Erwägungen:
1.
A._ ist als Beschwerdeführer beteiligt an verschiedenen bundesgerichtlichen Verfahren im Zusammenhang mit strafprozessualen Rechtsstreitigkeiten im Kanton Zürich (bundesgerichtliche Verfahren 1B_395/2020, 1B_403/2020, 1B_409/2020, 1B_413/2020 und 1B_439/2020). Am 27. November 2020 beantragte A._ den Ausstand der als Instruktionsrichterin eingesetzten Bundesrichterin Monique Jametti. Mit Urteil 1B_611/2020 vom 4. Dezember 2020 wies das Bundesgericht in Besetzung ohne Bundesrichterin Monique Jametti das Ausstandsgesuch ab. Mit Schreiben vom 9. Dezember 2020 teilte A._ dem Bundesgericht unter anderem mit, er nehme "eine solche Menschenrechtsverletzung sicher nicht an" und habe von der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich verlangt, dass der ihm als amtlicher Verteidiger zugewiesene Rechtsanwalt B._ von dieser Verpflichtung wieder befreit ("entlassen") werde. Mit als Petition bezeichneter handschriftlicher Eingabe vom 10. Dezember 2020 ersucht er um Revision des Urteils vom 4. Dezember 2020. Er beruft sich auf <ref-law> und <ref-law>, wobei er sich, soweit dies leserlich ist, auf Buchstabe b oder d der letzten Bestimmung bezieht. Zur Begründung beanstandet er, dass im Urteil vom 4. Dezember 2020 der von ihm gegenüber Bundesrichterin Monique Jametti erhobene Vorwurf der Menschenrechtsverletzung nicht erwähnt werde; er habe auch klar beanstandet, dass die Instruktionsrichterin im Zusammenhang mit dem von ihm gestellten Akteneinsichtsgesuch "die Staatsanwaltschaft Zürich II des Kantons Zürich um Erlaubnis" gefragt habe; weiter rügt er, das Öffentlichkeitsprinzip sei verletzt, da für die Öffentlichkeit nicht nachvollziehbar sei, weshalb das Urteil vom 4. Dezember 2020 auch dem Rechtsanwalt B._ zugestellt worden sei; schliesslich erwähne das Urteil nicht, dass sich die Bundesrichterin, deren Ausstand er beantragt habe, zu den Ausstandsgründen geäussert habe, wie das <ref-law> vorschreibe; eine solche Stellungnahme sei ihm auch nicht zugestellt worden.
2.
Nach <ref-law> hat jede Person das Recht, Petitionen an Behörden zu richten, woraus ihr keine Nachteile erwachsen dürfen (Abs. 1); die Behörden haben von Petitionen Kenntnis zu nehmen (Abs. 2). Es kann hier offenbleiben, wieweit es zulässig ist, dass Verfahrensbeteiligte beim Bundesgericht im Zusammenhang mit Gerichtsverfahren Petitionen einreichen. So oder so wird von der Eingabe des Gesuchstellers Kenntnis genommen und sie wird entsprechend der Begründung als Revisionsgesuch behandelt.
3.
3.1. Entscheide des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (<ref-law>). Eine nochmalige Überprüfung der einem Urteil des Bundesgerichts zugrunde liegenden Streitsache ist grundsätzlich ausgeschlossen. Auf ein Urteil des Bundesgerichts kann lediglich im Verfahren der Revision (<ref-law>) zurückgekommen werden. Ein solches steht jedoch nur offen, wenn einer der in den <ref-law> abschliessend aufgeführten Revisionsgründe vorliegt (<ref-law>). Allerdings muss der Gesuchsteller den Revisionsgrund gemäss den Anforderungen an die Begründung einer Rechtsschrift an das Bundesgericht mit der erforderlichen Dichte substanziieren (vgl. <ref-law>). Dabei ist namentlich die blosse Kritik der rechtlichen Würdigung des bundesgerichtlichen Urteils nicht zulässig. Fehlt es an einer rechtsgenüglichen Begründung, tritt das Bundesgericht auf ein Revisionsbegehren nicht ein.
3.2. Der Gesuchsteller macht keinen zulässigen Revisionsgrund geltend. Die von ihm angerufenen Umstände sind nicht geeignet, einen solchen zu substanziieren. So stellt der von ihm behauptete Verfahrensmangel, dass Bundesrichterin Monique Jametti zum Ausstandsgesuch nicht gemäss <ref-law> angehört worden sei, keinen Revisionsgrund dar. Im Übrigen erhielt sie als Instruktionsrichterin durchaus Kenntnis vom Ausstandsgesuch, hat dieses jedoch zuständigkeitshalber an den Abteilungspräsidenten weitergeleitet, ohne sich dazu zu äussern. Weder war insoweit praxisgemäss ein schriftlicher Verzicht erforderlich noch konnte ein solcher logischerweise dem Gesuchsteller zugestellt werden. Im Übrigen ist ein Schriftenwechsel nach <ref-law> nur "soweit erforderlich" durchzuführen. Im Urteil vom 4. Dezember 2020 ist ausdrücklich festgehalten, dass das Ausstandsgesuch "ohne weiteren Schriftenwechsel" abgewiesen wird. Sodann erfüllt es ebenfalls keinen Revisionsgrund, dass der Begriff "Menschenrechtsverletzung" im Urteil vom 4. Dezember 2020 nicht verwendet wird; es wird ausgeführt, dass nur krasse Rechtsfehler zur Ausstandspflicht führen und dass die Instruktionsrichterin keine solche trifft, woraus ohne weiteres zu schliessen ist, dass sie nicht in massgeblicher Weise gegen die Rechte des Gesuchstellers verstossen hat. Auch äusserte sich das Bundesgericht durchaus zur Frage der Akteneinsicht und bestätigte indirekt die entsprechende Verfügung der Instruktionsrichterin. Schliesslich wird im Urteil vom 4. Dezember 2020 ebenfalls erläutert, weshalb die Entscheide des Bundesgerichts auch dem im Kanton als amtlicher Verteidiger eingesetzten Rechtsanwalt zugestellt werden. Solange dieser nicht rechtmässig von dieser Aufgabe befreit ist bzw. der Gesuchsteller dem Bundesgericht einen entsprechenden Entscheid der zuständigen Behörde einreicht, wird dies auch weiter so gehandhabt werden. Im Übrigen ist für die Begründung eines Entscheids ohnehin nicht erforderlich, wie der Gesuchsteller anzunehmen scheint, dass auf jedes vorgetragene Argument detailliert und wörtlich eingegangen wird, solange das Anliegen insgesamt behandelt wird.
3.3. Insgesamt ist ein für eine Revision massgebliches Versehen des Bundesgerichts nicht ersichtlich. Insbesondere ist nicht erkennbar, dass ein Revisionsgrund nach <ref-law> und namentlich gemäss dessen Buchstabe b bzw. d vorliegen sollte, wonach das Bundesgericht einer Partei mehr oder, ohne dass das Gesetz es erlaubt, anderes zugesprochen hat, als sie selbst verlangt hat, oder weniger als die Gegenpartei anerkannt hat bzw. in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat. Das Revisionsgesuch läuft mithin auf eine unzulässige Kritik an der rechtlichen Würdigung im bundesgerichtlichen Urteil vom 4. Dezember 2020 hinaus.
4.
Demnach ist auf das Revisionsgesuch ohne weiteren Schriftenwechsel nicht einzutreten. Auf die Erhebung von Verfahrenskosten kann umständehalber nochmals verzichtet werden (vgl. <ref-law>). Der Beschwerdeführer wird jedoch darauf aufmerksam gemacht, dass künftige Rechtsmitteleingaben, bei Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren selbst trotz allfälliger Bedürftigkeit (vgl. <ref-law> sowie <ref-law>), mit Kostenfolgen verbunden sein könnten. Er wird ebenfalls darauf hingewiesen, dass weitere Eingaben im Zusammenhang mit seinem Ausstandsgesuch vom 27. November 2020 und den daran anknüpfenden Entscheiden des Bundesgerichts unbehandelt bleiben und ohne Weiterungen abgelegt werden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Gesuchsteller, der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich (Besondere Verfahren), der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich, der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich (Cyberkriminalität), dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, dem Bezirksgericht Zürich, Zwangsmassnahmengericht, und B._, Zürich, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Dezember 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Uebersax