Erwägungen:
1.
Mit Urteil vom 7. November 2017 erteilte das Bezirksgericht Zürich dem Beschwerdegegner in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Zürich 2 gestützt auf die rechtskräftige Verfügung des kantonalen Steueramtes Zürich vom 31. Januar 2017 für eine ausstehende Busse definitive Rechtsöffnung für Fr. 1'420.-- nebst 3 % Zins seit 20. Juli 2017 und für Fr. 16.20.
Gegen dieses Urteil erhob der Beschwerdeführer am 27. November 2017 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Mit Urteil vom 14. Februar 2018 wies das Obergericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
Am 26. März 2018 hat der Beschwerdeführer Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht erhoben. Er verlangt, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Nichtigkeit der Bussenverfügung vom 31. Januar 2017 festzustellen und diese ebenfalls aufzuheben. Allenfalls sei die Sache an das Obergericht zurückzuweisen. Zudem ersucht der Beschwerdeführer um Wiederherstellung der Frist bzw. um Ansetzung einer angemessenen Nachfrist zur ausführlichen Begründung der Anträge.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
2.1. Das angefochtene Urteil ist dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Rolf Rüegg, am 23. Februar 2018 zugestellt worden. Die dreissigtägige Beschwerdefrist (<ref-law>) wurde durch den gesetzlichen Fristenstillstand über Ostern (<ref-law>) verlängert und lief erst am Montag, 9. April 2018, ab. Ohne die Osterferien wäre die Beschwerdefrist am Montag, 26. März 2018, abgelaufen (<ref-law>).
2.2. Der Beschwerdeführer hat folglich innert der Beschwerdefrist Beschwerde erhoben und war demnach insoweit nicht daran gehindert, fristgerecht zu handeln (<ref-law>). Die angebliche Unmöglichkeit zur fristgerechten Handlung bezieht sich denn auch bloss darauf, die Beschwerde binnen der Frist zu begründen. Es ist fraglich, ob unter diesen Umständen überhaupt von einem Fristwiederherstellungsgesuch gesprochen werden kann (vgl. auch Urteil 1C_249/2008 vom 9. Juni 2008 E. 1.2) oder ob es sich nicht eher um ein Fristerstreckungsgesuch handelt (dazu unten E. 2.4). Die Frage braucht nicht erörtert zu werden, da die vom Beschwerdeführer dargelegten Umstände ohnehin keine Fristwiederherstellung rechtfertigen könnten. Um dies zu beurteilen, braucht das Ende des behaupteten Hinderungsgrundes nicht abgewartet zu werden.
2.3. Rechtsanwalt Rüegg bringt vor, fallführende und allein verantwortliche Vertreterin des Beschwerdeführers sei B._. Sie leide seit Jahren an Morbus Crohn und sei aufgrund eines derzeitigen heftigen Aktivitätsschubs seit dem 6. März 2018 arbeitsunfähig. Nach einer notfallmässigen Operation am 19. März 2018 sei sie noch für längere Zeit arbeitsunfähig.
Wie den Angaben in der Beschwerde und dem Anwaltsregister des Kantons St. Gallen entnommen werden kann, ist B._ nicht Rechtsanwältin, sondern MLaw/dipl. Betriebsökonomin FH und Steuerexpertin. Sie ist deshalb nicht befugt, den Beschwerdeführer in der vorliegenden Streitsache vor Bundesgericht zu vertreten (<ref-law>; <ref-ruling>). Die Beschwerde hätte damit gegen aussen ohnehin durch Rechtsanwalt Rüegg verantwortet werden müssen. Für ihn liegt denn auch eine Anwaltsvollmacht vor. Der Ausfall von B._ betrifft damit nur die interne Organisation der Anwaltskanzlei von Rechtsanwalt Rüegg. Wieso er nicht selber die Beschwerde fristgerecht begründen konnte oder wieso er nicht rechtzeitig eine andere Hilfsperson als B._ mit der Begründung der Beschwerde betrauen konnte, ist nicht ersichtlich. Insbesondere bedurfte es für die Abfassung der Beschwerde in der vorliegenden Rechtsöffnungssache offensichtlich keiner Steuerexpertin. Sodann war B._ nach den Angaben von Rechtsanwalt Rüegg und dem eingereichten Arztzeugnis bereits seit dem 6. März 2018 krank geschrieben. Es hätte damit mehr als ein Monat Zeit bestanden, mit der Abfassung der Beschwerde eine andere Person als B._ zu betrauen. Von einer unverschuldeten Unmöglichkeit, fristgerecht zu handeln, kann deshalb keine Rede sein. Eine Fristwiederherstellung - zum jetzigen Zeitpunkt oder auch nach Genesung von B._ - ist damit ausgeschlossen.
2.4. Auch eine Fristerstreckung kann nicht gewährt werden. Die Beschwerdefrist ist gesetzlich bestimmt. Eine Fristerstreckung ist deshalb nicht möglich (<ref-law>). Auch die Voraussetzungen für eine ergänzende Beschwerdeschrift (<ref-law>) liegen nicht vor.
2.5. Der Beschwerdeführer erhebt ausdrücklich Beschwerde in Zivilsachen. Der Streitwert der vorliegenden Angelegenheit erreicht die für eine Beschwerde in Zivilsachen erforderliche Schwelle von Fr. 30'000.-- nicht (<ref-law>). Dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellen würde (<ref-law>), macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Zulässig wäre demnach einzig die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>). Auf eine Umwandlung kann jedoch verzichtet werden, da auf die Beschwerde - auch in der Form der Verfassungsbeschwerde - ohnehin nicht eingetreten werden kann (Urteil 4A_465/2008 vom 28. November 2008 E. 2). Die eingereichte Beschwerdeschrift enthält zwar Anträge, einige Ausführungen zur Zulässigkeit der Beschwerde und die behandelten Gesuche mit Begründung, jedoch keinerlei inhaltliche Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Urteils. Die Beschwerde genügt damit den Rügeanforderungen nicht (Art. 117 i.V.m. <ref-law>).
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Gesuche um Fristwiederherstellung und Fristerstreckung werden abgewiesen.
2.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Mai 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zingg