Faits :
A.
Après qu'une première demande de prestations de l'assurance-invalidité avait été rejetée, A._ s'est annoncée une nouvelle fois à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg (ci-après: l'office AI), en avril 2013. Au cours de l'instruction, l'administration a obtenu copie d'un rapport d'expertise de la clinique X._ du 21 mars 2014. Le docteur E._, spécialiste en psychiatrie, y avait diagnostiqué un trouble obsessionnel compulsif et un trouble de l'adaptation, auquel s'associait une personnalité anankastique. Il avait retenu que ces troubles étaient sans incidence sur la capacité de travail de l'assurée, qui était entière depuis le 1 er juillet 2013. Fort de ces conclusions, l'office AI a rejeté la demande de prestations, par décision du 10 juillet 2014.
B.
B.a. Statuant le 5 juillet 2016 sur le recours formé par A._ contre cette décision, le Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales, a débouté l'assurée.
B.b. Saisi d'un recours en matière de droit public interjeté par A._ contre le jugement cantonal, le Tribunal fédéral l'a rejeté par arrêt du 12 décembre 2016 (9C_587/2016).
C.
Par acte posté le 11 mai 2018, A._ a présenté une demande en révision de l'arrêt du 12 décembre 2016. Elle conclut à l'annulation de cet arrêt et à ce que le Tribunal fédéral statue à nouveau dans le sens suivant: l'arrêt du Tribunal cantonal fribourgeois du 5 juillet 2016 est annulé et, à titre principal, une rente entière d'invalidité est allouée à A._; à titre subsidiaire, la cause est renvoyée à l'autorité judiciaire cantonale pour complément d'instruction sur le plan médical.
L'office AI s'en remet à justice, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
1.1. La requérante invoque l'<ref-law>, en se prévalant de faits constatés par le Tribunal fédéral dans un arrêt 2C_32/2017 rendu le 22 décembre 2017, dont elle a eu connaissance à la suite d'un communiqué de presse de la Cour de justice de la République et canton de Genève, publié le 20 mars 2018 dans la Tribune de Genève.
1.2. Par arrêté du 25 juin 2015, le Département de l'emploi, des affaires sociales et de la santé de la République et canton de Genève a retiré à la clinique X._ SA (désormais T._ SA) l'autorisation d'exploiter une institution de santé pour une durée de trois mois. Ce retrait a été confirmé par le Tribunal fédéral en ce qui concerne du moins les départements "psychiatrie" et "expertise" de cet établissement, par l'arrêt cité du 22 décembre 2017; il a été effectif du 1 er mars au 1 er juin 2018 (publication de la Feuille d'avis officielle de la République et canton de Genève du 21 février 2018). A la suite de cet arrêt, la Cour de justice de la République et canton de Genève a publié un communiqué de presse (consultable sur le lien https://ge.ch/justice/clinique-X._-information-relative-une-demande-de-revision) aux termes duquel les assurés dont le droit à des prestations a été nié sur la base d'une expertise effectuée à la clinique X._ ont la possibilité de demander la révision - devant l'autorité qui a statué en dernier lieu (Office cantonal de l'assurance-invalidité, CNA ou autre assurance, Chambre des assurances sociales de la Cour de justice ou Tribunal fédéral) - de la décision les concernant - sans garantie quant au succès de cette démarche - dans un délai de 90 jours depuis la connaissance des faits susmentionnés. La presse romande a fait largement état de la sanction en question et relayé le contenu du communiqué de presse de la Cour de justice, notamment la Tribune de Genève dans un article publié le 20 mars 2018.
En conséquence, en déposant sa demande de révision moins de 90 jours après avoir eu connaissance du retrait de l'autorisation en cause par le biais des informations publiées par le quotidien genevois le 20 mars 2018, la requérante a respecté le délai prévu par l'art. 124 al. 1 let. d LTF (sur la notion de connaissance suffisante, <ref-ruling> consid. 2.4 p. 108 et les arrêts cités). Par ailleurs, elle fonde sa demande sur des motifs prévus par la loi, de sorte que sa demande de révision est recevable.
2.
2.1. L'<ref-law> prévoit que la révision peut être demandée dans les affaires civiles et dans les affaires de droit public, si le requérant découvre après coup des faits pertinents ou des moyens de preuve concluants qu'il n'avait pas pu invoquer dans la procédure précédente, à l'exclusion des faits ou moyens de preuve postérieurs à l'arrêt. La jurisprudence a précisé que ces faits doivent être pertinents, c'est-à-dire de nature à modifier l'état de fait qui est à la base de l'arrêt attaqué et à aboutir à un jugement différent en fonction d'une appréciation juridique correcte (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 107; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 275 et les arrêts cités).
2.2.
2.2.1. Dans l'arrêt dont la révision est demandée, le Tribunal fédéral a examiné si la juridiction cantonale avait fait preuve d'arbitraire en suivant les conclusions d'une expertise psychiatrique réalisée par la clinique X._ sur mandat de l'assureur perte de gain de l'ancien employeur de la requérante, et établie le 21 mars 2014 par le docteur E._, spécialiste en psychiatrie. Il a considéré que l'appréciation de l'autorité cantonale de recours selon laquelle cette expertise avait valeur probante et pouvait être suivie malgré les évaluations divergentes des médecins traitants de l'assurée était exempte d'arbitraire. En particulier, A._ n'avait pas mis en évidence des éléments objectivement vérifiables qui auraient été ignorés par l'expert et suffisamment pertinents pour remettre en cause le point de vue des premiers juges.
2.2.2. A l'appui de sa demande de révision, la requérante invoque les "très graves manquements dans la réalisation d'expertises médicales" constatés par le Tribunal fédéral dans son arrêt 2C_32/2017 du 22 décembre 2017. Le fait que la clinique X._ a rédigé des rapports d'expertise médicale en violant "de manière presque systématique ses devoirs professionnels" soulève un "doute insurmontable" quant à la fiabilité des conclusions de ses rapports d'expertise. Il s'agit, selon la requérante, d'un fait nouveau important puisque le Tribunal fédéral n'aurait en aucun cas reconnu implicitement valeur probante à l'expertise du docteur E._, dans son arrêt 9C_587/2016 du 12 décembre 2016, s'il avait eu connaissance à l'époque du comportement inadmissible du Directeur de la clinique X._ et des graves fautes commises dans la réalisation de ses expertises médicales.
2.3.
2.3.1. Dans son arrêt 2C_32/2017 cité, le Tribunal fédéral a retenu que les expertises pratiquées auprès du "département expertise" de la clinique X._ ont un poids déterminant pour de nombreux justiciables, de sorte que l'on doit attendre de ces expertises qu'elles soient rendues dans les règles de l'art. Il existe ainsi un intérêt public manifeste à ce que des acteurs intervenant dans des procédures administratives en tant qu'experts, et qui au demeurant facturent d'importants montants à la charge de la collectivité, rendent des expertises dans lesquelles l'administré et l'autorité peuvent avoir pleine confiance, ceux-ci n'étant le plus souvent pas des spécialistes des domaines en cause. Or de très importants manquements ont été constatés dans la gestion de l'institution de santé et en particulier des graves violations des devoirs professionnels incombant à une personne responsable d'un tel établissement. En particulier, cette personne qui était responsable médical du "département expertise" avait modifié (notamment sur des points non négligeables) et signé des dizaines d'expertises sans avoir vu les expertisés et sans l'accord de l'expert, ce qui constituait un comportement inadmissible relevant d'un manquement grave au devoir professionnel. C'est pourquoi le Tribunal fédéral a jugé qu'une mesure de retrait de trois mois de l'autorisation d'exploiter le "département expertise" n'était pas contraire au droit (consid. 6 et 7 de l'arrêt cité).
2.3.2. En droit des assurances sociales, une évaluation médicale effectuée dans les règles de l'art revêt une importance décisive pour l'établissement des faits pertinents (<ref-ruling> consid. 1b p. 159). Elle implique en particulier la neutralité de l'expert, dont la garantie vise à assurer notamment que ses conclusions ne soient pas influencées par des circonstances extérieures à la cause et à la procédure (cf. <ref-ruling> consid. 2.1.3 p. 231), ainsi que l'absence de toute intervention à l'insu de l'auteur de l'expertise, les personnes ayant participé à un stade ou à un autre aux examens médicaux ou à l'élaboration du rapport d'expertise devant être mentionnées comme telles dans celui-ci. Or les manquements constatés au sein du "département expertise" par le Tribunal fédéral dans la procédure relative au retrait de l'autorisation de la clinique X._ soulèvent de sérieux doutes quant à la manière dont des dizaines d'expertises ont été effectuées au sein de cet établissement (arrêt 2C_32/2017 cité consid. 7.1) et portent atteinte à la confiance que les personnes assurées et les organes de l'assurance-invalidité étaient en droit d'accorder à l'institution chargée de l'expertise (voir aussi arrêt 8C_657/2017 du 14 mai 2018 consid. 5.2.2). Dès lors, de même que l'organe d'exécution de l'assurance-invalidité ou le juge ne peut se fonder sur un rapport médical qui, en soi, remplit les exigences en matière de valeur probante (sur ce point, cf. <ref-ruling> consid. 3a p. 352) lorsqu'il existe des circonstances qui soulèvent des doutes quant à l'impartialité et l'indépendance de son auteur, fondés non pas sur une impression subjective mais une approche objective (<ref-ruling> consid. 6.1.2 p. 267; <ref-ruling> consid. 7.1 p. 109 et la référence; arrêt 9C_104/2012 du 12 septembre 2012 consid. 3.1), il n'est pas admissible de reprendre les conclusions d'une expertise qui a été établie dans des circonstances ébranlant de manière générale la confiance placée dans l'institution mandatée pour l'expertise en cause.
En l'occurrence, l'expertise rendue le 21 mars 2014 par un médecin psychiatre au sein de la clinique X._, sur laquelle s'est essentiellement appuyée la juridiction cantonale pour nier le droit de l'assurée à des prestations d'invalidité et qui a été prise en considération dans la procédure principale par le Tribunal fédéral pour juger de la conformité au droit de l'appréciation des preuves cantonale, a été réalisée à une époque où le responsable médical du "département expertise" modifiait illicitement le contenu de rapports. En conséquence, cette expertise ne peut pas servir de fondement pour statuer sur le droit de la requérante aux prestations de l'assurance-invalidité. Peu importe le point de savoir si ledit responsable est concrètement intervenu dans la rédaction du rapport du docteur E._, voire en a modifié le contenu à l'insu de son auteur, parce qu'il n'est en tout état de cause pas possible d'accorder pleine confiance au rapport du 21 mars 2014, établi sous l'enseigne de la clinique X._. Les exigences liées à la qualité de l'exécution d'un mandat d'expertise médicale en droit des assurances sociales ne pouvaient être considérées comme suffisamment garanties au sein du "département expertise" de celle-ci (sur l'importance de la garantie de qualité de l'expertise administrative, SUSANNE LEUZINGER, Die Auswahl der medizinischen Sachverständigen im Sozialversicherungsverfahren [Art. 44 ATSG], in Soziale Sicherheit - Soziale Unsicherheit, Mélanges à l'occasion du 65ème anniversaire de Erwin Murer, 2010, p. 438). On relèvera à cet égard que les organes de l'assurance-invalidité ont renoncé à confier des mandats d'expertise à la clinique X._ depuis 2015 (cf. réponse du Conseil fédéral à la question de Madame la Conseillère nationale Rebecca Ruiz n° xxx "La clinique X._ a-t-elle encore la confiance de l'OFAS?"; consultable sur le lien <https://www.parlament.ch/fr/ratsbetrieb/suche-curia-vista/geschaeft?AffairId=> [consulté le 14 août 2018]).
2.3.3. Comme le soutient à juste titre la requérante, les faits en cause sont de nature à modifier l'état de fait à la base de l'arrêt dont elle demande la révision, dès lors que, eussent-ils été connus du Tribunal fédéral, ils auraient conduit celui-ci à donner une autre issue au litige, singulièrement à nier que l'expertise suivie par la juridiction cantonale pût servir de fondement pour le refus de prestations (consid. 3 infra). Sur le rescindant, il s'impose dès lors d'annuler l'arrêt rendu le 12 décembre 2016 par la IIe Cour de droit social dans la cause 9C_587/2016.
3.
Dans la phase du rescisoire, le Tribunal fédéral doit statuer à nouveau, comme l'y invite l'<ref-law>. Il lui appartient donc de rendre un nouvel arrêt tant sur le fond que sur les frais et dépens de la procédure relative à la cause précitée.
3.1. En l'espèce, si la IIe Cour de droit social avait eu connaissance des graves manquements aux devoirs professionnels du responsable du "département expertise" de la clinique X._, elle aurait considéré que ceux-ci entachaient la confiance placée dans une exécution lege artis de l'expertise psychiatrique confiée à ce département, de sorte qu'elle aurait constaté que le rapport du 21 mars 2014 ne pouvait servir de fondement à la décision relative au droit aux prestations de l'assurance-invalidité. A défaut d'autres pièces médicales que la juridiction cantonale aurait prises en considération pour confirmer les conclusions du docteur E._, le Tribunal fédéral aurait constaté qu'il ne lui était pas possible d'apprécier de manière circonstanciée l'état de santé de la requérante, ainsi que les éventuelles répercussions négatives de celui-ci sur la capacité de travail (cf. <ref-law>). Il aurait en conséquence renvoyé la cause à l'office AI pour qu'il complète l'instruction sur le plan médical, en mettant en oeuvre une expertise indépendante, puis statue à nouveau. C'est donc ce qu'il convient de faire, en annulant le jugement du Tribunal cantonal fribourgeois du 5 juillet 2016 ainsi que la décision administrative et en ordonnant ledit renvoi.
3.2. Compte tenu de la nouvelle issue du litige, les frais de justice doivent être mis à la charge de l'intimé, qui versera également une indemnité de dépens à l'assurée (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF).
4.
Il reste à régler le sort des frais et dépens de la procédure de révision. Vu les circonstances, il ne sera pas perçu de frais judiciaires (art. 66 al. 1 2ème phrase LTF). La requérante peut prétendre une indemnité de dépens qui doit être mise à la charge de l'intimé, même s'il s'est abstenu de prendre des conclusions quant au sort de la demande de révision, en s'en remettant à justice (cf. <ref-ruling> consid. 3c p. 158; arrêt I 206/99 du 23 septembre 1999).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
La demande de révision est admise et l'arrêt du Tribunal fédéral 9C_587/2016 du 12 décembre 2016 est annulé.
2.
Le Tribunal fédéral se prononce dans la cause 9C_587/2016 comme suit:
1. Le recours est partiellement admis. Le jugement du Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales, du 5 juillet 2016 et la décision de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg du 10 juillet 2014 sont annulés; la cause est renvoyée à cet Office pour instruction complémentaire et nouvelle décision au sens des considérants. Le recours est rejeté pour le surplus.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. L'intimé versera à la recourante la somme de 2800 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales, pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure antérieure.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg versera à la requérante une indemnité de 2'800 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 16 août 2018
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
Le Greffier : Berthoud