Faits :
A.
A.a. A._, né en 1965, a travaillé dès août 1991 à temps plein en tant qu'aide-mécanicien pour l'entreprise B._ SA. Il était à ce titre assuré obligatoirement contre les risques d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). Son contrat de travail a été résilié au 28 février 2010. Par déclaration de sinistre du 29 avril 2010, son ancien employeur a annoncé un cas de maladie professionnelle à la CNA, en indiquant notamment que son ancien employé avait été en arrêt-maladie depuis le 19 décembre 2008 et en incapacité de travail du 21 janvier 2009 jusqu'à la fin des rapports de travail. L'employé a précisé qu'il présentait vraisemblablement une intoxication aux métaux lourds et au trichloréthylène.
Dans un rapport d'expertise du 15 février 2011, le docteur C._, spécialiste en neurologie, a diagnostiqué un syndrome psycho-organique des solvants dans le cadre d'une exposition chronique au trichloréthylène. Il a estimé que le lien de causalité entre cette maladie et l'exposition professionnelle de l'assuré était exclusif ou nettement prépondérant, bien que son examen ait été réalisé à distance de l'arrêt de l'exposition (deux ans après) et qu'aucune constatation clinique ou paraclinique positive n'ait pu être objectivée, en particulier sur le plan neuropsychologique, EEG et ENMG. Les troubles de l'intéressé correspondaient toutefois au tableau d'encéphalopathie modérée citée dans le syndrome psycho-organique des solvants, lequel était d'ordinaire réversible en une période difficile à déterminer allant de six mois à deux ans. Le spécialiste a également diagnostiqué un syndrome d'apnées du sommeil modéré, sans relation de causalité avec l'exposition professionnelle. L'incapacité de travail de l'assuré avait été totale entre juillet 2008 et décembre 2010. Une nouvelle évaluation trois ans plus tard était recommandée; un amendement de la symptomatologie partiel ou total était envisageable d'ici là. Dans un rapport complémentaire du 27 juin 2011, l'expert a notamment relevé que le diagnostic de syndrome psycho-organique des solvants était un point délicat en l'absence de troubles neurologiques ou cognitifs démontrés, précisant que les troubles cognitifs étaient généralement présents dans le tableau initial. Une activité professionnelle à 50 % était envisageable dès la fin 2011.
La CNA a pris en charge le cas en tant que maladie professionnelle et a versé des indemnités journalières.
Suivant l'avis du docteur C._, une nouvelle expertise neurologique et psychiatrique a été confiée aux docteurs D._, spécialiste en neurologie ainsi qu'en psychiatrie et psychothérapie, et E._, spécialiste en neurologie. Dans son rapport du 13 juin 2013, le docteur D._ a retenu les diagnostics de syndrome douloureux somatoforme persistant, apparu à la fin de l'année 2010 au plus tard, d'accentuation de certains traits de la personnalité et de majoration de symptômes physiques pour des raisons psychologiques, sans conséquence sur la capacité de travail. Dans son rapport du 18 juin 2013, le docteur E._ a posé les diagnostics d'intoxications ponctuelles au trichloréthylène entre 1991 et 2008, sans séquelles au long cours, et de trouble somatoforme douloureux. Il n'a en revanche pas reconnu de syndrome psycho-organique post-exposition au trichloréthylène.
Par décision du 31 octobre 2013, confirmée sur opposition le 11 décembre 2013, la CNA a mis un terme aux prestations d'assurance au 31 août 2013. Par jugement du 22 octobre 2014, la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura (ci-après: Cour des assurances) a admis le recours formé contre la décision sur opposition et a renvoyé la cause à la CNA pour qu'elle mette en oeuvre une nouvelle expertise. Les juges cantonaux ont retenu en substance que l'expertise du docteur E._ ne se prononçait pas clairement sur l'évolution de l'état de santé de l'assuré et que les conclusions de ce spécialiste divergeaient de celles du docteur C._ quant à l'état de santé initial.
A.b. La CNA a confié la réalisation d'une nouvelle expertise aux docteurs F._ et G._, spécialistes en neurologie. Dans leur rapport du 17 juin 2016, ceux-ci ont indiqué ne pas pouvoir retenir de diagnostic neurologique pouvant expliquer les symptômes de l'assuré. Leur évaluation confirmait l'absence d'atteinte neurologique objectivable; ils n'avaient pas retrouvé de notion d'une encéphalopathie ou d'un syndrome psycho-organique lié au trichloréthylène qui se présenterait sans troubles neuropsychologiques objectivables ni atteinte des nerfs crâniens associée. En outre, les résultats de l'analyse de laboratoire de potentielles substances nocives étaient dans les normes. Les experts ont en revanche notamment diagnostiqué un probable syndrome d'apnées obstructives du sommeil modéré, ainsi qu'une possible sinusite chronique qui pouvaient expliquer certains troubles décrits par l'assuré. Une pleine capacité de travail était exigible d'un point de vue neurologique.
Sur requête de l'assuré, la CNA a ordonné un complément d'instruction sur le plan toxicologique auprès de l'Institut universitaire romand de santé au travail (IST). Cet institut a procédé à des examens complémentaires effectués par plusieurs médecins spécialisés en médecine du travail. Dans leur rapport d'expertise du 7 mars 2018, ceux-ci ont retenu que la persistance des symptômes (essentiellement fatigue et céphalées), en l'absence d'une exposition aux solvants depuis près de 9 ans, n'était pas compatible avec un syndrome psycho-organique de type 1, lequel était réversible à l'arrêt de l'exposition et se caractérisait par des symptômes non objectivables. Des anomalies de la substance blanche identifiées par une IRM cérébrale en 2010 ne parlaient pas en faveur d'une encéphalopathie due aux solvants. Aucune autre atteinte consécutive à une exposition au trichloréthylène ni aucune autre maladie professionnelle n'ont pu être confirmées. L'assuré bénéficiait d'une pleine capacité de travail dans son activité habituelle. Dans leur rapport complémentaire du 23 août 2018, les spécialistes ont précisé qu'ils avaient compensé l'absence d'informations quant au niveau d'exposition et à la nature des substances chimiques auxquelles l'intéressé avait été exposé par une démarche scientifique rigoureuse prenant en compte toutes les substances auxquelles il aurait pu être exposé. Ils relevaient en outre que la validité scientifique de l'examen sanguin et toxicologique LTT-Melisa pratiqué en 2016, positif au tungstène, n'était pas reconnue.
Par décision du 15 octobre 2018, la CNA a confirmé sa décision du 31 octobre 2013 par laquelle elle avait refusé d'allouer des prestations à l'assuré au-delà du 31 août 2013.
B.
Par jugement du 25 mars 2020, la Cour des assurances a rejeté le recours formé contre cette décision ainsi que la requête d'assistance judiciaire de l'assuré.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant à sa réforme en ce sens que la CNA lui alloue des prestations d'assurance postérieurement au 31 août 2013. A titre subsidiaire, il conclut à l'annulation du jugement attaqué et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour complément d'instruction. Il sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire.
La juridiction cantonale et l'intimée concluent au rejet du recours. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Il est donc recevable.
1.2. S'agissant d'une procédure concernant l'octroi de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par la juridiction précédente (<ref-law>).
2.
2.1. Le jugement entrepris expose de manière complète les dispositions relatives aux conditions d'octroi de prestations d'assurance en cas de maladie professionnelle (art. 6 al. 1 et 9 al. 1 et 2 LAA; <ref-law> [RS 830.1]), en particulier en cas d'exposition à des substances nocives (annexe 1 OLAA [RS 832.202]). Il en va de même de la jurisprudence et de la doctrine concernant le lien de causalité entre l'influence d'un agent nocif et une maladie (arrêts 8C_155/2020 du 1 er avril 2020 consid. 4.1 et 8C_306/2014 du 27 mars 2015 consid. 5.2 et la référence doctrinale), la répartition du fardeau de la preuve dans le contexte de la suppression du droit aux prestations (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 429 s.; <ref-ruling> consid. 6 p. 221 s.), ainsi que l'appréciation des preuves, en particulier des rapports médicaux (<ref-ruling> consid. 4.4 p. 469 s.; <ref-ruling> consid. 3 p. 352 ss). Il suffit d'y renvoyer.
2.2. La cour cantonale a relevé qu'il n'était pas contesté que le recourant avait été victime d'une maladie professionnelle des suites de son exposition au trichloréthylène. Seule la question d'une persistance de son incapacité de travail au-delà du 31 août 2013, en raison de cette maladie, était litigieuse. A cet égard, l'expertise de l'IST apparaissait claire, complète et convaincante. Les spécialistes de cet institut avaient expliqué ce qui suit: A défaut d'atteinte neurologique ou neuropsychologique objectivable, seule une atteinte neurologique des solvants de type 1 pouvait entrer en ligne de compte selon la littérature scientifique; or si ladite littérature reconnaissait la présence de symptômes non objectivables, elle admettait que les symptômes étaient réversibles à l'arrêt de l'exposition. Par conséquent, la persistance des symptômes en l'absence d'une exposition depuis près de 9 ans parlait en défaveur d'un syndrome psycho-organique de type 1. Les troubles du recourant ne rentraient pas dans le cadre d'un diagnostic de syndrome psycho-organique et les résultats de l'IRM réalisée en 2010 ne permettaient pas de conclure à une encéphalopathie due aux solvants. Pour le reste, les affections du recourant n'étaient pas liées à une exposition professionnelle.
La juridiction cantonale a par ailleurs retenu que les experts de l'IST avaient expliqué de manière convaincante que le manque d'informations sur les niveaux d'exposition aux solvants avait été pallié par la prise en compte de toutes les substances auxquelles le recourant avait potentiellement pu être exposé. Dès lors, des renseignements supplémentaires sur l'exposition concrète du recourant n'étaient pas de nature à modifier les conclusions des experts, de sorte que l'intimée avait refusé à raison d'ordonner un complément d'expertise comme requis par le recourant. Les juges précédents ont enfin retenu que l'expertise du docteur C._ n'infirmait pas les conclusions de l'IST; elle soulignait au contraire qu'en l'absence de constatation clinique objectivable, le syndrome psycho-organique des solvants (de type 1) était réversible, et reconnaissait une capacité partielle de travail à la fin 2011. Considérant que le recours cantonal était d'emblée dépourvu de chances de succès, ils ont rejeté la requête d'assistance judiciaire du recourant.
3.
3.1. Dans un grief d'ordre formel qu'il convient de traiter en premier lieu, le recourant invoque l'art. 29 al. 1 Cst. et se plaint d'un déni de justice formel. Il reproche à l'instance précédente de ne pas avoir pris en compte l'examen LTT-Melisa effectué par un laboratoire spécialisé agréé par l'Office fédéral des assurances sociales (OFAS), qui aurait attesté de la présence de tungstène dans son sang. Contrairement à l'avis des experts de l'IST, cet examen aurait pleine valeur probante et la cour cantonale aurait dû se prononcer sur ce grief invoqué devant elle.
3.2. Selon la jurisprudence, l'autorité qui ne traite pas un grief relevant de sa compétence, motivé de façon suffisante et pertinent pour l'issue du litige, commet un déni de justice formel proscrit par l'art. 29 al. 1 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 232), ce qu'il appartient au recourant d'établir (arrêt 8C_96/2020 du 15 octobre 2020 consid. 6.1.2 et les références).
3.3. Dans leur rapport d'expertise du 7 mars 2018, les spécialistes de l'IST ont relevé que de manière générale, le test LTT-Melisa était considéré comme le plus discutable pour définir une réaction allergique aux métaux, du fait de sa faible valeur prédictive positive et négative; il n'était pas reconnu sur le plan des recommandations internationales et ne pouvait pas être validé comme test diagnostique. Ils ont précisé qu'en l'absence de plaintes cliniques typiques d'une allergie aux métaux chez le recourant, son test positif au tungstène n'avait pas de signification clinique ni n'expliquait les symptômes dont il se plaignait. L'origine de cette substance dans son sang n'était par ailleurs pas claire.
Il ressort de l'explication circonstanciée et convaincante des experts que les résultats de l'examen LTT-Melisa auquel s'est soumis le recourant ne constituent pas un élément déterminant pour l'issue du litige, dès lors qu'un tel examen s'avère par nature inapte à étayer la maladie professionnelle dont il se plaint. L'expertise ayant pleine valeur probante (cf. consid. 4.3 infra), les juges cantonaux n'avaient pas à se prononcer précisément sur cette question, étant rappelé qu'une autorité de recours ne doit pas se prononcer sur tous les moyens des parties, mais peut au contraire se limiter aux questions décisives (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 70 s.; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 157). En tout état de cause, le recourant ne s'appuie sur aucun avis médical ou scientifique déduisant l'existence d'une maladie professionnelle de la seule présence de tungstène dans son sang. Son grief s'avère infondé.
4.
4.1. Invoquant les art. 29 al. 2 Cst. et 43 al. 1 LPGA, le recourant reproche encore à la juridiction cantonale d'avoir violé son droit d'être entendu en rejetant sa requête tendant à la mise en oeuvre d'une nouvelle expertise toxicologique et en considérant que les conclusions de l'IST étaient claires et convaincantes. A ce titre, le docteur C._ aurait retenu qu'il avait été victime d'une maladie professionnelle en raison d'une exposition au trichloréthylène, tandis que les experts de l'IST auraient estimé qu'il n'avait jamais souffert d'un syndrome ou d'une maladie consécutifs à une exposition aux solvants, en particulier d'un syndrome psycho-organique des solvants de type 1 dans le cadre d'une exposition chronique au trichloréthylène. Dès lors que les conclusions du docteur C._ et des experts de l'IST divergeraient quant à son état de santé initial, les premiers juges auraient dû ordonner une expertise toxicologique. Par ailleurs, ce serait à tort que les spécialistes de l'IST ont considéré que malgré l'absence au dossier de la liste exhaustive des produits utilisés à son ancien poste de travail, leur expertise était irréprochable au motif qu'ils avaient pris en considération l'ensemble des substances auxquelles il avait été potentiellement exposé; ces informations manquantes constitueraient des éléments essentiels sans lesquels l'expertise de l'IST n'aurait pas de force probante.
4.2. Tel qu'invoqué, le grief de violation du droit d'être entendu n'a pas de portée propre par rapport à celui tiré d'une mauvaise appréciation des preuves (cf. arrêt 8C_164/2019 du 6 mars 2020 consid. 4.2 et les références). Il convient dès lors de l'examiner sous cet angle.
4.3. Il sied d'emblée de relever que les juges précédents se sont à bon droit fondés essentiellement sur l'expertise de l'IST - et non sur celle du docteur C._ - pour définir l'état de santé du recourant et se prononcer sur l'octroi de prestations d'assurance au-delà du 31 août 2013. Dans leur premier jugement du 22 octobre 2014, ils avaient en effet invité l'intimée à ordonner une nouvelle expertise en vue de lever les contradictions existantes entre les expertises des docteurs C._ et E._ quant à l'état de santé initial du recourant; sous réserve de sa pertinence, la nouvelle expertise de l'IST était ainsi censée lever lesdites contradictions et constituer le fondement d'une nouvelle décision. Or les spécialistes en médecine du travail de l'IST ont - au terme de nombreux examens approfondis - retenu que les symptômes présentés par le recourant depuis son arrêt de travail n'étaient pas compatibles avec un syndrome psycho-organique des solvants et que les examens pratiqués n'avaient pas mis en évidence une autre atteinte due à l'exposition aux solvants ni toute autre maladie professionnelle. Leurs conclusions rejoignent par ailleurs celles des docteurs F._ et G._, également mandatés par l'intimée ensuite du jugement du 22 octobre 2014, qui n'ont constaté aucune maladie professionnelle liée à une exposition professionnelle aux solvants. De fait, aucun des experts consultés n'a attesté de l'existence d'une telle maladie ou de la persistance des troubles qui en résulteraient au-delà du 31 août 2013, pas même le docteur C._, qui précisait début 2011 que la maladie était réversible et qu'un amendement de la symptomatologie était envisageable, et dont aucun rapport médical postérieur au 27 juin 2011 n'est mentionné dans le jugement attaqué.
C'est également à bon droit que les premiers juges ont reconnu une pleine valeur probante à l'expertise de l'IST malgré le fait que les experts ont rendu leurs conclusions sans avoir pu être informés sur la nature précise des substances auxquelles le recourant avait été exposé. Ils ont en effet expliqué de manière convaincante avoir tenu compte de toutes les substances avec lesquelles le recourant avait pu être en contact, de sorte qu'ils avaient au final pris en considération davantage de produits que ceux auxquels il avait réellement été confronté. Au surplus, le fait de connaître les substances exactes présentes dans l'ancien environnement de travail du recourant ne changerait rien au fait que celui-ci n'a pas présenté de troubles en lien avec une exposition aux solvants, à tout le moins pas au-delà du 31 août 2013. Ses griefs s'avèrent ainsi infondés.
5.
5.1. Le recourant se plaint encore du fait qu'aucune nouvelle expertise psychiatrique n'ait été mise en oeuvre ensuite du jugement cantonal du 22 octobre 2014, de sorte que le rapport du 13 juin 2013 du docteur D._, qui faisait état d'un syndrome douloureux somatoforme persistant, constitue le seul avis médical psychiatrique au dossier. Le recourant reproche à la juridiction cantonale de ne pas avoir instruit la cause sous l'angle de la jurisprudence du Tribunal fédéral sur la mise en évidence du syndrome douloureux somatoforme persistant (cf. <ref-ruling>).
5.2. Il ne ressort pas du rapport d'expertise précité que le syndrome douloureux somatoforme persistant diagnostiqué par le docteur D._ ait été imputé à l'environnement professionnel du recourant. Le recourant ne le soutient d'ailleurs pas. Par ailleurs, ce médecin a nié toute incapacité de travail en lien avec cette affection. C'est donc à bon droit que les premiers juges n'ont pas ordonné de nouvelle expertise psychiatrique.
6.
Enfin, on ne saurait donner suite aux conclusions du recourant sur la seule base du jugement du Tribunal administratif fédéral du 26 mai 2020 (en la cause C-6800/2014) qui a rétabli son droit à une rente AI dès le 1 er décembre 2014. En effet, l'évaluation de l'invalidité par les organes de l'assurance-invalidité n'a pas de force contraignante pour l'assurance-accidents (<ref-ruling> consid. 2 p. 365). De surcroît, le jugement en question portait sur la suppression du droit à une rente AI sur la base de l'<ref-law>, alors que le présent litige est limité au point de savoir si le recourant peut prétendre à des prestations d'assurance au titre d'une maladie professionnelle, notion étrangère à l'assurance-invalidité.
7.
7.1. Se prévalant finalement d'une violation de l'art. 29 al. 3 Cst., le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir violé son droit à l'assistance judiciaire en rejetant sa requête en ce sens au motif que sa cause paraissait dépourvue de toute chance de succès.
7.2. En matière de droit public, le droit à l'assistance judiciaire est réglé en premier lieu par le droit de procédure cantonal; indépendamment de cette réglementation, le droit à l'assistance judiciaire repose sur l'art. 29 al. 3 Cst., lequel confère au justiciable une garantie minimale (arrêt 2C_610/2020 du 19 novembre 2020 consid. 5.2 et la référence). Étant donné qu'en l'occurrence, le recourant ne prétend pas qu'une règle de droit cantonal lui conférerait une protection plus étendue que celle de l'art. 29 al. 3 Cst., le grief tiré de la violation du droit à l'assistance judiciaire doit être traité exclusivement à la lumière de cette disposition constitutionnelle (ibidem).
7.3. Selon la jurisprudence, un procès est dénué de chances de succès lorsque les perspectives de le gagner sont notablement plus faibles que les risques de le perdre; il n'est en revanche pas dénué de chances de succès lorsque celles-ci et les risques d'échec sont à peu près égaux, ou lorsque les premières ne sont guère inférieures aux seconds. Est déterminante la question de savoir si une partie disposant des ressources financières nécessaires se lancerait ou non dans le procès après une analyse raisonnable. Il s'agit d'éviter qu'une partie mène un procès qu'elle ne conduirait pas à ses propres frais, uniquement parce qu'il ne lui coûte rien (<ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 2.2).
Le juge cantonal dispose d'un large pouvoir d'appréciation dans l'examen des chances de succès. Le Tribunal fédéral ne revoit sa décision qu'avec retenue: il doit uniquement vérifier que le juge cantonal ne s'est pas écarté des principes juridiques reconnus en la matière, qu'il n'a pas tenu compte de circonstances qui ne jouent pas de rôle pour le pronostic dans le cas particulier ou, inversement, qu'il n'a pas méconnu des circonstances pertinentes dont il aurait dû tenir compte (arrêt 5D_171/2020 du 28 octobre 2020 consid. 3.1 in fine et la référence).
7.4. La cour cantonale a retenu que le recourant n'avait élevé aucun grief substantiel permettant d'ébranler la crédibilité de l'expertise de l'IST qu'il avait lui-même sollicitée. Il n'avait en particulier produit aucun avis médical soutenant sa thèse selon laquelle le niveau d'exposition et la nature des substances auxquelles il avait été exposé étaient déterminants. Le recourant ne critique pas cette motivation qui au demeurant ne prête pas le flanc à la critique. On ajoutera qu'il a recouru - au niveau cantonal comme fédéral - en l'absence de toute pièce médicale au dossier attestant de problèmes de santé postérieurs au 31 août 2013 et liés à son exposition professionnelle. Son grief est infondé.
8.
Le recours étant dépourvu de chances de succès, la demande d'assistance judiciaire pour la procédure devant le Tribunal fédéral doit être rejetée (<ref-law>). Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 11 décembre 2020
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
Le Greffier : Ourny