Sachverhalt:
A.
Mit Klage vom 19. September 2017 beim Bezirksgericht Zürich beantragte A._ (Kläger, Beschwerdeführer), die B._ AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin) sei im Rahmen einer Teilklage zu verpflichten, ihm Fr. 30'000.-- zu bezahlen. Das Bezirksgericht hiess mit Urteil vom 3. Juni 2019 die Teilklage gut. Mit Urteil vom 2. Dezember 2019 hiess das Obergericht des Kantons Zürich die von der Beklagten erhobene Berufung gut und wies die Sache zu neuer Entscheidung an das Bezirksgericht zurück.
Das Bezirksgericht holte in der Folge ein polydisziplinäres Gutachten (betreffend die Bereiche Notfallmedizin, Rheumatologie, Angiologie und Gefässchirurgie) bei Prof. Dr. C._, Prof. Dr. D._, Prof. Dr. E._ und Prof. Dr. F._ ein. Dieses wurde den Parteien mit Verfügung vom 6. Januar 2021 zugestellt und ihnen wurde gleichzeitig Frist angesetzt, um Ergänzungsfragen zu stellen. Daraufhin beantragte der Kläger, die Gutachter seien als befangen zu erklären, deren Beauftragung sei zu widerrufen, die vier (Teil-) Gutachten seien aus dem Recht zu weisen, den Gutachtern sei für die geleistete Arbeit keine Entschädigung zuzusprechen und der Gutachtensauftrag sei anderweitig zu vergeben. Sodann sei die Frist zum Stellen von Ergänzungsfragen abzunehmen und das Verfahren bis zur rechtskräftigen Entscheidung über die Ausstandsgesuche zu sistieren. Mit Verfügung vom 18. Januar 2021 nahm das Bezirksgericht die Frist zum Stellen von Ergänzungsfragen ab und setzte den Gutachtern Frist, um sich zu den Ausstandsgesuchen zu äussern. Mit Verfügung vom 11. März 2021 wies es die Ausstandsbegehren ab. Es erwog, der Kläger habe keine Ausstandsgründe glaubhaft gemacht. Dabei liess es die Frage offen, ob er sein Recht auf Geltendmachung des Ausstandsgrundes - mangels unverzüglich vorgebrachtem Einwand (Art. 49 Abs. 1 ZPO) - ohnehin verwirkt hätte.
Das Obergericht des Kantons Zürich wies die vom Kläger gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde mit Urteil vom 3. Juni 2021 ab. Ein Mitglied des Gerichts gab eine abweichende Minderheitsmeinung zu Protokoll.
B.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 30. Juni 2021 beantragt der Kläger, unter Aufrechterhaltung seiner erstinstanzlichen Begehren, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 3. Juni 2021 und die Verfügung des Bezirksgerichts Zürich vom 11. März 2021seien aufzuheben. Die Beschwerdegegnerin trägt auf Abweisung der Beschwerde an. Die Vorinstanz verzichtete auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid im Sinne von Art. 92 Abs. 1 BGG, der das Verfahren in der Hauptsache nicht abschliesst (<ref-ruling> E. 2.2 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer macht unter Hinweis auf die Rechtsmittelbelehrung der Vorinstanz geltend, vorliegend sei die Tätigkeit der Sachverständigen nicht abgeschlossen und das Verfahren in der Hauptsache faktisch sistiert. Da der angefochtene Entscheid somit nicht (Herv. durch den Beschwerdeführer) die Frage der Verwertbarkeit eines fertig erstellten Gerichtsgutachtens, sondern vielmehr die gerichtsorganisatorische Frage der Neutralität bzw. die Unabhängigkeit der in der Hauptsache nach wie vor bestellten bzw. noch tätigen Sachverständigen zum Gegenstand habe, sei die Beschwerde gestützt auf Art. 92 Abs. 1 BGG zulässig.
2.
2.1. Selbständig eröffnete Zwischenentscheide über den Ausstand eines Gutachters sind in der Regel zwar nach Art. 92 BGG anfechtbar und können nicht erst zusammen mit dem Endentscheid angefochten werden. Damit soll verhindert werden, dass ein Experte mit einem Gutachten betraut wird, dessen Ergebnisse wegen Befangenheit ohnehin nicht verwertet werden könnten (Urteile 4A_216/2020 vom 27. Mai 2020 und 4A_255/2011 vom 4. Juli 2011 E. 1.2).
2.2. Art. 92 BGG kommt indessen nicht zum Tragen, wenn das Gutachten bereits erstellt ist und es mithin lediglich darum geht, ob dieses im Recht liegende Beweismittel verwertbar ist, da es mit Bezug auf die Verwertbarkeit eines Beweismittels nicht darauf ankommen kann, ob die behauptete Unverwertbarkeit sich aus der Befangenheit des Gutachters oder aus anderen Gründen ergibt (zit. Urteile 4A_216/2020; 4A_255/2011 E. 1.2; Urteil 4A_269/2013 vom 7. Oktober 2013 E. 1.1; vgl. für den Ausstand einer Richterin bzw. eines Staatsanwalts: Urteile 4A_221/2016 vom 20. September 2016 E. 2.2; 1B_77/2017 vom 9. Mai 2017 E. 1.3).
3.
Vorliegend wurde das polydisziplinäre Gutachten im Sinne von Art. 187 Abs. 1 ZPO bereits schriftlich erstattet. Der Beschwerdeführer geht offenbar davon aus, es liege eine Situation im Sinne der obigen Erwägung 2.1 vor. Er begründet dies aber nicht weiter. Es ist daher fraglich, ob überhaupt eine genügende Rüge vorliegt (vgl. hierzu <ref-ruling> E. 2, 86 E. 2). Aber selbst wenn dies bejaht würde, ist seiner Auffassung nicht zu folgen.
Allenfalls scheint der Beschwerdeführer geltend machen zu wollen, "die Tätigkeit der Sachverständigen (sei) nicht abgeschlossen", weil noch Gelegenheit gegeben wurde, um Ergänzungsfragen zu stellen. Die (teilweise) zitierte bundesgerichtliche Rechtsprechung betraf in der Tat keine solche Prozesslage. Vielmehr wurden Ausstandsgründe geltend gemacht anlässlich der Bestellung des Gutachters bzw. eines von diesem (vor Erstellen des Gutachtens) durchgeführten Augenscheins (zit. Urteil 4A_269/2013 E. 2; Urteile 4A_352/2017 vom 31. Januar 2018; 4P.254/2006 vom 6. Dezember 2006 E. 2.3; 4P.22/2006 vom 6. April 2006 E. 2.1) oder aber nachdem der Gutachter sowohl das Gutachten abgeliefert, wie auch die Ergänzungsfragen beantwortet hatte (zit. Urteil 4A_216/2020). Entscheidend ist indessen, dass die Gutachter auch vorliegend ihre Gutachtertätigkeit bereits erbracht haben. Art. 187 Abs. 4 ZPO bestimmt denn auch, dass den Parteien - im Sinn des rechtlichen Gehörs - Gelegenheit gegeben wird, Erläuterungen oder Ergänzungsfragen zu beantragen. Das heisst, dass der Entscheid darüber, ob überhaupt Ergänzungen des Gutachtens in Auftrag gegeben werden, dem Gericht obliegt (THOMAS WEIBEL, Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], in: Thomas Sutter-Somm u.a. [Hrsg.], 3. Aufl. 2016, N. 14 zu Art. 187 ZPO; ANNETTE DOLGE, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 9 zu Art. 187 ZPO; SVEN RÜETSCHI, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. II, 2012, N. 10 zu Art. 187 ZPO). Wenn das Gericht keine Ergänzungen mehr in Auftrag gibt, dann geschieht dies, weil es das vorhandene Gutachten in Würdigung dessen Inhalts als vollständig erachtet. Mit andern Worten geht es, entgegen dem Beschwerdeführer, um die grundsätzliche Verwertbarkeit des Gutachtens, die, wie dargelegt (E. 2.2 hiervor), nicht im Rahmen von Art. 92 BGG zu überprüfen ist.
4.
Art. 92 BGG kommt somit nicht zum Tragen und auf die Beschwerde könnte nur eingetreten werden, wenn dem Beschwerdeführer durch den Zwischenentscheid ein nicht wieder gutzumachender Nachteil drohen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG). Es ist Sache des Beschwerdeführers, die Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG darzulegen, soweit diese nicht offensichtlich ins Auge springen (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.2). Diesbezüglich äussert er sich aber nicht, weshalb auf die Beschwerde nicht einzutreten ist.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. September 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Gross