Par ces motifs, la Juge présidant la Ire Cour de droit civil prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
La requête tendant à la désignation d'un conseil est rejetée.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 7 février 2022
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant : Kiss
La Greffière : Raetz