Sachverhalt:
A.
A.a. In Dägerlen befindet sich ein Vielzweckbauernhaus, dessen Wohnteil zuletzt als Restaurant "U._" genutzt worden ist (Gebäudevers.-Nr. 115 an der V._strasse "..." im Dorfteil W._). Die Liegenschaft ist im Inventar der schutzwürdigen Bauten, welches die Gemeinde im Jahr 2015 erstellt hat, nicht aufgeführt.
Es ist ein Abbruch der genannten Liegenschaft geplant. Nach dem Abbruch sollen auf dem betreffenden Grundstück (Grundstück Kat.-Nr. 1747) zwei neue Mehrfamilienhäuser errichtet werden.
Eine Abbruch- und Baubewilligung, welche für das genannte Projekt erteilt worden war, wurde während eines hängigen Rekursverfahrens von der Gemeinde widerrufen.
A.b. In der Folge reichte die Bauherrschaft ein neues Baugesuch ein. Während die kommunale Baubehörde das neue Gesuch prüfte, erhob der Verein Zürcher Heimatschutz ZVH eine Aufsichtsbeschwerde bei der Baudirektion des Kantons Zürich.
Mit Entscheid vom 25. Juli 2019 wies die Baudirektion die Aufsichtsbeschwerde ab. Zur Begründung führte sie insbesondere aus, nach konstanter Praxis werde auf Aufsichtsbeschwerden nicht eingetreten, wenn ein ordentliches Rechtsmittel erhoben werden könne. Zudem erklärte sie, das Inventar der Gemeinde Dägerlen aus dem Jahr 2015 sei in Bezug auf Qualität und Umfang vorbildlich.
A.c. Mit Beschluss vom 2. Oktober 2019 erteilte der Gemeinderat Dägerlen der A._ AG unter Auflagen und Nebenbestimmungen die baurechtliche Bewilligung für den Abbruch des Gebäudes Vers.-Nr. 115 (ehemaliges Restaurant "U._") und den Neubau zweier Mehrfamilienhäuser mit Tiefgarage auf dem erwähnten Grundstück. Zugleich eröffnete er eine koordiniert erteilte Bewilligung der Baudirektion vom 19. Juni 2019 für das Bauen an einer Staatsstrasse und im Gewässerraum.
B.
Der Zürcher Heimatschutz ZVH focht den genannten Beschluss des Gemeinderats mit Rekurs vom 6. November 2019 beim Baurekursgericht des Kantons Zürich an und beantragte dessen Aufhebung.
Mit Entscheid vom 30. April 2020 trat das Baurekursgericht auf den Rekurs ein, soweit damit die Verletzung von Kernzonenvorschriften und die Verletzung von § 238 Abs. 2 des Planungs- und Baugesetzes des Kantons Zürich vom 7. September 1975 (PBG/ZH; LS 700.1) gerügt wurde. Insoweit wies es das Rechtsmittel ab. Soweit der Verein Zürcher Heimatschutz ZVH geltend machte, das ehemalige Restaurant "U._" sei zu Unrecht nicht inventarisiert worden und schutzwürdig, trat das Baurekursgericht nicht auf den Rekurs ein. Es verneinte diesbezüglich die Rekurslegitimation des Zürcher Heimatschutzes ZVH.
C.
Eine hiergegen erhobene Beschwerde des Zürcher Heimatschutzes ZVH wurde vom Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 3. Dezember 2020 abgewiesen. Der Versand des Urteils erfolgte am 8. Januar 2021.
D.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 10. Februar 2021 beantragt der Zürcher Heimatschutz ZVH beim Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 3. Dezember 2020 sowie den Entscheid des Baurekursgerichts vom 30. April 2020 aufzuheben und die Angelegenheit zur materiellen Prüfung der Schutzwürdigkeit des ehemaligen Restaurants "U._" an die kantonalen Behörden zurückzuweisen. In verfahrensrechtlicher Hinsicht beantragt der Beschwerdeführer, der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
Das Verwaltungsgericht und der Gemeinderat Dägerlen beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die A._ AG schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
Mit Präsidialverfügung vom 8. März 2021 sprach das Bundesgericht der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zu.
