Faits :
A.
Depuis juin 2014, A._ et B._ s'opposent devant le Tribunal de première instance de Genève dans le cadre d'une procédure en nullité d'un testament.
A.a. Par acte déposé le 5 décembre 2018, A._ a requis la récusation de la juge C._, en charge de la cause, et a conclu à l'annulation de tous les actes de procédure auxquels la juge prénommée a participé. A l'appui de sa requête en récusation, A._ a invoqué que la juge C._ avait commis dix-huit violations de la loi - singulièrement la violation de son droit d'être entendu, du principe de l'égalité des armes, de l'<ref-law>, de la maxime des débats, du principe de célérité et dénoncé l'existence d'un " accord occulte " entre la juge et un expert concernant la rémunération de celui-ci -, intervenues la première fois le 6 mai 2015, puis au fils de divers actes de procédure et les quatre dernières violations à l'occasion d'une ordonnance rendue le 27 novembre 2018.
La juge C._ et B._ ont conclu au rejet de la requête en récusation.
A.b. Par ordonnance du 3 mai 2019, la délégation du Tribunal civil de Genève a rejeté la requête en récusation.
Le 9 mai 2019, A._ a formé recours devant la Cour de justice du canton de Genève contre cette ordonnance, concluant à son annulation et à l'annulation de tous les actes de procédure auxquels la juge C._ a participé.
Tant la juge C._ que B._ ont conclu au rejet du recours.
A.c. Par arrêt du 7 octobre 2019, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après : la Chambre civile ou la Cour de justice) a rejeté le recours.
B.
Par acte du 22 octobre 2019, A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut à l'annulation de l'arrêt déféré et à sa réforme en ce sens que la juge C._ est récusée et à l'annulation de tous les actes de procédure auxquels ladite juge a participé. Préalablement, le recourant sollicite l'octroi de l'effet suspensif à son recours.
Par déterminations du 7 novembre 2019, l'intimée n° 2 s'en est rapportée à justice quant à l'effet suspensif requis. La juge concernée n'a pas déposé d'observations.
Par ordonnance du 12 novembre 2019, le Président de la IIe Cour de droit civil du Tribunal fédéral a octroyé l'effet suspensif au recours.
Des déterminations sur le fond n'ont pas été requises.

Considérant en droit :
1.
L'arrêt de la Cour de justice est une décision incidente relative à une demande de récusation; il peut être attaqué indépendamment de la décision finale en vertu de l'<ref-law> (arrêts 5A_998/2018 du 25 février 2019 consid. 1; 4A_278/2018 du 5 novembre 2018 consid. 4). Le recours a pour le surplus été déposé en temps utile (<ref-law>) par la partie qui a succombé devant l'autorité précédente (<ref-law>) contre une décision rendue par une juridiction ayant statué sur recours en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans le contexte d'une action en annulation de dispositions testamentaires, à savoir une affaire civile (<ref-law>), dont la valeur litigieuse est supérieure ou égale à 30'000 fr., selon les constatations de l'autorité précédente (<ref-law>). Le recours est donc en principe recevable au regard des dispositions qui précèdent.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Cela étant, l'<ref-law> exige que le recourant discute les motifs de la décision entreprise et indique précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (<ref-ruling> consid. 2). En outre, le Tribunal fédéral ne connaît de la violation de droits fondamentaux que si un tel grief a été invoqué et motivé par le recourant ("principe d'allégation", <ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 3.3; <ref-ruling> consid. 1.2, 397 consid. 1.4 in fine), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling> précité; <ref-ruling> consid. 1.4.2).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 4.1.2), ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte doit satisfaire au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1).
3.
L'autorité cantonale a rejeté le recours sur la base d'une double motivation, l'une principale et l'autre subsidiaire. D'une part, elle a jugé que le recourant n'avait pas renouvelé devant elle la conclusion de sa requête tendant à la récusation de la juge C._, alors qu'il avait repris l'ensemble de ses autres conclusions et qu'étant représenté par une avocate, il ne pouvait être déduit des circonstances que l'absence de conclusion tendant au prononcé de la récusation relevait nécessairement d'une simple inadvertance. D'autre part, l'autorité précédente a considéré que les quatorze griefs faits à l'encontre de la juge sur une période de plus de trois ans n'étaient pas suffisants pour fonder une apparence de prévention de celle-ci, les différentes violations invoquées constituant le cas échéant des motifs de recours, mais n'étant pas de nature à démontrer une impression de partialité.
4.
S'agissant de la seconde motivation retenue par la Cour de justice concernant l'absence de motif de récusation, le recourant se plaint d'arbitraire (art. 9 Cst.) et de violation des règles légales et jurisprudentielles sur la récusation, singulièrement des art. 49 al. 1 et 51 al. 1 CPC, estimant que les conditions pour prononcer la récusation de la juge C._ sont remplies et représentent même " un cas d'école ".
Le recourant reproche à la Cour de justice d'énoncer des principes exacts, mais de ne pas les appliquer au cas d'espèce, voire d'en tirer des conclusions antinomiques. Il fait valoir qu'il a déposé sa requête de récusation de la juge après dix-huit violations de la loi par celle-ci, alors qu'il n'avait jusqu'ici qu'une impression purement subjective de sa partialité, mais explique n'avoir été convaincu qu'à ce stade de l'existence d'un motif de récusation, en raison de l'accumulation de ces violations et de " l'accord occulte " entre la juge et un expert concernant le paiement des honoraires de ce dernier. A cet égard, il expose que la juge a ordonné la mise en oeuvre d'une contre -expertise non sollicitée par les parties, de sorte qu'aucune avance de frais n'a été acquittée. Le recourant prétend que la juge aurait alors informé l'expert que " ses honoraires ne seraient payés que s'il concluait, dans sa contre-expertise psychiatrique, au défaut d'entendement [de la testatrice] lorsqu'elle a rédigé son testament ". Par courrier du 29 septembre 2017, l'expert a sollicité la confirmation de paiement de ses honoraires et il aurait reçu, selon ses déclarations en audience, ladite confirmation par le Tribunal de première instance. Le recourant en conclut que si l'expert a reçu une confirmation qu'il serait payé de la part de la juge, celle-ci savait qu'elle donnerait gain de cause à la partie adverse, B._, puisque cette dernière serait notoirement insolvable. L'expert a effectivement rendu un rapport concluant à des délires paranoïaques persistants de la testatrice, "en totale contradiction avec les expertises psychiatriques établies du vivant " de la testatrice, selon le recourant. Il ajoute que cet accord occulte est en outre incompréhensible, dès lors qu'il a fait, le 23 octobre 2017, une proposition de garantie en paiement des honoraires du contre-expert. Le recourant considère que cet " accord occulte " est la onzième violation commise par la juge et justifie à elle seule sa récusation. L'ordonnance rendue le 27 novembre 2018 précisant notamment que l'expert ne serait plus reconvoqué pour une audition fonde les quatre dernières violations de la loi (violations du droit d'être entendu, violation du principe de l'égalité des armes et apparence de prévention). Il estime que les quatorze autres violations de la loi commises antérieurement (violations du droit d'être entendu, violations du principe de l'égalité des armes, violation de l'<ref-law>, violation de la maxime des débats, violation des art. 101 al. 3, 102 et 183 al. 1 et 2 CPC, violation de l'obligation de célérité et non-prise en compte de l'<ref-ruling>) ont eu valeur de confirmation de son sentiment, partant, qu'il a déposé sa requête de récusation dans les cinq jours ouvrables suivant l'ordonnance du 27 novembre 2018.
4.1. L'autorité précédente a estimé que, quand bien même une impression de prévention pouvait résulter d'une accumulation d'actes, il était difficilement soutenable que quatorze violations étalées sur plus de trois ans puissent être suffisantes pour fonder une éventuelle apparence de prévention, d'autant que le recourant avait indiqué qu'il était convaincu que la juge manquait d'impartialité à son égard depuis l'audience de comparution personnelle des parties déjà, laquelle est intervenue bien antérieurement à l'ordonnance de novembre 2018, de sorte que le recourant ne saurait se prévaloir des prétendues violations invoquées antérieurement à la date de cette ordonnance, d'autant que les différentes violations soulevées, même si elles se sont accumulées, constituent de simples motifs de recours dans la mesure où le recourant n'explique pas en quoi ces violations seraient de nature à ébranler l'apparence d'impartialité de la juge.
4.2.
4.2.1. Le juge d'une cause civile est récusable dans les cas énumérés exhaustivement à l'art. 47 al. 1 let. a à e CPC; il est aussi récusable, selon l'art. 47 al. 1 let. f CPC, s'il est "de toute autre manière" suspect de partialité (arrêt 4A_172/2019 du 4 juin 2019 consid. 4.1.2). Selon la jurisprudence, cette dernière disposition doit être appliquée dans le respect des principes de la garantie d'un tribunal indépendant et impartial instituée par les art. 6 par. 1 CEDH et 30 al. 1 Cst., qui ont, de ce point de vue, la même portée (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 2.2 in fine). Ladite garantie permet de demander la récusation d'un juge dont la situation ou le comportement est de nature à susciter des doutes quant à son impartialité; elle vise à éviter que des circonstances extérieures à l'affaire puissent influencer le jugement en faveur ou au détriment d'une partie. Elle n'impose pas la récusation uniquement lorsqu'une prévention effective est établie, car une disposition interne de la part du juge ne peut être prouvée; il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat, mais seules des circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération; les impressions purement individuelles du plaideur ne sont pas décisives (<ref-ruling> consid. 4.3 et les références; arrêt 5A_738/2017 du 25 octobre 2018 consid. 3.1). Des erreurs de procédure ou d'appréciation commises par un juge ne suffisent pas à fonder objectivement la suspicion de partialité, même lorsque ces erreurs sont établies; seules des fautes particulièrement lourdes ou répétées, qui doivent être considérées comme des violations graves des devoirs du magistrat, peuvent avoir cette conséquence (arrêt 4A_172/2019 du 4 juin 2019 consid. 4.1.2), pour autant que les circonstances dénotent que le juge est prévenu ou justifient à tout le moins objectivement l'apparence de prévention (<ref-ruling> consid. 3.2 et les références; arrêt 5A_482/2017 du 24 août 2017 consid. 6.2.1). Le risque de prévention ne saurait en effet être admis trop facilement, sous peine de compromettre le fonctionnement normal des tribunaux (<ref-ruling> consid. 4.4; arrêt 5A_98/2018 du 10 septembre 2018 consid. 4.2 et les références). La fonction judiciaire oblige par ailleurs à se déterminer rapidement sur des éléments souvent contestés et délicats. Il appartient aux juridictions de recours normalement compétentes de constater et de redresser les erreurs éventuellement commises dans ce cadre. La procédure de récusation n'a donc pas pour objet de permettre aux parties de contester la manière dont est menée l'instruction et de remettre en cause les différentes décisions incidentes prises à ce titre (<ref-ruling> consid. 3.2); il n'appartient pas au juge de la récusation d'examiner la conduite du procès à la façon d'une instance d'appel ou d'un organe de surveillance (<ref-ruling> consid. 3a et la référence; arrêts 5A_482/2017 précité; 5A_286/2013 du 12 juin 2013 consid. 2.1 et les références).
4.2.2. Parce qu'une demande de récusation met en cause la composition du tribunal saisi, l'incident doit être résolu immédiatement et de manière définitive (BERNARD CORBOZ, in Commentaire de la LTF, 2 ème éd., 2014, n° 2 ad <ref-law>); la partie qui entend obtenir la récusation d'un magistrat ou d'un fonctionnaire judiciaire doit, aux termes de l'<ref-law>, déposer une demande au tribunal aussitôt qu'elle a eu connaissance du motif de récusation, et s'il y a lieu, elle doit réclamer dans les dix jours de cette connaissance l'annulation des actes de procédure auxquels le juge récusé a pris part (<ref-law>). A défaut, elle est déchue du droit de s'en prévaloir ultérieurement (<ref-ruling> consid. 3.4 p. 211; <ref-ruling> consid. 4.3.1 p. 21). L'<ref-law> ne fixe pas de délai pour solliciter la récusation, mais précise qu'elle doit être requise " aussitôt " après la connaissance du motif invoqué (arrêt 4A_172/2019 du 4 juin 2019 consid. 4.1.3).
4.2.3. La partie qui requiert la récusation d'un magistrat ou fonctionnaire judiciaire n'est pas tenue d'apporter la preuve stricte des faits qu'elle allègue; elle doit seulement rendre ces faits vraisemblables (art. 49 al. 1, 2 ème phr., CPC), de sorte que sur ce point, la procédure de la récusation est similaire à celle des mesures provisionnelles selon l'<ref-law> (arrêt 4A_475/2018 du 12 septembre 2019 consid. 3.3).
4.3. En l'espèce, vu l'<ref-law> exigeant de la partie requérante qu'elle agisse avec célérité et justifiant un degré de la preuve moindre (simple vraisemblance; cf. supra consid. 4.2.3), la demande de récusation déposée le 5 décembre 2018 fondée sur les quatorze premières violations de la loi dénoncées, en particulier la onzième concernant l' "accord occulte " intervenu courant 2017 qui serait suffisante en elle-même selon le recourant, sont manifestement tardives, dès lors qu'elles auraient dû être soulevées dans les dix jours dès leur constatation par le recourant, à savoir au plus tard en novembre 2017. De surcroît, le recourant ne rend nullement vraisemblable l'existence d'un accord occulte à son détriment, puisqu'il ressort uniquement des titres et des déclarations de l'expert que la juge lui a garantit le paiement de ses honoraires. L'arrangement concernant les modalités de paiement repose sur une simple supposition du recourant et n'est rendue vraisemblable par aucune preuve administrée. L' " accord occulte ", eut-il été dénoncé dans le délai fixé par l'<ref-law>, n'est quoi qu'il en soit pas démontré et ne saurait en conséquence justifier la récusation de la juge.
Au regard de la célérité exigée par l'<ref-law>, seules les quatre dernières violations résultant de la reddition de l'ordonnance du 27 novembre 2018 entrent ainsi en considération pour fonder la requête de récusation du 5 décembre 2018. A cet égard, il s'agit de prétendues violations du droit et le recourant ne parvient pas à rendre vraisemblable en quoi ces violations - fussent-elles confirmées - fonderaient une apparence de prévention de la juge, dès lors qu'il se limite à affirmer, sans se référer à aucun acte de procédure appuyant ses allégations, que ses observations et chargés de pièces déposés en novembre 2018 auraient été écartés de la procédure, alors que les pièces remises par sa partie adverse au même moment auraient été admises. En tant qu'il se plaint de la violation de son droit d'être entendu et du principe de l'égalité des armes parce qu'il entendait encore poser des questions à l'expert, alors que la partie adverse avait fini de poser toutes ses questions lors de l'audience précédente, il ne rend aucunement vraisemblable une apparence de prévention de la juge qui s'est a priori uniquement livrée à une appréciation (anticipée) des preuves en rendant une ordonnance refusant une nouvelle convocation de l'expert. En conséquence, les violations du droit invoquées à l'occasion de l'ordonnance de preuves de novembre 2018 ne sont ni rendues vraisemblables, ni de nature à rendre vraisemblable une prévention de la juge C._ à l'encontre du recourant dans l'instruction de l'action en nullité du testament. Les griefs de violation des règles sur la récusation (<ref-law>) et d'arbitraire (art. 9 Cst.), autant que ce dernier était suffisamment motivé conformément aux exigences légales s'agissant d'un tel grief (cf. supra consid. 2, <ref-law>), doivent être rejetés
5.
Dès lors que la motivation subsidiaire relative à l'absence de motif de récusation de l'autorité de première instance n'est pas critiquable (cf. supra consid. 4), ce constat scelle le sort du recours sans qu'il y ait lieu d'examiner les critiques soulevées par le recourant relatives à la motivation principale (abandon de la conclusion en récusation de la juge).
6.
En définitive, le recours est rejeté. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>). Dans les présentes circonstances, il n'y a pas lieu à l'allocation de dépens (<ref-law>), dès lors que des réponses sur le fond n'ont pas été requises et que seule l'intimé n° 2 s'est prononcé sur la requête d'effet suspensif, déclarant s'en rapporter à justice, mais mettant néanmoins en doute l'argumentation du recourant à cet égard, alors que l'effet suspensif a été admis au sens des motifs.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, à la juge concernée C._, à B._ et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 8 avril 2020
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Gauron-Carlin