Faits :
A.
Par contrat de travail conclu en l'an 2000, A._ (ci-après: le travailleur, le recourant) a été engagé en qualité de chef mécanicien par B._ SA, qui exploite un garage (ci-après: l'employeuse, l'intimée). En dernier lieu, il percevait un salaire mensuel de 5'853 fr. 60 versé 13 fois l'an.
A partir du 5 octobre 2016, le travailleur a été en incapacité de travail.
Par courrier daté du 8 février 2017, l'employeuse a signifié au travailleur son licenciement avec effet au 31 mars 2017. A._ a invoqué la nullité du congé au motif que celui-ci avait été notifié pendant une période de protection.
A une date inconnue au mois d'avril 2017, le travailleur s'est rendu dans les locaux de l'employeuse pour s'entretenir avec C._, alors administrateur président de B._ SA. Au cours de la discussion, le ton entre les deux hommes est monté, et le travailleur a insulté C._, le traitant de " gros connard " et de " trou du cul ". A cette occasion, l'employeuse, par C._, a confirmé sa volonté de licencier le travailleur.
Plus tard, le travailleur a informé l'employeuse qu'il n'était plus en arrêt maladie et se tenait à disposition pour reprendre son poste de travail dès le 7 juillet 2017. L'employeuse n'a pas donné suite.
B.
A la suite de l'échec de la conciliation, A._ a déposé une demande le 26 mars 2018 devant le Tribunal civil du Littoral et du Val-de-Travers contre B._ SA, concluant principalement au paiement d'un montant brut de 15'574 fr. 05 et d'un montant net de 44'851 fr. 15, avec intérêts à 5% dès différentes dates. D'une part, le travailleur faisait valoir diverses prétentions salariales pour 2016 à hauteur de 10'448 fr. 55, ainsi que 5'125 fr.25 à titre de salaire pour juillet 2017, y compris une part du treizième salaire et du droit aux vacances. D'autre part, il réclamait 38'048 fr. 40 à titre d'indemnité pour licenciement immédiat injustifié, ainsi que 6'802 fr. 75 correspondant à la différence entre le total des indemnités journalières maladie versées par D._ à l'employeuse et le montant payé par celle-ci au travailleur.
En ce qui concerne la fin des rapports de travail, le travailleur soutenait que le licenciement du 8 février 2017, notifié le 8 mars 2017, était intervenu pendant le délai de protection de l'<ref-law>, qu'il arrêtait à 180 jours.
A titre principal, il faisait valoir qu'il s'agissait d'un licenciement immédiat sans justes motifs. Le montant auquel il pouvait prétendre sur la base de l'<ref-law> correspondait ainsi à son salaire jusqu'à l'échéance du délai de congé de 3 mois, soit le 31 juillet 2017, moins les indemnités journalières versées par D._. De plus, le travailleur réclamait l'indemnité fondée sur l'<ref-law>, qu'il arrêtait à 6 mois de salaire.
A titre subsidiaire, le travailleur faisait valoir que, qualifié d'ordinaire, le congé du 8 février 2017 serait nul puisqu'il serait intervenu en temps inopportun au sens de l'<ref-law>. Il réclamait ainsi son salaire jusqu'au 31 mars 2018 - date invoquée comme fin des rapports de travail -, déduction faite des indemnités versées par la caisse d'assurance-chômage et l'AI.
B._ SA a conclu à l'irrecevabilité, subsidiairement au rejet de la demande. Elle faisait notamment valoir que le délai de protection de l'<ref-law> était en l'espèce de 90 jours de sorte que le congé donné pour le 31 mars 2017 était pleinement valable.
Par jugement du 8 octobre 2019, le Tribunal civil a condamné B._ SA à payer à A._ un montant brut de 9'620 fr. 80 avec intérêts, sous déduction des charges légales et conventionnelles, et a rejeté toute autre conclusion. Le montant alloué se rapporte aux prétentions salariales du travailleur relatives à 2016. S'agissant de la fin des rapports de travail, le Tribunal est arrivé à la conclusion que le licenciement du 8 février 2017 était nul et que l'employeuse avait manifesté à nouveau sa volonté de licencier le travailleur lors de l'altercation d'avril 2017, mais avec effet immédiat. Il a considéré au surplus que les insultes proférées par le travailleur à l'encontre de son patron en présence de clients constituaient de justes motifs de licenciement immédiat. La date exacte de l'altercation d'avril 2017 n'ayant pu être établie, le Tribunal civil a retenu le 30 avril 2017 comme date de fin des rapports de travail. Par conséquent, il a rejeté les prétentions salariales du travailleur allant au-delà de cette date, de même que celle tendant au versement d'une indemnité pour licenciement immédiat injustifié. En outre, il a écarté la prétention du travailleur en paiement de la différence entre le montant versé à l'employeuse par son assurance à titre d'indemnités journalières maladie et le montant reversé à A._, au motif que celle-ci n'était pas suffisamment prouvée.
Statuant le 23 juin 2020, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel a rejeté l'appel du travailleur.
C.
A._ a interjeté un recours en matière civile contre l'arrêt cantonal. Il conclut principalement à ce que l'employeuse soit condamnée à lui payer, en sus des prétentions déjà allouées, le montant brut de 5'125 fr. 25 (salaire, 13ème salaire et vacances pour juillet 2017) ainsi que les montants nets de 38'048 fr. 40 (indemnité pour résiliation immédiate injustifiée) et 6'802 fr. 75 (différence entre le montant perçu par l'employeuse de l'assurance et le montant reversé au travailleur), le tout avec intérêts.
A titre subsidiaire, le travailleur conclut à ce que l'employeuse soit condamnée à lui payer, en sus des prétentions déjà allouées, les montants bruts de 19'780 fr. 50 (salaires de juillet 2017 à mars 2018, sous déduction d'indemnités perçues de l'assurance-chômage et de l'AI), de 4'318 fr. 50 (vacances), de 3'675 fr. (13ème salaire de janvier 2017 à mars 2018) ainsi que le montant net de 6'802 fr. 75, le tout avec intérêts.
L'employeuse intimée conclut au rejet du recours dans la mesure où il est recevable.
La cour cantonale se réfère à son arrêt.

Considérant en droit :
1.
Interjeté en temps utile (art. 46 al. 1 let. b et art. 100 al. 1 LTF) par le travailleur qui a succombé dans ses conclusions (<ref-law>) et dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu sur appel par un tribunal cantonal supérieur (<ref-law>) dans une affaire civile de droit du travail (<ref-law>), dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 15'000 fr. requis en la matière (<ref-law>), le recours en matière civile est recevable au regard de ces dispositions.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être exercé pour violation du droit fédéral (<ref-law>), y compris le droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 247; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 313). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, sauf en cas d'erreurs juridiques manifestes. Il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2, 115 consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.3). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, il n'examine la violation d'un droit constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de façon détaillée (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling> consid. 1.4 in fine).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Relèvent de ces faits tant les constatations relatives aux circonstances touchant l'objet du litige que celles concernant le déroulement de la procédure conduite devant l'instance précédente et en première instance, c'est-à-dire les constatations ayant trait aux faits procéduraux (<ref-ruling> consid. 1.3.1 et les références citées). Le Tribunal fédéral ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 253; <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.5) ou ont été établies en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266 et les références). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi les conditions précitées seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18 et les références). Les critiques de nature appellatoire, tendant simplement à une nouvelle appréciation des preuves, sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254). Si elle souhaite obtenir un complètement de l'état de fait, la partie doit aussi démontrer, par des renvois précis aux pièces du dossier, qu'elle a présenté aux autorités précédentes en conformité avec les règles de procédure les faits juridiquement pertinents à cet égard et les moyens de preuve adéquats (<ref-ruling> consid. 2 p. 90). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
En matière de constatations de fait et d'appréciation des preuves, il y a arbitraire lorsque le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, lorsqu'il a omis sans raisons objectives de tenir compte des preuves pertinentes ou encore lorsqu'il a tiré des déductions insoutenables à partir des éléments recueillis (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 265; <ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 1.4.3; <ref-ruling> consid. 2.1).
3.
Dans un premier grief traité dans son argumentation principale, le recourant s'en prend à la résiliation du contrat de travail.
3.1. Selon l'arrêt attaqué, l'employeuse a, dans un premier temps, résilié le contrat de travail pour le 31 mars 2017 par courrier daté du 8 février 2017. Le travailleur se trouvait alors en incapacité de travail. Comme la période de protection de 180 jours ne prenait fin que le 5 avril 2017, ce licenciement, intervenu en temps inopportun (<ref-law>), était nul.
La cour cantonale a retenu ensuite que le congé avait été donné avec effet immédiat par l'employeuse lors de l'altercation d'avril 2017. Elle s'est fondée sur les déclarations d'un témoin, selon lequel C._ avait notamment dit à A._ qu'il était "licencié sur le champ". Elle a jugé que les insultes alors proférées par le travailleur à l'égard de C._ en présence de clients constituaient de justes motifs de licenciement immédiat.
3.2. Invoquant l'<ref-law>, le recourant reproche à la cour cantonale un établissement manifestement inexact des faits en relation avec le moment et les motifs du congé.
3.2.1. Quant au moment du congé, il apparaît que le recourant s'en prend au moment auquel l'employeuse a signifié au travailleur son licenciement immédiat, qui ne serait pas intervenu en avril 2017, mais en mars 2017. La cour cantonale aurait ainsi arbitrairement omis de constater que la lettre de licenciement datée du 8 février 2017 avait été envoyée le 8 mars 2017. Selon le recourant, la question est pertinente, dans la mesure où si le congé avait été un congé immédiat prononcé au mois de mars, les rapports de travail auraient pris fin immédiatement à ce moment-là. Il aurait été par conséquent impossible de résilier le même contrat de travail avec effet immédiat au mois d'avril 2017.
Il convient de relever que, contrairement à ce que soutient le recourant, la cour cantonale n'a pas retenu que l'employeuse, au mois d'avril, avait confirmé son congé donné pour le 31 mars 2017, mais bien que l'employeuse a " à nouveau émis la volonté de licencier [le travailleur] " et qu'elle a " persisté dans son intention de mettre fin aux relations contractuelles ". Dans l'établissement de ce fait, la cour cantonale se fonde sur un témoignage requis par l'employeuse.
D'abord, le recourant ne démontre pas, d'une manière qui réponde aux exigences strictes du principe de l'allégation (cf. consid. 2.1 et 2.2), en quoi la cour cantonale a versé dans l'arbitraire en retenant les faits sur la base d'un témoignage. Ensuite, le recourant ne démontre pas davantage que l'employeuse ait manifesté sa volonté de mettre un terme immédiat aux rapports de travail par son courrier daté du 8 février 2017. Au contraire, le recourant relève justement que le courrier prévoit une date de licenciement au 31 mars 2017, ce qui n'est par définition pas immédiat, même si celui-ci avait été expédié le 8 mars 2017. Enfin le recourant ne démontre pas en quoi une constatation différente à ce sujet serait de nature à influer sur le sort du litige.
Au surplus, il est inexact de prétendre que, faute d'allégation, la cour cantonale aurait arbitrairement retenu que le congé a été signifié en avril 2017. En effet, l'employeuse a allégué qu'à cette occasion, elle a confirmé son licenciement. Elle a par conséquent manifesté à nouveau sa volonté de mettre un terme au contrat, ce que la cour cantonale a justement retenu. Le recourant ne remet pas non plus en cause sous l'angle de l'appréciation des preuves le témoignage selon lequel l'employeuse a signifié un licenciement sur le champ au travailleur. Enfin il ne conteste pas non plus le fait que l'employeuse a manifesté sa volonté de mettre un terme aux relations de travail à la suite immédiate de l'altercation.
3.2.2. Quant aux motifs du congé, le recourant revient sur les circonstances de l'altercation du mois d'avril 2017. Il invoque que la cour cantonale a retenu plusieurs éléments de fait de manière arbitraire, à savoir le nombre de personnes présentes, le fait que l'altercation soit violente ou non, qu'elle ait été de nature à humilier C._ et le fait que l'état d'énervement de l'employé n'était pas imputable à l'employeuse.
Dans ce grief, le recourant se contente d'opposer sa version des faits à celle retenue par la cour cantonale sur la base d'un témoignage. Le recourant ne démontre pas en quoi, en se fondant sur un témoignage, la cour a apprécié les preuves de manière arbitraire. Il ne démontre pas en quoi il serait évident que l'état de fait dressé ne correspond pas au résultat de l'administration des preuves. Il ne démontre pas davantage pourquoi la cour aurait dû écarter le témoignage au profit d'autres preuves du dossier. En tous les cas, le recourant ne satisfait pas au devoir d'allégation en raison du fait qu'il n'explique pas clairement ni de manière circonstanciée en quoi les faits retenus par la cour cantonale ne correspondent pas aux preuves déposées. Les critiques adressées à l'encontre de l'arrêt attaqué sont essentiellement appellatoires.
Il s'ensuit que ce grief, pour autant que recevable, doit être rejeté.
3.3. Le recourant se plaint ensuite d'une violation du droit fédéral. Selon lui, la cour cantonale aurait méconnu l'<ref-law> en n'examinant pas l'argumentation du recourant selon laquelle il avait été licencié avec effet immédiat au moyen du courrier du 8 février 2017 qui aurait été envoyé le 8 mars 2017. Selon le recourant, le fait que l'employeuse ait violé les règles régissant la fin des rapports de travail, en particulier la protection contre le congé en temps inopportun et le délai de congé légal, suffirait à qualifier le licenciement de licenciement immédiat. De surcroît, le licenciement ne mentionnait aucun juste motif.
La cour cantonale a retenu que le congé daté du 8 février 2017 était intervenu en temps inopportun. Celui-ci ayant été daté du 8 février 2017 et la cour cantonale n'ayant pas constaté à quelle date il a été effectivement expédié, il n'y a pas lieu de retenir à ce stade qu'il ait été expédié à une autre date. Il n'apparaît pas, comme développé ci-dessus que celui-ci mette fin de manière immédiate aux rapports de travail, même dans l'éventualité où il aurait été expédié le 8 mars 2017 pour fin mars 2017. Contrairement à l'argumentation du recourant, il ne suffit pas qu'un congé soit notifié durant une période de protection du travailleur, ou qu'il ne respecte pas les délais de congé légaux, pour le qualifier de licenciement immédiat.
Les prétentions du recourant portant sur le paiement du salaire durant le délai de congé ordinaire, y compris la part au treizième et aux vacances ainsi que l'indemnité punitive équivalente à six mois de salaire pour licenciement sans justes motifs, découlant d'une prétendue violation de l'<ref-law> sont sans objet, dès lors qu'il ne ressort pas de l'état de fait retenu par la cour cantonale, que le licenciement daté du 8 février 2017 ait été un licenciement immédiat.
Ce grief doit donc être rejeté.
4.
Dans une argumentation subsidiaire, le recourant dénonce une violation de l'<ref-law>. Selon lui, le congé signifié en avril 2017 ne serait que la confirmation du congé ordinaire donné précédemment. Celui-ci étant parvenu au travailleur en temps inopportun au sens de l'<ref-law>, il serait donc nul. Ainsi, la confirmation d'un congé nul devrait suivre le même sort. De plus, la cour cantonale n'ayant pu établir la date exacte de la rencontre du mois d'avril 2017, et, en particulier, n'ayant pu exclure que celle-ci ait eu lieu avant la fin de la période de protection du travailleur, il ne serait pas possible de conférer un effet guérisseur à la confirmation du congé.
4.1. La cour cantonale n'a pas retenu que l'employeuse a confirmé son licenciement signifié pour le 31 mars 2017, mais qu'elle a persisté dans sa volonté de mettre fin aux relations contractuelles. Selon l'autorité précédente, l'employeuse a prononcé un nouveau licenciement immédiat, justifié par les insultes proférées par le travailleur à l'égard de l'administrateur de l'employeuse, et il n'y a pas lieu de s'écarter de cette version des faits, le recourant ne démontrant pas que celle-ci ait été établie de façon arbitraire.
4.2. Les prétentions du recourant tirées d'une prétendue nouvelle notification d'un congé ordinaire en avril 2017 se heurtent à la constatation de la cour cantonale selon laquelle l'employeuse a, à ce moment, prononcé un licenciement avec effet immédiat.
Les prétentions fondées sur une violation de l'<ref-law> doivent donc être rejetées.
5.
Plus subsidiairement, le recourant soutient que, en tout état de cause, le licenciement immédiat signifié en avril 2017 était injustifié. C'est en violation de l'<ref-law> que l'autorité précédente aurait considéré que ce congé était fondé sur de justes motifs.
5.1. La cour cantonale a retenu que le travailleur a traité C._ de " gros connard " et de " trou du cul ", que le travailleur s'était énervé en premier, que des tiers étaient présents à ce moment-là, notamment des clients et des employés. L'autorité précédente a considéré que, malgré que les rapports ont duré environ 16 ans, et qu'il s'agissait d'un acte isolé, la violence de l'altercation rapportée par le témoin devait suffire à justifier un licenciement immédiat. En outre, l'état d'énervement dans lequel était le travailleur à ce moment n'est pas apparu à la cour cantonale comme compréhensible et excusable, en raison du fait que le travailleur s'est emporté en premier et que l'origine de l'altercation se trouvait dans la reprise du garage par le travailleur et les sources de revenus de l'entreprise.
5.2. La critique du recourant s'épuise largement dans une remise en cause des circonstances de l'altercation telles que retenues en fait par la cour cantonale et dénuées d'arbitraire (cf. consid. 3.2.2 supra).
En droit, le recourant se contente de prétendre que, même sur la base des faits retenus par la cour cantonale, un bref énervement, manifesté une seule fois en 16 ans, ne constitue pas un juste motif. Au surplus, l'état d'énervement aurait dû être considéré comme compréhensible et excusable, partant qu'il aurait été provoqué par la résiliation du 8 février 2017.
5.3. L'<ref-law> autorise l'employeur comme le travailleur à résilier immédiatement le contrat en tout temps pour de justes motifs (al. 1). Constituent notamment de justes motifs toutes les circonstances qui, selon les règles de la bonne foi, ne permettent pas d'exiger de celui qui a signifié le congé la continuation des rapports de travail (al. 2).
Mesure exceptionnelle, la résiliation immédiate doit être admise de manière restrictive. Seul un manquement particulièrement grave peut justifier le licenciement immédiat du travailleur. Un manquement moins grave ne peut entraîner une telle sanction que s'il a été répété malgré un avertissement. Par manquement de l'une des parties, on entend en règle générale la violation d'une obligation imposée par le contrat, mais d'autres faits peuvent aussi justifier une résiliation immédiate (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 31; <ref-ruling> consid. 2.1 et 2.2).
Le manquement doit être objectivement propre à détruire le rapport de confiance essentiel au contrat de travail ou, du moins, à l'atteindre si profondément que la continuation des rapports de travail ne peut raisonnablement pas être exigée; de surcroît, il doit avoir effectivement abouti à un tel résultat (<ref-ruling> consid. 4.2 et les arrêts cités). Le juge apprécie librement, selon les règles du droit et de l'équité (<ref-law>), si la résiliation immédiate répond à de justes motifs (<ref-law>). Il prendra en considération toutes les circonstances du cas particulier et sa décision, rendue en vertu d'un pouvoir d'appréciation, ne sera revue qu'avec réserve par le Tribunal fédéral (entre autres, <ref-ruling> consid. 4.1 p. 32). Celui-ci intervient lorsque celle-ci s'écarte sans raison des règles établies par la doctrine et la jurisprudence en matière de libre appréciation, ou lorsqu'elle s'appuie sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle, ou à l'inverse, lorsqu'elle n'a pas tenu compte d'éléments qui auraient absolument dû être pris en considération; il sanctionnera en outre les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 32, 213 consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 2 p. 382).
Des injures ou de la violence dirigées contre la personne de l'employeur peuvent constituer une atteinte à sa personnalité et justifier un licenciement immédiat s'ils atteignent une certaine intensité (arrêt 4A_60/2014 du 22 juillet 2014 consid. 3.3; 4C.247/2006 du 27 octobre 2006 consid. 2.6, WERNER GLOOR, Commentaire du contrat de travail, n° 38 ad <ref-law>, p. 751).
5.4. Dans le cas d'espèce, les conditions pour que le Tribunal fédéral intervienne pour revoir la décision de l'autorité cantonale ne sont pas remplies, la décision ne s'écartant pas sans raison des règles établies par la doctrine et la jurisprudence en matière de libre appréciation, ni ne s'appuyant sur des faits ne jouant aucun rôle. Elle ne néglige pas non plus de prendre en compte des faits qui auraient absolument dû l'être. La cour cantonale a, au contraire, tenu compte du fait que l'état d'énervement du travailleur était dû à une discussion portant sur sa reprise du garage, que l'altercation était violente, que des témoins étaient présents et que par conséquent, l'état d'énervement du travailleur n'était ni compréhensible ni excusable.
Au vu de ce qui précède, le grief est rejeté.
6.
En tout état de cause, le recourant se plaint de formalisme excessif et de violation de l'<ref-law> lorsque la cour cantonale a retenu qu'il n'avait pas suffisamment allégué et prouvé sa prétention en versement de la différence entre le montant versé à son employeuse par D._, et le montant qui lui a été reversé.
Il s'agit de déterminer si la prétention en versement de la somme de 6'802 fr., à titre de différence entre le montant perçu par l'employeuse de son assurance et ceux reversés au travailleur a été suffisamment alléguée et prouvée comme le prétend le recourant, ou si la cour cantonale a jugé à bon droit que le recourant n'avait pas observé son devoir d'allégation devant l'autorité précédente.
6.1. Les règles de la procédure applicables aux affaires patrimoniales dont la valeur litigieuse dépasse 30'000 fr., sont celles de la procédure ordinaire (<ref-law> a contrario). Le procès est soumis à la maxime des débats (<ref-law>; Verhandlungsmaxime; massima dispositiva). Lorsque la maxime des débats est applicable, il incombe aux parties, et non au juge, de rassembler les faits du procès (<ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 3a). Le tribunal ne pourra pas tenir compte dans son jugement des faits qui ne sont pas allégués et prouvés (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 463).
En vertu de l'art. 221 al. 1 let. d CPC, respectivement de l'<ref-law>, les faits doivent être allégués en principe dans la demande, respectivement dans la réponse pour les faits que doit alléguer le défendeur. Ils peuvent l'être dans la réplique et la duplique si un deuxième échange d'écritures est ordonné ou, s'il n'y en a pas, par dictée au procès-verbal lors des débats d'instruction (<ref-law>) ou à l'ouverture des débats principaux, avant les premières plaidoiries (<ref-ruling> consid. 2, 519 consid. 5.2.1).
En ce qui concerne l'allégation d'un compte, il arrive que le demandeur allègue dans sa demande (voire dans sa réplique) le montant total de celui-ci et qu'il renvoie pour le détail à la pièce qu'il produit. Dans un tel cas, il faut examiner si la partie adverse et le tribunal obtiennent ainsi les informations qui leur sont nécessaires, au point que l'exigence de la reprise du détail de la facture dans l'allégué n'aurait pas de sens, ou si le renvoi est insuffisant parce que les informations figurant dans la pièce produite ne sont pas claires et complètes ou que ces informations doivent encore y être recherchées. Il ne suffit en effet pas que la pièce produite contienne, sous une forme ou sous une autre, lesdites informations. Leur accès doit être aisé et aucune marge d'interprétation ne doit subsister. Le renvoi figurant dans l'allégué doit désigner spécifiquement la pièce qui est visée et permettre de comprendre clairement quelle partie de celle-ci est considérée comme alléguée. L'accès aisé n'est assuré que lorsque la pièce en question est explicite et qu'elle contient les informations nécessaires. Si tel n'est pas le cas, le renvoi ne peut être considéré comme suffisant que si la pièce produite est concrétisée et commentée dans l'allégué lui-même de telle manière que les informations deviennent compréhensibles sans difficulté, sans avoir à être interprétées ou recherchées (<ref-ruling> consid. 5.2.1.2 et les arrêts cités).
6.2. Dans le cas d'espèce, l'allégué du recourant portait sur plusieurs prétentions qu'il estimait lui être dues en tout état de cause, à savoir le paiement par l'employeuse d'un montant pour couvrir le délai de carence de D._, un montant à titre de salaire pour une période en 2016, un montant à titre de treizième salaire pour une période en 2016, une part aux vacances pour 2016 également, ainsi que, finalement, le montant de 6'802 fr. 75, à titre de différence entre le montant versé par D._ à l'employeuse et ce qu'elle a reversé au travailleur.
A l'appui de cet allégué, le recourant a non seulement cité l'intégralité de son bordereau de preuves (titres 1-21; interrogatoire des parties; par appréciation), mais a en plus omis de citer la seule pièce pertinente sur laquelle il souhaitait fonder sa dernière prétention, à savoir son titre 22, un décompte établi par l'employeuse.
Même si le recourant avait inclus le titre 22 dans son renvoi général, il ne renvoyait de toute façon pas spécifiquement dans son allégué à la pièce visée ni même spécifiquement à une pièce en particulier. Bien au contraire, il s'est contenté de renvoyer à toutes les preuves du dossier, même à celles qui servaient à prouver des allégués sans lien avec l'allégué en question. Son offre de preuves ne permettait pas au tribunal de comprendre clairement quelle pièce ni quelle partie de la pièce était considérée comme alléguée. Celle-ci n'est au demeurant ni explicite ni ne contient uniquement des informations sur ce point.
Par conséquent, même s'il avait commis une erreur de plume, ce qu'il allègue, et que la pièce 22 était effectivement citée, le recourant n'aurait pas rempli son devoir d'allégation pour permettre au tribunal de comprendre clairement sur quelle partie de la pièce il fonde sa prétention. C'est donc à bon droit que la cour cantonale a retenu que le recourant n'avait pas satisfait à son devoir d'allégation. La cour cantonale n'a pas versé dans le formalisme excessif et le grief soulevé par le recourant est par conséquent rejeté.
7.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté.
Le recourant, qui succombe, prendra à sa charge les frais judiciaires (<ref-law>). En outre, il versera des dépens à l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 3'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 29 décembre 2020
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
Le Greffier : Botteron