Erwägungen:
1.
Die Strafgerichtspräsidentin Basel-Stadt stellte mit Verfügung vom 18. September 2020 fest, die Einsprache des Beschwerdeführers beziehe sich nur auf die Verfahrenskosten. Im Schuld- und Strafpunkt sei der Strafbefehl zum rechtskräftigen Urteil geworden. Der Beschwerdeführer habe die Verfahrenskosten von Fr. 205.30 zu tragen. Auf die Erhebung von Gerichtskosten sei zu verzichten.
Dagegen gelangte der Beschwerdeführer am 8. Oktober 2020 (gemäss Rechtsmittelbelehrung der Verfügung vom 18. September 2020) mit Beschwerde an das Appellationsgericht Basel-Stadt.
Am 9. Oktober 2020 veranlasste der Präsident des Appellationsgerichts Basel-Stadt deren Weiterleitung als Erlassgesuch "zuständigkeitshalber" an die Staatsanwaltschaft.
Am 20. Oktober 2020 wandte sich der Beschwerdeführer erneut mit einer ausdrücklich als "Beschwerde" bezeichneten Eingabe an das Appellationsgericht Basel-Stadt und beantragte, es seien die "unsinnigen, willkürlich zusätzlich erhobenen Verfahrenskosten zu verwerfen".
Der Präsident des Appellationsgerichts leitete die Eingabe am 26. Oktober 2020 "zuständigkeitshalber" an das Bundesgericht weiter.
2.
Vorliegend gibt es keinen letztinstanzlichen kantonalen Entscheid im Sinne von Art. 78 Abs. 1 i.V.m. Art. 80 Abs. 1 und Art. 90 BGG, gegen welchen sich der Beschwerdeführer beim Bundesgericht zur Wehr setzen könnte. Gemäss <ref-law> kann indessen auch gegen das unrechtmässige Verweigern eines anfechtbaren Entscheids Beschwerde an das Bundesgericht geführt werden. Die an das Bundesgericht weitergeleitete Eingabe ist als Rechtsverweigerungsbeschwerde im Sinne von <ref-law> entgegenzunehmen.
3.
Eine formelle Rechtsverweigerung liegt vor, wenn eine Behörde auf eine ihr frist- und formgerecht unterbreitete Sache nicht eintritt bzw. diese nicht behandelt, obschon sie darüber befinden müsste (<ref-ruling> E. 2.1 S. 9; <ref-ruling> E. 2.3 S. 232; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.1).
4.
Der Beschwerdeführer hat sich zweimal mit Beschwerde an das Appellationsgericht Basel-Stadt gewandt, um die Auferlegung der Verfahrenskosten auf deren Rechtmässigkeit hin überprüfen zu lassen. Der Appellationsgerichtspräsident eröffnete kein Verfahren, sondern leitete die Beschwerdeeingaben kurzerhand einmal "zuständigkeitshalber" an die Staatsanwaltschaft, das andere Mal "zuständigkeitshalber" an das Bundesgericht weiter. Damit hat er es abgelehnt, einen anfechtbaren Entscheid zu fällen. Unerfindlich bleibt, inwiefern das Bundesgericht in der vorliegenden Angelegenheit zuständig sein könnte bzw. was im bundesgerichtlichen Verfahren Anfechtungsobjekt bilden sollte, zumal ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid weder im Hinblick auf die Rechtmässigkeit der Verfahrenskosten noch im Hinblick auf einen allfälligen Kostenerlass vorliegt bzw. gefällt wurde.
5.
Die Rechtsverweigerungsbeschwerde ist gutzuheissen. Die Angelegenheit geht zur Entscheidung an das Appellationsgericht Basel-Stadt zurück. Auf die Einholung von Vernehmlassungen wird verzichtet.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Die Angelegenheit geht zur Entscheidung an das Appellationsgericht Basel-Stadt zurück.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht Basel-Stadt, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. November 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill