Sachverhalt:
A.
Die 1965 geborene A._ war vom 1. Oktober 2008 bis zum 30. September 2009 beim Spital B._ als Pflegefachfrau angestellt und deshalb bei der Versicherungskasse für das Staatspersonal des Kantons Zürich (heute: BVK Personalvorsorge des Kantons Zürich; nachfolgend: BVK) für die berufliche Vorsorge versichert. Nach vorübergehender Arbeitslosigkeit war sie vom 15. Dezember 2010 bis zum 28. Februar 2012 im Spital C._ angestellt und deshalb bei der Veska-Pensionskasse (nachfolgend: Veska) versichert.
A._ meldete sich im September 2010 bei der Invaliden versicherung zum Leistungsbezug an. Mit Verfügung vom 21. Februar 2014 sprach die IV-Stelle Schwyz A._ eine ganze Invalidenrente ab dem 1. April 2012 zu. Mit Mitteilungen vom 24. Februar 2015, 14. Juli 2016 und 27. Juli 2020 bestätigte die IV-Stelle einen unveränderten Rentenanspruch. Die BVK und die Veska verneinten ihre entsprechende Leistungspflicht.
B.
Mit Klage vom 30. Juni 2020 liess A._ beantragen, die BVK sei zu verpflichten, ihr ab dem 1. Dezember 2012 eine ganze Inva lidenrente auszurichten. Nach Beiladung der Veska zum Prozess wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Klage mit Urteil vom 13. September 2021 ab.
C.
A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angele genheiten beantragen, unter Aufhebung des Urteils vom 13. September 2021 sei die Sache zur neuen Entscheidung an das kantonale Sozialversicherungsgericht zurückzuweisen; eventualiter sei ihr zulasten der BVK eine ganze Invalidenrente zuzüglich Verzugszins zu 5 % ab dem 1. Dezember 2012 zuzusprechen.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Antrag betreffend Verzugszins ist neu und daher von vornherein unzulässig (vgl. <ref-law>).
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist. Eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung weist damit die Tragweite von Willkür auf. Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erscheint. Eine Sachverhaltsfeststellung ist etwa dann offensichtlich unrichtig, wenn das kantonale Gericht den Sinn und die Tragweite eines Beweismittels offensichtlich falsch eingeschätzt, ohne sachlichen Grund ein wichtiges und für den Ausgang des Verfahrens entscheidendes Beweismittel nicht beachtet oder aus den abgenommenen Beweisen unhaltbare Schlüsse gezogen hat. Solche Mängel sind in der Beschwerde aufgrund des strengen Rügeprinzips (vgl. <ref-law>) klar und detailliert aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweisen; Urteil 9C_84/2021 vom 2. August 2021 E. 2).
2.
2.1.
2.1.1. Nach den zutreffenden Erwägungen im angefochtenen Urteil werden Invalidenleistungen der obligatorischen beruflichen Vorsorge von derjenigen Vorsorgeeinrichtung geschuldet, bei welcher die ansprechende Person bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert war (Art. 23 lit. a BVG; <ref-ruling> E. 2.6). Dieser Grundsatz findet auch in der weitergehenden Vorsorge Anwendung, wenn - wie hier (vgl. § 19 ff. der BVK-Statuten vom 22. Mai 1996 [in der seit 1. Januar 2005 geltenden Fassung]) - Reglement oder Statuten resp. gesetzliche Grundlagen nichts anderes vorsehen (<ref-ruling> E. 3.2). Für die Bestimmung der Leistungszuständigkeit im Sinne von Art. 23 lit. a BVG ist - wie für die Eröffnung der Wartezeit nach <ref-law> - eine erhebliche und dauerhafte Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf oder Aufgabenbereich massgebend. Diese muss mindestens 20 % betragen (<ref-ruling> E. 4.4; SVR 2017 BVG Nr. 25 S. 113, 9C_518/2016 E. 2.1; Urteile 9C_181/2021 vom 10. Juni 2021 E. 2.1.1; 9C_347/2019 vom 22. August 2019 E. 2.2.1).
2.1.2. Ebenfalls korrekt führt die Vorinstanz aus, dass der Anspruch auf Invalidenleistungen aus beruflicher Vorsorge einen engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhang zwischen der während andauerndem Vorsorgeverhältnis (einschliesslich Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG) bestehenden Arbeitsunfähigkeit und der allenfalls erst später eingetretenen Invalidität voraussetzt. Der sachliche Konnex ist gegeben, wenn der Gesundheitsschaden, welcher zur Arbeitsunfähigkeit geführt hat, im Wesentlichen derselbe ist, wie er der Erwerbsunfähigkeit zugrunde liegt. Die Annahme eines engen zeitlichen Zusammenhangs setzt voraus, dass die versicherte Person nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, nicht während längerer Zeit wieder arbeitsfähig war (<ref-ruling> E. 3.2 und 3.2.1). Eine Unterbrechung des zeitlichen Konnexes ist dann anzunehmen, wenn während mehr als dreier Monate eine Arbeitsfähigkeit von über 80 % in einer angepassten Erwerbstätigkeit gegeben ist (<ref-ruling> E. 4.5; Urteile 9C_181/2021 vom 10. Juni 2021 E. 2.1.2; 9C_100/2018 vom 21. Juni 2018 E. 2.2).
2.2. Vorinstanzliche Feststellungen zur Art des Gesundheitsschadens (Befund, Diagnose etc.) und zur Arbeitsfähigkeit, die Ergebnis einer Beweiswürdigung sind, sind für das Bundesgericht grundsätzlich bindend (vgl. vorangehende E. 1.2). Tatfrage ist auch jene nach dem Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat. Frei überprüfbare Rechtsfrage ist dagegen, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung darüber erfolgt und ob diese auf einer genügenden Beweislage beruht (Urteile 9C_181/2021 vom 10. Juni 2021 E. 2.2; 9C_100/2018 vom 21. Juni 2018 E. 2.3; je mit Hinweisen).
3.
Die IV-Stelle Schwyz setzte bei der Rentenzusprache den Beginn der Wartezeit nach <ref-law> auf den 30. April 2011 fest. Das kantonale Gericht hat eine diesbezügliche Bindung (vgl. dazu Urteil 9C_23/2019 vom 10. Mai 2019 E. 2.2 mit Hinweisen) offengelassen und die Leistungspflicht der BVK frei geprüft.
Es hat festgestellt, während der Versicherungszeit bei der BVK sei eine Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 % eingetreten. Die Beschwerdeführerin habe aber vom 27. September bis zum 14. Dezember 2010 bei einer Vermittlungsfähigkeit von 100 % Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung gehabt. Ab dem 15. Dezember 2010 habe sie in einem Vollzeitpensum als Pflegefachfrau gearbeitet und dabei auch die dreimonatige Probezeit bestanden. Sie habe sich im September 2010 lediglich vorsorglich für den Fall, dass sie einen Rückfall erleiden sollte, bei der Invalidenversicherung angemeldet. Für die Zeit vom 27. September 2010 (Beginn des Anspruchs auf Arbeitslosenentschädigung) bis Ende April 2011 (Aufnahme einer stationären Behandlung) sei weder eine echtzeitliche Arbeitsunfähigkeitsbescheinigung noch eine ärztliche Behandlung aktenkundig. Vom 27. September 2010 bis mindestens zum 15. März 2011 (bestandene Probezeit) habe somit eine uneingeschränkte resp. über 80 %ige Arbeitsfähigkeit bestanden. Daraus hat die Vorinstanz auf eine Unterbrechung des zeitlichen Zusammenhangs zwischen der während des Versicherungsverhältnisses mit der BVK eingetretenen Arbeitsunfähigkeit und der späteren Invalidität geschlossen. Folglich hat sie, ohne den sachlichen Konnex zu prüfen, die Leistungspflicht der BVK verneint.
4.
4.1. Die von der Beschwerdeführerin erhobene Rüge, das kantonale Gericht habe den Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt, weil es sich im kantonalen Verfahren mit ihren Vorbringen nicht oder nur ungenügend auseinandergesetzt habe, ist unbegründet. Es fehlen Anhaltspunkte und wird nicht geltend gemacht, dass eine sachgerechte Anfechtung des kantonalen Urteils nicht möglich gewesen sein soll (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2 mit Hinweisen).
4.2. Die Beschwerdeführerin macht in materieller Hinsicht im Wesentlichen geltend, sie habe ihre Arbeitsfähigkeit am 27. September 2010 nicht wiedererlangt. Zumindest aber sei eine dauerhafte Wiedererlangung nicht objektiv wahrscheinlich gewesen. Die übrigen in der vorangehenden E. 3 wiedergegebenen vorinstanzlichen Feststellungen stellt sie nicht in Abrede. Sie bleiben denn auch für das Bundesgericht verbindlich (vgl. vorangehende E. 1.2).
4.3. Bei der Prüfung der Frage nach dem zeitlichen Zusammenhang sind die gesamten Umstände des konkreten Einzelfalles zu berücksichtigen, namentlich die Art des Gesundheitsschadens, dessen prognostische Beurteilung durch den Arzt sowie die Beweggründe, welche die versicherte Person zur Wiederaufnahme oder Nichtwiederaufnahme der Arbeit veranlasst haben. Zu den für die Beurteilung des zeitlichen Konnexes relevanten Umständen zählen auch die in der Arbeitswelt nach aussen in Erscheinung tretenden Verhältnisse, wie etwa die Tatsache, dass ein Versicherter über längere Zeit hinweg als voll vermittlungsfähiger Stellensuchender Taggelder der Arbeitslosenversicherung bezieht, auch wenn solchen Zeiten nicht die gleiche Bedeutung beigemessen werden kann wie Zeiten effektiver Erwerbstätigkeit. Bestand während mindestens drei Monaten wieder eine (nahezu) volle Arbeitsfähigkeit und erschien gestützt darauf eine dauerhafte Wiedererlangung der Erwerbsfähigkeit als objektiv wahrscheinlich, stellt dies ein gewichtiges Indiz für eine Unterbrechung des zeitlichen Zusammenhangs dar. Anders verhält es sich, wenn die fragliche, allenfalls mehr als dreimonatige Tätigkeit als Eingliederungsversuch zu werten ist oder massgeblich auf sozialen Erwägungen des Arbeitgebers beruhte und eine dauerhafte Wiedereingliederung aber unwahrscheinlich war (<ref-ruling> E. 3.2.1).
Bei Schubkrankheiten ist zu prüfen, ob eine länger als drei Monate dauernde, isoliert betrachtet unauffällige Phase von Erwerbstätigkeit tatsächlich mit der Perspektive einer dauerhaften Berufsausübung verbunden war. Selbst eine länger dauernde Phase der Erwerbstätigkeit zeigt keine gesundheitliche Erholung mit weitgehender Wiederherstellung des Leistungsvermögens an, wenn jegliche berufliche Belastung nach einer gewissen Zeit regelhaft zu schweren Krankheitssymptomen mit erheblicher Einschränkung der Arbeitsfähigkeit führt (Urteil 9C_111/2021 vom 11. August 2021 E. 2.3.1 mit Hinweisen). Bei Schubkrankheiten ist daher für die Beurteilung der zeitlichen Konnexität zwischen Arbeitsunfähigkeit und Invalidität kein allzu strenger Massstab anzuwenden (Urteil 9C_465/2018 vom 30. Januar 2019 E. 3.2).
4.4. Die Vorinstanz hat sich einlässlich mit der Aktenlage auseinandergesetzt und nachvollziehbar dargelegt, dass in den echtzeitlichen medizinischen Unterlagen jeweils eine gute Prognose gestellt worden war. Sie hat einleuchtend begründet, weshalb sie dem Bericht des Dr. med. D._ (Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie) und des Dr. phil. E._ (Psychologe und Psychotherapeut) vom 9. Dezember 2010, in dem diese eine uneingeschränkte Arbeits fähigkeit ab dem 27. September 2010 attestiert hatten, mehr Überzeugungskraft beigemessen hat als der retrospektiven Einschätzung des Dr. phil. E._ vom 14. A ugust 2019. Sodann hatte Dr. med. F._ (ebenfalls Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie) zwar in seinem Gutachten vom 24. März 2010 die Möglichkeit einer späteren psychiatrisch begründeten Arbeitsunfähigkeit in Betracht gezogen; dass zwingend mit einer solchen gerechnet werden musste, lässt sich seiner Expertise aber nicht entnehmen. Auch wenn die Be schwerdeführerin insbesondere an einer bipolaren Störung bzw. schweren Persönlichkeitsstörung und an einer rezidivierenden depressiven Störung leidet, so scheint die Arbeitsfähigkeit dadurch bis im März 2009 nicht beeinträchtigt gewesen zu sein; Anhaltspunkte für frühere Einschränkungen wurden resp. werden jedenfalls nicht geltend gemacht. Weshalb bei dieser Ausgangslage die (zumindest nahezu) vollständige Wiedererlangung der Arbeitsfähigkeit nach der im März 2009 eingetretenen ersten Krise von vornherein objektiv unwahrscheinlich gewesen sein soll, erhellt nicht. Ob es sich beim Leiden der Beschwerdeführerin um eine Schubkrankheit im Sinne der in E. 4.3 wiedergegebenen Rechtsprechung handelt, kann daher offenbleiben. Soweit ein krankheitsbedingter "ungebremster und übersteigerter Leistungswille" geltend gemacht wird, ist dies nicht mit einer Arbeitsunfähigkeit gleichzusetzen. Dass sich im am 15. Dezember 2010 angetretenen Arbeitsverhältnis mit dem Spital C._ vor Ende April 2011 eine eingeschränkte Leistungsfähigkeit manifestiert haben soll, wird denn auch nicht ansatzweise dargelegt. Ohnehin beschränkt sich die Beschwerdeführerin auf weiten Strecken darauf, die Beweise abweichend von der Vorinstanz zu würdigen und daraus andere Schlüsse zu ziehen, was nicht genügt.
4.5. Nach dem Gesagten sind die vorinstanzliche Beweiswürdigung und die Feststellung betreffend die Arbeitsfähigkeit nicht offensichtlich unrichtig. Sie beruhen auch nicht auf einer Rechtsverletzung und bleiben daher für das Bundesgericht verbindlich (vgl. vorangehende E. 1.2). Das kantonale Gericht hat demnach auch kein Recht verletzt, indem es auf die Unterbrechung des zeitlichen Zusammenhangs geschlossen und die Leistungspflicht der BVK verneint hat. Die Beschwerde ist unbegründet.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, der Veska-Pensionskasse, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. Dezember 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Dormann