Sachverhalt:
A.
Die Regionale Staatsanwaltschaft Bern-Mittelland (im Folgenden: Staatsanwaltschaft) führt eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen des Verdachts der häuslichen Gewalt. Sie wirft ihm vor, er habe seine damalige Ehefrau (im Folgenden: Privatklägerin) mehrfach körperlich schwer misshandelt, vergewaltigt und bedroht.
B.
Mit Verfügung vom 5. März 2019 ordnete die Staatsanwaltschaft die Erstellung eines DNA-Profils von A._ an.
Die von diesem dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Bern (Beschwerdekammer in Strafsachen) am 21. Mai 2019 ab.
C.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Hauptantrag, den Beschluss des Obergerichts aufzuheben. Die Sache sei zum Entscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (beschränkt auf die Gerichtskosten) und zur Gewährung des rechtlichen Gehörs sowie zum neuen Entscheid an das Obergericht zurückzuweisen.
D.
Die Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Bern hat auf Gegenbemerkungen verzichtet. Das Obergericht hat sich vernehmen lassen, ohne einen förmlichen Antrag zu stellen. A._ hat eine Replik eingereicht, das Obergericht eine Duplik.

Erwägungen:
1.
Gegen den angefochtenen Entscheid ist gemäss <ref-law> die Beschwerde in Strafsachen gegeben. Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist somit nach <ref-law> zulässig. Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt.
Die Erstellung des DNA-Profils dient hier nicht dazu, den Beschwerdeführer jener Straftaten zu überführen, derer er im jetzigen Strafverfahren beschuldigt wird. Vielmehr sollen damit andere - bereits begangene oder künftige - Straftaten geklärt werden. Der Massnahme kommt demnach eine über das jetzige Strafverfahren hinausgehende eigenständige Bedeutung zu. Der angefochtene Entscheid ist deshalb als Endentscheid zu betrachten (<ref-ruling> E. 1.4 S. 264; Urteil 1B_17/2019 vom 24. April 2019 E. 1., nicht publ. in <ref-ruling>, mit Hinweis). Die Beschwerde ist somit nach <ref-law> zulässig.
Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen sind ebenfalls erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
2.
Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe in verschiedener Hinsicht seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt. Dieser ist formeller Natur. Seine Verletzung führt ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids (<ref-ruling> E. 3.1 S. 304 mit Hinweisen).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, die Vorinstanz bejahe den hinreichenden Tatverdacht (<ref-law>) und stütze sich dabei auf einen Arztbericht. Diesen habe er nicht einsehen und sich nicht dazu äussern können.
3.2. Gemäss <ref-law> sowie Art. 3 Abs. 2 lit. c und Art. 107 StPO haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Dieser dient einerseits der Sachaufklärung, anderseits stellt es ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheids dar, der in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Der Anspruch umfasst alle Befugnisse, die einer Partei einzuräumen sind, damit sie ihren Standpunkt wirksam zur Geltung bringen kann. Er gewährleistet insbesondere das Recht des Betroffenen, vor Erlass eines in seine Rechtsstellung eingreifenden Entscheids Einsicht in die Akten zu nehmen und sich zur Sache zu äussern (Art. 107 Abs. 1 lit. a und d StPO; <ref-ruling> E. 3.1 S. 434; <ref-ruling> E. 5.3 S. 17; je mit Hinweisen).
3.3. Die Vorinstanz bejaht den hinreichenden Tatverdacht zunächst in Würdigung der Aussagen der Privatklägerin. Die Vorinstanz kommt zum Schluss, nach dem derzeitigen Stand der Akten sei nicht davon auszugehen, dass sie ihre Anschuldigungen erfunden habe, nur weil sie sich habe scheiden lassen wollen. Hinzu komme, dass die Psychotherapeutin B._ und Dr. med. C._ in ihrem Arztbericht vom 18. Februar 2019 ausführten, bei der Privatklägerin habe sich nach wiederholt erlebter häuslicher Gewalt eine posttraumatische Belastungsstörung nach ICD-10 F.43.1 manifestiert; während der Therapiesitzungen habe sie wiederholt über die erlebten körperlichen Übergriffe gesprochen. Mithin - so die Vorinstanz weiter - weise auch der Arztbericht darauf hin, dass der Beschwerdeführer in strafrechtlich relevanter Weise in die körperliche und geistige Integrität der Privatklägerin eingegriffen habe.
Die Vorinstanz misst dem Arztbericht bei der Beurteilung des hinreichenden Tatverdachts demnach erhebliches Gewicht zu. Dies gilt umso mehr, als sie einräumt, die Aussagen der Privatklägerin seien nicht frei von Widersprüchen. Die Vorinstanz bestreitet im bundesgerichtlichen Verfahren nicht, dass der Anwalt des Beschwerdeführers vor ihrem Entscheid keine Einsicht in den Arztbericht nehmen und sich nicht dazu äussern konnte. Dies stellt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs dar. Zwar können die Strafbehörden gemäss <ref-law> das rechtliche Gehör einschränken, namentlich wenn dies zur Wahrung privater Geheimhaltungsinteressen erforderlich ist (Abs. 1 lit. b). Einschränkungen gegenüber Rechtsbeiständen sind jedoch nur zulässig, wenn der Rechtsbeistand selbst Anlass für die Beschränkung gibt (Abs. 2; dazu Urteil 1B_445/2012 vom 8. November 2012 E. 3.3.2, publ. in: SJ 2013 I S. 370). Dass Letzteres hier der Fall sein könnte, ist nicht erkennbar. Die Vorinstanz hätte deshalb zumindest dem Anwalt des Beschwerdeführers Einsicht in den Arztbericht gewähren und ihm Gelegenheit geben müssen, sich dazu vor ihrem Entscheid zu äussern.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, er habe vor Vorinstanz geltend gemacht, die Staatsanwaltschaft habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör dadurch verletzt, dass sie ihn vor Erlass der Verfügung vom 5. März 2019 nicht angehört und ihm keine Akteneinsicht gewährt habe; zudem habe die Staatsanwaltschaft ihre Begründungspflicht verletzt. Die Vorinstanz bejahe die Verletzung der Begründungspflicht durch die Staatsanwaltschaft. Die Vorinstanz erachte die dadurch bewirkte Verletzung des rechtlichen Gehörs als im vorinstanzlichen Verfahren geheilt. Ob die Staatsanwaltschaft sein Recht auf Akteneinsicht und Anhörung vor der Verfügung vom 5. März 2019 verletzt habe, lasse die Vorinstanz offen. Letzteres stelle eine Verletzung des rechtlichen Gehörs dar.
4.2. Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör folgt die Pflicht der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Sie muss sich mit den wesentlichen Punkten auseinandersetzen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 70 f. mit Hinweisen).
4.3. Die Vorinstanz erwägt, die Staatsanwaltschaft sei ihrer Begründungspflicht nicht nachgekommen. Insoweit habe die Staatsanwaltschaft den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör verletzt. Dies könne im Beschwerdeverfahren geheilt werden, da das Obergericht über volle Kognition verfüge, der Beschwerdeführer auf die Stellungnahme der Generalstaatsanwaltschaft im Beschwerdeverfahren umfassend habe replizieren können, ihm so kein Nachteil erwachsen sei und seine Parteirechte nicht in schwerwiegender Weise verletzt worden seien. Die Gehörsverletzung sei im Dispositiv des obergerichtlichen Beschlusses festzuhalten und bei der Kostenverlegung zu berücksichtigen. Vor diesem Hintergrund müsse bezüglich der zwei weiteren Rügen, d.h. betreffend Akteneinsicht einerseits sowie vorgängig Anhörung anderseits, nicht beantwortet werden, ob auch hierdurch das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers verletzt worden sei. Grundsätzlich vermöge dies die Vorinstanz - mit Verweis auf die einlässliche Argumentation der Generalstaatsanwaltschaft (gemeint: in der Stellungnahme an die Vorinstanz) - nicht zu erkennen.
Aus diesen Erwägungen ergibt sich, dass die Vorinstanz eine Verletzung des rechtlichen Gehörs in Bezug auf die zwei weiteren Rügen des Beschwerdeführers tendenziell ("grundsätzlich") verneint. Abschliessend beurteilt sie das aber nicht.
Wie der Beschwerdeführer zutreffend geltend macht, liegt auch darin eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör. Wenn die Vorinstanz die Verletzung des rechtlichen Gehörs durch die Staatsanwaltschaft in den vom Beschwerdeführer gerügten zwei weiteren Punkten (Akteneinsicht, vorgängige Anhörung) offenlässt, äussert sie sich nicht zum Umfang der Verletzung des rechtlichen Gehörs. Dieser ist aber bedeutsam für die Beurteilung, ob eine Heilung der Gehörsverletzung im vorinstanzlichen Verfahren möglich ist. Wie die Vorinstanz zutreffend darlegt, kommt eine Heilung grundsätzlich nur in Betracht, wenn die Gehörsverletzung nicht besonders schwer wiegt (<ref-ruling> E. 4.4 S. 174; <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 197 f.; je mit Hinweisen). Für die Beantwortung der Frage, ob eine besonders schwerwiegende Gehörsverletzung vorliegt, kommt es aber darauf an, ob die Staatsanwaltschaft den Gehörsanspruch des Beschwerdeführers nur in einem Punkt oder in mehreren verletzt hat.
Hinzu kommt, dass die Vorinstanz der Gehörsverletzung grundsätzlich zutreffend bei der Verlegung der Kosten des Beschwerdeverfahrens Rechnung trägt (Urteil 1C_397/2016 vom 15. Februar 2017 E. 4.2 mit Hinweisen). Auch insoweit ist der Umfang der Gehörsverletzung von Bedeutung. Je schwerer diese wiegt, desto stärker muss sich das bei der Kostenverlegung zugunsten des Betroffenen auswirken.
Die Beschwerde ist demnach auch im vorliegenden Punkt begründet.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe ihm die Hälfte der Kosten des Beschwerdeverfahrens von insgesamt Fr. 1'200.--, also Fr. 600.--, auferlegt. Er habe vor Vorinstanz jedoch den Antrag um unentgeltliche Rechtspflege gestellt. Diesen habe die Vorinstanz übergangen. Auch damit habe sie seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt.
5.2. Ein Verstoss gegen den Anspruch auf rechtliches Gehör liegt vor, wenn die Behörde einen Antrag nicht behandelt (Urteile 9C_874/2014 vom 2. September 2015 E. 4.1; 4P.248/2002 vom 21. Februar 2003 E. 3, publ. in: Pra 2004 Nr. 31 S. 153 f.).
5.3. Der Beschwerdeführer stellte in der Beschwerde an die Vorinstanz den Antrag, es sei ihm im Beschwerdeverfahren das Recht auf unentgeltliche Rechtspflege zu erteilen und ihm Fürsprecher Ismet Bardakci amtlich beizuordnen (Rechtsbegehren Ziff. 3). Zur Begründung führte der Beschwerdeführer aus, er sei finanziell nicht in der Lage, für die Kosten des Beschwerdeverfahrens aufzukommen (S. 7).
Am 19. März 2019 verfügte die vorinstanzliche Verfahrensleiterin, die dem Beschwerdeführer von der Staatsanwaltschaft gewährte amtliche Verteidigung durch Fürsprecher Bardakci gelte auch für das Beschwerdeverfahren.
Im angefochtenen Beschluss führt die Vorinstanz aus, mit Blick auf den Ausgang des Beschwerdeverfahrens einerseits sowie auf die Gehörsverletzung anderseits seien die Verfahrenskosten je hälftig dem Kanton und dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Die Staatsanwaltschaft oder das urteilende Gericht legten die amtliche Entschädigung von Fürsprecher Bardakci am Ende des Verfahrens fest (<ref-law>).
Zum Antrag auf unentgeltliche Rechtspflege schweigt sich die Vorinstanz sowohl in der Begründung als auch im Dispositiv ihres Beschlusses aus. Sie begründet nicht, weshalb sie dem Beschwerdeführer trotz des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und der geltend gemachten Mittellosigkeit die Hälfte der Verfahrenskosten auferlegt. Auch darin liegt eine Verletzung des Anspruchs des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör. Die Vorinstanz hätte den Antrag auf unentgeltliche Rechtspflege behandeln müssen.
6.
Die Heilung der Gehörsverletzungen im Verfahren vor Bundesgericht fällt schon deshalb ausser Betracht, weil diesem im Gegensatz zur Vorinstanz keine umfassende Prüfungsbefugnis zukommt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4 S. 174 mit Hinweisen).
7.
Die Beschwerde ist demnach gutzuheissen und der angefochtene Beschluss aufzuheben. Die Sache ist an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie unter Beachtung des Anspruchs des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör neu entscheide.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Der Kanton hat dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, der Beschluss des Obergerichts des Kantons Bern vom 21. Mai 2019 aufgehoben und die Sache zum neuen Entscheid an dieses zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Bern hat dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie der Generalstaatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Bern (Beschwerdekammer in Strafsachen) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. April 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Härri