Sachverhalt:
A.
A._ (Mieter, Gesuchsgegner, Beschwerdeführer) und B._ (Vermieterin, Gesuchstellerin, Beschwerdegegnerin) schlossen am 27. September 2011 einen Mietvertrag über eine 2-Zimmer-Wohnung an der Strasse X._ in U._. Der Mietzins betrug anfänglich monatlich Fr. 1'400.-- zuzüglich Nebenkosten akonto von Fr. 120.--. Mit Wirkung ab 1. November 2013 wurde der Mietzins auf monatlich Fr. 1'312.-- zuzüglich Nebenkosten akonto von Fr. 120.-- herabgesetzt. Am 12. Juni 2017 schickte die Vermieterin dem Mieter eine Kündigungsandrohung wegen Zahlungsrückstands. Diese enthielt für die Zeit zwischen dem 1. Januar 2016 und dem 1. Juni 2017 chronologisch unter Datumsangabe Auflistungen über monatliche Mietzinsbetreffnisse und eingegangene Zahlungen, wobei die Zahlungen mit einem Minuszeichen versehen waren. Als "Eröffnungsbuchung" wurde am 1. Januar 2016 ein ausstehender Betrag von Fr. 4'099.-- ausgewiesen. Nach Einbuchung des Mietzinses für Juni 2017 wies die Abrechnung einen Saldo von Fr. 2'629.-- zu Lasten des Mieters aus.
Am 19. Juni 2017 überwies der Mieter den Betrag für eine Monatsmiete von Fr. 1'432.--. Da damit nach ihrer Abrechnung ein Ausstand von Fr. 1'197.-- verblieb, kündigte die Vermieterin am 24. Juli 2017 den Mietvertrag unter Verwendung des amtlich genehmigten Formulars unter Hinweis auf <ref-law> per 31. August 2017. Der Mieter focht diese Kündigung am 22. August 2017 bei der Staatlichen Schlichtungsstelle für Mietstreitigkeiten an.
B.
B.a. Auf Gesuch der Vermieterin vom 11. September 2017 wies das Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt den Mieter mit Entscheid vom 11. Oktober 2017 an, die gemietete 2-Zimmer-Wohnung bis spätestens 31. Oktober 2017 zu räumen. Zugleich wurde dem Mieter angedroht, dass die Räumung auf Antrag der Vermieterin ohne Weiteres und nach Bezahlung des Kostenvorschusses vollzogen würde, sollte er innert gesetzter Frist nicht ausgezogen sein.
B.b. Mit Entscheid vom 15. Dezember 2017 wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt die vom Gesuchsgegner erhobene Berufung ab. Es erwog, die Zahlungsaufforderung sei klar abgefasst gewesen, denn sie habe die geschuldeten Mietzinse sowie die geleisteten Zahlungen unter Bezeichnung ihrer Anrechnung an die Ausstände aufgelistet. Wie es sich mit der vom Gesuchsgegner als nicht nachvollziehbar bezeichneten Eröffnungsbuchung vom 1. Januar 2016 verhalte, könne offen bleiben. Denn mit den Zahlungen bis und mit 16. Februar 2016 seien alle aufgelisteten Ausstände bis zu diesem Datum beglichen gewesen, wobei der Gesuchsgegner sogar Fr. 235.-- mehr als geschuldet bezahlt habe. Gemäss <ref-law> sei die Gesuchstellerin berechtigt gewesen, beim Bestehen mehrerer fälliger Forderungen eine Teilzahlung an die früher verfallene (n) Forderung (en) anzurechnen. Den Einwand, aus dem Oktober 2015 habe keine offene Mietzinsforderung mehr bestanden, habe der Gesuchsgegner erst in der Berufung und damit gemäss <ref-law> verspätet vorgebracht. Es sei somit davon auszugehen, dass nach der Zahlung vom 16. Februar 2016 insgesamt 18 Monatsmieten geschuldet waren, jedoch nur 16 bezahlt wurden. Es habe somit ein Zahlungsrückstand bestanden und das Mahnschreiben sei klar gewesen. Die darauf gestützte Kündigung sei gültig.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 22. Januar 2018 beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, der Entscheid des Appellationsgerichts vom 15. Dezember 2017 sei kostenfällig aufzuheben (Ziff. 1), auf das Gesuch der Beschwerdegegnerin vom 11. September 2017 sei nicht einzutreten (Ziff. 2), eventualiter sei das Gesuch abzuweisen (Ziff. 3), subeventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen (Ziff. 4) und subsubeventualiter sei ihm eine neue Frist zum Auszug anzusetzen.
Mit Präsidialverfügung vom 28. Februar 2018 wurde der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung erteilt.
Es wurden keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Mit Blick auf die allgemeinen Begründungsanforderungen an eine Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen). Unerlässlich ist im Hinblick auf <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116). Erfüllt eine Beschwerde diese Anforderungen nicht, ist darauf nicht einzutreten.
1.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f. mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117, 264 E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 1.5 S. 130, 397 E. 1.5 S. 401; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die hiervor genannten Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
2.
Das Gericht gewährt nach <ref-law> Rechtsschutz im summarischen Verfahren, wenn der Sachverhalt unbestritten oder sofort beweisbar ist (lit. a) und die Rechtslage klar ist (lit. b).
2.1. Die Rechtslage ist klar, wenn sich die Rechtsfolge bei der Anwendung des Gesetzes unter Berücksichtigung der Lehre und Rechtsprechung ohne Weiteres eindeutig ergibt. Dagegen ist die Rechtslage nicht klar, wenn die Anwendung einer Norm einen Ermessens- oder Billigkeitsentscheid des Gerichts mit wertender Berücksichtigung der gesamten Umstände erfordert (<ref-ruling> E. 3.2 S. 26; <ref-ruling> E. 2.1.2 S. 126 mit Hinweisen).
2.2. Mit Blick darauf, dass ein Urteil, mit dem nach <ref-law> Rechtsschutz gewährt wird, der materiellen Rechtskraft fähig ist, wird von der klagenden Partei verlangt, dass sie sofort den vollen Beweis für die anspruchsbegründenden Tatsachen erbringt, so dass klare Verhältnisse herrschen (<ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 5.1.1 S. 622 f.).
Für die Verneinung eines klaren Falles genügt es, dass die beklagte Partei substanziiert und schlüssig Einwendungen vorträgt, die in tatsächlicher Hinsicht nicht sofort widerlegt werden können und die geeignet sind, die bereits gebildete richterliche Überzeugung zu erschüttern. Demgegenüber ist ein klarer Fall zu bejahen, wenn das Gericht aufgrund der Aktenlage zur Überzeugung gelangt, der Anspruch der klagenden Partei sei ausgewiesen und eine eingehende Abklärung der beklagtischen Einwände könne daran nichts ändern; offensichtlich unbegründete oder haltlose Bestreitungen des Anspruchs genügen für die Verneinung eines klaren Falles nicht (BGE <ref-ruling> E. 5.1.1 mit Hinweisen). Soweit - wie vorliegend - die Gültigkeit der Kündigung des Mietvertrags im Ausweisungsverfahren als Vorfrage zu beurteilen ist, beziehen sich die Voraussetzungen von <ref-law> auch darauf. Sind sie nicht erfüllt und kann der Rechtsschutz in klaren Fällen daher nicht gewährt werden, hat das Gericht nach <ref-law> auf das Gesuch nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 518; <ref-ruling> E. 3.2 S. 265).
3.
Ist der Mieter nach der Übernahme der Sache mit der Zahlung fälliger Mietzinse oder Nebenkosten im Rückstand, so kann ihm der Vermieter nach <ref-law> schriftlich eine Zahlungsfrist setzen und ihm androhen, dass bei unbenütztem Ablauf der Frist das Mietverhältnis gekündigt werde. Diese Frist beträgt bei Wohn- und Geschäftsräumen mindestens 30 Tage (<ref-law>). Sinn der Ansetzung einer Zahlungsfrist nach <ref-law> ist es namentlich, dem Mieter genügend Zeit einzuräumen, um die Mittel zur Tilgung der Ausstände zu beschaffen und ihm damit eine letzte Gelegenheit zu geben, den schwerwiegenden Folgen einer ausserordentlichen Kündigung zu entgehen (Urteile 4A_44/2017 vom 21. März 2017 E. 3.3; 4A_585/2010 vom 2. Februar 2011 E. 2.1; 4A_107/2010 vom 3. Mai 2010 E. 2.4).
Ihre Warnfunktion kann die Fristansetzung nur erfüllen, wenn sie klar und deutlich abgefasst ist. Dies setzt zum einen voraus, dass der Zahlungsrückstand entweder ziffermässig bezeichnet wird oder zumindest einwandfrei bestimmbar ist (Urteile 4A_44/2017 vom 21. März 2017 E. 3.3; 4A_306/2015 vom 14. Oktober 2015 E. 2; 4A_585/2010 vom 2. Februar 2011 E. 2.1; 4C.123/2000 vom 14. Juni 2000 E. 3b). Zum andern muss die Zahlungsaufforderung eine ausdrückliche Kündigungsandrohung enthalten; diese muss unmissverständlich zum Ausdruck bringen, dass sich der Vermieter bei ausgebliebener Zahlung innert Frist die Kündigung des Mietverhältnisses vorbehält (Urteile 4A_44/2017 vom 21. März 2017 E. 3.3; 4A_541/2015 vom 20. Mai 2016 E. 4.2 mit Hinweisen). Wird in der Mahnung ohne weiteren Hinweis ein Betrag ohne Bezug zur Summe der tatsächlich ausstehenden Mietzinsen oder Nebenkosten aufgeführt, genügt die Zahlungsaufforderung den Anforderungen an die gebotene Klarheit und Deutlichkeit nicht (Urteile 4A_44/2017 vom 21. März 2017 E. 3.3; 4A_306/2015 vom 14. Oktober 2015 E. 2; 4A_134/2011 vom 23. Mai 2011 E. 3). Verfügt der Vermieter über verschiedene Forderungen, von denen einzelne ein Vorgehen nach <ref-law> nicht erlauben würden, muss die Mahnung diese klar unterscheiden, so dass der Mieter ohne Weiteres diejenigen Schulden zu erkennen vermag, mit deren Tilgung er die Kündigung abwenden kann (4A_44/2017 vom 21. März 2017 E. 3.3; 4A_306/2015 vom 14. Oktober 2015 E. 2).
4.
Damit die Kündigung gültig ist, muss der Vermieter somit vorerst einen Zahlungsrückstand nachweisen. Der Beschwerdeführer bestreitet, dass ein solcher nach seiner Zahlung vom 19. Juni 2017 bestand - vorweg mit einem formellen Einwand.
4.1.
4.1.1. Er rügt, die Beschwerdegegnerin habe in der erstinstanzlichen Verhandlung erst auf Nachfrage des Gerichts eine Buchungsliste mit einer Zusammenstellung der angeblich offenen Forderungen präsentiert. Die Buchungsliste hätte gemäss dem Novenrecht von <ref-law> nicht mehr beachtet werden dürfen. Zweifellos sei sie schon vor Eingabe des Ausweisungsgesuchs vorhanden gewesen. Unter Hinweis auf eine Lehrmeinung (SUTTER-SOMM/LÖTSCHER, in: Sutter-Somm et al [Hrsg.]. Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 3. Aufl. 2016, N. 20 zu <ref-law>) macht er überdies geltend, beim Verfahren um Rechtsschutz in klaren Fällen müssten alle Beweismittel bereits im Gesuch vorhanden sein. Die in der Buchungsliste erwähnten Forderungen habe er umgehend bestritten. Er habe sodann in der Berufung moniert, dass die Liste ein unzulässiges Novum darstelle.
4.1.2. Die Vorinstanz stellte wie erwähnt fest, dass der Beschwerdeführer erst in der Berufung eine offene Mietzinsforderung aus dem Oktober 2015 bestritten habe; vor Zivilgericht habe er diesen Einwand nicht erhoben. Der Beschwerdeführer müsste somit vor Bundesgericht darlegen, dass diese prozessuale Feststellung willkürlich ist. Davon kann keine Rede sein. Er behauptet lediglich, er habe die in der Buchungsliste enthaltenen Forderungen umgehend (gemeint: an der erstinstanzlichen Verhandlung) bestritten und verweist pauschal auf das Protokoll der erstinstanzlichen Verhandlung. Diese unsubstanziierte Behauptung ohne konkrete Angabe der betreffenden Aktenstelle genügt den Anforderungen an eine Willkürrüge (vgl. E. 1.2 hiervor) nicht.
4.1.3. Auf die Rüge, die Buchungsliste sei als Novum verspätet vorgebracht worden, muss nicht weiter eingegangen werden (zum Aktenschluss im summarischen Verfahren vgl. nun Urteil 4A_557/2017 vom 21. Februar 2018 E. 2, zur Publikation vorgesehen). Hat der Beschwerdeführer nämlich nach den willkürfreien Feststellungen der Vorinstanz eine offene Mietzinsforderung aus dem Oktober 2015 und auch sonst in der Buchungsliste für die Zeit vor dem 1. Januar 2016 enthaltene Forderungen nicht rechtzeitig bzw. substanziiert bestritten, muss die Beschwerdegegnerin dazu auch nichts beweisen und ihre Behauptungen aus dem Gesuch auch nicht weiter substanziieren.
4.2. Die Vorinstanz geht wie erwähnt davon aus, dass mit der Zahlung vom 8. Februar 2016 über Fr. 4'332.-- und jener vom 29. Januar 2016 und 16. Februar 2016 über je Fr. 1'433.-- alle bis zu diesem Datum bestehenden Ausstände getilgt waren, insbesondere auch der Betrag von Fr. 4'099.-- gemäss der Eröffnungsbuchung. Der Beschwerdeführer rügt bezüglich dieser Eröffnungsbuchung zwar deren Unklarheit (vgl. dazu unten E. 5), er macht aber nicht substanziiert (vgl. E. 4.1.2 hiervor) geltend, die Eröffnungsbuchung sei (abgesehen von der verspäteten Rüge betreffend Miete Oktober 2015) falsch und es ist auch nicht ersichtlich, dass er dies vor Vorinstanz geltend gemacht hätte.
Entsprechend prüfte die Vorinstanz, ob die Beschwerdegegnerin berechtigt war, die Zahlungen vom 29. Januar 2016 sowie 8. und 16. Februar 2016 auf die bis zu diesem Datum offenen Positionen anzurechnen und bejahte dies gestützt auf <ref-law>. Dem hält der Beschwerdeführer entgegen, die Vorinstanz sei zu Unrecht davon ausgegangen, er müsse beweisen, dass er mit der Zahlung über Fr. 4'332.-- eine andere Forderung als jene aus der Eröffnungsbuchung habe tilgen wollen. Dabei habe sie übersehen, dass Mieten zwar jeweils erst zu Beginn eines Monats fällig seien, künftige Mieten jedoch auch im Voraus erbringbar seien. Es stehe einem Mieter frei, mehrere Monatsmieten vorauszuzahlen. Die Vorinstanz hat nichts übersehen, sondern zutreffend festgehalten, mangels Erklärung über eine Anrechnung seien die Zahlungen berechtigterweise auf die fälligen Ausstände angerechnet worden. Dass entgegen dem eine Anrechnungserklärung vorgelegen hätte, behauptet der Beschwerdeführer nicht.
Die tatsächliche Voraussetzung des Zahlungsrückstands als Voraussetzung der Gültigkeit der Kündigung ist gegeben.
5.
Es ist auch vom Beschwerdeführer nicht bestritten, dass die Zahlungsaufforderung vom 12. Juni 2017 insofern klar ist, als sie achtzehn monatliche Mietzinsbetreffnisse à Fr. 1'432.-- enthält und sechzehn monatliche Tilgungsraten. Er bestreitet die genügende Klarheit der Kündigungsandrohung wie bereits im kantonalen Verfahren wegen der Eröffnungsbuchung über Fr. 4'099.--. Mit der Vorinstanz ist davon auszugehen, dass die Eröffnungsbuchung nicht relevant ist und von der Zahlungsaufforderung klarerweise nicht gemeint sein konnte. Denn sie war mit der Zahlung über Fr. 4'332.-- am 8. Februar 2016 bereits getilgt, wobei ein Guthaben zugunsten des Beschwerdeführers von Fr. 235.-- resultierte. Es war klar und musste auch für den Beschwerdeführer klar sein, dass die Beschwerdegegnerin mit dem abgemahnten Betrag von Fr. 2'629.-- zwei Monatsmieten à Fr. 1'432.--abzüglich des Guthabens von Fr. 235.-- einforderte.
6.
Für den Fall, dass die Beschwerde nicht geschützt wird, beantragt der Beschwerdeführer, ihm sei eine neue Frist zum Auszug anzusetzen. Die Vorinstanz habe die Festlegung eines neuen Termins pauschal abgelehnt und damit den von der Erstinstanz festgelegten Auszugstermin vom 31. Oktober 2017 bestätigt.
Die zwangsweise Räumung eines Mietobjekts muss vom Gericht gestützt auf Art. 236 Abs. 3 und Art. 343 Abs. 1 lit. d ZPO angeordnet werden. Dabei kann das Gericht dem Schuldner vorerst eine Frist zur freiwilligen Erfüllung gewähren (Urteil 4A_389/2017 vom 26. September 2017 E. 8; FRANZ KELLERHALS, in: Berner Kommentar, 2012, N. 59 zu <ref-law>). Bei diesem Entscheid ist der Grundsatz der Verhältnismässigkeit (<ref-law>) zu beachten. Die Anordnung der Ausweisung ohne Gewährung einer zusätzlichen Frist ist dann nicht zulässig, wenn humanitäre Gründe einen Aufschub verlangen oder konkrete Anhaltspunkte dafür bestehen, dass der Schuldner innert angemessener Frist freiwillig das Mietobjekt verlassen wird. Aber auch in einem solchen Fall kann die zusätzliche Frist nur kurz sein und darf nicht auf eine Erstreckung des Mietverhältnisses hinauslaufen (<ref-ruling> E. 3 S. 33; <ref-ruling> E. 2b S. 339; Urteile 4A_389/2017 vom 26. September 2017 E. 8; 4A_207/2014 vom 19. Mai 2014 E. 3.1).
Es bestehen keine Anhaltspunkte, dass der Beschwerdeführer die Wohnung freiwillig verlassen wird. Er hätte am 31. August 2017 ausziehen müssen, profitierte somit als Folge des Verfahrens von einer Verlängerung von rund neun Monaten. Angesichts des Mangels an ernsthaften Argumenten kann er von der Anordnung zum Verlassen seiner Wohnung auch nicht überrascht sein. Auch unter Berücksichtigung des Verhältnismässigkeitsprinzips kann daher auf die Anordnung einer weiteren Frist verzichtet werden.
7.
Die Beschwerde ist somit abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdeführer die Verfahrenskosten zu tragen. Von einer Entschädigung an die Beschwerdegegnerin, die sich nur zum Gesuch um aufschiebende Wirkung zu äussern hatte, ist unter den vorliegenden Umständen abzusehen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, und dem Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Juni 2018
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger