Sachverhalt:
A.
Die B._ AG betrieb A._ mit Zahlungsbefehl Nr. xxx des Betreibungsamtes U._ vom 13. Mai 2019 für Fr. 79'074.76 nebst 2.5 % Zins seit 8. Mai 2019. A._ erhob Rechtsvorschlag.
B.
Mit Gesuch vom 19. Juni 2019 beantragte die B._ AG die Aufhebung des Rechtsvorschlags. Mit Entscheid vom 26. Februar 2020 erteilte die Einzelrichterin des Bezirksgerichts Kriens in der oben genannten Betreibung die definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 79'074.76 nebst 1.62 % Zins auf Fr. 77'943.86 seit 8. Mai 2019 und überband A._ die Verfahrenskosten.
C.
Gegen diesen Entscheid reichte A._ am 9. März 2020 beim Kantonsgericht des Kantons Luzern Beschwerde ein, welches diese mit Entscheid vom 29. Juli 2020 abwies, soweit es darauf eintrat.
D.
Mit Eingabe vom 23. September 2020 ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Abweisung des Rechtsöffnungsbegehrens.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist das Urteil des Kantonsgerichts als kantonaler Rechtsmittelinstanz über die Rechtsöffnung, mithin ein Entscheid in einer Schuldbetreibungs- und Konkurssache. Die gesetzliche Streitwertgrenze ist erreicht. Die Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich zulässig (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 1 lit. b, Art. 75 BGG).
1.2. In der Beschwerde gegen Rechtsöffnungsentscheide können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden (<ref-ruling> E. 1.5). Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweis).
2.
Die Vorinstanz hat erwogen, als Rechtsöffnungstitel sei eine deutsche Grundschuldbestellungsurkunde eingereicht worden. Diese stelle eine öffentliche Urkunde im Sinne des vorliegend anwendbaren aLugÜ dar. Es liege kein Verstoss gegen den schweizerischen Ordre public vor; die vorliegende Grundschuldbestellungsurkunde sei daher vorfrageweise für vollstreckbar zu erklären. Entgegen den Vorbringen des Beschwerdeführers liege auch keine zweifache Vollstreckung vor. Dass die persönliche Schuldenhaftung nach Verwertung der Liegenschaft für den Beschwerdeführer als Schuldner entfalle, trage er weder substanziiert vor, noch ergebe sich dies aus der öffentlichen Urkunde. Aus der von der Beschwerdegegnerin eingereichten Forderungsaufstellung vom 19. Juni 2019 sei sodann ersichtlich, dass per 13. März 2009 gegenüber dem Beschwerdeführer eine Hauptforderung von EUR 135'830.43 bestanden habe. Vom 13. März 2009 bis 19. Juni 2019 habe die Beschwerdegegnerin Auslagen, Verzinsungen und Abzahlungen verbucht. Per 19. Juni 2019 habe sich so eine Gesamtsumme von EUR 69'422.39 ergeben. Da die Beschwerdegegnerin das Betreibungsbegehren am 13. Mai 2019 gestellt habe, habe sie lediglich für Fr. 79'074.76 die Betreibung eingeleitet. Mit der Begründung der Erstinstanz, wonach die vom Beschwerdeführer reklamierten unverständlichen Positionen längst beglichen worden seien, habe sich der Beschwerdeführer nicht auseinandergesetzt. Dass der Beschwerdeführer Einwände, welche nach Art. 81 Abs. 1 SchKG als Tilgung der Schuld gelten würden, vorgetragen und die Erstinstanz diese nicht beachtet habe, mache der Beschwerdeführer nicht geltend. Folglich sei die erstinstanzliche Begründung, aus der Forderungsaufstellung ergebe sich, dass Teilzahlungen an die Kosten, danach an die Zinsen und zuletzt an die Hauptforderung angerechnet worden seien, nicht zu beanstanden. Zu Recht habe die Erstinstanz den von der Beschwerdegegnerin anhand detailliert aufgeführter Positionen errechneten Gesamtsummenbetrag von EUR 69'442.39 als ausgewiesen angesehen und die definitive Rechtsöffnung antragsgemäss für Fr. 79'074.76 erteilt.
3.
Anlass zur Beschwerde gibt ein definitives Rechtsöffnungsverfahren (Art. 80 SchKG), in dessen Rahmen vorfrageweise die Vollstreckbarkeit der ausländischen Urkunde geprüft wurde.
3.1. Die Betreibungsgläubigerin stützt ihre Forderung auf die Grundschuldbestellungsurkunde des Notariats Furtwangen vom 27. November 1996. Da die fragliche öffentliche Urkunde vor Inkrafttreten des revidierten Lugano-Übereinkommens vom 30. Oktober 2007 aufgenommen wurde, richtet sich ihre Vollstreckbarkeitserklärung nach dem Lugano-Übereinkommen vom 16. September 1988 (aLugÜ; Art. 63 Abs. 1 LugÜ 2007 e contrario). Gemäss Art. 50 Abs. 1 aLugÜ werden öffentliche Urkunden, die in einem Vertragsstaat aufgenommen und vollstreckbar sind, in einem anderen Vertragsstaat auf Antrag in den Verfahren nach Art. 31 ff. aLugÜ - d.h. wie eine gerichtliche Entscheidung - für vollstreckbar erklärt.
3.2. Der Beschwerdeführer hat sich gemäss § 794 Abs. 1 Nr. 5 dt. ZPO vor dem Notar ausdrücklich der sofortigen Zwangsvollstreckung aus der Urkunde unterworfen. Ursprüngliche Gläubigerin war die C._ AG. Am 5. Dezember 2008 erteilte das Notariat Furtwangen der Beschwerdegegnerin als Rechtsnachfolgerin der bisherigen Gläubigerin die vollstreckbare Ausfertigung wegen des dinglichen und persönlichen Anspruchs hinsichtlich Kapital und Zinsen seit dem 27. November 1996. Dass sämtliche Rechte und Ansprüche aus der Übernahme der persönlichen Haftung mitabgetreten wurden, geht auch aus der vom Beschwerdeführer (zu Unrecht) zu seinen Gunsten ins Feld geführten und mit "Abtretung einer Grundschuld" betitelten Erklärung der ursprünglichen Gläubigerin vom 7. September 2005 ausdrücklich hervor. Des Weiteren hat das Amtsgericht Donaueschingen am 30. September 2019 im Sinne von Art. 57 Abs. 4 LugÜ 2007 bescheinigt, dass Gläubigerin die B._ AG ist und die öffentliche Urkunde mit dem Aktenzeichen yyy im Ursprungsstaat gegen den Schuldner (A._) vollstreckbar ist. Abwegig ist das Vorbringen des Beschwerdeführers, das Amtsgericht Donaueschingen habe 2011 (gemeint ist wohl das Dokument vom 21. März 2011) bescheinigt, dass Rechte und Ansprüche aus der Übernahme der persönlichen Haftung nicht auf die Beschwerdegegnerin mitübertragen worden seien. Das angeführte Dokument betrifft die Bescheinigung der Zustellung der "Abtretungserklärung der Bank D._ bezüglich einer Grundschuld gem. Schriftstück vom 07.09.2005" an den Schuldner. Die Abtretung von Ansprüchen (auch) aus der persönlichen Haftungsübernahme an die Beschwerdegegnerin, wie sie bereits mit der zugunsten der Beschwerdegegnerin erteilten Vollstreckungsklausel bestätigt wurde, wird dadurch offenkundig nicht in Frage gestellt. Die Annahme der Vorinstanz, es handle sich bei der eingereichten notariellen Urkunde um eine vollstreckbare öffentliche Urkunde im Sinne des Art. 50 Abs. 1 aLugÜ, ist nach dem Gesagten nicht zu beanstanden.
An diesem Ergebnis vermögen die unter dem Titel "veränderte Urkunde" gemachten Ausführungen des Beschwerdeführers nichts zu ändern. Der Beschwerdeführer hatte im erstinstanzlichen Verfahren das Fehlen des Formblattes nach Art. 57 Abs. 4 LugÜ 2007 moniert. Obschon das vorliegend anwendbare aLugÜ eine solche Bescheinigung über die Vollstreckbarkeit nicht vorsieht, hat die Beschwerdegegnerin beim Amtsgericht Donaueschingen daraufhin vorsorglich die Erteilung der vom Beschwerdeführer erwähnten Bescheinigung beantragt. Der insoweit ergänzte Vollstreckungstitel wurde mit Schriftsatz vom 7. Oktober 2019 wieder beim Bezirksgericht Kriens eingereicht. Was der Beschwerdeführer aus seinem Vorbringen ableiten könnte, es befinde sich (seitdem) in den Akten keine der notariellen Urkunde und der Klausel angesiegelte Abtretungserklärung, ist weder dargetan noch ersichtlich, zeigt der Beschwerdeführer doch in keiner Weise auf, dass eine Ansiegelung der Abtretungserklärung an den Vollstreckungstitel in Deutschland üblich, geschweige denn notwendig ist. Abgesehen davon befindet sich eine beglaubigte Abschrift der Abtretungsurkunde sehr wohl in den beigezogenen kantonalen Akten. Nachdem sich die Vorbringen des Beschwerdeführers betreffend den Nachweis der Rechtsnachfolge klarerweise als nicht stichhaltig erweisen, ist nicht entscheiderheblich, wie es sich mit der vorinstanzlichen Annahme verhält, die Ausführungen des Beschwerdeführers zur angeblichen Veränderung der Urkunde in der kantonalen Beschwerdeschrift vom 9. März 2020 seien prozessual verspätet erfolgt. Eine Auseinandersetzung mit den dagegen erhobenen Rügen erübrigt sich. Offenbleiben kann ausserdem, ob die Einreichung der Abtretungsurkunde überhaupt erforderlich war, nachdem der Vollstreckungstitel auf die Beschwerdegegnerin umgeschrieben wurde und die Rechtsnachfolge aufgrund Abtretung vom deutschen Notar bereits bei der Erteilung der betreffenden Klausel von Amtes wegen geprüft werden musste (vgl. GLADENBECK, in: Kreditsicherung durch Grundschulden, Gladenbeck/ Samhat [Hrsg.], 10. Aufl. 2020, S. 239 Rz. 481).
3.3. Art. 50 Abs. 1 Satz 2 aLugÜ lässt eine Ablehnung des Antrags zu, wenn die Zwangsvollstreckung aus der Urkunde der öffentlichen Ordnung des Vollstreckungsstaates widerspricht.
3.3.1. Die Ordre public-Klausel muss mit grosser Zurückhaltung angewandt werden. Die Vollstreckbarerklärung der ausländischen öffentlichen Urkunde stellt die Regel dar, von der nicht ohne zwingende Gründe abgewichen werden darf (<ref-ruling> E. 5.2.3; LAYTON/MERCER, European Civil Practice, Volume 1, 2. Aufl. 2004, S. 1042 f. Rz. 29.012). Ein Ordre public-Verstoss kann vorliegen, wenn das Ergebnis aus der vollstreckbaren öffentlichen Urkunde den Wertvorstellungen der schweizerischen Rechtsordnung krass widerspricht (Urteil 5A_935/2015 vom 21. September 2016 E. 3.5.1).
3.3.2. Der Beschwerdeführer erachtet diesen Verweigerungsgrund als gegeben, weil durch die von der Beschwerdegegnerin beigebrachten Unterlagen nicht sofort erstellt sei, welche Schuld überhaupt bestehen soll. Der Bestand der zu vollstreckenden Forderung sei nicht nachgewiesen. Die Urkunde vermöge nicht schlüssig, plausibel und nachvollziehbar aufzuzeigen, was der Beschwerdeführer schulden soll und was er nicht mehr schulden soll. Die Beschwerdegegnerin mache nicht geltend, die Schuld bestehe im ursprünglichen Betrag. Die Beschwerdegegnerin behaupte vielmehr, die Schuld bestehe im Saldo gemäss der nicht nachvollziehbaren Auflistung. Auf einer solchen Basis könne in der Schweiz nicht vollstreckt werden.
3.3.3. Der Einwand geht fehl. Das Rechtsöffnungsbegehren der Beschwerdegegnerin stützt sich auf die Haftungszusage des Beschwerdeführers in der Grundschuldbestellungsurkunde, welche nach deutschem Recht ein abstraktes Schuldversprechen oder Schuldanerkenntnis (§§ 780, 781 des deutschen bürgerlichen Gesetzbuches [BGB]) darstellt (WOLFSTEINER, in: J. von Staudingers Kommentar zum Bürgerlichen Gesetzbuch mit Einführungsgesetz und Nebengesetzen, Buch 3 Sachenrecht, Berlin 2019, N. 203 zu den Vorbemerkungen zu §§ 1191 ff. BGB; LIEDER, in: Münchener Kommentar zum Bürgerlichen Gesetzbuch, Bd. 8, Sachenrecht, 8. Aufl. 2020, N. 88 zu § 1191 BGB; vgl. auch Urteil 5A_131/2018 vom 7. Dezember 2018 E. 4 mit Hinweisen). Mit dem zusätzlichen Anspruch aus einem notariell beurkundeten Schuldversprechen soll durch die Ausweitung des Vollstreckungszugriffs auf das gesamte Vermögen des Darlehensnehmers/Sicherungsgebers die Grundschuldsicherheit in Form einer eigenständigen Sicherheit verstärkt werden (Urteil des deutschen Bundesgerichtshofes [BGH] vom 19. Dezember 2006 [XI ZR 113/06], Rz. 14 mit Hinweisen). Welche Forderungen durch die Grundschuld und das abstrakte Schuldversprechen abgesichert sind, wird im Sicherungsvertrag festgelegt (SCHOPPMEYER, Grundpfandrechte, in: Das Recht der Kreditsicherung, Lwowski/Fischer/Gehrlein [Hrsg.], 10. Aufl. 2018, § 15 Rz. 246). Der bei der Bestellung der Sicherungsgrundschuld zu Stande kommende Sicherungsvertrag begründet zwischen den Vertragsparteien ein Treuhandverhältnis, weil der Grundschuldgläubiger als Sicherungsnehmer nach aussen mehr Rechtsmacht erhält, als er im Innenverhältnis, gebunden durch den Sicherungsvertrag, ausüben darf (Urteil des BGH vom 30. März 2010 [XI ZR 200/09], publ. in: Entscheidungen des Bundesgerichtshofes in Zivilsachen [BGHZ] 185 133, Rz. 36; ANSEHL, Rechtsvergleichende Betrachtung der deutschen Grundschuld und des schweizerischen Schuldbriefs, in: Jusletter vom 7. November 2011, Rz. 10). Mithin ist das abstrakte Schuldversprechen, ebenso wie die Grundschuld, mit der Zweckerklärung zur Grundschuldbestellung verbunden. Die Verknüpfung hat den Sinn, dass die Geltendmachung des abstrakten Schuldversprechens nicht willkürlich, sondern nur unter den Voraussetzungen erfolgen darf, die auch für die Grundschuld gelten. Auch wenn sich der Schuldner - wie in der Praxis üblich - gleichzeitig der sofortigen Zwangsvollstreckung unterwirft, ist er nicht rechtlos gestellt. Der Schutz des Schuldners gegen eine ungerechtfertigte Inanspruchnahme der Vollstreckungsmöglichkeit wird durch vollstreckungsrechtliche Rechtsbehelfe und durch die Schadenersatzpflicht der Bank bei missbräuchlicher Ausnutzung des Vollstreckungstitels gesichert (vgl. Urteil des BGH vom 18. Dezember 1986 [IX ZR 11/86], publ. in: BGHZ 99 274, S. 282 ff.; ANSEHL, a.a.O., Rz. 60). Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers verstösst die Vollstreckung aus einer solchen Urkunde in der Schweiz grundsätzlich nicht gegen fundamentale, unverzichtbare Grundlagen des schweizerischen Rechts. Anhaltspunkte für eine Verletzung des schweizerischen (materiellen oder verfahrensrechtlichen) Ordre public lassen sich den Vorbringen des Beschwerdeführers nicht entnehmen.
3.4. Insgesamt vermag der Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen, dass die Voraussetzungen für eine Vollstreckbarkeitserklärung nach dem aLugÜ von der Vorinstanz zu Unrecht bejaht worden wären.
3.5. Ebenso wenig ist ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz das Vorliegen eines definitiven Rechtsöffnungstitels zu Unrecht bejaht oder bei der Beurteilung von Einreden und Einwendungen gemäss SchKG Recht verletzt haben könnte.
3.5.1. Rechtsfehlerfrei ist die Annahme der Vorinstanz, dass bei der Betreibung einer Geldforderung, die der Schuldner in einer vollstreckbaren öffentlichen Urkunde anerkannt hat, der Rechtsvorschlag durch definitive Rechtsöffnung zu beseitigen ist (<ref-ruling> E. 2-4). Geht es um eine Geldleistung und entscheidet sich der Gläubiger für das inzidente Exequaturverfahren, so bildet die vollstreckbare öffentliche Urkunde einen definitiven Rechtsöffnungstitel, in gleicher Weise wie die vollstreckbare öffentliche Urkunde des schweizerischen Rechts (Art. 80 Abs. 2 Ziff. 1bis SchKG; Art. 347 ff. ZPO; SPÜHLER/RODRIGUEZ, Internationales Zivilprozessrecht, 2. Aufl. 2013, § 9 Rz. 377). Die möglichen Einwände des Schuldners richten sich nach Art. 81 SchKG.
3.5.2. Vorliegend hat die Beschwerdegegnerin vor Anrufung des Schuldanerkenntnisses mit Vollstreckungsunterwerfung bereits die Zwangsvollstreckung in das Grundstück veranlasst. Die Vorinstanz hat diesbezüglich festgestellt, dass in der Forderungsaufstellung der Beschwerdegegnerin unter dem 2. März 2012 eine Zahlung von EUR 54'383.63 vermerkt sei und aus dem aktenkundigen Schreiben des Amtsgerichts Emmendingen, Vollstreckungsgericht, vom 27. Februar 2012 geht hervor, dass der Beschwerdegegnerin aus der Zwangsvollstreckung in Deutschland ein solcher Betrag tatsächlich ausbezahlt wurde. Im kantonalen Verfahren von der Beschwerdegegnerin dargelegt wurde und ebenfalls aktenmässig erstellt ist sodann, dass der Beschwerdegegnerin ein weiterer Teilbetrag von EUR 4'651.46 ausbezahlt wurde. Dieser Umstand steht der Rechtsöffnung indes aus nachfolgenden Gründen nicht entgegen.
3.5.3. Die Rechtsöffnung kann höchstens für den Betrag gewährt werden, der sich aus den ihr zugrunde liegenden öffentlichen Urkunden ergibt (vgl. <ref-ruling> E. 5.3.3). Dies gilt beim vollstreckbaren Schuldanerkenntnis auch dann, wenn die gesicherte Forderung samt Zins grösser ist. Im konkreten Fall bezog sich die in der vorgelegten notariellen Urkunde übernommene persönliche Haftung auf den Grundschuldbetrag von DM 300'000.-- zuzüglich 18 % Zins seit 27. November 1996. Zwischenzeitlich ist der Euro an die Stelle der bisherigen Währungen der teilnehmenden Mitgliedstaaten getreten (Art. 3 der Verordnung [EG] Nr. 974/98 des Rates vom 3. Mai 1998 über die Einführung des Euro [ABl. L 139 vom 11. Mai 1998 S. 1]; EuroVO II). Wird in Rechtsinstrumenten - d.h. in Rechtsvorschriften, Verwaltungsakten, gerichtlichen Entscheidungen, Verträgen, einseitigen Rechtsgeschäften, Zahlungsmitteln (vgl. Art. 1 EuroVO II) -, die am Ende der Übergangszeit bestehen, auf nationale Währungseinheiten Bezug genommen, so ist dies als Bezugnahme auf die Euro-Einheit entsprechend dem jeweiligen Umrechnungskurs zu verstehen (Art. 14 EuroVO II). Der Umrechnungskurs wurde auf DM 1,95583 = 1 Euro festgesetzt (Art. 1 der Verordnung [EG] Nr. 2866/98 des Rates vom 31. Dezember 1998 über die Umrechnungskurse zwischen dem Euro und den Währungen der Mitgliedstaaten, die den Euro einführen [ABl. L 359 vom 31. Dezember 1998 S. 1]; EuroVO III). Der in der öffentlichen Urkunde genannte Betrag von DM 300'000.-- entspricht somit EUR 153'387.56. Im konkreten Fall hat die Beschwerdegegnerin mit Fr. 79'074.76 (bzw. EUR 69'312.08) lediglich einen Teilbetrag des abstrakten Schuldversprechens in Betreibung gesetzt. Mithin hat die Beschwerdegegnerin die Rechtsöffnung - wozu sie aufgrund des Sicherungsvertrags im Innenverhältnis verpflichtet war - lediglich für die von ihr berechnete Restschuld verlangt.
3.5.4. Unbehelflich ist das Vorbringen des Beschwerdeführers, er könne nicht doppelt belangt werden, was hier von der Beschwerdegegnerin geübt werde, da die Grundschuld mit der Pfandverwertung "getilgt" worden sei. Was auch immer damit genau gemeint ist, erweist sich der Einwand jedenfalls als unbegründet. Einerseits ist der gestützt auf das Schuldanerkenntnis mit Vollstreckungsunterwerfung in Betreibung gesetzte Betrag auch unter Berücksichtigung der aus der Verwertung des Grundstücks bereits erhältlich gemachten Beträge ohne Weiteres durch den definitiven Rechtsöffnungstitel gedeckt, zumal die in der notariellen Urkunde aufgeführten Grundschuldzinsen das Sicherheitenvolumen (bestehend aus Grundschuldkapital und Zinsen) erheblich erhöht haben. Andererseits geht aus der notariellen Urkunde klar hervor, dass der Anspruch aus dem Schuldversprechen in jedem Fall, also unabhängig vom Bestand der Grundschuld, entsteht und fortbesteht. Zumal der Zweck des abstrakten Schuldversprechens gerade darin besteht, dem Grundschuldgläubiger eine zusätzliche Sicherheit neben der Grundschuld zu verschaffen, kann ein Ausfall in der Zwangsversteigerung kein Grund sein, dem Gläubiger auch noch die andere Sicherheit, nämlich das Schuldversprechen, zu versagen (GLADENBECK, a.a.O., S. 147 f. Rz. 296).
3.5.5. Nicht stichhaltig ist auch die Argumentation des Beschwerdeführers, die Beschwerdegegnerin hätte den Darlehensrückzahlungsanspruch von Grund auf schlüssig vortragen und beweisen müssen. Die regelmässig in der Höhe des Grundschuldbetrags samt Grundschuldzinsen auch übernommene persönliche Haftung darf nicht mit der persönlichen Haftung aus den gesicherten Darlehensforderungen verwechselt werden (Urteil 5A_131/2018 vom 7. Dezember 2018 E. 4 mit Hinweis). Inhalt des Schuldversprechens ist die abstrakte Verpflichtung, einen Geldbetrag in der Höhe der Grundschuld nebst den vereinbarten Zinsen zu bezahlen. Die durch die Grundschuld (und das Schuldversprechen) gesicherten Ansprüche sind nicht unmittelbarer Gegenstand des Schuldversprechens (GLADENBECK, a.a.O., S. 142 Rz. 291). Der Beschwerdeführer blendet aus, dass er als Sicherheit für die Kreditverbindlichkeit einer Vollstreckungsunterwerfung bezüglich des Schuldversprechens ausdrücklich zugestimmt hat. Die deutsche Grundschuldbestellungsurkunde mit Übernahme der persönlichen Haftung samt Unterwerfung unter die sofortige Zwangsvollstreckung gilt als definitiver Rechtsöffnungstitel für die ganze im Titel verurkundete Forderung; weiterer Erläuterungen seitens der betreibenden Partei betreffend den offenen, vom Sicherungsgeber aus den Darlehensverträgen effektiv noch geschuldeten Betrag, bedarf es nicht. Vielmehr ist es Sache des betriebenen Schuldners, einzuwenden und sofort zu beweisen, dass das Schuldversprechen von der betreibenden Partei nicht unter Beachtung der durch den Sicherungszweck gesetzten Grenzen genutzt wird (in diesem Sinne Urteil des Obergerichts Zürich vom 18. Februar 2015 [RT140106] E. 4, in: ZR 114/2015 Nr. 12 S. 55). Wenn die Beschwerdegegnerin aus Gründen der Transparenz den Restbetrag der sichergestellten Forderung gleichwohl näher substanziiert hat, kann ihr das nicht zum Nachteil gereichen. Mit seinem bloss allgemein gehaltenen Vorbringen, die Forderung sei "nicht gehörig benannt", weil die Beschwerdegegnerin nicht in nachvollziehbarer Weise dargelegt habe, welcher Betrag unter den Darlehensverträgen noch geschuldet sei, konnte der Beschwerdeführer die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung nach dem Gesagten nicht verhindern. Dass er gegen die Leistungspflicht entgegen den vorinstanzlichen Feststellungen konkrete Einwände vorgebracht und sofort bewiesen hätte, macht er nicht geltend.
4.
Der Beschwerdeführer ficht die vorinstanzliche Kosten- und Entschädigungsregelung für das kantonale Verfahren nicht selbständig an, sondern nur im Zusammenhang mit dem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens. Da sich die Beschwerde als unbegründet erweist, hat auch der Kostenspruch der Vorinstanz Bestand. Äusserungen dazu erübrigen sich (vgl. Art. 67 und 68 Abs. 5 BGG).
5.
Nach dem Gesagten ist der Beschwerde kein Erfolg beschieden. Ausgangsgemäss hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Gegenpartei ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. August 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss