Sachverhalt:
A.
Am 6. April 2017 erstattete die Sozialbehörde der Stadt Opfikon bei der Kantonspolizei Zürich Strafanzeige gegen H._ mit dem Vorwurf, diese habe wirtschaftliche Sozialhilfe in einem ihr nicht zustehenden Umfang bezogen. Zum einen habe sie Einnahmen aus einem auf der Auktionsplattform Ricardo betriebenen Online-Handel verheimlicht, zum anderen bestehe der Verdacht, sie verschweige ein stabiles Konkubinatsverhältnis mit A._, mit dem sie in der gleichen Wohnung lebe. Weiter sei unklar, ob sie effektiv erwerbsunfähig sei. In der Folge führte die Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl eine Strafuntersuchung gegen H._, die sie auf A._ ausdehnte. Am 23. Juli 2018 erhob sie gegen beide Anklage beim Bezirksgericht Bülach, gegen Letzteren wegen Betrugs, eventuell Gehilfenschaft dazu, subeventuell Gehilfenschaft zum unrechtmässigen Bezug von Sozialhilfeleistungen. Das Bezirksgericht sprach die beiden Angeklagten mit Urteilen vom 16. April 2019 frei. Dagegen meldeten die Sozialbehörde und die Staatsanwaltschaft Berufung an.
B.
Am 17. Mai 2019 reichte A._ bei der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich Strafanzeige ein gegen B._, ehemalige Präsidentin der Sozialbehörde und ehemalige Stadträtin der Stadt Opfikon, C._, Sekretär-Stellvertreter der Sozialbehörde und Leiter der Sozialabteilung der Stadt Opfikon, D._, ehemaliger Vizepräsident der Sozialbehörde, und Catia Porri, ehemaliges Mitglied dieser Behörde, sowie F._ und E._, gegenwärtige Mitglieder der Sozialbehörde. Er erhob zahlreiche Tatvorwürfe, die sich teilweise gegen alle angezeigten Personen, teilweise gegen eine oder einzelne davon richteten. Im Zentrum seiner Eingabe stand die Strafanzeige der Sozialbehörde vom 6. April 2017 und das in der Folge gegen H._ geführte, auf ihn ausgeweitete Strafverfahren.
Mit Verfügung vom 23. August 2019 überwies die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich die Strafanzeige von A._ samt dazugehörigen Akten zum Entscheid über die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung an das kantonale Obergericht. Sie hielt fest, nach summarischer Prüfung liege kein deliktsrelevanter Verdacht vor, weshalb beantragt werde, die Ermächtigung nicht zu erteilen. Mit Beschluss vom 23. Dezember 2019 erteilte das Obergericht die Ermächtigung nicht.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 4. Februar 2020 an das Bundesgericht beantragt A._, den Beschluss des Obergerichts aufzuheben und die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung gegen die beanzeigten Personen zu erteilen sowie die Staatsanwaltschaft II anzuweisen, ein Vorverfahren zu eröffnen. Eventuell sei die Angelegenheit im Sinne der Erwägungen an das Obergericht zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren sei ihm weiter die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Die Stadt Opfikon beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Staatsanwaltschaft II und die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich sowie das Obergericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. A._ hat am 6. Mai 2020 eine weitere Stellungnahme eingereicht.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit dem angefochtenen Beschluss hat die zuständige Vorinstanz die Erteilung der Ermächtigung verweigert, die es nach dem Recht des Kantons Zürich für die Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen die Beschwerdegegner braucht (vgl. § 148 des Gesetzes vom 10. Mai 2010 über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess des Kantons Zürich [GOG/ZH; OS 211.1]). Der Beschluss kann als kantonal letztinstanzlicher Endentscheid grundsätzlich mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden. Die Strafanzeige betrifft nicht Mitglieder der obersten kantonalen Vollziehungs- und Gerichtsbehörden, weshalb der Ausschlussgrund von <ref-law> nicht zur Anwendung kommt (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG; <ref-ruling> E. 1.3.1 f. S. 272 f.).
1.2. Gegenstand des angefochtenen Entscheids bildet die Frage, ob hinsichtlich der Tatvorwürfe gemäss der Strafanzeige des Beschwerdeführers vom 17. Mai 2019 die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung zu erteilen ist. Soweit der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde andere Tatvorwürfe im Zusammenhang mit der Strafanzeige der Sozialbehörde vom 6. April 2017 und dem in der Folge gegen H._ geführten, auf ihn ausgeweiteten Strafverfahren erhebt und diesbezüglich, soweit ersichtlich, sinngemäss die Erteilung der Ermächtigung verlangt, geht er über den angefochtenen Entscheid und damit den zulässigen Streitgegenstand des vorliegenden Beschwerdeverfahrens hinaus. Insoweit ist daher bereits aus diesem Grund nicht auf die Beschwerde einzutreten.
Das gilt zunächst für die Tatvorwürfe der falschen Anschuldigung und der Irreführung der Rechtspflege, die der Beschwerdeführer erhebt, weil in der Strafanzeige der Sozialbehörde einleitend ein früherer unrechtmässiger Bezug von Sozialhilfeleistungen durch H._ erwähnt wird. Es gilt weiter hinsichtlich der damit verbundenen Tatvorwürfe der Unterdrückung von Urkunden, des Amtsmissbrauchs und der Irreführung der Rechtspflege, ausserdem bezüglich der in diesem Rahmen geltend gemachten weiteren Rechtsverstösse (Verletzung der Aktenführungs- und Dokumentationspflicht sowie der Datenschutzgesetzgebung), wobei es sich dabei allerdings ohnehin nicht um Tatvorwürfe im Sinne des Strafrechts handelt. Auch soweit der Beschwerdeführer die Vorwürfe der falschen Anschuldigung und der Irreführung der Rechtspflege erhebt, weil H._ in der Strafanzeige der Sozialbehörde Internethandel vorgeworfen worden sei, obschon der Beschwerdegegner 2 und seine Mitarbeiter gewusst hätten, dass sie wegen ihres Gesundheitszustands nicht dazu in der Lage sei, geht er über den zulässigen Streitgegenstand des vorliegenden Beschwerdeverfahrens hinaus. Dasselbe gilt bezüglich des Vorwurfs, der Beschwerdegegner 2 habe der Person, die ihn auf den angeblichen Internethandel hingewiesen habe, Amtsgeheimnisse betreffend H._ offenbart. Dieser Vorwurf bildete ebenfalls nicht Gegenstand seiner Strafanzeige vom 17. Mai 2019, auch wenn er ihn im vorinstanzlichen Verfahren ansatzweise vorgebracht hat.
Über den Streitgegenstand des vorliegenden Beschwerdeverfahrens hinaus geht sodann auch der Antrag des Beschwerdeführers, die Staatsanwaltschaft II sei anzuweisen, ein Vorverfahren zu eröffnen. Im Ermächtigungsverfahren wird nicht über die Eröffnung einer Untersuchung oder die Nichtanhandnahme entschieden; dieser Entscheid obliegt kraft ausdrücklicher bundesrechtlicher Regelung vielmehr der Staatsanwaltschaft (Art. 309 und 310 StPO; <ref-ruling> E. 2.3 S. 277). Insoweit ist daher ebenfalls nicht auf die Beschwerde einzutreten.
1.3. Gemäss <ref-law> ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wer am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. c). Das Rechtsschutzinteresse muss aktuell und praktisch sein (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 143 mit Hinweisen). Die beschwerdeführende Partei muss aus dem beantragten Verfahrensausgang einen praktischen Nutzen dergestalt ziehen, dass ihre tatsächliche oder rechtliche Situation beeinflusst werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 6.2 S. 312 mit Hinweis).
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist die Möglichkeit, bei erfolgreicher Beschwerdeführung an der Strafuntersuchung teilzunehmen und Parteirechte auszuüben, ein praktischer Nutzen der genannten Art. Eine Person, die Strafanzeige erstattet, ist deshalb zur Beschwerde gegen einen Entscheid legitimiert, mit dem die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung verweigert wird, soweit sie hinsichtlich der beanzeigten Straftaten als geschädigte Person im Sinne von <ref-law> gilt. Insoweit könnte sie sich bei einer Gutheissung der Beschwerde in der erwähnten Weise an der Strafuntersuchung beteiligen. Dies ist hingegen nicht der Fall, soweit ihr in Bezug auf eine beanzeigte Straftat die Geschädigtenstellung fehlt (Art. 301 Abs. 2 und 3 StPO). Insoweit mangelt es ihr daher am Rechtsschutzinteresse nach Art. 89 Abs. 1 lit. b und c BGG und ist auf die Beschwerde nicht einzutreten (zum Ganzen: Urteile 1C_3/2017 vom 14. März 2017 E. 1.2.2 f.; 1C_270/2016 vom 16. Februar 2017 E. 1.2.1 ff.; 1C_344/2012 vom 31. Oktober 2012 E. 2.1 ff.).
Als geschädigte Person gilt nach <ref-law> die Person, die durch die Straftat in ihren Rechten unmittelbar verletzt worden ist. Die zur Stellung eines Strafantrags berechtigte Person gilt in jedem Fall als geschädigte Person (<ref-law>). Unmittelbar verletzt ist, wer Träger des Rechtsguts ist, das durch die fragliche Strafbestimmung vor Verletzung oder Gefährdung geschützt oder zumindest mitgeschützt werden soll. Im Zusammenhang mit Strafnormen, die nicht primär Individualrechtsgüter schützen, gelten praxisgemäss nur diejenigen Personen als Geschädigte, die durch die darin umschriebenen Tatbestände in ihren mitgeschützten Rechtsgütern beeinträchtigt werden, sofern diese Beeinträchtigung unmittelbare Folge der tatbestandsmässigen Handlung ist. Werden durch Delikte, die (nur) öffentliche Rechtsgüter verletzen, private Interessen auch, aber bloss mittelbar beeinträchtigt, ist die betroffene Person nicht Geschädigte im Sinne von <ref-law> (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 457; <ref-ruling> E. 2.3 S. 263; je mit Hinweisen).
1.3.1. Der Beschwerdeführer hat in seiner Strafanzeige vom 17. Mai 2019 zahlreiche Vorwürfe im Zusammenhang mit der Strafanzeige der Sozialbehörde gegen H._ und dem in der Folge gegen diese geführten, auf ihn ausgeweiteten Strafverfahren erhoben und eine Vielzahl von Straftatbeständen angerufen. Im vorliegenden Beschwerdeverfahren erhebt er vorwiegend andere Vorwürfe in diesem Zusammenhang (vgl. vorne E. 1.2). Nur vereinzelt betreffen seine Vorbringen - explizit oder implizit - Vorwürfe gemäss seiner Strafanzeige. In diesem Rahmen äussert er sich ausdrücklich lediglich zu den Straftatbeständen der Urkundenfälschung (<ref-law>) und Urkundenfälschung im Amt (<ref-law>) - in der Beschwerde zusammenfassend als Urkundendelikte bezeichnet -, des Amtsmissbrauchs (<ref-law>) und der fahrlässigen Körperverletzung (<ref-law>). Soweit er daneben auch andere Rechtsverstösse geltend macht, ist darauf nicht einzugehen: Es handelt sich dabei nicht um Tatvorwürfe im strafrechtlichen Sinn, weshalb insoweit von vornherein keine Strafuntersuchung und damit auch keine Ermächtigung zur Durchführung einer solchen in Betracht kommt.
1.3.2. Nach der Rechtsprechung kann eine Urkundenfälschung neben den in erster Linie geschützten öffentlichen Interessen auch private Interessen unmittelbar verletzen, falls sie auf die Benachteiligung einer bestimmten Person abzielt (<ref-ruling> E. 3.3.3 S. 159 mit Hinweisen). Jedenfalls im Kontext der Urkundenfälschung im engeren Sinn erfasst der Schutz dabei regelmässig nur diejenigen Teilnehmer am Rechtsverkehr, denen gegenüber die falsche oder unwahre Urkunde gebraucht wird oder werden soll, und die gestützt darauf rechtserhebliche Entscheidungen treffen könnten (Urteile 6B_968/2018 vom 8. April 2019 E. 2.2.1; 6B_917/2015 vom 23. Februar 2016 E. 3.2). Der Vorwurf des Beschwerdeführers bezieht sich auf den Umstand, dass der Beschwerdegegner 2 die Person, die ihn auf den möglichen Online-Handel von H._ hingewiesen und ihm eine Ricardo-Verkaufsmeldung vorgelegt haben soll, nach eigenen Angaben aufforderte, diese Meldung anonymisiert einzureichen. Inwiefern der Beschwerdeführer durch diese Aufforderung bzw. die Entfernung der entsprechenden Angaben, insbesondere des Adressaten der Meldung, im Sinne der Rechtsprechung unmittelbar in seinen Interessen verletzt worden sein sollte, erschliesst sich nicht.
1.3.3. Der Straftatbestand des Amtsmissbrauchs schützt sekundär auch das Interesse der Bürger, nicht unkontrollierter und willkürlicher staatlicher Machtentfaltung ausgesetzt zu werden (<ref-ruling> E. 1b S. 212 f.; Urteile 6B_214/2019 vom 15. Mai 2019 E. 4.7; 6B_1318/2017 vom 9. Februar 2018 E. 7.2.3 und 7.3). Als Geschädigte gelten dabei nur Personen, die durch die tatbestandsmässige Handlung unmittelbar beeinträchtigt worden sind (vgl. Urteile 6B_297/ 2018 vom 6. September 2018 E. 4.6.2; 1C_270/2016 vom 16. Februar 2017 E. 1.2.2; vorne E. 1.3). Der Beschwerdeführer bringt im vorliegenden Verfahren im erwähnten Rahmen vor, die Anzeigeerstattung der Sozialbehörde gegen H._ sei aus verschiedenen Gründen amtsmissbräuchlich gewesen. Inwiefern er durch die angeblich tatbestandsmässige Anzeigeerstattung unmittelbar beeinträchtigt worden sein sollte, ist nicht ersichtlich, zumal es die Staatsanwaltschaft war, welche die Strafuntersuchung gegen H._ auf ihn ausweitete.
1.3.4. Der Straftatbestand der fahrlässigen Körperverletzung schützt ausschliesslich diejenige Person, dessen körperliche Integrität angegriffen wird (Urteil 1B_82/2012 vom 2. April 2012 E. 2.3.2; MAZZUCCHELLI/POSTIZZI, in: Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 51 zu <ref-law>). Der Beschwerdeführer macht eine fahrlässige Körperverletzung zulasten von H._ geltend. Er ist daher auch in Bezug auf diesen Tatvorwurf nicht als geschädigte Person zu betrachten.
1.3.5. Nach dem Gesagten fehlt es dem Beschwerdeführer hinsichtlich der genannten Tatvorwürfe an der Geschädigtenstellung und damit an der Beschwerdelegitimation. Auf die Beschwerde ist insoweit daher bereits aus diesem Grund und ungeachtet der Frage, ob eine rechtsgenügliche Begründung vorliegt, nicht einzutreten. Inwieweit dies auch hinsichtlich der weiteren beanzeigten (angeblichen) Straftaten gilt, ist mit Blick auf die nachfolgenden Erwägungen (vgl. E. 1.4) nicht zu erörtern.
1.3.6. Soweit der Beschwerdeführer neben seinen Vorbringen in der Sache eine Verletzung der Begründungspflicht bzw. seines Anspruchs auf rechtliches Gehör durch die Vorinstanz geltend macht, ist auf die Beschwerde einzutreten. Nach der Praxis des Bundesgerichts kann unabhängig von der Legitimation in der Sache die Verletzung von Parteirechten geltend gemacht werden, deren Verletzung einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommt, soweit die entsprechenden Rügen nicht auf eine direkte oder mittelbare inhaltliche Kontrolle des angefochtenen Entscheids hinauslaufen, was vorliegend nicht der Fall ist (sog. Star-Praxis; vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 5 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 253; Urteil 1C_700/2013 vom 11. März 2014 E. 3 mit Hinweisen).
1.4. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, welche die beschwerdeführende Person vorbringt und begründet (vgl. <ref-law>). Die Begründung muss sich mit dem angefochtenen Entscheid auseinandersetzen und erkennen lassen, dass und weshalb die Vorinstanz Recht verletzt haben soll; rein appellatorische Kritik ist unzulässig (<ref-ruling> E. 1.7.1 S. 106; <ref-ruling> E. 2 S. 89; <ref-ruling> E. 1.2 S. 308 f.). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten, soweit die Verletzung von Grundrechten gerügt wird (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.7.2 S. 106 mit Hinweisen). Soweit die Beschwerdeschrift den Begründungsanforderungen nicht genügt, ist auf die Eingabe nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.7.2 S. 106; <ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 1.1 S. 138).
Die Staatsanwaltschaft hat sich in der Überweisungsverfügung vom 23. August 2019 im Einzelnen mit den Tatvorwürfen gemäss der Strafanzeige des Beschwerdeführers vom 17. Mai 2019 auseinandergesetzt und einen deliktsrelevanten Verdacht verneint. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid auf diese Erwägungen verwiesen und sie teilweise ergänzt. Die Vorbringen des Beschwerdeführers im vorliegenden Verfahren betreffen, wie ausgeführt, lediglich vereinzelt Tatvorwürfe gemäss der genannten Strafanzeige. In Bezug auf die weiteren beanzeigten Tatvorwürfe mangelt es entsprechend von vornherein an einer Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid und damit an einer rechtsgenüglichen Beschwerdebegründung. Hinsichtlich dieser Tatvorwürfe ist auf die Beschwerde daher nicht einzutreten, und zwar unabhängig davon, ob der Beschwerdeführer diesbezüglich als geschädigt gelten würde und beschwerdelegitimiert wäre.
1.5. Somit kann einzig in Bezug auf die Rüge der Verletzung der Begründungspflicht bzw. des Anspruchs auf rechtliches Gehör, nicht jedoch in der Sache auf die Beschwerde eingetreten werden.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe im angefochtenen Entscheid vollumfänglich auf die Überweisungsverfügung der Staatsanwaltschaft vom 23. August 2019 verwiesen und sich ausser hinsichtlich des Vorwurfs der Amtsmissbrauchs nicht weiter zur Frage geäussert, inwiefern die Voraussetzungen für die Erteilung der Ermächtigung vorlägen. Damit habe sie ihre Begründungspflicht verletzt.
2.2. Diese Rüge ist unbegründet. Zwar kommen im Ermächtigungsverfahren die allgemeinen Verfahrensgrundsätze der BV und der EMRK zur Anwendung, weshalb die Beteiligten insbesondere Anspruch auf rechtliches Gehör nach <ref-law> und damit auch darauf haben, dass der Entscheid über die Erteilung der Ermächtigung rechtsgenüglich begründet wird (<ref-ruling> E. 2.6 S. 278 mit Hinweisen). Die Vorinstanz hat die Begründungspflicht bzw. den Anspruch auf rechtliches Gehör des Beschwerdeführers jedoch nicht verletzt, auch wenn sie vollumfänglich auf die Erwägungen und die Schlussfolgerungen der Staatsanwaltschaft in der Überweisungsverfügung verwiesen hat. Wie erwähnt, hat sich die Staatsanwaltschaft im Einzelnen mit den Tatvorwürfen in der Strafanzeige des Beschwerdeführers auseinandergesetzt. Mit dem Verweis hat die Vorinstanz die entsprechenden Erwägungen zu ihren eigenen gemacht. Sie hat sie zudem teilweise ergänzt. Der Beschwerdeführer konnte sich entsprechend über die Tragweite des angefochtenen Entscheids Rechenschaft geben und diesen in voller Kenntnis der Sache an das Bundesgericht weiterziehen (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 70 f. mit Hinweisen). Die Begründung des Entscheids ist daher trotz des erwähnten Verweises verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden (vgl. <ref-ruling> E. 2c und d S. 34 f.; Urteile 5A_888/2011 vom 20. Juni 2012 E. 4.3; 1B_78/2009 vom 1. April 2009 E. 4.2).
3.
Demnach ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Zwar stellt er für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Dieses ist jedoch abzuweisen, da sein Rechtsbegehren aussichtslos war (vgl. <ref-law>). Seiner finanziellen Lage ist bei der Festsetzung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind keine zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. November 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Baur