Sachverhalt:
A.
Rechtsanwalt A._ besitzt seit dem Jahr 2003 ein Anwaltspatent des Kantons Zürich und ist im kantonalen Anwaltsregister eingetragen. Am 5. November 2018 erstattete B._ (nachfolgend: der Verzeiger) Anzeige gegen Rechtsanwalt A._ bei der Anwaltskommission über die Anwältinnen und Anwälte des Kantons Zürich (nachfolgend: Aufsichtskommission) und verlangte sinngemäss dessen Disziplinierung. In der Anzeige machte der Verzeiger geltend, bei der Beratung einer Stockwerkeigentümergemeinschaft, der er angehöre, habe A._ das Verbot von Interessenkonflikten verletzt. Der Verzeiger ergänzte seine Anzeige am 13. und am 27. Februar 2019.
B.
Am 5. September 2019 eröffnete die Aufsichtskommission ein Disziplinarverfahren wegen Verletzung von Berufsregeln im Sinn von Art. 12 lit. c des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte (BGFA; SR 935.61) gegen Rechtsanwalt A._. Mit Beschluss vom 11. Juni 2020 erteilte die Aufsichtskommission A._ "wegen der Verletzung von Berufsregeln im Sinne von <ref-law>" einen Verweis und auferlegte ihm die Kosten des Verfahrens. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 9. Juli 2021 "im Sinne der Erwägungen" ab. Anders als die Aufsichtskommission sah das Verwaltungsgericht keine Verletzung von <ref-law>, wohl aber eine von <ref-law>, sodass es das Dispositiv des Beschlusses der Aufsichtskommission entsprechend abänderte ("Verweis wegen Verletzung der Berufsregeln im Sinn von <ref-law>").
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 14. September 2021 beantragt A._ die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 9. Juli 2021 und die Einstellung des Disziplinarverfahrens.
Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Aufsichtskommission verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen einen verfahrensabschliessenden Entscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2.3.1; <ref-ruling> E. 2). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Sie hat deshalb substanziiert darzulegen, weswegen diese Voraussetzungen gegeben sein sollen; wird sie dieser Anforderung nicht gerecht, bleibt es beim vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1).
2.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. In Bezug auf die Verletzung der verfassungsmässigen Rechte gilt nach <ref-law> eine gesteigerte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-ruling> E. 1.2.2; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.6). Im Übrigen wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>).
3.
In formeller Hinsicht rügt der Beschwerdeführer, dass die Vorinstanz den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt und sein Recht auf Beweis verletzt habe.
3.1. Die Vorinstanz hat den Sachverhalt wie folgt festgestellt:
3.1.1. Der Verzeiger ist Mitglied einer Stockwerkeigentümergemeinschaft, welche von der C._ AG (nachfolgend: die Verwaltungsgesellschaft) verwaltet und vertreten wird. Die Stockwerkeigentümergemeinschaft, vertreten durch die Verwaltungsgesellschaft, schloss im Jahr 2010 einen Werkvertrag mit der D._ GmbH (nachfolgend: die Werkunternehmerin) über den Ersatz einer Hangsicherung ab. Die Stockwerkeigentümergemeinschaft ist der Ansicht, dass die Hangsicherung mangelhaft ausgeführt wurde, weshalb die Verwaltungsgesellschaft gegenüber der Werkunternehmerin im Jahr 2011/2012 und erneut im März 2018 Mängelrüge erhob. Der Verzeiger wandte sich am 26. April 2018 mit einem von allen Stockwerkeigentümern unterzeichneten Schreiben an die Verwaltungsgesellschaft und verlangte nebst der Durchsetzung der Gewährleistungsansprüche gegenüber der Werkunternehmerin auch eine Erklärung der Verwaltungsgesellschaft, "dass sie unsere Haftungsansprüche gegenüber der [Werkunternehmerin] durchsetzen oder die Sanierung der Hangsicherung veranlassen und Kosten selbst übernehmen werden" und eine Erklärung, "für alle Nachteile der Gemeinschaft aufzukommen, die sich aus der jahrelangen Verzögerung der besagten Durchsetzung ergeben". Unter anderem wird der Verwaltungsgesellschaft in diesem Schreiben vorgeworfen, der Stockwerkeigentümergemeinschaft ausdrücklich versichert zu haben, dass die Stockwerkeigentümergemeinschaft gegen diese Risiken bei einer Auftragsvergabe an die Werkunternehmerin abgesichert sei, insbesondere weil die Werkunternehmerin in ihrem Vertrag eine Lebensdauer der Sanierungselemente von 20 Jahren garantiert habe. Wie diese garantierte Lebensdauer zu verstehen ist, ist heute umstritten.
3.1.2. Im Mai/Juni 2018 mandatierte die Verwaltungsgesellschaft (im Namen der Stockwerkeigentümergemeinschaft) den Beschwerdeführer damit, die Sach- und Rechtslage und das weitere Vorgehen in Bezug auf die der Stockwerkeigentümergemeinschaft gegenüber der Werkunternehmerin zustehenden Gewährleistungsansprüche betreffend die im Jahr 2010 sanierte Stützmauer zu prüfen. Die Stockwerkeigentümergemeinschaft wurde anlässlich der ausserordentlichen Stockwerkeigentümerversammlung am 19. Juni 2018 über die Mandatierung des Beschwerdeführers informiert. Der Beschwerdeführer nahm an der Versammlung teil und äusserte sich zur Rechtslage.
Dem Versammlungsprotokoll ist zu entnehmen, dass sich der Beschwerdeführer auch zu den Aufgaben der Verwaltung äusserte. Insbesondere sei diese nicht verpflichtet gewesen, die Sachlage betreffend Garantiefrist weiter zu bearbeiten, da die Stockwerkeigentümergemeinschaft von einer "Weiterverfolgung des Mangels" Abstand genommen habe. Sodann äusserte sich der Beschwerdeführer zur Frage, ob überhaupt ein Mangel vorliege, zur Verjährung und zur Bedeutung der 20-jährigen Lebensdauer gemäss Werkvertrag. Weiter empfahl er der Stockwerkeigentümergemeinschaft die Einholung eines Gutachtens, insbesondere zur Klärung, ob ein Mangel vorliege, und zur Frage, wie die Hangsicherung künftig ausgeführt werden müsse.
3.1.3. Der Verzeiger wandte sich am 28. Oktober 2018 an den Beschwerdeführer und stellte einerseits die vom Beschwerdeführer anlässlich der Stockwerkeigentümerversammlung gemachte und anscheinend per E-Mail vom 24. Oktober 2018 wiederholte Rechtsauffassung infrage und warf andererseits die Frage eines Interessenkonflikts zwischen den Interessen der Verwaltungsgesellschaft und der Stockwerkeigentümergemeinschaft auf, weil die Stockwerkeigentümergemeinschaft diverse Forderungen gegenüber der Verwaltungsgesellschaft gestellt habe. Mit E-Mail vom 1. November 2018 an den Verzeiger stellte der Beschwerdeführer das Vorliegen eines Interessenkonflikts in Abrede, da die Verwaltungsgesellschaft ihn im Namen und im Auftrag der Stockwerkeigentümergemeinschaft dazu mandatiert habe, die Sach- und die Rechtslage und das weitere Vorgehen betreffend die Hangsicherung zu prüfen, jedoch nur in Bezug auf allfällige Ansprüche der Stockwerkeigentümergemeinschaft gegenüber der Werkunternehmerin. Die Vorwürfe der Stockwerkeigentümergemeinschaft gegenüber der Verwaltungsgesellschaft hätten explizit nicht Inhalt seines Mandats gebildet. Er habe von der Verwaltungsgesellschaft in diesem Jahr lediglich zwei sehr kleine Mandate zugewiesen erhalten.
3.1.4. Im Rahmen ihrer rechtlichen Würdigung stützte sich die Vorinstanz schliesslich auf den Umstand, dass die im Raum stehenden Ansprüche der Stockwerkeigentümergemeinschaft gegen die Verwaltungsgesellschaft "von den Stockwerkeigentümern gemeinsam und als Gemeinschaft geäussert" worden seien (vgl. angefochtenes Urteil E. 7.2).
3.2. Der Beschwerdeführer rügt, es sei aktenwidrig und offensichtlich unrichtig, dass er bei der Mandatierung Kenntnis davon gehabt habe, dass alle Stockwerkeigentümer als Gemeinschaft Ansprüche gegenüber der Verwaltungsgesellschaft gestellt haben. Bei der Mandatierung habe ihn die Verwaltungsgesellschaft nur darüber orientiert, dass einzelne - und nicht alle - Stockwerkeigentümer gegenüber der Verwaltungsgesellschaft Haftungsansprüche gestellt hätten. Zudem habe die Vorinstanz sein Recht auf Beweis verletzt, indem sie es abgelehnt habe, den Geschäftsführer der Verwaltungsgesellschaft als Zeugen einzuvernehmen. Ferner macht der Beschwerdeführer geltend, er habe - entgegen der (angeblichen) Annahme der Vorinstanz - vor der Stockwerkeigentümerversammlung keine Kenntnis davon gehabt, dass die Verwaltungsgesellschaft seine Mandatierung nicht mit der Stockwerkeigentümergemeinschaft abgesprochen hatte. Er habe sich nach Treu und Glauben darauf verlassen dürfen, dass die Stockwerkeigentümergemeinschaft mit seiner Mandatierung einverstanden war, zumal die Verwaltungsgesellschaft als Verwalterin nach <ref-law> gar nicht zur eigenmächtigen Mandatierung befugt gewesen sei. Schliesslich sei es auch offensichtlich unrichtig, wenn die Vorinstanz das Datum der Mandatierung mit "Mai/Juni 2018" umschreibe.
3.3. Die Vorbringen des Beschwerdeführers überzeugen nicht.
3.3.1. Zunächst ist zweifelhaft, ob das Vorbringen des Beschwerdeführers überhaupt eine für den Verfahrensausgang relevante Tatsache betrifft (<ref-law>) und ihm nur dann eine Berufspflichtverletzung vorgeworfen werden kann, wenn die Ansprüche gegen die Verwaltungsgesellschaft von den Eigentümern "gemeinsam und als Gemeinschaft" erhoben wurden. Ebenso gut ist denkbar, dass der Beschwerdeführer aufgrund seiner Berufspflichten vor der Mandatsannahme zumindest zu weiteren Abklärungen verpflichtet gewesen wäre und nicht einfach auf das Wohlverhalten der Verwaltungsgesellschaft hätte vertrauen dürfen, wenn ihm bloss bekannt gewesen wäre, dass einzelne Stockwerkeigentümer Ansprüche gegenüber der Verwaltungsgesellschaft gestellt hatten. Die Frage kann hier aber offen bleiben, da die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz jedenfalls nicht offensichtlich unrichtig und keineswegs aktenwidrig, sondern durch die Akten gedeckt ist. In seiner E-Mail an den Verzeiger vom 1. November 2018, auf welche die Vorinstanz Bezug nahm, hatte der Beschwerdeführer nämlich erklärt, dass ihm bei der Mandatierung sämtliche relevanten Unterlagen, unter anderem auch das Schreiben der Gemeinschaft vom 26. April 2018 an die Verwaltungsgesellschaft, ausgehändigt worden seien und er bei der Mandatierung sogar ausdrücklich angewiesen worden sei, die Vorwürfe der Gemeinschaft gegenüber der Verwaltungsgesellschaft nicht zu prüfen. Vor diesem Hintergrund ist es jedenfalls nicht willkürlich, dass die Vorinstanz die vom Beschwerdeführer beantragte Einvernahme des Geschäftsführers der Verwaltungsgesellschaft in antizipierter Beweiswürdigung ablehnte (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 6.5 mit Hinweisen). Eine Verletzung des Rechts auf Beweis ist nicht auszumachen.
3.3.2. Entgegen den Ausführungen des Beschwerdeführers ist nicht ersichtlich, dass die Vorinstanz angenommen hätte, der Beschwerdeführer hätte schon vor der ausserordentlichen Stockwerkeigentümerversammlung gewusst, dass die Verwaltungsgesellschaft die Stockwerkeigentümer nicht ordnungsgemäss über den Beizug eines Rechtsanwalts und seine Teilnahme an der Versammlung informiert hatte. Im Gegenteil hielt die Vorinstanz ausdrücklich fest, dass die mangelhafte Information durch die Verwaltungsgesellschaft nicht dem Beschwerdeführer zugeschrieben werden könne (vgl. angefochtenes Urteil E. 7.2). Die Vorinstanz warf dem Beschwerdeführer vielmehr vor, dass er weder sein Mandat niedergelegt, noch auf einer Instruktion durch die Stockwerkeigentümergemeinschaft anlässlich der nächsten Stockwerkeigentümerversammlung bestanden habe, als er von der mangelhaften Instruktion erfuhr. Ob der Beschwerdeführer anlässlich der Mandatierung nach Treu und Glauben von der ordnungsgemässen Information der Eigentümer ausgehen durfte und nicht zu weiteren Erkundigungen verpflichtet war, ist eine Rechtsfrage und keine Frage des Sachverhalts. Auch in diesem Punkt ist die Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz folglich nicht zu beanstanden. Auf die beantragte Zeugeneinvernahme kann schon aus diesem Grund verzichtet werden, ohne dass die Frage nach der Anwendbarkeit von <ref-law> zu beantworten wäre.
3.3.3. Dem Beschwerdeführer ist zuzugestehen, dass es etwas ungenau ist, wenn die Vorinstanz "Mai/Juni 2018" als Datum der Mandatierung nennt. Indessen ist weder ersichtlich, dass die Vorinstanz aus dieser Formulierung für den Beschwerdeführer nachteilige Schlüsse gezogen hätte, noch besteht überhaupt Grund zur Annahme, dass die Vorinstanz insoweit von einem anderen Sachverhalt ausging als der Beschwerdeführer (Anfrage im Mai 2018, definitive Mandatierung im Juni 2018). Auch diese Sachverhaltsrüge ist folglich unbegründet.
4.
In materieller Hinsicht bestreitet der Beschwerdeführer, dass ihm eine Verletzung der Berufsregeln, namentlich der beruflichen Sorgfaltspflicht nach <ref-law> vorgeworfen werden könne.
Während die Unterinstanz den Beschwerdeführer diszipliniert hatte, weil er einen Interessenkonflikt nicht vermieden hatte (<ref-law>), subsumierte die Vorinstanz das Verhalten des Beschwerdeführers unter die allgemeine Sorgfaltspflicht gemäss <ref-law>.
4.1. Auf der Basis der verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (vgl. oben E. 3) ist vorab festzuhalten, dass sich die Verwaltungsgesellschaft in einem Interessekonflikt befand, als sie den Beschwerdeführer namens der Stockwerkeigentümergemeinschaft instruierte: Einerseits hatte sie aufgrund ihrer Funktion die Interessen der Stockwerkeigentümer zu wahren (vgl. RENÉ BÖSCH, in: Basler Kommentar, ZGB II, 6. Aufl. 2019, N. 14 zu <ref-law>; MEIER-HAYOZ/REY, in: Berner Kommentar, Das Stockwerkeigentum, 1988, N. 37 zu <ref-law>; AMÉDÉO WERMELINGER, in: Zürcher Kommentar, Das Stockwerkeigentum, 2. Aufl. 2019, N. 138; vgl. auch MIHAELA AMOOS PIGUET, in: Commentaire Romand, Code civil II, 2016, N. 7 zu <ref-law>). Andererseits musste die Verwaltungsgesellschaft aufgrund des Schreibens der Stockwerkeigentümer vom 26. April 2018 befürchten, von den Stockwerkeigentümern selbst in Anspruch genommen zu werden, falls sich herausstellen sollte, dass die Hangsicherung zwar mangelhaft gewesen war, Ansprüche gegen die Werkunternehmerin jedoch infolge des Verhaltens der Verwaltungsgesellschaft untergegangen waren. Die Verwaltungsgesellschaft hatte deshalb ein Interesse daran, dass der Beschwerdeführer den Stockwerkeigentümern entweder von der Rechtsverfolgung gänzlich abraten würde, weil kein Mangel vorhanden sei, oder zur Verfolgung der Werkunternehmerin raten würde, weil die Mängelrüge der Verwaltungsgesellschaft rechtzeitig erfolgt sei und die Gewährleistungsansprüche nicht verjährt seien. Aufgrund dieses Interessenkonflikts bestand die Gefahr, dass die Verwaltungsgesellschaft den Beschwerdeführer nicht im besten Interesse der Stockwerkeigentümer, sondern in einer Art und Weise instruieren würde, welche ihre eigene Verantwortlichkeit gegenüber den Stockwerkeigentümern minimierte.
4.2. Nach <ref-law> müssen Anwälte Interessenkollisionen vermeiden. Die entsprechende Treuepflicht gegenüber dem Klienten ist umfassender Natur und erstreckt sich auf alle Aspekte des Mandatsverhältnisses. Es handelt sich um eine Grundregel des Anwaltsberufs ("une règle cardinale de la profession d'acovat"; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.4). Sie steht im Zusammenhang mit der Generalklausel von <ref-law>, gemäss welcher die Rechtsanwälte "ihren Beruf sorgfältig und gewissenhaft auszuüben" haben, wie auch mit <ref-law>, der sie zur Unabhängigkeit verpflichtet (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 3). Die genannten Berufsregeln dienen vor allem dazu, die Interessen des Klienten zu schützen; ferner fördern sie den geordneten Verfahrensgang (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.1; Urteil 2C_293/2021 vom 27. Juli 2021 E. 4.1). Der Anwalt hat jede Situation zu vermeiden, die Interessenkonflikte nach sich ziehen könnte (<ref-ruling> E. 2.1; Urteil 1B_293/2016 vom 30. September 2016 E. 2.1). Nach der Rechtsprechung reicht die blosse abstrakte Möglichkeit des Auftretens gegensätzlicher Interessenlagen allerdings nicht aus, um auf eine unzulässige Vertretung zu schliessen; verlangt wird vielmehr ein sich aus den gesamten Umständen ergebendes konkretes Risiko eines Interessenkonflikts (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 9.1; <ref-ruling> E. 4.2.1; Urteile 2C_837/2019 vom 29. Januar 2020 E. 5.3; 2C_814/2014 vom 22. Januar 2015 E. 4.1.1). Umgekehrt ist aber nicht erforderlich, dass sich das konkrete Risiko realisiert hat und der Anwalt sein Mandat schlecht oder zum Nachteil des Klienten ausgeführt hat (BGE <ref-ruling> E. 9.1; Urteile 2C_293/2021 vom 27. Juli 2021 E. 4.1; 2C_837/2019 vom 29. Januar 2020 E. 5.3; 2C_889/2008 vom 21. Juli 2009 E. 3.1.3). Obschon im Gesetzestext nicht ausdrücklich erwähnt, erfasst die Berufsregel von <ref-law> nicht nur Konflikte von Interessen zwischen Klienten und/oder Personen, mit denen der Anwalt geschäftlich oder privat in Beziehung steht, sondern auch Konflikte zwischen eigenen Interessen des Rechtsanwalts und solchen seiner Klientschaft (Urteile 2C_837/2019 vom 29. Januar 2020 E. 5.1; 2C_933/2018 vom 25. März 2019 E. 5.2.1, je mit Hinweisen).
4.3. Nach <ref-law> haben Anwälte ihren Beruf sorgfältig und gewissenhaft auszuüben. Diese Verpflichtung hat für die gesamte Berufstätigkeit Geltung und erfasst neben der Beziehung zum eigenen Klienten sowohl die Kontakte mit der Gegenpartei als auch jene mit den Behörden (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 3.2; Urteile 2C_233/2021 vom 8. Juli 2021 E. 3; 2C_507/2019 vom 14. November 2019 E. 5.1.1, mit Hinweisen). Die berufsrechtliche Sorgfaltspflicht nach <ref-law> ist der auftragsrechtlichen Sorgfaltspflicht gemäss <ref-law> nachgebildet, betrifft aber im Unterschied zu dieser nicht nur das Verhältnis zum Klienten (<ref-ruling> E. 5.3.1; Urteil 2C_233/2021 vom 8. Juli 2021 E. 3.2). Eine Verletzung von <ref-law> liegt praxisgemäss nur vor, wenn eine qualifizierte Norm- bzw. Sorgfaltswidrigkeit gegeben ist; erforderlich ist somit ein bedeutsamer Verstoss gegen die Berufspflichten (<ref-ruling> E. 4.1; Urteile 2C_500/2020 vom 17. März 2021 E. 4.3; 2C_131/2019 vom 27. August 2019 E. 4.3.3; 2C_933/2018 vom 25. März 2019 E. 5.1 mit Hinweisen auf die Literatur).
4.4. <ref-law> dient als Auffangtatbestand (Urteile 2C_233/2021 vom 8. Juli 2021 E. 3.3; 2C_1000/2020 vom 2. Juni 2021 E. 4.3.4; 2C_507/2019 vom 14. November 2019 E. 5.1.2; 2C_933/2018 vom 25. März 2019 E. 5.1; WALTER FELLMANN, Anwaltsrecht, 2. Aufl. 2017, § 2 N. 214) bzw. als Generalklausel (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 3.2; Botschaft vom 28. April 1999 zum Bundesgesetz über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte, BBl 1999 6013, S. 6054 Ziff. 233.21). Wird ein Verhalten von einer konkreten Berufsregel (vgl. Art. 12 lit. b - j und <ref-law>) erfasst, braucht regelmässig nicht mehr geprüft zu werden, ob dem Anwalt aufgrund desselben Verhaltens auch eine Verletzung der allgemeinen Sorgfaltspflicht vorzuwerfen ist. Obschon die konkreten Berufsregeln also grundsätzlich vorrangig zu prüfen sind, bedeutet dies nicht, dass der Anwendungsbereich der Generalklausel durch die konkreten Berufsregeln begrenzt und die Anwendung der Generalklausel automatisch bundesrechtswidrig wäre, sobald dasselbe Verhalten auch gegen eine konkrete Berufsregel verstösst.
4.5. Die Vorinstanz bestätigte den Schluss der Unterinstanz, dass der Beschwerdeführer die Stockwerkeigentümergemeinschaft aufgrund der Instruktion durch die Verwaltungsgesellschaft nicht konfliktfrei habe beraten können. Im Unterschied zur Unterinstanz verneinte sie jedoch eine Verletzung von <ref-law> und bejahte stattdessen eine Verletzung der Generalklausel von <ref-law> (vgl. angefochtenes Urteil E. 7.4). Der Beschwerdeführer ist der Ansicht, dass ihm kein Fehlverhalten vorzuwerfen sei, das eine Sanktionierung unter dem Titel der Generalklausel von <ref-law> rechtfertige.
4.5.1. Wie bereits erwähnt (vgl. oben E. 4.1), befand sich die Verwaltungsgesellschaft in einem Interessenkonflikt. Dieser Interessenkonflikt und das Schreiben der Stockwerkeigentümer vom 26. April 2018 (vgl. E. 3.1.1) waren auch dem Beschwerdeführer bekannt und führten dazu, dass das Mandat des Beschwerdeführers auf die Gewährleistungsansprüche gegen die Werkunternehmerin begrenzt wurde (vgl. angefochtenes Urteil E. 7.2).
4.5.2. Unabhängig davon, ob sich der Beschwerdeführer aufgrund seiner Kontakte zur Verwaltungsgesellschaft in der Beratung der Stockwerkeigentümer noch hinreichend frei fühlen konnte, musste er jedenfalls die akute Gefahr erkennen, dass ihn die Verwaltungsgesellschaft nicht im besten Interesse der Stockwerkeigentümer instruieren würde. Insbesondere musste er erkennen, dass es objektiv nicht im besten Interesse der Stockwerkeigentümergemeinschaft war, Ansprüche gegen die Verwaltungsgesellschaft aus dem Beratungsmandat des Beschwerdeführers auszuschliessen. Wie die Vorinstanz zutreffend erwogen hat (vgl. angefochtenes Urteil E. 7.2), hätte der Beschwerdeführer angesichts des Konflikts zwischen den Interessen der Stockwerkeigentümergemeinschaft und jenen der Verwaltungsgesellschaft geeignete Massnahmen treffen müssen. Namentlich hätte er das Mandat umgehend niederlegen oder auf einer neuen Instruktion durch die Stockwerkeigentümergemeinschaft bestehen können, wobei er bei Weiterführung des Mandates insbesondere hätte verifizieren müssen, ob die Beschränkung des Beratungsmandats auf Ansprüche gegen die Werkunternehmerin im Sinne der Stockwerkeigentümer war.
4.5.3. Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe erst an der Stockwerkeigentümerversammlung realisiert, dass die Verwaltungsgesellschaft seinen Beizug nicht mit den Stockwerkeigentümern abgesprochen hatte. Selbst wenn dem so wäre, hätte sich der Beschwerdeführer erkundigen müssen, ob die Stockwerkeigentümer mit der Instruktion durch die Verwaltungsgesellschaft einverstanden waren. Er durfte sich jedenfalls nicht gutgläubig darauf verlassen, dass die Verwaltungsgesellschaft ihn nicht ohne Rücksprache mit den Stockwerkeigentümern mandatieren würde. Ohnehin unternahm der Beschwerdeführer aber selbst dann noch nicht die gebotenen Schritte, als ihm nach seinen eigenen Angaben an der Stockwerkeigentümerversammlung bewusst geworden war, dass ihn die Verwaltungsgesellschaft ohne Rücksprache mit den Stockwerkeigentümern mandatiert hatte.
Keine Hilfe ist dem Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang der von ihm angerufene <ref-law>. Wenn es zuträfe, dass die gesetzliche Vertretungsbefugnis der Verwaltungsgesellschaft aus <ref-law> die Mandatierung des Beschwerdeführers nicht abdeckte, hätte es sich für den Beschwerdeführer umso mehr aufgedrängt, sich bei den Stockwerkeigentümern zu erkundigen.
4.6. Nach dem Gesagten ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz dem Beschwerdeführer eine qualifizierte Sorgfaltspflichtverletzung im Sinne von <ref-law> vorgeworfen hat. Ihr Urteil erweist sich in diesem Punkt als bundesrechtskonform. Ob das Verhalten des Beschwerdeführers bereits unter das Verbot von Interessenkonflikten gemäss <ref-law> oder eine andere konkrete Berufsregel hätte subsumiert werden und die Anwendung der Generalklausel hätte unterbleiben können, braucht folglich durch das Bundesgericht nicht geklärt zu werden (vgl. zu einer ähnlichen Konstellation auch Urteil 2C_933/2018 vom 25. März 2019 E. 5.5; vgl. kritisch hierzu JEAN-LOUIS COLLART, Conflit d'intérêts ou diligence de l'avocat: du pareil au même!, Anwaltsrevue 2020 S. 25 ff., S. 29).
5.
5.1. Der Beschwerdeführer hat <ref-law> verletzt. Die Vorinstanz hat aufgrund dieser Verletzung den Verweis bestätigt, den die Unterinstanz gemäss <ref-law> ausgesprochen hatte.
5.2. Der Beschwerdeführer beanstandet die Art der ausgesprochenen Sanktion nicht. Die Bestimmung der zu ergreifenden Disziplinarmassnahme ist vorab Sache der zuständigen Aufsichtsbehörde. Anders als bei der Frage, ob ein Verstoss gegen die Berufsregeln vorliegt, welche das Bundesgericht mit freier Kognition prüft, auferlegt sich dieses Zurückhaltung, soweit es um die auszufällende Massnahme geht. Insoweit greift das Bundesgericht nur ein, wenn die angefochtene Disziplinarsanktion den Rahmen des pflichtgemässen Ermessens sprengt und damit als klar unverhältnismässig und geradezu willkürlich erscheint (Urteile 2C_933/2018 vom 25. März 2019 E. 6; 2C_783/2008 vom 4. Mai 2009 E. 3.1; 2C_344/2007 vom 22. Mai 2008 E. 5; vgl. auch Urteil 2C_293/2021 vom 27. Juli 2021 E. 5). Angesichts des Verhaltens des Beschwerdeführers ist es jedenfalls nicht willkürlich, dass die kantonalen Instanzen den Beschwerdeführer nicht bloss verwarnt (<ref-law>), sondern einen Verweis ausgesprochen haben.
6.
Die Beschwerde ist unbegründet und abzuweisen. Die Unterinstanz hatte den konkreten Rechtsgrund für den Verweis (Verletzung von <ref-law>) in das Dispositiv ihres Beschlusses aufgenommen, ohne dass dies erforderlich gewesen wäre. Denn der Rechtsgrund für die Disziplinarmassnahme ist Teil der Begründung des Entscheids (vgl. zur analogen Situation bei den Beschwerdeanträgen Urteil 1C_78/2012 vom 10. Oktober 2012 E. 2.3; BERNARD CORBOZ, in: Commentaire de la LTF, 2. Aufl. 2014, N. 8 zu <ref-law>). Die Vorinstanz passte das Dispositiv des Beschlusses der Unterinstanz an ihre eigene Begründung (Verletzung von <ref-law>) an. Es ist jedoch kein Grund dafür ersichtlich, die verletzte Berufsregel im Dispositiv aufzuführen, selbst wenn die Vorinstanz ihr Urteil anders begründet als die Unterinstanz. Das angefochtene Urteil ist deshalb von Amtes wegen zu präzisieren (vgl. zu Präzisierungen angefochtener Urteile, die das Bundesgericht ungeachtet des Grundsatzes "ne ultra aut extra petita" [<ref-law>] vornehmen kann, <ref-ruling> E. 6; <ref-ruling> E. 4; YVES DONZALLAZ, Loi sur le Tribunal fédéral, Commentaire, 2008, N. 4288 zu <ref-law>). Der Beschwerdeführer trägt die Gerichtskosten (<ref-law>). Es ist keine Parteientschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen. Dispositivziffer 1 des Urteils des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 9. Juli 2021 wird wie folgt präzisiert: "Die Beschwerde wird abgewiesen."
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, und dem Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Dezember 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Seiler