Sachverhalt:
A.
Zwischen C._ (geb. 1967; Beschwerdegegnerin) und A._ (geb. 1960; Beschwerdeführer) war seit Ende Juli 2009 vor dem Bezirksgericht Hinwil das Scheidungsverfahren hängig. In diesem Verfahren wurde A._ mit Verfügung vom 6. Oktober 2011 eine notwendige Vertretung nach § 29 Abs. 2 der zwischenzeitlich aufgehobenen Zivilprozessordnung des Kantons Zürich vom 13. Juni 1976 (ZPO/ZH; vormals LS 271) bestellt. A._ ersuchte mehrmals erfolglos um Aufhebung dieser Vertretung (vgl. dazu Urteil 5A_504/2014 vom 30. Juli 2014). Am 18. Oktober 2018 fällte das Bezirksgericht das Scheidungsurteil.
B.
Hiergegen reichte A._ persönlich beim Obergericht des Kantons Zürich Berufung ein und stellte zahlreiche Anträge in der Sache und zum Prozess. Mit Beschluss vom 6. Mai 2019 (eröffnet am 8. Mai 2019) trat das Obergericht auf die Berufung nicht ein.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 7. Juni 2019 gelangt A._ persönlich mit den folgenden Begehren ans Bundesgericht:
"Das Urteil des Obergerichts [...] sei aufzuheben und das Verfahren sei zur Beurteilung meiner Berufung an das Obergericht [...] zu verweisen; eventualiter sei das Verfahren an das materiell zuständige Bezirksgericht Pfäffikon zu übertragen. Die notwendige Vertretung sei ex tunc aufzuheben und das Scheidungsverfahren sei zu wiederholen; eventualiter sei die notwendige Vertretung ex nunc aufzuheben; subeventualiter sei festzustellen, dass die notwendige Vertretung nicht rechtskonform verfügt worden ist oder es sei mir wenigstens vorgängig das rechtliche Gehör zu gewähren. Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolge zu Lasten [von C._]."
Gleichentags erhebt auch Rechtsanwalt B._ im Namen von A._ Beschwerde gegen den Beschluss des Obergerichts. Er beantragt, der Beschluss sei aufzuheben und die Angelegenheit an das Obergericht zurückzuweisen. Ausserdem ersucht er für A._ um unentgeltliche Rechtspflege und Beiordnung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands.
Mit Eingabe vom 13. Juni 2019 stellt A._ persönlich ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Am 18. Februar 2020 hat das Obergericht auf eine Vernehmlassung verzichtet. Mit Beschwerdeantwort vom 29. Februar 2020 beantragt C._, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten und diese sei eventuell abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Replik ist keine eingegangen. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Fristgerecht (<ref-law>) angefochten ist der Endentscheid (<ref-law>) eines oberen kantonalen Gerichts, das als Rechtsmittelinstanz (<ref-law>) auf eine gegen ein Scheidungsurteil gerichtete Berufung nicht eingetreten ist. Strittig ist damit eine insgesamt nicht vermögensrechtliche Zivilsache nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.1). Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Die ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist unzulässig (<ref-law>). Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde legitimiert.
1.2. Beschwerde kann jedoch nur erheben, wer partei- und prozessfähig ist (<ref-law> i.V.m. <ref-law> [SR 273]; <ref-ruling> E. 1.4.4). Dazu ergibt sich, was folgt:
1.2.1. Gegenstand des Verfahrens vor Bundesgericht kann grundsätzlich nur sein, was bereits Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens war (<ref-ruling> E. 4.4.2). Das Obergericht ist auf die vom Beschwerdeführer persönlich eingereichte Berufung nicht eingetreten, weil dieser nicht postulationsfähig und notwendig vertreten sei. Thema des vorinstanzlichen Verfahrens war damit einzig die Frage, ob auf die Berufung einzutreten war. Entsprechend ist Gegenstand des Verfahrens vor Bundesgericht allein diese Eintretensfrage (<ref-ruling> E. 2; Urteil 5A_739/2019 vom 27. Januar 2020 E. 1.2.1).
Die Postulationsfähigkeit ist Teil der Prozessfähigkeit. Als Teil der Prozessfähigkeit setzt sie die Fähigkeit voraus, vor Gericht die im Prozessrecht vorgezeichneten Rechte wahrzunehmen, prozessuale Anträge zu stellen, schriftliche oder mündliche Parteivorträge zu halten etc. (<ref-ruling> E. 3.2; vgl. auch <ref-law> und dazu Urteil 5A_618/2012 vom 27. Mai 2013 E. 3.1). Im dergestalt vor Bundesgericht geführten Streit um seine Prozessfähigkeit ist der Beschwerdeführer selbständig zur Beschwerdeführung befähigt (<ref-ruling> E. 3a; Urteile 5A_856/2016 und 5A_865/2016 vom 13. Juni 2018 E. 1.4, nicht publ. in: <ref-ruling>; 5A_194/2011 vom 30. Mai 2011 E. 1 und 3.2). Dies verkennt die Beschwerdegegnerin, soweit sie dessen Fähigkeit zur Erhebung der Beschwerde in Zivilsachen generell in Frage stellt. Auf die Beschwerde ist folglich in dem genannten Umfang einzutreten, soweit sie die notwendigen Formerfordernisse erfüllt (zu diesen sogleich E. 2).
1.2.2. Unbesehen um die Prozessfähigkeit des Beschwerdeführers nicht einzutreten ist auf die Beschwerde dagegen, soweit sie über den Streitgegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens hinausgeht. Dies ist insoweit der Fall, als sie sich gegen das Scheidungsurteil vom 18. Oktober 2018 richtet. Ebenso wenig kann der Beschwerdeführer die ursprüngliche Anordnung der notwendigen Vertretung thematisieren (vgl. vorne Bst. A), zumal er nicht deren Nichtigkeit geltend macht (vgl. dazu <ref-ruling> E. 1.3.2) und auf diese Weise vorab versucht, die im Scheidungsverfahren strittige Frage der örtlichen Zuständigkeit des Scheidungsgerichts in das vorliegende Verfahren einzubringen. Auch die Amtsführung des notwendigen Vertreters ist nicht Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens. Ohnehin fehlt es bezüglich dieser Vorbringen auch an der formellen Erschöpfung des Instanzenzuges (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1).
1.3. Namens des Beschwerdeführers gelangt auch Rechtsanwalt B._ an das Bundesgericht. Er weist sich durch eine Vollmacht vom 30. September 2014 aus (act. 1a, Beilage 1). Diese Vollmacht ist vom Beschwerdeführer unterzeichnet, indes mit der Bemerkung "Pflichtverteidigung" versehen. Sie ist folglich im Zusammenhang mit der notwendigen Vertretung des Beschwerdeführers ausgestellt worden (vgl. vorne Bst. A). Nachdem der Beschwerdeführer im Rahmen des Streits um seine Prozessfähigkeit selbständig zur Beschwerde befähigt ist und von dieser Möglichkeit Gebrauch gemacht hat (vorne E. 1.2), handelt Rechtsanwalt B._ vor Bundesgericht indes nicht in dieser Funktion (vgl. <ref-law>).
Vor Bundesgericht führt der Beschwerdeführer sodann aus: "Die Interessen von meiner notwendigen Vertretung und meine Interessen sind nun im Beschwerdeverfahren an das Bundesgericht nicht identisch. [...] Diese unterschiedlichen Interessenlagen führen dazu, dass die Gefahr besteht, dass meine Interessen nicht wahrgenommen werden und das Scheidungsverfahren für beendet erklärt wird." Weiter ersucht der Beschwerdeführer zwar um unentgeltliche Rechtspflege. Auf diesem Weg will er, wie sich seinem Gesuch vom 12. Juni 2019 entnehmen lässt, indes keine unentgeltliche Vertretung erhalten. Unter diesen Umständen kann Rechtsanwalt B._ auch nicht als gewillkürter Vertreter des Beschwerdeführers angesehen werden. Rechtsanwalt B._ konnte auf Aufforderung hin denn auch keine gültige Vollmacht nachreichen (act. 19 und 20; vgl. <ref-law> und dazu Urteil 1F_35/2014 vom 1. Oktober 2014 E. 2). Auf die Eingabe von Rechtsanwalt B._, der nicht in eigenem Namen an das Bundesgericht gelangt, ist damit nicht einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Bundesrecht verletzt. Immerhin prüft es grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 2). Dabei befasst es sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (<ref-law>). In der Beschwerdebegründung ist daher in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid rechtswidrig sein soll. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken. Die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 1.7.1; <ref-ruling> E. 2).
2.2. Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (<ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (<ref-law>), oder würden auf einer anderen Bundesrechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. Verletzung von <ref-law> oder <ref-law>) beruhen. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.3). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266).
Damit ist auf die Beschwerde insoweit nicht einzutreten, als der Beschwerdeführer verschiedentlich und in einiger Länge seine von den vorinstanzlichen Feststellungen abweichende Sicht der tatsächlichen Geschehnisse darlegt, ohne hierzu die notwendigen Rügen zu erheben.
3.
In der Sache ist umstritten, ob das Obergericht ohne Rechtsverletzung die Postulationsfähigkeit des Beschwerdeführers verneinen (vgl. hinten E. 4) und mit Blick auf dessen notwendige Vertretung auf die von ihm persönlich eingereichte Berufung nicht eintreten konnte (vgl. hinten E. 5).
3.1. Dabei hielt die Vorinstanz zutreffend fest, dass sich das Rechtsmittelverfahren nach der Schweizerischen Zivilprozessordnung richtet (<ref-law>). Demgegenüber war das bei Inkrafttreten der ZPO am 1. Januar 2011 (BRB vom 31. März 2010) bereits hängige erstinstanzliche Scheidungsverfahren nach dem bisherigen Verfahrensrecht weiterzuführen (<ref-law>; vgl. Urteile 4A_554/2013 vom 6. November 2019 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_299/2013 vom 6. November 2019 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Entsprechend wurde die dem Beschwerdeführer beigegebene notwendige Vertretung in diesem Verfahren in Anwendung der Zivilprozessordnung des Kantons Zürich bestellt (vorne Bst. A).
3.2. Das Gericht prüft von Amtes wegen, ob die Prozessvoraussetzungen erfüllt sind (<ref-law>), was auch für die Rechtsmittelinstanz gilt (Urteile 5A_231/2018 vom 28. September 2018 E. 3.2; 5A_801/2017 vom 14. Mai 2018 E. 3.3.1). Zu den Prozessvoraussetzungen zählt die Prozessfähigkeit der Parteien (Art. 59 Abs. 2 Bst. c ZPO) und damit auch die Postulationsfähigkeit (vgl. zu dieser vorne E. 1.2.1). Fehlt es einer Partei an dieser Fähigkeit, so kann das Gericht sie auffordern, eine Vertreterin oder einen Vertreter zu beauftragen. Leistet die Partei innert der angesetzten Frist keine Folge, so bestellt ihr das Gericht eine Vertretung (<ref-law>). Sind die Prozessvoraussetzungen nicht erfüllt, tritt das Gericht auf eine Klage oder ein Gesuch nicht ein (<ref-law> im Umkehrschluss). Die Prozessvoraussetzungen müssen grundsätzlich im Zeitpunkt der Fällung des Sachurteils gegeben sein. Dennoch ist ihr Vorliegen möglichst frühzeitig, d.h. grundsätzlich zu Beginn des Verfahrens, und vor der materiellen Beurteilung der Klage oder des Gesuchs zu prüfen (<ref-ruling> E. 4.2.4; ZINGG, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 33 f. zu <ref-law>).
4.
Zur Postulationsfähigkeit des Beschwerdeführers bei Einreichung der Berufung ergibt sich, was folgt:
4.1. Das Obergericht hielt fest, es sei bis zu einem gegenteiligen Entscheid vom Fehlen der Postulationsfähigkeit auszugehen, wenn die Postulationsunfähigkeit wie hier einmal festgestellt worden sei. Zwar habe die Rechtsmittelinstanz die Postulationsfähigkeit einer Partei zu prüfen, welche persönlich ein Rechtsmittel einreiche. Beim Beschwerdeführer sei aufgrund seiner Eingabe aber von einem Anhalten der Postulationsunfähigkeit auszugehen, was das Obergericht bereits mit Beschluss vom 22. März 2019 festgestellt habe. Hieran habe sich bis heute nichts geändert und der Beschwerdeführer zeige auch nicht auf, dass zwischenzeitlich eine andere Situation eingetreten sei.
Damit hat die Vorinstanz die Postulationsfähigkeit des Beschwerdeführers - wenn auch nur kurz - geprüft und verneint. Entsprechend erweist sich der Vorwurf als unbegründet, sie habe dies unterlassen und sich von der Einschätzung der Erstinstanz binden lassen.
4.2. Der Beschwerdeführer hält die Feststellung der Postulationsunfähigkeit durch das Obergericht für willkürlich, weil sie einzig darauf beruhe, dass er seine Rechte auf Beurteilung der Scheidungsklage durch das örtlich zuständige Gericht geltend gemacht habe. Ausserdem sei keine Fachperson zu seiner Beurteilung beigezogen worden. Damit vermag er die Überlegungen der Vorinstanz indes nicht in Frage zu stellen:
Zwar soll nach <ref-law> die Feststellung, eine Partei sei nicht postulationsfähig, nur getroffen werden, wenn die Partei offensichtlich nicht imstande ist, den Prozess selbst zu führen. <ref-law> ist restriktiv zu handhaben und ein Unvermögen zur Prozessführung ist nicht leichthin anzunehmen (Urteile 5A_483/2018 vom 23. Oktober 2018 E. 3.2; 5A_618/2015 vom 2. März 2016 E. 6.7; 5A_286/2015 vom 2. November 2015 E. 2.2.4). Dennoch kann unter Umständen auch aus dem Verhalten einer Partei im Prozess auf deren Postulationsunfähigkeit geschlossen werden (Urteile 5A_618/2012 vom 27. Mai 2013 E. 3.1; 1C_79/2007 vom 6. September 2007 E. 1.5 [zu <ref-law>], nicht publiziert in: <ref-ruling>; 1E.4/2004 vom 1. März 2004 E. 8 [zu Art. 29 Abs. 5 des Bundesrechtspflegegesetzes, OG; BS 3 531]), und zwar ausnahmsweise auch ohne Begutachtung durch eine Fachperson (vgl. <ref-ruling> E. 2b; Urteil 5A_88/2013 vom 21. Mai 2013 E. 3.3.2). Im Grundsatz ist folglich nicht zu beanstanden, dass das Obergericht die Postulationsunfähigkeit des Beschwerdeführers gestützt auf dessen Verhalten im Scheidungsverfahren und ohne Begutachtung bejaht hat. Eine andere Frage ist, ob diese Feststellung inhaltlich einer Überprüfung standhält. Dazu äussert der Beschwerdeführer sich mit dem allgemeinen Hinweis, er habe nur seine Rechte geltend gemacht, aber nicht hinreichend präzise, sodass hierauf nicht weiter einzugehen ist (vgl. vorne E. 2).
4.3. Unbehelflich bleibt sodann der Einwand des Beschwerdeführers, das Bezirksgericht habe seine Postulationsfähigkeit nur für das erstinstanzliche Verfahren beschränken können: Abgesehen davon, dass das Obergericht wie dargelegt eigene Feststellungen zur Postulationsfähigkeit getroffen hat (vgl. E. 4.1 hievor), verkennt der Beschwerdeführer, dass die Gerichte seine Postulationsfähigkeit nicht im Sinne eines gestaltenden Entscheids eingeschränkt haben. Wie sich bereits aus dem Wortlaut von <ref-law> ergibt, ist das Fehlen der Fähigkeit, den Prozess selbst zu führen, vielmehr eine Voraussetzung der Einsetzung einer notwendigen Vertretung. Das Gericht stellt die Abwesenheit dieser Fähigkeit lediglich fest, um danach die notwendigen Massnahmen zu treffen (STERCHI, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 2. f. zu <ref-law>; HRUBESCH-MILLAUER, in: Brunner et al. [Hrsg.] Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2016, N. 9 zu <ref-law>). Dabei ist anerkannt, dass die Feststellung der Postulationsunfähigkeit durch die Erstinstanz die Vermutung begründet, die Fähigkeit zum selbständigen Führen des Prozesses fehle der Partei auch im anschliessenden Rechtsmittelverfahren (TENCHIO, in: Basler Kommentar, Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 3 zu <ref-law>). Es ist damit nicht zu beanstanden, dass das Obergericht zur Beurteilung der Prozessfähigkeit des Beschwerdeführers nicht nur auf seine eigenen Beobachtungen, sondern auch auf die vom Bezirksgericht getroffenen Feststellungen abgestellt hat, und der Vorwurf des Beschwerdeführers erhärtet sich nicht, die erste Instanz habe unerlaubt auch über die Prozessvoraussetzungen des Berufungsverfahrens entschieden.
4.4. Nach dem Ausgeführten konnte das Obergericht ohne Rechtsverletzung für das Rechtsmittelverfahren von einer (nach wie vor bestehenden) Postulationsunfähigkeit des Beschwerdeführers ausgehen. Nicht nachvollziehbar und auch nicht weiter begründet ist dagegen der Einwand des Beschwerdeführers, die zu Beginn des erstinstanzlichen Verfahrens bestehende Postulationsfähigkeit habe sich nicht mehr verändern bzw. im Prozessverlauf nicht entfallen können (vgl. betreffend Urteilsunfähigkeit etwa Urteil 5A_272/2017 vom 7. November 2017 E. 5.4 mit Hinweisen). Unbegründet ist die weitere Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) : Anders als der Beschwerdeführer zu glauben scheint, besteht kein verfassungsrechtlicher Anspruch der Parteien, zur rechtlichen Würdigung der festgestellten Tatsachen besonders angehört zu werden. Mit Blick darauf, dass die Frage der Postulationsfähigkeit des Beschwerdeführers sich bereits während des gesamten Scheidungsverfahrens gestellt hatte (vgl. vorne Bst. A), kann auch keine Rede davon sein, dass die Vorinstanz die entsprechenden Bestimmungen überraschend angewandt hätte und den Beschwerdeführer deshalb hätte anhören müssen (vgl. <ref-ruling> E. 4.1; zur Abgrenzung zwischen Rechts- und Tatfragen im vorliegenden Zusammenhang vgl. <ref-ruling> E. 6.2.1; <ref-ruling> E. 4 [einleitend]).
5.
Zu prüfen bleibt das Nichteintreten auf die vom Beschwerdeführer persönlich erhobene Berufung.
5.1. Angesprochen ist vorliegend allein der Fall, dass der betroffenen Person bereits erstinstanzlich eine notwendige Verteidigung bestellt und diese Anordnung durch das Gericht nicht wieder aufgehoben worden ist (vgl. vorne Bst. A). Demgegenüber ist nicht die erstmalige Ernennung einer notwendigen Verteidigung durch die Berufungsinstanz zu beurteilen. Dem Beschwerdeführer ist es wie dargelegt ebenfalls verwehrt, (erneut) die Ernennung des notwendigen Vertreters durch das Bezirksgericht zu thematisieren (vgl. vorne E. 1.2.2). Unbehelflich bleibt auch die Rüge, es habe stets eine gewillkürte Vertretung bestanden und es sei zu keinem Zeitpunkt ein notwendiger Vertreter eingesetzt worden. Insoweit stellt der Beschwerdeführer den von der Vorinstanz festgestellten (Prozess-) Sachverhalt in Frage (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1), ohne die notwendigen Rügen zu erheben, was nicht zulässig ist (vgl. vorne E. 2.2).
5.2. Nach Dafürhalten des Obergerichts wurde durch die Bestellung einer notwendigen Vertretung im erstinstanzlichen Verfahren die Freiheit des Beschwerdeführers eingeschränkt, persönlich und ohne Vertretung vor Gericht zu handeln. Vorbehalten sei der Streit um die notwendige Vertretung selbst. Eine einmal angeordnete notwendige Vertretung bleibe nach der Rechtsprechung bestehen, bis sie aufgehoben und die Postulationsfähigkeit der Partei als wiedererlangt festgestellt werde. Es sei nicht notwendig, die Vertretung für jede Instanz neu zu bestellen. Da die notwendige Vertretung des Beschwerdeführers nicht aufgehoben worden sei, könne dieser im Scheidungsverfahren nicht persönlich Berufung einreichen. Auf das Rechtsmittel sei daher nicht einzutreten. Auch die Beschwerdegegnerin ist im Wesentlichen dieser Ansicht.
5.3. Wie die Vorinstanz richtig erkennt, hat das Bundesgericht in einem vergleichbaren Fall festgehalten, dass der postulationsunfähigen und notwendig vertretenen Partei die Fähigkeit fehlt, persönlich und ohne Vertretung vor Gericht die im Prozessrecht vorgezeichneten Rechte wahrzunehmen und insbesondere prozessuale Anträge zu stellen. Entsprechend kann auf eine von der Partei persönlich beim Gericht eingereichten Eingabe (dort: Beschwerde in Zivilsachen) nicht eingetreten werden (Urteil 4A_410/2017 vom 24. August 2017). Mit Blick hierauf entspricht das Vorgehen des Obergerichts dem Bundesrecht. Hiervon abzuweichen drängt sich aufgrund der Vorbringen des Beschwerdeführers nicht auf:
5.4.
5.4.1. Vergebens beruft der Beschwerdeführer sich vorab darauf, er müsse jedenfalls nach Art. 67 Abs. 3 Bst. b ZPO zur persönlichen Einreichung der Berufung befugt sein. Nach dieser Bestimmung kann eine handlungsunfähige Person soweit sie urteilsfähig ist vorläufig das Nötige selbst vorkehren, wenn Gefahr in Verzug ist. Erfasst wird damit nicht der hier betroffene Fall der (blossen) Postulationsunfähigkeit, der eine Regelung wie ausgeführt in <ref-law> gefunden hat (STAEHELIN/SCHWEIZER, in: Sutter-Somm et al. [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2016, N. 6 zu <ref-law>). Art. 67 Abs. 3 Bst. b ZPO ist vorliegend folglich nicht anwendbar.
5.4.2. Zu <ref-law> trägt der Beschwerdeführer vor, die erstinstanzlich angeordnete notwendige Vertretung ende automatisch mit dem Abschluss des erstinstanzlichen Verfahrens. Die untere Instanz könne, wie dies auch bei der unentgeltlichen Rechtspflege der Fall sei, Anordnungen nur für das bei ihr geführte Verfahren treffen, nicht jedoch auf das oberinstanzliche Verfahren Einfluss nehmen.
Nach dem Konzept der Schweizerischen Zivilprozessordnung ist das Berufungsverfahren ein eigenständiges Verfahren (<ref-ruling> E. 2.2.2; Urteil 5A_598/2019 vom 23. Dezember 2019 E. 3.1). Das erstinstanzliche Gericht verliert seine Gerichtsbarkeit, sobald es sein Urteil gefällt hat (<ref-ruling> E. 3.4; Urteil 5A_625/2019 vom 22. Juli 2020 E. 4.2). Nichts desto trotz ist über das Eintreten auf die Berufung gestützt auf den Prozessstoff und die Gegebenheiten zu entscheiden, wie sie nach der Ausfällung des angefochtenen Urteils vorliegen (vgl. vorne E. 3.2; SEILER, Die Berufung nach der Schweizerischen Zivilprozessordnung, 2013, Rz. 1230 S. 530). Im Berufungsverfahren ist dementsprechend nicht nur die durch die erste Instanz festgestellte Postulationsunfähigkeit der betroffenen Partei beachtlich (vgl. vorne E. 4.3). Vielmehr wirkt sich auch die erstinstanzliche Ernennung der notwendigen Vertretung als prozessuale Folge der nach wie vor feststehenden Postulationsunfähigkeit im Rechtsmittelverfahren aus. Die notwendige Vertretung endet daher nicht mit dem Abschluss des erstinstanzlichen Verfahrens, sondern erst durch eine rechtskonforme Beendigung (so auch Urteil 4A_410/2017 vom 24. August 2017). Nichts anderes vermag der Beschwerdeführer aus den Bestimmungen zur unentgeltlichen Rechtspflege abzuleiten: Zwar besagt <ref-law>, dass die unentgeltliche Rechtspflege im Rechtsmittelverfahren neu zu beantragen ist. Für die notwendige Verteidigung hat der Gesetzgeber indes gerade keine entsprechende Regelung getroffen. Dem Beschwerdeführer würde es ebenfalls nicht weiterhelfen, wenn er von seinem notwendigen Vertreter diesbezüglich eine unrichtige Auskunft erhalten haben sollte (vgl. vorne E. 1.2.2). Unter diesen Umständen vermag der Beschwerdeführer nichts aus dem Umstand für sich ableiten, dass das Obergericht ihm trotz Feststellung der Postulationsunfähigkeit keine notwendige Vertretung bestellt hat: Zufolge Weitergeltung der erstinstanzlich angeordneten Vertretung war solches vielmehr nicht notwendig.
5.4.3. Die Postulationsfähigkeit bemisst sich danach, ob die betroffene Partei fähig ist, die konkrete Streitsache als Ganzes gehörig zu führen (<ref-ruling> E. 3.3; zur Relativität der Urteilsfähigkeit vgl. <ref-ruling> E. 6.1.1). Zutreffend bringt der Beschwerdeführer daher vor, im Rechtsmittelverfahren könne mit Blick auf die notwendige Vertretung eine andere Ausgangslage gegeben sein als im erstinstanzlichen Verfahren. Nach dem Ausgeführten führt dies aber nicht zu einer automatischen Beendigung der notwendigen Vertretung nach Abschluss des erstinstanzlichen Verfahrens. Immerhin kann sich hieraus für die Rechtsmittelinstanz aber die Notwendigkeit ergeben, beim Entscheid über das Eintreten auf das Rechtsmittel die Postulationsfähigkeit und die notwendige Vertretung zu überprüfen. Entsprechend der allgemeinen Grundsätze ist diese Prüfung grundsätzlich aber nur auf Antrag hin vorzunehmen (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.4; Urteil 5A_164/2019 vom 20. Mai 2020 E. 5.2.3, nicht publ. in: <ref-ruling>). Da diesbezüglich ihre Prozessfähigkeit Verfahrensgegenstand ist, kann die notwendig vertretene Person diesen Antrag ohne Mitwirkung ihrer Vertretung stellen (vgl. vorne E. 1.2.1). Freilich tritt das Rechtsmittelgericht nur dann auf einen entsprechenden Antrag ein, wenn alle weiteren Voraussetzungen hierzu erfüllt sind.
Entsprechend wäre es auch dem Beschwerdeführer möglich gewesen, vom Obergericht die Aufhebung der notwendigen Vertretung und die Beseitigung der Feststellung zu verlangen, er sei postulationsunfähig. Im Erfolgsfalle hätte einer selbständigen Einreichung der Berufung nichts im Wege gestanden. In diesem Zusammenhang rügt der Beschwerdeführer die Feststellung als tatsachenwidrig, er habe vor Obergericht die Aufhebung der notwendigen Vertretung nicht beantragt. Die Vertretung sei Teil des Scheidungsurteils gewesen. In seinem Antrag auf Aufhebung dieses Urteils sei daher auch der Antrag auf Aufhebung der notwendigen Vertretung enthalten gewesen. Es ist bereits zweifelhaft, ob die Beschwerde damit die erforderlichen Rügen und die notwendige Begründung enthält, um darauf hinsichtlich dieser Kritik zum Prozesssachverhalt überhaupt eintreten zu können (vgl. vorne E. 2.2 und 5.1). Jedenfalls legt der Beschwerdeführer aber in keiner Weise dar, dass er die Aufhebung der notwendigen Vertretung vor Obergericht hinreichend thematisiert hätte (vgl. <ref-law> und dazu <ref-ruling> E. 2.3.3; Urteile 5A_356/2020 vom 9. Juli 2020 E. 3.2; 5A_690/2019 vom 23. Juni 2019 E. 7.2). Hierauf ist daher nicht einzugehen.
6.
Nach dem Ausgeführten erweist die Beschwerde sich als unbegründet und ist sie abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten grundsätzlich dem Beschwerdeführer aufzuerlegen und hat dieser die Beschwerdegegnerin zu entschädigen. Eine Ausscheidung von Kosten mit Blick auf die von Rechtsanwalt B._ erhobene Beschwerde rechtfertigt sich nicht. Diesem ist auch keine Entschädigung auszurichten (Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Allerdings ist das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren (vgl. vorne E. 1.3) gutzuheissen, da die entsprechenden Voraussetzungen erfüllt sind (<ref-law>). Der Beschwerdeführer ist daher von der Bezahlung der Gerichtskosten, nicht jedoch von der Leistung einer Parteientschädigung an die Beschwerdegegnerin zu befreien (Urteil 4A_325/2015 vom 9. Februar 2016 E. 6, nicht publ. in: <ref-ruling>). Der Beschwerdeführer wird darauf hingewiesen, dass er der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn er später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Auf die Eingabe von Rechtsanwalt B._ wird nicht eingetreten.
3.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, jedoch einstweilig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
5.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'500.-- zu entschädigen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, Rechtsanwalt B._ und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. November 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber