Sachverhalt:
A.
Mit Zahlungsbefehl Nr. xxx des Betreibungsamtes Region Frick vom 22. April 2020 betrieb die B._ AG A._ unter anderem für Fr. 28'891.55 (Angabe des Forderungsgrundes: "ausstehende Mietkosten, zugesprochene Parteikosten, Wohnungsabgabekosten, Brief vom 03.07.2003, Mietvertrag, Urteil Bezirksgericht, Urteil Obergericht Kanton Aargau sowie Pfändungsverlustschein vom 07.12.2010; aus Zession C._ AG"). A._ erhob Teilrechtsvorschlag, wobei er den Betrag von Fr. 10'000.-- (aus den betriebenen Fr. 28'891.55) akzeptierte.
B.
Am 26. August 2020 erteilte das Bezirksgericht Laufenburg der B._ AG für Fr. 18'891.55 die provisorische Rechtsöffnung. Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 22. Februar 2021 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Eingabe vom 9. April 2021 (Postaufgabe) ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt, es sei der obergerichtliche Entscheid aufzuheben und das Gesuch der B._ AG (nachfolgend: Beschwerdegegnerin) um provisorische Rechtsöffnung abzuweisen. Zudem beantragt er für das bundesgerichtliche Verfahren die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Das Obergericht hat auf die Einreichung einer Vernehmlassung verzichtet. Die Beschwerdegegnerin beantragt, es sei auf die Beschwerde nicht einzutreten, eventuell diese abzuweisen. Die Parteien haben Replik und Duplik sowie je eine weitere Stellungnahme eingereicht.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Streitwert der Angelegenheit liegt unter Fr. 30'000.-- (<ref-law>) und eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung wird in der Beschwerdeschrift nicht geltend gemacht (Art. 74 Abs. 2 lit. a i.V.m. <ref-law>). Damit ist die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) entgegenzunehmen. Diese ist grundsätzlich zulässig (Art. 114 i.V.m. Art. 75, Art. 115, Art. 117 i.V.m. Art. 90 und <ref-law>).
1.2. Mit Eingabe vom 16. Juni 2021 (Postaufgabe) hat der Beschwerdeführer ein Gesuch um Wiederherstellung der Frist für die Einreichung der Aberkennungsklage gestellt. Für die Wiederherstellung dieser Frist gemäss <ref-law> ist das Bundesgericht nicht zuständig. Da ein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid betreffend Fristwiederherstellung nicht vorliegt, mangelt es für das bundesgerichtliche Verfahren insoweit an einem Anfechtungsgegenstand.
2.
2.1. Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 117 i.V.m. <ref-law> in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 3.1).
2.2. Die Begründung hat in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen. Die beschwerdeführende Partei darf eine allfällige Replik nicht dazu verwenden, ihre Beschwerde zu ergänzen oder zu verbessern. Zulässig sind nur Vorbringen, zu denen erst die Ausführungen in der Vernehmlassung eines anderen Verfahrensbeteiligten Anlass geben (vgl. <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.3.4).
2.3. Nicht berücksichtigt werden kann die Eingabe des Beschwerdeführers vom 8. Januar 2022 (Postaufgabe) und die dieser beigelegten Beweismittel. Die Eingabe erfolgte verspätet (Art. 117 i.V.m. <ref-law>) und enthält unzulässige echte Noven (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1.2 mit Hinweis).
3.
3.1. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid, soweit vor Bundesgericht noch relevant, was folgt ausgeführt. Die Beschwerdegegnerin stütze ihr Rechtsöffnungsgesuch auf den Verlustschein des Betreibungsamts Oeschgen vom 7. Dezember 2010, in welchem festgehalten worden sei, dass sie im Betrag von Fr. 28'891.55 zu Verlust gekommen sei. Eine solche Urkunde gelte gemäss <ref-law> als Schuldanerkennung im Sinne von <ref-law> und damit als provisorischer Rechtsöffnungstitel. Auf dem Verlustschein sei die Beschwerdegegnerin als Inhaberin der Forderung gegenüber dem Beschwerdeführer angegeben. Der Beschwerdeführer habe seine Einrede, mit der diese Schuldanerkennung entkräftet werden soll, nämlich, dass entgegen dem Hinweis im Verlustschein die ursprünglich der C._ AG zustehende Forderung nicht an die Beschwerdegegnerin abgetreten worden sei, glaubhaft zu machen. Einwendungen gegen einen provisorischen Rechtsöffnungstitel seien im Sinne von <ref-law> erst glaubhaft, wenn mehr für als gegen ihre Richtigkeit spreche, das Pro das Kontra also überwiege. Die Ausführungen des Beschwerdeführers würden sich darauf beschränken, bloss zu behaupten, es gebe keine entsprechende formgerechte Zession. Die blosse Behauptung dieser Tatsache vermöge sie aber nicht glaubhaft zu machen.
3.2. Der Beschwerdeführer rügt in seiner Beschwerde sinngemäss eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>). Dass die Beschwerdegegnerin keine Zessionsurkunde eingereicht habe sei keinesfalls eine blosse Behauptung, sondern eine nachprüfbare Tatsache. Ausserdem könne ihm nicht zugemutet werden, das Nichtvorhandensein eines Dokuments zu belegen. Ein Verlustschein schaffe keine Vermutung für den Bestand der Forderung und könne daher keinen Beweis für eine gültige Zession darstellen. Indem die Vorinstanz ungeachtet des fehlenden Urkundenbeweises allein gestützt auf den Verlustschein die Rechtsöffnung bestätigt habe, habe sie krass widersprüchlich entschieden. Wenn eine Abtretung tatsächlich gültig erfolgt wäre, wäre nicht nachvollziehbar, weshalb die Beschwerdegegnerin die Vorlage der Zessionsurkunde so vehement verweigere. Bereits im Entscheid vom 16. September 2010 des Bezirksgerichtes Laufenburg sei das Recht offensichtlich falsch angewendet worden. Auch im damaligen Rechtsöffnungsverfahren habe die Beschwerdegegnerin keine schriftliche Abtretungserklärung eingereicht. Dass er sich gegen diese offensichtlich falsche Rechtsanwendung damals nicht zur Wehr gesetzt habe, habe daran gelegen, dass ihm die Formvorschrift des <ref-law> damals noch nicht bekannt gewesen sei.
3.3. Die Beschwerdegegnerin hält dem entgegen, es könne ihr nicht zum Nachteil gereichen, dass der Beschwerdeführer gegen das Rechtsöffnungsurteil des Bezirksgerichts Laufenburg vom 16. September 2010 keine Aberkennungsklage eingereicht habe und dagegen auch nicht Beschwerde geführt habe. Schon in jenem Rechtsöffnungsentscheid sei ihre Aktivlegitimation unbestrittenermassen bejaht worden. Für das vorliegende Rechtsöffnungsverfahren entscheidend sei, dass sie im Verlustschein vom 7. Dezember 2010 ausdrücklich als Gläubigerin genannt werde. Folglich sei ein weiterer Nachweis des Forderungsübergangs im Rechtsöffnungsverfahren nicht notwendig. Die entsprechenden Erwägungen im Entscheid des Bezirksgerichts Laufenburg vom 26. August 2020 würden eine schweizweit anerkannte Rechtspraxis darstellen.
4.
4.1. Gemäss <ref-law> stellt der Verlustschein aus einer Pfändung einen provisorischen Rechtsöffnungstitel dar. Beim Pfändungsverlustschein handelt es sich um eine amtliche Bestätigung, dass der betreibende Gläubiger zu Verlust gekommen ist, da seine Forderung nicht vollständig gedeckt worden ist. Der Pfändungsverlustschein hat aber weder novierende Wirkung, noch ergibt sich aus ihm ein neues Rechtsverhältnis, das zum bestehenden hinzutreten und als selbständiges Klagefundament dienen könnte (<ref-ruling> E. 3.5.1; <ref-ruling> E. 4a). Daher kann der Schuldner, wenn der Gläubiger gestützt auf einen Verlustschein die provisorische Rechtsöffnung zu erlangen sucht, nach wie vor sämtliche Einwände erheben (<ref-ruling> E. 3.1; HUBER/SOGO, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 3. Aufl. 2021, N. 41 zu <ref-law>). Der Pfändungsverlustschein alleine beweist nicht den Bestand der betriebenen Forderung und stellt auch keine Schuldanerkennung im eigentlichen, materiell-rechtlichen Sinn dar, zumal der Schuldner an dessen Ausstellung selbst gar nicht beteiligt ist (BGE <ref-ruling> E. 4a; Urteil 5A_768/2014 vom 2. November 2015 E. 1.2.2). Dies bedeutet jedoch nicht, dass der Pfändungsverlustschein überhaupt keine Beweiskraft besitzt. Er verurkundet, dass der Schuldner in einer früheren Betreibung keinen Rechtsvorschlag erhoben hat oder dass dieser durch Rechtsöffnung oder Urteil beseitigt worden ist. Daher stellt der Verlustschein eine Beweisurkunde dar, die für den Bestand der Forderung immerhin ein Indiz bilden kann (<ref-ruling> E. 3.1.1; 69 III 89 E. 1b; Urteil 4A_565/2011 vom 8. Februar 2012 E. 3.3).
4.2. Das Rechtsöffnungsgericht hat unter anderem zu prüfen, ob die das Rechtsöffnungsgesuch stellende Partei mit der durch den Rechtsöffnungstitel ausgewiesenen Person identisch ist. Diese Voraussetzung ist im vorliegenden Fall, in welchem die Beschwerdegegnerin auf dem eingereichten Verlustschein als Gläubigerin aufgeführt wird, erfüllt. Die Vorlage zusätzlicher Beweisurkunden war für die Bewilligung der provisorischen Rechtsöffnung nicht erforderlich (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.2; PANCHAUD/CAPREZ, Die Rechtsöffnung, Zürich 1980, § 54 Ziff. 3). Vielmehr lag es nun am Beschwerdeführer, Einwendungen gegen den Rechtsöffnungstitel sofort glaubhaft zu machen (<ref-law>; STAEHELIN, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 3. Aufl. 2021, N. 158 zu <ref-law>; VEUILLET, La mainlevée de l'opposition, 2017, N. 213 zu <ref-law>). Glaubhaft gemacht ist eine Tatsache dann, wenn für ihr Vorhandensein aufgrund objektiver Anhaltspunkte eine gewisse Wahrscheinlichkeit spricht, selbst wenn das Gericht noch mit der Möglichkeit rechnet, dass sie sich nicht verwirklicht haben könnte (<ref-ruling> E. 4.1.2; <ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 4c; <ref-ruling> E. 4)
4.3. Im Forderungsgrund des Verlustscheins vom 7. Dezember 2010 wurde ebenso wie im Zahlungsbefehl vom 22. April 2020 auf die Zession der Forderung seitens der C._ AG hingewiesen. Sodann steht fest und ist unbestritten, dass in der damaligen Betreibung, welche in der Ausstellung des Verlustscheins vom 7. Dezember 2010 resultiert hat, ein Rechtsöffnungsverfahren durchgeführt wurde. Dass im damals durchgeführten Rechtsöffnungsverfahren - in welchem die Zession von der Gläubigerin urkundlich nachgewiesen werden musste (<ref-ruling> E. 4.1.1; VEUILLET, a.a.O., N. 77 zu <ref-law>) - keine schriftliche Abtretungserklärung vorgelegt wurde, stellt demgegenüber eine blosse Behauptung dar. Aus dem vom Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren (auszugsweise) eingereichten Rechtsöffnungsentscheid des Bezirksgerichts Laufenburg vom 16. September 2010 lässt sich solches nicht ableiten, wird darin betreffend die Feststellung des Vorliegens einer gültigen Abtretung doch ausdrücklich auf die Klagebeilage 3 verwiesen und soweit der Beschwerdeführer implizit behauptet haben sollte, dass es sich bei der genannten Beweisurkunde nicht um die Zessionsurkunde gehandelt habe, wurde eine dahingehende Behauptung von ihm jedenfalls nicht weiter plausibilisiert. Zwar trifft zu, dass die Beschwerdegegnerin im vorliegenden Rechtsöffnungsverfahren nichts zur Widerlegung des Einwands der nicht gültig erfolgten Abtretung der Forderung unternommen hat (zu den formellen Anforderungen der Zession vgl. <ref-law> und <ref-ruling> E. 4c). Das Gesetz lautet jedoch eindeutig dahin, dass es am Betriebenen liegt, Einwendungen gegen die Schuldanerkennung sofort glaubhaft zu machen, wenn er die Erteilung der provisorischen Rechtsöffnung abwenden will. Im konkreten Fall durfte es ohne Weiteres als wahrscheinlicher betrachtet werden, dass die Beschwerdegegnerin im damaligen Rechtsöffnungsverfahren eine schriftliche Abtretungserklärung vorgelegt hat und die Abtretung der Forderung von der C._ AG an die Beschwerdegegnerin somit gültig erfolgt ist. Wenn die Vorinstanzen die Glaubhaftigkeit des Einwands des Beschwerdeführers verneint haben, lässt sich dies daher nicht als willkürlich bezeichnen (<ref-law>; vgl. zum Willkürbegriff: <ref-ruling> E. 4.2).
5.
Aus den dargelegten Gründen muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang hat der Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>) und die Beschwerdegegnerin angemessen zu entschädigen (<ref-law>).
Indes ist das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Prozessführung im bundesgerichtlichen Verfahren gutzuheissen, da die entsprechenden Voraussetzungen erfüllt sind (<ref-law>). Die Gerichtskosten sind daher vorläufig auf die Gerichtskasse zu nehmen. Der Beschwerdeführer wird darauf hingewiesen, dass er der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn er später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen.
2.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, jedoch vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
5.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 5. Kammer, mitgeteilt.
Lausanne, 25. März 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss