Sachverhalt:
A.
Der anfangs 2008 geborene und in V._ (Kanton Aargau) wohnhafte A.A._ besuchte die Primarschule seines Wohnorts. Zu Beginn des Schuljahrs 2017/2018 wechselte er auf Initiative seiner Eltern, A.B._, an die Privatschule X._ in U._ (Kanton Basel-Landschaft).
Gemäss den Therapieberichten des Facharztes für Kinder- und Jugendpsychiatrie, Dr. med. C._, leidet A.A._ an einer ernsthaften sozialen Beeinträchtigung. Diese äussere sich in einer kombinierten Störung des Sozialverhaltens und der Emotionen, einer fakultativen Hyperakusis (Geräuschüberempfindlichkeit) und einer chronischen zwischenmenschlichen Belastung im Zusammenhang mit der Schule. A.A._ hat überdies ein überdurchschnittliches kognitives Potenzial.
Ende November 2017 wandten sich die Eltern von A.A._ an den Schulpsychologischen Dienst, Regionalstelle P._. Sie ersuchten darum, die Sonderschulungsbedürftigkeit abzuklären. Im Fachbericht vom 12. Februar 2018 empfahl der Schulpsychologische Dienst eine separative Sonderschulung in der Tagessonderschule des Kinderheims T._, des Schulheims S._ in R._ oder der Sonderschule Y._ in W._.
B.
Mit den Schreiben vom 20. März 2018 und 9. April 2018 gelangte die Rechtsvertreterin von A.A._ an die Gemeinde und die Schulpflege V._. Sie teilte mit, die Eltern von A.A._ wollten und könnten die Kosten der Privatschule X._ nach den Frühlingsferien 2018 nicht mehr bezahlen. A.A._ sei daher einer geeigneten Schule zuzuweisen. Nach Ansicht der Eltern handelte es sich bei der Privatschule X._ um die geeignete Lösung.
B.a. Mit Entscheid vom 28. Mai 2018 wies die Schulpflege V._ A.A._ ab Mai 2018 bis zum Ende des Schuljahrs 2017/2018 der Privatschule X._ zu. Ab dem Schuljahr 2018/2019 wurde er der Tagessonderschule des Kinderheims T._ zugewiesen. Sollte es dort keinen Platz für A.A._ haben, wies ihn die Schulpflege V._ der Regelklasse V._ mit zusätzlichen 16 heilpädagogischen Schulstunden pro Woche zu.
Die gegen den Entscheid vom 28. Mai 2018 geführte Beschwerde von A.A._ hiess der Schulrat des Bezirks P._ am 8. August 2018 gut, womit er A.A._ antragsgemäss auch im Schuljahr 2018/2019 und bis auf Weiteres der Privatschule X._ zuwies. Dagegen gelangte die Schulpflege V._ mit Beschwerde an den Regierungsrat des Kantons Aargau. Mit Beschluss vom 16. Oktober 2019 hiess der Regierungsrat die Beschwerde teilweise gut. Er hob den Entscheid des Schulrats vom 8. August 2018 auf und fasste ihn neu. Es hob bei dieser Neufassung des Entscheids des Schulrats ebenso den Entscheid der Schulpflege V._ vom 28. Mai 2018 vollumfänglich und ersatzlos auf. Damit entfiel die Zuweisung an die Privatschule X._ ab Mai 2018 bis zum Ende des Schuljahrs 2017/2018 (Entscheid der Schulpflege V._) sowie jene für das Schuljahr 2018/2019 und bis auf Weiteres (Entscheid des Schulrats). Eine Zuweisung an eine (andere) Schule nahm der Regierungsrat nicht vor. Überdies verwies er A.A._ zur Klärung einer allfälligen Entschädigung der Kosten für den Besuch der Privatschule X._ auf den Klageweg an das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau.
B.b. Gegen den regierungsrätlichen Beschluss vom 16. Oktober 2019 erhob A.A._ Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Er beantragte die Aufhebung des Beschlusses vom 16. Oktober 2019 sowie die Zuweisung an die Privatschule X._ gemäss dem Entscheid des Schulrats vom 8. August 2018. Eventualiter sei er einer anderen angemessenen Sonderschule zuzuweisen. Im Rahmen der Replik beantragte er subeventualiter die Feststellung, dass bei ihm wichtige Gründe für den Besuch der Privatschule X._ vorlägen, weil keine andere geeignete Sonderschule vorhanden sei, die einen Platz für ihn frei hätte.
Das Verwaltungsgericht hiess die Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit Urteil vom 5. November 2020 teilweise gut und hob den Regierungsratsbeschluss vom 16. Oktober 2019 und den Entscheid des Schulrats vom 8. August 2018 auf. In Abänderung des Entscheids der Schulpflege V._ vom 28. Mai 2018 wies es A.A._ ab Mai 2018 bis zum Ende des Schuljahrs 2017/2018 der Privatschule X._ zu. Weitere Zuweisungen nahm das Verwaltungsgericht nicht vor. Auf die eventualiter und subeventualiter gestellten Anträge trat das Verwaltungsgericht nicht ein, da lediglich die Zuweisung an die Privatschule X._ Gegenstand des Verfahrens sei. Die Zuweisung an eine staatliche oder anerkannte Sonderschule habe A.A._ vor Verwaltungsgericht zum ersten Mal beantragt. Der Streitgegenstand könne im Verlaufe des Beschwerdeverfahrens nicht ausgedehnt werden.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 11. Januar 2021 gelangt A.A._ an das Bundesgericht. Er beantragt mit Ausnahme der Dispositiv-Ziffer 2 (Verfahrenskosten) die Aufhebung des Urteils vom 5. November 2020. Er sei ab Mai 2018 und bis auf Weiteres der Privatschule X._ zuzuweisen. Eventualiter sei das Verfahren an die Vorinstanz zurückzuweisen und die Vorinstanz anzuweisen, auf das in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde gestellte Eventualbegehren um Zuweisung an eine (andere) angemessene Sonderschule einzutreten. Der Kanton Aargau sei zu verpflichten, dem Beschwerdeführer für das Verfahren vor dem Regierungsrat und der Vorinstanz eine Parteientschädigung zu bezahlen.
Mit Verfügung vom 3. Februar 2021 hat der Abteilungspräsident den Antrag auf aufschiebende Wirkung abgewiesen und von der Anordnung vorsorglicher Massnahmen abgesehen.
Während die Schulpflege V._ beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werde, verzichtet der Schulrat auf eine Vernehmlassung. Der Regierungsrat lässt sich nicht vernehmen. Die Vorinstanz beantragt die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Die frist- (<ref-law>) und formgerecht (<ref-law>) eingereichte Eingabe betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>) und richtet sich gegen das kantonal letztinstanzliche (<ref-law>), verfahrensabschliessende (<ref-law>) Urteil eines oberen Gerichts (<ref-law>). Das Rechtsmittel ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig, da keine Ausschlussgründe - namentlich nicht derjenige von Art. 83 lit. t BGG (vgl. <ref-ruling> E. 1) - vorliegen. Die Eltern des Beschwerdeführers, A.B._, sind die Inhaber der elterlichen Sorge. Ihnen steht die Vertretung ihres Sohns von Gesetzes wegen zu (vgl. <ref-law>). Sie sind damit zur Ergreifung des Rechtsmittels im Namen ihres Sohns berechtigt (vgl. Urteile 2C_824/2019 vom 31. Januar 2020 E. 1.2; 2C_1137/2018 vom 14. Mai 2019 E. 1.1). Der durch seine Eltern vertretene Beschwerdeführer ist bereits im kantonalen Verfahren als Partei beteiligt gewesen und dort mit seinen Anträgen nicht durchgedrungen. Ausserdem ist er durch das angefochtene Urteil in seinen schutzwürdigen Interessen besonders berührt. Er ist somit zur Erhebung des Rechtsmittels legitimiert (<ref-law>). Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist einzutreten.
2.
Mit der Beschwerde kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), wobei es - unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>) - grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen prüft, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.5; <ref-ruling> E. 1.4.1). Der Verletzung von Grundrechten sowie von kantonalem und interkantonalem Recht geht das Bundesgericht nur nach, falls eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2; <ref-ruling> E. 2.2). Diese qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit nach <ref-law> verlangt, dass in der Beschwerde klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt wird, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.4.2). Die Anwendung des kantonalen Rechts wird vom Bundesgericht abgesehen von den Fällen von <ref-law> als solche nicht überprüft. Möglich ist nur die Rüge, die Anwendung des kantonalen Rechts widerspreche dem Bundes-, Völker- oder interkantonalen Recht (<ref-law>). Dies ist der Fall, wenn das angewendete kantonale Recht als solches dem übergeordneten Recht widerspricht, aber auch dann, wenn das an sich rechtskonforme kantonale Recht auf eine willkürliche Weise angewendet worden ist, weil dadurch <ref-law> verletzt ist (vgl. <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2). Seinem Urteil legt das Bundesgericht den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>).
3.
Die vorliegende Angelegenheit betrifft die Beurteilung der Zuweisung an eine für den Beschwerdeführer angemessene Schule. Im Hauptbegehren beantragt der Beschwerdeführer, er sei ab Mai 2018 und bis auf Weiteres der (ausserkantonalen) Privatschule X._ zuzuweisen.
3.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, die Schulpflege habe die Pflicht, eine seinen individuellen Fähigkeiten und seiner Persönlichkeitsentwicklung angemessene unentgeltliche Sonderschule zu finden. Die Vorinstanz erwäge zwar zu Recht, so der Beschwerdeführer weiter, dass es sich bei der Privatschule X._ um keine Sonderschule handle. Indessen habe der Schulrat in seinem Entscheid vom 8. August 2018 zutreffend festgestellt, dass die Privatschule X._ den Bedürfnissen des Beschwerdeführers entspreche. Auch der Schulpsychologische Dienst komme in seinem Fachbericht vom 12. Februar 2018 zum selben Schluss. Die Zuweisung des Beschwerdeführers an die Privatschule X._ scheitere ausschliesslich am Umstand, dass die Schule keine anerkannte Einrichtung im Sinne der Interkantonalen Vereinbarung vom 13. Februar 2002 für Soziale Einrichtungen (IVSE; SAR 428.030) sei. Dem Beschwerdeführer komme gemäss <ref-law> sowie <ref-law> aber ein Anspruch auf einen angemessenen und unentgeltlichen Grundschulunterricht zu. Mangels gleichwertiger Alternativen im Kanton Aargau sei er daher auch weiterhin der Privatschule X._ zuzuweisen. Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, mit der Verweisung in das (kantonale) Klageverfahren werde die Verantwortung der Schulpflege auf ihn abgewälzt. Er müsse sich anstelle einer (direkten) Zuweisung selbst eine Schule suchen und dann unter prozessualem Risiko die Kosten für die Privatschule X._ klageweise wieder zurückfordern. Damit verletze die Vorinstanz <ref-law> sowie <ref-law>.
3.2. <ref-law> gewährleistet als Grundrecht einen Anspruch auf ausreichenden und unentgeltlichen Grundschulunterricht.
3.2.1. Zuständig für das Schulwesen sind die Kantone (vgl. <ref-law>). Sie gewähren einen ausreichenden Grundschulunterricht, der allen Kindern offen steht. Er ist obligatorisch und an öffentlichen Schulen unentgeltlich (vgl. <ref-law>). Die Kantone sorgen sodann für eine ausreichende Sonderschulung aller behinderten Kinder und Jugendlichen bis längstens zum vollendeten 20. Lebensjahr (vgl. <ref-law>). Der verfassungsmässige Anspruch auf staatliche Leistung betrifft nur die öffentliche Grundschule (vgl. <ref-ruling> E. 4.2). Gemäss Art. 20 des Bundesgesetzes vom 13. Dezember 2002 über die Beseitigung von Benachteiligungen von Menschen mit Behinderungen (Behindertengleichstellungsgesetz [BehiG; SR 151.3]) sorgen die Kantone dafür, dass behinderte Kinder und Jugendliche eine Grundausbildung erhalten, die ihren besonderen Bedürfnissen entspricht (Abs. 1). Die Kantone fördern, soweit dies möglich ist und dem Wohl des behinderten Kindes oder Jugendlichen dient, mit entsprechenden Schulungsformen die Integration behinderter Kinder und Jugendlicher in die Regelschule (Abs. 2). Diese Bestimmung konkretisiert das verfassungsrechtliche Diskriminierungsverbot von <ref-law> sowie die verfassungsrechtlichen Ansprüche von <ref-law> und <ref-law>, geht aber kaum über sie hinaus (vgl. <ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 3.1).Ausserdem kommt nach dem Willen des Verfassungs- und Gesetzgebers der integrierten Sonderschulung im Grundsatz der Vorrang gegenüber der separativen Sonderschulung zu (vgl. BGE <ref-ruling> E. 4.2; Urteile 2C_264/2016 vom 23. Juni 2017 E. 2.2 i.f.; 2C_154/2017 vom 23. Mai 2017 E. 5.1; 2C_405/2016 vom 9. Januar 2017 E. 4.1).
3.2.2. Im Rahmen der genannten Grundsätze verfügen die Kantone praxisgemäss über einen erheblichen Gestaltungsspielraum, was auch für die Sonderschulung gilt (vgl. <ref-law>; Urteil 2C_264/2016 vom 23. Juni 2017 E. 2.2). Der verfassungsrechtliche Anspruch umfasst ein angemessenes, erfahrungsgemäss ausreichendes Bildungsangebot an öffentlichen Schulen. Ein darüber hinausgehendes Mass an individueller Betreuung, das theoretisch immer möglich wäre, kann jedoch mit Rücksicht auf das limitierte staatliche Leistungsvermögen nicht eingefordert werden. Der verfassungsmässige Anspruch auf unentgeltlichen Grundschulunterricht verpflichtet den Kanton demnach nicht zur optimalen oder geeignetsten Schulung von behinderten Kindern (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 3.2). Die Ausgestaltung der Sonderschulung ist grundsätzlich Sache des kantonalen Rechts, dessen Auslegung und Anwendung vom Bundesgericht nur auf die Verletzung des übergeordneten Rechts hin überprüft wird (vgl. E. 2 hiervor). Die dargelegten bundesrechtlichen Mindestgrundsätze müssen jedoch eingehalten werden, was das Bundesgericht frei prüft (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3.3; vgl. auch BGE <ref-ruling> E. 3.3 i.f.).
3.3. Die Vorinstanz ist zum Schluss gelangt, dass im kantonalen Recht keine gesetzliche Grundlage vorliege, um den Beschwerdeführer der Privatschule X._ zuzuweisen (vgl. E. II.2.7 des angefochtenen Urteils).
3.3.1. Die Vorinstanz erwägt, gemäss § 4 Abs. 1 des Schulgesetzes des Kantons Aargau vom 17. März 1981 (SchulG/AG; SAR 401.100) unterstünden alle Kinder und Jugendlichen mit Aufenthalt im Kanton der Schulpflicht. Diese könne auch an einer Privatschule erfüllt werden. Privatschulen bedürften gemäss § 58 Abs. 1 SchulG/AG der Bewilligung des Erziehungsrats. Sie unterstünden der staatlichen Aufsicht (vgl. § 58a Abs. 1 SchulG/AG). Die Bewilligung von Sonderschulen richte sich nach den Bestimmungen der Betreuungsgesetzgebung (vgl. § 58 Abs. 1 SchulG/AG). Die vom Beschwerdeführer besuchte Privatschule verfüge über eine entsprechende Bewilligung des Kantons Basel-Landschaft im Bereich der obligatorischen Volksschule und werde ebenfalls staatlich beaufsichtigt. Daher könne der Beschwerdeführer die Schulpflicht grundsätzlich an der ausserkantonalen Privatschule X._ erfüllen (vgl. E. II.2.4 des angefochtenen Urteils).
3.3.2. Laut § 73 Abs. 2 SchulG/AG, so die Vorinstanz weiter, entscheide die Schulpflege über die Zuweisung von Kindern und Jugendlichen mit Behinderungen oder erheblichen sozialen Beeinträchtigungen in die Regelklassen oder in die Sonderschulung. Die Zuweisungskompetenz sei im Bereich der Sonderschulung auf Einrichtungen beschränkt, die von der Betreuungsgesetzgebung erfasst würden (vgl. § 2 Abs. 1 lit. b des Gesetzes des Kantons Aargau vom 2. Mai 2006 über die Einrichtungen für Menschen mit besonderen Betreuungsbedürfnissen [Betreuungsgesetz; SAR 428.500]). Gemäss § 49 Abs. 1 lit. c der Verordnung des Kantons Aargau vom 8. November 2006 über die Einrichtungen für Menschen mit besonderen Betreuungsbedürfnissen (Betreuungsverordnung; SAR 428.511) könnten Leistungen ausserkantonaler Sonderschulen nur bewilligt werden, wenn die ausserkantonale Einrichtung vom Standortkanton dem Anwendungsbereich der IVSE unterstellt worden sei (vgl. E. II.2.5 des angefochtenen Urteils).
3.3.3. Nach Auffassung der Vorinstanz bedingt die Zuweisung an eine ausserkantonale Sonderschule somit neben einer Sonderschulungsbedürftigkeit (vgl. § 15 Abs. 1 lit. a und lit. b der Verordnung des Kantons Aargau vom 8. November 2006 über die Schulung von Kindern und Jugendlichen mit Behinderungen sowie die besonderen Förder- und Stützmassnahmen [SAR 428.513]), dass es sich bei der vorgesehenen Sonderschule um eine vom Kanton anerkannte Einrichtung handle (lit. d) und aufgrund der ausserkantonalen Platzierung die Bewilligung des Departements Bildung, Kultur und Sport gemäss Betreuungsgesetzgebung vorliege (lit. e), womit die Unterstellung unter die IVSE einhergehe (vgl. E. II.2.5 des angefochtenen Urteils; vgl. auch § 49 Abs. 1 lit. c Betreuungsverordnung; E. 3.3.2 hiervor). Bei der Privatschule X._ handle es sich um keine Sonderschule. Sie werde weder von der Betreuungsgesetzgebung noch der IVSE erfasst. Es bestehe keine gesetzliche Grundlage, um den Beschwerdeführer dieser Privatschule zuzuweisen. Eine Zuweisung an die Privatschule X._ habe die Schulpflege somit nicht vornehmen dürfen. Damit sei indes nichts über die Kostentragung gesagt. Eine Kostengutsprache liege nicht in der Kompetenz der Schulpflege, sondern des Gemeinderats, der diesbezüglich für die Gemeinde handle. Bei fehlender Einigung über die Kostentragung stehe die verwaltungsrechtliche Klage offen (vgl. E. II.2.7 des angefochtenen Urteils).
3.4. Es stellt sich die Frage, ob die Vorinstanz für das Schuljahr 2018/2019 und bis auf Weiteres zu Recht keine Zuweisung an die (ausserkantonale) Privatschule X._ vorgenommen hat.
3.4.1. Unter den Verfahrensbeteiligten ist unbestritten, dass die Privatschule X._ weder eine öffentliche Sonderschule noch eine kantonal anerkannte Sonderschule im Sinne der IVSE ist. Der Anspruch auf ausreichenden und unentgeltlichen Grundschulunterricht umfasst zwar auch die erforderlichen sonderpädagogischen Massnahmen. Die Garantie im Sinne von <ref-law> beschränkt sich indes auf die öffentlichen Schulen (vgl. <ref-ruling> E. 4.2; Urteile 2C_264/2016 vom 23. Juni 2017 E. 2.2 ["il faut le souligner ici, dans des écoles publiques"]; 2C_405/2016 vom 9. Januar 2017 E. 4.; vgl. auch <ref-law>). <ref-law> und <ref-law> verleihen dem Beschwerdeführer daher keinen (bundesverfassungsrechtlich) Anspruch darauf, einer bestimmten Privatschule zugewiesen zu werden. Ob ein solcher Anspruch besteht, regelt gegebenenfalls das kantonale Recht, zumal die kantonalen Behörden diesfalls auch die Möglichkeit haben müssen, die Privatschule zur Aufnahme einer zugewiesenen Person zu verpflichten.
3.4.2. Davon abzugrenzen ist die Frage der Unentgeltlichkeit des Besuchs einer Privatschule. Dieser Besuch ist ausnahmsweise unentgeltlich, wenn an öffentlichen (Sonder-) Schulen im spezifischen Fall kein ausreichendes schulisches Angebot zur Verfügung steht. Unterhält der Staat ein geeignetes und zumutbares Angebot, ist er selbst dann nicht verpflichtet, eine private Lösung zu finanzieren, wenn dort ein noch besserer Unterricht zur Verfügung stünde (vgl. Urteil 2C_405/2016 vom 9. Januar 2017 E. 4.2; vgl. auch Urteil 2C_686/2012 vom 13. Juni 2013 E. 4.1.1 i.f.; E. 3.2.2 hiervor; E. 4.4.2 hiernach). Folglich sind die Kantone ausnahmsweise verpflichtet, die Kosten für den Besuch einer Privatschule zu tragen, während sich grundsätzlich kein (bundes-) verfassungsmässiger Anspruch auf die Zuweisung an eine Privatschule aus <ref-law> sowie <ref-law> ableiten lässt.
3.4.3. Nach dem Dargelegten ist die vorinstanzliche Erwägung, wonach für die Zuweisung an die Privatschule X._ die gesetzliche Grundlage im kantonalen Recht fehle, unter dem Blickwinkel des Anspruchs auf ausreichenden und unentgeltlichen Grundschulunterricht nicht zu beanstanden. Die Vorinstanz zeigt umfassend auf, weshalb angesichts von § 15 Abs. 1 lit. d und lit. e der Verordnung des Kantons Aargau über die Schulung von Kindern und Jugendlichen mit Behinderungen sowie die besonderen Förder- und Stützmassnahmen in Verbindung mit § 49 Abs. 1 lit. c der Betreuungsverordnung des Kantons Aargau für die Zuweisung an die ausserkantonale Privatschule X._ die gesetzliche Grundlage fehle. Inwiefern die Vorinstanz - über den Anspruch auf ausreichenden und unentgeltlichen Grundschulunterricht hinaus - das kantonale Recht im Lichte des Grundsatzes der Gesetzmässigkeit gemäss <ref-law> in willkürlicher Weise angewendet hätte (vgl. <ref-ruling> E. 5.3.2; Urteil 2C_741/ 2009 vom 26. April 2010 E. 3.1), legt der Beschwerdeführer im Übrigen nicht hinreichend dar (vgl. <ref-law>).
3.5. Der Regierungsrat hat den Beschwerdeführer zur Klärung einer allfälligen Entschädigung der Kosten für den Besuch der Privatschule X._ auf den Klageweg verwiesen (vgl. Bst. B.a i.f. hiervor; vgl. auch §§ 60 ff. des Gesetzes des Kantons Aargau vom 4. Dezember 2007 über die Verwaltungsrechtspflege [Verwaltungsrechtspflegegesetz, VRPG/AG; SAR 271.200). Die Vorinstanz sieht in dieser Verweisung keine Verletzung des verfassungsmässigen Anspruchs auf ausreichenden und unentgeltlichen Grundschulunterricht (vgl. E. II.2.8 des angefochtenen Urteils). Der vorinstanzlichen Auffassung ist zu folgen. Da <ref-law> sowie <ref-law> keinen Anspruch auf die Zuweisung an eine Privatschule begründen, verletzt die Vorinstanz im vorliegenden Beschwerdeverfahren auch nicht Verfassungsrecht, indem sie den Beschwerdeführer für die Beurteilung, wer die Kosten der Privatschule X._ zu tragen hat, auf das kantonale Klageverfahren verweist. Die in diesem Zusammenhang gerügte Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör stösst ins Leere, da die Vorinstanz die Verweisung auf den Klageweg mit Hinweis auf die kantonalrechtlich geregelten Zuständigkeiten hinreichend begründet (vgl. auch E. 3.3.3 i.f. hiervor). Der Beschwerdeführer bringt hierzu selbst vor, eine verwaltungsrechtliche Klage bei der Vorinstanz eingereicht zu haben.
3.6. Nach dem Gesagten ist der Hauptantrag des Beschwerdeführers um Zuweisung an die ausserkantonale Privatschule X._ abzuweisen.
4.
Der Beschwerdeführer beanstandet eventualiter, die Vorinstanz sei nicht auf seinen Eventualantrag eingetreten, demgemäss er einer anderen angemessenen Sonderschule zuzuweisen sei.
4.1. Die Vorinstanz hat erwogen, der Beschwerdeführer habe vor dem Schulrat kein entsprechendes Begehren gestellt. Er habe lediglich verlangt, auch ab dem Schuljahr 2018/2019 der Privatschule X._ zugewiesen zu werden. Da der Streitgegenstand im Laufe des Beschwerdeverfahrens grundsätzlich nicht ausgedehnt werden dürfe, sei auf das Eventualbegehren nicht einzutreten (vgl. E. I.3.1 des angefochtenen Urteils). Die Vorinstanz führt in ihrer Vernehmlassung weiter aus, entgegen den Ausführungen des Beschwerdeführers folge die aargauische Verwaltungsrechtsprechung nicht einem materiellen Streitgegenstandsbegriff. Für die Bestimmung des Streitgegenstands seien nebst dem Anfechtungsobjekt die Rechtsbegehren und nicht aber die Beschwerdebegründung massgebend.
4.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, bereits mit den Schreiben vom 20. März 2018 und 9. April 2018 habe er darum ersucht, einer geeigneten Schule zugewiesen zu werden. Die Schulpflege V._ habe ihn dann mit Entscheid vom 28. Mai 2018 ab Mai 2018 bis zum Ende des Schuljahrs 2017/2018 der Privatschule X._ und ab dem Schuljahr 2018/2019 der Tagessonderschule des Kinderheims T._ zugewiesen. Sollte es dort keinen Platz für den Beschwerdeführer haben, habe ihn die Schulpflege V._ der Regelklasse V._ mit zusätzlichen 16 heilpädagogischen Schulstunden pro Woche zugewiesen (vgl. Bst. B hiervor). Nach Auffassung des Beschwerdeführers ist der Streitgegenstand des Verwaltungsverfahrens somit die Zuweisung an eine für ihn geeignete Schule.
4.3. Gemäss <ref-law> hat die letzte kantonale gerichtliche Instanz oder eine vorgängig zuständige andere richterliche Behörde den Sachverhalt frei zu prüfen und das Recht von Amtes wegen anzuwenden. Der Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen bedeutet, dass die entscheidende Behörde die auf den festgestellten Sachverhalt anwendbaren Normen aufzufinden und anzuwenden hat. Sie ist nicht an die von den Parteien vorgebrachte rechtliche Begründung gebunden. Der Grundsatz gilt nur im Rahmen des Streitgegenstandes, der dem Gericht zur Entscheidung vorliegt (vgl. <ref-ruling> E. 1.7.1; <ref-ruling> E. 6.8). Die im nichtstreitigen Verfahren ergangene Verfügung bildet grundsätzlich den äussersten Rahmen des daran anschliessenden Verwaltungsrechtsstreits. Streitgegenstand im Beschwerdeverfahren kann nur sein, was bereits Gegenstand des erstinstanzlichen Verfahrens war oder allenfalls hätte sein sollen und was gemäss der Dispositionsmaxime zwischen den Parteien noch strittig ist. Gegenstände, über welche die erste Instanz zu Recht nicht entschieden hat, fallen nicht in den Zuständigkeitsbereich der Rechtsmittelbehörde (vgl. Urteile 2C_1127/2018 vom 30. September 2019 E. 3.2; 2C_699/2017 vom 12. Oktober 2018 E. 4.2; 2C_882/2014 vom 13. April 2015 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 2C_124/2013 vom 25. November 2013 E. 2.2).
4.4. In der vorliegenden Angelegenheit ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer sonderschulungsbedürftig ist.
4.4.1. Der Schulpsychologische Dienst empfahl daher in seinem Fachbericht vom 12. Februar 2018 eine separative Sonderschulung in der Tagessonderschule des Kinderheims T._, des Schulheims S._ in R._ oder der Sonderschule Y._ in W._ (vgl. Bst. A hiervor). Der Beschwerdeführer verlangte in seinen Schreiben vom 20. März 2018 und 9. April 2018, einer geeigneten Schule zugewiesen zu werden. Die Schulpflege V._ wies ihn in ihrem Entscheid vom 28. Mai 2018 ab dem Schuljahr 2018/2019 grundsätzlich der Tagessonderschule des Kinderheims T._ zu (vgl. Bst. B hiervor). In seiner Beschwerde an den Schulrat vom 28. Juni 2018 beantragte der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer zwar lediglich, er sei bis auf Weiteres der Privatschule X._ zuzuweisen. Jedoch legte der Beschwerdeführer in der Beschwerdebegründung über weite Strecken dar, weshalb die Privatschule X._ gegenüber der Tagessonderschule des Kinderheims T._, des Schulheims S._ in R._ oder der Sonderschule Y._ in W._ für seine Bedürfnisse besser geeignet sei (vgl. <ref-law>). Trotz des blossen Antrags, den Beschwerdeführer an die Privatschule X._ zuzuweisen, ergibt sich aus der Beschwerdebegründung ohne Weiteres, dass das Verfahren vor dem Schulrat weiterhin die Zuweisung an eine für den Beschwerdeführer geeignete Schule betraf.
Die Beschwerde vor dem Regierungsrat reichte alsdann die Schulpflege V._ ein. Der Beschwerdeführer beantragte im regierungsrätlichen Verfahren die Abweisung der Verwaltungsbeschwerde, da der Schulrat ihn zuvor an die Privatschule X._ zugewiesen hatte. Der Regierungsrat hob in seinem Beschluss vom 16. Oktober 2019 den Entscheid des Schulrats vom 8. August 2018 auf und nahm keine Zuweisung mehr vor. Der Beschwerdeführer schränkte den ursprünglichen Streitgegenstand jedenfalls vor dem Schulrat nicht ein. Dass er die Privatschule X._ als die für ihn geeignetste Schule hielt und dies mit seinem Begehren zum Ausdruck brachte, vermag daran nichts zu ändern. Im Lichte des Gesagten ist der Auffassung der Vorinstanz, der im vorinstanzlichen Verfahren gestellte Eventualantrag liege ausserhalb des Streitgegenstands, nicht zu folgen.
4.4.2. Dass die vorinstanzliche Erwägung zum Streitgegenstand zu kurz greift, ergibt sich ebenso im Lichte des Anspruchs auf ausreichenden und unentgeltlichen Grundschulunterricht. Der Anspruch wird verletzt, wenn die Ausbildung des Kindes in einem Masse eingeschränkt wird, dass die Chancengleichheit nicht mehr gewahrt ist oder wenn es Lehrinhalte nicht vermittelt erhält, die in der hiesigen Wertordnung als unverzichtbar gelten (vgl. <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.2). Für behinderte Kinder ist es im Rahmen des ausreichenden Grundschulunterrichts regelmässig erforderlich, einen höheren Aufwand zu betreiben, um ihre behinderungsbedingten Nachteile auszugleichen und eine möglichst weitgehende gesellschaftliche Chancengleichheit herzustellen (vgl. BGE <ref-ruling> E. 4.2.2; vgl. auch BGE <ref-ruling> E. 4.6.2).
Die Vorinstanz hätte - wie die Schulpflege V._ in ihrem Entscheid vom 28. Mai 2018 - angesichts der sachverhaltlich erstellten und unbestrittenen Sonderschulungsbedürftigkeit des Beschwerdeführers (eventualiter) prüfen müssen, ob die vom Schulpsychologischen Dienst empfohlenen kantonalen (Sonder-) Schullösungen den verfassungsrechtlichen Vorgaben genügen. Selbst das kantonale Recht verlangt, dass die Schulpflege über die Zuweisung von Kindern und Jugendlichen mit Behinderungen oder erheblichen sozialen Beeinträchtigungen in Regelklassen oder in die Sonderschulung entscheidet (vgl. E. 3.3.2 hiervor; § 73 Abs. 2 SchulG/AG). Soweit die Vorinstanz in ihrer Vernehmlassung zu bedenken gibt, es seien aktuelle Abklärungen erforderlich, hätte sie die Angelegenheit ihrerseits zur Sachverhaltsermittlung an die Schulpflege V._ zurückweisen können, sollte sie selbst hierzu nicht in der Lage sein. Die Auffassung, der Beschwerdeführer müsse für diese Prüfung ein neues Gesuch bei der Schulpflege V._ stellen, trägt den Umständen der vorliegenden Angelegenheit jedenfalls nicht Rechnung.
4.5. Der Eventualantrag des Beschwerdeführers ist demzufolge gutzuheissen.
5.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde im Umfang des Hauptantrags als unbegründet. Im Umfang des Eventualantrags ist sie begründet, weshalb sie teilweise gutzuheissen ist.
5.1. Das Urteil vom 5. November 2020 ist insoweit aufzuheben, als die Vorinstanz auf den Antrag des Beschwerdeführers um Zuweisung an eine andere angemessene Sonderschule nicht eingetreten ist. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen. Die Angelegenheit ist zur materiellen Beurteilung des vorinstanzlich gestellten Eventualantrags an die Vorinstanz zurückzuweisen (vgl. <ref-law>). Ausserdem hat die Vorinstanz über die Entschädigungsfolgen der kantonalen Verfahren erneut zu befinden (vgl. <ref-law>).
5.2. Die Verfahren betreffend Streitigkeiten im Sinne von <ref-law> und <ref-law> sind grundsätzlich unentgeltlich (vgl. <ref-law>). Davon erfasst sind unter anderem Streitigkeiten über den benachteiligungsfreien Zugang zu Aus- und Weiterbildung (vgl. <ref-law> i.V.m. <ref-law>; Urteile 2C_154/2017 vom 23. Mai 2017 E. 8.2.1; 2C_686/2012 vom 13. Juni 2013 E. 6.1). Mit der sachverhaltlich erstellten Sonderschulungsbedürftigkeit liegt ein genügend enger Zusammenhang mit einer Behinderung vor. Für das Verfahren vor Bundesgericht gilt gemäss <ref-law> jedoch die Regelung des Bundesgerichtsgesetzes, welche für die Ansprüche nach <ref-law> und <ref-law> reduzierte Gerichtskosten vorsieht (vgl. <ref-law>). Demgemäss sind dem Beschwerdeführer im Umfang seines Unterliegens reduzierte Gerichtskosten aufzuerlegen. Der Kanton Aargau hat dem Beschwerdeführer im Umfang seines Obsiegens für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung auszurichten (vgl. <ref-law>).Dem Kanton Aargau sind weder Gerichtskosten aufzuerlegen noch eine Parteientschädigung zuzusprechen (vgl. <ref-law>; <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 5. November 2020 wird soweit aufgehoben, als das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau auf den Antrag um Zuweisung an eine andere angemessene Sonderschule nicht eingetreten ist.
2.
Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
3.
Die Angelegenheit wird zur materiellen Beurteilung des Antrags um Zuweisung an eine andere angemessene Sonderschule und zur Neuverlegung der Entschädigungsfolgen der kantonalen Verfahren an das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau zurückgewiesen.
4.
Die reduzierten Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Der Kanton Aargau hat dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung von Fr. 1'000.-- auszurichten.
6.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Juni 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Zollinger