Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich führt gegen A._ eine Strafuntersuchung wegen Menschenhandels etc. A._ befindet sich seit dem 28. Februar 2017 in Untersuchungshaft. Am 25. April 2019 stellte A._ ein Gesuch um Ausstand der untersuchungsführenden Staatsanwältin Runa Meier. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich wies das Ausstandsgesuch mit Beschluss vom 7. August 2019 ab, soweit sie darauf eintrat.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 9. September 2019 (Postaufgabe 24. September 2019) Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer beanstandet in weitschweifiger Weise das Verhalten der von ihm abgelehnten Staatsanwältin. Mit den Ausführungen der III. Strafkammer zu seinem Ausstandsgesuch setzt er sich indessen nicht auseinander. Er vermag daher nicht aufzuzeigen, dass die III. Strafkammer bei der Behandlung seines Ausstandsgesuchs rechtswidrig gehandelt hätte. Aus seiner nicht sachbezogenen Beschwerde ergibt sich nicht nachvollziehbar, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer bzw. deren Beschluss selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Beiordnung eines (weiteren) Rechtsbeistandes nicht zu entsprechen (<ref-law>). Indessen ist davon abzusehen, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, Runa Meier, der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. September 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli