Faits :
A.
A.a. A.A._ (1985) et C.B._ (1986) se sont rencontrées en 2013. Quelques mois après leur rencontre, elles ont emménagé ensemble et vécu en concubinage. En 2014, elles ont décidé de recourir à la procréation médicalement assistée et acquis des paillettes auprès d'un donneur à l'étranger. Le 4 avril 2015, A.A._ a donné naissance à l'enfant D.A._.
En décembre 2015, A.A._ et C.B._ ont mis fin à leur relation de couple. Elles ont décidé de continuer à vivre sous le même toit.
Dans un article paru le 6 août 2017 A.A._ a affirmé ceci: " J'ai toujours su qu'un jour je deviendrai mère. D.A._ a deux mamans et beaucoup d'amour. Et c'est l'amour qui fait une famille, indépendamment de sa composition. Nous sommes une famille comme les autres. Nos journées se déroulent dans la simplicité: maison, travail, école, changer les coucher, trouver un jardin d'enfants... Bref, nous sommes des parents comme les autres ".
A.b. Durant l'été 2017, C.B._ a informé A.A._ qu'elle souhaitait avoir un enfant et sollicité son accord pour recourir aux paillettes du même donneur que pour D.A._. A.A._ a consenti à cette utilisation.
A.c. Par requête du 10 janvier 2018, C.B._ a demandé à adopter l'enfant D.A._. Le 11 juin 2018, le Juge de paix du district de Lausanne a attesté du fait que A.A._ avait consenti, le 17 avril 2018, à l'adoption de D.A._ par C.B._.
A.d. Le 24 août 2018, C.B._ a donné naissance à l'enfant B.B._. A.A._ était à son chevet lors de l'accouchement. Sa mère et D.A._ étaient également présents à l'hôpital.
A.e. Le 4 mars 2019, le Service de protection de la jeunesse du canton de Vaud (SPJ; dénommé depuis le 1er septembre 2020 la DGEJ) a rendu un préavis favorable à l'adoption de D.A._ par C.B._. L'adoption a été prononcée le 28 mars 2019 par le Département de l'Economie, de l'innovation et du sport du canton de Vaud.
A.f. Par requête du 3 septembre 2019, A.A._ a demandé à adopter l'enfant B.B._.
A.g. Le 18 février 2020, le SPJ a informé A.A._ et C.B._ que la Direction de l'Etat civil cantonal l'avait mandaté pour procéder à l'enquête prévue par l'<ref-law> dans le cadre de la procédure d'adoption de B.B._. Le 21 janvier 2020, le Juge de paix du district de Lausanne a attesté que C.B._ avait consenti le 5 décembre 2019 à l'adoption de B.B._ par A.A._ et que le délai légal de révocation était arrivé à échéance le 16 janvier 2020 sans avoir été utilisé.
Le 1er juillet 2020, alors que la procédure d'adoption de B.B._ allait débuter, A.A._ a signalé à la DGEJ que C.B._ voulait se rendre en Italie avec les deux enfants et qu'elle ne souhaitait pas, compte tenu du Covid-19, qu'elle emmène son fils qui était de santé fragile. Elle a alors fait part de mensonges au sein de leur couple entachant la procédure d'adoption de D.A._ en 2018. Le 9 juillet 2020, C.B._ est partie en Italie avec B.B._. A son retour de vacances, elle s'est installée provisoirement avec sa fille chez E._ à U._. Du 21 au 26 juillet 2020, elle a permis à A.A._ de garder B.B._ avec sa mère.
Le 6 août 2020, C.B._ a emménagé avec B.B._ dans un appartement sis chemin V._ à W._. A.A._ est restée vivre avec D.A._ dans l'ancien logement familial sis chemin X._.
Le 12 août 2020, C.B._ a révoqué son consentement à l'adoption de B.B._ par son ancienne compagne.
A.h. Dans un signalement à l'Office régional pour la protection des mineurs (ORPM) Centre du 18 août 2020, F._, responsable du groupe adoption de la DGEJ, a notamment observé que le conflit entre les mères entamait sérieusement leurs compétences parentales, qu'elles avaient partagé leur désarroi tout en dénigrant l'autre et lui rejetant la responsabilité du conflit, que C.B._ se disait sous l'emprise de son ancienne compagne, affirmant devoir " sauver sa peau et celle de sa fille sans pouvoir protéger D.A._ ", dont le développement et la santé souffriraient de l'anxiété de sa mère, et que A.A._ semblait effectivement particulièrement anxieuse et démunie, souhaitant sincèrement le bien des enfants mais se laissant déborder par ses émotions et paraissant particulièrement influençable. L'intervenante ajoutait que malgré leur bonne volonté, les deux femmes se montraient incapables de protéger les enfants du conflit les divisant et les utilisaient, que le projet de " désadopter " D.A._ et de le priver de l'un de ses parents alertait particulièrement, et que l'enfant paraissait être le centre d'un conflit éducatif.
Jusqu'au 29 août 2020, C.B._ a été autorisée par son ancienne compagne à garder occasionnellement D.A._.
A.i. Le 17 septembre 2020, C.B._ a saisi l'autorité de protection de l'enfant d'une requête tendant en substance à ce que la garde de D.A._ lui soit attribuée, respectivement l'autorité parentale conjointe si celle-ci ne devait pas résulter ex lege de l'adoption.
Aux termes de leur rapport du 20 octobre 2020, G._ et H._, respectivement adjoint suppléant de la cheffe de l'ORPM Centre et assistante pour la protection des mineurs, ont requis de l'autorité de protection de l'enfant la fixation d'une audience, l'ouverture d'une enquête en limitation de l'autorité parentale et la fixation d'un droit de visite pour les enfants. En conclusion de son rapport, la DGEJ notait que le conflit de couple massif ne permettait pas d'aboutir à une solution raisonnée et que les enfants, notamment D.A._, semblaient affectés; elle recommandait de travailler le conflit entre les mères pour permettre aux enfants de trouver une stabilité et un bien-être physique [recte: psychique].
A l'audience du Juge de paix de Lausanne du 29 octobre 2020, les parties sont convenues de suspendre la cause qui concernait l'enfant D.A._ pour leur permettre de finaliser une convention à lui soumettre pour valoir ordonnance de mesures provisionnelles.
A.j. Par décision du 30 novembre 2020, la Direction de l'Etat civil du canton de Vaud a rejeté la requête tendant à l'adoption de B.B._ par A.A._.
A.k. Le 1er décembre 2020, C.B._ s'est installée avec B.B._ chez sa nouvelle compagne E._, dont elle avait fait connaissance fin 2019.
B.
Par requête de mesures provisionnelles du 1er décembre 2020, A.A._ a demandé qu'un droit de visite au sens de l'<ref-law> soit fixé en sa faveur sur l'enfant B.B._. Une audience s'est tenue devant le Juge de Paix du district de la Riviera - Pays-d'Enhaut (ci-après: le Juge de paix) le 18 janvier 2021.
B.a. Le 18 février 2021, une audience s'est tenue devant le Juge de paix du district de Lausanne concernant l'enfant D.A._. A.A._ a indiqué que D.A._ avait vu B.B._ et la mère de celle-ci le 16 novembre 2020 et qu'il n'y avait plus eu de contacts entre eux depuis lors. Les parties ont requis la suspension de la cause jusqu'au dépôt du rapport de la DGEJ.
B.b. Par ordonnance de mesures provisionnelles du 18 janvier 2021, le Juge de paix a poursuivi l'enquête en fixation d'un droit de visite en faveur de A.A._ sur l'enfant B.B._, représentée par sa mère C.B._ (I), rejeté la requête de mesures provisionnelles introduite le 1er décembre 2020 par A.A._ (II), confié un mandat d'évaluation à la DGEJ, Unité évaluation et missions spécifiques (UEMS) (III), dit que les frais de la procédure provisionnelle suivaient le sort de la cause (IV) et déclaré l'ordonnance immédiatement exécutoire (V).
B.c. A.A._ a recouru contre cette décision, sollicitant la fixation d'un droit de visite fixé d'entente avec la mère de B.B._ et, à défaut, exercé un week-end sur deux. Par courrier du 17 mars 2021, le Juge de paix a renoncé à reconsidérer sa décision et à se déterminer. Le 24 mars 2021, I._, Directrice de la DGEJ, s'en est remise à justice, indiquant notamment que l'évaluation de l'UEMS n'avait pas encore débuté et que ni B.B._ ni les parties n'avaient été vues par un collaborateur, de sorte qu'elle n'était pas en mesure de se prononcer sur le bien-fondé du recours.
Le recours a été rejeté par arrêt du 20 mai 2021 de la Chambre des curatelles du Tribunal cantonal du canton de Vaud (I), qui a aussi accordé à A.A._ le bénéfice de l'assistance judiciaire, fixé l'indemnité de son conseil d'office à 1'334 fr. 70 (III), mis les frais judiciaires, par 600 fr., à la charge de la prénommée, mais les a provisoirement laissés à la charge de l'État (IV), A.A._ devant en outre s'acquitter d'une indemnité de dépens de 2'000 fr. en faveur de C.B._ (V).
C.
Par mémoire du 24 juin 2021, A.A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle conclut à la réforme de l'arrêt cantonal, en ce sens qu'un libre et large droit de visite sur B.B._ lui est accordé, à fixer d'entente avec C.B._ et, à défaut d'entente, à ce que ce droit de visite s'exerce à raison d'un week-end sur deux, du samedi à 10 heures au dimanche soir à 18 heures. Elle demande aussi l'annulation du chiffre V du dispositif de l'arrêt querellé et sollicite l'octroi de dépens de première et de deuxième instance en sa faveur. Subsidiairement, elle demande l'annulation de l'arrêt entrepris et le renvoi de la cause " à l'autorité inférieure dans le sens des considérants du recours ". Elle sollicite aussi le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Invitée à se déterminer, l'intimée a conclu à ce que le recours soit rejeté dans la mesure de sa recevabilité. La cour cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours a été interjeté en temps utile (<ref-law>) et dans la forme légale (<ref-law>) contre une décision finale (<ref-law>) rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 72 al. 1 et 2 LTF) sur une requête de mesures provisionnelles (<ref-law> par renvoi de l'<ref-law>) relative à une procédure tendant à l'obtention, par la recourante, d'un droit aux relations personnelles avec l'enfant de son ex-concubine, à savoir une mesure en matière de protection de l'enfant (<ref-law>); la cause est de nature non pécuniaire. La recourante a en outre pris part à la procédure devant l'autorité précédente (<ref-law>) et a un intérêt à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (<ref-law>). Le recours en matière civile est en principe recevable au regard des dispositions qui précèdent.
1.2. La recourante requiert la production de l'intégralité du dossier cantonal. Conformément aux exigences prévues par l'<ref-law>, ce dossier a été transmis au Tribunal fédéral. La réserve expresse de " tout autre moyen de preuve ", de nature indéterminée, que la recourante formule dans son écriture, n'a quant à elle aucune portée.
2.
2.1. Comme la décision attaquée porte sur des mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 5, 585 consid. 3.3), la partie recourante ne peut dénoncer que la violation de droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés par le recourant (" principe d'allégation "; <ref-law>), c'est-à-dire s'ils ont été expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.4). Le recourant ne peut se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en procédure d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition, notamment en se contentant d'opposer sa thèse à celle de l'autorité précédente; les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF <ref-ruling> consid. 2.4 et la référence).
En particulier, une décision ne peut être qualifiée d'arbitraire (art. 9 Cst.) que si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité (<ref-ruling> consid. 7.3; <ref-ruling> consid. 4.1); il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 7.1, 170 consid. 7.3; <ref-ruling> consid. 4.3).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Dans l'hypothèse d'un recours soumis à l'<ref-law>, le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que s'il démontre la violation de droits constitutionnels, conformément au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1). Le Tribunal fédéral ne corrige les constatations de fait que si elles sont arbitraires (art. 9 Cst.) et ont une influence sur le résultat de la décision.
En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il n'y a arbitraire que lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 1.1 et la référence). Le recourant ne peut pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; il doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.4.3). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (<ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 2.3 et les références).
3.
3.1. Le Juge de paix a retenu en substance que la mère de B.B._ avait décidé seule de recourir à l'insémination artificielle pour avoir son enfant et qu'à ce moment-là, les parties n'étaient déjà plus en couple depuis longtemps. C.B._ et A.A._ avaient toutefois continué à vivre sous le même toit après la naissance de B.B._ et jusqu'à fin juillet 2020, et pendant ce temps-là, toutes deux ainsi que D.A._ et B.B._ avaient vécu comme une famille, les enfants considérant C.B._ et A.A._ comme leurs mères, une procédure d'adoption ayant d'ailleurs été entamée pour B.B._. Dans ce contexte et au stade de la vraisemblance, le Juge de paix a retenu l'existence de circonstances particulières pouvant justifier de faire application de l'<ref-law>. Il a cependant refusé d'instaurer un droit aux relations personnelles à titre provisionnel sur B.B._ en faveur de A.A._, pour le motif que divers éléments s'y opposaient, sous l'angle du critère de l'intérêt de l'enfant, en particulier: le fait que la requérante revendiquait clairement le statut de parent de B.B._, ce que la mère de l'enfant refusait de lui reconnaître, de sorte que l'on pouvait d'emblée se demander s'il serait dans l'intérêt de l'enfant d'avoir des relations personnelles avec un tiers qui se présenterait toujours à lui comme son parent, alors même qu'il n'y aura plus ni vie commune, ni possibilité d'établir juridiquement un lien de filiation; la relativement courte durée de vie commune, soit moins de deux ans, ainsi que le très jeune âge de l'enfant durant cette période; le fait que B.B._ n'avait plus vu la requérante depuis plus de six mois, hormis des rencontres fortuites; le fait qu'elle vive aujourd'hui avec sa mère et la nouvelle compagne de celle-ci, qu'elle appelait déjà " maman "; les rapports très conflictuels entre la requérante et la mère de l'enfant, et le risque important que B.B._ soit instrumentalisée dans ce cadre. Le Juge de paix a relevé qu'on ne pouvait toutefois faire abstraction, dans l'appréciation de l'intérêt de l'enfant, du fait que B.B._ et D.A._ sont liés par leur statut de demi-frère et soeur biologique et par le lien de filiation existant entre eux et la mère biologique de B.B._, et qu'il était manifestement dans l'intérêt de B.B._, mais aussi de son frère, qu'une solution puisse être trouvée pour qu'ils continuent à se voir. Par conséquent, il convenait, d'une part, de poursuivre l'enquête en fixation du droit de visite - un mandat d'évaluation en ce sens étant confié à la DGEJ, unité évaluation et missions spécifiques (UEMS) - tout en admettant, à ce stade, que le maintien des liens entre B.B._ et D.A._ puisse être assuré provisoirement dans le cadre des relations que celui-ci entretiendra avec C.B._, qui revendiquait du reste sa garde devant la Justice de paix de Lausanne.
3.2. Statuant sur recours, la Chambre des curatelles a retenu que A.A._ et C.B._ vivaient dans une forme de cohabitation et non de concubinage au moment où B.B._ a été conçue. A.A._ ne le contestait pas dans ses écritures, affirmant n'avoir plus formé un couple à part entière avec son ancienne compagne depuis 2016 et avoir menti sur la nature réelle de leur relation à l'époque de l'interview du mois d'août 2017 afin de ne pas mettre à mal la procédure d'adoption de D.A._. A l'audience du Juge de paix du 18 janvier 2021, elle avait déclaré que C.B._ avait commencé, durant l'été 2017, par lui demander d'utiliser les paillettes qu'elles avaient achetées en 2014 et que c'était après que le projet était devenu selon elle un projet commun. Ainsi, selon la cour cantonale, même si toutes deux vivaient sous le même toit lors de la naissance de B.B._ le 24 août 2018 et jusqu'en juillet 2020, que la requérante était présente lors de l'accouchement et que la procréation résultait des paillettes achetées auprès du même donneur que pour D.A._, il fallait retenir que B.B._ n'avait pas été conçue dans le cadre d'un projet parental commun et n'avait pas grandi au sein d'un couple de parents d'intention. En outre, A.A._ n'avait pas établi l'existence d'un lien de parenté dite " sociale " avec B.B._, ni qu'elle aurait assumé envers l'enfant des tâches de nature parentale. Elle échouait en conséquence à rapporter l'existence de circonstances exceptionnelles lui octroyant un droit aux relations personnelles au regard de l'<ref-law>.
S'agissant de la seconde condition de l'<ref-law>, à savoir l'intérêt de l'enfant, la cour cantonale a retenu qu'il ne ressortait pas du dossier, à ce stade, qu'il y ait un lien particulier et intense entre A.A._ et l'enfant B.B._ et que le maintien, respectivement la reprise de cette relation soit l'intérêt de celle-ci. Au contraire, les témoignages et le positionnement des professionnels conduisait plus à considérer que la charge des deux enfants était, du temps de la vie dans l'appartement commun, assumée par C.B._. A cet égard, l'absence de relations personnelles pendant une longue période et le conflit marqué entre les ex-concubines devaient être relégués au second plan. En conséquence, il n'était pas établi que A.A._ représente pour B.B._ une véritable figure parentale d'attachement et que le maintien de relations personnelles soit dans l'intérêt de l'enfant. C'était donc à juste titre que, sur mesures provisionnelles, le premier juge n'avait pas reconnu à A.A._ un droit à des relations personnelles sur l'enfant de son ex-compagne. Selon la Chambre des curatelles, les faits du cas d'espèce se distinguaient de ceux, certes succincts, ressortant de l'arrêt du Tribunal fédéral 5A_755/2020 du 16 mars 2021, affaire dans laquelle le droit aux relations personnelles était requis par une ex-partenaire après la dissolution du partenariat enregistré sur les trois enfants nés de procréations médicalement assistées du temps de la vie commune, issus d'un projet commun avec la mère des enfants et ex-partenaire et avec lesquels elle avait vécu durant les mois qui avaient suivi la naissance des cadets. Enfin, s'agissant de la question du lien avec D.A._, c'était à bon droit que C.B._ relevait être la mère adoptive de celui-ci et que B.B._ pourrait le rencontrer chez elle si A.A._ ne s'y opposait pas, étant précisé que les relations personnelles entre D.A._ et C.B._ étaient régies par l'<ref-law> et non pas par l'<ref-law>.
4.
Dans un grief de nature formelle qu'il convient d'examiner en premier lieu, la recourante se plaint de la violation de son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.).
4.1. Elle soutient en particulier que la Chambre des curatelles ne s'est pas prononcée sur l'un des griefs qu'elle a soulevé dans son recours cantonal, selon lequel un fait nouveau devait être pris en considération, à savoir la suspension de la procédure liée à la fixation du droit de visite requis par son ex-compagne sur l'enfant D.A._, suspension qui a été décidée d'entente entre les parties lors de l'audience de la Justice de paix de Lausanne du 18 février 2021. L'autorité de deuxième instance ne se serait exprimée ni sur la recevabilité, ni sur les conséquences de ce fait nouveau sur l'application du droit, respectivement, n'aurait pas mentionné les motifs qui l'ont guidée lorsqu'elle a considéré que ce nova n'avait pas à être pris en considération. Pire encore, la cour cantonale aurait fait siennes les allégations de son ancienne compagne en retenant ceci: " Quant à la question du lien avec D.A._, c'est à bon droit que l'intimée relève être la mère adoptive de l'enfant et que B.B._ pourrait la rencontrer chez elle si la recourante ne s'y opposait pas (...) ". La recourante considère que cette explication n'est " pas convaincante ", puisque son ex-compagne était à l'origine de la suspension de la procédure concernant D.A._ et qu'elle ne souhaitait plus entretenir de lien avec celui-ci, étant précisé qu'elle n'avait plus pris de nouvelles de lui ni demandé à le voir depuis novembre 2020, de sorte que " l'on peine à croire que [C.B._] ne s'opposerait pas au maintien d'un tel lien ". Selon elle, la Chambre des curatelles s'en est remise à la décision du premier juge concernant le maintien des liens entre B.B._ et D.A._ - le premier juge ayant considéré que ces liens pourraient être provisoirement maintenus dans le cadre des relations que D.A._ entretiendrait avec C.B._, qui revendiquait du reste sa garde; partant, le fait nouveau invoqué avait une influence notable sur la décision entreprise.
4.2. La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu de l'art. 29 al. 2 Cst. l'obligation pour l'autorité de motiver sa décision, afin que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause (<ref-ruling> consid. 5.2; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 4.2). Pour satisfaire à cette exigence, il suffit que l'autorité mentionne au moins brièvement les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé sa décision. Elle n'a pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à ceux qui, sans arbitraire, peuvent être tenus pour pertinents (<ref-ruling> consid. 4.2 et les références). Dès lors que l'on peut discerner les motifs qui ont guidé la décision de l'autorité, le droit à une décision motivée est respecté même si la motivation présentée est erronée. La motivation peut d'ailleurs être implicite et résulter des différents considérants de la décision (<ref-ruling> consid. 3.2.1 et les références).
4.3. En l'espèce, on ne peut suivre la recourante lorsqu'elle soutient que la cour cantonale ne s'est pas prononcée sur le fait nouveau qu'elle avait invoqué. En effet, il est expressément indiqué dans la partie " en fait " de l'arrêt querellé que les parties ont requis la suspension de la cause concernant D.A._ lors de l'audience du 18 février 2021; la Chambre des curatelles a dès lors manifestement considéré ce fait nouveau comme recevable. Par ailleurs, en retenant que le lien entre D.A._ et B.B._ pourrait être maintenu dans le cadre des relations personnelles entre D.A._ et C.B._ si la recourante ne s'y opposait pas, force est de constater qu'elle a suffisamment motivé sa décision, étant relevé que le point de savoir si cette motivation est ou non convaincante est une question distincte de celle du droit d'être entendu (cf. supra consid. 4.2).
5.
Se plaignant d'arbitraire dans l'établissement des faits et l'appréciation des preuves, de violation de l'<ref-law> ainsi que d'application arbitraire de cette disposition, au sens de l'art. 9 Cst., la recourante reproche à la cour cantonale de lui avoir refusé tout droit aux relations personnelles sur l'enfant B.B._.
5.1.
5.1.1. Selon la recourante, le seul fait que sa relation avec la mère biologique de B.B._ n'était plus de nature amoureuse au moment de la conception de l'enfant - ce qu'elle ne conteste pas - ne constituerait pas un critère permettant d'exclure qu'elle ait endossé le rôle de parent d'intention de la fillette ni, partant, de considérer que la situation ne présente pas de caractère exceptionnel. Le lien qu'elle a tissé avec B.B._ serait une question totalement indépendante de celle du lien entre elle-même et C.B._. Bien que leur vie amoureuse avait pris fin, toutes deux formaient en effet une communauté de vie et un couple parental d'intention et s'occupaient ensemble des enfants.
La recourante fait en outre valoir qu'il était arbitraire de retenir que B.B._ n'a pas été conçue dans le cadre d'un projet parental commun et n'a pas grandi au sein d'un couple de parents d'intention. Elle en veut pour preuve le fait que, dans l'article paru le 6 août 2017 (soit plus d'un an avant la naissance de B.B._) et mentionné dans l'arrêt cantonal, il est indiqué notamment ceci: " A.A._ et C.B._ rêvent d'une famille nombreuse, et le projet d'un deuxième enfant est déjà en cours. Cette fois, c'est C.B._ qui portera l'enfant " (pièce 2), ce qui illustrerait bien le fait que, déjà à cette époque, la naissance d'un second enfant était envisagée par chacune des parties. Ainsi, si la relation entre les deux femmes n'était en réalité plus de nature amoureuse, leur volonté de former une famille et d'élever leurs enfants ensemble était toutefois indéniable. La DGEJ avait également constaté que la naissance de B.B._ résultait d'un projet commun, indiquant dans son rapport du 20 octobre 2020 (pièce 25) : " Le projet de famille a semble-t-il été construit par les deux femmes ensemble qui ont pour ce faire décidé de prendre le même donneur, conférant aux enfants un statut de demi-frère et soeur biologique ". La recourante fait valoir que l'autorité cantonale, qui retient le contraire, semble s'appuyer sur les seuls dires de la mère biologique de B.B._, dont la version ne serait toutefois pas crédible puisque celle-ci avait dans un premier temps consenti à l'adoption de B.B._ - ce qui a été constaté lors d'une audience -, avant de changer brusquement d'avis. La cour cantonale aurait aussi fait preuve d'arbitraire en retenant que la recourante n'avait pas établi l'existence d'un lien de parenté dite " sociale " entre elle et B.B._, ni avoir assumé envers elle des tâches de nature parentale. Sur ce point, la recourante affirme avoir produit de nombreuses photos et pièces tendant à démontrer qu'elle avait agi comme une mère pour B.B._ et pleinement participé à un projet parental commun avec la mère biologique de celle-ci. Elle était présente lors de l'insémination artificielle ainsi que lors de chaque étape de la grossesse, avait coupé le cordon ombilical de B.B._ lors de sa naissance, l'avait déposée sur le ventre de sa mère pour la première tétée, puis l'avait élevée. Preuve de son amour et de son attachement envers cette enfant, elle avait introduit une requête d'adoption le 3 septembre 2019. Elle avait aussi tatoué ses initiales sur ses doigts à côté de celles de son fils (pièce 12). Les parties avaient fait inscrire fièrement la mention " Famille A._-B._ " sur leur boîte aux lettres (pièce 2) et étaient perçues par leurs familles, amis, voisins ou entourage comme une vraie famille. Cela ressortait des témoignages des voisins du quartier et de la mère de la recourante, mais aussi du rapport de la DGEJ et du courrier adressé par J._ le 11 novembre 2020 au Service de la population, dans lequel il était indiqué ceci: " Sans connaître leur situation privée en détail et d'entente avec les deux parents, nous avons toujours considéré ces quatre personnes comme une famille, les enfants étant accompagnés par l'une ou l'autre des mamans, sans distinction légale ni biologique. Nous avons ainsi toujours perçu ces quatre personnes comme une famille arc-en-ciel ainsi D.A._ et B.B._ comme frère et soeur " (pièce 15). La mère de la recourante avait en outre ouvert un compte bancaire pour chacun des enfants, afin de leur constituer une épargne, ceci avant même que la procédure d'adoption de B.B._ ait commencé (pièce 3). La recourante souligne encore avoir passé les deux premières années de la vie de B.B._ aux côtés de celle-ci et avoir assumé des tâches éducatives et de soin à son égard.
Au vu de ces éléments, la recourante soutient qu'il était arbitraire de dénier tout lien de parenté d'intention ou à tout le moins de parenté dite " sociale ", et fait valoir que le critère des circonstances exceptionnelles est rempli. Tel serait également le cas de celui de l'intérêt de l'enfant. A cet égard, elle relève que B.B._ a vécu durant les premières années de sa vie avec elle, ajoutant qu'elle s'est occupée d'elle comme de sa propre fille. Le seul fait que son ancienne compagne se soit davantage occupée des enfants durant la vie commune ne constituerait pas un critère permettant d'exclure qu'il soit dans l'intérêt de B.B._ de maintenir une relation avec elle, ni que les parties aient eu la volonté de former une famille. Cette volonté ressortirait d'ailleurs de la répartition des tâches convenues au sein du couple parental, C.B._ ayant pris en charge les enfants sans faire de différence entre eux alors qu'elle-même poursuivait des études. Quoi qu'il en soit, cette répartition des tâches ne permettrait pas de considérer qu'elle ne s'est pas occupée de B.B._, le contraire ayant été prouvé par de nombreuses pièces ainsi que par le témoignage de J._ (pièce 15). La décision querellée serait en outre en contradiction avec les recommandations de la DGEJ, qui avait indiqué se baser " (...) sur la sécurité psychique et affective des enfants pour établir cette synthèse et recommander que des mesures soient prises afin d'épargner les enfants du conflit existant, de leur permettre de garder leurs liens affectifs d'attachement envers leurs mères et la fratrie ", remettant à la Justice de paix " (...) le soin d'établir un droit de visite pour les enfants par le biais d'une convention " (pièce 25). L'avis de la DGEJ serait d'une importance capitale et devrait être pris en considération de manière prépondérante, puisque ces professionnels connaissaient de longue date les parties, ayant eu l'occasion de les rencontrer durant la procédure d'adoption de D.A._ ainsi que de celle de B.B._, contrairement aux autres professionnels du monde médical, qui ne les ont vues qu'individuellement. L'instauration d'un droit de visite servirait positivement le bien de B.B._, lui permettant de retrouver un lien avec son demi-frère ainsi qu'avec son parent d'intention. En définitive, l'arrêt querellé serait arbitraire dans ses motifs - occultant de nombreux éléments de fait et étant en contradiction avec la jurisprudence - ainsi que dans son résultat, puisqu'il l'empêcherait de maintenir un lien avec une enfant pour lequel elle a joué un rôle de parent et à l'éducation de laquelle elle s'est consacrée.
5.1.2. Pour sa part, l'intimée fait valoir que les pièces au dossier ne permettent pas d'établir qu'une vie de famille avait été menée. Les quelques photographies auxquelles faisait référence la recourante attesteraient tout au plus de sa présence aux fêtes d'anniversaire et de fin d'année, ce qui ne la placerait pas dans une situation différente de celle de grands-parents ou de parrains/marraines. En outre, les allégations de la recourante ne sauraient suffire à démontrer l'arbitraire des faits retenus en instance cantonale, pas plus que les diverses pièces et témoignages figurant au dossier, puisqu'il en ressortait en réalité que la recourante, qui ne travaillait pourtant pas, était régulièrement absente et que tous les aspects éducatifs, administratifs et de prise en charge des enfants B.B._ et D.A._ étaient gérés par C.B._. Ainsi, l'intimée qualifie l'argumentation de la recourante de purement appellatoire et renvoie au surplus au rapport de la DGEJ (pièce 25) dont il ressortait que " Madame A._ a été peu présente pendant les premières années et, selon l'enseignante elle se culpabilise beaucoup. Jusqu'à la rentrée 2020, elle [l'enseignante de D.A._] voyait beaucoup plus Madame B._ ". Elle relève que son absence était telle que D.A._ avait développé de l'opposition et de la colère contre sa mère biologique, qu'il n'appelait plus " maman ", et que la situation était si préoccupante qu'elle avait nécessité l'intervention de médecins (pièce 109). Ainsi, le désintérêt de la recourante pour son fils biologique D.A._ serait révélateur du peu d'intérêt qu'elle portait à B.B._, étant relevé que les problèmes de développement rencontrés par D.A._ feraient craindre pour le développement de B.B._ si un droit de visite devait lui être accordé. Ainsi, l'intimée affirme que C.B._ est la seule figure parentale qu'a connue B.B._ durant ses deux premières années de vie. Quant au critère de l'intérêt de l'enfant, l'intimée soutient qu'en l'absence de lien particulier et intense entre la requérante et celle-ci, la reprise d'une relation ne serait pas dans son intérêt. Par ailleurs, l'argument de la recourante relatif au maintien du lien entre B.B._ et D.A._ serait constitutif d'un abus de droit, puisque c'était la recourante qui avait empêché D.A._ de voir sa deuxième mère depuis juillet 2020, le privant par conséquent d'un lien avec B.B._. Enfin, l'intimée fait valoir que si par impossible, il était retenu que la recourante représente une figure parentale pour B.B._, il conviendrait de se pencher plus avant sur le conflit opposant les deux anciennes compagnes.
5.2.
5.2.1. L'<ref-law> dispose que dans des circonstances exceptionnelles, le droit d'entretenir des relations personnelles peut être accordé à des tiers, en particulier à des membres de la parenté, à condition que ce soit dans l'intérêt de l'enfant (al. 1). Les limites du droit aux relations personnelles des père et mère sont applicables par analogie (al. 2). Cette disposition vise notamment le droit que pourraient revendiquer les grands-parents de l'enfant. Le cercle des tiers concerné est cependant plus large et s'étend aussi bien dans la sphère de parenté de l'enfant qu'à l'extérieur de celle-ci. Le beau-parent peut donc se prévaloir de cette disposition pour obtenir le droit d'entretenir des relations personnelles avec l'enfant de son conjoint dont il est séparé ou divorcé. De même, comme le prévoit expressément l'<ref-law>, un ex-partenaire peut se voir accorder un droit d'entretenir des relations personnelles avec l'enfant de son ex-partenaire en cas de suspension de la vie commune ou de dissolution du partenariat enregistré, aux conditions prévues par l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 5 et les références).
L'octroi d'un droit aux relations personnelles à des tiers suppose tout d'abord l'existence de circonstances exceptionnelles qui doivent être rapportées par ceux qui le revendiquent, ce droit constituant une exception. Tel est notamment le cas en présence d'une relation particulièrement étroite que des tiers ont nouée avec l'enfant, comme ses parents nourriciers, ou lorsque l'enfant a tissé un lien de parenté dite " sociale " avec d'autres personnes, qui ont assumé des tâches de nature parentale à son égard (<ref-ruling> consid. 5.1 et les références). La seconde condition posée par l'<ref-law> est l' intérêt de l'enfant. Seul cet intérêt est déterminant, à l'exclusion de celui de la personne avec laquelle l'enfant peut ou doit entretenir des relations personnelles. Il ne suffit pas que les relations personnelles ne portent pas préjudice à l'enfant; encore faut-il qu'elles servent positivement le bien de celui-ci (<ref-ruling> consid. 5.2 et les références).
S'agissant du droit d'entretenir des relations personnelles avec l'enfant de son ex-partenaire enregistré, il pourra notamment être accordé lorsque l'enfant a noué une relation intense avec le partenaire de son père ou de sa mère et que le maintien de cette relation est dans son intérêt. Selon la jurisprudence, lorsque l'enfant a été conçu dans le cadre d'un projet parental commun aux concubins ou partenaires enregistrés et qu'il a grandi au sein du couple formé par ceux-ci, le maintien de relations personnelles avec l'ex-partenaire de son parent légal est en principe dans l'intérêt de l'enfant. Dans une telle configuration, le tiers représente pour l'enfant une véritable figure parentale d'attachement, de sorte que les autres critères d'appréciation, tels que celui de l'existence de relations conflictuelles entre le parent légal et son ex-partenaire, doivent être relégués au second plan et ne suffisent généralement pas à dénier l'intérêt de l'enfant à poursuivre la relation. Le maintien d'un lien sera d'autant plus important pour l'enfant que la relation affective avec l'ex-partenaire, ex-conjoint ou ex-concubin de son parent était étroite et que la vie commune a duré longtemps (<ref-ruling> consid. 5. et les références).
