Sachverhalt:
A.
A.a. B._ (geb. 1989; Beschwerdegegnerin) und A._ (geb. 1988; Beschwerdeführer) haben am 12. Februar 2016 geheiratet. Sie sind die Eltern von C._ (geb. 2016) und D._ (geb. 2017). Seit Oktober 2018 leben die Ehegatten getrennt.
A.b. Am 9. November 2018 ersuchte B._ das Kantonsgericht Zug um Erlass von Eheschutzmassnahmen. Unter Mitwirkung des Gerichts einigten sich die Parteien in der Folge vergleichsweise über die Regelung des Getrenntlebens. Dabei stellten sie die Kinder unter die alternierende Obhut beider Elternteile und legten die jeweiligen Betreuungszeiten detailliert fest. Den Wohnsitz sollten beide Kinder bei der Mutter haben. A._ verpflichtete sich, an B._ zwischen dem 1. März und dem 31. Juli 2019 monatlichen Unterhalt von Fr. 4'200.-- (exkl. Kinderzulagen; bestehend aus Fr. 500.-- Barunterhalt je Kind, Fr. 2'950.-- Betreuungsunterhalt und Fr. 250.-- Ehegattenunterhalt) sowie ab dem 1. August 2019 von Fr. 2'400.-- (exkl. Kinderzulagen; bestehend aus Fr. 500.-- Barunterhalt je Kind und Fr. 1'400.-- Betreuungsunterhalt) zu bezahlen. Am 19. Februar 2019 genehmigte das Kantonsgericht diesen Vergleich und erhob ihn zum Entscheid.
A.c. Ein von A._ am 13. März 2019 gestelltes Gesuch um Berichtigung bzw. Revision dieser Regelung blieb erfolglos (vgl. Urteil 5A_510/2019 vom 31. Oktober 2019). Am 26. März 2019 ersuchte B._ die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Innerschwyz (KESB) darum, es sei ihr und den Kindern der Wegzug in die Ostschweiz zu genehmigen.
A.d. Am 30. September 2019 ersuchte A._ das Kantonsgericht um Abänderung des Eheschutzentscheids vom 19. Februar 2019. In der Folge schrieb die KESB das bei ihr hängige Verfahren zufolge Wegfalls der Zuständigkeit ab. Mit Entscheid vom 20. August 2020 bewilligte das Kantonsgericht den Umzug von B._ in den Kanton Zürich, an den oberen Zürichsee oder in die Ostschweiz. Ausserdem übertrug es ihr die alleinige Obhut über die Kinder und regelte die Betreuungszeiten von A._. Den von diesem zu bezahlenden Unterhalt setzte es ab dem 1. Januar 2020 fest auf monatlich Fr. 693.-- (zzgl. allfälliger Familienzulagen; bestehend aus Fr. 346.50 Barunterhalt je Kind) sowie auf Fr. 2'397.-- (zzgl. allfälliger Familienzulagen; bestehend aus Fr. 886.-- Barunterhalt für C._, Fr. 891.-- Barunterhalt für D._ sowie Fr. 130.-- Betreuungsunterhalt und Fr. 490.-- Ehegattenunterhalt) ab dem Umzug der Beschwerdegegnerin. Zudem stellte es fest, welche Beträge fehlen, um den gebührenden Unterhalt der Kinder zu decken. Die Gerichtskosten auferlegte das Kantonsgericht den Ehegatten je zur Hälfte, die Parteikosten schlug es unter amtlicher Entschädigung der Rechtsvertreter der Parteien wett (vgl. zur unentgeltlichen Rechtspflege Urteil 5A_2/2020 vom 15. Januar 2020).
B.
B.a. Gegen diesen Entscheid reichte A._ am 28. August 2020 Berufung beim Obergericht des Kantons Zug ein. Auf sein Gesuch hin wurde dem Rechtsmittel die aufschiebende Wirkung erteilt und B._ unter Strafandrohung verboten, während des Berufungsverfahrens den Wohnsitz zu verlegen. Am 5. Oktober 2020 klagten beide Ehegatten auf Scheidung der Ehe und am 8. Oktober 2020 gab B._ bekannt, zwischenzeitlich umgezogen zu sein.
B.b. Mit Urteil vom 11. November 2020 (eröffnet am 13. November 2020) stellte das Obergericht fest, das Verfahren sei soweit den Umzug von B._ betreffend gegenstandslos geworden. Im Übrigen ergänzte es in teilweiser Gutheissung der Berufung die Regelung der Betreuungszeiten von A._ und legte den von diesem zu bezahlenden Unterhalt wie folgt fest: monatlich Fr. 693.-- ab 1. Januar 2020 (zzgl. allfälliger Familienzulagen; bestehend aus Barunterhalt von Fr. 346.50 je Kind) sowie Fr. 1'083.-- ab 1. Dezember 2020 (exkl. Familienzulagen; bestehend aus Fr. 554.-- Barunterhalt für C._ und Fr. 529.-- Barunterhalt für D._). Zudem stellte es fest, welche monatlichen Beträge zur Deckung des gebührenden Unterhalts der Kinder fehlen. Die Gerichtskosten auferlegte es den Parteien je zur Hälfte und die Parteikosten schlug es unter amtlicher Entschädigung der Rechtsvertreterin von B._ wett.
C.
A._ gelangt mit Beschwerde vom 16. November 2020 und ergänzter Beschwerde vom 7. Dezember 2020 ans Bundesgericht. Mit Letzterer stellt er die folgenden Anträge:
"1. [prozessual] Es sei mir für das vorliegende Verfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
2. [prozessual] Im Rahmen einer vorsorglichen Massnahme nach Art. 104 BGG sei die Unterhaltspflicht (von A._) nach Gewährung des rechtlichen Gehörs der Gegenpartei zu sistieren.
3. [prozessual] Im Rahmen einer vorsorglichen Massnahme seien sämtliche Akten (,) welche als «Geheim» klassifiziert sind, (B._) nicht zugänglich zu machen.
3.1. [prozessual] Eventualiter sei im Rahmen einer vorsorglichen Massnahme nach Art. 104 BGG die Unterhaltspflicht so zu reduzieren, dass mindestens das SKOS Existenzminimum berechnet durch die Gemeinde U._ in Höhe von CHF 3'756.90 gewahrt bleibt. Subeventualiter sei die Unterhaltspflicht nach der aktuellen Leistungsfähigkeit (von A._) zu reduzieren, wobei (die) Gegenpartei bei einem allfälligen Unterliegen (von A._) im Unterhaltspunkt ein Rückforderungsrecht haben soll.
2. Es sei davon Vormerk zu nehmen, dass die Ziffer 3 (Parteikosten des Berufungsverfahrens) nicht angefochten wird und damit in Rechtskraft erwächst.
3. [materiell] Der angefochtene Entscheid sei in Bezug auf die Ziffer 1.2 [Ziffer 3 (Betreuungszeiten)] sowie Ziffer 1.2 [Ziffer 4 (Unterhalt)] aufzuheben und mangels Sachverhaltsfeststellung im Sinne der Erwägungen des Bundesgerichts an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Vorinstanz sei anzuweisen, das Existenzminimum (von A._) vollständig gemäss den Offizialmaximen zu eruieren.
5.1. [materiell] Eventualiter sei die Unterhaltspflicht (von A._) aufzuheben.
4. [materiell] Die Kinder C._ und D._ seien unter die alleinige Obhut des Vaters zu stellen.
6.1. [materiell] Eventualiter seien die Kinder unter (der) alternierende (n) Obhut von Mutter und Vater zu belassen.
5. Der Eventualantrag vorstehend sei einstweilen im Rahmen einer vorsorglichen Massnahme nach Art. 104 BGG bereits jetzt anzuordnen. (A._) sei zu berechtigen und zu verpflichten, die Kinder wie folgt zu betreuen:
(...)
6. [materiell] Die erstinstanzliche Entscheidungsgebühr sei für (A._) aufgrund der Gehörsverletzung erheblich zu reduzieren.
7. [materiell] Die Ziffer 2 des angefochtenen Entscheides (Gerichtskosten des Berufungsverfahrens) sei aufzuheben. Es sei festzustellen, dass das Rechtsbegehren über den Geheimnisschutz der IV-Akten nicht beurteilt worden ist und damit (A._) unrechtmässig (ein) Zwischenentscheid verweigert worden ist (Art. 94 BGG sowie Art. 237 ZPO). Damit seien (A._) keine Kosten aufzuerlegen.
8. [prozessual] Mit Ausnahme von Bundesrichter Nicolas von Werdt haben die beteiligten Bundesrichter und Gerichtsschreiber an den Urteilen aus den Verfahren BGE 5A_510/2019 sowie BGE 5A_2/2020 vorliegend in Ausstand zu treten. (A._) sei die Zusammensetzung des geplanten Spruchkörpers per Zwischenentscheid anzuzeigen.
9. [prozessual] Es sei vorliegend von einer Frage von grundsätzlicher Bedeutung bezüglich der Rangordnung des «caput controversum», der Unantastbarkeit des Existenzminimums des Unterhaltsschuldners sowie der Durchbrechung von gerichtlich genehmigten Unterhaltsverträgen auszugehen und es seien demzufolge 5 Bundesrichter gemäss Art. 20 Abs. 2 BGG im vorliegenden Verfahren einzusetzen.
10. [materiell] Alle Kostenfolgen zulasten (von B._), respektive der Vorinstanz.
11. [prozessual] Aufgrund der umfangreichen Beschwerde sei diese im Ermessen der angerufenen Instanz zwecks Wahrung des Beschleunigungsgebots und des Kindeswohl wie auch der Wichtigkeit wie folgt aufzuteilen
13.1. Obhut und Kinderbelange
13.2. Rechtsverweigerung im Rahmen der IV-Akten.
13.3. Prozesskosten der Vorinstanz."
Mit Verfügungen vom 17. November 2020 und vom 14. Dezember 2020 hat das Bundesgericht sämtliche Gesuche um Erteilung der aufschiebenden Wirkung und Erlass vorsorglicher Massnahmen abgewiesen. Am 5. Februar 2021 beantragt A._, es sei im Sinne einer vorsorglichen Massnahme der "Alimentenhilfe Bezirk Horgen" zu verbieten, ihn während des laufenden Verfahrens zu betreiben. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Vor Bundesgericht hat der Beschwerdeführer zwei Beschwerdeschriften eingereicht (datierend vom 16. November 2020 und vom 7. Dezember 2020; vorne Bst. C). Da beide Eingaben innerhalb der Beschwerdefrist erfolgten (Art. 100 Abs. 1 und Art. 45 Abs. 1 BGG), ist dies nicht zu beanstanden (Urteile 5A_97/2020 vom 27. Februar 2020 E. 2; 5A_169/2019 vom 25. März 2019 E. 1). In der Eingabe vom 7. Dezember 2020 führt der Beschwerdeführer aus, diese würde die Eingabe vom 16. November 2020 vollumfänglich ersetzen. Soweit er an den früheren Ausführungen und Anträgen festhalte, habe er diese in der jüngeren Eingabe wiederholt. Damit ist nachfolgend allein die Beschwerde vom 7. Dezember 2020 zu prüfen.
2.
2.1. Angefochten ist ein Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin (Art. 75 BGG) in Abänderung eines Eheschutzentscheids vorsorglich für die Dauer des zwischenzeitlich anhängig gemachten Scheidungsverfahrens (vgl. vorne Bst. B.a) über die Obhut über die Kinder, den persönlichen Verkehr zum nicht hauptbetreuenden Elternteil sowie den Kindes- und Ehegattenunterhalt entschieden hat (Art. 276 ZPO; vgl. <ref-ruling> E. 2.2). Hierbei handelt es sich um eine zivilrechtliche Streitigkeit (Art. 72 Abs. 1 BGG). Da sowohl vermögensrechtliche wie auch nicht vermögensrechtliche Aspekte strittig sind, gilt insgesamt kein Streitwerterfordernis (Urteil 5A_642/2020 vom 3. Dezember 2020 E. 1.1). Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerde legitimiert (Art. 76 Abs. 1 BGG).
2.2. Massnahmeentscheide, die gestützt auf Art. 276 ZPO ergehen, unterstehen ebenso Art. 98 BGG (Urteile 5A_899/2019 vom 17. Juni 2020 E. 1.4; 5A_451/2019 vom 28. Januar 2019 E. 2) wie Eheschutzentscheide (<ref-ruling> E. 5). Daher kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-ruling> E. 1.2). Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz solche Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1). Vergebens stellt der Beschwerdeführer die Qualifikation von Eheschutzentscheiden als vorsorgliche Massnahmen nach Art. 98 BGG mit dem Hinweis in Frage, diese könnten im späteren Verfahren nicht mehr überprüft werden und hätten stark präjudizierende Wirkung. Das Bundesgericht hat diesen Aspekten im Leitentscheid <ref-ruling> E. 5 Rechnung getragen und aufgrund der Ausführungen in der Beschwerde besteht kein Anlass, auf diesen Entscheid zurückzukommen. Dies gilt auch unter Berücksichtigung der vom Beschwerdeführer ausserdem angesprochenen Praxis zur Beurteilung von Kinderbelangen bei nicht verheirateten Eltern (vgl. zu dieser Problematik v ON WERDT, Der Rechtsschutz im Eheschutz, in: Fankhauser et al. [Hrsg.], Brennpunkt Familienrecht, Festschrift für Thomas Geiser zum 65. Geburtstag, 2017, S. 593 ff., 619 f.). Der Beschwerdeführer missversteht sodann den Begriff der Willkür in der Rechtsanwendung (vgl. <ref-ruling> E. 2.1), wenn er im Ergebnis davon ausgeht, sämtliche Rechtsverletzungen seien willkürlich und daher mit Blick auf Art. 98 BGG beachtlich. Unbehelflich bleibt zuletzt der Hinweis auf Art. 13 EMRK: Der Beschwerdeführer kann vor Bundesgericht auch bei Anwendung von Art. 98 BGG Verletzungen der Europäischen Menschenrechtskonvention vorbringen (<ref-ruling> E. 1.3.1), womit der angerufenen Bestimmung bereits aus diesem Grund Genüge getan ist (vgl. Urteil 1B_331/2020 vom 23. Juli 2020 E. 2).
Für die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das strenge Rügeprinzip nach Art. 106 Abs. 2 BGG. Die rechtsuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2.3). Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, reicht es nicht aus, die Lage aus der eigenen Sicht darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Es ist im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 1.4.1; <ref-ruling> E. 2.2).
2.3. Die Begründung der Beschwerde in Zivilsachen muss zudem in der Beschwerdeschrift selbst enthalten sein (<ref-ruling> E. 1.2.3). Blosse Verweise auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder in den Akten genügen den Begründungsanforderungen nicht (<ref-ruling> E. 2). Der Beschwerdeführer verweist teilweise auf seine Ausführungen in früheren Eingaben. Dies ist nach dem Gesagten nicht zulässig und die Beschwerde ist allein unter Berücksichtigung der in dieser selbst enthaltenen Ausführungen zu beurteilen.
2.4. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Hiervon erfasst sind unechte Noven, also Tatsachen, die im bisherigen Verfahren bereits hätten vorgebracht werden können, aber nicht vorgebracht wurden. Echte Noven, d.h. Tatsachen, die erst entstanden sind, nachdem vor der Vorinstanz keine neuen Tatsachen und Beweismittel mehr vorgetragen werden konnten, sind im Verfahren vor Bundesgericht demgegenüber grundsätzlich unbeachtlich (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.1.2).
Der Beschwerdeführer ist sich der im Verfahren vor Bundesgericht geltenden Novenregelung bewusst. Dennoch reicht er verschiedene nach dem angefochtenen Entscheid entstandene neue Beweismittel ein (namentlich Verfügung der Abteilung Soziales/Gesundheit der Einwohnergemeinde [EG] U._ vom 30. November 2020 sowie Bericht der Klinik E._ vom 25. November 2020 [Beilagen 2 und 4 zur Beschwerde vom 7. Dezember 2019]). Diese Beweismittel sind im Verfahren vor dem Bundesgericht nach dem Ausgeführten unbeachtlich. Anders als der Beschwerdeführer meint, spielt keine Rolle, dass sie sich auf bereits früher in das Verfahren eingeführte Tatsachen beziehen (DORMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 22 zu Art. 99 BGG).
Zulässig bleibt der Beizug der fraglichen Beweismittel insoweit, als das Verfahren vor Bundesgericht betroffen ist (Urteile 5A_730/2019 vom 27. Oktober 2020 E. 1.7; 5A_929/2018 vom 6. Juni 2019 E. 1.4), 2
2.5. mithin für die Beurteilung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege.
2.6. Die Beschwerde in Zivilsachen ist ein reformatorisches Rechtsmittel (Art. 107 Abs. 2 BGG). Daher muss auch das Rechtsbegehren grundsätzlich reformatorisch gestellt werden. Die beschwerdeführende Partei darf sich nicht darauf beschränken, einen rein kassatorischen Antrag zu stellen. Rechtsbegehren, die eine Geldsumme zum Gegenstand haben, sind ausserdem zu beziffern. Dies gilt auch, wenn die Kosten des kantonalen Verfahrens umstritten sind. Hiervon ausgenommen ist der Fall, dass das Bundesgericht ohnehin nicht reformatorisch entscheiden könnte, etwa weil es an den nötigen Sachverhaltsfeststellungen fehlt (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.3).
Der Beschwerdeführer beantragt, es sei die erstinstanzliche Entscheidgebühr aufgrund einer Gehörsverletzung "erheblich zu reduzieren" (vorne Bst. C). Der Beschwerdebegründung, welche zur Auslegung der Begehren beizuziehen ist (BGE <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 6.2), lässt sich diesbezüglich entnehmen, diese Kosten seien um "mindestens" Fr. 1'000.-- zu reduzieren. Damit ist dem Bezifferungserfordernis Genüge getan und die Beschwerde ist entsprechend entgegenzunehmen.
Zum Kindesunterhalt und den Betreuungszeiten stellt der Beschwerdeführer sodann allein kassatorische Anträge (vorne Bst. C). In der Beschwerdebegründung legt er aber dar, dass seiner Ansicht nach ein reformatorischer Entscheid nicht möglich ist, weil die Vorinstanz sein Existenzminimum unrichtig festgestellt hat und die Sache zur Feststellung des Sachverhalts an das Obergericht zurückzuweisen ist. Wie es sich hiermit verhält, ist nachfolgend zu prüfen, soweit die weiteren Eintretensvoraussetzungen erfüllt sind. Unter diesen Umständen erweisen sich die kassatorischen Begehren als zulässig (vgl. <ref-ruling> E. 6.1).
2.7. Vor Obergericht war strittig, ob das erstinstanzliche Urteil auszugsweise in der Gerichts- und Verwaltungspraxis des Kantons Zug (GVP) zu veröffentlichen ist. Das Obergericht trat auf die Berufung insoweit nicht ein, da die Entscheidpublikation nicht Gegenstand des Berufungsverfahrens sei. Der Beschwerdeführer führt dazu unter Hinweis auf verschiedene Bestimmungen der EMRK und der BV aus, er habe "im Sinne der öffentlichen Justizkontrolle" ein verfassungsmässiges Recht auf Veröffentlichung. Indes stellt er hierzu vor Bundesgericht keinen Antrag, was Voraussetzung für ein Eintreten auf die Beschwerde wäre (Art. 42 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 3). Ohnehin ist Gegenstand des Verfahrens vor Bundesgericht nur die Eintretensfrage, wenn die Vorinstanz wie hier auf das Rechtsmittel in einem bestimmten Punkt nicht eingetreten ist (<ref-ruling> E. 2; Urteil 5A_469/2019 vom 17. November 2020 E. 1.2.1). Dazu äussert der Beschwerdeführer sich nicht, womit die Beschwerde auch ungenügend begründet ist. Zuletzt gibt der Beschwerdeführer an, die Urteilspublikation sei Gegenstand des derzeit ebenfalls vor Bundesgericht hängigen Verfahrens 1C_307/2020. Hierauf ist an dieser Stelle daher nicht einzugehen.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer beantragt, es hätten mit Ausnahme von Bundesrichter von Werdt sämtliche an den beiden ihn betreffenden Verfahren 5A_510/2019 sowie 5A_2/2020 (vgl. zu diesen vorne Bst. A.c und A.d) beteiligten Bundesrichter und Gerichtsschreiber in den Ausstand zu treten.
Zum Verfahren 5A_510/2019 gibt der Beschwerdeführer an, bereits dieses habe sein Existenzminimum betroffen und es könne nicht ausgeschlossen werden, dass die beteiligten Gerichtsmitglieder sich an den Sachverhalt erinnern würden und eine vorbelastete Meinung hätten. Der Beschwerdeführer missachtet, dass das Mitwirken an einem früheren Verfahren keinen Ausstandsgrund bildet (Art. 34 Abs. 2 BGG; Urteil 5A_847/2018 vom 6. Dezember 2019 E. 1.2). Ähnliches gilt für das weitere Ausstandsgesuch: Das Verfahren 5A_2/2020 betraf die unentgeltliche Rechtspflege für das Abänderungsverfahren vor der ersten Instanz. Die Abweisung eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege genügt für sich allein nicht, um den Anschein der Befangenheit zu begründen (<ref-ruling> E. 3.7; Urteil 2C_881/2018 vom 14. Dezember 2018 E. 3.1). Entgegen dem Beschwerdeführer ergibt sich auch unter Berücksichtigung des Umstands nichts anderes, dass in dem fraglichen Urteil ein Hinweis auf die Rechtsprechung zur Unwesentlichkeit einer absichtlich und ungerechtfertigt herbeigeführten Einkommensreduktion enthalten ist (Urteil 5A_2/2020 vom 15. Januar 2020 E. 2).
3.2. Das Ausstandsbegehren ist offensichtlich unzulässig, weshalb es an den Voraussetzungen für die Durchführung eines Ausstandsverfahrens fehlt und in der ordentlichen Besetzung nicht darauf einzutreten ist (<ref-ruling> E. 1c; Urteil 5A_847/2018 vom 6. Dezember 2019 E. 1.2). Unter diesen Umständen erübrigt es sich, einzelne Verfahrenshandlungen zu wiederholen oder dem Beschwerdeführer vorgängig die Zusammensetzung des Spruchkörpers bekannt zu geben, zumal die ordentliche Besetzung der urteilenden Abteilung als bekannt vorauszusetzen ist (BGE <ref-ruling> E. 3.2.1). Die entsprechenden Gesuche werden abgewiesen.
4.
4.1. Die Abteilung entscheidet in der Regel mit drei Richtern oder Richterinnen (Art. 20 Abs. 1 BGG). Über Rechtsfragen von grundsätzlicher Bedeutung oder auf Antrag eines Richters oder einer Richterin entscheidet sie in Fünferbesetzung (Art. 20 Abs. 2 Satz 1 BGG). Einen Rechtsanspruch der Parteien auf einen Entscheid in Fünferbesetzung gewährt das Gesetz nicht (Urteil 5A_440/2020 vom 5. November 2020 E. 1). Vielmehr entscheidet das Bundesgericht aufgrund einer Würdigung der sich stellenden Fragen über die Bildung des Spruchkörpers (Urteile 5A_540/2020 vom 29. September 2020 E. 1.2; 5F_22/2020 vom 13. Juli 2020 E. 6.1). Auf den Antrag des Beschwerdeführers auf Entscheid in Fünferbesetzung wird daher nicht eingetreten.
4.2. Vorliegend ist über die Abänderung verschiedener Aspekte der Regelung des Getrenntlebens der Parteien zu entscheiden (vgl. vorne E. 2.1). Betroffen ist ein zwischen den Beteiligten bestehender einheitlicher Lebenssachverhalt, der einer umfassenden Regelung zugeführt werden soll. Eine Auftrennung der Beschwerde und die separate Regelung einzelner Aspekte, wie der Beschwerdeführer dies beantragt, rechtfertigt sich damit nicht (Art. 71 BGG i.V.m. Art. 24 BZP [SR. 273]).
4.3. Der Beschwerdeführer beantragt, es sei Vormerk davon zu nehmen, dass das vorinstanzliche Urteil soweit die Regelung der oberinstanzlichen Parteikosten betreffend in Rechtskraft erwachsen ist. Damit beantragt er sinngemäss die Ausstellung einer Rechtskraftbescheinigung. Dafür ist das Bundesgericht nicht zuständig (Urteile 5A_875/2017 vom 6. November 2018 E. 1.2; 5A_981/2016 vom 16. Oktober 2017 E. 1.4).
5.
5.1. Vor Obergericht beantragte der Beschwerdeführer, es seien der Beschwerdegegnerin bestimmte (medizinische) Akten nicht zugänglich zu machen. In diesem Zusammenhang wirft er der Vorinstanz Rechtsverweigerung vor. Eine formelle Rechtsverweigerung und ein Verstoss gegen Art. 29 Abs. 1 BV liegt vor, wenn eine Behörde auf eine ihr frist- und formgerecht unterbreitete Sache nicht eintritt, obschon sie darüber befinden müsste (<ref-ruling> E. 4.2; <ref-ruling> E. 2.1). Der Beschwerde selbst lässt sich entnehmen, dass die Vorinstanz über den Antrag des Beschwerdeführers auf Nichtzustellung der fraglichen Akten an die Beschwerdegegnerin befunden hat (vgl. angefochtenes Urteil, E. 1.7). Von einer Rechtsverweigerung kann keine Rede sein.
Als unbegründet erweist sich damit auch der mit dem Vorliegen einer Rechtsverweigerung begründete Antrag des Beschwerdeführers, ihn im Berufungsverfahren von der Kostenpflicht zu befreien.
5.2. Indes beanstandet der Beschwerdeführer unter Hinweis auf den Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) weiter, dass das Obergericht entgegen seinem Antrag und ohne diesen zu behandeln nicht in einem Zwischenentscheid über sein Gesuch befunden und sein Vorgehen nicht begründet habe. Dem angefochtenen Urteil lässt sich freilich entnehmen, dass das Obergericht dem Antrag des Beschwerdeführers auf Erlass einer separaten Verfügung aus Gründen der zeitlichen Dringlichkeit nicht entsprochen hat. Die Beschwerde erweist sich damit auch in dieser Hinsicht als unbegründet.
5.3. Soweit der Beschwerdeführer den Entscheid des Obergerichts über sein Gesuch sowie über dessen Behandlung im Verfahren auch inhaltlich beanstandet, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten: Dieser lässt sich letztlich einzig eine Darstellung des Standpunkts des Beschwerdeführers mit dem Hinweis entnehmen, das davon abweichende Urteil des Obergerichts sei willkürlich und verstosse gegen Art. 6 EMRK, Art. 8 BV und die kantonale Datenschutzgesetzgebung. Ausserdem bestreitet der Beschwerdeführer die von der Vorinstanz angenommene Dringlichkeit. Dies genügt den massgebenden Rüge- und Begründungsanforderungen nicht (vgl. vorne E. 2.2).
5.4. Auch vor Bundesgericht wiederholt der Beschwerdeführer den Antrag, es sei der Beschwerdegegnerin (im Sinne einer vorsorglichen Massnahme) keine Kenntnis von bestimmten Akten zu geben (vgl. vorne Bst. C). Soweit ersichtlich begründet er dieses Begehren über seine diesbezüglichen Ausführungen zum angefochtenen Urteil hinausgehend indes nicht. Offensichtlich unzutreffend ist dabei das Vorbringen, die Beschwerdegegnerin könne aus den fraglichen Akten der Invalidenversicherung (IV) ausser der Befriedigung ihres "Gwunders" nichts für sich ableiten. Der Beschwerdeführer selbst erachtet die entsprechenden Akten für das vorliegende Verfahren als relevant und führt dazu insbesondere aus: "Die medizinischen Akten und die IV-Akten beweisen vielmehr, dass der Beschwerdeführer in der Lage ist, die Kinder allein zu betreuen." Weitergehend begründet der Beschwerdeführer seinen Standpunkt hauptsächlich mit dem Hinweis, es handle sich um medizinische und damit schützenswerte Daten. Er äussert sich aber nicht in nachvollziehbarer Weise, weshalb die fraglichen Unterlagen im konkreten Fall trotz ihrer Relevanz für das Verfahren der Beschwerdegegnerin nicht sollten bekannt gegeben werden dürfen. Daher wird sein Antrag abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
6.
6.1. In der Sache umstritten ist vorab die Regelung der Obhut über die Kinder C._ und D._, verstanden als faktische Obhut, d.h. als Befugnis zur täglichen Betreuung der Kinder und Ausübung der Rechte und Pflichten im Zusammenhang mit ihrer Pflege und laufenden Erziehung (<ref-ruling> E. 4.1).
Das Obergericht führt aus, eine Abänderung von auf einer Vereinbarung beruhenden Eheschutzmassnahmen komme nur in Frage, wenn die massgebende Änderung der Verhältnisse eine von beiden Seiten für sicher gehaltene Grundlage der Vereinbarung betreffe und nicht eine Unsicherheit, die durch die Vereinbarung gerade habe beseitigt werden sollen. Relevant seien vorliegend die Reduktion des Arbeitspensums des Beschwerdeführers auf den 1. Januar 2020 und die damit einhergehende Lohnreduktion sowie der Umzugswunsch der Beschwerdegegnerin bzw. der im Laufe des Verfahrens erfolgte Umzug. Die Ehegatten und die Vorinstanz seien sich einig, dass nach dem Umzug die vereinbarte alternierende Obhut nicht mehr umsetzbar sei. Auch erweise sich die Distanz zwischen den Wohnorten der Eltern als zu gross, als dass die notwendigen Autofahrten den Kindern zugemutet werden könnten. Beim Entscheid über die Zuteilung der Obhut an einen Elternteil seien die üblichen Zuteilungskriterien massgebend, namentlich die Erziehungsfähigkeit, die Bindungstoleranz, das Bedürfnis der Kinder nach harmonischer Entfaltung, das familiäre und wirtschaftliche Umfeld, die Stabilität der Verhältnisse, die Sprache und Beschulung, die gesundheitlichen Bedürfnisse sowie bei älteren Kindern deren Meinungsäusserung. In Gewichtung und Abwägung dieser Kriterien gelangt das Obergericht zur Zuteilung der Obhut an die Beschwerdegegnerin. Für den Beschwerdeführer würden zwar seine bessere Bindungstoleranz und das familiäre Umfeld sprechen. Die Beschwerdegegnerin sei dagegen anders als der Beschwerdeführer gesundheitlich voll leistungsfähig und habe die Kinder in deren ersten Lebensjahren überwiegend betreut, was stärker zu gewichten sei. Die übrigen Kriterien seien neutral zu werten.
6.2.
6.2.1. Der Beschwerdeführer weist darauf hin, dass er die alternierende Obhut auch nach dem Umzug der Beschwerdegegnerin noch unterstützt habe. Dem Obergericht habe aufgrund seiner Eingaben klar sein müssen, dass er mehr zu leisten bereit sei als ein übliches Besuchsrecht. Optimiere man sein vor der Vorinstanz vorgetragenes Betreuungskonzept, hätten die Kinder jeweils eine Nacht bei einem Elternteil verbringen können, womit sich die Wegzeit pro Tag halbiert hätte. Eine solche Regelung entspreche auch dem in Art. 3 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (Kinderrechtskonvention, KRK; SR 0.107) verankerten Kindeswohl. Ergänzend verweist der Beschwerdeführer darauf, dass die alternierende Obhut zwischen den Eltern abgesprochen worden war und die fragliche Abmachung nach dem Grundsatz pacta sunt servandaeinzuhalten sei und dass die Beschwerdegegnerin sich missbräuchlich verhalten habe.
6.2.2. Damit bestreitet der Beschwerdeführer im Ergebnis, dass ein hinreichender Änderungsgrund gegeben ist. Indes genügt die Beschwerde insoweit der geltenden (strengen) Begründungspflicht nicht (vgl. vorne E. 2.2) : Weder setzt der Beschwerdeführer sich mit den Ausführungen der Vorinstanz zum Vorliegen eines Änderungsgrundes auseinander (vgl. allgemein dazu <ref-ruling> E. 2.6; betreffend Wegzug des obhutsberechtigten Elternteils ins Ausland vgl. Urteil 5A_781/2015 vom 14. März 2016 E. 3.2.4 [Änderung eines Scheidungsurteils]), noch legt er mit hinreichender Präzision dar, inwieweit der Vorinstanz die Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzuwerfen wäre. Der blosse Hinweis auf Art. 3 KRK, den Grundsatz, dass Verträge einzuhalten sind, und das Rechtsmissbrauchsverbot reicht hierzu nicht. Vielmehr zeigt der Beschwerdeführer in appellatorischer Art und Weise auf, weshalb die alternierende Obhut seiner Ansicht nach aufrechterhalten werden kann. Gleiches gilt, soweit er mit weitgehend identischer Argumentation und dem zusätzlichen Hinweis auf seine 50-prozentige Arbeitsunfähigkeit der Vorinstanz auch unter dem Stichwort der "Betreuungsmöglichkeiten" als Kriterium der Zuteilung der Obhut eine Verletzung der Kinderrechtskonvention vorwirft.
6.3.
6.3.1. Der Beschwerdeführer betont, dass die Beschwerdegegnerin sich im Zusammenhang mit ihrem Umzug verschiedentlich über behördliche Anordnungen hinweggesetzt hat. Die Vorinstanz habe dies zu Unrecht bei der Beurteilung der Erziehungsfähigkeit nicht berücksichtigt. Der Einfluss der "mittlerweile nachgewiesenen kriminellen Energie" der Beschwerdegegnerin auf deren Erziehungsfähigkeit sei entscheidwesentlich: Es sei nicht erziehungsfähig, wer sich nicht an Regeln halten könne. Auch dürfe renitentes Verhalten nicht geschützt werden. Das Obergericht habe den relevanten Sachverhalt daher nicht vollständig erfasst.
6.3.2. Der Beschwerdeführer missversteht das angefochtene Urteil: Das Obergericht hat das Verhalten der Beschwerdegegnerin und insbesondere die Missachtung des Verbots, den Wohnsitz zu verlegen, bei der Beurteilung der Erziehungsfähigkeit sehr wohl berücksichtigt. Es ging deswegen von einer verminderten Bindungstoleranz der Beschwerdegegnerin aus, was negativ zu werten sei. Dennoch gelangt das Obergericht zum Schluss, dass deren generelle Erziehungsfähigkeit gegeben sei. Folglich erweist die Beschwerde sich insoweit als unbegründet, weshalb nicht darauf einzugehen ist, ob sie überhaupt den Begründungsanforderungen genügt. Weder genügende Rügen noch eine hinreichende Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Urteil enthält die Beschwerdeschrift indes, soweit der Beschwerdeführer ausserdem die Beurteilung der Erziehungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin unter Berücksichtigung von deren Bindungstoleranz in Frage stellen sollte. Hierzu reicht auch der Hinweis und die auszugsweise Wiedergabe von den gegenüber einer Zeitung in allgemeiner Art und Weise zur Obhutszuteilung gemachten Aussagen eines Bundesrichters nicht (vgl. vorne E. 2.2).
6.4.
6.4.1. Zur gesundheitlichen Situation des Beschwerdeführers hielt die Vorinstanz fest, dieser weise eine Symptomatik (insbesondere Müdigkeit und Konzentrationsstörungen) mit nicht abschliessend geklärter Ursache auf, welche eine Kinderbetreuung zwar nicht verunmögliche, indes einschränke. Dabei liege es nahe, dass er aufgrund dieser Schwierigkeiten nicht dieselben Ressourcen einsetzen könne, wie eine beschwerdefreie Person. Dies sei zu berücksichtigen, zumal die künftige Entwicklung unklar bleibe.
6.4.2. Unter Hinweis auf den Bericht der Klinik E._ vom 25. November 2020 bringt der Beschwerdeführer hiergegen vor, er verfüge über Kompensationstechniken, die ihm einen Ausgleich seiner gesundheitlichen Defizite erlaubten. Wie ausgeführt (vorne E. 2.4), handelt es sich bei dem fraglichen Bericht um ein unzulässiges echtes Novum, weshalb auch auf die entsprechenden Ausführungen nicht einzugehen ist.
Weiter bringt der Beschwerdeführer vor, den Akten liessen sich keine Beweismittel dazu entnehmen, wie hoch die effektiven Ressourcen der Parteien für die Kinderbetreuung seien, womit der Sachverhalt unvollständig und in Verletzung der Untersuchungsmaxime festgestellt sei. Damit vermag er den von der Vorinstanz aufgrund der unbestritten gebliebenen Krankheitssymptomatik gezogenen Schluss, er sei in der Kinderbetreuung zumindest eingeschränkt, nicht als offensichtlich unrichtig erscheinen zu lassen. Rein appellatorisch und unzulässig bleibt das Vorbringen, der Beschwerdeführer könne die Kinder mit einer Wahrscheinlichkeit von 96 % noch während 15 Jahren betreuen. Ohnehin begründet er diese Aussage im Wesentlichen mit einem unzulässigen Hinweis auf eine frühere Eingabe (vgl. vorne E. 2.3).
Nicht mit hinreichender Klarheit tut der Beschwerdeführer sodann dar, weshalb die Vorinstanz verpflichtet gewesen wäre, weitere Abklärungen zu seinem Gesundheitszustand zu treffen. Allein der Hinweis, er habe früher einmal die Erstellung eines Gutachtens verlangt, reicht dazu nicht. Ebenso wenig ist das Vorbringen, der Beschwerdeführer könne bei der Kinderbetreuung auf weitere Personalressourcen (Vater, Schwester) zurückgreifen, dazu geeignet, die Einschätzung des Obergerichts in Zweifel zu ziehen. Zumal die Vorinstanz diesen Umstand bereits unter dem Aspekt des familiären Umfelds berücksichtigte. Der Beschwerdeführer hält zwar auch diese Überlegung der Vorinstanz für willkürlich bzw. offensichtlich unvollständig. Aus der Beschwerde ergibt sich aber nicht schlüssig, weshalb dem so sein sollte. Mangels direkter Drittwirkung der Grundrechte kann der Beschwerdeführer im vorliegenden Verfahren, welches die Regelung der Beziehungen zwischen zwei Privatpersonen zum Gegenstand hat, auch nichts aus dem Diskriminierungsverbot nach Art. 8 Abs. 2 BV bzw. Art. 14 EMRK für sich ableiten (<ref-ruling> E. 4.1).
6.5. Als willkürlich erachtet es der Beschwerdeführer weiter, dass die Vorinstanz die überwiegende Betreuung der Kinder in den ersten Lebensjahren durch die Mutter berücksichtigte. Dabei bestreitet er nicht, dass die Beschwerdegegnerin die Kinder in dieser Zeit tatsächlich in grösserem Umfang betreut hat. Er verweist aber auf einen "Flyer F._", wonach Kinder eine Bindung zu drei bis vier Personen aufbauen könnten. Gemäss der kinderpsychologischen Literatur gäbe es keine Hierarchie in diesen Bindungen. Diese rein appellatorischen Ausführungen genügen den geltenden Begründungsanforderungen nicht (vgl. vorne E. 2.2).
6.6. Zuletzt hat das Obergericht nach Ansicht des Beschwerdeführers der finanziellen Stabilität bei der Obhutszuteilung zu wenig Beachtung geschenkt. Er, der Beschwerdeführer, habe vorgebracht, dass die Familie einen Überschuss erwirtschaften könne, falls ihm die Obhut zugeteilt werde. Da das Risiko der gesundheitlichen Situation widerlegt sei und die weiteren Zuteilungsparameter als neutral einzustufen seien, erweise sich dies als entscheidend. Entgegen diesen Ausführungen haben die Überlegungen der Vorinstanz zur Obhutszuteilung bestand. Weshalb dem finanziellen Aspekt unter diesen Umständen entscheidendes Gewicht zukommen sollte, legt der Beschwerdeführer nicht dar. Ohnehin bleibt die Behauptung appellatorisch, die Kinder könnten beim Beschwerdeführer in finanzieller Stabilität leben. Auch in diesem Zusammenhang ist ein weiterer Hinweis des Beschwerdeführers auf eine frühere Eingabe unbeachtlich (vgl. vorne E. 2.3).
6.7. Damit erweist sich die Beschwerde hinsichtlich der Obhutszuteilung als unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann. Hieran ändert unter den gegebenen Umständen auch der unbestrittene Umstand nichts, dass das Wohl der Kinder durch den Vater nicht gefährdet wird. Damit sind auch die von der Vorinstanz festgelegten Betreuungszeiten des Beschwerdeführers nicht weiter zu prüfen, welche dieser anderweitig nicht in Frage stellt.
7.
7.1. Strittig ist weiter die Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers. Das Obergericht lehnte es diesbezüglich aufgrund seiner hälftigen Arbeitsunfähigkeit ab, dem Beschwerdeführer für die Zeit nach dem Umzug der Beschwerdegegnerin ein hypothetisches Einkommen anzurechnen. Entsprechend berücksichtigte es dessen tatsächlich erzieltes Durchschnittseinkommen von Fr. 4046.-- im Monat. Bei der Bedarfsberechnung ging die Vorinstanz aufgrund der knappen finanziellen Verhältnisse sodann vom "strikten Existenzminimum" der Parteien aus. Für den Beschwerdeführer berücksichtigte sie Fr. 2'963.-- im Monat, für die Kinder Fr. 872.-- (C._) bzw. Fr. 847.-- (D._; unter Berücksichtigung von Drittbetreuungskosten von Fr. 150.--) und für die Beschwerdegegnerin Fr. 2'588.--. Unter Einbezug des von der Beschwerdegegnerin erzielten Einkommens von Fr. 2'458.-- errechnete das Obergericht für die gesamte Familie eine Unterdeckung von Fr. 366.-- im Monat. Entsprechend verpflichtete es den Beschwerdeführer dazu, den von ihm erwirtschafteten Überschuss von monatlich Fr. 1'083.-- für die Deckung des Barbedarfs der Kinder zu verwenden. Das bestehende Manko verteilte es dabei anteilsmässig auf beide Kinder. Da sie dem Beschwerdeführer kein hypothetisches Einkommen anrechnete, gewährte ihm die Vorinstanz auch keine Übergangsfrist, weshalb sie die neuen Unterhaltsbeträge ab dem der Eröffnung des vorinstanzlichen Urteils folgenden Monat (Dezember 2020) zusprach. Die von der Erstinstanz rückwirkend ab dem 1. Januar 2020 festgesetzten Beiträge seien nicht substanziiert beanstandet und daher in Rechtskraft erwachsen.
7.2.
7.2.1. Hiergegen bringt der Beschwerdeführer vorab vor, die Eheschutzvereinbarung vom 19. Februar 2019 sei nichtig, weil seine Leistungsfähigkeit nicht korrekt berücksichtigt worden sei und daher in sein Existenzminimum eingegriffen und ihm ein menschenwürdiges Leben verunmöglicht werde. Auch missachte die Vorinstanz das Urteil 5A_630/2015 in willkürlicher Art und Weise. Bei korrekter Anwendung der massgebenden Grundsätze sei nicht auszuschliessen, dass sich der Unterhalt des Beschwerdeführers erheblich reduzieren würde. Gleichzeitig habe der Vater zu wenig Geld für die Ausübung des persönlichen Verkehrs mit den Kindern, womit das Recht auf Familie verletzt sei.
7.2.2. Die Vorinstanz hat mit dem angefochtenen Urteil den vom Beschwerdeführer zu leistenden (Kindes-) Unterhalt neu berechnet und festgelegt (vgl. E. 7.1 hiervor). Es bleibt auch aufgrund der Beschwerde unklar, inwieweit der Beschwerdeführer aus einer Nichtigkeit der Vereinbarung vom 19. Februar 2019 diesbezüglich etwas für sich sollte ableiten können. Ohnehin ist auf Folgendes zu verweisen: Zwar hat das Bundesgericht im Urteil 5A_630/2015 vom 9. Februar 2016 E. 3.1 (in: FamPra.ch 2016 S. 512) festgehalten, ein Unterhaltsvertrag sei nach einer Lehrmeinung nichtig, wenn der vereinbarte Unterhaltsbeitrag ganz offensichtlich nicht den Bedürfnissen des Kindes entspricht oder ebenso klar die Lebensstellung und Leistungsfähigkeit der Eltern unbeachtet lässt und der Sinn und Zweck des verletzten Art. 285 Abs. 1 ZGB keine andere Rechtsfolge als diese nahelegt. Das Bundesgericht hatte aber nicht zu prüfen, ob Nichtigkeit zufolge Eingriffs in das Existenzminimum des Schuldners vorliege (Urteil, a.a.O., E. 3.3.1). Dass die genannten Voraussetzungen in seinem Fall erfüllt wären, legt der Beschwerdeführer nicht dar. Hierzu reicht der pauschale Hinweis nicht aus, das Existenzminimum gemäss der Schweizerischen Konferenz für Sozialhilfe (SKOS) liege unter dem betreibungsrechtlichen Existenzminimum, zumal der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang unzulässig auf das Schreiben des Sozialamts U._ vom 30. November 2020 verweist (vgl. vorne E. 2.4). Auch hier kann der Beschwerdeführer nichts aus dem angerufenen Grundrecht (Recht auf Familie; Art. 14 BV) für sich ableiten (vgl. vorne E. 6.4.2 a.E.).
7.3. In verschiedener Hinsicht nicht einverstanden ist der Beschwerdeführer sodann mit der vom Obergericht vorgenommenen Neufestsetzung der Unterhaltsbeiträge:
7.3.1. Aktenwidrig sei die Feststellung, Teile der erstinstanzlichen Unterhaltsberechnung seien unbestritten und in Rechtskraft erwachsen. Tatsächlich habe der Beschwerdeführer vor Obergericht eine Phasenbetrachtung verlangt und den Unterhalt insgesamt in Frage gestellt. Die Vorinstanz gebe die von ihm gestellten Begehren in willkürlicher Art und Weise falsch wieder. Ausserdem habe sie mangels Phasenbildung - diese hätte sich auch mit Blick auf die Offizialmaxime aufgedrängt - seine Krankheit sowie erhebliche Lohneinbussen zwischen September 2019 und April 2020 nicht berücksichtigt.
Was den Unterhalt für die Zeit vor Dezember 2020 anbelangt, hat das Obergericht festgehalten, das erstinstanzliche Urteil sei nicht hinreichend bestritten worden. Damit verweist es auf die für die Berufung nach Art. 311 Abs. 1 ZPO geltenden Begründungserfordernisse, welche es in E. 1.8 des angefochtenen Urteils erschöpfend darlegt. Mit diesem Themenbereich setzt der Beschwerdeführer sich mit dem Hinweis darauf, er habe auch für diesen Zeitraum einen Antrag gestellt, was die Vorinstanz in Willkür übersehe, nicht hinreichend auseinander (vgl. vorne E. 2.2). Da es bereits an einer ausreichenden Begründung zum vorinstanzlichen Nichteintretensentscheid fehlt (vgl. vorne E. 2.6), bleiben die materiellen Ausführungen des Beschwerdeführers unbeachtlich. Ohnehin erschliesst sich aufgrund der Beschwerde nicht hinreichend, inwieweit das Obergericht verfassungsmässige Rechte des Beschwerdeführers verletzt haben sollte, indem es keine "Phasenbetrachtung" anstellte.
7.3.2. Unter Hinweis auf die Verfügung des Sozialdienstes U._ vom 30. November 2020 sowie eine eigene Eingabe vom 1. Oktober 2020 berechnet der Beschwerdeführer sodann den ihm seiner Ansicht nach anrechenbaren Bedarf, wobei er zu einem monatlichen Betrag von Fr. 4'192.68 gelangt. Dabei berücksichtigt er verschiedene Positionen, welche in seiner Wahrnehmung gerichtsnotorisch sind (z.B. Kosten für Reparatur und Unterhalt seines Fahrzeugs). Die Vorinstanz habe diese Posten willkürlich nicht berücksichtigt, was einen Eingriff in sein Existenzminimum und seine Strafbarkeit wegen Vernachlässigung der Unterhaltspflicht (Art. 217 StGB) zur Folge habe bzw. haben könne.
Wie dargelegt ist die Verfügung des Sozialdienstes U._ vorliegend ebenso unbeachtlich, wie der Hinweis auf frühere Eingaben des Beschwerdeführers (vgl. vorne E. 2.3 und 2.4). Weitergehend beschränkt der Beschwerdeführer sich mit der Aufstellung seines Bedarfs darauf, seine Sicht der Dinge den vorinstanzlichen Feststellungen gegenüberzustellen, was im Rahmen des vorliegenden Verfahrens nicht ausreicht (vgl. vorne E. 2.2). Hieran ändert auch der nicht weiter begründete Hinweis nichts, verschiedene Bedarfsposten seien gerichtsnotorisch (vgl. zu diesem Begriff Urteil 5A_467/2020 vom 7. September 2020 E. 5.2). Ohnehin wäre allenfalls das Anfallen einer bestimmen Bedarfsposition, nicht aber die Höhe des vom Beschwerdeführer unter diesem Titel geltend gemachten Betrags offenkundig. Unbeheflich bleibt diesbezüglich auch der nicht weiter präzisierte Hinweis, die Betreuung von Kindern während fünf Wochen sei kostspieliger als während dreier Wochen. Dem Beschwerdeführer hilft zuletzt auch der Hinweis auf die ihm für den Fall des Nichtbezahlens des Unterhalts drohenden Folgen nicht weiter.
7.3.3. Der Beschwerdeführer verweist auf die im Bereich des Kindesunterhalts geltende Pflicht des Obergerichts, den Sachverhalt von Amtes wegen zu klären. Diese Pflicht habe die Vorinstanz verschiedentlich verletzt. Weder habe sie das Existenzminimum des Vaters korrekt festgestellt, noch habe sie geklärt, ob Subventionen für die Drittbetreuung der Kinder erhältlich gewesen wären, oder die Bedürfnisse der Parteien noch im Sinne von Art. 279 ZPO angemessen seien. Ebenso wenig habe das Obergericht geprüft, ob genügend Mittel vorhanden wären, wenn sich die Kinder unter der Obhut des Vaters befänden.
In Kinderbelangen gelten unabhängig von der Art des Verfahrens die Untersuchungs- und die Offizialmaxime (Art. 296 Abs. 1 und 3 ZPO). Erstere schreibt dem Gericht vor, den Sachverhalt von Amtes wegen zu erforschen. Die Untersuchungspflicht des Gerichts reicht so weit und dauert so lange, bis über die Tatsachen, die für die Beurteilung des streitigen Anspruchs erforderlich sind, hinreichend Klarheit besteht. Verfügt das Gericht über genügend Grundlagen für eine sachgerechte Entscheidung, kann es auf weitere Beweiserhebungen verzichten (<ref-ruling> E. 2.2.3). Wer eine Verletzung der Untersuchungsmaxime geltend macht, muss daher zunächst aufzeigen, dass das Gericht den Sachverhalt willkürlich festgestellt hat (Urteile 5A_121/2018 und 5A_132/2018 vom 23. Mai 2018 E. 7.2, in: FamPra.ch 2019 S. 282; 5A_468/2017 vom 18. Dezember 2017 E. 6.1; 5A_724/2015 vom 2. Juni 2016 E. 4.5, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: FamPra.ch 2016 S. 1079). Mit seinen Ausführungen tut der Beschwerdeführer zwar dar, dass die Vorinstanz seiner Ansicht nach zur weiteren Klärung des Sachverhalts verpflichtet gewesen wäre. Er macht aber nicht geltend und zeigt nicht auf, dass sie in Willkür verfallen wäre, indem sie dies nicht getan hat. Auch ansonsten vermag der Beschwerdeführer wie dargelegt keine Willkür aufzuzeigen (vgl. insbesondere vorne E. 7.3.2). Damit erweist sich auch der Hinweis auf Art. 296 Abs. 1 ZPO als unbehelflich.
