Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1965) ist Staatsangehöriger der Dominikanischen Republik. Er heiratete am 30. Juli 2011 eine in der Schweiz niedergelassene Landsfrau, reiste am 29. Juni 2012 in die Schweiz ein und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Ehefrau. Am 18. September 2015 wurde die gemeinsame Tochter geboren. Das Ehepaar ist seit 1. November 2016 gerichtlich getrennt; die Tochter wurde unter die Obhut der Mutter gestellt. In der Folge verweigerte das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern am 20. Dezember 2018 die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A._ und wies ihn aus der Schweiz weg. Die dagegen erhobenen Rechtsmittel wiesen die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern am 27. Dezember 2019 und das Verwaltungsgericht des Kantons Bern am 13. April 2021 in der Sache ab.
1.2. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 13. Mai 2021 beantragt A._ dem Bundesgericht, seine Aufenthaltsbewilligung sei zu verlängern. Zudem sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen und ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Das Bundesgericht hat keine Instruktionsmassnahmen verfügt. Mit dem vorliegenden Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften unter anderem die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in der Begründung in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. <ref-law> nennen dabei die zulässigen Rügegründe.
2.2. Das Verwaltungsgericht hat erwogen, dass sich der Beschwerdeführer grundsätzlich auf Art. 50 AuG (SR 142.20; in der bis zum 31. Dezember 2018 gültigen Fassung) und wegen seiner Tochter auch auf Art. 8 EMKR und <ref-law> berufen könne. Er erfülle allerdings den Widerrufsgrund von Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG, weil er seit November 2012 (mit seiner Familie und mit Unterbrüchen) bzw. seit November 2017 ununterbrochen Sozialhilfe in beträchtlicher Höhe beziehe (vgl. E. 4 des angefochtenen Urteils). Auch wenn anzuerkennen sei, dass die gesundheitlichen Beschwerden und die Betreuungspflichten des Beschwerdeführers die Stellensuche erschwert haben, sei es ihm nicht gelungen, zumindest eine Teilzeitanstellung zu finden. Dabei sei weder ersichtlich noch dargetan, dass er sich intensiv um eine Stelle bemüht hätte; aktenkundig seien lediglich zwei Anmeldungen vom Oktober 2018 und September 2020 für ein Beschäftigungs- bzw. Integrationsprogramm. Damit sei von einer Mitverantwortung des Beschwerdeführers an seiner schlechten finanziellen Situation auszugehen und bestehe ein gewichtiges öffentliches Interesse an der Entfernungsmassnahme (vgl. E. 5 des angefochtenen Urteils). Der Beschwerdeführer halte sich seit fast neun Jahren in der Schweiz auf, wovon rund zweieinhalb Jahre auf die aufschiebende Wirkung der von ihm ergriffenen Rechtsmittel entfielen. Er sei nicht beruflich-wirtschaftlich integriert. Vertiefte Deutschkenntnisse seien nicht nachgewiesen worden und eine tiefgreifende soziale Integration sei nicht erkennbar. Er habe 47 Jahre lang im Herkunftsstaat gelebt, sei mit den dortigen Verhältnissen bestens vertraut und pflege dort soziale Kontakte. Die Wiedereingliederung sei möglich und zumutbar. Seine hier lebende Tochter könne er von vornherein nur im Rahmen des Besuchsrechts sehen. Zwar bestehe eine enge affektive Beziehung und eine hinreichende wirtschaftliche Beziehung, doch könne dem Beschwerdeführer wegen des Sozialhilfebezugs kein tadelloses Verhalten attestiert werden. Auch wenn die Trennung vom Vater für die Tochter einschneidend sei, überwiege das öffentliche Interesse an der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung und Wegweisung (vgl. E. 6 und 7 des angefochtenen Urteils).
2.3. Mit diesen Erwägungen setzt sich die Beschwerde nicht substanziiert auseinander.
2.3.1. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, er habe im Oktober 2018 eine Stelle gefunden, doch hätten sich die Migrationsbehörden geweigert, ihm eine Arbeitserlaubnis auszustellen (vgl. S. 4 Ziff. 10 der Beschwerde), kann keine Rede davon sein, dass sich die Vorinstanz mit diesem Punkt nicht auseinandergesetzt habe. Das Verwaltungsge-richt hat erwogen, der Beschwerdeführer belege diese Behauptung nicht näher, sie werde von den Migrationsbehörden bestritten und sei auch nicht aktenkundig (vgl. E. 5.2 des angefochtenen Urteils). Damit setzt sich die Beschwerde nicht auseinander.
2.3.2. Weiter wendet sich der Beschwerdeführer dagegen, dass er sich nicht ernsthaft um eine Stelle bemüht haben soll. Er suche ständig nach Arbeit "im Umfang von mindestens fünf ernsthafte Arbeitssuche im Monat". Dies untermauert er mit zwei Absagen vom März 2021. Unabhängig davon, dass es sich dabei um unzulässige neue Beweismittel nach <ref-law> handelt, vermag der Beschwerdeführer keine ernsthaften Suchbemühungen nachzuweisen. Falls er tatsächlich über einen längeren Zeitraum hinweg fünf Bewerbungen pro Monat verfasst haben sollte, müsste er dutzende Bewerbungen bzw. Absagen vorlegen können. Die vorinstanzlichen Erwägungen, wonach sich in den Akten lediglich zwei Anmeldungen für ein Beschäftigungs- bzw. Integrationsprogramm finden lassen, werden aber nicht bestritten. Damit gelingt es dem Beschwerdeführer offensichtlich nicht, sein Verschulden am Sozialhilfebezug infrage zu stellen.
2.3.3. Der Beschwerdeführer bestreitet auch, dass sich sein Betreuungsaufwand für die Tochter verringert habe, seitdem sie die Sonderschule besuche (vgl. E. 5.3 des angefochtenen Urteils). Er bringt vor, "dass die Tochter noch mehr Zeit beim Vater ist" (vgl. S. 6 Ziff. 8 der Beschwerde). Inwieweit sich das aus dem Schreiben des Taxidienstes der Tochter ableiten lässt, ist indessen nicht ersichtlich und wird auch nicht näher begründet.
2.3.4. Der Beschwerdeführer rügt auch, dass das angefochtene Urteil dem Urteil des EGMR Udeh gegen die Schweiz vom 16. April 2013 (Nr. 12020/09) widerspreche. Indessen hat ihn bereits die Vorinstanz zu Recht darauf hingewiesen, dass diesem Entscheid angesichts der dortigen besonderen prozessrechtlichen Konstellation keine grundlegende Bedeutung zukommt und sich der vorliegende Fall wesentlich davon unterscheidet (vgl. E. 7.2 des angefochtenen Urteils; <ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 2.4).
2.3.5. Schliesslich rügt der Beschwerdeführer ganz allgemein die Verhältnismässigkeit der Wegweisung, ohne sich mit der umfassenden Interessenabwägung der Vorinstanz auseinanderzusetzen. Das Verwaltungsgericht hat ausdrücklich berücksichtigt, dass die Tochter von der Wegweisung stark betroffen sei, aber die Entfernungsmassnahme mit eingehender Begründung dennoch als verhältnismässig erachtet, worauf der Beschwerdeführer nicht weiter eingeht. Namentlich unterlässt er es, die "psychische Behinderung" der Tochter näher zu substanziieren (so schon E. 5.3 des angefochtenen Urteils). Insoweit ist die behauptete Kindeswohlgefährdung bzw. die Verletzung des Rechts auf Leben und Entwicklung der Tochter im Falle der Wegweisung des Beschwerdeführers nicht einmal ansatzweise dargetan.
2.4. Zusammenfassend enthält die Beschwerde offensichtlich keine hinreichende Begründung; darauf ist im vereinfachten Verfahren durch den Einzelrichter nicht einzutreten (<ref-law>).
3.
Von einer Kostenauflage kann abgesehen werden (<ref-law>). Damit wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Mai 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Businger