Sachverhalt:
A.
Mit Beschlüssen vom 19. April 1983 und 14. Februar 1984 bewilligte der Regierungsrat des Kantons Thurgau den Schweizerischen Bundesbahnen (SBB) den Bau eines Bootshafens in Romanshorn. Mit letzterem Beschluss erteilte er ihnen zudem auf fünfzig Jahre die Konzession für den Betrieb dieses Hafens inklusive Grünflächen. Im Rahmen der ersten Bauetappe wurde die heute als "Bunkerwiese" bekannte Grünfläche aufgeschüttet, die zur Hafenanlage gehört. Gemäss einer Auflage in der Konzession muss sie der Öffentlichkeit zugänglich sein; über Ausnahmen entscheidet das (kantonale) Baudepartement (heute: Departement für Bau und Umwelt). 1996 wurde die Konzession für den Betrieb des Bootshafens auf die Bodensee AG übertragen, 2008 auf die M._, die umfirmierte und von den SBB an private Investoren verkaufte frühere Bodensee AG.
B.
Im November 2016 reichte die Bodensee-Schiffahrtsgesellschaft AG ein Gesuch um teilweise Anpassung der erwähnten Konzession ein, mit dem Ziel, auf der Bunkerwiese einen Abenteuerspielplatz mit diversen Spielgeräten (etwa einem Spielschiff), Campinghütten, zwei Türmen sowie einem Kiosk erstellen und betreiben zu können. Gemäss dem Projekt soll der Spielplatz während der Sommermonate (bzw. der Hauptsaison) voll betrieben und der Zugang zum Gelände kostenpflichtig sein. In den Wintermonaten (bzw. der Nebensaison) soll lediglich ein Teil der Anlagen in Betrieb und das ganze Areal des Spielplatzes frei zugänglich sein. Dieser soll weiter so dimensioniert werden, dass der freie Zugang zur Uferpromenade auf der Bunkerwiese, zum See und zur südlich an die Bunkerwiese anschliessenden Mole weiterhin gewährleistet ist. Gegen das Vorhaben gingen diverse Einsprachen ein. Mit Entscheid vom 30. April 2018 wies das Departement für Bau und Umwelt des Kantons Thurgau die Einsprachen ab, soweit es diese nicht als durch Rückzug erledigt abschrieb. Zugleich erteilte es der Bodensee-Schiffahrtsgesellschaft AG - in teilweiser Abänderung bzw. Ergänzung der bestehenden Konzession für den Betrieb des Bootshafens - die Konzession für die Erstellung und den Betrieb des geplanten Spielplatzes. Es befristete diese Konzession auf zehn Jahre.
C.
Gegen den Entscheid des Departements für Bau und Umwelt gelangten der A._ und fünfzehn Einzelpersonen, die wie dieser bereits Einsprache erhoben hatten, gemeinsam an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Mit Entscheid vom 14. August 2019 (versandt am 22. November 2019) wies das Gericht das Rechtsmittel ab.
D.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 13. Januar 2020 an das Bundesgericht beantragen der A._ und elf der am kantonalen Verfahren beteiligten Einzelpersonen gemeinsam, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und das erwähnte Gesuch der Bodensee-Schiffahrtsgesellschaft AG abzuweisen. Die Bunkerwiese solle der Allgemeinheit als frei begehbare Wiese erhalten bleiben. Eventualiter sei ein Fachgutachten zu den Auswirkungen des geplanten Spielplatzes auf das Ortsbild von Romanshorn anzuordnen und die Sache zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Der Beschwerde sei im Weiteren die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Die Bodensee-Schiffahrtsgesellschaft AG beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung. Auf gerichtliche Einladung hin haben sich auch das Bundesamt für Raumentwicklung (ARE) und das Bundesamt für Umwelt (BAFU) vernehmen lassen. Ersteres beantragt die Gutheissung der Beschwerde. Der A._ und die beschwerdeführenden Einzelpersonen haben am 17. April und 9. Oktober 2020 weitere Stellungnahmen eingereicht. Die Bodensee-Schiffahrtsgesellschaft AG hat sich am 26. Oktober 2020 nochmals in der Hauptsache geäussert. Das Verwaltungsgericht hat auf eine zusätzliche Stellungnahme verzichtet.
