Faits :
A.
C._ (ci-après: la constructrice) est propriétaire de la parcelle n° 113 de la commune de Saint-Prex d'une surface de 352 m2 en place-jardin, actuellement libre de toute construction. De forme plus ou moins carrée, cette parcelle est bordée, sur son côté nord, par la rue Forel. Des côtés est et ouest, elle est entourée de parcelles comportant des bâtiments érigés en limite de propriété; il s'agit notamment, du côté ouest, des parcelles n os 787 et 788, propriétés respectivement de A._ et de B._. Du côté sud, elle est bordée d'un mur ancien et jouxte les parcelles n os 788 et 114 qui s'étendent jusqu'aux berges du Léman.
Ces différentes parcelles sont situées dans le périmètre du plan partiel d'affectation "vieille ville" (ci-après: PPA) de Saint-Prex qui, considéré en tant que petite ville/bourg, est inscrit à l'inventaire fédéral des sites construits d'importance nationale à protéger en Suisse (ci-après: ISOS). Le PPA prévoit, pour la parcelle n° 113, un périmètre d'implantation pour nouvelles constructions, la possibilité d'ériger un bâtiment comprenant un rez-de-chaussée, un étage et des combles, ainsi que la désignation de l'axe de faîte. Ces parcelles se trouvent, en outre, en secteur de protection des eaux Au.
B.
Après avoir développé plusieurs avant-projets de construction sur la parcelle n° 113 qui n'ont pas été acceptés par les diverses autorités cantonales et communales, la constructrice a présenté, en 2017, un nouveau projet pour une maison villageoise de deux appartements, avec trois places de stationnement, dont deux intérieures, et un spa de 66,2 m 2. Ce projet, établi dans le cadre de nombreux échanges tant avec le Service immeubles, patrimoine et logistique (ci-après: SIPaL) qu'avec la Commission communale consultative d'urbanisme (ci-après: CCU), prévoit un bâtiment d'une surface au sol de 170 m 2, pour une surface brute utile de plancher annoncée de 510 m2 avec un axe de faîte principal parallèle à la rue Forel.
Mis à l'enquête publique du 25 novembre au 27 décembre 2017, ce projet a suscité quatre oppositions dont celle des propriétaires des parcelles nos 787 et 788.
Après l'enquête publique, la constructrice a produit des plans modifiés, datés du 7 juin 2018, qui ramènent la hauteur du faîte au sommet de 12,50 m à 12,10 m et celle du réveillonnage (ou pan brisé) de 10,45 m à 9,77 m et impliquent une modification de la toiture et des ouvertures en toiture. Elle a également déposé d'autres plans modifiés, datés des 25 juin et 16 octobre 2018.
C.
Dans sa séance du 15 octobre 2018, la Municipalité de Saint-Prex a levé les oppositions et délivré le permis de construire sollicité.
D.
A._ et B._ ont chacun déposé un recours auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: Tribunal cantonal) qui les a joints le 4 décembre 2018.
E.
Après avoir tenu une audience et procédé à une vision locale le 27 juin 2019, le Tribunal cantonal a, par arrêt du 13 mai 2020, rejeté les recours, confirmé la décision municipale du 15 octobre 2018 délivrant le permis de construire et, en tant que de besoin, confirmé les décisions du 15 octobre 2018 levant les oppositions formées par A._ et B._.
F.
Par acte du 15 juin 2020, A._ et B._ forment un recours en matière de droit public par lequel ils demandent au Tribunal fédéral de réformer l'arrêt du 13 mai 2020 du Tribunal cantonal en ce sens que les décisions précitées, respectivement l'autorisation de construire sont annulées. Subsidiairement, ils requièrent que la cause soit renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Invités à se déterminer sur le recours, C._ et la municipalité ont conclu au rejet du recours; la cour cantonale s'est référée à ses considérants. Également invités à se prononcer, l'Office fédéral de l'environnement (ci-après: OFEV) et l'Office fédéral de la culture (ci-après: OFC) ont déposé des observations. Un deuxième échange d'écritures a eu lieu, au terme duquel les parties et la municipalité ont maintenu leurs positions respectives.
Par ordonnance du 6 juillet 2020, le Président de la Ire Cour de droit public du Tribunal fédéral a admis la requête d'effet suspensif présentée par les recourants.

Considérant en droit :
1.
Dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans le domaine du droit public des constructions (art. 82 let. a LTF), le recours en matière de droit public est en principe recevable, aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'étant réalisée.
Les recourants ont pris part à la procédure de recours devant l'instance précédente (art. 89 al. 1 LTF). En tant que propriétaires de biens immobiliers directement voisins du projet litigieux, ils sont particulièrement touchés par l'arrêt attaqué, qui confirme l'autorisation de construire. Ils peuvent ainsi se prévaloir d'un intérêt personnel et digne de protection à l'annulation de l'arrêt attaqué et bénéficient dès lors de la qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF. Les autres conditions de recevabilité étant au surplus réunies, il convient d'entrer en matière.
2.
Dans un premier grief, les recourants se plaignent d'arbitraire dans l'établissement des faits.
2.1. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Selon l'art. 97 al. 1 LTF, la partie recourante ne peut critiquer la constatation de faits que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte - en particulier en violation de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 4.1.2; <ref-ruling> consid. 4.2) - et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause. Si la partie recourante entend se prévaloir de constatations de faits différentes de celles de l'autorité précédente, elle doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 97 al. 1 LTF seraient réalisées. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui retenu dans l'acte attaqué. En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 10.1; <ref-ruling> consid. 5.1).
2.2. Les recourants reprochent à la cour cantonale de ne pas s'être référée au " plan qui accompagne le plan partiel d'affection ". Celui-ci imposerait un axe de faîte parallèle à la rue Forel pour la parcelle litigieuse, au contraire d'autres biens-fonds à construire dans le Bourg pour lesquels une telle obligation n'existerait pas. Il s'avère toutefois que le plan auquel les recourants font référence n'est autre que le PPA. Or, contrairement à ce qu'ils prétendent, la cour cantonale a reproduit, dans son arrêt, une partie dudit plan qui désigne précisément l'axe des faîtes pour la parcelle n° 113.
Les recourants font encore grief à l'autorité précédente de ne pas avoir tranché la question controversée de la propriété de la commune de Saint-Prex sur la parcelle n° 114. S'il est vrai que la cour cantonale mentionne cet élément sans en tirer de conséquences particulières, les recourants ne démontrent cependant pas en quoi il serait pertinent pour l'issue du litige, respectivement à même d'en changer l'issue.
2.3. Partant, pour autant que recevable, le grief tiré de l'établissement arbitraire des faits doit être rejeté.
3.
Les recourants s'en prennent à la composition de la CCU ainsi qu'à la qualité des préavis émis par cette dernière. Ils se plaignent, à cet égard, d'une application arbitraire des art. 3 et 5 du règlement communal sur le plan général d'affectation et la police des constructions (ci-après: RPGA).
3.1. Aux termes de l'art. 3 al. 1 RPGA, la municipalité nomme une commission consultative qu'elle choisit parmi les personnes compétentes en matière de construction et d'urbanisme. Cette commission, composée de 7 membres dont 2 au moins issus du Conseil communal, est chargée de préaviser sur tous les projets importants d'urbanisme ou de police des constructions (art. 3 al. 1 et 2 RPGA). L'art. 5 al. 3 RPGA prévoit que la municipalité doit prendre l'avis de cette commission consultative d'urbanisme pour toutes les constructions et reconstructions projetées dans la zone de la vieille ville.
3.2. Le Tribunal fédéral ne revoit l'interprétation et l'application du droit cantonal et communal que sous l'angle de l'arbitraire. Il ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. Si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale ne se révèle pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution - éventuellement plus judicieuse - paraît possible (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 4.3).
3.3. Les recourants estiment que la cour cantonale serait tombée dans l'arbitraire en considérant que les rapports émis par la CCU ne prêtaient pas le flanc à la critique et qu'elle ne devait pas obligatoirement siéger à 7 membres. Ils considèrent que cette appréciation aurait pour conséquence de réduire la procédure mise en place par les art. 3 et 5 RPGA à une simple formalité, et ce, contrairement à la lettre et à l'esprit du RPGA. Selon eux, cette consultation serait essentielle dans le processus d'approbation de tout nouveau projet dans la zone de la vieille ville, car elle aurait pour but d'assurer la conformité de ce projet au style du Vieux-Bourg tel que défini aux art. 5 ss RPGA.
Ce faisant, les recourants ne démontrent pas que la CCU aurait été empêchée d'exercer le rôle que le RPGA lui attribue, soit assurer la conformité du projet litigieux au style du Vieux-Bourg, respectivement que la CCU devrait systématiquement siéger à 7 membres ou qu'un quorum devrait être respecté pour qu'elle puisse valablement délibérer. D'ailleurs, la cour cantonale a constaté que la CCU avait pu se prononcer sur le projet initial; c'est dans ce contexte, et suite aux remarques de la CCU, que la constructrice a modifié ses plans. En outre, la simple citation de l'art. 3 RPGA n'est pas suffisante pour qualifier d'arbitraire l'appréciation du Tribunal cantonal quant à la composition de la CCU.
Partant, le grief doit être écarté, dans la mesure de sa recevabilité.
4.
Les recourants font ensuite valoir une application arbitraire des art. 85 et 99 RPGA et une violation du droit fédéral, notamment de la loi fédérale du 1er juillet 1966 sur la protection de la nature et du paysage (LPN; RS 451) en ce sens que le projet litigieux serait contraire au PPA et aurait dû être refusé en application de la clause d'esthétique.
4.1. Les inventaires fédéraux prévus à l'art. 5 LPN - dont fait partie l'ISOS (art. 1 de l'ordonnance fédérale du 13 novembre 2019 concernant l'Inventaire fédéral des sites construits à protéger en Suisse; OISOS; RS 451.12) - sont assimilés matériellement à des conceptions et à des plans sectoriels au sens de l'art. 13 al. 1 LAT (RS 700). A ce titre, les cantons doivent en tenir compte, dans leur planification directrice (art. 6 al. 4 LAT). En raison de la force obligatoire des plans directeurs pour les autorités (art. 9 LAT), les conditions de protection figurant dans les inventaires fédéraux se retrouvent dans les plans d'affectation (art. 14 ss LAT). En principe, l'inventaire ISOS doit ainsi être transcrit dans les plans directeurs cantonaux, puis dans la planification locale au moyen des instruments prévus à l'art. 17 LAT. Ces mesures lient ainsi non seulement les autorités dans l'exécution de leurs tâches, mais également les particuliers (<ref-ruling> consid. 2.1; arrêts 1C_180/2019 du 16 mars 2021 consid. 5.1; 1C_87/2019 du 11 juin 2020 consid. 3.1.2).
Selon l'art. 6 al. 1 LPN, l'inscription d'un objet d'importance nationale dans un inventaire fédéral indique que l'objet mérite spécialement d'être conservé intact ou en tout cas d'être ménagé le plus possible, y compris au moyen de mesures de reconstitution ou de remplacement adéquates. L'inventaire ISOS doit être pris en considération dans la pesée des intérêts de chaque cas d'espèce - y compris lors de l'accomplissement de tâches purement cantonales et communales -, en tant que manifestation d'un intérêt fédéral (Thierry Largey, La protection du patrimoine in RDAF 2012 p. 295). Une atteinte demeure possible lorsqu'elle n'altère pas l'identité de l'objet protégé ni le but assigné à sa protection; celui-ci découle du contenu de la protection mentionné dans l'inventaire et les fiches qui l'accompagnent (<ref-ruling> consid. 3.1; arrêt 1C_87/2019 du 11 juin 2020 consid. 3.1.2; Largey, op. cit., p. 292; Jörg Leimbacher, in Commentaire LPN, 2e éd. 2019, n° 5 ss ad art. 6 LPN).
4.2.
4.2.1. En droit vaudois, un projet de construction peut être interdit sur la base de l'art. 86 de la loi cantonale du 4 décembre 1985 sur l'aménagement du territoire et les constructions (LATC; BLV 700.11) quand bien même il satisferait à toutes les autres dispositions cantonales et communales en matière de police des constructions. En effet, à teneur de l'art. 86 al. 1 LATC, la Municipalité veille à ce que les constructions, quelle que soit leur destination, ainsi que les aménagements qui leur sont liés, présentent un aspect architectural satisfaisant et s'intègrent à l'environnement. Elle refuse le permis pour les constructions ou les démolitions susceptibles de compromettre l'aspect et le caractère d'un site, d'une localité, d'un quartier ou d'une rue, ou de nuire à l'aspect d'un édifice de valeur historique, artistique ou culturelle (art. 86 al. 2 LATC). L'alinéa 3 de cette disposition prévoit que les règlements communaux doivent contenir des dispositions en vue d'éviter l'enlaidissement des localités et de leurs abords.
4.2.2. Sur le plan communal, l'art. 85 RPGA permet à la municipalité d'imposer une autre implantation que celle prévue par le constructeur pour des raisons d'orientation ou d'esthétique. Aux termes de l'art. 99 RPGA relatif aux toitures, la Municipalité peut également imposer l'orientation des faîtes ou la pente des toitures, notamment pour tenir compte de celle des bâtiments voisins.
4.2.3. Selon la jurisprudence, l'application d'une clause d'esthétique ne doit cependant pas aboutir à ce que, de façon générale, la réglementation sur les zones en vigueur soit vidée de sa substance. Une intervention des autorités dans le cas de la construction d'un immeuble réglementaire qui ne serait pas en harmonie avec les bâtiments existants, ne peut s'inscrire que dans la ligne tracée par la loi elle-même et par les règlements communaux, qui définissent en premier lieu l'orientation que doit suivre le développement des localités. Ainsi, lorsqu'un plan de zones prévoit que des constructions d'un certain volume peuvent être édifiées dans tel secteur du territoire, une interdiction de construire fondée sur l'art. 86 LATC ne peut se justifier que par un intérêt public prépondérant. Il faut que l'utilisation des possibilités de construire réglementaires apparaisse déraisonnable et irrationnelle (<ref-ruling> consid. 3a; arrêt 1C_340/2020 du 25 février 2021 consid. 2.4).
4.3. Le Tribunal fédéral revoit librement l'interprétation et l'application du droit fédéral et du droit constitutionnel cantonal (art. 95 LTF). Il examine en revanche sous l'angle restreint de l'arbitraire l'interprétation et l'application des autres règles du droit cantonal ou communal (<ref-ruling> consid. 3.1.5). Il contrôle librement si l'autorité judiciaire a respecté la latitude du jugement découlant de l'autonomie communale (<ref-ruling> consid. 3.1).
Lorsqu'il s'agit d'examiner l'application de clauses d'esthétique, le Tribunal fédéral fait en outre preuve de retenue dans l'appréciation des circonstances locales. Dans ce domaine, les autorités locales disposent en effet d'un large pouvoir d'appréciation (cf. <ref-ruling> consid. 3.2.2; <ref-ruling> consid. 4.3). C'est le cas notamment lorsqu'il s'agit de savoir si une construction ou une installation est de nature à compromettre l'aspect ou le caractère d'un site, d'une localité, d'un quartier ou d'une rue (<ref-ruling> consid. 3d; arrêts 1C_ 340/2020 du 25 février 2021 c. 2.3; 1C_ 104/2020 du 23 septembre 2020 consid. 2.3).
4.4. D'un point de vue réglementaire, le PPA fixe un axe de faîte pour la parcelle litigieuse parallèle à la rue Forel. En l'occurrence, le toit projeté présente deux pans: l'axe de faîte principal est parallèle à la rue Forel et le côté sud de la toiture présente un pignon secondaire, perpendiculaire à l'axe de faîte principal. Les recourants prétendent que ce pignon secondaire serait contraire au PPA. Selon eux, l'autorité précédente serait tombée dans l'arbitraire en n'imposant pas un faîtage différent en application des art. 85 et 99 RPGA. Toutefois, comme l'a constaté la cour cantonale, ni le PPA, ni les autres dispositions communales applicables n'interdisent la création de tels pignons dans la zone de vieille ville et aucune règle expresse à ce sujet n'est citée par les recourants. Ces derniers n'avancent pas non plus qu'en fixant l'axe de faîte principal pour la parcelle litigieuse dans son PPA, la municipalité aurait voulu interdire tout faîtage secondaire. Le contraire résulte des constatations effectuées sur place par l'autorité précédente: un bâtiment présentant un pignon secondaire dont la hauteur atteint celle du faîte principal est présent, dans cette même zone. Que ce bâtiment ait été construit il y a plusieurs années n'a aucune incidence en l'espèce. Par ailleurs, l'arrêt cantonal AC.2006.0229 du 20 juin 2007 auquel les recourants font référence n'est pas pertinent, dans la mesure où son état de faits diffère de la présente cause. Dans ce cas, la cour cantonale avait notamment relevé l'absence de structures similaires dans la zone concernée. C'est, dès lors, à tort que les recourants prétendent que l'autorité précédente aurait dérogé au PPA; celui-ci ne prévoyant pas une interdiction de construire des pignons secondaires, la cour cantonale n'a pas pu s'en écarter. Pour le surplus, la toiture du bâtiment projeté étant conforme aux prescriptions communales, le recourant, A._, doit en principe souffrir d'une perte de vue et d'une diminution d'ensoleillement (cf. arrêt 1C_3/2018 du 23 octobre 2018 consid. 3.3); la perte d'ensoleillement sera quoiqu'il en soit limitée, selon les constations cantonales, à environ une heure pendant la saison hivernale, soit approximativement entre 8 et 9 heures du matin. Elle demeure donc marginale.
Ensuite, la cour cantonale, après avoir énuméré, entre autres, les objectifs de l'ISOS en lien avec la parcelle litigieuse ainsi que les dispositions légales cantonales et communales en matière d'esthétique, a exposé qu'elle peinait à voir en quoi le pignon secondaire nuirait au caractère du Vieux-Bourg, dès lors qu'il n'était pas visible depuis la rue Forel; il ne choquait pas depuis le lac étant donné que les bâtiments sis sur les parcelles nos 788 et 114, entourant de part et d'autre la parcelle no 113, présentaient des façades pignons orientées vers le sud-ouest, soit vers le lac; en ce sens, le bâtiment projeté s'apparentait à ces derniers, donnant à ce groupe de bâtiments une apparence de continuité face au lac; l'architecte de la constructrice avait en outre relevé, et cela ressortait également des images disponibles sur le site du guichet cartographique du canton de Vaud, que la zone de la vieille ville présentait déjà une grande variété de toitures, de sorte que le projet ne s'inscrivait pas en rupture avec le bâti existant; cet architecte avait encore expliqué, lors de l'inspection locale, que le pignon secondaire présentait l'avantage de créer une ouverture principale orientée vers le sud, permettant de limiter les ouvertures latérales conformément aux recommandations formulées par le SIPaL; enfin, ce dernier service, bien qu'il eût observé que le pignon secondaire conférait une lourdeur excessive au bâtiment, n'avait pas conditionné la délivrance de son préavis positif à une modification de cet élément de la construction. Dans ces circonstances, le Tribunal cantonal a estimé que le pignon secondaire s'inscrivait dans le respect des dispositions réglementaires communales et a retenu que la municipalité n'avait pas violé l'art. 86 LATC ou les dispositions communales relatives à l'esthétique.
Là encore, les recourants critiquent cette appréciation, par une argumentation essentiellement générale et abstraite, en prétendant que l'arrêt entrepris consacrerait une interprétation insoutenable, contraire au droit fédéral et au surplus discriminatoire des exigences découlant de la clause d'esthétique, faisant fi des impératifs de conservation et de préservation découlant de la zone historique de Saint-Prex et du recensement ISOS du Vieux-Bourg. Ils perdent toutefois de vue qu'en tant que nouvelle construction située sur une parcelle particulière, le projet litigieux doit respecter les impératifs fixés par le PPA relativement à cette parcelle qui transcrit en droit communal les buts de l'ISOS (Aurélien Wiedler, La protection du patrimoine bâti, Berne 2019, p. 202 ss). Comme l'a exposé la cour cantonale, Saint-Prex, considéré en tant que petite ville/bourg, est inscrit à l'inventaire ISOS; la parcelle n° 113, quant à elle, est comprise dans le périmètre n° 1 de cet inventaire pour la commune de Saint-Prex, qui est décrit de la manière suivante: " Le Bourg, anc. Ville neuve fondée par le chapitre de Lausanne, adaptation du plan zähringien à la forme triangulaire du promontoire, 1234; bâti dense, habitations et anc. fermes, 18e-19e s., sur des structures ant., reconstructions et nombreuses transformations, 20e s.; quelques jardins ". Un objectif de sauvegarde " A " est attribué à ce périmètre, lequel préconise " la sauvegarde de la substance. Conservation intégrale de toutes les constructions et composantes du site, de tous les espaces libres; suppression des interventions parasites ". Or, la cour cantonale a estimé que le projet respectait le PPA et les recourants n'ont pas démontré l'arbitraire de cette appréciation. Ils ne démontrent en particulier pas que les objectifs de l'ISOS n'auraient pas été pris en considération, respectivement n'exposent pas quels intérêts ou quelles circonstances pertinentes la cour cantonale aurait omis de prendre en compte dans son appréciation. En outre, ils ne peuvent pas se contenter de renvoyer aux observations de l'OFC pour justifier leur opinion. Quand bien même cet office soutient que le projet litigieux portera une certaine atteinte au site, il a souligné que l'appréciation de l'intégration du projet dans le site relevait de la compétence du canton et de la commune. Par ailleurs, et même si une atteinte devait être admise, les recourants ne démontrent pas encore que celle-ci altérerait l'identité de l'objet protégé et le but assigné à sa protection (<ref-ruling> consid. 3.1; arrêt 1C_87/2019 du 11 juin 2020 consid. 3.1.2). Pour le surplus, s'agissant d'aspects relevant de l'appréciation des circonstances locales, que le Tribunal fédéral n'examine qu'avec retenue (cf. <ref-ruling> consid. 3.2.2; <ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 4.1; arrêt 1C_116/2020 du 21 avril 2021 consid. 4.2.3), l'on ne discerne aucun élément commandant de s'écarter de la solution cantonale, fondée sur une argumentation amplement développée.
4.5. Dans ces circonstances, les griefs de violation du droit fédéral et d'application arbitraire du droit cantonal et communal en lien avec la conformité du projet au regard du PPA et de la clause d'esthétique doivent être rejetés, dans la mesure de leur recevabilité.
5.
Les recourants soutiennent finalement que la création du spa ainsi que les forages et la pose de sondes géothermiques tels que prévus violeraient les art. 21 et 31 de l'ordonnance du 28 octobre 1998 sur la protection des eaux (OEaux; RS 814.201).
5.1. Aux termes de l'art. 19 al. 1 de la loi fédérale du 24 janvier 1991 sur la protection des eaux (LEaux; RS 814.20), les cantons subdivisent leur territoire en secteurs de protection en fonction des risques auxquels sont exposées les eaux superficielles et les eaux souterraines. La construction et la transformation de bâtiments et d'installations, ainsi que les fouilles, les terrassements et autres travaux analogues dans les secteurs particulièrement menacés sont soumis à autorisation cantonale s'ils peuvent mettre en danger les eaux. Ces secteurs sont définis dans l'OEaux. Selon l'art. 29 al. 1 let. a de cette ordonnance, le secteur Au de protection des eaux, destiné à protéger les eaux souterraines exploitables, fait partie des secteurs particulièrement menacés décrits à l'annexe 4, ch. 11, et comprend les eaux souterraines exploitables ainsi que les zones attenantes nécessaires à leur protection (cf annexe 4 ch. 111 al. 1). Quant à la zone de protection des eaux souterraines S1, elle doit empêcher que les captages et les installations d'alimentation artificielle ainsi que leur environnement immédiat soient endommagés ou pollués (cf. annexe 4 ch. 122 al. 1).
L'art. 31 al. 1 OEaux prévoit que quiconque construit ou transforme des installations dans un secteur particulièrement menacé (cf. art. 29 al. 1 OEaux) ainsi que dans une zone ou dans un périmètre de protection des eaux souterraines, ou y exerce d'autres activités présentant un danger pour les eaux, doit prendre les mesures qui s'imposent en vue de protéger les eaux. L'al. 2 de l'art. 32 OEaux soumet notamment à l'octroi d'une autorisation, dans les secteurs définis par l'art. 29 OEaux, les ouvrages souterrains (let. a), les installations portant atteinte aux couches de couverture ou au substratum imperméable (let. b) et les forages (let. f). Si une autorisation est requise, le requérant est tenu de prouver que les exigences de protection des eaux sont respectées et de produire les documents nécessaires (le cas échéant, le résultat des investigations hydrogéologiques; art. 32 al. 3 OEaux). L'autorité accorde l'autorisation lorsque, en posant des obligations et des conditions, il est possible de garantir une protection des eaux suffisante (art. 32 al. 4 OEaux).
S'agissant en particulier de la protection des nappes d'eaux souterraines, l'art. 43 al. 3 LEaux prévoit que la création de communications permanentes entre des nappes souterraines est interdite si une telle intervention peut diminuer les réserves en eaux souterraines ou altérer leur qualité.
5.2. S'agissant de la construction du spa, la cour cantonale a exposé que deux autorités spécialisées avaient été consultées et avaient délivré leurs autorisations spéciales; en outre, tenant compte du fait que le projet litigieux devait prendre place dans un secteur Au de protection des eaux, l'autorité compétente en la matière avait été consultée et avait délivré l'autorisation spéciale requise, en l'assortissant de conditions impératives. En ce qui concerne les forages et la pose de sondes géothermiques verticales, la cour cantonale a constaté que l'autorité spécialisée en la matière avait également été consultée; elle avait délivré son autorisation spéciale, tout en exigeant un suivi hydrogéologique des travaux de forage; à cette fin, elle avait fixé des conditions impératives clairement détaillées dans son préavis et il n'y avait pas lieu de présumer que ces conditions n'allaient pas être respectées par la constructrice.
5.3. Très succinctement, les recourants prétendent que l'arrêt entrepris enfreindrait la réglementation fédérale en matière de protection des eaux, car il autoriserait la construction du spa ainsi que les forages et la pose de sondes géothermiques verticales sans se déterminer sur un danger particulier pour les eaux et sur la seule base de l'aval donné par les autorités spécialisées alors que le projet litigieux se situe en secteur Au et à proximité d'une zone S1. Toutefois, ils n'allèguent pas ni a fortiori ne démontrent l'existence d'un tel danger, respectivement ne contestent pas la légalité des autorisations délivrées ou des conditions dont elles sont assorties. Ils ne critiquent en particulier pas l'avis de l'OFEV avalisant les considérations du Tribunal cantonal au vu des autorisations délivrées. Cet office a relevé, s'agissant du spa, que la relative proximité du projet au captage supposait une surveillance attentive des travaux, surveillance que le service spécialisé avait requis et à laquelle avaient été conditionnées l'autorisation cantonale et la décision d'octroi de construire. Il a encore exposé, s'agissant des sondes géothermiques verticales, que, bien qu'il existât un risque de raccordement permanent des aquifères existants, le service spécialisé cantonal avait préavisé favorablement le projet en posant les conditions adéquates et suffisantes permettant d'éviter un tel raccordement ce qui excluait, selon toute probabilité, une menace pour la qualité des eaux souterraines. Ainsi, il résulte de ce qui précède que des mesures seront prises afin de garantir une protection des eaux suffisantes et il n'apparaît pas que le droit fédéral applicable en la matière aurait été violé. En tout cas, les recourants ne le démontrent pas. Encore une fois, ceux-ci se contentent de critiquer de façon générale et appellatoire l'arrêt cantonal, sans justifier les quelques éléments qu'ils avancent, ce qui est insuffisant en termes de motivation d'un recours au Tribunal fédéral (art. 42 al. 1 et 2 LTF; <ref-ruling> consid. 2; arrêt 1C_292/2019 du 12 mai 2020 consid. 2).
Partant, et pour autant que recevable, le grief doit être rejeté.
6.
Vu ce qui précède, le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité aux frais des recourants solidairement entre eux (art. 66 al. 1 et 5 LTF). Ceux-ci devront également verser une indemnité de dépens à l'intimée (art. 68 al. 1, 2 et 5 LTF). Il n'y a pas lieu d'octroyer des dépens à la Municipalité de Saint-Prex qui obtient gain de cause dans l'exercice de ses attributions officielles (art. 68 al. 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 4'000 fr., sont mis à la charge des recourants solidairement entre eux.
3.
Une indemnité de 2'500 fr. est accordée à l'intimée à la charge des recourants solidairement entre eux.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et de la Municipalité de Saint-Prex, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, à l'Office fédéral de l'environnement et à l'Office fédéral de la culture.
Lausanne, le 27 juillet 2021
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Chaix
La Greffière : Nasel