Erwägungen:
1.
A._ erstattete mit Eingabe vom 6. April 2021 Strafanzeige gegen das Betreibungsamt Region Solothurn und C._ wegen Amtsmissbrauchs und weiterer Delikte. Gleichzeitig stellte er ein Ausstandsgesuch gegen verschiedene Staatsanwältinnen und Staatsanwälte. Am 12. April 2021 überwies der mit dem entsprechenden Verfahren betraute Staatsanwalt B._ die Ausstandsgesuche der Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn, welche mit Beschluss vom 22. April 2021 auf die Ausstandsgesuche nicht eintrat. Soweit der Ausstand von nicht mit dem Verfahren betrauten Staatsanwältinnen oder Staatsanwälte verlangt werde, könne von vornherein auf die Gesuche nicht eingetreten werden. Das Ausstandsgesuch bezüglich Staatsanwalt B._ sei nicht begründet, weshalb darauf ebenfalls nicht einzutreten sei.
2.
A._ wandte sich gegen diesen Beschluss mit einer als "Berufung" bezeichneten Eingabe vom 30. April 2021 an das Obergericht des Kantons Solothurn. Dieses überwies die Eingabe mit Schreiben vom 5. Mai 2021 dem Bundesgericht. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer setzt sich überhaupt nicht mit der Begründung der Beschwerdekammer auseinander. Mit seinen nicht sachbezogenen Ausführungen vermag er nicht ansatzweise aufzuzeigen, inwiefern die Begründung der Beschwerdekammer bzw. deren Beschluss selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Mai 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli