Sachverhalt:
A.
A.a. Am 12. bzw. 13. November 2018 ersuchte A._ das Staatsarchiv des Kantons Basel-Stadt (nachfolgend: das Staatsarchiv) darum, ihm die ihn betreffende Patientenakte der Psychiatrischen Universitätspoliklinik für Kinder und Jugendliche sowie die von der Jugendanwaltschaft über ihn angelegte Jugendpersonalakte (sowie allfällige Kopien dieser Akten) herauszugeben. Eventualiter sei der Zugang zu diesen Akten komplett zu sperren.
Mit Verfügung vom 29. März 2019 wies das Staatsarchiv das Gesuch um Aktenherausgabe ab. Soweit über die gesetzlich vorgesehenen Beschränkungen hinausgehend, wies es auch den Eventualantrag um Sperrung der Akten ab.
A.b. Gegen die Verfügung des Staatsarchivs vom 29. März 2019 erhob A._ Rekurs beim Präsidialdepartement des Kantons Basel-Stadt (nachfolgend: das Präsidialdepartement). Im Sinne einer vorsorglichen Massnahme ersuchte er dabei darum, den Zugang zu den Patienten- und Jugendpersonalakten bis zum Vorliegen eines rechtskräftigen Entscheids komplett zu sperren, wobei diese Sperrung insbesondere auch für das Staatsarchiv und alle am Rekursverfahren beteiligten Personen zu gelten habe; zudem sei für das Rekursverfahren auf den Beizug der Patienten- und Jugendpersonalakten zu verzichten.
A.c. Mit Zwischenentscheid vom 9. Mai 2019 verfügte das Präsidialdepartement in teilweiser Gutheissung des Antrags auf Erlass einer vorsorglichen Massnahme die Sperrung der Patienten- und Jugendpersonalakten bis zum Vorliegen eines rechtskräftigen Entscheids im Rekursverfahren. Die Akteneinsicht durch die Rekursinstanz und "weitere Verfahrensbeteiligte" wurde von dieser vorsorglichen Sperrung ausgenommen. Im Übrigen wies das Präsidialdepartement den Antrag auf Erlass vorsorglicher Massnahmen ab.
B.
B.a. Den Zwischenentscheid des Präsidialdepartements vom 9. Mai 2019 focht A._ mit Eingabe vom 16. Mai 2019 beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht (nachfolgend: das Appellationsgericht) an. In seiner Eingabe ersuchte er um Anordnung der von ihm schon mit Eingabe vom 12. April 2019 beantragten vorsorglichen Massnahmen; insbesondere seien die Patienten- und Jugendpersonalakten auch für die Rekursinstanz und die weiteren Verfahrensbeteiligten vorsorglich zu sperren (Antrag 1). Die vom Präsidialdepartement bereits beigezogenen Patienten- und Jugendpersonalakten seien aus den Verfahrensakten zu entfernen (Antrag 2). Im Sinne einer superprovisorischen vorsorglichen Massnahme seien diese Akten zudem bis zum Vorliegen eines rechtskräftigen Entscheids über den Umgang damit unverzüglich zu versiegeln (Antrag 3). Ausserdem sei er darüber zu informieren, wie die Patienten- und Jugendpersonalakten aufbewahrt würden, ob sie kopiert worden seien, bejahendenfalls zu welchem Zweck wie viele Kopien erstellt worden seien, sowie wo und wie diese aufbewahrt würden (Antrag 4).
B.b. Mit vorsorglichen Verfügungen vom 24. und 27. Mai 2019 wies der Verfahrensleiter des Appellationsgerichts das Präsidialdepartement im Sinne des Antrags 3 vorsorglich an, die Patienten- und die Jugendpersonalakte zu versiegeln. In der Folge übermittelte das Präsidialdepartement dem Verwaltungsgericht seine Verfahrensakten einschliesslich der versiegelten Patienten- und Jugendpersonalakten.
B.c. Mit Urteil vom 11. September 2019 präzisierte das Appellationsgerichts den Zwischenentscheid des Präsidialdepartements vom 9. Mai 2019 insofern, als es klarstellte, dass mit dem Begriff der "Verfahrensbeteiligten" lediglich die Rekursinstanz und das Staatsarchiv Basel-Stadt gemeint seien. Im Übrigen wies es das Rechtsmittel A._s ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Eingabe vom 21. Oktober 2019 erhebt A._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts vom 11. September 2019, eventualiter die Rückweisung an das Verwaltungsgericht (Antrag I), die Aufhebung des Zwischenentscheids des Präsidialdepartements vom 9. Mai 2019 und dessen Ersatz durch eine Versiegelung der Patienten- und Jugendpersonalakte, eventualiter die Einschränkung der Akteneinsicht einzig auf die Rekursinstanz (Antrag II), die Anweisung an das Präsidialdepartement und das Staatsarchiv, bis zum Vorliegen eines rechtskräftigen Urteils im Hauptverfahren die Patientenakten und allfällige Kopien davon zu versiegeln (Antrag III), die Anweisung an das Präsidialdepartement und das Staatsarchiv, ihn darüber zu informieren, ob von seiner Patienten- und Jugendpersonalakte (oder Teilen davon) Kopien erstellt worden seien, und, falls vorhanden, wo sich diese Kopien befänden (Antrag IV), sowie die Anweisung an das Präsidialdepartement, die bereits beigezogenen Patientenakten aus den Verfahrensakten zu entfernen (Antrag V). Prozessual ersucht er darum, keine Kosten zu erheben (Antrag VI).
Das Präsidialdepartement verzichtet auf inhaltliche Stellungnahme zur Beschwerde. Das Verwaltungsgericht beantragt deren kostenfällige Abweisung. A._ repliziert mit Eingabe vom 26. Dezember 2019.

Erwägungen:
1.
1.1. Das vorliegend angefochtene Urteil des Appellationsgerichts (<ref-law>) hat einen verfahrensleitenden Entscheid des Präsidialdepartements vom 9. Mai 2019 zum Gegenstand, mit welchem dem Beschwerdeführer in einer der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegenden Streitsache (<ref-law>, <ref-law> e contrario) die Anordnung vorsorglicher Massnahmen teilweise verweigert wurde. Die fristgerecht (<ref-law>) eingereichte Beschwerde des dazu legitimierten Beschwerdeführers (<ref-law>) ist vor diesem Hintergrund grundsätzlich zulässig.
Zu beachten ist freilich, dass es sich beim Entscheid des Präsidialdepartements vom 9. Mai 2019 um einen Zwischenentscheid handelt. Dies hat zur Folge, dass die vorliegende Beschwerde nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> zulässig ist. Der Beschwerdeführer beruft sich insoweit darauf, dass seine Persönlichkeitsrechte verletzt würden, wenn das Präsidialdepartement als mit dem Aktenherausgabeverfahren befasste Rechtsmittelinstanz bzw. das dort zur Vernehmlassung eingeladene Staatsarchiv seine Patienten- und Jugendpersonalakten einsehen könnten. Tatsächlich ist nicht von der Hand zu weisen, dass für den Beschwerdeführer durch die Akteneinsichtnahme der mit dem Verfahren befassten Behörden ein nicht wieder gutzumachender Nachteil (<ref-law>) entstünde, wenn der Einsichtnahme überwiegende Geheimhaltungsinteressen entgegenstünden. Das Bestehen solcher überwiegender Geheimhaltungsinteressen leitet der Beschwerdeführer aus Art. 8 Ziff. 1 EMRK und <ref-law> (Anspruch auf Privatsphäre) ab; zudem macht er geltend, die Vorinstanz habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt. Damit beruft sich der Beschwerdeführer in vertretbarer Weise auf verfassungsmässige Rechte (<ref-law>; <ref-law>). Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unter dem Vorbehalt der nachfolgenden Präzisierungen einzutreten.
1.2. Anfechtungsobjekt des vorliegenden Verfahrens bildet einzig das vorinstanzliche Urteil, das den Zwischenentscheid des Präsidialdepartements ersetzte (sog. Devolutiveffekt). Soweit der Beschwerdeführer im vorliegenden Verfahren die Aufhebung des Zwischenentscheids des Präsidialdepartements verlangt (vgl. Antrag II), ist daher auf seine Beschwerde nicht einzutreten. Immerhin gelten Entscheide unterer Instanzen als inhaltlich mitangefochten (vgl. Urteil 2C_717/2017 vom 25. November 2019 E. 1.2, m.w.H.).
1.3. Soweit der Beschwerdeführer beantragt, er sei darüber zu informieren, wie die Patienten- und Jugendpersonalakten aufbewahrt würden, ob sie kopiert worden seien, bejahendenfalls zu welchem Zweck wie viele Kopien erstellt worden seien, sowie wo und wie diese Kopien aufbewahrt würden, ist darauf hinzuweisen, dass bereits die Vorinstanz den entsprechenden Antrag als unzulässig qualifiziert hat, weil er über den Streitgegenstand hinausgehe. Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, dass das Vorgehen der Vorinstanz bundesrechtswidrig wäre; der Antrag ist daher auch im vorliegenden Verfahren keiner Beurteilung zugänglich.
1.4. Dem Anliegen des Beschwerdeführers, seine Patienten- und Jugendpersonalakten für sämtliche Personen zu sperren, die mit dem Hauptsacheverfahren nicht befasst sind, haben die kantonalen Verfahren bereits Rechnung getragen (vgl. Bst. A.c, B.b und B.c hiervor). Die entsprechenden Verfügungen gelten selbstredend auch für allfällige Kopien dieser Akten. Insoweit ist der Beschwerdeführer nicht mehr beschwert (<ref-law>) und ist auf seine Beschwerde nicht einzutreten.
1.5. Zu beurteilen bleibt damit (neben dem Rückweisungsantrag; vgl. dazu E. 2 hiernach) einerseits der Antrag des Beschwerdeführers, die Einsichtnahme in seine Patienten- und Jugendpersonalakten auch für das Präsidialdepartement und das Staatsarchiv auszuschliessen bzw. diese Akten bis zum Entscheid in der Hauptsache zu versiegeln; anderseits (und damit zusammenhängend) zu prüfen ist der Antrag, das Präsidialdepartement sei anzuweisen, die Patienten- und Jugendpersonalakten des Beschwerdeführers aus den Verfahrensakten zu entfernen.
2.
Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, die Vorinstanz habe sein Gehörsrecht (<ref-law>) verletzt, indem sie zentrale Argumente seiner Rechtsmitteleingabe ungeprüft gelassen habe.
Dieser Vorwurf ist unbegründet: Die Vorinstanz hat eingehend begründet, warum die im Hauptsacheverfahren befassten Instanzen (also das Präsidialdepartement [als entscheidende Rechtsmittelbehörde] und das Staatsarchiv [als zur Vernehmlassung eingeladene erstinstanzlich verfügende Behörde]) für die Erfüllung ihrer jeweiligen Aufgaben Einsicht in die Patienten- und Jugendpersonalakten des Beschwerdeführers nehmen müssten. Sie hat dabei insbesondere auch das Argument des Beschwerdeführers geprüft, die materielle Beurteilung der Hauptsache sei auch ohne Einsichtnahme in die Patienten- und Jugendpersonalakten möglich (vgl. E. 3.4.1 bis 3.4.5 des angefochtenen Entscheids). Der verfassungsrechtlich verankerten Begründungspflicht hat die Vorinstanz damit Genüge getan (vgl. zum Umfang dieser Pflicht <ref-ruling> E. 5.2 S. 70 f.); ein Anlass für die vom Beschwerdeführer beantragte Rückweisung an die Vorinstanz besteht nicht. Eine andere Frage ist, ob die Würdigung der Vorinstanz inhaltlich zutrifft (vgl. dazu E. 3 hiernach).
3.
Der Beschwerdeführer bringt vor, die Vorinstanz habe seinen Anspruch auf Achtung des Privatlebens in Form des Rechts auf informationelle Selbstbestimmung (Art. 8 Ziff. 1 EMRK; <ref-law>) verletzt; er habe ein grundrechtlich geschütztes Interesse daran, dass Informationen über seine ärztliche Behandlung nicht an den Staat - und damit auch nicht an die mit dem Hauptsacheverfahren betrauten Behörden - gelangten.
3.1. Die Vorinstanz erwog im angefochtenen Entscheid, es sei davon auszugehen, dass die Patienten- und Jugendpersonalakten des Beschwerdeführers besonders schützenswerte Personendaten enthielten. Das Einsichtnehmen durch die mit dem aktuellen Rechtsmittelverfahren befassten Behörden begründe daher einen Eingriff in das Recht auf informationelle Selbstbestimmung (vgl. Art. 8 Ziff. 1 EMRK, <ref-law> und § 11 Abs. 1 lit. j der Verfassung des Kantons Basel-Stadt vom 23. März 2005 [KV/BS; SG 111.100]). Ein solcher Eingriff sei nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK, <ref-law> und § 13 KV/BS nur dann gerechtfertigt, wenn er auf einer gesetzlichen Grundlage beruhe, einem öffentlichen Interesse diene, verhältnismässig sei und den Kerngehalt des Rechts auf informationelle Selbstbestimmung wahre. Diese Erfordernisse seien vorliegend gegeben:
Die Beurteilung von Rekursen sei eine gesetzlich klar umschriebene Aufgabe der (verwaltungsinternen) Rekursinstanzen (vgl. § 7 und § 41 Abs. 1 und 2 des Gesetzes betreffend die Organisation des Regierungsrates und der Verwaltung des Kantons Basel-Stadt vom 22. April 1976 [OG/BS; SG 153.100]); auch für die Einladung des Staatsarchivs zur Einreichung einer Vernehmlassung und die damit verbundene Akteneinsicht bestehe in § 48 Abs. 2 OG/BS eine taugliche gesetzliche Grundlage. Soweit die Einsichtnahme der Verfahrensbeteiligten in die Patienten- und Jugendpersonalakten des Beschwerdeführers für die Beurteilung des Rekurses gegen die Verfügung des Staatsarchivs vom 29. März 2019 zwingend notwendig sei, bestehe auch ein sehr gewichtiges öffentliches Interesse an der Akteneinsicht.
Dieses Erfordernis der zwingenden Notwendigkeit der Einsichtnahme sei vorliegend gegeben: Im Hauptsacheverfahren sei die Rechtmässigkeit der Archivierung der Patienten- und Jugendpersonalakten des Beschwerdeführers zu prüfen. Unter dem Gesichtspunkt von Art. 8 Ziff. 2 EMRK, <ref-law> und § 13 KV/BS gelte es dabei namentlich die Verhältnismässigkeit des mit der Archivierung verbundenen Eingriffs in das Recht auf informationelle Selbstbestimmung zu beurteilen. Dies setze eine Abwägung zwischen dem privaten Geheimhaltungsinteresse des Beschwerdeführers und dem öffentlichen Archivierungsinteresse voraus. Bei summarischer Beurteilung erscheine klar, dass diese Abwägung nur mit Kenntnis des konkreten Inhalts der Patienten- und Jugendpersonalakten erfolgen könne. Zwar komme den Geheimhaltungsinteressen des Beschwerdeführers voraussichtlich ein hohes Gewicht zu; trotzdem sei nicht zum vornherein ausgeschlossen, dass das öffentliche Archivierungsinteresse zumindest für einen Teil der Akten trotzdem überwiege: Die Dokumentierung von psychiatrischen Gutachten habe sowohl für die Wissenschaft als auch für die Öffentlichkeit einen hohen Stellenwert; beispielsweise wäre die historische und politische Aufarbeitung der fürsorgerischen Zwangsmassnahmen und Fremdplatzierungen vor 1981 nicht möglich gewesen, wenn entsprechende Akten nicht archiviert worden wären.
3.2. Diese Würdigung der Vorinstanz ist nicht zu beanstanden:
3.2.1. Mit Blick auf die Beschwerdeausführungen ist zunächst darauf hinzuweisen, dass materiell vorliegend einzig die Frage zu prüfen ist, ob es unter dem Gesichtspunkt des Anspruchs auf Achtung des Privatlebens (Art. 8 EMRK bzw. <ref-law>) zulässig war, dass die Vorinstanz die mit der Hauptsache befassten Behörden von der vorsorglichen Sperrung der Patienten- und Jugendpersonalakten ausnahm und eine Datenbearbeitung insoweit zuliess. Ob auch die Übergabe der Patienten- und Jugendpersonalakten an das Staatsarchiv rechtmässig war, ist im Hauptsacheverfahren zu klären, das derzeit vor dem Präsidialdepartement des Kantons Basel-Stadt hängig ist. Soweit der Beschwerdeführer sich vorliegend zu diesem Hauptsacheverfahren (und zum Gesuch vom 12. November an das Staatsarchiv) äussert, ist auf seine Beschwerdevorbringen nicht näher einzugehen; dies gilt namentlich für seine Ausführungen zur ärztlichen Schweigepflicht sowie die nicht ohne Weiteres beantwortbare Rechtsfrage, ob für die Übergabe der Patienten- und Jugendpersonalakten an das Staatsarchiv eine hinreichende gesetzliche Grundlage bestand.
3.2.2. Die Ausführungen der Vorinstanz zum Vorliegen einer gesetzlichen Grundlage für den Beizug und die Einsichtnahme in die Patienten- und Jugendpersonalakten durch das Präsidialdepartement und das Staatsarchiv (vgl. E. 3.1 hiervor) werden vom Beschwerdeführer zu Recht nicht beanstandet. Mit Blick auf das öffentliche Interesse ist darauf hinzuweisen, dass das Interesse der Behörden, in einem Rechtsmittelverfahren Einsicht in Akten zu nehmen, die teils überaus sensitive Personendaten enthalten, sich entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers sehr wohl unter das öffentliche Interesse der "Aufrechterhaltung der Ordnung" (vgl. Art. 8 Ziff. 2 EMRK) subsumieren lässt. Ohne die Möglichkeit zu solcher Akteneinsicht wären Justizverfahren, die dem Schutz dieser Ordnung dienen, praktisch nicht mehr durchführbar.
3.2.3. Sodann ist dem Beschwerdeführer zwar beizupflichten, dass seine Patienten- und Jugendpersonalakten besonders schützenswerte Daten beinhalten dürften; dies gilt zumindest unter der vorliegend nicht überprüfbaren Annahme, dass es sich dabei (vorwiegend) um Dokumente handelt, die im Zuge seiner ärztlichen Behandlungen in der Psychiatrischen Universitätspoliklinik für Kinder und Jugendliche entstanden sind. Daraus kann jedoch nicht geschlossen werden, dass es mit Blick auf Art. 8 Ziff. 1 EMRK, <ref-law> und § 13 KV/BS in jedem Fall unverhältnismässig wäre, diese Akten zu archivieren (vgl. BEAT RUDIN, Kollektives Gedächtnis und informationelle Integrität - Zum Datenschutz im öffentlichen Archivwesen, AJP 1998, S. 247 ff., S. 256); entgegen dem Beschwerdeführer kann damit auch nicht gesagt werden, dass für die Beurteilung seines Rechtsmittels eine Einsichtnahme in die betreffenden Akten zum vornherein entbehrlich wäre: Ohne Kenntnis des Inhalts der Patienten- und Jugendpersonalakten kann das Präsidialdepartement die Abwägung zwischen privatem Geheimhaltungsinteresse und öffentlichem Archivierungsinteresse nicht sinnvoll vornehmen und die Hauptsache damit nicht in einer den gesetzlichen Anforderungen entsprechenden Art und Weise beurteilen; dasselbe gilt für das Staatsarchiv, dem zur Einreichung einer Vernehmlassung ebenfalls Akteneinsicht zu gewähren ist.
3.2.4. Ebenfalls zuzustimmen ist der Vorinstanz, dass dem Anliegen des Beschwerdeführers um Geheimhaltung nicht dadurch Rechnung getragen werden kann, dass ein Vertrauensarzt beigezogen würde, der Akteneinsicht nehmen und dem Gericht daraufhin als Zeuge Auskunft geben könnte, ob die Angaben des Beschwerdeführers zum Inhalt der Akten korrekt sind: Die Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts ist Behördenaufgabe und kann nicht an einen Zeugen delegiert werden; auch ein Sachverständiger ist nur "verlängerter Arm" des Gerichts, und kann dieses nicht davon befreien, selbständig die Akten zu würdigen und den rechtserheblichen Sachverhalt festzustellen. Insofern fällt das vom Beschwerdeführer beantragte "mildere Mittel" ausser Betracht.
3.3. Eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte durch die im kantonalen Verfahren teilweise verweigerte vorsorgliche Massnahme ist nach dem Gesagten nicht ersichtlich. Daran ändern auch die weiteren (appellatorischen) Sachverhaltsrügen des Beschwerdeführers nichts; darauf ist nicht weiter einzugehen (<ref-law>).
4.
Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten (<ref-law>) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG). Der Beschwerdeführer meint zwar, dass der Staat das Verfahren veranlasst habe. Das aber führt für sich genommen nicht dazu, ihn bezüglich der vorsorglichen Massnahme von den Verfahrenskosten zu befreien.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Präsidialdepartement des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht Dreiergericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Februar 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner