Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.
Nach Strafanzeigen des Beschwerdeführers vom 12. und 20. Februar 2019, 5. März 2019 sowie 2. Mai 2019 wegen Drohung, Nötigung, Beschimpfung, Ehrverletzung und Missbrauchs einer Fernmeldeanlage nahm die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat das Strafverfahren am 13. Mai 2019 nicht an die Hand. Eine dagegen gerichtete Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich am 2. Oktober 2019 ab. Gleichentags wies es auch das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren ab.
Der Beschwerdeführer wendet sich an das Bundesgericht.
2.
Die Privatklägerschaft ist zur Beschwerde in Strafsachen nur legitimiert, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Die beschwerdeführende Partei hat im bundesgerichtlichen Verfahren ihre Beschwerdelegitimation darzulegen. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation der Privatklägerschaft strenge Anforderungen (<ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer äussert sich vor Bundesgericht zur Legitimation als Privatkläger und zur Frage der Zivilforderung nicht. Er benennt keinerlei Zivilansprüche, die ihm unmittelbar aufgrund der angeblichen Straftaten zustehen könnten, und zeigt insbesondere auch nicht auf, inwiefern sich der abschliessende Beschluss des Obergerichts über die Nichtanhandnahme des Strafverfahrens auf allfällige Zivilansprüche auswirken könnte. Um welche konkreten zivilrechtlichen Ansprüche es gehen könnte, ist aufgrund der Natur der Vorwürfe auch nicht ohne Weiteres ersichtlich. Die Beschwerde genügt damit den Begründungsanforderungen an die Legitimation im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG nicht. Der Beschwerdeführer ist folglich in der Sache nicht zur Beschwerde legitimiert.
3.
3.1. Der Privatkläger kann unbekümmert um die fehlende Legitimation in der Sache selbst die Verletzung von Verfahrensrechten geltend machen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt. Zulässig sind Rügen formeller Natur, die von der Prüfung der Sache getrennt werden können. Nicht zu hören sind Rügen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 5; <ref-ruling> E. 2 S. 250; je mit Hinweisen). Soweit eine Rüge zulässig ist, ist klar und detailliert darzulegen, inwieweit das angerufene Recht verletzt worden sein soll (<ref-law>; <ref-law>).
3.2. Der Beschwerdeführer macht eine Verletzung seines Teilnahmerechts geltend. Er habe keine Kenntnis vom Einvernahmetermin der beschuldigten Person gehabt. Entsprechend habe er an deren Befragung nicht anwesend sein und auch keine Ergänzungsfragen stellen können. Die Rüge ist unbegründet. Die beschuldigte Person wurde im Auftrag der Staatsanwaltschaft durch die Kantonspolizei befragt. Der Zweck der Befragung bestand darin abzuklären, ob überhaupt ein hinreichender Tatverdacht besteht, der eine Verfahrenseröffnung rechtfertigt. Staatsanwaltliche Untersuchungshandlungen fanden hingegen nicht statt und ein Verfahren bzw. eine Untersuchung wurde nicht eröffnet. Dem Beschwerdeführer stand folglich auch (noch) kein Teilnahmerecht zu, welches die Vorinstanzen hätten verletzen können. Daran ändert nichts, dass die polizeiliche Befragung der beschuldigten Person im Auftrag der Staatsanwaltschaft nach <ref-law> erfolgte (Urteil 6B_673/2019 vom 31. Oktober 2019 E. 2.2 mit weiteren Hinweisen). Dass und weshalb vorliegend eine Einstellung und nicht eine Nichtanhandnahme hätte erfolgen sollen, ist unter den konkreten Umständen im Übrigen weder ersichtlich noch dargetan.
3.3. Der Beschwerdeführer bringt weiter sinngemäss vor, Akteneinsicht verlangt, aber nicht bekommen zu haben. Soweit ersichtlich, erhebt er dieses Vorbringen erstmals im bundesgerichtlichen Verfahren, weshalb darauf grundsätzlich nicht einzutreten ist. Im Übrigen ist es unbegründet. Aus den kantonalen Akten geht hervor, dass der Beschwerdeführer auf sein Gesuch hin von der Staatsanwaltschaft eingeladen wurde, einen Termin zur Akteneinsicht zu vereinbaren (kantonale Akten, Staatsanwaltschaft, act. 13). Ob er hievon Gebrauch machte, ist und war seine Sache. Dass ihm Einsicht in die Akten verweigert wurde, trifft jedenfalls nicht zu.
3.4. Die Vorinstanz beurteilte den Vorwurf der Rechtsverweigerung im angefochtenen Beschluss als haltlos. Vor Bundesgericht stellt sich der Beschwerdeführer auf den Standpunkt, sein Vorwurf wäre berechtigt gewesen. Indessen legt er nicht rechtsgenüglich dar, inwiefern die Vorinstanz mit ihren Erwägungen gegen das Recht im Sinne von <ref-law> verstossen haben könnte. Der von ihm eingereichte Zahlungsbefehl vom 30. April 2019 stellt ein unzulässiges Novum dar (<ref-law>). Im Übrigen zielt die Frage, ob die beschuldigte Person erneut befragt und das Ermittlungsverfahren im Zusammenhang mit der Strafanzeige vom 2. Mai 2019 ausgeweitet hätte werden müssen, auf eine materielle Prüfung der Sache ab, was unzulässig ist.
3.5. Der Beschwerdeführer kritisiert die Verweigerung der unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Beschwerdeverfahren. Indessen bringt er nichts vor, was die vorinstanzliche Einschätzung der Aussichtslosigkeit seines Rechtsmittels in Frage stellen könnte. Soweit er die Kostenauflage in Höhe von Fr. 750.-- beanstandet, vermag er nicht zu sagen, inwiefern die Vorinstanz <ref-law> und § 17 Abs. 1 und § 2 Abs. 1 GebV OG rechtsfehlerhaft oder willkürlich angewandt haben könnte.
4.
Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet und ist im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen, soweit darauf überhaupt einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ist abzuweisen, da die Beschwerde von vornherein aussichtslos war (<ref-law>). Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist mit herabgesetzten Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Januar 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill