Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Brugg-Zurzach führt eine Strafuntersuchung gegen A._ und zwei Mitbeschuldigte wegen mehrfacher (versuchter) schwerer Körperverletzung, mehrfacher qualifizierter einfacher Körperverletzung und Angriffs, zum Nachteil von fünf geschädigten Personen. Am 13. Februar 2021 ordnete das Zwangsmassnahmengericht des Kantons Aargau (ZMG), auf entsprechenden Antrag der Staatsanwaltschaft hin, Untersuchungshaft gegen den Beschuldigten an, einstweilen bis zum 9. Mai 2021. Mit Verfügung vom 7. April 2021 hiess das ZMG ein Haftentlassungsgesuch des Beschuldigten vom 18. März 2021 gut. Eine von der Staatsanwaltschaft am 7. April 2021 dagegen erhobene Beschwerde hiess das Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, mit Entscheid vom 30. April 2021 gut, indem es das Haftentlassungsgesuch abwies.
B.
Gegen den Entscheid des Obergerichtes gelangte der Beschuldigte mit Beschwerde vom 31. Mai 2021 an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und seine sofortige Haftentlassung.
Das Obergericht hat am 2. Juni 2021 auf eine Stellungnahme verzichtet. Die Staatsanwaltschaft beantragt mit Vernehmlassung vom 3. Juni 2021 die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer replizierte am 14. Juni 2021.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Haftprüfungsentscheid, mit dem ein Gesuch um Entlassung aus der Untersuchungshaft abgewiesen wurde. Dagegen steht die Beschwerde ans Bundesgericht grundsätzlich offen (<ref-law> i.V.m. Art. 222 und Art. 228 StPO). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen von <ref-law> geben zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass.
2.
Der Beschwerdeführer bestreitet den allgemeinen Haftgrund des dringenden Tatverdachtes.
2.1. Im Gegensatz zum erkennenden Sachrichter hat das Bundesgericht bei der Überprüfung des allgemeinen Haftgrundes des dringenden Tatverdachtes (Art. 221 Abs. 1 Ingress StPO) keine erschöpfende Abwägung sämtlicher belastender und entlastender Beweisergebnisse vorzunehmen. Macht ein Inhaftierter geltend, er befinde sich ohne ausreichenden Tatverdacht in strafprozessualer Haft, ist vielmehr zu prüfen, ob aufgrund der bisherigen Untersuchungsergebnisse genügend konkrete Anhaltspunkte für ein Verbrechen oder Vergehen und eine Beteiligung des Beschwerdeführers an dieser Tat vorliegen, die Strafbehörden somit das Bestehen eines dringenden Tatverdachts mit vertretbaren Gründen bejahen durften. Im Haftprüfungsverfahren genügt dabei der Nachweis von konkreten Verdachtsmomenten, wonach das untersuchte Verhalten mit erheblicher Wahrscheinlichkeit die fraglichen Tatbestandsmerkmale erfüllen könnte (<ref-ruling> E. 3.1 S. 318; 330 E. 2.1 S. 333; je mit Hinweisen). Das Beschleunigungsgebot in Haftsachen (Art. 31 Abs. 3-4 BV, <ref-law>) lässt hier nur wenig Raum für Beweismassnahmen. Zur Frage des dringenden Tatverdachtes bzw. zur Schuldfrage hat das Bundesgericht weder ein eigentliches Beweisverfahren durchzuführen, noch dem erkennenden Strafrichter vorzugreifen. Vorbehalten bleibt allenfalls die Abnahme eines liquiden Alibibeweises (<ref-ruling> E. 3.1 S. 318; 330 E. 2.1 S. 333 f.; je mit Hinweisen).
Der dringende Tatverdacht muss sich im Verlauf des Strafverfahrens grundsätzlich verdichten (bzw. ausreichend hoch verbleiben). Dabei kommt es nach der Praxis des Bundesgerichtes auch auf die Art und Intensität der bereits vorbestehenden konkreten Verdachtsgründe an (vgl. Urteile 1B_197/2019 vom 27. Mai 2019 E. 2.4; 1B_514/2018 vom 3. Dezember 2018 E. 3.2; 1B_176/2018 vom 2. Mai 2018 E. 3.2). Zu Beginn der Strafuntersuchung sind die Anforderungen an den dringenden Tatverdacht geringer als in späteren Prozessstadien. Im Laufe des Strafverfahrens ist in der Regel ein zunehmend strengerer Massstab an die Erheblichkeit und Konkretheit des Tatverdachts zu legen. Nach Durchführung der gebotenen Untersuchungshandlungen muss eine Verurteilung als wahrscheinlich erscheinen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 318 f. mit Hinweisen).
2.2. Bei Beschwerden, die gestützt auf das Recht der persönlichen Freiheit (Art. 10 Abs. 2, Art. 31 BV) wegen strafprozessualer Haft erhoben werden, prüft das Bundesgericht im Hinblick auf die Schwere des Eingriffes die Auslegung und Anwendung der StPO frei. <ref-law> gelangt bei strafprozessualen Zwangsmassnahmen nicht zur Anwendung (<ref-ruling> E. 3.3 S. 319; 330 E. 2.1 S. 334; je mit Hinweisen). Soweit jedoch reine Sachverhaltsfragen und damit Fragen der Beweiswürdigung zu beurteilen sind, greift das Bundesgericht nur ein, wenn die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.3 S. 319; 330 E. 2.1 S. 334; je mit Hinweis).
2.3. Der Beschwerdeführer rügt zunächst, die Annahme des dringenden Tatverdachtes beruhe auf einer offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung bzw. "grober Willkür" durch die Vorinstanz. Ein dringender Tatverdacht für die untersuchten Körperverletzungsdelikte setze voraus, dass "die Beschuldigtengruppe für die Verletzungen der Geschädigten verantwortlich" wäre. Die Vorinstanz habe dazu lapidar erwogen, nach den bisherigen Ermittlungen seien den Geschädigten bei der untersuchten gewalttätigen Auseinandersetzung Verletzungen zugefügt worden. Deren Art und Schwere liessen ohne Weiteres darauf schliessen, dass die Täterschaft mit erheblicher stumpfer Gewalt und mutmasslich mit Holzstöcken oder Ähnlichem insbesondere auf die Köpfe der Geschädigten eingewirkt habe. Zwar würden solche Verletzungen in den Berichten des Instituts für Rechtsmedizin dokumentiert. Die genannten Erwägungen seien nach Ansicht des Beschwerdeführers jedoch willkürlich, weil "gerade nicht erstellt" sei, dass mehrere Personen, darunter der Beschwerdeführer, für diese Verletzungen verantwortlich wären. Ebenso wenig lasse sich aus der Art und Schwere der dokumentierten Verletzungen ohne Weiteres auf die "Art der Tatausübung mit Holzstöcken oder Ähnlichem auf die Köpfe der Geschädigten" schliessen. Erstellt sei auch nicht, dass einer der Geschädigten beim Eintreffen der Beschuldigtengruppe in seinem Bett gelegen und die erste Provokation von der Beschuldigtengruppe ausgegangen sei.
2.4. Diese Vorbringen lassen keine willkürlichen entscheiderheblichen Tatsachenfeststellungen des Obergerichtes erkennen:
Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass die Geschädigten nach den medizinischen Berichten diverse erhebliche Verletzungen an Köpfen und Oberkörpern erlitten haben. Er legt nicht nachvollziehbar dar, inwiefern es geradezu unhaltbar sei, wenn die Vorinstanz gestützt darauf zum vorläufigen Schluss gelangt, dass die Täterschaft mit stumpfer Gewalt (mutmasslich mit Holzstöcken oder anderen Schlagwerkzeugen) auf die Geschädigten eingewirkt habe. Sachlich vertretbar erscheint auch, dass das Obergericht im angefochtenen Haftprüfungsentscheid von mehreren die Tatherrschaft ausübenden Personen ausgeht, darunter der Beschwerdeführer. Die Vorinstanz verweist diesbezüglich insbesondere auf Beweisaussagen verschiedener Geschädigter und zweier Mitbeschuldigter sowie auf die eigenen Aussagen des Beschwerdeführers. Er bestreitet nicht, dass er der Gruppe von drei Beschuldigten angehörte, die im Tatzeitpunkt in der Wohnung der Geschädigten intervenierte. Auch räumte er in seinen Einvernahmen ein, dass er einen Teil der Auseinandersetzungen jedenfalls mitverfolgt und sich erst einige Minuten nach Beginn der "Schlägerei" wieder entfernt habe. Gemäss dem Spurensicherungsbericht vom 31. März 2021 des Kriminaltechnischen Dienstes der Kriminalpolizei Aargau fanden sich zudem diverse Blutspuren an der Innen- und Aussenseite, im Fersenbereich und an der Sohle des rechten Turnschuhs des Beschwerdeführers, sowie an der Innenseite seines linken Turnschuhs.
Inwiefern die Erwägung des Obergerichtes willkürlich sein sollte, wonach einer der Geschädigten beim Eintreffen der drei Beschuldigten in seinem Bett gelegen habe und von ihnen durch ihr "harsches Eindringen" in seine Wohnung provoziert worden sei, wird vom Beschwerdeführer nicht dargelegt.
2.5. Weiter wendet der Beschwerdeführer gegen die Annahme eines dringenden Tatverdachtes von mehrfacher versuchter schwerer Körperverletzung (Art. 122 i.V.m. <ref-law>), mehrfacher qualifizierter einfacher Körperverletzung (<ref-law>) und Angriffs (<ref-law>) Folgendes ein: Seit den untersuchten Vorgängen seien ca. vier Monate vergangen, ohne dass sich der Anfangsverdacht erhärtet hätte. Zudem stütze sich das Obergericht nur auf Aussagen von Geschädigten. Belastende Sachbeweise wie DNA-Spuren oder Fingerabdrücke lägen nicht vor. Ein Zeuge habe die Sachdarstellung der Beschuldigten gestützt. Die Geschädigten hätten sich bei ihren belastenden Aussagen hingegen in Widersprüche verstrickt.
Auch diese Vorbringen lassen die Annahme des dringenden Tatverdachtes von Verbrechen oder Vergehen nicht als bundesrechtswidrig erscheinen:
Die Untersuchung befindet sich noch im Anfangsstadium, zumal die inkriminierten Straftaten erst vier Monate zurückliegen. Der Beschwerdeführer legt nicht nachvollziehbar dar, weshalb sich die von der Vorinstanz dargelegten konkreten und erheblichen Verdachtsgründe schon zu Beginn der Untersuchung noch zusätzlich "erhärtet" haben müssten. Diese grundsätzliche Voraussetzung gilt nach der oben (E. 2.1) dargelegten bundesgerichtlichen Praxis für fortgeschrittene Verfahrensstadien und sie entfiele zudem, wie der Beschwerdeführer - insofern zutreffend - selber erwähnt, wenn bereits zu Beginn der Untersuchung ausreichend konkrete Anhaltspunkte für einen dringenden Tatverdacht bestehen, die in der Folge nicht mehr entkräftet werden.
Von Bundesrechts wegen ist auch nichts dagegen einzuwenden, dass die Vorinstanz ihre vorläufige Beweiswürdigung unter anderem auf Aussagen von mehreren mutmasslich geschädigten Personen stützt. Die betreffende Argumentation des Beschwerdeführers vermag im Übrigen nicht zu überzeugen: Einerseits beanstandet er, dass "keine Sachbeweise wie DNA oder Fingerabdrücke" vorlägen. Andererseits räumt er ein, dass er "nie bestritten" habe, "am Tatort gewesen zu sein", und dass die Fotografie eines "Kleinst-Blutfleckens auf seinen Schuhen" bei den Akten liege.
Über das Dargelegte hinaus setzt sich der Beschwerdeführer mit der ausführlichen vorläufigen Würdigung der bisherigen Beweisergebnisse durch die Vorinstanz und mit deren Erwägungen zum dringenden Tatverdacht nicht substanziiert auseinander. Die betreffenden Ausführungen des Obergerichtes (angefochtener Entscheid, S. 4-12, E. 3) sind sachlich nachvollziehbar und lassen - im Sinne der oben (E. 2.1) zusammengefassten Rechtsprechung - keine Verletzung von Bundesrecht erkennen. Da im Haftprüfungsverfahren zur Beurteilung des dringenden Tatverdachtes noch keine abschliessende und detaillierte Beweiswürdigung vorzunehmen ist, musste sich die Vorinstanz mit dem pauschalen Vorbringen des Beschwerdeführers, die Geschädigten hätten widersprüchlich ausgesagt, nicht noch zusätzlich näher befassen. Die abschliessende Beweiswürdigung bleibt der Strafjustizbehörde vorbehalten, welche den Endentscheid zu fällen haben wird.
3.
Weiter bestreitet der Beschwerdeführer den besonderen Haftgrund der Fluchtgefahr. Die Verletzungen der Geschädigten seien "zwischenzeitlich verheilt" und führten zu keinen bleibenden Schäden. Er rechne daher, wenn überhaupt, nur mit einer Verurteilung wegen einfacher Körperverletzungen oder Raufhandels. Diese Delikte seien keine Katalogtaten nach <ref-law>, die allenfalls eine Landesverweisung nach sich ziehen könnten. Ausserdem sei er nicht vorbestraft und könne im Falle einer Verurteilung mit einem bedingten Strafvollzug rechnen. Gegen eine Flucht spreche auch, dass er vor seiner Festnahme einer Erwerbstätigkeit nachgegangen sei. Ihm Fluchtneigung zu unterstellen, nur weil er ausländischer Staatsbürger sei und sich noch nicht lange in der Schweiz aufgehalten habe, sei willkürlich. Das Argument, mit der Untersuchungshaft könne auch der Vollzug einer allfälligen Landesverweisung gesichert werden, bezeichnet er als "zynisch".
3.1. Die Annahme von Fluchtgefahr als besonderer Haftgrund setzt ernsthafte Anhaltspunkte dafür voraus, dass die beschuldigte Person sich dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion durch Flucht entziehen könnte (<ref-law>). Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichtes darf die Schwere der drohenden Sanktion zwar als ein Indiz für Fluchtgefahr gewertet werden. Sie genügt jedoch für sich allein nicht, um einen Haftgrund zu bejahen. Vielmehr müssen die konkreten Umstände des betreffenden Falles, insbesondere die gesamten Lebensverhältnisse der beschuldigten Person, in Betracht gezogen werden (<ref-ruling> E. 2.2 S. 507; <ref-ruling> E. 4.3 S. 167; <ref-ruling> E. 3a S. 62; je mit Hinweisen). So ist es zulässig, ihre familiären und sozialen Bindungen, ihre berufliche Situation und Schulden sowie Kontakte ins Ausland und Ähnliches mitzuberücksichtigen. Auch bei einer befürchteten Ausreise in ein Land, das die beschuldigte Person grundsätzlich an die Schweiz ausliefern bzw. stellvertretend verfolgen könnte, fiele die Annahme von Fluchtgefahr nicht dahin (<ref-ruling> E. 2.2 S. 507; <ref-ruling> E. 3d S. 36 f.; 268 E. 2e S. 271-273). Als ein mögliches Fluchtindiz kann insbesondere der ernsthaft drohende mehrjährige Verlust des Aufenthaltsrechts in Frage kommen (vgl. Urteile 1B_183/2020 vom 5. Mai 2020 E. 2.5-2.6; 1B_358/2019 vom 5. August 2019 E. 3.4.3).
Strafprozessuale Haft darf nur als "ultima ratio" angeordnet oder aufrechterhalten werden. Wo sie durch weniger einschneidende Massnahmen ersetzt werden kann, muss von ihrer Anordnung oder Fortdauer abgesehen und an ihrer Stelle eine solche Ersatzmassnahme verfügt werden (Art. 212 Abs. 2 lit. c i.V.m. Art. 237 f. StPO; vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 509 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 370; <ref-ruling> E. 2.2 S. 78).
3.2. Die Vorinstanz erwägt zum besonderen Haftgrund der Fluchtgefahr Folgendes:
Der Beschwerdeführer sei rumänischer Staatsangehöriger und verfüge in der Schweiz über eine Aufenthaltsbewilligung B. Zwar habe er vor seiner Verhaftung als "Chauffeur/Lieferant" gearbeitet, für einen Monatslohn von Fr. 3'300.--. Nach eigenen Aussagen habe er sich jedoch vor der Festnahme erst seit drei Wochen in der Schweiz aufgehalten. Als einzige in der Schweiz wohnhafte und ihm bekannte Person habe er einen mitbeschuldigten rumänischen Landsmann genannt, der ihm die Stelle vermittelt habe. Alle seine Angehörigen lebten demgegenüber in Rumänien oder Österreich, darunter seine Eltern, seine Lebensgefährtin und seine drei Kinder. Daraus ergebe sich, dass der Beschwerdeführer sich vor der Verhaftung lediglich aus Erwerbsgründen und erst seit kurzer Zeit in der Schweiz aufgehalten habe. Ein sonstiger Bezug zur Schweiz sei bei ihm nicht feststellbar. Zwar könne vom Umstand, dass er hier gearbeitet habe und nach eigenen Angaben weiterarbeiten wolle, "eine gewisse fluchthemmende Wirkung" ausgehen. Im Falle einer Verurteilung wegen mehrfacher versuchter schwerer Körperverletzung drohe ihm jedoch, nebst einer empfindlichen Freiheitsstrafe, auch eine mehrjährige Landesverweisung. Im Falle einer Haftentlassung sei daher ernsthaft zu befürchten, dass er sich nach Rumänien oder Österreich (zu seiner Kernfamilie) absetzen könnte, um sich den drohenden Folgen des Strafverfahrens zu entziehen.
3.3. Was der Beschwerdeführer dagegen einwendet, vermag diese konkreten und erheblichen Fluchtindizien nicht zu entkräften. Wie bereits dargelegt, besteht bei ihm der dringende Tatverdacht einer Mittäterschaft bzw. Teilnahme an mehrfacher versuchter schwerer Körperverletzung und an einem Angriff. Der Täterschaft wird unter anderem vorgeworfen, verschiedenen Geschädigten mit einem gefährlichen Gegenstand massive Schläge gegen den Kopf versetzt zu haben (vgl. oben, E. 2.4-2.5). Dass die Vorinstanz davon ausgeht, der Beschwerdeführer müsse im Falle einer entsprechenden Verurteilung mit einer Landesverweisung ernsthaft rechnen, hält vor dem Bundesrecht stand (vgl. Art. 66a Abs. 1 lit. b i.V.m. Art. 122 und <ref-law>; zum Versuch als Katalogtat s.a. <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 171). Als weitere konkrete Fluchtindizien durfte die Vorinstanz - neben den ihm im Falle einer Verurteilung drohenden empfindlichen Sanktionen - insbesondere mitberücksichtigen, dass der Beschwerdeführer rumänischer Staatsangehöriger ist, alle seine Angehörigen in Rumänien oder Österreich wohnen, und er sich vor seiner Verhaftung erst seit wenigen Wochen in der Schweiz aufhielt.
Es kann offen bleiben, ob neben Fluchtgefahr auch noch zusätzlich der besondere Haftgrund der Kollusionsgefahr (<ref-law>) zu bejahen wäre.
3.4. Nach der einschlägigen Praxis des Bundesgerichtes vermag eine blosse Pass- und Schriftensperre oder die Verpflichtung, sich regelmässig bei der Polizei zu melden, eine erhebliche Fluchtgefahr in der Regel nicht ausreichend zu bannen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2-3.3 S. 510-512 mit Hinweisen; s.a. Urteile 1B_55/2020 vom 21. Februar 2020 E. 2.3; 1B_443/2016 vom 12. Dezember 2016 E. 2.3; 1B_178/ 2016 vom 7. Juni 2016 E. 3.3). Die Vorinstanz und die Staatsanwaltschaft sehen im aktuellen Untersuchungsstadium keine Möglichkeit, der oben dargelegten deutlichen Fluchtneigung mit blossen Ersatzmassnahmen für Untersuchungshaft bereits wirksam zu begegnen (vgl. angefochtener Entscheid, S. 15 f. E. 6). In der Beschwerdeschrift werden diesbezüglich keine Einwände erhoben.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Da die gesetzlichen Voraussetzungen beim amtlich verteidigten und seit ca. vier Monaten in Untersuchungshaft befindlichen Beschuldigten erfüllt sind (und auch seine finanzielle Bedürftigkeit ausreichend dargetan wird), kann dem Gesuch stattgegeben werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt:
2.1. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2. Rechtsanwältin Marianne Wehrli wird als unentgeltliche Rechtsvertreterin ernannt, und es wird ihr für das bundesgerichtliche Verfahren ein Honorar von Fr. 1'500.-- (pauschal, inkl. MWST) aus der Bundesgerichtskasse entrichtet.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juni 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Forster