Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1971) ist Staatsangehöriger Marokkos. Im Juli 1996 reiste er in die Schweiz ein und heiratete hier eine niederlassungsberechtigte Drittstaatsangehörige. Zum Verbleib bei seiner Ehefrau erhielt er die Aufenthaltsbewilligung. Nachdem sich das Ehepaar getrennt hatte, wurde die Aufenthaltsbewilligung A._s nicht mehr verlängert; zudem wurde die Wegweisung per 31. August 1998 angeordnet. Unter anderem wegen Spitalaufenthalten konnte die Wegweisung nicht vollzogen werden.
A.b. Am 7. März 2000 verheiratete sich A._ mit einer Schweizer Staatsangehörigen, woraufhin ihm erneut eine Aufenthaltsbewilligung ausgestellt wurde. Nachdem diese Ehe am 30. September 2005 geschieden worden war, wurde A._ per 25. Oktober 2005 erneut aus der Schweiz weggewiesen.
A.c. Am 27. Januar 2006 ging A._ mit einer weiteren Schweizer Staatsangehörigen die Ehe ein. Erneut erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung. Aus der Ehe gingen die beiden Töchter B._ (geb. 2006) und C._ (geb. 2008) hervor. Gemäss Trennungsvereinbarung des Regionalgerichts Emmental-Oberaargau vom 14. Juni 2012 lösten die Ehegatten den gemeinsamen Haushalt per 1. Februar 2012 auf. Am 22. November 2014 wurde die Ehe zwischen A._ und seiner dritten Ehegattin geschieden. Dabei wurde die gemeinsame elterliche Sorge vereinbart, wobei die Obhut über die beiden Töchter der Mutter zugeteilt wurde.
A.d. Aufgrund der Schuldenwirtschaft A._s und weil er seiner Pflicht zur Zahlung von Alimenten nicht nachgekommen war, erachtete der Migrationsdienst des Kantons Bern (nachfolgend: der Migrationsdienst) die Voraussetzungen für die Erteilung einer Niederlassungsbewilligung als nicht erfüllt. Die weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nach Auflösung der ehelichen Gemeinschaft knüpfte der Migrationsdienst an Bedingungen und übermittelte dem Staatssekretariat für Migration (nachfolgend: SEM) die Akten am 9. August 2016 zur Zustimmung. Das SEM stimmte einer einjährigen Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung am 26. August 2016 unter der Bedingung zu, dass A._ keine neuen Schulden mehr generiere und seine Schulden nach Möglichkeit abbaue, er den finanziellen Verpflichtungen gegenüber seinen Kindern nachkomme, die eigenen Lebenskosten decke und den Willen zur Teilnahme am Wirtschaftsleben bekunde. Gleichzeitig wurde A._ ausländerrechtlich verwarnt.
A.e. Am 19. Oktober 2016 heiratete A._ in Marokko seine Landsfrau D._, deren Asylgesuch in der Schweiz am 18. April 2016 rechtskräftig abgewiesen worden war. Aus der Ehe gingen zwei weitere Kinder hervor (E._, geb. 2016, und F._, geb. 2018). Da A._ trotz wiederholter Aufforderungen nicht alle erforderlichen Dokumente vorlegte, konnte diese neue Ehe in der Schweiz vorerst nicht nachregistriert werden; auch konnte A._ vorderhand nicht als Vater der beiden Kinder eingetragen werden.
B.
Am 25. Januar 2018 unterbreiteten die Einwohnerdienste, Migration und Fremdenpolizei der Stadt Bern (nachfolgend: EMF) die Angelegenheit dem SEM zur Zustimmung zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. Mit Verfügung vom 4. Februar 2019 verweigerte das SEM die Zustimmung zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung und wies A._ aus der Schweiz weg, wobei ihm eine Ausreisefrist von acht Wochen ab Rechtskraft der Verfügung eingeräumt wurde.
Mit Urteil vom 15. März 2021 bestätigte das Bundesverwaltungsgericht die Verfügung des SEM vom 4. Februar 2019.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 30. April 2021 gelangt A._ an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts vom 15. März 2021 und die Erteilung der Zustimmung zur Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das SEM, subeventualiter an das Bundesverwaltungsgericht zurückzuweisen. Prozessual ersucht A._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Beiordnung eines amtlichen Rechtsbeistands in Person seines Rechtsvertreters.
Einem Gesuch A._s um Erteilung der aufschiebenden Wirkung gab das Bundesgericht mit Präsidialverfügung vom 3. Mai 2021 statt.
Das SEM beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Ausgangspunkt des vorliegenden Verfahrens bildet die Verfügung des SEM, mit welcher dieses die Zustimmung zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers verweigert hat (Art. 99 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer und über die Integration [AIG; SR 142.20; Titel bis zum 31. Dezember 2019: Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer, AuG). Gegen den Endentscheid (<ref-law>) des Bundesverwaltungsgerichts in dieser Angelegenheit des öffentlichen Rechts kann grundsätzlich Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten geführt werden (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a BGG). Gestützt auf Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG macht der Beschwerdeführer in vertretbarer Weise geltend, einen Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung zu haben, so dass der Ausnahmegrund von <ref-law> vorliegend nicht zur Anwendung kommt. Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und verfügt über ein aktuelles Interesse an der Zustimmung des SEM zur Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung (<ref-law>). Auf die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde (Art. 42 Abs. 2 und Art. 100 Abs. 1 BGG) ist einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind (Art. 136 II 304 E. 2.5).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil im Regelfall den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2).
Unter den gleichen Voraussetzungen kann eine beschwerdeführende Partei die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine entsprechende Rüge ist hinreichend zu substanziieren (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 1.4.3).
3.
3.1. Im vorinstanzlichen Verfahren machte der Beschwerdeführer noch geltend, aufgrund von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung zu haben. Die Vorinstanz verneinte einen solchen Anspruch, weil die Integration des Beschwerdeführers nicht als erfolgreich bezeichnet werden könne (vgl. E. 7.5 bis 7.8 des angefochtenen Urteils). Im Verfahren vor Bundesgericht macht der Beschwerdeführer nicht mehr geltend, aufgrund von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung zu haben. Nachdem die diesbezüglichen vorinstanzlichen Ausführungen als zutreffend erscheinen, braucht der Anspruchstatbestand von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG vorliegend nicht weiter geprüft zu werden. Zu beantworten ist nur die in der Beschwerde aufgeworfene Frage, ob <ref-law> und Art. 8 EMRK dem Beschwerdeführer einen Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung verleihen.
3.2. Der Beschwerdeführer leitet einen Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung zunächst aus der Beziehung zu seinen beiden erstgeborenen Töchtern B._ und C._ ab (vgl. S. 6 ff. der Beschwerde).
3.2.1. Unter dem Titel von <ref-law> bejaht die Praxis unter gewissen Umständen einen Bewilligungsanspruch, wenn der Fortbestand der elterlichen Beziehung zu einem hier gefestigt anwesenheitsberechtigten Kind durch die aufenthaltsbeendende Massnahme in Frage gestellt wäre (vgl. 140 II 289 E. 3.4.1; <ref-ruling> E. 3.1). Der unbestimmte Rechtsbegriff der "wichtigen persönlichen Gründe" im Sinne von <ref-law> wird also namentlich im Lichte des verfassungs- und konventionsrechtlich verankerten Rechts auf Achtung des Familienlebens (<ref-law>, Art. 8 Ziff. 1 EMRK) ausgelegt, wobei die vom Beschwerdeführer zusätzlich angerufene Kinderrechtskonvention keine Ansprüche verschafft, die darüber hinausgehen würden (<ref-ruling> E. 3.2; Urteil 2C_1050/2016 vom 10. März 2017 E. 5.1 mit Hinweisen). <ref-law> geht nicht weniger weit als <ref-law> und Art. 8 EMRK (Urteil 2C_1125/2014 vom 9. September 2015 E. 4.1 mit Hinweisen). Voraussetzung für die Erteilung bzw. Verlängerung einer Aufenthaltsbewilligung zur Wahrnehmung des Rechts auf persönlichen Umgang (Besuchsrecht) mit dem Kind ist (1) eine in affektiver Hinsicht zumindest normale und (2) in wirtschaftlicher Hinsicht enge Eltern-Kind-Beziehung; (3) der Umstand, dass diese Beziehung wegen der Distanz zwischen der Schweiz und dem Staat, in welchen die ausländische Person auszureisen hätte, praktisch nicht mehr aufrechterhalten werden könnte, und (4) dass sich die ausreisepflichtige Person in der Schweiz bisher weitgehend "tadellos" verhalten hat ("umgekehrter Familiennachzug": <ref-ruling> E. 5.2 mit Hinweisen; Urteil 2C_614/2020 vom 26. November 2020 E. 4.3.1). Diese Kriterien sind in ihrer Gesamtheit in die Beurteilung mit einzubeziehen (<ref-ruling> E. 5.2).
3.2.2. Soweit hier interessierend, erwog die Vorinstanz, dass das Zivilgericht nach der am 22. November 2014 erfolgten Scheidung des Beschwerdeführers von seiner dritten Gattin das gemeinsame Sorgerecht ausgesprochen habe. Der Beschwerdeführer habe sich lange Zeit nicht an die damals vereinbarten Besuchszeiten gehalten und das Besuchsrecht nur unzuverlässig wahrgenommen; zudem sei er abgemachten Terminen unentschuldigt ferngeblieben und habe diesbezüglich eine bedenkliche Unverbindlichkeit an den Tag gelegt. Das Besuchsrecht werde nun jedoch - soweit ersichtlich - kontinuierlich und mehr oder weniger reibungslos ausgeübt. Zeitweilig habe der Beschwerdeführer im Haus gelebt, in dem auch die beiden Töchter und die Ex-Ehefrau lebten, so dass die gepflegten Beziehungen während dieser Phase über das übliche Besuchsrecht hinausgegangen seien. Auch nach dem Wegzug im Februar 2020 solle er sich regelmässig jedes zweite Wochenende von Freitag 18.00 Uhr bis Sonntag 18.00 Uhr um die Kinder gekümmert und auch sonst in stetem Kontakt zu ihnen gestanden haben. Entsprechend sei inzwischen von einer engen affektiven Beziehung auszugehen.
Anders verhalte es sich mit dem Erfordernis der engen wirtschaftlichen Beziehung. So sei der Beschwerdeführer seiner Verpflichtung zur Leistung von Alimenten von Anfang an nicht nachgekommen. Dadurch hätten die Sozialdienste der Gemeinde G._ über Jahre hinweg ein Alimenteninkasso von Fr. 460.-- entrichten müssen. Den finanziellen Verpflichtungen gegenüber den Töchtern sei der Beschwerdeführer selbst nach der letztmaligen Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, die eine entsprechende Bedingung enthalten habe, nicht nachgekommen. Dem Umstand, dass der Beschwerdeführer seit Herbst 2020 dreimal Unterhaltsbeiträge von Fr. 400.-- geleistet habe, komme vor diesem Hintergrund - und auch im Lichte der allgemein prekären finanziellen Verhältnisse des Beschwerdeführers (vgl. E. 7.6 des angefochtenen Entscheids) - kein entscheidendes Gewicht zu. Vielmehr bestärke dieses Handeln die Einschätzung, dass der Beschwerdeführer - wie in anderen Bereichen - nur in Drucksituationen bereit sei, eingegangenen Verpflichtungen Folge zu leisten. Mithin bestehe keine enge wirtschaftliche Beziehung des Beschwerdeführers zu seinen Kindern aus dritter Ehe (vgl. zum Ganzen E. 8.6 des angefochtenen Entscheids).
Weiter ergäben sich auch keine Anhaltspunkte dafür, dass die Anwesenheit des Beschwerdeführers unter dem Blickwinkel des Kindeswohls geboten wäre. Der Kontakt des Beschwerdeführers zu seinen Töchtern B._ und C._ könne durch gegenseitige Kurzbesuche und Ferienaufenthalte sowie mittels moderner Kommunikationsmittel aufrechterhalten werden. Nur schon aufgrund der früheren regelmässigen Reisen (auch der beiden Töchter) nach Marokko werde es dem Beschwerdeführer keine Probleme bereiten, den familiären Kontakt von dort aus weiterzupflegen. Insofern sei ein gewisses Mass an Familienleben gewährleistet (vgl. E. 8.7 des angefochtenen Entscheids).
3.2.3. Der Beschwerdeführer gesteht zu, dass es ihm in den Phasen seiner selbständigen Erwerbstätigkeit und Stellensuche (d.h. bis Sommer 2019) nicht möglich gewesen sei, seiner familienrechtlichen Pflicht zur Leistung von Unterhaltsbeiträgen nachzukommen. Er behauptet jedoch, seiner Unterhaltspflicht seit seiner Anstellung bei der Firma H._ im August 2019 nunmehr nachzukommen; entsprechend sei ohne Weiteres von einer engen wirtschaftlichen Beziehung zwischen ihm und seinen Töchtern C._ und B._ auszugehen (vgl. S. 7 der Beschwerde).
3.2.4. Die Behauptung des Beschwerdeführers, seinen Unterhaltspflichten seit August 2019 nachzukommen (vgl. E. 3.2.3 hiervor), steht in unauflösbarem Widerspruch zu den Feststellungen der Vorinstanz (vgl. E. 3.2.2 hiervor), wonach der Beschwerdeführer seinen finanziellen Verpflichtungen gegenüber den Töchtern aus dritter Ehe auch nach der letztmaligen Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nicht nachgekommen ist. Aus der Beschwerde geht nicht hervor, dass die Vorinstanz bei der Feststellung dieses Sachverhaltselements in Willkür verfallen wäre, weshalb das Bundesgericht auf die Feststellung der Vorinstanz abzustellen hat (vgl. E. 2.2 hiervor). Auf Grundlage des vorinstanzlich festgestellten Sachverhalts fehlt es aber an der engen wirtschaftlichen Beziehung zwischen dem Beschwerdeführer und seinen beiden Töchtern aus dritter Ehe. Daran ändert nichts, dass zumindest die jüngere Tochter aus dritter Ehe jedes zweite Wochenende von Freitagabend bis Sonntagabend beim Beschwerdeführer verbringt; in den entsprechenden Betreuungsleistungen des Beschwerdeführers kann offensichtlich kein substanzieller Naturalunterhalt erblickt werden, der nach der Rechtsprechung zur Annahme enger wirtschaftlicher Beziehungen führen könnte (vgl. <ref-ruling> E. 2; Urteil 2C_23/2018 vom 11. März 2019 E. 3.3.3).
3.2.5. Ein Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ergibt sich damit aus der Beziehung des Beschwerdeführers zu seinen Töchtern aus dritter Ehe nicht.
3.3. Der Beschwerdeführer beruft sich zur Begründung eines Aufenthaltsanspruchs nicht nur auf seine familiären Beziehungen zu seinen in der Schweiz gefestigt aufenthaltsberechtigten Kindern, sondern auch auf den Umstand, dass er sich seit 1996 in der Schweiz aufhält (vgl. insbesondere S. 8 der Beschwerde). Er ruft in dieser Hinsicht den Anspruch auf Achtung des Privatlebens an (vgl. insbesondere Art. 8 Ziff. 1 EMRK).
3.3.1. Unter bestimmten Umständen kann eine ausländerrechtliche Fernhaltemassnahme in das Recht auf Privatleben (Art. 8 Ziff. 1 EMRK) eingreifen. Eine lange Anwesenheit und die damit verbundene normale Integration genügen dafür nicht; erforderlich sind vielmehr besonders intensive, über eine normale Integration hinausgehende private Beziehungen beruflicher oder gesellschaftlicher Natur (<ref-ruling> E. 6.1; <ref-ruling> E. 3.2.1; <ref-ruling> E. 2c; <ref-ruling> E. 3b; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.2.1). Regelmässig der Fall ist dies bei Ausländern der zweiten Generation (vgl. <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.2.2). Im Sinne einer Leitlinie gilt überdies, dass der Anspruch nach zehnjährigem rechtmässigem Aufenthalt in der Schweiz zumindest tangiert ist; weil davon ausgegangen werden kann, dass nach einer solchen Zeitdauer in der Schweiz enge soziale Bindungen bestehen, bedarf es für eine Aufenthaltsbeendigung in solchen Fällen besonderer Gründe. Im Einzelfall kann es sich freilich anders verhalten und die Integration zu wünschen übrig lassen. Vorkommen kann umgekehrt auch, dass der Anspruch auf Achtung des Privatlebens schon vor Ablauf der zehn Jahre betroffen ist (<ref-ruling> E. 3.9).
3.3.2. Die Vorinstanz erwog mit Blick auf den Aufenthalt des Beschwerdeführers in der Schweiz, der Beschwerdeführer habe sich während der letzten 25 Jahre nur beschränkt in die hiesigen Verhältnisse eingelebt. Zu seinen Ungunsten sprächen insbesondere die ungenügende berufliche Integration, seine Schuldenwirtschaft und das Verhalten nach der Verwarnung im August 2016 bis zum Erlass der Verfügung vom 4. Februar 2019. Es lägen in dieser Hinsicht besondere Umstände vor, welche der vom Bundesgericht aufgestellten Vermutung, dass eine ausländische Person nach zehn Jahren Aufenthalt als integriert gelten könne, entgegenstünden (vgl. E. 8.9 des angefochtenen Urteils).
3.3.3. Der Beschwerdeführer hält der Würdigung der Vorinstanz im Wesentlichen entgegen, er habe das ausländerrechtliche Kriterium der wirtschaftlichen Integration nunmehr erfüllt. Seit drei Jahren sei er finanziell unabhängig, und seit bald zwei Jahren gehe er mit enormem Einsatz einer unselbständigen Arbeit nach. Obwohl seine finanziellen Verhältnisse knapp seien, könne er seinen finanziellen Verpflichtungen, insbesondere auch seinen Unterhaltspflichten, nachkommen. Im Weiteren habe er erst vor ein paar Jahren im schweizerischen Arbeitsmarkt Fuss fassen können; er sei zuversichtlich, in absehbarer Zeit eine besser bezahlte Stelle zu finden. Weil er zudem Anspruch auf Familienzulagen für seine Kinder E._ und F._ habe, bestehe durchaus Aussicht auf nachhaltige Schuldensanierung. Eine Wegweisung nach Marokko sei nicht im Interesse der Gläubiger; angesichts seiner ungewissen wirtschaftlichen Zukunft dort werde er jedenfalls keine Kinderalimente und Schuldenzahlungen leisten können.
3.3.4. Die vorstehend (vgl. E. 3.3.3 hiervor) wiedergegebenen Ausführungen des Beschwerdeführers widersprechen zu weiten Teilen den für das Bundesgericht verbindlichen (vgl. E. 2.2 hiervor) Feststellungen der Vorinstanz. So geht aus dem angefochtenen Urteil hervor, dass der Beschwerdeführer nach der ausländerrechtlichen Verwarnung weitere Schulden angehäuft hat und auch weiter von der Sozialhilfe abhängig gewesen ist. Erst unter dem Druck der angedrohten Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung hat er begonnen, sich um eine Arbeitsstelle zu bemühen (vgl. E. 7.5 des angefochtenen Urteils). Die monatlichen Netto-Einkünfte des Beschwerdeführers aus seiner seit Oktober 2019 ausgeübten Tätigkeit als Chauffeur im Stundenlohn schwanken erheblich (zwischen Fr. 835.70 und Fr. 3'662.75) und erlauben keinen nachhaltigen Schuldenabbau (E. 7.6 des angefochtenen Urteils). Unterhaltszahlungen an seine Töchter hat er nur dreimal geleistet (E. 8.6 des angefochtenen Urteils). Der Beschwerdeführer zeigt in seiner Beschwerdeschrift nicht rechtsgenüglich auf, dass die entsprechenden Feststellungen unhaltbar wären. Auch legt er nicht dar, dass er sich anderweitig in die schweizerischen Verhältnisse eingefunden hätte. Abgesehen von seinen familiären Verbindungen (vgl. dazu E. 3.2 hiervor) scheint er mit der Schweiz nicht besonders verbunden zu sein. Bei einer Gesamtbetrachtung ist der Schluss der Vorinstanz, dass der Beschwerdeführer sich trotz seines langjährigen Aufenthalts nicht in die hiesigen Verhältnisse integriert hat und entsprechend auch nichts aus dem Anspruch auf Achtung des Privatlebens (Art. 8 Ziff. 1 EMRK) ableiten kann, jedenfalls nicht zu beanstanden.
Selbst wenn man im Übrigen zum Schluss kommen wollte, dass der Anwendungsbereich von Art. 8 Ziff. 1 EMRK vorliegend eröffnet wäre, erwiese sich die von der Vorinstanz bestätigte aufenthaltsbeendende Massnahme klarerweise als verhältnismässig. Zu berücksichtigen ist in diesem Zusammenhang nicht zuletzt der Umstand, dass aufgrund des vorinstanzlich festgestellten Sachverhalts keinerlei Hinweise darauf bestehen, dass ein weiterer Verbleib des Beschwerdeführers in der Schweiz ihn in die Lage versetzen würde, seine Schulden nachhaltig abzubauen und für seine Kinder dauerhaft mitaufzukommen.
3.3.5. Ein Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ergibt sich damit auch aus dem langjährigen Aufenthalt des Beschwerdeführers in der Schweiz nicht.
3.4. Nach dem Gesagten beruft sich der Beschwerdeführer ohne Erfolg auf Art. 8 EMRK, <ref-law>, Art. 3 KRK und <ref-law>. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet. Sie ist abzuweisen.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens (vgl. E. 3.4 hiervor) wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Mit Blick auf das ausführlich und nachvollziehbar begründete Urteil der Vorinstanz sowie die bundesgerichtliche Rechtsprechung erweist sich die Beschwerde als aussichtslos; den Gesuchen um unentgeltliche Rechtspflege und amtliche Verbeiständung kann deshalb nicht entsprochen werden (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege und amtliche Verbeiständung werden abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung VI, und der Einwohnergemeinde Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. August 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner