Das präsidierende Mitglied zieht in Erwägung:
1.
Die Beschwerdegegnerin verfügte am 7. Januar 2021, eine Strafuntersuchung wegen Urkundenfälschung an der Patientenakte der Beschwerdeführerin bei der Psychiatrischen Universitätsklinik Zürich nicht an die Hand zu nehmen. Die gegen die Nichtanhandnahmeverfügung erhobene Beschwerde wies die Vorinstanz mit Beschluss vom 16. März 2021 ab.
Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Strafsachen zusammengefasst, die Sache sei zur Prüfung anhand der vollständigen Akte an die Strafverfolgungsbehörde zurückzuweisen. Die Kosten des Verfahrens vor Vorinstanz seien anders zu verteilen und für die Nachteile vorinstanzlicher Verfahren sei eine Entschädigung zu bezahlen. Die Beschwerdeführerin verlangt zudem eine Entschädigung für das Verfahren und die damit verbundenen Nachteile vor Bundesgericht.
2.
2.1. Gemäss <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt, wobei für die Anfechtung des Sachverhalts qualifizierte Begründungsanforderungen gelten (vgl. Art. 97 Abs. 1, Art. 106 Abs. 2 BGG). Die beschwerdeführende Partei hat mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz anzusetzen (<ref-ruling> E. 2).
2.2. Der Privatklägerschaft wird ein rechtlich geschütztes Interesse an der Beschwerde zuerkannt, wenn sich der angefochtene Entscheid auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Als Zivilansprüche im Sinne der Vorschrift gelten Ansprüche, die ihren Grund im Zivilrecht haben, hingegen können öffentlich-rechtliche Ansprüche, auch solche aus Staatshaftungsrecht, nicht adhäsionsweise im Strafprozess geltend gemacht werden (<ref-ruling> E. 3.1; Urteil 6B_1109/2019 vom 23. September 2020 E. 1.1; je mit Hinweisen).
3.
3.1. Die Eingabe genügt nicht den gesetzlichen Begründungsanforderungen. Selbst unter Anwendung des bei Laienbeschwerden praxisgemäss grosszügigen Massstabs an die formellen Anforderungen einer Beschwerde in Strafsachen ergibt sich aus der Eingabe nicht, inwieweit der vorinstanzliche Entscheid gegen Bundesrecht verstossen soll. Die Beschwerdeführerin äussert sich nicht zu ihrer Beschwerdelegitimation und allfälligen Zivilforderungen. Derartige Ansprüche sind auch nicht ersichtlich. Die Vorwürfe der Urkundenfälschung richten sich gegen (unbekannte) Mitarbeiter der Psychiatrischen Universitätsklinik Zürich und damit gegen Behördenmitglieder bzw. Angestellte. Allfällige Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche gegen die angeblich fehlbaren Personen beurteilen sich ausschliesslich nach dem kantonalen Haftungsgesetz und sind deshalb öffentlich-rechtlicher Natur (§ 6 Abs. 1 i.V.m. § 1 Abs. 1 und §§ 2 und 3 des Haftungsgesetzes des Kantons Zürich vom 14. September 1969 [HG/ZH; LS 170.1]). Der Beschwerdeführerin als mögliche Geschädigte steht kein Anspruch gegen die Beschuldigten zu (§ 6 Abs. 4 HG/ZH), sodass die erhobenen strafrechtlichen Vorwürfe allenfalls öffentlich-rechtliche (Staatshaftungs-) Ansprüche begründen könnten. Die Beschwerdeführerin ist mithin in der Sache nicht zur Beschwerde in Strafsachen legitimiert.
Eine Verletzung von Parteirechten, deren Missachtung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft, rügt die Beschwerdeführerin nicht (hinreichend im Sinne von <ref-law>). Die blosse Behauptung, die Polizei habe den von ihr verfassten Bericht über die "Urkundenfälschung" und damit Beweismaterial nicht an die Beschwerdegegnerin weitergeleitet, begründet keine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör durch die Vorinstanz im kantonalen Beschwerdeverfahren (vgl. Art. 80 Abs. 1, Art. 90 BGG). Dass der Neubeurteilung der Beweise durch die Vorinstanz nach Ansicht der Beschwerdeführerin nicht gefolgt werden kann, zielt auf eine unzulässige Überprüfung in der Sache ab (vgl. zur sog. "Star-Praxis"; <ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen).
3.2. Da der angefochtene Entscheid nicht aufzuheben ist, ist auf das nicht begründete Begehren, die Kosten des kantonalen Beschwerdeverfahrens anders zu verteilen, nicht weiter einzugehen.
4.
Auf die Beschwerde ist mangels Legitimation und tauglicher Begründung im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten. Die Gerichtskosten sind der unterliegenden Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>), der für das bundesgerichtliche Verfahren keine Entschädigung auszurichten ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Der Beschwerdeführerin werden Gerichtskosten in Höhe von Fr. 800.-auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Juni 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Denys
Der Gerichtsschreiber: Held