Mit Verfügung vom 10. Februar 2020 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Ein Ausschlussgrund gemäss <ref-law> liegt nicht vor. Gegen den angefochtenen Entscheid steht somit die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG). Ob die Beschwerdeführenden zur Beschwerde berechtigt sind, ist strittig. Darauf ist nachfolgend einzugehen. Dabei ist zu beachten, dass das Bundesgericht die Eintretensvoraussetzungen zwar von Amtes wegen und mit freier Kognition prüft (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1). Soweit das Vorliegen dieser Voraussetzungen nicht ohne Weiteres ersichtlich ist, obliegt es nach Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG aber der beschwerdeführenden Person, darzutun, dass sie erfüllt sind. Dies gilt insbesondere, wenn es wie hier um die Befugnis zu einer Drittbeschwerde zulasten der Verfügungsadressatin geht. Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, anhand der Akten oder weiterer, noch beizuziehender Unterlagen nachzuforschen, ob und inwiefern eine beschwerdeführende Person zur Beschwerde zuzulassen ist (vgl. BGE <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1.1, 353 E. 1, 400 E. 2).
2.
2.1. Gemäss <ref-law> ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat. Verlangt ist somit neben der formellen Beschwer, dass die beschwerdeführende Person über eine spezifische Beziehungsnähe zur Streitsache verfügt und einen praktischen Nutzen aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids zieht. Sie muss durch diesen stärker betroffen werden als eine beliebige Dritte bzw. ein beliebiger Dritter oder die Allgemeinheit. Ihre tatsächliche oder rechtliche Situation muss grundsätzlich durch den Ausgang des Verfahrens beeinflusst werden können (vgl. <ref-ruling> E. 3, 400 E. 2.2, 409 E. 1.3, 249 E. 1.3.1). Zur Beschwerde berechtigt sind nach <ref-law> ferner unter anderem Organisationen, denen ein anderes Bundesgesetz dieses Recht einräumt (lit. d).
2.2. Nach Art. 12 Abs. 1 lit. b des Bundesgesetzes vom 1. Juli 1966 über den Natur- und Heimatschutz (NHG; SR 451) steht das Beschwerderecht namentlich Organisationen zu, die sich dem Heimatschutz widmen. Vorausgesetzt ist dabei allerdings insbesondere, dass sie gesamtschweizerisch tätig sind (Ziff. 1). Der Beschwerdeführer 1 (A._) ist eine kantonal tätige Heimatschutzorganisation (vgl. Art. 1 und 2 der Vereinsstatuten vom 14. September 1996) und kann sich daher nicht auf dieses Beschwerderecht berufen (vgl. Urteile 1C_92/2021 vom 7. Juni 2021 E. 1.2; 1C_617/2017 vom 25. Mai 2018 E. 1.2). Er ist im Weiteren zwar eine Sektion des Schweizer Heimatschutzes (vgl. Art. 1 der Vereinsstatuten), führt jedoch Beschwerde in eigenem Namen, weshalb keine Anwendungsfall von <ref-law> vorliegt (vgl. Urteil 1C_531/2008 vom 10. März 2009 E. 3.5). Von vornherein nicht in Betracht kommt eine Berufung auf das Verbandsbeschwerderecht gemäss § 24 Abs. 1 des Gesetzes vom 8. April 1992 zum Schutz und zur Pflege der Natur und der Heimat des Kantons Thurgau (NHG/TG; RB 450.1). Dieses kantonalrechtliche Beschwerderecht gilt vor Bundesgericht nicht (vgl. <ref-law>).
2.3. Die Beschwerdebefugnis des Beschwerdeführers 1 bestimmt sich somit nach <ref-law>. Er legt indessen nicht dar, dass er selbst oder die Mehrzahl seiner Mitglieder die erforderliche Beziehungsnähe zur Streitsache hätte. Der von ihm angeführte statutarische Zweck, den Thurgau als gewachsenen Lebensraum zu schützen, zu pflegen und dessen Weiterentwicklung zu fördern (vgl. Art. 2 der Vereinsstatuten), begründet diese Beziehungsnähe nicht. Diese liegt auch nicht auf der Hand. Der Beschwerdeführer 1 ist daher auch nach <ref-law> nicht zur Beschwerde berechtigt. Er rügt sodann nicht, er sei im kantonalen Verfahren in seinen Parteirechten verletzt worden. Die bundesgerichtliche Rechtsprechung, wonach Heimatschutzvereinigungen, die gestützt auf ein kantonalrechtliches Verbandsbeschwerderecht am kantonalen Verfahren teilgenommen haben, grundsätzlich derartige Rügen vorbringen können (vgl. Urteile 1C_92/2021 vom 7. Juni 2021 E. 1.3.1; 1C_617/2017 vom 25. Mai 2018 E. 1.2), kommt daher nicht zur Anwendung. In Bezug auf den Beschwerdeführer 1 kann demnach nicht auf die Beschwerde eingetreten werden.
3.
3.1. Bei den Beschwerdeführenden 2-12 handelt es sich um Einzelpersonen, deren Beschwerdebefugnis sich nach <ref-law> richtet. Sie müssen somit insbesondere über die erwähnte spezifische Beziehungsnähe zur Streitsache verfügen und einen praktischen Nutzen aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids ziehen (vgl. vorne E. 2.1). Diese Anforderungen sollen die Popularbeschwerde ausschliessen und den Charakter des allgemeinen Beschwerderechts gemäss <ref-law> als Instrument des Individualrechtsschutzes unterstreichen. Dabei gibt es keine rechtslogisch stringente, sondern nur eine praktisch vernünftige Abgrenzung zur Popularbeschwerde; wo die Grenze verläuft, ist jeweils für jedes Rechtsgebiet und anhand der konkreten Umstände gesondert zur beurteilen (vgl. <ref-ruling> E. 3.4.2; <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 5b/bb).
3.1.1. Bei Bauprojekten muss die Beziehungsnähe insbesondere in räumlicher Hinsicht gegeben sein. Die Rechtsprechung bejaht in der Regel die Beschwerdebefugnis von Nachbarn, deren Liegenschaften sich in einem Umkreis von rund 100 m zum Bauvorhaben befinden. Bei grösseren Entfernungen muss aufgrund der konkreten Gegebenheiten glaubhaft gemacht werden, dass der Bau oder der Betrieb der Baute oder Anlage mit Sicherheit oder zumindest grosser Wahrscheinlichkeit zu einer Beeinträchtigung durch Immissionen (Lärm, Staub, Erschütterungen, Licht oder andere Einwirkungen) führt. Es darf allerdings nicht schematisch auf einzelne Kriterien (insbesondere Distanzwerte) abgestellt werden; vielmehr ist eine Gesamtwürdigung anhand der konkreten Verhältnisse vorzunehmen (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 3, 400 E. 2.2).
3.1.2. Schwierig ist die Abgrenzung zur Popularbeschwerde, wenn es um Nutzungsbeschränkungen für den öffentlichen Grund oder frei zugängliche (Wald- und Weide-) Gebiete geht. Bei funktionellen Verkehrsanordnungen wie etwa Geschwindigkeitsbegrenzungen stellt das Bundesgericht auf die Häufigkeit und Regelmässigkeit der Nutzung ab. Anwohnerinnen und Anwohner oder Pendlerinnen und Pendler, welche die mit der Beschränkung belegte Strasse regelmässig nutzen, sind zur Beschwerde befugt, während das bloss gelegentliche Befahren einer Strasse nicht genügt (vgl. <ref-ruling> E. 1.1; Urteile 1C_478/2020 vom 19. August 2021 E. 3.3; 1C_661/2019 vom 13. Mai 2020 E. 4.2).
Beschwerdeberechtigt ist ferner, wer zur Ausübung seines Gewerbes auf die Nutzung des öffentlichen Grundes angewiesen ist und sich deshalb auf die Wirtschaftsfreiheit (<ref-law>) berufen kann (vgl. <ref-ruling> E. 3.1.1 f. mit Hinweisen). Im Urteil 1C_453/2014 vom 23. Februar 2015 (in: URP 2015 S. 234) prüfte das Bundesgericht unter diesem Blickwinkel die Befugnis von Bergführern sowie des lokalen Bergführervereins zur Anfechtung von zwei Wildruhezonen im Wallis. Es erwog, die blosse Behauptung der Bergführer, ihre Geschäftstätigkeit im betroffenen Gebiet auszuüben, genüge nicht; vielmehr müssten sie belegen, wie häufig sie die erwähnten Routen begingen und welche Einkommenseinbussen ihnen aus den Zugangsbeschränkungen drohten (E. 4.3).
