Erwägungen:
1.
1.1. A._ reichte am 28. September 2018 bei der Anwaltsaufsichtsbehörde des Kantons Bern eine Anzeige gegen Rechtsanwalt B._ ein. Mit Entscheid vom 6. Mai 2019 sah die Anwaltsaufsichtsbehörde von der Eröffnung eines Disziplinarverfahrens ab. Die Art der Erledigung wurde A._ mitgeteilt. In der Folge wandte sie sich am 13. Mai 2019 an die Anwaltsaufsichtsbehörde und erklärte, dass sie mit dem Entscheid nicht einverstanden sei. Die Anwaltsaufsichtsbehörde überwies die Eingabe mit Zustimmung von A._ an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, das darauf mit Urteil vom 4. Juni 2019 nicht eintrat.
1.2. Mit Beschwerde vom 5. Juli 2019 beantragt A._ dem Bundesgericht, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und gegen Rechtsanwalt B._ sei ein Verfahren einzuleiten. Zudem ersuchte sie um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesgericht hat weder die vorinstanzlichen Akten beigezogen noch andere Instruktionsmassnahmen verfügt.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften unter anderem die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in der Begründung in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. <ref-law> nennen dabei die zulässigen Rügegründe. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Dabei gelten strenge Anforderungen an die Begründungspflicht (<ref-ruling> E. 9.2.3.6 S. 96).
2.2. Die Vorinstanz ist auf die Beschwerde nicht eingetreten, weil die Beschwerdeführerin als Anzeigerin gemäss kantonalem Recht keine Parteistellung im Disziplinarverfahren habe (Art. 32 Abs. 2 des Kantonalen Anwaltsgesetzes vom 28. März 2006 [KAG; BGS 168.11]) und deshalb nicht legitimiert sei, gegen den Entscheid der Anwaltsaufsichtsbehörde Beschwerde zu führen. Streitgegenstand vor Bundesgericht ist deshalb ausschliesslich die Legitimation der Beschwerdeführerin im vorinstanzlichen Verfahren. Die detaillierten Ausführungen der Beschwerdeführerin zu den angeblichen Pflichtverletzungen ihres Rechtsanwalts gehen von vornherein an der Sache vorbei; darauf ist nicht einzutreten.
2.3. Die Beschwerdeführerin bringt vor, die Nichteinräumung des Beschwerderechts sei verfassungswidrig (S. 11 Ziff. 15 f. der Beschwerde). Sie führt indessen nicht näher aus, welches verfassungsmässige Recht dadurch angeblich verletzt worden ist; ihre Rüge genügt weder der allgemeinen Begründungspflicht noch dem bei der Verletzung von Grundrechten geltenden strengen Rügeprinzip (<ref-law>). Soweit die Beschwerdeführerin rügt, dass ihre Eingabe trotz fehlender Parteistellung an das Verwaltungsgericht weitergeleitet worden sei, was zur Kostenauflage im angefochtenen Entscheid geführt habe (S. 11 Ziff. 17 der Beschwerde), setzt sie sich nicht mit den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen auseinander, wonach sie auf Nachfrage der Anwaltsaufsichtsbehörde und trotz des Hinweises auf die fehlende Parteistellung eine Weiterleitung ihrer Eingabe an das Verwaltungsgericht verlangt habe. Haltlos ist schliesslich der Vorwurf, es sei nicht ersichtlich, weshalb der Einzelrichter des Verwaltungsgerichts zuständig gewesen sei (S. 11 Ziff. 19 f. der Beschwerde). Die Vorinstanz verweist ausdrücklich auf Art. 57 Abs. 1 des Gesetzes (des Kantons Bern) vom 11. Juni 2009 über die Organisation der Gerichtsbehörden und der Staatsanwaltschaft (GSOG; BSG 161.1), wonach der Einzelrichter für Beschwerden zuständig ist, auf die offensichtlich nicht eingetreten werden kann.
2.4. Zusammenfassend fehlt es der Beschwerde offensichtlich an einer hinreichenden Begründung, selbst unter Berücksichtigung, dass die formellen Hürden bei Laienbeschwerden praxisgemäss niedriger anzusetzen sind (Urteil 2C_105/2019 vom 7. Februar 2019 E. 2.2). Auf die Beschwerde ist im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
3.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist infolge Aussichtslosigkeit abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
2.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Juli 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Businger