Sachverhalt:
A.
Die 1979 geborene A._ schloss die im Januar 2001 begonnene Ausbildung zur Hotelfachangestellten nach gesundheitlich bedingten Verzögerungen im Herbst 2007 erfolgreich ab. Aufgrund einer Anstellung als "Assistant Trainee" im Vollzeitpensum vom 1. Februar bis zum 30. November 2009 war sie bei der GastroSocial Pensionskasse (nachfolgend: Pensionskasse) für die berufliche Vorsorge versichert.
Im April 2010 meldete sich A._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons sprach ihr - nach Durchführung beruflicher Massnahmen - mit Verfügungen vom 27. Januar und 8. Februar 2012 wegen psychischer Beeinträchtigungen eine ganze Invalidenrente ab dem 1. August 2011 zu (Invaliditätsgrad 80 %). Auf die dagegen erhobene Beschwerde der Pensionskasse trat das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich nicht ein (Entscheid vom 3. September 2013). Die IV-Stelle leitete im Dezember 2013 ein Revisionsverfahren ein. Mit Verfügung vom 7. November 2017 hob sie die Invalidenrente auf Ende Dezember 2017 auf (Invaliditätsgrad 30 %). Das Sozialversicherungsgericht bestätigte die Rentenaufhebung mit Entscheid vom 23. Januar 2019.
Die Pensionskasse verneinte ihre Leistungspflicht mit der Begründung, die massgebliche Arbeitsunfähigkeit sei bereits (spätestens) 2005 und damit vor Beginn des Versicherungsverhältnisses eingetreten.
B.
Mit Klage vom 25. März 2019 verlangte A._ von der Pensionskasse eine Invalidenrente von August 2011 bis mindestens Dezember 2017 (inklusive Kinderrenten) zuzüglich 5 % Verzugszins ab Klageerhebung. Mit Entscheid vom 20. Mai 2020 hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Klage teilweise gut. Es verpflichtete die Pensionskasse, A._ für die Dauer vom 1. April 2014 bis zum 31. Dezember 2017 basierend auf einem Invaliditätsgrad von 80 % die gesetzlich und reglementarisch geschuldeten Leistungen zuzüglich Verzugszins von 5 % ab dem 25. März 2019 auszurichten.
C.
Die Pensionskasse beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, der Entscheid vom 20. Mai 2020 sei aufzuheben und die Klage vom 25. März 2019 sei vollumfänglich abzuweisen; eventualiter sei der Verzugszins auf 1 % zu reduzieren. Zudem ersucht sie um aufschiebende Wirkung der Beschwerde.
A._ lässt die Abweisung der Beschwerde beantragen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1.
2.1.1. Nach den zutreffenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid werden Invalidenleistungen der obligatorischen beruflichen Vorsorge von derjenigen Vorsorgeeinrichtung geschuldet, bei welcher die ansprechende Person bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert war (Art. 23 lit. a BVG; <ref-ruling> E. 2.6 S. 17). Dieser Grundsatz findet auch in der weitergehenden Vorsorge Anwendung, wenn Reglement oder Statuten resp. gesetzliche Grundlagen nichts anderes vorsehen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 69). Für die Bestimmung der Leistungszuständigkeit im Sinne von Art. 23 lit. a BVG ist - wie für die Eröffnung der Wartezeit nach <ref-law> - eine erhebliche und dauerhafte Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf oder Aufgabenbereich massgebend. Diese muss mindestens 20 Prozent betragen (<ref-ruling> E. 4.4 S. 62; SVR 2017 BVG Nr. 25 S. 113, 9C_518/2016 E. 2.1; Urteile 9C_347/2019 vom 22. August 2019 E. 2.2.1; 9C_100/2018 vom 21. Juni 2018 E. 2.1).
