Sachverhalt:
A.
Rechtsanwalt A._ vertrat als amtlicher Verteidiger zwei Beschuldigte in separaten Strafverfahren vor dem Regionalgericht Bern-Mittelland bzw. der Strafkammer des Obergerichts des Kantons Bern. Am 21. August 2017 entzog ihm das Regionalgericht Bern-Mittelland das amtliche Mandat betreffend eines Beschuldigten, da sich seine Klienten im Lauf des Verfahrens gegenseitig beschuldigt hätten und eine Interessenkollision vorliege. In der Folge leitete die Anwaltsaufsichtsbehörde des Kantons Bern ein Disziplinarverfahren gegen A._ ein und auferlegte ihm mit Verfügung vom 4. März 2019 eine Busse von Fr. 3'000.--.
B.
Am 8. April 2019 erhob A._ gegen die Disziplinarverfügung Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern und beantragte die Durchführung einer mündlichen Verhandlung. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde am 20. Januar 2020 ab, soweit es auf sie eintrat. Eine mündliche Verhandlung führte es nicht durch.
C.
Mit Beschwerde vom 2. März 2020 beantragt A._ dem Bundesgericht, das Disziplinarverfahren sei einzustellen, eventualiter sei die Sache zur Durchführung einer mündlichen Verhandlung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Während das Verwaltungsgericht auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet die Anwaltsaufsichtsbehörde auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d, Abs. 2 und Art. 90 BGG).
2.
Der Beschwerdeführer rügt in formeller Hinsicht, die Vorinstanz habe in Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK keine mündliche Verhandlung durchgeführt.
2.1. Nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person ein Recht darauf, dass über Streitigkeiten in Bezug auf ihre zivilrechtlichen Ansprüche und Verpflichtungen ("des contestations sur ses droits et obligations de caractère civil"; "determinations of civil rights and obligations") oder über eine gegen sie erhobene strafrechtliche Anklage von einem unabhängigen und unparteiischen, auf Gesetz beruhenden Gericht in einem fairen Verfahren, öffentlich und innerhalb angemessener Frist verhandelt wird. Das Urteil muss grundsätzlich öffentlich verkündet werden.
2.2. In einem ersten Schritt ist zu prüfen, ob das Disziplinarverfahren als Streitigkeit über zivilrechtliche Ansprüche zu qualifizieren ist.
2.2.1. Der Begriff der "civil rights" umfasst nicht nur zivilrechtliche Streitigkeiten im engeren Sinn, sondern auch Verwaltungsakte einer hoheitlich handelnden Behörde, sofern sie massgeblich in Rechte und Verpflichtungen privatrechtlicher Natur eingreifen. Zivilrechtlichen Charakter können daher auch solche Entscheidungen haben, mit denen einer Person die Erlaubnis zur Ausübung eines Berufs verweigert oder entzogen wird. Darunter fallen der Widerruf oder der disziplinarische Entzug einer Berufsausübungsbewilligung (<ref-ruling> E. 2.5 S. 469 f.; <ref-ruling> E. 2a/aa S. 230; <ref-ruling> E. 4b S. 324). Dabei ist zu berücksichtigen, dass die Anwendbarkeit von Art. 6 Ziff. 1 EMRK auf Disziplinarverfahren gemäss Praxis des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte nicht davon abhängt, ob im konkreten Fall die Berufsausübungsbewilligung tatsächlich ausgesetzt oder entzogen wird; es genügt, wenn diese Möglichkeit besteht, weil sie im Katalog der zulässigen Sanktionen vorgesehen ist (Urteile des EGMR Marusic gegen Kroatien vom 23. Mai 2017 [Nr. 79821/12], § 72 f.; Foglia gegen die Schweiz vom 13. Dezember 2007 [Nr. 35865/04], § 62; Landolt gegen die Schweiz vom 31. August 2006 [Nr. 17263/02], S. 5 f.).
2.2.2. Nach Art. 17 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte (Anwaltsgesetz; BGFA; SR 935.61) kann die Aufsichtsbehörde als Disziplinarmassnahmen eine Verwarnung (lit. a), einen Verweis (lit. b), eine Busse bis zu Fr. 20'000.-- (lit. c), ein befristetes Berufsausübungsverbot für längstens zwei Jahre (lit. d) sowie ein dauerndes Berufsausübungsverbot (lit. e) anordnen. Folglich enthält der Sanktionenkatalog auch ein (befristetes oder dauerndes) Berufsausübungsverbot und hätte der Beschwerdeführer von der Anwaltsaufsichtsbehörde mit dieser Massnahme belegt werden können. Das anwaltliche Disziplinarverfahren stellt demnach eine Streitigkeit über zivilrechtliche Ansprüche nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK dar.
2.3. Weiter ist zu prüfen, ob das Verwaltungsgericht eine öffentliche Verhandlung hätte durchführen müssen.
2.3.1. Die in Art. 6 Ziff. 1 EMRK garantierte öffentliche Gerichtsverhandlung stellt ein fundamentales Prinzip dar, das nicht nur für den Einzelnen wichtig ist, sondern ebenso sehr als Voraussetzung für das Vertrauen in das Funktionieren der Justiz erscheint. Nach der Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte müssen in zivilrechtlichen Streitigkeiten die Parteien zumindest einmal im ganzen Verfahren Gelegenheit haben, ihre Argumente mündlich in einer öffentlichen Sitzung einem unabhängigen Gericht vorzutragen, soweit sie nicht ausdrücklich oder stillschweigend auf die Durchführung eines öffentlichen Verfahrens verzichtet haben (BGE <ref-ruling> E. 4a S. 324; <ref-ruling> E. 5d-f S. 35 ff.). Entscheidet in erster Instanz kein Gericht, hat das Rechtsmittelverfahren den Anforderungen von Art. 6 Ziff. 1 EMRK zu genügen (BGE <ref-ruling> E. 3a S. 234).
2.3.2. Die Vorinstanz hat erwogen, die Anwaltsaufsichtsbehörde habe lediglich eine Busse verhängt. Aufgrund des im kantonalen Verwaltungsrechtspflegegesetz statuierten Verschlechterungsverbots sei die Gefahr für den Beschwerdeführer, mit einem Berufsausübungsverbot belegt zu werden, im verwaltungsgerichtlichen Verfahren definitiv gebannt gewesen. Deshalb sei Art. 6 Ziff. 1 EMRK nicht anwendbar und habe der Beschwerdeführer keinen Anspruch auf eine öffentliche Verhandlung (vgl. E. 2.4 des angefochtenen Urteils).
2.3.3. Mit dieser Argumentation betrachtet das Verwaltungsgericht das Rechtsmittelverfahren isoliert, ohne den Gesamtzusammenhang mit dem erstinstanzlichen Verfahren vor der Anwaltsaufsichtsbehörde zu berücksichtigen. Stellt das anwaltliche Disziplinarverfahren aufgrund der in <ref-law> vorgesehenen Disziplinarmassnahmen wie erwähnt eine Streitigkeit über zivilrechtliche Ansprüche dar, hat der Beschwerdeführer einen Anspruch auf die in Art. 6 Ziff. 1 EMRK verbrieften Verfahrensgarantien. Nachdem in erster Instanz kein Gericht, sondern eine Verwaltungsbehörde entschieden hatte, wurden diese Garantien dort unbestrittenermassen nicht eingehalten (vgl. E. 4.1 des angefochtenen Urteils). Weil die Verfahrensrechte mindestens einmal im Verfahren gewährleistet werden müssen, hätte es am Verwaltungsgericht gelegen, die gerichtliche Beurteilung unter Einhaltung der Garantien von Art. 6 Ziff. 1 EMRK vorzunehmen. Dass im Rechtsmittelverfahren aufgrund des anwendbaren kantonalen Prozessrechts kein Berufsausübungsverbot mehr zur Debatte stand, ändert nichts daran; die Qualifikation des Verfahrens als zivilrechtliche Streitigkeit fällt dadurch nicht dahin (vgl. hiervor E. 2.2.1). Die Vorinstanz hat Art. 6 Ziff. 1 EMRK deshalb zu Unrecht als nicht anwendbar erachtet.
2.3.4. Andere Gründe, die einen Verzicht auf die beantragte öffentliche Verhandlung rechtfertigen würden (vgl. hierzu <ref-ruling> E. 1 S. 281; <ref-ruling> E. 3b S. 55 ff.), werden von der Vorinstanz nicht angeführt und sind auch nicht ersichtlich. Das Verwaltungsgericht hätte folglich den Verfahrensantrag auf Durchführung einer öffentlichen Verhandlung nicht abweisen dürfen.
2.4. Die Beschwerde erweist sich als begründet. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zur Durchführung einer öffentlichen Verhandlung und zum Neuentscheid zurückzuweisen. Bei diesem Ergebnis erübrigt es sich, auf die materiellen Rügen des Beschwerdeführers einzugehen.
3.
Bei diesem Verfahrensausgang werden keine Gerichtskosten erhoben (<ref-law>). Nachdem weder ersichtlich ist noch geltend gemacht wird, dass dem als Anwalt in eigener Sache handelnden Beschwerdeführer ein besonderer Aufwand entstanden ist, ist ihm keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-ruling> E. 5 S. 304).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 20. Januar 2020 aufgehoben. Die Sache wird zum Neuentscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. August 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Businger