Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1968 geborene A._ meldete sich im Januar 2006 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Mit Verfügung vom 4. April 2008 sprach ihm die IV-Stelle des Kantons Zürich eine Dreiviertelsrente ab 1. März 2006 zu (Invaliditätsgrad 60 %). Ein im Dezember 2008 eingeleitetes Revisionsverfahren endete damit, dass das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 30. Mai 2012 einen weiterhin bestehenden Anspruch auf eine Dreiviertelsrente bejahte. Im Juni 2013 leitete die Verwaltung erneut ein Revisionsverfahren ein. Nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens ermittelte die IV-Stelle einen Invaliditätsgrad von höchstens 35 %, weshalb sie die bisherige Rente mit Verfügung vom 26. November 2015 auf das Ende des der Zustellung folgenden Monats aufhob. Das Bundesgericht bestätigte die Rentenaufhebung mit Urteil 9C_339/2017 vom 19. Juni 2017.
A.b. Im November 2017 ersuchte A._ erneut um Versicherungsleistungen. Im Verlauf des Vorbescheidverfahrens reichte er den Bericht des Dr. med. B._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 19. Februar 2018 ein. Mit Verfügung vom 14. Mai 2018 trat die IV-Stelle des Kantons Zürich auf das Gesuch mangels einer wesentlichen Sacherhaltsveränderung nicht ein.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 17. September 2019 ab.
C.
A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, der Entscheid vom 17. September 2019 sei aufzuheben, und die Sache sei an die IV-Stelle zurückzuweisen, damit sie auf sein Leistungsbegehren eintrete und nach Abklärungen über die gesetzlichen Ansprüche neu befinde.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und <ref-law>).
1.2. Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist. Eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung weist damit die Tragweite von Willkür auf. Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erscheint. Eine Sachverhaltsfeststellung ist etwa dann offensichtlich unrichtig, wenn das kantonale Gericht den Sinn und die Tragweite eines Beweismittels offensichtlich falsch eingeschätzt, ohne sachlichen Grund ein wichtiges und für den Ausgang des Verfahrens entscheidendes Beweismittel nicht beachtet oder aus den abgenommenen Beweisen unhaltbare Schlüsse gezogen hat. Solche Mängel sind in der Beschwerde aufgrund des strengen Rügeprinzips (vgl. <ref-law>) klar und detailliert aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen; Urteil 9C_752/2018 vom 12. April 2019 E. 1.2).
2.
2.1. Die Vorinstanz hat zutreffend dargelegt, dass die Neuanmeldung nur materiell geprüft wird, wenn die versicherte Person glaubhaft macht, dass sich die tatsächlichen Verhältnisse seit der letzten rechtskräftigen Entscheidung in einem für den Rentenanspruch erheblichen Mass verändert haben (Art. 87 Abs. 2 f. IVV [SR 831.201]; <ref-ruling> E. 2.2 S. 72 mit Hinweisen). Gelingt ihr dies nicht, so wird auf das Gesuch nicht eingetreten (Urteil 8C_389/2019 vom 5. September 2019 E. 2.1).
2.2. Mit dem Beweismass des Glaubhaftmachens sind herabgesetzte Anforderungen an den Beweis verbunden; die Tatsachenänderung muss also nicht nach dem im Sozialversicherungsrecht sonst üblichen Grad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 6 S. 221) erstellt sein. Es genügt, dass für das Vorhandensein des geltend gemachten rechtserheblichen Sachumstandes wenigstens gewisse Anhaltspunkte bestehen, auch wenn durchaus noch mit der Möglichkeit zu rechnen ist, bei eingehender Abklärung werde sich die behauptete Änderung nicht erstellen lassen. Erheblich ist eine Sachverhaltsänderung, wenn angenommen werden kann, der Anspruch auf eine Invalidenrente (oder deren Erhöhung) sei begründet, falls sich die geltend gemachten Umstände als richtig erweisen sollten (Urteil 8C_389/2019 vom 5. September 2019 E. 2.1).
Der Untersuchungsgrundsatz, wonach die Verwaltung resp. das Gericht von Amtes wegen für die richtige und vollständige Abklärung des rechtserheblichen Sachverhalts zu sorgen hat (Art. 43 Abs. 1 resp. <ref-law>), spielt insoweit nicht. Massgeblich ist der Sachverhalt bzw. die Aktenlage, wie sie sich der Verwaltung bei Erlass der Nichteintretensverfügung bot (<ref-ruling> E. 5.2.5 S. 68; Urteil 8C_389/2019 vom 5. September 2019 E. 2.1)
2.3. Ob eine anspruchserhebliche Änderung nach <ref-law> glaubhaft gemacht ist, stellt eine vom Bundesgericht nur unter dem Blickwinkel von <ref-law> überprüfbare Tatfrage dar. Um eine Frage rechtlicher Natur handelt es sich hingegen, wenn zu beurteilen ist, wie hohe Anforderungen an das Glaubhaftmachen im Sinne von <ref-law> zu stellen sind (Urteil 8C_389/2019 vom 5. September 2019 E. 2.2).
3.
3.1. Eine sachgerechte Anfechtung des vorinstanzlichen Entscheids war möglich; es kann somit nicht von einer Verletzung der Begründungspflicht resp. des Anspruchs auf rechtliches Gehör gesprochen werden (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 436 mit Hinweisen).
3.2. Die Vorinstanz hat festgestellt, die rentenaufhebende Verfügung vom 26. November 2015 habe auf dem polydisziplinäre Gutachten der medizinischen Abklärungsstelle BEGAZ vom 15. Mai 2014 beruht. Im Rahmen der Neuanmeldung habe der Versicherte (einzig) den Bericht des behandelnden Psychiaters Dr. med. B._ vom 19. Februar 2018 eingereicht. Dieser gebe im Wesentlichen die vom Beschwerdeführer geklagten Beschwerden wieder. Objektive Befunde, welche die gestellten Diagnosen - namentlich jene einer rezidivierenden depressiven Störung, gegenwärtig mittelgradige Episode mit somatischem Syndrom (ICD-10 F.33.11) - nachvollziehbar machen, fehlten. Zudem bleibe der Behandlungsrhythmus unklar; Dr. med. B._ habe lediglich angegeben, den Beschwerdeführer seit dem 21. November 2015 zu behandeln. Eine stationäre psychiatrische Behandlung sei nicht erfolgt; der Psychiater habe nur "bei einer weiteren Verschlechterung des Gesundheitszustandes" eine stationäre psychosomatische Rehabilitation empfohlen. Schliesslich habe Dr. med. B._ die von ihm attestierte Arbeitsunfähigkeit von 60 bis 70 % nicht mit objektiven Befunden begründet. In somatischer Hinsicht habe der Beschwerdeführer zwar eine Herz- und Augenproblematik mit 2016 und 2017 erfolgten medizinischen Eingriffen dargelegt, diesbezüglich aber keine andauernde Verschlechterung des Gesundheitszustandes geltend gemacht oder anhand medizinischer Unterlagen belegt.
3.3. Dass diese Feststellungen zweifellos unrichtig (vgl. E. 1.2) sein oder auf einer Rechtsverletzung beruhen sollen, ist nicht ersichtlich. Solches wird denn auch vom Beschwerdeführer - insbesondere mit seinem Hinweis auf die Stellungnahme des Regionalen Ärztlichen Dienstes vom 14. Mai 2018 - nicht substanziiert geltend gemacht. Sie bleiben daher für das Bundesgericht verbindlich (E. 1.1).
3.4. Das kantonale Gericht hat angesichts dieser Gegebenheiten den rechtlichen Schluss gezogen, der Versicherte habe keine erhebliche und längere Zeit andauernde (vgl. <ref-law>) Verschlechterung des Gesundheitszustandes resp. der Arbeitsfähigkeit glaubhaft gemacht.
In diesem Zusammenhang verweist der Beschwerdeführer im Wesentlichen auf die durch Dr. med. B._ "lege artis diagnostizierte rezidivierende depressive Störung", die im BEGAZ-Gutachten nicht gestellt worden war, und auf seine Erwähnung der Herz- und Augenproblematik. Zwar trifft zu, dass an einen Bericht des behandelnden Arztes zur Glaubhaftmachung einer Sachverhaltsveränderung nicht strenge Anforderungen gestellt werden dürfen. Indessen lässt sich weder mit einer blossen (unsubstanziierten) Parteibehauptung noch allein mit dem Umstand, dass der behandelnde Arzt neu eine depressive Störung diagnostiziert (vgl. dazu <ref-ruling> und 418), eine anspruchserhebliche Sachverhaltsveränderung glaubhaft machen. Diesbezüglich hat das kantonale Gericht zu Recht nicht nur fehlende Befunde, sondern (implizit) auch Gesichtspunkte der Behandlung (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.1.2 S. 299 f. und E. 4.4.2 S. 304) berücksichtigt. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers lag auch kein genügend konkreter Hinweise vor, der die Verwaltung verpflichtet hätte, weitere Angaben nachzufordern (vgl. Urteil 9C_616/2010 vom 12. Oktober 2010 E. 2.4). Die Vorinstanz hat kein Recht verletzt, indem sie die Nichteintretensverfügung bestätigt hat. Die Beschwerde ist unbegründet.
4.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer die Kosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. Januar 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Dormann