Fatti:
A.
A.a. A._ il 30 aprile 2012 ha sottoposto al Municipio del Comune di U._ (ora aggregato al Comune di Mendrisio) un conteggio che attestava un saldo di 702.80 ore supplementari e di 39.25 giorni di vacanza. Con scritto del 3 febbraio 2013 A._ ha chiesto formalmente al Municipio di U._ di saldargli le ore supplementari prestate durante il suo impiego per un importo totale di fr. 58'791.76. Con decisione del 22 marzo 2013 il Municipio di U._ ha respinto la richiesta, non avendo il dipendente informato tempestivamente l'autorità di nomina delle ore supplementari. Il ritardo nel presentare la richiesta avrebbe impedito di compensare le ore supplementari con ore di congedo.
A.b. Il 4 febbraio 2015 il Consiglio di Stato del Cantone Ticino ha respinto il ricorso di A._ contro la risoluzione municipale. Il 23 settembre 2015 il Tribunale amministrativo del Cantone Ticino (causa 52.2015.120) ha accolto il ricorso di A._ e ha rinviato la causa al Consiglio di Stato, affinché accertasse la fattispecie.
A.c. Statuendo ancora nella causa, il 28 febbraio 2018 il Consiglio di Stato del Cantone Ticino ha riconosciuto a A._ fr. 44'761.20 oltre interessi al 5% dal 31 maggio 2012.
B.
Il 26 settembre 2019 il Tribunale cantonale amministrativo (causa 52.2018.190) ha respinto il ricorso contro la nuova decisione governativa.
C.
A._ insorge al Tribunale federale con un ricorso sussidiario in materia costituzionale, chiedendo la riforma del giudizio cantonale e il riconoscimento di fr. 58'791.- oltre interessi dal 31 maggio 2012.
Chiamati ad esprimersi, il Municipio di Mendrisio chiede la reiezione del ricorso, mentre la Corte cantonale si rinconferma nel proprio giudizio.

Diritto:
1.
1.1. Il Comune di U._ è stato aggregato nel Comune di Mendrisio (Decreto legislativo del 28 giugno 2012 concernente l'aggregazione dei Comuni di Besazio, Ligornetto, Mendrisio e Meride in un unico Comune denominato Mendrisio; Bollettino ufficiale delle leggi e degli atti esecutivi n. 35/2012 del 24 agosto 2012 pag. 395 segg.). A norma dell'art. 3 cpv. 1 del medesimo decreto legislativo il Comune di Mendrisio, rappresentato dal proprio Municipio, subentra nei diritti e negli obblighi, compresi quelli patrimoniali, del preesistente Comune di U._.
1.2. Il Tribunale federale esamina liberamente, con piena cognizione e senza essere vincolato dalle motivazioni delle parti, la sua competenza (<ref-law>) e l'ammissibilità del rimedio esperito (<ref-ruling> consid. 1 pag. 186). Giova ricordare che la dimostrazione dell'esistenza delle condizioni di ammissibilità del ricorso, se non è manifesta, incombe a chi insorge (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.1 pag. 397; <ref-ruling> consid. 2.3 in fine pag. 287).
1.3. Il ricorrente all'autorità di nomina ha presentato una pretesa per fr. 58'791.76 (lett. A.a). In sede di rinvio il Consiglio di Stato ha riconosciuto al ricorrente il rimborso di fr. 44'761.20 (lett. A.c). Per stessa ammissione del ricorrente, il valore litigioso determinato dalle conclusioni rimaste contestate dinanzi all'autorità inferiore (fr. 14'030.56; <ref-law>) non raggiunge il minimo di fr. 15'000.- per il ricorso (ordinario) in materia di diritto pubblico (<ref-law>). In tal caso il ricorso sarebbe ammissibile soltanto se si ponesse una questione di diritto di importanza fondamentale (<ref-law>). Rettamente l'insorgente presenta soltanto un ricorso sussidiario in materia costituzionale (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.3.3 pag. 188).
1.4. Con il ricorso in materia costituzionale può essere censurata la violazione di diritti costituzionali (<ref-law>). Laddove è invocata la violazione di diritti fondamentali o di norme del diritto cantonale, nonché l'arbitrio nell'accertamento dei fatti, il Tribunale federale esamina soltanto le censure motivate in modo chiaro e preciso (<ref-law>). Le esigenze di motivazione in queste evenienze sono accresciute e i ricorrenti devono esporre in maniera chiara e dettagliata, confrontandosi puntualmente con tutti i considerandi del giudizio impugnato, in quale misura sarebbero violati i loro diritti fondamentali (<ref-ruling> consid. 2 pag. 190; <ref-ruling> consid. 5.1 pag. 41; <ref-ruling> consid. 1.1 pag. 503).
1.5. Il Tribunale federale fonda la sua sentenza sui fatti accertati dall'autorità inferiore (<ref-law>). Può rettificare o completare d'ufficio l'accertamento dei fatti operato dall'autorità inferiore se è stato svolto in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> (<ref-law>).
1.6.
1.6.1. A norma dell'<ref-law> è legittimato al ricorso in materia costituzionale chiunque ha partecipato alla procedura dinanzi all'autorità inferiore o non gliene è stata data la possibilità (lett. a) e ha un interesse legittimo all'annullamento o alla modifica della decisione impugnata (lett. b).
1.6.2. Analogamente a quanto valeva per il previgente ricorso di diritto pubblico (art. 84 e 88 vOG), la legittimazione è data soltanto se il ricorrente può vantare un interesse giuridico all'annullamento o alla modifica della decisione impugnata. In altre parole, gli interessi che il ricorrente solleva devono essere protetti da una norma giuridica del diritto federale o cantonale, o direttamente da un diritto fondamentale particolare (<ref-ruling> consid. 1.2 pag. 326; <ref-ruling> consid. 4 pag. 191 segg.). Questo diversamente dai diritti costituzionali generali, come il divieto dell'arbitrio, il quale può essere invocato soltanto se le norme toccate accordano al ricorrente un diritto o servano a proteggere i suoi diritti asseritamente violati (<ref-ruling> consid. 1.3 pag. 308; sentenza 8D_7/2018 del 27 giugno 2019 consid. 1.2). Il ricorrente non si esprime, come dovrebbe, al riguardo. Tuttavia, può pretendere la retribuzione delle ore non pagate fondandosi sulla legislazione cantonale (e comunale) del personale. Il ricorrente è pertanto legittimato a ricorrere, invocando anche il divieto dell'arbitrio.
2.
Oggetto del contendere è sapere se il giudizio cantonale sia lesivo dei diritti costituzionali, in modo particolare del divieto dell'arbitrio.
3.
3.1. Il Tribunale cantonale amministrativo ha richiamato per prima cosa il diritto applicabile all'istituto della prescrizione per le pretese di diritto pubblico. La Corte cantonale ha fatto riferimento per analogia agli art. 128 n. 3 e 341 cpv. 2 CO. Dopo aver rilevato che il Municipio ha sollevato correttamente la prescrizione, i giudici ticinesi hanno rilevato che una semplice richiesta scritta o un sollecito a verbale già sono sufficienti per interrompere la prescrizione. Nella fattispecie, la Corte cantonale ha osservato che il ricorrente non ha mai formulato prima del 20 aprile 2012 una chiara richiesta di compensazione delle ore supplementari prestate. La conoscenza del Sindaco non permette di concludere che il dipendente abbia effettivamente provveduto a una rivendicazione, tanto che la questione non era stata sottoposta al Municipio. Per tale ragione, i giudici ticinesi, come già il Consiglio di Stato, hanno dichiarato prescritte le pretese prima del 20 aprile 2007, momento in cui è stata discussa dal Municipio la richiesta del ricorrente. Concludendo, la Corte cantonale ha negato una tutela della buona fede, siccome il ricorrente è rimasto passivo nel fare valere le proprie pretese.
3.2. Il ricorrente rimprovera al Tribunale cantonale amministrativo di essere caduto nell'arbitrio, non avendo ritenuto validamente interrotta la prescrizione ed essendosi basato su di un accertamento manifestamente inesatto. L'audizione dell'allora Sindaco dinanzi al Consiglio di Stato ha confermato che le ore erano annotate in una tabella nel computer della cancelleria, ma di non averla mai consultata. Il ricorrente rileva tale aspetto e che il computer della Cancelleria comunale era accessibile a tutti. Da qui deriva anche una violazione della buona fede, visto che il ricorrente ha rispettato la via di servizio.
3.3. Secondo giurisprudenza, l'arbitrio non si realizza già qualora la soluzione proposta con il ricorso possa apparire sostenibile o addirittura preferibile a quella contestata. Il Tribunale federale annulla la pronuncia criticata solo se il giudice del merito ha emanato un giudizio che appare - e ciò non solo nella motivazione bensì anche nell'esito - manifestamente insostenibile, in aperto contrasto con la situazione reale, gravemente lesivo di una norma o di un principio giuridico chiaro e indiscusso oppure in contraddizione urtante con il sentimento della giustizia e dell'equità (<ref-ruling> consid. 4.2 pag. 516; <ref-ruling> consid. 6.2 pag. 239). Spetta al ricorrente dimostrare questa condizione (<ref-ruling> consid. 2.2 pag. 69).
3.4. Il ricorso è volto all'insuccesso. Contrariamente alla tesi del ricorrente il giudizio cantonale non è il frutto di un assunto insostenibile. È vero, la Corte cantonale ha accertato che la tabella con le ore supplementari era conservata nel sistema informatico del Comune. Tuttavia, il ricorrente non dimostra l'arbitrio sull'accertamento della Corte cantonale, che ha concluso come il ricorrente non abbia mai presentato le sue pretese prima del 20 aprile 2012. Secondo l'apprezzamento, avvenuto senza arbitrio, della Corte cantonale il Sindaco era stato edotto della presenza di ore supplementari, ma non della reale portata delle stesse. Alla luce di ciò, il Tribunale cantonale amministrativo, sempre senza arbitrio, poteva concludere che prima del 20 aprile 2012 la prescrizione non era stata interrotta. Per fare ciò al ricorrente era sufficiente trasmettere la nota tabella al Sindaco, all'indirizzo del Municipio. Essendo rimasto passivo, il ricorrente non può pretendere che la Corte cantonale abbia negato la sua buona fede.
4.
4.1. Il Tribunale cantonale amministrativo, come già il Consiglio di Stato, ha negato la retribuzione delle ore supplementari che il ricorrente ha sostenuto di aver svolto al di fuori degli orari di inizio e fine delle sedute a cui era chiamato a partecipare. La Corte cantonale ha sottolineato che compete all'impiegato provare di aver effettuato ore supplementari. I giudici ticinesi non hanno negato che il ricorrente abbia svolto un importante numero di prestazioni oltrepassanti il suo normale orario di lavoro. A tal riguardo, l'autorità cantonale si è basata sui verbali. Mentre non ha riconosciuto il compenso per gli straordinari che non risultavano debitamente comprovati. In assenza di altri elementi concreti, la Corte cantonale non ha ritenuto sufficiente fondarsi sulla presunzione che il ricorrente dopo le sedute dovesse farsi carico di operazioni di riordino, relegandole a mere affermazioni di parte.
4.2. Il ricorrente censura l'arbitrio nel giudizio cantonale nella misura in cui la Corte cantonale ha concluso che le distinte per le ore supplementari si riconducono a mere affermazioni di parte. In occasione del verbale del 27 settembre 2016 dinanzi al Servizio dei ricorsi del Consiglio di Stato il Municipio avrebbe riconosciuto le ore così come esposte dal ricorrente. Secondo il ricorrente i giudici cantonali a torto non hanno considerato questa ammissione. Per dimostrare le proprie ore, il ricorrente rileva che non avrebbe potuto compiere alcun'altra misura. Del resto, sarebbe la stessa Corte cantonale ad aver stabilito che spetta al datore di lavoro l'obbligo di adottare un efficace sistema di controllo.
4.3. Contrariamente a quanto sostiene il ricorrente, il Tribunale cantonale amministrativo poteva accertare, senza cadere nell'arbitrio, che la tabella allestita dal ricorrente fosse una mera affermazione di parte, la quale non era atta a provare effettivamente le ore supplementari svolte. Del resto, anche l'ammissione operata dal Municipio in occasione dell'audizione del 27 settembre 2016 dinanzi al Servizio dei ricorsi del Consiglio di Stato non era integrale, ma con le riserve di cui al verbale. Tutte le parti avevano dato atto che a quel momento la documentazione non era del tutto completa. Mentre le ore riconosciute risultavano chiaramente dagli orari di inizio e fine seduta indicati sui verbali, ciò non era il caso per le altre ore di cui il ricorrente pretende il rimborso. Inoltre occorre ricordare che in tali evenienze, ossia in caso di assenza di prova, spetta in linea di principio a chi vuole dedurre un diritto di sopportarne le conseguenze (<ref-ruling> consid. 5.2 pag. 185 seg.). Proprio perché incombeva al ricorrente l'onere della prova, egli non può quindi rimproverare con successo ai giudici cantonali di essere caduti nell'arbitrio per aver escluso forza probante alla tabella registrata nel computer della Cancelleria comunale, in assenza di altri elementi concreti che permettessero di stabilire con una certa precisione la durata delle ore supplementari.
5.
Ne segue che il ricorso deve essere respinto. Le spese giudiziarie seguono la soccombenza (<ref-law>). Non si assegnano ripetibili ad autorità cantonali e comunali vincenti, anche quando queste ultime sono patrocinate (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 7 pag. 119).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 1000.- sono poste a carico del ricorrente.
3.
Comunicazione alle parti, al Tribunale cantonale amministrativo e al Consiglio di Stato della Repubblica e Cantone Ticino.