Erwägungen:
1.
1.1. Die Eheleute A.A._ und B.A._ ersuchten am 21. Januar 2019 (Poststempel) das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau unter dem Titel "Fristwiederherstellungsgesuch gestützt auf § 26 VRG" um Verlängerung der Beschwerdefrist bis zum 15. Februar 2019 gegen einen Entscheid des Steuerrekurskommission vom 4. Dezember 2018. Sie begründeten dies damit, dass sie "den komplexen Entscheid zumindest von einem Fachexperten prüfen" lassen möchten. Das Verwaltungsgericht teilte den Steuerpflichtigen mit Schreiben vom folgenden Tag zum einen mit, dass es sich um eine nicht erstreckbare Frist handle, weshalb das Gesuch abgewiesen werde. Zum andern setzte es den Steuerpflichtigen eine nicht erstreckbare Frist von zehn Tagen, um eine rechtsgenügliche Beschwerdeschrift mit Antrag und Begründung nachzureichen. Im Säumnisfall werde die Eingabe "mangels Beschwerdewillens" als gegenstandslos abgeschrieben.
1.2. Mit einzelrichterlicher Verfügung VG.2019.6/PE vom 11. März 2019 schrieb das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau die Sache zufolge Gegenstandslosigkeit ab, da innert der angesetzten Nachfrist keine rechtsgenügliche Beschwerdeschrift eingereicht worden sei und der Eingabe vom 20. Januar 2019 ein Beschwerdewille nicht entnommen werden könne.
1.3. Die Steuerpflichtigen unterbreiten dem Bundesgericht mit Eingabe vom 11. April 2019 eine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie ersuchen um Aufhebung des angefochtenen Entscheids, "angemessene und zeitgerechte" Fristverlängerung sowie um Zuerkennung der aufschiebenden Wirkung.
1.4. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (<ref-law> [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen - namentlich von einem Schriftenwechsel (<ref-law>) - abgesehen.
2.
2.1. Die Vorinstanz hatte sich einzig zur Frage zu äussern, ob die Steuerpflichtigen innerhalb der Nachfrist, wie sie im Schreiben vom 22. Januar 2019 angeordnet worden war, eine rechtsgenügliche Beschwerdeschrift (enthaltend Antrag, Begründung, Beweismittel) eingereicht hätten. Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 175) kamen die Steuerpflichtigen der Aufforderung nicht nach. Aufgrund dessen schrieb die Vorinstanz die Sache zufolge Gegenstandslosigkeit ab. Dabei stützte sie sich auf § 61a Abs. 1 des Gesetzes (des Kantons Thurgau) vom 23. Februar 1981 über die Verwaltungsrechtspflege (VRG/TG; RB 170.1).
2.2. Mit Blick darauf kann vor Bundesgericht einzig streitig und zu prüfen sein, ob die Vorinstanz bei Auslegung und Anwendung des kantonalen Verfahrensrechts (§ 61a Abs. 1 VRG/TG) gegen Bundes-, Völker- oder interkantonales Recht verstossen habe (Art. 95 lit. a, b und e BGG; <ref-ruling> E. 6.1 S. 324; <ref-ruling> E. 2.1 S. 372). Soweit kein Bundesgesetzesrecht verletzt sein kann, beschränkt die Überprüfung sich auf die Verletzung verfassungsmässiger Individualrechte (<ref-ruling> E. 1.3 S. 96), insbesondere des allgemeinen Willkürverbots (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 S. 516).
2.3. Im Unterschied zum Bundesgesetzesrecht geht das Bundesgericht der angeblichen Verletzung verfassungsmässiger Individualrechte (unter Einschluss der Grundrechte) und des rein kantonalen oder kommunalen Rechts nur nach, falls eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (<ref-law>; qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit; <ref-ruling> E. 5.1 S. 41). Aus diesem Grund hätten die Steuerpflichtigen im bundesgerichtlichen Verfahren klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, dass und inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 5).
2.4. Selbst wenn berücksichtigt wird, dass eine Laienbeschwerde vorliegt, weshalb die formellen Anforderungen nicht allzu hoch anzusetzen sind (Urteil 2C_324/2019 vom 4. April 2019 E. 2.4), genügt die Eingabe den gesetzlichen Anforderungen offenkundig nicht. Praxisgemäss müsste die zentrale Verfassungsfrage zumindest ansatzweise gestreift werden, was vorliegend nicht der Fall ist. In ihren kurzen Ausführungen konzentrieren die Steuerpflichtigen sich hauptsächlich darauf, dass sie aufgrund ihrer Abwesenheit im Dezember 2018, die sie im Übrigen dem örtlichen Steueramt bekanntgegeben hätten, nicht in der Lage gewesen seien, den Entscheid der Steuerrekurskommission in Empfang zu nehmen. Wie es sich damit verhält, ist vor Bundesgericht aber nicht streitig (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 22), sondern ausschliesslich die Frage, ob sie im vorinstanzlichen Verfahren innert der Nachfrist eine rechtsgenügliche Beschwerde nachgereicht hätten. Dazu äussern sie sich vor Bundesgericht nicht, wozu sie aber gehalten gewesen wären.
2.5. Die Beschwerde enthält damit offensichtlich keine hinreichende Begründung (Art. 42 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>), weshalb darauf mit einzelrichterlichem Entscheid des Abteilungspräsidenten nicht einzutreten ist (<ref-law>). Mit dem vorliegenden Entscheid wird das Gesuch um Zuerkennung der aufschiebenden Wirkung (<ref-law>) gegenstandslos.
3.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens grundsätzlich den Steuerpflichtigen aufzuerlegen (Art. 65 in Verbindung mit <ref-law>). Angesichts der besonderen Umstände rechtfertigt es sich, vom Erheben der Gerichtskosten abzusehen (<ref-law>). Dem Kanton Thurgau, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Für das bundesgerichtliche Verfahren werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. April 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher