Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn nahm die Strafanzeige des Beschwerdeführers und von B._ vom 15. Januar 2019 gegen mehrere Betreuungspersonen von B._, konkret gegen Angestellte der Sozialregion Untergäu, der KESB Olten-Gösgen und der Stiftung C._, wegen Freiheitsberaubung, Beschimpfung, sexuellen Missbrauchs, Körperverletzung und unterlassener Hilfeleistung mit Verfügung vom 10. Mai 2019 nicht an die Hand. Dagegen erhoben der Beschwerdeführer und B._ Beschwerde. Mit Beschluss vom 12. September 2019 trat das Obergericht des Kantons Solothurn auf die Beschwerde des Beschwerdeführers mangels Beschwerdelegitimation nicht ein.
Der Beschwerdeführer gelangt dagegen mit Beschwerde an das Bundesgericht.
2.
Die Rüge des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe seine Beschwerdelegitimation zu Unrecht verneint, ist unabhängig von der Legitimation des Beschwerdeführers in der Sache selbst (vgl. Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG) zulässig (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 5; <ref-ruling> E. 2 S. 250; je mit Hinweisen; Urteil 6B_1198/2014 vom 3. September 2015 E. 1, nicht Publ. in: <ref-ruling>).
Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde mangels Geschädigtenstellung des Beschwerdeführers indes, soweit sich dieser zur Sache äussert und etwa geltend macht, B._ sei in ein Arbeitsprogramm gezwungen und unzweckmässig medikamentös behandelt worden.
3.
Die Beschwerde an das Bundesgericht hat die Begehren und deren Begründung zu enthalten (<ref-law>). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 380). Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten, inklusive Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 503, 241 E. 2.3.1 S. 244), besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>). Auf ungenügend begründete Rügen oder bloss allgemein gehaltene appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3 S. 30 mit Hinweisen).
4.
Die Vorinstanz erwägt, es gehe bei allen Vorhalten um ein Fehlverhalten gegenüber B._. Der Beschwerdeführer sei durch eine allfällige Straftat der Beschuldigten nicht in seinen Rechten unmittelbar verletzt worden und könne sich daher nicht als Privatkläger konstituieren. Der Beschwerdeführer setzt sich damit nicht rechtsgenügend auseinander. Er argumentiert zwar, er sei von den angezeigten Personen beschimpft und verleumdet worden und deshalb ebenfalls in seinen Rechten verletzt. Ob dies zutrifft, kann dahingestellt bleiben. Die Vorinstanz hatte im angefochtenen Entscheid nur zu prüfen, ob die Nichteintretensverfügung vom 10. Mai 2019 vor dem geltenden Recht Stand hält. Der Einwand des Beschwerdeführers, er sei beschimpft und verleumdet worden, wäre daher nur stichhaltig, wenn dieser Vorwurf ebenfalls Gegenstand der Nichtanhandnahmeverfügung vom 10. Mai 2019 bilden würde. Dies ist weder dargetan noch ersichtlich.
5.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Dessen Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von <ref-law> abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. November 2019
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Unseld