Sachverhalt:
A.
A.a Am 20. August 2018 stellte das Kantonsgericht von Graubünden den Parteien im Erbteilungsstreit über den Nachlass von D._ das Berufungsurteil zu (ZK1 16 35). Dieser Entscheid wurde beim Bundesgericht nicht angefochten. Hingegen reichte der Miterbe A._ am 14. Januar 2019 beim Kantonsgericht ein Revisionsgesuch ein (ZK1 19 6).
A.b Mit Beschluss vom 8. Mai 2019 (GEG 19 4) stellte das Gesamtgericht, bestehend aus dem Kantonsgerichtspräsidenten Brunner, Kantonsrichterin Michael Dürst sowie den Kantonsrichtern Hubert, Pedrotti und Pritzi fest, dass Kantonsrichter Schnyder im Revisionsverfahren (ZK1 19 6) keinerlei Funktion als prozessleitender Richter/Instruktionsrichter zukomme. Jegliche Kontaktnahme mit den Erben D._ und einer weiteren konkret bezeichneten Erbengemeinschaft werde ihm untersagt. Eine Missachtung dieser Anordnung werde als Amtsgeheimnisverletzung im Sinne von <ref-law> qualifiziert (Ziff. 1). Kantonsrichter Schnyder werde im Revisionsverfahren (ZK1 19 6) durch Kantonsrichterin Michael Dürst ersetzt (Ziff. 2). In einer separaten Eingabe werde bei der Kommission für Justiz und Sicherheit des Grossen Rates der Antrag auf Eröffnung eines Amtsenthebungsverfahrens gegen Kantonsrichter Schnyder gestellt (Ziff. 3).
A.c Am 29. Mai 2019 trat das Kantonsgericht auf das Revisionsgesuch von A._ nicht ein. An diesem Entscheid wirkten Kantonsgerichtspräsident Brunner, Kantonsrichter Pedrotti, Kantonsrichterin Michael Dürst sowie Aktuar Guetg mit. Er blieb unangefochten.
B.
Peter Schnyder war am 11. Juni 2019 mit Beschwerde an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragte die Feststellung, dass Ziff. 1 und Ziff. 2 des kantonsgerichtlichen Beschlusses vom 8. Mai 2019 (GEG 19 4) nichtig seien. Eventualiter seien Ziff. 1 und Ziff. 2 dieses Beschlusses aufzuheben und das Kantonsgericht anzuweisen, ihn wieder im Zivilverfahren ZK1 19 6 einzusetzen.
Das Bundesgericht hat den Beschluss des Kantonsgerichts am 22. Juli 2020 gestützt auf <ref-law> aufgehoben und die Sache zur Behandlung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen (Urteil 5A_485/2019 vom 22. Juli 2020).
C.
C.a Mit Eingabe vom 11. August 2020 stellte Peter Schnyder bezüglich der erneuten Behandlung der vom Bundesgericht an das Kantonsgericht zurückgewiesenen Sache (GEG 20 4) ein Ausstandsbegehren gegen sämtliche dort tätigen Richter und Aktuare. Er machte geltend, bei all diesen Personen bestehe der Anschein von Befangenheit und die Gefahr ihrer Voreingenommenheit sei offensichtlich gegeben.
C.b Das Kantonsgericht überwies das neue Verfahren (GEG 20 5) in Anwendung von Art. 19 Abs. 2 des Gerichtsorganisationsgesetzes des Kantons Graubünden vom 16. Juni 2010 (GOG; BR 173.000) an das Verwaltungsgericht zur weiteren Behandlung. Die betroffenen Personen wurden mit Schreiben vom 22. September 2020 aufgefordert, zum Ausstandsbegehren Stellung zu nehmen. Sie beantragten am 1. Oktober 2020 die Abweisung des Gesuchs, soweit dieses nicht bereits gegenstandslos geworden sei. Mit Entscheid vom 8. Oktober 2020 wies das Verwaltungsgericht das Ausstandsbegehren ab und auferlegte Peter Schnyder die Gerichtskosten.
C.b Das Kantonsgericht überwies das neue Verfahren (GEG 20 5) in Anwendung von Art. 19 Abs. 2 des Gerichtsorganisationsgesetzes des Kantons Graubünden vom 16. Juni 2010 (GOG; BR 173.000) an das Verwaltungsgericht zur weiteren Behandlung. Die betroffenen Personen wurden mit Schreiben vom 22. September 2020 aufgefordert, zum Ausstandsbegehren Stellung zu nehmen. Sie beantragten am 1. Oktober 2020 die Abweisung des Gesuchs, soweit dieses nicht bereits gegenstandslos geworden sei. Mit Entscheid vom 8. Oktober 2020 wies das Verwaltungsgericht das Ausstandsbegehren ab und auferlegte Peter Schnyder die Gerichtskosten.
D. Peter Schnyder ist am 11. November 2020 mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die vollständige Aufhebung des vom Verwaltungsgericht als Kantonsgericht am 8. Oktober 2020 gefällten Entscheides und die Rückweisung der Sache an dieses zur neuen Beurteilung.
Das Verwaltungsgericht als Kantonsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist.
Die Erben von D._ wurden als Verfahrensbeteiligte zur Stellungnahme eingeladen. C._ hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. B._ und A._ haben nicht geantwortet.
Der Beschwerdeführer hat daraufhin repliziert.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen selbständig eröffnete Zwischenentscheide über ein Ausstandsbegehren ist die Beschwerde zulässig (<ref-law>). In der Sache geht es um ein Revisionsverfahren gegen ein Urteil in einer erbrechtlichen Angelegenheit mit einem Streitwert über Fr. 30'000.--. Die Eingabe wird daher ungeachtet ihrer Bezeichnung als Beschwerde in Zivilsachen entgegengenommen (Art. 72 Abs. 1, Art. 74 Abs. 1 lit. b und Art. 75 Abs. 1 BGG). Damit entfällt die ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>).
1.2. Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist vom angefochtenen Entscheid unmittelbar berührt und hat daher ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (Art. 76 Abs. 1 lit. a und b BGG). Auf seine fristgerecht erhobene Beschwerde (<ref-law>) ist daher einzutreten.
2.
Die Vorinstanz ist zum Schluss gekommen, dass die Verbesserung der vom Bundesgericht im Urteil vom 22. Juli 2020 festgestellten Mängel nur durch das ursprünglich entscheidfällende Gremium erfolgen könne. Daher bestehe im konkreten Fall kein Raum für ein Ausstandsbegehren.
3.
Der Beschwerdeführer rügt zunächst die Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) und des Anspruchs auf ein faires Verfahren (<ref-law> und Art. 6 Abs. 1 EMRK), weil ihm die Stellungnahme der von seinem Ausstandsbegehren betroffenen Personen vor Erlass des angefochtenen Entscheides nicht zugestellt worden war und er daher sein Replikrecht nicht ausüben konnte.
3.1. Die Vorinstanz räumt in ihrer Vernehmlassung an das Bundesgericht ein, dass sie einen Schriftenwechsel durchgeführt und dabei die eingeholten Stellungnahmen dem Beschwerdeführer erst zugestellt habe, nachdem der Entscheid bereits ergangen sei. Es handle sich dabei tatsächlich um ein "bedauernswertes Versehen". Allerdings bestehe dieses darin, dass dem Beschwerdeführer die Vernehmlassung nicht zusammen mit dem Entscheid zugestellt worden sei. Ein doppelter Schriftenwechsel bei der Behandlung eines Ausstandsbegehrens sei nicht vorgesehen und entspreche auch nicht ihrer Praxis. Zudem könne der Entscheid separat angefochten werden.
3.2. Mit dieser Sichtweise verkennt die Vorinstanz die Bedeutung des rechtlichen Gehörs als Teilaspekt des allgemeinen Grundsatzes eines fairen Verfahrens. Der Anspruch auf rechtliches Gehör nach <ref-law> umfasst auch das Recht, von den beim Gericht eingereichten Stellungnahmen Kenntnis zu erhalten und sich dazu äussern zu können (sog. Replikrecht). Die Wahrnehmung des Replikrechts setzt voraus, dass jede dem Gericht eingereichte Stellungnahme oder Vernehmlassung den Beteiligten zugestellt wird, damit diese sich darüber schlüssig werden können, ob sie sich dazu äussern wollen oder nicht (<ref-ruling> E. 3.4.1; <ref-ruling> E. 4.1.1; <ref-ruling> E. 2.1).
3.3. Daran kann der (nicht näher begründete) Hinweis der Vorinstanz nichts ändern, dass bei einem Ausstandsverfahren gemäss ihrer Praxis kein doppelter Schriftenwechsel stattfinde. Auch kann nicht massgeblich sein, ob die eingeholte Stellungnahme zusammen mit dem Entscheid oder erst später zugestellt wird. Die Vorinstanz hätte dem Beschwerdeführer die Eingabe der vom Ausstandsverfahren betroffenen Personen rechtzeitig übermitteln müssen, damit er sich vor Erlass des Entscheides dazu hätte äussern können. Dies ist im vorliegenden Fall unbestrittenermassen nicht geschehen. Die Missachtung des Replikrechts führt zur Gutheissung der Beschwerde. Eine Prüfung der weiteren Rügen des Beschwerdeführers erübrigt sich damit.
3.3. Daran kann der (nicht näher begründete) Hinweis der Vorinstanz nichts ändern, dass bei einem Ausstandsverfahren gemäss ihrer Praxis kein doppelter Schriftenwechsel stattfinde. Auch kann nicht massgeblich sein, ob die eingeholte Stellungnahme zusammen mit dem Entscheid oder erst später zugestellt wird. Die Vorinstanz hätte dem Beschwerdeführer die Eingabe der vom Ausstandsverfahren betroffenen Personen rechtzeitig übermitteln müssen, damit er sich vor Erlass des Entscheides dazu hätte äussern können. Dies ist im vorliegenden Fall unbestrittenermassen nicht geschehen. Die Missachtung des Replikrechts führt zur Gutheissung der Beschwerde. Eine Prüfung der weiteren Rügen des Beschwerdeführers erübrigt sich damit.
4. Zudem ficht der Beschwerdeführer die Kostenregelung für das kantonale Verfahren an. Seiner Ansicht nach fehlt es an einer gesetzlichen Grundlage, um ihm Kosten aufzuerlegen. Er habe nicht als Prozesspartei gehandelt, sondern die Ausstandspflicht anderer Gerichtspersonen verlangt. Da sich die Beschwerde als erfolgreich erweist, wird der angefochtene Entscheid auch im Kostenpunkt aufgehoben. Die Prüfung der in diesem Zusammenhang erhobenen Rüge erübrigt sich daher.
4. Zudem ficht der Beschwerdeführer die Kostenregelung für das kantonale Verfahren an. Seiner Ansicht nach fehlt es an einer gesetzlichen Grundlage, um ihm Kosten aufzuerlegen. Er habe nicht als Prozesspartei gehandelt, sondern die Ausstandspflicht anderer Gerichtspersonen verlangt. Da sich die Beschwerde als erfolgreich erweist, wird der angefochtene Entscheid auch im Kostenpunkt aufgehoben. Die Prüfung der in diesem Zusammenhang erhobenen Rüge erübrigt sich daher.
5. Ungeachtet des Verfahrensausgangs wird von der Auferlegung von Kosten im konkreten Fall abgesehen (<ref-law>). Indes hat der Kanton Graubünden den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (<ref-law>). Die Verfahrensbeteiligten haben sich nicht vernehmen lassen, womit ihnen kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Verwaltungsgerichts als Kantonsgericht des Kantons Graubünden vom 8. Oktober 2020 (GEG 20 5) wird aufgehoben. Die Sache wird zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Graubünden hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, A._, B._, C._ und dem Verwaltungsgericht als Kantonsgericht von Graubünden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Juli 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Buss