Sachverhalt:
A.
A._ (geboren 1980) ist kosovarische Staatsangehörige. Ende 2012 heiratete sie B._, einen in der Schweiz niedergelassenen Landsmann. Sie reiste im März 2013 in die Schweiz ein und erhielt im Rahmen des Familiennachzuges am 20. März 2013 eine Aufenthaltsbewilligung. Seit dem 9. Juni 2015 leben die beiden Ehegatten getrennt.
Am 11. Dezember 2015 kam der gemeinsame Sohn A.B._ zur Welt. Dieser ist wie seine Mutter Staatsangehöriger von Kosovo. Er verfügte über eine Aufenthaltsbewilligung. Nach einem rechtskräftigen Eheschutzurteil des Kreisgerichts Rheintal vom 29. September 2015 soll das Kind überwiegend durch die Mutter betreut werden und steht dem Vater ein Besuchsrecht zu. A.B._ lebt dementsprechend bei seiner Mutter.
B.
Mit Verfügung vom 14. April 2016 ordnete das Migrationsamt des Kantons St. Gallen an, dass die Aufenthaltsbewilligungen von A._ und A.B._ nicht verlängert werden. Ein hiergegen erhobener Rekurs, mit welchem die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A._ und die Erteilung einer Niederlassungsbewilligung an A.B._ bzw. in Bezug auf A.B._ eventualiter die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung beantragt wurde, wurde seitens des Sicherheits- und Justizdepartements des Kantons St. Gallen am 30. August 2018 abgewiesen. Das in der Folge angerufene Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen bestätigte diesen Entscheid mit Urteil vom 24. Januar 2019.
C.
A._ und A.B._ erhoben am 27. Februar 2019 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Sie beantragen, unter Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 24. Januar 2019 sei zum einen die Aufenthaltsbewilligung A._s zu verlängern und zum anderen A.B._ eine Niederlassungsbewilligung zu erteilen bzw. eventualiter dessen Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Eventualiter sei die Sache unter Aufhebung des angefochtenen Urteils zur ergänzenden Sachverhaltsfeststellung und Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen.
Das Sicherheits- und Justizdepartement und das Verwaltungsgericht beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen. Das Migrationsamt und das Staatssekretariat für Migration verzichten auf Vernehmlassung.
Der Beschwerde wurde die aufschiebende Wirkung zuerkannt (Verfügung des Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 12. März 2019).

Erwägungen:
1.
1.1.
1.1.1. Die vorliegende Eingabe richtet sich gegen ein kantonal letztinstanzliches (<ref-law>) Endurteil (<ref-law>) eines oberen Gerichts (<ref-law>).
Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Zusammenhang mit Bewilligungen ausgeschlossen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>).
1.1.2. Die Beschwerdeführerin beruft sich in vertretbarer Weise auf einen Bewilligungsanspruch nach Art. 50 Abs. 1 lit. b des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer und über die Integration (AIG; SR 142.20; bis zum 31. Dezember 2018: Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer [AuG]).
Auch der Beschwerdeführer macht - mit einem Eventualantrag - in vertretbarer Weise einen Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung geltend, indem er namentlich vorbringt, er habe nach Art. 8 Abs. 1 EMRK aufgrund einer gelebten Beziehung zum hier niederlassungsberechtigten Vater einen Aufenthaltsanspruch:
Art. 8 EMRK (bzw. <ref-law>) garantiert zwar kein Recht auf Aufenthalt in einem bestimmten Staat. Es kann aber das in Art. 8 EMRK geschützte Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens verletzen, wenn einem Ausländer, dessen Familienangehörige hier weilen, die Anwesenheit untersagt und damit das Familienleben vereitelt wird. Der sich hier aufhaltende Familienangehörige muss nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung seinerseits über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht verfügen, was praxisgemäss der Fall ist, wenn er das Schweizer Bürgerrecht besitzt, ihm die Niederlassungsbewilligung gewährt wurde oder er über eine Aufenthaltsbewilligung verfügt, die ihrerseits auf einem gefestigten Rechtsanspruch beruht (siehe zum Ganzen <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 145 f.).
1.1.3. Ob die von den Beschwerdeführern geltend gemachten Ansprüche auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligungen tatsächlich bestehen, ist nicht im Rahmen des Eintretens, sondern bei der materiellen Beurteilung zu prüfen (<ref-ruling> E. 2.5 S. 315 f.; Urteil 2C_837/2016 vom 23. Dezember 2016 E. 1.1).
1.1.4. Was die geforderte Niederlassungsbewilligung betrifft, ist keine Anspruchsgrundlage ersichtlich, auf welche sich der Beschwerdeführer stützen könnte. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann damit in Bezug auf die beantragte Erteilung einer Niederlassungsbewilligung nicht eingetreten werden.
1.2. Die übrigen Eintretensvoraussetzungen (<ref-law>, <ref-law>, <ref-law>) sind erfüllt. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist mit dem erwähnten Vorbehalt (E. 1.1.4 hiervor) einzutreten.
1.3. Als bundesrechtliches Rechtsmittel betreffend die verweigerte Niederlassungsbewilligung käme allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde in Betracht.
Zur Verfassungsbeschwerde ist gemäss <ref-law> nur berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Trotz fehlender Legitimation in der Sache selbst ist der Ausländer zur Rüge berechtigt, ihm zustehende Verfahrensgarantien, namentlich der Anspruch auf rechtliches Gehör, seien verletzt worden. Nicht zu hören sind dabei aber Vorbringen, die im Ergebnis auf die Überprüfung des Sachentscheids abzielen, wie die Behauptung, dass die Begründung des angefochtenen Entscheids unvollständig oder zu wenig differenziert ausgefallen sei oder sich nicht mit sämtlichen Argumenten auseinandersetze oder dass die Parteivorbringen willkürlich gewürdigt worden seien; ebenso wenig ist der Vorwurf zu hören, der Sachverhalt sei unvollständig oder sonst wie willkürlich festgestellt oder Beweisanträge seien wegen willkürlicher antizipierter Beweiswürdigung abgelehnt worden (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 222; <ref-ruling> E. 7b S. 94; <ref-ruling> E. 1c S. 236; <ref-ruling> E. 3c S. 313; zur Weiterführung dieser so genannten "Star-Praxis" unter der Herrschaft des Bundesgerichtsgesetzes siehe <ref-ruling> E. 3.2 S. 436 f.; siehe auch <ref-ruling> E. 1.3 S. 80; spezifisch zum Ausländerrecht <ref-ruling> E. 6.2 S. 198 f.; ferner <ref-ruling> E. 2 S. 308).
In der Beschwerde wird die Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) gerügt. Soweit die entsprechenden Vorbringen die Nichterteilung einer Niederlassungsbewilligung an den Beschwerdeführer betreffen, laufen sie in jeder Hinsicht auf eine Kritik an der vom Verwaltungsgericht vorgenommenen Gesamtwürdigung der Verhältnisse sowie an dessen im Hinblick auf die Beweisanträge praktizierten antizipierten Beweiswürdigung hinaus. Damit wären diese Rügen im Rahmen einer subsidiären Verfassungsbeschwerde nicht zu hören. Sollte der Beschwerdeführer mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde die Erteilung einer Niederlassungsbewilligung verlangen, wäre auf diesen Antrag somit nicht einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich potentiell stellenden Fragen zu beantworten, wenn diese in seinem Verfahren nicht mehr formell korrekt (Begründungs- und Mitwirkungspflicht) vorgebracht werden (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem sowie interkantonalem Recht. Das Bundesgericht geht auf entsprechende Rügen nur ein, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287).
2.2. Das Bundesgericht ist an den Sachverhalt gebunden, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig. Zur Sachverhaltsfeststellung gehört auch die auf Indizien gestützte Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 2.3 S. 265 ff.; Urteil 2C_402/2015 vom 11. November 2016 E. 2.2.2). Inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung bzw. die Sachverhaltsfeststellung offensichtlich unhaltbar ist, muss in der Beschwerdeschrift klar und detailliert aufgezeigt werden (<ref-ruling> E. 4.2; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.3 S. 262); es gilt diesbezüglich eine qualifizierte Begründungspflicht (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.). Soweit die Beschwerdeführer die Beweiswürdigung der Vorinstanz bloss appellatorisch beanstanden - d.h. lediglich ihre Sicht der Dinge derjenigen der Vorinstanz gegenüberstellen, ohne darzutun, inwiefern diese die Beweise in Verletzung von <ref-law> (Willkürverbot) gewürdigt hat - ist auf ihre Ausführungen nicht weiter einzugehen.
3.
3.1. Gemäss <ref-law> haben ausländische Ehegatten von Personen mit Niederlassungsbewilligung grundsätzlich Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen. Nach Auflösung der Ehe oder der Familiengemeinschaft besteht der Anspruch des Ehegatten auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung weiter, wenn die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre gedauert hat und eine erfolgreiche Integration besteht (<ref-law>) oder wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen (<ref-law>).
3.2. Angesichts der kurzen Dauer der Ehegemeinschaft lässt die Beschwerdeführerin zu Recht unbeanstandet, dass die Vorinstanz einen Anspruch auf Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung nach <ref-law> verneint hat. Sie ist jedoch der Auffassung, dass ein nachehelicher Härtefall (<ref-law>) vorliege, weil sie Opfer ehelicher Gewalt geworden sei.
4.
4.1. Eheliche Gewalt kann einen wichtigen persönlichen Grund im Sinne von <ref-law> darstellen (<ref-law>). Erfasst ist nach der Rechtsprechung grundsätzlich jede Form ehelicher bzw. häuslicher Gewalt, sei sie physischer oder psychischer Natur (<ref-ruling> E. 3.3.3 S. 237; Urteile 2C_165/2018 vom 19. September 2018 E. 2.1; 2C_2/2015 vom 13. August 2015 E. 2.4.1). Häusliche Gewalt bedeutet Misshandlung mit dem Ziel, Macht und Kontrolle auszuüben. Nicht jede unglückliche, belastende und nicht den eigenen Vorstellungen entsprechende Entwicklung einer Beziehung rechtfertigt es, von einem nachehelichen Härtefall im Sinne von <ref-law> auszugehen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.2 S. 233 f.; Urteile 2C_460/2017 vom 23. März 2018 E. 3.2; 2C_771/2017 vom 8. Februar 2018 E. 3.2).
4.2. Die ausländische Person trifft bei den Feststellungen des entsprechenden Sachverhalts eine weitreichende Mitwirkungspflicht (<ref-law>). Sie muss die eheliche Gewalt in geeigneter Weise glaubhaft machen (Arztberichte oder psychiatrische Gutachten, Polizeirapporte, Berichte/Einschätzungen von Fachstellen [Frauenhäuser, Opferhilfe usw.], glaubwürdige Zeugenaussagen von weiteren Angehörigen oder Nachbarn etc.). Allgemein gehaltene Behauptungen oder Hinweise auf punktuelle Spannungen genügen nicht (vgl. <ref-ruling> E. 6.2 S. 153; <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 235).
Wird häusliche Gewalt in Form psychischer Oppression behauptet, müssen die Systematik der Misshandlung bzw. deren zeitliches Andauern und die daraus entstehende subjektive Belastung objektiv nachvollziehbar konkretisiert und beweismässig unterlegt werden. Nur in diesem Fall und beim Bestehen entsprechender Beweisanträge, die nicht in antizipierter Beweiswürdigung abgewiesen werden können, wobei aber allfälligen sachinhärenten besonderen Beweisschwierigkeiten Rechnung zu tragen ist, rechtfertigt es sich, ein ausländerrechtliches Beweisverfahren durchzuführen (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 235; Urteil 2C_1072/2014 vom 9. Juli 2015 E. 2.4). Auf der anderen Seite setzt die Anwendung von <ref-law> praxisgemäss keine strafrechtliche Verurteilung voraus (<ref-ruling> E. 3.3.3 S. 237; Urteile 2C_771/2018 vom 8. Februar 2018 E. 4.2.1; 2C_221/2011 vom 30. Juli 2011 E. 2; 2C_586/2011 vom 21. Juli 2011 E. 3.2).
5.
Die Vorinstanz hat im Rahmen der Beurteilung der Frage, ob im Fall der Beschwerdeführerin häusliche Gewalt im Sinne von <ref-law> vorlag, insbesondere einen Bericht vom 20. Juni 2016 über einen Aufenthalt der Beschwerdeführerin im Frauenhaus C._ gewürdigt. Sie führte aus, dieser Bericht bilde den einzigen Hinweis auf erlebte eheliche Gewalt, stütze sich aber allein auf die Angaben der Beschwerdeführerin. Nach dem Bericht habe die Beschwerdeführerin klare Anzeichen einer Traumatisierung aufgewiesen und Panikattacken erlitten, weshalb sie engmaschige psychische Begleitung benötigt habe. Die Beschwerdeführerin habe gemäss dem Bericht überdies medizinisch "vernetzt" werden müssen. Ein medizinischer Bericht, welcher die gesundheitlichen Probleme belegen könnte, finde sich in den vorliegenden Akten aber ebenso wenig wie Strafanzeigen oder sonstige glaubwürdige Zeugenaussagen von Angehörigen, Nachbarn oder Arbeitskollegen. Damit fehle es an weiterführenden Hinweisen auf die erlebte Gewalt. Das gemäss dem Bericht des Frauenhauses von der Beschwerdeführerin beschriebene, von ihrem Ehemann erteilte Verbot des Kontaktes zu Angehörigen sowie Freunden und die geltend gemachte Erniedrigung durch die Schwiegereltern mögen zwar - so die Vorinstanz - als subjektiv äusserst störend empfunden worden sein, eine anhaltende, erniedrigende Behandlung oder eine schwerwiegende psychische Druckausübung werde damit aber nicht aufgezeigt. Es sei darüber hinaus fraglich, wie restriktiv das "Kontaktverbot" gewesen sei. Die Beschwerdeführerin sei nämlich einer vollzeitlichen Erwerbstätigkeit nachgegangen und habe einen Deutschkurs besucht, so dass ihr eine Aufnahme von sozialen Kontakten durchaus möglich gewesen sei. Mit dem Bericht des Frauenhauses sei es der Beschwerdeführerin nicht gelungen, die Systematik von Misshandlungen bzw. deren zeitliches Andauern und die daraus entstehende subjektive Belastung objektiv nachvollziehbar zu konkretisieren oder wenigstens glaubhaft zu belegen.
6.
In der Beschwerde wird insbesondere gerügt, der Bericht des Frauenhauses vom 20. Juni 2016 sei in willkürlicher Weise gewürdigt worden. In diesem Bericht, welcher von einer in der Thematik häuslicher Gewalt geschulten Mitarbeiterin des Frauenhauses erstellt worden sei, werde die Gefährdungssituation einlässlich geschildert. Die Vorinstanz habe verkannt, dass der Bericht für sich allein schon genügende Hinweise auf eheliche Gewalt im Sinne von <ref-law> enthalte.
6.1. Im Bericht des Frauenhauses vom 20. Juni 2016, der hier, soweit dessen Inhalt im angefochtenen Urteil nicht wiedergegeben wird, in Ergänzung des Sachverhaltes heranzuziehen ist (vgl. <ref-law>; Urteil 5A_51/2015 vom 25. März 2016 E. 6; E. 2.2 hiervor), wird über einen Aufenthalt der Beschwerdeführerin im Frauenhaus vom 9. Juni bis 2. September 2015 rapportiert. Der Bericht wurde von einer für das Frauenhaus tätigen Sozialarbeiterin erstellt. Im Bericht wird festgehalten, die Beschwerdeführerin habe in Gesprächen mit Mitarbeiterinnen des Frauenhauses die psychische Beeinträchtigung durch die häusliche Gewalt geschildert. Gemäss dem Bericht hat die Beschwerdeführerin Folgendes erzählt:
Schon zu Beginn des Zusammenlebens mit ihrem Ehemann und ihren Schwiegereltern sei es zu Schwierigkeiten gekommen. Die Schwiegereltern und ihr Ehemann hätten die Beschwerdeführerin isoliert, indem sie ihr jegliche Kontakte zu Angehörigen, neuen Freundinnen und Arbeitskolleginnen untersagt hätten. Die Einhaltung dieses Verbots sei kontrolliert worden. Die Beschwerdeführerin habe sich auf Schritt und Tritt überwacht gefühlt. Ihr Einkommen habe sie den Schwiegereltern abliefern und zugleich den gesamten Haushalt der mehrköpfigen Familie besorgen müssen. Sie habe sich nicht getraut, sich gegen die Befehle der Familie zu wehren, da sie Nachteile, insbesondere weitere Einschränkungen, Drohungen und Beleidigungen befürchtet habe. Ihr Schwiegervater habe einmal den Sohn angespuckt und ihm gesagt, er solle sich schämen, mit einer solchen Frau verheiratet zu sein. Das Klima zu Hause sei zunehmend von Druck, Kontrolle und Erniedrigung geprägt gewesen. Die Schwiegermutter habe stets versucht, die Beschwerdeführerin in ihrem Selbstwertgefühl zu treffen. So habe sie einmal auf ihren Bauch gedeutet und erklärt, die Beschwerdeführerin sei "da unten kaputt" und gebärunfähig, weshalb sie keinen Wert für die Familie habe. Als die Beschwerdeführerin schwanger geworden sei, sei die Situation eskaliert. Ihr Ehemann habe sich dem Einfluss seiner Eltern nicht entziehen können, sondern deren Anweisungen befolgt und der Beschwerdeführerin befohlen, das Kind abzutreiben. Wiederholt habe ihr der Schwiegervater gedroht, sie und ihre Herkunftsfamilie zu töten, wenn sie ohne Erlaubnis weggehen und das Kind gebären würde. Aufgrund der Situation und dem massiven Druck habe die Beschwerdeführerin kaum mehr Nahrung zu sich genommen und in den ersten Wochen der Schwangerschaft viel Körpergewicht verloren. Schliesslich sei es ihr gelungen, eine Cousine in D._ über die Gewalt im häuslichen Bereich zu informieren.
6.2. Soweit die Vorinstanz sinngemäss behauptet, der Bericht des Frauenhauses stütze sich einzig auf Angaben der Beschwerdeführerin und sei schon deshalb nicht als hinreichenden Beleg für eheliche Gewalt zu betrachten (vgl. E. 4.6 S. 10 des angefochtenen Urteils), erscheint ihre Beweiswürdigung als willkürlich. Denn über die hiervor zusammengefasst wiedergegebene Schilderung der Geschehnisse durch die Beschwerdeführerin hinaus hat die Sozialarbeiterin im Bericht auch verschiedene objektive Gegebenheiten festgehalten, welche die behauptete, unter Mitbeteiligung des Ehemannes erfolgte systematische psychische Oppression als grundsätzlich plausibel erscheinen lässt. So ist davon die Rede, dass die Beschwerdeführerin einen mangelhaften, die Gesundheit des ungeborenen Kindes gefährdenden Ernährungszustand aufgewiesen habe und sie deshalb medizinisch habe "vernetzt" bzw. versorgt werden müssen. Zudem sprach die Sozialarbeiterin von Panikattacken und klaren bzw. deutlichen Anzeichen für eine Traumatisierung, wie sie sehr häufig bei gewaltbetroffenen Frauen zu erkennen seien. Sie erklärte, die Beschwerdeführerin habe deshalb zu Beginn des Frauenhausaufenthaltes eine engmaschige Unterstützung im Bereich psycho-sozialer und psychischer Begleitung benötigt. Ebenso wenig wie dem Umstand, dass die genannten objektiven Befunde der Sozialarbeiterin in das von der Beschwerdeführerin gezeichnete Bild passen, hat die Vorinstanz dem Zeitpunkt und der Dauer des Aufenthalts im Frauenhaus Beachtung geschenkt. Anzunehmen, dass eine Frau während ihrer Schwangerschaft ohne jeden Anlass für eine Dauer von fast drei Monaten Zuflucht in einem Frauenhaus sucht, widerspricht der allgemeinen Lebenserfahrung. Dies stützt ebenfalls die Plausibilität der Darstellung der Beschwerdeführerin.
Ins Gewicht fällt sodann, dass nach dem Bericht der Sozialarbeiterin mehrere Beraterinnen des Frauenhauses die Beeinträchtigung der Integrität der Beschwerdeführerin durch die häusliche Gewalt sehr deutlich erkannt haben und die zuständige Opferhilfestelle von einer Gefährdung der Beschwerdeführerin sowie ihres damals ungeborenen Kindes ausging. Offensichtlich wurde also die Einschätzung der Sozialarbeiterin, welche den Bericht des Frauenhauses erstellt hat, auch von anderen Fachpersonen geteilt.
6.3. Unter Berücksichtigung der hier genannten Gegebenheiten lässt sich - anders als das angefochtene Urteil suggeriert - nicht sagen, die Beschwerdeführerin sei ihrer Mitwirkungspflicht (namentlich durch unterlassene Einreichung von ärztlichen Berichten) nicht hinreichend nachgekommen. Vielmehr haben die kantonalen Behörden die von der Beschwerdeführerin und der Sozialarbeiterin geschilderten Umstände zu Unrecht nicht weiter vertieft und allein gestützt auf das Fehlen von aktuell vorliegenden weiteren Beweismitteln bereits eine hinreichende Intensität der Beeinträchtigung verneint. Es ist zwar nicht zu verkennen, dass sich der von der Vorinstanz herangezogene Bericht des Frauenhauses wenn auch nicht ausschliesslich, so doch zu einem erheblichen Teil auf Angaben der Beschwerdeführerin stützt. Auch fällt zuungunsten der Beschwerdeführerin ins Gewicht, dass die Vorinstanz (in E. 4.6 des angefochtenen Urteils) verschiedene Umstände festgestellt hat, welche gegen eheliche Gewalt sprechen. Namentlich wies die Vorinstanz in diesem Kontext darauf hin, dass die Beschwerdeführerin anlässlich einer Verhandlung zum Eheschutzverfahren vom 29. September 2015 nicht näher ausführte, inwiefern konkrete Gewalt auf sie ausgeübt worden sei.
Der rechtserhebliche Sachverhalt erscheint aber dennoch in Bezug auf die Frage, ob eine hinreichende Beeinträchtigung der Beschwerdeführerin bestand, nicht vollständig festgestellt. Dass - wie im angefochtenen Urteil ergänzend ausgeführt wird - in einem anderen Fall, bei welchem es unter anderem ebenfalls um Druck zur Vornahme einer Abtreibung ging, mehr Beweismittel als vorliegend verfügbar waren, enthebt die kantonalen Behörden nicht davon, entsprechende Abklärungen zur Situation der Beschwerdeführerin vorzunehmen, wenn entsprechende Umstände glaubhaft gemacht und Beweisanträge gestellt werden. Andernfalls bliebe die Vorgabe, dass jede Form von im Rahmen des Zumutbaren belegter häuslicher Gewalt ernst zu nehmen ist (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.3 S. 237), toter Buchstabe.
Zusätzliche Abklärungen sind nicht zuletzt auch deshalb notwendig, weil vorliegend nicht auf die Akten eines Strafverfahrens zurückgegriffen werden kann. Das Fehlen einer Strafuntersuchung kann dabei nicht als Indiz gegen ausländerrechtlich relevante psychische Gewalt gewertet werden, da die Anwendung von <ref-law> keine strafrechtliche Verurteilung erfordert (vgl. E. 4.2 hiervor) und im Bericht des Frauenhauses in glaubhafter Weise ausgeführt wird, die Beschwerdeführerin habe namentlich aus Angst vor weiteren Eskalationen auf eine Strafanzeige verzichtet.
Das angefochtene Urteil ist nach dem Ausgeführten insoweit aufzuheben, als der Beschwerdeführerin die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung verweigert wurde. Diesbezüglich ist die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Vorinstanz wird in diesem Punkt ergänzende Sachverhaltsabklärungen vorzunehmen haben, etwa durch eine Einvernahme der Betroffenen (namentlich der Schwiegermutter und des Ehemannes) bzw. der um Hilfe angerufenen Cousine der Beschwerdeführerin. Die Aussagen der Beteiligten werden sodann unter Berücksichtigung sämtlicher Umstände des vorliegenden Einzelfalles auf ihre Glaubwürdigkeit zu überprüfen und zu würdigen sein. Hierbei wird zu beachten sein, dass selbst Aussagen derjenigen Personen, welche als Urheber der (allfälligen) häuslichen Gewalt in Betracht kommen, prinzipiell Indizien für oder gegen die Glaubwürdigkeit der Angaben der Beschwerdeführerin bilden können. Auf der in sachverhaltlicher Hinsicht vervollständigten Grundlage wird die Vorinstanz neu zu entscheiden haben. Sollte sich erweisen, dass die Beschwerdeführerin Opfer von in ihrer Intensität hinreichender häuslicher Gewalt im Sinne von <ref-law> wurde, hätte sie einen Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung im Sinne von <ref-law>.
7.
Sollte ein Aufenthaltsanspruch der Beschwerdeführerin im Sinne von <ref-law> bestehen, hätte sie ein gefestigtes Anwesenheitsrecht im Sinne der Rechtsprechung zur Art. 8 EMRK (bzw. <ref-law>) und könnte damit die vorliegend unbestrittenermassen tatsächlich gelebte Mutter-Sohn-Beziehung dem Beschwerdeführer ein Anwesenheitsrecht vermitteln (vgl. E. 1.1.2 in fine).
Hingegen hat der Beschwerdeführer entgegen der Darstellung in der Beschwerde keinen aus Art. 8 EMRK abgeleiteten Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, der in seiner Beziehung zu seinem hier niederlassungsberechtigten Vater gründen würde. Denn nach den insoweit verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (vgl. <ref-law>) nimmt der Vater sein Besuchsrecht nicht wahr und entzieht er sich jeglicher elterlichen Verantwortung sowie Verpflichtung; eine Bindung zwischen Vater und Kind existiert nach dem angefochtenen Urteil nicht. Dass die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung in diesem Punkt offensichtlich unhaltbar ist, wird in der Beschwerde nicht hinreichend klar und detailliert aufgezeigt, auch wenn danach früher ein persönlicher Kontakt zwischen dem Vater und dem Beschwerdeführer bestanden haben soll. Damit fehlt es aber an einer tatsächlich gelebten Beziehung zwischen dem Beschwerdeführer und seinem niederlassungsberechtigten Vater, welche nach Art. 8 EMRK einen Aufenthaltsanspruch begründen könnte.
Vor diesem Hintergrund rechtfertigt es sich, den angefochtenen Entscheid in Bezug auf die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers aufzuheben und die Sache auch zur Prüfung eines aus der familiären Beziehung zur Mutter abgeleiteten Aufenthaltsanspruchs des Beschwerdeführers an die Vorinstanz zurückzuweisen.
8.
8.1. Die Beschwerde erweist sich nach dem Gesagten als begründet und ist deshalb gutzuheissen, soweit darauf eingetreten werden kann. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Es erübrigt sich unter den gegebenen Umständen, auf die weiteren Vorbringen der Beschwerdeführer (namentlich die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs) einzugehen.
8.2. Dem unterliegenden Kanton St. Gallen sind für das vorliegende Verfahren keine Kosten aufzuerlegen (<ref-law>). Er muss die obsiegenden Beschwerdeführer als Solidargläubiger für dieses jedoch angemessen entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 24. Januar 2019 aufgehoben und die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Der Kanton St. Gallen hat die Beschwerdeführer als Solidargläubiger für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Januar 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: König