Erwägungen:
1.
Mit Verfügung vom 21. Februar 2020 hat das Appellationsgericht Basel-Stadt ein vom Beschwerdeführer gegen das Konkursamt Basel-Stadt angehobenes Verfahren auf Schadenersatz und Genugtuung zufolge Klagerückzugs abgeschrieben. Es hat keine Gerichtskosten erhoben.
Am 25. Mai 2020 (Postaufgabe) ist der Beschwerdeführer diesbezüglich an das Bundesgericht gelangt.
2.
Der Beschwerdeführer ersucht um einen (unentgeltlichen) Rechtsbeistand. Er hat sich vor Bundesgericht nicht vertreten lassen. Es liegt grundsätzlich an ihm selber, einen Rechtsanwalt oder eine Rechtsanwältin mit der Interessenwahrung zu betrauen. Soweit er auf eine Einsetzung durch das Bundesgericht nach <ref-law> abzielt, so ist nicht ersichtlich, dass er offensichtlich nicht imstande wäre, seine Sache selber zu führen. <ref-law> ist restriktiv zu handhaben. Dass die Beschwerde Mängel aufweist, genügt nicht zur Bestellung eines Anwalts (Urteil 5A_618/2012 vom 27. Mai 2013 E. 3.1 mit Hinweisen).
3.
Der Beschwerdeführer hat die Verfügung vom 21. Februar 2020 am 26. Februar 2020 entgegengenommen. Die dreissigtägige Beschwerdefrist (<ref-law>) ist unter Berücksichtigung des Fristenstillstands aufgrund der Coronavirus-Pandemie (Verordnung über den Stillstand der Fristen in Zivil- und Verwaltungsverfahren zur Aufrechterhaltung der Justiz im Zusammenhang mit dem Coronavirus [COVID-19]; ehedem SR 173.110.4) und der Fristverlängerung über das Wochenende (<ref-law>) am Montag, 27. April 2020 abgelaufen. Dies gilt auch für die mitangefochtenen Zwischenverfügungen vom 10. und 28. Januar 2020 (<ref-law>). Da ein anfechtbarer Entscheid vorliegt, führt der blosse Umstand, dass der Beschwerdeführer von Rechtsverweigerung und Rechtsverzögerung spricht, nicht dazu, dass er jederzeit Beschwerde führen könnte (<ref-law>). Die Beschwerde ist damit verspätet.
Im Übrigen ist die Beschwerde unzureichend begründet (<ref-law>). Der Beschwerdeführer stellt den Sachverhalt aus eigener Sicht dar, ohne darzulegen, weshalb das Appellationsgericht das Verfahren hätte an die Hand nehmen müssen und weshalb die Abschreibung des Verfahrens gegen Recht verstossen soll. Über diese Begründungsmängel hilft der nicht weiter substantiierte Vorwurf der Rechtsverweigerung bzw. -verzögerung nicht hinweg, soweit er sich überhaupt gegen das Appellationsgericht richten sollte.
Die Beschwerde ist damit offensichtlich unzulässig und sie enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG).
4.
Es rechtfertigt sich ausnahmsweise, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird damit gegenstandslos. Dass dem Beschwerdeführer kein (unentgeltlicher) Anwalt zu bestellen ist, wurde bereits ausgeführt (oben E. 2). Insoweit ist das Gesuch abzuweisen.

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen, soweit es nicht als gegenstandslos abzuschreiben ist.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Juni 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg