Sachverhalt:
A.
Die türkische Staatsangehörige A._ (geb. 1953) lebt seit dem Jahr 1975 von ihrem religiös angetrauten Ehemann getrennt. Letzterer lebt seit Jahrzehnten in der Schweiz. Nachdem auch ihre vier gemeinsamen - mittlerweile erwachsenen - Kinder im Rahmen des Familiennachzugs in die Schweiz eingewandert waren, reiste auch A._ am 17. November 1998 mit einem Besuchervisum in die Schweiz ein.
A.a. A._ stellte am 17. Februar 1999 ein Asylgesuch. Mit Verfügung vom 11. Juli 2000 lehnte das damalige Bundesamt für Flüchtlinge (heute: Staatssekretariat für Migration) ihr Asylgesuch ab. Am 23. Mai 2001 stellte A._ ein Gesuch um Gewährung des Familienasyls sowie der vorläufigen Aufnahme. Mit Verfügung vom 29. August 2001 schrieb das Bundesamt für Flüchtlinge das Gesuch als gegenstandslos ab, da A._ ihren Wohnort am 13. Juli 2001 verlassen habe und seither ohne bekannte Adresse sei.
A.b. Mit Gesuch vom 28. September 2003 beantragte A._ abermals die Gewährung des Familienasyls sowie der vorläufigen Aufnahme. Das Bundesamt für Flüchtlinge wies ihre Begehren mit Verfügung vom 8. Oktober 2003 ab. Dagegen erhob A._ Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht. Dieses wies mit Urteil D- 6353/2006 vom 7. Oktober 2009 die Beschwerde hinsichtlich der Gewährung des Familienasyls ab, wies das Bundesamt für Flüchtlinge indes an, ihren Aufenthalt in der Schweiz nach den gesetzlichen Bestimmungen über die vorläufige Aufnahme zu regeln. Im Wesentlichen hielt es den Vollzug der Wegweisung in die Türkei für nicht mehr zumutbar, da A._ in der Türkei über kein tragfähiges soziales Beziehungsnetz mehr verfügte und eine Rückkehr in die Türkei nach langjähriger Landesabwesenheit und ohne die Präsenz mindestens eines ihrer Kinder ihre physisch und psychisch labile Gesundheit gefährden und sich letztlich existenzbedrohend auswirken könnte.
B.
Am 6. Dezember 2017 stellte die nunmehr im Kanton Freiburg wohnhafte A._ beim Amt für Bevölkerung und Migration des Kantons Freiburg ein Gesuch um Umwandlung ihrer vorläufigen Aufnahme in eine Aufenthaltsbewilligung.
B.a. Mit Verfügung vom 23. Mai 2018 wies das kantonale Amt das Gesuch ab, da kein schwerwiegender persönlicher Härtefall vorliege. Gegen diese Verfügung erhob A._ Beschwerde beim Kantonsgericht Freiburg. Mit Urteil vom 9. November 2018 hob das Kantonsgericht die Verfügung vom 23. Mai 2018 auf und wies das kantonale Amt an, den Sachverhalt insbesondere hinsichtlich der sozialen Integration näher abzuklären sowie anschliessend nach einer Gesamtwürdigung der Situation und unter Berücksichtigung aller einschlägigen Faktoren über das Härtefallgesuch von A._ neu zu verfügen.
B.b. Das kantonale Amt lud A._ daraufhin am 18. Dezember 2018 zu einer mehrstündigen Befragung ein. Mit Verfügung vom 31. Januar 2019 lehnte das kantonale Amt das Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung mit der Begründung ab, dass sich A._ nicht erfolgreich integriert habe und daher keinen schwerwiegenden persönlichen Härtefall darstelle. Der Status der vorläufigen Aufnahme bleibe erhalten, da eine Wegweisung aus der Schweiz weiterhin weder möglich noch zumutbar sei. Die gegen die Verfügung vom 31. Januar 2019 beim Kantonsgericht erhobene Beschwerde blieb ohne Erfolg (Urteil vom 14. Januar 2020).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 18. Februar 2020 gelangt A._ an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des Urteils vom 14. Januar 2020. Das kantonale Amt für Bevölkerung und Migration sei anzuweisen, beim Staatssekretariat für Migration die Zustimmung zur Umwandlung der vorläufigen Aufnahme in eine Aufenthaltsbewilligung zu beantragen. Es sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen und ein unentgeltlicher Rechtsbeistand beizugeben.
Während das kantonale Amt auf eine Vernehmlassung verzichtet, beantragt die Vorinstanz die Abweisung der Beschwerde. Das Staatssekretariat für Migration hat sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 279; <ref-ruling> E. 1 S. 116).
1.1. Die frist- (<ref-law>) und formgerecht (<ref-law>) eingereichte Eingabe betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>) und richtet sich gegen das kantonal letztinstanzliche (<ref-law>), verfahrensabschliessende (<ref-law>) Urteil eines oberen Gerichts (<ref-law>).
1.2. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>).
1.2.1. Die Beschwerdeführerin legt dar, aufgrund ihrer langen Anwesenheitsdauer sei von einer hinreichenden Integration auszugehen, weshalb sie Anspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung direkt gestützt auf Art. 8 Ziff. 1 EMRK habe. Zwar drohe ihr keine aufenthaltsbeendende Massnahme. Ihr Privat- und Familienleben sei aber auch tangiert, wenn die Verweigerung der beantragten Aufenthaltsbewilligung keine aufenthaltsbeendende Massnahme darstelle. Sie bringt im Wesentlichen vor, aufgrund der Nachteile des Status der vorläufigen Aufnahme im Vergleich zur Aufenthaltsbewilligung, sei ihr Privat- und Familienleben beeinträchtigt, da sie unter anderem weder alleine noch mit ihren erwachsenen Kindern und deren Enkelkindern ohne Bewilligung des Staatssekretariats für Migration ins Ausland reisen könne. Ausserdem sei aufgrund ihrer persönlichen Situation nicht absehbar, dass sie die Schweiz in Zukunft verlassen müsse.
1.2.2. Der Gegenstand des vorliegenden Verfahrens betrifft nach dem Gesagten die Frage, ob der Beschwerdeführerin nach einem langjährigen Aufenthalt ein Anspruch auf Umwandlung der vorläufigen Aufnahme in eine Aufenthaltsbewilligung zukommt. Eine aufenthaltsbeendende Massnahme steht nicht zur Diskussion (vgl. Art. 84 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer und über die Integration [Ausländer- und Integrationsgesetz, AIG; SR 142.20; bis 31. Dezember 2018: Bundesgesetz über die Ausländerinnen und Ausländer]). Die Beschwerdeführerin beruft sich auf einen aus Art. 8 Ziff. 1 EMRK abgeleiteten Anspruch auf Umwandlung der vorläufigen Aufnahme in eine Aufenthaltsbewilligung.
1.2.3. Insoweit die Beschwerdeführerin hierfür eine Beeinträchtigung ihres Anspruchs auf Achtung des Familienlebens dartut, vermag sie keinen konventionsrechtlichen Anspruch geltend zu machen. Der Schutz des Familienlebens im Sinne von Art. 8 EMRK bezieht sich in erster Linie auf die Kernfamilie. Ist die Beziehung zwischen den Eltern und ihren volljährigen Kindern betroffen, muss ein Abhängigkeitsverhältnis dargetan werden, das über die normalen familiären Bindungen hinausgeht. Nur dann kommt Art. 8 EMRK zum Tragen (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 230 f.; <ref-ruling> E. 6.1 S. 12 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 13 f.; <ref-ruling> E. 1e f. S. 261 ff.; Urteil des EGMR Slivenko gegen Lettland vom 9. Oktober 2003 [Nr. 48321/99] §§ 94-97). Ein solches Abhängigkeitsverhältnis wird von der Beschwerdeführerin nicht dargetan, zumal sie sich auf eine gelungene und eigenständige Integration beruft.
1.2.4. Im Rahmen des Anspruchs auf Achtung des Privatlebens hat das Bundesgericht in <ref-ruling> mit Blick auf Personen, die sich mit einer Bewilligung rechtmässig in der Schweiz aufhalten, angenommen, nach einem Aufenthalt von zehn Jahren könne regelmässig davon ausgegangen werden, dass die sozialen Beziehungen in diesem Land derart eng geworden seien, dass es für eine Aufenthaltsbeendigung besonderer Gründe bedürfe (vgl. <ref-ruling> E. 3.9 S. 277 ff.). Indessen ist in der vorliegenden Angelegenheit keine aufenthaltsbeendende Massnahme zu beurteilen und die Beschwerdeführerin hat sich zu keinem Zeitpunkt mit einer Bewilligung rechtmässig in der Schweiz aufgehalten. Die vorliegende Angelegenheit betrifft vielmehr eine Konstellation der Prekarität im Rahmen eines lang andauernden Aufenthalts im Lichte des Anspruchs auf Achtung des Privatlebens. Diesbezüglich hat sich das Bundesgericht bisher nicht abschliessend zu einem allfälligen konventionsrechtlichen Anspruch auf Umwandlung des Status der vorläufigen Aufnahme in eine Aufenthaltsbewilligung geäussert (vgl. auch Urteil 2C_689/2017 vom 1. Februar 2018 E. 1.2.2).
1.2.5. Gemäss der Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (EGMR) verleiht Art. 8 EMRK ein Recht auf Regularisierung einer prekären, aber geduldeten langjährigen Anwesenheit, wenn damit rechtliche oder faktische Nachteile verbunden sind, die eine Beeinträchtigung des Privatlebens darstellen (vgl. E. 4.1 hiernach; Urteil des EGMR Aristimuno Mendizabal gegen Frankreich vom 17. Januar 2006 [Nr. 51431/99] § 66 und § 70 ["la situation de précarité et d'incertitude"]; vgl. auch Urteile des EGMR Kaftaïlova gegen Lettland vom 7. Dezember 2007 [Nr. 59643/00] § 51; Syssoyeva u.a. gegen Lettland vom 15. Januar 2007 [Nr. 60654/00] § 91). Die gleiche Stossrichtung verfolgt das Bundesgericht, indem es die rechtlichen und faktischen Auswirkungen der Aufenthaltsregelung im Lichte des verfassungs- und völkerrechtlichen Anspruchs auf Privatleben berücksichtigt (vgl. <ref-ruling> E. 2 f. S. 247 ff.).
1.2.6. Die vorliegende Angelegenheit zeichnet sich insbesondere durch den Umstand aus, dass - im Gegensatz zu den Regelfällen der vorläufigen Aufnahme, in denen mit dem Vollzug der Wegweisung in Zukunft zu rechnen ist - eine abweichende Beurteilung der Unzumutbarkeit der Wegweisung der Beschwerdeführerin in absehbarer Zeit als höchst unwahrscheinlich erscheint: Bereits mit Urteil vom 16. März 2001 hat die damalige Schweizerische Asylrekurskommission erwogen, dass eine Wiedereingliederung der Beschwerdeführerin in ihre Heimat schwierig sein dürfte, zumal sie über keine Ausbildung verfüge, nie einer Erwerbstätigkeit nachgegangen sei und ihre vier Kinder sowie ihr ehemaliger Ehemann in der Schweiz wohnten (vgl. Urteil des BVGer D-6353/2006 vom 7. Oktober 2009 E. 9.1). Rund acht Jahre später ist das Bundesverwaltungsgericht davon ausgegangen, dass der Vollzug der Wegweisung unzumutbar sei, da er sich existenzbedrohend auswirken könne (vgl. Ziff. A.b hiervor; Urteil des BVGer D-6353/2006 vom 7. Oktober 2009 E. 9.2). Auch die Vorinstanz geht in ihrem Urteil vom 14. Januar 2020 davon aus, dass sich die Wegweisung weiterhin als unzumutbar erweist (vgl. E. 4.4. i.f. des angefochtenen Urteils).
1.2.7. Für die Eintretensfrage ist nach dem Dargelegten davon auszugehen, dass sich an der Unzumutbarkeit der Wegweisung bis auf Weiteres nichts ändern wird und die Beschwerdeführerin auf unbestimmte Zeit in einem nicht auf Dauer angelegten Aufenthaltsstatus in der Schweiz bleiben wird. Aufgrund ihrer persönlichen Situation macht die vorläufig aufgenommene Beschwerdeführerin folglich in vertretbarer Weise geltend, sie habe gestützt auf konventionsrechtliche Vorgaben einen Bewilligungsanspruch, da ihr Art. 8 Ziff. 1 EMRK (Anspruch auf Achtung des Privatlebens) ein Recht auf die Regularisierung ihrer Anwesenheit in der Schweiz einräume. Ob die Voraussetzungen für die Erteilung der Aufenthaltsbewilligung vorliegen, ist indes nicht Gegenstand der Eintretensfrage, sondern der materiellen Beurteilung (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 332; <ref-ruling> E. 1.1 S. 179).
1.3. Die Beschwerdeführerin ist bereits im kantonalen Verfahren als Partei beteiligt gewesen und dort mit ihren Anträgen nicht durchgedrungen. Ausserdem ist sie durch das angefochtene Urteil in ihren schutzwürdigen Interessen besonders berührt, zumal sie glaubhaft geltend macht, ohne Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung massgeblich in ihrem Anspruch auf Achtung des Privatlebens eingeschränkt zu sein (vgl. E. 1.2.1 hiervor; E. 3. hiernach). Sie ist somit zur Erhebung des Rechtsmittels legitimiert (<ref-law>).
1.4. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist einzutreten. Im Weiteren betrifft die vorliegend zu beurteilende Angelegenheit weder die vorläufige Aufnahme (<ref-law>) noch die Wegweisung (<ref-law>) der Beschwerdeführerin. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist demzufolge nicht einzutreten (<ref-law>).
2.
Mit der Beschwerde kann namentlich die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), wobei es - unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>) - grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen prüft, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.5 S. 144; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Der Verletzung von Grundrechten geht das Bundesgericht nur nach, falls eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232). Diese qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit nach <ref-law> verlangt, dass in der Beschwerde klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt wird, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 5; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Seinem Urteil legt das Bundesgericht den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>).
3.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, sie habe einen Anspruch auf Erteilung der Aufenthaltsbewilligung gestützt auf Art. 8 Ziff. 1 EMRK. Ihr Privatleben werde aufgrund der Nachteile des Status der vorläufigen Aufnahme massgeblich beeinträchtigt. Ihre Mobilität sei als vorläufig aufgenommene Person erheblich eingeschränkt. Sie müsse ihre ausländischen Reisedokumente und Identitätspapiere beim Staatssekretariat für Migration hinterlegen. Der mit der vorläufigen Aufnahme ausgestellte F-Ausweis sei auf zwölf Monate befristet und jährlich zu verlängern. Der F-Ausweis ermögliche ausserdem keinen Grenzübertritt. Die auf Not- und Sonderfälle beschränkten Auslandsreisen müssten durch das Staatssekretariat für Migration bewilligt werden. Einer vorläufig aufgenommenen Person würde der Kantonswechsel nur ausnahmsweise bewilligt. Ferner bestehe eine generelle Unsicherheit für die vorläufig aufgenommene Person aus dem Umstand, dass sie jederzeit mit dem Wegweisungsvollzug rechnen müsse, sobald das Wegweisungsvollzugshindernis entfallen sollte. Aufgrund dieser Nachteile liege ein Eingriff in den Schutzbereich von Art. 8 Ziff. 1 EMRK vor. Ihr komme ein direkt auf Art. 8 Ziff. 1 EMRK gestützter Anspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung zu.
4.
Zunächst sind die von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Nachteile des Status der vorläufigen Aufnahme im Vergleich zur Aufenthaltsbewilligung im Lichte ihres Anspruchs auf Achtung des Privatlebens zu würdigen.
4.1. Nach der Rechtsprechung des EGMR gewährt Art. 8 EMRK kein Recht auf einen bestimmten Aufenthaltstitel, solange die bestehende Aufenthaltsregelung eine weitestgehend ungehinderte Ausübung des Privatlebens ermöglicht. In diesem Sinne erwägt der EGMR, dass Art. 8 EMRK "ne va pas jusqu'à garantir à l'intéressé le droit à un type particulier de titre de séjour (permanent, temporaire ou autre), à condition que la solution proposée par les autorités lui permette d'exercer sans entrave ses droits au respect de la vie privée et familiale" (Urteil des EGMR Aristimuno Mendizabal gegen Frankreich vom 17. Januar 2006 [Nr. 51431/99] § 66). In einem weiteren Urteil hält der EGMR fest, "lorsque la législation interne en prévoit plusieurs, la Cour doit analyser les conséquences de droit et de fait découlant d'un titre de séjour donné. S'il permet à l'intéressé de résider sur le territoire de l'Etat d'accueil et d'y exercer librement ses droits au respect de la vie privée et familiale, l'octroi d'un tel titre de séjour constitue en principe une mesure suffisante pour que les exigences de cette disposition soient remplies (Urteil des EGMR Syssoyeva u.a. gegen Lettland vom 15. Januar 2007 [Nr. 60654/00] § 91; vgl. Urteil des EGMR Kaftaïlova gegen Lettland vom 7. Dezember 2007 [Nr. 59643/00] § 51).
4.2. Um allfällige Ansprüche aus Art. 8 EMRK zu prüfen, sind im Folgenden die Eigenschaften der vorläufigen Aufnahme im Detail zu betrachten.
4.2.1. Ist der Vollzug der Weg- oder Ausweisung nicht möglich, nicht zulässig oder nicht zumutbar, verfügt das Staatssekretariat für Migration die vorläufige Aufnahme (vgl. <ref-law>). Die vorläufige Aufnahme "kann" von den kantonalen Behörden beantragt werden, nicht aber von der betroffenen Person selber (vgl. <ref-law>). Diese bildet eine grundsätzlich zeitlich beschränkte Ersatzmassnahme, wenn der Vollzug der Wegweisung undurchführbar ist. Sie tritt neben die rechtskräftige Wegweisung und berührt deren Bestand nicht, sondern setzt ihn voraus. Sie ist keine Aufenthaltsbewilligung, sondern ein vorübergehender Status, der die Anwesenheit regelt, solange der Wegweisungsvollzug - d.h. die exekutorische Massnahme der Wegweisung zur Beseitigung des rechtswidrigen Zustands - nicht zulässig, nicht zumutbar oder nicht möglich erscheint (vgl. <ref-ruling> E. 3.5 S. 53; <ref-ruling> E. 2.3 S. 249; <ref-ruling> E. 3.1 S. 308 f.).
4.2.2. Ausländische Personen, denen die vorläufige Aufnahme gewährt worden ist, müssen ihre Reisedokumente sowie die allenfalls in ihrem Besitz befindlichen ausländischen Ausweispapiere beim Staatssekretariat für Migration hinterlegen (vgl. Art. 20 Abs. 1 der Verordnung vom 11. August 1999 über den Vollzug der Weg- und Ausweisung sowie der Landesverweisung von ausländischen Personen [VVWAL; SR 142.281]). Gemäss Art. 7 der Verordnung vom 14. November 2012 über die Ausstellung von Reisedokumenten für ausländische Personen (RDV; SR 143.5) muss den vorläufig aufgenommenen Personen für Auslandsreisen ein Rückreisevisum ausgestellt werden. Das Rückreisevisum wird nur unter bestimmten Voraussetzungen - namentlich in Not- und Sonderfällen oder aus humanitären Gründen - ausgestellt (vgl. Art. 9 Abs. 1 und Abs. 4 RDV). Ansonsten ist einer vorläufig aufgenommenen Person (mit dem Ausländerausweis F) der Grenzübertritt nicht möglich (vgl. Art. 20 Abs. 2 Satz 3 VVWAL).
4.2.3. Die mit dem Status der vorläufigen Aufnahme verbundenen Nachteile beziehen sich nach dem Dargelegten im Wesentlichen auf die internationale Mobilität der vorläufig aufgenommenen Person. Dagegen muss sich auch eine ausländische Person mit Aufenthaltsbewilligung einen Kantonswechsel im Voraus bewilligen lassen (vgl. <ref-law>). Dabei besteht unter der Erfüllung der Voraussetzungen von <ref-law> ein Anspruch auf die Bewilligung des Kantonswechsels. Der Beschwerdeführerin ist der Wechsel vom Kanton Wallis in den Kanton Freiburg, wo ihre erwachsenen Kinder leben, ohne Weiteres genehmigt worden. Dies relativiert den Umstand, dass sich eine vorläufig aufgenommene Person grundsätzlich nicht auf einen solchen Anspruch berufen kann (vgl. Art. 21 VVWAL i.V.m. Art. 22 Abs. 2 der Asylverordnung 1 vom 11. August 1999 über Verfahrensfragen [SR 142.311]). Soweit aufgrund ihres Geburtsjahres 1953 von Bedeutung, stünde ihr auch eine Erwerbstätigkeit offen (vgl. <ref-law>; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.3.2 S. 253). Schliesslich werden sowohl die Aufenthaltsbewilligung als auch die vorläufige Aufnahme lediglich befristet erteilt (vgl. <ref-law>; <ref-law>).
4.3. Nach dem Dargelegten ist die Beschwerdeführerin zwar in ihrem internationalen Reiseverhalten eingeschränkt. Im Inland kommt ihr rechtlich und faktisch aber bereits eine mit der Aufenthaltsbewilligung vergleichbare Stellung zu. Sie kann sich im Inland frei bewegen sowie nach Bedarf einer Erwerbstätigkeit nachgehen und lebt aufgrund ihrer persönlichen Situation nicht in der Unsicherheit, in absehbarer Zeit die Schweiz verlassen zu müssen (vgl. E. 1.2.6 hiervor). Da sie nicht jederzeit damit zu rechnen hat, dass ihre Wegweisung vollzogen wird, erscheint ihre Anwesenheit in der Schweiz zumindest in vergleichbarer Weise gesichert, wie bei einer ausländischen Person mit einer Aufenthaltsbewilligung. Insoweit aufgrund der Verweigerung der Aufenthaltsbewilligung überhaupt in den Anspruch auf Achtung des Privatlebens der Beschwerdeführerin eingegriffen wird, wiegt dieser Eingriff jedenfalls nicht schwer.
4.4. Es muss in der vorliegenden Angelegenheit jedoch nicht abschliessend beurteilt werden, ob die von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Nachteile im Lichte ihrer bereits länger andauernden, prekären Anwesenheit in der Schweiz derart gravierend wären, sodass damit ein Eingriff in den Schutzbereich von Art. 8 Ziff. 1 EMRK einherginge. Im Lichte ihrer - im Folgenden darzulegenden - unzureichenden Integration (vgl. E. 5. hiernach) liesse sich die Verweigerung der Aufenthaltsbewilligung jedenfalls rechtfertigen (vgl. Art. 8 Ziff. 2 EMRK).
5.
Ein Eingriff in den Anspruch auf Achtung des Privatlebens ist rechtfertigungsbedürftig (vgl. Art. 8 Ziff. 2 EMRK; <ref-law> i.V.m. <ref-law>).
5.1. Eine allfällige Einschränkung von Grundrechten erfordert eine gesetzliche Grundlage und ein öffentliches Interesse (vgl. <ref-law>). Sodann hat sie verhältnismässig zu sein (vgl. <ref-law>). Nach den gleichen Kriterien geht der EGMR bei der Anwendung von Art. 8 Ziff. 2 EMRK vor, demgemäss zu prüfen ist, ob ein Eingriff "était prévue par la loi, visait un but légitime et était nécessaire dans une société démocratique" (Urteil des EGMR Aristimuno Mendizabal gegen Frankreich vom 17. Januar 2006 [Nr. 51431/99] § 73). Während die ersten beiden Voraussetzungen unter den Verfahrensbeteiligten nicht umstritten sind, beanstandet die Beschwerdeführerin mit Blick auf die Verhältnismässigkeit die Würdigung ihrer Integration. Die Einhaltung des Verhältnismässigkeitsgrundsatzes bedarf daher einer genaueren Betrachtung.
5.2. Grundsätzlich ist im Rahmen der Verhältnismässigkeit unter dem Gesichtspunkt des Anspruchs auf Achtung des Privatlebens zu prüfen, in welchem Alter die ausländische Person eingereist ist, wie lange sie in der Schweiz gelebt hat und welche (sozialen und wirtschaftlichen) Beziehungen sie unterhält. Bei Letzterem spielen auch die persönliche Situation (z.B. Alter, Gesundheit oder Herkunft) sowie die familiären Verhältnisse eine Rolle. Die aus diesen Faktoren resultierende Integration der betroffenen Person ist bei der Beurteilung der Verhältnismässigkeit von besonderer Relevanz (sogenannte "liens personnels, sociaux ou économiques"; Urteil des EGMR Slivenko gegen Lettland vom 9. Oktober 2003 [Nr. 48321/99] § 114 und §§ 123-125; vgl. <ref-ruling> E. 3.3.2 S. 253; vgl. auch Urteile des EGMR Ukaj gegen Schweiz vom 24. Juni 2014 [Nr. 32493/08] § 42; Hasanbasic gegen Schweiz vom 11. Juni 2013 [Nr. 52166/09] § 62; Kissiwa Koffi gegen Schweiz vom 15. November 2012 [Nr. 38005/07] § 66; Gezginci gegen Schweiz vom 9. Dezember 2010 [Nr. 16327/05] §§ 73-77; Üner gegen Niederlande vom 18. Oktober 2006 [Nr. 46410/99] §§ 57 f.).
5.2.1. Demnach kommt im Rahmen der Verhältnismässigkeitsprüfung - neben der bisherigen Aufenthaltsdauer - der Integration eine erhebliche Bedeutung zu. Auch der Bundesgesetzgeber anerkennt die mit der langjährigen Anwesenheit einhergehende Verfestigung der Beziehung vorläufig aufgenommener Personen zur Schweiz. Deshalb verlangt er, dass Gesuche um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung von vorläufig aufgenommenen Ausländerinnen und Ausländern, die sich seit mehr als fünf Jahren in der Schweiz aufhalten, unter Berücksichtigung der Integration, der familiären Verhältnisse und der Zumutbarkeit einer Rückkehr in den Herkunftsstaat vertieft geprüft werden (vgl. <ref-law>).
5.2.2. Bei der Beschwerdeführerin handelt es sich unbestrittenermassen um eine Person, die des Lesens und Schreibens nicht mächtig ist. Sie ist seit ihrer Einreise 1998 in die Schweiz nie polizeilich in Erscheinung getreten oder straffällig geworden. Gegen sie sind weder Betreibungen noch Verlustscheine ausstehend. Sie hat nie Sozialhilfe bezogen. Aufgrund ihres Analphabetismus kann für die Beurteilung ihrer Integration nicht unbesehen der Massstab übernommen werden, mit welchem jene einer ausländischen Person mit Schulbildung zu beurteilen ist. Vielmehr ist für die vorliegende Angelegenheit massgebend, ob die Beschwerdeführerin mangels entsprechender Bemühungen in vorwerfbarer Weise nicht integriert ist. Dabei ist im Lichte des Anspruchs auf Achtung ihres Privatlebens in erster Linie auf ihre persönliche, soziale und berufliche Integration abzustellen (sogenannte "liens personnels, sociaux ou économiques"; vgl. E. 5.2 hiervor). Die Vorinstanz verweigert die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung denn auch infolge einer mangelhaften sprachlichen, beruflichen und sozialen Integration (vgl. E. 4 des angefochtenen Urteils).
5.3. Damit einer ausländischen Person ein Anspruch auf Umwandlung der vorläufigen Aufnahme in eine Aufenthaltsbewilligung zukommen kann, ist eine gewisse Integrationsleistung zu verlangen. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin erweist sich ihre Integration in einer Gesamtbetrachtung nicht als hinreichend fortgeschritten und die diesbezügliche Beurteilung der Vorinstanz als zutreffend sowie bundesrechtskonform.
5.3.1. Die Beschwerdeführerin hat nie eine Schule besucht und kann deshalb weder lesen noch schreiben. Ihr ist es aber aus gesundheitlicher und altersbedingter Sicht zumutbar gewesen, sich seit ihrer Einreise in die Schweiz aktiv entweder um ihre Alphabetisierung zu bemühen oder aber mündlich eine Landessprache in den Grundzügen zu erlernen. Ihr sprachliches Integrationsdefizit kann deshalb nicht allein auf die fehlende Alphabetisierung zurückgeführt werden. Wenn die Beschwerdeführerin vorbringt, sie sei bei ihrer Einreise in einem fortgeschrittenen Alter gewesen, ist dies nicht geeignet, ihre fehlende sprachliche Integration zu rechtfertigen. Sie ist damals erst 45-jährig gewesen. Ausserdem ist eine limitierende, physisch und psychisch angeschlagene Verfassung der Beschwerdeführerin erst seit dem Jahr 2017 erstellt und diesem Erschwernis erst ab diesem Zeitpunkt (angemessen) Rechnung zu tragen (vgl. <ref-law>). Ihr Hinweis darauf, dass sie selbst die türkische Sprache nur rudimentär verstehe und lediglich in einem kurdischen Dialekt fliessend kommunizieren könne, vermag die Würdigung ihrer sprachlichen Integration nicht zu beeinflussen. Ihre Bemühungen, die sich auf einen viermonatigen Sprachkurs beschränken, sind im Lichte ihres langjährigen Aufenthalts in der Schweiz klar ungenügend.
5.3.2. Mit Blick auf die berufliche Integration ist zu berücksichtigen, dass es der Beschwerdeführerin nicht möglich gewesen ist, in der Türkei eine Berufsausbildung zu machen und erwerbstätig zu sein. Der Beschwerdeführerin ist insofern zuzustimmen, dass ihr die berufliche Integration hierdurch erschwert gewesen ist. Es ist notorisch, dass ihr als 56-jährige Analphabetin im Zeitpunkt der vorläufigen Aufnahme im Jahr 2009 kaum die Gelegenheit offengestanden ist, erfolgreich auf dem Arbeitsmarkt Fuss zu fassen. Sie hat sich umgekehrt seit ihrer vorläufigen Aufnahme aber weder bemüht, auf dem (sekundären) Arbeitsmarkt Anschluss zu finden, noch hat sie je Aus- und Weiterbildungen besucht. In diesem Lichte ist ihr zwar zugute zu halten, dass sie keine Sozialhilfe bezogen hat. Dass die Beschwerdeführerin, wie sie dartut, seit ihrer Einreise in die Schweiz stets Haushalts- und Betreuungsaufgaben für ihre erwachsenen Kinder und deren Enkel wahrgenommen habe, lässt aber nicht auf eine gelungene berufliche Integration schliessen. Soweit die berufliche Integration der Beschwerdeführerin aufgrund ihres Alters aktuell noch zur Diskussion stehen kann, vermag die Beschwerdeführerin aus dieser nichts zu ihren Gunsten abzuleiten.
5.3.3. Aus den Vorbringen der Beschwerdeführerin ergibt sich sodann, dass sie sich sozial nicht in die schweizerische Gesellschaft integriert hat. Ihre sozialen Beziehungen beschränken sich im Wesentlichen auf ihre Familie und nicht auf das sonstige gesellschaftliche Leben. Ausserhalb ihrer Familie pflegt sie lediglich mit zwei Nachbarinnen Kontakte. Es besteht damit weder ein von der Familie unabhängiger, eigenständiger Freundeskreis noch liegt eine über die Familie hinausgehende Teilnahme am gesellschaftlichen Leben vor. Daran vermag das Vorbringen der Beschwerdeführerin nichts zu ändern, wonach die Bedeutung verwandtschaftlicher Bindungen als Sicherheitsnetz keineswegs nur eine Besonderheit ausländischer Personen, sondern auch bei schweizerischen Staatsbürgerinnen und -bürgern üblich sei. Gestützt auf zwei nachbarschaftliche Kontakte kann sich die Beschwerdeführerin nicht erfolgreich auf eine vertiefte soziale Integration berufen, wie dies unter dem Gesichtspunkt des Anspruchs auf Achtung des Privatlebens erforderlich wäre.
5.4. Trotz des langjährigen Aufenthalts der Beschwerdeführerin in der Schweiz ist insgesamt von einer zu wenig fortgeschrittenen Integration auszugehen. Demzufolge ist es mit Art. 8 EMRK vereinbar, wenn die Vorinstanz der Beschwerdeführerin keine Aufenthaltsbewilligung erteilt. Ein allfälliger Eingriff in den Schutzbereich von Art. 8 Ziff. 1 EMRK aufgrund der Verweigerung einer Aufenthaltsbewilligung liesse sich infolge einer ungenügenden Integration im Sinne von Art. 8 Ziff. 2 EMRK rechtfertigen. Eine Verletzung von Art. 8 EMRK liegt nicht vor.
6.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als unbegründet, weshalb sie abzuweisen ist. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist nicht einzutreten. Die Beschwerdeführerin beantragt, ihr die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann entsprochen werden, da das Rechtsmittel nicht als aussichtslos bezeichnet werden kann und die entsprechenden Voraussetzungen gegeben sind (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
3.1. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.2. Der Beschwerdeführerin wird Rechtsanwalt Marc Spescha als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben und diesem aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- entrichtet.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Freiburg, I. Verwaltungsgerichtshof, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. November 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Zollinger