Der Beschwerdeführer hält mit Eingabe vom 14. April 2021 an seinem Rechtsmittel fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid über eine baurechtliche Bewilligung. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG); ein Ausschlussgrund nach <ref-law> liegt nicht vor.
1.2. Als nicht gesamtschweizerisch tätige Heimatschutzorganisation kann sich der Beschwerdeführer nicht auf das Verbandsbeschwerderecht nach <ref-law> i.V.m. Art. 12 Abs. 1 lit. b des Bundesgesetzes vom 1. Juli 1966 über den Natur- und Heimatschutz (NHG; SR 451) berufen. Auch ist der Beschwerdeführer nicht gemäss <ref-law> zur Beschwerde befugt. Denn er macht nicht geltend, er oder die Mehrzahl seiner Mitglieder hätten eine enge räumliche Beziehung zum vom Abbruch betroffenen Bau und seien somit vom angefochtenen Urteil besonders berührt (Urteile 1C_436/2020 vom 29. März 2021 E. 1.2; 1C_617/2017 vom 25. Mai 2018 E. 1.2).
1.3.
1.3.1. Gemäss der Rechtsprechung des Bundesgerichts kann ein Beschwerdeführer, dem auf kantonaler Ebene ein Verbandsbeschwerderecht zusteht, vor Bundesgericht geltend machen, im kantonalen Verfahren in seinen Parteirechten verletzt worden zu sein (Urteile 1C_436/2020 vom 29. März 2021 E. 1.2; 1C_617/2017 vom 25. Mai 2018 E. 1.2). Ein solcher Beschwerdeführer kann namentlich die Verletzung des Verbots der formellen Rechtsverweigerung (<ref-law>) und der Rechtsweggarantie (<ref-law>) rügen, soweit diese Rügen unabhängig vom Entscheid in der Sache beurteilt werden können (Urteile 1C_14/2020 vom 4. Mai 2020 E. 1.3; 1C_547/2019 vom 16. April 2020 E. 1.2; siehe ferner <ref-ruling> E. 1.3 S. 80; <ref-ruling> E. 2 S. 308 und 133 I 185 E. 6.2 S. 198 f., wonach eine Verfahrenspartei unabhängig von der Legitimation in der Sache selbst jedenfalls die Verletzung von Verfahrensrechten geltend machen kann, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt). Eine formelle Rechtsverweigerung liegt vor, wenn ein Gericht auf ein ihm frist- und formgerecht unterbreitetes Rechtsmittel nicht eintritt, obschon es darüber materiell befinden müsste (<ref-ruling> E. 2.1 S. 9; <ref-ruling> E. 2.3 S. 232).
Unzulässig sind dagegen Rügen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des Entscheids abzielen, wie etwa der Vorwurf, die Begründung setze sich nicht mit sämtlichen vorgetragenen Argumenten auseinander. Ebenso wenig kann beanstandet werden, der Sachverhalt sei unvollständig abgeklärt oder sonstwie willkürlich ermittelt worden (<ref-ruling> E. 3.2 S. 436 f. mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.1 S. 5; Urteile 1C_436/2020 vom 29. März 2021 E. 1.2; 1C_353/2020 vom 4. Januar 2021 E. 3.3; 6B_154/2020 vom 16. November 2020 E. 3.2.1; je mit Hinweisen).
1.3.2. Vorliegend hat die Vorinstanz dem Beschwerdeführer das kantonale Verbandsbeschwerde- bzw. -rekursrecht zur Erhebung der Rüge, der nicht inventarisierte (ehemalige) Gasthof "U._" sei schutzwürdig, abgesprochen. In diesem Umfang ist er daher zur vorliegenden Beschwerde berechtigt.
Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe in willkürlicher Weise die Nichtinventarisierung des ehemaligen Gasthofes "U._" geschützt. Auch bringt er in diesem Zusammenhang vor, sein rechtliches Gehör (<ref-law>) sei missachtet worden. Obschon diese Rügen auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Urteils abzuzielen scheinen, sind sie als zulässig zu betrachten. Denn sie beziehen sich de facto einzig auf den Sachverhalt, der für die Beurteilung des streitbetroffenen Verbandsbeschwerde- bzw. -rekursrechts relevant ist.
1.4. Die weiteren Prozessvoraussetzungen geben grundsätzlich zu keinen Bemerkungen Anlass. Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde jedoch insoweit, als sie sich gegen den Entscheid des Baurekursgerichts richtet. Dieser ist im Rahmen des Streitgegenstands durch das Urteil des Verwaltungsgerichts ersetzt worden (Devolutiveffekt) und gilt als inhaltlich mitangefochten (<ref-ruling> E. 1.4 S. 144 mit Hinweis).
Mit der genannten Einschränkung ist auf die Beschwerde einzutreten.
1.5. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht sowie von kantonalem Verfassungsrecht und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a-c BGG). Insofern verfügt das Bundesgericht über uneingeschränkte Kognition (<ref-ruling> E. 2 S. 236). Die Anwendung des kantonalen und kommunalen Gesetzes- und Verordnungsrechts überprüft das Bundesgericht hingegen nur auf Vereinbarkeit mit dem Bundesrecht, namentlich mit dem Willkürverbot von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.1 S. 372 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1 S. 236; <ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Es ist weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. 3 S. 415). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten unter Einschluss von Willkür (bei der Sachverhaltsfeststellung sowie bei der Anwendung kantonalen Rechts) gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>).
1.6. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet nach der Rechtsprechung "willkürlich" (<ref-ruling> E. 1.1 S. 155 f.).
2.
2.1. Die Schutzobjekte des Natur- und Heimatschutzes sind in § 203 Abs. 1 PBG/ZH umschrieben. Es gehören dazu namentlich Ortskerne, Quartiere, Strassen und Plätze, Gebäudegruppen, Gebäude und Teile, die als wichtige Zeugen erhaltenswürdig sind oder Siedlungen wesentlich prägen (§ 203 Abs. 1 lit. c PBG/ZH). Gemäss § 203 Abs. 2 PBG/ZH erstellen die für die Schutzmassnahmen (vgl. §§ 205-210 PBG/ZH) zuständigen Behörden über die Schutzobjekte ein Inventar. Bei Objekten kommunaler Bedeutung ist der Gemeindevorstand für die Inventarisierung zuständig (§ 203 Abs. 2 i.V.m. § 211 Abs. 2 PBG).
Gemäss ständiger Rechtsprechung des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich ist die Aufnahme eines Schutzobjekts in ein Inventar gemäss § 203 Abs. 2 PBG/ZG eine blosse Verwaltungshandlung ohne Verfügungscharakter. Als solche kann sie nicht mit Rekurs oder Beschwerde angefochten werden. Mangels Verfügungscharakters stehen nach dieser Rechtsprechung weder dem betroffenen Eigentümer noch Verbänden Mitwirkungsrechte bei der Inventaraufnahme zu (vgl. Urteile des VGer ZH VB.2011.00759 vom 11. Juli 2012 E. 2.3; VB.2009.00424 vom 10. Februar 2010 E. 2.2 Abs. 3; RB 1992 Nr. 8; siehe dazu auch Entscheid des Baurekursgerichts des Kantons Zürich BRGE II Nr. 0004/2020 vom 21. Januar 2020 E. 3).
Die Erstellung der Inventare bzw. die Inventaraufnahme als solche bewirkt (noch) keinen Schutz. Soll ein inventarisiertes Objekt dauernd geschützt werden, sind Schutzmassnahmen gemäss § 205 PBG/ZH zu ergreifen. Gemäss der Praxis im Kanton Zürich begründet das Inventar aber die Vermutung der Schutzwürdigkeit der darin verzeichneten Objekte. Die zuständige Behörde ist nach dieser Praxis dazu verpflichtet, sich mit dieser Vermutung auseinanderzusetzen. Der für Objekte kommunaler Bedeutung zuständige Gemeindevorstand (vgl. § 211 Abs. 2 PBG/ZH) hat damit bei inventarisierten Objekten in Auseinandersetzung mit dieser Vermutung entweder Schutzmassnahmen nach § 205 PBG/ZH anzuordnen oder ganz oder teilweise darauf zu verzichten (vgl. zum Ganzen Urteile des VGer ZH VB.2011.00759 vom 11. Juli 2012 E. 2.3; VB.2011.00692 vom 21. März 2012 E. 2.1; zur genannten Vermutung siehe auch FRIDOLIN STÖRI, Die Selbstbindung nach zürcherischem Recht, PBG aktuell - Zürcher Zeitschrift für öffentliches Baurecht 2012/3, S. 5 ff., S. 11; vgl. ferner Urteil 1C_270/2008 vom 6. Februar 2009 E. 3.3.1).
2.2. § 338b Abs. 1 lit. a PBG/ZH verleiht gesamtkantonal tätigen Verbänden, die sich seit wenigstens zehn Jahren im Kanton statutengemäss dem Natur- und Heimatschutz oder verwandten, rein ideellen Zielen widmen, ein Rekurs- oder Beschwerderecht. Ein entsprechender Verbandsrekurs bzw. eine entsprechende Verbandsbeschwerde kann erhoben werden gegen Anordnungen und Erlasse, soweit sich diese auf den III. Gesetzestitel (Natur- und Heimatschutz, §§ 203-217 PBG/ZH) oder auf § 238 Abs. 2 PBG/ZH (besondere Rücksichtnahme auf Objekte des Natur- und Heimatschutzes bei der Gestaltung von Bauten) stützen. Das Rekurs- oder Beschwerderecht steht den genannten Verbänden dabei nur für Rügen zu, welche mit den Interessen des Natur- und Heimatschutzes in unmittelbarem Zusammenhang stehen (§ 338b Abs. 2 PBG/ZH).
Der Beschwerdeführer bildet unbestrittenermassen einen Verband, welcher sich im Sinne von § 338b Abs. 1 lit. a PBG/ZH seit wenigstens zehn Jahren im Kanton statutengemäss dem Natur- und Heimatschutz widmet. Streitig ist hingegen, ob er im Rahmen der Anfechtung der vorliegenden Abbruch- und Baubewilligung auch zur Rüge befugt ist, das ehemalige Gasthaus "U._" sei trotz nicht erfolgter Inventarisierung schutzwürdig.
3.
3.1. Das Verwaltungsgericht begründete den angefochtenen Entscheid wie folgt:
Für die Legitimation von Verbänden im Sinne von § 338b Abs. 1 lit. a PBG/ZH werde nach der Rechtsprechung des Verwaltungsgerichts regelmässig vorausgesetzt, dass das behauptete Schutzobjekt bereits förmlich erfasst (§ 205 PBG/ZH) oder zumindest schon inventarisiert (§ 203 Abs. 3 PBG/ZH) sei. Bei angefochtenen Anordnungen betreffend nicht inventarisierte Objekte sei die Legitimation von Verbänden hingegen bislang nur dann bejaht worden, wenn a) ein Inventareintrag einzig mangels rechtzeitiger Entdeckung des Schutzobjekts unterblieben und die Schutzwürdigkeit unbestritten gewesen sei oder b) das Gemeinwesen seiner Pflicht zur Inventarisierung nicht nachgekommen sei und die glaubhaft dargelegte Schutzwürdigkeit als wahrscheinlich erscheine. Diese Einschränkung des Rekurs- und Beschwerderechts der Verbände sei entwickelt worden, weil diese andernfalls namentlich mit der behaupteten Missachtung der Bestimmungen über den Natur- und Heimatschutz praktisch gegen jede Anordnung rekurrieren könnten. Im vorliegenden Fall handle es sich offensichtlich nicht um ein Objekt, das nur mangels rechtzeitiger Entdeckung nicht ins Inventar aufgenommen worden und unbestrittenermassen schutzwürdig sei. Eine relevante Säumnis bei der Inventarerstellung liege ebenfalls nicht vor. Ferner könne nicht davon die Rede sein, dass die Inventarisierung in willkürlicher Weise unterlassen worden sei. Zudem sei auch kein anderer legitimationsbegründender Ausnahmetatbestand gegeben.
3.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, der ehemalige Gasthof "U._" sei in willkürlicher Weise nicht in das Inventar der schutzwürdigen Bauten aufgenommen worden. Indem die Vorinstanz dies verkannt und dem Beschwerdeführer die fehlende Inventarisierung dieses Objekts entgegengehalten habe, habe sie das Verbandsrekurs- und -beschwerderecht ausgehebelt. Soweit angefochten, verstosse das Urteil der Vorinstanz damit insbesondere gegen das Willkürverbot.
4.
Die streitbetroffene Liegenschaft (Vielzweckbauernhaus bzw. ehemaliges Restaurant "U._") wurde nicht inventarisiert. Es ist deshalb prima vista nicht willkürlich, wenn das Verwaltungsgericht mangels Inventarisierung davon ausgeht, dass der Bauentscheid vom 2. Oktober 2019 unabhängig von den vorliegend in Frage stehenden heimatschutzrechtlichen Bestimmungen gefällt wurde, d.h. sich nicht im Sinne von § 338b Abs. 1 lit. a PBG/ZH auf den III. Titel dieses Gesetzes abstützte oder hätte abstützen sollen (vgl. auch Urteil 1C_462/2009 vom 16. März 2010 E. 4.3). Wäre die Inventarisierung der Liegenschaft offensichtlich zu Unrecht unterblieben, wäre es indessen willkürlich, dem Beschwerdeführer die fehlende Abstützung des Bauentscheids auf den III. Titel des PBG/ZH entgegenzuhalten. Aus diesem Grund und mit Blick auf die vor der Vorinstanz erhobene Rüge des Beschwerdeführers, durch eine extrem selektive Vorgehensweise bei der Inventarerstellung sei sein Verbandsrekursrecht ausgehebelt worden, ist vorliegend im Rahmen der Prüfung der Rekurslegitimation vorfrageweise zu klären, ob die Nichtinventarisierung der Liegenschaft willkürlich war.
5.
5.1. Die Vorinstanz erachtete die Nichtinventarisierung des Gasthofes "U._" nicht als Verletzung des Willkürverbots. Im Folgenden ist angesichts des Dargelegten zu prüfen, ob diese Würdigung zutreffend war.
Willkür in der Rechtsanwendung im Sinne von <ref-law> liegt vor, wenn ein Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 7.1 S. 124 mit Hinweis).
5.2. Inventare sind gemäss § 203 Abs. 2 PBG/ZH - wie erwähnt - über Schutzobjekte im Sinne von § 203 Abs. 1 PBG/ZH zu erstellen (vorne E. 2.1).
Die Inventare der kunst- sowie kulturhistorischen Schutzobjekte wurden in erster Linie als Arbeitsinstrument der Gemeinden und des Kantons geschaffen (Entscheid des Baurekursgerichts des Kantons Zürich BRGE II Nr. 0004/2020 vom 21. Januar 2020 E. 3). Sie sollen gemäss der kantonalen Praxis eine Bestandesaufnahme der in Betracht fallenden Schutzobjekte ermöglichen. In diese Inventare aufgenommen werden sollen gemäss dieser Praxis dementsprechend nicht nur Objekte, die mit Sicherheit formell geschützt werden (Urteil des VGer ZH VB.2010.00032 vom 9. Februar 2011 E. 5.3). Zur Aufnahme eines Objekts in diese Inventare genügt danach vielmehr die Möglichkeit, dass es sich bei genauer Untersuchung als Denkmal erweisen könnte (Entscheid des Baurekursgerichts des Kantons Zürich BRGE II Nr. 0004/2020 vom 21. Januar 2020 E. 3).
Diese Praxis erscheint als bundesrechtskonform. Dies gilt umso mehr, als es sich bei der Inventarisierung (noch) nicht um eine Schutzmassnahme handelt (vgl. dazu hiervor E. 2.1). Es folgt daraus, dass der Gemeindevorstand für die Inventarisierung eines Objekts keine zu strengen Anforderungen stellen darf.
5.3.
5.3.1. Vorliegend wurde zur Erarbeitung der Grundlagen des Inventars aus dem Jahr 2015 die B._ AG beigezogen. Dieses Unternehmen verfasste im Auftrag der Gemeinde für rund 25 Objekte Blätter, die mit "Hinweisinventar" überschrieben waren. Der ehemalige Gasthof "U._" zählte dabei zu diesen 25 Objekten.
In einem weiteren Schritt unterzog ein mit der Bau- und Zonenordnung befasstes Gremium der Gemeinde die erwähnten 25 Objekte einer (weiteren) Prüfung. Diese Prüfung bildete die Basis für einen vom Gemeinderat am 27. Mai 2015 gefassten Beschluss über die Inventaraufnahme.
5.3.2. Wie aus den aktenkundigen "Hinweisinventarblättern" ersichtlich ist, wurden für den erwähnten Beschluss sechs Beurteilungskriterien angewendet. Die Kriterien wurden dabei wie folgt bezeichnet: "Einzeln", "Ensemble", "Raumbildung", "Kulturell", "Sozial" und "Wirtschaftlich". In Bezug auf jedes Kriterium war nach dem angewendeten Bewertungsraster zu entscheiden, ob das betroffene Objekt "ohne besondere Bedeutung" ist, es "gewisse Bedeutung" hat oder eine "besondere Bedeutung" aufweist (dreistufige Bewertungsskala; vgl. zum Ganzen act. 4.2 f. der Akten des Baurekursgerichts; zur Möglichkeit des Beizuges dieser Aktenstücke vgl. <ref-law> sowie vorne E. 1.6).
Der Gasthof "U._" erhielt beim Kriterium "Raumbildung" die Bewertung "besondere Bedeutung", bei vier anderen Kriterien die Qualifikation "gewisse Bedeutung" sowie bei einem Kriterium die Bewertung "ohne besondere Bedeutung". Demgegenüber wurde einem ehemaligen Pfarrhaus in Bezug auf drei Kriterien eine "besondere Bedeutung" attestiert; hinsichtlich der übrigen Kriterien gab man diesem Objekt die Bewertung "ohne Bedeutung".
Der Gemeinderat nahm diejenigen Bauten ins Inventar auf, denen mindestens in Bezug auf zwei von sechs Beurteilungskriterien eine "besondere Bedeutung" zuerkannt worden war. Da beim Gasthof "U._" nur hinsichtlich eines Kriteriums eine besondere Bedeutung bejaht wurde, wurde er nicht inventarisiert. Demgegenüber fand das ehemalige Pfarrhaus Aufnahme ins Inventar.
5.4. Dem Gemeinderat bzw. -vorstand steht beim Entscheid darüber, welche Objekte ins Inventar aufzunehmen sind, ein Spielraum zu. Bei der Prüfung, ob ein solcher Entscheid angemessen ist, ist dementsprechend Zurückhaltung geboten, damit die Gemeindeautonomie gemäss <ref-law> respektiert wird. Der erwähnte Spielraum wird indessen namentlich dann überschritten, wenn der kommunale Entscheid sachlich nicht mehr vertretbar und damit willkürlich ist (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 3.6 S. 57 ff.; Urteil 1C_128/2019 / 1C_134/2019 vom 25. August 2020 E. 5.3 [zur Publikation vorgesehen]).
Vorliegend hat der Gemeinderat mit seiner Vorgabe, wonach bei mindestens zwei der sechs Kriterien die Bewertung "besondere Bedeutung" gegeben sein muss, eindeutig überspannte Anforderungen für die Inventarisierung gestellt. Zwar mag eine solche Vorgabe gerechtfertigt sein, wenn es darum geht, in Bezug auf die Schutzwürdigkeit herausragende Objekte zu selektieren. Die genannte Vorgabe führt jedoch dazu, dass Objekte, die sich bei genauer Untersuchung - insbesondere aufgrund einer Gesamtwürdigung - als Denkmäler erweisen könnten, allein deshalb nicht ins Inventar aufgenommen werden, weil die Bewertung "besondere Bedeutung" bei weniger als zwei Kriterien vorliegt. Dies steht nicht nur im Widerspruch zur kantonalen Praxis, nach welcher für die Inventarisierung eines Objekts keine zu strengen Anforderungen gestellt werden dürfen (vgl. vorne E. 5.2). Vielmehr steht das vom Gemeinderat gewählte Vorgehen auch in offenkundigem Widerspruch zum Zweck des Inventars, diejenigen Objekte lückenlos zu erfassen, bei welchen in Zukunft gestützt auf entsprechende Entscheide möglicherweise Schutzmassnahmen im Sinne von §§ 205-210 PBG/ZH ergriffen werden müssen. Bei einem Objekt wie dem ehemaligen Gasthof "U._" mit einer "gewissen Bedeutung" hinsichtlich vier der Kriterien und einer "besonderen Bedeutung" bezüglich eines weiteren Kriteriums liegt es auf der Hand, dass mit der strengen Vorgabe des Gemeinderats im Ergebnis mit dem (negativen) Entscheid über die Inventarisierung der spätere (allfällige) Entscheid, ob tatsächlich Schutzmassnahmen zu ergreifen sind, in unzulässiger Weise vorweggenommen wird. Die Einschätzung der Baudirektion, wonach das Inventar der Gemeinde Dägerlen hinsichtlich Qualität und Umfang vorbildlich sei (vgl. vorne Sachverhalt, lit. A.b), kann unter diesen Umständen nicht geteilt werden. Vielmehr erscheint der Entscheid des Gemeinderats, den Gasthof "U._" nicht ins Inventar aufzunehmen, als offensichtlich unhaltbar.
An dieser Beurteilung nichts ändern kann der im angefochtenen Urteil erwähnte Umstand, dass im einschlägigen "Hinweisinventarblatt" (nur) das Wirtshausschild des ehemaligen Gasthofes "U._" als schutzwürdig bezeichnet wurde. Dies gilt schon deshalb, weil mit diesem "Hinweisinventarblatt" zugleich dem ganzen ehemaligen Gasthof in verschiedener Hinsicht mindestens eine gewisse Bedeutung zuerkannt wurde.
6.
Zusammenfassend ergibt sich, dass der frühere Gasthof "U._" aufgrund zu strenger Beurteilungskriterien in willkürlicher Weise nicht ins Inventar aufgenommen worden ist. Ob der entsprechende Entscheid des Gemeinderats aus weiteren Gründen willkürlich war, braucht nicht geklärt zu werden.
Mit Blick auf den willkürlichen Entscheid des Gemeinderats betreffend die (Nicht-) Inventarisierung verletzte auch die Vorinstanz das Willkürverbot von <ref-law>, soweit sie dem Beschwerdeführer zwecks Ausschlusses des Verbandsrekursrechts entgegengehalten hat, der ehemalige Gasthof "U._" sei nicht inventarisiert (vgl. vorne E. 4). Die Beschwerde ist deshalb gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist. Der angefochtene Entscheid ist insoweit aufzuheben, als damit die Rekurslegitimation des Beschwerdeführers bezüglich der geltend gemachten fehlenden Inventarisierung und Schutzwürdigkeit der streitbetroffenen Liegenschaft verneint wurde. Die Sache ist zur materiellen Prüfung der Rügen betreffend die unterlassene Inventarisierung und Schutzwürdigkeit der Liegenschaft an das Baurekursgericht zurückzuweisen.
Die Vorinstanz wird die Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens neu festzusetzen haben (vgl. Art. 67 und Art. 68 Abs. 5 BGG).
7.
Die private Beschwerdegegnerin hat dem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens entsprechend für dessen Kosten aufzukommen (<ref-law>).
Gemäss <ref-law> wird die unterliegende Partei in der Regel verpflichtet, der obsiegenden Partei alle durch den Rechtsstreit verursachten notwendigen Kosten zu ersetzen. Nach bundesgerichtlicher Praxis haben obsiegende Parteien grundsätzlich nur dann Anspruch auf eine Parteientschädigung, wenn sie durch einen externen Anwalt vertreten sind und deshalb tatsächlich Anwaltskosten anfallen. Vorliegend wurde der beschwerdeführende Zürcher Heimatschutz ZVH durch seinen Präsidenten vertreten, welcher über ein Anwaltspatent verfügt. Es liegt damit im Grundsatz ein Fall von Prozessführung in eigener Sache vor, bei welchem nur in Ausnahmefällen eine Parteientschädigung zugesprochen wird (vgl. <ref-ruling> E. 5 S. 304; <ref-ruling> E. 4.1 S. 116; <ref-ruling> E. 5 S. 242; Urteil 1C_408/2018 vom 18. März 2019 E. 6.2). Ein entsprechender Ausnahmefall liegt namentlich vor, wenn es sich um eine komplexe Sache mit hohem Streitwert handelt und die Interessenwahrung einen hohen Arbeitsaufwand notwendig macht, der den Rahmen dessen überschreitet, was der Einzelne üblicher- und zumutbarerweise nebenbei zur Besorgung der persönlichen Angelegenheiten auf sich zu nehmen hat (vgl. <ref-ruling> E. 5 S. 304; <ref-ruling> E. 4.1 S. 116; Urteil 1B_115/2017 vom 12. Juni 2017 E. 2.4.2).
Vorliegend ist zwar nicht ersichtlich, dass ein hoher Streitwert auf dem Spiel steht. Aufgrund der Komplexität der Angelegenheit und des verhältnismässig grossen Aufwandes für die Wahrung der Interessen des Zürcher Heimatschutzes ZVH rechtfertigt es sich aber, diesem Verein dennoch eine Parteientschädigung zuzusprechen. Die Ausrichtung einer Parteientschädigung an den Beschwerdeführer erscheint auch deshalb als geboten, weil sein Präsident für die Stellungnahme vom 14. April 2021 einen externen Rechtsanwalt beizog. Allerdings bemisst sich die Parteientschädigung, soweit sie für die vom Präsidenten des Beschwerdeführers verfasste Beschwerde (bzw. den entsprechenden Vertretungsaufwand) auszurichten ist, nicht nach den (höheren) Honoraransätzen, welche bei Beizug eines mandatierten externen Rechtsvertreters zur Anwendung kommen (Anwaltskosten im Sinne von Art. 1 lit. a i.V.m. Art. 2-8 des Reglements vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor Bundesgericht [SR 173.110.210.3]). Insoweit ist die Parteientschädigung stattdessen unter dem Titel der weiteren durch den Rechtsstreit verursachten notwendigen Kosten zuzusprechen (Art. 1 lit. b i.V.m. Art. 11 des genannten Reglements; vgl. <ref-ruling> E. 5b S. 519, unter Bezugnahme auf den früheren bundesgerichtlichen Entschädigungstarif; zur Weitergeltung dieser Praxis Urteile 2C_807/2008 vom 19. Juni 2009 E. 4.3; 1C_89/2007 vom 13. Juli 2007 E. 4).
Die genannte Parteientschädigung ist von der Beschwerdegegnerin zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 3. Dezember 2020 wird aufgehoben, soweit damit die Rekurslegitimation des Zürcher Heimatschutzes ZVH hinsichtlich der unterlassenen Inventarisierung und Schutzwürdigkeit des Gebäudes Vers.-Nr. 115 (ehemaliges Restaurant "U._") in Dägerlen verneint wurde. Die Sache wird zur materiellen Prüfung der Rügen des Zürcher Heimatschutzes ZVH betreffend die unterlassene Inventarisierung und Schutzwürdigkeit dieser Liegenschaft an das Baurekursgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das Verfahren vor dem Bundesgericht mit insgesamt Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und Entschädigungen des vorinstanzlichen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gemeinderat Dägerlen und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Juni 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: König