Sachverhalt:
A.
Das Appellationsgericht Basel-Stadt beschloss am 30. August 2018 folgende Änderungen seines Organisationsreglements vom 14. März 2017:
§ 21 Abs. 1 (geändert)
1 Die Zusammensetzung der Spruchkörper in den einzelnen Verfahren obliegt nach Massgabe der von den Abteilungskonferenzen getroffenen Beschlüsse den Vorsitzenden der Abteilungen und im Falle der Verhinderung ihrer jeweiligen Stellvertretung.
§ 21a (neu)
Zuteilungsgrundsätze
1 Bei der Fallzuteilung und Spruchkörperbildung berücksichtigen die Abteilungsvorsitzenden namentlich folgende Kriterien und Umstände:
a)eine gleichmässige Berücksichtigung der Präsidentinnen und Präsidenten nach Massgabe ihrer Pensen in den jeweiligen Abteilungen, ihrer Belastung und zeitlichen Verfügbarkeit (insbesondere Abwesenheiten wegen Ferien, Krankheit etc.);
b)eine gleichmässige Berücksichtigung der Richterinnen und Richter nach Massgabe ihrer zeitlichen Verfügbarkeit (insbesondere Abwesenheiten wegen Ferien, Krankheit etc.);
c) die spezifischen Fachkenntnisse der Richterinnen und Richter sowie Präsidentinnen und Präsidenten im jeweiligen Sachbereich;
d) die Mitwirkung von Mitgliedern beiderlei Geschlechts in Fällen, in denen es die Natur der Streitsache als angezeigt erscheinen lässt;
e) die Mitwirkung in früheren Entscheiden im gleichen Sachbereich oder bei konnexen Verfahren.
Der Beschluss wurde am 29. September 2018 im Kantonsblatt (Nr. 73) publiziert.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 18. Oktober 2018 beantragt A._ im Wesentlichen, es sei festzustellen, dass das revidierte Organisationsreglement verfassungs- und europarechtswidrig sei. Der Beschwerdegegner sei zu verpflichten, den Erlass sofort zu widerrufen.
Das Appellationsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Der Beschwerdeführer hält in seiner Stellungnahme dazu an seinen Anträgen und Rechtsauffassungen fest.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht hat sich im Urteil 1C_187/2017 vom 20. März 2018 mit einer Beschwerde desselben Beschwerdeführers gegen das Organisationsreglement vom 16. Dezember 2016 des Strafgerichts des Kantons Basel-Stadt befasst. Auf die dortigen Erwägungen zu den Sachurteilsvoraussetzungen kann verwiesen werden (a.a.O., E. 2). Auch im vorliegenden Fall ist auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer kritisiert, dem Appellationsgericht sei es nicht gelungen, die Konsequenzen aus dem Urteil des Bundesgerichts vom 20. März 2018 zu ziehen. Während das Reglement des Strafgerichts eine Eröffnung der Entscheide zur Spruchkörperbesetzung vorsehe, entbinde sich das Appellationsgericht in verfassungswidriger Weise von dieser Pflicht. Damit würden die hehren Gründe der Spruchkörperbesetzung unüberprüfbar.
2.2. Nach der konstanten Rechtsprechung des Bundesgerichts besteht weder eine verfassungs- noch eine völkerrechtliche Verpflichtung, den Verfahrensparteien die Namen der entscheidenden Richter vorab mitzuteilen (<ref-ruling> E. 2.3.3 S. 43 mit Hinweisen). Dies wurde dem Beschwerdeführer im erwähnten, ihn betreffenden Urteil vom 20. März 2018 bereits dargelegt (a.a.O., E. 3.2 mit Hinweisen). Seine Rüge ist aus diesem Grund unbegründet.
2.3. Der Beschwerdeführer kritisiert darüber hinaus in verschiedener Hinsicht die Praxis der Spruchkörperbesetzungen am Appellationsgericht, ohne jedoch einen Zusammenhang mit dem vorliegenden Verfahrensgegenstand aufzuzeigen. Darauf ist nicht einzutreten (<ref-law>).
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Es ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Appellationsgericht Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Januar 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Dold