Erwägungen:
1.
A._ erhob gegen die Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl vom 17. Juni 2021 mit Eingabe vom 12. Juli 2021 Beschwerde. Dabei ersuchte er um Erstreckung der Beschwerdefrist sowie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege bzw. um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich wies mit Verfügung vom 15. Juli 2021 das Fristerstreckungsgesuch sowie das Gesuch um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes ab. Rechtsmittelfristen könnten als gesetzliche Fristen nicht erstreckt werden. Ausserdem gebe es im Strafverfahren keine Gerichtsferien. A._ habe mit seiner Beschwerdeschrift (und mit früheren Verfahren) belegt, dass er in der Lage sei, das vorliegende Beschwerdeverfahren selbständig zu führen. Die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes sei nicht notwendig. Hinsichtlich der Befreiung von Vorschuss- und Sicherheitsleistungen sowie Verfahrenskosten forderte die III. Strafkammer A._ auf, innert 10 Tagen Belege über seine finanziellen Verhältnisse einzureichen.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 14. September 2021 Beschwerde in Strafsachen gegen die Verfügung der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Die III. Strafkammer legte in ihrer Begründung dar, weshalb sie das Fristerstreckungsgesuch sowie das Gesuch um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes abwies. Der Beschwerdeführer setzt sich mit diesen Ausführungen nicht auseinander und vermag nicht im Einzelnen und konkret aufzuzeigen, dass die III. Strafkammer bei der Behandlung seiner Gesuche Recht im Sinne von <ref-law> verletzt hätte. Aus der Beschwerde ergibt sich nicht, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer bzw. deren Verfügung selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Das sinngemäss gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, da sich die Beschwerde als offensichtlich aussichtslos erweist (<ref-law>). Auf eine Kostenauflage ist indessen zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtpflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. November 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli