Erwägungen:
1.
Die Wohnbaugenossenschaft B._ reichte der Bau-, Werk- und Planungskommission der Einwohnergemeinde Dornach ein Baugesuch für den Abbruch von zwei Bauten und den Neubau von zwei Gebäuden (Haus A und Haus B) auf dem Grundstück GB Dornach Nr. 128 ein. Nach erfolgter Publikation erteilte die Bau-, Werk- und Planungskommission mit Verfügung vom 19. Januar 2017 die Baubewilligung und wies die erhobenen Einsprachen ab. Auf Beschwerde von A._ hin hob das Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn mit Verfügung vom 12. September 2017 die Baubewilligung wegen Überschreitung der zulässigen Gebäudehöhe auf. Dagegen erhob die Wohnbaugenossenschaft B._ am 21. September 2017 Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn hiess die Beschwerde mit Urteil vom 11. Dezember 2018 gut, hob die Verfügung des Departements vom 12. September 2017 auf und bestätigte die Baubewilligung der Bau-, Werk- und Planungskommission der Einwohnergemeinde Dornach vom 19. Januar 2017. Am 10. Januar 2019 erhob A._ dagegen Beschwerde, welche das Bundesgericht mit Urteil 1C_13/2019 vom 19. Juni 2019 abwies, soweit es darauf eintrat.
2.
A._ ersucht mit Eingabe vom 28. Juli 2019 um Revision des bundesgerichtlichen Urteils 1C_13/2019 vom 19. Juni 2019. Er beruft sich dabei auf <ref-law>. Nach dieser Bestimmung kann die Revision verlangt werden, wenn das Gericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat. Der entsprechende Revisionsgrund kann nur angerufen werden, wenn "erhebliche" Tatsachen unberücksichtigt geblieben sind, d.h. solche, die zugunsten des Gesuchstellers zu einer anderen Entscheidung hätten führen müssen, wären sie berücksichtigt worden. Allfällige Unterlassungen bei der Begründung der Beschwerde an das Bundesgericht können nicht mittels Revision nachgeholt werden.
Der Gesuchsteller beanstandete im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren die Gebäudehöhe bzw. deren Berechnung sowie die Berechnung der Bruttogeschossfläche und damit auch der Ausnützungsziffer. Das Bundesgericht führte hiezu zusammenfassend aus, dass aufgrund der Vorbringen des Beschwerdeführers eine willkürliche Anwendung kantonalen Rechts bei der Berechnung der Gebäudehöhe nicht ersichtlich sei. Ebenso wenig vermöge der Beschwerdeführer mit seinen Ausführungen die Nutzungsberechnung der Vorinstanz substanziiert in Frage zu stellen und insoweit eine willkürliche Anwendung kantonalen Rechts aufzuzeigen. Das Bundesgericht erachtete somit die Rügen des Beschwerdeführers bezüglich Gebäudehöhe und Nutzungsberechnung als nicht rechtsgenügend im Sinne von <ref-law> dargelegt, was eine im Revisionsverfahren nicht rügbare rechtliche Beurteilung darstellt. Ebenfalls um eine im Revisionsverfahren nicht zu hörende Kritik an der rechtlichen Würdigung handelt es sich bei der Rüge des Beschwerdeführers, das Bundesgericht sei zu Unrecht auf seine neuen Vorbringen nicht eingetreten.
3.
Die Voraussetzungen von <ref-law> für eine Revision des bundesgerichtlichen Urteils 1C_13/2019 liegen somit nicht vor, weshalb das Gesuch ohne Schriftenwechsel (<ref-law>) abzuweisen ist, soweit darauf einzutreten ist. Mit dem vorliegenden Entscheid in der Sache selbst wird das Gesuch um Erlass einer vorsorglichen Massnahme während der Dauer des bundesgerichtlichen Verfahrens gegenstandslos.
Bei diesem Verfahrensausgang hat der Gesuchsteller die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Bau-, Werk- und Planungskommission der Einwohnergemeinde Dornach, dem Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. August 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli