Faits :
A.
Par mémoire du 12 août 2019, A._ a saisi la Cour de justice de la République et canton de Genève d'une demande dirigée contre AXA Fondation LPP (ci-après: AXA), Winterthur, tendant à la reconnaissance de son droit à une rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle obligatoire ("rente invalidité LPP") avec intérêts moratoires, la suspension de la procédure étant requise jusqu'à droit connu quant aux prestations allouées par l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève. La juridiction cantonale a déclaré irrecevable la demande par arrêt du 1er avril 2021.
B.
A._ forme un recours en matière de droit public contre cet arrêt. Il en requiert l'annulation et conclut au renvoi de la cause à la juridiction précédente afin qu'elle entre en matière sur sa demande du 12 août 2019 et rende une nouvelle décision.
AXA conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Toutefois, il n'examine la violation de droits fondamentaux ainsi que celle de dispositions de droit cantonal et intercantonal que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF). Sauf exceptions non pertinentes en l'espèce (cf. art. 95 let. c, d et e LTF), on ne peut pas invoquer la violation du droit cantonal ou communal en tant que tel devant le Tribunal fédéral (art. 95 LTF a contrario). Il est néanmoins possible de faire valoir que son application viole le droit fédéral, en particulier l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.) ou d'autres droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine de tels moyens que s'ils sont formulés conformément aux exigences de motivation qualifiée prévues à l'art. 106 al. 2 LTF (cf. <ref-ruling> consid. 3.2 et la référence; arrêt 8C_282/2021 du 11 janvier 2022 consid. 1.3).
2.
2.1. Le litige porte uniquement sur le point de savoir si la juridiction cantonale était fondée à déclarer irrecevable l'action formée par le recourant contre AXA.
2.2. L'arrêt entrepris expose de manière complète les règles légales et les principes jurisprudentiels applicables à l'action prévue par l'art. 73 LPP, y compris le droit de procédure cantonal déterminant, en particulier l'art. 89B de la loi genevoise du 12 septembre 1985 sur la procédure administrative (LPA; RSG E 5 10), selon lequel que la demande doit contenir notamment un exposé succinct des faits ou des motifs invoqués et des conclusions. Il suffit d'y renvoyer.
3.
3.1. La Cour de justice a constaté, pour l'essentiel, que la demande du 12 août 2019 comportait un état de fait "plus que lacunaire" et n'était "aucunement motivée", le demandeur ne donnant aucune indication quant à l'atteinte à sa santé ni quant aux motifs pour lesquels AXA devait intervenir. Par ailleurs, la juridiction cantonale a relevé l'absence même d'éléments suffisants lui permettant de se prononcer sur sa propre compétence. Elle a ainsi considéré que les conditions de recevabilité prévues par l'art. 89B LPA faisaient défaut.
3.2. Le recourant fait grief à la juridiction précédente d'avoir violé les art. 9 et 29 Cst. ainsi que l'art. 73 LPP et d'avoir établi de façon manifestement inexacte certains faits. Plus spécifiquement, il lui reproche d'avoir violé la maxime inquisitoire (art. 73 al. 2 LPP) et fait une application arbitraire de l'art. 89B LPA en considérant que sa demande du 12 août 2019 ne remplissait pas les conditions posés par cette disposition, sans toutefois avoir attiré son attention sur le fait qu'il devait motiver d'avantage sa requête, sous peine d'irrecevabilité, violant ainsi l'art. 89B al. 3 LPA.
4.
4.1. Les procédures d'action selon l'art. 73 LPP ne font pas suite à une procédure administrative aboutissant à une décision initiale. A l'instar des actions civiles, elles nécessitent donc l'exposé de tous les faits et moyens de preuve pertinents pour pouvoir juger, sur le fond, du droit ou de la créance invoquée. S'il est certes exact, comme le fait valoir le recourant, que le principe inquisitoire vaut également dans le cadre de la procédure en matière de prévoyance professionnelle (art. 73 al. 2 LPP), ce principe se trouve limité par l'obligation de collaborer des parties. Ces dernières doivent présenter les faits pertinents, ce qui implique que les allégations y relatives, voire la contestation de certains faits, doivent figurer dans leurs écritures. Cela vaut d'autant plus lorsqu'elles sont, comme c'est ici le cas, représentées par un avocat (<ref-ruling> consid. 5.2.3 et les références; arrêt 9C_48/2017 du 4 septembre 2017 consid. 2.2.2).
4.2. En l'espèce, on constate à la suite de la Cour de justice que la demande du 12 août 2019 ne permettait pas de comprendre sur la base de quel état de fait le recourant faisait valoir une prétention. La partie "II. Faits" de la demande comporte une énumération de faits sans lien apparent entre eux ou avec la prestation réclamée. Il n'en ressort en particulier aucun élément quant à la nature d'une éventuelle atteinte à la santé dont souffrirait le recourant (victime, selon ses indications, d'un accident le 14 septembre 1994), ni sur la date à laquelle celle-ci serait intervenue et aurait entraîné une incapacité de travail voire une invalidité. La seule mention qu'une procédure de l'assurance-invalidité serait en cours depuis août 2016 ne suffit pas à cet égard; en l'absence de toute indication en relation avec des circonstances déterminantes pour la reconnaissance du droit à une rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle (cf. art. 23 ss LPP), on voit mal quelle (s) preuve (s) la juridiction cantonale aurait été tenue d'administrer. Cela vaut d'autant plus que le recourant indique lui-même avoir déposé des "demandes identiques" devant les tribunaux d'autres cantons (Valais, Vaud, Berne, Fribourg), admettant ainsi pour le moins implicitement la nature largement indéterminée de la prétention qu'il entend faire valoir à l'encontre d'AXA.
Contrairement à ce qu'il soutient ensuite, il n'appartenait pas à la Cour de justice de faire d'emblée verser le "dossier AI" à la procédure pour le consulter et y chercher les éléments susceptibles de fonder la prétention invoquée. Par ailleurs, le fait que la juridiction cantonale aurait déjà été appelée à statuer dans la "procédure AI" n'est pas déterminant. Le recourant perd en effet de vue qu'il s'agit d'une procédure distincte de celle qu'il a initiée en matière de prévoyance professionnelle et qu'il lui appartenait, dès lors, en vertu des exigences de l'art. 89B LPA (en relation avec l'art. 73 LPP) et de son devoir de collaborer (consid. 4.1 supra), d'alléguer les faits pertinents dans la demande en justice. Le grief d'une violation de l'art. 73 al. 2 LPP tombe dès lors à faux, tout comme celui d'arbitraire dans l'application de l'art. 89B al. 1 let. a LPA. C'est en effet sans arbitraire que la Cour de justice a considéré que la norme cantonale exigeait un exposé succinct des faits ou des motifs invoqués et non pas seulement la mention de divers faits sans aucune indication quant à leur rapport avec le droit prétendu. Or un tel exposé faisait défaut dans la demande du 12 août 2019. Il en va de même, du reste, des "motifs invoqués", l'indication générale du lien fonctionnel entre l'assurance-invalidité et la prévoyance professionnelle (p. 3 s. de la demande) ne suffisant pas à comprendre les raisons pour lesquelles l'intimée serait appelée à prester; la seule mention du fait qu'elle était apparemment l'institution de prévoyance auprès de laquelle était affilié l'ancien employeur du recourant ne suffit pas à cet égard.
5.
Il reste à examiner si la juridiction précédente a violé la Constitution fédérale (art. 9 et 29 Cst.) en renonçant à fixer au recourant un délai pour pallier les carences de sa demande.
5.1. Il sied d'abord de relever que la garantie constitutionnelle de l'accès à la justice n'est pas en cause en l'occurrence, car le justiciable reste libre d'introduire une nouvelle demande en justice à la suite d'une décision d'irrecevabilité, rendue en raison du défaut de réalisation des conditions formelles de l'action. Ce droit d'action n'est limité que par les délais de prescription de droit matériel (art. 41 LPP; <ref-ruling> consid. 2.2). Le grief de la violation de l'art. 29 Cst. sous cet angle est dès lors mal fondé, sans qu'il y ait lieu de se prononcer sur la question de savoir s'il a été formulé conformément aux exigences de motivation accrues de l'art. 106 al. 2 LTF (supra consid. 1).
5.2. Ensuite, l'art. 89B al. 3 LPA dont le recourant invoque la violation est une règle de procédure de droit cantonal. Le Tribunal fédéral n'en revoit l'application que sous l'angle limité de l'arbitraire (cf. consid. 1 supra). Cette disposition prévoit que "Si la lettre ou le mémoire n'est pas conforme à ces règles, la chambre des assurances sociales de la Cour de justice impartit un délai convenable à son auteur pour le compléter en indiquant qu'en cas d'inobservation la demande ou le recours est écarté." L'instance précédente l'a interprétée à la lumière des art. 61 let. b LPGA et 10 al. 5 OPGA - qui prévoient l'octroi d'un délai supplémentaire pour régulariser un acte de recours respectivement une opposition - ainsi que de la jurisprudence s'y rapportant. Selon le Tribunal fédéral, les conditions de l'octroi d'un délai supplémentaire en vertu des art. 61 let. b LPGA et 10 al. 5 OPGA ne sont en principe pas réalisées lorsque la partie est représentée par un avocat ou un mandataire professionnel, sauf si ce dernier ne disposait plus de suffisamment de temps à l'intérieur du délai légal non prolongeable de recours pour motiver ou compléter la motivation insuffisante d'une écriture initiale, typiquement parce qu'il a été mandaté tardivement (<ref-ruling> consid. 5.1; arrêts 8C_817/2017 du 31 août 2018 consid. 4; 9C_191/2016 du 18 mai 2016 consid. 4.2.1; cf. ég. <ref-ruling> consid. 2.3 et 4.5).
En l'occurrence, on ne saurait reprocher à la Cour de justice d'avoir fait preuve d'arbitraire en renonçant à impartir un délai au recourant pour compléter son écriture, respectivement de n'avoir pas assorti le délai pour s'exprimer sur la réponse de l'intimée d'une mention selon laquelle il lui appartenait de compléter sa demande sous peine d'irrecevabilité, comme le fait valoir en vain l'assuré. Ce dernier ne se trouvait en effet pas dans la situation dans laquelle son mandataire aurait pu invoquer avoir été consulté peu avant l'échéance d'un délai de recours, respectivement avoir dû agir rapidement pour un autre motif. A cet égard, son argument selon lequel son mandataire aurait été pressé par le temps parce que le droit à des intérêts moratoires de la part de l'intimée ne naîtrait qu'à partir de la date de l'introduction de sa demande en justice ne saurait en aucun cas être suivi. Admettre une telle argumentation reviendrait en effet à faire fi des exigences de recevabilité d'une action en justice et à reconnaître qu'il serait loisible de rechercher quiconque en justice en se limitant à quelques allégations de fait sans relation suffisante avec la prétendue créance. Une telle démarche empêcherait notamment la partie défenderesse de prendre utilement position quant au bien-fondé de la demande; relevant d'un abus de droit, elle ne saurait être protégée. Il suffit, pour le surplus, de rappeler à la suite de la juridiction cantonale que le droit d'action prévu par l'art. 73 al. 1 LPP n'est soumis à l'observation d'aucun délai.
6.
Mal fondé, le recours doit être rejeté. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être supportés par le recourant (art. 66 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 22 février 2022
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
La Greffière : Oswald