Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Begehren vom 8. Mai 2020 gelangte die B._ AG an das Bezirksgericht Arbon. Sie ersuchte im Verfahren um Rechtsschutz in klaren Fällen um Ausweisung der Mieterin A._ AG aus dem Mietobjekt.
Am 14. Mai 2020 ersuchte die Präsidentin des Bezirksgerichts Arbon das Obergericht des Kantons Thurgau um Benennung eines Ersatzgerichts für das von der B._ AG eingeleitete Mieterausweisungsverfahren. Die B._ AG sei Vermieterin der Räumlichkeiten, in denen das Bezirksgericht Arbon eingemietet sei. Bereits in der Umbauphase habe ein sehr enger Kontakt mit der B._ AG bestanden und diese sei auch Ansprechspartnerin bei kleineren Malerarbeiten, ausserordentlichen Reinigungsarbeiten und Problemen jeglicher Art betreffend Räumlichkeiten. Verschiedene Gerichtsmitglieder hätten zudem engen Kontakt zu Verantwortlichen beider Parteien.
A.b. Mit Entscheid vom 15. Mai 2020 entsprach das Obergericht diesem Gesuch und setzte das Bezirksgericht Weinfelden anstelle des Bezirksgerichts Arbon ein.
A.c. Dagegen erhob die A._ AG am 18. Juni 2020 Beschwerde an das Bundesgericht und machte eine Verletzung der gesetzlichen Zuständigkeitsordnung geltend.
Während dem laufenden bundesgerichtlichen Verfahren urteilte das Bezirksgericht Weinfelden über das Ausweisungsgesuch. Es trat mit Entscheid vom 30. Juni 2020 auf das Gesuch der B._ AG um Rechtsschutz in klaren Fällen nicht ein, da der Sachverhalt nicht liquide und sofort beweisbar erscheine. Daraufhin wurde das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren mit Präsidialverfügung 4A_323/2020 vom 13. Oktober 2020 als gegenstandslos abgeschrieben.
B.
B.a. Am 18. Juni 2020 reichte die A._ AG am Bezirksgericht Arbon eine Klage gegen die B._ AG betreffend "Feststellung / Erstreckung eines Mietverhältnisses" ein.
Die Präsidentin des Bezirksgerichts Arbon ersuchte das Obergericht mit Gesuch vom 19. Juni 2020 erneut um Bestellung eines Ersatzgerichts. Sie verwies auf den obergerichtlichen Entscheid vom 15. Mai 2020 und machte darüberhinaus geltend, dass alle drei Eigentümer der B._ AG auch auf dem B._-Areal wohnten bzw. arbeiteten und es sich damit nicht um ein entferntes Vermieter-Mieter Verhältnis handle, sondern sie als Nachbarn einen entsprechenden Umgang miteinander pflegten. Es sei zwar richtig, dass nicht alle Gerichtsmitglieder gleich stark involviert seien. Fakt sei aber, dass verschiedene Gerichtsmitglieder enge Kontakte zu Verantwortlichen beider Parteien hätten. Von beiden Parteien sei das Bezirksgericht mit persönlicher Karte bzw. per e-Mail bedient worden. Dieser offene Austausch untereinander widerspiegle die im B._-Areal gelebte nahe Beziehungskultur. Dies mache deutlich, dass das Bezirksgericht Arbon zu stark involviert sei, zumal verschiedene Mitglieder des Gerichts auch bereits in die Einigungsgespräche der Parteien einbezogen worden seien. Folglich erwecke das Gericht - und zwar als Ganzes - auch nach aussen den Anschein der Befangenheit. Dies umso mehr, als bekannt sei, dass am Bezirksgericht Arbon eine sehr flache Hierarchie bestehe und viele Entscheidungen im Plenum getroffen würden. Es könne deshalb in dieser Sache vom Bezirksgericht Arbon keine Unbefangenheit gewährleistet werden. Der Anspruch auf einen neutralen Richter sei höher zu gewichten als derjenige auf einen Richter am Ort der gelegenen Sache.
B.b. Mit Entscheid vom 18. August 2020 entsprach das Obergericht diesem Gesuch. Es setzte im Verfahren der A._ AG gegen die B._ AG betreffend "Feststellung / Erstreckung eines Mietverhältnisses" anstelle des Bezirksgerichts Arbon wiederum das Bezirksgericht Weinfelden ein. Das Obergerichts erwog, wie bereits im Entscheid vom 15. Mai 2020 entschieden, rechtfertige es sich auch in Bezug auf das Verfahren betreffend "Feststellung / Erstreckung eines Mietverhältnisses" aufgrund der geltend gemachten Nähe des Bezirksgerichts Arbon zu den Parteien, insbesondere zur B._ AG, ein Ersatzgericht zu bestellen, um jeden Anschein der Befangenheit zu vermeiden, zumal sich an der Ausgangslage zwischenzeitlich nichts geändert habe.
C.
Gegen diesen Entscheid erhob die A._ AG (Beschwerdeführerin) am 7. Oktober 2020 Beschwerde an das Bundesgericht. Sie beantragte, der angefochtene Entscheid vom 18. August 2020 sei aufzuheben, und es sei das Bezirksgericht Arbon als Gericht am Ort der gelegenen Sache für zuständig zu bezeichnen, um das Gesuch der B._ AG (Beschwerdegegnerin 1) betreffend Mieterausweisung zu behandeln [sic].
Die Beschwerdegegnerin 1 erklärte, dass sie gegen die von der Beschwerdeführerin beantragte Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Zuständigkeitserklärung des Bezirksgerichts Arbon nichts einzuwenden habe. Im Weiteren verzichte sie auf Vernehmlassung. Die Vorinstanz verzichtete auf Vernehmlassung und beantragte Abweisung der Beschwerde unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid.
Mit Präsidialverfügung vom 23. November 2020 wurde der Beschwerde, vorab superprovisorisch, die aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob auf bei ihm erhobene Beschwerden einzutreten ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 2.1).
2.
Die Beschwerdeführerin stellt in ihrem Rechtsbegehren den Antrag, das Bezirksgericht Arbon habe das Gesuch der Beschwerdegegnerin 1 betreffend Mieterausweisung zu behandeln.
Die von der Beschwerdegegnerin 1 beantragte Mieterausweisung ist nicht Streitgegenstand des vorliegenden Verfahrens. Vielmehr geht es in der Sache um die von der Beschwerdeführerin am Bezirksgericht Arbon eingeleitete Klage betreffend "Erstreckung / Feststellung eines Mietverhältnisses". Für dieses Verfahren bestellte die Vorinstanz auf Gesuch des Bezirksgerichts Arbon hin mit Entscheid vom 18. August 2020 das Bezirksgericht Weinfelden als Ersatzgericht. In der Beschwerdebegründung legt die Beschwerdeführerin denn auch richtigerweise dar, dass es in der Sache um die Bestellung eines Ersatzgerichts zur Behandlung der "Erstreckungs- und Feststellungsklage" gehe, welche sie gegen die Beschwerdegegnerin 1 am Bezirksgericht Arbon anhängig gemacht habe. Unter Berücksichtigung der Beschwerdebegründung ist demnach nach Treu und Glauben davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerin für dieses von ihr eingeleitete Verfahren beantragt, dass das Bezirksgericht Arbon für zuständig zu erklären sei.
3.
3.1. Das Bezirksgerichts Arbon ersuchte das Obergericht des Kantons Thurgau um Einsetzung eines Ersatzgerichts für das von der Beschwerdeführerin eingeleitete mietrechtliche Verfahren betreffend "Erstreckung / Feststellung eines Mietverhältnisses", weil beim Bezirksgericht "als Ganzes" der Anschein der Befangenheit bestehe. Im angefochtenen Entscheid hiess das Obergericht dieses Gesuch gut und bestellte das Bezirksgericht Weinfelden als Ersatzgericht, "um jeden Anschein der Befangenheit zu vermeiden".
Es handelt sich bei diesem Entscheid um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über den Ausstand, wogegen die Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht grundsätzlich gegeben ist (<ref-law>). Indes ist diese gemäss <ref-law> nur gegen Entscheide zulässig, die ein obereres kantonales Gericht als Rechtsmittelinstanz gefällt hat (Prinzip des doppelten Instanzenzuges), es sei denn, es liege einer der Ausnahmefälle von Art. 75 Abs. 2 lit. a-c BGG vor. Die den Kantonen zur Anpassung ihrer Bestimmungen an <ref-law> gewährte Übergangsfrist (<ref-law>) ist vor zehn Jahren mit dem Inkrafttreten der schweizerischen Zivilprozessordnung am 1. Januar 2011 abgelaufen (<ref-ruling> E. 1.6 S. 255).
Das Erfordernis des doppelten Instanzenzuges gilt nicht nur für die Anfechtung von Endentscheiden, sondern auch von Zwischenentscheiden. Eine allgemeine Ausnahme für Zwischenentscheide besteht nicht. Dennoch hat das Bundesgericht Ausnahmen vom Erfordernis des doppelten Instanzenzuges für Zwischenentscheide zugelassen, wenn das obere kantonale Gericht mit einem Rechtsmittel befasst ist und in diesem Rahmen einen Zwischenentscheid fällt. Das ist etwa dann der Fall, wenn das obere kantonale Gericht über den Ausstand eines Mitglieds des oberen Gerichts befindet oder über die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege oder der aufschiebenden Wirkung für das Rechtsmittelverfahren entscheidet (dazu: <ref-ruling> E. 1.2 f.).
3.2. In casu urteilte das Obergericht des Kantons Thurgau über das Gesuch des Bezirksgerichtes Arbon um Bestellung eines Ersatzgerichts. Das Obergericht entschied im angefochtenen Entscheid somit über das vom Bezirksgericht gestellte Gesuch als erste und einzige kantonale Instanz und nicht als Rechtsmittelinstanz.
Das Obergericht stützte seine Zuständigkeit dafür auf § 22 des Thurgauer Gesetzes über die Zivil- und Strafrechtspflege vom 17. Juni 2009 (Stand 1. Januar 2016; RB 271.1), den es im angefochtenen Entscheid aber mit keinem Wort erwähnt. Nach dieser kantonalen Bestimmung bezeichnet das Obergericht eine unbeteiligte Gerichtsbehörde als Ersatzgericht, wenn die Gesamtheit oder so viele Mitglieder eines Bezirksgerichtes den Ausstand zu wahren haben, dass eine genügende Besetzung auch unter Zuzug der Ersatzmitglieder nicht möglich ist.
3.3. Es liegt damit eine identische Konstellation vor, welche das Bundesgericht bereits in drei anderen Kantonen zu beurteilen hatte, nämlich für den Kanton Basel-Landschaft (Urteil 4A_263/2016 vom 20. September 2016), Luzern (Urteil 5A_697/2016 vom 25. November 2016) und Aargau (Urteil 5A_930/2016 vom 17. Januar 2017). In diesen Urteilen hat das Bundesgericht entschieden, dass auch für den Fall, in dem der Ausstand des gesamten erstinstanzlichen Gerichts in Frage stehe, der Grundsatz des doppelten Instanzenzugs nach <ref-law> gelte und die kantonale Rechtsmittelinstanz nicht als einzige kantonale Instanz über das Ausstandsgesuch urteilen könne (Urteile 5A_930/2016 vom 17. Januar 2017 E. 2; 5A_697/2016 vom 25. November 2016 E. 2.3; 4A_263/2016 vom 20. September 2016 E. 1.3).
Das gilt genau so für den Kanton Thurgau: Auch für den vorliegenden Fall sind die Ausnahmen des Erfordernisses der double instance nach Art. 75 Abs. 2 lit. b und lit. c von vornherein nicht einschlägig. Ebensowenig handelt es sich bei der genannten Regelung des Thurgauer Gesetzes über die Zivil- und Strafrechtspflege um eine Bestimmung eines Bundesgesetzes im Sinne von <ref-law>. Der angefochtene Entscheid des Obergerichts des Kantons Thurgau über den Ausstand des gesamten Bezirksgerichts Arbon und der daraus folgenden Bestellung eines Ersatzgerichts fällt damit unter keinen der im Ausnahmekatalog von Art. 75 Abs. 2 lit. a - c BGG erwähnten Gründe.
3.4. Das Bundesrecht sieht somit im vorliegenden Fall keine Ausnahme vom Grundsatz vor, dass die Vorinstanz des Bundesgerichts als Rechtsmittelinstanz entschieden haben muss. Da keine der Ausnahmen vom Erfordernis der double instance gemäss <ref-law> vorliegt, kann das Bundesgericht auf die Beschwerde nicht eintreten. Entgegen der Rechtsmittelbelehrung im angefochtenen Entscheid ist der vorinstanzliche Entscheid damit nicht mit "Beschwerde an das Bundesgericht" anfechtbar. Vielmehr ist der Kanton Thurgau verpflichtet, einen zweitinstanzlichen Spruchkörper zu schaffen oder zu bezeichnen, bei dem der Ausstandsentscheid des Obergerichts vom 18. August 2020 mit kantonaler Beschwerde (<ref-law> i.V.m. <ref-law>) angefochten werden kann, um den Anforderungen des Bundesgerichtsgesetzes (Erwägung 3.1) gerecht zu werden.
Im vorliegenden, hängigen Fall ist die Beschwerde zur weiteren Behandlung im Sinne der Erwägungen an das Obergericht des Kantons Thurgau zu überweisen, zumal der Schriftenwechsel schon durchgeführt wurde. Zwar ist der Kanton und nicht das Gericht selbst verpflichtet, einen entsprechenden Spruchkörper zu bilden, bei dem der Ausstandsentscheid mit kantonaler Beschwerde angefochten werden kann. Praktisch lässt sich dies aber, soweit als Erstinstanz bereits das Obergericht entschieden hat und keine andere obere Gerichtsinstanz als Beschwerdeinstanz bezeichnet wird, nicht anders handhaben, als dass das Obergericht in anderer Besetzung die Rechtsmitteleingabe beurteilt und einen zweitinstanzlichen Entscheid fällt (vgl. Urteile 5A_930/2016 vom 17. Januar 2017 E. 3; 5A_697/2016 vom 25. November 2016 E. 2.4; 4A_263/2016 vom 20. September 2016 E. 1.4).
Pro futuro liesse sich das Erfordernis des doppelten Instanzenzugs für die vorliegende Konstellation (Ausstand eines ganzen Gerichts oder so vieler Mitglieder, dass eine genügende Besetzung nicht möglich ist) beispielsweise auch so umsetzen, dass der Entscheid über das Ausstandsgesuch einem anderen erstinstanzlichen Gericht übertragen wird, wie es etwa im Kanton Luzern seit kurzem in Umsetzung des Urteils 5A_697/2016 vorgesehen ist (§ 79 lit. d des Luzerner Gesetzes vom 10. Mai 2010 über die Organisation der Gerichte und Behörden in Zivil-, Straf- und verwaltungsgerichtlichen Verfahren [SRL 260; Stand 1. Januar 2019]).
4.
Der Mangel des doppelten Instanzenzugs, der zum Nichteintretensentscheid des Bundesgerichts führt, geht auf die Gerichtsorganisation des Kantons Thurgau zurück. Der Kanton Thurgau darf nicht mit Gerichtskosten belastet werden (<ref-law>). In Fällen, wie dem vorliegenden besteht daher die Praxis, dass keine Gerichtskosten erhoben und die Parteikosten im Rahmen des zweitinstanzlichen kantonalen Entscheids liquidiert werden (Urteile 5A_930/2016 vom 17. Januar 2017 E. 4; 5A_697/2016 vom 25. November 2016 E. 3; 4A_263/2016 vom 20. September 2016 E. 2).
Sofort zu liquidieren sind einzig die Kosten für die Stellungnahmen im bundesgerichtlichen Verfahren (Urteil 5A_930/2016 vom 17. Januar 2017 E. 4). Das Obergericht verzichtete auf eine Vernehmlassung, sodass kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden ist, zumal die Entschädigung gegenüber dem Kanton sowieso ausser Betracht bleibt (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin 1 erklärte bloss ohne weitere Begründung, dass sie sich der Beschwerde der Beschwerdeführerin nicht widersetze. Es rechtfertigt sich unter diesen Umständen nicht, ihr dafür eine Parteientschädigung für das bundesgerichtliche Verfahren zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde vom 7. Oktober 2020 wird im Sinne der Erwägungen an das Obergericht des Kantons Thurgau zur weiteren Behandlung überwiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben und es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Januar 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Brugger