Sachverhalt:
A.
Die Sozialbehörde der Stadt Opfikon erstattete am 6. April 2017 bei der Kantonspolizei Zürich Strafanzeige gegen A._ mit dem Vorwurf, diese habe wirtschaftliche Sozialhilfe in einem ihr nicht zustehenden Umfang bezogen. Zum einen habe sie Einnahmen aus einem auf der Auktionsplattform X._ betriebenen Online-Handel verheimlicht, zum anderen bestehe der Verdacht, sie verschweige ein stabiles Konkubinatsverhältnis mit C._, mit dem sie in der gleichen Wohnung lebe. Weiter sei unklar, ob sie effektiv erwerbsunfähig sei. In der Folge führte die Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl eine Strafuntersuchung gegen A._, die sie auf C._ ausdehnte. Am 23. Juli 2018 erhob sie gegen beide Anklage beim Bezirksgericht Bülach, gegen Erstere wegen Betrugs bzw. eventuell unrechtmässigen Bezugs von Sozialhilfeleistungen. Das Bezirksgericht sprach die beiden Angeklagten mit Urteilen vom 19. April 2019 frei. Dagegen meldeten die Sozialbehörde und die Staatsanwaltschaft Berufung an.
B.
Am 31. Mai 2019 erstattete A._ bei der Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland Strafanzeige gegen B._, Leiter der Sozialabteilung der Stadt Opfikon, der zusammen mit dem Vizepräsidenten der Sozialbehörde die Strafanzeige vom 6. April 2017 gegen sie unterzeichnet hatte. Sie machte geltend, es bestehe der Verdacht, dass sich B._ mit dieser Anzeige bzw. im Zusammenhang damit der falschen Anschuldigung, der Irreführung der Rechtspflege, der Urkundenfälschung und Anstiftung dazu, der Urkundenfälschung im Amt und der Unterdrückung von Urkunden sowie des Amtsmissbrauchs schuldig gemacht habe. Ausserdem bestehe der Verdacht auf Verletzung der Aktenführungs- und Dokumentationspflicht sowie ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör.
Mit Verfügung vom 23. August 2019 überwies die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich die Strafanzeige samt dazugehörigen Akten zum Entscheid über die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung an das kantonale Obergericht. Sie hielt fest, nach summarischer Prüfung liege kein deliktsrelevanter Verdacht vor, weshalb beantragt werde, die Ermächtigung nicht zu erteilen. A._ beantragte in ihrer Stellungnahme vom 25. Oktober 2019 an das Obergericht die Erteilung der Ermächtigung und äusserte neu den Verdacht, B._ habe sich in zweierlei Hinsicht auch der Verletzung des Amtsgeheimnisses schuldig gemacht. Mit Beschluss vom 23. Dezember 2019 erteilte das Obergericht die Ermächtigung nicht.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 31. Januar 2020 an das Bundesgericht beantragt A._, den Beschluss des Obergerichts aufzuheben und die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung gegen B._ zu erteilen sowie die Staatsanwaltschaft II anzuweisen, ein Vorverfahren zu eröffnen. Eventuell sei die Angelegenheit im Sinne der Erwägungen an das Obergericht zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren sei ihr weiter die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Die Stadt Opfikon beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Staatsanwaltschaft II und die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich sowie das Obergericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. A._ hat am 20. März 2020 eine weitere Stellungnahme eingereicht.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit dem angefochtenen Beschluss hat die zuständige Vorinstanz die Erteilung der Ermächtigung verweigert, deren es nach dem Recht des Kantons Zürich für die Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen den Beschwerdegegner in Bezug auf die ihm vorgeworfenen Straftaten bedarf (vgl. § 148 des Gesetzes vom 10. Mai 2010 über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess des Kantons Zürich [GOG/ZH; OS 211.1]). Der Beschluss kann als kantonal letztinstanzlicher Endentscheid grundsätzlich mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden, betrifft die Strafanzeige doch nicht Mitglieder der obersten kantonalen Vollziehungs- und Gerichtsbehörden, weshalb der Ausschlussgrund von <ref-law> nicht zur Anwendung kommt (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG; <ref-ruling> E. 1.3.1 f. S. 272 f.).
1.2. Gemäss <ref-law> ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wer am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. c). Das Rechtsschutzinteresse muss aktuell und praktisch sein (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 143 mit Hinweisen). Die beschwerdeführende Partei muss aus dem beantragten Verfahrensausgang einen praktischen Nutzen dergestalt ziehen, dass ihre tatsächliche oder rechtliche Situation beeinflusst werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 6.2 S. 312 mit Hinweis).
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist die Möglichkeit, bei erfolgreicher Beschwerdeführung an der Strafuntersuchung teilzunehmen und Parteirechte auszuüben, ein praktischer Nutzen der genannten Art. Eine Strafanzeige erstattende Person ist deshalb zur Beschwerde gegen einen Entscheid, mit dem die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung verweigert wird, legitimiert, soweit sie hinsichtlich der beanzeigten Straftaten als geschädigte Person im Sinne von <ref-law> gilt. Insoweit könnte sie sich bei einer Gutheissung der Beschwerde in der erwähnten Weise an der Strafuntersuchung beteiligen. Dies ist hingegen nicht der Fall, soweit ihr in Bezug auf eine beanzeigte Straftat die Geschädigtenstellung fehlt (Art. 301 Abs. 2 und 3 StPO). Insoweit mangelt es ihr daher am Rechtsschutzinteresse nach Art. 89 Abs. 1 lit. b und c BGG und ist auf die Beschwerde nicht einzutreten (zum Ganzen: Urteile 1C_3/2017 vom 14. März 2017 E. 1.2.2 f.; 1C_270/2016 vom 16. Februar 2017 E. 1.2.1 ff.; 1C_344/2012 vom 31. Oktober 2012 E. 2.1 ff.).
Als geschädigte Person gilt nach <ref-law> die Person, die durch die Straftat in ihren Rechten unmittelbar verletzt worden ist. Die zur Stellung eines Strafantrags berechtigte Person gilt in jedem Fall als geschädigte Person (<ref-law>). Unmittelbar verletzt ist, wer Träger des Rechtsguts ist, das durch die fragliche Strafbestimmung vor Verletzung oder Gefährdung geschützt oder zumindest mitgeschützt werden soll. Im Zusammenhang mit Strafnormen, die nicht primär Individualrechtsgüter schützen, gelten praxisgemäss nur diejenigen Personen als Geschädigte, die durch die darin umschriebenen Tatbestände in ihren mitgeschützten Rechtsgütern beeinträchtigt werden, sofern diese Beeinträchtigung unmittelbare Folge der tatbestandsmässigen Handlung ist. Werden durch Delikte, die (nur) öffentliche Rechtsgüter verletzen, private Interessen auch, aber bloss mittelbar beeinträchtigt, ist die betroffene Person nicht Geschädigte im Sinne von <ref-law> (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 457; <ref-ruling> E. 2.3 S. 263; je mit Hinweisen).
1.2.1. In Bezug auf die Tatvorwürfe der falschen Anschuldigung (<ref-law>) und der Verletzung des Amtsgeheimnisses (<ref-law>) gilt die Beschwerdeführerin als geschädigte Person im Sinne von <ref-law>. Ersterer Straftatbestand schützt in erster Linie den zuverlässigen Gang der Rechtspflege, daneben aber auch die Persönlichkeitsrechte der zu Unrecht angeschuldigten Person (<ref-ruling> E. 2.1 S. 175 f. mit Hinweis). Letztere Bestimmung bezweckt primär die Wahrung öffentlicher Interessen, schützt aber auch Individualinteressen, soweit es um geheimhaltungspflichtige Daten von Betroffenen geht, wie dies die Beschwerdeführerin geltend macht (vgl. Urteile 1C_96/2013 vom 17. Juni 2013 E. 1.2; 1C_344/2012 vom 31. Oktober 2012 E. 2.3 mit Hinweisen).
1.2.2. Hinsichtlich des Vorwurfs der Irreführung der Rechtspflege (<ref-law>) gilt die Beschwerdeführerin nicht als geschädigte Person. Dieser Tatbestand schützt einzig die Rechtspflege (<ref-ruling> E. 1 S. 185; DELNON/RÜDY, in: Basler Kommentar StGB/JStG, 4. Aufl. 2019, N. 5 zu <ref-law>). Auch bezüglich des Vorwurfs der Urkundenfälschung (<ref-law>) und Anstiftung dazu sowie der Urkundenfälschung im Amt (<ref-law>) mangelt es ihr an der Geschädigtenstellung. Nach der Rechtsprechung kann eine Urkundenfälschung neben den in erster Linie geschützten öffentlichen Interessen auch private Interessen unmittelbar verletzen, falls sie auf die Benachteiligung einer bestimmten Person abzielt (<ref-ruling> E. 3.3.3 S. 159 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2b S. 346 f.). Jedenfalls im Kontext der Urkundenfälschung im engeren Sinn erfasst der Schutz dabei regelmässig nur diejenigen Teilnehmer am Rechtsverkehr, denen gegenüber die falsche oder unwahre Urkunde gebraucht wird oder werden soll, und die gestützt darauf rechtserhebliche Entscheidungen treffen könnten (Urteile 6B_968/2018 vom 8. April 2019 E. 2.2.1; 6B_917/2015 vom 23. Februar 2016 E. 3.2). Der Vorwurf der Beschwerdeführerin bezieht sich auf den Umstand, dass der Beschwerdegegner die Person, die ihn auf den möglichen Online-Handel hingewiesen und ihm eine X._-Verkaufsmeldung vorgelegt haben soll, nach eigenen Angaben aufforderte, diese Meldung anonymisiert einzureichen. In der Folge legte er die Mitteilung, in der verschiedene Angaben, insbesondere der Adressat, fehlen, der Strafanzeige vom 6. April 2017 bei. Inwiefern die Beschwerdeführerin durch die Entfernung der entsprechenden Angaben und die Einreichung der Verkaufsmeldung mit der Strafanzeige im Sinne der Rechtsprechung unmittelbar in ihren Interessen verletzt worden sein sollte, ist nicht ersichtlich, zumal angesichts des Inhalts der Strafanzeige nicht davon auszugehen ist, die Meldung sei für die Eröffnung der Strafuntersuchung ausschlaggebend gewesen.
1.2.3. Soweit die Beschwerdeführerin im Zusammenhang mit der Aufforderung des Beschwerdegegners, die X._-Verkaufsmeldung anonymisiert einzureichen, auch den Vorwurf des Amtsmissbrauchs (<ref-law>) erhebt, ist sie ebenfalls nicht Geschädigte im Sinne von <ref-law>. Dieser Straftatbestand schützt zwar sekundär auch das Interesse der Bürgerinnen und Bürger, nicht unkontrollierter und willkürlicher staatlicher Machtentfaltung ausgesetzt zu werden (<ref-ruling> E. 1b S. 212 f.; Urteile 6B_214/2019 vom 15. Mai 2019 E. 4.7; 6B_1318/2017 vom 9. Februar 2018 E. 7.2.3 und 7.3). Als Geschädigte gelten jedoch nur Personen, die durch die tatbestandsmässige Handlung unmittelbar beeinträchtigt worden sind (vgl. Urteile 6B_297/2018 vom 6. September 2018 E. 4.6.2; 1C_270/2016 vom 16. Februar 2017 E. 1.2.2; vorne E. 1.2). Dies ist bei der Beschwerdeführerin in Bezug auf die erwähnte, angeblich amtsmissbräuchliche Aufforderung nicht der Fall. Soweit die Beschwerdeführerin auch die Einreichung der Strafanzeige als Amtsmissbrauch kritisiert, kann ihre Geschädigtenstellung mit Blick auf die nachfolgenden Erwägungen offen bleiben. Dasselbe gilt hinsichtlich ihres Vorwurfs der Unterdrückung von Urkunden (<ref-law>; vgl. dazu Urteil 1C_382/2012 vom 10. Oktober 2012 E. 2.6; MARKUS BOOG, in: Basler Kommentar StGB/JStG, 4. Aufl. 2019, N. 1 zu <ref-law>).
1.2.4. Nach dem Gesagten mangelt es der Beschwerdeführerin jedenfalls in Bezug auf die Tatvorwürfe der Irreführung der Rechtspflege, der Urkundenfälschung und Anstiftung dazu, der Urkundenfälschung im Amt und teilweise des Amtsmissbrauchs an der Beschwerdelegitimation. Insoweit kann daher nicht auf die Beschwerde eingetreten werden. Hinsichtlich der gerügten Verletzung der Aktenführungs- und Dokumentationspflicht fehlt es ohnehin an einer möglichen strafbaren Handlung, sodass hierauf ebenfalls nicht einzutreten ist.
1.3. Ebenfalls nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit die Beschwerdeführerin beantragt, die Staatsanwaltschaft II sei anzuweisen, ein Vorverfahren zu eröffnen. Dieser Antrag geht über den Streitgegenstand hinaus, wird doch im Ermächtigungsverfahren nicht über die Eröffnung einer Untersuchung oder die Nichtanhandnahme entschieden. Dieser Entscheid obliegt kraft ausdrücklicher bundesrechtlicher Regelung vielmehr der Staatsanwaltschaft (Art. 309 und 310 StPO; <ref-ruling> E. 2.3 S. 277).
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, welche die beschwerdeführende Person vorbringt und begründet (vgl. <ref-law>). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten namentlich, soweit die Verletzung von Grundrechten gerügt wird (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil weiter den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, deren Sachverhaltsfeststellung sei offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62), oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (Art. 42 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>).
3.
Das Ermächtigungserfordernis dient namentlich dem Zweck, Behördenmitglieder und Beamte vor mutwilliger Strafverfolgung zu schützen und damit das reibungslose Funktionieren staatlicher Organe sicherzustellen. Ein Strafverfahren soll erst durchgeführt werden können, wenn die zuständige Behörde vorher ihre Zustimmung erteilt hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 277). Beim Entscheid über die Erteilung der Ermächtigung dürfen - ausser bei obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden - nur strafrechtliche Gesichtspunkte berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 2.4 S. 277 f.). Nicht jeder behördliche Fehler begründet dabei die Pflicht zur Ermächtigungserteilung. Erforderlich ist vielmehr ein Mindestmass an Hinweisen auf ein strafrechtlich relevantes Verhalten; ein solches muss in minimaler Weise glaubhaft erscheinen (Urteile 1C_395/2018 vom 21. Mai 2019 E. 2; 1C_57/2018 vom 19. November 2018 E. 2.2; 1C_584/2017 vom 1. Juni 2018 E. 2). In Zweifelsfällen ist die Ermächtigung zu erteilen; es gilt der Grundsatz "in dubio pro duriore". Ist zum Zeitpunkt des Ermächtigungsentscheids die Sach- oder Rechtslage nicht von vornherein klar, darf die zuständige Behörde die Ermächtigung zur Strafverfolgung nicht mit der Begründung verweigern, es fehle an einem hinreichenden Tatverdacht (Urteile 1C_395/2018 vom 21. Mai 2019 E. 2; 1C_57/2018 vom 19. November 2018 E. 2.2; 1C_584/2017 vom 1. Juni 2018 E. 2).
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin rügt in formeller Hinsicht, die Vorinstanz habe im angefochtenen Entscheid vollumfänglich auf die Überweisungsverfügung der Staatsanwaltschaft vom 23. August 2019 verwiesen und sich ausser hinsichtlich des Vorwurfs der Amtsgeheimnisverletzung nicht weiter zur Frage geäussert, inwiefern die Voraussetzungen für die Erteilung der Ermächtigung vorlägen. Damit habe sie die Begründungspflicht bzw. <ref-law> verletzt.
4.2. Diese Rüge ist unbegründet. Zwar kommen im Ermächtigungsverfahren die allgemeinen Verfahrensgrundsätze der BV und der EMRK zur Anwendung, weshalb die Beteiligten insbesondere Anspruch auf rechtliches Gehör nach <ref-law> und damit auch darauf haben, dass der Entscheid über die Erteilung der Ermächtigung rechtsgenüglich begründet wird (<ref-ruling> E. 2.6 S. 278 mit Hinweisen). Die Vorinstanz hat die Begründungspflicht bzw. <ref-law> jedoch nicht verletzt, auch wenn sie vollumfänglich auf die Erwägungen und die Schlussfolgerungen der Staatsanwaltschaft in der Überweisungsverfügung verwiesen hat. Die Staatsanwaltschaft hat sich im Einzelnen mit den von der Beschwerdeführerin beanzeigten Tatvorwürfen auseinandergesetzt. Mit dem Verweis hat die Vorinstanz die entsprechenden Erwägungen zu ihren eigenen gemacht. Sie hat sie zudem punktuell ergänzt. Sie hat sich ausserdem zu dem von der Beschwerdeführerin im vorinstanzlichen Verfahren neu erhobenen Vorwurf der Amtsgeheimnisverletzung geäussert und einen deliktsrelevanten Verdacht auch insoweit verneint. Die Beschwerdeführerin konnte sich entsprechend über die Tragweite des angefochtenen Entscheids Rechenschaft geben und diesen in voller Kenntnis der Sache an das Bundesgericht weiterziehen (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 70 f. mit Hinweisen). Die Begründung des Entscheids ist daher trotz des erwähnten Verweises verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden (vgl. <ref-ruling> E. 2c und d S. 34 f.; Urteile 5A_888/2011 vom 20. Juni 2012 E. 4.3; 1B_78/2009 vom 1. April 2009 E. 4.2).
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin wirft dem Beschwerdegegner zunächst insofern falsche Anschuldigung (und Irreführung der Rechtspflege) vor, als er in der Strafanzeige vom 6. April 2017 einleitend einen früheren unrechtmässigen Bezug wirtschaftlicher Sozialhilfe aufgeführt habe, obwohl er gewusst habe bzw. hätte wissen müssen, dass dieser Bezug strafrechtlich nicht relevant gewesen und längst vollumfänglich zurückerstattet worden sei (vgl. Vorwurf 1 gemäss der Überweisungsverfügung der Staatsanwaltschaft). Sie rügt, die Staatsanwaltschaft habe in dieser Hinsicht den Sachverhalt aktenwidrig und unvollständig festgestellt. Die Vorinstanz habe auf diese unrichtige Sachverhaltsfeststellung abgestellt. Zudem habe sie beim Entscheid über die Ermächtigung einen allzu strengen Massstab angewandt.
Gemäss <ref-law> erfüllt den Tatbestand der falschen Anschuldigung, wer einen Nichtschuldigen wider besseres Wissen bei der Behörde eines Verbrechens oder Vergehens beschuldigt, in der Absicht, eine Strafverfolgung gegen ihn herbeizuführen. Die Staatsanwaltschaft hat in der Überweisungsverfügung unter anderem ausgeführt, bei der erwähnten einleitenden Bemerkung in der Strafanzeige habe es sich lediglich um eine gemäss den einschlägigen Akten korrekte Tatsachendarstellung betreffend die Vorgeschichte gehandelt. Dass diese dem angefochtenen Entscheid zugrunde gelegte Feststellung aktenwidrig oder sonst offensichtlich unrichtig wäre (vgl. dazu vorne E. 2; <ref-ruling> E. 3.6.2 S. 287; <ref-ruling> E. 3.2.2 S. 296), geht aus den ausführlichen Vorbringen der Beschwerdeführerin nicht hervor. Ebenso wenig ergibt sich daraus, dass die Staatsanwaltschaft und ihr folgend die Vorinstanz entscheidrelevante Umstände bzw. Verdachtsmomente ausser Acht gelassen hätten (vgl. <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62). Aus den Ausführungen der Beschwerdeführerin ist entsprechend auch nicht ersichtlich, dass die Vorinstanz einen mit der Rechtsprechung nicht zu vereinbarenden strengen Massstab angewandt und trotz eines Mindestmasses an Hinweisen auf ein tatbestandsmässiges Handeln die Ermächtigung verweigert hätte.
5.2. Die Beschwerdeführerin wirft dem Beschwerdegegner weiter insofern falsche Anschuldigung (sowie Irreführung der Rechtspflege und Urkundenfälschung) vor, als er die Strafanzeige vom 6. April 2017 eingereicht habe, obschon er gewusst habe bzw. hätte wissen müssen, dass sie aus gesundheitlichen Gründen nicht in der Lage gewesen sei, Internethandel zu betreiben (vgl. Vorwurf 3 gemäss der Überweisungsverfügung der Staatsanwaltschaft). Sie rügt, die Staatsanwaltschaft habe sich insofern nicht mit den Verdachtsmomenten befasst, sondern sich mit einer eingeschränkten Betrachtung der Ausgangslage begnügt. Die Vorinstanz habe auf diese unrichtige Sachverhaltsfeststellung abgestellt. Zudem habe sie beim Entscheid über die Ermächtigung einen allzu strengen Massstab angewandt.
Die Staatsanwaltschaft hat in der Überweisungsverfügung namentlich ausgeführt, aufgrund der kumulierten, in der Strafanzeige aufgeführten Verdachtsmomente (Drittmeldungen, Vorgeschichte, Korrespondenz etc.) sei eine mögliche strafbare Handlung nicht vollumfänglich von der Hand zu weisen und die Anzeigeerstattung durch die Sozialbehörde daher durchaus geboten gewesen. Dass diese Beurteilung und damit auch diejenige der Vorinstanz auf einer offensichtlich unrichtigen oder unvollständigen Sachverhaltsfeststellung beruhen würde, geht aus den Vorbringen der Beschwerdeführerin nicht hervor. Diese wiederholt in erster Linie ihren Tatvorwurf und legt keine Verdachtsmomente für ein tatbestandsmässiges Verhalten des Beschwerdegegners, insbesondere für ein Handeln wider besseres Wissen, dar, die im Sinne der Rechtsprechung die Erteilung der Ermächtigung rechtfertigen würden. Aus ihren Ausführungen ergibt sich daher auch insoweit nicht, dass die Vorinstanz beim Entscheid über die Ermächtigung einen mit der Rechtsprechung nicht zu vereinbarenden strengen Massstab angewandt hätte.
5.3. Die Beschwerdeführerin wirft dem Beschwerdegegner schliesslich insofern falsche Anschuldigung (und Irreführung der Rechtspflege) sowie Unterdrückung von Urkunden vor, als er im Strafverfahren gegen sie Akten der Sozialbehörde Opfikon unvollständig und unakturiert eingereicht habe und ein weiterer Teil dieser Akten erst kurz vor der Hauptverhandlung am Bezirksgericht Bülach wieder aufgetaucht sei (vgl. Vorwurf 5 gemäss der Überweisungsverfügung der Staatsanwaltschaft). Sie rügt, die Staatsanwaltschaft habe sich insoweit nicht mit dem Kontext auseinandergesetzt und die Latte für die Erteilung der Ermächtigung zu hoch angesetzt. Die Vorinstanz habe diesen Massstab unbesehen übernommen.
Gemäss <ref-law> erfüllt den Tatbestand der Unterdrückung von Urkunden, wer eine Urkunde, über die er nicht allein verfügen darf, beschädigt, vernichtet, beiseiteschafft oder entwendet, in der Absicht, jemanden am Vermögen oder an anderen Rechten zu schädigen oder sich oder einem anderen einen unrechtmässigen Vorteil zu verschaffen. Aus den Ausführungen der Beschwerdeführerin geht nicht hervor, dass die Staatsanwaltschaft und ihr folgend die Vorinstanz in Bezug auf den Vorwurf der Unterdrückung von Urkunden entscheidrelevante Umstände bzw. Verdachtsmomente ausser Acht gelassen hätten. Auch insoweit ergibt sich daraus daher nicht, dass die Vorinstanz trotz eines Mindestmasses an Hinweisen auf ein tatbestandsmässiges Handeln die Ermächtigung verweigert hätte. Dasselbe gilt bezüglich des Vorwurfs der falschen Anschuldigung.
6.
6.1. Die Beschwerdeführerin wirft dem Beschwerdegegner unter dem Titel Amtsmissbrauch - soweit in dieser Hinsicht auf die Beschwerde einzutreten ist (vgl. vorne E. 1.2.3) - vor, er habe, anstatt in Anwendung der verwaltungsrechtlichen Untersuchungsmaxime eigene Abklärungen in Bezug auf ihre Lebensverhältnisse (Zweckwohngemeinschaft oder Konkubinat mit C._) vorzunehmen und ihr das rechtliche Gehör zu gewähren, in Umkehr der verwaltungsrechtlich geregelten Beweislast Strafanzeige gegen sie erstattet und damit die Strafbehörden zweckentfremdet (vgl. Vorwurf 4 gemäss der Überweisungsverfügung der Staatsanwaltschaft). Sie rügt auch in diesem Zusammenhang, die Vorinstanz habe entscheidrelevante Umstände nicht berücksichtigt und damit auf einen unrichtigen Sachverhalt abgestellt. Zudem habe sie die Latte für die Erteilung der Ermächtigung zu hoch angesetzt.
6.2. Gemäss <ref-law> liegt Amtsmissbrauch vor, wenn Mitglieder einer Behörde oder Beamte ihre Amtsgewalt missbrauchen, um sich oder einem andern einen unrechtmässigen Vorteil zu verschaffen oder einem andern einen Nachteil zuzufügen. Aus den Vorbringen der Beschwerdeführerin geht nicht hervor, dass der angefochtene Entscheid hinsichtlich des genannten Vorwurfs des Amtsmissbrauchs auf einer offensichtlich unrichtigen oder unvollständigen Sachverhaltsfeststellung beruhen würde. Es ergibt sich daraus auch insoweit nicht, dass die Vorinstanz bei ihrem Entscheid einen mit der Rechtsprechung nicht zu vereinbarenden strengen Massstab angewandt und trotz eines Mindestmasses an Hinweisen auf ein tatbestandsmässiges Handeln die Ermächtigung verweigert hätte, zumal nicht erkennbar ist, inwiefern mit der Anzeigeerstattung im Sinne dieses Tatbestands Zwang ausgeübt worden sein sollte.
7.
7.1. Unter dem Titel Amtsgeheimnisverletzung hält die Beschwerdeführerin im vorliegenden Verfahren (nurmehr) am Verdacht fest, der Beschwerdegegner habe mit der Person, die ihn auf den angeblichen Online-Handel hingewiesen habe und ihm nach eigenen Angaben persönlich bekannt sei, über sie gesprochen und dabei Amtsgeheimnisse preisgegeben, etwa die Tatsache, dass sie damals Sozialhilfebezügerin gewesen sei. Sie rügt, die Vorinstanz habe ohne weitere Begründung auf die weniger plausible von zwei möglichen Sachverhaltsvarianten abgestellt. Welche der beiden Varianten sich erstellen lasse, sei jedoch im Vorverfahren zu untersuchen, da sie die andere Variante bzw. den Verdacht auf Amtsgeheimnisverletzung örtlich und zeitlich substanziiert sowie belegt habe, womit die für die Ermächtigungserteilung erforderlichen minimalen Hinweise auf strafbares Handeln vorlägen. Mit ihrem Vorgehen habe die Vorinstanz die Voraussetzungen für die Ermächtigungserteilung verkannt. Das Vorgehen sei zudem willkürlich bzw. beruhe auf einer willkürlichen antizipierten Beweiswürdigung.
7.2. Gemäss <ref-law> begeht eine Amtsgeheimnisverletzung, wer ein Geheimnis offenbart, das ihm in seiner Eigenschaft als Mitglied einer Behörde oder als Beamter anvertraut worden ist, oder das er in seiner amtlichen oder dienstlichen Stellung wahrgenommen hat. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid erklärt, es gebe keine Hinweise auf eine Amtsgeheimnisverletzung, wie sie die Beschwerdeführerin neu geltend mache. Hinsichtlich des erwähnten Vorwurfs hat sie ausgeführt, aus dem Umstand, dass die hinweisgebende Person von der Sozialhilfeabhängigkeit der Beschwerdeführerin gewusst habe, könne nicht a priori geschlossen werden, der Beschwerdegegner habe ihr dies unter Verletzung des Amtsgeheimnisses mitgeteilt. Ebenso gut wäre es möglich, dass diese Person von der Beschwerdeführerin selbst oder von einer Drittperson (z.B. einem Nachbarn) davon erfahren habe. Dies würde jedenfalls erklären, weshalb sie habe anonym bleiben wollen.
Diese Ausführungen sind entgegen dem, was die Beschwerdeführerin vorbringt, nicht so zu verstehen, dass die Vorinstanz auf eine von zwei "Sachverhaltsvarianten" abgestellt hätte. Vielmehr hat sie damit - wie aus der erwähnten einleitenden Feststellung deutlich wird - zum Ausdruck bringen wollen, dass keine Hinweise auf eine Amtsgeheimnisverletzung des Beschwerdegegners bestehen, sondern der von der Beschwerdeführerin geäusserte Verdacht auf blossen Mutmassungen beruht. Sie hat sich entsprechend auch nicht zu den Vorbringen und Unterlagen betreffend die mögliche Hinweisgeberin geäussert, mit denen die Beschwerdeführerin die angeblich plausiblere "Sachverhaltsvariante" bzw. den Verdacht auf Amtsgeheimnisverletzung örtlich und zeitlich substanziiert sowie belegt haben will. Damit hat die Vorinstanz die Voraussetzungen für die Erteilung der Ermächtigung nicht verkannt. Aus diesen Vorbringen und Unterlagen ergeben sich unabhängig davon, wie sie sonst zu beurteilen sind, keinerlei Hinweise darauf, dass der Beschwerdegegner jener Person, welche die Beschwerdeführerin als Hinweisgeberin verdächtigt, Amtsgeheimnisse offenbart hätte. Ebenso wenig ergeben sich entsprechende Anhaltspunkte aus den weiteren Vorbringen der Beschwerdeführerin. Auch in Bezug auf den erwähnten Vorwurf der Amtsgeheimnisverletzung ist daher nicht ersichtlich, dass die Vorinstanz trotz eines Mindestmasses an Hinweisen auf ein tatbestandsmässiges Verhalten des Beschwerdegegners die Ermächtigung verweigert hätte. Die Beschwerde erweist sich demzufolge auch in dieser Hinsicht und damit insgesamt als unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann.
8.
Demnach ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Zwar stellt sie für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Dieses ist jedoch abzuweisen, da ihr Rechtsbegehren als aussichtslos zu beurteilen ist (vgl. <ref-law>). Ihrer finanziellen Lage ist bei der Festsetzung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind keine zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Oktober 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Baur