Faits :
A.
Par contrat de travail de durée indéterminée prenant effet au 1er juillet 2018, A._ Sàrl (ci-après: l'employeuse, la défenderesse, la recourante) a engagé B._ (ci-après: l'employé, le demandeur, l'intimé) en qualité de directeur pour un salaire annuel brut de 106'000 fr. payé en douze mensualités de 8'833 fr. 30 bruts. Le contrat prévoyait un temps d'essai de trois mois durant lequel le délai de résiliation était de sept jours. Un treizième salaire était prévu si les rapports de travail ne prenaient pas fin avant l'écoulement du temps d'essai, ainsi qu'une gratification en fonction des résultats de l'entreprise et des résultats personnels.
Par courrier du 4 octobre 2018, l'employé a résilié son contrat de travail pour le 30 octobre 2018 en indiquant faire suite " au message de démission du 31 septembre 2018 et à la discussion du 1er octobre 2018 ". Il ressort tant du planning de travail tiré du programme Outlook de l'employé, que des procès-verbaux de chantiers produits par l'employeuse, que l'employé travaillait encore sur les chantiers de l'employeuse, notamment les 3, 10 et 24 octobre 2018.
L'employeuse ne s'est pas acquittée du salaire de l'employé du mois d'octobre 2018, faisant valoir que le contrat de travail avait pris fin le 21 septembre 2018, soit durant le temps d'essai. L'employé a requis le versement de ce salaire par courrier à l'employeuse, du 31 octobre 2018.
Par contrat de travail de durée indéterminée du 10 octobre 2018 avec effet au 12 novembre 2018, l'employé a été engagé par C._ SA en qualité de directeur pour un salaire brut de 8'700 fr. versé 13 fois l'an. Par courrier du 2 novembre 2018, D._, administrateur unique et directeur général de C._ SA, a résilié le contrat de travail de l'employé en indiquant que sa décision était étroitement liée à un appel qu'il avait reçu de l'ancienne employeuse de celui-ci, lui déconseillant fortement de travailler avec lui.
Suite à son licenciement par A._, l'employé a connu une période de chômage. En raison de l'attestation d'employeur établie le 22 novembre 2018 et justifiant la résiliation par " [la] propre décision [de l'employé] et [son] manque de compétences pour sa fonction ", l'employé a été privé d'indemnités de chômage pour un total de 24,8 jours, avant de toucher des indemnités journalières de la Caisse de chômage du canton de Fribourg, à hauteur de 307 fr. 25, qu'il continuait de percevoir au moment du dépôt de sa demande.
B.
Par demande du 2 septembre 2019 suite à l'échec de la conciliation, le demandeur a conclu à ce que la défenderesse soit condamnée à lui payer le montant de 30'000 fr. bruts avec intérêts à 5% l'an dès le 1er novembre 2018, montant composé, au dernier état de ses conclusions, de 10'936 fr. 45 relatifs aux 24,8 jours qui n'avaient pas été indemnisés par la Caisse de chômage en raison d'une qualification négative résultant de l'attestation de l'employeuse, de 8'833 fr. 30 bruts à titre de salaire pour le mois d'octobre 2018, de 2'944 fr. 45 à titre de treizième salaire au pro rata pour les mois de juillet à octobre 2018, et de 7'285 fr. 80, correspondant à la différence entre le gain assuré brut et les indemnités de chômage cumulées sur 17 mois mais limitées à ce montant par le demandeur à titre d'action partielle, afin de rester dans la compétence du tribunal de première instance saisi.
La défenderesse a déposé une réponse et demande reconventionnelle le 20 novembre 2019, concluant principalement au rejet de la demande, et reconventionnellement à ce que le demandeur soit condamné à lui payer 20'691 fr. 25 avec intérêts à 5% l'an dès le 30 septembre 2019.
Par jugement du 8 juillet 2020, le tribunal des prud'hommes a entièrement admis les conclusions du demandeur et a rejeté toutes les conclusions de la défenderesse faute pour elle d'avoir prouvé ses prétentions.
Statuant sur appel de l'employeuse, la Cour d'appel civile du tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté l'appel.
C.
Contre cet arrêt qui lui a été notifié le 15 mars 2021, l'employeuse a interjeté un recours en matière civile au Tribunal fédéral le 28 avril 2021. Elle conclut principalement à sa réforme en ce sens que les conclusions du demandeur soient rejetées, subsidiairement à son annulation et au renvoi à l'autorité précédente pour nouvelle décision au sens des considérants.
L'intimé propose le rejet du recours.
La cour cantonale se réfère aux considérants de son arrêt.
La requête d'octroi d'effet suspensif a été admise par ordonnance présidentielle du 21 juin 2021.

Considérant en droit :
1.
Interjeté en temps utile (<ref-law>) par la partie qui a succombé dans ses conclusions (<ref-law>), dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu sur appel par un tribunal cantonal supérieur (<ref-law>) dans une affaire de droit du travail (<ref-law>), dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 15'000 fr. requis en la matière (<ref-law>), le recours en matière civile est recevable au regard de ces dispositions.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être exercé pour violation du droit fédéral (<ref-law>), y compris le droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 247; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 313). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, sauf en cas d'erreurs juridiques manifestes. Il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2, 115 consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.3). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, il n'examine la violation d'un droit constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de façon détaillée (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling> consid. 1.4 in fine).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Relèvent de ces faits tant les constatations relatives aux circonstances touchant l'objet du litige que celles concernant le déroulement de la procédure conduite devant l'instance précédente et en première instance, c'est-à-dire les constatations ayant trait aux faits procéduraux (<ref-ruling> consid. 1.3.1 et les références citées). Le Tribunal fédéral ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires (<ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.5) ou ont été établies en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
2.3. Le montant de 10'936 fr. 45 ne fait l'objet d'aucune critique motivée, de sorte qu'il n'y a pas lieu d'y revenir.
3.
La recourante se plaint d'arbitraire de la cour cantonale dans l'établissement des faits relatifs au moment de la résiliation des rapports de travail et de la conséquence de ce fait sur le paiement du salaire du mois d'octobre 2018 de 8'333 fr. 30, d'un treizième salaire de 2'944 fr. 45, ainsi que d'une mauvaise application de l'<ref-law>. La recourante se plaint également d'une violation des <ref-law> et 29 Cst.
4.
Sous le titre de l'établissement arbitraire des faits, la recourante conteste que les rapports de travail se soient terminés à la fin du mois d'octobre 2018. Elle soutient que ceux-ci se sont terminés à fin septembre 2018, durant le temps d'essai. Elle invoque qu'en conséquence, l'employé n'aurait pas dû se voir accorder son salaire pour le mois d'octobre 2018, ni une part au treizième salaire, celui-ci ne devant être dû que si les rapports de travail perduraient au-delà du temps d'essai.
4.1. La cour cantonale a retenu que l'employé avait résilié son contrat pour fin octobre et travaillé jusqu'au 12 octobre 2018 avant de prendre des vacances durant lesquelles il a encore effectué quelques tâches pour le compte de l'employeuse. Elle s'est fondée, d'une part, sur les procès-verbaux de chantiers produits sans réserve par l'employeuse qui font état de la présence de l'employé sur ceux-ci, et, d'autre part, sur le planning Outlook de l'employé qui confirme ce fait. L'employeuse a soutenu devant les instances précédentes que les rapports de travail avaient pris fin avant fin septembre, mais la cour cantonale a considéré qu'elle avait échoué à prouver ce fait et qu'elle devait en supporter les conséquences.
4.2. La recourante se contente d'opposer sa propre version des faits à celle retenue par la cour cantonale, sans toutefois exposer ni démontrer de quelle manière celle-ci aurait versé dans l'arbitraire, alors qu'elle s'est fondée sur deux preuves produites par chacune des parties. La recourante ne démontre pas plus quels autres titres contrediraient l'état de fait retenu par la cour cantonale ni en quoi celle-ci n'en aurait pas tenu compte, de manière insoutenable.
La cour cantonale n'ayant pas commis d'arbitraire, il s'ensuit que c'est à bon droit qu'elle a accordé le salaire du mois d'octobre 2018 et une part au treizième salaire à l'employé, partant du fait que celui-ci était encore employé au-delà de son temps d'essai et jusqu'à fin octobre 2018. Leur quotité n'est quant à elle pas critiquée.
Le moyen tiré de l'arbitraire (art. 9 Cst.) est dès lors infondé.
5.
La recourante soulève que la cour cantonale aurait violé l'<ref-law> en ce que les propos tenus par elle au nouvel employeur n'étaient ni faux ni attentatoires à l'honneur de l'employé.
5.1. Aux termes de l'<ref-law>, l'employeur protège et respecte, dans les rapports de travail, la personnalité du travailleur. Dans une certaine mesure, cette obligation perdure au-delà de la fin des rapports de travail (<ref-ruling> consid. 5.1; JEAN-PHILIPPE DUNAND, in Commentaire du contrat de travail, n° 11 ad <ref-law>). L'employeur viole l'<ref-law> s'il a fourni sur ce dernier des renseignements faux et attentatoires à l'honneur et découragé de la sorte un employeur d'engager la personne en question (<ref-ruling> consid. 3.2).
5.2. Contrairement à ce que soutient la recourante, les conditions de l'<ref-law> sont remplies et son application par la cour cantonale ne prête pas le flanc à la critique.
La cour cantonale a retenu que la recourante a contacté de sa propre initiative le nouvel employeur de l'employé pour se prononcer sur le fait de savoir si l'employé possédait ou non les connaissances et capacités requises pour exercer sa nouvelle fonction, et qu'elle avait exprimé que cela n'était pas le cas. La recourante a également dit au nouvel employeur que l'employé avait effectué moins d'offres dans le cadre de son travail, que ce que son cahier des charges lui imposait, ce qui était erroné selon un témoignage apporté en première instance. La cour cantonale a relevé que la recourante n'avait pas contesté ces constatations de fait devant elle. Partant, elle a considéré ces propos comme infondés et de nature à attenter à l'honneur de l'employé.
Le grief de violation de l'<ref-law> doit donc être rejeté.
6.
La recourante soutient encore, sous l'angle de la violation de l'<ref-law>, que le critère du lien de causalité adéquate entre la violation de l'<ref-law> et la quotité du dommage, en l'occurrence fondée sur 17 mois de perte d'emploi, n'est pas rempli en l'espèce. De plus, la recourante reproche à la cour cantonale de n'avoir pas suffisamment motivé l'existence de ce lien de causalité, violant ainsi son droit d'être entendue (art. 29 Cst.).
6.1.1 Lorsque l'employeur viole l'<ref-law>, l'employé peut agir en réparation contre son employeur sur la base de l'<ref-law>. L'<ref-law> nécessite que le dommage subi par le créancier soit en lien de causalité naturelle et adéquate avec la violation contractuelle du débiteur. Un fait constitue la cause adéquate d'un résultat s'il est propre, d'après le cours ordinaire des choses et l'expérience de la vie, à entraîner un résultat du genre de celui qui s'est produit; le constat de la causalité adéquate relève du droit. Pour décider si la causalité est adéquate, le juge doit user de son pouvoir d'appréciation conformément à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2 et 3a).
6.1.2 Quant au droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), il impose au juge de motiver ses décisions afin que le justiciable puisse les comprendre et exercer son droit de recours à bon escient. Ses décisions doivent indiquer clairement les faits qui sont établis et les déductions juridiques qui en sont tirées (<ref-ruling> consid. 8.2). La motivation peut néanmoins être implicite et résulter des différents considérants de la décision. Le juge doit mentionner, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause (arrêt 4A_519/2014 du 8 janvier 2015 consid. 3).
6.2. La cour cantonale a confirmé la décision de première instance en considérant que la violation par l'employeuse de son devoir de protéger la personnalité de l'employé (<ref-law>) avait engendré un dommage chez celui-ci. Elle a constaté que, sur les 17 mois de chômage correspondant à 52'219 fr. 75, l'employé avait réduit son dommage à 7'285 fr. 80 pour rester dans la compétence du Tribunal des prud'hommes. Elle a considéré que ce dernier montant ne saurait être qualifié d'inéquitable, celui-ci correspondant à moins d'un salaire mensuel.
Ce faisant, la cour cantonale n'a statué que sur un dommage de 7'285 fr. 80 en usant de son pouvoir d'appréciation pour admettre qu'il existait un lien de causalité adéquate entre le fait de discréditer l'employé au yeux d'un nouvel employeur, et le fait que l'employé soit licencié avant le début de sa prise d'emploi et qu'il se soit retrouvé au chômage. La cour cantonale a donc suffisamment traité le grief de la recourante s'en prenant à l'examen de la causalité adéquate et n'a ainsi pas violé son devoir de motivation.
Le moyen tiré de la violation par la cour cantonale, de son devoir de motivation (art. 29 Cst.), ainsi que de la violation de l'<ref-law> doit donc être rejeté.
7.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté aux frais de son auteur (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à l'intimée une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 31 août 2021
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Hohl
Le Greffier : Botteron