Sachverhalt:
A.
Am 7. Oktober 2019 erhob Staatsanwältin Claudia Wiederkehr (Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis) beim Bezirksgericht Zürich Anklage gegen Rechtsanwalt A._. Sie wirft ihm vor, er habe an Gerichtsverhandlungen, an denen er als amtlicher Verteidiger teilgenommen habe, sich ehrverletzend gegenüber Staatsanwälten geäussert und diese falsch angeschuldigt.
B.
Am 15. Oktober 2019 verlangte A._ den Ausstand von Staatsanwältin Wiederkehr.
Mit Beschluss vom 21. Januar 2020 trat das Obergericht des Kantons Zürich (III. Strafkammer) nicht darauf ein.
C.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, den Beschluss des Obergerichts aufzuheben. Die Sache sei an dieses zurückzuweisen mit der Anweisung, auf das Ausstandsgesuch einzutreten und darüber materiell zu entscheiden.
D.
Das Obergericht hat auf Gegenbemerkungen verzichtet. Staatsanwältin Wiederkehr und die Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis haben sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den angefochtenen Beschluss ist gemäss Art. 78 Abs. 1 BGG die Beschwerde in Strafsachen gegeben. Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Vorinstanz hat gemäss Art. 59 Abs. 1 i.V.m. Art. 380 StPO als einzige kantonale Instanz entschieden. Die Beschwerde ist daher nach Art. 80 BGG zulässig. Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 1 zur Beschwerde berechtigt. Der angefochtene Beschluss stellt einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren dar. Dagegen ist die Beschwerde gemäss Art. 92 Abs. 1 BGG zulässig. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen sind ebenfalls erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
1.2. Das Bundesgericht hat die Akten des vorinstanzlichen Verfahrens beigezogen. Dem entsprechenden Verfahrensantrag ist damit Genüge getan.
2.
2.1. Die Vorinstanz gibt für das Nichteintreten zwei Begründungen. Sie kommt zum Schluss, sie sei zur Behandlung des Ausstandsgesuchs nicht zuständig. Zudem habe es der Beschwerdeführer verspätet gestellt. Da beide Begründungen den Ausgang des Verfahrens je für sich besiegeln, genügt es, wenn eine vor Bundesrecht standhält.
2.2. Will eine Partei den Ausstand einer in einer Strafbehörde tätigen Person verlangen, so hat sie gemäss Art. 58 Abs. 1 StPO der Verfahrensleitung ohne Verzug ein entsprechendes Gesuch zu stellen, sobald sie vom Ausstandsgrund Kenntnis hat.
Nach der Rechtsprechung muss der Gesuchsteller den Ausstand in den nächsten Tagen nach Kenntnis des Ausstandsgrunds verlangen. Andernfalls verwirkt er den Anspruch (<ref-ruling> E. 4.3 S. 69 mit Hinweisen). Ein sechs bis sieben Tage nach Kenntnis des Ausstandsgrunds gestelltes Gesuch ist rechtzeitig. Wartet der Gesuchsteller damit zwei Wochen zu, ist es dagegen verspätet (Urteil 1B_29/2020 vom 11. September 2020 E. 2.1 mit Hinweisen).
2.3. Der Beschwerdeführer verlangt den Ausstand der Beschwerdegegnerin im Wesentlichen mit der Begründung, sie habe es abgelehnt, die Akten der Strafverfahren vollständig beizuziehen, in denen er sich ehrverletzend gegenüber den Staatsanwälten geäussert und diese falsch angeschuldigt haben soll; ebenso, diese Staatsanwälte sowie die Gerichtsvorsitzenden und die Beschuldigten jener Verfahren einzuvernehmen. Dies wäre zur Gewährleistung eines fairen Verfahrens zwingend geboten gewesen. Wenn die Beschwerdegegnerin den beantragten vollständigen Aktenbeizug und die Einvernahmen abgelehnt habe, erwecke das den Anschein der Befangenheit.
Am 26. Juni 2019 beantragte der Beschwerdeführer der Beschwerdegegnerin den Beizug der vollständigen Akten der Strafverfahren, in denen er die ihm vorgeworfenen Äusserungen gemacht haben soll, und die Einvernahme der genannten Personen. Daran hielt er am 6. August 2019 fest. In der Folge zog die Beschwerdegegnerin lediglich einen Teil der Akten jener Strafverfahren bei. Mit Verfügung vom 10. September 2019 wies sie die vom Beschwerdeführer darüber hinaus gestellten Beweisanträge ab mit dem Hinweis, diese könnten im Hauptverfahren erneut gestellt werden (Art. 318 Abs. 2 StPO). Gleichentags kündigte die Beschwerdegegnerin dem Beschwerdeführer die Anklageerhebung an und setzte ihm nach Art. 318 Abs. 1 Satz 2 StPO Frist an zur Stellung von Beweisanträgen.
Mit Schreiben vom 24. September 2019 stellte der Beschwerdeführer dieselben Beweisanträge nochmals. Dabei führte er aus, er tue dies, obwohl ihm klar sei, dass die Beschwerdegegnerin sämtliche Anträge von der Hand weisen werde. Im Weiteren fragte er rhetorisch, wie er eine Verfahrensleitung (gemeint: die Beschwerdegegnerin) überzeugen soll, die weder gewillt sei, die relevanten Akten beizuziehen, noch die Privatkläger zu befragen. Die Beschwerdegegnerin vermute zu Recht, dass eine solche Befragung zu einem Debakel für sie führen müsste. Deshalb gelte es für sie, die Befragung zu verhindern. Anschliessend bemerkte der Beschwerdeführer: "Damit wären wir wieder einmal bei der schon sehr dringenden Problematik, ob hier nicht eine grundsätzliche und tiefgreifende Befangenheit und Parteilichkeit der Verfahrensleitung vorliegt. Für uns ist die Sache klar, gleichwohl verzichten wir auf einen entsprechenden Antrag."
Daraus gibt sich, dass dem Beschwerdeführer bereits am 24. September 2019 sämtliche Elemente bekannt waren, die aus seiner Sicht die Befangenheit der Beschwerdegegnerin begründeten ("für uns ist die Sache klar"). Wenn er das Ausstandsgesuch erst am 15. Oktober 2019 gestellt hat, ist das daher im Lichte der dargelegten Rechtsprechung verspätet. Der Umstand, dass die Beschwerdegegnerin die am 24. September 2019 nochmals gestellten Beweisanträge durch die Erhebung der Anklage am 7. Oktober 2019 implizit wiederum abwies, stellte für den Beschwerdeführer keinen neuen entscheidenden Gesichtspunkt dar. Denn wie er in seinem Schreiben vom 24. September 2019 darlegt, war ihm schon damals klar, dass die Beschwerdegegnerin die Beweisanträge abweisen werde.
Stellte der Beschwerdeführer das Ausstandsgesuch verspätet, verletzt es schon aus diesem Grund kein Bundesrecht, wenn die Vorinstanz darauf nicht eingetreten ist. Ob sie überdies ihre Zuständigkeit verneinen durfte, kann dahingestellt bleiben.
3.
Die Beschwerde ist daher abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. November 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Härri