Sachverhalt:
A.
B._ erstattete am 21. August 2015 bei der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Untersuchungsamt Altstätten, gegen ihren Schwiegervater A.A._ und zwei weitere Personen Strafanzeige. Sie machte im Wesentlichen geltend, ihre vier Töchter (geb. 2006, 2008, 2010 und 2012) hätten ihr von sexuellen Übergriffen erzählt, die deren Grossvater A.A._, deren Onkel C.A._ und dessen Kollege D._ gegen sie während mehreren Jahren verübt hätten.
B.
Die Staatsanwaltschaft eröffnete gegen A.A._ und die anderen beiden Verzeigten eine Strafuntersuchung wegen Verdachts auf mehrfache sexuelle Handlungen mit Kindern, mehrfache Freiheitsberaubung, Drohung, mehrfache Nötigung und einfache Körperverletzung. A.A._ wurde am 27. August 2015 festgenommen und befand sich bis am 5. Oktober 2015 in Untersuchungshaft. Die Entlassung aus der Untersuchungshaft erfolgte unter Anordnung von Ersatzmassnahmen (Kontaktverbote, Aufenthaltsbeschränkungen). Die Ersatzmassnahmen wurden am 19. Februar 2016 teilweise und am 8. Juni 2016 vollständig aufgehoben.
C.
Am 10. März 2017 stellte die Staatsanwaltschaft die Strafverfahren gegen A.A._ und die beiden Mitbeschuldigten ein. Die Verfahrenskosten wurden dem Kanton auferlegt, der amtliche Verteidiger von A.A._ wurde vom Staat entschädigt und es wurde festgehalten, dass über die Entschädigung an A.A._ nach Eintritt der Rechtskraft der Einstellungsverfügung in einem separaten Entscheid befunden werde. Die gegen die Verfahrenseinstellung erhobenen Beschwerden wurden mit Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen vom 4. Juli 2017 und vom Bundesgericht mit Urteil vom 23. März 2018 abgewiesen, soweit darauf eingetreten wurde.
D.
Mit Verfügung vom 29. November 2018 sprach die Staatsanwaltschaft A.A._ folgende Beträge zu: Fr. 2'500.-- für die angemessene Ausübung der Verfahrensrechte (Ziffer 1), Fr. 5'760.-- für wirtschaftliche Einbussen (Ziffer 2) und Fr. 13'000.-- als Genugtuung (Ziffer 3). Zudem wurde angeordnet, dass das Dispositiv der Einstellungsverfügung unter Unkenntlichmachung der dortigen Ziffer 3 im Amtsblatt des Kantons St. Gallen veröffentlicht werde (Ziffer 4) und der Kanton die Entscheidgebühr trage (Ziffer 5).
E.
Mit Eingabe vom 17. Dezember 2018 reichte A.A._ gegen die Verfügung der Staatsanwaltschaft eine 53-seitige Beschwerde bei der Anklagekammer des Kantons St. Gallen ein. Am 19. Dezember 2018 wies der Präsident der Anklagekammer die Beschwerdeschrift als weitschweifig zur Kürzung auf maximal 25 Seiten zurück. Am 21. Januar 2019 reichte A.A._ eine gekürzte Beschwerde ein. Er beantragte im Hauptantrag eine Rückweisung an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung. Eventualiter seien ihm für die Ausübung der Verfahrensrechte Fr. 8'795.20, für seine wirtschaftlichen Einbussen Fr. 26'366.-- und als Genugtuung Fr. 100'000.--, jeweils zuzüglich Verzugszins, zuzusprechen. Zudem sei die gesamte Einstellungsverfügung unter allfälliger Abdeckung von Personennamen zu veröffentlichen.
F.
Am 4. Juni 2019 wurde A.A._ und sein Rechtsvertreter auf den 22. August 2019 zur mündlichen Verhandlung vor der Anklagekammer vorgeladen. Die Redezeit für den anwaltlichen Parteivortrag des Beschwerdeführers wurde dabei auf 30 Minuten beschränkt.
G.
Mit Entscheid vom 22. August 2019 hob die Anklagekammer des Kantons St. Gallen Ziffern 2 und 3 der Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 29. November 2018 auf und sprach A.A._ für seine wirtschaftlichen Einbussen eine Entschädigung von Fr. 5'760.-- und als Genugtuung Fr. 22'000.-- zu, je zuzüglich 5 % Zins seit dem 27. August 2015. Im Übrigen wies die Anklagekammer die Beschwerde ab, soweit sie darauf eintrat. Sodann regelte es die Kosten- und Entschädigungsfolgen.
H.
A.A._ erhebt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt, die Präsidialverfügungen der Anklagekammer vom 19. Dezember 2018 und 4. Juni 2019 sowie der Entscheid der Anklagekammer vom 22. August 2019 seien aufzuheben und die Sache sei an die Anklagekammer zurückzuweisen, damit sie auf die Beschwerde vom 17. Dezember 2018 eintrete, eine Verhandlung ohne Redezeitbeschränkung mit einer ordnungsgemässen Einvernahme des Beschwerdeführers durchführe und über die Sache neu materiell entscheide. Eventualiter sei der Entscheid der Anklagekammer vom 22. August 2019 aufzuheben und ihm seien folgende Beträge zuzusprechen: für die Ausübung der Verfahrensrechte im Verfahren vor der Staatsanwaltschaft Fr. 8'795.20, für die wirtschaftlichen Einbussen Fr. 26'366. -- und als Genugtuung Fr. 100'000.--, jeweils zuzüglich Verzugszins. Sodann sei die gesamte Einstellungsverfügung vom 10. März 2017 unter allfälliger Abdeckung von Personennamen zu veröffentlichen. Die Entscheidgebühr der Anklagekammer von Fr. 4'000.-- sei dem Staat aufzuerlegen und A.A._ sei für das Verfahren vor der Anklagekammer eine Parteientschädigung von Fr. 7'840.55 zuzusprechen.

Erwägungen:
1.
1.1. Anfechtungsobjekt der vorliegenden Beschwerde bildet der Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen vom 22. August 2019 als letztinstanzlicher kantonaler Entscheid (vgl. <ref-law>). Sofern der Beschwerdeführer beantragt, die Präsidialverfügungen vom 19. Dezember 2018 und vom 4. Juni 2019 seien aufzuheben, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Hingegen ist auf die diesbezügliche Argumentation des Beschwerdeführers im Zusammenhang mit der Behandlung seiner Rügen, die Vorinstanz habe durch das alleinige Abstellen auf die gekürzte Beschwerdeschrift und die verfügte Redezeitbeschränkung Bundes- und Verfassungsrecht verletzt, einzugehen (vgl. nachfolgend E. 2 und 3).
1.2. Nicht einzutreten ist sodann auf jene Rügen, mit welchen der Beschwerdeführer der Staatsanwaltschaft vorwirft, sie habe ihm die Abnahme von zur Substanziierung seiner Zivilforderungen beantragten Beweismitteln in Verletzung des rechtlichen Gehörs verweigert, nämlich die Einvernahme von 76 Personen, die Einholung von schriftlichen Berichten bei 20 Stellen, diverse Editionen, die Einholung von Gutachten etc. Auch diese Vorwürfe liegen ausserhalb des durch den angefochtenen Entscheid begrenzten Streitgegenstandes (<ref-law>) und können im Rahmen des vorliegenden Verfahrens vor Bundesgericht nicht behandelt werden.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt zusammengefasst, die Vorinstanz habe aktenwidrig und willkürlich (<ref-law>) nur auf die von ihm in seiner - auf Anweisung der Vorinstanz - gekürzten Beschwerde vom 21. Januar 2019 gemachten Ausführungen abgestellt und seine in der ursprünglichen Beschwerde vom 17. Dezember 2018 vorgebrachte Argumentation ausser Acht gelassen. Das Verfassen einer 53 Seiten umfassenden Beschwerde sei erforderlich gewesen und die Zurückweisung zur Kürzung auf 25 Seiten und das Abstellen allein auf die gekürzte Beschwerde stelle einen überspitzten Formalismus dar. Es sei nicht möglich gewesen, alles Wichtige auf 25 Seiten zusammenzufassen. Daher habe er die Anträge auf eine höhere Entschädigung für die Ausübung der Verfahrensrechte und für die wirtschaftlichen Einbussen, sein Begehren um Publikation der vollständigen Einstellungsverfügung wie auch seine höhere Genugtuungsforderung und die von ihm beantragten Kosten- und Entschädigungsfolgen in der gekürzten Beschwerde nicht bzw. nicht hinreichend begründen können. Die Vorinstanz lege <ref-law> falsch aus. Indem sie seine Ausführungen in der ursprünglichen Beschwerde vom 17. Dezember 2018 nicht berücksichtigt habe, habe sie seinen Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt. Wenn die Vorinstanz die Ansicht vertrete, in der gekürzten Beschwerde vom 21. Januar 2019 würden Ausführungen zur Begründung seiner Ansprüche (u.a. zur Entschädigung der wirtschaftlichen Einbussen) fehlen, hätte sie dem Beschwerdeführer gestützt auf <ref-law> eine Nachfrist zur Verbesserung ansetzen müssen. Ungeachtet dessen, hätte die Vorinstanz die Zusprache der Entschädigungs- und Genugtuungsansprüche gemäss <ref-law> von Amtes wegen prüfen und ihn zur Frage der wirtschaftlichen Einbussen in Anwendung von <ref-law> einlässlich einvernehmen müssen.
Indem die Vorinstanz auf seine Anträge auf Zusprechung der beantragten Entschädigung und Genugtuung nicht eingetreten sei, habe sie nebst den genannten Artikeln auch gegen die folgenden Bestimmungen verstossen: Art. 6 Ziff. 1 EMRK (Verletzung des Rechts auf ein faires Verfahren), <ref-law> (Verunmöglichen eines dem Beschwerdeführer zustehenden Rechtswegs), <ref-law> (Verletzung der Rechtsweggarantie), <ref-law> (Verletzung des Verhältnismässigkeitsprinzips), <ref-law> (übermässige Einschränkung der persönlichen Freiheit des Beschwerdeführers), <ref-law> (kein öffentliches Interesse an der auferlegten Kürzung der Beschwerde), <ref-law> (Verletzung der Berufsausübungsfreiheit des Rechtsvertreters des Beschwerdeführers zum Nachteil des Beschwerdeführers), Art. 379 i.V.m. <ref-law> (Nichtbeachten der Untersuchungsmaxime), <ref-law> (unzureichender Gebrauch des Ermessens durch die Vorinstanz, Unterschreiten des gesetzlich vorgeschriebenen Prüfungsumfangs, Verunmöglichen der Nennung aller Rügegründe als Folge der angeordneten Kürzung) und Art. 13 EMRK (Vereitelung einer wirksamen Beschwerde aufgrund der angeordneten Kürzung).
2.2. Die Vorinstanz hält fest, die 7-seitige angefochtene Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 29. November 2018 enthalte auf 4 Seiten die eigentliche Begründung betreffend Entschädigung, Genugtuung sowie Publikation der Einstellungsverfügung. Die dagegen erhobene 53 Seiten umfassende Beschwerde vom 17. Dezember 2018 habe unnötige Wiederholungen, langatmige Wiedergaben der Akten und Doppelspurigkeiten enthalten, weshalb sie als weitschweifig zur Kürzung auf 25 Seiten zurückgewiesen worden sei. In seiner fristgerecht eingereichten gekürzten Beschwerdeschrift vom 21. Januar 2019 habe sich der Beschwerdeführer nur zu seinen Anträgen auf Zusprechung einer höheren Genugtuung und zur Zusprechung eines Verzugszinses auf allen beantragten Zivilforderungen geäussert. Hingegen fehle eine Begründung zu den Anträgen auf Zusprechung eines höheren Betrages für die angemessene Ausübung der Verfahrensrechte und für die wirtschaftlichen Einbussen sowie auf vollständige Publikation der Einstellungsverfügung. Hätte der Beschwerdeführer in der gekürzten Beschwerdeschrift auf Wiederholungen und langatmige Ausführungen verzichtet, wäre es ihm ohne Weiteres möglich gewesen, sich zu allen wesentlichen Punkten hinreichend zu äussern. Mangels rechtsgenügender Begründung sei auf die sich auf Art. 429 Abs. 1 lit. a und b StPO stützenden Entschädigungsbegehren und den Antrag auf vollständige Publikation der Einstellungsverfügung nicht einzutreten (vgl. angefochtener Entscheid S. 6 ff.).
2.3. Die Beschwerde an das Bundesgericht ist zu begründen (<ref-law>). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Eine qualifizierte Begründungspflicht obliegt, soweit Willkür, die Verletzung von Grundrechten einschliesslich der EMRK oder von kantonalem Recht behauptet wird (<ref-law>; Urteil 6B_15/2019 vom 15. Mai 2019 E. 2.4) Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde substanziiert vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 306; <ref-ruling> E. 5.1 S. 319; <ref-ruling> E. 1.1 S. 503 je mit Hinweisen). Auf ungenügend begründete Rügen oder rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (vgl. Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3 S. 30; <ref-ruling> E. 1.1 S. 156; je mit Hinweisen).
2.4.
2.4.1. Soweit der Beschwerdeführer zur Begründung der Beschwerde auf seine Ausführungen in seinen früheren Rechtsschriften und den Akten verweist, ist er nicht zu hören. Die Begründung hat in der bundesgerichtlichen Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen (<ref-law>). Der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 3.3 S. 128; <ref-ruling> E. 4 S. 421; je mit Hinweisen).
2.4.2. Nach <ref-law> kann die Verfahrensleitung unleserliche, unverständliche, ungebührliche oder weitschweifige Eingaben zurückweisen und eine Frist zur Überarbeitung ansetzen. An der Begründung der Vorinstanz, die 53-seitige Eingabe des Beschwerdeführers vom 17. Dezember 2018 enthalte Doppelspurigkeiten, Wiederholungen und langatmige Ausführungen, übt der Beschwerdeführer in seiner bundesgerichtlichen Beschwerde appellatorische Kritik, mit der er nicht zu hören ist. Weshalb es ihm nicht hätte möglich sein sollen, in der auf 25 Seiten gekürzten Beschwerde vom 21. Januar 2019 auf die wesentlichen Punkte einzugehen, ist nicht nachvollziehbar. Der Beschwerdeführer legt zudem nicht dar, inwiefern die Rückweisung durch die Vorinstanz zur Kürzung auf einer willkürlichen Sachverhaltsfeststellung basieren soll. Ebenso wenig kann die Rückweisung der weitschweifigen Eingabe als überspitzter Formalismus bezeichnet werden. Dieser stellt eine besondere Form der Rechtsverweigerung dar und liegt vor, wenn die Behörde formelle Vorschriften mit übertriebener Schärfe handhabt oder an Rechtsschriften überspannte Anforderungen stellt und dem Rechtssuchenden den Rechtsweg in unzulässiger Weise versperrt (<ref-ruling> E. 4.2.1 S. 204; <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 304; <ref-ruling> E. 2.4.2 S. 11). Davon kann vorliegend keine Rede sein. Dem Beschwerdeführer stand es offen, in der gekürzten Beschwerde auch eine Begründung für seine gestützt auf Art. 429 Abs. 1 lit. a und b StPO beantragten höheren Entschädigungen und für sein Begehren um vollständige Publikation der Einstellungsverfügung abzugeben und seine Ansprüche hinreichend zu begründen.
2.4.3. Gemäss <ref-law> prüft die Behörde den Anspruch auf Entschädigung und Genugtuung von Amtes wegen und kann die beschuldigte Person auffordern, ihre Ansprüche zu beziffern und zu belegen. Die Strafbehörde ist indessen nicht verpflichtet, alle für die Beurteilung des Entschädigungsanspruchs bedeutsamen Tatsachen im Sinne des Untersuchungsgrundsatzes von <ref-law> von Amtes wegen abzuklären. Vielmehr obliegt es dem Antragsteller, seine Ansprüche zu begründen und auch zu belegen. Dies entspricht der zivilrechtlichen Regel gemäss <ref-law>, wonach den Schaden zu beweisen hat, wer Schadenersatz beansprucht (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 240; Urteile 6B_4/2019 vom 19. Dezember 2019 E. 5.2.5 und 6B_669/2018 vom 1. April 2019 E. 2.3; je mit Hinweisen). Soweit der Beschwerdeführer der Vorinstanz eine Verletzung von <ref-law> vorwirft, lässt er die Anforderungen an eine Beschwerdebegründung ausser Acht. Die Anforderungen an die Form und die Begründung der Beschwerde nach StPO sind in Art. 385 Abs. 1 i.V.m. <ref-law> geregelt. Nach diesen Bestimmungen hat die beschwerdeführende Partei genau anzugeben, welche Gründe einen anderen Entscheid nahe legen und welche Beweismittel sie anruft (Urteil 6B_552/2018 vom 27. Dezember 2018 E. 1.3; ZIEGLER/KELLER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, Bd. II, 2. Aufl. 2014, N. 1a zu <ref-law>). Eine Begründung der Anträge auf eine höhere Entschädigung enthält die Beschwerde vom 21. Januar 2019 nicht. Aufgrund des im Beschwerdeverfahren geltenden Rügeprinzips (<ref-law>) hatte die Vorinstanz nicht von Amtes wegen zu prüfen, ob die von der Erstinstanz festgesetzte Höhe der Entschädigungen angemessen ist. Eine Verletzung von <ref-law> liegt nicht vor.
2.4.4. <ref-law> konkretisiert das Verbot des überspitzten Formalismus für das Rechtsmittelverfahren. Erfüllt die Eingabe die in <ref-law> festgehaltenen Anforderungen nicht, so weist die Rechtsmittelinstanz sie zur Verbesserung innerhalb einer kurzen Nachfrist zurück. Genügt die Eingabe auch nach Ablauf der Nachfrist den Anforderungen nicht, so tritt die Rechtsmittelinstanz auf das Rechtsmittel nicht ein (<ref-law>). Keine Nachfrist ist anzusetzen, wenn die beschwerdeführende Partei die Anforderungen an die Begründung und die Form kennt und sie dennoch nicht erfüllt (Urteile 6B_552/2018 vom 27. Dezember 2018 E. 1.5; 6B_678/2017 vom 6. Dezember 2017 E. 5.2). Von fachkundigen Personen, wie etwa Rechtsanwälten, kann erwartet werden, dass sie Rechtsmittel formgerecht einreichen; ihnen gegenüber wird eine Nachfristansetzung in der Regel nur bei Versehen oder unverschuldetem Hindernis in Frage kommen (Urteil 6B_552/2018 vom 27. Dezember 2018 E. 1.5; ZIEGLER/KELLER, in: Basler Kommentar, a.a.O., N. 3 zu <ref-law>). Dafür, dass der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers aufgrund eines Versehens oder unverschuldeten Hindernisses in der gekürzten Beschwerdeschrift eine Begründung der sich auf Art. 429 Abs. 1 lit. a und b StPO stützenden Entschädigungsansprüche und des Antrags auf vollständige Publikation der Einstellungsverfügung unterlassen hätte, bestehen keine Anhaltspunkte. Das Fehlen der Begründung ist derart offensichtlich, dass nicht angenommen werden kann, dies wäre dem sich für die Sache seines Klienten akribisch und mit grossem Aufwand einsetzenden Rechtsanwalt entgangen. Viel eher drängt sich der Schluss auf, dass sich der Rechtsvertreter, der stets behauptete, auf 25 Seiten sei ihm eine umfassende Begründung nicht möglich, bewusst auf die Begründung der Genugtuungsforderung konzentrieren wollte und daher die ihm zugebilligten 25 Seiten darauf verwendete. Immerhin macht dieser Anspruch betragsmässig den weitaus grössten Teil der Gesamtforderung aus (zugesprochen von der Erstinstanz Fr. 13'000.--, gefordert Fr. 100'000.--) und den einzelnen Genugtuungsansprüchen mass der Rechtsvertreter wohl auch bessere Erfolgschancen zu als den Entschädigungsforderungen. Da aufgrund der gegebenen Umstände nicht von einer durch ein unverschuldetes Hindernis oder aus Versehen unterlassenen Begründung auszugehen ist, verletzt die Vorinstanz <ref-law> nicht, wenn sie dem anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer keine Nachfrist zur Verbesserung seiner gekürzten Beschwerde ansetzt.
2.4.5. Es stellt keine Rechtsverweigerung, keine Verletzung des rechtlichen Gehörs und keine Verweigerung des Rechtswegs dar, wenn die Vorinstanz die Ausführungen in der Beschwerde vom 17. Dezember 2018 nicht berücksichtigt und auf die in der Beschwerde vom 21. Januar 2019 gestellten, aber unbegründet gebliebenen, Anträge auf Zusprechung einer höheren Entschädigung für die Ausübung der Verfahrensrechte und für wirtschaftliche Einbussen sowie vollständige Publikation der Einstellungsverfügung nicht eintritt (vgl. Urteile 6B_1272/2017 vom 23. Februar 2018 E. 3.4 und 6B_1405/2016 vom 14. Februar 2017 E. 2.2.2; je mit Hinweisen). Die diesbezüglichen Rügen des Beschwerdeführers erweisen sich als unbehelflich. Mit ihrem Nichteintretensentscheid in Bezug auf die beantragte höhere Entschädigung für die Ausübung von Verfahrensrechten und für die wirtschaftlichen Einbussen sowie in Bezug auf die vollständige Publikation der Einstellungsverfügung verletzt die Vorinstanz weder Bestimmungen der Strafprozessordnung, der Bundesverfassung noch der EMRK.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt, dass die Vorinstanz anlässlich der mündlichen Verhandlung vom 22. August 2019, in welcher er vom Gericht befragt wurde, seinem Rechtsvertreter nur eine Redezeit von 30 Minuten gewährt hat, um zur Vernehmlassung der Staatsanwaltschaft Stellung nehmen zu können. Dadurch sei sein rechtliches Gehör, sein Anspruch auf ein faires Verfahren, seine persönliche Freiheit wie auch die Berufsausübungsfreiheit verletzt worden, denn die Zeit habe seinem Rechtsvertreter nicht ausgereicht, um das 28 Seiten umfassende Plädoyer vorzutragen und zudem zu seinen, anlässlich der zuvor durchgeführten Einvernahme gemachten Aussagen Stellung zu nehmen. Die Beschränkung der Redezeit sei in der StPO nicht vorgesehen und unverhältnismässig. Im Weiteren habe die Vorinstanz zwingende Beweiserhebungsvorschriften (<ref-law>, <ref-law>, <ref-law>, <ref-law>) verletzt und ihn zu Unrecht als Beschuldigten statt als Zeugen bzw. als Privatkläger einvernommen. Die Belehrung, wonach er die Aussage und Mitwirkung habe verweigern dürfen, verstosse gegen <ref-law> bzw. Art. 180 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>. Der angefochtene Entscheid beruhe folglich auf einem wesentlichen Verfahrensfehler und müsse zur erneuten Durchführung einer ordnungsgemässen Verhandlung an die Vorinstanz zurückgewiesen werden. Schliesslich sei die Vorinstanz ihrer Begründungspflicht nicht hinreichend nachgekommen.
3.2. Die Vorinstanz hält fest, die Beschwerde sei gemäss <ref-law> innert 10 Tagen schriftlich und begründet einzureichen. Somit habe der Beschwerdeführer alles, was er habe rügen wollen, innert der Beschwerdefrist bzw. vorliegend innert der zur Verbesserung der Beschwerde angesetzten Frist rügen müssen. Die mündliche Verhandlung sei angesetzt worden, um den Beschwerdeführer persönlich anzuhören und ihm Gelegenheit zu geben, zu den Vorbringen der Staatsanwaltschaft in der kurzen Vernehmlassung vom 28. Januar 2019 Stellung zu nehmen. Die seinem Rechtsvertreter hierzu gewährte Redezeit, sei ausreichend gewesen (vgl. angefochtener Entscheid S. 8 f.).
3.3.
3.3.1. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde gegen schriftliche oder mündliche eröffnete Entscheide innert 10 Tagen schriftlich und begründet bei der Beschwerdeinstanz einzureichen. Die Beschwerdefrist ist nicht erstreckbar (<ref-law>, PATRICK GUIDON, in: Basler Kommentar, a.a.O., N. 6 zu <ref-law>). Mit der Vorinstanz musste damit das, was zu rügen war, innert der Beschwerdefrist bzw. der zur Verbesserung angesetzten Frist gerügt werden, was wie ausgeführt, auf den zugebilligten 25 Seiten durchaus möglich gewesen wäre (vgl. vorgehend E. 2.4.2).
3.3.2. Die Beschwerde wird grundsätzlich im schriftlichen Verfahren behandelt (<ref-law>). Die Verfahrensleitung kann jedoch von Amtes wegen oder auf Antrag einer Partei eine Beschwerdeverhandlung anordnen (<ref-law>). Die Vorinstanz machte von dieser Möglichkeit Gebrauch und setzte für die Stellungnahme zur Vernehmlassung der Staatsanwaltschaft und um sich vom Beschwerdeführer ein persönliches Bild zu machen, eine mündliche Verhandlung an. Der Beschwerdeführer nahm daran gemäss Protokolleintrag als Partei des Beschwerdeverfahrens teil und wurde explizit darauf hingewiesen, dass er nicht mehr Beschuldigter ist. Inwiefern sich die anlässlich der Befragung erfolgte Belehrung des Beschwerdeführers, er könne Aussage und Mitwirkung verweigern und müsse die ihm gestellten Fragen nicht beantworten, für diesen nachteilig ausgewirkt haben sollte, erschliesst sich nicht und wird vom Beschwerdeführer denn auch nicht erläutert. Dass die Vorinstanz nicht verpflichtet war, die Genugtuungs- und Entschädigungsansprüche im Sinne des Untersuchungsgrundsatzes von Amtes wegen abzuklären, wurde sodann bereits dargetan (vgl. vorgehend E. 2.4.3). Verletzungen von Beweiserhebungsvorschriften, welche eine Rückweisung der Angelegenheit zur erneuten Durchführung einer Verhandlung gebieten würden, sind nicht ersichtlich.
3.3.3. Das Recht, die Redezeit der Parteien zu beschränken, fliesst aus der richterlichen Prozessleitung gemäss <ref-law>. Es ist dem rechtlichen Gehör, untergeordnet (<ref-ruling> E. 2 S. 90; GUT/FINGERHUTH, in: Zürcher Kommentar StPO, 2. Aufl. 2014, N. 1 zu <ref-law>). Der Anspruch auf rechtliches Gehör bedeutet jedoch nicht, dass sich eine Partei in alle Einzelheiten verlieren darf, sondern sie muss bloss Gelegenheit erhalten, zu den relevanten Punkten Stellung zu nehmen (Urteil 6B_726/2011 vom 15. März 2012 E. 1.3). Dieses Recht wurde dem Beschwerdeführer gewährt. Es ging in der Verhandlung nicht darum, die Beschwerdegründe neu aufzurollen und erneut zu begründen. Vielmehr hatte der Beschwerdeführer bzw. sein Rechtsvertreter während 30 Minuten Gelegenheit, sich zu der eine Seite umfassenden Stellungnahme der Staatsanwaltschaft zu äussern. In der Stellungnahme hielt die Staatsanwaltschaft als Antwort auf die Vorwürfe des Beschwerdeführers fest, dass sie die Strafuntersuchung sorgfältig und mit dem notwendigen Aufwand geführt und nicht rechtswidrig Informationen an Drittpersonen weitergeleitet habe. Eine Redezeit von 30 Minuten genügte vollauf, um sich zu diesen beiden (für die Höhe der Zivilansprüche ohnehin kaum relevanten) Punkten zu äussern. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, des Anspruchs auf ein faires Verfahren, der persönlichen Freiheit oder der Berufsausübungsfreiheit liegt nicht vor. Die Rüge erweist sich als unbegründet.
3.3.4. Die Vorinstanz hat in ihrem Entscheid die für sie wesentlichen Überlegungen genannt, von denen sie sich hat leiten lassen und auf welche sie ihren Entscheid stützt, so dass der Beschwerdeführer diesen in voller Kenntnis der Sache beim Bundesgericht anfechten konnte (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 436; <ref-ruling> E. 3.2.4 S. 41; <ref-ruling> E. 2.2 S. 183; je mit Hinweisen). Eine Verletzung der Begründungspflicht ist nicht auszumachen.
4.
4.1.
4.1.1. Der Beschwerdeführer rügt die von der Vorinstanz auf insgesamt Fr. 22'000.-- bemessene Höhe der Genugtuung als zu niedrig. Die Vorinstanz wende Art. 431 Abs. 1 und <ref-law> unrichtig an, indem sie wesentliche Bemessungsaspekte ausser Acht lasse. Sie verletze auch seinen Anspruch auf rechtliches Gehör, indem sie ihn mit seinen Argumenten zu den einzelnen von ihm geltend gemachten Positionen der Genugtuung nicht gehört und die von ihm beantragten zahlreichen Beweismittel nicht abgenommen habe.
4.1.2. Im Einzelnen macht der Beschwerdeführer zusammengefasst geltend, die Vorinstanz habe bei der Bemessung der Genugtuung für die Untersuchungshaft seinen damaligen Gesundheitszustand nicht ausreichend berücksichtigt und ausser Acht gelassen, dass er noch heute physisch und psychisch an den Haftfolgen leide. Ebensowenig habe sie berücksichtigt, dass ihm der Staatsanwalt mehrmals rechtswidrig gedroht habe, wenn er sich nach einer Freilassung nicht an die Ersatzmassnahmen halte, werde er wieder in Untersuchungshaft versetzt. Auch die Kontakteinschränkungen während der Haft, die Zuführung in Handschellen an die Einvernahme vor der Staatsanwaltschaft und der Umstand, dass er an seinem Abschiedsfest nicht habe teilnehmen können, seien bei der Festsetzung der Genugtuung unbeachtet geblieben. Hätte die Vorinstanz seine Ausführungen berücksichtigt, hätte sie ihm für die erstandene Untersuchungshaft mit Fr. 300.-- pro Hafttag und somit mit Fr. 12'000.-- entschädigen müssen.
4.1.3. Bezüglich der Genugtuung für die Ersatzmassnahmen habe die Vorinstanz die ihm auferlegten Aufenthaltsverbote nicht in ihre Beurteilung miteinbezogen und sei von einer falschen Dauer dieser Massnahmen ausgegangen. Die Feststellung, dass der Kontakt zu den Enkelkindern und zu E.A._ (Ehemann der Anzeigerin und Sohn des Beschwerdeführers) von der Anzeigerin auch ohne Anordnung der entsprechenden Massnahmen unterbunden worden wäre, sei sodann aktenwidrig und rein hypothetisch. Diese Kontaktverbote hätten ihn schwer belastet. Unbeachtet geblieben sei im Übrigen, dass er die Strafanzeigerin und deren Ehemann in Bezug auf eine von ihnen veranlasste Observierung wegen des Kontaktaufnahmeverbots nicht zur Rede habe stellen können. Durch die angeordnete Aufenthaltsverbote sei seine Bewegungsfreiheit zudem praktisch aufgehoben gewesen. Die Vorinstanz habe nicht berücksichtigt, dass er die Rinder auf der Weide von C.A._ während acht Monaten und vier Tagen nicht habe versorgen können. Ebensowenig habe sie berücksichtigt, dass das Redeverbot gegenüber seiner Ehefrau rechtswidrig im Sinne von <ref-law> gewesen sei. Die Vorinstanz blende damit in unhaltbarer Weise wesentliche Aspekt im Rahmen der Bemessung der Genugtuung aus. Hätte die Vorinstanz seine Argumente in ihre Würdigung miteinbezogen und seine Beweisanträge abgenommen, wäre sie zur Erkenntnis gelangt, dass er durch die Ersatzmassnahmen schwerwiegend und für lange Dauer in seinen persönlichen Verhältnissen verletzt wurde, diese Massnahmen in ihrer Wirkung einem Freiheitsentzug gleichgekommen seien und ihm die von ihm beantragte Genugtuung auszurichten sei. Die von der Vorinstanz anstatt der beantragten Fr. 40'000.-- zugesprochene Summe von nur Fr. 5'000.-- laufe dem Gerechtigkeitsempfinden in stossender Weise zuwider, sei willkürlich und verletze Art. 431 Abs. 1 und <ref-law>.
4.1.4. Gleiches gelte für die nur auf Fr. 8'000.-- anstatt auf die beantragten Fr. 40'000.-- festgesetzte Genugtuung für die schweren Auswirkungen der Vorwürfe. Auch hier blende die Vorinstanz wesentliche Sachverhaltselemente aus, verfalle in Willkür und verletze Bestimmungen der Strafprozessordung. So stelle diese etwa zu Unrecht fest, es habe keine schweizweite Verbreitung der falschen Vorwürfe stattgefunden. Weiter berücksichtige sie nicht, dass die Anzeigeerstatterin grobe Unwahrheiten über ihn verbreitet habe, so auch dass er seine eigenen Kinder geschlagen und aussereheliche Liebschaften gehabt habe. Die Staatsanwaltschaft hätte zu seinem Schutz gegen die falschen Vorwürfe einschreiten müssen. Er selbst habe sich gegen die Vorwürfe wegen des Kontakt- bzw. Redeverbots nicht wehren können und auch nach dessen Aufhebung sei dies nicht möglich gewesen, da er sich sonst nach <ref-law> strafbar gemacht hätte. Die Vorinstanz habe ferner ausser Acht gelassen, dass die Staatsanwaltschaft mutmasslich rechtswidrig unzählige Personen über die gegen ihn gerichteten falschen Vorwürfe informiert habe.
4.1.5. Auch die unter dem Titel der Verletzung des Beschleunigungsgebots und der Verletzung von Verfahrensrechten beantragte Genugtuung von Fr. 3'000.-- habe ihm die Vorinstanz zu Unrecht verweigert. Die Dauer von acht Monaten für die Erstellung der vier Glaubhaftigkeitsgutachten verletze das Beschleunigungsgebot nach <ref-law>. Die Feststellung der Vorinstanz, dass diese Zeitdauer angemessen gewesen sei, stehe mit der tatsächlichen Situation in einem offenkundigen willkürlichen Widerspruch. Aktenwidrig sei sodann die Feststellung der Vorinstanz, eine anderweitige Verletzung des Beschleunigungsgebots sei nicht erkennbar. Auch eine Dauer von 1 Jahr und 3 Monaten bis zur Einstellung des Verfahrens verletzte das Beschleunigungsgebot.
4.1.6. Die Vorinstanz habe ihm die beantragte Genugtuung für die weiteren Zwangsmassnahmen in der Höhe von Fr. 5'000.-- verweigert, weil in der gekürzten Beschwerde eine Begründung dafür fehle. Die Vorinstanz hätte aber auch die Ausführungen in seiner ursprünglichen (ungekürzten) Beschwerde vom 17. Dezember 2018 berücksichtigen müssen. Soweit die Vorinstanz davon ausgehe, dass die weiteren Zwangsmassnahmen (Hausdurchsuchung, weitere Durchsuchungen) keine schwere Verletzung der persönlichen Verhältnisse verursacht habe, blende sie erneut wesentliche Aspekte aus und verletze <ref-law>. Im Übrigen habe die Vorinstanz es unterlassen, die in der gekürzten Beschwerde dargelegten Vorgänge am Musikfest 2016 zu würdigen. Ebenso habe sie ausgeblendet, dass die Polizei nicht schonend vorgegangen sei, was im Rahmen von <ref-law> hätte gewürdigt werden müssen.
4.2.
4.2.1. Die Vorinstanz berücksichtigt bei der Festsetzung des Tagessatzes für die erstandenen 40 Tage Untersuchungshaft, dass der Beschwerdeführer bereits 72-jährig gewesen und von den gegen ihn erhobenen Vorwürfen geradezu überrumpelt worden sei, zumal er sich nie etwas habe zuschulden kommen lassen. In dieser Hinsicht habe ihn die Untersuchungshaft etwas härter getroffen als andere Personen, was eine Erhöhung des gemäss Praxis des Bundesgerichts üblichen Tagessatzes von Fr. 200.-- auf Fr. 225.-- rechtfertige. Für eine weitere Erhöhung wegen allfälliger gesundheitlicher Probleme des Beschwerdeführers bestehe jedoch keine Veranlassung. Eine medizinische Betreuung sei auch in der Haft gewährleistet gewesen. Anhaltspunkte dafür, dass der Beschwerdeführer noch heute an physischen und psychischen Folgewirkungen der Untersuchungshaft leide bzw. die Folgewirkungen der Untersuchungshaft für den Beschwerdeführer einschneidender waren als für andere Personen, würden nicht vorliegen. Die Behauptung des Beschwerdeführers, wegen des Hinweises der Staatsanwaltschaft auf die Folgen der Verletzung der angeordneten Ersatzmassnahmen habe er jederzeit damit rechnen müssen, dass ein entsprechender Verstoss behauptet und er inhaftiert werde, womit ein Klima der Angst geherrscht habe, sei abwegig. Dass dem Beschwerdeführer während der Haft Kontakteinschränkungen auferlegt wurden, er für die Einvernahme vor der Staatsanwaltschaft in Handschellen zugeführt wurde und an seinem Abschiedsfest nicht habe teilnehmen können, erscheine sodann nicht als aussergewöhnlich hart und könne damit nicht genugtuungserhöhend berücksichtigt werden. Es bestehe kein Anlass für die Abnahme der zahlreichen Beweisanträge. Die Höhe der Genugtuung für die 40 Tage Untersuchungshaft sei auf Fr. 9'000.-- festzusetzen (vgl. angefochtener Entscheid S. 9-12).
4.2.2. Hinsichtlich des Kontaktverbots zu der Strafanzeigerin, deren Ehemann und den Enkelkindern führt die Vorinstanz aus, dass die Strafanzeigerin als Mutter der mutmasslichen Opfer den Kontakt des Beschwerdeführers zu seinen Enkelkindern wohl auch ohne Ersatzmassnahme unterbunden hätte. Selbst der Beschwerdeführer habe vorgebracht, dass sein Sohn E.A._ und die Enkelkinder auch nach Aufhebung der Ersatzmassnahme wegspringen würden, wenn sie ihn sähen. Damit fehle es diesbezüglich an einem Kausalzusammenhang zwischen der Ersatzmassnahme und der vorgebrachten Verletzung der persönlichen Verhältnisse. Die mit dem Aufenthaltsverbot einhergehenden Einschränkungen seien sodann nicht schwerwiegend gewesen. Der Beschwerdeführer habe sich am Wohnort der Strafanzeigerin, deren Ehemanns und der Enkelkindern lediglich nicht aufhalten dürfen und bei einem Zusammentreffen (z.B. beim Einkaufen, Coiffeur, Post etc.) die jeweilige Örtlichkeit verlassen müssen. Diesbezüglich liege keine genugtuungsbegründende schwere Verletzung der persönlichen Verhältnisse vor. Gleiches gelte in Bezug auf ein Kontaktverbot zum Mitbeschuldigten D._.
Hingegen stelle das Kontaktverbot zu seinem ebenfalls beschuldigten Sohn, C.A._, eine schwere Verletzung der persönlichen Verhältnisse dar, da erstellt sei, dass der Umstand, nicht mehr auf dem Hof des Sohnes helfen zu dürfen, für den Beschwerdeführer besonders belastend gewesen sei. Weiterer Beweisabnahmen bedürfe es dazu nicht, zumal der Beschwerdeführer nicht zeige, welcher Beweisantrag (aus der Fülle an Anträgen) welchen Nachweis erbringen solle. Sodann stelle das dem Beschwerdeführer auch gegenüber seiner Ehefrau auferlegte Redeverbot (Verbot, mit jeglichen Personen in Bezug auf das gegen ihn, C.A._ und D._ geführte Strafverfahren betreffend sexuelle Handlungen mit Kindern jegliche, behördlich nicht bewilligte Kontakte zu haben) eine schwere Verletzung der persönlichen Verhältnisse dar, da dieses die Ehe massiv belastet habe. Weitere Beweisabnahmen bedürfe es dazu nicht und es sei auch nicht ersichtlich, was mit den Beweisanträgen zusätzlich bewiesen werden sollte. Inwiefern das Redeverbot rechtswidrig im Sinne von <ref-law> gewesen sein soll, werde vom Beschwerdeführer nicht näher erläutert und sei auch nicht ersichtlich. Es rechtfertige sich, für das Kontaktverbot zu seinem Sohn C.A._ und für das Redeverbot gegenüber seiner Ehefrau, dem Beschwerdeführer unter dem Titel Ersatzmassnahmen eine Genugtuung von Fr. 5'000. -- zuzusprechen (vgl. angefochtener Entscheid S. 13-17).
4.2.3. Was die Auswirkungen der Vorwürfe anbelangt, hält die Vorinstanz im Wesentlichen fest, dass die Anschuldigungen gravierend gewesen seien. Der Ruf des Beschwerdeführers sei zerstört gewesen und er habe sich insbesondere in den ersten Monaten wegen des auferlegten Redeverbots nicht detailliert gegen das Dorfgeschwätz wehren können. Dafür sei der Staat verantwortlich. Dass eine schweizweite Verbreitung der falschen Vorwürfe stattgefunden habe, sei jedoch weder nachvollziehbar noch belegt. Weitere Verunglimpfungen des Beschwerdeführers durch die Strafanzeigerin, beträfen sodann nicht die strafrechtlichen Vorwürfe und seien vom Staat auch nicht zum Gegenstand des Strafverfahrens gemacht worden. Entsprechend seien sie für die Bemessung der Höhe der Genugtuung nicht kausal. Ohnehin sei der Staat für eine angebliche Informationsweitergabe und die Verbreitung falscher strafrechtlicher Vorwürfe durch die Strafanzeigerin und deren Ehemann nicht verantwortlich. Genugtuungsbegründend seien einzig Folgen, welche aus dem Strafverfahren für den Beschwerdeführer entstanden seien. Ein Vorgehen des Staates gegen die Strafanzeigerin und deren Ehemann gemäss <ref-law> sei nicht zielführend gewesen, zumal Schutzobjekt dieser Bestimmung die möglichst freien Meinungsbildung von Behörden sei. Ebensowenig habe sich die Auferlegung eines Stillschweigens gemäss <ref-law> geboten, da Schweigepflichten zum Schutz der Persönlichkeit und der Verfahrensrechte der beschuldigten Person abzulehnen seien. Eine rechtswidrige Informationsweitergabe an Drittpersonen durch den Staat selber sei schliesslich nicht erstellt. Was die als rechtswidrig gerügte Zustellung der Einstellungsverfügung an den Gemeindepräsidenten und an verschiedene Stellen betreffe, verhalte sich der Beschwerdeführer zudem widersprüchlich, beantrage er nun doch selber eine Veröffentlichung der gesamten Einstellungsverfügung. Für die vom Staat zu verantwortenden schweren Auswirkungen der Vorwürfe sei eine Genugtuung von Fr. 8'000.-- angemessen (vgl. angefochtener Entscheid S. 17-21).
4.2.4. In Bezug auf die geltend gemachte Verletzung des Beschleunigungsgebots und der Verletzung von Verfahrensrechten verweigert die Vorinstanz die Zusprechung einer Genugtuung. Die Dauer von acht Monaten für die Erstellung von vier Glaubwürdigkeitsgutachten sei nicht zu beanstanden. Auch anderweitig sei keine Verletzung des Beschleunigungsgebots ersichtlich. Die geltend gemachte Verletzung von Verfahrensrechten werde nicht begründet (vgl. angefochtener Entscheid S. 21-22).
4.2.5. Für die unter dem Titel "weitere Zwangsmassnahmen" beantragte Genugtuung von Fr. 5'000.-- fehle in der Beschwerde schliesslich jegliche Begründung. Anhaltspunkte, dass diese Zwangsmassnahmen (Hausdurchsuchung, weitere Durchsuchungen) den Rahmen des Üblichen überschritten hätten, lägen nicht vor. Entsprechend sei unter diesem Titel keine Genugtuung zuzusprechen (vgl. angefochtener Entscheid S. 22).
4.2.6. Zusammenfassend hält die Vorinstanz fest, dass dem Beschwerdeführer eine Genugtuung von Fr. 22'000.--, zuzüglich Zins zu bezahlen sei.
4.3.
4.3.1. Sind Zwangsmassnahmen rechtswidrig angewandt worden, hat die beschuldigte Person gestützt auf <ref-law> Anspruch auf eine angemessene Entschädigung und Genugtuung. Zwangsmassnahmen sind rechtswidrig, wenn im Zeitpunkt ihrer Anordnung oder Fortsetzung die materiellen oder formellen gesetzlichen Voraussetzungen nach <ref-law> nicht erfüllt waren (Urteile 6B_990/2013 vom 10. Juni 2014 E. 2.2 und 6B_365/2011 vom 22. September 2011 E. 3.2; nicht publ. in BGE: 137 IV 352).
4.3.2. In casu liegen keine Anhaltspunkte dafür vor, dass die Untersuchungshaft, die weiteren Zwangsmassnahmen wie z.B. die Hausdurchsuchung oder die Ersatzmassnahmen im Zeitpunkt ihrer Anordnung oder Fortsetzung rechtswidrig bzw. ungesetzlich waren. Die Haft wurde auf einen konkreten Tatverdacht gegen den Beschwerdeführer angeordnet und diente dazu, der Kollusionsgefahr zu begegnen (vgl. Entscheid des Regionalen Zwangsmassnahmengerichts, Kreisgericht Rheintal, vom 29. August 2015). Die materiellen wie auch die formellen Voraussetzungen für diese Zwangsmassnahme waren erfüllt. Dass die Behörden bei der durchgeführten Hausdurchsuchung nicht schonend vorgegangen wären, ist ferner nicht ersichtlich. Allein der Hinweis, die Nachbarschaft sei auf die Hausdurchsuchung aufmerksam geworden, lässt jedenfalls nicht auf ein unverhältnismässiges Vorgehen der Behörden schliessen. Ebensowenig kann aufgrund der vom Beschwerdeführer geschilderten Vorkommnisse am Musikfest 2016 eine genugtuungsbegründende Zwangsmassnahme festgestellt werden. Inwiefern die dem Beschwerdeführer auferlegten Ersatzmassnahmen rechtswidrig sein sollten, ist sodann nicht zu erkennen. Dies gilt namentlich in Bezug auf das ihm auferlegte Redeverbot zu seiner Ehefrau. Dieses wurde aufgrund bestehender Kollusionsgefahr angeordnet (vgl. Entscheid des Regionalen Zwangsmassnahmengerichts, Kreisgericht Rheintal, vom 8. Oktober 2015), weshalb ein Schweigegebot der Ehefrau - entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers - als mildere Massnahme nicht in Frage kam. Die vom Beschwerdeführer vorgebrachte Behauptung, gegenüber der Ehefrau habe keine Kollusionsgefahr bestanden, wird weder belegt noch näher erläutert. Mangels hinreichender Begründung ist darauf nicht einzugehen (<ref-law>). Die Vorinstanz verletzt kein Bundesrecht, wenn sie einen Anspruch auf Entschädigung bzw. Genugtuung nach <ref-law> verneint.
4.4.
Zu prüfen bleibt, ob die Vorinstanz <ref-law> falsch angewendet und die Genugtuung zu tief angesetzt hat.
4.4.1. Wird die beschuldigte Person ganz oder teilweise freigesprochen oder wird das Verfahren gegen sie eingestellt, so hat sie gemäss <ref-law> Anspruch auf Genugtuung für besonders schwere Verletzungen ihrer persönlichen Verhältnisse, insbesondere bei Freiheitsentzug.
Materiell-rechtlich beurteilt sich der Anspruch nach <ref-law> und <ref-law> (<ref-ruling> E. 3.1 S. 341; Urteile 6B_1087/2017 vom 18. Januar 2018 E. 1.2 und 6B_688/2014 vom 22. Dezember 2017 E. 30.2.1). Erforderlich ist, dass die erlittene Persönlichkeitsverletzung mit dem Strafverfahren in einem Kausalzusammenhang im Sinne des Haftpflichtrechts steht (Urteile 6B_1087/2017 vom 18. Januar 2018 E. 1.2; 6B_1342/2016 vom 12. Juli 2017 E. 4.2 und 6B_129/2016 vom 2. Mai 2016 E. 4.2 mit Hinweisen). Der Ansprecher muss die behauptete Persönlichkeitsverletzung darlegen und beweisen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 47; Urteile 6B_688/2014 vom 22. Dezember 2017 E. 30.2.1 und 6B_192/2015 vom 9. September 2015 E. 1.2; je mit Hinweisen).
Die Genugtuung bezweckt den Ausgleich für erlittene Unbill. Bemessungskriterien sind vor allem die Art und Schwere der Verletzung, die Intensität und Dauer der Auswirkungen auf die Persönlichkeit des Betroffenen, ein allfälliges Selbstverschulden des Geschädigten sowie die Aussicht auf Linderung des Schmerzes durch die Zahlung eines Geldbetrags. Die Höhe der Summe, die als Abgeltung erlittener Unbill in Frage kommt, lässt sich naturgemäss nicht errechnen, sondern nur schätzen (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 119 mit Hinweisen). Sie ist eine Entscheidung nach Billigkeit. Es gibt mithin nicht nur eine richtige Entscheidung, sondern in einer gewissen Bandbreite eine Mehrzahl von angemessenen, dem Gebot der Billigkeit gehorchenden Lösungen (<ref-ruling> E. 2.2.3 S. 120; <ref-ruling> E. 2c S. 212 f.). Die Genugtuung darf nicht nach schematischen Massstäben oder nach festen Tarifen festgesetzt, sondern muss dem Einzelfall angepasst werden. Dies schliesst weder den Rückgriff auf Präjudizien im Sinne eines Richtwerts aus noch die Bewertung der immateriellen Beeinträchtigung in zwei Phasen, nämlich einer objektiven Berechnungsphase mit einem Basisbetrag als Orientierungspunkt und einer nachfolgenden Phase, in der die Besonderheiten des Einzelfalles berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 2.2.3 S. 120 mit Hinweisen).
Dem Sachgericht steht bei der Festsetzung der Höhe der Genugtuung ein weiter Ermessensspielraum zu. In diesen greift das Bundesgericht nur ein, wenn die Vorinstanz grundlos von den in Lehre und Rechtsprechung ermittelten Bemessungsgrundsätzen abweicht, wenn sie Tatsachen berücksichtigt, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle spielen, oder wenn sie umgekehrt Umstände ausser Acht lässt, die sie in ihren Entscheid hätte miteinbeziehen müssen. Darüber hinaus greift es in Entscheide ein, wenn sich diese als offensichtlich unbillig bzw. als in stossender Weise ungerecht erweisen (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 342 f.; Urteile 6B_470/2019 vom 9. August 2019 E. 4.4.2 und 6B_1087/2017 vom 18. Januar 2018 E. 1.2 mit Hinweisen).
4.4.2. Die Vorinstanz hat die Genugtuungsforderung des Beschwerdeführers differenziert für die einzelnen geltend gemachten Anspruchsgrundlagen (Haft, Ersatzmassnahmen, Auswirkungen der Vorwürfe, Verletzung des Beschleunigungsgebots, weitere Zwangsmassnahmen) geprüft. Die Vorinstanz ist dabei eingehend auf die Einwände des Beschwerdeführers in seiner Beschwerde vom 21. Januar 2019 eingegangen und hat weitere Beweisergänzungen mit überzeugender Begründung verworfen. Die Ausführungen des Beschwerdeführers in der ursprünglichen Beschwerde vom 17. Dezember 2018 hat die Vorinstanz zu Recht nicht berücksichtigt (vgl. vorstehend E. 2.4). Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt nicht vor.
4.4.3. Soweit der Beschwerdeführer die tatsächlichen Ausführungen der Vorinstanz ergänzt bzw. diesen seine eigene Sachdarstellung entgegenbringt, entfernt er sich von dem für das Bundesgericht verbindlichen Sachverhalt (<ref-law>), ohne jedoch Willkür in einer den Anforderungen an <ref-law> genügenden Weise darzutun. Bei der Rüge, der Sachverhalt sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden und sei daher willkürlich gilt das strenge Rügeprinzip (vgl. vorstehend E. 2.3) Demnach ist anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen, inwiefern die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung willkürlich sein soll (<ref-ruling> E. 6.3 S. 375; Urteile 6B_902/2019 vom 8. Januar 2020 E. 2.2.1 und 6B_550/2019 vom 8. Juli 2019 E. 3.2). Dazu genügt es nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten oder die eigene Beweiswürdigung zu erläutern (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 244; <ref-ruling> E. 6.3 S. 375; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356; Urteile 6B_917/2019 vom 10. Februar 2020 E. 2.1 und 6B_550/2019 vom 8. Juli 2019 E. 3.2). Der Beschwerdeführer begnügt sich damit, den von ihm geltend gemachten Sachverhalt zu behaupten, ohne darzutun, weshalb der von der Vorinstanz festgestellte Sachverhalt offensichtlich unhaltbar sein soll. Seine Vorbringen erschöpfen sich in unzulässiger appellatorischer Kritik. Die Willkürrügen des Beschwerdeführers erweisen sich als unbehelflich.
4.4.4. Dass die Vorinstanz von rechtlich nicht massgeblichen Gesichtspunkten ausgegangen wäre oder relevante Bemessungskriterien nicht berücksichtigt hätte, ist nicht ersichtlich. Sie trägt in allen vom Beschwerdeführer geltend gemachten Teilaspekten des Genugtuungsanspruchs den wesentlichen Kriterien Rechnung.
Bei der Beurteilung des Tagesansatzes für die Bemessung der Höhe der Genugtuung für 40 Tage erstandener Untersuchungshaft hat die Vorinstanz den von der Erstinstanz auf Fr. 200.-- festgesetzten Ansatz auf Fr. 225.-- (= Fr. 9'000.--) erhöht, weil der 72-jährige Beschwerdeführer ein unbescholtener Bürger sei und die schweren Vorwürfe ihn richtiggehend überrumpelt hätten. Eine über den zugesprochenen Betrag hinausgehende Erhöhung der Genugtuung verneinte die Vorinstanz mit nachvollziehbarer Begründung und ohne das ihr zustehende Ermessen zu verletzen.
Unter dem Titel Ersatzmassnahmen sprach die Vorinstanz dem Beschwerdeführer als Genugtuung Fr. 5'000.-- zu, und zwar für das Kontaktverbot zu seinem mitbeschuldigten Sohn C.A._ und das Redeverbot gegenüber seiner Frau. Dies ist nicht zu beanstanden. Inwiefern die Verneinung einer schweren Persönlichkeitsverletzung aufgrund des Kontakt- und Aufenthaltsverbots in Bezug auf seine Enkelkinder, die Strafanzeigerin, deren Ehemann und D._ das der Vorinstanz zustehende Ermessen verletzen sollte, legt der Beschwerdeführer nicht dar und ist auch nicht ersichtlich. Anders als er behauptet, hat die Vorinstanz alle Ersatzmassnahmen berücksichtigt (vgl. zu den Aufenthaltsverboten etwa auch angefochtener Entscheid Ziff. 6c S. 14) und deren Dauer korrekt berechnet. Der in diesem Zusammenhang vorgebrachten beschwerdeführerischen Behauptung, das Kontakt- und Aufenthaltsverbot in Bezug auf seine Enkelkinder, die Strafanzeigerin und deren Ehemann habe erst am 10. August 2016 geendet, kann nicht gefolgt werden. Vielmehr wurden diese Ersatzmassnahmen bereits am 8. Juni 2016 durch die Staatsanwaltschaft aufgehoben, welche hierzu auch berechtigt war (Art. 228 Abs. 2 und Art. 230 Abs. 3 StPO analog; HUG/SCHEIDEGGER, Zürcher Kommentar StPO, a.a.O.; N. 13 zu Art. 237 in fine).
Für die Auswirkungen der Vorwürfe sprach die Vorinstanz eine Genugtuung in der Höhe von Fr. 8'000.-- zu und verweigerte den geforderten höheren Betrag, mit überzeugender Begründung. Auf ihre diesbezüglichen Ausführungen kann verwiesen werden. Dass sie ihr zustehendes Ermessen überschritten hätte ist auch hier nicht ersichtlich.
Zu Recht verneinte die Vorinstanz bei einer Dauer von acht Monaten für vier Glaubwürdigkeitsgutachten schliesslich auch einen Genugtuungsanspruch wegen Verletzung des Beschleunigungsgebots und sprach mangels hinreichender Begründung und in Ermangelung jedweder Hinweise auf eine schwerwiegende Verletzung der persönlichen Verhältnisse auch keine Genugtuung für "weitere Zwangsmassnahmen" zu.
4.4.5. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die Vorinstanz bei der Beurteilung der geltend gemachten Genugtuungsansprüche von den in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen ausgegangen ist und die für den Entscheid massgeblichen Tatsachen berücksichtigt hat. Die Vorinstanz hat das ihr bei der Bemessung der Höhe der Genugtuung zustehende Ermessen weder überschritten noch missbraucht. Die Festlegung der Genugtuungssumme auf insgesamt Fr. 22'000.-- verletzt kein Bundesrecht verletzt.
5.
Die Vorinstanz sprach dem Beschwerdeführer auf die Entschädigung für wirtschaftliche Einbussen von Fr. 5'760.-- sowie für die Genugtuung von Fr. 22'000.--einen Zins von 5 % seit dem 27. August 2015 zu. In Bezug auf die ihm von der Erstinstanz zugesprochene Entschädigung für die angemessene Ausübung der Verfahrensrechte (<ref-law>) verweigerte die Vorinstanz die Zusprechung eines Schadenszinses (vgl. angefochtener Entscheid S. 22 f.). Dies ist nicht zu beanstanden. Wie das Bundesgericht in <ref-ruling> festgehalten hat, fallen bei einer solche Entschädigung keine Zinsen an (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 497 ff.).
6.
6.1. Der Beschwerdeführer wendet sich schliesslich gegen die ihm zu 4/5 auferlegten Kosten des Beschwerdeverfahrens. Ferner rügt er die Höhe seiner von der Vorinstanz festgesetzten Parteientschädigung als zu niedrig. Er bringt dabei im Wesentlichen vor, die Vorinstanz habe das kantonale Recht willkürlich angewendet, ihr Ermessen überschritten und seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt.
6.2. Die Vorinstanz erwägt, entsprechend dem Verfahrensausgang rechtfertige es sich die Kosten zu 1/5 dem Staat und zu 4/5 dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Der Beschwerdeführer habe an die Kosten des Beschwerdeverfahrens in der Höhe von Fr. 4000.-- daher Fr. 3'200.-- zu bezahlen; Fr. 800.-- trage der Staat. Dieser habe den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers sodann anteilsmässig und pauschal mit Fr. 800.--, inkl. Barauslagen und MWST, zu entschädigen (vgl. angefochtener Entscheid S. 24).
6.3. Nach <ref-law> tragen die Parteien die Kosten des Rechtsmittelverfahrens nach Massgabe ihres Obsiegens oder Unterliegens. Entschädigungsansprüche im Rechtsmittelverfahren richten sich gemäss <ref-law> nach den Bestimmungen von Art. 429 bis <ref-law> und damit nach dem Ausgang des Rechtsmittelverfahrens (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 170; Urteil 6B_601/2019 vom 31. Oktober 2019 E. 3.2).
Bei der Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen verfügt das Sachgericht über einen weiten Ermessensspielraum. Das Bundesgericht auferlegt sich bei der Überprüfung solcher Entscheide eine gewisse Zurückhaltung. Es schreitet nur ein, wenn das Sachgericht den ihm zustehenden weiten Ermessensspielraum überschritten hat (Urteile 6B_601/2019 vom 31. Oktober 2019 E. 2.2; 6B_806/2019 vom 9. Oktober 2019 E. 2.3 und 6B_1050/2018 vom 8. März 2019 E. 4.1.3). Die Anwendung des kantonalen Rechts prüft das Bundesgericht - von hier nicht relevanten Ausnahmen abgesehen - grundsätzlich nur unter dem beschränkten Gesichtswinkel der Willkür (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 308 f. mit Hinweisen).
6.4. Die Kritik des Beschwerdeführers verfängt nicht. Soweit er seine Rügen betreffend der Verlegung der Verfahrenskosten und seinem Anspruch auf Parteientschädigung für das Beschwerdeverfahren einzig mit der Gutheissung seiner Anträge begründet, ist darauf angesichts der Bestätigung des vorinstanzlichen Entscheids nicht einzugehen.
Umstände, welche eine Abweichung von der Kostenverlegung nach <ref-law> rechtfertigen würden, liegen sodann nicht vor. Die Auferlegung der Verfahrenskosten von Fr. 3'200. -- für das Beschwerdeverfahren an den Beschwerdeführer ist damit rechtens.
Auch die dem Beschwerdeführer ausgerichtete Parteientschädigung von pauschal Fr. 800.--, gibt zu keiner Beanstandung Anlass. Die Vorinstanz hat die für die Bemessung massgeblichen Bestimmungen genannt. Dass sie diese willkürlich angewendet oder bei der Festlegung der Parteientschädigung ihr Ermessen überschritten hätte, ist nicht ersichtlich. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers durfte die Vorinstanz Art. 21 Abs. 1 lit. a i.V.m. Art. 26 Abs. 1 lit. b der Honorarordnung vom 22. April 1994 für Rechtsanwälte und Rechtsagenten des Kantons St. Gallen (HonO/SG; sGS 963.75) für die Festsetzung der Parteientschädigung beiziehen, zumal es sich beim vorinstanzlichen Verfahren um ein Rechtsmittelverfahren mit mündlicher Verhandlung handelte, in welchem eine Verfügung der Staatsanwaltschaft zu beurteilen war. Der Gegenstand des vorinstanzlichen Beschwerdeverfahrens war sodann auf die Frage nach der Entschädigung und Genugtuung nach Verfahrenseinstellung beschränkt und erwies sich nicht als aussergewöhnlich kompliziert. Von einem aussergewöhnlich aufwendigen Fall, kann nicht die Rede sein. Unter Berücksichtigung des grossen Ermessensspielraums, welcher der Entscheidinstanz bei der Festlegung der Parteientschädigung zukommt und angesichts dessen, dass unnötiger Aufwand nicht zu entschädigen ist, der Beschwerdeführer lediglich zu 1/5 obsiegt hat und sich die hierfür ausgerichtete Entschädigung von Fr. 800.-- (inklusive Barauslagen und MWST) damit im oberen Bereich der durch Art. 21 Abs. 1 lit. a i.V.m. Art. 26 Abs. 1 lit. b HonO definierten Bandbreite bewegt, kann der vorinstanzliche Entscheid über die Höhe des anwaltlichen Honorars nicht als willkürlich bezeichnet werden. Mit der Nennung der massgeblichen Gesetzesnormen, hat die Vorinstanz den Kostenentscheid schliesslich hinreichend begründet. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt nicht vor (vgl. zur Begründung des Kostenentscheids: <ref-ruling> E. 2.1.1 S. 162; Urteil 6B_363/2017 vom 21. März 2018 E. 3.2.1).
7.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschwerdeführer wird ausgangsgemäss kostenpflichtig und hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 BGG). Besondere Umstände, welche eine davon abweichende Regelung oder einen Verzicht auf die Kosten rechtfertigen würden, sind nicht ersichtlich.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. März 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Rohrer