Erwägungen:
1.
A._ erstattete am 2. Oktober 2020 "Strafantrag und Zivilklage" beim Untersuchungsamt St. Gallen gegen verschiedene Behördemitglieder und Mitarbeitende des Bistums St. Gallen sowie auch gegen verschiedene Behördemitglieder und Mitarbeitende des Katholischen Konfessionsteils des Kantons St. Gallen wegen Nötigung, Gehörsverletzung, Ehrverletzung, Missbrauchs der Amtsgewalt sowie Urkundenunterdrückung. Die Strafanzeige steht gemäss den Ausführungen des Anzeigers im Zusammenhang mit der Berichterstattung im "Rheintaler" vom 9. Juli 2020 über die Entlassung des Pastoralassistenten B._ im Sommer 2018.
2.
Das Untersuchungsamt St. Gallen leitete die Sache mit Schreiben vom 12. Oktober 2020 an die Anklagekammer des Kantons St. Gallen zur Durchführung des Ermächtigungsverfahrens weiter. Mit Entscheid vom 30. Oktober 2020 erteilte die Anklagekammer des Kantons St. Gallen keine Ermächtigung zur Eröffnung von Strafverfahren. Sie führte zusammenfassend aus, dass insgesamt keine hinreichend konkreten Anhaltspunkte auf ein strafrechtlich relevantes Verhalten der Angezeigten oder einzelner von ihnen vorliegen würde, welche die Erteilung einer Ermächtigung rechtfertigen könnte. Im Kern handle es sich vielmehr um arbeits- bzw. kirchenrechtliche Angelegenheiten, wofür die Anklagekammer nicht zuständig sei.
3.
A._ führt mit Eingabe vom 10. Dezember 2020 Beschwerde gegen den Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Der Beschwerdeführer stellt den Antrag, das vorliegende Verfahren sei mit den Verfahren 1B_543/2020 und 1B_579/2020 betreffend unentgeltliche Rechtsverbeiständung im Strafverfahren zu vereinigen. Dem Gesuch ist nicht zu entsprechen, zumal die Streitgegenstände unterschiedlich sind; im Übrigen wurden die genannten Verfahren bereits mit Urteilen vom 14. Dezember 2020 und 3. Februar 2021 erledigt.
5.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer vermag der Darstellung seiner subjektiven Sicht der Dinge nicht im Einzelnen und konkret aufzuzeigen, inwiefern die Verweigerung der Ermächtigung Recht im Sinne von <ref-law> verletzen sollte. Aus seinen Ausführungen bezüglich "Niederschweigen" der Richtlinie 5.3.3., Diskriminierungsschutz, rechtliches Gehör usw. ergibt sich nicht nachvollziehbar, welches allfällig strafbare Verhalten den Angezeigten vorgeworfen wird. Der Beschwerdeführer vermag nicht verständlich aufzuzeigen, dass die Anklagekammer in rechts- bzw. verfassungswidriger Weise das Vorliegen von hinreichend konkreten Anhaltspunkte auf ein strafrechtlich relevantes Verhalten der Angezeigten verneint hätte. Aus der Beschwerde ergibt sich daher nicht, inwiefern die Begründung der Anklagekammer bzw. deren Entscheid selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
6.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (<ref-law>). Indessen ist davon abzusehen, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben (<ref-law>)

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Untersuchungsamt St. Gallen, und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. August 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli