Sachverhalt:
A.
Seit dem 19. Juli 2016 führte die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt ein Strafverfahren gegen A._ wegen Drohung. Am Vormittag des 16. Februar 2018 wurde der Beschuldigte polizeilich festgenommen, nachdem er sich im Gebäude der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Basel-Stadt (KESB) gegen mehrere Personen gewalttätig und renitent verhalten hatte. In der Folge dehnte die Staatsanwaltschaft die Untersuchung auf (versuchte) Körperverletzung, Gewalt gegen Behördemitglieder und Beamte sowie Sachbeschädigung aus.
B.
Mit Verfügung vom 27. Februar 2018 beauftragte die Staatsanwaltschaft einen medizinischen Sachverständigen mit der psychiatrischen Begutachtung des Beschuldigten. Am gleichen Tag hatte die Staatsanwaltschaft (zuvor) telefonisch Kontakt mit Advokat Dr. B._ aufgenommen. Mit separatem Schreiben vom 27. Februar 2018 bestellte sie diesen als amtlichen Verteidiger und bediente ihn mit einer Kopie des Gutachtensauftrages.
C.
Mit Eingabe vom 1. März 2018 gelangte der amtliche Verteidiger an die Staatsanwaltschaft. Er stellte in Abrede, dass er sich (anlässlich des Telefonates vom 27. Februar 2018) mit der Person des Sachverständigen einverstanden erklärt hätte. Er sei nur mit der "Begutachtung an sich" einverstanden gewesen. Auch auf Ergänzungsfragen habe er nicht verzichtet. Ferner kritisierte er im Gutachtensauftrag erhaltene Hinweise zum Sachverhalt. In einem weiteren Schreiben vom 8. März 2018 an die Staatsanwaltschaft brachte der amtliche Verteidiger vor, der von ihr beauftragte Sachverständige sei fachlich nicht geeignet und zudem befangen.
D.
Am 12. März 2018 erhob der Beschuldigte beim kantonalen Appellationsgericht Beschwerde gegen den Gutachtensauftrag der Staatsanwaltschaft vom 27. Februar 2018. Mit Entscheid vom 26. März 2018 wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, das Rechtsmittel ab. Eine vom Beschuldigten dagegen erhobene Beschwerde hiess das Bundesgericht mit Urteil vom 5. Juni 2018 gut. Es hob den Entscheid vom 26. März 2018 des Appellationsgerichts (wegen einer Verletzung des Replikrechtes des Beschuldigten) auf und wies die Sache zurück an die Vorinstanz zur Neubeurteilung unter Gewährung des rechtlichen Gehörs (Verfahren 1B_249/2018). Mit Entscheid vom 14. August 2018 wies das Appellationsgericht die Beschwerde gegen den Gutachtensauftrag vom 27. Februar 2018 erneut ab.
E.
Gegen den Entscheid vom 14. August 2018des Appellationsgerichtes gelangte der Beschuldigte mit Beschwerde vom 25. Oktober 2018 an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides.
Das Appellationsgericht beantragt mit Stellungnahme vom 7. November 2018 die Abweisung der Beschwerde, während die Staatsanwaltschaft am 8. November 2018 auf eine Vernehmlassung verzichtet hat. Mit Verfügung vom 29. November 2018 bewilligte das Bundesgericht die beantragte aufschiebende Wirkung der Beschwerde. Innert der auf den 17. Dezember 2018 angesetzten (fakultativen) Frist ging keine Replik des Beschwerdeführers ein.

Erwägungen:
1.
Beim streitigen Gutachtensauftrag handelt es sich um einen strafprozessualen Zwischenentscheid. Bei psychiatrischen Begutachtungen mit medizinischer Exploration der betroffenen Person handelt es sich nach der Rechtsprechung des Bundesgerichtes um eine Zwangsmassnahme (<ref-law>), welche für den Exploranden grundsätzlich mit einem drohenden nicht wieder gutzumachenden Rechtsnachteil verbunden ist (<ref-law>; vgl. <ref-ruling>, nicht amtlich publizierte E. 1). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen von <ref-law> geben zu keinen weiteren Vorbemerkungen Anlass.
2.
Der Beschwerdeführer bringt - im Wesentlichen zusammengefasst - Folgendes vor:
Er habe beim untersuchten Vorfall vom 16. Februar 2018 in der KESB einen psychotischen Anfall erlitten. Es werde ihm unter anderem versuchte Körperverletzung vorgeworfen. In dem vom Bundesgericht an die Vorinstanz zurückgewiesenen Verfahren habe er von seinem Replikrecht Gebrauch gemacht. Der angefochtene Entscheid enthalte offensichtlich unrichtige und aktenwidrige Tatsachenfeststellungen, insbesondere zur Frage der fachlichen Qualifikation des bestellten Gutachters. Aufgrund von Äusserungen des forensischen Sachverständigen habe er, der Beschwerdeführer, "kein Vertrauensverhältnis mehr zu diesem Gutachter". Er sei als "Opfer von falscher Medikamentierung" durch einen früheren "falschen Facharzt" zu betrachten. Eine Begutachtung im Hinblick auf eine verminderte oder fehlende Schuldfähigkeit müsse jedoch "gerade nicht" durchgeführt werden, zumal bei ihm "objektiv keine Persönlichkeitsstörungen" bestünden. Er rügt in diesem Zusammenhang unter anderem eine Verletzung von Art. 8 EMRK sowie Art. 9 und <ref-law>.
3.
Die Staatsanwaltschaft zieht eine oder mehrere sachverständige Personen bei, wenn sie nicht über die besonderen Kenntnisse und Fähigkeiten verfügt, die zur Feststellung oder Beurteilung eines Sachverhalts erforderlich sind (<ref-law>). Als Sachverständige können natürliche Personen ernannt werden, die auf dem betreffenden Fachgebiet die erforderlichen besonderen Kenntnisse und Fähigkeiten besitzen (<ref-law>). Für Sachverständige gelten die Ausstandsgründe nach <ref-law> (<ref-law>). Die Staatsanwaltschaft ernennt (im Vorverfahren) die sachverständige Person (<ref-law>) und erteilt ihr einen schriftlichen Auftrag (<ref-law>). Sie gibt den Parteien vorgängig Gelegenheit, sich zur sachverständigen Person (und den ihr vorzulegenden Fragen) zu äussern und dazu eigene Anträge zu stellen (<ref-law>). Die Staatsanwaltschaft übergibt der sachverständigen Person zusammen mit dem Auftrag die zur Erstellung des Gutachtens notwendigen Akten und Gegenstände (<ref-law>). Sie kann einen Auftrag jederzeit widerrufen und neue Sachverständige ernennen, wenn es im Interesse der Strafsache liegt (<ref-law>).
Zwangsmassnahmen sind Verfahrenshandlungen der Strafbehörden, die in Grundrechte der Betroffenen eingreifen und (namentlich) dazu dienen, Beweise zu sichern (<ref-law>). Jede Person hat Anspruch auf Achtung ihres Privatlebens (<ref-law>; s.a. Art. 8 EMRK). <ref-law> gelangt bei strafprozessualen Zwangsmassnahmen nicht zur Anwendung (<ref-ruling> E. 3.3 S. 319; 330 E. 2.1 S. 334; je mit Hinweisen). Soweit jedoch reine Sachverhaltsfragen und damit Fragen der Beweiswürdigung zu beurteilen sind, greift das Bundesgericht nur ein, wenn die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.3 S. 319; 330 E. 2.1 S. 334; je mit Hinweis).
4.
4.1. Die Vorinstanz erwägt, die Person des Gutachters sei zwar von der Verfahrensleitung zu bestimmen; den Parteien sei jedoch vor dessen Ernennung grundsätzlich Gelegenheit zu geben, sich zur Auswahl des Sachverständigen zu äussern und diesbezüglich Anträge zu stellen. Unmittelbar vor der Erteilung des Gutachtensauftrages sei diesbezüglich (am 27. Februar 2018) ein Telefonat zwischen dem amtlichen Verteidiger und der Staatsanwaltschaft geführt worden. Die im schriftlichen Gutachtensauftrag enthaltene Feststellung, dass anlässlich der telefonischen Besprechung keine Einwände gegen die Person des Sachverständigen erhoben worden seien, habe der amtliche Verteidiger am 1. März 2018 (nach Eingang des schriftlichen Gutachtensauftrages) bestritten. Da kein Protokoll über das Telefongespräch erstellt worden sei, liessen sich die betreffenden Äusserungen zwar nicht mehr objektivieren. Selbst wenn in diesem Zusammenhang das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers verletzt worden sein sollte, sei ein allfälliger Verfahrensfehler jedoch im vorinstanzlichen Verfahren "geheilt" worden, zumal der Beschwerdeführer seine Einwände gegen die Person des Gutachters unterdessen habe darlegen können.
Soweit der amtliche Verteidiger in dessen Eingabe vom 1. März 2018 vorbringe, er habe auf Ergänzungsfragen an den Gutachter nicht verzichtet, sei ebenfalls kein Verfahrensfehler der Staatsanwaltschaft dargetan. Im angefochtenen Gutachtensauftrag werde betreffend Ergänzungsfragen nichts anderes behauptet. Dem Beschwerdeführer sei darin (sowie im Begleitbrief der Staatsanwaltschaft vom 27. Februar 2018) ausdrücklich die Gelegenheit eingeräumt worden, allfällige Ergänzungsfragen (bis zum 8. März 2018) einzureichen. Was Hinweise der Staatsanwaltschaft zum Sachverhalt betreffe, habe der Sachverständige sein Gutachten primär auf die dem Auftrag beigelegten Untersuchungsakten und die Exploration des Beschuldigten zu stützen. Zwar habe der Beschwerdeführer noch vorgebracht, er sei von seinem früheren Psychiater falsch behandelt worden und deshalb im Tatzeitpunkt schuldunfähig gewesen. Auch dies spreche jedoch nicht gegen den angefochtenen Gutachtensauftrag, zumal die vom Beschwerdeführer geltend gemachte Schuldunfähigkeit bzw. die angebliche medizinische Fehlbehandlung von einem Sachverständigen zu beurteilen sei.
4.2. Diese Erwägungen halten vor dem Bundesrecht stand.
Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass sein amtlicher Verteidiger schon anlässlich des Telefonates mit der Staatsanwaltschaft Gelegenheit hatte, sich zum bevorstehenden Gutachtensauftrag und insbesondere zur Person des Gutachters zu äussern und diesbezüglich Anträge zu stellen. Unklar ist lediglich, ob der amtliche Verteidiger - wie von ihm in seiner Eingabe vom 1. März 2018 behauptet - sich mit der Person des von der Staatsanwaltschaft ausgewählten Sachverständigen bereits anlässlich des Telefonates vom 27. Februar 2018 nicht einverstanden erklärt hatte.
Wie es sich damit im Einzelnen verhält, kann offen bleiben. Das Gesetz sieht nicht vor, dass die Ernennung eines Gutachters der Zustimmung der Parteien bedarf (vgl. <ref-law>). Selbst wenn der amtliche Verteidiger bereits am 27. Februar 2018 Vorbehalte gegen den von der Staatsanwaltschaft gewählten Sachverständigen mündlich geäussert hätte (vgl. <ref-law>), durfte sie diesen im vorliegenden Fall als forensischen Gutachter ernennen. Der Beschwerdeführer legt keine ausreichenden Gründe dar, weshalb der eingesetzte medizinische Experte aus fachlichen Gründen (<ref-law>) objektiv ungeeignet erschiene.
4.3. In diesem Zusammenhang sind auch keine aktenwidrigen bzw. offensichtlich unzutreffenden entscheiderheblichen Tatsachenfeststellungen der Vorinstanz dargetan:
Im angefochtenen Entscheid wird erwogen, der von der Staatsanwaltschaft bestellte medizinische Sachverständige erscheine fachlich sehr geeignet. Dabei sei mitzuberücksichtigen, dass ein früherer Psychiater des Beschuldigten bei diesem die Diagnose ADHS (Aufmerksamkeitsdefizit-/Hyperaktivitätsstörung) gestellt habe. Der Beschwerdeführer bestreite zwar diese Diagnose und mache geltend, er sei durch eine Fehlbehandlung seines früheren Psychiaters massiv geschädigt worden. Im Austrittsbericht vom 2. September 2016 der Universitären Psychiatrischen Kliniken (UPK) sei jedoch "eine umfassende ADHS-Abklärung und gegebenenfalls die Vorstellung in der ADHS-Sprechstunde der UPK angeregt" worden. Es werde Aufgabe des ernannten Gutachters sein, die vom früheren Psychiater gestellte ADHS-Diagnose kritisch zu hinterfragen. Der medizinische Sachverständige sei auf die Diagnostik und Behandlung von ADHS-Erkrankungen spezialisiert und habe in mehreren einschlägigen Fachstudien mitgewirkt, weshalb er "sogar als fachlich besonders geeigneter Gutachter" zu bezeichnen sei (angefochtener Entscheid, S. 10 E. 4.2.1).
Der Beschwerdeführer rügt die Feststellung des Appellationsgerichtes, wonach im Austrittsbericht der UPK "eine umfassende ADHS-Abklärung und gegebenenfalls die Vorstellung in der ADHS-Sprechstunde der UPK angeregt" worden sei, als willkürlich. Zwar seien dort "Anpassungsstörungen" diagnostiziert worden, eine ADHS-Abklärung hätten die UPK aber "von sich aus" nicht vornehmen wollen. Vielmehr hätten sie es ihm explizit freigestellt, auf eigenen entsprechenden "Wunsch" hin eine umfassende ADHS-Abklärung in der ADHS-Sprechstunde der UPK gegebenenfalls durchzuführen.
Aus diesen Vorbringen lassen sich keine entscheiderheblichen, offensichtlich unrichtigen Tatsachenfeststellungen der Vorinstanz ableiten. Selbst wenn der Interpretation gefolgt würde, die der Beschwerdeführer dem Austrittsbericht der UPK zugrunde legt, gründet die Annahme der Vorinstanz, der von der Staatsanwaltschaft bestellte Gutachter sei medizinisch-fachlich geeignet, auf willkürfreien Feststellungen (vgl. angefochtener Entscheid, S. 7 f., E. 3.2.2.1, S. 9 E. 3.2.2.3, S. 10 E. 4.2.1). Das Gesetz verlangt im übrigen keine "besonders hohe" Qualifikation des forensischen Gutachters. Die fachliche Eignung liegt vor, wenn der Sachverständige "auf dem betreffenden Fachgebiet die erforderlichen besonderen Kenntnisse und Fähigkeiten" besitzt (Art. 183 Abs. 1StPO).
Weitere Rügen willkürlicher Sachverhaltsfeststellungen sind nicht gesetzeskonform substanziiert (vgl. <ref-law>). Insbesondere legt der Beschwerdeführer nicht nachvollziehbar dar, inwiefern eine angeblich falsche Medikamentation durch einen früheren Psychiater und andere Vorwürfe gegen diesen gegen die hier streitige Einsetzung des forensischen Sachverständigen sprechen könnte.
4.4. Die Rüge der Verletzung der richterlichen Begründungspflicht (<ref-law>) erweist sich ebenfalls als unbegründet. Die Vorinstanz legt ausführlich und nachvollziehbar dar, weshalb sie die fachliche Eignung des Gutachters bejaht. Auf diverse Vorwürfe des Beschwerdeführers gegen eine andere Person oder auf materiellstrafrechtliche Standpunkte des Beschuldigten, die nicht Gegenstand des angefochtenen Gutachtensauftrages bilden, brauchte das Appellationsgericht (im Lichte des rechtlichen Gehörs) nicht näher einzugehen.
4.5. Zum Ausstands- bzw. Widerrufsgesuch des Beschwerdeführers vom 8. März 2018 an die Staatsanwaltschaft wegen angeblicher Befangenheit des Gutachters (vgl. Art. 56 i.V.m. Art. 183 Abs. 3 und <ref-law>) erwägt die Vorinstanz (im Sinne eines obiter dictums) noch Folgendes: "Solche Ausstandsgründe sind in vorliegender Sache nicht erkennbar und werden vom anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer auch nicht geltend gemacht" (angefochtener Entscheid, S. 9 E. 3.2.2.2).
Auf Vorbringen des Beschwerdeführers zu beiläufigen Erwägungen der Vorinstanz, die nicht den eigentlichen Gegenstand des streitigen Gutachtensauftrages vom 27. Februar 2018 betreffen, ist nicht einzutreten. Dies gilt namentlich für das (separat eingeleitete) Ausstandsverfahren oder für Kritik des Beschwerdeführers an der Durchführung der Begutachtung (vgl. Art. 185-189 StPO). Ebenso wenig sind unzulässige Noven vom Bundesgericht zu prüfen (vgl. <ref-law>). Im Übrigen ergäben sich auch aus den Äusserungen des Gutachters in dessen Stellungnahme vom 16. März 2018 (im Ausstandsverfahren) keine begründeten Zweifel an seiner fachlichen Eignung (<ref-law>).
4.6. Zwar rügt der Beschwerdeführer (sinngemäss) auch noch eine Verletzung von <ref-law> (i.V.m. <ref-law>), indem er die gesetzlichen Voraussetzungen einer psychiatrischen Exploration bestreitet. Gleichzeitig macht er jedoch geltend, er habe beim untersuchten Vorfall vom 16. Februar 2018 einen "psychotischen Anfall" erlitten. Auch sei er als "Opfer von falscher Medikamentierung" zu betrachten und daher strafrechtlich nicht verantwortlich. Dass die Vorinstanz die gesetzlichen Voraussetzungen für eine sachverständige Überprüfung dieser medizinischen Fragen bejaht hat, hält vor dem Bundesrecht stand. Angesichts der zu untersuchenden Delikte (versuchte Körperverletzung, Gewalt gegen Behördemitglieder und Beamte, Drohung und Sachbeschädigung) ist die Untersuchungsmassnahme gegen den Beschuldigten auch unter dem Gesichtspunkt des Verhältnismässigkeitsgebotes (Art. 197 Abs. 1 lit. c-d und Abs. 2 StPO) nicht zu beanstanden. Der vom Beschwerdeführer angerufene Art. 8 EMRK hat in diesem Zusammenhang keine über das bereits Dargelegte hinausgehende selbstständige Bedeutung.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Prozessführung kann bewilligt werden, da er seine finanzielle Bedürftigkeit ausreichend darlegt und die erhobene Laienbeschwerde nicht in allen Punkten als zum Vornherein aussichtslos erscheint (<ref-law>). Folglich sind keine Gerichtskosten zu erheben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. April 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Forster