Sachverhalt:
A.
Die Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen, namentlich die Invalidenversicherungsstelle (IV-Stelle), beauftragte mit Schreiben vom 4. April 2016 die PMEDA AG mit Sitz in Zürich mit der Erstattung eines polydisziplinären medizinischen Gutachtens betreffend den früher im Kanton St. Gallen wohnhaften B._. Im Gutachten vom 7. April 2017, welches unter anderem von Prof. Dr. med. A._ und Dr. med. C._ unterschrieben wurde, wird festgehalten, die Arbeitsfähigkeit von B._ in der zuletzt ausgeübten sowie in jedweder vergleichbaren oder auch anderen, körperlich leichten, wechselbelastenden oder überwiegend sitzenden Tätigkeit sei auf dem allgemeinen Arbeitsmarkt nicht als dauerhaft limitiert anzusehen.
Mit Schreiben vom 30. Oktober 2017 erstattete B._ bei der regionalen Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat Strafanzeige gegen Prof. Dr. med. A._ und Dr. med. C._ sowie gegen unbekannt wegen "Betrug und Falschbegutachtung". Am 6. März 2019 überwies die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich die Akten an die Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich mit dem Ersuchen, über die Erteilung bzw. Nichterteilung der Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung wegen Urkundenfälschung im Amt, eventualiter wegen eines falschen ärztlichen Zeugnisses, subeventualiter wegen Falschbeurkundung zu entscheiden. Sie beantragte, es sei die Ermächtigung zu erteilen.
Mit Beschluss vom 22. August 2019 trat das Obergericht nicht auf die Beschwerde ein und überwies die Sache zuständigkeitshalber an die Anklagekammer des Kantons St. Gallen. Zur Begründung führte es aus, bei den Beschuldigten handle es sich nicht um zürcherische Beamten.
B.
Mit Eingabe vom 20. September 2019 führt Prof. Dr. med. A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt, der Beschluss der Vorinstanz vom 22. August 2019 sei aufzuheben. Das Gesuch betreffend Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung sei zuständigkeitshalber an das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement (EJPD) zu überweisen. Eventualiter sei die Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung zu verweigern.
Der Beschwerdegegner nahm Stellung. Die Staatsanwaltschaft, das Obergericht sowie die Anklagekammer des Kantons St. Gallen haben auf eine Stellungnahme verzichtet. Das EJPD liess sich nicht vernehmen.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und <ref-law>). Ob es sich dabei um einen Endentscheid (<ref-law>) oder um einen Zwischenentscheid über die Zuständigkeit (<ref-law>) handelt, braucht nicht entschieden zu werden, unterliegen doch beide der Beschwerde an das Bundesgericht. Der Beschwerdeführer ist als Adressat des angefochtenen Entscheids zur Anfechtung berechtigt. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass, weshalb grundsätzlich auf die Beschwerde einzutreten ist.
2.
Vorliegend unbestritten ist, dass der Beschwerdeführer bei seiner Tätigkeit als Ersteller des von der kantonalen IV-Stelle in Auftrag gegebenen polydisziplinären medizinischen Gutachtens mit einer öffentlich-rechtlichen Aufgabe betraut wurde und eine beamtenähnliche Stellung innehatte (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 201 f.; Urteil 1C_614/2015 vom 5. Februar 2016 E. 3.1; je mit Hinweisen). Streitig und zu klären ist indessen, wer für die Erteilung über die Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung im vorliegenden Fall zuständig ist.
2.1. Um Behördenmitglieder und Beamte vor mutwilliger Strafverfolgung zu schützen und damit das reibungslose Funktionieren staatlicher Organe sicherzustellen, sind Ermächtigungsverfahren vorgesehen. Nach <ref-law> können die Kantone vorsehen, dass die Strafverfolgung der Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen von der Ermächtigung einer nicht richterlichen Behörde abhängt. Diese Bestimmung bietet den Kantonen die Möglichkeit, die Strafverfolgung sämtlicher Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden von einer Ermächtigung abhängig zu machen. Als Vollziehungsbehörden gelten alle Organisationen, die öffentliche Aufgaben wahrnehmen (Urteil 1C_427/2017 vom 15. Dezember 2017 E. 1.2 mit Hinweis). Sowohl der Kanton St. Gallen als auch der Kanton Zürich haben von ihrer gesetzlichen Kompetenz Gebrauch gemacht und ein Ermächtigungsverfahren eingeführt (vgl. § 148 des Zürcher Gesetzes über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess vom 10. Mai 2010 [GOG; LS 211.1] sowie Art. 17 Abs. 2 lit. b des Einführungsgesetzes des Kantons St. Gallen vom 3. August 2010 zur Schweizerischen Straf- und Jugendstrafprozessordnung [EG-StPO; sGS 962.1]). Im Bund entscheidet das EJPD über die Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen Beamte (vgl. Art. 15 des Bundesgesetzes vom 14. März 1958 über die Verantwortlichkeit des Bundes sowie seiner Behördenmitglieder und Beamten [Verantwortlichkeitsgesetz, VG; SR 170.32]).
2.2. Die Vorinstanz hielt fest, dass sie die Ermächtigung nur für kantonale bzw. kommunale Beamte des Kantons Zürich erteilen könne, nicht aber für Amtspersonen anderer Kantone. Die Erstellung des Gutachtens durch die zürcherische PMEDA AG sei vorliegend von der Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen initiiert worden. Sofern von einer Beamtenfunktion des Beschwerdeführers ausgegangen würde, wäre er jedenfalls kein zürcherischer Beamter, sondern ein solcher des Kantons St. Gallen. Aus diesem Grund sei auf das Ermächtigungsgesuch nicht einzutreten und dieses zuständigkeitshalber an die Anklagekammer des Kantons St. Gallen zu überweisen.
2.3. Der Beschwerdeführer erblickt darin eine Verletzung von Bundesrecht. Seiner Auffassung nach habe die Vorinstanz Art. 13 i.V.m. Art. 15 VG verletzt. Er bringt vor, die Auftragserteilung sei nicht durch die kantonale IV-Stelle erfolgt, sondern durch den Bund, gestützt auf den Rahmenvertrag des Bundesamtes für Sozialversicherungen (BSV) mit der Gutachterstelle. Die kantonale IV-Stelle trete lediglich als Koordinationsstelle auf, indem sie den Vergabeprozess anstosse und nach erfolgter Auftragserteilung der Gutachterstelle das Aktendossier übermittle. Selbst könne sie aber keinen Einfluss nehmen auf die Erteilung der Aufträge eines polydisziplinären Gutachtens und habe somit lediglich ausführende Funktion. Der Beschwerdeführer bringt weiter vor, seine gutachterliche Tätigkeit stütze sich ausschliesslich auf Bundesrecht, namentlich auf das Bundesgesetz über die Invalidenversicherung (IVG), die Verordnung über die Invalidenversicherung (IVV; SR 831.201) sowie das Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG; SR 830.1). Diese Normen würden nicht nur die Erstellung des Gutachtens, sondern auch das Vergabeverfahren regeln.
3.
Der Bund ist mit Erlass der Vorschriften über die Invalidenversicherung seiner in <ref-law> normierten Gesetzgebungskompetenz nachgekommen. Die Invalidenversicherung wird abschliessend durch Bundesrecht geregelt. Gemäss <ref-law> wird sie durch die IV-Stellen in Zusammenarbeit mit den Organen der Alters- und Hinterlassenenversicherung durchgeführt. Die kantonalen IV-Stellen verfügen von Bundesrechts wegen über beschränkte Autonomie (<ref-law>), stehen aber unter der fachlichen, administrativen und finanziellen Aufsicht des Bundes (Art. 64 und Art. 64a IVG i.V.m. Art. 50 f. IVV). Die Kantone errichten die IV-Stellen in der Form kantonaler öffentlich-rechtlicher Anstalten mit eigener Rechtspersönlichkeit (<ref-law>). Darüber hinaus haben die Kantone indessen kaum Entscheidungs- oder Aufsichtsbefugnisse (zum Ganzen: BURCH/GÄCHTER, Die kantonale IV-Stelle - Eine Organisationsform eigener Art, in: Verwaltungsorganisationsrecht Jahrbuch 2012, S. 43 ff.).
In funktioneller Hinsicht sind die kantonalen IV-Stellen als dezentralisierte Verwaltungseinheiten des Bundes zu betrachten, welche primär Träger einer im Bundesrecht verankerten und von der Bundesverwaltung beaufsichtigten Vollzugsaufgabe sind (vgl. MATTHIAS KRADOLFER, Zusammenarbeit von Medizinischen Abklärungsstellen und Invalidenversicherung, in: Verwaltungsorganisationsrecht Jahrbuch 2015, S. 131). In organisatorischer Hinsicht sind allerdings die Kantone die hinter diesen Verwaltungseinheiten stehenden Trägerorganisationen, wodurch die Organisationsstruktur der IV grundsätzlich dem in der Schweiz vorherrschenden Prinzip des Vollzugsföderalismus entspricht. Die kantonalen Stellen stehen somit ausserhalb der Hierarchie der Bundesverwaltung (vgl. zur AHV-Ausgleichskasse <ref-ruling> E. I.2 S. 26).
Die kantonalen IV-Stellen als Durchführungsorgane der IV lassen sich mithin weder eindeutig der kantonalen noch der Bundesebene zuordnen (vgl. BURCH/GÄCHTER, Die kantonale IV-Stelle - Eine Organisationsform eigener Art, in: Verwaltungsorganisationsrecht Jahrbuch 2012, S. 71; Urteile 1C_125/2015 vom 17. Juli 2015 E. 2.2 und 1C_461/2017 vom 27. Juni 2018 E. 5.3.3 und 5.4, nicht publ. in: <ref-ruling>, wo die IV-Stelle spezifisch aus der Sicht des Datenschutzes bzw. des Öffentlichkeitsprinzips als kantonales Organ angesehen wurde).
4.
4.1. Der Beizug von privaten Gutachtern durch die für die Abklärung des rechtserheblichen Sachverhalts zuständige IV-Stelle (vgl. Art. 54-56 i.V.m. Art. 57 Abs. 1 lit. c-g IVG) ist auf Gesetzesstufe festgehalten. Nach <ref-law> können die IV-Stellen "Spezialisten der privaten Invalidenhilfe, Experten, medizinische und berufliche Abklärungsstellen, (...) " beiziehen, um den Sachverhalt abzuklären (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 219). Vorliegend hat die IV-Stelle die Erstellung eines polydisziplinären Gutachtens betreffend den Beschwerdeführer in Auftrag gegeben. Solche Gutachten, d.h. Gutachten bei welchen drei und mehr Fachdisziplinen beteiligt sind, haben bei einer Gutachterstelle zu erfolgen, mit welcher das BSV eine Vereinbarung getroffen hat (<ref-law>). Zurzeit sind dies 33 Gutachterstellen, darunter auch die PMEDA AG (vgl. die Auflistung unter www. suissemedap.ch), welche vorliegend für die Erstellung des Gutachtens zuständig war. Die kantonalen IV-Stellen initiieren zwar das Vergabeverfahren, die tatsächliche Vergabe der Aufträge erfolgt aber, wie vom Beschwerdeführer vorgebracht, über die vom BSV in Auftrag gegebene webbasierte Vergabeplattform SuisseMED@P nach dem Zufallsprinzip (<ref-law>). Über diese Plattform wird der gesamte Verlauf der Gutachtenseinholung gesteuert und kontrolliert (vgl. Anhang V des Kreisschreibens über das Verfahren in der Invalidenversicherung [KSVI], Stand 1. Januar 2018; <ref-ruling> E. 2.2 S. 351).
4.2. Während folglich die kantonalen IV-Stellen die Aufträge für polydisziplinäre Gutachten vergeben bzw. das Vergabeverfahren über SuisseMED@P in Gang setzen, wird die dem Auftrag zugrunde liegende Vereinbarung nach <ref-law> von einer Bundesbehörde, nämlich dem BSV, mit den Gutachterstellen abgeschlossen. Die materiellen Bestimmungen, d.h. die Konditionen der Begutachtung, welche das Rechtsverhältnis zwischen den Gutachterstellen und der Verwaltung prägen, sind in dieser Vereinbarung enthalten (vgl. Mustervereinbarung, abrufbar unter: https://www.bsv.admin.ch/bsv/de/home/sozial ve r sicherungen/iv/grundlagen-gesetze/organisation-iv/medizinische- gutachten-iv.html). Die kantonalen IV-Stellen sind daran nicht beteiligt. Ebenso wenig können die IV-Stellen die Wahl des Gutachters beeinflussen, da dieser, wie erwähnt, via Zufallsprinzip ausgesucht wird. Dem Beschwerdeführer ist demnach beizupflichten, soweit er vorbringt, seine gesamte gutachterliche Tätigkeit stütze sich auf Bundesrecht bzw. auf die mit dem BSV abgeschlossene Vereinbarung.
Nach dem Gesagten wird jedenfalls deutlich, dass die kantonalen IV-Stellen selbst keinen Einfluss auf den vom BSV bestimmten Pool der zugelassenen Gutachter bzw. Gutachterstellen und die Konditionen der Gutachtenserstellung nehmen können, auch wenn sie die eigentliche Vergabe anstossen. Die kantonalen IV-Stellen nehmen, wie dies der Beschwerdeführer ausgeführt hat, bei der Auftragsvergabe lediglich eine Koordinationsfunktion wahr. Sie erfüllen im geschilderten Ablauf der Gutachtensvergabe einzig eine "Scharnierfunktion" innerhalb eines einheitlichen Vollzugsrechtsverhältnisses zwischen dem BSV und den Gutachterstellen (ehemals MEDAS) (vgl. MATTHIAS KRADOLFER, Zusammenarbeit von Medizinischen Abklärungsstellen und Invalidenversicherung, in: Verwaltungsorganisationsrecht Jahrbuch 2015, S. 131). Dies spricht dafür, dass Gutachter direkt gestützt auf Bundesrecht und mithin von einer Bundesbehörde (BSV) beauftragt werden. Hinzu kommt, dass auch die Kosten der Gutachten vom Bund, namentlich der Zentralen Ausgleichskasse, vergütet werden (vgl. Art. 79 Abs. 2 i.V.m. Art. 69 Abs. 2 und Art. 78 Abs. 3 IVV). Insgesamt sprechen daher überzeugende Argumente dafür, dass der Beschwerdeführer keine kantonale, sondern eine beamtenähnliche Funktion des Bundes innehatte und folglich gemäss Art. 15 VG seine Strafverfolgung wegen Verletzung von Art. 317 bzw. Art. 318 oder Art. 251 Ziff. 1 StGB einer Ermächtigung des EJPD bedarf.
5.
Indem die Vorinstanz nicht nur auf das Ermächtigungsgesuch nicht eingetreten ist, sondern dieses an die Anklagekammer des Kantons St. Gallen überwiesen hat, hat sie Bundesrecht verletzt. Der angefochtene Entscheid ist demzufolge aufzuheben und die Sache an das zuständige EJPD zur Beurteilung des Gesuchs zu überweisen.
Angesichts der Umstände rechtfertigt es sich, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten und ist keine Parteientschädigung zu sprechen (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Zürich vom 22. August 2019 wird aufgehoben. Das Gesuch betreffend Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung wird an das zuständige Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement überwiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich, dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, der Anklagekammer des Kantons St. Gallen und dem Generalsekretariat des Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartementes schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Februar 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier