Faits :
A.
A._ et B._, sont les parents non mariés de C._, né en 2013. A._ a aussi une fille, née en 2006 d'une précédente relation. B._ a également une fille, née en 2018 de sa relation avec D._, qu'elle a épousé en 2017; elle a en outre entamé une procédure d'adoption en faveur de la fille aînée de son époux, âgée de 12 ans et dont la mère est décédée.
A.a. Le 6 décembre 2013, les parents de C._ ont signé une convention, approuvée le 24 janvier 2014 par le Juge de paix du district de Lausanne, prévoyant notamment l'attribution de l'autorité parentale conjointe et fixant les modalités de prise en charge de l'enfant en cas de dissolution du ménage commun, à savoir l'attribution de la garde à la mère et d'un droit de visite en faveur du père, à raison d'un week-end sur deux, du vendredi à 18 heures au dimanche à 18 heures, ainsi que de la moitié des vacances scolaires, alternativement Noël ou Nouvel an, Pâques ou Pentecôte.
A.b. Les parents de C._ se sont séparés en septembre 2014.
A.c. Par convention du 15 juillet 2015, approuvée par la Justice de paix du district de Lausanne pour valoir jugement, les parties ont notamment modifié les modalités d'exercice du droit de visite du père, en ce sens qu'en sus du droit de visite usuel, celui-ci était autorisé à avoir son fils auprès de lui un après-midi par semaine, chaque mercredi de 16 heures à 19 heures et, dès le début de sa scolarisation, alternativement le mercredi et le jeudi après-midi, à l'exception des périodes de vacances scolaires.
A.d. Le 8 septembre 2017, le père a adressé un signalement concernant son fils au Service de protection de la jeunesse (SPJ; désormais dénommé la Direction générale de l'enfance et de la jeunesse [DGEJ] à compter du 1er septembre 2020), dans lequel il formulait de nombreuses récriminations à l'égard de la mère. Dans un rapport du 15 décembre 2017, le SPJ a constaté que C._ n'était pas en danger dans son développement et que la mère exerçait ses compétences parentales de manière adéquate. Il a toutefois souligné que l'important conflit parental pourrait, à terme, avoir des conséquences sur le développement de l'enfant. Il lui apparaissait ainsi nécessaire que les modalités de garde et de droit de visite soient examinées. A la suite de ce rapport, la Juge de paix a, par décision du 23 février 2018, clôt le dossier d'enquête préalable en protection de mineur.
B.
Dans l'intervalle, soit par courrier du 9 février 2018, A._ a introduit une requête au terme de laquelle il a conclu à l'instauration d'une garde alternée sur l'enfant C._, subsidiairement à l'élargissement de son droit aux relations personnelles. Il a invoqué son excellent lien avec son fils et une volonté de consacrer plus de temps à l'enfant et à son éducation. B._ a conclu au rejet de la requête et à l'attribution en sa faveur de l'autorité parentale exclusive.
B.a. Par décision du 13 août 2018, la Juge de paix a nommé Me E._ en qualité de curatrice de représentation de l'enfant, avec pour mission de le représenter dans la procédure opposant ses parents. Au terme de son rapport du 1er mai 2019 - basé sur ses entretiens avec le mineur, avec ses parents ainsi qu'avec les Dresses F._ et G._, dûment déliées du secret professionnel, ainsi que de la directrice de l'UAPE H._ -, la curatrice a proposé le maintien de l'autorité parentale conjointe, mais sous haute surveillance. Elle s'est prononcée en défaveur de la garde alternée au vu du conflit parental extrême et du jugement du père sur la mère, préconisant le maintien de la garde à la mère et des modalités actuelles du droit de visite, avec instauration d'une curatelle de surveillance des relations personnelles en vue de planifier les vacances avec les parents. Il ressort notamment de ce rapport que la directrice de l'UAPE a décrit l'enfant comme " un enfant joyeux, calme, discret, souriant: un enfant solaire et plein d'humour... à l'aise avec le grand groupe...empathique ". En outre, les Dresses F._ et G._ avaient contacté l'enseignante de C._, qui leur avait décrit un enfant " intelligent, motivé et actif " mais qui a " envie de trop bien faire. Il est déstabilisé par la critique de l'adulte. Le conflit parental est au premier plan. L'enseignante a constaté que le père mettait toute la faute sur la mère et que cette dernière se sentait accusée ".
Sur requête de la Juge de paix, la Dresse I._ a écrit le 12 juin 2019 un bref rapport sur la prise en charge de C._, qu'elle avait vu pour la dernière fois le 29 mai 2018. Elle a indiqué que son développement cognitif et sa croissance staturo-pondérale étaient parfaits. Le 3 juillet 2019, elle a complété ce document en précisant qu'elle était très inquiète quant à la virulence du conflit parental. Elle a remarqué que si C._ avait fait preuve de beaucoup de résilience, il n'était pas exclu, au vu d'une encoprésie secondaire, qu'il soit en souffrance psychique, et a préconisé pour lui un suivi pédopsychiatrique.
B.b. Une audience s'est tenue le 28 octobre 2019. Par décision du même jour, la Justice de paix du district de Lavaux-Oron (ci-après: la Justice de paix) a refusé d'instaurer une curatelle au sens de l'art. 308 al. 1 et 2 CC en faveur de C._. Elle a aussi maintenu l'autorité parentale conjointe, la garde de l'enfant demeurant attribuée à sa mère et un droit aux relations personnelles étant réservé à son père, à raison d'un week-end sur deux, du vendredi à 18 heures au dimanche à 18 heures, ainsi que chaque semaine alternativement le mercredi ou le jeudi après-midi, de la sortie de l'école à 19 heures, et durant la moitié des vacances scolaires, moyennant un préavis de deux mois donné à la mère, ainsi qu'alternativement à Noël ou Nouvel An, Pâques ou Pentecôte, étant précisé que chaque parent doit remettre à l'autre les papiers d'identité de l'enfant et les autorisations de sortie du territoire nécessaires et que la mère peut avoir un contact téléphonique avec son fils pendant le droit de visite. Les parents ont été enjoints à entreprendre toutes les démarches nécessaires pour mettre en place dans les meilleurs délais un suivi pédopsychiatrique en faveur de leur enfant.
B.c. Statuant par arrêt du 4 mai 2020, la Chambre des curatelles du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: la Chambre des curatelles) a rejeté les recours respectifs des parents et confirmé la décision de la Justice de paix.
B.d. Par arrêt du 27 janvier 2021, le Tribunal fédéral a admis le recours formé par A._ contre cet arrêt, l'a annulé et a renvoyé la cause à la Chambre des curatelles pour nouvelle décision (cause 5A_477/2020) en raison d'une violation du droit d'être entendu du père, sous l'angle du droit à la réplique, la réponse spontanée de la mère du 26 février 2020 ne lui ayant pas été communiquée.
B.e. Par avis du 8 mars 2021, les parties ont été invitées à se déterminer sur l'arrêt rendu par le Tribunal fédéral et à compléter leurs écritures. Le 18 mars 2021, la mère a indiqué qu'elle n'avait pas de déterminations complémentaires à déposer.
Par avis du 30 mars 2021, un délai a été imparti au père pour se déterminer sur le courrier du 26 février 2020 de la mère. Dans son mémoire complémentaire du 7 mai 2021, le père a notamment requis, à titre de mesures d'instruction, l'interpellation de la Dresse I._, pédiatre, et de la Dresse J._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie d'enfants, adolescents et adultes. Il a aussi sollicité la tenue d'une audience afin que les parties et les deux thérapeutes précitées soient entendues.
Invitée à se prononcer, la Dresse J._ a indiqué, par courrier du 21 mai 2021, qu'elle suivait C._ depuis le 21 janvier 2020 et qu'elle avait pu mettre en évidence l'important conflit qui opposait les deux parents, même si ceux-ci faisaient d'importants efforts pour s'accorder et que " les résultats s'avéraient prometteurs ". A son sens, aussi longtemps que les désaccords parentaux subsisteraient " à un niveau aussi élevé ", il n'était pas dans l'intérêt de l'enfant de bénéficier d'une garde alternée, au risque qu'il se trouve confronté à des injonctions contradictoires et encore plus " tiraillé " entre ses deux parents. Elle soulignait aussi que le conflit parental et les divergences qui en découlaient pourraient se trouver apaisés par le travail thérapeutique en cours, qui était centré sur l'enfant et la coparentalité.
Egalement invitée à se prononcer, la Dresse I._ a informé la Chambre des curatelles, par courrier du 28 mai 2021, qu'elle suivait C._ depuis sa naissance mais qu'elle n'était pas apte à se déterminer quant à l'opportunité d'une garde alternée puisqu'elle ne rencontrait l'enfant qu'épisodiquement.
Par courrier du 14 juin 2021, le père s'est déterminé sur les écritures des deux Dresses précitées et de la mère. Il a aussi requis la tenue d'une audience ainsi que l'audition de sa fille, de sa compagne et de la Dresse J._.
B.f. Par arrêt du 30 août 2021, la Chambre des curatelles a rejeté les recours respectifs des parties et confirmé la décision de la Justice de paix du 28 octobre 2019.
C.
Par acte du 1er octobre 2021, A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre cette décision. Il conclut principalement à sa réforme en ce sens qu'une garde alternée est instaurée, celle-ci devant s'exercer, sauf accord contraire des parties, alternativement par chaque parent du vendredi à la sortie de l'école au vendredi matin de la semaine suivante, retour à l'école, ainsi que durant la moitié des vacances scolaires. Subsidiairement, il sollicite la réforme de l'arrêt entrepris en ce sens que son droit aux relations personnelles sur son fils s'exercera du mercredi à midi à la sortie de l'école au jeudi soir à 20h et alternativement un week-end sur deux du vendredi soir à 18h au lundi matin à la rentrée scolaire, ainsi que durant la moitié des vacances scolaires, à charge pour lui d'aller chercher l'enfant là où il se trouve et de le ramener à cet endroit. Plus subsidiairement, il sollicite l'annulation de l'arrêt attaqué et le renvoi de la cause à " l'autorité intimée " pour complément d'instruction au sens des considérants.
Il n'a pas été demandé d'observations.

Considérant en droit :
1.
Déposé en temps utile (<ref-law>) et dans la forme légale (<ref-law>), le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>) portant sur la modification de l'autorité parentale et de la garde, subsidiairement du droit aux relations personnelles, sur un enfant né hors mariage, à savoir une décision de nature non pécuniaire prise en matière civile (<ref-law>) par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (<ref-law>). Le recourant a participé à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt digne de protection à la modification ou l'annulation de la décision entreprise (art. 76 al. 1 let. a et b LTF). Le recours en matière civile est ainsi recevable au regard des dispositions qui précèdent.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être lié ni par les motifs de l'autorité précédente, ni par les moyens des parties; il peut donc admettre le recours en se fondant sur d'autres arguments que ceux invoqués par le recourant, comme il peut le rejeter en opérant une substitution de motifs (<ref-ruling> consid. 1.3.2; <ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 3.2.3). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui peuvent se poser, lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2.4 et les références). Le recourant doit par conséquent discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (<ref-ruling> consid. 1.7.1; <ref-ruling> consid. 2.4 et la référence). Le Tribunal fédéral ne connaît par ailleurs de la violation de droits fondamentaux que si un tel grief a été expressément invoqué et motivé de façon claire et détaillée par le recourant (" principe d'allégation ", <ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 2.1).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si ceux-ci ont été constatés de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 6.7; <ref-ruling> consid. 2.2 et la référence), doit satisfaire au principe d'allégation susmentionné (<ref-law>; cf. supra consid. 3.1). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il n'y a arbitraire que lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 1.1 et la référence). Le recourant ne peut pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; il doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.4.3). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (<ref-ruling> consid. 4.1.2; <ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 1.3.1 et la référence).
3.
Le recourant se plaint à plusieurs égards du refus de la cour cantonale de donner suite à sa réquisition tendant à l'audition des Dresses J._ et I._, de sa compagne actuelle ainsi que de sa fille.
3.1. La Chambre des curatelles a relevé que la Justice de paix avait procédé à l'audition des parents à plusieurs reprises, que C._, qui n'avait atteint l'âge de six ans qu'en fin de procédure de première instance, avait été entendu par sa curatrice ainsi qu'à plusieurs reprises par des professionnelles, notamment les Dresses F._ et G._, thérapeutes aux Boréales, et I._, pédiatre, qui avaient retranscrit son point de vue. Le droit d'être entendu de chacun avait ainsi été respecté et il n'y avait pas lieu de procéder à une nouvelle audition des parties, ni de l'enfant, la Chambre des curatelles étant suffisamment renseignée. Pour ces motifs, elle a décidé de ne pas donner suite aux mesures d'instruction requises par le père.
3.2. En premier lieu, le recourant soutient que la Chambre des curatelles a violé l'art. 238 let. g CPC et son droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. en ne lui indiquant pas les raisons de ce refus de mettre en oeuvre les mesures d'instruction qu'il avait requises en deuxième instance.
3.2.1. La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu de l'art. 29 al. 2 Cst. l'obligation pour l'autorité de motiver sa décision, afin que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause (<ref-ruling> consid. 5.2; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 4.2). Pour satisfaire à cette exigence, il suffit que l'autorité mentionne au moins brièvement les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé sa décision. Elle n'a pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à ceux qui, sans arbitraire, peuvent être tenus pour pertinents (<ref-ruling> consid. 4.2 et les références). Dès lors que l'on peut discerner les motifs qui ont guidé la décision de l'autorité, le droit à une décision motivée est respecté même si la motivation présentée est erronée. La motivation peut d'ailleurs être implicite et résulter des différents considérants de la décision (<ref-ruling> consid. 3.2.1 et les références).
3.2.2. En l'espèce, on ne saurait suivre le recourant lorsqu'il soutient que la cour cantonale n'a pas mentionné les raisons l'ayant conduite à refuser les mesures d'instruction requises. La Chambre des curatelles a en effet expressément indiqué qu'elle était suffisamment renseignée en l'état du dossier, raison pour laquelle il n'y avait pas lieu de donner suite auxdites réquisitions. Cette motivation est certes succincte, mais elle permet de comprendre pour quelle raison les réquisitions du recourant ont été rejetées, de sorte la décision entreprise est dotée d'une motivation suffisante, que ce soit au regard des art. 29 al. 2 Cst. (cf. supra consid. 3.2.1) ou de l'art. 238 let. g CPC.
3.3. En second lieu, le recourant invoque la violation de son droit à la preuve en lien avec le refus de la cour cantonale d'ordonner les mesures d'instruction précitées. Il souligne avoir sollicité l'audition de la Dresse J._ pour le motif que son rapport, qui était très succinct et non motivé et dans lequel elle prenait position sur la question de la garde alternée, contenait des contradictions. Il était selon lui primordial de l'entendre afin de déterminer si l'instauration d'une garde alternée était dans l'intérêt de l'enfant. Le recourant évoque avoir eu un entretien avec la Dresse J._ peu de temps auparavant, lors duquel celle-ci lui avait tenu un discours totalement différent de celui figurant dans sa prise de position. Le même constat s'imposait aussi selon lui s'agissant du refus d'entendre la Dresse I._ ainsi que sa compagne actuelle et sa fille. Le recourant précise enfin que C._ souhaite entretenir des relations plus importantes avec sa demi-soeur, de sorte qu'il était nécessaire d'entendre celle-ci ainsi que sa compagne afin de déterminer s'il y avait lieu de modifier le système en vigueur. Pour ces motifs, le recourant sollicite l'annulation de l'arrêt entrepris et le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour complément d'instruction.
3.3.1. Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. comprend le droit pour le justiciable d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 370); le droit à la preuve se déduit également de l'<ref-law> et trouve une consécration expresse à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 9.3.2; arrêts 5A_383/2021 du 15 septembre 2021 consid. 4.2; 5A_793/2020 du 24 février 2021 consid. 4.1). Il implique que toute personne a droit, pour établir un fait pertinent contesté, de faire administrer les moyens de preuve adéquats, pour autant qu'ils aient été proposés régulièrement et en temps utile (<ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 9.3.2). En revanche, le droit à la preuve n'est pas mis en cause lorsque le juge, par une appréciation anticipée, arrive à la conclusion que la mesure requise n'apporterait pas la preuve attendue, ou ne modifierait pas la conviction acquise sur la base des preuves déjà recueillies (<ref-ruling> consid. 5.2.2; <ref-ruling> consid. 9.3.2; <ref-ruling> consid. 6.3.1; <ref-ruling> consid. 4.3.2). Le recourant doit alors invoquer l'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'appréciation des preuves, en motivant son grief conformément aux exigences plus strictes de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 5.2.2 et les références).
3.3.2. En l'occurrence, lorsqu'elle a refusé de donner suite aux mesures d'instructions requises par le père, la cour cantonale a procédé à une appréciation anticipée des preuves, considérant qu'un complément d'instruction n'était pas susceptible de modifier son opinion. Dans ce contexte, il ne saurait être question d'une violation du droit à la preuve, grief qui doit donc être rejeté. Il appartenait en réalité au recourant de se plaindre, de manière circonstanciée, d'arbitraire dans l'appréciation des preuves sur ce point (cf. supra consid. 3.3.1), ce qu'il n'a pas fait.
4.
Le recourant affirme que, dans le cadre de l'examen de la question de la garde alternée, " l'autorité intimée ne s'est pas souciée du souhait de l'enfant, quand bien même il aurait dû et pu être entendu ". Il n'explicite cependant nullement sa critique, en particulier, n'indique pas précisément en quoi l'autorité cantonale aurait méconnu le droit (cf. supra consid. 2.1) lorsqu'elle a relevé que l'enfant a été entendu par des professionnelles et que celles-ci ont retranscrit son point de vue, de sorte qu'il n'y avait pas lieu de l'entendre à nouveau (cf. supra consid. 3.1).
5.
Le recourant remet en cause le refus de l'autorité cantonale de modifier la prise en charge de C._ dans le sens d'une garde alternée. Subsidiairement, il fait valoir que la cour cantonale ne pouvait pas se dispenser d'examiner s'il se justifiait d'élargir son droit aux relations personnelles.
5.1. Aux termes de l'<ref-law>, à la requête de l'un des parents ou de l'enfant ou encore d'office, l'autorité de protection de l'enfant modifie l'attribution de l'autorité parentale lorsque des faits nouveaux importants le commandent pour le bien de l'enfant (al. 1). Elle peut aussi se limiter à statuer sur la garde de l'enfant, les relations personnelles ou la participation de chaque parent à sa prise en charge (al. 2). Toute modification dans l'attribution de l'autorité parentale ou de la garde suppose ainsi que la nouvelle réglementation soit requise dans l'intérêt de l'enfant en raison de la survenance de faits nouveaux essentiels. En d'autres termes, une nouvelle réglementation ne dépend pas seulement de l'existence de circonstances nouvelles importantes; elle doit aussi être commandée par le bien de l'enfant (<ref-ruling> consid. 3 [concernant l'art. 157 aCC]; arrêts 5A_762/2020 du 9 février 2021 consid. 4.1; 5A_228/2020 du 3 août 2020 consid. 3.1 [concernant l'<ref-law>]; 5A_756/2019 du 13 février 2020 consid. 3.1.1; 5A_406/2018 du 26 juillet 2018 consid. 3.1). La modification ne peut ainsi être envisagée que si le maintien de la réglementation actuelle risque de porter atteinte au bien de l'enfant et le menace sérieusement; la nouvelle réglementation doit s'imposer impérativement, en ce sens que le mode de vie actuel nuit plus au bien de l'enfant que le changement de réglementation et la perte de continuité dans l'éducation et les conditions de vie qui en est consécutive (arrêts 5A_762/2020 du 9 février 2021 consid. 4.1; 5A_228/2020 du 3 août 2020 consid. 3.1 [concernant l'<ref-law>]; 5A_848/2018 du 16 novembre 2018 consid. 5.1 [concernant l'<ref-law>]; 5A_943/2016 du 1er juin 2017 consid. 6.2.1 et la référence).
Savoir si une modification essentielle est survenue par rapport à la situation existant au moment où la décision initiale a été prise doit s'apprécier en fonction de toutes les circonstances du cas d'espèce et relève du pouvoir d'appréciation du juge (<ref-law>; arrêts 5A_762/2020 du 9 février 2021 consid. 4.1; 5A_228/2020 du 3 août 2020 et les références). Le Tribunal fédéral s'impose dès lors une certaine retenue en la matière. Il n'intervient que si l'autorité cantonale a pris en considération des éléments qui ne jouent aucun rôle au sens de la loi ou a omis de tenir compte de facteurs essentiels (<ref-ruling> consid. 2.6; <ref-ruling> consid. 5.3.2; <ref-ruling> consid. 6.6).
5.2. En premier lieu, la Chambre des curatelles a jugé qu'il n'apparaissait pas judicieux en l'espèce de modifier la prise en charge de l'enfant et d'instaurer une garde alternée.
5.2.1. Sur ce point, après avoir laissé ouverte la question de l'existence ou non de faits nouveaux impliquant d'entrer en matière sur la question de la modification de la garde, la cour cantonale a commencé par constater que des professionnels avaient relevé que le père n'avait pas d'empathie pour son fils et que celui-ci n'avait pas accès à sa mère lorsqu'il résidait chez son père. Pour ces motifs déjà, la garde alternée ne semblait pas être la situation la plus favorable au bon développement de l'enfant. Contrairement à ce que soutenait le père, ces constatations ne devaient pas être écartées. Elles avaient en effet été rendues par des thérapeutes professionnelles des Boréales rompues à cet exercice et le fait que celles-ci n'aient rencontré le père et son fils qu'à un nombre déterminé de rendez-vous ne permettait pas de faire abstraction de ces conclusions. En outre, le père avait lui-même délié les Dresses F._ et G._ du secret médical à l'égard de la curatrice, de sorte que l'on peinait à le comprendre lorsqu'il soutenait que le suivi thérapeutique litigieux n'existait pas.
S'agissant toujours de l'opportunité d'une garde alternée, la stabilité de l'enfant paraissait être un élément déterminant dans le contexte déjà conflictuel dans lequel il se trouvait, de sorte qu'il y avait lieu de préserver ses repères et le mode de fonctionnement dans lequel il évoluait. De plus, les désaccords marqués et récurrents entre les parents s'opposaient à une prise en charge partagée. S'il était vrai que grâce aux injonctions de l'autorité de protection, les points de désaccord les plus importants avaient pu être réglés, il n'en demeurait pas moins que l'instauration d'une garde alternée engendrerait nécessairement plus de discussions sur les activités extrascolaires, les horaires d'entraînement, les affaires dont l'enfant avait besoin, les devoirs et le moment où ceux-ci devaient être effectués et quel en était le superviseur, la signature de l'agenda, les rendez-vous de médecin ordinaires, les achats de vêtements et autres questions qui pouvaient paraître anodines dans un contexte apaisé mais qui assurément engendreraient des conflits supplémentaires entre les parents de C._ au vu des échanges qu'ils avaient actuellement. Cette hypothèse était d'autant plus probable que, comme le relevait le rapport de la Dresse J._ du 21 mai 2021, l'important conflit qui opposait les parents subsistait encore, et ce malgré leurs efforts pour s'accorder. Elle avait d'ailleurs indiqué qu'une garde alternée n'était pour le moment pas dans l'intérêt de l'enfant au risque qu'il se retrouve encore confronté à des injonctions parentales contradictoires. Enfin, le fait que le père travaillait désormais à temps partiel ou que le trajet pour emmener C._ à l'école soit relativement court depuis son domicile ne changeait rien au constat qui précédait. Pour ces motifs, la Chambre des curatelles a en définitive jugé qu'il ne faisait pas de doute que la garde alternée n'était pas envisageable.
5.2.2. Le recourant fait valoir que l'état de fait a été établi de manière inexacte. Il demande que celui-ci soit complété, en ce sens qu'il est constaté qu'il est titulaire d'une garde alternée sur sa fille issue d'une précédente union et que la Dresse F._ n'avait pas pour mandat de suivre C._. Il faudrait aussi supprimer les mentions du fait qu'il n'aurait pas d'empathie pour son fils et que celui-ci n'aurait pas accès à sa mère lorsqu'il réside chez lui. Sous le titre " violation de la maxime d'office inquisitoire en relation avec l'<ref-law> ", le recourant affirme que l'état de fait est lacunaire s'agissant des capacités éducatives de chacun des parents, qui devaient selon lui être examinées d'office en vertu de l'<ref-law>, applicable par renvoi de l'<ref-law>. La maxime inquisitoire imposait par ailleurs de mettre en oeuvre une évaluation par le SPJ et une expertise pédopsychiatrique, d'une part pour déterminer lesdites capacités éducatives, d'autre part pour examiner les autres critères d'attribution de la garde alternée posés par la jurisprudence. En outre, le recourant soutient que la décision entreprise viole l'<ref-law>, respectivement relève d'un abus du pouvoir d'appréciation, en tant qu'elle refuse d'instaurer une garde alternée alors que les critères posés par la jurisprudence seraient remplis. Se référant à l'arrêt du Tribunal fédéral 5A_200/2019, il rappelle que l'instauration d'une garde alternée est possible même en l'absence d'accord de l'un des parents. Après avoir affirmé que ses capacités éducatives ne sont pas remises en doute, il fait valoir que le raisonnement de la Chambre des curatelles relatif à l'existence d'un conflit entre les parents est contradictoire, citant plusieurs éléments du dossier qui tendraient à démontrer que nonobstant leurs divergences, les parents parviennent à communiquer en bonne intelligence lorsqu'il s'agit de leur enfant. Quant au rapport de la Dresse J._, il ne permettrait pas de retenir que l'instauration d'une garde alternée ne serait pas dans l'intérêt de l'enfant ou lui serait néfaste, seul un risque théorique y étant évoqué, ce qui ne serait pas suffisant, sous peine de vider l'<ref-law> de sa substance.
Le recourant soutient enfin que dans tous les cas, le prétendu conflit entre les parents ne saurait justifier à lui seul de ne pas examiner les autres critères pertinents pour l'octroi d'une garde alternée, en particulier la situation géographique et la distance entre les logements des parents - celle-ci étant en occurrence selon lui compatible avec une garde alternée -, la capacité et la volonté de chaque parent de favoriser les contacts entre l'enfant et l'autre parent - lesquelles évoluaient en l'espèce favorablement -, et la possibilité qu'il a de s'occuper personnellement de l'enfant - qui serait donnée dès lors qu'il est titulaire de la garde alternée sur sa fille ainée -, étant relevé que l'âge de l'enfant ne s'opposerait pas à une telle solution. En définitive, la décision cantonale relèverait d'un abus du pouvoir d'appréciation et aboutirait à un résultat choquant et inéquitable, soit arbitraire.
5.2.3. Le recourant ne peut être suivi. Selon la jurisprudence constante relative à l'<ref-law>, pour qu'une modification de la réglementation actuelle de la prise en charge de l'enfant puisse être envisagée, il faut que cette réglementation risque de porter atteinte au bien de l'enfant et le menace sérieusement (cf. supra consid. 5.1). Or, rien n'indique que tel serait le cas en l'espèce et le recourant ne le prétend d'ailleurs pas, se limitant à soutenir que rien ne s'opposerait à l'instauration d'une garde alternée, en particulier, que celle-ci ne serait pas préjudiciable à l'intérêt de C._. Dès lors que la condition précitée, qui constitue une condition sine qua non en matière de modification de la garde, n'est pas remplie, l'autorité cantonale pouvait sans plus ample examen refuser le passage à une garde alternée et aurait en réalité pu se dispenser d'examiner l'ensemble des critères applicables en matière d'attribution de la garde. En particulier, il ne se justifiait pas de déterminer si l'instauration d'une garde alternée serait possible et compatible avec le bien de l'enfant (sur les critères applicables en la matière, cf. <ref-ruling> consid. 3.2.3), mais seulement de constater qu'une nouvelle réglementation ne s'imposait pas impérativement dès lors que le bien de l'enfant apparaissait garanti par son mode de vie actuel (cf. supra consid. 5.1). La critique du recourant ayant trait à l'application de la maxime inquisitoire, à la constatation des faits nécessaires pour l'application des critères d'attribution de la garde (notamment la question de l'intensité du conflit parental), ainsi qu'à la pondération de ceux-ci, en particulier par référence à l'<ref-law> et à l'arrêt 5A_200/2019 du 29 janvier 2020, elle n'est en réalité pas pertinente.
Il résulte de ce qui précède que la décision entreprise, en tant qu'elle refuse de modifier la réglementation actuelle dans le sens d'une garde alternée, ne procède pas d'un abus du pouvoir d'appréciation.
5.3. En second lieu, la cour cantonale a rejeté la conclusion du recourant tendant à la modification de son droit aux relations personnelles sur C._.
5.3.1. Sur ce point, la Chambre des curatelles a relevé qu'à l'audience du 28 décembre 2019, le père avait pris des conclusions subsidiaires tendant à l'élargissement de son droit aux relations personnelle, celui-ci devant s'exercer toutes les semaines du mercredi soir au vendredi soir en sus d'un week-end sur deux. Selon l'autorité cantonale, c'était à bon droit que le premier juge avait retenu que de telles relations personnelles élargies s'apparentaient à une garde alternée et c'était mathématiquement exact, puisque cela revenait à permettre à C._ de passer la moitié du temps avec son père. On ne voyait dès lors pas pour quel motif cette requête, qui avait le même objet que celle tendant à l'attribution d'une garde alternée, devrait faire l'objet d'un examen subsidiaire sous l'angle des <ref-law>, le père n'expliquant pas en quoi l'appréciation du juge sous l'empire de ces dispositions serait différente.
5.4. Le recourant s'en prend au refus de l'autorité cantonale d'examiner, conformément à l'<ref-law>, si son droit aux relations personnelles sur son fils devait être élargi. Il fait valoir que la décision entreprise viole l'art. 446 al. 1 et 3 CC, applicables par renvoi de l'<ref-law>. En particulier, il soutient que la question d'une modification de son droit aux relations personnelles devait être examinée d'office et que l'autorité n'était pas liée par les conclusions des parties à cet égard, ce d'autant que la mère ne s'opposait pas à l'élargissement qu'il avait sollicité. En outre, le recourant conteste que ses conclusions relatives au droit de visite - qu'il rappelle avoir réduites - aient la même portée que celles tendant à l'attribution d'une garde alternée; en considérant que tel était le cas, l'autorité cantonale aurait mal appliqué l'<ref-law>, puisqu'elle serait à tort partie du principe que l'autorité de première instance était liée par ses conclusions. Enfin, la Chambre des curatelles aurait violé son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), limité arbitrairement son examen à la question de l'octroi d'une garde alternée et violé la maxime inquisitoire illimitée garantie par l'<ref-law>.
5.5. En tant que le recourant fait valoir la violation de son droit d'être entendu, il ne motive nullement son grief, de sorte que celui-ci est irrecevable (cf. supra consid. 2.1). Pour le surplus, il méconnaît une nouvelle fois le fait que dans la mesure où le bien de l'enfant est garanti par l'organisation actuelle, il n'y avait de toute manière pas lieu de revoir les modalités de son droit aux relations personnelles (cf. supra consid. 5.1), de sorte que les griefs soulevés doivent d'emblée être rejetés. Dans ces circonstances, peu importe également de savoir si les conclusions du recourant relatives aux modalités du droit aux relations personnelles équivalaient ou non à une garde alternée.
6.
En conclusion, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité, aux frais du recourant (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens à l'intimée, qui n'a pas été invitée à se déterminer.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux participants à la procédure et à la Chambre des curatelles du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 25 janvier 2022
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Dolivo