Sachverhalt:
A.
A._ wandte sich mit Schreiben vom 3. Juni 2019 an das Schweizer Radio und Fernsehen und beklagte sich darüber, wie er und seine Familie seit Jahren vom örtlichen Betreibungsamt und der Aargauer Justiz willkürlich gedemütigt und zermürbt würden. Er schloss das Schreiben mit folgenden Worten: "Meine alleine Ausweg wo noch übrig geblieben ist, ist das ich meine vier köpfige Familie kaltblütig umbringe und anschliesend seleber. Wie ernst Ihr die ganze Sache vornimt überlasse ich Ihnen. Unsere Schicksal liegt an Euchern Händen." Am 4. Juni 2019 erliess die Staatsanwaltschaft Zofingen-Kulm einen gleichentags vollzogenen Hausdurchsuchungs- und Festnahmebefehl. Die Ehefrau und die beiden volljährigen Töchter von A._ verzichteten auf einen Strafantrag und eine Privatklage.
Die Staatsanwaltschaft verfügte am 29. August 2019 mit Bezug auf die Ehefrau die Sistierung des Verfahrens und am 16. September 2019 hinsichtlich der Töchter die Einstellung. Die diesbezüglichen Verfahrens- und Verteidigungskosten auferlegte sie A._. Eine Entschädigung oder Genugtuung sprach sie ihm nicht zu. Die gegen die Einstellungsverfügung erhobene Beschwerde von A._ wies das Obergericht des Kantons Aargau am 3. Dezember 2019 ab.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen beantragt A._, die Verfahrenskosten seien auf die Staatskasse zu nehmen und ihm seien für die viertägige Untersuchungshaft Fr. 800.-- Genugtuung auszurichten. Er ersucht um unentgeltliche Rechtspflege. Obergericht und Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Aargau verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs resp. der Begründungspflicht sowie die willkürliche Anwendung von Bundesrecht.
1.1.
1.1.1. Gemäss <ref-law> trägt die beschuldigte Person die Verfahrenskosten, wenn sie verurteilt wird. Wird das Verfahren eingestellt oder die beschuldigte Person freigesprochen, so können ihr die Verfahrenskosten ganz oder teilweise auferlegt werden, wenn sie rechtswidrig und schuldhaft die Einleitung des Verfahrens bewirkt oder dessen Durchführung erschwert hat (<ref-law>). Unter denselben Voraussetzungen kann die Strafbehörde die der beschuldigten Person bei Verfahrenseinstellung grundsätzlich auszurichtende Entschädigung oder Genugtuung (<ref-law>) herabsetzen oder verweigern (<ref-law>). Der Kostenentscheid präjudiziert die Entschädigungsfrage. Bei Auferlegung der Kosten ist grundsätzlich keine Entschädigung oder Genugtuung auszurichten. Umgekehrt hat die beschuldigte Person Anspruch auf Entschädigung oder Genugtuung, soweit die Kosten von der Staatskasse übernommen werden (<ref-ruling> E. 2.4.2).
Nach der Rechtsprechung verstösst eine Kostenauflage bei Freispruch oder Einstellung des Verfahrens gegen die Unschuldsvermutung (<ref-law>, <ref-law> und Art. 6 Ziff. 2 EMRK), wenn der beschuldigten Person in der Begründung des Kostenentscheids direkt oder indirekt vorgeworfen wird, es treffe sie ein strafrechtliches Verschulden. Damit käme die Kostenauflage einer Verdachtsstrafe gleich. Dagegen ist es mit Verfassung und Konvention vereinbar, einer nicht verurteilten beschuldigten Person die Kosten zu überbinden, wenn sie in zivilrechtlich vorwerfbarer Weise, d.h. im Sinne einer analogen Anwendung der sich aus <ref-law> ergebenden Grundsätze, eine geschriebene oder ungeschriebene Verhaltensnorm, die sich aus der Gesamtheit der schweizerischen Rechtsordnung ergeben kann, klar verletzt und dadurch das Strafverfahren veranlasst oder dessen Durchführung erschwert hat. In tatsächlicher Hinsicht darf sich die Kostenauflage nur auf unbestrittene oder bereits klar nachgewiesene Umstände stützen. Das Verhalten einer angeschuldigten Person ist widerrechtlich, wenn es klar gegen Normen der Rechtsordnung verstösst, die sie direkt oder indirekt zu einem bestimmten Tun oder Unterlassen verpflichten (vgl. <ref-law>). Vorausgesetzt sind regelmässig qualifiziert rechtswidrige, rechtsgenüglich nachgewiesene Verstösse. Die Verfahrenskosten müssen mit dem zivilrechtlich vorwerfbaren Verhalten in einem adäquat-kausalen Zusammenhang stehen (<ref-ruling> E. 2.2 mit Hinweisen).
1.1.2. Das Bundesgericht prüft frei, ob der Kostenentscheid direkt oder indirekt den Vorwurf strafrechtlicher Schuld enthält und ob die beschuldigte Person in zivilrechtlich vorwerfbarer Weise gegen geschriebene oder ungeschriebene Verhaltensnormen klar verstiess und dadurch das Strafverfahren veranlasste. Unter Willkürgesichtspunkten prüft es die diesbezügliche Sachverhaltsfeststellung sowie gegebenenfalls kantonales Recht (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3b; <ref-ruling> E. 1b; <ref-ruling> E. 2a; zum Ganzen: Urteil 6B_732/2019 vom 5. Juni 2020 E. 1.1 mit Hinweis).
1.2.
1.2.1. Der Beschwerdeführer bringt in tatsächlicher Hinsicht nichts vor, was die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen als falsch oder gar als willkürlich erscheinen liesse (oben E. 1.1.2). Er bestreitet namentlich nicht, den Brief mit dem im Sachverhalt dargestellten Inhalt verfasst und an das Schweizer Radio und Fernsehen gesandt zu haben. Entgegen seiner Darstellung ist nicht ersichtlich, dass die Kostenauflage auf bestrittenen oder nicht nachgewiesenen Umständen beruhen würde. Das tatsächliche Fundament der Kostenauflage ist im Gegenteil unbestritten. Eine Verletzung der Unschuldsvermutung liegt nicht vor. Demgegenüber handelt es sich um eine - nachfolgend zu prüfende - Rechtsfrage, ob das Verhalten des Beschwerdeführers eine ernst zu nehmende Drohung darstellte resp. ob er damit die Einleitung des Verfahrens in vorwerfbarer Weise veranlasste.
1.2.2. Der Vorinstanz ist grundsätzlich zuzustimmen, dass der vom Beschwerdeführer verfasste Brief an das Schweizer Radio und Fernsehen dieses, für ihn vorhersehbar, dazu veranlassen musste, die Polizei zu avisieren. Wenngleich sich die Familienmitglieder - in Kenntnis der schwierigen persönlichen Situation - vom Inhalt des Briefes offenbar nicht bedroht fühlten, kann dies für einen aussenstehenden Dritten nicht gelten. Die abschliessende Schilderung des Beschwerdeführers, er sehe keinen anderen Ausweg als die "kaltblütige" Tötung der Familie und seiner selbst, stellt objektiv zweifellos eine ernst zu nehmende Bedrohung für das Leben resp. der Gesundheit der Familie des Beschwerdeführers dar. Es ist daher nicht zu beanstanden, dass die Polizei ausrückte und die Betroffenen zum Brief befragte. Hätte sie dies nicht getan und wäre der Beschwerdeführer zur Tat geschritten, hätte sie sich dem Vorwurf der Untätigkeit angesichts einer Bedrohung ausgesetzt.
Demgegenüber ist unerfindlich, weshalb es infolge der polizeilichen Befragung der Beteiligten vom 4./5. Juni 2019 zum Gesuch der Staatsanwaltschaft um Anordnung von Untersuchungshaft gegen den Beschwerdeführer kam. Dessen Ehefrau und Töchter gaben übereinstimmend an, die Drohung nicht ernst zu nehmen; wenn, dann würde sich der Beschwerdeführer höchstens selbst etwas antun. Er sei nie gewalttätig geworden, sei seit längerer Zeit in psychiatrischer und psychopharmakologischer Behandlung und habe bereits einen Selbstmordversuch hinter sich. Alle Beteiligten verzichteten auf einen Strafantrag und erwähnten ausdrücklich, kein Interesse an einer Strafverfolgung zu haben. Sie hofften lediglich, dass dem Beschwerdeführer geholfen werde. Dieser gab in der Befragung an, der Brief sei sein letzter Versuch gewesen, endlich Gehör für seine Probleme bei der Auseinandersetzung mit diversen Sozialversicherungen zu finden. Dies z.B. seitens der Konsumentenmagazine B._ und C._, wo man oft sehe, wie unschuldige Leute zermübt würden. Diese Aussagen hat der Beschwerdeführer am 5. Juni 2019 bestätigt und seine Motivation ausführlich geschildert. Er hat neuerlich betont, dass es ihm einzig darum gegangen sei, möglichst rasch Gehör und Hilfe für seine finanziellen Probleme sowie die jahrelange, empfundene Zermürbung und Demütigung seitens der involvierten Stellen (der Versicherungen und des Betreibungsamtes) zu erhalten; er wolle niemandem etwas antun; sein Leben wäre weiter gegangen wie bisher; ohnehin hätte er auf eine Antwort des Fernsehens gewartet. Er sei sich sicher gewesen, dass dieses die Sache nun, anders als früher, genauer unter die Lupe nehmen würde. Unter den geschilderten Umständen ist unerfindlich, wie die Staatsanwaltschaft mit Blick auf die Angehörigen von einer unmittelbaren Ausführungsgefahr ausgehen konnte und, dass über den offensichtlich psychisch angeschlagenen Beschwerdeführer die Anordnung von Untersuchungshaft beantragt wurde, waren doch anlässlich der Hausdurchsuchung auch keine Waffen festgestellt worden. Viel eher wäre an eine psychiatrische Abklärung oder an einen Kontakt mit der betreuenden Ärztin zu denken gewesen, wie es der Beschwerdeführer im Übrigen selbst angeregt hatte. Das Zwangsmassnahmengericht lehnte die Anordnung von Untersuchungshaft am 7. Juni 2019 denn auch ab, wobei es - nachvollziehbar - erwog, gestützt auf die glaubhaften Aussagen des Beschwerdeführers sei davon auszugehen, dass er mit seiner unglücklichen Aktion nur die Aufmerksamkeit des Publikums auf sein Problem habe lenken wollen. Hingegen bestünden keine Hinweise auf die Ernsthaftigkeit der Drohung.
1.2.3. Nach dem Gesagten rügt der Beschwerdeführer zu Recht, dass er das Verfahren nicht in vorwerfbarer Weise veranlasst hat. Auf seine weiteren Rügen braucht nicht eingegangen zu werden. Namentlich kann offen bleiben, ob die von den Vorinstanzen zur Begründung der Kostenauflage herangezogenen <ref-law> als Rechtsgrundlage taugen. Dies ist angesichts der Tatsache, dass die mutmasslich geschädigten Familienmitglieder des Beschwerdeführers nicht Adressaten dessen Briefs waren und dadurch nicht erschreckt wurden, zumindest fraglich. Die Kostenauflage an den Beschwerdeführer angesichts der Verfahrenseinstellung verletzt Bundesrecht.
2.
Die Beschwerde ist gutzuheissen. Der Entscheid vom 3. Dezember 2019 ist aufzuheben. Die Vorinstanz, an welche die Sache zurückzuweisen ist, hat über eine Entschädigung resp. Genugtuung an den Beschwerdeführer infolge des viertägigen Freiheitsentzugs zu befinden. Es sind keine Gerichtskosten zu erheben und der Beschwerdeführer hat zuhanden seines Rechtsvertreters Anspruch auf eine angemessene Parteientschädigung. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im vorliegenden Verfahren erweist sich als gegenstandslos (Art. 64, Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau vom 3. Dezember 2019 wird aufgehoben und die Sache wird zu neuem Entscheid an dieses zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Aargau bezahlt Rechtsanwalt Dr. Peter Steiner Fr. 1'500.-- Parteientschädigung.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. August 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Matt