Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich führt eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen Drohung etc. Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich, Staatsanwalt für amtliche Mandate, bestellte ihm mit Verfügung vom 10. Oktober 2019 Rechtsanwalt B._ als amtliche Verteidigung mit Wirkung ab 24. September 2019. Am 18. April 2020 ersuchte A._ um Wechsel der amtlichen Verteidigung. Die Verfahrensleitung des Bezirksgerichts Bülach wies das Gesuch mit Verfügung vom 6. Mai 2020 ab. Dagegen erhob A._ am 16. Mai 2020 Beschwerde, welche die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich mit Beschluss vom 30. Juli 2020 abwies. Die III. Strafkammer führte zur Begründung zusammenfassend aus, dass objektive und plausible Gründe, welche Anlass für eine erhebliche Störung des Vertrauensverhältnisses geben könnten, vom Angeschuldigten nicht vorgebracht würden. Es seien keinerlei Hinweise ersichtlich, dass der amtliche Verteidiger nicht befähigt und in der Lage wäre, das Mandat weiterzuführen.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 31. August 2020 Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit seinen Ausführungen nicht mit der Begründung der III. Strafkammer, die zur Abweisung seiner Beschwerde führte, auseinander. Er legt nicht im Einzelnen und konkret dar, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer bzw. deren Beschluss selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. September 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli