Faits :
A.
A._, née en 1961, mariée et mère de deux enfants adultes, a été mise en arrêt total de travailler en raison d'une dépression à compter du 17 juillet 2011. Elle a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité datée du 31 octobre 2011.
Entre autres mesures d'instruction, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a soumis l'assurée à une expertise psychiatrique auprès du docteur B._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Le médecin a notamment retenu le diagnostic incapacitant d'épisode dépressif majeur récurrent; il a conclu à une incapacité totale de travail dans toute activité à compter du 18 juillet 2011, puis à une capacité de travail de 50 % dans une activité adaptée, au plus tard dès le 1er avril 2015 (rapport d'expertise du 23 janvier 2014 et rapport complémentaire du 31 juillet 2015). U ne enquête économique sur le ménage a également été mise en oeuvre. Celle-ci a permis à l'enquêtrice de déterminer que l'assurée présentait un statut mixte de personne active à 80 % et de ménagère à 20 %, et de fixer le taux d'empêchement dans l'accomplissement des travaux ménagers à 16,7 % (rapport d'enquête économique sur le ménage du 16 octobre 2015).
Par décision du 2 août 2016, l'office AI a reconnu le droit de A._ à une rente entière d'invalidité pour la période allant du 1er juillet 2012 au 30 juin 2015, fondée sur un taux d'invalidité de 83 % (soit, 80 % d'invalidité dans la sphère professionnelle [80 % x 100 %] et 3,34 % d'invalidité dans la sphère ménagère [20 % x 16,7 %]). A compter du 1er juillet 2015, au vu de la capacité de travail de 50 % dans une activité adaptée attestée par le docteur B._, le taux d'invalidité de l'assurée n'atteignait plus que 38 % (soit, 35 % d'invalidité dans la sphère professionnelle [80 % x 43,75 %] et 3,34 % d'invalidité dans la sphère ménagère [20 % x 16,7 %]), soit un taux insuffisant pour maintenir le droit à une rente d'invalidité.
B.
A._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales. Dans le cadre de l'instruction, la juridiction cantonale a notamment chargé le docteur C._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, d'une expertise psychiatrique. Ce médecin a posé les diagnostics incapacitants de trouble phobie sociale, de trouble agoraphobie sans antécédents de trouble panique et d'épisode dépressif moyen, chronique; il a fait état d'une incapacité totale de travail dans toute activité du 18 juillet 2011 au 30 juin 2015, puis d'une capacité de travail de 40 % dans l'activité habituelle (rapport du 26 juin 2017).
Par jugement du 31 octobre 2017, la juridiction cantonale a admis le recours et réformé la décision du 2 août 2016 en ce sens que A._ a droit à une rente entière d'invalidité à compter du 1er juillet 2012 jusqu'au 31 octobre 2015, puis à une demi-rente d'invalidité dès le 1er novembre 2015.
C.
L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande la réforme en ce sens que l'intimée a droit à une rente entière d'invalidité du 1er juillet 2012 au 30 septembre 2015, puis à un quart de rente d'invalidité dès le 1er octobre 2015. Il sollicite également l'octroi de l'effet suspensif au recours.
L'intimée conclut principalement au rejet du recours, subsidiairement au renvoi de la cause à l'instance cantonale pour qu'elle détermine sa capacité de gain actuelle et rende une nouvelle décision. Elle sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire limitée aux frais de justice. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public (<ref-law>) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il statue sur la base des faits retenus par la juridiction précédente (<ref-law>), qu'il peut rectifier ou compléter d'office si des lacunes et erreurs manifestes apparaissent aussitôt (<ref-law>). Le recourant n'est habilité à critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (cf. <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62 et les références).
2.
2.1. En instance fédérale, le litige a trait à l'étendue du droit de l'intimée à la rente de l'assurance-invalidité succédant à la rente entière reconnue à partir du 1er juillet 2012 (un quart de rente, selon l'office AI, au lieu de la demi-rente accordée par la juridiction cantonale). Il porte plus particulièrement sur le calcul du taux d'invalidité dans la sphère professionnelle, ainsi que sur le moment à partir duquel le droit de l'intimée à une quotité de rente inférieure a succédé à son droit à une rente entière d'invalidité.
Le jugement attaqué expose de manière complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs à la notion d'invalidité (art. 7 et 8 al. 1 LPGA en relation avec l'<ref-law>) et à son évaluation (<ref-law> et <ref-law>), ainsi qu'à la valeur probante des rapports médicaux (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 232; <ref-ruling> consid. 3 p. 352), de telle sorte qu'il suffit d'y renvoyer.
2.2. Compte tenu de la date de la décision administrative en cause, qui détermine l'application dans le temps des règles légales au présent litige (<ref-ruling> consid. 1.2.1 p. 447), il n'y a pas lieu de tenir compte de la modification réglementaire relative à l'évaluation de l'invalidité des assurés exerçant une activité lucrative à temps partiel entrée en vigueur le 1er janvier 2018 (<ref-law>; voir aussi arrêt 9C_553/2017 du 18 décembre 2017 consid. 6.2).
3.
En se fondant sur l'expertise judiciaire du docteur C._, qui n'était remise en cause ni par l'office recourant (déterminations du 11 juillet 2017) ni par l'intimée (courrier du 10 juillet 2017), l'instance cantonale a retenu que cette dernière était totalement incapable de travailler du 18 juillet 2011 au 30 juin 2015; elle avait en revanche, par la suite, présenté une capacité de travail de 40 % sur 100 % dans son activité professionnelle antérieure ou dans toute autre activité similaire. Sur la base de ces éléments, les premiers juges ont considéré qu'à compter du 1er juillet 2015, le taux d'invalidité de l'intimée dans la sphère professionnelle se confondait avec celui de l'incapacité de travail (soit, 60 %); ils ont ensuite pondéré ce taux pour tenir compte du taux d'invalidité dans la sphère ménagère et sont parvenus à un taux d'invalidité total de 51,34 % (soit, 3,34 % d'invalidité dans la sphère ménagère [20 % x 16,7 %] et 48 % d'invalidité dans la sphère professionnelle [80 % x 60 %]). En application de l'<ref-law>, ils ont reconnu le droit de l'intimée à une rente entière d'invalidité du 1er juillet 2012 au 31 octobre 2015, puis à une demi-rente dès le 1er novembre 2015.
4.
L'office recourant conteste le calcul du taux d'invalidité dans la sphère professionnelle opéré par les premiers juges. Selon lui, la capacité de travail de 40 % sur 100 %, qui était celle de l'intimée à compter du 1er juillet 2015 selon les conclusions de l'expert C._, devait être mise en rapport avec son statut de personne active à 80 %; il en résultait un taux d'invalidité dans la sphère professionnelle de 50 % avant pondération (et non de 60 % comme retenu par les premiers juges). Le taux d'invalidité total de l'intimée devait donc être fixé à 43,34 % (soit, 3,34 % d'invalidité dans la sphère ménagère [20 % x 16,7 %] et 40 % d'invalidité dans la sphère professionnelle [80 % x 50 %]), ouvrant le droit à un quart de rente d'invalidité. En outre, dans la mesure où l'incapacité de travail avait été totale jusqu'au 30 juin 2015, une correcte application de l'<ref-law> conduisait à remplacer le droit de l'intimée à une rente entière par un droit à un quart de rente avec effet au 1er octobre 2015 déjà.
5.
Les griefs de l'office recourant sont bien fondés.
5.1. En l'espèce, il ressort du rapport d'expertise judiciaire que l'intimée a présenté une capacité de travail de 40 % pour un plein temps à partir du 1 er juillet 2015 dans l'activité habituelle exercée avant la survenance de l'atteinte à la santé. Contrairement aux considérations du jugement entrepris, l'incapacité corrélative de travail (60 %) ne doit pas être confondue avec la perte de gain subie par l'intimée, dans la mesure où le taux d'activité professionnelle déterminant n'est en l'occurrence pas de 100 % mais de 80 %. L'incapacité de travail ne saurait par ailleurs être déterminée par pondération avec le taux d'activité professionnelle de l'assurée tel que préconisé par les premiers juges (80 % x 60 % = 48 %). Compte tenu de l'obligation faite aux assurés de réduire le dommage, il leur incombe de mettre à profit toute la capacité de travail raisonnablement exigible de leur part (cf. <ref-ruling> consid. 3c p. 233 et les références citées). En ce sens, la jurisprudence considère d'ailleurs que l'assuré ne subit pas d'incapacité de gain tant que sa capacité résiduelle de travail est plus étendue ou égale au taux d'activité qu'il exercerait sans atteinte à la santé (voir <ref-ruling> consid. 4.1 p. 339; arrêts I 151/06 du 29 juin 2007 consid. 7.2 et I 417/92 du 19 mai 1993). A cet égard, le calcul opéré par l'office recourant pour déterminer le taux d'invalidité dans la sphère professionnelle pondéré de l'intimée est donc correct: (80 % [taux d'activité sans l'atteinte à la santé] - 40 % [taux de capacité de travail médicalement attestée])./. 80 % = 50 %; 50 % x 80 % [taux d'activité sans l'atteinte à la santé] = 40 %.
Ce taux d'invalidité correspond à celui qui résulterait de la comparaison des revenus à laquelle se réfère l'intimée, en fonction du revenu sans invalidité fixé à 42'106 fr. par l'office recourant dans la décision du 2 août 2016 (ce qui correspond à un salaire de 52'632 fr. à plein temps). Avec un degré d'invalidité de 50 % résultant de la comparaison des revenus ([42'106 fr. - 21'052 fr. (40 % de 52'636 fr.)]./. 42'106 fr. x 100 = 50 %) et pondéré en fonction des 80 % consacrés à l'exercice d'une activité professionnelle, le taux d'invalidité pour la part active s'élève à 40 % (0,8 x 50 %). L'argumentation de l'intimée n'est dès lors pas pertinente.
Compte tenu d'une invalidité ménagère de 3,34 %, l'intimée présente un taux global d'invalidité de 43 % depuis le 1er juillet 2015, ouvrant le droit à un quart de rente. Le jugement entrepris s'avère ainsi non conforme au droit fédéral et le recours se révèle bien fondé sur ce point.
5.2. C'est également à bon droit que l'office recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir mal appliqué l'<ref-law> pour déterminer la date à partir de laquelle le droit de l'intimée à un quart de rente a succédé à son droit à une rente entière d'invalidité. En l'occurrence, l'incapacité totale de travailler de l'assurée a pris fin le 30 juin 2015. C'est ainsi le 1er juillet suivant qui constitue le point de départ du délai de trois mois prévu par l'<ref-law>. Il s'ensuit que la substitution du droit à un quart de rente à celui à une rente entière devait intervenir avec effet au 1er octobre 2015 (et non pas au 1er novembre 2015 comme retenu par la juridiction cantonale).
6.
L'attention des parties est attirée sur le fait que l'<ref-law> a été modifié avec effet au 1er janvier 2018 (modification du RAI du 1er décembre 2017; RO 2017 7581). Conformément au ch. 1 des dispositions transitoires de cette modification, pour les trois-quarts de rentes, demi-rentes et quarts de rentes en cours octroyés en application de la méthode mixte avant l'entrée en vigueur de la modification du 1er décembre 2017, une révision doit être initiée dans le délai d'un an après l'entrée en vigueur de la présente modification; une éventuelle augmentation de la rente prend effet au moment de l'entrée en vigueur de la présente modification.
7.
Vu le présent arrêt, la requête d'attribution de l'effet suspensif au recours n'a plus d'objet.
8.
L'intimée voit ses conclusions rejetées, de sorte qu'elle doit en principe supporter les frais de justice et ses propres dépens (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF). Elle a toutefois déposé une demande d'assistance judiciaire limitée aux frais de justice. Dès lors que les conditions d'octroi en sont réalisées, il convient de lui accorder l'assistance judiciaire dans la mesure requise (art. 64 al. 1 et 2 LTF). L'intimée est toutefois rendue attentive au fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal fédéral si elle se trouve ultérieurement en mesure de le faire.
Par ailleurs, l'admission du recours sur l'étendue et le point de départ de la réduction du droit à la rente d'invalidité ne justifie pas de modifier la répartition des frais et dépens en procédure cantonale au regard des conclusions de l'intimée en première instance (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. Le chiffre II du dispositif de la décision du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, du 31 octobre 2017 est réformé en ce sens que l'intimée a droit à une rente entière d'invalidité du 1 er juillet 2012 au 30 septembre 2015, puis à un quart de rente à partir du 1 er octobre 2015. Il est rejeté pour le surplus.
2.
La demande d'assistance judiciaire limitée aux frais de justice est admise. Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimée. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la Caisse du Tribunal fédéral.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 20 février 2018
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
La Greffière : Perrenoud