Faits :
A.
Le 29 juin 2020, le Procureur de l'Office régional du Ministère public du Bas-Valais (procureur) a ouvert une instruction pénale à l'encontre de A._, né le 12 avril 1997, pour lésions corporelles simples avec un objet dangereux et violence ou menace contre les autorités et les fonctionnaires. Le même jour, il a ordonné l'incarcération immédiate de A._, qui a été remis en liberté le lendemain.
A la suite d'un nouveau rapport de dénonciation par la police cantonale, le procureur a ordonné l'incarcération immédiate de A._ le 1er octobre 2020. L'instruction a en outre été étendue aux infractions de lésions corporelles simples, dommages à la propriété, injures, menaces, conduite sans autorisation, conduite en état d'ébriété qualifiée, dommages à la propriété d'importance mineure, voies de fait et contraventions à la LStup (RS 812.121).
Le 2 octobre 2020, faisant suite à la requête du magistrat précité, le Tribunal des mesures de contrainte (TMC) a ordonné la détention provisoire de A._ pour une durée de trois mois, soit jusqu'au 31 décembre 2020. Sa détention provisoire a été prolongée jusqu'au 30 mars 2021, puis jusqu'au 29 juin 2021.
Dans le cadre de la procédure pénale, A._ a fait l'objet d'une expertise psychiatrique dont le rapport a été rendu le 11 février 2021, puis un complément en date du 14 avril 2021.
Me B._, avocat d'office désigné le 2 octobre 2020, a été relevé de son mandat par décision du 16 avril 2021, après quoi Me Kathrin Gruber est intervenue en tant que défenseur de choix.
B.
Le casier judiciaire de A._ fait mention de deux condamnations: le 13 août 2017, pour lésions corporelles simples et, le 25 octobre 2019, pour injure, rixe et contravention à la LStup; il fait également état de deux enquêtes pénales, soit la procédure pour laquelle l'intéressé se trouve actuellement en détention ainsi qu'une autre procédure pour laquelle il est renvoyé en jugement devant le juge du district de Monthey (MON P1 20 29).
C.
Le 29 avril 2021, le procureur a engagé l'accusation auprès du Tribunal du IIIe arrondissement pour le district de Monthey.
Donnant suite à la requête du procureur faisant état d'un risque de réitération, le TMC a ordonné le 3 mai 2021 la détention pour des motifs de sûreté de A._ pour une durée de trois mois, soit jusqu'au 29 juillet 2021.
Par ordonnance du 27 mai 2021, la Chambre pénale du Tribunal cantonal du Valais (Tribunal cantonal) a rejeté le recours formé par le prévenu contre la décision précitée, rejeté sa requête d'assistance judiciaire et mis les frais de la procédure de recours à sa charge.
D.
Par acte du 14 juin 2021, A._ interjette un recours au Tribunal fédéral contre l'ordonnance précitée. Il conclut, en substance, à sa libération immédiate. A titre subsidiaire, il demande sa remise en liberté moyennant des mesures de substitution, savoir un " suivi d'abstinence auprès d'Addiction Valais, voire de l'unité socio-éducative du CHUV, antenne de Montreux, accompagné d'une prise d'Antabus et d'un suivi psycho-thérapeutique ". Il sollicite, en outre, que l'ordonnance attaquée soit réformée en ce sens que sa requête d'assistance judiciaire au niveau cantonal soit admise, sa mandataire étant désignée comme avocate d'office, les frais judiciaires étant laissés à la charge de l'Etat du Valais. Il requiert par ailleurs d'être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure devant la Cour de céans, en ce sens que les frais judiciaires sont laissés à la charge de l'Etat et que sa mandataire lui est désignée comme avocate d'office.
Invités à se déterminer, le procureur y renonce, à l'instar du Tribunal cantonal, qui se réfère aux considérants de sa décision.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière pénale est ouvert contre une décision relative à la détention pour des motifs de sûreté au sens des <ref-law> (<ref-ruling> consid. 1). Peu importe, dès lors, que le recourant n'ait pas indiqué par quelle voie de droit il entendait agir au Tribunal fédéral (cf. <ref-ruling> consid. 1.1).
En outre, selon l'art. 81 al. 1 let. a et let. b ch. 1 LTF, l'accusé, renvoyé en jugement et détenu, a qualité pour recourir. L'ordonnance attaquée représente une décision incidente qui peut causer un préjudice irréparable au recourant au sens de l'<ref-law> (arrêts 1B_179/2021 du 28 avril 2021 consid. 1; 1B_305/2021 du 29 juin 2021 consid. 1.1). Pour le surplus, le recours a été formé en temps utile contre une décision rendue en dernière instance cantonale et les conclusions présentées sont recevables au regard de l'<ref-law>. Il y a donc lieu d'entrer en matière.
2.
Une mesure de détention pour des motifs de sûreté n'est compatible avec la liberté personnelle garantie aux art. 10 al. 2 Cst. et 5 CEDH que si elle repose sur une base légale (art. 31 al. 1 et art. 36 al. 1 Cst.), soit en l'espèce l'<ref-law>. Elle doit en outre correspondre à un intérêt public et respecter le principe de la proportionnalité (art. 36 al. 2 et 3 Cst.). Pour que tel soit le cas, la privation de liberté doit être justifiée par un risque de fuite ou par un danger de collusion ou de réitération (art. 221 al. 1 let. a, b et c CPP). Préalablement à ces conditions, il doit exister des charges suffisantes, soit de sérieux soupçons de culpabilité, à l'égard de l'intéressé (<ref-law>).
3.
Le recourant conteste l'existence d'un risque de récidive (art. 221 al. 1 let. c CPP). Il fait valoir que les infractions pour lesquelles il est poursuivi, exception faite de " l'agression ", qu'il conteste, ne permettraient pas de retenir un tel risque. Il en irait de même des conclusions de l'expertise qualifiant le risque de récidive de " modéré ".
3.1. En vertu de l'art. 221 al. 1 let. c CPP, la détention pour des motifs de sûreté peut être ordonnée lorsqu'il y a sérieusement lieu de craindre que le prévenu compromette sérieusement la sécurité d'autrui par des crimes ou des délits graves après avoir déjà commis des infractions du même genre. Cette disposition pose trois conditions pour admettre un risque de récidive. En premier lieu, le prévenu doit en principe déjà avoir commis des infractions du même genre et il doit s'agir de crimes ou de délits graves. Deuxièmement, la sécurité d'autrui doit être sérieusement compromise. Troisièmement, une réitération doit, sur la base d'un pronostic, être sérieusement à craindre (<ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 2.5).
La gravité de l'infraction dépend, outre de la peine menace prévue par la loi, de la nature du bien juridique menacé et du contexte, notamment la dangerosité présentée concrètement par le prévenu, respectivement son potentiel de violence. La mise en danger sérieuse de la sécurité d'autrui par des crimes ou des délits graves peut en principe concerner tout type de biens juridiquement protégés. Ce sont en premier lieu les délits contre l'intégrité corporelle et sexuelle qui sont visés (<ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 2.6 et 2.7).
Pour établir le pronostic de récidive, les critères déterminants sont la fréquence et l'intensité des infractions poursuivies. Cette évaluation doit prendre en compte une éventuelle tendance à l'aggravation telle qu'une intensification de l'activité délictuelle, une escalade de la violence ou une augmentation de la fréquence des agissements. Les caractéristiques personnelles du prévenu doivent en outre être évaluées (<ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 2.8).
3.2. S'agissant tout d'abord des charges suffisantes (sur cette notion, <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 3.1 et 3.2), il est relevé que le recourant n'a pas discuté cette condition devant la cour cantonale, qui a retenu que ce dernier avait admis les faits reprochés. Or, dans son recours devant la Cour de céans, le recourant objecte avoir commis " l'agression ", sans toutefois développer une argumentation propre à remettre en cause les constatations cantonales, de sorte qu'il convient de se référer à l'arrêt entrepris.
Cela étant, la cour cantonale a relevé qu'il était reproché au recourant d'avoir perpétré, entre septembre 2016 et octobre 2019, les infractions suivantes: conduite en état d'incapacité, contravention à la LStup, vol d'usage, conduite sans autorisation, conduite en état d'ébriété qualifiée, conduite sans plaque de contrôle, entrave aux mesures de constatation de l'incapacité de conduire, violence ou menaces contre les fonctionnaires et violation de domicile; ces infractions font l'objet de la procédure actuellement pendante auprès du juge du district de Monthey (MON P1 20 29). Le recourant a en outre été condamné, en 2017, pour avoir asséné deux coups avec la main sur la tête et le visage de sa victime, laquelle a perdu l'équilibre et est tombée (lésions corporelles simples) et, en 2019, pour injure, rixe et contravention à la LStup.
En plus de ces agissements, le recourant est accusé de s'en être pris gratuitement, le 28 juin 2020, alors qu'il était alcoolisé et sous l'influence de stupéfiants, à des personnes qu'il ne connaissait pas mais qui se trouvaient sur son chemin. Il a notamment effrayé et menacés des inconnus en brandissant dans leur direction un couteau à pain. Il s'en est également pris verbalement aux agents de la police municipale qui tentaient de l'interpeller, les injuriant et les menaçant de mort. En raison du comportement du recourant, qui ne s'est pas calmé même menotté, les agents ont dû faire appel à leurs collègues de la police cantonale, lesquels ont fait face au même comportement agressif, injurieux et menaçant. En outre, en août 2020, le recourant a utilisé, sans son autorisation, le véhicule de sa soeur. Il a conduit sous l'influence de l'alcool et alors qu'il savait que son permis lui avait été retiré. Près d'un mois plus tard, il a de nouveau " emprunté " ce véhicule, alors qu'il était toujours sous le coup d'un retrait de permis.
Quoi qu'en pense le recourant, ses agissements mettent manifestement en danger l'intégrité, respectivement la sécurité d'autrui et c'est en vain qu'il tente de les minimiser. Comme constaté par les experts, il existe des éléments concrets permettant de craindre que le recourant pourrait adopter des comportements violents à l'égard de tiers. Le risque de récidive est dès lors concret et la mise en danger suffisamment grave pour justifier son maintien en détention, bien que les experts aient qualifié ce risque de " modéré ". En effet, si ces derniers sont parvenus à cette conclusion, ils ont néanmoins précisé que le trouble mixte de la personnalité décelé chez le recourant, associé à la consommation d'alcool voire parfois de drogues, l'amenaient à des comportements violents inquiétants (menaces à l'égard de policiers, de connaissances, de voisins ou de personnes inconnues). Ils ont ajouté que sa consommation d'alcool agissait comme un " renforçateur " important de sa violence avec un mépris des conséquences de ses actes.
Le pronostic est en outre clairement défavorable, compte tenu de la fréquence et de la gradation dans la gravité des infractions commises. Le recourant est en effet renvoyé en jugement notamment pour des infractions contre l'intégrité corporelle, dont une commise au moyen d'un objet dangereux, alors qu'il avait déjà été condamné pour lésions corporelles en 2017. Il a en outre démontré ne pas avoir non plus tiré les leçons de son incarcération, le 29 juin 2020, ni de l'instruction pénale conduite dans ce cadre, puisqu'il a récidivé ensuite; seule son arrestation le 1 er octobre 2020 a permis de mettre un terme aux infractions commises.
On notera enfin, comme l'a précisé l'autorité précédente, que la jurisprudence retient également un risque de récidive lorsqu'il s'agit, conformément au principe de célérité, d'éviter que la procédure ne soit sans cesse compliquée et prolongée par la commission de nouveaux délits (<ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 3.2; arrêt 1B_257/2021 du 10 juin 2021 consid. 2.3.2). Quoi qu'en dise le recourant, cette crainte est en l'espèce réelle au vu de son comportement.
3.3. Il s'ensuit que la cour cantonale pouvait, sans violer le droit fédéral, retenir l'existence d'un risque de récidive au sens de l'art. 221 al. 1 let. c CPP.
4.
Dans une motivation subsidiaire, le recourant propose diverses mesures de substitution qui permettraient selon lui d'écarter le risque de récidive.
4.1. Conformément au principe de la proportionnalité ancré à l'art. 36 al. 3 Cst., il convient d'examiner les possibilités de mettre en oeuvre d'autres solutions moins dommageables que la détention (règle de la nécessité). Cette exigence est concrétisée par l'<ref-law>, qui prévoit que le tribunal compétent ordonne une ou plusieurs mesures moins sévères en lieu et place de la détention si ces mesures permettent d'atteindre le même but que la détention.
4.2. Le recourant soutient que lorsqu'il ne consomme ni alcool, ni stupéfiants, il ne commettrait pas de délits violents. Dès lors, une mesure de substitution devrait être prononcée sous la forme d'une obligation d'abstinence contrôlée, cas échéant avec une prise d'Antabus. Il dit également être disposé à poursuivre son traitement psychothérapeutique.
Il est tout d'abord relevé que de manière générale, le traitement par Antabus n'est pas considéré comme une garantie suffisante dans les cas de dépendance à l'alcool (cf. arrêts 1B_455/2016 du 9 décembre 2016 consid. 3.3; 1B_454/2012 du 24 août 2012 consid. 3.2). En outre, si le recourant décidait subitement de mettre fin à son suivi psychothérapeutique qu'il prétend avoir commencé en prison, ainsi qu'au traitement médicamenteux, rien ne permet d'affirmer que l'autorité serait en mesure de réagir suffisamment rapidement pour l'empêcher de réitérer. Les experts vont d'ailleurs dans ce sens; ils ont en effet relevé qu'un traitement ambulatoire n'apparaissait pas suffisant à l'heure actuelle pour diminuer le risque de nouvelles infractions, préconisant au contraire le placement dans un établissement pour jeunes adultes au sens de l'<ref-law>; ils ont en outre insisté sur le fait qu'il avait également besoin d'un encadrement éducatif, devant lui permettre de s'inscrire dans un suivi psychothérapeutique et ainsi de contribuer à une évolution positive de son fonctionnement psychique global; le recourant souffrant d'un trouble mixte de la personnalité, il paraissait illusoire d'espérer une réelle implication dans un traitement psychothérapeutique ambulatoire et notamment une présence régulière, compte tenu de ses capacités introspectives limitées, de son immaturité, de ses traits dyssociaux et du risque de nouvelles consommations d'alcool.
4.3. Sur la base de ces éléments, le Tribunal cantonal pouvait, sans violer le droit fédéral, considérer qu'aucune mesure de substitution ne permettait, en l'état, de pallier le risque de réitération retenu à l'encontre du recourant. Le grief doit dès lors être écarté.
5.
Le recourant s'en prend ensuite à la durée de la détention, respectivement soutient que le principe de la célérité serait violé, en raison de la fixation de l'audience des débats les 27 et 28 septembre 2021.
5.1. Concrétisant le principe de célérité, l'<ref-law> impose aux autorités pénales d'engager les procédures pénales sans délai et de les mener à terme sans retard injustifié (al. 1), la procédure devant être conduite en priorité lorsqu'un prévenu est placé en détention (al. 2). Après la clôture de l'instruction, le prévenu doit en principe être renvoyé devant le juge du fond dans un délai qui, pour être conforme aux exigences des art. 10 Cst., 5 CPP et 5 par. 3 CEDH, ne devrait pas excéder quelques semaines, voire quelques mois (cf. arrêts 1B_585/2019 du 30 décembre 2019 consid. 3.1; 1B_684/2011 du 21 décembre 2011 consid. 3.1; 1B_419/2011 du 13 septembre 2011 consid. 2.1). En l'absence de circonstances particulières, des délais de neuf mois (arrêt 1P.750/1999 du 23 décembre 1999 consid. 2d/ee), respectivement cinq mois et demi s'expliquant uniquement par des motifs d'ordre organisationnel (arrêt 1B_313/2012 du 15 juin 2012 consid. 3.2 in Pra 2012 n o 133 p. 960), ont été jugés incompatibles avec ledit principe alors qu'un délai de quatre mois a encore été considéré comme admissible (arrêt 1B_97/2007 du 20 juin 2007 consid. 3.2).
5.2. En l'occurrence, l'infraction de lésions corporelles simples avec objet dangereux est passible, à elle seule, d'une peine privative de liberté allant d'une peine pécuniaire à une peine privative de liberté de trois ans au plus (<ref-law>). Cumulée avec les nombreuses autres infractions faisant l'objet de la présente instruction, les presque neuf mois subis à ce jour, respectivement douze mois lors des débats, demeurent encore compatibles avec la sanction encourue concrètement en cas de condamnation, étant encore précisé que la nécessité du prononcé d'une mesure devra cas échéant être soigneusement examinée par le tribunal du fond (cf. <ref-ruling> consid. 2.6).
5.3. Par ailleurs, la cour cantonale relève que d'autres co-prévenus sont concernés, dans une cause parallèle qui devrait être jointe à la procédure intéressant le recourant, et que la complexité des affaires en cause serait liée au nombre de prévenus et de parties plaignantes. Ces circonstances, qui ne sont pas contestées par le recourant, ajoutées aux difficultés organisationnelles liées en particulier à la situation sanitaire nécessitant notamment de tenir les débats à Sion, peuvent, comme l'a jugé la cour cantonale, expliquer, respectivement justifier exceptionnellement le délai de presque cinq mois écoulé entre le renvoi au jugement du 29 avril 2021 et les débats prévus les 27 et 28 septembre 2021. Le principe de célérité est dès lors respecté en l'état.
6.
En dernier lieu, le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir refusé de le mettre au bénéfice de l'assistance judiciaire, respectivement d'avoir refusé de désigner sa mandataire en qualité d'avocate d'office et d'avoir mis les frais judiciaires à sa charge.
6.1. Si l'autorité a désigné un défenseur d'office, le prévenu peut néanmoins opter à tout moment de la procédure pour une défense privée, qu'il devra alors rémunérer lui-même (arrêts 1B_394/2014 du 27 janvier 2015 consid. 2.2.2 in SJ 2015 I 389; 6B_500/2012 du 4 avril 2013 consid. 4.2). Il est alors justifié que l'autorité de désignation s'assure auprès du prévenu qu'il sera en mesure de supporter les frais de son avocat, au moins jusqu'à la clôture de la procédure de première instance (arrêts 1B_152/2020 du 28 mai 2020 consid. 2.1; 1B_364/2019 du 28 août 2019 consid. 3.4; 1B_394/2014 précité, ibidem). Lorsque cette rémunération est assurée, le motif à l'origine de la défense d'office disparaît et la direction de la procédure révoque le mandat du défenseur désigné (<ref-law>).
Le justiciable ne peut en revanche pas jouer sur les deux tableaux en désignant un défenseur de son choix puis réclamer à l'Etat le paiement des frais de sa défense (arrêt 6B_390/2018 du 25 juillet 2018 consid. 8.1). Admettre sans autre cette façon de pratiquer permettrait de contourner de manière inadmissible la procédure prévue à l'<ref-law> pour obtenir le changement d'un avocat d'office; cela vaut en particulier quand les circonstances amenant la nouvelle requête sont les mêmes que celles qui prévalaient au moment de la constitution du mandat de choix (arrêts 1B_364/2019 précité, ibidem; 1B_392/2017 du 14 décembre 2017 consid. 2.3). En tout état de cause, le fait de se trouver dans un cas de défense obligatoire ne permet pas d'utiliser les droits conférés à la défense d'une façon constitutive d'un abus de droit (<ref-ruling> consid. 3.2.4).
6.2. En l'occurrence, il est établi que le recourant a pu bénéficier, au début de l'instruction, de l'assistance d'un avocat d'office; ce dernier a toutefois été relevé de ce mandat le 16 avril 2021, le recourant ayant décidé de confier sa défense à une avocate de son choix, soit Me Kathrin Gruber.
Pour écarter la requête d'assistance judiciaire pour la procédure de recours, la cour cantonale a rappelé que le procureur s'était assuré, avant de relever le précédent défenseur de son mandat, que la mandataire de choix du recourant disposait d'une provision suffisante, en l'occurrence 5'000 fr., " pour assurer la représentation de [l'intéressé] tout au long de la procédure, [a]u moins jusqu'à la clôture des débats de première instance ". Elle a encore relevé que rien n'indiquait que cette provision était destinée à couvrir uniquement les frais de l'avocate pour assurer sa défense dans la procédure principale et non dans les procédures de recours annexes. Elle est parvenue à la conclusion que son avocate de choix avait été mandatée pour l'ensemble de la procédure, le recourant ne pouvant opter pour une défense privée " à la carte ".
Si une modification des circonstances doit pouvoir être invoquée au cours de l'instruction, il appartient toutefois au recourant, sauf à contourner de manière contraire à la bonne foi les conditions posées à l'<ref-law>, de motiver les raisons qui l'amènent à présenter une nouvelle requête de désignation de défenseur d'office (cf. arrêt 1B_152/2020 du 28 mai 2020 consid. 2.2), ce que ce dernier ne fait pas. En effet, le prénommé se limite à affirmer que la cour cantonale n'aurait pas remis en cause son indigence, respectivement qu'il n'aurait pas les moyens de rémunérer son avocate ni de payer les frais judiciaires. Il soutient que sa famille aurait rétribué sa mandataire privée, mais uniquement pour la procédure pénale jusqu'au jugement de première instance, ce qui n'inclurait pas les procédures de recours. Ce faisant, outre qu'il se fonde sur des éléments qui ne ressortent pas de l'arrêt attaqué sans démontrer l'arbitraire de leur omission (cf. art. 97 al. 1 et 106 al. 2 LTF), il n'allègue pas une modification des circonstances entre le moment de la constitution de son avocate de choix et sa requête d'assistance judiciaire; il ne démontre en particulier pas qu'il serait sans ressources, respectivement que la provision de 5'000 fr. versée à son avocate serait insuffisante pour couvrir les frais engendrés par la procédure de recours menée devant l'instance précédente. Eu égard à la jurisprudence rappelée ci-dessus et à l'absence de motivation quant à la nécessité de requérir à nouveau un défenseur d'office, le prévenu ne saurait prétendre à la désignation de sa mandataire de choix actuelle en qualité de défenseur d'office pour la procédure de recours cantonale. Ce raisonnement vaut d'autant plus en l'occurrence au regard du peu de temps écoulé entre la date de l'annonce du mandat de choix le 16 mars 2021 (cf. pièce 515 du dossier cantonal) et celle de sa demande d'assistance judiciaire déposée devant le Tribunal cantonal.
6.3. Partant, l'autorité précédente n'a pas violé le droit fédéral en refusant d'accorder au recourant l'assistance judiciaire, respectivement de lui désigner son avocate de choix en qualité de défenseur d'office et en mettant les frais judiciaires à sa charge (cf. <ref-law>).
7.
Le recours doit par conséquent être rejeté.
Le recourant a sollicité l'assistance judiciaire pour la procédure devant la Cour de céans. Il n'apporte cependant pas la démonstration de son indigence, qui ne ressort pas non plus de la décision entreprise, condition pourtant nécessaire pour l'octroi de l'assistance judiciaire, ce alors même qu'il est assisté par une avocate de son choix (<ref-law>). Sa demande doit ainsi être rejetée. Vu les circonstances, il sera toutefois renoncé à percevoir des frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué à la mandataire du recourant, au Ministère public du canton du Valais, Office régional du Bas-Valais, et au Président de la Chambre pénale du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 6 juillet 2021
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Kneubühler
La Greffière : Nasel