Sachverhalt:
A.
A.A._ und B.A._ gehört seit 2006 das überbaute Grundstück mit der Katasternummer (KTN) 316 in der Gemeinde Morschach. Das Grundstück grenzt südlich an die Strassenparzelle KTN 322 (Dorfstrasse) sowie östlich und nördlich an die Strassenparzelle KTN 315 (Axensteinstrasse) an. Dabei mündet bei der südöstlichen Ecke von KTN 316 die Axensteinstrasse in die Dorfstrasse ein. Der frühere Eigentümer von KTN 316 schloss 1980 mit dem Gemeinderat Morschach einen Vorvertrag über einen gegenseitigen Landabtausch ab; dies stand im Zusammenhang mit dem Neubau eines Trottoirs an der Axensteinstrasse. Gestützt darauf wurde ein Kauf- und Tauschvertrag erarbeitet, der aber nicht unterzeichnet bzw. beurkundet wurde. Dennoch wurde das Trottoir an der Axensteinstrasse erstellt. Die damit einhergehende Änderung der Grundstücksflächen liess die Gemeinde 1993 im Grundbuch eintragen.
Zur Bereinigung der grundbuchlichen Situation unternahmen A.A._ und B.A._ verschiedene Schritte. Am 27. Dezember 2017 wandten sie sich mit einer Zivilklage gegen die Gemeinde Morschach an das Bezirksgericht Schwyz. Der Einzelrichter des Bezirksgerichts nahm die Klage als Grundbuchberichtigungsklage entgegen und hiess sie mit Urteil vom 13. April 2018 gut. Er erwog, ein gültiges Grundgeschäft für die umstrittene Grenzänderung liege nicht vor. Im Dispositiv wies er das Grundbuchamt an, die nördliche und östliche Grenze von KTN 316 zu KTN 315 so zu berichtigen, dass sie einem bezeichneten Plan vom 18. Dezember 1979 entspreche. Nach diesem Plan ist die bestehende Trottoirfläche teilweise Bestandteil von KTN 316. Die in diesem Urteil festgelegte Grenzänderung wurde vom zuständigen Grundbuchamt vollzogen. Auf eine dagegen gerichtete Beschwerde von A.A._ und B.A._ trat das Kantonsgericht Schwyz am 16. Oktober 2018 nicht ein.
Am 4. September 2018 beschloss der Gemeinderat Morschach, von A.A._ und B.A._ die mit der Grundbuchbereinigung an KTN 316 zugeschlagene Trottoirfläche von ca. 18 m2 zu erwerben. Da ein freihändiger Erwerb nicht zustande kam, beschloss der Gemeinderat am 24. September 2019, die betreffende Teilfläche zu enteignen. Weiter hielt er förmlich fest, dass das Schätzungsverfahren eingeleitet werde, falls innert 30 Tagen nach Inkrafttreten der Enteignungsverfügung keine Einigung über die Entschädigung zustande komme.
B.
Gegen die Enteignungsverfügung erhoben A.A._ und B.A._ Beschwerde an den Regierungsrat des Kantons Schwyz. Dieser wies das Rechtsmittel mit Beschluss vom 14. Januar 2020 ab.
A.A._ und B.A._ zogen den Regierungsratsbeschluss an das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz weiter. Nach Durchführung eines Augenscheins mit anschliessender öffentlicher Parteiverhandlung wies es die Beschwerde mit Entscheid vom 16. September 2020 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts führen A.A._ und B.A._ mit Eingabe vom 16. Oktober 2020 Beschwerde ans Bundesgericht. Sie beantragen die Aufhebung des angefochtenen Entscheids, soweit darauf eingetreten werden könne. Eventualiter seien die Gemeinde Morschach und das Grundbuchamt anzuweisen, sämtliche Mutationspläne und Eigentumstitel für KTN 315 (Axensteinstrasse) im Original vorzulegen. Subeventualiter sei das Bezirksgericht Schwyz anzuweisen, den Plan im Urteil zu berichtigen.
Der Gemeinderat ersucht um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das kantonale Sicherheitsdepartement und das Verwaltungsgericht erklären Verzicht auf eine Vernehmlassung. In der Replik vom 7. Dezember 2020 stellen die Beschwerdeführer sinngemäss ein Ausstandsbegehren gegen den Gemeindepräsidenten C._, den Gemeindeschreiber D._ und weitere Amtspersonen der Gemeinde. Mit Eingabe vom 5. Januar 2021 hält der Gemeinderat an den gestellten Anträgen fest. Am 2. Februar 2021 leitet er eine Eingabe der Beschwerdeführer vom 29. Januar 2021 an das Bundesgericht weiter. Die Beschwerdeführer nehmen am 5. Februar 2021 zu den Schreiben des Gemeinderats Stellung. Am 24. Februar 2021 lässt sich der Gemeinderat dazu vernehmen. Dazu äussern sich die Beschwerdeführer mit Eingabe vom 15. März 2021.

Erwägungen:
1.
1.1. Dem angefochtenen Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) liegt ein Beschwerdeverfahren über eine Enteignung und somit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit zugrunde. Ein Ausschlussgrund nach <ref-law> liegt nicht vor. Die Beschwerdeführer haben am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen. Sie sind durch den angefochtenen Entscheid materiell beschwert und haben ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung bzw. Änderung (vgl. <ref-law>).
1.2. Zum Enteignungsverfahren gemäss dem früheren Expropriationsgesetz des Kantons Schwyz vom 1. Dezember 1870 hat das Bundesgericht erwogen, dieses sei zweistufig aufgebaut (Enteignung - Entschädigung). Das Bundesgericht qualifizierte den in der ersten Verfahrensstufe gefällten Entscheid über Zulässigkeit und Umfang der Enteignung als Endentscheid im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.2). Aufgrund einer Totalrevision wurde dieser Erlass durch das kantonale Enteignungsgesetz vom 22. April 2009 (Entg; SRSZ 470.100) abgelöst. Bei dieser Gesetzesrevision wurde beibehalten, dass das Enteignungsverfahren grundsätzlich zweiteilig sein soll (vgl. Protokoll des Kantonsrats Schwyz vom 22. April 2009 S. 320, Votum Kantonsrat Pfister; <https://www.sz.ch unter Behörden/Regierung-Parlament-Gerichte/Parlament/Sitzungsprotokolle> [besucht am 1. Dezember 2021]). In der kantonalen Praxis zum revidierten Gesetz wurde wiederum der Grundsatz geäussert, wonach das Enteignungsverfahren zweistufig sei: In der ersten Verfahrensstufe werde verfügt, ob und was enteignet werden dürfe. Nach Abschluss dieser ersten Stufe schliesse sich das Entschädigungsverfahren an (vgl. EGV-SZ 2018 B. 9.1 E. 4.4). Unter diesen Umständen ist der vorliegend zur Diskussion stehende Entscheid über Zulässigkeit und Umfang der Enteignung praxisgemäss als Endentscheid im Sinne von <ref-law> zu betrachten. Auf die form- und fristgerecht erhobene Beschwerde ist einzutreten, unter Vorbehalt der nachfolgenden Erwägungen.
1.3. Soweit die Beschwerdeführer Ausstandsgründe gegen verschiedene Amtspersonen der Gemeinde Morschach geltend machen, ist darauf nicht einzutreten. Diese Ausführungen sind nicht innerhalb der Beschwerdefrist vorgebracht worden (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.3 mit Hinweis). Es besteht auch kein Anlass, die Stellungnahmen des Gemeinderats an das Bundesgericht aus dem Recht zu weisen.
1.4. Die Forderungen in der Beschwerdeschrift nach einer Untersuchung gegen Amtspersonen der Gemeinde Morschach über bezeichnete Vorgänge in der Vergangenheit liegen ausserhalb des Streitgegenstands. Darauf ist ebenfalls nicht einzutreten.
1.5. Das Bundesgericht wendet das Bundesrecht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es in der Regel, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem (oder kommunalem) Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge lediglich insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3 mit Hinweisen). Stützt sich der angefochtene Entscheid auf kantonales Recht, so ist eine solche, erhöhten Anforderungen genügende Begründung Voraussetzung für das Eintreten auf die Beschwerde bzw. die einzelnen Beschwerdeanträge (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 mit Hinweisen). Es ist im jeweiligen Sachzusammenhang zu erörtern, inwiefern die Anforderungen an die Rügepflicht erfüllt sind.
2.
Die Beschwerdeführer verlangen unter Hinweis auf Art. 6 EMRK die Durchführung einer öffentlichen mündlichen Verhandlung und eines Augenscheins. Eine entsprechende Verhandlung hat jedoch bereits das Verwaltungsgericht durchgeführt. Damit wurde den Anforderungen von Art. 6 Ziff. 1 EMRK Genüge getan (vgl. Urteil 1C_673/2017 vom 6. September 2018 E. 2). Eine nochmalige öffentliche Verhandlung vor Bundesgericht - auf welche sich im Übrigen auch aus <ref-law> kein Anspruch ergibt - rechtfertigt sich nicht. Im Übrigen ergeben sich die entscheidrelevanten Umstände ohne Weiteres aus den Akten; auf eine Durchführung eines bundesgerichtlichen Augenscheins kann verzichtet werden.
3.
3.1. Das Verwaltungsgericht hat das Eintreten zur Hauptsache auf die Rechtmässigkeit der Enteignung der Teilfläche von 18 m2 vom Grundstück der Beschwerdeführer KTN 316 beschränkt. Hingegen ist es auf die Einwände der Beschwerdeführer zur Gesamtfläche dieser Parzelle (ausserhalb der enteigneten Teilfläche) und zur Bestreitung des Eigentums der Gemeinde an der Axensteinstrasse nicht eingetreten. Nach dem angefochtenen Entscheid seien die Beschwerdeführer auch nicht mit dem Einwand zu hören, wonach das Zivilurteil vom 13. April 2018 einer Enteignung entgegenstehe. In einer Zusatzbegründung hat sich das Verwaltungsgericht jeweils mit diesen Punkten materiell befasst.
3.2. In einer solchen Konstellation beurteilt das Bundesgericht die materielle Rechtslage dann, wenn die Vorinstanz zu Unrecht auf die Beschwerde nicht eingetreten ist. Daher muss sich die Beschwerdebegründung im bundesgerichtlichen Verfahren (<ref-law>) in solchen Fällen sowohl mit dem Nichteintreten als auch mit der materiellrechtlichen Seite auseinandersetzen, was die Beschwerdeführer sinngemäss getan haben. Wenn sich aber der Nichteintretensentscheid als richtig erweist, so bleibt es dabei und das Bundesgericht hat sich mit der materiellrechtlichen Sache nicht auseinanderzusetzen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 mit Hinweisen).
3.3. Gegen ein Nichteintreten in den fraglichen Punkten führen die Beschwerdeführer ins Feld, dass die Enteignung auf falschen Plangrundlagen beruhe; letztere seien von Amtes wegen zu bereinigen. Es werde in unfairer bzw. willkürlicher Weise zwischen Zivil- und Verwaltungsrecht unterschieden. Mit dem Zivilurteil vom 13. April 2018 sei eine nachträgliche Enteignung gebannt worden. Wie in diesem Zivilurteil ausgeführt worden sei, hätte eine Enteignung vor jenem Entscheid erfolgen müssen. Sollte die umstrittene Enteignung wider Erwarten dennoch möglich sein, so liege ein Verstoss gegen das Koordinationsgebot vor, indem die materiellen Gegebenheiten nicht ordentlich vorlägen. Im Übrigen werde dem kantonalen Gesetz über die öffentlichen Wege mit privater Unterhaltspflicht in willkürlicher Weise nicht nachgekommen.
3.4. Die Beschwerdeführer nennen keine konkrete kantonale Bestimmung, wonach das Verwaltungsgericht von Amtes wegen verpflichtet wäre, für die Bereinigung zivilrechtlicher Verhältnisse im vorliegenden Verfahren zu sorgen. Sie gehen nicht auf die im angefochtenen Entscheid angeführten kantonalen Bestimmungen zur Enteignung durch eine Gemeinde für ein öffentliches Werk ein. Ebenso wenig setzen sie sich substanziiert mit den vorinstanzlichen Erwägungen zur verfahrensrechtlichen Unabhängigkeit der Enteignung vom Zivilurteil vom 13. April 2018 auseinander. Insoweit erfüllen die Beschwerdeführer nicht die Anforderungen an die Rügepflicht gemäss <ref-law> (vgl. oben E. 1.5). Daran ändert auch die pauschale Berufung auf das kantonale Gesetz vom 26. Februar 1958 über die öffentlichen Wege mit privater Unterhaltspflicht (SRSZ 443.110) nichts. Ausserdem gelingt es den Beschwerdeführern nicht aufzuzeigen, dass die Rechtmässigkeit der umstrittenen Enteignung in erheblicher Weise von der materiellen Beurteilung dieser Fragen abhängen würde. Die Vorinstanz hat somit weder gegen das Willkürverbot noch gegen das Grundrecht auf ein faires Verfahren verstossen, wenn es zur Hauptsache nur auf Rügen betreffend die Enteignung der betroffenen Teilfläche eingetreten ist. Unter diesen Umständen hat sich das Bundesgericht nicht mit den erwähnten Fragen zu befassen. Demzufolge sprengen die Beschwerdebegehren, welche Mutationspläne und Eigentumstitel zur Axensteinstrasse sowie die Plangrundlage des Zivilurteils vom 13. April 2018 ausserhalb der enteigneten Teilfläche betreffen, den Streitgegenstand. Darauf kann im bundesgerichtlichen Verfahren nicht eingetreten werden.
4.
4.1. In der Sache wenden sich die Beschwerdeführer gegen die Notwendigkeit und die Verhältnismässigkeit der Enteignung. Auf die kantonale Gesetzgebung als Rechtsgrundlage für die umstrittene Enteignung gehen sie vor Bundesgericht nicht substanziiert ein (vgl. auch oben E. 1.5 und 3.4). Die Enteignung greift in die Eigentumsrechte Privater ein. Dieser Eingriff bedarf einer gesetzlichen Grundlage und muss durch ein öffentliches Interesse gerechtfertigt und verhältnismässig sein (Art. 26 i.V.m. <ref-law>). Das Vorliegen eines öffentlichen Interesses und die Verhältnismässigkeit prüft das Bundesgericht bei der Beschränkung von Grundrechten frei. Es auferlegt sich jedoch Zurückhaltung, soweit die Beurteilung von einer Würdigung der örtlichen Verhältnisse abhängt, welche die kantonalen Behörden besser überblicken (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 mit Hinweisen).
4.2. Nach dem angefochtenen Entscheid handelt es sich bei der Axensteinstrasse gemäss dem Erschliessungsplan der Gemeinde von 2007 um eine Groberschliessungsstrasse. Das Verwaltungsgericht hat erwogen, derartige Anlagen der Groberschliessung würden den motorisierten Verkehr und den Fussgängerverkehr umfassen. Letzterer sei wenn möglich flächenmässig getrennt auf Gehwegen bzw. Trottoirs zu führen. Bei der fraglichen Trottoirfläche gehe es um ein Werk im öffentlichen Interesse. Ohne Enteignung wäre das bestehende Trottoir nach einem entsprechenden Rückbau teilweise nur noch 70 cm breit. Die Enteignung gewährleiste hingegen - wie bestehend - eine durchgehende Breite von ca. 2 m, die wenig über das unerlässliche Minimum von 1,5 m hinausgehe. Gestützt auf den Augenschein hat das Verwaltungsgericht die Bedeutung des Trottoirs am betroffenen Standort für die Verkehrssicherheit bejaht, obwohl dieser in einer Tempo-30-Zone liege. Es hat festgestellt, es handle sich zum einen um einen viel frequentierten Schulweg zum nahe gelegenen Schulhaus und zum andern um eine Strasse zu den nördlichen Wohnquartieren mit regem Fahrzeugverkehr. Der umstrittenen Enteignung hat das Verwaltungsgericht im Ergebnis keine nachteilige Wirkung im Hinblick auf die Beibehaltung der baulichen Nutzung des beschwerdeführerischen Grundstücks zugemessen. Weiter hat es die Enteignung bloss eines Wegrechts als unzweckmässig angesehen. Die Übertragung der Trottoirfläche auf die Gemeinde, welche für den Bau und Unterhalt von Groberschliessungsstrassen zuständig und nach der einschlägigen kantonalen Vorschrift im Regelfall auch deren Eigentümerin sei, erweise sich als verhältnismässig.
4.3. Die Beschwerdeführer wenden ein, das Gebiet Axenstein, zu dem die Axensteinstrasse führe, müsse gemäss Art. 16 Abs. 3 des kommunalen Baureglements (BauR) von den betroffenen Grundeigentümern selbst und auf eigene Kosten erschlossen werden. Unter dem Vorwand des Allgemeinwohls (wie Schulweg- und Verkehrssicherheit) führe die Gemeinde die Erschliessung dieses Baugebiets und des Gebiets Husmatt zulasten von KTN 316 durch. Die Beschwerdeführer stellen die Notwendigkeit der Enteignung mit all den Folgen und der Wertverminderung für ihre Parzelle in Frage.
4.4. Die Beschwerdeschrift ans Bundesgericht setzt sich nicht substanziiert mit der Funktion der Axensteinstrasse als Anlage der Groberschliessung und insbesondere auch des dazu gehörigen Trottoirs als Schulweg auseinander. Soweit die Einwände der Beschwerdeführer die Anforderungen an die Rügepflicht erfüllen (vgl. oben E. 1.5), vermögen sie weder das öffentliche Interesse für die Enteignung der umstrittenen Teilfläche noch deren Verhältnismässigkeit zu entkräften. Diese Teilfläche befindet sich in der Ortsmitte von Morschach und in einem Kurvenbereich bei der Einmündung zur Dorfstrasse. Es ist nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz unter Würdigung der örtlichen Verhältnisse ungeachtet einer Tempo-30-Zone ein rund 2 m breites Trottoir für den Fussgängerschutz als nötig erachtet hat. Diese Schutzmassnahme weist über die Erschliessung von nördlich gelegenen Wohngebieten, welche die Beschwerdeführer erwähnen, hinaus. Die Vorinstanz hatte unter diesen Umständen keinen Anlass, sich näher mit der Erschliessungsvorschrift von Art. 16 Abs. 3 BauR zu befassen. Aufgrund der Rügen der Beschwerdeführer ist nicht ersichtlich, inwiefern es verfassungswidrig wäre, dass die Vorinstanz das öffentliche Interesse an der umstrittenen Enteignung höher als das gegenteilige Interesse der Beschwerdeführer gewichtet und den Eingriff für sie als zumutbar betrachtet hat. Wie von der Vorinstanz dargelegt, ist die enteignungsrechtliche Entschädigung nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens (vgl. auch oben E. 1.2).
5.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang werden die Beschwerdeführer unter solidarischer Haftbarkeit kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Gemeinderat Morschach, dem Regierungsrat des Kantons Schwyz und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Dezember 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Kessler Coendet