Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ war seit ca. 2001 bei der Anstalt B._ als Kassier/Geschäftsführer angestellt. Zuvor war er bereits (ehrenamtlich) als Mitglied des Administrativrates für die Anstalt B._ tätig gewesen. Sein Arbeitspensum wurde während seiner Anstellung von einem ursprünglich 50 %-Pensum auf 80 % erhöht. Als Kassier/ Geschäftsführer besass er Einzelzeichnungsberechtigung. Er hatte Zugriff auf die Konten der Anstalt B._ und war u.a. zuständig für das Finanz- und Rechnungswesen.
A.b. Gleichzeitig war A.A._ beim Kanton Luzern in der Strafvollzugsanstalt C._ in einem 100 %-Pensum angestellt, seit 1. Oktober 2002 als Leiter des Aufsichtsdienstes. Als der Kanton Luzern feststellte, dass A.A._ bei der Anstalt B._ seit Jahren einer (unbewilligten) Nebenbeschäftigung nachging, löste er das Arbeitsverhältnis mit Entscheid vom 19. August 2013 per Ende November 2013 auf und stellte ihn per sofort frei. Das Kantonsgericht wies die dagegen erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit Entscheid 7H 13 99 vom 11. Juni 2014 ab, soweit es darauf eintrat.
A.c. Im Rahmen der Prüfung der Jahresrechnung 2012 stellte die Anstalt B._ hohe Vergütungen und Spesen fest, weshalb sie die Kontrollstelle (resp. Rechnungskommission) der Anstalt B._ beauftragte, anhand der einzelnen Belege die Berechtigung und die ordnungsgemässe Abrechnung zu prüfen. Die Kontrollstelle zeigte in ihrem Bericht vom 15. April 2014 auf, dass A.A._ sich im Rechnungsjahr 2012 neben einem ordentlichen Honorar in Höhe von Fr. 80'990.- für Autospesen, Parkgebühren, zusätzliche Stundenvergütungen und Büromiete Entschädigungen in Höhe von Fr. 60'794.30 ausbezahlt hatte. Ferner stellte sich im Zuge dieser Überprüfung heraus, dass A.A._ seine Tochter angestellt resp. regelmässig Lohnzahlungen für sie auf sein eigenes Konto ausgelöst hatte. Die Untersuchung der Anstalt B._ schloss mit einem Bericht vom 13. Mai 2014 über die Ergebnisse und mit Weisungen und Empfehlungen an die Anstalt B._.
A.d. In Erfüllung der Weisungen des Synodalverwalters beauftragte die Anstalt B._ eine externe Revisionsstelle, die D._ AG, mit einer Spezialprüfung der Geschäftsjahre 2009-2013. Aus dem Bericht vom 15. September 2014 geht hervor, dass in der überprüften Periode A.A._ zum einen seiner Tochter Entschädigungen in Höhe von Fr. 228'180.- (bestehend aus einem Gehalt [Fr. 212'580.-] und Spesen [Fr. 15'600.-]) und zum anderen für sich selber neben seinem ordentlichen Lohn Vergütungen im Umfang von Fr. 225'277.70 (für Autospesen Fr. 119'001.70, Büromiete Fr. 51'000.- und Stundenvergütungen/Projektspesen Fr. 55'276.-) ausbezahlt hatte.
A.e. Aufgrund der internen Untersuchung und des externen Spezialprüfungsberichts sowie nach Gewährung des rechtlichen Gehörs kündigte die Anstalt B._ mit Verfügung vom 27. Januar 2015 das Arbeitsverhältnis mit A.A._ ordentlich auf den 30. April 2015 und stellte ihn per sofort frei. Zudem reichte sie gegen ihn Strafanzeige u.a. wegen Veruntreuung und ungetreuer Geschäftsbesorgung ein. Das Kantonsgericht wies die Verwaltungsgerichtsbeschwerde von A.A._ gegen den Kündigungsentscheid ab, soweit es darauf eintrat (Entscheid 7H 15 57 vom 27. August 2015). Der Entscheid erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
B.
Am 6. September 2016 reichte die Anstalt B._ verwaltungsrechtliche Klage gegen A.A._ ein. Sie verlangte von ihm Schadenersatz in Höhe von Fr. 584'080.10 zuzüglich Zins von 5 % seit 1. Januar 2010, unter Vorbehalt der Mehrforderung nach Abschluss des Strafuntersuchungsverfahrens resp. unter Vorbehalt der Anrechnung einer allfälligen Ersatzzahlung aus dem Strafverfahren. Zudem beantragte sie die Beseitigung des Rechtsvorschlags in der Betreibungs-Nr. 215428 des Betreibungsamtes E._ im Betrag von Fr. 466'771.95 zuzüglich Zins von 5 % seit 16. September 2015 sowie im Betrag von Fr. 100'490.60. Weiter beantragte sie auch die Beseitigung des Rechtsvorschlags in der Betreibungs-Nr. 215516 des Betreibungsamtes E._ im Betrag von Fr. 28'496.60 zuzüglich Zins von 5 % seit 1. Januar 2008. Der Beklagte schloss auf vollumfängliche Abweisung der Klage. Am 31. Oktober 2018 führte das Gericht eine Instruktions- und Einigungsverhandlung durch, welche indessen zu keinem Vergleich zwischen den Parteien führte.
Mit Entscheid vom 28. Februar 2020 hiess das Kantonsgericht die Klage der Anstalt B._ teilweise gut und verpflichtete A.A._, der Anstalt B._ den Betrag von Fr. 195'928.15 nebst Zins zu 5 % seit 1. August 2011 zu bezahlen. Im Mehrbetrag wies es die Klage ab (Ziffer 1). Die Begehren um Beseitigung der Rechtsvorschläge in den Betreibungen Nrn. 215428 und 215516 des Betreibungsamtes E._ wies es ab (Ziffer 2). Die Kosten des Verfahrens von Fr. 24'000.- auferlegte es zu zwei Dritteln (Fr. 16'000.-) der Klägerin und zu einem Drittel (Fr. 8000.-) dem Beklagten (Ziffer 3). Schliesslich verpflichtete das Gericht die Anstalt B._ dazu, A.A._ eine Parteientschädigung von Fr. 12'000.- zu bezahlen (Ziffer 4).
C.
C.a. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Verfahren 8C_255/2020) lässt A.A._ beantragen, Ziffer 1 des angefochtenen Entscheids sei im Umfang, in dem die Klage teilweise gutgeheissen werde, aufzuheben. Ziffern 3 und 4 seien aufzuheben und sämtliche amtlichen Kosten zu Lasten der Anstalt B._ zu verlegen. Diese sei zudem zu verpflichten, ihm für das vorinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 16'000.- zu bezahlen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Schliesslich ersucht er um Gewährung der aufschiebenden Wirkung.
Die Anstalt B._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Sie beantragt zudem die Abweisung des Gesuchs um Gewährung der aufschiebenden Wirkung. Die Vorinstanz verzichtet auf eine Vernehmlassung und beantragt die Abweisung der Beschwerde.
A.A._ hält in einer weiteren Eingabe an seinen Anträgen fest.
C.b. Auch die Anstalt B._ erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Verfahren 8C_279/2020) und beantragt, es sei die Ziffer 1 des angefochtenen Entscheids insoweit abzuändern, als A.A._ zu verpflichten sei, ihr Fr. 526'284.33 zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 1. August 2011 (mittlerer Verfalltag) zu bezahlen. Zudem seien die Ziffern 3 und 4 aufzuheben und die amtlichen Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens im Betrag von Fr. 24'000.- A.A._ aufzuerlegen unter Einräumung eines Rückgriffsrechts der Anstalt B._ für den von ihr geleisteten Kostenvorschuss im Betrag von Fr. 12'000.-. Weiter sei A.A._ zu verpflichten, ihr für das vorinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung im Betrag von Fr. 24'000.- zu bezahlen. Eventualiter sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung resp. Ergänzung des Sachverhalts (Durchführung eines Beweisverfahrens) an die Vorinstanz zurückzuweisen.
A.A._ beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten. Eventualiter sei sie vollumfänglich abzuweisen.
Die Vorinstanz schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
C.c. Mit Verfügung vom 16. Oktober 2020 erteilte das Bundesgericht der Beschwerde von A.A._ aufschiebende Wirkung.

Erwägungen:
1.
Da den beiden Beschwerden derselbe Sachverhalt zugrunde liegt, sich die gleichen Rechtsfragen stellen und die Rechtsmittel den nämlichen vorinstanzlichen Entscheid betreffen, rechtfertigt es sich, die Verfahren 8C_255/2020 und 8C_279/2020 zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu erledigen (<ref-ruling> E. 1 S. 60 f., 128 V 124 E. 1 S. 126 mit Hinweisen; vgl. Urteil 8C_557/2019 vom 27. Januar 2020 E. 1).
2.
2.1. Der angefochtene Entscheid ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG) und betrifft ein öffentlich-rechtliches Arbeitsverhältnis, d.h. eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinn von <ref-law>. So handelt es sich bei der Anstalt B._ der römisch-katholischen Kirche des Kantons Luzern um eine mittels Synodalgesetz errichtete öffentlich-rechtliche Anstalt der römisch-katholischen Landeskirche des Kantons Luzern (vgl. § 7 Abs. 3 der Verfassung der römisch-katholischen Landeskirche des Kantons Luzern [GS I/Nr. 1]; § 1 des Synodalgesetzes über die römisch-katholische Migrantenseelsorge im Kanton Luzern [GS I/Nr. 41]). Die Landeskirchen sowie deren öffentlich-rechtliche Körperschaften können die Arbeitsverhältnisse ihrer Angestellten durch rechtsetzende Erlasse selbstständig regeln (§ 1 Abs. 4 i.V.m. § 2 lit. c des Gesetzes über das öffentlich-rechtliche Arbeitsverhältnis [PG; SRL Nr. 51]). Gemäss § 33 Abs. 1 der römisch-katholischen Kirchenverfassung ist grundsätzlich das kantonale Personalgesetz sinngemäss anwendbar. Sodann geht es um eine vermögensrechtliche Streitigkeit, weshalb der Ausschlussgrund von <ref-law> nicht gegeben ist. Die Streitwertgrenze von Fr. 15'000.- (Art. 51 Abs. 1 lit. a, Art. 85 Abs. 1 lit. b BGG) ist erreicht.
2.2. Entgegen den Vorbringen des A.A._ erfolgte die Beschwerde der Anstalt B._ vom 11. Mai 2020 rechtzeitig: Die hier massgebliche Frist von 30 Tagen (<ref-law>) begann am Tag nach der Eröffnung des vorinstanzlichen Entscheids (13. März 2020), also am 14. März 2020 (<ref-law> i.V.m. <ref-law>) zu laufen. Sie wurde verlängert durch die Verordnung vom 20. März 2020 über den Stillstand der Fristen in Zivil- und Verwaltungsverfahren zur Aufrechterhaltung der Justiz im Zusammenhang mit dem Coronavirus (COVID-19; ehemals SR 173.110.4) vom 21. März bis zum 19. April 2020. Die Frist endete demnach am Dienstag, 12. Mai 2020 (<ref-law>).
2.3. Auf die beiden Beschwerden ist demnach einzutreten.
3.
3.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1 S. 236 mit Hinweisen).
3.2. Die richtige Anwendung des kantonalen Rechts als solches bildet nicht Beschwerdegrund und es kann nur überprüft werden, ob der angefochtene Entscheid auf willkürlicher Gesetzesanwendung beruht oder ob das Gesetz oder seine Anwendung auf andere Weise gegen übergeordnetes Recht verstösst (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 227 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 60 f.; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 251 f.; Urteil 2C_959/2014 vom 24. April 2015 E. 1.3 i.f.). Eine willkürliche Anwendung kantonalen Rechts liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch dessen Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar als zutreffender erscheinen mag, genügt nicht (<ref-ruling> E. 7.3 S. 174 f.; <ref-ruling> E. 4.2 S. 516; <ref-ruling> E. 2.2 S. 72; je mit Hinweisen).
3.3. In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten, einschliesslich einer willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht, gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 306 mit Hinweisen). Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Macht die Beschwerde führende Partei eine Verletzung des Willkürverbots von <ref-law> geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich. Sie hat vielmehr anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern dieser offensichtlich unhaltbar ist (BGE <ref-ruling> E. 1.3 S. 59 f.; <ref-ruling> E. 3 S. 351 f.; Urteil 8C_910/2014 vom 20. März 2015 E. 3). Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid geht das Bundesgericht nicht ein (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 253; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266; Urteil 8C_812/2019 vom 19. Mai 2020 E. 2.4).
3.4. Des Weiteren legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat; es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz auf entsprechende Rüge hin oder von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Offensichtlich unrichtig bedeutet dabei willkürlich (<ref-ruling> E. 2 S. 190; <ref-ruling> E. 2 S. 117).
3.5. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der vorinstanzliche Entscheid dazu Anlass gibt (<ref-law>).
Die Anstalt B._ legt letztinstanzlich unter anderem die Anklageschrift der Staatsanwaltschaft, Abteilung 5 Wirtschaftsdelikte, vom 18. Dezember 2019 und ein Einvernahmeprotokoll der Staatsanwaltschaft vom 10. Oktober 2019 ins Recht. Sie begründet die Zulässigkeit dieser Beweismittel damit, dass die Vorinstanz unerwartet und grundlos von den festgestellten Pflichtverletzungen im Entscheid 7H 15 57 vom 27. August 2015 abgewichen sei sowie mit einer Gehörsverletzung resp. einer Verletzung der Untersuchungspflicht, indem die Vorinstanz auf veraltete Strafakten abgestellt habe. Wie sich aus dem Folgenden ergibt, ist eine Gehörsverletzung der Vorinstanz allerdings zu verneinen (vgl. E. 5 hiernach). Zudem durfte die Anstalt B._ nicht davon ausgehen, dass die Ausführungen des kantonalen Gerichts im Entscheid betreffend Kündigungsanfechtung für das Klageverfahren präjudizielle Wirkung entfaltet. Es ist im Weiteren nicht ersichtlich, weshalb sie diese Dokumente nicht schon im kantonalen Verfahren hätte vorlegen können (vgl. auch E. 5.4.4 hiernach). Die neuen Beweismittel sind daher als unechte Noven unzulässig und bleiben unbeachtlich.
Gleich verhält es sich mit der von A.A._ letztinstanzlich eingereichten Spesenabrechnung von F._ für das Jahr 2014 und dem neu aufgelegten E-Mail vom 2. Januar 2012. Es ist nicht einsichtig, weshalb er diese Dokumente nicht bereits im kantonalen Verfahren hätte beibringen können.
4.
4.1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie eine Schadenersatzpflicht des A.A._ bejahte. Umstritten ist auch der Umfang der Ersatzpflicht.
4.2. Gegen die Abweisung der Begehren um Beseitigung der Rechtsvorschläge erhebt die Anstalt B._ keine Einwände. Darauf ist nicht weiter einzugehen.
5.
Zunächst ist die von beiden Parteien erhobene formelle Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) zu behandeln. Beide Parteien machen geltend, vor dem kantonalen Gericht habe kein Beweisverfahren stattgefunden resp. Beweisanträgen sei nicht stattgegeben worden.
5.1. Der aus <ref-law> fliessende Anspruch auf rechtliches Gehör ist formeller Natur. Seine Verletzung führt ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids (<ref-ruling> E. 2.2 S. 197). Das rechtliche Gehör dient einerseits der Sachaufklärung und stellt anderseits ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheids dar, der in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Dazu gehört insbesondere das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines solchen Entscheids zur Sache zu äussern, erhebliche Beweise beizubringen, Einsicht in die Akten zu nehmen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 190; <ref-ruling> E. 2b S. 56 mit Hinweis). Dem Mitwirkungsrecht entspricht die Pflicht der Behörde, die Argumente und Verfahrensanträge der Partei entgegenzunehmen und zu prüfen sowie die ihr rechtzeitig und formrichtig angebotenen Beweismittel abzunehmen, es sei denn, diese beträfen eine nicht erhebliche Tatsache oder seien offensichtlich untauglich, über die streitige Tatsache Beweis zu erbringen (<ref-ruling> E. 2 S. 242 mit Hinweisen).
5.2. Mit einem Editionsgesuch wird der Beizug zusätzlicher, noch nicht bei den Gerichtsakten liegender Unterlagen verlangt. Es handelt sich um einen Beweisantrag, der - anders als das Akteneinsichtsgesuch - abgewiesen werden darf, wenn die begehrten Unterlagen für den Verfahrensausgang nicht relevant erscheinen, insbesondere weil die Tatsachen, welche sie belegen sollen, nicht rechtserheblich sind (<ref-ruling> E. 3 S. 157 mit Hinweisen). Ein Beweisantrag zu rechtserheblichen Sachverhaltselementen kann sodann in antizipierter Beweiswürdigung abgewiesen werden, wenn das Gericht auf Grund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 5.3 S. 236 mit Hinweisen).
5.3. Die Anstalt B._ macht geltend, die Parteien hätten sich nicht zum Beweisergebnis nach Abschluss des Beweisverfahrens äussern können. Sie hätten nicht gewusst, wann das Beweisverfahren abgeschlossen sein würde. Es sei ihnen dadurch verwehrt worden, eine Schlussverhandlung nach § 170 Abs. 1 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes des Kantons Luzern (VRG; SRL Nr. 40) zu verlangen, was auch den Anspruch auf Durchführung einer öffentlichen Verhandlung gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletze. Zudem wäre die Vorinstanz nach Ansicht der Anstalt B._ verpflichtet gewesen, die vollständigen und aktualisierten Strafakten einzuholen. Ferner habe das kantonale Gericht den Anspruch der Parteien auf rechtliches Gehör auch dadurch verletzt, dass es seinen Entscheid auf die Strafakten und das Einvernahmeprotokoll vom 24. Januar 2018 gestützt habe, obwohl diese Akten nicht Gegenstand des dreifachen Schriftenwechsels gewesen seien. Die Vorinstanz habe zu Unrecht keine Beweisverfügung erlassen.
5.4.
5.4.1. Nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jedermann Anspruch darauf, dass seine Sache in billiger Weise öffentlich und innerhalb einer angemessenen Frist von einem unabhängigen und unparteiischen, auf Gesetz beruhenden Gericht gehört wird, das über zivilrechtliche Ansprüche und Verpflichtungen oder über die Stichhaltigkeit der gegen ihn erhobenen strafrechtlichen Anklage zu entscheiden hat. Die Öffentlichkeit des Verfahrens soll dazu beitragen, dass die Garantie auf ein "faires Verfahren" tatsächlich umgesetzt wird (<ref-ruling>). Vorliegend sind zivilrechtliche Ansprüche im Sinne dieser Norm streitig (<ref-ruling> E. 2a S. 50). Das kantonale Gericht, welchem es primär obliegt, die Öffentlichkeit der Verhandlung zu gewährleisten (<ref-ruling> E. 1 S. 281; <ref-ruling> E. 3 S. 54), hat bei Vorliegen eines klaren und unmissverständlichen Parteiantrages grundsätzlich eine öffentliche Verhandlung durchzuführen (<ref-ruling> E. 1 S. 281; SVR 2014 UV Nr. 11 S. 37, 8C_273/2013 E. 1.2 mit Hinweisen). Ein während des ordentlichen Schriftenwechsels gestellter Antrag gilt dabei als rechtzeitig (<ref-ruling>; vgl. zum Ganzen: SVR 2017 UV Nr. 30 S. 99, 8C_723/2016 E. 2.1 und 2.2 mit Hinweisen).
5.4.2. Die Vorinstanz weist in ihrer Vernehmlassung im Verfahren 8C_279/2020 zu Recht darauf hin, dass die Anstalt B._ zu keinem Zeitpunkt die Durchführung einer (öffentlichen) Schlussverhandlung beantragt hatte. Es wäre ihr unbenommen gewesen, rechtzeitig ein entsprechendes Gesuch zu stellen. Eine Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK ist damit nicht ersichtlich. Auch eine willkürliche Auslegung von kantonalem Recht ist vorliegend nicht dargetan: Gemäss § 170 Abs. 1 VRG ordnet das Kantonsgericht auf Antrag einer Partei oder von Amtes wegen eine Schlussverhandlung an, wenn eine solche zweckmässig erscheint. Das kantonale Gericht war demnach gestützt auf diese Bestimmung nicht verpflichtet, eine Schlussverhandlung anzuordnen, wenn sie eine solche nicht als zweckmässig erachtete. Daran ändert auch der Umstand nichts, dass der Entscheid der Vorinstanz für die Parteien - wie sie vorbringen - überraschend kam. Die Anstalt B._ legt jedenfalls nicht substanziiert dar, inwiefern die Vorinstanz kantonales Recht willkürlich angewendet oder sonstwie Bundesrecht verletzt haben soll, indem sie den Parteien keine Beweis (schluss) verfügung zustellte. Wie das Kantonsgericht in seiner Vernehmlassung ausführte, ist der Erlass einer solchen Verfügung im VRG denn auch nicht vorgesehen. Eine Gehörsverletzung ergibt sich auch nicht aus der Tatsache, dass der Instruktionsrichter anlässlich der Einigungsverhandlung vom 31. Oktober 2018 darauf hingewiesen hatte, die Sache sei noch nicht spruchreif, da das Beweisverfahren noch nicht abgeschlossen sei. Zum einen erfolgte der Vorbehalt des Beweisverfahrens vorsorglich, wie das kantonale Gericht vernehmlassungsweise überzeugend ausführte; die Einigungsverhandlung basierte auf einer vorläufigen Einschätzung der Sach- und Rechtslage und die Parteien wurden darauf hingewiesen, dass der Instruktionsrichter seine persönliche Auffassung mitteilte, sich jedoch nicht im Namen des ganzen Spruchkörpers äusserte. Zum anderen wäre bis zum angefochtenen Entscheid vom 28. Februar 2020 genügend Zeit verblieben, weitere Akten einzureichen, eine öffentliche Verhandlung zu verlangen oder weitere Beweisanträge zu stellen.
5.4.3. Sodann steht fest, dass die Anstalt B._ von den Akten des Strafverfahrens (Stand: 5. April 2018) Kenntnis erhielt und sie im vorinstanzlichen Verfahren selber ausführte, das Gericht dürfe darauf abstellen. Entgegen ihrer Auffassung war das kantonale Gericht jedenfalls nicht verpflichtet, den Parteien seine konkrete Würdigung von ihnen bekannten Aktenstücken vor dem Entscheid zur Stellungnahme zu unterbreiten (Urteil 9C_334/2019 vom 6. September 2019 E. 5.1 mit Hinweisen).
5.4.4. Ferner hat das kantonale Gericht erwogen, dass im Klageverfahren die Untersuchungsmaxime zu Gunsten der Verhandlungsmaxime eingeschränkt und die Dispositionsmaxime stärker betont sei. Der Anstalt B._ wäre es demnach unbenommen gewesen, bis zum Entscheid der Vorinstanz von sich aus weitere als relevant erachtete Unterlagen aus dem Strafverfahren einzureichen, wie sie das zuvor auch schon mehrfach getan hatte. Vorliegend ging dem angefochtenen Entscheid ein dreifacher Schriftenwechsel voraus, in dem die Parteien ausreichend Gelegenheit hatten, ihren Standpunkt darzulegen und Beweise beizubringen. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs ist insoweit weder erkennbar noch substanziiert geltend gemacht. Ausserdem kann im Umstand, dass die Vorinstanz nicht die aktuellsten Strafakten einholte, keine willkürliche Anwendung von kantonalem Recht erblickt werden. Insbesondere ist eine Anklageschrift der Staatsanwaltschaft nicht einem (rechtskräftigen) Strafurteil gleichzustellen, da diese darin einzig ihre Sichtweise darlegt und sie im gerichtlichen Verfahren Partei ist (vgl. <ref-law>). Dass im Strafverfahren weitere entscheidende, bisher nicht berücksichtigte, Beweise erhoben worden wären, legt die Anstalt B._ sodann nicht dar. Im Übrigen wäre das kantonale Gericht bei der Beurteilung der Schadenersatzansprüche auch nicht an einen allfälligen Entscheid des Strafgerichts gebunden. Dieser Auffassung war auch die Anstalt B._, als sie im kantonalen Verfahren die Abweisung des Gesuchs von A.A._ um Sistierung des Verfahrens bis zum Abschluss des Strafverfahrens beantragte. Zur Begründung führte sie aus, das Kantonsgericht habe über die Schadenersatzforderung selbstständig zu befinden und es liege dabei in seinem Ermessen, ob dem Beweisantrag betreffend Einholung der Strafakten stattgeben werde. Der Beizug der Strafakten erscheine nicht zwingend notwendig. Ausserdem sei der Schadenersatzprozess nicht vom Ausgang des Strafverfahrens abhängig. Die relevanten Einvernahmeprotokolle habe die Anstalt B._ bereits zu den Akten gelegt. In ihrer Eingabe an die Vorinstanz vom 26. April 2018 bekräftigte sie diese Haltung, indem sie die bevorstehende Anklage der Staatsanwaltschaft als für das eigenständige verwaltungsrechtliche Klageverfahren irrelevant und den Sachverhalt als spruchreif bezeichnete. Die Anstalt B._ verhält sich somit widersprüchlich, wenn sie nunmehr im bundesgerichtlichen Verfahren eine Gehörsverletzung rügt und dem Kantonsgericht dabei vorwirft, es habe die aktuellsten Strafakten nicht eingeholt.
5.4.5. Soweit die Rügen der Anstalt B._ die (un) vollständige Sachverhaltsfeststellung betreffen, wird darauf im Rahmen der Behandlung der Rüge der willkürlichen Beweiswürdigung einzugehen sein.
5.5. A.A._ macht ebenfalls eine Gehörsverletzung geltend. Die Vorinstanz habe es unterlassen, die Anstalt B._ zu verpflichten, die 50 Ordner mit den Unterlagen während seiner Tätigkeit Anstalt B._ und sämtliche Buchhaltungsunterlagen wie auch sein damaliges Notebook zu edieren. Auf Letzterem wäre die gesamte E-Mailkorrespondenz zwischen ihm und dem damaligen Präsidenten enthalten gewesen. Auch diese Rüge verfängt nicht. Die Vorinstanz ist in willkürfreier antizipierter Beweiswürdigung zum Schluss gelangt, dass ihre Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 5.3 S. 236 mit Hinweisen). Damit hat sie nicht gegen den Anspruch auf rechtliches Gehör verstossen.
5.6. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, die ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels zur Gutheissung einer der Beschwerden und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids führen würde, liegt nach dem Gesagten nicht vor.
6.
Es stellt sich sodann die Frage, ob die Vorinstanz bei der Bestimmung der massgeblichen Rechtsgrundlage eines Schadenersatzanspruchs der Anstalt B._ Bundesrecht verletzt hat.
6.1. Das Haftungsgesetz des Kantons Luzern (HG; SRL Nr. 23) regelt die Haftung für Schäden, die Angestellte des Gemeinwesens (eingeschlossen die Lehrpersonen und die Fachpersonen der schulischen Dienste) im öffentlich-rechtlichen oder privatrechtlichen Arbeitsverhältnis in Ausübung amtlicher Verrichtungen verursachen (§ 1 Abs. 1 HG). Gemäss § 10 HG haftet der Angestellte dem Gemeinwesen für den Schaden, den er ihm widerrechtlich und vorsätzlich oder grobfahrlässig verursacht hat.
6.2. Das kantonale Gericht erwog, die von der Anstalt B._ geltend gemachten Schädigungen seien von A.A._ nicht bei der Verwirklichung seiner Kernaufgaben als Geschäftsführer/Kassier und somit "in Ausübung amtlicher Verrichtung" im Sinne des Haftungsgesetzes begangen worden. So habe er beispielsweise nicht die Geschäftsführung der Anstalt B._ im externen Verkehr mit Dritten oder im Umgang mit den Standorten mangelhaft ausgeübt. Es werde ihm vielmehr vorgeworfen, sich im Rahmen seiner Anstellung allgemein und losgelöst von seinen eigentlichen Kernaufgaben zu viel Lohn und Spesenvergütungen ausbezahlt und seine Arbeitgeberin so geschädigt zu haben. Folglich sei das HG auf die vorliegende Schadenersatzforderung nicht anwendbar. Stattdessen komme grundsätzlich das Gesetz über das öffentlich-rechtliche Arbeitsverhältnis (Personalgesetz, PG; SRL Nr. 51) zur Anwendung. Dieses regle aber die Haftung des Arbeitnehmers gegenüber der Arbeitgeberin aus Verletzung von Dienstpflichten nicht. Daher seien die Bestimmungen des OR als kantonales Ersatzrecht anwendbar.
6.3. A.A._ wendet dagegen ein, zu seinen Kernaufgaben habe unter anderem die Auszahlung von Löhnen, Spesen und anderen Vergütungen gehört. Er habe somit klar innerhalb seiner Kernaufgaben und als öffentlicher Angestellter in seiner amtlichen Funktion gehandelt. Es bestehe ein funktioneller Zusammenhang zwischen seiner amtlichen Stellung und der angeblichen, bestrittenen, schädigenden Handlung (Auszahlung von zu viel Lohn und Spesenvergütung). Dieser bleibe selbst bei einer selbstständigen Kompetenzerweiterung oder -überschreitung bestehen. Auch die Anstellung seiner Tochter sei in seinen Zuständigkeitsbereich gefallen und somit durchaus "in Ausübung amtlicher Verrichtung" erfolgt.
6.4. Mit diesen Vorbringen vermag A.A._ indessen nicht darzutun, dass die Vorinstanz in willkürlicher Weise den funktionellen Zusammenhang zwischen der schädigenden Handlung und der amtlichen Verrichtung verneint und durch die Nichtanwendung des HG kantonales Recht willkürlich angewendet hat. Dass diesbezüglich eine andere Betrachtungsweise vertretbar oder allenfalls gar vorzuziehen wäre, reicht zur Annahme von Willkür nicht (vgl. E. 3.2 hiervor). Ausserdem zeigte das kantonale Gericht willkürfrei auf, dass sich selbst bei Anwendung des HG nichts zu Gunsten des A.A._ ergäbe. Zum einen habe die Anstalt B._ frühestens ab dem 15. September 2014 (Zeitpunkt der Erstattung des Berichts der D._ AG) Kenntnis des Schadens im Sinne von § 16 Abs. 1 HG gehabt, weshalb die relative Verwirkungsfrist von zwei Jahren mit der Klageeinreichung am 6. September 2016 in jedem Fall eingehalten sei. Die absolute Verwirkungsfrist von fünf Jahren sei ebenfalls bei weitem eingehalten. Zum anderen sei A.A._ - was die Haftungsvoraussetzung des Verschuldens betreffe - zumindest ein grobfahrlässiges Verhalten vorzuwerfen. Demnach hafte er auch nach dem HG für den verursachten Schaden. Auf die Frage des Verschuldens (vgl. E. 11 hiernach) und der Verwirkung (vgl. E. 13 hiernach) wird aber noch zurückzukommen sein.
7.
Weiter ist umstritten, ob die Vorinstanz zu Recht davon ausging, dass die Tochter des A.A._, B.A._, in der Zeit zwischen Januar 2008 und Dezember 2013 in einem 30 %-Pensum für die Anstalt B._ gearbeitet hatte. Während A.A._ vor dem kantonalen Gericht geltend machte, er habe per 1. Januar 2008 30 % seines 80 %-Pensums auf seine Tochter übertragen, vertrat die Anstalt B._ die Ansicht, B.A._ habe nie für sie gearbeitet. Mithin sei von einer fiktiven Anstellung auszugehen.
7.1.
7.1.1. Die Vorinstanz stellte vorab nach Würdigung der vorhandenen Akten und im Wesentlichen gestützt auf das Protokoll der Administrativratssitzung vom 10. Oktober 2007 sowie die Angaben des damaligen Präsidenten, F._, welche dieser als Zeuge unter Wahrheitspflicht und unter der strengen Strafandrohung von <ref-law> anlässlich seiner staatsanwaltschaftlichen Einvernahme vom 20. Mai 2016 machte, fest, das Pensum des A.A._ sei per 1. Januar 2008 von 50 % auf 80 % erhöht worden. Es sei davon auszugehen, dass die betragsmässig budgetierte Erhöhung des Pensums auf Fr. 96'000.- rechtsgültig beschlossen worden sei. Gegenteiliges könne von der Anstalt B._ nicht bewiesen werden.
7.1.2. Die Anstalt B._ rügt diesbezüglich eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz. Sie macht geltend, A.A._ sei bis zur Pensumserhöhung im Jahr 2013 in einem 50 %-Pensum für sie tätig gewesen. Allerdings beschränkt sie sich dabei im Wesentlichen darauf, eine von der Vorinstanz abweichende Beweiswürdigung vorzunehmen. Mit dieser appellatorischen Kritik lässt sich keine willkürliche Sachverhaltsfeststellung belegen. Dem Protokoll der Administrativratssitzung vom 10. Oktober 2007 ist unter Punkt 2 "Budget 2008" zu entnehmen, dass die zusätzliche Arbeit für die Erstellung von sechs verschiedenen Budgets und weitere damit verbundene Aufwendungen die Aufstockung des Pensums des Kassiers auf 80 % unumgänglich mache. Der Administrativrat sage "ja" zu diesem Stellenausbau. Der Vorinstanz ist nicht entgangen, dass die Aktenlage widersprüchlich ist und offenbar am 14. Oktober 2013 eine erneute Erhöhung des Pensums des A.A._ von 50 % auf 80 % erfolgte. Auch das Schreiben von F._ an G._, Direktor der Strafanstalt C._, vom 11. Juli 2013 sowie die Aussagen von H._ im Strafverfahren hat die Vorinstanz berücksichtigt. Für sie war aber entscheidend, dass der Wortlaut des Protokolls vom 10. Oktober 2007 klar sei und der damalige Präsident F._ anlässlich seiner staatsanwaltschaftlichen Einvernahme vom 20. Mai 2016 unter Wahrheitspflicht und Strafandrohung ausgesagt habe, sich an diese Sitzung und das "Ja" des Administrativrats zu diesem Stellenausbau" erinnern zu können. Der Administrativrat, dessen Zusammensetzung sich im Laufe der Jahre stark verändert habe, habe sich bei der nochmaligen Erhöhung im Oktober 2013 in einem Irrtum befunden. Dass sich - wie die Anstalt B._ vorbringt - F._ anlässlich seiner staatsanwaltschaftlichen Einvernahme vom 20. Mai 2016 als Zeuge erst auf Vorhalt des Protokolls der Administrativratssitzung vom 10. Oktober 2007 an die Pensumserhöhung habe erinnern können, trifft im Übrigen nicht zu. Vielmehr gab er schon mehrere Fragen zuvor an, dass die Anstalt B._ im Jahr 2007 ein 80 %-Pensum genehmigt habe. Da sich der damalige Präsident an den Stellenausbau im Jahr 2007 erinnern konnte, schmälert der Umstand, dass das entsprechende Protokoll nicht unterzeichnet ist, dessen Beweiswert - entgegen der Ansicht der Anstalt B._ - nicht. Auch aus den Budgetunterlagen der Jahre 2012 und 2013 vermag die Anstalt B._ schliesslich nichts zu ihren Gunsten abzuleiten. Aus der Lohnliste 2012 ist etwa nebst dem von ihr erwähnten Lohn für A.A._ von Fr. 80'990.- bei einem Beschäftigungsgrad von 55 % auch ein Lohn für seine Tochter in Höhe von Fr. 46'150.- bei einem Beschäftigungsgrad von 40 % ersichtlich. Insgesamt ist somit ein deutlich höheres Pensum als 50 % ausgewiesen.
7.1.3. Von einer willkürlichen Beweiswürdigung der Vorinstanz kann nach dem Gesagten keine Rede sein. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar als zutreffender erscheinen mag, genügt - wie bereits gesagt - nicht (vgl. E. 3.2 hiervor). Ein Widerspruch in den Erwägungen des kantonalen Gerichts ist im Übrigen - entgegen der Anstalt B._ - ebenfalls nicht ersichtlich. So ging das Kantonsgericht davon aus, dass das Arbeitspensum von A.A._ per 1. Januar 2008 von 50 % auf 80 % erhöht worden war, wobei dieser die aufgestockten 30 % auf seine Tochter übertragen und er selber bis Ende 2013 nur 50 % für die Anstalt B._ gearbeitet habe. Ab Dezember 2013 sei dann sein persönliches Pensum von 50 % auf 80 % erhöht worden. Dieses Pensum habe A.A._ vollumfänglich in eigener Person erbracht, weshalb seine Tochter für den Monat Dezember 2013 keinen Lohnanspruch gehabt hätte. Diese Ausführungen erscheinen konsistent.
7.1.4. Auch die Rüge einer Verletzung des rechtlichen Gehörs nach <ref-law> mangels hinreichender Begründung des vorinstanzlichen Entscheids verfängt nicht. Das Gericht ist nicht gehalten, sich mit jedem einzelnen Parteistandpunkt einlässlich auseinanderzusetzen und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich zu widerlegen. Vielmehr kann es sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken (<ref-ruling> E. 4.1 S. 88), ohne dabei das Willkürverbot und das rechtliche Gehör zu verletzen. Nach dem Dargelegten ist das kantonale Gericht seiner Begründungspflicht hinreichend nachgekommen, wodurch der Anstalt B._ eine sachgerechte Anfechtung des vorinstanzlichen Entscheids ermöglicht wurde.
7.2.
7.2.1. Nach dem bisher Gesagten steht fest, dass das Arbeitspensum von A.A._ per 1. Januar 2008 formell auf 80 % erhöht wurde. Er selber hat aber bis Ende 2013 im bisherigen 50 %-Pensum weitergearbeitet. In diesem Punkt besteht zwischen den Parteien grundsätzlich Einigkeit. Es fragt sich aber, ob die Vorinstanz den Sachverhalt willkürlich festgestellt hat, indem sie davon ausging, A.A._ habe 30 % seines bewilligten 80 %-Pensums auf seine Tochter übertragen und diese habe vom 1. Januar 2008 bis Ende 2013 effektiv in einem 30 %-Pensum für die Anstalt B._ gearbeitet.
7.2.2. Das kantonale Gericht stützte sich bei dieser Einschätzung hauptsächlich auf die Aussagen von B.A._ anlässlich der Schlusseinvernahme als beschuldigte Person vom 24. Januar 2018. Dort habe sie ausführlich und detailliert beschrieben, welche Aufgaben sie als Sekretärin der Verwaltung wahrgenommen habe. Dass sie praktisch keinen Kontakt zu anderen für die Anstalt B._ tätigen Personen gehabt habe resp. für viele Mitarbeiter unbekannt gewesen sei, habe sie nachvollziehbar damit erklärt, dass sie grossmehrheitlich im "Backoffice" in E._ tätig gewesen sei und die Aufträge direkt und ausschliesslich von ihrem Vater erhalten habe. Weiter habe sie schlüssig dargelegt, weshalb keine Dokumente aktenkundig seien, aus welchen hervorgehe, dass diese durch sie erstellt worden seien. Sie habe sich nämlich jeweils über den Account ihres Vaters am PC eingeloggt und so gearbeitet. Auch die von ihr anlässlich der Einvernahme aufgelegte E-Mail-Korrespondenz zwischen ihr und ihrem Vater deute darauf hin, dass sie für die Anstalt B._ gewisse Aufgaben wahrgenommen habe. Aufgrund der von ihr geschilderten freien Arbeitseinteilung sei ferner nicht ausgeschlossen, dass sie ihr Arbeitspensum von 30 % resp. von durchschnittlich 10 bis 15 Arbeitsstunden pro Woche während ihres Studiums, kürzeren Ausland-Abwesenheiten und neben ihren - teilweise ausserkantonalen - Vollzeitstellen habe leisten können. Hinsichtlich der Auszahlung des Lohnes von B.A._ auf das Konto ihres Vaters erwog das Kantonsgericht, es sei durchaus möglich, dass A.A._ für seine Tochter alle Ausgaben übernommen und ihr so den Lohn indirekt habe zukommen lassen. Schliesslich bestünden auch Lohnabrechnungen und Lohnausweise für B.A._ und diese habe ihren Lohn auch entsprechend in ihren Steuererklärungen deklariert.
7.2.3. Die Anstalt B._ rügt eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung im Sinne einer krass falschen Beweiswürdigung, eine falsche Beweislastverteilung (<ref-law>), eine willkürliche Reduktion des Beweismasses sowie eine Gehörsverletzung (<ref-law>) durch die Vorinstanz.
7.2.3.1. Vorab ist mit der Anstalt B._ darauf hinzuweisen, dass B.A._ anlässlich ihrer staatsanwaltschaftlichen Einvernahme als Beschuldigte keine Wahrheitspflicht traf (vgl. Urteil 6B_157/2016 vom 8. August 2016 E. 2.4.2), was bei der Beweiswürdigung nicht ausser Acht gelassen werden darf. Der Anstalt B._ ist sodann darin beizupflichten, dass ein Arbeitspensum von 30 % während sechs Jahren resp. eine Arbeitsleistung von insgesamt rund 3600 Stunden in den Akten hätte Spuren hinterlassen müssen. Auch den für die Anstalt B._ tätigen Personen hätte ein solches Pensum früher oder später auffallen müssen. Stattdessen war aber weder dem damaligen Präsidenten noch den Administrativratsmitgliedern H._ und I._ eine Tätigkeit von B.A._ Anstalt B._ bekannt, wie auch die Vorinstanz feststellte. Mehrere Mitarbeiter hätten anlässlich der staatsanwaltschaftlichen Einvernahme zu Protokoll gegeben, dass sie nichts über eine Anstellung von B.A._ gewusst hätten resp. dass sie diese gar nicht gekannt hätten. Selbst wenn sie "grossmehrheitlich" im Backoffice in E._ tätig gewesen sein und sie ihre Aufträge direkt und ausschliesslich von ihrem Vater erhalten haben sollte, so wäre mit der Anstalt B._ davon auszugehen, dass sie bei einem Arbeitspensum von durchschnittlich 30 % im Verlauf von sechs Jahren bei anderen Mitarbeitenden in Erscheinung getreten wäre. Weshalb der Name B.A._ weder auf den Adresslisten der Anstalt B._ noch auf der Lohnliste auftauchte, welche A.A._ der Vertreterin des Synodalrats im Administrativrat im Sommer 2013 überreicht hatte, ist sodann nicht nachvollziehbar und lässt sich auch nicht mit dem Umstand erklären, dass B.A._ sich jeweils über den Account ihres Vaters eingeloggt und so gearbeitet habe. Ferner leuchtet nicht ein, weshalb A.A._ eine Anstellung seiner Tochter gegenüber dem Administrativrat oder zumindest gegenüber dem Präsidenten nicht transparent machte, wenn sie tatsächlich für die Anstalt B._ gearbeitet haben sollte. Desgleichen ist nicht nachvollziehbar, wieso A.A._ die Anstellung seiner Tochter bei der erneuten Erhöhung seines Pensums im Jahr 2013 nicht erwähnte. Auch die Auszahlung des behaupteten Lohnes von B.A._ auf das Konto ihres Vaters stellt ein unübliches und nicht nachvollziehbares Vorgehen dar. Des Weiteren scheint zumindest fraglich, ob sie eine Tätigkeit für die Anstalt B._ in einem 30 %-Pensum neben ihrem Studium, den Ausland-Aufenthalten und ihren - teilweise - ausserkantonalen Vollzeitstellen überhaupt leisten konnte. Schliesslich bleibt unklar, was es mit den der Pensionskasse gemeldeten Pensen von B.A._ auf sich hat: Wie die Vorinstanz feststellte, wurde für die Jahre 2008-2010 ein Beschäftigungsgrad von 26,5 %, für das Jahr 2011 ein solcher von 30 % resp. 40 %, für das Jahr 2012 ein solcher von 40 % und für das Jahr 2013 ein solcher von 55 % gemeldet. Inwiefern diese Angaben für ein konstantes 30 %-Pensum sprechen sollen, erschliesst sich nicht.
7.2.3.2. Zwar berücksichtigte das kantonale Gericht im Rahmen seiner Beweiswürdigung auch, dass Lohnabrechnungen und Lohnausweise für B.A._ existieren und diese ihren Lohn in den Steuererklärungen deklarierte. Dabei ist aber anzufügen, dass die Lohnabrechnungen und -ausweise von ihrem Vater erstellt wurden. Auch die Steuerdeklaration vermag für sich den Beweis einer Tätigkeit in einem 30 %-Pensum nicht zu erbringen. Weiter weist die Anstalt B._ darauf hin, dass sie im Zusammenhang mit der E-Mailkorrespondenz zwischen B.A._ und ihrem Vater in ihrer Stellungnahme vom 19. Februar 2018 an die Staatsanwaltschaft diverse Ungereimtheiten aufgezeigt habe. Darauf ist die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid nicht eingegangen, wie die Anstalt B._ zu Recht vorbringt. Nach dem Gesagten bestehen hinsichtlich einer allfälligen Anstellung der Tochter von A.A._ nach wie vor erhebliche Unsicherheiten. Es erscheint in der Tat willkürlich, wenn die Vorinstanz die weitgehend unbewiesenen Behauptungen von A.A._ und seiner Tochter, unbekümmert darum, dass sie von der Anstalt B._ bestritten wurden, als richtig hinnimmt, ohne über die rechtserheblichen Tatsachen überhaupt Beweis zu führen. Insbesondere ist nicht nachvollziehbar, dass die Vorinstanz auf eine Befragung von B.A._ unter Wahrheitspflicht und Strafandrohung (<ref-law>) verzichtet hat. Der Sachverhalt ist in Bezug auf die fragliche Anstellung von B.A._ und das von ihr effektiv geleistete Pensum nicht hinreichend erstellt und es drängen sich weitere Abklärungen, insbesondere eine Befragung von B.A._ als Zeugin, auf.
7.2.3.3. Da unklar bleibt, ob und bejahendenfalls in welchem Pensum B.A._ effektiv für die Anstalt B._ arbeitete, lässt sich vorliegend auch nicht beurteilen, ob der Anstalt B._ ein Schaden aus ungerechtfertigtem Lohn und überhöhten Lohnerhöhungen sowie aus Arbeitgeberbeiträgen an die Pensionskasse entstanden ist. Hierüber wird die Vorinstanz nach weiteren Abklärungen und unter Berücksichtigung der Vorbringen der Parteien erneut zu befinden haben. Soweit A.A._ geltend macht, die Vorinstanz habe bei der Schadensbemessung in willkürlicher Weise die sogenannte Differenztheorie übergangen, ist demnach darauf nicht weiter einzugehen.
7.2.3.4. Indessen hat das kantonale Gericht willkürfrei festgestellt, dass - so oder anders - weder die Pauschalspesen in Höhe von insgesamt Fr.15'600.- noch die zusätzliche Entschädigung in Höhe von Fr. 2500.- an B.A._ gerechtfertigt gewesen seien und der Anstalt B._ unter dem Titel "Sondervergütungen betreffend B.A._" ein Schaden von insgesamt Fr. 18'100.- entstanden sei. Die von A.A._ begangene positive Vertragsverletzung sei natürlich und adäquat kausal für den eingetretenen Schaden. Was A.A._ dagegen vorbringt, erschöpft sich in appellatorischer Kritik am angefochtenen Entscheid, auf die nicht weiter einzugehen ist.
8.
8.1. Die Vorinstanz stellte weiter fest, A.A._ habe von 2008 bis Ende November 2013 konstant 50 % für die Anstalt B._ gearbeitet. Bei den jährlichen Lohnanstiegen handle es sich um Lohnerhöhungen und nicht um Pensumserhöhungen. Für die 80 %-Anstellung ab 1. Januar 2008 sei ein Lohn von Fr. 96'000.- (80 % von Fr. 120'000.-) vereinbart worden. Für das effektiv geleistete Pensum von 50 % hätte A.A._ demnach einen Lohnanspruch in Höhe von Fr. 60'000.- gehabt. Im Jahr 2008 habe er aber einen Lohn von Fr. 65'455.- und damit Fr. 5455.- zu viel bezogen. Dieser Mehrbetrag sei auch in den Löhnen der Folgejahre enthalten, sodass der von der Anstalt B._ geltend gemachte Schadensbetrag aus ungerechtfertigtem Lohn von A.A._ von total Fr. 19'382.65 jedenfalls erreicht sei. Hinzu kämen die auf den jährlichen übermässigen Grundlohn entfallenden übermässigen Arbeitgeberbeiträge an die Pensionskasse. Der geltend gemachte Schadensbetrag von total Fr. 2368.15 sei in jedem Fall erreicht. Insgesamt sei der Anstalt B._ somit im Umfang des von ihr geltend gemachten Schadensbetrags von Fr. 21'750.80 ein Schaden aus ungerechtfertigtem Lohn des A.A._ entstanden. Es könne somit offenbleiben, ob die zusätzlichen jährlichen Lohnerhöhungen eigenmächtig durch diesen resp. ohne Zustimmung des Präsidenten und somit in Ausübung einer Vertragsverletzung festgelegt worden und ob diese ebenfalls als Schaden zu qualifizieren seien. Indem A.A._ in Verletzung seiner Treue- und Informationspflicht nur 50 % seines 80 %-Pensums selbst ausgeübt habe, sei der Anstalt B._ bereits in den Jahren 2008 bis Ende November 2013 ein Schaden in der geltend gemachten Höhe entstanden. Die von A.A._ begangene positive Vertragsverletzung sei natürlich kausal für den eingetretenen Schaden und auch der adäquate Kausalzusammenhang sei gegeben. Es liege kein derart gravierendes Selbstverschulden vor, dass von der Unterbrechung des adäquaten Kausalzusammenhangs auszugehen wäre.
8.2. Diese vorinstanzlichen Erwägungen werden von den Parteien nicht substanziiert bestritten. Damit hat es bei einem Schadensbetrag wegen ungerechtfertigtem Lohn von A.A._ in der Höhe von Fr. 21'750.80 sein Bewenden.
9.
Umstritten sind hingegen im Weiteren die von der Vorinstanz festgelegten Schadensbeträge wegen ungerechtfertigten Spesen und zusätzlichen Entschädigungen für A.A._.
9.1. Das kantonale Gericht erwog, im Entschädigungsreglement der Anstalt B._ vom 7. Mai und 22. Oktober 1996 resp. 17. Oktober 2006 (im Folgenden: Entschädigungsreglement) werde unter dem Kapitel "I. Vorstand" in der letzten Ziffer 6 abschliessend festgehalten, dass für den Kassier eine spezielle Regelung gelte. Das Entschädigungsreglement gelte demnach nur für die Administrativratsmitglieder (Vorstand) und die Mitglieder der Delegiertenversammlung. Für den Kassier sollte es explizit nicht gelten. Dies stehe im Einklang mit dem Umstand, dass der Kassier als Angestellter der Anstalt B._ im Gegensatz zu den anderen Administrativratsmitgliedern ein festes Gehalt erhalten habe. Die Anstalt B._ unterstehe als Institut der Landeskirche auch dem landeskirchlichen Recht. Fehle es also - wie in Ziffer 6 des Entschädigungsreglements vorgesehen - an einer gesonderten Regelung, so würden die einschlägigen Vorschriften des landeskirchlichen Rechts und subsidiär jene des kantonalen Personalrechts (vgl. z.B. § 17 der Besoldungsverordnung) gelten. Sodann sei aufgrund der glaubhaften Aussagen von F._ anlässlich seiner staatsanwaltschaftlichen Einvernahme - entgegen der Ansicht der Anstalt B._ - davon auszugehen, dass A.A._ grundsätzlich habe Spesen abrechnen dürfen resp. dass dies nicht von vornherein aufgrund einer speziellen Regelung zwischen ihm und F._ ausgeschlossen gewesen sei. Auf welcher Grundlage resp. in welchem Umfang A.A._ Spesen habe abrechnen dürfen, sei aber nicht konkret definiert worden.
9.2. Hinsichtlich der Fahrspesen stellte die Vorinstanz fest, für das Jahr 2008 habe A.A._ der Anstalt B._ für Kilometerentschädigungen, Parkgebühren und Pauschalspesen Fr. 24'535.-, für das Jahr 2009 Fr. 23'871.20, für das Jahr 2010 Fr. 23'139.60, für das Jahr 2011 Fr. 24'061.-, für das Jahr 2012 Fr. 24'595.30, für das Jahr 2013 Fr. 23'334.40 und für das Jahr 2014 Fr. 4'898.60, gesamthaft von Januar 2008 bis Februar 2014 somit Fr. 148'435.10 belastet. Gemäss Spesenabrechnungen habe A.A._ jeweils ca. 30'000 km pro Jahr zurückgelegt. Der Arbeitsort sei E._ gewesen. Gestützt auf die glaubhaften Aussagen des ehemaligen Präsidenten und entgegen der Darstellung von A.A._ sei davon auszugehen, dass Letzterer seine Fahrspesenabrechnungen der Jahre 2008 bis 2014 nicht zur Genehmigung dem Präsidenten vorgelegt und dieser somit keine Kenntnis von der effektiven Höhe der Fahrspesen gehabt resp. erst im Nachhinein davon erfahren habe. Indem aber F._ auf Vorlage der betragsmässig höchsten Spesenabrechnung des Jahres 2012 ausgeführt habe, es sei für ihn nachvollziehbar, dass A.A._ diese Kilometer abgerechnet habe, habe er diese sowohl in Bezug auf die gefahrenen Kilometer als auch im Umfang, das heisse in Bezug auf die dafür abgerechneten Kosten, als gerechtfertigt qualifiziert. Zwar hätten I._ und H._ in ihren staatsanwaltschaftlichen Einvernahmen gesagt, die Fahrspesenabrechnung 2012 sei für sie nicht nachvollziehbar. F._ sei aber als Präsident in ständigem Kontakt mit A.A._ und somit in einer weitaus näheren geschäftlichen Beziehung gestanden als die übrigen Administrativratsmitglieder. Er habe die nahezu täglich geltend gemachten Fahrkilometer nachvollziehbar und glaubhaft erklärt. Es sei zudem davon auszugehen, dass es praxisgemäss in der Kompetenz des Präsidenten gelegen habe, die Spesenabrechnungen zu kontrollieren resp. über die Berechtigung der abgerechneten Spesen zu entscheiden. Das kantonale Gericht erachtete die für die Jahre 2008 bis 2013 abgerechneten Fahrspesen (Kilometerentschädigungen und Parkgebühren) betragsmässig als gerechtfertigt. In Ermangelung einer nachgewiesenen Vertragsverletzung sei der Anstalt B._ somit unter dem Titel Fahrspesen für die Jahre 2008 bis 2013 kein Schaden entstanden.
9.3. Weiter stellte die Vorinstanz fest, gestützt auf die Aussagen des ehemaligen Präsidenten sei zu Gunsten von A.A._ davon auszugehen, dass dieser (erst) ab dem Jahre 2014 über ein Büro in J._ verfügt und sich sein Arbeitsort ab diesem Zeitpunkt in J._ befunden habe. Seither habe demnach kein Anspruch auf Entschädigung der Fahrkosten zwischen E._ und J._ sowie auf Entschädigung von Parkgebühren in J._ mehr bestanden. Indem A.A._ der Anstalt B._ die Kosten für den Arbeitsweg und Parkgebühren am Arbeitsort im Umfang von Fr. 1637.40 belastet habe, habe er eine positive Vertragsverletzung begangen und einen Schaden in dieser Höhe verursacht. Sowohl der natürliche als auch der adäquate Kausalzusammenhang seien gegeben.
9.4. Was die Fahrspesen für das Jahr 2014 betrifft, so rügt A.A._ einen offensichtlich unrichtig festgestellten Sachverhalt, indem die Vorinstanz angenommen habe, sein Arbeitsort habe sich in J._ befunden. Mit seiner im Wesentlichen appellatorischen Kritik vermag er indessen nicht substanziiert darzulegen, inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung willkürlich sein soll. Er bestreitet denn auch nicht, dass er (spätestens) ab 2014 über ein Büro in J._ verfügte.
9.5.
9.5.1. Die Anstalt B._ macht ebenfalls eine Verletzung des Willkürverbots geltend. Die Vorinstanz habe die Bindungswirkung ihres rechtskräftigen Entscheids betreffend Kündigungsanfechtung missachtet, indem sie von einer unklaren Regelung bezüglich der Frage der Spesenentschädigung ausgegangen sei. Im genannten Entscheid habe das Kantonsgericht die Grundlagen zur Vergütung von Spesen und anderen Entschädigungen als genügend klar bezeichnet. Mit dieser Rüge dringt die Anstalt B._ allerdings nicht durch. Die Vorinstanz hat willkürfrei erkannt, dass die einzelnen Pflichtverletzungen im Entscheid betreffend Rechtmässigkeit der Kündigung nicht dergestalt festgestellt worden seien, dass ihnen präjudizielle Bedeutung beizumessen wäre. Sie könne daher bei der Beurteilung der Schadenersatzklage die in diesem Zusammenhang vorgebrachten Pflichtverletzungen frei prüfen. Sie sei dabei weder an die tatsächlichen Feststellungen noch an die rechtlichen Erwägungen aus dem Entscheid vom 27. August 2015 gebunden.
9.5.2. Soweit sich die Anstalt B._ auf die Ausführungen in der Anklageschrift der Staatsanwaltschaft stützt, ist darauf nicht weiter einzugehen, da es sich dabei um ein unbeachtliches Novum handelt (vgl. E. 3.5 hiervor). Auch der Umstand, dass A.A._ in seinen Steuererklärungen als Arbeitsort J._ deklarierte, vermag die vorinstanzliche Feststellung, der Arbeitsort von A.A._ sei bis Ende 2013 in E._ gewesen, nicht als geradezu unhaltbar erscheinen zu lassen. So stützte sich das Kantonsgericht im Rahmen seiner Beweiswürdigung auf die Ausführungen von F._ im Schreiben vom 18. Dezember 2014 an den Synodalrat, wonach A.A._ bis 2013 über kein Büro in J._ verfügt und alle administrativen Arbeiten bei sich zu Hause erledigt habe. Sein Arbeitsort sei E._ und nicht J._ gewesen. Inwiefern der Umstand, dass sich der Sitz der Anstalt B._ in J._ befindet, einen Arbeitsort von A.A._ in E._ ausschliessen soll, ist ferner nicht erkennbar.
9.5.3. Sodann begründete das kantonale Gericht nachvollziehbar, weshalb es das Spesen- und Zusatzspesenreglement im konkreten Fall in Bezug auf die einzelnen Spesen von A.A._ nicht eins-zu-eins auf den vorliegenden Fall anwandte (vgl. E. 8.2.4 des angefochtenen Entscheids). Wenn die Anstalt B._ - ohne sich mit den vorinstanzlichen Erwägungen auseinanderzusetzen - stattdessen die Anwendbarkeit des Zusatzspesenreglements geltend macht, vermag sie damit keine Willkür der Vorinstanz darzutun. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar als zutreffender erscheinen mag, genügt nicht (vgl. E. 3.2 hiervor).
9.5.4. Weiter trifft es nicht zu, dass die Vorinstanz das Schreiben von F._ an die Anstalt B._ vom 9. Juni 2015 ausgeblendet habe. Vielmehr hat sie aufgezeigt, weshalb der Inhalt des Schreibens nichts daran ändere, dass A.A._ nach Ansicht des damaligen Präsidenten grundsätzlich Spesen abrechnen durfte. Auch aus dem E-Mail von K._ an A.A._ vom 3. November 2008 könne die Anstalt B._ nicht ableiten, dass Letzterem neben seinem Lohn und der Entschädigung für das Büro keine weiteren Spesen zugestanden hätten. Es kann auf die entsprechenden Erwägungen (vgl. E. 8.2.4 des angefochtenen Entscheids), mit denen sich die Anstalt B._ nicht ansatzweise auseinandersetzt, verwiesen werden. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs ist nicht ersichtlich.
9.6. Wie die Vorinstanz im Weiteren feststellte, erhielt A.A._ für seine Tätigkeit für die Anstalt B._ einen festen Lohn. Besprechungen und Telefongespräche seien somit offensichtlich von seinem Lohn gedeckt gewesen. Zudem habe er auch noch separat Telefon- und Portokosten zu Lasten der Anstalt B._ abgerechnet. Gestützt auf die Aussagen von F._ sei im Weiteren davon auszugehen, dass dieser die Fahrspesenabrechnungen der Jahre 2008 bis 2014 nicht gesehen und diese in Bezug auf die darin enthaltenen Pauschalspesen von jährlich Fr. 300.- auch nicht genehmigt habe. A.A._ habe somit offensichtlich keinen Anspruch auf die jährlich bezogene Spesenpauschale in Höhe von Fr. 300.- gehabt. Mit dem Bezug habe er eine Vertragsverletzung begangen. Diese sei sowohl natürlich als auch adäquat kausal für den eingetretenen Schaden. Zwar habe die Anstalt B._ zu den abgerechneten Pauschalspesen keine Ausführungen gemacht. Diese seien jedoch in dem von ihr gesamthaft geltend gemachten Schadensbetrag betreffend Autospesen im Umfang von Fr. 148'435.30 enthalten. Der unter dem Titel "Pauschalspesen" entstandene Schaden von Fr. 2100.- sei deshalb an den von ihr unter dem Titel "Autospesen" geltend gemachten Schadenbetrag anzurechnen. Mit diesen Erwägungen setzt sich A.A._ nicht in einer den Anforderungen von <ref-law> genügenden Weise auseinander (vgl. E. 3.3 hiervor), weshalb sich Weiterungen erübrigen.
9.7.
9.7.1. Zu den Telefonkosten führte das kantonale Gericht aus, es sei davon auszugehen, dass A.A._ im Rahmen seiner Tätigkeit für die Anstalt B._ die Telefongespräche grossmehrheitlich über sein Mobiltelefon erledigt habe. Diese geschäftlichen Kosten gingen zu Lasten der Anstalt B._, da sie nicht bereits durch den Lohn abgegolten seien. Eine Vertragsverletzung sei hinsichtlich der Kosten für das Mobiltelefon nicht nachgewiesen. Weiter sei davon auszugehen, dass A.A._ auch über seinen Festnetzanschluss an seinem Wohnort geschäftliche Telefonate erledigt habe. Wie er selbst einräume, seien darüber aber auch private Gespräche geführt worden. Der Anschluss habe sodann der ganzen Familie zur Verfügung gestanden. Es sei auffallend, dass zahlreiche Anrufe ins Ausland getätigt worden seien. Es sei fraglich, ob es sich dabei nicht auch um private Gespräche zu allfälligen Verwandten gehandelt habe. Deshalb und aufgrund des Umstands, dass die geschäftlichen Telefonate für die Anstalt B._ grossmehrheitlich über das Mobiltelefon erledigt worden sein dürften, rechtfertige es sich, von den Kosten für den Festnetzanschluss im Wohnhaus von A.A._ von insgesamt Fr. 4507.25 einen privaten Anteil von 50 % auszuscheiden und diesen A.A._ zu belasten. Indem dieser die gesamten Kosten über die Anstalt B._ abgerechnet habe, ohne sich einen privaten Anteil zu belasten, habe er somit eine Vertragsverletzung begangen, wodurch der Anstalt B._ ein Schaden in Höhe von Fr. 2253.63 entstanden sei. Die positive Vertragsverletzung sei natürlich und adäquat kausal für den eingetretenen Schaden.
9.7.2. A.A._ macht geltend, die Vorinstanz habe den Sachverhalt in Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes (§ 53 VRG) offensichtlich unrichtig und unvollständig festgestellt und sei damit in Willkür verfallen (<ref-law>). Sie hätte das korrekte Verhältnis zwischen privaten und geschäftlichen Anrufen ohne Weiteres ermitteln können. Ausserdem seien auch die Telefonkosten der leitenden Mitarbeiter der einzelnen Standorte von der Anstalt B._ vollumfänglich übernommen worden, sodass er gutgläubig darauf habe vertrauen dürfen, dass dies auch für seine Telefonkosten gelte. Die Anstalt B._ hält dem in ihrer Vernehmlassung entgegen, A.A._ habe eine Büroentschädigung erhalten. Damit seien die Telefonkosten abgegolten.
9.7.3. Die Vorinstanz hat willkürfrei festgestellt, dass A.A._ grundsätzlich Anspruch auf Vergütung der Kosten der geschäftlichen Telefonate hatte. Auch die Ausscheidung eines 50%igen Anteils für private Gespräche über den Festnetzanschluss erscheint im Ergebnis nicht unhaltbar. Da zudem fraglich ist, ob von weiteren diesbezüglichen Abklärungen entscheidrelevante Ergebnisse zu erwarten gewesen wären, durfte die Vorinstanz - ohne in Willkür zu verfallen - in antizipierter Beweiswürdigung davon absehen. Selbst wenn anderen Mitarbeitern der einzelnen Standorte die Telefonkosten vollumfänglich vergütet worden sein sollten, könnte A.A._ daraus nichts zu seinen Gunsten ableiten, zumal nicht dargetan ist, dass diese Mitarbeiter den Festnetzanschluss an ihrem Wohnort benutzten.
9.8.
9.8.1. Im Zusammenhang mit der Büromiete stellte das Kantonsgericht fest, gestützt auf die glaubhaften Aussagen von F._ sei davon auszugehen, dass A.A._ ab Januar 2014 über ein Büro in J._ verfügt habe und sein Arbeitsort ab diesem Zeitpunkt somit nicht mehr in E._ gewesen sei. Er habe demnach bis Ende 2013 Anspruch auf eine Büroentschädigung gehabt. Die Anstalt B._ gestehe ihm denn auch eine jährliche Entschädigung für die Büromiete in Höhe von Fr. 6600.- zu, wenn auch nur bis Ende 2012. A.A._ habe die jährliche Entschädigung allerdings in der Folge erhöht: Für das Jahr 2010 von Fr. 6600.- auf Fr. 9600.-, für das Jahr 2011 weiter auf Fr. 10'800.- und für die Jahre ab 2012 schliesslich auf Fr. 12'000.-. Gestützt auf die glaubhaften Angaben des ehemaligen Präsidenten der Anstalt B._ in seiner staatsanwaltschaftlichen Einvernahme seien diese Erhöhungen weder diesem noch den übrigen Administrativratsmitgliedern oder den Mitgliedern der Delegiertenversammlung bekannt gewesen. Es sei davon auszugehen, dass A.A._ die Mieterhöhungen eigenmächtig vorgenommen habe, was eine Vertragsverletzung darstelle. Es seien im Übrigen auch keine Gründe ersichtlich, die eine Erhöhung rechtfertigen würden. Ausserdem seien mit der jährlichen Entschädigung von Fr. 6600.- sämtliche Kosten von A.A._ im Zusammenhang mit den Büroräumlichkeiten an seinem Wohnort bis Ende 2013 abgedeckt gewesen. Der Anstalt B._ sei demnach - unter Berücksichtigung der zulässigen jährlichen Entschädigung bis Ende 2013 - unter dem Titel "Mietzinsentschädigung" ein Schaden im Umfang von Fr. 25'000.- entstanden. Die positive Vertragsverletzung sei natürlich und adäquat kausal für den entstandenen Schaden.
9.8.2. Soweit A.A._ bestreitet, dass sich sein Arbeitsort ab 2014 in J._ befunden habe, ist darauf nicht weiter einzugehen, begnügt er sich doch im Wesentlichen mit appellatorischer Kritik (vgl. E. 9.4 hiervor). Weiter bringt er vor, die Vorinstanz habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig und damit willkürlich festgestellt. So habe der Zeuge L._ bestätigt, dass sämtliche Budgets ab 2013 zusammen mit dem Präsidenten besprochen worden seien. In den Budgets 2013-2015 sei unter der Kostenstelle "6561 Büromiete/Archivmiete" ein Betrag von Fr. 12'000.- (analog zum Jahr 2012) ausgewiesen. F._ sei demnach darüber informiert gewesen und habe den Mietzins so gutgeheissen. Auch das Budget 2012 sei intensiv mit dem Präsidenten besprochen worden, was dieser in seiner staatsanwaltschaftlichen Einvernahme auch bestätigt habe. Mit diesen Einwänden dringt A.A._ ebenfalls nicht durch. Die Vorinstanz stellte in Bezug auf das Budget 2012 fest, dem betreffenden Protokoll der Administrativratssitzung vom 11. Oktober 2011 lasse sich nicht entnehmen, dass A.A._ die Mieterhöhung von Fr. 10'800.- auf Fr. 12'000.- spezifisch erwähnt hätte. Wenn sie deshalb und unter Berufung auf die glaubhaften Aussagen des damaligen Präsidenten der Anstalt B._ von einer eigenmächtigen Mieterhöhung von A.A._ ausging, so erscheint dies nicht willkürlich. Der Sorgfaltspflichtsverletzung des damaligen Präsidenten in Bezug auf die Prüfung der Buchhaltung trug die Vorinstanz im Übrigen bei der Schadenersatzbemessung durch Anrechnung eines Selbstverschuldens Rechnung (vgl. E. 11.1.1 hiernach).
9.9.
Das kantonale Gericht erkannte weiter, dass A.A._ die projektbezogenen Fahrspesen - analog zu den allgemeinen Fahrspesen - zuzugestehen seien. Der Anstalt B._ sei unter diesem Titel für die Jahre 2009 bis 2011 kein Schaden entstanden. Dagegen wendet die Anstalt B._ nichts ein, weshalb sich Weiterungen hierzu erübrigen.
9.10.
9.10.1. Zu den Sitzungsgeldern, die sich A.A._ ausbezahlte, stellte die Vorinstanz fest, gestützt auf die glaubhaften Aussagen von F._ sei die Teilnahme an Vorstandssitzungen und Delegiertenversammlungen Teil der Aufgaben als Geschäftsführer gewesen und hätte nicht separat entschädigt werden dürfen. Dies stehe im Einklang mit der Tatsache, dass A.A._ im Gegensatz zu den übrigen Mitgliedern des Administrativrats über einen festen Lohn verfügt habe. Es sei auch nachvollziehbar, dass die Teilnahme an den Sitzungen als Geschäftsführer/Kassier zu seinem Aufgabenbereich gehört habe. Es sei zudem davon auszugehen, dass der ehemalige Präsident keine Kenntnis von der zusätzlichen Abrechnung der Sitzungsgelder gehabt habe. A.A._ habe somit eine Vertragsverletzung begangen, indem er für die Sitzungen zusätzliche Entschädigungen zu Lasten der Anstalt B._ abgerechnet habe. Dieser sei dadurch ein Schaden von Fr. 1050.- entstanden.
9.10.2. A.A._ rügt eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz. Er beruft sich dabei auf ein E-Mail vom 2. Januar 2012, mit welchem er F._ eine Spesenliste für die Teilnahme an acht Sitzungen (8 x Fr. 50.-) zugestellt habe. Dabei handelt es sich indessen um ein (unechtes) Novum. Zwar hat die Vorinstanz dem Beweisantrag von A.A._ auf Edition der 50 Ordner mit den Unterlagen der Anstalt B._ während seiner Tätigkeit nicht stattgegeben. Dies ändert aber nichts daran, dass er das betreffende E-Mail bereits im vorinstanzlichen Verfahren hätte einbringen können. Das Dokument bleibt somit unbeachtlich (vgl. <ref-law>; E. 3.5 hiervor). Abgesehen davon lässt sich dem betreffenden E-Mail nicht entnehmen, ob die Spesenabrechnung 2011 auch tatsächlich mitgeschickt wurde, was den Beweiswert ohnehin erheblich schmälern würde.
9.11.
9.11.1. Die Vorinstanz stellte weiter fest, A.A._ habe sich in Zusammenhang mit dem Umbau zweier Standorte zusätzliche Vergütungen in Höhe von insgesamt Fr. 16'240.- ausbezahlt. Er habe indessen selber eingeräumt, dass diese Tätigkeiten von seinem Arbeitspensum erfasst gewesen seien. Folglich habe er für die Begleitung dieser Bauprojekte keine zusätzliche Entschädigung zu Gute gehabt. Dies decke sich auch mit den Aussagen von F._. Aus dessen Ausführungen sei zu schliessen, dass er nichts von den zusätzlichen Vergütungen gewusst habe. Dasselbe gelte in Bezug auf die Auszahlungen von A.A._ für seine Tätigkeit in der Baukommission in Höhe von Fr. 30'590.-. Auch diese Tätigkeiten hätten zu seinem Aufgabenbereich gehört und wären in seinem Lohn enthalten gewesen. A.A._ erwähne in seinem Vorschlag zu einem Pflichtenheft des Geschäftsführers der Anstalt B._ bei den Aufgaben selbst namentlich die aktive Mitgliedschaft in den verschiedenen Baukommissionen, den baulichen Unterhalt der eigenen Gebäude sowie die Anordnung und Kontrolle von baulichen Unterhaltsarbeiten. Gemäss § 5 Abs. 4 der Personalverordnung (PVO; SRL Nr. 52) bestehe kein Anspruch auf Entschädigung, wenn die Kommissionstätigkeit zum Aufgabenbereich des Angestellten gehöre. Indem sich A.A._ Vergütungen in Zusammenhang mit dem Umbau der zwei Standorte sowie für seine Kommissionstätigkeit ausbezahlt habe, habe er eine Vertragsverletzung begangen.
9.11.2. A.A._ begnügt sich im Wesentlichen damit, seine eigene, von der Vorinstanz abweichende, Sichtweise darzulegen, was für die Annahme von Willkür nicht genügt. Er setzt sich insbesondere nicht mit der Feststellung auseinander, dass er in Bezug auf die Entschädigung für die Kommissionstätigkeit nicht gleichgestellt werden könne mit den übrigen Mitgliedern der Baukommission, da diese - anders als er - nicht über ein festes Gehalt verfügt hätten. Schliesslich geht auch sein Einwand fehl, die Revisoren hätten die Entschädigungen geprüft und für korrekt befunden. Wie die Vorinstanz willkürfrei feststellte, nahm die Revisionsstelle keine inhaltliche Kontrolle vor, sondern beschränkte sich - im Sinne einer formellen Kontrolle - darauf, die Buchhaltung resp. Jahresrechnung stichprobenartig auf ihre Vollständigkeit, d.h. das Vorhandensein der entsprechenden Belege und die korrekte Verbuchung, zu überprüfen.
9.12. Auch in Bezug auf die von A.A._ sich selbst ausbezahlten Fr. 2500.- für "Mehrarbeit" im November 2011 sei - so das kantonale Gericht weiter - gestützt auf die Aussagen von F._ davon auszugehen, dass diese Zusatzarbeit im Lohn inbegriffen gewesen wäre. Der damalige Präsident habe von dieser Zahlung keine Kenntnis gehabt. Infolge Vertragsverletzung sei der Anstalt B._ ein Schaden in genannter Höhe entstanden. Auf die appellatorische Kritik von A.A._ ist nicht weiter einzugehen.
9.13. Zusammenfassend hat es bei dem vorinstanzlich festgestellten Schaden wegen ungerechtfertigter Spesen und Entschädigungen von insgesamt Fr. 81'371.03 sein Bewenden.
10.
10.1. Hinsichtlich der Haftungsvoraussetzung des Verschuldens kam die Vorinstanz zum Schluss, dass A.A._ in Bezug auf die einzelnen Vertragsverletzungen resp. Schadenspositionen durchgehend vorsätzliches oder grobfahrlässiges Verhalten vorzuwerfen sei. Die Exkulpation im Sinne von <ref-law> misslinge. An Arbeitnehmer in leitender Funktion seien hinsichtlich der zu beachtenden Sorgfaltspflicht höhere Anforderungen zu stellen. A.A._ habe nicht nur die fehlenden Kontrollmechanismen ausgenutzt, sondern auch elementare, sich in seiner Position vernünftigerweise aufdrängende Pflichten der Sorgfalt verletzt. Insbesondere aus dem Umstand, dass seine Bezüge für sich und seine Tochter aus den Buchhaltungsunterlagen ersichtlich gewesen seien, könne er nichts zu seinen Gunsten ableiten. Dieser Punkt sei aber in Zusammenhang mit einem allfälligen Selbstverschulden der Anstalt B._ zu berücksichtigen.
10.2. A.A._ rügt eine willkürliche Feststellung des Sachverhalts. Er macht geltend, er habe die Anstellung seiner Tochter resp. die Pensumsübertragung dem Präsidenten mitgeteilt und alle Informationen in den Buchhaltungsunterlagen und den Budgets offengelegt. Da sich in Bezug auf die Anstellung von B.A._ weitere Abklärungen aufdrängen (vgl. E. 7.2.3.3 hiervor), erübrigen sich hier Weiterungen zur Frage, ob sich A.A._ diesbezüglich schuldhaft verhalten hat.
10.3.
10.3.1. In Bezug auf die zu viel abgerechneten Fahrspesen des Jahres 2014 erwog das kantonale Gericht, weder die Besoldungsverordnung (BVO; SRL Nr. 73a) noch das Spesen-/Zusatz-Spesenreglement noch das kantonale Personalrecht sähen eine Entschädigung für den Arbeitsweg vor. § 24 Abs. 3 BVO halte explizit fest, dass die Kosten für den Arbeitsweg und Parkgebühren am Arbeitsort nicht vergütet würden. In seiner Funktion als Geschäftsführer der Anstalt B._ und als Verantwortlicher für administrative Belange des Personals hätte A.A._ die einschlägigen Grundlagen kennen und wissen müssen, dass er als Angestellter der Anstalt B._ keinen Anspruch auf Entschädigung der Kosten für den Arbeitsweg gehabt hätte. Gerade weil er als einziges Mitglied des Administrativrats über ein festes Salär verfügt habe, hätte er nicht einfach davon ausgehen dürfen, das Entschädigungsreglement finde eins-zu-eins auf ihn Anwendung und sämtliche Fahrkosten, auch jene für den Arbeitsweg, würden von der Anstalt B._ übernommen.
10.3.2. Soweit A.A._ dagegen einwendet, sein Arbeitsort sei auch im Jahr 2014 in E._ gewesen, kann auf das unter E. 9.8.2 Erwogene verwiesen werden. Auch mit seinem Hinweis, dass für ihn gerade keine Spesenregelung bestanden habe, vermag er keine willkürliche Sachverhaltsfeststellung oder eine willkürliche Anwendung von kantonalem Recht aufzuzeigen, hätte er sich doch erst Recht beim Präsidenten oder dem Administrativrat über die Rechtmässigkeit der abgerechneten Fahrspesen für das Jahr 2014 aktiv erkundigen müssen.
10.4. In Bezug auf die Kosten des Festnetzanschlusses wirft die Vorinstanz A.A._ vor, er hätte aufgrund seiner Position wissen müssen, dass er den Anschluss an seinem Wohnort nicht vollumfänglich über die Anstalt B._ hätte abrechnen dürfen. Wenn A.A._ dagegen vorbringt, auch die Telefonkosten bei den Missionen seien vollständig von der Anstalt B._ übernommen worden, so vermag er damit keine Willkür darzutun, ist doch nicht ersichtlich, inwiefern die Spesenentschädigungen anderer Mitarbeiter gegen ein schuldhaftes Verhalten seinerseits sprechen sollen.
10.5. Was die Vertragsverletzung in Bezug auf die Büroentschädigung betrifft, erwog die Vorinstanz, A.A._ hätte in seiner Funktion als einzelzeichnungsberechtigter Geschäftsführer der Anstalt B._ mit besonderer Vertrauensposition bewusst sein müssen, dass er nicht eigenmächtig die ihm zustehende Entschädigung nach eigenem Gutdünken habe erhöhen dürfen. Er hätte in jedem Fall zuerst mit dem Präsidenten Rücksprache nehmen müssen. Was A.A._ dagegen vorbringt, lässt die vorinstanzliche Beurteilung auch in diesem Punkt nicht als willkürlich erscheinen. Dass der Mietzins in den Budgetunterlagen 2014 ersichtlich gewesen sei - wie er geltend macht -, ist auch dem kantonalen Gericht nicht entgangen (vgl. E. 11.2.2 des angefochtenen Entscheids). Daraus kann jedoch nicht abgeleitet werden, A.A._ treffe kein Verschulden. Mithin vermag er aus dem Umstand, dass seine Bezüge jeweils aus den Buchhaltungsunterlagen und den Budgets ersichtlich gewesen seien, nichts zu seinen Gunsten abzuleiten. Ausserdem trug die Vorinstanz dem Selbstverschulden der Anstalt B._ bei der Bemessung des Schadenersatzes Rechnung (vgl. E. 11 hiernach).
10.6. Bezüglich der Vertragsverletzungen im Zusammenhang mit den Entschädigungen für den Umbau der zwei Standorte sowie den Sitzungsgeldern bringt A.A._ erneut vor, der Präsident der Anstalt B._ sei über die Entschädigungen informiert gewesen. Darauf ist mit Verweis auf das in E. 9.11 Gesagte nicht weiter einzugehen. Die Vorinstanz stellte sodann fest, A.A._ hätte nicht ohne weitere Abklärungen davon ausgehen dürfen, dass er die selbe Entschädigung wie die übrigen Mitglieder der Baukommission, welche im Gegensatz zu ihm kein ordentliches Salär bezogen hätten, zu Gute habe. In jedem Fall hätte er Rücksprache mit dem Präsidenten nehmen müssen. Weiterungen hierzu erübrigen sich, erschöpfen sich die Einwendungen von A.A._ doch in appellatorischer Kritik am angefochtenen Entscheid.
10.7. Zusammenfassend hat es bei der vorinstanzlichen Beurteilung, wonach A.A._ hinsichtlich sämtlicher Vertragsverletzungen zumindest grobfahrlässiges Verhalten vorzuwerfen sei, sein Bewenden. Damit wären auch die Haftungsvoraussetzungen von § 10 HG erfüllt (vgl. E. 6.4 hiervor).
11.
Das kantonale Gericht erwog hinsichtlich der Schadenersatzbemessung, diese richte sich primär nach <ref-law> und ergänzend nach <ref-law> in Verbindung mit Art. 43 und 44 OR. Da von vorsätzlichem oder grobfahrlässigem Verhalten von A.A._ auszugehen sei, komme eine Ermässigung der Ersatzpflicht gestützt auf den Grad des Verschuldens nicht in Frage. Allerdings könne auch ein Selbstverschulden des Arbeitgebers zur Reduktion der Haftung des Arbeitnehmers führen (vgl. <ref-law>), wobei der Arbeitgeber für das Verhalten der Organe einstehen müsse.
11.1.
11.1.1. Fallspezifisch führte die Vorinstanz aus, die Anstalt B._ habe zwar grundsätzlich davon ausgehen dürfen, dass A.A._ seinen Aufgaben und Pflichten ordnungsgemäss nachgekommen sei. Aufgrund dessen äusserst weitreichenden Kompetenzen hätte sie die Arbeit von A.A._ aber zumindest im Rahmen einer gewöhnlichen Betriebsüberwachung kontrollieren müssen. Der ehemalige Präsident der Anstalt B._ habe anlässlich seiner staatsanwaltschaftlichen Einvernahme eingeräumt, die Buchhaltung der Anstalt B._ nie im Detail geprüft zu haben, weshalb er auch nie die Zahlen im Detail gekannt habe. Aus den Buchhaltungsunterlagen wären jedoch gemäss Aussage des Revisors L._ die Lohn- und Spesenbezüge von A.A._ und seiner Tochter ersichtlich gewesen. Der ehemalige Präsident hätte jedes Jahr die Möglichkeit der Kontrolle gehabt. Er hätte auch die Lohnlisten der Anstalt B._ überprüfen resp. kennen müssen, was jedoch nicht der Fall gewesen sei. Auch hätte er in seiner Position die Kontrolle der Buchhaltung nicht ausschliesslich in die Hände der Revisoren und der Anstalt B._ legen und sich auf deren Prüfungsergebnisse verlassen dürfen, ohne selbst jemals in die Buchhaltung geschaut zu haben. Hätte er die Buchhaltungsunterlagen geprüft, so wären ihm die unberechtigten Auszahlungen aufgefallen und er hätte entsprechend reagieren können. Indem er dies über Jahre nicht getan habe, sei die Anstalt B._ ihren Überwachungspflichten nicht hinreichend nachgekommen und es sei ihr ein Selbstverschulden zuzurechnen. Dieses Selbstverschulden erstrecke sich über sämtliche Schadenspositionen. Mit Blick auf die mangelhafte Kontrolle durch den damaligen Präsidenten liess die Vorinstanz offen, ob die Revisionsstelle - als weiteres Organ der Anstalt B._ - richtig gearbeitet habe oder ob diese gewisse Kontrollpflichten verletzt habe. Sie hielt aber dennoch fest, dass sich die Revisoren als "nicht am Geschäftsprozess" beteiligt gesehen hätten und davon ausgegangen seien, dass dem Administrativrat die Anstellung der Tochter und die Auszahlungen an A.A._ bekannt gewesen seien, da diese ja aus der Buchhaltung ersichtlich gewesen seien. Entsprechend hätten sie keine inhaltliche Kontrolle vorgenommen, sondern sich auf eine formelle Kontrolle beschränkt. Die Abschlussprüfung beinhalte keine systematische Suche nach deliktischen Handlungen und sonstigen Verstössen gegen gesetzliche und andere Vorschriften.
11.1.2. Im Weiteren bejahte die Vorinstanz ein Selbstverschulden der Anstalt B._ auch deshalb, weil sie mit A.A._ weder einen schriftlichen Arbeitsvertrag abgeschlossen noch seine Pflichten resp. seinen Aufgabenbereich und seine Kompetenzen als Geschäftsführer schriftlich definiert habe. Die Anstalt B._ habe es unterlassen, klare Verhältnisse hinsichtlich der Spesen und Vergütungen zu schaffen. Insbesondere sei es versäumt worden, die für den Kassier im Entschädigungsreglement vorgesehene spezielle Regelung aufzustellen.
11.1.3. Abschliessend erwog die Vorinstanz, das Selbstverschulden der Anstalt B._ wiege nicht derart schwer, als dass es als die wahrscheinlichste und unmittelbarste Ursache des eingetretenen Schadens erscheinen würde und den adäquaten Kausalzusammenhang zwischen den von A.A._ begangenen positiven Vertragsverletzungen und dem eingetretenen Schaden zu unterbrechen vermöchte. Es rechtfertige sich aber eine Reduktion der Ersatzpflicht gesamthaft über alle Schadenpositionen von 20 %.
11.2.
11.2.1. A.A._ macht geltend, spätestens ab Vorliegen des Berichts der Kontrollstelle vom April 2014 resp. allerspätestens nach Vorliegen des Berichts der D._ AG am 15. September 2014 wiege das Selbstverschulden der Anstalt B._ so schwer, dass der Kausalzusammenhang unterbrochen und eine Schadenersatzpflicht zu verneinen sei. Von da an hätte die Anstalt B._ entsprechende Massnahmen treffen müssen. Mit diesen Vorbringen vermag A.A._ die vorinstanzliche Beurteilung indessen nicht als willkürlich erscheinen zu lassen, zumal er nicht substanziiert darlegt, dass überhaupt und in welchem Umfang ab den erwähnten Zeitpunkten nebst dem ordentlichen Lohn noch weitere Vergütungen erfolgt sind.
11.2.2. Weiter bringt A.A._ vor, die Vorinstanz hätte nicht offen lassen dürfen, ob auch eine Pflichtverletzung der Revisionsstelle zu bejahen sei. Die Bejahung einer Pflichtverletzung hätte nämlich den Ausschluss einer Entschädigungspflicht zur Folge. Die Vorinstanz habe den Sachverhalt insoweit unvollständig festgestellt und damit gegen das Willkürverbot verstossen (<ref-law>). Soweit er eine Pflichtverletzung der Revisionsstelle damit begründen will, dass diese gegen die Vorschriften des Handbuchs "Rechnungskommissionen und Controlling-Kommissionen" oder gegen Bestimmungen des Synodalgesetzes über die römisch-katholischen Kirchgemeinden des Kantons Luzern (KGG; I/Nr. 40) verstossen haben soll, übersieht er, dass die richtige Anwendung des kantonalen Rechts als solches nicht Beschwerdegrund bildet (vgl. E. 3.2 hiervor). Eine willkürliche Anwendung von kantonalem Recht ist zudem nicht substanziiert dargetan. Wenn die Vorinstanz im Übrigen in Anbetracht des schweren Verschuldens von A.A._ und des beschriebenen Selbstverschuldens der Anstalt B._ eine Reduktion der Ersatzpflicht um 20 % für angemessen erachtete, ist sie auch damit - entgegen der Auffassung von A.A._ - nicht in Willkür verfallen.
11.3. Auch die Anstalt B._ vermag mit ihrer Willkürrüge betreffend Selbstverschulden nicht durchzudringen.
11.3.1. Im Wesentlichen macht sie geltend, sie sei resp. ihre Organe seien ihren Frage- und Kontrollpflichten stets nachgekommen. A.A._ habe aber jeweils mit wahrheitswidrigen Angaben die Fragen beantwortet. Zudem seien die dem Administrativrat vorgelegten Budgetunterlagen unvollständig gewesen. Namentlich habe A.A._ auf Verlangen des Administrativrats im Jahr 2013 eine Lohnliste erstellt, auf welcher der Name B.A._ nicht aufgetaucht sei. Die Anstalt B._ sei demnach arglistig getäuscht worden, weshalb ein Mitverschulden ausscheide. Des Weiteren sei die Vorinstanz auch in Willkür verfallen, indem sie der Anstalt B._ vorwerfe, diese habe es unterlassen, klare Verhältnisse in Bezug auf Spesen und weitere Vergütungen zu schaffen. So sei das kantonale Gericht im Entscheid betreffend Kündigungsanfechtung gerade zum konträren Schluss gekommen.
11.3.2. Soweit die Anstalt B._ zur Begründung ihrer Willkürrüge auf den Entscheid der Vorinstanz betreffend Kündigungsanfechtung verweist, kann auf das unter E. 9.5.1 Gesagte verwiesen werden. Sodann hat die Vorinstanz erwogen, dass die Ausserachtlassung der gebotenen Sorgfalt durch den Geschädigten selbst bei arglistiger Täuschung einen Herabsetzungsgrund darstelle. Eine Sorgfaltspflichtsverletzung des damaligen Präsidenten hat sie unter anderem damit begründet, dass dieser die Buchhaltung der Anstalt B._ nie im Detail geprüft habe. Aus den Buchhaltungsunterlagen wären jedoch gemäss Aussage des Revisors die Lohn- und Spesenbezüge von A.A._ und seiner Tochter ersichtlich gewesen (vgl. E. 11.1.1 hiervor). Damit setzt sich die Anstalt B._ nicht substanziiert auseinander, weshalb sich Weiterungen erübrigen. Anzufügen bleibt, dass auch eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) nicht erkennbar ist, zumal sich das Gericht nicht mit jedem einzelnen Parteistandpunkt einlässlich auseinanderzusetzen und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich zu widerlegen hat (vgl. E. 7.1.4 hiervor).
12.
12.1. Hinsichtlich der Frage der Verwirkung stellte die Vorinstanz fest, die Revisoren der Anstalt B._ seien anlässlich der jährlichen Kontrollen der Jahresrechnung davon ausgegangen, dass die aus den Unterlagen ersichtlichen Vergütungen an A.A._ und seine Tochter rechtmässig erfolgt seien. Die entsprechenden Auszahlungen seien aber nicht auf ihre Rechtmässigkeit hin überprüft worden. Bei ihrer Einvernahme bei der Staatsanwaltschaft hätten sie ausgeführt, nicht am "Geschäftsprozess" der Anstalt B._ beteiligt gewesen zu sein. Das kantonale Gericht schloss daraus, dass die Revisoren keine tatsächliche Kenntnis vom Schaden gehabt hätten, zumal ein allfälliges Kennenmüssen für die Kenntnis des Schadens nicht genüge. Im Bericht der Kontrollstelle zur Prüfung der Rechnung 2012 vom 15. April 2014 seien sodann die im Jahr 2012 an A.A._ zusätzlich ausbezahlten Spesen und Vergütungen aufgelistet gewesen. Dem Bericht seien jedoch keine Aussagen zur Frage der Berechtigung dieser Auszahlungen zu entnehmen. Gleich verhalte es sich mit dem "Bericht über den Untersuch der Geschäftsführung der Anstalt B._" vom 13. Mai 2014 des Synodalverwalters. Mit diesem Bericht sei dem Administrativrat erst die Weisung erteilt worden, die Berechtigung des im Jahr 2012 an A.A._ ausbezahlten Honorars und der zusätzlich ausbezahlten Spesen und Vergütungen sowie die Berechtigung der in den Jahren 2012 und 2013 an die Tochter von A.A._ ausbezahlten Entschädigungen zuzüglich Spesen zu prüfen und für die Jahre 2010 bis 2013 eine externe Revision anzuordnen. Schliesslich finde sich auch in diesem externen Revisionsbericht der D._ AG, welcher der Anstalt B._ frühestens am 15. September 2014 zugegangen sei, lediglich eine Zusammenstellung der von A.A._ und seiner Tochter in den Jahren 2009 bis 2013 bezogenen Löhne, Spesen und weiteren Vergütungen. Die Beurteilung, ob der Anstalt B._ gestützt auf diese Prüfungsergebnisse ein Schaden entstanden sei, habe die D._ AG Ersterer überlassen. Aufgrund dieses Ablaufs erkannte die Vorinstanz, die Anstalt B._ hätte nicht bereits vor dem 15. September 2014 ihren Anspruch dem Grundsatz und Umfang nach sicher gekannt, sodass sie ihn mit Erfolg hätte geltend machen können. Von der Kenntnis des Schadens im Sinne von § 16 Abs. 1 HG sei daher frühestens ab dem 15. September 2014 und spätestens ab dem Zeitpunkt der Rechtskraft des Entscheids des Kantonsgerichts Luzern vom 27. August 2015 (Kündigungsanfechtung) auszugehen. Die relative Verwirkungsfrist von zwei Jahren seit Kenntnis des Schadens wäre demnach mit der Klageeinreichung am 6. September 2016 in jedem Fall gewahrt.
12.2. Auch die absolute Frist von fünf Jahren ist gemäss kantonalem Gericht eingehalten. Das von der Anstalt B._ vorgebrachte schädigende Ereignis habe vorliegend ununterbrochen über fünf Jahre angedauert. Im Raum stünden überhöhte resp. unrechtmässige monatliche Lohnauszahlungen zwischen Januar 2008 und November/ Dezember 2013 sowie fortwährende unrechtmässige Spesenvergütungen und Auszahlungen weiterer Vergütungen durch A.A._ an sich zwischen Januar 2008 und Juli 2014. Der Sachverhalt und somit auch der Schaden hätten sich über Jahre ununterbrochen weiterentwickelt, sodass die einzelnen Schadenposten als Bestandteile des Gesamtschadens zu werten seien. Dieser habe erst festgestanden, als das letzte Element, hier die Auszahlung der monatlichen Büroentschädigung von Fr. 1000.- am 25. Juli 2014, erfolgt sei. Die absolute Verwirkungsfrist hätte somit erst ab diesem Zeitpunkt begonnen, womit die Klage vom 6. September 2014 rechtzeitig eingereicht worden wäre.
12.3. A.A._ wendet dagegen im Wesentlichen ein, die Revisoren hätten im Rahmen der jährlichen Prüfung stets Kenntnis von den von der Vorinstanz als Schaden qualifizierten Positionen gehabt. Gemäss dem Handbuch Rechnungskommissionen und Controlling-Kommissionen habe die Prüfung der Rechtmässigkeit der Auszahlungen zu den Aufgaben der Revisoren gehört. Die Anstalt B._ hätte deshalb schon viel früher eine Klage einreichen müssen. Indem die Vorinstanz trotz Verwirkung einen Schadenersatzanspruch der Anstalt B._ bejaht habe, sei sie in Willkür verfallen.
12.4. Mit diesen Vorbringen vermag A.A._ keine willkürliche Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz oder eine willkürliche Anwendung von kantonalem Recht darzutun. Die Vorinstanz stützte sich im Rahmen ihrer Beweiswürdigung auf die Aussagen der Revisoren anlässlich der staatsanwaltschaftlichen Einvernahme. Im Zusammenhang mit der Prüfung des Selbstverschuldens der Anstalt B._ stellte sie zudem fest, die Revisoren hätten gerade in Bezug auf die Anstellung der Tochter keinen Anlass gehabt, von der Unrechtmässigkeit dieser Anstellung auszugehen. Es erscheine auch nicht völlig abwegig, dass die Revisoren angenommen hätten, die sich aus der Buchhaltung ergebenden Lohnzahlungen und weiteren Vergütungen seien dem Administrativrat resp. dessen Präsidenten bekannt gewesen. Wenn das kantonale Gericht zum Schluss gelangte, frühestens nach Vorliegen des Berichts der D._ AG ab dem 15. September 2014 habe die Anstalt B._ tatsächliche Kenntnis vom Schaden gehabt, so erscheint dies nicht willkürlich. Auf die über weite Strecken appellatorisch gehaltene Kritik von A.A._ ist nicht weiter einzugehen.
12.5. Wenn die Vorinstanz schliesslich mit Blick auf die zwischen Januar 2008 und Juli 2014 unrechtmässig bezogenen monatlichen Lohnzahlungen und der fortwährend unrechtmässigen Spesenvergütungen von einem ununterbrochen andauernden schädigenden Ereignis ausging, so ist sie auch damit nicht in Willkür verfallen. Daran ändert der Einwand von A.A._ nichts, es seien nicht täglich angeblich nicht gerechtfertigte Zahlungen erfolgt.
12.6. Selbst wenn also die für A.A._ günstigere Haftungsgrundlage gemäss dem kantonalen Haftungsgesetz einschlägig wäre (vgl. E. 6.9 hiervor), könnte dieser daraus nichts zu seinen Gunsten ableiten, wie die Vorinstanz willkürfrei aufgezeigt hat. Soweit er eine Verwirkung damit begründet, die Anstalt B._ habe aufgrund der vorbehaltlosen Lohnauszahlungen nach Erhalt des Berichts der externen Revisionsstelle auf etwaige Ansprüche im Sinne von <ref-law> verzichtet, vermag er auch damit nicht durchzudringen.
13.
13.1. Betreffend Kosten- und Entschädigungsfolgen im vorinstanzlichen Verfahren erwog das kantonale Gericht, bei der Anstalt B._ liege keine berufsmässige Vertretung vor, da sie sich durch ein Organ habe vertreten lassen. Damit komme § 193 Abs. 3 VRG, der die Parteientschädigung für die Kosten der berufsmässigen Parteivertretung regle, nicht zur Anwendung. Auch § 29 der Verordnung über die Kosten in Zivil-, Straf- und verwaltungsgerichtlichen Verfahrender (JusKV; SRL 265) sei nicht einschlägig. Diese Norm regle die Umtriebsentschädigung an eine nicht berufsmässig vertretene Partei. Die Anstalt B._ habe sich aber weder anwaltlich noch anderweitig vertreten lassen. Die beiden Personen, welche für die Anstalt B._ die Eingaben unterzeichnet hätten, seien Mitglieder des Aministrativrats und würden deshalb als Organe gelten.
13.2. Die Anstalt B._ rügt eine willkürliche Anwendung von kantonalem Recht sowie eine Verletzung des Gleichbehandlungsgrundsatzes (<ref-law>), indem ihr die Vorinstanz keine Umtriebsentschädigung gemäss § 29 JusKV zugesprochen habe. Letztere Bestimmung regle all jene Fälle, in welchen die Partei entweder alleine oder als Organ der entsprechenden Körperschaft handle. Vorliegend habe der Aufwand den Rahmen der ordentlichen Organtätigkeit in höchstem Masse gesprengt. Die Vorinstanz lege diese Norm willkürlich aus. Ausserdem wäre nach Auffassung der Vorinstanz eine Umtriebsentschädigung bei juristischen Personen, welche in eigenen Namen handeln würden, ausgeschlossen, wohingegen eine natürliche Person Anspruch auf eine solche Entschädigung hätte. Dies verletze auch <ref-law>. Da die Vorinstanz der Anstalt B._ nie die Gelegenheit gegeben habe, ihren Aufwand zu beziffern, sei der angefochtene Entscheid in diesem Punkt aufzuheben und die Sache zur Wahrung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventualiter sei ihr - der Anstalt B._ - eine Umtriebsentschädigung von Fr. 24'000.- zuzusprechen.
13.3. Damit vermag die Anstalt B._ nicht rechtsgenüglich darzutun, inwiefern die Vorinstanz in Willkür verfallen sein soll, indem sie einen Anspruch auf eine Umtriebsentschädigung verneinte. Gemäss § 29 Abs. 1 JusKV wird eine angemessene Umtriebsentschädigung entrichtet, soweit es das Gesetz vorsieht. Die Anstalt B._ zeigt nicht auf, dass für die hier zu beurteilende Konstellation eine Umtriebsentschädigung überhaupt gesetzlich vorgesehen wäre. Die Rüge der Verletzung des Gleichbehandlungsgebots verfängt von vornherein nicht, da die Anstalt B._ zwei offensichtlich ungleiche Sachverhalte miteinander vergleicht.
14.
Zusammenfassend ist die Beschwerde des A.A._ unbegründet und abzuweisen. Die Beschwerde der Anstalt B._ ist hingegen insoweit begründet, als sich hinsichtlich der Anstellung der Tochter von A.A._ weitere Abklärungen aufdrängen. Die Sache wird deshalb zur neuen Entscheidung im Sinne der vorangehenden Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen. In diesem Sinne ist die Beschwerde der Anstalt B._ teilweise gutzuheissen.
15.
15.1. Das Verfahren ist kostenpflichtig. A.A._ unterliegt mit seiner Beschwerde vollständig. Die Anstalt B._ obsiegt ihrerseits in Bezug auf die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz (lediglich) teilweise. Es rechtfertigt sich deshalb vorliegend, die Verfahrenskosten zu zwei Fünfteln der Anstalt B._ und zu drei Fünfteln A.A._ aufzuerlegen.
15.2. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend steht A.A._ eine reduzierte Parteientschädigung zu (<ref-law>). Die Anstalt B._ hat ihrerseits keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da sie im Rahmen ihres amtlichen Wirkungskreises tätig war (<ref-law>; Urteile 8C_7/2020 vom 3. November 2020 E. 7.2; 8C_769/2017 vom 7. Mai 2018 E. 10). Es liegt auch keine Ausnahme vor, die ein Abweichen von diesem Grundsatz nahelegen würde.
15.3. Über die Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens wird das kantonale Gericht mit dem neu zu erlassenden Entscheid neu zu befinden haben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 8C_255/2020 und 8C_279/2020 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde des A.A._ im Verfahren 8C_255/2020 wird abgewiesen.
3.
Die Beschwerde der Anstalt B._ im Verfahren 8C_279/2020 wird teilweise gutgeheissen. Die Ziffern 1, 3 und 4 des Entscheids des Kantonsgerichts Luzern vom 28. Februar 2020 werden aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 22'000.- werden zu zwei Fünfteln (Fr. 8800.-) der Anstalt B._ und zu drei Fünfteln (Fr. 13'200.-) A.A._ auferlegt.
5.
Die Anstalt B._ hat A.A._ für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1400.- zu entschädigen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. Januar 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Wüest