Sachverhalt:
A.
Am 15. Juli 2016 schlossen A._ (Mieterin, Beschwerdeführerin) und B._ (Vermieter, Beschwerdegegner) einen Mietvertrag über eine 1 1/2-Zimmerwohnung in Basel. Nachdem sich das Verhältnis zwischen den Parteien verschlechtert hatte, kündigte der Vermieter den Vertrag am 10. November 2016 per 1. März 2017 und begründete dies mit " Verhaltensgestörtheit, keine Vertrauensbasis mehr ".
B.
Mit Klage vom 27. März 2017 beim Zivilgericht Basel-Stadt beantragte die Mieterin, die Kündigung sei als missbräuchlich aufzuheben; eventualiter sei das Mietverhältnis erstmalig bis zum 1. März 2020 zu erstrecken. Mit Entscheid vom 12. Juni 2017 stellte das Zivilgericht fest, die Kündigung sei gültig und erstreckte das Mietverhältnis einmalig und definitiv bis zum 31. Dezember 2017. Eine gegen diesen Entscheid von der Mieterin erhobene Berufung wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 25. Dezember 2017 ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 2. Februar 2018 beantragt die Mieterin dem Bundesgericht im Wesentlichen, der Entscheid des Appellationsgerichts sei aufzuheben und die Kündigung vom 10. November 2016 sei ungültig zu erklären. Eventualiter sei das Mietverhältnis erstmals bis zum 28. Februar 2019 zu erstrecken. Subeventualiter sei die Sache an das Appellationsgericht zurückzuweisen. Sodann ersucht sie für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um Erteilung der aufschiebenden Wirkung wurde mit Präsidialverfügung vom 20. Februar 2018 abgewiesen.
In der Sache wurden keine Vernehmlassungen eingeholt. Der Beschwerdegegner hat aber mit Eingaben vom 23. Februar sowie 16. und 26. März 2018 unaufgefordert in der Sache Stellung genommen. Diese Eingaben wurden mit Verfügung vom 21. August 2018 der Beschwerdeführerin zur Kenntnisnahme zugestellt.

Erwägungen:
1.
Die Eintretensvoraussetzungen geben keinen Anlass zu Bemerkungen. Auf die Beschwerde ist - unter Vorbehalt einer hinreichenden Begründung (<ref-law>) - einzutreten.
2.
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft aber unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden. Nach <ref-law> ist in der Beschwerdeschrift in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Unerlässlich ist, dass auf die Begründung des angefochtenen Urteils eingegangen und im Einzelnen dargetan wird, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegen soll (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 68; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Macht die beschwerdeführende Partei eine Verletzung des Willkürverbots von <ref-law> geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich. Sie hat vielmehr im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern dieser offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 1.3 S. 60; <ref-ruling> E. 3 S. 352). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.8 S. 494; <ref-ruling> E. 2.1 S. 143).
3.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f. mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117, 264 E. 2.3 S. 266). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die genannten Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
Die Beschwerdeführerin ergänzt unter dem Titel Sachverhalt den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt, ohne dass die oben dargelegten Voraussetzungen gegeben wären. Aber auch im Rahmen ihrer rechtlichen Ausführungen ergänzt sie an zahlreichen Stellen den Sachverhalt unzulässigerweise. Darauf wird nicht eingetreten. Massgeblich ist allein der von der Vorinstanz festgestellte Sachverhalt.
4.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung des Anspruchs auf Beurteilung der Sache durch ein durch Gesetz geschaffenes Gericht (<ref-law> i.V.m. § 92 Abs. 1 Ziff. 6 des Gesetzes betreffend die Organisation der Gerichte und der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt vom 2. Juni 2015 [GOG; SG 154.100]). Gemäss Angaben im schriftlich begründeten Entscheid sei dieser am 25. Dezember 2017 gefällt worden und hätten daran drei Richter sowie der Gerichtsschreiber mitgewirkt. Unterzeichnet sei der Entscheid lediglich durch den Gerichtsschreiber. Am 19. Dezember 2017 habe der Präsident des Appellationsgerichts verfügt, eine Eingabe des Beschwerdegegners vom 15. Dezember 2017 werde "zu den Akten genommen". Damit habe er entschieden, diese Eingabe zum Gegenstand des Verfahrens zu machen - andernfalls hätte er sie aus den Akten gewiesen. Es müsse davon ausgegangen werden, dass das angefochtene Urteil "unter diesen zeitlichen Rahmenbedingungen" - d.h. zwischen dem 19. und dem 25. Dezember nicht habe in gesetzes- und verfassungskonformer Form gefällt werden können. Es könne ausgeschlossen werden, dass alle drei beteiligten Richter in Kenntnis der gesamten Akten auf dem Zirkulationsweg entschieden hätten.
Der Einwand, der Entscheid sei nur vom Gerichtsschreiber unterzeichnet worden, ist trölerisch. Die Beschwerdeführerin wurde bereits in dem von ihr geführten Beschwerdeverfahren 4A_615/2013 vom 4. April 2014 E. 4 betreffend Kündigungsschutz darauf hingewiesen, dass das kantonale Recht die Unterzeichnung regle und sie die Nichtbeachtung des kantonalen Rechts nicht geltend mache. Auf eine solche beruft sie sich auch hier nicht, womit keine genügende Rüge vorliegt (vgl. E. 2.1 hiervor).
Für die Beurteilung der Berufung war das Dreiergericht des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt zuständig (§ 92 Abs. 1 Ziff. 6 GOG). Das hielt auch die Vorinstanz fest. Weiter führte sie aus, der Entscheid sei unter Beizug der Zivilgerichtsakten auf dem Zirkulationsweg gefällt worden. Die ZPO bestimmt nicht, wie der Entscheid zu fällen ist; damit ist von Bundesrechts wegen auch die Entscheidfindung auf dem Zirkularweg zulässig (GEORG NAEGELI/NADINE MAYHALL, in: Paul Oberhammer und andere [Hrsg.], ZPO Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 11 zu <ref-law>). Im zit. Urteil 4A_615/2013 E. 4 wurde bereits festgehalten, es sei nicht erkennbar, dass nach kantonalem Recht eine Entscheidfällung auf dem Zirkulationsweg nicht zulässig sein soll. Abgesehen davon prüft das Bundesgericht die Anwendung kantonalen Rechts, unter Vorbehalt von Art. 95 lit. c - e BGG, ohnehin nur auf Bundesrechtsverletzungen (namentlich Willkür) hin (<ref-ruling> E. 2 S. 149 f.).
Kann ein Entscheid auf dem Zirkulationsweg gefällt werden, lässt sich aus den von der Beschwerdeführerin erwähnten zeitlichen Zusammenhängen nichts ableiten. Die Eingabe des Beschwerdegegners traf am 18. Dezember 2017 (Montag) beim Gericht ein. Damit stand für die Zirkulation eine Arbeitswoche bis Freitag, 22. Dezember 2017, zur Verfügung. Ein einfacher Fall kann ohne weiteres in einigen Tagen und jedenfalls in einer Woche auf dem Zirkularweg entschieden werden. Dass schliesslich ein Mitglied des Spruchkörpers oder der Gerichtsschreiber am Weihnachtstag ins Büro ging, um die abgeschlossene Zirkulation und damit das Urteilsdatum festzustellen, lässt ebenfalls keine Rückschlüsse im Sinn der Beschwerdeführerin zu. Eine Verletzung von <ref-law> ist nicht dargetan.
5.
Die Beschwerdeführerin sieht eine Verletzung von Art. 29 Abs. 1 und 2 BV sowie Art. 6 EMRK darin, dass das Gericht die Eingabe des Beschwerdegegners vom 15. Dezember zu den Akten genommen, ihr diese jedoch nicht zur Kenntnis gebracht habe.
Gemäss <ref-law> haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Dieser ist formeller Natur und seine Verletzung führt daher ungeachtet der Erfolgsaussichten der Beschwerde in der Sache selbst grundsätzlich zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids (<ref-ruling> E. 4 S. 52 ff.; <ref-ruling> E. 3.2 S. 191 f.). Der Anspruch auf rechtliches Gehörs ist jedoch kein Selbstzweck. Wenn nicht ersichtlich ist, inwiefern die Verletzung des rechtlichen Gehörs einen Einfluss auf das Verfahren haben könnte, besteht kein Interesse an der Aufhebung des Entscheids (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 386; Urteile 4A_247/2017 vom 18. April 2018 E. 5.1.3 und 5.2.2; 4A_141/2016 vom 26. Mai 2016 E. 1.2; 4A_554/2012 vom 21. März 2013 E. 4.1.2 mit weiteren Hinweisen; 4A_153/2009 vom 1. Mai 2009 E. 4.1; CHRISTOPH HURNI, in: Berner Kommentar, 2012, N. 84 zu <ref-law>).
Vorliegend ist nicht ersichtlich, welchen Einfluss die Verletzung des rechtlichen Gehörs auf das Ergebnis des Verfahrens gehabt haben könnte. Und die Beschwerdeführerin legt nichts dergleichen dar. Sie beruft sich einzig auf den formellen Fehler der fehlenden Zustellung. Sie zeigt nicht auf, inwiefern die Eingabe des Beschwerdegegners vom 15. Dezember 2017 für sie Anlass zu einer Stellungnahme gegeben hätte. Der Entscheid ist daher nicht aus formellen Gründen aufzuheben.
6.
Gemäss <ref-law> ist eine Kündigung durch den Vermieter anfechtbar, wenn sie während eines mit dem Mietverhältnis zusammenhängenden Schlichtungs- oder Gerichtsverfahrens ausgesprochen wird, ausser wenn der Mieter das Verfahren missbräuchlich eingeleitet hat. Die Vorinstanz verneinte eine Anfechtbarkeit unter diesem Titel zu Recht. Das wird von der Beschwerdeführerin nicht mehr beanstandet.
7.
Die strittige Kündigung ist eine ordentliche Kündigung. Eine ordentliche Kündigung setzt keine besonderen Kündigungsgründe voraus. Mieter und Vermieter sind grundsätzlich frei, den Mietvertrag unter Einhaltung der vertraglichen oder gesetzlichen Fristen und Termine zu beenden. Eine Schranke ergibt sich einzig aus dem Grundsatz von Treu und Glauben (<ref-law>). Als treuwidrig gilt eine Kündigung im Allgemeinen, wenn sie ohne objektives, ernsthaftes und schützenswertes Interesse ausgesprochen wird und damit schikanös ist oder zu einem krassen Missverhältnis berechtigter Interessen führen würde (<ref-ruling> E. 3.4.2 S. 744 f.; Urteil 4C.365/2006 vom 16. Januar 2007 E. 3.2; je mit Hinweisen). Sie verstösst namentlich dann gegen Treu und Glauben, wenn die angegebene Begründung offensichtlich bloss vorgeschoben ist (<ref-ruling> E. 4.1 mit Hinweisen). Nach der ausdrücklichen Gesetzesvorschrift von <ref-law> ist eine Kündigung durch den Vermieter sodann insbesondere anfechtbar, wenn sie ausgesprochen wird, weil der Mieter nach Treu und Glauben Ansprüche aus dem Mietverhältnis geltend macht. Es genügt, wenn sich von mehreren angegebenen Kündigungsgründen einer nicht als treuwidrig erweist (zit. Urteil 4C.365/2006 E. 3.2; Urteil 4A_155/2009 vom 27. Januar 2010 E. 6.2.1; je mit Hinweisen).
Die Feststellung des Kündigungsgrundes bzw. -motivs betrifft eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 2 S. 192; <ref-ruling> E. 4.3 S. 540; <ref-ruling> E. 4.1 S. 702; <ref-ruling> E. 2b S. 486). Ob die Vermieterschaft den angegebenen Kündigungsgrund nur vorgeschoben hat, entscheidet das kantonale Gericht demnach unter Vorbehalt von Art. 97 Abs. 1 sowie <ref-law> für das Bundesgericht verbindlich (vgl. E. 3 hiervor). Ob eine Kündigung gegen Treu und Glauben verstösst, ist dagegen eine Rechtsfrage (Urteile 4A_476/2016 vom 20. Februar 2017 E. 2.2.1 und 4A_705/2014 vom 8. Mai 2015 E. 4.2).
7.1. Nach den Feststellungen der Vorinstanz ersuchte die Beschwerdeführerin den Beschwerdegegner mit eingeschriebenem Brief vom 4. November 2016, ihr bis zum 14. November 2016 das Anbringen von Katzentüren schriftlich zu bewilligen, andernfalls sie sich gezwungen sehe, bei der Schlichtungsstelle für Mietstreitigkeiten ein entsprechendes Schlichtungsgesuch einzureichen. Das Zivilgericht verneinte, dass deshalb eine Kündigung wegen der Geltendmachung von Ansprüchen aus dem Mietverhältnis vorgelegen hätte. Denn beim Einbau einer oder zweier Katzentüren handle es sich um bauliche Veränderungen, die gemäss <ref-law> nur mit schriftlicher Zustimmung des Vermieters erlaubt seien. Ein Anspruch auf eine entsprechende Zustimmung bestehe nicht und deren Verweigerung sei auch nicht treuwidrig. Daher habe die Beschwerdeführerin nicht einen Anspruch aus dem Mietverhältnis geltend gemacht, weshalb auch keine Kündigung wegen der Geltendmachung von Ansprüchen aus dem Mietverhältnis im Sinne von <ref-law> vorliegen könne.
Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (vgl. E. 3 hiervor), hat die Beschwerdeführerin im Berufungsverfahren nicht beanstandet, dass sie mit dem Gesuch um Einbau einer oder zweier Katzentüren keinen materiell-rechtlichen Anspruch aus dem Mietverhältnis geltend gemacht hat. Soweit die Beurteilung deshalb unter dem Gesichtspunkt der Letztinstanzlichkeit (<ref-law>) überhaupt noch der bundesgerichtlichen Überprüfung zugänglich ist, weist die Beschwerdeführerin sie jedenfalls nicht als bundesrechtswidrig aus. Auch aus der von ihr angegebenen Literaturstelle (ROGER WEBER, in: Basler Kommentar Obligationenrecht, 6. Aufl. 2015, N. 2 zu <ref-law>) ergibt sich nicht, dass der Einbau von Katzentüren keine bauliche Änderung im Sinne von <ref-law> darstellt. Vielmehr hält dieser Autor ausdrücklich fest, dieser Bestimmung unterstellt werden könnten jedoch diejenigen Investitionen des Mieters, die der individuellen Anpassung der gebrauchstauglichen Sache an besondere Bedürfnisse des Mieters dienten [Hervorhebung durch den Autor].
Dass der Beschwerdegegner, wie von der Beschwerdeführerin behauptet, zugesichert hätte, "für eine Lösung für die Katze " zu sehen, wurde von der Vorinstanz nicht festgestellt, und die Beschwerdeführerin erhebt keine rechtsgenügliche Sachverhaltsrüge (vgl. E. 3 hiervor). Im Übrigen würde auch eine solche Zusicherung nicht ohne weiteres bedeuten, dass die Beschwerdeführerin eine bestimmte Art der Problemlösung (hier der Einbau von Katzentüren) verlangen kann, weshalb die Beschwerdeführerin auch daraus kein treuwidriges Verhalten ableiten könnte.
7.2. Die Vorinstanz stellte zu den Kündigungsmotiven für das Bundesgericht verbindlich fest (vgl. E. 7 hiervor), der Beschwerdegegner habe - jedenfalls schwergewichtig - wegen des gestörten Vertrauensverhältnisses gekündigt. Sie erachtete die vom Beschwerdegegner vorgebrachten Gründe als erstellt bzw. zumindest als glaubhaft gemacht, nämlich: dass die Beschwerdeführerin nur zwei Wochen, nachdem sie schriftlich bestätigt hatte, nur eine Katze zu halten, dem Beschwerdegegner eröffnete, sie halte nunmehr zwei Katzen; dass sie sich grundlos weigerte, den Briefkasten anzuschreiben und es dem Beschwerdegegner damit erschwerte, ihr schriftliche Erklärungen zukommen zu lassen und schliesslich dass sie die Fenster, entgegen dem Willen des Beschwerdegegners, (für die Katzen) offen liess, womit es im Haus kalt werde und die anderen Mieter frören.
7.2.1. Die Vorinstanz erwog unter Hinweis auf bundesgerichtliche Rechtsprechung (Urteile 4A_525/2009 vom 15. März 2010 E. 10.1; Urteil 4A_575/2008 vom 19. Februar 2009 E. 3.1; je mit Hinweisen), der Empfänger der Kündigung müsse beweisen, dass diese aus einem verpönten oder ohne schützenswerten Grund erfolgt sei. Der Kündigende müsse indessen redlich zur Wahrheitsfindung beitragen. In diesem Sinn habe er den Kündigungsgrund wenigstens glaubhaft zu machen. Hinsichtlich des Offenlassens der Fenster stellte die Vorinstanz fest, die Beschwerdeführerin habe auf die entsprechende Abmahnung des Vermieters in ihrem E-Mail vom 4. Oktober 2016 nicht bestritten, dass sie die Fenster offen lassen würde ("[d]ie Fenster, die offen sind, betreffen die Fenster auf der Seite zum Innenhof, welcher von Häusern umschlossen ist. Es ist also höchst unwahrscheinlich, dass eine Anwohnerin durch diese Fenster in die Wohnung gehen sollte. Ausserdem habe ich eine Privathaftpflicht- und Hausratversicherung [...] abgeschlossen"). Aufgrund dieses Schreibens sowie weiterer Schreiben der Beschwerdeführerin habe der Vermieter "zumindest glaubhaft" gemacht, dass die Beschwerdeführerin die Fenster wiederholt offen gelassen habe.
7.2.1.1. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von <ref-law> (Beweislast). Sinngemäss macht sie geltend, Glaubhaftmachen genüge nicht. Der Vermieter müsse den Beweis für den Kündigungsgrund erbringen.
Der Beschwerdegegner hat die Kündigung mit einem Vertrauensverlust begründet und sich dafür auf drei Sachverhalte berufen. Aufgrund des von der Vorinstanz zitierten Schreibens ("[d]ie Fenster, die offen sind [...]", vgl. hiervor E. 7.2.1) hatte er keinen Anlass anzunehmen, die Beschwerdeführerin würde die Fenster nicht offen lassen; vielmehr musste er davon ausgehen, diese suche nach - für ihn nicht akzeptablen - Rechtfertigungen für ihr Verhalten. Im Zeitpunkt des Aussprechens der Kündigung durfte der Beschwerdegegner nach Treu und Glauben daher von einem pflichtwidrigen Verhalten der Beschwerdeführerin ausgehen. Das genügt.
7.2.1.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, sie habe im Berufungsverfahren gerügt, das Zivilgericht habe es unzulässigerweise unterlassen, über die bestrittenen Kündigungsgründe Beweis zu führen. Insbesondere habe sie (im Verfahren) bestritten, die Fenster stets offen gelassen zu haben. Mit der Begründung des Zivilgerichts und mit ihm des Appellationsgerichts, wonach sich der Sachverhalt hinsichtlich des Offenlassens der Fenster, aus der Korrespondenz zwischen den Parteien ergebe, setzt sie sich aber nicht auseinander. Damit liegt eine ungenügende Rüge vor (vgl. E. 2 hiervor); darauf ist nicht einzutreten. Weiter unterlässt es die Beschwerdeführerin anzugeben, wo im Berufungsverfahren sie Entsprechendes gerügt hätte. Die Vorinstanz hat nichts dergleichen festgestellt. Damit liegt auch hinsichtlich der Ergänzung des Prozesssachverhalts eine ungenügende Rüge vor. Die Rüge ist somit in mehrfacher Hinsicht unbehelflich.
Im Übrigen kann ein Gericht in antizipierender Würdigung auf die Abnahme eines Beweismittels verzichten, wenn es den Beweis für eine Tatsache, hier die fehlende Vertrauensbasis seitens des Vermieters, aufgrund bestimmter, bereits abgenommener Beweismittel (hier der Korrespondenz) als erbracht erachtet und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen darf, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert werden würde (<ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 2b S. 229; <ref-ruling> E. 4b S. 268 f.) In der Beschwerde zeigt die Beschwerdeführerin ebenfalls nicht auf, welche Beweismittel sie im vorinstanzlichen Verfahren prozesskonform angeboten hat, die dazu geeignet gewesen wären, das sich aus der Korrespondenz ergebende Beweisergebnis, nämlich dass der Beschwerdegegner Anlass hatte anzunehmen, die Beschwerdeführerin würde die Fenster weiter offen lassen, zu erschüttern.
7.2.2. Dass die Vorinstanz hinsichtlich des tatsächlichen Bestehens und des Überwiegens bzw. der Kausalität dieser Kündigungsmotive im Übrigen eine offensichtlich unrichtige Feststellung (vgl. E. 3 hiervor) getroffen hätte, tut die Beschwerdeführerin nicht hinreichend dar und ist auch nicht ersichtlich. Sie behauptet einfach erneut, angesichts des zeitlichen Zusammenhangs mit dem drohenden Schlichtungsverfahren liege "der Schluss nahe", dass ein Vergeltungsmotiv vorgelegen habe bzw. sei ein solches zu "vermuten". Mit solch vagen Ausführungen lässt sich eine Willkürrüge nicht begründen. Auch der erneute Hinweise, mit dem Wort "Verhaltensgestörtheit" in der Kündigungsbegründung sei gezielt auf die Behinderung der Beschwerdeführerin angespielt worden, es sei also in Tat und Wahrheit um eine diskriminierende Kündigung einer hörbehinderten Mieterin gegangen, ist haltlos, zumal der Beschwerdegegner ja die gleiche hörbehinderte Mieterin nur kurz zuvor als Mieterin akzeptiert hatte, was er kaum getan hätte, wenn auf seiner Seite irgendwelche diskriminierenden Motive vorhanden gewesen wären.
7.2.3. Die Beschwerdeführerin rügt, auch wenn von den genannten Vorwürfen auszugehen wäre, würde eine darauf gestützte Kündigung gegen den Grundsatz der schonenden Rechtsausübung verstossen. Insbesondere in diesem Teil ihrer Beschwerde ergänzt sie den Sachverhalt unzulässig, worauf wie erwähnt nicht einzutreten ist (vgl. E. 3 hiervor). Sie macht geltend, wäge man die gegenüberstehenden Interessen gegeneinander ab, bestehe ein krasses Missverhältnis. Auf der einen Seite handle es sich bei den Vorwürfen des Vermieters um Bagatellen; demgegenüber stünden auf ihrer Seite existenzielle Interessen auf dem Spiel. Für sie wäre es mit erheblichen Schwierigkeiten verbunden, eine neue Wohnung zu finden; denn sie sei schwer hörbehindert, zurzeit erwerbslos, beziehe Sozialhilfe, habe ein belastetes Betreibungsregister und halte eine Katze.
Abgesehen davon, dass die Beschwerdeführerin nicht mit Aktenhinweisen angibt, wo sie die angeführten teilweise neuen Umstände (z.B. belastetes Betreibungsregister) im vorinstanzlichen Verfahren prozesskonform eingebracht hat (vgl. E. 3 hiervor), so dass diese Vorbringen im Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht als unzulässige Noven zu gelten haben, ist die Rüge auch rechtlich nicht begründet. Ob die Kündigungsgründe genügen, ist wie erwähnt (E. 7 hiervor) eine Rechtsfrage. Die Vorinstanz hat die Gründe des Beschwerdegegners - abgesehen von der Pflichtwidrigkeit der offenen Fenster - zwar als nicht besonders schwer bezeichnet, jedoch festgehalten, in Kombination mit letztgenannter Verhaltensweise handle es sich nicht mehr um Bagatellen, welche die Kündigung treuwidrig erscheinen lassen würden. Sie hat damit eine Interessenabwägung vorgenommen. Die Beschwerdeführerin gewichtet anders und will eine andere Interessenabwägung. Vorerst ist daran zu erinnern, dass nur ein krasses Missverhältnis der Interessen die Kündigung als missbräuchlich erscheinen liesse. Hinzu kommt, dass den Schwierigkeiten, eine neue Wohnung zu finden, primär mit der Möglichkeit der Erstreckung Rechnung getragen wird (vgl. auch zit. Urteil 4A_575/2008 E. 2.2 mit Hinweisen).
Demzufolge ging die Vorinstanz ohne Rechtsfehler von einer gültigen Kündigung aus.
8.
Der Mieter kann die Erstreckung eines befristeten oder unbefristeten Mietverhältnisses verlangen, wenn die Beendigung der Miete für ihn oder seine Familie eine Härte zur Folge hätte, die durch die Interessen des Vermieters nicht zu rechtfertigen wäre (<ref-law>). Die Dauer der Erstreckung beträgt für Wohnräume höchstens vier Jahre, wobei im Rahmen der Höchstdauer eine oder zwei Erstreckungen gewährt werden können (<ref-law>).
8.1. Das Zivilgericht gewährte eine einmalige Erstreckung um neun Monate bis Ende Dezember 2017. Es berücksichtigte dabei auf Seite der Mieterin, dass das Mietverhältnis bis zur Kündigung nur knapp vier Monate gedauert hatte sowie ihr Verhalten, wobei es nebst den bereits erwähnten Punkten auch einbezog, dass die Beschwerdeführerin dem Vermieter den Zutritt zur Wohnung anlässlich eines im April 2017 eingetretenen Wasserschadens verweigert hatte. Auf der andern Seite stellte es darauf ab, dass die Beschwerdeführerin hörbehindert und sozialhilfeabhängig ist. Die Vorinstanz bezog sich darauf und erwog, damit habe das Zivilgericht die massgeblichen Gesichtspunkte gewürdigt. Nicht explizit erwähnt habe es einzig den geringen Wohnungsleerstand. Dies sei aber eine notorische Tatsache, weshalb anzunehmen sei, das Zivilgericht habe auch diesen Gesichtspunkt in seiner Interessenabwägung berücksichtigt. Dem Zivilgericht sei bei der Festlegung der Erstreckungsdauer ein weiter Ermessensspielraum zugestanden. Selbst wenn man annehmen würde, dass das Zivilgericht die Wohnungsleerstandsquote nicht berücksichtigt hätte, würde kein Anlass bestehen, in den weiten zivilgerichtlichen Ermessensspielraum einzugreifen und die Erstreckung um neun Monate als unangemessen kurz zu qualifizieren.
8.2. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe die Rüge der Unangemessenheit des erstinstanzlichen Erstreckungsentscheids nicht frei, sondern zum Nachteil der Beschwerdeführerin mit eingeschränkter Kognition geprüft. Mit der selbst auferlegten Zurückhaltung bei der Ermessensüberprüfung habe sie ihre Kognition unzulässig eingeschränkt und <ref-law> verletzt.
Ob eine Zurückhaltung des Berufungsgerichts bei der Überprüfung des von der Erstinstanz ausgeübten Ermessens (im Sinn des Rechtsfolgeermessens) analog der bundesgerichtlichen Zurückhaltung im Beschwerdeverfahren (vgl. E. 8.4 hiernach) mit <ref-law> vereinbar ist, kann offen gelassen werden (vgl. auch Urteil 4A_699/2014 vom 7. April 2015 E. 3.3). Die Vorinstanz hat nämlich trotz der etwas unglücklichen Formulierung keine solche Zurückhaltung ausgeübt. Sie erwog die Hypothese, dass das Zivilgericht den Wohnungsleerstand nicht als Kriterium berücksichtigt hat. Die Berücksichtigung des Wohnungsleerstands hätte nach Auffassung der Beschwerdeführerin zu einer Verlängerung der Erstreckung führen müssen. Die Vorinstanz schloss dann aber, neun Monate Erstreckung seien auf jeden Fall angemessen, also auch wenn man den niedrigen Wohnungsleerstand berücksichtigen würde. Mit andern Worten übte sie ihr eigenes Ermessen aus, indem sie auch unter Berücksichtigung dieses Kriteriums eine Verlängerung nicht als angezeigt erachtete.
8.3. Nach Auffassung der Beschwerdeführerin beruht der angefochtene Erstreckungsentscheid im Hinblick auf die Würdigung des ihr angelasteten Verhaltens auf einem aktenwidrigen Sachverhalt. Es treffe zwar zu, dass sie dem Beschwerdegegner anlässlich des Wasserschadens im April 2017 den Zutritt verweigert habe. Die Vorinstanz unterstelle aber, sie habe damit die Mängelbeseitigung vereitelt. Aus dem von den kantonalen Gerichten zitierten Verhandlungsprotokoll ergebe sich jedoch, dass sie selber bereits vor diesem Zeitpunkt den Sanitärfachmann habe kommen lassen.
Der Einwand ist trölerisch. Die Vorinstanz verwies auf die gleiche Stelle im Verhandlungsprotokoll (S. 5), die von der Beschwerdeführerin in der Beschwerde wörtlich zitiert wird, und zudem auf die Feststellungen des Zivilgerichts (E. 4.3 S. 17 f.). Die Beschwerdeführerin zitiert selektiv nur den Schluss der entsprechenden Ausführungen des Beschwerdegegners. Aus den vollständigen Ausführungen des Beschwerdegegners ergibt sich, dass sie ihm bereits zuvor den Zutritt verweigerte, und ihm so verunmöglichte, den Schaden zu sichten und die notwendigen Massnahmen in die Wege zu leiten. Genau dies stellten das Zivilgericht und das Appellationsgericht fest. Beide verwiesen darauf, dass die Beschwerdeführerin (bzw. deren Rechtsvertreter) gemäss Verhandlungsprotokoll (S. 6) diese Behauptung nicht bestritten habe. Letzteres stellt die Beschwerdeführerin nicht in Frage. Von Aktenwidrigkeit und Willkür kann nicht die Rede sein.
Soweit sie erneut den mangelnden Beweis des Offenlassens der Fenster rügt, sei auf die vorstehenden Erwägungen (E. 7.2.1) verwiesen.
8.4. Abschliessend rügt die Beschwerdeführerin eine pflichtwidrige Ermessensausübung durch die Vorinstanz, indem sie die Interessen des Beschwerdegegners im Vergleich zu den ihrigen klarerweise zu viel Gewicht beigemessen habe.
Das Bundesgericht überprüft Ermessensentscheide seiner Vorinstanz an sich frei. Es übt dabei aber Zurückhaltung und schreitet nur ein, wenn die Vorinstanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgegangen ist, wenn sie Tatsachen berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt Umstände ausser Betracht gelassen hat, die hätten beachtet werden müssen. Es greift ausserdem in Ermessensentscheide ein, wenn sich diese als offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 671; <ref-ruling> E. 2 S. 123 f.; Urteile 4A_83/2016 vom 22. September 2016 E. 3.5.1; 4A_73/2017 vom 26. Juli 2017 E. 4.1).
Mit ihrer Rüge macht die Beschwerdeführerin sinngemäss geltend, es liege ein offensichtlich unbilliges Ergebnis vor. Davon kann nicht die Rede sein.
9.
Die Rügen der Beschwerdeführerin erweisen sich als unbegründet. Die Beschwerde ist daher abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann. Da sie von vornherein aussichtslos war, kann dem Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren nicht entsprochen werden (<ref-law>). Damit wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Der Beschwerdegegner musste in der Sache selber nicht Stellung nehmen. Er ist nicht anwaltlich vertreten, weshalb ihm keine Parteientschädigung zuzusprechen ist (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; BGE <ref-ruling> E. 4 S. 446 mit Hinweis).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. September 2018
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Gross