Sachverhalt:
A.
C.A._ und D._ haben zwei gemeinsame Kinder, A.A._ (geb. 2005) und B.A._ (geb. 2008). Die Eltern leben getrennt, wobei die Mutter die Obhut über die Kinder innehat. Am 16. Januar 2018 genehmigte das Bezirksgericht Horgen eine zwischen C.A._ und D._ abgeschlossene Vereinbarung, wodurch dieser betreffend Kinderunterhalt unter anderem verpflichtet worden ist, künftige Fremdbetreuungskosten im Umfang von drei Vierteln zu tragen.
D._ wird vorgeworfen, diese Kosten nicht im geschuldeten Umfang bezahlt zu haben, weshalb A.A._ und B.A._ die Betreibung einleiteten. Konkret machten sie für die Monate September bis Dezember 2019 Ausstände von Fr. 4'062.-- und für die Monate Januar bis März 2020 Ausstände von Fr. 7'546.50 geltend. Gegen die entsprechenden Zahlungsbefehle vom 14. Januar 2020 und vom 21. April 2020 erhob D._ Rechtsvorschlag.
Nachdem ihm eine entsprechende Klagebewilligung ausgestellt worden war, gelangte D._ mit Klage auf Abänderung des Urteils vom 16. Januar 2018 ans Bezirksgericht Horgen, wobei er die alternierende, eventualiter die alleinige Obhut und eine Änderung der Unterhaltsregelung beantragte. Dabei ersuchte er unter anderem auch um vorsorgliche Aufhebung bzw. Abänderung der Vereinbarung betreffend Fremdbetreuungskosten.
B.
C.A._ und ihre Kinder reichten gegen D._ Strafanzeige ein wegen Vernachlässigung von Unterhaltspflichten. Am 21. August 2020 verfügte die Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis die Nichtanhandnahme des Verfahrens.
C.
Gegen die Nichtanhandnahme erhoben A.A._, B.A._ und C.A._ Beschwerde. Mit Beschluss vom 22. September 2021 wies das Obergericht des Kantons Zürich diese ab.
D.
Mit Beschwerde in Strafsachen beantragen A.A._, B.A._ und C.A._ vor Bundesgericht die teilweise Aufhebung des angefochtenen Beschlusses. Die Sache sei zur Eröffnung einer Untersuchung an die Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis zurückzuweisen. Ausserdem sei sie zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen an die Vorinstanz zurückzuweisen; eventualiter seien die Verfahrenskosten den Beschwerdegegnern aufzuerlegen und diese zu verpflichten, den Beschwerdeführern für das vorinstanzliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 2'500.-- zu bezahlen.

Erwägungen:
1.
Zu prüfen ist, ob die Beschwerdeführer vor Bundesgericht beschwerdeberechtigt sind. Das Bundesgericht beurteilt die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1; Urteile 6B_1496/2020 vom 16. Dezember 2021 E. 1.1 mit Hinweis; 6B_1157/2020 vom 8. September 2021 E. 2).
1.1.
1.1.1. Die Privatklägerschaft ist zur Beschwerde in Strafsachen grundsätzlich nur berechtigt, wenn sich der angefochtene Entscheid auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG, vgl. zu den Zivilansprüchen <ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 1.1). Richtet sich die Beschwerde gegen die Einstellung oder Nichtanhandnahme eines Verfahrens, hat die Privatklägerschaft im Strafverfahren nicht notwendigerweise bereits vor den kantonalen Behörden Zivilforderungen geltend gemacht. Im Verfahren vor Bundesgericht muss sie in diesem Fall daher darlegen, aus welchen Gründen und inwiefern sich der angefochtene Entscheid auf welche Zivilforderungen auswirken kann. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Es prüft die Eintretensvoraussetzungen im Verfahren der Beschwerde in Strafsachen ohne eingehende Auseinandersetzung mit der Sache. Dementsprechend ist - namentlich bei komplexen Fällen, in welchen allfällige Zivilansprüche nicht offensichtlich sind - in der Beschwerde einleitend und in gedrängter Form darzulegen, inwiefern die Eintretensvoraussetzungen erfüllt sind. Genügt die Beschwerde diesen Begründungsanforderungen nicht, kann auf sie nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, welche Zivilforderungen in Frage stehen (vgl. BGE <ref-ruling> E. 1.1; Urteile 6B_925/2020 vom 14. März 2022 E. 1.1; 6B_160/2021 vom 11. Januar 2022 E. 1.1; 6B_724/2021 vom 10. Januar 2022 E. 1.1; je mit Hinweisen). Die Rechtsprechung zeigt sich demnach restriktiv und strikt hinsichtlich einer genügend präzisen Begründung der behaupteten privatrechtlichen Ansprüche als Legitimationsvoraussetzung, denn die Staatsanwaltschaft ist für die Durchsetzung des staatlichen Strafanspruchs verantwortlich (<ref-law>) und es ist nicht an der Privatklägerschaft, die Staatsanwaltschaft zu substituieren (BGE <ref-ruling> E. 1.1; Urteile 6B_637/2021 vom 21. Januar 2022 E. 3.1; 6B_1251/2021 vom 15. Dezember 2021 E. 7; je mit Hinweisen).
1.1.2. Die zu Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG ergangene Rechtsprechung verlangt, dass sich der angefochtene Entscheid auf die Beurteilung der im Strafverfahren adhäsionsweise geltend gemachten bzw. noch geltend zu machenden Zivilforderungen auswirken kann. Dagegen genügt es nicht, wenn sich die Privatklägerschaft bloss vorbehält, ihre Zivilansprüche später in einem anderen Verfahren geltend zu machen, oder wenn sie diese in einem parallelen Zivilverfahren verfolgt (vgl. Urteile 6B_1157/2020 vom 8. September 2021 E. 3.1; 6B_1280/2020 vom 3. Februar 2021 E. 1.2; 6B_133/2016 vom 3. Juni 2016 E. 3; je mit Hinweisen).
Selbst wenn adhäsionsweise Zivilforderungen vorliegen, berechtigen diese nicht zur Beschwerde in Strafsachen, wenn sich das von der Privatklägerschaft angestrengte Strafverfahren seinem Wesen nach als rein zivilrechtliche Auseinandersetzung im strafrechtlichen Gewand darstellt (Urteile 6B_266/2021 vom 21. Oktober 2021 E. 2.2; 6B_1157/2020 vom 8. September 2021 E. 3.1; 6B_1053/2020 vom 19. November 2020 E. 1.2). Es gilt der Leitsatz, wonach das Strafverfahren nicht ein blosses Vehikel zur Durchsetzung von Zivilforderungen in einem Zivilprozess sein darf (<ref-ruling> E. 1.3.1; Urteile 6B_1157/2020 vom 8. September 2021 E. 3.1; 6B_724/2021 vom 10. Januar 2022 E. 1.1; je mit Hinweisen).
1.1.3. Die Nichtanhandnahme oder Einstellung des Strafverfahrens schmälert die Aussichten auf die Durchsetzung des zivilrechtlichen Anspruchs dort, wo die Beurteilung des strafrechtlichen Schuldpunkts eigenständig dazu beitragen könnte, im Adhäsionsverfahren deliktische Anspruchsvoraussetzungen des allgemeinen oder spezialgesetzlichen Schuld- und Haftpflichtrechts (z.B. <ref-law>) zu klären. Rechtliche Festlegungen im Strafentscheid wirken sich von vornherein nicht im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG auf die Beurteilung der Zivilansprüche aus, zumal die Ziviljustiz nicht an die strafrechtliche Beurteilung von parallelen Fragestellungen rechtlicher Natur gebunden ist (vgl. <ref-law>). Der angefochtene Einstellungsentscheid hat dann die von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG verlangten Auswirkungen auf die Beurteilung von Zivilforderungen, wenn die Weiterführung des Strafverfahrens voraussichtlich mit beweisrechtlich begründeten Vorteilen im Hinblick auf die Geltendmachung des Zivilanspruchs verbunden sein wird. Dabei genügt es, wenn sich dieser Mehrwert zumindest auf einzelne tatsächliche Elemente erstreckt, die für den Zivilanspruch erheblich sind (Urteile 6B_266/2021 vom 21. Oktober 2021 E. 2.2; 6B_1157/2020 vom 8. September 2021 E. 3.2.1 und 3.2.2).
1.2. Bis anhin beschritten die Beschwerdeführer zur Durchsetzung ihrer Unterhaltsforderungen den Zivilweg: Für die angeblichen Ausstände der Jahre 2019 und 2020 leiteten sie Betreibungen ein und sie bringen weiter vor, die nicht bezahlten Fremdbetreuungskosten des Jahres 2021 mittels Widerklage in einem Zivilverfahren vor dem Bezirksgericht Horgen einzufordern. Die Beschwerdeführer machen daher mit Blick auf die referierte Rechtsprechung zu Recht nicht geltend, ihre Beschwerdeberechtigung aus den Unterhaltsforderungen für die Jahre 2019-2021 ableiten zu können.
1.3.
1.3.1. Darüber hinaus bringen die Beschwerdeführer zur Begründung ihrer Legitimation vor, sie hätten für den Anteil des Beschwerdegegners 2 an den laufenden Fremdbetreuungskosten des Jahres 2022 noch keine Klage eingereicht. Der angefochtene Entschied könne sich aber auf diese Forderung auswirken. Eine Verurteilung wegen Vernachlässigung von Unterhaltspflichten würde den Beschwerdegegner 2 voraussichtlich zu einem Einlenken und zum Bezahlen der ausstehenden Unterhaltsschulden bewegen. Ausserdem belege eine Verurteilung die Widerrechtlichkeit und die gültige Rechtsgrundlage.
1.3.2. Die Beschwerdeführer behaupten nicht, ihre Unterhaltsforderungen für das Jahr 2022 adhäsionsweise im Strafverfahren und nicht wie bisher in einem Zivilprozess geltend machen zu wollen. Wurde das Verfahren wie hier nicht an die Hand genommen, müssten sie vor Bundesgericht aber konkret ausführen, inwiefern sie im betreffenden Verfahren selber Zivilansprüche verfolgen möchten (Urteile 6B_924/2018 vom 10. Januar 2019 E. 3.2; 6B_597/2018 vom 24. September 2018 E. 2.1 mit Hinweisen). Selbst wenn es sich bei den genannten Ansprüchen jedoch um adhäsionsweise Zivilforderungen handeln würde resp. sie als solche gesehen werden könnten, würden diese, wie nachfolgend zu zeigen sein wird, nicht zur Beschwerde ans Bundesgericht berechtigen.
1.3.3. Der in einem Zivilurteil festgesetzte Betrag des geschuldeten Unterhalts ist für das Strafgericht verbindlich (Urteile 6B_252/2020 vom 8. September 2020 E. 5.3; 6B_519/2017 vom 4. September 2017 E. 3.2; je mit Hinweisen). Vorliegend wurde der Beschwerdegegner 2 mittels richterlich genehmigter Vereinbarung verpflichtet, sich an den Fremdbetreuungskosten seiner Kinder zu drei Vierteln zu beteiligen. Dabei wurde weder der Umfang der Kostenbeteiligung betragsmässig festgelegt, noch wurden Kriterien aufgestellt, nach welchen sich dieser definiert. Der Umfang der effektiv geschuldeten Fremdbetreuungskosten ergibt sich erst durch Auslegung (vgl. zu den allgemeinen obligationenrechtlichen Regeln der Vertragsauslegung statt vieler <ref-ruling> E. 7.1). Über die Auslegung der Vereinbarung, namentlich des Begriffs "Fremdbetreuungskosten", und damit über die tatsächlich geschuldete Beteiligung an diesen Kosten sind sich die Beschwerdeführer und der Beschwerdegegner 2 uneinig. Ein zivilrechtliches Verfahren zur Klärung dieser Fragen ist bereits hängig: Der Beschwerdegegner 2 reichte Klage auf Abänderung der Obhuts- und der Unterhaltsregelung ein (<ref-law>), die Beschwerdeführer verlangten widerklageweise die Bezahlung der Fremdbetreuungskosten für das Jahr 2021. Der Umfang der vom Beschwerdegegner 2 für das Jahr 2022 geschuldeten Beiträge hängt unmittelbar davon ab, wie das Zivilgericht in dieser Sache entscheidet, denn dieses wird sich aufgrund des ihm unterbreiteten Streitgegenstands voraussichtlich zur Auslegung der Vereinbarung äussern und/oder diese abändern, wobei es seinen Entscheid nach <ref-law> unvoreingenommen zu fällen hat. Nun setzt die Beurteilung adhäsionsweise geltend gemachter Zivilforderungen jedoch voraus, dass die Zivilklage nicht bei einem anderen Gericht rechtshängig gemacht oder rechtskräftig entschieden worden ist (<ref-ruling> E. 4.3 mit Hinweisen; Urteile 6B_266/2021 vom 21. Oktober 2021 E. 2.1; 6B_1157/2020 vom 8. September 2021 E. 3.1; 6B_252/2020 vom 8. September 2020 E. 2.2). Auch wenn sie auf dem Zivilweg noch nicht effektiv eingefordert wurden, fragt sich daher, ob die Unterhaltsforderungen für das Jahr 2022 überhaupt adhäsionsweise in einen Strafprozess eingebracht werden können, nachdem ihr Umfang vom Ausgang eines bereits hängigen Zivilprozesses abhängt. Jedenfalls hätten die Beschwerdeführer angesichts dieser Problematik darlegen müssen, weshalb das bereits hängige Zivilverfahren einem strafrechtlichen Adhäsionsverfahren nicht entgegensteht und inwiefern sie ein aktuelles Rechtsschutzinteresse an der Behandlung der Strafrechtsbeschwerde haben. Gegebenenfalls hätten sie erklären müssen, inwiefern sich die Streitgegenstände des parallelen Zivilprozesses nicht mit denjenigen eines künftigen Adhäsionsverfahrens decken (vgl. Urteil 6B_266/2021 vom 21. Oktober 2021 E. 2.1 mit Hinweis). Derartige Ausführungen finden sich in der Beschwerde keine.
1.3.4. Hinzu kommt jedoch noch ein weiterer Punkt: Selbst wenn der Weg über den Adhäsionsprozess offenstünde und die Strafbehörde sich zum Umfang der geschuldeten Beiträge äussern könnte, ergäbe sich für die Beschwerdeführer daraus kein beweismässiger Vorteil im Hinblick auf die Klärung der zivilrechtlichen Ansprüche. Die entscheidende Frage, wie die streitige Vereinbarung auszulegen ist und welche Fremdbetreuungsbeiträge der Beschwerdegegner 2 konkret schuldet, ist rechtlicher Natur. Die Klärung dieser (Vor-) Frage durch eine Strafbehörde wäre für das Zivilgericht somit nicht bindend und brächte für die Beschwerdeführer entsprechend keinen Mehrwert. Inwiefern ein Strafverfahren auf der Ebene des Sachverhalts bessere Erkenntnisse liefern sollte, ist in der Beschwerde nicht dargetan und auch nicht ersichtlich.
Letztlich ist die vorliegend zu beurteilende Streitigkeit rein zivilrechtlicher Natur. Der angefochtene Entscheid wirkt sich nicht in der nach Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG geforderten Weise auf die Zivilansprüche der Beschwerdeführer aus.
2.
Ungeachtet der fehlenden Legitimation in der Sache selbst kann die Privatklägerschaft vor Bundesgericht die Verletzung von Verfahrensrechten rügen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt. Zulässig sind Rügen, die formeller Natur sind und von der Prüfung der Sache getrennt werden können. Nicht zu hören sind dabei Rügen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen ("Star-Praxis"; BGE <ref-ruling> E. 1.1; Urteil 6B_252/2020 vom 8. September 2020 E. 2.1; je mit Hinweisen). Die Beschwerdeführer äussern keine solchen formellen Einwendungen, weshalb auch unter diesem Titel nicht auf die Beschwerde eingetreten werden kann.
3.
Bei diesem Ergebnis kann offenbleiben, ob der Beschwerdeführerin 3 als gesetzliche Vertreterin ihrer unterhaltsberechtigten Kinder (vgl. <ref-law>) ein eigenständiges Beschwerderecht zukommt.
4.
Nachdem auf die Beschwerde insgesamt nicht eingetreten werden kann, erweist sich das Begehren um Anpassung der vorinstanzlichen Kosten- und Entschädigungsregelung als gegenstandslos.
5.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten. Bei diesem Ausgang des Verfahrens haben die Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Sie haften dafür zu gleichen Teilen und solidarisch (<ref-law>). Der Beschwerdegegner 2 wurde vor Bundesgericht nicht zur Vernehmlassung eingeladen, weshalb ihm keine entschädigungswürdigen Nachteile entstanden sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. April 2022
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Lustenberger