Faits :
A.
A.a. L.C._, née le 11 juin 1954, était assurée au titre de l'assurance-accident auprès de A._ SA (ci-après: A._ ou l'assureur accident).
Le 24 décembre 1995, elle a été hospitalisée aux Etablissements B._ en raison d'un état grippal avec toux accompagnée d'une respiration pénible. Le lendemain, son état s'est aggravé et elle a été admise aux soins intensifs.
Le 6 janvier 1996, le Dr D._, médecin assistant de troisième année en médecine interne employé par les Etablissements B._, a été chargé de la mise en place d'une voie veineuse centrale sur la patiente. Il lui a perforé l'artère vertébrale lors de la recherche de la veine jugulaire. La patiente a alors fait un malaise, perdu connaissance, puis est tombée dans le coma pendant quelques heures. A son réveil, elle souffrait de tétraplégie avec «locked-in syndrome». Son état ne s'est pas amélioré depuis lors. Nécessitant des soins quotidiens, elle est demeurée hospitalisée aux Etablissements B._.
Dans un premier temps, les frais médicaux consécutifs à cet événement ont été pris en charge par E._ Caisse maladie et accidents (ci-après: E._ou l'assureur maladie), qui assurait L.C._ pour le risque maladie.
Dès août 1998, la lésée percevra également des prestations de l'assurance-invalidité (AI).
En janvier 1996, les Etablissements B._ étaient assurés en responsabilité civile auprès de F._ SA (anciennement F1._; ci-après: F._ ou l'assureur responsabilité civile). Aux termes de la police d'assurance, la prestation de l'assureur responsabilité civile était limitée à 3'000'000 fr. par événement dommageable.
Le 7 avril 1997, A._ a adressé à F._ un avis de recours concernant la lésée.
A.b. En 1998, la famille C._, d'une part, et E._, d'autre part, ont ouvert séparément action en paiement à l'encontre des Etablissements B._. Les procédures ont été jointes.
Par jugement du 21 mars 2002, le Tribunal de première instance de Genève, statuant "à titre partiel", a débouté les Etablissements B._ de l'exception de prescription soulevée à l'égard de E._et les a déclarés responsables du dommage subi par la famille de la lésée à la suite de l'intervention du 6 janvier 1996, au cours de laquelle le Dr D._ avait contrevenu aux règles de l'art médical; le tribunal a également retenu à l'encontre des Etablissements B._ des omissions illicites dans l'organisation de cette intervention.
Le 21 mai 2002, F._ a versé à L.C._ un montant de 500'000 fr. à titre d'indemnisation partielle du dommage subi.
A.c. En 2003, E._a refusé de continuer à fournir des prestations en faveur de la lésée, au motif que l'événement dommageable devait être qualifié d'accident au sens de l'<ref-law> (dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002).
L.C._ a alors requis de A._ qu'elle intervienne en qualité d'assureur accident LAA. S'étant heurtée à un refus, elle a saisi le Tribunal cantonal des assurances sociales, lequel, par jugement du 25 octobre 2005, a considéré que l'événement du 6 janvier 1996 était un accident au sens de la disposition susmentionnée et a invité A._ à fixer les prestations dues à la lésée.
Par décision du 31 mars 2006, A._ a reconnu devoir à la lésée une rente mensuelle d'invalidité de 1'595 fr. et une allocation pour impotent de 898 fr. par mois dès le 1er mars 2006, augmentée à 1'758 fr. par mois dès que l'AI cesserait ses versements. Ces prestations étaient allouées avec effet rétroactif au 1er janvier 1999, compensation étant opérée avec les allocations pour impotent versées par l'AI durant la période du 1er janvier 1999 au 28 février 2006 (complément d'office sur la base du dossier). Le droit à des prestations antérieures était éteint. L.C._ avait en outre droit à la prise en charge d'un éventuel traitement médical empêchant une aggravation notable de son état de santé.
A.d. Par courrier du 14 mars 2005, A._ a demandé à F._ de renoncer à invoquer la prescription, au nom et pour le compte des Etablissements B._, jusqu'au 6 janvier 2006. Par courrier du 22 mars 2005, l'assureur responsabilité civile, au nom et en tant que représentant des Etablissements B._, a renoncé, dans les limites de sa couverture d'assurance (3'000'000 fr.), à se prévaloir de l'exception de prescription jusqu'à la date désirée, pour autant qu'elle ne soit pas encore acquise. Cette renonciation a été renouvelée dans les mêmes termes jusqu'au 31 décembre 2008.
Par courrier du 27 septembre 2006, les Etablissements B._ ont également renoncé à se prévaloir de la prescription jusqu'au 31 décembre 2007, "dans le cadre des limites de couverture prévues par la police" de leur assurance responsabilité civile et pour autant qu'elle ne soit pas encore acquise.
Par la suite, A._ a interrompu la prescription chaque année par des poursuites. Du 18 janvier 2007 au 18 février 2013, des commandements de payer successifs ont été notifiés aux Etablissements B._ pour un montant de 2'600'000 fr. chacun, au titre des suites de l'événement du 6 janvier 1996. Ils ont tous été frappés d'opposition.
A.e. Par courrier du 17 octobre 2006, A._ a réclamé à F._ le remboursement des prestations qu'elle avait fournies à la lésée. Le 9 novembre 2006, l'assureur responsabilité civile a refusé d'entrer en matière, expliquant que le règlement des prétentions directes n'était pas encore terminé, que la lésée disposait d'un droit préférentiel et qu'il apparaissait d'ores et déjà que l'intégralité de la garantie d'assurance lui serait consacrée.
A.f. Le 3 janvier 2008, la famille de la lésée a conclu avec les Etablissements B._ une convention d'indemnisation "de tous dommages survenus suite à l'événement du 6 janvier 1996". La famille de la lésée a alors retiré sa demande en justice contre les Etablissements B._ déposée dix ans plus tôt.
La convention d'indemnisation prévoyait que, en plus de l'acompte de 500'000 fr. versé le 21 mai 2002, les Etablissements B._ créditaient dans leurs livres un capital de 2'150'000 fr. à titre de frais de traitement (frais médicaux, soins et hébergement). Tant et aussi longtemps que la lésée restait hospitalisée aux Etablissements B._, ce capital était imputé d'un forfait journalier de 287 fr. correspondant aux frais de traitement quotidiens convenus (art. I ch. 1). La lésée devait verser aux Etablissements B._ les allocations pour impotent perçues de A._, soit 1'758 fr. par mois (art. I ch. 2). Elle s'engageait également à tout mettre en oeuvre pour obtenir de ses assureurs maladie ou accident le paiement de tous les frais médicaux liés à l'événement du 6 janvier 1996 et à reverser aux Etablissements B._ les montants perçus à ce titre pour la période correspondant à son hospitalisation (art. I ch. 4). En cas de départ de la lésée des Etablissements B._, le solde du capital de 2'150'000 fr. lui serait reversé, après imputation des allocations pour impotent et des frais médicaux futurs couverts par A._, capitalisés sur sa durée de vie selon des tables de capitalisation (art. II ch. 1). En cas de décès, le mari et le fils de la lésée percevraient le solde résiduel du capital de 2'150'000 fr. Les Etablissements B._ se réservaient le droit de déduire de ce solde, au jour du décès, à certaines conditions, les montants versés à A._ ou à l'AI dans le cadre d'un éventuel recours contre le tiers responsable formé par ces institutions (art. II ch. 2).
Les Etablissements B._ devaient en outre verser, dès la signature de la convention, une indemnité forfaitaire de 750'000 fr. à la famille de la lésée, soit 550'000 fr pour L.C._, 100'000 fr. pour son époux et 100'000 fr. pour son fils, pour couvrir "tous les postes du dommage autres que ceux visés" à l'art. I ch. 1 (art. III). En sus, les Etablissements B._ s'engageaient à participer aux honoraires de l'avocat de la famille de la lésée à concurrence de 150'000 fr. (art. IV).
Moyennant fidèle exécution de cette convention, la famille C._ reconnaissait être totalement indemnisée de l'événement du 6 janvier 1996 et n'avoir aucune prétention à faire valoir à l'encontre des Etablissements B._ (art. VI ch. 2).
Dès la signature de la convention d'indemnisation, L.C._ a versé aux Etablissements B._ les allocations pour impotent perçues de A._. Ces versements se sont élevés à 1'758 fr par mois, jusqu'au 28 février 2018, alors que lesdites allocations avaient augmenté au 1er janvier 2008 à 2'076 fr. par mois. Au 31 août 2018, les versements de la lésée aux Etablissements B._ se montaient à un total de 227'334 fr.
Au 31 juillet 2018, les prestations fournies par les Etablissements B._ à la lésée et prélevées sur le capital prévu à cet effet dans leurs livres s'élevaient à 1'000'358 fr.
A.g. Par jugement du 8 mai 2012, le Tribunal de première instance a condamné les Etablissements B._ à rembourser à E._les prestations que l'assureur maladie avait versées à la lésée à la suite de l'événement du 6 janvier 1996 et pour lesquelles il s'était retrouvé subrogé dans les droits de celle-ci. En exécution de ce jugement, E._a perçu le montant en capital et intérêts de 1'467'775 fr.30.
A.h. Pour la période du 1er janvier 1999 au 28 février 2019, A._ a versé à L.C._ les montants suivants:
Indemnités journalières:
- 56'285 fr.
Rentes d'invalidité:
- 140'293 fr. (janvier 1999 à mai 2006), plus 4'446 fr. d'adaptation au renchérissement;
- 20'735 fr. (juin 2006 à mars 2007), plus 1'323 fr. d'adaptation au renchérissement;
- 36'246 fr. (avril 2007 à décembre 2008, soit 1726 fr. x 21 mois);
- 21'480 fr. par an pour les années 2009 à 2018, soit 1'790 fr. x 12 mois);
- 3'580 fr. (janvier et février 2019, soit 1'790 fr. x 2 mois).
Allocations pour impotent:
- 79'631 fr. (janvier 1999 à mai 2006);
- 20'826 fr. (juin 2006 à mars 2007), plus 2'028 fr. d'adaptation au renchérissement;
- 15'822 fr. (avril à décembre 2007, soit 1'758 fr. x 9 mois);
- 249'120 fr. (pour les années 2008 à 2018, soit 2'076 fr. par mois ou 24'912 par an x 10);
- 4'152 fr. (janvier et février 2019, soit 2'076 fr. x 2 mois).
B.
B.a. Par demande du 29 août 2013, A._ a ouvert action contre les Etablissements B._, concluant en dernier lieu au paiement de 1'705'068 fr., intérêts en sus. Ce montant représente les prestations passées (874'199 fr. jusqu'en février 2019) et futures (capitalisation jusqu'au décès de la lésée des rentes d'invalidité à hauteur de 351'930 fr. et des allocations pour impotent à hauteur de 478'939 fr.) dues par l'assureur accident à L.C._ à titre d'indemnités journalières, de rentes d'invalidité et d'allocations pour impotent.
Les défendeurs ont conclu au déboutement de la demanderesse de toutes ses conclusions, au motif que ses prétentions seraient prescrites. En tous les cas, leur couverture d'assurance responsabilité civile auprès de F._ prévoyant un plafond de 3'000'000 fr. avait été entièrement employée à l'indemnisation de la famille de la lésée, de sorte que le droit préférentiel dont cette dernière bénéficiait s'opposait au remboursement des prestations de la demanderesse.
Par ordonnance du 23 janvier 2015, le Tribunal de première instance de Genève a limité la procédure à l'examen de la prescription.
Par jugement du 25 août 2015, il a considéré que la créance de A._ était prescrite et a débouté la demanderesse de toutes ses conclusions.
Par arrêt du 8 avril 2016, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a annulé ce jugement.
Les juges cantonaux ont considéré que la responsabilité des Etablissements B._ était régie par le droit public cantonal en vertu de la réserve de l'<ref-law>. La loi genevoise sur la responsabilité de l'État et des communes du 24 février 1989 était dès lors applicable; elle opérait un renvoi aux délais de prescription de l'action délictuelle du droit privé de l'<ref-law>. Le dies a quo du délai correspondait au 5 janvier 2004, date à laquelle A._ avait reçu le courrier de la lésée dans lequel elle formulait des prétentions à son encontre et auquel était annexé le jugement du 21 mars 2002. Aucun acte interruptif de la prescription au sens de l'<ref-law> n'était intervenu entre le 5 janvier 2004 et le 5 janvier 2005, la première renonciation à la prescription faite par F._ au nom des Etablissements B._ datant du 22 mars 2005. Le délai de prescription relatif d'un an était dès lors acquis (<ref-law>, dans sa teneur alors en vigueur). S'agissant de la prescription pénale de cinq ans (<ref-law>), courant dès la fin des agissements coupables - soit le 6 janvier 1996 -, le délai était venu à échéance le 6 janvier 2001 sans avoir été interrompu.
La cour cantonale s'est ensuite employée à déterminer si A._ pouvait se prévaloir des délais plus longs prévus dans la convention de recours LAA du 1er janvier 1992 conclue entre, d'une part, la CNA et les autres assureurs LAA membres de l'association suisse des assureurs privés maladie et accidents et, d'autre part, les compagnies membres de l'association suisse des assureurs responsabilité civile et automobile (ci-après: la convention de recours LAA 1992). Comme A._ avait notifié à F._ un avis de recours le 7 avril 1997, soit moins de deux ans après l'événement dommageable, la prescription avait été valablement interrompue à l'égard des Etablissements B._ et de F._ pour dix ans, soit jusqu'au 6 janvier 2006, mais uniquement dans les limites de la garantie d'assurance contractuelle, soit à concurrence de 3'000'000 fr. (cf. art. 3.1 et 3.2 convention de recours LAA). Par la suite, F._ avait accepté, pour elle-même et son assurée, de renoncer à invoquer la prescription, par déclarations successives valables jusqu'au 31 décembre 2008, mais toujours dans les limites de sa garantie d'assurance. Puis, le 18 janvier 2007, A._ avait fait notifier aux Etablissements B._ un commandement de payer la somme de 2'600'000 fr., démarche qu'elle avait réitérée année après année jusqu'en 2013. Constatant que le dépôt en conciliation de la demande était intervenu le 21 mai 2013, la cour cantonale est parvenue à la conclusion que les prétentions de A._ n'étaient "pas prescrites en tant qu'elles ne dépass[ai]ent pas 2'600'000 fr., dans la limite de la garantie d'assurance" et qu'elles étaient "prescrites pour le solde".
La cour cantonale a renvoyé la cause à l'autorité précédente pour décision sur le fond. Les premiers juges devaient instruire et trancher la question de savoir si, comme les Etablissements B._ le prétendaient, le droit préférentiel de la lésée s'opposait à ce qu'il fût fait droit aux prétentions de l'assureur accident.
B.b. Par jugement du 19 juillet 2019, le Tribunal de première instance a condamné les Etablissements B._ à verser à A._ les sommes articulées au titre des indemnités journalières, rentes d'invalidité et allocations pour impotent versées jusqu'en février 2019 avec les intérêts correspondants. Il a également condamné les Etablissements B._ à verser à A._, dès le 1er mars 2019, 1'790 fr. à titre de remboursement de la rente d'invalidité et 2'076 fr. par mois à titre de remboursement des allocations pour impotent, aussi longtemps que la demanderesse verserait ces montants à la lésée, mais au plus tard jusqu'au décès de cette dernière et dit que les montants précités étaient indexés aux éventuelles évolutions de la rente d'invalidité, respectivement des allocations pour impotent dont il était question.
En substance, les premiers juges ont considéré que, si le contrat entre l'assureur et l'assuré prévoyait une limitation des prestations de l'assureur à un certain montant, il ne pouvait toutefois limiter la responsabilité de l'assuré responsable pour le dommage dépassant la garantie d'assurance. Les Etablissements B._ demeuraient redevables jusqu'à concurrence de 2'600'000 fr. envers A._ et ce, même si la garantie d'assurance responsabilité civile avait été entièrement employée à l'indemnisation de la lésée et de sa famille: le droit préférentiel de la lésée ne pouvait pas être opposé à A._, car même si l'indemnité d'assurance n'était pas suffisante pour régler toutes les prétentions, les Etablissements B._ n'étaient pas insolvables; et A._ n'était pas partie à la convention d'indemnisation conclue le 3 janvier 2008 entre les Etablissements B._ et la famille de la lésée, ce qui fait que cette transaction ne lui était pas opposable.
Les Etablissements B._ ont appelé de ce jugement.
B.c. Par arrêt du 14 mai 2020, la Cour de justice du canton de Genève a admis l'appel et annulé la décision attaquée. Elle a jugé que le Tribunal de première instance avait procédé à une interprétation de l'art. 3.1 de la convention de recours LAA 1992 à laquelle il ne pouvait pas se livrer. En effet, la question de la prescription avait déjà été examinée et tranchée dans l'arrêt de renvoi du 8 avril 2016: les prétentions de A._ envers les Etablissements B._ étaient prescrites, dans la mesure où elles dépassaient la couverture fournie par leur assureur responsabilité civile. Or, la garantie d'assurance offerte par F._ avait été épuisée: la somme correspondante avait été entièrement consacrée à l'indemnisation de L.C._ selon la convention du 3 janvier 2008 et la lésée disposait d'un droit préférentiel. Il ne subsistait dès lors rien pour dédommager A._, qui devait être déboutée.
C.
C.a. A._ (la demanderesse ou la recourante) forme un recours en matière civile à l'encontre de cet arrêt. Elle reprend, principalement, les dernières conclusions de sa demande.
Dans leur réponse, les Etablissements B._ concluent à ce que le recours soit déclaré irrecevable, subsidiairement à ce qu'il soit rejeté.
La cour cantonale se réfère aux considérants de son arrêt.
C.b. Les Etablissements B._ (les défendeurs ou les recourants) interjettent un recours constitutionnel subsidiaire. Ils concluent à l'annulation de l'arrêt attaqué dans la mesure où il confirme les chiffres 6 et 7 du jugement de première instance, puis à la condamnation de A._ à leur verser 82'500 fr. au titre de dépens de première instance (et non seulement 65'000 fr. comme cela résulte du chiffre 6 dudit jugement).
Dans sa réponse, A._ conclut à ce que ce recours soit déclaré irrecevable, subsidiairement à ce qu'il soit rejeté.
Les Etablissements B._ ont fait savoir ensuite qu'une faute de frappe s'était glissée dans les conclusions de leur recours: il fallait lire 81'250 fr. au lieu de 82'500 fr. Ils ont confirmé leurs conclusions en ce sens dans leur réplique, sans susciter le dépôt d'une duplique de leur adverse partie.
La cour cantonale se réfère là aussi aux considérants de son arrêt.

Considérant en droit :
1.
1.1. Déposé en temps utile (<ref-law>) par la partie qui a succombé dans ses conclusions en paiement (<ref-law>) et dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu sur recours par le tribunal supérieur du canton (<ref-law>) dans une contestation civile pécuniaire dont la valeur litigieuse - calculée d'après les conclusions restées litigieuses devant l'autorité précédente (<ref-law>) - excède 30'000 fr. (art. 72 al. 1 et <ref-law>), le recours en matière civile de la demanderesse est recevable au regard de ces dispositions.
1.2. Pour leur part, les défendeurs prétendent exercer un recours constitutionnel subsidiaire (<ref-law>), partant de l'idée que le recours en matière civile selon les <ref-law> ne leur est pas ouvert. A tort. La condition tenant à la valeur litigieuse minimale de 30'000 fr. (<ref-law>) n'y fait pas obstacle. En effet, cette valeur se calcule selon les dernières conclusions prises par les parties devant l'autorité précédente (<ref-law>). N'est donc pas déterminant l'intérêt concret que défend le recourant, soit le montant qui reste litigieux devant le Tribunal fédéral. Les dépens qui sont réclamés comme droits accessoires n'entrent pas en ligne de compte dans la détermination de la valeur litigieuse (<ref-law>). Lorsque seuls les dépens fixés par la cour cantonale sont contestés, le recours n'en est pas moins recevable lorsque les conclusions au fond encore en cause devant l'autorité précédente atteignaient la valeur litigieuse requise (<ref-ruling> consid. 1). Or, les défendeurs ont appelé du jugement de première instance en concluant au rejet intégral de la demande, dont le montant dépassait largement 30'000 fr. La valeur litigieuse minimale est dès lors atteinte, indépendamment du fait que le recours déposé par les défendeurs porte uniquement sur un différentiel de dépens de première instance de 16'250 fr. (81'250 fr. ÷ 65'000 fr.). Au surplus, l'intitulé du mémoire importe peu (<ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 1.2), n'en déplaise à la demanderesse qui voit dans cette fausse dénomination du recours un motif de le déclarer irrecevable. Le recours des défendeurs sera dès lors traité comme un recours en matière civile, dont il remplit les conditions de recevabilité.
1.3. Les deux recours sont dirigés contre le même arrêt et concernent le même complexe de faits. Par économie de procédure, il se justifie dès lors de joindre les deux causes et de statuer dans un seul arrêt (<ref-law> applicable par analogie vu le renvoi de l'<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 1a; <ref-ruling> consid. 1).
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être exercé pour violation du droit fédéral (<ref-law>), y compris le droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.4). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, sauf en cas d'erreurs juridiques manifestes. Il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2.4; <ref-ruling> consid. 2, 115 consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.3). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, il n'examine la violation d'un droit constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de façon détaillée (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.4; <ref-ruling> consid. 2.2).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes ou découlent d'une violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). "Manifestement inexactes" signifie ici "arbitraires" (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.5). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3 et les références). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi les conditions précitées seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 et les références). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 2.4; <ref-ruling> consid. 2.3). Si elle souhaite obtenir un complètement de l'état de fait, la partie doit aussi démontrer, par des renvois précis aux pièces du dossier, qu'elle a présenté aux autorités précédentes en conformité avec les règles de procédure les faits juridiquement pertinents à cet égard et les moyens de preuve adéquats (ATF <ref-ruling> consid. 2). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (<ref-ruling> consid. 1.3.1). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
En matière de constatations de fait et d'appréciation des preuves, il y a arbitraire lorsque le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, lorsqu'il a omis sans raisons objectives de tenir compte des preuves pertinentes ou encore lorsqu'il a tiré des déductions insoutenables à partir des éléments recueillis (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 2.1).
En l'espèce, la recourante voudrait voir redressées des constatations de fait prétendument lacunaires, qui portent sur les intérêts moratoires correspondant aux sommes qu'elle prétend lui être dues. Il ne s'agit pas là d'éléments décisifs pour l'issue du litige, de sorte que cet examen est superflu.
3.
Par arrêt du 8 avril 2016, la Cour de justice s'est prononcée sur la question préjudicielle à laquelle la procédure avait été limitée dans un premier temps, à savoir la prescription des prétentions formulées par la demanderesse à l'encontre des défendeurs. Annulant le jugement du Tribunal de première instance qui considérait que l'ensemble de ces prétentions étaient prescrites, la cour cantonale a tranché en ce sens que l'action de la recourante "est prescrite en tant qu'elle dépasse 2'600'000 fr., dans les limites de la garantie d'assurance offerte par F._ aux Etablissements B._" et a renvoyé la cause au premier juge pour nouvelle décision sur le fond.
La recourante affirme se plier à ce dispositif et ses conclusions formelles ne sont d'ailleurs pas dirigées contre le premier arrêt de la Cour de justice, mais cet assentiment n'est qu'apparent. Au travers des griefs développés dans son recours, il apparaît que la demanderesse considère la prescription comme acquise seulement à partir du moment où ses propres prétentions dépassent la valeur de la garantie d'assurance de F._, sans égard au montant des prétentions de la lésée et d'autres assureurs sociaux. Peu importe l'absence de conclusion formelle en lien avec l'arrêt du 8 avril 2016, car le grief apparaît suffisamment motivé en droit pour que le Tribunal fédéral l'examine (arrêts 4A_424/2011 du 2 novembre 2011 consid. 1.5.1 et les références; 2C_999/2014 du 15 janvier 2015 consid. 7.2). Ceci présuppose toutefois de déterminer la nature et la portée de l'arrêt précité.
3.1. La décision partielle, contre laquelle un recours doit être interjeté d'emblée, est celle qui, sans terminer l'instance, règle définitivement le sort de certaines des prétentions en cause (<ref-law>) ou termine l'instance seulement à l'égard de certaines des parties à la cause (<ref-law>). Les décisions qui ne sont ni finales ni partielles d'après ces critères sont des décisions incidentes, lesquelles, sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>, ne doivent pas faire l'objet d'un recours immédiat, mais peuvent être attaquées, s'il y a lieu, avec la décision finale qu'elles précèdent (<ref-law>). Il s'agit notamment des prononcés par lesquels l'autorité règle préalablement et séparément une question juridique qui sera déterminante pour l'issue de la cause (<ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 1.2).
3.2. En l'espèce, l'arrêt du 8 avril 2016 pourrait s'apparenter à une décision partielle qui aurait dû être attaquée immédiatement s'il réglait définitivement le sort de certaines prétentions de la demanderesse, respectivement indiquait la quotité de celles qui sont prescrites. En réalité, il n'en est rien. Selon le dispositif de l'arrêt précité, les prétentions de la recourante sont prescrites si elles dépassent la somme de 2'600'000 fr., "dans les limites de la garantie d'assurance offerte par F._ aux Etablissements B._", dont on sait au travers des considérants qu'elle se monte à 3'000'000 fr. Le sort de tout ou partie des prétentions de la demanderesse n'en est pas réglé pour autant. Dans quelle mesure ces prétentions demeurent-elles dans les limites de la garantie d'assurance, sachant que la lésée ainsi qu'un autre assureur social ont, eux aussi, fait valoir des prétentions à l'encontre des Etablissements B._? L'arrêt du 8 avril 2016 n'en dit mot. Certes, les juges cantonaux ont évoqué la question du droit préférentiel du lésé, mais pour expliquer qu'ils ne s'en saisiraient point à ce stade. A leur sens, "la question de savoir si le droit préférentiel du lésé s'oppos (ait) en l'espèce à ce qu'il soit fait droit en tout ou partie aux prétentions de A._ relev (ait) du fond du litige" et elle "n'a (vait) été ni instruite ni tranchée par le tribunal (de première instance) puisque [son jugement] a (vait) été rendu sur la seule question de la prescription", de sorte qu'ils ne pouvaient se prononcer sur cet aspect, sous peine de priver les parties d'un degré de juridiction. En bref, la cour cantonale a raisonné comme si le droit préférentiel du lésé n'émargeait pas à la question de la prescription.
Cette question n'a dès lors pas été entièrement liquidée dans la décision précitée; elle le sera dans l'arrêt subséquent du 14 mai 2020, lorsque la cour cantonale a rejeté la demande, intégralement prescrite au motif que la renonciation à invoquer l'exception ne valait qu'à concurrence de la garantie d'assurance responsabilité civile et que celle-ci avait été épuisée par les prestations fournies directement à la lésée et à sa famille.
En conclusion, le recours de la demanderesse est recevable en tant qu'il est dirigé contre l'arrêt du 8 avril 2016, qui doit être qualifié de décision incidente au sens de l'<ref-law>.
4.
Dans son arrêt du 14 mai 2020, la Cour de justice a développé sa pensée sur les effets de la renonciation de l'assureur responsabilité civile à invoquer la prescription au nom de son assuré. L'expression "dans les limites de la garantie d'assurance offerte par F._ aux Etablissements B._" utilisée dans l'arrêt de renvoi signifiait que la créance de la demanderesse envers les défendeurs ne dépassant pas 2'600'000 fr. - montant des poursuites engagées par la recourante ultérieurement aux renonciations successives de F._ à la prescription - n'était pas prescrite tant qu'elle restait dans la limite du dommage effectivement couvert par l'assureur responsabilité civile en application de la garantie d'assurance qu'il offrait. Interprétant l'art. 3.1 de la convention de recours LAA 1992, l'autorité précédente a considéré en effet que la renonciation à la prescription acceptée par F._ antérieurement aux poursuites, au nom et pour le compte des Etablissements B._, ne pouvait avoir un effet au-delà des prestations d'assurance au versement desquelles elle était elle-même tenue. La cour cantonale s'est appuyée en particulier sur le témoignage de G._, président d'un groupe de travail qui avait participé aux négociations ayant abouti à la convention de recours LAA 2001 (étant précisé que l'art. 3.1 de la convention de 1992 y avait été repris sans changement). Selon ce témoin, l'assureur responsabilité civile ne pouvait renoncer à la prescription, au nom de son assuré, que dans les limites de sa garantie d'assurance, dès lors qu'il n'était pas habilité à engager ce dernier au-delà de cette limite.
Pour déterminer si la garantie d'assurance, ainsi conçue, était épuisée, la cour cantonale a fait le compte des montants obtenus par la lésée et sa famille, selon la convention signée avec les Etablissements B._ le 3 janvier 2008. Toutes sommes déduites du montant de cette garantie, il n'en subsistait rien pour désintéresser la demanderesse, lors même que celle-ci était subrogée dans les droits de la lésée à concurrence des prestations légales qu'elle lui avait servies. Par conséquent, même si elle était inférieure au montant de 2'600'000 fr. à concurrence duquel les poursuites avaient interrompu la prescription après les renonciations à la prescription, la créance subrogatoire exercée par l'assureur LAA était intégralement prescrite, de sorte que la demanderesse se voyait déboutée de toutes ses conclusions en paiement.
5.
5.1. Invoquant l'art. 29 al. 2 Cst., la recourante se plaint tout d'abord d'un déni de justice formel, grief à examiner en priorité. A l'en croire, les juges cantonaux auraient refusé de statuer sur "son droit de subrogation" en considérant que ses prétentions étaient prescrites.
5.2. La cour cantonale a reconnu que la recourante était subrogée jusqu'à concurrence des prestations légales aux droits de l'assurée contre les Etablissements B._, responsables de l'événement du 6 janvier 1996. A juste titre d'ailleurs. La subrogation est régie par les <ref-law> (RS 830.1), entrés en vigueur le 1er janvier 2003. Ces dispositions ne s'appliquent pas à des faits survenus auparavant, le moment déterminant étant celui de l'accident (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 1.1; arrêt 8C_979/2009 du 1er novembre 2010 consid. 4.1), lequel remonte ici au 6 janvier 1996. Sont donc applicables en l'occurrence les <ref-law> (dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002; RO 1982 1688 ss). Selon l'ancien <ref-law>, dès la survenance de l'éventualité assurée, l'assureur est subrogé, jusqu'à concurrence des prestations légales, aux droits de l'assuré et de ses survivants contre tout tiers responsable de l'accident. La loi transfère à l'assureur tout ou partie de la créance du lésé envers le tiers responsable (ou son assurance responsabilité civile). L'assureur social devient ainsi seul créancier (GHISLAINE FRÉSARD-FELLAY, Le recours subrogatoire de l'assurance-accidents sociale contre le tiers responsable ou son assureur, 2007, p. 105 ch. 343 s.; ALEXANDRA RUMO-JUNGO, Haftpflicht und Sozialversicherung, 1998, p. 431 ch. 971).
En l'espèce, il est vrai que la cour cantonale ne s'est pas exprimée sur le montant de la prétention subrogatoire que la demanderesse détient contre les défendeurs. Mais elle n'était pas tenue de le faire puisqu'elle est parvenue à la conclusion que cette créance, quel qu'en soit le montant, était intégralement prescrite. Il n'y a dès lors nul déni de justice dont la recourante aurait pâti.
6.
Dans un autre grief, la recourante fait valoir que, pour les besoins de l'examen de la prescription, le montant de la garantie d'assurance (3'000'000 fr.) devait lui bénéficier dans son entier, sans égard aux prétentions de la lésée et d'autres assureurs sociaux. Même si elle peut sembler tortueuse, sa motivation ne peut se traduire autrement. A suivre la recourante, la garantie d'assurance (3'000'000 fr.) étant plus élevée que la somme à concurrence de laquelle elle a requis des poursuites successives (2'600'000 fr.) contre les Etablissements B._, ce serait ce dernier montant qui ferait foi. Ce grief porte en définitive sur la manière dont la cour cantonale a interprété l'art. 3.1 de la convention de recours LAA 1992, stipulant que, dans les limites de sa garantie, l'assureur RC renonce pour lui-même et pour son assuré à soulever l'exception de prescription, à condition que l'assureur LAA ait annoncé son recours par écrit à l'assureur RC (ou le cas échéant à l'assuré) dans les deux ans dès la date de l'accident.
6.1. Pour interpréter la convention de recours LAA 1992, les principes suivants trouvent application (cf. arrêts 4A_108/2018 du 28 août 2018 consid. 4; 2C_1087/2013 du 28 mai 2014 consid. 3.3). Ce que les parties ont su, voulu ou effectivement compris lors de la conclusion du contrat, est une question de fait (<ref-ruling> consid. 3.3; <ref-ruling> consid. 4.1); la recherche de la volonté réelle des parties (interprétation subjective) se fonde sur une appréciation des preuves, que le Tribunal fédéral ne peut revoir que sous l'angle restreint de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 3.3; <ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 4c/bb). En revanche, la détermination de la volonté objective des parties, selon le principe de la confiance (interprétation normative ou objective), est une question de droit que le Tribunal fédéral revoit librement (<ref-ruling> consid. 3.2.1; <ref-ruling> consid. 3.3; <ref-ruling> consid. 3.1); pour la trancher, il faut toutefois se fonder sur le contenu des manifestations de volonté et sur les circonstances les ayant précédé ou accompagné, soit des faits constatés par l'autorité cantonale (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 5.2.3; <ref-ruling> consid. 2.2.1).
6.2. En l'espèce, la cour cantonale n'était guère en mesure de constater la volonté réelle de toutes les parties à une convention liant un grand nombre d'assureurs (cf. arrêt 4A_108/2018 précité consid. 4) et a procédé à une interprétation objective de l'art. 3.1 de la convention de recours LAA 1992. Elle a assis ses conclusions sur les déclarations du témoin G._ cité plus haut et s'est au surplus livrée à des réflexions sur la logique à laquelle cette disposition obéissait. Le grief que la recourante soulève à cet égard manque singulièrement de consistance. Elle affirme tout bonnement que la disposition querellée viserait à "simplifier les recours et réduire les frais administratifs" en prêtant ces déclarations au témoin G._. Outre que l'on ne discerne pas bien où la recourante veut en venir, l'arrêt attaqué n'évoque pas ces hypothétiques déclarations dont on ne sait guère où elles figureraient, d'ailleurs. Selon la décision entreprise, le témoin prénommé a déclaré que l'assureur responsabilité civile ne peut renoncer à la prescription, au nom de son assuré, que dans les limites de sa garantie d'assurance, dès lors qu'il n'est pas habilité à engager ce dernier au-delà de cette limite. La cour cantonale a ensuite exposé que ces modalités particulières, convenues entre assureurs afin de sauvegarder leurs intérêts réciproques, ne peuvent lier l'assuré responsable du dommage que dans la mesure où les prétentions de l'assureur LAA s'exercent sur les montants dus par l'assureur responsabilité civile. Elles ne sauraient être applicables sans autre à l'assuré responsable du dommage, qui n'est pas partie à la convention, et n'en retire aucun avantage. Il fallait dès lors comprendre la limite posée à l'art. 3.1 de la convention de recours LAA 1992 en ce sens que la renonciation ne vaut pas pour les sommes qui dépassent les prestations effectivement servies par l'assureur responsabilité civile.
Ces considérations emportent la conviction. L'assureur LAA peut-il raisonnablement imaginer qu'il sera le seul à bénéficier de la garantie d'assurance responsabilité civile? A l'évidence, la réponse est négative. La présente espèce en fournit un exemple éloquent et la recourante évite d'ailleurs soigneusement d'aborder de front cette thématique. Est-il raisonnable de croire que l'assureur responsabilité civile entend engager son assuré au-delà de la somme d'assurance qui peut être exigée de lui en concédant, au nom de l'assuré, une renonciation à soulever l'exception de prescription débordant de ce cadre? Certainement pas non plus. S'il est concevable qu'il puisse agir ainsi au nom de son assuré jusqu'à concurrence de la somme d'assurance, on ne voit guère ce qui le légitimerait à empiéter sur l'autonomie de l'assuré au-delà du montant qu'il lui doit en vertu du contrat qui les lie. Dans un contexte où l'assureur responsabilité civile est interpellé par toute une série d'ayants droit, l'idée n'est donc pas qu'il concède des renonciations à invoquer la prescription dont les montants cumulés dépasseraient la garantie d'assurance, jusqu'à représenter même un multiple de cette garantie. Ce n'est manifestement pas dans un tel sens que peut être interprétée la renonciation à se prévaloir de la prescription "dans les limites de la garantie d'assurance responsabilité civile" qu'exprime l'art. 3.1 de la convention de recours LAA 1992.
Le grief soulevé par la recourante ne peut qu'être écarté.
7.
La recourante décèle une violation de l'ancien <ref-law> dans le raisonnement des juges cantonaux. A son sens, les conditions permettant l'application du droit préférentiel du lésé ne seraient pas remplies; ce droit ne pourrait être invoqué que lorsque le tiers responsable est insolvable ou que la somme assurée ne suffit pas à couvrir l'entier du dommage, toutes éventualités étrangères au cas d'espèce.
7.1. La subrogation est limitée par la loi. Selon l'ancien <ref-law> (qui correspond à l'<ref-law>), l'assureur n'est subrogé aux droits de l'assuré que dans la mesure où les prestations qu'il alloue, jointes à la réparation due pour la même période par le tiers responsable, excèdent le dommage causé par celui-ci. Cette disposition institue un droit préférentiel en faveur du lésé. Le découvert laissé à la charge de l'assuré fait l'objet d'un droit préférentiel en sa faveur, ce qui réduit d'autant la prétention récursoire de l'assureur lorsque les sommes recouvrées auprès du tiers responsable ne suffisent pas à couvrir l'entier du dommage (cf. JANA BURYSEK, Le point de vue et la pratique d'un assureur-maladie social in Colloques et journées d'étude de l'IRAL, 1999-2001, p. 694; RUDOLF LUGINBÜHL, Der Regress des Krankenversicherers, in Haftpflicht- und Versicherungsrechtstagung, 1999, p. 52; GHISLAINE FRÉSARD-FELLAY, Le droit de recours contre le tiers responsable selon la loi fédérale sur l'assurance-maladie, in LAMal-KVG, Recueil de travaux en l'honneur de la Société suisse de droit des assurances, 1997, p. 634 ss). Le droit préférentiel de la personne lésée tend à prémunir celle-ci contre les suites défavorables d'un dommage non couvert (<ref-ruling> consid. 4 et 7.1; arrêt 4A_45/2009 du 25 mars 2009 consid. 3.3.3 publié in SJ 2010 I p. 73). En effet, ce droit ne peut être invoqué que dans l'hypothèse où la réparation due par le tiers responsable, ou son assurance responsabilité civile, ne suffit pas à satisfaire entièrement les créances directes (du lésé) et subrogatoire (de l'assureur social), soit lorsque la réparation est, notamment pour des motifs juridiques (cf. <ref-law>), partielle (arrêt 4A_77/2011 du 20 décembre 2011 consid. 3.3.1 et les références).
7.2. Ceci étant exposé, le grief de la recourante résulte d'une incompréhension de l'arrêt attaqué. Il est bien clair que les Etablissements B._ répondent du dommage subi par la lésée sur tous leurs biens. Il en est de même vis-à-vis de la demanderesse, dans la mesure où celle-ci est subrogée aux droits de la lésée. La question litigieuse est tout autre, puisqu'il s'agit de savoir si les prétentions exercées par la recourante sont prescrites. Dans ce contexte, il est indifférent de savoir si les défendeurs sont solvables ou non. Tout dépend de la garantie d'assurance, soit des montants qui en ont déjà été débités au titre du dédommagement de la lésée, de ses proches et d'autres assureurs sociaux. C'est dans ce contexte uniquement que la cour cantonale fait intervenir le droit préférentiel du lésé, ce qui est parfaitement correct.
8.
La recourante reproche également aux juges cantonaux d'avoir violé l'ancien <ref-law> en considérant que la garantie de l'assureur responsabilité civile avait été entièrement épuisée à la suite de la convention d'indemnisation du 3 janvier 2008 passée entre la lésée et sa famille, d'une part, et les Etablissements B._, d'autre part. Selon la recourante, la lésée ne pouvait disposer des prétentions dont la demanderesse était devenue titulaire par subrogation. En s'acquittant d'une créance dont la lésée n'était pas titulaire, les Etablissements B._ se seraient exposés à devoir payer deux fois.
8.1. Le dommage juridiquement reconnu correspond à la différence entre le montant actuel du patrimoine du lésé et le montant que celui-ci aurait atteint si l'événement dommageable ne s'était pas produit. Cette définition exclut de verser au lésé un montant supérieur au préjudice subi (<ref-ruling> consid. 6.1 et les arrêts cités). Lorsqu'une personne devient invalide à la suite d'un accident, les assurances sociales vont en principe l'indemniser. Le lésé ne peut dès lors réclamer au tiers responsable que la réparation du dommage non couvert par l'assurance sociale (créance directe); pour sa part, l'assureur social acquiert dès la survenance de l'atteinte, par le biais d'une subrogation légale, les prétentions appartenant à la personne lésée qu'elle a indemnisée et celle-ci perd son pouvoir de disposer des droits transférés (<ref-ruling> consid. 6.1.3.1; <ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 3b). En d'autres termes, les prestations couvertes par les assurances sociales sont déduites du dommage que le lésé peut réclamer au responsable ou à l'assureur de celui-ci. Ce mécanisme permet notamment d'éviter une surindemnisation du lésé (<ref-ruling> consid. 7.1, 360 consid. 6.1).
Cette déduction n'entre toutefois en ligne de compte que pour les prestations (nominales) de l'assureur social qui couvrent un dommage similaire aux prétentions en responsabilité que le lésé peut faire valoir contre le responsable. Il faut qu'il existe, entre les prestations sociales pour lesquelles les assurances sont subrogées aux droits du lésé en vertu de la loi, et le dommage dont la réparation est demandée à l'auteur, une concordance déjà en raison de l'événement dommageable, qui soit au surplus une concordance matérielle, temporelle et personnelle ( Kongruenzgrundsatz; <ref-ruling> consid. 4.2 et les références; <ref-ruling> consid. 7.1; cf. désormais les art. 73 et 74 LPGA: "de même nature" et "pour la même période"). S'agissant de la concordance matérielle, elle est réalisée lorsque la prestation de l'assurance sociale et celle du responsable sur le plan civil ont, d'un point de vue économique, une nature et une fonction correspondantes (<ref-ruling> consid. 7.2 et les arrêts cités). Selon l'ancien <ref-law>, sont notamment des prestations de même nature la rente d'invalidité et l'indemnisation pour l'incapacité de gain (let. c; cf. désormais, l'<ref-law>).
Si le lésé dispose malgré tout des droits dont l'assureur social est devenu titulaire par subrogation - par exemple en concluant une convention d'indemnisation avec le responsable -, cela signifie simplement que ce dernier ne s'est pas libéré de son obligation par son paiement au lésé; il s'expose au risque de devoir payer deux fois (<ref-ruling> consid. 5.2 et les références).
8.2. Selon les faits souverainement constatés dans l'arrêt attaqué, les montants que les défendeurs ont déjà payés à la suite de l'accident du 6 janvier 1996 sont les suivants:
- l'assureur maladie intervenu en premier lieu 1'467'775 fr.30
- la lésée (acompte 21.5.2002) 500'000 fr.
Selon la convention entre les Etablissements
B._ et la famille de la lésée du 3.1.2008 :
- la lésée
(crédit dans les comptes des Etablissements B._) 2'150'000 fr.
("tous autres postes du dommage") 550'000 fr.
- l'époux de la lésée 100'000 fr.
- le fils de la lésée 100'000 fr.
- honoraires de l'avocat de la lésée 150'000 fr.
Indépendamment des prétentions de la recourante subrogée dans les droits de la lésée, le total de ces montants dépasse déjà manifestement la somme de 3'000'000 fr. correspondant à la garantie de couverture par l'assureur responsabilité civile et marquant la limite au-delà de laquelle la créance de la demanderesse est prescrite. Comme le montant de 3'000'000 fr. ne suffit pas pour couvrir la totalité du dommage à réparer par les défendeurs, la lésée dispose d'un droit préférentiel à être indemnisée, mais cela ne concerne que ses créances directes, à l'exclusion des droits transférés aux assureurs sociaux subrogés.
La cour cantonale a jugé à cet égard que la garantie d'assurance de 3'000'000 fr. avait été entièrement consacrée à indemniser la lésée et sa famille, conformément à la convention du 3 janvier 2008; elle a considéré par là-même que les prétentions réglées par ladite convention étaient des créances directes de la lésée. Ce raisonnement suscite quelques interrogations non résolues. Il se révèle faux à tout le moins sur un aspect, dont on peut toutefois se demander s'il fait l'objet d'allégations suffisantes de la recourante.
8.2.1. Tout d'abord, on peut s'interroger sur l'intégration dans le décompte des prestations dont l'époux et le fils de la lésée ont bénéficié (2 x 100'000 fr.). La cour cantonale présume ainsi que ces derniers disposent d'un droit préférentiel à être indemnisés pour leur propre dommage, au même titre que la lésée. Ce point, qui n'est pas thématisé par les parties, peut toutefois demeurer indécis compte tenu des conclusions qui suivent.
8.2.2. Ensuite, la Cour de justice a inclus dans son calcul la totalité du crédit de 2'150'000 fr. ouvert dans les livres des Etablissements B._ au profit de la lésée, au titre des frais médicaux, soins et hébergement de celle-ci. A tort. En effet, la lésée ne pouvait pas disposer de la portion de ce montant correspondant aux prestations fournies par la recourante, dont cette dernière était devenue titulaire par subrogation légale. Le recours est muet sur le point de savoir quelles prestations versées par l'assureur LAA concorderaient, d'un point de vue tant matériel, temporel que personnel, avec celles versées par les défendeurs. La recourante n'affirme pas dans son mémoire avoir régulièrement allégué en procédure les faits qui permettraient de retenir une semblable concordance. Il n'importe. En effet, ceci ne changerait rien à la prescription de la créance de la recourante, comme on va le voir.
Il existe certainement une concordance entre le crédit en compte de 2'150'000 fr. et les allocations pour impotent versées par la recourante (cf. let. Ah supra). Ces dernières visent en effet à dédommager l'assuré qui, à raison de son invalidité, a besoin de façon permanente de l'aide d'autrui ou d'une surveillance personnelle pour accomplir les actes ordinaires de la vie (<ref-law>). D'ailleurs, l'art. I ch. 2 de la convention du 3 janvier 2008 spécifie que ces allocations doivent être rétrocédées par la lésée aux Etablissements B._ et, en cas de départ de la lésée des Etablissements B._, l'art. II ch. 1 du même document prévoit que le solde du capital de 2'150'000 fr. lui est reversé, après imputation de ces mêmes allocations pour impotent (cf. let. Af supra). Il existe potentiellement également une concordance entre ce même crédit en compte et les rentes d'invalidité versées par la recourante à la lésée (cf. let. Ah supra), même si aucune imputation de cet ordre n'est prévue dans la convention.
Cela étant, un calcul sommaire permet d'entrevoir que le crédit en compte sert également à dédommager la lésée pour un préjudice non couvert par les assureurs sociaux. Ainsi, si l'on additionne la rente invalidité complémentaire (1'726 fr. par mois en 2008, portée à 1'790 fr. par mois dès 2009; let. Ah supra) et les allocations pour impotent (2'076 fr. par mois dès 2008; cf. let. Ah supra), versées par la demanderesse, ainsi que les rentes AI dont on sait qu'elles se montaient à 1'069 fr.60 par mois en 2006 (complément d'office sur la base du dossier; pièce 13 demandeur; décision de A._ sur la rente complémentaire AI), il apparaît que la lésée touchait par mois un peu moins de 5'000 fr. de ces différents assureurs sociaux. D'un autre côté, elle a bénéficié d'un crédit en compte des Etablissements B._ correspondant à 2'150'000 fr., montant calculé en tenant compte d'un forfait journalier de 287 fr. (soit 8'610 fr. par mois en moyenne) multiplié par la durée potentielle du séjour de la lésée aux Etablissements B._. Il existe dès lors un différentiel d'un peu plus de 3'600 fr. par mois, qui correspond à un préjudice de la lésée non couvert par les assureurs sociaux, dûment dédommagé par les Etablissements B._. Calculé sur douze ans, soit de janvier 2008 (date de la convention d'indemnisation) à 2019, le total de ce différentiel s'élève à 518'400 fr.
Il est dès lors légitime d'intégrer - sinon 2'150'000 fr. - à tout le moins un montant de 518'400 fr. dans le calcul destiné à déterminer si la garantie d'assurance responsabilité civile a été épuisée par le biais de prestations dont la lésée a bénéficié au titre de son droit préférentiel.
8.2.3. La cour cantonale n'a pas intégré dans son calcul le montant versé par les défendeurs à E._, l'assureur maladie intervenu dans un premier temps (1'467'775 fr.30). Il est vrai qu'elle ne pouvait, pour ce faire, se fonder sur le droit préférentiel du lésé et que les montants qu'elle a retenus à ce titre suffisaient à ses déductions. La question se poserait normalement de savoir, s'agissant de prestations d'un autre assureur social, si les droits de ce dernier sont préférables à ceux de la recourante ou, à défaut, si une répartition de la garantie d'assurance subsistante entre assureurs sociaux devrait intervenir. Ceci toujours aux fins de savoir si la garantie d'assurance responsabilité civile a été intégralement consommée et, partant, si la créance de la demanderesse est prescrite.
Cet examen est toutefois superflu, car la situation se présente ici sous un jour particulier. En effet, le montant de 1'467'775 fr.30 résulte de l'addition des frais mensuels facturés par les Etablissements B._ à E._au titre du traitement et de la prise en charge de la lésée, intérêts compris. L'assureur maladie les a avancés jusqu'en 2003, alors même que le cas ne résultait pas d'une maladie, mais d'un accident, ce que l'arrêt du Tribunal cantonal des assurances sociales du 25 octobre 2005 a confirmé (cf. let. Ac supra). Il s'agit d'une somme dont E._était fondée à réclamer le remboursement à la recourante (voir désormais l'<ref-law>), démarche qu'elle avait initiée mais qu'elle n'a pas menée à terme étant donné que les défendeurs ont fini par verser cette somme, contraints et forcés par le jugement du Tribunal de première instance de Genève du 8 mai 2012 (complètement de l'état de fait sur la base du dossier; pièce 10 demanderesse). Nulle raison dès lors de ne pas intégrer le montant susmentionné au calcul destiné à déterminer si la garantie d'assurance responsabilité civile est épuisée ou non.
8.2.4. En définitive, il apparaît que la garantie d'assurance offerte par F._ aux défendeurs a été intégralement consommée, nonobstant la prise en compte par la cour cantonale dans son calcul de créances dont la lésée n'était pas titulaire. En déduisant de la garantie d'assurance de 3'000'000 fr. les montants indiqués ci-dessous, on parvient en effet à un résultat négatif qui scelle le sort de ce pénultième grief de la recourante, sans qu'il soit nécessaire d'examiner si d'autres montants devraient encore être portés en déduction - comme les défendeurs l'affirment dans leur réponse - ou si la garantie d'assurance devrait être diminuée de la franchise.
Garantie d'assurance : 3'000'000 fr. sous déduction de:
- l'assureur maladie intervenu en premier lieu 1'467'775 fr.30
- la lésée (acompte 21.05.2002) 500'000 fr.
- la lésée
(sur le crédit ouvert dans les comptes des Etablissements B._) 518'400 fr.
("tous autres postes du dommage") 550'000 fr.
- honoraires de l'avocat de la lésée 150'000 fr. _
Solde : (-) 186'175 fr.30
8.2.5. En conclusion, la cour cantonale a jugé à bon droit que la créance de la demanderesse était intégralement prescrite. La recourante vitupère en vain contre le fait que la convention du 3 janvier 2008 lui est "opposée" au travers de ce raisonnement, alors qu'elle n'y était pas partie. Contrairement à ce qu'elle pense, le principe de la relativité des conventions n'est pas en cause. Il est acquis que les montants évoqués plus haut ont été versés en exécution de cette convention. Qui ne lie pas la recourante, pourrait-on ajouter, sans que ceci change quoi que ce soit à l'affaire puisqu'il n'est pas question d'imposer à la recourante des obligations auxquelles elle n'aurait pas souscrit. Ce grief ne peut dès lors prospérer davantage que les précédents.
9.
Pour leur part, les défendeurs reprochent à la cour cantonale, dans leur recours, d'avoir confirmé le jugement de première instance sur le point des dépens arrêtés à leur profit et qui correspondraient à des dépens réduits, alors même qu'ils avaient obtenu intégralement gain de cause en appel. Ce faisant, la Cour de justice aurait versé dans l'arbitraire (art. 9 Cst.).
9.1. Le premier juge avait donné raison à la demanderesse, non sans noter que celle-ci avait très largement réduit ses prétentions, ce qui l'a déterminé à répartir les frais, arrêtés à 82'900 fr., dans une proportion correspondant à 4/5 à charge de la demanderesse (66'320 fr.) et 1/5 à charge des défendeurs (16'580 fr.). S'agissant des dépens, il a simplement relevé "pour les mêmes motifs, [la demanderesse] sera condamnée (...) à verser aux défendeurs 65'000 fr. à titre de dépens".
La cour cantonale est parvenue à un résultat diamétralement opposé à celui auquel avait abouti le premier juge, puisqu'elle a rejeté la demande, intégralement prescrite. Lorsqu'elle s'est prononcée sur les frais de la première instance (<ref-law>), elle a relevé que le montant des frais judiciaires n'était pas contesté en appel et serait dès lors confirmé; attendu que la demanderesse succombait sur l'entier de ses conclusions, l'intégralité des frais judiciaires de première instance était mis à sa charge (<ref-law>). Quant au montant des dépens de première instance, la cour cantonale a relevé qu'il n'était "pas non plus contesté en appel par les parties [de sorte que la demanderesse] sera condamnée (...) à verser aux défendeurs ledit montant".
9.2. Les recourants font valoir à juste titre qu'ils avaient conclu dans leur appel à l'annulation du jugement entrepris et à la condamnation de la demanderesse en tous frais et dépens de première instance et d'appel. Il tombait sous le sens qu'ils réclamaient de pleins dépens et non seulement les 4/5 de ceux-ci. En constatant qu'aucune conclusion n'avait été formulée à cet égard, respectivement que le montant des dépens octroyé en première instance n'était pas contesté en appel, la cour cantonale a versé dans l'arbitraire. Comme les défendeurs obtenaient intégralement gain de cause, l'application bien conçue de l'<ref-law> commandait de leur octroyer des dépens sans réduction aucune. La somme de 65'000 fr. fixée par le premier juge correspondant à l'évidence aux 4/5 de la somme normalement due à ce titre, les pleins dépens dus aux défendeurs pour la première instance représentent un montant de 81'250 fr.
10.
Sur le vu de ce qui précède, le recours de la demanderesse doit être rejeté alors que celui des défendeurs doit être admis. L'arrêt attaqué sera réformé sur le point des dépens de première instance, les recourants étant titulaires à ce titre d'une créance de 81'250 fr. à leur verser par la recourante.
Compte tenu de l'issue du litige, la recourante prendra à sa charge les frais judiciaires (<ref-law>). Les recourants, représentés par un avocat, obtiennent gain de cause. La recourante leur versera dès lors une indemnité de dépens (art. 68 al. 1 à 3 LTF; cf. arrêts 4A_547/2019 du 9 juillet 2020 consid. 5 et 4A_61/2007 du 13 juin 2007 consid. 5 non publié in <ref-ruling>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 4A_378/2020 et 4A_382/2020 sont jointes.
2.
Le recours de A._ SA est rejeté.
3.
Le recours des Etablissements B._ est admis et l'arrêt attaqué est réformé en ce sens que A._ SA doit verser aux Etablissements B._ 81'250 fr. au titre des dépens de première instance.
4.
Les frais judiciaires, arrêtés à 18'000 fr., sont mis à la charge de A._ SA.
5.
A._ SA versera aux Etablissements B._ une indemnité de 20'000 fr. à titre de dépens.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 2 mars 2021
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Hohl
La Greffière : Godat Zimmermann