Sachverhalt:
A.
Die 1954 geborene, in einem Konkubinat lebende AHV-Rentnerin A._ meldete sich am 18. Juli 2018 zum Bezug von Ergänzungsleistungen an. Nach Abklärungen verneinte die Ausgleichskasse des Kantons Thurgau den Anspruch (Verfügung vom 29. Oktober 2018; Einspracheentscheid vom 27. Januar 2020).
B.
Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 15. April 2020 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Die Versicherte lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, es seien ihr - unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids und der Verwaltungsakte der Ausgleichskasse (Verfügung und Einspracheentscheid) - von Juli 2018 bis Dezember 2018 Ergänzungsleistungen zuzusprechen. Eventualiter sei die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz oder die Ausgleichskasse zurückzuweisen.
Mit Eingabe vom 15. Dezember 2020 schliesst die Ausgleichskasse auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
Die Beschwerdeführerin beantragt unter anderem die Aufhebung der Verfügung vom 29. Oktober 2018. Damit verkennt sie, dass Anfechtungsgegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens einzig der an deren Stelle getretene Einspracheentscheid vom 27. Januar 2020 bildete (<ref-ruling> E. 4.2.2 S. 55; <ref-ruling> E. 2.1.2.1 S. 411 f.). Soweit die Verfügung vom 29. Oktober 2018 betreffend, ist demnach auf die Beschwerde nicht einzutreten.
3.
Das kantonale Gericht hat den Anspruch auf Ergänzungsleistungen für den Zeitraum vom 1. Juli 2018 bis 31. Dezember 2018 verneint. Dabei hat es einnahmeseitig Naturalleistungen für die Haushaltsführung angerechnet. Dies wird von der Beschwerdeführerin als Einziges bestritten.
4.
4.1. Als Einnahmen werden (unter anderem) angerechnet (Art. 11 Abs. 1 ELG, in der bis 31. Dezember 2020 gültig gewesenen Fassung) :
- zwei Drittel der Erwerbseinkünfte in Geld oder Naturalien, soweit sie bei alleinstehenden Personen jährlich 1000 Franken und bei Ehepaaren und Personen mit rentenberechtigten Waisen oder mit Kindern, die einen Anspruch auf eine Kinderrente der AHV oder IV begründen, 1500 Franken übersteigen; bei invaliden Personen mit einem Anspruch auf ein Taggeld der IV wird das Erwerbseinkommen voll angerechnet (lit. a);
- Einkünfte und Vermögenswerte, auf die verzichtet worden ist (lit. g).
4.2. Naturalleistungen in Form von Gewährung von Kost und Logis und ein allenfalls zusätzlich ausgerichtetes Taschengeld, welche eine im Konkubinat lebende Person ihrem Partner als Ausgleich für die Führung des gemeinsamen Haushaltes zukommen lässt, zählen im Rahmen der Ergänzungsleistungsberechnung zu den anrechenbaren Einnahmen (<ref-ruling> E. 2b S. 245 f. mit Hinweisen).
5.
5.1. Wie die Vorinstanz korrekt festgehalten hat, ist Bezügern einer AHV-Rente kein hypothetisches Einkommen anzurechnen - weder im Zusammenhang mit einer ausserhäuslichen Erwerbstätigkeit noch mit Haushaltsarbeiten (angefochtener Entscheid E. 3.1 S. 8 f.).
Indem das kantonale Gericht der Beschwerdeführerin - unabhängig von der Klärung, ob diese ihren hälftigen Anteil an den gemeinsamen Wohn- und Lebenskosten tatsächlich selber trägt - eine "Unterhaltsleistung" angerechnet hat (vorinstanzliche E. 3.2.2 S. 10), schliesst sie dennoch (de facto) auf einen Entschädigungs- respektive Einkommensverzicht im Sinne von Art. 11 Abs. 1 lit. g ELG. Wie soeben dargelegt, besteht bei Bezügern einer AHV-Rente jedoch kein Raum für ein "hypothetisches Naturaleinkommen" (vgl. E. 4 vorne).
5.2.
5.2.1. Bereits im Rahmen des Verwaltungsverfahrens und auch des vorinstanzlichen Beschwerdeverfahrens hat die Beschwerdeführerin behauptet, sie beteilige sich zur Hälfte an den (Lebenshaltungs- und) Wohnkosten. Das kantonale Gericht ist hierauf nicht weiter eingegangen (angefochtener Entscheid E. 3.2.2 S. 10). Mit Blick auf die unter E. 4.2 dargelegte bundesgerichtliche Rechtsprechung ist jedoch gerade entscheidend, wie es um diese Behauptung steht. Erweist sie sich als korrekt, darf der Beschwerdeführerin kein Betrag für die Haushaltsführung angerechnet werden (vgl. in diesem Sinne auch bereits das Urteil P4/94 vom 21. Dezember 1994). Hat sich die Beschwerdeführerin dagegen nicht an den Wohn- und Lebenshaltungskosten beteiligt, ist in Nachachtung der Rechtsprechung auf den Bezug von Naturalleistungen zu schliessen, die bei der Ermittlung des Anspruchs auf Ergänzungsleistungen anzurechnen sind.
5.2.2. Die Aktenlage - wie sie sich derzeit präsentiert - lässt keine definitive Beurteilung der Frage zu, ob und (falls ja) in welchem Umfang sich die Beschwerdeführerin im Jahre 2018 an den Wohn- und Lebenshaltungskosten beteiligt hat. Die von ihr behauptete hälftige Beteiligung erscheint aktuell weder glaubhaft noch überwiegend wahrscheinlich. Vielmehr bestehen Ungereimtheiten, die auf ein unzulässiges Hinwirken auf die Ausrichtung von Ergänzungsleistungen hindeuten:
Vorweg fällt auf, dass ein Nachweis betreffend Beteiligung an den Lebenshaltungskosten nicht aktenkundig ist. Hinsichtlich der Wohnkosten gab die Beschwerdeführerin im Rahmen der Anmeldung zum Leistungsbezug vom 18. Juli 2018 sodann an, sie lebe bei ihrem Konkubinatspartner zur Untermiete und beteilige sich mit Fr. 360.- an den Mietkosten von insgesamt Fr. 720.-. Aktenkundig ist lediglich ein Untermietvertrag, nicht jedoch ein Hauptmietvertrag. Der Untermietvertrag datiert vom 1. Juli, ohne die Angabe einer Jahreszahl. Dies, obwohl die Beschwerdeführerin bereits seit Oktober respektive November 2002 bei ihrem Partner lebt. Augenfällig ist diesbezüglich insbesondere auch, dass die Anmeldung zum Bezug von Ergänzungsleistungen im Juli (2018) erfolgte. Das Datum des Untermietvertrags deutet zumindest derzeit auf einen bewussten Vertragsabschluss zwecks Erwirkung von Ergänzungsleistungen hin. Die Überweisung des Mietzinses soll gemäss Untermietvertrag sodann jeweils im Voraus spätestens auf den 26. des Vormonats auf ein Bankkonto des Partners erfolgen. Dennoch befinden sich weder Kontoauszüge der Beschwerdeführerin mit entsprechenden Zahlungsanweisungen noch Auszüge aus dem Konto des Partners, welche die Mietzinseingänge belegen würden, in den Akten. Aktenkundig ist einzig eine "Quittung für Wohnungs-Miete Juli 2018", unterzeichnet am 5. Juli 2018, worin der Partner den Erhalt des Betrags von Fr. 360.- von der Beschwerdeführerin bestätigt.
5.2.3. Mit Blick auf das Dargelegte ist die Sache an die Beschwerdegegnerin zurückzuweisen. Diese hat von der Beschwerdeführerin Belege im Sinne des Beschriebenen einzuholen und allenfalls weitergehende Abklärungen zu treffen. Letztere trifft eine Mitwirkungspflicht (vgl. Art. 61 lit. c ATSG; <ref-ruling> E. 2 S. 195 mit Hinweisen).
6.
Die Rückweisung der Sache mit noch offenem Ausgang gilt für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten und den Anspruch auf Parteientschädigung als vollständiges Obsiegen im Sinne von Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG (vgl. <ref-ruling> E. 7.1 S. 271). Entsprechend hat die Ausgleichskasse die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 15. April 2020 und der Einspracheentscheid der Ausgleichskasse des Kantons Thurgau 27. Januar 2020 werden aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Verfügung an die Ausgleichskasse des Kantons Thurgau zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. Februar 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Nünlist