Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 2010; Beschwerdeführerin 1) und B._ (geb. 2012; Beschwerdeführerin 2) sind die Kinder von C._ (geb. 1973; Beschwerdeführerin 3). Zur Zeit der Geburt der Kinder war Letztere mit E._ verheiratet. Mit rechtskräftigem Urteil vom 17. Mai 2013 beseitigte das Bezirksgericht Zürich die Vaterschaft des Ehemannes.
A.b. In der Folge klagte C._ für sich und als gesetzliche Vertreterin ihrer Kinder beim Bezirksgericht Meilen (nachfolgend: Bezirksgericht) gegen D._ (Beschwerdegegner) auf Feststellung der Vaterschaft und auf Festsetzung des Kindesunterhalts. Mit Teilurteil vom 3. Juni 2014 stellte das Bezirksgericht fest, dass D._ der Vater der beiden Kinder ist. Die von diesem dagegen erhobenen Rechtsmittel blieben erfolglos (vgl. Urteil 5A_794/2014 vom 6. Mai 2015).
A.c. Im verbleibenden Unterhaltsprozess entschied das Obergericht des Kantons Zürich am 30. November 2017 auf Berufung hin über die von D._ vorsorglich während des Verfahrens zu bezahlenden Kindesunterhaltsbeiträge. Die gegen dieses Urteil erhobene Beschwerde in Zivilsachen wies das Bundesgericht ab (Urteil 5A_1053/2017 vom 25. September 2019). Mit Urteil vom 19. September 2018 verpflichtete das Bezirksgericht soweit hier interessierend D._ schliesslich zur Bezahlung von Unterhalt für die beiden Töchter, legte fest, welche bereits bezahlten Beträge an die Unterhaltspflicht anzurechnen sind, und wies ein Gesuch der Töchter um einen Prozesskostenvorschuss über Fr. 90'000.-- ab. Die Gerichtskosten auferlegte es hälftig den Eltern, Parteientschädigungen sprach es keine.
B.
Gegen dieses Urteil haben alle Parteien Berufung erhoben. Mit Urteil vom 5. Dezember 2019 (eröffnet am 18. Dezember 2019) legte das Obergericht die von D._ zu bezahlenden (indexierten; Dispositivziffer 5) Kindesunterhaltsbeiträge neu wie folgt fest (Dispositivziffer 1) :
"Für [...] A._:
- Fr. 2'320.-- ab 6. August 2012 bis 31. Dezember 2015
- Fr. 2'040.-- ab 1. Januar 2016 bis 7. April 2016
- Fr. 2'130.-- ab 8. April 2016 bis 31. Dezember 2016
- Fr. 2'360.-- ab 1. Januar 2017 bis 31. Dezember 2017
(davon Fr. 815.-- als Betreuungsunterhalt)
- Fr. 2'370.-- ab 1. Januar 2018 bis 2. März 2020
(davon Fr. 815.-- als Betreuungsunterhalt)
- Fr. 1'550.-- ab 3. März 2020 bis 7. April 2022
(davon Fr. 0.-- als Betreuungsunterhalt)
- Fr. 2'140.-- ab 8. April 2022 bis 7. April 2028 bzw. Abschluss einer angemessenen Ausbildung
(davon Fr. 0.-- als Betreuungsunterhalt) "
"Für [...] B._:
- Fr. 2'320.-- ab 6. August 2012 bis 31. Dezember 2015
- Fr. 2'040.-- ab 1. Januar 2016 bis 31. Dezember 2016
- Fr. 2'300.-- ab 1. Januar 2017 bis 31. Dezember 2017
(davon Fr. 815.-- als Betreuungsunterhalt)
- Fr. 2'310.-- ab 1. Januar 2018 bis 2. März 2018
(davon Fr. 815.-- als Betreuungsunterhalt)
- Fr. 2'670.-- ab 3. März 2018 bis 31. Mai 2018
(davon Fr. 815.-- als Betreuungsunterhalt)
- Fr. 3'470.-- ab 1. Juni 2018 bis 2. März 2020
(davon Fr. 815.-- als Betreuungsunterhalt)
- Fr. 2'650.-- ab 3. März 2020 bis 2. März 2024
(davon Fr. 0.-- als Betreuungsunterhalt)
- Fr. 2'540.-- ab 3. März 2024 bis 2. März 2030 bzw. Abschluss einer angemessenen Ausbildung
(davon Fr. 0.-- als Betreuungsunterhalt) "
Ausserdem hielt das Obergericht fest, dass D._ seiner Unterhaltspflicht im Umfang von mindestens Fr. 93'450.-- (Zahlungen von Juli 2015 bis November 2017 ohne August 2017) sowie Fr. 101'120.-- (Zahlungen von April 2010 bis Juni 2012) nachgekommen ist und diese Beträge an die Unterhaltspflicht anzurechnen sind, sofern dies noch nicht geschehen ist (Dispositivziffer 2). Sodann verpflichtete es D._ zum Bezug und zur Weiterleitung der Familienzulagen und stellte die Grundlagen fest, auf denen die Unterhaltsbeiträge beruhen (Dispositivziffern 3 und 4). Weitergehend wies es die Berufungen sowie alle Begehren und Anträge der Parteien ab (Dispositivziffern 6 und 7) und bestätigte es die erstinstanzliche Kostenverlegung (Dispositivziffer 8). Die Kosten des Rechtsmittelverfahrens auferlegte das Obergericht den Eltern je zur Hälfte (Dispositivziffern 9 und 10); Parteientschädigung sprach es keine (Dispositivziffer 11).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 3. Februar 2020 gelangen A._ und B._ sowie C._ mit den folgenden Anträgen in der Sache ans Bundesgericht:
"1. Es sei Dispositiv-Ziffer 1 des vorinstanzlichen Entscheids insoweit abzuändern, als dass
a) die für A._ festgelegten Unterhaltsbeiträge jeweils um die Privatschulkosten zu erhöhen seien
b) zusätzlich die für beide Kinder festgelegten Unterhaltsbeiträge für die Zeit ab 3. März 2020 um je CHF 815 zu erhöhen seien (kein Entfall des Betreuungsunterhalts)
sodass [D._ an C._] für [A._ und B._] folgende Unterhaltsbeiträge zu bezahlen hat:
[Betragsmässige Auflistung der beantragten Unterhaltsbeiträge.]
2. Es sei Dispositiv-Ziffer 2 des vorinstanzlichen Entscheids insoweit abzuändern, als dass die Zahlungen von April 2010 bis Juni 2012 nicht angerechnet werden an die gerichtlich festgesetzte Unterhaltspflicht.
3. Es sei Dispositiv-Ziffer 7 des vorinstanzlichen Entscheids teilweise aufzuheben und stattdessen [D._] zu verpflichten, sämtliche ausserordentlichen Kinderkosten innert 10 Tagen nach Vorlage der entsprechenden Belege zu bezahlen bzw. der Kindsmutter zu erstatten, soweit die entsprechenden Kinderkosten von einer Fachperson als angezeigt erachtet werden und nicht von Dritten (namentlich Versicherung) übernommen werden.
4. Es sei Dispositiv-Ziffer 7 des vorinstanzlichen Entscheids teilweise aufzuheben und stattdessen [D._] zu verpflichten, [A._ und B._] für das erstinstanzliche Verfahren einen Prozesskostenbeitrag von Fr. 90'000.-- zu bezahlen.
5. Es sei Dispositiv-Ziffer 8 des vorinstanzlichen Entscheids aufzuheben und stattdessen seien die Kosten des erstinstanzlichen Verfahrens vollumfänglich [D._] aufzuerlegen."
Ausserdem ersucht C._ für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Fristgerecht (Art. 100 Abs. 1, Art. 46 Abs. 1 Bst. c und <ref-law>) angefochten ist der Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin (<ref-law>) über den Unterhalt minderjähriger Kinder sowie die Ausrichtung eines Prozesskostenbeitrags im entsprechenden Verfahren und damit Zivilsachen (<ref-law>) vermögensrechtlicher Natur entschieden hat (vgl. Urteil 5A_244/2018 vom 26. August 2019 E. 1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Der erforderliche Streitwert von Fr. 30'000.-- ist erreicht (Art. 74 Abs. 1 Bst. b sowie Art. 51 Abs. 1 Bst. a und Abs. 4 BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Zur Beschwerde ist nach <ref-law> nur berechtigt, wer ein eigenes schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.2.2). Soweit die Beschwerdeführerin 3 Beschwerde hinsichtlich des Kindesunterhalts erhebt, steht ihr dies als Inhaberin der elterlichen Sorge über die Anspruchsberechtigten offen (vgl. Urteile 5A_371/2019 vom 24. Juli 2019 E. 1.1; 5A_765/2016 vom 18. Juli 2017 E. 1); anspruchsberechtigt sind aber einzig die Töchter. Kein schutzwürdiges Interesse an der Beschwerdeführung haben dagegen die Beschwerdeführerinnen 1 und 2, soweit sie sich gegen die Verlegung der Gerichtskosten im kantonalen Verfahren wenden, von der sie nicht betroffen sind. In diesem Sinne ist auf die Beschwerde unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (vgl. <ref-law>) und ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden Rechtsfragen zu untersuchen, soweit solche nicht (mehr) vorgetragen werden. In der Beschwerdebegründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid rechtswidrig sein soll. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken; die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 1.7.1; <ref-ruling> E. 2). Stützt sich der angefochtene Entscheid auf mehrere selbständige Begründungen, die jede für sich das kantonale Erkenntnis zu begründen vermag, muss dargelegt werden, dass jede dieser Begründungen Recht verletzt (<ref-ruling> E. 2.4).
Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (<ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (<ref-law>), oder würden auf einer anderen Bundesrechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. Verletzung von <ref-law> oder <ref-law>) beruhen. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.3). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (<ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 1.3).
2.
2.1. Das Obergericht legte die Unterhaltsbeiträge nach der sog. einstufigen Methode fest, wobei es sich für die Berechnung der einzelnen Bedarfspositionen an den (aufgrund der guten finanziellen Verhältnisse teilweise erhöhten) Werten der Zürcher Kinderkosten-Tabellen (sog. Zürcher Tabellen) orientierte. Dieses Vorgehen bleibt vor Bundesgericht unbestritten. Allerdings machen die Beschwerdeführerinnen geltend, es hätten auch die bei der Beschwerdeführerin 1 anfallenden Kosten der Privatschule mitberücksichtigt werden müssen.
2.2. Diesbezüglich führt die Vorinstanz aus, die Einschulung erfordere eine grundsätzliche Entscheidung, die nicht alltäglich im Sinne von <ref-law> sei. Der Beschwerdegegner sei zwar nicht Inhaber des elterlichen Sorgerechts, für den Besuch einer Privatschule sei aufgrund der finanziellen Folgen aber seine klare Zusage notwendig. Die Beschwerdeführerinnen hätten nicht dargelegt, wann und in welcher Form eine solche Absprache getroffen worden sei. Deren Abschluss liege aufgrund des seit Sommer 2013 hängigen hochstrittigen Verfahrens auch nicht auf der Hand. Mit Blick auf <ref-law> könne auch nicht vermutet werden, dass der Beschwerdegegner eine Privatschule befürworte. Aus <ref-law> folge sodann zwar, dass alle Kinder eines Elternteils im Verhältnis zu ihren objektiven Bedürfnissen finanziell grundsätzlich gleich zu behandeln seien. Indessen besuche nur eines der vier ehelichen Kinder des Beschwerdegegners eine Privatschule, sodass die Beschwerdeführerinnen hieraus nichts für sich ableiten könnten. Ausserdem hätten sie nicht dargelegt, welche objektiven Gründe für den Besuch einer Privatschule sprechen würden. Sie hätten sich denn auch nicht zu dem erstinstanzlichen Argument geäussert, die Beschwerdeführerin 1 könne die englische Sprache auch an einer öffentlichen Schule erlernen und dadurch die angerufenen Berufschancen wahren.
2.3. Die Beschwerdeführerinnen rügen eine Verletzung von <ref-law> und führen aus, Grundlage der Unterhaltsbemessung seien nicht irgendwelche Zugeständnisse, sondern die Bedürfnisse der Kinder sowie die Lebensstellung und Leistungsfähigkeit der Eltern. Vor diesem Hintergrund verweisen auch die Beschwerdeführerinnen darauf, dass alle Kinder des Beschwerdegegners gleich zu behandeln seien. Entgegen dem Obergericht gehen sie in tatsächlicher Hinsicht aber davon aus, dass nicht nur eines der ehelichen Kinder des Beschwerdegegners eine Privatschule besucht habe, sondern deren zwei. Bei den weiteren Söhnen hätte sich diese Frage mangels Schulpflicht im massgebenden Zeitpunkt sodann nicht gestellt. Mit dieser Darstellung weichen die Beschwerdeführerinnen vom vorinstanzlichen Sachverhalt ab, ohne zu rügen oder mit der nötigen Klarheit aufzuzeigen, dass dieser qualifiziert fehlerhaft festgestellt wurde (vgl. vorne E. 1.2). Damit kann ihnen insoweit nicht gefolgt werden. Zum weiteren Argument der Vorinstanz, der Bedarf für den Besuch einer Privatschule sei nicht ausgewiesen, äussern die Beschwerdeführerinnen sich vor Bundesgericht sodann nicht. Unter diesen Umständen vermögen sie keine Verletzung von <ref-law> darzutun und bleibt es dabei, dass der Bedarf für den Besuch einer Privatschule durch die Beschwerdegegnerin 1 nicht dargetan ist. Vor diesem Hintergrund erweist sich auch das weitere Vorbringen der Beschwerdeführerinnen als unbegründet, wonach das Obergericht gegen den Grundsatz der freien Beweiswürdigung nach <ref-law> verstossen habe, weil es den Einbezug der Privatschulkosten von der ausdrücklichen Zustimmung des Beschwerdegegners abhängig gemacht und alle weiteren Indizien ignoriert habe. Dies trifft wie dargelegt gerade nicht zu.
2.4. Was die Zustimmung des Beschwerdegegners zum Besuch der Privatschule anbelangt, rügen die Beschwerdeführerinnen eine willkürliche und aktenwidrige Sachverhaltsfeststellung. Tatsächlich sei ihr Vorbringen, der Beschwerdegegner habe die Anmeldung an der Privatschule gebilligt, unbestritten geblieben. Ausserdem sei die Anmeldung aktenkundig im Jahre 2010 und damit vor der strittigen Phase erfolgt. Der Argumentation der Vorinstanz sei damit die Grundlage entzogen. Diebezüglich ist den Beschwerdeführerinnen entgegenzuhalten, dass sie sich mit dem hauptsächlichen Argument der Vorinstanz nicht auseinandersetzen, wonach sie eine Absprache mit dem Beschwerdegegner über die Privatschule nicht mit der nötigen Klarheit dargetan hätten. Diese Feststellung zum Prozesssachverhalt (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1) hätten sie nur in Frage zu stellen vermocht, wenn sie im Einzelnen und unter Hinweis auf die Akten dargelegt hätten, wann sie im Berufungsverfahren die entsprechenden Vorbringen erhoben haben. Auf die Beschwerde ist insoweit nicht weiter einzugehen (vgl. vorne E. 1.2).
3.
3.1. Umstritten ist weiter die Berücksichtigung ausserordentlicher Kinderkosten in der Unterhaltsberechnung. Diesbezüglich führt das Obergericht aus, die Beschwerdeführerinnen hätten im Berufungsverfahren eine Rechtsverweigerung geltend gemacht, weil die Erstinstanz für allfällige zukünftig anfallende ausserordentliche Kinderkosten keinen Verteilschlüssel (zu Lasten des Beschwerdegegners) angeordnet habe. Auch wenn der strenge Untersuchungsgrundsatz nach <ref-law> gelte, entbinde dies nicht von einer sorgfältigen Prozessführung. Es sei in erster Linie Sache der Parteien, den Prozessstoff zu sammeln, weshalb in der Berufung mittels klarer und sauberer Verweisungen auf die vorinstanzlichen Ausführungen aufzuzeigen sei, wo die massgebenden Behauptungen erhoben worden seien. Diese Vorgabe erfüllten die Beschwerdeführerinnen nicht. Ausserdem treffe der Vorwurf nicht zu, die Erstinstanz habe ihren Antrag ohne Begründung abgewiesen. Die Beschwerdeführerinnen würden es stattdessen unterlassen, sich substanziiert mit der erstinstanzlichen Begründung auseinanderzusetzen. Auf die Berufung sei insoweit nicht einzutreten.
3.2. Auch vor Bundesgericht machen die Beschwerdeführerinnen eine Rechtsverweigerung (durch überspitzten Formalismus) geltend. Entgegen dem Obergericht habe das erstinstanzliche Urteil zu den ausserordentlichen Kosten keine Begründung enthalten. Das Bezirksgericht habe nur festgehalten: "Allfällige zukünftige unvorhergesehene ausserordentliche Kosten der [Beschwerdeführerinnen 1 und 2] sind je einzeln und konkret zu beurteilen und im Sinne des Gesetzes zu regeln." Ihnen könne daher nicht vorgeworfen werden, dazu in der Berufungsschrift keine Ausführungen gemacht zu haben.
Wie sich aus diesen Ausführungen der Beschwerdeführerinnen selbst ergibt, hat die Erstinstanz damit - wenn auch kurz - dargelegt, dass zukünftige Kosten erst in Zukunft zu beurteilen sein werden. Damit wäre es den Beschwerdeführerinnen möglich gewesen, sich in der Berufung zu diesem Punkt zu äussern. Dass sie dies entgegen den Feststellungen des Obergerichts getan hätten, machen sie vor Bundesgericht nicht geltend. Der blosse und nicht weiter erläuterte Hinweis auf eine Replikschrift genügt dazu nicht (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.3; <ref-ruling> E. 3.2 S. 257). Allein aus diesem Grund vermögen die Beschwerdeführerinnen den angefochtenen Entscheid somit nicht in Frage zu stellen. Zu den weiteren Ausführungen des Obergerichts betreffend Begründungspflicht und die an eine Berufung zu stellenden Anforderungen äussern sie sich sodann nicht. Die Beschwerde erweist sich damit auch insofern als unbegründet und auf die weiteren Ausführungen der Beschwerdeführerinnen ist nicht einzugehen. Diese gehen, da sie sich auf die beantragten Kostenanrechnung sowie auf das Kindeswohl und nicht auf das vorinstanzliche Nichteintreten beziehen, ohnehin an der Sache vorbei (vgl. <ref-ruling> E. 1; Urteil 5A_405/2016 vom 20. Oktober 2016 E. 6). Damit besteht bereits aus diesem Grund auch kein Anlass, auf die hierzu angerufenen Beweismittel einzugehen, und es ist nicht zu prüfen, ob diese nach Massgabe von <ref-law> überhaupt zulässig wären.
4.
4.1. Wie bereits die Erstinstanz rechnete auch das Obergericht der Beschwerdeführerin 3 ab dem 3. März 2020 ein hypothetisches Einkommen von Fr. 4'250.-- bei einem Beschäftigungsgrad von 50 % an. Nach Ansicht der Beschwerdeführerinnen ist es willkürlich, es der Beschwerdeführerin 3 als möglich und zumutbar zu erachten, ein derartiges Einkommen zu erzielen. Insbesondere habe das Obergericht den Sachverhalt willkürlich festgestellt, wenn es davon ausgehe, die Beschwerdeführerin 3 würde im Alltag durch den Schul- und Hortbesuch der Kinder völlig entlastet. Tatsächlich falle aufgrund des Gesundheitszustands der Beschwerdeführerin 2 - diese leidet an einem Rett-Syndrom - nach wie vor erheblicher Betreuungsaufwand an.
4.2. In ihrer Argumentation stützen sich die Beschwerdeführerinnen sich auf einen Bericht der Schule für Kinder und Jugendliche mit Körper- und Mehrfachbehinderungen vom 31. Januar 2020 (Beschwerdebeilage 2). Ausserdem bringen sie vor, bei der Beschwerdeführerin 2 werde im März eine Operation wegen eines Gehirntumors nötig. Diese führe zu erheblichen postoperativen Betreuungszeiten.
Der Bericht der Schule datiert nach dem angefochtenen Urteil, womit es sich dabei um ein echtes Novum handelt, das im Verfahren vor Bundesgericht unbeachtlich ist (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.1.2). Was die Operation anbelangt, so legen die Beschwerdeführerinnen an anderer Stelle dar, der Tumor sei "im vergangenen Jahr" festgestellt worden. Das Obergericht erwähnt die fragliche Operation jedoch nicht und die Beschwerdeführerinnen machen nicht geltend, diesen Umstand in das vorinstanzliche Verfahren eingebracht zu haben. Als unechtes Novum könnte er nach <ref-law> nur berücksichtigt werden, wenn der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt. Inwiefern dies der Fall sein sollte, legen die Beschwerdeführerinnen entgegen der sie auch insoweit treffenden Begründungspflicht (vgl. vorne E. 1.2) nicht dar. Im Zusammenhang mit dem Schreiben vom 31. Januar 2020 halten sie aber immerhin fest, Anlass zu dessen Einreichung hätten die willkürlichen Ausführungen der Vorinstanz gegeben. Der vorinstanzliche Verfahrensausgang allein bildet indes kein hinreichender Anlass für die Zulässigkeit unechter Noven (<ref-ruling> E. 1.2). Die Vorbringen der Beschwerdeführerinnen sind damit von vornherein nicht geeignet das angefochtene Erkenntnis in Frage zu stellen. Gleiches gilt für die pauschale Behauptung, die Beschwerdeführerin 3 sei seit dem Jahr 2008 nie mehr in der Privatwirtschaft tätig gewesen. Die Beschwerde erweist sich auch insoweit als unbegründet.
5.
5.1. Die Beschwerdeführerinnen wenden sich weiter dagegen, dass die Vorinstanz Zahlungen des Beschwerdegegners über Fr. 200'300.-- von April 2010 bis Juni 2012 an dessen ab August 2012 bestehende Unterhaltspflicht anrechnete. Die Vorinstanz habe mit dem Hinweis, die Beschwerdeführerinnen selbst hätten die fraglichen Zahlungen als laufenden Unterhalt qualifiziert, gegen das Willkürverbot verstossen und den Gehörsanspruch verletzt. Denn wenn es sich um Zahlungen für den (damals) laufenden Unterhalt gehandelt habe, hätten gerade keine im Voraus für die heute interessierende Periode geleistete Unterhaltsbeiträge vorgelegen.
5.2. Vorab lassen die Beschwerdeführerinnen ausser Acht, dass die Vorinstanz für den fraglichen Zeitraum nicht Zahlungen des Beschwerdegegners im Umfang von Fr. 200'300.--, sondern von Fr. 101'120.-- berücksichtigte (vorne Bst. B). Dies begründet das Obergericht unter Hinweis auf die Ausführungen der Erstinstanz, wonach von den insgesamt vom Beschwerdegegner in diesem Zeitraum geleisteten Zahlungen - sie seien in Erfüllung einer sittlichen Pflicht erfolgt - nur den Verhältnissen der Kinder angemessene Beträge für den (damals) laufenden Unterhalt bestimmt gewesen seien. Alle weiteren Zahlungen stellten im Voraus geleistete Unterhaltsbeiträge dar und seien im vorliegenden Verfahren zu berücksichtigen. Mit diesen Erwägungen hätten die Beschwerdeführerinnen sich nicht substanziiert auseinandergesetzt. Eine Auseinandersetzung mit dieser Argumentation, welche für sich allein das angefochtene Urteil zu rechtfertigen vermag, lassen die Beschwerdeführerinnen auch vor Bundesgericht vermissen. Sie äussern sich auch nicht zum Vorwurf, im vorinstanzlichen Verfahren auf diesen Punkt nicht eingegangen zu sein. Auf die Beschwerde ist daher insoweit nicht einzutreten (vgl. vorne E 1.2) und Weiterungen in diesem Zusammenhang erübrigen sich.
6.
6.1. Umstritten ist sodann das Gesuch der Beschwerdeführerinnen 1 und 2 auf Zusprechung eines Prozesskostenbeitrags für das erstinstanzliche Verfahren.
Diesbezüglich erwog das Obergericht, die Beschwerdeführerinnen hätten unter diesem Titel pauschal einen Betrag von Fr. 90'000.-- geltend gemacht, ohne diesen näher zu begründen. Weder würden sie auf entsprechende Ausführungen vor der Erstinstanz noch auf Belege zu den massgeblichen Aufwendungen verweisen, aus denen sich der sehr hohe Betrag ergebe. Auch wenn das vorinstanzliche Verfahren lange gedauert habe und aufwendig gewesen sei, hätten sie mittels klarer und sauberer Verweisungen aufzeigen müssen, welche Behauptungen sie im vorinstanzlichen Verfahren aufgestellt, welche Erklärungen sie abgegeben, welche Bestreitungen sie erhoben und welche Beweisanträge sie gestellt hätten. Folglich sei die Berufung unzulänglich begründet, womit nicht darauf einzutreten sei. Die Beschwerdeführerinnen sehen hierin eine überspitzt formalistische Argumentation und eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör. Was sie gegen das angefochtene Urteil vorbringen, überzeugt indes nicht:
6.2. Vorab machen die Beschwerdeführerinnen geltend, das erstinstanzliche Verfahren sei ausserordentlich aufwändig gewesen, habe lange gedauert und einen hohen Streitwert aufgewiesen, was auch der Vorinstanz bekannt sei. Damit erweise sich der verlangte Beitrag ohne weiteres als angemessen. Hätte die Vorinstanz dies anders gesehen, hätte sie den Betrag entsprechend reduzieren müssen. Sodann habe auch das Bezirksgericht Fr. 90'000.-- nicht als unangemessen beurteilt, womit sich auch kein Anlass zu Rügen im Berufungsverfahren ergeben hätte. Mit ihren Ausführungen zur (inhaltlichen) Angemessenheit des strittigen Beitrags gehen die Beschwerdeführerinnen an der Sache vorbei, da sich hieraus nichts zur Begründung ihrer Berufung ergibt (vgl. vorne E. 3.2 und die dortigen Hinweise). Die entsprechenden Ausführungen bleiben daher unbehelflich. Auch im vorliegenden Zusammenhang äussern sich die Beschwerdeführerinnen sodann nicht zu den Anforderungen, welche an die Begründung einer Berufung gestellt werden können (vgl. dazu auch E. 6.3 hiernach). Wenig hilfreich bleibt schliesslich der Hinweis auf das erstinstanzliche Urteil: Das Bezirksgericht hat das Gesuch der Beschwerdeführerinnen unbestritten als gegenstandslos abgeschrieben, womit es in diesem Verfahren nicht mehr auf die Höhe des geltend gemachten Beitrags ankam.
6.3. Die Beschwerdeführerinnen machen weiter geltend, es sei unzulässig, die (erstinstanzlichen) Anwaltskosten der Kinder der offensichtlich mittellosen Kindsmutter aufzuerlegen (vgl. dazu vorne Bst. A.c). Diese Kosten seien, wie der gesamte Barunterhalt der Kinder, vom Beschwerdegegner zu tragen. Unter Hinweis auf die Begründungsanforderungen der Berufung habe die Vorinstanz die Prüfung dieser Frage verunmöglicht und damit eine unzulässig hohe Hürde für deren materielle Beurteilung aufgestellt, was die angerufenen Verfahrensgrundrechte verletze. Dies gelte umso mehr mit Blick auf die - hier anwendbare - Offizial- und Untersuchungsmaxime nach <ref-law>. Dem kann nicht gefolgt werden: Die Berufung ist schriftlich und begründet einzureichen (<ref-law>), wobei es sich beim Begründungserfordernis um eine Eintretensvoraussetzung handelt (SPÜHLER, in: Basler Kommentar, Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 18 zu <ref-law>; vgl. etwa auch Urteil 5A_573/2017 vom 19. Oktober 2017 E. 3.3). Ist eine Berufung nicht begründet, kann eine materielle Beurteilung der betroffenen Streitfragen daher nicht erfolgen. Aus dem Umstand allein, dass die Vorinstanz auf die Beschwerde in diesem Punkt nicht eingetreten ist, kann folglich keine Verfassungsverletzung konstruiert werden. Gleichzeitig bringen die Beschwerdeführerinnen nichts zu der insoweit letztlich entscheidenden Frage vor, welche Anforderungen an die Berufungsbegründung gestellt werden können. Zu den weiter angesprochenen Auswirkungen der in Kinderbelangen nach <ref-law> geltenden Verfahrensgrundsätze auf die Begründungspflicht äussern die Beschwerdeführerinnen sich ebenfalls nicht näher. Mit dem pauschalen Hinweis auf diese Bestimmung genügen sie der an die Beschwerde in Zivilsachen zu stellenden Begründungsanforderungen jedenfalls nicht. Die Beschwerde erweist sich folglich auch insoweit als unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann.
7.
Zuletzt machen die Beschwerdeführerinnen auch im Zusammenhang mit der Verlegung der erstinstanzlichen Gerichtskosten (dazu vorne Bst. A.c) eine Gehörsverletzung geltend. Vor Obergericht hätten sie unter Angabe von einschlägiger Literatur vorgebracht, die Auferlegung der Kosten an die bloss am Verfahren beteiligte Kindsmutter sei angesichts von deren (schlechten) wirtschaftlichen Verhältnissen nicht gangbar. Mit diesem Argument habe die Vorinstanz sich nicht auseinandergesetzt.
Dies überzeugt nicht: Das Obergericht gab in einem ersten Schritt die Vorbringen der Beschwerdeführerinnen zur Leistungsfähigkeit wieder (einschliesslich der entsprechenden Literaturstelle). Danach begründete es, weshalb die Gerichtskosten nach den einschlägigen Bestimmungen grundsätzlich auch der Kindsmutter als Verfahrensbeteiligte auferlegt werden könnten. Zum Schluss führte das Gericht aus, die Beschwerdeführerinnen hätten sich mit den weiteren Erwägungen der Erstinstanz, "mit welchen - in Abweichung von der jeweiligen Leistungsfähigkeit - die hälftige Kostenauflage an die [Kindsmutter] sachgerecht begründet wurde", nicht auseinandergesetzt. Auch machten sie keine rechtsfehlerhafte Ermessensausübung geltend. Damit erweist sich der Vorwurf, die Vorinstanz hätte sich mit dem entsprechenden Vorbringen der Beschwerdeführerinnen nicht auseinandergesetzt, als unbegründet. Zu den weiteren Erwägungen des Obergerichts äussern die Beschwerdeführerinnen sich entgegen der sie auch insoweit treffenden Begründungspflicht (vgl. vorne E. 1.2) sodann nicht. Die Beschwerde erweist sich damit auch insoweit als unbegründet.
8.
Zusammenfassend ist die Beschwerde unbegründet und abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten grundsätzlich den Beschwerdeführerinnen unter solidarischer Haftbarkeit aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG; vgl. Urteil 5A_48/2017 und 5A_92/2017 vom 25. September 2017 E. 6). Mit Blick auf die Umstände des Falles rechtfertigt es sich indessen, die minderjährigen Beschwerdeführerinnen 1 und 2 von der Kostenpflicht auszunehmen und die Gerichtskosten vollumfänglich der diese gesetzlich vertretenden Beschwerdeführerin 3 aufzuerlegen. Parteientschädigung ist keine zu sprechen, da dem obsiegenden Beschwerdegegner mangels Einholens einer Vernehmlassung keine entschädigungspflichtigen Kosten angefallen sind (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Das Gesuch der Beschwerdegegnerin 3 um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, da die Beschwerde nach dem vorstehend Ausgeführten als aussichtlos beurteilt werden muss (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin 3 um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 8'000.-- werden der Beschwerdeführerin 3 auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. März 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber