Erwägungen:
1.
Am 9. Februar 2020 fand im Kanton Zürich die Volksabstimmung über das Taxigesetz statt. Die Stimmberechtigten stimmten dem Taxigesetz mit einer Mehrheit von 52,84 % Ja-Stimmen zu. Dagegen erhob der Schweizerische Verband der Taxifahrer + Personenbeförderung beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Eingabe vom 12. Februar 2020 (Poststempel 14. Februar 2020) Abstimmungsbeschwerde. Mit Schreiben vom 17. Februar 2020 überwies das Verwaltungsgericht die Abstimmungsbeschwerde an den Regierungsrat des Kantons Zürich zur Behandlung als Einsprache. Dieser trat mit Beschluss vom 4. März 2020 auf die Einsprache nicht ein. Zur Begründung führte der Regierungsrat zusammenfassend aus, der Einsprecher lege nicht glaubhaft dar, dass ein Grossteil seiner Mitglieder im Kanton Zürich stimm- und wahlberechtigt sei, weshalb er nicht zur Erhebung der Einsprache legitimiert sei. Eine Legitimation könne auch nicht für die beiden für den Einsprecher handelnden Vorstandsmitglieder angenommen werden, da sie die Einsprache nicht zusätzlich im eigenen Namen erhoben und auch keine eigene Stimm- und Wahlberechtigung geltend machten. Selbst wenn der Einsprecher zur Erhebung der Einsprache legitimiert gewesen wäre, könnte auf sie infolge Fristablaufs nicht eingetreten werden. Die Einsprache richte sich inhaltlich gegen die Abstimmungszeitung und nicht näher umschriebene und belegte Unregelmässigkeiten im Vorfeld der Abstimmung. Die fünftägige Frist zur Einsprache gegen die Abstimmungszeitung habe am 13. Dezember 2019 zu laufen begonnen, weshalb die Einsprache mit Poststempel vom 14. Februar 2020 verspätet eingereicht worden sei.
2.
Der Schweizerische Verband der Taxifahrer + Personenbeförderung führt mit Eingabe vom 1. Mai 2020 (Postaufgabe 8. Mai 2020) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Beschluss des Regierungsrats des Kantons Zürich vom 4. März 2020 Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
3.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob und inwieweit ein bei ihm eingereichtes Rechtsmittel zulässig ist (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 116 mit Hinweisen).
3.2. Nach Art. 100 Abs. 1 BGG ist die Beschwerde innert 30 Tagen nach Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des angefochtenen Entscheids beim Bundesgericht einzureichen. Diese gesetzliche Frist ist nicht erstreckbar (Art. 47 Abs. 1 BGG).
3.3. Der angefochtene Beschluss des Regierungsrats ist dem Beschwerdeführer gemäss Notizen auf dem von ihm dem Bundesgericht eingereichten Exemplar des angefochtenen Beschlusses am 6. März 2020 zugestellt worden. Die Beschwerdefrist begann somit am 7. März 2020 zu laufen und endete am Montag, den 6. April 2020. Die Beschwerde vom 1. Mai 2020 bzw. 8. Mai 2020 ist daher nach Ablauf der 30-tägigen Beschwerdefrist aufgegeben worden.
3.4. Der Beschwerdeführer beruft sich auf Art. 1 Abs. 1 der Verordnung über den Stillstand der Fristen in Zivil- und Verwaltungsverfahren zur Aufrechterhaltung der Justiz im Zusammenhang mit dem Coronavirus (Covid-19; SR 173.110.4). Der Fristenstillstand gilt indessen gemäss Art. 46 Abs. 2 BGG nicht in Verfahren betreffend aufschiebende Wirkung und andere vorsorgliche Massnahmen sowie in der Wechselbetreibung, für Stimmrechtssachen (Art. 82 Bst. c) und auf den Gebieten der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen und der internationalen Amtshilfe in Steuersachen. Vorliegend handelt es sich um eine Stimmrechtssache. Der Fristenstillstand kommt daher nicht zur Anwendung. Demzufolge ist die Beschwerde vom 1. Mai 2020 bzw. 8. Mai 2020 offensichtlich verspätet eingereicht worden.
3.5. Auf die Beschwerde ist demnach bereits wegen verspäteter Einreichung nicht einzutreten. Der genannte Mangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG entschieden werden kann.
3.6. Im Übrigen ist festzuhalten, dass die Beschwerde auch den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG nicht entspricht. Nach dieser Bestimmung ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Der Beschwerdeführer vermag mit der Darstellung seiner Sicht der Dinge nicht im Einzelnen und konkret aufzuzeigen, inwiefern die Begründung des Regierungsrats, die zum Nichteintreten auf die Einsprache führte, bzw. der Beschluss des Regierungsrats selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll.
4.
Auf die Erhebung von Gerichtsgebühren kann verzichtet werden (Art. 66 Abs.1 BGG). Mit dem vorliegenden Entscheid wird das Gesuch um Erlass von vorsorglichen Massnahmen gegenstandslos.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Regierungsrat des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Mai 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli