Sachverhalt:
A.
B.A._ (geb. 1986) ist Staatsangehöriger Ghanas. Er heiratete am 14. Februar 2018 die in der Schweiz niedergelassene deutsche Staatsangehörige A.A._ (geb. 1955), woraufhin ihm die Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA erteilt wurde.
A.a.
Am 4. Januar 2019 ersuchten B.A._ und A.A._ um den Nachzug der in Ghana bei der Kindsmutter verbliebenen (angeblichen) Tochter B.A._s, C._ (geb. 2012). Das Migrationsamt des Kantons Solothurn (nachfolgend: Migrationsamt) wies das Gesuch mit Verfügung vom 10. September 2019 ab.
Das gegen diese Verfügung erhobene kantonale Rechtsmittel blieb ohne Erfolg (vgl. Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn [nachfolgend: Verwaltungsgericht] vom 6. April 2020).
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 11. Mai 2020 gelangen die Eheleute A._ an das Bundesgericht. Sie beantragen die Aufhebung des Urteils vom 6. April 2020 und die Rückweisung der Sache zu neuer Entscheidung an das Verwaltungsgericht.
Das Migrationsamt beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Verwaltungsgericht schliesst sich diesem Antrag an.

Erwägungen:
1.
B.A._ und C._ besitzen beide nicht die Staatsbürgerschaft eines Vertragsstaats des Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (FZA; SR 0.142.112.681). Wie in der Beschwerde vertretbar geltend gemacht wird, ergibt sich ein (potenzieller) Anspruch auf den Familiennachzug C._s jedoch aus dem Freizügigkeitsrecht A.A._s (Art. 3 Abs. 2 Anhang I FZA; <ref-ruling> E. 3 und 4 S. 70 ff.); ob die abkommensrechtlichen Voraussetzungen für den Familiennachzug erfüllt sind, bildet deshalb Gegenstand der materiellen Beurteilung. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich daher als zulässig (Art. 82, Art. 83 lit. c Ziff. 2, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Auch die Beschwerdelegitimation A.A._ und B.A._s ist gegeben (<ref-law>). Auf ihre form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde (Art. 42, Art. 100 Abs. 1 BGG) ist einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Feststellungen der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>). Werden einzelne, für die rechtliche Beurteilung massgebliche Tatsachen nicht festgestellt, liegt darin eine Verletzung materiellen Rechts (<ref-ruling> E. 1.4 S. 68; <ref-ruling> E. 4.3 S. 62).
3.
Nach Art. 3 Abs. 1 Anhang I FZA haben die Familienangehörigen einer Person, die Staatsangehörige einer Vertragspartei ist und ein Aufenthaltsrecht hat, das Recht, bei ihr Wohnung zu nehmen. Als Familienangehörige gelten u. a. der Ehegatte und die Verwandten in absteigender Linie, die noch nicht 21 Jahre alt sind oder denen Unterhalt gewährt wird (Art. 3 Abs. 2 lit. a Anhang I FZA), wobei als "Verwandte" auch die Nachkommen des Ehegatten gelten (<ref-ruling> E. 4). Steht der Nachzug von Stiefkindern jenes EU-Angehörigen in Frage, dessen Personenfreizügigkeit das FZA gewährleistet, ist erforderlich, dass dieser EU-Angehörige mit dem Nachzug einverstanden ist, da der Nachzug sonst nicht der Gewährleistung seines Freizügigkeitsrechts dient. Weiter sind familienrechtliche Scheinbeziehungen vom Nachzugsrecht ausgeschlossen; erforderlich ist insoweit, dass bereits vor der Familienvereinigung ein (soziales) Familienleben tatsächlich bestanden hat, wobei die Angehörigen nicht zusammengewohnt, wohl aber ihre Beziehung mit minimaler Intensität gelebt haben müssen. Bei Minderjährigen hat der nachziehende Ehegatte sodann die zivilrechtliche Verantwortung für das Kind zu tragen, d.h. er muss entweder über das Sorgerecht oder bei geteiltem Sorgerecht über das Einverständnis des anderen Elternteils verfügen. Damit die nachzuziehenden Angehörigen bei der freizügigkeitsberechtigten Person Wohnung nehmen können (vgl. Art. 3 Abs. 1 erster Satz Anhang I FZA), muss dafür auch eine Wohnung vorhanden sein, die den für Inländer geltenden normalen Anforderungen entspricht (vgl. Art. 3 Abs. 1 zweiter Satz Anhang I FZA). Zu beachten ist überdies der Vorbehalt der öffentlichen Ordnung, Sicherheit und Gesundheit gemäss Art. 5 Anhang I FZA. Schliesslich darf der Nachzugsentscheid der Eltern mit Blick auf die Anforderungen des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (Kinderrechtskonvention, KRK; SR 0.107) nicht in offensichtlichem Widerspruch zum Kindeswohl stehen (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 5.2 S. 76 f.).
4.
4.1. Das kantonale Migrationsamt begründete die Verweigerung des Familiennachzugs im vorliegenden Fall damit, es bestünden gewichtige Hinweise darauf, dass der von B.A._ und A.A._ beigebrachte Sorgerechtsentscheid unter betrügerischen Umständen zustande gekommen sei; weitere Dokumente (namentlich die Geburtsurkunde von C._) seien gefälscht. Der DNA-Test, der das Kindsverhältnis beweisen solle, sei nicht von der Schweizerischen Botschaft in Accra überwacht worden, so dass dessen Ergebnis nicht akzeptiert werden könne. Insgesamt bestünden keine Belege dafür, dass B.A._ der Kindsvater C._s sei, und er über das alleinige Sorgerecht verfüge. Die Kindsmutter habe einer Umsiedlung in die Schweiz nicht zugestimmt.
Diese Argumentation übernahm die Vorinstanz nicht. Stattdessen erwog sie, B.A._ und A.A._ hätten es in Verletzung ihrer Mitwirkungspflichten versäumt, die aktuelle Situation C._ in Ghana substanziiert zu beschreiben; die Verschlechterung der Betreuungssituation, die sie als Hauptgrund für das Familiennachzugsgesuch anführten, sei nicht glaubhaft dargetan. Es sei darum nicht nachvollziehbar, warum sie mit dem Familiennachzugsgesuch bis Januar 2019 zugewartet hätten, zumal dies ausländerrechtlich schon im September 2017 möglich gewesen wäre. Aufgrund der Akten erscheine weiter fraglich, ob B.A._ je mit seiner Tochter zusammengelebt habe. Er habe seine Heimat eigenen Angaben zufolge im Jahr 2013 verlassen und bis zu seiner Rückkehr im Jahr 2017 keinen direkten Kontakt zu seiner Tochter gepflegt. Auch an den angeblich geleisteten Unterhaltszahlungen bestünden Zweifel. Die gesamten Umstände liessen nicht darauf schliessen, dass B.A._ und seine Tochter ihre Beziehung je mit minimaler Intensität gelebt hätten. Hinzu komme, dass C._ mittlerweile acht Jahre alt sei und ihr gesamtes bisheriges Leben in Ghana verbracht habe. Weil nicht dargetan sei, dass sie Deutsch spreche oder zumindest erlerne, seien bei einer Übersiedlung in die Schweiz massive schulische und berufliche Integrationsschwierigkeiten zu erwarten. Daraus schloss die Vorinstanz, dass der Familiennachzug den Kindesinteressen zuwiderlaufen "dürfte".
4.2. Wie sich aus der vorstehenden Erwägung ergibt, basierte die Abweisung des Familiennachzugsgesuchs durch das Migrationsamt im Wesentlichen auf dem fehlenden Nachweis der Vaterschaft B.A._s und der ungeklärten Sorgerechtssituation. In einer Eventualbegründung erläuterte das Migrationsamt, dass der Familiennachzug seiner Auffassung nach auch in offensichtlichem Widerspruch zum Kindswohl stehe. In der Verfügung vom 10. September 2019 wurde demgegenüber nicht in Frage gestellt, dass B.A._ und seine Tochter eine Beziehung mit der für den Familiennachzug erforderlichen Intensität pflegten (vgl. zu diesem Erfordernis: E. 3 hiervor). Die Beschwerdeführer hatten deshalb keinen Anlass, diesen Aspekt im Verfahren vor der Vorinstanz aufzugreifen und neben den in diesem Zusammenhang bereits dem Migrationsamt eingereichten Aktenstücken (insbesondere Fotografien und Passstempel zum Nachweis der von den Beschwerdeführern zudem näher beschriebenen Aufenthalte in Ghana) weitere Beweismittel beizubringen; auch im Rahmen des Schriftenwechsels vor der Vorinstanz gab der Aspekt der vorbestehenden Beziehung nie Anlass zu Diskussionen (vgl. Vernehmlassung des Migrationsamts vom 14. Oktober 2019 [<ref-law>]).
Als die Vorinstanz in Betracht zog, das Familiennachzugsgesuch mit der Begründung abzuweisen, dass zwischen B.A._ und seiner Tochter keine vorbestehende Beziehung vorliege, welche die für die Bewilligung des Familiennachzugs erforderliche Intensität erreiche, wäre sie deshalb mit Blick auf den Gehörsanspruch (<ref-law>) verpflichtet gewesen, den Beschwerdeführern hierzu vorgängig ein Äusserungsrecht und die Möglichkeit zur Einreichung von Beweismitteln zu gewähren (vgl. dazu bspw. <ref-ruling> E. 5b/bb S. 278; Urteil 9C_361/2015 vom 17. Juli 2015, E. 5.1 und 5.2). Die Beschwerdeführer rügen deshalb zu Recht, dass die Vorinstanz ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt habe. Ungeachtet der materiellen Aussichten des Rechtsmittels in der Sache selbst führt bereits dieser Aspekt grundsätzlich zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids (<ref-ruling> E. 3 S. 563 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 197; <ref-ruling> E. 2.2 S. 190).
4.3. Hinzu kommt, dass der angefochtene Entscheid auch materiell nicht überzeugt:
4.3.1. Zunächst einmal ist nicht nachvollziehbar, was die Vorinstanz daraus ableiten will, dass die Beschwerdeführer das Gesuch um Familiennachzug erst im Januar 2019 gestellt haben, und nicht bereits im September 2017, als der Beschwerdeführer für sich selbst um die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung ersuchte. Die Beschwerdeführer haben keine Fristen verpasst, und auch mit Blick auf das Erfordernis des vorbestehenden Familienlebens von minimaler Intensität (vgl. E. 3 hiervor) kann nichts daraus abgeleitet werden, dass sie das Familiennachzugsgesuch für C._ nicht bereits im September 2017 gestellt haben. Gemäss den von der Vorinstanz nicht in Frage gestellten Feststellungen des Migrationsamts hat der Beschwerdeführer seit 2017 vielmehr immer wieder längere Zeitspannen in seinem Heimatland (23.9.2017 - 29.1.2018, 7.4.2018 - 27.4.2018, 10.9.2018 - 12.11.2018) verbracht (<ref-law>), und es existieren verschiedene Fotografien aus dieser Zeit, die ihn und die Beschwerdeführerin in dieser Zeitspanne mit seiner Tochter zeigen (vgl. Akten des Migrationsamts, S. 68-74 [<ref-law>]). Ferner hat der Beschwerdeführer für die Zeit seiner Landesabwesenheit (2013 bis 2017) geltend gemacht, den Kontakt zu seiner Tochter auf elektronischem Weg aufrechterhalten zu haben (vgl. Akten des Migrationsamts, S. 87 [<ref-law>]), was im angefochtenen Entscheid ebenfalls nicht in Frage gestellt wird. Wie die Vorinstanz vor diesem Hintergrund zum Ergebnis gelangen konnte, es fehle an einer vorbestehenden Beziehung von minimaler Intensität, ist in keiner Art und Weise nachzuvollziehen.
4.3.2. Auch die weiteren Erwägungen der Vorinstanz vermögen die Verweigerung des Familiennachzugs materiell nicht zu tragen: Zwar ist richtig, dass der Familiennachzug verweigert werden kann, wenn er in offensichtlichem Widerspruch zum Kindswohl steht (vgl. E. 3 hiervor). Allein der Umstand, dass ein nachzuziehendes Kind sich nach der Ankunft in der Schweiz eine neue Sprache aneignen muss, begründet einen solchen offensichtlichen Widerspruch jedoch klarerweise nicht, zumal dies in Familiennachzugskonstellationen eher der Regel, als der Ausnahme entsprechen dürfte; dies gilt umso mehr, als sich C._ mit acht Jahren noch in einem Alter befindet, in dem ihr das Erlernen der deutschen Sprache vergleichsweise leicht fallen dürfte.
4.3.3. Der Sachverhalt ist nach dem Gesagten nicht hinreichend erstellt, um verbindlich beurteilen zu können, ob der Familiennachzug C._s gestützt auf Art. 3 Abs. 1 Anhang I FZA zu bewilligen ist. Der angefochtene Entscheid verletzt daher nicht nur <ref-law> (vgl. E. 4.2 hiervor), sondern auch Art. 3 Abs. 1 Anhang I FZA (vgl. E. 2.2 hiervor). Die Sache ist an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese das Verfahren rechtskonform durchführt und - wo nötig - ergänzende Abklärungen trifft. Soweit dabei Umstände in Frage stehen, welche die Vorinstanz ohne die Mitwirkung der Beschwerdeführer nicht oder nicht mit vernünftigem Aufwand erheben kann, kann (und muss) sie ihnen entsprechende Fragen stellen (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.b S. 365; <ref-ruling> E. 3 S. 99; Urteile 2C_789/2018 vom 30. Januar 2019 E. 3.2; 2C_214/2013 vom 14. Februar 2014 E. 2.2; 2C_403/2011 vom 2. Dezember 2011 E. 3.3.3). Dies gilt insbesondere für die nach wie vor nicht verbindlich geklärten Fragen der Vaterschaft B.A._s und die Sorgerechtssituation.
5.
Die Beschwerde ist nach dem Gesagten gutzuheissen; das angefochtene Urteil ist aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Gerichtskosten sind bei diesem Verfahrensausgang nicht zu erheben (<ref-law>). Der Kanton Solothurn hat die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren jedoch angemessen zu entschädigen (<ref-law>). Die mit der Beschwerde eingereichte Kostennote, die für das vorliegende Verfahren - und insbesondere die Ausarbeitung der achtseitigen materiellen Begründung - einen Zeitaufwand von mehr als 15 Stunden ausweist, erscheint in diesem Zusammenhang als übersetzt und ist entsprechend zu kürzen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das angefochtene Urteil wird aufgehoben und die Sache zu neuer Beurteilung im Sinne der Erwägungen an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Solothurn hat B.A._ und A.A._ für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. November 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner