Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich führt gegen A._ ein Strafverfahren wegen Geldwäscherei. Sie verdächtigt ihn, zusammen mit noch unbekannten Dritten als Chairman und CEO der B._ Ltd. Gelder nicht vereinbarungsgemäss verwendet zu haben. Die Geschädigte und Anzeigeerstatterin, die C._ Ltd., habe zwischen März 2015 und September 2017 auf der Grundlage massiv aufgeblähter bzw. geschönter Geschäftszahlen rund 210 Mio. USD investiert. Diese Gelder seien in der Folge indessen einbehalten und mittels eines sogenannten round-tripping fraud durch verschiedene Offshore-Gesellschaften geschleust worden, um ihre Herkunft zu verschleiern.
Im Rahmen dieses Strafverfahrens ordnete die Staatsanwaltschaft mit Verfügung vom 14. Mai 2020 die Edition sämtlicher Unterlagen betreffend die Konten der D._ Ltd. und der E._ Ltd. bei der Bank F._ AG an. Gleichzeitig verfügte sie eine Kontensperre. Am 25. Mai 2020 verlangte A._ die Siegelung der Bankunterlagen. Das in der Folge von der Staatsanwaltschaft gestellte Entsiegelungsgesuch hiess das Zwangsmassnahmengericht Zürich mit Urteil (recte: Verfügung) vom 24. September 2020 gut (Dispositiv-Ziffer 1), setzte die Gerichtsgebühr auf Fr. 800.-- fest und behielt die Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen im Übrigen dem Endentscheid vor (Dispositiv-Ziffern 2 und 3).
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht vom 28. Oktober 2020 beantragt A._, Dispositiv-Ziffer 1 der Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts sei aufzuheben. Eventualiter sei die Sache an das Obergericht des Kantons Zürich zu überweisen.
Das Zwangsmassnahmengericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Staatsanwaltschaft beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
Mit Präsidialverfügung vom 16. Dezember 2020 hat das Bundesgericht der Beschwerde aufschiebende Wirkung beigelegt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Entsiegelungsentscheid des Zwangsmassnahmengerichts. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht zur Verfügung (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Für die eventualiter beantragte Überweisung der Sache an das Obergericht des Kantons Zürich besteht damit kein Raum.
1.2. Zu prüfen ist, ob die weiteren gesetzlichen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind (<ref-law>). Nach <ref-law> muss ein Beschwerdeführer die Tatsachen darlegen, aus denen sich seine Beschwerdeberechtigung ergibt, sofern diese nicht offensichtlich gegeben ist (<ref-ruling> E. 1.3 S. 292 mit Hinweisen).
1.3. Gemäss <ref-law> ist erforderlich, dass der Beschwerdeführer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids hat. Als Beschwerdeführer im Verfahren vor Bundesgericht (wie auch als Partei bzw. Verfahrensbeteiligter im Siegelungsverfahren) ist nur zuzulassen, wer eigene gesetzlich geschützte Geheimnisrechte geltend macht (Urteile 1B_451/2019 vom 1. April 2020 E. 2.4 mit Hinweis; 1B_487/2018 vom 6. Februar 2019 E. 2.6). Die Eigenschaft als beschuldigte Person reicht insofern nicht aus (Urteil 1B_487/2018 vom 6. Februar 2019 E. 2.3).
Der Beschwerdeführer macht geltend, er sei als wirtschaftlich Berechtigter an den beiden Kontoinhaberinnen, der D._ Ltd. und der E._ Ltd., zur Beschwerde berechtigt. Es liege auf der Hand, dass Geschäftsgeheimnisse dieser beiden Gesellschaften betroffen seien. Weil er wirtschaftlich Berechtigter sei, erscheine auch als evident, dass die edierten Bankunterlagen persönliche Angaben von ihm selbst enthielten.
Aus diesen Ausführungen geht nicht hinreichend hervor, weshalb der Beschwerdeführer in eigenen gesetzlich geschützten Geheimnisrechten betroffen sein soll. Bei den beiden Gesellschaften handelt es sich rechtlich gesehen um Dritte, die ihre Geheimnisrechte, wie z.B. Geschäftsgeheimnisse, selbst gelten machen können und müssen. Dass der Beschwerdeführer an diesen juristischen Personen wirtschaftlich berechtigt ist, ändert daran nichts. Es ist in dieser Hinsicht zu unterscheiden zwischen dem wirtschaftlich Berechtigten an einer juristischen Person und dem wirtschaftlich Berechtigten an einem Konto (bzw. an den bei einem Finanzintermediär deponierten Vermögenswerten), wobei hier nicht zu beurteilen ist, wie es sich im zweitgenannten Fall verhält (vgl. Urteil 1B_282/2013 vom 14. Februar 2014 E. 1 mit Hinweis; FIONA HAWKINS, in: Geldwäschereigesetz (GwG), 2017, N. 64 ff. zu <ref-law>; CATHERINE HOHL-CHIRAZI, in: Commentaire Romand, Code de procédure pénale suisse, 2. Aufl. 2019, N. 3 zu <ref-law>).
Nicht nachvollziehbar ist zudem, weshalb es evident sein soll, dass die edierten Bankunterlagen persönliche Angaben vom Beschwerdeführer selbst enthalten sollen, bloss weil er die Kontoinhaberinnen faktisch kontrolliert. Auch in dieser Hinsicht ist die Beschwerdeberechtigung nicht erstellt.
2.
Auf die Beschwerde ist aus diesem Grund nicht einzutreten.
Bei diesem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (<ref-law>). Er hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich und dem Bezirksgericht Zürich, Zwangsmassnahmengericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Januar 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Dold