Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Entscheid vom 28. September 2017 gewährte das Bezirksgericht Kulm B._ (geb. 2011), gesetzlich vertreten durch ihre Mutter C._, die unentgeltliche Rechtspflege für einen noch rechtshängig zu machenden Unterhaltsprozess.
A.b. Am 24. November 2017 reichte Rechtsanwalt A._ für B._ beim Bezirksgericht Kulm gegen D._ eine Klage betreffend Kindesunterhalt ein. Nachdem der Beklagte die Klageantwort eingereicht hatte, fand am 16. August 2018 vor dem Bezirksgericht die Verhandlung statt. Die Parteien erstatteten Replik und Duplik; die Mutter der Klägerin wurde als Zeugin und der Beklagte als Partei befragt. In der Folge reichte Rechtsanwalt A._ für die Klägerin weitere Unterlagen ein. Am 18. September 2018 unterbreitete das Bezirksgericht Kulm den Parteien einen Vergleichsvorschlag, der von beiden Parteien unterzeichnet und dem Gericht eingereicht wurde. Am 22. November 2018 fällte das Bezirksgericht seinen Entscheid; es wurden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
B.
B.a. Am 6. Dezember 2018 reichte Rechtsanwalt A._ dem Bezirksgericht seine nach Zeitaufwand berechnete Kostennote ein. Er forderte eine Entschädigung von Fr. 4'732.55 (inkl. Auslagen und Mehrwertsteuer). Mit E-Mail vom 21. Dezember 2018 forderte ihn das Bezirksgericht auf, eine Kostennote auf Basis einer Honorarpauschale einzureichen. Rechtsanwalt A._ hielt an der Festsetzung des Honorars nach Zeitaufwand fest. Eventualiter machte er eine auf einem Pauschalhonorar basierende Entschädigung von Fr. 4'917.90 (inkl. Auslagen und Mehrwertsteuer) geltend (Eingabe vom 8. Februar 2019).
B.b. Mit Verfügung vom 3. April 2019 bestimmte das Bezirksgericht die Entschädigung auf Fr. 3'370.60 (inkl. Fr. 241.-- Mehrwertsteuer). Rechtsanwalt A._ erhob Beschwerde beim Obergericht des Kantons Aargau. Er hielt am Betrag von Fr. 4'732.55 (s. Bst. B.a) fest; eventualiter beantragte er, die Sache zur Neufestsetzung des Honorars an das Bezirksgericht zurückzuweisen. Das Obergericht hiess die Beschwerde teilweise gut. Es bestimmte die Entschädigung neu auf Fr. 3'375.30 (inkl. Fr. 245.70 Mehrwertsteuer). Im Übrigen wies es die Beschwerde ab und auferlegte Rechtsanwalt A._ die Gerichtskosten von Fr. 800.-- (Entscheid vom 2. Juli 2019).
C.
Mit Beschwerde vom 14. August 2019 wendet sich Rechtsanwalt A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, den obergerichtlichen Entscheid aufzuheben und seine Entschädigung als unentgeltlicher Rechtsvertreter auf Fr. 4'732.55 (inkl. Fr. 325.95 Mehrwertsteuer) festzusetzen. Die Gerichtskosten des kantonalen Beschwerdeverfahrens seien auf die Staatskasse zu nehmen, der von ihm geleistete Kostenvorschuss zurückzuerstatten und für das kantonale Verfahren eine Parteientschädigung "in gerichtlich genehmigter Höhe" auszurichten. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, jedoch keinen Schriftenwechsel angeordnet.

Erwägungen:
1.
1.1. Streitig ist die Festsetzung der Entschädigung des Beschwerdeführers als unentgeltlicher Rechtsbeistand in einem Kindesunterhaltsprozess. Der öffentlich-rechtliche Entschädigungsanspruch bezieht sich auf das Tätigwerden in einer Streitsache, die der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>) unterliegt. Der Entscheid betreffend die Festsetzung der Entschädigung beschlägt demnach eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit, die in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b BGG; Urteil 5A_1007/2018 vom 26. Juni 2019 E. 2.1 mit Hinweisen).
1.2. Der öffentlich-rechtliche Entschädigungsanspruch des unentgeltlichen Rechtsbeistands ist im Verhältnis zum Zivilprozess in der Hauptsache kein Nebenpunkt. Anders als im Streit um die Prozesskosten ist deshalb der Grundsatz der Akzessorietät zur Hauptsache für die Streitwertberechnung nicht anwendbar (Urteil 5A_1007/2018 vom 26. Juni 2019 E. 2.1 mit Hinweisen). Im konkreten Fall besteht der Beschwerdeführer darauf, dass seine Entschädigung nicht wie von der Vorinstanz entschieden auf Fr. 3'375.30 (inkl. Fr. 245.70 Mehrwertsteuer), sondern auf Fr. 4'732.55 (inkl. Fr. 325.95 Mehrwertsteuer) zu bestimmen sei. Die gesetzliche Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG) ist offensichtlich nicht erreicht. Dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellen würde (Art. 74 Abs. 2 Bst. a BGG), wird nicht geltend gemacht und ist auch nicht ersichtlich. Die Beschwerde in Zivilsachen ist deshalb unzulässig.
1.3. Zu prüfen bleibt, ob der Rechtsweg an das Bundesgericht nach Massgabe der Vorschriften über die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) offen steht. Das Obergericht hat als obere kantonale Instanz auf Rechtsmittel hin entschieden (Art. 114 i.V.m. <ref-law>). Der angefochtene Entscheid trifft den verfahrensbeteiligten Beschwerdeführer in seinen rechtlich geschützten Interessen (<ref-law>) und schliesst das kantonale Verfahren ab (Art. 117 i.V.m <ref-law>). Die rechtzeitig erhobene (Art. 117 i.V.m. Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 1 Bst. b BGG) Beschwerde steht damit offen.
2.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Der Beschwerdeführer muss in seiner Eingabe präzise angeben, welche verfassungsmässigen Rechte verletzt worden sind, und im Einzelnen substanziiert darlegen, worin die Verletzung besteht. Eine Überprüfung von Amtes wegen, wie sie dem Bundesgericht hinsichtlich des Gesetzes- und Verordnungsrechts des Bundes zusteht (<ref-law>), findet nicht statt. Das Bundesgericht untersucht deshalb nicht von sich aus, ob der angefochtene kantonale Entscheid verfassungsmässig ist. Es prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 5.1 S. 41; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 3.2 S. 399 f.). In tatsächlicher Hinsicht legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Auch diesbezüglich kann das Bundesgericht nur dann korrigierend eingreifen, wenn der Beschwerdeführer eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte dartut (Art. 118 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>).
Wer sich auf eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) berufen will, kann sich demnach nicht darauf beschränken, die Sach- oder Rechtslage aus seiner Sicht darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Vielmehr ist anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 4b S. 11 f.). Willkür liegt zudem nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheids, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 6.1 S. 324; <ref-ruling> E. 3.4 S. 53; <ref-ruling> E. 5.4 S. 148). Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, begründet keine Willkür (<ref-ruling> a.a.O.; <ref-ruling> E. 2.4 S. 5; <ref-ruling> E. 3.1 S. 178; je mit Hinweisen).
3.
3.1. Das Obergericht geht zuerst auf die Gehörsrüge des Beschwerdeführers ein. Es widerspricht dem Vorhalt, dass das Bezirksgericht nicht begründe, weshalb für das fragliche Verfahren eine Grundpauschale von Fr. 2'500.-- als angemessen erscheine, und sich mit dem geltend gemachten und notwendigen Arbeitsaufwand von 19.02 Stunden in keiner Weise auseinandersetze. Das Obergericht legt dar, wie das Bezirksgericht auf die für die Bemessung des Grundhonorars massgebenden Bestimmungen hinweist und nachvollziehbar erörtert, von welchen Grundsätzen es sich hat leiten lassen. Es kommt zum Schluss, die Begründung des erstinstanzlichen Entscheids sei im Lichte des Anspruchs auf rechtliches Gehör nicht zu beanstanden.
3.2. Auch das Argument des Beschwerdeführers, wonach die Rechtsprechung zur Willkür einer pauschalen Entschädigung des Kindesvertreters im Eheschutzverfahren im fraglichen Unterhaltsprozess ebenfalls einschlägig sei, lässt die Vorinstanz nicht gelten. Sie erklärt, dass es sich bei der Entschädigung des Kindesvertreters um einen Teil der Gerichtskosten handle, die diesbezügliche bundesgerichtliche Praxis auf die Entschädigung eines Parteivertreters nicht anwendbar sei und die Entschädigung sich vielmehr nach dem kantonalen Tarif bemesse.
3.3. Weiter äussert sich die Vorinstanz zum Vorwurf, das angefochtene Grundhonorar von insgesamt Fr. 2'875.-- führe bei 19.02 Stunden zu einem "nicht haltbar tiefen Stundenansatz von Fr. 151.15", der gegenüber Strafverteidigern und Opferanwälten einer willkürlichen Ungleichbehandlung gleichkomme, weil das Bundesgericht für die Tätigkeit dieser Rechtsvertreter einen Stundenansatz von Fr. 180.-- als verfassungsrechtliches Minimum anerkenne. Das Obergericht erinnert daran, dass die Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsvertreters im Kanton Aargau mit Pauschalbeträgen nach streitwertabhängigen Tarifen bzw. innerhalb eines Kostenrahmens erfolge. Daran ändere auch § 3 Abs. 1 Bst. b des aargauischen Dekrets über die Entschädigung der Anwälte vom 10. November 1987 (AnwT; SAR 291.150) nichts, der neben der Bedeutung und Schwierigkeit des Falles als Bemessungskriterium explizit den mutmasslichen Aufwand des Anwaltes nenne. Soweit der Zeitaufwand nicht schon unter dem Titel der Schwierigkeit des Falles berücksichtigt werde, geschehe dies beim Pauschalhonorar im Übrigen durch Zu- und Abschläge. Die Vorinstanz zitiert die bundesgerichtliche Rechtsprechung, wonach es zulässig ist, für das Anwaltshonorar Pauschalen vorzusehen. Demnach setze das pauschalierende Vorgehen insbesondere nicht eine systematische "Kontrollrechnung" mit einem Stundenansatz von Fr. 180.-- voraus.
Was den konkreten Fall angeht, konstatiert das Obergericht, dass das Bezirksgericht gestützt auf § 3 Abs. 1 Bst. b AnwT die Grundentschädigung festgesetzt und gestützt auf § 7 AnwT einen Zuschlag von 15 % gewährt habe. Der Beschwerdeführer rüge keine unrichtige Anwendung des Anwaltstarifs. Insbesondere stelle er nicht in Frage, dass bei Vaterschafts- und Unterhaltsklagen praxisgemäss eine Pauschale von Fr. 1'800.-- bis Fr. 2'500.-- angesetzt wird. Seine Kostennote vom 6. Dezember 2018 (s. Sachverhalt Bst. B.a) enthalte eine Aufstellung der einzelnen Aufwandpositionen und einen Verweis auf das bundesgerichtliche Urteil 5A_168/2012 vom 26. Juni 2012. Inwiefern zur gehörigen Erledigung des Prozessmandats ein über das üblicherweise gebotene Mass hinausgehender Aufwand erforderlich war, habe der Beschwerdeführer nicht dargelegt. Dass er nicht gewusst hätte, auf welchen Pauschalbetrag die Grundentschädigung bei durchschnittlichen Verfahren der gleichen Art praxisgemäss festsetzt wird, behaupte er nicht. Auf die E-Mail des Bezirksgerichts vom 21. Dezember 2018 habe er in seiner Kostennote vom 8. Februar 2019 (s. Sachverhalt Bst. B.a) mit der pauschalen Behauptung reagiert, dass das Verfahren in Bezug auf Schwierigkeit und Komplexität durchaus mit einer Ehescheidung ohne streitiges Güterrecht vergleichbar sei. Hingegen habe der Beschwerdeführer auch in dieser Kostennote nicht dargetan, dass und inwiefern im Vergleich zum Üblichen ein ausserordentlicher Aufwand erforderlich war. Die blosse Auflistung von Aufwandpositionen genüge hierfür nicht. Daher sei nicht zu beanstanden, dass das Bezirksgericht von der üblichen Pauschalentschädigung für durchschnittliche Fälle ausgegangen sei, so die Schlussfolgerung des Obergerichts. Auch von einer Verletzung des verfassungsmässigen Anspruchs auf rechtsgleiche Behandlung (<ref-law>) kann dem angefochtenen Entscheid zufolge nicht gesprochen werden. Die unterschiedliche Bemessungsweise der Entschädigung der Parteivertretung in Straf- und Zivilsachen sei im kantonalen Anwaltstarif angelegt und als Entscheidung des Gesetzgebers - unter Vorbehalt einer Verletzung höherrangigen Rechts - durch die Gerichte zu respektieren.
4.
4.1. An verschiedenen Stellen seines Schriftsatzes klagt der Beschwerdeführer, dass die Vorinstanz ihren Entscheid nicht hinreichend begründe und damit seinen Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletze. Die kantonalen Instanzen würden nicht erklären, weshalb in durchschnittlichen Fällen im Kindesunterhaltsprozess eine Pauschale von Fr. 2'500.-- als Grundentschädigung den notwendigen und sachgerechten Aufwand des unentgeltlichen Rechtsvertreters abgelte. Überdies spreche das Obergericht vom Vorbehalt einer Verletzung höherrangigen Rechts, ohne eine solche Verletzung zu prüfen.
4.2. Der Beschwerdeführer verkennt die Anforderungen an die Begründungspflicht, wie sie sich aus <ref-law> ergeben. Aus dem Gehörsanspruch folgt nicht, dass sich die Behörde zu allen Punkten einlässlich äussern und jedes einzelne Vorbringen widerlegen muss (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 667). Die Begründung eines behördlichen Entscheids muss so abgefasst sein, dass sich die betroffene Person über dessen Tragweite Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache anfechten kann (<ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445). Ob diese Anforderungen erfüllt sind, beurteilt sich anhand des Ergebnisses des Entscheides (<ref-ruling> E. 6.1 S. 327). Eingedenk dessen ist dem Obergericht keine Verfassungswidrigkeit vorzuwerfen. Der angefochtene Entscheid gibt nicht nur Aufschluss darüber, weshalb die schon vor der Vorinstanz vorgetragene entsprechende Gehörsrüge unbegründet ist (s. E. 3.1). Das Obergericht lässt auch hinreichend erkennen, warum es den erstinstanzlichen Entscheid schützt. Ist der Beschwerdeführer mit dieser Entscheidfindung nicht einverstanden, so beschlägt dies nicht das rechtliche Gehör, sondern die Feststellung des Sachverhalts oder die Anwendung des Rechts, die das Bundesgericht hier nur auf die Verletzung verfassungsmässiger Rechte hin überprüft (E. 2).
5.
5.1. Weiter rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung des Rechtsgleichheitsgebots (<ref-law>). Das Gebot der rechtsgleichen Behandlung - und der damit eng verbundene Grundsatz des Willkürverbots (<ref-law>) - ist verletzt, wenn hinsichtlich einer entscheidwesentlichen Tatsache rechtliche Unterscheidungen getroffen werden, für die ein vernünftiger Grund in den zu regelnden Verhältnissen nicht ersichtlich ist, oder wenn Unterscheidungen unterbleiben, die sich auf Grund der Verhältnisse aufdrängen (s. <ref-ruling> E. 3.2 S. 324).
5.2. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz vor, ihn als unentgeltlichen Rechtsbeistand eines minderjährigen Kindes im Unterhaltsprozess ohne hinreichend sachlichen Grund mit Bezug auf die Honorierung schlechter zu behandeln als den Kindesvertreter im Prozess zwischen den Eltern. Er besteht darauf, dass sich beide Vertreter gleichermassen von den Interessen und dem Wohl des Kindes zu leiten hätten und sich dafür einsetzen müssten. Dass der unentgeltliche Vertreter eines Kindes unter dem verfassungsmässig garantierten Minimum von Fr. 180.-- pro Stunde und damit nicht kostendeckend arbeiten müsse, sei "generell (auch) in durchschnittlichen Fällen nicht hinzunehmen". Allein damit ist nichts gewonnen. Der Beschwerdeführer übersieht die vorinstanzliche Erwägung, wonach die Entschädigung des Kindesvertreters Teil der Gerichtskosten, die diesbezügliche Rechtsprechung auf die Entschädigung eines Parteivertreters nicht anwendbar und hierfür der kantonale Tarif massgeblich ist (s. E. 3.2). Inwiefern die Vorinstanz damit keinen vernünftigen Grund nennt, die Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistands eines Kindes anders zu handhaben als diejenige des Kindesvertreters im elterlichen Prozess, ist der Beschwerde nicht zu entnehmen. Der Beschwerdeführer begnügt sich damit, seine Sicht der Dinge auszubreiten.
5.3. Weiter beklagt sich der Beschwerdeführer darüber, dass der Strafverteidiger und der unentgeltliche Vertreter des Zivil- und Strafklägers nach § 9 AnwT "nach Zeitaufwand" entschädigt werden, während der unentgeltliche Rechtsvertreter eines minderjährigen Kindes im Unterhaltsprozess substanziiert nachweisen müsse, dass der geltend gemachte Aufwand das übliche durchschnittliche Mass überschreite. Der angefochtene Entscheid verletze <ref-law>, denn einen sachlich vernünftigen Grund für diese Ungleichbehandlung gebe es nicht. Ohne zu prüfen, ob das kantonale Recht höherrangiges Recht verletze, nehme das Obergericht in Kauf, dass die Interessen des Kindes "in vielen durchschnittlichen Fällen" nicht sachgerecht und sorgfältig vertreten werden können. Auch diese Rüge ist zum Scheitern verurteilt. Nach § 9 Abs. 1 AnwT bemisst sich die Entschädigung in Strafsachen einschliesslich der amtlichen Verteidigung und der Verbeiständung bezüglich zivilrechtlicher Ansprüche im Strafprozess (§ 9 Abs. 3 AnwT) nach dem "angemessenen" Zeitaufwand des Anwaltes. Dass der Strafrichter geltend gemachte Arbeitsstunden trotzdem ohne Rücksicht auf die Angemessenheit akzeptieren müsste und der Anwalt keinerlei Rechenschaft über seinen Aufwand schulden würde, behauptet der Beschwerdeführer nicht. Er tut auch nicht dar, inwiefern sich der "mutmassliche" (§ 3 Abs. 1 Bst. b AnwT) vom "angemessenen" (§ 9 Abs. 1 AnwT) Aufwand unterscheidet. Ebenso wenig vermag er etwas auszurichten, wenn er behauptet, die Interessen minderjähriger Kinder könnten in vielen durchschnittlichen Fällen im Rahmen der unentgeltlichen Rechtspflege nicht sachgerecht und sorgfältig vertreten werden. Insbesondere macht der Beschwerdeführer auch nicht geltend, dass die Grundpauschale von Fr. 1'800.-- bis Fr. 2'500.--, die laut Vorinstanz im Kanton Aargau für Unterhaltsklagen üblich ist, generell zu tief angesetzt wäre. Den Argumenten, mit denen der Beschwerdeführer einen vernünftigen Grund für die verschiedenen Regeln zur Bemessung der Entschädigung der Anwälte in Zivil- und Strafsachen in Abrede stellt, ist damit der Boden entzogen.
6.
Hauptsächlich dreht sich der Streit um die pauschalisierende Art der Bemessung der Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistands.
6.1. Honorarpauschalen dienen der gleichmässigen Behandlung und begünstigen eine effiziente Mandatsführung. Sie entlasten das Gericht davon, sich mit den einzelnen Positionen einer vom Anwalt eingereichten Honorarrechnung auseinandersetzen zu müssen (<ref-ruling> E. 2.5.1 S. 454 mit Hinweis). Bei einer Entschädigung nach Pauschalbeträgen werden alle prozessualen Bemühungen zusammen als einheitliches Ganzes aufgefasst. Der effektive Zeitaufwand wird lediglich im Rahmen eines allenfalls anwendbaren Tarifansatzes berücksichtigt. Auch solche Pauschalen (nach Rahmentarifen) sind grundsätzlich zulässig. Sie wirken sich aber dort verfassungswidrig aus, wo bei ihrer Anwendung auf die konkreten Verhältnisse in keiner Weise Rücksicht genommen wird und die Entschädigung im Einzelfall ausserhalb jedes vernünftigen Verhältnisses zu den vom Rechtsanwalt geleisteten Diensten steht (<ref-ruling> E. 4.3 S. 128).
Nach der Rechtsprechung soll die Entschädigung für einen amtlichen Anwalt im schweizerischen Durchschnitt ungefähr einem minimalen Stundenansatz von Fr. 180.-- (zuzüglich Mehrwertsteuer) entsprechen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 127; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 263; <ref-ruling> E. 5.4 S. 191; <ref-ruling> E. 8.6 f. S. 217). Daraus folgt aber nicht, dass die Behörde mit Blick auf die pauschalisierende Festsetzung der Entschädigung im Sinne einer "Kontrollrechnung" systematisch überprüfen muss, ob die pauschale Entschädigung gemessen am geltend gemachten, noch nicht auf seine Notwendigkeit hin überprüften Zeitaufwand im Ergebnis einem Stundenansatz von ungefähr Fr. 180.-- entspricht. Muss sich die im konkreten Fall geschuldete Entschädigung an einem Pauschalbetrag messen, so steht mit dieser Pauschale auch fest, welchen Aufwand die zuständige Behörde für Fälle der betreffenden Art üblicherweise als geboten und damit als entschädigungspflichtig erachtet. Falls mit Blick auf den im kantonalen Recht gesetzten Rahmen erkennbar wird, dass der geleistete Aufwand auch nach einem Minimalansatz zu einer Entschädigung führt, die über das Mass dessen hinausgeht, was für Fälle der betreffenden Art üblicherweise als geboten und damit entschädigungspflichtig angesehen wird, liegt es deshalb am unentgeltlichen Rechtsvertreter, von sich aus oder gegebenenfalls auf gerichtliche Aufforderung hin darzulegen, inwiefern zur gehörigen Erledigung des Mandats ein solcher Aufwand erforderlich war. Allein die Auflistung von Aufwandpositionen in der Honorarnote ist hierfür nicht ausreichend. Denn es ist nicht Aufgabe der Behörde, in ihrem Festsetzungsentscheid aus eigenem Antrieb Rechenschaft darüber abzulegen, weshalb sie von der eingereichten Honorarnote abweicht. Eine substanziierte Begründung des Honoraranspruchs kann vom unentgeltlichen Prozessvertreter freilich nur gefordert werden, wenn er spätestens bei der Übernahme seines Auftrags weiss oder zumindest in Erfahrung bringen kann, auf welchen Pauschalbetrag die zuständige Behörde in durchschnittlichen Verfahren gleicher Art die Grundentschädigung praxisgemäss festsetzt (<ref-ruling> E. 2.5.1 S. 455 f.; Urteil 5A_380/2014 vom 30. September 2014 E. 3.1).
6.2. Der Beschwerdeführer will eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) ausgemacht haben. Er bestreitet, nicht dargetan zu haben, inwiefern zur gehörigen Erledigung des Prozessmandats ein Aufwand erforderlich war, der über das Mass dessen hinaus geht, was in solchen Fällen üblich ist. Aus der Aufstellung seines detaillierten Leistungsaufwands, die er mit seinen beiden Kostennoten eingereicht habe, seien die über das durchschnittliche Mass hinausgehenden notwendigen und sachgerechten Bemühungen "offensichtlich". Die Vorinstanz werfe ihm "in keiner Weise" vor, dass er im Kindesunterhaltsprozess vor dem Bezirksgericht einen übermässigen Aufwand betrieben hätte und deshalb gewisse Aufwandpositionen ausser Betracht fallen müssten. Die Leistungsaufstellung zeige, dass das Bezirksgericht im September 2018 einen detaillierten Vergleichsvorschlag mit Beilagen unterbreitete, der mehrere Besprechungen mit der Mutter der Klägerin und mehrere Schreiben ans Gericht erforderte. Der Beschwerdeführer bestreitet, sich nicht gegen die erstinstanzliche Erwägung gewehrt zu haben, wonach bei Vaterschafts- und Unterhaltsklagen praxisgemäss Pauschalen in der Höhe von Fr. 1'800.-- bis Fr. 2'500.-- angesetzt werden. Er habe eine Verletzung der ZPO gerügt und sich darüber beklagt, dass das Bezirksgericht ohne Rücksicht auf den konkret geltend gemachten Aufwand von 19.02 Arbeitsstunden eine Grundpauschale von Fr. 2'500.-- einsetze. Der Beschwerdeführer besteht darauf, dass das Bezirksgericht "gehörig zu begründen hatte", weshalb in durchschnittlichen Fällen im Kindesunterhaltsprozess eine Pauschale von Fr. 2'500.-- als Grundentschädigung den notwendigen und sachgerechten Aufwand des unentgeltlichen Rechtsvertreters zu decken und eine sachgerechte Wahrung der Kindesinteressen und des Kindeswohls zu garantieren vermag. Er erinnert daran, dass er in seiner zweiten Kostennote im "Eventualstandpunkt" eine Pauschale von Fr. 3'630.-- gefordert habe. Mit der Begründung, dass die Streitsache hinsichtlich Schwierigkeit und Komplexität durchaus mit einer Ehescheidung (ohne streitiges Güterrecht) vergleichbar sei, habe er dargetan, dass die Pauschale von Fr. 2'500.-- als Grundentschädigung für das vorliegende Verfahren offensichtlich zu tief sei. Schliesslich findet der Beschwerdeführer, das Willkürverbot sei auch im Ergebnis verletzt, da ihm die Vorinstanz (unter Berücksichtigung eines Zuschlags von 15 % auf dem Grundhonorar) ein Stundenhonorar von lediglich Fr. 151.15 (Fr. 2'875.-- / 19.02 Stunden) gewähre. Dieser Betrag liege unter dem "verfassungsrechtlichen Mindestansatz" von Fr. 180.-- pro Stunde und decke nicht einmal die Selbstkosten.
6.3. Die resümierten Vorbringen des Beschwerdeführers taugen nicht dazu, den angefochtenen Entscheid ins Wanken zu bringen. Laut Vorinstanz behauptete der Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren nicht, dass er keine Kenntnis davon gehabt hätte, auf welchen Pauschalbetrag das Bezirksgericht die Grundentschädigung bei durchschnittlichen Verfahren der fraglichen Art praxisgemäss festsetzt (s. E. 3.3). Nachdem der Beschwerdeführer diese Feststellung vor Bundesgericht nicht in Frage stellt, bleibt es dabei, dass er wusste, welchen Pauschalbetrag das Bezirksgericht für die Grundentschädigung im konkreten Fall zur Anwendung bringen würde. Die weitschweifigen Erörterungen des Beschwerdeführers laufen letztendlich auf die simple (Gegen-) Behauptung hinaus, dass er sich trotz seines Wissens um die anwendbare Pauschale damit begnügen durfte, dem Bezirksgericht eine Honorarnote mit einer Auflistung einzelner Aufwandpositionen einzureichen, und dass das Obergericht anhand des Minimalhonorars von Fr. 180.-- pro Stunde eine Kontrollrechnung hätte vornehmen müssen. Mit seiner Behauptung, die Aufstellung des detaillierten Leistungsaufwands sei sozusagen selbsterklärend, ist indes nichts gewonnen. Der Beschwerdeführer täuscht sich über die Vorgaben der Rechtsprechung, wenn er meint, dass das Bezirksgericht sich mit der Aufstellung des erbrachten Zeitaufwandes hätte auseinandersetzen und aus eigenem Antrieb hätte erklären müssen, warum eine Grundpauschale von Fr. 2'500.-- für durchschnittliche Fälle der fraglichen Art angemessen ist und das geforderte Honorar nicht zugesprochen werden kann. Auch der vorinstanzlichen Erkenntnis, wonach der Vergleich mit einem Scheidungsprozess ohne streitiges Güterrecht einer blossen Behauptung gleichkomme, hat der Beschwerdeführer im hiesigen Verfahren nichts Brauchbares entgegenzusetzen. Zwar will er mit diesem Hinweis in seiner zweiten Kostennote vom 8. Februar 2019 dargetan haben, dass die Pauschale als Grundentschädigung zu tief sei. Allein die abstrakte Anlehnung an eine Entschädigungspauschale, die gemäss dem Beschwerdeführer in einem anderen Prozess üblich ist, kann den Bezug zum konkreten Fall, den das Obergericht unter Hinweis auf die zitierte Rechtsprechung vom Beschwerdeführer fordert, indes nicht ersetzen. Auch vor Bundesgericht bleibt der Beschwerdeführer mithin eine Erklärung schuldig, welche seiner konkreten und erforderlichen Bemühungen den Unterhaltsprozess von B._ gegen D._ im Vergleich zum Normalfall als aussergewöhnlich aufwändig erscheinen lassen. Eine Verletzung von <ref-law> ist nicht nachgewiesen.
7.
Nach alledem erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Er hat deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Dem Kanton Aargau ist keine Entschädigung geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksgericht Kulm und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Februar 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn