Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer machte am 20. November 2020 beim Friedensrichteramt der Stadt Zürich, Kreise 11 und 12 ein Schlichtungsverfahren gegen die Beschwerdegegnerin 1 betreffend Forderungen über insgesamt Fr. 10'000.-- hängig. An der Schlichtungsverhandlung vom 22. Dezember 2020 stellte er ein Ausstandsgesuch gegen die mit dem Verfahren befasste Friedensrichterin. Diese brach die Verhandlung ab. Mit Vorladung vom gleichen Tag lud eine andere Friedensrichterin die Parteien auf den 27. Januar 2021 zu einer Schlichtungsverhandlung vor.
Mit Eingabe vom 29. Dezember 2020 gelangte der Beschwerdeführer an das Bezirksgericht Zürich und beantragte, die zweite Schlichtungsverhandlung vom 27. Januar 2021 sei vorläufig auszusetzen und verlangte den Ausstand der beiden Friedensrichterinnen; ausserdem stellte er verschiedene weitere Verfahrensanträge.
Mit Zirkulationsbeschluss vom 8. Januar 2021 trat das Bezirksgericht auf die Ausstandsgesuche und die übrigen Anträge des Beschwerdeführers nicht ein.
Mit Eingabe vom 11. Januar 2021 focht der Beschwerdeführer die Vorladung des Friedensrichteramts vom 22. Dezember 2020 beim Obergericht des Kantons Zürich an (Verfahren RU210003-O/U).
Nachdem der Beschwerdeführer zur Schlichtungsverhandlung vom 27. Januar 2021 nicht erschienen war, schrieb die Friedensrichterin das Schlichtungsverfahren mit Verfügung vom 8. Februar 2021 wegen Säumnis als gegenstandslos ab.
Der Beschwerdeführer focht den Zirkulationsbeschluss des Bezirksgerichts Zürich vom 8. Januar 2021 und die Verfügung des Friedensrichteramts der Stadt Zürich vom 8. Februar 2021 beim Obergericht des Kantons Zürich je mit Beschwerde an. Dieses vereinigte die beiden Beschwerdeverfahren. Mit Entscheid vom 23. Februar 2021 trat das Obergericht auf die gegen verschiedene Gerichtspersonen des Obergerichts erhobenen Ausstandsgesuche nicht ein und wies die Beschwerden ab, soweit es darauf eintrat (Verfahren RU210008-O/U).
Ebenfalls mit Entscheid vom 23. Februar 2021 schrieb das Obergericht des Kantons Zürich den Antrag des Beschwerdeführers auf vorläufige Aussetzung der Schlichtungsverhandlung vom 27. Januar 2021 als gegenstandslos ab und wies die gegen die Vorladung des Friedensrichteramts vom 22. Dezember 2020 erhobene Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Verfahren RU210003-O/U).
Mit Eingabe vom 2. März 2021 erklärte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, gegen die obergerichtlichen Entscheide RU210003-O⁄U (Verfahren 4D_15/2021) und RU210008-O⁄U (Verfahren 4D_13/2021) vom 23. Februar 2021 Beschwerde in Zivilsachen, subsidiäre Verfassungsbeschwerde und Rechtsverweigerungsbeschwerde erheben zu wollen. Am 3., 8., 23. und 31. März 2021 reichte er dem Bundesgericht weitere Eingaben ein.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 143; <ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen).
2.1. Die Beschwerden in den Verfahren 4D_13/2021 und 4D_15/2021, die denselben Rechtsstreit betreffen, werden gemeinsam behandelt.
2.2. Der Streitwert beträgt Fr. 10'000.-- und erreicht damit die Streitwertgrenze für eine Beschwerde in Zivilsachen gemäss <ref-law> nicht. Diese ist daher nur zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>), was die beschwerdeführende Partei aufzuzeigen hat (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer behauptet nicht, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt und es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern sich eine solche stellen könnte. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde in Zivilsachen nicht zulässig, sondern es steht die subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne der Art. 113-119 BGG offen.
2.3. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann ausschliesslich die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Diesbezüglich gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten nicht von Amtes wegen, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 in Verbindung mit <ref-law>). Dies bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.2; je mit weiteren Hinweisen).
2.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kam (Art. 118 Abs. 2 und <ref-law>), was die beschwerdeführende Partei präzise geltend zu machen hat (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.2 S. 445). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-ruling> E. 7.1, 585 E. 4.1 S. 588 f.).
Neue tatsächliche Vorbringen und Beweismittel sind grundsätzlich ausgeschlossen und neue Begehren unzulässig (Art. 99 i.V.m. <ref-law>).
3.
3.1. Die Beschwerde an das Bundesgericht ist nur gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen zulässig (Art. 75 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Auf die Beschwerden ist daher von vornherein nicht einzutreten, soweit der Beschwerdeführer darin die Entscheide des Friedensrichteramts bzw. des Bezirksgerichts kritisiert, da es sich dabei nicht um letztinstanzliche Entscheide im Sinne von <ref-law> handelt.
3.2. Die Eingaben des Beschwerdeführers erfüllen die genannten Begründungsanforderungen offensichtlich nicht. Er setzt sich nicht hinreichend mit den Erwägungen der angefochtenen Entscheide des Obergerichts des Kantons Zürich vom 23. Februar 2021 auseinander und zeigt auf, inwiefern der Vorinstanz eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzuwerfen wäre. Er erwähnt zwar unter anderem Art. 8, Art. 29 und Art. 30 BV und wirft den Behörden Willkür (<ref-law>) vor, begründet jedoch nicht hinreichend, inwiefern die Vorinstanz diese Bestimmungen verletzt haben soll, sondern legt dem Bundesgericht in frei gehaltenen Ausführungen seine Sicht der Dinge dar. Er zeigt auch nicht rechtsgenügend auf, inwiefern der Vorinstanz eine Rechtsverweigerung im Sinne von <ref-law> vorzuwerfen sein soll.
Auf die Beschwerden ist somit mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (<ref-law>). Mit dem Entscheid in der Sache werden die Gesuche um Erteilung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
4.
Unter den gegebenen Umständen wird ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG). Den Beschwerdegegnern ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 2 und 3 BGG).

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Die Beschwerden in den Verfahren 4D_13/2021 und 4D_15/2021 werden gemeinsam behandelt.
2.
Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben
4.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. April 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Leemann