Faits :
A.
Le 3 avril 2018, A._ a formé recours contre l'ordonnance de séquestre du 16 mars 2018 rendue par le Ministère public de la République et canton de Genève.
Par pli recommandé du 11 avril 2018 adressé au conseil de la société, la Direction de la procédure de la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève l'a invitée à fournir avant le 26 avril 2018 des sûretés, au sens de l'<ref-law>, à hauteur de 1'000 fr., faute de quoi il ne serait pas entré en matière sur son recours. Le 24 avril 2018, l'avocat de A._ a sollicité une prolongation du délai imparti au 30 juin 2018. Malgré le défaut d'explication, cette requête a été accordée et le délai prolongé au 30 mai 2018. Par courrier daté du 30 mai 2018, adressé ce même jour par pli recommandé et reçu le lendemain par la Chambre pénale de recours, le mandataire de la société a demandé une deuxième prolongation au 30 juin 2018.
Le 5 juin 2018, la Chambre pénale de recours n'est pas entrée en matière sur le recours déposé le 3 avril 2018 par A._ et a rayé la cause du rôle. Elle a condamné la société aux frais de procédure, qui comprenaient un émolument de 250 francs.
B.
Par acte du 5 juillet 2018, A._ forme un recours en matière pénale contre la décision du 11 avril 2018, ainsi que contre l'arrêt du 5 juin 2018, concluant à leur annulation et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision. A l'appui de son recours, la société recourante se prévaut d'un arrêt du Tribunal fédéral du 17 janvier 2018 (cause 6B_1356/2017), depuis publié aux <ref-ruling>, qui dispose que l'autorité de recours ne peut pas exiger des sûretés au sens de l'<ref-law> de la part d'un tiers touché par un acte de procédure au sens de l'art. 105 al. 1 let. f CPP.
Invitée à se déterminer, la cour cantonale s'en est remise à justice. Quant au Ministère public, il a conclu au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. Le 4 septembre 2018, la recourante a persisté dans ses conclusions.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 358).
1.1. Le recours est formé contre deux décisions, à savoir celle rendue le 11 avril 2018 par la Direction de la procédure de la Chambre pénale de recours (demande de sûretés) et celle de cette dernière autorité prononcée le 5 juin 2018 (refus d'entrée en matière sur le recours déposé le 3 avril 2018 contre l'ordonnance de séquestre du 16 mars 2018). Elles ont été rendues au cours d'une - même - procédure pénale et la voie du recours en matière pénale est donc en principe ouverte (<ref-law>).
1.2. Ces deux prononcés sont de nature incidente puisqu'ils ne mettent pas un terme à la procédure pénale et le recours au Tribunal fédéral n'est dès lors recevable qu'en présence d'un préjudice irréparable (<ref-law>).
Selon la jurisprudence rendue en matière de demande de sûretés, l'existence d'un tel préjudice est reconnue lorsque la partie requise ne possède pas les moyens financiers nécessaires au paiement du montant demandé - ce qu'elle doit démontrer - et qu'elle ne remplit pas les conditions de l'assistance judiciaire (<ref-ruling> consid. 2.3.4 p. 808); dans une telle situation, le recours immédiat au Tribunal fédéral est ouvert, sans que la partie en cause ne doive attendre la décision d'irrecevabilité (<ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 801 ss). On ne saurait en revanche déduire de l'existence d'une telle possibilité que la partie intéressée - dans la mesure où elle remplirait au demeurant à ce moment-là les conditions susmentionnées - devrait l'utiliser immédiatement; elle peut en effet choisir d'attendre la décision finale - respectivement la décision refusant l'entrée en matière - et s'en prendre, dans le cadre d'un recours contre ce prononcé subséquent, à la décision incidente s'il subsiste un intérêt à le faire (<ref-law>; BERNARD CORBOZ, in Commentaire de la LTF, 2e éd. 2014, n° 39 ad <ref-law>). Tel est le cas en l'occurrence puisque la seconde décision attaquée découle du non-respect de la première. Il ne paraît cependant pas exclu que le recours contre l'arrêt du 5 juin 2018 aurait pu suffire dans le présent cas pour permettre à la recourante d'obtenir l'entrée en matière sur son recours fédéral.
S'agissant ensuite de cette seconde décision, elle refuse l'entrée en matière sur le recours cantonal, ce qui équivaut à un déni de justice formel. Dans un tel cas, le Tribunal fédéral renonce à l'exigence d'un préjudice irréparable (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 346; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 261).
1.3. Pour le surplus, les autres conditions de recevabilité - dont le dépôt en temps utile du recours (<ref-law>) - étant réunies, il y a lieu d'entrer en matière.
2.
La recourante se plaint tout d'abord d'une violation de l'<ref-law>. Elle soutient à cet égard que, faute d'avoir la qualité de partie plaignante, elle n'avait pas à fournir des sûretés dans le cadre de son recours contre l'ordonnance de séquestre.
2.1. Le Tribunal fédéral est lié par les faits constatés dans l'arrêt attaqué (<ref-law>). La LTF ne prévoit en revanche aucune disposition quant aux arguments juridiques que la partie recourante peut faire valoir devant le Tribunal fédéral. Elle connaît certes l'épuisement des instances (cf. <ref-law> pour le recours en matière pénale), mais ne prévoit formellement aucune règle quant à l'épuisement des griefs. Cela signifie donc que, dans la mesure où un nouveau grief se fonde sur l'état de fait retenu et qu'il n'augmente ni ne modifie les conclusions, il devrait en principe être recevable. Cette règle vaut en principe toujours lorsqu'il s'agit de droit fédéral (<ref-ruling> consid. 4.4.3 p. 156 s.).
Ainsi, contrairement à ce que semble soutenir le Ministère public, la recourante peut se prévaloir de nouveaux griefs d'ordre juridique devant le Tribunal fédéral. Elle pouvait donc invoquer la violation de l'<ref-law> et la jurisprudence y relative.
2.2. Selon l'<ref-law>, la direction de la procédure de l'autorité de recours peut astreindre la partie plaignante à fournir des sûretés dans un délai déterminé pour couvrir les frais et indemnités éventuels; l'<ref-law> est réservé. Si les sûretés ne sont pas fournies dans le délai imparti, l'autorité de recours n'entre pas en matière sur le recours (<ref-law>).
L'<ref-law> mentionne expressément la partie plaignante. Le prévenu ne peut ainsi être astreint à verser des sûretés, sous réserve d'un recours au Tribunal fédéral (art. 62 s. LTF). Cette conception se justifie car un prévenu ne saurait se voir compliquer l'accès à un moyen de droit, respectivement voir les droits de la défense limités d'une manière injustifiée. En particulier, il est inadmissible de demander des sûretés au prévenu dans le cadre d'une procédure de séquestre (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 20 s.). Dans la mesure où le tiers (art. 105 al. 1 let. f CPP) doit pouvoir défendre ses droits contre une mesure de séquestre prise à son encontre, sa position est comparable à celle du prévenu touché par une mesure similaire. Le tiers séquestré ne peut dès lors être astreint à fournir des sûretés au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 21 s.).
En l'occurrence, il ne ressort pas de l'arrêt attaqué que la recourante se serait constituée partie plaignante, ce qui aurait permis l'application de l'<ref-law>. Au cours de la procédure fédérale, ni la cour cantonale, ni le Ministère public n'ont fait état d'une telle qualité procédurale s'agissant de la recourante. Le Procureur semble même confirmer que la jurisprudence susmentionnée aurait dû être appliquée à la recourante (cf. ses observations du 13 août 2018). Faute d'élément permettant de retenir que la recourante se serait constituée partie plaignante, elle dispose en l'état de la qualité de tiers touché par un acte de procédure (art. 105 al. 1 let. f CPP; cf. au demeurant la catégorie dans laquelle la recourante figure sur la fiche cantonale résumant les intervenants à la procédure P/297/2017 ["Parties tiers à la procédure"]) puisqu'elle prétend que les avoirs séquestrés lui appartiendraient. Elle ne pouvait dès lors être astreinte à fournir des sûretés dans le cadre du recours intenté contre l'ordonnance de séquestre.
Au regard de ces considérations, la cour cantonale a violé le droit fédéral en demandant des sûretés à la recourante (ordonnance du 11 avril 2018) et en refusant d'entrer en matière sur le recours du 3 avril 2018 au motif que ces sûretés n'avaient pas été fournies dans le délai imparti (arrêt du 5 juin 2018). Partant, ce grief doit être admis.
2.3. Ce motif suffit d'ailleurs pour annuler les deux décisions attaquées sans qu'il soit nécessaire de déterminer si la deuxième demande de prolongation a été déposée en temps utile (cf. art. 91 al. 2 et 92 CPP; voir cependant dans le sens d'un dépôt en respect du délai imparti, DANIELA BRÜSCHWEILER, in DONATSCH/HANSJAKOB/LIEBER, Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung [StPO], 2e éd. 2014, n° 4 ad <ref-law>, auteur qui fait notamment référence aux arrêts 2C_261/2007 du 29 septembre 2008 consid. 2.2 et 1A.94/2002 du 2 juillet 2002 consid. 2.2.2).
3.
Il s'ensuit que le recours est admis. Les décisions du 11 avril et du 5 juin 2018 sont annulées et la cause est renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle examine la recevabilité du recours déposé le 3 avril 2018 par la recourante et, le cas échéant, entre en matière.
La recourante, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un avocat, a droit à des dépens à la charge de la République et canton de Genève (<ref-law>). Il n'est pas perçu de frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. La décision du 11 avril 2018 de la Direction de la procédure de la Chambre pénale de recours de la République et canton de Genève et celle du 5 juin 2018 de la Chambre pénale de recours de la République et canton de Genève sont annulées. La cause est renvoyée à cette autorité pour qu'elle statue au sens des considérants.
2.
Une indemnité de dépens, fixée à 2'500 fr., est allouée à la recourante à la charge de la République et canton de Genève.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Ministère public de la République et canton de Genève et à la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 29 octobre 2018
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Merkli
La Greffière : Kropf