7.3.4. Auch mit Blick auf die Unterhaltsberechnung unzulässig bleibt sodann der Verweis auf das Recht auf Familie nach Art. 14 BV (vgl. vorne E. 6.4.2 a.E.). Soweit der Beschwerdeführer dem Obergericht ausserdem eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung bei der Bestimmung des Existenzminimums der Beschwerdegegnerin vorwirft, zeigt er nicht auf, inwieweit sich diese im Ergebnis auswirken würde, was indes notwendig wäre (vgl. <ref-ruling> E. 6.1).
7.3.5. Im vorinstanzlichen Verfahren hat der Beschwerdeführer vorgetragen, ihm seien höhere Mobilitäts- und Gesundheitskosten sowie zusätzliche Kosten für die externe Verpflegung anzurechnen. Die Vorinstanz verweigerte dies, weil die fraglichen Kosten beim Abschluss der Vereinbarung vom 19. Februar 2019 kein Thema gewesen seien, eine Änderung nicht eingetreten sei und der Beschwerdeführer es sich selbst zuzuschreiben habe, wenn er angesichts der damals komfortablen finanziellen Verhältnisse nicht alle Bedarfspositionen geltend gemacht habe. Der Beschwerdeführer rügt eine willkürliche Anwendung des "Grundsatzes des caput controversum " (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.6.1). Bei diesem Grundsatz handle es sich um einen Notbehelf, der Verfassung und Gesetz nicht vorgehe und nicht gegen höherrangiges Recht verstossen dürfe. Das Obergericht wende damit das einschlägige Recht willkürlich an. Auch mit diesen Ausführungen tut der Beschwerdeführer die geltend gemachte willkürliche Rechtsanwendung nicht mit hinreichender Genauigkeit dar. Allein der Hinweis auf die Rangordnung der Rechtsquellen reicht dazu nicht, zumal der Beschwerdeführer sich in keiner Weise mit den vorinstanzlichen Überlegungen auseinandersetzt. Entsprechendes gilt, sofern damit überhaupt die Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts geltend gemacht werden sollte, für den Vorwurf, das Obergericht habe den "Anspruch auf die clausula rebus sic stantibus " verletzt, weil es trotz unvorhersehbarer Veränderung der Verhältnisse (Eintritt der Zahlungsunfähigkeit) das Existenzminimum des Beschwerdeführers nicht neu berechnet habe.
7.4. Folglich erweist sich die Beschwerde auch hinsichtlich der Unterhaltsberechnung als unbegründet, soweit darauf überhaupt eingegangen werden kann.
8.
8.1. Zuletzt verlangt der Beschwerdeführer eine Neuverlegung der Kosten der kantonalen Verfahren und beantragt, die erstinstanzlichen Kosten seien um mindestens Fr. 1'000.-- zu reduzieren und von einer Kostenauferlegung für das Berufungsverfahren sei abzusehen. Für das Berufungsverfahren gelangt er zu diesem Ergebnis vorab unter der Prämisse, seine Beschwerde sei begründet und der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben. Dies trifft nach dem Ausgeführten nicht zu. Da die vorinstanzlichen Gerichtskosten nach Massgabe der Art. 104 ff. ZPO zu verlegen sind (Art. 1 Bst. a ZPO), bleiben auch die Hinweise des Beschwerdeführers auf die Staatshaftung und das Auftragsrecht unbehelflich. Auch diesbezüglich geht der Beschwerdeführer im Übrigen unzutreffend von der Begründetheit seiner Beschwerde aus.
8.2. Der Beschwerdeführer beruft sich bezüglich der vorinstanzlichen Kosten sodann auf Art. 108 ZPO, wonach unnötige Prozesskosten zu bezahlen hat, wer sie verursacht. Unbehelflich bleibt in diesem Zusammenhang allerdings sein Hinweis, die Erstinstanz habe das Recht teilweise falsch angewandt, weshalb das Obergericht ihren Entscheid teilweise habe korrigieren müssen: Das Obsiegen des Beschwerdeführers im Berufungsverfahren wurde vom Obergericht zutreffend vielmehr bereits bei der Kostenverlegung nach Art. 106 Abs. 1 ZPO berücksichtigt. Den Antrag auf Neuverlegung der vorinstanzlichen Kosten begründet der Beschwerdeführer sodann mit einer durch das Obergericht geheilten Gehörsverletzung der Erstinstanz. Die Vorinstanz sah hierin indes keinen Grund für eine vom Unterliegerprinzip abweichende Kostenverlegung, wozu der Beschwerdeführer sich nicht weiter äussert. Er begründet auch nicht, weshalb eine Verletzung des Gehörsanspruchs in einem untergeordneten Punkt zur Befreiung von sämtlichen Gerichtskosten führen sollte. Entsprechendes gilt für den Antrag auf Reduktion der erstinstanzlichen Kosten, zu dessen Begründung der Beschwerdeführer ebenfalls auf die Gehörsverletzung verweist. Freilich geht er auch diesbezüglich nicht auf das angefochtene Urteil ein und legt auch nicht dar, weshalb der Verfahrensfehler "erhebliche Kosten" verursacht habe, die nun von der Erstinstanz zu tragen seien, wie er geltend macht.
8.3. Der Beschwerdeführer beantragt sodann die Zusprechung einer Unkostenentschädigung, wobei nicht gänzlich klar ist, ob er sich dabei auf das vorinstanzliche oder das bundesgerichtliche Verfahren bezieht. Jedenfalls begründet er seinen Antrag vorab mit dem unzutreffenden Hinweis auf die Staatshaftung (vgl. E. 8.1 hiervor). An der Sache vorbei zielt sodann die Rüge, die einschlägigen Erlasse würden nicht zwischen anwaltlich vertretenen und anwaltlich nicht vertretenen Parteien unterschieden. Für die Ausrichtung einer Parteientschädigung ist entscheidend, ob notwendige Auslagen angefallen sind (vgl. Art. 95 Abs. 3 ZPO; Art. 68 Abs. 2 BGG), wozu der Beschwerdeführer sich nicht äussert (vgl. zur Umtriebsentschädigung <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 4d).
8.4. Nichts für sich abzuleiten vermag der Beschwerdeführer zuletzt aus dem Vergleich der Höhe der Prozesskosten in verschiedenen erstinstanzlichen Verfahren, zumal er nicht geltend macht, die entsprechende Willkürrüge bereits vor der Vorinstanz erhoben zu haben (vgl. <ref-ruling> E. 1.1).
8.5. Die Beschwerde erweist sich damit auch bezüglich der Kostenfolgen in den kantonalen Verfahren als unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann.
9.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde unbegründet und abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten (inkl. der Kosten für die Verfahren betreffend aufschiebende Wirkung bzw. vorsorgliche Massnahmen) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigung ist keine zu sprechen, da der obsiegenden Beschwerdegegnerin mangels Einholens einer Vernehmlassung keine entschädigungspflichtigen Kosten angefallen sind (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, da die Beschwerde nach dem Ausgeführten als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden muss (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch vom 5. Februar 2021 um Erlass vorsorglicher Massnahmen gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Ausstandsbegehren wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
3.
Das Gesuch vom 5. Februar 2021 um Erlass vorsorglicher Massnahmen wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
4.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
5.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zug, II. Zivilabteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Februar 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber