Faits :
A.
A.a. Le 13 novembre 1995 au soir, B._ a été tué dans le sous-sol de son domicile genevois de plusieurs balles tirées avec une arme de poing. Sur place, un dispositif réducteur de son (ci-après : silencieux) artisanal a été découvert; il était composé de mousse provenant d'un appuie-tête et de bande adhésive. Le jour suivant, le Ministère public de la Confédération (MPC) a ouvert une instruction contre inconnu pour meurtre, subsidiairement assassinat. En 2007, quatre profils ADN, trois masculins et un féminin, ont été mis en évidence sur le silencieux.
Le 11 décembre 2009, le MPC a suspendu la procédure.
A.b. Selon de nouvelles analyses ADN, menées au printemps 2018, respectivement des recherches effectuées dans la base de données AFIS, une des traces laissées sur le silencieux appartenait à A._.
Le susmentionné a été arrêté le 30 octobre 2018 et placé en détention provisoire le 1er novembre suivant par le Tribunal des mesures de contrainte (Tmc) du canton de Berne pour une durée de trois mois. Cette mesure a été prolongée à plusieurs reprises par le Tmc; certaines de ses décisions ont été confirmées sur recours tant par la Cour des plaintes du Tribunal pénal fédéral (dont les arrêts BH_1 du 6 juin 2019 et BH_2 du 11 décembre 2019) que par le Tribunal fédéral (arrêts 1B_143/2019 du 23 avril 2019 et 1B_497/2019 du 25 octobre 2019). Par ordonnance du 10 février 2020, le Tmc a admis la requête de prolongation du 24 janvier 2020 formée par le MPC et a prolongé la détention provisoire jusqu'au 29 avril 2020, retenant l'existence de soupçons suffisants de la commission d'infractions, ainsi que d'un danger de fuite qu'aucune mesure de substitution ne permettait de pallier; cette autorité a laissé ouverte la question d'un éventuel risque de réitération.
A.c.
Le 24 mars 2020, la Cour des plaintes du Tribunal pénal fédéral a rejeté le recours formé par A._ contre cette décision.
B.
Par acte du 22 avril 2020, A._ forme un recours en matière pénale contre cet arrêt, concluant à son annulation et au refus de la prolongation de la détention provisoire demandée par le MPC. A titre subsidiaire, le recourant demande le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il sollicite aussi l'octroi de l'assistance judiciaire.
L'autorité précédente a renoncé à se déterminer. Quant au MPC, il a conclu au rejet du recours. Le 11 mai 2020, le recourant a persisté dans ses conclusions.

Considérant en droit :
1.
Selon l'<ref-law>, le recours en matière pénale est recevable contre les décisions de la Cour des plaintes du Tribunal pénal fédéral qui portent sur des mesures de contrainte au sens des <ref-law>, dont font partie les décisions relatives à la détention provisoire ou pour des motifs de sûreté (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 87). Si le maintien en détention repose actuellement sur l'ordonnance du 4 mai 2020 du Tmc, le recourant, prévenu détenu, conserve un intérêt juridique à la vérification de la décision attaquée qui confirme la prolongation de cette mesure (art. 81 al. 1 let. a et b ch. 1 LTF; arrêt 1B_603/2019 du 21 janvier 2020 consid. 1). Le recours a été déposé en temps utile (<ref-law>) et les conclusions qui y sont prises sont recevables (<ref-law>). Partant, il y a lieu d'entrer en matière.
2.
Le recourant demande qu'il soit mis fin à sa détention provisoire. Il soutient que les charges pesant à son encontre se seraient amoindries; cela découlerait notamment du fait que la trace ADN le reliant aux faits examinés ne serait que secondaire et que son implication ne serait qu'une des hypothèses envisageables, dont certaines seraient plus probables (cf. en particulier la trace féminine de meilleure qualité et relevée en plus grande quantité). Le recourant se plaint également d'une violation du principe de célérité. Dans ce cadre, il fait en particulier valoir qu'il ne se justifierait pas d'attendre le résultat de l'expertise scientifique de "mise en contexte" ordonnée en janvier 2020 et attendue pour le 30 juin 2020.
2.1. Une mesure de détention provisoire ou pour des motifs de sûreté n'est compatible avec la liberté personnelle (art. 10 al. 2 Cst. et 5 CEDH) que si elle repose sur une base légale (art. 31 al. 1 et 36 al. 1 Cst.), soit en l'espèce l'<ref-law>. Elle doit en outre correspondre à un intérêt public et respecter le principe de la proportionnalité (art. 36 al. 2 et 3 Cst.). Pour que tel soit le cas, la privation de liberté doit être justifiée par un risque de fuite, un danger de collusion ou de réitération (cf. art. 221 al. 1 let. a, b et c CPP). Préalablement à ces conditions, il doit exister à l'égard de l'intéressé des charges suffisantes, soit de sérieux soupçons de culpabilité (<ref-law>; art. 5 par. 1 let. c CEDH; <ref-ruling> consid. 2 p. 187 s.).
Selon la jurisprudence, il n'appartient pas au juge de la détention de procéder à une pesée complète des éléments à charge et à décharge et d'apprécier la crédibilité des personnes qui mettent en cause le prévenu. Il doit uniquement examiner s'il existe des indices sérieux de culpabilité justifiant une telle mesure. L'intensité des charges propres à motiver un maintien en détention préventive n'est pas la même aux divers stades de l'instruction pénale; si des soupçons, même encore peu précis, peuvent être suffisants dans les premiers temps de l'enquête, la perspective d'une condamnation doit apparaître avec une certaine vraisemblance après l'accomplissement des actes d'instruction envisageables (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 333 s.; <ref-ruling> consid. 3.1 et 3.2 p. 318 s.).
En d'autres termes, les soupçons doivent se renforcer plus l'instruction avance et plus l'issue du jugement au fond approche. Si des raisons plausibles de soupçonner une personne d'avoir commis une infraction suffisent au début de l'enquête, ces motifs objectifs doivent passer de plausibles à vraisemblables ainsi que cela a été rappelé dans les deux arrêts précités du Tribunal fédéral dans la présente cause (arrêts 1B_143/2019 du 23 avril 2019 consid. 3.1 et 1B_497/2019 du 25 octobre 2019 consid. 2.1; voir aussi arrêt 1B_139/2020 du 15 avril 2020 consid. 3.1).
2.2. A teneur de l'<ref-law>, les mesures de contrainte ne peuvent en particulier être ordonnées que si les buts poursuivis ne peuvent pas être atteints par des mesures moins sévères (let. c) et si elles apparaissent justifiées au regard de la gravité de l'infraction (let. d). Le principe de proportionnalité implique donc que la détention provisoire doit être en adéquation avec la gravité de l'infraction commise et la sanction prévisible (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 395).
2.3. Après avoir rappelé les arguments avancés par le MPC dans sa requête du 24 janvier 2020 (cf. consid. 2.3 p. 7 s.). ainsi que ceux retenus dans l'ordonnance du Tmc du 10 février 2020 (cf. consid. 2.4 p. 8 s.), la Cour des plaintes a repris, par renvoi, les éléments pris en compte dans sa décision du 6 juin 2019, à savoir (1) les traces digitales et ADN du recourant retrouvées sur le silencieux découvert auprès du corps de la victime, (2) la présence de celui-ci sur le sol français, respectivement en Suisse, et son occupation à la période concernée, (3) une certaine affinité pour les armes du recourant (cf. consid. 2.2.1 p. 5), (4) les déclarations d'une ancienne compagne de ce dernier en lien avec les propos tenus par le frère du recourant - soit que celui-ci aurait tué quelqu'un -, (5) la fabrication d'un silencieux pouvant démontrer un acte réfléchi et planifié (cf. consid. 2.2.2 p. 5 s.), ainsi que (6) les rapports de l'Unité génétique forensique du 15 mai 2018 et celui de synthèse du 4 février 2019 qui ne permettaient pas d'affirmer que le recourant n'aurait pas touché le silencieux et confirmaient la vraisemblance que les traces digitales et/ou ADN lui appartenaient (cf. consid. 2.3.2 p. 6 s. [cf. consid. 2.5 p. 9 du prononcé entrepris]).
La Cour des plaintes a ensuite examiné les nouveaux éléments avancés par le recourant, le MPC et le Tmc. Elle a ainsi relevé que seuls les experts avaient la compétence de qualifier les traces retrouvées et de déterminer notamment si celles-ci étaient secondaires; l'expertise attendue pour le 30 juin 2020 avait justement comme but la "mise en contexte" des différentes traces, examen que les autorités n'avaient pas la faculté de mettre en oeuvre dans le cadre d'une procédure de détention. La Cour des plaintes a ajouté que, même si la trace ADN devait être secondaire, l'hypothèse la plus probable, lorsque des traces sont identifiées sur une arme, restait en premier lieu que la personne en question ait tenu l'objet, cela d'autant plus que d'autres éléments convergeaient dans cette direction; en tout état, une empreinte digitale du recourant avait aussi été retrouvée sur le ruban adhésif du silencieux, ce qui suffisait pour retenir l'existence de forts soupçons à l'encontre du recourant. Selon les juges, ces soupçons étaient étayés par le rapport d'expertise psychiatrique du 10 décembre 2019; le recourant présentait un "trouble de la personnalité dyssociale avec traits psychopathiques particulièrement marqués" et le "dysfonctionemment émotionnel du psychopathe [...] p[ouvait] lui rendre plus facile qu'à un individu « non-psychopate » la commission d'un délit susceptible de nuire à la vie ou l'intégrité d'autrui" (cf. consid. 2.6.2 p. 9 s.).
2.4. Comme cela a été indiqué dans ses deux arrêts antérieurs rendus dans la présente cause, le Tribunal fédéral a formellement invité le MPC à étayer les soupçons pesant sur le recourant en cas de demande de prolongation de la détention (cf. arrêts 1B_143/2019 du 23 avril 2019 consid. 3.1 et 1B_497/2019 du 25 octobre 2019 consid. 2.1 et 2.3 in fine).
Cette injonction ne saurait être satisfaite par la seule référence aux éléments déjà mis en évidence dans les décisions précédentes, soit en particulier les traces ADN et empreinte, ainsi que les nombreux actes d'instruction entrepris avant lesdits arrêts (cf. l'inventaire des pièces faisant état de nombreuses auditions, de surveillances téléphoniques, de la mise en oeuvre de mesures secrètes - agent infiltré - et de demandes d'entraide internationale).
A titre d'élément nouveau, la Cour des plaintes ne peut pas non plus se prévaloir du rapport d'expertise psychiatrique du 10 décembre 2019. Tout d'abord, un expert ne saurait se prononcer que sur des problématiques entrant dans son domaine de compétence particulier. Ainsi, un expert psychiatre répond aux questions notamment en lien avec une éventuelle diminution de responsabilité, le risque de récidive et l'opportunité d'une mesure. Il ne lui appartient en revanche pas de procéder à l'appréciation des allégations - ou dénégations - du prévenu expertisé, examen qui est du ressort du juge (cf. FONJALLAZ/GASSER, Le juge et le psychiatre : une tension nécessaire, 2017, pp. 54 et 130 s.). Au demeurant, l'expert psychiatre, qui se fonde en particulier sur les faits ressortant du dossier pénal, établit son expertise en prenant en compte l'hypothèse selon laquelle le prévenu expertisé pourrait être l'auteur de l'infraction (cf. à cet égard les remarques de l'expert [ad. 5.1.1. p. 78 du rapport]). Le rapport d'expertise psychiatrique - tant en raison de son fondement que de son but - ne saurait donc constituer un élément permettant d'étayer les charges pesant sur le recourant.
En outre, en ce qui concerne le rapport de police du 19 décembre 2019 (cf. sa mention au consid. 2.6.4 p. 11 de l'arrêt attaqué), l'autorité précédente ne fait état d'aucune constatation nouvelle qui figurerait dans ce document en lien avec l'examen des charges.
Quant à l'expertise de "mise en contexte" attendue, on ne discerne pas, compte tenu de sa nature, quel élément factuel nouveau elle pourrait établir. Au demeurant, évoquée dès octobre 2019, sa reddition surviendra au plus tôt à fin juin 2020; accessoirement, il ressort en outre de l'arrêt entrepris qu'elle sera établie en anglais (cf. consid. 2.6.4 p. 11) et devra donc, le cas échéant, encore être traduite avant d'être soumise formellement aux parties. La seule perspective d'établissement de ce rapport supplémentaire ne suffit dès lors plus à ce stade de la procédure pour constituer un élément nouveau justifiant en soi la continuation de la détention provisoire.
Ainsi, concrètement, les indices d'infraction permettant de relier le recourant aux faits examinés sont ceux existants au moment de l'arrestation en 2018, l'infraction "principale" de meurtre étant prima facie prescrite (cf. arrêt 1B_143/2019 consid. 3.2 et 3.4) et, à tout le moins, le degré de participation du recourant à l'infraction "subsidiaire" d'assassinat dont il est prévenu demeurant incertain. En tout état de cause, les circonstances entourant la commission de l'homicide sont loin d'être définitivement établies.
Au regard de ces circonstances particulières - dont le nombre de mesures d'instruction entreprises sans résultats tangibles pendant la détention qui a déjà duré plus de 18 mois - et si tous soupçons à l'encontre du recourant ne sont pas écartés, ceux qui figurent au dossier ne suffisent plus à ce stade pour justifier son maintien en détention provisoire. En confirmant pourtant la prolongation de cette mesure, la Cour des plaintes viole par conséquent le droit fédéral et ce grief doit être admis.
3.
Il s'ensuit que le recours est admis. L'arrêt attaqué est annulé. La libération immédiate du recourant est ordonnée, à la charge du MPC d'organiser sans délai les modalités de celle-ci. La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision sur les frais et dépens.
Le recourant, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un avocat, a droit à des dépens à la charge de la Confédération (<ref-law>). Il n'est pas perçu de frais judiciaires (<ref-law>). La requête d'assistance judiciaire est sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. L'arrêt du 24 mars 2020 de la Cour des plaintes du Tribunal pénal fédéral est annulé. La libération immédiate du recourant est ordonnée, à charge du MPC d'en organiser sans délai les modalités. La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision sur les frais et dépens.
2.
La requête d'assistance judiciaire est sans objet.
3.
Une indemnité à titre de dépens, fixée à 2'500 fr., est allouée au mandataire du recourant, à la charge de la Confédération.
4.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
5.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Ministère public de la Confédération et à la Cour des plaintes du Tribunal pénal fédéral.
Lausanne, le 18 mai 2020
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Chaix
La Greffière : Kropf