Sachverhalt:
A.
A._, geboren 1960, ist deutscher Staatsangehöriger. Er zog im Jahr 2008 in die Schweiz und lebt seit 2010 in der Gemeinde Zillis-Reischen, wo er als selbstständiger Unternehmens-, Rechts- und Investitionsberater tätig ist und mit seiner Partnerin im eigenen Einfamilienhaus lebt.
B.
B.a. Am 6. September 2018 stellte A._ beim Amt für Migration und Zivilrecht des Kantons Graubünden (AFM) ein Gesuch um ordentliche Einbürgerung. Nach Prüfung der formellen Einbürgerungsvoraussetzungen trat das Amt am 1. Februar 2019 auf das Gesuch ein und überwies dieses der Bürgergemeinde Zillis-Reischen.
B.b. Am 6. März 2019 befasste sich der Vorstand der Bürgergemeinde ein erstes Mal mit dem Einbürgerungsgesuch. Am 1. Juli 2019 fand in Chur ein Gespräch zwischen A._ und B._, Abteilungsleiter "Bürgerrecht und Zivilrecht" beim AFM, statt. Gegenstand des Gesprächs bildete in erster Linie, dass jener im Juli 2018 an einer Veranstaltung am Walensee, bei der es sich gemäss Medienberichten um ein Seminar sog. Reichsbürger gehandelt haben soll, einen Vortrag zum Thema "Vermögenssicherung im Ausland" gehalten sowie Äusserungen zu angeblichen staatlichen Kindeswegnahmen in Deutschland gemacht hatte. Thematisiert wurden weiter die Vereinbarkeit der Reichsbürgerideologie mit den Werten der Bundesverfassung und die Einstellung von A._ zu dieser Ideologie sowie angebliche Verbindungen von diesem zu prominenten Personen in oder im Umfeld der Reichsbürgerbewegung.
B.c. Im Zusammenhang mit der Reichsbürgerthematik kam es in der Folge zu verschiedenen Verfahrenshandlungen vonseiten des AFM und A._ sowie des Vorstands der Bürgergemeinde. Unter anderem hielt B._ in einem Schreiben vom 5. September 2019 an A._ fest, er erachte aufgrund der diesbezüglichen Abklärungsergebnisse dessen Integration unter dem Gesichtspunkt der Respektierung der Werte der Bundesverfassung zumindest als zweifelhaft und stehe dem Einbürgerungsgesuch derzeit ablehnend gegenüber. Ausserdem verfasste er zur Frage zuhanden des Bürgergemeindevorstands einen vom 22. November 2019 datierten, knapp zehnseitigen Bericht mit zahlreichen Beilagen und Quellenangaben.
B.d. Am 4. Februar 2020 führte der Vorstand der Bürgergemeinde ein Einbürgerungsgespräch mit A._ durch. Im Anschluss daran fasste er folgenden Beschluss:
"Der Bürgervorstand unterstützt mehrheitlich das Einbürgerungsgesuch von Herrn A._. Es können ihm keine konkreten Vorwürfe gemacht werden, als Einwohner von Zillis-Reischen hat er sich nichts zuschulden kommen lassen. Nach all den Abklärungen, auch durch das AFM, bezüglich seiner persönlichen Verbindungen, bleibt bei den Vorstandsmitgliedern allerdings ein Gefühl der Unsicherheit."
B.e. Die Bürgergemeindeversammlung behandelte das Einbürgerungsgesuch am 4. März 2020. Die anwesenden Stimmberechtigten wurden über die in der Sache erfolgten Verfahrenshandlungen informiert. Zudem wurde ihnen das Empfehlungsschreiben eines Nachbarn von A._ vorgelesen und stellte der Bürgergemeindepräsident diesen kurz vor. Weiter wurde den Anwesenden der erwähnte Beschluss des Bürgergemeindevorstands zur Kenntnis gebracht. Da keine Diskussion gewünscht wurde, erfolgte die Abstimmung. Mit 11 zu 5 Stimmen bei 2 Enthaltungen lehnte die Bürgergemeindeversammlung das Einbürgerungsgesuch ab.
B.f. Mit Schreiben vom 5. Mai 2020 informierte der Bürgergemeindepräsident A._ über die mutmasslichen Gründe für den negativen Einbürgerungsentscheid und bot ihm an, die Abstimmung zu wiederholen, um definitiv Klarheit über die Ablehnungsgründe zu erhalten. A._ verzichtete auf eine Wiederholung der Abstimmung, worauf ihm die Bürgergemeinde, wie für diesen Fall angekündigt, einen begründeten schriftlichen Entscheid zustellte. Darin wurde auf die Reichsbürgerthematik Bezug genommen und festgehalten, angebliche Verbindungen von A._ zu Personen und Vereinen mit Ideengut, welche die Institutionen des Staates in Frage stellten, seien als nicht mit der Respektierung der Grundwerte der Verfassung in Übereinstimmung zu bringen qualifiziert worden.
C.
Gegen den negativen Einbürgerungsentscheid der Bürgergemeinde-versammlung gelangte A._ an das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden. Mit Urteil vom 11. März 2021 (mitgeteilt am 19. Mai 2021) wies das Gericht die Beschwerde ab. Es hielt zusammenfassend fest, A._ habe zweifellos eine kritische Nähe zu prominenten Figuren im Dunstkreis der Reichsbürgerbewegung und Sympathie für deren Ansichten, wobei die von dieser Bewegung vertretenen Theorien und Ideologien mit der Schweizerischen Bundesverfassung nicht kompatibel seien. Unter diesem Aspekt sei die Integration von A._ deshalb als ungenügend zu beurteilen.
D.
Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 15. Juni 2021 an das Bundesgericht beantragt A._, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und ihm das Gemeindebürgerrecht zu erteilen bzw. die Sache zu dessen Erteilung an die Bürgergemeinde Zillis-Reischen zurückzuweisen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht, subventualiter an die Bürgergemeinde zurückzuweisen.
Die Bürgergemeinde beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. A._ hat sich am 28. September 2021 ein zweites Mal geäussert, die Bürgergemeinde am 11. Oktober 2021.

Erwägungen:
1.
Gegen Entscheide über die ordentliche Einbürgerung ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss <ref-law> ausgeschlossen (<ref-law>). Eine andere ordentliche Beschwerde an das Bundesgericht fällt nicht in Betracht. Damit steht grundsätzlich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach <ref-law> offen. Der angefochtene Entscheid ist kantonal letztinstanzlich (Art. 114 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist als Gesuchsteller und von der Nichteinbürgerung Betroffener zur subsidiären Verfassungsbeschwerde legitimiert (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4; Urteil 1D_4/2021 vom 8. März 2022 E. 1.2). Auch sonst steht einem Eintreten auf die Beschwerde grundsätzlich nichts entgegen.
2.
Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Als solche gelten nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Verfassungsbestimmungen, die dem Individuum einen Schutzbereich gegen staatliche Eingriffe sichern oder neben öffentlichen Interessen zumindest ergänzend auch individuelle Interessen schützen wollen (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.2; Urteil 1D_2021 vom 8. März 2022 E. 1.3). Es gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Die beschwerdeführende Person muss darlegen, welche verfassungsmässigen Rechte inwiefern verletzt worden sind (<ref-ruling> E. 3.2; Urteile 4D_76/2020 vom 2. Juni 2021 E. 2.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; 5D_91/2020 vom 7. September 2020 E. 2). In tatsächlicher Hinsicht legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Auch diesbezüglich kann es nur korrigierend eingreifen, wenn die beschwerdeführende Person eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte dartut (<ref-law>; Urteile 4D_76/2020 vom 2. Juni 2021 E. 2.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 5D_91/2020 vom 7. September 2020 E. 2).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt unter anderem, es fehle an der nach <ref-law> wie auch Art. 16 Abs. 1 des Bürgerrechtsgesetzes vom 20. Juni 2014 (BüG; SR 141.0) erforderlichen Begründung für den negativen Einbürgerungsentscheid. Verweigere eine Gemeinde- oder Bürgerversammlung die Einbürgerung entgegen dem Antrag des Gemeinderats bzw. Bürgervorstands, müsse sich die Begründung für diesen Entscheid nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 3.1) in erster Linie aus den Wortmeldungen an der Versammlung ergeben. Finde keine Diskussion statt, fehle es grundsätzlich an der erforderlichen Begründung und könne eine solche in der Regel auch im Nachhinein nicht erstellt werden. Vorliegend habe es an der Bürgergemeindeversammlung keine Diskussion über sein vom Bürgergemeindevorstand befürwortetes Einbürgerungsgesuch gegeben und lasse sich als Folge davon auch im Nachhinein keine hinreichende Begründung für dessen Abweisung erstellen. Die Bürgergemeindeversammlung habe somit seinen Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> verletzt.
3.2. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid ausgeführt, zwar habe die Bürgergemeindeversammlung den Antrag des Gemeindevorstands auf Einbürgerung des Beschwerdeführers abgewiesen und habe es keine Wortmeldungen aus dem Publikum und daher auch keine Diskussion über das Geschäft gegeben. Dies dürfe für die Beurteilung, ob eine rechtsgenügliche Begründung vorliege, aber nicht isoliert betrachtet werden, sondern müsse im Gesamtkontext der Bürgergemeindeversammlung gesehen werden. Der Gemeindevorstand habe gleichzeitig mit seinem Antrag auch seine Bedenken aufgrund der angeblichen Verbindungen des Beschwerdeführers zur Reichsbürgerbewegung geäussert. Er sei somit nicht vorbehaltlos hinter dem Geschäft gestanden. An der Bürgergemeindeversammlung sei zudem der Bericht des Amts für Migration und Zivilrecht des Kantons Graubünden (AFM) vorgestellt und damit auch dessen ablehnende Haltung kundgetan worden. Die Abweisung des Einbürgerungsgesuchs sei somit nicht völlig unerwartet gekommen. Vielmehr könne davon ausgegangen werden, dass die anwesenden Bürgerinnen und Bürger die negativen Punkte schlicht anders gewichtet hätten und deshalb zu einem anderen Resultat gekommen seien als der Gemeindevorstand. Insgesamt bestehe kein Zweifel, dass die Bürgergemeindeversammlung das Einbürgerungsgesuch des Beschwerdeführers aufgrund dessen angeblicher problematischer Verbindungen zu Exponenten der Reichsbürgerbewegung abgelehnt habe.
3.3.
3.3.1. Ablehnende Entscheide über Einbürgerungen unterliegen gestützt auf <ref-law> und <ref-law> der Begründungspflicht. Das Bundesgericht hat, soweit hier von Interesse, dazu im zuletzt publizierten Urteil <ref-ruling> ausgeführt, bestätige eine Gemeindeversammlung einen ablehnenden Antrag des Gemeinderats, könne in der Regel und vorbehältlich abweichender Voten davon ausgegangen werden, sie stimme dem Antrag und seiner Begründung zu. Verweigere eine Gemeindeversammlung entgegen dem Antrag des Gemeinderats eine Einbürgerung, habe sich die Begründung aus den Wortmeldungen zu ergeben. Würden an der Gemeindeversammlung Gründe für die Ablehnung einer Einbürgerung genannt und werde unmittelbar im Anschluss an die Diskussion abgestimmt, könne angenommen werden, die Mehrheit der Abstimmenden trage die ablehnenden Gründe mit. In der Regel werde damit ein ablehnender Gemeindeversammlungsbeschluss hinreichend begründet werden können, sodass die um Einbürgerung ersuchende Person wisse, weshalb ihr Gesuch abgewiesen worden sei. In solchen Konstellationen liege formal eine hinreichende Begründung vor (E. 2.3 mit Hinweisen).
3.3.2. Vorliegend hat die Bürgergemeindeversammlung das Einbürgerungsgesuch des Beschwerdeführers unbestrittenermassen ohne Gegenantrag und ohne Wortmeldungen an der Versammlung entgegen dem Antrag des Gemeindevorstands abgewiesen. Es liegt somit keine der beiden vorstehend genannten Konstellationen vor. Nach Ansicht der Vorinstanz kann indessen, wie ausgeführt, auch ohne Vorliegen einer entsprechenden Konstellation formal eine hinreichende Begründung bejaht werden. Sie stützt sich dabei in erster Linie auf das Urteil 1P.787/2006 vom 22. März 2007, das sie ausführlich zitiert. In diesem Entscheid hatte das Bundesgericht unter anderem festgehalten, es bestehe keine feste Praxis, wie der Begründungspflicht (gemäss <ref-law>) bei negativen Einbürgerungsentscheiden im Einzelnen nachzukommen sei; es ergäben sich hierfür verschiedene Möglichkeiten, ohne dass sich das Bundesgericht auf eine spezifische Form festgelegt hätte. Weiter hatte es erwogen, verweigere eine Gemeinde- oder Bürgerversammlung eine Einbürgerung entgegen dem Antrag des Gemeinderats, werde sich die Begründung in erster Linie aus den Wortmeldungen ergeben müssen. Finde keinerlei Diskussion statt, fehle grundsätzlich die erforderliche Begründung (E. 4.2).
3.3.3. Das Bundesgericht schloss im von der Vorinstanz zitierten, erwähnten Urteil somit nicht aus, dass unter Umständen auch dann formal von einer hinreichenden Begründung ausgegangen werden kann, wenn eine Gemeindeversammlung ein Einbürgerungsgesuch ohne Wortmeldungen an der Versammlung entgegen dem Antrag des Gemeinderats oder -vorstands abweist. Dieser Entscheid erging allerdings ebenso wie der entsprechende, vom Beschwerdeführer angeführte <ref-ruling> noch vor der am 1. Januar 2009 in Kraft getretenen Revision vom 21. Dezember 2007 (AS 2008 5911) des Bürgerrechtsgesetzes vom 29. September 1952 (aBüG; AS 1952 1087). Mit dieser Revision wurde im Bundesgesetzesrecht nicht nur der Grundsatz verankert, dass die Ablehnung eines Einbürgerungsgesuchs zu begründen ist (Art. 15b Abs. 1 aBüG; <ref-law>), wie dies das Bundesgericht bereits früher aus <ref-law> abgeleitet hatte (<ref-ruling> E. 3; 232 E. 3). Vielmehr wurde unter Berücksichtigung von <ref-ruling> auch eine Bestimmung ins Gesetz aufgenommen, wonach die Stimmberechtigten ein Einbürgerungsgesuch nur ablehnen können, wenn ein entsprechender Antrag gestellt und begründet wurde (Art. 15b Abs. 2 aBüG; <ref-law>).
Diese Regelung soll die rechtsstaatlichen Rahmenbedingungen für Einbürgerungsentscheide durch Gemeindeversammlungen präzisieren (vgl. Bericht der Staatspolitischen Kommission des Ständerats vom 27. Oktober 2005 zu einer Änderung des Bundesgesetzes vom 29. September 1952 über Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts, BBl 2005 6952). Sie ist mit den weiteren Bestimmungen der erwähnten Revision das Ergebnis einer in Auseinandersetzung mit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung erfolgten, intensiven politischen Debatte über die Frage, durch welches Organ und in welcher Weise Entscheide über Einbürgerungen zu erfolgen haben. Sie bildete dabei zusammen mit diesen Bestimmungen den indirekten Gegenvorschlag des Bundesparlaments zur in der Folge in der Abstimmung abgelehnten Volksinitiative "für demokratische Einbürgerungen", gegen den das Referendum nicht ergriffen wurde (vgl. zur Initiative und zur Entstehungsgeschichte der Regelung BBl 2005 6943 ff.; NICCOLÒ RASELLI, Die Einbürgerung zwischen Politik und Justiz - unter Berücksichtigung der Rechtsprechung des Bundesgerichtes, in: ZBl 112/2011, S. 577 ff., S. 583 f.). Die Regelung von (heute) <ref-law> und die darin zum Ausdruck kommenden Wertungen des Bundesgesetzgebers sind dementsprechend bei der Auslegung von <ref-law> im vorliegend interessierenden Zusammenhang zu berücksichtigen.
Eine entsprechende Auslegung ergibt, dass ablehnende Einbürgerungsentscheide von Gemeindeversammlungen, die entgegen dem Antrag des Gemeinderats oder -vorstands ergehen, jedenfalls dann dem verfassungsrechtlichen Begründungserfordernis nicht zu genügen vermögen, wenn - wie im vorliegenden Fall - weder ein förmlicher und begründeter Gegenantrag gestellt wird, welcher der Gemeindeversammlung vor der Abstimmung zur Kenntnis gebracht wird, noch Wortmeldungen an der Versammlung erfolgen, mit denen vor der Abstimmung Gründe für die Ablehnung der Einbürgerung genannt werden. Dies gilt unabhängig davon, ob aus den Umständen allenfalls irgendwie auf die mutmasslichen Gründe für die betreffenden Entscheide geschlossen und im Nachhinein eine entsprechende Begründung erstellt werden könnte. Die Notwendigkeit einer derartigen Ermittlung und nachträglichen Beibringung bloss mutmasslicher Entscheidgründe ist mit der Begründungspflicht gemäss <ref-law> nicht vereinbar. Der nach der erwähnten Revision des aBüG ergangene <ref-ruling> (vgl. vorne E. 3.3.1) ist denn dem Gehalt nach auch im Sinne der genannten Auslegung zu verstehen.
3.3.4. Indem die Bürgergemeindeversammlung das Einbürgerungsgesuch des Beschwerdeführers ohne Gegenantrag und ohne Wortmeldungen an der Versammlung entgegen dem Antrag des Gemeindevorstands abgewiesen hat, ist sie demnach ihrer Begründungspflicht nach <ref-law> nicht nachgekommen. Daran ändern die ergänzenden Ausführungen der Vorinstanz zur Zulässigkeit einer nachträglichen Präzisierung der Begründung nichts. Zwar schliesst das Bundesgericht nicht prinzipiell aus, dass die Begründung eines entgegen dem Antrag des Gemeinderats oder -vorstands ergangenen ablehnenden Einbürgerungsentscheids einer Gemeindeversammlung im Nachhinein präzisiert wird. Mit den nachträglichen Ausführungen müssen jedoch Begründungselemente verdeutlicht werden, die bereits an der Gemeindeversammlung vorgebracht wurden (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweisen). Das trifft mangels eines begründeten Gegenantrags und ablehnender Wortmeldungen an der Gemeindeversammlung auf die Begründung des dem Beschwerdeführer im Nachhinein zugestellten schriftlichen Einbürgerungsentscheids von vornherein nicht zu. Unbehelflich ist im Weiteren das Vorbringen der Bürgergemeinde, der Beschwerdeführer habe ausdrücklich auf eine Wiederholung der Bürgergemeindeversammlung verzichtet. Dass er damit auf eine den Anforderungen von <ref-law> genügende Begründung des negativen Einbürgerungsentscheids und insoweit auf die Gewährung des rechtlichen Gehörs verzichtet hätte, ist nicht ersichtlich.
3.4. Nach dem Gesagten erweist sich die Rüge des Beschwerdeführers, die Bürgergemeindeversammlung sei ihrer verfassungsrechtlichen Begründungspflicht nicht nachgekommen und habe damit seinen Anspruch auf rechtliches Gehör nach <ref-law> verletzt, als begründet. Die Beschwerde ist daher bereits aus diesem Grund und ohne Prüfung der weiteren Rügen des Beschwerdeführers gutzuheissen. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben und die Sache zu neuem, rechtsgenüglich begründetem Entscheid über die Erteilung des Gemeindebürgerrechts an die Bürgergemeinde zurückzuweisen.
4.
Bei diesem Verfahrensausgang gilt der Beschwerdeführer als obsiegend (<ref-ruling> E. 11.1 mit Hinweis). Die Bürgergemeinde hat ihn daher für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (<ref-law>). Gerichtskosten sind keine zu erheben (<ref-law>). Die Vorinstanz wird über die Kosten- und Entschädigungsfolgen ihres Verfahrens neu zu befinden haben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden vom 11. März 2021 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuem, rechtsgenüglich begründetem Entscheid über die Erteilung des Gemeindebürgerrechts an die Bürgergemeinde Zillis-Reischen zurückgewiesen.
2.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden hat über die Kosten- und Entschädigungsfolgen seines Verfahrens neu zu entscheiden.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Die Bürgergemeinde Zillis-Reischen hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 4'000.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Bürgermeinde Zillis-Reischen und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. April 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Baur