Erwägungen:
1.
Das Bezirksgericht Zürich stellte mit Urteil vom 11. September 2018 fest, dass A._ den Tatbestand der vorsätzlichen Tötung nach <ref-law> im Zustand der nicht selbst verschuldeten Schuldunfähigkeit erfüllt habe und erkannte, er sei der Störung des Totenfriedens im Sinne von <ref-law> schuldig. Das Bezirksgericht bestrafte ihn mit 22 Monaten Freiheitsstrafe, welche durch die Haft bereits erstanden war, und ordnete eine stationäre therapeutische Massnahme im Sinne von <ref-law> (Behandlung von psychischen Störungen) an.
2.
A._ meldete gegen das Urteil des Bezirksgerichts Zürich mit Schreiben vom 18. September 2018 Berufung an. Gleichzeitig ersuchte A._ beim Bezirksgericht Zürich um Wechsel der amtlichen Verteidigung und der amtliche Verteidiger um Entlassung aus seinem Amt. Das Bezirksgericht Zürich wies beide Gesuche mit Verfügung vom 26. September 2018 ab. Dagegen erhob A._ Beschwerde und ersuchte um Auswechslung seines amtlichen Verteidigers. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich wies die Beschwerde mit Beschluss vom 1. November 2018 ab. Zur Begründung führte sie zusammenfassend aus, dass keine konkreten und objektiven Hinweise auf eine relevante Störung des Vertrauensverhältnisses zwischen A._ und seinem amtlichen Verteidiger ersichtlich seien.
3.
A._ führt mit Eingabe vom 12. November 2018 an das Bundesgericht und mit einer zweiten Eingabe vom gleichen Tag an das Bundesstrafgericht Beschwerde gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Das Bundesstrafgericht überwies die bei ihm eingegangene Eingabe mit Schreiben vom 13. November 2018 zur weiteren Behandlung an das Bundesgericht, welches auf die Einholung von Vernehmlassungen verzichtete.
4.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer setzt sich nicht mit den Ausführungen der III. Strafkammer auseinander, die zur Abweisung seiner Beschwerde führte. Er vermag mit der Darstellung seiner Sicht der Dinge nicht ansatzweise aufzuzeigen, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer bzw. deren Beschluss selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
5.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft IV des Kantons Zürich, dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, und Rechtsanwalt B._, Zollikon, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. November 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli