Sachverhalt:
A.
A.a. A._ ist die unverheiratete und alleinerziehende Mutter von B._ (geb. 2014), C._ (geb. 2012), D._ (geb. 2008) und E._ (geb. 2006).
A.b. Aufgrund einer Gefährdungsmeldung seitens der Schulleitung V._ (SO) verfügte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde U._ (KESB) am 5. Oktober 2017 eine Abklärung der Situation. Gestützt auf den Abklärungsbericht errichtete die KESB mit Entscheid vom 17. November 2017 für alle vier Kinder eine Beistandschaft gemäss <ref-law>.
A.c. Am 3. Januar 2018 ordnete die KESB eine Sozialpädagogische Familienbegleitung (SPF) im Umfang von 20 Stunden pro Monat an. Diese wurde mit Entscheid vom 17. Mai 2018 definitiv angeordnet und am 20. Dezember 2018 infolge andauernder Kindeswohlgefährdung auf 35 Stunden pro Monat erhöht. Daneben erteilte die KESB der Kindsmutter am 26. September 2018 die Weisung, ihre Kinder an fünf Tagen durch eine Kindertagesstätte betreuen zu lassen.
A.d. Mit Entscheid vom 11. Januar 2019 entzog die KESB der Kindsmutter das Aufenthaltsbestimmungsrecht über ihre Kinder (Ziff. 3.1), brachte diese in einer der KESB bekannten Institution unter (Ziff. 3.2), wobei besagte Institution um eine Anzeige der Kostenfolgen gebeten wurde (Ziff. 3.3). Der Beistand wurde mit der Kontaktregelung zwischen den Kindern und der Kindsmutter beauftragt (Ziff. 3.4). Ihm wurde auch die Befugnis übertragen, an Stelle der sorgeberechtigten Kindsmutter die Kinder in therapeutischen, medizinischen, schulischen und sozialrechtlichen Belangen zu vertreten (Ziff. 3.5). Die elterliche Sorge der Kindsmutter wurde entsprechend im Sinne von <ref-law> beschränkt (Ziff. 3.6). Einer allfälligen Beschwerde wurde die aufschiebende Wirkung entzogen (Ziff. 3.7).
B.
B.a. Dagegen erhob A._ am 13. Februar 2019 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Sie beantragte die Aufhebung der Ziff. 3.1-3.4 sowie Ziff. 3.7 des KESB-Entscheides und die unverzügliche Entlassung der Kinder in ihre Obhut, eventualiter seien die Ziff. 3.1-3.4 sowie Ziff. 3.7 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die KESB zurückzuweisen. Sodann sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen und die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Die KESB beantragte die Abweisung der Beschwerde.
B.b. Das Verwaltungsgericht wies das Gesuch um Wiedererteilung der aufschiebenden Wirkung ab; es bewilligte dagegen die unentgeltliche Rechtspflege samt unentgeltlicher Verbeiständung. In der Sache wies es die Beschwerde mit Entscheid vom 5. April 2019 ab.
C.
Mit Beschwerde vom 9. Mai 2019 gelangt A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung der "fürsorgerischen Unterbringung" der Kinder und die unverzügliche Entlassung in ihre Obhut, eventualiter sei das Urteil zur Neubeurteilung an die Vorinstanz, subeventualiter an die KESB zurückzuweisen. Ausserdem ersucht A._ auch im Verfahren vor Bundesgericht um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht über Kindesschutzmassnahmen entschieden hat (Art. 75 Abs. 1 und Abs. 2, Art. 90 BGG). Hierbei handelt es sich um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht, die der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG). Die Streitsache ist nicht vermögensrechtlicher Natur; die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 1 lit. a BGG). Die Beschwerdeführerin ist sodann zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>). Somit steht die Beschwerde in Zivilsachen offen.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich grundsätzlich nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (<ref-law>), was eine Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid erfordert (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368 mit Hinweis).
2.2. Sodann ist das Bundesgericht an den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (<ref-law>). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann einzig vorgebracht werden, sie seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweis), oder sie würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen. Ausserdem muss in der Beschwerde aufgezeigt werden, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234 mit Hinweis). Auf rein appellatorische Kritik tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368 mit Hinweis).
3.
3.1. Anlass zur Beschwerde gibt der Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts bzw. die Unterbringung der Kinder.
3.2. Die Vorinstanz erwog, es habe sich deutlich gezeigt, dass die Kindsmutter auch mit Hilfe verschiedener Unterstützungsmassnahmen wie Beistandschaft, sozialpädagogische Familienbegleitung, Kita-Betreuung während fünf Tagen in der Woche und Beizug eines Dolmetschers während über einem Jahr nicht in der Lage gewesen sei, die essentiellen Bedürfnisse ihrer Kinder, insbesondere in den Bereichen Hygiene, Gesundheit, kindgerechte Förderung, Tagesstruktur und Schule zu erfüllen. Sie habe anfänglich zwar sehr offen gewirkt und an einer Zusammenarbeit mit der sozialpädagogischen Familienbegleitung interessiert. Indessen habe sich bald herausgestellt, dass sie grosse Schwierigkeiten hatte, sich zu organisieren. Sie habe sehr situativ reagiert und dabei Termine oft vergessen. Die Unterstützung der sozialpädagogischen Familienbegleitung habe sie nicht verbindlich wahrgenommen. So seien von elf geplanten Hausbesuchen lediglich sechs wahrgenommen worden. Im Schuljahr 2017/2018 habe die Kindsmutter die Kinder vor den Sommerferien frühzeitig aus der Schule genommen, was angesichts der schulischen Rückstände der Kinder nicht förderlich gewesen sein konnte. Weiter sei die gesundheitliche Situation der Kinder zeitweise prekär gewesen (u.a. unbehandelte Zahnschmerzen, andauernder Lausbefall). Aus den verschiedenen Berichten gehe hervor, dass mit der Kindsmutter auch mit ambulanten Kindesschutzmassnahmen nicht habe an Erziehungsthemen oder kindgerechten Alltagsstrukturen gearbeitet werden können. Daran habe auch der Umstand, dass die Kindsmutter sich per 21. Januar 2019 in der Gemeinde W._ (SO) angemeldet habe, nichts ändern können. Sie habe kaum Ressourcen, um den Erziehungsrahmen deutlich positiv zu beeinflussen. Nachdem sich gezeigt habe, dass das aufwändige Setting mit sozialpädagogischer Familienbegleitung, Beistandschaft, Kita-Betreuung und Dolmetscher als milderes Mittel nicht ausgereicht habe, sei der Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts mit Platzierung die logische Folge gewesen. Er sei gerechtfertigt und verhältnismässig. Eine allfällige Rückplatzierung komme erst in Frage, wenn sich die Situation der Kindsmutter derart verbessert habe, dass sie auf längere Zeit ein eigenständiges Leben mit Tagesstruktur und Erwerbstätigkeit aufgebaut habe, sodass sie sich auf die essentiellen Bedürfnisse der Kinder konzentrieren könne.
3.3.
3.3.1. In Bezug auf die Sachverhaltsfeststellung wirft die Beschwerdeführerin der Vorinstanz vor, sie habe im Zusammenhang mit der Wohnsituation der Kindsmutter widersprüchlich argumentiert. Indem die Vorinstanz ausgeführt habe, das Aufenthaltsbestimmungsrecht sei nicht alleine oder primär aufgrund der früheren, nicht mehr aktuellen Wohnsituation in V._ entzogen worden, habe sie impliziert, die damalige Wohnsituation sei eben gerade mit ein Grund gewesen, weshalb der Kindsmutter das Aufenthaltsbestimmungsrecht entzogen worden sei. Wenn die damalige Wohnsituation in V._ jedoch auch ein Grund für diese Massnahme gewesen sei, dann könne die Tatsache, dass diese im Entscheidzeitpunkt nicht mehr aktuell gewesen und somit unrichtig festgestellt geworden sei, nicht "einfach plötzlich" als nicht entscheidwesentlich bezeichnet werden. Dies stelle eine "eindeutig und augenfällig unzutreffende, widersprüchliche und mithin willkürliche Schlussfolgerung" der Vorinstanz dar.
3.3.2. Der Vorwurf der Beschwerdeführerin ist unbegründet. Die Vorinstanz hält diesbezüglich fest, der Sachverhalt im Entscheid der KESB vom 11. Januar 2019 beziehe sich auf die alte Wohnsituation in V._. Die KESB sei am 23. Dezember 2018 über den Umzug nach W._ informiert worden. Indessen habe nicht nur die Wohnsituation, sondern u.a. auch die Vernachlässigung der Kinder, die Schulabsenzen und die mangelnde Kooperation bei den ambulanten Massnahmen zum Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts geführt. Dies geht auch aus der von der Beschwerdeführerin genannten Erwägung II.5.1 des vorinstanzlichen Entscheids deutlich hervor. So war die Lebenssituation der Mutter eine von mehreren Gründen und nicht - wie die Beschwerdeführerin behauptet - der Hauptgrund für den Entscheid. Inwiefern die Vorinstanz zwingend hätte darauf schliessen müssen, dass sich die Verhältnisse aufgrund des Wohnortswechsels in einer für die Beurteilung der Kindeswohlgefährdung entscheidenden Weise geändert haben sollten, legt die Beschwerdeführerin nicht dar. Sie begnügt sich mit der pauschalen Behauptung, bei "korrekter" Ermittlung des Sachverhalts wäre ein anderer Entscheid möglich gewesen. Es versteht sich jedoch von selbst, dass der Umzug alleine eine Verbesserung der Gegebenheiten nicht zu belegen vermag. Entsprechend kann in den vorinstanzlichen Erwägungen kein Widerspruch erkannt werden. Aus dem Umstand, dass die Vorinstanz nicht zur selben Erkenntnis wie die Beschwerdeführerin gelangt, kann jedenfalls noch nicht auf Willkür geschlossen werden (vgl. E. 2.2).
3.4.
3.4.1. In rechtlicher Hinsicht macht die Beschwerdeführerin die Verletzung von Art. 307 bzw. <ref-law> geltend. Danach trifft die Kindesschutzbehörde die geeigneten Massnahmen zum Schutz des Kindes, wenn dessen Wohl gefährdet ist und die Eltern nicht von sich aus für Abhilfe sorgen oder sie dazu ausserstande sind (<ref-law>). Kann der Gefährdung des Kindes nicht anders begegnet werden, so hat die Kindesschutzbehörde es den Eltern wegzunehmen und in angemessener Weise unterzubringen (<ref-law>). Die Gefährdung muss darin liegen, dass das Kind in der elterlichen Obhut nicht so geschützt und gefördert wird, wie es für seine körperliche, geistige und sittliche Entfaltung nötig wäre. Unerheblich ist, auf welche Ursachen die Gefährdung zurückzuführen ist: Sie können in der Anlage oder in einem Fehlverhalten des Kindes, der Eltern oder der weiteren Umgebung liegen. Desgleichen spielt keine Rolle, ob die Eltern ein Verschulden an der Gefährdung trifft. Massgebend sind die Verhältnisse im Zeitpunkt der Entziehung. Alle Kindesschutzmassnahmen müssen erforderlich sein und es ist immer die mildeste Erfolg versprechende Massnahme anzuordnen (Proportionalität und Subsidiarität); diese soll elterliche Bemühungen nicht ersetzen, sondern ergänzen (Komplementarität). Die Entziehung der elterlichen Obhut resp. des Aufenthaltsbestimmungsrechts ist daher nur zulässig, wenn andere Massnahmen ohne Erfolg geblieben sind oder von vornherein als ungenügend erscheinen (Urteile 5A_153/2019 vom 3. September 2019 E. 4.3; 5A_540/2015 vom 26. Mai 2016 E. 4.4; 5A_188/2013 vom 17. Mai 2013 E. 3; 5A_701/2011 vom 12. März 2012 E. 4.2.1; je mit Hinweisen).
Nach Empfinden der Beschwerdeführerin ist der Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts mit Platzierung weder die "logische Folge" noch verhältnismässig, zumal er in vorliegender Angelegenheit nicht die mildeste Massnahme darstelle. Mit der Übertragung von besonderen Befugnissen auf den Beistand und die damit einhergehende Beschränkung der elterlichen Sorgebefugnis der Kindsmutter seien bereits Massnahmen getroffen worden, mit denen die angebliche Gefährdungen der Kinder in den von der Vorinstanz aufgezählten Bereichenebenfalls begegnet werden könne, ohne jedoch derart stark in die Grundrechte der Beschwerdeführerin einzugreifen. Dies insbesondere in Kombination mit der sozialpädagogischen Familienbegleitung und der Dolmetscherin, welche aktenkundig zu einer Verbesserung des Kontakts zwischen der Beschwerdeführerin und der Schule und der Situation im Allgemeinen geführt hätten. Hinzu komme die mit dem Umzug nach W._ in die neue Wohnung verbundene Verbesserung der Hygiene und Gesundheit.
Diese rechtlichen Ausführungen der Beschwerdeführerin stützen sich auf einer Darstellung des Sachverhalts aus eigener Sicht ab. Soweit sie von den Tatsachenfeststellungen der Vorinstanz abweicht, ist sie für das Bundesgericht unbeachtlich (vgl. E. 2.2). Ausgehend von den kantonalen Sachverhaltsfeststellungen liegt eine Gefährdung des Kindeswohls vor, wobei der Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts mit Unterbringung angezeigt, mithin erforderlich und verhältnismässig ist. Dass ambulante Kindesschutzmassnahmen keine nachhaltigen Erfolge herbeizuführen vermochten, hat sich in den vergangenen Monaten deutlich gezeigt (vgl. E. 3.2). Der Kontakt zwischen Elternhaus und Schule konnte zwar - wie die Beschwerdeführerin vorbringt - mithilfe der Dolmetscherin verbessert werden; mangels Zuverlässigkeit der Kindsmutter ist dieser jedoch noch immer ungenügend. Inwiefern der Umzug nach W._ an der vorinstanzlichen Beurteilung etwas ändern sollte, legt die Beschwerdeführerin nicht dar. Der angefochtene Entscheid hält mithin vor <ref-law> stand.
3.4.2. In diesem Zusammenhang rügt die Beschwerdeführerin - infolge fehlender Verhältnismässigkeit - ebenfalls die Verletzung von <ref-law> und Art. 13 in Verbindung mit <ref-law>, Art. 5 und Art. 8 EMRK sowie Art. 9 und Art. 17 UNO-Pakt II, welche das Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens gewährleisten. Da der Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts indes gestützt auf <ref-law> verhältnismässig bzw. rechtmässig erfolgt ist (vgl. E. 3.4.1) und sich aus den genannten Verfassungs- bzw. Völkerrechtsbestimmungen keine darüber hinausgehenden Ansprüche ableiten lassen, schlägt die Rüge fehl.
3.4.3. Schliesslich sei es gemäss Beschwerdeführerin "schlicht unhaltbar" und verletze den Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>), dass bei einem derart schweren Eingriff in das Grundrecht auf Achtung des Privat- und Familienlebens weder von der KESB noch von der Vorinstanz trotz entsprechender Rüge keine "ausführliche" Verhältnismässigkeitsprüfung vorgenommen worden sei. Zur Unterstützung dieser Aussage zitiert die Beschwerdeführerin verschiedene Passagen aus den kantonalen Entscheiden. In Bezug auf die vorinstanzlichen Erwägungen macht die Beschwerdeführerin geltend, das Einzige was die Vorinstanz zum Kriterium der Verhältnismässigkeit ausgeführt habe, sei, dass sich gezeigt habe, dass das aufwändige Setting aus verschiedenen ambulanten Kindesschutzmassnahmen nicht ausreiche und der Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts die logische Folge gewesen sei. Damit lässt die Beschwerdeführerin jedoch komplett ausser Acht, dass sich die Vorinstanz namentlich in den Erwägungen 5 und 6 (S. 6-13) im Einzelnen mit den ambulanten Kindesschutzmassnahmen und deren Wirksamkeit auseinandergesetzt hat (vgl. hierzu E. 3.2). Dass die Vorinstanz das Kriterium der Verhältnismässigkeit nicht bzw. zu wenig berücksichtigt hat, trifft damit offensichtlich nicht zu.
Soweit die Beschwerdeführerin am erstinstanzlichen Entscheid Kritik übt, kann nicht darauf eingetreten werden, zumal nicht der KESB-Entscheid, sondern derjenige der letzten kantonalen Instanz, also des Verwaltungsgerichts, Gegenstand des Beschwerdeverfahrens vor Bundesgericht ist (vgl. <ref-law>).
4.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Dem Kanton ist keine Parteientschädigung geschuldet (<ref-law>). Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, da die Beschwerde nach dem Ausgeführten als von Anfang an aussichtslos beurteilt werden muss (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. September 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Scheiwiller