Faits :
A.
A.a. Le Ministère public de la République et canton de Genève - représenté par le Procureur Antoine Hamdan - a instruit une enquête notamment contre A._ pour tentative de lésions corporelles graves en lien avec des faits réalisés le 23 août 2015 (P_1). Le 18 décembre 2015, le prévenu a été renvoyé en jugement pour ce chef de prévention; dans son acte d'accusation, le Ministère public a requis une peine privative de liberté de neuf mois et la révocation d'un sursis accordé le 10 décembre 2013 par le Ministère public en lien avec une peine pécuniaire de 80 jours-amende.
Par jugement du 30 août 2016, le Tribunal de police de la République et canton de Genève a reconnu A._ coupable de tentative de lésions corporelles graves (art. 22 et 122 al. 1 CP) et l'a condamné à une peine privative de liberté de dix mois; le tribunal de première instance a également révoqué le sursis octroyé le 10 décembre 2013.
Le 17 octobre 2016, la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après : la Chambre pénale d'appel) - saisie par A._ - a désigné l'avocat Nicola Meier en qualité de défenseur d'office. Cette autorité a également ordonné la comparution du Procureur Antoine Hamdan à l'audience du 21 novembre 2016. Par arrêt du 2 janvier 2017 (cause AARP_1), la Chambre pénale d'appel a reconnu A._ coupable de lésions corporelles simples qualifiées (<ref-law>) et l'a condamné à une peine privative de liberté de neuf mois; dans son arrêt figure notamment un résumé du réquisitoire du Procureur.
A.b. Le 1er janvier 2016, le Ministère public - représenté par un autre de ses membres qu'Antoine Hamdan - a ouvert une instruction notamment contre A._ pour tentative de meurtre, lésions corporelles simples et agression (P_2). L'avocat Nicola Meier s'est constitué le 9 mars 2016 pour la défense du prévenu.
Par acte d'accusation du 20 février 2020, le Ministère public a renvoyé A._ devant le Tribunal correctionnel de la République et canton de Genève (ci-après : le Tribunal correctionnel) pour agression, tentative de meurtre, vol d'usage, tentative de vol, dommages à la propriété, violation de domicile, empêchement d'accomplir un acte officiel, ainsi que pour des infractions à la loi fédérale du 19 décembre 1958 sur la circulation routière (LCR; RS 741.01) et à son ordonnance du 13 novembre 1962 (OCR; RS 741.11). Le 2 mars 2020, le prévenu a été cité à comparaître du 28 septembre au 1er octobre suivant; il a également été informé que le Tribunal correctionnel serait composé des Juges Alessandra Armati, Yves Maurer-Cecchini et François Haddad.
Selon le procès-verbal de l'audience du 28 septembre 2020, ont siégé les Juges Alessandra Armati, Présidente, Yves Maurer-Cecchini et Antoine Hamdan, composition rappelée par la Présidente à l'ouverture des débats (09h18); ce jour, il a été procédé à l'interrogatoire des autres prévenus. Dès la reprise des débats le 29 septembre 2020, le conseil de A._ a demandé la récusation du Juge Antoine Hamdan et le renvoi des débats; cette seconde requête a été rejetée par le Tribunal correctionnel, lequel a relevé le caractère infondé de la demande de récusation, ainsi que la tardiveté de son dépôt.
Par jugement du 1er octobre 2020 du Tribunal correctionnel, A._ a été reconnu coupable de tentative de meurtre, de rixe, de tentative de vol et d'infraction à l'<ref-law>. Il a été condamné à une peine privative de liberté de six ans, peine complémentaire à celle prononcée le 2 janvier 2017. A._ a annoncé, le 5 octobre 2020, faire appel de ce jugement; sa déclaration d'appel a été déposée le 18 novembre suivant.
B.
Le 29 septembre 2020, la Présidente du Tribunal correctionnel a avisé la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après : la Chambre pénale de recours) de la demande de récusation formée par A._. Dans ses déterminations du 14 octobre 2020, le Juge Antoine Hamdan s'en est rapporté à justice s'agissant de la recevabilité et a conclu au rejet sur le fond. Le 21 octobre 2020, le requérant A._ s'est déterminé.
Par arrêt du 26 novembre 2020, la Chambre pénale de recours a rejeté la requête de récusation et a mis les frais de procédure - fixés à 1'000 fr. - à la charge de A._.
C.
Par acte du 12 janvier 2021, A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre cet arrêt, concluant à son annulation, à la récusation du Juge Antoine Hamdan, à l'annulation de tous les actes entrepris par le Tribunal correctionnel dans sa composition irrégulière et à leur répétition. A titre subsidiaire, il demande le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision. Le recourant demande également l'octroi de l'assistance judiciaire.
Invité à se déterminer, le Juge Antoine Hamdan (ci-après : le Juge intimé) a conclu au rejet du recours sur le fond, s'en remettant à justice s'agissant de la recevabilité et de l'octroi de l'assistance judiciaire. Quant à la cour cantonale, elle s'est référée à ses considérants, sans formuler d'observations. Par courrier reçu le 15 février 2021, le recourant a persisté dans ses conclusions.

Considérant en droit :
1.
Une décision cantonale relative à la récusation d'un magistrat pénal peut faire immédiatement l'objet d'un recours en matière pénale (cf. art. 78, 79 et 92 al. 1 LTF; arrêt 1B_128/2021 du 10 mai 2021 consid. 1 et les arrêts cités). Le recourant, dont la demande de récusation a été rejetée, a qualité pour recourir en vertu de l'<ref-law>. Pour le surplus, le recours a été interjeté en temps utile (art. 46 al. 1 let. b et 100 al. 1 LTF) contre une décision rendue en instance cantonale unique (art. 80 al. 2 in fine LTF) et les conclusions présentées sont recevables (<ref-law>). Il y a donc lieu d'entrer en matière.
2.
Conformément à l'<ref-law> - qui certes ne prévoit aucun délai particulier -, la récusation doit être demandée sans délai dès que la partie a connaissance du motif de récusation, c'est-à-dire dans les jours qui suivent la connaissance de la cause de récusation (arrêt 1B_630/2020 du 23 mars 2021 consid. 2.2 et l'arrêt cité), sous peine de déchéance (<ref-ruling> consid. 8.4.3 p. 275 et les arrêts cités). Il est en effet contraire aux règles de la bonne foi de garder ce moyen en réserve pour ne l'invoquer qu'en cas d'issue défavorable ou lorsque l'intéressé se serait rendu compte que l'instruction ne suivait pas le cours désiré (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 69; <ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 124). La jurisprudence considère que les réquisits temporels de l'<ref-law> sont en principe satisfaits lorsque la demande de récusation est déposée dans les six à sept jours qui suivent la connaissance de la cause de récusation, mais qu'en revanche, ils ne le sont pas lorsqu'elle est formée trois mois, deux mois ou même vingt jours après que son auteur a pris connaissance du motif de récusation. Pour procéder à cette appréciation, il convient notamment de prendre en compte les circonstances d'espèce, ainsi que le stade de la procédure (arrêt 1B_647/2020 du 20 mai 2021 consid. 2.1 et les nombreuses références citées). Retenir que le droit de demander la récusation est perdu doit être apprécié avec retenue (arrêt 1B_622/2020 du 10 mars 2021 consid. 3.1 et l'arrêt cité).
L'autorité précédente a laissé ouverte la question de savoir si le recourant aurait dû agir dès le premier jour de l'audience lorsqu'il a reconnu le Juge intimé (cf. consid. 2.2 p. 8 de l'arrêt attaqué). Il serait cependant contraire à la jurisprudence précitée et à l'interdiction du formalisme excessif de considérer que le dépôt de la demande de récusation à l'ouverture des débats le deuxième jour d'audience serait en l'occurrence tardif. En effet, la nouvelle composition du Tribunal correctionnel n'a été connue que le matin du premier jour des débats (28 septembre 2020) et ce sont les autres prévenus qui ont été interrogés à titre principal ce jour-là. Sauf à agir peut-être sans raison, la configuration particulière du cas d'espèce - soit deux procédures formellement différentes - semblait également imposer certaines vérifications, que ce soit eu égard à l'identité du Juge intimé ou par rapport à l'existence d'un motif de récusation dans une telle situation; en procédant dès le 29 septembre 2020, le mandataire du recourant n'a donc pas tardé à agir.
3.
Le recourant se plaint en substance d'une violation de l'art. 56 let. f CPP. Il reproche à l'autorité précédente d'avoir considéré de manière arbitraire que les propos du Juge intimé, alors Procureur, lors de son réquisitoire devant la Chambre pénale d'appel en novembre 2016, ne démontraient pas d'apparence de prévention à son égard. Selon le recourant, il ressortirait cependant des déclarations effectuées par le Juge intimé que celui-ci aurait tenu comme avérés les faits qui lui étaient nouvellement reprochés; cela aurait permis au Juge intimé d'étayer sa motivation en lien avec la peine demandée, ainsi que le refus du sursis requis (cf. les termes "absence totale de prise de conscience" et "nouvelle montée en puissance dans la violence").
3.1. Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Dans la mesure où il applique le droit d'office (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'est pas lié par les motifs que les parties invoquent devant lui, ni par la motivation retenue par la décision attaquée; en particulier, il peut admettre ou rejeter un recours en adoptant une autre argumentation juridique que celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.3.2 p. 92; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 231). Dans ce dernier cas, la nouvelle motivation juridique n'est cependant possible que si elle repose sur des faits constatés dans l'arrêt attaqué ou qui peuvent être ajoutés par un complément conforme à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.4.3 p. 156; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 366). Il n'est pas nécessaire d'entendre préalablement les parties à ce sujet si elles devaient s'attendre à la motivation adoptée (<ref-ruling> consid. 4 p. 251 s.; arrêts 5A_1023/2018 du 8 juillet 2019 consid. 2.1; 1B_512/2017 du 30 janvier 2018 consid. 3; JOHANNA DORMANN, in Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3e éd. 2018, nos 11 ss ad <ref-law>; BERNARD CORBOZ, in CORBOZ/WURZBURGER/FERRARI/FRÉSARD/AUBRY GIRARDIN [édit.], Commentaire de la LTF, 2e éd. 2014, n° 26 ad <ref-law>).
3.2. Selon l'<ref-law>, toute personne exerçant une fonction au sein d'une autorité pénale est tenue de se récuser lorsqu'elle a agi à un autre titre dans la même cause, en particulier comme membre d'une autorité, conseil juridique d'une partie, expert ou témoin.
Le cas de récusation visé par cette disposition présuppose que le magistrat en question ait agi à "un autre titre", soit dans des fonctions différentes (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 73 s.). Il est ainsi notamment interdit à une personne de juger au fond si elle a agi, dans la même cause, en tant que représentant du Ministère public (ANDREAS J. KELLER, in DONATSCH/LIEBER/SUMMERS/WOHLERS [édit.], SK-Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung [StPO], Art. 1-195 StPO, 3e éd. 2020, n° 17 ad <ref-law>; JEAN-MARC VERNIORY, in Commentaire romand, Code de procédure pénale suisse, 2e éd. 2019, n° 20 ad <ref-law>). Un juge ne peut pas non plus participer à la procédure de libération conditionnelle relative à une peine qu'il a requise en tant que procureur (<ref-ruling> consid. 6.3 p. 295 s.; arrêt 6B_26/2013 du 14 mars 2013 consid. 2.2 et 2.3). Un motif de récusation ne résulte en revanche pas du fait que la cause ait été instruite, puis jugée en première instance, alors qu'un membre de la juridiction d'appel était procureur, si c'était un autre membre du ministère public qui était en charge de l'enquête (arrêt 1B_167/2019 du 21 août 2019 consid. 2.3; K ELLER, op. cit., n° 17 ad <ref-law>).
La notion de "même cause" au sens de l'<ref-law> s'entend de manière formelle, c'est-à-dire comme la procédure ayant conduit à la décision attaquée ou devant conduire à celle attendue. Elle n'englobe en revanche pas une procédure distincte ou préalable se rapportant à la même affaire au sens large, soit au même ensemble de faits et de droits concernant les mêmes parties. Ainsi, une "même cause" implique une identité de parties, de procédure et de questions litigieuses (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 73 s.). Les autres cas de connaissance préalable des faits ou du dossier ("Vorbefassung") - soit en particulier les cas de causes disjointes et/ou connexes quant aux faits ou aux personnes concernées - doivent s'examiner sous l'angle de l'art. 56 let. f CPP (arrêts 6B_1285/2019 du 22 décembre 2020 consid. 5.2.2; 1B_509/2019 du 11 mars 2020 consid. 3.3 et les arrêts cités; KELLER, op. cit., nos 16 et 31 ad <ref-law>; VERNIORY, op. cit., nos 16 et 33 ad <ref-law>).
3.3. Un magistrat est ainsi récusable, selon l'art. 56 let. f CPP, "lorsque d'autres motifs, notamment un rapport d'amitié étroit ou d'inimitié avec une partie ou son conseil, sont de nature à le rendre suspect de prévention". Cette disposition a la portée d'une clause générale recouvrant tous les motifs de récusation non expressément prévus aux lettres précédentes. Elle correspond à la garantie d'un tribunal indépendant et impartial instituée par les art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 74). Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective du magistrat est établie, car une disposition interne de sa part ne peut guère être prouvée. Il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat. Seules les circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération. Les impressions purement individuelles d'une des parties au procès ne sont pas décisives (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 162; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 74).
Le fait notamment que le juge a déjà participé à l'affaire à un stade antérieur de la procédure peut éveiller le soupçon de partialité; dans une telle configuration, la jurisprudence exige que l'issue de la cause ne soit pas prédéterminée, mais qu'elle demeure indécise quant à la constatation des faits et à la résolution des questions juridiques (<ref-ruling> consid. 6.2 p. 294 ss). Il faut en particulier examiner les fonctions procédurales que le juge a été appelé à exercer lors de son intervention précédente, prendre en compte les questions successives à trancher et mettre en évidence leur éventuelle analogie ou leur interdépendance, ainsi que l'étendue du pouvoir de décision du juge à leur sujet (<ref-ruling> consid. 4.2.1 p. 429; arrêts 1B_76/2021 du 5 mai 2021 consid. 2.1; 1B_75/2020 du 10 décembre 2020 consid. 2.2; 1B_432/2019 du 13 septembre 2019 consid. 3.1; 1B_491/2017 du 5 avril 2018 consid. 3.3 et 3.4, voir également pour des exemples le consid. 3.6 de ce dernier arrêt, qui rappelle notamment l'interdiction de l'union personnelle entre le juge d'instruction et le juge du fond; GEROLD STEINMANN, in St. Galler Kommentar, Die Schweizerische Bundesverfassung, 3e éd. 2014, n° 26 ad art. 30 Cst.).
Lorsqu'un juge agit dans le cadre d'une même fonction - à laquelle plusieurs compétences sont attribuées de par la loi - en lien avec des procédures formellement différentes (défaut notamment d'identité de parties), une certaine connaissance du dossier ne constitue pas en soi un motif de récusation (<ref-ruling> consid. 3.3. p. 75 s.; KELLER, op. cit., n° 33 ad <ref-law>). Une apparence de prévention ne découle pas non plus en principe de la participation d'un même juge à des procédures menées séparément mais concernant plusieurs auteurs en lien avec un état de fait connexe (arrêts 1B_75/2020 du 10 décembre 2020 consid. 2.2 et 2.3 [cas de procédure simplifiée]; 1B_150/2017 du 4 octobre 2017 consid. 4; 1B_440/2016 du 6 juin 2017 consid. 3 ss; KELLER, op. cit., n° 33a ad <ref-law>). En revanche, une ancienne Procureure ne peut siéger en tant que membre de la juridiction d'appel devant apprécier, en raison de l'infraction de diffamation dénoncée, les circonstances entourant des prononcés - qu'en outre le tribunal de première instance a estimé erronés - qu'elle a rendus au cours de procédures certes parallèles dans le cadre de sa précédente fonction (arrêt 1B_167/2019 du 21 août 2019 consid. 2.3).
3.4. En l'occurrence, le Juge intimé, membre du Tribunal correctionnel saisi dans la cause P_2, n'a pas instruit, en tant que représentant du Ministère public, ce dossier. Il exerçait en revanche cette fonction dans la cause P_1.
3.4.1. A cet égard, l'autorité précédente a, tout d'abord et à juste titre, relevé que le Juge intimé - alors Procureur - avait, devant la juridiction d'appel, la qualité de partie (cf. art. 104 al. 1 let. c CPP). A ce stade de la procédure, les art. 29, 30 Cst. et 6 par. 1 CEDH ne confèrent au prévenu aucune protection particulière lui permettant de se plaindre de l'attitude du ministère public et des opinions exprimées par celui-ci durant les débats (<ref-ruling> consid. 3.2.2. p. 180; arrêt 1B_337/2019 du 13 mars 2020 consid. 3.2). Par conséquent, les termes utilisés par le Juge intimé lors de son réquisitoire - au demeurant uniquement résumé dans l'arrêt d'appel - ne sauraient en principe constituer des motifs de récusation; il n'apparaît ainsi pas arbitraire de la part de l'autorité précédente d'avoir retenu qu'il s'agissait d' "effet[s] de plaidoirie" (cf. en particulier la mention d'une victime qui avait "miraculeusement" échappé à la tentative de meurtre). Quant à l'appréciation émise par rapport à la situation personnelle du recourant au jour de l'audience de jugement dans la cause P_1 (cf. notamment sa prétendue absence de prise de conscience et le pronostic catastrophique s'agissant du sursis), un motif de récusation ne saurait découler du seul fait qu'a été relevé dans ce cadre un élément objectif, à savoir l'existence alors de la nouvelle procédure pénale (P_2) notamment pour tentative de meurtre; en outre, cela ne préjuge pas de l'évaluation qui sera faite à l'issue de la seconde instruction, notamment eu égard à l'évolution que pourrait démontrer le recourant. En rejetant la demande de récusation, la cour cantonale n'a donc pas violé l'art. 56 let. f CPP.
3.4.2. Il appartient encore au Tribunal fédéral - qui applique le droit d'office (cf. <ref-law> et supra consid. 3.1) - de vérifier si l'arrêt cantonal ne viole pas l'<ref-law>.
Sur le plan strictement formel, deux procédures distinctes ont été ouvertes contre le recourant : il n'est ainsi pas contraire à la disposition précitée qu'un même magistrat agisse dans ces deux causes à un autre titre. Cela étant, dans la cause P_2, le Juge intimé est appelé à siéger en tant que membre de l'autorité de première instance, soit celle appelée à déterminer la culpabilité et la peine en lien avec les nouvelles infractions reprochées au recourant. La chronologie d'espèce et les règles en matière de concours (cf. <ref-law>) imposent au Tribunal correctionnel de fixer une "peine complémentaire" à celle ordonnée dans la procédure P_1 ("peine de base"). Pour ce faire, une "peine hypothétique d'ensemble" eu égard aux infractions dans les deux causes doit être fixée; cet examen peut, le cas échéant, requérir une nouvelle appréciation abstraite de la quotité de la "peine de base", notamment si, comme en l'occurrence, l'infraction la plus grave est celle à juger dans la seconde cause (sur ces problématiques, cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 8; <ref-ruling> sur l'<ref-law>; NUMA GRAA, Les implications pratiques de la récente jurisprudence du Tribunal fédéral en matière de concours [<ref-law>], in SJ 2020 II p. 51 ss, ad III/A p. 57 ss, dont l'exemple 4 p. 58 s.; DANIEL STOLL, in Commentaire romand, Code pénal I, 2e éd. 2020, nos 87 ss ad <ref-law>; JÜRG-BEAT ACKERMANN, in Basler Kommentar, Strafrecht I, 4e éd. 2019, n° 169 ad <ref-law>).
Dans des circonstances similaires, le Tribunal fédéral a considéré qu'au vu de la peine d'ensemble hypothétique à déterminer, les deux procédures concernées se recoupaient sur un point central pour le prévenu, soit la fixation de la quotité de sa peine; des causes aussi étroitement liées devaient donc être considérées comme un tout et il est alors incompatible avec l'art. 30 al. 1 Cst. que le représentant du Ministère public dans la première procédure exerce la fonction de Juge du fond dans la seconde cause (arrêt 6B_882/2008 du 31 mars 2009 consid. 1.2 publié in Pra 2009 130 883, arrêt rendu avant l'entrée en vigueur du CPP).
3.4.3. En l'espèce, le Juge intimé, en tant que membre du Tribunal correctionnel dans la procédure P_2, est appelé à fixer la peine complémentaire à celle ordonnée dans la cause P_1 où il agissait en tant que Procureur. Or, l'appréciation de cette peine complémentaire présuppose - certes abstraitement - d'évaluer la peine d'ensemble qui aurait été fixée si les infractions examinées contre le recourant dans les procédures P_2 et P_1 avaient été jugées au cours d'une même procédure. Au vu de l'appréciation à effectuer et de la jurisprudence précitée, ces deux causes sont donc étroitement liées et doivent être considérées, dans une telle configuration, comme une "même cause" au sens de l'<ref-law>. Le Juge intimé, qui agissait en tant que Procureur dans la procédure P_1, ne saurait donc participer, en tant que membre du Tribunal correctionnel, à la procédure P_2.
Partant et par substitution de motifs, la récusation du Juge intimé doit être ordonnée en application de l'<ref-law>.
4.
Le recourant demande l'annulation et la répétition des actes entrepris par le Tribunal correctionnel dans sa composition irrégulière. Il n'énumère cependant pas quels sont ces actes et, par conséquent, il convient de renvoyer la cause à l'autorité précédente pour qu'elle les détermine.
5.
Il s'ensuit que le recours est admis. L'arrêt attaqué est annulé. La récusation du Juge intimé est ordonnée dans la procédure P_2. La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle détermine les actes à annuler, procède à leur annulation et ordonne, le cas échéant, leur répétition; elle rendra en conséquence une nouvelle décision, y compris sur les frais et dépens de la procédure cantonale de récusation.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires pour la procédure fédérale (<ref-law>). Le recourant, qui obtient gain de cause, avec l'assistance d'un avocat, a droit à des dépens pour la procédure fédérale à la charge de la République et canton de Genève (art. 68 al. 1 LTFF). Sa requête d'assistance judiciaire est ainsi sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. L'arrêt du 26 novembre 2020 de la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève est annulé. La récusation du Juge Antoine Hamdan dans la cause P_2 est ordonnée. La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle procède au sens des considérants.
2.
La requête d'assistance judiciaire est sans objet.
3.
Une indemnité de dépens, fixée à 2'000 fr., est allouée au mandataire du recourant, à la charge de la République et canton de Genève.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 1er juillet 2021
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Kneubühler
La Greffière : Kropf