Sachverhalt:
A.
Mit Strafurteil des Obergerichts Appenzell Ausserrhoden vom 24. Juni 2003 wurde B._ adhäsionsweise verpflichtet, A._ Fr. 660'000.-- zu bezahlen. Dieses Urteil wurde rechtskräftig. In der Folge bezahlte B._ diesen Betrag nicht. Sie wechselte überdies mehrfach ihren Wohnsitz. Zeitweise wohnte sie im Ausland.
Nachdem sie von einem Wettbewerbsgewinn der Schuldnerin erfahren hatte, stellte A._ am 4./7. September 2019 beim Einzelrichter des Kantonsgerichts Appenzell Ausserrhoden ein Arrestgesuch über Fr. 1'000'000.--. Als Grund der Forderung wurde "Schadenersatz aus Veruntreuung", als Forderungsurkunde das Urteil des Obergerichts vom 24. Juni 2003 und als Arrestgrund <ref-law> angegeben.
Am 27. September 2017 liess A._ die Schuldnerin auf Zahlung von Fr. 660'000.-- plus Zinsen betreiben (Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Appenzeller Vorderland). B._ erhob Rechtsvorschlag. Mit Entscheid vom 5. März 2018 wies die Einzelrichterin des Kantonsgerichts Appenzell Ausserrhoden das Rechtsöffnungsgesuch ab. Gegen dieses Urteil gelangte A._ erfolglos an das Obergericht Appenzell Ausserrhoden und das Bundesgericht (vgl. Urteil 5A_730/2018 vom 25. März 2019). Mit Verfü gung vom 11. Juni 2019 wurde der Arrest vom Betreibungsamt Appenzeller Vorderland aufgehoben.
B.
Am 5. Juni 2019 stellte A._ ein zweites Arrestgesuch, in welchem sie beim Kantonsgericht Appenzell Ausserrhoden die Arrestlegung auf einen beim Betreibungsamt Appenzeller Vorderland lagernden Betrag von Fr. 1'000'000.-- verlangte. Auf Beschwerde hin wurde der vom Kantonsgericht verweigerte Arrest vom Obergericht mit Entscheid vom 15. Juli 2019 bewilligt. Am 22. Januar 2020 hiess das Kantonsgericht die von B._ gegen die Bewilligung des Arrests erhobene Einsprache gut. A._ erhob daraufhin beim Obergericht Appenzell Ausserrhoden Beschwerde, welches diese mit Urteil vom 7. April 2020 abwies.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 5. Mai 2020 ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin beantragt, der Entscheid des Obergerichts sei aufzuheben und die Arresteinsprache von B._ (Beschwerdegegnerin) abzuweisen.
Die Beschwerdeführerin stellt ein Gesuch um aufschiebende Wirkung, welchem sich die Beschwerdegegnerin nicht widersetzt. Mit Präsidialver fügung vom 24. Juni 2020 ist der Beschwerde die aufschiebende Wirkung gewährt worden.
Es sind die Akten, indes keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist - binnen Frist (<ref-law>) - ein kantonal letztinstanzlicher Arresteinspracheentscheid mit Fr. 30'000.-- übersteigendem Streitwert; die Beschwerde in Zivilsachen ist insoweit gegeben (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 1 lit. b, Art. 75 und Art. 90 BGG).
1.2. Arresteinspracheentscheide sind Entscheide über vorsorgliche Massnahmen im Sinne von <ref-law>; demnach kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von <ref-law> in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4 S. 400 f.; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen). Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234 mit Hinweisen).
2.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung ihres Anspruchs auf ein unabhängiges und unparteiisches Gericht nach <ref-law>.
2.1. Die Vorinstanz hat dazu erwogen, es möge auf einen ersten, kurzen Blick besonders erscheinen, dass die Einzelrichterin der ersten Instanz eine Einsprache gegen einen Entscheid des Einzelrichters der zweiten Instanz beurteile. Dies sei aber unproblematisch, weil im Einspracheverfahren nicht der Arrestbewilligungsentscheid überprüft, sondern aufgrund aller Vorbringen der verschiedenen Parteien erneut über das Arrestgesuch entschieden werde. Damit sei den Einwänden unter dem Titel "Befangenheit" und "Vorbefassung" von vornherein der Boden entzogen.
2.2. Die Beschwerdeführerin hält dem entgegen, die Erstinstanz habe in einem vorangegangen Verfahren ein Fehlurteil gefällt, welches durch das Obergericht habe korrigiert werden müssen. Der Aspekt der Befangenheit und Parteilichkeit sei offensichtlich. Im Übrigen sei es doch zweifellos wesensfremd, wenn eine untere Instanz, deren Entscheid angefochten wurde, über den Gegenstand, welcher der Rechtsmittelinstanz vorgelegt worden sei, entscheiden könne.
2.3. Nach <ref-law> hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unabhängigen und unparteiischen Gericht ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Die Garantie des verfassungsmässigen Richters ist verletzt, wenn bei objektiver Betrachtungsweise Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen (<ref-ruling> E. 2 S. 15; <ref-ruling> E. 3.4 S. 116).
2.4. Die Einsprache gegen den Arrestbefehl (<ref-law>) soll den vom Arrest Betroffenen nachträglich rechtliches Gehör verschaffen (STOFFEL/CHABLOZ, Voies d'exécution, 3. Aufl. 2016, § 8 Rz 94; AMONN/WALTHER, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 9. Aufl. 2013, § 51 Rz. 64). Die Voraussetzungen des Arrestes sind in der Folge im Lichte der vorgetragenen Einsprachegründe zu prüfen (<ref-ruling> E. 4.2.3 S. 471 f.). Wird der Arrest erst in einem Rechtsmittelverfahren bewilligt, ist die Einsprache - wie die Vorinstanz ohne Verfassungsverletzung annehmen durfte - gleichwohl beim Arrestrichter der ersten Instanz zu erheben, weil der Einsprecher andernfalls des bundesrechtlich vorgeschriebenen Instanzenzugs (<ref-law>) verlustig ginge (ARTHO VON GUNTEN, Die Arresteinsprache, 2001, S. 34; WEINGART, Arrestabwehr - Die Stellung des Schuldners und des Dritten im Arrestverfahren, 2015, § 8 Rz. 387; VOCK/MEISTER-MÜLLER, SchKG-Klagen nach der schweizerischen ZPO, 2. Aufl. 2018, S. 329; KREN KOSTKIEWICZ, in: Schulthess Kommentar SchKG, 2017, N. 11 zu <ref-law>; REISER, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 2 und 28 zu <ref-law>; BOLLER, Abwehrmassnahmen: Arresteinsprache und Beschwerde, in: ZZZ 2017/2018 S. 45). Der blosse Umstand, dass der Entscheid des erstinstanzlichen Richters über das Arrestbegehren (<ref-law>) von der oberen Instanz aufgehoben worden ist, rechtfertigt es dabei entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin nicht, den erstinstanzlichen Richter im Einspracheverfahren als befangen abzulehnen (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 74; <ref-ruling> E. 2 S. 408 ff.; HUNGERBÜHLER, Rechtsmittel und Rechtsbehelfe beim Arrest unter besonderer Berücksichtigung des Steuerarrestes und des Arrestes nach <ref-law>, ZZZ 2005 S. 208). Die Rüge der Verletzung von <ref-law> erweist sich als unbegründet.
3.
Weitere verfassungsmässige Rechte werden von der Beschwerdeführerin nicht angerufen. Soweit sie geltend macht, der angefochtene Entscheid verletze <ref-law>, was im Sinne von <ref-law> gerügt sei, mangelt es an einem zulässigen Rügegrund. Die Beschwerdeführerin übersieht, dass die Anwendung von Bundesrecht im Rahmen von <ref-law> nur auf Willkür hin geprüft werden kann (Urteil 5A_261/2009 vom 1. September 2009 E. 1.2, nicht veröffentlicht in: <ref-ruling>) und für alle Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte das strenge Rügeprinzip gilt (<ref-law>). Der von der Beschwerdeführerin angeführte <ref-law> ist - worauf in Erwägung 1.9 des angefochtenen Entscheids bereits die Vorinstanz hingewiesen hat - auf Beschwerden gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen nicht anwendbar (vorne E. 1.2).
4.
Aus den dargelegten Gründen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Ausgangsgemäss sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Der Gegenpartei ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht Appenzell Ausserrhoden, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. September 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss