Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat führte gegen A._ eine Strafuntersuchung. Am 28. November 2016 wurde er festgenommen und befindet sich seither in Untersuchungs- und Sicherheitshaft sowie im vorzeitigen Strafvollzug. Mit Urteil vom 21. Juni 2021 verurteilte ihn das Bezirksgericht Zürich wegen mehrfachen Menschenhandels, mehrfacher Förderung der Prostitution, einfacher Körperverletzung, gewerbsmässigen Betrugs, mehrfacher Urkundenfälschung und weiterer Delikte (namentlich Konkursdelikten sowie Verstössen gegen das SVG und das BetmG) zu einer Freiheitsstrafe von achteinhalb Jahren; zugleich wurde eine ambulante Behandlung psychischer Störungen angeordnet. Dagegen erhob sowohl er selbst als auch die Staatsanwaltschaft Berufung.
Anlässlich der Hauptverhandlung vor dem Bezirksgericht hatte A._ um Entlassung aus dem vorzeitigen Strafvollzug ersucht. Das Bezirksgericht wies dieses Gesuch ab, ebenso das Obergericht des Kantons Zürich und das Bundesgericht die in der Folge bei ihnen erhobenen Beschwerden. Das Bundesgericht wies zudem auch das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab, weil sich das Begehren um Haftentlassung, eventualiter unter Anordnung von Ersatzmassnahmen, als aussichtslos erwies (Urteil 1B_468/2021 vom 21. September 2021).
Mit Eingabe vom 5. Januar 2022 stellte A._ erneut ein Haftentlassungsgesuch. Das Obergericht wies dieses Gesuch mit Präsidialverfügung vom 20. Januar 2022 ab.
Am 4. Oktober 2021 hatte A._ zudem die Gewährung eines Beziehungsurlaubs verlangt und am 14. Oktober 2021 die Versetzung in den offenen vorzeitigen Strafvollzug. Die kantonalen Bewährungs- und Vollzugsdienste leiteten die Gesuche am 12. Januar 2022 an das Obergericht weiter, das sie mit Präsidialverfügung vom 9. Februar 2022 abwies.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht vom 25. Februar 2022 beantragt A._, die beiden Präsidialverfügungen des Obergerichts vom 20. Januar 2022 und 9. Februar 2022 seien aufzuheben und er selbst umgehend aus dem vorzeitigen Strafvollzug zu entlassen, eventualiter unter Anordnung von Ersatzmassnahmen. Subeventualiter sei er in den offenen Strafvollzug zu versetzen und seien Beziehungsurlaube zu gewähren.
Das Obergericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Die Staatsanwaltschaft beantragt die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen zwei Entscheide des Obergerichts. Wie sich aus den nachfolgenden Erwägungen ergibt, hängen diese inhaltlich eng zusammen. Es rechtfertigt sich, die Verfahren zu vereinigen und die Sache in einem einzigen Urteil zu behandeln.
2.
Das Bundesgericht beurteilt Beschwerden gegen Entscheide in Strafsachen (<ref-law>). Die beiden angefochtenen Präsidialverfügungen sind Zwischenentscheide, die einen nicht wieder gutzumachenden Rechtsnachteil zur Folge haben können (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1). Das Obergericht hat als letzte und einzige kantonale Instanz entschieden (<ref-law> i.V.m. Art. 233, Art. 235 Abs. 2 und Art. 393 Abs. 1 StPO; zur Zuständigkeit der Verfahrensleitung des Berufungsgerichts, über die Versetzung in den offenen vorzeitigen Strafvollzug zu befinden, s. Urteil 1B_636/2021 vom 21. Dezember 2021 E. 6 mit Hinweisen; zu deren Zuständigkeit, über die Gewährung strafprozessualen Hafturlaubs zu entscheiden, s. <ref-ruling> E. 1 und 4.4 mit Hinweisen). Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
3.
Der Beschwerdeführer befindet sich im vorzeitigen Strafvollzug. Dies hindert ihn nicht daran, ein Gesuch um Haftentlassung zu stellen. Auf Gesuch um Entlassung aus dem vorzeitigen Strafvollzug hin ist zu prüfen, ob die Haftvoraussetzungen gegeben sind (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweisen).
Nach <ref-law> sind Untersuchungs- und Sicherheitshaft unter anderem zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist und ernsthaft zu befürchten ist, dass sie sich durch Flucht dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion entzieht (Abs. 1 lit. a). An ihrer Stelle sind Ersatzmassnahmen anzuordnen, wenn sie den gleichen Zweck wie die Haft erfüllen (Art. 212 Abs. 2 lit. c und Art. 237 ff. StPO). Der Beschwerdeführer bestreitet sowohl den dringenden Tatverdacht als auch die Fluchtgefahr.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer bringt zum dringenden Tatverdacht vor, dass zwei der Privatklägerinnen von ihren ursprünglichen belastenden Aussagen Abstand genommen hätten. Beide hätten angegeben, von den Strafbehörden zu Falschaussagen gezwungen worden zu sein. Die Privatklägerin B._ habe mit Schreiben vom 21. November 2021 bestätigt, dass stattdessen ihre spätere Aussage zutreffe, wonach der Beschwerdeführer nicht ihr Zuhälter gewesen sei, sie ihm kein Geld habe geben müssen, sie vielmehr selbstständig als Prostituierte gearbeitet habe und von niemandem zu etwas gezwungen worden sei. Auch die Privatklägerin C._ habe bestätigt, unter Druck falsche belastende Aussagen gemacht zu haben. Die Polizei habe ihr gedroht, ihr andernfalls die Kinder wegzunehmen. Vor diesem Hintergrund sei im Berufungsverfahren in erster Linie mit Freisprüchen zu rechnen. Hinzuweisen sei auch darauf, dass seine Mutter wegen des Unterdrucksetzens von B._ angeklagt, aber in der Folge freigesprochen worden sei. Das Obergericht sei nicht auf diese Vorbringen eingegangen und habe dadurch das rechtliche Gehör grundlegend missachtet. Zudem sei tatsachenwidrig zu behaupten, die Sachlage habe sich nicht verändert.
4.2. Das Obergericht legte dar, das Bezirksgericht sei bereits einlässlich auf die Möglichkeit, dass die Privatklägerinnen seitens der Behörden unter Druck gesetzt worden seien, eingegangen (S. 47 ff. des Urteils vom 21. Juni 2021). Es werde im Berufungsverfahren zu prüfen sein, ob die Sachlage angesichts der neu eingereichten Bestätigung anders zu beurteilen sein werde. Der dringende Tatverdacht entfalle dadurch aber jedenfalls nicht und sei unter Hinweis auf die Erwägungen des Bezirksgerichts bzw. die entsprechenden Schuldsprüche nach wie vor zu bejahen.
4.3. Mit diesen Erwägungen, wenn sie auch knapp ausgefallen sind, ist das Obergericht seiner Begründungspflicht nachgekommen. Angesichts des Umstands, dass das vom Beschwerdeführer im vorinstanzlichen Verfahren vorgelegte Schreiben vom 21. November 2021 inhaltlich eine Bestätigung von früheren Aussagen darstellt, die bereits im Zeitpunkt des Erlasses des erstinstanzlichen Urteils bekannt waren und auch in dieses eingeflossen sind, konnte sich das Obergericht insofern ohne Weiteres auf einen entsprechenden Verweis beschränken. Die Rüge der Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör ist deshalb unbegründet (<ref-law>). Auch die Kritik an der Sachverhaltsfeststellung zielt ins Leere: Ob das erwähnte Schreiben den dringenden Tatverdacht dahinfallen lässt, ist eine Frage der rechtlichen Würdigung, nicht der Sachverhaltsfeststellung.
4.4. Auch inhaltlich vermag der angefochtene Entscheid in diesem Punkt zu überzeugen. Nach ständiger bundesgerichtlicher Rechtsprechung gilt der dringende Tatverdacht bei einer erstinstanzlichen Verurteilung grundsätzlich ohne Weiteres als erstellt und kann nicht mit einer pauschalen Kritik in Zweifel gezogen werden (Urteil 1B_531/2021 vom 20. Oktober 2021 E. 4 mit Hinweis). Wie das Obergericht zu Recht festhielt, ist das Bezirksgericht vertieft auf den Vorwurf der Beeinflussung der Privatklägerinnen durch die Behörden eingegangen. Diesen erachtete es als unbegründet. Unter anderem wies es darauf hin, dass die Privatklägerin C._ im Vorverfahren zunächst geltend gemacht habe, dass es der Beschwerdeführer gewesen sei, der sie unter Androhung der Wegnahme der Kinder unter Druck gesetzt habe. Später habe sie ihre Aussagen ins Gegenteil verkehrt und behauptet, die Behörden hätten ihr damit gedroht, die Kinder wegzunehmen. Auch hob es hervor, dass es noch weitere belastende Aussagen von anderen Privatklägerinnen bzw. Beteiligten gebe und zudem unzählige Chats und Telefonabhörprotokolle vorlägen, welche diese Aussagen untermauerten. Der Beschwerdeführer geht auf diese Ausführungen mit keinem Wort ein. Sein Hinweis auf das Schreiben vom 21. November 2021 ist vor diesem Hintergrund nicht geeignet, eine offensichtliche Fehlerhaftigkeit des erstinstanzlichen Urteils, die den dringenden Tatverdacht dahinfallen liesse, darzutun (vgl. Urteil 1B_106/2021 vom 19. März 2021 E. 3.2).
5.
Mit der Frage der vom Beschwerdeführer ausgehenden Fluchtgefahr hat sich das Bundesgericht bereits im Urteil 1B_468/2021 vom 21. September 2021 befasst. Es hat sie bejaht und dargelegt, weshalb Ersatzmassnahmen zur Haft nicht ausreichen. Der Beschwerdeführer kritisiert die Einschätzung des Bundesgerichts, indem er unter anderem seine Beziehungen zum Ausland und seine Sprachkenntnisse als irrelevant bezeichnet und seine familiäre Verankerung in der Schweiz betont. Mit den von ihm vorgebrachten Argumenten hat sich das Bundesgericht im erwähnten Urteil indessen bereits auseinandergesetzt. Es besteht kein Anlass, davon abzuweichen. Auf die betreffenden Erwägungen kann verwiesen werden (a.a.O., E. 5). Daraus geht auch hervor, dass die Möglichkeit der bedingten Entlassung nach Verbüssung von zwei Dritteln der Freiheitsstrafe (<ref-law>) im vorliegenden Fall aufgrund der einschlägigen Vorbestrafung und der dem Beschwerdeführer attestierten Rückfallgefahr nicht zu berücksichtigen ist.
6.
6.1. Hinsichtlich des Gesuchs des Beschwerdeführers um Versetzung in den offenen vorzeitigen Strafvollzug und um Gewährung von Beziehungsurlauben verweist das Obergericht auf die bestehende Fluchtgefahr. Bereits aus diesem Grund sei das Gesuch abzuweisen. Im Übrigen sei der gutachterlichen Einschätzung folgend auch von einer belasteten Legalprognose betreffend schwere Delikte wie Menschenhandel, Förderung der Prostitution und Körperverletzungen auszugehen, was ebenfalls gegen Vollzugslockerungen spreche. Der Beschwerdeführer verweist seinerseits hinsichtlich der Fluchtgefahr auf seine im Haftentlassungsverfahren vorgetragenen Argumente. Zur Legalprognose bringt er insbesondere vor, diese beruhe auf der Hypothese, der Anklagevorwurf sei richtig. Es handle sich beim erwähnten Gutachten zudem um ein Aktengutachten mit beschränktem Stellenwert. Es gehe von ihm keine Gemeingefahr aus und seine Kernfamilie, die ihn heute umgebe, biete ihm einen "deliktprotektiven Empfangsraum".
6.2. Gemäss <ref-law> müssen Kontakte zwischen der inhaftierten Person und anderen Personen von der Verfahrensleitung bewilligt werden. Die Beschränkung des Kontakts des Beschwerdeführers zu seiner Familie stellt einen Eingriff in seine Grundrechte dar. Tangiert ist neben der persönlichen Freiheit das Recht auf Ehe und Familie bzw. auf Achtung des Privat- und Familienlebens (<ref-law>, <ref-law>, Art. 8 EMRK). Einschränkungen dieser Grundrechte müssen durch ein öffentliches Interesse oder den Schutz von Grundrechten Dritter gerechtfertigt und verhältnismässig sein (Art. 36 Abs. 2 und 3 BV). <ref-law> hält für Personen, die sich in Untersuchungs- oder Sicherheitshaft befinden, konkretisierend fest, dass die persönliche Freiheit nicht stärker eingeschränkt werden darf, als es der Haftzweck sowie die Ordnung und Sicherheit in der Haftanstalt erfordern. Dies ist Ausdruck des Verhältnismässigkeitsprinzips. Auch die Gewährung des offenen vorzeitigen Strafvollzugs bemisst sich nach diesem Prinzip (Urteil 1B_636/2021 vom 21. Dezember 2021 E. 4.3).
6.3. Wie oben ausgeführt, geht vom Beschwerdeführer eine Fluchtgefahr aus, der auch durch Ersatzmassnahmen nicht hinreichend begegnet werden kann. Daraus folgt ohne Weiteres, dass nebst der Haftentlassung auch die Gewährung von Beziehungsurlaub und des offenen vorzeitigen Strafvollzugs nicht in Frage kommt (vgl. Urteil 1B_206/2021 vom 18. Mai 2021 E. 4.3). Wie es sich mit der vom Obergericht darüber hinaus angeführten belasteten Legalprognose verhält, braucht somit nicht erörtert zu werden.
7.
Die Beschwerde ist aus diesen Erwägungen abzuweisen.
Der Beschwerdeführer ersucht um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung. Da sich die Beschwerde als aussichtslos erweist, ist das Gesuch abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Angesichts der ungünstigen finanziellen Situation und der langandauernden Inhaftierung des Beschwerdeführers ist auf die Erhebung von Gerichtskosten ausnahmsweise zu verzichten (<ref-law>; Urteil 1B_468/2021 vom 21. September 2021 E. 6). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 1B_98/2022 und 1B_100/2022 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. März 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Dold