Sachverhalt:
A.
B.A._ bewirtschaftet zusammen mit seinem Bruder C.A._ einen Bauernhof in U._. Für diesen Landwirtschaftsbetrieb hatten sie bei den Rechtsvorgängerinnen der B._ AG (Beschwerdegegnerin) eine Unfall- und (Betriebs- und Privat-) Haftpflichtversicherung abgeschlossen. Anlässlich eines Beratungsgesprächs vom 1. Juli 2003 wurde die Privathaftpflichtversicherung aus dem Antrag auf Vertragsverlängerung gestrichen. In der Folge stellte die B._ AG eine neue Police betreffend eine Betriebshaftpflichtversicherung aus, in der das Privathaftpflichtrisiko ausgeschlossen war. Demgemäss bestand ab Oktober 2003 bei der B._ AG keine Versicherungsdeckung von B.A._ und C.A._ und ihrer Hausgenossen für das Risiko Privathaftpflicht mehr.
Am 27. März 2009 kollidierte der damals siebzehnjährige Sohn von B.A._, A.A._ (Beschwerdeführer), im Skigebiet X._ mit dem niederländischen Skitouristen D._, wobei sich dieser ein mittelschweres Schädelhirntrauma zuzog. Die B._ AG verneinte eine Leistungspflicht unter Hinweis auf eine fehlende Deckung für das Risiko Privathaftpflicht. Im Dezember 2012 machte D._ beim Friedensrichteramt V._ eine Schadenersatzklage gegen A.A._ anhängig.
B.
Am 4. Juli 2013 klagte A.A._ beim Bezirksgericht Brugg gegen die B._ AG. Die Klagebegehren lauten wie folgt:
"1. Die Beklagte sei zu verpflichten, dem Kläger in der Auseinandersetzung mit D._ aus dem Ereignis vom 27.03.2009 passiven Rechtsschutz zu gewähren und die Abwehr unbegründeter Ansprüche von D._ aus dem Unfall vom 27.03.2009 zu übernehmen (Streitwert über CHF 30'000.00).
2. Eventualiter sei die Beklagte zu verpflichten, die Entschädigung begründeter Ansprüche D._ aus dem Unfall vom 27.03.2009 zu leisten (Streitwert über CHF 30'000.00)."
Die B._ AG schloss auf Klageabweisung. Eventualiter sei der Deckungsanspruch von A.A._ "im Umfang der grobfahrlässigen Herbeiführung des Unfallereignisses vom 27. März 2009 zu reduzieren".
Am 21. Juli 2014 beschränkte das Bezirksgericht das Verfahren auf Antrag der B._ AG auf die Fragen, ob eine Versicherungsdeckung besteht und ob die geltend gemachten Ansprüche verjährt sind, und ordnete einen auf diese Fragen beschränkten zweiten Schriftenwechsel an.
Mit Verfügung vom 20. Mai 2015 wurde A.A._ die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt.
Anlässlich der Hauptverhandlung vom 8. September 2015 und weiterer Verhandlungen vom 1. Dezember 2015 und 19. April 2016 wurden diverse Zeugen befragt.
Mit Entscheid vom 16. Mai 2017 wies das Bezirksgericht die Klage ab.
Die von A.A._ dagegen erhobene Berufung wies das Obergericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 29. September 2020 ab. Ebenso wies es das von A.A._ gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im Berufungsverfahren ab, unter Hinweis auf die bestehende Rechtsschutzversicherung.
C.
A.A._ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und die B._ AG sei "dem Grundsatze zu verpflichten, [ihm] in der Auseinandersetzung mit D._ aus dem Ereignis vom 27.03.2009 dem Grundsatze nach passiven Rechtsschutz zu gewähren und die Abwehr unbegründeter Ansprüche von D._ aus dem Unfall vom 27. März 2009 zu übernehmen, und es sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen zur Fortsetzung des Verfahrens". Eventualiter sei das Urteil des Bezirksgerichts aufzuheben und "in Gutheissung der Klage die [B._ AG] zu verpflichten, die Entschädigung begründeter Ansprüche D._s aus dem Unfall vom 27.03.2009 zu leisten".
Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet, die B._ AG beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei, und den angefochtenen Entscheid zu bestätigen. A.A._ hat eine Replik eingereicht.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Obergericht hat als Vorinstanz des Bundesgerichts im Sinne von <ref-law> entschieden. Weiter übersteigt der Streitwert den nach <ref-law> geltenden Mindestbetrag von Fr. 30'000.--, so dass grundsätzlich die Beschwerde in Zivilsachen offensteht. Demgegenüber ist das Bezirksgericht keine direkte Vorinstanz des Bundesgerichts und die Beschwerde somit von vornherein unzulässig, soweit sie sich im Eventualbegehren gegen seinen Entscheid richtet.
1.2. Rechtsschriften an das Bundesgericht haben ein Rechtsbegehren zu enthalten (<ref-law>). Da die Beschwerde in Zivilsachen ein reformatorisches Rechtsmittel ist (<ref-law>), muss die beschwerdeführende Partei grundsätzlich einen Antrag stellen, der im Fall der Gutheissung der Beschwerde zum Urteil in der Sache erhoben werden könnte. Ansonsten ist die Beschwerde unzulässig. Eine Ausnahme gilt dann, wenn das Bundesgericht bei Gutheissung in der Sache nicht selbst entscheiden könnte, weil die erforderlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz fehlen (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.3 S. 383; <ref-ruling> E. 3.1 mit weiteren Hinweisen). Dies ist insbesondere dann regelmässig der Fall, wenn das kantonale Verfahren wie vorliegend in Anwendung von <ref-law> auf einzelne Fragen beschränkt worden ist (vgl. etwa Urteil 4A_283/2018 vom 9. Juli 2019 E. 1.2). Unter diesen Umständen muss auf die vom Beschwerdeführer trotzdem gestellten materiellen Anträge unter dem Gesichtspunkt des Eintretens auf die Beschwerde nicht eingegangen werden.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden.
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Vielmehr kann es eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 2.4 mit weiteren Hinweisen). Mit Blick auf die Anforderungen an die Begründung einer Beschwerde (<ref-law>) behandelt das Bundesgericht aber grundsätzlich nur die erhobenen Rügen. Es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese im Beschwerdeverfahren nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 88 f., je mit Hinweisen).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen).
3.
3.1. Gegenstand des vorliegenden Verfahrens ist der Anspruch des Beschwerdeführers aus einer (behaupteten) Fehlberatung anlässlich des Beratungsgesprächs vom 1. Juli 2003 zwischen E._ als Vertreter der Beschwerdegegnerin und den Eltern des Beschwerdeführers. Der Beschwerdeführer macht zusammengefasst geltend, E._ habe die beim Gespräch vorliegende, auf seinen Vater lautende Haushaltversicherungspolice der F._ AG unsorgfältig und falsch gelesen und sei davon ausgegangen, diese enthalte eine Privathaftpflichtversicherung. Indem E._ das Risiko "Privathaftpflicht" nicht dem Versicherungsschutz unterstellt habe, obwohl er gewusst habe, dass die Eltern sich auf seine Einschätzung verlassen und eine Privathaftpflichtdeckung angestrebt hätten, habe er schuldhaft seine Pflichten verletzt. Diese Pflichtverletzung - so der Beschwerdeführer weiter - sei der Beschwerdegegnerin zuzurechnen und habe deren Schadenersatzpflicht zur Folge.
3.2. Die Vorinstanz prüfte den Tatbestand der Vertrauenshaftung und gelangte - entgegen der Erstinstanz - unter diesem Titel zum Schluss, dem Beschwerdeführer sei der Beweis einer unsorgfältigen Beratung durch E._ gelungen. Die erteilte Falschauskunft (wonach in der Haushaltversicherungspolice der F._ AG eine Privathaftpflichtdeckung enthalten war) sei geeignet gewesen, bei den Eltern des Beschwerdeführers ein Vertrauen zu schaffen, dass sie (und der Beschwerdeführer) nunmehr bei der F._ AG (und nicht mehr bei der Beschwerdegegnerin) privathaftpflichtversichert gewesen seien. Auf dieses Vertrauen könnten sich auch Personen berufen, die (wie der Beschwerdeführer) offenkundig, d.h. für den Versicherungsvertreter erkennbar, hätten mitversichert werden sollen. Indessen hätten die Eltern des Beschwerdeführers "nicht unbeschränkt darauf vertrauen [dürfen], nun für alle Zukunft bei der F._ AG für das Risiko 'Privathaftpflicht' versichert zu sein", sondern nur bis zur Erneuerung der Haushaltversicherungspolice im Februar 2005. Ab diesem Zeitpunkt sei ein schutzwürdiges Vertrauen der Versicherungsnehmer in die fehlerhafte Beratung durch E._ und deshalb eine Vertrauenshaftung zu verneinen. Im Sinne einer Eventualbegründung befand die Vorinstanz, wenn man neben der Sorgfaltspflichtverletzung durch E._ auch ein berechtigtes Vertrauen der Versicherungsnehmer bejahen würde, wären die Ansprüche aus Vertrauenshaftung jedenfalls verjährt. Weiter prüfte die Vorinstanz das Forderungsbegehren unter dem Gesichtspunkt der vertraglichen Haftung und verneinte eine solche zusammengefasst mit der Begründung, dass der Beschwerdeführer nicht Vertragspartei, sondern lediglich (mit-) versicherte Person sei.
4.
4.1. Wer sich auf Vertragsverhandlungen mit einer anderen Person einlässt, ist nach Treu und Glauben verpflichtet, die Gegenpartei in gewissem Mass über Tatsachen aufzuklären, welche für den Abschluss und den Inhalt des Vertrages für sie wesentlich sind. Es handelt sich um eine vorvertragliche Pflicht, deren Verletzung zu Schadenersatzansprüchen der Gegenpartei führen kann. Gemeinhin wird dieser Tatbestand als culpa in contrahendo bezeichnet (<ref-ruling> E. 6.1.2; Urteil 5C.267/2004 vom 1. Juni 2005 E. 5.2; je mit Hinweisen). Ausgehend von diesem Tatbestand und in der Überlegung, dass in wertungsmässig vergleichbaren Fällen der haftpflichtrechtliche Schutz ebenfalls nicht versagt bleiben darf, hat das Bundesgericht die allgemeine Vertrauenshaftung anerkannt. Diese ist zwischen Vertrag und Delikt angesiedelt. Das Bundesgericht hat allerdings wiederholt betont, dass sie keinesfalls zu einer Haftung gegenüber jedermann ausufern und die Anerkennung dieser Haftungsgrundlage nicht dazu führen darf, dass das Rechtsinstitut des Vertrags ausgehöhlt wird. Es knüpft die Haftung aus erwecktem und enttäuschtem Vertrauen daher an strenge Voraussetzungen. Schutz verdient nicht, wer bloss Opfer seiner eigenen Unvorsichtigkeit und Vertrauensseligkeit oder der Verwirklichung allgemeiner Geschäftsrisiken wird, sondern nur, wessen berechtigtes Vertrauen missbraucht wird. Schutzwürdiges Vertrauen setzt somit ein Verhalten des Schädigers voraus, das geeignet ist, hinreichend konkrete und bestimmte Erwartungen des Geschädigten zu wecken. Die aus Treu und Glauben (<ref-law>) hergeleiteten Schutz- und Aufklärungspflichten greifen nur, wenn die Beteiligten in eine so genannte "rechtliche Sonderverbindung" zueinander getreten sind. Eine derartige Sonderverbindung entsteht aus bewusstem oder normativ zurechenbarem Verhalten der in Anspruch genommenen Person. Ein unmittelbarer Kontakt zwischen Ansprecher und Schädiger ist dabei nicht zwingend erforderlich; es genügt, dass die in Anspruch genommene Person explizit oder normativ zurechenbar kundgetan hat, für die Richtigkeit bestimmter Äusserungen einzustehen, und dass der Ansprecher im berechtigten Vertrauen darauf Anordnungen getroffen hat, die ihm zum Schaden gereichten (zum Ganzen <ref-ruling> E. 3.3 mit Hinweisen).
4.2.
4.2.1. Die Vorinstanz verneinte die Vertrauenshaftung im Einzelnen mit der Begründung, im Februar 2005 und damit vier Jahre vor dem Eintritt des (vermeintlich) versicherten Ereignisses (Skiunfall im März 2009) sei es zu einer Erneuerung der Haushaltversicherungspolice bei der F._ AG gekommen. Wenn aber der Vater des Beschwerdeführers, wie im vorliegenden Verfahren geltend gemacht werde, bis dahin der Auffassung gewesen sei, es bestehe eine Privathaftpflichtversicherung bei der F._ AG, habe er (spätestens) in diesem Rahmen (sei es bei der Vorbereitung, beim Beratungsgespräch oder bei der Zustellung der erneuerten Police) entweder erkannt oder doch erkennen können und müssen, dass weder die zu ersetzende noch die erneuerte Haushaltversicherungspolice einen Hinweis darauf enthalten hätten, dass auch das Risiko "Privathaftpflicht" abgedeckt gewesen sei. Unter diesen Umständen habe er begründeten Anlass gehabt, die Richtigkeit der von E._ beim Beratungsgespräch vom 1. Juli 2003 erteilten Auskunft zu hinterfragen und zu überprüfen (sei es bei der F._ AG, sei es bei der Beschwerdegegnerin bzw. E._), zumal nach der allgemeinen Lebenserfahrung davon ausgegangen werden dürfte, dass dem Vater (und der Mutter) des Beschwerdeführers jedenfalls der Unterschied zwischen einer Hausrat- und einer Privathaftpflichtversicherung geläufig gewesen sei. Zu betonen sei, dass der Vater des Beschwerdeführers wegen der Falschauskunft von E._ nicht von vornherein davon befreit gewesen sei, im Zusammenhang mit der Erneuerung der Haushaltversicherung bei der F._ AG die alte und jedenfalls die neue Police überhaupt nur zu lesen, und trotz des Fehlens jedweden Hinweises auf eine Privathaftpflichtversicherung in der Police der F._ AG auf das Gegenteil habe vertrauen dürfen. Soweit solches vom Beschwerdeführer überhaupt geltend gemacht sein sollte, wäre ihm entgegenzuhalten, dass die Rechtsordnung (gerade) im Bereich der durch Richterrecht geschaffenen Vertrauenshaftung nicht jede Vertrauensseligkeit schütze, sondern nur ein Vertrauen, das "unter dem Gesichtspunkt von Treu und Glauben (<ref-law>) " schützenswert erscheine.
4.2.2. Der Beschwerdeführer vermag diese Beurteilung nicht als bundesrechtswidrig auszuweisen:
Wohl hat das Bundesgericht in seiner Rechtsprechung eine Haftung des Versicherers infolge Verletzung seiner bei den Vertragsverhandlungen nach Treu und Glauben (<ref-law>) geltenden Aufklärungspflichten bejaht und festgestellt, der Versicherungsnehmer sei durch den Schadenersatz in die wirtschaftliche Lage zu versetzen, in der er sich befunden hätte, wenn der Versicherer seine Aufklärungspflichten wahrgenommen und der Vertrag den Wünschen des Versicherten entsprechend geschlossen worden wäre ("Cette responsabilité fonde une prétention du preneur en dommages-intérêts, lesquels visent à replacer celui-ci dans la situation économique qui aurait été la sienne si l'assureur avait correctement rempli son devoir d'information et si le contrat avait été conclu conformément aux souhaits de l'assuré."; Urteil 4C.98/2007 vom 29. April 2008 E. 3.2.2; siehe auch Urteil 5C.267/2004 vom 1. Juli 2005 E. 5.2).
Diese Rechtsprechung zielt auf den Fall, dass der Versicherer den Versicherungsnehmer unrichtig oder unvollständig über den Inhalt des abzuschliessenden Versicherungsvertrags, insbesondere die Versicherungsdeckung, informiert. Vorliegend glaubte der Vater des Beschwerdeführers nach dem Beratungsgespräch am 1. Juli 2003 indessen nicht etwa, im neuen Vertrag sei die Privathaftpflichtversicherung enthalten, sondern er vertraute nach der Darstellung des Beschwerdeführers vielmehr gestützt auf die Auskunft von E._ darauf, es bestehe eine Privathaftpflichtversicherung bei der F._ AG. Unter diesen Umständen lag es aber an ihm, den Versicherungsvertrag mit der F._ AG anlässlich von dessen Erneuerung selber zu überprüfen oder sich zu erkundigen, ob eine solche Privathaftpflichtversicherung auch tatsächlich in der neuen Police enthalten war. Entgegen der Meinung des Beschwerdeführers hat die Vorinstanz die Anforderungen an seine Eltern nicht überspannt, da diese doch zumindest wussten, dass mehrere Versicherungen miteinander zu koordinieren waren. Die Auffassung, wonach es im Moment der Erneuerung der Haushaltversicherungspolice bei der F._ AG im Februar 2005 an einem schutzwürdigen Vertrauen in die fehlerhafte Beratung durch E._ fehlte, ist nicht zu beanstanden. Unter diesen Umständen hat die Vorinstanz aber eine Vertrauenshaftung zu Recht verneint, zumal der Beschwerdeführer nicht in Frage stellt, dass sein Vater, wenn er seinen Irrtum erkannt hätte, noch rechtzeitig eine Privathaftpflichtversicherung hätte abschliessen können.
Somit braucht nicht erörtert zu werden, ob die übrigen Voraussetzungen der Vertrauenshaftung - welche der Beschwerdeführer nun übrigens selber "als untaugliche Haftungsgrundlage" bezeichnet - gegeben sind. Insbesondere kann offenbleiben, ob sich der Beschwerdeführer überhaupt auf das Vertrauen seines Vaters in die Auskunft von E._ berufen kann, was die Beschwerdegegnerin in Abrede zu stellen scheint.
4.3. Der Beschwerdeführer meint ferner, die Vorinstanz hätte eine vertragliche Haftung der Beschwerdegegnerin bejahen müssen.
4.3.1. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist die Vertrauenshaftung grundsätzlich subsidiär zur vertraglichen Haftung, gelangt also nur bei Fehlen einer solchen zur Anwendung (<ref-ruling> E. 3; Urteile 4A_306/2009 vom 8. Februar 2010 E. 5.1; 4A_80/2009 und 4A_88/2009 vom 5. Juni 2009 E. 2.3). Hat sich das Vertrauen, aus dem eine Partei Ansprüche ableitet, in einer gültigen Vertragsbeziehung manifestiert, entfällt das Vertrauen als selbständige Haftungsgrundlage und es gelangt unmittelbar die Vertragshaftung zur Anwendung (siehe zu dieser sog. Absorption der vorvertraglichen Ansprüche im Zusammenhang mit einem Vermögensverwaltungsvertrag jüngst Urteile 4A_72/2020 vom 23. Oktober 2020 E. 5.1.3; 4A_556/2019 vom 29. September 2020 E. 4.1.3; je mit Hinweisen; zum Versicherungsvertrag Urteil 5C.267/2004 vom 1. Juni 2005 E. 5.3).
4.3.2. Die Erstinstanz hatte den Streitgegenstand - der Argumentation in der Klage entsprechend - noch ausschliesslich unter dem Aspekt der Vertrauenshaftung geprüft. Die Vorinstanz räumte den Parteien mit Verfügung vom 4. Juni 2020 Gelegenheit ein, sich "unter dem Gesichtspunkt der vertraglichen Haftung" zum Rechtsstreit zu äussern, verneinte eine vertragliche Anspruchsgrundlage in der Folge jedoch. Sie erwog, der Beschwerdeführer hätte selbst für den Fall, dass die bis 1. Juli 2003 bestehende Betriebshaftpflichtversicherung im bisherigen Umfang, d.h. inklusive Privathaftpflicht, weitergeführt worden wäre, Gläubiger einzig hinsichtlich einer gestützt auf den Versicherungsvertrag entstandenen Forderung auf Versicherungsleistungen werden können. Dagegen sei nicht ersichtlich, wie vertragliche Schadenersatzansprüche, die den Versicherungsnehmern (Vater und Onkel des Beschwerdeführers) aus einer allfälligen positiven Vertragsverletzung durch die Beschwerdegegnerin entstanden sein mögen, auf den Beschwerdeführer hätten übergehen können. Dies gelte auch für Ansprüche aus culpa in contrahendo, die den Versicherungsnehmern allenfalls gegenüber der Beschwerdegegnerin aus der Verletzung von diese in den Vertragsverhandlungen treffenden Aufklärungs- und Informationspflichten entstanden und infolge des Zustandekommens eines Vertrags nach der Absorptionstheorie zu vertraglichen Ansprüchen geworden seien. Diese Umdeutung an sich nicht vertraglicher Ansprüche in vertragliche finde nur im Verhältnis zwischen den Versicherungsnehmern und dem Versicherer als Vertragsparteien statt. Dass solche vertraglichen Ansprüche von den Versicherungsnehmern auf den Beschwerdeführer übergegangen sein sollten, werde von diesem denn auch nur behauptet. Eine rechtliche Begründung fehle.
4.3.3. Der Beschwerdeführer kritisiert diese Beurteilung als bundesrechtswidrig. Ohne Erfolg:
Zunächst ist hervorzuheben, dass die Privathaftpflichtversicherung zu Gunsten des Beschwerdeführers gerade nicht zustandegekommen ist. Die Vorinstanz weist aber zu Recht darauf hin, dass der Beschwerdeführer selbst bei Einschluss der Privathaftpflichtversicherung nicht Vertragspartei des (neuen) Versicherungsvertrages geworden wäre. Bei einem "Vertrag auf fremde Rechnung" im Sinne von Art. 16 f. VVG kann der versicherte Dritte nach der Rechtsprechung nämlich selbständig den Ersatzanspruch gegen den Versicherer geltend machen, ist aber nicht Partei des Versicherungsvertrages (so ausdrücklich Urteil 5C.277/2006 vom 17. April 2007 E. 4.1 mit Hinweisen). Dementsprechend hat das Bundesgericht etwa hinsichtlich der kollektiven Unfall- oder Krankenversicherung ausgeführt, es sei nicht erkennbar, worin im Verhältnis zwischen dem Versicherer und dem Versicherten die vertragliche Grundlage bestehen soll, auf welche die Rückerstattung von zu Unrecht erbrachten Leistungen gestützt werden könnte (Urteil 4A_197/2018 vom 13. Dezember 2018 E. 3.3 mit Hinweis). Da jedenfalls im Grundsatz nur die Vertragspartner bei Missachtung vertraglicher Pflichten Schadenersatz aus Vertragsverletzung verlangen können (<ref-ruling> E. 2f S. 211), ist in der Tat nicht ohne Weiteres ersichtlich, inwiefern dem Beschwerdeführer vertragliche Schadenersatzansprüche gegen die Beschwerdegegnerin zustehen sollen.
Der Beschwerdeführer beruft sich auf die Rechtsfigur des Vertrags mit Schutzwirkung zu Gunsten Dritter. Ob sich aus dieser eine vertragliche Anspruchsgrundlage ergeben kann, hat das Bundesgericht bisher nicht allgemein beantwortet (siehe <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 5c/bb f.; Urteile 4A_226/2010 vom 28. Juli 2010 E. 3.2.1 f.; 4C.194/1999 vom 18. Januar 2000 E. 4). Im vom Beschwerdeführer ins Feld geführten Urteil 4C.139/2005 vom 29. März 2006 hat das Bundesgericht eine vertragliche Haftung aus einem Servicevertrag (für einen Gasheizungskessel) gegenüber einem Familienmitglied der Vertragspartei mit der Begründung bejaht, der Servicevertrag sei "für die Beklagte erkennbar zum Schutze aller Familienmitglieder, welche die Liegenschaft bewohnten, abgeschlossen" worden. Vor diesem Hintergrund habe die Beklagte nicht in guten Treuen davon ausgehen können, "dass sie bei einer Verletzung ihrer vertraglichen Pflichten nur dem Vater des Klägers und nicht auch den übrigen Familienmitgliedern aus Vertrag für allfällige Schäden haften würde (<ref-law>) " (E. 3.3). Davon unterscheidet sich der hier zu beurteilende Fall bereits darin, dass vorliegend die Privathaftpflichtversicherung nicht abgeschlossen wurde, also der Vertrag, der die Schutzwirkung zu Gunsten des Beschwerdeführers allenfalls hätte beinhalten können, gerade nicht zustandegekommen ist. Die Vorinstanz führt zwar in anderem Zusammenhang an, eine (allfällige) Verletzung der Pflicht zu einer sorgfältigen Beratung durch E._ als Hilfsperson der Beschwerdegegnerin lasse sich "auch als positive Vertragsverletzung im Rahmen des schon bzw. noch bestehenden Vertrages zwischen den Versicherungsnehmern und der [Beschwerdegegnerin] auffassen". Dass sich aus dem früheren Versicherungsvertrag zwischen B.A._ und C.A._ einerseits und der Beschwerdegegnerin andererseits eine Beratungspflicht mit Schutzwirkung zu Gunsten des Beschwerdeführers ergibt, wird aber nicht durch eine dahingehende Vertragsauslegung begründet und zeigt auch der Beschwerdeführer nicht auf.
Letztlich braucht jedoch nicht entschieden zu werden, ob die Vorinstanz die Klage unter dem Gesichtspunkt einer vertraglichen Haftung statt unter demjenigen der Vertrauenshaftung hätte beurteilen müssen: Denn der Beschwerdeführer zeigt nicht auf und es ist auch nicht erkennbar, inwiefern sein Anspruch aus enttäuschtem Vertrauen in die Beratung von E._ anders zu beurteilen wäre, wenn angenommen würde, er beruhe nicht auf ausservertraglicher culpa in contrahendo, sondern - zufolge Absorption (Erwägung 4.3.1) - direkt auf Vertrag. Der Beschwerdeführer kritisiert das "nicht erklärbar[e] Ergebnis, dass der Versicherungsnehmer, der (wie es die Vorinstanz sieht) kein berechtigtes Vertrauen (mehr) hat, Ansprüche durchsetzen kann, die mitversicherten Familienmitglieder hingegen, die vom Schutzbereich des Vertrages in erkennbarer Weise erfasst sind, hingegen keine Ansprüche haben [...]". Ein solcher Gegensatz ergibt sich jedoch nicht aus dem angefochtenen Entscheid, äussert sich dieser doch nicht zu den vertraglichen Ansprüchen der Versicherungsnehmer.
5.
Bei der dargestellten Sachlage kann offenbleiben, ob die Vorinstanz zu Recht angenommen hat, dass der Anspruch des Beschwerdeführers gegebenenfalls ohnehin verjährt wäre.
6.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juli 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Stähle