Faits :
A.
Par jugement du 20 janvier 2020, le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de la Broye et du Nord vaudois a condamné A._, pour viol, lésions corporelles simples qualifiées, contrainte, menaces qualifiées, injure et voies de fait qualifiées, à une peine privative de liberté de 30 mois - avec sursis portant sur 18 mois durant quatre ans -, à une peine pécuniaire de 20 jours-amende à 45 fr. le jour, ainsi qu'à une amende de 500 francs. Il a en outre dit que le prénommé est le débiteur de B._ d'un montant de 10'000 fr., avec intérêts, à titre de réparation du tort moral.
B.
Par jugement du 2 juin 2020, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté l'appel formé par A._ contre ce jugement et a confirmé celui-ci.
La cour cantonale a retenu les faits suivants.
B.a. De nationalité espagnole, A._ est né en 1978.
Son casier judiciaire fait état d'une condamnation, en 2013, pour violation grave des règles de la circulation routière.
B.b. A._ et B._ se sont rencontrés au début de l'année 2014 et ont fait ménage commun dès juillet de cette année, avec la fille de la prénommée, issue d'une précédente union.
B.c. En septembre 2014, au domicile du couple, B._ a reçu un SMS de la part d'un ami de sexe masculin, ce qui n'a pas plu à A._. Ce dernier, énervé, s'est emparé du téléphone de sa compagne - tout en la traitant de "pétasse" et de "salope" - et en lui demandant avec qui elle "baisait". B._ a repris son téléphone et s'est rendue dans sa chambre à coucher. A._ l'a suivie, l'a poussée sur le lit puis a commencé à la frapper. La prénommée a tenté de le repousser, mais A._ lui a saisi les pieds tout en continuant à l'injurier. Par la suite, ce dernier a repoussé B._ sur le lit à chaque fois que celle-ci tentait de se relever. Il a frappé sa compagne, a entrepris de la déshabiller de force, déchirant ses vêtements et affirmant qu'il allait lui donner une bonne leçon, ce qu'aurait - selon lui - mérité une "pétasse comme elle". A._ s'est ensuite placé à califourchon sur B._ et l'a tenue par la base du cou tandis qu'elle tentait de le repousser. Comme la prénommée essayait de se dégager, l'intéressé lui a maintenu les mains au-dessus de la tête, en la tenant par les poignets, achevant ainsi d'arracher ses vêtements. B._ lui a signifié qu'elle ne voulait pas de rapport sexuel et lui a fait remarquer que ce comportement s'apparentait à un viol. Elle a encore tenté de le repousser, en vain. A._ a alors pénétré vaginalement sa compagne avec son sexe, en lui déclarant que cela représentait ce que "les pétasses méritaient". Après avoir éjaculé en elle, l'intéressé a quitté la chambre. A la suite de ces événements, B._ s'est réfugiée dans la chambre de sa fille et y a dormi pendant plusieurs jours.
B.d. Le 22 septembre 2014, au domicile du couple, A._ s'est rendu dans la chambre de la fille de sa compagne, dans laquelle se trouvait cette dernière. II a saisi la jambe de B._ et a tiré la prénommée vers lui. Il l'a ensuite attrapée par le cou et l'a traînée d'une main dans le séjour. B._ s'est débattue et a griffé son compagnon au visage. Sa fille, qui assistait à la scène, est intervenue et a demandé à A._ de cesser ses agissements. B._ est parvenue à se dégager et s'est réfugiée dans la chambre de sa fille, fermant la porte à clé. Elle y est demeurée jusqu'à l'arrivée de la police, appelée par le prénommé. Ensuite de ces événements, le genou de B._ s'est trouvé enflé pendant plusieurs jours.
B.e. Entre l'automne 2014 et le 28 août 2017, tandis que B._ lui faisait part de sa volonté de se séparer de lui, A._ a menacé, à réitérées reprises, de se suicider ou de les tuer, elle et sa fille, si celle-ci venait à le quitter. A deux reprises, le prénommé a utilisé un couteau pour menacer de se supprimer, une fois en appuyant la lame contre sa propre gorge et une autre fois en s'enfermant a clé dans la salle de bain avec l'objet. En raison de ces menaces, B._ a, à chaque reprise, renoncé à ses projets de séparation.
B.f. Le 28 janvier 2015, au domicile du couple, A._ est entré dans la salle de bain, où B._ se baignait, et a saisi cette dernière par les avant-bras en criant. La prénommée lui a demandé de la laisser tranquille, mais A._ a arraché le rideau de douche, faisant ainsi tomber la barre métallique qui le tenait. L'intéressé a ensuite ramassé cette barre et l'a utilisée pour frapper à plusieurs reprises sa compagne à l'épaule. Il a poussé plusieurs fois B._, provoquant un heurt avec le mur. La prénommée a ensuite quitté la salle de bain, mais A._ l'a suivie et l'a poussée à de nombreuses reprises, si bien que celle-ci s'est cognée contre un mur, contre le cadre du lit, ou a chuté. A._ s'est enfin emparé d'un bocal en verre pour frapper sa compagne, de manière répétée, sur la cuisse.
Selon le constat médical de l'Unité de médecine des violences (ci- après : UMV) du Centre hospitalier universitaire vaudois, dressé le 2 février 2015, B._ a, à la suite de ces événements, présenté plusieurs ecchymoses au niveau du thorax, des membres supérieurs et inférieurs.
B.g. Le 29 avril 2016, au domicile du couple, ensuite d'une altercation verbale, A._ a saisi sa compagne par le cou, l'a plaquée contre un mur et lui a asséné plusieurs coups de poing sur le haut du corps. B._ a réussi à repousser son compagnon d'un coup de pied, mais a chuté. Le prénommé l'a alors immobilisée avec son pied et a continué à la frapper à coups de poing. B._ est derechef parvenue à se dégager et s'est réfugiée dans sa chambre. L'intéressé l'a suivie et lui a dit : "je vais te tuer, te défoncer". II l'a ensuite saisie par les cheveux et par le cou. B._ a alors menacé A._ d'appeler la police s'il ne cessait pas ses agissements, ce qu'il a fait.
Selon le constat médical dressé par l'UMV le 3 mai 2016, B._ a présenté plusieurs ecchymoses au niveau de la tête, du membre supérieur droit, du membre inférieur gauche, ainsi qu'au thorax. Elle a également souffert de rougeurs cutanées sur le cou, ainsi que d'une tuméfaction ecchymotique sur le membre supérieur gauche.
B.h. Le 25 août 2017, B._ est sortie du domicile du couple, afin d'aller chercher sa fille à la gare. A._ lui a crié depuis le balcon : "pétasse, sale pute, tu pars baiser ?".
B.i. Le 27 août 2017, au domicile du couple, en raison d'un SMS reçu par B._ de la part de son patron, A._ a saisi la prénommée par le cou, l'a giflée, l'a traitée de "grosse merde" et de "pétasse", menaçant des les tuer, elle et sa fille.
B.j. Le 28 août 2017, au domicile du couple, A._ a menacé B._ de "foutre un bordel pas possible" chez son supérieur hiérarchique, avec qui il la soupçonnait d'entretenir une liaison. L'intéressé lui a également dit que les choses n'en resteraient pas là et qu'il allait faire tout le nécessaire pour qu'elle perde son travail.
C.
A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 2 juin 2020, en concluant, avec suite de frais et dépens, principalement à son annulation, subsidiairement à sa réforme en ce sens qu'une peine compatible avec le sursis lui est infligée, plus subsidiairement au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.

Considérant en droit :
1.
Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir violé son droit d'être entendu en refusant d'administrer divers moyens probatoires.
1.1. Le droit d'être entendu, tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., comprend notamment pour le justiciable le droit de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision soit prise touchant sa situation juridique, d'obtenir l'administration des preuves pertinentes et valablement offertes, de participer à l'administration des preuves essentielles et de se déterminer sur son résultat lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 7.2.2.1 p. 103).
