Sachverhalt:
A.
A.a. Der am 4. Dezember 1962 geborene A._ war bis Ende Februar 2014 als Mitglied der Generaldirektion bei der Firma X._ tätig. Im Dezember 2014 meldete er sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an unter Hinweis darauf, dass er aufgrund von Depressionen seit 17. Februar 2014 arbeitsunfähig sei. Die IV-Stelle des Kantons Wallis klärte die medizinischen und die erwerblichen Verhältnisse ab. Mit Vorbescheid vom 24. Juni 2015 stellte sie die Zusprache einer ganzen Rente mit Wirkung ab 1. Juli 2015 in Aussicht, wogegen sowohl A._ als auch die Pensionskasse der WKB, bei welcher er berufsvorsorgeversichert war, Einwand erhoben. Die IV-Stelle erliess am 18. November 2015 eine dem Vorbescheid entsprechende Verfügung. Die von der Pensionskasse der WKB dagegen erhobene Beschwerde hiess das Kantonsgericht Wallis gut, hob die Verfügung vom 18. November 2015 auf und wies die Sache zu weiteren medizinischen Abklärungen und neuer Verfügung an die IV-Stelle zurück. Sein Urteil vom 8. März 2017 erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
A.b. Die IV-Stelle holte die Berichte des Dr. med. B._, Allgemeine Innere Medizin FMH, vom 15. Mai 2017 und des Dr. med. C._, Psychiatrie FMH, vom 8. August 2017 ein und gab bei Dr. med. D._, Facharzt FMH Psychiatrie und Psychotherapie, ein psychiatrisches Gutachten in Auftrag, welches am 22. Februar 2018 erstattet wurde. Sie unterbreitete das Gutachten dem RAD-Arzt Dr. med. E._, Allgemeine Medizin FMH, der am 25. April 2018 veranlasste, dass RAD-Arzt Dr. med. F._, Facharzt für Kinder-, Jugend- und Erwachsenenpsychiatrie FMH, sich in einer internen Stellungnahme vom 16. Mai 2018 dazu äusserte. Die IV-Stelle wandte sich daraufhin mit Ergänzungsfragen zum Gutachten vom 22. Februar 2018 an Dr. med. D._, welche dieser am 13. Juli 2018 beantwortete. Die beiden RAD-Ärzte äusserten sich erneut (Stellungnahmen vom 25. Juli, 4. und 12. September 2018). Mit Vorbescheid vom 18. September 2018 verneinte die IV-Stelle einen Leistungsanspruch. Nachdem A._ dagegen Einwand erhoben hatte, nahm die IV-Stelle nochmals Rücksprache mit dem RAD, worauf dieser einen Schlussbericht (vom 15./16. April/4. Juli 2019) verfasste. In einem weiteren Vorbescheid vom 21. August 2019 sah die Verwaltung die Zusprache einer befristeten Rente vor; dem Versicherten stehe vom 1. Juli 2015 bis 30. April 2016 eine ganze und vom 1. Mai bis 31. Juli 2016 eine halbe Rente zu. Nach Einwand des A._ verfügte sie am 27. April 2020 wie vorbeschieden. In einer separaten Verfügung vom selben Tag forderte sie die in der Zeit vom 1. Mai 2016 bis 31. März 2017 zu viel ausgerichteten Rentenleistungen im Betrag von Fr. 54'285.- zurück.
B.
Beschwerdeweise liess A._ beantragen, die Verfügung vom 27. April 2020 sei dahingehend abzuändern, dass ihm auch über den 1. Februar (recte wohl: 30. April) 2016 hinaus eine ganze Rente gewährt werde, und es sei davon Vormerk zu nehmen, dass er zuletzt einen versicherten Jahreslohn von Fr. 752'596.- erzielt habe, welcher der Invaliditätsgradermittlung als Valideneinkommen zugrunde zu legen sei. Mit Urteil vom 12. April 2021 wies das Kantonsgericht Wallis die Beschwerde ab.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und das Rechtsbegehren stellen, das kantonale Urteil sei aufzuheben und die IV-Stelle zu verpflichten, ihm auch über den 1. Februar (recte wohl: 30. April) 2016 hinaus eine ganze Invalidenrente zu gewähren. Eventualiter sei die Angelegenheit zu weiteren Abklärungen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Unter Berücksichtigung der Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) prüft es nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1).
2.
2.1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie den Anspruch des Beschwerdeführers auf eine befristete Rente - vom 1. Juli 2015 bis 30. April 2016 auf eine ganze und vom 1. Mai bis 31. Juli 2016 auf eine halbe Rente - bestätigte.
2.2. Im angefochtenen Urteil werden der Begriff der Invalidität (<ref-law> in Verbindung mit Art. 7 f. ATSG), die Voraussetzungen des Anspruchs auf eine Invalidenrente (<ref-law>), die bei der rückwirkenden Zusprache einer zeitlich befristeten und/oder abgestuften Rente zu beachtenden revisionsrechtlichen Normen (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) sowie der Beweiswert von ärztlichen Berichten und Gutachten (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 3a) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt für die Rechtsprechung zur Prüfung der Einschränkungen bei psychischen Leiden anhand der Indikatoren (<ref-ruling> und 418; <ref-ruling>). Darauf wird verwiesen.
2.3. Zu präzisieren ist, dass sich sowohl die medizinischen Sachverständigen als auch die Organe der Rechtsanwendung bei ihrer Einschätzung des Leistungsvermögens an den normativen Vorgaben orientieren müssen; die Gutachter im Idealfall gemäss der entsprechend formulierten Fragestellung (BGE <ref-ruling> E. 5.2). Die Rechtsanwender prüfen die medizinischen Angaben frei, insbesondere daraufhin, ob die Ärzte sich an die massgebenden normativen Rahmenbedingungen gehalten haben. Es stellt sich aus rechtlicher Sicht die Frage, ob und in welchem Umfang die ärztlichen Feststellungen anhand der rechtserheblichen Indikatoren auf eine Arbeitsunfähigkeit schliessen lassen, wie sie vom medizinisch-psychiatrischen Experten abschliessend eingeschätzt worden ist. Eine davon losgelöste Parallelüberprüfung "nach besserem juristischen Wissen und Gewissen" darf nicht stattfinden (<ref-ruling> E. 3.2.2 mit Hinweisen; Urteil 8C_407/2020 vom 3. März 2021 E. 5.1). Rechtsprechungsgemäss liegt eine solche nicht vor, wenn das kantonale Gericht anhand der medizinischen Indikatorenprüfung die massgeblichen Beweisthemen im Rahmen einer umfassenden Betrachtung eines stimmigen Gesamtbildes schlüssig abhandelt und nachweist, wo die ärztlichen Darlegungen nicht mit den normativen Vorgaben übereinstimmen (<ref-ruling> E. 4.1.1 mit Hinweisen).
3.
Der Beschwerdeführer bringt vor, die Vorinstanz habe sich nicht mit seiner Rechtsverweigerungsrüge befasst und damit sein rechtliches Gehör (<ref-law> und Art. 6 EMRK) verletzt. Weiter verstosse es gegen den Grundsatz der Rechtsstaatlichkeit, dass sie den Rentenanspruch trotz der in ihrem ersten Urteil vom 8. März 2017 angeordneten gutachterlichen Überprüfung nicht bestätigt habe. Nicht gewahrt seien zudem auch das Recht auf Beweis (<ref-law> und Art. 6 EMRK) und die Untersuchungsmaxime (Art. 43 Abs. 1 und Art. 61 lit. c ATSG), indem im angefochtenen Urteil das Gegenteil des durch das Gutachten Nachgewiesenen als überwiegend wahrscheinlich bzw. Bewiesenes als unbewiesen betrachtet werde. Schliesslich erneuert der Beschwerdeführer auch seine Kritik an der Ermittlung des Valideneinkommens (<ref-law>), welches seiner Auffassung nach nicht anhand von Tabellenlöhnen auf Fr. 145'291.65, sondern auf der Grundlage des von ihm zuletzt erzielten Gehalts auf Fr. 753'000.- festzusetzen ist.
4.
4.1. Vorab zu prüfen ist aufgrund ihrer formellen Natur die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.3).
4.2. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz eine fehlende Auseinandersetzung mit der von ihm geltend gemachten Rechtsverweigerung vor. Eine solche hatte er darin erblickt, dass sich die IV-Stelle nicht an das im Rückweisungsurteil vom 8. März 2017 Angeordnete - die gesundheitlichen Verhältnisse weiter abzuklären - gehalten und ihm entgegen dem zu diesem Zweck eingeholten, die volle Arbeitsunfähigkeit bestätigenden Gutachten vom 22. Februar 2018 keine unbefristete ganze Rente zugesprochen habe.
4.3. Anders als der Beschwerdeführer darstellen lässt, befasste sich das kantonale Gericht mit diesem Einwand. Es erwog sinngemäss, mit der Einholung des psychiatrischen Gutachtens vom 22. Februar 2018 sei die IV-Stelle den Vorgaben des Rückweisungsurteils nachgekommen. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers habe sie die entsprechenden medizinischen Angaben nicht unbesehen übernehmen können, sondern auf die Einhaltung der normativen Rahmenbedingungen prüfen müssen; da sie diese nicht für gegeben erachtet habe, sei sie schliesslich vom Gutachten abgewichen. Mit diesen Erwägungen legte die Vorinstanz dar, weshalb sie den an die Adresse der IV-Stelle gerichteten Vorwurf der Rechtsverweigerung für unbegründet hielt. Sie nannte die entscheidwesentlichen Überlegungen, von denen sie sich leiten liess, und auf welche sie ihre ablehnende Haltung stützte. Damit genügt ihr Urteil den Anforderungen der (sich aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör ergebenden) Begründungspflicht (<ref-ruling> E. 9.2; <ref-ruling> E. 5.1).
5.
5.1. Die Vorinstanz mass dem Gutachten vom 22. Februar 2018 Beweiskraft zu. Dr. med. D._ hielt darin gestützt auf seine eigenen Untersuchungen und die in den Akten liegenden psychiatrischen Berichte fest, dass der Versicherte seit 17. Februar 2013 in der bisherigen Tätigkeit als Generaldirektor einer Firma vollständig und wahrscheinlich bleibend arbeitsunfähig sei und in absehbarer Zeit auch in einer angepassten Tätigkeit keine Arbeitsfähigkeit erlangen werde, dies aufgrund einer mittelgradigen bis schweren depressiven Episode ohne psychotische Symptome (ICD-10: F32.1/2) sowie einer dissoziativen Störung im Sinne eines dissoziativen Abwehrverhaltens (ICD-10: F44.8/F48.1).
5.2. Nach einer Prüfung anhand der massgebenden Indikatoren gelangte die Vorinstanz indessen zum Ergebnis, das diagnostizierte psychische Leiden vermöge - wenn überhaupt - lediglich in der Anfangsphase einen invalidenversicherungsrechtlich relevanten Gesundheitsschaden dargestellt haben. Aus rechtlicher Optik sei nicht auf die gutachterlich attestierte Arbeitsunfähigkeit nach Ende Januar 2016 abzustellen, so dass spätestens ab diesem Zeitpunkt nicht mehr von einem invalidisierenden Gesundheitsschaden gesprochen werden könne.
5.3. Der Beschwerdeführer kritisiert, die vorinstanzliche Indikatorenprüfung entbehre durch den fehlenden Zusammenhang mit den tatsächlichen Geschehnissen einer sachlichen Grundlage und widerspreche selbst der gutachterlichen Prüfung der Standardindikatoren. Ab Februar 2013 sei eine funktionelle Auswirkung der psychischen Störung in dem von Dr. med. D._ attestierten Umfang (d.h. zu 100 %) ausgewiesen und es bestehe demzufolge Anspruch auf eine unbefristete ganze Rente. Die Vorinstanz gehe aktenwidrig von einer Verbesserung des Gesundheitszustandes mit Wiedererlangung der Arbeitsfähigkeit im Jahr 2016 aus und bejahe gestützt auf einen nicht gegebenen Revisionsgrund lediglich den Anspruch auf eine befristete Rente.
5.4. Es stellt sich damit die Frage, ob und in welchem Umfang die Feststellungen im Gutachten des Dr. med. D._ vom 22. Februar 2018 anhand der massgebenden Indikatoren auf eine Arbeitsunfähigkeit schliessen lassen. Sie ist rechtlicher Natur und damit vom Bundesgericht frei zu prüfen (vgl. dazu BGE <ref-ruling> E. 7; Urteil 9C_177/2018 vom 25. September 2018 E. 1.3).
5.4.1. Betreffend die Ausprägung der diagnoserelevanten Befunde verneinte das kantonale Gericht einen besonderen Schweregrad mit der Begründung, der Gutachter habe die depressive und die dissoziative Störung zwar als ausgeprägt beurteilt, doch könne insgesamt nicht von einer besonderen Ausprägung ausgegangen werden: Die dissoziativen Symptome äusserten sich im Alltag nur leicht und träten lediglich in Konfrontation mit schamauslösenden Ereignissen stark auf, es beständen keine Ich-Störungen und der Beschwerdeführer habe eine gute Beziehung zu seiner Ehefrau, seiner Familie und engeren Freunden.
Entgegen dem vorinstanzlichen Urteil liegen keine triftigen Gründe vor, bei diesem Indikator von der gutachterlichen Einschätzung abzuweichen. Dr. med. D._ legte nachvollziehbar dar, wie sich die schwankend mittelgradig bis schwere depressive Symptomatik und die dissoziative Störung, die den Lebensvollzug einschränke und die Persönlichkeit verändere, gegenseitig verstärken. Sodann ist die vorinstanzliche Feststellung, wonach sich die Gesundheitsschädigung im Alltag kaum auswirkt, offensichtlich unrichtig, zeigte doch der Gutachter deren Manifestationen klar auf, so ein stark vermindertes Selbstwertgefühl, eine allgemeine Verunsicherung, eine verlangsamte Psychomotorik, Antriebslosigkeit, Konzentrationsmangel und Schlafschwierigkeiten, ein regressives Verhalten (mit Abhängigkeit, Hilflosigkeit, Unselbständigkeit, "Abwesenheitszuständen", Schwerbesinnlichkeit und teilweise pseudodementen Elementen), welches sich bei Triggerung der latenten Schamgefühle verstärke.
5.4.2. Zu Behandlungserfolg oder -resistenz erwog die Vorinstanz, der Beschwerdeführer habe den ersten therapeutischen Behandlungsversuch selber abgebrochen und gehe aktuell alle zwei bis drei Wochen für ambulante Sitzungen zu seinem Psychiater. Er sei bis anhin lediglich die Schiene mit ambulanten Gesprächen gefahren. Da sich der psychische Gesundheitszustand damit nicht signifikant verbessert habe, dränge sich eine weitergehende Behandlung auf. Vor diesem Hintergrund verbiete sich die Annahme einer Behandlungsresistenz.
Mit diesen Erwägungen setzte sich die Vorinstanz in willkürlicher Weise über die Ausführungen des Dr. med. D._ im Gutachten vom 22. Februar 2018 und in der ergänzenden Stellungnahme vom 13. Juli 2018 hinweg. Auch nicht ansatzweise würdigte sie den Umstand, dass der Gutachter in der dissoziativen Abwehr eine grosse Behandlungsschwierigkeit erblickte, weil diese den Versicherten in dysfunktionaler Weise vor erneuter Beschämung zu schützen versuche, was den therapeutischen Zugang erschwere und behindere. Der unterschwellige Vorwurf, der Beschwerdeführer habe die Behandlung (bei Dr. med. G._) selber abgebrochen, ist nicht gerechtfertigt mit Blick auf die gutachterliche Feststellung, wonach eine Fortführung derselben mit hoher Wahrscheinlichkeit aufgrund der Zunahme der dissoziativen Abwehr gar nicht mehr möglich gewesen sei. Weiter wird im Gutachten dargelegt, dass die therapeutische Überwindung der dissoziativen Abwehr nur in kleinen Schritten und sehr langfristig gelingen könne und dass sich seit der Aufnahme der Behandlung bei Dr. med. C._ Anfang 2016 eine langsame Besserung abzeichne. Eine "verordnete" Intensivierung der Behandlung sei nicht angezeigt, da sie nur zu einer Verstärkung der dissoziativen Abwehr führen würde. Eine stationäre Behandlung, wie sie der Psychiater Dr. med. H._ im Oktober 2015 empfohlen habe (Gutachten vom 14. Oktober 2015), sei nicht indiziert, weil sie zum jetzigen Zeitpunkt mit hoher Wahrscheinlichkeit zu einer Verstärkung der dissoziativen Abwehr führen und den bisher erreichten therapeutischen Erfolg zunichte machen würde. Erst wenn die dissoziative Abwehr durch die ambulante Behandlung soweit eingedämmt sei, dass keine Triggerung mehr stattfinde, stehe eine stationäre Behandlung des depressiven Zustandsbildes zur Diskussion. Mit anderen Worten beständen aktuell keine anderen Therapieoptionen als die installierte ambulante psychiatrisch-psychotherapeutische Behandlung inkl. antidepressiver Psychopharmakotherapie. Aufgrund dieser detaillierten und nachvollziehbaren Ausführungen des Dr. med. D._ ist eine Behandlungsresistenz entgegen dem angefochtenen Urteil zu bejahen.
5.4.3. Nicht gefolgt werden kann der Vorinstanz auch, soweit sie eine Komorbidität mit der Begründung verneinte, die begleitenden psychischen Störungen seien nicht derart ausgeprägt, dass sie sich wesentlich ressourcenhemmend auswirken würden. In seinem Gutachten zeigte Dr. med. D._ auf, dass sich die depressive und die dissoziative Störung gegenseitig verstärken und darüber hinaus auch die Behandlung erschweren, womit die ressourcenhemmende Wirkung erstellt ist (vgl. auch E. 5.4.1 und 5.4.2).
5.4.4. Was die Persönlichkeit anbelangt, stellte die Vorinstanz zutreffend fest, dass gemäss Gutachten vom 22. Februar 2018 keine spezifische Persönlichkeitsstörung und auch (noch) keine anhaltende Persönlichkeitsänderung vorliegt. Soweit sie aus diesem Umstand und den hohen mentalen Fähigkeiten des Beschwerdeführers aber schloss, die Einschränkungen seien überwindbar, findet dies in den gutachterlichen Ausführungen keine Stütze. So zeigte Dr. med. D._ auf, dass die überraschende Entlassung im August 2013 den Beschwerdeführer, der bis dahin über eine unauffällige Persönlichkeit verfügt habe und (sowohl beruflich als auch privat) äusserst belastbar gewesen sei, schwer und in bis heute anhaltender Weise erschüttert habe. Dass der Beschwerdeführer trotz seiner prämorbid unauffälligen Persönlichkeit dieses beschämende Erlebnis bis anhin nicht habe überwinden können und sein Gesundheitszustand seit der ersten Begutachtung im Mai 2014 weitgehend stationär sei, lasse sich auf verschiedene Faktoren zurückführen. Dazu beigetragen hätten die traumatisierende Wirkung der Entlassung, die ihn nach zwanzigjähriger Tätigkeit völlig unerwartet getroffen habe, die durch das Kränkungserleben ausgelöste massive Beschämung und Zerstörung des Selbstbildes sowie des Selbstwertgefühls, die fehlende Möglichkeit, sich mit allfälligen konkreten Vorwürfen auseinanderzusetzen, weil ihm die Gründe des Vertrauensentzuges nie eröffnet worden seien, weitere als demütigend und beschämend erlebte Vorkommnisse (wie die Infragestellung seiner Glaubwürdigkeit durch die Pensionskasse, wiederholte psychiatrische Begutachtungen durch die Taggeldversicherung und die Überwachung durch eine Privatdetektei im Auftrag der Pensionskasse), die Verunsicherung durch die Tatsache, dass die Entlassung und die Überwachung von seinen ehemaligen Kollegen, die er lange für Freunde hielt, veranlasst worden war und letztlich die dissoziative Abwehr, welche dem Zweck diene, ihn vor jeder weiteren neuen Beschämung bzw. Reaktivierung der Schamgefühle zu schützen, indessen dysfunktional sei, den Lebensvollzug einschränke und längerfristig die Persönlichkeit verändere.
5.4.5. Nicht offensichtlich unrichtig und damit für das Bundesgericht verbindlich wurde im angefochtenen Urteil festgestellt, dass der Beschwerdeführer von seiner Familie unterstützt wird und Kontakt zu einem kleinen Freundeskreis pflegt und insoweit aus dem sozialen Kontext über mobilisierende Ressourcen verfügt.
5.4.6. Im Rahmen der Konsistenzprüfung (Gesichtspunkte des Verhaltens) erwog das kantonale Gericht, der Beschwerdeführer sei in der Lage, die Zeitung zu lesen, TV zu schauen, sein Hobby (Philatelie) zu pflegen, mit der Ehefrau einkaufen zu gehen sowie den Coiffeur oder den Arzt zu besuchen, womit in diesem Bereich keine gleichermassen ausgeprägte gesundheitsbedingte Einschränkung bestehe. Ebenso spreche das Ausmass der von ihm in Anspruch genommenen Therapien gegen einen hohen Leidensdruck.
Diese vorinstanzlichen Erwägungen lassen die eingehenden, überzeugenden gutachterlichen Ausführungen zu diesem Punkt völlig ausser Acht. Dr. med. D._ verneinte ausdrücklich Diskrepanzen und Inkonsistenzen; auch die im Herbst 2015 erfolgte Observation habe keine solchen aufgezeigt. Er legte dar, dass sich die Auswirkungen der depressiven und der dissoziativen Störung in allen Lebensbereichen bemerkbar machten. Der Lebensvollzug gestalte sich in allen Belangen äusserst karg und passiv, soziale Aktivitäten ausser Haus seien spärlich und ein sozialer Austausch finde allenfalls mit den wenigen verbliebenen guten Freunden statt. Es bestehe ein eklatanter Unterschied zum früheren Aktivitätsniveau: Während der Versicherte vor August 2013 sowohl beruflich als auch sozial sehr aktiv und engagiert gewesen sei, verhalte er sich nun weitgehend passiv, sei zu nichts mehr motiviert und sitze die meiste Zeit untätig zu Hause. Zur Therapieadhärenz hielt Dr. med. D._ überdies fest, dass der Versicherte, der in ambulanter psychiatrisch-psychotherapeutischer Behandlung stehe und Psychopharmaka einnehme, keine Behandlungsoptionen vernachlässigt habe; aus den bereits erwähnten Gründen (vgl. E. 5.4.2 hiervor) könne ihm weder der Abbruch der Therapie bei Dr. med. G._ noch das Nichtbefolgen der Empfehlung, sich stationär behandeln zu lassen, vorgeworfen werden.
5.4.7. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Vorinstanz eine von den gutachterlichen Feststellungen losgelöste juristische Parallelüberprüfung der einschlägigen Indikatoren vornahm. Ihr Urteil hält damit vor Bundesrecht nicht stand. Es sind keine Gründe ersichtlich, nicht auf das Gutachten vom 22. Februar 2018 abzustellen, in welchem Dr. med. D._ in Beachtung der normativen Vorgaben die funktionellen Auswirkungen der gesundheitlichen Beeinträchtigungen schlüssig und widerspruchsfrei darlegte, weshalb die Folgenabschätzung des medizinisch-psychiatrischen Experten auch rechtlich massgebend ist. Gestützt darauf ist von einer ab Februar 2013 bestehenden vollen Arbeitsunfähigkeit auszugehen.
5.5. Mit dem Gutachten des Dr. med. D._ vom 22. Februar 2018 nicht im Einklang steht überdies auch die vorinstanzliche Feststellung, wonach es beim Beschwerdeführer ab Ende Januar 2016 zu einer Verbesserung der psychischen Verhältnisse gekommen sei, so dass er die Arbeitsfähigkeit (schrittweise) wiedererlangt habe. Worauf sich das kantonale Gericht für diese Annahme stützte, geht aus seinem Urteil nicht hervor. Es liegt jedoch nahe, dass Grundlage dafür das Gutachten vom 14. Oktober 2015 bildete, in welchem Dr. med. H._ - prognostisch - davon ausgegangen war, dass der Versicherte (bei unverzüglicher Umsetzung der darin skizzierten therapeutischen Massnahmen; vgl. dazu aber E. 5.4.2) spätestens ab 1. Februar 2016 wieder zu 50 % und ab 1. Mai 2016 mindestens zu 80 % arbeitsfähig sein werde. Allerdings zeigt der im Gutachten des Dr. med. D._ vom 22. Februar 2018 detailliert dargestellte weitere Verlauf, dass sich die von Dr. med. H._ prognostizierte Verbesserung nicht einstellte, sondern vielmehr die gegenteilige Entwicklung eintrat: Anfang 2016 stürzte der Beschwerdeführer erneut in eine tiefe Krise, ausgelöst durch die damalige Konfrontation mit den Überwachungsvideos, die ein ehemaliger Direktionskollege, mit welchem er befreundet gewesen war, in Auftrag gegeben hatte. Seine gesundheitlichen Verhältnisse verschlechterten sich deutlich und er litt erneut unter einer schweren Depression (vgl. auch Bericht des Dr. med. C._ vom 8. August 2017). Die vorinstanzliche Feststellung verbesserter gesundheitlicher Verhältnisse ab Ende Januar 2016 ist damit offensichtlich unrichtig. Ein Revisionsgrund liegt nicht vor und die gestützt darauf verfügte Abstufung und Befristung der Rente erweist sich als bundesrechtswidrig.
6.
Hinsichtlich der erwerblichen Auswirkungen der festgestellten vollen Arbeitsunfähigkeit erübrigt sich eine genaue Ermittlung des (wie im vorinstanzlichen Verfahren) einzig noch streitigen Valideneinkommens. Unabhängig davon, welcher Wert dem unbestritten gebliebenen Invalideneinkommen von Fr. 0.- gegenübergestellt wird (nach der Vorinstanz: Fr. 145'291.65; nach dem Beschwerdeführer: Fr. 753'000.-), resultiert ein Invaliditätsgrad von 100 %, welcher ab 1. Juli 2015 (<ref-law>) Anspruch auf eine ganze Rente verleiht.
7.
Zusammenfassend ergibt sich, dass dem Beschwerdeführer - wie von ihm beantragt - auch über den 30. April 2016 hinaus eine ganze Invalidenrente zusteht. Das kantonale Urteil und die Verfügung der IV-Stelle, gemäss welchen er lediglich Anspruch auf eine abgestufte und befristete Rente hat, sind in diesem Sinne abzuändern.
8.
8.1. Entsprechend diesem Prozessausgang hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
8.2. Die Sache ist zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen (Art. 67 und 68 Abs. 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Kantonsgerichts Wallis vom 12. April 2021 und die Verfügung der Kantonalen IV-Stelle Wallis vom 27. April 2020 werden dahingehend abgeändert, dass der Beschwerdeführer über den 30. April 2016 hinaus Anspruch auf eine ganze Rente der Invalidenversicherung hat.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Kantonsgericht Wallis zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Wallis, dem Bundesamt für Sozialversicherungen und der Pensions- und Vorsorgekasse der WKB schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. Dezember 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann