Faits :
A.
Par décision du 22 janvier 2020, le Centre genevois de consultation pour victimes d'infractions (Centre LAVI) a refusé la demande d'aide financière à plus long terme formée par A._ au motif que celui-ci n'avait pas déposé de demande d'assistance juridique, préalablement à toute demande de prise en charge des honoraires d'avocat. En outre, Me B._ avait été mandaté aux conditions d'un mandat privé et le Centre LAVI n'était en principe pas habilité à intervenir dans la mesure où les tarifs étaient annoncés par le mandataire, respectivement acceptés par le mandant; de plus, selon le procès-verbal de la commission en matière d'honoraires d'avocat du 28 novembre 2019, A._ avait accepté de verser à Me B._ le montant de 6'250 fr. pour solde de tout compte. Le Centre LAVI a examiné la demande à la lumière de la loi fédérale du 23 mars 2007 sur l'aide aux victimes d'infractions (loi sur l'aide aux victimes, LAVI; RS 312.5).
B.
Par recours expédié le 21 février 2020 à la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: Cour de justice), A._ a demandé l'annulation de cette décision du 22 janvier 2020 et a conclu à ce que le Centre LAVI soit condamné à lui payer - à titre d'aide à plus long terme à la suite de l'infraction dont il avait été victime le 4 février 2007 - la somme de 6'250 fr., tout en se réservant le droit d'amplifier sa demande, au vu de l'ensemble des honoraires payés à Me B._. A l'appui de son recours, il a affirmé que l'assistance juridique lui avait été octroyée, mais qu'elle avait ensuite été révoquée; il y avait donc bien eu une demande d'assistance juridique, de sorte que la décision entreprise était erronée.
C.
Par arrêt du 21 juillet 2020, la Cour de justice a rejeté le recours. Elle a considéré qu'en vertu de l'<ref-law> entrée en vigueur le 1er janvier 2009, il convenait d'appliquer la loi sur l'aide aux victimes dans sa teneur au 4 février 2007 (ci-après: aLAVI ou l'ancienne LAVI). En substance, elle a considéré que A._ ne pouvait se voir allouer un montant complémentaire pour ses frais d'avocat, dès lors que le montant maximal de 100'000 fr. lui avait déjà été accordé par l'Instance LAVI.
D.
A._ dépose un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral par lequel il conclut à titre principal à l'annulation de l'arrêt de la Cour de justice et au renvoi de la cause à cette dernière pour qu'elle examine si sa situation personnelle lui permet de bénéficier des prestations de la LAVI au titre de prise en charge des frais d'avocat au sens de l'art. 3 al. 4 aLAVI. A._ demande, dans ce contexte, au Tribunal fédéral de constater que, s'il en remplit les conditions, il peut bénéficier de l'aide à plus long terme en ce qui concerne les frais d'avocat selon l'art. 3 al. 4 aLAVI, mais également que cette aide à plus long terme n'est pas limitée au montant maximum de 100'000 fr. prévu par l'<ref-law>.
La Cour de justice persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. Aux termes de ses déterminations, le Centre LAVI conclut principalement au rejet du recours et, à titre subsidiaire, au renvoi de la cause à la Cour de justice pour nouvel examen sous l'angle du droit positif. Le recourant a déposé des observations.

Considérant en droit :
1.
Dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>), le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public selon les <ref-law>, aucune des exceptions mentionnées à l'<ref-law> n'étant réalisée. Le recourant a un intérêt à obtenir l'annulation ou la modification de l'arrêt attaqué qui confirme le refus de prise en charge des honoraires de son avocat (<ref-law>). Les autres conditions formelles de recevabilité énoncées aux <ref-law> sont remplies, de sorte qu'il y a lieu d'entrer en matière.
2.
La LAVI dans sa version actuelle est entrée en vigueur le 1er janvier 2009 (RO 2008 1607).
Selon l'<ref-law>, est régi par l'ancien droit - soit la loi du 4 octobre 1991 sur l'aide aux victimes d'infractions (aLAVI; RO 1992 2465, 1997 2952 ch. III, 2002 2997, 2005 5685 annexe ch. 20) - le droit d'obtenir une indemnité et une réparation morale pour des faits qui se sont déroulés avant l'entrée en vigueur de la nouvelle loi et les délais prévus à l'<ref-law> sont applicables au droit d'obtenir une indemnité et une réparation morale pour des faits qui se sont déroulés moins de deux ans avant l'entrée en vigueur de la LAVI. L'ancien droit est également applicable aux demandes de contributions aux frais qui sont pendantes à l'entrée en vigueur de la présente loi (<ref-law>).
2.1. Dans son arrêt du 21 juillet 2020, la Cour de justice a considéré qu'en vertu de l'<ref-law> entrée en vigueur le 1er janvier 2009, il convenait d'examiner la demande déposée par le recourant à la lumière de la LAVI dans sa teneur au 4 février 2007, date de l'infraction dont il avait été victime (cf. consid. 2a de l'arrêt attaqué). La cour cantonale a ensuite exposé que la couverture des frais d'avocat pouvait intervenir à titre de prestation du centre de consultation au sens de l'art. 3 al. 4 aLAVi ou à titre de dommage résultant de l'infraction au sens de l'art. 11 aLAVI. Elle a ajouté que si les frais de défense de la victime, avant, pendant ou après le procès pénal, constituaient des éléments du dommage résultant de l'infraction dans la mesure où la victime intervenait dans la procédure pénale afin de sauvegarder ses prétentions, ils étaient prioritairement visés à l'art. 3 aLAVI au titre de l'aide juridique et pouvaient être pris à la charge des centres de consultation. La Cour de justice a ensuite constaté que, dans le cas d'espèce, le recourant avait fait valoir auprès de l'Instance LAVI des honoraires d'avocat de 28'557,70 fr. - sans préciser s'il les réclamait à titre de dommage résultant de l'infraction (art. 11 ss aLAVI) ou à titre de prestation du centre de consultation (art. 3 al. 4 aLAVI) - et que l'Instance LAVI lui avait accordé un montant de 3'500 fr. au titre du dommage résultant de l'infraction, qualification et montant que le recourant n'avait pas contestés. La Cour de justice a ainsi estimé que la nouvelle prétention ne pouvait qu'être fondée sur l'art. 3 al. 4 aLAVI. Toutefois, elle a jugé que, dans la mesure où l'Instance LAVI avait déjà accordé au recourant des sommes totalisant 100'000 fr., soit le maximum des prestations que l'ancienne LAVI permettait d'accorder à une victime, le recourant ne pouvait se voir allouer un montant complémentaire. Il n'était donc pas nécessaire d'examiner si la situation personnelle du recourant aurait justifié une aide à titre de prestation du centre de consultation, comme le requérait l'art. 3 al. 4 aLAVI.
2.2. Le recourant conteste cette appréciation. Il soutient que les frais d'avocat concernés par l'art. 3 al. 4 aLAVI (aide à plus long terme) ne devraient pas être confondus avec ceux pouvant être indemnisés sur la base de l'art. 11 aLAVI au titre de dommage résultant de l'infraction, de sorte que la limite de 100'000 fr. prévue par l'art. 4 aOAV ne serait pas applicable à l'aide à plus long terme. Selon le recourant, la cause doit donc être renvoyée à la cour cantonale pour qu'elle examine s'il a droit aux prestations selon l'art. 3 al. 4 aLAVI.
2.3. En l'espèce, il n'est pas contesté que l'Instance LAVI a accordé au recourant, à titre d'indemnité pour le dommage résultant de l'infraction, des sommes totalisant 100'000 fr. (dont 3'500 fr. à titre de participation aux frais d'avocat), soit le montant maximal prévu par l'ancienne LAVI pour l'indemnisation (art. 13 al. 3 aLAVI et art. 4 al. 1 de l'ancienne ordonnance du 18 novembre 1992 sur l'aide aux victimes d'infractions [aOAVI; RO 1992 2478; abrogée au 31 décembre 2008, RO 2008 1627]). Contrairement à ce que semble considérer la cour cantonale dans l'arrêt entrepris, les prestations prises en charge tant au titre de l'aide immédiate que de l'aide à plus long terme ne sont pas soumises au plafonnement prévu pour l'indemnisation (cf. art. 4 aOAVI a contrario; cf. arrêt 1A.155/2005 du 23 septembre 2005 consid. 3; PETER GOMM, in Gomm/Zehntner [édit.], Kommentar zum Opferhilfegesetz vom 4. Oktober 1991, 2005, n. 50 ad art. 13 aLAVI; PETER GOMM, Einzelfragen bei der Ausrichtung von Entschädigung und Genugtuung nach dem Opferhilfegesetz, Solothurner Festgabe zum Schweizerischen Juristentag 1998, p. 673 ss, spéc. 675). Il en va de même sous le nouveau droit: le montant maximum de l'indemnisation prévu par l'<ref-law> n'est pas applicable à l'aide à plus long terme régie les <ref-law> (cf. DOMINIK ZEHNTNER, in Gomm/ Zehntner [édit.], Kommentar zum Opferhilferecht, 4e éd. 2020 [ci-après: Kommentar zum Opferhilferecht], n. 6 ad 13 LAVI; PETER GOMM, in Kommentar zum Opferhilferecht, n. 25 ad <ref-law>; cf. JEAN-LUC SCHWAAR, " La nouvelle loi sur l'aide aux victimes d'infraction - Nouveauté en matière d'indemnisation ", in Ehrenzeller/Guy-Ecabert/ Kuhn [édit.], La nouvelle LAVI, 2009, p. 81 ss, spéc. p. 89; cf. STÉPHANIE CONVERSET, Aide aux victimes d'infractions et réparation du dommage, thèse 2009, p. 230). Le nouveau droit prévoit en outre la prise en charge exclusive des honoraires d'avocat par le centre de consultation au titre d'aide immédiate ou d'aide à plus long terme (<ref-law>, art. 5 de l'ordonnance du 27 février 2008 sur l'aide aux victimes d'infractions [OAVI; RS 312.51]; cf. Message du 9 novembre 2005 concernant la révision totale de la LAVI, FF 2005 6683 ss, 6736; cf. <ref-ruling> consid. 2.4).
Au vu de ce qui précède, est erroné le raisonnement de la Cour de justice selon lequel le recourant ne pouvait prétendre à la prise en charge de ses frais d'avocat au titre de prestation du centre de consultation LAVI, au seul motif que la somme maximale prévue pour l'indemnisation avait été allouée au recourant. L'arrêt entrepris est dans cette mesure mal fondé. L'état de fait relativement succinct de l'arrêt entrepris ne permet pas au Tribunal fédéral d'examiner si cet arrêt peut néanmoins être confirmé par substitution de motif. En particulier, l'arrêt attaqué n'indique pas la date du dépôt de la demande d'aide à plus long terme, ni ne détaille les prestations d'avocat faisant l'objet de la demande en question, de sorte que le Tribunal fédéral n'est pas en mesure de déterminer quel est le droit applicable en vertu de l'<ref-law>. Il sied à cet égard de relever que si la Cour de justice a appliqué l'ancien droit, le Centre LAVI a en revanche, dans sa décision du 22 janvier 2020, fait application de la nouvelle LAVI. On ignore en outre si une demande d'assistance judiciaire a été formulée pour les démarches faisant l'objet de la présente demande d'aide du recourant.
En l'absence d'éléments de fait suffisants dans l'arrêt attaqué, le Tribunal fédéral ne peut pas statuer lui-même au sens de l'<ref-law> et doit renvoyer la cause à l'instance précédente.
3.
Le considérant qui précède conduit à l'annulation de l'arrêt rendu le 21 juillet 2020 et au renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Le recourant a droit à des dépens, à la charge du canton de Genève (<ref-law>). Conformément à l'<ref-law>, il n'est pas perçu de frais judiciaires.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à la Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève pour nouvelle décision.
2.
Une indemnité de 2'000 fr. est allouée au recourant à titre de dépens, à la charge du canton de Genève.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Centre genevois de consultation pour victimes d'infractions, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative, et à l'Office fédéral de la justice.
Lausanne, le 4 janvier 2022
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Chaix
La Greffière : Arn