Erwägungen:
1.
A._ stellte am 29. August 2016 bei der Stadt Schaffhausen ein Baugesuch für den Ausbau des Dachgeschosses seines Einfamilienhauses. Die Stadt Schaffhausen führte das vereinfachte Baubewilligungsverfahren durch. Das Bauvorhaben wurde unter anderen B._ und C._ als direkte Anstösser schriftlich angezeigt. Diese erhoben verschiedene Einwendungen. Am 15. November 2016 bewilligte der Stadtrat Schaffhausen den Dachgeschossausbau. Am 2. Mai 2017 wies der Regierungsrat des Kantons Schaffhausen den gegen die Baubewilligung erhobenen Rekurs von B._ und C._ ab, soweit darauf eingetreten wurde. Deren Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Obergericht des Kantons Schaffhausen wurde am 6. November 2018 ebenfalls abgewiesen, soweit darauf einzutreten war. Gegen den obergerichtlichen Entscheid erhoben B._ und C._ am 3. Januar 2019 Beschwerde beim Bundesgericht. Dieses hiess die Beschwerde mit Urteil 1C_5/2019 vom 12. Juni 2019 gut, hob den Entscheid des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 6. November 2018 auf, wies das Baugesuch des Beschwerdegegners ab und wies die Sache zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an die Vorinstanz zurück. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- für das bundesgerichtliche Verfahren auferlegte das Bundesgericht dem Beschwerdegegner und verpflichtete ihn, die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
Das Obergericht des Kantons Schaffhausen verpflichtete mit Beschluss vom 31. März 2020 A._ und die Stadt Schaffhausen, die Beschwerdeführer für das Beschwerdeverfahren mit je Fr. 4'824,50 prozessual zu entschädigen. Für das Rekursverfahren sprach es keine Parteientschädigung zu und erhob keine Kosten für das Rekurs- und das Beschwerdeverfahren.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 24. April 2020 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Beschluss des Obergerichts des Kantons Schaffhausen. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Soweit der Beschwerdeführer die Änderung der Kosten- und Entschädigungsregelung des bundesgerichtlichen Urteils 1C_5/2019 vom 12. Juni 2019 beantragt, kann von vornherein auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. Die Aufhebung oder Abänderung eines nach <ref-law> in Rechtskraft erwachsenen Bundesgerichtsurteils ist nur bei Vorliegen eines Revisionsgrundes gemäss <ref-law> möglich. Der Beschwerdeführer macht indessen keine Revisionsgründe geltend, womit sich die Eröffnung eines formellen Revisionsverfahrens erübrigt.
4.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Das Obergericht begründete die vom Beschwerdeführer beanstandete Entschädigungsregelung ausführlich. Mit diesen Ausführungen setzt sich der Beschwerdeführer überhaupt nicht auseinander und vermag folglich nicht aufzuzeigen, inwiefern die Begründung des Obergerichts bzw. dessen Beschluss selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
5.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Stadt Schaffhausen, dem Regierungsrat des Kantons Schaffhausen und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. April 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli