Faits :
A.
Après avoir séjourné quelques temps chez sa fille dans le canton de Zurich, A._, domiciliée à Genève, est entrée dans un établissement médico-social (ci-après: EMS) sis à U._ (canton de Zurich), le 10 juillet 2019. Par la suite, elle a requis du Département de la sécurité, de l'emploi et de la santé du canton de Genève (ci-après: DSES) la prise en charge par le canton de Genève des coûts résiduels de son séjour en EMS; elle lui a adressé les factures dont elle s'était déjà acquittée (correspondance du 20 mai 2020). Le 3 juin 2020, le Service du réseau de soins du DSES lui a répondu que le canton de Genève ne pouvait garantir le financement résiduel des soins au sens de l'<ref-law>, dès lors que selon la législation en vigueur, le canton de Genève versait le financement résiduel des soins hors canton des résidents séjournant dans des EMS de proximité géographique, dont le périmètre comprenait exclusivement les cantons romands, à l'exception du Valais. Après que A._ a maintenu sa requête (courrier du 24 septembre 2020), le DSES a réitéré le refus de prise en charge du financement résiduel par acte du 6 novembre 2020.
B.
Statuant le 6 juillet 2021 sur le recours de A._, la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, l'a admis; annulant la décision du 6 novembre 2020, elle a reconnu l'obligation du canton de Genève de verser la part résiduelle fondée sur l'<ref-law>, à la recourante qui l'a avancée, dès le 10 juillet 2019 et l'y a condamné en tant que de besoin.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, la République et canton de Genève, représentée par le Département de la sécurité, de la population et de la santé (ci-après: DSPS), demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt de la Cour de justice du 6 juillet 2021 et de confirmer la décision du 6 novembre 2020.

Considérant en droit :
1.
La IIe Cour de droit social du Tribunal fédéral est compétente pour traiter les recours en matière de droit public concernant le financement résiduel des coûts des soins, pour autant qu'ils aient été formés après la survenance d'un cas d'assurance. Tel est le cas en l'espèce, dans la mesure où le litige porte sur la prise en charge, par le canton de Genève, des prestations fournies à l'intimée à partir du 10 juillet 2019, de sorte que la cause doit être traitée par la Cour de céans (cf. <ref-ruling> consid. 1.1).
2.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1). Toutefois, lorsque les conditions de recevabilité, en particulier la qualité pour recourir, ne ressortent pas à l'évidence de la décision attaquée ou du dossier de la cause, comme tel est le cas en l'espèce, le recourant doit exposer en quoi elles sont réunies, sous peine d'irrecevabilité (art. 42 al. 1 et 2 LTF; <ref-ruling> consid. 1).
2.1. Conformément à la légitimation fondée sur l'<ref-law>, seule une collectivité publique comme telle (voire une autre personne morale de droit public) peut se prévaloir de cette disposition, mais pas une autorité ou une branche de l'administration dépourvue de la personnalité juridique, à moins d'avoir une procuration expresse lui permettant d'agir au nom de la collectivité publique en cause (<ref-ruling> consid. 3.2 et les références).
Le DSPS ayant été invité à établir ses pouvoirs de représentation, le conseiller d'Etat en charge du département a produit un extrait du procès-verbal de la séance du Conseil d'Etat du 15 juin 2016 relatif à la délégation des pouvoirs de signature et de représentation devant la justice. Outre le chancelier ou la chancelière d'Etat, les conseillers ou les conseillères d'Etat sont habilités à signer individuellement au nom et pour le compte du Conseil d'Etat les écritures judiciaires, y compris les plaintes pénales, et à le représenter devant différentes juridictions (ch. 1). Les mêmes personnes peuvent déléguer leur pouvoir de signature et de représentation à un membre du personnel de l'Etat ou à un mandataire externe à l'administration (ch. 2). La décision de recourir au Tribunal fédéral contre une décision judiciaire doit être prise par le Conseil d'Etat sous forme d'un extrait de procès-verbal pouvant être transmis au Tribunal fédéral (ch. 3). Toutefois, en dérogation à cette disposition, lorsque la décision à l'origine du litige a été prise au niveau départemental, le département en question peut décider seul de recourir au Tribunal fédéral (ch. 4). Dans les deux cas, le recours signé par la (les) personne (s) autorisée (s) conformément aux chiffres 1 et 2 ci-dessus est adressé au Tribunal fédéral, au nom de la République et canton de Genève, soit pour elle le Conseil d'Etat, représenté par le département rapporteur (ch. 5). En l'espèce, la pièce produite par la recourante confère indéniablement une procuration permettant au département d'agir au nom du canton de Genève. Elle est admissible au regard de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.4.3; BERNARD CORBOZ, in Commentaire de la LTF, 2e éd. 2014, n° 20 ad art. 99). Il y a lieu, dès lors, d'admettre la recevabilité du recours au regard de la jurisprudence précitée (comp. arrêt 8C_547/2018 du 14 juin 2019 consid. 2.3).
2.2.
2.2.1. En ce qui concerne la qualité pour recourir du canton, l'<ref-law> prévoit qu'une collectivité peut jouir de la qualité pour recourir au Tribunal fédéral à divers titres spécifiques. En l'occurrence, le canton de Genève ne relève d'aucune des hypothèses ancrées dans cette disposition. Le droit fédéral spécial ne confère en outre aucun droit de recours aux cantons, respectivement aux organes cantonaux d'exécution de l'assurance-maladie, s'agissant du financement résiduel des soins au sens de l'<ref-law> (cf. art. 89 al. 2 let. d LTF en lien avec l'<ref-law> et l'<ref-law> a contrario).
2.2.2. Les collectivités publiques ou les établissements de droit public sont aussi légitimés à recourir, en application de l'<ref-law>, s'ils sont touchés dans leurs prérogatives de puissance publique et qu'ils disposent d'un intérêt public propre digne de protection à l'annulation ou à la modification de l'acte attaqué (<ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 93; <ref-ruling> consid. 2.1.1). En cas de décisions ayant des répercussions financières, n'importe quel intérêt financier de la collectivité publique découlant directement ou indirectement de l'exécution d'une tâche publique ne suffit pas (<ref-ruling> consid. 1.2.2; <ref-ruling> consid. 2.2.1 et les références citées). Il faut dans ce cas qu'elle soit touchée dans des intérêts centraux liés à sa puissance publique (cf. <ref-ruling> consid. 1.2.2; <ref-ruling> consid. 2.1.1). La qualité pour recourir est admise lorsque les prétentions litigieuses atteignent un montant considérable ou que la question juridique en cause a une valeur de précédent pour l'exécution d'une tâche publique avec une répercussion financière importante qui dépasse le cas particulier (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 2.1.1; arrêts 2C_783/2017 du 25 janvier 2018 in: SJ 2018 I 337; 2C_79/2016 du 10 avril 2017 consid. 2.3.1; 2C_949/2013 du 24 mars 2014 consid. 2.2.2). La qualité pour recourir doit en particulier être reconnue lorsque la décision attaquée a une influence négative sur le fonctionnement des organes de l'Etat susceptible de le toucher sensiblement dans un intérêt public important (<ref-ruling> consid. 1.4).
2.2.3. En l'occurrence, la juridiction cantonale oblige l'Etat de Genève à prendre en charge la part résiduelle, ou coûts des soins résiduels, au sens de l'<ref-law> pour l'assurée en cause. Comme le fait valoir la recourante, cette décision est susceptible d'avoir la portée d'un précédent d'une certaine importance pour l'exécution des tâches publiques dans la mesure où, au-delà de l'obligation de prise en charge dans le cas particulier, elle peut avoir des effets sur la détermination, par le canton de Genève, des besoins en soins de la population au sens de l'art. 39 al. 1 let. d et al. 3 LAMal en relation avec les <ref-law> et 58a ss OAMal. La recourante soutient à cet égard que l'obligation de prendre en charge les coûts de soins résiduels pour une assurée qui choisit d'entrer dans un EMS hors de son territoire entérine le droit de l'intéressée de se faire admettre dans un établissement de son choix, alors que des places sont disponibles dans le canton de domicile, et interfère avec le devoir de planifier les besoins en places et lits dans les EMS pour les assurés domiciliés dans le canton de Genève. La recourante conteste dès lors le principe même de l'obligation d'intervenir pour des assurés séjournant dans un EMS qui ne se trouve pas sur le territoire cantonal respectivement dans un canton romand (hormis le Valais), et donc la nécessité de prendre en considération dans la planification des besoins en soins des situations extra-cantonales. Il convient dès lors d'admettre que l'arrêt attaqué touche le canton de manière significative et concerne un intérêt digne de protection lié à l'exécution de tâches publiques en relation avec le droit fédéral (financement résiduel au sens de l'<ref-law>), de sorte que la légitimation à recourir du canton de Genève doit être retenue sur la base de l'<ref-law> (cf. aussi arrêt 9C_488/2020 du 17 février 2021 consid. 1.2 non publié in <ref-ruling> sur la qualité pour recourir d'une commune dans un cas concernant le financement résiduel au sens de l'<ref-law>).
2.3. L'arrêt attaqué, rendu en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), concerne la prise en charge des coûts des soins résiduels au sens de l'<ref-law>. Comme cette problématique relève du droit public et qu'aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'est réalisée, la voie du recours en matière de droit public est ouverte sur la base de l'<ref-law>.
2.4. Ensuite de ce qui précède, le recours est recevable.
3.
Le recours en matière de droit public peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (<ref-law>), que le Tribunal fédéral applique d'office (<ref-law>), n'étant limité ni par les arguments de la partie recourante, ni par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>).
4.
4.1. Le litige porte sur l'obligation du canton de Genève de prendre en charge les coûts des soins résiduels au sens de l'<ref-law> (dans sa teneur en vigueur à partir du 1er janvier 2019, déterminante en l'espèce [<ref-ruling> consid. 1 et les références]), relatifs aux prestations fournies à l'intimée dans l'EMS sis dans le canton de Zurich dans lequel elle séjourne depuis le 10 juillet 2019.
4.2. Selon l'<ref-law>, les coûts des soins qui ne sont pas pris en charge par les assurances sociales ne peuvent être répercutés sur la personne assurée qu'à hauteur de 20 % au plus de la contribution maximale fixée par le Conseil fédéral. Les cantons règlent le financement résiduel. Le canton de domicile de la personne assurée est compétent pour fixer et verser le financement résiduel. Dans le domaine des soins ambulatoires, le financement résiduel est régi par les règles du canton où se situe le fournisseur de prestations. Le séjour dans un établissement médico-social ne fonde aucune nouvelle compétence. Si, au moment de l'admission, aucune place ne peut être mise à disposition de la personne assurée dans un établissement médico-social de son canton de domicile qui soit situé à proximité, le canton de domicile prend en charge le financement résiduel selon les règles du canton où se situe le fournisseur de prestations. Ce financement résiduel et le droit de la personne assurée à séjourner dans l'établissement médico-social en question sont garantis pour une durée indéterminée.
5.
5.1. Constatant que l'intimée est domiciliée dans le canton de Genève, la juridiction cantonale a retenu que son admission dans un EMS à Zurich n'a eu pour conséquence ni un changement de domicile, ni aucune nouvelle compétence qui obligerait le canton de Zurich à prendre en charge la part résiduelle due par le canton de Genève en tant que canton de domicile. L'art. 25a al. 5, 6e phrase, LAMal ne pouvait être compris en ce sens qu'en cas d'admission en EMS hors du canton de domicile - alors qu'il existe des places disponibles dans ce canton - ce dernier serait exonéré de son obligation de payer la part résiduelle de son administré. Cette disposition avait pour conséquence que le canton de domicile pouvait appliquer ses propres règles de financement, selon sa propre réglementation. La lecture qu'en faisait le canton de Genève, selon laquelle l'assuré admis dans un EMS situé dans un autre canton que le canton de domicile serait privé de toute part résiduelle si des places étaient disponibles dans son canton de domicile, priverait de son sens et de son but la nouvelle disposition légale. Cette dernière visait précisément à clarifier quel canton était tenu de verser la part résiduelle. Une telle interprétation niait le droit d'un assuré de séjourner dans un EMS reconnu et celui d'obtenir le financement résiduel de la part de son canton de domicile, droits qui devaient pourtant être garantis à l'assuré pour une durée indéterminée.
5.2. Se plaignant d'une interprétation erronée de l'art. 25a al. 5, 6e phrase, LAMal, la recourante reproche à la juridiction cantonale d'avoir retenu qu'elle était débitrice du financement résiduel, alors que des places étaient disponibles dans un EMS situé à proximité du domicile de la personne assurée et que celle-ci n'avait pas pris contact avec elle avant son admission dans un établissement dans un autre canton (Zurich). Une telle interprétation conduirait à un résultat arbitraire, dès lors que le canton compétent se verrait privé de toute faculté de favoriser une entrée dans un EMS cantonal, lorsque des places sont disponibles. A cet égard, les premiers juges auraient occulté "les problématiques en matière d'autonomie des cantons et de planification en matière de lits d'EMS" évoquées lors des débats parlementaires à l'Assemblée fédérale. Leur solution relèverait de l'arbitraire, puisqu'elle s'était retrouvée saisie d'une requête de financement résiduel sur la base de faits qu'elle ne pouvait aucunement vérifier et qu'elle devait en particulier couvrir ce financement sans pouvoir établir que l'intimée n'avait pas déplacé son centre de vie avant son entrée dans un EMS extra-cantonal. En d'autres termes, en tant que "débiteur allégué du financement résiduel", elle serait mise devant un fait accompli et n'aurait aucune possibilité de contrôler les éléments fondant sa compétence au moment de l'entrée en EMS, ce contrairement "au système de garantie étatique préalable applicable dans le cadre des hospitalisations extra-cantonales". Le "libre choix absolu en matière d'entrée en EMS", ainsi reconnu par la juridiction cantonale, interférerait avec une planification cantonale efficiente en matière de lits, alors que des craintes à ce sujet avaient été évoquées par les cantons au moment des débats parlementaires et entendues par les deux Conseils.
La recourante fait par ailleurs valoir que lorsque des places en EMS sont effectivement disponibles, mais que la personne concernée ne s'en enquiert pas parce qu'elle privilégie un autre lieu, l'admission dans un EMS extra-cantonal ne suit pas la règle prévue par la 6e phrase de l'<ref-law>, parce que la volonté de l'intéressé de maintenir son centre de vie dans le canton de domicile fait défaut avant l'entrée en EMS. Selon elle, la perpetuatio fori prévue par cette disposition ne peut trouver application que lorsque l'existence d'un domicile dans le "canton débiteur allégué du financement résiduel" est établie et qu'une place dans un EMS situé à proximité dudit domicile fait défaut. L'interprétation des premiers juges s'écarterait donc de la volonté du législateur fédéral et relèverait de l'arbitraire "de par son contenu et par ses effets".
6.
A la lumière de la référence que fait la recourante aux travaux préparatoires relatifs à l'art. 25a al. 5, 6e phrase, LAMal, il convient tout d'abord d'examiner les démarches législatives qui ont conduit à réviser l'<ref-law>, dont la teneur était jusqu'alors la suivante: "Les coûts des soins qui ne sont pas pris en charge par les assurances sociales ne peuvent être répercutés sur la personne assurée qu'à hauteur de 20 % au plus de la contribution maximale fixée par le Conseil fédéral. Les cantons règlent le financement résiduel".
6.1. L'initiative parlementaire 14.417 "Amender le régime de financement des soins" déposée par l'ancienne Conseillère aux Etats Egerszegi-Obrist est à l'origine de la modification de l'<ref-law> entrée en vigueur au 1er janvier 2019 (RO 2018 2989). Elle visait "1. à répartir les compétences en ce qui concerne le financement résiduel des prestations de soins fournies aux patients venant d'autres cantons dans les domaines hospitalier et ambulatoire; 2. à garantir la liberté de choix entre fournisseurs de prestations reconnus; 3. à distinguer mieux et plus clairement entre frais de soins et frais d'assistance". En ce qui concerne le premier point, il n'était pas clair de qui devait relever le financement résiduel des coûts liés aux soins fournis lors d'un séjour dans un EMS situé en dehors du canton de domicile, la Conférence suisse des directrices et directeurs cantonaux de la santé (CDS) s'étant révélée incapable de trancher la question de savoir si les coûts résiduels devaient être pris en charge par le canton où le patient était domicilié avant d'entrer dans l'EMS ou par le canton où se trouvait l'EMS.
Examinant notamment quel canton devait être considéré comme compétent pour le financement résiduel lors d'un séjour du patient dans un EMS extra-cantonal, c'est-à-dire quel canton devait rembourser les coûts des prestations de soins non assumés par l'assurance obligatoire des soins ou la personne assurée, la Commission de la sécurité sociale et de la santé publique du Conseil des Etats (CSSS-E) a proposé de compléter l'<ref-law> par les deux phrases suivantes: "Le canton de domicile de la personne assurée est compétent pour fixer et verser le financement résiduel. Le séjour dans un établissement médico-social ne fonde aucune nouvelle compétence" (Rapport du 21 mars 2016 de la CSSS-E sur l'initiative parlementaire Amender le régime de financement des soins, FF 2016 3779, ch. 2.3.3, 3788 ss et ch. 3, 3796; FF 2016 3799). Pour la CSSS-E, avec cette nouvelle réglementation, inspirée de celle prévalant dans le domaine des prestations complémentaires fédérales, il n'était pas exclu que les montants que le canton de provenance (soit de domicile) compétent avait fixés s'écartent de ceux qui étaient nécessaires dans un autre canton pour couvrir les coûts résiduels des soins. En conséquence, la personne assurée devait sans doute prendre en charge les coûts restants; si elle n'était pas en mesure de s'en acquitter, les coûts résiduels étaient pris en charge par le canton de provenance (rapport cité, FF 2016 3796 ch. 3; cf. aussi Avis du 3 juin 2016 du Conseil fédéral sur le rapport de la CSSS-E du 21 mars 2016, FF 2016 4383, ch. 2, 4386).
6.2.
6.2.1. Au cours des débats parlementaires, après que le Conseil des Etats a adopté le projet élaboré par la CSSS-E lors de la séance du 21 septembre 2016 (BO 2016 CE 735 ss), le Conseil national s'est rallié au principe selon lequel le financement résiduel devait être assuré par le canton de domicile le 8 décembre 2016; en faisant prendre en charge par le canton de provenance le financement résiduel des prestations de soins lors d'un séjour dans un EMS hors de ce canton, il était possible d'éviter que les cantons disposant de davantage de places en EMS que nécessaire pour leur population ne fussent désavantagés financièrement (rapporteur de langue française Steiert, BO 2016 CN 2088). Le Conseil national a cependant refusé l'idée selon laquelle il appartenait au canton de domicile de définir le montant du financement résiduel selon ses propres règles, cette liberté comportant le risque que les coûts ainsi déterminés fussent plus bas que ceux fixés dans le canton où se trouvait l'EMS. Il a adopté la proposition de sa Commission de la sécurité sociale et de la santé publique (CSSS-N) selon laquelle "... Le canton de domicile de la personne assurée est compétent pour verser le financement résiduel. Le financement résiduel obéit aux règles du canton où se situe le prestataire de services. Le séjour dans un établissement médico-social ne fonde aucune nouvelle compétence" (Ch. I art. 25a al. 5 Proposition de la commission; BO 2016 CN 2090).
La suite des délibérations dans chacune des deux Chambres n'a pas amené à une solution commune: le Conseil des Etats ne s'est pas rallié à la proposition du Conseil national, notamment parce qu'elle contrevenait aux principes du fédéralisme selon lesquels le canton qui doit payer détermine les règles et l'étendue du financement (déclaration de la rapporteuse Bruderer Wyss, BO 2017 CE 56). Il a adopté celle de la CSSS-E, correspondant à la proposition initiale avec une précision: "... ne fonde aucune nouvelle compétence. Si aucune place ne peut être mise à la disposition de la personne assurée dans un établissement médicosocial de son canton de domicile, le canton en question prend en charge le financement résiduel selon les règles du canton où se situe le fournisseur de prestations" (Ch. I art. 25a al. 5 Proposition de la commission; BO 2017 CE 56 ss). De l'avis du Conseiller fédéral Berset (exprimé devant le Conseil national le 7 juin 2017), il s'agit d'une solution de compromis sur la question de savoir selon quelles règles le financement résiduel - pour le versement duquel le canton de domicile de la personne assurée est compétent - doit être fixé: les règles du canton où se situe l'EMS seraient applicables, mais ce uniquement dans le cas où aucune place ne pourrait être mise à la disposition de la personne assurée dans son canton de domicile (BO 2017 CN 932). Le Conseil national n'a pas suivi cette proposition, considérant qu'elle pouvait empêcher les assurés de choisir un EMS faute de disposer de moyens suffisants. Il a accepté la proposition de la majorité de la CSSS-N, qui maintenait sa règle initiale avec une précision: "... le financement résiduel. Si aucune convention intercantonale n'en dispose autrement, le financement résiduel [obéit aux règles du canton où se situe le prestataire de services]..." (BO 2017 CN 930 ss).
Le 13 juin 2017, le Conseil des Etats a refusé la proposition du Conseil national, considérant qu'elle n'apportait pas de sécurité juridique, et a adopté la règle suivante: "... ne fonde aucune nouvelle compétence. Si, au moment de l'admission, aucune place ne peut être mise à la disposition de la personne assurée dans un établissement médico-social de son canton de domicile, le canton de domicile prend en charge le financement résiduel selon les règles du canton où se situe le fournisseur de prestations. Ce financement résiduel et le droit de la personne assurée à séjourner dans l'établissement médico-social en question sont garantis pour une durée indéterminée" (BO 2017 CE 478 ss). La précision apportée sur le fait que c'est au moment de l'admission dans un EMS que se pose la question d'une place disponible dans le canton de domicile visait à clarifier que la personne assurée ne devait pas être tenue postérieurement de changer d'EMS si des places étaient créées par le canton d'origine; la garantie à ce sujet était renforcée par l'adjonction selon laquelle tant le financement résiduel que le droit de séjour dans l'EMS choisi étaient assurés sans limite temporelle (Procès-verbal de la séance de la CSSS-E du 8 juin 2017, p. 2 ss). Le Conseil national n'a cependant pas suivi le Conseil des Etats et en est resté à la modification approuvée antérieurement (BO 2017 CN 1239), en maintenant la divergence sur la question de savoir selon quelles règles se détermine le montant du financement résiduel en cas de séjour dans un EMS extra-cantonal (celles du canton où se situe l'EMS ou celles du canton de domicile de la personne concernée). La décision du Conseil des Etats conduisait à limiter le liberté de choix des patients: dès lors qu'elle exigeait un examen préalable des disponibilités dans un EMS, elle empêchait le patient de choisir un EMS proche de son domicile ou de ses proches parents (déclaration de la Conseillère nationale Humbel; BO 2017 CN 1239).
6.2.2. Finalement, la Conférence de conciliation des CSSS-E et CSSS-N a proposé la disposition suivante: "... Le canton de domicile de la personne assurée est compétent pour fixer et verser le financement résiduel. Dans le domaine des soins ambulatoires, le financement résiduel est régi par les règles du canton où se situe le fournisseur de prestations. Le séjour dans un établissement médico-social ne fonde aucune nouvelle compétence. Si, au moment de l'admission, aucune place ne peut être mise à disposition de la personne assurée dans un établissement médico-social à proximité, le canton de domicile prend en charge le financement résiduel selon les règles du canton où se situe le fournisseur de prestations. Ce financement résiduel et le droit de la personne assurée à séjourner dans l'établissement médico-social en question sont garantis pour une durée indéterminée" (BO CE 2017 616 s.). Cette proposition comprenait en particulier la précision déjà approuvée par le Conseil des Etats relative à la situation en cas d'absence de place à disposition de la personne assurée avec l'ajout "à proximité" ("in geographischer Nähe"), afin de tenir compte de la volonté du Conseil national d'aller plus loin sur ce point et d'être plus clair (déclaration de la rapporteuse Bruderer Wyss; BO 2017 CE 617). La proposition de la Conférence de conciliation a été approuvée par le Conseil national le 14 septembre 2017 (BO 2017 CN 1393 s.), séance lors de laquelle la Conseillère nationale Humbel a exposé que cette solution de compromis répondait dans une large mesure à la demande des cantons de préserver leur autonomie cantonale et ne sapait pas la planification en matière d'EMS (BO 2017 CN 1393). Le Conseil des Etats a également adopté ladite proposition lors de sa séance du 14 septembre 2017 (BO 2017 CE 618). Le vote final a eu lieu dans les deux Chambres le 29 septembre 2017 (BO 2017 CE 756; BO 2017 CN 1726).
7.
7.1. On peut retenir de ce qui précède qu'en adoptant l'<ref-law> dans sa nouvelle teneur, le législateur a, en réponse à l'initiative parlementaire "Amender le régime de financement des soins", prévu que c'est le canton de domicile qui est compétent pour fixer et verser le financement résiduel des coûts des soins; en cas de séjour de la personne concernée dans un EMS hors du canton, le canton de domicile applique ses règles cantonales pour déterminer le montant du financement résiduel, à moins qu'au moment de l'admission de l'intéressé dans l'EMS aucune place ne puisse être mise à sa disposition dans un EMS "à proximité" du domicile, auquel cas il prend en charge le financement résiduel selon les règles du canton où se situe l'EMS.
Contrairement à ce qu'elle prétend, la recourante ne saurait dès lors se soustraire à sa compétence de verser le financement résiduel des coûts des soins de l'intimée au motif que celle-ci séjourne dans un EMS hors du canton de Genève, voire dans un EMS ne se trouvant pas à proximité géographique de ce canton. Les débats parlementaires ont mis en évidence que les Chambres fédérales étaient d'emblée d'accord pour prévoir que le canton de domicile est compétent pour fixer et verser le financement résiduel des personnes domiciliées sur son territoire, alors que leurs avis divergeaient sur la question de savoir selon quelles règles ce financement résiduel devait être déterminé et versé en cas de séjour dans un EMS hors du canton de domicile, soit selon les règles du canton de domicile ou celles du canton où se trouve l'EMS. Devant les Chambres fédérales, aucune proposition n'a été faite dans le sens d'imposer au canton où se situe l'EMS la prise en charge du financement résiduel d'une personne domiciliée dans un autre canton. La discussion a bien plus porté sur les règles selon lesquelles le financement résiduel par le canton de domicile devait être déterminé.
Par conséquent, on ne saurait considérer que le canton de domicile n'est pas tenu de prendre en charge les coûts des soins lorsqu'une personne choisit de séjourner dans un EMS extra-cantonal. Comme l'a retenu à juste titre la juridiction cantonale, une telle interprétation ne résulte ni de la lettre ni du but de l'<ref-law>, qui vise précisément à garantir que les coûts des soins résiduels, à savoir l'intégralité des frais effectifs que ni l'assurance obligatoire des soins ni l'assuré ne prendraient à leur charge, soient assumés par les collectivités publiques, soit par le canton ou, si ce dernier décide de les mettre (également) à contribution, par les communes (<ref-ruling> consid. 3.3; <ref-ruling> consid. 4.2; arrêt 2C_228/2011 du 23 juin 2012 consid. 3.2.1 et les références citées). L'introduction de la 3e phrase et des phrases 5 à 7 de l'<ref-law> a permis de régler clairement désormais que la compétence de prendre en charge ces coûts incombe au canton de domicile. Si la question de la planification des places en EMS a certes été évoquée lors des débats parlementaires, l'Assemblée fédérale n'en a pas fait un critère déterminant pour régler la compétence en matière de financement résiduel, pas plus du reste que du "système de garantie étatique préalable applicable dans le cadre des hospitalisations extra-cantonales" invoqué sans succès par la recourante.
7.2. C'est ensuite en vain que la recourante soutient qu'elle ne serait pas tenue de prendre en charge le financement résiduel parce qu'il existait des places disponibles dans le canton de Genève au moment où l'intimée, qui ne s'en était pas enquise au préalable, est entrée dans l'EMS dans le canton de Zurich, de sorte que son admission ne suivrait pas la règle de l'art. 25a al. 5, 6e phrase, LAMal. Le principe même de la prise en charge du financement des coûts des soins par le canton de domicile - prévu par l'art. 25a al. 5, 3e phrase, LAMal - ne dépend pas du point de savoir si une place dans un EMS du canton de domicile peut être mise à disposition de la personne assurée lors de son admission en EMS. Cette question n'est pertinente que pour établir selon quelles règles est déterminé le financement résiduel: les règles du canton du lieu où se situe l'EMS sont applicables lorsqu'il n'y a pas de place disponible dans un EMS du canton de domicile qui soit situé à proximité. A contrario, si une telle place est disponible, le canton de domicile détermine les coûts des soins selon ses propres règles, comme l'a admis à juste titre la juridiction cantonale. Dans la mesure où la recourante critique cette interprétation en affirmant qu'"aucune indication en ce sens n'émerge des débats parlementaires", elle méconnaît la solution trouvée par les Chambres fédérales à leur divergence de vues quant aux règles applicables à la détermination du financement résiduel, ainsi que les discussions qui y ont mené (consid. 6 supra).
7.3. En tant que la recourante affirme encore qu'"il existait une volonté de déplacer son centre de vie chez la personne qui entrait en EMS", elle n'établit pas que les constatations de la juridiction cantonale selon lesquelles l'intimée est domiciliée dans le canton de Genève sont manifestement inexactes, voire arbitraires. Ces constatations lient le Tribunal fédéral (consid. 3 supra).
Dans ce contexte, on ne voit par ailleurs pas ce que la recourante entend déduire en sa faveur du fait que l'intimée ne l'aurait pas saisie d'une requête préalable avant son entrée dans l'EMS dans le canton de Zurich, l'empêchant ainsi de pouvoir vérifier si elle n'avait pas déplacé son centre de vie avant son entrée dans un EMS extra-cantonal. En adoptant l'art. 25a al. 5, 5e phrase, LAMal, selon lequel le séjour dans un EMS ne fonde aucune nouvelle compétence, le législateur avait la volonté de rompre avec le principe du domicile dans les cas où la personne concernée entrait dans un EMS extra-cantonal et s'y créait un domicile au sens du droit civil (cf. <ref-law>). Dans de tels cas, la compétence pour déterminer et financer les coûts des soins résiduels ressortit au canton de provenance (ou canton de [l'ancien] domicile), comme dans le domaine des prestations complémentaires (cf. <ref-law>). Cette nouvelle règle a pour conséquence que le domicile civil et la compétence pour le financement résiduel divergent lorsque la personne concernée, en déménageant dans un EMS extra-cantonal, crée un nouveau domicile au lieu de situation de l'EMS. Elle a pour conséquence que, même en cas de changement de domicile au lieu où se trouve l'EMS extra-cantonal, l'équivalence entre le canton du lieu de situation ("Standortkanton") et le canton compétent pour le financement résiduel fait défaut (<ref-ruling> consid. 7.1.1 et les références aux travaux préparatoires). En d'autres termes, dans les rapports intercantonaux, la règle continue à se fonder sur le domicile, mais le principe du domicile cède le pas au principe du lieu de provenance ("Herkunftsprinzip"), lorsque la personne concernée entre dans un EMS extra-cantonal et transfère son domicile au lieu de situation de l'EMS. Le changement de domicile au moment de l'admission dans un EMS ne joue ainsi pas de rôle s'agissant du financement résiduel (<ref-ruling> consid. 7.1.2).
Au demeurant, la recourante n'indique pas en quoi les constatations des premiers juges dans ce contexte - l'admission dans l'EMS à U._ s'est faite à Zurich en raison d'un besoin de soins né lors d'un séjour de l'intimée auprès de sa fille dans ce canton - seraient manifestement inexactes et qu'il y aurait lieu de s'écarter de leur conclusion selon laquelle l'admission en EMS n'a pas entraîné de changement de domicile.
8.
Il résulte de ce qui précède que les premiers juges ont admis à juste titre que le canton de Genève est tenu de prendre en charge les coûts des soins résiduels de l'intimée dès le 10 juillet 2019. Le recours est mal fondé.
9.
Vu l'issue de la procédure, le canton de Genève doit supporter les frais y afférents (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1400 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 1er avril 2022
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Cretton