Sachverhalt:
A.
Vom 15. Februar 2016 bis zum 15. März 2016 legte der Gemeinderat Widen ein Baugesuch der Sunrise Communications AG für die Errichtung einer neuen Mobilfunkantennenanlage auf dem Flachdach des bestehenden Gebäudes, Parzelle Nr. 146, Burkertsmatt 4, in Widen öffentlich auf. Gegen das Baugesuch ging unter anderem eine Einwendung von A._ ein. Das Departement Bau, Verkehr und Umwelt (BVU) des Kantons Aargau stimmte dem Bauvorhaben unter Auflagen zu. Der Gemeinderat Widen erteilte daraufhin am 7. Juni 2016 die Baubewilligung unter Auflagen und wies gleichzeitig sämtliche Einwendungen ab.
Eine dagegen von A._ erhobene Beschwerde wies der Regierungsrat des Kantons Aargau am 23. November 2016 ab. Die von A._ gegen den regierungsrätlichen Entscheid gerichtete Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau mit Urteil vom 5. Mai 2017 ab.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 9. Juni 2017 beantragt A._, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben; eventualiter sei die Sache zur Nachbesserung an die Vorinstanzen zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin stellt den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Verwaltungsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet und verweist auf die Erwägungen im angefochtenen Entscheid. Der Regierungsrat und der Gemeinderat haben sich nicht vernehmen lassen. Das ebenfalls zur Vernehmlassung eingeladene Bundesamt für Umwelt (BAFU) schreibt, das angefochtene Urteil sei konform mit dem Bundesumweltrecht.
Der Beschwerdeführer hält in seiner Stellungnahme vom 29. Oktober 2017 sinngemäss an den Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid über die Baubewilligung für eine Mobilfunkanlage, welcher der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt (Art. 82 ff. BGG). Der Beschwerdeführer wohnt innerhalb des Perimeters, in dem die Strahlung noch 10 % des Anlagegrenzwerts beträgt. Er ist zur Beschwerde legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 169 ff. mit Hinweisen). Auf seine Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
2.
2.1. Die im Streit liegende Anlage umfasst gemäss den Akten Basisstationen von Sunrise, Salt und Swisscom mit Sendeleistungen von insgesamt 18'650 W ERP. Sie besteht aus insgesamt neun Mehrband-Antennen auf drei verschiedenen Höhen an einem rund 10 Meter hohen Mast auf dem Gebäudedach, die in den Frequenzbändern von 800, 900, 1800 und 2100 MHz senden, sowie Richtfunkantennen und weiteren erforderlichen technischen Infrastrukturen.
2.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, von der Mobilfunkstrahlung gehe eine gesundheitsschädigende Wirkung aus. Die Fachinstanzen des Bundes hätten in diesem Bereich grundlegend versagt. Deshalb müssten die kantonalen Instanzen die betroffene Anlage in Anwendung der Kantonsverfassung verweigern. Es kann offen bleiben, ob die Verletzung kantonalen Rechts mit genügender Begründung gemäss den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 176 mit Hinweisen) gerügt wird, weil diese Rüge ohnehin nicht durchzudringen vermag.
2.3. Der Immissionsschutz ist bundesrechtlich im Umweltschutzgesetz (USG; SR 814.01) und den darauf gestützten Verordnungen geregelt. Gemäss Art. 1 Abs. 2 USG sind Einwirkungen, die schädlich oder lästig werden könnten, im Sinne der Vorsorge frühzeitig zu begrenzen. Nach Art. 12 USG werden Emissionen unter anderem durch Emissionsgrenzwerte eingeschränkt (Abs. 1 lit. a), die durch Verordnung oder direkt auf das Gesetz abgestützte Verfügungen vorgeschrieben werden (Abs. 2). Der Bundesrat hat die Verordnung vom 23. Dezember 1999 über den Schutz vor nichtionisierender Strahlung (NISV; SR 814.710) erlassen, die unter anderem die Immissionen von Mobilfunksendeanlagen regelt. Gemäss Art. 1 NISV soll die Verordnung vor schädlicher oder lästiger nichtionisierender Strahlung schützen. Anlagen, die nichtionisierende Strahlen emittieren, müssen bei der Erstellung und im Betrieb die vorsorglichen Emissionsgrenzwerte einhalten (vgl. Art. 4 Abs. 1 NISV sowie Ziff. 6 Anhang 1 NISV).
2.4. Die Grenzwerte wurden vom Bundesrat nach Massgabe der Kriterien der technischen und betrieblichen Möglichkeit sowie der wirtschaftlichen Tragbarkeit gemäss Art. 11 Abs. 2 USG festgesetzt (vgl. Urteil 1C_576/2016 vom 27. Oktober 2017 E. 3.5.1). Jede Mobilfunksendeanlage hat für sich im massgebenden Betriebszustand an allen Orten mit empfindlicher Nutzung (sog. OMEN) den Anlagegrenzwert einzuhalten (vgl. Ziff. 64 und 65 Anhang 1 NISV). Zudem müssen überall, wo sich Menschen aufhalten können (sog. Orte für kurzfristigen Aufenthalt [OKA]) die festgelegten Immissionsgrenzwerte eingehalten werden (vgl. Art. 13 Abs. 1 NISV und Anhang 2 NISV).
2.5. Nach der Rechtsprechung enthält das Verordnungsrecht im Bereich nichtionisierender Strahlung eine abschliessende Regelung, weshalb für das kommunale und kantonale Recht insoweit kein Raum bleibt (<ref-ruling> E. 5.1 S. 177 mit Hinweisen). Das Bundesgericht hat unlängst im Urteil 1C_576/2016 vom 27. Oktober 2017 E. 3.5.2 bestätigt, dass die festgelegten Grenzwerte gemäss bisherigem Wissensstand verfassungs- und gesetzeskonform sind. Es besteht kein Anlass, diese Rechtsprechung grundlegend zu überprüfen, und der Beschwerdeführer vermag dafür auch keine stichhaltigen Argumente vorzutragen. Mit Blick auf das dem Bundesrat zustehende Ermessen ist die entsprechende verordnungsrechtliche Regelung nicht zu beanstanden. Angesichts des abschliessenden Charakters dieser Bundesregelung geht der Vorwurf des Beschwerdeführers betreffend Verletzung kantonalen Rechts fehl. Im Übrigen wird in der Beschwerde nicht konkret bestritten, dass bei der geplanten Mobilfunkanlage die massgeblichen Grenzwerte rechnerisch eingehalten werden.
3.
3.1. In der Baubewilligung wurde die Baugesuchstellerin bzw. private Beschwerdegegnerin auflageweise verpflichtet, bei der Anlage das vom BAFU empfohlene Qualitätssicherungssystem (QS-System) zur Gewährleistung der bewilligten Sendeleistungen und Senderichtungen im Zeitpunkt der Inbetriebnahme umzusetzen. Der Beschwerdeführer bezweifelt das Vorhandensein und Funktionieren des QS-Systems. Namentlich weist er auf die Möglichkeit von Manipulationen bei den Sendeparametern hin und hält die behördliche Kontrolle für ungenügend. Er rügt, die Vorinstanzen hätten den Sachverhalt in dieser Sicht mangelhaft abgeklärt.
3.2. Der in Art. 29 Abs. 2 BV garantierte Anspruch auf rechtliches Gehör räumt den Parteien in einem Gerichtsverfahren das Recht ein, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden (<ref-ruling> E. 2.1 S. 127). Ein Gericht darf jedoch auf die Abnahme beantragter Beweismittel verzichten, wenn es auf Grund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen darf, seine Überzeugung könne durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert werden (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 64 mit Hinweisen). Es wird nicht geltend gemacht, dass den ebenfalls angerufenen Bestimmungen des kantonalen Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 4. Dezember 2007 (SAR 271.200) über das rechtliche Gehör eine darüber hinausgehende Bedeutung zukommt.
3.3. Nach der Rechtsprechung stellt das vom BAFU empfohlene QS-System eine zulässige Alternative zur Kontrolle durch bauliche Vorkehrungen dar und genügt grundsätzlich den Anforderungen an eine wirksame Kontrolle der Emissionsbegrenzungen (vgl. Urteile 1C_286/2014 vom 2. Dezember 2014 E. 2.5; 1C_122/2014 vom 23. Oktober 2014 E. 5; je mit Hinweisen). Die für den Vollzug zuständige kantonale Fachstelle beim BVU (Abteilung für Umweltschutz, AFU) hat in ihrem Bericht vom 15. August 2016 die Tauglichkeit des QS-Systems bestätigt, auch wenn sie den Aufwand für Stichprobenkontrollen als hoch erachtet. Das BAFU legt in der Stellungnahme an das Bundesgericht ergänzend dar, dass die kantonalen Behörden einen genügenden Zugang zur Datenbank des Bundesamts für Kommunikation (BAKOM) hätten, in der die Betriebs- und Bewilligungsparameter der Mobilfunkantennen verzeichnet sind.
3.4. Zu Recht hat die Vorinstanz festgehalten, dass die Einwände des Beschwerdeführers keine erheblichen Zweifel am QS-System aufkommen lassen. Entgegen der Beschwerdeschrift ergeben sich aus dem AFU-Bericht vom 15. August 2016 keine Hinweise auf grundlegende Mängel beim QS-System.
3.4.1. Mit dem Vorwurf der Möglichkeit von Manipulationen in Form missbräuchlicher Abänderungen der Antennenparameter hat sich das Bundesgericht bereits befasst (vgl. Urteil 1C_169/2013 vom 29. Juli 2013 E. 4 mit Hinweisen); auf die entsprechenden Erwägungen kann verwiesen werden. Die Tauglichkeit der QS-Systeme ist im Auftrag des BAFU allgemein überprüft worden (vgl. den Bericht "Stichprobenkontrollen von Mobilfunksendeanlagen und Überprüfung der Qualitätssicherungssysteme der Mobilfunkbetreiber Orange, Sunrise, Swisscom und SBB, 2010/2011" vom 18. Januar 2012 und dazu Urteil 1C_661/2012 vom 5. September 2013 E. 5.2). Unter diesen Umständen durfte die Vorinstanz in vorweggenommener Beweiswürdigung auf den vom Beschwerdeführer beantragten Augenschein zum QS-System verzichten (vgl. Urteil 1C_685/2013 vom 6. März 2015 E. 7.4).
3.4.2. Dem Antrag des Beschwerdeführers auf Beizug eines "Prüf- und Messberichts" des Kantons Schwyz über Kontrollen im Jahr 2015 wurde von der Vorinstanz ebenfalls nicht stattgegeben. Wie das Umweltdepartement des Kantons Schwyz in einer Medienmitteilung vom 10. Februar 2016 bekanntgab, wurden bei acht von vierzehn überprüften Mobilfunkanlagen Abweichungen zur Baubewilligung festgestellt. Dabei handelte es sich um Abweichungen in der Höhe oder Ausrichtung von Antennen. Es ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz angenommen hat, derartige Abweichungen ständen nicht im Zusammenhang mit der Funktionsfähigkeit des QS-Systems. Deshalb durfte die Vorinstanz den diesbezüglichen Verfahrensantrag des Beschwerdeführers in vorweggenommener Beweiswürdigung abweisen.
4.
4.1. Nach dem Beschwerdeführer vermag die in der Baubewilligung ebenfalls auflageweise vorbehaltene Abnahmemessung wegen der damit verbundenen Ungenauigkeit die Einhaltung der Grenzwerte nicht zu gewährleisten. Der Beschwerdeführer kritisiert den Amtsbericht des Eidgenössischen Instituts für Metrologie (METAS) vom 11. Juni 2014 über die Messunsicherheit beim Messen der Strahlung von Mobilfunk-Basisstationen als wissenschaftlich unbefriedigend. Es sei nicht glaubhaft, dass es nicht möglich sein solle, nichtionisierende Strahlung genauer als mit einer Unsicherheit von 45 % zu erfassen. Auch in dieser Hinsicht sei der Sachverhalt ungenügend abgeklärt worden.
4.2. Das Bundesgericht hat gestützt auf diesen Amtsbericht des METAS mehrfach bestätigt, dass die in der Praxis gemäss den bestehenden Messempfehlungen durchgeführten Abnahmemessungen auch heute noch dem Stand der Technik entsprechen; es liege damit kein technischer Wandel vor, der ein Abweichen von der bisherigen Rechtsprechung des Bundesgerichts zur Messung der Strahlung von Mobilfunkanlagen begründen könnte (vgl. Urteil 1C_343/2015 vom 30. März 2016 E. 6.6 mit Hinweisen).
Die Kritik des Beschwerdeführers am METAS-Bericht vom 11. Juni 2014 gibt keinen Anlass, diese Rechtsprechung in Frage zu stellen. Vielmehr ist festzuhalten, dass METAS bei diesem Amtsbericht nicht verpflichtet war, ausdrücklich auf die in E. 4.2 des Urteils 1C_661/2012 vom 5. September 2013 wiedergegebenen Verbesserungsvorschläge der damaligen Beschwerdeführer einzugehen. Der METAS-Bericht erläutert in nachvollziehbarer Weise die verschiedenen Aspekte der Messunsicherheit und deren Summierung. Weiter ist nicht ersichtlich, dass die vom Beschwerdeführer kritisierten Modalitäten der Akkreditierung von Konformitätsbewertungsstellen von Belang für die Messgenauigkeit sein sollen.
Im Übrigen setzen sich die Erwägungen des angefochtenen Urteils im Hinblick auf den Beschwerdepunkt der Abnahmemessung ausreichend mit den Vorbringen des Beschwerdeführers auseinander; die hiergegen gerichteten Rügen sind ebenfalls unbegründet.
4.3. Bei dieser Sachlage kann offen bleiben, ob Fortschritte in der Messtechnik überhaupt schon im Rahmen der Baubewilligung zu berücksichtigen wären (vgl. Urteil 1C_122/2014 vom 23. Oktober 2014 E. 6.4).
5.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dieser hat der obsiegenden Beschwerdegegnerin eine angemessene Parteientschädigung für das bundesgerichtliche Verfahren zu entrichten (Art. 68 Abs. 2 BGG). Die Entschädigung wird als Gesamtbetrag festgesetzt, in dem auch die Mehrwertsteuer enthalten ist (Art. 12 des Parteientschädigungsreglements des Bundesgerichts vom 31. März 2006, SR 173.110.210.3).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gemeinderat Widen, dem Regierungsrat des Kantons Aargau, dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, und dem Bundesamt für Umwelt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Januar 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Kessler Coendet