Erwägungen:
1.
Die Parteien sind die verheirateten Eltern zweier minderjähriger Kinder. Seit Juli 2018 leben sie getrennt. Die Folgen der Trennung regelten sie in einer aussergerichtlichen Vereinbarung. Im Rahmen des hängigen Scheidungsverfahrens stellte das Richteramt Dorneck-Thierstein mit Verfügung vom 2. Dezember 2020 fest, dass die Trennungsvereinbarung bis zum 30. Juni 2020 Gültigkeit hatte und verpflichtete den Ehemann ab 1. Juli 2020 und für die weitere Dauer des Verfahrens zur Bezahlung von Kindes- und Ehegattenunterhalt.
Mit Urteil vom 24. Juni 2021 wies das Obergericht des Kantons Solothurn die vom Beschwerdeführer hinsichtlich des Ehegattenunterhalts erhobene Berufung ab. Die Höhe des vom Ehemann zu bezahlenden Kindesunterhalts setzte es entsprechend dem Antrag der Ehefrau neu fest.
Der Beschwerdeführer gelangt mit Beschwerde in Zivilsachen und "verfassungsrechtliche [ r] Beschwerde" vom 26. Juli 2021 ans Bundesgericht und beantragt, es sei der Kindesunterhalt in der vom Richteramt festgesetzten Höhe zu bestätigen und der Ehegattenunterhalt in der von ihm bereits früher beantragten Höhe festzusetzen. Eventuell sei das Verfahren ans Obergericht zurückzuweisen.
Mit Schreiben vom 17. März 2022 zieht der Beschwerdeführer die Beschwerde zurück, da die Parteien zwischenzeitlich rechtskräftig geschieden worden seien. Da der Beschwerdegegnerin keine Kosten angefallen seien, sei auf die Zusprechung einer Parteientschädigung zu verzichten. Für das bundesgerichtliche Verfahren seien moderate Kosten festzusetzen.
2.
Der vor dem Richter erklärte Abstand einer Partei beendet den Rechtsstreit (<ref-law> i.V.m. <ref-law> [SR 273]). Der Instruktionsrichter entscheidet nach <ref-law> als Einzelrichter über die Abschreibung von Verfahren zufolge Rückzugs. Entsprechend ist das Beschwerdeverfahren durch den Instruktionsrichter als durch Rückzug der Beschwerde erledigt abzuschreiben (statt vieler: Verfügen 5A_555/2021 vom 27. Oktober 2021 E. 1; 5A_671/2020 vom 8. März 2021 E. 5).
Hieran änderte sich nichts, falls das Scheidungsverfahren, für dessen Dauer die in der Sache strittigen Unterhaltsbeiträge festgelegt worden sind, zwischenzeitlich abgeschlossen wäre, wie der Beschwerdeführer vorträgt: Die fraglichen Beiträge haben ihre materielle Grundlage im Eherecht (<ref-law>), besitzen (beschränkte) Rechtskraft und fallen mit Ergehen des Scheidungsurteils nicht rückwirkend dahin (<ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 5.3). Ein allfälliger Abschluss des Scheidungsverfahrens hat auf das schutzwürdige Interesse der Beschwerde führenden Person an der Behandlung der Beschwerde (<ref-law>) daher keinen Einfluss und führt insbesondere nicht zur Gegenstandslosigkeit des Verfahrens.
3.
Der Abstand gilt hinsichtlich der Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens als Unterliegen (SEILER, in: Seiler et al. [Hrsg.], Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2. Aufl. 2015, N. 35 zu <ref-law>). Demzufolge sind die Gerichtskosten - sie werden aufgrund des geringen entstandenen Aufwands reduziert - dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Der obsiegenden Beschwerdegegnerin sind keine entschädigungspflichtigen Kosten angefallen, womit keine Parteientschädigungen zu sprechen sind (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach verfügt der Instruktionsrichter:
1.
Das Verfahren 5A_605/2021 wird als durch Rückzug der Beschwerde erledigt abgeschrieben.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Diese Verfügung wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, mitgeteilt.
Lausanne, 28. März 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Instruktionsrichter: Schöbi
Der Gerichtsschreiber: Sieber