Faits :
A.
A.a. Par décision du 4 juillet 2018, la Direction de l'économie et de l'emploi du canton de Fribourg (DEE) a mandaté M e C._ en qualité d'enquêteur pour conduire l'instruction d'une "procédure OHarc" (en référence à une ordonnance cantonale relative au harcèlement et aux difficultés relationnelles sur le lieu de travail) opposant A._, née en 1975, collaboratrice scientifique universitaire au Service D._, à son supérieur hiérarchique, B._.
Par lettre du 21 novembre 2018, l'enquêteur a notifié aux parties le procès-verbal d'une audition de B._ du 20 novembre précédent et leur a imparti un délai au 3 décembre 2018 pour requérir d'éventuelles mesures d'instruction complémentaires. Le 23 novembre suivant, M e Boris Perrod, mandataire de A._, a requis une prolongation de délai, informant l'enquêteur qu'il serait à l'étranger du 26 novembre au 10 décembre 2018.
Le matin du 26 novembre 2018, l'enquêteur et M e Boris Perrod se sont rencontrés fortuitement à la poste. Par courriel du même jour, l'enquêteur a prévenu le Secrétaire général de la DEE que la procédure OHarc ne pourrait pas être close avant la fin de l'année, vu la demande de prolongation annoncée. Il lui signalait également qu'il avait croisé M e Boris Perrod le matin même, alors qu'il le croyait en vacances, et que ce dernier semblait ne pas avoir particulièrement apprécié qu'il exprime sa surprise. Une trentaine de minutes plus tard, M e Boris Perrod s'est adressé à l'enquêteur par courriel (et pli postal). Se référant à leur discussion, il prenait acte que, conformément à sa demande, il s'adresserait désormais à lui "non pas en tant que 'Confrère' mais en tant que représentant de l'autorité". Il s'étonnait en outre de l'intention de l'enquêteur de peut-être refuser la demande de prolongation de délai, motif pris de "prétendus velléités de [sa] part de vouloir faire durer artificiellement la procédure, soit un prétendu comportement dilatoire", et a produit une copie de ses billets d'avion pour le soir même. Enfin, il a précisé qu'un refus de prolonger le délai entraînerait une demande de récusation.
Le 27 novembre 2018, l'enquêteur a accordé la prolongation de délai requise.
A.b. Le 13 décembre 2018, A._ a demandé la récusation de l'enquêteur, au motif qu'il avait fait preuve d'impartialité et d'inimitié à l'endroit de son mandataire.
Par décision du 8 février 2019, la DEE a rejeté la demande de récusation et ordonné la reprise de la procédure OHarc.
B.
Saisie d'un recours contre la décision du 8 février 2019, la I ère Cour administrative du Tribunal cantonal du canton de Fribourg l'a rejeté dans la mesure de sa recevabilité (jugement du 11 juin 2019).
C.
A._ forme un recours constitutionnel subsidiaire. Elle conclut, sous suite de frais et dépens, à la récusation de l'enquêteur avec effet immédiat et répétition des actes accomplis par celui-ci, et à ce que la conduite de l'instruction soit confiée à M e E._. Subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Préalablement, elle requiert la suspension de la procédure OHarc jusqu'à droit connu sur son recours.
Le Tribunal fédéral n'a pas procédé à un échange d'écritures.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 197).
1.2. Selon l'<ref-law>, les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation peuvent faire l'objet d'un recours (al. 1). Ces décisions ne peuvent plus être attaquées ultérieurement (al. 2). En l'espèce, on est en présence d'une décision incidente qui porte sur la récusation et qui est donc susceptible de faire l'objet d'un recours immédiat (cf. arrêt 8C_217/2011 du 1 er juillet 2011 consid. 2.2). Par ailleurs, le recours contre une décision incidente n'est ouvert que si, sur le fond, la cause peut être portée devant le Tribunal fédéral (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 592).
1.3. Selon l'art. 83 let. g LTF, en matière de rapports de travail de droit public (lorsque, comme en l'espèce, la question de l'égalité des sexes n'est pas en cause), le recours en matière de droit public est irrecevable contre des décisions qui concernent une contestation non pécuniaire. En matière pécuniaire, le recours n'est en principe recevable que si la valeur litigieuse atteint 15'000 fr. (<ref-law>). En cas de recours contre une décision préjudicielle ou incidente, la valeur litigieuse est déterminée par les conclusions restées litigieuses devant l'autorité compétente sur le fond (art. 51 al. 1 let. c LTF).
1.4. En l'espèce, la recourante a formé un recours constitutionnel subsidiaire, considérant être en présence d'une contestation non pécuniaire. Cette question peut toutefois demeurer indécise en l'état. En effet, en l'absence de plus amples explications et de toute décision sur le fond de la cause, il n'est pas possible d'admettre que la valeur litigieuse atteindrait le seuil de 15'000 fr. ouvrant la voie du recours en matière de droit public. Il s'ensuit que le recours constitutionnel subsidiaire est donc en principe recevable.
2.
2.1. Le recours constitutionnel peut être formé pour violation des droits constitutionnels (<ref-law>). Aux termes de l'<ref-law>, applicable par renvoi de l'<ref-law>, le Tribunal fédéral n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant. Cette disposition reprend le principe strict de l'allégation (Rügeprinzip) selon lequel l'acte de recours doit, sous peine d'irrecevabilité, contenir un exposé succinct des droits constitutionnels ou des principes juridiques violés et démontrer, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 579).
2.2. Saisi d'un recours constitutionnel subsidiaire, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut rectifier les constatations de celle-ci que si les faits ont été établis en violation de droits constitutionnels (<ref-law> en relation avec l'<ref-law>), soit en particulier s'ils ont été établis de manière arbitraire, ce qui correspond à la notion de "manifestement inexacte" figurant à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 244; <ref-ruling> consid. 2 p. 117).
3.
Les juges cantonaux ont retenu, en résumé, que la demande de l'enquêteur de ne plus s'adresser à lui en tant que "Confrère" n'est pas de nature à faire naître un doute sur son impartialité, ni à témoigner d'une quelconque antipathie à l'égard du mandataire de la recourante. La rectification était du reste compréhensible et justifiée dans son principe. En outre, la même remarque avait été adressée par oral au mandataire de la partie adverse. En ce qui concernait l'intention éventuelle de refuser la demande de prolongation de délai en raison du caractère dilatoire de sa motivation, l'intervention de l'enquêteur était inopportune et regrettable. Cette irrégularité procédurale ne revêtait toutefois pas une gravité telle qu'elle justifiait la récusation de son auteur. Les juges cantonaux ont relevé en particulier qu'immédiatement après leur entrevue, alors qu'il n'avait pas encore reçu le courriel de M e Boris Perrod, l'enquêteur avait avisé la DEE du fait qu'il allait accepter la prolongation de délai requise. Enfin, les premiers juges n'ont pas non plus suivi le point de vue de la recourante, selon lequel l'enquêteur aurait fait preuve de partialité lorsque, au cours de l'audition de B._, il a déclaré que ce dernier était "assez diplomatique" dans ses remarques lors des évaluations. Relevant que l'enquêteur ne disposait pas d'un pouvoir décisionnel, ils ont considéré que ce qualificatif était pour le moins ambivalent et excluait toute manifestation de prévention à l'égard de la recourante.
4.
4.1. Se plaignant d'un établissement arbitraire des faits, la recourante reproche à la juridiction cantonale de n'avoir pas retenu plusieurs éléments de fait, lesquels auraient permis de démontrer une apparence de prévention et un comportement contraire à la bonne foi de la part de l'enquêteur. Elle en déduit une violation de l'art. 29 al. 1 Cst. en lien avec l'art. 9 Cst.
A l'appui de ces griefs, elle fait valoir que la mission confiée à l'enquêteur comprend la rédaction d'un projet de décision au fond, de sorte que les premiers juges ne pouvaient pas retenir qu'il ne disposait pas d'un pouvoir décisionnel. De son avis, l'enquêteur est en réalité un membre de facto de l'autorité ou, à tout le moins, un expert. En outre, la recourante soutient que l'injonction de l'enquêteur de ne pas s'adresser à lui par le terme "Confrère" était injustifiée (car faite hors du cadre formel de la procédure OHarc), inappropriée, rabaissante et dédaigneuse. Elle invoque également deux tentatives, par l'enquêteur, de "dissimulation de son comportement litigieux", parce qu'il n'aurait pas daigné transmettre à l'avocat de la partie adverse son courriel du 26 novembre 2018, puis parce qu'il aurait nié les propos tenus lors de la rencontre. La recourante soutient enfin qu'en qualifiant de diplomatiques les remarques de B._ lors des entretiens d'évaluation, l'enquêteur a porté un jugement de valeur incontestablement positif sur celui-ci en relation avec la problématique centrale d'harcèlement moral. Elle fait ensuite valoir que ce jugement de valeur est mal fondé.
4.2. En l'occurrence, la recourante ne fait aucune démonstration du caractère arbitraire de l'état de fait du jugement attaqué mais se contente de substituer sa propre appréciation à celle de la juridiction précédente. Tel est le cas en particulier lorsqu'elle soutient que la demande de l'enquêteur sur la manière de l'interpeller est rabaissante ou dédaigneuse. Dans tous les cas, comme l'ont retenu les premiers juges, cette remarque ne reflète pas une antipathie à l'égard de la recourante ou de son mandataire dès lors qu'elle a également été formulée au mandataire de la partie adverse. On ne peut pas non plus voir un parti pris hostile à la recourante ni une opinion arrêtée sur les conclusions de l'enquête du fait que l'enquêteur a qualifié certaines remarques de B._ d'assez diplomatiques. Quant au arguments selon lesquels l'enquêteur aurait un pouvoir décisionnel ou devrait être considéré comme un expert, ils ne sont pas de nature à démontrer l'existence d'un motif de prévention. On peine également à saisir la portée de l'argumentation en tant que la recourante invoque une "tentative de dissimulation de l'enquêteur de son comportement litigieux" parce qu'il n'aurait pas daigné transmettre à l'avocat de la partie adverse son courriel du 26 novembre 2018. Quoi qu'il en soit et contrairement à ce qu'elle prétend, son argumentation repose sur une interprétation subjective des circonstances. Il en va de même lorsque la recourante soutient que l'enquêteur a nié le contenu de la discussion parce que les propos qu'elle lui attribue ne ressortent pas expressément de la détermination de celui-ci sur la demande de récusation. Enfin, il n'y a pas lieu d'entrer en matière sur les arguments qui ont trait au harcèlement moral, dans la mesure où ils concernent le fond de la cause et outrepassent l'objet du présent litige. En conclusion, il n'y a pas de motif de s'écarter des faits constatés par la juridiction précédente en tant qu'elle a nié l'existence d'un motif de prévention de l'enquêteur.
Le jugement attaqué n'est dès lors pas critiquable et le recours se révèle manifestement infondé, de sorte qu'il convient de liquider la cause selon la procédure simplifiée prévue à l'<ref-law>.
5.
La cause étant tranchée, la requête tendant à la suspension de la procédure OHarc devient sans objet.
6.
La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à B._, à C._ et à la Ière Cour administrative du Tribunal cantonal du canton de Fribourg.
Lucerne, le 5 août 2019
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Castella