Faits :
A.
A.a. A._ a obtenu le titre de maître généraliste dans l'enseignement primaire le 1 er septembre 2007 et a été nommé fonctionnaire par le canton de Genève le 1 er septembre 2008. Dès la rentrée scolaire 2014-2015, il a travaillé à l'école primaire de U._. Le 11 avril 2018, son supérieur hiérarchique l'a libéré de son obligation de travailler et lui a notamment annoncé avoir l'intention de saisir le Groupe de confiance d'une demande d'investigation, en raison de reproches de certaines collègues à son endroit.
A.b. Le 8 mai 2018, A._ a saisi le Groupe de confiance d'une demande d'ouverture d'investigation à l'encontre de ses collègues de U._ B._, C._ et D._; il alléguait avoir été isolé et dénigré par celles-ci, ainsi qu'avoir fait l'objet d'informations attentatoires à son honneur et à sa réputation, qui avaient conduit à sa mise à l'écart de l'école. Au cours de l'instruction de sa demande, il a également mis en cause deux autres collègues, E._ et F._. Le 30 mai 2018, le Département de l'instruction publique, de la culture et du sport (actuellement Département de l'instruction publique, de la formation et de la jeunesse; ci-après: le département) a adressé au Groupe de confiance une demande d'ouverture d'investigation contre A._ pour des soupçons d'atteinte à la personnalité, voire de harcèlement, de ses collègues C._, D._ et F._.
Le 14 janvier 2019, le Groupe de confiance a rendu son rapport d'investigation faisant suite à la plainte du département. Il a conclu à l'absence d'atteinte à la personnalité d'une certaine gravité et de harcèlement psychologique de la part de A._ à l'encontre de F._, de C._ et de D._. Par décision du 1 er mars 2019, le département a repris les conclusions du Groupe de confiance.
Le 12 avril 2019, le Groupe de confiance a classé la demande d'ouverture d'investigation formée par A._ à l'encontre de B._, C._, D._, E._ et F._. Il a considéré que les faits invoqués à l'appui de la demande ne constituaient pas un harcèlement psychologique ou une atteinte d'une certaine gravité à la personnalité; l'ouverture d'une investigation devait dès lors être refusée. Par décision du 13 mai 2019, le département a confirmé le classement prononcé par le Groupe de confiance.
B.
Saisie d'un recours contre la décision du département du 13 mai 2019, la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève l'a rejeté par jugement du 28 janvier 2020.
C.
A._ interjette un recours contre ce jugement, en concluant à sa réforme en ce sens que l'ouverture d'une investigation telle qu'il l'a requise soit ordonnée.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.

Considérant en droit :
1.
1.1. La cause relève du droit public, de sorte qu'en principe la voie ordinaire de recours est celle du recours en matière de droit public (<ref-law>). Cependant, en ce qui concerne les rapports de travail de droit public (et sauf s'il se rapporte à l'égalité des sexes), le recours en matière de droit public est subordonné à la double condition que la décision attaquée concerne une contestation pécuniaire et que la valeur litigieuse atteigne au moins 15'000 fr. (art. 83 let. g LTF en corrélation avec l'<ref-law>). Même si le seuil requis de la valeur litigieuse n'est pas atteint, le recours est néanmoins recevable si la contestation soulève une question juridique de principe (<ref-law>).
En l'espèce, le recourant - qui ne précise pas la nature de son recours - se contente de conclure à l'ouverture d'une investigation par le Groupe de confiance, en vue de la constatation d'un harcèlement psychologique et/ou d'une atteinte à sa personnalité de la part de ses collègues. Il ne fait pas valoir de prétentions pécuniaires, tout comme devant la juridiction cantonale. Par conséquent, la voie du recours en matière de droit public n'est pas ouverte. Seule l'est la voie du recours constitutionnel subsidiaire pour violation des droits constitutionnels (art. 113 et 116 LTF).
1.2. La qualité pour former un recours constitutionnel subsidiaire suppose un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (<ref-law>). Les intérêts invoqués par le recourant doivent être protégés soit par une règle du droit fédéral ou du droit cantonal, soit directement par un droit fondamental spécifique (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 326; <ref-ruling> consid. 4 p. 191 ss), par opposition à des droits constitutionnels non spécifiques, telle que l'interdiction de l'arbitraire, qui ne peut être invoquée que si les normes visées accordent à l'intéressé un droit ou servent à protéger ses intérêts prétendument lésés (<ref-ruling> consid. 5.3.3 p. 247; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 308). Indépendamment de cette condition, le recourant peut se plaindre par la voie du recours constitutionnel subsidiaire de la violation de ses droits de partie équivalant à un déni de justice formel, pour autant qu'il s'agisse de moyens pouvant être séparés du fond (<ref-ruling> consid. 2 p. 308; <ref-ruling> consid. 6.2 p. 198 s.).
En l'espèce, le recourant se plaint notamment d'une violation de l'interdiction de l'arbitraire mais n'invoque aucune norme dont on pourrait déduire une position juridiquement protégée. Son recours se révèle dès lors irrecevable à cet égard. En revanche, il émet plusieurs griefs en lien avec la violation de son droit d'être entendu, qu'il y a lieu d'examiner ci-après.
2.
Le recours constitutionnel subsidiaire peut être formé pour violation des droits constitutionnels (<ref-law>). Une exigence de motivation accrue prévaut pour la violation des droits constitutionnels (cf. <ref-law>, par le renvoi de l'<ref-law>). Selon le principe d'allégation, la partie recourante doit en effet expliquer de façon circonstanciée en quoi consiste la violation dont elle se prévaut (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 41; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 30).
3.
3.1. La cour cantonale a retenu que le Groupe de confiance et le département avaient établi les faits de manière exacte et complète et n'avaient pas abusé de leur pouvoir d'appréciation en constatant l'absence d'atteinte d'une certaine gravité à la personnalité du recourant ou de harcèlement psychologique à son égard de la part de B._, C._, D._, E._ et F._.
3.2. Le recourant fait valoir plusieurs griefs d'ordre formel tirés d'une prétendue violation de son droit d'être entendu.
Il reproche au Groupe de confiance d'avoir refusé d'auditionner six témoins, de ne pas l'avoir confronté à ses collègues et de ne pas lui avoir permis de poser certaines questions; la juridiction cantonale n'aurait pas sanctionné ces vices formels. Cette dernière s'est prononcée de manière détaillée sur l'instruction par le Groupe de confiance de la demande d'ouverture d'investigation du recourant, retenant qu'elle ne prêtait pas le flanc à la critique. Or le recourant ne prend pas position sur cette motivation; il se limite à réitérer ses reproches déjà formulés en procédure cantonale. De surcroît, il ne précise pas quelles personnes il souhaiterait faire entendre ni à quelles fins. Il n'explique pas non plus quels points il désirerait éclaircir et quelle serait la finalité d'une confrontation avec ses collègues. Le recourant se plaint également de ne pas avoir eu accès à des notes en mains du département rédigées par une collaboratrice. Les juges cantonaux ont rejeté ce grief, au motif qu'il s'agissait de notes de service soustraites au droit d'accès en vertu de l'art. 26 al. 4 de la loi du canton de Genève du 5 octobre 2011 sur l'information du public, l'accès aux documents et la protection des données (LIPAD; RS/GE A 2 08). Le recourant se contente de soutenir que ces notes permettraient de savoir si la collaboratrice aurait "orienté les faits", sans toutefois s'en prendre à la motivation de l'autorité précédente et sans expliquer pour quelle raison la disposition précitée ne s'appliquerait pas aux notes en question. Force est de constater que les critiques du recourant ne répondent pas aux exigences posées par la loi (cf. consid. 2 supra).
Il en va de même de ses griefs qui ne sont pas dirigés contre le jugement attaqué et qui s'écartent par conséquent de l'objet du litige: la prétendue violation de son droit d'être entendu par son employeur dans le cadre de la libération de son obligation de travailler; ses critiques d'ordre général à l'encontre du Groupe de confiance (manque d'impartialité et d'objectivité, inutilité); ses récriminations relatives au déroulement des procédures de reclassement et de licenciement dans lesquelles il est impliqué.
3.3. Le recourant critique également la manière dont les premiers juges ont mené l'instruction de sa cause.
Il leur reproche de ne pas avoir analysé consciencieusement ses déterminations des 27 novembre 2018 et 5 février 2019 adressées au département. A part qualifier ces prises de position de "capitales", il ne s'exprime toutefois pas sur leur contenu et n'explique pas en quoi elles seraient pertinentes pour l'issue du litige. Au demeurant, ces déterminations ont été produites au cours de la procédure par-devant le département et leur contenu ne révèle pas d'éléments déterminants qui n'auraient pas été pris en compte par la cour cantonale. En tant qu'il fait grief aux juges cantonaux d'avoir occulté les procès-verbaux d'auditions menées par le Ministère public (MP) dans le cadre d'une procédure pénale l'impliquant, le recourant se limite à faire état de contradictions entre les déclarations de ses collègues au MP et leurs propos devant le Groupe de confiance, sans autre précision sur la nature des contradictions en question et leur importance en la présente cause. En outre, dans la mesure où il reproche aux juges cantonaux de ne pas avoir étendu leur instruction aux fins d'identifier les auteurs de rumeurs à son sujet, il ne s'en prend pas à la motivation développée à ce sujet par la juridiction cantonale, laquelle a retenu que le Groupe de confiance n'avait à bon droit pas mené des investigations en ce sens dès lors qu'il avait exclu l'existence de telles rumeurs. Sur ces différents points, le recours ne répond ainsi pas aux exigences de motivation prévues par la loi (cf. consid. 2 supra).
4.
Il résulte de ce qui précède que le recours est entièrement irrecevable.
5.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lucerne, le 2 septembre 2020
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
Le Greffier : Ourny