Fatti:
A.
Il 16 gennaio 2013, rispettivamente il 14 febbraio 2013, lo Stato del Cantone Ticino, rappresentato dalla Divisione dell'azione sociale e delle famiglie del Dipartimento della sanità e della socialità, e la società Servizio di assistenza a domicilio A._ SA hanno sottoscritto un contratto di prestazione per la fornitura di servizi di assistenza e di cure a domicilio per l'anno 2013. Il contratto fissava in particolare il contributo globale per il finanziamento delle prestazioni. Disciplinava inoltre la procedura in caso di litigio.
B.
Il 2 ottobre 2014 la Divisione dell'azione sociale e delle famiglie, preso atto del risultato dell'esercizio 2013 del Servizio di assistenza a domicilio interessato e considerati gli adeguamenti del contributo globale secondo il contratto, ha rilevato un superamento del contributo globale prefissato ed ha chiesto la restituzione dell'importo di fr. 57'760.--. Il Servizio interessato ha contestato questa richiesta. Tra le parti sono in seguito sorte divergenze riconducibili alla differenza tra il sistema di calcolo adottato dall'autorità cantonale e il modello di contabilità analitica utilizzato dal Servizio di assistenza a domicilio. Quest'ultimo ha nondimeno restituito il 20 maggio 2015 allo Stato del Cantone Ticino l'ammontare di fr. 57'760.-- allo scopo di evitare una procedura esecutiva nei suoi confronti.
C.
Con petizione del 16 dicembre 2015, il Servizio di assistenza a domicilio A._ SA ha convenuto in giudizio dinanzi al Tribunale cantonale amministrativo lo Stato del Cantone Ticino, chiedendo di accertare la conformità alla legge della sua contabilità analitica e di modificare il conteggio relativo alla gestione del disavanzo e delle eccedenze per l'anno 2013 sulla base di tale contabilità. L'attrice ha inoltre chiesto che un contratto di prestazione con lo Stato fosse stipulato anche per gli anni 2014 e 2015 e che il conteggio fosse effettuato anche per questi periodi in base alla sua contabilità.
D.
Con un'ulteriore petizione del 12 maggio 2017, la A._ SA ha nuovamente chiesto alla Corte cantonale di accertare la conformità alle norme legali del suo modello di contabilità analitica e di ordinare la stipulazione di contratti di prestazione per gli anni 2016 e 2017, riconoscendole sulla base della propria contabilità un finanziamento di fr. 177'060.11 per l'anno 2016.
E.
Con due distinte sentenze del 24 luglio 2020 il Tribunale cantonale ha dichiarato irricevibili entrambe le petizioni. Nel giudizio sulla prima petizione (incarto n. 53.2015.2), la Corte cantonale ha ritenuto l'azione improponibile, siccome non era stata dapprima esperita la procedura di conciliazione prevista dal contratto sottoscritto il 16 gennaio 2013/14 febbraio 2013. Ha parimenti negato l'ammissibilità della petizione per quanto riguarda le richieste relative agli anni 2014 e 2015, non essendo stato concluso alcun contratto di prestazione per tali periodi. Nella sentenza concernente la seconda petizione (incarto n. 53.2017.3), la Corte cantonale ha ritenuto per le stesse ragioni improponibile l'azione diretta, non essendo stato concluso tra le parti alcun contratto di prestazione successivo al 2013.
F.
La A._ SA impugna queste sentenze con due ricorsi in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, chiedendo di annullarle e di rinviare gli atti alla Corte cantonale affinché si pronunci nuovamente ai sensi dei considerandi. La ricorrente fa valere l'applicazione arbitraria del diritto cantonale di procedura e la violazione del diritto federale.
G.
La Corte cantonale si conferma nelle sue sentenze. La Divisione dell'azione sociale e delle famiglie si è espressa unicamente sul ricorso contro la sentenza n. 53.2017.3, chiedendo di respingerlo e di confermare la decisione impugnata.

Diritto:
1.
1.1. I ricorsi concernono le stesse parti e riguardano fattispecie analoghe. Si giustifica quindi di trattarli congiuntamente, in un unico giudizio (<ref-law> in relazione con l'<ref-law>).
1.2.
I ricorsi sono diretti contro due decisioni finali (<ref-law>) pronunciate in cause di diritto pubblico (<ref-law>) da un'autorità cantonale di ultima istanza (art. 86 cpv. 1 lett. d LTF). I ricorsi sono tempestivi (art. 100 cpv. 1 in relazione con l'<ref-law>) e di principio ammissibili, non essendo realizzata alcuna eccezione prevista dall'<ref-law>. La ricorrente è particolarmente toccata dalle sentenze impugnate e ha un interesse degno di protezione all'annullamento o alla modifica delle stesse (<ref-law>).
2.
2.1. La ricorrente contesta la decisione con cui i giudici cantonali hanno dichiarato irricevibile la petizione del 16 dicembre 2015. Lamenta una violazione degli art. 4 e 92 lett. b della legge ticinese sulla procedura amministrativa, del 24 settembre 2013 (LPAmm; RL 165.100). Sostiene al riguardo che l'art. 12 del contratto di prestazione non sarebbe conforme all'art. 4 LPAmm e all'<ref-law>. Adduce inoltre che dichiarando irricevibile la petizione senza esaminare la validità della citata disposizione contrattuale, la Corte cantonale avrebbe pure violato il suo diritto di essere sentita (<ref-law>) e la garanzia della via giudiziaria (<ref-law>).
2.2. Il Tribunale federale esamina sotto il profilo ristretto dell'arbitrio l'eventuale lesione di norme del diritto cantonale (<ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 1.2.1). L'arbitrio, vietato dall'<ref-law>, è ravvisabile quando la decisione impugnata risulta manifestamente insostenibile, in contraddizione palese con la situazione effettiva, gravemente lesiva di una norma o di un chiaro principio giuridico, o in contrasto intollerabile con il sentimento di giustizia e di equità. La decisione deve inoltre essere arbitraria nel suo risultato e non solo nella sua motivazione. Non risulta per contro arbitrio dal semplice fatto che anche un'altra soluzione potrebbe entrare in linea di conto o sarebbe addirittura preferibile (<ref-ruling> consid. 6.2.1; <ref-ruling> consid. 7.1 e rinvio).
Per l'interpretazione dei contratti di diritto amministrativo occorre innanzitutto fondarsi, come per un contratto di diritto privato, sulla vera e concorde volontà dei contraenti (<ref-law>). Ciò che le parti sapevano, volevano o hanno effettivamente compreso quando hanno concluso il contratto attiene ai fatti e può quindi essere esaminato unicamente entro i limiti dell'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 6.2.2; <ref-ruling> consid. 3.3). L'interpretazione del contratto secondo il principio dell'affidamento costituisce per contro una questione di diritto, che il Tribunale federale esamina liberamente nei contratti di diritto pubblico federale e limitatamente all'arbitrio in quelli di diritto pubblico cantonale (<ref-ruling> consid. 6.2.2).
2.3. L'art. 12 del contratto di prestazione, dal titolo marginale, "Procedura in caso di contenzioso", prevede quanto segue:
In caso di contenzioso in merito ai contenuti del presente contratto, le parti si impegnano ad intavolare subito trattative per raggiungere un accordo che soddisfi entrambe.
Se un accordo non viene raggiunto, le parti si impegnano a collaborare nell'ambito di una procedura di conciliazione libera, gestita da una commissione paritetica di quattro membri, di cui due designati dal Cantone e due designati dall'Organizzazione.
Se anche la procedura di conciliazione non dovesse portare ad alcun accordo, le parti potranno promuovere un'azione diretta dinanzi al Tribunale amministrativo in virtù dell'art. 71 lett. b della legge di procedura per le cause amministrative.
L'art. 4 LPAmm, che disciplina la competenza dell'ambito del procedimento amministrativo, prevede ch'essa è stabilita dalla legge e, riservate contrarie disposizioni, non può essere fondata né modificata per accordo delle parti. Questa disposizione corrisponde all'art. 2 della previgente legge di procedura per le cause amministrative, del 19 aprile 1966 (vLPamm), in vigore fino al 28 febbraio 2014.
Secondo l'art. 92 lett. b LPAmm, il Tribunale cantonale amministrativo giudica quale istanza unica le contestazioni che sorgono da contratti di diritto pubblico in cui lo Stato o un Comune o un ente cantonale autonomo o un organismo indipendente incaricato di compiti di diritto pubblico è parte. Questa norma corrisponde sostanzialmente al previgente art. 71 lett. b vLPamm.
In concreto, la Corte cantonale ha rilevato che non era stata svolta preliminarmente la procedura di conciliazione dinanzi alla commissione paritetica prevista in modo vincolante per le parti dall'art. 12 del contratto, sicché l'azione diretta ai sensi dell'art. 92 lett. b LPAmm era inammissibile.
2.4.
2.4.1. Il contratto sottoscritto il 16 gennaio 2013/14 febbraio 2013 è fondato sulla legge ticinese sull'assistenza e cura a domicilio, del 30 novembre 2010 (LACD; RL 872.100) ed ha quale oggetto la definizione delle prestazioni erogate dal Servizio di assistenza e di cura a domicilio, la loro determinazione sui piani quantitativo e qualitativo, l'ammontare del contributo globale assicurato da parte del Cantone, nonché ulteriori aspetti relativi alla collaborazione tra le due parti (cfr. art. 2 del contratto). Non è contestato dalle parti che il contratto di prestazione in questione costituisce un contratto di diritto amministrativo fondato sul diritto pubblico cantonale (cfr. <ref-ruling> consid. 2.2). La facoltà di regolamentare contrattualmente il rapporto giuridico tra lo Stato e la ricorrente nel campo delle prestazioni di assistenza e di cura a domicilio è prevista dall'art. 9 cpv. 1 lett. d e cpv. 2 LACD e dall'art. 2 lett. b e c del relativo regolamento di applicazione, del 22 agosto 2012 (RLACD; RL 872.110).
2.4.2. La ricorrente sostiene che le parti non avrebbero potuto stipulare contrattualmente una procedura di conciliazione come quella prevista dall'art. 12 del contratto, siccome gli art. 4 LPAmm e 7 cpv. 2 PA impedirebbero di modificare la competenza della Corte cantonale quale istanza unica per giudicare le contestazioni che sorgono da un contratto di diritto pubblico, prevista dall'art. 92 lett. b LPAmm. La ricorrente adduce che l'art. 12 del contratto sarebbe nullo.
Nella fattispecie è quantomeno dubbio che la ricorrente, dopo avere sottoscritto senza riserve il contratto che prevede una chiara procedura in caso di contenzioso, possa in buona fede invocarne ora l'invalidità adducendo un preteso contrasto con la legge (<ref-ruling> consid. 2b; sentenza 2C_512/2011 del 26 settembre 2011 consid. 6.4, in: RtiD I-2012 pag. 473 segg.). La questione può rimanere indecisa, essendo il gravame comunque infondato. L'art. 4 LPAmm, vieta la modificazione, per accordo delle parti, della competenza stabilita dalla legge. L'art. 12 del contratto non esclude tuttavia la competenza del Tribunale cantonale amministrativo di giudicare i litigi derivanti dal contratto, ma prevede unicamente che prima di poterlo adire mediante un'azione diretta giusta l'art. 92 lett. b LPAmm (art. 71 lett. b vLPamm), sia svolta una procedura di conciliazione dinanzi ad una commissione paritetica di quattro membri, di cui due designati dal Cantone e due designati dall'Organizzazione. Secondo la dottrina, l'art. 4 LPAmm, come il previgente art. 2 vLPamm, non esclude la possibilità per le parti di prevedere una clausola arbitrale in un contratto di diritto amministrativo (MARCO BORGHI/GUIDO CORTI, Compendio di procedura amministrativa ticinese, 1997, n. 3 all'art. 2 vLPamm). In tali circostanze, considerato che le parti erano abilitate a regolamentare contrattualmente i loro rapporti giuridici nell'ambito delle prestazioni di assistenza e di cura a domicilio, il fatto ch'esse abbiano concordato contrattualmente, in caso di litigio, di svolgere una procedura di conciliazione formale prima di eventualmente adire la Corte cantonale mediante azione diretta, non viola manifestamente gli art. 4 e 92 lett. b LPAmm. Si tratta di una soluzione sostenibile, volta a favorire un accordo tra le parti, che non modifica di per sé la competenza della Corte cantonale. Al riguardo, l'<ref-law>, richiamato dalla ricorrente, non entra in considerazione nella fattispecie, non trattandosi di una procedura dinanzi ad un'autorità amministrativa federale (cfr. <ref-law>).
3.
3.1. La ricorrente sostiene che, nel caso in esame, le parti avrebbero comunque rinunciato alla procedura di conciliazione. Adduce che l'autorità cantonale non avrebbe contestato la competenza del Tribunale cantonale amministrativo dopo ch'esso è stato adito con la petizione del 16 dicembre 2015, né avrebbe chiesto che fosse istituita la commissione prevista dall'art. 12 del contratto.
3.2. Con questa argomentazione, la ricorrente non si confronta con il tenore della disposizione contrattuale e con i considerandi del giudizio impugnato, spiegando puntualmente, con una motivazione conforme alle esigenze dell'<ref-law>, le ragioni per cui essi sarebbero manifestamente insostenibili. Il tenore letterale dell'art. 12 del contratto è chiaro e la ricorrente non rende seriamente ravvisabili motivi per cui esso non corrisponderebbe alla vera e concorde volontà dei contraenti. La Corte cantonale ha inoltre esposto i motivi per cui spettava alla ricorrente, e non allo Stato, chiedere l'istituzione della commissione paritetica prevista dal contratto, siccome era lei a vantare pretese nei confronti dell'ente pubblico. Invocando genericamente una rinuncia (implicita) delle parti a svolgere la procedura di conciliazione, la ricorrente disattende inoltre che il contratto di prestazione deve essere in forma scritta (art. 17 cpv. 1 RLACD), sicché anche eventuali modificazioni del contratto richiederebbero di principio la forma scritta (cfr. <ref-law>). La censura, insufficientemente motivata, non deve quindi essere vagliata oltre.
3.3. La ricorrente non solleva infine contestazioni riguardo alla conclusione della Corte cantonale che ha ritenuto improponibili mediante azione diretta ai sensi dell'art. 92 lett. b LPAmm le domande volte a condannare lo Stato del Cantone Ticino a concludere contratti di prestazione per gli anni 2014 e 2015.
4.
Alla luce di tutto quanto esposto, la decisione della Corte cantonale di dichiarare irricevibile la petizione del 16 dicembre 2015 non viola quindi manifestamente il diritto procedurale cantonale, né gli art. 29 e 29a Cost. La garanzia della via giudiziaria, sancita da quest'ultima disposizione, sussiste infatti unicamente entro i limiti dell'ordinamento procedurale vigente e non impedisce di per sé di fare dipendere l'entrata nel merito di un rimedio giuridico dall'adempimento delle abituali condizioni di ammissibilità (<ref-ruling> consid. 8.2; <ref-ruling> consid. 4.2).
5.
5.1. La ricorrente impugna anche la sentenza concernente la petizione del 12 maggio 2017 (incarto n. 53.2017.3). Con tale azione diretta aveva essenzialmente ribadito il contenuto della prima petizione, segnatamente per quanto concerne la correttezza del suo modello di contabilità analitica, ed aveva chiesto di obbligare lo Stato del Cantone Ticino a stipulare contratti di prestazione per gli anni 2016 e 2017. La Corte cantonale ha ritenuto parimenti irricevibile la petizione, siccome le parti non avevano concluso alcun contratto di prestazione dopo il 2013.
5.2. In questa sede, la ricorrente si limita ad accennare ad una violazione degli art. 4 e 92 LPAmm, 1 segg. CO, 29 cpv. 2 e 29a Cost., adducendo genericamente che, anche in assenza della sottoscrizione di un contratto di prestazione, le parti avrebbero tacitamente concluso un contratto riguardante il principio del finanziamento. Con questa argomentazione di carattere generale, la ricorrente non mette seriamente in discussione quanto rilevato dai giudici cantonali, ossia che le parti non hanno più concluso alcun contratto successivamente al 2013. Non sono quindi date contestazioni derivanti da contratti di diritto amministrativo riferite agli anni seguenti. La censura è peraltro in contraddizione con le domande formulate con la petizione, volte proprio ad obbligare lo Stato a stipulare i contratti per gli anni 2016 e 2017. Premesso che, come poc'anzi esposto, la ricorrente non ha contestato l'analoga conclusione della Corte cantonale relativa all'inesistenza di contratti per gli anni 2014 e 2015, essa disattende nuovamente che il contratto di prestazione è soggetto alla forma scritta (cfr. art. 17 cpv. 1 RLACD). Poiché non sostanzia una violazione del diritto (<ref-law>) con una motivazione conforme alle esigenze poste dagli art. 42 cpv. 2 e 106 cpv. 2 LTF, il ricorso contro la sentenza n. 53.2017.3 non deve essere vagliato oltre.
6.
Ne segue che i ricorsi devono essere respinti. Le spese giudiziarie seguono la soccombenza e sono quindi poste a carico della ricorrente (<ref-law>). Non si assegnano ripetibili ad autorità vincenti (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Le cause 2C_747/2020 e 2C_748/2020 sono congiunte.
2.
I ricorsi sono respinti.
3.
Le spese giudiziarie di complessivi fr. 4'000.-- sono poste a carico della ricorrente.
4.
Comunicazione al patrocinatore della ricorrente, alla Divisione dell'azione sociale e delle famiglie del Dipartimento della sanità e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino.