Sachverhalt:
A.
Der 1955 geborene A._ bezog von Juli 2001 bis März 2003 eine Arbeitslosenentschädigung und war dadurch bei der Stiftung Auffangeinrichtung BVG angeschlossen. Am 16. April 2003 gründete er die X._ AG, deren Verwaltungsratspräsident er war und bei der er angestellt war. Die X._ AG schloss ab 1. August 2004 mit der PK-AETAS, BVG-Sammelstiftung, eine Anschlussvereinbarung ab. Mit Schreiben vom 7. Januar 2005 respektive Formular vom 4. Januar 2005 teilte die X._ AG der PK-AETAS mit, der Versicherte sei am 4. Oktober 2004 schwer erkrankt. Am 27. März 2008 bzw. 1. Mai 2009 verneinte die PK-AETAS eine Leistungspflicht infolge Anzeigepflichtverletzung respektive absichtlicher Täuschung durch den Versicherten.
B.
Am 11. November 2009 erhob der Versicherte beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern Klage gegen die PK-AETAS (Beklagte 1) und die Stiftung Auffangeinrichtung BVG (Beklagte 2) mit folgenden Rechtsbegehren:
"1. a) Es sei die Beklagte 1 zu verpflichten, per 31.12.2008 eine Teilliquidation gemäss Art. 53b Abs. 1 lit. c BVG durchzuführen.
b) Eventualiter sei die Beklagte 1 zu verpflichten, sämtliche einbezahlten Versicherungsbeiträge auf Grund ungerechtfertigter Bereicherung zurückzuerstatten.
2. a) Die Beklagte 1 sei zu verpflichten, dem Kläger aus dem Vorsorgeverhältnis spätestens ab 01.08.2005 eine Invalidenrente gemäss den gesetzlichen und reglementarischen Bestimmungen auszurichten.
b) Eventualiter sei die Beklagte 2 zu verpflichten, eine Invalidenrente gemäss den gesetzlichen Bestimmungen auszurichten.
3. Die Beklagte 1, eventualiter Beklagte 2, sei zu verpflichten, dem Kläger auf den Invalidenleistungen gemäss Rechtsbegehren 2 einen Verzugszins von 5 % ab dem Zeitpunkt der Klageeinreichung zu bezahlen.
4. Es sei dem Kläger für sämtliche ordentlichen und ausserordentlichen Kosten die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen."
Nach Sistierung des Verfahrens für die Dauer eines laufenden Strafverfahrens gegen den Versicherten wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die Klage mit Entscheid vom 26. Februar 2020 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, es sei das Urteil der Vorinstanz vom 26. Februar 2020 aufzuheben. Es sei die Beschwerdegegnerin 1, eventualiter die Beschwerdegegnerin 2 zu verpflichten, ihm eine Invalidenrente nach den gesetzlichen Bestimmungen nebst Verzugszins von 5 % seit Klageeinleitung zu leisten. Zudem sei die Angelegenheit an die Vorinstanz zur Durchführung weiterer Abklärungen (Eintritt und Verlauf der Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdeführers) zurückzuweisen. Der Beschwerdeführer beantragt die unentgeltliche Rechtspflege.
Am 7. Mai 2020 reichte der Beschwerdeführer ergänzende Unterlagen ein.
Am 12. Oktober 2020 teilte die Vorinstanz ihren Verzicht auf eine Stellungnahme mit.
Am 30. Oktober 2020 und 20. November 2020 gingen die Vernehmlassungen der Beschwerdegegnerinnen beim Bundesgericht ein. Beide beantragen die Abweisung der Beschwerde (soweit darauf einzutreten sei). Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Mit Schreiben vom 2. Dezember 2020 äussert sich der Beschwerdeführer ein letztes Mal zur Sache.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde ans Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen (u.a.) Bundesrecht verletzt (<ref-law>), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, <ref-law>).
2.
Die Vorinstanz hat festgestellt, die Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt habe, sei nicht (überwiegend wahrscheinlich) während der Dauer der Versicherungsdeckungen durch die Beklagten eingetreten, weshalb diese nicht leistungspflichtig seien.
Der Beschwerdeführer beklagt insbesondere eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsermittlung respektive willkürliche Beweiswürdigung und eine Verletzung der Abklärungspflicht, indem das kantonale Gericht die Akten der Invalidenversicherung nicht beigezogen habe.
3.
Auf die im vorinstanzlichen Entscheid dargelegten rechtlichen Grundlagen wird verwiesen.
4.
4.1. Das kantonale Gericht hat seine Feststellung betreffend den Eintritt der Arbeitsunfähigkeit im Wesentlichen auf das Strafurteil des Kantonsgerichts vom 22. Oktober 2018 und in medizinischer Hinsicht auf die beiden Gutachten von Dr. med. B._, Facharzt für Allgemeine Innere Medizin und Rheumatologie, vom 27. Januar 2005 sowie des Spitals C._ vom 3. Dezember 2007 gestützt. Sodann hat es auf die von der Lebensversicherungsgesellschaft D._ bezogenen Leistungen verwiesen.
4.2. Die Würdigung, wonach die Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt habe, aufgrund der Aktenlage nicht respektive nicht überwiegend wahrscheinlich während der Versicherungsdeckungen durch die Beklagten eingetreten sei (vorinstanzliche Erwägungen 4.4 und 4.5.1 S. 11 ff.), ist in mehrfacher Hinsicht aktenwidrig respektive in Verletzung von Bundesrecht ergangen.
4.2.1. Vorweg ist darauf hinzuweisen, dass das IV-Verfahren im Zeitpunkt der Erstattung des kantonalen Entscheids am 26. Februar 2020 noch hängig war (vorinstanzliche Erwägung 4.3 S. 10 f.). Es war somit nicht klar, ob überhaupt eine Invalidität vorlag und - falls ja - in welchem Gesundheitsschaden diese allfällige Invalidität begründet war. Als Folge davon war auch nicht klar, hinsichtlich welches Gesundheitsschadens der Eintritt der Arbeitsunfähigkeit zu beurteilen war. Mit ihrem aktenwidrigen Hinweis auf die "Arbeitsunfähigkeit, die zur Invalidität geführt hat", hat die Vorinstanz diesen Umstand in willkürlicher Weise übergangen.
4.2.2. In medizinischer Hinsicht hat das kantonale Gericht seine Feststellung betreffend den Eintritt der Arbeitsunfähigkeit damit begründet, dass in den beiden Gutachten von Dr. med. B._ vom 27. Januar 2005 und des Spitals C._ vom 3. Dezember 2007 von seit (anfangs) 2001 bestehenden Beschwerden/Schmerzen die Rede sei (vorinstanzliche Erwägung 4.4 f. S. 11 ff.). Beschwerden/ Schmerzen alleine lassen jedoch noch nicht auf den Eintritt einer relevanten Arbeitsunfähigkeit schliessen. Die Feststellung beruht somit auf einer Verletzung von Bundesrecht, indem der Begriff der Arbeitsunfähigkeit (<ref-law>) falsch angewendet worden ist. Der vorinstanzliche Entscheid lässt eine Beurteilung in Kenntnis der umfassenden medizinischen Aktenlage vermissen. Es liegt eine Verletzung der Untersuchungspflicht vor.
4.2.3. Dem Strafurteil des Kantonsgerichts vom 22. Oktober 2018 - insbesondere den von der Vorinstanz zitierten Stellen - kann nicht entnommen werden, wann eine Arbeitsunfähigkeit eingetreten sein soll. Es ging vielmehr im Wesentlichen um die Erkrankung (Zervikalsyndrom) als versichertes Risiko, das bereits vor der Versicherungsdeckung unter anderem durch die Beklagte 1 vorhanden gewesen sein soll. Damit ist jedoch noch nichts über den Eintritt einer Arbeitsunfähigkeit gesagt. Im Übrigen ist auch hier relevant, dass im Zeitpunkt der Erstattung des angefochtenen Entscheids mangels festgestellter Invalidität nicht feststand, ob überhaupt ein Gesundheitsschaden und wenn ja, welcher hinsichtlich des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit relevant war. Damit hätte die Vorinstanz auch aus dem Umstand, dass im Strafurteil eine Arbeitsunfähigkeit im Zusammenhang mit dem Zervikalsyndrom festgehalten worden wäre, nichts ableiten können. Schliesslich hätte sich selbst bei Annahme des Zervikalsyndroms als relevantem Gesundheitsschaden und dem Eintritt der diesbezüglichen Arbeitsunfähigkeit vor der Versicherungsdeckung bei der Beklagten 1 mit Blick auf die Gründung der X._ AG im April 2003 die Frage nach einem allfälligen Unterbruch des zeitlichen Zusammenhangs (vgl. vorinstanzliche Erwägung 2.4.3 S. 8 f.) gestellt. Dies wäre unter Berücksichtigung sämtlicher Unterlagen - insbesondere der umfassenden medizinischen Aktenlage - zu prüfen gewesen, was die Vorinstanz auch hier in Verletzung ihrer Untersuchungspflicht unterlassen hat.
4.2.4. Aus dem Umstand, dass der Beschwerdeführer ab Juli 2001 Leistungen der Lebensversicherungsgesellschaft D._ bezogen hatte (vorinstanzliche Erwägung 4.5.1 S. 13), kann schliesslich ebenfalls nichts abgeleitet werden. So ist nicht ersichtlich, für welchen Gesundheitsschaden die Leistungen erbracht wurden. Weiter ist auch hier zu beachten, dass mangels festgestellter Invalidität nicht feststand, welcher Gesundheitsschaden betreffend des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit massgebend war.
4.3. Mit Blick auf das Dargelegte ist die Sache an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Dieses hat die Akten der Invalidenversicherung beizuziehen und nach allfälligen weiteren Abklärungen neu über den Leistungsanspruch zu entscheiden.
Ein Abwarten des Entscheids der Invalidenversicherung erscheint sinnvoll, dies unabhängig von der Frage der Bindungswirkung. Denn der Entscheid wird betreffend die auch für das vorliegende Verfahren relevanten Fragen einer allfälligen Invalidität und des sie verursachenden Gesundheitsschadens Klärung bringen.
Entgegen der Ansicht der Beschwerdegegnerin 2 kann sie aus dem Umstand, dass die Frage nach einer allfälligen Invalidität bisher nicht geklärt werden konnte, nichts zu ihren Gunsten ableiten. So ist es durchaus möglich, dass eine erst viel später festgestellte Invalidität auf einen Gesundheitsschaden zurückzuführen ist, der in den vorliegend massgebenden Jahren der Versicherungsdeckung durch die Beschwerdegegnerin 2 zu einer relevanten Arbeitsunfähigkeit geführt hat.
5.
Hinsichtlich der Prozesskosten gilt die Rückweisung der Sache zu neuem Entscheid praxisgemäss als volles Obsiegen (statt vieler: <ref-ruling> E. 7.1 S. 271; Urteil 9C_559/2019 vom 9. Dezember 2019 E. 7). Die Beschwerdegegnerinnen haben daher die Gerichtskosten zu tragen und dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung auszurichten (vgl. Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 26. Februar 2020 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden den Beschwerdegegnerinnen je zur Hälfte auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerinnen haben den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit je Fr. 1400.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. Dezember 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Meyer
Die Gerichtsschreiberin: Nünlist