Erwägungen:
1.
Das Statthalteramt des Bezirks Zürich büsste A._ mit Strafbefehl vom 28. Juni 2018 unter anderem wegen Sachbeschädigung und Zuwiderhandlung gegen das Planungs- und Baugesetz sowie die Verkehrsregelverordnung mit Fr. 1'000.--.
Am 10. Oktober 2018 wandte sich A._ an das Statthalteramt und verlangte die Ausstellung einer rekursfähigen Verfügung "mit nachvollziehbaren Begründung warum Sie unbeteiligten Drittpersonen private Informationen weitergegeben haben und damit den Persönlichkeitsschutz in gröbster Weise verletzen und warum Sie mich für Sachverhalte verantwortlich machen für welche die Passivlegitimation nicht gegeben ist". Das Statthalteramt antwortete ihm am 26. Oktober 2018, dass der Strafbefehl vom 28. Juni 2018 in Rechtskraft erwachsen sei, weshalb auf die dagegen gerichteten Vorbringen nicht eingetreten werden könne; was die Rüge der Verletzung des Persönlichkeitsschutzes anbelangt, wurde ihm mitgeteilt, dass der Strafbefehl ausschliesslich verfahrensbeteiligten Personen zugestellt worden sei.
2.
A._ erhob am 28. Oktober 2018 "Rechtsverzögerungsbeschwerde" beim Regierungsrat des Kantons Zürich, welcher mit Beschluss vom 30. Januar 2019 wegen sachlicher Unzuständigkeit auf das Rechtsmittel nicht eintrat (Dispositivziffer I). Der Regierungsrat nahm das Rechtsmittel als Aufsichtsbeschwerde entgegen, ohne dieser aber Folge zu geben (Dispositivziffer II) und auferlegte A._ die reduzierten Verfahrenskosten.
A._ gelangte mit "Revision" an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und beantragte im Wesentlichen, unter Entschädigungsfolgen sei die Nichtigkeit des Regierungsratsbeschlusses sowie des Strafbefehls festzustellen und es seien die diesbezüglichen Verfahren wieder aufzunehmen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich wies mit Urteil vom 29. Mai 2019 die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Zur Begründung führte es zusammenfassend aus, dass das Verwaltungsgericht nicht zuständig sei, soweit der Beschwerdeführer mit seiner Eingabe um Revision des Rekursentscheids vom 30. Januar 2019 oder des Strafbefehls vom 28. Juni 2018 ersuche. Auch sei das Verwaltungsgericht nicht Aufsichtsbehörde über den Regierungsrat, weshalb sich die Beschwerde auch nicht gegen den Rekursentscheid richten könne, soweit dieser der Aufsichtsbeschwerde keine Folge gab. Gegenstand des verwaltungsgerichtlichen Verfahrens bilde einzig die Frage, ob der Regierungsrat zu Recht auf die Rechtsverweigerungsbeschwerde nicht eingetreten sei. Die behauptete Nichtigkeit des Strafbefehls liege deshalb ausserhalb des Streitgegenstandes. Mangels sachlicher Zuständigkeit in strafrechtlichen Angelegenheiten sei der Regierungsrat zu Recht auf die Beschwerde nicht eingetreten. Auch habe der Regierungsrat von einer Weiterleitung des bei ihm erhobenen Rechtsmittels absehen dürfen.
3.
A._ führt mit Eingabe vom 4. Juli 2019 (Postaufgabe 11. Juli 2019) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Das Verwaltungsgericht hat die Eingabe des Beschwerdeführers unter verschiedenen Gesichtspunkten geprüft und dargelegt, weshalb es die Beschwerde abwies, soweit es darauf eintrat. Weiter machte es Ausführungen, weshalb es wie auch der Regierungsrat von einer Weiterleitung des Rechtsmittels an die zuständige Instanz absehen durfte. Mit diesen Ausführungen setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander und vermag nicht verständlich aufzuzeigen, dass das Verwaltungsgericht dabei Recht im Sinne von <ref-law> verletzt hätte. Aus seinen Ausführungen ergibt sich nicht, inwiefern die Begründung des Verwaltungsgerichts bzw. dessen Urteil selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
5.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>). Mit dem vorliegenden Entscheid in der Sache selbst ist das vom Beschwerdeführer gestellte Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos geworden.

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Statthalteramt des Bezirks Zürich und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. August 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli