Sachverhalt:
A.
A.a. Die Gemeinde U._ leitete beim Betreibungsamt Nidwalden gegen A._ für den Betrag von Fr. 26'505.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 14. Juni 2017 sowie einen Betrag von Fr. 300.-- ("Inkassogebühr") die Betreibung Nr. xxx ein. Als Forderungsgrund nannte sie "Rückerstattung bevorschusste Kinderalimente gemäss Rechnung Nr. 82'827 vom 4. Mai 2017". A._ erhob gegen die gesamte Forderung Rechtsvorschlag.
A.b. Mit Rechtsöffnungsbegehren vom 28. November 2017 gelangte die Gemeinde U._ an das Kantonsgericht Nidwalden und ersuchte um definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 26'505.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 14. Juni 2017, die Inkassogebühr sowie die Betreibungskosten. Als Rechtsöffnungstitel legte sie den von der Vormundschaftsbehörde U._ genehmigten Unterhaltsvertrag vom 29. August 2000 vor. Gestützt darauf erteilte das Kantonsgericht in teilweiser Gutheissung des Gesuchs die definitive Rechtsöffnung im Umfang von Fr. 26'490.-- (bevorschusste Kinderunterhaltsbeiträge für August 2014 bis Dezember 2016) nebst 5 % Zins seit dem 15. September 2017.
B.
Gegen den Rechtsöffnungsentscheid erhob A._ am 15. März 2018 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Nidwalden und verlangte sinngemäss die Aufhebung des kantonsgerichtlichen Entscheids vom 27. Februar 2018. Des Weiteren beantragte er, die von ihm zu viel bezahlten Beträge seien von der Gemeinde U._ geforderten Summe abzuziehen, wobei die Summe vom Obergericht festzulegen sei. Mit Entscheid vom 12. November 2018 wies das Obergericht die Beschwerde ab.
C.
Mit Eingabe vom 19. Dezember 2018 (Postaufgabe) ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt im Wesentlichen, der obergerichtliche Entscheid sei aufzuheben und die Rechtsöffnung nicht zu erteilen. Ausserdem beantragt er, die Betreibung sei zu löschen.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Entscheid der kantonalen Rechtsmittelinstanz in einer streitwertabhängigen Zwangsvollstreckungssache. Die gesetzliche Streitwertgrenze wird nicht erreicht (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 1 lit. b und Art. 75 Abs. 1 BGG). Das Vorliegen einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung ist nicht ersichtlich und wird auch nicht geltend gemacht (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist daher nicht gegeben. Die Eingabe des Beschwerdeführers wird als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen (Art. 113 BGG).
1.2. Die Anordnung der Löschung der Betreibung kommt von vornherein nicht in Frage. Im Rechtsöffnungsverfahren ist einzig über die Beseitigung des Rechtsvorschlags zu befinden (STAEHELIN, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Bd. I, 2. Aufl. 2010, N. 68 zu Art. 84 SchKG). Ausserdem könnte auf dieses Begehren auch deshalb nicht eingetreten werden, weil es erstmals im bundesgerichtlichen Verfahren gestellt wurde und deshalb nach Massgabe von Art. 117 i.V.m. Art. 99 Abs. 2 BGG unzulässig ist.
1.3. Gerügt werden kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte (Art. 116 BGG). Diese Rüge ist zu begründen (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG), d.h. anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheides klar und einlässlich dazulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern diese durch den angefochtenen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2.2).
2.
Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, die Vorinstanz habe seine Replik vom 19. Mai 2018 (Postaufgabe) zu den von der Vorinstanz eingeholten Vernehmlassungen zu Unrecht als nicht fristgerecht erachtet, ist eine Verfassungsverletzung weder dargetan noch ersichtlich. Die Zustellung von fristansetzenden Verfügungen per normalem eingeschriebenem Brief ist in Art. 138 Abs. 1 ZPO explizit vorgesehen. Im Übrigen hat die Vorinstanz dem Beschwerdeführer das Institut der Zustellfiktion bereits zutreffend erörtert und entspricht es der bundesgerichtlichen Rechtsprechung, dass die siebentägige Frist von Art. 138 Abs. 3 lit. a ZPO unabhängig davon gilt, wie lange eine Sendung gemäss den Abmachungen einer Partei mit der Post abgeholt werden kann (siehe <ref-ruling> E. 3.1; Urteil 5A_677/2013 vom 6. Dezember 2013 E. 2.1).
3.
Es ist vor Bundesgericht nicht mehr umstritten, dass dem behördlich genehmigten Unterhaltsvertrag vom 29. August 2000 die Qualität eines definitiven Rechtsöffnungstitels im Sinne von Art. 80 Abs. 2 Ziff. 2 SchKG zukommt (vgl. dazu das Urteil 5A_791/2012 vom 18. Januar 2013 E. 3) und dass der Unterhaltsanspruch gestützt auf Art. 289 Abs. 2 ZGB mit allen Rechten auf das betreibende Gemeinwesen übergangen ist. Die Beschwerdegegnerin ist mithin berechtigt, die bevorschussten Unterhaltsbeiträge im eigenen Namen geltend zu machen. Anlass zur Beschwerde gibt einzig das Vorbringen des Beschwerdeführers, er habe die in Betreibung gesetzte Forderung durch Verrechnung mit einer Gegenforderung getilgt.
3.1. Gemäss Art. 81 Abs. 1 SchKG obliegt es dem Schuldner durch Urkunden zu beweisen, dass seine Schuld getilgt oder gestundet wurde. Die hier einzig interessierende Einwendung der Tilgung durch Verrechnung ist im definitiven Rechtsöffnungsverfahren nur dann zu berücksichtigen, wenn die geltend gemachte Verrechnungsforderung (Gegenforderung) ihrerseits durch einen vollstreckbaren Entscheid im Sinne von Art. 81 Abs. 1 SchKG oder eine vorbehaltlose Anerkennung der Gegenpartei belegt ist (<ref-ruling> E. 4.2.1; Urteil 5A_279/2012 vom 13. Juni 2012 E. 4). Die Entkräftung des definitiven Rechtsöffnungstitels kann nur durch den strikten Gegenbeweis mit völlig eindeutigen Urkunden erfolgen; es ist nicht Sache des Rechtsöffnungsrichters, über heikle materiellrechtliche Fragen oder Ermessensfragen zu befinden (<ref-ruling> E. 4.2.3; <ref-ruling> E. 4).
3.2. Der Beschwerdeführer stellt sich auf den Standpunkt, er habe der Kindsmutter B._ seit Jahren mehr Geld bezahlt, als ihr gemäss dem Unterhaltsvertrag vom 29. August 2000 für den Unterhalt der gemeinsamen Tochter zugestanden habe. Gemäss dem Protokoll der Fürsorgebehörde U._ vom 30. September 2014 habe die Kindsmutter bestätigt, dass er seit längerer Zeit Fr. 1'200.-- in bar bezahlt habe. Er habe 10 Jahre lang Fr. 1'200.-- statt Fr. 940.-- bezahlt. Das ergebe pro Jahr einen Betrag von Fr. 3'120.-- und in zehn Jahren einen Betrag von Fr. 31'200.--. Den Betrag, den B._ "zu viel kassiert" habe, wolle er nun angerechnet wissen.
3.3. Die Vorinstanz hat dazu erwogen, der Urkundenbeweis des Beschwerdeführers beschränke sich auf den Nachweis, dass er im Vergleich zu den im Unterhaltsvertrag vom 29. August 2000 festgelegten Unterhaltsbeiträgen über längere Zeit gewisse Mehrleistungen erbracht habe. Ob und in welchem Umfang der Beschwerdeführer durch diese Zahlungen auch eine Gegenforderung erworben habe, sei durch die Urkunde hingegen nicht ausgewiesen. Ebenso wenig sei erstellt, dass die Unterhaltsgläubigerin die Gegenforderung des Beschwerdeführers vorbehaltlos anerkannt habe. Es gelinge dem Beschwerdeführer somit nicht, den von der Beschwerdegegnerin vorgelegten Rechtsöffnungstitel zu entkräften, womit das Kantonsgericht die definitive Rechtsöffnung zu Recht erteilt habe. Im Übrigen bleibe anzumerken, dass es sich bei der vorliegend betriebenen Forderung um familienrechtliche Ansprüche handle, weshalb allfällige Gegenforderungen des Beschwerdeführers gemäss Art. 125 Ziff. 2 OR ohnehin nicht ohne Einwilligung der Gläubigerin verrechnet werden könnten.
3.4. Die Bestätigung der Rechtsöffnung durch die Vorinstanz hält vor dem Willkürverbot ohne Weiteres stand. Dem Protokoll vom 30. September 2014 lässt sich in der Tat einzig entnehmen, dass die Kindsmutter der Fürsorgebehörde die Auskunft erteilt hat, die Parteien hätten in gegenseitigem Einvernehmen einen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'200.-- vereinbart, welchen der Beschwerdeführer auch seit längerer Zeit bezahlt habe. Offenbar scheint der Beschwerdeführer anzunehmen, ihm stehe gegenüber der Kindsmutter aufgrund dieser Zahlungen ein Rückforderungsanspruch zu und er könne den seiner Auffassung nach zu viel gezahlten Unterhalt ohne Weiteres mit laufenden Unterhaltsforderungen verrechnen bis sie wieder "quitt" sind. Eine Vereinbarung solchen Inhalts zwischen dem Beschwerdeführer und der Kindsmutter ist indes in keiner Weise urkundlich erstellt. Abgesehen davon geht aus dem Protokollauszug der Fürsorgebehörde U._ vom 30. September 2014 auch nicht hervor, über welchen Zeitraum über die ursprüngliche Vereinbarung vom 29. August 2000 hinausgehende Unterhaltszahlungen durch den Beschwerdeführer geleistet worden sind. Bereits aus diesen Gründen ist weder dargetan noch ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz in Willkür verfallen sein soll, wenn sie dafür gehalten hat, dass der strikte Beweis der Tilgung der betriebenen Forderung nicht erbracht sei.
4.
Nach dem Gesagten ist der Beschwerde kein Erfolg beschieden. Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdeführer die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Gegenpartei ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Nidwalden, Beschwerdeabteilung in Zivilsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Mai 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss