Erwägungen:
1.
Am 18. Dezember 2020 reichte die B._ AG (Vermieterin, Beschwerdegegnerin) beim Mietgericht Zürich (Einzelgericht) eine Klage gegen A._ (Mieter, Beschwerdeführer) ein. Sie verlangte (in an der Hauptverhandlung geänderten Rechtsbegehren), A._ sei zu verurteilen, ihr Fr. 10'140.-- für ausstehende Mietzinse sowie Fr. 1'007.85 als Schadenersatz gemäss Schlussrechnung vom 15. Oktober 2020 zu bezahlen, je nebst Zins. Strittig war unter anderem der Zeitpunkt der Beendigung des Mietverhältnisses.
Mit Urteil vom 9. Juni 2021 hiess das Mietgericht die Klage gut. Die dagegen erhobene Berufung wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Beschluss und Urteil vom 3. November 2021 ab. Soweit A._ mit Berufung die Bezahlung von Schadenersatz in Höhe von Fr. 3'000.-- und die Herausgabe der Kaution beantragt hatte, trat es darauf nicht ein. Sowohl Miet- als auch Obergericht gelangten zum Schluss, das Mietverhältnis zwischen den Parteien sei per Ende September 2020 - und nicht, wie von A._ vorgebracht, per Ende April 2020 - beendet worden.
A._ hat mit Eingabe vom 5. Dezember 2021 beim Bundesgericht Beschwerde gegen dieses Urteil erhoben und um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Die Beschwerde ist im vorliegenden Fall einzig gegen das Urteil des Obergerichts zulässig (<ref-law>). Soweit sich die Rügen des Beschwerdeführers gegen den Entscheid des Mietgerichts richten oder seine Kritik Fragen beschlägt, die nicht Gegenstand des vorinstanzlichen Urteils waren, ist darauf von vornherein nicht einzutreten.
3.
Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
4.
Die Beschwerde genügt diesen Begründungsanforderungen offensichtlich nicht:
Zum einen gibt der Beschwerdeführer über mehrere Seiten seine im Berufungsverfahren gemachten Ausführungen im Wortlaut wieder, an anderen Stellen verweist er zur Beschwerdebegründung pauschal auf die Berufungsschrift. Dies ist von vornherein nicht geeignet, einen Fehler in der obergerichtlichen Rechtsanwendung aufzuzeigen.
Zum anderen übergeht der Beschwerdeführer, dass die Vorinstanz verschiedene seiner Behauptungen mit dem Argument nicht prüfte, er habe sie erstmals im Berufungsverfahren und damit verspätet vorgebracht, so namentlich betreffend die Gültigkeit des Mietvertrags vom 23. Dezember 2013 und die verschiedenen Schadenspositionen gemäss Schlussrechnung vom 15. Oktober 2020. Der Beschwerdeführer geht fehl, wenn er dem Bundesgericht in frei gehaltenen Schilderungen erneut derartige Behauptungen vorträgt, ohne aufzuzeigen, inwiefern das Obergericht Recht verletzte, wenn es die neu eingebrachten Vorbringen nicht hörte.
Soweit der Beschwerdeführer schliesslich allgemein kritisiert, die in <ref-law> vorgesehenen Kündigungsfristen und -termine seien "relativ zwingend", setzt er sich nicht nachvollziehbar mit den Erwägungen der Vorinstanz auseinander, welche unter Hinweis auf <ref-law> festhielt, die Parteien könnten eine längere Frist oder einen anderen Termin vereinbaren.
5.
Folglich ist auf die Beschwerde im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> nicht einzutreten.
Das Begehren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen, weil die Beschwerde von vornherein aussichtslos war (siehe <ref-law>). Die Gerichtskosten sind gemäss <ref-law> dem Beschwerdeführer aufzuerlegen.

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Januar 2022
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Stähle