Erwägungen:
1.
Mit Entscheid vom 11. Mai 2021 verpflichtete das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich den Beschwerdeführer, der Beschwerdegegnerin zu Unrecht bezogene Taggelder in der Höhe von Fr. 8'243.95 zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 23. April 2018 zurückzubezahlen sowie Bearbeitungsgebühren in der Höhe von Fr. 120.-- zu entrichten. Zudem hob es den Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts Zürich 12 (Zahlungsbefehl vom 17. August 2018) im genannten Umfang auf.
Mit Eingabe vom 3. Juni 2021, die dem Bundesgericht mit Schreiben des Sozialversicherungsgerichts vom 7. Juni 2021 weitergeleitet wurde, erklärte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, den Entscheid des Sozialversicherungsgerichts vom 11. Mai 2021 mit Beschwerde anfechten zu wollen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
2.1. Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann. Dazu muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2, 115 E. 2). Eine allfällige Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im vorinstanzlichen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2). Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen und der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 1.2.3; <ref-ruling> E. 2 S. 116). Stützt sich der angefochtene Entscheid auf mehrere selbständige Begründungen, so muss sich die Beschwerde mit jeder einzelnen auseinandersetzen, sonst wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.4 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.4).
2.2. Der Beschwerdeführer geht in seiner Beschwerdeeingabe nicht hinreichend auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids ein. Er zitiert zwar verschiedenste Bestimmungen der Bundesverfassung (BV), des Datenschutzgesetzes (DSG), des Strafgesetzbuchs (StGB) sowie des Obligationenrechts (OR), zeigt jedoch nicht auf, inwiefern der Vorinstanz eine Verletzung dieser Bestimmungen vorzuwerfen wäre. Ein konkreter Zusammenhang mit den Erwägungen im angefochtenen Entscheid ist nicht erkennbar. Die Eingabe des Beschwerdeführers erfüllt die erwähnten Begründungsanforderungen offensichtlich nicht.
Auf die Beschwerde ist somit mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (<ref-law>).
3.
Unter den gegebenen Umständen ist ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG), womit das Gesuch des Beschwerdeführers um Befreiung von diesen Kosten im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren gegenstandslos wird. Die Beschwerdegegnerin, der aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist, hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, II. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Juni 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Leemann