Sachverhalt:
A.
Am 18. September 2013 verurteilte das Strafgericht des Kantons Basel-Stadt (im Folgenden: Strafgericht) A._ wegen falscher Anschuldigung, mehrfacher Drohung, versuchter Nötigung, mehrfacher Brandstiftung, versuchter Schreckung der Bevölkerung, Irreführung der Rechtspflege und mehrfacher Beschimpfung zu drei Jahren Freiheitsstrafe und einer Geldstrafe. Es schob den Vollzug der Freiheitsstrafe auf und ordnete die stationäre psychiatrische Behandlung an.
A._ trat die Massnahme am 17. Dezember 2013 an.
Am 19. November 2015 verurteilte ihn das Strafgericht wegen Brandstiftung zu zwei Jahren Freiheitsstrafe. Deren Vollzug schob es wiederum auf und ordnete die Fortsetzung der mit Urteil vom 18. September 2013 ausgeprochenen psychiatrischen Behandlung an.
B.
Auf Antrag von A._ hin hob das Amt für Justizvollzug des Kantons Basel-Stadt (im Folgenden: Amt) die Massnahme am 15. März 2017 per 24. März 2017 wegen Aussichtslosigkeit auf. Gleichentags beantragte es dem Strafgericht, die Reststrafe der mit den Urteilen vom 18. September 2013 und 19. November 2015 ausgesprochenen Freiheitsstrafen zu vollziehen und gegen A._ anschliessend die Verwahrung anzuordnen.
Am 31. Oktober 2017 erklärte das Strafgericht die aufgeschobenen Freiheitsstrafen unter Einrechnung des Massnahmenvollzugs und der Sicherheitshaft für vollziehbar.
Mit Beschluss vom 27. Juni 2018 lehnte das Strafgericht die Verwahrung ab. Es schob den Vollzug der Freiheitsstrafen erneut auf und ordnete die stationäre psychiatrische Behandlung an.
Hiergegen erhoben sowohl das Amt als auch A._ Beschwerde.
An der Verhandlung vor dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt vom 17. Oktober 2018 zog A._ seine Beschwerde zurück. Aufgrund der noch zu geringen Erfahrungen im laufenden Therapiesetting setzte das Appellationsgericht das Verfahren aus.
Am 12. Juni 2019 hiess das Appellationsgericht die Beschwerde des Amtes gut. Es hob die stationäre psychiatrische Behandlung auf und ordnete die Verwahrung an.
Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde hiess das Bundesgericht am 22. Oktober 2019 gut. Es hob den Entscheid des Appellationsgerichts auf und wies die Sache zur Entscheidung über die weiteren Folgen an dieses zurück (Urteil 6B_1035/2019). Das Bundesgericht kam zum Schluss, die Verwahrung verletze Bundesrecht (E. 1.5 f.).
C.
Am 12. November 2019 ordnete die Appellationsgerichtspräsidentin über A._ bis zur Hauptverhandlung vom 18. November 2019 Sicherheitshaft an.
D.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, den Entscheid der Appellationsgerichtspräsidentin vom 12. November 2019aufzuheben und festzustellen, dass die damit bis zum 18. November 2019 angeordnete Sicherheitshaft ungesetzlich sowie verfassungs- und völkerrechtswidrig war. Der Kanton Basel-Stadt sei gestützt auf Art. 5 Ziff. 5 EMRK zu verpflichten, A._ für den unrechtmässigen Freiheitsentzug eine Entschädigung von Fr. 300.-- pro Tag ungesetzlicher Haft auszurichten.
E.
Die Appellationsgerichtspräsidentin hat Bemerkungen eingereicht. Sie beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Amt hat auf Vernehmlassung verzichtet; ebenso A._ auf eine Replik.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen. Dem entsprechenden Verfahrensantrag (Beschwerde S. 5 Ziff. 7) ist damit Genüge getan.
2.
2.1. Gegen den angefochtenen Entscheid ist gemäss <ref-law> die Beschwerde in Strafsachen gegeben.
Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist nach <ref-law> zulässig (<ref-ruling> E. 1.2 ff. S. 178 f.).
2.2.
2.2.1. Im vorinstanzlichen Verfahren geht es um einen selbständigen nachträglichen gerichtlichen Entscheid gemäss <ref-law>. Der angefochtene Entscheid schliesst das Verfahren nicht ab. Der Beschwerdeführer räumt das in der Sache ein, wenn er ausführt, die Vorinstanz habe bis zum Entscheid in der Hauptsache Sicherheitshaft angeordnet (Beschwerde S. 8 Ziff. 14). Der angefochtene Entscheid stellt somit einen Zwischenentscheid dar. Dieser betrifft weder die Zuständigkeit noch den Ausstand. Es handelt sich um einen "anderen Zwischenentscheid" nach <ref-law>. Dagegen ist die Beschwerde gemäss Absatz 1 dieser Bestimmung zulässig, wenn der Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a), oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b).
Die Variante nach <ref-law> fällt hier ausser Betracht.
Beim nicht wieder gutzumachenden Nachteil gemäss <ref-law> muss es sich im Strafrecht um einen solchen rechtlicher Natur handeln. Ein derartiger Nachteil liegt vor, wenn er auch durch einen für den Beschwerdeführer günstigen späteren Entscheid nicht mehr behoben werden kann (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 130). Ein lediglich tatsächlicher Nachteil wie die Verlängerung oder Verteuerung des Verfahrens genügt nicht. Das Erfordernis des nicht wieder gutzumachenden Nachteils rechtlicher Natur soll sicherstellen, dass sich das Bundesgericht soweit möglich nicht mehrmals mit einer Angelegenheit befassen muss (<ref-ruling> E. 1.2 S. 479 mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer muss, sofern das nicht offensichtlich ist, darlegen, inwiefern ihm ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von <ref-law> drohen soll. Andernfalls genügt er seiner Begründungspflicht (<ref-law>) nicht und kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden (<ref-ruling> E. 2.2 S. 801; <ref-ruling> E. 2.5 S. 399 f.; je mit Hinweisen).
2.2.2. Der Beschwerdeführer äussert sich nicht dazu, inwiefern ihm der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur verursachen können soll. Auf die Beschwerde könnte demnach nur eingetreten werden, wenn das offensichtlich wäre.
Der Beschwerdeführer befindet sich offenbar nach wie vor in der Justizvollzugsanstalt Lenzburg. Er beantragt keine Haftentlassung. Vielmehr verlangt er die Feststellung, die vom 12. bis zum 18. November 2019 angeordnete Sicherheitshaft sei unrechtmässig gewesen, und gestützt darauf eine Entschädigung.
Das Appellationsgericht hat am 18. November 2019 in der Sache neu entschieden. Es hat in Abweisung der Beschwerde des Amtes die vom Strafgericht am 27. Juni 2018 angeordnete stationäre psychiatrische Behandlung bestätigt. Das Appellationsgericht hat diesen Entscheid den Parteien (und dem Bundesgericht) am 2. Januar 2020 mitgeteilt. Wie sich aus dem Protokoll der vorinstanzlichen Verhandlung vom 12. November 2019 (S. 4) ergibt, ist der Verteidiger der Auffassung, die stationäre psychiatrische Behandlung sei mangels Therapiefähigkeit und einer geeigneten Institution, in der sie vollzogen werden könne, "klar ausgeschlossen". Das Bundesgericht hält im Urteil vom 22. Oktober 2019 fest, der Beschwerdeführer sei zurzeit nicht therapiefähig (E. 1.7). Es ist deshalb anzunehmen, dass der Beschwerdeführer den Endentscheid des Appellationsgerichts vom 18. November 2019 beim Bundesgericht anfechten wird. Auch die Staatsanwaltschaft kann dagegen Beschwerde erheben (<ref-ruling> E. 1.2 S. 68 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer kann mit dem Endentscheid auch den vorinstanzlichen Zwischenentscheid anfechten. Das Bundesgericht sieht in Fällen, in denen es um Entschädigung geht, vom Erfordernis nach <ref-law> ab, wonach der Zwischenentscheid mit Beschwerde gegen den Endentscheid nur anfechtbar ist, soweit er sich auf dessen Inhalt auswirken kann (Urteil 2C_759/2008 vom 6. März 2009 E. 2.4 ff.). Im Übrigen hat der Beschwerdeführer, falls - wie er geltend macht - eine Verletzung der Europäischen Menschenrechtskonvention besteht, Anspruch auf eine entsprechende Feststellung und Wiedergutmachung (<ref-ruling> E. 2 S. 278). Dies ergibt sich aus der Subsidiarität des Menschenrechtsschutzes durch den Europäischen Gerichtshof (Art. 13 EMRK; <ref-ruling> E. 1.2.1 f. S. 208 f.). Es ist deshalb davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer den vorinstanzlichen Zwischenentscheid vom 12. November 2019 mit Beschwerde gegen den Endentscheid vom 18. November 2019 anfechten kann und damit der von ihm geltend gemachte Nachteil durch einen für ihn günstigen späteren Entscheid behoben werden kann. Jedenfalls ist der nicht wieder gutzumachende Nachteil rechtlicher Natur nicht offensichtlich.
Auf die Beschwerde kann deshalb nicht eingetreten werden. Verhielte es sich anders, müsste sich das Bundesgericht gegebenenfalls kurz nacheinander zweimal mit derselben Angelegenheit befassen, was <ref-law> nach dem Gesagten verhindern will.
3.
Da die Beschwerde aus formellen Gründen aussichtslos war, kann die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nach <ref-law> nicht bewilligt werden. In Anbetracht der finanziellen Verhältnisse des Beschwerdeführers rechtfertigt es sich jedoch, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Justizvollzug des Kantons Basel-Stadt, Straf- und Massnahmenvollzug, und der Präsidentin des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Januar 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Härri