Sachverhalt:
A.
Nachdem zwei Leistungsbegehren der 1971 geborenen A._ mit Einspracheentscheid vom 24. April 2003 (bestätigt durch Entscheid des Sozialversicherungsgerichts Basel-Stadt vom 7. Juni 2004) und Verfügung vom 29. Juni 2009 abgewiesen worden waren, meldete sich diese am 27. April 2011 erneut bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Basel-Stadt (nachfolgend: IV-Stelle) tätigte verschiedene erwerbliche und medizinische Abklärungen; namentlich veranlasste sie eine Haushaltabklärung (Bericht vom 30. Januar 2013) sowie eine bidisziplinäre (psychiatrisch-orthopädische) Begutachtung bei den Dres. med. B._ und C._ (Expertisen vom 20. und 24. Februar 2014). Gestützt darauf wies sie das Leistungsbegehren mit Verfügung vom 18. Dezember 2014 ab. Aufgrund eines am 12. August 2014 erfolgten operativen Eingriffs am linken Fuss bzw. sich daraus ergebender Divergenzen in den medizinischen Akten hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt die gegen die Verfügung vom 18. Dezember 2014 eingereichte Beschwerde gut, hob diese auf und wies die Sache zur weiteren Abklärung an die Verwaltung zurück (Entscheid vom 15. April 2015). Die IV-Stelle veranlasste ein polydisziplinäres (orthopädisch-psychiatrisch-neurologisch-internistisches) Gutachten bei der Medizinischen Gutachtenzentrum Region St. Gallen GmbH (MGSG; Expertise vom 27. November 2017; Ergänzung des Dr. med. D._, FMH Orthopädie, vom 13. Februar 2018) sowie erneut eine Haushaltabklärung (Bericht vom 2. Mai 2018). Gestützt darauf wies sie das Leistungsbegehren nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren ab (Verfügung vom 15. November 2018; Invaliditätsgrad 4 %).
B.
Dagegen liess A._ Beschwerde erheben. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt sprach ihr mit Hinweis auf vier Phasen postoperativ bedingter vollständiger Arbeitsunfähigkeit (Operationen vom 14. September 2011, 2. Januar 2013, 12. August 2014 und 1. September 2016) für die Zeit vom 1. Oktober 2011 bis zum 30. Juni 2012 sowie vom 1. November 2014 bis zum 31. August 2015 eine ganze Rente der Invalidenversicherung zu. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab (Entscheid vom 10. September 2019).
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, es sei der Entscheid vom 10. September 2019teilweise aufzuheben und die Sache zur Klärung des medizinischen Sachverhalts und zur Ermittlung ihrer Restarbeitsfähigkeit an die Vorinstanz zurückzuweisen und diese anzuweisen, die notwendigen medizinischen Gutachten einzuholen. Eventualiter ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die (weiteren) Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1 S. 99 mit Hinweis).
1.2. Die Beschwerdeschrift hat unter anderem ein Rechtsbegehren zu enthalten, welches den Umfang des Rechtsstreits umfasst und grundsätzlich so formuliert werden muss, dass es bei Gutheissung zum Urteil erhoben werden kann. Dabei ist anzugeben, welche Punkte des Entscheids angefochten und welche Abänderung des Dispositivs beantragt werden; das Begehren kann sich auch aus der Begründung ergeben (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 1.3 S. 317; <ref-ruling> E 1.2 S 135 f.). Die Beschwerdeführerin beantragt die teilweise Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu weiteren Abklärungen. Welche Teile des angefochtenen Entscheids aufgehoben werden und welche Bestand haben sollen, lässt sich den Anträgen nicht entnehmen. Aus der Begründung geht immerhin hervor, dass die Beschwerdeführerin für den gesamten streitigen Zeitraum um weitere Sachverhaltsabklärungen ersucht. Zudem vertritt sie die Auffassung, sie sei in den postoperativen Zeiträumen wegen Komplikationen weitergehend eingeschränkt gewesen, als aus der Stellungnahme des regionalen ärztlichen Dienstes (RAD) vom 27. Februar 2018 hervorgehe. Mit Blick auf diese Ausführungen ist davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerin insoweit um Aufhebung des angefochtenen Entscheids ersucht, als ihr darin nicht eine ganze Invalidenrente zugesprochen wird.
2.
2.1. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Unter Beachtung der Begründungspflicht in Beschwerdeverfahren (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4 S. 176; <ref-ruling> E. 2.1 und 2.2 S. 245 f.) prüft es indessen nur geltend gemachte Rügen, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind.
2.2. Bei den gerichtlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit resp. deren Veränderung in einem bestimmten Zeitraum handelt es sich grundsätzlich um eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.). Gleiches gilt für die konkrete Beweiswürdigung. Dagegen sind frei überprüfbare Rechtsfragen (Urteil 9C_194/2017 vom 29. Januar 2018 E. 3.2) die unvollständige Feststellung rechtserheblicher Tatsachen sowie die Missachtung des Untersuchungsgrundsatzes (Art. 43 Abs. 1, Art. 61 lit. c ATSG) und der Anforderungen an den Beweiswert ärztlicher Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232).
2.3. Der gerichtliche Überprüfungszeitraum beschränkt sich grundsätzlich auf den Sachverhalt, wie er sich bis zum Erlass der streitigen Verwaltungsverfügung (hier der 15. November 2018) verwirklicht hat (<ref-ruling> E. 3.1.1 S. 220). Unterlagen, die nach dem Verfügungszeitpunkt datieren, sind zu berücksichtigen, wenn und soweit sie sich auf den Zeitraum vor Verfügungserlass beziehen resp. Rückschlüsse darauf zulassen (vgl. Urteil 9C_2018 vom 16. April 2018 E. 3.3.2).
3.
Art. 43 Abs. 1 ATSG statuiert die Sachverhaltsabklärung von Amtes wegen, wobei es grundsätzlich im Ermessen des Versicherungsträgers - und im Beschwerdefall des Gerichts - liegt, darüber zu befinden, mit welchen Mitteln dies zu erfolgen hat. Im Rahmen der Verfahrensleitung kommt ihm ein grosser Ermessensspielraum bezüglich Notwendigkeit, Umfang und Zweckmässigkeit von medizinischen Erhebungen zu. Was zu beweisen ist, ergibt sich aus der jeweiligen Sach- und Rechtslage. Gestützt auf den Untersuchungsgrundsatz ist der Sachverhalt soweit zu ermitteln, dass über den Leistungsanspruch zumindest mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit entschieden werden kann (SVR 2007 UV Nr. 33 S. 111, U 571/06 E. 4.1; Urteil 9C_57/2019 vom 7. März 2019 E. 3.2; UELI KIESER, ATSG-Kommentar, 3. Aufl. 2015, N 20 zu Art. 43 ATSG).
4.
4.1. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG; unechte Noven), was in der Beschwerde näher darzulegen ist (<ref-ruling> E. 3 S. 395). Der vorinstanzliche Verfahrensausgang allein bildet noch keinen hinreichenden Anlass im Sinne von Art. 99 Abs. 1 BGG für die Zulässigkeit von unechten Noven, die bereits im kantonalen Verfahren ohne Weiteres hätten vorgebracht werden können. Tatsachen, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid ereigneten oder Urkunden, die erst nach diesem entstanden sind, können als echte Noven vom Bundesgericht nicht berücksichtigt werden (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 1.2 S. 22 f. mit Hinweisen).
4.2. Der vom Beschwerdeführer neu eingereichte Bericht des Dr. med. E._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, datiert vom 24. Oktober 2019 und damit nach Erlass des angefochtenen Entscheids. Er ist als echtes Novum unzulässig, womit sich auch erübrigt, über die diesbezüglich geltend gemachte Auferlegung von Kosten an die Verwaltung zu befinden.
5.
Streitig ist der Anspruch der Beschwerdeführerin auf eine Rente der Invalidenversicherung.
5.1. Die Vorinstanz mass sowohl dem Gutachten der MGSG vom 27. November 2017 wie auch der bidisziplinären Expertise der Dres. med. C._ und B._ vom Februar 2014, auf welche die Gutachter der MGSG teilweise verwiesen hatten, Beweiswert zu. Den Bericht des Dr. med. E._ vom 5. April 2019 hielt das kantonale Gericht nicht nur für ungeeignet, die MGSG-Expertise vom 27. November 2018 in Zweifel zu ziehen, sondern auch dafür, Rückschlüsse auf den Zeitraum vor Verfügungserlass zuzulassen; entsprechend habe die IV-Stelle diesen als Neuanmeldung entgegenzunehmen. Zur Begründung führte das kantonale Gericht aus, der Bericht sei erst rund fünf Monate nach Erlass der Verfügung bzw. rund drei Monate nach Einreichung der Beschwerde verfasst worden; zudem habe sich der behandelnde Psychiater nicht zur zeitlichen Geltung der attestierten Arbeitsfähigkeit geäussert. Es könne deshalb nicht überwiegend wahrscheinlich angenommen werden, diese Beurteilung habe bereits im Zeitpunkt der Verfügung vom 15. November 2018 gegolten.
5.2. Die Beschwerdeführerin bestreitet den Beweiswert sowohl des MGSG-Gutachtens vom 27. November 2019 wie auch der bidisziplinären Expertise der Dres. med. C._ und B._ vom Februar 2014. Zudem rügt sie eine Verletzung des rechtlichen Gehörs und macht geltend, das kantonale Gericht habe den Untersuchungsgrundsatz verletzt, weil sie trotz anerkanntem Abklärungsbedarf darauf geschlossen habe, Dr. med. E._ habe in seinem Bericht vom 5. April 2019 einen nach Erlass der Verfügung vom 15. November 2019 eingetretenen Gesundheitszustand beschrieben.
6.
6.1. Die Vorinstanz hat sich eingehend mit den im vorinstanzlichen Verfahren vorgebrachten Einwänden gegen den Beweiswert des Gutachtens der MGSG vom 27. November 2019 und die bidisziplinäre Expertise der Dres. med. C._ und B._ vom Februar 2014 auseinandergesetzt und nachvollziehbar dargelegt, weshalb sie den Expertisen Beweiswert zuerkenne. Mit Blick darauf kann keine Rede davon sein, das kantonale Gericht habe das rechtliche Gehör verletzt, weil es sich nicht mit ihren diesbezüglichen Einwänden auseinandergesetzt habe. Auch mit den letztinstanzlich vorgebrachten Vorbringen vermag die Beschwerdeführerin keine Indizien zu nennen, die gegen die Zuverlässigkeit der Gutachten sprechen (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.4 S. 227). Namentlich genügt der Vorwurf nicht, das orthopädische Gutachten der MGSG sei nicht in Kenntnis der Vorakten abgegeben worden, weil zahlreiche (in der Beschwerde ohne inhaltliche Bezugnahme lediglich pauschal mit Datum bezeichnete) Berichte im Aktenauszug auf Seite drei des polydisziplinären Gutachtens nicht genannt würden. Auf diese Vorbringen ist schon deshalb nicht näher einzugehen, weil sich eine Vielzahl der von der Beschwerdeführerin als unberücksichtigt gerügten Berichte - namentlich auch der besonders hervorgehobene Bericht des Dr. med. F._ vom 29. Januar 2015 - an anderer Stelle der Expertise unter dem Titel "Grundlagen für das Gutachten" explizit als relevante Aktenstücke genannt werden. Insofern die Beschwerdeführerin erneut auf den kantonalen Rückweisungsentscheid vom 15. April 2015 Bezug nimmt, hat bereits die Vorinstanz zutreffend erwogen, dieser spreche nicht gegen den Beweiswert der orthopädischen Expertise des Dr. med. C._ vom 20. Februar 2014, sondern habe lediglich einen weiteren Abklärungsbedarf infolge neuer operativer Eingriffe offengelegt. Die weiteren Abklärungen hätten nun ergeben, dass für den Zeitraum bis zur Begutachtung in der MGSG - mit Ausnahme der sich aus der Aufstellung des RAD vom 27. Februar 2018 ergebenden postoperativ bedingten Phasen höherer Arbeitsunfähigkeiten - auf die Expertise C._ abgestellt werden könne. Die Beschwerdeführerin zieht diesen Schluss mit der Behauptung in Zweifel, Dr. med. D._ sei - entgegen der klaren Aktenlage - in seiner ergänzenden Stellungnahme vom 13. Februar 2018 zu Unrecht von einem komplikationslosen postoperativen Verlauf ausgegangen. Es ist indessen weder ersichtlich noch in der Beschwerde genügend dargetan (zur Begründungspflicht vgl. E. 1.2 hievor), inwiefern aus den Akten, namentlich aus den Berichten des Spital G._, vom RAD unberücksichtigt gebliebene postoperative Komplikationen hervorgingen. Ungenügend sind in diesem Zusammenhang jedenfalls die blossen Hinweise auf abweichend attestierte Arbeitsunfähigkeiten.
6.2. Wie die Vorinstanz richtig erwogen hat, ergeben sich aus dem Bericht von Dr. E._ vom 5. April 2019 die neuen Diagnosen Angststörung (ICD-10 F40.1) und Zwangsstörung (ICD-10 F42.2). Zudem spricht der behandelnde Psychiater, im Gegensatz zu den vorhergehenden Ärzten, von einer schweren Episode einer rezidivierenden depressiven Störung ohne somatisches Syndrom (ICD-10 F33.2). Richtig sind auch die Ausführungen des kantonalen Gerichts, der RAD habe gestützt auf diesen Bericht einen weiteren Abklärungsbedarf bejaht. Insbesondere empfahl dieser aufgrund der vom behandelnden Psychiater beschriebenen kognitiven Einschränkungen eine Begutachtung unter Einbezug der Neuropsychologie. Während die IV-Stelle im kantonalen Verfahren vorerst Abweisung der Beschwerde beantragt hatte, lenkte sie am 8. Mai 2019 gestützt auf die RAD-Empfehlung ein, bejahte weiteren Abklärungsbedarf und beantragte neu Rückweisung der Sache an sie. Einen weiteren Abklärungsbedarf stellt auch das kantonale Gericht nicht in Abrede, verweist die Beschwerdeführerin indessen auf den Weg der Neuanmeldung. Diesem Schluss liegt die Auffassung zugrunde, eine allfällig sich aus dem Bericht vom 5. April 2019 ergebende Verschlechterung sei überwiegend wahrscheinlich erst nach dem 15. November 2018 eingetreten. Gründe für diese Annahme ergeben sich indessen weder aus diesem Bericht noch aus den übrigen Akten. Zwar hat sich - so auch Vorinstanz - Dr. med. E._ nicht dazu geäussert, ab wann die von ihm attestierte Arbeitsunfähigkeit Geltung haben soll. Dem Bericht lässt sich aber entnehmen, dass die Beschwerdeführerin bereits ab dem 27. Oktober 2018 und damit vor Erlass der Verfügung am 15. November 2018 bei Dr. med. E._ in Behandlung war. Gleichzeitig fehlen jegliche Hinweise auf eine Veränderung des Gesundheitszustands oder der Arbeitsfähigkeit innerhalb der nur gut fünfmonatigen Behandlungsdauer bis zur Erstattung des Berichts. Insbesondere lässt nichts darauf schliessen, eine allfällige Verschlechterung des Gesundheitszustands sei eher in den gut viereinhalb Monaten zwischen dem 16. November 2018 und dem 5. April 2019 eingetreten als in dem über einjährigen Zeitspanne davor seit den Untersuchungen in der MGSG (August bis Oktober 2017). Inwiefern der blosse Umstand, dass der Bericht fünf Monate nach Behandlungsbeginn bzw. drei Monate nach Einreichung der Beschwerde verfasst wurde, für eine Veränderung erst nach dem 15. November 2018 sprechen sollte, leuchtet nicht ein. Mit Blick darauf lässt die derzeitige Aktenlage den Schluss nicht zu, eine allfällig sich aus dem Bericht vom 5. April 2019 ergebende (unbestritten abklärungsbedürftige) Verschlechterung sei überwiegend wahrscheinlich erst nach der Verfügung vom 15. November 2018 eingetreten. Damit hat das kantonale Gericht den Sachverhalt in Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes nicht weit genug ermittelt (vgl. E. 4 hievor).
7.
Nach dem Gesagten ist die Sache an die IV-Stelle zurückzuweisen (Art. 107 Abs. 2 BGG), damit diese die bisher versäumten Abklärungen nachhole und hiernach neu über das Rentengesuch entscheide. Dabei wird sie die Grenzen der Parteibegehren im vorliegenden Verfahren (vgl. E. 1.2 hievor) zu berücksichtigen haben. Denn im Verfahren vor Bundesgericht gilt das Verbot der reformatio in peius (Art. 107 Abs. 1 BGG), das im Falle einer Rückweisung auch die vorinstanzlichen Behörden bindet (Urteil 8C_419/2018 vom 11. Dezember 2018 E. 4.5).
8.
Die Rückweisung der Sache an die Verwaltung zu weiterer Abklärung und neuer Verfügung mit noch offenem Ausgang gilt für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten und den Anspruch auf Parteientschädigung als vollständiges Obsiegen im Sinne von Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG (vgl. <ref-ruling> E. 7.1 S. 271). Entsprechend sind die Gerichtskosten der unterliegenden Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG), die der Beschwerdeführerin überdies eine angemessene Parteientschädigung zu entrichten hat (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 10. September 2019 und die Verfügung der IV-Stelle Basel-Stadt vom 15. November 2018 werden aufgehoben. Die Sache wird zum Vorgehen im Sinne der Erwägungen und neuer Verfügung an die IV-Stelle des Kantons Basel-Stadt zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. Mai 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Der Gerichtsschreiber: Williner