Erwägungen:
1.
A._ beschuldigte B._, Mitarbeiter der KESB Wil-Uzwil, sowie Behördenmitglieder und Mitarbeitende des Kreisgerichts Wil, bei der Ausübung ihrer beruflichen Tätigkeit strafbare Handlungen begangen zu haben. Das Untersuchungsamt Gossau ersuchte daraufhin die Anklagekammer des Kantons St. Gallen am 10. Januar 2020 um Durchführung eines Ermächtigungsverfahrens. Mit Entscheid vom 22. Januar 2020 erteilte die Anklagekammer des Kantons St. Gallen keine Ermächtigung zur Eröffnung von Strafverfahren. Zur Begründung führte die Anklagekammer zusammenfassend aus, dass die Strafanzeige nur schwer verständlich sei und den minimalen Begründungsanforderungen nicht zu genügen vermöge. Es seien keinerlei Anhaltspunkte dafür ersichtlich, dass sich die Angezeigten strafbar verhalten haben könnten.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 21. Februar 2020 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen vom 22. Januar 2020. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die erhobenen Rügen müssen zudem in der Beschwerdeschrift selbst enthalten sein; der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 2 S. 116). Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit seinen nicht sachbezogenen Ausführungen nicht mit der Begründung der Anklagekammer auseinander, die zur Verweigerung der Ermächtigung führte. Er vermag nicht ansatzweise aufzuzeigen, inwiefern der beanstandete Entscheid der Anklagekammer rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Untersuchungsamt Gossau und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Februar 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli