Sachverhalt:
A.
Der Sri-lankische Staatsangehörige A._ (geb. 1972) reiste Ende 1989 in die Schweiz ein und ersuchte erfolglos um Asyl. Am 1. Februar 2000 erhielt er ermessensweise eine Härtefallbewilligung, die letztmals bis zum 2. Februar 2016 verlängert wurde. Im Februar 2001 heiratete er in Indien eine Sri-lankische Staatsangehörige, die ihm im Februar 2002 in die Schweiz folgte und eine Aufenthaltsbewilligung zwecks Verbleib beim Ehemann erhielt. Aus der Ehe gingen drei Kinder hervor (geb. 2003, 2004 und 2008). A._ ist zudem Vater einer in der Einwohnergemeinde Bern wohnhaften volljährigen Tochter aus früherer Ehe. Mit gerichtlich genehmigter Vereinbarung vom 14. September 2015 stel-lten er und seine Ehefrau das Getrenntleben fest und kamen überein, die drei gemeinsamen Kinder unter die Obhut der Mutter zu stellen. Das Getrenntleben hält bis heute an. Der Ehemann trat wiederholt strafrechtlich in Erscheinung. Von September 2004 bis Januar 2010 und von März bis Februar 2015 bezog er für sich und seine Famlie Sozialhilfe und erwirkte zahlreiche Einträge im Betreibungsregister.
B.
Mit Verfügung vom 6. März 2017 verweigerte ihm die Einwohnergemeinde Bern, Migration und Fremdenpolizei, die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung und wies ihn aus der Schweiz weg. Die kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos: Am 24. Februar 2020 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern eine Beschwerde gegen den Direktionsentscheid vom 17. Oktober 2018 ab.
C.
Mit Eingabe vom 27. März 2020 führt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfas-sungsbeschwerde beim Bundesgericht mit dem Antrag, das letztgenannte Urteil aufzuheben und zur Feststellung des Sachverhalts an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventuell sei das Urteil aufzuheben und die Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers zu verlängern. Gleichzeitig wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung sowie aufschiebende Wirkung ersucht. Die kantonalen Akten sind beigezogen worden, auf einen Schriftenwechsel hat das Bundesgericht verzichtet. Mit Verfügung vom 30. März 2020 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG) betreffend eine ausländerrechtliche Bewilligung ist nur zulässig, wenn das Bundes- oder das Völkerrecht einen Anspruch auf diese Bewilligung gewährt. Die Beschwerdeführerin beruft sich aber in vertretbarer Weise auf einen Anspruch gestützt auf Art. 8 EMRK, was für das Eintreten genügt; ob der geltend gemachte Anspruch tatsächlich besteht, ist Sache der materiellen Beurteilung (<ref-ruling>, 139 I 330 E. 1.1). Auf die Beschwerde ist einzutreten. Für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde bleibt damit kein Raum (Art. 113 BGG). Auf sie kann nicht eingetreten werden.
1.2. Mit der Beschwerde können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und Art. 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist daher weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann die Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (Motivsubstitution; <ref-ruling> E. 1.2 S. 120; <ref-ruling> E. 3 S. 415). Doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 138 1 274 E. 1.6 S. 280, mit Hinweis). Die Verletzung kantonalen und interkantonalen Rechts sowie der Grundrechte untersucht es in jedem Fall nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 139 1 229 E. 2.2 S.232; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 217). Diese Sachverhaltsfeststellungen können von Amtes wegen oder auf Rüge hin berichtigt werden (<ref-ruling> E. 6.5 S. 296), wenn sie offensichtlich unrichtig, unvollständig oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensrechte ermittelt wurden und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 105 Abs. 2 und Art. 97 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 217). Tatfrage ist auch die Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 3 S. 112). Die Anfechtung der vorinstanzlichen Feststellungen unterliegt der qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit (<ref-ruling> E. 4.1 S. 52 f.). Wird die Beschwerde diesen Anforderungen nicht gerecht, bleibt es beim Sachverhalt, wie er von der Vorinstanz festgestellt wurde (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
2.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, weil die Vorinstanz den Aufenthaltsstatus der Kinder nicht abgeklärt habe. Dies ist in Wirklichkeit die Rüge einer unvollständigen Sachverhaltsfeststellung und nur relevant, wenn der angeblich zu Unrecht nicht festgestellte Sachverhalt für den Ausgang des Verfahrens rechtserheblich wäre. Dies ist hier nicht der Fall, wie sich aus dem Folgenden ergibt.
3.
3.1. Unbestritten besteht kein landesrechtlicher Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung.
3.2. Die Vorinstanz verneint auch einen Eingriff in Art. 8 EMRK, weder in den Anspruch auf Achtung des Familienlebens (da die Familie ihrerseits nur Ermessensbewilligungen besitze, E. 5.3 des angefochtenen Entscheides), noch in jenen auf Achtung des Privatlebens (da der Beschwerdeführer nicht gut integriert sei, E. 5.4).
3.3. In der Folge prüfte die Vorinstanz die Bewilligung unter dem Titel einer Ermessensbewilligung und bestätigte die Nichtverlängerung. Sie erwog zunächst unter dem Gesichtswinkel der Straffälligkeit, dass der Beschwerdeführer in der Schweiz wiederholt verurteilt worden sei, darunter wegen Fahrens in fahrunfähigem Zustand und wegen Missbrauchs von Kontrollschildern. Dies verdeutliche, dass der Beschwerdeführer nicht gewillt und in der Lage sei, sich an die hiesige Rechtsordnung zu halten. Auch die Widerhandlung gegen das Sozialhilfegesetz sei zu berücksichtigen (E. 7.2 des angefochtenen Entscheids). Sodann erwog die Vorinstanz, der Beschwerdefüher sei beruflich nie richtig integriert gewesen (E. 7.3), und hoch verschuldet (E. 7.4). Er habe für sich und seine Familie über Jahre hinweg Sozialhilfe von insgesamt Fr. 253'958.-- bezogen. Seine Ehefrau und die Kinder würden auch nach der Trennung von der Sozialhilfe unterstützt, namentlich deshalb, weil der Beschwerdeführer die Kinderalimente nicht bezahlt habe. Zwar lebe dieser seit über 10 Jahren rechtmässig in der Schweiz und sei damit nach der Rechtsprechung von einer Verwurzelung auszugehen (<ref-ruling> E. 3), doch werde diese durch die schlechte Integration relativiert (E. 7.6). Die Rückkehr sei dem Beschwerdeführer zumutbar (E. 7.7). Die prägenden ersten 16 Jahre seines Lebens habe er in seiner Heimat verbracht. Er habe dorthin weiterhin soziale Kontakte und sich dort in den letzten Jahren zwecks Familienbesuchs und Ferienaufenthalten aufgehalten. Er sei erst 47 Jahre alt, habe in der Schweiz berufliche Erfahrungen sammeln können und damit gute Chancen, sich in der Heimat wieder zu integrieren.
3.4. Der Beschwerdeführer argumentiert, seine Ehefrau und seine Kinder hätten ein gefestigtes Anwesenheitsrecht, so dass auch er sich auf Art. 8 EMRK (Garantie auf Achtung des Familienlebens) berufen könne. Seine Ausreise würde zudem den persönlichen Kontakt zu den Kindern verunmöglichen. Ausserdem habe er auch Anspruch auf eine Verlängerung gestützt auf Art. 8 EMRK (Privatleben).
3.5. Es kann offen bleiben, ob die Ehefrau und die Kinder ein gefestigtes Anwesenheitsrecht besitzen. Denn im Ergebnis ist auch die Vorinstanz davon ausgegangen, dass die Familie in der Schweiz bleibt und hat den vorliegenden Fall unter dieser Prämisse geprüft.
Der Beschwerdeführer lebt seit 2015 getrennt von seiner Familie. Damit ist sein Anspruch - unter der Prämisse, dass die Familie hier ein gefestigtes Anwesenheitsrecht hat - nach den Kriterien von <ref-ruling> zu prüfen. Was die enge wirtschaftliche Beziehung betrifft, hat der Beschwerdeführer die Alimente nicht regelmässig bezahlt (angefochtenes Urteil E. 4.4) und seine faktisch gelebte Beziehung zu den Kindern entspricht nicht einem heute üblichen Besuchsrecht (a.a.O.). Ausserdem hat der Beschwerdeführer die Voraussetzung des tadellosen Verhaltens nicht erfüllt. Seine Delikte wiegen zwar nicht besonders schwer, er fiel aber durch wiederholtes Delinquieren auf (angefochtenes Urteil E. 4.5).
3.6. Wie ewähnt ist nach der Rechtsprechung nach einer rechtmässigen Aufenthaltsdauer von 10 Jahren von einer Verwurzelung auszugehen (<ref-ruling> E. 3.9); im Einzelfall kann es sich freilich anders verhalten und die Integration zu wünschen übrig lassen. Zwar lebt der Beschwerdeführer mehr als zehn Jahre rechtmässig in der Schweiz, aber nicht 30 Jahre, wie er geltend macht, denn die Dauer des Asylverfahrens (Urteil 2D_19/2019 vom 20. März 2020 E.1.3) und der illegale Aufenthalt können in diese Berechnung nicht mit einbezogen werden.
Das, was die Vorinstanz im Rahmen der Ermessensbewilligung geprüft hat (vorne E. 3.3), führt im Ergebnis auch dazu, dass beim Beschwerdeführer keine gelungene Integration bejaht werden kann. Auch wenn die Vorinstanz die Delinquenz allfenfalls etwas überbewertet hat, bleibt es doch bei der Gesamtbeurteilung, dass die wirtschaftliche und berufliche Integration des Beschwerdeführers nicht gelungen ist; er hat Sozialhilfe bezogen, trotzdem hohe Schulden angehäuft und wiederholt delinquiert.
Jedenfalls im Ergebnis ist der Beschwerdeführer in seinem Anspruch auf Achtung des Privatlebens (Art. 8 EMRK) nicht verletzt.
3.7.
Was der Beschwerdeführer sonst noch einwendet, dringt nicht durch. Namentlich der Hinweis auf das Urteil Hasanbasic gegen die Schweiz vermag nicht zu überzeugen. Hier liegt eben gerade keine gelungene Integration des Beschwerdeführers und seiner Familie vor. Auch kann nicht ausgeschlossen werden, dass die gegenüber dem Beschwerdeführer verhängten Strafen keine spezialpräventive Wirkung gezeigt haben und ihn nicht davon abhalten werden, weitere strafbare Taten zu begehen.
4.
Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz hätte ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gewähren müssen.
Die Grundlage dafür liefert Art. 29 Abs. 3 BV oder kantonales Recht: Für beides gilt das qualifizierte Rügeprinzip nach Art. 106 Abs. 2 BGG. Die Vorinstanz verweigerte dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege mit der Begründung, bereits die Sicherheitsdirektion habe - unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege - alle relevanten Aspekte zutreffend gewürdigt. Mit dieser entscheidwesentlichen Argumentation setzt sich der Beschwerdefüher nicht auseinander, so dass auf die Rüge nicht einzutreten ist.
5.
Nach dem Gesagten ist die subsidiäre Verfassungsbeschwerde unzulässig. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unbegründet und abzuweisen (vorne E. 3), soweit darauf einzutreten ist (vorne E. 4).
Bei diesem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 65/66 BGG). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (Art. 64 BGG) kann nicht entsprochen werden, weil der angefochtene Entscheid im Einklang mit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung steht und die Beschwerde daher aussichtslos war. Parteikosten sind keine zu sprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1 '000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. August 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein