Faits :
A.
Par acte d'accusation du 3 décembre 2018, le Ministère public du canton de Neuchâtel a renvoyé A._ devant le Tribunal de police du Tribunal régional des Montagnes et du Val-de-Ruz (ci-après: le Tribunal de police) en lui reprochant notamment d'avoir commis des actes d'ordre sexuel avec des enfants (<ref-law>), des injures (<ref-law>), des menaces (<ref-law>), des actes de pornographie (<ref-law>) et des voies de faits (art. 126 al. 1 et 2 let. a CP).
Par jugement du 6 février 2020, le Tribunal de police a prononcé l'acquittement de l'intéressé et n'est pas entré en matière sur les conclusions civiles présentées par les plaignants. Le Ministère public et les plaignants ont fait appel de ce jugement auprès de la Cour pénale du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal). Le 27 octobre 2020, les parties ont été informées que le Tribunal cantonal serait composé des Juges Marie-Pierre de Montmollin, Pierre Cornu et Emmanuel Piaget. L'audience de débats et de jugement a été fixée au 1er avril 2021.
Le 19 mars 2021, A._ a demandé la récusation des trois juges prénommés. Il a exposé que le greffe de la Cour pénale lui avait remis le 17 mars 2021 le dossier officiel de la cause, dans lequel se trouvait fortuitement une fourre intitulée "notes juges" comprenant un projet de jugement d'appel dont la page de garde portait notamment la mention "fixation de la peine". Par courrier du 23 mars 2021, les Juges de Montmollin, Cornu et Piaget ont refusé de se récuser.
Par décision du 29 avril 2021, la Cour pénale du Tribunal cantonal, dans une composition différente, a rejeté la demande de récusation.
B.
Agissant par la voie du recours en matière pénale, A._ demande principalement au Tribunal fédéral d'annuler la décision du 29 avril 2021 et d'ordonner le renvoi de la cause devant le Tribunal pénal fédéral pour décision sur la demande de récusation du 19 mars 2021. Il conclut subsidiairement au renvoi de la cause devant l'instance précédente dans le respect de son droit d'être entendu. A titre encore plus subsidiaire, il demande d'ordonner la récusation des trois juges prénommés. Il requiert aussi l'assistance judiciaire.
Invités à se déterminer, les Juges Cornu, Piaget et de Montmollin ont conclu au rejet du recours. Le Ministère public et l'instance précédente renoncent à se déterminer. Le recourant a répliqué par courrier du 13 juillet 2021.

Considérant en droit :
1.
Conformément aux art. 78, 79 et 92 al. 1 LTF, une décision cantonale relative à la récusation d'un magistrat pénal peut faire immédiatement l'objet d'un recours en matière pénale. Le recourant, dont la demande de récusation a été rejetée, a qualité pour recourir en vertu de l'<ref-law>. Pour le surplus, le recours a été interjeté en temps utile (<ref-law>) contre une décision rendue en instance cantonale unique (art. 80 al. 2 in fine LTF) et les conclusions présentées sont recevables (<ref-law>). Il y a donc lieu d'entrer en matière.
2.
Le recourant fait d'abord grief à l'autorité intimée d'avoir statué alors qu'une compétence matérielle faisait défaut. Il soutient que la compétence pour statuer sur sa demande de récusation n'appartenait pas à la Cour pénale du Tribunal cantonal mais au Tribunal pénal fédéral. Il se plaint d'une violation de l'art. 59 al. 1 let. d CPP et de l'art. 30 Cst.
2.1. A teneur de l'<ref-law>, lorsqu'un motif de récusation au sens de l'art. 56, let. a ou f, est invoqué ou qu'une personne exerçant une fonction au sein d'une autorité pénale s'oppose à la demande de récusation d'une partie qui se fonde sur l'un des motifs énumérés à l'art. 56, let. b à e, le litige est tranché sans administration supplémentaire de preuves et définitivement par la juridiction d'appel, lorsque l'autorité de recours et des membres de la juridiction d'appel sont concernés (let. c) ou par le Tribunal pénal fédéral lorsque l'ensemble de la juridiction d'appel d'un canton est concerné (let. d).
Les cantons désignent leurs autorités pénales et en arrêtent la dénomination (<ref-law>). Ils fixent les modalités d'élection des membres des autorités pénales, ainsi que la composition, l'organisation et les attributions de ces autorités, à moins que ces questions soient réglées exhaustivement par le présent code ou d'autres lois fédérales (<ref-law>).
Dans le canton de Neuchâtel, la Cour pénale, qui est la juridiction d'appel au sens de l'<ref-law>, est une cour du Tribunal cantonal (art. 34 let. d et 46 de la loi d'organisation judiciaire neuchâteloise du 27 janvier 2010 [OJN; RSN 161.1]). Les cours du Tribunal cantonal statuent à trois juges (art. 37 al. 1 OJN). Les juges des cours du Tribunal cantonal ont pour suppléantes ou suppléants les membres des autres cours ainsi que les juges du Tribunal d'instance en cas d'empêchement, d'absence, de récusation ou lorsque les nécessités du travail l'exigent (art. 39 OJN). L'art. 17 al. 1 du règlement du Tribunal cantonal du 20 mars 2017 (RSN 162.104) précise à cet égard que les juges attribués aux différentes cours du Tribunal cantonal se suppléent les uns les autres.
2.2. En l'espèce, selon l'organisation judiciaire neuchâteloise, tous les juges du Tribunal cantonal peuvent siéger à titre de juge suppléant à la Cour pénale en cas de nécessité. Dans les rangs des juges cantonaux restants du Tribunal cantonal, une Cour pénale valable avec un collège de trois juges a pu être créée en l'occurrence (art. 34, 37, 39 et 46 OJN). La demande de récusation contre l'ensemble de la composition ne concernait donc pas "l'ensemble de la juridiction d'appel" (art. 59 al. 1 let. d CPP), laquelle comprend en plus des membres qui la composent ordinairement les membres pouvant intervenir en qualité de suppléants: elle visait seulement "des membres de la juridiction d'appel" (art. 59 al. 1 let. c CPP), raison pour laquelle l'instance précédente (dans une composition différente) - et non le Tribunal pénal fédéral - était compétente en la matière (art. 59 al. 1 let. c CPP).
L'art. 59 al. 1 let. d CPP dont se prévaut le recourant n'est appliqué que dans des cas particuliers, par exemple si l'ensemble de l'instance d'appel est pratiquement paralysé en raison de circonstances extraordinaires ou si, en particulier dans le cas de petites juridictions, il n'est plus possible de composer une cour en raison d'un manque de personnel (arrêt 1B_27/2016 du 4 juillet 2016 consid. 3). Tel n'est pas le cas en l'espèce.
Mal fondé, le grief doit être écarté.
3.
Le recourant fait ensuite valoir une violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.; art. 3 al. 2 let. c et 107 CPP). Il fait grief à la Cour pénale d'avoir requis la production des trois documents à usage interne cités dans le courrier du 23 mars 2021 adressé au recourant par les trois Juges intimés, sans en informer le recourant et sans lui donner la possibilité de se déterminer.
3.1. Conformément à l'art. 29 al. 2 Cst., les parties ont le droit d'être entendues. Compris comme l'un des aspects de la notion générale de procès équitable, le droit d'être entendu comprend en particulier le droit, pour une partie à un procès, de prendre connaissance de toute argumentation présentée au tribunal et de se déterminer à son propos, que celle-ci contienne ou non de nouveaux éléments de fait ou de droit, et qu'elle soit ou non concrètement susceptible d'influer sur le jugement à rendre. Il appartient en effet aux parties, et non au juge, de décider si une prise de position ou une pièce nouvellement versée au dossier contient des éléments déterminants qui appellent des observations de leur part. Toute prise de position ou pièce nouvelle versée au dossier doit dès lors être communiquée aux parties pour leur permettre de décider si elles veulent ou non faire usage de leur faculté de se déterminer (<ref-ruling> consid. 3.4.1; <ref-ruling> consid. 4.1.1).
3.2. En l'espèce, dans leur courrier du 23 mars 2021 adressé au mandataire du recourant, les trois Juges intimés ont décrit les trois documents à usage interne qui figuraient dans la fourre intitulée "notes juges", à savoir le brouillon de rapport, un brouillon manuscrit d'un premier jet du courrier adressé au recourant le 12 mars 2021 ainsi que le brouillon dactylographié du 12 mars 2021, visé par chacun des juges de la Cour pénale portant sur la question du huis clos et sur celle de la double défense d'office sollicitée. Il ressort de l'arrêt attaqué que ces trois documents ont été produits devant l'instance précédente à la suite d'une demande de celle-ci. Le recourant n'a toutefois pas été informé que ces pièces avaient été versées au dossier et n'a pas pu se déterminer sur elles.
La situation est cependant particulière car le recourant n'expose pas ne pas avoir eu connaissance de ces documents avant qu'ils soient versés au dossier. En effet, s'agissant du brouillon de rapport, le recourant a fondé sa demande de récusation uniquement sur cet élément. Il s'est expressément référé à cette pièce dans son recours. Il a notamment relevé que "le projet de jugement d'appel produit" se compose déjà de plusieurs considérants sur une vingtaine de pages, savamment rédigé. Il a aussi mis en évidence l'existence de considérants sur l'<ref-law> et sur la crédibilité générale des déclarations de parties. Il a aussi affirmé que "le corps du document (contrairement à la page de garde) ne s'exprime certes pas sur la culpabilité ou l'innocence du recourant", concédant ainsi avoir pleinement connaissance du brouillon de rapport en question.
Quant au brouillon manuscrit d'un premier jet du courrier adressé au recourant le 12 mars 2021 ainsi que le brouillon dactylographié du 12 mars 2021, le recourant ne soutient pas ne pas en avoir eu connaissance lorsqu'il a consulté le dossier. Ces deux éléments se trouvaient dans la même fourre que le brouillon de projet d'arrêt qui est à l'origine de sa demande de récusation. Le recourant ne conteste pas non plus avoir reçu le courrier définitif résultant de ces deux brouillons. Le jugement attaqué n'a au demeurant tiré aucun argument de ces deux pièces.
3.3. Dans ces circonstances particulières, le grief de violation du droit d'être entendu doit être rejeté.
4.
Le recourant reproche enfin à l'instance précédente d'avoir rejeté la demande de récusation des trois Juges intimés. Il se plaint d'une violation de l'art. 56 let. f CPP.
4.1. Un magistrat est récusable pour l'un des motifs prévus aux art. 56 let. a à e CPP, qui n'ont pas été invoqués en l'espèce. Il l'est aussi selon l'art. 56 let. f CPP, "lorsque d'autres motifs, notamment un rapport d'amitié étroit ou d'inimitié avec une partie ou son conseil, sont de nature à le rendre suspect de prévention". Cette disposition a la portée d'une clause générale recouvrant tous les motifs de récusation non expressément prévus aux lettres précédentes. Elle correspond à la garantie d'un tribunal indépendant et impartial instituée par les art. 30 Cst. et 6 CEDH. Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective du magistrat est établie, car une disposition interne de sa part ne peut guère être prouvée. Il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat. Seules les circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération. Les impressions purement individuelles d'une des parties au procès ne sont pas décisives (<ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 3.2). L'impartialité subjective d'un magistrat se présume jusqu'à preuve du contraire (<ref-ruling> consid. 3.2.1).
L'exigence constitutionnelle d'impartialité n'interdit toutefois pas au juge de se forger une opinion provisoire, aussi longtemps qu'il reste libre, dans son for intérieur, de parvenir à un autre résultat en fonction des arguments et des preuves qui seront recueillis dans la procédure (parmi d'autres, arrêt 9C_277/2020 du 10 août 2020 consid. 2.4 et l'arrêt cité). La libre aptitude à parvenir à une autre appréciation au cours de la procédure que celle déjà formée peut cependant se trouver sérieusement restreinte lorsque le juge tient des propos sur l'issue probable du litige envers des tiers; il en va ainsi en particulier vis-à-vis de la presse, dès lors qu'un "changement de cap" semble alors difficile dans une telle situation (<ref-ruling> consid. 3b/bb; arrêt 1P.634/2002 du 17 mars 2003 consid. 5.1).
Dans ce contexte, le système du juge rapporteur est en principe compatible avec la garantie d'un tribunal indépendant et impartial. Ce système est caractérisé par le fait qu'un juge de la cour appelée à trancher est désigné juge rapporteur. Dans cette fonction, celui-ci examine et étudie l'ensemble du dossier et se forme, sur cette base, une opinion sur les questions de nature formelle ou matérielle. Il s'agit d'une opinion provisoire qui constitue une étape dans le processus de réflexion et se caractérise par une appréciation des éléments en faveur et en défaveur des différentes positions qui s'opposent, en incluant aussi bien des aspects relevant des faits que des questions juridiques d'ordre formel ou matériel. L'avis qui en découle repose exclusivement sur le dossier et n'est dès lors pas déterminé par des éléments étrangers à la cause. L'opinion est émise sous réserve des débats ainsi que de la discussion et de la formation de l'opinion au sein du collège des juges. Cet avis provisoire, qui fait l'objet d'une proposition correspondante à la cour, constitue dans cette mesure le point de départ pour continuer le processus de raisonnement et de compréhension (" Erkenntnisprozess ") menant à la décision. Dans un tel système, correctement appliqué, l'issue de la procédure reste ouverte et ne peut pas être considérée comme déjà déterminée. L'opinion provisoire et la proposition correspondante à la cour n'impliquent aucune partialité et sont compatibles avec la garantie d'un tribunal indépendant et impartial (<ref-ruling> consid. 2.3).
4.2. En l'espèce, le brouillon de jugement d'appel transmis au mandataire du recourant par inadvertance - et qui ne lui était pas destiné - consiste en un brouillon de rapport interrompu établi par la Juge de Montmollin, daté du 18 février 2021, dactylographié et annoté de façon manuscrite par la juge. Il contient une page de garde comprenant notamment la composition inexacte de la Cour pénale (les Juges Marie-Pierre de Montmollin, Nicolas de Weck et Emmanuel Piaget ainsi que le Greffier B._) : le Juge Nicolas de Weck ne figure toutefois pas dans la composition telle qu'annoncée au recourant le 27 octobre 2020. Y figurent aussi les six mots-clefs suivants: actes d'ordres sexuel avec des enfants / voies de fait / injures / menaces / pornographie / fixation de la peine. S'ensuivent sur deux pages l'énumération des actes de procédure (en particulier jugement attaqué, annonces d'appels, trois déclarations d'appel du ministère public et des parties plaignantes, demande de non-entrée en matière formée par le recourant, requête de huis clos,...). Les faits de la cause sont ensuite décrits sur environ 12 pages. Sur les cinq pages suivantes figurent quatre considérants-types en droit (recevabilité, pouvoir d'examen de la juridiction d'appel, présomption d'innocence [<ref-law>] et appréciation de déclarations contradictoires, éléments constitutifs de l'infraction de l'<ref-law>).
A l'instar de l'instance précédente, il y a lieu de relever que ce document ne contient aucune appréciation des faits reprochés au recourant au regard des dispositions pénales visées par l'acte d'accusation du 3 décembre 2018. Seules les majeures du raisonnement juridique sont décrites. La culpabilité ou l'innocence du recourant n'est pas traitée. Le brouillon litigieux ne contient aucune proposition de dispositif. Il s'agit ainsi d'un document incomplet auquel il manque l'essentiel pour remplir son rôle de rapport destiné à contribuer à la formation d'une opinion provisoire du juge rapporteur. Il se trouve à un stade d'élaboration bien antérieur à celui du rapport auquel se réfère la jurisprudence précitée (<ref-ruling>).
4.3. Le recourant convient que le corps du document litigieux ne s'exprime pas sur sa culpabilité ou son innocence. Il concentre son argumentation sur la mention "fixation de la peine" figurant sur la première page. Il soutient que la présence de cet élément sur la page de garde indiquerait qu'il va faire l'objet de considérations détaillées ensuite dans le jugement. Il relève que pour un prévenu acquitté en première instance, on peine à comprendre les raisons d'une telle insertion sur la page de garde. Il prétend qu'aurait dû y figurer la mention "présomption d'innocence".
Le recourant perd cependant de vue que le document litigieux est un document de travail qui n'a pas encore atteint le degré de développement nécessaire pour qu'il puisse remplir la fonction à laquelle il est destiné; son but n'est pas d'être un jugement mais de constituer une proposition formulée à l'ensemble de la Cour; cette proposition va servir de point de départ au collège des juges pour entamer son propre processus de compréhension et de raisonnement conduisant à sa décision. A ce stade de l'élaboration d'un brouillon - encore inachevé - de prise de position avant l'audience, la mention "fixation de la peine" sur la page de garde apparaît comme une des étapes possibles de l'application du droit pénal à un état de fait, sans que cela ne scelle définitivement l'issue du litige. Cette mention témoigne de la prise en compte des issues envisageables des appels qui concluent à la condamnation du recourant, sans que puisse en être déduit un quelconque argument en faveur d'une partialité de l'auteur. L'absence de prévention se justifie d'autant plus ici que, dans les considérants-types en droit du brouillon en question, il n'y en a aucun sur la fixation de la peine, alors que les dispositions sur la présomption d'innocence y sont rappelées. Quant à la page de garde, elle indique par ailleurs une composition de cour erronée qui s'écarte de celle qui a été communiquée aux parties quatre mois auparavant, ce qui démontre encore le caractère provisoire du document.
Pour le reste, le fait que le brouillon de jugement contienne un considérant théorique sur les éléments constitutifs de l'infraction de l'<ref-law> et un autre sur la crédibilité générale des déclarations des parties n'est pas de nature à rendre la magistrate professionnelle qui les a rédigés suspecte de partialité. La mise sur papier de tels considérants-types, sans procéder à une subsomption, permet en effet de préparer l'audience et ne saurait démontrer qu'une condamnation est envisagée.
Quoi qu'en dise le recourant, l'art. 26 al. 3 du règlement du Tribunal cantonal - qui prévoit que la rédaction des décisions est confiée à l'un des juges, selon le mode de répartition défini par la Cour - n'interdit pas au juge rapporteur de préparer un projet de rapport contenant les faits et les considérants en droit, avant l'audience.
L'impartialité de la Juge de Montmollin n'apparaît ainsi pas objectivement entachée par la rédaction de l'ébauche de jugement d'appel décrite ci-dessus. L'issue de la procédure reste en effet ouverte et ne peut pas être considérée comme déjà déterminée. A fortiori la prévention des Juges Piaget et Cornu - qui affirment ne pas avoir eu connaissance du brouillon de jugement - ne peut pas non plus être retenue.
4.4. En définitive, aucun des motifs avancés par le recourant, pris séparément ou dans leur ensemble, ne permet objectivement de retenir une apparence de prévention des trois Juges intimés. Dans ces conditions, il y a lieu de constater que la garantie du juge impartial a été respectée, de sorte que c'est à bon droit que le Tribunal cantonal a rejeté la demande de récusation.
5.
Le recours est par conséquent rejeté.
Le recourant a demandé l'octroi de l'assistance judiciaire (<ref-law>). Comme le recourant est dans le besoin et que le recours n'était pas d'emblée dénué de chances de succès, cette requête doit être admise. Il y a lieu de désigner Me Gabriele Beffa en tant qu'avocat d'office du recourant et de lui allouer une indemnité à titre d'honoraires, qui seront supportés par la caisse du Tribunal fédéral. Il n'est pas perçu de frais judiciaires (<ref-law>), ni alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La requête d'assistance judiciaire est admise. Me Gabriele Beffa est désigné comme avocat d'office du recourant et une indemnité de 1'500 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, aux Juges cantonaux Pierre Cornu, Emmanuel Piaget et Marie-Pierre de Montmollin, au Ministère public du canton de Neuchâtel, à la Cour pénale du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel, ainsi qu'aux mandataires de C._ et de D._.
Lausanne, le 28 septembre 2021
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Kneubühler
La Greffière : Tornay Schaller