Sachverhalt:
A.
A.a. B.A._ (geboren am xx.xx.1976) ist seit ihrer Geburt schwer behindert. Die Vormundschaftsbehörde Lachen errichtete deshalb über B.A._ eine Vormundschaft nach aArt. 369 ZGB und stellte sie unter die erstreckte elterliche Sorge ihrer Mutter, A.A._. Mit Inkrafttreten des neuen Erwachsenenschutzrechts am 1. Januar 2013 erfolgte die Umwandlung der Vormundschaft in eine umfassende Beistandschaft nach <ref-law>. Zur Beiständin wurde die Mutter, A.A._, ernannt.
A.b. Im Anschluss an einen Augenschein in der gemeinsamen Wohnung von A.A._ und B.A._ entliess die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Ausserschwyz (KESB) die Mutter am 24. September 2015 mit sofortiger Wirkung als Beiständin und entzog ihr sämtliche Vertretungsbefugnisse. Bis zur Bestellung einer neuen Beistandsperson setzte die KESB C_ vorsorglich als Beiständin ein. B.A._ wurde erst ins Spital U._ verbracht und später ins Heim D._ in V._ (SZ) eingewiesen.
A.c. Mit Beschluss vom 4. November 2015 hob die KESB die umfassende Beistandschaft über B.A._ auf und errichtete eine Vertretungsbeistandschaft mit Einkommens- und Vermögensverwaltung nach Art. 394 i.V.m. <ref-law>. Ausserdem bestätigte sie die Entlassung von A.A._ und ernannte C_ unter Beschreibung der Aufgaben zur neuen Beiständin. Eine dieser Aufgaben ist die Sorge für eine geeignete Wohnsituation von B.A._.
A.d. Gegen diesen Beschluss wehrte sich A.A._ erfolglos beim Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz und beim Bundesgericht, welches ihre Beschwerde im Urteil 5A_310/2016 vom 3. März 2017 abwies, soweit es darauf eintrat.
A.e. Seit dem 29. November 2015 lebt B.A._ im Heim D._. Mit zwei Schreiben, die bei der KESB am 20. Juli 2016 und am 19. August 2016 eingingen, beklagte A.A._ sinngemäss die Betreuung ihrer Tochter im Heim St. Antonius und machte geltend, dass B.A._ nach Leukerbad zur Kur gehen und anschliessend wieder von ihrer Mutter betreut werden möchte. Die KESB führte daraufhin Abklärungen durch. Mit Beschluss vom 7. Dezember 2016 erteilte die KESB ihre behördliche Zustimmung gemäss <ref-law> für den Heimvertrag zwischen B.A._, vertreten durch ihre Beiständin, und dem Heim St. Antonius.
B.
B.a. Dagegen erhob A.A._ mit Eingabe vom 23. Januar 2017 im Namen ihrer Tochter Beschwerde und beantragte darin hauptsächlich die Aufhebung des angefochtenen Genehmigungsbeschlusses. Nach Einholung einer Vernehmlassung der KESB und einer Stellungnahme von A.A._ hierzu wartete die Vorinstanz den Ausgang des Verfahrens vor Bundesgericht betreffend die Vertretungsbeistandschaft ab (vorne Bst. A.c und A.d).
B.b. Nach Eingang des bundesgerichtlichen Urteils vom 3. März 2017 nahm die Vorinstanz Kontakt auf mit dem darin erwähnten Rechtsvertreter von A.A._. Dieser erklärte sich bereit, A.A._ bzw. B.A._ im Verfahren vor dem Verwaltungsgericht zu vertreten. Mit Schreiben vom 27. März 2017 teilte A.A._ der Vorinstanz mit, dass der Rechtsvertreter nur für ihre Tochter handle. Sie selber nehme als Beteiligte am Verfahren teil, werde aber von ihm nicht vertreten, sondern nehme ihre Rechte selber wahr.
B.c. Am 28. Juni 2017 fand die von A.A._ geforderte mündliche Verhandlung statt, an der den Parteien neue Unterlagen abgegeben wurden. Zu diesen äusserten sich sowohl A.A._ als auch der Rechtsvertreter ihrer Tochter.
B.d. Mit Entscheid vom 27. September 2017 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz (Kammer III) die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat, und erhob keine Verfahrenskosten. Der Tochter gewährte es die unentgeltliche Rechtsverbeiständung, unter Beiordnung des erwähnten Rechtsvertreters.
C.
C.a. Dagegen erhebt A.A._ mit Eingabe vom 8. November 2017 Beschwerde ans Bundesgericht. Sie beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen, unter Kosten- und Entschädigungsfolgen. Darüber hinaus seien ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und alle Auslagen zu ersetzen.
C.b. Mit Eingabe vom 13. November 2017 legt A.A._ einen Zeitungsbericht über die Kommunikation mit Wachkoma-Patienten vor.
C.c. Die Vorinstanz reichte am 14. November 2017 die angeforderten Vorakten ein und verzichtete von sich aus auf eine Vernehmlassung. Von der KESB wurde keine Stellungnahme eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob die Eintretensvoraussetzungen für die Beschwerde erfüllt sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1).
2.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin die Zustimmung der KESB zu einem Dauervertrag für die Unterbringung einer Verbeiständeten (Heimvertrag) gemäss <ref-law> bestätigt hat (Art. 75 Abs. 1 und 2 sowie <ref-law>). Dabei handelt es sich um eine nicht vermögensrechtliche öffentlich-rechtliche Angelegenheit, die in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG). Damit ist die Beschwerde in Zivilsachen gemäss <ref-law> grundsätzlich zulässig. Der Beschwerdeführerin schadet es nicht, dass sie ihre Eingabe als Beschwerde in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (<ref-law>) bezeichnet (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 1.2). Die Beschwerdefrist wurde eingehalten (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 Bst. b BGG). Angesichts der Beschwerdebegründung ist jedoch zu prüfen, ob die Beschwerde den Anfechtungsgegenstand betrifft und ob die Beschwerdeführerin zur Beschwerdeführung überhaupt legitimiert ist.
3.
Die Beschwerdeführerin kritisiert die Zustimmung der KESB zum erwähnten Heimvertrag für ihre Tochter mit dem Hinweis auf einen älteren Vertrag vom 25. Juni 2015, in dem sie selber die Betreuung für ihre Tochter übernommen habe. Dieser liege bei den Akten und bestehe nach wie vor. Die Vorinstanz habe ihn jedoch nicht berücksichtigt und auch nicht geprüft, ob ihre Betreuung oder die des Heims besser geeignet sei für ihre Tochter. In diesem Zusammenhang rügt sie diverse Rechtsverletzungen (Verletzung des Untersuchungs- bzw. Offizialgrundsatzes gemäss kantonalem VRP, des rechtlichen Gehörs und des Subsidiaritätsprinzips gemäss <ref-law>) sowie eine unvollständige bzw. willkürliche Sachverhaltsfeststellung.
Wie die Vorinstanz zu Recht hervorhebt, geht es im angefochtenen Genehmigungsbeschluss nicht um die Prüfung verschiedener Unterbringungsmöglichkeiten für die Tochter, sondern einzig um die Eignung der aktuellen Unterbringung im Heim St. Antonius als Voraussetzung für die Genehmigung des diesbezüglichen Vertrages. Über allfällige künftige Alternativen für die Unterbringung der Tochter wurde vorinstanzlich nicht befunden. Nicht geprüft wurde insbesondere eine (erneute) Unterbringung und Betreuung bei der Beschwerdeführerin. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin zu einem früheren, mit ihr geschlossenen Betreuungsvertrag und zum Vergleich dieser Lösung mit der Heim-Unterbringung zielen daher am Anfechtungsgegenstand vorbei. Insoweit ist auf ihre Beschwerde nicht einzutreten. Der Beschwerdeführerin bleibt es unbenommen, der Beiständin bzw. der KESB neue, tragfähige Alternativen für die Unterbringung und Betreuung ihrer Tochter vorzuschlagen.
4.
Die Beschwerdeführerin weist ferner auf Missstände im Heim D._ hin und bestreitet damit sinngemäss auch die Eignung des Heims für die Unterbringung ihrer Tochter als Voraussetzung für die Genehmigung des Heimvertrags (Anfechtungsgegenstand). Sie rügt in tatsächlicher Hinsicht, dass sie die Missstände - entgegen den Feststellungen des Verwaltungsgerichts - schon vorinstanzlich geltend gemacht habe. Weiter rügt sie, dass die Vorinstanz zu Unrecht auf eine Anhörung ihrer Tochter gemäss <ref-law> verzichtet habe. Damit habe das Verwaltungsgericht das rechtliche Gehör verletzt.
4.1. Soweit die Beschwerdeführerin die Eignung des Heims für die Unterbringung ihrer Tochter bestreitet und deren Anhörung verlangt, betrifft ihre Beschwerde zwar den Anfechtungsgegenstand, doch stellt sich die Frage, ob sie zum Vortrag dieser Rügen überhaupt legitimiert ist (Legitimation offen gelassen im Urteil 5A_310/2016 vom 3. März 2017 E. 1.2 f.). Obschon sie ihre Tochter im Rubrum der Beschwerde erwähnt, erhebt sie das Rechtsmittel nämlich ausschliesslich in eigenem Namen.
4.2. Auf die Beschwerde ist nur einzutreten, wenn die Beschwerdeführerin selber zur Beschwerde berechtigt ist. Ob dies der Fall ist, prüft das Bundesgericht zwar von Amtes wegen und mit freier Kognition (vorne E. 1), doch obliegt es der Beschwerdeführerin, ihre Legitimationsvoraussetzungen zu begründen, soweit diese nicht ohne Weiteres ersichtlich sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1.1).
4.3. Im kantonalen Verfahren können Personen, die der von einer Massnahme betroffenen Person nahe stehen, gestützt auf <ref-law> Beschwerde führen. Das Beschwerderecht vor Bundesgericht richtet sich hingegen ausschliesslich nach <ref-law> (Urteile 5A_116/2017 vom 12. September 2017 E. 1.3; 5A_729/2015 vom 17. Juni 2016 E. 2.2.2; 5A_911/2015 vom 21. Januar 2016 E. 3.1; 5A_295/2015 vom 29. Juni 2015 E. 1.2.1; 5A_310/2015 vom 20. April 2015 E. 2; 5A_683/2013 vom 11. Dezember 2013 E. 1.2; kritisch zu dieser Rechtsprechung: Philippe Meier/Estelle de Luze, Le recours des proches au Tribunal fédéral en matière de protection de l'adulte - une Prozessstandschaft? in: Das Zivilrecht und seine Durchsetzung, Festschrift für Thomas Sutter-Somm, 2016, S. 847 ff., insbesondere S. 855 ff.). Danach ist zur Beschwerde berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (Bst. a) und wer durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (Bst. b). Das schutzwürdige Interesse setzt voraus, dass die beschwerdeführende Person einen praktischen Nutzen an der Gutheissung der Beschwerde hat, wobei dieser Nutzen materieller oder ideeller Natur sein kann (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 539; Urteile 5A_1012/2017 vom 25. Juni 2018 E. 3.1; 5A_295/2015 vom 29. Juni 2015 E. 1.2.1). Mit der Beschwerde geht es sodann nicht darum, Interessen Dritter geltend zu machen. Vorausgesetzt wird vielmehr grundsätzlich ein eigenes schutzwürdiges Interesse der beschwerdeführenden Person (Urteile 5A_1012/2017 vom 25. Juni 2018 E. 3.1; 5A_310/2015 vom 20. April 2015 E. 2; 5A_238/2015 vom 16. April 2015 E. 2).
4.4. Dass sich die Beschwerdeführerin als Mutter für das Wohl ihrer behinderten Tochter einsetzt und mit ihr zusammen sein möchte, ist durchaus verständlich. Rechtlich werden die Interessen der volljährigen Tochter bezüglich der Unterbringung und der Anhörung jedoch von der Vertretungsbeiständin und dem eingesetzten Anwalt gewahrt (vorne Bst. A.c und A.d sowie B.b bis B.d). Diese haben den vorinstanzlichen Entscheid nicht angefochten. Was die Beschwerdeführerin zur Unterbringung im Heim und zur Anhörung der Tochter geltend macht, betrifft nicht ihre eigenen Interessen, sondern diejenigen der Tochter und damit einer Drittperson. Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, inwiefern sie davon selber konkret betroffen wäre. Jedenfalls im vorliegenden Fall ist die Legitimation der Beschwerdeführerin zu verneinen, weil sie nur die Interessen ihrer Tochter (Drittinteressen) geltend macht. Auf die Beschwerde ist mithin auch im vorliegenden Punkt nicht einzutreten.
5.
Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde insgesamt nicht einzutreten. Den besonderen Umständen des Falls entsprechend wird darauf verzichtet, Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Damit erweist sich auch das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (Art. 64 Abs. 1BGG) als gegenstandslos. Das Gemeinwesen, das hinter der obsiegenden KESB steht, hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>). Dasselbe gilt für die unterliegende Beschwerdeführerin (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Ausserschwyz und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. August 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Leu