Sachverhalt:
A.
A.a. B._ (geb. 1979) ist nigerianischer Staatsangehöriger. Er ersuchte im Oktober 2002 unter falscher Identität erfolglos um Asyl. Am 15. November 2005 erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung, nachdem er am 1. November 2005 eine Schweizer Bürgerin (geb. 1979) geheiratet hatte. Die Ehe wurde am 27. August 2007 geschieden. Das Migrationsamt Basel-Stadt lehnte es am 3. Dezember 2009 ab, die Bewilligung von B._ zu verlängern; das Amt hielt ihn an, das Land auf den Zeitpunkt seiner Entlassung aus dem Strafvollzug hin zu verlassen. Die entsprechende Verfügung erwuchs in Rechtskraft, ohne dass B._ in der Folge in seine Heimat zurückgekehrt wäre. Am 12. November 2010 erliess das Staatssekretariat für Migration (SEM) gegen ihn ein bis zum 11. November 2019 gültiges Einreiseverbot.
A.b. B._ ist in der Schweiz wiederholt straffällig geworden (vgl. den Sachverhalt des Urteils 2C_517/2010 vom 4. Oktober 2010). Vom 7. Juli 2008 bis zu seiner bedingten Entlassung am 6. November 2010 befand er sich gestützt auf eine vom Strafgericht Basel-Stadt am 7. Mai 2009 ausgesprochene Gesamtstrafe von 3 1⁄2 Jahren Freiheitsentzug wegen qualifizierter Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz im Strafvollzug. Die für den 11. November 2010 organisierte Ausreise nach Nigeria trat B._ nicht an; er tauchte unter und hielt sich anschliessend illegal teilweise in Frankreich (November 2010 bis Ende Oktober 2011) und vorübergehend kurzfristig in der Niederlande auf.
B.
B.a. Nach seiner Rückkehr in die Schweiz verletzte B._ sich bei der Flucht vor der Polizei am Knie. Die medizinischen Abklärungen ergaben, dass er an einem (Knie-) Tumor litt. Das Migrationsamt Basel-Stadt setzte den Wegweisungsvollzug in der Folge vorübergehend aus. Im Juni 2014 wurde die Behandlung medizinisch für abgeschlossen erklärt; allfällige Nachkontrollen könnten auch im Heimatstaat erfolgen. Am 13. September 2014 hielt das Migrationsamt B._ an, das Land nunmehr zu verlassen; es bezeichnete seine Anordnung als sofort vollstreckbar. Die hiergegen gerichteten kantonal- und bundesrechtlichen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg: Das Bundesgericht wies die von B._ gegen den sofortigen Vollzug seiner Wegweisung eingereichte subsidiäre Verfassungsbeschwerde am 28. April 2016 ab (Urteil 2D_74/2015).
B.b. Am 16. Juni 2014 heiratete B._ seine in der Schweiz niederlassungsberechtigte ghanaische Lebenspartnerin (geb. 1986), mit der er seit seiner Scheidung im Jahr 2007 eine Beziehung unterhielt. Aus dieser gingen zwei Kinder (geb. 2008 und 2015) hervor. Am 25. Juni 2014 ersuchte die Gattin von B._ das Migrationsamt Basel-Stadt darum, ihrem Ehemann eine Aufenthaltsbewilligung im Familiennachzug zu erteilen, was dieses wegen dessen Straffälligkeit und der Sozialhilfeabhängigkeit der Familie am 20. Oktober 2014 ablehnte. Am 12. September 2014 wurde B._ in Frankreich festgenommen und in die Schweiz verbracht, wo er vorübergehend in Ausschaffungshaft genommen wurde. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt bestätigte die Verfügung des Migrationsamts vom 20. Oktober 2014 am 10. September 2015. B._ wurde ab dem 31. Oktober 2014 im Hinblick auf das beim Appellationsgericht hängige Beschwerdeverfahren bezüglich des Gesuchs um Familiennachzug vom 25. Juni 2014 eine "Anwesenheitsbestätigung" ausgestellt, welche bescheinigte, dass sein Bewilligungsverfahren noch hängig war und er sich während dessen Dauer "vorläufig" in Basel aufhalten durfte. Gemäss eigenen Angaben will B._ nach der Entlassung aus dem Strafvollzug zumindest punktuell und hernach dauernd bei seiner Familie gelebt haben.
B.c. Mit Urteil vom 21. Juni 2017 wies das Appellationsgericht die vom Ehepaar B._/A._ eingereichte Beschwerde gegen die Verweigerung des Familiennachzugs ab. B._ habe abgesehen von seiner Gattin und den beiden Kindern keine vertieften Bindungen in der Schweiz. Mit Blick auf seine Vorgeschichte, namentlich die Verbindung zum Drogenhandel, sei zu befürchten, dass er seinen Lebensunterhalt auch künftig auf illegale Weise bestreiten werde. Insgesamt lasse seine Lebensführung in den vergangenen Jahren keine massgebende Verhaltensänderung erkennen, aufgrund der er das mit seiner Verurteilung begründete Fernhalteinteresse in den Hintergrund zu treten hätte. Das öffentliche (Sicherheits-) Interesse an einer Ausreise von B._ überwiege - im Hinblick auf seine nur geringe soziale und wirtschaftliche Integration in den hiesigen Verhältnissen - (zumindest derzeit noch) sein privates Interesse, im Land verbleiben zu können.
C.
A._ und B._ beantragen vor Bundesgericht, das Urteil des Appellationsgerichts vom 21. Juni 2017 vollumfänglich aufzuheben; B._ sei der Aufenthalt im Kanton Basel-Stadt bei seiner Gattin und den beiden gemeinsamen Kindern zu bewilligen; eventuell sei die Angelegenheit zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für den Fall des Unterliegens sei ihnen die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. Das Ehepaar B._/A._ macht geltend, die gegenüber dem Gatten und Vater der gemeinsamen Kinder ausgesprochene aufenthaltsbeendende Massnahme sei unverhältnismässig.
Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt hat darauf verzichtet, sich zur Beschwerde zu äussern. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Das Staatssekretariat für Migration geht mit der Vorinstanz davon aus, dass das öffentliche Interesse an der Fernhaltung von B._ immer noch höher zu gewichten sei als das private Interesse der Familie, mit diesem zusammen in der Schweiz leben zu können; es beantragt ebenfalls, die Beschwerde abzuweisen. Da B._ die Schweiz bis heute nicht definitiv verlassen habe, sei das Einreiseverbot aufgehoben worden; ob ein neues zu erlassen sei, werde nach dem bundesgerichtlichen Urteil entschieden.
Mit Verfügung vom 14. Juli 2017 hat der Abteilungspräsident der Eingabe antragsgemäss aufschiebende Wirkung beigelegt.

Erwägungen:
1.
Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Zusammenhang mit Bewilligungen ausgeschlossen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>). Ein solcher besteht im vorliegenden Fall gestützt auf Art. 43 Abs. 1 AuG (Familiennachzug von Personen mit Niederlassungsbewilligung) sowie Art. 8 EMRK und <ref-law> (Schutz des Familienlebens). Ob die (einzelnen) Bewilligungsvoraussetzungen gegeben sind, ist eine Frage der materiellen Beurteilung; für das Eintreten genügt, dass ein potentieller Anspruch auf Familiennachzug in vertretbarer Weise dargetan wird (vgl. <ref-ruling> S. 179). Auf die frist- (<ref-law>) und (grundsätzlich auch) formgerecht (Art. 42 und Art. 106 BGG) eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (vgl. Art. 82 ff. und Art. 86 lit. d BGG) der in ihrem Anspruch auf Schutz des Familienlebens betroffenen Beschwerdeführer (vgl. <ref-law>) ist einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 95 lit. a und Art. 106 Abs. 1 BGG). Immerhin prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.), grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Das Bundesgericht ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich potentiell stellenden Fragen zu beantworten, wenn diese in seinem Verfahren nicht mehr thematisiert werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem sowie interkantonalem Recht. Das Bundesgericht geht auf entsprechende Rügen nur ein, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287). Mit ungenügend motivierten Einwänden und bloss allgemein gehaltener, appellatorischer Kritik am angefochtenen Entscheid bzw. an der Sachverhaltsfeststellung oder der Beweiswürdigung setzt es sich nicht weiter auseinander.
2.2. Den Sachverhalt übernimmt das Bundesgericht grundsätzlich so, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>). Die Sachverhaltsfeststellung kann nur als unzutreffend kritisiert bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, falls sie in einem entscheidwesentlichen Punkt offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht, was von der beschwerdeführenden Person detailliert begründet aufzuzeigen ist. Obwohl nicht ausdrücklich im Gesetz erwähnt, beruht auch die unvollständige Sachverhaltsfeststellung auf einer Rechtsverletzung: Was rechtserheblich ist, bestimmt sich nach dem materiellen Recht; eine in Verkennung der Rechtserheblichkeit unvollständige Ermittlung der für die rechtliche Beurteilung massgeblichen Tatsachen verletzt direkt die anzuwendende materielle Norm (Art. 105 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4 S. 68; <ref-ruling> E. 4.3 S. 62).
2.3.
2.3.1. Das Bundesgericht stellt im Folgenden auf den Sachverhalt ab, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat: Zwar machen die Beschwerdeführer geltend, die Vorinstanz habe den Sachverhalt insofern unvollständig festgestellt, als sie zwei Schreiben der Mutter über die Beziehung des Vaters zu den Kindern und ein Gesuch des Beschwerdeführers, mit dem älteren Knaben in Lörrach den Geburtstag feiern zu können, nicht berücksichtigt habe. Die Beschwerdeführer legen indessen nicht weiter dar, inwiefern das Appellationsgericht den Sachverhalt diesbezüglich offensichtlich unvollständig festgestellt hätte. Dies ist auch nicht ersichtlich: Die Behörde muss sich nicht mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzen und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegen; es genügt, dass sie kurz jene Überlegungen nennt, von denen sie sich hat leiten lassen und auf die sie ihren Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 3.2 S. 270 mit Hinweisen).
2.3.2. Das Appellationsgericht hat hervorgehoben, dass entgegen der Mitwirkungspflicht der Beschwerdeführer keine objektiven Elemente beigebracht worden seien, welche die Behauptungen der Eltern über die Enge der affektiven Beziehungen des Beschwerdeführers zu den Kindern belegen würden. Entgegen der Kritik der Beschwerdeführer hat die Vorinstanz die Parteierklärungen nicht übersehen, sondern sie in antizipierter Beweiswürdigung im Gesamtkontext anders gewichtet als sie: In den Akten befänden sich keine Hinweise - wie Bestätigungen von Lehrpersonen, von anderen aussenstehenden Bezugspersonen der Kinder oder von sozialen Institutionen (medizinische bzw. [kinder-]psychologische Berichte) -, die darauf hinweisen würden, dass der Beschwerdeführer seine Kinder massgeblich mitbetreut oder sonstwie als Vater wesentlich am Leben der Kinder teilgenommen hätte (E. 7.2.3 des angefochtenen Entscheids). Die entsprechenden Ausführungen sind nicht offensichtlich unhaltbar und die antizipierte Beweiswürdigung nicht willkürlich.
3.
3.1. Der Anspruch auf Familiennachzug gemäss Art. 43 AuG zu einer niederlassungsberechtigten Person erlöscht, wenn ein Widerrufsgrund nach Art. 62 AuG (in der Fassung vom 16. Dezember 2005 [aAuG]) vorliegt. Dies ist der Fall, wenn die ausländische Person zu einer längerfristigen Freiheitsstrafe verurteilt wurde (lit. b) oder sie erheblich bzw. wiederholt gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung in der Schweiz oder im Ausland verstossen oder diese und die innere oder äussere Sicherheit gefährdet hat (lit. c). Die Bewilligung soll nur widerrufen oder nicht mehr verlängert werden, wenn die aufenthaltsbeendende Massnahme nach den gesamten Umständen verhältnismässig erscheint. Bei der entsprechenden Interessenabwägung sind insbesondere (1) die Schwere des Fehlverhaltens des Ausländers; (2) die Dauer seiner Anwesenheit in der Schweiz; (3) der seit der Tat verstrichene Zeitraum; (4) das Verhalten des Betroffenen während diesem; (5) die jeweilige Nationalität der beteiligten Personen; (6) Art und Natur der familiären Bindungen; (7) die Frage, ob der Ehepartner bei Eingehen der Beziehung über die Straftaten Bescheid wusste; (8) das Vorhandensein von Kindern bzw. (9) die der Familie drohenden Nachteile sowie (10) die Qualität der sozialen, kulturellen und familiären Beziehungen zum Gast- wie zum Heimatstaat zu berücksichtigen (vgl. das Urteil des EGMR Kissiwa Koffi gegen die Schweiz vom 15. November 2012 [Nr. 38005/07] § 63; <ref-ruling> E. 2.2 S. 20 f., 330 E. 2.3 S. 336 f.). Es sind immer die gesamten Umstände des Einzelfalls in die Beurteilung miteinzubeziehen und den Erfordernissen des öffentlichen Interesses gegenüberzustellen, die Einwanderung steuern sowie den Sicherheitsbedürfnissen und dem wirtschaftlichen Wohl des Landes Rechnung tragen zu können (Urteil 2C_273/2010 vom 6. Oktober 2010 E. 3.2 mit Hinweisen).
3.2. Die Interessenabwägung im Rahmen von Art. 96 AuG deckt sich mit jener nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK (vgl. das Urteil 2C_253/2015 vom 9. September 2015 E. 2.2). Der Anspruch auf Achtung des Privat- und Familienlebens gemäss Art. 8 Abs. 1 EMRK gilt nicht absolut, sondern kann eingeschränkt werden, falls dies gesetzlich vorgesehen ist, einem legitimen Zweck entspricht und zu dessen Realisierung in einer demokratischen Gesellschaft notwendig erscheint (Art. 8 Ziff. 2 EMRK). Die Konvention verlangt, dass die individuellen Interessen - auch der Kinder (EGMR-Urteil vom 8. November 2016 El Ghatet gegen die Schweiz [Nr. 56971/10] § 53) - an der Erteilung bzw. am Erhalt des Anwesenheitsrechts und die öffentlichen Interessen an dessen Verweigerung sorgfältig gegeneinander abgewogen werden (<ref-ruling> E. 5.1 S. 26 f.; <ref-ruling> E. 6.1 S. 47; <ref-ruling> E. 2.2 S. 336). Das Recht nach Art. 8 Ziff. 1 EMRK gilt - auch in seiner verfahrensrechtlichen Tragweite - als verletzt, wenn keine umfassende, faire Interessenabwägung erfolgt (EGMR-Urteil vom 8. November 2016 El Ghatet gegen Schweiz [Nr. 56971/10], §§ 42 und 47). Die Massnahme muss verhältnismässig sein, d.h. geeignet und erforderlich; sie darf zudem nicht gegen das Übermassverbot, d.h. das sachgerechte und zumutbare Verhältnis von Mittel und Zweck verstossen.
3.3.
3.3.1. Eine strafrechtliche Verurteilung verunmöglicht die Erteilung einer (neuen) Aufenthaltsbewilligung nach der bundesgerichtlichen Praxis grundsätzlich nicht ein für alle Mal. Soweit der Betroffene, gegen den eine Entfernungsmassnahme ergriffen wurde, weiterhin in den Kreis der nach Art. 42 ff. AuG nachzugsberechtigten Personen fällt und es seinen hier anwesenden nahen Angehörigen unzumutbar ist, ihm in die Heimat zu folgen und dort das Familienleben zu pflegen, ist eine Neubeurteilung angezeigt, falls der Betroffene sich bewährt und für eine angemessene Dauer in seiner Heimat klaglos verhalten hat, sodass eine Integration in die hiesigen Verhältnisse nunmehr absehbar erscheint und eine allfällige Rückfallgefahr vernachlässigt werden kann. Das öffentliche Interesse an der Gefahrenabwehr verliert an Bedeutung, soweit die Entfernungsmassnahme gegen den Fehlbaren ergriffen, durchgesetzt und für eine der Schwere der Tat angemessene Zeitdauer aufrechterhalten wurde (vgl. die Urteile 2C_736/2017 vom 28. November 2017 E. 3.3; 2C_1170/2012 vom 24. Mai 2013 E. 3.3; 2C_964/2010 vom 5. Dezember 2011 E. 3.3 und 2C_36/2009 vom 20. Oktober 2009 E. 3.2).
3.3.2. Wann die Neubeurteilung zu erfolgen hat, ist aufgrund der Umstände des Einzelfalls zu bestimmen (Urteil 2C_1170/2012 vom 24. Mai 2013 E. 3.5.3). Das Bundesgericht berücksichtigt dabei, dass die Regelhöchstdauer des Einreiseverbots nach Art. 67 Abs. 3 AuG fünf Jahre beträgt und diese nur bei Vorliegen einer ausgeprägten Gefahr ("menace caractérisée") für die öffentliche Sicherheit und Ordnung überschritten werden darf. Hat sich der Betroffene seit der Rechtskraft des Widerrufsentscheids und seiner Ausreise (vgl. hierzu das Urteil 2C_1224/2013 vom 12. Dezember 2014 E. 5.1.2; <ref-ruling> E. 5 S. 504) während fünf Jahren bewährt, ist es regelmässig angezeigt, den Anspruch auf Familiennachzug neu zu prüfen. Eine frühere Beurteilung ist möglich, soweit das Einreiseverbot von Beginn an unter fünf Jahren angesetzt wurde oder eine Änderung der Sachlage eingetreten ist, die derart ins Gewicht fällt, dass ein anderes Ergebnis im Bewilligungsverfahren ernstlich in Betracht gezogen werden kann. Demnach besteht ein Anspruch auf eine Neuprüfung eines Familiennachzugsgesuchs nach fünf Jahren; zuvor ist ein solcher zu bejahen, falls die tatsächlichen Umstände sich seit dem ersten Entscheid grundlegend verändert haben (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 181 f.; <ref-ruling> E. 5 S. 504; Urteile 2C_736/2017 vom 28. November 2017 E. 3.3; 2C_1170/2012 vom 24. Mai 2013 E. 3.4.2; 2C_487/2012 vom 2. April 2013 E. 4.6 und 2C_715/2011 vom 2. Mai 2012 E. 4.2).
4.
4.1. Vor diesem Hintergrund verletzt der angefochtene Entscheid kein Bundesrecht. Der Beschwerdeführer hat sich in der Schweiz wiederholt strafbar gemacht. Ins Gewicht fällt insbesondere seine Verurteilung vom 7. Mai 2009 wegen qualifizierter Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz, mehrfacher Geldwäscherei und Hinderung einer Amtshandlung zu einer Gesamtfreiheitsstrafe von 31 /2 Jahren und einer Geldstrafe von 14 Tagessätzen à Fr. 30.--. Er wurde insofern mit einer längerfristigen Freiheitsstrafe im Sinne von Art. 62 lit. b aAuG belegt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 32). Das Verschulden des Beschwerdeführers wog straf- wie ausländerrechtlich schwer: Aus reiner Geldgier gefährdete er im Rahmen eines international organisierten Drogenhandels zumindest abstrakt die Gesundheit einer Vielzahl von Personen, indem er auf einer relativ hohen Hierarchiestufe ein lukratives Kokaingeschäft (Import und Verkauf) betrieb; er soll hieraus einen Gewinn von über Fr. 100'000.-- erwirtschaftet haben. Ohne seine Anhaltung hätte er diesen Handel fortgesetzt; im anschliessenden Strafverfahren zeigte er sich weder kooperativ noch einsichtig. Weder die Beziehung zu seiner Partnerin und späteren Gattin noch jene zu seinem Sohn vermochten ihn von seiner Delinquenz abzuhalten.
4.2. Der Beschwerdeführer legte dabei eine nicht zu unterschätzende kriminelle Energie und Uneinsichtigkeit an den Tag; weder laufende Probezeiten noch eine bedingt ausgesprochene Vorstrafe bzw. eine bedingte Entlassung liessen ihn von weiteren Straftaten Abstand nehmen. Das Bundesgericht und der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte (EGMR) werten Drogendelikte aus rein finanziellen Motiven, wie sie hier zur Diskussion stehen, als schwere Straftaten (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 34; siehe auch <ref-law>). Der Beschwerdeführer wurde in den fünf Jahren zwischen 2004 und 2009 insgesamt siebenmal zum Teil wegen einschlägiger Delikte (Handel mit Kokain) verurteilt; dabei ging es jeweils auch um (Gewalt-) Delikte gegen die körperliche Integrität (mehrfache einfache Körperverletzung, Gewalt und Drohung gegen Beamte usw.). Gestützt auf diese Vorkommnisse wurde die Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers am 3. Dezember 2009 nicht mehr verlängert und er angehalten, das Land auf den Zeitpunkt seiner Entlassung aus dem Strafvollzug hin zu verlassen. Dies tat er indessen nicht; er tauchte vielmehr unter und hielt sich anschliessend illegal in Frankreich, der Niederlande und der Schweiz auf.
4.3. Wegen seiner gesundheitlichen Probleme wurde sein Wegweisungsvollzug vorerst zwar ausgesetzt, doch war für alle Beteiligten klar, dass der Beschwerdeführer nach Abschluss seiner Behandlung die Schweiz würde verlassen müssen. Er äusserte sich denn auch selber in diesem Sinn. Zwar liegen seine wesentlichen Straftaten rund zehn Jahre zurück, doch wurde er am 29. Dezember 2011 zu einer weiteren Freiheitsstrafe von 60 Tagen unbedingt wegen rechtswidriger Einreise und rechtswidrigen Aufenthalts verurteilt, was darauf hinweist, dass er selbst nach der Verurteilung vom 7. Mai 2009 und dem entsprechenden Strafvollzug unfähig war, sich an die hiesigen Regeln zu halten. Die vorliegende Ausgangslage kann nicht mit dem Urteil 2C_507/2017 vom 21. Dezember 2017 verglichen werden, wo die Straftat (Tötungsdelikt) 23 Jahre zurücklag oder dem Entscheid 2C_884/2016 vom 25. August 2017, wo seit der Tat 15 Jahre verstrichen waren (dort E. 3.3.1). Der Beschwerdeführer hat hochwertige Rechtsgüter (Gesundheit einer Vielzahl von Personen sowie Leib und Leben) in Gefahr gebracht und sich von den Folgen seines Tuns unbeeindruckt gezeigt. Eine gewisse Rückfallgefahr ist im Hinblick auf seine Hierarchiestufe im früheren Drogenhandel und seine derzeitige Stellenlosigkeit nicht auszuschliessen, nachdem er nicht darzutun vermag, dass und inwiefern er sich von der Drogenszene abgewandt hätte und keinerlei Beziehungen mehr zu den entsprechenden Kreisen unterhielte. Die Beweiswürdigung der Vorinstanz ist diesbezüglich nicht willkürlich und im Rahmen der Sachverhaltsfeststellung für das Bundesgericht verbindlich (<ref-law>).
4.4. Seine Partnerin und heutige Ehegattin musste ab 2007 davon ausgehen, dass sie ihr Familienleben bzw. ihr Konkubinat aufgrund des deliktischen Verhaltens ihres Freundes bzw. späteren Gattens allenfalls nicht in der Schweiz würde leben können. Sie wurde ihrerseits am 16. September 2014 wegen mehrfachen Betrugs zulasten der Sozialhilfe zu einer bedingten Geldstrafe von 75 Tagessätzen à Fr. 30.-- sowie einer Busse von Fr. 300.-- verurteilt. Weder durch die Beziehung zu ihr noch durch die erste Schwangerschaft und die Geburt des älteren Sohnes liess sich der Beschwerdeführer davon abhalten, massiv zu delinquieren und damit - zumindest vorübergehend - seinen Aufenthaltstitel aufs Spiel zu setzen. Der Beschwerdeführer zeigte auch wiederholt, dass er sich um die hiesige Rechtsordnung nicht kümmert: Weder kam er seiner Wegweisung nach, noch scheute er davor zurück, die Einreisesperre zu verletzen und sich illegal im Land aufzuhalten, obwohl er die Möglichkeit gehabt hätte, deren punktuelle Suspension zu beantragen, um seine Partnerin und das gemeinsame Kind besuchen und so den Kontakt bis zu einer Neubeurteilung seiner Bewilligungssituation aufrechterhalten zu können. Der künftige Aufenthalt des Beschwerdeführers in der Schweiz war bereits vor Aufnahme des ehelichen Lebens infrage gestellt (Einreiseverbot und Straffälligkeit), wessen sich seine Gattin bei der Heirat bewusst sein musste.
4.5. Mit den kantonalen Instanzen ist gestützt auf den verbindlich festgestellten Sachverhalt davon auszugehen, dass es bisher zu keiner massgeblichen, auf eigener, besserer Erkenntnis beruhenden Verhaltensänderung des Beschwerdeführers gekommen ist. Eine biographische Kehrtwende mit einem glaubwürdigen realistischen Zukunftsprojekt ist weder ersichtlich noch dargetan (vgl. VALERIO PRIULI, Die biographische Kehrtwende, in: dRSK, publ. am 22. Januar 2018). Die verschiedenen Anpassungen erfolgten in erster Linie unter dem Druck der ausländerrechtlichen Verfahren. Ausserhalb des Familienlebens bestehen keine besonderen Bindungen zur Schweiz; trotz des langen Aufenthalts des Ehepaars kann nicht gesagt werden, dass die Familie sich hier beruflich, kulturell oder sozial integriert hätte. Zwar behaupten die Beschwerdeführer dies, doch belegen sie die entsprechenden Bindungen nicht weiter. Gegen den Beschwerdeführer wurde eine Entfernungsmassnahme ergriffen, doch vereitelte er deren Vollzug; er hat sich insgesamt nicht derart bewährt, dass ihm bereits zum Zeitpunkt des vorinstanzlichen Entscheids, auf den abzustellen ist, wieder eine Aufenthaltsbewilligung im Rahmen von Art. 43 AuG hätte erteilt werden müssen. Die Rechtsprechung setzt grundsätzlich voraus, dass für die Prüfung eines neuen Nachzugsgesuchs die Entfernungsmassnahme nicht nur ergriffen, sondern auch durchgesetzt worden sein muss, weshalb in der Regel zur Berechnung des Aufenthalts auf das Ausreisedatum abgestellt wird; nur wenn eine Bewährung grundsätzlich ausserhalb der Schweiz erfolgreich verlief, besteht die Möglichkeit, bei einem Bewilligungsanspruch trotz der früheren Straffälligkeit wieder einen Aufenthaltstitel zu erlangen.
4.6. Der Beschwerdeführer wurde in der Schweiz im Hinblick auf seine gesundheitlichen Probleme vorübergehend geduldet, hieraus kann er rückwirkend indessen nichts zu seinen Gunsten ableiten, auch wenn er sich inzwischen verheiratet und mit seiner Gattin ein zweites Kind gezeugt hat. Zwar ist es seinen Angehörigen kaum zumutbar, mit ihm in sein Heimatland zurückzukehren, nachdem die Kinder in der Schweiz geboren sind, seine Gattin sich seit über 22 Jahren hier aufhält und sie keinerlei Bezug zu Land oder Leuten in Nigeria hat. Allenfalls könnte das Familienleben jedoch in Ghana gepflegt werden, doch ist eine Ausreise dorthin dem Gatten und den Kindern wohl ebenfalls nur schwer zumutbar, indessen nicht gänzlich ausgeschlossen, befinden sich die Kinder doch noch in einem anpassungsfähigen Alter. Am nächsten liegt zwar, das Familienleben künftig weiterhin in der Schweiz pflegen zu können, doch hat der Beschwerdeführer hierzu die in der Rechtsprechung entwickelten Voraussetzungen für eine Neuerteilung der Bewilligung zu erfüllen, d.h. sich vorerst zu bewähren. Aufgrund der spezifischen Situation (Duldung durch die Basler Behörden) wird ihm dabei ein allfälliges Wohlverhalten in der Schweiz zumindest teilweise anzurechnen sein. Auf den Vollzug der Wegweisung und eine Bewährung im Ausland oder im Heimatstaat kann indessen nicht vollständig verzichtet werden, würde doch sonst das renitente Verhalten des Beschwerdeführers gegenüber sich korrekt verhaltenden ausländischen Personen in der gleichen Situation belohnt, wozu keine Veranlassung besteht.
4.7. Ob und wie intensiv das affektive Verhältnis des Beschwerdeführers zu seinen Söhnen tatsächlich ist, kann dahingestellt bleiben. Während des Strafvollzugs war dieses auf jeden Fall gelockert; nach dem Untertauchen des Beschwerdeführers konnte es im Rahmen von illegalen Aufenthalten nur punktuell gelebt werden. Erst seit der Duldung im Hinblick auf seine gesundheitlichen Probleme war es dem Beschwerdeführer möglich, den Kontakt zu den Kindern allenfalls etwas enger und konsequenter zu gestalten. Finanziell vermochte er indessen nicht zu ihrem Unterhalt beizutragen. Das Sozialhilfesaldo seiner Frau betrug am 6. Juli 2015 Fr. 256'646.75; im Übrigen ist sie verschuldet (22 Betreibungen über Fr. 20'619.30 und 32 offene Verlustscheine über Fr. 33'750.90). Sie wurde in diesem Zusammenhang bereits verwarnt. Einer alleinerziehenden Mutter ist praxisgemäss grundsätzlich etwa ab dem 3. Altersjahr des Kindes zumindest eine teilweise Erwerbstätigkeit zumutbar (Urteile 2C_320/2013 vom 11. Dezember 2013 E. 4.3.3 und 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 5.4 mit Hinweisen). Trotz des Umstands, dass ihr heutiger Ehemann sich während seiner Duldung um die Kinder hätte kümmern können, unterliess die Beschwerdeführerin es, einer Beschäftigung nachzugehen. Der Beschwerdeführer gesteht selber zu, über keine Arbeitsstelle zu verfügen, sodass zweifelhaft erscheint, ob sich die Familie, bei dessen Verbleib in der Schweiz, in absehbarer Zeit von der Sozialhilfe würde lösen können. Unter diesen Umständen erübrigt es sich, den Hintergrund des von ihm ins Recht gelegten Vertrags mit der C._ GmbH weiter zu prüfen. Soweit der Beschwerdeführer sich im Hinblick auf die Beziehung zu seinen Kindern auf den Entscheid des EGMR vom 16. April 2013 i.S. Udeh gegen die Schweiz (Nr. 12020/09) beruft, legt er nicht dar, inwiefern und weshalb seine Situation mit der in diesem Urteil behandelten vergleichbar wäre. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Tragweite dieses Entscheids insofern relativiert, als sich der EGMR dabei überwiegend auf Tatsachen gestützt hat, welche sich erst nach dem kantonalen Urteil und dem bundesgerichtlichen Entscheid realisiert haben (<ref-ruling> E. 2.4 S. 327 ff.). Den Interessen der Kinder, die regelmässig vom Vater getrennt gewesen sind (Strafvollzug, Aufenthalt im Ausland usw.), wird insofern Rechnung getragen, als bei einer ausgewiesenen Deliktsfreiheit ein weiteres Gesuch bald neu wird geprüft werden können.
5.
5.1. Das angefochtene Urteil verletzt weder Art. 96 AuG noch Art. 8 EMRK. Der Beschwerdeführer kann nach seiner Ausreise die Beziehung zu seiner Frau und seinen Kindern vorübergehend besuchsweise und über die traditionellen und neuen Kommunikationsmittel pflegen, sollte seine Familie in der Schweiz verbleiben. Kann er sich weiter bewähren, wird ihm in absehbarer Zeit ein neuer Aufenthaltstitel im Rahmen von Art. 43 AuG erteilt werden können. Für alles Weitere wird ergänzend auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen.
5.2. Dem Gesuch der bedürftigen Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist zu entsprechen (<ref-law>); ihre Eingabe war nicht zum Vornherein aussichtslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen:
2.1. Es werden keine Kosten erhoben.
2.2. Den Beschwerdeführern wird Rechtsanwalt Nicolas Roulet, Basel, als amtlicher Rechtsbeistand beigegeben; es wird diesem aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'500.-- ausgerichtet.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteilligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Mai 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar