Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 7. Juli 2004) ist der Sohn von C._ und B._. Die Eltern sind seit dem Jahr 2010 geschieden. A._ steht unter der elterlichen Sorge der Mutter und lebt bei ihr und ihrem neuen Ehemann D._.
B.
B.a. Mit Beschluss vom 23. Juli 2018 übernahm die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Bezirk Horgen per 1. September 2018 unter anderem die von der KESB der Stadt Zürich geführte Massnahme nach Art. 308 Abs. 2 ZGB, nachdem sie A._ am 23. März 2018 persönlich angehört hatte. Der Beiständin übertrug sie die Aufgabe, eine professionelle Besuchsbegleitung zur Begleitung der Übergaben zu organisieren (Ziffer 2a), die den Eltern unter Strafandrohung erteilte Weisung zu überwachen, wonach jene dafür zu sorgen haben, dass die angeordneten Besuche mit Übergaben durch eine professionelle Besuchsbegleitung wahrgenommen werden (Ziffer 2b), und der KESB Bezirk Horgen Antrag zu stellen, falls weitergehende Kindesschutzmassnahmen notwendig werden sollten (Ziffer 2c). Laut Beschluss sollen die Übergaben für das vierteljährliche, jeweils an einem Samstagnachmittag stattfindende Besuchsrecht ab Ende September 2018 vorerst während eines Jahres begleitet stattfinden.
B.b. Am 24. August 2018 erhoben C._ und D._ gegen den Beschluss der KESB Bezirk Horgen sinngemäss Beschwerde beim Bezirksrat Horgen. In ihrer Stellungnahme zur Vernehmlassung der KESB Bezirk Horgen verlangten sie die Aufhebung von Ziffer 2a sowie der damit zusammenhängenden Ziffern des Beschlusses vom 23. Juli 2018. Am 18. Juli 2019 bestätigte der Bezirksrat den Beschluss der KESB. Den "Startzeitpunkt" für die begleiteten Besuchsübergaben setzte er neu auf dreissig Tage nach Eintritt der Rechtskraft des bezirksrätlichen Entscheids fest.
B.c. C._ und D._ erhoben Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich. Sie hielten am Begehren fest, das sie vor dem Bezirksrat gestellt hatten (Bst. B.b), und beantragten, zur Wahrung von A._s Rechten und Interessen einen "Kinderanwalt" einzusetzen und A._ persönlich vor Gericht anzuhören. Mit Schreiben vom 19. August 2019 ersuchte Rechtsanwältin Daniela Fischer im Namen von A._ darum, im Sinne von Art. 314a bis ZGB im Beschwerdeverfahren als Kindesverfahrensvertreterin bestellt zu werden. Mit Beschluss und Urteil vom 3. September 2019 wies das Obergericht den Antrag auf Bestellung einer Kindesverfahrensvertretung ab. Auch in der Sache wurde die Beschwerde abgewiesen. Der Entscheid wurde am 5. September 2019 versandt.
C.
Mit Beschwerde vom 7. Oktober 2019 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, den Beschluss und das Urteil des Obergerichts "vollumfänglich aufzuheben" und das Verfahren zur Sachverhaltsergänzung und Gewährung des rechtlichen Gehörs des Beschwerdeführers sowie zur Durchführung einer Kinderanhörung im Sinne von Art. 314a ZGB an die Vorinstanz zurückzuweisen unter der Anweisung, ihm für das vorinstanzliche Verfahren in der Person der unterzeichnenden Rechtsanwältin Daniela Fischer eine Kindesverfahrensvertreterin im Sinne von Art. 314a bis ZGB zu bestellen. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen. Ein Schriftenwechsel wurde nicht angeordnet.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine bei ihm eingereichte Beschwerde zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 99; <ref-ruling> E. 1 S. 186).
2.
2.1. Nach Art. 71 BGG in Verbindung mit Art. 14 BZP (SR 273) kann eine Partei vor Bundesgericht insoweit selbständig Prozess führen, als sie handlungsfähig ist. Die Prozessfähigkeit ist eine Wirkung der vom Bundesrecht in Art. 12 ff. ZGB geordneten Handlungsfähigkeit im Prozess. Die Handlungsfähigkeit besitzt, wer volljährig und urteilsfähig ist (Art. 13 ZGB). Volljährig ist, wer das 18. Lebensjahr zurückgelegt hat (Art. 14 ZGB). Urteilsfähig im Sinne des ZGB ist jede Person, der nicht wegen ihres Kindesalters, infolge geistiger Behinderung, psychischer Störung, Rausch oder ähnlicher Zustände die Fähigkeit mangelt, vernunftgemäss zu handeln (Art. 16 ZGB). Wer urteilsfähig, aber nicht volljährig ist, vermag sich nur mit Zustimmung seines gesetzlichen Vertreters durch seine Handlungen zu verpflichten (Art. 19 Abs. 1 ZGB). Nach Massgabe von Art. 19c Abs. 1 ZGB können urteilsfähige Minderjährige allerdings grundsätzlich selbständig - oder durch einen Vertreter ihrer Wahl (<ref-ruling> E. 1a S. 371) - handeln, wenn es um Rechte geht, die ihnen um ihrer Persönlichkeit willen zustehen (höchstpersönliche Rechte).
2.2. Der Beschwerdeführer lässt ausführen, er sei im Alter von fünfzehn Jahren hinsichtlich der Ausgestaltung seiner persönlichen Kontakte zu seinem Vater "zweifellos urteilsfähig". Soweit er damit unterstellt, dass mit der Regelung des persönlichen Verkehrs zum Vater die Ausübung eines höchstpersönlichen Rechts im Sinne von Art. 19c ZGB zur Beurteilung stehe, täuscht sich der Beschwerdeführer. Das Kind, ob es diesbezüglich nun urteilsfähig ist oder nicht, kann nicht selbst und allein darüber entscheiden, wie der gegenseitige Anspruch des Elternteils und des minderjährigen Kindes auf persönlichen Verkehr (Art. 272 ff. ZGB) auszugestalten ist; es besitzt diesbezüglich kein höchstpersönliches Recht im Sinne einer exklusiven "Besuchsrechtsregelungskompetenz" (CHRISTOPHE A. HERZIG, Das Kind in den familienrechtlichen Verfahren, 2012, Rz. 125). Entsprechend ist der Beschwerdeführer vor Bundesgericht insofern nicht prozessfähig, als er die Ausgestaltung des gegenseitigen Kontaktrechts von Vater und Sohn zum Thema machen will. Dies ist der Fall, soweit er das vor Bundesgericht gestellte Begehren (sinngemäss) damit begründet, dass das Obergericht im Streit um die Kindesschutzmassnahmen den Sachverhalt offensichtlich unrichtig feststelle und seinen verfassungsmässigen Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) verletze.
2.3. Indessen dreht sich der Streit im hiesigen Verfahren nicht in erster Linie um die Regelung des persönlichen Verkehrs bzw. um die Frage, ob zur Begleitung der Besuchsübergaben im Sinne einer Kindesschutzmassnahme professionelle Unterstützung zu organisieren ist (vgl. Sachverhalt Bst. B.a). Vielmehr will der Beschwerdeführer seine Rechte auf eine Anhörung (Art. 314a ZGB) und auf die Bestellung eines Kindesvertreters (Art. 314a bis ZGB) im vorinstanzlichen Verfahren durchsetzen. Diese Rechte sind höchstpersönlicher Natur. Das Kind kann sie selbständig wahrnehmen und sich gegen deren Verweigerung auch selbständig wehren, sofern es urteilsfähig ist (vgl. Art. 314a Abs. 3 ZGB sowie Art. 298 Abs. 3 und Art. 299 Abs. 3 ZPO). Dient das höchstpersönliche Recht - wie die hier fraglichen Rechte - unmittelbar der Stärkung der Rechte des Kindes im Verfahren und somit auch dem Schutz des Kindes, sind eher weniger hohe Anforderungen an die Urteilsfähigkeit zu stellen. Generell wird für die Ausübung höchstpersönlicher Rechte im Sinne einer Faustregel vorgeschlagen, ab dem zehnten Lebensjahr von der Urteilsfähigkeit auszugehen (ausführlich HERZIG, a.a.O., Rz. 116 ff., 122 f., 372 f. und 421). Anhaltspunkte dafür, dass sich der fünfzehnjährige Beschwerdeführer nicht altersgerecht entwickeln würde, sind keine ersichtlich. Vor diesem Hintergrund ist davon auszugehen, dass der minderjährige Beschwerdeführer bezüglich Wesen und Inhalt der Anhörung und der Bestellung eines Kindesvertreters im Sinne von Art. 16 ZGB vernunftgemäss handeln kann. Entsprechend ist er auch fähig, zur Durchsetzung dieser Rechte vor Bundesgericht einen Prozess zu führen und zu diesem Zweck einen Rechtsanwalt zu mandatieren.
3.
3.1. Angefochten ist binnen der gesetzlichen Frist (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 45 Abs. 1 BGG) der Entscheid, mit dem die KESB im Rahmen der Weiterführung einer Beistandschaft die Organisation einer professionellen Besuchsbegleitung anordnet und die Eltern diesbezüglich zur Kooperation verpflichtet. Der vorinstanzliche Entscheid, der den Entscheid der KESB bestätigt, ist ein Endentscheid (Art. 90 BGG) in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit, die in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG) und keinem Streitwerterfordernis (Art. 74 BGG) unterliegt. Die Vorinstanz ist ein oberes kantonales Gericht, das als letzte kantonale Instanz auf Rechtsmittel hin entschieden hat (Art. 75 BGG).
3.2. Der Beschwerdeführer wehrt sich insbesondere auch gegen den Beschluss, mit dem das Obergericht den Antrag auf Bestellung einer Kindesverfahrensvertretung abweist. Dagegen steht die Beschwerde offen, denn das Obergericht hat diesen (Zwischen-) Entscheid nicht unabhängig von der Hauptsache gefällt (vgl. Urteil 5A_295/2016 vom 23. Februar 2017 E. 1.4, nicht publ. in: <ref-ruling>). Auch dass das Obergericht diesen Beschluss als erste und einzige kantonale Instanz gefällt hat, steht der Zulässigkeit der Beschwerde unter dem Blickwinkel von Art. 75 Abs. 2 BGG nicht im Weg (<ref-ruling> E. 2.2 S. 426).
4.
4.1. Nach Art. 76 Abs. 1 Bst. a BGG ist zur Beschwerde in Zivilsachen berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (Bst. a). Teilnehmen im Sinne dieser Bestimmung bedeutet nach der Rechtsprechung, dass die Beschwerde führende Partei vor der Vorinstanz Anträge gestellt hat, die vollständig oder teilweise abgewiesen worden sind (<ref-ruling> E. 1.1 S. 426; BERNARD CORBOZ, in: Commentaire de la LTF, 2. Aufl., 2014, N 7 zu Art. 76 BGG). Den vorinstanzlichen Feststellungen zufolge beantragte der Beschwerdeführer im Verfahren vor der Vorinstanz, die in seinem Namen handelnde Rechtsanwältin als Kindesvertreterin im Sinne von Art. 314a bis ZGB zu bestellen. Diesen Antrag wies das Obergericht ab (s. Sachverhalt Bst. B.c). Insofern hat der Beschwerdeführer am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen.
4.2. Demgegenüber ist dem angefochtenen Entscheid nicht zu entnehmen, dass der Beschwerdeführer vor Obergericht auch den Antrag gestellt hätte, mit ihm zum zweiten Mal (s. Sachverhalt Bst. B.a) eine persönliche Anhörung im Sinne von Art. 314a ZGB durchzuführen. Dass die Vorinstanz ein solches Begehren übersehen und den (Prozess-) Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt hätte (s. dazu <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.), behauptet der Beschwerdeführer nicht. Soweit er vor Bundesgericht erstmals die Durchführung einer persönlichen Anhörung beantragt und zu diesem Zweck die Rückweisung der Sache an das Obergericht verlangt (s. Sachverhalt Bst. C), ist er mangels Teilnahme am Verfahren vor der Vorinstanz nicht zur Beschwerde berechtigt. Wie oben ausgeführt, handelt es sich beim Anspruch auf eine persönliche Anhörung nach Art. 314a ZGB um ein höchstpersönliches Recht, bezüglich dessen Durchsetzung der minderjährige Beschwerdeführer auch im vorinstanzlichen Verfahren als prozessfähig zu gelten hatte (E. 2.3). Entsprechend lässt sich die verpasste Teilnahme am vorinstanzlichen Verfahren auch nicht damit entschuldigen, dass der Beschwerdeführer zunächst vor Bundesgericht die Einsetzung einer Kindesvertretung (Art. 314a bis ZGB) erstreiten müsste, um anschliessend seinen angeblichen Anspruch auf eine zweite persönliche Anhörung (Art. 314a ZGB) durchsetzen zu können. Schliesslich ändert an alledem auch der Umstand nichts, dass die Mutter des Beschwerdeführers (zusammen mit dessen Stiefvater) in ihrer Beschwerde an das Obergericht die Anhörung des Beschwerdeführers beantragte (s. Sachverhalt Bst. B.c). Die Eltern können die persönliche Anhörung ihres Kindes nur als Beweismittel anrufen. Anders als dem urteilsfähigen Kind steht ihnen die Kindesanhörung nicht als persönliches Mitwirkungsrecht zu, das losgelöst vom Streit in der Sache als selbständiger Anspruch durchgesetzt und in diesem Sinne als separater Streitgegenstand angesehen werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 554). Der vor der Vorinstanz gestellte Beweisantrag der Mutter auf Durchführung einer Kindesanhörung liesse sich deshalb auch nicht - sozusagen im Sinne eines Parteiwechsels (Art. 71 BGG i.V.m. Art. 17 BZP) - auf den Beschwerdeführer übertragen und in den vor Bundesgericht gestellten, hier auf die Rückweisung gerichteten Hauptantrag verwandeln.
5.
5.1. Das Beschwerderecht setzt auch voraus, dass die rechtsuchende Partei durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG). Nach dem Gesagten (E. 4) ist diese Voraussetzung nur noch mit Bezug auf den Streit um die Einsetzung einer Kindesvertretung (Art. 314a bis ZGB) zu prüfen. Verlangt ist in der Regel ein aktuelles und praktisches Interesse an der Gutheissung der gestellten Rechtsbegehren, das auch im Zeitpunkt der Fällung des bundesgerichtlichen Urteils vorhanden sein muss (s. <ref-ruling> E. 1.2 S. 157). Ob ein solches Interesse gegeben ist, beurteilt sich deshalb nach den Wirkungen und der Tragweite einer allfälligen Gutheissung der Beschwerde (vgl. <ref-ruling> a.a.O.). Ist das schutzwürdige Interesse schon bei Einreichung der Beschwerde nicht gegeben, so tritt das Bundesgericht auf die Beschwerde nicht ein (<ref-ruling> E. 2.1 S. 500 mit Hinweisen).
5.2. Im konkreten Fall erscheint angesichts der Formulierung des Rechtsbegehrens fraglich, ob der Beschwerdeführer allein wegen der verweigerten Kindesvertretung eine Rückweisung der Sache an das Obergericht verlangt. Seine Forderung, für das vorinstanzliche Verfahren eine Kindesvertretung einzusetzen, formuliert er als "Anweisung", die er mit dem Begehren verknüpft, das Verfahren "zur Sachverhaltsergänzung und Gewährung des rechtlichen Gehörs sowie Durchführung einer Kindesanhörung" an die Vorinstanz zurückzuweisen (s. Sachverhalt Bst. C). Auch so hat der Beschwerdeführer jedenfalls kein praktisches Interesse daran, die Streitsache allein mit der Auflage an die Vorinstanz zurückzuweisen, eine Kindesvertretung einzusetzen. Wie die vorigen Erwägungen zeigen, ist der Beschwerdeführer hinsichtlich der Hauptsache nicht prozessfähig (E. 2.2). Sein Antrag auf Durchführung einer weiteren Kindesanhörung (Art. 314a ZGB) ist vor Bundesgericht unzulässig (E. 4.2). Selbst wenn die Beschwerde im Streit um die Kindesvertretung gutgeheissen würde, bleibt mithin nichts mehr übrig, womit sich die Vorinstanz in einem neuerlichen Verfahren befassen könnte. Soweit ihr überhaupt selbständige Bedeutung beizumessen ist, fehlt der mit der Beschwerde aufgeworfenen Frage, ob das Obergericht den Antrag des Beschwerdeführers auf Einsetzung einer Kindesvertretung zu Recht abwies, also die praktische Relevanz.
6.
Aus den dargelegten Gründen kann das Bundesgericht insgesamt nicht auf die Beschwerde eintreten. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Er hat deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Dem Kanton Zürich ist keine Entschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Bezirk Horgen, B._, C._, D._ und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. März 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn