Faits :
A.
Exerçant la profession de psychiatre indépendante, A._, née en 1949, a souscrit auprès de La Suisse, Société d'assurances sur la vie (actuellement: Swiss Life SA; ci-après: la société d'assurance) deux polices d'assurance sur la vie relevant de la prévoyance individuelle liée respectivement les 1 er septembre 1987 (police n° xxx) et 8 décembre 1987 (police n° yyy). Les prestations assurées consistent en un capital en cas de décès, une rente annuelle en cas d'incapacité de gain et la libération des primes en cas d'incapacité de gain. L'intéressée avait précédemment conclu un contrat d'assurance sur la vie avec La Suisse, Société d'assurances sur la vie relevant de la prévoyance individuelle libre le 3 juillet 1981 (police n° zzz, qui a remplacé celle portant le n° aaa du 11 février 1977).
Le 6 décembre 2002, A._ a subi une fracture-luxation de l'épaule gauche. A l'expiration des délais d'attente, la société d'assurance l'a libérée du paiement des primes à partir du 6 mars 2003 et lui a versé les rentes d'incapacité de gain à 100 % prévues par les polices nos zzz, xxx et yyy. Par la suite, elle a requis de l'assurée la remise de ses déclarations d'impôts ainsi que d'autres renseignements sur sa situation économique dès février 2005, puis qu'elle se soumette à une expertise médicale pluridisciplinaire au printemps 2007. L'assurée a contesté notamment les modalités de la mise en oeuvre d'une expertise médicale et affirmé ne pas être en mesure de produire des renseignements sur sa situation financière. Par correspondances des 5 et 12 juillet 2007, Swiss Life SA a informé l'assurée qu'elle mettait un terme au versement des prestations avec effet au 31 juillet 2007, au motif qu'elle ne disposait pas de preuves objectives de l'incapacité de gain de sa part. Elle a réservé un réexamen de la situation en cas de présentation par l'intéressée des justificatifs comptables requis et de la mise en oeuvre d'une expertise médicale pluridisciplinaire. Le 13 novembre 2007, la société d'assurance a mis en demeure l'assurée de s'acquitter des primes trimestrielles des polices nos zzz, xxx et yyy. S'en sont suivis de nombreux échanges de correspondances entre les parties, la société d'assurance maintenant ses requêtes.
En octobre 2013, Swiss Life SA a pu mettre en oeuvre une expertise médicale pluridisciplinaire. Dans un rapport du 24 septembre 2014, les docteurs B._, spécialiste en médecine interne générale, C._, spécialiste en neurologie, et D._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, ont diagnostiqué - avec répercussion sur la capacité de travail - des troubles du sommeil et éventuellement la prise chronique de morphine. Du point de vue orthopédique, ils ont indiqué que la fracture-luxation de l'épaule gauche (du 6 décembre 2002), la reprise chirurgicale de l'épaule gauche (du 8 juillet 2003), les deux interventions pour le tunnel carpien droit (des 1 er juin 2012 et 8 janvier 2013) et celle du tunnel carpien gauche (du 12 mars 2013) ont justifié chaque fois une incapacité de travail temporaire; la durée et l'importance de celle-ci ne pouvait cependant pas être déterminée a posteriori. Du point de vue somatique, les médecins ont indiqué que l'assurée disposait actuellement d'une capacité de travail entière dans son activité habituelle de médecin psychiatre, avec une diminution de rendement de 15 % liée aux douleurs modérées résiduelles et à la médication antalgique.
Le 13 octobre 2014, Swiss Life SA a refusé de prester au motif que les prestations accordées à 100 % jusqu'au 31 juillet 2007 avaient déjà largement couvert les incapacités de travail temporaires objectivées par les experts. Le 14 novembre 2014, l'assureur a maintenu sa position, précisant encore que les polices en cause étaient arrivées à échéance, la dernière le 12 octobre 2012.
B.
Après avoir saisi la Chambre patrimoniale cantonale vaudoise le 23 octobre 2015, qui a déclaré les conclusions de la demande irrecevables en tant qu'elle portaient sur les polices de prévoyance liée nos xxx et yyy (jugement du 29 juin 2016), A._ a ouvert action contre Swiss Life SA devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud. Elle a demandé le paiement de la somme de 58'800 fr., plus intérêts à 5 % dès le 1er mai 2010 (police n° zzz), de 218'571 fr., plus intérêts à 5 % dès le 1er février 2011 (police n° xxx), et de 358'333 fr. 25, avec intérêts à 5 % dès le 1er mars 2011 (police n° yyy), date moyenne d'intérêts, ainsi que la prise en charge de ses frais d'avocat jusqu'au jour de l'ouverture de l'action. Elle a notamment produit un avis complémentaire des docteurs B._, C._ et D._ du 20 mars 2015. Le Tribunal cantonal a tenu des débats publics le 12 mars 2020, puis a rejeté la demande dans la mesure de sa recevabilité (jugement du 17 avril 2020).
C.
A._ forme un recours en matière de droit public contre ce jugement. Elle conclut à sa réforme, en ce sens que Swiss Life SA est condamnée à lui verser les montants de 218'571 fr., avec intérêts à 5 % dès le 1er février 2011, et de 358'333 fr. 25, avec intérêts à 5 % dès le 1er mars 2011, date moyenne d'intérêts, ainsi que les frais d'avocat jusqu'au jour de l'ouverture de l'action, correspondant au montant de 9'857 fr. 10. Subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour qu'elle soit formellement auditionnée à propos des faits pertinents de la cause. Le recours est assorti d'une demande d'assistance judiciaire.

Considérant en droit :
1.
La IIe Cour de droit social du Tribunal fédéral est compétente pour connaître en dernière instance des litiges en matière de prévoyance individuelle liée (<ref-law> en corrélation avec les <ref-law>, 1 al. 1 let. a OPP 3 [RS 831.461.3], 82 let. a LTF et 35 let. e RTF [RS 173.110.131]).
2.
Le recours en matière de droit public peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (<ref-law>), que le Tribunal fédéral applique d'office (<ref-law>), n'étant limité ni par les arguments de la partie recourante, ni par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>).
3.
3.1. Le litige porte sur le point de savoir si la recourante peut prétendre des prestations en cas d'incapacité de gain (rente en cas d'incapacité de gain et libération du paiement des primes) découlant des polices d'assurance nos xxx et yyy de la prévoyance individuelle liée (pilier 3a) au-delà du 31 juillet 2007. Le jugement attaqué expose de manière complète les formes reconnues de prévoyance assimilées à la prévoyance professionnelle (<ref-law> et 1 OPP 3). Il suffit d'y renvoyer.
3.2. Les dispositions pertinentes des conditions générales d'assurances Vi 1/1986 (Assurances de capitaux - rente en cas d'incapacité de gain), auxquelles renvoient les polices nos xxx et yyy, sont les suivantes:
3 Définitions
3.9 L'incapacité de gain: l'état qui empêche l'assuré, par suite de maladie, d'accident ou de déclin de ses facultés mentales ou physiques - sur la base de signes objectifs médicalement constatables - d'exercer sa profession ou toute autre activité conforme à sa position sociale, ses connaissances et ses aptitudes et qui lui cause simultanément une perte de gain ou un autre préjudice pécuniaire équivalent.
11 Rente et libération du paiement des primes en cas d'incapacité de gain
11.1 En cas d'incapacité de gain de l'assuré et à proportion de son degré, "La Suisse", s'il en a été convenu ainsi:
- libère le preneur de son obligation de payer les primes,
- verse la rente fixée dans la police.
Une incapacité de gain inférieure à 25 % ne donne droit à aucune prestation. Une incapacité égale ou supérieure à 662 /3 % est considérée comme une incapacité totale. (...)
23 Justification du droit aux prestations en cas de décès
23.3 Dans la mesure où cela est nécessaire pour établir l'existence ou fixer l'étendue d'un droit aux prestations assurées, "La Suisse" peut demander des renseignements à des tiers ou requérir à ses frais des expertises médicales. L'assuré délie implicitement et par avance les médecins qui l'ont soigné ou l'examineront du secret professionnel à l'égard du médecin conseil de "La Suisse" ou du médecin désigné par "La Suisse".
24 Justification du droit aux prestations en cas d'incapacité de gain
24.1 Pour être mis au bénéfice des prestations convenues pour le cas d'incapacité de gain de l'assuré, l'ayant droit produira à ses frais un rapport médical indiquant la date à laquelle cette incapacité s'est manifestée, son degré, ainsi que la nature, l'évolution et le pronostic de l'affection qui en est la cause; l'ayant droit donnera en outre à "La Suisse" toutes indications utiles sur l'activité professionnelle qu'exerçait l'assuré avant qu'il soit devenu totalement ou partiellement incapable de s'y consacrer, ainsi que sur sa position sociale et économique. (...)
24.2 "La Suisse" doit être avisée sans délai de toute modification du degré d'incapacité de gain de l'assuré, de manière à pouvoir adapter immédiatement ses prestations au nouvel état de fait; sous peine de déchéance des droits, l'assuré se soumettra à tous examens médicaux requis par "La Suisse" pour apprécier le degré de son incapacité; des déclarations inexactes ou tardives entraînent pour le preneur l'obligation de restituer les prestations indûment touchées.
24.3 Le chiffre 23.3 s'applique par analogie.
4.
La juridiction cantonale a constaté que l'assurée avait été victime d'une chute le 6 décembre 2002, à la suite d'un croc-en-jambe d'une passante. Sur le plan médical, l'assurée avait présenté une totale incapacité de travail à compter du 6 décembre 2002 pour une durée indéterminée. A partir de février 2005, l'assureur avait sollicité la collaboration de l'assurée pour déterminer notamment sa capacité de travail. Dans la mesure où la société d'assurance était en droit de requérir à ses frais des expertises médicales, la juridiction cantonale a retenu que l'assurée ne pouvait escompter que son absence de collaboration n'entraînât aucune conséquence défavorable pour elle. De plus, l'assurée n'avait pas non plus fourni d'indications utiles sur son activité professionnelle et sur sa position sociale et économique. La juridiction cantonale a considéré qu'après avoir dûment imparti un délai à l'assurée pour respecter son obligation de renseignement et l'avoir avertie des conséquences de son attitude, l'assureur avait été en droit de se prononcer en l'état du dossier. La suppression de la rente à partir du 31 juillet 2007 - du moins aussi longtemps que l'assurée persistait dans son refus de collaborer - était ainsi conforme au droit, ainsi que l'obligation de l'assurée de s'acquitter de ses primes d'assurance.
De plus, la juridiction cantonale a constaté qu'après la suppression du versement des prestations, l'assurée s'était soumise plusieurs années plus tard à une expertise médicale sur les plans neurologique, de médecine interne et orthopédique. Les experts avaient conclu à une totale capacité de travail sur le plan somatique avec une diminution de rendement de 15 % liée aux douleurs modérées et à la médication antalgique, étant précisé qu'ils n'avaient pas été en mesure de faire état de documents médicaux pour la période allant de 2008 à 2013. Les experts avaient par ailleurs préconisé la réalisation d'une évaluation psychiatrique dès lors qu'ils suspectaient une composante thymique pouvant expliquer les troubles du sommeil, les troubles attentionnels et la fatigue de l'assurée. A cet égard, la juridiction cantonale a retenu que l'assurée avait cependant refusé de se soumettre à un tel examen psychiatrique. A défaut d'être attestée par un expert en psychiatrie, les premiers juges ont dès lors nié une incapacité de travail sur un plan psychiatrique. Les hypothèses des experts somaticiens ne rendaient en effet pas vraisemblable une incapacité de travail pour des motifs psychiques. Les experts n'avaient de surcroît pas été en mesure de poser un quelconque diagnostic.
5.
5.1. La recourante se prévaut tout d'abord d'une violation "caractérisée" de son droit d'être entendue lors de l'audience du 12 mars 2020. En limitant cette audience aux plaidoiries, la juridiction cantonale l'aurait en effet privée de l'occasion de s'exprimer d'une manière exhaustive sur les faits pertinents de la cause.
5.2. La juridiction cantonale a tenu une audience de débats publics le 12 mars 2020, conformément à la demande exprimée par l'intéressée. En tant que celle-ci se plaint d'une violation de son droit d'être entendue parce que la juridiction cantonale a refusé sa requête de preuve complémentaire tendant à son audition personnelle, son grief n'a pas de portée propre par rapport à celui de violation du principe de l'interdiction de l'arbitraire. Le juge peut effectivement renoncer à accomplir certains actes d'instruction (interrogatoire des parties, audition de témoins, etc.) sans que cela n'entraine une violation du droit d'être entendu (sur cette notion en corrélation avec l'administration de preuves, cf. <ref-ruling> consid. 2.1. p. 429; <ref-ruling> consid. 5b/bb p. 505) s'il est convaincu, en se fondant sur une appréciation consciencieuse des preuves, que certains faits présentent un degré de vraisemblance prépondérante et que d'autres mesures probatoires ne pourraient plus modifier cette appréciation (sur l'appréciation anticipée des preuves en général: <ref-ruling> consid. 3 p. 157; <ref-ruling> consid. 2 p. 428). L'argumentation de la recourante sera donc traitée avec le fond du litige. Pour le surplus, elle n'expose pas concrètement en quoi son droit de plaider sa cause devant la juridiction cantonale - par l'intermédiaire de son avocat - n'aurait pas été respecté.
6.
6.1. La recourante reproche ensuite à la juridiction cantonale de n'avoir pas cherché à déterminer concrètement la nature des polices d'assurance sur la vie et de n'avoir pas interprété les conditions générales d'assurances dans le sens voulu par les parties au moment de la conclusion des contrats d'assurance-vie en 1987. Dans un contrat d'assurance établi par G._, qui prévoyait une "certaine similarité" avec son cas, le Tribunal cantonal n'avait ainsi pas vu en quoi "les termes d'"incapacité de gain" impliqueraient, de façon clairement compréhensible pour le cocontractant, qu'il faille prouver une diminution concrète et chiffrée des revenus pour avoir droit aux prestations convenues" (arrêt du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour civile, CO04.026660 - 35/2010/PMR du 3 mars 2010). Or, en faisant expressément référence dans les conditions générales d'assurance à l'<ref-law> (RS 221.229.1), l'assureur avait clairement manifesté son intention de soumettre les polices d'assurance, ainsi que les avenants, aux dispositions légales en matière d'assurance de sommes (<ref-law>). Selon elle, il n'avait en revanche jamais été établi que le montant des prestations projetées avait été fixé en fonction de ses revenus hypothétiques au moment de la conclusion de ces deux contrats d'assurance respectivement de ses revenus prévisibles. Elle soutient de plus que l'absence de toute forme de coordination avec les assurances sociales et privées, respectivement l'absence de toute possibilité d'exercer un droit de recours contre des tiers au sens de l'<ref-law>, ne peut que conférer un caractère non indemnitaire aux contrats d'assurance en cause. Elle reproche encore à la juridiction cantonale d'avoir apprécié arbitrairement les faits en niant l'incapacité de travail pourtant mise en évidence par l'expertise du 24 septembre 2014, complétée le 20 mars 2015.
6.2. Selon les polices d'assurance nos xxx et yyy, la rente annuelle est versée "en cas d'incapacité de gain". Les polices renvoient aux conditions générales d'assurances Vi 1/1986, lesquelles, sous le ch. 3.9 définissant l'incapacité de gain, exigent "une perte de gain ou un autre préjudice pécuniaire équivalent" en relation avec l'incapacité d'exercer sa profession ou toute autre activité conforme à sa position sociale pour cause de maladie, d'accident ou de déclin de ses facultés mentales ou physiques. Le ch. 11.1 des conditions générales d'assurances prévoit de plus que l'assureur verse la rente fixée dans la police "en cas d'incapacité de gain de l'assuré et à proportion de son degré". A l'inverse des conditions générales d'un autre assureur citées par la recourante dans son mémoire, les prestations en cause sont donc subordonnées expressément à l'existence d'une perte patrimoniale effective (comp., pour des conditions ayant une teneur identique, arrêts 4A_367/2016 du 20 mars 2017 consid. 3.3; 4A_451/2015 du 26 février 2016 consid. 2.3; 5C.21/2007 du 20 avril 2007 consid. 3.1 et 3.2). Le seul renvoi au chiffre 17.1 des conditions générales d'assurances à l'<ref-law>, invoqué par la recourante, n'a par ailleurs pas l'importance qu'elle lui prête. Pour définir si une prestation découle d'une assurance contre les dommages (art. 48 à 72 LCA) ou d'une assurance de somme (art. 73 à 96 LCA), il ne faut pas procéder à une qualification globale du contenu d'une police d'assurance, mais examiner la nature juridique de la prestation en cause, prise isolément (<ref-ruling> consid. 4 p. 363 et la référence). Or, dans le cas présent, les parties aux contrats ont fait explicitement de la perte patrimoniale déclenchée par l'événement assuré une condition autonome du droit à la rente annuelle en cas d'incapacité de gain. Les premiers juges n'ont donc pas enfreint le droit fédéral en retenant que le risque couvert par les polices d'assurance nos xxx et yyy était la perte de gain effective (et non pas le taux d'incapacité de travail médico-théorique).
6.3. Selon le chiffre 3.9 des conditions générales d'assurances, la perte de gain suppose ensuite une incapacité d'exercer sa profession (ou toute autre activité adaptée au sens défini) déterminée "sur la base de signes objectifs médicalement constatables". A cet égard, la recourante ne conteste pas le fait qu'elle a refusé de se soumettre à une expertise psychiatrique. Elle soutient en revanche qu'une telle expertise était "sans pertinence" au regard de l'avis complémentaire des experts somaticiens du 20 mars 2015. La reconnaissance de l'existence d'une atteinte à la santé psychique suppose toutefois la présence d'un diagnostic posé en principe par un psychiatre et s'appuyant lege artis sur les critères d'un système de classification reconnu (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 285 et la référence). Les conclusions des docteurs B._, C._ et D._, qui ne sont pas des spécialistes en psychiatrie, ne mettent pas en évidence un diagnostic psychiatrique en ce que les experts suspectent une composante thymique; elles ne peuvent dès lors pallier l'absence de l'avis d'un psychiatre. Dans leur rapport du 24 septembre 2014, les experts ont du reste expressément indiqué qu'ils estimaient que seul un complément psychiatrique était susceptible de permettre l'évaluation des activités encore exigibles de la part de la recourante sur le plan psychique. Leur avis du 20 mars 2015, en tant qu'il revêt un caractère purement hypothétique, ne saurait dès lors conduire à admettre l'existence d'une incapacité de travail sur le plan psychique de la recourante pour la période postérieure à juillet 2007, ici déterminante.
Le fait que les experts ont indiqué dans le complément du 20 mars 2015 qu'ils ne disposaient pas d'éléments qui puissent les faire douter de l'appréciation de l'incapacité de travail, respectivement des certificats de travail délivrés par les docteurs E._ et F._ depuis l'accident de 2002, n'y change rien. Comme la juridiction cantonale l'a constaté, ils n'ont pas été en mesure de faire état de documents médicaux pour la période allant de 2008 à 2013. Quant à l'année 2007, les médecins traitants ont mentionné une "fatigue importante", ainsi que les conséquences sur la santé de leur patiente des démarches qui l'accaparaient avec les instances assécurologiques, administratives et judiciaires (p. ex. avis des 18 avril et 28 juin 2007 du docteur E._, spécialiste en médecine interne générale). On ne peut dès lors exclure que les arrêts de travail se fondaient à l'époque essentiellement sur la manière dont l'assurée elle-même ressentait et assumait ses facultés de travail alors qu'il y avait lieu d'établir des signes objectifs médicalement constatables de son incapacité de gain. Dans le rapport d'expertise du 24 septembre 2014, les experts ont d'ailleurs indiqué expressément qu'ils ne pouvaient pas se prononcer "sur la période antérieure à notre expertise". Or, en 2007, sous peine de déchéance des droits, l'assurée devait se soumettre à l'expertise pluridisciplinaire (incluant un volet psychiatrique) requis par l'intimée pour apprécier le degré de son incapacité de travail (ch. 24.2 et 24.3, en lien avec 23.3, des conditions générales d'assurance). Dans ces circonstances, faute de disposer des éléments concrets que cette expertise aurait dû amener à l'époque, la juridiction cantonale a retenu sans arbitraire que la recourante n'avait pas établi une incapacité de travail sur le plan somatique au-delà du 31 juillet 2007.
6.4. Ensuite des éléments qui précèdent, les premiers juges pouvaient retenir sans tomber dans l'arbitraire qu'ils étaient suffisamment renseignés sur la base des pièces figurant au dossier et par l'échange d'écritures entre les parties. Ils n'ont donc pas violé le droit d'être entendu de la recourante en limitant les débats aux plaidoiries et en refusant son audition, ainsi que ses autres offres de preuves.
7.
Mal fondées, les conclusions doivent être rejetées dans la mesure où elles sont recevables. A ce sujet, la recourante ne motive aucunement sa conclusion tendant à ce que l'intimée prenne en charge ses frais d'avocat pour la période antérieure à la demande en justice.
8.
Les frais afférents à la présente procédure seront supportés par la recourante qui succombe (<ref-law>). Elle a cependant déposé une demande d'assistance judiciaire visant à la dispense des frais judiciaires et à la désignation d'un avocat d'office. Dès lors que les conditions d'octroi en sont réalisées (<ref-law>), l'assistance judiciaire lui est accordée.
La recourante est rendue attentive au fait qu'elle devra rembourser la Caisse du Tribunal fédéral, si elle retrouve ultérieurement une situation financière lui permettant de le faire (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est admise. Maître David Métille est désigné comme avocat d'office de la recourante.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la Caisse du Tribunal fédéral.
4.
Une indemnité de 2800 fr. est allouée à l'avocat de la recourante à titre d'honoraires à payer par la Caisse du Tribunal fédéral.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 23 mars 2021
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Bleicker