Sachverhalt:
A.
Der 1971 geborene A._ war zuletzt in seiner eigenen Firma als Schreiner und Universalhandlanger tätig. Am 31. Oktober 2018 erlitt er einen Herzinfarkt, woraufhin er sich im April 2019 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug anmeldete. Die IV-Stelle des Kantons Zürich tätigte anschliessend verschiedene erwerbliche und medizinische Abklärungen, insbesondere holte sie Berichte der behandelnden Ärzte und die Akten der Krankentaggeldversicherung samt den Berichten des Dr. med. B._, Facharzt für Allgemeine Innere Medizin, vom 15. August 2019, des Dr. med. C._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 28. August 2020 sowie der auch als Neuropsychologin tätigen Dr. med. D._, Fachärztin für Neurologie, vom 28. September 2019 ein. In der Folge verneinte die IV-Stelle nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren einen Rentenanspruch mit Verfügung vom 26. Mai 2020.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich auch in Würdigung der im Beschwerdeverfahren eingereichten Berichte des Hausarztes Dr. med. E._ vom 16. Juni 2020 und der behandelnden Dr. med. F._, Fachärztin für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 7. Oktober 2020 ab (Urteil vom 19. April 2021).
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, ihm sei eine ganze Rente zuzusprechen. Eventualiter sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die IV-Stelle anzuweisen, eine polydisziplinäre Begutachtung einzuholen und danach den Rentenanspruch festzulegen.
Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Streitig ist, ob das kantonale Gericht Bundesrecht verletzte, indem es in Bestätigung der Verfügung vom 26. Mai 2020 einen Rentenanspruch des Beschwerdeführers verneinte.
2.2. Im angefochtenen Urteil wurden die massgeblichen Rechtsgrundlagen, insbesondere zur Erwerbsunfähigkeit (<ref-law>), zur Invalidität (<ref-law>), zum Rentenanspruch (<ref-law>) und zur ärztlichen Aufgabe bei der Invaliditätsbemessung (<ref-ruling> E. 4; zudem <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 4 mit Hinweisen) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3.
3.1. Die Vorinstanz erwog, Dr. med. B._ habe sich im Untersuchungsbericht vom 15. August 2019 für eine Arbeitsfähigkeit von 100 % in einer angepassten Tätigkeit ausgesprochen. Anhand der Akten ergäben sich keine Hinweise, dass damit dem Gesundheitszustand des Beschwerdeführers nicht angemessen Rechnung getragen werde. In Bezug auf die psychischen Beschwerden erscheine die Einschätzung der Dr. med. D._, welche den Beschwerdeführer am 13. September 2019 verhaltensneurologisch-neuropsychologisch untersucht habe, nachvollziehbar und überzeugend. Eine Verschlechterung bis zum Erlass der angefochtenen Verfügung (vom 26. Mai 2020), welche die zeitliche Grenze der richterlichen Überprüfungsbefugnis bilde, bestehe aufgrund der Angaben der behandelnden Psychiaterin Dr. med. F._ nicht, beziehe sich ihr Bericht vom 7. Oktober 2020 doch nicht auf den massgebenden Beurteilungszeitraum und lasse keine Rückschlüsse darauf zu.
3.2. Der Beschwerdeführer beanstandet das vorinstanzliche Urteil in verschiedener Hinsicht.
3.2.1. Er bemängelt zunächst, dass das kantonale Gericht auf Arztberichte abstellte, die von der privaten Krankentaggeldversicherung eingeholt wurden. Er vertritt die Ansicht, bei solchen handle es sich nicht um eine neutrale Beurteilung. Dem ist entgegenzuhalten, dass die Herkunft eines Arztberichts für dessen Beweiswert nicht entscheidend ist (<ref-ruling> E. 2.2.2) und auch der regelmässige Beizug eines medizinischen Experten durch eine Versicherung sowie das damit an diesen ausgerichtete Honorar keinen Anlass begründen, eine Einschätzung in Frage zu stellen (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.3).
3.2.2. Der Beschwerdeführer rügt weiter, dass die Vorinstanz in Bezug auf die Herzerkrankung auf den Bericht des Dr. med. B._ abstellte, obwohl dessen Feststellungen nicht aktuell und dieser fachlich auch nicht qualifiziert sei, einen solchen Gesundheitszustand und seine Folgen zu beurteilen. Dieser Einwand ist unbegründet. Dr. med. B._ als Facharzt für Allgemeine Innere Medizin untersuchte den Beschwerdeführer am 15. August 2019 persönlich, wobei ihm eine Vielzahl von Facharztberichten vorlag. Es ist nicht einzusehen, weshalb Dr. med. B._ auf dieser Erkenntnisbasis nicht in der Lage gewesen sein soll, die medizinische Situation zu würdigen und die Leistungsfähigkeit des Beschwerdeführers einzuschätzen. Zudem verletzt auch die vorinstanzliche Beurteilung betreffend den Zeitraum nach der Untersuchung durch Dr. med. B._ bis zur angefochtenen Verfügung vom 26. Mai 2020 kein Bundesrecht. Denn eine relevante Verschlechterung ist in Bezug auf die Herzerkrankung nicht auszumachen, nachdem die Ärzte des Spitals G._ bei den Untersuchungen vom 18. und 24. März 2020 die Thoraxschmerzen nicht durch die koronare Herzkrankheit erklären konnten und ein akutes Koronarsyndrom ausschlossen; zudem legte Dr. med. E._ im Bericht vom 16. Juni 2020 dar, er habe keine Gründe, welche einer leichten Tätigkeit im Wege stünden.
3.2.3. Der Beschwerdeführer bringt schliesslich vor, nach dem Bericht des Dr. med. C._ hätte vertieft abgeklärt werden müssen, ob eine psychische Beeinträchtigung vorliege. Zudem sei willkürlich, dass im vorinstanzlichen Urteil die Erkenntnisse der Dr. med. F._ nicht berücksichtigt worden seien. Eine neuropsychologische Einschätzung ersetze eine psychiatrische Beurteilung nicht.
Die Vorinstanz legte zutreffend dar, dass die Verfügung vom 26. Mai 2020 die zeitliche Grenze der richterlichen Überprüfungsbefugnis bildet (<ref-ruling> E. 2.1). Spätere Arztberichte sind deshalb in die Beurteilung lediglich insoweit miteinzubeziehen, als sie Rückschlüsse auf die in diesem Zeitpunkt gegebene Situation erlauben (<ref-ruling> E. 1b in fine; Urteil 8C_370/2020 vom 15. Oktober 2020 E. 4.2). Gemäss dem kantonalen Gericht erfüllt der Bericht der Dr. med. F._ vom 7. Oktober 2020 diese Voraussetzungen nicht. Diese Sachverhaltswürdigung ist nicht willkürlich, nachdem sich aus der vorinstanzlichen Beschwerde vom 26. Juni 2020 ergibt, dass der Beschwerdeführer damals noch nicht bei Dr. med. F._ in Behandlung war. Ferner kann aus der Ausführung der Dr. med. F._, die von ihr erhobene Diagnose (Angst und depressive Störung, gemischt) sei als Folge der schweren Belastung nach kardialer Erkrankung aufgetreten, nicht abgeleitet werden, die von ihr attestierte Arbeitsunfähigkeit habe bereits einige Monate vor Behandlungsbeginn bestanden. Gegen diese Annahme spricht hier der Abklärungsbericht der Dr. med. D._ vom 28. September 2019, wonach keine Befunde vorlagen, die aus neuropsychologisch-leistungspsychologischer Sicht eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit begründeten. Mit Blick darauf ist nicht rechtsfehlerhaft, wenn die Vorinstanz den Bericht der Dr. med. F._ vom 7. Oktober 2020 nicht berücksichtigte und auf weitere Abklärungen zum psychischen Gesundheitszustand verzichtete, wie er sich bis zur Verfügung vom 26. Mai 2020 entwickelte, sind von solchen doch keine weiteren Erkenntnisse zu erwarten. Dies ist eine willkürfreie antizipierte Beweiswürdigung, die den Untersuchungsgrundsatz nicht verletzt (<ref-ruling> E. 6.5; Urteil 9C_216/2020 vom 8. Juli 2020 E. 3.2).
3.3. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die Beschwerde unbegründet und abzuweisen ist.
4.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Beschwerdeführer auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. August 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Wirthlin
Die Gerichtsschreiberin: Möckli