Faits :
A.
A._, né en 1955, a travaillé en qualité de garçon de minibar dans un hôtel (de 1975 à 1979) et a accompli des travaux temporaires à temps partiel dans le secteur du nettoyage (de 1988 à 1990, puis en 1994). Par la suite, il n'a plus exercé d'activité lucrative mais a effectué du bénévolat auprès de B._ à raison de quelques heures par semaine (de 1998 à 2017).
Le 22 janvier 2018, A._ a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité, invoquant des problèmes aux articulations. Dans un rapport du 28 février 2018, le docteur C._, généraliste et médecin traitant, a diagnostiqué une polyarthrose entraînant une incapacité de travail totale depuis le 1 er juillet 2017. Par la suite, ce médecin a aussi suspecté une maladie d'Ehlers-Danlos de type III, génétiquement non documentée mais cliniquement plausible (rapport du 16 avril 2019).
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) a diligenté une enquête ménagère qui a mis en évidence des empêchements de 4 % dans l'accomplissement des travaux habituels (rapport du 22 octobre 2018). Par décision du 20 juin 2019, tenant compte d'un statut de personne non active, l'office AI a rejeté la demande (taux d'invalidité de 4 %).
B.
A._ a déféré cette décision à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales. Par jugement du 14 mai 2020, la juridiction cantonale a rejeté le recours (ch. 2 du dispositif) et mis un émolument de 200 fr. à la charge de l'assuré (ch. 3 du dispositif).
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant en substance à l'octroi d'une rente d'invalidité. Il sollicite par ailleurs l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
L'office AI conclut au rejet du recours, ainsi qu'à la confirmation du jugement attaqué et de sa décision. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law>, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
2.
Compte tenu des conclusions et des motifs du recours, le litige porte en premier lieu sur le droit de l'assuré à une rente entière d'invalidité.
La juridiction cantonale a exposé de manière complète les règles applicables à la solution du litige, notamment celles qui se rapportent au choix de la méthode d'évaluation de l'invalidité, plus particulièrement la méthode spécifique concernant les assurés non actifs (art. 4, 5 et 28a LAI; <ref-law>). Il suffit de renvoyer au jugement attaqué.
3.
En ce qui concerne les troubles de santé et leur impact sur la capacité de travail, les premiers juges ont admis que l'affirmation du recourant, selon laquelle il souffrait depuis sa naissance d'une "atteinte définitive" à sa santé, n'était ni suffisamment motivée ni confirmée par un document topique. S'agissant du début de l'incapacité de travail, l'instance précédente a constaté que le recourant avait lui-même indiqué à l'enquêtrice de l'office AI que son incapacité de travail s'était manifestée pendant qu'il travaillait comme bénévole chez B._. Par ailleurs, le médecin traitant du recourant et le Service médical régional de l'assurance-invalidité avaient tous deux fixé ce moment au 1 er juillet 2017. Compte tenu de ces éléments, les juges cantonaux ont arrêté à cette date la survenance de l'incapacité de travail déterminante.
Pour établir le statut de l'assuré, les juges cantonaux ont tenu compte du fait que le recourant, sans formation professionnelle, avait exercé sa dernière activité lucrative stable en 1979, puis effectué un dernier remplacement d'un mois en tant qu'agent d'entretien en 1994. Depuis cette époque, il n'avait plus exercé d'activité lucrative. Dès lors qu'il s'agissait d'un choix que le recourant avait fait longtemps avant la survenance de l'atteinte à la santé, l'instance précédente a retenu le statut d'assuré non actif et confirmé le taux d'invalidité fixé par l'office AI en fonction de la méthode spécifique d'évaluation de l'invalidité.
4.
4.1. Le recourant soutient que des prestations de l'assurance-invalidité ne lui auraient probablement pas été refusées s'il les avait demandées dès sa majorité, en raison de la maladie génétique rare dont il se dit atteint (ch. 485 OIC: dystrophies congénitales du tissu conjonctif, par ex. syndrome d'Ehlers-Danlos). Il en déduit que sa santé l'avait empêché d'exercer une activité lucrative (en dehors de divers épisodes exceptionnels), de sorte que son statut devrait être déterminé conformément à l'<ref-law> et conduire à l'évaluation de son invalidité selon les règles de l'<ref-law>, 27bis RAI et 16 LPGA. A son avis, la fixation de l'"invalidité" au 1 er juillet 2017 relève d'une appréciation fictive et est purement arbitraire puisqu'il serait atteint d'une infirmité congénitale depuis sa minorité.
4.2. En tant qu'il conteste le moment de la survenance de l'incapacité de travail déterminante, le recourant s'en prend à l'établissement des faits par la juridiction cantonale. Son argumentation consiste toutefois essentiellement à opposer son appréciation de la situation à celle des premiers juges fondée notamment sur l'avis du médecin traitant du 28 février 2018 en invoquant des faits (une infirmité congénitale) qui ne sont pas documentés. Pareils allégués ne permettent pas d'admettre que les faits auraient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit (cf. <ref-law>).
Au demeurant, l'exercice d'une activité lucrative durant plusieurs années dans un hôtel, dès la majorité du recourant, tend à confirmer qu'il disposait à cette époque d'une capacité de travail qu'il mettait à profit. Dès lors que le recourant n'a exercé aucune activité lucrative entre 1994 et 2017, époque de la survenance de l'incapacité de travail, mais a consacré son temps à l'accomplissement de ses travaux habituels (tenue de son ménage, bénévolat) durant cette période, l'appréciation de la juridiction cantonale quant au statut de l'assuré comme personne non active n'apparaît ni insoutenable ni autrement contraire au droit. Il s'ensuit que l'invalidité doit être évaluée conformément aux <ref-law> et 27 RAI. En particulier, l'<ref-law> invoqué par le recourant n'est pas applicable puisqu'il concerne l'invalidité des assurés de moins de vingt ans. Pour le surplus, le taux d'invalidité de 4 % n'est pas contesté en tant que tel et il n'y a pas lieu d'y revenir. C'est dès lors à juste titre que la juridiction cantonale a nié le droit du recourant à une rente d'invalidité.
5.
5.1. Dans un second grief, le recourant s'en prend de manière générale au principe du caractère onéreux de la procédure de recours de première instance qui prévaut en matière de prestations de l'assurance-invalidité. Par ailleurs, il invoque un déni de justice et une violation de l'art. 29 al. 3 Cst., car la juridiction cantonale n'a pas tenu compte de la demande de dispense des frais qu'il avait présentée dans son recours cantonal. Eu égard à son indigence, il soutient que la procédure cantonale aurait dû être gratuite et que la mise à sa charge des frais de la procédure cantonale serait contraire au droit.
5.2. Contrairement à ce que demande tout d'abord le recourant, le Tribunal fédéral ne saurait revoir la constitutionnalité de l'<ref-law> (cf. art. 190 Cst.).
En ce qui concerne ensuite la demande de dispense des frais de la procédure cantonale qui avait été formulée dans le recours cantonal ("requête préalable en remise de frais et sûretés"), on constate que la juridiction cantonale n'en a pas tenu compte lorsqu'elle a condamné le recourant au paiement d'un émolument de justice. Elle ne s'est donc pas prononcée sur la demande de dispense des frais judiciaires ("dispense d'exigences matérielles qui l'empêcherait de faire valoir ses droits" selon les termes du recourant). Invoquée en relation avec l'indigence du recourant, cette demande aurait dû être interprétée comme une requête d'assistance judiciaire pour les frais de procédure. Dans ces conditions, le ch. 3 du dispositif du jugement attaqué doit être annulé et la cause renvoyée à la juridiction cantonale afin qu'elle examine le droit éventuel du recourant à l'assistance judiciaire concernant les frais judiciaires (cf. art. 61 let. f LPGA) et statue à nouveau.
6.
Compte tenu des circonstances, il est renoncé à la perception de frais pour la procédure fédérale (art. 66 al. 1 2 e phrase LTF), si bien que la requête d'assistance judiciaire n'a plus d'objet à cet égard (<ref-law>).
Vu l'issue du litige selon laquelle le recourant obtient très partiellement gain de cause, des dépens réduits lui sont alloués (<ref-law>; art. 9 du Règlement sur les dépens alloués à la partie adverse et sur l'indemnité pour la représentation d'office dans les causes portées devant le Tribunal fédéral, RS 173.110.210.3). Comme il n'est pas représenté par un mandataire professionnel, le recourant ne saurait prétendre à l'assistance judiciaire pour le surplus.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis en ce sens que le ch. 3 du dispositif du jugement de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 14 mai 2020, est annulé, la cause étant renvoyée à ladite autorité afin qu'elle statue à nouveau sur le droit éventuel du recourant à l'assistance judiciaire. Le recours est rejeté pour le surplus.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
L'intimé versera au recourant une indemnité de 500 fr. à titre de dépens pour la procédure fédérale.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 26 février 2021
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Berthoud