Fatti:
A.
Con sentenza del 27 novembre 2018, la Corte delle assise correzionali di Locarno ha ritenuto A._, agente della polizia cantonale ticinese, autore colpevole di abuso di autorità, per avere il 15 novembre 2013 a X._, tra le ore 01.40 e le ore 02.00, in tale funzione, agendo in correità con il collega C._, abusato della sua carica ai danni di B._, un automobilista che era stato fermato in stato di ebrietà ed era stato condotto dapprima all'Ospedale D._ e in seguito al posto di polizia. All'imputato è stato segnatamente rimproverato di avere, nel parcheggio antistante l'ospedale scaraventato a terra l'automobilista mentre era ammanettato con le mani dietro la schiena ed averlo ripetutamente colpito con dei pugni. Gli è altresì stato addebitato di avere, dopo l'accompagnamento coattivo di B._ presso la gendarmeria di X._, sempre in correità con il collega, ripetutamente strattonato e fatto cadere a terra con degli sgambetti l'interessato, ancora ammanettato con le mani dietro la schiena, e mentre si trovava a terra, colpito ripetutamente con pugni sulla schiena e al volto nonché con dei calci sulla schiena e con un calcio al volto. Per questi fatti, A._ è inoltre stato riconosciuto autore colpevole di ripetute lesioni semplici, per avere, agendo in correità con C._, intenzionalmente cagionato un danno al corpo e alla salute di B._, provocandogli in particolare la frattura del setto nasale. Il giudice di primo grado lo ha condannato alla pena pecuniaria di 150 aliquote giornaliere di fr. 120.-- ciascuna, per complessivi fr. 18'000.--, sospesa condizionalmente per un periodo di prova di tre anni, e al pagamento di una multa di fr. 3'000.--.
B.
Con sentenza del 20 aprile 2020, la Corte di appello e di revisione penale (CARP) ha parzialmente accolto un appello di A._ contro il giudizio della prima istanza ed lo ha prosciolto dall'accusa di lesioni semplici e di abuso di autorità per i fatti avvenuti nel parcheggio antistante l'ospedale. Per quanto concerne invece quanto accaduto presso la gendarmeria, la CARP ha confermato il giudizio di colpevolezza di primo grado per i suddetti reati, condannando per finire A._ alla pena pecuniaria di 135 aliquote giornaliere di fr. 120.-- ciascuna, per complessivi fr. 16'200.--, sospesa condizionalmente per un periodo di prova di tre anni, e al pagamento di una multa di fr. 2'500.--.
C.
A._ impugna la sentenza della CARP con un ricorso in materia penale del 5 giugno 2020 al Tribunale federale, chiedendo di annullarla e di essere prosciolto da ogni imputazione. Chiede inoltre che gli sia riconosciuta un'indennità di fr. 16'618.30 per le spese di patrocinio sostenute dinanzi alle autorità cantonali. Il ricorrente censura l'accertamento dei fatti siccome svolto in modo manifestamente inesatto e in violazione del diritto. Fa inoltre valere la violazione del principio "in dubio pro reo".
D.
La Corte cantonale comunica di non avere osservazioni da formulare sul ricorso, rinviando ai considerandi del suo giudizio. Il Procuratore generale postula la reiezione del ricorso. L'accusatore privato chiede di respingere il ricorso e di essere ammesso al beneficio dell'assistenza giudiziaria e del gratuito patrocinio. Il ricorrente ha comunicato il 25 maggio 2021 di non presentare ulteriori osservazioni.

Diritto:
1.
Presentato dall'imputato, che ha partecipato alla procedura dinanzi alla precedente istanza, le cui conclusioni sono state parzialmente disattese (art. 81 cpv. 1 lett. a e b n. 1 LTF), e diretto contro una decisione finale (<ref-law>) resa in materia penale (<ref-law>) da un'autorità di ultima istanza cantonale (<ref-law>), il gravame è tempestivo (<ref-law>) e sotto i citati aspetti ammissibile.
2.
2.1. Conformemente a quanto stabilito dagli art. 95 e 96 LTF, il ricorso in materia penale al Tribunale federale può essere presentato per violazione del diritto. Secondo l'<ref-law>, nel ricorso occorre spiegare per quali ragioni l'atto impugnato viola il diritto. Il ricorrente deve quindi confrontarsi con le considerazioni esposte nella sentenza impugnata, spiegando per quali motivi tale giudizio viola il diritto (<ref-ruling> consid. 1.7.1). Il Tribunale federale esamina in linea di principio solo le censure sollevate; esso non è tenuto a vagliare, come lo farebbe un'autorità di prima istanza, tutte le questioni giuridiche che si pongono, se quest'ultime non sono presentate nella sede federale (<ref-ruling> consid. 2.1). Le esigenze di motivazione sono inoltre accresciute laddove il ricorrente lamenta l'arbitrio nell'accertamento dei fatti e nella valutazione delle prove, dato che ciò equivale a sostenere che i fatti sono stati accertati in violazione dell'<ref-law> e del diritto federale. Trattandosi di garanzie di rango costituzionale, il Tribunale federale esamina le relative censure soltanto se sono motivate in modo chiaro e preciso (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 2.4). In quest'ottica, argomentazioni vaghe o meramente appellatorie e semplici rinvii agli atti cantonali non sono quindi ammissibili (<ref-ruling> consid. 3.3; <ref-ruling> consid. 2.4). Per motivare l'arbitrio, non basta criticare semplicemente la decisione impugnata contrapponendole una versione propria, ma occorre dimostrare per quale motivo l'accertamento dei fatti o la valutazione delle prove sono manifestamente insostenibili, si trovano in chiaro contrasto con la fattispecie, si fondano su una svista manifesta o contraddicono in modo urtante il sentimento della giustizia e dell'equità (<ref-ruling> consid. 2.3.1; <ref-ruling> consid. 3.1, 8 consid. 2.1).
2.2. Nella misura in cui, criticando l'accertamento dei fatti e la valutazione delle prove da parte della Corte cantonale, il ricorrente si limita ad esporre una sua diversa versione dei fatti, senza sostanziare l'arbitrarietà del giudizio impugnato, il gravame non adempie le esposte esigenze di motivazione e deve di conseguenza essere dichiarato inammissibile. Il ricorso è parimenti inammissibile laddove critica in modo generico il fatto che i testimoni interrogati dal magistrato inquirente durante l'istruzione penale non siano stati sentiti in contraddittorio. Egli disattende infatti che la prima Corte ha rilevato che il difensore non aveva chiesto di sentire i testimoni in contraddittorio al dibattimento, né aveva sollevato una specifica contestazione in proposito, utilizzando anzi le testimonianze a sostegno di talune argomentazioni dell'arringa. Il ricorrente non si confronta puntualmente con questa considerazione e non sostanzia una violazione dell'<ref-law> (cfr., al riguardo, <ref-ruling> consid. 3.3.1). Riconosce anzi che la questione non è rilevante per la sua posizione, ritenuto che le deposizioni testimoniali in questione non concernono i fatti per i quali è stato condannato, avvenuti presso la gendarmeria, ove non erano presenti testimoni.
2.3. Il ricorrente richiama inoltre il principio "in dubio pro reo" con riferimento alla valutazione delle prove, il quale implica che il giudice penale non può dichiararsi convinto dell'esistenza di una fattispecie più sfavorevole all'imputato quando, secondo una valutazione oggettiva del materiale probatorio, sussistono dubbi che i fatti si siano verificati proprio in quel modo. La massima non impone che l'amministrazione delle prove conduca a una certezza assoluta di colpevolezza. Semplici dubbi astratti e teorici non sono sufficienti, poiché sempre possibili, né una certezza assoluta può essere pretesa: il principio è disatteso solo quando il giudice penale avrebbe dovuto nutrire, dopo un'analisi globale ed oggettiva delle prove, rilevanti ed insopprimibili dubbi sulla colpevolezza dell'imputato. Nell'ambito della valutazione delle prove nella procedura dinanzi al Tribunale federale, il principio "in dubio pro reo" non assume una portata travalicante quella del divieto dell'arbitrio (<ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 2.2.3.3 e rinvii).
3.
Il ricorrente è stato riconosciuto colpevole di abuso di autorità e di lesioni semplici, per avere, nella gendarmeria di X._, in correità con C._, ripetutamente strattonato e fatto cadere l'accusatore privato, mentre questi era ammanettato con le mani dietro la schiena, colpendolo inoltre con dei calci alla schiena e con un calcio al volto che gli ha in particolare provocato la frattura del setto nasale. Il ricorrente non è per contro stato condannato, rispettivamente è stato prosciolto, da tali accuse per i fatti accaduti nelle fasi precedenti presso l'ospedale D._. In concreto è quindi litigioso unicamente lo svolgimento dei fatti avvenuti presso la gendarmeria.
4.
4.1. Il ricorrente rimprovera alla Corte cantonale di avere accertato a torto i fatti avvenuti presso la gendarmeria di X._ fondandosi unicamente sulla versione dell'accusatore privato, ritenendola in modo arbitrario attendibile. Sostiene che, in mancanza di un referto medico che dimostri un probabile rapporto di causalità tra le lesioni riscontrate e un calcio al volto, rispettivamente una caduta con la faccia a terra sul pavimento in condizioni di manifesta ubriachezza, le affermazioni dell'accusatore privato non potrebbero essere oggettivamente confermate. Adduce che tali dichiarazioni sarebbero inaffidabili in considerazione dello stato di alcolemia dell'opponente e delle discrepanze emerse, in particolare riguardo al tragitto dall'ospedale alla gendarmeria, ove, al dire dell'opponente, gli agenti presenti nell'autovettura della polizia sarebbero stati tre, mentre erano incontestabilmente soltanto due. Il ricorrente rileva inoltre ulteriori affermazioni dell'accusatore privato smentite dagli atti, quali quella di essere stato minacciato dagli agenti con una pistola puntata alla tempia (si trattava invece di una torcia elettrica) e quella di avere sostenuto nella denuncia penale di essere stato malmenato nel piazzale esterno della gendarmeria (non all'interno dell'edificio).
4.2.
4.2.1. La Corte cantonale, premesso che per i fatti avvenuti presso la gendarmeria non esistevano filmati di videosorveglianza, si è fondata essenzialmente sulla versione resa dall'accusatore privato, ritenendola attendibile. Ha sì ammesso che quest'ultimo ha rilasciato delle affermazioni smentite dai fatti, ma tali aspetti erano probabilmente da ascrivere all'elevato tasso di alcool nel sangue e al tentativo di sminuire la grave infrazione alla LCStr. Ha nondimeno ritenuto credibile nei tratti fondamentali la versione dell'accusatore privato di essere stato percosso anche al posto di polizia, considerato ch'egli non ha accentuato i precedenti avvenimenti successi all'uscita dal pronto soccorso e sul posteggio antistante l'ospedale. Secondo la CARP, il fatto ch'egli ha affermato che nella vettura della polizia con cui è stato trasportato dall'ospedale alla gendarmeria vi sarebbero stati tre agenti (quando in realtà erano solo due) e che in gendarmeria gli agenti presenti sarebbero stati tre o quattro, costituirebbe un elemento insufficiente per rendere inattendibili le sue dichiarazioni.
4.2.2. La Corte cantonale, come la prima istanza, ha accertato che, a causa della quantità di bevande alcoliche consumate, l'accusatore privato si trovava in uno stato confusionale (tasso alcolemico accertato tra 2.61 g/kg e 3.23 g/kg), per cui non è stato in grado di riferire in modo completo e dettagliato su quanto accaduto all'uscita dal pronto soccorso e nel posteggio dell'ospedale. Ora, se tale stato confusionale ha comportato le suddette incongruenze nelle dichiarazioni dell'accusatore privato ed ha determinato la sua incapacità di esporre in modo circostanziato gli eventi avvenuti presso l'ospedale, non si vede per quali ragioni lo stesso stato confusionale non abbia avuto alcun influsso sulla credibilità delle dichiarazioni concernenti lo svolgimento dei fatti immediatamente successivi. Peraltro, l'opponente non ha soltanto riferito contrariamente al vero che nell'autovettura della polizia che l'ha trasportato dall'ospedale alla gendarmeria erano presenti tre agenti, ma anche di essere stato percosso già all'interno del veicolo e di essere stato strozzato al posto di polizia (cfr. verbali d'interrogatorio del 13 giugno 2014 e del 17 novembre 2014). Si tratta di accentuazioni alle quali i giudici cantonali non hanno creduto, giacché essi non hanno accertato alcunché al riguardo, né hanno condannato il ricorrente per simili fatti. Nella misura in cui l'attendibilità della versione dell'accusatore privato riguardo ai fatti avvenuti presso la gendarmeria è fondata sulla mancata enfatizzazione di avvenimenti precedenti, essa è quindi manifestamente in contrasto con le sue dichiarazioni e pertanto arbitraria.
4.3.
4.3.1. Secondo il ricorrente, la decisione della CARP di dare credito alla versione dell'accusatore privato sarebbe insostenibile ove si consideri che non esiste agli atti un referto medico volto a stabilire se la frattura del setto nasale è compatibile o meno con un pestaggio, il rapporto ospedaliero di uscita del 24 novembre 2013 limitandosi ad indicare l'esistenza della frattura. Adduce che le percosse lamentate dall'opponente, segnatamente i calci sferrati dai due agenti di polizia con le calzature d'ordinanza, avrebbero provocato danni ben più gravi della frattura del setto nasale.
4.3.2. La Corte cantonale ha accertato che all'interno della gendarmeria, il ricorrente, agendo in correità con il collega, ha ripetutamente strattonato e fatto cadere l'accusatore privato mentre era ammanettato con le mani dietro la schiena, colpendolo sulla schiena, in particolare con dei calci, e inoltre con un calcio al volto che gli ha provocato la frattura del setto nasale attestata dalla lettera di uscita dall'ospedale. Come rettamente rilevato dal ricorrente, agli atti non esiste però un referto medico che si esprime sulla compatibilità dell'accertata frattura pluriframmentaria delle ossa nasali e del setto nasale con un calcio inferto al volto. Il rapporto ospedaliero in questione espone le caratteristiche della frattura e dei dolori sul corpo alla palpazione, senza tuttavia rilevare segni di contusioni. Non permette di per sé di avvalorare la versione dell'opponente e di escludere che la frattura constatata dagli operatori sanitari sia riconducibile ad una caduta faccia in avanti contro il pavimento, secondo quanto sostenuto dagli agenti.
4.4.
4.4.1. Il ricorrente rimprovera alla CARP di essere incorsa nell'arbitrio per avere negato l'attendibilità delle sue dichiarazioni e di quelle del collega sui fatti avvenuti presso la gendarmeria soltanto sulla base delle loro risposte non corrispondenti alle immagini della videosorveglianza con riferimento a quanto precedentemente avvenuto presso l'ospedale. Sostiene che, sullo svolgimento dei fatti in gendarmeria, le loro dichiarazioni sarebbero concordanti.
4.4.2. La Corte cantonale ha ritenuto in generale inattendibili le dichiarazioni degli agenti, siccome le loro versioni dei fatti accaduti in precedenza presso l'ospedale non coincidevano con le immagini della videosorveglianza. Ha inoltre richiamato il giudizio di primo grado, secondo cui le dichiarazioni dell'opponente sui maltrattamenti subiti all'interno della gendarmeria erano coerenti con i fatti avvenuti nelle fasi precedenti. La CARP non si è tuttavia confrontata specificatamente con le dichiarazioni degli agenti relative allo svolgimento dei fatti al posto di polizia, che sono sostanzialmente concordanti, in particolare riguardo al fatto che il coimputato non aveva assistito direttamente alla caduta dell'opponente, siccome era ritornato brevemente verso l'autovettura. La Corte cantonale non spiega per quali ragioni il ricorrente avrebbe dovuto mentire su questo aspetto, esponendosi al rischio di essere considerato l'unico responsabile dell'asserito pestaggio. L'esistenza di discrepanze tra le dichiarazioni degli agenti e le immagini della videosorveglianza riguardo ai fatti delle fasi precedenti, non permette di per sé di trarre conclusioni definitive riguardo allo svolgimento dei fatti successivi, avvenuti presso il posto di polizia. L'accertamento della CARP di una generale inattendibilità degli agenti non procede da una valutazione completa ed oggettiva delle loro dichiarazioni e risulta quindi arbitrario.
4.5.
4.5.1. Il ricorrente ritiene inoltre arbitrario l'accertamento della Corte cantonale secondo cui la "zona di caduta", siccome posta "troppo a sinistra" rispetto alla porta di accesso alla gendarmeria, contrasterebbe con la versione degli agenti secondo cui l'opponente sarebbe inciampato nel gradino dell'entrata. Adduce che si tratterebbe di una semplice opinione dei giudici cantonali, non fondata sulle risultanze di un sopralluogo, che avrebbe consentito di accertare la compatibilità della posizione delle tracce di sangue sul pavimento con la sua versione dei fatti.
4.5.2. La precedente istanza ha ritenuto che se l'accusatore privato fosse inciampato nei gradini posti all'entrata della gendarmeria, considerato che l'anta di sinistra (per chi entra) della porta è sempre bloccata, egli non sarebbe potuto cadere "così tanto a sinistra rispetto alla linea di accesso, ove invece sono situate le macchie di sangue". Ciò tantomeno se si considera ch'egli è stato in un primo tempo trattenuto per il braccio dal ricorrente, permettendo di attutire la caduta. Tuttavia, dalla sola visione delle fotografie del luogo dell'infortunio non è possibile determinare la distanza alla quale sono situate le tracce di sangue rispetto all'entrata. Specifici accertamenti e misurazioni vincolanti non sono infatti stati eseguiti, segnatamente ove si consideri che dalla documentazione fotografica agli atti tale distanza non appare manifestamente eccessiva. Né risultano essere stati eseguiti accertamenti relativi all'altezza dell'accusatore privato, considerato che il punto d'impatto del volto contro il pavimento sarebbe stato necessariamente più distante rispetto a quello in cui è inciampato. Né può essere escluso che, dopo essere inciampato, l'accusatore privato, ch'era ammanettato con le mani dietro la schiena, abbia fatto almeno un ulteriore passo per tentare di sorreggersi prima di cadere a terra. Ciò ove si consideri che, per la strettezza dell'entrata, il ricorrente, che lo accompagnava, non poteva varcare l'uscio affiancandolo. Quanto alla tesi della CARP secondo cui le ferite al volto rilevate in concreto non potrebbero essere state provocate da una caduta, già s'è detto che non figura agli atti un referto specialistico che si esprima sulla compatibilità delle fratture con un calcio al volto (cfr. consid. 4.3.2). La valutazione della Corte cantonale secondo cui le tracce di sangue sarebbero ubicate troppo a sinistra dell'entrata per potere essere riconducibili ad una caduta non poggia su accertamenti oggettivi univoci ed è pertanto insostenibile.
4.6. Alla luce di tutto quanto esposto, esistono perciò dubbi rilevanti ed insopprimibili che l'accusatore privato sia stato ripetutamente picchiato, nelle modalità da lui descritte, dagli agenti all'interno della gendarmeria. Nelle esposte circostanze, una caduta accidentale non può ragionevolmente essere esclusa. In applicazione del principio "in dubio pro reo", il ricorrente deve quindi essere prosciolto dalle imputazioni di abuso di autorità e di lesioni semplici per i fatti avvenuti presso la gendarmeria di X._.
5.
5.1. Ne segue che, nella misura in cui è ammissibile, il ricorso deve essere accolto. I dispositivi n. 2 e n. 3.2 (comprensivo dei punti n. 3.2.1, 3.2.1.1 e 3.2.2) della sentenza impugnata, relativi al parziale accoglimento dell'appello e al giudizio di colpevolezza del ricorrente per i reati di abuso di autorità e di lesioni semplici, nonché quelli concernenti la pena inflittagli (dispositivo n. 5, comprensivo dei punti n. 5.1, 5.1.1 e 5.2) devono essere annullati. Devono inoltre essere annullati i dispositivi concernenti il risarcimento all'accusatore privato (dispositivo n. 6), gli oneri processuali (dispositivi n. 7 e 9), il rimborso della retribuzione del patrocinatore dell'accusatore privato (dispositivo n. 10.3) nonché l'ammontare dell'indennità (dispositivo n. 12). Questi dispositivi sono parimenti impugnati dal ricorrente e sono strettamente legati all'esito del giudizio d'appello. Egli chiede pure l'annullamento del dispositivo n. 10.1 relativo all'approvazione delle note professionali del patrocinatore dell'accusatore privato. La domanda deve essere respinta, siccome tale aspetto non è stato oggetto di una censura motivata.
Gli atti devono quindi essere rinviati alla Corte cantonale affinché prosciolga il ricorrente dalle citate imputazioni e statuisca nuovamente sugli aspetti connessi.
5.2. Non si prelevano spese giudiziarie a carico dello Stato del Cantone Ticino (<ref-law>), che è tuttavia tenuto a versare al ricorrente un'indennità a titolo di ripetibili della sede federale (art. 68 cpv. 1 e 2 LTF).
5.3. La domanda di assistenza giudiziaria con gratuito patrocinio presentata dall'opponente B._ può essere accolta in considerazione della sua situazione finanziaria. Non si prelevano quindi spese giudiziarie a suo carico e l'avv. Stefano Will viene incaricato del suo patrocinio gratuito. A tale titolo, la Cassa del Tribunale federale gli verserà un'indennità il cui ammontare corrisponde alla prassi di questa Corte, tenendo altresì conto del fatto che con la risposta egli si è espresso anche sul ricorso del correo nella causa connessa 6B_696/2020, nell'ambito della quale gli è parimenti riconosciuta un'indennità analoga.

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è accolto. I dispositivi n. 2, 3.2, 5, 6, 7, 9, 10.3 e 12 della sentenza emanata il 20 aprile 2020 dalla Corte di appello e di revisione penale del Cantone Ticino sono annullati. La causa le è rinviata per un nuovo giudizio nel senso dei considerandi.
2.
Non si prelevano spese giudiziarie.
3.
Lo Stato del Cantone Ticino rifonderà al ricorrente un'indennità di fr. 3'000.-- a titolo di ripetibili della sede federale.
4.
La domanda di assistenza giudiziaria con gratuito patrocinio dell'opponente B._ per la procedura dinanzi al Tribunale federale è accolta. All'opponente viene designato quale patrocinatore l'avv. Stefano Will.
5.
La Cassa del Tribunale federale verserà al patrocinatore dell'opponente un'indennità di fr. 1'500.-- per la procedura dinanzi al Tribunale federale.
6.
Comunicazione ai patrocinatori delle parti, al Ministero pubblico e alla Corte di appello e di revisione penale del Cantone Ticino.