Faits :
A.
C._ (ci-après : le défunt), né le 22 août 2000, s'est suicidé le 29 mars 2019 au Foyer D._, où il était hébergé en qualité de requérant d'asile.
Par courrier du 4 juin 2019, A._, B._ et E._, se présentant comme le père, la mère et la soeur du défunt, ont déposé plainte pénale contre inconnu en leur nom et pour leur compte, en invoquant les faits suivants qu'ils ont considérés comme susceptibles de constituer, entre autres, une violation du devoir d'assistance et d'éducation (<ref-law>), des lésions corporelles simples commises sur un enfant sur lequel l'auteur avait le devoir de veiller (<ref-law>), une entrave à l'action pénale (<ref-law>), voire exposition (<ref-law>), des faux dans les titres commis dans l'exercice d'une fonction officielle (<ref-law>) et d'abus d'autorité (<ref-law>). En substance, ils invoquent que, le 31 janvier 2017, le défunt aurait reçu des coups de poing - dont plusieurs au visage - de la part des agents chargés de la sécurité du foyer où il résidait; malgré ces coups, il n'avait pas été conduit auprès d'un médecin. La police était intervenue et sa curatrice, présente, avait consigné les faits dans un rapport, sans que ceux-ci ne soient pourtant dénoncés; ce manquement serait constitutif d'une violation du devoir d'assistance et d'éducation du moment que l'agressé aurait dû recevoir les soins dont il avait besoin et qu'un constat médical aurait été indispensable à la sauvegarde de ses droits en qualité de victime. A._, B._ et E._ reprochent également à divers intervenants, en qualité d'autorités de poursuite pénale, d'avoir commis des infractions contre les devoirs de fonction et l'administration de la justice, en particulier en écartant une vidéo montrant les coups reçus et en rédigeant les procès-verbaux d'audition des participants à l'altercation.
A l'appui de leur plainte, ils ont déposé différentes pièces, dont des rapports de renseignements et les procès-verbaux d'auditions de quatre agents de sécurité, ainsi que celui du défunt, entendu comme prévenu en présence de sa curatrice.
B.
Par décision du 1er octobre 2019, le Ministère public de la République et canton de Genève a dénié la qualité de partie plaignante à A._, B._ et E._.
Le 18 décembre 2019, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève a partiellement admis le recours intenté par les trois précités et a annulé la décision attaquée, admettant que A._, B._ et E._ revêtaient "la qualité de parties plaignantes dans la procédure P/11762/2019 au sens de considérants". Elle les a mis au bénéfice de l'assistance judiciaire, leur a désigné Me Laïla Batou comme avocate d'office et a laissé les frais de l'instance à la charge de l'État, renvoyant à l'autorité compétente la fixation de l'indemnisation de leur mandataire.
Dans sa décision, l'autorité cantonale a admis que A._, B._ et E._ pouvaient se constituer parties plaignantes pour les infractions protégeant la vie et l'intégrité corporelle du défunt, ainsi que pour la violation du devoir d'assistance et d'éducation dû à celui-ci. En revanche, elle a considéré que A._, B._ et E._ n'étaient pas légitimés à invoquer des infractions contre l'administration de la justice ou les devoirs de fonction.
C.
Par courrier du 20 janvier 2019 [recte : 2020], A._ et B._ interjettent un recours en matière pénale. Ils concluent, sous suite de frais et dépens, principalement à l'annulation de la décision du 18 décembre 2019. Ils demandent que leur soit reconnue la qualité de parties plaignantes dans la procédure P/11762/2019 et qu'une indemnité équitable leur soit versée à titre de dépens pour la procédure devant la Chambre pénale de recours. Subsidiairement, ils requièrent le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants. Ils demandent également à être dispensés de fournir une avance de frais.
Invité à se déterminer, le Ministère public a conclu au rejet du recours sans former de déterminations. Quant à la cour cantonale, elle a renoncé à former des observations.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 186).
La décision attaquée a admis que les recourants pouvaient se constituer parties plaignantes pour les infractions protégeant la vie et l'intégrité corporelle du défunt, ainsi que pour la violation du devoir d'assistance et d'éducation. En revanche, cette possibilité leur a été refusée concernant les infractions contre l'administration de la justice et les devoirs de fonction. Ce prononcé, rendu dans le cadre d'une procédure pénale par une juridiction cantonale statuant en dernière instance, peut donc faire l'objet d'un recours en matière pénale au sens des <ref-law>.
Dans la mesure où les recourants sont définitivement écartés de l'instruction s'agissant des infractions d'entrave à l'action pénale (<ref-law>) et d'abus d'autorité (<ref-law>) en lien avec de prétendus faux dans les titres commis par des fonctionnaires ou des officiers publics (<ref-law>), le prononcé attaqué est une décision finale au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1 p. 312). Dans la mesure où les recourants soutiennent en substance que la commission de ces infractions visait à empêcher l'instruction de celles pour lesquelles ils sont parties plaignantes, ils disposent d'un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée leur déniant la qualité de partie, soit notamment le droit de participer à l'instruction des faits y relatifs en tant que parties plaignantes. Par conséquent, la qualité pour recourir doit leur être reconnue à ce stade, indépendamment de l'existence de conclusions civiles (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 5).
Pour le surplus, le recours a été déposé en temps utile (<ref-law>) et les conclusions prises sont recevables (<ref-law>). Partant, il y a lieu d'entrer en matière.
2.
Est seule litigieuse la question de savoir si la qualité de lésé dans la procédure pénale en cours (P/11762/2019) peut ou non être reconnue aux recourants dans la mesure où celle-ci porte sur des infractions en rapport avec l'administration de la justice ou les devoirs de fonction, en particulier l'abus d'autorité et le faux dans les titres commis dans l'exercice de fonctions publiques.
3.
Selon l'<ref-law>, on entend par partie plaignante le lésé qui déclare expressément vouloir participer à la procédure pénale comme demandeur au pénal ou au civil. La notion de lésé est définie à l'<ref-law>. Il s'agit de toute personne dont les droits ont été touchés directement par une infraction (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 495; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 78; <ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 457).
Lorsque la norme ne protège pas en première ligne les biens juridiques individuels, seule est considérée comme lésée la personne qui est affectée dans ses droits par l'infraction sanctionnée par la norme en cause, pour autant que l'atteinte apparaisse comme la conséquence directe du comportement de l'auteur. Il suffit, dans la règle, que le bien juridique individuel dont le lésé invoque l'atteinte soit protégé secondairement ou accessoirement, même si la disposition légale protège en première ligne des biens juridiques collectifs. En revanche, celui dont les intérêts privés ne sont atteints qu'indirectement par une infraction qui ne lèse que des intérêts publics, n'est pas lésé au sens du droit de procédure pénale (<ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 495; <ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 457). Pour être directement touché, le lésé doit en outre subir une atteinte en rapport de causalité directe avec l'infraction poursuivie. Les personnes subissant un préjudice indirect ou par ricochet n'ont donc pas le statut de lésé et sont des tiers n'ayant pas accès au statut de partie à la procédure (ATF <ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 457; arrêts 1B_253/2019 du 11 novembre 2019 consid. 4.2 publié in Pra 2020 8 94; 1B_576/2018 du 26 juillet 2019 consid. 2.3 et les arrêts cités).
L'<ref-law> ajoute que sont toujours considérées comme des lésées les personnes qui ont qualité pour déposer plainte pénale. Cette disposition étend donc la qualité de lésé à d'autres personnes habilitées, soit les représentants légaux, les héritiers du lésé, ainsi que des autorités et organisations habilitées à porter plainte (arrêts 6B_868/2019 du 3 octobre 2019 consid. 3.2; 1B_576/2018 du 26 juillet 2019 consid. 2.3 et les références citées).
4.
L'autorité cantonale a nié aux recourants la qualité de partie plaignante en rapport avec l'infraction d'entrave à l'action pénale; l'<ref-law> protège le fonctionnement de la justice, soit un bien collectif, ce qui exclut que l'invocation de cette disposition légale puisse fonder la qualité pour agir en justice d'une partie agissant pour la défense de ses intérêts privés (cf. consid. 3.5 p. 8 de l'arrêt attaqué). Ce raisonnement n'est pas contesté devant le Tribunal fédéral. Les recourants relèvent en effet, en se référant à la jurisprudence (voir <ref-ruling> consid. 4.2 p. 462; arrêt 6B_143/2020 du 1er avril 2020 consid. 1.2 et les arrêts cités), que l'entrave à l'action pénale protège exclusivement un bien juridique collectif (cf. ad C/a p. 10 du mémoire de recours).
5.
Dans leur plainte du 4 juin 2019, les recourants invoquaient une violation du secret de fonction (<ref-law> [cf. p. 1 de cette écriture]) sans préciser sur quels faits ils fondaient l'infraction. Dans la partie en droit de celle-ci, ils ne développaient en effet que des arguments en lien avec les art. 219, 123, 317 ch. 1, 312 et 305 CP (cf. p. 5 ss de la plainte).
L'autorité cantonale ne s'est pas prononcée sur ce point dans sa décision. Si les recourants font à nouveau brièvement état de cette infraction dans leur recours fédéral (cf. ad C/a p. 10 du recours), ils ne donnent aucune précision à cet égard - notamment quant aux faits entrant en considération - et ne soulèvent aucune argumentation tendant à démontrer une appréciation ou un établissement arbitraire des faits et/ou une violation de leur droit d'être entendus à cet égard, notamment par rapport aux éventuels arguments soulevés dans leur recours cantonal sur cette problématique. Partant, on ne saurait reprocher à l'autorité précédente de n'avoir pas examiné cette question.
6.
Dans la mesure où l'on peut comprendre l'argumentation des recourants, l'abus d'autorité (<ref-law>) et le faux dans les titres commis dans l'exercice de fonctions publiques (<ref-law>) auraient été commis par les fonctionnaires de police agissant dans le cadre d'une procédure pénale diligentée contre le défunt devant le Juge des mineurs genevois. Les recourants semblent considérer que les policiers auraient commis un abus d'autorité et/ou un faux dans les titres lorsqu'ils avaient attesté, dans un rapport d'enquête, qu'une "vidéo à charge des agents de sécurité ne comport[ait] pas d'éléments exploitables mais uniquement des bruits de conflits" alors que, de l'avis des recourants, ce ne serait pas le cas; les infractions précitées auraient également été réalisées lorsque les fonctionnaires de police avaient verbalisé, de façon rigoureusement identique ("copier-coller"), les déclarations de deux agents de sécurité entendus comme personnes appelées à donner des renseignements. Cette circonstance montrerait, selon les recourants, que ces policiers n'auraient pas agi conformément aux devoirs de leurs charges.
6.1. Aux termes de l'<ref-law>, les membres d'une autorité et les fonctionnaires qui, dans le dessein de se procurer ou de procurer à un tiers un avantage illicite, ou dans le dessein de nuire à autrui, auront abusé des pouvoirs de leur charge, seront punis d'une peine privative de liberté de cinq ans au plus ou d'une peine pécuniaire.
Cette norme protège tant l'intérêt de l'État à pouvoir compter sur des fonctionnaires fiables faisant un usage raisonné du pouvoir de puissance publique qui leur a été conféré que celui des citoyens à n'être pas en but à un exercice incontrôlé et arbitraire du pouvoir ainsi confié (<ref-ruling> consid. 1b p. 212; arrêts 6B_694/2019 du 11 juillet 2019 consid. 2.3.1; 6B_1318/2017 du 9 février 2018 consid. 7.2.3 publié in SJ 2018 I 433).
En lien avec cette infraction, les recourants se prévalent du fait que les fonctionnaires de police auraient abusé de leurs pouvoirs en écartant un moyen de preuve susceptible d'établir que le défunt aurait subi des lésions corporelles de la part d'un ou plusieurs agents de sécurité; de plus, ces mêmes policiers auraient arrangé les auditions des agents de sécurité afin que leurs déclarations paraissent concordantes. Il y a dès lors lieu d'admettre que la qualité de lésés, respectivement la possibilité de se porter partie plaignante, doit être reconnue aux recourants, puisque ces agissements ont pu porter atteinte à leurs intérêts juridiquement protégés en vue de faire établir l'existence de lésions corporelles commises sur le défunt et/ou une violation du devoir d'assistance et d'éducation.
6.2. L'<ref-law> vise non seulement à protéger la confiance du public dans l'exactitude d'un titre mais encore la confiance spéciale dont jouissent les actes officiels de l'État et aussi l'intérêt de l'État à une gestion fiable par ses fonctionnaires (<ref-ruling> consid. 2b p. 116 s.; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 288 s.). Le faux dans les titres peut cependant également porter atteinte à des intérêts individuels; une personne peut être considérée comme lésée par un faux lorsque celui-ci vise précisément à lui nuire (arrêt 6B_306/2013 du 21 février 2014 consid. 2.3; DUPUIS ET AL., Petit Commentaire, Code pénal, 2e éd. 2017, n° 1 ad <ref-law>P: voir également <ref-ruling> consid. 3.3.3 p. 159).
Les recourants prétendent en substance que l'établissement des procès-verbaux d'audition par certains fonctionnaires de police constituerait des infractions à l'<ref-law>. Ce faisant, les recourants remettent en cause la transcription des propos tenus par les personnes entendues telle qu'effectuée par les policiers. Selon les recourants, leur manière de procéder - par "copier-coller" - aurait eu comme but de dissimuler la commission d'infractions par les agents de sécurité à l'encontre du défunt. Les intérêts privés des recourants pourraient donc avoir été touchés et il y a par conséquent lieu de leur reconnaître la qualité de partie plaignante.
Enfin, le raisonnement de l'autorité cantonale ne saurait être suivi dans la mesure où, appelée à se prononcer sur la qualité de partie plaignante, elle a constaté que l'infraction de faux dans les titres commis dans l'exercice de fonctions publiques n'était pas réalisée et que, de ce fait, une constitution de partie plaignante n'entrait pas en considération. Cette motivation, qui a trait au défaut de réalisation d'une des conditions de l'infraction dénoncée, s'apparente à un classement de la procédure (<ref-law>). Or, cette compétence appartient en première instance, non pas à l'autorité de recours au sens de l'<ref-law>, mais au Ministère public (art. 318 al. 1 et 319 al. 1 CPP), respectivement au tribunal de première instance en cas de renvoi en jugement (<ref-law>).
6.3. Il découle des considérations précédentes qu'en l'état et dans la mesure où leur statut d'héritiers du défunt devrait être définitivement établi, la qualité de partie plaignante doit être reconnue aux recourants pour les infractions d'abus d'autorité (<ref-law>) et de faux dans les titres commis dans l'exercice de fonctions publiques (<ref-law>).
7.
Concernant les frais et dépens de la décision cantonale, les recourants estiment, que, du fait de l'admission de leur recours cantonal, une indemnité de dépens devait être allouée à leur mandataire.
Ce grief est cependant sans objet. En effet, vu l'issue du litige qui démontre que le recours cantonal aurait dû être admis sur l'ensemble des griefs à l'exclusion d'un seul point (cf. <ref-law>), une nouvelle appréciation de la répartition des frais et dépens et, le cas échéant, de l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure de recours, semble s'imposer; cela vaut d'autant plus que l'autorité précédente ne paraît avoir renvoyé au juge du fond que la fixation de l'indemnité d'avocat d'office de la mandataire des recourants (<ref-law> par renvoi de l'<ref-law>), sans statuer expressément sur un tel renvoi s'agissant d'une éventuelle indemnité à titre de dépens s'agissant des griefs admis (art. 421, 433 et 436 al. 1 CPP; sur cette problématique, voir <ref-ruling> consid. 3.2.2 p. 169 s., arrêts 6B_1360/2016 du 10 novembre 2017 consid. 3.2 et 6B_1324/2015 du 23 novembre 2015 consid. 2.3).
8.
Il s'ensuit que le recours est partiellement admis. Le jugement attaqué est annulé dans la mesure où il dénie la qualité de partie plaignante aux recourants en rapport avec les infractions d'abus d'autorité (<ref-law>) et de faux dans les titres commis dans l'exercice de fonctions publiques (<ref-law>). La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision sur les frais et dépens cantonaux.
Les recourants, qui obtiennent pour l'essentiel gain de cause avec l'assistance d'un avocat, ont droit à une indemnité de dépens pour la procédure fédérale à la charge de la République et canton de Genève (<ref-law>). Il n'y a pas lieu de percevoir de frais judiciaires pour la procédure fédérale (<ref-law>). La requête d'assistance judiciaire est dès lors sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis. Le jugement du 18 décembre 2019 de la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève est modifié en ce sens que la qualité de partie plaignante est également reconnue aux recourants pour les infractions d'abus d'autorité et de faux dans les titres commis dans l'exercice de fonctions publiques. La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision sur les frais et dépens cantonaux.
2.
La requête d'assistance judiciaire est sans objet.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Une indemnité de dépens, fixée à 2'000 fr., est allouée à la mandataire des recourants à la charge de la République et canton de Genève.
5.
Le présent arrêt est communiqué à la mandataire des recourants, au Ministère public de la République et canton de Genève et à la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 18 juin 2020
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Chaix
La Greffière : Kropf