Sachverhalt:
A.
Unter dem Namen "Stiftung B._" ist im Handelsregister des Kantons Zürich eine Stiftung im Sinne von <ref-law> eingetragen. Sie wurde von A.A._, Jahrgang 1924, am xx.xx.1980 errichtet und bezweckt, die abendländischen, insbesondere die schweizerischen Kunst-, Kultur- und Geschichtswerte zu pflegen, die Besinnung auf dieselben sowie ihre Erhaltung zu fördern und dazu beizutragen, diese Werte der Öffentlichkeit zu vermitteln. Über den Stiftungsrat ist in Art. 5 der Stiftungsurkunde Folgendes vorgesehen:
"Die Stiftung wird von einem Stiftungsrat geleitet. Er besteht aus höchstens sieben Mitgliedern, wobei, wenn möglich, mindestens ein Mitglied der Familie des Stifters im Stiftungsrat vertreten sein soll. Die Amtsdauer beträgt ein Jahr. Bei Ersatzwahlen tritt das neue Mitglied in die Amtsdauer seines Vorgängers ein.
Der Stifter bezeichnet die Mitglieder des Stiftungsrates. Kann er aus gesundheitlichen oder anderen Gründen diese Befugnis nicht mehr ausüben, kommt sie primär seinen Nachkommen (Blutsverwandte in absteigender Linie), subsidiär seinen übrigen gesetzlichen Erben zu. Wenn solche fehlen oder nicht willens sind, diese Aufgabe zu übernehmen, ergänzt sich der Stiftungsrat selbst. Sollte auch dies nicht möglich sein, ernennt die Aufsichtsbehörde die Stiftungsräte.
Der Stiftungsrat... [Organisation]..."
Der erste Stiftungsrat bestand aus dem Stifter A.A._ (Präsident), E._ (Mitglied) und F._ (Mitglied). Die Stiftung untersteht der Aufsicht des Bundes, die von der Eidgenössischen Stiftungsaufsicht (ESA) wahrgenommen wird. Nachkommen des Stifters sind die Tochter C.A._ und der Sohn D.A._ (im Folgenden: die Nachkommen).
B.
B.a. Im Herbst 2013 unterbreitete der Stiftungsrat der ESA geänderte Stiftungssatzungen (Stiftungsurkunde und Organisationsreglement) zur Vorprüfung. Die Änderungen betrafen unter anderem Art. 5 der Stiftungsurkunde. Die Mitglieder des Stiftungsrats sollten nicht mehr durch den Stifter bzw. durch dessen Nachkommen ernannt werden, sondern neu die Befugnis erhalten, selber ausgeschiedene Mitglieder zu ersetzen oder zusätzliche Mitglieder zu wählen (Kooptationsrecht). Die ESA machte Änderungs- und Ergänzungsvorschläge. Zur Einführung der Kooptation äusserte sie sich nicht.
B.b. Am 3. Dezember 2013 beantragten die Nachkommen dem Stiftungsrat, gestützt auf Art. 5 der Stiftungsurkunde dem Stiftungsrat beizutreten. Von ihrem Antrag setzten sie die ESA in Kenntnis.
B.c. An seiner Sitzung vom 9. Januar 2014 lehnte der Stiftungsrat die Aufnahme der Nachkommen in den Stiftungsrat ab. Die überarbeiteten Stiftungssatzungen wurden verabschiedet und am 10. Januar 2014 der ESA zur Genehmigung zugestellt.
B.d. Die Nachkommen legten am 13. Januar und am 20. Februar 2014 je Beschwerde ein und beantragten der ESA, die Änderung von Art. 5 der Stiftungsurkunde nicht zu genehmigen. Sie machten geltend, der Stifter und Stiftungsratspräsident sei nicht mehr urteilsfähig. Die Stiftung schloss auf Abweisung der Beschwerden und Genehmigung der neuen Stiftungssatzungen, insbesondere des geänderten Art. 5 der Stiftungsurkunde. Die ESA gewährte den Beschwerden die aufschiebende Wirkung und sistierte das Verfahren auf Antrag der Parteien zwecks einvernehmlicher Bestimmung des künftigen Stiftungsrats. Eine Einigung konnte jedoch nicht gefunden werden.
B.e. Am 17. Dezember 2014 ernannten die Nachkommen einen Stiftungsrat für die Amtsdauer vom 25. Dezember 2014 bis am 24. Dezember 2015, bestehend aus den beiden Nachkommen und drei weiteren Mitgliedern. Die bisherigen Mitglieder des Stiftungsrats wurden nicht wiedergewählt und die neu gewählten Mitglieder am 5. Januar 2015 im Handelsregister eingetragen. Der Stiftungsrat teilte seine neue Zusammensetzung am 8. Januar 2015 der ESA mit und zog das Gesuch des bisherigen Stiftungsrats um Genehmigung der Änderung der Stiftungssatzungen vom 10. Januar 2014 zurück.
B.f. Mit Verfügung vom 8. Januar 2015 wies die ESA das Handelsregisteramt an, die Änderung vom 5. ds. zu löschen, die bisherigen Stiftungsräte wieder einzutragen und das Handelsregister für alle künftigen Einträge betreffend die Stiftung zu sperren.
B.g. Am 23. Januar 2015 verfügte die ESA, dass das zuvor sistierte Verfahren wieder aufgenommen wird (Ziff. 1), die Anträge des bisherigen Stiftungsrats auf Änderung der Stiftungssatzungen abgewiesen werden (Ziff. 2) und die Beschwerdeverfahren der Nachkommen abgeschrieben werden (Ziff. 3). Sie stellte fest, dass der Gesundheitszustand des Stifters ihm nicht mehr erlaubt, weiterhin das Amt des Stiftungsrats und das Ernennungsrecht des Stiftungsrats persönlich auszuüben, und somit das Recht, den Stiftungsrat zu ernennen, auf die Nachkommen übergeht (Ziff. 4). Die ESA forderte den Stiftungsrat auf, innert Frist ein Geschäftskonzept einzureichen, und behielt weitere aufsichtsrechtliche Massnahmen vor, vor allem zu Beginn der Tätigkeit des neu ernannten Stiftungsrats (Ziff. 5). Sie hob ihre Verfügung vom 8. Januar 2015 auf (Ziff. 6) und ersuchte das Handelsregisteramt, die Mutationen vom 5.ds. wieder aufzuschalten und die entsprechenden Einträge zu veranlassen (Ziff. 7). Die ESA bestätigte damit die Rechtmässigkeit der Wahl des Stiftungsrats vom 17. Dezember 2014 durch die Nachkommen des Stifters.
C.
C.a. Gegen die Verfügung der ESA vom 23. Januar 2015 erhoben die Stiftung, handelnd durch den bisherigen Stiftungsrat, und der Stifter, vertreten durch seine Generalbevollmächtigte E._, je Beschwerde. Das angerufene Bundesverwaltungsgericht holte ein Gutachten zur Urteilsfähigkeit des Stifters ein.
C.b. Bis zum rechtskräftigen Entscheid darüber, wem das Recht zur Ernennung des Stiftungsrats zukommt und wer das Amt des Stiftungsrats ausübt, ernannte die ESA mit Verfügung vom 30. Januar 2015 G._ zum Sachwalter der Stiftung mit Einzelunterschrift. Sie entzog den Mitgliedern des bisherigen Stiftungsrats die Zeichnungsberechtigung und ordnete die entsprechenden Änderungen im Handelsregister an.
C.c. Das Bundesverwaltungsgericht vereinigte die Verfahren und wies die Beschwerden ab, soweit darauf eingetreten werden konnte (Urteil vom 4. Oktober 2016).
D.
D.a. Gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 4. Oktober 2016 gelangten die Stiftung (Beschwerdeführerin) am 9. November 2016 (Verfahren 5A_856/2016) und der Stifter (Beschwerdeführer) am 11. November 2016 (Verfahren 5A_865/2016) an das Bundesgericht. Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts erteilte den Beschwerden die aufschiebende Wirkung (Verfügungen 5A_856/2016 und 5A_865/2016 vom 29. November 2016).
D.b. Mit Eingaben vom 2. Juni 2017 ersuchten der Beschwerdeführer und die Beschwerdeführerin das Bundesverwaltungsgericht je um Revision des Urteils vom 4. Oktober 2016 und stellten Anträge für die wieder aufzunehmenden Beschwerdeverfahren.
D.c. Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts setzte die Verfahren 5A_856/2016 und 5A_865/2016 bis zum Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts über die Revisionsgesuche aus (Verfügungen vom 9. Juni 2017).
D.d. Das Bundesverwaltungsgericht vereinigte die Verfahren und wies die Revisionsgesuche ab (Urteil vom 16. August 2017).
D.e. Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts ordnete die Fortsetzung des Verfahrens an und räumte den Verfahrensbeteiligten die Möglichkeit ein, sich zum Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 16. August 2017 zu äussern (Verfügungen 5A_856/2016 und 5A_865/2016 vom 23. August 2017). Die eingegangenen Vernehmlassungen wurden den Parteien zur Kenntnisnahme übermittelt mit dem Hinweis darauf, dass die Verfahren bis zum Urteil des Bundesgerichts über die inzwischen gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 16. August 2017 erhobenen Beschwerden ruhen (Präsidialverfügungen 5A_856/2016 und 5A_865/2016 vom 9. März 2018).
E.
E.a. Mit Eingabe vom 18. September 2017 (Verfahren 5A_719/2017) beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 16. August 2017 aufzuheben und das Revisionsgesuch vom 2. Juni 2017 gutzuheissen, eventualiter das angefochtene Urteil zur Neubeurteilung an das Bundesverwaltungsgericht zurückzuweisen.
E.b. Mit Eingabe vom 21. September 2017 (Verfahren 5A_734/2017) beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 16. August 2017 aufzuheben und entsprechend das Revisionsgesuch vom 2. Juni 2017 gutzuheissen, eventualiter das angefochtene Urteil zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an das Bundesverwaltungsgericht zurückzuweisen.
E.c. Es sind die Akten des Revisions- und des Beschwerdeverfahrens beigezogen, hingegen weder das Bundesverwaltungsgericht noch die beiden Nachkommen des Stifters (Beschwerdegegner) zur Vernehmlassung eingeladen worden.
E.d. Mit Einschreibebrief vom 23. Januar 2018 ersuchen die Mitglieder des bisherigen Stiftungsrats das Bundesgericht um Gutheissung der Beschwerden.

Erwägungen:
1.
1.1. Die beiden Beschwerden richten sich gegen dasselbe Urteil mit gleichen Gegenparteien. Die Beschwerdebegehren und -begründungen stimmen überein. Es rechtfertigt sich deshalb, die beiden Beschwerdeverfahren zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu erledigen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
1.2. Das angefochtene Urteil betrifft die Abweisung der Revision gegen ein Urteil des Bundesverwaltungsgerichts über die Stiftungsaufsicht und unterliegt - mit der hier nicht gegebenen Ausnahme der Aufsicht über die Vorsorge- und Freizügigkeitseinrichtungen - als öffentlich-rechtlicher Entscheid, der in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht steht, der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 4 BGG).
1.3. Die Stiftungsaufsicht allgemein und auch mit Bezug auf die Stiftungsorganisation hat dafür zu sorgen, dass das Stiftungsvermögen seinen Zwecken gemäss verwendet wird (vgl. Art. 84 Abs. 2 und Art. 83d Abs. 2 ZGB). Sie ist damit vermögensrechtlicher Natur (Urteile 5A_657/2010 vom 17. März 2011 E. 1.1; 5D_99/2012 vom 30. November 2012 E. 1; 5A_484/2016 vom 5. August 2016 E. 1.1; abweichend, aber nicht massgebend: Urteil 5A_676/2015 vom 5. Januar 2016 E. 1). Da das Bundesverwaltungsgericht von einer nicht vermögensrechtlichen Streitigkeit ausgegangen ist, fehlen im angefochtenen Urteil die Angaben zum Streitwert. Angesichts der strittigen Frage, wer den Stiftungsrat einer Stiftung mit beträchlichem Vermögen bezeichnen darf, wird der Streitwert ermessensweise auf über Fr. 30'000.-- festgesetzt (Art. 51 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>; zit. Urteil 5A_657/2010 E. 1.1, betreffend Amtsführung des Stiftungsratspräsidenten; vgl. für die Abberufung eines Mitglieds des Stiftungsrats einer Familienstiftung: Urteil 5A_401/2010 vom 11. August 2010 E. 1.1 und E. 7.3).
