Fatti:
A.
A.a. A._, nato nel 1962, attivo come agente di polizia e assicurato presso Vaudoise Generale Compagnia di Assicurazioni SA (di seguito: la Vodese) nel 1997 ha subito un incidente automobilistico. Quell'evento non è stato ritenuto in nesso causale con i disturbi psichici lamentati dall'assicurato.
A.b. Il 13 marzo 1998 A._ è rimasto vittima di un altro infortunio. Secondo le sue dichiarazioni mentre stava tagliando della legna, per motivi a lui sconosciuti, la motosega è rimbalzata all'indietro, ferendolo in modo grave al viso. La Vodese ha assunto il caso e la cura medica. Dopo l'infortunio, l'assicurato è stato sottoposto nel corso degli anni a 13 operazioni per le conseguenze fisiche alla mascella, all'occhio e al naso.
Il Dr. med. B._, incaricato dall'assicuratore, nel referto del 2 giugno 2000 ha accertato che A._ soffriva di una sindrome da stress post-traumatico in relazione con l'evento del 13 marzo 1998. Anche le problematiche alimentari erano connesse. Il perito ha ribadito che senza l'infortunio non ci sarebbero stati questi problemi.
La Vodese ha attribuito all'assicurato una rendita di invalidità del 25% dal 1° dicembre 2001 al 30 ottobre 2010 e un'indennità per menomazione dell'integrità (IMI) del 30% per lesioni oculari subite. Mediante comunicazione del 26 ottobre 2010 la Vodese ha sospeso il versamento della rendita dal 1° novembre 2010, dato che A._ aveva ripreso completamente la sua attività. La Vodese ha comunque assunto anche successivamente spese per cure mediche.
A.c. Il 10 maggio 2012 la Dr. med. C._ ha attestato ancora disturbi alimentari e dell'impossibilità per A._ di trovare una stabilità nella vita. Interpellata dall'assicuratore, la psicologa D._ il 15 dicembre 2017 ha confermato la sindrome post-traumatica da stress, la presenza di disturbi alimentari e che la gravità dell'incidente e gli innumerevoli interventi chirurgici condizionano inequivocabilmente la vita di A._.
Il Dr. med E._ il 22 ottobre 2018 ha attestato una totale inabilità al lavoro dal 18 ottobre 2018 quale conseguenze dell'infortunio e il Dr. med. F._ il 4 dicembre 2018 ha confermato un'inabilità lavorativa del 100% per un periodo indeterminato.
Raccolta una perizia dal Dr. med. G._, con decisione del 26 aprile 2019, confermata su opposizione il 23 settembre 2019, la Vodese ha concluso che non esisteva un nesso di causalità tra l'infortunio del 13 marzo 1998 e i disturbi alla salute psichica.
B.
Con giudizio del 6 luglio 2020 il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino ha accolto il ricorso di A._, ha annullato la decisione su opposizione della Vodese e ha accertato che i disturbi psichici e la conseguente inabilità lavorativa, costituivano una conseguenza naturale e adeguata dell'infortunio assicurato. La Corte cantonale ha fondato la sua decisione sulle conclusioni del Dr. med. F._, scartando la perizia del Dr. med. G._. Il Tribunale cantonale delle assicurazioni ha poi rinviato la causa all'assicuratore per nuova decisione sul diritto alle prestazioni dal profilo materiale e temporale.
C.
La Vodese presenta un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, chiedendo in via principale che il giudizio cantonale sia annullato e la decisione su opposizione confermata. Subordinatamente propone di rinviare la causa al Tribunale cantonale delle assicurazioni perché sia ordinata una perizia giudiziaria.
Chiamati a pronunciarsi, A._ propone la reiezione del ricorso, mentre la Corte cantonale rinuncia a presentare osservazioni.

Diritto:
1.
1.1. Il giudizio impugnato non pone fine al procedimento siccome ha rinviato la causa all'assicuratore per esaminare le condizioni materiali e temporali del diritto alle prestazioni. Il Tribunale cantonale delle assicurazioni ha però accertato il nesso causale sui problemi psichici. Quando da una decisione incidentale l'autorità amministrativa potrebbe essere obbligata a emettere un nuovo provvedimento ritenuto da lei contrario al diritto, può essere ammesso un danno irreparabile secondo l'<ref-law> se la decisione incidentale dell'autorità di ricorso contiene aspetti vincolanti materiali (<ref-ruling> consid. 1.2 pag. 29; <ref-ruling> consid. 1.3.1 pag. 318). Tale eventualità è proprio realizzata nella fattispecie, poiché l'assicuratore non può più ritornare in sede di rinvio sul nesso di causalità dei disturbi psichici.
1.2. Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto, conformemente a quanto stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. L'accertamento dei fatti può venir censurato solo se è stato svolto in modo manifestamente inesatto o in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> e se l'eliminazione del vizio può essere determinante per l'esito del procedimento (art. 97 cpv. 1 e 105 cpv. 1 e 2 LTF). Se, tuttavia, il ricorso è presentato contro una decisione d'assegnazione o rifiuto di prestazioni pecuniarie dell'assicurazione militare o dell'assicurazione contro gli infortuni, può essere censurato qualsiasi accertamento inesatto o incompleto dei fatti giuridicamente rilevanti (<ref-law>); il Tribunale federale in tal caso non è vincolato dall'accertamento dei fatti operato dall'autorità inferiore (<ref-law>).
1.3. Benché in queste controversie il Tribunale federale abbia un pieno potere d'esame nell'accertamento dei fatti, non è comunque possibile allegare liberamente nuove prove (<ref-law>; <ref-ruling>). Secondo tale disposizione possono essere addotti dinanzi al Tribunale federale nuovi fatti e nuovi mezzi di prova soltanto se ne dà motivo la decisione dell'autorità inferiore. Se tale eventualità sia realizzata, deve essere esposta nel ricorso (cfr. <ref-law>). Per nuovi fatti si intendono nova in senso improprio, ossia prove che nella procedura precedente si sarebbero già dovute addurre, senza che sia stato il caso. Nova in senso proprio, ossia prove che sono emerse soltanto nel momento in cui dinanzi all'autorità precedente non era più possibile addurre nuovi fatti o mezzi di prova, in concreto successivamente all'emanazione del giudizio cantonale, sono per contro irrilevanti dinanzi al Tribunale federale (<ref-ruling> E. 1.2 pag. 22 seg.; <ref-ruling> consid. 3.2.2.2 pag. 548; <ref-ruling> consid. 3.1.2 pag. 123). La valutazione del Dr. med. H._ e del Dr. med. G._ del 20 agosto 2020, successiva all'emanazione del giudizio impugnato, non può pertanto essere considerata.
2.
Oggetto del contendere è sapere se il Tribunale cantonale delle assicurazioni abbia violato il diritto federale nell'accertare il nesso causale tra i disturbi psichici lamentati dall'opponente e l'evento del 13 marzo 1998.
3.
3.1. Il Tribunale cantonale delle assicurazioni ha esposto lo svolgimento del processo e illustrato la prassi in ambito di causalità naturale e adeguata in presenza di disturbi psichici. Riferendosi ad alcuni precedenti, la Corte cantonale ha implicitamente concluso che l'infortunio subito dall'assicurato sia da ritenere di grado grave. La Corte cantonale ha fatto riferimento per prima cosa alla perizia del Dr. med. G._ del 18 gennaio 2019. Essa ha in seguito citato la lettera del 14 marzo 2019 della Vodese allo stesso medico e la reazione di quest'ultimo del 18 marzo 2019, il quale ha ritenuto il nesso di causalità solo possibile e non probabile. I giudici ticinesi hanno evocato anche l'intervento in sede di opposizione del Dr. med. F._, psichiatra e medico curante dell'assicurato, a cui è seguita la risposta del Dr. med. G._ del 18 agosto 2019. Il Tribunale cantonale delle assicurazioni ha esposto anche la valutazione del Dr. med. F._ del 12 ottobre 2019.
Richiamati i parametri stabiliti dalla giurisprudenza per l'esame di rapporti medici, la Corte cantonale ha ritenuto che il Dr. med. G._ sia da considerare un perito amministrativo secondo l'<ref-law>. Tuttavia, essa ha concluso che esistevano indizi concreti per scostarsi dalle conclusioni del perito, ritenendo più convincenti quelle formulate dal medico curante specialista, che seguiva il paziente da moltissimi anni. Del resto, già i medici fiduciari della Vodese, ossia il Dr. med. B._ nel 2000 e il Dr. med. I._ nel 2012, avevano rilevato una sindrome post-traumatica da stress. Sul posto di lavoro l'assicurato avrebbe dimostrato un'indubbia fragilità psichica permanente. La perizia era basata su un'anamnesi incompleta. Inoltre, le considerazioni dell'esperto amministrativo erano tutt'altro che lineari su taluni aspetti. Conseguentemente la Corte cantonale ha fatto proprie le conclusioni del medico curante e accertato il nesso di causalità fra le turbe psichiche e l'evento del 13 marzo 1998.
3.2. La Vodese rimprovera al Tribunale cantonale delle assicurazioni di non avere spiegato quali siano gli indizi concreti che mettono in dubbio l'affidabilità delle conclusioni del perito amministrativo del Dr. med. G._. L'assicuratore ritiene che non corrisponde al vero la circostanza che il perito avrebbe reso il suo referto su un'anamnesi incompleta, avendo lo specialista studiato in maniera approfondita la questione dopo esami completi. Lamenta che il parere del Dr. med. F._ del 12 ottobre 2019, il quale rinvia a una perizia J._ non presente al fascicolo, non sia stato sottoposto al perito amministrativo. L'assicuratore sottolinea che il Dr. med. G._ ha descritto in maniera chiara il contesto medico, non ammettendo alcuna sindrome da stress post-traumatica. Rinvia ai pareri del Dr. med. B._. La Corte cantonale non avrebbe tenuto conto del cambiamento della personalità dell'opponente, né dei particolari legami con il Dr. med. F._ e della circostanza che questo specialista non avrebbe espresso la sua valutazione in piena conoscenza dell'anamnesi. Il Dr. med. F._ tenderebbe sempre ad esprimersi in favore dell'opponente. Non si può quindi concludere che le sue valutazioni siano ben motivate.
3.3. L'opponente sottolinea che i giudici cantonali hanno spiegato dettagliatamente perché si dovesse dare più peso ai referti del Dr. med. F._. L'opponente rileva che l'incidente del 1998 è chiaramente di grado grave. Egli mette in luce le contraddizioni del Dr. med. G._. Richiamate le condizioni per l'esame dei rapporti medici, l'assicurato ritiene che le considerazioni del Dr. med. G._ non siano concludenti e non possano essere seguite.
4.
4.1. Diversamente dai (semplici) rapporti medici interni all'assicuratore, ove è sufficiente un minimo dubbio sull'affidabilità e sulla concludenza degli stessi perché l'assicurato sia sottoposto a esame medico esterno, alle perizie esperite nell'ambito della procedura amministrativa (<ref-law>) o giudiziaria da medici specialisti esterni deve essere riconosciuta piena forza probante nell'ambito dell'accertamento dei fatti, nella misura in cui non si presentano indizi concreti sull'affidabilità della perizia stessa (<ref-ruling> consid. 4.4 pag. 470; <ref-ruling> consid. 3b/bb pag. 353). Tali perizie non possono essere messe in dubbio soltanto perché esse dovessero giungere a conclusioni diverse dai medici curanti. Rimangono riservati i casi in cui si dovesse imporre un complemento al fine di chiarire alcuni aspetti o direttamente una conclusione opposta, poiché i medici curanti lasciano emergere aspetti importanti e non solo un'interpretazione medica puramente soggettiva. A tal riguardo occorre ricordare la natura differente del mandato di cura e di perito (fra tante sentenze 8C_55/2018 del 30 maggio 2018 consid. 6.2 e 8C_820/2016 del 27 settembre 2017 consid. 5.3).
4.2. Il diritto a prestazioni dell'assicurazione contro gli infortuni presuppone innanzitutto l'esistenza di un nesso di causalità naturale fra l'evento infortunistico e il danno alla salute. Questo presupposto è da considerarsi adempiuto qualora sia lecito ammettere che, senza l'evento infortunistico, il danno alla salute non si sarebbe potuto verificare del tutto o comunque non nel modo in cui si è prodotto. Non occorre, viceversa, che l'infortunio sia stato la sola o immediata causa del danno alla salute; è sufficiente che l'evento, se del caso unitamente ad altri fattori, abbia comunque provocato un danno all'integrità corporale o psichica dell'assicurato, vale a dire che l'evento appaia come una condizione sine qua non del danno. Su tale aspetto amministrazione e giudice, fondandosi essenzialmente su indicazioni di natura medica, si determinano secondo il principio della probabilità preponderante applicabile generalmente nell'ambito dell'apprezzamento delle prove in materia di assicurazioni sociali. Ne discende che ove l'esistenza di un nesso di causalità tra infortunio e danno sembri possibile, ma essa non possa essere reputata probabile nella fattispecie, il diritto a prestazioni derivato dall'infortunio assicurato dev'essere negato (<ref-ruling> consid. 3.1 pag. 181, 402 consid. 4.3.1 pag. 406; <ref-ruling> consid. 1 pag. 337; <ref-ruling> consid. 1b pag. 289 e sentenze ivi citate; cfr. anche sentenza U 413/05 del 5 aprile 2007 consid. 4, pubblicata in SVR 2007 UV n. 28 pag. 94 sui danni alla salute che non si manifestano nel medesimo momento dell'infortunio).
4.3. Il perito amministrativo sembra innanzitutto misconoscere il concetto di causalità naturale. Egli sembra affermare che per essere dimostrata la causalità naturale sia necessario il grado di prova della certezza e non basti unicamente la verosimiglianza preponderante ("non ritengo assolutamente certo"; perizia del 18 gennaio 2019, pag. 10). L'esperto sembra poi considerare nella causalità naturale soltanto le conseguenze dirette dell'infortunio, ma non quelle indirette. Ciò si scontra con il concetto stesso di causalità appena esposto (consid. 4.2). Nel referto si indica ripetutamente che all'assicurato sarebbe stata diagnosticata una sindrome da stress post-traumatico. Il perito conclude che ora tale problema sarebbe scomparso, ma che insieme all'infortunio del 13 marzo 1998 avrebbe portato verosimilmente a "una modifica a livello di struttura di personalità" (perizia, pag. 6). La perizia a pag. 11 afferma di nuovo: "ritengo non sia possibile mettere con certezza l'attuale episodio depressivo direttamente in relazione con l'infortunio del 1998". È vero che successivamente lo specialista precisa la sua affermazione in relazione con la verosimiglianza preponderante. Tuttavia, egli sembra ancora dedurre che debba presentarsi una conseguenza diretta dell'evento, affinché la causalità naturale sia realizzata ("ritengo quindi che l'attuale quadro clinico non sia, con verosimiglianza preponderante, direttamente riferibile alle conseguenze"). In seguito alle critiche del Dr. med. F._, il perito ribadisce che l'infortunio non è una diretta conseguenza dei disturbi psichici. Tuttavia, per la causalità naturale una concausa (Teilursache) può essere sufficiente. Infatti, al riguardo è sufficiente che l'evento, unitamente ad altri fattori, abbia comunque provocato un danno all'integrità psichica. Il Dr. med. F._ indica peraltro che "dal profilo diagnostico, il paziente non presenta solo un episodio depressivo di media gravità, ma piuttosto un'evoluzione depressiva cronica recidivante e fluttuante, almeno di gravità medio-grave, con numerosi episodi che si sono manifestati negli ultimi 21 anni, che si sovrappone a una modificazione duratura post-traumatica della personalità che almeno in parte (25% al 50%) è responsabile dei disturbi e dalle limitazioni funzionali presentate dal paziente". Sotto questo profilo il ricorso dell'assicuratore è quindi infondato.
4.4. Si pongono dunque domande anche sulle concause e le conseguenze indirette. Poiché il Dr. med. F._ ha presentato indizi concreti atti a minare l'affidabilità della perizia amministrativa, il Tribunale cantonale delle assicurazioni avrebbe però dovuto esperire una perizia giudiziaria (sentenze 8C_246/2020 del 10 settembre 2020 consid. 3.3 e 8C_503/2019 del 19 dicembre 2019 consid. 2.2) e non fondarsi semplicemente sui pareri del medico curante. A maggior ragione se si pensa che lo stesso Dr. med. F._ non ha inteso espressamente assumere il ruolo di perito, ma nel certificato del 12 ottobre 2019 ha affermato che è indicato procedere a una perizia super partes, presso uno psichiatra super partes, ben specializzato a livello universitario nelle questioni psico-traumatologiche. In sede di rinvio la Corte cantonale potrà poi anche richiamare al fascicolo la valutazione dell'8 agosto 2019 eseguita per conto della compagnia assicurativa J._ dal Dr. med. K._, che l'assicuratore lamenta non essere stata annessa agli atti.
5.
5.1. Il Tribunale cantonale delle assicurazioni ha ammesso il carattere adeguato della causalità, visto che l'amministrazione l'avrebbe anche dato per implicitamente adempiuto ed ha corrisposto prestazioni per lungo tempo.
5.2. La causalità adeguata è una questione di diritto (<ref-ruling> consid. 2.3.1 pag. 81; 8C_847/2017 del 27 settembre 2018 consid. 2.3 con riferimenti). La Corte cantonale non poteva quindi dare la causalità semplicemente per scontata, siccome la controparte non ha evocato la questione. A maggior ragione se si pensa che per prassi invalsa l'accertamento della causalità naturale può rimanere aperto se dall'esame del carattere adeguato della causalità se ne deve concludere che non ci sia alcuna relazione tra l'infortunio e i disturbi psichici (<ref-ruling> consid. 5.1 pag. 472). Nell'ipotesi in cui dai nuovi accertamenti dovesse essere data la causalità naturale, in sede di rinvio i giudici cantonali dovranno quindi per lo meno succintamente stabilire in maniera esplicita il grado dell'infortunio e l'adempimento dei criteri sviluppati dalla giurisprudenza (<ref-ruling> consid. 6c/aa pag. 140, 403 consid. 5c/aa).
5.3. Inoltre, nella misura in cui l'assicurato pretende il versamento di una rendita, proprio per quanto attiene alle problematiche psichiche occorre sincerarsi che gli atti medici siano sufficienti per sottoporli a una procedura probatoria strutturata secondo la <ref-ruling> (cfr. <ref-ruling> consid. 5.2 pag. 581 seg. e <ref-ruling>). La perizia giudiziaria, nell'ipotesi in cui dovesse accertare la causalità naturale, dovrà contenere gli elementi necessari per procedere anche a una procedura probatoria strutturata (<ref-ruling> consid. 8 pag. 309; cfr. ancora sentenza 8C_585/2017 del 16 ottobre 2018 consid. 9.1).
6.
Ne discende che il ricorso deve essere parzialmente accolto, il giudizio cantonale deve essere annullato e la causa deve essere rinviata al Tribunale cantonale delle assicurazioni per nuovo giudizio (<ref-law>). ll rinvio della causa con esito aperto come nella fattispecie equivale a piena vittoria (<ref-ruling> consid. 7.1 pag. 271 con riferimento). Le spese giudiziarie seguono la soccombenza e vanno quindi poste a carico dell'opponente (<ref-law>). L'assicuratore non ha diritto a indennità per spese ripetibili (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è parzialmente accolto. Il giudizio impugnato è annullato e la causa è rinviata al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino per nuovo giudizio. Per il resto, il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 800.- sono poste a carico dell'opponente.
3.
Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale della sanità pubblica.