Fatti:
A.
A._ desidera frequentare il bachelor in fisioterapia presso la Scuola universitaria professionale della Svizzera italiana (di seguito: la SUPSI o l'istituto) e ha, a tale scopo, trasmesso al suddetto istituto una domanda di ammissione per l'anno accademico 2018/2019. Per poter accedere alla formazione in parola, i candidati, oltre ad adempire i requisiti di ammissione, devono superare una procedura di selezione articolata in due parti: una "prova scritta" e un "esame attitudinale" (orale).
B.
B.a. Dopo aver sostenuto con successo la prova scritta, A._ si è presentato alla seconda parte dell'esame di ammissione. Con scritto dell'8 giugno 2018, B._, responsabile della formazione di base della SUPSI e membro di direzione del dipartimento economia aziendale, sanità e sociale (di seguito: il dipartimento) dell'istituto, ha informato il candidato che il punteggio ottenuto nella seconda parte dell'esame di ammissione non gli permetteva di accedere alla via di studio da lui ambita. Il 25 giugno 2018, su richiesta dell'interessato, B._ ha esposto ad A._ le modalità della procedura d'esame e gli ha illustrato i cinque criteri alla base della valutazione dell'esame attitudinale (orale) da lui sostenuto, comunicandogli il punteggio ottenuto (75 punti su 150).
B.b. Il 5 luglio 2018, in una lettera indirizzata al dipartimento "all'attenzione di B._", A._ ha in particolare domandato la riconsiderazione della decisione di non ammetterlo al bachelor in fisioterapia. Il 3 agosto 2018, B._ ha comunicato al candidato che il punteggio da lui ottenuto alla prova scritta (142 punti su 160) gli aveva permesso di accedere alla seconda parte dell'esame, nell'ambito della quale, con 75 punti du 150, si era tuttavia posizionato al 48o posto della graduatoria, non superando la soglia minima (30o posto) per essere ammesso alla formazione. B._ ha dunque respinto la richiesta di riconsiderazione dell'interessato, precisando inoltre che il rifiuto di ammetterlo alla formazione in questione non poteva essere impugnato.
B.c. Il 16 agosto 2018, A._ ha interposto reclamo presso il direttore generale della SUPSI (di seguito: il direttore generale) contro la decisione di non ammetterlo al bachelor in fisioterapia. Con decisione del 29 agosto 2018, il direttore generale ha dichiarato il reclamo irricevibile.
B.d. Il 14 febbraio 2019, adito su ricorso di A._, il Tribunale amministrativo del Cantone Ticino (di seguito: il Tribunale amministrativo) ha confermato la decisione del direttore generale. I Giudici cantonali hanno anzitutto considerato che, sebbene il direttore generale avesse a torto dichiarato irricevibile il reclamo dell'interessato, alla luce del principio di celerità e del fatto che tale autorità aveva comunque respinto il gravame a titolo abbondanziale, il Tribunale amministrativo poteva esaminare il ricorso senza ledere i diritti delle parti. Nel merito, l'autorità precedente ha constatato che, come affermato dal candidato, le informazioni sulla procedura di selezione presenti sul sito internet del dipartimento erano contraddittorie, ma che ciò non aveva avuto alcuna influenza sulla preparazione del candidato all'esame d'ammissione e non pregiudicava dunque la validità dello stesso. I Giudici ticinesi hanno poi ritenuto che la procedura di selezione, fondata su criteri oggettivi e prestabiliti, era stata applicata in modo uniforme a tutti i candidati e non prestava il fianco a critiche. Infine, il Tribunale amministrativo, richiamata l'impossibilità di procedere a un controllo dell'adeguatezza delle decisioni in materia di esami scolastici e professionali, ha considerato che la valutazione della prova orale effettuata dalle esaminatrici era adeguatamente motivata e andava tutelata.
C.
Il 22 marzo 2019, A._ ha inoltrato dinanzi al Tribunale federale un "ricorso in materia di diritto pubblico [...] e contestuale ricorso sussidiario in materia costituzionale" con cui chiede, protestate tasse, spese e ripetibili, l'annullamento della sentenza del Tribunale amministrativo del 14 febbraio 2019, della decisione del direttore generale del 29 agosto 2018 e della decisione del dipartimento del 3 agosto 2018, domandando nel contempo di essere ammesso al corso di laurea in fisioterapia per l'anno scolastico 2019-2020. In via subordinata, A._ postula l'annullamento della sentenza del Tribunale amministrativo del 14 febbraio 2019 e il rinvio della causa a tale autorità per nuovo giudizio ai sensi dei considerandi. In via ancora più subordinata, A._ chiede l'annullamento delle tre decisioni precitate (3 agosto 2018, 29 agosto 2018 e 14 febbraio 2019) e la constatazione dell'illiceità del rifiuto di ammetterlo alla formazione da lui ambita. L'interessato domanda inoltre che gli venga riconosciuta l'assistenza giudiziaria.
La Corte cantonale ha presentato delle osservazioni e si è riconfermata nelle motivazioni e nelle conclusioni della propria sentenza. La SUPSI ha depositato una risposta e ha chiesto il rigetto del gravame. Il ricorrente ha replicato. La SUPSI ha duplicato.

Diritto:
1.
Il Tribunale federale esamina d'ufficio la sua competenza (<ref-law>) e verifica con piena cognizione l'ammissibilità dei gravami che gli vengono sottoposti (<ref-ruling> consid. 1 pag. 282).
1.1. Il ricorrente ha intitolato la sua impugnativa "ricorso in materia di diritto pubblico [...] e contestuale ricorso sussidiario in materia costituzionale". In realtà, l'istanza presentata dall'interessato non contiene due ricorsi (ordinario e sussidiario; cfr. <ref-law>), ma uno solo. In siffatte circostanze, occorrerebbe determinare se il gravame debba essere trattato come un ricorso in materia di diritto pubblico o come un ricorso sussidiario in materia costituzionale (cfr. sentenza 2C_109/2018 del 7 agosto 2018 consid. 1.1; JEAN-MAURICE FRÉSARD, in Commentaire de la LTF, 2a ed., 2014, n. 5 ad <ref-law> pag. 1388). Alla luce di quanto segue, tale questione può tuttavia rimanere aperta.
1.2. Legittimato a interporre un ricorso in materia di diritto pubblico o un ricorso sussidiario in materia costituzionale è infatti solo chi ha un interesse ("degno di protezione" [art. 89 cpv. 1 lett. c LTF], rispettivamente "legittimo" [<ref-law>]) all'annullamento o alla modifica della decisione impugnata. Salvo eccezioni, in concreto non date, l'interesse deve sussistere anche quando il Tribunale federale si pronuncia sulla lite (cfr. <ref-ruling> consid. 1.1 pag. 93 seg.; decreto 2C_292/2016 del 27 settembre 2016 consid. 2.1). Se l'interesse fa difetto già al momento in cui è esperito il ricorso, il gravame è inammissibile; se viene invece a mancare nel corso del procedimento, esso diventa privo d'oggetto (<ref-law> in relazione con l'<ref-law> [RS 273]; <ref-ruling> consid. 1.1. pag. 208; decreto 2C_292/2016 del 27 settembre 2016 consid. 2.1).
1.2.1. La presente procedura concerne la mancata ammissione del ricorrente al bachelor in fisioterapia presso la SUPSI per l'anno accademico 2018/2019. Come risulta dalle osservazioni trasmesse al Tribunale federale dalla SUPSI il 19 agosto 2019 e dalla lettera del 7 giugno 2019 allegata alle stesse, l'interessato è tuttavia stato ammesso alla suddetta formazione per l'anno scolastico 2019/2020 e non ha quindi alcun interesse attuale all'annullamento o alla modifica della decisione impugnata. Il ricorrente, che del resto afferma, in sede di replica, che la conclusione relativa all'ammissione alla formazione in parola "risulta superata dagli eventi" (osservazioni del 17 giugno 2019, pag. 9), non pretende né motiva il contrario. Quanto alle altre conclusioni (che comunque, se il ricorso non fosse privo d'oggetto, sarebbero in gran parte inammissibili in ragione dell'effetto devolutivo del gravame poiché rivolte contro decisioni precedenti la sentenza del Tribunale amministrativo), l'insorgente si limita a indicare che esse "restano per contro confermate" (osservazioni del 17 giugno 2019, pag. 9), senza tuttavia esporre quale sarebbe l'interesse attuale alla base delle stesse e senza che un tale interesse risulti dagli atti di causa.
1.2.2. Giova rilevare che un interesse all'annullamento o alla modifica della decisione impugnata non può nemmeno essere fatto valere in relazione alla pronuncia su spese e ripetibili decise in sede cantonale. Per giurisprudenza, il Tribunale federale può in effetti intervenire su spese e ripetibili decise dall'istanza precedente solo quando cambia il giudizio impugnato anche nel merito (art. 67 e 68 cpv. 5 LTF), ciò che non avviene nel caso di uno stralcio, pronunciato perché la causa è diventata priva di oggetto (cfr. sentenza 5A_967/2016 del 16 marzo 2018 consid. 5.1.4; decreto 2C_292/2016 del 27 settembre 2016 consid. 2.3; decisione 2G_3/2014 del 20 ottobre 2014 consid. 2.4; si veda anche già <ref-ruling> consid. 3 pag. 150). L'insorgente non ha del resto avanzato pretese in tal senso.
1.2.3. Nel contempo, nemmeno sussistono le condizioni per ordinare, in via eccezionale, un rinvio al Tribunale amministrativo, per invitarlo a pronunciarsi lui stesso al riguardo (cfr. decisione 2G_3/2014 del 20 ottobre 2014 consid. 2.5; si veda anche decreto 2C_292/2016 del 27 settembre 2016 consid. 2.4).
1.2.4. Dato quanto precede, il ricorso è divenuto privo d'oggetto e la causa dev'essere stralciata dai ruoli.
2.
2.1. Quando una lite diventa senza oggetto, il Giudice dell'istruzione, quale giudice unico (art. 32 cpv. 1 e 2 LTF), dichiara il processo terminato e statuisce con motivazione sommaria sulle spese, tenendo conto dello stato delle cose prima del verificarsi del motivo che ha posto termine alla lite (<ref-law> in relazione con l'<ref-law>; cfr. decreto 8C_57/2016 del 9 agosto 2019 consid. 8; sentenza 1C_469/2014 del 24 aprile 2015 consid. 2). Data la domanda di assistenza giudiziaria presentata dal ricorrente, la presente decisione viene tuttavia adottata dalla Corte nella composizione di tre giudici, conformemente all'<ref-law> e in deroga all'<ref-law> (cfr. sentenza 2C_1177/2013 del 17 gennaio 2014 consid. 3.2).
La decisione su spese e ripetibili si basa anzitutto sull'esito presumibile della procedura ricorsuale (cfr. sentenza 2C_1177/2013 del 17 gennaio 2014 consid. 3; <ref-ruling> consid. 2a pag. 375), il quale è pure determinante per statuire sulla domanda di assistenza giudiziaria formulata dall'insorgente. Nell'esame sommario del presumibile esito della procedura ricorsuale, il Tribunale federale non si pronuncia in dettaglio su tutte le censure formulate dal ricorrente; in effetti, la decisione sulle spese e ripetibili non equivale ad un giudizio di merito e non deve quindi definire o pregiudicare, a seconda delle circostanze, una questione giuridica delicata (sentenza 2C_843/2013 del 4 giugno 2014 consid. 3.1).
2.2. Nel caso di specie, l'istanza precedente ha considerato, in merito alla "procedura di selezione" contestata dall'insorgente, che essa "non appar[iva] insostenibile" (sentenza impugnata, pag. 11). Inoltre, preso atto delle indicazioni contraddittorie relative allo svolgimento della procedura d'esame fornite sul proprio sito internet dalla SUPSI (cfr. supra lett. B.d), il Tribunale amministrativo ha ritenuto che questo fatto non aveva pregiudicato né la validità dell'esame, né il successo del candidato, in quanto tale "imprecisione non era in effetti suscettibile di influenzare la sua preparazione alla prova" (sentenza impugnata, pag. 11).
La motivazione adottata dalla Corte cantonale appare discutibile per due ragioni. In primo luogo, sebbene la giurisprudenza del Tribunale federale preveda che l'autorità di ricorso faccia prova di un certo riserbo ("une certaine retenue"), rispettivamente di un riserbo particolare ("une retenue particulière"), quando è chiamata a pronunciarsi sull'esito di una valutazione scolastica o professionale, tale riserbo non può tradursi - come nella fattispecie - in un approccio che si limita a verificare se la decisione contestata è insostenibile, in quanto ciò costituirebbe una limitazione eccessiva del suo potere d'apprezzamento (cfr. sentenza 2D_54/2014 del 23 gennaio 2015 consid. 5.6, con rinvii). In secondo luogo, come sostenuto a ragion veduta dall'insorgente (ricorso, pag. 18), le contraddizioni nelle informazioni sulla procedura d'esame presenti sul sito dell'istituto non appaiono senz'altro prive di influenza sull'esito dell'esame orale sostenuto dal candidato, per lo meno per quanto attiene al modo di prepararsi all'esame in questione. In particolare, come risulta dal giudizio impugnato, la SUPSI ha infatti indicato (erroneamente) che "dalla somma dei punteggi ottenuti nell'esame scritto e nell'esame orale si otterrà la graduatoria definitiva di accesso ai Bachelor in Fisioterapia ed Ergoterapia" (sentenza impugnata, pag. 10), mentre in realtà il punteggio ottenuto nella prima prova serviva unicamente a poter accedere alla seconda parte dell'esame e non veniva in seguito più preso in considerazione per decidere dell'ammissione o meno alla formazione. Ora, sulla scorta di tale informazione errata, il fatto di avere effettuato un'ottima prima parte della prova di selezione potrebbe aver influito sulla strategia adottata dall'insorgente per prepararsi alla seconda parte della prova.
2.3. Dato quanto precede, occorre concludere che il ricorso sarebbe stato presumibilmente da accogliere. Lo Stato del Cantone Ticino corrisponderà pertanto al patrocinatore del ricorrente un'indennità per ripetibili per la sede federale (art. 68 cpv. 1 e 2 LTF). Non vengono per contro prelevate spese (<ref-law>). Infine, in queste condizioni, la domanda di assistenza giudiziaria è divenuta priva d'oggetto.

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è diventato privo d'oggetto e la causa 2C_295/2019 è stralciata dai ruoli.
2.
La domanda di assistenza giudiziaria è divenuta priva d'oggetto.
3.
Non vengono prelevate spese.
4.
Lo Stato del Cantone Ticino verserà al patrocinatore del ricorrente un'indennità di fr. 2'000.-- a titolo di ripetibili per la sede federale.
5.
Comunicazione al patrocinatore del ricorrente, alla Scuola universitaria professionale della Svizzera italiana (SUPSI) e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino.