Faits :
A.
Le 26 mai 2014, A._ a été mis en prévention complémentaire par le Ministère public de la Confédération (ci-après: MPC) pour faux dans les titres (<ref-law>) et tentative d'escroquerie (art. 146 en lien avec l'<ref-law>), pour avoir, en substance, tenté d'obtenir du MPC, dans le cadre d'une autre procédure le concernant, la levée d'un séquestre frappant la somme de 150'000 euros saisie le 22 mai 2012, au moyen de faux documents.
Le 6 janvier 2021, le MPC a rendu une ordonnance de classement en faveur de A._ pour ces infractions (cf. art. 8 al. 2 let. a et b CPP). Les frais de la procédure, d'un montant de 1'500 fr. ont été mis à la charge de A._ (<ref-law>), et aucune indemnité ne lui a été accordée.
B.
Statuant sur recours de A._ portant notamment sur la mise à sa charge des frais de procédure et l'allocation d'une indemnité au sens de l'<ref-law>, la Cour des plaintes du Tribunal pénal fédéral (ci-après: le TPF) l'a rejeté dans la mesure de sa recevabilité, par décision du 9 février 2021.
En substance, le TPF a retenu que l'usage de faux documents dans le contexte d'espèce représentait un comportement fautif et civilement répréhensible justifiant l'imputation des frais de procédure (<ref-law>). Quant à l'allocation d'une indemnité en réparation du tort moral, A._ ne développait aucune argumentation permettant de la justifier.
En outre, dans la même décision, le TPF a déclaré le recours de B._ Ltd, à laquelle le montant de 150'000 euros séquestré appartenait, irrecevable dès lors que le séquestre ne faisait pas partie du dispositif de l'ordonnance attaquée.
C.
A._ forme un recours en matière pénale ainsi qu'un recours constitutionnel subsidiaire auprès du Tribunal fédéral contre la décision du 9 février 2021 et conclut, avec suite de frais et dépens, à sa réforme en ce sens que les frais de procédure d'un montant de 1'500 fr. sont laissés à la charge de l'État, qu'une indemnité pour tort moral (<ref-law>) d'un montant de 10'000 fr. lui est allouée et que la cause est renvoyée au MPC pour qu'il soit statué sur le sort des 150'000 euros séquestrés dans le cadre de la présente procédure. Subsidiairement, il conclut à l'annulation de la décision du 9 février 2021 et au renvoi de la cause à l'autorité inférieure pour une nouvelle instruction et décision dans le sens des considérants.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office (<ref-law>) et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 2).
1.1. Le recours au Tribunal fédéral contre les décisions rendues en matière pénale est régi par les <ref-law>.
A teneur de l'<ref-law>, le recours est irrecevable contre les décisions de la cour des plaintes du Tribunal pénal fédéral, sauf si elles portent sur des mesures de contrainte. Cette notion se réfère selon la jurisprudence aux mesures investigatrices ou coercitives prises, à titre incident, au cours du procès pénal, telles que l'arrestation, la détention, le séquestre, la fouille, la perquisition. Le législateur a ainsi désiré éviter que l'effet de décharge voulu par le transfert des compétences au TPF ne soit réduit à néant par l'ouverture systématique du recours au Tribunal fédéral. Ainsi, seules les mesures de contrainte telles que la mise et le maintien en détention provisoire et la saisie de biens peuvent faire l'objet d'un recours car il s'agit là de mesures graves qui portent atteinte aux droits fondamentaux (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 2.1; Message du 28 février 2001 concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale, FF 2001 4030; cf. art. 196 à 298 CPP).
1.2. En l'espèce, la décision litigieuse émane de la Cour des plaintes du TPF et concerne une ordonnance de classement, la mise à la charge du recourant des frais de procédure et le refus de lui allouer une indemnisation à ce titre (art. 426 et 429 CPP). Elle ne porte pas sur une mesure de contrainte au sens de l'<ref-law>, le classement n'étant pas assimilable à une telle décision, pas plus que les frais et l'indemnisation qui en découlent (cf. arrêts 6B_1269/2016 du 21 août 2017 consid. 1.2; 6B_1089/2013 du 18 décembre 2014 consid. 1.1; 6B_917/2013 du 6 novembre 2013 consid. 1; 6B_119/2013 du 11 avril 2013 consid. 1).
Le recourant prétend que la décision entreprise porterait sur un séquestre de 150'000 euros, lequel constituerait une mesure de contrainte au sens de l'<ref-law>. Or la décision attaquée ne statue d'aucune manière sur ce point et retient précisément que le séquestre ne fait pas l'objet de la présente procédure. En outre, le recourant ne tente pas d'établir de quelconques droits sur le montant de 150'000 euros, lequel appartiendrait à B._ Ltd selon la décision entreprise, ce qu'il confirme de surcroît (recours p. 2: "[...] les avoirs séquestrés proviennent de B._ Limited et, partant, appartiennent à un tiers de bonne foi"). Il ne saurait donc se prévaloir d'une mesure de contrainte le concernant (cf. en ce sens arrêt 6B_864/2013 du 8 juillet 2014).
Aussi la décision entreprise n'est en principe pas attaquable par un recours ordinaire auprès du Tribunal fédéral en vertu du texte clair de l'<ref-law> (cf. en ce sens arrêts 6B_214/2021 du 8 avril 2021; 6B_403/2020 du 24 avril 2020; 6B_1417/2017 du 16 janvier 2018, rendu dans une cause concernant le recourant).
1.3. Contrairement à ce que suggère le recourant, en se référant à l'ancienne LTPF (loi fédérale du 4 octobre 2002 sur le Tribunal pénal fédéral, abrogée le 1er janvier 2011), le défaut de recours au Tribunal fédéral ne constitue pas une lacune proprement dite qui trouverait son origine dans le fait que la LTF est antérieure à l'entrée en vigueur du CPP (cf. arrêt 1B_789/2012 du 24 janvier 2013 consid. 2.2).
Sous l'égide de l'ancienne PPF (art. 120 al. 4 de l'ancienne loi fédérale du 15 juin 1934 sur la procédure pénale), abrogée lors de l'entrée en vigueur du CPP le 1er janvier 2011, une décision de non-lieu du MPC était susceptible d'un recours auprès de la Cour des plaintes du Tribunal pénal fédéral. La décision de la Cour des plaintes ne pouvait quant à elle pas faire l'objet d'un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral, l'<ref-law> l'excluant (arrêt 6B_119/2013 du 11 avril 2013 consid. 1 en référence aux arrêts 6B_531/2010 du 23 juin 2010 consid. 1 et 6C_1/2007 du 20 mars 2007 consid. 2.2). L'entrée en vigueur du CPP n'a pas modifié la portée de l'<ref-law>. La décision de la Cour des plaintes du Tribunal pénal fédéral saisie d'un recours contre un classement rendu par le MPC (cf. <ref-law> [Loi sur l'organisation des autorités pénales de la Confédération; RS 173.71], 322 al. 2 et 393 al. 1 let. a CPP), même sous l'égide du CPP n'est pas susceptible d'un recours en matière pénale au Tribunal fédéral (arrêts 6B_119/2013 du 11 avril 2013 consid. 1; 1B_789/2012 du 24 janvier 2013 consid. 2; cf. 6B_1089/2013 du 18 décembre 2014 consid. 1; HEIMGARTNER/KESHELAVA, in Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3e éd. 2018, n° 2 ad <ref-law>; PIERRE FERRARI, in Commentaire de la LTF, 2e éd. 2014, n° 10 ad <ref-law>).
1.4. C'est en vain que le recourant prétend, sous couvert d'une violation des art. 29 al. 1 Cst., 6 par. 1 CEDH, 2 du Protocole additionnel CEDH et 14 ch. 5 Pacte ONU II, que sa présomption d'innocence et son droit à un procès équitable se verraient privés d'effectivité en droit interne. En effet, dans la mesure où la Cour des plaintes est entrée en matière sur son recours s'agissant de la mise à sa charge des frais et du refus d'indemnisation, le recourant a eu la possibilité de présenter et de faire examiner ses griefs par un tribunal répondant aux exigences d'indépendance et d'impartialité requises, ce qui suffit à satisfaire les garanties déduites de l'art. 6 par. 1 CEDH quant au droit d'accès à un tribunal (cf. arrêt 1B_331/2020 du 23 juillet 2020 consid. 2; cf. en outre, sur l'exigence du double degré de juridiction pour la décision répressive rendue sur le fond du procès: arrêts 6B_1089/2013 du 18 décembre 2014 consid. 1.2; 6B_352/2018 du 27 juillet 2018 consid. 3.2.1; PIERRE FERRARI, op. cit., n° 6 ad <ref-law>).
Le recourant ne saurait prétendre à une exception à l'<ref-law> fondée sur la violation de la présomption d'innocence, dès lors que la condamnation aux frais de la procédure repose en l'espèce sur un comportement civilement fautif et non sur une infraction pénale (cf. en outre <ref-ruling> sur la mise à la charge du prévenu des frais de procédure en cas de classement fondé sur l'<ref-law> cum 53 CP).
1.5. La décision entreprise n'émanant pas d'une autorité cantonale de dernière instance, le recours constitutionnel subsidiaire au sens de l'<ref-law> est exclu également (cf. arrêts 6B_1307/2019 du 5 février 2020 consid. 3; 6B_905/2016 du 28 novembre 2016 consid. 3).
2.
Le recours est irrecevable. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal pénal fédéral, Cour des plaintes.
Lausanne, le 29 octobre 2021
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Denys
La Greffière : Klinke