Sachverhalt:
A.
Der 1983 geborene A._ bezog wegen einer paranoiden Schizophrenie bis August 2006 Leistungen der Invalidenversicherung. Nach erfolgreicher beruflicher Eingliederung und Abschluss einer Lehre als Koch mit Eidgenössischem Fähigkeitszeugnis war er zunächst in verschiedenen Vollzeitanstellungen tätig. Vom 1. Juni 2011 bis zum 31. Mai 2012 war er im Restaurant B._ in einem Vollzeitpensum als Koch angestellt und deswegen bei der GastroSocial Pensionskasse (nachfolgend: Pensionskasse) für die berufliche Vorsorge versichert.
Bereits im Dezember 2011 hatte sich A._ unter Hinweis auf Bandscheiben- und Knieprobleme zum erneuten Leistungsbezug bei der Invalidenversicherung angemeldet. Die IV-Stelle Basel-Stadt gewährte am 8. August 2012 Arbeitsvermittlung, die mit dem Antritt einer neuen Stelle als Koch im April 2013 endete. Vom 19. Februar bis zum 25. März 2014 war A._ im Restaurant C._ in einem Vollzeitpensum als Koch tätig und deswegen wiederum bei der Pensionskasse versichert.
Im April 2014 ersuchte A._ um berufliche Massnahmen, wobei er angab, dass er sich seit dem 31. März 2014 in stationärer psychiatrischer Behandlung befinde. Die IV-Stelle gewährte Arbeitsvermittlung und Arbeitsversuche, die mit einer neuen Anstellung (80 % bei der D._ AG) auf den 1. Juli 2015 beendet wurden.
Im Mai 2016 meldete sich A._ erneut bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Aargau sprach ihm mit Verfügungen vom 27. November und 11. Dezember 2018 eine ganze Invalidenrente ab dem 1. April 2017 zu (Invaliditätsgrad 100 %). Die Pensionskasse verneinte ihre Leistungspflicht im Zusammenhang mit der Invalidität.
B.
A._ beantragte mit Klage vom 27. Juli 2020 Invalidenleistungen der Pensionskasse. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt hiess die Klage mit Urteil vom 24. November 2020 gut. Es verurteilte die Pensionskasse, A._ eine Invalidenrente basierend auf einem Invaliditätsgrad von 100 % ab dem 1. April 2017 zuzüglich Zins zu 2 % ab Fälligkeit, unter Befreiung von der Beitragspflicht für die Sparbeiträge an das Altersguthaben ab Februar 2012, zu entrichten.
C.
Die Pensionskasse lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, unter Aufhebung des Urteils vom 24. November 2020 sei die Klage vom 27. Juli 2020 vollumfänglich abzuweisen.
A._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen; ausserdem verlangt er einen Verzugszins von 5 %. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.2. Der Antrag des Beschwerdegegners betreffend Verzugszins ist von vornherein unzulässig. Abgesehen davon, dass eine entsprechende Begründung fehlt (vgl. Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), gibt es im bundesgerichtlichen Verfahren keine Anschlussbeschwerde (<ref-ruling> E. 10.2).
2.
2.1.
2.1.1. Nach den zutreffenden Erwägungen im angefochtenen Urteil werden Invalidenleistungen der obligatorischen beruflichen Vorsorge von derjenigen Vorsorgeeinrichtung geschuldet, bei welcher die ansprechende Person bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert war (Art. 23 lit. a BVG; <ref-ruling> E. 2.6). Dieser Grundsatz findet auch in der weitergehenden Vorsorge Anwendung, wenn (wie hier) Reglement oder Statuten resp. gesetzliche Grundlagen nichts anderes vorsehen (<ref-ruling> E. 3.2). Für die Bestimmung der Leistungszuständigkeit im Sinne von Art. 23 lit. a BVG ist - wie für die Eröffnung der Wartezeit nach <ref-law> - eine erhebliche und dauerhafte Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf oder Aufgabenbereich massgebend. Diese muss mindestens 20 % betragen (<ref-ruling> E. 4.4; SVR 2017 BVG Nr. 25 S. 113, 9C_518/2016 E. 2.1; Urteile 9C_347/2019 vom 22. August 2019 E. 2.2.1; 9C_100/2018 vom 21. Juni 2018 E. 2.1)
2.1.2. Ebenfalls korrekt führt die Vorinstanz aus, dass der Anspruch auf Invalidenleistungen aus beruflicher Vorsorge einen engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhang zwischen der während andauerndem Vorsorgeverhältnis (einschliesslich Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG) bestehender Arbeitsunfähigkeit und der allenfalls erst später eingetretenen Invalidität voraussetzt. Der sachliche Konnex ist gegeben, wenn der Gesundheitsschaden, welcher zur Arbeitsunfähigkeit geführt hat, im Wesentlichen derselbe ist, wie er der Erwerbsunfähigkeit zugrunde liegt. Die Annahme eines engen zeitlichen Zusammenhangs setzt voraus, dass die versicherte Person nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, nicht während längerer Zeit wieder arbeitsfähig war (<ref-ruling> E. 3.2 und 3.2.1). Eine Unterbrechung des zeitlichen Konnexes ist dann anzunehmen, wenn während mehr als dreier Monate eine Arbeitsfähigkeit von über 80 % in einer angepassten Erwerbstätigkeit gegeben ist (<ref-ruling>; Urteil 9C_100/2018 vom 21. Juni 2018 E. 2.2).
2.2. Vorinstanzliche Feststellungen zur Art des Gesundheitsschadens (Befund, Diagnose etc.) und zur Arbeitsfähigkeit, die Ergebnis einer Beweiswürdigung sind, sind für das Bundesgericht grundsätzlich bindend (E. 1.1; vgl. <ref-ruling> E. 3.2). Tatfrage ist auch jene nach dem Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat (SVR 2008 BVG Nr. 31 S. 126, 9C_182/2007 E. 4.1.1). Frei überprüfbare Rechtsfrage ist dagegen, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung darüber erfolgt (SVR 2009 BVG Nr. 7 S. 22, 9C_65/2008 E. 2.2; Urteil 9C_670/2010 vom 23. Dezember 2010 E. 1.2) und ob diese auf einer genügenden Beweislage beruht (Urteil 9C_100/2018 vom 21. Juni 2018 E. 2.3).
3.
Die IV-Stelle des Kantons Aargau setzte bei der Rentenzusprache den Beginn der Wartezeit nach <ref-law> auf den 5. April 2016 fest. Das kantonale Gericht hat eine diesbezügliche Bindung (vgl. dazu Urteil 9C_23/2019 vom 10. Mai 2019 E. 2.2 mit Hinweisen) verneint und die Leistungspflicht der Pensionskasse frei geprüft.
Es hat erwogen, dass im November 2011, im März 2014 und im Januar 2016 vollständige Arbeitsunfähigkeiten eingetreten seien, die als Anknüpfungspunkte im Sinne von Art. 23 BVG in Betracht fielen. Während der Anstellung bei der D._ AG, die vom 1. Juli 2015 bis zum 30. Juni 2016 angedauert habe, sei der Beschwerdegegner nie länger als drei Monate zu über 80 % arbeitsfähig gewesen. Im Rahmen dieses Arbeitsverhältnisses sei der zeitliche Konnex zwischen einer früher eingetretenen Arbeitsunfähigkeit und der späteren Invalidität nicht unterbrochen worden. Damit stehe die Leistungspflicht der Pensionskasse fest; es gelte aber zu untersuchen, ob die massgebliche Arbeitsunfähigkeit im November 2011 oder im März 2014 eingetreten sei. Nach dem krankheitsbedingten Ausfall vom November 2011 hätten die Tätigkeiten des Beschwerdegegners ab dem Jahr 2012 (verschiedene Praktika und Arbeitseinsätze, auch im Rahmen eines Beschäftigungsprogramms der Arbeitslosenversicherung) eher Eingliederungscharakter aufgewiesen. Eine den zeitlichen Konnex unterbrechende Arbeitsfähigkeit im Sinne einer dauerhaften Eingliederung liege nicht vor. Daher scheide auch die vollständige Arbeitsunfähigkeit vom März 2014 als Anknüpfungspunkt für die nach Art. 23 BVG relevante Arbeitsunfähigkeit aus. Die Rückenbeschwerden, auf die der Arbeitsausfall im Jahr 2011/2012 zurückzuführen sei, seien durch die bereits in der Kindheit des Beschwerdegegners dominierende und heute im Vordergrund stehende psychische Komponente erkennbar und erheblich mitgeprägt worden. Damit sei auch der sachliche Zusammenhang zwischen dem ursprünglichen, die grundsätzliche Leistungspflicht der Pensionskasse begründenden Gesundheitsschaden und der späteren Invalidität zu bejahen. Entsprechend der Verfügung der IV-Stelle vom 11. Dezember 2018 habe die Pensionskasse die Invalidenrente ab dem 1. April 2017 (unter Befreiung von der Beitragspflicht für Altersguthaben) nebst Verzugszins, der laut Vorsorgereglement 2 % betrage, zu erbringen.
4.
4.1. Die - lediglich implizit getroffene - vorinstanzliche Feststellung, wonach die Invalidität auf einer psychischen Gesundheitsbeeinträchtigung (paranoide Schizophrenie) beruht, lässt sich mit den Unterlagen der Invalidenversicherung untermauern. Sie wird auch von den Parteien geteilt, weshalb sich diesbezügliche Weiterungen erübrigen (vgl. E. 1.1).
Die Beschwerdeführerin bestreitet einzig ihre Leistungszuständigkeit mit Blick auf den sachlichen Zusammenhang zwischen der Invalidität und der im November 2011 eingetretenen Arbeitsunfähigkeit. Das damals festgestellte Krankheitsgeschehen (Rückenleiden) sei ausschliesslich somatischer Natur gewesen; dass es während der Versicherungszeit bis zum 31. Mai 2012 durch eine psychische Störung mitgeprägt gewesen sein soll, lasse sich nicht halten. Dieser Auffassung schliesst sich der Beschwerdegegner zwar an. Er begründet die Leistungspflicht der Pensionskasse aber mit dem Umstand, dass die massgebende psychisch bedingte Arbeitsunfähigkeit im März 2014, d.h. während seiner Anstellung im Restaurant C._ und damit während der (zweiten) Versicherungsperiode bei der Pensionskasse, eingetreten sei.
4.2. Es steht fest und ist unbestritten, dass die im November 2011 eingetretene Arbeitsunfähigkeit einzig somatisch begründet und in Bezug auf die invalidisierende psychische Beeinträchtigung eine Arbeitsunfähigkeit (nach August 2006) erstmals am 21. März 2014 ärztlich attestiert worden war.
4.3. Ist die bei noch bestehender Versicherungsdeckung eingetretene Arbeitsunfähigkeit somatisch, die Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung begründende Invalidität jedoch psychisch bedingt, muss die Störung sich während des Vorsorgeverhältnisses manifestiert und das Krankheitsgeschehen erkennbar mitgeprägt haben (SVR 2016 BVG Nr. 37 S. 150, 9C_115/2015 E. 2.2; Urteile 9C_583/2016 vom 19. Januar 2017 E. 3.1; 9C_370/2016 vom 12. September 2016 E. 3).
In Konstellationen der erwähnten Art ist für die Bejahung des sachlichen Konnexes in der Regel nicht vorausgesetzt, dass während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses bzw. vor dem Ende der Nachdeckungsfrist (für die Risiken Tod und Invalidität) die Arbeitsfähigkeit psychisch bedingt (mindestens zu 20 % wie bei körperlichen Beeinträchtigungen) eingeschränkt war. Umso grössere Bedeutung kommt dem Nachweis zu, dass das Leiden sich manifestiert und das Krankheitsgeschehen erkennbar mitgeprägt hatte, an welchen demzufolge keine zu geringen Anforderungen gestellt werden dürfen. Verlangt sind grundsätzlich echtzeitliche Belege, aus denen sich allenfalls im Verbund mit späteren fachärztlichen Berichten gewichtige Anhaltspunkte ergeben, wonach bei noch bestehender Versicherungsdeckung psychische Beeinträchtigungen mit Auswirkungen auf das Krankheitsgeschehen bestanden (Urteil 9C_583/2016 vom 19. Januar 2017 E. 5.1 mit Hinweisen).
4.4. Die Vorinstanz nennt als einzigen "echtzeitlichen" Bericht jenen des Spitals E._ ( wo der Beschwerdegegner wegen seines Rückenleidens behandelt worden war) vom 31. Juli 2012. Darin erscheine die "Psychose mit Wahnvorstellungen anamnestisch" auf der Diagnoseliste und werde ein allfälliger Einfluss einer psychischen Beeinträchtigung zumindest in Bezug auf die Schilderung der somatischen Beschwerden thematisiert. Darüber hinaus ist für die Anstellungsperiode vom 1. Juni 2011 bis zum 31. Mai 2012 kein echtzeitlicher Bericht mit einem Hinweis auf eine relevante psychiatrische Problematik aktenkundig. Insbesondere ist kein auffälliges Verhalten am damaligen Arbeitsplatz (Restaurant B._) dokumentiert, und das Arbeitsverhältnis wurde aufgrund betrieblicher Umstrukturierung aufgelöst.
Bei dieser Aktenlage ist die vorinstanzliche Feststellung einer erkennbaren Mitprägung des Rückenleidens durch die psychische Beeinträchtigung nicht haltbar (E. 1.1; vgl. auch Urteil 9C_583/2016 vom 19. Januar 2017 E. 5.2). Dies ändert jedoch nichts an der Leistungszuständigkeit der Pensionskasse, wie sich aus dem Folgenden ergibt.
4.5. Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, wann (nach ihrer Auffassung) die massgebliche Arbeitsunfähigkeit eingetreten sein soll. Sie macht in diesem Zusammenhang lediglich geltend, dass die Beschäftigung im Restaurant C._ dafür nicht in Frage komme, weil es sich dabei um einen gescheiterten Arbeits- resp. Eingliederungsversuch gehandelt habe. Dieser Auffassung kann indessen nicht gefolgt werden.
4.6. Der Versicherte begann im August 2012 ein "3-wöchiges ambulantes Rehaprogramm" beim Spital E._. Für die anschliessende Zeit ist keine ärztlich attestierte Arbeitsunfähigkeit aufgrund der Rückenbeschwerden ersichtlich. Nach den verbindlichen (E. 1.1) vorinstanzlichen Feststellungen absolvierte der Beschwerdegegner vom 1. Oktober 2012 bis zum 16. Januar 2013 im Vollzeitpensum ein Praktikum in einer Kindertagesstätte; anschliessend nahm er an einem Beschäftigungsprogramm der Arbeitslosenversicherung teil. Sodann war er vom 5. August bis zum 25. Oktober 2013 und vom 12. September bis zum 12. Dezember 2013 in Restaurants angestellt, bevor er am 19. Februar 2014 die Arbeit im Restaurant C._ aufnahm. Zwar kann im soeben genannten Zeitraum in der Tat nicht von einer dauerhaften beruflichen Eingliederung gesprochen werden. Dass dies nicht dem Versuch einer beruflichen Neuorientierung und der Arbeitslosigkeit, sondern einer (gesundheitlich begründeten) Arbeitsunfähigkeit geschuldet sein soll, wie das kantonale Gericht anzunehmen scheint, entbehrt einer Grundlage in den Unterlagen. Eine ärztlich und echtzeitlich attestierte Arbeitsunfähigkeit ist erst (wieder) ab dem 21. März 2014 aktenkundig. Da diese den invalidisierenden Gesundheitsschaden betrifft (E. 4.2) und diesbezüglich auch keine Unterbrechung des zeitlichen Zusammenhangs geltend gemacht wird (vgl. E. 1.1), bleibt es im Ergebnis bei der vorinstanzlich bejahten Leistungspflicht der Pensionskasse. Die Beschwerde ist unbegründet.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Der obsiegende Beschwerdegegner hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. Juni 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Dormann