Erwägungen:
1.
Dr. med. dent. A._ erhielt am 19. September 1991 eine örtlich und zeitlich eingeschränkte und am 19. September 1996 eine für den ganzen Kanton St. Gallen gültige unbefristete Bewilligung zur selbstständigen Berufsausübung als Zahnarzt. Das Gesundheitsdepartement des Kantons St. Gallen entzog ihm mit Verfügung vom 27. November 2012 im Rahmen eines Disziplinarverfahrens vorsorglich diese Berufsausübungsbewilligung. Mit Verfügung vom 11. November 2013 wies das Gesundheitsdepartement die Erteilung einer (neuen) Berufsausübungsbewilligung ab. Im Zusammenhang mit seiner Berufsausübungsbewilligung leitete Dr. med. dent. A._ zahlreiche Verfahren ein. Mit Verfügung vom 6. November 2017 erteilte das Gesundheitsdepartement ihm schliesslich wieder eine neue Berufsausübungsbewilligung.
Am 7. Dezember 2017 verfügte das Gesundheitsdepartement, auf das Gesuch von Dr. med. dent. A._ vom 4. September 2017 um Feststellung des Bewilligungsstatus werde nicht eingetreten (Dispositivziffer 1). Auf den Antrag auf Edition der act. 162 f. des Disziplinarverfahrens werde nicht eingetreten, aber festgehalten, dass die Sache der bisher nicht edierten Patientenbeschwerden im Zusammenhang mit der Erledigung des Gesuchs vom 2. Juni 2017 erneut zu prüfen sein werde (Dispositivziffer 2). Auf die Ausstandsbegehren gegen den amtierenden Leiter Rechtsdienst und den Verfahrensleiter werde nicht eingetreten (Dispositivziffer 3). Auf die Gesuche um Feststellung betreffend die Rechtsgrundlagen für die Stellung des Kantonszahnarztes sowie um die Entbindung des amtierenden Kantonszahnarztes aus seiner Funktion werde nicht eingetreten (Dispositivziffer 4). In Dispositivziffer 5 wurden Dr. med. dent. A._ Verfahrenskosten von Fr. 1'500.-- auferlegt.
Das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen wies seine gegen die Dispositivziffern 4 und 5 der Verfügung vom 7. Dezember 2017 erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 27. April 2018 ab, soweit es darauf eintrat.
Gegen diesen Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 27. April 2018 gelangt Dr. med. dent. A._ mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht und beantragt, der angefochtene Entscheid sei unter Beizug der Akten der Vorinstanz (Verfahren B 2018/8) sowie des Gesundheitsdepartements (Verfahren D-12-6012, D-16-6006) kostenfällig aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Kosten- und Entschädigungsfolgen für das vorinstanzliche Verfahren (B 2018/8) seien dem Kanton St. Gallen aufzuerlegen; entsprechend sei die Vorinstanz anzuweisen, die Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens auf die Staatskasse zu nehmen und dem Beschwerdeführer für das vorinstanzliche Verfahren nach Vorlage einer entsprechenden Kostennote eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen.
2.
2.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen einen das Verfahren abschliessenden Endentscheid einer kantonalen letzten Instanz in Zusammenhang mit dem disziplinarischen Entzug einer Berufsausübungsbewilligung als Zahnarzt ist zwar zulässig (Art. 83 lit. t e contrario BGG; Urteil 2C_720/2016 vom 18. Januar 2017 E. 1.2.1), aber offensichtlich unbegründet, weshalb sie im Verfahren nach <ref-law> mit summarischer Begründung abgewiesen wird.
2.2. Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens bildeten einzig die Dispositivziffern 4 und 5 der Verfügung des Gesundheitsdepartements vom 7. Dezember 2017 (angefochtener Entscheid, E. 3.1, E. 3.3). Zur Dispositivziffer 4 dieser Verfügung vom 7. Dezember 2017 erwog die Vorinstanz, das Gesundheitsdepartement sei zu Recht auf die Gesuche um Feststellung betreffend Rechtsgrundlage für die Stellung des Kantonszahnarztes sowie um Entbindung des amtierenden Kantonszahnarztes aus seiner Funktion nicht eingetreten, weshalb sich auch im bundesgerichtlichen Verfahren der Streitgegenstand, der sich im Laufe des Verfahrens grundsätzlich nur verengen, aber nicht erweitern kann (<ref-ruling> E. 5 S. 174; <ref-ruling> E. 2.4 S. 34), auf die Eintretensfrage beschränkt. Die Vorinstanz hat erwogen, dem Beschwerdeführer fehle es deswegen, weil er im vorliegenden Verfahren nicht mehr als irgendein Dritter oder die Allgemeinheit durch die Tätigkeit des Kantonszahnarztes in seinen eigenen aktuellen rechtlichen oder tatsächlichen Interessen berührt sei, an dem im Sinne von Art. 45 Abs. 1 des Gesetzes des Kantons St. Gallen vom 16. Mai 1965 über die Verwaltungsrechtspflege (VRP/SG) vorausgesetzten eigenen schutzwürdigen Interesse am Erlass einer Feststellungsverfügung. Der Beschwerdeführer anerkenne denn auch, dass im Detail gar nicht bekannt sei, inwiefern der Kantonszahnarzt aktuell noch in den Verfahren des Gesundheitsdepartements mitwirke. Seine Vermutung, dass der Kantonszahnarzt immer auch in die Verfahren des Beschwerdeführers involviert sei, weil die Vorinstanz ihrerseits vom Bestehen der (auf einer hinreichenden gesetzlichen Grundlage beruhenden) kantonszahnärztlichen Kompetenzen ausgehe, vermöge für das hier in Frage stehende Verfahren kein Rechtsschutzinteresse zu begründen. Beim Antrag, es seien dem amtierenden Kantonszahnarzt die Kompetenzen per sofort zu entziehen und es sei rückwirkend zu bestätigen, dass auch sein Amtsvorgänger nie über die entsprechenden Kompetenzen (Rechte und Pflichten) eines Kantonszahnarztes verfügt habe, handle es sich im Wesentlichen um ein Feststellungsbegehren, für welches es an einem aktuellen und/oder virtuellen Feststellungsinteresse des Beschwerdeführers mangle, und mit welchem er zudem eine (unzulässige) abstrakte Normenkontrolle verlange.
2.3. Jeder Verfahrensbeteiligte hat gestützt auf <ref-law> Anspruch auf richtige Zusammensetzung der Verwaltungsbehörde bzw. darauf, dass diese vollständig und ohne Anwesenheit Unbefugter entscheidet (<ref-ruling> E. 5 S. 328 ff.; <ref-ruling> E. 3c S. 130 und E. 4b S. 131; Urteile 1C_546/2017 vom 26. Januar 2018 E. 2.3; 2P.26/2003 vom 1. September 2003 E. 3.4, in: ZBl 106/2005 S. 103; je mit Hinweisen). In Analogie zu <ref-law> verpflichtet in Verfahren vor nicht-gerichtlichen Behörden <ref-law> eine rechtmässig mitwirkende Amtsperson zum Ausstand, wenn Umstände vorliegen, die nach objektiven Gesichtspunkten geeignet sind, den Anschein der Befangenheit zu erwecken (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 329; <ref-ruling> E. 5.1 S. 125; <ref-ruling> E. 2.2 S. 3 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 229; <ref-ruling> E. 5.2 S. 452).
Der aus <ref-law> fliessende Anspruch auf richtige Zusammensetzung des kantonalen Gesundheitsdepartements oder allenfalls ein Ausstand des Kantonszahnarztes kann vorliegend deswegen nicht strittig sein, weil der Beschwerdeführer auch in seiner Beschwerdeschrift an das Bundesgericht (S. 15) ausdrücklich einräumt, im Detail sei nicht bekannt, inwieweit oder inwiefern der Kantonszahnarzt aktuell in den Verfahren des Gesundheitsdepartements noch mitwirke. Gestützt auf die für das Bundesgericht verbindliche vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung (<ref-law>), die nicht als offensichtlich unrichtig oder rechtsverletzend erhoben (<ref-law>) gerügt worden ist, kann nicht davon ausgegangen werden, dass der Kantonszahnarzt am vorliegenden Verfahren, auf das sich der Streitgegenstand beschränkt, mitgewirkt hat, in dieses Einsicht hat, ihm dieses Verfahren betreffende Verfügungen zugestellt worden sind und der Kantonszahnarzt "im Hintergrund" auf das vorliegende Verfahren Einfluss genommen hat. Nicht ersichtlich ist weiter, inwiefern es dem Beschwerdeführer, welcher mittlerweile wieder über eine Berufsausübungsbewilligung verfügt, in weiteren Verfahren verwehrt sein sollte, seinen Anspruch auf rechtmässige Zusammensetzung des kantonalen Gesundheitsdepartements geltend zu machen und allenfalls die Mitwirkung seiner Ansicht nach befangener Personen abzulehnen. Für über den Anspruch auf rechtmässige Zusammensetzung einer Verwaltungsbehörde im konkreten Verfahren oder allenfalls den Ausstand des Kantonszahnarztes im konkreten Verfahren hinausgehende Anträge fehlte es dem Beschwerdeführer jedoch im Verfahren B 2017/131 vor dem Gesundheitsdepartement offensichtlich an einem eigenen schutzwürdigen Interesse.
Mit seinem vom konkreten Verfahren losgelösten Gesuch um Entbindung des amtierenden Kantonszahnarztes aus seiner Funktion verfolgt er vielmehr, wie andere auf die Disziplinierung und Sanktionierung öffentlicher Angestellter und Beamter zielende Anzeiger auch, nur öffentliche Interessen, welche praxisgemäss kein eigenes schutzwürdiges, praktisches und aktuelles Interesse des Anzeigers zu begründen vermögen (<ref-ruling> E. 2 S. 471; <ref-ruling> E. 4.2, E. 4.3 S. 254, E. 4.3.2 S. 255; Urteile 2C_155/2015 vom 21. Februar 2015 E. 2.2; 2C_456/2018 vom 28. Mai 2018 E. 2.2). Inwiefern dem Beschwerdeführer des Weiteren zur Verfolgung öffentlicher Interessen ein Anspruch auf eine vorfrageweise durchzuführende Normenkontrolle (hinsichtlich der Rechtsgrundlage des Kantonszahnarztes) zukommen sollte, ist ebenfalls nicht ersichtlich, begründen doch rein theoretische Rechtsfragen ohne Bezug auf die tatsächliche oder rechtliche Situation der gesuchstellenden Person insbesondere kein aktuelles und praktisches Interesse am Erlass einer Feststellungsverfügung (ISABELLE HÄNER, Praxiskommentar Verwaltungsverfahrensgesetz, 2. Aufl. 2016, N. 10 zu <ref-law>). Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet und ist mit summarischer Begründung unter Verweis auf den angefochtenen Entscheid abzuweisen (<ref-law>).
2.4. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Parteientschädigungen werden nicht gesprochen (<ref-law>). Gründe dafür, die vorinstanzlichen Kosten- und Entschädigungsfolgen neu zu verlegen, bestehen nicht (Art. 67 e contrario, Art. 68 Abs. 5 e contrario BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. November 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Mayhall