Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat führte gegen A._ eine Strafuntersuchung. Am 28. April 2016 wurde er festgenommen und in Untersuchungshaft gesetzt. Am 19. Januar 2018 wurde ihm der vorzeitige Strafvollzug bewilligt. Mit Urteil vom 18. Dezember 2018 verurteilte ihn das Bezirksgericht Zürich wegen qualifizierter Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz und weiterer Delikte zu einer Freiheitsstrafe von 11 Jahren, unter Anrechnung von 631 Tagen Untersuchungshaft, und zu einer bedingten Geldstrafe. Dagegen erhob er Berufung. Mit Urteil vom 6. Oktober 2020 bestätigte das Obergericht des Kantons Zürich im Wesentlichen die erstinstanzlich ausgefällte Strafe. Auf eine Beschwerde in Strafsachen hin hob das Bundesgericht das obergerichtliche Urteil wegen Verletzung des Anklageprinzips teilweise auf und wies die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurück (Urteil 6B_1416/2020 vom 30. Juni 2021).
Am 28. Januar 2019 hatte A._ erfolglos beim Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich (heute: Amt für Justizvollzug und Wiedereingliederung) ein Gesuch um Versetzung in den offenen vorzeitigen Strafvollzug gestellt (vgl. dazu Urteil 1B_82/2020 vom 31. März 2020). Am 20. April 2020 beantragte er bei der Leitung des Berufungsverfahrens am Obergericht des Kantons Zürich, er sei aus dem vorzeitigen Strafvollzug zu entlassen, eventualiter in den offenen Strafvollzug zu versetzen. Mit Präsidialverfügung vom 8. Mai 2020 wies der Verfahrensleiter am Obergericht das Gesuch ab, wobei er die Frage seiner Zuständigkeit offen liess. Eine von A._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil 1B_264/2020 vom 17. Juni 2020 ab. Es erwog, entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers bestehe kein negativer Kompetenzkonflikt, da das Obergericht ja in der Sache entschieden habe (a.a.O., E. 4.3). Zur Fluchtgefahr hielt es fest, diese sei derzeit noch zu gross, als dass sie mit einer Ersatzmassnahme, allenfalls in Kombination mit der Versetzung in den offenen Vollzug, gebannt werden könnte (a.a.O., E. 6).
Ein weiteres Gesuch um Entlassung aus dem vorzeitigen Strafvollzug wies das Obergericht mit Präsidialverfügung vom 31. März 2021 ab. Mit Urteil 1B_206/2021 vom 18. Mai 2021 wies das Bundesgericht eine dagegen gerichtete Beschwerde von A._ ebenfalls ab, weil sich an der Fluchtgefahr seit seiner letzten Beurteilung nichts Wesentliches geändert hatte.
Mit Eingabe vom 18. Oktober 2021 beantragte A._ dem Obergericht erneut, er sei unter Ersatzmassnahmen aus dem vorzeitigen Strafvollzug zu entlassen, eventualiter sei er in den offenen Strafvollzug zu versetzen. Mit Präsidialverfügung vom 29. Oktober 2021 wies das Obergericht das Haftentlassungsgesuch ab und trat auf den Eventualantrag nicht ein. Eine dagegen gerichtete Beschwerde hiess das Bundesgericht mit Urteil vom 21. Dezember 2021 teilweise gut, soweit es darauf eintrat, und wies die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurück. Zur Begründung führte es an, dass die Verfahrensleitung des Berufungsgerichts im Rahmen des Haftprüfungsverfahrens auch über einen Antrag auf Versetzung in den offenen vorzeitigen Strafvollzug zu befinden habe. Die Zulässigkeit des offenen Vollzugs hänge eng mit der Beurteilung der besonderen Haftgründe zusammen und sei Ausdruck des Verhältnismässigkeitsprinzips (Urteil 1B_636/2021 vom 21. Dezember 2021 E. 4).
Das erneut mit der Sache befasste Obergericht wies mit Präsidialverfügung vom 11. Januar 2022 das Haftentlassungsgesuch ab, versetzte A._ in den offenen vorzeitigen Strafvollzug und forderte die Vollzugsbehörde auf, die geeigneten Aufsichts- und Kontrollmöglichkeiten zu veranlassen, um der weiterhin bestehenden Fluchtgefahr entgegenzuwirken.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht vom 25. Januar 2022 beantragt A._ im Wesentlichen, die Präsidialverfügung vom 11. Januar 2022 sei aufzuheben. Er sei unter Anordnung von Ersatzmassnahmen unverzüglich in Freiheit zu entlassen, wobei er darauf hinzuweisen sei, dass er bei einem Verstoss gegen die Auflagen wieder inhaftiert werden könne. Eventualiter sei die Vorinstanz anzuweisen, Ersatzmassnahmen anzuordnen und ihn innert eines Monats zu entlassen.
Das Obergericht und die Staatsanwaltschaft haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Die Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten (vgl. das ebenfalls den Beschwerdeführer betreffende Urteil 1B_264/2020 vom 17. Juni 2020 E. 1 mit Hinweisen).
2.
Der Beschwerdeführer befindet sich im vorzeitigen Strafvollzug. Dies hindert ihn nicht daran, ein Gesuch um Haftentlassung zu stellen. Auf Gesuch um Entlassung aus dem vorzeitigen Strafvollzug hin ist zu prüfen, ob die Haftvoraussetzungen gegeben sind (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweisen).
Nach <ref-law> sind Untersuchungs- und Sicherheitshaft unter anderem zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist und ernsthaft zu befürchten ist, dass sie sich durch Flucht dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion entzieht (Abs. 1 lit. a). An ihrer Stelle sind Ersatzmassnahmen anzuordnen, wenn sie den gleichen Zweck wie die Haft erfüllen (Art. 212 Abs. 2 lit. c und Art. 237 ff. StPO).
Der Beschwerdeführer bestreitet den dringenden Tatverdacht nicht. Hingegen ist er der Auffassung, die Fluchtgefahr sei derart tief, dass sie mit Ersatzmassnahmen gebannt werden könne.
3.
3.1. Das Obergericht holte vor seinem Entscheid einen Bericht des kantonalen Amts für Justizvollzug und Wiedereingliederung ein. Es erwog, dass gemäss diesem Bericht keine konkreten Anzeichen für Fluchtgefahr bestünden. Dem könne jedoch nicht gefolgt werden. In seinen früheren Haftentscheiden vom 8. Mai 2020 und 31. März 2021 habe es den Auslandsbezug des Beschwerdeführers zu Brasilien und Spanien bis zu seiner Verhaftung bereits ausführlich dargelegt. Diese Verbindungen seien sowohl persönlicher als auch finanzieller Natur. Gemäss dem Vollzugsbericht der Justizvollzugsanstalt Pöschwies vom 10. September 2021 sei der Beschwerdeführer von seiner Partnerin aus Spanien besucht worden. Während der Strafuntersuchung habe er zudem ausgesagt, dass seine (damalige) Partnerin im Ausland lebe und sich von Zeit zu Zeit hier aufhalte. Hinsichtlich der früheren wirtschaftlichen Tätigkeiten im Ausland sei hervorzuheben, dass er vor seiner Verhaftung über den "Senator Status" bei der Fluggesellschaft Swiss verfügt habe, der 100'000 Statusmeilen pro Kalenderjahr voraussetze. Selbst im Fall einer bedingten Entlassung vor August 2023 hätte er zudem noch eine beträchtliche Haftzeit vor sich. Es sei in dieser Hinsicht zudem nicht damit zu rechnen, dass die neue Beurteilung durch das Obergericht zu einer derart erheblichen Strafreduktion führe, dass eine allfällige bedingte Entlassung demnächst bevorstehe. Ersatzmassnahmen erschienen nicht als ausreichend, um die Fluchtgefahr zu bannen. Anders verhalte es sich mit dem offenen Vollzug. Im Gegensatz etwa zum Electronic Monitoring ermögliche dieser eine weitergehende, insbesondere personelle Kontrolle. Er erlaube zudem eine schrittweise Lockerung der Haftbedingungen und sei laut den Vollzugsbehörden geeignet, den Beschwerdeführer auf den Strafvollzug nach dem rechtskräftigen Urteil vorzubereiten. Gestützt auf den erwähnten Vollzugsbericht könne davon ausgegangen werden, dass der Beschwerdeführer sich an die Regeln der offenen Vollzugsinstitution halten werde.
3.2. Der Beschwerdeführer ist dagegen der Auffassung, dass die Fluchtgefahr aufgrund der lange andauernden Haft und der entsprechend kürzeren Reststrafe bereits derart tief sei, dass Ersatzmassnahmen ausreichten. Selbst wenn das Obergericht die Strafe nicht mehr reduzieren würde, hätte er am 26. August 2023 zwei Drittel der Freiheitsstrafe von 11 Jahren verbüsst. Indessen erscheine eine Reduktion auf 9 Jahre Freiheitsstrafe als wahrscheinlich, da 20 % der Betäubungsmittelmenge, von der das Obergericht ursprünglich ausgegangen sei, weggefallen seien. Unter diesen Voraussetzungen wären die zwei Drittel bereits im April 2022 erreicht. Aus den Ausführungen der Vollzugsbehörde gehe hervor, dass nichts gegen eine bedingte Entlassung spreche. Deren Auffassung sei für das Gericht grundsätzlich verbindlich. Es sei zudem widersprüchlich, ihm den offenen Vollzug, den er mittlerweile angetreten habe, zu gewähren, aber gleichzeitig Fluchtgefahr zu bejahen. Wenn davon auszugehen sei, dass er sich an die Regeln der offenen Vollzugsinstitution halten werde, müsse dasselbe für Ersatzmassnahmen gelten. Spätestens ab August 2022 wäre denn auch mit dem Arbeitsexternat zu beginnen. Weiter sei seine Beziehung zu einer Frau aus Brasilien bedeutungslos, da sie nicht mehr bestehe. Bei der angeblichen aktuellen Partnerin aus Spanien handle es sich in Wahrheit nur um eine langjährige Freundin. Die gegenteilige Feststellung der Vorinstanz verletze seinen Anspruch auf rechtliches Gehör und sei willkürlich. Der von der Vorinstanz erwähnte "Senator Status" bei der Swiss sei nur ein Indiz für die damals häufigen Auslandreisen gewesen. Es könne zudem nicht einfach auf fast sechs Jahre zurückliegende Umstände hingewiesen werden. Gegen die Annahme von Fluchtgefahr spreche im Übrigen, dass ihm seine Familie, insbesondere seine Mutter und seine Tante, einen unterstützenden Empfangsraum bieten würden. Er könnte bei seiner Mutter wohnen und bei seinem Schwager arbeiten.
3.3. Die Annahme von Fluchtgefahr setzt ernsthafte Anhaltspunkte dafür voraus, dass die beschuldigte Person sich durch Flucht dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion entziehen könnte. Im Vordergrund steht dabei eine mögliche Flucht ins Ausland, denkbar ist jedoch auch ein Untertauchen im Inland. Bei der Bewertung, ob Fluchtgefahr besteht, sind die gesamten konkreten Verhältnisse zu berücksichtigen. Es müssen Gründe bestehen, die eine Flucht nicht nur als möglich, sondern als wahrscheinlich erscheinen lassen. Die Schwere der drohenden Strafe ist zwar ein Indiz für Fluchtgefahr, genügt jedoch für sich allein nicht, um den Haftgrund zu bejahen. Miteinzubeziehen sind die familiären und sozialen Bindungen, die berufliche und finanzielle Situation und die Kontakte zum Ausland. Selbst bei einer befürchteten Reise in ein Land, welches die beschuldigte Person grundsätzlich an die Schweiz ausliefern bzw. stellvertretend verfolgen könnte, ist die Annahme von Fluchtgefahr nicht ausgeschlossen. Die Wahrscheinlichkeit einer Flucht nimmt in der Regel mit zunehmender Verfahrens- bzw. Haftdauer ab, da sich auch die Dauer des allenfalls noch zu verbüssenden strafrechtlichen Freiheitsentzugs mit der bereits geleisteten prozessualen Haft, die auf die mutmassliche Freiheitsstrafe anzurechnen wäre (<ref-law>), kontinuierlich verringert (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 4.3; je mit Hinweisen).
3.4. Das Bundesgericht hat sich in den bereits erwähnten Urteilen 1B_264/2020 vom 17. Juni 2020 und 1B_206/2021 vom 18. Mai 2021 ausführlich mit der vom Beschwerdeführer ausgehenden Fluchtgefahr auseinandergesetzt (a.a.O., E. 5 f. bzw. E. 4). Es bestätigte dabei die Präsidialverfügungen vom 8. Mai 2020 und vom 31. März 2021 des Obergerichts, auf die dieses im hier angefochtenen Entscheid verweist. Von Bedeutung war dabei vornehmlich die zu erwartende Reststrafe, der intensive persönliche und wirtschaftliche Auslandkontakt des Beschwerdeführers vor seiner Verhaftung und eine Ersatzforderung des Kantons Zürich von Fr. 1 Mio. für unrechtmässig erlangten Vermögensvorteil. Zum wirtschaftlichen Auslandkontakt hielt das Obergericht in den erwähnten Präsidialverfügungen im Einzelnen fest, der Beschwerdeführer habe ein Restaurant bzw. einen Club in Brasilien betrieben, verfüge über ein Bankkonto in Spanien (dagegen über keines in der Schweiz) und habe hohe Geldbeträge nach Spanien und Brasilien transferiert.
Hinsichtlich der zu erwartenden Reststrafe ist der Verfahrensverlauf seit den genannten Entscheiden zu berücksichtigen. Mit Urteil vom 30. Juni 2021 hat das Bundesgericht das Urteil des Obergerichts vom 6. Oktober 2020 teilweise aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung an das Obergericht zurückgewiesen. Der Grund dafür war, dass die Anklageschrift in einem einzelnen Anklagepunkt die Tatvorwürfe nicht hinreichend eingrenzte und der diesbezügliche Schuldspruch deshalb den Anklagegrundsatz verletzte (Urteil 6B_1416/2020 vom 30. Juni 2021 E. 1). Entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers hat das Bundesgericht das Obergericht allerdings nicht angewiesen, die Freiheitsstrafe zu reduzieren. Eine genaue Prognose hinsichtlich des vom Obergericht noch zu fällenden Urteils ist im Haftprüfungsverfahren nicht angezeigt. Bei einer Verurteilung zu 11 Jahren Freiheitsstrafe wären zwei Drittel erst im August 2023 erreicht und die vorinstanzliche Feststellung, dass jedenfalls nicht eine derart erhebliche Strafreduktion zu erwarten sei, dass eine allfällige bedingte Entlassung demnächst bevorstehe, ist vor diesem Hintergrund nicht zu beanstanden. Somit ist festzuhalten, dass die Voraussetzungen für eine ausnahmsweise Berücksichtigung der Möglichkeit einer bedingten Entlassung nach Verbüssung von zwei Dritteln der Freiheitsstrafe (<ref-law>) nicht erfüllt sind, sich die Fluchtgefahr jedoch angesichts der Abnahme der zu erwartenden Reststrafe aufgrund der andauernden Haft leicht vermindert hat (vgl. Urteil 1B_206/2021 vom 18. Mai 2021 E. 4.2 f.).
Eine vom Beschwerdeführer vorgetragene Rüge, die erwähnte Ersatzforderung von Fr. 1 Mio. sei unverhältnismässig, hatte das Bundesgericht in seinem Urteil vom 30. Juni 2021 angesichts der teilweisen Gutheissung der Beschwerde nicht zu prüfen. Allerdings forderte es die Vorinstanz auf, sich mit der Bemessung der Ersatzforderung nochmals vertieft zu befassen und auch die Frage der Gefährdung der Wiedereingliederung zu berücksichtigen (a.a.O., E. 6.4). Selbst wenn im weiteren Verfahren eine Reduktion dieser Ersatzforderung erfolgen sollte, ist im jetzigen Zeitpunkt von einem Betrag auszugehen, der für den mittellosen Beschwerdeführer einen erheblichen zusätzlichen Anreiz zur Flucht schafft.
Ebenso wie im Rahmen der früheren Beurteilungen durch das Bundesgericht vermögen zudem auch hier die vorinstanzlichen Erwägungen zu den intensiven Auslandkontakten des Beschwerdeführers zu überzeugen. Dass dieser seit seiner Verhaftung am 28. April 2016 nicht mehr reisen konnte, bedeutet nicht, dass er sich im Falle einer Flucht insbesondere in Spanien oder Brasilien nicht gut zurechtfinden würde. Zutreffend ist auch, dass der Beschwerdeführer gemäss dem Vollzugsbericht vom 10. September 2021 von seiner Partnerin aus Spanien besucht werde. Ob es sich dabei in Wahrheit um eine langjährige Freundin handelt, scheint nicht ausschlaggebend (vgl. <ref-law>), und die in diesem Zusammenhang erhobene Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs ist unbegründet (<ref-law>). Jedenfalls stellt auch diese Beziehung einen Beleg für die guten Auslandkontakte des Beschwerdeführers dar, egal ob sie freundschaftlicher oder partnerschaftlicher Natur ist.
Insgesamt ist aus diesen Gründen von einer im Vergleich zur bundesgerichtlichen Beurteilung am 18. Mai 2021 verminderten, aber immer noch erheblichen Fluchtgefahr auszugehen. Dass das Obergericht in dieser Hinsicht der Einschätzung des Amts für Justizvollzug und Wiedereingliederung im Ergebnis nicht folgte, ist nicht zu beanstanden: Die rechtliche Beurteilung der Fluchtgefahr ist Aufgabe des Haftrichters.
3.5. Das Bundesgericht legte in seinem Urteil 1B_636/2021 vom 21. Dezember 2021 dar, dass der Antrag des Beschwerdeführers auf Versetzung in den offenen Vollzug im Haftverfahren geprüft werden muss. Es handelt sich dabei um ein Gebot der Verhältnismässigkeit (a.a.O., E. 4.3 mit Hinweisen; die Frage, ob die Gewährung des offenen Vollzugs während des Strafverfahrens als Ersatzmassnahme oder als Vollzugsform zu qualifizieren sei, liess das Bundesgericht offen). Die Kontrolle, der ein Häftling im offenen Vollzug unterliegt, vermag zwar eine grosse Fluchtgefahr nicht zu bannen. Hingegen kann sie sich im Einzelfall dort als ausreichend erweisen, wo die Fluchtgefahr weniger ausgeprägt ist, gleichzeitig aber (andere) Ersatzmassnahmen nach <ref-law> nicht genügen. Das Obergericht hat unter Bezugnahme auf die Ausführungen des Amts für Justizvollzug und Wiedereingliederung in diesem Zusammenhang zu Recht darauf hingewiesen, dass auch offene Vollzugsinstitutionen über Aufsichts- und Kontrollmöglichkeiten zur Vermeidung der Flucht verfügen. Die Sicherheit wird dabei schwerpunktmässig durch personelle Mittel (und nicht durch bauliche und technische wie bspw. Umfriedungsmauern) gewährleistet (BENJAMIN F. BRÄGGER, in: Basler Kommentar, Strafrecht I, 4. Aufl. 2019, N. 10 zu <ref-law>). Gestützt auf die konkreten Umstände und insbesondere das bisherige Verhalten der betroffenen Person während dem strafprozessualen Freiheitsentzug muss freilich hinreichend Gewähr bestehen, dass der Lockerungsschritt nicht missbraucht und die im offenen Vollzug geltenden Regeln eingehalten werden. Die Beurteilung dieser Voraussetzung ist einfacher möglich, wenn die betroffene Person, wie dies beim Beschwerdeführer zutrifft, sich bereits seit längerer Zeit in strafprozessualer Haft bzw. im vorzeitigen Strafvollzug befindet. Gemäss dem Amt für Justizvollzug und Wiedereingliederung kann beim Beschwerdeführer davon ausgegangen werden, dass er sie erfüllt.
3.6. Unter Würdigung der genannten Umstände ist die vom Beschwerdeführer ausgehende Fluchtgefahr zu hoch, als dass sich eine Haftentlassung unter Anordnung von Ersatzmassnahmen rechtfertigen würde. Das Obergericht verletzte deshalb kein Bundesrecht, indem es den betreffenden Antrag des Beschwerdeführers abwies.
4.
Die Beschwerde ist somit abzuweisen.
Der Beschwerdeführer ersucht um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung. Da die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind, kann dem Gesuch entsprochen werden (<ref-law>; vgl. Urteil 1B_264/2020 vom 17. Juni 2020 E. 7).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
2.1. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2. Rechtsanwalt Dr. Diego Reto Gfeller wird zum unentgeltlichen Rechtsbeistand ernannt und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Februar 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Dold