Faits :
A.
Par jugement du 28 juin 2016, la Cour pénale du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura a condamné A._, pour tentatives de violence ou menace contre les autorités et les fonctionnaires, injure, conduite inconvenante, tapage nocturne et conduite inconvenante ainsi que mise en danger de la vie d'autrui, à une peine privative de liberté de huit mois et à une amende de 200 francs. Elle a par ailleurs instauré une mesure thérapeutique institutionnelle en sa faveur.
Afin de prononcer ce jugement, la Cour pénale du Tribunal cantonal jurassien s'est fondée sur une expertise psychiatrique réalisée par le Dr B._ en 2012 et complétée en 2014 puis 2015. Il en ressortait en substance que A._ souffrait d'un trouble mixte de la personnalité à traits psychopathiques marqués, complété par un trouble affectif bipolaire et un syndrome de dépendance au cannabis en utilisation épisodique. L'expert avait préconisé l'instauration d'une mesure thérapeutique institutionnelle afin d'encadrer le traitement psychiatrique de l'intéressé.
B.
Par décision du 1er mars 2019, confirmée sur opposition le 17 mai 2019, le Département des finances jurassien a refusé de lever la mesure thérapeutique institutionnelle et d'accorder à A._ la libération conditionnelle de ladite mesure.
C.
Par arrêt du 29 août 2019, la Cour administrative du Tribunal cantonal jurassien a rejeté le recours formé par A._ contre cette décision.
La cour cantonale a retenu les faits suivants.
C.a. A._ est né en 1988. Depuis le 10 octobre 2016, il exécute sa mesure à l'Etablissement pénitentiaire de C._.
Son casier judiciaire fait état de nombreuses condamnations, dont une - à une peine privative de liberté de 24 mois - prononcée en 2009 notamment pour lésions corporelles simples et violence ou menace contre les autorités et les fonctionnaires.
C.b. Le 12 mai 2018, A._ a fait l'objet d'une expertise psychiatrique réalisée par le Dr D._. Ce dernier a posé le diagnostic principal de schizophrénie indifférenciée partiellement compensée (CIM-10 F 20.3). Il a également constaté l'existence de troubles mentaux et du comportement liés à l'utilisation d'alcool et de cannabis. L'expert a en revanche écarté le diagnostic de trouble bipolaire. Selon lui, le fait que le trouble dont souffrait A._ ne soit pas complètement compensé pouvait contribuer à augmenter un risque de passage à l'acte violent en cas de décompensation aiguë du trouble. Le Dr D._ a ajouté que la mesure thérapeutique institutionnelle restait cliniquement et criminologiquement pertinente. Selon lui, A._ n'était pas encore "pleinement entré dans les soins" et sa psychose n'était pas encore stabilisée.
C.c. Dans un rapport de suivi médico-psychologique daté du 10 septembre 2018, le Pr E._ et le Dr F._ se sont ralliés à cet avis, écartant le diagnostic de trouble bipolaire. Ils ont pour leur part diagnostiqué un trouble psychotique pouvant être catégorisé comme une schizophrénie indifférenciée.
C.d. Le 6 novembre 2018, le directeur de C._ s'est prononcé en faveur du maintien de la mesure thérapeutique institutionnelle et de la poursuite du placement de A._ dans son établissement.
C.e. Le 5 décembre 2018, la Commission spécialisée du Service juridique du Département des finances a préavisé contre la levée de la mesure thérapeutique institutionnelle.
D.
Par arrêt du 16 octobre 2019 (6B_1091/2019), le Tribunal fédéral a rejeté - dans la mesure de sa recevabilité - le recours qui avait été formé par A._ contre un arrêt de la Cour administrative du Tribunal cantonal jurassien ayant confirmé l'autorisation, donnée au Service médical de C._, de mettre en oeuvre une médication sous contrainte dans le cadre du traitement thérapeutique institutionnel, aussi longtemps que cela serait indiqué pour atteindre l'objectif de la mesure.
E.
A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 29 août 2019, en concluant, avec suite de frais et dépens, à sa réforme en ce sens que la mesure thérapeutique institutionnelle dont il bénéficie est immédiatement levée. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.

Considérant en droit :
1.
Le recourant soutient que les conditions d'une mesure thérapeutique institutionnelle ne seraient plus remplies.
1.1. Aux termes de l'<ref-law>, lorsque l'auteur souffre d'un grave trouble mental, le juge peut ordonner un traitement institutionnel lorsque celui-ci a commis un crime ou un délit en relation avec ce trouble (let. a) et qu'il est à prévoir que cette mesure le détournera de nouvelles infractions en relation avec ce trouble (let. b). Selon la jurisprudence, la condition posée par l'<ref-law> - qu'il soit à prévoir que la mesure détournera l'intéressé de nouvelles infractions en relation avec son trouble - est réalisée lorsque, au moment de la décision, il est suffisamment vraisemblable qu'un traitement institutionnel entraînera dans les cinq ans de sa durée normale une réduction nette du risque de récidive (<ref-ruling> consid. 3.2.4 p. 9; <ref-ruling> consid. 3.4.1 p. 321 s.).
Conformément à l'<ref-law>, une mesure dont les conditions ne sont plus remplies doit être levée. Comme son prononcé suppose qu'elle soit propre à détourner l'auteur de la commission de nouvelles infractions en relation avec son grave trouble mental (cf. <ref-law>), une mesure thérapeutique institutionnelle ne peut dès lors être maintenue que si elle conserve une chance de succès, ainsi que le prévoit d'ailleurs l'<ref-law>. Selon cette dernière disposition, la mesure thérapeutique institutionnelle doit être levée si son exécution paraît vouée à l'échec. Il en va ainsi lorsque l'auteur n'est pas - ou plus - soignable ou que le traitement n'est plus apte à prévenir la commission de nouvelles infractions. L'échec de la mesure peut résulter de l'insuffisance de possibilités thérapeutiques, du manque de respect des avis ou recommandations des thérapeutes ou du refus d'un traitement. Le traitement n'est voué à l'échec que s'il est définitivement inopérant; une simple crise de l'intéressé ne suffit pas. De manière générale, la levée d'une mesure en raison de son échec doit être admise de manière restrictive (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 52; arrêt 6B_660/2019 du 20 août 2019 et les références citées; cf. aussi <ref-ruling> consid. 2.2 p. 447).
1.2. La cour cantonale a exposé que le Dr B._ avait, dans l'expertise sur laquelle s'était fondée la Cour pénale du Tribunal cantonal jurassien pour son jugement du 28 juin 2016, posé un diagnostic de trouble mixte de la personnalité à traits psychopathiques marqués, complété par un trouble affectif bipolaire ainsi qu'un syndrome de dépendance au cannabis en utilisation épisodique (CIM-10 F 31.0, F 61.0 et F 12.26). Le recourant était alors déjà traité au Xeplion, médicament utilisé pour le traitement de la schizophrénie. C'est ce traitement qui, après avoir été abandonné en 2017, avait été réintroduit sous contrainte à la fin de l'année 2018. Même si le Dr D._ n'avait quant à lui, dans son expertise, pas conclu à la présence d'un trouble bipolaire - qui fait partie des psychoses tout comme la schizophrénie -, ce médecin avait expliqué les raisons pour lesquelles ce trouble ne pouvait aujourd'hui être confirmé, sans pour autant remettre en cause les constatations du Dr B._. L'expertise du Dr D._ avait par la suite été confirmée par le rapport de suivi médico-psychologique du 10 septembre 2018. A l'instar du Dr B._, tous les spécialistes consultés avaient ainsi évoqué la présence de troubles psychotiques, même si le trouble bipolaire diagnostiqué par le Dr B._ n'avait pas été confirmé par la suite. Tous les médecins consultés dès 2018 avaient en outre proposé la réintroduction du traitement neuroleptique abandonné en 2017. En définitive, le recourant était atteint d'un grave trouble mental - soit d'une psychose - à l'époque du jugement du 28 juin 2016, et il en souffrait encore actuellement. Ce trouble était par ailleurs en lien avec les infractions commises.
S'agissant des perspectives de succès de la mesure, l'autorité précédente a indiqué que le traitement thérapeutique institutionnel n'était pas voué à l'échec. La situation du recourant s'était en effet améliorée au début de son séjour à C._. Dès janvier 2018, le comportement de l'intéressé avait changé - au point que ce dernier fît l'objet de nombreuses sanctions disciplinaires - si bien que la médication neuroleptique avait dû être réintroduite sous contrainte. Le Dr D._ avait, dans son expertise, indiqué que la mesure exécutée demeurait cliniquement et criminologiquement adéquate. Celle-ci devait donc être maintenue puisque, selon cet expert, un cadre institutionnel ouvert ou un traitement ambulatoire ne suffirait pas. Pour la cour cantonale, il n'était pas impossible que la réintroduction du traitement neuroleptique permette à l'avenir une amélioration de la situation du recourant et qu'un cadre moins contraignant puisse être progressivement mis en place.
1.3. Le recourant relève que les différents médecins l'ayant examiné entre 2012 et 2018 ont posé des diagnostics variables le concernant. Il en conclut que les experts consultés ne seraient "pas d'accord entre eux" à propos du trouble mental dont il souffre.
On peine à comprendre la pertinence de cette argumentation. En effet, le recourant ne conteste pas qu'il souffre toujours d'un grave trouble mental au sens de l'<ref-law>. Quoi qu'il en soit, comme l'a constaté à bon droit la cour cantonale, si les différents médecins ayant posé un pronostic concernant le recourant ne se sont pas montrés unanimes à propos de la qualification de l'affection mentale, tous ont conclu à l'existence - chez l'intéressé - de troubles psychotiques. Le Dr D._ a d'ailleurs expressément relevé qu'il existait "un point sur lequel tous les cliniciens qui ont eu affaire [au recourant] sont d'accord c'est l'existence d'une psychose" (cf. pièce 7.165 du dossier cantonal), après avoir expliqué pourquoi il renonçait à poser le diagnostic de trouble bipolaire, lequel relevait également du "groupe des psychoses" (cf. pièce 7.141 du dossier cantonal). Les médecins ayant rédigé le rapport de suivi médico-psychologique du 10 septembre 2018 ont eux aussi discuté le diagnostic posé par le Dr D._, en relevant les difficultés qui existaient pour "catégoriser sans équivoque le tableau présenté" par le recourant, avant de conclure à la présence d'une schizophrénie indifférenciée (cf. pièce 7.168 du dossier cantonal). Le recourant ne peut donc rien déduire de l'absence de diagnostic de trouble affectif bipolaire dans les rapports les plus récents, puisqu'il ne s'agissait en l'occurrence que d'un aspect de l'affection identifiée par le Dr B._, lequel avait évoqué, à titre principal, un trouble mixte de la personnalité à traits psychopathiques marqués, ce que le Tribunal fédéral a déjà rappelé à l'intéressé dans son arrêt du 16 octobre 2019 (cf. arrêt 6B_1091/2019 consid. 4.3).
1.4. Le recourant prétend que le trouble affectif bipolaire diagnostiqué par le Dr B._, qui avait donné lieu à l'instauration de la mesure thérapeutique institutionnelle en 2016, "n'existe plus". Il affirme que la condition de l'<ref-law> ne serait donc plus remplie.
Cette argumentation ne saurait être suivie. En effet, il ne ressort pas de l'arrêt attaqué que la mesure thérapeutique institutionnelle aurait, à l'origine, été instaurée exclusivement en raison du trouble affectif bipolaire diagnostiqué par le Dr B._, mais bien eu égard au grave trouble mental dont souffrait déjà l'intéressé, soit un trouble mixte de la personnalité à traits psychopathiques marqués, "complété" par le trouble affectif bipolaire qui n'a pas été constaté par le Dr D._. D'ailleurs, malgré les nombreux rapports médicaux et de prise en charge psychiatrique figurant au dossier et résumés dans l'arrêt attaqué, le recourant ne met en évidence aucun élément qui permettrait de penser que le trouble affectif bipolaire diagnostiqué par le Dr B._ aurait pu, postérieurement au jugement du 28 juin 2016, disparaître ou être guéri. Ainsi, l'existence du trouble mental du recourant - lequel peut être rangé parmi les psychoses, quelle que soit sa qualification définitive - a été constatée par le Dr B._ puis par tous les autres médecins ayant eu à examiner l'intéressé. En outre, il n'apparaît pas - et le recourant ne le prétend pas - que l'un de ces médecins aurait, d'une quelconque manière dans l'un de ses rapports, relevé une rupture du lien entre le trouble mental diagnostiqué et les infractions ayant donné lieu à l'instauration de la mesure. L'intéressé présente ainsi en vain ses propres considérations sur la différence existant entre les divers diagnostics successivement formulés à son égard. Dans son rapport d'expertise du 12 mai 2018, le Dr D._ a d'ailleurs évoqué les infractions commises par le recourant et le risque de réitération sans relever une incongruité entre lesdites infractions et le trouble mental diagnostiqué (cf. en particulier pièce 7.127 du dossier cantonal). La condition de l'<ref-law> est donc bien remplie.
1.5. Le recourant soutient enfin qu'il serait impossible d'affirmer que la mesure dont il bénéficie conserve encore une chance de succès.
Son argumentation ne repose pas sur des éléments du dossier, en particulier sur l'expertise psychiatrique réalisée par le Dr D._, mais consiste en de simples interrogations relatives à l'efficacité du traitement neuroleptique dont l'administration sous contrainte a été autorisée depuis quelques mois (cf. sur ce point l'arrêt 6B_1091/2019 précité).
Or, comme l'a constaté la cour cantonale, l'état du recourant s'était tout d'abord amélioré lors de l'arrivée de ce dernier à C._, avant de se dégrader en 2018. Le traitement neuroleptique qui lui a par la suite été prescrit visait précisément à permettre au recourant de surmonter l'anosognosie, d'accepter le besoin d'un traitement afin de s'investir dans la mesure pour que celle-ci conserve des chances de succès et permette une amélioration de son pronostic légal (cf. l'arrêt 6B_1091/2019 précité consid. 4.4). Rien ne permet donc d'affirmer que la mesure thérapeutique institutionnelle serait désormais vouée à l'échec. Au contraire, le Dr D._ a expressément évoqué des perspectives de réduction du risque de récidive - non exclusivement liées à la médication du recourant - ainsi que, cas échéant, de passage dans un cadre moins contraignant (cf. pièces 7.158 s. du dossier cantonal). Le recourant ne peut enfin rien tirer de l'absence au dossier de constatations relatives à une évolution favorable de sa situation depuis que le traitement neuroleptique a été repris, dès lors qu'il ne ressort nullement de l'arrêt attaqué que l'un ou l'autre des médecins ayant examiné l'intéressé aurait conditionné son évaluation des chances de succès de la mesure à la constatation immédiate d'effets bénéfiques liés à l'administration de Xeplion.
Au vu de ce qui précède, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en refusant de lever la mesure dont bénéficie le recourant.
2.
Le recours doit être rejeté. Comme ses conclusions étaient dépourvues de chances de succès, l'assistance judiciaire ne peut être accordée (<ref-law>). Par conséquent, le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>), dont le montant sera fixé en tenant compte de sa situation financière, laquelle n'apparaît pas favorable.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'200 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour administrative.
Lausanne, le 31 octobre 2019
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Graa