1.4. Gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts ist die Beschwerde zulässig (<ref-law>). Das Beschwerderecht (<ref-law>) steht dem Stifter zu (vgl. Urteil 5A.19/1996 vom 28. Januar 1997 E. 1). Im Streit um seine Urteilsfähigkeit, die im zu revidierenden Beschwerdeurteil verneint wurde, hat er zudem als prozessfähig zu gelten (<ref-ruling> E. 3a S. 239 f.; Urteil 5A_194/2011 vom 30. Mai 2011 E. 1 und E. 3.2). Desgleichen ist die Stiftung gegen das Revisionsurteil und damit das Urteil, das ihre Organisation betrifft, beschwerdeberechtigt (<ref-ruling> E. 2 S. 440; Urteil 5A.23/1999 vom 27. März 2000 E. 1). Die bisherigen Stiftungsratsmitglieder durften dabei im Namen der Stiftung handeln und insbesondere für die Stiftung eine Anwaltsvollmacht rechtswirksam unterzeichnen, obwohl ihnen danach für die Verfahrensdauer die Zeichnungsberechtigung entzogen und der Stiftung ein Sachwalter bestellt wurde (Bst. C.b oben). Denn die Beschwerden gegen die Verfügung der ESA haben vor der Vorinstanz kraft Gesetzes (Art. 37 VGG i.V.m. <ref-law>) und vor Bundesgericht auf Anordnung hin (Bst. D.a oben) aufschiebende Wirkung (vgl. Urteil 5A_401/2010 vom 11. August 2010 E. 2.2).
1.5. Die Beschwerden gegen das verfahrensabschliessende Urteil des Bundesverwaltungsgerichts (<ref-law>) sind im Weiteren fristgerecht (<ref-law>) und insgesamt zulässig. Da das Bundesgericht keine Vernehmlassungen eingeholt hat (<ref-law>), ist die unaufgefordert eingereichte Rechtsschrift des bisherigen Stiftungsrats (Bst. E.d oben) unbeachtlich. Soweit der bisherige Stiftungsrat damit die Beschwerde der Stiftung (5A_734/2017) hat ergänzen wollen, ist es dazu nach Ablauf der Beschwerdefrist zu spät (z.B. <ref-ruling> E. 2.5 S. 221).
2.
2.1. Ihr Revisionsgesuch haben die Beschwerdeführer auf <ref-law> (i.V.m. Art. 45 VGG) gestützt, wonach die Revision in Zivilsachen und öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten verlangt werden kann, wenn die ersuchende Partei nachträglich erhebliche Tatsachen erfährt oder entscheidende Beweismittel auffindet, die sie im früheren Verfahren nicht beibringen konnte, unter Ausschluss der Tatsachen und Beweismittel, die erst nach dem Entscheid entstanden sind. Als Beweismittel haben die Beschwerdeführer handschriftliche Tagebucheinträge des Stifters aus der Zeit vom 3. November 2011 bis zum 16. Januar 2013 aufgefunden und dem Bundesverwaltungsgericht mit ihrem Revisionsgesuch eingereicht.
2.2. In seinem Beschwerdeurteil vom 4. Oktober 2016 hat das Bundesverwaltungsgericht die folgenden zwei Fragen beantwortet:
2.2.1. Die erste Frage betrifft die Urteilsfähigkeit des Stifters. Das Bundesverwaltungsgericht hat festgestellt, dass der Stifter aus gesundheitlichen Gründen (hier: mangels Urteilsfähigkeit) nicht mehr in der Lage war, am 17. Dezember 2014 sein Ernennungsrecht wahrzunehmen, und dass die Beschwerdegegner als Nachkommen des Stifters gemäss Art. 5 der Stiftungsurkunde berechtigt waren, an diesem Datum die Mitglieder des Stiftungsrats zu bezeichnen (E. 8.4 S. 48). Zur Behauptung der Beschwerdeführer, der Stifter habe die Nachkommen nicht in den Stiftungsrat aufnehmen und ihnen auch das Ernennungsrecht nicht zugestehen wollen, hat das Bundesverwaltungsgericht festgehalten, selbst aus einer vehement geäusserten Weigerung des Stifters, seine Nachkommen in den Stiftungsrat aufzunehmen, folge nicht, dass der Stifter hinsichtlich der Ausübung des Ernennungsrechts urteilsfähig sei (E. 8.3.1 a.E. S. 42 des Urteils vom 4. Oktober 2016).
2.2.2. Die zweite Frage betrifft die Änderung der Stiftungsurkunde. Das Bundesverwaltungsgericht hat - der Vollständigkeit halber (E. 10.1 S. 52) - den vom bisherigen Stiftungsrat gestellten Antrag auf Änderung der Stiftungsurkunde geprüft und abgelehnt, weil die Beschwerdeführer nicht dargelegt hätten, inwiefern es zur Erhaltung des Stiftungsvermögens oder zur Wahrung des Stiftungszwecks dringend erforderlich sei, das Ernennungsrecht der Nachkommen gemäss Art. 5 der Stiftungsurkunde abzuschaffen und durch das System der Kooptation des Stiftungsrats zu ersetzen (E. 10.16 S. 63). Zur Behauptung der Beschwerdeführer, der Stifter habe diese Änderung der Stiftungsurkunde selbst gewollt, hat das Bundesverwaltungsgericht festgehalten, <ref-law> mache nicht zur Voraussetzung, dass die Organisationsänderung dem Stifterwillen entsprechen solle, so dass die Ausführungen der Parteien zum mutmasslichen Stifterwillen von vornherein ins Leere zielten (E. 10.11 a.E. S. 60 des Urteils vom 4. Oktober 2016).
2.3. Gestützt auf diese Erwägungen hat das Bundesverwaltungsgericht die eingereichten Tagebucheinträge des Stifters als neues Beweismittel nicht für geeignet gehalten, die tatbeständliche Grundlage seines Urteils zu ändern. Denn der aus den Tagebucheinträgen hervorgehende Stifterwille sei für die Frage irrelevant, ob das Ernennungsrecht des Stifters wegen dessen Urteilsunfähigkeit auf seine Nachkommen übergegangen sei und damit die Bezeichnung der Stiftungsräte durch die Nachkommen am 17. Dezember 2014 gültig und deren Rückzug des Antrags auf Änderung der Stiftungsurkunde rechtsgültig erfolgt sei (S. 6, letztes "dass"), und weil die Änderung der Organisation einer Stiftung nur zulässig sei, wenn sie zur Erhaltung des Vermögens oder zur Wahrung des Stiftungszwecks dringend erforderlich sei, sei der subjektive Wille des Stifters auch diesbezüglich nicht relevant (S. 7, erstes "dass"). Abschliessend hat das Bundesverwaltungsgericht festgestellt, dass die eingereichten Tagebuchaufzeichnungen, selbst wenn daraus klar hervorginge, dass der Stifter damals noch urteilsfähig gewesen sein sollte und den subjektiven Willen gehabt haben sollte, das Ernennungsrecht seiner Nachkommen aufzuheben, kein entscheidrelevantes Sachverhaltselement beträfen und daher nicht geeignet seien, zu einem anderen, für die Beschwerdeführer günstigeren Ergebnis zu führen (S. 7, zweites "dass", des angefochtenen Urteils).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung der verfassungsmässigen Prüfungs- und Begründungspflicht (<ref-law>) und betont deren Tragweite im zu beurteilenden Fall angesichts der Grösse der Stiftung und der mannigfaltigen und komplexen Umstände, die für die Beantwortung der rechtlichen Fragen relevant seien (S. 11 Ziff. 5.1 und 5.2). In Zusammenfassung seiner Begründung des Revisionsgesuchs (S. 5 ff. Ziff. 3) wendet der Beschwerdeführer ein, in seinem Revisionsgesuch sei es nicht in erster Linie um den Stifterwillen gegangen, dessen Erheblichkeit ohnehin im Hauptverfahren zu beurteilen sein werde (S. 12 Ziff. 5.3). Er habe die Revisionsvoraussetzungen aus anderen Gründen als erfüllt betrachtet. Erstens sei von einem rechtsmissbräuchlichen Verhalten der Beschwerdegegner auszugehen, weshalb die Stiftungsratswahl vom 17. Dezember 2014 und der Rückzug des Antrags auf Urkundenänderung ungültig seien. Sodann erscheine die Frage der Urteils (un) fähigkeit zum Zeitpunkt der von den Beschwerdegegnern durchgeführten Stiftungsratswahl vom 17. Dezember 2014 unter Berücksichtigung der Tagebucheinträge in einem anderen Licht. Dasselbe gelte für die Gefährdung des Stiftungszweckes infolge des stark belasteten Verhältnisses des Stifters zur "H._" (H._ AG), der früheren Verwaltung der Liegenschaften des Stifters und der Stiftung. Zu dieser eigentlichen Begründung des Revisionsgesuches habe das Bundesverwaltungsgericht nicht Stellung genommen (S. 12 f. Ziff. 5.4). Geradezu willkürlich seien die Ausführungen des Bundesverwaltungsgerichts auf S. 7 Abs. 2 des angefochtenen Urteils, wonach die Urteilsfähigkeit des Stifters im Zeitraum der Tagebuchaufzeichnungen zweifelhaft sei (S. 13 Ziff. 5.5). Indem das Bundesverwaltungsgericht auf die von ihm angeführten Revisionsgründe nicht eingegangen sei und die ausgewiesenen Revisionsgründe unbeachtet gelassen habe, liege nicht nur eine Verletzung des rechtlichen Gehörs vor, sondern auch der gesetzlichen Revisionsbestimmungen (S. 13 Ziff. 5.6 der Beschwerdeschrift 5A_719/2017).
3.2. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung der verfassungsmässigen Prüfungs- und Begründungspflicht (<ref-law>) und hebt deren Tragweite in Anbetracht der Gewichtigkeit und grossen Bedeutung der Rechtssache hervor (S. 8 f. Ziff. 2.2). Sie wiederholt die wesentliche Begründung ihres Revisionsgesuchs und macht geltend, aus den Tagebüchern des Stifters ergebe sich, dass die Beschwerdegegner auf ihre Nachfolge in der Stiftung (Ernennungsrecht und Stiftungsrat) verzichtet hätten und ihre Wahl des Stiftungsrats vom 17. Dezember 2014 daher rechtsmissbräuchlich sei (S. 9 f. Ziff. 2.2.1). Die Tagebücher belegten weiter, dass der Stifter den Bezug der Stiftung zur Schweiz als essenziell betrachtet und von der Beschwerdegegnerin gefordert habe, in die Schweiz umzusiedeln. Ihre beharrliche Weigerung, die Vorgaben des Stifters zu erfüllen, habe deshalb als Verzicht auf ihre Nachfolge in der Stiftung und ihre Wahl des Stiftungsrats vom 17. Dezember 2014 habe als rechtsmissbräuchlich zu gelten (S. 10 f. Ziff. 2.2.2). Schliesslich zeigten die Tagebücher, dass der Stifter mit der "H._" (H._ AG), der früheren Verwaltung der Liegenschaften des Stifters und der Stiftung, gebrochen und diese als Gegnerin erklärt habe. Dass die Beschwerdegegner ausgerechnet Exponenten dieser Firma in den Stiftungsrat aufgenommen hätten, belege ihre fehlende Eignung als Mitglieder des Stiftungsrats (S. 11 f. Ziff. 2.2.3). Mit all diesen Vorbringen habe sich das Bundesverwaltungsgericht nicht befasst. Sie habe im Revisionsgesuch nicht behauptet, dass der Stifterwille für den Übergang des Ernennungsrechts erheblich sei. Entgegen der Behauptung des Bundesverwaltungsgerichts sei der Stifterwille hingegen für die Änderung der Organisation der Stiftung nicht irrelevant. In Willkür verfallen sei das Bundesverwaltungsgericht schliesslich mit seiner Behauptung, der Stifter sei im Zeitraum der Tagebuchaufzeichnungen nicht urteilsfähig gewesen (S. 12 f. Ziff. 2.3 der Beschwerdeschrift 5A_734/2017).
4.
4.1. Der Anspruch auf rechtliches Gehör verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.2 S. 70).
4.2. Die Beschwerdeführer machen geltend, das angefochtene Urteil genüge den Anforderungen an die Begründungsdichte nicht, nach der die Umstrittenheit und die Komplexität des Sachverhalts und der Rechtsanwendung riefen. Davon kann nicht ausgegangen werden. Lehre und Praxis anerkennen sog. Einwirkungsrechte des Stifters, wie sie hier mit Bezug auf die Bezeichnung des Stiftungsrats in Art. 5 Abs. 2 der Stiftungsurkunde (Bst. A oben) enthalten sind (Urteil 5A.19/1994 vom 20. März 1995 E. 2b/bb mit Hinweis auf RIEMER, Berner Kommentar, 1975, N. 29 des Syst. Teils zu Art. 80-89 bis ZGB und N. 12 zu <ref-law>; EGGER, Zürcher Kommentar, 1930, N. 11 zu <ref-law>; seither: GRÜNINGER, Basler Kommentar, 2014, N. 6 zu <ref-law>; VEZ, La fondation: lacunes et droit désirable, 2004, S. 162 Rz. 563). Sie sind ein Einbruch in den Grundsatz, dass dem Stifter nach Errichtung der Stiftung keine Vorzugsstellung zukommt (Urteil 5A.37/2004 vom 1. Juni 2005 E. 3.1), können aber ein aufsichtsbehördliches Einschreiten zur Gewährleistung einer gesetzes- und satzungsgemässen Tätigkeit der Stiftung nicht ausschliessen (z.B. die Abberufung eines vom Stifter bezeichneten Mitglieds des Stiftungsrats: <ref-ruling> E. 4a S. 211; Urteil 5A_274/2008 vom 19. Januar 2009 E. 5.1). Sodann ist die Auslegung von Art. 5 der Stiftungsurkunde insofern nicht streitig, als der Stifter die Mitglieder des Stiftungsrats bezeichnet und diese Befugnis seinen Nachkommen zukommt, wenn der Stifter sie aus gesundheitlichen Gründen (hier: mangels Urteilsfähigkeit) nicht mehr ausüben kann. Die Kriterien für die Beurteilung der Urteilsfähigkeit einer Person in einem bestimmten Zeitpunkt bezogen auf eine bestimmte Handlung sind anerkannt und gefestigt (zuletzt: Urteile 5A_951/2016 vom 14. September 2017 E. 3.1 und 5A_272/2017 vom 7. November 2017 E. 5.3). Weder die Tat- noch die Rechtsfragen, die der zu beurteilenden Fall aufwirft, lassen folglich eine höhere als die vom Bundesverwaltungsgericht erfüllte Begründungsdichte als angezeigt erscheinen (vgl. zu den Anforderungen: <ref-ruling> E. 4b S. 4).
4.3. Ihre Revisionsgesuche haben die Beschwerdeführer mit Tagebucheinträgen des Stifters als neu aufgefundenem Beweismittel begründet. Tagebücher enthalten Aufzeichnungen von Gedanken, Fantasien und Verarbeitungen ihres Verfassers und können darüber Beweis erbringen (vgl. Urteil 1P.519/2006 vom 19. Dezember 2006 E. 3.3.2 und E. 3.3.5, in: Praxis 96/2007 Nr. 113 S. 761 f.). Mehr als Äusserungen des Stifters ergeben sich daraus folglich nicht. In den Ausführungen der Beschwerdeführer ist es denn auch stets der Stifterwille, der das rechtsmissbräuchliche Verhalten der Beschwerdegegner, deren fehlende Eignung als Mitglieder des Stiftungsrats usw. belegen soll. Das Bundesverwaltungsgericht hat geprüft und begründet (E. 2.3 oben), was als Wille des Stifters aus seinen Tagebucheinträgen hervorgeht und welche Bedeutung dem dadurch belegten Stifterwillen für das zu revidierende Beschwerdeurteil zukommt. Es hat damit die verfassungsmässigen Anforderungen an die Prüfungs- und Begründungspflicht erfüllt.
5.
Haben die Beschwerdeführer mit Tagebucheinträgen die Tatsache eines bestimmten Stifterwillens beweisen wollen, der für den Entscheid über die Urteilsfähigkeit und die Stiftungsorganisation indessen nicht erheblich ist (E. 2.2 oben), scheitert ihr Revisionsgesuch bereits daran, dass es sich nicht um "entscheidende Beweismittel" im Sinne von <ref-law> handelt (<ref-ruling> E. 5 S. 205; FORNI, Svista manifesta, fatti nuovi e prove nuove nella procedura di revisione davanti al Tribunale federale, FS Guldener, 1973, S. 83 ff., S. 102 mit Hinweisen). Die zitierte Praxis ist zwar zum Revisionsgrund gemäss Art. 137 lit. b des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (Bundesrechtspflegegesetz, OG; BS 3 531) ergangen, gilt aber unter Herrschaft des Bundesgerichtsgesetzes weiter, das mit <ref-law> einen entsprechenden Revisionsgrund beibehalten hat (<ref-ruling> E. 2.1 S. 47 und 669 E. 2.1 S. 670).
Die Verneinung der Entscheiderheblichkeit des Stifterwillens ist nicht im Revisionsverfahren, sondern im Beschwerdeverfahren zu rügen, wie es auch die Beschwerdeführer einräumen. Denn die Revision hat nicht die Funktion der Beschwerde und dient nicht dazu, allfällige Versäumnisse im vorinstanzlichen Verfahren oder bei der Begründung der Beschwerde an das Bundesgericht nachträglich zu beheben oder angebliche Rechtsfehler zu korrigieren (Urteil 6F_15/2017 vom 28. November 2017 E. 4, mit Hinweisen). Dasselbe gilt, soweit die Beschwerdeführer aus den Tagebucheinträgen des Stifters auf ein rechtsmissbräuchliches Verhalten der Beschwerdegegner in Ausübung des statutarischen Ernennungsrechts und in der Bezeichnung des neuen Stiftungsrats am 17. Dezember 2014 schliessen. Den Rechtsmissbrauchsvorwurf hat das Bundesverwaltungsgericht - ungeachtet der Tatsachenvorbringen - bereits rechtlich als unbegründet betrachtet (E. 9.5 S. 52 des Urteils vom 4. Oktober 2016). Gegen die Rechtsanwendung ist mit dem Revisionsgrund "neue Beweismittel" nicht anzukommen.
Insgesamt kann nicht beanstandet werden, dass das Bundesverwaltungsgericht die Revisionsgesuche abgewiesen hat, soweit darauf eingetreten werden konnte.
6.
Der Beschwerdeführer und die Beschwerdeführerin erblicken schliesslich Willkür darin, dass das Bundesverwaltungsgericht die Urteilsfähigkeit des Stifters zur Zeit seiner Tagebuchaufzeichnungen vom 3. November 2011 bis zum 16. Januar 2013 bezweifelt habe. Das Bundesverwaltungsgericht hat in seinem Beschwerdeurteil die Urteilsfähigkeit des Stifters bezogen auf die Ausübung des statutarischen Ernennungsrechts am 17. Dezember 2014 beurteilt und verneint (E. 8.4 S. 48). Es hat dabei angenommen, dass der Stifter offensichtlich lange - ab Januar 2013 - vor dem 17. Dezember 2014 in einem geistig geschwächten Zustand gewesen sei (E. 8.3.5 S. 47 des Urteils vom 4. Oktober 2016). Mit diesen Feststellungen lassen sich die Zweifel an der Urteilsfähigkeit für die Zeit vom 3. November 2011 bis zum 16. Januar 2013 nur beschränkt vereinbaren. Da die Zweifel des Bundesverwaltungsgerichts den Beschwerdeführern aber mit Bezug auf den Ausgang des Verfahrens nicht erkennbar nachteilig sind, braucht ihrer Begründetheit nicht weiter nachgegangen zu werden. Blosse Erwägungen bedeuten keine Beschwer (<ref-ruling> E. 3 S. 159; <ref-ruling> E. 6 S. 328).
7.
Insgesamt müssen die Beschwerden abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Die Beschwerdeführerin und der Beschwerdeführer werden damit kosten-, nicht hingegen entschädigungspflichtig, da keine Vernehmlassungen eingeholt wurden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 5A_719/2017 und 5A_734/2017 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 10'000.-- werden der Beschwerdeführerin und dem Beschwerdeführer je zur Hälfte auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, sowie dem Eidgenössischen Departement des Innern (Eidgenössische Stiftungsaufsicht) und dem Sachwalter G._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. März 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: von Roten