Sachverhalt:
A.
Die A._ AG wurde am 5. Februar 2020 in das Handelsregister eingetragen und bezweckt die Erbringung von Rechtsdienstleistungen durch in der Schweiz registrierte Anwältinnen und Anwälte und andere qualifizierte Berater. Deren Gründer und einziger Verwaltungsrat, Rechtsanwalt B._, ersuchte die Aufsichtskommission über die Anwältinnen und Anwälte des Kantons Zürich (Aufsichtskommission) mit Schreiben vom 17. Februar 2020 um entsprechende Anpassung seines persönlichen Eintrags im Anwaltsregister.
Die Aufsichtskommission gab dem Gesuch mit Beschluss vom 14. Mai 2020 statt, wobei sie im Beschlussdispositiv unter anderem feststellte, die Anwaltskörperschaft A._ AG erfülle die einschlägigen, aufsichtsrechtlichen Anforderungen.
B.
Mit Beschwerde vom 23. Juni 2020 an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich beantragte das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement EJPD die Aufhebung des vorgenannten Beschlusses der Aufsichtskommission, da die Organisationsstruktur (insbes. Statuten) der A._ AG nicht den Vorgaben von <ref-ruling> entspreche.
Noch während der laufenden Vernehmlassungsfrist passte Rechtsanwalt B._ die Statuten an die Vorgaben von <ref-ruling> an, worauf die Aufsichtskommission mit Beschluss vom 11. August 2020 (erneut) im Dispositiv feststellte, die A._ AG erfülle die aufsichtsrechtlichen Anforderungen.
Mit Beschwerdeantwort vom 14. August 2020 beantragten Rechtsanwalt B._ und die A._ AG, unter Beilage des Beschlusses vom 11. August 2020 und da die Beschwerdegründe des EJPD damit als gegenstandslos dahingefallen seien, die entsprechende Abschreibung der Beschwerde des EJPD unter Kosten- und Entschädigungsfolgen.
Mit Verfügung vom 14. Oktober 2020 schrieb das Verwaltungsgericht (Einzelrichterin) das vorgenannte Verfahren als gegenstandslos ab. Die Gerichtskosten von Fr. 1'180.-- wurden gemäss Ziff. 3 Dispositiv zu je einem Drittel dem EJPD, der "Beschwerdegegnerschaft 1-2" (bestehend aus der A._ AG und Rechtsanwalt B._; unter solidarischer Haftung für diesen Drittel) und der Aufsichtskommission auferlegt.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 14. Dezember 2020 beantragt das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement EJPD (Beschwerdeführer) die Aufhebung der Verfügung des Verwaltungsgerichts vom 14. Oktober 2020 (Antrag 1). Der Beschwerdeführer sei von allen Gerichtskosten zu befreien und letztere seien der A._ AG (Beschwerdegegnerin 1) und/oder der Aufsichtskommission (Beschwerdegegnerin 2) aufzuerlegen (Antrag 2).
Die Vorinstanz beantragt in ihrer Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdegegnerin 1 beantragt mit Vernehmlassung vom 11. Januar 2021, unter Beilage eines Zahlungsbelegs bezüglich der Überweisung von Fr. 1'180.-- an die Vorinstanz, sinngemäss die Abschreibung des bundesgerichtlichen Verfahrens, da sie auch die dem EJPD im vorinstanzlichen Verfahren auferlegten Kosten (vgl. lit. B) bezahlt habe. Letzteres (Beschwerdeführer) repliziert mit Eingabe vom 9. Februar 2021 und präzisiert seine Anträge dahingehend, dass sich die Beschwerde einzig gegen Ziff. 3 des Dispositivs der angefochtenen Verfügung (vgl. lit. B) richte und der zweite Antrag der Beschwerde (vom 14. Dezember 2020) als Präzisierung des ersten Antrags (auf Aufhebung der angefochtenen Verfügung) zu verstehen sei. Ausserdem führe die Zahlung sämtlicher (vorinstanzlicher) Gerichtskosten durch die Beschwerdegegnerin 1 nicht zur Gegenstandslosigkeit des bundesgerichtlichen Verfahrens (dazu E. 1.3 ff. unten). Die Beschwerdegegnerin 2 hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Die II. öffentlich-rechtliche Abteilung hat ein Koordinationsverfahren im Sinne von Art. 23 Abs. 2 BGG eingeleitet (vgl. E. 3.3.8 unten).

Erwägungen:
1.
1.1. Aufgrund der Beschwerdebegründung, in deren Lichte die Anträge auszulegen sind (<ref-ruling> E. 1.2), und der Replik ist davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer neben dem reformatorischen Antrag bezüglich Kostenverteilung einzig die Aufhebung von Ziff. 3 des Dispositivs der angefochtenen Verfügung beantragt. Streitgegenstand ist mithin ausschliesslich die vorinstanzliche Gerichtskostenverteilung, nicht mehr dagegen die (abschliessend positiv beantwortete) Frage, ob die A._ AG bzw. Beschwerdegegnerin 1 den aufsichtsrechtlichen Anforderungen genügt.
1.2. Der Streitgegenstand betrifft die Kostenverteilung in einem Verfahren gemäss Bundesgesetz vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte (BGFA; SR 935.61) und damit eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a BGG). Ein Ausschlussgrund nach Art. 83 BGG liegt nicht vor. Bei der angefochtenen Verfügung (vom 14. Oktober 2020) handelt es sich um einen Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG.
1.3. Der Beschwerdeführer beruft sich bezüglich Beschwerdeberechtigung auf Art. 89 Abs. 2 lit. a BGG, wonach (unter anderem) Departemente des Bundes zur Beschwerde berechtigt sind, wenn der angefochtene Akt die Bundesgesetzgebung in ihrem Aufgabenbereich verletzen kann (sog. Behördenbeschwerde), und Art. 111 Abs. 2 BGG. Dass die vorliegende Angelegenheit den Aufgabenbereich des Beschwerdeführers (Behördenbeschwerden bzw. Aufsicht im Bereich BGFA) betrifft, ist unbestritten und zutreffend (vgl. Art. 7 Abs. 1 lit. d Organisationsverordnung vom 17. November 1999 für das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement [OV-EJPD]; SR 172.213.1). Zu prüfen ist jedoch, ob die Beschwerdeberechtigung vorliegend wegen der Bezahlung sämtlicher vorinstanzlicher Gerichtskosten durch die Beschwerdegegnerin 1 entfällt (vgl. lit. C). Dies wird vom Beschwerdeführer verneint, da bei der Behördenbeschwerde das allgemeine Interesse an der richtigen und einheitlichen Anwendung des Gesetzes genüge.
1.4. Beim seitens der Beschwerdegegnerin 1 vernehmlassungsweise vorgelegten Zahlungsnachweis handelt es sich um eine neue Tatsache, welche als solche nicht vorbehaltlos in das bundesgerichtliche Verfahren eingeführt werden darf (Art. 99 Abs. 1 BGG). Betrifft sie Umstände, die zur Gegenstandslosigkeit des Verfahrens führen können - was vorliegend grundsätzlich der Fall ist - ist sie allerdings auch noch vor Bundesgericht zulässig (Urteil 2C_994/2016 vom 9. März 2018 E. 1.5.2, nicht publ. in: <ref-ruling>).
1.5. Das Beschwerderecht der Bundesbehörden im Sinne von Art. 89 Abs. 2 lit. a BGG dient dazu, den Vollzug des Bundesrechts in den Kantonen und in der Bundesverwaltung zu überwachen und dessen richtige und einheitliche Anwendung - wenn nötig letztinstanzlich durch das Bundesgericht - sicherzustellen (<ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.2.1). Ein darüber hinausgehendes, spezifisches schutzwürdiges, öffentliches Interesse ist nicht erforderlich (BGE <ref-ruling> E. 1.2.1). Verlangt wird jedoch rechtsprechungsgemäss ein zureichendes Interesse an der Klärung der vom Beschwerdeführer aufgeworfenen Frage. Letztere muss sich auf einen konkreten Fall beziehen, d.h. eine davon losgelöste, abstrakte Frage des objektiven Rechts genügt nicht (BGE <ref-ruling> E. 1.2.1; Urteil 1C_283/2019 vom 24. Juli 2020 E. 2.3.1). Zudem muss die zu klärende Frage - sollte kein aktuelles praktisches Interesse vorliegen - zumindest noch von einer gewissen Aktualität sein, welche darin zum Ausdruck kommt, dass sie für weitere Fälle zumindest potentiell relevant ist (<ref-ruling> E. 1.3; Urteil 2C_1040/2018 vom 18. März 2021 E. 2.2.2). Es geht mit anderen Worten darum, aufgeworfene Fragen zu klären, welche sich unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, wobei eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen deren grundsätzlicher Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (<ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen; Urteil 2C_1040/2018 vom 18. März 2021 E. 2.2.2 mit Hinweisen).
1.6. Vorliegend macht der Beschwerdeführer primär geltend, unabhängig vom kantonalen Verfahrensrecht dürften ihm als Bundesbehörde im Rahmen einer Behördenbeschwerde gemäss Art. 111 Abs. 2 BGG auf Stufe Kanton keine Gerichtskosten auferlegt werden. Konkret stellt sich folgende Frage: Können einer Bundesbehörde, welche im Rahmen einer Behördenbeschwerde ihre spezialgesetzlich vorgesehene Aufsichtsfunktion (ohne jegliche Vermögensinteressen) im kantonalen Verfahren wahrnimmt, auch dann kantonale Gerichtskosten auferlegt werden, wenn keine Ausnahme im Sinne von Art. 66 Abs. 4 BGG vorliegt? Diese Frage betrifft die Anwendung von Bundesrecht, wobei es nicht (mehr) um den Vollzug des BGFA geht, sondern die Handhabung der Behördenbeschwerde im Sinne von Art. 111 Abs. 2 BGG. Der Bezug zu einem konkreten Fall ist offenkundig. Ausserdem ist die Fragestellung von potentieller Relevanz in vorgenanntem Sinne. Auf die vorliegende Behördenbeschwerde ist deshalb einzutreten.
1.7. Der Beschwerdeführer richtet seine Beschwerde (neben der Aufsichtskommission als Beschwerdegegnerin 2) nur gegen die A._ AG als Beschwerdegegnerin 1, nicht aber gegen Rechtsanwalt B._, obwohl letzterer gemäss Dispositiv der angefochtenen Verfügung als weiterer Beschwerdegegner aufgeführt war (vgl. lit. B). Nachdem sich jedoch ergeben hat, dass die A._ AG, welcher (gemäss angefochtener Verfügung) ein Drittel der Gerichtskosten des vorinstanzlichen Verfahrens unter solidarischer Haftung mit Rechtsanwalt B._ auferlegt wurde, diese Gerichtskosten vollumfänglich bezahlt hat, rechtfertigt es sich, auf den Einbezug von Rechtsanwalt B._ als weiteren Beschwerdegegner im vorliegenden Verfahren (mangels Rechtsschutzinteresse) zu verzichten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Bei der Prüfung wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), wobei es unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) grundsätzlich nur die geltend gemachten Rechtsverletzungen prüft, sofern rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.5). Der Eingriff in kantonales oder kommunales Recht bildet - soweit vorliegend interessierend - nur insofern einen eigenständigen Beschwerdegrund, als die Verletzung kantonaler verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht wird (Art. 95 lit. c BGG). Abgesehen davon kann das Bundesgericht die Auslegung und Anwendung kantonalen Rechts lediglich daraufhin überprüfen, ob dadurch Bundes-, Völker- oder interkantonales Recht verletzt wird (Art. 95 lit. a, b und e BGG). In der Praxis steht die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, insbesondere des Willkürverbots (Art. 9 BV), im Vordergrund (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 2.5.2). Diesbezüglich und in Bezug auf die Verletzung von kantonalem und interkantonalem Recht gilt eine qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht, d. h. es ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids aufzuzeigen, inwiefern die entsprechenden Rechtsnormen verletzt worden sein sollen (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.2 mit Hinweisen).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Eine Berichtigung oder Ergänzung der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen ist von Amtes wegen (Art. 105 Abs. 2 BGG) oder auf Rüge hin (Art. 97 Abs. 1 BGG) möglich, wobei eine Sachverhaltsrüge substanziiert vorzubringen ist (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 10.1; <ref-ruling> E. 4.1).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt zunächst eine Verletzung von Art. 66 Abs. 4 BGG sowie von Art. 49 Abs. 2 und Art. 186 Abs. 4 BV. Er macht im Wesentlichen geltend, in Art. 66 Abs. 4 BGG komme der bundesrechtliche Grundsatz zum Ausdruck, wonach Behörden, welche gemeinsam amtliche Aufgaben wahrnehmen würden, sich nicht gegenseitig Kosten auferlegen. Bundesbehörden dürften im Rahmen einer Behördenbeschwerde im Sinne von Art. 89 Abs. 2 lit. a BGG aufgrund Bundesrecht auch im kantonalen Verfahren keine Gerichtskosten auferlegt werden. Art. 66 Abs. 4 BGG sei bei Behördenbeschwerden des Bundes im kantonalen Verfahren zumindest sinngemäss wenn nicht direkt anzuwenden. Gemäss Art. 111 Abs. 2 BGG werde das kantonale Rechtsmittelsystem bei der Behördenbeschwerde des Bundes für die Zwecke der Bundesaufsicht instrumentalisiert. Dass dem Beschwerdeführer vor kantonaler Instanz Gerichtskosten auferlegt worden seien, verletze auch Sinn und Geist der Bundesaufsicht nach Art. 49 Abs. 2 BV i.V.m. Art. 186 Abs. 4 BV. Die Behördenbeschwerde des Bundes sei ein Aufsichtsmittel desselben im Rahmen von Art. 49 Abs. 2 BV.
3.2. Die Vorinstanz hat im Wesentlichen erwogen, das Verwaltungsrechtspflegegesetz vom 24. Mai 1959 des Kantons Zürich (VRG ZH; LS 175.2) enthalte keine Vorschrift über die Kostenauflage bei Gegenstandslosigkeit des Verfahrens. Es sei nicht auszuschliessen, dass die A._ AG ihre Statuten bereits angepasst hätte, wenn sie telefonisch oder postalisch auf die Vorbehalte aufmerksam gemacht worden wäre. Dem Beschwerdeführer sei es frei gestanden, Beschwerde zu erheben, wobei er an die 30-tägige Beschwerdefrist gebunden gewesen sei. Da alle Parteien zu einem gewissen Teil das Verfahren erforderlich gemacht bzw. dessen Gegenstandslosigkeit verursacht hätten, erscheine es gerechtfertigt die Gerichtskosten den Beteiligten gestützt auf § 65a Abs. 2 i.V.m. § 13 Abs. 2 Satz 1 VRG ZH zu je einem Drittel aufzuerlegen (vgl. im Detail lit. B oben).
3.3.
3.3.1. Gemäss Art. 111 Abs. 2 BGG können Bundesbehörden, die zur Beschwerde an das Bundesgericht berechtigt sind, die Rechtsmittel des kantonalen Rechts ergreifen und sich vor jeder kantonalen Instanz am Verfahren beteiligen, wenn sie dies beantragen. Die Behördenbeschwerde des Bundes im Sinne von Art. 111 Abs. 2 bzw. Art. 89 Abs. 2 lit. a BGG ist Ausfluss von Art. 49 Abs. 2 BV, wonach der Bund über die Einhaltung des Bundesrechts durch die Kantone zu wachen hat (BERNHARD EHRENZELLER, in: Basler Kommentar BGG, 3. Aufl. 2018 [BSK-BGG], N. 11 zu Art. 111 BGG; ALEXANDER RUCH, in: Die schweizerische Bundesverfassung, St. Galler Kommentar, 3. Aufl. 2014 [SGK-BV], N. 29 zu Art. 49 BV). Sie ist demnach ein Instrument der Bundesaufsicht, dem zumindest gemäss der Lehre Priorität gegenüber anderen Aufsichtsmitteln (wie direkten Weisungen an die Kantone, Kassation von kantonalen Akten) einzuräumen ist (BERNHARD WALDMANN, in: Basler Kommentar BV, 2015 [BSK-BV], N. 44 zu Art. 49 BV; MICHAEL PFLÜGER, Die Legitimation des Gemeinwesens zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, 2013, Rz. 826 ff.; KÖLZ/HÄNER/BERTSCHI, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 3. Aufl. 2013 [KÖLZ/HÄNER/BERTSCHI, Verwaltungsrechtspflege], Rz. 1495).
3.3.2. Art. 111 BGG steht unter dem Randtitel "Einheit des Verfahrens". Diese Einheit soll unter anderem dadurch sichergestellt werden, dass die vor Bundesgericht beschwerdeberechtigten Bundesbehörden auch im vorinstanzlichen, kantonalen Verfahren legitimiert sind und die entsprechenden Rechtsmittel einlegen können. Das Bundesrecht greift in diesem Sinne auf die kantonalen Rechtsmittel zurück. Die Behördenbeschwerde des Bundes ist nicht nur unabhängig von den allgemeinen Legitimationsvoraussetzungen von Art. 89 Abs. 1 BGG, d.h. erfordert deshalb kein besonderes Berührtsein (im Sinne eines gesteigerten, öffentlichen Interesses) und ist insofern "abstrakt". Sie ist aufgrund ihrer Ausgestaltung zudem "autonom", denn die Bundesbehörde kann (entgegen Art. 89 Abs. 1 lit. a BGG) auch erst gegen den letztinstanzlichen, kantonalen Entscheid Beschwerde erheben und ist nicht an Einschränkungen des Streitgegenstandes im kantonalen Verfahren gebunden, sondern kann neue Begehren stellen (BGE <ref-ruling> E. 1.2).
3.3.3. Art. 111 Abs. 2 BGG verweist nicht auf Art. 66 Abs. 4 BGG, wonach dem Bund in der Regel keine Gerichtskosten auferlegt werden dürfen, wenn er in seinem amtlichen Wirkungskreis betroffen ist und es sich nicht um seine Vermögensinteressen handelt. Der Gesetzgeber hat allerdings zu dieser Bestimmung ausgeführt, der Bund sei von Verfassung wegen von den Gerichtskosten befreit (Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege [Botschaft Bundesrechtspflege], BBl 2001 4202 ff., 4305). Zu Art. 111 BGG hat er festgehalten, die Aufsicht des Bundes über den kantonalen Vollzug von Bundesrecht solle mit Hilfe von Rechtsmitteln gewährleistet werden. Da die Aufsichtsmittel des Bundes nur lückenhaft geregelt seien, nutze der Bund die kantonalen Rechtsmittel, was den Vorteil habe, dass die Kantone über eigene Gerichte allfällige Verletzungen von Bundesrecht korrigieren könnten. Diesbezüglich könne der Bund sämtliche Parteirechte des kantonalen Rechts ausüben, z.B. Beweisanträge stellen oder sich am Verfahren beteiligen, ohne selbst Partei zu sein (Botschaft Bundesrechtspflege, BBl 2001 4202 ff., 4349 f.; BGE <ref-ruling> E. 2.1; YVES DONZALLAZ, Commentaire LTF, 2008, Rz. 4429. Ausserdem kann der Bund ohne Beteiligung am kantonalen Verfahren die Behördenbeschwerde erst vor Bundesgericht ergreifen, vgl. E. 3.3.2 oben.). Angesichts der Nutzung des kantonalen Rechtsmittelsystems für die Zwecke der Behördenbeschwerde des Bundes stellt sich die Frage, ob sich diesbezüglich die Kostenverteilungsregel nicht aus Bundesrecht ergibt bzw. ob die Bundesbehörde das Risiko der Auferlegung kantonaler Gerichtskosten in Kauf nehmen muss.
3.3.4. § 65a Abs. 2 VRG ZH verweist bezüglich der Kostenverteilung im (kantonalen) verwaltungsgerichtlichen Verfahren auf §§ 13 - 16 VRG ZH. Laut § 13 Abs. 2 Satz 1 VRG ZH sind die Kosten in der Regel nach dem Unterliegerprinzip zu verteilen. Gemäss kantonaler Praxis können auch der Bund, der Kanton oder die Gemeinden kostenpflichtig werden für Amtshandlungen, die auch für Private kostenpflichtig gewesen wären, wobei in der Lehre das Beispiel eines kantonalen Hochbauvorhabens, sprich der Kanton als Bauherr, genannt wird. Zudem sollen erstinstanzlich anordnenden Behörden Verfahrenskosten auferlegt werden können, nicht aber weiteren Vorinstanzen, da letztere ausschliesslich die ihnen anvertrauten öffentlichen Interessen zu wahren haben (KASPAR PLÜSS, in: Alain Griffel [Hrsg.], Kommentar VRG, 3. Aufl. 2014 [Kommentar VRG], N. 46 ff. zu § 13 VRG ZH). Eine spezifische Regelung, wie die Kosten im Falle einer Behördenbeschwerde des Bundes auf kantonaler Ebene zu verteilen sind, enthält das VRG ZH nicht. Ebenso wenig regelt es die Kostenverteilung bei Gegenstandslosigkeit des Verfahrens. Praxisgemäss orientieren sich die Zürcher Behörden diesbezüglich an den Regeln, welchen auch das Bundesgericht folgt. Bei Gegenstandslosigkeit ohne Zutun der Parteien werden die Kosten nach den Prozessaussichten bzw. dem mutmasslichen Prozessausgang verteilt (KASPAR PLÜSS, in: Kommentar VRG, N. 74 f. zu § 13 VRG ZH; HANSJÖRG SEILER, in: SHK, Seiler/von Werdt/Güngerich/Oberholzer [Hrsg.], Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2015 [SHK-BGG], N. 37 zu Art. 66 BGG; Art. 71 BGG i.V.m. Art. 72 BZP; <ref-ruling> E. 8.2). Ist die Gegenstandslosigkeit auf die Abstandserklärung einer Partei bzw. deren ausdrückliche oder konkludente Unterziehung zurückzuführen, gilt die den Abstand erklärende Partei als unterliegend und hat folglich die Gerichtskosten nach dem Unterliegerprinzip zu tragen (KASPAR PLÜSS, in: Kommentar VRG, N. 79 zu § 13 VRG ZH; HANSJÖRG SEILER, in: SHK-BGG, N. 35 zu Art. 66 BGG; Urteil 5A_658/2016 vom 9. Mai 2016).
3.3.5. Gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung darf kantonales Verfahrensrecht von Bundesrechts wegen nicht so ausgestaltet oder angewendet werden, dass dadurch die Verwirklichung von Bundesrecht vereitelt oder wesentlich erschwert wird (<ref-ruling> E. 3.7.4.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 4.a). Dieser Grundsatz folgt aus Art. 49 Abs. 1 BV bzw. dem Vorrang von Bundesrecht gegenüber kantonalem Recht (BGE <ref-ruling> E. 2.1; KÖLZ/HÄNER/BERTSCHI, Verwaltungsrechtspflege, Rz. 107). Demgemäss drängt sämtliches Bundesrecht widersprechendes kantonales Recht zurück (<ref-ruling> E. 2.2.1). Ob kantonales Recht mit dem Vereitelungsverbot vereinbar ist, prüft das Bundesgericht mit freier Kognition (BGE <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 4.2).
3.3.6. Nachdem das einschlägige, kantonale Verfahrensrecht gar keine explizite Regelung enthält, wie bei einer Behördenbeschwerde des Bundes die Gerichtskosten zu verteilen sind, und sich bei anderen nicht ausdrücklich geregelten Fragestellungen bezüglich Kosten an den Normen für das bundesgerichtliche Verfahren oder der Praxis des Bundesgerichts orientiert, erscheint es naheliegend, auch bezüglich der Behördenbeschwerde des Bundes auf kantonaler Ebene den Fokus auf den Sinn und Zweck der Behördenbeschwerde zu legen. Dies ist insofern angezeigt, als die Kostenbelastung einer Bundesbehörde, welche mittels Behördenbeschwerde auf kantonaler Ebene ihre Aufsichtsfunktion wahrnimmt, durchaus geeignet ist, die Ergreifung der Behördenbeschwerde auf kantonaler Ebene und damit die Verwirklichung von Bundesrecht wesentlich zu erschweren. Die Gerichtskosten eines einzelnen Verfahrens mögen wie vorliegend bescheiden sein. In der Summe mehrerer Verfahren können sie jedoch ein erhebliches Ausmass annehmen. Wenn die Behördenbeschwerde der Bundesbehörden als "autonomes" Rechtsmittel (BGE <ref-ruling> E. 1.2) oder als integrale Beschwerde (KÖLZ/HÄNER/BERTSCHI, Verwaltungsrechtspflege, Rz. 1495; PIERRE TSCHANNEN, Staatsrecht der schweizerischen Eidgenossenschaft, 5. Aufl. 2021, Rz. 983; KIENER/RÜTSCHE/KUHN, Öffentliches Verfahrensrecht, 3. Aufl. 2021, Rz. 1477; BERTSCHI, in: Kommentar VRG, N. 139 zu § 21 VRG ZH) verstanden wird, muss dieses Rechtsmittel konsequenterweise bezüglich Kostenbelastung auch entsprechend seiner Funktion behandelt werden.
3.3.7. Sinn und Zweck der Behördenbeschwerde des Bundes im Sinne von Art. 89 Abs. 2 lit. a und Art. 111 Abs. 2 BGG ist die Sicherstellung der einheitlichen und korrekten Anwendung von Bundesrecht. Sie ist ein Mittel der Bundesaufsicht (vgl. E. 1.5 und 3.3.1 oben). Dem ist durch verfassungs- respektive bundesrechtskonforme Auslegung des VRG ZH Rechnung zu tragen (vgl. zur verfassungskonformen Auslegung <ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 2; Urteile 2C_187/2020 vom 9. Juli 2020 E. 4.1; 1C_262/2007 vom 31. Januar 2008 E. 4.2 ff.). Der Zweck der Behördenbeschwerde des Bundes wird wesentlich erschwert, wenn § 13 VRG ZH bzw. das VRG ZH in einer Weise angewendet wird, dass Bundesbehörden bei Einlegung des genannten Rechtsmittels auf kantonaler Stufe die Gerichtskosten auferlegt werden können (unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausnahmen). Eine solche Auslegung und Anwendung kantonalen Rechts verstösst gegen den Sinn und Geist von Art. 49 Abs. 2 BV und Art. 111 Abs. 2 BGG und hat deshalb als bundesrechtswidrig zurückzutreten.
Davon abzugrenzen sind Konstellationen, bei denen gemäss expliziter bundesrechtlicher Vorschrift im kantonalen Verfahren der unterliegenden Partei die (kantonalen) Gerichtskosten aufzuerlegen sind (vgl. beispielsweise Art. 144 Abs. 1 und Art. 145 Abs. 2 DBG) und die Bundesbehörde mit ihrer Behördenbeschwerde nicht nur eine Aufsichtsfunktion wahrnimmt, sondern auch Vermögensinteressen verfolgt (sog. Doppelnatur der Behördenbeschwerde). Wenn somit beispielsweise die Eidgenössische Steuerverwaltung ESTV im kantonalen Verfahren eine Behördenbeschwerde ergreift - mithin als Beschwerdeführerin auftritt und nicht bloss eine Vernehmlassung einreicht - ist davon auszugehen, dass sie auch Vermögensinteressen verfolgt, weshalb es sich in solchen Fällen rechtfertigt, der Bundesbehörde im Falle des Unterliegens die kantonalen Gerichtskosten aufzuerlegen (vgl. Urteil 2C_200/2014 vom 4. Juni 2015 E. 3.4 ff. mit zahlreichen Hinweisen).
Ebenso muss die Möglichkeit vorbehalten bleiben, einer Bundesbehörde im Rahmen eines Behördenbeschwerdeverfahrens ausnahmsweise die kantonalen Gerichtskosten aufzuerlegen, wenn sie unnötige Kosten verursacht hat. Art. 66 Abs. 4 i.V.m. Art. 66 Abs. 3 BGG erlaubt in einem solchen Fall, einer Behörde (oder mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betrauten Organisation) ausnahmsweise die Gerichtskosten des bundesgerichtlichen Verfahrens aufzuerlegen (Der Gesetzeswortlaut "in der Regel" von Art. 66 Abs. 4 BGG lässt dafür den nötigen Spielraum. Vgl. dazu beispielsweise <ref-ruling> E. 9; Urteil 9C_354/2020 vom 8. September 2020 E. 5). Im vorliegenden Kontext wäre dies etwa denkbar, wenn eine im kantonalen Bewilligungsverfahren begrüsste Bundesbehörde vernehmlassungsweise zunächst keine Bedenken äussert, dann aber die entsprechende Verfügung oder den entsprechenden Entscheid beim kantonalen Verwaltungsgericht anficht.
3.3.8. Die Vereinigung der betroffenen Abteilungen des Bundesgerichts (I. und II. öffentlich-rechtliche Abteilung, I. und II. sozialversicherungsrechtliche Abteilung) hat an ihrer Sitzung vom 18. Januar 2022 im Rahmen eines Verfahrens nach Art. 23 Abs. 2 BGG aufgrund des Gesagten verneint, dass einer Bundesbehörde, welche im Rahmen einer Behördenbeschwerde ihre spezialgesetzlich vorgesehene Aufsichtsfunktion (ohne jegliche Vermögensinteressen) im kantonalen Verfahren wahrnimmt, auch dann kantonale Gerichtskosten auferlegt werden können, wenn keine Ausnahme im Sinne von Art. 66 Abs. 4 BGG vorliegt. Dies gilt entsprechend auch für § 13 VRG ZH bzw. das VRG ZH generell. Vorliegend verfolgte der Beschwerdeführer mit seiner Behördenbeschwerde im Rahmen des kantonalen Rechtsmittelverfahrens lediglich eine Aufsichtsfunktion und keine Vermögensinteressen, setzte er sich doch dafür ein, dass eine kantonale Aufsichtsbehörde die einschlägige Rechtsprechung des Bundesgerichts beachte (lit. B oben). Der Umstand, dass die Beschwerdegegnerin 1 nach Eingang der verwaltungsgerichtlichen Beschwerde ihre Statuten rasch angepasst hat (lit. B oben), bedeutet zudem nicht, dass die Ergreifung dieses Rechtsmittels unnötig war bzw. der Beschwerdeführer unnötige Kosten verursacht hat.
4.
4.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich damit als begründet und ist gutzuheissen. Ziff. 3 des Dispositivs der angefochtenen Verfügung ist aufzuheben. Angesichts der besonderen Ausgangslage - insbesondere da Streitgegenstand die vorinstanzliche Kostenverteilung ist und die Höhe der entsprechenden Gerichtskosten feststeht - rechtfertigt es sich vorliegend, dass das Bundesgericht von seiner Möglichkeit Gebrauch macht und die Gerichtskosten des vorinstanzlichen Verfahrens (Fr. 1'180.--) selbst neu verteilt (Art. 67 BGG). Die vorinstanzlichen Gerichtskosten werden demnach im Sinne der vorangegangenen Erwägungen, d.h. ohne Kostenbelastung des Beschwerdeführers, der Beschwerdegegnerin 1 und der Beschwerdegegnerin 2 (Aufsichtskommission) je zur Hälfte auferlegt.
4.2. Damit erübrigt es sich, auf die weitere Rüge des Beschwerdeführers, wonach die Vorinstanz § 13 Abs. 2 VRG ZH willkürlich angewendet habe, einzugehen.
4.3. Bei diesem Verfahrensausgang werden die Gerichtskosten des bundesgerichtlichen Verfahrens in reduziertem Umfang der Beschwerdegegnerin 1 auferlegt (Art. 65, Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird gutgeheissen. Ziff. 3 des Dispositivs der Verfügung des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich (Einzelrichterin), 3. Abteilung, vom 14. Oktober 2020 wird aufgehoben.
2.
Die Gerichtskosten des vorinstanzlichen Verfahrens im Betrag von Fr. 1'180.-- werden je zur Hälfte der Beschwerdegegnerin 1 und der Beschwerdegegnerin 2 auferlegt.
3.
Der Beschwerdegegnerin 1 werden für das bundesgerichtliche Verfahren Gerichtskosten im Betrag von Fr. 500.-- auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, mitgeteilt.
Lausanne, 15. März 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Der Gerichtsschreiber: C. Quinto