Sachverhalt:
A.
Der 1968 geborene A._ war in den Jahren 2003 und 2004 als Anlagenoperateur im Kernkraftwerk B._ und im Jahr 2010 als Sachverständiger für den Schweizerischen Verein für technische Inspektionen (SVTI) im Kernkraftwerk C._ tätig. Nachdem bei ihm ein Harnblasen- und ein Prostatakarzinom diagnostiziert worden waren, beantragte er bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (Suva) am 3. und 27. Juni 2016 Leistungen aufgrund einer Berufskrankheit. Die Suva verneinte ihre Leistungspflicht, was das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 30. August 2018 bestätigte. Nachdem das Bundesgericht die dagegen erhobene Beschwerde mit Urteil 8C_695/2018 vom 18. März 2019 teilweise gutgeheissen hatte und es auf ein dagegen gerichtetes Revisionsgesuch des A._ nicht eingetreten war (Urteil 8F_3/2020 vom 6. Mai 2020), holte das kantonale Gericht ein Gerichtsgutachten ein. Gestützt auf die Expertise des Prof. Dr. D._ vom 20. März 2020 wies es die Beschwerde des A._ erneut ab, was das Bundesgericht mit Urteil 8C_570/2020 vom 2. November 2020 bestätigte.
B.
A._ lässt mit Eingabe vom 5. Januar 2021 (Postaufgabe) um Revision des Urteils des Bundesgerichts vom 2. November 2020 ersuchen. Gleichzeitig stellt er ein Ausstandsbegehren gegen die am Urteil 8C_570/2020 vom 2. November 2020 beteiligten Personen.
Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Zu prüfen ist zunächst der Ausstandsantrag.
1.1. Gemäss <ref-law> treten Gerichtspersonen in den Ausstand, wenn sie in der Sache ein persönliches Interesse haben (lit. a), in einer anderen Stellung in der gleichen Sache tätig waren (lit. b), mit einer Partei, ihrem Vertreter oder einer Person, die in der gleichen Sache als Mitglied der Vorinstanz tätig war, durch Heirat, eingetragene Partnerschaft oder dauernde Lebensgemeinschaft liiert, verwandt oder verschwägert sind (lit. c und d) sind, oder wenn sie aus anderen Gründen, insbesondere wegen besonderer Freundschaft oder persönlicher Feindschaft mit einer Partei oder ihrem Vertreter beziehungsweise ihrer Vertreterin, befangen sein könnten (lit. e). Ausstandsbegehren, die allein mit der Tatsache begründet werden, dass Gerichtsmitglieder in früheren, für die gesuchstellende Partei negativ ausgefallenen Verfahren mitgewirkt haben, sind gemäss <ref-law> unzulässig. Sie können in Anwesenheit der davon betroffenen Gerichtsperson mit einem Nichteintretensentscheid erledigt werden, ohne dass im Verfahren nach <ref-law> vorgegangen werden müsste (<ref-law> in Verbindung mit Art. 36 Abs. 1 Satz 2 und Art. 42 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 4.2.2.2.2 S. 466; Urteile 8C_392/2018 vom 30. Juli 2018 sowie 2F_12/2008 vom 4. Dezember 2008; je mit E. 1.2 mit Hinweisen).
1.2. Der Gesuchsteller begründet sein Ausstandsbegehren damit, dass im Urteil 8C_570/2020 vom 2. November 2020 falsche Feststellungen getroffen worden seien und in willkürlicher Weise auf ein unvollständiges Gerichtsgutachten abgestellt worden sei. Zudem sei das Bundesgericht hinsichtlich des Schreibens des Bundesamtes für Strahlenschutz vom 25. August 2020 zu Unrecht von einem unzulässigen Novum ausgegangen. All diese Umstände würden den Anschein der Befangenheit der Gerichtspersonen erwecken. Die Begründung erschöpft sich somit darin, dass die Gerichtsmitglieder in einem früheren, für den Gesuchsteller negativ ausgefallenen Verfahren mitgewirkt haben. Das gilt gleichermassen für die in Zusammenhang mit der Beweiswürdigung geübte Kritik. Damit ruft er keine zulässigen Ausstandsgründe an. Auf sein Begehren ist unter Mitwirkung der in den Ausstand gewünschten Personen nicht einzutreten (vgl. Urteil 8F_1/2020 vom 6. Mai 2020 E. 2.2 und E. 2.3).
2.
2.1. Urteile des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (<ref-law>). Eine nochmalige Überprüfung der einem bundesgerichtlichen Urteil zugrunde liegenden Streitsache ist grundsätzlich ausgeschlossen. Das Gericht kann auf seine Urteile nur zurückkommen, wenn einer der in den <ref-law> abschliessend aufgeführten Revisionsgründe vorliegt. Das Gesuch muss einen solchen anrufen oder zumindest Tatsachen nennen, die von einem gesetzlichen Revisionsgrund erfasst sind. Ob im konkreten Fall ein Grund zur Revision vorliegt, ist nicht eine Frage des Eintretens, sondern der materiellen Beurteilung. Allerdings gelten auch für die Revision die in Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG genannten Anforderungen. Die Begehren sind demnach zu begründen, d.h., es ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern einer der in <ref-law> genannten Revisionsgründe bzw. eine entsprechende Rechtsverletzung vorliegen soll (u.a. Urteile 5F_18/2020 vom 16. Juni 2020 E. 2 und 9F_3/2020 vom 11. März 2020 E. 1.1, je mit Hinweisen).
2.2. Anzumerken ist, dass die Revision als ausserordentliches Rechtsmittel nicht dazu dient, einen Entscheid, den eine Partei für unrichtig hält, umfassend neu beurteilen zu lassen und eine Wiedererwägung des strittigen bundesgerichtlichen Entscheids zu verlangen (Urteil 8F_8/2020 vom 7. Juli 2020 E. 1 mit Hinweis). Sie soll vielmehr die Möglichkeit bieten, Mängel zu beheben, die so schwer wiegen, dass sie unter rechtsstaatlichen Gesichtspunkten nicht hinzunehmen sind. Welche Mängel als derart schwerwiegend zu betrachten sind, hat der Gesetzgeber in den Art. 121-123 BGG abschliessend umschrieben (Urteile 9F_8/2017 vom 18. August 2017 E. 1.2 und 8F_6/2016 vom 7. April 2016 E. 2.1).
3.
3.1. Der Gesuchsteller beruft sich zur Begründung seines Revisionsbegehrens auf Art. 121 lit. c und d BGG. Soweit die angerufenen Revisionsgründe überhaupt sachbezogen begründet werden, erweisen sich die Vorbringen als unzutreffend, wie sich aus dem Folgenden ergibt.
3.2. Die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts kann verlangt werden, wenn einzelne Anträge unbeurteilt geblieben sind (<ref-law>). Anträge im Beschwerdeverfahren sind Begehren, mit denen die Aufhebung oder Änderung des Rechtsverhältnisses, wie es die (jeweilige) Vorinstanz festgelegt hat, angestrebt wird. Rügen dienen der Begründung der Anträge; sie sind Teil der Begründung und stellen keine Anträge dar. Der Gesuchsteller zeigt nicht auf, welche seiner im Verfahren 8C_570/2020 gestellten Anträge durch das Bundesgericht unbeurteilt geblieben sein sollen. Darauf ist nicht weiter einzugehen.
3.3. Gemäss <ref-law> kann die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts verlangt werden, wenn das Gericht in den Akten liegende Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat.
3.3.1. Im Urteil 8C_570/2020 vom 2. November 2020 hatte das Bundesgericht aufgrund der in der Beschwerdeschrift vom 14. September 2020 vorgebrachten Rügen zu prüfen, ob die Vorinstanz bei der Verneinung einer Berufskrankheit und damit eines Leistungsanspruchs des Gesuchstellers gegenüber der Suva Bundesrecht verletzte. Es kam zum Schluss, dass die Vorinstanz bundesrechtskonform vorgegangen sei, indem sie auf das Gerichtsgutachten des Prof. Dr. D._ abgestellt und gestützt darauf das Vorliegen einer Berufskrankheit im Sinne von <ref-law> verneint habe (E. 7). Auch mit der antizipierten Beweiswürdigung habe die Vorinstanz kein Bundesrecht verletzt (vgl. E. 5.2). Soweit der Gesuchsteller im Rahmen seines Revisionsgesuchs erneut den Beweiswert des Gerichtsgutachtens in Abrede stellt sowie eine Verletzung der Abklärungspflicht durch die Suva und das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich rügt, verlangt er damit in der Sache eine Wiedererwägung des Urteils des Bundesgerichts vom 2. November 2020, was jedoch von Gesetzes wegen unzulässig ist. Er übersieht, dass die Revision - wie dargelegt - nicht dazu dient, angebliche Rechtsfehler zu korrigieren (vgl. E. 2.2 hiervor).
3.3.2. Der Gesuchsteller bringt weiter vor, entgegen der Feststellung im zu revidierenden Urteil des Bundesgerichts habe das kantonale Gericht das Institut für Strahlenschutz des Zentrums E._ nicht mit der Erstellung eines Gerichtgutachtens betraut. Es habe lediglich eine Anfrage an das Institut gerichtet. Inwiefern diese Tatsache erheblich sein soll, erschliesst sich nicht, zumal der Gesuchsteller gegen den vom kantonalen Gericht in der Folge vorgeschlagenen Gutachter keine Einwände erhoben hatte, wie er in seiner Beschwerde im Verfahren 8C_570/2020 selber einräumte.
3.3.3. Bei seiner Entscheidfindung erachtete das Bundesgericht das vom damaligen Beschwerdeführer erstmals letztinstanzlich aufgelegte Schreiben des Bundesamtes für Strahlenschutz (D) vom 25. August 2020 als nicht beachtlich, da es sich dabei - da nach dem angefochtenen Entscheid vom 26. Juni 2020 datierend - um ein echtes Novum handelte (vgl. Urteil 8C_570/2020 vom 2. November 2020 E. 6.2). Dass das Gericht aus Versehen in den Akten liegende erhebliche Tatsachen nicht berücksichtigt hätte (vgl. <ref-law>), kann demnach nicht gesagt werden. Eine vom Gesuchsteller als falsch empfundene rechtliche Würdigung des Bundesgerichts berechtigt nicht zu einer Revision. Im Übrigen ist dem Bundesgericht die Kritik des Gesuchstellers an dem vom Gerichtsgutachter angewandten Berechnungstool (ProZES) nicht entgangen. Es wies denn auch darauf hin, dass ein weiteres Berechnungsverfahren ebenfalls eine Verursachungswahrscheinlichkeit von deutlich unter 50 % ergeben habe.
3.3.4. Hinsichtlich der Wahrscheinlichkeit des simultanen Auftretens eines Harnblasen- und eines Prostatakarzinoms berücksichtigte das Bundesgericht die in der Beschwerde des Gesuchstellers angestellten Berechnungen. Es kam aber zum Schluss, dass diese die Einschätzung des Gerichtsgutachters, der sich auf Studien zu Fällen mit einer radikalen Zystektomie stützte, nicht zu entkräften vermochten (vgl. Urteil 8C_570/2020 vom 2. November 2020 E. 6.3). Inwiefern der Revisionstatbestand von <ref-law> gegeben sein soll, ist nicht erkennbar.
3.3.5. Schliesslich deutet der Gesuchsteller mehrfach ein strafrechtlich relevantes Verhalten des Gerichtsgutachters an. Dafür bestehen indessen keine Anhaltspunkte, sodass auch in dieser Hinsicht ein Revisionsgrund zu verneinen ist (vgl. <ref-law>).
4.
Zusammenfassend fällt eine Revision des Urteils 8C_570/2020 vom 2. November 2020 nicht in Betracht. Das Revisionsgesuch muss somit abgewiesen werden. Auf den beantragten Beizug der vorinstanzlichen Akten kann verzichtet werden.
5.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Gesuchsteller auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Ausstandsbegehren wird nicht eingetreten.
2.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. Februar 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Wüest