Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ (geb. 1972) und B.A._ (geb. 1973) haben am 19. August 2005 geheiratet. Ihre zwei gemeinsamen Kinder sind C.A._ (geb. 2011) und D.A._ (geb. 2013).
A.b. Seit dem 22. November 2018 ist das Scheidungsverfahren hängig.
A.b.a. Mit Verfügung vom 10. Juni 2021 stellte das Bezirksgericht Meilen die beiden Kinder im Rahmen vorsorglicher Massnahmen unter die alleinige Obhut von B.A._ und entzog A.A._ die elterliche Sorge; weiter entschied das Bezirksgericht, dass das Kontaktrecht von A.A._ bis auf Weiteres sistiert bleibe. Sie wurde berechtigt erklärt, ab Schulbeginn nach den Sommerferien einmal im Monat ihre Töchter im Rahmen eines begleiteten Videokontakts von je 30 Minuten pro Kind zu sprechen. Im Übrigen sprach das Bezirksgericht gegenüber A.A._ ein umfassendes Kontaktverbot, ein Rayonverbot für die Gemeinde U._ (den Wohnort von B.A._ und den beiden Kindern) sowie diverse Weisungen aus. Die gegen diesen Entscheid erhobene Berufung von A.A._ wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 30. August 2021 ab, soweit es darauf eintrat.
A.b.b. Zwecks Verhinderung von internationaler Kindesentführung schrieb das Bezirksgericht im Juli 2021 die beiden Kinder in Kombination mit ihrer Mutter im Polizeifahndungssystem RIPOL aus. Erneut erhob A.A._ Berufung, welche das Obergericht abwies, soweit es darauf eintrat.
A.b.c. Am 1. November 2021 verfügte das Bezirksgericht, dass die Videokontakte von A.A._ zu ihren Kindern mit einem Austausch von Videobotschaften beginnen sollten. Verlaufe dieser Austausch für die Kinder belastungsfrei, werde sie berechtigt erklärt, einmal im Monat ihre Töchter im Rahmen eines begleiteten Videokontakts von je 15 Minuten pro Kind zu sprechen. Die dagegen erhobene Berufung wies das Obergericht ab, soweit es darauf eintrat.
A.b.d. A.A._ beantragte mit Eingabe vom 23. November 2021, die beiden Kinder (superprovisorisch) unter ihre Obhut zu stellen; zudem sei die elterliche Sorge beiden Eltern gemeinsam zuzuteilen. In prozessualer Hinsicht beantragte sie die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und die Einsetzung von Rechtsanwalt Dr. Weltert als unentgeltlichen Rechtsbeistand. Mit Verfügung vom 26. November 2021 wies das Bezirksgericht das Gesuch in der Sache ab. Auf das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und unentgeltliche Rechtsverbeiständung durch den genannten Rechtsanwalt trat es nicht ein, nahm die Gerichtskosten zufolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege aber einstweilen auf die Gerichtskasse.
B.
Die gegen diese Verfügung erhobene Berufung wies das Obergericht mit Entscheid vom 14. Januar 2022 ab, soweit es darauf eintrat. Auch das für das Berufungsverfahren gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wies das Obergericht ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 16. Februar 2022 gelangt A.A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des Entscheids des Obergerichts und der Verfügung des Bezirksgerichts. Die vor dem Bezirksgericht gestellten Anträge seien gutzuheissen. In prozessualer Hinsicht beantragt sie die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und die Verbeiständung durch Rechtsanwalt Dr. Weltert. Mit Eingabe vom 31. März 2022 reichte sie überdies diverse zusätzliche Dokumente ein und beantragte, sollte dem Antrag, ihr die Obhut über die beiden Kinder umgehend und vorsorglich zuzusprechen, nicht umgehend stattgegeben werden können, so sei ihr unverzüglich ein gerichtsübliches freies Besuchs- und Ferienrecht zuzusprechen.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin (<ref-law>) über vorsorgliche Massnahmen im Ehescheidungsverfahren (Obhut und elterliche Sorge) entschieden hat. Dabei handelt es sich um eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache (<ref-law>). Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Die Beschwerdeführerin ist zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>) und hat diese fristgerecht (<ref-law>) eingereicht.
1.2. Gegenstand des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens ist ausschliesslich der angefochtene Entscheid der Vorinstanz, welcher den erstinstanzlichen Entscheid ersetzt (Devolutiveffekt; <ref-ruling> E. 1.1.2 mit Hinweisen). Soweit die Beschwerdeführerin die Aufhebung der erstinstanzlichen Verfügung verlangt bzw. diese mehrfach kritisiert, ist die Beschwerde unzulässig (Urteil 5A_578/2021 vom 24. Februar 2022 E. 1.5 mit Hinweisen) und auf die diesbezüglichen Ausführungen wird nicht eingetreten. Dies gilt auch, soweit die Beschwerdeführerin zahlreiche andere im Laufe des Verfahrens getroffene Entscheide kritisiert. Dies betrifft beispielsweise die Ausführungen betreffend eine angebliche Rechtsverzögerung im Scheidungsprozess und zu einer angeblichen Verweigerung des Akteneinsichtsrechts bei der kjz Meilen.
1.3.
1.3.1. Die Beschwerdeführerin beantragt die Gutheissung der vor der Erstinstanz gestellten Anträge und wiederholt diese, soweit noch relevant, vor Bundesgericht. Sofern sie die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und die Verbeiständung durch den unterzeichneten Rechtsanwalt beantragt, differenziert sie nicht zwischen der Gewährung vor der Erst- und vor der Vorinstanz bzw. beantragt nicht explizit auch für das Berufungsverfahren die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Aus der Begründung der Beschwerde ergibt sich immerhin, dass die Beschwerdeführerin wohl die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung sowohl für das erst-, als auch das vorinstanzliche Verfahren anstrebt. Allerdings übersieht die Beschwerdeführerin, dass die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege vor der Erstinstanz - die auf den Antrag auf unentgeltliche Verbeiständung nicht eingetreten ist, da die Beschwerdeführerin bereits von einer anderen unentgeltlichen Rechtsbeiständin vertreten wird - gar nicht mehr Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens war. Auf diesen Antrag ist folglich nicht einzutreten.
1.3.2. Die nach Ablauf der Beschwerdefrist und damit verspätet (<ref-law>) eingereichte Eingabe der Beschwerdeführerin vom 31. März 2022 ist unbeachtlich. Dies gilt auch für den in dieser Eingabe gestellten neuen Antrag in der Sache, auf welchen nicht einzutreten ist.
1.4.
1.4.1. Der angefochtene Entscheid betrifft eine vorsorgliche Massnahme, so dass nur die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte möglich ist (<ref-law>). Es gilt das strenge Rügeprinzip im Sinn von <ref-law> und das Bundesgericht prüft in diesem Fall nur klar und detailliert erhobene Rügen, während es auf appellatorische Kritik nicht eintritt (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 2.2). Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, reicht es sodann nicht aus, die Lage aus der eigenen Sicht darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Es ist im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 1.4.1).
1.4.2. Die anwaltlich vertretene Beschwerdeführerin scheint die Beschränkung auf die Geltendmachung der Verletzung verfassungsmässiger Rechte zu übersehen. Soweit sie eine Verletzung von Bundesrecht (insb. des ZGB) rügt, ohne Willkür auch nur zu behaupten (bzw. unzusammenhängend davon zu sprechen, es lägen teils "krasse" Verletzungen vor), geschweige denn entsprechend den Begründungsanforderungen zu rügen, ist darauf nicht weiter einzugehen. Dies gilt auch für die in appellatorischer Art und Weise erfolgenden Verweise auf die UN-Kinderrechtskonvention (Übereinkommen über die Rechte des Kindes, KRK, SR 0.107) und insbesondere auf Art. 3 und 9 KRK (siehe auch Urteil 5A_746/2014 vom 30. April 2015 E. 4.4 zur Frage, ob Art. 12 KRK ein verfassungsmässiges Recht darstellt). Was schliesslich die erhobenen Willkürrügen betrifft, so erfüllt die Beschwerdeführerin die Anforderungen an das Rügeprinzip über weite Strecken nicht. Darauf wird im Sachzusammenhang noch einzugehen sein.
1.5.
1.5.1. In Verfahren nach <ref-law> kommt eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte, namentlich das Willkürverbot (<ref-law>), verletzt hat. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung des gerügten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 4.1 mit Hinweisen).
1.5.2. Die Beschwerdeführerin schildert den aus ihrer Sicht massgebenden Sachverhalt über 14 Seiten, ohne jedoch wirksame Willkürrügen zu erheben. Die rein appellatorischen Ausführungen haben daher ausser Betracht zu bleiben. Dies gilt auch für die diversen, mit der Beschwerde eingereichten echten Noven sowie die diesbezüglichen Ausführungen der Beschwerdeführerin. Die mit weiterer Eingabe vom 31. März 2022 eingereichten echten Noven sind ohnehin unbeachtlich (E. 1.3.2).
1.5.3. Wenn die Beschwerdeführerin die Einholung diverser weiterer Akten beantragt, missachtet sie, dass das Bundesgericht grundsätzlich keine Beweise abnimmt (Urteil 5A_238/2021 vom 2. November 2021 E. 4.1 mit Hinweisen). Ihre Anträge werden daher abgewiesen.
2.
Soweit die Beschwerdeführerin überhaupt zulässige Rügen erhebt (E. 1.4.2), so macht sie eine fehlerhafte Feststellung des Sachverhalts, die Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) sowie eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) geltend.
2.1. Die Beschwerdeführerin rügt zunächst, die Vorinstanz habe den relevanten Sachverhalt fehlerhaft festgestellt. Sie behauptet jedoch keine Willkür (E. 1.5.1). Ihre Ausführungen sind ohnehin rein appellatorischer Natur. So stellt sie - ohne auf die Ausführungen der Vorinstanz einzugehen bzw. sich mit diesen in genügender Weise auseinanderzusetzen - lediglich ihre Sicht der Dinge dar. Dies genügt den dargelegten Begründungsanforderungen in keiner Weise (E. 1.4.1 und E. 1.5.1), weshalb auf die entsprechenden Rügen nicht weiter einzugehen ist.
2.2.
2.2.1. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin sind teilweise schwer verständlich. Immerhin lässt sich ihnen die Rüge einer Verletzung der Begründungspflicht als Teilgehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law>entnehmen. Insbesondere sollen die Vorinstanzen Feststellungen im jüngeren Gutachten vom 9. Juni 2021 völlig unbeachtet gelassen haben (wobei unklar bleibt, welche Feststellungen gemeint sind). Auf die Gründe, die für eine Obhutszuteilung an die Kindsmutter sprächen, würde gar nicht eingegangen. Auch habe die Beschwerdeführerin einen Anspruch darauf zu wissen, weshalb die verschiedenen Berichte, das Gutachten vom 9. Juni 2021 und das methodenkritische Gutachten für die Regelung der umstrittenen Obhutsfrage keine Rolle spielen würden. Diese Begründung fehle. Von Fachleuten erstellte Berichte dürften nicht mit der lapidaren Bemerkung von der Hand gewiesen werden, dass es sich bei ihnen um Parteigutachten und somit um blosse Parteibehauptungen handeln würde. Sinngemäss führt die Beschwerdeführerin sodann aus, die Vorinstanz habe sich nicht mit ihren substanziierten Ausführungen befasst, wonach die Gefährdungsmeldungen des Beschwerdegegners auf Unwahrheiten beruhen, dass ihre Erziehungsfähigkeit nachweislich gegeben sei und die neue Lebenspartnerin des Beschwerdegegners (welche im Rahmen der zuvor bestehenden Fremdplatzierung als Betreuungsperson der Kinder fungierte) keinesfalls als Ersatzmutter in Konkurrenz zur leiblichen Mutter angesehen werden dürfe.
2.2.2. Der Anspruch auf Begründung als Teilgehalt des rechtlichen Gehörs gemäss <ref-law> bedeutet weder, dass sich das Gericht zu allen Punkten einlässlich zu äussern hat, noch muss es jedes einzelne Vorbringen widerlegen (<ref-ruling> E. 3.3.1). Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich die betroffene Person über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. Ob diese Anforderungen erfüllt sind, beurteilt sich anhand des Ergebnisses des Entscheides, das im Urteilsspruch zum Ausdruck kommt und das allein die Rechtsstellung der betroffenen Person berührt. Die Begründung ist also nicht an sich selbst, sondern am Rechtsspruch zu messen (zum Ganzen <ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 6.1; <ref-ruling> E. 5.2).
2.2.3. Entgegen den Behauptungen der Beschwerdeführerin setzt sich die Vorinstanz ausführlich damit auseinander, weshalb das methodenkritische Gutachten bezüglich der Erziehungsfähigkeit der Beschwerdeführerin keine Aussagen trifft und daher nicht herangezogen werden kann. Die Beschwerdeführerin, die sich mit diesen Erwägungen nicht ansatzweise auseinandersetzt, zielt mit ihrer Rüge folglich ins Leere. Dies betrifft auch das neue Gutachten vom 9. Juni 2021: Auch hierauf geht die Vorinstanz ein und führt aus, die Beschwerdeführerin äussere sich lediglich zur Erziehungsfähigkeit des Klägers, nicht jedoch zu den anderen von der Erstinstanz aufgeführten Gründen ihres Entscheids. Auf die Rüge sei daher nicht einzutreten und auch inhaltlich sei sie unbegründet, wobei sich die Vorinstanz mit den materiellen Feststellungen des Gutachtens vom 9. Juni 2021 auseinandersetzte. Insgesamt begründet die Vorinstanz ihren Entscheid - unter Auseinandersetzung mit den von der Beschwerdeführerin genannten Gutachten - ausführlich und insbesondere unter Hinweis auf die eingeschränkte Erziehungsfähigkeit der Beschwerdeführerin. Von einer "lapidaren" Bemerkung, es handle sich bei den Gutachten um blosse Parteibehauptungen, kann keine Rede sein. Mit den vorinstanzlichen Erwägungen setzt sich die Beschwerdeführerin nicht auseinander bzw. behauptet pauschal, sie sei erziehungsfähig. Dies genügt den Begründungsanforderungen nicht (<ref-law>). Die Rüge erweist sich angesichts dessen als unbegründet, soweit auf sie überhaupt einzugehen wäre.
2.3.
2.3.1. Weiter rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>), da die Kinder nie angehört worden seien und auch die Kinderanwältin bei der Behandlung des Gesuchs nicht zur Stellungnahme eingeladen worden sei. Ausserdem führt sie aus, es sei auch ohne gerichtliche Befragung allen Beteiligten klar, dass die Kinder zurück zu ihrer Mutter wollen.
2.3.2. Nach dem Grundsatz von Treu und Glauben und dem Verbot des Rechtsmissbrauchs ist es nicht zulässig, formelle Rügen, die in einem früheren Prozessstadium hätten geltend gemacht werden können, bei ungünstigem Ausgang noch später vorzubringen (<ref-ruling> E. 5.2). Weder aus der Beschwerde noch aus dem angefochtenen Entscheid geht hervor, dass die Beschwerdeführerin die fehlende Anhörung der Kinder - wobei sie selbst davon ausgeht, diese habe keinen Einfluss auf den Entscheid gehabt - je gerügt hätte. Im Gegenteil hat sie die Umteilung der Obhut an sich superprovisorisch und eine Anhörung der Kinder nicht beantragt. Auf diese Rüge ist daher nicht weiter einzugehen.
2.4. Die Rüge der Beschwerdeführerin, es sei auch ihr Recht auf Beweis verletzt worden, denn die Vorinstanzen seien auf ihren Antrag auf Erstellung eines neuen Gutachtens gar nicht eingegangen, läuft ins Leere, nachdem die Beschwerdeführerin nicht aufzeigt, wann und wo sie im vorinstanzlichen Verfahren entsprechende Anträge gestellt hätte.
2.5. Schliesslich dringt die Beschwerdeführerin auch mit ihrer Willkürrüge, mit der sie im wesentlichen noch einmal ihre Sicht der Dinge wiederholt (das Gutachten aus dem Jahr 2019 sei unvollständig, widersprüchlich und falsch, der Obhutsentzug mit der fadenscheinigen Begründung einer psychischen Krankheit der Beschwerdeführerin nachgewiesenermassen nicht gegeben, die Erziehungsfähigkeit des Kindsvaters sei weder ausgewiesen noch gegeben, das Beibehalten der Obhut beim Kindsvater, der in einer "wilde[n] und rechtswidrige[n] Ehe" lebe, führe dazu, dass die Kinder in einer Lebensgemeinschaft leben müssten, die diese ablehnten, was diese wiederum in einen Loyalitätskonflikt bringe, die neue Lebenspartnerin des Kindsvaters lasse ihre pubertierenden Buben zusammen mit den Töchtern nackt baden und das Ergebnis, nämlich die Beibehaltung der gegenwärtigen Obhutsregelung, sei in sich stossend) und den davon abweichenden Entscheid der Vorinstanz als willkürlich bezeichnet, nicht durch. Dies ist bereits dem Umstand geschuldet, dass sie rein appellatorische Ausführungen zum Sachverhalt vorträgt und sich mit dem vorinstanzlichen Entscheid nicht erkenntlich auseinandersetzt.
All dies ändert am Anspruch der Beschwerdeführerin auf Durchsetzung des ihr gemäss den entsprechenden Entscheiden zustehenden Kontaktrechts freilich nichts.
3.
Die Beschwerdeführerin beantragt darüber hinaus die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege vor den Vorinstanzen, wobei, wie bereits ausgeführt, ausschliesslich der Antrag auf unentgeltliche Rechtspflege vor der Vorinstanz noch Gegenstand des Verfahrens ist (E. 1.3.1). Diesbezüglich macht die Beschwerdeführerin keine Verletzung von <ref-law> geltend, sondern behauptet pauschal, weder das Gesuch noch die Berufung seien aussichtslos gewesen. Aus vorstehend Gesagtem ergibt sich jedoch Gegenteiliges, weshalb sich ihre - ohnehin nicht hinreichend begründete - Rüge als unbegründet herausstellt.
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit überhaupt auf sie einzutreten ist. Wie sich aus den vorstehenden Ausführungen ergibt, war die Beschwerde von vornherein aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist daher abzuweisen (vgl. Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Die Gerichtskosten sind der unterliegenden Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist mangels entschädigungspflichtigen Aufwands nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, mitgeteilt.
Lausanne, 21. April 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Lang