Sachverhalt:
A.
Das Bezirksgericht Uster sprach A._ am 4. April 2019 der mehrfachen sexuellen Handlungen mit Kindern, der mehrfachen Pornografie sowie der mehrfachen sexuellen Handlungen mit Minderjährigen gegen Entgelt schuldig und verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von 32 Monaten. Den Vollzug der Freiheitsstrafe schob es zugunsten einer stationären therapeutischen Massnahme auf.
Gegen diesen Entscheid liess A._ am 27. Mai 2019 durch seinen amtlichen Verteidiger, Rechtsanwalt B._, Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich erklären. Er beschränkte seine Berufung auf den Antrag einer milderen Strafe, die Anordnung einer ambulanten statt der ausgesprochenen stationären Massnahme sowie die Liquidation der Kosten.
B.
Nachdem am 14. November 2019 der zwischenzeitlich vom Obergericht angeforderte Therapiebericht der psychiatrischen Universitätsklinik Zürich über den Behandlungsverlauf von A._ eingegangen war, zog der amtliche Verteidiger die Berufung unter Beilage eines persönlichen Schreibens an A._ am 18. November 2019 zurück. Das Obergericht nahm den Parteien darauf die Ladung für die auf den 21. November 2019 anberaumte Berufungsverhandlung ab. Am 19. November 2019 kontaktierte A._ das Obergericht telefonisch und liess verlauten, er sei weder mit der erfolgten Ladungsabnahme für die Berufungsverhandlung noch mit dem Rückzug der Berufung einverstanden. Der amtliche Verteidiger nahm am 9. Dezember 2019 zur Frage des Zustandekommens des Berufungsrückzugs schriftlich Stellung, woraufhin das Obergericht das Verfahren am 16. Dezember 2019 als erledigt abschrieb.
C.
Am 23. Dezember 2019 ersuchte A._ um Wechsel der amtlichen Verteidigung. Nach Eingang der diesbezüglichen Stellungnahme des amtlichen Verteidigers wies das Obergericht das Gesuch mit Präsidalverfügung vom 9. Januar 2020 ab.
D.
A._ führt sowohl gegen den Abschreibungsbeschluss als auch gegen die Präsidialverfügung Beschwerde (in Strafsachen). Er beantragt sinngemäss die Rückweisung der Angelegenheit an das Obergericht zur Durchführung einer Berufungsverhandlung und die Bestellung eines neuen amtlichen Verteidigers. Das Obergericht und die Oberstaatsanwaltschaft haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerden betreffen denselben Lebenssachverhalt, die gleichen Parteien sowie ähnliche oder gleiche Rechtsfragen, weshalb sie zu vereinigen und gemeinsam zu beurteilen sind (<ref-law> i.V.m. <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1).
1.2. Der Beschwerdeführer ist als beschuldigte Person zur Beschwerde legitimiert (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 BGG). Auf seine frist- und formgerecht eingereichten Rechtsmittel ist unabhängig der Begründungsanforderungen (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) einzutreten, da die rechtlichen Mängel geradezu auf der Hand liegen (<ref-ruling> E. 1.7.1 mit Hinweis).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, sein Anwalt habe gegen seinen Willen die Verhandlung (gemeint: Berufung) zurückgezogen. Er verlange, dass der Fall vor Vorinstanz verhandelt und ihm ein neuer Anwalt zur Verfügung gestellt werde. Er beantrage eine ambulante statt einer stationären Massnahmen und erachte die diesbezüglichen Chancen als gut. Zudem müssten die Kosten des Verfahrens durch die Staatskasse übernommen und ihm der PC und sein Handy zurückgegeben werden. Sein Anwalt habe das Mandat niedergelegt und reagiere weder auf Anrufe noch auf briefliche Kontaktversuche.
2.2. Der amtliche Verteidiger machte vor Vorinstanz geltend, er und der Beschwerdeführer hätten bereits am 4. April 2019 eine Vereinbarung getroffen, wonach eine Berufung nur Sinn ergebe, sofern inskünftig signifikante Behandlungserfolge vorgewiesen werden könnten. Diese Vereinbarung sei später seitens des Beschwerdeführers auch nicht in Abrede gestellt worden. Die Vorinstanz gelangt zum Schluss, es sei nicht ersichtlich, dass der Rückzug der Berufung entgegen dem ausdrücklichen Willen des Beschwerdeführers erfolgt sein soll. Zudem äussere sich der eingeholte Verlaufsbericht im Hinblick auf die Erlangung einer ambulanten Therapie negativ und wenig erfolgsversprechend, mithin würden die Voraussetzungen hierfür im Ergebnis klar verneint. Es könne somit auch nicht gesagt werden, dass die Verteidigung fehlerhaft gehandelt habe. Der Rechtsmittelrückzug sei ohne Willensmängel und damit endgültig erfolgt (angefochtener Beschluss vom 16. Dezember 2019 S. 3 f.).
3.
3.1. Nach der zu Art. 29 Abs. 3 und Art. 32 Abs. 2 BV ergangenen Rechtsprechung hat die amtlich verteidigte beschuldigte Person einen grundrechtlichen Anspruch auf sachkundige, engagierte und effektive Wahrnehmung ihrer Parteiinteressen (<ref-ruling> E. 2.4 mit Hinweis). <ref-law> kodifiziert als bundesrechtliche Verfahrensvorschrift den im Übrigen auch in Art. 6 Abs. 3 EMRK garantierten fundamentalen Grundsatz eines rechtsstaatlichen Strafverfahrens. Die von der beschuldigten Person beigezogene (Wahlverteidigung; Art. 127 Abs. 1 und Art. 129 Abs. 1 StPO) oder amtlich bestellte Verteidigung (Offizialverteidigung; <ref-law>) ist in den Schranken von Gesetz und Standesregeln allein der beschuldigten Person verpflichtet (<ref-law>). Sie vertritt somit ausschliesslich private Interessen und hat sich, sofern sie nicht bereits eine Anklage verhindern kann, für den Freispruch der beschuldigten Person oder zumindest deren möglichst milde Bestrafung einzusetzen (<ref-ruling> E. 2.5.4; <ref-ruling> E. 6b; Urteil 1C_340/2018 vom 7. März 2019 E. 5.5; je mit Hinweisen).
Die Verteidigung kann für die beschuldigte Person gültig Verfahrenshandlungen vornehmen. Dazu zählt das Ergreifen von Rechtsmitteln wie auch deren Rückzug (<ref-law>). In den Grenzen einer sorgfältigen und effizienten Ausübung des Mandats ist die Wahl der Verteidigungsstrategie zwar grundsätzlich Aufgabe der Verteidigung, sie hat jedoch die objektiven Interessen der beschuldigten Person möglichst im gegenseitigen Einvernehmen und in Absprache mit dieser zu wahren (<ref-ruling> E. 2.4; Urteil 1B_110/2013 vom 22. Juli 2013 E. 4.3; je mit Hinweisen; dazu differenzierend WALTER HAEFELIN, Die amtliche Verteidigung im schweizerischen Strafprozess, 2010, S. 58 ff.).
3.2. Der amtliche Verteidiger zog die Berufung des Beschwerdeführers am 18. November 2019, mithin drei Tage vor der Berufungsverhandlung zurück. Gleichzeitig empfahl er sich gegenüber der Vorinstanz als Strafverteidiger für künftige Fälle. Dem Rückzug legte er ein an den Beschwerdeführer gerichtetes Schreiben bei ("Rückzug der Berufung"), in welchem er - insbesondere unter Bezugnahme auf den zwischenzeitlich erstellten Therapiebericht - im Detail darlegte, weshalb er eine Berufung in Bezug auf die Massnahme wie auch auf die (nicht angefochtenen) Schuldsprüche als "aussichtslos" bzw. "chancenlos" erachte. Einzig im Strafpunkt räumte der Verteidiger der Berufung gewisse Chancen ein. Die Freiheitsstrafe von 32 Monaten bezeichnete er als "streng", zumal es sich um "Hands-Off-Taten" bzw. "Cam-Sex"-Handlungen mit einem minderjährigen jungen Mann handle. Die Erfolgsaussichten seien allerdings derart marginal, "dass sich die Bemühung des Obergerichts für einen weiteren Prozesstag [...] nicht rechtfertigen würde" (kant. Akten act. 58 und 60). Soweit aus den Akten ersichtlich, liess der Verteidiger den Therapiebericht seinem Klienten erst nach dem erfolgten Berufungsrückzug zukommen. Die letzte Besprechung fand am 30. Oktober 2019 statt (kant. Akten act. 54 und 60).
3.3. Vorliegend sind keine Anhaltspunkte ersichtlich, dass der Beschwerdeführer den Berufungsrückzug nach autonomer Entschliessung abgegeben hätte, nämlich auf der Grundlage eines allein gebildeten verbindlichen Verzichtswillens. Soweit sich die Vorinstanz dabei auf eine mehrere Monate zurückliegende Vereinbarung zwischen Verteidigung und Beschwerdeführer stützt, ist ihr nicht zu folgen. Denn der vom Verteidiger behaupteten synallagmatischen Verknüpfung von Berufungsrückzug und Therapiebericht kann keinerlei Bindungswirkung zukommen. Zunächst übersehen die Vorinstanz wie auch der amtliche Verteidiger, dass sich die Berufung nicht bloss auf die Frage der Massnahme beschränkte, sondern auch der Strafpunkt sowie die Kosten angefochten waren. Zudem wäre der Verteidiger im Sinne einer gewissenhaften Berufsausübung verpflichtet gewesen, den negativen Therapiebericht vor dem Rückzug der Berufung mit dem Beschwerdeführer zu besprechen, um anschliessend die Verteidigungsstrategie der veränderten Ausgangslage anzupassen. Dies drängte sich umso mehr auf, als der Therapiebericht den vom Beschwerdeführer instruktionsweise berichteten Fortschritten entgegenstand. Obschon die Verteidigung nicht als blosses unkritisches "Sprachrohr" ihres Klienten agiert, kann ihr angesichts der im Berufungsverfahren geltenden Dispositionsmaxime und der Unwiderruflichkeit eines Berufungsrückzugs abverlangt werden, dass sie sich bei der beschuldigten Person vergewissert, ob der Rückzug ihrem Willen entspricht. Ein gegen den ausdrücklichen Willen der beschuldigten Person vorgenommener Rückzug ist a posteriori aufzuheben (MAURICE HARARI, in: Commentaire romand, Code de procédure pénale, 2019, N. 14 zu <ref-law>). Der Pflicht zur Information und Instruktion ist der Verteidiger erst nach erfolgtem Rückzug der Berufung nachgekommen. Es liegt daher kein wirksamer Berufungsrückzug vor.
4.
4.1. An die vorstehenden Ausführungen geknüpft ist die Frage des Wechsels der amtlichen Verteidigung. Die Vorinstanz hat unter Hinweis auf die Stellungnahme des Verteidigers und gestützt auf die Tatsache, dass der Beschwerdeführer seinen amtlichen Verteidiger noch am 24. Dezember 2019 in anderer Sache bevollmächtigt hatte, ein erheblich gestörtes Vertrauensverhältnis im Sinne von <ref-law> verneint und das Gesuch um Wechsel der amtlichen Verteidigung abgewiesen (angefochtene Verfügung S. 2).
4.2. Unabhängig von der Frage, ob die Vorinstanz nach erfolgter Abschreibung des Berufungsverfahrens noch für das Gesuch über den Wechsel der amtlichen Verteidigung überhaupt zuständig war, ruft das Vorgehen des Verteidigers erhebliche Bedenken hervor. Denn der Verteidiger legte gegenüber der Vorinstanz nicht nur die Verteidigungsstrategie offen, sondern äusserte klare Zweifel an den Erfolgsaussichten der Berufung. Beides entsprach offensichtlich nicht den Interessen des Beschwerdeführers wie auch dessen Vertrauen auf Diskretion des ihm bestellten Verteidigers (vgl. <ref-ruling> E. 2.5.4; <ref-ruling> E. 6a; je mit Hinweisen). Bereits aus diesem Grund muss davon ausgegangen werden, dass der Verteidiger mit dem Berufungsrückzug primär nicht die Interessen seines Mandanten vertrat, sondern vielmehr darum besorgt war, durch eine Berufung etwaigen Erwartungen nicht gerecht zu werden. Wäre es dem Verteidiger unzumutbar gewesen, unter den gegebenen Umständen den Standpunkt des Beschwerdeführers vor der Berufungsinstanz zu vertreten, hätte er die Verfahrensleitung um Entlassung aus dem amtlichen Mandat ersuchen können, wobei er sich aufgrund der Treue- und Geheimhaltungspflichten der für den Beschwerdeführer belastenden Umstände zu enthalten gehabt hätte (vgl. HAEFELIN, a.a.O., S. 170).
4.3. Integrität und Zuverlässigkeit des Verteidigers sowie die Pflicht zur Verschwiegenheit sind die Grundbedingungen für eine wirksame Wahrnehmung der Parteiinteressen. Nach dem oben Dargelegten ist erstellt, dass der Verteidiger mit seiner Vorgehensweise den Beschwerdeführer nicht angemessen verteidigt hat. Eine wirksame Verteidigung ist nicht mehr gewährleistet. Die Verfahrensleitung der Vorinstanz wird daher im Hinblick auf die Weiterführung des Berufungsverfahrens die amtliche Verteidigung einer anderen Person übertragen müssen.
5.
Die Beschwerden sind gutzuheissen. Die Sache ist zur Neubestellung einer amtlichen Verteidigung und zur Durchführung des Berufungsverfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen. Gerichtskosten werden nicht erhoben (<ref-law>). Dem nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 6B_76/2020 und 6B_122/2020 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden werden gutgeheissen. Die Entscheide des Obergerichts des Kantons Zürich vom 16. Dezember 2019 und vom 9. Januar 2020 werden aufgehoben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. März 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Reut