Sachverhalt:
A.
Mit Entscheid vom 14. Dezember 2018 erteilte das Regionalgericht Emmental der B._ AG in der gegen A._ eingeleiteten Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Emmental-Oberaargau provisorische Rechtsöffnung für Fr. 3'680.-- nebst Zins zu 5 % seit 16. April 2018.
B.
Dagegen erhob A._ am 25. Dezember 2018 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Bern. Mit Verfügung vom 27. Dezember 2018 wies das Obergericht den Antrag um Aufschub der Vollstreckbarkeit ab.
C.
Am 3. Januar 2019 ist A._ mit einer als Beschwerde in Zivilsachen betitelten Eingabe an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer verlangt, dem Antrag um Aufschub der Vollstreckbarkeit stattzugeben.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer wehrt sich gegen die Verfügung, mit der das Obergericht in einem Rechtsmittelverfahren betreffend die provisorische Rechtsöffnung sein Begehren um Aufschub der Vollstreckbarkeit des erstinstanzlichen Rechtsöffnungsentscheids abgewiesen hat. Aufgrund des tiefen Streitwerts (Art. 51 Abs. 1 lit. c i.V.m. Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) und mangels Vorliegens einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung ist die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (Art. 113 ff. BGG). Gerügt werden kann damit einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte (Art. 116 BGG). Im Übrigen gälte im Ergebnis das Gleiche auch bei einem Streitwert über Fr. 30'000.--, weil der angefochtene Entscheid eine vorsorgliche Massnahme betrifft (<ref-ruling> E. 2 S. 477 mit Hinweisen) und somit auch bei der Beschwerde in Zivilsachen nur die Rüge von Verfassungsverletzungen möglich wäre (Art. 98 BGG).
Die angefochtene Verfügung ist ein Zwischenentscheid nach Art. 117 i.V.m. Art. 93 BGG (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 476), weshalb die Beschwerde nur eingeschränkt zulässig ist. Wie es sich damit vorliegend verhält, kann angesichts der nachfolgenden Erwägungen offenbleiben.
2.
2.1. Verfassungsrügen - wie sie vorliegend nach dem Gesagten einzig erhoben werden können - müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Im Schriftsatz ist im Einzelnen substanziiert darzulegen, worin die Verletzung besteht (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368). Das Bundesgericht beurteilt nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 3.2 S. 399).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 118 Abs. 1 BGG); neue Tatsachen und Beweismittel sind grundsätzlich unzulässig (Art. 117 i.V.m. Art. 99 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie auf einer Verletzung verfassungsmässiger Rechte beruht (Art. 118 Abs. 2 i.V.m. Art. 116 BGG). Wird Letzteres geltend gemacht, ist klar und detailliert darzutun, inwiefern diese verfassungswidrig, insbesondere willkürlich, sein soll (<ref-ruling> E. 2.2 S. 334; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398; je mit Hinweisen).
3.
Das Obergericht hat erwogen, gemäss Art. 325 ZPO hemme die Beschwerde die Rechtskraft und die Vollstreckbarkeit des angefochtenen Entscheids nicht. Der Aufschub der Vollstreckbarkeit sei eine Ausnahme von dieser Regel und es müssten dabei besondere Gründe vorliegen. Solche habe der Beschwerdeführer nicht geltend gemacht. Die Einreichung einer Beschwerde allein genüge als Grund für den Aufschub der Vollstreckbarkeit nicht. Sonst würde die Ausnahme zur Regel gemacht, was nicht dem Willen des Gesetzgebers entspräche.
4.
Der Beschwerdeführer stellt nicht in Abrede, dass er sein Gesuch um Aufschub der Vollstreckbarkeit im obergerichtlichen Verfahren nicht begründet hat. Er begnügt sich vor Bundesgericht im Wesentlichen mit der (neuen) Behauptung, die sofortige Vollstreckung gefährde sein erst vor kurzem eingegangenes Arbeitsverhältnis bzw. seine wirtschaftliche Existenz. Damit legt der Beschwerdeführer nicht den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG entsprechend dar, inwiefern durch die obergerichtliche Verfügung verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen. Auf die Beschwerde ist deshalb nicht einzutreten.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Gegenpartei ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. März 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss