Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesverwaltungsgericht hob am 18. März 2020 einen Nichteintretensentscheid vom 13. November 2018 des Staatssekretariats für Migration (SEM) im Asylverfahren von A.A._ sowie A.B._ und A.C._ auf. Es erhob keine Verfahrenskosten (Ziff. 5 des Dispositivs) und wies das SEM an, "den Beschwerdeführenden für das Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht eine Parteientschädigung von insgesamt Fr. 1'200.-- auszurichten" (Ziff. 6 des Dispositivs).
1.2. A.A._ sowie A.B._ und A.C._ beantragen vor Bundesgericht, Ziffer 6 des Dispositivs des Entscheids des Bundesverwaltungsgerichts aufzuheben. Entgegen der Annahme im angefochtenen Entscheid habe ihre Rechtsvertreterin am 3. Oktober 2019 eine Honorarnote über Fr. 3'620.80 eingereicht; die ohne weitere Begründung zugesprochenen Fr. 1'200.-- seien in willkürlicher Art und Weise festgesetzt worden.
2.
2.1. Nach <ref-law> ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide auf dem Gebiet des Asyls unzulässig, die vom Bundesverwaltungsgericht getroffen worden sind. Die entsprechende Regelung schliesst nicht nur die Beschwerde gegen materielle Entscheide aus, sondern gegen alle Entscheide im betroffenen Bereich wie verfahrensleitende Verfügungen, Kostenentscheide usw. (Grundsatz der Einheit des Verfahrens; vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 503; <ref-ruling> E. 1.3 S. 195; <ref-ruling> E. 3 S. 144; <ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.; Urteil 2C_612/2019 vom 27. Juni 2019; FLORENCE AUBRY-GIRARDIN, in: Corboz et al. [Hrsg.], Commentaire de la LTF, 2. Auflage 2014, N. 65a zu <ref-law>).
2.2. Die vorliegende Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist dementsprechend offensichtlich unzulässig. Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführer kann ihr Rechtsmittel auch nicht als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen werden; diese ist nur gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen zulässig (<ref-law>) hingegen nicht gegen Entscheide von Bundesbehörden.
2.3. Auf die Beschwerde ist mit Entscheid des Abteilungspräsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
3.
Die Beschwerdeführer ersuchen für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Dem Gesuch kann wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht entsprochen werden (vgl. <ref-law>). Dem Verfahrensausgang entsprechend haben die unterliegenden Beschwerdeführer somit die Gerichtskosten (<ref-law>) solidarisch zu tragen (vgl. Art. 66 Abs. 1 erster Satz in Verbindung mit Abs. 5 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung VI, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Mai 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar