Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1965 geborene A._ war zuletzt bis Ende November 2013 als Elektromonteur bei der B._ AG angestellt gewesen. Bereits im Juli 2013 hatte er sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet. Die IV-Stelle des Kantons Zürich (nachfolgend: IV-Stelle) tätigte verschiedene Abklärungen in erwerblicher und medizinischer Hinsicht. Sie zog die Akten des Krankentaggeldversicherers (Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft AG) bei. Am 22. Januar 2014 teilte sie A._ mit, es seien zurzeit keine beruflichen Eingliederungsmassnahmen möglich, weshalb sein Rentenanspruch geprüft werde. Am 1. Dezember 2014 verwies die IV-Stelle auf die Schadenminderungspflicht der versicherten Person und forderte A._ auf, er möge sich einer nachhaltigen Psycho- und Pharmakotherapie unterziehen. Gleichentags und nochmals am 9. April 2015 stellte die Verwaltung in Aussicht, sein Leistungsbegehren bei einem Invaliditätsgrad von 11 bzw. 14 % abzuweisen. Nachdem A._ dagegen mehrfach hatte Einwände vorbringen lassen, wies die IV-Stelle das Leistungsbegehren am 10. Juni 2015 ab (Invaliditätsgrad 14 %). Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 7. Februar 2017 in dem Sinne gut, als es die angefochtene Verfügung aufhob und die Sache zu weiteren Abklärungen im Sinne der Erwägungen und zur Neubeurteilung an die Verwaltung zurückwies.
A.b. Die IV-Stelle tätigte in der Folge weitere Abklärungen. Insbesondere veranlasste sie eine bidisziplinäre (psychiatrisch-rheumatologische) Begutachtung bei der Abklärungsstelle H._ (Expertise vom 13. September 2017). Gestützt darauf wies die Verwaltung das Leistungsbegehren nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens erneut ab (Verfügung vom 9. Juli 2018; Invaliditätsgrad 10 %).
B.
Die dagegen von A._ erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 16. April 2020 ab.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, es sei ihm unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids vom 16. April 2020 ab Februar 2014 eine ganze Rente der Invalidenversicherung zuzusprechen. Es sei festzustellen, dass sein rechtliches Gehör verletzt worden sei. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Vornahme weiterer Abklärungen und zur Gewährung des rechtlichen Gehörs an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner sei die IV-Stelle zu verpflichten, ihm die Kosten von Fr. 2400.- für die ausführlichen Berichte des Dr. med. C._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, zu ersetzen.

Erwägungen:
1.
Feststellungsbegehren sind im Verhältnis zu Leistungs- oder Gestaltungsbegehren subsidiär. Sie sind im bundesgerichtlichen Verfahren nur zulässig, sofern an der Feststellung ein schutzwürdiges Interesse besteht, und dieses nicht ebenso gut mit einem rechtsgestaltenden (Leistungs- oder Gestaltungs-) Urteil gewahrt werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 4; <ref-ruling> E. 4 S. 122; Urteil 9C_582/2016 vom 16. Januar 2017 E. 2.2 mit diversen Hinweisen). Der Beschwerdeführer ersucht unter anderem um Feststellung, dass sein Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt worden sei. Gleichzeitig beantragt er eine ganze Rente ab Februar 2014, eventualiter die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur Vornahme weiterer Abklärungen und zur Gewährung des rechtlichen Gehörs. Im Rahmen dieses Leistungsstreits kommt dem Feststellungsantrag keine selbständige Bedeutung zu.
2.
2.1. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG), die Feststellung des Sachverhalts nur, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Indes prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (vgl. Art. 42 Abs. 1 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1 S. 236).
3.
Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie die rentenablehnende Verfügung vom 9. Juli 2018 bestätigte.
3.1. Die Vorinstanz hat die Bestimmungen und Grundsätze über den Begriff der Erwerbsunfähigkeit (Art. 7 ATSG) und der Invalidität (Art. 8 ATSG in Verbindung mit Art. 4 Abs. 1 IVG) sowie den Anspruch auf eine Invalidenrente (Art. 28 IVG) zutreffend dargelegt. Dasselbe gilt für die Ermittlung des Invaliditätsgrads nach der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs (Art. 16 ATSG), die Aufgabe des Arztes im Rahmen der Invaliditätsbemessung (<ref-ruling> E. 3.2 S. 195; <ref-ruling> E. 4 S. 99) und die Würdigung medizinischer Berichte (<ref-ruling> E. 1.3.4 S. 227; <ref-ruling> E. 3a S. 352), namentlich bei Hausärzten (BGE <ref-ruling> E. 3b/cc S. 353). Korrekt sind auch die Ausführungen zur Beurteilung der Invalidität bei psychischen Leiden anhand der sogenannten Standardindikatoren (<ref-ruling>; <ref-ruling> und 418). Darauf wird verwiesen.
3.2. Zu wiederholen ist, was folgt:
3.2.1. Es liegt regelmässig keine versicherte Gesundheitsschädigung vor, soweit die Leistungseinschränkung auf Aggravation oder einer ähnlichen Erscheinung beruht. Hinweise auf solche und andere Äusserungen eines sekundären Krankheitsgewinns ergeben sich namentlich, wenn: eine erhebliche Diskrepanz zwischen den geschilderten Schmerzen und dem gezeigten Verhalten oder der Anamnese besteht; intensive Schmerzen angegeben werden, deren Charakterisierung jedoch vage bleibt; keine medizinische Behandlung und Therapie in Anspruch genommen wird; demonstrativ vorgetragene Klagen auf den Sachverständigen unglaubwürdig wirken; schwere Einschränkungen im Alltag behauptet werden, das psychosoziale Umfeld jedoch weitgehend intakt ist. Nicht per se auf Aggravation weist blosses verdeutlichendes Verhalten hin (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 287 f. mit Hinweisen).
3.2.2. Wann ein Verhalten (nur) verdeutlichend und unter welchen Voraussetzungen die Grenze zur Aggravation und vergleichbaren leistungshindernden Konstellationen überschritten ist, bedarf einer einzelfallbezogenen, sorgfältigen Prüfung auf einer möglichst breiten Beobachtungsbasis auch in zeitlicher Hinsicht (SVR 2015 IV Nr. 38 S. 121, 9C_899/2014 E. 4.2.2; Urteil 9C_658/2018 vom 11. Januar 2019 E. 4.1).
3.2.3. Besteht im Einzelfall Klarheit darüber, dass solche Ausschlussgründe die Annahme einer Gesundheitsbeeinträchtigung verbieten, so besteht von vornherein keine Grundlage für eine Invalidenrente, selbst wenn die klassifikatorischen Merkmale einer Störung gegeben sein sollten (vgl. Art. 7 Abs. 2 erster Satz ATSG). Soweit die betreffenden Anzeichen neben einer ausgewiesenen verselbständigten Gesundheitsschädigung auftreten, sind deren Auswirkungen derweil im Umfang der Aggravation zu bereinigen (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 288 mit Hinweisen; Urteile 9C_524/2020 vom 23. November 2020 E. 4.3; 9C_501/2018 vom 12. März 2019 E. 5.1; 8C_825/2018 vom 6. März 2019 E. 8.3).
4.
Die Vorinstanz stellte in Würdigung der medizinischen Akten, insbesondere gestützt auf die von ihr als beweiskräftig erachteten Expertise der Abklärungsstelle H._ vom 13. September 2017 für das Bundesgericht verbindlich (vgl. E. 2.1 hievor) fest, Vielfalt und Fülle an Inkonsistenzen und Auffälligkeiten liessen beim Beschwerdeführer auf eine Aggravation schliessen. Das kantonale Gericht bejahte einen Ausschlussgrund im Sinne der in E. 3.2 hievor wiederholten Rechtsprechung. Folglich verzichtete es auf die Durchführung eines strukturierten Beweisverfahrens und schloss mit den Administrativgutachtern in der Expertise der Abklärungsstelle H._ auf eine volle Arbeitsfähigkeit in angepasster Tätigkeit.
5.
5.1. In formeller Sicht rügt der Beschwerdeführer Gehörsverletzungen sowohl durch das kantonale Gericht wie auch durch die Verwaltung (zur Begründungspflicht als Teilgehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör gemäss Art. 29 Abs. 2 BV: vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 436). In Bezug auf letzteres lässt der Beschwerdeführer mit seinen Einwänden ausser Acht, dass vor Bundesgericht nicht die Verfügung der IV-Stelle vom 9. Juli 2018, sondern der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 16. April 2020 auf dem Prüfstand steht. Darin setzte sich die Vorinstanz eingehend mit der bereits im kantonalen Verfahren gerügten Gehörsverletzung auseinander. Diese schloss wohl auf eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, weil die Verfügung vom 9. Juli 2018 nicht die zu erwartende Begründungsdichte aufweise. In der Folge bejahte das kantonale Gericht indessen eine Heilung dieses Mangels. Der Beschwerdeführer nimmt keinerlei Bezug auf diese massgebenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid. Es erübrigen sich Weiterungen dazu (zur Begründungs- bzw. Rügepflicht vgl. E. 2.2 hievor).
An der Sache vorbei zielt der Einwand des Beschwerdeführers, das kantonale Gericht habe seinerseits eine Gehörsverletzung begangen, weil es sich nicht mit der Beurteilung der Standardindikatoren durch den behandelnden Psychiater Dr. med. C._ auseinandergesetzt habe. Das kantonale Gericht hatte gerade einen Ausschlussgrund bejaht und ging deshalb davon aus, die Durchführung eines strukturierten Beweisverfahrens (und damit auch eine Auseinandersetzung mit der Beurteilung der Standardindikatoren durch den Behandler) erübrige sich (vgl. dazu nachfolgend E. 5.4). Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs ist darin nicht zu erblicken.
5.2. Der Beschwerdeführer wendet sich weiter gegen die Beweiskraft der bidisziplinären Expertise der Dres. med. D._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, und E._, FMH Innere Medizin, spez. Rheumatologie, vom 13. September 2017.
5.2.1. Vorerst rügt der Versicherte, das psychiatrische Teilgutachten sei unvollständig, weil darin das Vorliegen einer chronischen Schmerzstörung mit somatischen und psychischen Faktoren (ICD-10 F45.41) nicht geprüft worden sei. Dieser Einwand beruht auf einer verkürzten Darstellung der Expertise und zielt deshalb ins Leere. So wies der Gutachter ausdrücklich darauf hin, dass er die Diagnose nach ICD-10 F45.41 nicht verwende, da diese in der Schweizer Ausgabe des ICD-10 nicht vorhanden und dort nicht eingefügt worden sei, weil sie nicht hinreichend von der - im Gutachten geprüften - anhaltenden somatoformen Schmerzstörung (ICD-10 F45.4) abgrenzbar sei (vgl. zum Ganzen Urteil 9C_168/2015 vom 13. April 2016 E. 3.2). Ebenso wenig schadet dem Beweiswert der Expertise der blosse Umstand, dass Dr. med. D._ in einer Fussnote des psychiatrischen Teilgutachtens eine ältere Auflage (konkret die 8. Auflage 2011) der ICD-10 zitierte. Unverfänglich ist auch die Rüge, es fehlten dem Gutachter Kenntnis der aktuellen Rechtsprechung. So wies Dr. med. D._ ausdrücklich auf die Standardindikatoren hin (vgl. dazu nachfolgend E. 5.2.2). Inwiefern eine psychiatrische Begutachtung darüber hinaus besondere juristische Kenntnisse voraussetzte ist weder ersichtlich noch in der Beschwerde dargetan (zur Aufgabenteilung zwischen Gericht und medizinischen Experten: vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 195).
5.2.2. Der Beschwerdeführer weist weiter darauf hin, die IV-Stelle sei mit Urteil vom 7. Februar 2017 vom kantonalen Gericht verbindlich angewiesen worden, weitere medizinische Abklärungen zu der Frage zu tätigen, ob und inwiefern sich anhand der Standardindikatoren eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit ergeben würde. Das Gutachten der Abklärungsstelle H._ scheine sich aber auf die veraltete Rechtsprechung zu den pathogenetisch-ätiologisch unklaren syndromalen Beschwerdebildern ohne nachweisbare organische Grundlage zu beziehen. Mit diesem Einwand lässt der Beschwerdeführer ausser Acht, dass der psychiatrische Gutachter ausdrücklich auf die neue Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> Bezug nahm. Demgegenüber sind im Gutachten keine Hinweise auf die seinerzeitige Rechtsprechung zur Überwindbarkeit einer Schmerzsymptomatik (vgl. <ref-ruling>) zu finden. Unter Bezugnahme auf die aktuelle Rechtsprechung beschrieb Dr. med. D._ unter anderem deutliche Hinweise auf eine massive Aggravation der geklagten Beschwerden sowie Inkonsistenzen und verneinte eine eigenständige psychische Erkrankung. Dass die Vorinstanz in der Folge auf eine Indikatorenprüfung verzichtete liegt entgegen der Vorbringen in der Beschwerde nicht an einer Mangelhaftigkeit der Expertise der Abklärungsstelle H._ oder an der Berücksichtigung einer veralteten Rechtsprechung. Vielmehr bejahte das kantonale Gericht gestützt auf das Gutachten sowie auf die übrige Aktenlage einen Ausschlussgrund im Sinne der in E. 3.2 wiederholten aktuellen Rechtsprechung (vgl. dazu nachfolgend E. 5.3 und 5.4).
5.3. Es ist dem kantonalen Gericht zuzustimmen, dass sich aus den medizinischen Akten (teils Jahre zurück) zahlreiche Hinweise auf Inkonsistenzen und Auffälligkeiten finden. Insbesondere wiesen die Gutachter des MZG in der interdisziplinären Expertise vom 13. September 2017 auf verschiedene solche hin. Der psychiatrische Gutachter schloss unter Hinweis auf konkrete Beispiele aus der Exploration auf Inkonsistenzen bei der Beschwerdeschilderung sowie auf deutliche Hinweise für eine massive Aggravation der geklagten Beschwerden (zum Begriff: SVR 2015 IV Nr. 38 S. 21 E. 4.2.2, 9C_899/2014), möglicherweise gar für eine Simulation (zum Begriff: Foerster/Winckler, in: Psychiatrische Begutachtung, 2009, S. 27 ff.; Hardy Landolt, Die Rechtsvorstellung der zumutbaren Willensanstrengung im Sozialversicherungsrecht, in: Schmerz und Arbeitsunfähigkeit, 2003, S. 158 ff.). Auch der rheumatologische Gutachter wies auf Diskrepanzen, eine offensichtlich bewusstseinsnahe Schmerzverdeutlichung sowie eine Selbstlimitierung hin. Selbst wenn eine Aggravation mit Blick auf die einschneidenden Folgen einer Anspruchsverneinung nicht leichthin angenommen werden darf (SVR 2016 UV Nr. 25 S. 81, 8C_438/2015 E. 7.2), ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz von einer solchen ausging. Dies umso weniger, als sich das kantonale Gericht auch eingehend mit der abweichenden Einschätzung des behandelnden Psychiaters Dr. med. C._ auseinandersetzte. Dieser hatte in seiner Stellungnahme vom 4. Dezember 2017 eine Aggravation im Wesentlichen mit der Begründung verneint, ein daraus sich ergebender Vorteil für den Beschwerdeführer sei nicht ersichtlich. Mit der Vorinstanz ist diesbezüglich festzuhalten, dass diese Auffassung mit Blick auf die vom Beschwerdeführer anbegehrte Rente bei gleichzeitig geklagten grossen finanziellen Schwierigkeiten wenig überzeugt. Mit den entsprechenden Darlegungen im angefochtenen Entscheid setzt sich der Beschwerdeführer ebenso wenig auseinander wie mit den gutachterlichen Ausführungen zu den zahlreichen Auffälligkeiten und Inkonsistenzen im Rahmen der Exploration. Die in der Beschwerde vorgetragenen Einwände erschöpfen sich vielmehr im erneuten Hinweis auf Schmerzen sowie in der Behauptung, abgesehen von der mangelnden Kooperation bei der testpsychologischen Untersuchung fehlten Hinweise auf eine Aggravation. Auf derlei allgemein gehaltene appellatorische Kritik tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3 S. 30; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266).
5.4. Ob gestützt auf die ärztlichen Feststellungen bei diagnostizierten anhaltenden somatoformen Schmerzstörungen oder vergleichbaren psychosomatischen Leiden und erkannter Aggravation auf einen Ausschlussgrund geschlossen werden kann, stellt eine frei überprüfbare Rechtsfrage dar (SVR 2015 IV Nr. 38 S. 121 E. 4.1, 9C_899/2014; Urteile 8C_925/2015 vom 9. Mai 2016 E. 1.3 und 8C_26/2016 vom 18. Mai 2016 E. 1.3). Im vorliegenden Fall ist die Vorinstanz zu Recht davon ausgegangen, dass insgesamt die Gründe überwiegen, welche die Annahme einer leistungsauslösenden Gesundheitsbeeinträchtigung verbieten. Die Grenzen eines bloss verdeutlichenden Verhaltens sind mit Blick auf das in E. 5.3 Dargelegte klar überschritten (zur diesbezüglichen Grenzziehung vgl. E. 3.2.2 hievor). Zu ergänzen ist, dass sich das kantonale Gericht nicht nur auf die Einschätzungen der Gutachter der Abklärungsstelle H._ stützten, sondern insbesondere mit dem Hinweis auf den Bericht des Zentrums I._ AG vom 6. März 2014 auch der in zeitlicher Hinsicht geforderten breiten Beobachtungsbasis (vgl. dazu E. 3.2.2 hievor) Rechnung trug. Bereits damals hatten Dr. med. F._, FMH Physikalische Medizin und Rehabilitation/Rheumatologie, und der Physiotherapeut G._ auf eine deutliche Selbstlimitierung und ausgeprägte Inkonsistenzen beim Beschwerdeführer hingewiesen. Die festgestellte Aggravation ist auch nicht auf eine verselbständigte, krankheitswertige psychische Störung zurückzuführen. Damit liegt keine versicherte Gesundheitsschädigung vor (vgl. SVR 2017 IV Nr. 21 S. 56, 9C_154/2016 E. 4.3). Bei dieser Ausgangslage durfte die Vorinstanz auf eine indikatorengeleitete Überprüfung des psychischen Leidens verzichten (vgl. auch Urteil 8C_728/2017 vom 31. August 2018 E. 3.2.2).
5.5. Der Beschwerdeführer macht schliesslich geltend, die IV-Stelle habe entgegen den Anweisungen des Rückweisungsentscheids vom 7. Februar 2017 keine Beurteilung der Standardindikatoren vornehmen lassen. Damit sei eine solche Vornahme durch den behandelnden Psychiater Dr. med. C._ erforderlich gewesen. Die IV-Stelle habe entsprechend die Kosten von Fr. 2400.- für die vom Beschwerdeführer beim Behandler eingeholten Berichte zu übernehmen. Nach dem Dargelegten erübrigte sich die Durchführung einer Indikatorenprüfung. Folglich verbietet sich der Schluss, die Vornahme einer entsprechenden Prüfung durch Dr. med. C._ sei für die Beurteilung des Anspruchs unerlässlich gewesen (vgl. dazu Art. 45 Abs. 1 ATSG; <ref-ruling> E. 5c S. 63). Der Beschwerdeführer macht auch nicht geltend, die von ihm veranlassten Berichte wären abweichend von der vorinstanzlichen Auffassung anderweitig für die Entscheidfindung zwingend erforderlich gewesen.
6.
Insgesamt erweist sich der vorinstanzliche Entscheid nicht als bundesrechtswidrig.
7.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. März 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Der Gerichtsschreiber: Williner