Sachverhalt:
A.
A.a. Am 10. Juli 2018 stellte B._ beim Betreibungsamt U._ ein Betreibungsbegehren gegen A._ für den Betrag von Fr. 665'000.-- zuzüglich Zinsen. Das Betreibungsamt gab tags darauf dem Betreibungsbegehren statt und stellte in der Betreibung Nr. xxx den Zahlungsbefehl aus. Die Zustellung des Zahlungsbefehls erfolgte am 16. Juli 2018 an A._, welcher umgehend Rechtsvorschlag erhob.
A.b. Am 24. Juli 2018 gelangte B._ an das Bezirksgericht Höfe. Mit seiner Eingabe ("Rechtsöffnungsbegehren") verlangte er die Bezahlung von Fr. 665'000.-- zuzüglich Zinsen durch A._ und die provisorische Rechtsöffnung (im Betrag von Fr. 665'000.--) für die in Betreibung gesetzte Forderung. Mit Verfügung vom 24. August 2018 erteilte der Einzelrichter B._ die provisorische Rechtsöffnung im Umfang der Forderung einschliesslich Zinsen.
B.
A._ gelangte daraufhin an das Kantonsgericht Schwyz und beantragte die Aufhebung des erstinstanzlichen Entscheides und die Abweisung des Rechtsöffnungsgesuchs. Die Beschwerde wurde mit Beschluss vom 31. Januar 2019 teilweise gutgeheissen und die provisorische Rechtsöffnung nur für die verlangte Summe, jedoch ohne die Zinsen erteilt (Dispositiv-Ziff. 1.2). Auf das im Rechtsöffnungsgesuch gestellte Klagebegehren wurde nicht eingetreten (Dispositiv-Ziff. 1.1).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 6. März 2019 ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des kantonsgerichtlichen Beschlusses (Dispositiv-Ziff. 1.1) und die Abweisung des Gesuchs von B._ (Beschwerdegegner) um provisorische Rechtsöffnung. Zudem verlangt er, die Kosten des erst- und vorinstanzlichen Verfahrens seien vollumfänglich dem Beschwerdegegner aufzuerlegen. Der Beschwerdegegner sei überdies zu einer Parteientschädigung von Fr. 2'400.-- an ihn zu verpflichten. Eventualiter sei der angefochtene Beschluss aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Mit Verfügung vom 6. März 2019 ist der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt worden.
Der Beschwerdegegner beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Kantonsgericht hat sich in der Sache nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts, das als Rechtsmittelinstanz über eine Rechtsöffnung in der Betreibung für eine Forderung in der Höhe von Fr. 665'000.-- befunden hat. Dagegen steht die Beschwerde in Zivilsachen zur Verfügung (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 1 lit. b und Art. 75 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdeführer ist als Schuldner vom angefochtenen Entscheid besonders betroffen und daher zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>).
1.2. Mit der vorliegenden Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen, wobei hier das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2.4).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel sind nur zulässig, soweit der vorinstanzliche Entscheid dazu Anlass gibt (<ref-law>).
2.
Anlass des vorliegenden Verfahrens gibt ein Gesuch um Erteilung der provisorischen Rechtsöffnung. Strittig ist insbesondere, ob ein konkretes Rechtsschutzinteresse an der Behandlung des Rechtsöffnungsgesuchs bestanden hat.
2.1. Fehlt das schutzwürdige Interesse an der Beurteilung eines Begehrens, so tritt der Richter darauf nicht ein. Es handelt es sich hier um eine Prozessvoraussetzung, die er von Amtes wegen zu prüfen hat (Art. 59 Abs. 1 und 2 lit. a ZPO). Das Interesse muss persönlich und aktuell sein. Es ist nur gegeben, falls die Gutheissung des Antrags dem Kläger einen konkreten Nutzen bringen kann und ihm einen wirtschaftlichen oder ideellen Schaden erspart. Hingegen steht das Gerichtsverfahren dem Kläger nicht zur Beantwortung von abstrakten Rechtsfragen zur Verfügung (<ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 1.2.2; Urteile 4A_127/2019 vom 7. Juni 2019 E. 4; 5A_885/2018 vom 23. Januar 2019 E. 1.1; ZINGG, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 34 f., 38, 46 zu Art. 59). Ob die Prozessvoraussetzungen erfüllt sind, prüft das Gericht von Amtes wegen (<ref-law>); sie müssen - von gewissen Ausnahmen abgesehen - im Zeitpunkt der Fällung des Sachurteils gegeben sein (<ref-ruling> E. 4.2.4; HOHL, Procédure civile, Bd. I, 2. Aufl. 2016, Rz. 605).
2.2. Der Beschwerdeführer bestreitet, dass ein schutzwürdiges Interesse an der Beurteilung des Rechtsöffnungsgesuchs des Beschwerdegegners bestanden habe. Seiner Ansicht nach hätte der Einzelrichter auf das Rechtsöffnungsgesuch nicht eintreten dürfen, da im Zeitpunkt von dessen Einreichung der Zahlungsbefehl noch nicht rechtsgültig zugestellt worden war. Die Vorinstanz erachtet diesen Umstand als nicht relevant, da für die Erhebung des Rechtsöffnungsgesuchs keine Frist bestehe.
2.3. Im konkreten Fall stellte der Beschwerdegegner am 10. Juli 2018 ein Betreibungsbegehren. Das Betreibungsamt stellte am folgenden Tag den Zahlungsbefehl aus. Die Zustellung des Zahlungsbefehls erfolgte am 16. Juli 2018 und damit während der sommerlichen Betreibungsferien, die vom 15. Juli bis zum 31. Juli laufen (<ref-law>). Der Beschwerdeführer erhob umgehend Rechtsvorschlag. Auf dem Zahlungsbefehl findet sich der (durch Stempel angebrachte) "Hinweis", dass "die Zustellung während den Betreibungsferien" vorgenommen werde und "als am 2. August 2018" erfolgt gelte. Der Beschwerdegegner ersuchte (bereits) am 24. Juli 2018 beim Bezirksgericht Höfe um Gewährung der provisorischen Rechtsöffnung. Der Einzelrichter lud den Beschwerdeführer am 2. August 2018 zur schriftlichen Stellungnahme auf den 16. August 2018 ein, welcher dieser keine Folge leistete. Mit Verfügung vom 24. August 2018 erteilte er dem Beschwerdegegner die provisorische Rechtsöffnung.
2.4. Zu prüfen ist in diesem Zusammenhang einzig, ob das Bezirksgericht auf das Rechtsöffnungsgesuch des Beschwerdegegners eintreten durfte. Hingegen ist vorliegend nicht von Belang, ob der Zahlungsbefehl korrekt zugestellt worden ist. Nach der Rechtsprechung sind zwar Betreibungshandlungen während der Betreibungsferien grundsätzlich verpönt (<ref-ruling> E. 3.3). Dieser Aspekt - und damit die Zustellungspraxis mit der Anordnung der "aufgeschobenen Wirksamkeit" - betrifft jedoch die Gesetzmässigkeit des Betreibungsverfahrens und kann daher - ausgenommen vom Fall einer offensichtlichen Nichtigkeit - einzig von der Aufsichtsbehörde aufgrund einer Beschwerde nach <ref-law> geprüft werden (<ref-ruling> E. 4.1.1; Urteil 5A_261/2018 vom 4. Februar 2018 E. 3.3.3).
2.5. Die Einreichung eines Rechtsöffnungsgesuchs ist nicht an eine (Mindest-) Frist gebunden. Indes kann der Rechtsvorschlag in der Betreibung auf Pfändung nur beseitigt werden, solange die Frist zur Stellung des Fortsetzungsbegehrens (<ref-law>) in klarer Weise noch nicht abgelaufen ist (<ref-ruling> E. 3a). Zudem muss die Betreibung nach wie vor hängig sein, was im Falle eines Rückzugs des Rechtsvorschlags oder der Konkurseröffnung über den Schuldner nicht der Fall ist. Unter diesen Voraussetzungen und abgesehen von offensichtlich nichtigen Betreibungen, z.B. gegen einen nicht existierenden Gläubiger, besteht ein schutzwürdiges Interesse an der Prüfung des Rechtsöffnungsgesuchs und das Gericht hat darauf einzutreten (STAEHELIN, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 12 f. zu Art. 84; ABBET, in: La mainlevée de l'opposition, 2017, N. 76 zu Art. 84; VOCK/AEPLI-WIRZ, in: Schulthess Kommentar SchKG, 2017, N. 2 zu Art. 84).
2.6. Dem Beschwerdeführer kann daher nicht gefolgt werden, soweit er meint, der Rechtsöffnungsrichter hätte auf das Gesuch des Beschwerdegegners nicht eintreten dürfen, weil es ihm an einem rechtlich geschützten Interesse gefehlt habe. Eine allfällige Gutheissung des Gesuchs war für den Beschwerdegegner zweifellos von praktischem Interesse. Dem steht in diesem Verfahren nicht entgegen, dass die beteiligten Parteien bereits während der laufenden Betreibungsferien tätig geworden sind. Der Beschwerdeführer hat zwar bei Erhalt des Zahlungsbefehls Rechtsvorschlag erhoben, obwohl die Zustellung noch nicht wirksam war, wie das Betreibungsamt selber bekannt gab. Der Beschwerdegegner hat daraufhin ein Gesuch um provisorische Rechtsöffnung gestellt, was auch während der Betreibungsferien möglich ist (STAEHELIN, a.a.O., N. 60 zu Art. 84). Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers hatte der Rechtsöffnungsrichter nicht darüber zu befinden, ob der Zahlungsbefehl gültig zugestellt wurde und der Rechtsvorschlag bereits seine Wirkung entfalten konnte. Diese Fragen wären - wie bereits erwähnt - ausschliesslich von der Aufsichtsbehörde zu beantworten. In Anbetracht der bundesgerichtlichen Praxis, dass der Rechtsvorschlag ausnahmsweise sogar vor der Zustellung des Zahlungsbefehls erhoben werden kann, insbesondere wenn er sich - wie hier - auf eine bestimmte Betreibung bezieht (<ref-ruling> E. 2), und selbst bei einem nicht gültig zugestellten Zahlungsbefehl zu beachten ist (<ref-ruling> E. 2b), kann der Rechtsvorschlag im konkreten Fall zumindest nicht als offensichtlich unwirksam erachtet werden. Der Rechtsöffnungsrichter war daher mit dem Rechtsvorschlag in einer laufenden Betreibung konfrontiert und hatte das Rechtsöffnungsgesuch zu behandeln. Daran hatte der Beschwerdegegner - anders als der Beschwerdeführer meint - bereits zu Beginn des Rechtsöffnungsverfahrens ein hinreichendes schutzwürdiges Interesse.
3.
In der Sache ist die Identität des Betreibungsgläubigers mit dem in der Schuldanerkennung auftretenden Gläubiger umstritten, welche die Vorinstanz bestätigt hat. Der Beschwerdeführer verweist demgegenüber auf den ursprünglichen Aktienkaufvertrag, den der Beschwerdegegner am 24. April 2013 gemeinsam mit der Ehefrau abgeschlossen hat. Damit hätte dieser im Namen der einfachen Gesellschaft und nicht im eigenen Namen die Betreibung anheben dürfen. Insoweit bestreitet der Beschwerdeführer, dass der Beschwerdegegner mit dem Gläubiger identisch ist.
3.1. Beruht die Forderung auf einer durch öffentliche Urkunde festgestellten oder durch Unterschrift bekräftigten Schuldanerkennung, so kann der Gläubiger die provisorische Rechtsöffnung verlangen (<ref-law>). Für das Rechtsöffnungsverfahren gilt eine beschränkte Untersuchungsmaxime. Der Rechtsöffnungsrichter hat aufgrund der Parteiangaben und den eingereichten Unterlagen eine Reihe von Fragen von Amtes wegen zu beantworten, selbst wenn der Betreibungsschuldner diese nicht aufwirft und auch keine Stellung dazu nimmt. Dazu gehört die Identität des im Zahlungsbefehl und im Titel genannten Schuldners sowie des Gläubigers (<ref-ruling> E. 4.1; STAEHELIN, a.a.O., N. 50 zu Art. 84). Fest steht, dass der Beschwerdeführer an der Rechtsöffnungsverhandlung säumig war und keine Einwendungen zur Rede stehen, welche die Schuldanerkennung nach <ref-law> entkräften sollen.
3.2. Die dem strittigen Rechtsöffnungsentscheid zugrunde liegende Betreibung wurde vom Beschwerdegegner angehoben. Auf dem Zahlungsbefehl wird als Forderungsgrund für den in Betreibung gesetzten Betrag von Fr. 665'000.-- auf den Aktienkaufvertrag vom 21. März 2018 hingewiesen. Dieser Vertrag - als Schuldanerkennung zur provisorischen Rechtsöffnung vorgelegt - wurde vom Beschwerdegegner unterschrieben, der sich darin als alleiniger Erbe und Willensvollstrecker seiner verstorbenen Ehefrau bezeichnet. Damit ist der Beschwerdegegner als Betreibungsgläubiger mit dem Verkäufer der Aktien und damit Gläubiger der Forderung durchaus identisch. Ob er zum Abschluss des Vertrages berechtigt war, ist eine materiellrechtliche Frage, welche der Rechtsöffnungsrichter mit Blick auf die Prüfung, wer aus der Schuldurkunde Berechtigter und im Zahlungsbefehl genannter Gläubiger ist (vgl. STAEHELIN, a.a.O., N. 67 zu Art. 82), nicht zu beantworten hat. Die diesbezüglichen Vorbringen des Beschwerdeführers zur "Identität der Parteien" und seine Ausführungen zu einem vorangehenden Aktienkaufvertrag sind nicht von Belang.
4.
Weiter ficht der Beschwerdeführer - für den Fall der Bestätigung der Rechtsöffnung - die Verlegung der Prozesskosten des kantonalen Verfahrens an. Seiner Ansicht nach hätte die Vorinstanz den Ausgang des Verfahrens bei der Festlegung der Gerichtskosten der ersten und der zweiten Instanz sowie der Parteientschädigung besser berücksichtigen müssen. Zudem stellt er die Höhe der erstinstanzlich erhobenen Gerichtskosten in Frage.
4.1. Die Prozesskosten werden in der Rechtsöffnung - wie allgemein - der unterliegenden Partei auferlegt (<ref-law>; STAEHELIN, a.a.O., N. 72 zu Art. 84). Hat keine Partei vollständig obsiegt, so werden sie nach dem Ausgang des Verfahrens verteilt (<ref-law>). Mit dieser Präzisierung soll der Überklagung Rechnung getragen werden (STERCHI, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 6 zu Art. 106). Das Gesetz sieht zudem in bestimmten Fällen vor, dass der Richter vom genannten Grundsatz abweichen und die Kosten nach Ermessen verteilen kann (<ref-law>).
4.1.1. Im vorliegenden Fall hiess die Vorinstanz die Beschwerde teilweise gut und korrigierte den Rechtsöffnungsentscheid, soweit dem Beschwerdegegner darin Zinsen zugesprochen wurden. Zudem hielt sie fest, dass die Erstinstanz auf das Leistungsbegehren explizit nicht hätte eintreten sollen. Sie beurteilte das Unterliegen des Beschwerdegegners als begrenzt und auferlegte diesem die erstinstanzlichen Gerichtskosten nur zu 1/5. Den Beschwerdeführer belastete sie mit 4/5 der Gerichtskosten.
4.1.2. Der Beschwerdeführer besteht darauf, dass die Kosten anhand der prozentualen Gutheissung der Anträge verlegt werden. Konkret müssten seiner Ansicht nach die Kosten im Verhältnis von 55% zu 45% ihm bzw. dem Beschwerdegegner angelastet werden. Mit dieser Sichtweise verkennt er, dass der Richter nicht nur anhand der Anträge berücksichtigen kann, in welchem Umfang eine Partei unterliegt. Es steht zudem in seinem Ermessen, eine Gewichtung der Anträge aufgrund ihrer Bedeutung vorzunehmen (TREZZINI, in: Commentario pratico al CPC, 2. Aufl. 2017, N. 16 zu Art. 106; STAEHELIN, in: Staehelin/ Staehelin/Grolimund, Zivilprozessrecht, 3. Aufl. 2019, § 16 Rz. 35; TAPPY, in: Commentaire romand, Code de procédure civile, 2. Aufl. 2019, N. 34 zu Art. 106). Die Vorinstanz hat dieses Vorgehen gewählt und damit im Ergebnis nach dem ihr zustehenden Ermessen entschieden, ohne dass Anlass zum Eingreifen bestehen würde.
4.2. Die Gerichtskosten der betreibungsrechtlichen Summarsachen (<ref-law>) und damit der Rechtsöffnungen unterliegen nicht der kantonalen Tarifhoheit, sondern werden in <ref-law> festgelegt (<ref-ruling> E. 4.2). Dies wird vom Beschwerdeführer denn auch nicht in Frage gestellt. Hingegen erachtet er die von der Vorinstanz für das erstinstanzliche Verfahren festgelegte Spruchgebühr von Fr. 1'000.-- als unverhältnismässig. Nach Ansicht des Beschwerdeführers wäre eine Spruchgebühr von Fr. 700.-- angemessen, da der konkrete Streitwert von Fr. 665'000.-- ungefähr in der Mitte des Tarifs liege.
4.2.1. Entgegen der Behauptung des Beschwerdeführers ist die Höhe der Spruchgebühr durchaus nachvollziehbar, weist die Vorinstanz doch darauf hin, dass der Streitwert nur eines der massgeblichen Kriterien bilde und das Maximum - unter Berücksichtigung des sozialen Charakters der GebV SchKG - vorliegend nicht zu beanstanden sei. Vor diesem Hintergrund kann von einer Verletzung der Begründungspflicht durch die Vorinstanz nicht die Rede sein (vgl. dazu <ref-ruling> E. 6.1; Urteil 5A_749/2019 vom 15. November 2019 E. 3.3 betreffend Kostenpunkt). Dem Beschwerdeführer ist die Anfechtung des angefochtenen Entscheides im Kostenpunkt - wie seine Eingabe zeigt - ohne Weiteres möglich.
4.2.2. Gemäss <ref-law> bemisst sich die Spruchgebühr bei einem Streitwert von über Fr. 100'000.-- bis Fr. 1'000'000.-- auf Fr. 70.-- bis Fr. 1'000.--. Bei dieser Bestimmung handelt es sich um einen Rahmentarif, innerhalb dessen das Gericht die Spruchgebühr festzusetzen hat. Bereits die Formulierung ("von... bis") weist auf den richterlichen Ermessensspielraum bei der konkreten Anwendung hin. Die streitwertabhängige Rahmengebühr ist flexibel und moderat, wobei Raum bleibt für die Berücksichtigung weiterer Elemente, namentlich über- oder unterdurchschnittlicher Aufwand, Art des Streitfalles, Art der Prozessführung und Vermögensverhältnisse des Kostenpflichtigen (Urteil 5D_23/2017 vom 8. Mai 2017 E. 4.3.1 mit Hinweis). Eine rein rechnerische Festsetzung der Spruchgebühr, wie sie dem Beschwerdeführer vorschwebt, ist damit nicht zwingend.
4.3. Hinsichtlich der Parteientschädigung für das erstinstanzliche Verfahren strebt der Beschwerdeführer einen Verteilschlüssel von 40% zu 60% zu seinen Gunsten an, der Fr. 640.-- statt Fr. 1'200.-- ausmachen soll. Er betont an dieser Stelle erneut, dass er mit seinen Anträgen in diesem Umfang Erfolg hatte, was als Umstand allein massgeblich sei. Worin bei der Festlegung der Parteientschädigung eine Verletzung von <ref-law> liegen sollte, begründet der Beschwerdeführer indes nicht. Darauf ist nicht einzutreten.
4.4. Die Vorinstanz hat die Prozesskosten des Beschwerdeverfahrens nach den gleichen Grundsätzen verlegt, die sie bei der für das erstinstanzliche Verfahren getroffenen Regelung angewandt hat. Für die Spruchgebühr von Fr. 1'500.-- stützte sie sich auf <ref-law>. Die Parteientschädigung richtete sie nach dem kantonalen Tarif aus. Aufgrund des Verfahrensausgangs auferlegte die Vorinstanz dem Beschwerdeführer 75% der Spruchgebühr (Fr. 1'125.--) und verpflichtete ihn zu einer Parteientschädigung von ebenfalls 75% des Gesamthonorars des Beschwerdegegners (Fr. 900.--).
4.4.1. Der Beschwerdeführer stellt die Höhe der Spruchgebühr und der Parteientschädigung nicht in Frage. Hingegen wirft er der Vorinstanz auch hier vor, von einem falschen Verteilschlüssel ausgegangen zu sein. Er betont, im zweitinstanzlichen Verfahren hinsichtlich des Leistungsbegehrens, welches mehr ins Gewicht falle als das Rechtsöffnungsgesuch, und der nicht unerheblichen Zinsen durchgedrungen zu sein, womit er insgesamt zu 60% obsiegt habe.
4.4.2. Mit dieser Sichtweise übergeht der Beschwerdeführer, dass die urteilende Instanz bei der Verteilung der Prozesskosten zwar vom Ausgang des Verfahrens auszugehen hat, ihr aber bei der Gewichtung der Anträge ein gewisses Ermessen zukommt. Damit kann hier auf die vorangehenden Erwägungen betreffend das erstinstanzliche Verfahren verwiesen werden (E. 4.1.2), ohne dass an dieser Stelle noch auf die einzelnen Argumente des Beschwerdeführers einzugehen ist.
4.5. Nach dem Gesagten kann der Vorinstanz keine Verletzung von Bundesrecht vorgeworfen werden, soweit sie die Erteilung der provisorischen Rechtsöffnung geschützt hat. Ebensowenig ist die Regelung der Prozesskosten für das kantonale Verfahren zu beanstanden.
5.
Der Beschwerde ist kein Erfolg beschieden, soweit darauf einzutreten ist. Ausgangsgemäss hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen und dem Beschwerdegegner eine angemessene Parteientschädigung zu leisten (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat den Beschwerdegegner mit Fr. 5'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Schwyz, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Februar 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante