Faits :
A.
A.a. L'Association B._ (B._; ci-après: l'association ou l'employeuse) exploite un établissement hôtelier à X._, au bénéfice d'un bail à ferme conclu avec la Ville de X._, propriétaire des locaux. La redevance due tient compte d'une subvention versée par la Ville de X._ à l'association. Le contrat octroie à la bailleresse un droit de regard sur les activités et la comptabilité de l'association, par l'entremise d'une fiduciaire mandatée par ses soins.
A.b. Par lettre du 17 juillet 1996, l'association a engagé A._ (ci-après: l'employé) en qualité de directeur de l'établissement. Le contrat prévoyait une activité à temps complet à compter du 2 février 1997 et un salaire mensuel de 6'300 fr., y compris un treizième salaire. Le dernier salaire mensuel brut de l'employé s'élevait à 11'163 fr.
En qualité de directeur, l'employé rapportait uniquement au comité de l'association. Il disposait d'une grande indépendance dans l'organisation et la gestion de l'établissement ainsi que dans l'aménagement de son travail.
A.c. Dans un rapport non daté exposant les anomalies rencontrées depuis le 1er février 1997, l'employé faisait état de dysfonctionnements affectant la gouvernance, la gestion comptable et financière de l'établissement. Était visé essentiellement l'ancien directeur, qui aurait bénéficié d'avantages indus et qui recevait, depuis son départ, une rente mensuelle de 2'000 fr. sans motif apparent. Le rapport mettait également en cause le président de l'association alors en fonction, accusé de complaisance.
Ce document a été remis au comité en vue de sa séance du 8 juillet 2004. Lors de cette séance, il fut décidé à l'unanimité de supprimer avec effet immédiat le versement mensuel dont l'ancien directeur bénéficiait, de mettre en place un audit et de créer un groupe de pilotage chargé en particulier de soutenir le directeur.
Le 14 novembre 2004, l'association a confié un audit sur "les anomalies constatées" à une fiduciaire, qui s'est adjoint les services d'un avocat. L'auditeur a remis son rapport le 2 mai 2005. Il a identifié six dysfonctionnements ou anomalies, dont certains pouvaient relever du domaine pénal, avec la précision qu'une dénonciation ne paraissait pas nécessairement opportune vu le temps écoulé et les contraintes liées au suivi de ce genre de procédure. D'autres anomalies relevées par l'employé n'avaient pas pu être établies, faute de documentation prouvant ces agissements. Les autres dysfonctionnements avaient été corrigés par des mesures prises dans l'intervalle. Ce document indiquait encore que depuis le dépôt du rapport de l'employé, des mesures concrètes avaient été prises par le comité pour soutenir le directeur dans son organisation administrative et pour remédier à certaines des carences relevées, notamment par la mise en place d'un comité de pilotage.
Dans un courrier du 10 mai 2006 adressé au président du comité, l'employé qualifiera ce rapport de "pantalonnade" en ce sens qu'il se focaliserait sur des points mineurs.
A.d. Lors d'une séance du comité du 6 juillet 2005, l'employé a présenté une revendication portant sur le paiement de 234,5 jours de vacances qu'il n'avait, selon ses dires, pas pu prendre entre le 1 er février 1997 et le 31 décembre 2004. Il a finalement retiré ce point qu'il avait porté à l'ordre du jour.
Par courrier du 10 mai 2006, il réitérera sa demande d'indemnisation pour les vacances non prises.
A.e. A cette même séance du 6 juillet 2005, l'employé a informé le comité qu'il avait été au bénéfice de deux certificats médicaux attestant d'incapacités de travail pour maladie à compter du 6 novembre 2002 et du 10 juillet 2003, pour une durée indéterminée. Il a indiqué n'avoir pas pu arrêter de travailler à l'époque car "la situation ne le permettait pas". S'agissant de la production tardive de ces documents, il a été fait mention au procès-verbal que "à la suite des arrêts maladie soudains produits par le directeur, il lui est demandé dorénavant de les signaler à la présidence de l'association".
A.f. De 2006 à 2017, la gestion de l'association s'est déroulée sans problème particulier. L'employé s'investissait beaucoup dans son travail; il a oeuvré à la restructuration et la modernisation de l'établissement à la satisfaction de l'employeuse, laquelle était enchantée du travail accompli et des résultats obtenus. L'employé a mis en place de nouveaux systèmes de contrôle, établi de nouveaux contrats de travail pour les collaborateurs, révisé les conditions de travail au sein de l'association, changé les logiciels de gestion hôtelière, de comptabilité, de salaire et de timbrage.
A.g. Au printemps 2017, la Ville de X._ a fait effectuer un contrôle de la comptabilité de l'association par l'entremise du Service du Contrôle Financier. Ce contrôle portait notamment sur la comptabilité de l'établissement pour les années 2015 et 2016, soit un examen des amortissements, des attributions à la réserve pour le financement des biens mobiliers d'exploitation ainsi que des dissolutions, selon certains critères comptables précisés dans le contrat de bail à ferme.
L'employé a très mal vécu cette démarche. Il admettait difficilement ce contrôle alors que, selon lui, les faits qu'il avait dénoncés en 2004 n'avaient pas reçu la réponse que leur degré de gravité exigeait et qu'aucune sanction n'avait été prise à l'encontre du comité, qui aurait couvert ces faits en accord avec la Ville de X._.
Dans trois courriels adressés au directeur du Service du Contrôle Financier en mai 2017, l'employé a réitéré les griefs formulés treize ans auparavant concernant la gestion antérieure de l'association, regrettant qu'ils soient "malheureusement restés sans suite", et s'est plaint de la négligence de la Ville de X._. Dans un courrier du 5 juin 2017, il a mis en doute la capacité du directeur du Service du Contrôle Financier à "agir contre" le Département des Finances et du Logement.
A.h. Le 7 août 2017, la Conseillère administrative en charge du Département des Finances et du Logement a communiqué son rapport relatif à la revue de la comptabilité et à la gouvernance de l'association. Il y est notamment indiqué que le Service du Contrôle Financier a identifié quelques manquements concernant la tenue des assemblées générales et des séances du comité. Un renforcement de l'organe de révision est préconisé. Il est également recommandé au comité de renoncer aux indemnités qui présentent un risque relatif à l'exonération fiscale dont bénéficie l'association. Il est demandé au comité de prendre des mesures pour remédier aux faiblesses énumérées. S'agissant des "irrégularités remontées (sic) par la direction", il est indiqué que le Service du Contrôle Financier a pris connaissance des anomalies survenues durant la période de 1997 à 2003 avec la remarque suivante : " ces faits étant prescrits, le comité doit maintenant s'assurer qu'ils ne perdurent pas et qu'un système de contrôle interne adéquat est mis en place pour prévenir la surveillance (sic) de telles anomalies. ".
A.i. Par courrier du 30 octobre 2017, le président de l'association a répondu aux différents points énumérés dans ce rapport et précisé que toutes les préoccupations avaient été traitées. Il a ajouté : "je regrette cependant la pression qu'a eu à subir notre directeur lors de l'audit. Celui-ci est d'ailleurs a ctuellement en arrêt maladie! ".
A.j. Depuis le 21 août 2017, l'employé s'est trouvé en arrêt de travail complet pour cause de maladie.
A compter du 20 septembre 2017, il a bénéficié des prestations de l'assurance perte de gain conclue par l'association pour ses employés.
Pendant sa maladie, les membres du comité ne se sont pas intéressés à son état de santé. Seul le président de l'association s'en est enquis.
A.k. Invoquant le rapport d'un spécialiste en psychiatrie sollicité par l'assurance perte de gain, lequel constatait que l'employé bénéficiait d'une pleine capacité de travail dans son activité habituelle à partir du 1 er mai 2018 (rapport contesté par l'employé), l'association a mis fin aux rapports de travail le 11 juin 2018 avec effet au 1 er mai précédent. Elle invoquait un abandon de poste de la part de l'employé, qui aurait indiqué ne pas vouloir reprendre son emploi indépendamment de sa capacité de travail.
L'employé a contesté cette résiliation. Par la suite, les parties reconnaîtront que les rapports de travail se sont terminés le 31 décembre 2018, au terme d'un préavis de six mois.
B.
B.a. Par demande déposée le 29 octobre 2018, après l'échec de la conciliation, l'employé a assigné l'association en paiement de divers montants qui, selon le dernier état de ses conclusions, sont les suivants: (i) 44'652 fr. à titre d'indemnité pour tort moral en raison d'une atteinte illicite à sa personnalité; (ii) 13'395 fr.60 correspondant à la différence entre le plein salaire et les indemnités journalières perçues de l'assurance perte de gain durant le délai de préavis; (iii) 108'815 fr. en compensation des vacances non prises; (iv) 11'163 fr. brut à titre de treizième salaire pro rata temporis; (v) 63'774 fr. à titre d'indemnité pour perte de cotisations de prévoyance.
Le demandeur faisait notamment valoir une atteinte à sa personnalité en raison des découvertes qu'il avait faites en lien avec la gouvernance et les finances de l'établissement, en particulier les malversations dénoncées en 2004, lesquelles auraient eu un effet désastreux sur sa santé psychologique et entraîné une dépression. Il reprochait à sa hiérarchie de n'avoir pris aucune mesure pour protéger sa personnalité et relève son absence de moralité; le fait d'avoir à travailler avec des personnes aussi peu scrupuleuses l'aurait contraint à entreprendre une thérapie de plusieurs mois pour surmonter le dégoût que lui inspirait une telle situation. L'audit commandé en 2017 par la Ville de X._ aurait été vécu comme une insulte, étant donné que l'ensemble des malversations dénoncées précédemment n'avaient eu aucune suite.
L'association a conclu au rejet de la demande. Elle a contesté toute atteinte à la personnalité de son ancien employé, qui était habité par un grave sentiment d'injustice et de frustration dont elle ne pouvait pas être tenue pour responsable. En particulier, s'agissant de l'audit commandé par la Ville de X._, l'association a indiqué qu'elle ne pouvait en aucun cas s'y opposer dès lors que cet audit était prévu par le contrat de bail; il n'aurait rien de dévalorisant pour le directeur qui en garderait toutefois une énorme amertume et frustration. L'association a également relevé que la prétention liée aux vacances non prises était prescrite pour la période de 2008 à 2012, que son employé organisait son emploi du temps comme il l'entendait et avait pour habitude, une ou deux fois par mois, de prendre des week-ends prolongés dans sa résidence secondaire.
Par jugement du 6 mars 2020, le Tribunal des prud'hommes de Genève a condamné l'association à verser au demandeur les sommes nettes de 22'326 fr. à titre d'indemnité pour tort moral et de 13'395 fr.60 au titre de dommages-intérêts, représentant la différence entre le salaire qu'il aurait perçu et les indemnités journalières qu'il avait effectivement touchées pendant la période de préavis. D'après les premiers juges, l'état de santé de l'employé était lié aux problèmes rencontrés dans l'exercice de son activité professionnelle, ce qui aurait dû amener l'employeuse à prendre des mesures concrètes afin de protéger sa personnalité. Les autres chefs de conclusions ont été rejetés.
B.b. Statuant le 16 mars 2021 sur appel de l'employé et appel joint de l'association, la Cour de justice du canton de Genève a annulé le jugement du Tribunal des prud'hommes, puis a condamné l'association à verser à l'employé la somme brute de 29'587 fr.93 à titre d'indemnité pour vacances non prises, avec intérêts à 5% dès le 1 er janvier 2019, les autres chefs de conclusions de la demande étant rejetés. Ses motifs seront évoqués dans les considérants en droit du présent arrêt, dans la mesure nécessaire à la discussion des griefs du recourant.
C.
A._ forme un recours en matière civile. Il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué, à la condamnation de l'association à lui verser 22'326 fr. à titre de tort moral, 13'395 fr.60 à titre de dommages-intérêts et 73'335 fr. à titre d'indemnisation des vacances non prises, avec intérêts.
Par ordonnance présidentielle du 3 mai 2021, l'association a été invitée à se déterminer sur le recours jusqu'au 25 mai 2021, avec la précision qu'en règle générale, une seule prolongation de 20 jours était accordée. Dans le délai prolongé de 20 jours à la requête de l'intimée, celle-ci a déposé sa réponse, concluant au rejet du recours.
Par ordonnance présidentielle du 15 juin 2021, un délai au 30 juin 2021 a été fixé au recourant pour déposer des observations éventuelles sur la réponse, avec la mention qu'une prolongation du délai était exclue.
Le recourant s'est fendu d'une réplique, communiquée à l'intimée par ordonnance présidentielle du 1er juillet 2021 avec fixation d'un délai non prolongeable au 16 juillet 2021 pour déposer d'éventuelles observations.
Par pli du 2 juillet 2021, la mandataire du recourant a demandé des éclaircissements à la cour de céans à propos des délais accordés à chaque partie pour fournir leurs observations.
L'intimée a déposé une brève duplique.
Pour sa part, la cour cantonale se réfère aux considérants de son arrêt.

Considérant en droit :
1.
1.1. La mandataire du recourant invoque une inégalité de traitement entre avocats en ce qui concerne la fixation des délais dans l'échange d'écritures, mettant en doute l'impartialité de la cour de céans dans la présente cause. D'une part, l'avocat de l'intimée aurait disposé de 45 jours pour déposer sa réponse, alors que le délai de recours n'est que de 30 jours. D'autre part, il aurait bénéficié d'un délai de 15 jours pour déposer une duplique, alors qu'elle-même n'aurait eu que 10 jours pour fournir la réplique du recourant.
Le recours a été communiqué à l'intimée en application de l'<ref-law>, qui permet au Tribunal fédéral, s'il le juge nécessaire, d'inviter la partie intimée à fournir une réponse dans un certain délai. La loi ne fixe pas ce délai, cette question étant laissée à l'appréciation du juge instructeur. Aucune règle n'impose ainsi que, le cas échéant, la partie intimée dépose ses observations dans un délai maximal de 30 jours correspondant au délai de recours. En l'espèce, le délai imparti à l'intimée pour se déterminer sur le recours et sa prolongation l'ont été conformément à la pratique constante de la cour de céans.
Sur le second point, il est inexact de prétendre que le délai fixé au recourant pour une éventuelle réplique aurait été plus court que celui fixé à l'intimée pour une éventuelle duplique, comme les dates figurant sur les ordonnances des 15 juin et 1er juillet 2021 le démontrent. Contrairement à ses affirmations, la mandataire du recourant n'a pas disposé de 10 jours pour se déterminer sur la réponse, mais bien d'un délai effectif de 14 jours, l'ordonnance du 15 juin 2021 fixant un délai de réplique au 30 juin 2021 lui ayant été notifiée en date du 16 juin 2021.
1.2. Les conditions de recevabilité du recours en matière civile sont réalisées sur le principe, notamment celles afférentes à la valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. (<ref-law>) et au délai de recours (<ref-law>). Demeurée réservée la recevabilité des griefs en eux-mêmes.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être exercé pour violation du droit fédéral (<ref-law>), y compris le droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.4). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, sauf en cas d'erreurs juridiques manifestes. Il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2.4; <ref-ruling> consid. 2, 115 consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.3). L'<ref-law> exige par ailleurs que le recourant discute les motifs de la décision entreprise et indique précisément en quoi il considère que l'autorité précédente a méconnu le droit (<ref-ruling> consid. 1.7.1; <ref-ruling> consid. 2.4; <ref-ruling> consid. 2).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes ou découlent d'une violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). "Manifestement inexactes" signifie ici "arbitraires" (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.5). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3 et les références). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi les conditions précitées seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 et les références). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
En l'espèce, le recourant consacre un nombre de pages considérable à exposer sa version des faits, en précisant qu'elle est complétée par ceux omis par la cour cantonale et par "ceux qui ont été constatés de manière inexacte ou incomplète". Ces faits sont à ce point enchevêtrés que rien ne permet de les distinguer, surtout pas une quelconque indication de la rédactrice qui procède comme s'il s'agissait d'un mémoire de demande ou de réponse. Il n'en va guère différemment dans la réplique, où le recourant se détermine sur la réponse de son adverse partie par "admis" ou "contesté". En définitive, le recourant procède à une réécriture complète des faits constatés souverainement par la cour cantonale, ce qui, indépendamment des moyens de preuve indiqués au regard de chacun d'entre eux, n'est pas admissible. Le Tribunal fédéral n'est pas une instance d'appel; il ne saurait reprendre l'intégralité du dossier pour constater des faits dont on ne sait s'ils ont ou non été allégués régulièrement en procédure, s'ils ont été ou non contestés par la partie adverse, s'ils ont ou non été retenus par l'autorité précédente et dans quelle mesure le recourant estime qu'ils auraient été constatés de manière arbitraire. Le procédé est totalement irrecevable.
Le Tribunal fédéral s'en tiendra dès lors aux faits résultant de l'arrêt attaqué.
3.
Il est constant que les parties ont été liées par un contrat de travail qui a pris fin le 31 décembre 2018. A ce stade, le litige ne porte plus que sur trois prétentions du recourant : une indemnité à titre de réparation du tort moral, la différence entre le salaire auquel il aurait eu droit pendant son délai de congé et les indemnités journalières perte de gain qu'il a touchées durant cette période, ainsi que la contrepartie de vacances qu'il affirme ne pas avoir prises de 2013 à 2018.
4.
4.1. La cour cantonale a jugé que le recourant n'avait pas droit à une indemnité pour tort moral, ni à des dommages-intérêts. Contrairement aux premiers juges, elle a nié toute atteinte à la santé de l'employé en raison de l'attitude de l'employeuse.
S'agissant des événements de 2004, l'association avait réagi de manière adéquate au rapport délivré par l'employé. Elle avait mis fin aux dysfonctionnements constatés et mis en oeuvre un audit externe. Aucune circonstance ne justifiait que le comité s'écartât des conclusions de l'expert, selon lesquelles il n'était pas judicieux de dénoncer les faits à la justice pénale notamment en raison de leur ancienneté. Certes, l'employé en avait conçu un sentiment d'injustice, estimant que la réaction du comité n'avait pas été à la mesure de la gravité des faits dénoncés, mais rien dans son comportement ne laissait alors présager de la manière dont sa santé allait évoluer, comme en avaient témoigné plusieurs employés (C._, D._ et E._). De 2005 à 2017, soit pendant plus de dix ans, l'activité du recourant paraissait s'être déroulée sans difficulté. L'employé n'avait présenté aucune pathologie particulière ou atteinte à la santé de nature à justifier une interruption de son activité ou dont il se serait plaint auprès de sa hiérarchie.
C'est en 2017, lorsque la Ville de X._ avait ordonné la revue de la comptabilité et de la gouvernance de l'association que l'état de santé du recourant avait périclité, comme en ont témoigné les employés et membres du comité de l'époque (F._, C._, G._, H._, I._, J._). L'employé a très mal vécu cet audit qui, de son point de vue, a réouvert les plaies d'injustice non cicatrisées. La virulence des communications adressées au représentant du contrôle financier, l'acharnement à vouloir ré-ouvrir le dossier des anomalies dénoncées treize ans plus tôt, la défiance affichée tant envers les membres du comité (lequel n'était pourtant plus composé des mêmes personnes) qu'envers la Ville de X._ témoignent de sa frustration. Cela étant, la dégradation de l'état de santé du recourant n'est pas imputable à l'association, qui est exempte de reproche : le comité a conservé sa confiance à l'employé et l'a assuré que l'audit n'enlevait rien à celle dont il bénéficiait. Certes, le comité savait, depuis juillet 2005, que l'employé avait été atteint dans sa santé en 2002 et en 2003, mais il lui avait expressément demandé de lui communiquer dorénavant en temps et en heure tout nouvel arrêt de travail. Or, de 2005 jusqu'au printemps 2017, l'employé n'a formulé aucune plainte relative à son état de santé. Dans ces conditions, la cour cantonale s'est déclarée bien en peine de discerner quelle mesure le comité aurait pu prendre pour prévenir la dégradation de l'état de santé du recourant. Certes encore, exception faite du président, aucun des membres du comité ne s'est enquis de l'état de santé de l'employé à compter d'août 2017. Cette situation n'était toutefois pas constitutive d'une atteinte à la personnalité. Les conditions d'octroi d'une indemnité pour tort moral (<ref-law>) n'étaient ainsi pas réalisées.
En vertu du même raisonnement, la réparation du préjudice résultant de la différence entre le salaire que l'employé aurait perçu et les indemnités journalières effectivement touchées jusqu'au terme du préavis de résiliation n'avait pas lieu d'être, faute de responsabilité de l'employeuse.
4.2. Le recourant soulève cinq griefs, tenant à la violation de l'<ref-law> en lien avec l'<ref-law>, respectivement les <ref-law>. En réalité, deux d'entre eux concernent l'appréciation arbitraire des preuves.
4.2.1. Lorsqu'il se plaint d'appréciation arbitraire des preuves, le recourant est peu explicite, ce qui prive son argument du tranchant qui lui serait nécessaire. Ainsi en est-il lorsqu'il critique la constatation selon laquelle "les employés en fonction à l'époque (i.e. en 2004) n'avaient pas constaté de modifications dans le comportement de leur supérieur", laquelle ferait fi des témoignages K._ et F._ qui "relate (raient) précisément les conditions de travail du recourant de l'époque et les menaces dont il a (urait) fait l'objet de la part du Président". Quelles seraient ces conditions de travail et ces menaces ? Tout au plus peut-on lire dans l'arrêt attaqué que les témoins F._ et K._, respectivement épouse et ex-épouse du recourant, ont fait état de menaces qu'il avait reçues de son comité si les accusations de malversations ne cessaient pas ou si le directeur persistait à réclamer le paiement de ses vacances non prises. On ne sait guère plus de la nature des menaces en question, le recourant demeurant dans le flou ("menaces dont (auraient) fait état les deux témoins les plus proches du recourant et que celui-ci (aurait) dénoncées lui-même dans un courrier adressé postérieurement à L._"). Il en va de même lorsqu'il fait référence au témoignage du médecin psychiatre qui assurait son suivi, lequel aurait "signalé la gravité de (son) état, le risque de tentamen et clairement fait état du lien de causalité entre le travail (du recourant) et son état de santé". A qui l'aurait-il signalé, à quelle date et en quoi le travail serait-il en cause ? Le recourant n'est guère précis sur le sujet. Il n'y a dès lors pas à corriger les constatations de la cour cantonale, laquelle a relevé que le médecin qui suivait le recourant depuis novembre 2018 avait constaté un état dépressif sévère qui aurait pu nécessiter une hospitalisation et considéré que cet état avait une relation de cause à effet avec son milieu de travail, son patient exprimant son incompréhension, son injustice et son tort moral.
Lorsque le recourant se réfère aux "appels à l'aide adressés par (ses soins) à un membre de son comité et représentant de la Ville de X._, appels à l'aide dont le texte montre pourtant clairement que son auteur est en proie à la détresse et dans lesquels (il) indique sans détour avoir encore une fois craqué", il procède à nouveau par énigme. Quel est donc ce texte ? Pour le savoir, il faudrait compulser le dossier cantonal, ce qui n'est pas la tâche du Tribunal fédéral qui, rappelons-le, n'est pas une juridiction d'appel.
Le recourant reproche aux juges cantonaux d'avoir négligé son dossier médical, lequel ferait état d'un "stress devenu chronique en 2003 déjà". Ce stress serait-il donc la cause de la dégradation de sa santé ? Est-il lié à un surcroît de travail ou à d'autres facteurs et l'employeur en est-il responsable ? Il s'agit là d'un tout nouvel argument sur lequel le recourant ne s'étend pas davantage, si ce n'est pour affirmer que les épreuves personnelles qu'il a traversées sont les conséquences et non la cause de ses problèmes de santé. On ne distingue pourtant pas d'arbitraire dans leur évocation par la cour cantonale.
L'autorité précédente aurait également négligé le témoignage de l'épouse du recourant, F._. D'après le procès-verbal d'audition du 21 août 2019, elle a déclaré ce qui suit: "J'ai toujours eu l'impression qu'il n'était pas bien depuis le moment où j'ai commencé (i.e. en novembre 2004). Les trois dernières années, j'ai même cru qu'il avait des envies de suicide. D'après moi, le comité se rendait compte de l'état dans lequel il était mais ils n'ont rien fait pour l'aider. Lorsque j'allais aux réunions du comité, aucun membre ne s'est informé de l'état de santé de M. A._.". Cela étant, lorsqu'elle se réfère aux trois dernières années, il est fort possible qu'elle parle de 2017 à 2019, quoi qu'en dise le recourant, d'autant qu'elle avait déclaré un peu avant: "Pour moi, il s'agit de l'audit de 2017. A cette période, il était très stressé (...) ". Quant à savoir si le comité pouvait se rendre compte de la gravité de l'état de santé du recourant avant qu'il ne tombe en incapacité de travail, on ne peut rien affirmer à la lumière de ce témoignage.
De l'avis du recourant, la cour cantonale aurait dû constater que le comité s'était rendu coupable de gestion déloyale, d'abus de confiance et d'escroquerie. Pour preuve le rapport de la fiduciaire mandatée qui en ferait état. Les faits qui permettraient de telles déductions ont-ils été régulièrement allégués en procédure ? Le recourant ne l'indique pas. Dans le même contexte, il fait encore référence à la question qu'aurait posée l'un des commissaires, selon un rapport de la commission des travaux pour la rénovation partielle de l'établissement, dont aucune mention ne figurerait dans l'arrêt cantonal. En tout état de cause, le Tribunal fédéral ne voit pas en quoi la responsabilité pénale de l'un ou l'autre membre du comité - qui n'est peut-être plus en fonction - serait déterminante pour la résolution des questions litigieuses.
Dans la mesure où il est recevable, le grief d'arbitraire dans l'appréciation des preuves ne peut être qu'écarté.
4.2.2. En se prévalant d'une violation des art. 328 et 49 CO, le recourant se réfère au tort moral qu'il aurait subi parce qu'il n'aurait pas bénéficié de vacances durant vingt ans, à l'exception d'une semaine qu'il aurait prise en 2005. A son sens, il appartenait à l'employeuse de faire en sorte qu'il prenne ses congés, sans qu'il aie à le demander. L'inaction de l'intimée s'apparenterait à une violation du contrat de travail, laquelle s'inscrirait dans une relation de causalité avec les souffrances morales qu'il éprouve et justifierait l'indemnité pour tort moral réclamée, en sus du paiement des vacances non prises.
Ce reproche n'a pas grand-chose à voir avec les faits que l'employé a allégués dans sa demande pour justifier sa réclamation. Il y faisait valoir une atteinte à sa personnalité en alléguant que les découvertes qu'il avait effectuées en lien avec la gouvernance et les finances de l'auberge, en particulier les malversations dénoncées en 2004, auraient eu un effet désastreux sur sa santé psychologique de telle sorte qu'il s'était trouvé en état de dépression. Il reprochait à ses supérieurs de n'avoir pris aucune mesure pour protéger sa personnalité. L'audit commandé en 2017 par la Ville de X._, vécu comme une insulte en raison de l'absence de suite donnée aux malversations dénoncées treize ans plus tôt, l'aurait fait définitivement craquer. Faute d'allégations correspondantes de l'employé, la cour cantonale n'avait pas à examiner la prétention tendant à une indemnité pour tort moral sous l'angle qu'adopte désormais le recourant, qui est mal pris d'y voir à présent une violation des art. 328 et 49 CO.
Au demeurant, le recourant fonde son raisonnement sur des faits non retenus dans l'arrêt attaqué. S'agissant du droit aux vacances afférent aux années 2008 à 2012, la cour cantonale a considéré qu'il était prescrit au sens de l'<ref-law>. Elle ne s'est donc pas prononcée sur le nombre de jours de vacances que l'employé aurait pris durant cette période, respectivement sur ceux dont il serait encore bénéficiaire. Et le recourant ne voit là aucune violation du droit fédéral. De 2013 à 2016, l'autorité précédente a retenu que l'employé prenait, en tout cas une fois par mois, des week-ends prolongés afin de se rendre dans sa résidence secondaire, ce qui représentait une moyenne de 1,5 jours de congé par mois ou 18 jours par année. On est bien loin de la thèse selon laquelle il n'avait pas la possibilité de prendre un seul jour de congé.
4.2.3. Le recourant discerne également une violation des art. 328 et 49 CO dans le raisonnement de la cour cantonale qui aurait fait "fi des conséquences néfastes, en termes d'insécurité, de peurs, de sentiment d'abandon, résultant de cette situation pour un employé tel que le recourant dont la loyauté a été très largement soulignée et pas même mise en doute par l'intimée et (balayé) les souffrances psychiques et morales ressenties par l'employé qui n'osait ni s'absenter ni déléguer de peur - le tout pendant vingt années de service - que de nouvelles irrégularités ne soient commises et de se voir impliqué en sa qualité de directeur dans une malversation quelconque". La cour cantonale n'a toutefois pas nié la frustration de l'employé. Elle a simplement estimé que l'association avait réagi de manière adéquate lorsque l'audit a été mis en place en 2004, appréciation que le recourant ne remet pas en cause. Ceci scelle le sort de ce grief qui ne peut qu'être rejeté.
4.2.4. Quant à la violation des <ref-law> et 97 ss CO dont le recourant se plaint en relation avec le rejet de ses prétentions en indemnisation du différentiel entre les indemnités journalières qu'il a touchées et le salaire auquel il aurait eu droit s'il n'avait pas été malade, elle se confond avec l'affirmation selon laquelle il existerait un lien de causalité entre l'attitude de l'intimée et la dégradation de l'état de santé du recourant. Elle est donc, elle aussi, vouée au rejet.
4.2.5. Il s'ensuit que la cour cantonale a dénié à juste titre au recourant le droit à une indemnité en réparation d'un tort moral et d'un dommage liés à son état de santé, faute de comportement causal de l'intimée.
5.
Au chapitre de la rémunération correspondant aux jours de vacances non pris en nature, le recourant se plaint d'une violation de l'<ref-law> cum <ref-law>. En réalité, il est à nouveau question de constatation arbitraire des faits.
La cour cantonale a retenu, en fait, que l'employé prenait, en tout cas une fois par mois, des week-ends prolongés afin de se rendre dans sa résidence secondaire, ce qui représentait une moyenne de 1,5 jours de congé par mois ou 18 jours de vacances par année. Il avait dès lors droit à la rémunération du différentiel, compte tenu des 25 jours de vacances par année que le contrat de travail lui octroyait. Au total, elle a dès lors condamné l'employeur à lui verser 29'587 fr.93 au titre d'indemnité pour vacances non prises, pour la période de 2013 à 2018.
Le recourant soutient qu'il réalisait de nombreuses heures de travail supplémentaires que ses week-ends prolongés auraient compensées. Il serait dès lors arbitraire de retenir qu'il a bénéficié de 1,5 jours de congé par mois. Cela étant, le recourant n'a pas allégué en procédure la réalisation de ces heures de travail supplémentaires. A tout le moins n'indique-t-il pas le contraire dans son recours. Il ne saurait donc reprocher à l'autorité précédente de ne pas en avoir tenu compte. Partant, c'est à bon droit qu'elle n'a pas alloué au recourant la totalité de la somme à laquelle il prétend au titre des vacances non prises (soit 73'335 fr.).
6.
Sur le vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Le recourant supportera les frais judiciaires (<ref-law>) et versera à l'intimée une indemnité à titre de dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 4'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 5'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre des prud'hommes de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 2 novembre 2021
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Hohl
La Greffière : Godat Zimmermann