Sachverhalt:
A.
A.a. Die türkische Staatsangehörige A._ (geb. 1982) reiste am 24. Mai 1996 in die Schweiz ein und wurde zunächst vorläufig aufgenommen. Nach einer von 2001 bis 2005 dauernden ersten Ehe wurde ihr im Nachgang zu einer am 4. Juni 2008 erfolgten zweiten Heirat am 3. Oktober 2008 eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib beim Ehegatten erteilt. Aus der Ehe gingen die beiden Söhne B._ (geb. 2009) und C._ (geb. 2010) hervor. Beide Söhne besitzen eine Niederlassungsbewilligung. Per 29. Oktober 2010 trennte sich A._ von ihrem zweiten Ehegatten, worauf sie gestützt auf <ref-law> eine Aufenthaltsbewilligung erhielt. Die Ehe wurde am 1. September 2016 rechtskräftig geschieden. Die Kinder wurden unter der gemeinsamen elterlichen Sorge belassen, wobei A._ die alleinige Obhut zukommt.
A.b. A._ bezieht seit November 2010 Sozialhilfeleistungen. Die bezogenen Leistungen beliefen sich per April 2019 auf Fr. 683'539.50. Am 17. April 2012 sowie am 11. September 2015 wurde A._ ermahnt und am 13. August 2013 ausländerrechtlich verwarnt.
B.
Am 9. Mai 2017 ersuchte A._ um Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung. Das entsprechende Gesuch wies das Migrationsamt des Kantons Zürich mit Verfügung vom 9. April 2018 ab. Die hiergegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich vom 27. Mai 2019 und Urteil des Verwaltungsgericht des Kantons Zürich vom 4. Dezember 2019).
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 3. Februar 2020 gelangt A._ an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des Urteils der Vorinstanz. Ihr sei die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Ausserdem sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen und es sei ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
Mit Präsidialverfügung vom 5. Februar 2020 wurde der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt. Der Abteilungspräsident zog als Instruktionsrichter die kantonalen Vorakten bei und lud die Vorinstanzen sowie das Staatssekretariat für Migration zur Vernehmlassung ein. Die kantonalen Vorinstanzen sowie das Staatssekretariat für Migration haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>). In prozessualer Hinsicht genügt es, wenn ein Bewilligungsanspruch mit vertretbaren Gründen behauptet wird (<ref-ruling> E. 1.1 S. 332). Die Beschwerdeführerin beruft sich vorliegend in vertretbarer Weise auf einen Bewilligungsanspruch gemäss <ref-law> (SR 142.20; bis zum 31. Dezember 2018: AuG) sowie <ref-law> und Art. 8 EMRK. Da die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen zu keinen Bemerkungen Anlass geben, ist auf die Beschwerde einzutreten (Art. 42, Art. 82 lit. a i.V.m. Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG).
2.
2.1. Das Bundesgericht prüft das Bundesrecht von Amtes wegen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 231). In Bezug auf verfassungsmässige Individualrechte (einschliesslich der Grundrechte) gilt eine qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.1 S. 41). Das Bundesgericht ist im Übrigen an den Sachverhalt gebunden, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig ermittelt, was von der beschwerdeführenden Person in Auseinandersetzung mit den Ausführungen im angefochtenen Entscheid verfassungsbezogen aufzuzeigen ist (Art. 105 Abs. 2, <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.). Zur Sachverhaltsfeststellung gehört auch die Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 3 S. 112; Urteil 2C_730/2018 vom 20. März 2019 E. 2.1).
2.2. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>), was in der Beschwerde näher darzulegen ist. Der vorinstanzliche Verfahrensausgang allein bildet noch keinen hinreichenden Anlass im Sinne von <ref-law> für die Zulässigkeit von unechten Noven, die bereits im kantonalen Verfahren ohne Weiteres hätten vorgebracht werden können. Das Vorbringen von Tatsachen, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid ereigneten oder entstanden (echte Noven), ist vor Bundesgericht unzulässig (zum Ganzen <ref-ruling> E. 1.2 S. 22 f.).
Die Beschwerdeführerin hat vor Bundesgericht eine Stellungnahme der Beiständin ihrer Söhne mit Datum vom 23. Januar 2020 eingereicht. Vor dem Hintergrund, dass die Stellungnahme erst nach dem angefochtenen Urteil entstand und die Berücksichtigung der Kindesin-teressen darüber hinaus bereits für den Ausgang sämtlicher kantonalen Verfahren zentral gewesen wären, stellt die eingereichte Stellungnahme ein unzulässiges Novum dar.
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin hat gestützt auf <ref-law> grundsätzlich einen Anspruch auf Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung. Aufgrund der Tatsache, dass sie sich seit 24 Jahren rechtmässig in der Schweiz aufhält, ergibt sich ein entsprechender Anspruch auch aus dem Recht auf Achtung des Privatlebens gemäss Art. 8 EMRK (<ref-ruling> E. 3.9 S. 277 ff.). Die Verlängerung einer Aufenthaltsbewilligung steht jedoch unter dem Vorbehalt, dass keine Widerrufsgründe vorliegen (<ref-law>; <ref-law>). Sie kann u.a. dann widerrufen bzw. die Verlängerung kann verweigert werden, wenn die ausländische Person oder eine Person, für die sie zu sorgen hat, auf Sozialhilfe angewiesen ist (<ref-law>). Gemäss den für das Bundesgericht verbindlichen und unbestrittenen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz (<ref-law>; vorne E. 2.1) bezieht die Beschwerdeführerin seit November 2010 ununterbrochen Sozialhilfeleistungen. Die bezogenen Leistungen beliefen sich per April 2019 auf Fr. 683'539.50. Dass aufgrund dieser hohen Summe sowie der langen Bezugsdauer der Widerrufsgrund von <ref-law> erfüllt ist, anerkennt die Beschwerdeführerin (zum Widerrufsgrund von <ref-law> vgl. Urteile 2C_83/2018 vom 1. Februar 2019 E. 3.1; 2C_13/2018 vom 16. November 2018 E. 3.2; 2C_775/2017 vom 28. März 2018 E. 3.1). In Frage gestellt wird in der Beschwerde hingegen die vorinstanzliche Annahme, die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung sei verhältnismässig.
3.2. Liegt ein Widerrufsgrund vor, ist landes- wie konventionsrechtlich zu prüfen, ob die damit verbundene aufenthaltsbeendende Massnahme verhältnismässig ist (<ref-law>; <ref-law>; Art. 8 Ziff. 2 EMRK), was eine Interessenabwägung zwischen dem in <ref-law> positivrechtlich verankerten öffentlichen Fernhalteinteressen und dem gegenüberstehenden privaten Interesse der Beschwerdeführerin an einem weiteren Verbleib in der Schweiz erfordert. Landes- wie konventionsrechtlich ist dabei namentlich die Schwere des Verschuldens an der Sozialhilfeabhängigkeit, der Grad der Integration und die Dauer der bisherigen Anwesenheit sowie die der betroffenen Person und ihrer Familie drohenden Nachteile zu berücksichtigen. Zu beachten ist auch die Qualität der sozialen, kulturellen und familiären Beziehungen sowohl im Gast- als auch im Heimatland (Urteile 2C_709/2019 vom 17. Januar 2020 E. 4; 2C_13/2018 vom 16. November 2018 E. 3.3; 2C_775/2017 vom 28. März 2018 E. 3.2). Die Gründe, warum eine Person sozialhilfeabhängig wurde, müssen jeweils in diese Beurteilung miteinbezogen werden. Ob und gegebenenfalls inwieweit die betroffene Person ein Verschulden an der Sozialhilfebedürftigkeit trifft, bildet daher nicht eine Frage der Erfüllung des Widerrufsgrunds, sondern eine der Verhältnismässigkeitsprüfung (vgl. Urteile 2C_709/2019 vom 17. Januar 2020 E. 4; 2C_13/2018 vom 16. November 2018 E. 3.2; 2C_1058/2013 vom 11. September 2014 E. 2.5).
3.3. Zu gewichten ist zunächst das öffentliche Fernhalteinteresse. Diesbezüglich ist festzuhalten, dass der von der Beschwerdeführerin bis anhin bezogene Sozialhilfebetrag im Umfang von Fr. 683'539.50 im Lichte der Rechtsprechung als erheblich einzustufen ist (Urteile 2C_706/2019 vom 17. Januar 2020 E. 6.1.1; 2C_23/2018 vom 11. März 2019 E. 4.2.1). Erschwerend hinzu kommt, dass der Bezug von Unterstützungsleistungen schon seit November 2010 anhält und die Beschwerdeführerin selber eingesteht, dass sie selbst bei der vollen Ausschöpfung des ihr zumutbaren Arbeitspotentials mit gleichzeitiger finanzieller Unterstützung durch ihren Bruder noch immer auf die Leistungen der Sozialhilfe angewiesen wäre. Vor diesem Hintergrund besteht die konkrete Gefahr einer fortgesetzten Abhängigkeit der Beschwerdeführerin von der Sozialhilfe bzw. von Personen, für die sie zu sorgen hat. Die Vorinstanz ist deshalb im Grundsatz zu Recht von einem erheblichen öffentlichen Interesse an der aufenthaltsbeendenen Massnahme ausgegangen (E. 5.1 des angefochtenen Entscheids).
3.4. Dem öffentlichen Fernhalteinteresse sind die gegenläufigen privaten Interessen der Beschwerdeführerin gegenüberzustellen, wobei namentlich auch zu prüfen ist, ob und gegebenenfalls inwieweit die Beschwerdeführerin ein Verschulden an der Sozialhilfebedürftigkeit trifft (vorne E. 3.2)
3.4.1. Die Vorinstanz hat in tatsächlicher Hinsicht für das Bundesgericht verbindlich festgestellt, dass bei der Beschwerdeführerin eine rezidivierende Depression mittelschweren Ausmasses (mit somatischen Symptomen) bzw. eine Anpassungsstörung mit längerer depressiver Reaktion diagnostiziert wurde (E. 4.3.3 des angefochtenen Entscheids). Als Ursache der psychischen Beeinträchtigung wird im angefochtenen Urteil auf die traumatischen Erlebnisse verwiesen, die der Beschwerdeführerin widerfahren seien. So sei sie gemäss den Erwägungen der Vorinstanz in einem konfliktreichen familiären Umfeld aufgewachsen. Als Jugendliche sei sie zudem sexuell missbraucht worden. Darüber hinaus sei sie im Jahr 2001 in erster Ehe mit einem Cousin zwangsverheiratet worden und sei in zweiter Ehe Opfer häuslicher Gewalt geworden. Ferner habe sie im Juni 2005 einen Suizidversuch begangen, woraufhin sie für fünf Monate wegen einer schweren depressiven Episode stationär behandelt worden sei. Vor diesem Hintergrund ist unter den Parteien unbestritten, dass die psychische Gesundheit der Beschwerdeführerin beeinträchtigt ist (E. 4.3.3 des angefochtenen Entscheid). Die Vorinstanz verweist jedoch darauf, dass die diagnostizierten psychischen Beeinträchtigungen gemäss einem zuhanden der Invalidenversicherung (nachfolgend IV) erstellten psychiatrischen Gutachten aus sozialversicherungsrechtlicher Sicht keine die Arbeitsfähigkeit beeinträchtigenden Leiden darstellen, auch wenn der die Beschwerdeführerin aktuell behandelnde Arzt für die Jahre 2015 - 2017 von einer Arbeitsunfähigkeit von 100% ausgegangen sei und ihr ehemaliger Arzt im Jahr 2013 eine Arbeitsunfähigkeit von 50% angenommen habe (zum Ganzen E. 4.3.3 des angefochtenen Entscheids). Ein Antrag auf Erhalt einer Invalidenrente aus psychischen Gründen wurde deshalb gemäss vorinstanzlicher Sachverhaltsfeststellung im August 2017 rechtskräftig abgewiesen (E. 4.3.4 des angefochtenen Entscheids).
3.4.2. Die Vorinstanz hat sich eingehend mit den psychischen Beeinträchtigungen der Beschwerdeführerin befasst und hat die genannten Arztzeugnisse sowie das psychiatrische Gutachten zuhanden der IV umfassend gewürdigt. Sie ist dabei verfassungsrechtlich haltbar zum Schluss gelangt, dass der Beschwerdeführerin ab August 2017 (rechtskräftige Abweisung des IV-Antrags) ein Arbeitspensum im Umfang von mindestens 50% zugemutet werden könne (E. 4.3.4 des angefochtenen Entscheids), was von dieser nicht bestritten wird. Festzuhalten ist, dass die Vorinstanz zu dieser Schlussfolgerung gelangt, obwohl sie im angefochtenen Urteil ausführt, dass der Beschwerdeführerin im Jahr 2013 noch eine Arbeitsunfähigkeit von 50% attestiert worden sei und sie seit Dezember 2013 (mit einem Unterbruch zwischen Februar 2015 und Oktober 2015) in unterschiedlichen Funktionen und bei unterschiedlichen Arbeitgebern einer Teilzeiterwerbstätigkeit (teilweise unentgeltlich) nachging, jeweils in einem Arbeitspensum von 20-30%.
3.4.3. Bezüglich den Arbeitsbemühungen der Beschwerdeführerin ab August 2017 hat die Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich festgehalten (<ref-law>; vorne E. 2.1), dass hinsichtlich der Arbeitstätigkeit der Beschwerdeführerin im Zeitraum von Juni 2018 - Februar 2019 Unklarheiten bestünden. Unklar sei, ob die Beschwerdeführerin zwischen Juni 2018 bis November 2018 bei zwei Arbeitgebern angestellt gewesen und welcher Arbeit sie ab Dezember 2018 bis Februar 2019 nachgegangen sei. Fest stehe indes, dass sie seit März 2019 bei ihrer aktuellen Arbeitgeberin im Stundenlohn angestellt sei, wobei sich aus den geleisteten Arbeitsstunden ein aktuelles Arbeitspensum von 23.26% ergebe (zum Ganzen E. 4.3.5 des angefochtenen Entscheids).
3.4.4. Die Vorinstanz gelangt aufgrund der vorstehenden Überlegungen und Feststellungen zum Schluss, dass der Beschwerdeführerin die Sozialhilfeabhängigkeit teilweise vorwerfbar sei (E. 4.4 des angefochtenen Entscheids). Es sei zwar erstellt, dass sie nebst ihrer herabgesetzten Arbeitsfähigkeit zusätzlich auch alleine für die Erziehung und Betreuung ihrer beiden Söhne (zehn und elfjährig) verantwortlich sei, da sie von ihrem Ex-Ehegatten bei deren Betreuung nicht unterstützt werde. Nichts desto trotz wäre es ihr nach Ansicht der Vorinstanz ab August 2017 zumutbar gewesen, einer Teilzeitarbeit im Umfang von 50% nachzugehen. Aufgrund der Tatsache, dass sie seit August 2017 jeweils nur in tieferen Arbeitspensen gearbeitet habe, treffe sie daher ein teilweises Mitverschulden. Ihr sei namentlich vorzuwerfen, dass sie sich nach dem negativen IV-Entscheid, im Wis-sen um die beiden ausländerrechtlichen Ermahnungen (17. April 2012 und 11. September 2015) sowie der Verwarnung vom 13. August 2014, nicht intensiver um eine Erhöhung ihres Arbeitspensums bemüht habe. Zu Gunsten der Beschwerdeführerin wertet die Vorinstanz, dass ein Teilbetrag der erhaltenen Sozialhilfeleistungen wohl daher komme, dass sie von ihrem Ex-Ehemann finanziell kaum unterstützt werde, da dieser lediglich Unterhaltszahlungen im Umfang von ca. Fr. 200.-- zu entrichten habe (zum Ganzen E. 4.3.6 f. des angefochtenen Entscheids).
3.4.5. Die vorinstanzliche Schlussfolgerung, wonach der Beschwerdeführerin die Sozialhilfeabhängigkeit teilweise vorwerfbar sei, gilt es zu präzisieren. Zunächst ist festzuhalten, dass die Vorinstanz zwar davon ausgeht, dass der Beschwerdeführerin grundsätzlich bereits im Jahr 2013 eine Arbeitsfähigkeit von 50% attestiert wurde (vorne E. 3.4.2). Ungeachtet dessen hält sie in Würdigung des Gesundheitszustands der Beschwerdeführerin für das Bundesgericht verbindlich fest (<ref-law>; vorne E. 2.1), dass es ihr erst ab August 2017 wieder zumutbar gewesen sei, einer Arbeitstätigkeit im Umfang von mindestens 50% nachzugehen. Zur Frage, ob und gegebenenfalls inwieweit es der Beschwerdeführerin in den Jahren 2013 bis 2017 zumutbar gewesen wäre, einer Arbeit nachzugehen, äussert sich die Vorinstanz nicht abschliessend. Bei dieser Sachlage wendet die Beschwerdeführerin zu Recht ein, dass ihr die vor dem August 2017 bezogenen Sozialhilfeleistungen infolge ihrer psychischen Beeinträchtigung sowie ihrer Betreuungspflichten für den zumindest im Jahre 2013 noch vollumfänglich betreuungsbedürftigen jüngeren Sohn (vgl. Urteil 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 5.4) nicht vorgeworfen werden könne. Diese Sachverhaltsumstände gilt es bei der Gewichtung des öffentlichen Fernhalteinteresses zu berücksichtigen (vgl. Urteil 2C_709/2019 vom 17. Januar 2020 E. 6.1.3).
3.4.6. Vor dem Hintergrund, dass die Beschwerdeführerin gemäss den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz ab August 2017 - wenn auch in wechselndem und teilweise unklarem Arbeitsumfang (vorne E. 3.4.3) - mehr oder weniger durchgehend in einem Arbeitspensum von knapp 25% gearbeitet hat, stimmt das Bundesgericht sodann mit der Beschwerdeführerin überein, dass ihr bei einem zumutbaren Arbeitspensum von mindestens 50% effektiv nur vorgeworfen werden kann, dass sie sich nicht intensiver um eine Arbeitsstelle mit einem höheren Pensum bzw. allenfalls um eine weitere Arbeitsstelle bemüht hat. Infolgedessen trifft die Beschwerdeführerin insgesamt höchstens ein mittleres Verschulden an ihrer Sozialhilfeabhängigkeit. Bei der Beurteilung der Frage, inwieweit die Beschwerdeführerin ein Verschulden an ihrer Sozialhilfebedürftigkeit trifft kann, kann ihr ferner auch die ausländerrechtliche Verwarnung vom 13. August 2014 nicht zu ihrem Nachteil vorgehalten werden, schliesslich war es ihr zu diesem Zeitpunkt (noch) nicht zumutbar, einer Arbeit nachzugehen (vorne E. 3.4.5).
3.5. Im Rahmen der Verhältnismässigkeitsprüfung der aufenthaltsbeendenen Massnahme sind sodann die privaten Interessen der Beschwerdeführerin an einem Verbleib in der Schweiz zu gewichten.
3.5.1. Gemäss den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz lebt die Beschwerdeführerin seit Mai 1996 ununterbrochen und somit seit 24 Jahren in der Schweiz. Aufgrund dieser langen Aufenthaltsdauer hat sie grundsätzlich ein grosses Interesse an einem weiteren Verbleib in der Schweiz (Urteile 2C_23/2018 vom 11. März 2019 E. 4.3.1; 2C_527/2017 vom 20. November 2017 E. 5.2). Die Vorinstanz führt weiter aus, dass die Beschwerdeführerin in sprachlicher und sozialer Hinsicht als integriert gelten könne. Sie verweist diesbezüglich auf die Tatsache, dass sich die Beschwerdeführerin in ihrer Wohnsiedlung in der Siedlungskommission engagiere. Darüber hinaus erscheint es aus Sicht der Vorinstanz nicht unwahrscheinlich, dass die Beschwerdeführerin über ihre Kinder oder ihre Arbeitstätigkeiten über soziale Kontakte in der Schweiz verfüge, werde sie doch in den Arbeitszeugnissen durchwegs als offene, hilfsbereite und freundliche Person beschrieben. Aufgrund der unbestrittenermassen mangelnden wirtschaftlichen Integration hat die Beschwerdeführerin nach Ansicht der Vorinstanz den Anschluss in der Gesellschaft dennoch nur teilweise geschafft (zum Ganzen E. 5.1.1 des angefochtenen Entscheids).
3.5.2. Bei der Gewichtung der persönlichen Interessen der Beschwerdeführerin an einem Verbleib in der Schweiz verweist die Vorinstanz zudem auf dem Umstand, dass ihre ganze Herkunftsfamilie (Eltern, Grossmutter, vier Brüder) sowie zwei Tanten hier leben. Demgegenüber leben in der Türkei nur noch eine Tante sowie zwei Onkel, zu welchen sie gemäss den Ausführungen der Vorinstanz jedoch kaum noch Kontakt habe. Weiter erachtet es die Vorinstanz als unklar, welche beruflichen Perspektiven die Beschwerdeführerin als mehrfach geschiedene Kurdin in der Türkei habe (E. 5.1.2 des angefochtenen Entscheids).
3.5.3. Die Beschwerdeführerin bringt sodann zu Recht vor, dass für die Beurteilung ihrer persönlichen Interessen auch die von ihrer Wegweisung betroffenen Interessen ihrer beiden Söhne von wesentlicher Bedeutung sind (vgl. <ref-law>; Art. 3 Abs. 1 des Übereinkommens über die Rechte des Kindes vom 20. November 1989 [Kinderrechtskonvention; SR 0.107]). Diese sind in der Schweiz geboren, verfügen über eine Niederlassungsbewilligung und leben mittlerweile seit zehn bzw. elf Jahren hier. Beide Söhne sind gemäss den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz eingeschult, weshalb sie eine Ausreise in die Türkei zusammen mit ihrer Mutter aus ihrem gewohnten Umfeld reissen würde. Aufgrund ihrer Einschulung sowie des doch bereits fortgeschrittenen Alters befinden sie sich - entgegen der Auffassung der Vorinstanz - auch nicht mehr vorbehaltlos in einem anpassungsfähigen Alter im engeren Sinne, so dass ihnen die Ausreise in die Türkei zusammen mit ihrer Mutter nicht mehr ohne Weiteres zugemutet werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 5.4 S. 28 f. und E. 6.3.6 S. 36; <ref-ruling> E. 5.1 S. 402; <ref-ruling> E. 3c S. 298; Urteil 2C_709/2019 vom 17. Januar 2020 E. 6.2.2). Auch wenn die beiden Söhne gemäss den Ausführungen der Vorinstanz die türkische Sprache sprechen und mit der türkischen Kultur aus gelegentlichen Ferienbesuchen zumindest in einem gewissen Umfang vertraut sein dürften, würde sie eine Ausreise nach dem Gesagten vollständig aus ihrem gewohnten sozialen Umfeld reissen. Vor dem Hintergrund, dass die gesamte Herkunftsfamilie der Beschwerdeführerin in der Schweiz lebt, wäre eine Ausreise für die beiden Söhne auch mit einer Trennung von den restlichen Familienmitgliedern verbunden (zum Ganzen E. 5.1.4 des angefochtenen Entscheids). Bei der Beurteilung der Kindesinteressen zu berücksichtigen ist überdies, dass im angefochtenen Urteil darauf hingewiesen wird, dass die beiden Söhne ihren Vater gemäss den Angaben der Beschwerdeführerin seit fast einem Jahr nicht mehr gesehen hätten und dieser seine elterlichen Pflichten insgesamt nicht wahrnehme (E. 5.1.3 des angefochtenen Entscheids). Es ist mithin gerade auch mit Blick auf das Kindeswohl nicht anzunehmen, dass die Söhne bei einer Wegweisung ihrer Mutter bei ihrem Vater in der Schweiz verbleiben (vgl. <ref-ruling> E. 6.3.1 S. 33 f.). Davon scheint auch die Vorinstanz auszugehen (E. 5.1.3 des angefochtenen Entscheids). Nach dem Gesagten stimmt das Bundesgericht mit der Vorinstanz überein, dass eine Ausreise die beiden Söhne ausgesprochen hart treffen würde (E. 5.1.4 des angefochtenen Entscheids).
3.5.4. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die Vorinstanz berechtigterweise davon ausgegangen ist, dass die privaten Interessen der Beschwerdeführerin an einem Verbleib in der Schweiz sehr gross sind (E. 5.1.4 des angefochtenen Entscheids). Ihre eigenen Interessen erhalten dabei zusätzliches Gewicht durch die gleichlaufenden persönlichen Interessen ihrer beiden Söhne.
3.6. Im Rahmen der Gesamtabwägung ist das öffentliche Fernhalteinteresse den persönlichen Interessen der Beschwerdeführerin gegenüber zu stellen. Dabei ist infolge eines insgesamt höchstens mittleren Verschuldens der Beschwerdeführerin am Umfang und der Dauer ihrer Sozialhilfeabhängigkeit von einem geringeren öffentlichen Interesse an der aufenthaltsbeendenden Massnahme auszugehen, als dies noch die Vorinstanz angenommen hat (vorne E. 3.4.5 f.), auch wenn die bis anhin aufgelaufene Gesamthöhe der bezogenen Sozialhilfeleistungen grundsätzlich nicht zu tolerieren ist (vorne E. 3.3). Das öffentliche Fernhalteinteresse wird zudem durch den Umstand geschmälert, dass die Beschwerdeführerin - anders als in anderen vom Bundesgericht beurteilten Fällen (vgl. beispielsweise Urteile 2C_665/2017 vom 9. Januar 2018 E. 4.3.3; 2C_14/2016 vom 6. Juni 2016 E. 4.3.4) soweit ersichtlich - nie strafrechtlich in Erscheinung getreten ist. Das öffentliche Interesse an der Wegweisung ist damit rein finanzieller Natur und es kommen keine sicherheitspolizeilichen Motive zum Tragen. Zwar stellt die Sozialhilfeabhängigkeit gemäss <ref-law> unbestrittenermassen einen eigenständigen, rein wirtschaftlichen Widerrufsgrund dar. Dennoch rechtfertigt es sich vorliegend zu berücksichtigen, dass die Beschwerdeführerin während ihres gesamten Aufenthalts in strafrechtlicher Hinsicht einen tadellosen Leumund vorweisen kann und sie sich auch sonst an die gesellschaftlichen Werte und Gepflogenheiten zu halten scheint, gilt sie doch in sozialer Hinsicht als integriert (vorne E. 3.4.1, vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 150; Urteil 2C_23/2018 vom 11. März 2019 E. 4.3.3 wonach die Höhe und Dauer des Sozialhilfebezugs im Rahmen der Verhältnismässigkeitsprüfung zwei von mehreren Beurteilungskriterien [vgl. auch vorne E. 3.2] darstellen). Dem nach dem Dargelegten gewichtigen öffentlichen Fernhalteinteresse steht ein erhebliches, durch die Interessen ihrer Kinder zusätzlich verstärktes, persönliches Interesse der Beschwerdeführerin am Verbleib in der Schweiz gegenüber. Aus dieser Gegenüberstellung wird ersichtlich, dass die persönlichen Interessen der Beschwerdeführerin überwiegen. Unter diesen Umständen erweist sich die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung als unverhältnismässig.
3.7. Zusammenfassend verletzt das Urteil der Vorinstanz wegen der überwiegenden und gewichtigen privaten Interessen der Beschwerdeführerin an einem Verbleib in der Schweiz den Grundsatz der Verhältnismässigkeit und damit Bundes- (<ref-law>; 96 Abs. 1 AIG) und Völkerrecht (Art. 8 Ziff. 2 EMRK). Anstelle des Widerrufs der Niederlassungsbewilligung ist die Beschwerdeführerin als mildere Massnahme ausländerrechtlich zu verwarnen (<ref-law>). Zu beachten bleibt, dass diese Beurteilung der Verhältnismässigkeit keine Wirkung für eine künftige Überprüfung der Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung zeitigt. Sollte der Beschwerdeführerin die berufliche und wirtschaftliche Integration weiterhin nicht gelingen, ist mit zunehmendem Alter der Kinder dem damit verbundenen abnehmenden Interesse am Verbleib ihrer Mutter in der Schweiz künftig Rechnung zu tragen, weshalb es nicht ausgeschlossen ist, dass die Verhältnismässigkeitsprüfung bei weiterhin fortdauernder Sozialhilfeabhängigkeit trotz langer Aufenthaltsdauer der Beschwerdeführerin in Zukunft anders ausfallen kann.
4.
4.1. Die Beschwerde erweist sich als begründet und ist gutzuheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 4. Dezember 2019 ist aufzuheben.
4.2. Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Gerichtskosten geschuldet (<ref-law>). Der Kanton Zürich hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (<ref-law>). Das Gesuch der Beschwerdeführerin um die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung wird bei diesen Verfahrensausgang gegenstandslos. Für die Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens ist die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 4. Dezember 2019 wird aufgehoben.
2.
Das Migrationsamt des Kantons Zürich wird angewiesen, der Beschwerdeführerin die Aufenthaltsbewilligung wieder zu erteilen oder zu verlängern.
3.
Die Beschwerdeführerin wird im Sinne der Erwägungen ausländerrechtlich verwarnt.
4.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
5.
Der Kanton Zürich hat die Beschwerdeführerin für das bundesge-richtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
6.
Zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens wird die Sache an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
7.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Juli 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hahn