Erwägungen:
1.
Mit Verfügung vom 28. Mai 2018 wies das Migrationsamt des Kantons St. Gallen das Gesuch der am 3. September 1991 geborenen ungarischen Staatsangehörigen A._ um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA zum erwerbslosen Aufenthalt (und Verbleib bei ihrem Lebenspartner B._) ab. Den gegen diese Verfügung erhobenen Rekurs wies das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 18. Februar 2019 ab, soweit es darauf eintrat. Der am 19. Februar 2019 versandte Rekursentscheid wurde am 20. Februar 2019 am Postschalter abgeholt.
Mit Eingabe vom 28. Februar 2019 gelangten B._ und A._ an das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen. Das Schreiben war betitelt mit "Fristerstreckungsgesuch Beschwerde gegen Entscheid vom Sicherheits- und Justizdepartement vom 18. Februar 2019". Im Schreiben ist wörtlich Folgendes festgehalten: "ich ersuche Sie hiermit, die Frist für die Beschwerde bis zum 20. April 2019 zu verlängern. Doppel vom Entscheid vom 18.02.2019 liegt bei, Vollmacht von A._ sie in dieser Sache zu vertreten eben-falls. Bitte belehren Sie mich, was die Beschwerde beinhalten muss, damit darauf eingetreten werden kann???". In seiner Antwort vom 1. März 2019 (Freitag) hielt der zuständige Abteilungspräsident des Verwaltungsgerichts zunächst fest, dass die Formalitäten für eine gültige Beschwerdeerhebung beim Verwaltungsgericht den Betroffenen aus einem früheren Verfahren bekannt seien. Sodann erklärte er, dass die Beschwerdefrist von 14 Tagen nicht erstreckbar sei, weshalb dem Gericht innert der gesetzlichen Beschwerdefrist die klare Kundgabe des Beschwerdewillens vorliegen müsse, wofür ein blosses Fristerstreckungsgesuch nicht genüge; nur wenn innert der Beschwerdefrist mindestens klar mitgeteilt werde, dass Beschwerde erhoben werden will, könne anschliessend eine angemessene Frist zur Ergänzung der Beschwerde mit den Anträgen, einer Darstellung des Sachverhalts und einer Begründung angesetzt werden. Diese Antwort des Verwaltungsgerichts wurde am 4. März 2019 (Montag) zur Abholung gemeldet und am 7. März 2019 am Schalter zugestellt. Mit vom 7. März 2019 datierter Eingabe (Poststempel 8. März 2019) an das Verwaltungsgericht erklärte der Vertreter B._ dem Verwaltungsgericht, dass Beschwerde erhoben werden soll, und ersuchte um Ansetzung einer Frist bis zum 20. April 2019, um die Beschwerde mit Anträgen, Darstellung des Sachverhalts und Begründung zu ergänzen.
Mit Entscheid des Abteilungspräsidenten (Abteilung II) vom 27. März 2019 trat das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen auf die Beschwerde nicht ein.
Mit vom 25. April 2019 datiertem, am 26. April 2019 zur Post gegebenem Schreiben erklärt A._, vertreten durch B._, dem Bundesgericht, gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts Beschwerde erheben zu wollen. Nach Belehrung über die Modalitäten der Beschwerdeerhebung an das Bundesgericht (Schreiben des Präsidialgerichtsschreibers vom 30. April 2019) wurde am 16. Mai 2019 (Postaufgabe) eine vom 14. Mai 2019 datierte Beschwerdeschrift nachgereicht. Die Eingabe ist - unter Berücksichtigung des Friststillstandes über Ostern (<ref-law>) - rechtzeitig erfolgt. A._ beantragt dem Bundesgericht, das Verwaltungsgericht anzuweisen, auf die dortige Beschwerde einzutreten.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten. Rechtsbegehren und Begründung haben sachbezogen zu sein und sich auf den Gegenstand des angefochtenen Entscheids zu beziehen und beschränken. Die Beschwerde führende Partei muss in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form plausibel darlegen, inwiefern die Vorinstanz welche Rechte bzw. Rechtsnormen verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen). Gerügt werden kann die Verletzung von schweizerischem Recht (<ref-law>), mithin nicht unmittelbar von kantonalem Gesetzesrecht. Beruht der angefochtene Entscheid (wie vorliegend) auf kantonalem (Verfahrens-) Recht, kann im Wesentlichen bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, namentlich Willkür bei dessen Anwendung, gerügt werden; entsprechende Rügen bedürfen gemäss <ref-law> besonderer Geltendmachung und Begründung (<ref-ruling> E. 1.3 S. 41 mit Hinweisen). Der von der Vorinstanz festgestellte Sachverhalt ist für das Bundesgericht verbindlich (<ref-law>), es sei denn, die Partei zeige auf, dass und inwiefern die tatsächlichen Feststellungen qualifiziert falsch oder in Verletzung von Verfahrensvorschriften getroffen worden seien, was spezifisch geltend zu machen und zu begründen ist, sofern entsprechende Mängel nicht ins Auge springen (vgl. Art. 105 Abs. 2 sowie Art. 97 Abs. 1 BGG; dazu <ref-ruling> E. 2 S. 5; <ref-ruling> E. 2 S. 117, 264 E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62 mit Hinweisen).
2.2. Der angefochtene Nichteintretensentscheid beruht darauf, dass die Beschwerdeführerin nicht innert der gesetzlichen Beschwerdefrist von 14 Tagen (Art. 64 in Verbindung mit Art. 47 Abs. 1 des Gesetzes des Kantons St. Gallen vom 16. Mai 1965 über die Verwaltungsrechtssprechung [VRG]) gültig Beschwerde an das Verwaltungsgericht erhoben habe; bei Eröffnung des Rekursentscheides am 20. Februar 2019 habe die Frist am 6. März 2019 geendet; die Beschwerdeführerin habe erst mit vom 7. März 2019 datiertem, am 8. März 2019 zur Post gegebenem Schreiben erklärt, Beschwerde zu erheben, und um Ansetzung einer Frist für das Verfassen einer Rechtsschrift ersucht. Nicht als fristwahrend wertete das Verwaltungsgericht das Schreiben vom 28. Februar 2019, womit ausschliesslich um Ansetzen einer Frist zur Beschwerdeführung ersucht worden sei; damit werde im Lichte der Rechtsprechung zu Art. 48 Abs. 1 und 2 VRG selbst den sehr tief angesetzten Minimalanforderungen an eine fristwahrende Beschwerdeerhebung nicht Genüge getan.
Inwiefern das Verwaltungsgericht in dieser Hinsicht von einem offensichtlich falschen Sachverhalt und von einer mit schweizerischem Recht nicht vereinbaren Auslegung des kantonalen Rechts ausgegangen sei bzw. dieses bei der rechtlichen Qualifizierung der Eingabe vom 28. Februar 2019 willkürlich angewendet haben soll, lässt sich mit der blossen Behauptung, bei besagter Eingabe habe es sich um mehr als ein Fristerstreckungsgesuch, nicht dartun. Gründe alsdann, die das Verwaltungsgericht unter dem Aspekt verfassungsmässiger Rechte (solche nennt die Beschwerdeführerin ohnehin nicht, s. aber <ref-law>) dazu verpflichtet hätte, die nachgewiesenermassen am 8. März 2019 zur Post gegebene Beschwerdeerhebung/Beschwerdeerklärung vom 7. März 2019 (auch die von der Beschwerdeführerin vorgelegte Postquittung datiert entgegen ihrer Darstellung nicht vom 6., sondern vom 8. März 2019) zu berücksichtigen, werden nicht dargetan und sind im Lichte der von der Beschwerdeführerin nicht hinreichend diskutierten Erwägungen des Verwaltungsgerichts zu den zeitlichen Abläufen und Zustellungsverhältnissen ab dem Freitag, 1. März 2019, zur Forderung der Beschwerdeführerin, das Schreiben des Verwaltungsgerichts vom 1. März 2019 hätte per A-Post verschickt werden müssen, sowie über Kenntnisse des Vertreters der Beschwerdeführerin über die Verfahrensabläufe angesichts eines früheren Verfahrens, auch nicht im Ansatz ersichtlich.
2.3. Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung (<ref-law>) und es ist darauf mit Entscheid des Abteilungspräsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
2.4. Die Gerichtskosten (<ref-law>) sind entsprechend dem Verfahrensausgang der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 600.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung II, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juli 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Feller