Faits :
A.
A._, née en 1968, a travaillé en dernier lieu comme opératrice technique au sein d'une société active dans la télécommunication jusqu'au 30 avril 2003. Dans le cadre d'un plan social, son employeur a pris en charge les frais d'une formation de créatrice de bijoux. Le 30 juin 2005, elle a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité, que l'Office AI Canton de Berne (ci-après: l'office AI) a rejeté par décision du 6 juin 2007. Saisi d'un recours de l'assurée, le Tribunal administratif du canton de Berne a annulé cette décision et renvoyé la cause à l'office AI pour une instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision (jugement du 2 juillet 2008).
Pour compléter l'instruction, l'office AI a notamment confié la réalisation d'une expertise interdisciplinaire au Centre d'expertises médicales de Genève (rapport du 7 juin 2010) et organisé un stage de réentraînement à l'effort du 2 avril au 24 juin 2012 (rapport du 10 juillet 2012). Il a ensuite mis en oeuvre une expertise pluridisciplinaire via la plateforme informatique B._. Dans un rapport du 25 octobre 2016, incluant un consilium neurologique et neuropsychologique, les docteurs C._, spécialiste en médecine interne générale, et D._, spécialiste en médecine interne générale, de la Policlinique Médicale Universitaire de Lausanne (PMU), ainsi que le docteur E._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, ont conclu à l'absence d'atteinte à la santé ayant des répercussions durables sur la capacité de travail de l'assurée. Ils ont indiqué que l'assurée avait cependant été opérée à l'épaule le 6 mai 2016 et que sa situation ne serait pas stabilisée avant un délai de six à neuf mois après l'intervention.
L'office AI a dès lors requis l'avis des docteurs F._, chirurgien traitant (du 10 novembre 2016), et G._, psychiatre traitant (du 25 novembre 2016), puis soumis l'assurée à une nouvelle expertise bidisciplinaire. Dans un rapport du 3 juillet 2017, le docteur H._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, a diagnostiqué - avec répercussion sur la capacité de travail - une dysthymie. Parmi les diagnostics sans incidence sur la capacité de travail, il a fait état notamment de troubles de l'attention avec hyperactivité depuis l'enfance. Dans un premier rapport daté du 3 juillet 2017, le docteur I._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, a indiqué qu'il n'était pas en mesure de se prononcer car il ne disposait pas de l'ensemble du dossier d'imageries. Par l'intermédiaire de l'office AI, l'assurée a remis les documents manquants au docteur I._ le 25 janvier 2018. Dans un rapport rendu le 9 février 2018, le docteur I._ a diagnostiqué - avec répercussion sur la capacité de travail - notamment un status post lyse isthmique bilatérale de L5 sans complication neurologique ni spondylolisthésis le 4 juillet 2013. Dans leurs conclusions communes, signées les 13 et 14 février 2018, les docteurs I._ et H._ ont retenu que l'assurée disposait d'une capacité de travail entière, avec une perte de rendement de 30 %, dans son activité habituelle et d'une capacité de travail de 100 % dans une activité adaptée (notamment sans stress accru et sans une hiérarchie complexe). Par décision du 7 août 2018, l'office AI a rejeté la demande de prestations.
B.
A._ a déféré cette décision au Tribunal administratif du canton de Berne, Cour des affaires de langue française, en concluant à l'octroi d'une rente entière de l'assurance-invalidité à partir du 1er juillet 2006. Le Tribunal administratif a rejeté le recours par jugement du 23 avril 2020.
C.
A._ forme un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation. Elle conclut à l'octroi d'une rente entière de l'assurance-invalidité dès le 1er juin 2004. Subsidiairement, elle demande à ce qu'une expertise psychiatrique chez un spécialiste du trouble du déficit de l'attention avec hyperactivité (TDAH) soit ordonnée pour définir si le diagnostic du TDAH adultes, respectivement de trouble hyperkinétique est correctement posé par le médecin psychiatre traitant et le cas échéant de préciser s'il en résulte une incapacité de travail.
L'office AI conclut au rejet du recours, dans la mesure où il est recevable, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. L'assurée s'est déterminée en date du 1er octobre 2020.

Considérant en droit :
1.
En vertu de l'<ref-law>, toute conclusion nouvelle est irrecevable. Il est ainsi exclu de demander davantage ou autre chose que ce qui figure dans les dernières conclusions prises devant l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.1 et les références). En instance cantonale, la recourante a demandé l'octroi d'une rente entière de l'assurance-invalidité dès le 1 er juillet 2006. Devant le Tribunal fédéral, elle réclame pour la première fois une rente entière de l'assurance-invalidité dès le 1 er juin 2004. Il s'ensuit que les conclusions portant sur l'octroi d'une rente entière du 1 er juin 2004 au 30 juin 2006 sont irrecevables.
2.
Le recours en matière de droit public peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (<ref-law>), que le Tribunal fédéral applique d'office (<ref-law>), n'étant limité ni par les arguments de la partie recourante, ni par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>).
3.
Le litige porte sur le droit de la recourante à une rente de l'assurance-invalidité à partir du 1 er juillet 2006. A cet égard, le jugement entrepris expose de manière complète les règles légales et la jurisprudence applicables, notamment celles relatives à l'évaluation du caractère invalidant des affections psychiques (<ref-ruling>; <ref-ruling>) et à la valeur probante des rapports médicaux (<ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 3). Il suffit d'y renvoyer.
4.
4.1. Comme en instance cantonale, la recourante soulève tout d'abord le grief de partialité à l'égard du docteur I._. Elle fonde son argumentation sur trois motifs distincts: une dépendance économique de l'expert à l'égard des mandats octroyés par l'assurance-invalidité, éventuellement très importante, ne pouvait être exclue; le premier rapport de 56 pages du docteur I._ avait été déposé le 3 juillet 2017, soit le jour même de l'examen clinique, de sorte qu'il avait nécessairement été rédigé avant cet examen; et le docteur I._ lui avait reproché à plusieurs reprises, de manière selon elle absolument infondée, de ne pas lui avoir fourni une documentation médicale complète.
4.2. Selon la jurisprudence, les règles sur l'impartialité des membres d'un tribunal valent en principe pour les experts (<ref-ruling> consid. 7.1). En conséquence, un expert passe pour prévenu lorsqu'il existe des circonstances propres à faire naître un doute sur son impartialité. La récusation d'un expert n'est pas limitée aux cas dans lesquels une prévention effective est établie, car une disposition interne de l'expert ne peut guère être prouvée; il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale. Seules des circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération (<ref-ruling> consid. 2.1.2 et les références); les impressions individuelles d'une des parties au procès ne sont pas décisives (<ref-ruling> consid. 2b; <ref-ruling> consid. 3a).
4.3. Le premier motif invoqué par la recourante à l'encontre de l'expert est mal fondé. Sous l'angle du lien de dépendance économique dont elle se prévaut, il est de jurisprudence constante que le fait qu'un expert, médecin indépendant, ou une institution d'expertises sont régulièrement mandatés par un organe de l'assurance sociale, le nombre d'expertises ou de rapports confiés à l'expert, ainsi que l'étendue des honoraires en résultant ne constituent pas à eux seuls des motifs suffisants pour conclure au manque d'objectivité et à la partialité de l'expert (<ref-ruling> consid. 1.3.3; arrêt 9C_635/2018 du 5 décembre 2018 consid. 4). Aussi, le nombre de mandats d'expertise confiés par l'office AI intimé au docteur I._ n'est pas de nature à justifier, en tant que tel, la récusation de l'expert. La juridiction cantonale a donc renoncé sans arbitraire à instruire ce point.
4.4. En ce qui concerne le deuxième motif de partialité, il est également mal fondé. Comme l'a relevé à juste titre la juridiction cantonale, il ne saurait être reproché aux médecins de préparer le travail d'expertise en rédigeant certaines parties factuelles du rapport, tel que le résumé des différents avis médicaux versés au dossier de l'assurance-invalidité, avant de procéder concrètement à l'examen clinique. Dans le premier rapport daté du 3 juillet 2017, le docteur I._ a de plus renoncé à répondre à l'essentiel des questions posées par les parties, au motif qu'il ne disposait pas de l'ensemble du dossier d'imageries. On ne saurait dès lors considérer que l'expert avait une idée préconçue des conclusions de l'expertise alors qu'il a précisément pris aucune conclusion sur les diagnostics et leur influence sur la capacité de travail.
4.5. Selon les propres indications de la recourante, elle s'est enfin présentée à l'examen clinique du 3 juillet 2017 avec toutes "les imageries et les documents médicaux en sa possession". Comme ces documents n'étaient pas complets selon le docteur I._, l'expert a requis des pièces complémentaires. L'échange de courriers qui s'en est suivi entre le médecin et l'office AI sur la nature des pièces manquantes ne comprend aucun indice selon lequel l'expert s'était "fâché à plusieures reprises contre l'assurée". Le grief que la recourante entend en tirer sous l'angle de l'impartialité ne résiste par conséquent pas à l'examen.
5.
Sur le fond, la recourante soutient que l'expertise bidisciplinaire des docteurs H._ et I._, suivie par la juridiction cantonale, est lacunaire, voire contradictoire. Les deux experts n'auraient tout d'abord pas tenu compte du résultat de son stage de réentraînement à l'effort. Etant donné qu'il intervenait dans le cadre d'une mesure de réinsertion préparant à la réadaptation professionnelle au sens de l'<ref-law>, elle fait valoir que les conclusions de ce stage sur son impossibilité à se réintégrer sur le marché libre du travail liaient également les médecins. La recourante relève que le médecin du SMR aurait ensuite écarté l'expertise des médecins de la PMU du 25 octobre 2016. Or, dans l'expertise psychiatrique du 3 juillet 2017, le docteur H._ ne discuterait pas le diagnostic de TDAH de manière approfondie. A l'inverse des recommandations du médecin du SMR, le psychiatre n'aurait de plus pas requis la réalisation d'un examen neuropsychologique. La recourante reproche encore aux docteurs H._ et I._ d'avoir rédigé chacun leur rapport d'expertise sans tenir compte des résultats cliniques et de l'appréciation de l'autre. Les conclusions communes respectivement des 13 et 14 février 2018 ne mentionnant pas quand le consilium a eu lieu, il manquerait une "vision globale".
6.
6.1. Les constatations réalisées lors d'un stage de réentraînement à l'effort ne lient tout d'abord pas les experts. Les données médicales permettent en effet généralement une appréciation plus objective du cas et l'emportent, en principe, sur les constatations d'ordre médical qui peuvent être faites à l'occasion d'un stage d'observation professionnelle, qui sont susceptibles d'être influencées par des éléments subjectifs liés au comportement de la personne assurée pendant le stage (arrêt 9C_65/2019 du 26 juillet 2019 consid. 5 et la référence). La recourante ne cherche par ailleurs nullement à réfuter les constatations circonstanciées des premiers juges, selon lesquelles elle avait fait état d'un intérêt somme toute limité lors de son stage de réentraînement à l'effort en 2012 et que d'autres problèmes étrangers à l'invalidité avaient également joué un rôle dans ce cadre. Il n'y a dès lors pas lieu de retenir qu'une intégration de la recourante sur le marché du travail serait impossible en raison des conclusions du rapport de stage.
6.2. On cherche ensuite en vain dans le recours des éléments précis et concrets qui établiraient que les conclusions médicales des médecins traitants, notamment du docteur G._, seraient objectivement mieux fondées que celles des experts suivies par les premiers juges ou justifieraient, à tout le moins, la mise en oeuvre d'une mesure d'instruction complémentaire. A l'inverse de ce que soutient la recourante, le médecin du SMR n'a en outre pas écarté les conclusions des médecins de la PMU du 25 octobre 2016, mais celles de la psychiatre du Centre d'expertises médicales de Genève du 7 juin 2010. En fondant son argumentation sur cette prémisse, la recourante n'expose nullement en quoi les examens pratiqués à la PMU, en particulier les consiliums de neurologie et de neuropsychologie du 7 juillet 2016 - selon lesquels aucune incapacité de travail ne pouvait être retenue malgré un certain ralentissement dans les épreuves exercées sous contrainte temporelle -, auraient dû être répétés par les docteurs H._ et I._. Qui plus est, le docteur H._ a indiqué expressément qu'il n'avait pas objectivé des limitations fonctionnelles significatives en lien avec un trouble du déficit de l'attention avec hyperactivité, en se référant au précédent examen neuropsychologique. On ne voit dès lors pas ce qu'un nouvel examen neuropsychologique, moins d'une année après celui mené à la PMU, aurait apporté de plus aux conclusions de l'expertise bidisciplinaire.
6.3. C'est également en vain que la recourante se plaint du fait qu'un médecin spécialisé en trouble du déficit de l'attention avec hyperactivité n'a pas participé aux expertises. Dans sa prise de position du 26 mai 2016, la doctoresse J._, médecin auprès du SMR, a rappelé de manière exacte que tous les psychiatres doivent avoir des connaissances de base dans l'évaluation du trouble du déficit de l'attention avec hyperactivité. Or rien n'indique, et la recourante ne l'établit nullement, que l'expert psychiatre ne disposait pas de connaissances suffisantes. A l'inverse de ce que la recourante prétend, le docteur H._ a de plus évalué le diagnostic de TDAH en tenant compte des avis du psychiatre traitant et conclu avec suffisamment de précision à une absence de limitations fonctionnelles. Pour le surplus, le fait que la prise de position commune des docteurs I._ et H._ a été rendue en deux exemplaires comportant la date à laquelle chacun des médecins a signé le document (respectivement les 13 et 14 février 2018) ne change rien ni à l'existence d'un consilium de synthèse ni à la valeur probante de leurs conclusions.
7.
Mal fondé, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Les frais de la procédure sont mis à la charge de la recourante (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif du canton de Berne, Cour des affaires de langue française, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 22 avril 2021
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Bleicker