Sachverhalt:
A.
Mit Urteil vom 10. Dezember 2020 sprach das Richteramt Olten-Gösgen, Strafabteilung, A._ schuldig wegen mehrfachen sexuellen Handlungen mit Kindern, mehrfacher Schändung, mehrfacher Pornografie und sexueller Belästigung, und es verurteilte ihn deswegen zu einer Freiheitsstrafe von 30 Monaten (nebst Geldstrafe und Busse). Gleichzeitig entschied es, der Beschuldigte sei bis zum Eintritt der Rechtskraft des Strafurteils, vorläufig "längstens bis am 9. März 2021", in Sicherheitshaft zu behalten. Gegen das Strafurteil wurde Berufung erhoben.
B.
Am 9. März 2021 stellte der Beschuldigte einen Antrag auf unverzügliche Haftentlassung, da die richterlich festgelegte Haftfrist abgelaufen sei. Gleichentags verfügte der Instruktionsrichter der Strafkammer des Obergerichts des Kantons Solothurn im hängigen Berufungsverfahren, die Sicherheitshaft sei provisorisch - nämlich im Hinblick auf einen noch auszufällenden förmlichen Haftprüfungsentscheid der Strafkammer - bis Freitag, 12. März 2021, 12.00 Uhr, zu verlängern.
C.
Im Schriftenwechsel des hängigen Haftprüfungsverfahrens beantragte die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn die Fortdauer der Sicherheitshaft für die Dauer des Berufungsverfahrens. Der Beschuldigte beantragte seine unverzügliche Haftentlassung, da der bisherige Hafttitel am 9. März 2021 abgelaufen sei und keine Haftgründe mehr bestünden; falls keine Haftentlassung verfügt werde, sei im Dispositiv des obergerichtlichen Haftentscheides festzustellen, dass die Sicherheitshaft seit dem 10. März 2021 (und bis zum ausstehenden Haftentscheid) mangels gültigen Hafttitels rechtswidrig gewesen sei.
D.
Am Morgen des 12. März 2021 fällte das Obergericht des Kantons Solothurn, Strafkammer, Instruktionsrichter, folgenden Haftprüfungsentscheid: Es wies den Antrag des Beschuldigten auf sofortige Haftentlassung ab (Dispositiv Ziffer 2), "verlängerte" die Sicherheitshaft "für das weitere Berufungsverfahren bis zur Urteilseröffnung (21.5.2021) " (Dispositiv Ziffer 3), und es stellte fest, dass über das Begehren des Beschuldigten auf Zusprechung einer Entschädigung und Genugtuung sowie über die Kostenfolgen im Endentscheid befunden werde (Dispositiv Ziffer 4). Der Haftentscheid wurde dem Verteidiger des Beschuldigten am 12. März 2021, 09.12 Uhr (vorab per E-Mail) zugestellt. Die postalische Eröffnung erfolgte am 15. März 2021 (Posteingang).
E.
Gegen den Haftentscheid (Verfügung) vom 12. März 2021 des Obergerichts gelangte der Beschuldigte mit Beschwerde vom 14. April 2021 an das Bundesgericht. Er beantragt, das Dispositiv des angefochtenen Entscheides sei "um die Feststellung zu ergänzen, dass die Haft des Beschwerdeführers vom 10. März 2021, 00.00 Uhr, bis zum 11. März 2021, 09.12 Uhr, nicht auf einem richterlichen Entscheid beruhte, der die gesetzlichen Anforderungen gemäss Art. 31 Abs. 1 BV und Art. 5 Ziff. 1 EMRK erfüllte". Zudem seien die Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens (in Abänderung von Dispositiv Ziffer 4 des angefochtenen Entscheides) auf die Staatskasse zu nehmen.
Die Staatsanwaltschaft hat am 22. April 2021 auf eine Stellungnahme verzichtet. Das Obergericht beantragt mit Vernehmlassung vom 23. April 2021 die Abweisung der Beschwerde, soweit auf sie einzutreten ist. Innert der auf den 30. April 2021 angesetzten (fakultativen) Frist ist keine Replik des Beschwerdeführers eingetroffen.

Erwägungen:
1.
Gegenstand des angefochtenen Entscheides ist ein kantonal letztinstanzlicher Haftprüfungsentscheid der Verfahrensleitung des Obergerichts im hängigen Berufungsverfahren (vgl. Art. 231 Abs. 1 lit. b i.V.m. Art. 226 Abs. 4 lit. a sowie Art. 232 f. i.V.m. Art. 227 StPO). Im Hinblick auf die Zulässigkeit der Beschwerde an das Bundesgericht besteht hier eine gesetzliche Ausnahme vom Erfordernis des doppelten kantonalen Instanzenzuges (vgl. Art. 80 Abs. 2 Satz 3 BGG i.V.m. Art. 222, Art. 232 Abs. 2 und Art. 233 StPO).
Der Beschwerdeführer erhebt keine materiellen Einwände gegen die von der Vorinstanz verfügte Weiterdauer der Haft und stellt auch kein Haftentlassungsgesuch. Er verlangt in seiner Beschwerde an das Bundesgericht aber die förmliche Feststellung, dass es während ca. 2-3 Tagen seiner strafprozessualen Inhaftierung an einem formgültigen Hafttitel gefehlt habe. Er rügt, die Vorinstanz habe sich mit der Frage der Rechtswidrigkeit der betreffenden Haft weder in den Erwägungen noch im Dispositiv des angefochtenen Entscheides auseinandergesetzt, obwohl er entsprechende Rechtsbegehren gestellt habe. Dies sei bundesrechtswidrig und verletze, neben den Bestimmungen der StPO, Art. 31 BV und Art. 5 EMRK.
Die Sachurteilsvoraussetzungen von Art. 78 ff. BGG sind grundsätzlich erfüllt.
2.
2.1. Das erstinstanzliche Gericht entscheidet mit dem Strafurteil, ob eine verurteilte Person im Hinblick auf das Berufungsverfahren in Sicherheitshaft zu setzen oder zu behalten ist (Art. 231 Abs. 1 lit. b StPO). Der Haftrichter kann in seinem Entscheid eine Höchstdauer der Untersuchungshaft festlegen (Art. 226 Abs. 4 lit. a StPO). Wenn eine richterlich verfügte und ausdrücklich befristete strafprozessuale Haft fortgesetzt werden soll, muss der Verlängerungsentscheid rechtzeitig vor Ablauf des bisherigen richterlichen Hafttitels erfolgen (vgl. Art. 227 Abs. 2 StPO; <ref-ruling> E. 2.3 S. 96 f.). Falls das erstinstanzliche Gericht eine bereits bestehende Sicherheitshaft im Hinblick auf das Berufungsverfahren nicht befristet hat, prüft die Verfahrensleitung des Berufungsgerichtes die Haft hingegen nur auf Begehren des Inhaftierten hin (Art. 233 StPO); eine periodische Haftprüfung von Amtes wegen (im Sinne von Art. 227 Abs. 1 i.V.m. Abs. 7 StPO) entfällt (<ref-ruling> E. 2.2-2.3 S. 188-191; Urteil 1B_514/2018 vom 3. Dezember 2018 E. 2).
Wie sich aus den Akten ergibt, hat es im vorliegenden Fall zwischen dem 10. März 2021 (00.00 Uhr) und dem 12. März 2021 (09.12 Uhr) an einem gültigen Hafttitel gefehlt, nachdem die vom erstinstanzlichen Strafgericht auf längstens 9. März 2021 (24.00 Uhr) festgelegte Haftfrist im anhängig gemachten Berufungsverfahren abgelaufen war. Die Bezeichnung (eines fehlenden Hafttitels) "bis zum 11. März 2021, 09.12 Uhr", gemäss Rechtsbegehren der Beschwerdeschrift, ist offenbar irrtümlich erfolgt, da der Haftprüfungsentscheid vom 12. März 2021 datiert und der Beschwerdeführer andernorts (mit Hinweis auf die Akten) auch zutreffend geltend macht, der angefochtene Entscheid sei ihm "am 12. März 2021, um 09.12 Uhr, vorab per E-Mail zugestellt" worden (Beschwerdeschrift, S. 5 Rz. 13).
Für die Zeit zwischen dem 10. März und dem 12. März 2021 (09.12 Uhr) konnten weder der am 9. März 2021 bereits abgelaufene Hafttitel des erstinstanzlichen Gerichtes, noch die provisorische prozessleitende Verfügung vom 9. März 2021, im Hinblick auf die hängige Haftprüfung durch die Berufungsinstanz, einen ausreichenden (neuen) Hafttitel bilden, zumal ein gültiger Haftentscheid nur zustande kommt, wenn der beschuldigten Person und der Staatsanwaltschaft vorgängig das rechtliche Gehör eingeräumt wurde (vgl. Art. 29 Abs. 2 i.V.m. Art. 31 Abs. 1 BV; Art. 225, Art. 227 Abs. 3 und Art. 232 Abs. 1 StPO). Eine bereits abgelaufene Haftfrist ist im Übrigen schon definitionsgemäss nicht "verlängerbar"; die Sicherheitshaft müsste dann (bei Vorliegen von ausreichenden Haftgründen) von Amtes wegen neu angeordnet werden (vgl. Art. 232 StPO).
2.2. Beschuldigte Personen, deren strafprozessuale Haft andauert, haben grundsätzlich ein selbstständiges aktuelles Rechtsschutzinteresse (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 BGG) an der von ihnen beantragten Feststellung, sie seien von unrechtmässiger Haft betroffen gewesen, weil ein gültiger Hafttitel zwischenzeitlich gefehlt habe (Urteil 1B_270/2017 vom 28. Juli 2017 E. 1.4).
Nach der Praxis des Bundesgerichtes führt das vorübergehende Fehlen eines Hafttitels im Berufungsverfahren nicht zwangsläufig zur Haftentlassung (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.2-2.4 S. 97; zit. Urteil 1B_270/ 2017 E. 2). Zwar können der Ablauf von richterlichen Haftfristen (vgl. Art. 212 Abs. 2 lit. b i.V.m. Art. 226 Abs. 4 lit. a und Art. 227 Abs. 7 StPO) oder die Verletzung des Beschleunigungsgebotes in Haftsachen (Art. 5 Abs. 2 StPO) in gewissen Konstellationen einen Haftentlassungsgrund nach sich ziehen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 80; Urteil 1B_299/2015 vom 28. September 2015 E. 5-6; vgl. Albertini/Armbruster, in: Basler Kommentar StPO, 2. Aufl. 2014, Art. 212 N. 11; François Chaix, in: Code de procédure pénale suisse, Commentaire Romand, 2. Aufl. 2019, Art. 212 N. 8 f.; Marc Forster, BSK StPO, Art. 227 N. 2; Ulrich Weder, in: Zürcher Kommentar StPO, 3. Aufl. 2020, Art. 212 N. 10-12). Dabei ist auch der Unschuldsvermutung zugunsten von strafprozessual Inhaftierten (vor einer allfälligen rechtskräftigen Verurteilung) Rechnung zu tragen (Art. 10 Abs. 1 StPO). Im vorliegenden Fall geht es jedoch um die Fortdauer von Sicherheitshaft im Berufungsverfahren nach erfolgter erstinstanzlicher Verurteilung des Beschuldigten. Die Verfahrensleitung des Berufungsgerichtes hat es zwar versäumt, rechtzeitig vor Ablauf der durch das erstinstanzliche Strafgericht festgelegten Haftfrist die Sicherheitshaft förmlich zu verlängern. Am Tage des Ablaufs des Hafttitels (9. März 2021) verfügte der vorinstanzliche Instruktionsrichter lediglich prozessleitend eine provisorische Haftverlängerung bis zur förmlichen Haftprüfung. Vor und nach dieser vorübergehend formell unrechtmässigen Inhaftierungsphase haben die zuständigen kantonalen Haftgerichte die materiellen Haftgründe aber mehrmals geprüft und als erfüllt erachtet. Zudem beschränkte sich das zwischenzeitliche Fehlen eines formgültigen Hafttitels im Berufungsverfahren unbestrittenermassen auf die Dauer von bloss knapp drei Tagen.
Bei dieser Sachlage drängte sich hier, wie die Vorinstanz im Ergebnis zutreffend entschieden hat, keine Haftentlassung allein aufgrund des fraglichen Verfahrensfehlers von Bundesrechts wegen auf. Der Beschwerdeführer stellt denn im Verfahren vor dem Bundesgericht auch konsequenterweise kein Haftentlassungsgesuch mehr.
2.3. Hingegen hat sich die Vorinstanz mit dem vom Beschuldigten ausdrücklich gerügten Wegfall eines gültigen Hafttitels (ab 9. März 2021, 24.00 Uhr) nicht nachvollziehbar befasst (vgl. dazu nachfolgend, E. 2.4). Sie hat sich auf die Prüfung beschränkt, ob am 12. März 2021 weiterhin ausreichende materielle Haftgründe bestanden. Mangels eines gültigen strafprozessualen Hafttitels ist die Inhaftierung des Beschwerdeführers zwischen dem 10. März 2021 (00.00 Uhr) und dem 12. März 2021 (09.12 Uhr) als formell rechtswidrig zu qualifizieren. In solchen Fällen ist die Unrechtmässigkeit von erstandener Haft im Dispositiv des Haftprüfungsentscheides festzustellen (<ref-ruling> E. 2.3.2-2.4 S. 97; zit. Urteil 1B_270/2017 E. 2; Urteil 1B_258/2013 vom 26. August 2013 E. 2; vgl. Frei/Zuberbühler Elsässer, ZHK StPO, Art. 227 N. 10). Eine analoge Praxis des Bundesgerichtes gilt grundsätzlich auch für andere Formfehler im Haftprüfungsverfahren, etwa wegen Verletzung des Beschleunigungsgebotes in Haftsachen bzw. von haftrechtlichen Fristbestimmungen oder wegen Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 98; <ref-ruling> E. 2.3 S. 278; Urteile 1B_443/2016 vom 12. Dezember 2016 E. 3.3 und 4.3; 1B_330/2015 vom 15. Oktober 2015 E. 4.2, 4.4 und 5; 1B_299/2015 vom 28. September 2015 E. 5-6; 1B_203/2015 vom 1. Juli 2015 E. 5; 1B_291/2014 vom 8. September 2014 E. 3; je mit Hinweisen).
2.4. Gestützt auf diese konstante Praxis des Bundesgerichtes hat der Beschwerdeführer schon im vorinstanzlichen Verfahren ausdrücklich das Rechtsbegehren gestellt, es sei, falls keine Haftentlassung verfügt werde, wenigstens im Dispositiv des Haftprüfungsentscheides festzustellen, dass die Haft seit dem 10. März 2021 (mangels formgültigen Hafttitels) rechtswidrig gewesen sei; dies als Anspruchsgrundlage für ein akzessorisches Begehren um Entschädigung und Genugtuung (vgl. angefochtener Entscheid, E. 1.5 S. 3).
Weder im Dispositiv ihres Haftprüfungsentscheides noch in ihren Erwägungen hat die Vorinstanz die Rechtswidrigkeit der fraglichen Haft festgestellt. Zur Frage des am 9. März 2021 abgelaufenen Hafttitels erwägt die Vorinstanz lediglich Folgendes: Zwar sei unbestritten, dass die vom erstinstanzlichen Strafgericht angeordnete Sicherheitshaft "am 9. März 2021 endete"; der Instruktionsrichter des Berufungsgerichtes habe jedoch noch gleichentags provisorisch verfügt, dass der Beschuldigte über den 9. März 2021 hinaus noch bis am 12. März 2021 in Sicherheitshaft zu verbleiben habe. Die Rechtsgrundlage für die Sicherheitshaft nach dem Erlass des erstinstanzlichen Urteils bilde Art. 231 Abs. 1 StPO (angefochtener Entscheid, E. 2.1 S. 3).
Diesen Erwägungen lässt sich nicht entnehmen, dass die Vorinstanz einen vorübergehend fehlenden Hafttitel beanstandet bzw. die betreffende Haft (zwischen dem 10. März und dem 12. März 2021, 09.12 Uhr) als rechtswidrig bezeichnet hätte. Die Vorinstanz scheint eher die unzutreffende Ansicht zu vertreten, die prozessleitende provisorische Verfügung vom 9. März 2021 des Instruktionsrichters des Berufungsgerichtes sei als formgültiger Hafttitel im Sinne von Art. 31 BV zu betrachten. Im Dispositiv (Ziffer 4) des angefochtenen Entscheides wird lediglich noch gesagt, über ein Haftentschädigungsbegehren des Beschuldigten werde "im Endentscheid befunden". Dass die Vorinstanz den fraglichen Formfehler und die vorübergehende Rechtswidrigkeit der Haft nicht im Dispositiv festgestellt hat, hält in der vorliegenden Konstellation vor dem Bundesrecht nicht stand. Insofern ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen.
3.
Da die Vorinstanz dem Beschwerdeführer keinerlei Kosten auferlegt hat, ist auf sein weiteres Rechtsbegehren, das Dispositiv des angefochtenen Entscheides sei insofern abzuändern, dass "die Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens auf die Staatskasse zu nehmen" seien, mangels Beschwer (Art. 81 Abs. 1 lit. b BGG) nicht einzutreten.
4.
Die Beschwerde ist teilweise gutzuheissen. Das Dispositiv des angefochtenen Entscheides ist dahingehend zu ändern, dass die Rechtswidrigkeit der Haft zwischen dem 10. März (00.00 Uhr) und dem 12. März 2021 (09.12 Uhr) mangels formgültigen Hafttitels festgestellt wird. Im Kostenpunkt ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
Gerichtskosten sind nicht zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und Abs. 4 BGG). Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers ist eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, und dem Dispositiv der Verfügung vom 12. März 2021 des Obergerichts des Kantons Solothurn, Strafkammer, Einzelrichter, wird folgende Ziffer 3a hinzugefügt:
"Es wird festgestellt, dass die Sicherheitshaft des Beschuldigten zwischen dem 10. März (00.00 Uhr) und dem 12. März 2021 (09.12 Uhr) mangels formgültigen Hafttitels rechtswidrig war."
2.
Im Übrigen wird auf die Beschwerde nicht eingetreten.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Der Kanton Solothurn (Kasse der Staatsanwaltschaft) hat dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Thomas Fingerhuth, eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.-- (pauschal, inkl. MWST) zu entrichten.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Mai 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Forster