Erwägungen:
1.
Mit Eingabe vom 15. Dezember 2020 führt A._ Beschwerde beim Bundesgericht im Zusammenhang mit den Gesamterneuerungswahlen am Appellationsgericht Basel-Stadt. Als Anfechtungsobjekt bezeichnet er die am 14. Dezember 2020 amtlich publizierten Wahlvorschläge. In prozessualer Hinsicht ersuchte er um Verfahrenssistierung. Diesen Antrag wies die Instruktionsrichterin der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts am 17. März 2021 ab. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement schliesst für den Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt auf Nichteintreten auf die Beschwerde, eventuell auf deren Abweisung. A._ nahm dazu am 28. Januar 2021 Stellung und reichte danach noch weitere Eingaben ein.
2.
Nach <ref-law> sind Beschwerden an das Bundesgericht unter anderem betreffend Volkswahlen in kantonalen Angelegenheiten zulässig gegen Akte letzter kantonaler Instanzen. Gemäss § 81 Abs. 1 lit. b des Gesetzes vom 21. April 1994 über Wahlen und Abstimmungen des Kantons Basel-Stadt (Wahlgesetz; SG 132.100) kann beim Regierungsrat insbesondere Beschwerde erhoben werden wegen Unregelmässigkeiten bei der Vorbereitung und Durchführung von Wahlen (Wahlbeschwerde). Der Regierungsrat kann solche Beschwerden nach § 12 des Gesetzes über die Verfassungs- und Verwaltungsrechtspflege vom 14. Juni 1928 des Kantons Basel-Stadt (VRPG; SG 270.100) in Verbindung mit § 42 des Gesetzes betreffend die Organisation des Regierungsrates und der Verwaltung des Kantons Basel-Stadt vom 22. April 1976 (Organisationsgesetz, OG; SG 153.100) dem Appellationsgericht als Verwaltungsgericht weiterleiten. Möglich ist auch die Anrufung des Appellationsgerichts als Verfassungsgericht (vgl. § 30k Abs. 1 VRPG). Der Beschwerdeführer ficht beim Bundesgericht direkt die amtlich publizierten Wahlvorschläge an. Dabei handelt es sich nicht um ein taugliches kantonal letztinstanzliches Anfechtungsobjekt.
3.
Der Beschwerdeführer bezeichnet seine Beschwerde als Sprungrekurs. Im Wesentlichen macht er sinngemäss geltend, der Regierungsrat und das Appellationsgericht hätten ihre Rechtsauslegung im vorliegenden Zusammenhang durch frühere Entscheide schon ausreichend kundgetan; es sei nicht zu erwarten, dass sie in einem neuen Verfahren davon abweichend zu seinen Gunsten entscheiden würden. Indessen sieht das Bundesgerichtsgesetz keine Sprungbeschwerde vor. Im Übrigen würden die Ausführungen des Beschwerdeführers auch nicht ausreichen, um nachvollziehbar von einer im voraus unverrückbaren Rechtsauffassung auf Seiten der zuständigen kantonalen Behörden auszugehen, die eine sachgerechte Prüfung der Anliegen des Beschwerdeführers von vornherein ausschliessen würde. Der Hinweis darauf, sie seien bereits früher mit ähnlichen Beschwerden des Beschwerdeführers befasst gewesen, genügt dafür nicht und stellt gemeinhin nicht einmal einen Ausstandsgrund dar (vgl. <ref-ruling> E. 2.3, mit Hinweisen). Die Beschwerde erweist sich daher wegen fehlender Ausschöpfung des kantonalen Instanzenzugs als unzulässig. Da der Beschwerdeführer bewusst darauf verzichtet hat, die kantonalen Rechtsmittelinstanzen anzurufen, kann auf eine Weiterleitung verzichtet werden.
4.
Demnach ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt, Staatskanzlei, und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juni 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Uebersax