Faits :
A.
Par jugement du 16 janvier 2019, le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de Lausanne a condamné X._, pour fausse alerte, à une peine pécuniaire de 45 jours-amende à 30 fr. le jour, avec sursis durant deux ans. Il a également condamné Y._, en particulier pour fausse alerte.
B.
Par jugement du 16 mai 2019, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud, statuant notamment sur l'appel formé par X._ contre ce jugement, a rejeté celui-ci et a confirmé cette décision dans la mesure où elle le concernait. Elle a également confirmé la condamnation de Y._ pour fausse alerte.
La cour cantonale a retenu les faits suivants.
X._ est le père de deux filles. A A._, le 12 juillet 2013, il s'est rendu, en compagnie de Y._ et de B._, au domicile de son ancienne compagne, C._, pour chercher leurs deux filles, alors que la dernière nommée lui avait indiqué plus tôt dans la journée qu'il ne devait pas le faire. C._, qui était alors absente, n'a pu ouvrir la porte de son domicile. Y._ a contacté la police, en utilisant le téléphone de X._. Il a déclaré à la police que C._ avait dit par téléphone à X._ que ce dernier ne verrait plus ses enfants et que, au besoin, elle possédait des armes et mettrait fin à sa vie et à celle de ses filles. Le policier interlocuteur a ensuite demandé à parler à X._, lequel a précisé savoir qu'il y avait bien une arme dans la famille de C._.
C.
X._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 16 mai 2019, en concluant, avec suite de frais et dépens, à sa réforme en ce sens qu'il est acquitté. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.

Considérant en droit :
1.
Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir établi les faits de manière arbitraire. Il se plaint en outre, à cet égard, d'une violation du principe "in dubio pro reo".
1.1. Le Tribunal fédéral est lié par les faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins qu'ils n'aient été constatés en violation du droit ou de manière manifestement inexacte au sens des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, soit pour l'essentiel de façon arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 98). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 30; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 368). L'appréciation des preuves est arbitraire ou manifestement inexacte au sens de l'<ref-law> lorsqu'elle est en contradiction avec le dossier ou contraire au sens de la justice et de l'équité ou lorsque l'autorité ne tient pas compte, sans raison sérieuse, d'un élément propre à modifier la décision, se trompe sur le sens et la portée de celui-ci ou, se fondant sur les éléments recueillis, en tire des constatations insoutenables (cf. <ref-ruling> consid. 3.6.2 p. 287; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 233 s.). La présomption d'innocence, garantie par les <ref-law>, 32 al. 1 Cst., 14 par. 2 Pacte ONU II et 6 par. 2 CEDH, ainsi que son corollaire, le principe "in dubio pro reo", concernent tant le fardeau de la preuve que l'appréciation des preuves au sens large (<ref-ruling> consid. 2.2.3.1 p. 348 s.; <ref-ruling> consid. 2a p. 40 s.). En tant que règle sur le fardeau de la preuve, elle signifie, au stade du jugement, que le fardeau de la preuve incombe à l'accusation et que le doute doit profiter au prévenu. Comme règle d'appréciation des preuves (sur la portée et le sens précis de la règle sous cet angle, cf. <ref-ruling> consid. 2.2.3.3 p. 351 s.), la présomption d'innocence signifie que le juge ne doit pas se déclarer convaincu de l'existence d'un fait défavorable à l'accusé si, d'un point de vue objectif, il existe des doutes quant à l'existence de ce fait. Il importe peu qu'il subsiste des doutes seulement abstraits et théoriques, qui sont toujours possibles, une certitude absolue ne pouvant être exigée. Il doit s'agir de doutes sérieux et irréductibles, c'est-à-dire de doutes qui s'imposent à l'esprit en fonction de la situation objective. Lorsque l'appréciation des preuves et la constatation des faits sont critiquées en référence au principe "in dubio pro reo", celui-ci n'a pas de portée plus large que l'interdiction de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.2.3.3 p. 351 s.; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 503; <ref-ruling> consid. 7 p. 82).
1.2. La cour cantonale a exposé qu'un appel téléphonique avait été passé à la police par Y._ au moment des faits. Lorsque le policier avait demandé à pouvoir parler au recourant, ce dernier avait déclaré qu'il pensait que son ex-compagne pouvait se trouver en possession d'une arme. L'intéressé avait admis qu'il n'avait aucunement indiqué à la police que Y._ n'avait pas dit la vérité et qu'il s'agissait en réalité d'un problème de droit de visite.
Par ailleurs, selon l'autorité précédente, l'alerte donnée par téléphone n'avait eu aucun fondement. Le recourant ne s'était nullement inquiété pour la santé ou la vie de ses enfants. Lors de son audition du 5 mars 2014, il avait déclaré - à propos de sa motivation relative au téléphone passé à la police - qu'il avait agi de la sorte afin de prendre ses filles pour le week-end, tandis que son ex-compagne lui avait auparavant signalé qu'une décision de justice venait de lui retirer son droit de visite. Le recourant n'avait pas davantage fait état d'une quelconque inquiétude lors de son audition du 15 octobre 2014, mais avait expliqué qu'il avait, au moment des faits, uniquement souhaité prendre ses filles pour le week-end, en ajoutant qu'il savait que la police ne se déplacerait pas pour une question de droit de visite. Enfin, même si C._ avait fait des tentatives de suicide par le passé, rien ne permettait de penser que son état aurait alors été inquiétant, ni qu'elle aurait pu s'en prendre à ses enfants.
1.3. Le recourant affirme qu'il n'aurait aucunement alarmé la police puisque l'appel litigieux a été passé par Y._, sans qu'il en fût à l'origine. Il soutient encore s'être contenté, une fois mis en contact avec la police, de confirmer que la famille de son ex-compagne possédait bien une arme.
On ne perçoit pas en quoi ces affirmations divergeraient de l'état de fait de la cour cantonale. Le recourant se borne à reproduire des extraits des déclarations faites par B._ au cours de l'instruction, en indiquant que celles-ci auraient dû être prises en compte, sans préciser quel élément de fait aurait - sur cette base - été arbitrairement omis ou retenu par l'autorité précédente. Par ailleurs, le recourant soutient s'être contenté, au téléphone, de déclarer que son ex-compagne pouvait "détenir une arme", ce qu'a précisément retenu la cour cantonale.
Le recourant prétend ensuite que les événements annoncés par Y._ à la police "auraient pu [selon lui] se produire". Or, même si C._ avait déjà tenté de se supprimer par le passé et si le recourant - comme il l'allègue - ne parvenait pas à joindre ses filles par téléphone, on ne voit pas en quoi il aurait été insoutenable, pour l'autorité précédente, de retenir que l'intéressé n'avait aucune raison de craindre que la prénommée pût s'en prendre à ses filles avec une arme. Il n'apparaît pas, en particulier, que le recourant aurait pu prendre au sérieux les propos tenus à la police par Y._, puisqu'il ne ressort aucunement du jugement attaqué que ce dernier aurait pu détenir davantage d'informations que l'intéressé concernant la situation de C._.
En outre, le recourant prétend qu'il aurait déclaré à la police, lorsqu'il s'est trouvé en contact téléphonique avec elle, qu'il ne craignait pas pour la vie de ses filles. Il se fonde, à cet égard, sur les déclarations faites par B._ en cours d'instruction. La prénommée avait indiqué ce qui suit (cf. PV d'audition du 17 décembre 2014, p. 3) :
"[Le recourant] s'est identifié et a déclaré à la police qu'il savait qu'il y avait une arme dans la famille, sans autres précisions. Je dois vous dire que je ne me souviens pas des termes exacts mais il me semble qu'il a dit qu'elle n'allait pas s'en servir et qu'il ne voyait pas de danger par rapport à cela."
Outre que B._ ne s'est aucunement montrée affirmative à cet égard - et a même déclaré que le recourant avait en définitive dû trouver "rassurant" qu'une patrouille de police se déplace en raison de l'appel téléphonique (cf. Idem, p. 4) -, il ressort du "Journal des événements police" qu'une alerte a bien été donnée par téléphone à propos d'un risque de voir C._ s'en prendre à sa vie ainsi qu'à celle de ses filles et que des explications contraires n'ont été fournies aux agents qu'après que ceux-ci se sont déplacés et ont pu discuter de vive-voix avec leurs interlocuteurs (cf. pièce 6/2 du dossier cantonal). Surtout, le recourant affirme lui-même, dans son recours au Tribunal fédéral, qu'il pensait - lors de l'appel téléphonique - que son ex-compagne pouvait véritablement attenter à la vie de ses enfants. Il pouvait en conséquence être retenu, sans arbitraire, que le recourant n'avait pas, une fois mis en communication téléphonique avec la police, démenti les craintes exprimées par Y._ concernant la vie de C._ et de ses filles.
Au vu de ce qui précède, on ne voit pas quel élément de fait - susceptible d'influer sur le sort de la cause (cf. <ref-law>) - aurait été arbitrairement retenu ou omis par l'autorité précédente. Le grief doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Le recourant reproche à la cour cantonale de l'avoir condamné pour fausse alerte.
2.1. Aux termes de l'<ref-law>, celui qui, sciemment et sans raison, aura alerté les services de sécurité publics ou d'intérêt général, les postes de sauvetage ou de secours, notamment la police, les pompiers ou les services sanitaires, sera puni d'une peine privative de liberté de trois ans au plus ou d'une peine pécuniaire.
L'infraction est intentionnelle, le dol éventuel n'étant pas suffisant (arrêt 6S.769/1999 du 7 mars 2000 consid. 4 in SJ 2000 I 358).
2.2. L'autorité précédente a indiqué que le recourant s'était rendu au domicile de son ex-compagne dans l'unique but de la convaincre ou de l'amener à lui laisser exercer son droit de visite. Comme C._ n'avait pas répondu à la porte mais que le recourant avait vu de la lumière dans l'appartement, il avait été décidé de faire appel à la police. Sachant que celle-ci ne se déplacerait pas pour un simple problème de droit de visite, Y._ avait évoqué au téléphone une situation d'urgence - justifiant en principe une intervention rapide de la police -, en prétendant que les vies de C._ et de ses deux filles pouvaient être en danger, ce qui ressortait de la mention d'une arme, propos que le recourant n'avait ensuite aucunement démenti. Ce dernier avait même apporté du crédit à ces conjectures, en indiquant qu'il pensait que son ex-compagne pouvait effectivement être armée.
2.3. L'argumentation du recourant est irrecevable dans la mesure où elle s'écarte de l'état de fait de la cour cantonale, par lequel le Tribunal fédéral est lié (cf. <ref-law>) et dont l'intéressé n'a pas démontré l'arbitraire (cf. consid. 1 supra). Il en va ainsi lorsque celui-ci prétend avoir pris au sérieux les propos tenus par Y._ à la police et avoir cru que les vies de C._ et de ses filles pouvaient être en danger.
Pour le reste, il apparaît que Y._ et le recourant ne pensaient pas, au moment des faits, que C._ pouvait attenter à sa vie ou à celle de ses filles. Le premier a néanmoins contacté la police et a signalé que tel était le cas, ce que le second a appuyé en indiquant que son ex-compagne pouvait effectivement se trouver en possession d'une arme. Ce faisant, l'intention du recourant a été de provoquer le déplacement de la police - en sachant que celle-ci ne viendrait pas pour une simple question de droit de visite - afin qu'il puisse voir ses filles. Compte tenu de ces éléments, c'est sans violer le droit fédéral que la cour cantonale a condamné le recourant pour fausse alerte. Le grief doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
3.
Le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Comme il était dénué de chances de succès, la demande d'assistance judiciaire doit être rejetée (<ref-law>). Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>), dont le montant sera fixé en tenant compte de sa situation financière, laquelle n'apparaît pas favorable.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'200 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 9 septembre 2019
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Graa