Erwägungen:
1.
Am Bezirksgericht Zürich ist ein vom Kanton Zürich gegen den Beschwerdeführer angehobenes Verfahren um Erteilung der definitiven Rechtsöffnung in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Zürich 2 hängig. Mit Verfügung vom 10. Dezember 2021 setzte das Bezirksgericht dem Beschwerdeführer Frist zur Stellungnahme an. Mit Eingabe vom 3. Januar 2022 beantragte der Beschwerdeführer, ihm sei ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen und es sei die Frist für die Stellungnahme zu erstrecken, bis er mit einem Fachanwalt habe sprechen können und dieser die Eingaben übernehme. Mit Verfügung vom 6. Januar 2022 (berichtigt am 7. Januar 2022) erstreckte das Bezirksgericht die Frist zur Stellungnahme letztmals bis zum 17. Januar 2022 und wies das Gesuch um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands wegen Aussichtslosigkeit des Standpunkts des Beschwerdeführers ab.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer am 20. Januar 2022 (Poststempel) Beschwerde. Hinsichtlich der unentgeltlichen Verbeiständung trat das Obergericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 14. Februar 2022 auf die Beschwerde mangels genügender Begründung nicht ein (Verfahren RT220014-O). Soweit die Beschwerde die Fristerstreckung betraf, befand das Obergericht darüber mit separatem Beschluss gleichen Datums (Verfahren RT220015-O).
Gegen beide Beschlüsse hat der Beschwerdeführer am 23. März 2022 (Postaufgabe) in einer Eingabe Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Das Bundesgericht hat die beiden Verfahren 5D_48/2022 betreffend unentgeltliche Verbeiständung und 5D_49/2022 betreffend Fristerstreckung angelegt und in beiden Verfahren die Akten eingeholt.
2.
2.1. Aufgrund des unter Fr. 30'000.-- liegenden Streitwerts (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-law>) ist die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln (<ref-law>). Der angefochtene Entscheid ist ein Zwischenentscheid im Sinne von Art. 117 i.V.m. <ref-law>. Da es um die Verweigerung des unentgeltlichen Rechtsbeistands geht, steht dagegen die Beschwerde grundsätzlich offen (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; Urteil 5A_654/2019 vom 14. Mai 2020 E. 1.2.2). Der Beschwerdeführer macht denn auch geltend, sich ohne Rechtsvertretung nicht angemessen verteidigen zu können.
2.2. Der Beschluss des Obergerichts im Verfahren RT220014-O ist ein Nichteintretensentscheid. Thema des bundesgerichtlichen Verfahrens ist demnach einzig, ob das Obergericht gegen verfassungsmässige Rechte verstossen hat, indem es auf die kantonale Beschwerde nicht eingetreten ist. Diesbezüglich müsste der Beschwerdeführer anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darlegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399; <ref-ruling> E. 2.4 S. 368). Mit anderen Worten ist die Frage, ob der Beschwerdeführer Anspruch auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand vor Bezirksgericht hat, nicht Thema des bundesgerichtlichen Verfahrens. Auf die entsprechenden Ausführungen des Beschwerdeführers kann nicht eingegangen werden. Ebenso wenig ist sodann das Verhalten des Steueramts des Kantons Zürich Verfahrensgegenstand. Auf den Eventualantrag, das Steueramt anzuweisen, auf seine Anträge einzutreten und mit ihm zu reden, um eine Lösung der Sache zu finden, ist nicht einzutreten.
Auf die obergerichtlichen Erwägungen geht der Beschwerdeführer nur insofern ein, als er den Umstand, dass ihm das Obergericht eine ungenügende Beschwerdebegründung vorgehalten hat, als Beweis dafür sieht, dass er einen unentgeltlichen Rechtsbeistand braucht. Einerseits werfe man ihm vor, seine Beschwerde genüge den Begründungsanforderungen nicht, andererseits sage man, er könne sich selber vertreten. Mit diesen Ausführungen kann er nicht dartun, dass das Obergericht auf die kantonale Beschwerde hätte eintreten müssen. Er macht damit weder geltend, dass das Obergericht zu strenge Begründungsanforderungen gestellt hätte, noch dass seine kantonale Beschwerde den Begründungsanforderungen entgegen der Auffassung des Obergerichts genügt hätte. Soweit der Beschwerdeführer sinngemäss geltend machen möchte, auch das Obergericht hätte ihm einen unentgeltlichen Rechtsbeistand bestellen müssen, geht er nicht auf die obergerichtliche Erwägung ein, wonach er soweit ersichtlich für das obergerichtliche Verfahren nicht um unentgeltliche Rechtspflege ersucht habe. Er tut dies zwar nun sinngemäss in seiner an das Bundesgericht gerichteten Beschwerde, indem er "für dieses [gemeint wohl: das bundesgerichtliche Verfahren] und alle anderen Verfahren" die unentgeltliche Rechtspflege beantragt. Um unentgeltliche Rechtspflege im kantonalen Beschwerdeverfahren hätte der Beschwerdeführer bereits vor Obergericht ersuchen müssen. Das erst vor Bundesgericht gestellte Begehren ist neu und damit unzulässig (Art. 117 i.V.m. <ref-law>).
2.3. Auf die Beschwerde kann demnach nicht eingetreten werden.
3.
Es rechtfertigt sich ausnahmsweise, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, mitgeteilt.
Lausanne, 31. März 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg