Erwägungen:
1.
1.1. Gegen Rechtsanwalt A._ läuft im Kanton Bern ein anwaltliches Aufsichtsverfahren im Zusammenhang mit Verlustscheinen im Umfang von über Fr. 30'000.--. Die Anwaltsaufsichtsbehörde des Kantons Bern verfügte am 28. November 2019, den Eintrag von A._ im kantonalen Anwaltsregister zu löschen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies am 3. Februar 2020 das Gesuch von A._ um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit seiner Eingabe ab und setzte ihm eine Frist bis zum 24. Februar 2020, um entweder seine Beschwerde zurückzuziehen oder einen Kostenvorschuss von Fr. 2'500.-- zu leisten. In der Sache selber ist - soweit ersichtlich - das Verfahren beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern noch hängig.
1.2. Das Bundesgericht trat am 25. Februar 2020 auf die gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege gerichtete Beschwerde von A._ mangels rechtsgenügender Begründung der Eingabe im Verfahren nach <ref-law> nicht ein. Das Gericht hielt fest:
"Soweit die Ausführungen in der Beschwerde überhaupt verständlich sind, ist kein Zusammenhang mit der Frage erkennbar, ob das Beschwerdeverfahren vor Verwaltungsgericht betreffend Löschung aus dem Anwaltsregister wegen des Vorliegens von Verlustscheinen als aussichtslos erscheint. Der Beschwerdeführer beschränkt sich darauf, die Schweizer Justiz als Ganzes anzugreifen und sich als Justizopfer darzustellen. Soweit der Beschwerdeführer pauschal die Verletzung des Willkürverbots oder des FZA rügt, genügt seine Beschwerde den Begründungsanforderungen offensichtlich nicht. Auf die Beschwerde ist deshalb mangels einer hinreichenden Begründung im vereinfachten Verfahren nicht einzutreten (<ref-law>) ".
2.
2.1. Rechtsanwalt A._ ist hiergegen am 8. März 2020 mit einem Revisionsgesuch an das Bundesgericht gelangt. Er beantragt, das Urteil 2C_184/2020 vom 25. Februar 2020 aufzuheben, auf seine Beschwerde einzutreten und materiell über diese zu befinden. Es seien zudem durch das Bundesgericht im Verfahren 2C_184/2020 keine Kosten zu erheben. Rechtsanwalt A._ macht geltend, durch die Teilnahme von Präsident Seiler und Gerichtsschreiber Businger seien die Vorschriften über die Besetzung des Gerichts bzw. über den Ausstand verletzt worden.
2.2. Die Ausführungen des Gesuchstellers überzeugen nicht; weitere Instruktionsmassnahmen (Schriftenwechsel) erübrigen sich: Die Urteile des Bundesgerichts werden mit ihrer Ausfällung rechtskräftig; es steht kein ordentliches Rechtsmittel dagegen offen (vgl. <ref-law>). Das Gericht kann auf seine Entscheide nur zurückkommen, wenn einer der vom Gesetz abschliessend genannten Revisionsgründe (<ref-law>) erfüllt ist. Das Revisionsgesuch ist den Vorgaben von <ref-law> entsprechend zu begründen, d.h., der Gesuchsteller hat in gedrängter Form, sachbezogen und in Auseinandersetzung mit den Ausführungen im zur Revision beantragten Entscheid darzutun, weshalb und inwiefern ein Revisionsgrund vorliegen soll. Die Revision dient nicht dazu, um angebliche Rechtsfehler (fälschlicherweises Nichteintreten, Verweigerung des rechtlichen Gehörs usw.) zu korrigieren (<ref-ruling> E. 3 S. 18 f.) oder in der ursprünglichen Rechtsschrift Verpasstes nachzuholen (vgl. die Urteile 2F_20/2012 vom 25. September 2012 E. 2.1 und 4F_1/2007 vom 13. März 2007 E. 5.2). Das Revisionsgesuch kann nicht dazu führen, dass ein strittiger bundesgerichtlicher Entscheid ohne entsprechenden Grund in Wiedererwägung gezogen wird (Urteil 2F_9/2019 vom 14. Januar 2020 E. 2.2). Ob eine Rüge den gesetzlichen Begründungsanforderungen genügt und deshalb hätte behandelt werden müssen, kann nicht mit einem Revisionsgesuch vor Bundesgericht geltend gemacht werden (Urteile 2F_9/2020 vom 14. Januar 2020 E. 3.2 mit Hinweisen).
2.3. Der Gesuchsteller wendet ein, das Gericht sei falsch besetzt gewesen, da der Präsident nicht "in der Lage sei, persönliche Animositäten (oder die passend zu seinem Nachnamen Pflege von privaten Seilschaften) von einem Beschwerdeinhalt zu trennen". Der Umstand, dass er noch am Tag des Posteingangs entschieden habe, aber die Ausfertigung durch einen anderen Bundesrichter unterzeichnet worden sei, zeuge "von einem unüberlegten Alleingang". Sowohl die Begründung des Urteils wie die speditive Erledigung wiesen auf eine "fehlende charakterliche Befähigung" des Präsidenten hin. Im Übrigen sei er, der Gesuchsteller, ein Mobbing-Opfer der schweizerischen Justiz; er werde regelmässig ungerecht behandelt, worüber er die Europäische Union sowie ausländische Anwaltsverbände informiert habe.
2.4.
2.4.1. Die Ausführungen des Gesuchstellers genügen den gesetzlichen Begründungsanforderungen erneut nicht: Er kritisiert den Präsidenten aufgrund des angefochtenen Entscheids und stellt wiederum das Justizsystem als solches infrage. Es wäre an ihm gewesen, rechtzeitig ein allfälliges Ausstandsgesuch gegen von ihm als befangen beurteilte Personen einzureichen, nachdem sich die Zusammensetzung der Abteilung ohne Weiteres aus den öffentlich zugänglichen Informationen des Gerichts ergibt.
2.4.2. Seine Rüge einer Verletzung von <ref-law> basiert auf einem angeblich falschen Entscheid im vereinfachten Verfahren nach <ref-law>; der Gesuchsteller übersieht, dass die Revision - wie dargelegt - nicht dazu dient, angebliche Rechtsfehler zu korrigieren oder in der ursprünglichen Rechtsschrift Verpasstes nachzuholen (vgl. das Urteil 2F_14/2015 vom vom 2. September 2015 E. 2.1 mit Hinweisen). Der Gesuchsteller verkennt, dass der Gesetzgeber gerade für Fälle der ungenügenden Begründung in <ref-law> ein vereinfachtes Verfahren geschaffen hat, das eine rasche Erledigung durch das Gericht ermöglichen soll. In diesem Verfahren können Entscheide schnell ergehen; das Verfahren 2C_184/2020 bildet diesbezüglich keine Ausnahme.
2.4.3. Der Gesuchsteller kann nichts aus dem Umstand ableiten, dass wegen einer Abwesenheit des Instruktionsrichters das amtsälteste Mitglied der Abteilung an dessen Stelle den Entscheid unterschrieben hat. Soweit der Gesuchsteller den bundesgerichtlichen Nichteintretensentscheid appellatorisch kritisiert, wird auf seine Ausführungen bzw. ungerechtfertigten Vorwürfe nicht weiter eingegangen.
2.5. Soweit der Gesuchsteller im vorliegenden Verfahren ein Ausstandsgesuch gegen den Präsidenten und den am Urteil vom 25. Februar 2020 beteiligten Gerichtsschreiber stellt, muss dieses nicht beurteilt werden, da die betroffenen Personen am vorliegenden Entscheid nicht beteiligt sind. Das Gesuch kann als gegenstandslos abgeschrieben werden.
3.
Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Ausstandsgesuch gegen Bundesrichter Seiler und Gerichtsschreiber Businger wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. April 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar