Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1970) und C._ (geb. 1971) sind die verheirateten, getrennt lebenden Eltern der Kinder D._ (geb. 2007) und E._ (geb. 2010). 2018 brachte die Ehefrau Zwillinge zur Welt.
B.
Der Ehemann ist bzw. war Partei in diversen familienrechtlichen Verfahren vor dem Kreisgericht St. Gallen, an welchen auch seine Ehefrau beteiligt ist. Die Verfahren führt bzw. führte Familienrichterin B._. Namentlich sind dies die nachfolgenden:
B.a. Zunächst standen sich die Ehegatten in einem Eheschutzverfahren (SF.2017.12-SCM-SG1F-KAE/SF.2017.15-SCM-SG1F-KAE) gegenüber, welches erstinstanzlich mit Urteil vom 10. August 2017 und in zweiter Instanz am 19. April 2018 abgeschlossen wurde.
B.b.
B.b.a. Am 1. August 2018 stellte die Ehefrau ein Gesuch auf Abänderung der Eheschutzmassnahmen (SF.2018.152-SCM-SG1F-KAE). Sodann klagte sie mit Eingabe vom 17. September 2018 auf Scheidung (IN.2018.203-SCM-SG1F-KAE) und ersuchte um Erlass vorsorglicher Massnahmen für die Dauer des Scheidungsprozesses (SF.2018.183-SCM-SG1F-KAE). Das Kreisgericht vereinte die beiden Summarverfahren und entschied darüber am 7. Februar 2019. Der Ehemann erhob Berufung an das Kantonsgericht St. Gallen (FS.2019.6-EZE2). Das Scheidungsverfahren wiederum wurde infolge Klagerückzugs mit Verfügung vom 29. April 2019 abgeschrieben.
B.b.b. Der Ehemann beantragte beim Kreisgericht aufschiebende Wirkung für das Urteil vom 7. Februar 2019 (SF.2019.47-SCM-SG1F-KAE), worüber jenes am 22. Februar 2019 entschied. Auch hiergegen ergriff er Berufung (FS.2019.6-EZE2).
B.c. Am 18. Januar 2019 reichte der Berufsbeistand der von der Ehefrau im Jahr 2018 geborenen Zwillinge F._ und G._ Klage auf Anfechtung der Vaterschaftsvermutung gegen die Eheleute ein (VV.2019.12-SCM-SG1ZE-KAE/VV.2019.13-SCM-SG1ZE-KAE).
C.
C.a. Mit Eingabe vom 13. Februar 2019 beim Kreisgericht verlangte der Ehemann in seinem Namen sowie jenem der Kinder E._ und D._, die Familienrichterin B._ sei unverzüglich hinsichtlich sämtlicher von ihr mit Bezug auf ihn und die Kinder geführten Fälle in den Ausstand zu versetzen.
C.b. Die Parteien wurden mit Schreiben vom 15. Februar 2019 darüber in Kenntnis gesetzt, dass davon ausgegangen werde, das Ausstandsgesuch betreffe die Verfahren SF.2018.152-SCM-SG1F-KAE, SF.2018. 183-SCM-SG1F-KAE, IN.2018.203-SCM-SG1ZK-KAE, VV.2019.12-SCH-SG1ZE-KAE und VV.2019.13-SCH-SG1ZE-KAE. Keine der Parteien opponierte hiergegen.
C.c. Am 12. März 2019 fällte der Präsident des Kreisgerichts sein Urteil. Er trat auf das Ausstandsgesuch nicht ein, soweit der Ehemann es im Namen der Kinder E._ und D._ gestellt und soweit er den Ausstand der Familienrichterin in den Massnahmeverfahren (SF.2018.152-SCM-SG1F-KAE und SF.2018.183-SCM-SG1F-KAE) verlangt hatte. Bezüglich der übrigen Verfahren (IN.2018.203-SCM-SG1ZK-KAE, VV.2019.12-SCH-SG1ZE-KAE und VV.2019.13-SCH-SG1ZE-KAE) wies er das Ausstandsgesuch ab. Im Übrigen trat er auf die Anträge des Ehemannes nicht ein.
D.
Dagegen erhob der Ehemann am 25. März 2019 für sich und die Kinder E._ und D._ eine als Berufung bezeichnete Beschwerde. Das Kantonsgericht urteilte darüber am 28. Juni 2019. Es schrieb das Verfahren als gegenstandslos ab, soweit den Scheidungsprozess (IN.2018.203-SCM-SG1ZK-KAE) betreffend, und trat auf das Rechtsmittel nicht ein, soweit die Rechtsbegehren über den Streitgegenstand hinausgingen. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab. Dieser Entscheid wurde dem Ehemann am 10. Juli 2019 zugestellt.
E.
E.a. Mit elektronischer Beschwerde vom 9. August 2019 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) in eigenem Namen sowie jenem der Kinder E._ und D._ an das Bundesgericht, dem er nebst zahlreichen Verfahrensanträgen (Ziff. 1-4) im Wesentlichen beantragt, den angefochtenen Entscheid unter Kosten- und Entschädigungsfolge (Ziff. 7 und 8) aufzuheben und sein Ausstandsgesuch gutzuheissen (Ziff. 5 und 6).
E.b. Mit Verfügung vom 13. August 2019 wies der Präsident der urteilenden Abteilung das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung (Ziff. 2) und um Erlass der Kostenvorschusspflicht (Ziff. 3) ab.
E.c. Am 31. Dezember 2019, 8. Januar 2020 und 8. Juli 2020 reichte der Beschwerdeführer weitere Eingaben ein, mit welchen er diverse Beweisanträge und ein Ausstandsgesuch gegen Kantonsrichter Dr. H._ stellt. Am 10. Juli 2020 verlangte er superprovisorisch den Ausstand des besagten Kantonsrichters in den laufenden Berufungsverfahren.
E.d. Der Instruktionsrichter trat mit Verfügung vom 14. Juli 2020 auf das superprovisorisch gestellte Ausstandsbegehren gegen Kantonsrichter Dr. H._ mangels Zuständigkeit nicht ein.
E.e. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, die auf Rechtsmittel hin über ein Ausstandsbegehren geurteilt hat (Art. 75 und Art. 92 BGG). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache. Dort geht es nebst anderem um die Anfechtung der Vaterschaftsvermutung (vgl. vorne Sachverhalt lit. B.c) und somit insgesamt um eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 382 mit Hinweis).
1.2. Der Beschwerdeführer erhebt seine Beschwerde auch im Namen der Kinder E._ und D._. Die Vorinstanz versagte diesen die Parteistellung und sprach dem Beschwerdeführer subsidiär die Vertretungsbefugnis ab, was er beanstandet. Die Frage, ob die Kinder beschwerdelegitimiert sind und der Beschwerdeführer sie im Prozess vertreten kann, ist sowohl für die Prüfung der Eintretensvoraussetzungen vor Bundesgericht (<ref-law>) als auch für den Entscheid in der Sache selbst von Belang. Als doppelrelevante Tatsachen sind deshalb die Beschwerdelegitimation der Kinder und die Vertretungsbefugnis des Vaters für die Eintretensfrage vorläufig als gegeben zu betrachten (<ref-ruling> E. 1.1 S. 155 f. mit Hinweis).
1.3.
1.3.1. Die Partei, welche eine Beschwerde elektronisch einreichen möchte, muss ihre Rechtsschrift mit einer qualifizierten elektronischen Signatur versehen (<ref-law>). Ferner hat sie sich auf einer anerkannten Plattform für die sichere Zustellung einzutragen (<ref-law> i.V.m. Art. 3 Abs. 1 des Reglements des Bundesgerichts vom 20. Februar 2017 über den elektronischen Rechtsverkehr mit Parteien und Vorinstanzen [ReRBGer; SR 173.110.29]), welche Quittungen über den Zeitpunkt einer elektronischen Übermittlung ausstellt (<ref-law>). Für die Wahrung der Beschwerdefrist ist der Zeitpunkt massgebend, in dem die Quittung ausgestellt wird, die bestätigt, dass alle Schritte abgeschlossen sind, die auf der Seite der Partei für die Übermittlung notwendig sind (<ref-law>). Die Zustelladresse des Bundesgerichts ist in einem Anhang zum Reglement geregelt (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
1.3.2. Der Beschwerdeführer hat seine Beschwerdeschrift mit einer qualifizierten elektronischen Signatur versehen und sie am 9. August 2019 um 23.11 Uhr an die korrekte Zustelladresse verschickt. Indessen hat er sich, obwohl die Rechtsschrift den Vermerk "AN: KANZLEI@BGER.CH PER INCAMAIL.CH" trägt, der Zustellplattform IncaMail nicht bedient, sondern seine Eingabe als einfache E-Mail versandt.
1.3.3. Das Bundesgericht tritt auf elektronische Beschwerden, die nicht über eine anerkannte Plattform, sondern als einfache E-Mail übermittelt werden, nicht ein (Urteile 6B_1330/2019 vom 3. Dezember 2019 E. 3.3 mit Hinweisen; 8C_327/2016 vom 31. Mai 2016 E. 6 mit Hinweisen; 1C_411/2015 vom 27. August 2015 E. 2.1). Es ist nicht überspitzt formalistisch, auf einem vorgesehenen Übermittlungsweg zu beharren bzw. für den Fristenlauf darauf abzustellen (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.5 S. 306 [zur Faxeingabe], 152 E. 4.5 f. S. 160 f. [zur gewöhnlichen E-Mail]; <ref-ruling> E. 1 S. 66 f. [zum Postversand aus dem Ausland]), zumal es sich hier nicht um ein offensichtliches Versehen handelt, welches die Ansetzung einer Nachfrist zur Mangelbehebung erforderte (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.3.4 S. 305 mit Hinweis). Der nicht anwaltlich vertretene Beschwerdeführer war sich der Notwendigkeit der Übermittlung über eine Zustellplattform offensichtlich bewusst, brachte er doch einen entsprechenden Vermerk auf seiner Beschwerdeschrift an.
1.3.4. Dauert die Beschwerdefrist in dem Zeitpunkt, in welchem das Bundesgericht die mit einem Formmangel behaftete Eingabe in Empfang nimmt, noch an, sodass es der beschwerdeführenden Partei möglich wäre, den Mangel rechtzeitig innert laufender Frist zu beheben, so ist das Bundesgericht gehalten, sie auf den Formfehler hinzuweisen. Dabei ist unerheblich, ob das Gericht den Mangel tatsächlich rechtzeitig entdeckt oder nicht (<ref-ruling> E. 2.4.3 S. 12 mit Hinweisen). Dem Beschwerdeführer wurde der angefochtene Entscheid am 10. Juli 2019 zugestellt. Er versandte seine elektronische Beschwerde spätabends am 9. August 2019 (Freitag), was in Anwendung von <ref-law> auf den letzten Tag der dreissigtägigen Beschwerdefrist (<ref-law>) gefallen wäre, nicht jedoch unter Berücksichtigung der Gerichtsferien (<ref-law>), welche die Frist bis zum 10. September 2019 verlängerten. Das Bundesgericht nahm die Beschwerde am 12. August 2019 (Montag) in Empfang.
1.3.5. Für die Beurteilung der Ausstandsfrage betreffend die vereinten Massnahmeverfahren (SF.2018.152-SCM-SG1F-KAE und SF.2018.183-SCM-SG1F-KAE) und das Scheidungs- bzw. die Anfechtungsverfahren (IN.2018.203-SCM-SG1ZK-KAE, VV.2019.12-SCH-SG1ZE-KAE und VV.2019.13-SCH-SG1ZE-KAE) wurden keine getrennten Ausstandsverfahren geführt, sondern darüber wurde in einem einzigen Verfahren geurteilt. Im Grunde stellt sich die Frage, ob in einer Konstellation wie der vorliegenden der Fristenlauf der Beschwerde je nach betroffenem Hauptsacheverfahren unterschiedlich (nach Art. 46 Abs. 2 bzw. <ref-law>; vgl. Urteil 9C_652/2011 vom 19. Januar 2012 E. 4.4, in: SVR 2012 IV Nr. 40 S. 151) zu beurteilen und folglich auf die Beschwerde teilweise wegen Fristversäumnis nicht einzutreten ist oder ob er vielmehr gesamthaft (nach <ref-law>) beurteilt werden muss, sodass umfassend auf die Beschwerde einzutreten ist. Diese Frage kann vorliegend offen bleiben, denn der Beschwerde ist, wie nachfolgend aufzuzeigen sein wird, ohnehin kein Erfolg beschieden.
1.4. Formell begehrt der Beschwerdeführer die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und Gutheissung seines Ausstandsbegehrens allein mit Bezug auf die Verfahren SF.2018.152-SCM-SG1F-KAE und SF.2018.183-SCM-SG1F-KAE (Ziff. 5). Sodann verlangt er die Feststellung, dass der angefochtene Entscheid (als Ganzes) diverse verfassungsmässige Rechte verletze (Ziff. 6). Im Lichte der Beschwerdebegründung sind diese Rechtsbegehren in dem Sinne auszulegen, dass er beantragt, seinem Ausstandsgesuch sei auch hinsichtlich der Verfahren IN.2018.203-SCM-SG1ZK-KAE, VV.2019.12-SCH-SG1ZE-KAE und VV.2019.13-SCH-SG1ZE-KAE zu entsprechen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 136). Es besteht ferner kein Anlass, über die Anträge auf Verfahrensbeschleunigung (Ziff. 1) und Urteilsanonymisierung (Ziff. 4) zu entscheiden, da Ersterer mit dem heutigen Urteil gegenstandslos wird und das Bundesgericht bereits von Gesetzes wegen zur Anonymisierung seiner im Internet veröffentlichten Rechtsprechung verpflichtet ist (<ref-law>).
1.5. Die Eingaben vom 31. Dezember 2019, 8. Januar 2020 und 8. Juli 2020 bleiben unberücksichtigt, da sie nach Ablauf der Beschwerdefrist und damit verspätet erfolgten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber grundsätzlich nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286). Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten - wozu auch die in der EMRK enthaltenen Garantien zählen (<ref-ruling> E. 2 S. 211 mit Hinweisen) - prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; Rügeprinzip). Es prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368). Sodann ist es an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (<ref-law>). Dazu zählen auch Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann einzig vorgebracht werden, sie seien offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweis), oder sie würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) beruhen. Ausserdem muss in der Beschwerde aufgezeigt werden, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234 mit Hinweis).
2.2. Der Beschwerdeführer macht die Verletzung zahlreicher Bestimmungen der BV, der EMRK, des UNO-Pakts II und der Kinderrechtskonvention (Übereinkommen vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes [KRK]; SR 0.107) geltend. Mehrheitlich beschränkt er sich darauf, diese bloss zu behaupten, und an keiner Stelle substanziiert er sie genügend, sodass er seiner Rügepflicht nicht nachkommt. Darauf ist nicht einzugehen. Dasselbe Schicksal widerfährt seiner Sachverhaltsrüge, die Vorinstanz habe willkürlich nicht festgestellt, dass er seinen Ablehnungsantrag am 12. Februar 2019 der Schweizerischen Post übergeben habe, denn er unterlässt es, die Entscheidrelevanz dieser Behauptung zum Prozesssachverhalt zu erläutern.
3.
Vorab kritisiert der Beschwerdeführer den angefochtenen Entscheid in formeller Hinsicht.
3.1. Er moniert, dass die Vorinstanz nur ihm selbst, nicht aber seinen Kindern D._ und E._ Parteistellung für das Ausstandsverfahren zusprach. Hinsichtlich der Verfahren auf Anfechtung der Vaterschaftsvermutung (VV.2019.12-SCH-SG1ZE-KAE und VV.2019.13-SCH-SG1ZE-KAE) ist nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz hier Bundesrecht verletzt haben soll, da der Prozess (bloss) die Zwillinge F._ und G._ betrifft, nicht aber D._ und E._ (vgl. vorne Sachverhalt lit. B.c). Diesen fehlt mithin bereits das Rechtsschutzinteresse (<ref-law>). Ferner kam dem Beschwerdeführer für den mittlerweile abgeschriebenen Scheidungsprozess (IN.2018.203-SCM-SG1F-KAE) keine alleinige Vertretungsbefugnis zu, da den Ehegatten die elterliche Sorge über die beiden Kinder gemeinsam zusteht (vgl. Entscheid des Kreisgerichts vom 12. März 2019 E. 1b S. 2) und das Stellen eines Ausstandsbegehrens keine alltägliche oder dringliche Angelegenheit darstellt (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.4 S. 396 mit Hinweisen). Der angefochtene Entscheid ist deshalb in dieser Hinsicht nicht zu beanstanden.
3.2. Dasselbe gilt hinsichtlich der Rüge des Beschwerdeführers, auf verschiedene seiner Rechtsbegehren sei nicht eingetreten worden, denn die fraglichen Anträge betrafen die Verfahrensleitung und materielle Anspruchsprüfung in den Hauptsacheverfahren (vgl. vorne Sachverhalt lit. B). Das Ausstandsverfahren dient nicht dazu, den Entscheid in der Sache vorwegzunehmen. Auch vor Bundesgericht ist deshalb auf Ausführungen zur Verfahrensführung und materiellen Begründetheit der in den Hauptsacheverfahren ergangenen Urteile nicht einzugehen, soweit damit kein Ausstandsgrund begründet wird.
3.3. Die Vorinstanz beschränkte sich darauf, den Anschein der Befangenheit der Familienrichterin in den beiden Anfechtungsverfahren (VV.2019.12-SCH-SG1ZE-KAE und VV.2019.13-SCH-SG1ZE-KAE) zu beurteilen. Hinsichtlich des mittlerweile abgeschriebenen Scheidungsprozesses (IN.2018.203-SCM-SG1F-KAE) erübrige sich eine Prüfung, da dieser infolge Klagerückzugs erledigt sei und die Verfahrensleitung des zwischenzeitlich von der Ehefrau neu eingeleiteten Scheidungsverfahrens nicht mehr derselben Richterin obliege. Hiergegen bringt der Beschwerdeführer nichts vor, was den angefochtenen Entscheid als bundesrechtswidrig auszuweisen vermöchte. Für eine Beurteilung der Ausstandsthematik a posteriori besteht kein Rechtsschutzinteresse (TAPPY, in: Commentaire romand, Code de procédure civile, 2. Aufl. 2019, N. 4 zu <ref-law>; vgl. auch Urteil 4A_131/2013 vom 3. September 2013 E. 2.2.2).
3.4. Schliesslich ist auch nicht zu bemängeln, dass den übrigen Parteien aus den Hauptsacheverfahren im Ausstandsverfahren keine Gelegenheit zur Stellungnahme eingeräumt wurde. Die Vorinstanz weist zutreffend darauf hin, dass der Beschwerdeführer sich nicht auf den Gehörsanspruch einer anderen Partei berufen kann.
4.
Sodann wirft der Beschwerdeführer der Vorinstanz vor, die bundesgerichtliche Rechtsprechung in <ref-ruling> E. 3.1 verkannt zu haben, wenn sie davon ausgehe, dass der Erstrichter auf sein Ausstandsgesuch mit Bezug auf die vereinten Massnahmeverfahren (SF.2018.152-SCM-SG1F-KAE und SF.2018.183-SCM-SG1F-KAE) zu Recht nicht eingetreten sei.
4.1. Das Bundesgericht präzisierte im genannten Urteil die in <ref-law> enthaltene Regel, wonach ein nach Abschluss des Verfahrens entdeckter Ausstandsgrund mit dem Rechtsbehelf der Revision geltend zu machen ist. Demzufolge ist ein nach Eröffnung des anfechtbaren Urteils ("une fois la décision attaquable rendue"), aber vor Ablauf der Rechtsmittelfrist entdeckter Revisionsgrund im Rechtsmittelverfahren anzurufen (<ref-ruling> E. 3.1.1 S. 122 mit Hinweisen).
4.2. Vorliegend stellte der Beschwerdeführer sein Ausstandsgesuch (13. Februar 2019) wenige Tage nach Eröffnung des Urteilsdispositivs (7. Februar 2019), aber noch vor Zustellung des begründeten Urteils (8. März 2019). Er bezweckte damit (unter anderem) die Wiederholung bzw. Korrektur der Massnahmeverfahren bzw. des im Rahmen dieser Verfahren gefällten Entscheids. Mit der Vorinstanz ist nicht zu beanstanden, dass der Erstrichter den Beschwerdeführer für sein Ausstandsbegehren betreffend die Massnahmeverfahren auf das Berufungsverfahren verwies, denn ein Gericht verliert die Gerichtsbarkeit, sobald es in der Sache sein Urteil gefällt hat (<ref-ruling> E. 3.4 S. 468). Vorliegend erging das Urteil am 7. Februar 2019. Auch das nachfolgende Urteil vom 22. Februar 2019 über das Gesuch um aufschiebende Wirkung, welches die abgelehnte Familienrichterin fällte (vgl. vorne Sachverhalt lit. B.b.b), ändert nichts daran, dass die Gerichtsbarkeit für den Hauptsachenentscheid in den vereinten Massnahmeverfahren infolge Devolutiveffekts auf die Berufungsinstanz übergegangen war. Die Familienrichterin hätte nicht, wie es der Beschwerdeführer anzunehmen scheint, ihr Urteil vom 7. Februar 2019 in Wiedererwägung ziehen oder einen gänzlich neuen Entscheid fällen können. Seine Rüge erweist sich deshalb als unbegründet.
5.
In der Sache selbst beruft sich der Beschwerdeführer auf diverse Ausstandsgründe, welche unter Art. 47 Abs. 1 lit. a und f ZPO subsumiert werden können.
5.1. Gemäss <ref-law> tritt eine Gerichtsperson namentlich dann in den Ausstand, wenn sie in der Sache ein persönliches Interesse hat (lit. a) oder aus anderen Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder ihrer Vertretung, befangen sein könnte (lit. f). Im Rahmen der Konkretisierung dieser Generalklauseln sind die aus <ref-law> fliessenden Grundsätze zu beachten (<ref-ruling> E. 4.2 S. 222 mit Hinweis).
Nach <ref-law> hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Die Garantie des verfassungsmässigen Richters soll zu der für einen korrekten und fairen Prozess erforderlichen Offenheit des Verfahrens im Einzelfall beitragen und damit ein gerechtes Urteil ermöglichen. Sie wird bereits verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen (<ref-ruling> E. 4.2.2 S. 736 f. mit Hinweisen). Voreingenommenheit und Befangenheit in diesem Sinne werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn im Einzelfall anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände Gegebenheiten vorliegen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken (<ref-ruling> E. 4.1 S. 221 f. mit Hinweisen). Dabei ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen (<ref-ruling> E. 3.1.1 S. 536 mit Hinweis). Für die Ablehnung wird demgegenüber nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist (<ref-ruling> E. 4.2.2 S. 736 f. mit Hinweisen).
5.2. Der Beschwerdeführer behauptet ein persönliches Interesse der Familienrichterin an der Sache.
5.2.1. Als Begründung nennt er einerseits ihre aktive politische Tätigkeit (Rechtsberatung für die FDP St. Gallen und politische Wahlwerbung für die Kinderanwältin der Stieftochter der Ehefrau aus neuer Beziehung). Andererseits verweist er auf das auf bedingungslose Vollbeschäftigung gerichtete familienpolitische Ziel der abgelehnten Richterin. Hintergrund dieses letzten Vorwurfs ist, dass die Familienrichterin im Rahmen des Abänderungsverfahrens (vgl. vorne Sachverhalt lit. B.b.a) den Unterhaltsanspruch des Beschwerdeführers, welcher vor der Trennung die Kinder teilweise selbst betreut hatte, zeitlich begrenzte.
5.2.2. Der Erstrichter verweigerte die Beweisabnahme zu den vom Beschwerdeführer behaupteten Tatsachen mit der Begründung, diese stellten keine (ausreichenden) Anhaltspunkte für den Anschein der Parteilichkeit der Familienrichterin gegenüber dem Ehemann dar, was die Vorinstanz schützte. Die hiergegen vorgetragene Kritik des Beschwerdeführers überzeugt nicht. Parteizugehörigkeit sowie politische Überzeugung und Aktivität einer Richterin stellen für sich genommen keinen Ausstandsgrund dar. Der Beschwerdeführer behauptet nicht, in den kantonalen Verfahren aufgezeigt zu haben, weshalb die Familienrichterin aufgrund ihrer politischen Orientierung im konkreten Fall befangen erscheinen sollte (vgl. Urteil 6B_1442/2017 vom 24. Oktober 2018 E. 2.1 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>), sodass sich eine Beweisabnahme diesbezüglich aufgedrängt hätte. Ferner vermöchte - wenn diese Tatsache zuträfe - die Finanzierung des Wahlkampfs der Rechtsvertreterin der Stieftochter der Ehefrau des Beschwerdeführers keine ausreichende Nähe zu Letzterer herzustellen, um den objektiven Anschein der Befangenheit der Richterin zu begründen. Eine Verletzung des Beweisanspruchs des Beschwerdeführers und gestützt darauf eine bundesrechtswidrige Anwendung von <ref-law> sind nicht ersichtlich.
5.3. Einen weiteren Ausstandsgrund erblickt der Beschwerdeführer darin, dass die Familienrichterin und seine frühere Rechtsanwältin Dr. I._ verfeindet seien, worüber er von Rechtsanwältin J._ informiert worden sei.
5.3.1. Der Erstrichter verzichtete in antizipierter Beweiswürdigung - namentlich gestützt auf Aussagen der Familienrichterin - auf die Durchführung der in diesem Zusammenhang beantragten Zeugeneinvernahmen, was die Vorinstanz wiederum schützte. Eine vorweggenommene Beweiswürdigung verträgt sich mit dem Beweisanspruch nur dann nicht, wenn der Makel der Willkür an ihr haftet, weshalb der Beschwerdeführer in einem ersten Schritt Willkür in der Sachverhaltsfeststellung dartun müsste (Urteil 5A_658/2014 vom 6. Mai 2015 E. 9.2).
5.3.2. Die Vorinstanz erwog, die Darstellung des Beschwerdeführers einer "klaren Feindschaft" sei äusserst vage; es fehlten jegliche überprüfbaren und konkreten Angaben zu den behaupteten regelmässigen gemeinsamen Spaziergängen der Familienrichterin und von Rechtsanwältin J._ sowie den dabei geführten Gesprächen. Hiergegen bringt der Beschwerdeführer vor, es sei willkürlich, von ihm zu verlangen, die Spaziergänge quasi wortgetreu zu rekonstruieren, und er sei doch keine zur Präventivüberwachung beauftragte Drohne. Indessen bestreitet er nicht, seine Tatsachenbehauptung nicht genügend substanziiert zu haben. Willkür in der Sachverhaltsfeststellung ist nicht dargetan, sodass für eine Anwendung von <ref-law> das Tatsachenfundament fehlt.
5.4.
5.4.1. Soweit der Beschwerdeführer der Familienrichterin Befangenheit ganz allgemein aufgrund ihrer Beteiligung an früheren Verfahren vorzuwerfen beabsichtigt, genügt dieser Umstand alleine nicht für eine Verletzung der Ausstandsregeln (<ref-ruling> E. 4.2.2 S. 737 mit Hinweisen). Gemäss dem (nicht abschliessenden) Negativkatalog in <ref-law> begründet namentlich die Mitwirkung beim Eheschutzverfahren keinen Ausstandsgrund (lit. e) für einen späteren Abänderungs- oder Scheidungsprozess (WEBER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 51 und 57 zu <ref-law>; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.3 S. 27 mit Hinweisen). Erst recht ist nicht ersichtlich, inwiefern die Familienrichterin für die Anfechtungsverfahren in der Sache vorbefasst sein soll, wenn sich in den Massnahme- und dem abgeschriebenen Scheidungsverfahren gänzlich andere Rechtsfragen stellten (vgl. <ref-ruling> E. 3.4 in fine S. 117).
5.4.2. Somit ist auch nicht von Belang, dass die Familienrichterin im Abänderungsverfahren (vgl. vorne Sachverhalt lit. B.b.a) zu Ungunsten des Beschwerdeführers entschieden hat, nachdem er mit seiner Berufung gegen den Eheschutzentscheid noch teilweise durchgedrungen war (vgl. vorne Sachverhalt lit. B.a). Entgegen seiner Auffassung kann dies nicht derart interpretiert werden, dass sich die Familienrichterin über die "Korrektur" ihres Eheschutzurteils durch die Berufungsinstanz hinweggesetzt hätte, denn veränderte Verhältnisse vermögen eine Abänderung der Eheschutzmassnahmen unter Umständen gerade rechtfertigen (<ref-law>). Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass sich die Verhältnisse verändert haben (Geburt der Zwillinge und Reduktion des Arbeitspensums der Ehefrau). Ebenso unbedenklich ist, dass die Familienrichterin dem (vor Zustellung des begründeten Entscheids gestellten) Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung des Abänderungsurteils nicht entsprach, zumal der Berufung gegen vorsorgliche Massnahmen grundsätzlich keine aufschiebende Wirkung zukommt (<ref-law>).
5.5. Ferner kritisiert der Beschwerdeführer das Verhalten der Familienrichterin in den einzelnen Verfahren.
5.5.1. So habe sie ihn im Abänderungsprozess gezwungen, beim Plädieren auf seine freie Rede zu verzichten und sich darauf zu beschränken, seine Plädoyernotizen vorzulesen, womit sie seinen Vortrag unzulässig gestört und sich einer fast nicht zu überbietenden Gehörsverletzung schuldig gemacht habe. Dem angefochtenen Entscheid lässt sich keine Feststellung darüber entnehmen, dass sich besagte Verhandlung wie vom Beschwerdeführer dargelegt zugetragen hätte, sodass seinem Vorwurf bereits die tatsächliche Grundlage fehlt (<ref-law>). Ohnehin vermögen Verfahrensmassnahmen einer Richterin als solche, seien sie richtig oder falsch, im Allgemeinen keinen objektiven Verdacht der Befangenheit der Richterin zu erregen, die sie verfügt hat (<ref-ruling> E. 3b/bb S. 158 mit Hinweis; Urteil 5A_842/2016 vom 24. März 2017 E. 3.1). Darüber hinaus erlaubt es die richterliche Prozessleitung, die Redezeit der Parteien zu beschränken und unnötige Weitschweifigkeiten sowie Ausführungen über Gegenstände, die nicht streitig sind oder nicht zur Sache gehören, zu unterbinden (vgl. für das Strafrecht: <ref-ruling> E. 2 S. 90; Urteile 6B_1273/2019 vom 11. März 2020 E. 3.3.3 mit Hinweisen; 6B_726/2011 vom 15. März 2012 E. 1.3, in: Pra 2012 Nr. 47 S. 331). Der Beschwerdeführer trägt selbst vor, die Richterin habe seine Ausführungen als weitschweifig bezeichnet. Sein Ausholen rechtfertigt er damit, die Sachverhaltsdarstellungen der Ehefrau seien nicht ohne erheblichen Aufwand richtigzustellen gewesen. Er macht indessen nicht geltend, die Beschränkung auf das Vorlesen seiner Plädoyernotizen hätte ihn daran gehindert, zu den relevanten Punkten Stellung zu beziehen. Ebenso wenig behauptet er, dass ihm weniger Redezeit zur Verfügung gestanden hätte als der Ehefrau und die Familienrichterin ihn damit benachteiligt hätte.
5.5.2. Anstoss findet der Beschwerdeführer ferner daran, dass die Familienrichterin das mittlerweile abgeschriebene Scheidungsverfahren während sieben Monaten "liegen [liess] und nur die vorsorglichen Massnahmen bearbeitet[e]". Sie habe ihm auf diese Weise im Scheidungsprozess das rechtliche Gehör verweigert. Hier verkennt der Beschwerdeführer, dass das Massnahmeverfahren dem summarischen Verfahren unterliegt (Art. 276 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>), weshalb es dieses verhältnismässig rasch abzuwickeln gilt, d.h. ihm ist gegenüber dem parallel geführten Scheidungsprozess Priorität einzuräumen. Im Übrigen würden die für die Dauer des Scheidungsverfahrens beantragten vorsorglichen Massnahmen gerade ihres Zweckes beraubt, wenn über sie erst zusammen mit dem Scheidungsurteil entschieden würde.
6.
Zusammenfassend gelingt es dem Beschwerdeführer nicht, den angefochtenen Entscheid in der Sache als bundesrechtswidrig auszuweisen. Die erst- und zweitinstanzliche Kostenregelung ficht er sodann nicht unabhängig vom Ausgang des hiesigen Verfahrens an, sodass sich Ausführungen hierzu erübrigen. Ohnehin hat er sein Rechtsbegehren Ziff. 8, mit welchem er eine Parteientschädigung für das Verfahren vor sämtlichen Instanzen verlangt, nicht beziffert. Soweit den Prozess vor erster Instanz betreffend, hätte auf sein Rechtsbegehren demnach von vornherein nicht eingetreten werden können (<ref-ruling> E. 1.2 S. 112 mit Hinweis). Auch die Parteikosten des kantonalen Beschwerdeverfahrens kann das Bundesgericht bei Abweisung der Beschwerde nicht von Amtes wegen neu verlegen (vgl. <ref-law>; Urteil 5A_158/2016 vom 1. November 2016 E. 4 mit Hinweis).
7.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kosten- (<ref-law>), nicht aber entschädigungspflichtig, zumal keine Vernehmlassungen eingeholt wurden (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG) und der Beschwerdegegnerin ohnehin keine Parteientschädigung zu leisten wäre (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, C._ und dem Kantonsgericht St. Gallen, Einzelrichter im Familienrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Juli 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied : Die Gerichtsschreiberin:
Escher Gutzwiller