Sachverhalt:
A.
A.a. A._ und B._ sind die Eltern von C._ (geb. 2011), D._ (geb. 2005) und E._ (geb. 2004). Die Ehe der Eltern wurde mit Urteil vom 1. Juni 2015 geschieden, wobei die elterliche Sorge über die Kinder bei beiden Eltern verblieb. Die Obhut über die Kinder steht dem Vater alleine zu.
Der Vater verblieb nach der Trennung mit D._, C._ und E._ in der ehemals ehelichen Wohnung in U._ (ZH). Seit 2014 wohnt auch seine neue Ehefrau dort, welche den ca. 13 Jahre alten Sohn F._ aus einer früheren Beziehung einbrachte. Sodann hat der Vater mit ihr ein gemeinsames Kind G._ (geb. 2015). Die Mutter wohnt zusammen mit ihrem neuen Ehemann und der aus dieser Ehe entsprungenen Tochter H._ (geb. 2016) in V._ (GE).
Die Familie hat grosse Probleme finanzieller und anderer Natur; die familiäre Situation ist seit Jahren belastet. Die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Bezirk W._ (KESB) ist seit 2012 involviert. E._ wurde unterdessen fremdplatziert.
Im Scheidungsurteil wurde der Mutter zunächst ein vierzehntägliches Besuchsrecht jeweils am Sonntag von 14.00 bis 18.00 Uhr im Besuchstreff X._ eingeräumt. Es bestätigte zudem die kurz zuvor von der KESB errichtete Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB.
A.b. Mit Entscheid vom 28. Mai 2015 errichtete die KESB die erwähnte Beistandschaft und räumte der Mutter für die Dauer eines Jahres ein sogenanntes begleitetes vierzehntägliches Besuchsrecht jeweils am Sonntag von 10.00 bis 16.30 Uhr ein. Als Beiständin wurde I._ vom Kinder- und Jugendhilfezentrum U._ (kjz) eingesetzt. Sie hat u.a. die Aufgabe, die Eltern bei der Ausarbeitung einer weitergehenden Besuchsrechtsregelung zu unterstützen, die Modalitäten des Besuchsrechts festzulegen, den Kindern als Ansprechsperson zur Verfügung zu stehen und mit ihnen mindestens drei Gespräche pro Jahr zu führen. Ebenfalls festgehalten wurde, dass nach Ablauf der begleiteten Besuche (von einem Jahr) ein ordentliches Besuchsrecht das Ziel sei.
A.c. In Bezug auf den persönlichen Verkehr zwischen der Mutter und den Kindern D._ und C._ ordnete die KESB mit Entscheid vom 24. August 2017 für den Konfliktfall an, dass die Mutter und die Kinder die Wochenenden in den ungeraden Kalenderwochen von Freitagabend 18.00 Uhr bis Sonntagabend 18.00 Uhr gemeinsam verbringen. Weiter regelte es das Besuchsrecht für Weihnachten/Neujahr und für die Ferien (drei Wochen). Zusätzlich seien sie berechtigt, jeweils am Mittwoch, zwischen 14.00 und 15.00 Uhr, miteinander zu telefonieren (Dispositivziffer 1.2).
A.d. Gegen diesen Entscheid erhob der Vater mit Eingabe vom 29. September 2017 Beschwerde beim Bezirksrat W._. Er beantragte die Festlegung eines Besuchsrechts an zwei aufeinanderfolgenden Tagen, alle zwei Wochen, in U._. Der Bezirksrat wies die Beschwerde mit Urteil vom 9. Juli 2018 ab (Dispositivziffer I) und bestätigte nach einer Übergangszeit von drei Monaten das von der KESB angeordnete Besuchsrecht (Dispositivziffer II). Den Antrag der Mutter, einem allfälligen Rechtsmittel die aufschiebende Wirkung zu entziehen, wies der Bezirksrat ebenfalls ab.
B.
B.a. Dagegen erhob der Vater am 13. August 2018 Beschwerde und beantragte dem Obergericht des Kantons Zürich die Aufhebung der Dispositivziffern I und II zusammen mit Dispositivziffer 1.2 des Entscheides der KESB, die Festsetzung des Besuchsrechts der Kindsmutter für die beiden Kinder C._ und D._ auf einen Tag alle zwei Wochen und die Berechtigung der Kindsmutter und der Kinder, jeweils am Mittwoch, zwischen 14.00 und 15.00 Uhr, miteinander zu telefonieren.
B.b. Im gleichen Zeitraum war am Obergericht ein Verfahren betreffend Kindesschutzmassnahmen für E._ hängig, welches mit Urteil vom 9. November 2018 abgeschlossen wurde.
B.c. Das Obergericht liess sich sämtliche Vorakten zu den drei gemeinsamen Kindern überweisen. Über die Kinder D._ und C._ holte es von der Beiständin zudem einen aktuellen Bericht über den Verlauf der Kontakte mit der Mutter ein. Am 12. Dezember 2018 hörte es D._ und C._ an. Den Eltern wurde im Nachgang Gelegenheit zur freigestellten Stellungnahme zum Protokoll der Kindesanhörung und zum Bericht der Beiständin eingeräumt, welche beide wahrnahmen. Die Mutter stellte darin u.a. den Antrag, die durch die Vorinstanzen festgelegte Kontaktregelung sei zu bestätigen, mit der Androhung einer Ungehorsamsstrafe im Sinne von <ref-law> bei Widerhandlung. Der Vater nahm hierzu keine Stellung.
B.d. Mit Urteil vom 28. Februar 2019 wies das Obergericht die Beschwerde ab und bestätigte die Kontaktregelung gemäss Dispositivziffer 1.2 des Entscheides der KESB (Dispositivziffer 1), wobei es folgende Anpassung vornahm (Dispositivziffer 2) :
"Die Kontakte zwischen der Mutter und den Kindern D._ und C._ werden wie folgt festgelegt:
a) Die Mutter und die Kinder verbringen gemeinsam die beiden Wochenende von Samstag, 16. März bis Sonntag, 17. März 2019und von Samstag, 30. März bis Sonntag, 31. März 2019.
Der Vater bringt D._ und C._ am Samstagmorgen zum Hauptbahnhof Zürich auf den hh:mm Zug nach Genf, wo die Mutter die Kinder um hh:mm am Hauptbahnhof (Cornavin) entgegennimmt. Die Mutter bringt am Sonntag die Kinder in Genf auf den hh:mm Zug nach Zürich HB, wo der Vater die Kinder um hh:mm abholt.
Die Mutter wird sodann für berechtigt erklärt, die Kinder D._ und C._ erstmals ab dem Wochenende vom 12./13./14. April 2019in den ungeraden Kalenderwochen jeweils von Freitagabend bis Sonntagabend mit sich oder zu sich auf Besuch zu nehmen. Grenzt das Wochenende an einen eidgenössischen Feiertag, wird es um diesen verlängert.
Der Vater bringt D._ und C._ am Freitagabend zum Hauptbahnhof Zürich auf den hh:mm Zug nach Genf, wo die Mutter die Kinder um hh:mm am Hauptbahnhof (Cornavin) entgegennimmt. Die Mutter bringt am Sonntag die Kinder in Genf auf den hh:mm Zug nach Zürich HB, wo der Vater die Kinder um hh:mm abholt.
Der Vater kommt für die Fahrtkosten von Zürich nach Genf auf und die Mutter für die Fahrtkosten von Genf nach Zürich."
Weiter wies das Obergericht den Vater an, der Kontaktregelung Folge zu leisten, verbunden mit der Androhung einer Ungehorsamsstrafe nach <ref-law> für den Missachtungsfall. Sodann beauftragte es die Beiständin mit der Kontrolle der Einhaltung der Kontaktregelung (Dispositivziffer 3).
C.
C.a. Mit Beschwerde vom 3. April 2019 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht mit dem Begehren, es sei das Urteil der Vorinstanz aufzuheben und das Besuchsrecht der Kindsmutter für die beiden Kinder C._ und D._ während sechs Monaten auf einen Tag (Samstag; 9.00 bis 18.00 Uhr) alle zwei Wochen festzulegen. Anschliessend sei das Besuchsrecht für sechs Monate auf zwei aufeinanderfolgende Tage (Samstagmorgen 9.00 Uhr bis Sonntagabend 18.00 Uhr) alle zwei Wochen auszudehnen. Anschliessend sei das Besuchsrecht auf zwei Übernachtungen (Freitagabend 18.00 Uhr bis Sonntagabend 18.00 Uhr) auszudehnen. Die Kosten für die Ausübung des Besuchsrechts seien der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen. Sodann ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
C.b. Mit Verfügung vom 5. April 2019 wies der Präsident der urteilenden Abteilung das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung ab. Im Übrigen hat das Bundesgericht die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Der zur Beschwerde legitimierte Beschwerdeführer (<ref-law>) hat den kantonal letztinstanzlichen Entscheid fristgerecht angefochten (Art. 75 Abs. 1 und Art. 100 Abs. 1 BGG). Der Endentscheid betrifft die Regelung des persönlichen Verkehrs zwischen minderjährigen Kindern und dem nicht obhutsberechtigten Elternteil und somit eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache. Die Beschwerde in Zivilsachen steht damit offen (Art. 72 Abs. 1, Art. 74 Abs. 1 und Art. 90 BGG).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich grundsätzlich nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (<ref-law>), was eine Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid erfordert (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368 mit Hinweis). Es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht (mehr) vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2.4 S. 367 mit Hinweisen). In der Begründung ist deshalb in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht (Urteil 5A_963/2014 vom 9. November 2015 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>).
2.2. Sodann ist das Bundesgericht an den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (<ref-law>). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann einzig vorgebracht werden, sie seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweis), oder sie würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) beruhen. Ausserdem muss in der Beschwerde aufgezeigt werden, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234 mit Hinweis). Auf rein appellatorische Kritik tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368 mit Hinweis).
3.
3.1. Der Streit dreht sich um die Regelung des persönlichen Verkehrs zwischen der Beschwerdegegnerin und ihren Kindern D._ und C._. Zur Hauptsache moniert der Beschwerdeführer, die Vorinstanz setze keine Übergangszeit fest, in welcher die Mutter die Kinder bloss tageweise besuche, sondern sehe im Rahmen der alle zwei Wochen stattfindenden Wochenendbesuche sogleich Übernachtungen bei der Mutter in V._ (GE) vor.
3.2. Die Vorinstanz erwog in Bezug auf die Besuchsrechtsregelung, es seien keine Umstände vorgebracht worden, welche eine Kontaktregelung ohne Übernachtungen rechtfertigen würden. Die Mutter sei willens und fähig, ihren Kindern einen verlässlichen Rahmen für einen regelmässigen und geordneten Kontakt zu geben. So habe sich im Rahmen der Kindesanhörung gezeigt, dass D._ und C._ ein Gefühl der Vertrautheit zu ihrer Mutter bewahrt hätten. Den Umstand, dass D._ anlässlich der Kindesanhörung u.a. ausgesagt habe, der Kontakt zur Mutter beschäftige sie nicht, sei - entgegen den Ausführungen des Vaters - nicht Ausdruck, keinen Kontakt zur Mutter zu wünschen. Vielmehr gebe D._ mit ihrem Aussageverhalten zu verstehen, mit der familiären Situation nichts zu tun haben zu wollen. Das seien Anzeichen für einen Versuch, eine hoffnungslose Situation zu bewältigen.
Gemäss Vorinstanz hat der Vater grosse Mühe, den Kontakt zwischen der Mutter und den gemeinsamen Kindern zuzulassen. Seit Anfang 2017 hätten die Kinder ihre Mutter nicht mehr gesehen. Dieser Unter- oder Abbruch der Besuche dürfe nicht als Begründung für erneut zeitlich eingeschränkte Besuchszeiten dienen. Entgegen der Auffassung des Vaters habe die Mutter sich für Kontakte mit ihren Kindern eingesetzt und sich entsprechend interessiert ihnen gegenüber gezeigt. Sie habe beim Bezirksrat zweimal erfolglos um den Entzug der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde ersucht. Sie habe sich immer bemüht, Informationen über ihre Kinder aus der Schule zu bekommen und Hand geboten, die Kinder auch nur tagsüber zu sehen. Die konsequente Verweigerungshaltung des Beschwerdeführers auch der Schule und Behörden gegenüber ziehe sich wie ein roter Faden durch die Akten. Er habe eine Einladung der KESB zu einem Gespräch am Tag selbst abgesagt. Er wehre sich trotz grosser Lernschwierigkeiten von C._ gegen dessen schulpsychologische Abklärung. Auch die Zahnprobleme desselben stellt er in Abrede. Es sei schwierig für den nicht obhutsberechtigten Elternteil eine Antwort zu finden auf ein derart grosses Ausmass an Verweigerung des anderen Elternteils. Der Vater ziele daher ins Leere, wenn er einwendet, die Beiständin habe sich ausgeschwiegen, welche Bemühungen die Mutter im Zeitraum von Anfang 2017 bis September 2018 unternommen habe, um Kontakt mit den Kindern zu haben bzw. worin der Grund des Kontaktabbruchs gelegen sei.
3.3. Der Beschwerdeführer rügt den festgestellten Sachverhalt in verschiedener Hinsicht als aktenwidrig bzw. willkürlich.
3.3.1. Der Beschwerdeführer beanstandet einerseits die vorinstanzliche Feststellung, wonach sich die Mutter vom Sommer 2017 bis Herbst 2018 immer bemüht habe, Informationen über ihre Kinder aus der Schule zu erhalten und angeboten habe, die Kinder auch tagsüber zu sehen. Die von der Vorinstanz angeführte Belegstelle beziehe sich auf E-Mails vom 4.-13. Dezember 2018 und würde daher die fragliche Zeitperiode nicht betreffen. Der Beschwerdeführer übersieht dabei allerdings, dass die Vorinstanz die besagten E-Mails als aktuellsten, aber nicht einzigen Befund für das Interesse der Mutter am Kontakt zu den Kindern erachtet, weshalb im vorinstanzlichen Urteil auch " zuletzt act. 25/5" steht. Die Vorinstanz hat das Interesse der Mutter in den vergangenen Jahren im Einzelnen dargelegt. Namentlich stellte es fest, dass die Mutter die Termine im Besuchstreff immer zuverlässig und regelmässig wahrgenommen habe, die Rückmeldungen positiv gewesen seien und v.a. die Mädchen (D._ und E._) sich über den Kontakt zur Mutter gefreut hätten (vgl. angefochtener Entscheid E. 4.3.1). Der Umstand, dass die Mutter die Kinder seit anfangs 2017 nicht mehr gesehen hat, ist gemäss vorinstanzlichen Feststellungen nicht auf mangelndes Interesse seitens der Mutter, sondern auf die Verweigerungshaltung des Vaters zurückzuführen. Die fraglichen E-Mails vom Dezember 2018 der Mutter belegen, dass das Interesse ihrerseits auch heute noch besteht. Weshalb diese Feststellung aktenwidrig sein soll, vermag der Beschwerdeführer nicht darzutun.
Der Beschwerdeführer bringt andererseits vor, es fehle im vorinstanzlichen Urteil ein Nachweis, dass die Beschwerdegegnerin Hand geboten habe, die Kinder auch nur tagsüber zu sehen. Er unterlässt es jedoch darzulegen, inwiefern das angefochtene Urteil bei Fehlen eines solchen Nachweises anders hätte ausgehen müssen (vgl. E. 2.2). Die Rüge geht daher fehl.
Sodann wirft der Beschwerdeführer der Vorinstanz vor, sie habe die Akten willkürlich gewürdigt, da sie davon ausgehe, die Mutter habe versucht, ihre Kinder zu sehen. So vermöge das Stellen eines Gesuchs um Entzug der aufschiebenden Wirkung keine Bemühungen der Mutter nachzuweisen, zumal sie in dieser Zeit Besuche im Begleiteten Besuchstreff (BBT) hätte wahrnehmen können, wozu der Beschwerdeführer damals immer Hand geboten habe. Selbst wenn er es nicht zugelassen hätte, so hätte die Beschwerdegegnerin vollzugsrechtliche Schritte vornehmen können, was sie unterlassen habe. Erst im September 2018 habe die Beiständin den begleiteten Besuchstreff wieder zu installieren versucht, wobei es sich aktenkundig nicht um einen Auftrag oder Wunsch der Mutter gehandelt habe. Über ein Jahr sei die Mutter also tatenlos gewesen. Schliesslich werde von der Vorinstanz nicht berücksichtigt, dass die Kindsmutter selber im Jahr 2017 mitgeteilt habe, dass sie die Kinder nicht mehr sehen möchte. Entgegen den Ausführungen des Beschwerdeführers hat die Vorinstanz durchaus berücksichtigt, dass die Beschwerdegegnerin seit 2017 keinen Kontakt mehr zu ihren Kindern hatte, wobei es dies mit der Verweigerungshaltung des Beschwerdeführers erklärt. Der Beschwerdeführer legt weiter nicht dar, weshalb die Vorinstanz aus dem Umstand, wonach die Mutter hinsichtlich des Besuchsrechts keine vollzugsrechtlichen Schritte eingeleitet hat, zwingend hätte schliessen müssen, sie habe kein Interesse am Kontakt zu den Kindern. Insoweit ist nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz die Akten willkürlich gewürdigt haben soll.
Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz überdies vor, sie sei einseitig davon ausgegangen, der Umstand zum Abbruch und Unterbruch des Kontakts während der fraglichen Zeitperiode liege bei ihm. Es sei "nicht nachvollziehbar", inwiefern die Ausübung seiner Elternrechte und -pflichten " (Schule etc.) " im Zusammenhang mit dem Besuchsrecht stünden. Es sei die Mutter, die den Kontakt plötzlich abgebrochen habe, während der Vater den Kontakt zur Mutter gefördert habe. Die Vorinstanz habe mit der Feststellung, der Vater weise eine grosse Verweigerungshaltung auf und die Kindsmutter habe ihr Interesse an den Kindern stets kundgetan, den Sachverhalt willkürlich und aktenwidrig festgestellt. Indem der Beschwerdeführer sich jedoch damit begnügt, in pauschaler Weise das Gegenteil davon zu behaupten, also dass er keine Verweigerungshaltung aufweise, sondern immer Hand geboten habe für Besuchstreffen, vermag er die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen nicht zu entkräften. Entsprechend geht die Rüge fehl.
3.3.2. Der Beschwerdeführer macht des Weiteren geltend, die Vorinstanz halte "offensichtlich aktenwidrig" fest, dass die Beiständin regelmässig Kontakt zu den Kindern habe, obwohl die Beiständin im Bericht vom 4. Dezember 2018 klar ausführe, dass seit dem Januar 2017 zwischen der Beiständin und den Kindern vier Gespräche stattgefunden hätten, was verteilt auf zwei Jahre im Durchschnitt ein Gespräch pro Halbjahr ergebe. Dabei handle es sich nicht um regelmässigen und vor allem nicht um engen und häufigen Kontakt. Abgesehen davon, dass der Begriff "regelmässig" nicht mit "häufig" gleichzusetzen ist, zeigt der Beschwerdeführer nicht auf, inwiefern eine andere Feststellung für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein könnte, weshalb der Vorwurf ins Leere zielt.
3.3.3. Weiter bringt der Beschwerdeführer vor, die Vorinstanz habe den Sachverhalt willkürlich und aktenwidrig festgestellt, da sie sich unkritisch auf den Bericht der Beiständin abstütze und diesen nicht prüfe. So habe die Beiständin verschwiegen, dass die Kindsmutter sich im Herbst 2018 habe psychisch behandeln lassen müssen. Weiter habe die Vorinstanz festgestellt, dass auch die Kindesanhörung nichts ergeben habe, was gegen eine Übernachtung der Kinder bei der Mutter spreche. Es liege nicht an den Kindern, diese Frage zu beantworten, sondern es obliege den Behörden von Amtes wegen tätig zu werden und fachkundige Auskünfte, insbesondere einen medizinischen Bericht über die Kindsmutter einzuholen. Es sei bei der Vorinstanz darauf hingewiesen worden, Abklärungen betreffend die psychische Belastbarkeit der Kindsmutter hinsichtlich der beabsichtigten Übernachtungen würden sich aufdrängen. Ein medizinischer Bericht über den aktuellen gesundheitlichen Zustand der Kindsmutter fehle in den Akten.
Der Beschwerdeführer rügt hier sinngemäss die antizipierte Beweiswürdigung, welche Teil der Beweiswürdigung ist und vom Bundesgericht nur auf Willkür hin überprüft wird (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 376). Die Vorinstanz hat ausdrücklich dargetan, gestützt auf den Bericht der Beiständin vom 4. Dezember 2018 und der Kindesanhörung vom 12. Dezember 2018 würden sich keine Anhaltspunkte für eine weitergehende Sachverhaltsabklärung (durch Einholen eines Gutachtens über die Erziehungsfähigkeit) ergeben. Im Gegenteil werde die Wichtigkeit eines regelmässigen Kontakts der Kinder zur Mutter im Bericht der Beiständin betont. Weiter würden auch die Kinder die Mutter gerne wiedersehen und zu ihr nach Genf reisen bzw. bei ihr übernachten. Gestützt auf diese Beweise durfte die Vorinstanz willkürfrei zum Schluss gelangen, ein Gutachten würde an diesem Ergebnis nichts ändern.
3.3.4. Der Beschwerdeführer stösst sich ferner daran, dass die Vorinstanz die Aussagen der Tochter D._ als Anzeichen für einen Bewältigungsversuch einer hoffnungslosen Situation wertet. Es handle sich hier um blosse Vermutungen und nicht um fundiertes Fachwissen, weshalb nicht gesagt werden könne, ob D._ sich in einer hoffnungslosen Situation befinde. Diese Kritik ist appellatorischer Natur. Der Beschwerdeführer zeigt hier insbesondere nicht auf, inwiefern sie sich im Ergebnis auf das Urteil auswirken sollte, weshalb darauf nicht einzutreten ist.
4.
4.1. In rechtlicher Hinsicht macht der Beschwerdeführer eine "Bundesrechtsverletzung (z.B. <ref-law>) " sowie die Verletzung von Art. 3 KRK und <ref-law> geltend.
4.2. Der Beschwerdeführer kritisiert das Nichteinholen eines Gutachtens zur Erziehungsfähigkeit über die Mutter mit der Begründung, die Mutter habe psychische Probleme und ein plötzliches Einweisen in eine Klinik, wenn die Kinder bei der Mutter übernachten, stelle eine Kindeswohlgefährdung dar. Die Vorinstanz sehe trotz kurzzeitiger Einweisungen der Mutter wegen psychischen Problemen keine Probleme im Zusammenhang mit dem Besuchsrecht bzw. Übernachtungen. Unerwähnt lasse die Vorinstanz auch die Beziehungsprobleme zwischen der Beschwerdegegnerin und ihrem neuen Ehemann. Die Beschwerdegegnerin sei schon einmal von ihrem Ehemann in das Frauenhaus geflüchtet und auch die Beiständin habe der KESB mitgeteilt, die fragliche Beziehung unterliege Schwankungen mit Trennung und Versöhnung. Es stelle sich hier von Amtes wegen die Frage, inwiefern die vorhandenen psychischen Probleme und die Beziehungsdynamik in der aktuellen Ehe das Kindeswohl beeinflussen oder gefährden könnten. So wären die Kinder im Falle einer plötzlichen Einweisung der Mutter alleine mit dem neuen Ehemann, von dem bekannt sei, dass er gefährlich sein könnte. Es sei "unerklärlich", weshalb die Vorinstanz trotz zahlreicher Hinweise vom Beschwerdeführer und auch von Seiten der Beiständin keine weiteren Abklärungen vornehmen liess und "einfach" davon ausgehe, die Beschwerdegegnerin sei fähig, den Kindern einen verlässlichen Rahmen für einen regelmässigen und geordneten Kontakt mit Übernachtungen zu geben.
4.3. Insoweit der Beschwerdeführer in pauschaler Weise anführt, es sei Bundesrecht verletzt worden und dabei <ref-law> als Beispiel angibt, ist nur auf letztere Bestimmung einzugehen, zumal es nicht Aufgabe des Bundesgerichts ist, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht ausdrücklich vorgetragen werden (vgl. E. 2.1).
4.4. Wer eine Verletzung der Untersuchungsmaxime (<ref-law>) geltend macht, muss zunächst aufzeigen, dass das Gericht den Sachverhalt willkürlich festgestellt hat (Urteil 5A_724/2015 vom 2. Juni 2016 E. 4.5, nicht publ. in: <ref-ruling>). Dies ist dem Beschwerdeführer nicht gelungen (E. 3.3). Dem vorinstanzlichen Entscheid kann nicht entnommen werden, dass das Kindeswohl aufgrund des neuen Ehemanns der Mutter oder durch ihre psychische Verfassung gefährdet sein könnte. Weitere Erörterungen erübrigen sich daher.
4.5. Der Beschwerdeführer führt pauschal an, "Art. 3 KRK sowie <ref-law>" seien verletzt, ohne auf den Norminhalt einzugehen und aufzuzeigen, inwiefern die daraus fliessenden Ansprüche verletzt sein sollten. Mangels Substanziierung der Verfassungsrügen (vgl. E. 2.1) kann nicht auf diese eingetreten werden.
5.
5.1. Sodann kritisiert der Beschwerdeführer in verschiedener Hinsicht die Modalitäten des Besuchsrechts und rügt damit sinngemäss die Verletzung von <ref-law>.
5.2. Nach <ref-law> haben die Eltern, denen die elterliche Sorge oder die Obhut nicht zustehen, und das minderjährige Kind gegenseitig Anspruch auf angemessenen persönlichen Verkehr. Bei dessen Ausgestaltung steht das Kindeswohl im Vordergrund (<ref-ruling> E. 5 S. 212 mit Hinweisen); allfällige Interessen der Eltern haben zurückzustehen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 588 mit Hinweisen). Welche Ordnung des persönlichen Verkehrs zwischen Eltern und Kindern angemessen ist, lässt sich nicht objektiv und abstrakt umschreiben, sondern entscheidet sich im konkreten Einzelfall nach richterlichem Ermessen (Urteil 5A_323/2015 vom 25. Februar 2016 E. 3.1 mit Hinweisen). Ermessensentscheide dieser Art überprüft das Bundesgericht an sich frei; es greift allerdings nur ein, wenn die kantonale Instanz von dem ihr zustehenden Ermessen einen falschen Gebrauch gemacht hat, d.h. wenn sie grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgegangen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 4.5 S. 617; <ref-ruling> E. 11.2 S. 98; je mit Hinweisen).
5.3. Zum einen moniert der Beschwerdeführer, die Vorinstanz habe keine Übergangszeit für die Übernachtungen der Kinder bei der Mutter vorgesehen. Er sei dagegen, dass die Kinder nach einer derart langen Pause (über ein Jahr) sofort bei der Mutter übernachten sollen. Er erachte eine Übergangszeit von sechs Monaten als angemessen. Zuerst müsse eine normale und beständige Beziehung zur Mutter aufgebaut werden, bevor beurteilt werden könne, ob die Kindsmutter gesundheitlich genügend stabil sei für Übernachtungen. Die tageweise Betreuung während der Übergangszeit könne die Mutter auch im Raum Zürich ausüben.
Das Obergericht erachtete eine Übergangszeit für die Überführung eines tageweisen Besuchsrechts in ein Wochenendbesuchsrecht in seinem Entscheid als nicht gerechtfertigt. Die Mutter sei präsent im Leben der Kinder, und es brauche keine Zeit, damit sich D._ und C._ wieder an ihre Mutter gewöhnen. Auch der Bericht der Beiständin und die Kinder selber anlässlich der Kindesanhörung sprechen sich eindeutig für Besuche mit Übernachtung bei der Mutter aus. Inwiefern das Kindeswohl infolge dieser Besuche dennoch gefährdet sein soll, ist nicht ersichtlich.
5.4. Zum anderen macht der Beschwerdeführer geltend, die Vorinstanz habe entgegen dem Willen der Kindseltern und ohne entsprechende Anträge entschieden, die Kinder müssten für den Besuch der Mutter den weiten Weg quer durch die Schweiz alleine mit dem Zug machen. Dies könne den noch jungen Kindern derzeit nicht zugemutet werden und berge auch Risiken (z.B. Zugausfälle bzw. -umleitungen oder die Nichtabholung der Kinder am Bahnhof in Genf durch die Mutter). Sollte den Kindern etwas geschehen, so sei der Beschwerdeführer verantwortlich. Diese Verantwortung könne ihm die Vorinstanz nicht aufbürden. Es sei vielmehr die Pflicht des besuchsberechtigten Elternteils die Kinder abzuholen und wieder zu bringen. Die Mutter habe die Kinder entsprechend in Zürich abzuholen. Sie habe den zeitlichen Mehraufwand in Kauf zu nehmen, da sie freiwillig so weit weg von den Kindern gezogen sei.
Insoweit der Beschwerdeführer moniert, die Vorinstanz habe bei der Regelung des Besuchsrechts einen Entscheid getroffen, welcher nicht den Anträgen der Parteien entspreche, übersieht er, dass in Kinderbelangen in familienrechtlichen Angelegenheiten - auch im Berufungsverfahren vor der zweiten Instanz - der Offizialgrundsatz gilt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1 S. 412; Urteil 5A_420/2016 vom 7. Februar 2017 E. 2.2; je mit Hinweisen). Die Vorinstanz konnte damit ohne weiteres ohne Bindung an die Parteianträge entscheiden.
Weiter ist die Zugfahrt gemäss Vorinstanz für die beiden Kinder machbar. Die Zugfahrt sei 2 Stunden und 40 Minuten, der Zug fahre direkt nach Genf und halte nur an drei Orten. Für die mit Handys und Uhren ausgestatteten Kinder sei es unmöglich, den Genfer bzw. Zürcher Hauptbahnhof zu verpassen. D._ könne gut lesen und in den Zügen erfolgten Fahrgastinformationen per Durchsage. Die Vorinstanz hat sich damit mit den konkreten Umständen des Einzelfalls auseinandergesetzt und nachvollziehbar die Machbarkeit der Zugreise für die Kinder dargelegt. Diese Beurteilung ist daher nicht zu beanstanden.
5.5. Schliesslich bringt der Beschwerdeführer vor, die Vorinstanz lege ohne entsprechenden Antrag der Beschwerdegegnerin fest, die Kosten der SBB-Billette von Zürich nach Genf seien vom Beschwerdeführer zu übernehmen. "Gemäss Lehre und Rechtsprechung" seien aber die Kosten für die Ausübung des Besuchsrechts jeweils demjenigen Elternteil aufzuerlegen, welcher die Besuche ausübe. Hinzu komme, dass die Beschwerdegegnerin freiwillig nach Genf und somit weit weg von den Kindern gezogen sei. Dies dürfe nicht dazu führen, dass ihm deswegen ein Teil der Besuchsrechtskosten aufzuerlegen seien.
Die Vorinstanz erwog, dass die Kosten für die Besuchsrechtsausübung angesichts der finanziellen Verhältnisse bei beiden Elternteilen ins Gewicht fielen, weshalb sie von beiden Elternteilen zu tragen seien. Der Beschwerdeführer müsse für die Billette für den Weg Zürich-Genf und die Beschwerdegegnerin für den Weg Genf-Zürich aufkommen. Im Grundsatz trifft es zu, dass die mit dem Besuchsrecht verbundenen Kosten vom Besuchsrechtsberechtigten zu tragen sind. Eine abweichende Kostenverteilung ist jedoch zulässig, wenn sie namentlich im Hinblick auf die finanzielle Lage der Eltern als billig erscheint und nicht mittelbar die Interessen des Kindes beeinträchtigt, indem die für den Unterhalt des Kindes notwendigen Mittel für die Kosten der Besuchsrechtsausübung verwendet werden (Urteil 5A_292/2009 vom 2. Juli 2009 E. 2.3.1.3, in: FamPra.ch 2009 S. 1104). Entsprechend hat die Vorinstanz, indem sie bei der Kostenauferlegung die finanziellen Verhältnisse der Eltern berücksichtigt hat, die in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätze korrekt angewandt.
5.6. Die Vorinstanz hat folglich anlässlich der Festlegung der Besuchsrechtsmodalitäten ihr Ermessen bundesrechtskonform ausgeübt.
6.
Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Der obsiegenden Beschwerdegegnerin sind mangels Einholens einer Vernehmlassung keine ersatzpflichtigen Kosten entstanden, sodass keine Parteientschädigung zu sprechen ist (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, da die Beschwerde nach dem Ausgeführten als von Anfang an aussichtslos beurteilt werden muss (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor Bundesgericht wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. August 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Scheiwiller