahren 4A_343/2021. Er zeigt aber nicht ansatzweise auf, inwiefern solches vorliegen würde. Die bloss pauschalen, nicht weiter begründeten Vorwürfe, der Gesuchsteller werde als Ausländer benachteiligt, oder der Verfahrensausgang im Beschwerdeverfahren zeige die Parteilichkeit auf, genügt dafür offensichtlich nicht.
Inwiefern die genannten Gerichtspersonen ein persönliches Interesse in der Sache hätten, oder aus irgendwelchen anderen Gründen in der Sache befangen gewesen sein sollten, legt der Gesuchsteller nicht rechtsgenüglich dar (Erwägung 1.3), und ist im Übrigen auch nicht ersichtlich.
3.4. Ebenfalls keinen Revisionsgrund zeigt der Gesuchsteller schliesslich auf, indem er das Schweizer Justizsystem als solches kritisiert und ohne weitere Begründungen einen Prozessbetrug behauptet. Gleiches gilt, wenn er unerlaubte Machenschaften von Rechtsanwaltschaft und Gerichten oder ein Zusammenspiel zwischen dem Rechtsvertreter des Gesuchsgegners, den kantonalen Gerichten und dem Bundesgericht zu seinen Ungunsten in dem Raum stellt, ohne dies weiter zu begründen, geschweige denn einen Revisionsgrund rechtsgenüglich darzulegen.
4.
Nach dem Ausgeführten ist das Revisionsgesuch abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
5.
Bei diesem Verfahrensausgang wird grundsätzlich der Gesuchsteller kostenpflichtig (<ref-law>). Auf die Erhebung von Gerichtskosten ist ausnahmsweise zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG), womit auch das vom Gesuchsteller gestellte Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gegenstandslos wird.
Der Gesuchsgegner hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da ihm aus dem Revisionsverfahren kein Aufwand erwachsen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben und es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Oktober 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Brugger