Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt führt eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen mehrfachen Raufhandels (<ref-law>) sowie eventualiter Landfriedensbruchs (<ref-law>). Sie forderte den Beschuldigten am 18. Februar 2019 auf, eine Anwältin oder einen Anwalt bis spätestens am 28. Februar 2019 mit der Wahrung seiner Rechte zu beauftragen, weil ein Fall von notwendiger Verteidigung vorliege. Andernfalls sei die Staatsanwaltschaft verpflichtet, für ihn von Amtes wegen eine Verteidigung zu bestellen.
Mit Schreiben vom 28. Februar 2019 zeigte Advokatin Eva Schürmann der Staatsanwaltschaft namens von A._ das Mandatsverhältnis als Verteidigerin an und liess um Bestellung als amtliche Verteidigung ersuchen. Die Staatsanwaltschaft lehnte das Gesuch um Anordnung einer amtlichen Verteidigung am 7. März 2019 ab.
B.
Gegen diese Verfügung gelangte A._ an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Dieses wies sein Rechtsmittel mit Entscheid vom 24. Mai 2019 ab.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 19. Juli 2019 an das Bundesgericht beantragt A._, den Entscheid des Appellationsgerichts aufzuheben und ihm die amtliche Verteidigung rückwirkend seit dem 28. Februar 2019 zu gewähren. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zur Anordnung der amtlichen Verteidigung zurückzuweisen. Zudem ersucht er um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung für das Verfahren vor Bundesgericht.
Die Staatsanwaltschaft und das Appellationsgericht beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
In der Replik vom 19. August 2019 hält A._ an den gestellten Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher, selbständig eröffneter Zwischenentscheid in einer Strafsache (Art. 78 Abs. 1, Art. 80 BGG). Dieser kann für den Beschwerdeführer einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken, weil er die Abweisung des Gesuchs um Gewährung der amtlichen Verteidigung bestätigt. Dagegen steht die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht offen (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 4 S. 338; Urteil 1B_76/2013 vom 8. Mai 2013 E. 1). Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Gemäss <ref-law> ordnet die Verfahrensleitung eine amtliche Verteidigung an, wenn die beschuldigte Person bei notwendiger Verteidigung im Sinne von <ref-law> keine Wahlverteidigung bestimmt oder, bei deren Wegfallen, keine neue benennt (Abs. 1 lit. a). Anderseits tut sie es, wenn die beschuldigte Person nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und die Verteidigung zur Wahrung ihrer Interessen geboten ist (Abs. 1 lit. b).
2.2. Die Vorinstanz geht davon aus, dass im vorliegenden Fall eine notwendige Verteidigung im Sinne von <ref-law> gegeben ist. Für sie ist aber entscheidend, dass der Beschwerdeführer über eine Wahlverteidigung verfügt. Da nach der Vorinstanz in diesem Fall keine der Alternativen von <ref-law> vorliegen, könne das Gesuch um amtliche Verteidigung nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> bzw. insbesondere bei gegebener Mittellosigkeit gutgeheissen werden. Der Beschwerdeführer lege nicht dar, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen. Deshalb sei sein Gesuch um amtliche Verteidigung zu Recht abgewiesen worden.
2.3. In der Beschwerde an das Bundesgericht wird entgegnet, bei notwendiger Verteidigung setze die Bestellung einer amtlichen Verteidigung keinen Nachweis der finanziellen Bedürftigkeit voraus. Dabei beruft sich der Beschwerdeführer auf <ref-ruling>. Er habe mit dem Gesuch um amtliche Verteidigung zum Ausdruck gebracht, dass ihm die Mittel zur Bezahlung fehlen würden. Er sei jedoch nicht bereit, seine Einkommens- und Vermögenssituation zu offenbaren und sich dadurch womöglich selbst zu belasten. Der angefochtene Entscheid lasse ihm die Wahl, entweder seine finanziellen Verhältnisse offenzulegen oder auf eine wirksame Verteidigung zu verzichten. In beiden Fällen werde ihm ein Anspruch verweigert: entweder sein Aussageverweigerungsrecht (<ref-law>) oder sein Vorschlagsrecht für eine Verteidigung seines Vertrauens (<ref-law>). Es laufe dem Beschleunigungsgebot (<ref-law>) zuwider, wenn die Wahlverteidigung das Mandat niederlegen müsse, bevor darüber entschieden werde, ob sie als amtliche Verteidigung eingesetzt werde. Im Übrigen sei zurzeit beim Beschwerdeführer das Recht auf eine wirksame Verteidigung verletzt, weil die Gefahr bestehe, dass die Arbeit seiner Wahlverteidigung ohne Lohn bleibe. Er habe im hängigen Strafverfahren am 3. Juni 2019 ein Fristerstreckungsgesuch bis zum Abschluss des Verfahrens betreffend amtliche Verteidigung gestellt. Dieser Antrag sei abgewiesen worden. In den Fällen der notwendigen Verteidigung sei der Staat verpflichtet, die Verteidigung sicherzustellen und das anfallende Kostenrisiko zu tragen. Der angefochtene Entscheid verletze nicht nur die StPO, sondern er sei überspitzt formalistisch und bewirke eine Rechtsverweigerung. Missachtet seien auch das Recht auf ein faires Verfahren und eine wirksame Verteidigung gemäss Art. 29, 30 und 32 BV sowie Art. 6 Ziff. 1 und Ziff. 3 lit. c EMRK und Art. 14 Abs. 3 lit. d Uno-Pakt II, zudem das Gleichbehandlungsgebot (<ref-law>) und das Willkürverbot (<ref-law>).
3.
3.1. Ein Fall notwendiger Verteidigung gemäss <ref-law> verpflichtet die beschuldigte Person zum Beizug einer Verteidigung in der Form einer (privaten) Wahlverteidigung gemäss <ref-law> oder einer amtlichen Verteidigung gemäss <ref-law> (vgl. Urteil 1B_392/2017 vom 14. Dezember 2017 E. 2.1). Die Verfahrensleitung hat nach <ref-law> darauf zu achten, dass unverzüglich eine Verteidigung bestellt wird, wenn ein Fall notwendiger Verteidigung vorliegt.
3.2. Nach der Rechtsprechung ist nicht in allen Fällen notwendiger Verteidigung auch eine amtliche Verteidigung gerechtfertigt. Falls die beschuldigte Person nicht mittellos ist und bei notwendiger Verteidigung bereits über eine wirksame Wahlverteidigung verfügt, so sind die Voraussetzungen für eine amtliche Verteidigung nicht gegeben (vgl. Urteil 1B_76/2013 vom 8. Mai 2013 E. 2.2). Hingegen kann es beispielsweise zulässig und geboten sein, eine amtliche Verteidigung zusätzlich zu einer bereits bestehenden Wahlverteidigung zu bestellen, wenn eine beschuldigte Person durch die ständige Bestellung und Abberufung von Verteidigern versucht, das Strafverfahren zu verschleppen (vgl. Urteil 1B_289/2012 und 1B_291/2012 vom 28. Juni 2012 E. 2.3.2).
3.3. Der Beschwerdeführer beruft sich auf <ref-ruling>, um den Antrag auf Umwandlung seiner Wahlverteidigung in eine amtliche Verteidigung auch ohne Angaben zu den finanziellen Verhältnissen durchzusetzen. In jenem Fall ging es ebenfalls um eine Konstellation der notwendigen Verteidigung. Der Wahlverteidiger hatte das Mandat (mangels Kostendeckung) niedergelegt und das Gesuch gestellt, als amtlicher Verteidiger eingesetzt zu werden. Umstritten war, ob die Verfahrensleitung eine andere Person als amtliche Verteidigung bestellen durfte, weil der Beschuldigte seine finanziellen Verhältnisse nicht offengelegt und der Wahlverteidiger ihn auch nicht dazu angehalten hatte. Diese Frage hat das Bundesgericht verneint. Verfügt der Beschuldigte bei notwendiger Verteidigung - aus welchem Grund auch immer - über keine Verteidigung, so darf sein Vorschlagsrecht gemäss <ref-law> bei der Ernennung der amtlichen Verteidigung nach diesem Urteil nicht davon abhängig gemacht werden, dass er die finanziellen Verhältnisse offenlegt und der erbetene Verteidiger ihn dazu aktiv anhalten muss. Die Bestellung des Offizialverteidigers nach <ref-law> stellt keinen Nachweis der finanziellen Bedürftigkeit des Beschuldigten voraus (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 und 5.2 S. 119 ff.).
3.4. Zum Verhältnis zwischen amtlicher Verteidigung und (privater) Wahlverteidigung in Fällen von notwendiger Verteidigung ist ergänzend auf folgende Urteile hinzuweisen:
Ein Begehren um Auswechslung der amtlichen Verteidigung ist unter den Voraussetzungen von <ref-law> zu bewilligen (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.4 S. 164 ff.). Darüber hinaus steht es einer beschuldigten Person mit amtlicher Verteidigung - bei notwendiger Verteidigung - nach der Rechtsprechung jederzeit frei, eine private Verteidigung mit der Wahrung ihrer Interessen zu beauftragen (und diese hierfür selbst zu entschädigen). In einem solchen Fall hat die Verfahrensleitung das Mandat der amtlichen Verteidigung erst zu widerrufen, wenn sie Gewissheit hat, dass die beschuldigte Person imstande ist, die Finanzierung der Wahlverteidigung mindestens bis zum Abschluss des erstinstanzlichen Verfahrens zu gewährleisten (vgl. Urteil 1B_394/2014 vom 27. Januar 2015 E. 2.2.2 und 2.2.3, in: SJ 2015 I 389).
Sofern die amtliche Verteidigung nach Beauftragung einer Wahlverteidigung aufgehoben wird, kann die beschuldigte Person in der Folge nicht die Umwandlung der Wahlverteidigung in eine amtliche Verteidigung verlangen, indem sie sich auf Umstände beruft, die schon bei der Anzeige der Wahlverteidigung (angebliche Bedürftigkeit, Vertrauensverlust in die amtliche Verteidigung) bestanden. Ein solches Vorgehen würde auf eine unzulässige Umgehung der Voraussetzungen für den Verteidigerwechsel nach <ref-law> hinauslaufen (vgl. Urteil 1B_392/2017 vom 14. Dezember 2017 E. 2.3). Anders kann es sich hingegen verhalten, wenn einige Zeit nach der Aufhebung der amtlichen Verteidigung die Umwandlung der Wahlverteidigung in eine amtliche Verteidigung mit der Begründung beantragt wird, die finanzielle Situation des Beschuldigten habe sich zwischenzeitlich verschlechtert (vgl. Urteil 1B_461/2016 vom 9. Februar 2017 E. 2.2.2). Im zuletzt genannten Urteil ging das Bundesgericht davon aus, dass <ref-law> die Anordnung der amtlichen Verteidigung bei notwendiger Verteidigung nicht abschliessend regelt. Es erwog, dass <ref-law> über die Anordnung der amtlichen Verteidigung bei finanzieller Bedürftigkeit auch auf Fälle der notwendigen Verteidigung ausserhalb der Konstellationen von <ref-law> anwendbar sein kann. Dies kann namentlich der Fall sein bei einer beschuldigten Person mit Wahlverteidigung, die wegen Verschlechterung der finanziellen Verhältnisse nachträglich auf eine amtliche Verteidigung angewiesen ist (a.a.O., E. 2.2.2).
3.5. Aus der dargelegten Übersicht folgt, dass die Rechtsprechung zur notwendigen Verteidigung die amtliche Verteidigung als subsidiär zur (privaten) Wahlverteidigung betrachtet. Der Ansicht des Beschwerdeführers, dass der Staat bei notwendiger Verteidigung stets das diesbezügliche Kostenrisiko zu tragen habe, wenn eine beschuldigte Person ein Gesuch um amtliche Verteidigung stelle, kann nicht zugestimmt werden. Zwar ist ein Nebeneinander von Wahlverteidigung und amtlicher Verteidigung nicht völlig ausgeschlossen. Weiter ist bei der Anordnung der amtlichen Verteidigung das Vorschlagsrecht der beschuldigten Person gemäss <ref-law> zu beachten. Wenn letztere aber über eine Wahlverteidigung verfügt und deren Umwandlung in eine amtliche Verteidigung beantragt, so ist diese Konstellation nicht unter <ref-law> einzuordnen. Vielmehr richtet sich die Behandlung eines solchen Gesuchs (auch bei Fällen notwendiger Verteidigung) nach <ref-law> und hängt somit von der finanziellen Bedürftigkeit der beschuldigten Person ab. Diese ist für den zuletzt genannten Punkt nachweispflichtig. Der entsprechenden Rechtsauffassung der Vorinstanz ist beizupflichten.
3.6. Wenn die beschuldigte Person eine Wahlverteidigung beauftragt hat und beim Antrag auf Umwandlung in eine amtliche Verteidigung ihre finanziellen Verhältnisse nicht offenlegt, so lässt sich diese Situation nicht mit einem Fall von Bedürftigkeit nach <ref-law> gleichsetzen. Ein solches Vorgehen geht auch über das Vorschlagsrecht von <ref-law> hinaus. Vielmehr darf die Verfahrensleitung bei der fraglichen Konstellation grundsätzlich ohne weitere Abklärungen davon ausgehen, dass - zumindest einstweilen - eine wirksame private Rechtsvertretung gegeben ist. Diesen Grundsatz kann die beschuldigte Person nicht mit der blossen Behauptung, sie sei mittellos, umstossen. Die Verfahrensleitung ist bei der Anordnung einer amtlichen Verteidigung wegen Bedürftigkeit im Sinne von <ref-law> für ihre Abklärungen auf die Mitwirkung der beschuldigten Person angewiesen. Wenn letztere im Hinblick auf ihre finanziellen Verhältnisse vom Aussageverweigerungsrecht gemäss <ref-law> Gebrauch macht, so kann es bei bestehender Wahlverteidigung dazu kommen, dass die Behauptung der finanziellen Bedürftigkeit nicht als glaubwürdig angesehen wird. Ein Anspruch auf Anordnung der amtlichen Verteidigung ohne Nachweis der finanziellen Bedürftigkeit besteht bei notwendiger Verteidigung nur in einer Konstellation von <ref-law>, d.h. bei Fehlen einer Wahlverteidigung. Nichts anderes ergibt sich aus <ref-ruling>.
In diesem Zusammenhang ist bemerkungsweise beizufügen, dass sich die Berufsregeln der Wahlverteidigung nach dem Bundesgesetz über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte (BGFA; SR 935.61) richten, denn die Verteidigung von Beschuldigten ist gemäss <ref-law> den Rechtsanwälten vorbehalten (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 260). Nach <ref-law> haben die Anwältinnen und Anwälte "ihren Beruf sorgfältig und gewissenhaft" auszuüben. Diese Verpflichtung hat für die gesamte Berufstätigkeit Geltung und erfasst neben der Beziehung zum eigenen Klienten sowohl die Kontakte mit der Gegenpartei als auch jene mit den Behörden (<ref-ruling> E. 3.2 S. 276). Ausserdem haben Anwältinnen und Anwälte ihre Klientschaft gemäss <ref-law> bei Übernahme des Mandats über die Grundsätze ihrer Rechnungsstellung aufzuklären und sie periodisch oder auf Verlangen über die Höhe des geschuldeten Honorars zu informieren. Es ist daher davon auszugehen, dass die Wahlverteidigung bei der Annahme des Mandats die beschuldigte Person auf die Kostenfolgen aufmerksam macht. Eine Wahlverteidigung, die Kenntnis davon hat, dass der Mandant die finanziellen Verhältnisse gegenüber der Verfahrensleitung nicht offenlegen will, kann sich den Berufspflichten nicht auf dem Umweg über ein Gesuch um Einsetzung als amtliche Verteidigung entziehen. Die Wahlverteidigung hat somit in einem solchen Fall die Interessen der beschuldigten Person im Strafverfahren sorgfältig und gewissenhaft zu wahren und ihr dafür Rechnung zu stellen, solange das Mandatsverhältnis andauert. Bei ungenügender Wahlverteidigung hätte die Verfahrensleitung einzuschreiten und gegebenenfalls nach Abmahnung eine andere Person als amtliche Verteidigung einzusetzen (vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 190).
3.7. Der Beschwerdeführer wendet ein, die Abweisung seines Gesuchs laufe darauf hinaus, dass die Wahlverteidigung aufgelöst werden müsse, damit erfolgreich eine amtliche Verteidigung beantragt werden könne. Eine solche Obliegenheit verletze das Beschleunigungsgebot, den Grundsatz eines fairen Verfahrens und das Recht auf eine wirksame Verteidigung.
3.7.1. In Konkretisierung von <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK verpflichtet das in <ref-law> verankerte Beschleunigungsgebot die Behörden, ein Strafverfahren mit der gebotenen Beförderung zu behandeln, nachdem die beschuldigte Person darüber in Kenntnis gesetzt wurde. Sie soll nicht länger als notwendig den Belastungen eines Strafverfahrens ausgesetzt sein (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 377 mit Hinweis).
Weiter haben beschuldigte Personen Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law> i.V.m. <ref-law>) und müssen die Möglichkeit haben, die ihnen zustehenden Verteidigungsrechte geltend zu machen (<ref-law>, Art. 6 Ziff. 3 EMRK). Grundrechtlich gewährleistet sind auch der Anspruch der beschuldigten Person auf ein faires Strafverfahren (<ref-law>, Art. 6 Ziff. 1 EMRK) sowie das Recht, sich durch eine Rechtsvertretung ihrer Wahl verteidigen zu lassen (Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK; vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 256).
Art. 14 Abs. 3 lit. d Uno-Pakt II (SR 0.103.2) garantiert das Recht des beschuldigten Person auf eine Verteidigung. Diese Bestimmung gewährt keine weitergehenden Ansprüche als Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 288 f. mit Hinweis).
Den zusätzlichen Rügen betreffend Gleichbehandlungsgebot (<ref-law>), Willkürverbot (<ref-law>) und Garantien für gerichtliche Verfahren (<ref-law>) kommen im vorliegenden Zusammenhang keine eigenständige Bedeutung zu.
3.7.2. Nach Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK hat eine angeklagte Person unter anderem das Recht, sich durch einen Verteidiger ihrer Wahl verteidigen zu lassen oder, falls ihr die Mittel zur Bezahlung fehlen, unentgeltlich den Beistand eines Verteidigers zu erhalten, wenn dies im Interesse der Rechtspflege erforderlich ist. Diese Bestimmung garantiert das Recht auf eine amtliche bzw. unentgeltliche Verteidigung nur eingeschränkt für den Fall, dass die beschuldigte Person keine genügenden Mittel für eine Wahlverteidigung aufbringen kann. Zudem präzisiert Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK die Bedingungen für die Ausübung des Rechts auf eine amtliche bzw. unentgeltliche Verteidigung nicht. Er überlässt den Vertragsstaaten die Wahl der geeigneten Mittel in ihrem Rechtssystem zur Gewährleistung dieser Anforderungen (vgl. Urteile des EGMR Imbrioscia gegen Schweiz vom 24. November 1993 [13972/88], Serie A Bd. 275 § 38; Quaranta gegen Schweiz vom 24. Mai 1991 [12744/87], Serie A Bd. 205 § 30).
3.7.3. Es trifft zu, dass nach der Regelung von <ref-law> die Anordnung einer amtlichen Verteidigung bei Schweigen der beschuldigten Person zu ihren finanziellen Verhältnissen voraussetzen kann, dass das Mandatsverhältnis zur Wahlverteidigung aufgelöst ist. Im Zeitraum zwischen dem entsprechenden Gesuch und der Einsetzung der amtlichen Verteidigung kommt es diesfalls zu einem kurzen Unterbruch der Verteidigung im Strafverfahren. Dabei handelt es sich aber nicht um eine behördlich angeordnete Beschränkung des Zugangs zu einer Verteidigung, sondern der Unterbruch beruht letztlich auf der Prozesstaktik der beschuldigten Person, von ihrem Schweigerecht Gebrauch zu machen.
Die Verfahrensleitung hat dafür zu sorgen, dass dabei weder das Beschleunigungsgebot noch die Fairness im Strafverfahren beeinträchtigt werden. Nach den oben in E. 3.3 wiedergegebenen Grundsätzen von <ref-ruling> E. 5.2 S. 120 f. dürfte die Verfahrensleitung die Einsetzung der (ehemaligen) Wahlverteidigung als amtliche Verteidigung nicht mit der Begründung ablehnen, jene habe die beschuldigte Person nicht aktiv zu einer Offenlegung der finanziellen Verhältnisse angehalten. Ausserdem hätte die Verfahrensleitung bei einer solchen Konstellation über das gestellte Gesuch um amtliche Verteidigung unverzüglich zu entscheiden und dürfte die beschuldigte Person nicht zunächst auffordern, eine andere Wahlverteidigung zu bestellen. Aus zureichenden sachlichen Gründen (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.3 S. 119) hätte die Verfahrensleitung jedoch bei der Einsetzung der amtlichen Verteidigung vom Vorschlag der beschuldigten Person abzuweichen. Dies ändert allerdings grundsätzlich nichts daran, dass letztere im Ergebnis weder auf ihr Schweigerecht noch auf ihr Vorschlagsrecht für eine amtliche Verteidigung ihres Vertrauens verzichten müsste.
Insgesamt ist es mit dem grundrechtlichen Ansprüchen auf angemessene Verfahrensdauer, Fairness des Verfahrens und wirksame Verteidigung vereinbar, wenn die Anordnung einer amtlichen Verteidigung bei Schweigen der beschuldigten Person zu ihren finanziellen Verhältnissen voraussetzt, dass das Mandatsverhältnis zur Wahlverteidigung aufgelöst ist.
3.8. Wie oben in E. 3.6 dargelegt, entspricht ein Gesuch um amtliche Verteidigung - bei Vorliegen einer Wahlverteidigung und Schweigen der beschuldigten Person zu ihren finanziellen Verhältnissen - nicht den Voraussetzungen von <ref-law>. Es bildet deshalb weder eine formelle Rechtsverweigerung noch eine Gehörsverletzung (Art. 29 Abs. 1 und 2 BV), wenn ein solches Gesuch abgewiesen wird. Da diese Rechtsanwendung, wie dargelegt, sachlich gerechtfertigt ist, stellt die dabei geübte Formstrenge - die an das Vorhandensein der Wahlverteidigung anknüpft - auch keinen überspitzten Formalismus dar (a.M. NIKLAUS RUCKSTUHL, in: Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 18a und 18b zu <ref-law>).
3.9. Nach den Erwägungen der Vorinstanz ist vorliegend unbestrittenermassen ein Fall der notwendigen Verteidigung (gemäss <ref-law>) gegeben. Der privat verteidigte Beschwerdeführer legt im Rahmen seines Antrags auf amtliche Verteidigung seine finanziellen Verhältnisse - in Ausübung des Aussageverweigerungsrechts nach <ref-law> - nicht offen. Er behauptet, nicht über die nötigen Mittel für seine Wahlverteidigung zu verfügen, und bringt vor, diese könne mangels Kostendeckung das Mandat nicht genügend wahrnehmen. Dabei macht er nicht geltend, dass die Verfahrensleitung eine ungenügende Ausübung der anwaltlichen Berufspflichten festgestellt oder gar diesbezügliche Schritte unternommen hätte. Bei dieser Sachlage kann für den Moment von einer wirksamen Wahlverteidigung ausgegangen werden. Die vorliegende Konstellation unterscheidet sich von jener bei <ref-ruling>, weil eine Wahlverteidigung besteht. Es verstösst weder gegen die StPO noch die gerügten Grundrechte der Bundesverfassung, der EMRK und des Uno-Pakts II, wenn die kantonalen Behörden im vorliegenden Fall dem Antrag des Beschwerdeführers um Umwandlung der Wahlverteidigung in eine amtliche Verteidigung nicht stattgegeben haben.
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Er behauptet zwar eine finanzielle Bedürftigkeit, sieht aber insofern von näheren Angaben und Belegen ab. Damit sind die gesetzlichen Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege nicht dargetan (<ref-law>). Die Gewährung unentgeltlicher Rechtspflege nach <ref-law> ist vom Nachweis der Bedürftigkeit abhängig. Kommt der Gesuchsteller der Obliegenheit zur Belegung seiner finanziellen Verhältnisse nicht nach, so ist das Gesuch abzuweisen (vgl. <ref-ruling> E. 4a S. 164 f.; Urteil 1B_251/2017 vom 21. Februar 2018 E. 7.2). Der Umstand, dass beim Beschwerdeführer ein Fall notwendiger Verteidigung gegeben ist, führt nicht automatisch zur Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren (vgl. Urteil 1B_493/2017 vom 12. Dezember 2017 E. 5). Im Hinblick auf die Argumentation, dass der Beschwerdeführer die finanziellen Verhältnisse in Ausübung seines Aussageverweigerungsrechts gemäss <ref-law> nicht offenlegt, kann auf die diesbezüglichen Überlegungen (vgl. oben E. 3) verwiesen werden. Demzufolge ist auch die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege gemäss <ref-law> mit Art. 6 Ziff. 1 und Ziff. 3 lit. c EMRK vereinbar.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. August 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Kessler Coendet