Faits :
A.
A.a. Au mois de décembre 2008, A._, ressortissant du Bénin né en 1976, a déposé, sous l'identité de B._, ressortissant du Burkina Faso né en 1982, une demande d'asile en Suisse. Cette demande a été rejetée. L'intéressé s'est alors vu impartir un délai au 12 novembre 2001 pour quitter le territoire helvétique. Il a toutefois disparu dans la clandestinité. Appréhendé par la police vaudoise à la fin du mois de mars 2002, A._ a, le 29 mai 2002, après une période de détention administrative, été refoulé par avion à destination de son pays d'origine. Le 21 novembre 2003, une interdiction d'entrée en Suisse pour une durée de dix ans a été prononcée à l'encontre du précité - sous l'identité de B._. Celle-ci a toutefois été annulée avec effet immédiat le 6 avril 2006.
A.b. Le 20 septembre 2003, A._ a épousé C._, ressortissante suisse née en 1975, au Bénin. Il est entré en Suisse le 19 février 2004 et a été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour au titre du regroupement familial, régulièrement renouvelée jusqu'au 18 février 2009. A._ et C._ sont les parents de quatre enfants : D._, né en 2004, E._, née en 2005, ainsi que F._ et G._, nés en 2007.
A._ est également le père de H._, ressortissant du Bénin né en 2002 d'une précédente union. La demande de regroupement familial déposée le 3 mai 2005 en faveur de cet enfant par A._ n'a, en l'absence d'acte officiel attestant du fait que celui-ci disposait d'un droit de garde, pas abouti.
A.c. En 2008, A._ et son épouse ont décidé d'aller vivre au Bénin. Le 30 avril 2008, A._ a informé l'Office cantonal de la population et des migrations de la République et canton de Genève (ci-après : l'Office cantonal) qu'en dépit du départ prochain de son épouse et de ses enfants pour le Bénin pour une durée indéterminée, et bien qu'il demeurait à Genève, les conjoints ne devaient pas être considérés comme séparés. L'épouse et les enfants ont quitté la Suisse pour le Bénin le 30 juin 2008. A._ les a rejoints ultérieurement au cours de l'année 2008.
A._ a sollicité, par lettre du 19 novembre 2008, de la Représentation suisse à Accra, l'octroi d'une autorisation d'entrée en Suisse. Par décision du 3 avril 2009, l'Office cantonal a refusé de prolonger l'autorisation de séjour de l'intéressé et prononcé son renvoi de Suisse, au motif que celui-ci ne faisait plus ménage commun avec son épouse et ne pouvait se prévaloir d'une intégration réussie.
A._ a rempli, au mois de mai 2009, un formulaire de demande d'autorisation d'entrée en Suisse auprès de la Représentation suisse à Accra. L'épouse a confirmé, le 11 septembre 2009, à ladite représentation, se trouver, avec ses enfants, sur sol béninois.
A._ est revenu en Suisse au mois de décembre 2009 au bénéfice d'un visa. Le 25 décembre 2009, il s'est vu octroyer une autorisation de séjour - régulièrement prolongée jusqu'au 24 décembre 2012 -, de façon à lui permettre de vivre auprès de son épouse et de leurs enfants revenus précédemment en Suisse.
A.d. Le 20 décembre 2012, l'épouse de A._ a sollicité l'octroi, en faveur de ce dernier, d'une autorisation d'établissement. L'Office cantonal a répondu, le 2 septembre 2013, que l'intéressé pourrait prétendre à la délivrance d'une telle autorisation au plus tôt au mois de décembre 2014. A._ n'a formulé aucune objection à cet égard. Il n'a par la suite pas déposé de nouvelle demande tendant à la délivrance d'une autorisation d'établissement.
Les époux se sont séparés au mois d'octobre 2013. Statuant sur mesures protectrices de l'union conjugale, le Tribunal genevois de première instance, a notamment prononcé l'autorité parentale conjointe, constaté que le père n'était pas en mesure de contribuer à l'entretien de sa famille, attribué la garde des enfants à leur mère et réservé au père un large droit de visite devant s'exercer, sauf meilleure entente, à raison d'un jour en semaine, tous les midis, un weekend sur deux et la moitié des vacances scolaires. L'épouse a déposé une requête unilatérale de divorce au cours du mois d'août 2018.
A.e. A._ a travaillé comme garçon d'office dans un restaurant du mois de mai 2005 au mois d'avril 2008, puis comme employé d'entretien durant les mois de septembre et octobre 2010. Il n'a plus exercé aucune activité professionnelle par la suite. Le précité a par ailleurs échoué à plusieurs reprises aux examens théoriques de formation de chauffeur professionnel qu'il avait entreprise en 2014. Il n'a en outre pas achevé sa formation de cariste, débutée à la fin de l'année 2015.
A.f. L'intéressé a émargé à l'aide sociale, conjointement avec son épouse, durant les mois d'avril et mai 2008, ainsi qu'aux mois d'août 2010 et octobre 2013 et, depuis lors, à titre individuel. De 2013 à 2017, il a bénéficié d'une assistance financière à concurrence de 148'000 fr. Il a en outre accumulé, au mois de juillet 2018, des poursuites pour un montant de 43'800 fr. et fait l'objet de cinquante-et-un actes de défaut de biens pour une somme supérieure à 60'000 fr.
A.g. A._ souffre d'une infection par le VIH de stade B2 découverte en mars 2011 en raison d'un zona thoracique. Il n'a, en dehors de ce zona, pas souffert d'autre pathologie en relation avec le VIH. Il bénéficie d'un traitement antirétroviral quotidien - incluant les médicaments Truvada (tenofovir + 3TC) et Tivicay (dolutegravir) - et devant impérativement être poursuivi en raison des risques d'échappement du virus VIH, mais surtout en raison des risques d'échappement du virus d'hépatite B avec un risque d'hépatite fulminante.
A.h. A._ a, durant son séjour en Suisse, été condamné à cinq reprises :
- le 28 février 2002, par le Juge d'instruction de l'arrondissement du Nord vaudois, à une peine de 14 jours d'emprisonnement, assortie d'un sursis de deux ans, et à une amende de 150 fr., pour obtention frauduleuse d'une prestation et contravention à l'ancienne loi fédérale du 4 octobre 1985 sur le transport public (RO 1986 1974);
- le 16 janvier 2003, par le Tribunal de police de l'arrondissement de la Broye et du Nord vaudois, par défaut, à une peine de trois mois d'emprisonnement pour utilisation frauduleuse d'un ordinateur, crime manqué d'utilisation frauduleuse d'un ordinateur, faux dans les titres, faux dans les certificats, infraction à l'ancienne loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (RO 1949 229) et circulation sans permis de conduire; statuant sur relief le 26 janvier 2006, l'autorité précitée a libéré l'intéressé de l'accusation de circulation sans permis de conduire en raison de la prescription et, confirmant en tous points les autres infractions retenues dans son précédent jugement, prononcé une peine de deux mois d'emprisonnement, assortie d'un sursis de deux ans;
- le 12 juillet 2006, par le Procureur général genevois, à une peine de 15 jours d'emprisonnement, assortie d'un sursis de trois ans, et à une amende de 1'000 fr., pour conduite en état d'ébriété avec taux d'alcool qualifié et conduite sous retrait du permis de conduire selon l'ancienne loi fédérale du 19 décembre 1958 sur la circulation routière (RO 2002 2776, RO 2004 2849, RO 1959 740);
- le 25 juillet 2007, par le Procureur général genevois, à une peine pécuniaire de trente jours-amende, le jour-amende étant fixé à 70 fr, et à une amende de 1'500 fr., pour conduite d'un véhicule automobile en état d'ébriété avec un taux d'alcool qualifié, conduite d'un véhicule automobile en sachant qu'il n'était pas couvert par l'assurance-responsabilité civile prescrite et violation simple des règles de la circulation routière selon l'ancienne loi fédérale sur la circulation routière du 19 décembre 1958 (RO 1991 76, RO 1959 738); le sursis accordé le 12 juillet 2006 a en outre été révoqué.
- le 29 janvier 2010, par le Juge d'instruction genevois, pour escroquerie, à une peine pécuniaire de 90 jours-amende, le jour-amende étant fixé à 30 fr., assortie d'un sursis de quatre ans; le sursis accordé le 25 juillet 2007 a été révoqué.
A._ a en outre mené une mutinerie lors de sa détention administrative en 2002 et fait l'objet d'un rapport de contravention de la police genevoise le 3 mai 2018, pour n'avoir pas annoncé son changement d'adresse. A la suite d'une dénonciation de l'Office fédéral de la police à Berne, il a été entendu par la police pour avoir distribué deux vidéos pornographiques à des mineurs.
B.
Le 19 novembre 2015, l'Office cantonal s'est déclaré favorable à la poursuite du séjour en Suisse de A._, sous réserve de l'approbation du Secrétariat d'Etat aux migrations (ci-après: le Secrétariat d'Etat). Celui-ci a, en date du 6 octobre 2016, refusé d'approuver la prolongation de l'autorisation de séjour et a prononcé le renvoi de Suisse de l'intéressé.
Par arrêt du 11 février 2019, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours de l'intéressé contre cette décision.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande en substance au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, outre d'octroyer de l'effet suspensif à son recours, d'annuler l'arrêt du Tribunal administratif et d'approuver la prolongation de son autorisation de séjour, subsidiairement de renvoyer la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Le Président de la Cour de IIe Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif, par ordonnance du 19 mars 2019.
Le Tribunal administratif fédéral renonce à se déterminer sur le recours. Le Secrétariat d'Etat conclut au rejet du recours. A._ a produit une nouvelle pièce le 20 mai 2019.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (art. 29 al. 1 LTF; cf. <ref-ruling> consid. 1 p. 476 et les arrêts cités).
1.2. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable à l'encontre des décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. En l'occurrence, le recourant invoque, de manière soutenable, l'art. 50 al. 1 let. b LEtr (RO 2007 5437), intitulée, depuis le 1er janvier 2019, loi fédérale sur les étrangers et l'intégration (LEI; RS 142.20). Cette disposition, qui reste applicable au présent litige (cf. art. 126 al. 1 LEI), fonde, à certaines conditions, un droit à la prolongation ou au renouvellement d'une autorisation de séjour. Dès lors qu'il n'est pas d'emblée exclu que ces conditions puissent être remplies en l'espèce, le recours échappe à la clause d'irrecevabilité de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 332). La voie du recours en matière de droit public est partant ouverte.
1.3. Déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites par la loi (art. 42 LTF), par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (art. 89 al. 1 LTF), le présent recours, dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue par le Tribunal administratif fédéral (art. 86 al. 1 let. a LTF) dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF), est recevable.
1.4. Devant le Tribunal fédéral, le recourant indique qu'il est incompréhensible qu'une autorisation d'établissement ne lui ait pas été délivrée, sans toutefois formellement conclure à la délivrance, en sa faveur, d'une telle autorisation. Le Tribunal administratif fédéral a considéré qu'il n'avait pas à examiner si le recourant était en mesure de revendiquer une telle autorisation, dès lors que l'objet de la contestation, qui avait été fixé dans le dispositif de la décision du Secrétariat d'Etat du 6 octobre 2016, portait sur la seule approbation à la prolongation de son autorisation de séjour au sens de l'art. 50 LEtr et le renvoi de Suisse - ce que le recourant ne conteste pas. Cela étant, si le recourant avait pris une conclusion, devant le Tribunal fédéral, tendant à l'octroi d'une autorisation d'établissement, celle-ci aurait dû être considérée comme étant irrecevable, car elle élargirait l'objet du litige. Partant, les griefs y relatifs ne seront pas examinés.
2.
Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF (<ref-ruling> consid. 4.4.3 p. 156). Le recourant ne peut critiquer les constatations de fait ressortant de la décision attaquée que si celles-ci ont été effectuées en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF; <ref-ruling> consid. 6 p. 358). Conformément à l'art. 106 al. 2 LTF, le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 6.3 p. 375).
2.1. Dans la mesure où le recourant, même s'il affirme se référer aux faits retenus par l'instance précédente, présente une argumentation partiellement appellatoire, en opposant sa propre version des faits à celle du Tribunal administratif fédéral et en complétant librement l'état de fait retenu dans l'arrêt entrepris, sans invoquer ni l'arbitraire, ni une constatation manifestement inexacte des faits, le Tribunal fédéral ne peut pas en tenir compte. Il sera donc statué sur la base des faits tels qu'ils ressortent de l'arrêt attaqué.
2.2. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut en principe être présenté devant le Tribunal fédéral (art. 99 al. 1 LTF). En l'espèce, les pièces déposées par l'intéressé à l'appui de son recours sont postérieures à l'arrêt attaqué. Partant, elles ne seront pas prises en compte (cf. <ref-ruling> consid. 3.1.2 p. 123).
3.
Le recourant affirme que le Tribunal administratif fédéral a jugé, à tort, qu'il n'avait pas droit à la prolongation ou au renouvellement de son autorisation de séjour en vertu de l'art. 50 LEtr.
3.1. Selon l'art. 50 al. 1 LEtr, dont la teneur s'écarte quelque peu de l'actuel art. 50 al. 1 LEI, le conjoint d'une personne suisse ou titulaire d'une autorisation d'établissement continue d'avoir droit à une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité après la dissolution de l'union conjugale dans deux hypothèses : si l'union conjugale a duré au moins trois ans et l'intégration est réussie (let. a) ou si la poursuite du séjour en Suisse s'impose pour des raisons personnelles majeures (let. b).
La jurisprudence admet que des raisons personnelles majeures peuvent découler aussi d'une relation digne de protection avec un enfant qui a le droit de séjourner en Suisse (cf. <ref-ruling> consid. 4.1 p. 24; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 319 et les références citées). Dans ce contexte, il convient également de tenir compte du droit au respect de la vie privée et familiale garanti par l'art. 8 CEDH (<ref-ruling> consid. 5 p. 96 ss), que le recourant invoque du reste expressément.
L'art. 8 CEDH, qui garantit le respect de la vie privée et familiale, ne confère en principe pas un droit à séjourner dans un Etat déterminé. Toutefois le fait de refuser un droit de séjour à un étranger dont la famille se trouve en Suisse peut entraver sa vie familiale et porter une atteinte disproportionnée au droit garanti par cette disposition. S'agissant d'un parent qui n'a pas la garde sur son enfant et qui ne peut de toute manière entretenir une relation familiale avec celui-ci que de façon limitée, la jurisprudence retient qu'il ne doit pas forcément être habilité à résider durablement en Suisse, ce même si son enfant jouit d'un droit de présence assuré dans le pays. Sous l'angle du droit à une vie familiale (cf. art. 8 par. 1 CEDH et 13 al. 1 Cst.), il suffit en règle générale que le parent vivant à l'étranger exerce son droit de visite dans le cadre de séjours brefs, au besoin en aménageant ses modalités quant à la fréquence et à la durée ou par le biais de moyens de communication modernes (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 96 et les références citées). Un droit plus étendu ne peut en revanche exister qu'en présence 1) de relations étroites et effectives avec l'enfant d'un point de vue affectif et 2) d'un point de vue économique, 3) de l'impossibilité pratique à maintenir la relation en raison de la distance qui sépare le pays de résidence de l'enfant du pays d'origine de son parent et 4) d'un comportement exempt de reproche. Ces exigences doivent être appréciées ensemble et faire l'objet d'une pesée des intérêts globale. Dans le cadre de l'examen de la proportionnalité de la mesure (cf. art. 8 par. 2 CEDH), il faut aussi tenir compte de l'intérêt fondamental de l'enfant (art. 3 de la Convention relative aux droits de l'enfant [CDE; RS 0.107]) à pouvoir grandir en jouissant d'un contact étroit avec ses deux parents (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 97 s., 143 I 21 consid. 5.5.1 p. 29 et les références citées).
La jurisprudence a précisé, en lien avec l'art. 50 al. 1 let. b LEtr, que l'exigence du lien affectif particulièrement fort doit être considérée comme remplie lorsque les contacts personnels sont exercés dans le cadre d'un droit de visite usuel selon les standards d'aujourd'hui (cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 148). En Suisse romande, il s'agit d'un droit de visite d'un week-end toutes les deux semaines et durant la moitié des vacances; seuls importent les liens personnels, c'est-à-dire l'existence effective de liens familiaux particulièrement forts d'un point de vue affectif et non pas seulement les décisions judiciaires ou les conventions entre parents (cf. <ref-ruling> consid. 5.2.1 p. 98 et les références citées). Une telle solution prend également en compte l'art. 9 par. 3 CDE (cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 148; <ref-ruling> consid. 2.4 et 2.5 p. 321).
Quant aux liens économiques, ils supposent que l'étranger verse une contribution financière pour l'entretien de l'enfant. Cette contribution peut également avoir lieu en nature, en particulier en cas de garde alternée (<ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 99). Le Tribunal fédéral a toutefois admis qu'il convient de distinguer la situation dans laquelle l'étranger ne contribue pas à l'entretien de l'enfant faute d'avoir été autorisé à travailler de celle dans laquelle il ne fait aucun effort pour trouver un emploi. Les exigences relatives à l'étendue de la relation que l'étranger doit entretenir avec son enfant d'un point de vue affectif et économique doivent rester dans l'ordre du possible et du raisonnable (<ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 99 et les références citées). Il y a lieu également de tenir compte des décisions des autorités civiles réduisant ou supprimant l'obligation de verser une pension alimentaire et de l'importance des prestations en nature consenties en faveur de l'enfant, l'exercice d'un droit de visite équivalant à une quasi garde alternée confirmant sous l'angle des prestations en nature l'existence de liens économiques étroits (<ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 99 et les références citées).
On ne saurait parler de comportement irréprochable lorsqu'il existe, à l'encontre de l'étranger, des motifs d'éloignement, en particulier si l'on peut lui reprocher un comportement répréhensible sur le plan pénal ou en regard de la législation sur les étrangers, étant entendu qu'en droit des étrangers, le respect de l'ordre et de la sécurité publics ne se recoupe pas nécessairement avec la violation de dispositions pénales, de sorte que l'appréciation émise par l'autorité de police des étrangers peut s'avérer plus rigoureuse que celle de l'autorité pénale (cf. <ref-ruling> consid. 5.2.4 p. 100 et les références citées).
3.2. Le recourant ne se plaint plus expressément, devant le Tribunal fédéral, d'une violation de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr. S'il fait valoir qu'il a vécu plus de trois ans avec son épouse, il ne conteste en revanche pas la conclusion des juges précédents selon laquelle l'examen des éléments pertinents aboutissait à nier une intégration réussie. Dès lors, le présent cas ne sera pas examiné à l'aune de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr.
3.3. Le recourant invoque une violation des art. 50 al. 1 let. b LEtr et 8 CEDH. Il soutient à cet égard qu'un renvoi au Bénin le priverait définitivement de tout contact avec ses quatre enfants restés en Suisse. Il conteste ne pas entretenir un lien économique particulièrement fort avec ceux-ci, comme l'a retenu l'autorité précédente. Il fait également valoir que ses condamnations pénales, qui sont anciennes et concernent des infractions peu graves, ne peuvent justifier un renvoi de Suisse.
3.3.1. Le respect de la condition d'un lien affectif fort entre le recourant et ses enfants a été admis par l'autorité précédente et aucun élément ne justifie de remettre en cause son appréciation sur ce point.
3.3.2. Sous l'angle économique, on doit constater, à l'instar du Tribunal administratif fédéral que compte tenu de sa situation financière, le recourant n'a pas été astreint au versement de contributions d'entretien en faveur de ses enfants lors de la procédure de mesures protectrices de l'union conjugale. A défaut d'emploi, le recourant n'a par la suite jamais été en mesure de s'assumer financièrement ni, par conséquent, de participer à l'entretien de ses enfants. Il est vrai que le recourant contribue à cet entretien en nature lors de l'exercice de son droit de visite. Cela étant, malgré la requête de l'instance précédente de fournir des documents démontrant les liens économiques avec ses enfants, le recourant n'a offert aucune indication permettant d'évaluer l'ampleur des prestations en nature, puisqu'il s'est contenté d'affirmer qu'il procédait à des "petits achats" pour ceux-ci. La situation du recourant n'est ainsi, contrairement à ce que celui-ci semble croire, en aucun cas comparable à celle d'un parent qui contribuerait de manière autonome, en nature ou en argent, à l'entretien de ses enfants. Il y a bien plus lieu de constater que le recourant n'a pas mis en oeuvre tout ce qu'on pouvait attendre de lui pour trouver un emploi lui permettant de s'affranchir de l'aide sociale et de subvenir aux besoins de sa famille. Le recourant soutient que son état de santé aurait une incidence sur sa capacité de travail. S'il n'est pas impossible que la maladie et la prise de médicaments quotidienne qui en découle empêchent l'exercice d'un travail à temps complet (bien que cela ne soit pas prouvé), selon l'arrêt entrepris, les documents médicaux produits n'attestent pas d'une incapacité de travail. Quant à l'argument du recourant, selon lequel ses difficultés pour trouver un emploi seraient liées à sa situation administrative au plan du droit des étrangers, il n'est pas convaincant. Si l'on peut admettre qu'à partir du 25 décembre 2015, à savoir à partir du moment auquel il s'est trouvé dans l'attente du renouvellement de son autorisation de séjour, il était objectivement moins aisé pour le recourant de trouver du travail, ce fait ne permet pas d'expliquer pour quelle raison l'arrêt attaqué ne fait état d'aucune activité lucrative entre le mois de novembre 2010 et le 24 décembre 2014, à savoir durant plus de quatre ans. Il n'a ainsi jamais exercé d'activité lucrative qui lui aurait permis de participer économiquement à l'entretien de ses enfants. En outre, il ressort de l'arrêt attaqué qu'aucune demande d'autorisation temporaire de travail n'a été formulée en faveur du recourant à compter du 24 décembre 2014. Il n'a par ailleurs pas terminé respectivement pas validé les formations qu'il a entreprises. On ne saurait partant considérer que le recourant peut, comme il semble le croire, être exempté de toute responsabilité s'agissant de sa dépendance à l'aide sociale d'une part et de son incapacité à pourvoir à l'entretien de ses enfants de manière autonome d'autre part. Quant aux allégations du recourant selon lesquelles il occuperait un emploi à temps partiel depuis le mois de décembre 2018, le Tribunal fédéral ne peut en tenir compte car il s'agit d'un fait nouveau (cf. supra consid. 2.2). Au demeurant, le recourant ne soutient ni n'établit que cet emploi lui permettrait de verser des contributions d'entretien en faveur de ses enfants ou de subvenir à ses propres besoins de manière autonome.
3.3.3. Concernant l'existence d'un comportement irréprochable, le recourant semble perdre de vue qu'il a été condamné pénalement à cinq reprises, dont deux fois pour conduite en état d'ébriété et une fois pour escroquerie, soit des infractions ne pouvant être considérées comme de peu de gravité. A cela s'ajoute une attitude répréhensible au regard du droit des étrangers (procédure d'asile menée sous une fausse identité, refus d'obtempérer à une décision de renvoi de Suisse, mutinerie lors de la détention administrative, disparition dans la clandestinité). Il ne ressort certes pas de l'arrêt entrepris que le recourant aurait commis de nouvelles infractions. Il n'en demeure pas moins que compte tenu de sa dette sociale (148'000 fr. pour les années 2013 à 2017), des poursuites qu'il a accumulées (43'800 fr. au mois de juillet 2018) et des cinquante-et-un actes de défauts de biens délivrés à son encontre (pour un montant supérieur à 60'000 fr. au mois de juillet 2018) le recourant ne peut se targuer d'un comportement irréprochable. Il ne conteste au demeurant pas la conclusion du Tribunal administratif fédéral selon laquelle il ne pourra pas subvenir lui-même à ses besoins et à ceux de ses quatre enfants dans un futur proche. Au surplus, comme on l'a vu (cf. infra consid. 3.3.2), aucun élément ne vient relativiser sa responsabilité s'agissant de sa situation financière, étant précisé qu'il a également émargé à l'aide sociale conjointement avec son épouse, alors qu'il bénéficiait d'une autorisation de séjour et avant que l'existence de sa maladie ne soit établie.
3.3.4. Sans nier les difficultés et les inconvénients engendrés par un départ pour le Bénin, le recourant ne peut pas être suivi lorsqu'il soutient que la distance avec ce pays le privera définitivement de tout contact avec ses enfants restés en Suisse. En effet, de tels contacts peuvent être maintenus par le biais des moyens de télécommunications modernes, voire durant les vacances. A cet égard, il faut relever que le recourant a réussi à conserver des liens très étroits avec son autre enfant resté au Bénin, alors qu'il se trouvait en Suisse. La seule distance entre ces deux pays ne saurait donc rendre nécessaire le séjour durable du recourant en Suisse. Enfin, s'il est de manière générale préférable que les enfants puissent avoir leur père à leurs côtés, il faut rappeler qu'en l'occurrence, le lien économique du recourant avec ses enfants, inexistant, ne possède pas une intensité qui devrait l'emporter sous l'angle de la pesée des intérêts.
3.3.5. Les circonstances, prises dans leur ensemble, en particulier, l'absence de lien économique entre le recourant et ses enfants résidant en Suisse, ainsi que le comportement de celui-ci qui ne peut être qualifié d'irréprochable - en particulier sa dépendance à l'aide sociale -, font apparaître que les précédents juges n'ont pas violé les art. 50 al. 1 let. b LEtr et 8 CEDH en considérant que l'intéressé ne pouvait pas prétendre à un titre de séjour en Suisse pour raisons personnelles majeures en lien avec lesdits enfants.
4.
Le recourant fait également valoir que ses problèmes de santé sont constitutifs d'une raison personnelle majeure au sens de l'art. 50 al. 1 let. b Letr.
4.1. Comme le relève l'autorité précédente, des motifs médicaux peuvent, suivant les circonstances, conduire à la reconnaissance d'une raison personnelle majeure au sens de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr, lorsque l'intéressé démontre souffrir d'une sérieuse atteinte à la santé qui nécessite, pendant une longue période, des soins permanents ou des mesures médicales ponctuelles d'urgence, indisponibles dans le pays d'origine, de sorte qu'un départ de Suisse serait susceptible d'entraîner de graves conséquences pour sa santé et d'engager son pronostic vital. Le seul fait d'obtenir en Suisse des prestations médicales supérieures à celles offertes dans le pays d'origine ne suffit pas (cf. arrêts 2D_57/2019 du 4 novembre 2019 consid. 6.2; 2C_467/2018 du 3 septembre 2018 consid. 2.1 et les références citées).
4.2. S'agissant des possibilités de traitement du SIDA au Bénin, le Tribunal administratif fédéral a rapporté que dans le cadre du programme de lutte nationale contre cette maladie, ce pays dispose notoirement des structures, des médicaments antirétroviraux et de tout le suivi médical nécessaire pour la prise en charge des patients sur plus de cent sites répartis sur tout le territoire national. Le recourant ne conteste pas ce fait qui, dès lors, lie le tribunal de céans (cf. art. 105 al. 1 LTF). Le Tribunal administratif fédéral a par ailleurs en substance considéré que le fait que le traitement quotidien dont le recourant a besoin n'existe pas au Bénin, selon son médecin en Suisse, ne signifiait pas que le recourant ne pourrait recevoir dans ce pays le suivi médical adéquat requis pour l'infection par le VIH dont il était atteint - ce d'autant que le recourant n'avait ni invoqué ni démontré se trouver en phase terminale de la maladie ou dans un état critique. A cela s'ajoute que le recourant n'a pas fourni le rapport médical circonstancié faisant état des motifs susceptibles de s'opposer à la poursuite du traitement dans le pays d'origine demandé par l'autorité précédente le 17 septembre 2018 - ce bien qu'il ait été prévenu à deux reprises des conséquences de l'absence du document en question. L'instance précédente n'a pas non plus nié que les conditions dans lesquelles le recourant recevra des soins ne sont pas aussi favorables qu'en Suisse, tout en relevant à juste titre que cette différence n'était pas décisive (cf., en ce sens, <ref-ruling> consid. 6 p. 403 et les références citées). Cela étant, on ne saurait reprocher au Tribunal administratif fédéral d'avoir retenu que l'état de santé du recourant ne permettait pas de conclure à l'existence d'un cas de rigueur. Les allégations du recourant, qui se borne, devant le Tribunal fédéral, à contester "les considérations de la juridiction intimée, très éloignées du terrain" et à soutenir qu'il ne peut pas être soigné au Bénin, ne sauraient modifier cette conclusion, compte tenu de leur caractère appellatoire.
5.
Il ne ressort pas de l'arrêt attaqué que d'autres éléments seraient de nature à fonder l'existence de raisons personnelles majeures au sens de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr. Le recourant ne le prétend d'ailleurs pas.
6.
L'instance précédente a, en outre, pris en compte l'ensemble des éléments pertinents pour procéder à la pesée des intérêts en présence et conclure au caractère proportionné de la mesure (art. 96 LEtr et 8 par. 2 CEDH; concernant les éléments à prendre en compte, cf. <ref-ruling> consid. 2.4 p. 149). Elle a en particulier relevé que la durée du séjour en Suisse du recourant, arrivé dans notre pays à l'âge de 24 ans, était en grande partie illégale et due à une tolérance ou à l'effet suspensif de son recours. Or, les années passées en Suisse à ce titre ne sauraient être déterminantes (cf. arrêt 2C_603/2019 du 16 décembre 2019 consid. 6.2 et les références citées). Il ressort également de l'arrêt attaqué que le recourant a encore de la famille - à tout le moins un fils - au Bénin, dont il parle la langue, et connaît la culture et les coutumes, qu'il s'est rendu régulièrement dans ce pays durant son séjour en Suisse - dont une année entre 2008 et décembre 2009 - et que, sans nier les difficultés à venir, il devrait être en mesure de s'y réintégrer, y compris professionnellement. A cela s'ajoute que le recourant n'a plus exercé d'activité lucrative en Suisse depuis 2010, dépend de l'aide sociale de manière continue depuis lors et est endetté de manière importante - sans qu'aucun élément ne vienne modérer la responsabilité du recourant quant à cette situation (cf. infra consid 3.3.2). L'intéressé a également fait l'objet de plusieurs condamnations pénales. L'instance précédente a outre démontré, sans que cela ne soit contesté par le recourant devant le Tribunal fédéral, que celui-ci ne pouvait se prévaloir d'une intégration réussie en Suisse ou de liens particuliers avec ce pays. Quant aux relations du recourant avec ses enfants, dont on a vu que, bien qu'il soit dans l'intérêt de ceux-ci de pouvoir grandir en jouissant d'un contact étroit avec les deux parents, elles ne justifient pas à elles seules un séjour dans notre pays (cf. infra consid. 3.3.2). L'état de santé du recourant ne constitue de surcroît pas un obstacle à son retour au Bénin, compte tenu de l'existence de nombreuses infrastructures de soin en faveur de patients atteints de l'infection par le VIH et des traitements par antirétroviraux qu'elles offrent (cf. infra consid. 4.2).
7.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours en matière de droit public.
Le recourant a demandé à être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire. La cause paraissant d'emblée dépourvue de chances de succès, cette requête doit être rejetée (art. 64 al. 1 LTF). Les frais seront donc mis à la charge du recourant, qui succombe, mais fixés en tenant compte de sa situation financière précaire (art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF). Il ne sera pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Secrétariat d'Etat aux migrations, au Tribunal administratif fédéral, Cour VI, ainsi qu'à l'Office cantonal de la population et des migrations de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 6 juillet 2020
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Jolidon