2.1.2. Ebenfalls korrekt führt die Vorinstanz aus, dass der Anspruch auf Invalidenleistungen aus beruflicher Vorsorge einen engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhang zwischen der während andauerndem Vorsorgeverhältnis (einschliesslich Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG) bestandenen Arbeitsunfähigkeit und der allenfalls erst später eingetretenen Invalidität voraussetzt. Der sachliche Konnex ist gegeben, wenn der Gesundheitsschaden, welcher zur Arbeitsunfähigkeit geführt hat, im Wesentlichen derselbe ist, wie er der Erwerbsunfähigkeit zugrunde liegt. Die Annahme eines engen zeitlichen Zusammenhangs setzt voraus, dass die versicherte Person nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, nicht während längerer Zeit wieder arbeitsfähig war (<ref-ruling> E. 3.2 und 3.2.1 S. 22). Eine Unterbrechung des zeitlichen Konnexes ist dann anzunehmen, wenn während mehr als dreier Monate eine Arbeitsfähigkeit von über 80 % in einer angepassten Erwerbstätigkeit gegeben ist (<ref-ruling>; Urteil 9C_100/2018 vom 21. Juni 2018 E. 2.2).
2.2. Vorinstanzliche Feststellungen zur Art des Gesundheitsschadens (Befund, Diagnose etc.) und zur Arbeitsfähigkeit, die Ergebnis einer Beweiswürdigung sind, sind für das Bundesgericht grundsätzlich bindend (E. 1; vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 397). Tatfrage ist auch jene nach dem Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat (SVR 2008 BVG Nr. 31 S. 126, 9C_182/2007 E. 4.1.1). Frei überprüfbare Rechtsfrage ist dagegen, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung darüber erfolgt (SVR 2009 BVG Nr. 7 S. 22, 9C_65/2008 E. 2.2; Urteil 9C_670/2010 vom 23. Dezember 2010 E. 1.2) und ob diese auf einer genügenden Beweislage beruht (Urteil 9C_100/2018 vom 21. Juni 2018 E. 2.3).
3.
3.1. Die IV-Stelle des Kantons Zürich setzte den Beginn der Wartezeit nach <ref-law> in den Verfügungen vom 27. Januar und 8. Februar 2012 auf den 16. Oktober 2009 fest. Das kantonale Gericht hat eine diesbezügliche Bindung (vgl. dazu Urteil 9C_23/2019 vom 10. Mai 2019 E. 2.2) verneint und die Leistungspflicht der Pensionskasse frei geprüft.
Es hat festgestellt, dass A._ seit 2001 an psychischen Gesundheitsproblemen leide, die wiederholt stationäre Klinikaufenthalte erforderlich gemacht, die Ausbildung massiv verzögert und auch anschliessend zu Einschränkungen der Arbeitsfähigkeit geführt hätten. Folglich hat es den sachlichen Konnex zwischen der früheren Arbeitsunfähigkeit und der später eingetretenen Invalidität bejaht. Weiter hat die Vorinstanz festgestellt, die Beschwerdegegnerin habe immer wieder längere Phasen gehabt, in denen sie in der Lage gewesen sei, der Ausbildung zu folgen und diverse Praktika zu absolvieren. Nach dem 1. November 2007 sei sie nur vom 24. Februar bis zum 5. März 2008, vom 17. Dezember 2008 bis zum 9. Januar 2009 und ab dem 16. Oktober 2009 psychisch bedingt arbeitsunfähig gewesen. Die am 1. Februar 2009 angetretene Stelle sei ihr zwar (auf den 30. November 2009) wegen mangelhafter Leistungen gekündigt worden. Der Umstand, dass sie nicht bereits während der dreimonatigen Probezeit entlassen worden sei, spreche indessen dafür, dass ihre Leistungen zumindest während dieser Zeit genügend gewesen seien. Für die Zeit vom 1. Februar bis zum 16. Oktober 2009 - als es zu einem psychischen Zusammenbruch und damit einer erheblichen Verschlechterung des Gesundheitszustandes gekommen sei - liege zudem weder eine echtzeitliche noch rückwirkende ärztliche Bescheinigung einer Arbeitsunfähigkeit vor, weshalb für diesen Zeitraum von einer uneingeschränkten Arbeitsfähigkeit auszugehen sei. Dabei könne nicht von einem blossen Arbeitsversuch gesprochen werden: Die Betroffene sei auch vor dem Stellenantritt am 1. Februar 2009 "keinesfalls" dauernd arbeitsunfähig gewesen; nach der Ausbildung sei sie ab dem 1. November 2007 mehrheitlich einer Erwerbstätigkeit nachgegangen. Angesichts der (rund achteinhalb Monate dauernden) Zeitspanne der Arbeitsfähigkeit resp. der Tätigkeit bei der letzten Arbeitgeberin hat das kantonale Gericht den zeitlichen Zusammenhang zu früheren Arbeitsunfähigkeiten als unterbrochen erachtet und den Eintritt der massgeblichen Arbeitsunfähigkeit auf den 16. Oktober 2009 festgelegt. Folglich hat es die Leistungspflicht der Pensionskasse - entsprechend dem unbestritten gebliebenen Invaliditätsgrad von 80 % - bejaht.
Sodann hat die Vorinstanz die vor dem 25. März 2014 fällig gewordenen Rentenleistungen für verjährt gehalten. Weil zwischenzeitlich der Gesundheitszustand wieder erheblich verbessert sei und die Restarbeitsfähigkeit in angepasster Tätigkeit 80 % betrage, hat sie die Rentenaufhebung auf Ende 2017 bestätigt. Schliesslich hat sie die Pensionskasse unter Verweis auf <ref-law> zur Zahlung von Verzugszins zu 5 % seit der Klageeinreichung verpflichtet.
3.2. Die Beschwerdeführerin stellt sich auf den Standpunkt, die massgebliche Arbeitsunfähigkeit sei bereits 2001, spätestens aber 2005 eingetreten und habe seither ununterbrochen angedauert; allenfalls sei die zuletzt ausgeübte Tätigkeit als gescheiterter Arbeitsversuch zu qualifizieren. Für den Fall, dass ihre Leistungszuständigkeit bestätigt wird, beanstandet sie die Höhe des Verzugszinses.
4.
4.1. Die Pensionskasse erblickt einen "Widerspruch mit dem IV-Dossier" darin, dass laut Anmeldung bei der Invalidenversicherung weitere Arbeitsunfähigkeiten vom 15. bis zum 21. Dezember 2007, vom 15. September bis zum 6. Oktober 2008 und vom 23. August bis zum 13. September 2009 attestiert wurden.
Die Beschwerdegegnerin deklarierte die genannten Phasen vollständiger Arbeitsunfähigkeit gegenüber der IV-Stelle als unfallbedingt, und es besteht kein Anlass, an diesen Angaben zu zweifeln. Warum mit Blick auf die hier interessierenden psychischen Beeinträchtigungen (vgl. obenstehende E. 3.1 zum sachlichen Konnex) die unfallkausalen Einschränkungen von Bedeutung sein sollen, wird in der Beschwerde auch nicht ansatzweise dargelegt, weshalb darauf nicht weiter einzugehen ist (vgl. E. 1).
4.2. Weiter wirft die Beschwerdeführerin dem kantonalen Gericht eine "spekulative Interpretation" der Verhältnisse am letzten Arbeitsplatz vor; im Zusammenhang mit dem vorinstanzlichen Verzicht auf die von ihr beantragte Befragung einer Zeugin (Mitarbeiterin der letzten Arbeitgeberin) macht sie Willkür sowie eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweisregeln geltend.
Die Vorinstanz hat zutreffend festgestellt, die (als Zeugin im vorinstanzlichen Verfahren angerufene) Mitarbeiterin der letzten Arbeitgeberin habe im zuhanden der Invalidenversicherung am 4. Mai 2010 ausgefüllten Fragebogen angegeben, es sei ihr kein Gesundheitsschaden bekannt gewesen und der letzte effektive Arbeitstag sei am 30. November 2009 gewesen. Die Versicherte habe aber bereits am 16. Oktober 2009 einen psychischen Zusammenbruch mit anschliessender vollständiger Arbeitsunfähigkeit erlitten. Daraus hat das Gericht nachvollziehbar geschlossen, dass der betreffenden Mitarbeiterin der Verlauf des Arbeitsverhältnisses und die zu dessen Auflösung führenden Umstände gar nicht bekannt gewesen seien, und folglich in pflichtgemässer antizipierender Beweiswürdigung (vgl. dazu <ref-ruling> E. 6.5 S. 368 f., 136 I 229 E. 5.3 S. 236) auf deren Befragung verzichtet. Da es auf weitere Beweismittel resp. Gegebenheiten (aktenkundige Erwerbstätigkeit vor Stellenantritt am 1. Februar 2009, Dauer des letzten Arbeitsverhältnisses, ärztliche Arbeitsunfähigkeitsbescheinigungen) abgestellt hat, kann von "spekulativer Interpretation", Willkür oder Verletzung der Untersuchungspflicht keine Rede sein.
4.3. Sodann bringt die Beschwerdeführerin vor, die Beschwerdegegnerin sei aufgrund ihres psychischen Leidens mehrfach hospitalisiert gewesen und habe sich bei ihren Tätigkeiten im Gastgewerbe stets überfordert gefühlt. Es sei zu "zahlreichen" Kündigungen infolge mangelhafter Leistungen gekommen. Sie habe die Arbeitsstellen nur auf Druck der Eltern und wegen ihres Bedürfnisses nach einer eigenen Wohnung angetreten. Eine dauerhafte vollzeitliche Arbeit im Gastgewerbe sei dem Leiden nie angepasst gewesen; der psychische Zusammenbruch im Oktober 2009 und die anschliessende Kündigung seien voraussehbar gewesen. Angesichts dieser Umstände könne bei der letzten Anstellung höchstens von einem Arbeitsversuch gesprochen werden.
Ein subjektives Überforderungsgefühl genügt nicht für die Annahme einer um mindestens 20 % eingeschränkten Leistungsfähigkeit (vgl. Urteil 9C_765/2018 vom 6. Mai 2019 E. 3.3.2). Die geltend gemachte Motivation für den Stellenantritt lässt keinen Schluss auf Arbeits (un) fähigkeit zu. Ein chronifiziertes psychisches Leiden, auch wenn es mehrfach stationär behandelt wurde, steht der Annahme längerer Phasen uneingeschränkter Arbeitsfähigkeit nicht per se entgegen. "Zahlreiche" Kündigungen werden nicht substanziiert dargelegt, und der Umstand, dass die Beschwerdegegnerin auf Ende 2008 entlassen wurde, weil sie "den Überblick über die Arbeitsorganisation nicht habe halten können", spricht nicht für eine Arbeitsunfähigkeit bei Antritt der neuen Stelle im Februar 2009. Dass die Beschwerdegegnerin ihre letzte Tätigkeit vom 1. Februar bis zum 16. Oktober 2009 (mit Ausnahme der Zeit vom 23. August bis zum 13. September 2009; vgl. obenstehende E. 4.1) tatsächlich und im Vollzeitpensum ausübte, wird denn auch nicht in Abrede gestellt. Soweit sich die Pensionskasse auf <ref-ruling> und das Urteil 9C_169/2009 (SVR 2010 BVG Nr. 18 S. 70) beruft, ergibt sich nichts für sie: In diesen Fällen ging es um eine vorübergehende Arbeitsfähigkeit während knapp zweieinhalb resp. etwas mehr als drei Monaten. Demgegenüber beträgt die Dauer der Arbeitstätigkeit hier rund achteinhalb Monate (vgl. auch Urteil 9C_765/2018 vom 6. Mai 2019 E. 7 für eine neunmonatige Tätigkeit), und ein konkreter Anhaltspunkt für die Qualifikation der Tätigkeit als Arbeitsversuch (beispielsweise reduziertes Pensum oder explizite Bezeichnung im Rahmen von Eingliederungsmassnahmen; vgl. Urteil 9C_239/2020 16. September 2020 E. 4.2 und 4.3) ist weder dargelegt noch ersichtlich.
4.4. Nach dem Gesagten sind die vorinstanzlichen Feststellungen betreffend den zeitlichen Konnex resp. den Eintritt der massgeblichen Arbeitsunfähigkeit (vgl. obenstehende E. 3.1) nicht offensichtlich unrichtig (unhaltbar, willkürlich: <ref-ruling> E. 7.3.1 S. 39; <ref-ruling> E. 8.1 S. 153; vgl. auch <ref-ruling> E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen). Sie beruhen auch nicht auf einer Rechtsverletzung, weshalb sie für das Bundesgericht verbindlich bleiben (E. 1). Das kantonale Gericht hat die Leistungspflicht der Pensionskasse zu Recht bejaht.
5.
5.1. Die Vorinstanz hat in Anwendung von <ref-law> und unter Verweis auf <ref-ruling> E. 4c S. 135 den Anspruch auf Verzugszins von 5 % ab Klageeinreichung bejaht.
Die Beschwerdeführerin verlangt eine Reduktion des geschuldeten Verzugszinses von 5 auf 1 %. Dafür beruft sie sich auf Ziff. 6.5 des ab 1. Januar 2019 geltenden Reglements (nachfolgend: Reglement 2019), wonach für Rentenleistungen ein Verzugszinssatz in der Höhe des BVG-Mindestzinssatzes gilt. Dieser beträgt für den Zeitraum ab 1. Januar 2017 1 % (vgl. Art. 12 lit. j der Verordnung vom 18. April 1984 über die berufliche Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenvorsorge [BVV 2; SR 831.441.1]).
5.2. Dem Reglement der Pensionskasse in der ab 1. Januar 2011 geltenden Version (nachfolgend: Reglement 2011) lässt sich keine Vorgabe für den Anspruch auf Verzugszins entnehmen. In einer solchen Situation ist grundsätzlich, gestützt auf Art. 104 f. OR, ein Verzugszins von 5 % geschuldet (<ref-ruling> E. 5.1 S. 421; Urteil 9C_214/2019 vom 12. Dezember 2019 E. 5.1). Indessen kann das Reglement 2011 laut dessen Art. 25.2 durch den Stiftungsrat jederzeit geändert werden. Dieser hat das Reglement 2019 erlassen und auf den 1. Januar 2019 in Kraft gesetzt. Zudem gilt es, die allgemeinen intertemporalrechtlichen Regeln zu beachten (vgl. <ref-ruling> E. 6.3.1 S. 44 f. mit Hinweisen). Entgegen der Auffassung der Beschwerdegegnerin ist somit Ziff. 6.5 Reglement 2019 für die Höhe des ab dem 25. März 2019 geschuldeten Verzugszinses anwendbar. Insoweit ist die Beschwerde begründet.
6.
Mit diesem Urteil wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
7.
Die Pensionskasse obsiegt nur marginal (Verzugszins), unterliegt aber im Hauptpunkt (Rente resp. Leistungszuständigkeit). Es rechtfertigt sich daher, ihr die Gerichtskosten vollumfänglich zu überbinden (<ref-law>; vgl. auch SVR 2020 BVG Nr. 32 S. 133, 9C_804/2019 E. 11). Die Beschwerdegegnerin hat Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Urteil hat keine Auswirkung auf die vorinstanzliche Kostenverlegung.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 20. Mai 2020 wird insoweit abgeändert, als sich der geschuldete Verzugszins auf 1 % beläuft. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. November 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Dormann