Sachverhalt:
A.
A._ (Arbeitnehmer, Beschwerdeführer) wurde per 1. April 2010 als Leiter Finanzen, Administration und IT der B.A._ AG (Arbeitgeberin, Beschwerdegegnerin) angestellt. Am 20. Januar 2014 kündigte die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis auf den 30. April 2014. Am 26. Februar 2014 sprach die Arbeitgeberin eine zweite Kündigung per 31. Mai 2014 aus, für den Fall, dass die erste nichtig sein sollte.
B.
B.a. Am 1. April 2015 reichte der Arbeitnehmer beim Arbeitsgericht des Kantons Luzern Klage gegen die Arbeitgeberin ein und machte gestützt auf das Bundesgesetz vom 24. März 1995 über die Gleichstellung von Frau und Mann (Gleichstellungsgesetz, GlG; SR 151.1) zahlreiche Forderungen geltend. Mit Ergänzungsklage vom 4. Mai 2015 erhöhte der Arbeitnehmer die eingeklagte Lohnforderung und erweiterte seine Anträge. Mit Urteil vom 15. November 2019 wies das Arbeitsgericht die Klage (Ziff. 1) sowie das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (Ziff. 2) ab, soweit es darauf eintrat und verurteilte den Arbeitnehmer zur Zahlung einer Parteientschädigung von Fr. 90'000.-- (Ziff. 3.2). Gerichtskosten wurden keine erhoben (Ziff. 3.1).
B.b. Mit Eingabe vom 24. Januar 2020 erhob der Arbeitnehmer Berufung beim Kantonsgericht des Kantons Luzern mit folgenden Anträgen:
"1. Ziffer 1des Urteils des Arbeitsgerichts Luzern vom 15. November 2019(1B5 15 20) sei vollumfänglich aufzuheben und durch folgende Bestimmung zu ersetzen:
'Die Beklagte wird verpflichtet, dem Kläger CHF 956'800.00 zu bezahlen, zuzüglich Zins zu 5 % seit 30. April 2012 auf dem Betrag von CHF 421'750.-- und zuzüglich Zins zu 5 % seit 15. Mai 2015 auf dem Betrag von CHF 535'049.00.
Die Beklagte wird verpflichtet, dem Kläger ein diskriminierungsfreies Verwaltungsratshonorar von CHF 54'000.-- zu bezahlen, zuzüglich Zins zu 5 % seit Juni 2014.'
2. Ziffer 3 [recte: 3.1] des Urteils des Arbeitsgerichts Luzern vom 15. November 2019 (1B5 15 20) sei vollumfänglich aufzuheben und durch folgende Bestimmung zu ersetzen:
'Die Beklagte hat die Prozesskosten zu tragen.'
3. Ziffer 3.2 des Urteils des Arbeitsgerichts Luzern vom 15. November 2019 (1B5 15 20) sei vollumfänglich aufzuheben und durch folgende Bestimmung zu ersetzen:
'Die Beklagte hat dem Kläger eine Parteientschädigung von CHF 36'000.00 (inkl. Auslagen) zu bezahlen.'
Eventualiter sei Ziffer 3.2 des Urteils des Arbeitsgerichts Luzern vom 15. November 2019 (1B5 15 20) vollständig aufzuheben und durch folgende Bestimmung zu ersetzen:
'Der Kläger hat der Beklagten eine Umtriebsentschädigung von CHF 10'000.00 (inkl. Auslagen) zu bezahlen.'
Subeventualiter sei Ziffer 3.2 des Urteils des Arbeitsgerichts Luzern vom 15. November 2019 (1B5 15 20) vollumfänglich aufzuheben und durch folgende Bestimmung zu ersetzen:
'Der Kläger hat der Beklagten eine Parteientschädigung von CHF 36'000.00 (inkl. Auslagen) zu bezahlen.'
4. Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zuzüglich gesetzlich geschuldeter Mehrwertsteuer im Berufungsverfahren zulasten der Beklagten."
Mit Urteil vom 24. November 2020 wies das Kantonsgericht die Klage ab, soweit es auf diese eintrat und verpflichtete den Arbeitnehmer zur Bezahlung einer Entschädigung für das erst- und das zweitinstanzliche Verfahren in Höhe von gesamthaft Fr. 102'100.-- an die Arbeitgeberin. Da es sich um eine Streitigkeit nach dem Gleichstellungsgesetz handelte, wurden keine Gerichtskosten erhoben.
Die Vorinstanz erwog im Wesentlichen, dem Arbeitnehmer gelinge es nicht, eine Lohndiskriminierung glaubhaft zu machen. Die von ihm angeführte C._ sei keine taugliche Referenzperson, da sie einerseits nicht bei derselben Lohnschuldnerin wie er angestellt gewesen sei, andererseits nicht die gleichen Aufgaben erledigt habe. Überdies gelinge es ihm nicht, eine unternehmensübergreifende Verflechtung glaubhaft zu machen, die es erlauben würde - trotz anderer Arbeitgeberin -, einen Vergleich mit dem Lohn von C._ anzustellen. Auch betreffend das geltend gemachte Verwaltungsratshonorar habe der Arbeitnehmer keine geschlechtsspezifische Diskriminierung glaubhaft darlegen können. Weiter seien die Kündigungen vom 20. Januar 2014 und vom 26. Februar 2014 gültig; es liege weder eine Kündigung zur Unzeit noch eine Rachekündigung vor. Schliesslich sei die erstinstanzliche Kostenverlegung und -festsetzung nicht zu beanstanden.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 18. Januar 2021 beantragt der Beschwerdeführer, das Urteil des Kantonsgerichts kostenfällig aufzuheben und die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, ihm Fr. 956'800.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 30. April 2012 auf Fr. 421'750.-- und seit 15. Mai 2015 auf Fr. 535'049.-- zu bezahlen. Eventualiter sei die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten, eventualiter, sie abzuweisen. Die Parteien replizierten bzw. duplizierten unaufgefordert. Die Vorinstanz trägt auf Abweisung der Beschwerde an.
Der Beschwerdeführer reichte am 22. April 2021 - nunmehr ohne anwaltliche Vertretung - eine weitere Rechtsschrift ein, in der er zusätzlich ersuchte, die Vorinstanz anzuweisen, "die Forderungsklage vom 1. April 2015 umgehend an die Hand zu nehmen und so rasch als möglich zu einem korrekten Entscheid durch die Erstinstanz zu führen". Überdies sei der Erstinstanz eine Frist zu setzen, bis wann die unterlassenen Beweismassnahmen nachzuholen seien und sie (sic!) zu verpflichten, dem Beschwerdeführer sämtliche nach dem 17. Februar 2017 angefallenen Anwalts- und Gerichtskosten zu vergüten sowie wegen fehlendem Schlusszeugnis Schadenersatz zu leisten. Eventualiter seien beim Erstgericht Ersatzrichter für diesen Prozess einzusetzen.
Mit Verfügung vom 18. März 2021 wies das präsidierende Mitglied den Antrag auf Erteilung der aufschiebenden Wirkung ab.
Am 12. Juli 2021 (Eingang: 14. Juli 2021) stellte der Beschwerdeführer einen Antrag auf Wiedererwägung dieser Verfügung und präzisierte seine Eingabe vom 22. April 2021.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerdeschrift hat unter anderem die Rechtsbegehren und deren Begründung zu enthalten (<ref-law>). Da die Beschwerde in Zivilsachen ein reformatorisches Rechtsmittel ist (<ref-law>), darf sich die beschwerdeführende Partei grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu beantragen, sondern muss einen Antrag in der Sache stellen. Ein blosser Rückweisungsantrag reicht ausnahmsweise aus, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung in der Sache nicht selbst entscheiden könnte, weil die erforderlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz fehlen (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 3.1; je mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer beantragt in der Hauptsache, es sei das vorinstanzliche Urteil vollumfänglich aufzuheben und ihm ein bestimmter Geldbetrag zuzusprechen. Eine Begründung dieses Rechtsbegehrens findet sich in der Beschwerdeschrift jedoch nicht, weshalb darauf nicht einzutreten ist. Mithin verbleibt bloss das Eventualbegehren auf Rückweisung an die Vorinstanz. Da der Beschwerdeführer dieses mit formellen Rügen begründet und das Bundesgericht bei deren Gutheissung keinen Entscheid in der Sache fällen könnte, ist auf das Eventualbegehren - unter Vorbehalt genügender Begründung (<ref-law>) - einzutreten.
1.2. Die Beschwerde ist innert der Beschwerdefrist vollständig begründet einzureichen (vgl. <ref-law>). Vor Bundesgericht findet in der Regel nur ein Schriftenwechsel statt (<ref-law>). Kommt es zu einem zweiten Schriftenwechsel, darf die beschwerdeführende Partei die Replik nicht dazu verwenden, ihre Beschwerde zu ergänzen oder zu verbessern (<ref-ruling> E. 1.7; <ref-ruling> E. 3.3.4). Mit Rügen, welche die beschwerdeführende Partei bereits in der Beschwerde hätte erheben können, ist sie nach Ablauf der Beschwerdefrist ausgeschlossen (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.7; <ref-ruling> E. 3.3.4 mit Hinweisen). Die Replik und weitere Eingaben sind mithin nur zu Darlegungen zu verwenden, zu denen die Ausführungen in der Vernehmlassung eines anderen Verfahrensbeteiligten Anlass geben.
Soweit der Beschwerdeführer in seiner Replik und seinen weiteren Eingaben, welche allesamt nach Ablauf der Beschwerdefrist von <ref-law> eingereicht wurden, darüber hinausgeht, insbesondere indem er in jener vom 22. April 2021 (Sachverhalt lit. C hiervor) zusätzliche Rechtsbegehren stellt, ist er nicht zu hören.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2, 86 E. 2).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2; 264 E. 2.3). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1).
2.3. Zu beachten ist, dass das Bundesgericht in die Beweiswürdigung des Sachgerichts nur eingreift, wenn diese willkürlich ist. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern bloss, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 4.2.1). Dies ist dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 4.2). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (BGE <ref-ruling> E. 2.2). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 2b).
3.
Umstritten ist, ob der Beschwerdeführer aufgrund seines Geschlechts bei der Entlöhnung diskriminiert worden ist.
3.1. Gemäss <ref-law> haben Frau und Mann Anspruch auf gleichen Lohn für gleichwertige Arbeit. Nach <ref-law> dürfen Arbeitnehmerinnen und Arbeitnehmer aufgrund ihres Geschlechts weder direkt noch indirekt benachteiligt werden. Dieses Verbot gilt insbesondere für die Anstellung, Aufgabenzuteilung, Gestaltung der Arbeitsbedingungen, Entlöhnung, Aus- und Weiterbildung, Beförderung und Entlassung (<ref-law>). Eine direkte Diskriminierung liegt vor, wenn sich eine Ungleichbehandlung ausdrücklich auf die Geschlechtszugehörigkeit oder auf ein Kriterium stützt, das nur von einem der beiden Geschlechter erfüllt werden kann, und wenn sie sich nicht sachlich rechtfertigen lässt (<ref-ruling> E. 4.3.5; <ref-ruling> E. 7; <ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 2a). Von einer indirekten Diskriminierung ist hingegen auszugehen, wenn eine formal geschlechtsneutrale Regelung im Ergebnis wesentlich mehr bzw. überwiegend Angehörige des einen Geschlechts gegenüber denjenigen des anderen benachteiligt, ohne dass dies sachlich begründet wäre (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 6.1.2; <ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 7). Wer von einer Diskriminierung im Sinne von <ref-law> betroffen ist, kann dem Gericht unter anderem beantragen, die Zahlung des geschuldeten Lohns anzuordnen (<ref-law>). Lohnvergleiche sind grundsätzlich nur zwischen Beschäftigten bei demselben Arbeitgeber zulässig. Vergleiche der von zwei verschiedenen Arbeitgebern ausbezahlten Löhne können höchstens bei Verflechtungen zulässig sein, das heisst wenn der eine Arbeitgeber auf das Lohnsystem des anderen Arbeitgebers Einfluss nehmen kann (Urteil 1C_405/2007 vom 22. Oktober 2008 E. 4.3 mit Hinweisen). Nicht diskriminierend sind nach der Rechtsprechung in der Regel Lohnunterschiede, die auf objektiven Gründen beruhen. Dazu gehören etwa Gründe, die den Wert der Arbeit selbst beeinflussen können, wie Ausbildung, Dienstalter, Qualifikation, Erfahrung, konkreter Aufgabenbereich, Leistung oder Risiken (BGE <ref-ruling> E. 6.1.2; <ref-ruling> E. 11.3; <ref-ruling> E. 5.2; <ref-ruling> E. 5; <ref-ruling> E. 9c, 436 E. 7a; je mit Hinweisen).
Gemäss <ref-law> wird bezüglich der Entlöhnung eine Diskriminierung vermutet, wenn diese von der betroffenen Person glaubhaft gemacht wird. Gegebenenfalls trifft den Arbeitgeber der Beweis, dass die unterschiedliche Entlöhnung sachlich gerechtfertigt ist. Bei dieser Vorschrift handelt es sich - gemäss Artikelüberschrift - um eine Beweislasterleichterung, die als Spezialbestimmung der Beweisregel von <ref-law> vorgeht (<ref-ruling> E. 4.2.1). Wurde eine Lohndiskriminierung im Sinne des <ref-law> glaubhaft gemacht, ist der Arbeitgeber zum Nachweis verpflichtet, dass die geringere Entlöhnung in Wirklichkeit nicht geschlechtsdiskriminierend, sondern durch sachliche Gründe gerechtfertigt ist; misslingt ihm dies, gilt die geschlechtsspezifische Benachteiligung als erstellt (<ref-ruling> E. 6.3; <ref-ruling> E. 11.3).
3.2. Der Beschwerdeführer machte vor der Erstinstanz eine direkte Lohndiskriminierung geltend. Er brachte vor, C._ habe dieselbe Funktion wie er ausgeübt, dafür jedoch ein deutlich höheres Salär erhalten. Die Erstinstanz betrachtete C._ nicht als taugliche Referenzperson, um eine Lohndiskriminierung glaubhaft zu machen, da sie nicht bei derselben Arbeitgeberin angestellt gewesen sei. Die Vorinstanz schützte diese Beurteilung und hielt fest, entgegen seinen Vorbringen sei der Beschwerdeführer nicht der Nachfolger von C._ als Chief Financial Officer (nachfolgend: CFO) der B._-Gruppe gewesen. Eine nach seiner Anstellung "kurz darauffolgende" Beförderung zum Gruppen-CFO sei aus den vorgelegten Unterlagen nicht ersichtlich. Er habe mithin nicht glaubhaft gemacht, dass C._ die gleiche Position wie er innegehabt habe. Und selbst wenn der Beschwerdeführer und C._ die gleichen Aufgaben erledigt hätten, würde dies keinen Diskriminierungsanspruch begründen, da C._ bei einer anderen Lohnschuldnerin, nämlich der B.B._ Inc., und nicht der Beschwerdegegnerin angestellt gewesen sei.
3.3. Der Beschwerdeführer rügt eine willkürliche antizipierte Beweiswürdigung durch die unterlassene Einvernahme von C._.
3.3.1. Es sei unbestritten, dass er den Antrag auf Befragung von C._ form- und fristgerecht gestellt habe. Dass deren Befragung nicht tauglich sei, um die von ihm behaupteten Tatsachen zu beweisen, sei abwegig. C._ sei vormalige CFO der damaligen Konzernobergesellschaft B.B._ Inc. Er, so der Beschwerdeführer, habe die gleichen Aufgaben wie sie wahrgenommen.
3.3.2. Der Beschwerdeführer behauptet pauschal, vor der Erstinstanz den Antrag auf Befragung von C._ gestellt zu haben, führt jedoch weder an, zu welchem Beweisthema dieser Antrag gestellt wurde noch zeigt er durch präzise Aktenhinweise auf, wo sich dieser Antrag in den Akten finden lässt. Damit begründet er seine Rüge nicht hinreichend (vgl. E. 2.1 hiervor), weshalb auf diese nicht einzutreten ist.
3.4. Da der Beschwerdeführer keine weiteren Rügen betreffend die Ablehnung der Vorinstanz vorbringt, C._ als taugliche Referenzperson anzuerkennen, kann offenbleiben, ob unternehmensübergreifende Verflechtungen bestanden, die einen Lohnvergleich zwischen C._ trotz Anstellung bei verschiedenen Arbeitgebern ermöglichen würden. Folglich ist auf die weitere Rüge nicht einzugehen, wonach der Verzicht der Vorinstanz willkürlich sei, D._ nicht zum Beweisthema der Einflussnahme auf das Lohnsystem der B._-Gruppe zu befragen.
4.
Neben dem Antrag auf Anordnung der Zahlung des geschuldeten Lohns gestützt auf <ref-law> wegen Lohdiskriminierung (E. 3 hiervor), ersuchte der Beschwerdeführer die Erstinstanz unter anderem, die Kündigung als missbräuchlich im Sinne von <ref-law> zu erklären. Sowohl die Erst- als auch die Vorinstanz erachteten die Kündigung nicht als missbräuchlich.
4.1. Nach <ref-law> ist die Kündigung des Arbeitsverhältnisses durch den Arbeitgeber anfechtbar, wenn sie ohne begründeten Anlass auf eine innerbetriebliche Beschwerde über eine Diskriminierung oder auf die Anrufung der Schlichtungsstelle oder des Gerichts durch die Arbeitnehmerin oder den Arbeitnehmer folgt. Dafür ist gemäss <ref-law> jedoch vorausgesetzt, dass die Kündigung vor Ende der Kündigungsfrist beim Gericht angefochten wurde.
4.2. Der Beschwerdeführer rügt pauschal, die Vorinstanz habe die Beweise willkürlich antizipiert gewürdigt, da sie D._ nicht als Zeuge einvernommen habe. Soweit sich diese Rüge auf das Beweisthema der innerbetrieblichen Diskriminierungsbeschwerde bezieht (im Übrigen kann - wie in E. 3.4 erwähnt - offenbleiben, ob die unterlassene Einvernahme von D._ zu einer willkürlichen Beweiswürdigung führte), ist ihm nicht zu folgen. Dazu müsste er nämlich darlegen, inwiefern der geänderte Sachverhalt für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein könnte (vgl. <ref-law> und E. 2.3 hiervor). Wie die Beschwerdegegnerin zutreffend vorbringt, äussert sich der Beschwerdeführer hierzu mit keinem Wort, weshalb er den Rügeanforderungen nicht genügt. Die Relevanz der Einvernahme von D._ ist nämlich nicht ohne Weiteres einsichtig, hielt doch die Vorinstanz mit der Erstinstanz fest, das Arbeitsverhältnis habe am 31. Mai 2014 geendet, weshalb die Klagefrist nach <ref-law> verwirkt sei. Gegen dieses Ergebnis wendet sich der Beschwerdeführer nicht. Aufgrund der Verwirkung der Klagefrist kann offenbleiben, ob der Beschwerdeführer überhaupt eine Diskriminierungsbeschwerde eingereicht hatte. Insofern hätte auch die Befragung von D._ zu diesem Themenkomplex nicht zu einer Gutheissung des Antrags geführt.
5.
Den Rz. 44 ff. der Beschwerdeschrift kann ein weiterer, in den Rechtsbegehren nicht ausdrücklich aufgeführter, Antrag entnommen werden, demzufolge der Beschwerdeführer - mutmasslich für den Fall der Abweisung seiner Beschwerde - die Höhe der ihm im erstinstanzlichen Verfahren auferlegten Parteikostenentschädigung als willkürlich rügt. Allerdings stellt er keinen Antrag, auf welchen Betrag die Entschädigung hätte festgesetzt werden sollen. Eine Bezifferung wäre jedoch notwendig (<ref-ruling> E. 2) - und zwar auch bei Anfechtung der Prozesskosten des kantonalen Verfahrens (<ref-ruling> E. 1.2; Urteile 4A_653/2018 und 4A_657/2018 vom 14. November 2019 E. 3; 4D_44/2017 vom 30. Oktober 2017 E. 4.2). Folglich ist auf diese Rüge nicht einzutreten. Entgegen den Vorbringen des Beschwerdeführers in seiner (unaufgeforderten) Replik, kann aus der Beschwerdeschrift nicht abgeleitet werden, dass er die Reduktion auf Fr. 18'000.-- begehrt, was - seiner Ansicht nach - für den vorliegenden Fall dem in der Luzerner Justizkostenverordnung vorgesehenen Maximalbetrag entspricht, verlangte er doch vor der Vorinstanz (subeventualiter), die Parteientschädigung auf Fr. 36'000.-- festzusetzen (Sachverhalt lit. B.b). Des Weiteren kann auch nicht auf den in der Replik erwähnten Betrag abgestellt werden, da eine Ergänzung der Beschwerde durch Ausführungen in nachfolgenden Eingaben unzulässig ist (vgl. E. 1.2 hiervor).
6.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Der Antrag auf Wiedererwägung der Verfügung betreffend aufschiebende Wirkung vom 18. März 2021 wird mit vorliegendem Entscheid in der Sache gegenstandslos.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 16'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Juli 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Bittel