Considérant en fait et en droit :
1.
Par arrêt du 3 juin 2020, la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours que A._, ressortissant turc né en 1976, avait interjeté à l'encontre d'une décision sur recours du Département de l'économie et de l'action sociale de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Département) du 7 octobre 2019, confirmant une décision du Service des migrations de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Service des migrations) du 22 mars 2018, par laquelle celui-ci avait déclaré irrecevable une demande de reconsidération d'une décision de révocation de l'autorisation d'établissement de l'intéressé, confirmée en dernier lieu par le Tribunal cantonal le 20 février 2017.
2.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public et celle, subsidiaire, du recours constitutionnel, A._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, outre l'effet suspensif, d'annuler l'arrêt du Tribunal cantonal du 3 juin 2020 et de lui octroyer une autorisation d'établissement; subsidiairement d'annuler l'arrêt précité et de renvoyer la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
3.
Selon l'art. 83 let. c ch. 2, 4 et 5 LTF, en droit des étrangers, le recours en matière de droit public est irrecevable à l'encontre des décisions qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit, le renvoi ou les dérogations aux conditions d'admission.
En l'occurrence, le recourant ne saurait contester, par la voie de la reconsidération, la révocation de son autorisation d'établissement confirmée en dernier lieu le 27 février 2017 par le Tribunal cantonal (cf. en relation avec la force de chose jugée des arrêts du Tribunal fédéral, <ref-ruling> consid. 3.1 p. 211; arrêt 2C_848/2019 du 11 octobre 2019 consid. 3). Ainsi, quoi qu'en dise l'autorité précédente et quel que soit le nom donné à la demande du recourant, il s'agit en l'espèce d'une nouvelle demande d'autorisation de séjour, fondée sur des faits nouveaux (en l'occurrence les problèmes quant au suivi du traitement psychiatrique dans le pays d'origine), postérieurs à l'arrêt cantonal du 27 février 2017. Ne disposant plus d'une autorisation d'établissement, le recourant n'a aucun droit à une nouvelle autorisation. Par conséquent, le recourant ne peut pas se prévaloir, dans le cadre d'un recours en matière de droit public, d'une dérogation contenue à l'art. 30 LEI (RS 142.20), ni de l'illicéité, respectivement de l'inexigibilité de son renvoi en Turquie. Le recours en matière de droit public est ainsi irrecevable et c'est à juste titre que le recourant a formé un recours constitutionnel subsidiaire (<ref-law> a contrario).
4.
Le recours constitutionnel subsidiaire peut être formé pour violation des droits constitutionnels (<ref-law>). La qualité pour former un recours constitutionnel subsidiaire suppose toutefois un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (<ref-law>). Le recourant, qui ne peut se prévaloir des art. 30 et 83 LEI, n'a pas une position juridique protégée lui conférant la qualité pour agir au fond sous cet angle (<ref-ruling>).
Même s'il n'a pas qualité pour agir au fond, le recourant peut se plaindre par la voie du recours constitutionnel subsidiaire de la violation de ses droits de partie équivalant à un déni de justice formel (cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p. 222), pour autant qu'il ne s'agisse pas de moyens ne pouvant être séparés du fond (cf. <ref-ruling> consid. 6. p. 198 s. et les références). Or, si le recourant soulève les griefs de violation de son droit d'être entendu et de violation de l'art. 3 CEDH, ceux-ci ne peuvent cependant pas être séparés du fond dans la présente cause. En effet, en cas d'admission, cela reviendrait à devoir examiner la situation sous l'angle des art. 30 et 83 LEI, ce qui est précisément exclu.
5.
Les considérants qui précèdent conduisent à l'irrecevabilité manifeste du recours (<ref-law>) qui est prononcée selon la procédure simplifiée de l'<ref-law>, sans qu'il y ait lieu d'ordonner un échange d'écritures. La demande d'effet suspensif est sans objet. Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).


Par ces motifs, le Président prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service des migrations, au Département de l'économie et de l'action sociale et à la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, ainsi qu'au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 9 juillet 2020
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Tissot-Daguette