Faits :
A.
Par arrêté du 11 novembre 2020, le Conseil d'Etat du canton de Genève (ci-après: le Conseil d'Etat) a fixé la date du premier tour de l'élection complémentaire d'un membre du Conseil d'Etat au 7 mars 2021 et celle du second tour au 28 mars 2021.
Yann Testa, mandataire de la liste intitulée "PBD Genève" et candidat sur cette liste, a déposé un dossier de candidature pour le premier tour de l'élection précitée au Service des votations et élections du canton de Genève (SVE).
A l'issue du scrutin du premier tour de l'élection du 7 mars 2021, aucun candidat n'a obtenu la majorité absolue.
Le 9 mars 2021, Yann Testa, mandataire de la liste "PDC-PBD, Le Centre" sur laquelle figurait Delphine Bachmann comme candidate, a déposé ladite liste au SVE pour le second tour de l'élection complémentaire.
B.
Le 18 mars 2021, Philippe Oberson a interjeté recours auprès de la Chambre constitutionnelle de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) contre la décision du SVE admettant la liste "PDC-PBD, le Centre". Le juge délégué a ordonné l'appel en cause de Delphine Bachmann et de Yann Testa. Le 19 mars 2021, le SVE, tout comme Delphine Bachmann et Yann Testa, ont conclu au rejet du recours. Le 19 mars 2021, le juge délégué a accordé à Philippe Oberson ainsi qu'à Delphine Bachmann et Yann Testa un délai au 22 mars 2021 à 14h00 pour faire valoir leurs éventuelles ultimes observations, après quoi la cause serait gardée à juger. Le 22 mars 2021, Philippe Oberson a déposé sa réplique. Le même jour, Delphine Bachmann et Yann Testa ont persisté dans leurs précédentes écritures, indiquant ne pas avoir d'observations complémentaires à formuler. Sur quoi la cause a été gardée à juger, ce dont les parties ont été informées.
Par arrêt du 23 mars 2021, la Cour de justice a rejeté le recours dans la mesure de sa recevabilité.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, Philippe Oberson demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 23 mars 2021 pour violation du droit d'être entendu et de renvoyer la cause à l'instance précédente "pour la continuation des échanges d'écriture entre les parties et la résolution des questions". Il demande de "renoncer à la perception de frais de procédure [vu ses] griefs".
La Cour de justice persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. Le SVE, représenté par la chancellerie d'Etat, ainsi que Delphine Bachmann et Yann Testa concluent au rejet du recours à supposer qu'il soit recevable. Le recourant a répliqué, par courrier du 22 juin 2021.
D.
En parallèle, le 25 mars 2021, Philippe Oberson a déposé à la Cour de justice une "demande de révision sur décision sur provisionnelle/recours avec demande de récusation" de l'arrêt du 23 mars 2021. Par arrêt du 27 mai 2021, la Cour de justice a déclaré irrecevable la demande de révision de l'arrêt du 23 mars 2021. Philippe Oberson a interjeté un recours au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 27 mai 2021 (cause 1C_407/2021).

Considérant en droit :
1.
Selon l'art. 82 let. c LTF, le Tribunal fédéral connaît des recours concernant le droit de vote des citoyens ainsi que les élections et votations populaires. Cette voie de recours permet en particulier au citoyen de contester la régularité des opérations précédant l'élection. Même si le recourant se plaint uniquement d'une violation de son droit d'être entendu, la décision attaquée se rapporte sur le fond au processus électoral.
Citoyen genevois, le recourant a la qualité pour recourir, au sens de l'<ref-law>.
Pour le surplus, interjeté en temps utile contre une décision finale prise en dernière instance cantonale non susceptible de recours devant le Tribunal administratif fédéral, le recours est en principe recevable.
2.
En vertu de l'<ref-law>, les mémoires de recours doivent être motivés. Selon l'<ref-law>, les motifs doivent exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit. Pour satisfaire à cette exigence, il appartient au recourant de discuter au moins brièvement les considérants de la décision litigieuse et d'expliquer en quoi ceux-ci seraient contraires au droit (<ref-ruling> consid. 1.7.1 p. 106). Le Tribunal fédéral ne connaît par ailleurs de la violation de droits fondamentaux que si un tel grief a été expressément invoqué et motivé de façon claire et détaillée par le recourant (principe d'allégation, <ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 2.1).
3.
Dans un grief d'ordre formel, le recourant se plaint sous plusieurs aspects d'une violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst., 6 CEDH et 16 de la loi genevoise sur la procédure administrative du 12 septembre 1985 [LPA/GE; RSG E 5 10]).
3.1. Conformément aux art. 29 al. 2 Cst. et 6 CEDH (RS 0.101), les parties ont le droit d'être entendues. Compris comme l'un des aspects de la notion générale de procès équitable, le droit d'être entendu comprend en particulier le droit, pour une partie à un procès, de prendre connaissance de toute argumentation présentée au tribunal et de se déterminer à son propos, que celle-ci contienne ou non de nouveaux éléments de fait ou de droit, et qu'elle soit ou non concrètement susceptible d'influer sur le jugement à rendre. Il appartient en effet aux parties, et non au juge, de décider si une prise de position ou une pièce nouvellement versée au dossier contient des éléments déterminants qui appellent des observations de leur part. Toute prise de position ou pièce nouvelle versée au dossier doit dès lors être communiquée aux parties pour leur permettre de décider si elles veulent ou non faire usage de leur faculté de se déterminer (<ref-ruling> consid. 3.4.1). Il découle du caractère inconditionnel du droit de réplique garanti par les art. 29 al. 2 Cst. et 6 CEDH que celui-ci peut être exercé par les parties après chaque prise de position de la partie adverse (<ref-ruling> consid. 3.4.2). Le droit de répliquer n'impose cependant pas à l'autorité judiciaire l'obligation de fixer un délai à la partie pour déposer d'éventuelles observations. Elle doit seulement lui laisser un laps de temps suffisant, entre la remise des documents et le prononcé de sa décision, pour qu'elle ait la possibilité de déposer des observations si elle l'estime nécessaire (<ref-ruling> consid. 3.4.1). De manière générale, s'agissant de procédures ordinaires non soumises à des impératifs d'urgence, le Tribunal fédéral considère qu'un délai inférieur à dix jours ne suffit pas à garantir l'exercice effectif du droit de répliquer, tandis qu'un délai supérieur à vingt jours permet, en l'absence de réaction, d'inférer qu'il a été renoncé à un tel droit (en dernier lieu, arrêt 1C_270/2020 du 4 mars 2021 consid. 5.1 et les arrêts cités).
3.2. Le droit d'être entendu consacré à l'art. 29 al. 2 Cst. implique pour l'autorité l'obligation de motiver sa décision. Il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause (<ref-ruling> consid. 5.2). L'autorité n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à l'examen des questions décisives pour l'issue du litige (<ref-ruling> consid. 4.2). La motivation peut pour le reste être implicite et résulter des différents considérants de la décision (<ref-ruling> consid. 3.2.1; arrêt 1C_150/2019 du 24 février 2020 consid. 2.1).
3.3. En l'espèce, le recourant se plaint d'abord d'une violation de son droit à la réplique au motif qu'il s'est vu octroyer, le 19 mars 2021 par courrier reçu le lendemain, un délai au lundi 22 mars 2021 à 14h00 non prolongeable pour faire part de ses éventuelles ultimes observations. Il semble reprocher à la Cour de justice de ne pas l'avoir laissé disposer de suffisamment de temps pour exercer son droit à la réplique.
En matière de droits politiques, les délais de recours sont souvent très brefs, afin de garantir que les irrégularités puissent être corrigées si possible, avant l'élection ou la votation, et que le scrutin ne doive pas être répété (<ref-ruling> consid. 3 et les arrêts cités). Le recourant a ainsi déposé son recours complet dans le bref délai légal de 6 jours (art. 62 al. 1 let. c de la loi sur la procédure administrative genevoise du 12 septembre 1985 [LPA/GE; RSG E 5 10]). Dans ce contexte particulier, le recourant s'est vu octroyer, pour répliquer sur la réponse de l'autorité intimée et des appelés en cause, un bref délai de plus de deux jours (dès le moment où il a reçu le courrier le samedi 20 mars 2021). A quelques jours de la date du scrutin mis en cause par le recourant, ce bref délai était adapté aux circonstances et répondait à un intérêt public prépondérant à ce que le recours puisse être tranché le plus rapidement possible et à ce que le corps électoral puisse voter en connaissance de cause.
Au demeurant, le recourant ne conteste pas avoir déposé sa réplique le lundi 22 mars 2021 à 11h55, soit plus de deux heures avant l'expiration du délai imparti. Sa réplique comporte 17 pages et se prononce sur l'ensemble des réponses des autres parties. Le recourant n'a de surcroît alors émis aucune réserve quant au délai imparti. Dans ces conditions, le recourant a pu valablement exercer son droit d'être entendu.
Quant au fait que les autres parties n'auraient pas eu l'occasion de se déterminer sur la réplique du recourant, il est douteux que le recourant puisse s'en prévaloir, ce d'autant plus que le SVE et les intimés n'ont subi aucun préjudice de ce fait puisqu'ils ont obten u gain de cause.
3.4. Le recourant soutient ensuite, de manière générale et sommaire, que l'instance précédente n'aurait "administré aucune preuve concernant les griefs du recourant qui avait justement une solution au litige". Il n'explique cependant pas quelle preuve expressément sollicitée aurait été écartée sans explication. Insuffisamment motivée (<ref-law>), cette critique doit être déclarée irrecevable.
3.5. Le recourant affirme enfin que la cour cantonale n'aurait pas traité son grief relatif à l'égalité entre les candidats provenant du premier tour et les "nouveaux candidats". On peine cependant à suivre le recourant dans la mesure où la Cour de justice a examiné la légalité de la candidature de Delphine Bachmann sur plusieurs pages et a spécifiquement écarté le fait qu'une telle admission de candidature puisse porter atteinte à la liberté de vote et à l'égalité de traitement entre les candidats (arrêt attaqué consid. 10 p. 10). Le grief doit être écarté dans la faible mesure de sa recevabilité.
4.
Il s'ensuit que le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
Le recourant a demandé à être dispensé des frais judiciaires, mais il n'a fourni aucune indication sur sa situation financière. En outre, son recours était, sur le vu de ce qui précède, d'emblée dénué de chances de succès. La demande d'assistance judiciaire doit donc être rejetée (cf. <ref-law>) et le recourant doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>). Il devra en outre verser des dépens aux intimés qui ont obtenu gain de cause avec l'assistance d'un avocat (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 francs, sont mis à la charge du recourant.
3.
Une indemnité de dépens de 1'000 francs est allouée aux intimés, à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, au mandataire des intimés, au Service des votations et élections et à la Chambre constitutionnelle de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 27 septembre 2021
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Kneubühler
La Greffière : Tornay Schaller