Faits :
A.
A.a. Le 25 août 2015, le Ministère des Finances de la République de l'Inde (ci-après: l'autorité requérante) a adressé à l'Administration fédérale des contributions (ci-après : l'Administration fédérale) une demande d'assistance administrative en matière fiscale concernant A._.
Cette demande se référait au Swiss-Indian Joint statement du 15 octobre 2014 (ci-après: Joint statement 2014), signé par le Secrétaire d'Etat suisse aux questions financières internationales et son homologue indien. Il y était rappelé qu'il avait été convenu que la Suisse serait disposée à examiner les demandes pour lesquelles des enquêtes avaient été menées indépendamment de ce que le Gouvernement suisse considérait comme des données obtenues en violation du droit suisse, tout en rappelant la ferme conviction de l'Inde que la Convention applicable ne requérait que la preuve de la pertinence vraisemblable des renseignements requis. S'agissant de A._, l'autorité requérante indiquait qu'au cours d'enquêtes menées à son sujet, elle avait obtenu des preuves indépendantes de données volées et vraisemblablement pertinentes aux fins de l'application de la loi fiscale indienne (<ref-law>).
Soulignant avoir épuisé ses voies internes d'informations, l'autorité requérante souhaitait obtenir des renseignements concernant cinq comptes bancaires que A._ détiendrait auprès de "Banque B._" (ci-après: la Banque) et qui auraient pour "Client Profile Name" respectifs C._ LTD, D._, E._, F._ et G._, pour la période du 1er avril 1995 au 30 juin 2015. Elle exposait que, confronté à ces comptes bancaires, A._ avait admis qu'il en était bénéficiaire économique, qu'il ne les avait pas déclarés aux fins de l'imposition sur le revenu et qu'il acceptait de payer les impôts y afférents.
La demande d'assistance administrative précisait, sous la rubrique n° 6, qu'il y avait urgence à obtenir une réponse en raison de la prescription et de l'existence d'une procédure pendante. Sous rubrique n° 10 de la demande, destinée à indiquer quels impôts étaient concernés, l'autorité requérante a indiqué "impôt sur le revenu". Sous rubrique n° 11 concernant le but fiscal de la demande, l'autorité requérante a répondu que la demande visait la "détermination, l'évaluation et le prélèvement d'impôts" ainsi que des "enquêtes ou des poursuitesen matière fiscale" (<ref-law>).
L'autorité requérante s'est expressément engagée à garder les informations confidentielles (<ref-law>).
A.b. Par ordonnance de production du 14 septembre 2015, l'Administration fédérale a invité la Banque à lui transmettre des documents relatifs aux comptes bancaires concernés, pour la période du 1er avril 2011 au 31 mars 2015. La Banque a communiqué les informations requises le 21 septembre 2015, en joignant une copie des formulaires d'ouverture de compte incluant le formulaire A, ainsi que les relevés de compte et états de fortune annuels pour trois relations bancaires, ouvertes au nom de C._ LTC, D._ et E._.
Après avoir consulté le dossier, A._ a transmis à l'Administration fédérale, le 26 janvier 2016, des documents censés mettre en lumière que l'enquête indienne le concernant avait été initiée sur la base de données volées à la Banque par H._ (ci-après: les données H._) et que la perquisition de ses locaux, ainsi que les déclarations qu'il avait faites subséquemment au sujet des comptes bancaires, résultaient directement de ces données.
Le 15 juin 2016, un nouveau "joint statement" a été signé par le Secrétaire d'Etat suisse aux questions financières internationales et son homologue indien. L'Inde y a réitéré sa position, selon laquelle la Suisse était tenue, conformément à ses obligations conventionnelles, d'accorder l'assistance administrative dans toutes les situations, relevant les progrès effectués dans le traitement de demandes fondées sur des enquêtes menées de manière indépendantes de l'existence de données volées. L'Inde accueillait favorablement le projet de révision de la LAAF clarifiant la possibilité d'accorder l'assistance sur la base de données volées.
Le 21 juillet 2016, l'Administration fédérale a demandé à l'autorité requérante qu'elle se prononce sur des soupçons selon lesquels la demande reposait sur des données volées. Le 15 septembre 2016, celle-ci a répondu que la demande avait été formulée indépendamment de données volées. A._ s'est déterminé sur ce courrier.
B.
Par décision finale du 16 décembre 2016, l'Administration fédérale a accordé l'assistance administrative à l'autorité requérante après avoir procédé à des caviardages, précisant que l'échange était limité à la transmission de renseignements concernant la période du 1er avril 2011 au 31 mars 2015.
Le 18 janvier 2017, A._ a recouru contre cette décision finale auprès du Tribunal administratif fédéral, en concluant, principalement, à son annulation et à ce qu'il soit déclaré qu'il ne pouvait être entré en matière sur la demande litigieuse; subsidiairement, au renvoi de la cause pour qu'il soit procédé à des caviardages supplémentaires.
Par arrêt du 29 janvier 2018, le Tribunal administratif fédéral a confirmé que l'assistance administrative devait être accordée à l'autorité requérante. Il a toutefois ordonné à l'Administration fédérale de procéder à des caviardages supplémentaires d'informations non comprises dans le champ d'application temporel de la Convention applicable. En conséquence, le Tribunal administratif fédéral a très partiellement admis le recours dans le sens des considérants, l'a rejeté pour le surplus et a modifié la décision finale du 16 décembre 2016 en ce sens que l'Administration fédérale devait procéder à des caviardages supplémentaires.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, principalement, d'annuler l'arrêt du 29 janvier 2018 du Tribunal administratif fédéral et de refuser l'octroi de toute assistance administrative à l'autorité requérante; subsidiairement, de renvoyer la cause à l'instance précédente ou à l'Administration fédérale pour nouvelle décision en lui enjoignant d'obtenir des garanties que l'Inde n'utiliserait pas les renseignements obtenus dans une procédure pénale et/ou une procédure relevant de la législation indienne sur l'argent au noir ou le blanchiment d'argent; encore plus subsidiairement, de renvoyer la cause à l'instance précédente ou à l'Administration fédérale pour qu'elle procède à des caviardages supplémentaires, afin d'éviter que d'autres informations concernant des périodes antérieures au 1 er avril 2011, qu'il détaille dans son mémoire, ne soient transmises.
Le Tribunal administratif fédéral se réfère à l'arrêt attaqué. Dans sa réponse, l'Administration fédérale conclut à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement, à son rejet, sous suite de frais et dépens. Le recourant a dupliqué.
D.
Par ordonnance du 12 octobre 2018, la Juge instructrice a rejeté la demande de suspension de la procédure que le recourant avait formulée le 30 août 2018 en lien avec une demande de reconsidération qu'il avait adressée le même jour à l'Administration fédérale.
Le 17 janvier 2019, l'Administration fédérale a informé la Cour de céans qu'elle avait rejeté le même jour la demande de reconsidération formée par A._. Le 18 février 2019, celui-ci a recouru contre cette décision auprès du Tribunal administratif fédéral. Par arrêt du 10 juillet 2019, le Tribunal administratif fédéral a admis le recours dans la mesure de sa recevabilité et renvoyé la cause à l'Administration fédérale des contributions pour qu'elle entre en matière sur la demande de réexamen et procède à une nouvelle instruction du dossier au sens des considérants.
Le 18 juillet 2019, A._ a à nouveau requis la suspension de la procédure devant le Tribunal fédéral.
Par ordonnance du 19 septembre 2019, la Juge instructrice a admis la demande et suspendu la procédure jusqu'à droit connu sur l'issue de la procédure de réexamen de la décision finale du 16 décembre 2016 devant l'Administration fédérale.
Par décision du 8 janvier 2020, l'Administration fédérale a rejeté la demande de réexamen et confirmé sa décision finale du 16 décembre 2016. Contre cette décision, A._ a à nouveau recouru auprès du Tribunal administratif fédéral, assortissant son recours de requêtes de mesures provisionnelles et superprovisionnelles. Statuant à titre superprovisionnel le 27 mars 2020, le Tribunal administratif fédéral a interdit à l'Administration fédérale de transmettre les renseignements requis jusqu'à droit connu sur la requête de mesures provisionnelles.
Par ordonnance du 15 mai 2020, la juge instructrice a ordonné la reprise de la procédure.

Considérant en droit :
1.
1.1. L'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>), rendue dans une cause de droit public (<ref-law>) émanant du Tribunal administratif fédéral (<ref-law>). Seul un recours en matière de droit public est donc envisageable (cf. <ref-law> a contrario).
1.2. Contre les décisions en matière d'assistance administrative en matière fiscale, le recours en matière de droit public n'est recevable que lorsqu'une question juridique de principe se pose ou lorsqu'il s'agit pour d'autres motifs d'un cas particulièrement important au sens de l'<ref-law> (cf. art. 83 let. h et 84a LTF; cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 410).
Le recourant soutient que la présente cause pose plusieurs questions juridiques de principe et, en premier lieu, celle de savoir si l'autorité requérante viole le principe de la bonne foi lorsqu'elle forme une demande d'assistance administrative qui trouve son origine dans des données volées comme le sont les données H._.
Dans l'arrêt 2C_648/2017 du 17 juillet 2018 (in StE 2018 A 32 Nr. 31, traduit in RDAF 2019 II 499), le Tribunal fédéral a admis que la question de l'application du principe de la bonne foi dans le contexte de l'assistance administrative avec l'Inde, en lien avec le fait que cet Etat avait reçu de la France des informations issues des données H._, posait une question juridique de principe. Comme celle-ci était encore ouverte au moment du dépôt du recours dans la présente affaire, le recours est recevable sur cette base (cf. arrêts 2C_819/2017 du 2 août 2018 consid. 1.3.3; 2C_527/2015 du 3 juin 2016 consid. 1.2.2 et les références).
1.3. Le recourant, qui a qualité pour agir (<ref-law>), a recouru en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prévues (<ref-law>), étant rappelé qu'il n'est en principe pas nécessaire que le mémoire (écrit en allemand) soit rédigé dans la langue de la décision attaquée (en l'espèce le français; cf. arrêt 2C_237/2013 du 27 mars 2013 consid. 1.2). Il convient donc d'entrer en matière sur le recours. Conformément à la règle générale de l'<ref-law>, le présent arrêt est rendu en français.
2.
Lorsqu'il entre en matière en raison de l'existence d'une question juridique de principe ou qu'il s'agit pour d'autres motifs d'un cas particulièrement important, le Tribunal fédéral examine l'affaire en application des art. 95 ss et 105 ss LTF dans son ensemble, sans se limiter aux seules questions juridiques de principe qu'elle pose (<ref-ruling> consid. 1.2.2.4 p. 22 s. et les références).
3.
3.1. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'examine la violation de droits fondamentaux ainsi que celle de dispositions de droit cantonal et intercantonal que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (<ref-law>).
3.2. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Selon l'<ref-law>, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-ruling> consid. 6 p. 358; <ref-ruling> consid. 1.6 p. 377).
4.
La demande d'assistance administrative litigieuse est fondée sur l'art. 26 de la Convention entre la Confédération suisse et la République de l'Inde en vue d'éviter les doubles impositions en matière d'impôts sur le revenu (RS 0.672.942.31; ci-après: CDI CH-IN), dans sa version actuelle, ainsi que sur le chiffre 10 (ad art. 26) du Protocole à la CDI CH-IN, qui résultent des art. 8 et 13 du Protocole de révision de la Convention du 30 août 2010 modifiant la CDI CH-IN, entré en vigueur le 7 octobre 2011 (RO 2011 4617).
Au plan interne, la loi fédérale sur l'assistance administrative internationale en matière fiscale (LAAF; RS 651.1) régit en l'espèce la procédure et la mise en oeuvre de l'assistance administrative internationale. Cette loi a été conçue et voulue comme une loi d'exécution des conventions contre les doubles impositions et des autres conventions internationales qui prévoient un échange de renseignements en matière fiscale. Elle tend avant tout à fixer la procédure à suivre pour mettre en oeuvre lesdites conventions (<ref-ruling> consid. 6.1 p. 228; cf. aussi <ref-ruling> consid. 4.3 p. 639).
5.
L'arrêt attaqué a confirmé sur le principe la décision finale de l'Administration fédérale du 16 décembre 2016 octroyant l'assistance administrative à l'Inde sur la base d'un raisonnement qui peut être résumé comme suit. L'Inde n'avait pas adopté un comportement de mauvaise foi à l'égard de la Suisse, de sorte qu'il n'y avait pas lieu de refuser d'entrer en matière sur la demande. La demande d'assistance administrative litigieuse ne constituait pas une pêche aux renseignements, le principe de subsidiarité avait été respecté, aucun élément ne pouvait faire douter du respect du principe de spécialité et les renseignements requis remplissaient la condition de la pertinence vraisemblable. L'assistance administrative devait partant être accordée à l'Inde. Toutefois, avant transmission des documents, l'Administration fédérale devait encore procéder à des caviardages d'informations (détaillés au consid. 4.2) en plus de ceux qu'elle avait déjà effectués.
Le recourant conteste l'arrêt attaqué à plusieurs titres.
6.
Il fait en premier lieu valoir que l'autorité requérante s'est comportée de mauvaise foi à l'égard de la Suisse et que le Tribunal administratif fédéral aurait dû en conséquence conclure à l'irrecevabilité de la demande d'assistance. Il invoque une violation des art. 26 de la Convention de Vienne du 23 mai 1969 sur le droit des traités (CV; RS 0.111), ainsi que de l'art. 7 let. c LAAF.
6.1. Le principe de la bonne foi est un principe de droit international public notamment ancré à l'art. 26 CV, qui dispose que tout traité en vigueur lie les parties et doit être exécuté par elles de bonne foi. La bonne foi d'un Etat est présumée dans les relations internationales. Dans le contexte de l'assistance administrative en matière fiscale, cette présomption implique notamment que l'Etat requis ne saurait en principe mettre en doute les allégations de l'Etat requérant (principe de la confiance; cf. <ref-ruling> consid. 4.4 p. 215). Cette présomption peut être renversée sur la base d'éléments établis (cf. <ref-ruling> consid. 8.7.4 p. 223 s.).
L'art. 7 let. c LAAF dispose qu'il n'est pas entré en matière sur une demande d'assistance lorsqu'elle viole le principe de la bonne foi, notamment lorsqu'elle se fonde sur des renseignements obtenus par des actes punissables au regard du droit suisse. L'expression "actes punissables au sens du droit suisse" renvoie à des actes qui sont effectivement punissables en Suisse (<ref-ruling> consid. 8.5.6 p. 217 s.), ce qui est le cas de ceux qui ont été commis par H._ en lien avec des donnés bancaires volées dans la filiale genevoise de la banque Banque B._ (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 227 s.). En édictant cette disposition, le législateur n'a pas voulu s'écarter du droit international, mais au contraire illustrer le principe de droit international public de la bonne foi dans le domaine de l'assistance administrative en matière fiscale en fournissant un exemple de comportement jugé contraire à ce principe et en fixant les conséquences procédurales d'une telle situation, à savoir l'irrecevabilité de la demande (<ref-ruling> consid. 6.2 et les références p. 229).
6.2. En l'espèce, le recourant soutient qu'il ressort de la jurisprudence du Tribunal fédéral publiée in <ref-ruling> que le critère décisif pour juger de la bonne foi ou non d'un Etat en lien avec des données volées serait l'existence d'un lien de causalité entre celles-ci et la demande d'assistance formée, et non pas l'existence d'une assurance préalable de l'autorité requérante de s'abstenir d'utiliser des données volées pour obtenir l'assistance de la Suisse. Or, en l'occurrence, ni le Tribunal administratif fédéral ni l'Administration fédérale ne contestaient l'existence d'un lien de causalité entre les données H._ et la demande litigieuse. Dans ces circonstances, le Tribunal administratif fédéral aurait dû prononcer l'irrecevabilité de la demande en vertu de l'art. 7 let. c LAAF. L'Administration fédérale et les autorités indiennes avaient du reste convenu que la Suisse entrerait en matière sur des demandes indiennes pendantes seulement une fois que la révision de l'art. 7 let. c LAAF, qui visait à permettre l'assistance administrative en cas d'acquisition passive de données volées, serait entrée en force. Cela dénotait aussi qu'en l'espèce, l'Inde avait agi de manière contraire à la bonne foi en formant la demande litigieuse, fondée sur des données H._.
6.2.1. Dans l'<ref-ruling>, le Tribunal fédéral a jugé que n'adopterait pas un comportement conforme à la bonne foi l'État requérant qui achèterait des données bancaires, qu'il utiliserait ensuite pour former des demandes d'assistance administrative (<ref-ruling> consid. 6.4 p. 231). Hormis ce cas, il a souligné que le point de savoir si l'Etat requérant se comporte de mauvaise foi à l'égard de la Suisse en présentant une demande en lien avec des données volées au sens de l'art. 7 let. c LAAF doit s'examiner en fonction de chaque cas d'espèce (<ref-ruling> précité, eo loco). Dans cette cause, qui concernait une demande d'assistance administrative française, il n'était pas établi que la France avait acheté les données H._. La France s'était toutefois comportée de mauvaise foi à l'égard de la Suisse, parce qu'elle avait utilisé ces données pour requérir l'assistance de la Suisse, alors même qu'elle s'était engagée à ne pas le faire. Il fallait donc considérer que toute demande d'assistance administrative française en lien de causalité avec l'exploitation des données H._ devait être déclarée irrecevable en application de l'art. 7 let. c LAAF (<ref-ruling> consid. 6.5 in fine et 6.6 p. 232). L'existence d'un lien de causalité a été considérée comme pertinente, parce que l'autorité requérante s'était expressément engagée vis-à-vis de la Suisse (cf. aussi arrêt 2C_88/2018 du 7 décembre 2018 consid. 5.4, in RF 74/2019 p. 228, RDAF 2019 II 228).
6.2.2. La jurisprudence a aussi précisé que l'art. 7 let. c LAAF n'avait, sous réserve de sa conséquence procédurale aboutissant à l'irrecevabilité, pas de portée propre sur le plan matériel, car il s'agissait d'une disposition de droit interne qui ne visait qu'à concrétiser le principe de la bonne foi découlant du droit international. Partant, hormis le cas où l'Etat requérant aurait lui-même acheté lesdites données (cf. supra consid. 6.2.1), la Suisse ne pouvait déclarer unilatéralement d'emblée contraire à la bonne foi une demande d'assistance administrative qui se fonderait sur des données volées sur la seule base de l'art. 7 let. c LAAF. Il fallait soit qu'un renvoi correspondant figure dans la CDI applicable (ou dans un protocole s'y rapportant), autrement dit que l'Etat requérant ait accepté cette réserve, soit qu'il soit établi que l'Etat requérant avait violé d'une autre manière le principe de la bonne foi au sens de l'art. 26 CV (cf. <ref-ruling> consid. 6.2; arrêts 2C_648/2017 du 17 juillet 2018 consid. 3.3, in StE 2018 A 32 Nr. 31, traduit in RDAF 2019 II 499; 2C_1042/2016 du 12 juin 2018 consid. 5.3.1, in StE 2018 A 31.4 Nr. 25, RDAF 2019 II 331). Le seul fait que l'Inde ait déposé la demande litigieuse grâce à des informations provenant des données H._ ne suffit donc pas à conclure à l'irrecevabilité de celle-ci.
6.2.3. En l'espèce, il n'est pas établi que l'Inde ait acheté des données H._. En outre, l'Inde n'a pas, contrairement à la France, formulé d'engagement exprès qu'elle s'abstiendrait de formuler une demande d'assistance sur la base de renseignements obtenus par des actes punissables en regard du droit Suisse. La CDI CH-IN ne contient en outre aucune disposition en ce sens, pas plus qu'elle n'obligerait l'Etat requérant à fournir des informations sur l'origine des données qui l'ont conduit à formuler une demande d'assistance administrative (cf. arrêts 2C_648/2017 du 17 juillet 2018 consid. 3.1 à 3.4.3, in StE 2018 A 32 Nr. 31, traduit in RDAF 2019 II 499; 2C_88 2018 du 7 décembre 2018 consid. 5.5).
Reste à se demander si l'on peut reprocher à l'Inde un comportement contraire à la bonne foi au sens du droit international. Aucun élément de fait figurant dans l'arrêt attaqué (<ref-law>) ne permet de le retenir. Pour sa part, l'Inde a toujours affirmé que les données sur la base desquelles elle formulait la requête étaient indépendantes des données H._, ce qu'elle a confirmé à l'Administration fédérale le 15 septembre 2016. Malgré cette déclaration, le Tribunal administratif fédéral a mis en doute le caractère indépendant des preuves à l'origine de la demande, sans toutefois en expliquer la raison. Quoi qu'il en soit, la bonne foi de l'autorité requérante ne serait pas remise en cause même si ce doute s'avérait fondé, puisque, comme il vient d'être rappelé, la CDI CH-IN n'impose pas à l'Etat requérant de fournir des informations sur l'origine des données, que l'Inde ne s'est pas engagée envers la Suisse à s'abstenir d'utiliser les données H._ pour requérir l'assistance administrative et que rien ne permet de retenir qu'elle les aurait achetées.
6.3. Le grief du recourant portant sur une violation du principe de la bonne foi est partant rejeté.
7.
Le recourant soutient ensuite que la demande d'assistance administrative litigieuse co nstitue une pêche aux renseignements inadmissible et que les renseignements destinés à être transmis ne remplissent pas la condition de la pertinence vraisemblable. Il invoque une violation de l'art. 26 par. 1 CDI CH-IN, du ch. 10 let. d du Protocole à la CDI CH-IN et des art. 7 let. a et 17 al. 2 LAAF.
7.1. Selon l'art. 26 par. 1 CDI CH-IN, les autorités compétentes des Etats contractants échangent les renseignements vraisemblablement pertinents pour appliquer les dispositions de la présente Convention ou pour l'administration ou l'application de la législation interne relative aux impôts visés par la Convention dans la mesure où l'imposition qu'elle prévoit n'est pas contraire à la Convention. L'échange de renseignements n'est pas restreint par l'art. 1.
Le ch. 10 (ad art. 26) du Protocole à la CDI CH-IN prévoit ce qui suit:
a) Il est entendu que l'Etat requérant aura épuisé au préalable les sources habituelles de renseignements prévues par sa procédure fiscale interne avant de présenter la demande de renseignements.
b) ll est entendu que les autorités fiscales de l'Etat requérant fournissent les informations suivantes aux autorités fiscales de l'Etat requis lorsqu'elles présentent une demande de renseignements selon l'art. 26 de la Convention:
I. le nom de la ou des personnes visées par le contrôle ou l'enquête et, si disponibles, les autres éléments qui facilitent l'identification de cette ou de ces personnes tels que l'adresse, la date de naissance, l'état-civil ou le numéro d'identification fiscale,
II. la période visée par la demande,
III. une description des renseignements demandés comportant leur nature et la forme selon laquelle l'Etat requérant désire recevoir les renseignements de l'Etat requis,
IV. l'objectif fiscal qui fonde la demande,
V. le nom et, si elle est connue, l'adresse de toute personne présumée être en possession des renseignements requis.
c) (...)
d) Le but de la référence à des renseignements qui peuvent être pertinents est de garantir un échange de renseignements le plus large possible en matière fiscale sans pour autant permettre aux Etats contractants de procéder à la "pêche aux renseignements" ou de demander des renseignements sur la situation fiscale d'un contribuable dont la pertinence n'est pas vraisemblable. Alors que la let. b) du ch. 10 pose des exigences de procédure importantes destinées à empêcher la pêche aux renseignements, les sous-par. i) à v) doivent être interprétés de telle manière qu'ils n'entravent pas un échange de renseignements efficace.
Au plan interne, la conséquence procédurale d'une demande déposée à des fins de recherche de preuves est l'irrecevabilité (<ref-law>). Quant à l'<ref-law> cité par le recourant, il précise que l'Administration fédérale ne transmet pas les renseignements qui ne sont vraisemblablement pas pertinents, ce qui concrétise l'art. 26 par. 1 CDI CH-IN.
7.2. Selon une jurisprudence établie, la condition de la pertinence vraisemblable a pour but d'assurer un échange de renseignements en matière fiscale qui soit le plus large possible tout en indiquant qu'il n'est pas loisible aux Etats contractants d'aller à la pêche aux renseignements ou de demander des renseignements dont il est peu probable qu'ils soient pertinents pour élucider les affaires d'un contribuable déterminé. Elle est réputée réalisée si, au moment où la demande est formulée, il existe une possibilité raisonnable que les renseignements demandés se révéleront pertinents. En revanche, peu importe qu'une fois fournie, il s'avère que l'information demandée soit finalement non pertinente. Il n'incombe pas à l'Etat requis de refuser une demande ou de transmettre les informations, parce que cet Etat serait d'avis qu'elles manqueraient de pertinence pour l'enquête ou le contrôle sous-jacents. L'appréciation de la pertinence vraisemblable des informations demandées est en premier lieu du ressort de l'Etat requérant; le rôle de l'Etat requis se limite à examiner si les documents demandés ont un rapport avec l'état de fait présenté dans la demande et s'ils sont potentiellement propres à être utilisés dans la procédure étrangère. L'autorité requise n'a ainsi pas à déterminer si l'état de fait décrit dans la requête correspond absolument à la réalité, mais doit examiner si les documents demandés se rapportent bien aux faits qui figurent dans la requête et ne peut refuser de transmettre que les documents dont il apparaît avec certitude qu'ils ne sont pas pertinents pour l'Etat requérant (<ref-ruling> consid. 2.1.1 p. 165 s.; cf. aussi notamment <ref-ruling> consid. 4.3 p. 214; <ref-ruling> consid. 3.3.2 p. 194).
Il s'ensuit notamment que l'Etat requis n'a pas à vérifier l'application du droit interne procédural de l'Etat requérant pour décider de la pertinence d'une demande d'assistance administrative. Il suffit que les renseignements soient potentiellement propres à être utilisés dans la procédure étrangère. L'Etat requis ne peut avoir pour rôle d'examiner, au-delà du contrôle de la plausibilité, le bien-fondé de la procédure fiscale conduite à l'étranger ni à s'interroger sur d'éventuels obstacles procéduraux qui, en application du droit interne de l'Etat requérant, empêcheraient l'utilisation des renseignements obtenus. Une telle approche ne serait pas soutenable dans le contexte de la coopération internationale et au vu des spécificités de chaque procédure nationale (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 214 s.; arrêts 2C_1162/2016 du 4 octobre 2017 consid. 6.3; 2C_241/2016 du 7 avril 2017 consid. 5.4 et 5.6).
7.3. La condition de la pertinence vraisemblable est présumée remplie si la demande contient toutes les informations requises par la convention applicable, informations qui figurent en principe dans son protocole (<ref-ruling> consid. 4.3 p.214; <ref-ruling> consid. 2.1.4 p. 168). En l'espèce, la liste des informations à fournir figure au ch. 10 let. b du Protocole à la CDI CH-IN (arrêt 2C_1162/2016 du 4 octobre 2017 consid. 9.2), dont la teneur correspond en substance à l'<ref-law>.
7.4. Lorsque l'Etat requérant expose avoir mis en lumière un fait qui lui permet de soupçonner que l'un de ses contribuables pourrait avoir soustrait des revenus imposables par l'intermédiaire d'un compte bancaire ouvert en Suisse, on ne voit pas qu'un lien de pertinence vraisemblable ferait défaut entre cet état de fait et la demande d'assistance administrative qui en découle lorsqu'une telle demande porte sur plusieurs périodes fiscales. Il est au contraire vraisemblable que l'Etat requérant cherche à obtenir des renseignements sur toutes les périodes fiscales au cours desquelles des revenus pourraient avoir été soustraits à l'impôt. Les périodes visées par la demande doivent être couvertes par le champ d'application temporel de la CDI applicable. Pour le surplus, leur détermination relève du choix de l'Etat requérant, dont on peut imaginer qu'il dépend notamment de ses règles en matière de prescription, dont la vérification échappe à l'Etat requis (cf. supra consid. 5.3; arrêt 2C_1162/2016 du 4 octobre 2017 consid. 6.4).
7.5. Quant à la notion de pêche aux renseignements, le Tribunal fédéral a précisé qu'elle présentait à la fois un caractère procédural (une demande ne doit pas être formée à des fins exploratoires) et qu'elle constituait par ailleurs une limite matérielle à l'échange de renseignements, en ce sens que l'assistance administrative ne doit pas permettre à l'Etat requérant d'obtenir des renseignements qui n'auraient pas de lien suffisamment concret avec l'état de fait présenté dans la demande (cf. arrêt 2C_1162/2016 du 4 octobre 2017 consid. 9.1.1 et 9.1.2). Pour être pleinement recevable, une demande d'assistance administrative doit donc, d'une part, intervenir en lien avec une enquête ou un contrôle menés à l'encontre du contribuable visé et, d'autre part, porter sur des renseignements qui présentent un lien suffisamment concret avec l'état de fait figurant dans la demande (arrêt 2C_1162/2016 précité consid. 9.1.3). La vérification que la demande contient toutes les informations requises (soit en l'espèce celles qui sont exigées par le ch. 10 let. b du Protocole à la CDI CH-IN) permet aussi de vérifier si et dans quelle mesure la demande constitue ou non une pêche aux renseignements (arrêt 2C_1162/2016 précité consid. 9.2).
7.6. En l'espèce, la demande d'assistance administrative litigieuse comprend toutes les informations requises au ch. 10 let. b du Protocole à la CDI CH-IN. Elle identifie la personne visée par l'enquête en Inde, précise les périodes fiscales concernées, décrit les renseignements demandés et nomme le détenteur de renseignements, dont elle fournit aussi l'adresse (al. i, ii, iii et v). S'agissant du but fiscal de la demande (al. iv), l'autorité requérante a indiqué que, confronté à des comptes bancaires ouverts au sein de la Banque, A._ avait admis en être le bénéficiaire économique et qu'il ne les avait pas déclarés aux fins de l'imposition sur le revenu. Cette déclaration sous serment était propre à faire penser qu'il disposait d'actifs non déclarés aux fins de l'imposition sur le revenu, raison pour laquelle l'Inde avait besoin de l'assistance de la Suisse pour obtenir toutes les informations pertinentes relatives à ces comptes bancaires aux fins de l'imposition sur le revenu. L'autorité requérante a ainsi sollicité l'assistance de la Suisse en lien avec une enquête menée en Inde. Elle n'a donc pas procédé à une simple recherche exploratoire de preuves. Les renseignements que l'Administration fédérale entend communiquer, tous liés à des comptes ouverts au sein de la Banque et dont le recourant était l'ayant droit économique, apparaissent tous comme vraisemblablement pertinents pour servir le but fiscal annoncé dans la demande et présentent tous un lien suffisamment concret avec celle-ci pour ne pas relever matériellement d'une pêche aux renseignements.
7.7. Le recourant le conteste en faisant valoir les arguments suivants.
7.7.1. Il soutient d'abord que la demande concerne des décisions de taxation déjà entrées en force en Inde concernant les périodes 2005/2006 et 2010/2011, qui ne sont pas couvertes par le champ d'application temporel de la CDI CH-IN, et qu'aucune procédure fiscale ne serait pendante pour la période fiscale 2011/2012, l'autorité requérante n'en faisant du reste pas mention dans sa demande. Il affirme qu'en réalité, toutes les procédures fiscales contre lui seraient déjà closes, à l'exception des procédures pénales. La demande ne poursuivrait donc aucun but fiscal, de sorte que les renseignements ne pourraient de ce fait pas remplir la condition de la pertinence vraisemblable.
L'Administration fédérale a limité la transmission aux renseignements à compter du 1 er avril 2011 en vertu du champ d'application temporel de l'art. 26 CDI CH-IN, de sorte que les périodes antérieures ne sont pas visées, ce qu'a du reste confirmé l'instance précédente. S'agissant de la période fiscale 2011/2012, le fait que la procédure fiscale soit close et qu'aucune procédure ne puisse être réouverte, comme l'allègue le recourant, ne peut être vérifié par l'Etat requis, car cela reviendrait à s'immiscer dans le droit interne de l'Etat indien et à juger à sa place de la possibilité laissée par le droit de procédure indienne de revenir sur une procédure par hypothèse close, ce qui outrepasse le cadre de l'examen de la pertinence vraisemblable (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 214; arrêts 2C_1162/2016 du 4 octobre 2017 consid. 6.3; 2C_241/2016 du 7 avril 2017 consid. 5.6). Il suffit que les renseignements requis paraissent pertinents pour servir le but fiscal annoncé, ce qui est le cas en l'occurrence, puisque les informations requises sur les comptes bancaires dont le recourant est l'ayant droit économique sont vraisemblablement pertinentes pour l'imposition de son revenu en Inde. En outre, l'absence alléguée de but fiscal est contredite par les termes de la demande d'assistance litigieuse, qui précise que le but fiscal de la demande est notamment la détermination, l'évaluation et le prélèvement de l'impôt sur le revenu, le recouvrement et l'exécution des créances fiscales. Il n'y a aucun motif de remettre en question la bonne foi de l'autorité requérante à cet égard.
7.7.2. Le recourant soutient aussi en vain que la demande constitue une pêche aux renseignements, car elle vise de manière générale tous ses comptes bancaires, sur une très longue période (du 1 er avril 1995 au 30 juin 2015).
Comme déjà indiqué, les informations fournies ont été limitées par la Suisse à la période postérieure au 31 mars 2011. Le fait que plusieurs années soient visées est admissible (cf. consid. 7.4).
Quant aux comptes concernées, la demande expose précisément l'état de fait et fournit des indications précises sur les comptes bancaires visés, dont le recourant a lui-même admis être le bénéficiaire économique au cours de l'enquête ouverte contre lui. Le fait que la demande vise plusieurs comptes (voire tous les comptes, selon les allégations du recourant) provient simplement des informations dont dispose déjà l'autorité requérante et ne procède donc en rien d'une recherche exploratoire de preuves.
7.8. Il s'ensuit que la demande ne constitue pas une pêche aux renseignements inadmissible, mais porte sur des renseignements remplissant la condition de la pertinence vraisemblable.
8.
Le recourant soutient ensuite qu'en formulant la demande d'assistance administrative litigieuse, l'Inde cherche uniquement à obtenir des renseignements en vue de procéder à la répression de la soustraction d'impôt. Or, la voie de l'assistance n'aurait pour but que le recouvrement de créances fiscales et ne serait pas ouverte lorsqu'il s'agit uniquement de réprimer la soustraction d'impôt.
Ce grief tombe à faux. En effet, l'affirmation du recourant selon laquelle la demande aurait pour seul objectif la répression pénale de la soustraction d'impôt est purement appellatoire. Comme il a déjà été souligné (supra consid. 7.4), l'autorité requérante a donné des explications relatives au but fiscal de la demande en lien avec la détermination du revenu imposable du recourant (cf. aussi au surplus l'arrêt 2C_88/2018 du 7 d écembre 2018 précité consid. 7, in RF 74/2019 p. 228, RDAF 2019 II 228).
9.
Le recourant reproche ensuite à l'instance précédente d'avoir violé le principe de spécialité consacré à l'art. 26 par. 2 CDI CH-IN. Il soutient qu'il serait très vraisemblable que les informations obtenues soient utilisées aux fins de l'application de la législation indienne sur l'argent au noir ("Black Money Act"), une violation de cette loi étant considérée comme un acte préalable au blanchiment au sens de la loi indienne sur la prévention du blanchiment d'argent ("Prevention of Money-laundering Act"). Or, une telle utilisation serait contraire au principe de spécialité. Il reproche à l'instance précédente d'avoir ignoré ce point, qu'elle avait pourtant soulevé devant elle.
9.1. Le recourant ne formulant pas de grief de violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) en lien avec le fait que l'instance précédente n'aurait pas traité un grief, cet aspect ne peut être revu d'office (<ref-law>; cf. supra consid. 3.1).
9.2. L'art. 26 par. 2 CDI CH-IN a la teneur suivante:
Les renseignements reçus en vertu du par. 1 par un Etat contractant sont tenus secrets de la même manière que les renseignements obtenus en application de la législation interne de cet Etat et ne sont communiqués qu'aux personnes ou autorités (y compris les tribunaux et organes administratifs) concernées par l'établissement ou le recouvrement des impôts mentionnés au par. 1, par les procédures ou poursuites concernant ces impôts, par les décisions sur les recours relatifs à ces impôts, ou par le contrôle de ce qui précède. Ces personnes ou autorités n'utilisent ces renseignements qu'à ces fins. Elles peuvent révéler ces renseignements au cours d'audiences publiques de tribunaux ou dans des jugements. Nonobstant ce qui précède, les renseignements reçus par un Etat contractant peuvent être utilisés à d'autres fins lorsque cette possibilité résulte des lois des deux Etats et lorsque l'autorité compétente de l'Etat qui fournit les renseignements autorise cette utilisation.
9.3. L'art. 26 par. 2 i.i. CDI CH-IN contient une clause de confidentialité et limite la possibilité de transmettre les renseignements reçus aux seules personnes ou autorités concernées par l'établissement ou le recouvrement des impôts mentionnés au par. 1, par les procédures ou poursuites concernant ces impôts ("prosecution in respect of" selon la version anglaise du texte; "Strafverfolgung", respectivement "perseguimento penale" selon ses versions allemande et italienne), par les décisions sur les recours relatifs à ces impôts, ou par le contrôle de ce qui précède. Les renseignements obtenus par l'assistance administrative peuvent donc être transmis à des autorités ou personne chargées de la répression d'infractions pénales fiscales concernant les impôts visés au par. 1, en premier lieu la soustraction d'impôt (arrêt 2C_88/2018 du 7 décembre 2018 consid. 8.2, in RF 74/2019 p. 228; cf. aussi, dans le contexte de la CDI CH-FR, l'arrêt 2C_653/2018 du 26 juillet 2019 consid. 7.5 destiné à la publication, in StE 2020 A 31.2 Nr. 20).
9.4. La dernière phrase de l'art. 26 par. 2 CDI CH-IN prévoit les cas dans lesquels les renseignements reçus peuvent être utilisés à d'autres fins qu'à des fins (pénales) fiscales. Il faut alors que deux conditions soient réunies: 1) cette possibilité résulte des lois des deux Etats et 2) l'autorité compétente de l'Etat qui fournit les renseignements autorise cette utilisation. La transmission des renseignements à des autorités de lutte contre le blanchiment est donc possible à ces conditions (cf. arrêt 2C_88/2018 du 7 décembre 2018 consid. 8.2 et la référence).
9.5. En l'occurrence, l'autorité requérante a fourni des explications suffisantes démontrant le but fiscal de la demande et rien ne permet de penser que la requête viserait en réalité l'application de la législation indienne sur l'argent au noir. Par ailleurs, l'autorité requérante s'est expressément engagée à garder les informations confidentielles (supra consid. A.a) et le recourant n'apporte aucun élément propre à remettre en cause la bonne foi de l'autorité requérante à cet égard. On ne voit donc pas en quoi consisterait la violation du principe de spécialité et les explications du recourant ne reposent que sur une simple conjecture. Dans ces circonstances, le point de savoir si les conditions permettant une utilisation des renseignements aux fins de l'application de la loi indienne sur l'argent au noir (cf. consid. 9.4) n'a pas à être examiné.
10.
Aucun des griefs invoqués ne permet de conclure que le Tribunal administratif fédéral n'aurait pas correctement appliqué le droit en parvenant à la conclusion que les conditions de l'assistance administrative étaient réalisées.
11.
A titre subsidiaire, le recourant fait valoir que si l'assistance administrative devait être accordée à l'Inde, des informations supplémentaires devraient alors être c aviardées.
11.1. Le recourant demande d'abord le caviardage: 1) des montants figurant sous les postes "Balance carried forward 31.03.2011" dans les documents constituant les annexes 3, 6 et 9 du dossier de l'Administration fédérale, 2) du montant figurant sous le poste "Valuation 31.03.2011" dans le document constituant l'annexe 7 du dossier de l'Administration fédérale, et 3) des "Beträge bzgl. 31.03.011" de l'annexe 10 du dossier de l'Administration fédérale.
Dans une affaire concernant l'assistance administrative avec la France, fondée sur une clause d'échange de renseignements ayant vocation à s'appliquer aux demandes d'assistance portant sur des renseignements concernant les années 2010 et suivantes, conformément à une disposition de l'Avenant à la Convention applicable, le Tribunal fédéral a déjà souligné que, interprétée de bonne foi, cette disposition n'excluait pas la transmission d'attestations bancaires au 31 décembre 2009, étant donné que l'état de fortune d'un contribuable à la fin de l'année 2009 correspondait à ce même état de fortune au début de l'année 2010 (2C_1087/2016 du 31 mars 2017 consid. 4, in Archives 86 p. 155).
Il n'est pas contesté que l'art. 26 CDI CH-IN ne peut s'appliquer qu'à des renseignements relatifs à l'année fiscale indienne commençant le 1er avril 2011 (art. 14 par. 2 et 3 du Protocole à la CDI CH-IN en lien avec l'art. 3 par. 1 let. k CDI CH-IN) et qu'ainsi, seuls peuvent être transmis des renseignements relatifs au revenu réalisé à partir du 1er avril 2011 (cf. aussi arrêt 2C_88/2018 du 7 décembre 2018 consid. 3, in RF 74/2019 p. 228). En l'espèce, les montants dont le recourant demande le caviardage concernent le solde d'avoirs au 31 mars 2011. On se trouve ainsi dans une situation similaire à celle de l'arrêt 2C_1087/2016 précité, car ces valeurs correspondent matériellement aux valeurs au 1er avril 2011. Transmettre ces informations ne revient donc pas à communiquer des renseignements qui sortent du champ d'application temporel de la Convention. C'est partant à tort que le recourant demande leur caviardage.
11.2. Le recourant fait ensuite valoir que c'est à tort que le Tribunal administratif fédéral a refusé de caviarder, comme il l'avait requis, certaines informations contenues dans trois séries de documents intitulés "Statement of Assets as of 31 December 2011" concernant les relations bancaires ouvertes au nom de C._ LTC, de E._ et de D._, constituant les annexes 4, 7 et 10 du dossier de l'Administration fédérale. Il s'agit spécifiquement des montants figurant sous les postes "total cash movement out", "increase/decrease including income" et "performance year to date". Selon le recourant, ne pas caviarder ces informations revient à transmettre à l'autorité requérante des informations sur des événements antérieurs au 1 er avril 2011, en violation l'art. 14 par. 3 du Protocole à la CDI CH-IN.
11.2.1. S'agissant d'abord des montants figurant sous le poste "Total cash mouvement out" dans les annexes 4, 7 et 10 du dossier de l'Administration fédérale, ils représentent la somme de tous les retraits d'espèces effectués durant l'année 2011 sur les comptes. Or, comme les retraits mensuels du 1er avril au 31 décembre 2011 apparaissent aussi dans ces documents et qu'ils ne sont (à juste titre) pas caviardés, si on laisse visible l'information sur le montant total des retraits de l'année 2011, l'autorité requérante pourra alors aisément reconstituer, par simple soustraction, le montant des retraits effectuées durant le premier trimestre 2011, alors que de telles informations sont antérieures au 1er avril 2011 et qu'elles ne doivent pas être accessibles à l'autorité requérante. C'est donc à bon droit que le recourant demande le caviardage de ces montants.
11.2.2. S'agissant ensuite des montants figurant sous le poste "increase/decrease including income" dans les annexes 4, 7 et 10 du dossier de l'Administration fédérale, ils donnent le montant total de la variation de la valeur de chacun des portfolios sur l'entier de l'année 2011. Quant au poste "performance year to date", il exprime, en pourcentages, le résultat du rendement de l'exercice. C'est donc aussi à bon droit que le recourant demande leur caviardage. En effet, ces informations permettraient à l'Inde de reconstituer la valeur des actifs au 31.12.2010 pour les trois relations bancaires, en partant de la date de valeur des actifs au 31.12.2011 qui apparaît aussi dans ces documents. Or, de telles informations, antérieures au 1er avril 2011, ne peuvent pas non plus être communiquées.
11.3. Le grief est partant partiellement bien fondé.
12.
Ce qui précède conduit à l'admission partielle du recours. L'arrêt attaqué est réformé en ce sens que les informations qui sont détaillées sous consid. 11.2.1 et 11.2.2 du présent arrêt doivent être caviardées avant transmission des renseignements à l'autorité requérante, en plus des caviardages qui ont déjà été effectués par l'Administration fédérale puis par le Tribunal administratif fédéral.
Il s'ensuit que le chiffre 2 du dispositif de l'arrêt attaqué est réformé, en ce sens que la décision finale est modifiée, l'Administration fédérale devant, avant transmission définitive des informations, procéder aux caviardages complémentaires conformément au consid. 4.2 de l'arrêt attaqué, ainsi qu'aux caviardages détaillés consid. 11.2.1 et 11.2.2 du présent arrêt.
13.
Comme le recourant n'obtient que très partiellement gain de cause, il supportera l'essentiel des frais judiciaires (<ref-law>) et n'aura droit qu'à des dépens réduits, à charge de l'Administration fédérale (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Aucun frais judiciaire n'est mis à la charge de l'Administration fédérale (<ref-law>), qui n'a pas droit à des dépens (<ref-law>).
Le Tribunal fédéral ne fera pas usage des art. 67 et 68 al. 5 LTF et renverra la cause à l'instance précédente pour qu'elle statue à nouveau sur les frais et dépens de la procédure accomplie devant elle.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis. Le chiffre 2 du dispositif de l'arrêt attaqué est réformé, en ce sens que la décision finale est modifiée, l'Administration fédérale des contributions devant, avant transmission définitive des informations, procéder aux caviardages complémentaires conformément au consid. 4.2 de l'arrêt attaqué, ainsi qu'aux caviardages détaillés consid. 11.2.1 et 11.2.2 du présent arrêt. Le recours est rejeté pour le surplus.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 5'000 fr., sont mis à la charge du recourant à concurrence de 4'000 francs.
3.
Le recourant a droit à une indemnité de dépens réduite, fixée à 1'000 francs, à charge de l'Administration fédérale des contributions.
4.
La cause est renvoyée à l'instance précédente pour qu'elle statue à nouveau sur les frais et dépens de la procédure antérieure.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires du recourant, à l'Administration fédérale des contributions et au Tribunal administratif fédéral, Cour I.
Lausanne, le 24 juillet 2020
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Vuadens