Sachverhalt:
A.
A._ ist Eigentümer des Grundstücks Gbbl. Nr. 462 in der Gemeinde Aeschi b. Spiez. Es liegt in der Landwirtschaftszone und im Streusiedlungsgebiet und ist mit einem Wohnhaus, einem Holzschopf und einer Scheune für Klein- und Federvieh überbaut. Am 25. August 2017 stellte A._ ein Baugesuch für den Umbau der Scheune. Er umschrieb das Bauvorhaben dahingehend, dass die bestehende Küche und das bestehende WC vom Erd- ins Obergeschoss verlegt und dort auch eine Dusche eingebaut werden sollten. Am 21. November 2017 stellte die kommunale Bauverwaltung bei einer Besichtigung fest, dass bereits mit dem Einbau einer Wohnung begonnen worden war, und verbot mündlich die Weiterführung der Bauarbeiten. Am 9. Februar 2018 verfügte die Bauverwaltung neben der Baueinstellung ein Benützungsverbot für die unbewilligten Räume. Das Amt für Gemeinden und Raumordnung des Kantons Bern (AGR) verweigerte am 9. August 2018 dem Bauvorhaben die Ausnahmebewilligung für das Bauen ausserhalb der Bauzonen. Gestützt darauf verfügte die kommunale Baubewilligungsbehörde am 16. November 2018 den Bauabschlag und ordnete die Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands an.
B.
Den abschlägigen Bauentscheid zog A._ an die Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion des Kantons Bern (BVE; heute: Bau- und Verkehrsdirektion [BVD]) weiter. Diese wies die Beschwerde mit Entscheid vom 4. März 2019 ab. Dabei setzte sie die Frist zur Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands neu auf den 30. Juni 2019 fest.
Das von A._ daraufhin angerufene Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies seine Beschwerde mit Urteil vom 28. Mai 2020 ab. Es setzte die Frist zur Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands auf den 30. September 2020 fest.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 30. Juni 2020 beantragt A._, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die Sache zur Vervollständigung der Sachverhaltsermittlung und zum neuen Entscheid an die kantonalen Instanzen zurückzuweisen. Eventualiter sei dem Baugesuch - zumindest teilweise gemäss den formulierten Begehren - zu entsprechen.
Die BVD und das Verwaltungsgericht ersuchen um Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Raumentwicklung (ARE) stellt in der Vernehmlassung vom 10. November 2020 ebenfalls Antrag auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid im Bereich des Baurechts. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG); ein Ausschlussgrund nach Art. 83 BGG liegt nicht vor. Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist als Baugesuchsteller nach Art. 89 Abs. 1 BGG zur Beschwerde legitimiert. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen gegeben sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2.
Das angefochtene Urteil beruht auf folgendem Sachverhalt: Die Baubewilligung für die Erstellung der Scheune wurde am 8. März 1984 der Rechtsvorgängerin des Beschwerdeführers erteilt. Sie hatte vorgängig auf den ursprünglich geplanten Einbau eines sog. "Hirtgemachs" im Obergeschoss verzichtet. Gemäss den bewilligten Plänen sollte im Erdgeschoss ein Stall- und Kellerraum entstehen; im Obergeschoss waren ein Raum für die Futter- und Eiablage und ein Raum als Heudiele geplant. Die Baubewilligung wurde mit der Auflage verbunden, dass der als Futter- und Eiablageraum bezeichnete Teil der Scheune weder zu Wohnzwecken um- oder ausgebaut noch benutzt werden durfte. Später wurde festgestellt, dass die ausgeführten Arbeiten in zahlreichen Punkten nicht den bewilligten Plänen entsprachen. Am 26. Juli 1984 hiess die Gemeinde das nachträgliche Baugesuch gut u.a. für die Erstellung einer Futterküche und den Einbau eines WC im Erdgeschoss (anstelle des vormals bewilligten Kellers) sowie den Einbau eines Hühnerstalls im Obergeschoss (als Teil der bisherigen Diele). Dabei wurde wiederum auflageweise festgehalten, dass eine Zweckentfremdung in nichtlandwirtschaftliche Nutzung verboten sei. Ein Baugesuch vom 18. September 1987 für die Umnutzung des Futter- und Eiablageraums in ein Hirtgemach wurde am 4. Januar 1988 nicht bewilligt. Die kantonale Baudirektion wies die dagegen erhobene Beschwerde am 6. März 1989 ab. Am 5. August 1991 wurde ein Baugesuch für den Einbau eines Heubühnentors und einer Freitreppe eingereicht. Am daraufhin durchgeführten Augenschein zeigte sich, dass ein Hirtgemach im Futter- und Eiablageraum eingebaut worden war. Am 22. November 1991 wurde die Baubewilligung für das Heubühnentor und die Freitreppe erteilt; erneut wurde eine allfällige Nutzungsänderung verboten; namentlich die Futterküche und der Eiablageraum dürften nicht zu Wohnzwecken benutzt werden. Der bauliche Zustand (Einbau eines Lavabos im Eiablageraum) wurde aber geduldet. Am 20. August 1997 wurde eine Voranfrage für die Umnutzung der Scheune zu Wohnzwecken eingereicht. Das zuständige Regierungsstatthalteramt beschied am 10. Oktober 1997, dem Vorhaben könne keine Ausnahmebewilligung für das Bauen ausserhalb der Bauzonen in Aussicht gestellt werden. Am 28. Mai 2013 erwarb der Beschwerdeführer das Grundstück im Rahmen einer Erbteilung zu Alleineigentum.
3.
Zunächst ist den Sachverhalts- und Verfahrensrügen nachzugehen.
3.1. Nach der Vorinstanz ist der Zustand, wie er gemäss den Bauentscheiden vom 8. März 1984 und 26. Juli 1984 sowie vom 22. November 1991 bewilligt wurde, Ziel der umstrittenen Wiederherstellungsmassnahmen. Dabei könne der ehemalige Futter- und Eiablageraum mit Lavabo in seinem derzeitigen Zustand belassen werden, dürfe jedoch (weiterhin) nicht bewohnt werden. Die behördliche Befugnis zur Anordnung der Wiederherstellung sei nicht verwirkt. Die Vorinstanz hat angenommen, dass die unbewilligten baulichen Veränderungen im Hinblick auf eine Wohnnutzung in der Scheune (abgesehen vom Futter- und Eiablageraum) vor weniger als 30 Jahren vorgenommen worden seien. Es beständen keine Anhaltspunkte dafür, dass die bauliche Infrastruktur, die auch zu Wohnzwecken genutzt werden könne, bereits im Jahr 1984 oder gar im Jahr 1983 erstellt worden sei.
3.2. Demgegenüber wirft der Beschwerdeführer der Vorinstanz vor, sie habe ungenügend abgeklärt, welche Infrastruktur seit wann vorhanden sei und für welche Nutzung sie tauge. Die Vorinstanz habe die historischen Baupolizeiakten in unhaltbarer Weise gewürdigt, wenn ihrer Ansicht nach bauliche Veränderungen für eine Wohnnutzung erst nach 1984 erfolgt sein sollen. Vielmehr sei schon 1983 oder 1984 eine minimale Infrastruktur für eine einfache, nicht landwirtschaftliche Wohnnutzung geschaffen worden, auch wenn diese verboten gewesen sei. Im Übrigen seien bei der Baute neue Fenster oder eine neue Aussenwandverkleidung nicht vorhanden, genauso wenig wie die weiteren in der Wiederherstellungsverfügung nicht genannten, aber trotzdem zurückzubauenden unbewilligten Bauarbeiten. Weder habe die Vorinstanz die vom Beschwerdeführer eingereichten Fotos und Plandarstellungen gewürdigt noch seinem Antrag auf einen Augenschein stattgegeben. Dies missachte den Untersuchungsgrundsatz gemäss Art. 18 des kantonalen Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege vom 23. Mai 1989 (VRPG; BSG 155.21); zudem seien der Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) verletzt und der Sachverhalt willkürlich festgestellt worden. Diese Verfahrensmängel seien von Belang, weil je nach Antwort die Wiederherstellungsfrist verwirkt sei und Anspruch auf Bewilligung einer reinen Zweckänderung nach Art. 24a RPG bestehe.
3.3. Gemäss Art. 18 VRPG stellen die Behörden den Sachverhalt von Amtes wegen fest; sie sind dabei nicht an die Beweisanträge der Parteien gebunden. Bei der Erhebung und Abnahme von Beweisen steht den Behörden ein weiter Ermessensspielraum zu, den sie nach pflichtgemässem Ermessen auszufüllen haben (vgl. MICHEL DAUM, in: Herzog/Daum [Hrsg.], Kommentar zum Gesetz über die Verwaltungsrechtspflege im Kanton Bern, 2. Aufl. 2020, N. 26 ff. zu Art. 18 VRPG).
Der Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) garantiert den Verfahrensbeteiligten ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht. Sie haben insbesondere Anspruch auf Äusserung zur Sache vor Fällung des Entscheids, auf Abnahme ihrer erheblichen, rechtzeitig und formrichtig angebotenen Beweise und auf Mitwirkung an der Erhebung von Beweisen oder zumindest auf Stellungnahme zum Beweisergebnis (vgl. <ref-ruling> E. 3.4; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen).
Die Parteien haben somit grundsätzlich Anspruch auf die Abnahme von Beweismitteln, soweit sie rechtserheblich sind. Welche Beweismittel rechtserheblich sind, entscheidet sich danach, über welche Sachverhaltselemente und Tatsachen für die Anwendung der in Frage stehenden Normen der Beweis zu führen ist. Dies ergibt sich wiederum aus dem materiellen Recht (vgl. <ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 3.2; Urteil 1C_317/2016 vom 25. Januar 2017 E. 2.6).
3.4.
3.4.1. Das Bundesgericht hat vor kurzem die Grundsatzfrage entschieden, dass der Anspruch bzw. die Pflicht der Behörden zur Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands bei materiell und formell rechtswidrigen Bauten ausserhalb der Bauzonen nach 30 Jahren nicht verwirkt (vgl. Urteil 1C_469/2019 und 1C_483/2019 vom 28. April 2021 E. 5, zur Publikation vorgesehen).
3.4.2. Weiter gehen nach der Rechtsprechung öffentlich-rechtliche Pflichten oder Belastungen des Grundeigentums bei einer Handänderung grundsätzlich auf den Erwerber über; dieser muss sich auch den bösen Glauben seines Vorgängers anrechnen lassen (vgl. Urteile 1C_514/2019 vom 2. April 2020 E. 3.5; 1C_482/2017 vom 26. Februar 2018 E. 2.6.1; 1C_171/2017 vom 3. Oktober 2017 E. 4.4). Nach Art. 44 Abs. 2 der Raumplanungsverordnung vom 28. Juni 2000 (RPV; SR 700.1) kann die zuständige kantonale Behörde bei Bewilligungen im Zusammenhang mit Bauten und Anlagen ausserhalb der Bauzonen unter anderem Nutzungsbeschränkungen im Grundbuch anmerken lassen. Die Anmerkung dient einer Publizitätswirkung für Drittpersonen; die öffentlich-rechtliche Nutzungsbeschränkung besteht indessen auch ohne diese Anmerkung (vgl. Urteil 1C_750/2013 vom 28. April 2014 E. 4.2). Mit anderen Worten entbindet das Fehlen einer Anmerkung im Sinne von Art. 44 Abs. 2 RPV den Erwerber eines Grundstücks ausserhalb der Bauzonen nicht von der Konsultation der historischen Baupolizeiakten, um den bewilligten Zustand zu ermitteln. Nichts anderes gilt im Hinblick auf die bereits unter der Geltung der früheren Raumplanungsverordnung vom 2. Oktober 1989 (aRPV; AS 1989 1985) bestehende Möglichkeit zum Eintrag einer Anmerkung im Grundbuch für Zweckänderungsverbote (vgl. Art. 25 Abs. 4 aRPV; AS 1989 1992) bzw. für Nutzungsbeschränkungen (vgl. Art. 25a Abs. 2 aRPV in der Fassung vom 22. Mai 1996; AS 1996 1535).
3.4.3. Art. 24a Abs. 1 RPG erklärt die Zweckänderung einer Baute oder Anlage ausserhalb der Bauzonen als bewilligungsfähig, wenn sie keine baulichen Massnahmen im Sinne von Art. 22 RPG erfordert, wenn dadurch keine neuen Auswirkungen auf Raum, Erschliessung und Umwelt entstehen (lit. a) und die Baubewilligung nach keinem anderen Bundeserlass unzulässig ist (lit. b). Art. 24a RPG ist auf bestehende Bauten und Anlagen ausserhalb der Bauzonen anwendbar, soweit sie rechtmässig erstellt und genutzt worden sind (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 223; Urteil 1C_619/2017 vom 29. August 2018 E. 4.1 und 4.2, in: ZBl 120/2019 S. 327).
3.5. Der Beschwerdeführer bestreitet vor Bundesgericht nicht substanziiert, dass der bewilligte Zustand bei der betroffenen Scheune sich - wie von der Vorinstanz angenommen - aus dem Zusammenspiel der Baubewilligungen vom 8. März 1984, 26. Juli 1984 und 22. November 1991 ergibt. Grundsätzlich gilt, dass Bauarbeiten, die nicht aus genehmigten Plänen hervorgehen, nicht bewilligt worden sind. Es ist Sache des Bauherrn, diese Vermutung zu zerstören (vgl. MAGDALENA RUOSS FIERZ, Massnahmen gegen illegales Bauen, Zürich 1999, S. 109 f.). Die Einwände des Beschwerdeführers knüpfen im Wesentlichen an den tatsächlichen Zustand bei seiner Übernahme des Grundstücks bzw. vor dem Baugesuch von 2017 an. Soweit ersichtlich tut er dabei nicht dar, dass mit den fraglichen Baubewilligungen Konstruktionsteile, Fassadenöffnungen und Innenausstattungen in einem Umfang über die genehmigten Baupläne hinaus erlaubt worden wären. Die Vorinstanz durfte ohne Bundesrechtsverletzung davon ausgehen, dass die historischen Baupolizeiakten ein genügendes Bild über den bewilligten Zustand vermitteln. Der Gemeinde schadet es nicht, wenn sie die Rückbaumassnahmen bei den Fenstern und Aussenwandverkleidungen nicht genauer umschrieben hat, weil alle nicht nachweislich bewilligten Bauteile davon betroffen sind. Daher ist es im Hinblick auf den Umfang allfälliger Rückbaumassnahmen nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz weder auf die Fotografien und Plandarstellungen des Beschwerdeführers zur Scheune näher eingegangen ist noch den beantragten Augenschein durchgeführt hat.
3.6.
3.6.1. Wie dargelegt (vgl. oben E. 3.2) bringt der Beschwerdeführer vor, die baulichen Voraussetzungen für eine Wohnnutzung seien bei der Scheune bereits 1983 geschaffen worden. Er widerspricht aber vor Bundesgericht nicht der Feststellung der Vorinstanz, dass die Erstellung dieser Baute erst mit der Baubewilligung vom 8. März 1984 erlaubt worden ist. Letztlich kann es offenbleiben, ob unbewilligte Bauarbeiten bei der Scheune im Jahr 1984 oder sogar schon 1983 durchgeführt wurden, weil in beiden Fällen keine Verwirkungsfrist für Wiederherstellungsmassnahmen eingetreten ist (vgl. oben E. 3.4.1). Es spielt somit keine wesentliche Rolle, ob die Annahme der Vorinstanz zutrifft, dass die Frist seit der Vornahme unbewilligter Bauarbeiten weniger als 30 Jahre betragen habe. Insoweit ist kein zusätzlicher Abklärungsbedarf gegeben.
3.6.2. Im Rahmen der Baubewilligungen wurde der Rechtsvorgängerin des Beschwerdeführers unbestrittenermassen jeweils ein Umbau bzw. eine Umnutzung der Scheune zu Wohnzwecken verboten (vgl. oben E. 2). Auch wenn diese Nutzungsbeschränkung nicht im Grundbuch angemerkt worden sein sollte, entfaltet sie die Rechtswirkungen ebenfalls gegenüber dem Beschwerdeführer bzw. ist deren Kenntnis bei ihm vorauszusetzen (vgl. oben E. 3.4.2). Es kommt also nicht darauf an, ob ein solcher Eintrag erfolgt ist. Unter diesem Blickwinkel durfte die Vorinstanz auf weitere Abklärungen verzichten.
3.6.3. Zudem bildet der bewilligte Zustand bei der Scheune - und nicht einfach der vorbestehende bauliche Zustand - den Ausgangspunkt für eine allfällige Bewilligung nach Art. 24a RPG (vgl. oben E. 3.4.3). Die genehmigten Baupläne von 1984 enthalten Massangaben zur Wandstärke bei den Innen- und Aussenwänden. Aus diesen Plänen ist ersichtlich, dass ein Teil der Fassade als mit waagrechten, regelmässigen Luftschlitzen versehene Wand (sog. Gimwand) ausgestaltet ist. Dies geht einher mit der damaligen Bewilligung einer Heudiele im Obergeschoss. Dem Beschwerdeführer kann nicht gefolgt werden, wenn er beansprucht, die Isolierarbeiten im Gebäudeinnern seien im vorliegenden Zusammenhang bewilligungsfrei (vgl. dazu unten E. 4.2). Auch in dieser Hinsicht durfte die Vorinstanz von den genehmigten Plänen ausgehen und brauchte nicht zu untersuchen, inwiefern unbewilligte Bauarbeiten im Gebäudeinnern bereits faktisch eine Wohnnutzung ermöglicht hatten.
3.7. Ferner macht der Beschwerdeführer darauf aufmerksam, dass ihm das zuständige Regierungsstatthalteramt am 4. Februar 2015 eine Ausnahmebewilligung gemäss Art. 60 Abs. 1 lit. a des Bundesgesetzes vom 4. Oktober 1991 über das bäuerliche Bodenrecht (BGBB; SR 211.412.11) vom Realteilungs- und Zerstückelungsverbot bei Parzelle Nr. 462 erteilt hat. Im Hinblick auf die Abtrennung von zwei Parzellen, die weiterhin landwirtschaftlich genutzt werden sollten, wurde damals das restliche Stammgrundstück mit Wohnhaus und Scheune aus dem Geltungsbereich des BGBB entlassen. Dafür wurde ein koordiniertes Verfahren nach Art. 4a der Verordnung vom 4. Oktober 1993 über das bäuerliche Bodenrecht (VBB; SR 211.412.110) unter Einbezug des AGR durchgeführt. Letzteres hatte in diesem Rahmen am 7. Januar 2014 förmlich festgestellt, dass unter anderem die betroffene Scheune seit längerer Zeit nicht mehr landwirtschaftlich genutzt werde und keine Ausnahmebewilligung nach Art. 24 ff. RPG für die Abparzellierung erforderlich sei.
Bei der Bewilligung nach Art. 60 Abs. 1 lit. a BGBB ist die Eignung eines Grundstücks zur landwirtschaftlichen Nutzung nicht nur unter Berücksichtigung objektiver Kriterien, sondern auch des subjektiven Kriteriums der langjährigen tatsächlichen Nutzung zu beurteilen. Auf das subjektive Kriterium kann jedoch nur unter den kumulativen Voraussetzungen der Langjährigkeit der tatsächlichen Nutzung, eines auch in Zukunft nicht bestehenden Bedarfs für die landwirtschaftliche Nutzung und der Rechtmässigkeit der Erstellung der auf dem Grundstück errichteten Bauten und Anlagen abgestellt werden (vgl. <ref-ruling> E. 3; Urteil 2C_747/2013 vom 8. September 2014 E. 4.2.1).
Die fraglichen Verfügungen im konkreten Fall bezogen sich auf den gemäss den Baubewilligungen genehmigten Zustand bei der Scheune. Für baubewilligungspflichtige Veränderungen behielt das AGR in der Verfügung vom 7. Januar 2014 Ausnahmebewilligungen nach Art. 24 ff. RPG vor. Auch dadurch wurde der Beschwerdeführer nicht der Pflicht zur Konsultation der historischen Baupolizeiakten für die Ermittlung des genehmigten Zustands bei der Scheune enthoben. Weder musste sich die Vorinstanz näher mit jenem Bewilligungsverfahren auseinandersetzen, noch hatte sie deswegen ergänzende Abklärungen zum baulich vorbestehenden Zustand vorzunehmen.
3.8. Zusammengefasst konnte die Vorinstanz in zulässiger antizipierter Beweiswürdigung bei der Anwendung des einschlägigen materiellen Rechts auf die vom Beschwerdeführer verlangten Beweismassnahmen verzichten. Sie hat den Sachverhalt insoweit nicht unvollständig oder offensichtlich unrichtig festgestellt. In tatsächlicher Hinsicht ist demzufolge auf die Feststellungen der Vorinstanz abzustellen. Ebenso wenig hat die Vorinstanz dabei den Untersuchungsgrundsatz oder den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör missachtet. Die diesbezüglichen Rügen gehen fehl.
4.
4.1. Gemäss dem angefochtenen Urteil wurde eine Bewilligung nach Art. 24a RPG für die Umnutzung der Scheune zu Wohnzwecken zu Recht verweigert. Die beabsichtigte landwirtschaftsfremde Wohnnutzung führe zu neuen, nicht unerheblichen Auswirkungen auf den Raum bzw. die Umwelt. Zudem sehe das Baugesuch zahlreiche bauliche Massnahmen vor: Im Obergeschoss sei der Einbau einer zum Wohnraum hin offenen Küche geplant. Weiter soll ein Badezimmer mit Dusche, WC und Lavabo entstehen. Ebenso sei die Schaffung eines Dachgeschosses durch Einbau eines Zwischenbodens mit Treppenaufgang vorgesehen. Geplant seien ausserdem eine Wärmedämmung und das inwändige Verglasen der Gimwand. Dies gehe über das übliche Mass einer Renovation oder Reparatur hinaus und sprenge den Rahmen von Art. 24a RPG. Der Umstand, dass vorbestehende Installationen (Futterküche und WC im Erdgeschoss sowie Lavabo im Obergeschoss) entfernt würden, ändere daran nichts. Dieser Urteilsbegründung lässt sich entnehmen, dass die Vorinstanz die Bewilligungsfähigkeit der umstrittenen Umnutzung in genügender Weise unabhängig von der Tragweite baulicher Veränderungen geprüft hat. Entgegen der Kritik des Beschwerdeführers hat die Vorinstanz die reine Umnutzung und die Vornahme baulicher Veränderungen nicht miteinander vermischt.
4.2. Wird die Zweckänderung von baubewilligungsfreien Unterhalts- und Renovationsarbeiten begleitet, steht dies einer Anwendung von Art. 24a RPG nicht entgegen. Dabei kommen aber einzig solche Arbeiten in Betracht, die auch ohne die Zweckänderung, d.h. für die ursprüngliche Nutzung der Baute erforderlich sind. Was über eine blosse Renovation hinausgeht bzw. im Hinblick auf die beabsichtigte Zweckänderung erfolgt, fällt unter den Begriff der baulichen Massnahmen, die im Rahmen von Art. 24a RPG ausgeschlossen sind (vgl. Urteile 1C_131/2018 vom 27. August 2018 E. 3.3 und 6.1; 1C_283/2017 vom 23. August 2017 E. 3.2 und 3.3). Im konkreten Fall sind die von der Vorinstanz erwähnten baulichen Veränderungen im Gebäudeinnern im Vergleich zum bisherigen bewilligten Zustand bei der Scheune bedeutsam, namentlich weil sie im Hinblick auf die beabsichtigte Umnutzung zu Wohnzwecken erfolgen. Dabei hilft es dem Beschwerdeführer nicht weiter, wenn diese Veränderungen für die Bewerkstelligung einer Wohnnutzung nicht erforderlich sein sollten. Deshalb muss auch nicht auf die genaue Tragweite der einzelnen baulichen Veränderungen gemäss Baugesuch eingegangen werden. Der Vorinstanz ist zuzustimmen, dass sie bauliche Massnahmen darstellen, die eine Anwendung von Art. 24a RPG ausschliessen.
4.3. Im Übrigen fällt eine Bewilligung nach Art. 24a RPG ausser Betracht, sobald die Zweckänderung mit einer Mehrbelastung der Erschliessung oder der Umwelt verbunden ist; insoweit ist nicht massgebend, ob die neuen Auswirkungen erheblich oder geringfügig sind (vgl. Urteil 1C_619/2017 vom 29. August 2018 E. 4.1 mit Hinweisen, in: ZBl 120/2019 S. 327). Auch wenn die Umnutzung für Wohnzwecke auf die im bewilligten Zustand bewohnbaren Räume beschränkt wird, sind in einem solchen Fall Auswirkungen auf die Erschliessungssituation und die Umwelt nicht auszuschliessen. Daher kann auch in dieser Hinsicht eine Ausnahmebewilligung nach Art. 24a RPG nicht erteilt werden (vgl. Urteil 1C_351/2011 vom 7. März 2012 E. 5.3). Unter diesen Umständen muss nicht erörtert werden, inwiefern schon allein die allfällige Notwendigkeit zum Anschluss des Gebäudes an die öffentliche Kanalisation im Hinblick auf eine Wohnnutzung einer Bewilligung nach Art. 24a RPG entgegensteht.
4.4. Als Zwischenergebnis hat die Vorinstanz eine Bewilligungsfähigkeit nach Art. 24a RPG zu Recht verneint.
5.
Ausserdem wehrt sich der Beschwerdeführer gegen die Verweigerung einer Bewilligung gestützt auf Art. 39 RPV.
5.1. Gemäss Art. 24 RPG können Bewilligungen abweichend von Art. 22 Abs. 2 lit. a RPG namentlich zur Errichtung von Bauten und Anlagen ausserhalb der Bauzonen erteilt werden, wenn deren Zweck einen Standort ausserhalb der Bauzonen erfordert (lit. a) und keine überwiegenden Interessen entgegenstehen (lit. b). Der Bundesrat hat in Art. 39 Abs. 1 RPV Tatbestände umschrieben, bei denen die Kantone Bauvorhaben in Streusiedlungsgebieten gemäss kantonalem Richtplan als standortgebunden (Art. 24 lit. a RPG) bewilligen können (vgl. RUDOLF MUGGLI, in: Praxiskommentar RPG: Bauen ausserhalb der Bauzone, 2017, N. 34 zu Art. 24 RPG). Art. 39 Abs. 1 RPV entspricht im Wesentlichen Art. 24 Abs. 1 aRPV in der Fassung vom 22. Mai 1996 (AS 1996 1534) und der früheren Fassung vom 2. Oktober 1989 (AS 1989 1991 f.; vgl. dazu MUGGLI, a.a.O., N. 6 der Vorbemerkungen zu den Art. 24 bis 24e und 37a RPG). Dem angefochtenen Urteil lässt sich entnehmen, dass die Parzelle Nr. 462 innerhalb eines im kantonalen Richtplan bezeichneten Streusiedlungsgebiets liegt. Umstritten ist, ob der Beschwerdeführer Anspruch auf eine (allenfalls teilweise) Bewilligung des Bauprojekts gestützt auf Art. 39 Abs. 1 lit. a oder lit. b RPV besitzt.
5.2. Nach Art. 39 Abs. 1 lit. a RPV kann die Änderung der Nutzung bestehender Bauten, die Wohnungen enthalten, zu landwirtschaftsfremden Wohnzwecken bewilligt werden, wenn sie nach der Änderung ganzjährig bewohnt werden. Art. 39 Abs. 1 lit. a RPV ist lediglich auf bestehende Bauten anwendbar, die bereits eine rechtmässig erstellte Wohnung aufweisen. Dabei führen Liegestellen für gelegentliches Übernachten, wie sie in manchen Ställen oder Scheunen vorhanden sind, nicht zu Wohnungen in diesem Sinne (vgl. MUGGLI, a.a.O., N. 35 zu Art. 24 RPG). Art. 39 Abs. 1 lit. a RPV bietet die Möglichkeit zum Hineinwachsen der Wohnnutzung in den Ökonomieteil des Gebäudes; dabei ist die Schaffung von Zweitwohnungen unzulässig (ARE, Neues Raumplanungsrecht, Erläuterungen zur Raumplanungsverordnung, 2001, S. 39). Diese Bestimmung ist auf Haustypen zugeschnitten, bei denen Wohn- und Ökonomieteil unter einem Dach liegen (vgl. GIAN SCHMID, Projektbezogene Nutzungsplanung im Gebiet ausserhalb der Bauzonen, 2001, S. 123; ROBERT WOLF, Die neue Raumplanungsverordnung des Bundes vom 2. Oktober 1989, VLP-Schriftenfolge Nr. 53b, 1991, S. 28). Im Unterschied dazu lässt Art. 39 Abs. 1 lit. b RPV Gewerbenutzungen mit der Verwendung des Begriffspaars "bestehender Bauten oder Gebäudekomplexe" auch bei Gebäudegruppen zu, bei denen Wohnhaus und Ökonomiegebäude voneinander getrennt sind, aber funktional und visuell zusammengehören (vgl. SCHMID, a.a.O., S. 124; WOLF, a.a.O., S. 30; BANDLI/BÜHLMANN/NICATI/TSCHANNEN, Zur neuen Raumplanungsverordnung des Bundes, BR 1990 S. 20 ff., 25). Entgegen dem Beschwerdeführer ist es nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz Art. 39 Abs. 1 lit. a RPV eng ausgelegt und eine Anwendung auf freistehende Ökonomiebauten abgelehnt hat. Somit ist die Scheune im konkreten Fall keiner Bewilligung für eine Wohnnutzung gestützt auf Art. 39 Abs. 1 lit. a RPV zugänglich.
5.3. Gemäss Art. 39 Abs. 1 lit. b RPV kann die Änderung der Nutzung bestehender Bauten oder Gebäudekomplexe, die Wohnungen enthalten, zu Zwecken des örtlichen Kleingewerbes (beispielsweise Käsereien, holzverarbeitende Betriebe, mechanische Werkstätten, Schlossereien, Detailhandelsläden, Wirtshäuser) bewilligt werden; dabei darf der Gewerbeteil in der Regel nicht mehr als die Hälfte der Baute oder des Gebäudekomplexes beanspruchen. Der Beschwerdeführer ersucht unter diesem Titel um Einrichtung eines Beherbergungsbetriebs zur Vermietung von Gästezimmern (wie ein Bed-and-Breakfast-Betrieb bzw. eine touristisch bewirtschaftete Ferienwohnung) in der Scheune. Die Betreuung der Gäste soll gemäss dem bei der Vorinstanz eingereichten Betriebskonzept von dem nebenan gelegenen Wohnhaus aus erfolgen. Die Vorinstanz ist der Ansicht, dass es nicht um ein Vorhaben für ein örtliches Kleingewerbe im Sinne von Art. 39 Abs. 1 lit. b RPV gehe. Diese Anforderung erachtet sie beim fraglichen Beherbergungsbetrieb nicht als erfüllt, weil er auf auswärtige Gäste ausgerichtet ist.
5.4. Die Aufzählung in Art. 39 Abs. 1 lit. b RPV zur Veranschaulichung des Begriffs des örtlichen Kleingewerbes ist nicht abschliessend formuliert. Die dort genannten Betriebe weisen die Gemeinsamkeit auf, dass sie der lokalen Versorgung oder der Verarbeitung und dem Vertrieb lokaler Produkte dienen (vgl. SCHMID, a.a.O., S. 124; WOLF, a.a.O., S. 30; BANDLI/BÜHLMANN/NICATI/TSCHANNEN, a.a.O., S. 25). Entsprechende Umnutzungen sind nach dieser Bestimmung nur zulässig bei Vorhaben von kleinen Gewerbebetrieben, die als typisch für eine ländliche, landwirtschaftlich geprägte Region gelten (vgl. MUGGLI, a.a.O., N. 36 zu Art. 24 RPG). Dabei ist zu berücksichtigen, dass sich eine Standortgebundenheit im Sinne von Art. 24 lit. a RPG jeweils aus objektiv sachlichen Gründen ergeben muss (vgl. <ref-ruling> E. 7.6.1; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen). Wiederum hat die Vorinstanz den Begriff des örtlichen Kleingewerbes zu Recht restriktiv gehandhabt. Für den nach Art. 39 Abs. 1 lit. b RPV geforderten Ortsbezug reicht es nicht aus, dass ein Betrieb Einkommensmöglichkeiten für die ansässige Bevölkerung schafft (vgl. SCHMID, a.a.O., S. 124 f.; WOLF, a.a.O., S. 30 f.). Der Beschwerdeführer vermag auch nichts für sich abzuleiten, falls kleingewerbliche Beherbergungsbetriebe in einem nicht nur ländlichen, sondern auch touristisch geprägten Gebiet typisch sein sollten. Im Ergebnis verletzt es Art. 39 Abs. 1 lit. b RPV nicht, dass die Vorinstanz dem konkret zur Diskussion gestellten Beherbergungsbetrieb in der Scheune den nötigen Ortsbezug im Sinne dieser Bestimmung nicht zuerkannt hat.
5.5. Demzufolge sind die Einwände des Beschwerdeführers gegen die Anwendung von Art. 39 Abs. 1 RPV durch die Vorinstanz unbegründet. Bei diesem Ergebnis muss nicht geprüft werden, ob die weiteren Voraussetzungen gemäss Art. 39 RPV und Art. 43a RPV eingehalten wären. Ebenso wenig braucht erörtert zu werden, inwiefern die Regelungen von Art. 39 Abs. 1 lit. a und lit. b RPV mit dem übergeordneten Gesetzesrecht vereinbar sind.
6.
6.1. Die umstrittene Wiederherstellungsverfügung stützt sich auf Art. 46 Abs. 2 lit. e des kantonalen Baugesetzes vom 9. Juni 1985 (BauG; BSG 721.0). Nach dieser Bestimmung entscheidet die Baubewilligungsbehörde im Fall des Bauabschlags zugleich darüber, ob und inwieweit der rechtmässige Zustand wiederherzustellen ist. Die von der Vorinstanz geschützte Anordnung zur Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands umfasst folgende Massnahmen:
"Sie werden aufgefordert, alle ausgeführten Arbeiten am begonnenen Wohnungseinbau in Ihrer Scheune auf Parzelle Nr. 462 [...] rückgängig zu machen, das heisst
- die neu eingebauten Wände und die Isolation vollständig zu entfernen;
- die zusätzlichen sanitären und elektrischen Installationen vollständig zu entfernen;
- die neue Decke mit Isolation und die Deckenisolation vollständig zu entfernen;
- die neuen Fenster sowie die Aussenwandverkleidungen vollständig zu entfernen;
- sämtliche, auch die hier nicht aufgeführten, unbewilligten Bauarbeiten rückgängig zu machen;
- das ehemals schon bestehende <Zimmer> im OG über dem Einstellraum EG muss nicht zurück gebaut werden. Dieses <Zimmer> darf jedoch nicht zum dauernden Wohnen, auch nicht als Ferienwohnung genutzt werden.
In den [...] als ungültig gestempelten Projektplänen sind die entsprechenden Konstruktionsteile ergänzend gestrichelt und gelb eingezeichnet."
6.2. Bei der Überprüfung in diesem Punkt ist auf die diesbezüglichen rechtlichen Überlegungen des Bundesgerichts zurückzugreifen (vgl. dazu oben E. 3). Somit geht der Beschwerdeführer fehl, wenn er behauptet, dass eine Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands zufolge Ablaufs einer 30-jährigen Verwirkungsfrist ausgeschlossen sein soll (oben E. 3.6.1). Weiter muss sich der Beschwerdeführer das Wissen seiner Rechtsvorgängerin um die ausgesprochene Nutzungsbeschränkung bei der Scheune anrechnen lassen (vgl. oben E. 3.6.2). Die im koordinierten Verfahren ergangene Ausnahmebewilligung über die Abtrennung von zwei Parzellen und die Entlassung des Stammgrundstücks Nr. 462 aus dem Geltungsbereich des BGBB vermittelte dem Beschwerdeführer keine Vertrauensgrundlage für die Annahme, dass der damals tatsächlich bestehende Zustand bei der Scheune rechtmässig gewesen wäre. Vielmehr beschränkten sich jene Entscheide insofern auf Feststellungen zum genehmigten Zustand gemäss den Baubewilligungen (vgl. oben E. 3.7). Insgesamt kann dem Beschwerdeführer im vorliegenden Zusammenhang kein guter Glaube zugebilligt werden.
6.3. Formell rechtswidrige Bauten ausserhalb der Bauzonen, die nachträglich nicht bewilligt werden können, müssen grundsätzlich beseitigt werden (vgl. <ref-ruling> E. 6 mit Hinweisen). Die mit der Anordnung der Beseitigung verbundene Eigentumsbeschränkung ist indessen nur zulässig, wenn sie auf einer gesetzlichen Grundlage beruht, im öffentlichen Interesse liegt und verhältnismässig ist (Art. 36 BV). Die Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands kann unverhältnismässig sein, wenn die Abweichung vom Erlaubten nur unbedeutend ist oder die Wiederherstellung nicht im öffentlichen Interesse liegt (vgl. <ref-ruling> E. 6 S. 35 mit Hinweis). Auf den Grundsatz der Verhältnismässigkeit kann sich auch ein Bauherr berufen, der nicht gutgläubig gehandelt hat. Er muss aber in Kauf nehmen, dass seine Interessen von der Behörde bei der vorzunehmenden Abwägung nicht oder nur in verringertem Masse berücksichtigt werden (vgl. <ref-ruling> E. 6.4 S. 39 f. mit Hinweis).
6.4. Der Beschwerdeführer kritisiert eine Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands als unverhältnismässig. Zumindest seien die Verlegung der Wohnnutzung im Gebäude und die Fertigstellung der begonnenen Arbeiten zu tolerieren. Da der Beschwerdeführer nicht als gutgläubig gelten kann (vgl. oben E. 6.2), muss er in Kauf nehmen, dass die Behörden aus grundsätzlichen Erwägungen dem Interesse an der Wiederherstellung des gesetzmässigen Zustands erhöhtes Gewicht beimessen und die ihm erwachsenden Nachteile nur in verringertem Masse berücksichtigen (vgl. E. 6.3 hiervor). Dies gilt namentlich im Hinblick auf die ihm aus der Wiederherstellung erwachsenden finanziellen Nachteile. Zudem sind namentlich sanitäre und elektrische Installationen wie auch die Isolation von erheblicher Bedeutung für eine Nutzung der Scheune zu nicht landwirtschaftlichen Wohnzwecken. Dabei ist zu beachten, dass eine solche Nutzung dem Prinzip der Trennung des Baugebiets vom Nichtbaugebiet widerspricht. Das öffentliche Interesse an der Wahrung dieses grundlegenden Prinzips ist nach der Rechtsprechung sehr gewichtig (vgl. <ref-ruling> E. 6.4 S. 40; Urteil 1C_469/2019 und 1C_483/2019 vom 28. April 2021 E. 5.5, zur Publikation vorgesehen). Deshalb ist die Abweichung vom Gesetz im vorliegenden Fall als nicht mehr geringfügig zu qualifizieren. Die kantonalen Behörden haben bereits den vorbestehenden baulichen Zustand im Futter- und Eiablageraum toleriert (vgl. oben E. 3.1). Es ist nicht bundesrechtswidrig, wenn die Vorinstanz bei der Interessenabwägung im Übrigen auf der Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands bestanden hat.
6.5. Der von der Vorinstanz festgesetzte Termin zur Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands ist während des Beschwerdeverfahrens vor Bundesgericht abgelaufen. Daher ist eine neue Frist anzusetzen. Als sachgerecht erweist sich, die Frist zur Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands auf den 30. November 2021 festzulegen.
7.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig und hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 66 und 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Frist zur Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands wird neu auf den 30. November 2021 festgesetzt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Einwohnergemeinde Aeschi b. Spiez, der Bau- und Verkehrsdirektion des Kantons Bern, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Raumentwicklung (ARE) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Juli 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Kessler Coendet