Faits :
A.
Le 8 juin 2021, le Service de la consommation et des affaires vétérinaires de la République et canton de Genève (ci-après: le Service cantonal) a été informé de la présence à Genève d'un chien de race Toy Terrier russe mâle, né en 2021 et appelé X._. Celui-ci avait été importé de Moldavie - pays où sévit la rage - avant d'être offert à A._, résidente grecque en séjour temporaire en Suisse. Le chien X._ était doté d'une puce électronique, mais n'avait pas été déclaré aux douanes suisses. Il n'avait également pas été vacciné contre la rage, ne bénéficiait ni d'un titrage antirabique, ni d'un certificat sanitaire TRACES et avait été importé sans respect de la période de carence de trois mois.
Le même jour, le Service cantonal a ordonné le séquestre provisoire de l'animal, au vu du risque sanitaire que celui-ci représentait.
B.
Par décision du 16 juin 2021, déclarée exécutoire nonobstant recours en raison du risque potentiel de zoonose (maladie animale transmissible à l'homme), le Service cantonal a confirmé le séquestre préventif du chien X._, a accordé à A._ un délai au 22 juin 2021 pour lui remettre un plan de retour du chien, celui-ci devant être reconduit par un transporteur professionnel dans son pays de provenance ou tout autre pays d'accueil avant le 26 juin 2021, a ordonné la mise à mort de l'animal en cas d'apparition de symptômes non équivoques de la rage et a ordonné son séquestre définitif et son euthanasie pour le cas où le plan de retour ne serait pas présenté par sa détentrice dans le délai accordé et/ou une reconduction dans le pays de provenance ou tout autre pays d'accueil ne serait pas effectuée avant le 26 juin 2021.
Par acte du 21 juin 2021, A._ a interjeté un recours contre la décision précitée auprès de la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) concluant préalablement à l'octroi de l'effet suspensif et, à titre principal, à l'annulation de la décision attaquée et à ce que la vaccination contre la rage du chien X._et son isolement durant un mois en vue de son départ pour la Grèce soient ordonnés. Le même jour, le juge délégué de la Cour de justice a fait interdiction au Service cantonal d'euthanasier le chien séquestré jusqu'au prononcé de la décision sur effet suspensif.
Par décision du 27 juillet 2021, la Cour de justice a refusé de restituer l'effet suspensif au recours, tout en ordonnant au Service cantonal de ne pas procéder à l'euthanasie du chien X._ avant le vendredi 30 juillet 2021 à minuit.
C.
Le 28 juillet 2021, A._ dépose un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral contre la décision du 27 juillet 2021 de la Cour de justice. Elle conclut "préalablement et à titre superprovisoire déjà" à l'octroi de l'effet suspensif à son recours. Au fond, elle requiert l'annulation de la décision attaquée et sa réforme en ce sens que l'effet suspensif au recours cantonal interjeté le 21 juin 2021 est restitué.
Par ordonnance du 29 juillet 2021, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a admis la demande d'effet suspensif à titre superprovisoire.
La Cour de justice s'en rapporte à justice quant à la requête d'effet suspensif au recours déposé devant la Cour de céans et quant à la recevabilité de celui-ci et persiste dans les considérants et le dispositif de sa décision. Le Service cantonal conclut au rejet du recours et à la confirmation de la décision attaquée. L'Office fédéral de la sécurité alimentaire et des affaires vétérinaires dépose des observations. Par courrier du 27 septembre 2021, la recourante persiste intégralement dans les conclusions de son recours et sollicite la suspension de la procédure jusqu'à droit connu sur la demande de reconsidération de la décision du 16 juin 2021 qu'elle a déposée le même jour devant le Service cantonal.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>). Il contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1).
1.1. Une décision refusant d'accorder au recourant l'effet suspensif à un recours sur le plan cantonal constitue une décision incidente, car elle ne met pas fin au litige (cf. arrêts 2C_368/2021 du 16 juin 2021 consid. 3.2; 2C_923/2020 du 3 décembre 2020 consid. 3.1; 9C_652/2011 du 19 janvier 2012 consid. 4.1). Sous réserve des cas visés par l'<ref-law> non réalisés en l'espèce, les décisions incidentes qui sont notifiées séparément ne peuvent, aux termes de l'<ref-law>, faire l'objet d'un recours immédiat au Tribunal fédéral que si elles peuvent causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale permettant d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b). Cette dernière hypothèse étant d'emblée exclue, la recevabilité du présent recours est subordonnée à la condition que la décision attaquée soit susceptible de causer un préjudice irréparable. Un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law> est un dommage de nature juridique qui ne peut pas être réparé ultérieurement par un jugement final ou une autre décision favorable au recourant (<ref-ruling> consid. 1.1.3; <ref-ruling> consid. 3.6 et la référence; arrêt 2C_368/2021 du 16 juin 2021 consid. 3.2).
En l'occurrence, le refus de restituer l'effet suspensif au recours prononcé par la Cour de justice permet d'exécuter, dès le 30 juillet 2021 à minuit, la décision d'euthanasier le chien de la recourante avant que cette même cour ne se soit prononcée sur le bien-fondé sur le plan juridique de cette mesure sur laquelle il ne sera définitivement plus possible de revenir. La décision refusant l'effet suspensif est donc de nature à causer à l'intéressée un préjudice irréparable au sens indiqué ci-dessus (cf. arrêt 2C_356/2007 du 18 septembre 2007 consid. 1.1). Partant, les conditions de l'<ref-law> sont réalisées.
1.2. La voie de recours contre une décision incidente est déterminée par le litige principal (cf. <ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 1.4). En l'espèce, celui-ci porte sur le prononcé de mesures visant à éviter la propagation d'une épizootie fondées notamment sur la loi fédérale du 1er juillet 1966 sur les épizooties (LFE; RS 916.40), l'ordonnance fédérale du 28 novembre 2014 concernant l'importation, le transit et l'exportation d'animaux de compagnie (OITE-AC; RS 916.443.14) et le règlement genevois d'application de ladite loi du 11 novembre 2020 (RaLFE; RSGE M 3 20.02). Il s'agit donc d'une cause de droit public (cf. <ref-law>) qui ne tombe pas sous le coup de l'une des exceptions prévues par l'<ref-law>. La voie du recours en matière de droit public est ainsi ouverte.
1.3. Au surplus, la décision attaquée a été rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). La recourante étant détentrice du chien dont l'euthanasie a été ordonnée et destinataire de la décision attaquée, elle dispose d'un intérêt digne de protection à la modification de la décision attaquée et, partant, la qualité pour recourir doit lui être reconnue (<ref-law>; cf. arrêt 2C_545/2014 du 9 janvier 2015 consid. 1.1 et l'arrêt cité). Déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites (<ref-law>), le présent recours est recevable.
1.4. Les conclusions doivent être interprétées à la lumière de la motivation figurant dans le mémoire (<ref-ruling> consid. 1.3). Bien que la recourante conclue à la réforme de la décision attaquée en ce sens que l'effet suspensif est restitué au recours interjeté le 21 juin 2021 devant la Cour de justice, on comprend, à la lecture de son mémoire, qu'elle requiert uniquement la restitution de l'effet suspensif s'agissant de l'euthanasie de son chien. Partant, son recours ne sera examiné que sur cet aspect.
2.
2.1. La décision statuant sur une requête d'effet suspensif est une décision en matière de mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law>, de sorte que la recourante ne peut dénoncer devant le Tribunal fédéral que la violation de ses droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.5; arrêt 8C_774/2018 du 30 janvier 2019 consid. 3.1).
Conformément à l'<ref-law>, le Tribunal fédéral n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par la partie recourante (<ref-law>), à savoir expressément soulevé et exposé de manière claire et détaillée, en précisant en quoi consiste la violation (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 1.7.2).
2.2. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Dans l'hypothèse d'un recours soumis à l'<ref-law>, la partie recourante qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que si elle démontre la violation de droits constitutionnels, conformément au principe d'allégation susmentionné, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (cf. <ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 7.1; arrêt 5A_189/2021 du 31 août 2021 consid. 2.2). La partie recourante ne peut se limiter à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; elle doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (cf. <ref-ruling> consid. 1.4.3). A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 2.3 et les références).
3.
La recourante invoque à plusieurs reprises une constatation insoutenable des faits et une appréciation arbitraire des preuves. Elle fait en substance grief à la Cour de justice d'avoir retenu, selon elle de manière arbitraire, qu'il existait un risque non quantifiable que son chien soit vecteur de la rage, qu'un plan de retour à l'étranger ne pouvait pas être mis à exécution et qu'il était impossible, à ce stade, d'administrer un vaccin antirabique audit chien.
3.1. Il y a arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'établissement des faits ou l'appréciation des preuves si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 3.6.2).
3.2. La recourante conteste en premier lieu que le chien présente un risque élevé d'infection à la rage. Elle explique à cet égard que la mère du chien X._ a été vaccinée avant sa naissance en mars 2021, de sorte que celui-ci aurait bénéficié des anticorps maternels durant ses huit à douze premières semaines de vie et aurait été ainsi adéquatement protégé contre la rage durant le temps passé en Moldavie. Elle souligne également que, selon l'art. 142 al. 2 de l'ordonnance du 27 juin 1995 sur les épizooties (OFE; RS 916.401), la période d'incubation de la rage est de 120 jours, de deux à trois mois selon l'Organisation mondiale de la santé et, selon un fascicule des Ecoles nationales vétérinaires françaises de septembre 2020, de 15 à 60 jours chez la majorité des chiens. La rage aurait donc déjà dû se déclarer chez l'animal s'il était porteur de la maladie.
Dans l'arrêt attaqué, la Cour de justice a retenu que l'importation illégale du chien X._ depuis la Moldavie, pays où sévit la rage urbaine (cf. art. 3 let. c OITE-AC), alors que celui-ci n'était pas vacciné contre cette maladie, suffisait à admettre l'existence d'un risque - certes non quantifiable - qu'il soit vecteur de cette zoonose. La recourante, qui ne conteste pas l'absence de vaccination antirabique du chien ainsi que le fait que celui-ci était également, au moment de son entrée en Suisse, sans titrage antirabique, sans certificat sanitaire et n'avait pas respecté la période de carence de trois mois, se prévaut d'éléments de preuve permettant, selon elle, de retenir "un risque extrêmement faible voire quasiment nul" d'infection à la rage. Ce faisant, quoi qu'elle en pense, elle admet l'existence d'un tel risque, ce qui suffit à exclure tout arbitraire dans l'appréciation de la Cour de justice, en tant que celle-ci retient ce même risque tout en précisant que celui-ci n'est pas quantifiable.
3.3. La recourante reproche ensuite à l'autorité précédente d'avoir retenu que la vaccination antirabique du chien X._, ainsi que l'exécution de son plan de retour à l'étranger étaient impossibles.
Ces faits pourraient être pertinents pour le jugement au fond que devrait rendre la Cour de justice sur le bien-fondé de la décision du Service cantonal, mais ne sont pas déterminants à ce stade pour apprécier si c'est à juste titre que l'effet suspensif n'a pas été restitué (cf. infra consid. 4). Ils n'ont donc pas à être examinés plus avant.
3.4. Pour le reste, force est de constater que la recourante développe sa propre version des faits et des éléments de preuve qu'elle tient pour concluants, en opposant son appréciation à celle développée par la Cour de justice, ce qui ne saurait suffire à faire tenir cette dernière pour arbitraire. Tel est notamment le cas lorsqu'elle affirme, sans le prouver, que son chien n'aurait été au contact d'aucun animal domestique ou sauvage, durant le temps passé en Moldavie.
3.5. Le grief tiré de l'établissement inexact des faits et de l'appréciation arbitraire des preuves doit partant être écarté. Le Tribunal fédéral statuera donc exclusivement sur la base des faits retenus par la Cour de justice.
4.
La recourante se plaint de la violation arbitraire (art. 9 Cst.) de l'art. 66 LPA/GE, s'agissant du refus de la Cour de justice de restituer l'effet suspensif à son recours en lien avec l'euthanasie de son chien.
4.1. Une décision est arbitraire lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou lorsqu'elle contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Le Tribunal fédéral n'a pas à déterminer quelle est l'interprétation correcte que l'autorité cantonale aurait dû donner des dispositions applicables; il doit uniquement examiner si l'interprétation qui a été faite est défendable. Par conséquent, si celle-ci ne se révèle pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation cantonale en cause, elle sera confirmée, même si une autre solution paraît également concevable, voire préférable. De plus, il ne suffit pas que les motifs de la décision attaquée soient insoutenables, encore faut-il que cette dernière soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 7.3; arrêt 1C_452/2020 du 23 mars 2021 consid. 4.1). Dans ce contexte, le recours est soumis aux exigences accrues de motivation de l'<ref-law> (arrêt 1C_138/2021 du 7 juillet 2021 consid. 2.1).
4.2. L'art. 66 LPA/GE prévoit que, sauf disposition légale contraire, le recours a effet suspensif à moins que l'autorité qui a pris la décision attaquée n'ait ordonné l'exécution nonobstant recours (al. 1). Toutefois, lorsqu'aucun intérêt public ou privé prépondérant ne s'y oppose, la juridiction de recours peut, sur la demande de la partie dont les intérêts sont gravement menacés, retirer ou restituer l'effet suspensif (al. 3).
4.3. Lorsqu'une autorité judiciaire se prononce sur l'effet suspensif ou d'autres mesures provisoires, elle peut se limiter à la vraisemblance des faits et à l'examen sommaire du droit (examen prima facie), en se fondant sur les moyens de preuve immédiatement disponibles, tout en ayant l'obligation de peser les intérêts respectifs des parties (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 2.3; arrêts 2C_368/2021 du 16 juin 2021 consid. 5; 2C_637/2020 du 14 octobre 2020 consid. 6).
La restitution de l'effet suspensif est subordonnée à l'existence de justes motifs, qui résident dans un intérêt public ou privé prépondérant à l'inexécution immédiate de la décision. L'autorité dispose à cet égard d'un large pouvoir d'appréciation (<ref-ruling> consid. 2.2; arrêts 2C_368/2021 du 16 juin 2021 consid. 5; 2C_637/2020 du 14 octobre 2020 consid. 6). Le Tribunal fédéral n'examine qu'avec retenue l'appréciation à laquelle a procédé l'instance précédente. Il n'annule une décision sur mesures provisionnelles que si la pesée des intérêts à son origine est dépourvue de justification adéquate et ne peut être suivie, soit en définitive si elle paraît insoutenable (arrêts 2C_368/2021 du 16 juin 2021 consid. 5; 2D_1/2021 du 8 mars 2021 consid. 3; 2C_637/2020 du 14 octobre 2020 consid. 6 et les arrêts cités).
La jurisprudence retient que, lorsque l'autorité statue sur l'effet suspensif, elle peut tenir compte de l'issue prévisible de la procédure au fond, et ainsi anticiper la décision finale, pour autant que celle-ci soit claire (cf. <ref-ruling> consid. 2.2; concernant les mesures provisionnelles en général, cf. arrêts 2C_149/2020 du 23 juillet 2020 consid. 3.1; 2C_720/2016 du 18 janvier 2017 consid. 2.1; 2A.397/2005 du 3 janvier 2006 consid. 2.2; 2A.142/2003 du 5 septembre 2003 consid. 3.2, qui indiquent qu'il faut des "circonstances exceptionnelles" justifiant d'anticiper la décision finale). La décision relative à l'effet suspensif ne devrait, si possible, pas préjuger de l'issue du recours, ni rendre d'emblée le recours sans objet en créant une situation de fait irréversible qui rendrait impossible le rétablissement de l'état de fait dicté par la décision finale (cf. <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 7; <ref-ruling> consid. 3; arrêts 2C_171/2020 du 15 juin 2020 consid. 3.1; 2C_356/2007 du 18 septembre 2007 consid. 3). En effet, le destinataire de la décision sur l'effet suspensif doit pouvoir être protégé des suites dommageables qui pourraient découler d'une décision au fond, laquelle - dûment attaquée - se révélerait par la suite erronée, à défaut de quoi la protection juridictionnelle se révélerait illusoire (CLÉA BOUCHAT, L'effet suspensif en procédure administrative, 2015, thèse Lausanne 2015, p. 288; cf. également HANSJÖRG SEILER, in Praxiskommentar Verwaltungsverfahrensgesetz, 2e éd. 2016, no 41 ad <ref-law>; MOOR/POLTIER, Droit administratif, vol. II, 3e éd. 2011, p. 307).
4.4. Dans la décision attaquée, pour confirmer le refus de restituer l'effet suspensif, la Cour de justice se contente de relever qu'un vaccin antirabique ne pourrait pas être administré au chien X._, qu'il reste en fourrière ou qu'il en sorte, si bien que le risque sanitaire demeurera. Puis, elle conclut que, quand bien même la mesure décrétée, à savoir l'euthanasie de l'animal, est invasive et irréversible, l'intérêt public à la lutte contre les zoonoses prime l'intérêt privé de la recourante. Ce raisonnement perd de vue l'objet même de la pesée des intérêts à laquelle la Cour de justice aurait dû se livrer. L'autorité précédente n'a en effet pas analysé le risque concret de propagation de la rage que représente le chien X._ dans les conditions actuelles de détention durant la procédure et, dans ce contexte, quelle serait l'urgence à l'euthanasier immédiatement, avant qu'elle ne se prononce sur le bien-fondé de cette décision. Elle disposait pourtant des éléments factuels nécessaires pour trancher ces questions.
4.5. En effet, il ressort de l'arrêt attaqué que le chien X._ est séquestré à la fourrière cantonale pour animaux depuis le 8 juin 2021. Ce séquestre a été ordonné par le Service cantonal afin d'éviter toute contamination de tiers. Il s'agit donc d'une mesure propre à empêcher la propagation de la rage. Cela est confirmé par l'Office fédéral de la sécurité alimentaire et des affaires vétérinaires qui relève, dans ses déterminations, que le canton de Genève dispose d'une station de quarantaine qui permet d'héberger un chien suspecté d'avoir la rage en toute sécurité, sa prise en charge étant assurée par du personnel qualifié. Ainsi, l'isolement actuel du chien X._ dans une station de quarantaine est une mesure certes temporaire, mais propre à éviter qu'il ne propage la rage jusqu'au terme de la procédure au fond devant la Cour de justice qui concerne en particulier son euthanasie, aucun élément ressortant de l'arrêt attaqué ne permettant de conclure le contraire.
Partant, il n'existe, en l'état, aucun intérêt public qui commanderait d'euthanasier en urgence le chien X._.
4.6. Au contraire, l'intérêt de la recourante à ce que son chien ne soit pas euthanasié est manifeste. Le maintien en vie de cet animal assure à la recourante une protection juridictionnelle efficace, puisqu'il permet de garantir que son recours au fond déposé devant la Cour de justice ne soit pas préjugé au stade de l'effet suspensif et qu'il ne soit pas définitivement privé de son objet avant d'avoir été traité. Or, il ne ressort pas de l'arrêt attaqué qu'il existerait en l'espèce des circonstances qui justifieraient d'admettre que la décision finale soit anticipée au stade de l'effet suspensif. En conséquence, les intérêts de la recourante doivent l'emporter en l'espèce.
4.7. Sur le vu de ce qui précède, la Cour de justice a appliqué de manière insoutenable l'art. 66 LPA/GE. En l'absence d'intérêt public commandant d'exécuter en urgence la décision, elle ne pouvait pas priver le recours au fond d'objet en créant une situation de fait irréversible. La décision de la Cour de justice, qui repose sur une pesée des intérêts lacunaire, est insoutenable tant dans sa motivation que dans son résultat. Partant, elle relève d'une application arbitraire des règles dictant l'effet suspensif prévues à l'art. 66 LPA/GE. Le recours doit donc être admis sur ce point et l'arrêt litigieux réformé en ce sens que l'effet suspensif est restitué s'agissant de l'euthanasie du chien, mais confirmé s'agissant des autres aspects, en particulier le séquestre du chien (cf. supra consid. 1.4).
4.8. Le grief d'arbitraire étant bien-fondé, il n'est pas nécessaire d'examiner les autres griefs invoqués par la recourante.
5.
Les considérants qui précèdent conduisent à l'admission du recours. La décision de la Cour de justice du 27 juillet 2021 est réformée en ce sens que l'effet suspensif au recours interjeté le 21 juin 2021 est restitué en ce qui concerne l'euthanasie du chien X._. Elle est confirmée pour le surplus. Cela rend sans objet la requête d'effet suspensif formée par la recourante pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
Au vu de l'issue du litige, la recourante ne subit aucun préjudice du fait que la présente procédure ne soit pas suspendue. Partant, la requête de suspension de la procédure sera rejetée.
Aucun frais ne peut être mis à la charge du Département (<ref-law>). Le Département versera à la recourante une indemnité à titre de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
La requête de suspension de la procédure est rejetée.
2.
Le recours est admis. La décision de la Cour de justice du 27 juillet 2021 est réformée en ce sens que l'effet suspensif au recours interjeté le 21 juin 2021 est restitué s'agissant de l'euthanasie du chien X._. Elle est confirmée pour le surplus.
3.
Il n'est pas perçu de frais.
4.
La République et canton de Genève versera à la recourante une indemnité de 2'000 fr. à titre de dépens.
5.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Service de la consommation et des affaires vétérinaires du Département de la sécurité, de la population et de la santé et à la Cour de justice, Chambre administrative, de la République et canton de Genève, ainsi qu'à l'Office fédéral de la sécurité alimentaire et des affaires vétérinaires.
Lausanne, le 30 septembre 2021
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Wiedler