Erwägungen:
1.
A._ erhob mit Eingabe vom 23. März 2022 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 2. Februar 2022. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
2.
Der Beschwerdeführer stellt sinngemäss ein Ausstandsgesuch gegen Richter, die bereits gegen ihn entschieden hätten. Es seien Richter mit einer "human-sozial-christlich-kommunistischen Grundhaltung" einzusetzen, die noch nie mit ihm zu tun gehabt hätten. Dazu ist festzuhalten, dass gemäss <ref-law> die Mitwirkung an einem früheren Verfahren des Bundesgerichts für sich allein keinen Ausstandsgrund bildet. Dies wurde dem Beschwerdeführer im Übrigen bereits mehrfach mitgeteilt. Ein solchermassen begründetes Ausstandsbegehren ist rechtsmissbräuchlich, weshalb darauf ohne Ausstandsverfahren nach <ref-law> unter Mitwirkung der abgelehnten Gerichtsperson nicht einzutreten ist (<ref-ruling> E. 1; Urteil 6F_39/2019 vom 10. Januar 2020 E. 3).
3.
Die Beschwerde ist innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des angefochtenen Entscheids beim Bundesgericht einzureichen (<ref-law>). Das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 2. Februar 2022 ist dem Beschwerdeführer nach eigenen Angaben am 15. Februar 2022 zugestellt worden. Die Beschwerdefrist lief somit bis zum 17. März 2022. Die Beschwerde vom 23. März 2022 ist somit verspätet erhoben worden.
4.
Der Beschwerdeführer stellt ein Fristwiederherstellungsgesuch. Gemäss <ref-law> wird eine versäumte Frist wiederhergestellt, wenn der Gesuchsteller nachweist, dass er oder sein Vertreter durch ein unverschuldetes Hindernis abgehalten worden ist, innerhalb der Frist zu handeln, und binnen 30 Tagen die Wiederherstellung verlangt und die versäumte Rechtshandlung nachholt. Ein unverschuldetes Hindernis im Sinne der genannten Gesetzesbestimmung liegt vor, wenn der Partei (und gegebenenfalls ihrem Vertreter) kein Vorwurf gemacht werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 2a).
4.1. Ein Krankheitszustand bildet, wenn und solange er jegliches auf die Fristwahrung gerichtetes Handeln verunmöglicht, ein unverschuldetes, zur Wiederherstellung führendes Hindernis. Doch muss die Erkrankung derart sein, dass der Rechtsuchende durch sie davon abgehalten wird, selber innert Frist zu handeln oder eine Drittperson mit der Vornahme der Prozesshandlung zu betrauen. Dass es sich so verhält, muss mit einschlägigen Arztzeugnissen belegt werden, wobei die blosse Bestätigung eines Krankheitszustandes und regelmässig selbst einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit zur Anerkennung eines Hindernisses im Sinne von <ref-law> nicht genügt (vgl. Urteil 6B_230/2010 vom 15. Juli 2010 mit weiteren Hinweisen).
4.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, die schwierigen Vorbereitungen für seinen Einsatz für den gemeinnützigen Verein Helppoint in Kuba, wo er sich erholen müsse, und seine Gesundheitsprobleme hätten ein fristgerechtes Handeln verunmöglicht. Ein vom Beschwerdeführer eingereichter "Neurologischer Sprechstunden- und EEG-Bericht vom 10. März 2022" des Kantonsspitals Olten nimmt zur Frage, ob ihm ein auf Fristwahrung gerichtetes Handeln verunmöglicht sei, nicht Stellung. Aus dem Bericht lässt sich solches auch nicht schliessen. Aus den Ausführungen des Beschwerdeführers ergibt sich nicht, weshalb es ihm nicht möglich gewesen sein soll, rechtzeitig eine Beschwerde einzureichen oder eine Drittperson mit der Vornahme der Prozesshandlung zu betrauen. Das Fristwiederherstellungsgesuch ist abzuweisen.
5.
Somit ist auf die verspätet eingereichte Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
6.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nicht zu entsprechen (<ref-law>). Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Mit dem vorliegenden Entscheid wird das Gesuch um Erlass einer vorsorglichen Massnahme gegenstandslos.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf das Ausstandsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Das Fristwiederherstellungsgesuch wird abgewiesen.
3.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
4.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
5.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
6.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Gerichte Kanton Aargau und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. April 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli