Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1972) ist Staatsangehöriger Jamaikas. Er reiste im Januar 2006 in die Schweiz ein. Nach der Heirat mit einer Schweizer Staatsangehörigen wurde ihm zunächst eine wiederholt verlängerte Aufenthaltsbewilligung erteilt; sodann erhielt er im April 2011 die Niederlassungsbewilligung. Die Ehe, aus welcher im Jahr 2008 ein Sohn hervorgegangen war, wurde am 8. Dezember 2014 geschieden und das Kind unter die Obhut der Mutter gestellt.
A.b. Neben anderen Verfehlungen wurde A._ im April 2017 wegen eines Verbrechens im Sinne des Bundesgesetzes über die Betäubungsmittel und die psychotropen Stoffe (BetmG, SR 812.121) zu einer Freiheitsstrafe von 17 Monaten verurteilt. Das Migrationsamt des Kantons Zürich (nachfolgend: das Migrationsamt) widerrief deshalb mit Verfügung vom 10. Juli 2018 A._' Niederlassungsbewilligung. Mehrere Monate nach Ablauf der Rekursfrist gelangte A._ gegen diese Anordnung an die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich (nachfolgend: die Sicherheitsdirektion), welche die Wiederherstellung der Rekursfrist mit Entscheid vom 5. März 2019 ablehnte und auf den Rekurs nicht eintrat. Der Entscheid der Sicherheitsdirektion vom 5. März 2019 wurde vom Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 10. Juni 2019 und vom Bundesgericht mit Urteil 2C_699/2019 vom 10. Januar 2020 geschützt.
A.c. Am 28. Februar 2020 ersuchte A._ das Migrationsamt um Wiedererwägung der Verfügung vom 10. Juli 2018 und um Wiedererteilung der Niederlassungsbewilligung bzw. eventualiter Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung. Auf dieses Gesuch trat das Migrationsamt mit Verfügung vom 15. April 2020 nicht ein. Gleich verfuhr die Sicherheitsdirektion am 12. November 2020 mit dem gegen die Verfügung vom 15. April 2020 nach Ablauf der Rechtsmittelfrist erhobenen Rekurs. Das Verwaltungsgericht bestätigte den Nichteintretensentscheid der Sicherheitsdirektion vom 12. November 2020 mit Urteil vom 16. Januar 2021. Der Entscheid ist rechtskräftig.
B.
Am 2. Februar 2021 ersuchte A._ das Migrationsamt erneut um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung. Mit Verfügung vom 8. März 2021 trat das Migrationsamt auf dieses Gesuch nicht ein und hielt A._ zum unverzüglichen Verlassen der Schweiz an. Einen gegen diese Verfügung erhobenen Rekurs wies die Sicherheitsdirektion mit Entscheid vom 12. April 2021 ab. Das Verwaltungsgericht bestätigte diesen Entscheid mit Urteil vom 26. August 2021.
C.
Mit französisch abgefasster Eingabe vom 20. Oktober 2021 erhebt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bzw. subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht. Unter dem Titel der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ersucht er um Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts vom 26. August 2021 und um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung; eventualiter sei die Angelegenheit zu ergänzender Instruktion im Sinne der Erwägungen an das Migrationsamt zurückzuweisen. Unter dem Titel der subsidiären Verfassungsbeschwerde beantragt A._, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 26. August 2021 aufzuheben und die Verletzung von Verfassungsgarantien festzustellen. Prozessual ersucht er das Bundesgericht ferner darum, in Anwendung von Art. 62 Abs. 1 und 2 BGG auf die Erhebung eines Kostenvorschusses zu verzichten.
Das Bundesgericht hat auf Instruktionsmassnahmen verzichtet.

Erwägungen:
1.
Das bundesgerichtliche Verfahren wird in einer der Amtssprachen geführt, in der Regel in der Sprache des angefochtenen Entscheids. Verwenden die Parteien eine andere Amtssprache, so kann das Verfahren in dieser Sprache geführt werden (<ref-law>).
Die vom Rechtsvertreter des Beschwerdeführers eingereichte Beschwerde ist zwar auf Französisch abgefasst. Dass der Beschwerdeführer persönlich der deutschen Sprache nicht mächtig wäre, ist jedoch nicht ersichtlich. Es besteht kein Anlass, von der Regel nach <ref-law> vorliegend abzuweichen.
2.
2.1. Die Verfügung ist zugleich Ausgangspunkt und äusserster Rahmen des daran anschliessenden Verwaltungsrechtsstreits (vgl. CHRISTOPH AUER, Streitgegenstand und Rügeprinzip im Spannungsfeld der verwaltungsrechtlichen Prozessmaximen, 1997, S. 35 mit Hinweis). Im Laufe des Verfahrens kann der derart umrissene Streitgegenstand nur eingeschränkt, nicht jedoch ausgeweitet werden (vgl. Urteil 2C_882/2014 vom 13. April 2015 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Dem Bundesgericht kann daher vorliegend nur die Frage unterbreitet werden, ob das Verwaltungsgericht den von der Sicherheitsdirektion geschützten Nichteintretensentscheid des Migrationsamts zu Recht bestätigt hat. Hingegen fällt ausser Betracht, dem Beschwerdeführer eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen; auf den entsprechenden Antrag ist nicht einzutreten.
2.2. Da der Sohn des Beschwerdeführers Schweizer Staatsangehöriger ist (vgl. Bst. A.a hiervor), lässt sich zumindest nicht ausschliessen, dass ein Aufenthaltsanspruch vorliegend aus Art. 8 Ziff. 1 EMRK abgeleitet werden kann (sog. umgekehrter Familiennachzug; vgl. Urteile 2C_313/2021 vom 19. Oktober 2021 E. 1.3; 2C_663/2020 vom 2. März 2021 E. 1). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist damit zulässig, soweit um Rückweisung der Angelegenheit zu materieller Prüfung an die kantonalen Instanzen ersucht wird (<ref-law>, <ref-law> e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde des hierzu legitimierten Beschwerdeführers ist insoweit einzutreten.
2.3. Für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde besteht bei dieser Ausgangslage (vgl. E. 2.2 hiervor) kein Raum (<ref-law>). Darauf ist nicht einzutreten.
3.
3.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Parteien (<ref-law>) prüft es jedoch nur die vorgebrachten Rügen, sofern rechtliche Mängel nicht geradezu ins Auge springen (BGE 144 V 3488 E. 2).
3.2. Seinem Urteil legt das Bundesgericht den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, die Feststellungen der Vorinstanz seien offensichtlich unrichtig oder beruhten auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (<ref-law>). Offensichtlich unrichtig ist die Feststellung des Sachverhalts, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 4.1.2). Eine entsprechende Rüge ist hinreichend zu substanziieren (<ref-law>).
4.
Strittig ist vorliegend, ob der Beschwerdeführer Anspruch auf materielle Prüfung seines Gesuchs um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung hat, oder ob das Migrationsamt auf das entsprechende Gesuch zu Recht nicht eingetreten ist.
4.1. Die frühere Aufenthaltsberechtigung des Beschwerdeführers wurde mit dem Urteil 2C_699/2019 vom 10. Januar 2020 rechtskräftig (<ref-law>) beendet. Seit diesem Urteil hat der Beschwerdeführer kein Aufenthaltsrecht mehr in der Schweiz. Beim nun gestellten Wiedererwägungsgesuch geht es nicht um ein Wiederaufleben der früheren Bewilligung; ersucht wird vielmehr um eine neue Bewilligung, was voraussetzt, dass im Zeitpunkt ihrer Erteilung die dannzumal geltenden Bewilligungsvoraussetzungen erfüllt sind (Urteile 2C_572/2020 vom 22. Oktober 2020 E. 1.3; 2C_1000/2019 vom 8. Mai 2020 E. 3.2).
4.2. Ist eine früher bestehende Bewilligung widerrufen bzw. nicht verlängert worden, so kann zwar grundsätzlich jederzeit ein Gesuch um eine neue Bewilligung gestellt werden. Ein neues Gesuch darf aber nicht dazu dienen, rechtskräftige Entscheide immer wieder infrage zu stellen. Die Verwaltungsbehörde ist von Verfassungs wegen nur verpflichtet, auf ein neues Gesuch einzutreten, wenn die Umstände sich seit dem ersten Entscheid wesentlich geändert haben oder der Gesuchsteller erhebliche Tatsachen und Beweismittel namhaft macht, die ihm im früheren Verfahren nicht bekannt waren oder die schon damals geltend zu machen für ihn rechtlich oder tatsächlich unmöglich war oder keine Veranlassung bestand (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2b). Eine wesentliche Änderung der rechtserheblichen Sachumstände und damit ein Anspruch auf Neubefassung besteht nur, falls die geltend gemachten Veränderungen geeignet sind, zu einem anderen Resultat zu führen; gestützt auf die neuen Elemente muss für die betroffene Person ein günstigeres Ergebnis ernsthaft in Betracht fallen (<ref-ruling> E. 2.2.1; Urteil 2C_977/2017 vom 6. Juni 2018 E. 3). Ausgangspunkt für die Beurteilung, ob sich die Umstände verändert haben, ist der Zeitpunkt des letztinstanzlichen kantonalen Entscheids (vgl. Urteile 2C_663/2020 vom 2. März 2021 E. 3.4; 2C_572/2020 vom 22. Oktober 2020 E. 3.2; 2C_883/2018 vom 21. März 2019 E. 4.5).