L'autorité compétente doit faire preuve d'une circonspection particulière lorsque le droit revendiqué par des tiers viendrait s'ajouter à l'exercice de relations personnelles par les parents de l'enfant (<ref-ruling> consid. 5.2 in fine et les références).
5.2.2. L'<ref-law> permet à l'autorité de protection de l'enfant, par renvoi de l'<ref-law>, de prendre toutes les mesures provisionnelles nécessaires pendant la durée de la procédure (arrêt 5A_915/2019 du 18 mars 2020 consid. 6.2.2).
5.2.2.1. De manière générale, le prononcé de mesures provisionnelles suppose qu'il y ait urgence à statuer et qu'une mesure soit nécessaire pour sauvegarder des intérêts menacés (arrêts 5A_916/2019 du 12 mars 2020 consid. 3.3; 5A_293/2019 du 29 août 2019 consid. 5.2.1; 5A_531/2017 du 16 octobre 2017 consid. 5.2; 5A_339/2017 du 8 août 2017 consid. 4.4.1 et les références; sur l'applicabilité de l'<ref-law> en matière de protection de l'enfant, voir <ref-ruling> consid. 2.2.1). Conformément au principe de la proportionnalité, qui est inhérent au but d'une mesure provisoire, les mesures provisionnelles doivent être adaptées aux circonstances de l'espèce: il s'agit de préférer la mesure qui préserve au mieux les intérêts des parties et donc, entre plusieurs solutions possibles, de choisir la moins incisive (arrêts 5A_915/2019 du 18 mars 2020 consid. 6.2.2; 5A_756/2019 du 13 février 2020 consid. 3.1.2; 5A_993/2016 du 19 juin 2017 consid. 4.2.1).
5.2.2.2. L'autorité judiciaire qui se prononce sur des mesures provisionnelles peut se limiter à la vraisemblance des faits et à l'examen sommaire du droit (examen prima facie), tout en ayant l'obligation de peser les intérêts respectifs des parties (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 2.3). Elle dispose à cet égard d'un large pouvoir d'appréciation et peut tenir compte de l'issue prévisible de la procédure au fond, pour autant que celle-ci soit claire (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 3). Le Tribunal fédéral n'examine qu'avec retenue l'appréciation à laquelle a procédé l'autorité précédente. Il n'intervient que si le juge a manifestement abusé du pouvoir d'appréciation qui lui est accordé, ou s'il l'a excédé; tel est le cas lorsque la décision repose sur une appréciation insoutenable des circonstances, qu'elle est inconciliable avec les règles du droit et de l'équité, qu'elle omet de tenir compte de tous les éléments de fait propres à fonder la décision ou encore, lorsqu'elle prend au contraire en considération des circonstances qui ne sont pas pertinentes (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 4a; arrêt 5A_401/2014 du 18 août 2014 consid. 3.2.2 et la jurisprudence citée).
S'agissant des faits, l'autorité compétente se prononce sur la base de la simple vraisemblance après une administration limitée des preuves (<ref-ruling> consid. 2b/bb), en se fondant sur les moyens de preuve immédiatement disponibles (ATF <ref-ruling> consid. 2.3 in limine), ce qui exclut les mesures d'instruction plus étendues. Il suffit donc que les faits soient rendus plausibles. Le point de savoir si le degré de vraisemblance requis par le droit fédéral est atteint dans le cas particulier ressortit à l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 5). Dans ce domaine, le Tribunal fédéral se montre réservé, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en la matière à l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 4b; <ref-ruling> consid. 1b et les références; arrêt 5A_855/2017 du 11 avril 2018 consid. 4.3.2 et les références).
5.3. En préambule, il convient de préciser que le présent arrêt ne préjuge pas de la question de savoir si un droit aux relations personnelles sur B.B._ devra être octroyé à la recourante au terme de la procédure au fond. En effet, la présente cause a uniquement pour objet le point de savoir si des mesures provisionnelles doivent être prises pour la durée de la procédure au fond, en particulier, s'il s'impose d'accorder un droit aux relations personnelles sur B.B._ à la recourante à titre provisoire, afin de maintenir le lien entre elles pendant l'instruction de la cause et dans l'attente de la décision de l'autorité compétente sur le fond.
Or, en tant qu'elle fait valoir que la décision entreprise serait entachée d'arbitraire, la recourante tente en réalité d'opposer sa propre appréciation de la cause à celle de l'autorité cantonale, en se fondant en partie sur des éléments que celle-ci n'a pas constaté, tel que le fait qu'elle aurait tatoué les initiales de B.B._ sur ses doigts, que sa mère aurait ouvert un compte bancaire au nom de B.B._ ou encore que le fait que son ex-compagne se soit davantage occupée des enfants durant la vie commune résultait d'une décision commune notamment due à la poursuite de ses études. S'agissant du point de savoir si la recourante a rendu plausible l'existence d'un lien de parenté d'intention, respectivement d'un lien affectif intense, la décision querellée n'apparaît pas arbitraire au regard de l'ensemble des circonstances particulières du cas d'espèce singulièrement de la prise en compte d'une situation de cohabitation, découlant du mensonge de la recourante motivé par le but de ne pas mettre à mal la procédure d'adoption de D.A._; en tant qu'elle écarte l'idée d'un projet parental commun, son appréciation ne peut pas être considérée comme insoutenable, compte tenu également de la retenue dont fait preuve le Tribunal fédéral en la matière (cf. supra consid. 5.2.2 et 2.2). Quant à la nécessité de maintenir un lien entre D.A._ et B.B._, il n'est en soi pas non plus insoutenable, indépendamment du fait que la procédure relative à la prise en charge de D.A._ a été suspendue, de considérer que le lien entre les enfants pourrait être maintenu par le biais du droit aux relations personnelles ou de la garde de C.B._ sur D.A._, tous deux ayant un lien de filiation légal.
En définitive, la recourante ne démontre pas - en particulier au regard des exigences accrues de motivation d'un grief de nature constitutionnelle (art. 98 et 106 al. 2 LTF; cf. supra consid. 2.1) - que l'autorité précédente aurait versé dans l'arbitraire en retenant, en l'occurrence, qu'il ne se justifiait pas de mettre en oeuvre immédiatement un droit aux relations personnelles dans le présent contexte provisionnel. Le grief d'arbitraire, dans la mesure où il est recevable, est ainsi mal fondé.
6.
La recourante soutient que la décision querellée viole les art. 14 Cst. (droit au mariage et à la famille) et 8 CEDH (droit au respect de la vie privée et familiale). La Chambre des curatelles se serait basée de manière prépondérante sur la question de la relation entre elle-même et l'intimée pour nier l'existence d'une vie familiale et d'un lien de parenté d'intention entre elle-même et B.B._, ce qui contreviendrait à la jurisprudence de la Cour européenne des droits de l'homme. La recourante fait valoir que la notion de " famille " de l'art. 8 CEDH ne se limite pas aux seules relations fondées sur le mariage, mais peut englober d'autres liens familiaux de facto lorsque les parties cohabitent en dehors de tout lien marital. Selon elle, si B.B._ était issue de la relation d'un couple hétérosexuel, l'issue de la procédure aurait été différente, même si ses parents s'étaient séparés et ne faisaient plus chambre commune. La décision entreprise reviendrait à créer une discrimination entre les enfants issus d'un couple hétérosexuel et ceux issus de personnes ne rentrant pas dans le moule de ce qui est considéré comme " socialement acceptable " ce qui serait inadmissible.
6.1. L'art. 8 § 1 CEDH garantit notamment le droit au respect de la vie familiale. Il en résulte que l'État ne peut s'immiscer dans l'exercice de ce droit qu'aux conditions strictes du § 2. La protection accordée dans ce domaine par l'art. 13 al. 1 Cst. correspond matériellement à celle de l'art. 8 CEDH (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 7; arrêt 5A_848/2018 du 16 novembre 2018 consid. 6). Le droit au mariage, garanti par l'art. 14 Cst., protège les particuliers contre les mesures étatiques qui limiteraient de manière injustifiée la faculté de se marier et le choix du conjoint (arrêts 5A_347/2013 du 22 août 2013 consid. 4.1; 5A_901/2012 du 23 janvier 2013 consid. 3.1).
6.2. En tant que la recourante mentionne l'art. 14 Cst., elle ne précise pas son grief, n'exposant pas en quoi cette disposition aurait vocation à s'appliquer dans le cas d'espèce (<ref-law>). La critique est ainsi irrecevable (cf. supra consid. 2.1). En tant qu'elle évoque la question d'une discrimination, la recourante omet qu'indépendamment du point de savoir si l'enfant est issue d'un couple homosexuel ou hétérosexuel, les normes applicables en l'espèce sont pertinentes à chaque fois qu'il n'existe pas de lien de filiation juridique entre la partie qui requiert un droit aux relations personnelles et l'enfant. Enfin, par sa critique, la recourante ne démontre nullement que la décision entreprise contreviendrait à l'art. 8 CEDH - dont elle n'expose pas en quoi il aurait une portée propre par rapport aux dispositions du CC applicables en l'espèce -, en tant qu'elle lui refuse, en l'état et à titre provisionnel, à savoir pour la durée de la procédure au fond, un droit aux relations personnelles sur B.B._.
7.
La recourante indique être persuadée que les intérêts de B.B._ auraient dû être représentés par un curateur et non par sa propre mère, au vu du vif conflit d'intérêts. Ce faisant, elle ne soulève cependant aucun grief de nature constitutionnel et ne s'en prend aucunement au raisonnement de la décision cantonale querellée, de sorte que la critique est irrecevable (cf. supra consid. 2.1).
8.
Au vu de l'issue du présent recours, il ne saurait être donné droit aux conclusions de la recourante relatives aux dépens de première et de seconde instance, celle-ci ne soulevant au demeurant aucun grief spécifique à l'encontre de la décision cantonale sur ce point.
9.
En conclusion, le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable. La requête d'assistance judiciaire est admise, le recours ne pouvant pas être considéré comme d'emblée dépourvu de toutes chances de succès, l'indigence de la recourante étant en outre établie (<ref-law>). Les frais judiciaires sont mis à la charge de la recourante (<ref-law>) mais provisoirement supportés par la Caisse du Tribunal fédéral. La recourante est rendue attentive au fait qu'elle est tenue de rembourser ultérieurement la Caisse du Tribunal fédéral si elle est en mesure de le faire (<ref-law>). L'octroi de l'assistance judiciaire ne la dispense pas de verser des dépens à l'intimée (<ref-ruling> consid. 2c), qui a été invitée à se déterminer.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire de la recourante est admise et Me Anaïs Brodard lui est désignée comme conseil d'office.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge de la recourante; ils sont provisoirement supportés par la Caisse du Tribunal fédéral.
4.
Une indemnité de 2'000 fr., supportée par la Caisse du Tribunal fédéral, est allouée au conseil de la recourante à titre d'honoraires d'avocat d'office.
5.
Une indemnité de 2'500 fr., à verser à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge de la recourante.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre des curatelles du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 12 janvier 2022
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Dolivo