Sachverhalt:
A.
Der 1984 geborene A._ war Metallbauer bei der B._ AG und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (Suva) obligatorisch unfallversichert. Am 25. Mai 2016 geriet er mit der linken Hand in eine Maschine und zog sich dabei eine Quetschverletzung mit devaskularisierender subtotaler Avulsionsamputation der Finger IV und V Höhe P2 sowie schwerer Weichteilavulsion des Fingers III zu. Am 25. Mai, 10. Juni und 30. Dezember 2016 wurde der Versicherte an der linken Hand operiert. Die Suva kam für die Heilbehandlung und das Taggeld auf. Sie veranlasste diverse Arztberichte sowie eine Aktenbeurteilung der Prof. Dr. med. C._, Fachärztin für Neurochirurgie FMH, vom 21. Dezember 2018 und einen Untersuchungsbericht des Dr. med. D._, Facharzt für Allgemeinchirurgie und Traumatologie FMH, vom 27. März 2019, beide Suva Versicherungsmedizin. Am 8. April 2019 stellte die Suva die Leistungen - mit Ausnahme von einmal Physio-/Ergotherapie pro Woche - per 31. Mai 2019 formlos ein. Mit Verfügung vom 31. Mai 2019 verneinte sie den Anspruch auf eine Invalidenrente bei einem Invaliditätsgrad von 5.7 % und sprach dem Versicherten eine Integritätsentschädigung bei einer Integritätseinbusse von 10 % zu. Hieran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 11. November 2019 fest.
B.
Die hiergegen erhobene Beschwerde des A._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Urteil vom 6. April 2021 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._, in Aufhebung des kantonalen Urteils sei die Suva zu verpflichten, den Sachverhalt mittels eines polydisziplinären Gutachtens (Psychiatrie, Neuropsychologie, Handchirurgie, Neurologie, Ergotherapie inkl. Assessment, Orthopädie und Traumatologie des Bewegungsapparats) abzuklären und weiterhin Taggelder auszurichten. Eventuell seien ihm eine ganze Rente sowie eine Integritätsentschädigung von mindesten 40 % zuzusprechen. Für das bundesgerichtliche Verfahren sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
2.1. Streitig ist, ob der vorinstanzlich bestätigte Fallabschluss per 31. Mai 2019 mit Verneinung eines Rentenanspruchs und Zusprache einer Integritätsentschädigung von lediglich 10 % bundesrechtskonform ist.
2.2. Die Vorinstanz hat die hier massgebenden rechtlichen Grundlagen und die entsprechende Rechtsprechung betreffend den für die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem Gesundheitsschaden im Allgemeinen (<ref-ruling> E. 2.1) sowie bei psychischen Unfallfolgen im Besonderen (<ref-ruling>) richtig dargelegt. Zutreffend wiedergegeben hat sie auch die Voraussetzungen des Fallabschlusses (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4) sowie der Ansprüche auf eine Invalidenrente (<ref-law>) und eine Integritätsentschädigung (Art. 24 Abs. 1, Art. 25 UVG; <ref-law>; <ref-ruling>). Gleiches gilt bezüglich der Invaliditätsbemessung nach der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs (<ref-law>), des massgebenden Beweisgrads der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 5.1) und des Beweiswerts ärztlicher Berichte (<ref-ruling> E. 2.2.2, 135 V 465 E. 4.4, 134 V 231 E. 5.1, 125 V 351 E. 3a). Darauf wird verwiesen.
3.
Zu prüfen ist als Erstes die somatische Problematik.
Die Vorinstanz erwog im Wesentlichen, die Aktenbeurteilung der Prof. Dr. med. C._ vom 21. Dezember 2018 und der Untersuchungsbericht des Dr. med. D._ vom 27. März 2019 erfüllten die Voraussetzungen an medizinische Beurteilungen, weshalb darauf - der Suva folgend - abzustellen sei. Demnach habe sich beim Beschwerdeführer als Folge des Unfalls vom 25. Mai 2016 eine komplexe Bewegungs- und Belastungsstörung in der linken adominanten Hand mit einem inkompletten Faustschluss mit stark eingeschränkter Belastbarkeit der gesamten linken oberen Extremität entwickelt. Durch die Defektdeckung mittels Intermetacarpalelappen III/IV sei es links dorsal zu einer Störung des sensiblen Astes des N. Ulnaris gekommen. Der medizinische Endzustand sei im Zeitpunkt der klinischen Untersuchung durch Dr. med. D._ vom 21. März 2019 erreicht gewesen. Die angestammte Tätigkeit als Schweisser sei dem Beschwerdeführer nicht mehr zumutbar. In einer angepassten Tätigkeit bestehe jedoch eine uneingeschränkte Arbeits- und Leistungsfähigkeit. Aufgrund der Einschätzung des Dr. med. D._ liege bezüglich der linken Hand keine Symptomatik eines komplexen regionalen Schmerzsyndroms (CRPS) vor. Laut der Beurteilung der Prof. Dr. med. C._ seien die Rücken- und Nackenbeschwerden des Beschwerdeführers nicht auf den Unfall vom 25. Mai 2016 zurückzuführen.
4.
Die Verneinung der natürlichen Unfallkausalität der Rückenbeschwerden bestreitet der Beschwerdeführer nicht substanziiert. Arztberichte, die einen gegenteiligen Schluss zuliessen, werden von ihm nicht angeführt und sind nicht ersichtlich, weshalb es hiermit sein Bewenden hat.
5.
Der Beschwerdeführer macht eine Unfallkausalität der Nackenbeschwerden geltend. Er beruft sich auf den Bericht des Spitals E._ vom 25. (richtig 27.) April 2018, wonach es durch Ausweichbewegungen aufgrund der Handverletzung zu Fehlhaltung und zu Ungleichgewichten bezüglich der muskulären Belastung komme, was zu Muskelverspannungen und Schmerzen bis in den Nacken führe. Hieraus kann der Beschwerdeführer indessen nichts zu seinen Gunsten ableiten. Da nämlich keine strukturellen Läsionen im Nackenbereich erstellt sind, hat diesbezüglich die Adäquanzprüfung zu erfolgen (vgl. E. 7 hiernach).
6.
Zu prüfen ist weiter die Problematik der gesamten linken oberen Extremität.
6.1. Der Beschwerdeführer wendet im Wesentlichen ein, weder die Suva noch die Vorinstanz hätten die nachträglich eingegangenen Therapeutenberichte der Klinik F._, des Zentrums G._ und der Schmerztherapie berücksichtigt. Diese seien allesamt von einer 50%igen Arbeitsfähigkeit bei einer zusätzlichen Leistungsminderung ausgegangen und hätten darauf aufmerksam gemacht, dass die Suva-Abklärungen unvollständig seien. Es fehlten wiederholte Elektromyographie-Abklärungen, eine genaue Dokumentation der Einschränkungen und ein Assessment. Der Beschwerdeführer sei über sechs Stunden operiert worden, was bereits die vorhandenen neuropsychologischen Beeinträchtigungen verursachen könne. Zudem sei das Eingliederungsergebnis nicht berücksichtigt worden. Die Therapien seien nicht abgeschlossen. Die nachträglichen Berichte seien geeignet, Aussagen über die Situation bis zum Einspracheentscheid zu machen, weshalb die Vorinstanz den Gehörsanspruch verletzt habe. Zudem sei der Bericht des Dr. med. D._ vom 27. März 2019 nicht schlüssig. Er gehe nicht auf den Abklärungsbericht der arbeitsmarktähnlichen Abklärung (AMA) vom 25. Juli 2018 ein und sei widersprüchlich, da er bei Computertätigkeiten, die dem Zumutbarkeitsprofil entsprächen, eine Arbeitsfähigkeit von 6.5 Stunden vorsehe, aber dennoch von einer vollen Arbeits-und Leistungsfähigkeit ausgehe.
6.2. Soweit der Beschwerdeführer eine Verletzung seines Gehörsanspruchs durch Nichtberücksichtigung nachträglicher Berichte geltend macht, ist von einer Rückweisung an die Vorinstanz abzusehen. Wie sich aus Folgendem ergibt, würde dies nämlich einen formalistischen Leerlauf und damit unnötige Verzögerungen nach sich ziehen, die mit dem (der Anhörung gleichgestellten) Interesse des Beschwerdeführers an einer beförderlichen Beurteilung der Sache nicht zu vereinbaren wären (<ref-ruling> E. 2.3.2; Urteil 8C_449/2019 vom 18. Dezember 2019 E. 4.2 mit Hinweis). Das Bundesgericht kann mit Blick auf die Rechtsverletzung, die aus der Nichtbeachtung von potenziell erheblichen Beweismitteln resultiert (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1), die entsprechenden Aktenstücke selber würdigen und beurteilen, ob die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung zu korrigieren ist (<ref-law>; Urteil 8C_377/2021 vom 9. September 2021 E. 4.3.1).
6.3. Vom 7. Mai bis 1. Juni 2018 fand im Auftrag der Invalidenversicherung (IV) in der Genossenschaft H._ eine AMA des Beschwerdeführers statt. Im entsprechenden Bericht vom 25. Juli 2018 wurde festgehalten, der Beschwerdeführer könne ein 100%iges Pensum, aber nur eine Leistung von 45 % erbringen. Die 55%ige Leistungseinbusse sei medizinisch nicht vollständig erklärbar. Einerseits bestehe eine Leistungseinbusse von ca. 20 % aus psychiatrischer Sicht. Andererseits bestünden im Ausmass nicht erklärbare Schmerzen und funktionelle Einschränkungen der linken Hand mit einer Schmerzausweitung in den gesamten Arm, Nacken und zunehmend auch den anderen Arm.
Da mithin aufgrund dieses Berichts die Leistungseinbusse und die Schmerzproblematik des Beschwerdeführers medizinisch nicht vollständig erklärbar waren, und seine psychisch bedingten Einschränkungen vorliegend nicht zu berücksichtigen sind (vgl. E. 7 hiernach), kann er daraus nichts zu seinen Gunsten ableiten.
6.4.
6.4.1. Die vom Beschwerdeführer angerufenen Berichte des Zentrums G._ vom 12. Juli 2018, des Spitals I._ vom 3. Juli 2019, des Zentrums K._ vom 6. Januar 2020 und der Klinik F._ vom 28. Januar 2020 enthalten keine Angaben zu seiner Arbeitsfähigkeit. Aus diesen Berichten kann der Beschwerdeführer mithin nichts gegen die Arbeitsfähigkeitsschätzung des Dr. med. D._ vom 27. März 2019 ableiten (vgl. auch nicht publ. E. 4.2.3 des Urteils <ref-ruling>, veröffentlicht in SVR 2016 IV Nr. 33 S. 102; Urteil 8C_277/2021 vom 25. August 2021 E. 5.1).
6.4.2. Soweit im Bericht des Zentrums G._ vom 12. Juli 2018 die Differentialdiagnose eines komplexen regionalen Schmerzsyndroms (CRPS) an der linken Hand gestellt wurde, kann dem nicht gefolgt werden, wie die Vorinstanz gestützt auf den Bericht des Dr. med. D._ und den vom Beschwerdeführer selber aufgelegten Bericht des Zentrums K._ vom 6. Januar 2020 erkannt hat. Hiergegen bringt der Beschwerdeführer keine substanziierten Einwände vor. Soweit er den Bericht des Zentrums G._ vom 3. Juli 2019 anruft, wurde darin die Frage nach dem Bestehen eines CRPS nicht abschliessend beantwortet.
6.5. Im Bericht der Klinik F._ vom 15. August 2019 wurde die Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers auf 50 % geschätzt. Indessen beinhaltete diese Einschätzung keine nähere Begründung und erfasste auch die hier nicht zu berücksichtigenden psychischen Einschränkungen (hierzu vgl. E. 7 hiernach), weshalb der Beschwerdeführer daraus ebenfalls nichts zu seinen Gunsten ableiten kann.
6.6. Soweit der Beschwerdeführer vorbringt, die Therapien seien nicht abgeschlossen, ist dem entgegenzuhalten, dass der Fallabschluss durch den Unfallversicherer nach <ref-law> lediglich voraussetzt, dass von weiteren medizinischen Massnahmen keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes mehr erwartet werden kann, nicht aber, dass eine ärztliche Behandlung nicht länger erforderlich ist. Es geht dabei demnach nicht um den "Endzustand der medizinischen Behandlung und Therapie" bzw. das Dahinfallen jeglichen Bedarfs an Heilbehandlung (Urteil 8C_102/2021 vom 26. März 2021 E. 6.4.1). Inwiefern bei Fallabschluss per 31. Mai 2019 von weiteren somatischen Behandlungen eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes nach Massgabe der voraussichtlichen Steigerung oder Wiederherstellung der Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers, soweit diese unfallbedingt beeinträchtigt ist, zu erwarten war, legt er nicht dar und ist nicht ersichtlich (vgl. <ref-ruling> E. 4.3; Urteil 8C_301/2021 vom 23. Juni 2021 E. 3.2).
6.7. Nicht einschlägig ist der pauschale Einwand des Beschwerdeführers, die Suva habe das Eingliederungsergebnis nicht berücksichtigt. Die Vorinstanz erwog nämlich zutreffend, dass der Abschluss allfälliger Eingliederungsmassnahmen der IV nicht abgewartet werden muss, da sie nicht geeignet wären, den der Invalidenrente der Unfallversicherung zugrunde zu legenden Invaliditätsgrad rentenrelevant zu beeinflussen (vgl. E. 8 hiernach; Urteil 8C_374/2021 vom 13. August 2021 E. 4.3.1 mit Hinweisen).
6.8.
6.8.1. Nicht stichhaltig ist weiter der Einwand des Beschwerdeführers, es fehle eine genaue Dokumentation seiner Einschränkungen. Denn Dr. med. D._ hat im Bericht vom 27. März 2019 aufgrund einer eingehenden klinischen Untersuchung ein detailliertes Zumutbarkeitsprofil betreffend die linke Hand erstellt, welches auch die vom Beschwerdeführer geklagten Schmerzen im gesamten linken Arm berücksichtigt.
Dr. med. D._ statuierte bei Computertätigkeiten eine Arbeitszeit von maximal 6.5 Stunden pro Tag und bei den übrigen leidensangepassten Tätigkeiten eine solche von 8,75 Stunden pro Tag. Gleichzeitig ging er davon aus, bei Einhaltung des Zumutbarkeitsprofils sei eine zeitlich und leistungsmässig uneingeschränkte Einsetzbarkeit des Beschwerdeführers gegeben. Die Vorzinstanz erblickte hierin - entgegen dem Beschwerdeführer (vgl. E. 6.1 hiervor) - keinen Widerspruch. Vielmehr führte sie aus, dass Dr. med. D._ auch bei der Bürotätigkeit eine vollschichtige Arbeitszeit gemeint habe und es sich hierbei um ein redaktionelles Versehen handle. Ob Letzteres zutrifft, kann offen bleiben, wie sich aus Folgendem ergibt.
6.8.2. Computerarbeit im Büro erfordert in der Regel den Einsatz beider Hände, weshalb es nachvollziehbar ist, dass Dr. med. D._ diesbezüglich von einer zeitlich reduzierten Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers ausging.
Der massgebende ausgeglichene Arbeitsmarkt (Art. 16 ATAG) beinhaltet aber auch Tätigkeiten, die keinen oder nur einen sehr eingeschränkten Einsatz der adominanten Hand voraussetzen (z.B. als Zudienhand). Zu denken ist an einfache Überwachungs-, Prüf- und Kontrolltätigkeiten sowie die Bedienung und Überwachung von (halb-) automatischen Maschinen oder Produktionseinheiten (Urteil 8C_462/2020 vom 27. August 2020 E. 5.1 mit Hinweisen). Mit Blick auf solche Arbeiten und das von Dr. med. D._ umschriebene Zumutbarkeitsprofil ist die von ihm statuierte Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers von 8.75 Stunden pro Tag nicht zu beanstanden.
6.9. Insgesamt erhebt der Beschwerdeführer keine Rügen, die auch nur geringe Zweifel an der Aktenbeurteilung der Prof. Dr. med. C._ vom 21. Dezember 2018 und am Untersuchungsbericht des Dr. med. D._ vom 27. März 2019 begründen (vgl. <ref-ruling> E. 8.5). Da von weiteren somatisch-medizinischen Abklärungen - insbesondere von wiederholten Elektromyographie-Abklärungen und einem Assessment - keine entscheidrelevanten Resultate zu erwarten sind, durfte die Vorinstanz davon absehen. Dies verstösst weder gegen den Untersuchungsgrundsatz noch gegen die Ansprüche auf freie Beweiswürdigung sowie Beweisabnahme (<ref-law>) und rechtliches Gehör (<ref-law>; antizipierte Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 6.5; Urteil 8C_728/2020 vom 23. Juni 2021 E. 5).
7.
Strittig ist weiter die psychische Problematik. Der Beschwerdeführer macht im Wesentlichen geltend, seine psychischen Beeinträchtigungen und deren natürliche Unfallkausalität seien gutachterlich abzuklären.
7.1. Bei psychischen Unfallfolgen hat eine gesonderte Adäquanzprüfung nach <ref-ruling> zu erfolgen. Dies gilt hier auch für die vom Beschwerdeführer geltend gemachten neuropsychologischen Beeinträchtigungen, da diesbezüglich ein organisch objektiv ausgewiesenes Substrat nicht erstellt ist (Urteil 8C_765/2014 vom 9. Februar 2015 E. 5.1). Die Adäquanzprüfung ist in diesem Rahmen in jenem Zeitpunkt vorzunehmen, in dem von der Fortsetzung der auf die somatischen Leiden gerichteten ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustands mehr erwartet werden kann (<ref-ruling> E. 6.1; Urteil 8C_102/2021 vom 26. März 2021 E. 6.1). Dies traf hier am 31. Mai 2019 zu (vgl. E. 6.6 hiervor).
Da die adäquate Unfallkausalität des psychischen Gesundheitsschadens des Beschwerdeführers zu verneinen ist (vgl. E. 7.2 hiernach), liess die Vorinstanz zu Recht offen, ob seine psychischen Beschwerden natürlich unfallkausal sind (<ref-ruling> E. 5.1).
7.2.
7.2.1. Die Vorinstanz qualifizierte den Unfall des Beschwerdeführers vom 25. Mai 2016 als mittelschwer im engeren Sinn. Dies ist unbestritten. Die Unfalladäquanz seiner gesundheitlichen Beschwerden könnte somit nur bejaht werden, wenn mindestens drei der sieben Adäquanzkriterien erfüllt wären oder eines besonders ausgeprägt vorläge (<ref-ruling> E. 6c/aa; SVR 2019 UV Nr. 41 S. 155, 8C_632/2018 E. 8.3). Die Vorinstanz kam zum Schluss, es sei höchstens das Kriterium des Grades und der Dauer der physisch bedingten Arbeitsunfähigkeit erfüllt, aber nicht besonders ausgeprägt. Folglich sei die adäquate Unfallkausalität der psychischen bzw. organisch nicht ausgewiesenen Beschwerden zu verneinen.
7.2.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, die schwere Quetschverletzung mit vollständiger Nerventrennung und neuropathischem Schmerzsyndrom mit autonomen Zeichen sei in hohem Masse geeignet, psychische Beeinträchtigungen zu bewirken. Es liege ein komplizierter Heilverlauf mit Nekrosen und Infekten sowie Nervenverletzungen durch die Operationen vor. Auch sei die lange Dauer der Arbeitsunfähigkeit aus physischen Gründen erfüllt, wobei er auch in angepassten Tätigkeiten nur eine 45%ige Leistung erbringe. Die psychischen Beeinträchtigungen gingen zudem auf einen eindrücklichen, belastenden Unfallhergang mit fehlender Hilfe am Unfallort zurück.
Diese Einwände sind nicht stichhaltig. Die Vorinstanz hat nämlich sämtliche Adäquanzkriterien in einlässlicher Würdigung der Akten und unter Bezugnahme auf die entsprechende Kasuistik schlüssig und zutreffend beurteilt. Der Beschwerdeführer setzt sich mit diesen vorinstanzlichen Erwägungen nicht substanziiert auseinander. Er gibt die eigene Sichtweise wieder, vermag jedoch nicht darzulegen, inwiefern die Erwägungen im angefochtenen Urteil Bundesrecht verletzten.
8.
Gegen die vorinstanzliche Ermittlung des rentenausschliessenden Invaliditätsgrades von 5.7 % und die Bemessung der Integritätseinbusse auf 10 % bringt der Beschwerdeführer keine substanziierten Einwände vor, weshalb es damit sein Bewenden hat.
9.
Der unterliegende Beschwerdeführer trägt die Gerichtskosten (<ref-law>). Die unentgeltliche Rechtspflege kann ihm gewährt werden (<ref-law>). Er hat der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn er später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwältin Dr. iur. Beatrice Gurzeler wird als unentgeltliche Anwältin bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Der Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. November 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Jancar