Selon l'<ref-law>, la procédure de recours se fonde sur les preuves administrées pendant la procédure préliminaire et la procédure de première instance. L'<ref-law> règle les preuves complémentaires. Ainsi, la juridiction de recours administre, d'office ou à la demande d'une partie, les preuves complémentaires nécessaires au traitement du recours. Conformément à l'<ref-law>, il n'y a pas lieu d'administrer des preuves sur des faits non pertinents, notoires, connus de l'autorité ou déjà suffisamment prouvés. Cette disposition codifie, pour la procédure pénale, la règle jurisprudentielle déduite de l'art. 29 al. 2 Cst. en matière d'appréciation anticipée des preuves (arrêts 6B_397/2020 du 24 juillet 2020 consid. 1.1; 6B_812/2020 du 16 juillet 2020 consid. 2.2). Le magistrat peut ainsi refuser des preuves nouvelles, lorsqu'une administration anticipée de ces preuves démontre qu'elles ne seront pas de nature à modifier le résultat de celles déjà administrées (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 236 s.). Ce refus d'instruire ne viole le droit d'être entendu des parties et l'<ref-law> que si l'appréciation anticipée effectuée est entachée d'arbitraire (cf. <ref-ruling> consid. 3.1.3 p. 435; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 64).
1.2. Selon la cour cantonale, le recourant avait requis que l'authenticité du curriculum vitae de l'intimée fût vérifiée, de même que celle de la "déclaration d'engagement" qu'il avait lui-même signée le 15 septembre 2014. L'intéressé avait encore requis que le statut de séjour en Suisse de l'intimée fût examiné, de même que toutes les décisions prises par les autorités pénales ou administratives la concernant entre 2011 et 2019, et que fussent établis les revenus et la fortune de l'intéressée entre 2011 et 2017.
Selon l'autorité précédente, ces réquisitions de preuves n'étaient pas nécessaires pour le traitement de l'appel, puisqu'il existait suffisamment d'éléments au dossier pour statuer sur la crédibilité de l'intimée. Les preuves dont l'administration avait été demandée étaient au demeurant sans lien direct avec les agressions sexuelles, physiques et verbales dont s'était plainte l'intéressée.
1.3. Le recourant soutient en substance que l'intimée aurait menti en audience, qu'elle lui aurait en outre, par le passé, dissimulé la réalité concernant son emploi, ses horaires, ses revenus et son statut en Suisse, de sorte qu'il aurait été nécessaire de se renseigner sur ces aspects pour juger de la crédibilité de l'intéressée.
Il ne démontre nullement que l'appréciation anticipée des preuves requises à laquelle s'est livrée l'autorité précédente serait entachée d'arbitraire. On ne voit pas en quoi il aurait été insoutenable, pour la cour cantonale, de considérer que les vérifications requises n'apporteraient aucun élément décisif concernant la réalité des événements dénoncés par l'intimée.
Pour le reste, l'argumentation du recourant revient à contester la crédibilité des déclarations faites en procédure par l'intimée, ce qu'il convient d'examiner en lien avec le grief portant sur l'arbitraire dans l'établissement des faits (cf. consid. 2 infra).
2.
Le recourant fait grief à l'autorité précédente d'avoir apprécié les preuves et établi les faits de manière arbitraire. Il se plaint en outre, à cet égard, d'une violation du principe "in dubio pro reo".
2.1. Le Tribunal fédéral n'est pas une autorité d'appel, auprès de laquelle les faits pourraient être rediscutés librement. Il est lié par les constatations de fait de la décision entreprise (<ref-law>), à moins qu'elles n'aient été établies en violation du droit ou de manière manifestement inexacte au sens des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, soit pour l'essentiel de façon arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. Une décision n'est pas arbitraire du seul fait qu'elle apparaît discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable et cela non seulement dans sa motivation mais aussi dans son résultat. Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire. La présomption d'innocence, garantie par les <ref-law>, 32 al. 1 Cst., 14 par. 2 Pacte ONU II et 6 par. 2 CEDH, ainsi que son corollaire, le principe "in dubio pro reo", concernent tant le fardeau de la preuve que l'appréciation des preuves au sens large. En tant que règle sur le fardeau de la preuve, elle signifie, au stade du jugement, que le fardeau de la preuve incombe à l'accusation et que le doute doit profiter au prévenu. Comme règle d'appréciation des preuves, la présomption d'innocence signifie que le juge ne doit pas se déclarer convaincu de l'existence d'un fait défavorable à l'accusé si, d'un point de vue objectif, il existe des doutes quant à l'existence de ce fait. Il importe peu qu'il subsiste des doutes seulement abstraits et théoriques, qui sont toujours possibles, une certitude absolue ne pouvant être exigée. Il doit s'agir de doutes sérieux et irréductibles, c'est-à-dire de doutes qui s'imposent à l'esprit en fonction de la situation objective. Lorsque l'appréciation des preuves et la constatation des faits sont critiquées en référence au principe "in dubio pro reo", celui-ci n'a pas de portée plus large que l'interdiction de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 155 s. et les références citées).
2.2. La cour cantonale a indiqué que l'intimée n'avait certes pas le profil de la "victime éternelle", que cette dernière ne manquait pas de caractère et n'avait pas ménagé le recourant. L'intimée avait aussi peiné, durant la procédure, à admettre avoir voulu, par le passé, se marier avec le recourant et lui faire un enfant, alors que ces éléments ressortaient du dossier. L'intimée avait sans doute tendance, avec le temps, à présenter les événements passés sans nuance. Cela ne signifiait pas que ses allégations fussent infondées. Plusieurs éléments corroboraient celles-ci. Tout d'abord, dans des échanges de messages, l'intimée avait notamment reproché au recourant son comportement jaloux, possessif et manipulateur, de même que des avances faites à sa fille. Le fait que l'intéressée eût entamé des démarches en vue d'un mariage avant de changer d'avis donnait de surcroît à penser qu'il existait bien un problème avec le recourant. Globalement, le récit de l'intimée avait comporté des détails et s'était révélé convaincant, notamment concernant les circonstances du viol subi et les motifs pour taire tout d'abord celui-ci. Par ailleurs, les certificats médicaux et photographies figurant au dossier, qui dataient de 2014 à 2016, montraient des hématomes trop importants, nombreux et dispersés sur le corps pour résulter d'une activité professionnelle. Ces lésions provenaient soit d'accidents, soit de lésions causées délibérément. Or, le recourant n'avait pas prétendu que l'intimée aurait été victime d'accidents répétés. Il n'était d'ailleurs pas vraisemblable que l'intimée eût fait constater, durant des années, des traces de violences à l'occasion de simples accidents, afin de s'en servir comme une "arme" en cas de séparation. Les témoignages de la soeur et de la fille de l'intimée avaient accrédité ses propos. Les intéressées ne s'étaient pas contentées de rapporter les allégations de l'intimée, mais avaient en outre fait état de leurs propres constatations. Elles avaient confirmé que le recourant était jaloux et possessif. La soeur de l'intimée avait indiqué avoir vu des marques sur le corps de cette dernière. La fille de l'intimée avait quant à elle confirmé avoir assisté à des disputes violentes. Elle avait aussi subi les avances du recourant, de même - selon elle - que l'une de ses amies. L'hypothèse d'un "complot familial" était peu vraisemblable, compte tenu de la crédibilité et de la cohérence des témoignages en question. Le recourant avait, pour sa part, fourni des explications dénuées de crédibilité. Il avait néanmoins admis sa jalousie et ses comportements inadéquats, voire violents, en raison - selon lui - des "tortures psychologiques" que lui aurait infligées l'intimée. Il convenait ainsi de tenir les allégations de cette dernière pour avérées.
2.3. Le recourant reproche à l'autorité précédente de ne s'être attachée "qu'aux faits" et d'avoir refusé d'examiner la crédibilité personnelle de l'intimée. Son argumentation se révèle purement appellatoire et, partant, irrecevable, dès lors qu'elle consiste à rediscuter librement l'appréciation des preuves à laquelle s'est livrée la cour cantonale, sans démontrer en quoi celle-ci aurait pu tirer des constatations insoutenables de l'un ou l'autre des moyens probatoires administrés. Il en va ainsi lorsque l'intéressé tente de dépeindre l'intimée comme une personne dotée d'une grande "capacité de manipulation", ou lorsqu'il prétend que celle-ci lui aurait dissimulé des informations concernant son emploi ou sa situation personnelle en Suisse. Enfin, contrairement à ce qu'affirme le recourant, la cour cantonale s'est bien penchée sur la crédibilité de l'intimée et ne s'est nullement bornée à prêter foi, sans regard critique, à ses allégations.
3.
Le recourant critique encore la quotité de la peine privative de liberté qui lui a été infligée.
Il commence par exposer différentes règles légales et jurisprudentielles concernant la fixation de la peine en cas de concours d'infraction, sans en tirer la moindre conclusion ni prétendre que l'autorité précédente aurait pu violer l'un ou l'autre des principes évoqués.
Le recourant indique par ailleurs que la cour cantonale se serait montrée laconique concernant la fixation de sa peine privative de liberté. Dans le jugement attaqué, l'autorité précédente a relevé que le recourant n'avait pas contesté cette sanction "en tant que telle", mais que, vérifiée d'office, celle-ci pouvait être confirmée, des peines de genres différents ayant en particulier été prononcées selon les diverses infractions réprimées. La cour cantonale s'est donc ralliée aux considérations émises par le tribunal de première instance à cet égard. Le recourant soutient devant le Tribunal fédéral qu'il avait bien, au stade de l'appel, contesté la quotité de la peine privative de liberté prononcée, puisqu'il avait alors conclu à l'octroi du sursis complet. Il ressort en effet du jugement attaqué que le recourant a, aux débats d'appel, conclu de manière subsidiaire à "l'octroi d'un sursis" (cf. p. 12). L'intéressé ne précise cependant aucunement quel argument il aurait spécifiquement soulevé à cette occasion, ni ne prétend que celui-ci aurait pu être ignoré par la cour cantonale. On ne distingue donc pas, en l'occurrence, une éventuelle violation du droit d'être entendu du recourant ou de l'<ref-law>.
Le recourant met enfin en avant différents éléments pertinents pour la fixation de la peine, ainsi l'absence d'antécédents, la bonne opinion le concernant exprimée par un témoin, ou son activité professionnelle. Tous ces aspects ressortent du jugement attaqué, étant rappelé que celui-ci forme un tout et que l'on admet que le juge garde à l'esprit l'ensemble des éléments qui y figurent (cf. arrêt 6B_347/2020 du 3 juillet 2020 consid. 4.3 et la référence citée). Le recourant n'explique quant à lui pas en quoi il aurait convenu d'accorder à l'un ou l'autre de ces éléments un poids différent. Pour le reste, on ne saurait admettre, comme le soutient l'intéressé, que ce dernier "reconnaît qu'il a commis une erreur" et qu'il serait donc "capable d'introspection", dès lors que, devant le Tribunal fédéral encore, le recourant nie catégoriquement les faits pour lesquels il a été condamné et consacre l'essentiel de son argumentation à la description de l'intimée comme une menteuse et une manipulatrice.
Pour autant que le grief du recourant réponde aux exigences de motivation découlant de l'<ref-law>, celui-ci doit être rejeté.
4.
Le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Comme il était dénué de chances de succès, la demande d'assistance judiciaire doit être rejetée (<ref-law>). Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires, qui seront fixés en tenant compte de sa situation financière, laquelle n'apparaît pas favorable (art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF). L'intimée, qui n'a pas été invitée à se déterminer, ne saurait prétendre à des dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'200 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 3 septembre 2020
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Graa