Sachverhalt:
A.
A.a. B._ erstattete am 28. Oktober 2016 bei der Polizei in Winterthur Selbstanzeige. Er gab u.a. an, A._ habe ihn Anfang 2016 kontaktiert und um Erstellung eines fiktiven Darlehensvertrags vom 6. Januar 1994 ersucht. A._ habe ihm erklärt, sein in Amerika lebender Sohn verlange Geld von ihm, weshalb er diesem mit dem Vertrag zeigen wolle, dass er selbst Schulden habe. Nach der Vertragserstellung habe ihm A._ Fr. 2'000.-- gegeben. Das sei in Winterthur gewesen. Später in Amriswil habe er auf Geheiss von A._ fiktive Quittungen mit angeblichen Rückzahlungen von A._ erstellt.
A.b. Am 25. November 2016 erstattete das Sozialversicherungszentrum Thurgau bei der Staatsanwaltschaft Bischofszell Strafanzeige gegen A._ u.a. wegen Betrugs und unrechtmässigen Bezugs von Leistungen einer Sozialversicherung. Das Sozialversicherungszentrum Thurgau warf A._ vor, bei der Anmeldung für den Bezug von Ergänzungsleistungen vom 29. Oktober 2010 nur ein Vermögen von Fr. 22'756.15 angegeben zu haben, obwohl dieses verdachtsweise Fr. 401'642.-- betragen habe. Im Rahmen der Abklärungen für einen Anspruch auf Ergänzungsleistungen habe A._ einen Darlehensvertrag aus dem Jahr 1994 eingereicht. Aus diesem gehe hervor, dass B._, welcher im Kanton Zürich Bezüger von Zusatzleistungen sei, ihm damals ein Darlehen von Fr. 150'000.-- in bar gewährt haben solle. Gemäss der Strafanzeige bestand der Verdacht, dass B._ A._ im Jahr 1994 in Wirklichkeit kein Darlehen gewährte.
A.c. Gestützt auf die Strafanzeige des Sozialversicherungszentrums Thurgau vom 25. November 2016 eröffnete die Staatsanwaltschaft Bischofszell am 2. Oktober 2017 eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen Betrugs im Zusammenhang mit dessen Antrag auf Ergänzungsleistungen.
A.d. Am 11. September 2017 übermittelte die Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland der Staatsanwaltschaft Bischofszell eine Kopie ihrer Akten. Am 22. September 2017 teilte die Staatsanwaltschaft Bischofszell der Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland mit, sie könne keine Strafbarkeit von B._ erkennen, weshalb das Strafverfahren gegen A._ weiterhin durch die Staatsanwaltschaft Bischofszell geführt werde.
A.e. Am 25. September 2017 trat die Staatsanwaltschaft Winterthur/ Unterland die Strafuntersuchung gegen A._ betreffend Urkundenfälschung an die Staatsanwaltschaft Bischofszell ab. Gleichzeitig verfügte sie bezüglich des Sachverhalts der Selbstanzeige die Nichtanhandnahme einer Strafuntersuchung gegen B._ wegen Urkundenfälschung.
B.
B.a. Am 28. November 2017 teilte die Staatsanwaltschaft Bischofszell A._ auf dessen Ersuchen vom 24. November 2017 hin mit, dass sie sich als örtlich zuständig erachte.
B.b. Dagegen erhob A._ am 4. Dezember 2017 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Thurgau mit den Anträgen, die Staatsanwaltschaft Bischofszell sei anzuweisen, eine Strafuntersuchung gegen B._ wegen Urkundenfälschung und Betrugs sowie allenfalls wegen weiterer Delikte zu eröffnen. Zudem sei die Staatsanwaltschaft Bischofszell anzuweisen, ihm die gesetzlichen Teilnahmerechte im Strafverfahren gegen B._ zu gewähren. Eventuell sei sie anzuweisen, die Wiederaufnahme eines Strafverfahrens gegen B._ zu prüfen.
B.c. Mit Entscheid vom 8. März/6. April 2018 schützte das Obergericht des Kantons Thurgau die Beschwerde, soweit es darauf eintrat. Es stellte eine Rechtsverweigerung der Staatsanwaltschaft Bischofszell fest und wies sie an, nach den Bestimmungen über das Gerichtsstandsverfahren vorzugehen.
B.d. Am 10. April 2018 gelangte die Staatsanwaltschaft Bischofszell an die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und ersuchte um Übernahme der Strafuntersuchung gegen A._. Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich leitete die Anfrage am 12. April 2018 an die Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland weiter, welche die Übernahme der Strafuntersuchung gegen A._ mit Schreiben vom 18. April 2018 ablehnte. Gleichzeitig teilte sie der Staatsanwaltschaft Bischofszell mit, dass sie betreffend B._ an ihrer Nichtanhandnahmeverfügung festhalte.
B.e. Mit Verfügung vom 12. Juni 2018 hielt die Staatsanwaltschaft Bischofszell auf Empfehlung der Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Thurgau vom 22. Mai 2018 an der örtlichen Zuständigkeit des Kantons Thurgau betreffend das Strafverfahren gegen A._ fest. Diese Verfügung erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
C.
C.a. Mit Strafbefehl vom 3. Juli 2019 sprach die Staatsanwaltschaft Bischofszell A._ des mehrfachen Betrugs gemäss <ref-law> schuldig und bestrafte ihn mit einer bedingten Geldstrafe von 170 Tagessätzen zu Fr. 150.-- und einer Busse von Fr. 5'000.--. Dagegen erhob A._ am 4. Juli 2019 Einsprache. Die Staatsanwaltschaft Bischofszell hielt am Strafbefehl fest und überwies diesen samt Akten am 21. Juli 2019 an das Bezirksgericht Arbon.
C.b. Mit Beschluss vom 25. November 2019/13. Januar 2020 wies das Bezirksgericht Arbon die Anklage zur Durchführung einer einheitlichen Strafuntersuchung gegen A._ und B._ durch dieselbe Behörde an die Staatsanwaltschaft Bischofszell zurück.
D.
D.a. Am 24. Februar 2020 verfügte die Staatsanwaltschaft Bischofszell die Nichtanhandnahme einer Strafuntersuchung gegen B._ wegen Betrugs und Urkundenfälschung etc. A._ erhob gegen die Nichtanhandnahmeverfügung fristgerecht Beschwerde.
D.b. Das Obergericht des Kantons Thurgau hiess die Beschwerde von A._ am 14. Mai 2020 gut. Es hob die Nichtanhandnahmeverfügung vom 24. Februar 2020 auf und wies die Staatsanwaltschaft Bischofszell an, eine einheitliche Strafuntersuchung gegen A._ und B._ durchzuführen.
E.
Die Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Thurgau beantragt mit Beschwerde in Strafsachen, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Thurgau vom 14. Mai 2020 sei als nichtig zu bezeichnen und entsprechend aufzuheben.
F.
Das Obergericht und A._ stellen Antrag auf Abweisung der Beschwerde. B._ liess sich nicht vernehmen.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der das Verfahren nicht abschliesst. Gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide über die Zuständigkeit und über Ausstandsbegehren ist die Beschwerde in Strafsachen gemäss <ref-law> zulässig. Andere selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide können mit Beschwerde in Strafsachen nur angefochten werden, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (<ref-law>) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (<ref-law>).
1.2. Ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von <ref-law> ist nach der Rechtsprechung zu bejahen, wenn eine Behörde durch einen Rückweisungsentscheid gezwungen wird, eine ihres Erachtens rechtswidrige Verfügung zu treffen (<ref-ruling> E. 5.2.2; Urteile 6B_343/2018 vom 25. April 2019 E. 1.4; 6B_792/2016 vom 18. April 2017 E. 1.2; 6B_637/2013 vom 19. September 2013 E. 1.2; 1B_160/2012 vom 20. September 2012 E. 1.2). Dies ist vorliegend der Fall. Die Staatsanwaltschaft Bischofszell wird im angefochtenen Entscheid angewiesen, eine Strafuntersuchung gegen B._ zu führen, obschon ihres Erachtens die Voraussetzungen für eine Wiederaufnahme des Verfahrens nicht erfüllt sind und der Kanton Thurgau für eine Wiederaufnahme dieses Verfahrens auch nicht zuständig wäre (vgl. Beschwerde S. 4). Der Staatsanwaltschaft steht das Beschwerderecht in Strafsachen nach Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 BGG grundsätzlich ohne Einschränkung zu (<ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin ist nach kantonalem Recht zudem zur Vertretung der Staatsanwaltschaft berechtigt (vgl. dazu <ref-ruling> E. 1). Auf die Beschwerde ist daher einzutreten.
2.
2.1. Die Beschwerdeführerin rügt, die Voraussetzungen für die Wiederaufnahme des Verfahrens gegen B._ seien nicht erfüllt. Für eine Wiederaufnahme des Verfahrens wäre zudem die Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland zuständig, welche die Nichtanhandnahme verfügt habe. Die Vorinstanz sei nicht befugt, einer ausserkantonalen Staatsanwaltschaft Anweisungen zur Wiederaufnahme eines Verfahrens zu erteilen. Der Beschwerdegegner habe die Gerichtsstandsverfügung der Staatsanwaltschaft Bischofszell vom 12. Juni 2018 nicht angefochten. Damit sei automatisch eine Verfahrenstrennung erfolgt.
Die Staatsanwaltschaft Bischofszell argumentiert in der Nichtanhandnahmeverfügung vom 24. Februar 2020, die Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland habe auch nach Kenntnisnahme der im Verfahren gegen den Beschwerdegegner später erhobenen Beweise an der Nichtanhandnahmeverfügung vom 25. September 2017 festgehalten und dies auch mehrfach mitgeteilt. Seither seien keine neuen Erkenntnisse aufgetaucht. Bei dieser Konstellation seien die Voraussetzungen für eine Wiederaufnahme nach <ref-law> nicht gegeben und es bestehe die Sperrwirkung von <ref-law> (Grundsatz "ne bis in idem").
2.2. Zu prüfen ist, ob der Beschwerdegegner überhaupt zur Beschwerde gegen die Nichtanhandnahmeverfügung vom 24. Februar 2020 legitimiert war.
Die Vorinstanz erwägt dazu, die Staatsanwaltschaft Bischofszell sei vom Bezirksgericht Arbon mit Beschluss vom 25. November 2019/13. Januar 2020 angewiesen worden, gegen den Beschwerdegegner und B._eine einheitliche Strafuntersuchung durchzuführen. Zum selben Schluss sei bereits das Obergericht in seinem Entscheid vom 8. März/6. April 2018 gekommen. Indem die Staatsanwaltschaft Bischofszell nun die Nichtanhandnahme einer Strafuntersuchung gegen B._ verfüge, setze sie sich über die Anweisung des Bezirksgerichts Arbon und die Ausführungen des Obergerichts hinweg. Sofern die angefochtene Nichtanhandnahme zu Unrecht erfolgt sei, sei darin eine Rechtsverweigerung der Staatsanwaltschaft Bischofszell im Strafverfahren des Beschwerdegegners zu erblicken. Dieser müsse die Möglichkeit haben, sich zu wehren, wenn die Staatsanwaltschaft den Anweisungen nicht nachkomme, welche das Bezirksgericht und das Obergericht in seinem Strafverfahren erlassen hätten. Insofern sei der Beschwerdegegner beschwert. Er habe ein rechtlich geschütztes Interesse an der Klärung der Frage, ob die Staatsanwaltschaft Bischofszell trotz gegenteiliger gerichtlicher Anweisung die Nichtanhandnahme einer Strafuntersuchung gegen B._ verfügen und mithin auf die Durchführung einer gemeinsamen Strafuntersuchung gegen ihn und B._ verzichten durfte. Er habe demnach ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Auf die Beschwerde war gemäss der Vorinstanz daher einzutreten (angefochtener Entscheid E. 1d S. 11).
2.3.
2.3.1. Dem kann nicht gefolgt werden. Vor der Vorinstanz angefochten war die Nichtanhandnahmeverfügung vom 24. Februar 2020, in welcher sich die Staatsanwaltschaft Bischofszell gegen die (Wieder-) Aufnahme eines Strafverfahrens gegen B._ aussprach. Gemäss Art. 310 Abs. 2 i.V.m. <ref-law> können die Parteien die Nichtanhandnahmeverfügung innert 10 Tagen bei der Beschwerdeinstanz anfechten. Als Parteien im Sinne von <ref-law> gelten die beschuldigte Person und die Privatklägerschaft (Art. 104 Abs. 1 lit. a und b StPO), nicht jedoch allfällige Mitbeschuldigte (Mittäter, Anstifter oder Gehilfen). Mitbeschuldigte sind daher nicht befugt, eine Bestrafung des Mittäters oder Teilnehmers zu verlangen. Als Privatklägerschaft gilt die geschädigte Person, die ausdrücklich erklärt, sich am Strafverfahren als Straf- oder Zivilklägerin zu beteiligen (<ref-law>). Dass der Beschwerdegegner selber durch die B._ vorgeworfenen Straftaten in seinen Rechten unmittelbar verletzt sein könnte (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.1 mit Hinweisen), kann weder dem angefochtenen Entscheid noch der Stellungnahme des Beschwerdegegners vor Bundesgericht (act. 19) entnommen werden. Dieser kann daher nicht als Geschädigter gelten.
2.3.2. Die Beschwerdelegitimation des Beschwerdegegners ergibt sich auch nicht aus Art. 105 Abs. 1 und 2 i.V.m. Art. 310 Abs. 2 und <ref-law>, welche das Beschwerderecht der anderen Verfahrensbeteiligten regeln, oder <ref-law>, da der Beschwerdegegner als Mitbeschuldigter kein rechtlich geschütztes Interesse an einer Bestrafung von B._ hat. Dass das Bezirksgericht Arbon die Staatsanwaltschaft Bischofszell mit Beschluss vom 25. November 2019/13. Januar 2020 anwies, gegen den Beschwerdegegner und B._ ein gemeinsames Verfahren zu führen, begründet entgegen der Auffassung der Vorinstanz kein Rechtsschutzinteresse des Beschwerdegegners an der Aufhebung der Nichtanhandnahmeverfügung vom 24. Februar 2020. Zu prüfen ist vielmehr, ob das Bezirksgericht Arbon dazu überhaupt befugt war, was zu verneinen ist, da gegen B._ kein Verfahren hängig war.
Das mit einer Anklage befasste Sachgericht kann die Staatsanwaltschaft nicht dazu verpflichten, ein Verfahren gegen eine weitere Person zu eröffnen. Selbst im Rahmen von <ref-law>, der die Anklageänderung und -erweiterung regelt, kann das Sachgericht der Staatsanwaltschaft lediglich die Gelegenheit zur Änderung oder Erweiterung der Anklage geben (Art. 333 Abs. 1 und 2 StPO). Diese ist dazu jedoch nicht verpflichtet (Urteile 6B_719/2017 vom 10. September 2018 E. 2.2.2; 1B_96/2018 vom 24. Mai 2018 E. 2.3.3; STEPHENSON/ZALUNARDO-WALSER, in: Basler Kommentar, Strafprozessordnung/Jugendstrafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 5a und 7 zu <ref-law>). Auch die Beschwerdeinstanz kann nur im Rahmen einer gültigen Beschwerde gegen die Nichtanhandnahmeverfügung, die in der Regel von der geschädigten Person, die sich als Privatklägerin konstituiert hat, auszugehen hat (vgl. Art. 310 Abs. 2 i.V.m. Art. 322 Abs. 2, Art. 104 Abs. 1 lit. b, Art. 115 Abs. 1 und <ref-law>; oben E. 2.3.1), darüber befinden, ob ein Strafverfahren zu Unrecht nicht an die Hand genommen wurde.
2.3.3. <ref-law>, wonach Mittäter und Teilnehmer gemeinsam zu verfolgen und zu beurteilen sind, gelangt zudem nur zur Anwendung, wenn der Bund oder der gleiche Kanton für die Verfolgung der Mittäter oder Teilnehmer zuständig ist. Handelt es sich um Straftaten, die teilweise in die Zuständigkeit des Bundes fallen oder die in verschiedenen Kantonen und von mehreren Personen begangen worden sind, so gehen die Art. 25 und 33-38 StPO vor (<ref-law>). <ref-law> sieht im Falle mehrerer Beteiligter (Teilnehmer und Mittäter) einen einheitlichen Gerichtsstand vor. Gemäss <ref-law> können die Staatsanwaltschaften untereinander jedoch einen anderen als den in <ref-law> vorgesehenen Gerichtsstand vereinbaren, wenn der Schwerpunkt der deliktischen Tätigkeit oder die persönlichen Verhältnisse der beschuldigten Person es erfordern oder andere triftige Gründe vorliegen. Die Anfechtung des Gerichtsstands durch die Parteien ist in <ref-law> geregelt. Ein nach den Art. 38-41 StPO festgelegter Gerichtsstand kann nur aus neuen wichtigen Gründen und nur vor der Anklageerhebung geändert werden (<ref-law>; vgl. dazu auch <ref-ruling> E. 7). Eine Verfahrensvereinigung durch das Sachgericht gestützt auf <ref-law> ist daher ausgeschlossen, wenn sich im Rahmen einer unangefochten gebliebenen Gerichtsstandsvereinbarung verschiedene Kantone für die Verfolgung der Straftaten der Mittäter bzw. Teilnehmer für zuständig erklärt haben, da Gerichtsstandsvereinbarungen im Sinne von <ref-law> für das Sachgericht verbindlich sind und der Bestimmung von <ref-law> gemäss <ref-law> vorgehen. <ref-law> betrifft lediglich das innerkantonale Abweichen von den Gerichtsstandsvorschriften.
2.4. Die Vorinstanz trat auf die Beschwerde des Beschwerdegegners nach dem Gesagten zu Unrecht ein. Sie hätte folglich nicht prüfen dürfen, ob die Staatsanwaltschaft Bischofszell das Verfahren gegen B._ zu Unrecht nicht an die Hand nahm, und diese auch nicht anweisen dürfen, ein Strafverfahren gegen B._ zu eröffnen.
3.
Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese hat in diesem Sinne neu zu entscheiden, dass der Beschwerdegegner nicht zur Beschwerde gegen die Nichtanhandnahmeverfügung vom 24. Februar 2020 legitimiert und auf seine Beschwerde daher nicht einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der unterliegende Beschwerdegegner kostenpflichtig (<ref-law>). Der Kanton Thurgau trägt keine Gerichtskosten (<ref-law>).
B._ sind weder Gerichtskosten aufzuerlegen noch hat er Anspruch auf eine Entschädigung, da er im Verfahren vor Bundesgericht keine Anträge stellte und keine Stellungnahme einreichte.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Thurgau vom 14. Mai 2020 aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, B._ und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juli 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Unseld