Der Präsident zieht in Erwägung:
1.
Im Zusammenhang mit dem Konkurs seiner ehemaligen Einzelfirma erstattete der Beschwerdeführer Strafanzeige gegen einen ehemaligen Bezirksgerichtspräsidenten, einen Regionalgerichtspräsidenten, einen ehemaligen Leiter eines Betreibungs- und Konkursamts sowie aktuelle und ehemalige Mitarbeiter eines weiteren Betreibungs- und Konkursamts. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Graubünden nahm eine Strafuntersuchung am 17. Februar 2020 nicht an die Hand. Auf eine dagegen gerichtete Beschwerde trat das Kantonsgericht von Graubünden am 8. April 2020 nicht ein, weil es dieser an einer hinreichenden Begründung fehle und sie den gesetzlichen Anforderungen von Art. 385 Abs. 1 StPO nicht genüge. Auf die Ansetzung einer Nachfrist wurde verzichtet mit der Begründung, Art. 385 Abs. 2 StPO sei weder für die materielle Ergänzung einer mangelhaft begründeten Eingabe noch für die Verbesserung von bewusst mangelhaften Rechtseingaben anwendbar. In einer separaten Verfügung gleichen Datums wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen.
Der Beschwerdeführer wendet sich an das Bundesgericht. Er reicht ein Wiederherstellungsgesuch und eine Beschwerde ein. Er ersucht zudem um unentgeltliche Rechtspflege.
2.
Die Verfahren 6B_580/2020 und 6B_581/2020 stehen in einem engen sachlichen Zusammenhang, weshalb sie zu vereinigen und gemeinsam zu erledigen sind.
3.
Gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt, wobei für die Anfechtung tatsächlicher Feststellungen qualifizierte Begründungsanforderungen gelten (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 106 Abs. 2 BGG). Die Beschwerde führende Partei hat mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz anzusetzen (<ref-ruling> E. 2).
4.
Vorliegend kann es nur um die Fragen gehen, ob die kantonale Beschwerde den gesetzlichen Begründungsanforderungen genügte, das Absehen von der Ansetzung einer Nachfrist rechtmässig war und die Vorinstanz zu Recht auf die Beschwerde nicht eingetreten ist und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zulässigerweise abgewiesen hat. Der Beschwerdeführer setzt sich damit sowie mit den Anforderungen von Art. 385 Abs. 1 StPO an die Beschwerdebegründung nicht substanziiert auseinander. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht (Art. 42 Abs. 2 BGG, Art. 106 Abs. 2 BGG). Aus seinen Beschwerdeeingaben ergibt sich mithin nicht, inwiefern die Vorinstanz mit ihrem Nichteintretensentscheid und der Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege geltendes Recht im Sinne von Art. 95 BGG verletzt haben könnte. Auf die Beschwerde ist mangels einer tauglichen Begründung im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
5.
Unter diesen Umständen erübrigt es sich, noch vertieft zu prüfen, ob die Beschwerde an das Bundesgericht rechtzeitig erfolgt ist bzw. eine Fristwiederherstellung (Art. 50 BGG) möglich wäre. Der Beschwerdeführer macht unter Verweis auf ein nicht beigelegtes aktuelles ärztliches Zeugnis geltend, krank zu sein. Er sei Diabetiker, habe Bluthochdruck und sei 72 Jahre alt. Er zähle zur Coronavirus-Risikogruppe. Ob hierin ein Fristwiederherstellungsgrund liegt bzw. liegen könnte, braucht nicht geklärt zu werden, da bereits aus den genannten Gründen auf die Beschwerde nicht eingetreten werden kann.
6.
Ausgangsgemäss sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, weil die Rechtsbegehren von vornherein aussichtslos erschienen (vgl. Art. 64 BGG). Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist durch eine herabgesetzte Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Die Verfahren 6B_580/2020 und 6B_581/2020 werden vereinigt.
2.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht von Graubünden, II. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juni 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill