Sachverhalt:
A.
Die 1982 geborene A._ war zwischen 2003 und 2015 in der Schweiz als Cabaret-Tänzerin erwerbstätig. Am 24. September 2015 beantragte sie die Rückvergütung der geleisteten AHV-Beiträge zufolge endgültiger Ausreise aus der Schweiz. Die Schweizerische Ausgleichskasse SAK tätigte Abklärungen und verfügte am 1. November 2016 die Rückvergütung in Höhe von Fr. 11'144.05. Dieser Betrag wurde am 9. Dezember 2016 ausbezahlt. Auf Einwand hin erliess die SAK am 5. Februar 2018 eine korrigierte Verfügung, mit welcher der Rückvergütungsbetrag auf Fr. 11'137.25 festgesetzt wurde. An dieser hielt sie mit Einspracheentscheid vom 16. Februar 2018 fest.
B.
A._ erhob mit Eingabe datiert vom 2. und 5. März 2018 Beschwerde. Dieser legte sie u.a. eine Ausweiskopie bei, aus der ihre ukrainisch-zypriotische Doppelbürgerschaft hervorging. Aufgrund dessen erwog das Bundesverwaltungsgericht, die Rückvergütung der entrichteten Beiträge erscheine rechtlich ausgeschlossen. Es komme eine Aufhebung des angefochtenen Einspracheentscheids vom 16. Februar 2018 zu Ungunsten der Beschwerdeführerin in Betracht. Ihr werde deshalb Gelegenheit zum Rückzug des Rechtsmittels gegeben (Verfügung des Bundesverwaltungsgerichts vom 11. April 2019). Mit Entscheid vom 18. Februar 2020 trat das Bundesverwaltungsgericht auf die Beschwerde nicht ein, stellte die Nichtigkeit des Einspracheentscheids vom 16. Februar 2018 fest und überwies die Akten im Sinne der Erwägungen an die SAK zur Rückforderung des Auszahlungsbetrags von Fr. 11'144.15.
C.
Die SAK führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, es seien der vorinstanzliche Entscheid vom 18. Februar 2020 sowie die "Verfügungen" vom 16. Februar 2018 und vom 1. November 2016 aufzuheben.
Das Bundesamt für Sozialversicherungen lässt sich zur Beschwerdelegitimation der SAK vernehmen; eine Stellungnahme der Beschwerdegegnerin ist angesichts des Verfahrensausgangs entbehrlich.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die (weiteren) Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 382 mit Hinweis).
1.2. Soweit die SAK ihre Beschwerdebefugnis auf <ref-law> i.V.m. <ref-law> stützt - welche Anwendung hier angesichts der nachfolgenden Erwägungen letztlich offen bleiben kann -, ist auf folgendes hinzuweisen: Die Beschwerdelegitimation öffentlich-rechtlicher Sozialversicherungsträger ergibt sich grundsätzlich aus <ref-law> i.V.m. <ref-law> und der im konkreten Sozialversicherungszweig einschlägigen Verordnung (<ref-ruling> E. 2.2 f. S. 341 f.; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 56 f.; HANSJÖRG SEILER, in: Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2015, N. 20 zu <ref-law>). Der von der SAK angerufene <ref-law> in der seit 1. Januar 2007 geltenden Fassung verleiht den Ausgleichskassen grundsätzlich keine Beschwerdebefugnis mehr gegen Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts als Beschwerdeinstanz. Daher ist zu prüfen, ob eine durch das Gericht zu füllende Lücke vorliegt.
1.2.1. Eine (echte) Lücke besteht, wenn sich eine Regelung als unvollständig erweist, weil sie jede Antwort auf die sich stellende Rechtsfrage schuldig bleibt. Hat der Gesetzgeber eine Rechtsfrage nicht übersehen, sondern stillschweigend - im negativen Sinn - mitentschieden (qualifiziertes Schweigen), bleibt kein Raum für richterliche Lückenfüllung. Ist ein lückenhaftes Gesetz zu ergänzen, gelten als Massstab die dem Gesetz selbst zugrunde liegenden Zielsetzungen und Werte. (vgl. zum Ganzen ausführlich und mit Hinweisen <ref-ruling> E. 2.5 Ingress S. 126).
1.2.2. Die bis Ende Dezember 2006 in Kraft gestandene Fassung von <ref-law> lautete: "Das Bundesamt und die beteiligten Ausgleichskassen beziehungsweise IV-Stellen sind befugt, gegen Beschwerdeentscheide Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Eidgenössischen Versicherungsgericht zu führen".
1.2.3. Im Zuge der Totalrevision der Bundesrechtspflege per 1. Januar 2007 wurde <ref-law> angepasst (vgl. Ziffer II/91 der Verordnung vom 8. November 2006 über die Anpassung von Bundesratsverordnungen an die Totalrevision der Bundesrechtspflege (AS 2006 4705). In der seit 1. Januar 2007 geltenden Fassung lautet <ref-law> folgendermassen: "Das Bundesamt und die beteiligten Ausgleichskassen beziehungsweise IV-Stellen sind berechtigt, gegen Entscheide der kantonalen Versicherungsgerichte beim Bundesgericht Beschwerde zu erheben. Das Bundesamt ist auch zur Beschwerde gegen Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts berechtigt". Bei der Revision wurde die Frage nach der Beschwerdebefugnis der SAK gegen Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts nicht thematisiert (unveröffentlichte Erläuterungen des Bundesamtes für Justiz zur Verordnung über die Anpassung von Bundesratsverordnungen an die Totalrevision der Bundesrechtspflege, Ziff. 92).
1.2.4. Das BSV weist in seiner Vernehmlassung vom 11. November 2020 darauf hin, nach Rücksprache mit dem damals federführenden Bundesamt für Justiz (BJ) habe man bei der Neuformulierung wohl nur an die kantonalen und Verbandsausgleichskassen gedacht und nicht auch an die Eidgenössische Ausgleichskasse und die Schweizerische Ausgleichskasse. Es liesse sich indes kaum begründen, deren Beschwerderecht abweichend von demjenigen anderer Ausgleichskassen zu regeln, zumal auch kein Zweifel darüber bestehe, dass die SAK jedenfalls in denjenigen Fällen beschwerdebefugt sei, in denen zufolge Umzugs der versicherten Person in die Schweiz nach <ref-law> erstinstanzlich ein kantonales Versicherungsgericht zuständig gewesen sei. Es könne nicht sein, dass die SAK Beschwerdeentscheide nur in diesen Fällen anfechten könne, nicht aber, wenn das Bundesverwaltungsgericht entschieden habe. Der Fokus bei der Neuformulierung von <ref-law> habe eindeutig darauf gelegen, das Bundesamt explizit zur Beschwerde zu ermächtigen. Hingegen sei weder ein Grund ersichtlich, der SAK ab 2007 die Beschwerdebefugnis gegen Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts zu entziehen noch habe der Verordnungsgeber einen entsprechenden Willen kundgetan. Mithin liege ein eindeutiges Versehen vor im Sinne einer Lücke, die das Gericht zu füllen habe.
1.2.5. Mit dem BSV deutet nichts darauf hin, dass der Verordnungsgeber in Abweichung von der bis Ende 2006 in Kraft gestandenen Regelung der SAK ab dem Jahr 2007 die Beschwerdebefugnis gegen Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts entziehen wollte. Vielmehr ist davon auszugehen, dass <ref-law> in der seit 1. Januar 2007 in Kraft stehenden Fassung planwidrig unvollständig ist. Ein gerichtliches Eingreifen ist unter diesen Umständen möglich und geboten, was umso unproblematischer erscheint, als es hier nicht um die Schaffung materiellen Rechts mit Auswirkungen auf die Rechte und Pflichten der Versicherten geht (<ref-ruling> E. 2.5.5 S. 128 mit Hinweis). Für den vorliegenden Fall bedeutet dies, dass der SAK als Durchführungsstelle (weiterhin) die Befugnis zukommt, vor dem Bundesgericht Beschwerde gegen Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts zu erheben. Soweit Erwägung 2 des Urteils 9C_123/2019 vom 13. Juni 2019 etwas Gegenteiliges entnommen werden kann, so kann daran nicht festgehalten werden.
1.3. Es bleibt zu prüfen, ob hier eine konkrete Rechtsfrage in einer tatsächlich bestehenden Streitsache zu beurteilen ist oder ob es sich um eine theoretische Rechtsabklärung handelt. Das besondere Beschwerderecht nach <ref-law> steht nur für erstere zur Verfügung (vgl. zu lit. a der Bestimmung etwa <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 341 f.; zu lit. d bspw. Urteil 2C_570/2009 vom 1. März 2010 E. 1.1; ausserdem BERNHARD WALDMANN in: Basler Kommentar Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 52a und 64a zu <ref-law> mit Hinweisen; SEILER, a.a.O., N. 76 bzw. 96 zu <ref-law>).
1.3.1. Die SAK bestreitet nicht, dass der Einspracheentscheid vom 16. Februar 2018 materiell falsch ist und verlangt denn auch letztinstanzlich seine Aufhebung. Ihre Beschwerde zielt einzig darauf ab, die Aufhebung solle nicht zufolge Nichtigkeit erfolgen; Verfahrensgegenstand sei demnach die Frage, ob ihr Einspracheentscheid nichtig oder anfechtbar sei. Die Tatsache, dass die Nichtigkeit einer Rückvergütung jederzeit vor jeder Stelle, also auch nach Ablauf von Rechtsmittelfristen, geltend gemacht werden könnte, stelle einen Unsicherheitsfaktor dar und sei der Rechtssicherheit abträglich. Es bestehe das Risiko einer systemwidrigen Doppelzahlung (zunächst Rückvergütung der einbezahlten Beiträge und später Rentenzahlung). Ausserdem habe die Frage der Nichtigkeit oder Anfechtbarkeit Auswirkungen auf den Rückforderungstitel (je nachdem: ungerechtfertigte Bereicherung gemäss <ref-law> oder Rückerstattung unrechtmässig bezogener Leistungen gemäss <ref-law>).
1.3.2. In casu hat A._ gegen den Einspracheentscheid vom 16. Februar 2018 fristgerecht beim Bundesverwaltungsgericht Beschwerde erhoben. Dessen Aufhebung ist unbestritten (soeben E. 1.3.1). So oder anders erfolgte die Auszahlung im Dezember 2016 demnach von Anfang an ohne Rechtsgrund (vgl. etwa JOHANNA DORMANN, in: Basler Kommentar, Allgemeiner Teil des Sozialversicherungsrechts, 1. Aufl. 2020, N. 17 zu <ref-law> mit Hinweis; Urteil 9C_327/2012 vom 7. September 2012 E. 42). Entsprechend ist nicht ohne Weiteres ersichtlich, inwiefern die Rechtsgrundlage für die Rückforderung hier eine andere sein sollte, je nachdem, ob Anfechtbarkeit oder Nichtigkeit vorliegt. Weiterungen dazu, wie es sich damit im Detail verhält, erübrigen sich angesichts dessen, dass die Rückforderung der zu Unrecht ausbezahlten Beiträge ohnehin nicht Streitgegenstand ist.
1.3.3. Offen bleiben kann auch die Frage nach einem allfälligen künftigen Wiederaufleben von Sozialversicherungsansprüchen oder -anwartschaften. Auch die in diesem Zusammenhang von der Beschwerdeführerin aufgeworfenen Fragen sprengen den Streitgegenstand. Sie sind gegenwärtig bloss theoretischer Natur und können demnach auch von der SAK als Durchführungsorgan nicht dem Bundesgericht unterbreitet werden (oben E. 1.3 Ingress).
2.
Auf die Beschwerde ist nach dem Gesagten nicht einzutreten.
3.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1100.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. Dezember 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Meyer
Die Gerichtsschreiberin: Oswald