Sachverhalt:
A.
A._ (Mieter, Gesuchsgegner, Beschwerdeführer) schloss am 10. April 2014 einen Mietvertrag mit B._ (Vermieter, Gesuchsteller, Beschwerdegegner) für eine 4.5-Zimmer-Wohnung an der C._-Strasse xxx in U._ ab. Die Parteien vereinbarten einen monatlichen Bruttomietzins von Fr. 2'720.-- (Fr. 2'470.-- Nettomiete und Fr. 250.-- Nebenkosten akonto).
Aufgrund Zahlungsrückstands des Mieters kündigte der Vermieter den Mietvertrag am 14. Januar 2020 mit Wirkung per 29. Februar 2020.
B.
B.a. Am 5. März 2020 beantragte der Vermieter dem Regionalgericht Bern-Mittelland, der Mieter sei im Verfahren um Rechtsschutz in klaren Fällen aus der Wohnung an der C._-Strasse xxx in U._ auszuweisen. In verfahrensrechtlicher Hinsicht ersuchte er darum, auf eine Verhandlung zu verzichten.
Der Mieter stellte in seiner Stellungnahme vom 24. März 2020 folgende Rechtsbegehren:
"1. Es sei auf das Gesuch um Rechtsschutz in klaren Fällen nicht einzutreten. Eventualiter sei das Gesuch um Rechtsschutz in klaren Fällen abzuweisen.
2. Es wird beantragt festzustellen, dass die am 14. Januar 2020 ausgesprochene ausserordentliche Kündigung des Mietverhältnisses zur Wohnung im 2. Stock an der C._-Strasse xxx in U._ nichtig ist. Eventualiter sei festzustellen, dass die am 14. Januar 2020 ausgesprochene ausserordentliche Kündigung des Mietverhältnisses zur Wohnung im 2. Stock an der C._-Strasse xxx in U._ ungültig ist. Subeventualiter sei festzustellen, dass die am 14. Januar 2020 ausgesprochene ausserordentliche Kündigung des Mietverhältnisses zur Wohnung im 2. Stock an der C._-Strasse xxx in U._ [in] eine vorzeitige ordentliche Kündigung umzudeuten ist und das Mietverhältnis auf den 30. April 2020 ordentlich endet.
Prozessuale Anträge:
3. Es wird der Bank D._, handelnd durch ihre statutarischen Organe, E._-Weg yyy, V._ der Streit mit der Aufforderung ver kündet, dem Prozess auf Seiten des Gesuchstellers beizutreten.
4. Es sei unter Anwendung von Art. 6 Abs. 1 EMRK beantragt, eine münd liche Verhandlung durchzuführen."
Mit Eingabe vom 16. April 2020 verzichtete die Bank D._ auf eine Teilnahme am Verfahren.
Mit Verfügung vom 28. April 2020 wies das Regionalgericht den Antrag des Gesuchsgegners auf Durchführung einer mündlichen Verhandlung ab und stellte den schriftlichen Entscheid in Aussicht.
Mit Entscheid vom 29. Mai 2020 trat das Regionalgericht auf die Widerklage des Gesuchsgegners (Ziffer 2 der Rechtsbegehren) nicht ein. Es verpflichtete ihn sodann, die 4.5-Zimmer-Wohnung an der C._-Strasse xxx in U._ innerhalb von zehn Tagen seit Erhalt des Entscheids zu räumen und zu verlassen, unter Androhung der zwangsweisen Durchsetzung im Falle der Nichtbefolgung.
B.b. Mit Entscheid vom 25. August 2020 wies das Obergericht des Kantons Bern eine vom Gesuchsgegner gegen den regionalgerichtlichen Entscheid vom 29. Mai 2020 erhobene Berufung ab, soweit es darauf eintrat, und setzte ihm eine neue Räumungsfrist an.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Gesuchsgegner dem Bundesgericht, es sei der Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern vom 25. August 2020 aufzuheben und es sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventualiter sei der angefochtene Entscheid dahingehend zu ändern, dass auf das Gesuch um Rechtsschutz in klaren Fällen nicht eingetreten wird. Subeventualiter sei der angefochtene Entscheid dahingehend zu ändern, dass das Gesuch um Rechtsschutz in klaren Fällen abgewiesen wird.
Der Beschwerdegegner beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
D.
Mit Verfügung vom 22. September 2020 erteilte das Bundesgericht der Beschwerde superprovisorisch die aufschiebende Wirkung.
Mit Verfügung vom 13. Oktober 2020 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen).
Die Beschwerde richtet sich gegen einen verfahrensabschliessenden Endentscheid (<ref-law>) einer oberen kantonalen Instanz, die auf ein Rechtsmittel hin kantonal letztinstanzlich in einer Zivilsache entschieden hat (Art. 72 und Art. 75 BGG). Die Rechtsbegehren des Beschwerdeführers sind im kantonalen Verfahren nicht geschützt worden (<ref-law>). Entgegen der in der Beschwerdeantwort vertretenen Ansicht ist der Beschwerdeführer, der aus seiner Mietwohnung ausgewiesen wurde, durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und es kann ihm ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung nicht abgesprochen werden (<ref-law>). Mit seinen Vorbringen zu den Hintergründen der erfolgten Kündigung des Mietvertrags, den Vermögensverhältnissen des Beschwerdeführers sowie dessen mietrechtlichen Verpflichtungen vermag der Beschwerdegegner auch nicht aufzuzeigen, dass die Beschwerdeschrift auf rechtsmissbräuchlicher Prozessführung beruht und aus diesem Grund unzulässig wäre (vgl. Art. 42 Abs. 7 und Art. 108 Abs. 1 lit. c BGG).
Im Weiteren ist das Streitwerterfordernis erfüllt (<ref-law>) und die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist somit unter Vorbehalt einer rechtsgenügenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe seinen aus Art. 6 Ziff. 1 EMRK fliessenden Anspruch auf eine öffentliche mündliche Gerichtsverhandlung missachtet.
2.1. Nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person ein Recht darauf, dass über Streitigkeiten in Bezug auf ihre zivilrechtlichen Ansprüche und Verpflichtungen ( "des contestations sur ses droits et obligations de carac tère civil"; "determinations of civil rights and obligations") oder über eine gegen sie erhobene strafrechtliche Anklage von einem unabhängigen und unparteiischen, auf Gesetz beruhenden Gericht in einem fairen Verfahren, öffentlich und innerhalb angemessener Frist verhandelt wird. Das Urteil muss grundsätzlich öffentlich verkündet werden.
Die in Art. 6 Ziff. 1 EMRK garantierte öffentliche Gerichtsverhandlung stellt ein fundamentales Prinzip dar, das nicht nur für den Einzelnen wichtig ist, sondern ebenso sehr als Voraussetzung für das Vertrauen in das Funktionieren der Justiz erscheint (<ref-ruling> E. 4a S. 324; <ref-ruling> E. 5d S. 35; Urteil 2C_204/2020 vom 3. August 2020 E. 2.3.1, zur Publ. vorgesehen). Der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte (EGMR) begründet die Pflicht zur Durchführung einer öffentlichen Verhandlung mit der Absage an jede Form von Geheimjustiz und der (demokratischen) Kontrolle der Behörden, was letztlich auch das Vertrauen in diese stärke. Die Öffentlichkeit des Verfahrens trägt dazu bei, dass die Garantie auf ein "faires Verfahren" tatsächlich umgesetzt wird (Urteil Osinger gegen Österreich Nr. 54645/00 vom 24. März 2005 § 44). Aus dem Anspruch auf eine (publikums-) öffentliche Verhandlung folgt grundsätzlich ein Anspruch auf eine mündliche Verhandlung (<ref-ruling> E. 3.1.1 S. 190 f. mit Hinweisen auf die EGMR-Urteile Sporer gegen Österreich Nr. 35637/03 vom 3. Februar 2011 § 43; Salomonsson gegen Schweden Nr. 38978/97 vom 12. November 2002 § 34).
Die Pflicht, eine öffentliche Verhandlung durchzuführen, ist indes in zweifacher Hinsicht nicht absolut: Zunächst können die Parteien auf eine öffentliche Verhandlung - explizit oder stillschweigend - verzichten. Sodann sind Ausnahmen vom Grundsatz zulässig (<ref-ruling> E. 2.2 S. 444; <ref-ruling> E. 3.1.1 S. 190 f. mit Hinweisen auf Urteile Pakozdi gegen Ungarn Nr. 51269/07 vom 25. November 2014 § 27; Stallinger und Kuso gegen Österreich Nr. 14696/89 und Nr. 14697/89 vom 23. April 1997 § 51; Allan Jacobsson gegen Schweden Nr. 16970/90 [n° 2] vom 19. Februar 1998 § 46). Eine Reihe von Gründen, aus welchen keine öffentliche Verhandlung durchgeführt werden muss, ergibt sich insbesondere unmittelbar aus Art. 6 Ziff. 1 EMRK ( "Presse und Öffentlichkeit können jedoch während des ganzen oder eines Teiles des Verfahrens ausgeschlossen werden, wenn dies im Interesse der Moral, der öffentlichen Ordnung oder der nationalen Sicherheit in einer demo kratischen Gesellschaft liegt, wenn die Interessen von Jugendlichen oder der Schutz des Privatlebens der Prozessparteien es verlangen oder - soweit das Gericht es für unbedingt erforderlich hält - wenn unter besonderen Umständen eine öffentliche Verhandlung die Interessen der Rechtspflege beeinträchtigen würde"). Von einer ausdrücklich beantragten öffentlichen Verhandlung kann nach der Rechtsprechung abgesehen werden, wenn der Antrag der Partei als schikanös erscheint oder auf eine Verzögerungstaktik schliessen lässt und damit dem Grundsatz der Einfachheit und Raschheit des Verfahrens zuwiderläuft oder sogar rechtsmissbräuchlich ist. Als Grund für die Verweigerung einer beantragten öffentlichen Verhandlung fällt auch die hohe Technizität der zur Diskussion stehenden Materie in Betracht (<ref-ruling> E. 1 S. 281 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 3b/cc und 3b/ee S. 56 f.; vgl. auch Urteil 4A_744/2011 vom 12. Juli 2012 E. 3.2.2).
2.2. Der Beschwerdeführer rügte in seiner Berufung unter anderem einen Verstoss gegen Art. 6 EMRK in seiner Ausprägung als Anspruch auf eine öffentliche Gerichtsverhandlung, weil die Durchführung einer Verhandlung vom Regionalgericht rechtsfehlerhaft verweigert worden sei. Die Vorinstanz erwog, aus dem unpublizierten bundesgerichtlichen Urteil 4A_440/2016 vom 24. Oktober 2016 E. 5 ergebe sich, dass das Gericht trotz Anwendbarkeit der Regeln des summarischen Verfahrens - insbesondere von <ref-law>, wonach die Durchführung einer Verhandlung fakultativ sei - gehalten sein könne, die Parteien wie im vereinfachten Verfahren zu einer Verhandlung vorzuladen. Der Anspruch auf eine Verhandlung im Exmissionsverfahren um Rechtsschutz in klaren Fällen sei aber nicht absolut. Es sei zwar korrekt, dass in der Lehre teilweise die Meinung vertreten werde, dass im Verfahren um Rechtsschutz in klaren Fällen grundsätzlich eine Verhandlung durchzuführen sei und der Verzicht darauf gestützt auf <ref-law> nur ausnahmsweise erfolgen solle. Die vorliegend interessierende Frage sei indessen im vorstehend genannten Urteil 4A_440/2016 ausführlich behandelt worden. Da kein Anlass bestehe, diese Rechtsprechung in Frage zu stellen, stütze sich das Obergericht auf diesen bundesgerichtlichen Entscheid.
Der Beschwerdeführer habe seinen Antrag auf Durchführung einer Gerichtsverhandlung in erster Linie mit den von ihm gestellten Beweisanträgen auf Parteibefragung und Zeugeneinvernahme begründet. Seine Vorbringen zum angeblich fehlenden Verschulden am Zahlungsverzug hätten mangels Rechtserheblichkeit keinen Anlass zur Ausübung der verstärkten gerichtlichen Fragepflicht im Sinne der sozialen Untersuchungsmaxime gemäss <ref-law> und damit zur Durchführung einer Verhandlung gegeben.
2.3. Der Beschwerdeführer rügt zu Recht eine Missachtung seines konventionsrechtlichen Anspruchs auf eine öffentliche mündliche Gerichtsverhandlung. Die Vorinstanz hat sich mit dem aus Art. 6 EMRK fliessenden Anspruch nicht auseinandergesetzt. Auch der Beschwerdegegner stellt nicht etwa grundsätzlich in Frage, dass es sich bei der im Verfahren nach <ref-law> beurteilten Mieterausweisung, bei der im Übrigen vorfrageweise auch die Gültigkeit der Kündigung zu prüfen war, um eine Streitigkeit in Bezug auf zivilrechtliche Ansprüche und Verpflichtungen im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK handelt (vgl. etwa auch EVA BACHOFNER, Die Mieterausweisung, 2019, Rz. 500 S. 270; MICHEL HEINZMANN, L'expulsion du locataire, in: DC 2017 S. 78 f. N. 4). Die Vorinstanz verkennt diese konventionsrechtliche Anspruchsgrundlage, wenn sie sich im angefochtenen Urteil ausschliesslich auf einen Entscheid des Bundesgerichts zu einem Verfahren um Rechtsschutz in klaren Fällen stützt (Urteil 4A_440/2016 vom 24. Oktober 2016 E. 5), in dem keine mündliche Verhandlung beantragt worden war und in dem es einzig um die Anwendung der Bestimmungen der Zivilprozessordnung (Art. 247 Abs. 2, Art. 256 und <ref-law>) ging, während ein Anspruch aus Art. 6 Ziff. 1 EMRK gar nicht zur Diskussion stand. Die Verweigerung einer ausdrücklich beantragten öffentlichen Verhandlung lässt sich - entgegen dem angefochtenen Entscheid - nicht darauf stützen.
Andere Gründe dafür, ausnahmsweise auf die beantragte öffentliche mündliche Verhandlung zu verzichten, werden von der Vorinstanz nicht angeführt und sind aufgrund der Sachverhaltsfeststellungen im angefochtenen Entscheid auch nicht ersichtlich. Soweit sich der Beschwerdegegner vor Bundesgericht darauf beruft, der Einwand des Beschwerdeführers diene einzig der Verzögerung des Verfahrens und sei rechtsmissbräuchlich, kann ihm nicht gefolgt werden. Der Beschwerdeführer hatte bereits in der Gesuchsantwort vom 24. März 2020 ausdrücklich "unter Anwendung von Art. 6 Abs. 1 EMRK" die Durchführung einer mündlichen Verhandlung beantragt. Es leuchtet nicht ein, weshalb diesem Antrag in Nachachtung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK nicht innert nützlicher Frist hätte entsprochen werden können. Die erhobene Rüge erweist sich als begründet.
3.
Die Beschwerde ist gutzuheissen, der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und die Sache ist in Anwendung von <ref-law> zur Durchführung einer öffentlichen Verhandlung und zur Neubeurteilung an die Erstinstanz zurückzuweisen. Diese wird dabei auch die konventions- und verfassungsrechtlichen Vorgaben der öffentlichen Urteilsverkündung zu beachten haben. Die Vorinstanz hat zudem neu über die Kosten- und Entschädigungsfolgen des Berufungsverfahrens zu entscheiden.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdegegner kostenpflichtig (<ref-law>). Dem nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer steht keine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 4 S. 446).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der angefochtene Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern vom 25. August 2020 wird aufgehoben. Die Sache wird zur Neubeurteilung an das Regionalgericht Bern-Mittelland und zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des Berufungsverfahrens an das Obergericht des Kantons Bern zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, und dem Regionalgericht Bern-Mittelland schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. November 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Leemann