Sachverhalt:
A.
A._ wurde auf das Herbstsemester 2007 zum Doktoratsstudium an der Universität St. Gallen zugelassen. Am 1. März 2010 wurde die Vorstudie (Nachweis des Dissertationsvorhabens und der methodischen Herangehensweise; <ref-law>) akzeptiert. Gleichzeitig forderte ihn der Studiensekretär auf, bis 31. Juli 2013 die Dissertation einzureichen und die dissertationsbegleitenden Seminare erfolgreich abzuschliessen. Diese Frist wurde am 17. April 2013 bis 31. Juli 2014 verlängert.
Am 2. Juli 2014 ersuchte A._ erneut um Verlängerung der Einreichefrist. Zur Begründung führte er aus, er habe es aufgrund von Missverständnissen versäumt, die dissertationsbegleitenden Seminare rechtzeitig zu besuchen. Der Studiensekretär wies dieses Gesuch am 16. Juli 2014 ab und hielt fest, A._ habe die Doktoratsprüfung endgültig nicht bestanden. Den dagegen erhobenen Rekurs hiess der Universitätsrat der Universität St. Gallen mit Entscheid vom 12. September 2016 in zweiter Instanz gut und wies A._ an, seine Dissertation innert sechs Monaten ab Rechtskraft des Entscheides einzureichen. In der Zwischenzeit hatte er erfolgreich an den Seminaren teilgenommen.
Am 21. Oktober 2016 kam es auf Bestreben von A._ zu einem Wechsel des Referenten (von Prof. Dr. B._ zu Prof. Dr. C._). Zudem wurde mit Prof. Dr. D._ ein dritter Korreferent eingesetzt (<ref-law>). Anfang August 2017 reichte A._ seine Dissertation ein.
B.
Gestützt auf das Referat von Prof. Dr. C._ und auf die Korreferate von Prof. Dr. E._ und Prof. Dr. D._ verfügte der Studiensekretär am 7. Juni 2017, dass die Dissertation definitiv abgelehnt sei und A._ das Doktoratsstudium nicht bestanden habe.
Die dagegen erhobenen Rekurse wiesen die Rekurskommission der Universität St. Gallen mit Entscheid vom 22. Januar 2018 und der Universitätsrat mit Entscheid vom 11. März 2019 ab. Mit Urteil vom 17. August 2019 wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung III, die gegen den Entscheid des Universitätsrats gerichtete Beschwerde von A._ ab.
C.
Mit Eingabe vom 23. September 2019 (Postaufgabe) erhebt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 17. August 2019 sei aufzuheben und seine Dissertation sei zur Überarbeitung zurückzuweisen. Zudem sei ihm eine Frist von einem Jahr zur Einreichung der überarbeiteten Dissertation anzusetzen.
Das Verwaltungsgericht und das Bildungsdepartement des Kantons St. Gallen schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Der Universitätsrat lässt sich nicht vernehmen.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1 S. 116).
1.2. Angefochten ist ein verfahrensabschliessender Entscheid einer letzten kantonalen Instanz betreffend das Nichtbestehen des Doktoratsstudiums und somit in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG).
Gemäss Art. 83 lit. t BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide über das Ergebnis von Prüfungen und anderen Fähigkeitsbewertungen, namentlich auf den Gebieten der Schule, der Weiterbildung und der Berufsausübung. Ob der Ausschlussgrund zur Anwendung kommt, hängt vom Gegenstand des angefochtenen Entscheids ab, nämlich davon, ob es um eine Leistungsbewertung geht, und nicht von den erhobenen Rügen (<ref-ruling> E. 1 S. 231; Urteile 2C_277/2012 vom 11. Mai 2012 E. 1.1, mit Hinweisen; 2D_142/2008 vom 23. April 2009 E. 1.2). Vorliegend ist entscheidender Anknüpfungspunkt für das Nichtbestehen des Doktoratsstudiums die ungenügende Bewertung der Dissertation des Beschwerdeführers und somit eine negative Leistungsbewertung. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist daher ausgeschlossen. Zu prüfen bleibt, ob das Rechtsmittel als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen werden kann (vgl. <ref-law>).
1.3. Zur Verfassungsbeschwerde ist gemäss <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Die in <ref-law> genannte Voraussetzung ist erfüllt. Zudem hat der Beschwerdeführer ein rechtlich geschütztes Interesse an der korrekten Beurteilung seiner Leistung (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 235; Urteil 2C_235/2017 vom 19. September 2017 E. 1.2), weil bei Bestehen der Doktoratsprüfung ein Anspruch auf Erteilung des Doktorgrades gegeben ist.
1.4. Im Übrigen wurde die Beschwerde form- und fristgerecht eingereicht (Art. 42, Art. 117 i.V.m. <ref-law>), so dass darauf einzutreten ist.
2.
2.1. Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>), wobei eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet werden muss (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). In der Beschwerde ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern die angerufenen Rechte verletzt worden sind (qualifizierte Rügepflicht, vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 372; <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f.).
Der Grundsatz der Verhältnismässigkeit (<ref-law>), dessen Verletzung der Beschwerdeführer ebenfalls rügt, stellt kein Grundrecht, sondern ein Verfassungsprinzip dar (<ref-ruling> E. 4.1 S. 156). Als solches kann er im Rahmen einer subsidiären Verfassungsbeschwerde nicht selbständig angerufen werden.
2.2. Für das Bundesgericht massgebend ist der Sachverhalt, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (vgl. <ref-law>).
3.
Der Beschwerdeführer macht zunächst geltend, die Vorinstanz habe zu Unrecht die Promotionsordnung für das Doktorat der Universität St. Gallen in der Fassung vom 11. Dezember 2006 (nachfolgend: PromO 07) anstelle der Promotionsordnung in der Fassung vom 7. November 2016 (nachfolgend: PromO 17; beide Fassungen abrufbar unter <https://www.unisg.ch/de/forschung/doktorat/allgemeineinformationen/rechtlichegrundlagenundmerkblaetter>, besucht am 16. Januar 2020) angewendet.
Zwar trifft es zu, dass die PromO 07 durch die am 1. August 2017 in Kraft getretene PromO 17 ersetzt wurde. Diese gilt jedoch für Studierende, die ab dem Herbstsemester 2017 das Doktoratsstudium an der Universität St. Gallen aufnehmen (Art. 67 Abs. 2 PromO 17). Ab dem 1. August 2020 gilt diese Promotionsordnung für alle Doktorierenden (Art. 67 Abs. 3 PromO 17). Für Studierende, die das Doktoratsstudium vor dem 1. August 2017 aufgenommen haben, gelten bis zum 31. Juli 2020 die Promotionsordnungen vom 11. Dezember 2006 bzw. vom 16. Mai 1994 (Art. 68 Abs. 1 PromO 17).
Nach den unbestrittenen Feststellungen der Vorinstanz hat der Beschwerdeführer sein Doktoratsstudium im Herbstsemester 2007 aufgenommen (vgl. vorne, Sachverhalt A). Angesichts der klaren Übergangsregelung gemäss Art. 68 Abs. 1 PromO 17 ist die Vorinstanz zu Recht von der Anwendbarkeit der PromO 07 und der inzwischen aufgehobenen Ausführungsbestimmungen des Senatsausschusses vom 16. Dezember 2008 betreffend Organisation und Durchführung des Doktoratsstudiums (gemäss der Promotionsordnung für das Doktorat der Universität St. Gallen vom 11. Dezember 2006 [PromO 07]; nachfolgend: Ausführungsbestimmungen zur PromO 07) ausgegangen (vgl. E. 3.2 des angefochtenen Urteils).
Der Beschwerdeführer vermag nicht konkret aufzuzeigen, inwiefern vorliegend die Anwendung der PromO 17 zu einer anderen Beurteilung führen könnte; insbesondere tut er nicht dar, dass der Entscheid darüber, was unter einer angemessenen Betreuung der Dissertierenden zu verstehen ist, nicht mehr im Ermessen des Referenten liegen würde. Ebensowenig substantiiert (vgl. E. 2.1 hiervor) ist der in diesem Zusammenhang erhobene Vorwurf der Verletzung der Rechtsgleichheit.
4.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines Anspruchs auf angemessene Betreuung in der Dissertationsphase seitens der Referenten. Im Wesentlichen wirft er ihnen vor, ihr Ermessen missbraucht bzw. überschritten zu haben. Prof. B._ habe die Betreuung des Beschwerdeführers vernachlässigt und damit den Grundsatz von Treu und Glauben sowie das Rechtsgleichheitsgebot verletzt. Ferner habe Prof. C._ jegliche Betreuung in der Schlussphase verweigert und sich in keiner Weise mit der Dissertation und dem Doktoranden auseinandergesetzt, was einer Ungleichbehandlung gegenüber anderen Doktoranden gleichkomme.
4.1. Das Doktoratsstudium gliedert sich in eine Kurs- und in eine Dissertationsphase, welche unter anderem aus der Abfassung der Dissertation besteht (vgl. Art. 24 und Art. 26 lit. b PromO 07). Die Dissertation muss eine selbständige wissenschaftliche Leistung sein, durch die der Doktorierende vertiefte Fachkenntnisse sowie die Beherrschung wissenschaftlicher Methodik nachweist (Art. 36 PromO 07). Die Gesamtbetreuung der einzelnen Dissertationen obliegt dem Dissertationskomitee, bestehend mindestens aus dem Referenten und dem Korreferenten (Art. 9 Abs. 1 i.V.m. Art. 14 lit. a PromO 07). Dem Dissertationskomitee obliegt unter anderem die Aufgabe, Antrag über die Annahme (mit Noten), Rückweisung oder Ablehnung der Dissertation zuhanden der Programmkommission zu stellen (Art. 14 lit. e PromO 07). Letztere entscheidet über die Gesamtnote für die einzelnen Doktorate (Art. 8 Abs. 2 lit. h PromO 07). Die persönliche Betreuung des Dissertierenden obliegt dem Referenten (Art. 14 lit. a PromO 07). Die Dissertation wird durch den Referenten und den Korreferenten begutachtet (Art. 41 PromO 07). Sie ist angenommen, wenn die Note mindestens 4,0 beträgt. Die Annahme der Dissertation kann bei kleinem Änderungsbedarf an Auflagen geknüpft werden (Art. 54 PromO 07). Eine nicht angenommene Dissertation kann bei der Ersteinreichung entweder zur Überarbeitung zurückgegeben oder abgelehnt werden (Art. 61 Abs. 1 PromO 07).
Der Senatsausschuss erlässt Bestimmungen namentlich über die Rechte und Pflichten der Angehörigen des Dissertationskomitees (Art. 15 lit. a PromO). Gemäss Art. 3 der Ausführungsbestimmungen des Senatsausschusses zur PromO 07 hat der Referent die Doktorierenden in der Gestaltung der Kursphase angemessen zu beraten (Abs. 1). Zudem bespricht er mit dem Doktorierenden individuell und in einer angemessenen Periodizität den Fortgang der Arbeit (Abs. 2).
4.2. Die Vorinstanz erwog unter Hinweis auf den Entscheid der Rekurskommission, die Ausdrücke "persönliche Betreuung" gemäss Art. 14 lit. a PromO 07 sowie "angemessene Periodizität" der Besprechungen gemäss Art. 3 Abs. 2 der Ausführungsbestimmungen zur PromO 07 seien in den einschlägigen Regelwerken nicht näher ausgeführt, so dass deren genauere Festlegung im Ermessen des Referenten liege. Im Falle des Beschwerdeführers könne von einer mangelhaften Betreuung nicht ausgegangen werden, da allein im Jahr 2013 acht halbstündige Besprechungen stattgefunden hätten. Ferner sei es nach der Verteidigung der Vorstudie zu insgesamt 84 Interaktionen zwischen dem Beschwerdeführer und Prof. B._ gekommen. Hinweise auf eine krasse Vernachlässigung der Betreuung und somit auf eine rechtsfehlerhafte Ausübung des Ermessens seien nicht ersichtlich (vgl. E. 4.3.1 des angefochtenen Urteils). Zudem spreche der Umstand, dass Prof. B._ im Jahr 2013 wesentliche Änderungen vorgeschlagen, und dass der Beschwerdeführer in der Folge erhebliche zusätzliche Arbeiten vorgenommen habe, dafür, dass ein fachlicher Austausch stattgefunden habe (vgl. E. 4.3.2 des angefochtenen Urteils). Im Übrigen habe der Beschwerdeführer die Rüge der ungenügenden Betreuung durch Prof. B._ erst im Rekursverfahren betreffend die zweite Fristverlängerung geltend gemacht und erst nachdem dieser seinen Antrag nicht mehr unterstützt habe. Dadurch habe der Beschwerdeführer selbst gegen den Grundsatz von Treu und Glauben (<ref-law>) verstossen.
Hinsichtlich der Betreuung durch den neuen Referenten, Prof. C._, führte die Vorinstanz aus, dieser habe das Referat im Oktober 2016 übernommen, und zwar nachdem die Frist zum Einreichen der Dissertation mit Rekursentscheid des Universitätsrats vom 12. September 2016 ein letztes Mal um sechs Monate verlängert worden sei. Er sei gestützt auf frühere Angaben des Beschwerdeführers davon ausgegangen, die Arbeit sei bereits im Frühjahr 2014 fertiggestellt worden, jedoch habe es in jenem Zeitpunkt an der Absolvierung der dissertationsbegleitenden Seminare gefehlt. In diesem Zusammenhang hielt die Vorinstanz fest, Grund für die zweite Fristverlängerung sei nicht die Fertigstellung der Dissertation, sondern der Umstand, dass der Beschwerdeführer es versäumt habe, die dissertationsbegleitenden Seminare rechtzeitig zu besuchen (vgl. E. 4.3.2 und 4.3.4 des angefochtenen Urteils). Prof. C._ habe daher den Beschwerdeführer aufgefordert, die abgabefertige Dissertation einzureichen. Auf die vom Beschwerdeführer gewünschte Vorkorrektur sei er nicht eingegangen, weil dies seiner Auffassung nach Sinn und Zweck der Dissertation als selbständige wissenschaftliche Arbeit widersprochen hätte. Dennoch habe er dem Beschwerdeführer angeboten, spezifische Fragen im Prozess der letzten Überarbeitung zu beantworten. Derartige Fragen habe der Beschwerdeführer nicht gestellt, sondern vielmehr nach Änderungs- und Verbesserungsvorschlägen gefragt (E. 4.2.3 des angefochtenen Urteils). In Anbetracht der gesamten Umstände stelle das Verhalten von Prof. C._ keine Verletzung der Betreuungspflicht dar (vgl. E. 4.3.4 des angefochtenen Urteils).
4.3. Der Beschwerdeführer vermag nicht substantiiert aufzuzeigen, inwiefern die Auslegung und Anwendung des kantonalen Rechts durch das Verwaltungsgericht willkürlich sein oder ein anderes verfassungsmässiges Recht verletzen soll. Vielmehr stellt er über weite Strecken seine eigene Darstellung den vorinstanzlichen Ausführungen gegenüber bzw. schildert seine eigene Wahrnehmung betreffend die Betreuung seiner Dissertation durch die Referenten. Damit kommt er seiner qualifizierten Begründungspflicht (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; vgl. E. 2.1 hiervor) nicht nach. Ebensowenig substantiiert sind die gerügten Verletzungen des Rechtsgleichheitsgebots (<ref-law>) und des Gebots von Treu und Glauben (Art. 5 Abs. 3 und 9 BV). Die blosse Behauptung, dass andere Doktoranden klar bessere Voraussetzungen geniessen würden, um eine genügende bzw. gute Dissertation zu schreiben, genügt den qualifizierten Anforderungen an die Begründung der Verletzung verfassungsmässiger Rechte (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; vgl. E. 2.1 hiervor) nicht. Soweit er aus dem erfolgten Referentenwechsel eine Verletzung der Rechtsgleichheit ableiten will, ist festzuhalten, dass dieser Wechsel gemäss den unbestrittenen Ausführungen der Vorinstanz auf Wunsch des Beschwerdeführers erfolgte, nachdem er eine letzte sechsmonatige Fristverlängerung für die Abgabe seiner Dissertation erhalten hatte (vgl. E. 4.2 hiervor). Ferner reicht der Umstand, dass der Referent möglicherweise einzelne Mails des Beschwerdeführers nicht beantwortet oder einen Termin mit diesem nicht wahrgenommen habe, nicht aus, um eine Grundrechtsverletzung darzutun.
Nicht willkürlich ist schliesslich der Schluss der Vorinstanz, eine Vorkorrektur - wie vom Beschwerdeführer gewünscht - würde dem Sinn und Zweck der Dissertation widersprechen (vgl. auch E. 4.3.4 des angefochtenen Urteils). Wie bereits ausgeführt, stellt die Dissertation eine selbständige wissenschaftliche Arbeit dar, welche dem Nachweis vertiefter Fachkenntnisse und der Beherrschung wissenschaftlicher Methodik dient (vgl. E. 4.1 hiervor). Im Umstand, dass sich der Referent vor der Einreichung der Dissertation nicht dazu äussern wollte, lässt sich daher keine rechtsfehlerhafte Ermessensausübung erkennen.
5.
Der Beschwerdeführer rügt ferner eine Verletzung des Vertrauensprinzips gemäss <ref-law>. Zur Begründung führt er aus, Prof. C._ habe ihn mit Telefonat vom 21. November 2016 zur Einreichung der Dissertation gedrängt und ihm dabei in Aussicht gestellt, dass im schlimmsten Fall (nur) eine Rückweisung der Dissertation erfolgen würde. In der Folge habe der Beschwerdeführer darauf vertraut, dass eine definitive Abweisung seiner Dissertation nicht in Frage komme. In diesem Vertrauen sei er dadurch bestärkt worden, dass ihm Prof. C._ am 23. November 2016 geschrieben habe, die Frage der Quellenaktualität sei kein "dealbreaker".
5.1. Der in <ref-law> verankerte Grundsatz von Treu und Glauben verleiht einer Person Anspruch auf Schutz des berechtigten Vertrauens in behördliche Zusicherungen oder sonstiges, bestimmte Erwartungen begründendes Verhalten der Behörden, sofern sich dieses auf eine konkrete, den betreffenden Bürger berührende Angelegenheit bezieht (<ref-ruling> E. 6.1 S. 636 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 170; je mit Hinweisen). Vorausgesetzt ist, dass die Person, die sich auf Vertrauensschutz beruft, berechtigterweise auf diese Grundlage vertrauen durfte und gestützt darauf nachteilige Dispositionen getroffen hat, die sie nicht mehr rückgängig machen kann (<ref-ruling> E. 2.5.1 S. 72 f. mit Hinweisen). Ferner darf die relevante Rechtslage seit der Auskunftserteilung keine Änderung erfahren haben (<ref-ruling> E. 6.1 S. 636 f.). Keinen Vertrauensschutz geniessen die Rechtsuchenden, wenn sie bzw. ihre Rechtsvertreter den Fehler erkannten oder bei zumutbarer Sorgfalt hätten erkennen müssen (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 203; <ref-ruling> E. 3.3 S. 134 f.).
5.2. Vorliegend lässt sich nicht ermitteln, welches genau der Inhalt des vom Beschwerdeführer erwähnten Telefongesprächs war (vgl. auch E. 4.3.6 des angefochtenen Urteils). Doch selbst wenn der Referent dem Beschwerdeführer in Aussicht gestellt hätte, dass schlimmstenfalls lediglich eine Rückweisung seiner Dissertation erfolgen würde, hätte er nicht darauf vertrauen dürfen, dass eine Ablehnung seiner Doktorarbeit ausgeschlossen sei. Wie bereits ausgeführt, fällt der Antrag über die Annahme, Rückweisung zur Überarbeitung oder Ablehnung der Dissertation zuhanden der Programmkommission in die Zuständigkeit des Dissertationskomitees (vgl. Art. 14 lit. e PromO 07 und E. 4.1 hiervor). Zudem erfolgt die Begutachtung der Dissertation nicht allein durch den Referenten, sondern durch den Referenten und den Korreferenten (vgl. Art. 14 lit. c PromO 07). Hinzu kommt, dass sich das Dissertationskomitee im Falle des Beschwerdeführers aus drei Mitgliedern zusammensetzte (vgl. vorne, Sachverhalt A).
Der Beschwerdeführer behauptet nicht, die Promotionsordnung nicht gekannt zu haben. Daher hätte es ihm bewusst sein müssen, dass der Referent gar nicht zuständig gewesen wäre, vor der Einreichung der Dissertation eine vorbehaltlose Auskunft über eine allfällige Annahme oder Rückweisung derselben zu erteilen. Folglich scheitert die Berufung auf den Vertrauensschutz bereits am Fehlen einer Vertrauensgrundlage. Vor diesem Hintergrund braucht nicht weiter geprüft zu werden, ob der Beschwerdeführer gestützt auf die angebliche Zusicherung nachteilige Dispositionen getroffen habe.
Nichts zu seinen Gunsten kann er schliesslich aus dem Umstand ableiten, dass ihm Prof. C._ am 23. November 2016 geschrieben habe, die Frage der Quellenaktualität sei kein "dealbreaker". Weder macht der Beschwerdeführer geltend, dass die Quellenqualität ausschlaggebend für die Ablehnung seiner Dissertation war, noch ergibt sich ein solcher Hinweis aus den Akten.
6.
Nach dem Gesagten wird auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht eingetreten. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der unterliegende Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Januar 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Ivanov