Sachverhalt:
A.
A.a. Unter dem Namen "Foundation A._" ist im Handelsregister des Kantons Zug eine Stiftung im Sinne von <ref-law> eingetragen (Beschwerdeführerin). Sie bezweckt die Förderung des Tier-, Umwelt- und Landschaftsschutzes sowie von gemeinnützigen Projekten in den Bereichen der erneuerbaren Energien und der Erzeugung biologischer Produkte und deren Strukturen für eine nachhaltige Agrarpolitik im In- und Ausland.
B._ ist der Alleinaktionär der C._ AG. Mit Vertrag vom 19. Dezember 2017 verpflichtete er sich gegenüber der Stiftung unter Auflage der Änderung von deren Namen und ihres Zwecks, dieser sämtliche Aktien der C._ AG unentgeltlich zu überlassen. Mit Akten von 18. und vom 28. Dezember 2017 übertrug er die von ihm gehaltenen 100 Namenaktien an die Stiftung.
A.b. Am 1. Februar 2018 leitete B._ beim Friedensrichteramt der Stadt Zug ein Schlichtungsverfahren ein und beantragte die Feststellung der Nichtigkeit und Unverbindlichkeit des Vertrags vom 19. Dezember 2017 sowie der Erklärung vom 18. Dezember 2017. Das Friedensrichteramt erteilte B._ am 6. April 2018 die Klagebewilligung, von der dieser in der Folge aber keinen Gebrauch machte.
A.c. Am 27. März 2018 ernannte die Eidgenössische Stiftungsaufsicht (ESA) für die Foundation A._ einen Sachwalter. Gestützt auf dessen Bericht vom 12. Juni 2018 erliess sie am 3. Juli 2018 gegenüber der Stiftung die folgende Verfügung:
"1. Zur Führung der Prozesse im Zusammenhang mit der Schenkung der Aktien der C._ AG an die Foundation A._ darf kein stiftungseigenes Vermögen verwendet werden. Darunter ist nicht nur die Abwehr der Klage betreffend Gültigkeit der Schenkung anzusehen, sondern sämtliche mit der Schenkung im Zusammenhang stehende Rechtshandlungen.
2. Beabsichtigt der Stiftungsrat, entgegen der obigen Ausführungen, den Zivilprozess betreffend Nichtigkeit/Unverbindlichkeit der Schenkung sämtlicher Aktien der C._ AG zu führen, hat er die mutmasslichen Prozesskosten, vorerst für das erstinstanzliche Verfahren, sicherzustellen.
Eine entsprechende Sicherstellung in der Höhe von CHF 5,5 Mio. (2 x Parteientschädigung von CHF 2'450'000.00 und 1 x Gerichtskosten von CHF 600'000.00) hat bis am 6. Juli 2018 zu erfolgen. Entsprechende Belege sind der Aufsichtsbehörde zuzustellen.
Je nach Prozessverlauf bleibt der Aufsichtsbehörde eine Anpassung des sicherzustellenden Betrags vorbehalten.
Bei Führung des Prozesses mit sichergestellten Mitteln ist der Stiftungsrat verpflichtet, die Aufsichtsbehörde regelmässig über den Prozessgang zu orientieren.
3. [Entzug der aufschiebenden Wirkung einer allfälligen Beschwerde]
4. [Kosten]
5. [Eröffnung]"
B.
B.a. Die von der Foundation A._ gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 21. Oktober 2019 ab (Verfahren B-3933/2018).
Gegen dieses Urteil gelangte die Foundation A._ ans Bundesgericht. Dieses hob das angefochtene Erkenntnis mit Urteil 5A_955/2019 vom 2. Juni 2020 gestützt auf <ref-law> auf und wies die Sache zur erneuten Behandlung an das Bundesverwaltungsgericht zurück.
B.b. Mit Urteil vom 27. August 2020 (eröffnet am 3. September 2020) wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde der Foundation A._ wiederum ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 5. Oktober 2020 gelangt die Foundation A._ erneut ans Bundesgericht. Sie beantragt in der Sache, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 27. August 2020 sowie die damit bestätigten Anordnungen gemäss Dispositivziffer 1-4 der Verfügung der ESA vom 3. Juli 2018 und eventuell nur das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts seien ersatzlos aufzuheben. Eventualiter sei die Sache in Aufhebung des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts zur neuen Beurteilung an die ESA und eventuell die Vorinstanz zurückzuweisen.
Am 29. Dezember 2020 verzichtet das Bundesverwaltungsgericht unter Hinweis auf sein Urteil auf eine Vernehmlassung und mit Eingabe vom 22. Januar 2021 hält die ESA an ihrem Standpunkt fest. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des vorinstanzlichen Verfahrens eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid (<ref-law>) des Bundesverwaltungsgerichts (<ref-law>) im Bereich der Aufsicht über die Stiftungen und damit ein öffentlich-rechtlicher Entscheid in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht, der nach Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 4 BGG der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt. Die Angelegenheit ist vermögensrechtlicher Natur (<ref-ruling> E. 1.3). Der nach Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG massgebende Streitwert von Fr. 30'000.-- ist nach der unbestritten gebliebenen Feststellung des Bundesverwaltungsgerichts erreicht. Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit das zutreffende Rechtsmittel. Die Beschwerdeführerin ist nach <ref-law> grundsätzlich zur Beschwerde berechtigt (vgl. aber sogleich E. 1.2; zum Ganzen Urteil 5A_955/2019 vom 2. Juni 2020 E. 1). Auf die auch fristgerecht (Art. 100 Abs. 1 und Art. 45 Abs. 1 BGG) eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
1.2. Zur Beschwerde in Zivilsachen ist nach Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG nur berechtigt, wer durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Änderung oder Aufhebung hat. Das schutzwürdige Interesse an der Gutheissung der Beschwerde (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3.2.2.2) muss grundsätzlich aktuell und praktisch, mithin im Zeitpunkt des bundesgerichtlichen Urteils noch vorhanden sein (<ref-ruling> E. 1.1).
Umstritten ist die Anweisung an die Beschwerdeführerin, im Zusammenhang mit der Schenkung der Aktien der C._ AG keine Prozesse unter Verwendung von Stiftungsvermögen zu führen. Falls der Stiftungsrat den " Zivilprozess betreffend Nichtigkeit/Unverbindlichkeit der Schenkung" dennoch führen will, hat er die mutmasslichen Prozesskosten sicherzustellen (vgl. die Verfügung vom 3. Juli 2018, Ziffern 1 und 2; vorne Bst. A.c). Ein aktuelles Interesse an der Beschwerde in Zivilsachen besteht hinsichtlich der ersten dieser Anordnungen. Zur Sicherstellung der Prozesskosten hat das Bundesgericht im Urteil 5A_955/2019 vom 2. Juli 2020 indes ausgeführt, es fehle ein solches Interesse, da B._ von der ihm vom Friedensrichteramt erteilten Klagebewilligung keinen Gebrauch gemacht habe (vgl. vorne Bst. A.b) und die strittige Anordnung sich nicht mehr auswirke (E. 1.1). Das Bundesverwaltungsgericht gelangt zu einem anderen Ergebnis, womit es jedoch die Bindungswirkung des bundesgerichtlichen Entscheids nicht beachtet (<ref-ruling> E. 5.3.3; <ref-ruling> E. 2). Wie es sich hiermit im Einzelnen verhält, braucht mit Blick auf das Ergebnis des Verfahrens (vgl. hinten E. 4.1), indes nicht geklärt zu werden.
1.3. Die Beschwerde in Zivilsachen ist ein reformatorisches Rechtsmittel (<ref-law>), weshalb grundsätzlich ein ebensolcher Antrag zu stellen ist. Ein rein kassatorischer Antrag ist zulässig, wenn das Bundesgericht ohnehin nicht reformatorisch entscheiden könnte (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 3.1) oder eine belastende Anordnung in Streit steht, mit deren Aufhebung die Belastung beseitigt wird (Urteile 5A_262/2019 vom 30. September 2019 E. 1.2: 2C_122/2019 vom 6. Juni 2019 E. 1.1). Da die vorliegend umstrittene Belastung der Beschwerdeführerin mit Aufhebung des angefochtenen Urteils beseitigt würde, erweist sich das vor Bundesgericht gestellte ausschliesslich kassatorische Begehren als zulässig.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (<ref-law>). In der Beschwerdebegründung ist daher in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid rechtswidrig sein soll. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken; die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 1.7.1; <ref-ruling> E. 2, 115 E. 2).
2.2. Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (<ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (<ref-law>), oder würden auf einer anderen Bundesrechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. Verletzung von <ref-law> oder <ref-law>) beruhen. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (<ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266).
Dieselben Rüge- und Begründungsvoraussetzungen gelten für das Vorbringen der Verletzung verfassungsmässiger Rechte (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 1.2.2).
3.
3.1. Streitbetroffen ist die Anordnung, die Beschwerdeführerin dürfe für Rechtshandlungen (insbesondere Prozesse) im Zusammenhang mit der Schenkung von Aktien der C._ AG kein stiftungseigenes Vermögen verwenden. Ausserdem angefochten ist die Verpflichtung zur Sicherstellung allfällig dennoch anfallender Prozesskosten durch den Stiftungsrat (vgl. vorne Bst. A.c und E. 1.2). Hierin liegt eine wesentliche Beschränkung der Handlungsmöglichkeiten der Beschwerdeführerin im betroffenen Sachzusammenhang: Dieser wird es kaum möglich sein, für die erfassten Handlungen eine (vollständige und dauerhafte) Drittfinanzierung sicherzustellen. Dies schliesst eine Sicherstellung der fraglichen Kosten durch den Stiftungsrat ein, zumal in der verfügten (Millionen-) Höhe. Die getroffene Anordnung kommt damit dem Verbot gleich, die fraglichen Rechtshandlungen vorzunehmen bzw. beinhaltet in ihren Auswirkungen ein Prozessführungsverbot (vgl. bereits Urteil 5A_955/2019 vom 2. Juli 2020 E. 2.3.1). Die Beschwerde ist vor diesem Hintergrund zu prüfen und die vom Bundesverwaltungsgericht hilfsweise angestellte Überlegung, auch bei Aufrechterhaltung der strittigen Anordnung sei es der Beschwerdeführerin unter Zuhilfenahme eines "Prozesskostenfinanzierers" möglich, an ein in der Sache zuständiges Gericht zu gelangen, bleibt unbehelflich.
3.2. Die Beschwerdeführerin macht in erster Linie geltend, die Vorinstanz verletze <ref-law>.
3.2.1. Gemäss <ref-law> stehen die Stiftungen unter der Aufsicht des Gemeinwesens (Bund, Kanton, Gemeinde), dem sie nach ihrer Bestimmung angehören. Die Aufsichtsbehörde hat nach <ref-law> dafür zu sorgen, dass das Stiftungsvermögen seinen Zwecken gemäss verwendet wird. Sie wacht darüber, dass die Organe der Stiftung das Gesetz, die Stiftungsurkunde, allfällige Reglemente und die guten Sitten einhalten (<ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 5). Zur Erfüllung dieser Aufgabe stehen der Aufsichtsbehörde eine ganze Anzahl präventiver und repressiver Aufsichtsmittel zur Verfügung (<ref-ruling> E. 3a). Zu den präventiven Mitteln gehören namentlich Vorschriften über die Vermögensanlage sowie die Verpflichtung zur regelmässigen Berichterstattung und Rechnungsablage. Als repressive Massnahmen kommen zum Beispiel die Aufhebung von Beschlüssen, Weisungen, Bussen oder die Abberufung von Stiftungsorganen in Betracht. Auch wenn der Behörde bei der Wahl der zu treffenden Massnahme ein grosses Ermessen zukommt, hat sie bei der Ergreifung von Aufsichtsmitteln die Grundsätze der Verhältnismässigkeit und der Subsidiarität zu beachten (Urteile 5A_875/2018 vom 4. Februar 2019 E. 5.1; 5A_232/2010 vom 16. September 2010 E. 3.1.2; 5A_274/2008 vom 19. Januar 2009 E. 5.1) und muss sie die Schranken der Rechtsordnung respektieren (<ref-law>).
3.2.2. Die Aufsichtsbehörde kann eine Stiftung gestützt auf <ref-law> auch dazu anhalten, einen ihr gegenüber geltend gemachten Anspruch (im Sinne eines subjektiven Rechts) ohne gerichtlichen Entscheid anzuerkennen und zu bezahlen. Dies setzt jedoch voraus, dass der Anspruch ohne weiteres ausgewiesen ist. Würde die Stiftung in diesem Fall die Zahlung ablehnen und es auf eine gerichtliche Auseinandersetzung ankommen lassen, bestünde die (ernsthafte) Gefahr, dass sie Verfahrenskosten und Prozessentschädigungen ausrichten müsste, was letztlich zu einer zweckwidrigen Verwendung des Stiftungsvermögens führen würde. Bestehen dagegen Zweifel am Anspruch, muss der Entscheid über diesen dem Zivilgericht überlassen bleiben (BGE <ref-ruling> E. 6; RIEMER, Berner Kommentar, 2020, N. 153 ff. zu <ref-law>; vgl. auch <ref-ruling> E. 3b; Urteile 5A_15/2020 vom 6. Mai 2020 E. 3; 2C_684/2015 vom 24. Februar 2017 E. 6.6.2). Die Aufsichtsbehörde ist immer dann zum Einschreiten befugt, wenn in der Leistungsverweigerung durch die Stiftung zugleich eine Pflichtverletzung ihrer Organe liegt (<ref-ruling> E. 3 S. 99; GRÜNINGER, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 6. Aufl. 2018, N. 11 zu <ref-law>). Ein Eingreifen der Aufsichtsbehörde muss mit Blick darauf, dass streitige Zivilsachen durch die Zivilgerichte zu beurteilen sind (Art. 1 Bst. a ZPO) und jede Person Anspruch auf Beurteilung durch ein durch Gesetz geschaffenes (auch in sachlicher Hinsicht zuständiges) Gericht hat (Art. 6 Ziff. 1 EMRK; <ref-law>; statt vieler: <ref-ruling> E. 3.3), die Ausnahme bleiben. Diese Grundsätze gelten nicht nur im Zusammenhang mit der Abwehr von Ansprüchen Dritter, sondern auch für die Anweisung, keine Rechtshandlungen gegenüber Drittpersonen vorzunehmen (Urteil 5A_955/2019 vom 2. Juli 2020 E. 2.3.2).
3.2.3. Zu prüfen ist, ob die streitbetroffene Anordnung den aufgezeigten Vorgaben des Gesetzes entspricht. Diese Rechtsfrage beantworten die Gerichte frei; insbesondere verbleibt der Sachbehörde kein Ermessensspielraum (anschaulich: Urteil 2C_440/2019 vom 6. Februar 2020 E. 3.2 mit Hinweisen). Dies erkennt das Bundesverwaltungsgericht richtig, wenn es in E. 3 des angefochtenen Urteils ausführt, es habe eine Rechtskontrolle vorzunehmen. Es ist nicht ersichtlich und wird von der Beschwerdeführerin auch nicht geltend gemacht, dass die Vorinstanz dem nicht nachgelebt hätte. Im Ergebnis bleibt es daher unschädlich, dass das Bundesverwaltungsgericht mehrfach den Schluss zieht, die Fachbehörde sei nicht in Willkür verfallen, und damit die Rechtskontrolle mit einer Willkürprüfung zu verwechseln scheint (zur Willkür in der Rechtsanwendung vgl. <ref-ruling> E. 2.1).
3.3. Das Bundesverwaltungsgericht erachtet einen Prozess der Beschwerdeführerin im Zusammenhang mit der Schenkung der Aktien der C._ AG als aussichtslos, weshalb dafür aufgewendetes Stifungsvermögen zweckwidrig verwendet werde. Die Aussichtslosigkeit des Standpunkts der Beschwerdeführerin leitet die Vorinstanz daraus ab, dass B._ bei Abschluss des Schenkungsvertrags nicht urteilsfähig gewesen sei. Diese Einschätzung werde durch zwei Urteile aus dem Kanton Zürich gestützt: Unangefochten habe das Handelsgericht festgehalten, dass die Beschwerdeführerin bisher nicht Eigentümerin der Aktien geworden sei. Auch das betreffend einen Vorsorgeauftrag bzw. eine Begutachtung von B._ angerufene Obergericht habe Zweifel daran geäussert, dass dieser nicht mehr Eigentümer der Aktien sei. Dagegen erachtet die Vorinstanz anders als noch die Erstinstanz eine allfällige Nichtigkeit des Schenkungsvertrags zufolge Unmöglichkeit der vorgesehenen Namens- bzw. Zweckänderung der Stiftung nicht mehr als Grund für eine Aussichtslosigkeit eines Zivilprozesses.
3.4. Die Beschwerdeführerin bringt hiergegen vor, die von der Vorinstanz angeführten Urteile aus dem Kanton Zürich äusserten sich nicht zur entscheidenden Frage der Urteilsfähigkeit von B._ und damit zur Gültigkeit der Schenkung und den Aussichten eines diese betreffenden Prozesses. Zu Recht:
Das vom Bundesverwaltungsgericht angeführte Urteil des Handelsgerichts erging in einem vorsorglichen Massnahmeverfahren betreffend die Eintragung von Änderungen in der Zusammensetzung des Verwaltungsrats der C._ AG im Handelsregister. Soweit hier interessierend erwägt das Handelsgericht, es sei aufgrund der bestehenden Vinkulierung (<ref-law>) nicht glaubhaft, dass die Aktien der Gesellschaft gültig auf die Beschwerdeführerin übertragen worden seien (Urteil HE180115-0 vom 14. März 2018 E. 5). Das Urteil des Obergerichts erging im Zusammenhang mit einer Begutachtung von B._ im Zuge der Validierung eines von diesem erteilten Vorsorgeauftrags (<ref-law>). Das Obergericht hält fest, es sei strittig, wer Eigentümer der Aktien der C._ AG sei. In diesem Zusammenhang verweist es auf das Urteil des Handelsgerichts, wonach B._ zufolge der Vinkulierung der Aktien deren Eigentümer geblieben sei (Urteil PQ180080-0/U vom 13. Dezember 2018 E. 3.3/b). Beide Urteile betreffen folglich nicht die Urteilsfähigkeit des Schenkers oder die Gültigkeit bzw. Durchsetzbarkeit des Vertrags vom 19. Dezember 2017, womit sich aus ihnen auch keine Unbegründetheit des Standpunkts der Beschwerdeführerin ableiten lässt. Angesprochen ist mit der Schenkung wohlgemerkt das Schenkungsversprechen im Sinne eines Verpflichtungsgeschäfts (Art. 239 Abs. 1 und Art. 243 Abs. 1 OR; <ref-ruling> E. 5.1.2; <ref-ruling> E. 3.3), dessen Ungültigkeit nicht aus einem fehlgeschlagenen Vollzugsversuch abgeleitet werden kann.
3.5. Umfassend begründet das Bundesverwaltungsgericht seine Einschätzung, wonach Rechtshandlungen der Beschwerdeführerin im Zusammenhang mit der Schenkung der Aktien aufgrund der Urteilsunfähigkeit von B._ im Schenkuntszeitpunkt aussichtslos seien. Hierbei verweist es auf ein vom Sachwalter (vgl. vorne Bst. A.c) in Auftrag gegebenes Aktengutachten der Klinik D._ vom 7. Juni 2018, welches entgegen der zahlreichen dagegen erhobenen Einwendungen der Beschwerdeführerin zur Beurteilung der Sachlage beigezogen werden könne. Der in diesem Gutachten festgestellte allgemeine Gesundheitszustand von B._ spreche gegen dessen Urteilsfähigkeit im Zusammenhang mit der fraglichen Schenkung. B._ sei mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit nicht mehr fähig gewesen, die erhebliche Tragweite des umstrittenen Geschäfts abzuschätzen, welche sich nicht zuletzt aus dem Wert der Aktien und den Auswirkungen auf das Familiengefüge ergäben. Betroffen seien Fragen des Güter-, Erb- und Stiftungsrechts.
Damit hat das Bundesverwaltungsgericht unter ausführlicher Würdigung der im Aufsichtsverfahren erhobenen Beweise (Aktengutachten) eine umfassende Beurteilung der Vorgänge um den streitbetroffenen Schenkungsvertrag vorgenommen. Bereits dies schliesst letztlich die Annahme einer offensichtlichen Sachlage im vorgenannten Sinne aus, welche die Aufsichtsbehörde zum Einschreiten ermächtigt. Läge die Urteilsunfähigkeit von B._ offen zu Tage, hätte kein derartiges Beweisverfahren durchgeführt werden müssen. Die Frage der Urteilsfähigkeit des Schenkers ist sodann von erheblicher Komplexität (vgl. beispielsweise <ref-ruling> E. 5 und 6) und konnte von der Vorinstanz nicht abschliessend geklärt werden. Dies zeigt sich an gewissen Unschärfen des angefochtenen Urteils: So führt das Bundesverwaltungsgericht in einem "Zwischenfazit" aus, die Feststellungen des Gutachtens würden "im Rahmen, in dem die [erstinstanzliche] Beurteilung hier zu prüfen ist" als "glaubhaft" "erscheinen". Unter diesen Umständen ist der von B._ hinsichtlich der Schenkung der Aktien eingenommene Standpunkt nicht ohne weiteres ausgewiesen. In diesem Sinne erwiest sich die Rüge der Beschwerdeführerin als zutreffend, die Vorinstanz habe sich nicht auf die Prüfung beschränkt, ob sich ausnahmsweise ein Prozessverbot rechtfertige, sondern sich geradezu zur Zivilrichterin "aufgeschwungen".
3.6. Nach dem Ausgeführten liegt kein Fall vor, in welchem es den Aufsichtsbehörden nach Massgabe von <ref-law> (ausnahmsweise) gestattet wäre, die Stiftung anzuhalten einen Anspruch anzuerkennen bzw. einen solchen nicht zu verfolgen. Über die Gültigkeit der Schenkung der Aktien der C._ AG und deren Folgen wird vielmehr (gegebenenfalls) im Rahmen eines ordentlichen Zivilprozesses zu befinden sein. Die Anordnung, für die Führung eines entsprechenden Prozesses keine Stiftungsmittel zu verwenden, erweist sich damit als bundesrechtswidrig und ist aufzuheben. Entsprechendes gilt für die aus dem gleichen Grund getroffene Verfügung, wonach der Stiftungsrat die Kosten eines allfällig dennoch geführten Prozesses sicherzustellen hat. Unter diesen Umständen braucht auf die zahlreichen weiteren (Verfassungs-) Rügen der Beschwerdeführerin nicht mehr eingegangen zu werden.
4.
4.1. Damit ist die Beschwerde begründet und gutzuheissen. Ziffer 1 des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts vom 27. August 2020 ist aufzuheben. Der Klarheit halber sind antragsgemäss auch die in der Verfügung der ESA vom 3. Juli 2018 getroffenen Anordnungen zu beseitigen.
4.2. Entsprechend diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Verfahrenskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG) und hat die Schweizerische Eidgenossenschaft der Beschwerdeführerin die Prozesskosten zu ersetzen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Die Neuverlegung der Kosten der vorinstanzlichen Verfahren entsprechend dem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens wird unter Aufhebung der Ziffern 2 und 3 des angefochtenen Urteils dem Bundesverwaltungsgericht übertragen (Art. 67 und 68 Abs. 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 27. August 2020 sowie die Anordnungen gemäss Dispositivziffern 1-4 der Verfügung der Eidgenössischen Stiftungsaufsicht vom 3. Juli 2018 werden aufgehoben.
2.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten der vorinstanzlichen Verfahren an das Bundesverwaltungsgericht zurückgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Die Schweizerische Eidgenossenschaft hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 12'000.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Eidgenössischen Departement des Innern EDI und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Februar 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber