Sachverhalt:
A.
Das Bezirksgericht Kriens trat mit Urteil vom 20. August 2018 auf die Klage des Gesuchstellers vom 28. August 2017 nicht ein. Die dagegen vom Gesuchsteller erhobene Berufung wies das Kantonsgericht Luzern mit Urteil vom 3. September 2019 ab.
Gegen den Entscheid des Kantonsgerichts erhob der Gesuchsteller mit Eingabe vom 3. Oktober 2019 Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Das Bundesgericht trat auf die Beschwerde mit Urteil 4A_501/2019 vom 28. Oktober 2019 mangels hinreichender Begründung im Sinne von <ref-law> nicht ein.
B.
Der Gesuchsteller beantragte mit Eingabe vom 19. März 2020 die Revision des Urteils 4A_501/2019 vom 28. Oktober 2019.
Am 21. März 2020 und 28. April 2020 reichte er eine weitere Eingabe ein. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Die Revision eines Entscheides des Bundesgerichts kann nur aufgrund der in den Art. 121 - 123 BGG abschliessend aufgezählten Gründe verlangt werden.
Rechtsschriften müssen die Begehren und deren Begründung mit Angabe der Beweismittel enthalten (<ref-law>), ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>).
In einem Revisionsgesuch ist dementsprechend unter Angabe der Beweismittel der Revisionsgrund im Einzelnen darzulegen. Dabei genügt es nicht, das Vorliegen eines Revisionsgrundes einfach zu behaupten. Vielmehr muss dargetan werden, weshalb dieser gegeben und inwiefern gestützt darauf das Urteilsdispositiv abzuändern ist (Urteile 4F_1/2020 vom 13. März 2020 E. 2; 4F_17/2018 vom 9. Oktober 2018 E. 1.1; 4F_19/2014 vom 20. November 2014).
2.
2.1. Das Revisionsgesuch ist von vornherein unzulässig, soweit der Gesuchsteller darin Anträge stellt und Rügen erhebt, die über den Gegenstand des Urteils 4A_501/2019 vom 28. Oktober 2019 hinausgehen.
2.2. Auf das Revisionsgesuch kann im Weiteren nicht eingetreten werden, soweit sich der Gesuchsteller auf den Revisionsgrund von <ref-law> beruft. Die Revision wegen Verletzung der EMRK kann gemäss <ref-law> nur verlangt werden, wenn der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte in einem endgültigen Urteil festgestellt hat, dass die EMRK oder Protokolle dazu verletzt worden sind. Das ist hier offenkundig nicht der Fall.
2.3. Der Gesuchsteller beruft sich in seiner Eingabe auf <ref-law>, tut jedoch das Vorliegen dieses Revisionsgrundes mit Bezug auf das angefochtene Urteil nicht nachvollziehbar dar. Im Übrigen ist unerfindlich, inwiefern durch ein Verbrechen oder Vergehen zum Nachteil des Gesuchstellers auf den Nichteintretensentscheid des Bundesgerichts eingewirkt worden sein soll (<ref-law>).
2.4. Der Gesuchsteller beanstandet, dass das Bundesgericht "aktenkundige Tatsachen und Wahrheiten" missachtet habe. Er beruft sich damit sinngemäss auf den Revisionsgrund nach <ref-law>, ohne aber hinreichend darzulegen, inwiefern das Bundesgericht bei seinem Nichteintretensentscheid in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hätte.
2.5. Der Gesuchsteller moniert, das Bundesgericht habe ihm im Urteil 4A_501/2019 vom 28. Oktober 2019 vorgeworfen, dass er seine Beschwerde nicht hinreichend begründet habe. Das sei "nicht nachvollziehbar und unwahr". Er habe "akribisch mit Beweisen" aufgezeigt, dass durch die kantonalen Vorinstanzen ein "abscheuliches Verbrechen" begangen und die EMRK "aufs Schwerste" verletzt worden sei.
Der Gesuchsteller kritisiert damit, dass das Bundesgericht zu Unrecht von einer ungenügenden Beschwerdebegründung ausgegangen ist. Das stellt keinen Revisionsgrund dar, denn es geht dabei um die rechtliche Würdigung durch das Bundesgericht, die nicht mit Revision in Frage gestellt werden kann (<ref-ruling> E. 3; Urteile 4F_9/2018 vom 4. April 2018; 4F_14/2010 vom 26. Januar 2011).
2.6. Der Gesuchsteller trägt weiter als "Revisionsgründe" vor, dass das Urteil 4A_501/2019 vom 28. Oktober 2019 "zu Unrecht und unter schwerster Missachtung der geltenden Rechtspflege und Gesetze sowie der EMRK" gefällt worden sei. Das Urteil habe sodann seine Gesundheit ruiniert und ihm eine finanzielle Entschädigung verwehrt. Schliesslich sei er zu Unrecht als Schuldiger behandelt und Art. 6 EMRK sei verletzt worden.
Damit macht der Gesuchsteller keinen in Art. 121 - 123 BGG vorgesehenen Revisionsgrund geltend, geschweige denn legt er einen solchen rechtsgenüglich im Einzelnen dar (Erwägung 1).
2.7. Im Weiteren schildert der Gesuchsteller ausführlichst den Gang der bisherigen Gerichtsverfahren. Dabei macht er unter anderem geltend, er sei durch einen Anwaltsfehler seiner ehemaligen Rechtsvertreterin seiner Menschenwürde beraubt worden, wofür er eine finanzielle Entschädigung fordere. Auch damit legt er keinen Revisionsgrund im oben genannten Sinne dar.
3.
Das Revisionsgesuch ist somit nicht rechtsgenügend begründet, weshalb darauf nicht einzutreten ist. Es kann daher offen bleiben, ob das Revisionsgesuch überhaupt rechtzeitig eingereicht worden wäre (<ref-law>).
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Gesuchsteller aufzuerlegen (<ref-law>). Die Gesuchsgegnerin hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da ihr aus dem Revisionsverfahren kein Aufwand erwachsen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Mai 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger