Erwägungen:
1.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies mit Urteil des Einzelrichters vom 13. Dezember 2017 ein von Rechtsanwalt A._ gegen Mitglieder der Anwaltsaufsichtsbehörde des Kantons Bern erhobenes Ablehnungsbegehren ab. Gegen dieses Urteil erhob A._ am 3. Januar 2018 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er stellte das Gesuch, es sei unter Anwendung von Art. 62 Abs. 1 zweiter Satz BGG wegen besonderer Gründe kein Kostenvorschuss anzufordern; eventualiter sei ihm für das Verfahren vor Bundesgericht in Bezug auf die Gerichtskosten die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Den Antrag auf Verzicht auf den Kostenvorschuss begründete er mit der Natur und der Stichhaltigkeit der Rügen, den Antrag auf unentgeltliche Rechtspflege zusätzlich damit, dass seine finanzielle Leistungsfähigkeit erschöpft sei, wobei er in Aussicht stellte, dass die finanzielle Situation auf erste Aufforderung dargelegt werde.
Mit Verfügung vom 5. Januar 2018 wurde der Beschwerdeführer aufgefordert, spätestens am 29. Januar 2018 einen Kostenvorschuss von Fr. 2'000.-- einzuzahlen. Die Verfügung enthielt angesichts des Gesuchs um Kostenbefreiung den Hinweis: "Fehlender Bedürftigkeitsnachweis; erforderlich sind vollständige Angaben mit Belegen zu den aktuellen finanziellen Verhältnissen (Aufstellung über durchschnittliche monatliche Einkünfte und Ausgaben, Vermögensstand).... Der Nachweis kann innert der Zahlungsfrist erbracht werden; s. den beiliegenden Erhebungsbogen für die unentgeltliche Rechtspflege." Da der Vorschuss innert der angesetzten Frist nicht geleistet worden war, wurde dem Beschwerdeführer mit Verfügung vom 2. Februar 2018 in Anwendung von <ref-law> eine nicht erstreckbare Nachfrist bis 13. Februar 2018 angesetzt, verbunden mit der Androhung, dass das Bundesgericht bei nicht rechtzeitiger Vorschusszahlung auf das Rechtsmittel nicht eintreten würde.
Mit Eingabe vom 13. Februar 2018 hat der Beschwerdeführer ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mit Beilagen eingereicht. Er beantragt, es sei auf die Erhebung eines Kostenvorschusses zu verzichten, und erklärt im Hinblick auf die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege, warum ihm die finanziellen Mittel zur Leistung eines Vorschusses fehlten.
2.
2.1. Die Partei, die das Bundesgericht anruft, hat einen Kostenvorschuss in der Höhe der mutmasslichen Gerichtskosten zu leisten (<ref-law>). Gemäss <ref-law> setzt ihr der Instruktionsrichter bzw. der Abteilungspräsident (<ref-law>) eine angemessene Frist zur Leistung des Vorschusses und bei deren unbenütztem Ablauf eine Nachfrist an, wobei das Bundesgericht auf die Eingabe nicht eintritt, wenn der Vorschuss innert Nachfrist nicht geleistet wird. Es entspricht dem Wesen einer Nachfrist, dass sie nicht erstreckt werden kann, es sei denn, es lägen ganz besondere, nicht voraussehbare Hinderungsgründe vor, die vom Beschwerdeführer in seinem Gesuch um Einräumung einer zweiten Nachfrist spezifisch darzulegen wären (Urteile 8C_790/2017 vom 7. Februar 2018 und 2C_1097/2012 vom 18. Januar 2013 E. 2; mit Hinweisen). Die Nachfrist kann nebst durch Bezahlung des Vorschusses auch durch Stellung eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege gewahrt werden, aber nur dann, wenn dieses korrekt begründet wird und mit ausreichenden Belegen zur wirtschaftlichen Situation der Partei versehen ist (Urteil 8C_790/2017 vom 7. Februar 2018 mit Hinweisen); wer die ordentliche Zahlungsfrist hat verstreichen lassen und nicht spätestens innert der Nachfrist seine Bedürftigkeit vollumfänglich belegt (vgl. dazu nachfolgend E. 2.3), hat nach gefestigter Rechtsprechung keine weitere Fristerstreckung, sondern vielmehr ein Nichteintretensurteil zu gewärtigen (Urteil 2C_1097/2012 vom 18. Januar 2013 E. 2). So verhält es sich, wenn die nachträgliche Gesuchsbegründung formell unzulänglich bleibt (<ref-law>). Nur wenn das innert der Nachfrist gestellte Gesuch eine hinreichende Begründung enthält, es sich aber als materiell unbegründet erweist (Bedüftigkeitsbeweis nicht erbracht), ist nach Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege allenfalls nochmals eine Zahlungsfrist anzusetzen.
2.2. Art. 62 Abs. 1 zweiter Satz BGG bestimmt, dass auf die Erhebung des Kostenvorschusses ganz oder teilweise verzichtet werden kann, wenn besondere Gründe vorliegen. Abgesehen von Fällen, für die von Gesetzes wegen keine Kosten erhoben werden, und bei Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (dazu E. 2.3) kommt der Verzicht auf die Einforderung eines Kostenvorschusses im Sinne dieser Bestimmung nur ganz ausnahmsweise zur Anwendung, etwa wenn das Rechtsmittel offensichtlich gutzuheissen ist. Der Beschwerdeführer verweist auf eine Mehrzahl von Prozessen, in die er involviert ist und wo er mit Kosten belastet wird; er sieht in dem Zusammenhang Art. 3 EMRK betroffen. Es ist nicht nachvollziehbar, inwiefern dies bezogen auf das vorliegende Verfahren, dessen Ausgangspunkt die korrekte Besetzung der kantonalen Anwaltsaufsichtsbehörde ist, den Verzicht auf die Erhebung eines Kostenvorschusses rechtfertigen könnte. Namentlich ist jeder Vorschusszahlung eigen, dass sie sich bei Gutheissung des Rechtsmittels aus der Nachhineinbetrachtung unnötig erweisen würde; ein Gesuch um Befreiung von der Vorschusszahlung lässt sich nicht damit begründen.
2.3. Es beibt der Antrag auf unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesgericht befreit eine Partei, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, auf Antrag von der Bezahlung der Gerichtskosten, sofern ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (<ref-law>). Bedürftig ist eine Partei, welche die erforderlichen Prozess- und Parteikosten nur erbringen kann, wenn sie die Mittel angreift, die sie zur Deckung des Grundbedarfs für sich und ihre Familie benötigt; dabei sind nebst den Einkommens- auch die Vermögensverhältnisse zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 223 f.; <ref-ruling> E. 2.5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 4a S. 164; <ref-ruling> E. 2a S. 2; <ref-ruling> E. 4a S. 370). Aufgrund der allgemeinen Begründungspflicht gemäss <ref-law> obliegt es der um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersuchenden Partei, ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend darzulegen und soweit wie möglich zu belegen. Kommt die Partei diesen Obliegenheiten nicht nach, wird dem Gesuch nicht entsprochen (vgl. BGE <ref-ruling> E. 4a S. 164 f.; <ref-ruling> E. 3a S. 181 f.).
Im innert Nachfrist eingereichten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege erwähnt der Beschwerdeführer im Januar 2018 verbuchte Geldeingänge (Vorschüsse usw.) und kommentiert sie; sodann werden Auslagen dargestellt. Den Erhebungsbogen mit einer Aufstellung über die durchschnittlichen monatlichen Einkünfte und Auslagen hat er nicht ausgefüllt. Vor allem fehlen, trotz entsprechender Aufforderung, jegliche Angaben über den Vermögensstand, was die im Hinblick auf die Feststellung der Bedürftigkeit erforderliche Prüfung der massgeblichen finanziellen Verhältnisse ausschliesst. Der Beschwerdeführer hat es unterlassen, ein taugliches, korrekt begründetes Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege vorzulegen, und damit die Nachfrist nicht gewahrt.
2.4. Auf die Beschwerde ist in Anwendung von <ref-law> nicht einzutreten.
2.5. Da dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden kann, sind die Gerichtskosten (<ref-law>) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Gesuch um Verzicht auf Kostenvorschuss bzw. um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Diese Verfügung wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Februar 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Feller