Sachverhalt:
A.
Mit Strafbefehl vom 24. November 2010 erklärte der Strafbefehlsrichter Basel-Stadt A._ wegen einer am 15. Mai 2009 begangenen Überschreitung der zulässigen Höchstgeschwindigkeit innerorts von 50 km/h um 39 km/h der groben Verletzung der Verkehrsregeln schuldig und verurteilte ihn zu einer bedingt vollziehbaren Geldstrafe von 20 Tagessätzen zu Fr. 160.-- sowie einer Busse von Fr. 900.--. Gegen den Strafbefehl erhob A._ Einsprache beim Strafgericht des Kantons Basel-Stadt. Dieses wies die Einsprache mit Urteil vom 7. September 2011 ab und bestätigte sowohl den Schuldspruch als auch die Strafe. Dagegen gelangte A._ mit Berufung an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, das den erstinstanzlichen Entscheid mit Urteil vom 16. Mai 2014 bestätigte.
B.
Mit Verfügung vom 24. November 2014 entzog das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern A._ den Führerausweis für 12 Monate. Gegen diesen Entscheid erhob er am 23. Dezember 2014 Beschwerde bei der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern. Am 20. März 2015 ersuchte er ausserdem das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt um Revision des Berufungsurteils vom 16. Mai 2014. Die Rekurskommission "hielt" in der Folge das bei ihr hängige Beschwerdeverfahren "pendent", da ihr eine Aufhebung des Schuldspruchs als nicht völlig ausgeschlossen erschien.
Mit Urteil vom 17. August 2015 wies das Appellationsgericht das Revisionsgesuch ab. Eine von A._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil 6B_1124/2015 vom 29. Januar 2016 ab, soweit es darauf eintrat. Die Rekurskommission nahm darauf das bei ihr hängige Beschwerdeverfahren am 31. Oktober 2017 wieder auf. Mit Entscheid vom 24. Januar 2018 wies sie die Beschwerde ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 26. April 2018 beantragt A._, es sei der Entscheid der Rekurskommission aufzuheben und festzustellen, dass sein Anspruch auf Beurteilung innert angemessener Frist verletzt worden sei; zudem sei das Administrativverfahren ohne für ihn nachteilige Folgen einzustellen. Der Beschwerde sei im Weiteren aufschiebende Wirkung zu erteilen.
D.
Das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die Rekurskommission beantragt in ihrer Vernehmlassung vom 4. Juni 2018 die Abweisung der Beschwerde und verweist zur Begründung auf ihre Erwägungen im angefochtenen Entscheid. Das Bundesamt für Strassen ASTRA beantragt in seiner Vernehmlassung vom 5. Juli 2018 unter Verweis auf den angefochtenen Entscheid, den es als zutreffend beurteilt, ebenfalls die Abweisung der Beschwerde. A._ verzichtet auf die Einreichung weiterer Bemerkungen.
E.
Mit Verfügung vom 24. Mai 2018 erkannte der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über einen Führerausweisentzug. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach Art. 82 ff. BGG offen; ein Ausnahmegrund nach Art. 83 BGG liegt nicht vor. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind ebenfalls erfüllt, weshalb auf die Beschwerde einzutreten ist.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt, der angefochtene Entscheid verletze Art. 16 Abs. 2 SVG. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt habe im Dispositiv des Berufungsurteils vom 16. Mai 2014 einzig das erstinstanzliche Strafurteil bestätigt, obschon das Urteilsdispositiv nach Art. 81 Abs. 4 lit. b StPO den Entscheid über Schuld und Sanktion enthalten müsse. Das Berufungsurteil sei daher als "Nichturteil" zu bezeichnen. Damit mangle es an der von Art. 16 Abs. 2 SVG für einen Entzug des Ausweises vorausgesetzten Widerhandlung gegen die Strassenverkehrsvorschriften.
2.2. Diese Rüge ist unbegründet. Zwar entspricht das Dispositiv des Berufungsurteils, in dem lediglich festgehalten wird, das erstinstanzliche Urteil werde bestätigt, in der Tat nicht den formellen Anforderungen von Art. 408 StPO in Verbindung mit Art. 81 StPO. Dieser formelle Mangel hat jedoch nicht die Nichtigkeit des Urteils zur Folge. Das Bundesgericht hat in einem Fall, in dem im Dispositiv des Berufungsurteils lediglich festgehalten wurde, die Berufung werde abgewiesen, das Dispositiv des erstinstanzlichen Urteils jedoch wie im vorliegenden Fall den formellen Anforderungen entsprach, vielmehr sogar das Vorliegen eines Aufhebungsgrundes verneint (Urteil 6B_482/2012 vom 3. April 2013 E. 5.3).
2.3. Das Urteil des Appellationsgerichts ist somit entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers nicht ein "Nichturteil" bzw. nichtig; vielmehr ist es rechtsgültig und im Übrigen auch rechtskräftig. Dass für diesen Fall unter den vorliegend gegebenen Umständen nach Art. 16c Abs. 2 lit. c SVG grundsätzlich ein mindestens zwölfmonatiger Ausweisentzug anzuordnen ist, stellt der Beschwerdeführer zu Recht nicht in Abrede. Er macht indes geltend, auf den Führerausweisentzug sei dessen ungeachtet zu verzichten, weil die mit dem Urteil des Appellationsgerichts rechtskräftig beurteilte grobe Verkehrsregelverletzung bzw. schwere Widerhandlung im Sinne von Art. 16c Abs. 2 SVG übermässig lang her sei. Darauf ist nachfolgend einzugehen.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, der angefochtene Entscheid verletze den auch im Verwaltungsrecht anwendbaren Grundsatz der Verjährung. Zwar bestehe für das Administrativverfahren keine Verjährungsregelung; es rechtfertige sich jedoch die Anwendung der Verfolgungsverjährungsfristen des StGB. Abzustellen sei dabei auf die im Zeitpunkt der groben Verkehrsregelverletzung vom 15. Mai 2009 geltende Frist von sieben Jahren. Damit sei die massnahmenrechtliche Verfolgung verjährt. Der angefochtene Entscheid verletze im Weiteren auch Art. 29 Abs. 1 BV und den Grundsatz der Verhältnismässigkeit. Seit dem Vergehen vom 15. Mai 2009 seien demnächst neun Jahre vergangen. In dieser Zeitspanne habe er keinen weiteren Vorfall mehr zu verzeichnen gehabt, obschon er als Aussendienstmitarbeiter jährlich eine hohe Kilometerleistung erbringe. Angesichts der überlangen Verfahrensdauer und seines bewiesenen Wohlverhaltens sei eine Massnahme unnötig geworden.
3.2. Die Vorinstanz führt im angefochtenen Entscheid aus, das SVG sehe weder einen Vollzugsverzicht noch eine Verjährung vor. Nach der neueren bundesgerichtlichen Rechtsprechung dürfe weiter bei einer überlangen Verfahrensdauer die gesetzlich vorgesehene Mindestentzugsdauer nicht mehr unterschritten werden. Es könne lediglich die Verletzung des Anspruchs auf Beurteilung innert angemessener Frist festgestellt und auf die Erhebung der Gerichtskosten zumindest teilweise verzichtet werden. Bislang offen gelassen habe das Bundesgericht, ob bei einer schweren Verletzung des Anspruchs, die sich anderweitig nicht beheben lasse, ausnahmsweise ganz auf eine Massnahme verzichtet werden könne. Vorliegend habe kein Grund bestanden, nach dem bundesgerichtlichen Urteil vom 29. Januar 2016 betreffend das Revisionsgesuch des Beschwerdeführers mit der Wiederaufnahme des (vorinstanzlichen) Beschwerdeverfahrens bis Oktober 2017 zuzuwarten. Dies sei im Kostenpunkt zu berücksichtigen. Der zwölfmonatige Ausweisentzug sei indessen gerechtfertigt. Es sei auch nicht ersichtlich, inwiefern diese Massnahme durch den Zeitablauf ihrer erzieherischen Wirkung beraubt würde. Sie rechtfertige sich zudem im Hinblick auf das Gleichbehandlungsgebot.
4.
4.1. Seit der Revision des Administrativmassnahmenrechts per 1. Januar 2005 kommt die Unterschreitung der Mindestentzugsdauer wegen einer Verletzung des Anspruchs auf Beurteilung innert angemessener Frist (Art. 29 Abs. 1 BV, Art. 6 Ziff. 1 EMRK) nicht mehr in Frage (<ref-ruling> E. 2.2 S. 337). Das Bundesgericht trägt damit dem Umstand Rechnung, dass mit der damaligen Revision Art. 16 Abs. 3 Satz 2 ins SVG aufgenommen wurde, wonach die Mindestentzugsdauer - von einer später eingefügten, hier nicht interessierenden Ausnahme abgesehen - nicht unterschritten werden darf. Diese Gesetzesänderung richtete sich ausdrücklich gegen die mit <ref-ruling> begründete frühere bundesgerichtliche Rechtsprechung, nach der unter gewissen Umständen eine Unterschreitung der Mindestentzugsdauer und gegebenenfalls sogar ein Verzicht auf den Entzug zulässig bzw. geboten war (BBl 1999 4485). Das Bundesgericht hat allerdings offen gelassen, ob - nach Massgabe des früheren Rechts - bei einer schweren Verletzung des Anspruchs auf Beurteilung innert angemessener Frist, der nicht in anderer Weise Rechnung getragen werden kann, ausnahmsweise gänzlich auf eine Massnahme verzichtet werden darf (<ref-ruling> E. 2.3 S. 337). In den bislang ergangenen Urteilen wurde eine derartige Verletzung - soweit überhaupt eine Verletzung bejaht wurde - jeweils verneint. Ausserdem wurde verneint, dass der jeweils zur Diskussion stehende Ausweisentzug durch den Zeitablauf seiner erzieherischen Wirkung beraubt wurde (nebst zahlreichen weiteren Urteilen <ref-ruling> E. 2.3 S. 337; Urteile 1C_575/2017 vom 3. April 2018 E. 3.4 f. und 1C_542/2016 vom 15. März 2017 E. 2.7 f.).
4.2. Der vorliegende Fall unterscheidet sich insofern von den in der neueren Rechtsprechung des Bundesgerichts beurteilten Fällen, als das Fehlverhalten, das den streitigen Führerausweisentzug veranlasste (grobe Verkehrsregelverletzung vom 15. Mai 2009), mit nunmehr rund 9 Jahren und 3 Monaten deutlich weiter zurückliegt. In den übrigen Fällen verstrichen zwischen dem massnahmeauslösenden Fehlverhalten bis zum bundesgerichtlichen Entscheid über den Führerausweisentzug maximal rund 7 Jahre. Lediglich in einem vor <ref-ruling> entschiedenen Fall lag das massnahmeauslösende Fehlverhalten mit knapp 10,5 Jahren (bis zum bundesgerichtlichen Urteil) weiter zurück (Urteil 1C_43/2008 vom 23. September 2008). In jenem Fall kam es aber im massgeblichen Zeitraum zu einem weiteren Strassenverkehrsdelikt, was hier nicht der Fall ist. Es stellt sich daher die Frage, ob sich vorliegend ein Massnahmenverzicht rechtfertigt.
5.
5.1. Zwar ist die erwähnte Zeitspanne von rund 9 Jahren und 3 Monaten klar zu lang. Konkret gerügt und von der Vorinstanz zu Recht auch eingestanden ist allerdings einzig, dass es im vorinstanzlichen Verfahren insofern zu einer Verletzung des Beschleunigungsgebots kam, als dieses Verfahren trotz des Urteils 6B_1124/2015 des Bundesgerichts vom 29. Januar 2016 betreffend das Revisionsgesuch des Beschwerdeführers erst im Oktober 2017 wieder aufgenommen wurde. Diese Verfahrensverzögerung erscheint zwar angesichts ihres Zeitpunkts (gut 6,5 Jahre nach dem massnahmeauslösenden Fehlverhalten) und ihrer Dauer (rund 20 Monate) als nicht unerheblich; sie wiegt indes nicht derart schwer, dass sie einen ausnahmsweisen Verzicht auf den Führerausweisentzug rechtfertigen würde. Dies gilt umso mehr, als der Beschwerdeführer ein vermindertes Interesse an einem raschen Entscheid hatte, da er sein Fahrzeug weiterhin lenken durfte (Urteil 1C_507/2016 vom 6. Juni 2017 E.3.3 mit Hinweis).
Dass es im Verfahren vor dem Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern oder im Strafverfahren zu einer Verletzung oder gar einer schweren Verletzung des Beschleunigungsgebots gekommen wäre, ist weder dargetan noch ersichtlich, zumal die Dauer des letzteren Verfahrens teilweise auf die vom Beschwerdeführer ergriffenen Rechtsmittel zurückzuführen ist. Zwar war dieser zu deren Ergreifung berechtigt; die durch eine verfahrensmässig korrekte Behandlung seiner Rechtsmittel verursachte Zeitdauer kann aber nicht eine massgebliche Verfahrensverzögerung bewirken. Der Beschwerdeführer beklagte sich im Strafverfahren ausserdem nicht über eine Verletzung des Beschleunigungsgebots. Er kann daher nach Treu und Glauben nach dessen rechtskräftigem Abschluss nicht geltend machen, dieses habe zu lange gedauert (Urteil 1C_486/2011 vom 19. März 2012 E. 2.3.1). Die Dauer des Strafverfahrens fällt deshalb für die Beurteilung der Rüge, das Beschleunigungsgebot sei verletzt worden, prinzipiell ausser Betracht (Urteil 1C_486/2011 vom 19. März 2012 E. 2.3.1).
Damit ist eine schwere Verletzung des Anspruchs auf Beurteilung innert angemessener Frist trotz des weiten Zurückliegens des massnahmeauslösenden Fehlverhaltens zu verneinen.
5.2. Mangelt es an einer derartigen Verletzung des Beschleunigungsgebots, so rechtfertigt sich entgegen den Vorbringen des Beschwerdeführers trotz der verstrichenen langen Zeitdauer kein Massnahmenverzicht. Zwar begründete das Bundesgericht seine frühere Praxis, auf die sich der Beschwerdeführer bezieht, im Wesentlichen damit, der Führerausweisentzug sei eine Administrativmassnahme mit erzieherischem Charakter und habe ausserdem eine gewisse Strafähnlichkeit. Beide Charakteristika sprächen für eine Milderung der Sanktion, wenn seit dem massnahmeauslösenden Ereignis viel Zeit verstrichen sei. Die Erziehung und Besserung eines Täters setze voraus, dass die Massnahme in einem angemessenen zeitlichen Zusammenhang mit der sanktionierten Regelverletzung stehe. Ausserdem werde mit dem Zeitablauf die Erforderlichkeit einer erzieherischen Sanktion relativiert, wenn sich der Täter in dieser Zeit wohl verhalten habe. Soweit ein Warnungsentzug strafähnlich sei, seien die strafrechtlichen Verjährungsregeln sinngemäss beizuziehen, weil das SVG die Verjährung für diese Massnahme nicht regle; die lückenhafte gesetzliche Regelung könnte andernfalls zu unerträglichen Härtefällen führen (<ref-ruling> E. 4d S. 509; <ref-ruling> E. 3d S. 300). Sodann müsse ein Führerausweisentzug wie alle hoheitlichen Massnahmen dem Grundsatz der Verhältnismässigkeit gerecht werden (<ref-ruling> E. 4e S. 509). Ein auf diese Erwägungen gestützter Massnahmenverzicht kommt indes - soweit Art. 16 Abs. 3 Satz 2 SVG eine Unterschreitung der Mindestentzugsdauer ausschliesst - nach der erwähnten, gegen die frühere bundesgerichtliche Praxis gerichteten Revision des Administrativmassnahmenrechts bei Fehlen einer schweren Verletzung des Beschleunigungsgebots grundsätzlich nicht mehr in Frage (<ref-ruling> E. 2.2 f. S. 337).
Ob unter ganz besonders gelagerten Umständen dennoch nach Massgabe der früheren Praxis auf die Massnahme verzichtet oder diese gemildert werden darf (so HANS GIGER, Kommentar SVG, 8. Aufl. 2014, Art. 16 N. 25; in diesem Sinn auch C ÉDRIC MIZEL, Droit et pratique illustrée du retrait du permis de conduire, 2015, S. 535), kann offen bleiben. Im vorliegenden Fall rechtfertigen die Umstände noch kein Abweichen von der Mindestentzugsdauer bzw. erscheint eine erzieherische Wirkung des Führerausweisentzugs weiterhin nicht ausgeschlossen. Auch die Bestrebungen, das SVG erneut anzupassen, insbesondere die Regelung über die Raserdelikte zu mildern, legen kein Abweichen nahe. Die vorgesehenen Anpassungen betreffen nicht die Frage der Unterschreitung der Mindestentzugsdauer oder des Massnahmenverzichts und sind daher vorliegend nicht weiter von Belang (vgl. die von National- und Ständerat angenommene Motion 17.3632, <https://www.parlament.ch/de/ratsbetrieb/suche-curia-vista/geschaeft?AffairId=20173632>]).
5.3. Obschon das massnahmeauslösende Fehlverhalten weit zurückliegt, erweist sich der streitige Führerausweisentzug somit nicht als bundesrechtswidrig. Der Verletzung des Beschleunigungsgebots im vorinstanzlichen Verfahren ist aber zusätzlich zu der im angefochtenen Entscheid vorgenommenen Kostenverteilung dadurch Rechnung zu tragen, dass sie im Dispositiv des vorliegenden Urteils festgestellt wird (<ref-ruling> E. 3 S. 337; Urteil 1C_192/2013 vom 9. Januar 2014 E. 4.2 mit Hinweisen).
6.
Damit ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen und festzustellen, dass die Vorinstanz den Anspruch des Beschwerdeführers auf Beurteilung innert angemessener Frist verletzt hat. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen.
Angesichts der vorliegenden Umstände sind die vom Beschwerdeführer zu tragenden Gerichtskosten angemessen zu reduzieren (Art. 66 Abs. 1 BGG); der Vorinstanz sind keine Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 4 BGG). Soweit der Beschwerdeführer obsiegt, hat ihm der Kanton Bern eine Entschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Es wird festgestellt, dass die Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern den Anspruch des Beschwerdeführers auf Beurteilung innert angemessener Frist verletzt hat. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Dem Beschwerdeführer werden reduzierte Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- auferlegt.
3.
Der Kanton Bern hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 500.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern, der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern und dem Bundesamt für Strassen ASTRA, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. August 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Baur