Erwägungen:
1.
A._ erhob am 10. August 2020 Strafanzeige gegen Staatsanwältin Sara Kern wegen Nötigung, Amtsmissbrauchs, ungetreuer Amtsführung, Verleumdung usw. Die Strafanzeige steht im Zusammenhang mit der im Strafverfahren wegen Verleumdung etc. gegen seine Ex-Frau erlassenen Nichtanhandnahmeverfügung vom 24. März 2020 sowie mit den beiden im gegen den Anzeiger geführten Strafverfahren wegen Vergehen gegen das Waffengesetz erlassenen Verfügungen vom 5. Februar 2020. Ferner sieht der Anzeiger auch darin ein strafbares Verhalten, dass gegen ihn ein Strafverfahren wegen Vergehen gegen das Waffengesetz geführt wird. Die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich überwies die Sache mit Verfügung vom 8. September 2020 an das Obergericht des Kantons Zürich. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich erteilte mit Beschluss vom 24. November 2020 der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung zur Strafverfolgung nicht. Sie führte zur Begründung zusammenfassend aus, dass aufgrund der Angaben in der Strafanzeige vom 10. August 2020 sowie gestützt auf die Akten kein Anfangsverdacht für ein strafbares Verhalten der Angezeigten bestehe.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 18. Dezember 2020 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Die III. Strafkammer führte aus, weshalb sie im angezeigten Verhalten der Staatsanwältin kein Anfangsverdacht für ein strafbares Verhalten sah. Mit diesen Ausführung setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander und vermag nicht im Einzelnen und konkret aufzuzeigen, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer bzw. deren Beschluss selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Dezember 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli