Sachverhalt:
A.
Unter dem Namen "Stiftung B._" ist im Handelsregister des Kantons Zürich eine Stiftung im Sinne von <ref-law> eingetragen. Sie wurde von A.A._, Jahrgang 1924, am 24. Dezember 1980 errichtet und bezweckt, die abendländischen, insbesondere die schweizerischen Kunst-, Kultur- und Geschichtswerte zu pflegen, die Besinnung auf dieselben sowie ihre Erhaltung zu fördern und dazu beizutragen, diese Werte der Öffentlichkeit zu vermitteln. Über den Stiftungsrat ist in Art. 5 der Stiftungsurkunde Folgendes vorgesehen:
"Die Stiftung wird von einem Stiftungsrat geleitet. Er besteht aus höchstens sieben Mitgliedern, wobei, wenn möglich, mindestens ein Mitglied der Familie des Stifters im Stiftungsrat vertreten sein soll. Die Amtsdauer beträgt ein Jahr. Bei Ersatzwahlen tritt das neue Mitglied in die Amtsdauer seines Vorgängers ein.
Der Stifter bezeichnet die Mitglieder des Stiftungsrates. Kann er aus gesundheitlichen oder anderen Gründen diese Befugnis nicht mehr ausüben, kommt sie primär seinen Nachkommen (Blutsverwandte in absteigender Linie), subsidiär seinen übrigen gesetzlichen Erben zu. Wenn solche fehlen oder nicht willens sind, diese Aufgabe zu übernehmen, ergänzt sich der Stiftungsrat selbst. Sollte auch dies nicht möglich sein, ernennt die Aufsichtsbehörde die Stiftungsräte.
Der Stiftungsrat... [Organisation]..."
Der erste Stiftungsrat bestand aus dem Stifter A.A._ (Präsident), E._ (Mitglied) und F._ (Mitglied). Die Stiftung untersteht der Aufsicht des Bundes, die von der Eidgenössischen Stiftungsaufsicht (ESA) wahrgenommen wird. Nachkommen des Stifters sind die Tochter C.A._ und der Sohn D.A._ (im Folgenden: die Nachkommen).
B.
B.a. Im Herbst 2013 unterbreitete der Stiftungsrat der ESA geänderte Stiftungssatzungen (Stiftungsurkunde und Organisationsreglement) zur Vorprüfung. Die Änderungen betrafen unter anderem Art. 5 der Stiftungsurkunde. Die Mitglieder des Stiftungsrats sollten nicht mehr durch den Stifter bzw. durch dessen Nachkommen ernannt werden, sondern neu die Befugnis erhalten, selber ausgeschiedene Mitglieder zu ersetzen oder zusätzliche Mitglieder zu wählen (Kooptationsrecht). Die ESA machte Änderungs- und Ergänzungsvorschläge. Zur Einführung der Kooptation äusserte sie sich nicht.
B.b. Am 3. Dezember 2013 beantragten die Nachkommen dem Stiftungsrat, gestützt auf Art. 5 der Stiftungsurkunde dem Stiftungsrat beizutreten. Von ihrem Antrag setzten sie die ESA in Kenntnis.
B.c. An seiner Sitzung vom 9. Januar 2014 lehnte der Stiftungsrat die Aufnahme der Nachkommen in den Stiftungsrat ab. Die überarbeiteten Stiftungssatzungen wurden verabschiedet und am 10. Januar 2014 der ESA zur Genehmigung zugestellt.
B.d. Die Nachkommen legten am 13. Januar und am 20. Februar 2014 je Beschwerde ein und beantragten der ESA, die Änderung von Art. 5 der Stiftungsurkunde nicht zu genehmigen. Sie machten geltend, der Stifter und Stiftungsratspräsident sei nicht mehr urteilsfähig. Die Stiftung schloss auf Abweisung der Beschwerden und Genehmigung der neuen Stiftungssatzungen, insbesondere des geänderten Art. 5 der Stiftungsurkunde. Die ESA gewährte den Beschwerden die aufschiebende Wirkung und sistierte das Verfahren auf Antrag der Parteien zwecks einvernehmlicher Bestimmung des künftigen Stiftungsrats. Eine Einigung konnte jedoch nicht gefunden werden.
B.e. Am 17. Dezember 2014 ernannten die Nachkommen einen Stiftungsrat für die Amtsdauer vom 25. Dezember 2014 bis am 24. Dezember 2015, bestehend aus den beiden Nachkommen und drei weiteren Mitgliedern. Die bisherigen Mitglieder des Stiftungsrats wurden nicht wiedergewählt und die neu gewählten Mitglieder am 5. Januar 2015 im Handelsregister eingetragen. Der Stiftungsrat teilte seine neue Zusammensetzung am 8. Januar 2015 der ESA mit und zog das Gesuch des bisherigen Stiftungsrats um Genehmigung der Änderung der Stiftungssatzungen vom 10. Januar 2014 zurück.
B.f. Mit Verfügung vom 8. Januar 2015 wies die ESA das Handelsregisteramt an, die Änderung vom 5. ds. zu löschen, die bisherigen Stiftungsräte wieder einzutragen und das Handelsregister für alle künftigen Einträge betreffend die Stiftung zu sperren.
B.g. Am 23. Januar 2015 verfügte die ESA, dass das zuvor sistierte Verfahren wieder aufgenommen wird (Ziff. 1), die Anträge des bisherigen Stiftungsrats auf Änderung der Stiftungssatzungen abgewiesen werden (Ziff. 2) und die Beschwerdeverfahren der Nachkommen abgeschrieben werden (Ziff. 3). Sie stellte fest, dass der Gesundheitszustand des Stifters ihm nicht mehr erlaubt, weiterhin das Amt des Stiftungsrats und das Ernennungsrecht des Stiftungsrats persönlich auszuüben, und somit das Recht, den Stiftungsrat zu ernennen, auf die Nachkommen übergeht (Ziff. 4). Die ESA forderte den Stiftungsrat auf, innert Frist ein Geschäftskonzept einzureichen, und behielt weitere aufsichtsrechtliche Massnahmen vor, vor allem zu Beginn der Tätigkeit des neu ernannten Stiftungsrats (Ziff. 5). Sie hob ihre Verfügung vom 8. Januar 2015 auf (Ziff. 6) und ersuchte das Handelsregisteramt, die Mutationen vom 5.ds. wieder aufzuschalten und die entsprechenden Einträge zu veranlassen (Ziff. 7). Die ESA bestätigte damit die Rechtmässigkeit der Wahl des Stiftungsrats vom 17. Dezember 2014 durch die Nachkommen des Stifters.
C.
C.a. Gegen die Verfügung der ESA vom 23. Januar 2015 erhoben die Stiftung, handelnd durch den bisherigen Stiftungsrat, und der Stifter, vertreten durch seine Generalbevollmächtigte E._, je Beschwerde. Das angerufene Bundesverwaltungsgericht holte ein Gutachten zur Urteilsfähigkeit des Stifters ein.
C.b. Bis zum rechtskräftigen Entscheid darüber, wem das Recht zur Ernennung des Stiftungsrats zukommt und wer das Amt des Stiftungsrats ausübt, ernannte die ESA mit Verfügung vom 30. Januar 2015 G._ zum Sachwalter der Stiftung mit Einzelunterschrift. Sie entzog den Mitgliedern des bisherigen Stiftungsrats die Zeichnungsberechtigung und ordnete die entsprechenden Änderungen im Handelsregister an.
C.c. Das Bundesverwaltungsgericht vereinigte die Verfahren und wies die Beschwerden ab, soweit darauf eingetreten werden konnte (Urteil vom 4. Oktober 2016).
D.
D.a. Mit Eingabe vom 9. November 2016 (Verfahren 5A_856/2016) beantragt die Stiftung (Beschwerdeführerin) dem Bundesgericht in der Sache, das Gesuch des bisherigen Stiftungsrats an die ESA um Genehmigung der Änderung der Stiftungsurkunde und des Organisationsreglements gutzuheissen.
D.b. Die Beschwerdeführerin ersuchte um aufschiebende Wirkung. Während das Bundesverwaltungsgericht und die ESA gegen die Gewährung der aufschiebenden Wirkung nichts einwendeten, schlossen die Nachkommen des Stifters (Beschwerdegegner) auf Abweisung des Gesuchs, soweit darauf einzutreten sei. Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts erteilte der Beschwerde die aufschiebende Wirkung (Verfügung 5A_856/2016 vom 29. November 2016). Auf Wunsch der Beschwerdeführerin wurden ihr die drei Stellungnahmen zum Gesuch um aufschiebende Wirkung am 7. Dezember 2016 mitgeteilt.
D.c. Im Hinblick auf ein allfälliges Revisionsgesuch an das Bundesverwaltungsgericht ersuchte die Beschwerdeführerin um Sistierung des bundesgerichtlichen Verfahrens (Schreiben vom 3. Mai 2017). Nach Eingang einer Kopie des Revisionsgesuchs setzte der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Verfahren bis zum Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts über das dort erhobene Revisionsgesuch aus (Verfügung 5A_856/2016 vom 9. Juni 2017).
D.d. Mit Urteil vom 16. August 2017 wies das Bundesverwaltungsgericht das Revisionsgesuch ab. Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts ordnete die Fortsetzung des Verfahrens an und räumte den Verfahrensbeteiligten die Möglichkeit ein, sich zum Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 16. August 2017 zu äussern (Verfügung 5A_856/2016 vom 23. August 2017). Die ESA verzichtete auf eine Stellungnahme. Die Beschwerdeführerin ersuchte um erneute Sistierung des Verfahrens, da sie das Urteil vom 16. August 2017 mit Beschwerde an das Bundesgericht weitergezogen habe. Die Beschwerdegegner liessen sich am 25. September 2017 ebenfalls vernehmen. Die Vernehmlassungen wurden den Parteien zur Kenntnisnahme übermittelt mit dem Hinweis darauf, dass allfällige verfahrensleitende Verfügungen auf Anordnung des Referenten erfolgen werden und dass das Verfahren bis zum Urteil des Bundesgerichts über die Beschwerde gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 16. August 2017 (Verfahren 5A_734/2017) ruht (Präsidialverfügung 5A_856/2016 vom 9. März 2018).
D.e. Mit Urteil 5A_734/2017 vom 22. März 2018 hat die II. zivilrechtliche Abteilung des Bundesgerichts die Beschwerde gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 16. August 2017 betreffend Revision abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden konnte.
D.f. Dem Gesuch der Beschwerdeführerin, auf die Stellungnahme der Beschwerdegegner vom 25. September 2017 zu replizieren, wurde entsprochen (Präsidialverfügung 5A_856/2016 vom 20. April 2018). Die Beschwerdeführerin hat ihre Replikschrift am 14. Mai 2018 eingereicht und dabei ihre Beschwerdebegehren dahin gehend ergänzt, eventualiter sei die Sache an das Bundesverwaltungsgericht zur Ergänzung des Sachverhalts und Entscheidung im Sinne der bundesgerichtlichen Erwägungen zurückzuweisen.
D.g. In der Sache sind die Akten des Bundesverwaltungsgerichts, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
E.
E.a. Mit Eingabe vom 11. November 2016 (Verfahren 5A_865/2016) beantragt der Stifter (Beschwerdeführer) dem Bundesgericht in der Sache, das Gesuch an die ESA um Genehmigung der Änderung der Stiftungsurkunde und des Organisationsreglements gutzuheissen und festzustellen, dass sämtliche von seinen beiden Nachkommen (Beschwerdegegnern) durchgeführten Stiftungsratswahlen ungültig seien.
E.b. Der Beschwerdeführer ersuchte um aufschiebende Wirkung und vorsorgliche Massnahmen. Während das Bundesverwaltungsgericht und die ESA gegen das Gesuch nichts einwendeten, schlossen die Beschwerdegegner auf Abweisung des Gesuchs, soweit darauf einzutreten sei. Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts erteilte der Beschwerde die aufschiebende Wirkung und wies das Handelsregisteramt an, während des bundesgerichtlichen Verfahrens betreffend die Stiftung keine Änderungen in der Rubrik "Personalangaben" vorzunehmen (Verfügung 5A_865/2016 vom 29. November 2016).
E.c. Mit Schreiben vom 15./24. März 2017 reichte der Beschwerdeführer Auszüge aus seinen Tagebüchern als neue Beweismittel ein. Unter Bezugnahme auf die Tagebücher liessen sich die Generalbevollmächtigten des Beschwerdeführers, E._ und I._, mit Schreiben vom 27. März 2017 und gemeinsam mit weiteren Mitgliedern des bisherigen Stiftungsrats mit Schreiben vom 3. April 2017 unaufgefordert vernehmen.
E.d. Im Hinblick auf ein allfälliges Revisionsgesuch an das Bundesverwaltungsgericht ersuchte der Beschwerdeführer um Sistierung des bundesgerichtlichen Verfahrens (Schreiben vom 2. Mai 2017). Nach Eingang einer Kopie des Revisionsgesuchs setzte der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Verfahren bis zum Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts über das dort erhobene Revisionsgesuch aus (Verfügung 5A_865/2016 vom 9. Juni 2017).
E.e. Auf Anfrage hin bestätigte der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts dem Handelsregisteramt, dass die Verfügung 5A_865/2016 vom 29. November 2016 einer Prüfung der Handelsregisteranmeldung vom 6. April 2017 nicht entgegensteht, mit der der Sachwalter darum ersucht hatte, die neu bezeichnete Revisionsstelle im Handelsregister einzutragen (Verfügung 5A_865/2016 vom 9. Juni 2017).
E.f. Am 28. Juli 2017 bedienten die Generalbevollmächtigten des Beschwerdeführers gemeinsam mit weiteren Mitgliedern des bisherigen Stiftungsrats die II. zivilrechtliche Abteilung des Bundesgerichts mit einer Kopie des Schreibens über "Das Lebenswerk von A.A._" an das Bundesverwaltungsgericht.
E.g. Mit Urteil vom 16. August 2017 wies das Bundesverwaltungsgericht das Revisionsgesuch ab. Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts ordnete die Fortsetzung des Verfahrens an und räumte den Verfahrensbeteiligten die Möglichkeit ein, sich zum Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 16. August 2017 zu äussern (Verfügung 5A_865/2016 vom 23. August 2017). Die ESA verzichtete auf eine Stellungnahme. Der Beschwerdeführer ersuchte um erneute Sistierung des Verfahrens, da er das Urteil vom 16. August 2017 mit Beschwerde an das Bundesgericht weitergezogen habe. Die Beschwerdegegner liessen sich am 25. September 2017 ebenfalls vernehmen. Die Vernehmlassungen wurden den Parteien zur Kenntnisnahme übermittelt mit dem Hinweis darauf, dass allfällige verfahrensleitende Verfügungen auf Anordnung des Referenten erfolgen werden und dass das Verfahren bis zum Urteil des Bundesgerichts über die Beschwerde gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 16. August 2017 (Verfahren 5A_719/2017) ruht (Präsidialverfügung 5A_865/2016 vom 9. März 2018).
E.h. Mit Urteil 5A_719/2017 vom 22. März 2018 hat die II. zivilrechtliche Abteilung des Bundesgerichts die Beschwerde gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 16. August 2017 betreffend Revision abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden konnte.
E.i. Dem Gesuch des Beschwerdeführers, auf die Stellungnahme der Beschwerdegegner vom 25. September 2017 zu replizieren, wurde entsprochen (Präsidialverfügung 5A_865/2016 vom 20. April 2018). Der Beschwerdeführer hat seine Replikschrift am 11. Mai 2018 eingereicht.
E.j. In der Sache sind die Akten des Bundesverwaltungsgerichts, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Die beiden Beschwerden richten sich gegen dasselbe Urteil mit gleichen Gegenparteien. Die Beschwerdebegehren und -begründungen stimmen im Wesentlichen überein. Es rechtfertigt sich deshalb, die beiden Beschwerdeverfahren zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu erledigen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Das Bundesgericht verwendet - ungeachtet ihrer Berechtigung - die Bezeichnungen der Vorinstanzen und beider Parteien und versteht unter dem "bisherigen" Stiftungsrat den im Handelsregister ohne Zeichnungsberechtigung eingetragenen Stiftungsrat, bestehend aus J._ (Präsident) und A.A._, E._, I._ und K._ (Mitglieder), und unter dem "neuen" Stiftungsrat den am 17. Dezember 2014 ernannten und im Handelsregister eingetragenen und wieder gelöschten Stiftungsrat, bestehend aus C.A._ (Präsidentin) und D.A._, L._, M._ und N._ (Mitglieder).
1.2. Das angefochtene Urteil betrifft die Aufsicht über eine Stiftung und unterliegt - mit der hier nicht gegebenen Ausnahme der Aufsicht über Vorsorge- und Freizügigkeitseinrichtungen - als öffentlich-rechtlicher Entscheid, der in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht steht, der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 4 BGG).
1.3. Die Stiftungsaufsicht allgemein und auch mit Bezug auf die Stiftungsorganisation hat dafür zu sorgen, dass das Stiftungsvermögen seinen Zwecken gemäss verwendet wird (vgl. Art. 84 Abs. 2 und Art. 83d Abs. 2 ZGB). Sie ist damit vermögensrechtlicher Natur (Urteile 5A_657/2010 vom 17. März 2011 E. 1.1; 5D_99/2012 vom 30. November 2012 E. 1; 5A_484/2016 vom 5. August 2016 E. 1.1; abweichend, aber nicht massgebend: Urteil 5A_676/2015 vom 5. Januar 2016 E. 1). Da das Bundesverwaltungsgericht von einer nicht vermögensrechtlichen Streitigkeit ausgegangen ist (E. 12.3 S. 65), fehlen im angefochtenen Urteil die Angaben zum Streitwert. Angesichts der strittigen Frage, wer den Stiftungsrat einer Stiftung mit beträchlichem Vermögen bezeichnen darf, wird der Streitwert ermessensweise auf über Fr. 30'000.-- festgesetzt (Art. 51 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>; zit. Urteil 5A_657/2010 E. 1.1, betreffend Amtsführung des Stiftungsratspräsidenten; vgl. für die Abberufung eines Mitglieds des Stiftungsrats einer Familienstiftung: Urteil 5A_401/2010 vom 11. August 2010 E. 1.1 und E. 7.3).
1.4. Gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts ist die Beschwerde zulässig (<ref-law>). Das Beschwerderecht (<ref-law>) steht dem Stifter zu (vgl. Urteil 5A.19/1996 vom 28. Januar 1997 E. 1). Im Streit um seine Urteilsfähigkeit, die im angefochtenen Urteil verneint wurde, hat er zudem als prozessfähig zu gelten (<ref-ruling> E. 3a S. 239 f.; Urteil 5A_194/2011 vom 30. Mai 2011 E. 1 und E. 3.2). Desgleichen ist die Stiftung gegen das Urteil, das ihre Organisation betrifft, beschwerdeberechtigt (<ref-ruling> E. 2 S. 440; Urteil 5A.23/1999 vom 27. März 2000 E. 1). Die bisherigen Stiftungsratsmitglieder durften dabei im Namen der Stiftung handeln und insbesondere für die Stiftung eine Anwaltsvollmacht rechtswirksam unterzeichnen, obwohl ihnen danach für die Verfahrensdauer die Zeichnungsberechtigung entzogen und der Stiftung ein Sachwalter bestellt wurde (Bst. C.b oben). Denn die Beschwerden gegen die Verfügung der ESA haben vor der Vorinstanz kraft Gesetzes (Art. 37 VGG i.V.m. <ref-law>) und vor Bundesgericht auf Anordnung hin (Bst. D.b/E.b oben) aufschiebende Wirkung (vgl. Urteil 5A_401/2010 vom 11. August 2010 E. 2.2).
1.5. Die Beschwerden gegen das verfahrensabschliessende Urteil des Bundesverwaltungsgerichts (<ref-law>) sind im Weiteren fristgerecht (<ref-law>).
1.6. Die Generalbevollmächtigten des Beschwerdeführers haben sich gemeinsam mit weiteren Mitgliedern des bisherigen Stiftungsrats direkt an das Bundesgericht gewendet (Bst. E.c/E.f oben). Ihre Eingaben sind unbeachtlich, da das Bundesgericht keinen Schriftenwechsel angeordnet hat. Soweit sie damit die Beschwerde der Stiftung oder des Stifters haben ergänzen wollen, ist es dazu nach Ablauf der Beschwerdefrist zu spät (<ref-ruling> E. 1.2.3 S. 286).
1.7. Als Beilage zu seiner Beschwerdeschrift reicht der Beschwerdeführer einen Zeitungsartikel vom 3. November 2016 ein. Er macht geltend, das angefochtene Urteil gebe zu diesem neuen Vorbringen im Sinne von <ref-law> Anlass (S. 6 Ziff. 2.4 der Beschwerdeschrift 5A_865/2016). Da das angefochtene Urteil am 4. Oktober 2016 gefällt wurde, handelt es sich beim neu eingereichten Zeitungsartikel um ein sog. echtes Novum und damit um ein im Beschwerdeverfahren unzulässiges neues Vorbringen (<ref-ruling> E. 2 S. 343 f.; <ref-ruling> E. 5.1.3 S. 103; <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123; <ref-ruling> E. 1.2 S. 22 f.). Der Artikel stammt aus einer Zeitung mit dem Titel "O._", deren Inhalt nicht gerichtsnotorisch ist und deshalb das Novenverbot nicht entfallen lässt (Urteile 4A_269/2010 vom 23. August 2010 E. 1.3, in: SJ 2011 I S. 58; 5A_610/2016 vom 3. Mai 2017 E. 3.1). Mit Schreiben vom 15./24. März 2017 reicht der Beschwerdeführer ferner Auszüge aus seinen Tagebüchern als zulässige neue Beweismittel ein. Selbst wenn diese Vorbringen den Ausnahmetatbestand gemäss <ref-law> erfüllen sollten, ist die Noveneingabe nach Ablauf der Beschwerdefrist (E. 1.5 oben) - wie unter der Herrschaft des Bundesrechtspflegegesetzes von 1943 (<ref-ruling> E. 1 S. 408) - unzulässig (Urteile 5A_379/2017 vom 5. Dezember 2017 E. 1.5; 6B_736/2016 vom 9. Juni 2017 E. 1.3; 2C_630/2016 vom 6. September 2016 E. 7.2; 4A_733/2011 vom 16. Juli 2012 E. 1.3; 8C_524/2008 vom 2. April 2009 E. 3.1; vgl. YVES DONZALLAZ, Loi sur le Tribunal fédéral, Commentaire, 2008, Rz. 4062 S. 1477; WALTER KÄLIN, Das Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde, 2. Aufl. 1994, S. 369 bei/in Anm. 148).
1.8. Der Beschwerdeführer beantragt, die Ungültigkeit sämtlicher von den Beschwerdegegnern durchgeführten Stiftungsratswahlen festzustellen. Der Beschwerdeführer hat das Feststellungsbegehren in seiner Beschwerde vom 25. Februar 2015, verfasst von seiner Generalbevollmächtigten, an das Bundesverwaltungsgericht nicht gestellt (Bst. C.b) und in seiner Eingabe vom 13. Juli 2016, verfasst von seinem Rechtsvertreter, lediglich Feststellungsbegehren zur Zusammensetzung des Stiftungsrats erhoben (Bst. E.d), die das Bundesverwaltungsgericht nicht zugelassen hat (E. 2.4.3 S. 21 f. des angefochtenen Urteils). Das Feststellungsbegehren vor Bundesgericht erweist sich damit als neu und unzulässig (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 210; <ref-ruling> E. 1b S. 155; Urteil 5A_554/2016 vom 25. April 2017 E. 1.3). Die Beschwerdeführerin beantragt ihrerseits in der Replikschrift eventualiter erstmals die Rückweisung der Sache an das Bundesverwaltungsgericht zur Ergänzung des Sachverhalts und zu neuer Entscheidung (Bst. D.f oben). Die Rückweisung ist auch ohne Parteiantrag von Amtes wegen anzuordnen und ein entsprechender Eventualantrag nicht erforderlich (<ref-ruling> E. 1 S. 216; Urteil 5A_577/2016 vom 13. Februar 2017 E. 3.4), geschweige denn neu (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 691; Urteil 5A_740/2014 vom 1. Februar 2016 E. 10.3).
1.9. Mit den erwähnten Vorbehalten kann auf die Beschwerden eingetreten werden. Auf die formellen Anforderungen an die Beschwerdeschriften wird im Sachzusammenhang zurückzukommen sein.
2.
2.1. Die im schweizerischen Privatrecht anerkannte Stiftungsfreiheit beschränkt sich darauf, eine Stiftung zu errichten. Nach ihrer Errichtung kann die Stiftung auch von ihrem Stifter nicht mehr frei geändert werden (Urteil 5A.37/2004 vom 1. Juni 2005 E. 3.1). Dieselbe Beschränkung gilt für Organe der Stiftung, die einzig den Willen des Stifters auszuführen haben (<ref-ruling> E. 3c S. 140/141). Die Grundsätze ergeben sich zwanglos aus dem Charakter der Stiftung als einer Anstalt (HANS MICHAEL RIEMER, Berner Kommentar, 1975, N. 69 des Syst. Teils zu Art. 80-89 bis ZGB; PARISIMA VEZ, La fondation: lacunes et droit désirable, 2004, S. 171 Rz. 599 und S. 261 f. Rz. 964-966; HAROLD GRÜNINGER, Basler Kommentar, 2014, N. 8 vor Art. 80-89a ZGB). Sie werden in der neueren Lehre anschaulich als sog. Trennungs- und Erstarrungsprinzip beschrieben, wonach der Stifter sich grundsätzlich endgültig von seinem für einen besonderen Zweck gewidmeten Vermögen (<ref-law>) trennt, Stifter und Stiftung zwei selbstständige Rechtssubjekte sind und der Stifterwille mit dem Errichtungsakt erstarrt ist. Der nach Errichtung der Stiftung neu gebildete oder geänderte und vom ursprünglichen abweichende Wille des Stifters, wie ihn die Beschwerdeführer behaupten, ist unbeachtlich und vielmehr die Stiftung gegen eine entsprechende Einflussnahme des Stifters oder anderer Personen zu schützen (DOMINIQUE JAKOB, ZGB, Kurzkommentar, 2018, N. 23 zu <ref-law>, und DERS., Ein Stiftungsbegriff für die Schweiz, ZSR 132/2013 II 185, S. 253 f.).
2.2. Ausnahmen von den Grundsätzen finden sich im Gesetz (z.B. <ref-law>). Lehre und Praxis anerkennen zudem sog. Einwirkungsrechte des Stifters gegenüber der Stiftung, wie es hier mit Bezug auf die Bezeichnung des Stiftungsrats in Art. 5 Abs. 2 der Stiftungsurkunde (Bst. A oben) besteht (Urteil 5A.19/1994 vom 20. März 1995 E. 2b/bb mit Hinweis insbesondere auf RIEMER, a.a.O., N. 29 des Syst. Teils zu Art. 80-89 bis ZGB und N. 12 zu <ref-law>; seither: VEZ, a.a.O., S. 162 Rz. 563; GRÜNINGER, a.a.O., N. 6 zu <ref-law>; vgl. zur Unterscheidung von Stifterrechten und Drittrechten: JAKOB, a.a.O., N. 4-6 zu <ref-law>, und DERS., a.a.O., S. 288 f.). Die Auslegung von Art. 5 Abs. 2 der Stiftungsurkunde nach dem Willen des Urhebers (<ref-ruling> E. 2 S. 444; <ref-ruling> E. 6c S. 396) verdeutlicht, dass die Befugnis, die Mitglieder des Stiftungsrats zu bezeichnen, erstens dem Stifter persönlich und zweitens den Nachkommen zusteht, sobald der Stifter sie aus gesundheitlichen oder anderen Gründen nicht mehr ausüben kann. Abgesehen von Art. 5 Abs. 1 der Stiftungsurkunde, wonach, wenn möglich, mindestens ein Mitglied der Familie im Stiftungsrat vertreten sein soll, bestehen keine Vorgaben für die Ausübung der Befugnis. Sind gemäss Art. 5 Abs. 2 der Stiftungsurkunde die Nachkommen befugt, die Mitglieder des Stiftungsrats zu bezeichnen, nehmen sie ihre Befugnis unabhängig von einem späteren, in der Stiftungsurkunde auch nicht andeutungsweise enthaltenen Willen des Stifters, wie ihn die Beschwerdeführer behaupten, wahr. Auch der Stiftungsrat selbst hat kein Mitspracherecht, kommt er doch erst zum Zug, sich selbst zu ergänzen, wenn nach den Nachkommen übrige gesetzliche Erben des Stifters fehlen oder nicht willens sind, die Mitglieder des Stiftungsrats zu bezeichnen.
2.3. Das Einwirkungsrecht gemäss Art. 5 Abs. 2 der Stiftungsurkunde kann ein aufsichtsbehördliches Einschreiten zur Gewährleistung einer gesetzes- und satzungsgemässen Tätigkeit der Stiftung nicht ausschliessen (z.B. die Abberufung eines vom Stifter bezeichneten Mitglieds des Stiftungsrats: <ref-ruling> E. 4a S. 211; Urteil 5A_274/2008 vom 19. Januar 2009 E. 5.1). Insoweit müssen auch die vom Stifter bzw. seinen Nachkommen ernannten Stiftungsräte objektiv geeignet sein, dafür zu sorgen, dass das Stiftungsvermögen seinen Zwecken gemäss verwendet wird (RIEMER, a.a.O., N. 18 a.E. zu <ref-law>; VEZ, a.a.O., S. 172 Rz. 602). Über die Eignung eines Stiftungsrats entscheidet die Aufsichtsbehörde unabhängig von einem Stifterwillen, wie ihn die Beschwerdeführer behaupten.
3.
3.1. Das Bundesverwaltungsgericht hat festgestellt, im Streit liege einerseits der Antrag des Stiftungsrats vom 9./10. Januar 2014 auf Änderung insbesondere von Art. 5 der Stiftungsurkunde in dem Sinne, dass das Recht der Nachkommen, im Falle gesundheitlich oder anderweitig bedingten Unvermögens des Stifters die Mitglieder des Stiftungsrats zu bezeichnen, abgeschafft und durch ein Kooptationsrecht des Stiftungsrats ersetzt wird. Andererseits sei strittig, ob das Recht, Stiftungsräte zu ernennen, infolge des Gesundheitszustands des Stifters bereits auf die Nachkommen übergegangen und die von ihnen vorgenommene Wahl des neuen Stiftungsrats vom 17. Dezember 2014 gültig sei. Beide Sachverhalte hätten das Ernennungsrecht der Nachkommen zum Gegenstand und stünden in enger zeitlicher Nähe, seien jedoch unabhängig voneinander zu beurteilen. Da die ESA den Beschwerden der Nachkommen gegen die beantragte Änderung der Stiftungsurkunde die aufschiebende Wirkung gewährt und den Antrag auf Änderung der Stiftungsurkunde abgewiesen habe, sei nach wie vor die Stiftungsurkunde in der Fassung vom 24. Dezember 1980 in Kraft. Bevor über eine allfällige Änderung der Stiftungsurkunde zu entscheiden sei, sei in einem ersten Schritt zu prüfen, ob die Nachkommen in Anwendung der geltenden Statuten dazu berechtigt gewesen seien, die Ernennung des Stiftungsrats anstelle des Stifters vorzunehmen, mithin ob es der Gesundheitszustand dem Stifter zum Zeitpunkt der Wahl vom 17. Dezember 2014 nicht mehr erlaubt habe, das Ernennungsrecht selbst auszuüben. Erst in einem zweiten Schritt sei die vom bisherigen Stiftungsrat beantragte Änderung der Stiftungsurkunde zu prüfen (E. 6 S. 33 des angefochtenen Urteils).
3.2. Die Beschwerdeführerin wendet ein, diese frühe Weichenstellung stütze sich auf keine sachliche Begründung und verletze ihren Anspruch auf Behandlung des Antrags auf Urkundenänderung. In zeitlicher Hinsicht habe zuerst der Stiftungsrat am 9./10. Januar 2014 ein Gesuch um Urkundenänderung bei der ESA eingereicht, nachdem im Herbst 2013 eine Vorprüfung bei der ESA positiv ausgefallen sei. Durch die Wahl am 17. Dezember 2014 während laufendem Urkundenänderungsverfahren sei dieses Gesuch vereitelt worden, indem der vermeintlich gewählte Stiftungsrat als erste Handlung das Gesuch zurückgezogen habe. Das Bundesverwaltungsgericht vermöge nicht zu begründen, weshalb in einem ersten Schritt die Gültigkeit der Wahl vom 17. Dezember 2014 zu prüfen sei. Dass die ESA die aufschiebende Wirkung erteilt habe, sei rechtlich ohne Bedeutung, zumal die ESA damals noch gar nicht über den Antrag auf Änderung der Stiftungsurkunde befunden gehabt habe. Die Begründung des Bundesverwaltungsgerichts sei daher eine Scheinbegründung. Da aber der rechtmässig zusammengesetzte Stiftungsrat in zeitlicher Hinsicht zuerst ein Gesuch um Urkundenänderung gestellt habe, sei auch zuerst darüber rechtskräftig zu entscheiden, bevor Wahlen durchgeführt werden könnten, zumal die Urkundenänderung auch eine Änderung des Wahlkörpers beinhalte. Wäre dem nicht so, würde der Beschwerdeführerin das Recht entzogen, dass über ihren zuerst gestellten Antrag auf Urkundenänderung rechtskräftig entschieden werde (S. 12 Ziff. II/4.1 der Beschwerdeschrift 5A_856/2016).
3.3. Der Beschwerdeführer schliesst sich dem Einwand der Beschwerdeführerin an und ergänzt, die Reihenfolge der zu fällenden Entscheide verletze <ref-law>, aber auch die verfassungsmässige Rechtsweggarantie. Zuerst sei über die Frage der Urkundenänderung zu entscheiden. Falls diese zu genehmigen sei, seien die von den Beschwerdegegnern durchgeführten Stiftungsratswahlen von vornherein ungültig zu erklären, da sie dem Schutzzweck von <ref-law> widersprächen und dem Sinn der Urkundenänderung diametral gegenüberstünden. Nur wenn die Urkundenänderung nicht zu genehmigen wäre, müsste darüber entschieden werden, ob der Beschwerdeführer nach der bisherigen Stiftungsurkunde noch in der Lage gewesen sei, sein Ernennungsrecht auszuüben, oder ob dieses auf die Nachkommen übergegangen sei. Es komme hinzu, dass der Beschwerdeführer aufgrund der positiven Vormeinung der ESA zu den beantragten Änderungen nach Treu und Glauben davon habe ausgehen dürfen, die Änderung der Stiftungsurkunde gelte als von der ESA bereits genehmigt. Die Frage der Urkundenänderung sei auf den Zeitpunkt vom 10. Januar 2014 hin zu prüfen, als der bisherige Stiftungsrat die von der ESA mit Schreiben vom 28. Oktober 2013 verlangten Urkunden eingereicht habe. Damals sei sein Ernennungsrecht als Stifter noch gar nicht infrage gestellt und von den Beschwerdegegnern noch nicht für sich beansprucht worden (S. 15 ff. Ziff. 6.1-6.4 der Beschwerdeschrift 5A_865/2016).
3.4. Die zuständige Bundes- oder Kantonsbehörde kann auf Antrag der Aufsichtsbehörde und nach Anhörung des obersten Stiftungsorgans die Organisation der Stiftung ändern, wenn die Erhaltung des Vermögens oder die Wahrung des Stiftungszwecks die Änderung dringend erfordert (<ref-law>). Unwesentliche Änderungen der Stiftungsurkunde kann die Aufsichtsbehörde nach Anhörung des obersten Stiftungsorgans vornehmen, sofern dies aus triftigen sachlichen Gründen als geboten erscheint und keine Rechte Dritter beeinträchtigt (<ref-law>).
In der Praxis geht der Anstoss zu einer Änderung der Organisation vielfach vom obersten Stiftungsorgan aus, obwohl das Gesetz ein Antragsrecht des obersten Stiftungsorgans an die zuständige Behörde nicht vorsieht. Seinem Antrag kommt keinerlei Verbindlichkeit zu. Es ist auch unzulässig, wenn das oberste Stiftungsorgan die Änderung selber beschliesst und die zuständige Behörde in der Folge lediglich um Genehmigung ersucht oder ihr die Änderung auch bloss zur Kenntnis mitteilt. Ein derartiger Änderungsbeschluss bedeutet rechtlich lediglich die interne Willensbildung zur Stellung eines Änderungsantrags (RIEMER, a.a.O., N. 22 i.V.m. N. 55 und N. 78 zu Art. 85/86 ZGB; VEZ, a.a.O., S. 277 f. Rz. 1016, und DIES., Commentaire romand, 2010, N. 18 zu Art. 85/86 ZGB; GRÜNINGER, a.a.O., N. 11 zu Art. 85/86 ZGB). Die zuständige Behörde bewilligt folglich nicht nur die vom obersten Stiftungsorgan beantragten Änderungen, sondern führt die Änderungen selbst durch, indem sie eine Änderungsverfügung erlässt und die geänderte Stiftungsurkunde von Amtes wegen beim Handelsregister anmeldet (ALVAR SPRING, Der Inhalt einer Stiftungsurkunde. Ein Leitfaden, 1995, S. 15 Ziff. 3.4; VEZ, a.a.O., S. 280 Rz. 1026 und S. 284 Rz. 1039; THOMAS SPRECHER, Die Revision des schweizerischen Stiftungsrechts, 2006, S. 139 Rz. 253).
Dem Antrag des obersten Stiftungsorgans kommt somit lediglich die Bedeutung zu, dass es die Änderung befürwortet, und dem Rückzug eines gestellten Antrags, dass es die Änderung nicht (mehr) für notwendig hält. Ungeachtet dieser Meinungsäusserung des obersten Stiftungsorgans hat die zuständige Behörde darüber zu entscheiden, ob die Bestimmungen der Stiftungsurkunde über die Organisation der Stiftung zu ändern sind. Erst ihr Entscheid bewirkt gegebenenfalls die Änderung der Organisation.
3.5.
3.5.1. In tatsächlicher Hinsicht steht fest, dass der bisherige Stiftungsrat im Herbst 2013 der ESA eine neue Stiftungsurkunde mit einer Änderung des Wahlsystems für den Stiftungsrat zur Vorprüfung eingereicht hat. Aufgrund des Vorbescheids der ESA hat der Stiftungsrat die neue Stiftungsurkunde am 9. Januar 2014 bereinigt und verabschiedet und am 10. ds. der ESA zur Genehmigung eingereicht (Bst. B.a und Bst. B.b oben). Die ESA hat über die Änderung der Stiftungsurkunde am 23. Januar 2015 entschieden. Der Entscheid über die Änderung der Stiftungsurkunde war folglich nicht gefällt, als die Beschwerdegegner am 17. Dezember 2014 einen neuen Stiftungsrat ernannten. Sie durften deshalb unter den Voraussetzungen von Art. 5 Abs. 2 der Stiftungsurkunde vom 24. Dezember 1980 den Stiftungsrat ernennen. Die diesbezügliche Änderung des Wahlsystems hin zu einer Kooptation war hängig, aber mangels Entscheids der zuständigen Behörde nicht in Kraft.
3.5.2. Gegenteiliges können die Beschwerdeführer aus der positiven Vormeinung der ESA zur neuen Stiftungsurkunde im Vorprüfungsverfahren vom Herbst 2013 nicht ableiten. Es handelt sich dabei um eine blosse Meinungsäusserung im Rahmen der freiwilligen Vorprüfung, die weder verbindlich ist noch eine anfechtbare Verfügung darstellt (MARCO LANTER/DÉSIRÉE THÜRKAUF, Die Ausgestaltung der Stiftungsaufsicht in der Schweiz, in: Die Liechtensteinische Stiftung, 2002, S. 151 ff., S. 155; LOÏC PFISTER, La fondation, 2017, S. 46 Rz. 144; ebenso GRÜNINGER, a.a.O., N. 8 zu <ref-law>, betreffend Zuständigkeit). Ein positiver Vorbescheid vermöchte für sich allein zudem kein schutzwürdiges Vertrauen zu begründen. Verfassungsrechtlicher Vertrauensschutz hängt vielmehr von der Erfüllung weiterer Voraussetzungen ab. Die Beschwerdeführer müssten namentlich im Vertrauen auf den Vorbescheid nicht ohne Nachteil rückgängig zu machende Dispositionen getroffen haben (<ref-ruling> E. 3.1 S. 164; <ref-ruling> E. 3.6.2 S. 103), was sie selbst nicht behaupten, getan zu haben. Sie haben vielmehr die Stiftungssatzungen aufgrund des Vorbescheids bereinigt und neu zur Genehmigung eingereicht.
3.5.3. Unberechtigt ist auch der Einwand der Beschwerdeführer, die Ernennung des Stiftungsrats durch die Nachkommen am 17. Dezember 2014 erwiese sich als ungültig, wenn ihr Antrag auf Änderung des Wahlsystems zuerst beurteilt und gutgeheissen worden wäre. Ihre Annahme setzte voraus, dass die behördlich verfügte Änderung des Wahlsystems auf frühere Wahlen des Stiftungsrats zurückwirkte. Dass die neue Stiftungsurkunde eine derartige übergangsrechtliche Regelung - soweit überhaupt zulässig (vgl. <ref-ruling> E. 3.4 S. 193) - enthielte, behaupten die Beschwerdeführer nicht und trifft auch nicht zu (<ref-law>: Beilage Nr. 14 zur Beschwerde 5A_865/2016: "Neue Stiftungsurkunde", unterzeichnet am 10. Januar 2014). Es müsste folglich auf die Bestimmungen des Schlusstitels zum ZGB als Ausdruck allgemeiner Rechtsgrundsätze abgestellt werden (z.B. für Reglemente der Stockwerkeigentümergemeinschaft: Urteil 5A_690/2011 vom 10. Januar 2012 E. 3; für Stiftungs- und Versicherungsreglemente: <ref-ruling> E. 1a S. 100; Urteil 5C.231/1995 vom 15. Februar 1996 E. 2b, in: SJ 1996 S. 425; <ref-ruling> E. 5.3 S. 108). Danach wäre von der Nichtrückwirkung der behördlichen Änderung des Wahlsystems in den Stiftungsrat auszugehen, zumal ein bestimmtes Wahlsystem für den Stiftungsrat nicht als im Interesse der öffentlichen Ordnung und Sittlichkeit unabhängig vom Willen der an der Stiftung Beteiligten vorgegeben angesehen werden kann (Art. 1 ff. SchlTZGB; vgl. zu verschiedenen gleichwertigen Wahlsystemen: PFISTER, a.a.O., S. 68 f. Rz. 226-227; THOMAS SPRECHER/ULYSSES VON SALIS-LÜTOLF, Die schweizerische Stiftung. Ein Leitfaden, 1999, S. 118 f. Ziff. 121). Die Gültigkeit der Ernennung des Stiftungsrats durch die Beschwerdegegner beurteilte sich folglich nach Art. 5 Abs. 2 der Stiftungsurkunde vom 24. Dezember 1980, selbst wenn die ESA die neue Stiftungsurkunde vom 10. Januar 2014 mit dem geänderten Wahlsystem am 23. Januar 2015 genehmigt und in Kraft gesetzt hätte.
3.5.4. Entgegen den Behauptungen der Beschwerdeführer ist somit nicht ersichtlich, inwiefern es für den Ausgang des Verfahrens eine Rolle spielen könnte, ob zuerst über die Änderung der Stiftungsorganisation und anschliessend über die Gültigkeit der Ernennung des Stiftungsrats vom 17. Dezember 2014 entschieden wird (so die ESA) oder umgekehrt (so das Bundesverwaltungsgericht). Die Vorgehensweise des Bundesverwaltungsgerichts lässt sich insofern sachlich begründen, als zuerst geklärt werden muss, wer Ansprechpartner der Behörden mit Bezug auf die Änderung der Stiftungsorganisation ist, der bisherige Stiftungsrat oder der neu gewählte Stiftungsrat. Denn das oberste Stiftungsorgan muss gegebenenfalls erneut angehört werden, wenn die zuständige Behörde von seinem ausformulierten Vorschlag der Stiftungsurkunde über die Stiftungsorganisation abzuweichen gedenkt (RIEMER, a.a.O., N. 23 i.V.m. N. 55 und N. 78 zu Art. 85/86 ZGB).
3.5.5. Insgesamt verletzt die Vorgehensweise des Bundesverwaltungsgerichts kein Bundesrecht. Da die verlangte Änderung der Stiftungsurkunde über die Stiftungsorganisation gerichtlich beurteilt wurde (E. 10 S. 52 ff. des angefochtenen Urteils), ist auch die Rechtsweggarantie (<ref-law>) nicht verletzt (<ref-ruling> E. 5.4 S. 200).
4.
4.1. In einem ersten Schritt hat das Bundesverwaltungsgericht geprüft, ob die Beschwerdegegner in Anwendung von Art. 5 Abs. 2 der Stiftungsurkunde vom 24. Dezember 1980 berechtigt waren, die Ernennung des Stiftungsrats anstelle des Stifters vorzunehmen, mithin ob es der Gesundheitszustand dem Stifter zum Zeitpunkt der Wahl vom 17. Dezember 2014 nicht mehr erlaubt hat, das Ernennungsrecht selbst auszuüben.
4.1.1. Das Bundesverwaltungsgericht hat festgestellt, die ESA habe die Wahl des (neuen) Stiftungsrats durch die Nachkommen des Stifters vom 17. Dezember 2014 bestätigt, weil der Stifter an diesem Datum aus gesundheitlichen Gründen (hier: mangels Urteilsfähigkeit) nicht mehr in der Lage gewesen sei, das Ernennungsrecht gemäss Art. 5 Abs. 2 der Stiftungsurkunde persönlich auszuüben (E. 7.1 S. 33 f. des angefochtenen Urteils).
4.1.2. Nach Ausführungen zum Begriff der Urteilsfähigkeit (E. 7.2 S. 34 f.) und zur Notwendigkeit eines Gutachtens (E. 7.3 S. 35 f.) hat das Bundesverwaltungsgericht die Grundlagen und Ergebnisse des eingeholten Gutachtens vom 31. Oktober 2015 sowie den Befund eines von der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) bei einem Neurologen veranlassten Arztberichts vom 20. Februar 2015 wie folgt zusammengefasst (E. 7.4 S. 36 ff. des angefochtenen Urteils) :
Der Neurologe habe eine vaskuläre Demenz (ICD-10 F0.1) diagnostiziert. Laut seinem Bericht sei die Ursache der demenziellen Entwicklung nicht aktenkundig und würden weitere Abklärungen vom Patienten bzw. von seinem Umfeld nicht zugelassen. Aufgrund der verlangsamten Verarbeitung und der mnestischen Einschränkungen könnten komplexe finanzielle und administrative Angelegenheiten zwar vielleicht erfasst, durch den Patienten aber nur sehr erschwert mit aktuellen Fragestellungen und Lösungsansätzen verknüpft werden. Administrative und finanzielle Angelegenheiten selbst von durchschnittlichem Ausmass lägen nicht mehr im Bereich seiner selbstständigen Urteilskraft. Der Patient könne einen Sachverhalt verstehen und aufnehmen, es sei ihm aber sehr wahrscheinlich nicht hinreichend möglich, Konsequenzen dieser Inhalte und daraus folgende Entscheide abzuschätzen. Eine Vollmachtsfähigkeit liege aus neurologischer Sicht nicht vor. Dem Patienten sei es zwar möglich, aus dem ihm vertrauten Kreis von Personen deren Eignung mit abzuschätzen. Aufgrund seiner Unfähigkeit, Konsequenzen hinreichend zu beurteilen, sei er aber nicht imstande, die Eignung einer gewählten Person prospektiv hinsichtlich seiner Interessen zu beurteilen. Eine Kontrolle der bevollmächtigten Person sei allenfalls in einfachen Abläufen noch denkbar, nicht jedoch für komplexere geschäftliche Abläufe mit weitreichenderen und zeitlich längeren Folgen. Insgesamt habe der Neurologe die Errichtung einer Beistandschaft in den Bereichen Wohnen, Gesundheit, soziales Wohl sowie administrative und finanzielle Angelegenheiten befürwortet (E. 7.4.1 S. 36 f. des angefochtenen Urteils).
Die Gerichtsgutachterin habe eine "Demenz bei Alzheimerkrankheit mit spätem Beginn (ICD-10 F00.1) " und mindestens seit Herbst 2014 eine schwergradige Demenz diagnostiziert, indem die Kognition und Alltagsaktivitäten so stark beeinträchtigt seien, dass eine kontinuierliche Betreuung (etwa bei Nahrungsaufnahme und Körperpflege) notwendig sei. Sie habe zur Krankengeschichte ausgeführt, am 7. Januar 2013 habe der heute (2015) einundneunzigjährige Stifter einen Treppensturz erlitten, was zu Spitalaufenthalten geführt habe. Seit Sommer 2013 werde er durch eine professionelle Pflegeperson betreut. Die geschäftlichen Angelegenheiten seien zunehmend durch die Vertrauenspersonen E._ und I._ übernommen worden. Seit September 2013 hätten seine Kräfte ohne äusseres Ereignis deutlich nachgelassen und der Stifter sei nur noch unregelmässig aus dem Bett aufgestanden. Seit 2014 werde er rund um die Uhr von vier Pflegepersonen betreut. Am 4. Juni 2014 habe er letztmals an einer Sitzung des Stiftungsrats teilgenommen. Seit November 2014 sei er dauerhaft bettlägerig und seit August 2015 könne er nicht mehr mit seinem Namen unterschreiben. Die Gerichtsgutachterin habe die Frage nach Anzeichen dafür bejaht, dass der Stifter gegenwärtig aus gesundheitlichen Gründen nicht mehr in der Lage sei, neue Mitglieder als Stiftungsrat zu bezeichnen, dass er lediglich in der Lage sei, zu Handen seiner beiden Vertrauenspersonen, Frau E._ und Herrn I._, die bisherige Zusammensetzung des Stiftungsrats zu bestätigen, und dass ihm für weitergehende Überlegungen die Fähigkeiten fehlten, Informationen im Vorfeld einer Entscheidung zu verarbeiten, Alternativen abzuwägen, Aspekte zu gewichten und eine ausgewogene neue Wahl zu treffen. Bezogen auf den 17. Dezember 2014 stellte die Gerichtsgutachterin fest, dass mit grosser Wahrscheinlichkeit davon auszugehen sei, dass diese Anzeichen bereits am 17. Dezember 2014 bestanden hätten, dass der Stifter wahrscheinlich schon damals, gut zehn Monate vor Erstellung des Gerichtsgutachtens, zwar fähig gewesen sei, zu Handen seiner beiden Vertrauenspersonen, Frau E._ und Herrn I._, die bisherige Zusammensetzung des Stiftungsrats zu bestätigen, dass ihm aber für weitergehende Überlegungen wahrscheinlich schon damals die Fähigkeiten gefehlt hätten, Informationen im Vorfeld einer Entscheidung zu verarbeiten, Alternativen abzuwägen, Aspekte zu gewichten und eine ausgewogene neue Wahl zu treffen (E. 7.4.2 S. 37 ff. des angefochtenen Urteils).
4.1.3. In der Würdigung des Gerichtsgutachtens hat das Bundesverwaltungsgericht den Einwand der Beschwerdeführer, das Gutachten erbringe nicht den strikten Beweis der Urteilsunfähigkeit nach Regelbeweismass (E. 8.1 S. 40), verworfen. Es ist davon ausgegangen, zum Nachweis der Urteilsunfähigkeit sei das Beweismass auf die überwiegende Wahrscheinlichkeit herabgesetzt. Das Gutachten beantworte die vom Gericht gestellten Fragen klar und lasse keine Zweifel offen. Es sei in sich schlüssig, vollständig und widerspruchsfrei und gestatte dadurch eine zuverlässige Beurteilung der Urteilsfähigkeit des Stifters in Bezug auf die Ausübung des Ernennungsrechts am 17. Dezember 2014 (E. 8.2 S. 41). Im Ergebnis sei mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt, dass der Stifter aus gesundheitlichen Gründen nicht mehr in der Lage gewesen sei, am 17. Dezember 2014 sein Ernennungsrecht auszuüben. Folglich seien die Beschwerdegegner als Nachkommen des Stifters gemäss Art. 5 der Stiftungsurkunde berechtigt gewesen, an diesem Datum die Mitglieder des Stiftungsrats zu bezeichnen (E. 8.4 S. 48 des angefochtenen Urteils).
4.1.4. Zu den gegen das Gutachten erhobenen weiteren Einwänden hat das Bundesverwaltungsgericht festgehalten, die Beschwerdeführer stellten weder das Gutachten an sich noch die Qualifikation der Sachverständigen in Frage, zögen jedoch unterschiedliche Schlüsse aus dem Gutachten (E. 8.3 S. 41). Zur angeblichen Weigerung des Stifters, seine Nachkommen in den Stiftungsrat aufzunehmen, hat das Bundesverwaltungsgericht erwogen, die Äusserung des Stifters sei nicht so klar und eindeutig, wie es die Beschwerdeführer behaupteten, und ausserdem würde selbst aus einer vehement geäusserten Weigerung des Stifters, seine Nachkommen in den Stiftungsrat aufzunehmen, nicht folgen, dass der Stifter hinsichtlich der Ausübung des Ernennungsrechts urteilsfähig gewesen sei (E. 8.3.1 S. 41 f. des angefochtenen Urteils).
Dem Einwand der Beschwerdeführer, der Stifter sei am 17. Dezember 2014 in der Lage gewesen, sein Ernennungsrecht im vertrauten Umfeld durch Bestätigung der bisherigen Stiftungsräte auszuüben (E. 8.3.2 S. 42 f.), hat das Bundesverwaltungsgericht entgegnet, von allen Fragen der Gutachterin betreffend die Stiftung und den Stiftungsrat sei der Stifter lediglich zu bestätigen in der Lage gewesen, dass seine zwei ihn stets umgebenden Vertrauenspersonen Mitglieder des Stiftungsrats seien. Daraus folge nicht, dass er imstande gewesen sei, eine Wahl der Stiftungsratsmitglieder zu tätigen. Zwar verfüge der Stifter gemäss Gutachten noch über Willenskraft und Charakterstärke, der Einsicht gemäss zu handeln, soweit Abläufe im Alltag und wahrscheinlich auch vertraute geschäftliche Angelegenheiten betroffen seien. Laut Gutachten sei jedoch die Fähigkeit, einen eigenen Willen zu bilden, für neue und komplexe geschäftliche Angelegenheiten sicher nicht mehr gegeben gewesen, da die psychische Leistungsfähigkeit zu stark eingeschränkt gewesen sei. Um derart neue und komplexe geschäftliche Angelegenheiten mit Auswirkungen in die Zukunft handle es sich bei der Wahl des Stiftungsrats, zumal es am 17. Dezember 2014 nicht lediglich darum gegangen sei, den bisherigen Stiftungsrat zu bestätigen, sondern darum, über das Beitrittsgesuch der Nachkommen des Stifters zu befinden, mithin darüber zu entscheiden, wie sich die Aufnahme der Nachkommen in den Stiftungsrat auf die Zukunft der Stiftung auswirken würde. Hierzu sei der Stifter zum gegebenen Zeitpunkt nicht mehr in der Lage gewesen (E. 8.3.3 S. 43 ff. des angefochtenen Urteils).
Selbst unter der Annahme, bei einer Bestätigungswahl handle es sich um eine einfache und routinemässige Angelegenheit, hat das Bundesverwaltungsgericht weiter ausgeführt, sei der Stifter hierzu alleine nicht mehr fähig gewesen. Dem Gutachten zufolge habe er einfache geschäftliche Angelegenheiten nicht allein, sondern nur mithilfe seiner vertrauten Bezugspersonen, E._ und I._, zu bewältigen vermocht. Diese hätten als Stiftungsräte im Zusammenhang mit der Frage des Ernennungsrechts jedoch keine neutrale Position inne, sondern verfolgten ein eigenes Interesse an ihrer Wiederwahl. Somit habe eine gewisse Gefahr der Willensbeeinflussung des Stifters durch sein Umfeld bestanden. Der Stifter sei nach der Beurteilung insbesondere der Gerichtsgutachterin nicht mehr in der Lage, seine Vertrauenspersonen hinsichtlich komplexer Sachverhalte wie des Beitrittsgesuchs seiner Nachkommen zu instruieren und zu kontrollieren. In Anbetracht der Umstände stehe nicht fest, dass es dem Stifter überhaupt möglich gewesen sei, sich mithilfe seiner Vertrauenspersonen eine vollumfängliche Übersicht der Lage im Zusammenhang mit dem Ernennungsrecht sowie das damit zusammenhängende Beschwerdeverfahren zu verschaffen, seinen Willen frei zu bilden und unter Abwägung aller möglichen Konsequenzen eine eigene Wahl zu treffen. Mit Blick auf die Beurteilung insbesondere der Gerichtsgutachterin sei ferner zu bezweifeln, dass er in der Lage gewesen sei, einer allfälligen Willensbeeinflussung durch sein Umfeld in gewöhnlichem Umfang Widerstand zu leisten. Die Ansicht der Beschwerdeführer, der Stifter sei durch eine Bestätigung der bisherigen Stiftungsräte gegenüber seinen Vertrauenspersonen zur Ausübung des Ernennungsrechts in der Lage gewesen, sei folglich abzulehnen (E. 8.3.4 S. 45 ff. des angefochtenen Urteils).
4.1.5. Die gutachterliche Feststellung, dass der Stifter wahrscheinlich schon am 17. Dezember 2014 geistig nicht mehr in der Lage gewesen sei, das Ernennungsrecht selbst auszuüben, hat das Bundesverwaltungsgericht durch verschiedene Indizien bestätigt gesehen. Aus den Akten hat es hervorgehoben, dass der Stifter ab Januar 2013 nicht mehr wie bisher ausschliesslich die Zahlungsaufträge für laufende Rechnungen der Stiftung getätigt habe, weil die Rechtzeitigkeit der Zahlungen nicht mehr gewährleistet gewesen sei, dass der Stifter im Februar 2013 in offenbar verwirrtem Zustand sein Zuhause verlassen habe, um Honig einzukaufen, und von Passanten zurückgebracht werden musste, dass der Stifter seit November 2013 die Stiftungsratsprotokolle nicht mehr eigenhändig unterzeichnet, ab 23. Januar 2014 nicht mehr als Vorsitzender und ab 17. März 2014 nicht mehr als Präsident der Stiftung fungiert und am 4. Juni 2014 letztmals an einer Stiftungsratssitzung teilgenommen habe und dass der Stifter nach der Beurteilung durch die KESB schutzbedürftig und nicht mehr in der Lage sei, seine Angelegenheiten in den Bereichen Wohnen, Gesundheit, administrative Angelegenheiten sowie Einkommens- und Vermögensverwaltung vollumfänglich zu besorgen. Der Stifter sei - so das Bundesverwaltungsgericht - offensichtlich schon lange vor dem 17. Dezember 2014 in einem geistig geschwächten Zustand gewesen und die gutachterliche Feststellung vor diesem Hintergrund umso plausibler (E. 8.3.5 S. 47 des angefochtenen Urteils).
4.2. Die Beschwerdeführerin wendet sich gegen die Herabsetzung des Beweismasses auf eine überwiegende Wahrscheinlichkeit. Da Urteilsfähigkeit vermutet werde, hätten die Beschwerdegegner beweisen müssen, dass der Stifter am 17. Dezember 2014 mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht mehr urteilsfähig und damit nicht mehr in der Lage gewesen sei, sein Ernennungsrecht auszuüben (Rz. 38-39).
Die Beschwerdeführerin hält dafür, die Gutachterin sei zum Ergebnis gelangt, dass der Stifter am 17. Dezember 2014 in der Lage gewesen sei, zuhanden seiner beiden Vertrauenspersonen, Frau E._ und Herrn I._, die bisherige Zusammensetzung des Stiftungsrats zu bestätigen, also im vertrauten Umfeld sein Ernennungsrecht durch Bestätigung der bisherigen Stiftungsräte auszuüben. Auch unter diesen faktischen Umständen sei es am 17. Dezember 2014 unzulässig gewesen, neue Stiftungsratsmitglieder zu ernennen und hinter dem Rücken des Stifters, des bisherigen vom Stifter seit Jahrzehnten bestätigten Stiftungsrats sowie der ESA im Handelsregister eintragen zu lassen (Rz. 40 und Rz. 45). Stillschweigend gehe das Bundesverwaltungsgericht davon aus, dass die Beschwerdegegner am 17. Dezember 2014 den gesundheitlichen Zustand des Stifters zuverlässig zu beurteilen in der Lage gewesen seien. Angesichts der Komplexität der Beurteilung könne dies nicht zutreffen. Die Beschwerdegegner hätten damals also nicht davon ausgehen dürfen, der Stifter sei nicht mehr in der Lage gewesen, sein Ernennungsrecht auszuüben (Rz. 41-43). Entgegen den Ausführungen des Bundesverwaltungsgerichts habe es der Stifter zuhanden der Gutachterin klar und deutlich abgelehnt, seine Nachkommen in den Stiftungsrat aufzunehmen (Rz. 44), und auch aus der Tonaufnahme der Stiftungsratssitzung vom 9. Januar 2014 gehe klar hervor, dass der Stifter die Aufnahme seiner Nachkommen in den Stiftungsrat nicht gewollt und deswegen eine Änderung der Statuten befürwortet habe (Rz. 48). Vollends in Willkür verfalle das Bundesverwaltungsgericht mit seiner auch nicht näher begründeten Auffassung, am 17. Dezember 2014 sei über das Beitrittsgesuch der Nachkommen zu befinden gewesen, zumal das Beitrittsgesuch vom 9. Dezember 2013 datiere und an der Stiftungsratssitzung vom 9. Januar 2014 abgelehnt worden sei (Rz. 46-47). In einen offensichtlichen Widerspruch begebe sich das Bundesverwaltungsgericht, wenn es einerseits dem Stifter die Urteilsfähigkeit abspreche und andererseits den Vertrauenspersonen des Stifters vorwerfe, sie würden ihn an Willensbildung und Willensäusserung hindern (Rz. 49). Erneut willkürlich argumentiere das Bundesverwaltungsgericht, wenn es äusserst pauschal festhalte, der Stifter sei lange vor dem 17. Dezember 2014 in einem geistig geschwächten Zustand gewesen. Selbst die Gutachterin sei indessen für den 17. Dezember 2014 zum Schluss gelangt, der Stifter wäre in der Lage gewesen, Bestätigungswahlen zuhanden seiner Vertrauenspersonen durchzuführen. Der Stifter habe für sich einen Realitätsbezug in vertrauter Umgebung aufrecht erhalten können (Rz. 50).
Aus all diesen Gründen, fasst die Beschwerdeführerin zusammen, erweise sich die Beweiswürdigung bzw. die Würdigung des Gutachtens durch das Bundesverwaltungsgericht, der Stifter sei aus gesundheitlichen Gründen am 17. Dezember 2014 nicht mehr in der Lage gewesen, sein Ernennungsrecht wahrzunehmen, als willkürlich (Rz. 51; S. 12 ff. Ziff. 4.2 der Beschwerdeschrift 5A_856/2016).
4.3. Auch der Beschwerdeführer rügt eine Beweismassverletzung und verlangt die Anwendung des Regelbeweismasses, also den strikten Beweis der Urteilsunfähigkeit. Die Herabsetzung des Beweismasses, wie es in der Rechtsprechung zugelassen werde, genüge insbesondere bei einer verstorbenen Person, weil in diesem Fall die Natur der Dinge selber einen absoluten Beweis unmöglich mache. Der Stifter aber lebe, und mit dem Bericht des Neurologen bestehe auch bezogen auf den Zeitpunkt vom 17. Dezember 2014 eine zeitnahe Beurteilung (S. 22 Ziff. 6.9).
Nach einer Wiedergabe der medizinischen Befunde und der Würdigung durch das Bundesverwaltungsgericht (S. 17 ff. Ziff. 6.5-6.7) erblickt der Beschwerdeführer einen Widerspruch darin, dass das Bundesverwaltungsgericht der ESA (zu Recht) vorgeworfen habe, ohne ärztliches Gutachten dürfe nicht über die Urteilsfähigkeit entschieden werden, gleichzeitig aber die Beschwerdegegner für befugt erklärt habe, aufgrund der Urteilsunfähigkeit des Stifters am 17. Dezember 2014 den Stiftungsrat zu ernennen. Wie die Beschwerdegegner die Urteilsfähigkeit im Gegensatz zur ESA hätten beurteilen können, sei fraglich. Sinn und Zweck von Art. 5 Abs. 2 der Stiftungsurkunde könne nur sein, dass die Urteilsunfähigkeit des Stifters zum Zeitpunkt, in dem die Ernennung des Stiftungsrats erfolge, beweisgenügend festzustehen habe, damit die Nachkommen das Ernennungsrecht für sich beanspruchen könnten. Zuerst sei der diesbezügliche Beweis zu erbringen, und danach seien Wahlen durchzuführen. Dies hätten die Beschwerdegegner jedoch unterlassen, die sich bereits aus diesem Grund hinsichtlich der Wahlen vom 17. Dezember 2014 nicht auf die Urteilsunfähigkeit des Stifters berufen könnten (S. 21 Ziff. 6.8). Entgegen der Darstellung des Bundesverwaltungsgerichts ergebe sich aus dem Gutachten und früheren Äusserungen des Beschwerdeführers dessen Wille, dass die Beschwerdegegner und insbesondere die Beschwerdegegnerin keinesfalls dem Stiftungsrat angehören sollten (S. 22 f. Ziff. 6.10).
Insgesamt erweisen sich die Schlüsse des Bundesverwaltungsgerichts aus dem Bericht des Neurologen und dem Gerichtsgutachten nach der Darstellung des Beschwerdeführers als willkürlich. Zwar gehe der Neurologe von einer demenziellen Entwicklung aus, bezeichne aber das Erfassen von komplexen Angelegenheiten durch den Beschwerdeführer nur als sehr erschwert. Ähnliches zeige das Gerichtsgutachten, liessen die darin festgestellten Störungen doch nicht den zweifelsfreien Schluss auf Urteilsunfähigkeit zu. Gestützt auf das Gutachten könne nicht beweisgenügend ausgeschlossen werden, dass der Beschwerdeführer in vertrauter Umgebung und gegenüber seinen Vertrauenspersonen E._ und I._ in der Lage sei, sich in Bezug auf die Zusammensetzung des Stiftungsrats einen vernünftigen Willen zu bilden und diesem Ausdruck zu verleihen. Keine Rolle spiele bei der Beurteilung der Urteilsfähigkeit des Beschwerdeführers die Gefahr einer allfälligen Willensbeeinflussung durch sein Umfeld. Eine derartige Gefahr bestehe nicht und werde im Urteil auch nicht gestützt auf Beweise konkret dargelegt. Die Vermutung, wonach jemand nach bestem Wissen und Gewissen sowie nach Treu und Glauben handle, dürfe nicht einfach ohne Grundlage in Zweifel gezogen werden. Die Vertrauenspersonen des Beschwerdeführers, namentlich E._ und I._, wiesen derartige Vorwürfe vehement zurück. Der Beschwerdeführer verfüge zudem über einen sehr erfahrenen und gewissenhaften Beistand, der sich bisher nicht zu einem Eingreifen veranlasst gesehen habe. Vielmehr habe er unterschriftlich der Beschwerde zugestimmt (S. 23 f. Ziff. 6.11 der Beschwerdeschrift 5A_865/2016).
5.
5.1. Das Bundesverwaltungsgericht ist davon ausgegangen, die tatsächlichen Grundlagen der Urteilsunfähigkeit seien mit dem auf überwiegende Wahrscheinlichkeit herabgesetzten Beweismass nachzuweisen (E. 5.4 S. 30 und E. 8.2 S. 41 des angefochtenen Urteils; E. 4.1.3 oben). Die Beschwerdeführerin beharrt für den Nachweis der Urteilsunfähigkeit auf einem hohen Grad der Wahrscheinlichkeit (E. 4.2 oben) und der Beschwerdeführer auf dem strikten Beweis (E. 4.3 oben).
5.2. Es ist richtig, dass Kommentare als Beweismass für die Urteilsunfähigkeit einen hohen oder sehr hohen, ernsthafte Zweifel ausschliessenden Grad der Wahrscheinlichkeit verlangen und genügen lassen (MARGRITH BIGLER-EGGENBERGER/ROLAND FANKHAUSER, Basler Kommentar, 2014, N. 49, und FRANZ WERRO/IRÈNE SCHMIDLIN, Commentaire romand, 2010, N. 68 zu <ref-law>). Inhaltlich ist mit diesem Begriff das herabgesetzte Beweismass gemeint, das das Bundesgericht einheitlich als überwiegende Wahrscheinlichkeit bezeichnet (HANS PETER WALTER, Berner Kommentar, 2012, N. 130 und N. 138 in Anm. 411 zu <ref-law>). Danach gilt ein Beweis als erbracht, wenn für die Richtigkeit der Sachbehauptung nach objektiven Gesichtspunkten derart gewichtige Gründe sprechen, dass andere denkbare Möglichkeiten vernünftigerweise nicht massgeblich in Betracht fallen (<ref-ruling> E. 3.3 S. 325; <ref-ruling> E. 3.1 S. 719; <ref-ruling> E. 4.1 S. 612).
5.3. Die Herabsetzung des Regelbeweismasses auf überwiegende Wahrscheinlichkeit setzt eine "Beweisnot" voraus. Die Voraussetzung ist erfüllt, wenn ein strikter Beweis nach der Natur der Sache nicht möglich oder nicht zumutbar ist, insbesondere wenn die von der beweisbelasteten Partei behaupteten Tatsachen nur mittelbar durch Indizien bewiesen werden können. Eine Beweisnot liegt aber nicht schon darin begründet, dass eine Tatsache, die ihrer Natur nach ohne weiteres dem unmittelbaren Beweis zugänglich wäre, nicht bewiesen werden kann, weil der beweisbelasteten Partei die Beweismittel fehlen. Blosse Beweisschwierigkeiten im konkreten Einzelfall können nicht zu einer Beweiserleichterung führen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 324; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 573).
5.4. Von einem auf überwiegende Wahrscheinlichkeit herabgesetzten Beweismass ist auszugehen, wenn der Geisteszustand einer verstorbenen Person in Frage steht, weil in diesem Fall die Natur der Sache einen absoluten Beweis unmöglich macht (Urteil 5C.32/2004 vom 6. Oktober 2004 E. 3.2; zuletzt: Urteile 5A_951/2016 vom 14. September 2017 E. 3.1.2 und 5A_325/2017 vom 18. Oktober 2017 E. 6.1.1). Der Umkehrschluss, dass unter Lebenden stets das Regelbeweismass anzulegen sei (so der Beschwerdeführer), ist indessen nicht zwingend. Er kann berechtigt sein, ist aber im Einzelfall näher zu prüfen. Das Bundesgericht hat unlängst in einem Fall das Regelbeweismass angelegt, wo ein Ehepaar als Werkeigentümer mit einem Generalunternehmer einen gerichtlichen Vergleich schloss und wenige Tage später mit Revision die Unwirksamkeit des gerichtlichen Vergleichs wegen eigener Urteilsunfähigkeit geltend machte (Urteil 4A_421/2016 vom 13. Dezember 2016 E. 5.2 Abs. 5). Hingegen liegt es wiederum in der Natur der Sache, dass der strikte Beweis der Urteilsunfähigkeit einer Person, die acht Jahre zuvor im Alter von zwölf Jahren eine unerlaubte Handlung begangen hat, unmöglich ist und das herabgesetzte Beweismass genügen muss (<ref-ruling> E. 3 S. 11 f.). Dasselbe wurde im Fall einer neunzigjährigen Schenkerin angenommen, die drei Jahre nach der Schenkung noch kurz vor ihrem Tod fachärztlich begutachtet werden konnte (Urteil 4C.55/2000 vom 10. Mai 2000 Bst. B und E. 2c). Mit seiner differenzierten Rechtsprechung anerkennt das Bundesgericht kein gleichsam "variables" Beweismass (<ref-ruling> E. 3.3 S. 325/326), sondern trägt den mannigfaltigen, aber typisierbaren Sach- und Verfahrenslagen Rechnung. Weitergehend und verallgemeinernd wird nunmehr die Auffassung vertreten, dass das Beweismass der überwiegenden Wahrscheinlichkeit immer dann angebracht ist, wenn das zu beurteilende Geschäft in der Vergangenheit liegt (selbst wenn der Betroffene, anders als bei der Testamentsanfechtung, noch lebt), weil es in solchen Sachlagen stets in der Natur der Sache liegt, dass das Regelbeweismass des strikten Beweises nicht erreicht werden kann (EUGEN BUCHER/REGINA E. AEBI-MÜLLER, Berner Kommentar, 2017, N. 189 zu <ref-law>).
5.5. Die (objektiven) Grenzen der Beweisbarkeit veranschaulicht der vorliegende Fall, wo die tatsächlichen Grundlagen für die Beurteilung der Urteilsfähigkeit eines neunzig Jahre alten, bettlägerigen und schwer sprachgestörten Mannes nachzuweisen waren. Der zeitnahe Arztbericht vom 20. Februar 2015, auf den die Beschwerdeführer abstellen wollen, zeigt die eingeschränkten Möglichkeiten ärztlicher Begutachtung, wenn weitere Abklärungen, wie der Neurologe festgehalten hat, vom Patienten bzw. seinem Umfeld nicht zugelassen werden (E. 4.1.2 Abs. 2 oben). Es kann ergänzt werden (<ref-law>), dass selbst die Gerichtsgutachterin in ihren Abklärungen aus objektiven Gründen wesentlich eingeschränkt war, indem sie keine testpsychologischen Instrumente (z.B. den Mini-Mental-Test) einsetzen konnte, weil der Stifter von vornherein nicht in der Lage war, einen Bleistift zu führen, wie dies für die Untersuchung erforderlich gewesen wäre (S. 44 und S. 45 des Gutachtens), und indem sie das Denken des Stifters nicht vorbehaltlos beurteilen konnte, weil sich das Denken einer Person am schnellsten und offensichtlichsten in deren Sprache fassen lässt, gerade die Sprachfunktion beim Stifter aber deutlich beeinträchtigt war (S. 38 des Gutachtens, Beilage Nr. 23 zur Beschwerde 5A_865/2016). In Anbetracht dessen und im Lichte der Rechtsprechung (E. 5.4 oben) ist das Bundesverwaltungsgericht zu Recht von einem auf die überwiegende Wahrscheinlichkeit herabgesetzten Beweismass ausgegangen.
6.
6.1. Urteilsfähig ist gemäss <ref-law> jede Person, der nicht wegen ihres Kindesalters, infolge geistiger Behinderung, psychischer Störung, Rausch oder ähnlicher Zustände die Fähigkeit mangelt, vernunftgemäss zu handeln.
6.1.1. Der Begriff der Urteilsfähigkeit enthält zwei Elemente: einerseits ein intellektuelles Element, nämlich die Fähigkeit, Sinn, Zweckmässigkeit und Wirkungen einer bestimmten Handlung zu erkennen, andererseits ein Willens- bzw. Charakterelement, nämlich die Fähigkeit, gemäss dieser vernünftigen Erkenntnis nach seinem freien Willen zu handeln. Urteilsfähigkeit ist relativ: Sie ist nicht abstrakt zu beurteilen, sondern konkret bezogen auf eine bestimmte Handlung im Zeitpunkt ihrer Vornahme unter Berücksichtigung ihrer Rechtsnatur und Wichtigkeit (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 239).
6.1.2. Wer nicht urteilsfähig ist, vermag unter Vorbehalt der gesetzlichen Ausnahmen durch seine Handlungen keine rechtliche Wirkung herbeizuführen (<ref-law>). Die Rechtsfolge der Unwirksamkeit einer streitigen Handlung knüpft an die Voraussetzungen der Urteilsunfähigkeit als rechtshindernde Tatsachen. Die Fähigkeit Volljähriger, vernunftgemäss zu handeln, ist der Normalfall, von dem der Gesetzgeber zum Schutz von Vertrauen und Verkehrssicherheit ohne jeden weiteren Beweis ausgeht. Wer sich für die Unwirksamkeit einer Handlung auf die Urteilsunfähigkeit beruft, hat demnach einen der in <ref-law> umschriebenen Schwächezustände und die daraus folgende Beeinträchtigung der Fähigkeit vernunftgemässen Handelns zu beweisen (Hauptbeweis; Urteile 5A_272/2017 vom 7. November 2017 E. 5.3 Abs. 1 und 5A_951/2016 vom 14. September 2017 E. 3.1.2 mit Hinweis auf WALTER, a.a.O., N. 309 und N. 494 f. zu <ref-law>).
6.1.3. Befand sich aber eine Person ihrer allgemeinen Verfassung nach zum Zeitpunkt der streitigen Handlung nachweislich in einem dauernden Schwächezustand gemäss <ref-law>, der nach allgemeiner Lebenserfahrung im Normalfall vernunftgemässes Handeln ausschliesst, dann wird vermutet, dass sie mit Bezug auf die streitige Handlung unfähig war, vernunftgemäss zu handeln. Diese tatsächliche Vermutung betrifft namentlich Personen, die sich zur Zeit der Handlung in einem dauernden Zustand alters- und krankheitsbedingten geistigen Abbaus befinden. Die Partei, die aus der Urteilsfähigkeit der handelnden Person Ansprüche ableitet, kann die aus dem allgemeinen Zustand geistigen Abbaus folgende tatsächliche Vermutung der Unfähigkeit, auch im konkreten Fall vernunftgemäss zu handeln, entkräften, indem sie ein lucidum intervallum für die streitige Handlung darlegt. Sodann kann sie aufzeigen, dass die Person trotz ihres Allgemeinzustandes mit Bezug auf die streitige Handlung in der Lage war, vernunftgemäss zu handeln (vgl. die Zusammenfassung der Rechtsprechung in den zit. Urteilen 5A_272/2017 E. 5.3 und 5A_951/2016 E. 3.1.3.1 und E. 3.1.3.2).
6.2.
6.2.1. Die Feststellungen über den geistigen Zustand einer Person und über Art und Tragweite möglicher störender Einwirkungen auf das Denkvermögen sowie die Feststellung, ob und inwieweit eine bestimmte Person die Folgen ihres Handelns beurteilen und Versuchen der Beeinflussung durch Dritte ihren eigenen Willen entgegensetzen konnte, betreffen Tatfragen, die das Sachgericht für das Bundesgericht - von ausnahmsweise zulässigen Sachverhaltsrügen abgesehen (<ref-law>) - verbindlich beantwortet (<ref-law>). Die Schlüsse, die das Sachgericht aus diesen Feststellungen mit Bezug auf die Fähigkeit, vernunftgemäss zu handeln, zieht, prüft das Bundesgericht als Rechtsfrage hingegen frei (zit. Urteil 5A_951/2016 E. 3.1.4).
6.2.2. Das Bundesverwaltungsgericht hat ein Gutachten zur Urteilsfähigkeit des Stifters eingeholt. Das psychiatrische Gutachten soll dem Sachgericht - vereinfacht gesagt - aufzeigen, wie sich psychopathologische Zustände auf die Willensfähigkeit und die Fähigkeit des Stifters zu Einsicht in Wesen, Zweck und Folgen bezogen auf die Bezeichnung von Stiftungsratsmitgliedern am 17. Dezember 2014 ausgewirkt haben (Urteile 5A_748/2008 vom 16. März 2009 E. 3.2, in: ZBGR 91/2010 S. 230; 5A_623/2016 vom 24. Mai 2017 E. 2.3.1 Abs. 2; je betreffend Testierfähigkeit).
6.2.3. Das Gutachten unterlag vorinstanzlich der freien Beweiswürdigung (<ref-law> i.V.m. <ref-law>), die das Bundesgericht auf Willkür hin überprüft. Das Abstellen auf eine nicht schlüssige Expertise bzw. der Verzicht auf die gebotenen zusätzlichen Beweiserhebungen kann gegen das Verbot willkürlicher Beweiswürdigung verstossen (<ref-ruling> E. 4.3.1 S. 198). Dass die von Sachgerichten gezogenen Schlüsse nicht mit der eigenen Darstellung der Beschwerdeführer übereinstimmen, belegt hingegen keine Willkür (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266).
6.3.
6.3.1. Entgegen den Vorbringen der Beschwerdeführer hat das Bundesverwaltungsgericht die wesentlichen Ergebnisse des Gerichtsgutachtens (E. 4.1.2 oben) zutreffend dargestellt: Während der Neurologe eine vaskuläre Demenz (ICD-10 F0.1) diagnostiziert hat, ist die Gerichtsgutachterin von einer "Demenz bei Alzheimerkrankheit mit spätem Beginn (ICD-10 F00.1) " und mindestens seit Herbst 2014 insofern von einer schwergradigen Demenz ausgegangen, als die Kognition und Alltagsaktivitäten so stark beeinträchtigt sind, dass eine kontinuierliche Betreuung (etwa bei Nahrungsaufnahme und Körperpflege) notwendig ist. Aufgrund des Gerichtsgutachtens (Beilage Nr. 23 zur Beschwerde 5A_865/2016) kann ergänzt werden (<ref-law>), dass eine Abgrenzung der beiden Diagnosen voneinander unterbleiben durfte, da sich die Folgen bei dem hier gesicherten Vorliegen einer demenziellen Entwicklung nicht unterscheiden (S. 36 und S. 52/53 des Gutachtens). Die Demenz des Stifters kennzeichnet eine Kombination von Gedächtnisstörungen mit einer Sprachstörung und einer eingeschränkten Planungs- und Handlungsfähigkeit (S. 43 des Gutachtens). Sie wirkt sich dahin gehend aus, dass die intellektuelle Komponente beim Stifter für neue und komplexe geschäftliche Angelegenheiten nicht mehr gegeben ist, für vertraute geschäftliche Abläufe mit Unterstützung durch das nächste Umfeld aber nicht von vornherein auszuschliessen ist, und dass die voluntative Komponente beim Stifter für eine Beteiligung an Abläufen im Alltag und wahrscheinlich auch für vertraute geschäftliche Angelegenheiten erkennbar ist (S. 47 des Gutachtens). Bezogen auf seine Befugnis, die Mitglieder des Stiftungsrats zu bezeichnen, ist der Stifter zwar in der Lage, zu Handen seiner Vertrauenspersonen die bisherige Zusammensetzung des Stiftungsrats zu bestätigen, aber ausserstande, Informationen im Vorfeld einer Entscheidung zu verarbeiten, Alternativen abzuwägen und eine ausgewogene neue Wahl zu treffen. In diesem Zustand hat sich der Stifter laut Gutachten mit grosser Wahrscheinlichkeit auch am 17. Dezember 2014 befunden (S. 54 f. des Gutachtens).
6.3.2. Die Beurteilung gemäss Gerichtsgutachten gestattet den willkürfreien Schluss, dass der Stifter am 31. Oktober 2015 seiner allgemeinen Verfassung nach nicht mehr fähig war, persönlich, selbstständig und unabhängig von seinen Vertrauten eine Person auszuwählen, diese Person mit Blick auf die Funktion eines Stiftungsrats zu beurteilen und sie je nach Ergebnis der Beurteilung zum Mitglied des Stiftungsrats zu ernennen, bzw. seiner allgemeinen Verfassung nach nicht mehr fähig war, persönlich, selbstständig und unabhängig von seinen Vertrauten die Vorteile und Nachteile für die Stiftung gegeneinander abzuwägen, wenn er eine ihm von Dritten vorgeschlagene Person zum Stiftungsrat ernennen soll. Dass er zu einer entsprechenden Ernennung am 17. Dezember 2014 fähig gewesen wäre, schliesst das Gerichtsgutachten mit grosser Wahrscheinlichkeit aus. Die Annahme erscheint willkürfrei, dass die tatsächlichen Grundlagen einer Urteilsunfähigkeit des Stifters zur Ausübung seines Ernennungsrechts am 17. Dezember 2014 mit dem auf überwiegende Wahrscheinlichkeit herabgesetzten Beweismass nachgewiesen sind. Alle weiteren Rügen der Beschwerdeführer gegen die Gutachtenwürdigung, namentlich die behaupteten Widersprüche in den Erwägungen des Bundesverwaltungsgerichts, vermögen Willkür im Ergebnis nicht zu belegen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 6.2 S. 239; <ref-ruling> E. 2.1 S. 219).
6.3.3. Ohne dass eine weitere rechtliche Erörterung notwendig wäre, durfte der Stifter gestützt auf das Beweisergebnis als urteilsunfähig im Gesetzessinne (E. 6.1.1 oben) betrachtet werden, was die Ausübung seiner Befugnis, die Mitglieder des Stiftungsrats zu bezeichnen, am 17. Dezember 2014 angeht.
6.4.
6.4.1. Zutreffend hebt die Beschwerdeführerin hervor, aus dem Gerichtsgutachten könne geschlossen werden, dass der Stifter in vertrauter Umgebung und gegenüber seinen Vertrauenspersonen E._ und I._ in der Lage ist, sein Ernennungsrecht durch Bestätigung der bisherigen Stiftungsräte auszuüben (E. 4.2 oben). Der weitergehende Schluss des Beschwerdeführers, in vertrauter Umgebung sei der Stifter auch imstande, sich in Bezug auf die Zusammensetzung des Stiftungsrats einen vernünftigen Willen zu bilden und diesem Ausdruck zu verleihen (E. 4.3 oben), lässt sich hingegen nicht auf das Gutachten oder sonstige Feststellungen im angefochtenen Urteil stützen.
6.4.2. Die Beschwerdeführer werfen die berechtigte Frage auf, welche Anforderungen an die Urteilsfähigkeit des Stifters zu stellen sind, damit er seine Befugnis, Stiftungsratsmitglieder zu bezeichnen, noch wahrnehmen kann oder - anders formuliert - ob ein Stifter, der nur mehr bisherige Stiftungsratsmitglieder in Anwesenheit und damit (aktiver oder passiver) Mitwirkung von Vertrauenspersonen bestätigen kann, noch den ursprünglichen Stifterwillen verwirklicht, wonach der Stifter die Mitglieder des Stiftungsrats bezeichnet und seine Befugnis primär den Nachkommen zukommt, wenn der Stifter sie nicht mehr ausüben kann (Art. 5 Abs. 2 der Stiftungsurkunde).
6.4.3. Hat der Stifter den Übergang seiner Befugnis statutarisch geregelt, ist nach allgemeinen Grundsätzen (E. 2.2 oben) davon auszugehen, dass er diese Befugnis sich persönlich und den von ihm in der Nachfolgeregelung aufgezählten Personen hat vorbehalten wollen (vgl. RIEMER, a.a.O., N. 13 zu <ref-law>). Die Voraussetzung persönlicher Bezeichnung der Stiftungsratsmitglieder ist aber nicht erfüllt, wenn der Stifter nur noch im Bett liegt, umgeben von seinen Vertrauensleuten, unter deren Mitwirkung er Stiftungsräte bestätigt. Selbst wenn der Stifter seine Befugnis seit jeher so ausgeübt haben sollte, wie die Beschwerdeführer dagegen sogleich einwenden werden, besteht der wesentliche Unterschied gegenüber dem 17. Dezember 2014 doch darin, dass es dem Stifter zuvor möglich gewesen wäre, sich selber alle für die Bezeichnung von Stiftungsratsmitgliedern erforderlichen Entscheidgrundlagen zu beschaffen, wenn er es gewollt hätte. Diese Voraussetzung und damit eine freie, auf eigener Kenntnis beruhende Entscheidung des Stifters war am 17. Dezember 2014 hingegen nicht mehr gegeben.
6.4.4. Der Stifter hat eine Nachfolgeregelung zudem nicht erst für sein Ableben getroffen, sondern allgemein für jede Verhinderung ("aus gesundheitlichen oder anderen Gründen") und damit auch für den eingetretenen Fall, wo er nicht mehr in der Lage ist, persönlich, selbstständig und unabhängig von seinen Vertrauten die Mitglieder des Stiftungsrats zu bezeichnen. Die Befugnis dazu ist folglich gemäss Art. 5 Abs. 2 der Stiftungsurkunde auf die Nachkommen des Stifters übergegangen.
6.4.5. Der Einwand der Beschwerdeführer, es genüge des Stifters gleichsam reduzierte Fähigkeit, gemeinsam mit Vertrauenspersonen bisherige Stiftungsratsmitglieder zu bestätigen, ist aus den dargelegten Gründen zu verwerfen.
6.5. Insgesamt kann nicht beanstandet werden, dass das Bundesverwaltungsgericht die Urteilsunfähigkeit des Stifters am 17. Dezember 2014 bezogen auf seine Befugnis, die Mitglieder des Stiftungsrats zu bezeichnen, bejaht hat.
7.
7.1. Vor Bundesverwaltungsgericht hatten die Beschwerdeführer eingewendet, die von den Beschwerdegegnern am 17. Dezember 2014 vorgenommene Wahl des neuen Stiftungsrats sei ungültig. Das Bundesverwaltungsgericht hat den Einwand für unbegründet gehalten. Es hat den Beschwerdeführern zugestimmt, dass die Wahl von neuen Mitgliedern des Stiftungsrats während laufender Amtszeit der bisherigen Stiftungsratsmitglieder ohne deren vorgängige Abwahl nichtig sei. Weiter treffe es zu, dass keine Abberufung der bisherigen Stiftungsratsmitglieder erfolgt sei und auch keine wichtigen Gründe geltend gemacht worden seien, die eine Abberufung rechtfertigten. Es treffe jedoch nicht zu, dass die Amtsdauer der bisherigen Stiftungsräte von einem Jahr mit dem Datum ihrer letzten Wahl vom 23. Januar 2014 begonnen habe, wie die Beschwerdeführer behaupteten. Davon wäre lediglich auszugehen, wenn eine entsprechende Regelung in der Stiftungsurkunde fehlte. Diese bestimme jedoch in Art. 5 Abs. 1, dass die Amtsdauer ein Jahr betrage und bei Ersatzwahlen das neue Mitglied in die Amtsdauer seines Vorgängers eintrete. Folglich beginne die Amtsdauer der Stiftungsratsmitglieder jeweils am 24. Dezember (dem Gründungszeitpunkt der Stiftung mit erstmaliger Bestellung des Stiftungsrats am 24. Dezember 1980) und ende jeweils am 23. Dezember des Folgejahres. Begänne die Amtsdauer zu einem beliebigen Zeitpunkt im Jahr zu laufen, liesse sie sich durch Verschiebung der Wahlsitzungen beliebig verlängern, da die bisherigen Stiftungsräte bis zum Datum der Wiederwahl im Amt blieben. Dies widerspräche dem klaren Wortlaut der Stiftungsurkunde. Infolgedessen habe die Amtsdauer der bisherigen Stiftungsräte am 23. Dezember 2014 geendet, und die Beschwerdegegner als Nachkommen des Stifters seien befugt gewesen, neue Stiftungsratsmitglieder mit Beginn der Amtsdauer ab 24. Dezember 2014 zu ernennen (E. 9.3 S. 50 f. des angefochtenen Urteils).
Im Eventualstandpunkt hat das Bundesverwaltungsgericht die Wahl der bisherigen Stiftungsratsmitglieder gemäss Sitzungsprotokoll vom 23. Januar 2014 - ungeachtet des Beginns der Amtsdauer - aus mehreren Gründen für unwirksam gehalten. Zum einen hätten die Stiftungsratsmitglieder mit Ausnahme von K._ keine Annahmeerklärung abgegeben. Zum anderen seien die Stiftungsräte nicht statutengemäss durch den Stifter ernannt worden. Vielmehr hätten die Stiftungsräte sich gegenseitig gewählt und damit das System der Kooptation angewendet, das die ESA aber noch nicht genehmigt gehabt habe. Die Beschwerdeführer könnten den Beschwerdegegnern somit die Wahl des bisherigen Stiftungsrats am 23. Januar 2014 nicht entgegenhalten, da diese nichtig und unwirksam sei (E. 9.4 S. 51 des angefochtenen Urteils).
Zu den weiteren Einwänden, die Wahl vom 17. Dezember 2014 sei rechtsmissbräuchlich und nicht durch alle Nachkommen erfolgt, hat das Bundesverwaltungsgericht ausgeführt, die Beschwerdegegner hätten den ihnen als Nachkommen gemäss Art. 5 der Stiftungsurkunde zustehenden Anspruch wahrgenommen, so dass von einem Rechtsmissbrauch keine Rede sein könne, und fehl gehe die Behauptung, der Sohn der Beschwerdegegnerin hätte sich als Nachkomme des Stifters ebenfalls an der Wahl beteiligen müssen, da die Stiftungsurkunde nicht festhalte, dass alle Nachkommen des Stifters das Ernennungsrecht gemeinsam und gleichzeitig auszuüben hätten, was auch nicht praktikabel wäre (E. 9.5 S. 52 des angefochtenen Urteils).
7.2. Die Beschwerdeführerin hält der Beurteilung entgegen, Art. 5 der Stiftungsurkunde spreche von einer Amtsdauer von einem Jahr und nicht von einer Amtsperiode vom 24. Dezember bis 24. Dezember. Es gelte eine Amtsdauer von einem Jahr ab letzter Ernennung, wann immer diese stattgefunden habe. Diese letzte Ernennung habe am 23. Januar 2014 für eine Amtsdauer von einem Jahr stattgefunden, d.h. bis am 23. Januar 2015. Der bisherige Stiftungsrat sei damit im Amt gewesen, als die Beschwerdegegner am 17. Dezember 2014 einen neuen Stiftungsrat gewählt hätten, womit diese Wahl nichtig sei. Die gegenteilige Auffassung des Bundesverwaltungsgerichts würde die Unterscheidung von Amtsdauer und Amtsperiode schlicht überflüssig machen. Die Amtsdauer fixiere nur die eigentliche Dauer des Amtes und im Gegensatz zur Amtsperiode nicht ein spezifisches Anfangs- und Enddatum (Rz. 52-60).
Nicht vertretbar und schlicht willkürlich, fährt die Beschwerdeführerin fort, sei die Ansicht des Bundesverwaltungsgerichts, die Wahl des bisherigen Stiftungsrats vom 23. Januar 2014 sei unwirksam und nichtig. Gemäss Protokoll der Stiftungsratssitzung vom 23. Januar 2014 hätten sich die Stiftungsräte zwar gegenseitig gewählt, Tatsache sei aber, dass der Stifter als Inhaber des Ernennungsrechts an der Wahl anwesend gewesen sei. Er habe die Stiftungsratsmitglieder ernannt, was sein statutarisches Recht gewesen sei. Daran ändere nichts, dass er dabei die anderen Stiftungsratsmitglieder habe mitreden lassen. Es sei nicht notwendig, dass eine ausschliessliche Wahl durch den Stifter zu erfolgen habe. Bringe der Stifter seine Ernennung zum Ausdruck, seien diese Personen gewählt. Überspitzt formalistisch sei die Anmerkung des Bundesverwaltungsgerichts, aus dem Protokoll sei keine Wahlannahmeerklärung ersichtlich. Eine Wahlannahme sei nicht formbedürftig und könne selbstverständlich stillschweigend erfolgen. Wahlannahmeerklärungen würden in der Praxis kaum je protokolliert. Dies könne schlicht nicht sein (Rz. 61-63).
Die Beschwerdeführerin macht weiter geltend, die Wahl der Nachkommen vom 17. Dezember 2014 sei auch deshalb nichtig, weil der Wahlkörper nicht rechtmässig zusammengesetzt gewesen sei. Die Stiftungsurkunde sehe als Wahlorgan die "Nachkommen (Blutsverwandte in absteigender Linie) " vor, d.h. die Kinder, Enkel, Ur-Enkel usw. Die Beschwerdegegnerin habe einen Sohn, der folglich an der Wahl vom 17. Dezember 2014 hätte teilnehmen müssen, aber nicht teilgenommen habe. Wieso ein Wahlprozedere "praktikabel" sein müsse, leuchte nicht ein. Es müsse vielmehr statutenkonform sein, was es hier nicht gewesen sei (Rz. 64; S. 17 ff. Ziff. II/4.3 der Beschwerdeschrift 5A_856/2016).
7.3. Der Beschwerdeführer teilt die Ansicht der Beschwerdeführerin. Aus Art. 5 Abs. 1 der Stiftungsurkunde ergebe sich zwar eine einjährige Amtsdauer, jedoch weder deren Beginn noch deren Ende. In der Vergangenheit seien die Stiftungsräte auch nicht konsequent am 24. Dezember gewählt worden, wie insbesondere die Wahl vom 23. Januar 2014 belege. Sei bis zum Ablauf einer Amtszeit keine Neuwahl erfolgt, werde die Weiterführung des Mandats als Stiftungsrat bis zur nächsten Wahlsitzung angenommen, sofern keine Abberufung erfolgt sei. Erfolgten Neuwahlen in einer Stiftung über längere Zeit ohne Berücksichtigung der bei Errichtung der Stiftung konkreten ersten Amtsdauer, erscheine es wenig sinnvoll, bei zufällig terminierten Neuwahlen noch auf die ursprüngliche konkrete Amtsdauer bzw. deren Terminierung abzustellen. Es dränge sich vielmehr auf, den Beginn der Amtsdauer von einem Jahr jeweils auf den Zeitpunkt der zuletzt durchgeführten Wahlen anzusetzen, vorliegend mithin auf den 23. Januar 2014. Die Amtsdauer des bisherigen Stiftungsrats habe somit bis am 22. Januar 2015 gedauert. Die Neubestellung des Stiftungsrats durch die Beschwerdegegner am 17. Dezember 2014 sei während eines laufenden Amtsjahres erfolgt und deshalb als nichtig zu betrachten (S. 24 f. Ziff. 6.12-6.14).
Entgegen der Auffassung des Bundesverwaltungsgerichts, meint der Beschwerdeführer, sei die Wahl vom 23. Januar 2014 nicht ungültig gewesen. Überspitzt formalistisch sei es, eine schriftliche Wahlannahmeerklärung zu verlangen, zumal dem Protokoll der Stiftungsratssitzung ohne weiteres entnommen werden könne, dass die gegenseitig wiedergewählten Stiftungsräte gegen die jeweils eigene Wahl nichts einzuwenden gehabt und diese akzeptiert hätten. Einzuräumen sei, dass der Stiftungsrat das von ihm an der Sitzung vom 9. Januar 2014 beschlossene Wahlsystem der Kooptation bereits angewendet habe, doch sei er aufgrund des positiven Vorbescheids der ESA nach Treu und Glauben davon ausgegangen, dass die Kooptation bereits Anwendung finde. Der Beschwerdeführer habe als Stifter an der Kooptationswahl vom 23. Januar 2014 mitgewirkt und sich an der Wahl jedes einzelnen Stiftungsratsmitglieds beteiligt. Dies entspreche der Ausübung des Ernennungsrechts. Dass darüber hinaus die übrigen Stiftungsratsmitglieder die jeweilige Wahl unterstützt und bestätigt hätten, sei nicht zu beanstanden und könne nicht dazu führen, dass die Wahlen vom 23. Januar 2014 ungültig seien (S. 25 f. Ziff. 6.15-6.17).
Schliesslich bestreitet der Beschwerdeführer die Wahl des neuen Stiftungsrats vom 17. Dezember 2014 durch die Beschwerdegegner, weil der Enkel als Blutsverwandter des Stifters in absteigender Linie nicht mitgewirkt habe, obwohl er gemäss Art. 5 Abs. 2 der Stiftungsurkunde hätte mitwirken müssen (S. 27 Ziff. 6.18-6.19 der Beschwerdeschrift 5A_865/2016).
7.4.
7.4.1. Wann immer ein Stiftungsorgan sich aus mehreren Personen zusammensetzt, liegt es nahe, die <ref-law> über die Art und Weise des Funktionierens der Vereinsorgane heranzuziehen, soweit in Stiftungsurkunde und -reglement nichts bestimmt ist (Urteil 5A.23/1999 vom 27. März 2000 E. 2b mit Hinweis auf RIEMER, a.a.O., N. 36 des Syst. Teils vor Art. 80-89 bis und N. 32 f. zu <ref-law>, sowie Berner Kommentar, 1990, N. 136 ff. des Syst. Teils vor Art. 60-79 ZGB; vgl. <ref-ruling> E. 4c S. 211; <ref-ruling> E. 3.4 S. 644). Danach ist die Wahl eines (zweiten) Vereinsvorstandes, solange ein bisheriger (erster) noch im Amt steht, nichtig (BGE 71 I 383 E. 2b S. 389; RIEMER, a.a.O., N. 119 zu <ref-law>; ANTON HEINI/WOLFGANG PORTMANN, Das Schweizerische Vereinsrecht, SPR II/5, 3. Aufl. 2005, S. 127 Rz. 276; BÉNÉDICT FOËX, Commentaire romand, 2010, N. 40 zu <ref-law>). Nach Ansicht der Beschwerdeführer ist die Wahl des Stiftungsrats durch die Beschwerdegegner vom 17. Dezember 2014 nichtig, weil sich der bisherige Stiftungsrat am 23. Januar 2014 für die Amtsdauer von einem Jahr und damit bis am 22. Januar 2015 wiedergewählt habe.
7.4.2. Ausgangspunkt bilden nicht Gestaltungsmöglichkeiten, wie sie die Beschwerdeführer schildern, sondern die Stiftungsurkunde und der darin zum Ausdruck gelangende ursprüngliche Stifterwille, von dem selbst der Stifter nicht, geschweige denn die Stiftungsorgane eigenmächtig abzuweichen befugt sind (E. 2.2 oben). Gemäss Art. 5 Abs. 1 der Stiftungsurkunde beträgt die Amtsdauer des Stiftungsrats ein Jahr und tritt bei Ersatzwahlen das neue Mitglied in die Amtsdauer seines Vorgängers ein. Aus dem Wortlaut, namentlich der Regelung, dass ein Ersatzmitglied in die Amtsdauer seines Vorgängers eintritt, muss geschlossen werden, dass die Amtsdauer auch der Amtsperiode entspricht. Es ist denn auch eine Selbstverständlichkeit, dass mit Ablauf der Amtsdauer die Mitgliedschaft im Vereinsvorstand und damit auch im Stiftungsrat endet, wenn die Statuten es so vorsehen (RIEMER, a.a.O., N. 29, und VINCENT JEANNERET/OLIVIER HARI, Commentaire romand, 2010, N. 53 zu <ref-law>; HEINI/PORTMANN, a.a.O., S. 216 Rz. 504).
7.4.3. Die Stiftungsurkunde enthält keine ausdrückliche Regelung darüber, wann die einjährige Amtsdauer zu laufen beginnt. Da der Stifter den ersten Stiftungsrat mit der Unterzeichnung der Stiftungsurkunde am 24. Dezember 1980 ernannt hat (Blatt 7 der Stiftungsurkunde), hat auch das Amt der Stiftungsräte und deren einjährige Amtsdauer sofort am 24. Dezember 1980 begonnen (SPRECHER/VON SALIS-LÜTOLF, a.a.O., S. 122 Ziff. 127).
7.4.4. Es mag zutreffen und leuchtet ein, dass der Stifter die Wahlen in den Stiftungsrat aus rein praktischen Gründen nicht jedes Jahr am 24. Dezember durchgeführt hat und der Stiftungsrat bis zur tatsächlichen Durchführung der Wahl im Amt geblieben ist (vgl. GRÜNINGER, a.a.O., N. 7 f. zu <ref-law>; PFISTER, a.a.O., S. 101 Rz. 374). Dieser Umstand ändert aber nichts an der Amtsdauer gemäss Art. 5 Abs. 1 der Stiftungsurkunde. Eine nach dem 24. Dezember durchgeführte Wahl in den Stiftungsrat bedeutet insoweit eine Bestätigung im Amt für die zurückliegende Zeit seit dem 24. Dezember und für die kommende Zeit bis am 23. Dezember. Ob sich eine von der Stiftungsurkunde abweichende Übung gebildet hat, wie die Beschwerdeführer behaupten, kann dahingestellt bleiben, vermöchte sie sich - unter Vorbehalt allenfalls eines hier nicht geltend gemachten offenbaren Rechtsmissbrauchs - doch nicht durchzusetzen (Urteil 4C.386/2002 vom 12. Oktober 2004 E. 3.1 Abs. 4, nicht veröffentlicht in: <ref-ruling>, wohl aber in: SJ 2005 I S. 365; RIEMER, a.a.O., N. 354 des Syst. Teils vor Art. 60-79 ZGB; HEINI/PORTMANN, a.a.O., S. 40 Rz. 76; JEANNERET/HARI, a.a.O., N. 12 zu <ref-law>).
7.4.5. Die Wahl des Stiftungsrats vom 23. Januar 2014 hat dessen Amtsdauer vom 24. Dezember 2013 bis am 23. Dezember 2014 betroffen. Mit ihrer Wahl des Stiftungsrats am 17. Dezember 2014 für die Amtsdauer ab dem 24. Dezember 2014 haben die Beschwerdegegner folglich keinen Stiftungsrat bestellt, obwohl gleichzeitig ein anderer Stiftungsrat noch im Amt war. Die Wahl vom 17. Dezember 2014 war aus diesem Grund nicht nichtig. Bei diesem Ergebnis kann dahingestellt bleiben, ob die Wahl vom 23. Januar 2014 wirksam zustanden gekommen ist, was das Bundesverwaltungsgericht verneint hat, die Beschwerdeführer hingegen bejahen.
7.5.
7.5.1. Als eigentliches Problem mit besonderem Regelungsbedarf wird seit je her der Fall angesprochen, dass der Stifter als Inhaber eines statutarischen Einwirkungsrechts stirbt. Wegen der generellen Bedeutung dieser Frage für die künftige Tätigkeit der Stiftung wird jedem Stifter angeraten, den Übergang des Einwirkungsrechts zu regeln. Den Übergang auf Rechtsnachfolger statutarisch vorzusehen, kann bei juristischen Personen sinnvoll sein, wird hingegen bei natürlichen Personen nicht empfohlen, da die Berechtigung sonst über kurz oder lang vielen Personen gemeinsam zusteht und dann praktisch kaum mehr ausübbar ist (RIEMER, a.a.O., N. 13 zu <ref-law>). Der Stifter hat den Übergang seines Ernennungsrechts in der Stiftungsurkunde geregelt, die folglich massgebend und auszulegen ist. Da die Stiftung in öffentlicher Urkunde errichtet wurde (<ref-law>), ist nicht nur davon auszugehen, dass der Notar, dessen Erfahrenheit und Sachkunde von keiner Partei in keinem Zeitpunkt jemals in Frage gestellt wurde, die Rechtslage genau gekannt und den Stifter pflichtgemäss darüber aufgeklärt hat, sondern auch anzunehmen, dass er die eingesetzten Fachausdrücke in ihrem juristisch technischen Sinn verwendet hat (vgl. Urteil 5A_530/2012 vom 30. Oktober 2012 E. 3.2.1, in: ZBGR 95/2014 S. 264).
7.5.2. Gemäss Art. 5 Abs. 2 der Stiftungsurkunde kommt die Befugnis, die Mitglieder des Stiftungsrats zu bezeichnen, für den Fall, dass der Stifter sie aus gesundheitlichen oder anderen Gründen nicht mehr ausüben kann "primär seinen Nachkommen (Blutsverwandte in absteigender Linie) " zu. Die Wendung "seinen Nachkommen" darf ohne weiteres wörtlich und technisch verstanden werden und meint im Sinne von <ref-law> die nächsten Erben des Stifters (Abs. 1), d.h. seine Kinder (Abs. 2) und an deren Stelle ihre Nachkommen, falls die Kinder vorverstorben sind (Abs. 3; vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 468). Da die Beschwerdegegnerin als Tochter des Stifters lebt, schliesst sie ihren Sohn, den Enkel des Stifters, vom Übergang des Ernennungsrechts aus. Die Befugnis, die Mitglieder des Stiftungsrats zu bezeichnen, steht ihr und ihrem Bruder zu, falls ihr Vater die Befugnis nicht mehr ausüben kann. Verdeutlicht wird dieser Umstand noch durch die Wendung "in absteigender Linie", die ebenfalls dahin gehend verstanden werden darf, dass die nächsten die entfernteren Nachkommen ausschliessen.
7.5.3. Die gegenteilige Auslegung der Beschwerdeführer, die den Enkel des Stifters neben seiner Mutter und seinem Onkel als befugt erklärt, die Mitglieder des Stiftungsrats zu bezeichnen, geht am Wortlaut von Art. 5 Abs. 2 der Stiftungsurkunde vorbei, aber auch am ursprünglichen Stifterwillen, wie ihn die Beschwerdeführer selbst behaupten. Von einem Enkel war danach nie die Rede, sondern ausschliesslich von den Beschwerdegegnern, namentlich der Beschwerdegegnerin, die daran gehindert werden müssten, den Stiftungsrat und namentlich sich selber als Mitglieder des Stiftungsrats zu bezeichnen. Mit diesen Vorbringen belegen die Beschwerdeführer insofern den ursprünglichen Stifterwillen, als es dem Stifter stets klar war, dass an seiner Stelle seine Kinder als Nachkommen seine Befugnis, die Mitglieder des Stiftungsrats zu bezeichnen, übertragen erhalten würden, wenn er sie dereinst einmal nicht mehr sollte ausüben können.
7.6. Andernorts (E. 4.2 bzw. 4.3 oben) wenden die Beschwerdeführer ein, die Wahl vom 17. Dezember 2014 sei auch deshalb ungültig, weil die Beschwerdegegner gar nicht zuverlässig hätten beurteilen können, dass der Stifter am 17. Dezember 2014 nicht mehr in der Lage gewesen sei, die Mitglieder des Stiftungsrats zu bezeichnen. Die Stiftungsurkunde setzt in Art. 5 Abs. 2 keinen rechtsgenügenden Beweis des Grundes voraus, damit das Ernennungsrecht des Stifters auf seine Nachkommen übergeht, sondern umschreibt offen, dass der Übergang stattfinden soll, wenn der Stifter "aus gesundheitlichen oder anderen Gründen" seine Befugnis, die Mitglieder des Stiftungsrats zu bezeichnen, nicht mehr ausüben kann. Dafür haben ab Herbst 2014 ausreichend Anhaltspunkte bestanden, so dass die Beschwerdeführer auch mit Blick auf das hängige Verfahren auf Änderung der Stiftungsorganisation zur Wahl eines Stiftungsrats am 17. Dezember 2014 schreiten durften. Dass die Stiftung während der Zeit des Übergangs ohne satzungsgemäss bestelltes oberstes Stiftungsorgan dasteht, kann nicht dem Willen des Stifters von 1980 entsprochen haben. Im Streitfall sollten vielmehr die Aufsichtsbehörden und Gerichte über das tatsächliche Vorliegen eines Verhinderungsgrundes auf Seiten des Stifters entscheiden und allenfalls die geeigneten Massnahmen bis zum Entscheid treffen, wie es hier auch rasch und wirksam geschehen ist. Die Stiftungsurkunde ist offen formuliert und lässt das Vorgehen der Beschwerdegegner folglich zu.
7.7. Aus den dargelegten Gründen kann die Beurteilung des Bundesverwaltungsgerichts, die Wahl des Stiftungsrats am 17. Dezember 2014 sei gültig erfolgt, nicht beanstandet werden.
8.
8.1. Den Antrag des bisherigen Stiftungsrats auf Änderung der Stiftungssatzungen hat das Bundesverwaltungsgericht nur der Vollständigkeit halber auf seine Begründetheit hin geprüft, weil der am 17. Dezember 2014 rechtsgültig gewählte neue Stiftungsrat den Antrag zurückgezogen habe (E. 10.1 S. 52 des angefochtenen Urteils). Es hat dabei dem Antrag bzw. dessen Rückzug eine Bedeutung zugemessen, die ihm im Verfahren der Änderung der Stiftungsorganisation nicht zukommt (E. 3.4 oben). Da es die Frage gleichwohl entschieden hat, besteht indessen kein Nachteil.
8.2. Zu beurteilen war die Änderung von Art. 5 der Stiftungsurkunde vom 24. Dezember 1980, wonach, wenn möglich, mindestens ein Mitglied der Familie des Stifters im Stiftungsrat vertreten sein soll und wonach der Stifter die Mitglieder des Stiftungsrats bezeichnet und seine Befugnis auf die Nachkommen übergeht, wenn er sie aus gesundheitlichen oder anderen Gründen nicht mehr ausüben kann. Neu sollte gemäss Art. 5 der Stiftungsurkunde die Verwaltung der Stiftung einem Stiftungsrat von mindestens drei, höchstens sieben natürlichen Personen oder Vertreterinnen/Vertretern von juristischen Personen obliegen, die grundsätzlich ehrenamtlich tätig sind, und neu sollte sich der Stiftungsrat gemäss Art. 6 der Stiftungsurkunde selbst konstituieren und ergänzen, wobei für dieses Amt nur Persönlichkeiten in Frage kommen, die durch ihr Engagement dem Stiftungszweck verbunden sind sowie zur langfristigen Sicherung des Betriebes der Stiftung durch ihr Wissen und ihre Erfahrung einen Beitrag leisten (E. 10.2 S. 53). Einigkeit bestand, dass die beantragte Änderung der Stiftungsorganisation einen Tatbestand gemäss <ref-law> betraf, streitig war hingegen, ob dessen Voraussetzungen erfüllt sind (E. 10.3-10.7 S. 54 ff. des angefochtenen Urteils).
8.3. Seine rechtlichen Ausführungen (E. 10.8 und E. 10.9 S. 58 f.) hat das Bundesverwaltungsgericht als Grundsatz zusammengefasst, dass eine Änderung der Organisation nach <ref-law> stets nur im Hinblick auf die Wahrung des Stiftungszwecks und die Erhaltung des Stiftungsvermögens erfolge. Die Beschwerdeführer hätten nicht dargelegt, inwiefern sich Stiftungszweck und -vermögen durch Abschaffung des Ernennungsrechts der Nachkommen wesentlich besser erhalten liessen, und sie hätten auch nicht überzeugend dargetan, dass das Ernennungsrecht Stiftungszweck und -vermögen gefährde und aus diesem Grund abgeschafft werden müsse. Sie beschränkten sich namentlich auf die Darlegung des angeblichen Stifterwillens, die Stiftung von familiären Strukturen zu lösen, sowie auf die fachliche, persönliche und gesundheitliche Unfähigkeit der Beschwerdegegner, das Ernennungsrecht wahrzunehmen. Beide Vorbringen zielten jedoch an den eigentlichen Voraussetzungen vorbei (E. 10.10 S. 59 des angefochtenen Urteils).
Zum einen hat das Bundesverwaltungsgericht erwogen, <ref-law> mache nicht zur Voraussetzung, dass die Organisationsänderung dem Stifterwillen entsprechen solle, sondern dass sie zur Wahrung des Stiftungszwecks und zur Erhaltung des Stiftungsvermögens dringend erforderlich sei. Die Ausführungen der Parteien zum mutmasslichen Stifterwillen zielten deshalb von vornherein ins Leere, und es spiele keine Rolle, ob die Stiftungsräte den Willen des Stifters gekannt hätten und nach diesem handelten (E. 10.11 S. 59 f.). Betreffend Eignung der Beschwerdegegner zur Ausübung des Ernennungsrechts hat das Bundesverwaltungsgericht zum anderen ausgeführt, gerade die energische Verteidigung ihres Rechts als Nachkommen belege ihre Motivation, sich in der Stiftung einzubringen. Die Stiftungsurkunde setze nicht voraus, dass das Wahlorgan in der Schweiz wohnhaft sein oder über besondere Fachkenntnisse verfügen müsse. Namentlich hindere die allenfalls fehlende Kenntnis der Beschwerdegegner in einem bestimmten Fachbereich sie nicht daran, Personen in den Stiftungsrat zu wählen, die über ebendiese Kenntnis verfügten, wie sie es mit ihrer Wahl vom 17. Dezember 2014 entsprechend getan hätten. Die Beschwerdeführer widersprächen sich deshalb, wenn sie einerseits fehlende Fachkenntnis der Beschwerdegegner bemängelten und andererseits eine Fremdsteuerung durch die von den Beschwerdegegnern in den Stiftungsrat gewählten Personen behaupteten, die über die Fachkenntnisse verfügten. Diese Unterstellung der Fremdsteuerung hätten die Beschwerdeführer durch keinerlei konkrete Anhaltspunkte untermauert. Die Korrespondenz zwischen der Stiftungsrätin E._ und der Beschwerdegegnerin belege, dass sich die Beschwerdegegnerin regelmässig nach ihrem Vater sowie der Stiftung erkundigt habe, während der Beschwerdegegner seit Jahren für die Stiftung tätig sei. Fehlendes Interesse und mangelnder Bezug zur Stiftung könne den Beschwerdegegnern somit ebenfalls nicht vorgeworfen werden. Auch machten die Beschwerdeführer nicht überzeugend klar, weswegen der Beschwerdegegner gesundheitlich nicht in der Lage sein solle, das Ernennungsrecht auszuüben. Im Ergebnis hätten die Beschwerdeführer mit ihren auf Befürchtungen und Mutmassungen beruhenden Vorbringen keine überzeugenden Argumente, weshalb die Nachkommen nicht in der Lage sein sollten, einen Stiftungsrat zu wählen, der den komplexen Verhältnissen der Stiftung gewachsen sei, und weshalb sie Zweck und Vermögen der Stiftung schlechter bewahren würden als ein im Kooptationssystem ernannter Stiftungsrat (E. 10.12 S. 60 f. des angefochtenen Urteils).
Weiter hat das Bundesverwaltungsgericht dafürgehalten, eine allfällige Unerfahrenheit des neuen Stiftungsrats werde die Stiftungsaufsicht berücksichtigen, habe sie doch bereits angekündigt, die Tätigkeit des Stiftungsrats zu Beginn verstärkt zu beaufsichtigen und soweit notwendig die erforderlichen Massnahmen zu ergreifen. Die Stiftungsaufsicht habe denn auch bereits einen Sachwalter eingesetzt und den neuen Stiftungsrat aufgefordert, ein Geschäftskonzept einzureichen (E. 10.13 S. 62). Das Wahlsystem der Kooptation sei in der Praxis zwar verbreitet, werde in der Lehre jedoch kritisiert. Da es sich nicht besser dazu eigne, den Stiftungsrat mit kompetenten und unabhängigen Personen zu besetzen, sei in ihm gegenüber dem Ernennungsrecht der Nachkommen kein Vorteil hinsichtlich der Wahrung des Stiftungsvermögens und -zwecks zu erblicken, der eine Organisationsänderung rechtfertigen würde (E. 10.14 S. 62 f.). Es treffe zwar zu, dass jede Vermögensgefährdung eine Zweckgefährdung bedeute. Die Beschwerdeführer hätten jedoch nicht dargelegt, warum die Nachkommen nicht in der Lage sein sollten, durch Wahl geeigneter Personen in den Stiftungsrat die Immobilienverwaltung und damit die Finanzierung der Stiftung sicherzustellen (E. 10.15 S. 63). Die Beschwerdeführer hätten somit nicht dargelegt, inwiefern es zur Erhaltung des Stiftungsvermögens oder zur Wahrung des Stiftungszwecks dringend erforderlich sei, das Ernennungsrecht der Nachkommen gemäss Art. 5 der Stiftungsurkunde abzuschaffen und durch das System der Kooptation des Stiftungsrats zu ersetzen. Die ESA habe den Antrag des bisherigen Stiftungsrats auf Änderung der Stiftungsurkunde und Genehmigung des Organisationsreglements zu Recht abgewiesen (E. 10.16 S. 63 des angefochtenen Urteils).
8.4. In rechtlicher Hinsicht wendet die Beschwerdeführerin ein, das Bundesverwaltungsgericht lege einen zu strengen Massstab an Änderungen der Stiftungsorganisation an. Es genüge, wenn die Änderung der Organisation bewirke, dass der Zweck der Stiftung wesentlich besser erreicht werden könne. Auch stehe die Änderung der Stiftungsorganisation im Gegensatz zu <ref-law> nicht unter einem Drittrechtsvorbehalt, abgesehen davon, dass das Ernennungsrecht der Nachfolger nicht als Drittrecht erfasst werden könne (Rz. 65-72). Es treffe auch nicht zu, dass der aktuelle Stifterwille, die Regelung über die Wahl der Stiftungsratsmitglieder anzupassen und insbesondere von familiären Strukturen zu lösen, nicht wenigstens als ein Element unter anderen im Verfahren der Änderung der Stiftungsorganisation zu beachten sei (Rz. 73-78).
Der Darstellung des Bundesverwaltungsgerichts, sie habe keine überzeugenden Argumente vorgebracht, die Beschwerdegegner seien für die Ausübung des Ernennungsrechts ungeeignet, widerspricht die Beschwerdeführerin mit Nachdruck. Die Beschwerdegegnerin wohne und lebe im Ausland, während die Stiftung einen sehr starken Bezug zur Schweiz habe, was Wahlorgan- und Stiftungsratsmitglieder mit Wohnsitz und Verwurzelung in der Schweiz erfordere. Die Beschwerdegegnerin sei von ihrem beruflichen Hintergrund her Umweltwissenschaftlerin und Geografin und somit mangels Kenntnis in den Stiftungsbereichen Immobilien, Kunst, Finanzen und Betriebswirtschaft nicht geeignet, als Organ der Stiftung zu wirken. Sie habe ihre Unfähigkeit am 30. Oktober 2014 mit überwiegend ungeeigneten Kandidaturen für den Stiftungsrat ein erstes Mal belegt. Es bestehe ein Risiko der Abhängigkeit von Dritten und der Fremdsteuerung durch Dritte, namentlich durch die als Mitglieder des Stiftungsrats bezeichneten Vertreter der H._ AG, der früheren Verwaltung der Liegenschaften des Stifters und der Stiftung (mit Hinweis auf einen Beitrag in der Zeitung "P._"). Aus den gleichen Gründen sei auch der Beschwerdegegner ungeeignet, der sich nach eigenen Aussagen selber nicht für geeignet halte, eine leitende Position in der Stiftung einzunehmen (mit Hinweis auf einen Beitrag in der Zeitung "P._"). Der berufliche Hintergrund, das fehlende Fachwissen, die Gefahr der Abhängigkeit, ein Unfall mit Gehirnverletzung sowie seine eigene Einschätzung sprächen folglich gegen die Eignung des Beschwerdegegners als Organ der Stiftung. Weiter schildert die Beschwerdeführerin ausgiebig das Verhalten der Beschwerdegegner im laufenden Verfahren auf Abänderung der Stiftungsorganisation. Die Beschwerdegegner hätten einem Teil des bisherigen Stiftungsrats millionenschwere Entschädigungen für einen sofortigen Rücktritt angeboten und Druck durch Medienkampagnen und Strafanzeigen gegen einzelne Mitglieder des bisherigen Stiftungsrats zu erzeugen versucht. Letzteres zeige, dass die Beschwerdegegner gegen den Willen ihres Vaters, des Stifters, handelten. Bestes Beispiel dafür sei auch die Berufung von Vertretern der "H._", mit denen der Stifter in einem Konfliktverhältnis stehe, während die Vertrauenspersonen des Stifters, namentlich Frau E._, aus der Stiftung entfernt werden sollten. Das Verhalten der Beschwerdegegner, insbesondere der Beschwerdegegnerin belege deren Fremdsteuerung und damit die Gefährdung des Stiftungszwecks und das offenkundige Risiko, dass ein von ihnen gewählter Stiftungsrat den Stiftungszweck inskünftig nicht würde wahren können (Rz. 79-88).
Schliesslich wirft die Beschwerdeführerin dem Bundesverwaltungsgericht vor, es habe die Vor- und Nachteile der beiden Wahlsysteme im konkreten Fall nicht gewürdigt. Ein theoretischer Systemvergleich reiche nicht aus. Entscheidend sei, wer Träger des Ernennungsrechts sein werde. Die Beschwerdegegner seien dazu nicht geeignet, weshalb das Kooptationssystem die Interessen der Stiftung und ihre adäquate Zweckerfüllung deutlich besser zu gewährleisten vermöge. Die Beschwerdeführerin beschliesst ihren konkreten Systemvergleich mit einer Auflistung aller Vorhalte, die die Beschwerdegegner ihrer Ansicht nach als ungeeignet erscheinen lassen, die Mitglieder des Stiftungsrats zu bezeichnen und im Stiftungsrat Einsitz zu nehmen (Rz. 89-90; S. 19 ff. Ziff. 4.4 der Beschwerdeschrift 5A_856/2016).
8.5. Der Beschwerdeführer schliesst sich der Rechtsauffassung der Beschwerdeführerin an und betont ebenfalls, dass einer gemäss <ref-law> gebotenen Organisationsänderung auch subjektive Rechte auf Organschaft weichen müssen. Er räumt gleichzeitig aber ein, dass das Bundesverwaltungsgericht aus dem angeblichen Drittrechtsvorbehalt nichts zu seinen Lasten abgeleitet, sondern die Frage nach der Änderung der Stiftungsorganisation ungeachtet des auf die Nachkommen übergegangenen Einwirkungsrechts des Stifters geprüft habe. Was die Voraussetzung einer Änderung betrifft und dabei die Beachtung des Stifterwillens angeht, stimmt die Eingabe des Beschwerdeführers im Wesentlichen mit dem Vortrag der Beschwerdeführerin überein (S. 28 ff. Ziff. 6.23-6.26).
Die Feststellung, dass keine genügenden Gründe für die Änderung der Stiftungsurkunde vorgebracht worden bzw. ersichtlich seien, bestreitet der Beschwerdeführer. Er wiederholt seine bisherigen Vorbringen, die wesentlich mit den Vorbringen der Beschwerdeführerin übereinstimmen, und wirft dem Bundesverwaltungsgericht vor, es sei auf die vorgebrachten Gründe - wenn überhaupt - nur sehr oberflächlich eingegangen und habe das Verhalten der Beschwerdegegner als verständliche Verteidigung ihrer Drittrechte erfasst. Damit sei indessen nicht geklärt, weshalb sich die Beschwerdegegner jahrelang nicht für die Belange der Stiftung interessiert hätten und weshalb das Wirken der Beschwerdegegner, das eindeutig auf eine Änderung des von der Persönlichkeit des Stifters geprägten Charakters der Stiftung abziele, den Zweck der Stiftung nicht gefährde. Die massiven Angriffe der Beschwerdegegner gegen die Stiftung und den Stifter in Form von Strafanzeigen und teuren Medienkampagnen würden verharmlosend beschönigt. Die Wahl von Personen aus dem Umfeld der H._ AG, der früheren Verwaltung der Liegenschaften des Stifters und der Stiftung, in den neuen Stiftungsrat bedeute eine offensichtliche und eklatante Widerhandlung gegen den Stifterwillen. Ebenfalls nicht eingegangen sei das Bundesverwaltungsgericht auf die bestehende Möglichkeit, dass der Stifter im Falle der Nichtgenehmigung der beantragten Änderung der Stiftungsurkunde der Stiftung die Mittel entziehen könnte. Eine konkrete finanzielle Gefährdung der Stiftung könne unter diesen Umständen jedenfalls nicht einfach verneint werden. Dass das Bundesverwaltungsgericht auf die vorgebrachten Gründe, die die Gefährdung des Stiftungszwecks und -vermögens belegten nicht oder nur sehr oberflächlich eingegangen sei, stelle eine Verletzung des in <ref-law> garantierten rechtlichen Gehörs dar (S. 32 ff. Ziff. 6.27).
Ob das Wahlsystem der Kooptation dem Ernennungsrecht des Stifters bzw. der Nachkommen überlegen sei, sei nicht allgemein, sondern im Einzelfall zu entscheiden. Zu dieser einzelfallbezogenen Abwägung führt der Beschwerdeführer aus, der bisherige Stiftungsrat bestehe aus seinen Vertrauenspersonen, die stets nach seinem Willen und dem Charakter der Stiftung gehandelt und deren Persönlichkeit mitgeprägt hätten. Sie böten Gewähr, dass es mit der Stiftung weiter gehe wie bisher. Damit erweise sich im konkreten Fall das Wahlsystem der Kooptation eindeutig besser als das bisherige Ernennungsrecht des Stifters bzw. der Nachkommen (S. 34 f. Ziff. 6.28 der Beschwerdeschrift 5A_865/2016).
8.6. Soweit die Beschwerdeführer eine Verletzung der verfassungsmässigen Prüfungs- und Begründungspflicht rügen, erweist sich ihre Beschwerde als unbegründet. Der Anspruch auf rechtliches Gehör verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.2 S. 70). Das angefochtene Urteil genügt diesen Anforderungen, wie ein Vergleich der Begründung (E. 8.3 oben) mit den Vorbringen der Beschwerdeführerin (E. 8.4 oben) und des Beschwerdeführers (E. 8.5 oben) verdeutlicht.
8.7.
8.7.1. Die zuständige Behörde kann die Organisation der Stiftung ändern, "wenn die Erhaltung des Vermögens oder die Wahrung des Stiftungszwecks die Änderung dringend erfordert" ("lorsque cette mesure est absolument nécessaire pour conserver les biens ou pour maintenir le but de la fondation"; "quando ciò sia urgentemente richiesto per la conservazione del patrimonio o per il mantenimento del fine"). Der Wortlaut geht auf die ZGB-Revision von 2004/06 zurück, doch sind die Änderungen des ursprünglichen Gesetzestextes (BS 2 3) in der deutschen Fassung ("... die Wahrung des Zweckes der Stiftung die Abänderung dringend erheischt") und der französischen Fassung ("... ou pour maintenir le but du fondateur") lediglich redaktioneller Natur (vgl. Parlamentarische Initiative Revision des Stiftungsrechtes vom 23. Oktober 2003, BBl 2003 8153 S. 8168 zu <ref-law>).
8.7.2. Die Organisation der Stiftung ist deren Zweck untergeordnet. Wenn es der Erfüllung des Zwecks dient und aus unabweisbaren Gründen als geboten erscheint, muss die Organisation geändert werden. Hingegen darf vom Stifterwillen nicht abgewichen werden, wenn eine andere Organisation lediglich optimaler oder nützlicher oder etwas zweckmässiger wäre als die vom Stifter gewollte. Soweit die Wahrung des Zwecks bzw. die Erhaltung des Vermögens der Stiftung es zulässt, ist auf die vom Stifter geschaffene Organisation Rücksicht zu nehmen (RIEMER, a.a.O., N. 50-52 zu Art. 85/86 ZGB). Dass das neuere Schrifttum nun spürbar offener gegenüber Änderungen der Stiftungsorganisation sein soll, wie die Beschwerdeführer hervorheben, ist fraglich. Gewiss sagen die zitierten Autoren, die Änderung müsse z.B. bewirken, dass der Zweck wesentlich besser erreicht werden könne, während im Rahmen der alten Organisationsform diese Verbesserung nicht möglich wäre, sie halten aber auch fest, dass es nicht ausreicht, wenn durch die Änderung eine bloss nützlichere oder zweckmässigere Organisation erreicht werde (SPRECHER/VON SALIS-LÜTOLF, a.a.O., S. 183 Ziff. 225 Abs. 1; vgl. auch VEZ, a.a.O., S. 276 Rz. 1011 und Rz. 1012, sowie N. 3 zu Art. 85/86 ZGB; GRÜNINGER, a.a.O., N. 4 zu Art. 85/86 ZGB; PFISTER, a.a.O., S. 165 f. Rz. 638).
8.7.3. Jede Änderung der Stiftungsorganisation berührt somit den ursprünglichen Stifterwillen, schliesst aber dessen Schutz nicht aus, indem sie nur dann angeordnet wird, wenn die bestehende Organisation die Umsetzung des Stifterwillens verhindert. Es bleibt deshalb dabei, dass die Stiftungsorganisation im Dienst des Stiftungszwecks steht. Ist ihre Änderung allerdings dringend erforderlich, macht sie - wie bereits einleitend dargelegt (E. 2 oben) - auch vor Einwirkungsrechten des Stifters bzw. hier dessen Nachkommen nicht halt. Im Verfahren der Änderung der Organisation kann ein allfällig noch lebender Stifter angehört werden. Seine Zustimmung ist jedoch weder erforderlich noch massgebend und könnte insbesondere eine in Widerspruch zu <ref-law> stehende Änderung der Stiftungsorganisation nicht begünstigen (RIEMER, a.a.O., N. 32 i.V.m. N. 55 zu Art. 85/86 ZGB; VEZ, a.a.O., S. 278 Rz. 1019).
8.8.
8.8.1. Die auf einen angeblichen aktuellen Stifterwillen fokussierte Betrachtungsweise der Beschwerdeführer, die darin gipfelt, der Stifter könnte der Stiftung die zugewendeten Mittel wieder entziehen, wenn die Organisation nicht in seinem Sinne geändert werden würde, hat das Bundesverwaltungsgericht nach dem Gesagten zu Recht zurückgewiesen. Sie verkennt die jedenfalls nach geltendem Recht zu beachtenden Grundsätze (E. 2 oben). Der Stifter hat gewollt, dass Familienmitglieder im Stiftungsrat Einsitz nehmen können und unter selbst festgesetzten Voraussetzungen an seiner Stelle die Mitglieder des Stiftungsrats bezeichnen (Art. 5 der Stiftungsurkunde vom 24. Dezember 1980). Dieser Wille ist auch heute bindend.
8.8.2. Die Beschwerdegegner haben ihre Befugnis, die Mitglieder des Stiftungsrats zu bezeichnen, gültig ausgeübt (E. 4-7 oben). Die Stiftungsaufsichtsbehörde müsste einschreiten, wenn die neu ernannten Stiftungsräte, zu denen die Beschwerdegegner gehören, objektiv nicht geeignet wären, dafür zu sorgen, dass das Stiftungsvermögen seinen Zwecken gemäss verwendet wird. Für die Beurteilung der Eignung kommt es nicht darauf an, ob der Stifter mit einzelnen der neuen Mitglieder des Stiftungsrats verfeindet ist, wie die Beschwerdeführer behaupten (E. 2.3 oben). Zu Recht hat das Bundesverwaltungsgericht dabei nicht vertieft, wer - der bisherige Stiftungsrat oder die Beschwerdegegner - sich wie in diesem seit Jahren andauernden Ringen um das Bestimmungsrecht in der Stiftung verhalten hat, sondern in die Zukunft geblickt und zutreffend dafürgehalten, die Stiftungsaufsichtsbehörde werde den neu ernannten Stiftungsrat begleiten, beobachten und gegebenenfalls durch geeignete Massnahmen korrigieren und unterstützen. Damit setzen sich die Beschwerdeführer nicht eigens auseinander. Sie verharren vielmehr in ihrer Stimmungsmache gegen den neu gewählten Stiftungsrat und übersehen, dass nicht nur der neu gewählte Stiftungsrat, sondern auch die Aufsichtsbehörde dafür zu sorgen hat, dass das Stiftungsvermögen seinen Zwecken gemäss verwendet wird (<ref-law>). Von diesen Verantwortlichkeiten ist auszugehen.
8.8.3. Zutreffend hat das Bundesverwaltungsgericht angenommen, dass es verschiedene Systeme gibt, den Stiftungsrat zu wählen, von denen jedes Vor- und Nachteile hat und deshalb keines vorzuziehen ist (vgl. E. 3.5.3 oben). Dass die Erhaltung des Vermögens und die Wahrung des Stiftungszwecks die von ihnen befürwortete Kooptation dringend erforderte, vermögen die Beschwerdeführer nicht zu begründen, namentlich ihr Blick in die Vergangenheit taugt dazu nicht.
8.9. Aus den dargelegten Gründen hat das Bundesverwaltungsgericht eine Änderung der Stiftungsorganisation ohne Verletzung von Bundesrecht ablehnen dürfen.
9.
Insgesamt muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Die Beschwerdeführer werden damit kosten-, nicht hingegen entschädigungspflichtig, da die Beschwerdegegner im Verfahren betreffend aufschiebende Wirkung unterlegen sind und nicht zur Einreichung von Vernehmlassungen eingeladen wurden (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 5A_856/2016 und 5A_865/2016 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 20'000.-- werden der Beschwerdeführerin und dem Beschwerdeführer unter solidarischer Haftbarkeit je zur Hälfte auferlegt.
4.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, sowie dem Eidgenössischen Departement des Innern (Eidgenössische Stiftungsaufsicht), dem Sachwalter G._ und (auszugsweise [Rubrum und Dispositiv]) dem Handelsregisteramt des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Juni 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: von Roten