Im vorgenannten Fall hatten auch die SAC-Sektion Monte Rosa und verschiedene ihrer in der Region ansässigen Mitglieder Beschwerde geführt, die geltend machten, die betroffenen Gebiete häufig für den Wintersport zu nutzen. Das Bundesgericht hielt fest, diese Personen könnten ihr Hobby in anderen Sektoren ausüben und seien daher in ihrer Freizeitgestaltung nicht wesentlich eingeschränkt. Sie seien deshalb von den Wildruhezonen nicht besonders oder intensiver betroffen als andere Personen. Es liefe auf die Zulassung der Popularbeschwerde hinaus, wenn es für die Beschwerdebefugnis genügen würde, ein Interesse an der Freizeitnutzung des fraglichen Gebiets geltend zu machen (E. 5.1).
Im Urteil 1C_661/2019 vom 13. Mai 2020 ging es um die Frage, ob der Verein IG Klettern Basler Jura, dessen Präsident und ein aktives Vereinsmitglied befugt sind, den Zonen- und Gestaltungsplan für ein Naturreservat anzufechten, weil die Sonderbauvorschriften ein Kletterverbot für ein im Reservatsperimeter gelegenes Klettergebiet vorsehen. Das Bundesgericht führte unter Verweis auf die dargelegte Rechtsprechung aus, massgebend für die Beschwerdelegitimation bei Nutzungsbeschränkungen für den öffentlichen Grund oder allgemein zugängliche Gebiete sei in erster Linie die Häufigkeit und Regelmässigkeit der Nutzung. Die Rechtsprechung sei dabei vor allem bei Freizeit- und Sportaktivitäten restriktiv. Verlangt werde, dass die angefochtene Nutzungsbeschränkung zu einer tatsächlichen und spürbaren Einschränkung der Freizeitgestaltung führe. Dies sei nicht der Fall, wenn nur ein kleines, selten begangenes Gebiet mit einem Kletterverbot belegt werde und in der Region zahlreiche weitere attraktive Klettergebiete zur Verfügung stünden (E. 5. 3).
3.2. Die Beschwerdeführenden 2-12 sind mit einer Ausnahme in Romanshorn wohnhaft. Sie machen jedoch weder geltend, sie wohnten im Umkreis von rund 100 m zum geplanten Spielplatz, noch bringen sie vor, der Bau oder der Betrieb der Anlage führte zu Immissionen, die sie beeinträchtigten. Ebenso wenig begründen sie die geltend gemachte Beschwerdebefugnis damit, sie erfüllten die Voraussetzungen für Nachbarbeschwerden gegen Bauvorhaben gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung. Sie leiten ihre Legitimation vielmehr daraus ab, dass sie "als Benützer der öffentlichen Bunkerwiese ein akutes Interesse am Schicksal des durch die Konzessionsänderung betroffenen Areals" hätten. Dies konkretisieren sie in ihrer Stellungnahme vom 17. April 2020 dahingehend, sie stünden als Benützer der Bunkerwiese zu Erholungszwecken in einer besonderen, beachtenswerten und nahen Beziehung zur Streitsache. Sie wohnten in Romanshorn oder in der Umgebung und es sei ihnen ein Anliegen, die Bunkerwiese nach wie vor im unverfälschten Zustand besuchen und geniessen zu können, ohne Eintritt bezahlen und den Freizeitpark erdulden zu müssen.
3.3.
3.3.1. Die Beschwerdelegitimation der Beschwerdeführenden 2-12 soll sich demnach daraus ergeben, dass diese in oder in der Umgebung von Romanshorn wohnen, die Bunkerwiese in ihrer heutigen Form als der Öffentlichkeit frei und unentgeltlich zugängliche Grünfläche zu Erholungs- bzw. Freizeitzwecken nutzen und dies auch künftig tun möchten. Dem kann nicht gefolgt werden. Bei einer Realisierung des geplanten Spielplatzes wäre das Areal in den Sommermonaten (bzw. der Hauptsaison) der Öffentlichkeit grösstenteils nicht mehr frei und unentgeltlich zugänglich; zudem würde es mit den entsprechenden Anlagen und Installationen bebaut (vgl. vorne Sachverhalt Bst. B). Das strittige Vorhaben hätte somit zur Folge, dass die Bunkerwiese in ihrer heutigen Form nicht mehr genutzt werden könnte. Insofern wirkte es sich im Ergebnis gleich aus wie ein Verbot dieser Nutzung. Mit Blick darauf erscheint es zwar richtig, bei der Prüfung der Legitimation der Beschwerdeführenden 2-12 nicht einzig auf die Kriterien abzustellen, die für Nachbarbeschwerden gegen Bauvorhaben gelten. Die von diesen Beschwerdeführenden angeführten Umstände genügen jedoch nicht, um die Beschwerdebefugnis nach <ref-law> zu begründen. Vielmehr scheint es sachgerecht, grundsätzlich die dargelegte bundesgerichtliche Rechtsprechung zu Nutzungsbeschränkungen für den öffentlichen Grund oder allgemein zugängliche Gebiete heranzuziehen. Zwar wäre der Verlust der erwähnten Nutzungsmöglichkeit auch auf die baulichen Massnahmen für den geplanten Spielplatz zurückzuführen; diesem Umstand kommt für die Abgrenzung zur Popularbeschwerde jedoch keine massgebliche Bedeutung zu.
3.3.2. Die Beschwerdebefugnis der Beschwerdeführenden 2-12 käme demnach nur in Betracht, wenn diese die Bunkerwiese in ihrer heutigen Form mit der in der erwähnten Rechtsprechung verlangten Häufigkeit und Regelmässigkeit zu Erholungs- bzw. Freizeitzwecken nutzen würden. Der mit der Realisierung des geplanten Spielplatzes einhergehende Verlust dieser Nutzungsmöglichkeit müsste überdies eine tatsächliche und wesentliche Einschränkung ihrer Freizeitgestaltung oder ihrer Erholungsmöglichkeiten zur Folge haben. Zu diesen Voraussetzungen äussern sich die Beschwerdeführenden 2-12 indessen nicht. Weder führen sie aus, wie häufig und regelmässig sie die Grünfläche nutzen, noch legen sie dar, inwieweit sie durch den Verlust der Nutzungsmöglichkeit in ihrer Freizeitgestaltung oder ihren Erholungsmöglichkeiten eingeschränkt würden. Vielmehr lassen sie es mit den zitierten Ausführungen zur Beschwerdebefugnis bewenden.
3.3.3. Dies genügt unter den vorliegenden Umständen nicht. Zwar hat die Erstinstanz die Einsprachelegitimation (u.a.) der Beschwerdeführenden 2-12 bejaht. Im vorinstanzlichen Verfahren war deren Beschwerdebefugnis jedoch heftig umstritten. Die Vorinstanz hat die Frage im angefochtenen Entscheid zudem offen gelassen, da der Beschwerdeführer 1 nach kantonalem Recht zur Verbandsbeschwerde befugt war. Vor Bundesgericht hat die Beschwerdegegnerin die Beschwerdebefugnis der Beschwerdeführenden 2-12 sodann erneut klar und mit ausführlicher Begründung bestritten. In dieser Situation durften es diese im bundesgerichtlichen Verfahren nicht mit allgemeinen Ausführungen zur Beschwerdebefugnis bewenden lassen. Vielmehr hätten sie sich hinreichend mit der Frage auseinandersetzen und darlegen sollen, inwiefern sie zur Beschwerde legitimiert sind, zumal dies auch sonst nicht ohne Weiteres ersichtlich ist. Da sie dies nicht getan haben, können sie nicht als beschwerdebefugt betrachtet werden (vgl. vorne E. 1). Auf die Beschwerde kann daher auch in Bezug auf diese Beschwerdeführenden und damit insgesamt nicht eingetreten werden.
4.
Bei diesem Verfahrensausgang werden die Beschwerdeführenden kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Sie haben zudem der Beschwerdegegnerin eine Parteienschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführenden unter solidarischer Haftung auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführenden haben der Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren unter solidarischer Haftung eine Parteientschädigung von Fr. 4'000.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Politischen Gemeinde Romanshorn, dem Departement für Bau und Umwelt des Kantons Thurgau, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau, dem Bundesamt für Raumentwicklung und dem Bundesamt für Umwelt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Februar 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Baur