Erwägungen:
1.
A.A._, B.A._, C.A._ und D.A._ (Beschwerdeführer 1-4) sind Beklagte in einem Verfahren vor dem Bezirksgericht Winterthur um Feststellung des Nichtbestandes einer in Betreibung gesetzten Forderung in der Höhe von Fr. 129'512.40 zuzüglich Zins. Mit Verfügung vom 27. Juni 2019 wies das Bezirksgericht ein Fristerstreckungsgesuch der Beklagten vom 25. Juni 2019 ab und stellte fest, den Beklagten laufe "unverändert die Notfrist bis 1. Juli 2019, um zur schriftlichen Stellungnahme der klagenden Partei vom 5. April 2019 Stellung zu nehmen".
Auf die von den Beklagten dagegen erhobene Beschwerde trat das Obergericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 4. September 2019 nicht ein, da kein nicht leicht wiedergutzumachender Nachteil drohe (Art. 319 lit. b Ziff. 2 ZPO).
Mit Eingabe an das Bundesgericht vom 13. Oktober 2019 haben die Beklagten erklärt, diesen Beschluss mit Beschwerde in Zivilsachen oder subsidiärer Verfassungsbeschwerde anzufechten, und um Gewährung der aufschiebenden Wirkung ersucht. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann. Dafür muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
Die Vorinstanz verneinte das Drohen eines nicht leicht wiedergutzumachenden Nachteils gemäss Art. 319 lit. b Ziff. 2 ZPO in der Erwägung, eine Gehörsverletzung könne immer noch mit dem Rechtsmittel gegen den Endentscheid beanstandet und gegebenenfalls korrigiert werden. Die Beschwerde geht darauf nicht nachvollziehbar ein. Sie enthält somit offensichtlich keine hinreichende Begründung, weshalb im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG nicht auf sie einzutreten ist. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch der Beschwerdeführer um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten in solidarischer Haftbarkeit den Beschwerdeführern aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Dem Beschwerdegegner ist im bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand entstanden, für den er nach Art. 68 Abs. 2 BGG zu entschädigen wäre.

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden den Beschwerdeführern 1-4 auferlegt, in solidarischer Haftbarkeit.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. November 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz