Sachverhalt:
A.
A.A._ (geb. 1988) ist Staatsbürger der Elfenbeinküste. Er heiratete am 26. September 2009 in Ungarn die ungarische Staatsangehörige B._ (geb. 1981). Im 2012 kam ihr gemeinsamer Sohn B.A._ zur Welt. B._ zog am 10. November 2014 zusammen mit ihrem Sohn von Ungarn nach U._ im Kanton Solothurn. A.A._ folgte ihnen und erhielt am 18. Mai 2017 eine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA, nachdem B._ für ihn um Familiennachzug ersuchte hatte.
Am 15. Februar 2018 informierte die Einwohnergemeinde U._ das Migrationsamt des Kantons Solothurn darüber, dass die Ehe zwischen A.A._ und B._ geschieden wurde. Das beigelegte Scheidungsurteil des Kreisgerichts V._ (Ungarn) vom 26. Oktober 2016 erwuchs am 10. Februar 2017 in Rechtskraft, übertrug das Sorgerecht der Mutter und räumte dem Vater an jedem zweiten Wochenende ein Besuchsrecht ein (von Samstag 9:00 Uhr bis Sonntag 18:00 Uhr).
B.
Mit Verfügung vom 6. Februar 2019 widerrief das Migrationsamt im Namen des Departements des Innern des Kantons Solothurn die Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA von A.A._ und wies ihn an, die Schweiz per 30. April 2019 zu verlassen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn hiess die dagegen erhobene Beschwerde mit Urteil vom vom 30. April 2019 teilweise gut und wies das Migrationsamt unter anderem an, die Beziehung von A.A._ zu seinem in der Schweiz anwesenheitsberechtigten minderjährigen Sohn näher abzuklären. Am 11. September 2020 widerrief das Migrationsamt die Aufenthaltsbewilligung von A.A._ erneut. Das Verwaltungsgericht wies die dagegen erhobene Beschwerde mit Urteil vom 15. Juni 2021 ab und wies ihn an, die Schweiz bis 30 Tage nach Eintritt der Rechtskraft des Urteils zu verlassen.
C.
Mit Beschwerde vom 17. August 2021 gelangt A.A._ an das Bundesgericht. Er beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und der Kanton Solothurn sei anzuweisen, ihm die Aufenthaltsbewilligung wieder zu erteilen bzw. zu verlängern. Eventuell sei die Sache zur vollständigen Abklärung des Sachverhalts an die Vorinstanz zurückzuweisen. In prozessrechtlicher Hinsicht beantragt er, ihm sei die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu bewilligen.
Das Migrationsamt und Verwaltungsgericht beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Staatssekretariat für Migration liess sich nicht vernehmen.
Auf den Antrag, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen, trat der Abteilungspräsident am 19. August 2021 mangels eines schutzwürdigen Interesses nicht ein.
Am 10. Februar 2022 reichte der neue Rechtsvertreter von A.A._ eine Ergänzung zur Beschwerde ein.

Erwägungen:
1.
1.1. Die frist- (<ref-law>) und formgerecht (<ref-law>) eingereichte Beschwerde richtet sich gegen das verfahrensabschliessende (<ref-law>) Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 15. Juni 2021 (<ref-law>) und betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>). Der Beschwerdeführer rügt in vertretbarer Weise eine Verletzung von Art. 8 Ziff. 1 EMRK und <ref-law> sowie <ref-law> (SR 142.20). Der Ausschlussgrund nach <ref-law> ist somit nicht gegeben. Der Beschwerdeführer ist überdies legitimiert, an das Bundesgericht zu gelangen (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist unter Vorbehalt des Nachfolgenden einzutreten.
1.2. Unbeachtlich ist die Eingabe des Beschwerdeführers vom 10. Februar 2022, soweit er damit die Begehren und Begründung seiner Beschwerde ergänzen will. Die Begründung und Begehren müssen in der Beschwerde selbst enthalten sein, die binnen der gesetzlichen und nicht erstreckbaren Beschwerdefrist einzureichen ist. Nach Ablauf der Beschwerdefrist eingereichte Ergänzungen der Beschwerde sind unzulässig (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.3).
2.
Mit der Beschwerde kann namentlich die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet zwar das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>) grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich erscheinen (<ref-ruling> E. 1.5; <ref-ruling> E. 1.4.1). Seinem Urteil legt es den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (<ref-law>).
3.
3.1. Gemäss Art. 3 Abs. 1 Anhang I des Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (Freizügigkeitsabkommen, FZA; SR 0.142.112.681) haben die Familienangehörigen einer Person, die Staatsangehörige einer Vertragspartei ist und ein Aufenthaltsrecht hat, das Recht, bei ihr Wohnung zu nehmen. Es handelt sich dabei um ein abgeleitetes Aufenthaltsrecht (unter anderem) des Ehegatten, das dazu bestimmt ist, durch Ermöglichung des gemeinsamen Familienlebens die Wirksamkeit der Freizügigkeit der EU-Angehörigen sicherzustellen, und das nur so lange dauert, als das originäre Aufenthaltsrecht des EU-Angehörigen besteht (<ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 2.1). Nach der Rechtsprechung setzt dieses Recht grundsätzlich nur das formale Bestehen einer Ehe voraus, doch steht es unter dem Vorbehalt des Rechtsmissbrauchs; fehlt der Wille zur Gemeinschaft und dient das formelle Eheband ausschliesslich (noch) dazu, die ausländerrechtlichen Zulassungsvorschriften zu umgehen, fällt der Anspruch dahin (<ref-ruling> E 3.1; <ref-ruling> E. 2.1).
3.2. Es ist vorliegend erstellt, dass die Ehe des Beschwerdeführers bereits am 10. Februar 2017 - also noch während des Bewilligungsverfahrens - rechtskräftig geschieden wurde und im Zeitpunkt der Erteilung der Aufenthaltsbewilligung am 18. Mai 2017 formal nicht mehr bestand. Damit waren die Voraussetzungen für den Familiennachzug des Beschwerdeführers nach Art. 3 Abs. 1 Anhang I FZA von Beginn weg nicht erfüllt. Unbestritten ist sodann, dass sich der Beschwerdeführer auch aktuell nicht auf Art. 3 Abs. 1 Anhang I FZA berufen kann und seine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA gestützt auf Art. 23 Abs. 1 der Verordnung vom 22. Mai 2002 über die Einführung des freien Personenverkehrs (VFP; SR 142.203) i.V.m. <ref-law> (Nichteinhalten einer mit der Verfügung verbundenen Bedingung) grundsätzlich widerrufen werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 3.1). Der Beschwerdeführer bringt indessen vor, dass ihm gestützt auf <ref-law> (vgl. nachstehende E. 4) sowie Art. 8 Ziff. 1 EMRK und <ref-law> (vgl. nachstehende E. 5; sog. umgekehrter Familiennachzug) ein Aufenthaltsanspruch zukomme.
4.
Der Beschwerdeführer beruft sich vorliegend vergeblich auf einen nachehelichen Aufenthaltsanspruch nach <ref-law>.
4.1. Gemäss Art. 50 Abs. 1 besteht nach Auflösung der Ehe oder der Familiengemeinschaft der Anspruch des Ehegatten auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung weiter, wenn die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre gedauert hat und die Integrationskriterien nach <ref-law> erfüllt sind (lit. a) oder wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen (lit. b). Die Aufenthaltsansprüche nach <ref-law> knüpfen gemäss dem klaren Wortlaut des Gesetzes an diejenigen von Art. 42 und 43 AIG an und setzen damit voraus, dass der Ehegatte, von dem die Bewilligung abgeleitet wurde, das Schweizer Bürgerrecht oder eine Niederlassungsbewilligung in der Schweiz besitzt. Gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung ist <ref-law> in Verbindung mit Art. 2 FZA (Nichtdiskriminierung) indessen auch dann anwendbar, wenn die (Ex-) Ehegattin als EU-Angehörige, von welcher der Drittstaatenangehörige das Aufenthaltsrecht abgeleitet hat und nachehelich ableitet, nicht eine Niederlassungsbewilligung, sondern nur eine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA besitzt, solange sich diese (Ex-) Ehegattin in der Schweiz befindet (<ref-ruling> E. 4; Urteil 2C_653/2021 vom 4. Februar 2022 E. 1.2).
4.2. Fehlt es allerdings - wie vorliegend - von Beginn weg an dem für ein abgeleitetes Aufenthaltsrecht erforderlichen formalen Bestand der Ehe (vgl. vorstehende E. 3), scheidet ein nacheheliches Weiterbestehen des Aufenthaltsanspruchs nach <ref-law> im Vorhinein aus. Auch aus dem Umstand, dass der Beschwerdeführer nach der Scheidung bis Ende Juli 2018 wieder "eheähnlich" mit seiner Ex-Ehefrau zusammen in der Schweiz gelebt habe, kann er nichts ableiten. Der Beschwerdeführer übersieht, dass <ref-law> nicht für Konkubinatspaare gilt (vgl. <ref-ruling> E. 2.6). Dass <ref-law> von der "Auflösung der Ehe oder der Familiengemeinschaft " spricht, hilft dem Beschwerdeführer praxisgemäss nicht weiter (vgl. <ref-ruling> E. 2.1-2.7; vgl. ferner zum Begriff der Familiengemeinschaft Marc Spescha, in: Spescha et al. [Hrsg.], Migrationsrecht, 5. Aufl. 2019, N. 2 zu <ref-law>).
4.3. <ref-law> ist demnach entgegen den Ausführungen des Beschwerdeführers vorliegend nicht anwendbar.
5.
Der Beschwerdeführer macht sodann geltend, dass er nach Art. 8 Ziff. 1 EMRK und <ref-law> gestützt auf die Beziehung zu seinem in der Schweiz anwesenheitsberechtigten Sohn einen Aufenthaltsanspruch ableiten kann.
5.1. Gemäss den Feststellungen der Vorinstanz wurde der Mutter die Sorge über den gemeinsamen Sohn übertragen, während der Beschwerdeführer an jedem zweiten Wochenende ein Besuchsrecht hat (von Samstag 9:00 Uhr bis Sonntag 18:00 Uhr). Nach der hier einschlägigen bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist es zur Wahrnehmung des Besuchsrechts grundsätzlich nicht erforderlich, dass der ausländische Elternteil über ein dauerndes Aufenthaltsrecht in der Schweiz verfügt, da das Besuchsrecht im Rahmen von Kurzaufenthalten vom Ausland her ausgeübt werden kann, wobei allenfalls die Modalitäten des Besuchsrechts entsprechend auszugestalten sind. Ein Aufenthaltsanspruch gestützt auf Art. 8 Ziff. 1 EMRK fällt jedoch ausnahmsweise dann in Betracht, wenn in (1) wirtschaftlicher und (2) affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung zum Kind besteht, (3) diese Beziehung wegen der Distanz zum Heimatland des Ausländers praktisch nicht aufrecht erhalten werden könnte und (4) dessen bisheriges Verhalten in der Schweiz zu keinerlei Klagen Anlass gegeben hat, wobei eine Gesamtbeurteilung zu erfolgen hat (<ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 5 mit weiteren Hinweisen). Diese Anforderungen müssen gerichtlich abgeklärt werden (vgl. <ref-ruling> E. 4).
5.2. Im Rahmen der Interessenabwägung ist überdies dem grundlegenden Bedürfnis des Kindes - als einem wesentlichen Element unter anderen - Rechnung zu tragen, in möglichst engem Kontakt mit beiden Elternteilen aufwachsen zu können (<ref-ruling> E. 5.5.1; Urteil 2C_904/2018 vom 24. April 2019 E. 2.4; Urteile des EGMR El Ghatet gegen die Schweiz vom 8. November 2016 [Nr. 56971/10] §§ 27, 28 und 46; S.N. und M.B.N. gegen die Schweiz vom 23. November 2021 [Nr. 12937/20] § 99; Art. 3 Abs. 1 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes [Kinderrechtskonvention, KRK; SR 0.107]; <ref-law>).
5.3. Unter Berücksichtigung dieser Grundsätze hatte die Vorinstanz die vorliegende Sache bereits einmal an das Migrationsamt zurückgewiesen: Sie hatte dieses angewiesen, die aktuellen Verhältnisse bezüglich der besonderen Intensität der affektiven und wirtschaftlichen Beziehung zwischen dem Beschwerdeführer und seinem Sohn, sowie die Möglichkeit des Beschwerdeführers, im Falle einer Ausweisung nach Ungarn oder Österreich zurückzukehren, vertieft abzuklären (Urteil des Verwaltungsgerichts vom 30. April 2019 E. 5.2-5.6; vgl. vorne lit. B). Diese Abklärungen blieben weitgehend aus und die Vorinstanz bestätigt nun im angefochtenen Entscheid die Auffassung des Migrationsamts, wonach sich eine Prüfung der vom Bundesgericht entwickelten Kriterien erübrige. Dem kann nicht gefolgt werden: Wie der Beschwerdeführer zu Recht vorbringt, erfordert Art. 8 Ziff. 1 EMRK vorliegend zwingend, die Voraussetzungen für einen allfälligen Anspruch auf umgekehrten Familiennachzug gerichtlich zu prüfen und eine Interessenabwägung unter Einbezug des Kindeswohls vorzunehmen (vgl. <ref-ruling> E. 4; vorstehende E. 5.1 und 5.2).
5.4. Hinsichtlich der Vater-Sohn-Beziehung ist dem angefochtenen Entscheid zu entnehmen, dass sich der Beschwerdeführer bis zu seiner Einreise in die Schweiz im Jahr 2017 nur sehr spärlich und sporadisch um seinen Sohn gekümmert habe. Danach hätten der Beschwerdeführer und seine Ex-Ehefrau während ca. eines Jahres einen Familienhaushalt geführt und der Beschwerdeführer habe erstmals mit seinem Sohn zusammengelebt. Heute sei von einer stabilen Vater-Sohn-Beziehung auszugehen, wobei der Vater sein Besuchsrecht regelmässig ausübe und auch regelmässig Unterhaltsbeiträge von (meist) Fr. 200.-- pro Monat bezahle. Unklar bleiben indessen die Details zum tatsächlichen persönlichen Kontakt (Umfang der Wahrnehmung des Besuchsrechts, allfällige gemeinsame Ferien etc.) und insofern die Tiefe der heute gelebten Beziehung. Auch liess die Vorinstanz die Vorbringen des Beschwerdeführers unberücksichtigt, dass dieser seinen Sohn in Absprache mit der Mutter über sein Besuchsrecht hinaus betreue und ihn im Fussball trainiere. Hierzu hat die Vorinstanz durch geeignete Massnahmen den Sachverhalt zu erstellen oder erstellen zu lassen (vgl. Urteil 2C_728/2014 vom 3. Juni 2015 E 3.3). Hinsichtlich der monatlichen Zahlungen ist ausserdem zu prüfen, ob der Beschwerdeführer damit seinen finanziellen Verpflichtungen gegenüber dem Sohn nachkommt. Gegebenenfalls sind in diesem Zusammenhang auch Naturalleistungen zu berücksichtigen und ist die finanzielle Unterstützung des Sohnes ins Verhältnis zum Verdienst bzw. zu den Bemühungen des Beschwerdeführers zu setzen (vgl. <ref-ruling> E. 5.2.2; Urteil 2C_904/2018 vom 24. April 2019 E. 4.2). Gestützt auf diese Elemente hat die Vorinstanz über die von ihr offen gelassene Frage zu befinden, ob - im Zeitpunkt der Beurteilung sowie im Rahmen des Möglichen und Zumutbaren - zwischen dem Beschwerdeführer und seinem Sohn in affektiver wie wirtschaftlicher Hinsicht eine besonders enge Beziehung besteht (<ref-ruling> E. 5.2.2; Urteil 2C_904/2018 vom 24. April 2019 E. 4.2).
5.5. Der Beschwerdeführer stammt aus der Elfenbeinküste. Im Falle einer Rückkehr dorthin erscheint es aus geographischen wie wirtschaftlichen Gründen kaum möglich, das mit dem Sohn aufgebaute Verhältnis weiter zu pflegen (vgl. <ref-ruling> E. 5.2.3; <ref-ruling> E. 3.1; Urteil 2C_728/2014 vom 3. Juni 2015 E. 4.2). Aus dem angefochtenen Entscheid ergibt sich indessen nicht deutlich, ob auch eine Rückkehr nach Ungarn oder Österreich infrage käme, von wo aus ein besuchsweiser Kontakt unter eingeschränkten Voraussetzungen allenfalls möglich wäre. Die Vorinstanz verweist diesbezüglich auf die Ausführungen des Migrationsamts, wonach es dem Beschwerdeführer grundsätzlich offen stehe, nach Ungarn auszureisen, eine allfällige Ausreise in einen Drittstaat jedoch nicht näher abgeklärt werden müsse. Auch dies gilt es nachzuholen.
5.6. Erstellt ist schliesslich, dass der Beschwerdeführer im Bewilligungsverfahren seine Scheidung wider besseren Wissens verschwiegen hatte, was ihm aus ausländerrechtlicher Sicht zweifelsfrei vorzuwerfen ist (vgl. Urteil 2C_762/2013 vom 31. Januar 2014 E. 5.3; <ref-law>). Ob dies einem Aufenthaltsanspruch entgegensteht, wird im Rahmen einer Gesamtbetrachtung und unter Berücksichtigung des sonstigen Verhaltens des Beschwerdeführers in der Schweiz zu prüfen sein (<ref-ruling> E. 5.2.4; Urteile 2C_402/2018 vom 19. September 2018 E. 2.1; 2C_619/2017 vom 13. Dezember 2017 E. 3.2.3 und 3.2.4).
5.7. Unter diesen Umständen rechtfertigt es sich, die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts und zu neuem Entscheid in Sinne einer Gesamtwürdigung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Bundesgericht kann erst danach (allenfalls) definitiv darüber befinden, ob der Widerruf der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers mit Art. 8 EMRK vereinbar ist (vgl. Urteile 2C_1125/2014 vom 9. September 2015 E. 5; 2C_728/2014 vom 3. Juni 2015 E. 4.4)
6.
Die Beschwerde ist gutzuheissen, das angefochtene Urteil vom 15. Juni 2021 aufzuheben und die Sache zur Sachverhaltsabklärung und zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn zurückzuweisen. Diesem Verfahrensausgang entsprechend sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Der Kanton Solothurn hat dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung für das bundesgerichtliche Verfahren auszurichten (<ref-law>). Damit wird das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 15. Juni 2021 wird aufgehoben und die Sache zur Sachverhaltsabklärung sowie zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Der Kanton Solothurn hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird als gegenstandslos abgeschrieben.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Staatssekretariat für Migration mitgeteilt.
Lausanne, 6. April 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Der Gerichtsschreiber: C. Marti