Sachverhalt:
A.
Der türkische Staatsangehörige A.A._ (geb. Juli 1980) reiste am 4. November 2002 in die Schweiz ein und ersuchte erfolglos um Asyl. In der Folge wurde er durch das Bundesamt für Flüchtlinge (heute: Staatssekretariat für Migration) aufgefordert, die Schweiz bis am 1. Juni 2004 zu verlassen. Am 5. Mai 2004 heiratete er eine in der Schweiz niedergelassene Landsfrau, worauf ihm eine Aufenthaltsbewilligung erteilt wurde. Mit Verfügung vom 26. September 2007 wurde eine weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung verweigert, da sich die Ehefrau von A.A._ ins Ausland abgemeldet hatte. Die dagegen erhobenen Rechtsmittel blieben erfolglos. Am 18. August 2008 wurde die Ehe geschieden. Per 31. Januar 2009 meldete sich A.A._ nach unbekannt ab.
Am 12. März 2010 heiratete A.A._ in der Türkei die österreichische Staatsangehörige B.A._. Aus der Ehe gingen die Söhne C.A._ (geb. August 2010) und D.A._ (geb. April 2012) hervor. Sie besitzen wie ihre Mutter die österreichische Staatsbürgerschaft. B.A._ reiste am 20. September 2011 in die Schweiz ein. Ihr wurde am 18. Oktober 2011 eine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA zur unselbständigen Erwerbstätigkeit erteilt - zuletzt mit Gültigkeit bis am 19. September 2021. Im Januar 2012 reisten auch A.A._ und sein Sohn C.A._ in die Schweiz ein. Ihnen wurde im Rahmen des Familiennachzugs ebenfalls eine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA erteilt - zuletzt mit Gültigkeit bis am 19. September 2021. Nach seiner Geburt erhielt auch D.A._ am 15. Mai 2012 eine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA - ebenfalls zuletzt mit Gültigkeit bis am 19. September 2021.
B.
Am 27. August 2018 gab B.A._ auf der Einwohnerkontrolle ihrer Wohnsitzgemeinde eine schriftliche Abmeldeerklärung ab, worin sie bestätigte, dass sie den Wohnsitz in der Schweiz aufgebe, am 28. August 2018 ausreise und sich sowie ihre beiden Söhne abmelde. Sie nahm zudem vom Erlöschen der ausländerrechtlichen Bewilligungen Kenntnis.
B.a. Das Migrationsamt des Kantons Zürich tätigte in der Folge Abklärungen zum Bestand der ehelichen Beziehung. Gestützt darauf und nach Gewährung des rechtlichen Gehörs widerrief das Migrationsamt mit Verfügung vom 4. Oktober 2019 die Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA von A.A._. Den dagegen erhobenen Rekurs wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich am 14. April 2020 in Bezug auf den Widerruf der Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA ab, was das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 8. September 2020 bestätigte. Das Bundesgericht trat mit Urteil 2C_865/2020 auf eine dagegen gerichtete Beschwerde am 21. Oktober 2020 nicht ein, womit der Widerruf in Rechtskraft erwuchs.
B.b. Am 12. November 2020 reiste B.A._ von Österreich herkommend wieder in die Schweiz ein und ersuchte gleichentags um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA zwecks Ausübung einer unselbständigen Erwerbstätigkeit. Am 19. November 2020 ersuchte A.A._ um wiedererwägungsweise Bewilligungserteilung zum Verbleib bei seiner Ehefrau. Mit Verfügung vom 16. Dezember 2020 wies das Migrationsamt das Gesuch von B.A._ ab und wies sie aus der Schweiz weg. Gleichentags wies es auch das von A.A._ eingereichte Gesuch ab und forderte ihn auf, die Schweiz unverzüglich zu verlassen. Sowohl die von B.A._ und A.A._ gegen die beiden Verfügungen vom 16. Dezember 2020 bei der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich erhobenen Rekurse (vereinigter Rekursentscheid vom 31. März 2021) als auch die von ihnen beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich eingereichte Beschwerde (Urteil vom 8. Juli 2021) blieben ohne Erfolg.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 14. September 2021 gelangen B.A._ und A.A._ an das Bundesgericht. Sie beantragen die Aufhebung des Urteils vom 8. Juli 2021. Es sei ihnen die Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA zu erteilen.
Das präsidierende Mitglied der Abteilung hat der Beschwerde mit Verfügung vom 16. September 2021 antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Die Vorinstanz und die Sicherheitsdirektion verzichten auf eine Vernehmlassung. Das Migrationsamt und das Staatssekretariat für Migration lassen sich nicht vernehmen.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (vgl. <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1).
1.1. Die frist- (<ref-law>) und formgerecht (<ref-law>) eingereichte Eingabe betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>) und richtet sich gegen das kantonal letztinstanzliche (<ref-law>), verfahrensabschliessende (<ref-law>) Urteil eines oberen Gerichts (<ref-law>). Die Beschwerdeführer sind bereits im kantonalen Verfahren als Parteien beteiligt gewesen und dort mit ihrem Antrag, ihnen sei die Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA zu erteilen, nicht durchgedrungen. Ausserdem sind die beiden Beschwerdeführer durch das angefochtene Urteil in ihren schutzwürdigen Interessen besonders berührt. Sie sind somit zur Erhebung des Rechtsmittels legitimiert (<ref-law>).
1.2. Das Rechtsmittel ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig, da sich die Beschwerdeführerin als Bürgerin des EU-Mitgliedstaats Österreich in vertretbarer Weise auf einen freizügigkeitsrechtlichen Aufenthaltsanspruch zwecks unselbständiger Erwerbstätigkeit beruft (<ref-law>; vgl. Art. 4 des Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit [Freizügigkeitsabkommen, FZA; SR 0.142.112.681] i.V.m. Art. 2 Abs. 1 Anhang I FZA und Art. 6 ff. Anhang I FZA). Gleiches gilt für den Beschwerdeführer - den türkischen Ehegatten der Beschwerdeführerin. Auch er kann sich in vertretbarer Weise auf einen (abgeleiteten) freizügigkeitsrechtlichen Aufenthaltsanspruch berufen, sofern jener der Beschwerdeführerin bejaht würde (vgl. Art. 7 lit. d FZA i.V.m. Art. 3 Abs. 1 und Abs. 2 lit. a Anhang I FZA). Ob die Voraussetzungen des Bewilligungsanspruchs vorliegen, ist indes nicht Gegenstand der Eintretensfrage, sondern der materiellen Beurteilung (vgl. <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.1). Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist einzutreten.
2.
Mit der Beschwerde kann namentlich die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), wobei es - unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>) - grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen prüft, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.5; <ref-ruling> E. 1.4.1). Der Verletzung von Grundrechten geht das Bundesgericht nur nach, falls eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (<ref-law>; vgl. BGE II 283 E. 1.2.2; <ref-ruling> E. 2.2). Diese qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit nach <ref-law> verlangt, dass in der Beschwerde klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt wird, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.4.2). Seinem Urteil legt das Bundesgericht den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>).
3.
Gegenstand des vorliegenden Verfahrens ist die Frage, ob die Beschwerdeführerin ihren freizügigkeitsrechtlichen Aufenthaltsanspruch zwecks Ausübung einer unselbständigen Erwerbstätigkeit gemäss Art. 4 FZA in Verbindung mit Art. 2 Abs. 1 Anhang I FZA und Art. 6 ff. Anhang I FZA sowie der Beschwerdeführer seinen abgeleiteten freizügigkeitsrechtlichen Aufenthaltsanspruch zum Verbleib bei seiner Ehefrau gemäss Art. 7 lit. d FZA in Verbindung mit Art. 3 Abs. 1 und Abs. 2 lit. a Anhang I FZA in einer rechtsmissbräuchlichen Weise geltend machen.
3.1. Die Beschwerdeführer bestreiten nicht, dass die vormals der Beschwerdeführerin und den beiden Kindern erteilten Aufenthaltsbewilligungen EU/EFTA infolge Abmeldung ins Ausland und Ausreise aus der Schweiz am 28. August 2018 erloschen. Gleichermassen unbestritten ist, dass die dem Beschwerdeführer erteilte Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA am 21. Oktober 2020 rechtskräftig widerrufen wurde. Die Beschwerdeführer machen indes geltend, sie seien am 12. November 2020 (ohne Kinder) wieder in die Schweiz eingereist. Die Beschwerdeführerin habe ihr Gesuch um Erteilung der Aufenthaltsbewilligung zwecks Ausübung einer unselbständigen Erwerbstätigkeit mit einem Arbeitsvertrag der E._ GmbH eingereicht. Zwar sei der Beschwerdeführer einziger Gesellschafter und Geschäftsführer dieser Gesellschaft. Indessen würde die Familie ihren Lebensunterhalt aus den Einkünften der E._ GmbH bestreiten. Der Beschwerdeführerin sei nach dem Widerruf der Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA des Beschwerdeführers im Oktober 2020 keine Wahl geblieben, als zur Sicherstellung der Familieneinkünfte im November 2020 wieder in die Schweiz zu reisen, damit der Beschwerdeführer in der Schweiz bleiben könne. Ihr Verhalten sei nicht rechtsmissbräuchlich.
3.2. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung stehen nicht nur Aufenthaltsansprüche nach dem Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer und über die Integration (Ausländer- und Integrationsgesetz, AIG; SR 142.20), sondern auch solche nach dem Freizügigkeitsrecht unter dem Vorbehalt des Rechtsmissbrauchs (vgl. <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 9; Urteile 2C_688/2017 vom 29. Oktober 2018 E. 4.4; 2C_71/2016 vom 14. November 2016 E. 3.4).
3.2.1. Das Verbot des Rechtsmissbrauchs setzt der Ausübung eines Anspruchs, der formal im Einklang mit der Rechtsordnung steht, jedoch treuwidrig und damit unredlich geltend gemacht wird, eine ethisch-materielle Schranke. Es steht der Inanspruchnahme eines Rechtsinstituts zu Zwecken entgegen, welche dieses nicht schützen will. Nur stossendes, zweckwidriges Verhalten erscheint aber rechtsmissbräuchlich und soll über das Rechtsmissbrauchsverbot sanktioniert werden (vgl. <ref-ruling> E. 5.1.1; <ref-ruling> E. 2.2). Der Rechtsmissbrauch muss offensichtlich sein, um einem formal gültigen Anspruch ausnahmsweise den Rechtsschutz zu versagen. Auf ein rechtsmissbräuchliches Vorgehen kann folglich nur geschlossen werden, wenn dafür eindeutige Hinweise bestehen (vgl. Urteil 2C_574/2020 vom 27. Juli 2021 E. 5.2; 2C_71/2016 vom 14. November 2016 E. 3.4 i.f.; 2C_1057/ 2012 vom 7. März 2014 E. 4.2.1).
3.2.2. Grundsätzlich obliegt es den Migrationsbehörden, die relevanten Tatsachen zu ermitteln, die auf ein rechtsmissbräuchliches Verhalten hinweisen (vgl. Urteile 2C_170/2021 vom 25. August 2021 E. 4.2.2; 2C_651/2020 vom 8. Oktober 2020 E. 3.1). Der Untersuchungsgrundsatz wird aber durch die Mitwirkungspflicht der betroffenen Personen relativiert (vgl. <ref-law>). Diese Pflicht kommt insbesondere bei Tatsachen zum Tragen, die eine Partei besser kennt als die Behörden und die ohne ihre Mitwirkung gar nicht oder nicht mit vernünftigem Aufwand erhoben werden können. Insbesondere wenn bereits gewichtige Hinweise für ein rechtsmissbräuchliches Verhalten sprechen, wird von den betroffenen Personen erwartet, dass sie von sich aus substanziiert Umstände vorbringen, die gegen ein solches Verhalten sprechen (vgl. Urteile 2C_197/2021 vom 6. Mai 2021 E. 3.2.2; 2C_950/2019 vom 27. Januar 2020 E. 3.2; 2C_377/2018 vom 30. August 2018 E. 3.1 i.f.). Die Rechtsfrage, ob die festgestellten Tatsachen (Indizien) darauf schliessen lassen, die Berufung auf den Aufenthaltsanspruch sei rechtsmissbräuchlich oder bezwecke die Umgehung ausländerrechtlicher Vorschriften, prüft das Bundesgericht frei (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.3; Urteile 2C_170/2021 vom 25. August 2021 E. 4.2.3; 2C_197/2021 vom 6. Mai 2021 E. 3.2.3).
3.3. Die Beschwerdeführer stellen die vorinstanzliche Sachverhaltsermittlung nicht hinreichend infrage, weshalb auf die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz abzustellen ist (vgl. <ref-law>).
3.3.1. Die Vorinstanz stellt im Rahmen ihrer Beweiswürdigung fest, die Beschwerdeführerin habe ihrem Gesuch einen am 12. November 2020 auf unbestimmte Zeit abgeschlossenen Arbeitsvertrag der E._ GmbH beigelegt. Der Beschwerdeführer habe als einziger Gesellschafter und einzelzeichnungsberechtigter Geschäftsführer der E._ GmbH den Arbeitsvertrag unterzeichnet. Bereits dieser Umstand wirke ungewöhnlich. Die Beschwerdeführer hätten den Arbeitsvertrag sodann kurz nach dem mit dem Bundesgerichtsurteil 2C_865/2020 vom 21. Oktober 2020 rechtskräftig gewordenen Widerruf der Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA des Beschwerdeführers unterzeichnet. Aufgrund dieser zeitlichen Abfolge müsse davon ausgegangen werden, dass die Wiedereinreise der Beschwerdeführerin in die Schweiz und die Unterzeichnung des Arbeitsvertrags zweckgerichtet erfolgt seien, um dem Beschwerdeführer erneut einen abgeleiteten Aufenthaltsanspruch zu verschaffen (vgl. E. 3.2.1 des angefochtenen Urteils).
3.3.2. Die Beschwerdeführerin, so die Vorinstanz weiter, mache sodann erst im verwaltungsgerichtlichen Verfahren geltend, Grund für die Ausreise nach Österreich Ende August 2018 sei die schwere Erkrankung ihres Vater gewesen. Eine definitive Übersiedlung nach Österreich sei nie zur Diskussion gestanden. Die gesundheitlichen Beschwerden des Vaters belege die Beschwerdeführerin jedoch nicht. Ebenso unbelegt sei die Darstellung, dass sich der Gesundheitszustand ihres Vaters gerade in dem Moment verbessert habe, als mit dem Urteil des Bundesgerichts vom 21. Oktober 2020 die Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA des Beschwerdeführers rechtskräftig widerrufen worden sei. Ausserdem habe der Beschwerdeführer am 20. Januar 2021 gegenüber der Kantonspolizei Zürich angegeben, seine Ehefrau - die Beschwerdeführerin - habe eine Zeit lang mit den Kindern in Österreich bei ihrer Familie gelebt, da sie sich getrennt hätten (vgl. E. 3.2.2 des angefochtenen Urteils).
3.3.3. Nach Auffassung der Vorinstanz wird der Eindruck eines zielgerichteten Vorgehens erhärtet, wenn die 11- und 9-jährigen Kinder in die Gesamtbetrachtung miteinbezogen würden. Diese hielten sich weiterhin bei ihren Grosseltern in Österreich auf, wo sie die Primarschule besuchten. Nachdem die Beschwerdeführerin vorgebracht habe, eine definitive Übersiedlung nach Österreich sei nie in Betracht gekommen und eine Zwischenlösung gewesen, überrasche es, dass die Beschwerdeführer ihre noch jungen Kinder nun in Österreich zurückliessen (vgl. E. 3.2.3 des angefochtenen Urteils). Überdies, so die Vorinstanz abschliessend, habe der Beschwerdeführer die E._ GmbH erst am 18. Januar 2018 - kurz vor der Ausreise der Beschwerdeführerin - übernommen. Es bestünden keine stichhaltigen Anhaltspunkte, dass die Beschwerdeführer diese Gesellschaft gemeinsam als Familienbetrieb geführt hätten. Deshalb sei es nicht glaubhaft, dass sich die Beschwerdeführerin nach einem rund 2.5-jährigen Aufenthalt in Österreich kurzfristig entschlossen haben sollte, zur Rettung des Familienbetriebs wieder in die Schweiz zurückzukehren und gleichzeitig ihre beiden Kinder in Österreich zurückzulassen (vgl. E. 3.2.4 des angefochtenen Urteils).
3.4. Im Lichte einer Gesamtbetrachtung der vorinstanzlich festgestellten Tatsachen ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz von gewichtigen Hinweisen für ein rechtsmissbräuchliches Verhalten ausgegangen ist. Unter diesen Umständen wird von den Beschwerdeführern erwartet, dass sie von sich aus substanziiert Umstände vorbringen, die gegen ein solches Verhalten sprechen (vgl. E. 3.2.2 hiervor).
3.4.1. Die Beschwerdeführer machen jedoch lediglich geltend, die Familie würde ihren Lebensunterhalt aus den Einkünften der E._ GmbH bestreiten. Für dieses Vorbringen fehlen in der Beschwerde jedoch substanziierte Ausführungen und die entsprechenden Nachweise. Darauf hat bereits die Vorinstanz hingewiesen (vgl. E. 3.2.4 des angefochtenen Urteils). Die Beschwerdeführer haben es unterlassen, darzutun, was für ein Einkommen der Beschwerdeführer aus der E._ GmbH bezieht und inwieweit die Beschwerdeführer dieses Einkommen zur Deckung des Lebensunterhalts der Familie - unter anderem in Österreich - verwenden. Die Darlegungen der Beschwerdeführer zum gesetzlichen Güterstand und zur eherechtlichen Errungenschaft sind hierfür jedenfalls nicht geeignet. Ausserdem hat der Beschwerdeführer die E._ GmbH erst im Verlaufe des Jahres 2018 übernommen. Es ist daher nicht ohne Weiteres ersichtlich, dass aus dieser Geschäftstätigkeit der Familienunterhalt bestritten wird, zumal dies für den vorangehenden Zeitraum ab dem Familiennachzug im Jahr 2012 nicht der Fall war.
3.4.2. Ferner würde der abgeleitete Aufenthaltsanspruch des Beschwerdeführers auch in Zukunft die Anwesenheit der originär aufenthaltsberechtigten Beschwerdeführerin in der Schweiz bedingen, da der freizügigkeitsrechtliche Aufenthaltsanspruch mit der Abmeldung erlischt (vgl. <ref-law>; vgl. auch <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3.4 i.f.). Da keine Aussicht darauf besteht, dass die Beschwerdeführer zeitnah wieder nach Österreich zurückkehren könnten, hätten sie sich zum Umstand äussern müssen, dass sie ihre beiden Kinder in Österreich zurückgelassen haben. Auch hierzu fehlen in der bundesgerichtlichen Beschwerde substanziierte Ausführungen. Das Zurücklassen der Kinder in Österreich spricht dafür, dass die Beschwerdeführerin beabsichtigte, nach der Erteilung der abgeleiteten Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA zugunsten des Beschwerdeführers (ohne Abmeldung) wieder nach Österreich zu den Kindern zurückzukehren. Es ist vor diesem Hintergrund nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz der Beschwerdeführerin die Absicht abspricht, ernsthaft in der Schweiz wohnhaft zu werden.
3.4.3. Nach dem Dargelegten dient die Wiedereinreise der Beschwerdeführerin unter Einreichung eines Arbeitsvertrags mit der E._ GmbH, bei der ihr Ehemann - der Beschwerdeführer - einziger Gesellschafter und Geschäftsführer ist, unter Berücksichtigung der Gesamtumstände einzig dem Zweck, dem Beschwerdeführer einen abgeleiteten Aufenthaltsanspruch in der Schweiz zu verschaffen. Das Verhalten der Beschwerdeführerin verdient daher keinen Schutz. Es ist daher nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz zum Schluss gelangt, dass die Beschwerdeführerin den Aufenthaltsanspruch gemäss Art. 4 FZA in Verbindung mit Art. 2 Abs. 1 Anhang I FZA und Art. 6 ff. Anhang I FZA rechtsmissbräuchlich geltend macht. Mit Blick auf den Beschwerdeführer besteht folglich auch keine Grundlage für einen Familiennachzug. Soweit die Beschwerdeführer eine Verletzung der Eigentumsgarantie und der Wirtschaftsfreiheit rügen, genügt die Beschwerde nicht den Anforderungen an die Begründung von Grundrechtsverletzungen (vgl. E. 2. hiervor; <ref-law>).
4.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde als unbegründet, weshalb sie abzuweisen ist. Diesem Verfahrensausgang entsprechend haben die Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung zu tragen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, dem Staatssekretariat für Migration und dem Regierungsrat des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Januar 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Der Gerichtsschreiber: M. Zollinger