Sachverhalt:
A.
Mit Eingaben vom 7. Februar 2018 beantragte A._ beim Generalsekretär des Bundesgerichts die Einsichtnahme in die Akten des vor Bundesgericht abgeschlossenen Verfahrens 1C_680/2017. Im Rahmen der Korrespondenz mit dem Generalsekretär reichte A._ weitere Eingaben vom 27. Februar 2018 und 26. März 2018 ein.
B.
In seiner Verfügung vom 12. April 2018 verweigerte der Generalsekretär A._ die Akteneinsicht. Diese Verfügung wurde ihm am 20. April 2018 zugestellt.
C.
C.a. Am 22. Mai 2018 erhob A._ (Beschwerdeführer) beim Bundesverwaltungsgericht Beschwerde gegen die erwähnte Verfügung. Darin beantragt er hauptsächlich die Aufhebung der Verfügung und "die vollumfängliche Akteneinsicht in alle, den Fall betreffenden Akten" (Ziffer I.1). Daneben stellt er diverse Feststellungsbegehren (Ziffer I.2, I.3, I.5 und I.6) und beantragt eine Beweissicherung (Ziffer I.4). Sinngemäss beantragt er weiter die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung (Ziffer I.7 und I.8), und er stellt seine Begehren unter Kosten- und Entschädigungsfolgen (Ziffer I.9).
C.b. Am 23. Mai 2018 leitete das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde zuständigkeitshalber an die Rekurskommission des Bundesgerichts weiter.

Erwägungen:
1.
Die Rekurskommission prüft die Beschwerdevoraussetzungen von Amtes wegen:
1.1. Gemäss Art. 55 Bst. c des Reglements vom 20. November 2006 für das Bundesgericht (BGerR; SR 173.110.131) beurteilt die Rekurskommission Streitigkeiten nach Art. 16 der Verordnung des Bundesgerichts vom 27. September 1999 zum Archivierungsgesetz (SR 152.21 - fortan: VO). Art. 16 der VO erfasst namentlich die Verweigerung der Einsicht in archivierte Verfahrensakten des Bundesgerichts, die vom Generalsekretär verfügt wurde (Art. 13 VO). Um eine solche Verfügung geht es hier. Die Rekurskommission ist daher zur Beurteilung der dagegen erhobenen Beschwerde zuständig.
1.2. Gemäss Art. 16 Abs. 2 der VO und <ref-law> richtet sich das Beschwerdeverfahren nach den Vorschriften des Bundesgesetzes vom 20. Dezember 1968 über das Verwaltungsverfahren (VwVG; SR 172.021), insbesondere nach dessen Art. 44 ff. Gemäss <ref-law> beträgt die Beschwerdefrist 30 Tage. Diese Frist wurde mit der Postaufgabe der Beschwerde am 22. Mai 2018 gewahrt (<ref-law>). Zwar hat der Beschwerdeführer die Beschwerde zunächst (entgegen der Rechtsmittelbelehrung in der angefochtenen Verfügung) beim Bundesverwaltungsgericht eingereicht, doch hat dieses die Eingabe zuständigkeitshalber der Rekurskommission weitergeleitet (<ref-law>). Mit dieser Weiterleitung bleibt die Beschwerdefrist gewahrt (<ref-law>). Der Beschwerdeführer erwähnte in der Beschwerde eine mögliche Weiterleitung und opponierte auch nicht gegen die Eingangsanzeige der Rekurskommission vom 30. Mai 2018. Die Zuständigkeit der Rekurskommission muss daher als unbestritten gelten.
1.3. Auf die Einholung einer Vernehmlassung des Generalsekretärs und der vorinstanzlichen Akten wird verzichtet, weil die Beschwerde offensichtlich unbegründet bzw. unzulässig ist (<ref-law>).
1.4. Die Beschwerde enthält Sachverhaltsangaben und verweist auf Urkunden, die der Beschwerdeführer einreicht. Ob es dabei um neue Vorbringen geht, kann offen bleiben. Die Sachverhaltsangaben und Urkunden sind mit Blick auf den Untersuchungsgrundsatz (<ref-law>), die Novenregelung (<ref-law>) und die Kognition der Rekurskommission zur Sachverhaltsprüfung (Art. 49 Bst. b VwVG) zu berücksichtigen; eine nachlässige Prozessführung des Beschwerdeführers liegt nicht vor (<ref-ruling> E. 5.4.1; <ref-ruling> E. 4; Urteil 2C_388/2008 vom 16. Dezember 2008 E. 4).
1.5. Weitere prozessuale Anforderungen an die Beschwerde werden im jeweiligen Sachzusammenhang geprüft.
2.
Streitig ist die vom Beschwerdeführer beantragte Einsicht in Akten des abgeschlossenen bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens 1C_680/2017, in dem er selber Prozesspartei war.
2.1. Vorab stellt sich die Frage nach den rechtlichen Voraussetzungen für die hier beantragte Akteneinsicht.
2.1.1. Auf das Bundesgesetz über das Öffentlichkeitsprinzip der Verwaltung vom 17. Dezember 2004 (BGÖ; SR 152.3) kann sich die Akteneinsicht nicht stützen. Das darin statuierte Öffentlichkeitsprinzip (<ref-law>) gilt für das Bundesgericht nur, soweit es um administrative Aufgaben oder um die Aufsicht über das Bundesverwaltungsgericht bzw. das Bundesstrafgericht geht (Art. 28 Abs. 1 des Bundesgerichtsgesetzes [BGG], SR 173.110). Die Akten, die der Beschwerdeführer einsehen will, betreffen indes ein abgeschlossenes Beschwerdeverfahren, also den Kernbereich der Rechtsprechung, der vom BGÖ nicht erfasst wird (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 f.).
2.1.2. Anwendbar ist hingegen die bereits bei der Prüfung der Zuständigkeit (E. 1.1) erwähnte Verordnung des Bundesgerichts zum Archivierungsgesetz (VO). Darin hat das Bundesgericht die Archivierung seiner Akten gestützt auf Art. 1 Abs. 3 des Bundesgesetzes vom 26. Juni 1998 über die Archivierung (BGA; SR 152.1) selbständig geregelt. Art. 3 Abs. 1 und 2 der VO definieren, was aus den Akten eines Rechtsmittelverfahrens vor Bundesgericht zu archivieren ist, unter Vorbehalt weiter gehender Anordnungen der Präsidenten der jeweiligen Spruchkörper (Art. 3 Abs. 4 der VO). Gemäss Art. 6 Abs. 2 der VO unterliegen Prozessakten des Bundesgerichts in der Regel einer Schutzfrist von 50 Jahren. Nach Ablauf der Schutzfrist hat grundsätzlich jede Person das Recht auf Einsicht in die Prozessakten (vgl. Art. 11 Abs. 1 der VO). Einsicht kann in bestimmten Fällen (z.B. bei vorliegender Einwilligung) schon während der Schutzfrist gewährt werden (Art. 8 Abs. 1 der VO); dabei ist aber der Persönlichkeits- und Geheimnisschutz zu wahren (Art. 8 Abs. 2 der VO). Wer während der Schutzfrist in archivierte Verfahrensakten des Bundesgerichts Einsicht nehmen will, hat im Gesuch an den Generalsekretär den Grund der Einsichtnahme anzugeben (Art. 12 Abs. 2 Bst. c der VO). Zu einer Begründung des Akteneinsichtsgesuchs kann der Gesuchsteller auch nach Ablauf der Schutzfrist aufgefordert werden, wenn sich die Frage einer Verlängerung der Schutzfrist im Einzelfall stellt (Art. 12 Abs. 3 der VO). Für die Verlängerung der Schutzfrist ist zu prüfen, ob ein überwiegendes schutzwürdiges öffentliches oder privates Interesse gegen die Einsichtnahme spricht (Art. 7 Abs. 1 der VO). Die Verlängerung setzt somit eine Interessenabwägung voraus. Dasselbe gilt für die Wahrung des Persönlichkeits- und Geheimnisschutzes (Art. 8 Abs. 2 der VO). Die Interessenabwägung erfordert, dass der Gesuchsteller in der Gesuchsbegründung sein eigenes schutzwürdiges Interesse an der Einsichtnahme darlegt.
2.1.3. Nichts anderes ergibt sich aus der verfassungskonformen Auslegung der VO. Zwar räumt <ref-law> den Prozessparteien als allgemeine Verfahrensgarantie und Teil des Anspruchs auf rechtliches Gehör einen verfassungsmässigen Anspruch auf Akteneinsicht ein, der auch die Akten eines abgeschlossenen Verfahrens erfasst. Dieser Anspruch hängt aber davon ab, dass der Rechtsuchende ein besonderes schutzwürdiges Interesse glaubhaft machen kann. Dieses Interesse kann sich aus der Betroffenheit in einem spezifischen Freiheitsrecht wie etwa der persönlichen Freiheit oder aus einer sonstigen besonderen Sachnähe ergeben (<ref-ruling> E. 3). Auch bei verfassungskonformer Auslegung der VO muss der Gesuchsteller daher ein schutzwürdiges Interesse an der Einsicht in die Akten des abgeschlossenen bundesgerichtlichen Verfahrens darlegen.
2.2. Der Generalsekretär verweigerte dem Beschwerdeführer die Akteneinsicht mit der Begründung, dass er kein schutzwürdiges Interesse an der Akteneinsicht nachgewiesen habe. Trotz entsprechender Aufforderung habe er nicht konkret dargelegt, um was es ihm bei der Akteneinsicht gehe und was er damit nachweisen möchte. Ohne präzise Angabe der Gründe könne nicht beurteilt werden, ob ein schutzwürdiges Interesse für die Akteneinsicht vorliege. Ausnahmsweise habe der Beschwerdeführer eine Kopie des Aktenverzeichnisses erhalten und den Hinweis, dass sich bei den archivierten Akten keine vorinstanzlichen Akten befänden. Dem Urteil im erwähnten Verfahren sei zu entnehmen, dass das Bundesgericht seinerzeit auf Vernehmlassungen und damit auch auf den Beizug kantonaler Akten verzichtet habe. Eine allfällige Einsicht in diese Akten müsse bei den damaligen Vorinstanzen verlangt werden.
2.3. Der Beschwerdeführer beantragt "die vollumfängliche Akteneinsicht in alle, den Fall betreffenden Akten". Sein Antrag betrifft die Akten des abgeschlossenen bundesgerichtlichen Verfahrens 1C_680/2017, bei denen die Schutzfrist der Archivierung läuft. Für die Einsichtnahme in diese Akten muss er daher ein schutzwürdiges Interesse darlegen (E. 2.1.2 und 2.1.3).
Wie dem Urteil der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung vom 18. Dezember 2017 (zugänglich auf der Website des Bundesgerichts) zu entnehmen ist, ging es im abgeschlossenen Verfahren 1C_680/2017 um die Strafverfolgungsermächtigung betreffend Mitarbeiter des Betreibungsamtes Fällanden und der Kantonspolizei Zürich. Diese Personen sollen nach den damaligen Vorbringen des Beschwerdeführers von einem Mitarbeiter der "C. AG" (offenbar: Krankenkasse B._) zu Straftaten angestiftet worden sein. Das Bundesgericht ist auf die Beschwerde des Beschwerdeführers gegen die Verweigerung der Strafverfolgungsermächtigung nicht eingetreten.
Gemäss den vom Beschwerdeführer eingereichten Unterlagen war er eine Zeit lang in der Psychiatrischen Universitätsklinik Zürich wegen eines fürsorgerischen Freiheitsentzuges (FFE). Mit Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 14. Oktober 2005 wurde er aus dem FFE entlassen. Anscheinend hat die B._ danach zuerst von der Klinik die Rückerstattung der Kosten für den stationären Aufenthalt verlangt (Schreiben vom 6. Dezember 2005), später aber gegenüber dem Beschwerdeführer die Zahlung der Kosten nach Einsicht in eine Stellungnahme ihres Vertrauensarztes als korrekt bezeichnet (Schreiben vom 3. Januar 2006).
Was der Beschwerdeführer vor diesem Hintergrund gegenüber wem geltend machen will, ergibt sich aus der vorliegenden Beschwerde nicht. Er meint, "gekidnappt" worden zu sein, und bezeichnet die damalige Anordnung der FFE als rechtswidrig. In diesem Zusammenhang hat er offenbar den Mitarbeitern des Betreibungsamtes Fällanden und der Kantonspolizei Zürich im Verfahren 1C_680/2017 Straftaten vorgeworfen. Vorliegend tut er dies nun (auch) gegenüber der B._. Dieser unterstellt er namentlich eine Urkundenfälschung, weil sie in ihrem Schreiben vom 3. Januar 2006 zu Unrecht eine Eigen- und Fremdgefährdung bei der FFE-Einweisung erwähnt habe. Ob er deswegen gegen die B._ oder deren Angestellte vorgehen will, ist nicht ersichtlich. Daneben macht der Beschwerdeführer geltend, die B._ hätte [für die Kosten seines Klinikaufenthaltes] Regress "auf die verursachenden Dritten" nehmen müssen, um sich vor ungerechtfertigten Forderungen zu schützen. Was er daraus ableiten will, bleibt offen.
Aus der Beschwerde ergibt sich auch nicht, welchen konkreten Nutzen der Beschwerdeführer aus einer Einsichtnahme in die Akten des abgeschlossenen Verfahrens 1C_680/2017 ziehen könnte, um gegenüber der B._ vorzugehen. Sollte es ihm darum gehen, die Stellungnahme der Klinik bzw. die Angaben des Vertrauensarztes der B._ zur Eigen- und Fremdgefährdung des Beschwerdeführers bei seiner FFE-Einweisung (vgl. Schreiben der B._ vom 3. Januar 2006) zu erlangen, dann wäre die beantragte Einsichtnahme der falsche Weg. Der Generalsekretär hat dem Beschwerdeführer ein Aktenverzeichnis zugestellt und bestätigt, dass das Bundesgericht seinerzeit weder Vernehmlassungen noch vorinstanzliche Akten eingeholt hat. Es sind keine Anzeichen dafür ersichtlich, dass sich Unterlagen der B._ bei den archivierten Akten des bundesgerichtlichen Verfahrens 1C_680/2017 befinden. Im Übrigen wären solche Unterlagen gemäss Art. 3 Abs. 1 und 2 der VO auch nicht Gegenstand der Archivierung.
Zusammenfassend hat der Beschwerdeführer kein schutzwürdiges Interesse für die Akteneinsicht dargelegt. Der Generalsekretär hat sein Akteneinsichtsgesuch zu Recht abgewiesen.
3.
Der Beschwerdeführer beantragt nicht nur die Akteneinsicht für das abgeschlossene bundesgerichtliche Verfahren 1C_680/2017, sondern stellt daneben auch diverse Feststellungsbegehren (Ziffer I.2, I.3, I.5 und I.6) und ein Begehren um Beweissicherung (Ziffer I.4).
Die angefochtene Verfügung des Generalsekretärs äussert sich nur zum Begehren um Akteneinsicht, nicht auch zu Feststellungsbegehren. Der Beschwerdeführer behauptet nicht, die Feststellungsbegehren bereits beim Generalsekretär erhoben zu haben. Deshalb ist davon auszugehen, dass er sie im Beschwerdeverfahren neu gestellt hat.
Im Beschwerdeverfahren sind neue Begehren grundsätzlich nur im Rahmen des Streitgegenstands zulässig. Dieser wird durch die Beschwerdeanträge festgelegt, die sich ihrerseits im Rahmen des Anfechtungsobjekts, d.h. des Dispositivs der angefochtenen Verfügung, bewegen müssen (<ref-ruling> E. 4.2; <ref-ruling> E. 5; <ref-ruling> E. 2). Neue Rechtsbegehren, welche ausserhalb des Anfechtungsobjekts liegen, aber in engem Bezug zum bisherigen Streitgegenstand stehen, werden ausnahmsweise berücksichtigt, wenn prozessökonomische Gründe es zulassen (SEETHALER/PORTMANN, in: Waldmann/Weissenberger [Hrsg.], Praxiskommentar Verwaltungsverfahrensgesetz [VwVG], 2. Aufl. 2016, N. 38 zu <ref-law>). Auf unzulässige neue Rechtsbegehren, die über das Anfechtungsobjekt hinaus gehen, ist nicht einzutreten (a.a.O.).
Die in der Beschwerde neu gestellten Feststellungsbegehren (Ziffer I.2, I.3, I.5 und I.6) liegen ausserhalb des Anfechtungsobjektes (Akteneinsicht). Der Beschwerdeführer legt nicht dar, weshalb diese neuen Feststellungsbegehren aus prozessökonomischen Gründen dennoch zu beurteilen wären; ein solcher Grund ist auch nicht ersichtlich. Auf die unzulässigen neuen Feststellungsbegehren ist daher nicht einzutreten.
Das ebenfalls neue Begehren um Beweissicherung zielt offenbar auf die Unterlagen der B._, in denen diese die Eigen- und Fremdgefährdung des Beschwerdeführers ("Spitalbedürftigkeit") bei der FFE-Einweisung zu Unrecht bejaht haben soll. Das Begehren betrifft damit Dokumente, die sich allenfalls bei der B._ befinden, nicht in den Verfahrensakten des Bundesgerichts. Auch das Beweissicherungsbegehren liegt ausserhalb des Anfechtungsobjekts. Darauf ist nicht einzutreten.
Ob die Rekurskommission für die Beurteilung der neuen Begehren überhaupt zuständig wäre, kann unter diesen Umständen offen bleiben. Dasselbe gilt für die Frage, ob die gestellten Feststellungsbegehren neben dem Leistungsbegehren (Akteneinsicht) überhaupt zulässig sind.
4.
Aus diesen Gründen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Der Entscheid der Rekurskommission betreffend die Akteneinsicht ist endgültig (Art. 16 Abs. 1 der VO).
5.
Aus Billigkeitsgründen wird auf die Erhebung von Verfahrenskosten verzichtet (<ref-law>). Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für die Verfahrenskosten (<ref-law>) wird damit gegenstandslos. Bei seinem Antrag auf Gewährung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes (<ref-law>) begründet er nicht, weshalb die Beiordnung eines solchen für die blosse Akteneinsicht notwendig sein soll. Diesbezüglich ist sein Gesuch abzuweisen. Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt die Rekurskommission:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Verfahrenskosten erhoben.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gegenstandslos erklärt, soweit die Verfahrenskosten betreffend, und abgewiesen in Bezug auf die Beiordnung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Generalsekretär des Bundesgerichts schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. August 2018
Im Namen der Rekurskommission des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Marazzi
Der Gerichtsschreiber: Leu