Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Verfügung vom 9. März 2011 sprach die IV-Stelle des Kantons Zürich der 1979 geborenen A._, die über eine Ausbildung als Pflegeassistentin verfügt, gestützt auf die Expertise der Dr. med. B._ Fachärztin für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 27. Juli 2010 rückwirkend ab Juli 2008 eine ganze Rente zu.
A.b. Im Rahmen eines ersten Revisionsverfahrens bestätigte die IV-Stelle den Anspruch auf eine ganze Rente aufgrund des Verlaufsgutachtens der Klinik C._ vom 13. Juni 2013 (Mitteilung der IV-Stelle vom 19. Juli 2013). Eine Veränderung zeigte sich auch bei der im September 2016 eingeleiteten Revision anhand des Berichts des Zentrums D._ vom 7. November 2016 nicht (Mitteilung der IV-Stelle vom 16. Januar 2017).
A.c. Im Dezember 2017 veranlasste die IV-Stelle erneut eine revisionsweise Rentenüberprüfung. Sie holte insbesondere vom Zentrum D._ einen Verlaufsbericht vom 26. Mai 2018 und alsdann eine Leistungszusammenstellung bei der Krankenkasse ein. In der Folge liess die Verwaltung A._ durch den Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) in psychiatrischer und orthopädisch/rheumatologischer Hinsicht untersuchen (Untersuchungsberichte vom 10. April 2019). Anschliessend stellte die IV-Stelle der Versicherten am 20. Mai 2019 vorbescheidsweise die Herabsetzung der Leistungen auf eine halbe Rente in Aussicht. Gleichentags forderte die IV-Stelle die Versicherte unter Androhung einer möglichen Leistungskürzung zur Durchführung einer Behandlung zur Verbesserung des Gesundheitszustandes auf. Daraufhin teilte A._ mit, sie werde die geforderte Behandlung in der Klinik C._ durchführen lassen. Zudem liess sie gegen die angezeigte Rentenherabsetzung Einwände erheben. Mit Vorbescheid vom 5. November 2019 stellte die IV-Stelle die Renteneinstellung in Aussicht, da nach ihren telefonischen Abklärungen die Versicherte die verlangte Therapie nicht angefangen habe. Dagegen liess A._ Einwände einreichen und machte geltend, sie sei seit einigen Wochen in stationärer psychiatrischer Behandlung. Auf Aufforderung der IV-Stelle hin liess A._ am 20. Januar 2020 einen Bericht der Klinik C._ vom 18. Dezember 2019 betreffend den Aufenthalt vom 17. Oktober bis 10. Dezember 2019 einreichen. Nachdem der RAD dazu am 20. März 2020 Stellung genommen hatte, hob die IV-Stelle die Rente mit Verfügung vom 6. April 2020 auf.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ab (Urteil vom 16. Juli 2021).
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, das vorinstanzliche Urteil sei aufzuheben und ihr sei weiterhin eine ganze Rente zuzusprechen. Eventualiter sei die Rente mit Wirkung ab dem 1. Juni 2020 auf eine halbe Rente herabzusetzen. Subeventualiter sei die Sache an die Beschwerdegegnerin zur Vornahme weiterer Abklärungen in medizinischer Hinsicht zurückzuweisen, damit diese hernach über den Rentenanspruch neu entscheide.
Das Bundesgericht holte die vorinstanzlichen Akten ein. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; zum Ganzen <ref-ruling> E. 4).
2.
2.1. Strittig ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie die von der IV-Stelle am 6. April 2020 verfügte Renteneinstellung schützte.
2.2. Das kantonale Gericht hat die hier interessierenden rechtlichen Bestimmungen und Grundsätze zum Begriff der Invalidität (<ref-law>) und Rentenrevision (<ref-law>) sowie zum Beweiswert von medizinischen Berichten im Allgemeinen und jenen von versicherungsinternen Ärzten im Besonderen (<ref-ruling> 5.2; <ref-ruling> E. 1.2.1; <ref-ruling> E. 5.1) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt für die vorinstanzlichen Ausführungen zur Schadenminderungspflicht (<ref-law>), insbesondere zur Pflicht der versicherten Person aktiv an medizinischen Behandlungen nach <ref-law> teilzunehmen (<ref-law>), zu den möglichen Sanktionen bei einer Verletzung dieser Pflicht (<ref-law> i.V.m. <ref-law>) sowie zum Mahn- und Bedenkzeitverfahren (<ref-law>). Darauf wird verwiesen.
3.
Die Vorinstanz kam zum Schluss, an der Einschätzung des RAD bestünden keine Zweifel und entsprechend sei eine Verbesserung des Gesundheitszustandes ausgewiesen. Danach habe im Untersuchungszeitpunkt eine Arbeitsfähigkeit von 50 % vorgelegen, wobei nach konsequenter Durchführung der Massnahmen zur Verbesserung des Gesundheitszustandes innerhalb von drei bis vier Monaten eine Arbeitsfähigkeit von 80 % hätte erreicht werden können. Der Beschwerdeführerin wären die auferlegten Massnahmen zumutbar gewesen, sei denen aber in Verletzung der Schadenminderungspflicht nicht nachgekommen. Die Verneinung eines Rentenanspruchs durch die Beschwerdegegnerin sei, nachdem das Mahn- und Bedenkzeitverfahren durchgeführt worden sei, gestützt auf die Sanktionsnorm von <ref-law> rechtens.
4.
Die Einschätzung des RAD bildet Grundlage dafür, dass die Vorinstanz eine sanktionsweise Renteneinstellung für rechtens erachtet hat. Deshalb ist zunächst auf die Einwände der Beschwerdeführerin gegen den Bericht des RAD einzugehen.
4.1. Die Beschwerdeführerin beanstandet hinsichtlich des psychiatrischen Untersuchungsberichts des RAD vom 10. April 2019, es seien keine Tests durchgeführt worden. Diese Kritik am Vorgehen bei der psychiatrischen Untersuchung durch den RAD verfängt nicht, denn entscheidend ist die klinische Untersuchung mit Anamneseerhebung, Symptomerfassung und Verhaltensbeobachtung, wohingegen den von der Beschwerdeführerin erwähnten Testverfahren im Rahmen einer psychiatrischen Abklärung höchstens eine ergänzende Funktion zukommt (Urteil 9C_728/2018 vom 21. März 2019 E. 3.3). Soweit die Beschwerdeführerin weiter rügt, der RAD habe keine Fremdauskünfte eingeholt, ist dem entgegenzuhalten, dass es im Ermessen des Facharztes liegt, ob er auf solche zusätzlichen Abklärungen zurückgreifen will (Urteil 9C_830/2019 vom 3. Februar 2020 E. 4.3 mit Hinweisen). Eine mangelhafte bzw. unvollständige Untersuchung vermag dies nicht aufzuzeigen. Die Beschwerdeführerin macht ferner geltend, die geklagten Beschwerden und daraus geltend gemachten Beeinträchtigungen seien vom RAD nicht korrekt, sondern zu optimistisch und im Bestreben eine Verbesserung feststellen zu wollen, protokolliert worden. Für einen solchen erstmals vor Bundesgericht geltend gemachten grundlegenden Mangel im Untersuchungsbericht des RAD gibt es keinen Hinweis, nachdem dies von der auch damals rechtskundig vertretenen Beschwerdeführerin im Vorbescheid- und kantonalen Beschwerdeverfahren nicht vorgebracht wurde. Wie die Vorinstanz darlegte, hat sich die RAD-Ärztin auch mit den anderen Einschätzungen des Zentrums D._ auseinandergesetzt. So zeigte die RAD-Ärztin anhand der im Alltag präsentierten Ressourcen auf, weshalb eine starke Antriebsminderung und ein starker Rückzug nicht (mehr) nachvollziehbar sind. Daher bestehen auch von dieser Seite keine auch nur geringe Zweifel an der Schlüssigkeit des RAD-Berichts.
Auch nicht gefolgt werden kann der Beschwerdeführerin, soweit sie die attestierte Arbeitsfähigkeit rügt und deshalb den Beweiswert der Einschätzung des RAD anzweifelt. Ihre Behauptung, psychische Beschwerden wirkten sich in allen möglichen Betätigungsfeldern gleichermassen aus, ist unsubstanziiert und vermag nicht zu überzeugen. Zudem konnte die Vorinstanz aufgrund der Angaben des RAD den Umfang der Arbeitsfähigkeit mit Blick auf das im Sozialversicherungsrecht geforderte Beweismass der überwiegenden Wahrscheinlichkeit willkürfrei festlegen. Ferner ist entgegen den Ausführungen in der Beschwerde auch nicht ersichtlich, dass das vom RAD erhobene zumutbare Belastbarkeitsprofil mit unter anderem eingeschränkter Umstellungs- und Anpassungsfähigkeit lediglich noch eine Tätigkeit im geschützten Bereich zulassen würde. Vielmehr kann die Beschwerdeführerin mit dieser Einschränkung insbesondere Tätigkeiten ausüben, bei der Arbeiten immer wieder nach dem gleichen Schema zu verrichten sind. Die Vorinstanz verletzte daher kein Bundesrecht, wenn sie den Untersuchungsbericht des RAD als grundsätzlich beweiskräftig einstufte.
4.2. Ebenso ist nicht willkürlich, wenn das kantonale Gericht gestützt darauf schloss, eine gesundheitliche Verbesserung sei im Untersuchungszeitpunkt ausgewiesen, ist doch aufgrund der Einschätzung des RAD davon auszugehen, dass sich die depressive Symptomatik in dem Sinne verbessert hat, als dass nun noch eine mittelgradige depressive Episode besteht, aber sich keine schizoaffektive Psychose mit schwer depressivem Zustandsbild mehr nachweisen lässt. Die Einschätzung des RAD und die neu auf 50 % geschätzte Arbeitsfähigkeit stellt daher entgegen den Ausführungen in der Beschwerde nicht lediglich eine andere Beurteilung eines im wesentlichen unverändert gebliebenen Gesundheitszustandes dar. Die Beschwerdeführerin räumt denn auch selbst ein, die vom RAD beschriebenen Befunde zeigten gewisse unterschiedliche Akzentuierungen.
5.
5.1. Die Beschwerdegegnerin forderte die Beschwerdeführerin mit Schreiben vom 20. Mai 2019 auf, sich einer konsequenten, leitliniengerechten Einstellung mit Antidepressiva inklusive Spiegelmessung und einer konsequenten wöchentlichen Psychotherapie zu unterziehen sowie die Schmerzmedikation zu pausieren und anschliessend eine leitliniengerechte Behandlung der Kopfschmerzen einzuleiten. Unter diesen Voraussetzungen könne in drei bis vier Monaten eine Steigerung der Arbeitsfähigkeit erreicht werden. Die Vorinstanz erachtete eine solche Therapie als zumutbar, zumal die Beschwerdeführerin Gegenteiliges nicht geltend gemacht habe. Diese Feststellung verletzt kein Bundesrecht, denn nach der Rechtsprechung ist die fortgesetzte Krankheitsbehandlung, die insbesondere auch die dauernde Einnahme ärztlich verschriebener Medikamente umfasst, in aller Regel eine jederzeit zumutbare Form der allgemeinen Schadenminderung (Urteil 8C_625/2016 vom 24. Januar 2017 E. 3.4.1 mit Hinweisen). Zudem stützt sich die Auflage der Beschwerdegegnerin auf eine fachärztliche Empfehlung (i.c. des RAD). Es besteht somit kein Grund in Frage zu stellen, dass der Beschwerdeführerin, welche im Zeitpunkt der Untersuchung beim RAD seit über einem Jahr weder eine psychopharmakologische noch eine regelmässige psychiatrische Behandlung in Anspruch nahm, die von der Beschwerdegegnerin verlangten Therapien zumutbar waren. Mit Blick darauf mussten entgegen der Beschwerdeführerin auch keine weiteren Abklärungen zur Zumutbarkeit der geforderten Behandlung vorgenommen werden.
5.2. Die Vorbringen der Beschwerdeführerin, die Art der Behandlung bestimme der Arzt und die Beschwerdegegnerin hätte diesen über die Schadenminderungspflicht informieren müssen, zielen ins Leere. Es trifft zwar zu, dass der Facharzt oder die Fachärztin bestimmt, welche konkreten Behandlungsmöglichkeiten indiziert und zumutbar sind (Urteil 8C_741/2018 vom 22. Mai 2019 E. 4.2). Eine solche Einschätzung liegt hier jedoch vor, nachdem die RAD-Ärztin eine Behandlungsempfehlung abgegeben hat. Alsdann oblag es der Beschwerdeführerin, d ie aus fachärztlicher Sicht indizierten und zumutbaren Behandlungsmöglichkeiten auf dem Weg der Selbsteingliederung (vgl. Urteile 8C_741/2018 vom 22. Mai 2019 E. 4.1; 8C_865/2017 vom 19. Oktober 2018 E. 3.3 mit Hinweisen, in: SVR 2019 IV Nr. 16 S. 48) in kooperativer Weise optimal und nachhaltig auszuschöpfen (Urteil 8C_741/2018 vom 22. Mai 2019 E. 4.2).
5.3. Soweit die Beschwerdeführerin vorbringt, sie könne nicht kontrollieren, ob sie leitliniengerecht behandelt werde, ist darauf hinzuweisen, dass die Beschwerdegegnerin ihr nicht lediglich abstrakt auferlegte, sich einer leitliniengerechten Therapie zu unterziehen. Aus der Auflage vom 20. Mai 2019 geht auch hervor, dass dies die Einstellung mit Antidepressiva inklusive Spiegelmessungen, eine konsequente wöchentliche Psychotherapie, pausieren der Schmerzmedikation und anschliessend installieren einer leitliniengerechten Behandlung der Kopfschmerzen umfasst. Die Beschwerdeführerin wusste somit insofern, was von ihr verlangt wird.
5.4. In der diesem Verfahren zu Grunde liegende n Verfügung warf die Beschwerdegegnerin der Beschwerdeführerin eine Verletzung der Schadenminderungspflicht vor. Die Vorinstanz erwog diesbezüglich, die Beschwerdeführerin sei während rund acht Wochen in stationärer Behandlung gewesen. Anhaltspunkte dafür, dass die Beschwerdeführerin konsequent eine leitliniengerechte Therapie absolvierte hätte, bestünden aufgrund des Berichts der Klinik C._ aber nicht. Eine Behandlung mit Antidepressiva und durchgeführte regelmässige Blutspiegelkontrollen gingen daraus nicht hervor. Ebensowenig sei ein Pausieren der Schmerzmedikamente notiert. Das kantonale Gericht kam - nachdem es von weiteren Abklärungen keine entscheidwesentlichen neuen Erkenntnisse erwartete - zum Schluss, aufgrund der nur achtwöchigen, nicht leitliniengerechten stationären Therapie und fehlenden weiteren Therapiebemühungen könne nicht erstellt werden, dass die Beschwerdeführerin der ihr auferlegten Schadenminderungspflicht nachgekommen sei. Die Beschwerdeführerin macht nun geltend, diese vorinstanzliche Erwägung beruhe auf einer ungenügenden Sachverhaltsabklärung, da kein ausführlicher Bericht von der Klinik C._ eingeholt worden sei. Es trifft zwar zu, dass entgegen ihrem im kantonalen Verfahren gestellten Antrag kein umfassender Bericht der Klinik C._ eingeholt wurde. Zu beachten ist jedoch, dass dieser Beweisantrag nicht darauf abzielte, die Erfüllung der Schadenminderungspflicht zu beweisen. Vielmehr beschränkte sich die Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren - ohne je zu behaupten, sie wäre der ihr obliegenden Schadenminderungspflicht nachgekommen - darauf, die Einschätzung des RAD zu rügen und unverändert eine Arbeitsunfähigkeit von 100 % geltend zu machen. Bei dieser Ausgangslage hatte die Vorinstanz keinen Anlass, den Sachverhalt hinsichtlich der Erfüllung der Schadenminderungspflicht weiter abzuklären, gilt doch der Untersuchungsgrundsatz nicht uneingeschränkt, sondern findet sein Korrelat in den Mitwirkungspflichten der Parteien (statt vieler: Urteil 9C_377/2021 vom 22. Oktober 2021 E. 5.3.1 mit Hinweisen). Daher hat es bei den aufgrund der Akten nicht offensichtlich unrichtigen Feststellungen der Vorinstanz sein Bewenden.
5.5. Die Rügen der Beschwerdeführerin gegen die sanktionsweise Renteneinstellung verfangen nach dem Dargelegten nicht. Die Beschwerde ist folglich abzuweisen.
6.
Dem Prozessausgang entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, V. Kammer, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. November 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Möckli