Sachverhalt:
A.
A.a. A._ ist der Sohn des 2013 verstorbenen C._, und B._ war bis zu dessen Ableben seine langjährige Partnerin. Ende 2006 übergab C._ sel. seinem Sohn Fr. 2'216'000.--. Im Gegenzug verpflichtete sich dieser, seinem Vater jährlich Fr. 80'000.-- zu überweisen. Am 30. Oktober 2008 verfasste C._ sel. ein an B._ gerichtetes Schreiben. Er teilte ihr mit, nach seinem Tod werde sein Sohn auf dessen eigenen Namen ein Konto eröffnen und Fr. 220'000.-- in Form von Wertschriften und Bargeld überweisen. Davon werde er ihr monatlich Fr. 1'000.-- (oder den Gegenwert in Euro) auszahlen, bis das Kapital und die Zinsen aufgebraucht seien. Ausserdem erklärte C._ sel., dass sich das auf das nach seinem Tod neu zu eröffnende Konto einzuzahlende Kapital proportional verringere, falls vom im Jahr 2006 übergebenen Betrag nach Abzug der an C._ überwiesenen Beträge sowie von Steuern und Legaten weniger als Fr. 1'101'000.-- übrig seien, und dass sich die monatlich auszuzahlenden Beträge gleichermassen proportional reduzieren würden. A._ und seine Ehefrau haben das Schreiben vom 30. Oktober 2008 mitunterzeichnet, und zwar mit folgender Erklärung:
"A._ und D._ erklären sich mit obigem Brief in allen Teilen ein verstanden und verpflichten sich für sich und ihre Nachkommen, B._ obige Leistungen zu erbringen."
A.b. Nach dem Tod von C._ bestritt A._, B._ aus dem Schreiben vom 30. Oktober 2008 etwas zu schulden.
A.c. Am 11. Mai 2016 klagte B._ beim Bezirksgericht Rheinfelden. Sie beantragte, A._ sei zu verurteilen, ihr Fr. 29'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 15. Juni 2014 zu bezahlen, und er sei zu verpflichten, innert einer vom Gericht zu bestimmenden Frist den Vermögensstand der lebzeitigen Zuwendung des Erblassers im Zeitpunkt des Ablebens offenzulegen und durch entsprechende Unterlagen zu belegen. Schliesslich behielt sie sich Mehrforderungen ausdrücklich vor.
A.c.a. In der Folge beschränkte das Bezirksgericht das Verfahren auf die Frage, ob A._ die verlangten Informationen offenlegen muss. Vorfrageweise kam es zum Schluss, dass das Schreiben von C._ vom 30. Oktober 2008 als Auflage zur Schenkung und damit als formgültiges Rechtsgeschäft unter Lebenden zu qualifizieren sei. Gestützt darauf bejahte es die Auskunftspflicht mit Entscheid vom 21. März 2018 und setzte A._ eine einmalige Frist von 20 Tagen an.
A.c.b. Gegen diesen Entscheid erhob A._ Berufung beim Obergericht des Kantons Aargau, welches das Rechtsmittel abwies (Entscheid vom 19. Dezember 2018). Dabei ist auch das Obergericht von der Formgültigkeit des Rechtsgeschäfts vom 30. Oktober 2008 ausgegangen.
A.c.c. Auf die dagegen gerichtete Beschwerde trat das Bundesgericht nicht ein (Urteil 5A_126/2019 vom 3. September 2019).
A.c.d. In der Folge verweigerte A._ die Auskunftserteilung und zwar mit der Begründung, er habe nicht geltend gemacht, dass sich das Kapital respektive der Vermögensstand von C._ im Todeszeitpunkt in für das vorliegende Verfahren relevanter Weise verändert habe. Ausserdem hat er für das weitere Verfahren auf eine entsprechende Einrede verzichtet.
A.d. Mit Entscheid vom 21. Oktober 2020 verpflichtete das Bezirksgericht A._ in Gutheissung der Klage, B._ Fr. 29'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 15. Juni 2014 zu bezahlen.
A.e. B._ verstarb 2021.
B.
B.a. Gegen diesen Entscheid erhob A._ am 10. März 2021, nachdem er ihm am 12. Februar 2021 in begründeter Form zugestellt worden war, Berufung beim Obergericht.
B.b. Mit Eingabe vom 10. Mai 2021 erklärte der Alleinerbe von B._, E._, dass er in das hängige Verfahren eintrete.
B.c. Das Obergericht wies das Rechtsmittel mit Entscheid vom 21. September 2021 ab.
C.
C.a. A._ wendet sich mit Beschwerde in Zivilsachen vom 26. Oktober 2021 an das Bundesgericht. Er beantragt, die Klage vom 11. Mai 2016 sei abzuweisen.
C.b. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung wies der Präsident der urteilenden Abteilung ab, ohne zuvor Stellungnahmen eingeholt zu haben (Verfügung vom 27. Oktober 2021).
C.c. Im Übrigen hat das Bundesgericht die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein von einer letzten kantonalen Instanz auf Rechtsmittel hin ergangener Endentscheid über eine Zivilsache (Art. 72, Art. 75 und Art. 90 BGG).
1.2. Die Höhe des Streitwerts ist umstritten. Das Obergericht beziffert diesen mit Fr. 29'000.-- und der Beschwerdeführer behauptet einen solchen von Fr. 89'000.--. Bei Beschwerden gegen Endentscheide bestimmt sich der Streitwert "nach den Begehren, die vor der Vorinstanz streitig geblieben waren" (Art. 51 Abs. 1 Bst. a BGG). Vor Obergericht war nur noch der Forderungsbetrag von Fr. 29'000.-- streitig. Das Auskunftsbegehren war, nachdem der Beschwerdeführer auf diesbezügliche Einwendungen verzichtet hatte, bereits vor Bezirksgericht nicht mehr streitig, so dass der darauf entfallende Streitwert im vorliegenden Verfahren unberücksichtigt bleibt. Ebenso wenig kann der Beschwerdeführer aus dem Umstand, dass es letztlich um insgesamt 96 monatliche Teilzahlungen zu Fr. 1'000.-- gehen könnte, etwas für sich ableiten; eingeklagt waren und blieben 29 Teilzahlungen zu Fr. 1'000.--. Damit erreicht der für die Beschwerde in Zivilsachen erforderliche Streitwert den gesetzlichen Mindestbetrag von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG) nicht. Die Beschwerde in Zivilsachen ist daher nur zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 Bst. a BGG), was der Beschwerdeführer aber nicht behauptet. Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist daher nicht einzutreten.
1.3. Folglich ist die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) entgegenzunehmen. Der angefochtene Entscheid betrifft den Beschwerdeführer in seinen rechtlich geschützten Interessen (<ref-law>) und dieser hat die Beschwerde rechtzeitig erhoben (Art. 117 i.V.m. <ref-law>).
2.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Der Beschwerdeführer muss in seiner Eingabe präzise angeben, welche verfassungsmässigen Rechte verletzt worden sind, und im Einzelnen substanziiert darlegen, worin die Verletzung besteht. Eine Überprüfung von Amtes wegen, wie sie dem Bundesgericht hinsichtlich des Gesetzes- und Verordnungsrechts des Bundes zusteht (<ref-law>), findet nicht statt. Das Bundesgericht untersucht deshalb nicht von sich aus, ob der angefochtene kantonale Entscheid verfassungsmässig ist. Es prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 3.2; Urteile 5D_91/2020 vom 7. September 2020 E. 2; 5D_163/2019 vom 24. Februar 2020 E. 2; je mit Hinweisen). In tatsächlicher Hinsicht legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Auch diesbezüglich kann das Bundesgericht nur dann korrigierend eingreifen, wenn der Beschwerdeführer eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte dartut (<ref-law>).
Wer sich auf eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) berufen will, kann sich demnach nicht darauf beschränken, die Sach- oder Rechtslage aus seiner Sicht darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Vielmehr ist anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 4b; je mit Hinweis). Willkür liegt zudem nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheids, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 6.1; <ref-ruling> E. 3.4; <ref-ruling> E. 5.4; je mit Hinweisen). Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, begründet keine Willkür (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 2.4; je mit Hinweisen).
3.
Anlass zur Beschwerde gibt die vorfrageweise Feststellung, dass mit dem Schreiben vom 30. Oktober 2008 ein formgültiges Rechtsgeschäft unter Lebenden vorliegt.
3.1. Das Kriterium für die Unterscheidung zwischen einer Verfügung von Todes wegen und einem Rechtsgeschäft unter Lebenden ist der Zeitpunkt, in welchem das Rechtsgeschäft seine Wirkungen entfalten soll. Die Abgrenzung besteht darin, dass Rechtsgeschäfte unter Lebenden schon vor dem Tod des Verpflichteten rechtliche Bindungen begründen, während bei den Verfügungen von Todes wegen die Verpflichtungen grundsätzlich erst mit dem Tod des Erblassers entstehen (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweis). Es geht letztlich darum zu beurteilen, ob das Geschäft das Vermögen des Verpflichteten (zu dessen Lebzeiten) oder erst den Nachlass belastet (Urteil 4A_575/2009 vom 11. Februar 2010 E. 2.2). Schliesslich ist nach dem Grundsatz des favor negotiieher ein gültiges Rechtsgeschäft unter Lebenden als ein ungültiges Rechtsgeschäft von Todes wegen anzunehmen, wenn die Parteien die Formvorschriften nicht beachten und beide Arten von Rechtsgeschäften möglich sind (<ref-ruling> E. 3f in fine mit Hinweis).
3.2. Das Obergericht ist von der hiervor zusammengefassten Rechtsprechung ausgegangen und stellte fest, C._ sel. habe dem Beschwerdeführer Ende des Jahres 2006 Fr. 2'216'000.-- als Schenkung sowie zum Rentenkauf übertragen. Es handle sich um eine lebzeitig vollzogene Vermögensübertragung des späteren Erblassers auf seinen präsumptiven gesetzlichen Erben. Durch die Übertragung des Vermögens an den Beschwerdeführer habe C._ sel. seine Verfügungsmacht darüber vollumfänglich aufgegeben und der Beschwerdeführer sei aufgrund der dadurch erworbenen Eigentümerstellung befugt gewesen, über die übertragenen Vermögenswerte in den Schranken der Rechtsordnung nach Belieben zu verfügen. Dieser Vorgang stelle eine gewöhnliche Zuwendung unter Lebenden dar. Von der Verfügungsmacht erfasst sei selbstredend auch die Eingehung einer Zahlungsverpflichtung zugunsten einer beliebigen Person, wie sie vorliegend durch Unterzeichnung des Schreibens vom 30. Oktober 2008 erfolgt sei. Die fragliche Zahlungsverpflichtung habe das Vermögen des Beschwerdeführers und nicht den Nachlass dessen verstorbenen Vaters belastet. Sodann habe sich der Beschwerdeführer seinem Vater gegenüber bereits zu dessen Lebzeiten zur Vornahme der Zahlungen bindend verpflichtet. Lediglich der Fälligkeitstermin sei auf den Todeszeitpunkt des Vaters gestellt worden. Aus diesen Umständen folge, dass nach dem Willen des Verstorbenen die Wirkungen des fraglichen Rechtsgeschäfts bereits zu Lebzeiten des Verstorbenen und nicht erst nach dessen Ableben eintreten sollten. Schliesslich könne die Begünstigung der Klägerin durch die Zahlungen des Beschwerdeführers nicht als Schenkung auf den Todesfall qualifiziert werden, weil der Verstorbene im Zeitpunkt seines Todes kein Verfügungsrecht mehr über das fragliche Vermögen gehabt habe.
3.3.
3.3.1. Der Beschwerdeführer wendet ein, bei den streitgegenständlichen Vorgängen handle es sich um eine Schenkung, deren Vollziehbarkeit auf den Tod des Schenkers gestellt sei und daher zwingend unter den Vorschriften über die Verfügung von Todes wegen stehe. C._ sel. habe ihn, den Beschwerdeführer, verpflichtet, nach dessen Tod bestimmte Vermögensverfügungen vorzunehmen. Ausserdem sollte das Konto "B._" im Maximalbetrag von Fr. 220'000.-- erst nach dem Tod von C._ sel. errichtet werden. Ferner sollten die Auszahlungen erst nach dem Tod von C._ sel. erfolgen. Schliesslich sollte das Schreiben vom 30. Oktober 2008 B._ erst nach dem Tod von C._ sel. übergeben werden. Diese Ausführungen sind indes nur dann relevant, wenn sich die Auffassung des Obergerichts, wonach sich der Beschwerdeführer seinem Vater gegenüber bereits zu dessen Lebzeiten zur Vornahme der Zahlungen bindend verpflichtet hat, als willkürlich herausstellen sollte, was sogleich zu prüfen ist.
3.3.2. Der Beschwerdeführer beanstandet denn auch die Annahme des Obergerichts, er sei eine eigene Zahlungsverpflichtung eingegangen, die er formfrei habe eingehen können. Dies erachtet er als "falsche Rechtsauffassung". Wie ausgeführt, genügt es im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde nicht, zu behaupten, eine Rechtsauffassung sei falsch bzw. bundesrechtswidrig; vielmehr wäre eine Verfassungswidrigkeit darzutun (E. 2). Derartiges macht der Beschwerdeführer indes nicht geltend. Soweit er in der Feststellung des Obergerichts, wonach die fragliche Zahlungsverpflichtung sein Vermögen und nicht den Nachlass des verstorbenen Vaters belaste und lediglich der Fälligkeitstermin der Zahlungsverpflichtung auf den Todeszeitpunkt des Vaters gestellt sei, willkürliche Beweiswürdigung erblickt, belässt er es bei der blossen Behauptung von Willkür, ohne seine Rüge zu substanziieren, was ebenfalls nicht ausreicht (E. 2). Sodann erhebt der Beschwerdeführer keine eigentliche Rüge der Willkür in der Rechtsanwendung, sodass er gegen die vom Obergericht auf der Basis des willkürfrei festgestellten Sachverhalts gezogenen rechtlichen Schlüsse nichts auszurichten vermag. Der Einwand, die Erwägungen des Obergerichts, mit welchen es eine rechtsmissbräuchliche Umgehung der erbrechtlichen Formvorschriften verneint, seien "bundesrechtswidrig", ist so formuliert von vornherein unzulässig (E. 2), so dass darauf nicht einzutreten ist.
4.
Aus den dargelegten Gründen erweist sich die Beschwerde als unbegründet, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet, zumal keine Vernehmlassungen eingeholt wurden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 2. Kammer, mitgeteilt.
Lausanne, 26. April 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Gutzwiller