4.3. Wer einer rechtskräftigen Ausreiseanordnung nicht nachkommt, sondern im Lande verbleibt und einfach ein neues Gesuch stellt, kann nur ausnahmsweise einen Anspruch auf Neubeurteilung geltend machen (vgl. Urteil 2C_13/2020 vom 8. Mai 2020 E. 5.3.2). Neue Sachumstände, die sich nur dadurch ergeben haben, dass der Betroffene einer rechtskräftigen Wegweisung nicht Folge geleistet hat, haben entsprechend reduziertes Gewicht als neue anspruchsbegründende Tatsachen (vgl. Urteile 2C_572/2020 vom 22. Oktober 2020 E. 4.1.2; 2C_910/2018 vom 23. Oktober 2019 E. 5.3; 2C_790/2017 vom 12. Januar 2018 E. 2.4; 2C_117/2012 vom 11. Juni 2012 E. 4.5.3), namentlich auch eine blosse verstärkte Integration infolge des unrechtmässigen Verbleibens im Lande (vgl. 2C_862/2018 vom 15. Januar 2019 E. 3.3; 2C_977/2017 vom 6. Juni 2018 E. 4.4) oder eine Intensivierung familiärer Beziehungen, die sich nur dadurch ergeben hat, dass der Betroffene der rechtskräftigen Wegweisungsanordnung nicht nachgekommen ist (vgl. 2C_1081/2014 vom 19. Februar 2016 E. 2.3.2). Denn andernfalls würde derjenige, der sich über rechtskräftige Entscheide hinwegsetzt, bevorzugt gegenüber denjenigen, die sich daran halten, was rechtsstaatlich nicht angeht (vgl. Urteile 2C_663/2020 vom 2. März 2021 E. 3.6; 2C_862/2018 vom 15. Januar 2019 E. 3.3; 2C_969/2017 vom 2. Juli 2018 E. 3.5).
4.4. Vor den kantonalen Instanzen begründete der Beschwerdeführer sein Wiedererwägungsgesuch damit, sich seit "seiner Straftat im 2013" wohlverhalten zu haben, seit Jahren in einem festen Arbeitsverhältnis zu stehen, nicht auf Sozialhilfe angewiesen gewesen und nicht betrieben worden zu sein. Ferner sei er seit Längerem schwer krank, wobei sich sein Gesundheitszustand derart verschlechtert habe, dass er täglich Medikamente einnehmen und sich alle drei Monate untersuchen lassen müsse.
Die Vorinstanz hielt zu diesen Vorbringen fest, das Wohlverhalten des Beschwerdeführers, die (enge) Beziehung zum Sohn sowie die berufliche und wirtschaftliche Integration in der Schweiz hätten bereits in der Verfügung vom 10. Juli 2018 Berücksichtigung gefunden. Soweit der Beschwerdeführer diesbezüglich eine seither eingetretene (weitere) positive Entwicklung behaupte, berufe er sich einzig auf Umstände, die auf die Missachtung des Wegweisungsentscheids zurückzuführen seien; diese Entwicklungen seien nicht zu berücksichtigen. Dass sich der Grad seiner Integration in den knapp drei Jahren seit dem rechtskräftigen Wegweisungsentscheid dermassen gesteigert hätte, dass ausnahmsweise ohne vorgängige Ausreise sowie vor Ablauf der in diesem Zusammenhang von der Praxis geforderten fünfjährigen Bewährungsfrist ein Anspruch auf Neubeurteilung bestehe, sei nicht ersichtlich. Auch in Bezug auf den Gesundheitszustand sei seit Juli 2018 keine massgebliche Verschlechterung eingetreten; zwar sei den eingereichten ärztlichen Unterlagen eine gewisse Progredienz bestehender Krankheitsbilder zu entnehmen und fänden sich darin teilweise auch "neue " Leiden ausgewiesen; dies allein lasse jedoch noch kein anderes Ergebnis der ausländerrechtlichen Interessenabwägung realistisch erscheinen, sei die Behandelbarkeit der Leiden in der Heimat des Beschwerdeführers doch unbestrittenermassen gewährleistet (vgl. E. 3.4 und 3.5 des angefochtenen Urteils).
4.5. Was der Beschwerdeführer gegen die vorinstanzliche Würdigung vorträgt, überzeugt nicht: Zunächst ist darauf hinzuweisen, dass er im Frühjahr 2020 bereits ein Wiedererwägungsgesuch gestellt hat. Dabei ist es ihm offenbar nicht gelungen, für die Zeitspanne seit Erlass der Verfügung vom 18. Juli 2018 (vgl. Bst. A.b hiervor) eine erheblich veränderte Sachlage darzutun, weshalb das Migrationsamt am 15. April 2020 einen Nichteintretensentscheid erlassen hat, der zwischenzeitlich rechtskräftig geworden ist (vgl. Bst. A.c hiervor). Die Zeitspanne bis und mit 15. April 2020 kann vorliegend nicht erneut einer Beurteilung unterzogen werden. Ob eine materielle Prüfung mit umfassender Interessenabwägung (Art. 8 Ziff. 2 EMRK, <ref-law>, <ref-law>) aufgrund des Gesuchs vom 2. Februar 2021 (vgl. Bst. B hiervor) vorzunehmen gewesen wäre, beurteilt sich damit für den Zeitraum ab dem 15. April 2020 bis zum Erlass des angefochtenen Urteils; der Beschwerdeführer hätte im kantonalen Verfahren aufzeigen müssen, dass sich in diesem Zeitraum rechtswesentliche Veränderungen der Sachlage ergeben hätten (vgl. E. 4.2 hiervor). Dies ist von der Vorinstanz unter Würdigung der einschlägigen bundesgerichtlichen Rechtsprechung - und sogar zurückgehend bis zum 18. Juli 2018 - zutreffend verneint worden. Beizupflichten ist namentlich ihrem Argument, dass einer vertieften Integration des Beschwerdeführers, die nur deshalb eintreten konnte, weil er sich der rechtskräftigen Wegweisungsanordnung beharrlich widersetzt hat, nur sehr beschränktes Gewicht zugemessen werden kann (vgl. E. 4.3 hiervor). Die verstärkte soziale Integration des Beschwerdeführers, seine verfestigten familiären Beziehungen und sein Wohlverhalten vermögen vorliegend keinen Anspruch auf Neubeurteilung zu vermitteln, zumal sie nicht über das hinausgehen, was angesichts der verstrichenen Zeit zu erwarten war. In Bezug auf das Fortschreiten der Erkrankungen des Beschwerdeführers ist sodann auf die vorinstanzliche Feststellung hinzuweisen, dass eine adäquate medizinische Behandlung im Heimatstaat des Beschwerdeführers sichergestellt ist (vgl. E. 4.4 hiervor); diese Feststellung ist für das Bundesgericht verbindlich, zumal der Beschwerdeführer ihr nichts Stichhaltiges entgegenhält (vgl. E. 3.2 hiervor).
4.6. Die Vorinstanz ist nach dem Gesagten (vgl. E. 4.5 hiervor) zu Recht davon ausgegangen, dass keine rechtswesentlich veränderte Sachlage ersichtlich sei; entsprechend hat sie den durch die Sicherheitsdirektion geschützten Nichteintretensentscheid des kantonalen Migrationsamts zu Recht bestätigt. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet, soweit darauf einzutreten ist (vgl. E. 2.1 und 2.3 hiervor).
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens (vgl. E. 4.6 hiervor) wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>).
6.
Das Gesuch, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung beizulegen, ist mit vorliegendem Urteil gegenstandslos. Dasselbe gilt für das Gesuch, auf die Erhebung eines Kostenvorschusses zu verzichten; der entsprechende Antrag, der allein auf <ref-law> Bezug nimmt (vgl. S. 8 der Beschwerde), kann nicht als Begehren um unentgeltliche Rechtspflege verstanden werden, wird doch nicht einmal im Ansatz behauptet, der Beschwerdeführer sei mittellos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. November 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner