Sachverhalt:
A.
Die A._ AG (Arbeitgeberin; Beschwerdeführerin) erbringt Dienstleistungen im Personalsektor. Mit Schreiben vom 13. Dezember 2018 und 11. Januar 2019 ersuchte sie das Einigungsamt des Kantons Zürich um Einsetzung eines unabhängigen besonderen Kontrollorgans nach Art. 6 des Bundesgesetzes vom 28. September 1956 über die Allgemeinverbindlicherklärung von Gesamtarbeitsverträgen (AVEG, SR 221.215.311) mit Blick auf einen Konflikt zwischen ihr und der Regionalen Paritätischen Berufskommission B._ (Kommission B._) über die Einsetzung eines Kontrollorgans. Das Einigungsamt leitete das Gesuch zuständigkeitshalber an das Staatssekretariat für Wirtschaft SECO weiter.
A.a. Mit E-Mail vom 4. Juni 2019 schlug das SECO der Arbeitgeberin vor, bei der Firma C._ in U._ eine Offerte für die Durchführung der unabhängigen Kontrolle nach <ref-law> einzuholen, und bat um Rückmeldung, ob Einwände in Bezug auf die Unabhängigkeit dieser Firma bestünden. Am 24. Juni 2019 erwiderte die Arbeitgeberin, sie habe keine Einwände gegen die Einholung einer Offerte. Am 19. Juli 2019 teilte ihr das SECO die Absicht mit, die C._ als besonderes Kontrollorgan einzusetzen, und gab Gelegenheit, zu der eingeholten Offerte und den verschiedenen dazugehörigen Erläuterungen Stellung zu nehmen. Die Arbeitgeberin war mit der Offerte nicht einverstanden. Sie sei als vergleichsweise kleine Firma nicht in der Lage, einen so hohen Betrag zu bezahlen, und werde ihrerseits mindestens eine Offerte einholen. Sollte sich bestätigen, dass sich sämtliche Offerten im Bereich der Kosten der C._ bewegten, müsse eine nochmalige Lagebeurteilung vorgenommen werden. Sie zeigte sich ausserdem befremdet, dass die C._ Kontakt mit der Kommission B._ aufgenommen habe.
A.b. Mit E-Mail vom 26. August 2019 ersuchte das SECO die Arbeitgeberin unter anderem um Mitteilung des Namens der Gesellschaft, bei der sie eine Offerte einzuholen beabsichtige. Am 28. August 2019 antwortete die Arbeitgeberin, sie werde ihren Vorschlag sobald wie möglich mitteilen. Am 20. September 2019 brachte ihr das SECO die zusätzlich bei der D._ AG und der E._ GmbH, beide in U._, eingeholten Offerten zur Kenntnis und gab ihr Gelegenheit, sich zu äussern. Mit Schreiben vom 29. Oktober 2019 lehnte sie die unterbreiteten Offerten aus "verschiedenen, vor allem aber aus Kostengründen" ab. Gleichzeitig reichte sie eine Offerte der F._ AG in U._ ein, die sie zugleich aber ablehnte. Es sei für sie (aus Kostengründen) die erste Option, wenn die Kommission B._ die G._ AG in V._ mit der Durchführung der Kontrolle bei ihr beauftrage und die Kontrollkosten übernehme. Sie wäre bereit, im Voraus eine Erklärung zu unterschreiben, mit einer solchen Kontrolle ab der zweiten Januarhälfte 2020 einverstanden zu sein. Sie stellte sodann eine eigene weitere Offerte in Aussicht, ohne mitzuteilen, bei wem sie diese einholen werde.
A.c. Mit Schreiben vom 19. November 2019 begrüsste die Kommission B._ den Vorschlag der Beschwerdeführerin vom 29. Oktober 2019. Sie sei grundsätzlich bereit, ihr allfällige Kontrollkosten nur im Rahmen von Art. 31bis in Verbindung mit Anhang 2 des Reglements des Vereins "Paritätischer Vollzug, H._" aufzuerlegen. Die Voraussetzung für die Umsetzung des Vorschlags sei, dass die Arbeitgeberin eine Vereinbarung zur reibungslosen Durchführung der Kontrolle unterzeichne.
A.c.a. Ziffer 2 des Entwurfs dieser Vereinbarung sieht vor, dass die Kommission B._ die G._ AG mit dier Kontrolle bei der Arbeitgeberin beauftrage. Gemäss Ziffer 6 des Entwurfs überprüft die G._ AG die Einhaltung der Lohn- und Arbeitszeitbestimmungen bei den Arbeitnehmenden, welche in der erwähnten Kontrollperiode durch die Beschwerdeführerin "verliehen" worden seien (Satz 1) und ermittelt zusätzlich die Höhe der geschuldeten Vollzugskostenbeiträge für die Jahre 2013 bis 2019 in Bezug auf alle verliehenen Personen (Satz 2). Nach Ziffer 7 des Entwurfs anerkennt die Beschwerdeführerin das Kontrollergebnis und die gestützt auf diese Kontrolle bestimmten Vollzugskostenbeiträge zu schulden.
A.c.b. Das SECO leitete den Vereinbarungsvorschlag am 22. November 2019 an die Arbeitgeberin weiter mit der Bitte, ihn zu prüfen und es über das Ergebnis zu informieren. Sollte es zu einer Vereinbarung zwischen ihr und der Kommission B._ über die Kontrolle kommen, erachte es das Gesuch um Einsetzung eines besonderen Kontrollorgans als erledigt.
A.c.c. Die Arbeitgeberin war mit Ziffer 6, Satz 2, und Ziffer 7 dieses Entwurfs nicht einverstanden. Grund dafür war, dass vor dem Zürcher Handelsgericht ein Rechtsstreit zwischen der Arbeitgeberin und dem Verein "Paritätischer Vollzug, H._" über die Frage hängig war, in welcher Höhe sie Beiträge an die Kosten des Vollzugs des GAV Personalverleih zu leisten habe (vgl. hierzu: Urteil des Bundesgerichts 4A_62/2021 vom 27. Dezember 2021). Die Arbeitgeberin sah in der Vereinbarung einen Versuch, eine Klageanerkennung in Bezug auf den Prozess vor Handelsgericht zu erschleichen, zu der sie nicht bereit war. Sie erklärte dem SECO am 4. Dezember 2019, sie gehe von der Beauftragung der G._ AG als Kontrollfirma aus und erwarte den Erlass des entsprechenden Kontrollbeschlusses durch das SECO. Am 16. Dezember 2019 erwiderte dieses, der Inhalt der Vereinbarung zwischen ihr und der Kommission B._ sei nicht Gegenstand des Verfahrens um Einsetzung eines besonderen Kontrollorgans nach <ref-law>. Die Vereinbarung sei eine rein zivilrechtliche Angelegenheit. Das SECO sei für die Überprüfung der Vereinbarung nicht zuständig. Es habe lediglich im Sinn der Erbringung von guten Diensten für die Übermittlung der Dokumente gesorgt.
A.c.d. Mit Schreiben vom 9. Januar 2020 informierte die Kommission B._ das SECO, eine Vereinbarung scheine nicht möglich. Dem Antrag der Arbeitgeberin vom 4. Dezember 2019 sei Folge zu leisten, und es sei festzustellen, dass die Kontrollkosten zu deren Lasten gingen. Am 29. Januar 2020 schrieb das SECO der Arbeitgeberin, es nehme zur Kenntnis, dass keine Vereinbarung über die Durchführung einer Kontrolle zustande gekommen sei. Es werde deshalb nun die Einsetzung eines besonderen Kontrollorgans verfügen.
A.c.e. In ihrer Stellungnahme vom 4. Februar 2020 beantragte die Beschwerdeführerin die Durchführung der Kontrolle im Sinn der Vereinbarung (exklusiv der Frage der Klageanerkennung). Diese sei rechtsgültig.
A.d. Mit Verfügung vom 21. Februar 2021 setzte das SECO die Firma C._ als besonderes Kontrollorgan zur Durchführung einer Lohnbuchkontrolle bei der Arbeitgeberin ein. Es bestimmte den Zeitraum der Durchführung und welche allgemeinverbindlich erklärten Artikel des GAV für den Personalverleih zu kontrollieren waren. Es traf Anordnungen zum Kontrollgegenstand und hielt fest, die Kontrollkosten gingen zu Lasten der Arbeitgeberin.
Die C._ erfülle die gesetzlichen Voraussetzungen für die Einsetzung als besonderes Kontrollorgan und sei von den Parteien unabhängig. Zudem habe sie die "tiefste", detaillierteste und am besten nachvollziehbare Offerte vorgelegt. Es lägen keine besonderen Umstände vor, um vom Grundsatz abzuweichen, wonach die Kontrollkosten zu Lasten des Arbeitgebers gingen, der eine besondere Kontrolle verlange.
B.
Die Arbeitgeberin focht diese Verfügung vor dem Bundesverwaltungsgericht an und verlangte im Wesentlichen, die angefochtene Verfügung sei aufzuheben und die Sache an das SECO zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Eventuell sei die G._ AG als unabhängiges Kontrollorgan einzusetzen, und es sei über die Kostentragung zu entscheiden. Das Bundesverwaltungsgericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 3. März 2021 ab, soweit sie nicht (hinsichtlich eines Begehrens um Fristverlängerung zur Ergänzung der Beschwerdebegründung) gegenstandslos geworden war.
B.a. Das Bundesverwaltungsgericht erkannte, die Parteien hätten sich um den Abschluss einer Vereinbarung bemüht, welche die Durchführung einer Lohnbuchkontrolle durch die G._ AG einvernehmlich geregelt hätte. Die Vereinbarung sei jedoch mangels Einigung über die Frage der Anerkennung einer vor dem Zürcher Handelsgericht hängigen Klage nicht zustandegekommen. Ob auch die Frage der Kostentragung mit ein Grund des Scheiterns war, lasse sich aufgrund der Akten nicht restlos klären. Die gegenüber dem SECO erhobenen Vorwürfe der Verletzung des rechtlichen Gehörs und des treuwidrigen Verhaltens seien nicht stichhaltig. Es liege nicht in der Kompetenz des SECO, eine privatrechtliche Vereinbarung ausserhalb des Verwaltungsverfahrens auf ihre Teilgültigkeit zu überprüfen. Das SECO habe nach der Erklärung einer der Parteien über das Scheitern keine andere Möglichkeit gehabt, als die Einsetzung des besonderen Kontrollorgans mittels Verfügung selbst anzuordnen. Die angestrebte Vereinbarung habe keine Teilgültigkeit erlangt. Mit Blick auf den Verlauf des Schriftenwechsels vor dem SECO wäre zu erwarten gewesen, dass die Arbeitgeberin schnellstmöglich selbst eine Offerte der G._ AG einreiche, zumal diese nach ihrer Aussage angeblich rund 50 % bzw. 100 % tiefer als die anderen Offerten ausgefallen wäre. Insgesamt habe die Beschwerdeführerin das Verfahren durch ihr eigenes Verhalten ungebührlich verlängert. Sie erwecke mit ihrer Vorgehensweise den Eindruck, dass sie die Verfahrensdauer mutwillig in die Länge habe ziehen wollen.
B.b. Den Vorwurf der mangelnden Unabhängigkeit der eingesetzten Kontrollfirma sah das Bundesverwaltungsgericht nicht als erstellt an. Die C._ habe zwar von sich aus eine Rückfrage bei der Kommission B._ vorgenommen, ob seitens der Kommission B._ in Bezug auf die Darstellung der Kontrollresultate zwingende Vorgaben einzuhalten seien. Die Rückfrage habe sich auf die Frage der Vergleichbarkeit der Kontrolltools der C._ und der Kommission B._ und eine allfällige Übernahme des Tools der Kommission B._ durch die C._ beschränkt. Aus dieser Nachfrage technischer Natur gehe keine Abhängigkeit der C._ von der Kommission B._ hervor.
B.c. In Bezug auf die Übernahme der Kosten kam das Bundesverwaltungsgericht sodann zum Schluss, ein Grund, die Kosten für das unabhängige Kontrollorgan der Kommission B._ zu überbinden, bestehe nicht.
B.d. Auch den Vorwurf der Befangenheit der beim SECO den Fall behandelnden Ressortleiterin sah das Bundesverwaltungsgericht nicht als begründet an.
C.
Die Arbeitgeberin führt Beschwerde und beantragt dem Bundesgericht im Wesentlichen, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts aufzuheben und die Sache an dieses oder eventuell an die verfügende Behörde zu neuer Entscheidung zurückzuweisen. Das SECO beantragt, die Beschwerde abzuweisen, während das Bundesverwaltungsgericht unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid auf Vernehmlassung verzichtet. Die Beschwerdeführerin hat unaufgefordert eine Beschwerdereplik eingereicht.

Erwägungen:
1.
Nach <ref-law> bestimmt die zuständige Behörde Gegenstand und Umfang der Kontrolle nach Anhörung der Vertragsparteien und des Arbeitgebers oder Arbeitnehmers, der die Einsetzung eines besonderen Kontrollorgans verlangt oder der sich geweigert hat, sich der Kontrolle des paritätischen Organs zu unterziehen. Die Beschwerdeführerin rügt, das SECO habe die Vertragsparteien, d.h. I._, die J._, die K._ sowie L._ nicht angehört. Stattdessen habe es ausschliesslich die Kommission B._ konsultiert.
1.1. Die Vorinstanz hielt fest, die Kommission B._ bestehe aus Mitgliedern von I._, der Gewerkschaft J._, der K._, von M._ und des L._. Die erwähnten Gesellschaften seien identisch mit den Vertragsparteien des GAV Personalverleih. Im Rahmen der Anhörung der Kommission B._ habe das SECO Vertreter sämtlicher Vertragsparteien berücksichtigt. Selbst wenn man von einem Verfahrensfehler während der gesetzlich geforderten Anhörung ausgehen wollte, bleibe unklar, was die Beschwerdeführerin hieraus im Ergebnis zu ihren Gunsten ableite. Angesichts des Zwecks, dem die Anhörung der Vertragsparteien diene, und dem Umstand, dass weder Gegenstand noch Umfang der Kontrolle strittig seien, sei sogar fraglich, ob die Anhörung überhaupt nötig gewesen wäre.
1.2. Die Beschwerdeführerin ist der Auffassung, diese Gesetzesauslegung komme einer Gesetzeskorrektur gleich und sei daher willkürlich; <ref-law> verlange ein unbedingtes Anhörungsrecht, bevor Gegenstand und Umfang der Kontrolle bestimmt würden. Die Überlegungen der Vorinstanz zur Frage, was die Beschwerdeführerin nach erfolgter Anhörung der Vertragsparteien zu ihren Gunsten ableiten könne, beruhten auf einem logischen Denkfehler. Es sei reine Spekulation darüber zu sinnieren, was das Ergebnis gewesen wäre, wenn tatsächlich eine Anhörung stattgefunden hätte. Tatsache sei, dass diese eben gerade nicht stattgefunden habe und die Vertragsparteien sich deshalb zu Gegenstand und Umfang der Kontrolle eben gerade nicht hätten äussern können.
1.3. Eine Beschwerde an das Bundesgericht setzt ein hinreichendes Rechtsschutzinteresse voraus (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Verlangt wird, dass die beschwerdeführende Partei einen praktischen Nutzen aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids zieht. Das schutzwürdige Interesse besteht im praktischen Nutzen, den die Gutheissung des Rechtsmittels der beschwerdeführenden Partei bringen würde, indem ihr ein wirtschaftlicher, ideeller oder materieller Nachteil durch den angefochtenen Entscheid erspart bliebe (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweisen). Daher kann sich eine Partei nicht damit begnügen, auf allfällige formelle Mängel des angefochtenen Entscheides hinzuweisen. Sie muss, sofern dies nicht offensichtlich ist, vielmehr darlegen, welches schützenswerte, praktische Interesse sie an einer diesbezüglichen Korrektur des Entscheides hätte. Auch bei der Rüge einer Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör, der nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts an sich formeller Natur ist, verlangt das Bundesgericht von der beschwerdeführenden Partei, dass sie angibt, welche Vorbringen sie in das Verfahren bei Gewährung des rechtlichen Gehörs eingeführt hätte und inwiefern diese hätten erheblich sein können. So wird verhindert, dass eine Rückweisung zum blossen Leerlauf wird, weil die betroffene Partei gar nichts Weiteres zu sagen hat (Urteile des Bundesgerichts 4A_593/2020 vom 23. Juni 2021 E. 7.2; 5A_561/2018 vom 14. Dezember 2018 E. 2.3; 5A_699/2017 vom 24. Oktober 2017 E. 3.1.3; je mit Hinweisen; vgl. auch Urteil 4A_27/2018 vom 3. Januar 2019 E. 3.2.4).
1.3.1. Im hier zu beurteilenden Fall geht es nicht um die fehlende Anhörung der Beschwerdeführerin, sondern um diejenige von Dritten. Welches legitime Interesse die Beschwerdeführerin hat, sich auf die mangelnde Anhörung eines Dritten zu berufen, legt sie mit ihren Ausführungen nicht dar (vgl. Urteil des Bundesgerichts 4A_23/2018 vom 8. Februar 2019 E. 3.4 am Ende).
1.3.2. Die Kommission B._ besteht nach den insoweit unwidersprochenen Feststellungen der Vorinstanz aus Mitgliedern der Dritten, die hätten angehört werden müssen. Geht man davon aus, die Mitglieder handelten als Vertreter der Dritten, wäre ihr Wissen den Vertretenen zuzurechnen. Diese hätten um das Verfahren gewusst und hätten den ergangenen Entscheid selbst anfechten können (vgl. <ref-law> ebenso wie <ref-law>, wonach zur Beschwerde berechtigt ist, wer vor der Vorinstanz keine Möglichkeit zur Teilnahme am Verfahren erhalten hat). Geht man davon aus, es habe keine entsprechende Wissenszurechnung zu erfolgen, hätte es der Beschwerdeführerin freigestanden, die Dritten selbst zu informieren. Wenn sie dies unterlässt und auch nicht abklärt, ob die Dritten überhaupt angehört zu werden wünschen (nach den Feststellungen der Vorinstanz waren weder Gegenstand noch Umfang der Kontrolle strittig), setzt sie sich in einen unauflösbaren Widerspruch zu ihrem Anliegen, weitere Verzögerungen zu vermeiden, auf das sie sich vor Bundesgericht selbst beruft. Das Rechtsschutzinteresse ist nicht hinreichend dargetan. Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
2.
Die Beschwerdeführerin rügt eine willkürliche Rechtsanwendung von <ref-law>, weil mit der C._ eine Firma als Kontrollinstanz eingesetzt worden sei, gegen die sie sich ausgesprochen habe. Die von ihr vorgeschlagene G._ AG wäre nach aktuellem Aktenstand die günstigste gewesen und auch die Kommission B._ habe die G._ AG akzeptiert. Dennoch habe die Vorinstanz nicht einmal eine Offerte eingeholt.
2.1. Die Beschwerdeführerin kritisiert die vorinstanzliche Annahme, sie habe das SECO niemals explizit darum gebeten, auch eine Offerte der G._ AG einzuholen. Den Vorwurf, sie wolle das Verfahren ungebührlich in die Länge ziehen, weist sie zurück.
2.1.1. Das SECO habe sie aufgefordert, eigene Offerten einzureichen oder eine Firma zu benennen. Dieser Aufforderung sei sie mit Schreiben vom 29. Oktober 2019 nachgekommen. Zwar sei im Schreiben nicht (ausschliesslich) das SECO zur Einholung einer Offerte bei der G._ AG aufgefordert worden, sondern der Weg über die Kommission B._ vorgeschlagen worden. Dieser Vorschlag habe der Beschleunigung des Verfahrens gedient, was den Vorwurf der Verfahrensverzögerung widerlege. Desgleichen habe sie im Schreiben vom 4. Dezember 2019 auf eine rasche Kontrollankündigung gedrängt.
2.1.2. Es sei nicht der Sinn des Vorschlages gewesen, bei einer Weigerung der Kommission B._ auf eine Offerte bei der G._ AG zu verzichten. Im Schreiben vom 29. Oktober 2019 habe die Beschwerdeführerin Stellung zu den verschiedenen Offerten genommen. Sie habe diese abgelehnt und eine eigene Offerte der F._ AG eingereicht. Dazu habe sie ausgeführt, diese Offerte sei für sie nur die zweite Option. Die beste Variante wäre die Einsetzung der G._ AG, wobei dies am einfachsten und effizientesten nicht mittels eines komplizierten, mit Rechtsmittelmöglichkeiten versehenen Verfahrens durch das SECO, sondern durch eine einvernehmliche Lösung mit der Kommission B._ zu erreichen sei: "Die effizienteste Lösung für alle wäre wohl, wenn die Kommission B._ die Firma G._ AG in V._ beauftragen würde." Es sei deshalb willkürlich bzw. aktenwidrig zu behaupten, die Beschwerdeführerin habe keine Offerte der G._ AG angefordert. Die Beschwerdeführerin habe ausdrücklich den Abschluss eines Auftrages beantragt. Der Abschluss eines Auftrages setze privatrechtlich zwingend ein Akzept einer Offerte voraus.
2.1.3. Selbst wenn man annehmen wollte, die Beschwerdeführerin habe nur die Kommission B._ (nicht aber das SECO) zu einer Offerteinholung aufgefordert, so hätte auf jeden Fall nach dem Scheitern des Einigungsversuches das SECO die Beschwerdeführerin nochmals angehen müssen. Sie habe nicht damit rechnen müssen, dass das SECO bei einem Scheitern einer Einigung auf das Einholen einer Offerte bei der G._ AG verzichten würde.
2.2. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin treffen nicht die entscheidenden Punkte:
2.2.1. Zunächst übergeht die Beschwerdeführerin den Unterschied zwischen den Begriffen "Offerte" und "eine Offerte einholen":
2.2.1.1. Mit Offerte wird allgemein das Angebot einer Partei bezeichnet, mit einer anderen einen Vertrag abzuschliessen. In der Tat setzt ein Auftrag grundsätzlich ein Angebot und eine Annahme voraus und in diesem Sinne eine Offerte und deren Akzept. Ob die Offerte vom Auftraggeber oder vom Beauftragten ausgeht, spielt dabei keine Rolle.
2.2.1.2. Anders verhält es sich, wenn es darum geht, eine Offerte einzuholen. Eine Offerte in diesem Sinne holt der Auftraggeber beim zu Beauftragenden ein. Dieser lässt darin den potentiellen Auftraggeber wissen, welche Leistungen er zu welchem Preis anbietet. Dies erlaubt, aus mehreren Angeboten das passende auszusuchen. Das Einholen einer Offerte in diesem Sinne ist für den Abschluss eines Auftrages keineswegs zwingend, zumal dafür keine Abrede über die Höhe des Entgelts notwendig ist (vgl. <ref-law>).
2.2.1.3. Wenn die Beschwerdeführerin den Abschluss eines Auftrages beantragt, verlangt sie damit nicht, es sei eine Offerte einzuholen, zumal sie die Kosten ohnehin nicht übernehmen wollte.
2.2.2. Dass die Beschwerdeführerin in ihren Äusserungen auf eine schnelle Durchführung der Kontrolle drängt oder sogar Vorschläge für eine Beschleunigung des Verfahrens macht, schliesst nicht aus, dass sie dennoch das Verfahren ungebührlich in die Länge ziehen kann, für den Fall, dass nicht die von ihr bevorzugte Lösung (ohne Kosten für sie selbst) gewählt wird. Auch vor Bundesgericht verlangt die Beschwerdeführerin die Anhörung der GAV-Parteien, ohne sich darum zu kümmern, ob diese überhaupt etwas beizutragen wünschen (vgl. E. 1 hiervor). Es gelingt ihr nicht, das Vorgehen der Vorinstanz als offensichtlich unhaltbar auszuweisen.
2.2.3. Die Kommission B._ informierte die Vorinstanz, eine gütliche Einigung sei gescheitert, und beantragte, dass die Kontrollkosten zu Lasten der Beschwerdeführerin gingen. Eine Einigung zwischen den Parteien ist nicht festgestellt. Mit den Bedingungen, unter denen die Kommission B._ die G._ AG in der Vereinbarung als Kontrollstelle akzeptiert hätte, war die Beschwerdeführerin nicht einverstanden.
2.2.3.1. Es war nicht Sache des SECO zu prüfen, ob eine Teileinigung zustandegekommen war. War die Beschwerdeführerin der Ansicht, es sei eine Vereinbarung zustandegekommen, hätte sie von der Kommission B._ verlangen müssen, sich danach zu richten und das SECO über die Einigung zu informieren. Ob eine Teilvereinbarung zustandekam, hat nicht das SECO zu beurteilen, sondern im Streitfall das Gericht.
2.2.3.2. Der Einwand, das Schreiben vom 29. Oktober 2019 habe ausdrücklich darauf hingewiesen, die G._ AG sei die erste Option, übergeht, dass die Beschwerdeführerin in diesem Schreiben eine Beauftragung der G._ AG durch die Kommission B._ und auf deren Kosten thematisiert. Der Umfang der Kosten konnte ihr diesfalls gleichgültig sein, da sie nicht von ihr zu übernehmen gewesen wären. Daraus lässt sich keine Aufforderung konstruieren, eine Offerte einzuholen. Von der mündlichen informellen Offerte der G._ AG, welche angeblich Kontrollkosten in Höhe von bloss Fr. 12'000.-- bis Fr. 13'000.-- veranschlagt habe, hatte das SECO dagegen gemäss den Feststellungen im angefochtenen Entscheid keine Kenntnis. Wenn die Beschwerdeführerin diese Information nicht weiterleitet, kann sie sich nicht nachträglich darüber beklagen, dass das SECO sie nicht berücksichtigt hat.
2.2.3.3. Allerdings hatte die Beschwerdeführerin am 4. Dezember 2019 geschrieben, sie gehe von der Beauftragung der G._ AG als Kontrollfirma aus und erwarte den Erlass des entsprechenden Kontrollbeschlusses durch das SECO. Im Schreiben vom 9. Januar 2020, in dem die Kommission B._ dieses über das Scheitern der Vereinbarung informierte, beantragte sie, dem Antrag der Beschwerdeführerin vom 4. Dezember 2019 sei Folge zu leisten, und es sei festzustellen, dass die Kontrollkosten zu deren Lasten gingen. Damit könnte man sich fragen, ob insoweit zumindest ein übereinstimmender Antrag vorlag, den das SECO mit Blick auf den Gesetzeszweck hätte berücksichtigen müssen. Darauf berief sich die Beschwerdeführerin aber nicht, sondern sie behauptete am 4. Februar 2020, die Vereinbarung sei gültig. Auch vor Bundesgericht begründet die Beschwerdeführerin ihre Rügen nicht im Sinne eines gemeinsamen Antrags. Hätten sich die Parteien bereits definitiv auf eine Kontrollstelle geeinigt, würde sich die Einholung einer Offerte erübrigen. Ein Begehren um direkte Einsetzung der G._ AG, wie es die Beschwerdeführerin noch vor Vorinstanz im Eventualbegehren gestellt hatte, wurde vor Bundesgericht aber nicht gestellt; Insoweit wäre schon mangels hinreichenden Rechtsbegehren nicht auf die Beschwerde einzutreten (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.3; je mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.2; Urteil des Bundesgerichts 1C_37/2020 vom 24. Juni 2020 E. 1.1; vgl. allerdings <ref-ruling> E. 1.4.1).
2.2.4. Schliesslich trifft es zwar zu, dass die C._ von sich aus eine Rückfrage bei der Kommission B._ vorgenommen hatte. Mit der Einschätzung des SECO, aus der Nachfrage gehe infolge ihrer technischen Natur keine Abhängigkeit hervor, der sich die Vorinstanz angeschlossen hat, setzt sich die Beschwerde aber nicht rechtsgenüglich auseinander. Daher hat es dabei sein Bewenden und kann die Beschwerdeführerin aus der Kontaktaufnahme und ihrer darauf beruhenden Ablehnung nichts ableiten.
2.3. Was die Kosten anbelangt, belief sich die Offerte der C._ auf Fr. 25'514.13 inkl. MwSt. Diese unterbot damit nach den Feststellungen der Vorinstanz nach Berücksichtigung der Mehrwertsteuer die übrigen vom SECO eingeholten Offerten. Auch die von der Beschwerdeführerin selbst eingeholte Offerte von Fr. 21'000.-- bis Fr. 23'500.-- exkl. MwSt, belaufe sich unter Berücksichtigung der Mehrwertsteuer auf einen ähnlichen Betrag. Von der mündlichen, informellen Offerte der G._ AG (angeblich Fr. 12'000.-- bis Fr. 13'000.--) habe das SECO bis zum Erlass der angefochtenen Verfügung keine Kenntnis gehabt. Die Beschwerdeführerin habe es unterlassen, dem SECO eine Offerte der G._ AG vorzulegen, obgleich sie eine eigene Offerteinreichung mehrmals in Aussicht gestellt habe.
Mit diesen Ausführungen zum Quantitativ setzt sich die Beschwerdeführerin ebenfalls nicht rechtsgenüglich auseinander. Auch insoweit genügt die Beschwerde den Begründungsanforderungen nicht.
2.4. Es verletzt mithin kein Recht, wenn das SECO das Unternehmen, über das sich die Parteien nicht einigen konnten, nicht als Kontrollorgan einsetzte, zumal es über die angeblich günstigeren Kosten nicht in Kenntnis gesetzt worden war.
3.
Die Beschwerdeführerin beruft sich sodann auf die Befangenheit der zuständigen SECO-Mitarbeiterin. Die Befangenheit erkennt sie in einer angeblichen Mitwirkung beim Versuch der Erwirkung einer Klageanerkennung. Die Kommission B._ habe der Beschwerdeführerin einen Vorschlag zukommen lassen, wonach sie mit der G._ AG als Kontrollstelle einverstanden sei und sogar die Kontrollkosten übernehmen würde. In Ziff. 7 des Einigungsvorschlages habe sich aber auch eine Klageanerkennung über Fr. 240'000.-- befunden. Absolut unakzeptabel sei der Umstand, dass weder im Schreiben der Kommission B._ noch im Begleitschreiben des SECO darauf hingewiesen worden sei. Die Beschwerdeführerin kritisiert in erster Linie nicht die Koppelung der beiden Fragen, sondern dass nicht darauf hingewiesen worden sei, dass mit der Einigung über eine Kontrollstelle zugleich eine Klageanerkennung mit einem zehnfach höheren Betrag verbunden war.
3.1. Das ganze Vorgehen sei deshalb so "perfid", weil die Kommission B._ absichtlich die Klageanerkennung habe verschleiern wollen und stattdessen den Fokus auf eine reibungslose Durchführung gelegt habe. Im Schreiben vom 19. November 2019 schreibe die Kommission B._ wortwörtlich:
"Die Kommission B._ begrüsst den Vorschlag der A._ AG. Sie ist grundsätzlich breit, die Kontrolle an die Firma G._ AG zu übertragen und dieser allfällige Kontrollkosten nur im Rahmen von Art. 31bis i.V.m. Anhang 2 Reglement des Vereins Paritätischer Vollzug, H._ aufzuerlegen. Voraussetzung für die Erteilung der Kontrolle an die G._ AG ist, dass die A._ AG eine Vereinbarung zur reibungslosen Durchführung der Kontrolle unterzeichnet."
3.2. Die zuständige Ressortleiterin beim SECO sei eine zentrale Person im Prozess vor Handelsgericht. Bei diesem sei es um die Frage gegangen, ob die Gebühren, welche Arbeitnehmende und Arbeitgebende im Rahmen des GAV-Personalverleih zu zahlen hätten und die mittlerweile eine Höhe von über 56 Mio. Franken an thesaurierten (und als Rückstellungen verbuchten) Gewinnen erreicht hätten, rechtskonform seien oder nicht. Die zuständige Ressortleiterin habe genau über diese Frage im SECO zu entscheiden. In der Vergangenheit habe sie diese Gewinne nie wirklich in Frage gestellt. Sie habe daher damit rechnen müssen, dass bei einer Gutheissung der Rechtsposition der Beschwerdeführerin, wonach die GAV-Gebühren zu hoch seien, ihre persönliche Kontrolltätigkeit in Frage gestellt würde. Dies habe sie verhindern können, indem sie mitgeholfen habe, bei der Beschwerdeführerin eine Klageanerkennung zu erwirken. Dass die Ressortleiterin, wenn die Rechtsposition der Beschwerdeführerin vor Handelsgericht Zürich geschützt würde, mit persönlichen Nachteilen habe rechnen müssen, hätte dazu führen müssen, dass sie nicht über die Einsetzung des Kontrollorgans hätte befinden dürfen.
3.3. Die Einwände der Beschwerdeführerin sind nicht stichhaltig:
3.3.1. Nach dem Grundsatz von Treu und Glauben und dem Verbot des Rechtsmissbrauchs ist es nicht zulässig, formelle Rügen, die in einem früheren Prozessstadium hätten geltend gemacht werden können, bei ungünstigem Ausgang noch später vorzubringen (<ref-ruling> E. 5.2; <ref-ruling> E. 2.2). Es ist aber weder festgestellt noch legt die Beschwerdeführerin hinreichend dar, dass sie die Ressortleiterin bereits in dem Moment abgelehnt hätte, als sie erkannt hat, dass sie allenfalls ein Interesse am Ausgang des Verfahrens vor Handelsgericht haben könnte, oder zumindest nachdem die Ressortleiterin den Vereinbarungsvorschlag weitergeleitet hatte. Damit hat die Beschwerdeführerin das Recht, sich insoweit auf eine Befangenheit zu berufen, ohnehin verwirkt.
3.3.2. Sodann ist nicht festgestellt, dass die zuständige Ressortleiterin die verlangte Anerkennung überhaupt zur Kenntnis genommen hatte. Es ging um eine privatrechtliche Vereinbarung zwischen den Parteien. Das SECO hat diese Vereinbarung zwar weitergeleitet. Es war aber Sache der Parteien zu entscheiden, in welcher Form sie die Vereinbarung abschliessen wollten. Das SECO hat die Beschwerdeführerin gebeten, die Vereinbarung zu prüfen. Es war nicht gehalten, eine Inhaltskontrolle vorzunehmen, und hat die Beschwerdeführerin darüber in Kenntnis gesetzt. Gründe für eine Befangenheit sind vor diesem Hintergrund nicht dargetan.
4.
Die Beschwerdeführerin führt zum Schluss in appellatorischer Kritik weitere Annahmen der Vorinstanz an, die offensichtlich unzutreffend sein sollen (vgl. zu den Begründungsanforderungen an eine Sachverhaltsrüge nach <ref-law>: B GE 140 III 16 E. 1.3.1, 86 E. 2, 264 E. 2.3; je mit Hinweisen). Sie versucht daraus, dass das Handelsgericht in einem anderen Verfahren in ihrem Sinne entschieden hat, etwas zu ihren Gunsten abzuleiten. Eine rechtsgenüglich begründete Rüge erhebt sie damit nicht. Zudem verkennt sie, dass sich das Handelsgericht mangels rechtsgenüglicher Behauptungen der Gegenpartei gar nicht mit der Frage auseinandersetzen musste, ob die von der Beschwerdeführerin erhobenen Vorwürfe zutreffen (vgl. zit. Urteil 4A_62/2021 Sachverhalt B). Die Beschwerde erweist sich insgesamt als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit überhaupt darauf einzutreten ist. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig. Dem SECO steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, und dem Eidgenössischen Departement für Wirtschaft, Bildung und Forschung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. November 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Luczak