Sachverhalt:
A.
A.a. A._ und B._ sind die nicht miteinander verheirateten Eltern von C._ (geb. 2010).
A.b. Mit Unterhaltsvertrag vom 23. Juni 2014, genehmigt von der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Kriens-Schwarzenberg mit Entscheid vom 22. Juli 2014, verpflichtete sich der Vater zur Bezahlung von Unterhaltsbeiträgen für seine Tochter in der Höhe von Fr. 1'400.-- vom 1. März 2014 bis zum 31. Juli 2014 und von Fr. 1'100.-- ab 1. August 2014.
A.c. Nach erfolgloser Schlichtung reichte die Mutter am 21. August 2017 beim Bezirksgericht Kriens Klage betreffend Besuchsrecht des Vaters und Anpassung der Unterhaltsbeiträge für C._ ein. Im Verlaufe des erstinstanzlichen Verfahrens schlossen die Parteien eine Teilvereinbarung betreffend die Regelung des Besuchs- und Ferienrechts. Im Unterhaltspunkt entschied das Gericht wie folgt:
"Der Beklagte hat der Kindsmutter an den Unterhalt von C._ folgende monatliche, vorauszahlbare, erstmals am 1.1.2017 fällig gewesene und ab Verfall zu 5 % verzinsliche Unterhaltsbeiträge zuzüglich allfälliger Kinder- bzw. Ausbildungszulagen zu bezahlen:
- Fr. 1'330.00 (davon Fr. 480.00 Betreuungsunterhalt) bis 30.6.2017;
- danach Fr. 1'350.00 (davon Fr. 480.00 Betreuungsunterhalt) bis 30.9.2017;
- danach Fr. 1'150.00 (davon Fr. 250.00) Betreuungsunterhalt) bis 31.12.2017;
- danach Fr. 1'140.00 (davon Fr. 250.00 Betreuungsunterhalt) bis 29.2.2020;
- danach Fr. 1'250.00 (davon Fr. 250.00 Betreuungsunterhalt) bis 30.9.2023;
- danach Fr. 1'040.00 (davon Fr. 230.00 Betreuungsunterhalt) bis 28.2.2026;
- danach Fr. 900.00 (davon Betreuungsunterhalt Fr. 120.00) bis 29.2.2028;
- danach Fr. 780.00 Barunterhalt."
A.d. Auf Berufung des Vaters und Anschlussberufung der Mutter fällte das Kantonsgericht Luzern am 4. Oktober 2019 das folgende Urteil:
"Der [Vater] hat der Kindsmutter an den Unterhalt von C._ einen monatlichen, vorauszahlbaren, erstmals am 1.1.2017 fällig gewesenen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'260.-- zuzüglich allfälliger Kinder- bzw. Ausbildungszulagen zu bezahlen; dies bis zum Abschluss der Erstausbildung."
Weiter wurde der Unterhaltsbeitrag indexiert. Die Gerichtskosten des erst- und zweitinstanzlichen Verfahrens von Fr. 6'000.-- auferlegte das Kantonsgericht den Parteien je zur Hälfte. Jede Partei hatte ihre Kosten selber zu tragen.
B.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 15. November 2019 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, seine Unterhaltsverpflichtung wie folgt festzusetzen und gerichtsüblich zu indexieren:
"1.1.2017 - 30.6.2017 Fr. 1'065.--
1.7.2017 - 30.9.2017 Fr. 1'085.--
1.10.2017 - 31.12.2017 Fr. 1'000.--
1.1.2018 - 29.2.2020 Fr. 995.--
1.3.2020 - 28.2.2022 Fr. 1'110.--
1.3.2022 - 31.8.2022 Fr. 1'100.--
1.9.2022 - 28.2.20 26 Fr. 630.--
1.3.20 26 bis Abschluss Erstausbildung Fr. 620.--"
Ferner verlangt der Beschwerdeführer, die Kosten der bisherigen Verfahren von Fr. 6'000.-- B._ (Beschwerdegegnerin) zu überbinde n.
C.
Die Vorinstanz hat am 7. Mai 2020 auf eine Stellungnahme verzichtet unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid. Auf die Vernehmlassung der Beschwerdegegnerin vom 25. Mai 2020 wird im Sachzusammenhang eingegangen. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin (Art. 75 BGG) entschieden hat. Streitig ist die Abänderung von Kinderunterhaltsbeiträgen (Art. 134 Abs. 2 i.V.m. Art. 286 Abs. 2 ZGB). Das ist eine Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG) vermögensrechtlicher Natur, wobei der Streitwert über Fr. 30'000.-- liegt (Art. 74 Abs. 1 Bst. b i.V.m. Art. 51 Abs. 1 Bst. a und Abs. 4 BGG). Auf die im Übrigen rechtzeitig (Art. 100 Abs. 1 BGG) eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
1.2. Die Vorinstanz führt im Rubrum die Mutter als Klägerin auf. Dies ist nicht zu beanstanden, ändert aber nichts daran, dass Gläubigerin der Unterhaltsforderung einschliesslich Betreuungsunterhalt die minderjährige Tochter ist. Die Mutter tritt auch im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren als blosse Prozessstandschafterin auf. Als solche kann sie im eigenen Namen den Unterhaltsanspruch ihrer Tochter geltend machen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 80 f; <ref-ruling> E. 2 S. 367 f.; je mit Hinweisen).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden. In der Beschwerdebegründung ist daher in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid rechtswidrig sein soll. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken; die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (Art. 42 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.4 S. 367 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 88 ff.; je mit Hinweisen). Für die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt ausserdem das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286; <ref-ruling> E. 2.4 S. 367 f).
2.2. Soweit die Festsetzung von Unterhalt in Frage steht, ist zu beachten, dass der Sachrichter in verschiedener Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen ist (Art. 4 ZGB; <ref-ruling> E. 4.4 S. 64; <ref-ruling> E. 4 S. 580; <ref-ruling> E. 3a S. 141). Bei der Überprüfung solcher Entscheide auferlegt sich das Bundesgericht Zurückhaltung. Es schreitet nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 4.5 S. 617; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 279).
2.3. Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich, oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG (z.B. Art. 29 Abs. 2 BV oder Art. 8 ZGB) beruhen. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266; Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer wehrt sich dagegen, dass ihm das Kantonsgericht einen monatlichen Nettolohn von Fr. 9'539.-- (inkl. Bonus) für das Jahr 2017 und einen solchen von Fr. 9'733.-- ab 2018 angerechnet hat. Das Kantonsgericht habe es verpasst, seinen am 25. Februar 2019 eingereichten Beweis für die gesunkenen Bonuszahlungen im Jahr 2018 zu würdigen. Damit habe die Vorinstanz gegen Art. 29 BV verstossen. Bei der Berechnung des monatlichen Nettolohns seien der Basislohn als Nettolohn und die Bonuszahlung als Bruttolohn addiert worden, wodurch insgesamt von einem zu hohen Einkommen ausgegangen worden sei. Die tatsächliche Berechnung zeige einen Nettolohn von Fr. 9'515.-- ab dem Jahre 2018. Dieser setze sich zusammen aus einem monatlichen Basislohn von Fr. 8'493.-- (netto) und einem Bonus von Fr. 1'022.-- (netto).
3.2. Selbst wenn die Vorinstanz das fragliche Beweismittel zu Unrecht nicht berücksichtigt hat, verpasst es der Beschwerdeführer aufzuzeigen, wie sich das tiefere Einkommen auf den von ihm geschuldeten Unterhalt auswirken sollte. Angesichts der Tatsache, dass der Beschwerdeführer nach Feststellung der Vorinstanz unwidersprochen einen Überschuss von rund Fr. 7'000.-- erwirtschaftet, liegt es nicht auf der Hand, dass sich ein lediglich um Fr. 200.-- tieferes Einkommen auf die Höhe des Unterhalts auswirken müsste. Auf die Beschwerde ist daher insoweit nicht einzutreten (Urteil 5A_733/2019 vom 28. Oktober 2019 E. 3.3).
4.
4.1. Umstritten ist weiter der Barunterhalt der Tochter. Die Vorinstanz hat den Bedarf der Tochter konkret ermittelt, wobei sie sich nicht am betreibungsrechtlichen Existenzminimum orientierte, sondern auch Zusatzversicherungen und Hobbys berücksichtigte. Zusätzlich gewährte sie der Tochter, anders als die erste Instanz, einen Anteil am Überschuss des Beschwerdeführers im Umfang von Fr. 200.-- (ab 1. Januar 2017 bis 31. Juli 2022) und von Fr. 350.-- (ab 1. September 2022). Den Überschussanteil begründete die Vorinstanz dabei mit den guten Einkommensverhältnissen des Beschwerdeführers, den Unsicherheiten in Bezug auf die künftigen Mobilitätskosten und der Tatsache, dass die Beschwerdegegnerin die Unterhaltsansprüche, die ihre Tochter erhält, versteuern müsse.
4.2. Nach Auffassung des Beschwerdeführers geht es nicht an, dass die Vorinstanz zusätzliche bzw. höhere Bedarfspositionen der Tochter als die erste Instanz berücksichtige, ohne dass die Beschwerdegegnerin die Bedarfsberechnung der ersten Instanz in ihrer Anschlussberufung in rechtsgenüglicher Weise kritisiert hätte. Damit habe die Vorinstanz gegen das Willkürverbot (Art. 9 BV) und gegen Art. 311 Abs. 1 ZPO verstossen. Weiter kritisiert er die Überschussbeteilung. Diese führe zu einer verpönten Ersparnisbildung auf Seiten der Mutter, erst recht, wenn die Tochter künftig nicht das Gymnasium in Luzern besuchen sollte. Unzulässig sei es auch, bei der Ermittlung des Barunterhalts die Steuerbelastung zu berücksichtigen. Im Ergebnis habe die Vorinstanz so einen Unterhalt zugesprochen, der, je nach Periode, zwischen 35 % und 75 % höher liege als ihr unbestrittener Bedarf (vor Abzug der Familienzulagen). Damit werde die Partizipation am Lebensstandard gemessen am unbestrittenen Barbedarf massiv überzeichnet:
Phasen Barunterhalt Zusätzliche Überschussbeiligung Erweiterte Positionen plus Überschussbeteiligung Unbe strittener Barbedarf (vor Abzug Familienzu lagen) Erweiterte Positionen: Hobbys & Zusatzver sicherung absolut in % des Barbedarfs absolut in % des Bar bedarfs Phase 1 Fr. 1'084.-- Fr. 181.-- Fr. 200.-- 18.00% Fr. 381.-- 35.00% Phase 2 Fr. 1'039.-- Fr. 246.-- Fr. 200.-- 19.00% Fr. 446.-- 43.00% Phase 3 Fr. 954.-- Fr. 246.-- Fr. 200.-- 21.00% Fr. 446.-- 47.00% Phase 4 Fr. 949.-- Fr. 246.-- Fr. 200.-- 21.00% Fr. 446.-- 47.00% Phase 5 Fr. 1'045.-- Fr. 265.-- Fr. 200.-- 19.00% Fr. 465.-- 44.00% Phase 6 Fr. 1'039.-- Fr. 271.-- Fr. 200.-- 19.00% Fr. 471.-- 45.00% Phase 7 Fr. 883.-- Fr. 277.-- Fr. 350.-- 42.00% Fr. 627.-- 75.00% Phase 8 Fr. 858.-- Fr. 277.-- Fr. 350.-- 41.00% Fr. 627.-- 73.00%
4.3. Die Beschwerdegegnerin wirft dem Beschwerdeführer vor, sich in seiner Beschwerde nicht rechtsgenüglich mit dem vorinstanzlichen Urteil auseinandergesetzt zu haben. Die Vorinstanz gehe zu Recht davon aus, dass der durch das Bezirksgericht zugestandene Überschuss zu wenig weit gegangen sei, da er bloss die Zusatzversicherungen sowie zwei günstige Hobbys berücksichtigt habe. Beim Einbezug von Mobilitätskosten in der Höhe von Fr. 118.-- gehe es nicht um eine "kostspielige Ausbildung". Ferner sei es gerichtsnotorisch, dass Kinder im Normalfall mehr kosten würden als der ihnen zugesprochene Kinderunterhalt. Dass sie, die Beschwerdegegnerin, mit dem monatlichen Überschussanteil von Fr. 250.-- bis Fr. 300.-- noch Vermögen bilden würde, sei lebensfremd. Dem Beschwerdeführer sei bekannt, dass sie ihn in vielen Kostenpunkten komplett entlaste und sämtliche Sonderauslagen (wie weitere Hobbys sowie Ausrüstung) selbst trage.
4.4.
4.4.1. Zu Recht unbestritten geblieben ist, dass die Beschwerdegegnerin gestützt auf das am 1. Januar 2017 in Kraft getretenen revidierte Unterhaltsrecht losgelöst von veränderten Verhältnissen eine Neuberechnung des der Tochter geschuldeten Unterhalts verlangen konnte (Art. 13c SchlT ZGB).
4.4.2. Nach Art. 296 Abs. 3 ZPO entscheidet das Gericht bei Kinderbelangen in familienrechtlichen Angelegenheiten ohne Bindung an die Parteianträge. Die Offizialmaxime gilt in diesen Angelegenheiten auch vor der kantonalen Rechtsmittelinstanz. Ob ein Rechtsmittel ergriffen werden soll und in welchem Umfang, steht allerdings in der Disposition der Parteien, unabhängig davon, ob sie über das streitige Recht verfügen können oder nicht. Die Einleitung des Rechtsmittelverfahrens setzt damit auch unter der Offizialmaxime voraus, dass eine Partei ein form- und fristgerechtes Rechtsschutzersuchen an die Rechtsmittelinstanz richtet. Während somit die formellen Voraussetzungen der Berufungsschrift die (gültige) Einleitung des Berufungsverfahrens betreffen, geht es bei der Offizialmaxime darum, dass das Gericht in der Folge nicht an die Parteianträge gebunden ist und von diesen abweichen kann, zumal das Verschlechterungsverbot unter der Offizialmaxime nicht zum Tragen kommt (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 4.5.2 und 4.5.3 S. 620; Urteil 5A_223/2014 vom 30. April 2014 E. 5). Dies erlaubte es der Vorinstanz, ungeachtet der Anschlussberufung der Beschwerdegegnerin den Unterhalt anders als die erste Instanz zu berechnen. Dass die Vorinstanz dabei über den durch die Berufung und Anschlussberufung definierten Streitgegenstand hinausgegangen wäre, behauptet der Beschwerdeführer nicht und ist auch nicht ersichtlich.
4.4.3. Sodann rügt der Beschwerdeführer, durch die Überschussbeteiligung komme es zu einer verpönten Ersparnisbildung auf Seiten der Beschwerdegegnerin. Eine derartige Ersparnisbildung vermag er jedoch nicht darzutun: Dafür genügt es nicht, den von der Vorinstanz zugesprochenen Unterhalt in Relation zum Notbedarf der Tochter zu setzen. Wer Geld für Ferien oder Hobbys ausgibt, bildet keine Ersparnisse. Ob es notorisch ist, dass Kinder im Normalfall mehr kosten, als der betreuende Elternteil an Kindesunterhalt erhält, kann offen bleiben. Ebenso wenig istes als bundesrechtswidrig anzusehen, dass die Vorinstanz bei der Unterhaltsberechnung einen Steueranteil berücksichtigt hat. Die Berücksichtigung von Steuern ist nach der Rechtsprechung ausgeschlossen, wenn in engen Verhältnissen über das betreibungsrechtliche Existenzminimum befunden wird (<ref-ruling> E. 4.4 S. 340 f.). In den übrigen Fällen ist dagegen darauf zu achten, dass dem Kind unter dem Strichnicht weniger verbleibt, als es zur Deckung seines Bedarfs benötigt (vgl. ALEXANDRA JUNGO/CHRISTINE ARNDT, Barunterhalt der Kinder: Bedeutung von Obhut und Betreuung der Eltern, in: FamPra.ch 2019, S. 750 ff., S. 758 Fn. 38). Der vom Beschwerdeführer für seinen gegenteiligen Standpunkt ins Feld geführte Leitfaden des Obergerichts des Kantons Zürich bindet weder die Vorinstanz noch das Bundesgericht.
5.
5.1. Weiter umstritten ist, ob die Vorinstanz den Beschwerdeführer zu konstanten Unterhaltsleistungen verpflichten durfte, obwohl sich der Bedarf der Tochter (Barbedarf + Betreuungsunterhalt) über die Zeitwie folgt verändert:
1. Phase: 01.01.2017-30.06.2017 Fr. 1'265.--
2. Phase: 01.07.2017-30.09.2017 Fr. 1'285.--
3. Phase: 01.10.2017-31.12.2017 Fr. 1'200.--
4. Phase: 01.01.2018-29.02.2020 Fr. 1'195.--
5. Phase: 01.03.2020-28.02-2022 Fr. 1'310.--
6. Phase: 01.03.2022-31.08.2022 Fr. 1'300.--
7. Phase: 01.09.2022-28.02.2026 Fr. 1'250.--
8. Phase: 01.03.2026 bis Abschluss Erstausbildung Fr. 1'235.--
Ausgehend von diesen Zahlen hielt die Vorinstanz dafür, dass die Unterhaltsbeiträge nur wenig variieren würden; der Barbedarf sinke mit der Zeit, dafür erhöhe sich der Überschussanteil. Reduziere man die Phasen 1 bis 7 im Rahmen einer Durchschnittsrechnung auf zwei Phasen, ergebe sich für die Phasen 1 bis 4 die folgende Rechnung: Fr. 7'590.-- (6 x Fr. 1'265.--), Fr. 3'855.-- (3 x Fr. 1'285.--), Fr. 3'600.-- (3 x Fr. 1'200.--) und Fr. 31'070.-- (26 x Fr. 1'195.--) geteilt durch 38 Monate = Fr. 1'213.55, aufgerundet also ein Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'215.-- vom 1. Januar 2017 bis zum 29. Februar 2020. Für die Phasen 5 bis 7 sehe die Rechnung wie folgt aus: Fr. 31'440.-- (24 x Fr. 1'310.--), Fr. 7'800.-- (6 x Fr. 1'300.--) und Fr. 52'500.-- (42 x Fr. 1'250.--) geteilt durch 72 Monate = Fr. 1'274.16, aufgerundet somit Fr. 1'275.-- vom 1. März 2020 bis zum Februar 2026. Bis zum Abschluss der Erstausbildung beziffere sich der Unterhaltsbeitrag auf Fr. 1'235.--. Da auch auf Seiten der Beschwerdegegnerin und ihrer Familie von guten finanziellen Verhältnissen auszugehen sei, könnten im Sinn der Praktikabiliät die Phasen 1 bis 8 zu einer Phase zusammen genommen und auf Fr. 1'260.-- festgesetzt werden.
5.2. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz eine unzulässige Pauschalierung des Unterhaltsbeitrags vor. Die Vorinstanz habe ihn dazu verpflichtet, seiner Tochter über die ganze Unterhaltsdauer monatlich pauschal Fr. 1'260.-- Unterhalt zu zahlen. Daraus resultiere eine Rundungsdifferenz zu seinen Lasten von Fr. 1'324.--. Korrekterweise wäre in den Phasen 1 bis 7 von einem durchschnittlichen Unterhalt von Fr. 1'253.22 auszugehen gewesen und ab dem 1. März 2026 von einem solchen von Fr. 1'235.--.
5.3. Die Beschwerdegegnerin macht geltend, dass der Beschwerdeführer die Rundungsproblematik zwar erwähnt, aber nicht angefochten habe. Im Übrigen habe die Vorinstanz drei Unterhaltsbeiträge (Fr. 1'215.--, Fr. 1'275.-- und Fr. 1'235.--) zusammengefasst. Bei den ersten beiden Beträgen sei klar definiert, wie lange diese einzelnen Beträge zu zahlen seien - einmal 38 Monate und einmal 72 Monate. Errechne man von den ersten beiden Beträgen den Durchschnitt, so ergebe sich ein Betrag von Fr. 1'254.27 (Fr. 1'215.-- x 38 Monate zzgl. Fr. 1'275.-- x 72 Monate = Fr. 137'970.--, dividiert durch 110 Monate). Ab dem 27. Februar 2026 und bis zum Abschluss der Erstausbildung sei ein Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'235.-- geschuldet. Da nicht klar sei, wie lange diese daure, sei auch offen, wie lange dieser Betrag geschuldet sei. Ein genauer Betrag konnte so nicht festgelegt werden. Dass die Vorinstanz den Unterhaltsbetrag gerundet habe, im Übrigen nicht einmal um Fr. 10.--, sei mit Sicherheit keine Willkür und daher nicht zu beanstanden.
5.4. Keine Bundesrechtswidrigkeit ist vorab auszumachen, soweit die Vorinstanz den Unterhalt auf die nächsten zehn Franken aufgerundet hat. Eine Bundesrechtsverletzung ergibt sich sodann auch nicht aus der Zusammenfassung verschiedener Phasen: Sämtliche Matrimonialsachen kennen zwar einen Grundsatz der Periodizität der Unterhaltsbeiträge (<ref-ruling> E. 3.6 S. 174 mit Hinweisen). Wird von diesem Grundsatz wie vorliegend abgewichen und der Unterhaltsbeitrag in der Höhe eines mehrjährigen Durchschnittswerts festgesetzt, wird in einzelnen Phasen letztlich zu viel und in anderen Phasen zu wenig Unterhalt geschuldet. Dies führt insbesondere mit Blick auf Abänderungsverfahren zu Schwierigkeiten, da mit einer Änderung der Unterhaltspflicht eine Störung des Gleichgewichts zwischen belastenden und begünstigenden Phasen droht. Gleichzeitig darf zu keinem Zeitpunkt in das betreibungsrechtliche Existenzminimum der unterhaltsverpflichteten Person eingegriffen werden (<ref-ruling> E. 4.3 S. 339 f. mit Hinweisen). Indes ist ebenfalls anerkannt, dass es im Zusammenhang mit der Unterhaltsfestsetzung die Schaffung einer vordergründigen Scheingenauigkeit durch die Bildung einer Vielzahl rechnerisch nahe beieinander liegender Phasen zu vermeiden gilt (vgl. BGE <ref-ruling> E. 4 S. 580). Vorliegend hat die Vorinstanz ihr Vorgehen bei der Festsetzung der Unterhaltsbeiträge nachvollziehbar begründet und ergeben sich zwischen den Unterhaltsbeiträgen der einzelnen zusammengelegten Phasen keine nennenswerten Unterschiede (vgl. E. 5.1 hiervor). Eine Verletzung des Existenzminimums des Beschwerdeführers ist sodann weder geltend gemacht noch ersichtlich. Der angefochtene Entscheid entspricht unter diesen Umständen den bundesrechtlichen Vorgaben.
6.
6.1. Der Beschwerdeführer wehrt sich weiter dagegen, dass er für den ganzen Barunterhalt der Tochter aufkommen muss. Konkret macht er geltend, dass die Beschwerdegegnerin bei korrekt ermitteltem Erwerbseinkommen etwa gleich viel wie er verdienen könnte. Die Vorinstanz sei davon ausgegangen, dass die Beschwerdegegnerin aktuell ein Erwerbseinkommen von Fr. 2'513.-- erziele. Ab dem 1. September 2022, d.h. mit dem Eintritt des jüngsten Kindes aus ihrer zweiten Beziehung in den Kindergarten, betrage dann das Erwerbseinkommen laut Vorinstanz Fr. 3'140.--. Zum Beschäftigungsgrad habe sich die Vorinstanz nicht geäussert. Tatsächlich sei die Leistungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin viel grösser. Wenn, wie im Arbeitsvertrag angegeben, von einem Bruttostundenlohn über Fr. 70.-- ausgegangen werde und davon 11% Sozialabgaben abgezogen würden, verbleibe ein Nettostundenlohn von Fr. 62.--. Der angegebene Akkontolohn von Fr. 2'513.-- entspreche daher gerade einmal knapp 41 Arbeitsstunden im Monat (Fr. 2'513.-- / Fr. 62.--), was bei einer 42-Stunden-Woche und 21.7 durchschnittlichen Arbeitstagen einem Pensum von knapp 20% entspreche. Daher müsse von einem hypothetischen Lohn eines Pensums von 40%, wenn nicht gar 100% ausgegangen werden. Bei einem Pensum von 40% verdiene die Beschwerdegegnerin Fr. 4'521.-- bei einem 50%-Pensum Fr. 5'651.--, bei einem 80%-Pensum Fr. 9'041.-- und bei einem 100%-Pensum Fr. 11'301.--.
6.2. Die Beschwerdegegnerin wirft dem Beschwerdeführer vor, bloss zu wiederholen, was er schon vor den Vorinstanzen ausgeführt hätte. Deshalb sei auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Beschwerdeführer tue nicht dar, inwiefern die Rechtsgleichheit und die allgemeinen Verfahrensgarantien verletzt worden seien; er schreibe bloss, dass das Einkommen der Beschwerdegegnerin zu niedrig und seines zu hoch angesetzt worden sei. Im Übrigen verweist die Beschwerdegegnerin auf Ziff. 5.4.1.2 des vorinstanzlichen Urteils, wo ihr Einkommen detailliert geprüft worden sei. Ein Einkommen von über Fr. 10'000.-- für eine Psychologin mit akademischer Ausbildung sei in der Zentralschweiz illusorisch; ausgegangen werde von Fr. 6'200.-- bei einem Pensum von 100% (gestützt auf www.salarium.ch). Die Beschwerdegegnerin arbeite seit dem 1. August 2016 als delegierte Psychologin in einem Teilzeitpensum bei ihrem Ehemann, der als Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH eine eigene Praxis betreibe. Die Beschwerdegegnerin führe Therapien durch, deren Umfang sich nach dem Patientenaufkommen richten würden. Monatlich erhalte sie eine Akontozahlung von netto Fr. 2'500.--, wobei vierteljährlich über den Saldo der effektiv geleisteten Stunden abgerechnet werde. Die vereinbarte Akontozahlung entspreche einem 40%-Pensum. Die Berechnung des Beschwerdeführers mit den Wochenstunden gehe deshalb fehl, weil bei gewissen Berufen (wie beispielsweise Psychologen, Lehrpersonen usw.) keine Anwesenheit von 8-18 Uhr gefordert sei, um ein Vollpensum zu erreichen. Angefügt werde, dass die alleinerziehende Beschwerdegegnerin ihr Pensum erst dann reduzieren konnte, als sich durch den Zusammenzug mit ihrem heutigen Ehemann Einsparungen beim Existenzminimum ergeben hätten. Sie erziele heute ein genügend hohes Einkommen, so dass kein Betreuungsunterhalt geschuldet sei. Schliesslich merkt die Beschwerdegegnerin an, dass bei einem höheren Arbeitspensum auch die Drittbetreuungskosten erheblich höher ausfallen würden. Der Unterhalt, den der Beschwerdeführer schulde, würde sich so folglich praktisch nicht verändern.
6.3. Bezüglich der Verteilung des Barunterhalts auf die Eltern gilt rechtsprechungsgemäss Folgendes (vgl. Urteil 5A_727/2018 vom 22. August 2019 E. 4.3.2.2 und 4.3.2.3) : Das Vorhandensein eines Überschusses beim hauptbetreuenden Elternteil führt nicht ohne Weiteres zu dessen Beteiligung am Barunterhalt des Kindes, ansonsten dem Prinzip der Gleichwertigkeit von Natural- und Geldunterhalt keine Nachachtung verschafft würde. Vielmehr kann das Gericht einzelfallbezogen und ermessensweise den hauptbetreuenden Elternteil dazu verpflichten, neben dem Naturalunterhalt einen Teil des Barbedarfs des Kindes zu decken. Dabei stehen die Grössenordnung des Überschusses als solcher und das Verhältnis der Leistungsfähigkeit zwischen den Eltern in einer Wechselbeziehung. Je besser die finanziellen Verhältnisse sind und entsprechend höher der Überschuss des hauptbetreuenden Elternteils ausfällt, desto eher ist eine Beteiligung desselben am Barunterhalt des Kindes in Betracht zu ziehen. Andererseits kommt eine Beteiligung des hauptbetreuenden Elternteils infrage, wenn er leistungsfähiger ist als der andere Elternteil (diese Regel statuieren namentlich die Urteile 5A_339/2018 vom 8. Mai 2019 E. 5.4.3; 5A_583/2018 vom 18. Januar 2019 E. 5.1 am Ende; 5A_584/2018 vom 10. Oktober 2018 E. 4.3). Ist der hauptbetreuende Elternteil sogar überproportional leistungsfähiger als der andere Elternteil, muss er sich am Barunterhalt des Kindes beteiligen. Ausschliessliches Kriterium für die Aufteilung des Barunterhalts auf die Eltern ist deren finanzielle Leistungsfähigkeit, wenn sie das Kind je hälftig betreuen, denn diesfalls tragen sie gleichermassen durch Pflege und Erziehung zum Unterhalt des Kindes bei, sodass sie auch beide gleichermassen, nach Massgabe ihrer Leistungsfähigkeit, für den Barbedarf des Kindes aufzukommen haben (Urteil 5A_743/2017 vom 22. Mai 2019 E. 5.3.2, 5.4.3 und 5.4.4; vgl. auch Urteil 5A_386/2012 vom 23. Juli 2012 E. 3 und 4).
6.4. Vor dem Hintergrund des Gesagten ist unbestritten und nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz der Tochter keinen Betreuungsunterhalt zugesprochen hat. Ebenfalls nicht zu beanstanden ist, dass die Vorinstanz darauf verzichtet hat, sich näher mit dem Erwerbseinkommen der Beschwerdegegnerin zu befassen, solange diese die Tochter zur Hauptsache betreut. Die theoretischen Überlegungen des Beschwerdeführers zur Erwerbskapazität der Beschwerdegegnerin ignorieren, dass ernach den dargelegten Grundsätzen auch dann für den ganzen Barunterhalt aufkommen müsste, wenn die Beschwerdegegnerin so viel verdienen könnte, wie er behauptet. Dies ändert sich allerdings in dem Zeitpunkt, in dem die Tochter 18 Jahre alt wird. Damit fallen nämlich sämtliche Betreuungspflichten auf Seiten der Beschwerdegegnerin weg. Entsprechend gibt es ab diesem Zeitpunkt auch keinen Grund mehr, den Barunterhalt anders als nach der wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit auf die Eltern zu verteilen (Urteil 5A_1032/2019 vom 9. Juni 2020 E. 5.4.2). Da das vorinstanzliche Urteil keine Feststellung in Bezug auf die wirtschaftliche Leistungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin in diesem Zeitpunkt macht, ist die Beschwerde in diesem Punkt gutzuheissen und zur Ergänzung des Sachverhalts und zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Allein der Hinweis darauf, dass im Kanton Luzern eine zu 100% beschäftigte Psychologin ein Erwerbseinkommen von Fr. 6'200.-- erzielen kann, genügt nicht.
Ergänzend ist schliesslich darauf hinzuweisen, dass das Schulstufenmodell in Patchworkfamilien relativiert ist. Bereits unter der Herrschaft des alten Rechts hatte das Bundesgericht festgehalten, dass die 10/16-Regel nach Ablauf des 1. Lebensjahrs des jüngsten Kindes nicht gilt, wenn eine Mutter gegenüber Kindern aus erster Ehe zu Unterhalt verpflichtet worden ist (Urteil 5A_98/2016 vom 25. Juni 2018 E. 3.5). Die gleiche Interessenabwägung hat grundsätzlich auch unter der Herrschaft des Schulstufenmodells Bestand (<ref-ruling> E. 4.7.5 S. 496 f.). Die Beschwerdegegnerin kann sich ihrer Verpflichtung, eine Erwerbstätigkeit aufzunehmen oder auszudehnen, nicht mit dem Argument entziehen, dass sie auch gegenüber ihren Kindern aus einer nachfolgenden Beziehung zur (persönlichen) Betreuung verpflichtet bzw. berechtigt ist. Ebenso wenig taugt das Argument der Beschwerdegegnerin, wonach sie ihre Erwerbstätigkeit in der Vergangenheit erst nach dem Zusammenzug mit ihrem Ehemann reduzieren konnte.
7.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde damit teilweise als begründet, soweit darauf einzutreten ist. Die Vorinstanz hat im Sinne der Erwägungen neu über die Aufteilung des Barunterhalts auf die Eltern zu befinden. Bei diesem Ausgang des Verfahrens tragen die Parteien die Gerichtskosten je zur Hälfte (Art. 66 Abs. 1 BGG) und sind die Parteientschädigungen wettzuschlagen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Über die Kostenregelung des Berufungsverfahrens wird die Vorinstanz anlässlich ihres neuen Entscheids neu zu befinden haben (Art. 67 und Art. 68 Abs. 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Kantonsgerichts Luzern, 2. Abteilung, vom 4. Oktober 2019 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an das Kantonsgericht zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Juni 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Sieber