Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 19. November 2019 erliess die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn eine Einstellungsverfügung in Bezug auf die gegen B._, Mitarbeiter der C._ AG, gerichtete Beschuldigung der Widerhandlung gegen das Datenschutzgesetz; B._ soll gegenüber A._ seine gesetzliche Auskunftspflicht verletzt haben. Allfällige Zivilforderungen verwies die Staatsanwaltschaft auf den Zivilweg.
A._, der die Strafanzeige erstattet und sich als Privatkläger konstituiert hatte, erhob hiergegen Beschwerde an das Obergericht des Kantons Solothurn. Dieses verpflichtete A._ mit Verfügung vom 17. Dezember 2019, bis zum 21. Januar 2020 eine Sicherheit in der Höhe von Fr. 800.-- zu leisten.
Am 30. Dezember 2019 stellte A._ ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege, welches vom Obergericht am 22. Januar 2020 abgewiesen wurde.
B.
Mit Eingabe vom 27. Februar 2020 führt A._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Er beantragt sinngemäss, die Verfügung des Obergerichts vom 22. Januar 2020 sei aufzuheben und die Sache sei an die Staatsanwaltschaft zu weiterer Behandlung zurückzuweisen. Eventualiter sei sein Antrag auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege zu bewilligen.
Die Staatsanwaltschaft liess sich nicht vernehmen. Das Obergericht verzichtet auf eine Vernehmlassung und beantragt die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hält an seinen Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Der angefochtene Entscheid der Vorinstanz ist ein kantonal letztinstanzlicher Zwischenentscheid, der geeignet ist, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zu bewirken (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 131; Urteil 1B_277/2019 vom 17. September 2019 E. 1.1, mit Hinweisen). Gegen ihn steht grundsätzlich die Beschwerde in Strafsachen offen (vgl. Art. 78 Abs. 1, Art. 80 Abs. 1 und 2 sowie Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG). Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerdeführung legitimiert (vgl. Urteil 1B_343/2018 vom. 30. Oktober 2018 E. 1). Da der Beschwerdeführer mit seiner Kritik an der Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege eine Verletzung von Verfahrensrechten geltend macht, die einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommt, ist er ungeachtet der Legitimationsvoraussetzungen von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG zur Beschwerde berechtigt (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 5; Urteil 1B_533/2019 vom 4. März 2020 E. 1; je mit Hinweisen). Auf sein Rechtsmittel ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. Gegenstand des angefochtenen Entscheids war indessen einzig die Gewährung bzw. Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege, weshalb das Bundesgericht auch nur diese Frage beurteilen kann. Soweit der Beschwerdeführer darüber hinaus Anträge stellt, die im Zusammenhang mit der der Einstellungsverfügung zugrunde liegenden Strafanzeige und deren Beurteilung stehen, kann auf die Beschwerde folglich nicht eingetreten werden.
2.
2.1. Gemäss Art. 29 Abs. 3 BV hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Diese Bestimmung konkretisiert Art. 136 StPO. Nach dessen Absatz 1 gewährt die Verfahrensleitung der Privatklägerschaft für die Durchsetzung ihrer Zivilansprüche ganz oder teilweise die unentgeltliche Rechtspflege, wenn die Privatklägerschaft nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (lit. a) und die Zivilklage nicht aussichtslos erscheint (lit. b). Gemäss Art. 136 Abs. 2 StPO umfasst die unentgeltliche Rechtspflege namentlich die Befreiung von Vorschuss- und Sicherheitsleistungen (lit. a) sowie von den Verfahrenskosten (lit. b). Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege bezweckt, jedem Betroffenen ohne Rücksicht auf seine finanzielle Situation tatsächlich Zugang zum Gerichtsverfahren zu vermitteln und die effektive Wahrung seiner Rechte zu ermöglichen. Nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung sind als aussichtslos Begehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie - zumindest vorläufig - nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten, wobei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgebend sind (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 139 f. mit Hinweisen).
2.2. Der Beschwerdeführer rügt sinngemäss, die Vorinstanz habe eine bewusste Rechtsverweigerung begangen, indem sie seine Beschwerde als aussichtslos bezeichnet und sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen habe, ohne hierfür eine Begründung zu liefern. Es sei unklar, wie bei so dubiosen und widerrechtlichen Handlungen der Vorinstanz eine gerechte und unparteiische Beurteilung der angezeigten Straftat überhaupt noch erwartet werden könne. Dies obschon erwiesen sei, dass ihm B._ keine Antwort auf seine Anfrage, welche personenbezogenen Daten die C._ über ihn besitze, gegeben habe.
2.3. Die Rügen des Beschwerdeführers sind indessen unbegründet. Wie die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid zu Recht ausführte, hat die Staatsanwaltschaft in der Einstellungsverfügung vom 19. November 2019 überzeugend dargelegt, dass ein strafbares Verhalten von B._ klar ausscheide und sich der anfängliche Tatverdacht nicht in einem Mass erhärtet habe, welches eine Anklage rechtfertige. Wenn die Vorinstanz aufgrund der Folgerung der Staatsanwaltschaft, es könne B._ nicht rechtsgenüglich nachgewiesen werden, dass er seine Auskunftspflicht nach Art. 8 Abs. 1 des Bundesgesetzes über den Datenschutz vom 19. Juni 1992 (DSG; SR 235.1) vorsätzlich verletzt habe, gefolgert hat, die Rechtsbegehren des Beschwerdeführers seien mit grösster Wahrscheinlichkeit aussichtslos, ist dies nicht zu beanstanden. Dies gilt im Übrigen umso mehr, als gestützt auf die Akten davon auszugehen ist, dass B._ ein entsprechendes Schreiben im Namen der C._ tatsächlich verfasst und auch verschickt hat. Einzig aus dem Umstand, dass der Beschwerdeführer das Schreiben angeblich nicht erhalten hat, lässt sich jedenfalls nichts Gegenteiliges ableiten. Wie die Vorinstanz nachvollziehbar erwogen hat, spricht schliesslich auch die Feststellung der Staatsanwaltschaft, wonach eine Verletzung der in Art. 14 DSG normierten Informationspflicht auch deswegen kaum in Betracht komme, weil B._ die umstrittenen Daten gar nicht aktiv beschafft habe, für die Aussichtslosigkeit der Beschwerde.
Es verletzt folglich kein Bundesrecht, wenn die Vorinstanz gestützt auf die nachvollziehbare Begründung der Staatsanwaltschaft zum Ergebnis gelangte, der vom Beschwerdeführer zusammen mit der Strafanzeige eingereichten Zivilklage sei aufgrund des aussichtslosen Strafverfahrens wohl kein Erfolg beschieden, weshalb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen sei.
Die Vorinstanz hat hinreichend aufgezeigt, wie sie zu ihrer Überzeugung gelangt ist. Damit konnte sich der Beschwerdeführer ohne Weiteres über die Tragweite des angefochtenen Entscheids Rechenschaft geben und diesen in voller Kenntnis der Sache an das Bundesgericht weiterziehen. Die Vorinstanz hat deshalb ihre Begründungspflicht und entsprechend auch den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör nicht verletzt (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 70 f. mit Hinweisen).
Unbehelflich ist schliesslich auch die Rüge des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe mit dieser "willkürlichen und unbegründeten Behauptung zu Gunsten des Beklagten ein Vorurteil gefasst". Wenn die Vorinstanz über die Aussichtslosigkeit der Beschwerde im Rahmen des Entscheids über die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege durch summarische Beurteilung der Sach- und Rechtslage entschieden hat, entspricht dies der Rechtsprechung (vgl. E. 2.1 hiervor).
3.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens würde der Beschwerdeführer grundsätzlich kostenpflichtig (Art. 66 BGG). Auf die Erhebung der Gerichtskosten ist indessen ausnahmsweise zu verzichten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juni 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier