Faits :
A.
A.a. Par ordonnance pénale du 7 novembre 2020, le Ministère public de la République et canton de Genève a condamné A._ pour violence ou menace contre les autorités et les fonctionnaires (<ref-law>) et d'empêchement d'accomplir un acte officiel (<ref-law>); A._ a formé opposition contre cette ordonnance.
Il lui est reproché d'avoir, le même jour, vers 1h du matin, au Petit Lancy, de concert avec des tiers, menacé les forces de police alors qu'elles procédaient à l'interpellation de B._, refusé de reculer malgré les sommations de police, et pris la fuite malgré les injonctions de police.
A.b. Le 7 novembre 2020, un document de deux pages intitulé " mandat pour la saisie des données signalétiques (<ref-law>) et prélèvement de l'ADN (<ref-law>) - Majeur " a été présenté à A._.
Avant d'être mis en liberté le même jour, ce dernier a signé la première page de ce document, acceptant ainsi la saisie de ses données signalétiques et le prélèvement d'un échantillon de son ADN par un frottis de la muqueuse jugale et confirmant avoir lu la " présente feuille d'information et avoir pris note des indications y figurant ".
A.c. Le 9 novembre 2020, le Ministère public a ordonné l'établissement du profil d'ADN de A._ en remplissant les cases prévus à cet effet sur la seconde page du mandat précité. Outre les cases à remplir mentionnant le lieu, la date, le nom du Procureur et la signature que ce dernier doit apposer, cette seconde page contient des informations concernant les mesures que peuvent prendre la police et le Ministère public relativement aux données signalétiques, au prélèvement d'un échantillon d'ADN et à l'établissement d'un profil sur la base de ce prélèvement; les voies de recours contre ces mesures sont également mentionnées.
B.
Par arrêt du 15 septembre 2021, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève a déclaré irrecevable, car tardif, le recours déposé le 7 juin 2021 par A._ contre l'ordonnance du 9 novembre 2020.
C.
Par acte du 18 octobre 2021, A._ forme un recours en matière pénale par lequel il demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt entrepris et de renvoyer la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Subsidiairement, il requiert l'annulation de l'arrêt attaqué et de la décision du Ministère public du 9 novembre 2020 ainsi que la destruction des échantillons prélevés. Il sollicite également l'assistance judiciaire.
Invités à se déterminer, le Tribunal cantonal se réfère à ses considérants tandis que le Ministère public conclut au rejet du recours. Le recourant maintient ses conclusions.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office (<ref-law>) et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 2).
1.1. Le recours est dirigé contre une décision d'irrecevabilité prise en dernière instance cantonale (<ref-law>) dans le cadre d'une procédure pénale. Le recours en matière pénale, au sens de l'<ref-law>, est donc en principe ouvert.
1.2. Indépendamment de la nature de la décision, l'auteur d'un recours déclaré irrecevable en dernière instance cantonale a qualité, au sens de l'<ref-law>, pour contester ce prononcé. Lorsqu'un recours porte sur la question de l'existence même d'un recours cantonal, ce qui est le cas en l'espèce, le recours auprès du Tribunal fédéral est en principe recevable indépendamment de l'exigence d'un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law> (arrêt 1B_485/2021 du 26 novembre 2021 consid. 1.2 et les références citées). Seule la question de la recevabilité du recours peut cependant être portée devant le Tribunal fédéral (cf. arrêt 1B_362/2021 du 6 septembre 2021 consid. 1.2), ce qui rend en l'occurrence irrecevables les conclusions subsidiaires prises par le recourant visant à la réforme de l'arrêt attaqué. Pour le surplus, le recours a été déposé en temps utile (<ref-law>).
1.3. Partant, il y a lieu d'entrer en matière dans la mesure précitée.
2.
Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.1.2; <ref-ruling> consid. 3; arrêt 1B_409/2021 du 3 janvier 2022 consid. 2). Il s'ensuit que la pièce nouvelle produite par le recourant le 14 janvier 2022 et datée du 11 janvier 2022 est irrecevable.
3.
Le recourant se plaint d'arbitraire dans l'établissement des faits et de violation des art. 85 et 384 CPP. Il reproche à la cour cantonale d'avoir jugé que son recours était tardif, au prétendu motif que l'ordonnance d'établissement de son profil d'ADN datée du 9 novembre 2020 lui avait avait notifiée le 7 novembre 2020 alors qu'elle ne lui aurait en réalité jamais été communiquée. Il soutient n'en avoir pris connaissance que lors de la consultation de son dossier, soit le 28 mai 2021.
3.1. Il convient tout d'abord de différencier l'ordonnance de prélèvement d'un échantillon d'ADN sur une personne vivante de celle de l'établissement du profil d'ADN de cette dernière.
3.1.1. L'<ref-law> permet de prélever un échantillon et d'établir le profil ADN du prévenu pour élucider un crime ou un délit; il n'autorise toutefois pas le prélèvement d'échantillons d'ADN et leur analyse de manière systématique (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 3.4; arrêt 1B_409/2021 du 3 janvier 2022 consid. 4.1).
3.1.2. L'ordonnance de prélèvement d'un échantillon d'ADN permet de récolter du matériel biologique sur une personne en vue de l'établissement d'un profil d'ADN; le prélèvement peut être non invasif, soit sans blessure de la peau (p. ex. par le biais d'un frottis de la muqueuse jugale), ou invasif, soit impliquant une blessure de la peau (p. ex. par prise de sang; cf. Message du Conseil fédéral du 8 novembre 2000 relatif à la loi fédérale sur l'utilisation de profils d'ADN dans le cadre d'une procédure pénale et sur l'identification de personnes inconnues ou disparues, FF 2001 19, ch. 2.1.1 p. 26). La police peut ordonner et effectuer le prélèvement non invasif d'échantillons (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.3.2; cf. Message du Conseil fédéral du 21 décembre 2005 relatif à l'unification du droit de la procédure pénale, FF 2005 1057 ss, ch. 2.5.5 p. 1223). Quant au prélèvement invasif d'échantillons, il ne peut être ordonner que par le ministère public ou le tribunal et doit être effectué par un médecin (art. 255 al. 2 let. b; cf. Sandrine Rohmer/Joëlle Vuille, in Commentaire romand, Code de procédure pénale suisse, 2 e éd. 2019, n° 25 ad <ref-law>; Christoph Fricker/Stefan Maeder, in Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2e éd. 2014, n° 23 ss ad <ref-law>).
3.1.3. L'ordonnance d'établissement d'un profil d'ADN permet d'utiliser l'échantillon d'ADN afin d'établir la combinaison alphanumérique de la personne sur laquelle celui-ci a été prélevé à l'aide de techniques relevant du domaine de la biologie moléculaire, à partir des segments non codants de la molécule d'ADN dans le but de pouvoir l'identifier de manière indiscutable (cf. Message du Conseil fédéral du 8 novembre 2000 relatif à la loi fédérale sur l'utilisation de profils d'ADN dans le cadre d'une procédure pénale et sur l'identification de personnes inconnues ou disparues, FF 2001 19, ch. 2.1.1 p. 26). L'établissement d'un profil d'ADN peut être ordonné par le ministère public ou les tribunaux (<ref-ruling> consid. 1.3.2; cf. Message du Conseil fédéral du 21 décembre 2005 relatif à l'unification du droit de la procédure pénale, FF 2005 1057 ss, ch. 2.5.5 p. 1223; Christoph Fricker/Stefan Maeder, op. cit., n° 29 ad <ref-law>; Sandrine Rohmer/Joëlle Vuille, op. cit., n° 25 sv. ad <ref-law>). Le ministère public ne peut pas transférer cette compétence à la police par la voie de directives générales émises par le ministère public (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.2 et 1.4.2).
3.2. En l'occurrence, la cour cantonale a retenu que le recourant avait eu connaissance du mandat de prélèvement le 7 novembre 2020, date à laquelle il l'avait signé et le prélèvement avait été effectué. C'est pourquoi, elle a jugé que le recours formé le 28 mai 2021 contre l'ordonnance d'établissement du profil d'ADN était tardif et l'a déclaré irrecevable. L'instance inférieure a ainsi considéré que les ordonnances de prélèvement et d'établissement du profil d'ADN du recourant avaient été notifiées le même jour, soit le 7 novembre 2020.
Toutefois, contrairement à ce qu'a retenu la cour cantonale, seule l'ordonnance de prélèvement d'un échantillon d'ADN a été rendue, mise en oeuvre et notifiée par la police ce jour-là. En effet, cette dernière n'avait pas la compétence pour ordonner l'analyse de l'échantillon prélevé. L'ordre de procéder à cette analyse et d'établir le profil d'ADN du recourant n'a été rendu, par écrit, que deux jours plus tard, soit le 9 novembre 2020, lorsque le procureur a signé la seconde page du " mandat pour la saisie des données signalétiques (<ref-law>) et prélèvement de l'ADN (<ref-law>) ".
3.3. Le recourant forme un recours limité à l'ordonnance d'établissement de son profil d'ADN. Partant et contrairement à ce qu'a retenu la cour cantonale, la notification de l'ordonnance de prélèvement d'un échantillon d'ADN intervenue le 7 novembre 2020 n'est pas pertinente pour l'issue du litige: seule la date de communication de l'ordonnance entreprise rendue par écrit le 9 novembre 2020 permet de déterminer si le recours déposé le 7 juin 2021 est tardif ou non.
3.3.1. Selon l'<ref-law>, les communications des autorités pénales sont notifiées en la forme écrite. Celles-ci notifient leurs prononcés par lettre signature ou par tout autre mode de communication impliquant un accusé de réception, notamment par l'entremise de la police (<ref-law>; arrêt 1B_436/2021 du 6 janvier 2022 consid. 3.1).
3.3.2. En principe, les prononcés et ordonnances, qui n'ont pas été notifiés en respect de la forme prescrite, ne déploient aucun effet juridique (<ref-ruling> consid. 3a/bb). Le fardeau de la preuve de la notification, ainsi que de la date de celle-ci incombent à l'autorité qui entend s'en prévaloir pour tirer des conséquences juridiques (<ref-ruling> consid. 5.9; <ref-ruling> consid. 2.2; arrêt 1B_41/2016 du 24 février 2016 consid. 2.2). Cependant, la jurisprudence n'attache pas nécessairement la nullité à l'existence de vices dans la notification; la protection des parties peut ainsi être suffisamment assurée lorsque la notification irrégulière a atteint son but malgré cette irrégularité. Si l'accès à la communication est assuré (par un autre biais), il paraît ainsi de moindre importance, voire sans importance, que la forme de la notification - qui tend avant tout à assurer la protection du destinataire (droit à l'information) - puisse être invalide au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 3; arrêts 1B_41/2016 du 24 février 2016 consid. 2.2; 6B_390/2013 du 6 février 2014 consid. 2.3.2 et les références citées).
3.3.3. Conformément à l'<ref-law>, le délai de recours commence à courir, pour les autres décisions, dès la notification de celles-ci. Selon l'<ref-law>, le recours contre les décisions notifiées par écrit ou oralement est motivé et adressé par écrit, dans le délai de dix jours, à l'autorité de recours.
3.4. En l'occurrence, l'ordonnance du 9 novembre 2020 n'a pas été communiquée au recourant; la cour cantonale n'a pas tenu compte de ce fait de façon arbitraire (<ref-law>; cf. ATF 146 I IV 88 consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 1.1; arrêt 1B_409/2021 du 3 janvier 2022 consid. 2). L'ordonnance litigieuse n'a ainsi pas été notifiée au recourant conformément à l'<ref-law>. Contrairement à ce que soutient le ministère public, la signature du mandat le 7 novembre 2020 par le recourant n'y change rien: elle n'a aucune influence sur l'obligation légale de notification qui, faute d'une quelconque communication de l'ordonnance entreprise, n'a pas été remplie en l'espèce. Dans tous les cas, cette argumentation tombe à faux: une décision ne peut pas être notifiée avant d'avoir été rendue par l'autorité compétente. En outre, le ministère public ne saurait prétendre qu'il appartenait au recourant de s'enquérir de la prise d'une décision à l'égard de son profil d'ADN au vu de l'<ref-law>.
Faute de notification, le délai de recours a commencé à courir au plus tôt le lendemain du jour où le recourant a pris connaissance de l'ordonnance litigieuse par un autre biais. En l'espèce, cette prise de connaissance est survenue lorsque le recourant a consulté son dossier le 28 mai 2021; cet élément de fait a été omis arbitrairement par la cour cantonale (<ref-law>; cf. ATF 146 I IV 88 consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 1.1; arrêt 1B_409/2021 du 3 janvier 2022 consid. 2). Partant, le délai de recours a commencé à courir au plus tôt le lendemain, soit le 29 mai 2021. Le recours a été déposé le 7 juin 2021, soit dans le délai de 10 jours prévu par l'<ref-law>: il est ainsi recevable.
3.5. Au vu de ce qui précède, en déclarant irrecevable, car tardif, le recours déposé le 7 juin 2021 par le recourant contre l'ordonnance d'établissement de son profil d'ADN rendue le 9 novembre 2020 et communiquée au plus tôt le 29 mai 2021, la cour cantonale est tombée dans l'arbitraire et a violé le droit fédéral. Compte tenu de cette issue, il n'y a pas lieu d'examiner les autres griefs soulevés par le recourant.
4.
Par conséquent, le recours doit être admis. L'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle examine, au fond, le recours cantonal formé le 7 juin 2021 contre l'ordonnance d'établissement du profil d'ADN du recourant. Il appartiendra aussi à cette autorité de statuer à nouveau sur les frais et indemnités de la procédure cantonale (cf. <ref-law>).
Il n'est pas perçu de frais judiciaires (<ref-law>). Le recourant, assisté par un mandataire professionnel, a droit à des dépens à la charge de la République et canton de Genève (<ref-law>). La requête d'assistance judiciaire est par conséquent sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. L'arrêt du 15 septembre 2021 de la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève est annulé et la cause est renvoyée à cette autorité pour qu'elle procède au sens des considérants.
2.
La requête d'assistance judiciaire est sans objet.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Une indemnité de dépens de 2'500 fr. pour la procédure fédérale est allouée au mandataire du recourant à la charge de la République et canton de Genève.
5.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Ministère public de la République et canton de Genève et à la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 22 février 2022
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant : Jametti
La Greffière : Nasel