Sachverhalt:
A.
B._ war vom 1. März 2013 bis zum 31. Mai 2016 Mitarbeiter an der C._ Abteilung des Instituts D._ der Universität St. Gallen. Dem Institut stand während dieser Zeit unter anderem A._ vor. Am 9. August 2016 reichte B._ gegen A._ eine Strafanzeige wegen übler Nachrede bzw. Ehrverletzung ein. Grundlage für die Anzeige bildete eine E-Mail von A._ an eine andere Person aus der Institutsleitung, worin B._ unter anderem als "der Herr mit den sexuellen Anzüglichkeiten" beschrieben wurde. Ausserdem wurde in der E-Mail nach Ansicht von B._ zum Ausdruck gebracht, dass es sich bei ihm nicht um eine kluge und nette Person handle.
B.
Am 6. Dezember 2016 erliess die Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis in der Sache eine Nichtanhandnahmeverfügung. Mit Beschluss vom 24. April 2017 hob das Obergericht des Kantons Zürich die Nichtanhandnahmeverfügung auf. Es wies die Staatsanwaltschaft an, ein Strafverfahren gegen A._ zu eröffnen. Am 12. Juni 2019 übermittelte die Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis der Anklagekammer des Kantons St. Gallen die Akten zum Entscheid über die Erteilung einer Ermächtigung. Mit Entscheid vom 25. September 2019 erteilte die Anklagekammer die Ermächtigung zur Durchführung eines Strafverfahrens gegen A._. Die Anklagekammer führte zusammengefasst aus, die Strafuntersuchung sei formell und materiell bereits eröffnet worden, weshalb die Ermächtigung zu erteilen sei.
C.
Gegen den Entscheid der Anklagekammer hat A._ am 11. November 2019 Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Sie beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens zu verweigern. Eventualiter sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. B._ beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis und die Vorinstanz haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Beschwerdeführerin hat mit Eingabe vom 16. Dezember 2019 sinngemäss an ihren Anträgen festgehalten.
D.
Das von der Beschwerdeführerin gestellte Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts mit Verfügung vom 5. Dezember 2019 abgewiesen.

Erwägungen:
1.
Mit dem angefochtenen Entscheid hat die Vorinstanz gestützt auf <ref-law> i.V.m. Art. 17 Abs. 2 lit. b des Einführungsgesetzes des Kantons St. Gallen vom 3. August 2010 zur Schweizerischen Straf- und Jugendstrafprozessordnung (EG-StPO; sGS 962.1) die Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen die Beschwerdeführerin erteilt. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit im Sinne von Art. 82 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 272).
Der angefochtene Entscheid schliesst indes das Strafverfahren gegen die Beschwerdeführerin nicht ab, sondern ermöglicht im Gegenteil dessen Einleitung bzw. Fortführung. Es handelt sich somit nicht um einen Endentscheid im Sinne von <ref-law>, sondern um einen Zwischenentscheid, gegen den die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> grundsätzlich nur zulässig ist, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a), oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Es ist Sache der Beschwerdeführerin, die Eintretensvoraussetzungen von <ref-law> darzulegen, sofern deren Vorhandensein nicht auf der Hand liegt (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 28 mit Hinweisen).
2.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz habe die Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung erteilt, ohne auf ihren Einwand einzugehen, wonach der erforderliche strafrechtliche Anfangsverdacht nicht vorliege. Damit habe die Vorinstanz ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt. Dies stelle eine Rechtsverweigerung dar, deren Verletzung mit einem späteren Entscheid nicht mehr geheilt werden könne. Unter diesen Umständen müsse auf das Erfordernis des nicht wiedergutzumachenden Nachteils im Sinne von <ref-law> verzichtet werden und sei auf die Beschwerde einzutreten.
2.1. Bei der Beschwerde gegen die Erteilung der Ermächtigung einer Strafuntersuchung im Sinne von <ref-law> muss der nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne von <ref-law> rechtlicher Natur sein, damit das Bundesgericht auf die Beschwerde eintritt (vgl. Urteile 1C_340/2018 vom 7. März 2019 E. 2.2, 1C_388/2014 vom 1. September 2014 E. 3.2 und 1C_585/2013 vom 17. September 2013 E. 1.1 mit Hinweisen). Ein derartiger Nachteil liegt vor, wenn er auch durch einen für den Beschwerdeführer günstigen späteren Entscheid nicht mehr behoben werden kann (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 130). Ein lediglich tatsächlicher Nachteil wie die Verteuerung oder Verlängerung des Verfahrens genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.2 S. 801).
2.2. Der angefochtene Entscheid führt dazu, dass sich die Beschwerdeführerin dem Strafverfahren mit den damit verbundenen Unannehmlichkeiten stellen muss. Die Durchführung eines Strafverfahrens begründet keinen Nachteil rechtlicher Natur, der mit einem für den Angeschuldigten günstigen Entscheid nicht behoben werden könnte (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 141; Urteil 1B_489/2017 vom 20. November 2017 E. 1.4 mit Hinweisen). Damit ist der angefochtene Ermächtigungsentscheid unter dem Gesichtspunkt von <ref-law> nicht anfechtbar. Dies gilt nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts auch, wenn im Ermächtigungsverfahren der Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt worden sein sollte, wird doch die beschuldigte Person im Rahmen einer Strafuntersuchung ihre vollen Verteidigungsrechte wahrnehmen können (Urteil 1C_388/2014 vom 1. September 2014 E. 3.3 mit Hinweis).
Zwar verzichtet das Bundesgericht bei Beschwerden gegen Zwischenentscheide grundsätzlich auf das Erfordernis des nicht wieder gutzumachenden Nachteils, wenn der Beschwerdeführer eine Rechtsverweigerung oder ungerechtfertigte Rechtsverzögerung rügt (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 346; <ref-ruling> E. 1.1 S. 261; <ref-ruling> E. 1.3 S. 129; Urteil 1B_217/2019 vom 13. August 2019 E. 1.1) bzw. wenn mit der Beschwerde eine formelle Rechtsverweigerung in der Form der Verweigerung oder Verzögerung eines Rechtsanwendungsaktes gerügt wird (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 177 und die Urteile 1C_340/2018 vom 7. März 2019 E. 2.2, 1B_174/2018 vom 27. Juni 2018 E. 1.4, 1C_201/2017 vom 1. September 2017 E. 2.4 sowie 1B_7/2013 vom 14. März 2013 E. 1.4, nicht publ. in: <ref-ruling>). Dass die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerde gegen die Erteilung der Ermächtigung zur Strafuntersuchung eine Verletzung der aus <ref-law> fliessenden behördlichen Begründungspflicht rügt, rechtfertigt nach dem bereits Ausgeführten jedoch keinen Verzicht auf das Erfordernis des nicht wieder gutzumachenden Nachteils im Sinne von <ref-law>.
3.
Weiter macht die Beschwerdeführerin geltend, auf ihre Beschwerde sei gestützt auf <ref-law> einzutreten. Bei Gutheissung der Beschwerde werde ein Endentscheid herbeigeführt und zudem ein bedeutender Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erspart. Noch ungeklärt sei die Frage der örtlichen Zuständigkeit der Staatsanwaltschaft. Weiter stünden zahlreiche Einvernahmen bzw. Befragungen bevor. Ausserdem sei die Frage zu klären, ob die E-Mail der Beschwerdeführerin vom 12. Mai 2016, die Grundlage der Strafanzeige bilde, überhaupt als Beweismittel verwertbar sei.
Bei Gutheissung der Beschwerde der Beschwerdeführerin im Hauptantrag läge ein Endentscheid vor. Somit stellt sich die Frage, ob damit ein bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erspart würde. Das Bundesgericht legt diese Voraussetzung im Strafverfahren restriktiv aus (<ref-ruling> E. 3.2 S. 292; Urteil 6B_799/2018 vom 29. Januar 2019 E. 1.3). Die Aufwendungen müssen über diejenigen eines gewöhnlichen Strafverfahrens hinausgehen. Dies kann insbesondere der Fall sein, wenn ein komplexes oder gar mehrere Gutachten eingeholt, zahlreiche Zeugen befragt oder eine rogatorische Einvernahme im entfernteren Ausland durchgeführt werden müssten (Urteil 6B_799/2018 vom 29. Januar 2019 E. 1.3 mit Hinweis).
Das vorliegend durchzuführende Strafverfahren erscheint weder mit Blick auf den abzuklärenden Sachverhalt noch auf die sich stellenden Rechtsfragen besonders komplex. Inwiefern es aussergewöhnlich hohe Kosten verursachen oder ausserordentlich umfangreiche Beweiserhebungen erfordern sollte, ist nicht ersichtlich. Daran ändern die Ausführungen der Beschwerdeführerin zur örtlichen Zuständigkeit der Staatsanwaltschaft, zu den noch durchzuführenden Einvernahmen bzw. Befragungen sowie zur Frage der Verwertbarkeit der E-Mail vom 12. Mai 2016 als Beweismittel nichts. Die Eintretensvoraussetzungen von <ref-law> sind somit ebenfalls nicht erfüllt.
4.
Nach dem Ausgeführten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (vgl. <ref-law>). Der nicht anwaltlich vertretene Beschwerdegegner hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (vgl. Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG und <ref-ruling> E. 4 S. 446).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Januar 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Mattle