Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft der Region Emmental-Oberaargau führte eine Strafuntersuchung gegen A._ und Mitbeschuldigte wegen Landfriedensbruchs und Raufhandels. Am 21. Dezember 2020 erstattete der die Untersuchung leitende Staatsanwalt gegen den Verteidiger des Beschuldigten eine Disziplinaranzeige bei der kantonalen Anwaltsaufsichtsbehörde. Am 30. Dezember 2020 stellte der Beschuldigte über seinen Verteidiger deswegen ein Ausstandsgesuch gegen den Untersuchungsleiter. Am 7. Januar 2021 beantragte dieser die Abweisung des Ausstandsgesuches und übermittelte es zur Prüfung an das kantonale Obergericht. Mit Beschluss vom 3. Februar 2021 wies das Obergericht des Kantons Bern, Beschwerdekammer in Strafsachen, das Ausstandsgesuch ab.
B.
Gegen den Beschluss des Obergerichtes gelangte der Beschuldigte mit Beschwerde vom 6. März 2021 an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Gutheissung seines Ausstandsbegehrens.
Das Obergericht und der vom Ausstandsgesuch betroffene Staatsanwalt verzichteten am 11. bzw. 12. März 2021 je auf Vernehmlassungen. Am 20. März 2021 reichte der Beschwerdeführer ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ein.

Erwägungen:
1.
Die allgemeinen Sachurteilsvoraussetzungen (von Art. 78 ff. bzw. <ref-law>) sind grundsätzlich erfüllt und geben zu keinen Vorbemerkungen Anlass.
2.
Der Beschwerdeführer hat schon im vorinstanzlichen Ausstandsverfahren geltend gemacht, angesichts der Disziplinaranzeige vom 21. Dezember 2020 gegen seinen Verteidiger sei es dem Staatsanwalt nicht mehr möglich, als Untersuchungsleiter eine neutrale Rolle einzunehmen. Dieser werfe dem Verteidiger erstens vor, er habe Zeugen beeinflusst. Diesen Vorwurf weise der Verteidiger mit Entschiedenheit zurück. Zweitens werde dem Verteidiger zur Last gelegt, er habe mit weiteren Beschuldigten "bezüglich der erkennungsdienstlichen Erfassung Kontakt gehabt". Auch dieser Vorwurf sei haltlos. Zum einen sei nicht nachvollziehbar, weshalb gegen ihn, den Beschwerdeführer, erkennungsdienstliche Massnahmen angeordnet wurden. Zum anderen sei es schleierhaft, wie die sichergestellten Daten bzw. Fingerabdrücke und Photos überhaupt prozessual verwendet bzw. verwertet werden könnten. Es habe sich dabei einzig und allein um die Beschaffung von Beweismaterial "auf Vorrat" gehandelt. In der Beschwerdeschrift wird (im Wesentlichen) weiter vorgebracht, die Befangenheit des Untersuchungsleiters zeige sich auch daran, dass er die Disziplinaranzeige erst erstattet habe, nachdem der Verteidiger für den Beschuldigten Einsprache gegen den noch nicht rechtskräftigen Strafbefehl erhoben habe. Die Anzeige sei als "eindeutige Retourkutsche" bzw. als "Racheakt" für die Einsprache zu interpretieren. Die aufsichtsrechtlichen Vorwürfe gegen den Verteidiger seien ungerechtfertigt. In diesem Zusammenhang habe die Vorinstanz den Sachverhalt willkürlich gewürdigt und Bundesrecht verletzt, darunter <ref-law>. Zudem habe sie das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers missachtet.
Der vom Ausstandsgesuch betroffene Staatsanwalt hat im vorinstanzlichen Verfahren geäussert, er fühle sich in keiner Weise befangen. Die gegen den Verteidiger erstattete disziplinaraufsichtsrechtliche Anzeige begründe auch objektiv keine Befürchtung der Feindschaft oder Abneigung gegen den Beschuldigten bzw. dessen Rechtsvertreter. Er, der Untersuchungsleiter, sei unter den gegebenen Umständen zur Anzeigeerstattung verpflichtet gewesen.
3.
3.1. Die Ausstandsgründe für die in einer Strafbehörde tätigen Justizpersonen sind in <ref-law> geregelt. Zu den Strafbehörden gehören neben den Gerichten (<ref-law>) die Strafverfolgungsbehörden, darunter die Organe der Staatsanwaltschaft (<ref-law>). Von den in Art. 56 lit. a-e StPO geregelten besonderen Ausstandsgründen abgesehen (persönliches Interesse an der Strafsache, Vorbefassung in anderer Stellung, persönliche Beziehung zu Parteien usw.), tritt ein Staatsanwalt oder eine Staatsanwältin in den Ausstand, wenn diese Justizperson aus anderen Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand, befangen sein könnte (<ref-law>).
3.2. Befangenheit einer staatsanwaltlichen Untersuchungsleiterin oder eines Untersuchungsleiters (<ref-law>) ist nach der Praxis des Bundesgerichtes nicht leichthin anzunehmen. Zu bejahen ist sie, wenn nach objektiver Betrachtung besonders krasse oder ungewöhnlich häufige Fehlleistungen der Untersuchungsleitung vorliegen, welche bei gesamthafter Würdigung eine schwere Verletzung der Amtspflichten darstellen und sich einseitig zulasten einer der Prozessparteien auswirken (<ref-ruling> E. 3.2 S. 74 f.; <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 180; <ref-ruling> E. 2.3 S. 146). Diesbezüglich sind primär die zur Verfügung stehenden Rechtsmittel gegen beanstandete Verfahrenshandlungen auszuschöpfen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 75; <ref-ruling> E. 3b/bb S. 158 f.; je mit Hinweisen).
Persönliche Strafanzeigen eines Staatsanwaltes gegen Parteien oder deren Rechtsvertreter können zu seiner Befangenheit (bzw. zum Anschein eines "persönlichen Interesses" an der untersuchten Strafsache) führen, wenn er sich in dem mit Strafanzeige ausgelösten neuen Strafverfahren selber als Privatkläger konstituiert bzw. Zivilansprüche stellt (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 22). Unangebrachte oder ungeschickte präjudizierliche Äusserungen eines Staatsanwaltes kommen als Ausstandsgrund hingegen nur in Frage, wenn es sich dabei um eine schwere Verfehlung zum Nachteil der betroffenen Partei oder ihres Rechtsvertreters handelt (BGE <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 180; <ref-ruling> E. 2d S. 200; <ref-ruling> E. 6 S. 21 f.; je mit Hinweisen).
Die Strafbehörden, darunter die Organe der Staatsanwaltschaft, sind in der Rechtsanwendung unabhängig und allein dem Recht verpflichtet (Art. 4 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Die Staatsanwaltschaft ist für die gleichmässige Durchsetzung des staatlichen Strafanspruchs verantwortlich; sie leitet das Vorverfahren, verfolgt Straftaten im Rahmen der Untersuchung, erhebt gegebenenfalls Anklage und vertritt diese vor Gericht (<ref-law>). Die Strafbehörden klären von Amtes wegen alle für die Beurteilung der Tat und die beschuldigte Person bedeutsamen Tatsachen ab; sie untersuchen die belastenden und entlastenden Umstände mit gleicher Sorgfalt (<ref-law>). Von einer Staatsanwältin und einem Staatsanwalt darf nach der oben dargelegten Praxis des Bundesgerichtes grundsätzlich erwartet werden, dass sie oder er auch in persönlicher Hinsicht die notwendige Unvoreingenommenheit, Professionalität und persönliche Zurückhaltung an den Tag legt, um diese Aufgaben gesetzestreu wahrzunehmen und den zu untersuchenden Sachverhalt sorgfältig und ohne Parteilichkeit abzuklären (Urteil 1B_535/2018 vom 16. April 2019 E. 3).
3.3. Gemäss dem Bundesgesetz vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte (BGFA, SR 935.61) haben diese ihren Beruf sorgfältig und gewissenhaft auszuüben (<ref-law>). Insbesondere meiden sie jeden Konflikt zwischen den Interessen ihrer Klientschaft und den Personen, mit denen sie geschäftlich oder privat in Beziehung stehen (<ref-law>). Sie unterstehen zeitlich unbegrenzt und gegenüber jedermann dem Berufsgeheimnis über alles, was ihnen infolge ihres Berufes von ihrer Klientschaft anvertraut worden ist (<ref-law>). Jeder Kanton bezeichnet eine Behörde, welche die Anwältinnen und Anwälte beaufsichtigt, die auf seinem Gebiet Parteien vor Gerichtsbehörden vertreten (<ref-law>). Gemäss dem bernischen Anwaltsgesetz vom 28. März 2006 (KAG/BE, BSG 168.11) ist im Kanton Bern die kantonale Anwaltsaufsichtsbehörde für die Disziplinaraufsicht zuständig (Art. 12 lit. b KAG/BE). Laut Artikel 15 Abs. 1 BGFA ("Meldepflicht") haben die kantonalen Gerichts- und Verwaltungsbehörden der Aufsichtsbehörde ihres Kantons unverzüglich Vorfälle zu melden, welche die anwaltlichen Berufsregeln verletzen könnten (<ref-law>; s.a. Art. 32 Abs. 3 KAG/BE).
4.
4.1. Der blosse Umstand, dass die staatsanwaltliche Verfahrensleitung eine - sachlich vertretbare - Disziplinaranzeige gegen den Verteidiger an die Aufsichtsbehörde über Anwältinnen und Anwälte einreicht, begründet nach der oben dargelegten Rechtsprechung des Bundesgerichtes keinen Ausstandsgrund. Andernfalls hätte es die Verteidigung in der Hand, durch mutmassliche Verstösse gegen die anwaltlichen Berufsregeln den Ausstand von Staatsanwältinnen und Staatsanwälten zu bewirken. Ausserdem würde die Staatsanwaltschaft faktisch an der Wahrnehmung ihrer gesetzlichen Verpflichtung gehindert, ihr bekannt gewordene erhebliche Disziplinarverstösse von Rechtsvertreterinnen und -vertretern von Amtes wegen an die zuständige Aufsichtsbehörde zu melden (<ref-law>; Art. 32 Abs. 3 KAG/BE). Anders wäre zu entscheiden, wenn eine mit dem Straffall befasste Justizperson in eigener Sache Strafanzeige gegen eine Partei oder deren Rechtsvertreter stellt und zudem noch als Privatklägerschaft eigene Zivilansprüche auf Entschädigung oder Genugtuung erhebt (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 22). Ein solcher Fall ist hier nicht gegeben.
Im vorliegenden Beschwerdeverfahren fällt es nicht in die Zuständigkeit des Bundesgerichtes, die Begründetheit der vom Untersuchungsleiter eingereichten Disziplinaranzeige materiell zu prüfen. Im Rahmen des Ausstandsverfahrens genügt eine summarische Beurteilung, ob die Anzeige vertretbarerschien, oder ob sie sich als dermassen abwegig erweist, dass sie - strafprozessual und ausstandsrechtlich - als schwere Amtspflichtsverletzung des Staatsanwaltes einzustufen wäre.
4.2. Die Vorinstanz erwägt dazu Folgendes: Im Zuge der staatsanwaltlichen Einvernahme eines Zeugen vom 6. November 2020 habe sich herausgestellt, dass der Verteidiger des Beschwerdeführers sich zuvor mit zwei potenziellen Zeugen im UNIA-Gebäude in Bern getroffen habe; anschliessend habe er bei der Staatsanwaltschaft die Zeugenbefragung dieser beiden Personen beantragt. Zweck dieses Treffens sei es gewesen, die möglichen Aussagen der potenziellen Zeugen "zu überprüfen, um ihren Wert im Verfahren" gegen den Beschwerdeführer beurteilen zu können. Der am 6. November 2020 befragte Zeuge habe ausgesagt, zu dem Treffen mit dem Verteidiger sei er von einem Mitarbeiter der UNIA eingeladen worden. Ausserdem habe der Verteidiger "im Zusammenhang mit den Einvernahmen der Beschuldigten sowie der angeordneten erkennungsdienstlichen Erfassung" mutmasslich Kontakt mit mehreren Mitbeschuldigten gehabt. In diesem Zusammenhang habe sich der Verteidiger "anfänglich auf den Standpunkt gestellt, selber alle Beschuldigten" auf Seiten eines involvierten Sportclubs "verteidigen zu wollen", was ihm die Staatsanwaltschaft aber untersagt habe. In der Folge hätten der Beschwerdeführer und mehrere Mitbeschuldigte - nach "relativ wahrscheinlicher Rücksprache" mit dem Verteidiger - "geschlossen und mit praktisch deckungsgleichen Schreiben und Begründungen die erkennungsdienstliche Erfassung" verweigert. Am 21. Dezember 2020, nach Erlass der Strafbefehle gegen die diversen Beschuldigten, habe der Untersuchungsleiter Disziplinaranzeige gegen den Verteidiger erstattet, wegen mutmasslicher Verletzung der beruflichen Sorgfaltspflichten gemäss <ref-law>.
Die Disziplinaranzeige an die zuständige Aufsichtsbehörde sei vom Untersuchungsleiter aus zureichenden Gründen eingereicht worden. Der Beschwerdeführer habe gegen den ihn betreffenden Strafbefehl Einsprache erhoben; dieser sei noch nicht rechtskräftig. Vor diesem Hintergrund erscheine der vom Ausstandsgesuch betroffene Staatsanwalt weder dem Beschwerdeführer noch dem Verteidiger gegenüber in irgendeiner Weise als befangen. Es bestünden keinerlei objektive Anzeichen für eine ausstandsrelevante ausgeprägte Abneigung, erhebliche persönliche Spannungen oder ein schwerwiegendes Zerwürfnis.
Die Einwendungen in der Beschwerdeschrift lassen diese Erwägungen des Obergerichtes nicht als bundesrechtswidrig erscheinen:
4.3. Zwar bestreitet der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers, Zeugen beeinflusst zu haben. Er legt jedoch nicht dar, inwiefern der auf die Untersuchungsakten gestützte (erste) Vorwurf, er habe sich vorab mit zwei potenziellen Zeugen getroffen, deren allfällige Beweisaussagen erfragt und anschliessend ihre Einvernahme als Zeugen beantragt, unhaltbar wäre.
In der Beschwerdeschrift wird geltend gemacht, entgegen den Aussagen des betreffenden Zeugen habe nicht der UNIA-Mitarbeiter diesen damals potenziellen Zeugen zur Besprechung im UNIA-Gebäude eingeladen, sondern der Verteidiger des Beschwerdeführers selber. Der UNIA-Mitarbeiter habe lediglich den Sitzungsraum reserviert und dem potenziellen Zeugen mitgeteilt, wo die Besprechung mit dem einladenden Verteidiger des Beschwerdeführers stattfinde. Der Verteidiger habe bei der betreffenden Sitzung abklären wollen, ob die zwei zur Sitzung eingeladenen potenziellen Zeugen "relevante Aussagen" würden machen können. Dieses Vorgehen "decke" sich mit den anwaltlichen Standespflichten und diene einem "prozessökonomischen Vorgehen".
Was der Beschwerdeführer und sein Rechtsvertreter aus ihren tatsächlichen Vorbringen zu ihren Gunsten ableiten wollen, ist nicht nachvollziehbar: Der betreffende Vorwurf standeswidrigen Verhaltens lautet, der Verteidiger habe sich vorab mit zwei potenziellen Zeugen getroffen, sich dabei ihrer künftigen Beweisaussagen versichert (bzw. sie dabei möglicherweise beeinflusst) und anschliessend deren förmliche Einvernahme als Zeugen beantragt. Dass der aufsichtsrechtlich angezeigte Anwalt die potenziellen Zeugen persönlich zur betreffenden Sitzung eingeladen haben will, lässt den Vorwurf nicht dahinfallen. Dass der vom Ausstandsgesuch betroffene Staatsanwalt in diesem Zusammenhang von konkreten Anzeichen für eine mögliche Verletzung der anwaltlichen Berufsregeln ausging, ist sachlich vertretbar. Entscheiderhebliche willkürliche Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz sind diesbezüglich nicht dargetan.
4.4. Auch der zweite Vorwurf einer möglichen Berufspflichtsverletzung wird in der Beschwerdeschrift nicht nachvollziehbar entkräftet:
Die kantonalen Justizbehörden legen dem Verteidiger zur Last, er habe zunächst offiziell alle einem involvierten Sportclub nahe stehenden Beschuldigten anwaltlich vertreten wollen. Nachdem ihm dies von der Staatsanwaltschaft wegen Interessenkollisionen untersagt worden sei, habe er - mit "relativer Wahrscheinlichkeit" - das prozessuale Verhalten verschiedener Mitbeschuldigter im Hintergrund koordiniert. Auffällig erscheine dabei, dass mehrere Beschuldigte geschlossen und mit praktisch deckungsgleichen Schreiben und Begründungen ihre erkennungsdienstliche Erfassung (mit Fingerabdrücken und Photos) verweigert hätten.
Dieser Vorwurf wird mit dem Einwand, es sei nicht nachvollziehbar, weshalb gegen den Beschwerdeführer und andere Beschuldigte erkennungsdienstliche Massnahmen hätten angeordnet werden sollen, nicht ausgeräumt. Analoges gilt für die beiläufige Bestreitung der (hypothetischen) prozessualen Verwertbarkeit der verweigerten Beweiserhebungen. In der Beschwerdeschrift führt der Verteidiger in diesem Zusammenhang noch aus, die übrigen beschuldigten Anhänger des fraglichen Sportclubs hätten zwar keine Einsprachen gegen die sie betreffenden Strafbefehle erhoben. Diese Mitbeschuldigten hätten aber nicht etwa deshalb auf Einsprache verzichtet, weil sie die Strafbefehle als korrekt und fair eingestuft hätten; ihr "Motiv" sei seines Wissens "einzig und allein die Angst" gewesen, "dass noch höhere Verfahrenskosten anfallen würden". Eine gemeinsame Verteidigung sämtlicher (dem fraglichen Sportverein nahe stehender) Beschuldigter durch ihn, den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers, sei im Übrigen durchaus denkbar gewesen, zumal sie alle vom "Mob" des gegnerischen Sportclubs angegriffen worden seien.
Auch in diesem Zusammenhang erscheint es nicht unhaltbar, wenn der Untersuchungsleiter von konkreten Anzeichen für eine Verletzung der anwaltlichen Berufspflichten ausging.
4.5. Dass der Untersuchungsleiter die Disziplinaranzeige erst nach Abschluss des Vorverfahrens (und erfolgter Einsprache des Beschwerdeführers gegen den Strafbefehl) eingereicht habe, lässt ihn ebenfalls nicht als befangen erscheinen. Dieses zweistufige Vorgehen diente der ungestörten Durchführung der Untersuchung und erscheint hier prozessual durchaus vertretbar, zumal auch die angezeigten Disziplinarvorfälle zeitlich nicht weit zurücklagen. Die in der Beschwerdeschrift vertretene These, Grund für die Anzeige gegen den Verteidiger sei "einzig und allein" die Einsprache gegen den Strafbefehl gewesen, es handle sich dabei um einen "Racheakt" des Staatsanwaltes, findet in den Akten keine Stütze.
Über das bereits Dargelegte hinaus hat sich das Bundesgericht in der vorliegenden Ausstandssache mit weiteren Einzelheiten der anwaltsrechtlichen Disziplinaranzeige nicht zu befassen. Deren vertiefte Prüfung wird Sache der zuständigen Aufsichtsbehörde sein. Dass die Disziplinaranzeige gegen den Verteidiger geradezu haltlos wäre und einer schweren Amtspflichtsverletzung des Untersuchungsleiters gleichkäme, wird in der Beschwerdeschrift nicht dargetan. Auch sonst ist kein gesetzlicher Ausstandsgrund ersichtlich. Ebenso wenig substanziiert der Beschwerdeführer willkürliche entscheiderhebliche Feststellungen der Vorinstanz.
4.6. Die verfahrensrechtliche Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs erweist sich als offensichtlich unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann:
Entgegen der in der Beschwerdeschrift sinngemäss erhobenen Rüge lassen sich dem angefochtenen Entscheid die wesentlichen Argumente entnehmen, weshalb das Obergericht das Ausstandsbegehren als unbegründet erachtete (vgl. zusammengefasst oben, E. 4.2). Dabei musste sich die Vorinstanz von Bundesrechts wegen nicht mit sämtlichen Einwendungen des Gesuchstellers ausdrücklich und im einzelnen befassen. Der Beschwerdeführer legt denn auch nicht dar, inwiefern die Begründung des angefochtenen Entscheides es ihm faktisch verunmöglicht oder stark erschwert hätte, den Beschwerdeweg ans Bundesgericht wirksam zu beschreiten.
Soweit in der Beschwerdeschrift prozessuale Rügen gegen das aufsichtsrechtliche Verfahren (vgl. Art. 16-22 und Art. 32-36 KAG/BE) erhoben werden, ist darauf nicht einzutreten. Dieses bildet nicht Gegenstand des angefochtenen Ausstandsentscheides (vgl. <ref-law>). Dies gilt insbesondere für das Vorbringen, der Anzeigeerstatter hätte den betroffenen Anwalt vor der Anzeigeerhebung mit den Disziplinarvorwürfen "konfrontieren" müssen, bzw. im aufsichtsrechtlichen Verfahren sei das rechtliche Gehör des Anwaltes verletzt worden.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Da die Beschwerde sich als zum Vornherein aussichtslos erweist, ist das Gesuch abzuweisen (<ref-law>). Auf die Erhebung von Gerichtskosten kann hier - angesichts der bescheidenen finanziellen Verhältnisse des Beschwerdeführers - ausnahmsweise verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Bern, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Juli 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Forster