Sachverhalt:
A.
Das Amtsgericht Solothurn-Lebern sprach A._ des Betrugs, der Entwendung eines Motorfahrzeugs zum Gebrauch und des Führens eines Motorfahrzeugs trotz Entzugs des Führerausweises schuldig. Es fällte eine Freiheitsstrafe von fünf Monaten aus. Zudem erklärte es zwei mit Strafbefehlen vom 24. Juli 2015 und 16. November 2017 bedingt ausgesprochene Geldstrafen (von 60 resp. 80 Tagessätzen) für vollstreckbar. Es verwies A._ für eine Dauer von sechs Jahren des Landes; die Landesverweisung sei im Schengener Informationssystem (SIS) auszuschreiben (Urteil vom 22. Oktober 2018).
B.
Das Obergericht des Kantons Solothurn bestätigte den mit Berufung angefochtenen Schuldspruch wegen Betrugs und belegte A._ mit einer Freiheitsstrafe von fünf Monaten. Anstelle des erstinstanzlich ausgesprochenen Widerrufs der Vorstrafen ordnete es je eine Verlängerung der Probezeit um ein Jahr an. Die Landesverweisung reduzierte es auf eine Dauer von fünf Jahren; sie sei nicht im SIS auszuschreiben (Urteil vom 26. September 2019).
C.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt, vom Vorwurf des Betrugs freigesprochen zu werden. Eventuell sei er des unrechtmässigen Bezugs von Leistungen einer Sozialversicherung (leichter Fall nach <ref-law>) schuldig zu sprechen. In diesem Fall sei er zu einer Geldstrafe von 45 Tagessätzen zu Fr. 30.-- und zu einer Busse von Fr. 400.-- zu verurteilen. Die Landesverweisung sei aufzuheben. Subeventuell sei die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Rechtsbeistand).

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer rügt, der Verurteilung liege ein unvollständiger Sachverhalt zugrunde. Zudem habe die Vorinstanz den Betrugstatbestand (<ref-law>) falsch angewendet.
1.2. Die Vorinstanz stellt fest (vgl. <ref-law>), der Beschwerdeführer habe als Bezüger von Arbeitslosenentschädigung in den Monaten Juli, August und September 2017 auf Formularen der Arbeitslosenversicherung die Frage "Haben Sie im [Monat] 2017 bei einem oder mehreren Arbeitgebern gearbeitet?" wahrheitswidrig jeweils mit "Nein" beantwortet. Vom 14. Juli bis am 28. September 2017 habe er bei der Firma B._ AG im Stundenlohn gearbeitet. Der Arbeitgeber habe am 17. Oktober 2017 der Öffentlichen Arbeitslosenkasse Bescheinigungen über Zwischenverdienst (Art. 24 Arbeitslosenversicherungsgesetz, AVIG) für die Monate Juli, August und September 2017 zugestellt. Die Kasse habe für den Zeitraum Juli bis September 2017 Taggelder in Höhe von insgesamt Fr. 5'790.70 abgerechnet. Mit (rechtskräftig gewordener) Verfügung vom 22. November 2017 habe sie, nunmehr unter Berücksichtigung der erzielten Zwischenverdienste, festgehalten, der Taggeldanspruch für die Monate Juli bis September 2017 betrage total Fr. 1'446.70. Entsprechend habe sie vom Beschwerdeführer unrechtmässig bezogene Leistungen in Höhe von Fr. 4'344.-- zurückgefordert.
Weiter führt die Vorinstanz aus, der Beschwerdeführer sei sich bewusst gewesen, dass er Meldepflichten verletzte. Den ab Mitte Juli erzielten Erwerb habe er nicht als Zwischenverdienst gemeldet, weil er (zuvor) von der Arbeitslosenkasse wegen selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit und vom Regionalen Arbeitsvermittlungszentrum (RAV) wegen verspäteter Abgabe von Bewerbungsunterlagen vorübergehend in der Anspruchsberechtigung eingestellt worden sei (<ref-law>). Die verfügten Einstelltage habe er als ungerecht empfunden, zumal diese Kürzung ihn und seine damals fünfköpfige Familie in einen finanziellen Engpass gebracht habe. Deshalb habe er die durch die Einstellung bedingte Einkommensminderung mit dem Zwischenverdienst eigenmächtig, "in einem Akt der Selbstjustiz", kompensieren wollen (angefochtenes Urteil S. 11 E. 3 und S. 20 E. 2.4).
Im Hinblick auf den Betrugstatbestand (<ref-law>) erwägt die Vorinstanz ausgehend von ihren tatsächlichen Feststellungen, der Beschwerdeführer habe die Mitarbeiter der Arbeitslosenkasse mit der schriftlichen Bestätigung getäuscht, in den Monaten Juli bis September 2017 nicht erwerbstätig gewesen zu sein. Ohne spezielle Hinweise darauf, dass die Angaben der versicherten Person unrichtig sein könnten, habe die Verwaltung im Massengeschäft der Arbeitslosenversicherung keine Möglichkeit zur Überprüfung. Der Beschwerdeführer habe arglistig gehandelt, weil er davon ausgegangen sei, eine Überprüfung seiner Angaben werde nicht möglich resp. nicht zumutbar sein. Leichtfertiges Handeln der Verwaltung, die die Arglist ausschliessen könnte, liege nicht vor. Nach der Rechtsprechung in den Bereichen Sozialhilfe und Sozialversicherung handle die Behörde praxisgemäss leichtfertig, wenn sie eingereichte Belege nicht prüfe, wenn sie es unterlasse, den Ansprecher aufzufordern, für die Abklärung der wirtschaftlichen Verhältnisse relevante Unterlagen einzureichen oder wenn sie widersprüchlichen Angaben nicht nachgehe. Die Angaben des Beschwerdeführers seien weder unvollständig noch widersprüchlich; sie begründeten auch keine Verdachtsmomente. Die Kasse habe daher darauf abstellen dürfen.
Die Vorinstanz bejaht neben der Arglist auch die weiteren einschlägigen Tatbestandselemente und spricht den Beschwerdeführer des Betrugs schuldig.
1.3. Der Beschwerdeführer bestreitet, dass seine Falschangaben eine arglistige Täuschung im Sinn von <ref-law> bewirkt haben.
1.3.1. Wer als Bezüger von Sozialhilfe oder Sozialversicherungsleistungen falsche oder unvollständige Angaben zu seinen Einkommens- oder Vermögensverhältnissen macht, täuscht aktiv (<ref-ruling> E. 2.4.6 in fine S. 18, 206 E. 6.3.1.3 S. 209). Besteht eine Pflicht zur vollständigen und wahrheitsgetreuen Auskunftserteilung und ist die Überprüfung nicht oder nur mit besonderer Mühe möglich oder nicht zumutbar, gelten schon einfache falsche Angaben als arglistig (Urteil 6B_338/2020 vom 3. Februar 2021 E. 3.4.1 mit Hinweisen), dies abweichend von der ansonsten geltenden Regel, dass einfache Lügen als solche nicht genügen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 304). Die Behörden dürfen grundsätzlich darauf vertrauen, dass die Angaben von mitwirkungspflichtigen Personen wahrheitsgetreu und vollständig sind (Urteil 6B_932/2015 vom 18. November 2015 E. 3.4).
1.3.2. Die Vorinstanz zitiert (im Rahmen der Strafzumessung) die Aussage der Sachbearbeiterin bei der Arbeitslosenkasse, die Täuschung sei entdeckt worden, weil es zu einem Doppelbezug von Kinderzulagen kam (Leistungen des Arbeitgebers und der Arbeitslosenkasse mit gleichartigem Zweck). An anderer Stelle hält die Vorinstanz indessen auch fest, der Arbeitgeber habe den im Zeitraum vom 14. Juli bis 28. September 2017 erzielten Zwischenverdienst am 17. Oktober 2017 mittels "Bescheinigung über Zwischenverdienst" an die Arbeitslosenversicherung gemeldet. Diese Meldung setzt voraus, dass der Arbeitgeber über den laufenden Bezug von Arbeitslosenentschädigung informiert war. Möglicherweise wurde der Arbeitseinsatz durch die Arbeitslosenversicherung vermittelt. Allenfalls hat der Beschwerdeführer dem Arbeitgeber seinen Status als Leistungsbezüger auch selber mitgeteilt. Dann müsste dem Beschwerdeführer bewusst gewesen sein, dass die Arbeitslosenkasse Kenntnis vom Zwischenverdienst erhält.
Für einen vollendeten Betrug genügt zwar schon eine vorübergehende Schädigung (hier durch effektive Ausrichtung der Arbeitslosenentschädigung; vgl. Urteil 6B_112/2018 vom 4. März 2019 E. 6.2.2 mit Hinweisen); eine spätere Gelegenheit zur Verrechnung etwa schliesst die Tatbestandsmässigkeit nicht aus. Diese Betrachtungsweise ist indessen nicht ohne Weiteres auf die Frage der Arglist übertragbar, bei welcher es um die subjektive Sicht des Täters auf eine objektive Ausgangslage (hier: fehlende oder nicht zumutbare Überprüfbarkeit der Angaben; oben E. 1.3.1) geht. Unter dem Aspekt der Arglist drängt sich die Frage auf, ob der Beschwerdeführer überhaupt annehmen konnte, das Zwischeneinkommen gegenüber der Arbeitslosenversicherung zu verheimlichen, wenn von vornherein gewiss war, dass die betreffende Täuschung keinen Bestand hat. Bei diesen speziellen Voraussetzungen wäre dem Beschwerdeführer - unter Berücksichtigung des Anklagegrundsatzes (<ref-law>; vgl. auch <ref-law> und zur Publ. bestimmtes Urteil 6B_1370/2019 vom 11. März 2021 E. 1.3) und der Unschuldsvermutung (<ref-law>) - nachzuweisen, dass er zum Zeitpunkt seiner Falschangaben nicht anzunehmen brauchte, der Arbeitgeber werde im Wissen über den laufenden Bezug der Arbeitslosenentschädigung die bei Zwischenverdienst vorgeschriebenen Schritte einleiten. Wenn dieser Nachweis nicht erbracht werden kann, entfällt die im Bereich der Sozialversicherung typische Ausgangslage für die Beurteilung der Arglistfrage.
2.
2.1. Das angefochtene Urteil enthält nicht alle Feststellungen, die für die Beurteilung der Arglist notwendig sind. Die Vorinstanz wird den Sachverhalt ergänzen und gestützt darauf den Betrugsvorwurf neu beurteilen; dies auch anhand der weiteren Rügen des Beschwerdeführers. Wenn das Merkmal der Arglist nicht gegeben ist und Betrug entfällt, wird gegebenenfalls <ref-law> (unrechtmässiger Bezug von Leistungen einer Sozialversicherung) anwendbar (Urteil 6B_1015/2019 vom 4. Dezember 2019 E. 4.5.2).
2.2. Die Frage der Landesverweisung stellt sich im Fall eines Schuldspruchs nach <ref-law> (im Bereich einer Sozialversicherung) oder nach <ref-law>, nicht aber bei einem Schuldspruch nach <ref-law> (<ref-law>; zum Verhältnis zwischen <ref-law>: Urteile 6B_1030/2020 vom 30. November 2020 E. 1.1.3 und 6B_1161/2019 vom 13. Oktober 2020 E. 1.2).
3.
3.1. Dieser Rückweisungsentscheid präjudiziert die Beurteilung in der Sache nicht. Mit Blick auf das Beschleunigungsgebot (<ref-law>) kann somit darauf verzichtet werden, Vernehmlassungen einzuholen (vgl. Urteil 6B_151/2019 vom 17. April 2019 E. 5).
3.2. Die Rückweisung zur Neubeurteilung gilt als Obsiegen des Beschwerdeführers (Urteile 6B_1177/2019 vom 17. Juni 2020 E. 5, 6B_1000/2016 vom 4. April 2017 E. 3; <ref-ruling> E. 7.1 S. 271).
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist gegenstandslos. Es werden keine Gerichtskosten erhoben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Solothurn schuldet dem Beschwerdeführer eine angemessene Entschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 26. September 2019 aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Der Kanton Solothurn bezahlt dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.--.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. April 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Jacquemoud-Rossari
Der Gerichtsschreiber: Traub