Sachverhalt:
A.
A.A._ und B.A._ (Gesuchsteller 1 und 2, Beschwerdeführer 1 und 2) verkauften B._ mit Vereinbarung vom 1. Mai 2019 eine unter der Marke "C._" eingetragene Fitnesskette mit 16 Studios und übertrugen ihm per 1. Juni 2019 sämtliche Rechte daran. Die Parteien vereinbarten einen Kaufpreis von Fr. 8'649'920.-- und legten fest, dass dieser in diversen monatlichen Raten, letztmals per 1. Juni 2042, zu bezahlen sei.
Im April 2020 kam es unter anderem zum Streit über die Bezahlung von Leasinggebühren. In der Folge machten A.A._ und B.A._ geltend, sie hätten sich beim Abschluss der Vereinbarung vom 1. Mai 2019 in einem wesentlichen Irrtum befunden, eventualiter erklärten sie Rücktritt vom Vertrag zufolge Verzugs von B._.
B.
B.a. Am 10. Juni 2020 reichten A.A._ und B.A._ beim Handelsgericht des Kantons Zürich ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege vor Eintritt der Rechtshängigkeit ein. Sie führten aus, dass verschiedene Versuche, mit B._ eine Lösung zu finden, erfolglos geblieben seien. Sie beabsichtigten daher, beim Handelsgericht ein Gerichtsverfahren betreffend Vertragsanfechtung beziehungsweise -rücktritt einzuleiten. Ausserdem stellten A.A._ und B.A._ in Aussicht, (ebenfalls beim Handelsgericht) um vorsorgliche Massnahmen zu ersuchen; konkret würden sie "die Rückübertragung der Verfügungsgewalt über die 'C._'-Fitnesskette" für die Dauer des Prozesses beantragen.
Zur Finanzierung der komplexen und aufwändigen Verfahrensvorbereitungen seien sie - so führten A.A._ und B.A._ aus - aber "zwingend auf die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege" angewiesen. Aus diesem Grund erachteten sie es "als das einzig mögliche Vorgehen", das Gesuch in Anwendung von Art. 119 Abs. 1 ZPO bereits vor Eintritt der Rechtshängigkeit einzureichen.
Sie stellten folgende Rechtsbegehren:
"1. Es sei der Gesuchstellerin 1 und dem Gesuchsteller 2 für das Massnahmeverfahren und das anschliessende ordentliche Gerichtsverfahren gegen B._ [...] im Zusammenhang mit Ansprüchen aus der Übernahme der C._ Fitnesskette die umfassende unentgeltliche Rechtspflege gemäss Art. 118 ZPO (einschliesslich der Anwaltskosten für dieses Gesuch) zu gewähren und in den Personen von Rechtsanwalt Jonas Stüssi und Rechtsanwältin D._, eventualiter Rechtsanwalt Jonas Stüssi, [Adresse] ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen.
2. Eventualiter zu Ziffer 1 sei der Gesuchstellerin 1 und dem Gesuchsteller 2 in diesem Sinne unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, dass sie von der Bezahlung von Gerichtskosten für das Massnahmeverfahren und das Hauptverfahren befreit werden (Art. 118 Abs. 1 lit. b ZPO).
3. Subeventualiter zu Ziff. 1 und 2 sei der Gesuchstellerin 1 und dem Gesuchsteller 2 in diesem Sinne unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, dass sie von der Leistung von Gerichtskostenvorschüssen für das Massnahmeverfahren und das Hauptverfahren befreit werden (Art. 118 Abs. 1 lit. c ZPO)."
Das Handelsgericht trat darauf mit Beschluss vom 18. Juni 2020 mangels sachlicher Zuständigkeit nicht ein. Es erwog, gestützt auf § 128 des Gesetzes des Kantons Zürich vom 10. Mai 2010 über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess (GOG/ZH; LS 211.1) sei das Einzelgericht des in der Hauptsache örtlich zuständigen Bezirksgerichts für die Behandlung des vor Eintritt der Rechtshängigkeit eingereichten Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege zuständig. In einer Eventualbegründung führte es ausserdem aus, dass sich die handelsgerichtliche Zuständigkeit gemäss Art. 5 und 6 ZPO in Verbindung mit §§ 44 und 45 GOG/ZH auf streitige Zivilverfahren beschränke, mithin auf kontradiktorische Verfahren zwischen mindestens 2 Parteien, die auf eine endgültige, dauernde Regelung zivilrechtlicher Verhältnis abzielten. Um ein solches Verfahren gehe es hier "zweifellos" nicht.
B.b. Mit Eingabe vom 24. Juni 2020 reichten A.A._ und B.A._ ihr Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege vor Eintritt der Rechtshängigkeit beim Einzelgericht des Bezirksgerichts Zürich - unter Hinweis auf Art. 63 ZPO - neu ein; noch immer in der Absicht, zu einem späteren Zeitpunkt eine Klage und ein Massnahmebegehren beim Handelsgericht einzureichen.
Mit Urteil vom 10. Juli 2020 differenzierte das Bezirksgericht wie folgt:
Soweit sich das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege auf die Befreiung von Gerichtskosten und Kostenvorschüssen für das anschliessende (beabsichtigte) Hauptverfahren vor dem Handelsgericht beziehe, sei darauf nicht einzutreten, da es hierbei nicht um vorprozessuale Kosten gehe. Das Gesuch um Befreiung von diesen Kosten und Vorschüssen sei mit Einreichung der Klage oder des Massnahmebegehrens beim Handelsgericht (erneut) einzureichen (Dispositiv-Ziffer 1).
Soweit sich das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege auf die Bestellung eines vorprozessualen unentgeltlichen Rechtsbeistands (im Hinblick auf das Verfahren vor Handelsgericht) beziehe, sei es im Grundsatz gutzuheissen. Das Bezirksgericht gewährte A.A._ und B.A._ die unentgeltliche Rechtspflege für jene Aufwendungen, die "im Zusammenhang mit der Vorbereitung der Klage entstehen (einschliesslich der Kosten für das vorliegende Gesuch) ". Es gab Rechtsanwalt Jonas Stüssi per 10. Juni 2020 als unentgeltlichen Rechtsbeistand bei (Dispositiv-Ziffer 2). In zwei Punkten wies es das Gesuch indes ab, nämlich:
-einerseits, soweit A.A._ und B.A._ beantragten hätten, auch Rechtsanwältin D._ als unent geltliche Rechtsbeiständin zu bestellen. Die Notwendigkeit zweier Rechtsbeistände sei - so das Bezirksgericht - "vorliegend nicht erkennbar".
- andererseits, soweit um die Beigabe eines vorprozessualen Rechtsbeistands für die Vorbereitung eines separaten Massnahmegesuchsersucht worden sei. Denn so, wie A.A._ und B.A._ ihr beabsichtigtes Massnahmebegehren darlegten, verlangten sie damit im Ergebnis die Vorwegnahme des Hauptsachenurteils. Das beabsichtigte Massnahmebegehren erscheine daher als von vornherein aussichtslos (Dispositiv-Ziffer 3).
In Dispositiv-Ziffer 4 hielt das Bezirksgericht sodann was folgt fest:
"Das Handelsgericht des Kantons Zürich wird darauf hingewiesen, dass im Falle einer späteren Einreichung der Klage und Stellung eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege beim Handelsgericht und einer allfälligen Gutheissung des Gesuches bei der Bemessung von zu ersetzenden Kosten zur Vermeidung von doppelter Entschädigung ein überschneidender Aufwand für das Verfahren um vorprozessuale unentgeltliche Rechtspflege und für den erstinstanzlichen Prozess (Klageschrift) zu prüfen und zu berücksichtigen sein wird."
B.c. A.A._ und B.A._ fochten das Urteil des Bezirksgerichts mit Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich an. Sie wendeten sich gegen die Dispositiv-Ziffern 2 und 3 und beantragten die unentgeltliche Rechtspflege auch für jene Aufwendungen, die im Zusammenhang mit der Vorbereitung des Massnahmebegehrensentstehen. Ferner sei auch Rechtsanwältin D._ als unent geltliche Rechtsbeiständin zu bestellen.
Das Obergericht wies die Beschwerde mit Beschluss und Urteil vom 20. August 2020 ab. Es nahm eine Motivsubstitution vor und kam gestützt auf eine Auslegung von § 128 GOG/ZH zum Ergebnis, dass das Bezirksgericht "sachlich nicht zuständig" gewesen sei, über die unentgeltliche Rechtspflege "für die mit der Vorbereitung der Klage entstehenden Aufwendungen" und "für das Verfassen des Massnahmebegehrens" zu entscheiden. Denn für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für ein gerichtliches Verfahren müsse "gleichzeitig mit der Klage bzw. dem Massnahmebegehren oder später ein neues Gesuch beim betreffenden Gericht" gestellt werden. A.A._ und B.A._ hätten "zusammen mit der Klage bzw. dem Massnahmebegehren" beim Handelsgericht ein solches Gesuch zu stellen und es sei dann am Handelsgericht, darüber zu entscheiden. Folglich - so das Obergericht weiter - hätte das Bezirksgericht auf das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege insgesamt nicht eintreten dürfen. Soweit es dieses dennoch gutgeheissen habe, sei "in Anwendung der Dispositionsmaxime (Art. 58 Abs. 1 ZPO) darauf nicht von Amtes wegen zurückzukommen". Die Beschwerde sei jedenfalls abzuweisen (Urteil Dispositiv-Ziffer 1). Es bewilligte A.A._ und B.A._ die unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren (Beschluss Dispositiv-Ziffer 1).
C.
A.A._ und B.A._ verlangen mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil der Vorinstanz sei - in den hier interessierenden Punkten - aufzuheben. Sie beantragen die unentgeltliche Rechtspflege zusammengefasst auch für "jene Aufwendungen, die im Zusammenhang mit der Vorbereitung des Massnahmebegehrens" stehen. Eventualiter sei das Verfahren an die Vorinstanz zu neuem Entscheid zurückzuweisen. Sodann sei Rechtsanwältin D._ als (zusätzliche) unentgeltliche Rechtsbeiständin zu bestellen.
Ausserdem ersuchen A.A._ und B.A._ um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Das Obergericht verzichtete auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich nur gegen Entscheide zulässig, die das Verfahren abschliessen (Art. 90 BGG). Gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide, welche nicht die Zuständigkeit oder Ausstandsbegehren betreffen, kann die Beschwerde namentlich dann erhoben werden, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG in Verbindung mit Art. 92 Abs. 1 BGG).
1.2. Im angefochtenen Urteil entschied das Obergericht über ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege, das vor Eintritt der Rechtshängigkeit des Hauptverfahrens gestellt wurde. Sowohl die Beschwerdeführer als auch die Vorinstanz in ihrer Rechtsmittelbelehrung gehen davon aus, dass es sich dabei um einen Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG handelt. Dies trifft nicht zu: Ein Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege hinsichtlich der Gerichts- und Parteikosten eines künftigen Hauptverfahrens ist als selbständig eröffneter Vor- und Zwischenentscheid dieses künftigen Verfahrens und nicht als ein davon unabhängiger Endentscheid zu qualifizieren (Urteile 4A_270/2017, 4A_272/2017 und 4A_274/2017 [im Folgenden: 4A_270/2017] vom 1. September 2017 E. 1.2; 4A_151/2013 vom 3. Juni 2013 E. 2.3; implizit auch Urteile 4A_44/2018 vom 5. März 2018 E. 1.2; 4A_610/2016 vom 16. Januar 2017 E. 1).
Ferner betrifft das angefochtene Urteil genau besehen keine Zuständigkeitsfrage im Sinne von Art. 92 Abs. 1 BGG (so auch Urteil 4A_151/2013 vom 3. Juni 2013 E. 4.1) : Das Obergericht entschied nicht über die Zuständigkeit zur Beurteilung eines vor Eintritt der Rechtshängigkeit gestellten Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege. Es erklärte vielmehr, das Gesuch sei verfrüht eingegeben worden und hätte erst mit oder nach Eintritt der Rechtshängigkeit - frühestens "zusammen mit der Klage bzw. dem Massnahmebegehren" - eingereicht werden dürfen.
Doch drohte den Beschwerdeführern ein nicht wieder gutzumachender Nachteil, wenn sie das vorinstanzliche Urteil, mit dem ihnen die unentgeltliche Rechtspflege (teilweise) verweigert wurde, nicht anfechten könnten (vgl. Urteile 4A_270/2017 vom 1. September 2017 E. 1.3; 4A_610/2016 vom 16. Januar 2017 E. 1; siehe ferner <ref-ruling> E. 4 S. 338; <ref-ruling> E. 1.1; anders als hier die Konstellation im Urteil 4A_151/2013 vom 3. Juni 2013 E. 4.3). Entsprechend handelt es sich um einen Vor- und Zwischenentscheid, der vorliegend gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG anfechtbar ist.
1.3. Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens sind Vor- und Zwischenentscheide mit dem in der Hauptsache zulässigen Rechtsmittel anzufechten (<ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 2.2). In der Hauptsache - der in Aussicht gestellten Klage - geht es um eine Zivilrechtsstreitigkeit mit einem Streitwert von über Fr. 30'000.-- und ist demnach die Beschwerde in Zivilsachen gegeben (siehe Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG).
1.4. Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist einzutreten.
2.
Eine allfällige Befreiung von der Leistung der Sicherheit für die Parteientschädigung (vgl. Art. 118 Abs. 1 lit. a und Art. 119 Abs. 3 Satz 3 ZPO) war nicht Thema des vorinstanzlichen Verfahrens. Entsprechend hielt das Obergericht fest, dass der Gegenseite des in Aussicht gestellten Hauptsachenprozesses keine Parteistellung zukomme. Gleich verhält es sich vor Bundesgericht (Urteile 4A_383/2019 vom 30. März 2020 E. 1; 4A_366/2013 vom 20. Dezember 2013 E. 3), weshalb von dieser keine Vernehmlassung einzuholen war (Art. 102 Abs. 1 BGG).
3.
Die unentgeltliche Rechtspflege ist in der Zivilprozessordnung in den Art. 117 ff. geregelt. Dabei beziehen sich zwei Bestimmungen auf die Zeit vor Verfahrenseinleitung:
3.1. Art. 118 ZPO betrifft den Umfang der unentgeltlichen Rechtspflege. Gemäss Art. 118 Abs. 1 lit. c Teilsatz 2 ZPO umfasst diese bei gegebenen Voraussetzungen unter anderem die gerichtliche Bestellung einer Rechtsbeiständin oder eines Rechtsbeistands "bereits zur Vorbereitung des Prozesses" ("déjà [...] pour la préparation du procès"; "già per la preparazione del processo").
Welche Aufwendungen davon im Einzelnen umfasst sind, scheint in der Doktrin noch wenig geklärt (siehe etwa DANIEL WUFFLI, Die unentgeltliche Rechtspflege in der Schweizerischen Zivilprozessordnung, 2015, S. 203-205 Rz. 484-488). Es wird dafür gehalten, dass damit jedenfalls nur jene Vorbereitungsarbeiten gemeint seien, die von der unentgeltlichen Rechtspflege, die erst das Prozessgericht bewilligen würde, nicht erfasst wären (FRANK EMMEL, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger [Hrsg.], 3. Aufl. 2016, N. 12 zu Art. 118 ZPO; LUKAS HUBER, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Kommentar, Brunner/Gasser/Schwander [Hrsg.], Bd. I, 2. Aufl. 2016, N. 14 zu Art. 118 ZPO).
Ausweislich der Botschaft zielt diese Bestimmung "vor allem" auf die Erarbeitung einer Scheidungskonvention für die Scheidung auf gemeinsames Begehren (Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [nachfolgend: Botschaft ZPO], BBl 2006 7302 zu Art. 116 E-ZPO; so auch schon der Bericht der Expertenkommission zum Vorentwurf vom Juni 2003 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [nachfolgend: Vorentwurf], S. 61 zu Art. 106 VE-ZPO). In der Lehre werden - in Anlehnung an ein Votum von Kommissionssprecher Bonhôte (AB S 2007, 513) - ferner erwähnt: Abklärung der Prozessaussichten, Klärung der Tatsachen und Beweismittel, Sammlung und Bewertung der Dokumentation (ALFRED BÜHLER, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. I, 2012, N. 84 f. und 87 zu Art. 118 ZPO; EMMEL, a.a.O., N. 12 zu Art. 118 ZPO; DENIS TAPPY, in: Commentaire romand, Code de procédure civile, 2. Aufl. 2019, N. 22 zu Art. 118 ZPO). Zu beachten ist, dass in einem Verfahren der vorsorglichen Beweisführung zwecks Abklärung der Prozessaussichten nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung kein Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege besteht (<ref-ruling> E. 3.3 und 3.4; bestätigt in <ref-ruling> E. 3 und 4).
3.2.
3.2.1. Art. 119 Abs. 1 ZPO beschlägt dagegen den Zeitpunkt, ab dem ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege eingegeben werden kann. Dies ist (auch) deshalb von Bedeutung, weil die unentgeltliche Rechtspflege im Grundsatz nicht rückwirkend zu bewilligen ist (vgl. Art. 119 Abs. 4 ZPO e contrario). Immerhin sind nach der Rechtsprechung jeweils auch die anwaltschaftlichen Bemühungen im Zusammenhang mit einer Rechtsschrift - namentlich einer Klageschrift - eingeschlossen, die gleichzeitig mit dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege eingereicht wird (<ref-ruling> E. 2c).
3.2.2. Nach dem klaren Gesetzeswortlaut kann ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege "vor oder nach Eintritt der Rechtshängigkeit" gestellt werden ("avant ou pendant la litispendance"; "prima o durante la pendenza della causa"). Es steht einem Ansprecher damit offen, das Gesuch - das sich auf alle Posten gemäss Art. 118 Abs. 1 lit. a-c ZPO beziehen kann - vorprozessual einzureichen, noch bevor er das Verfahren in der Sache durch Schlichtungsgesuch oder Klageerhebung rechtshängig gemacht hat.
Dies hat bereits der Vorentwurf so vorgesehen (Art. 108 Abs. 3 VE-ZPO). Mehrere Vernehmlassungsteilnehmer haben sich an diesem Vorschlag gestört, namentlich unter Hinweis darauf, (i) dass diese Lösung "keinen Sinn" ergebe, (ii) dass sie "unpraktikabel" sei und (iii) dass "unklar" sei, "wie ein Gesuch zur Erlangung der unentgeltlichen Prozessführung bereits vor Rechtshängigkeit" zu stellen sei, "wo" ein solches Gesuch deponiert werden müsse und "wer wann" darüber entscheide (Zusammenstellung der Vernehmlassungen zum Vorentwurf für ein Bundesgesetz über die Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO] von 2004, S. 321-323). Der Bundesrat hat im Entwurf in Kenntnis dieser Kritik an der Möglichkeit festgehalten, das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege bereits vor Eintritt der Rechtshängigkeit zu stellen (Art. 117 Abs. 1 E-ZPO), und sie ist denn auch Gesetz geworden.
Im Übrigen war es bereits vor Inkrafttreten der eidgenössischen Zivilprozessordnung in verschiedenen Deutsch- und Westschweizer Kantonen - wenn auch nicht in allen - möglich, ein Begehren um unentgeltliche Rechtspflege vor Prozesseinleitung einzureichen. Im Gesuch waren der Anspruch, den der Gesuchsteller einzuklagen gedachte, sowie der Sachverhalt, auf den er sich stützte, kurz darzustellen (siehe ALFRED BÜHLER, in: Kommentar zur Aargauischen Zivilprozessordnung, Bühler/Edelmann/Killer [Hrsg.], 1998, N. 1 zu § 128 ZPO/AG; STUDER/RÜEGG/EIHOLZER, Der Luzerner Zivilprozess, 1994, N. 2 zu § 132 ZPO/LU).
3.2.3. Im Urteil 4A_270/2017 vom 1. September 2017 hatte das Bundesgericht Gelegenheit, sich zu den materiellen Anforderungen zu äussern, die ein solches vorprozessual eingereichtes Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu erfüllen hat. Es erwog insbesondere, dass sich die Ausführungen zur "Sache" und zu den "Beweismitteln" naturgemäss nicht aus einer gleichzeitig eingereichten Rechtsschrift ergäben. Deshalb habe sich der Gesuchsteller dazu in seinem Gesuch zu äussern, damit das Gericht die Erfolgsaussichten der in Aussicht gestellten Klage im Summarverfahren über die unentgeltliche Rechtspflege beurteilen könne (E. 4.2; sich dieser Rechtsprechung anschliessend: JEAN-LUC COLOMBINI, in: CPC, Code de procédure civile, Chabloz/Dietschy-Martenet/Heinzmann [Hrsg.], 2020, N. 3 zu Art. 119 ZPO).
Darin zeigt sich denn auch der Vorteil, den der Kläger hat, wenn er das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege vor Eintritt der Rechtshängigkeit eingibt: Er kann sich darauf beschränken, die fehlende Aussichtslosigkeit glaubhaft zu machen, ohne bereits eine - allenfalls mit erheblichen Kosten verbundene - vollständige Klageschrift nach Art. 221 ZPO erstatten zu müssen (vgl. Urteil 4A_270/2017 vom 1. September 2017 E. 4.2; siehe auch EMMEL, a.a.O., N. 2 zu Art. 119 ZPO). Dem Kläger - und mit ihm: seinem Rechtsvertreter - wird es damit erlaubt, sich früh Klarheit über das finanzielle Verfahrensrisiko zu verschaffen. Dies hat denn auch schon die Vorinstanz - indes eine andere Kammer - in einem früheren Urteil erkannt (Beschluss und Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich RU170071 vom 20. Dezember 2017 E. 3.3.3). Ein solches Vorgehen kann auch für den Beklagten von Nutzen sein: Verzichtet der Kläger zufolge Abweisung des vorgängig gestellten Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege auf die Einreichung einer Klage, erübrigt sich in jedem Fall die Ausarbeitung einer Klageantwort, deren Kosten der Beklagte möglicherweise nicht vom Kläger erhältlich machen könnte.
3.2.4. Zur Frage, welches Gericht zur Beurteilung eines vorprozessual gestellten Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege sachlich zuständig ist, enthält die Zivilprozessordnung keine ausdrückliche Regel. In der Botschaft wird ausgeführt, dass sich der Gerichtsstand bei vor Eintritt der Rechtshängigkeit eingereichten Gesuchen "nach dem Forum der Hauptsache" bestimme (Botschaft ZPO, BBl 2006 7303 zu Art. 117 E-ZPO). Mit Blick auf die Kompetenz der Kantone, die sachliche Zuständigkeit der Gerichte zu regeln (Art. 4 Abs. 1 ZPO), kann dies indes nur gelten, wenn der betreffende Kanton keine besondere Vorschrift erlassen hat (Urteil 5A_710/2016 vom 2. März 2017 E. 4.2; BÜHLER, a.a.O., N. 14 f. zu Art. 119 ZPO; HUBER, a.a.O., N. 17 zu Art. 119 ZPO; RÜEGG/RÜEGG, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 2a zu Art. 119 ZPO; TAPPY, a.a.O., N. 12 zu Art. 119 ZPO). Es ist namentlich zulässig, dass ein Kanton den Entscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege einem anderen Gericht überlässt als jenem, das in der Sache zu entscheiden hat (vgl. etwa Urteil 5A_1007/2018 vom 26. Juni 2019 E. 3.3).
§ 128 GOG/ZH hält unter der Marginalie "Unentgeltliche Rechtspflege vor Klageeinreichung" fest:
"Das Einzelgericht des in der Hauptsache örtlich zuständigen Bezirksgerichts entscheidet über Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege vor Einreichung der Klage beim Gericht."
4.
4.1. Die Beschwerdeführer rügen eine Verletzung von Art. 119 Abs. 1 ZPO sowie eine verfassungswidrige Anwendung von § 128 GOG/ZH.
4.2. Das Obergericht schritt zu einer Auslegung von § 128 GOG/ZH und gelangte (namentlich gestützt auf historische Überlegungen) zum Ergebnis, dass sich diese Bestimmung einzig auf die Zuständigkeit zur Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege "für das Schlichtungsverfahren" beziehe. Für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege "für ein gerichtliches Verfahren" müsse dagegen - so die Vorinstanz weiter - "gleichzeitig mit der Klage bzw. dem Massnahmebegehren oder später" ein Gesuch "beim betreffenden Gericht" gestellt werden, "um nicht bereits vorgängig in das gerichtliche Verfahren einzugreifen". Die Ausarbeitung des Massnahmebegehrens, um das es vorliegend gehe, stelle bereits einen Aufwand "im gerichtlichen Verfahren" dar und sei von einem "zusammen mit der Klage bzw. dem Massnahmebegehren" beim Handelsgericht einzureichenden Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mitumfasst (siehe auch Sachverhalt Bst. B.c).
4.3. Diese Auffassung lässt sich nicht mit Bundesrecht in Einklang bringen. Die Vorinstanz scheint aus dem Umstand, dass die unentgeltliche Rechtspflege im vorliegenden Fall nicht "zur Vorbereitung des Prozesses" im engeren Sinne (Erwägung 3.1), sondern bereits für prozessuale Handlungen ("Ausarbeitung des Massnahmebegehrens") beantragt wird, zu schliessen, dass das Gesuch erst zusammen mit der entsprechenden Rechtsschrift in der Sache (in casu der Klageschrift beziehungsweise dem Massnahmegesuch) eingereicht werden kann. Das ist nicht richtig. Die Vorinstanz vermengt Art. 118 Abs. 1 lit. c und Art. 119 Abs. 1 ZPO; sie übergeht, dass das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nach der insoweit klaren Rechtslage (Erwägung 3.2) bereits vor Eintritt der Rechtshängigkeit und nicht erst "gleichzeitig mit der Klage bzw. dem Massnahmebegehren oder später" gestellt werden kann, unabhängig davon, auf welche Leistungen im Sinne von Art. 118 Abs. 1 lit. a-c ZPO es sich bezieht. Indem das Obergericht die Beschwerdeführer darauf verweist, ihr Gesuch zusammen mit der (die Rechtshängigkeit auslösenden) Rechtsschrift einzureichen, nimmt sie ihnen das in Art. 119 Abs. 1 ZPO vorgesehene Recht, das Gesuch bereits vor Eintritt der Rechtshängigkeit einzugeben und beurteilen zu lassen.
4.4. Die Vorinstanz scheint sich in ihrer Rechtsprechung (siehe die kantonalen Urteile, die in Erwägung 4.2 des angefochtenen Entscheids zitiert werden) an der Rechtslage unter der Zürcher ZPO zu orientieren (Zivilprozessordnung vom 13. Juni 1976, LS 271). Deren § 88 erlaubte es, das Gesuch um unentgeltliche Rechtsvertretung bereits "vor Prozessbeginn" zu stellen, beschränkte die Dauer der so bestellten Rechtsvertretung aber ausdrücklich "bis zum Eintritt der Rechtshängigkeit". Entsprechend konnten unter diesem Titel offenbar einzig vorprozessuale Aufwendungen bewilligt werden, wohingegen für das Prozessverfahren mit oder nach Rechtshängigkeit beim Prozessgericht ein (neues) Gesuch zu stellen war (vgl. FRANK/STRÄULI/MESSMER, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 1997, N. 1 zu § 88 ZPO/ZH mit Hinweis). Diese Regel gilt unter der eidgenössischen Zivilprozessordnung nicht mehr.
Daran ändert auch die Vorschrift in Art. 119 Abs. 5 ZPO nichts, auf die sich das Obergericht beruft. Diese Bestimmung bezieht sich auf das Rechtsmittelverfahren und hebt nicht die in Art. 119 Abs. 1 ZPO eingeräumte Möglichkeit auf, in einem vorgängigen Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege hinsichtlich der Gerichts- und Parteikosten eines künftigen erstinstanzlichen (Haupt-) Verfahrens zu beantragen.
4.5. Die vorinstanzliche Rechtsauffassung, ein im Hinblick auf ein gerichtliches Verfahren gestelltes Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege könne erst zusammen mit der Klage (beziehungsweise dem Massnahmebegehren) eingereicht werden, erweist sich als bundesrechtswidrig.
Die Frage, welches Gericht für das vorliegende, zulässigerweise vor Eintritt der Rechtshängigkeit eingegebene Gesuch sachlich zuständig ist, hat die Vorinstanz nicht beantwortet. Die Angelegenheit ist daher in Anwendung von Art. 107 Abs. 2 Satz 1 BGG an das Obergericht zurückzuweisen. Dieses hat zu prüfen, ob es angesichts der vorstehenden Ausführungen an seinem Standpunkt festhält, wonach § 128 GOG/ZH einzig "für das Schlichtungsverfahren" anwendbar ist. Sollte es dies - entgegen dem Wortlaut dieser Bestimmung und anders als das Handelsgericht - weiterhin bejahen und damit das Handelsgericht für das vor Eintritt der Rechtshängigkeit gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für zuständig erachten, läge ein negativer Kompetenzkonflikt vor. Dem ist mit Blick auf die verfassungsrechtlichen Verfahrensgarantien (Art. 29 f. BV) Rechnung zu tragen (vgl. auch <ref-ruling> E. 6 S. 482).
4.6. Dem Hauptbegehren der Beschwerdeführer, über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für die Ausarbeitung des Massnahmebegehrens inhaltlich (reformatorisch) zu entscheiden, könnte im Übrigen im bundesgerichtlichen Verfahren auch deshalb nicht stattgegeben werden, weil sich die Vorinstanz zu den Anspruchsvoraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege (Art. 117 ZPO; insbesondere zu den Erfolgsaussichten) nicht geäussert und keine Feststellungen getroffen hat. Es ist in diesem Zusammenhang daran zu erinnern, dass das Bundesgericht nur mit Zurückhaltung in die prognostische Beurteilung der Erfolgsaussichten durch das kantonale Sachgericht eingreift. Dies gilt im Besonderen bei Gesuchen um unentgeltliche Rechtspflege, die vor der Rechtshängigkeit der Hauptsache eingereicht werden. Denn es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, dem Gesuchsteller vor Anhängigmachung eines Verfahrens eine höchstrichterliche Abschätzung der Prozesschancen seiner Klage zu liefern (Urteil 4A_270/2017 vom 1. September 2017 E. 4.4 am Ende).
5.
5.1. Die Beschwerdeführer stellten im kantonalen Verfahren den Antrag, Rechtsanwältin D._ als zweite unentgeltliche Rechtsbeiständin (zur Vorbereitung sowohl der Klage als auch des Massnahmebegehrens) zu bestellen. Die Vorinstanz erwog, dass die Beschwerde auch insoweit mangels "Zuständigkeit" des Bezirksgerichts abzuweisen sei. Genau genommen entschied das Obergericht - auch hier - nicht über die Zuständigkeit zur Bewilligung eines vor Eintritt der Rechtshängigkeit eingegebenen Gesuchs um (zweifache) unentgeltliche Rechtsverbeiständung; vielmehr ging es davon aus, dass das Gesuch deshalb unzulässig sei, weil die Beschwerdeführer es verfrüht eingereicht hätten. Diese Rechtsauffassung trägt nach dem Gesagten nicht (Erwägungen 3.2 und 4.3 f.).
5.2. Das Obergericht führte im Sinne einer Eventualbegründung indes zusätzlich aus, dass diesem Begehren "auch inhaltlich" nicht stattzugeben sei. Das Gesetz sehe nur die Beigabe "eines" Rechtsvertreters vor. Davon könne einzig "in absoluten Ausnahmefällen in hoch komplexen Verfahren und bei der Notwendigkeit der Bestellung mehrerer unterschiedlich qualifizierter Rechtsanwälte" abgewichen werden, "wenn auch die Gegenseite durch mehrere hoch spezialisierte Anwälte" vertreten sei. Ein solcher Spezialfall liege hier nicht vor. Alleine die "anfallende Arbeitslast" und die "anderweitige Auslastung" von Rechtsanwalt Jonas Stüssi rechtfertige die Beigabe zweier Rechtsbeistände nicht. Es werde nicht geltend gemacht, dass die Rechtsanwälte Jonas Stüssi und D._ verschiedene Spezialisierungen aufwiesen. Ferner sei zumindest im jetzigen Zeitpunkt nicht erkennbar, dass sich die Gegenseite durch mehrere spezialisierte Anwälte vertreten lasse.
5.3. Die Beschwerdeführer monieren eine Verletzung von Art. 118 Abs. 1 lit. c ZPO, Art. 9 sowie Art. 29 Abs. 1 und Abs. 2 BV. Wohl spreche Art. 118 Abs. 1 lit. c ZPO von der Bestellung "eines" Rechtsbeistands. Dies sei indes nicht als Zahlwort zu verstehen und schliesse nicht aus, dass "allenfalls auch zwei oder mehr" unentgeltliche Rechtsvertreter eingesetzt werden könnten. Sie (die Beschwerdeführer) hätten erstinstanzlich dargelegt, dass die vorliegende Auseinandersetzung "in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht äusserst komplex" sei und "das Volumen dieser Streitigkeit" es "schlicht" nicht zulasse, dass dieser Fall nur von einem Anwalt betreut werde, zumal angesichts dessen "Dringlichkeit".
Ausserdem - so tragen die Beschwerdeführer weiter vor - argumentiere das Obergericht widersprüchlich: Es stelle einerseits entscheidend darauf ab, dass im Gesetz von "einem" Rechtsbeistand die Rede sei, lasse andererseits aber in Ausnahmefällen die Bestellung zweier Rechtsbeistände zu. Ferner toleriere die Lehre und das Bundesgericht die Substituierung des mit der unentgeltlichen Rechtspflege betrauten Anwalts durch einen anderen Anwalt und gar durch einen "Rechtspraktikanten". Wenn die Substituierung möglich sei, müsse "a minore ad maius" auch die "formelle Einsetzung eines Zweitanwalts" zulässig sein. Schliesslich sei die Rechtsweggarantie und der Anspruch auf rechtliches Gehör tangiert, wenn in Fällen, "welche vom Umfang her unmöglich von einem einzelnen Anwalt bewältigt werden" könnten, nur ein unentgeltlicher Rechtsbeistand eingesetzt werde.
5.4. Gemäss Art. 29 Abs. 3 BV und Art. 118 Abs. 1 lit. c Teilsatz 1 ZPO umfasst die unentgeltliche Rechtspflege die gerichtliche Bestellung einer Rechtsbeiständin oder eines Rechtsbeistandes, wenn dies zur Wahrung der Rechte notwendig ist ("lorsque la défense des droits du requérant l'exige"; "se necessario per tutelare i diritti dell'interessato"). Der Beizug eines vom Staat entschädigten Rechtsvertreters steht damit nicht im Belieben der betreffenden Partei. Dies ist bereits im Gesetzgebungsverfahren durch die Formulierung zum Ausdruck gebracht worden, die anwaltliche Vertretung müsse "wirklich geboten" sein (Botschaft ZPO, BBl 2006 7302 zu Art. 116 E-ZPO). Kriterien sind etwa die Tragweite der Angelegenheit für die betroffene Person, die tatsächliche und rechtliche Schwierigkeit des Falls oder das Postulationsvermögen und die Sachkunde des Gesuchstellers (siehe etwa <ref-ruling> E. 2.2; Urteil 4A_301/2020 vom 6. August 2020 E. 3.1 mit weiteren Hinweisen). Eine massgebliche Rolle spielt ferner, ob die Gegenpartei anwaltlich vertreten ist (so ausdrücklich Art. 118 Abs. 2 lit. c ZPO). Selbst wenn auf der Gegenseite mit einem Anwalt prozessiert wird, besteht aber kein Automatismus, sondern ist auf Grund der gesamten Umstände zu entscheiden, ob eine unentgeltliche Rechtsverbeiständung zur Herstellung der Waffengleichheit notwendig ist (Urteil 4A_301/2020 vom 6. August 2020 E. 3.1 mit weiteren Hinweisen).
Folglich steht es den Parteien in einem Zivilverfahren auch nicht frei, sich nach eigenem Gutdünken mehrere Rechtsvertreter als Rechtsbeistände nach Art. 118 Abs. 1 lit. c ZPO gerichtlich beigeben zu lassen. Massstab bildet - entsprechend den dargelegten Grundsätzen - die Notwendigkeit (mehrfacher) anwaltlicher Vertretung. Mit Blick darauf ist im Schrifttum vertreten worden, es sei selbst in sehr komplexen Verfahren "kaum denkbar", dass sich die Bestellung mehrerer Rechtsbeistände als (in diesem Sinne) geboten erweise (so BÜHLER, a.a.O., N. 53 zu Art. 118 ZPO; WUFFLI, a.a.O., S. 177 Rz. 422; ebenfalls zurückhaltend auch [noch für die Aargauer ZPO] BEAT RIES, Die unentgeltliche Rechtspflege nach der aargauischen Zivilprozessordnung vom 18. Dezember 1984, 1990, S. 219 f.; generell ablehnend auch COLOMBINI, a.a.O., N. 28 zu Art. 118 ZPO). Die Erwägungen des Obergerichts sind jedenfalls insoweit nicht zu beanstanden, als es die gerichtliche Beigabe einer zweiten Rechtsbeiständin streng davon abhängig machte, ob diese für eine wirksame Vertretung notwendig ist. Auch unter Berücksichtigung der Argumente der Beschwerdeführer scheint der verfassungsmässig und gesetzlich garantierte Anspruch auf effektiven Rechtsschutz durch die gerichtliche Bestellung eines einzigen Rechtsbeistands im vorliegenden Fall gewahrt.
5.5. Zusammengefasst ist der Vorinstanz keine Bundesrechtsverletzung vorzuwerfen, wenn sie Rechtsanwältin D._ nicht als (zusätzliche) unentgeltliche Rechtsbeiständin bestellt hat. Die Beschwerde ist in diesem Punkt unbegründet.
6.
Die Beschwerde ist teilweise gutzuheissen. Das angefochtene Urteil ist insoweit aufzuheben, als es sich auf die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege "im Zusammenhang mit der Vorbereitung des Massnahmebegehrens" bezieht. Die Sache ist in diesem Punkt zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese wird auch über die Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens neu zu befinden haben.
Die Beschwerdeführer obsiegen damit teilweise. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend rechtfertigt es sich, ihnen Gerichtskosten in Höhe von Fr. 500.-- aufzuerlegen (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG). Allerdings ersuchen sie (auch) für das bundesgerichtliche Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Ihre Bedürftigkeit ist erstellt, und ihr Standpunkt kann - auch hinsichtlich des Begehrens um gerichtliche Bestellung einer zweiten Rechtsbeiständin - nicht als von vornherein aussichtslos bezeichnet werden. Das Gesuch der Beschwerdeführer ist daher gutzuheissen und sie sind vorläufig von der Bezahlung der Gerichtskosten zu befreien (vgl. Art. 64 Abs. 1 BGG). Ausserdem ist ihnen Rechtsanwalt Jonas Stüssi als unentgeltlicher Rechtsbeistand beizugeben (vgl. Art. 64 Abs. 2 Satz 1 BGG).
Dem Kanton Zürich werden keine Kosten auferlegt (vgl. Art. 66 Abs. 4 BGG). Hingegen hat er den Beschwerdeführern für das bundesgerichtliche Verfahren eine - reduzierte - Parteientschädigung auszurichten (vgl. Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Für den damit nicht gedeckten Anteil der anwaltlichen Vertretungskosten wird dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführer eine Entschädigung aus der Gerichtskasse ausgerichtet (vgl. Art. 64 Abs. 2 Satz 2 BGG).
Die Beschwerdeführer werden darauf hingewiesen, dass sie der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten haben, falls sie dazu später in der Lage sind (Art. 64 Abs. 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 20. August 2020 wird insoweit aufgehoben, als es sich auf die unentgeltliche Rechtspflege im Zusammenhang mit der Vorbereitung des Massnahmebegehrens bezieht. Die Sache wird zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird ihnen Rechtsanwalt Jonas Stüssi als Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Den Beschwerdeführern werden Gerichtskosten von Fr. 500.-- auferlegt, die indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen werden.
4.
Der Kanton Zürich hat die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
5.
Der Vertreter der Beschwerdeführer, Rechtsanwalt Jonas Stüssi wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 500.-- entschädigt.
6.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Januar 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Stähle