Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat führt eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen mutmasslichen Menschenhandels und weiteren Delikten zum Nachteil von E._ und weiteren Geschädigten. Anlässlich seiner polizeilichen Befragung vom 12. Juni 2018 erstattete der Beschuldigte Strafanzeige gegen die untersuchungsleitende Staatsanwältin sowie gegen eine Polizistin und einen Polizisten der Stadtpolizei Zürich wegen Amtsmissbrauchs, Nötigung und Freiheitsberaubung. Der Strafanzeiger warf den zwei beschuldigten Polizeibediensteten unter anderem vor, sie hätten E._ gegen ihren Willen während etwa zwei Monaten in einem Frauenschutzhaus festgehalten und sie zu Aussagen gegen ihn gedrängt; dies habe die Geschädigte in drei Briefen mitgeteilt (Vorwurf 2). Der beanzeigte Polizist habe ausserdem eine weitere mutmassliche Geschädigte mit wahrheitswidrigen Angaben beeinflusst, um von ihr ebenfalls belastende Aussagen gegen den Strafanzeiger zu erwirken (Vorwurf 3). Die beanzeigte Staatsanwältin habe (im Rahmen einer Briefkontrolle) einen kolludierenden Brief einer inhaftierten Person nicht zurückbehalten, in dem diese Person die (damals ebenfalls noch in Haft befindliche) E._ angeleitet habe, wie diese den Strafanzeiger belasten sollte (Vorwurf 7).
B.
Mit Beschluss vom 19. September 2019 verweigerte das Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, bei allen Vorwürfen 1-9, mit der nachfolgend genannten Ausnahme, die Ermächtigung zum Entscheid über die Untersuchungseröffnung bzw. Nichtanhandnahme des Strafverfahrens gegen die drei beanzeigten Staatsbediensteten. Beim Vorwurf 3 erteilte das Obergericht der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich die Ermächtigung zum Entscheid über die Untersuchungseröffnung bzw. Nichtanhandnahme des Strafverfahrens gegen den beanzeigten Polizisten.
C.
Gegen den Beschluss des Obergerichtes gelangte der Strafanzeiger mit Beschwerde vom 28. Oktober 2019 an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Erteilung der Ermächtigung (auch) bei den Vorwürfen 2 und 7.
Die von der Strafanzeige betroffene Staatsanwältin und die beiden betroffenen Polizeibediensteten sowie die Vorinstanz verzichteten am 13. bzw. 18. November 2019 je auf Stellungnahmen. Die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich beantragt mit Vernehmlassung vom 18. November 2019 die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschwerdeführer replizierte am 20. Januar 2020.

Erwägungen:
1.
Zu prüfen ist zunächst, ob gegen den angefochtenen Entscheid ein Rechtsmittel ans Bundesgericht zulässig ist und ob die fraglichen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind.
1.1. Die Kantone können vorsehen, dass die Strafverfolgung von Mitgliedern ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen von der Ermächtigung einer nicht richterlichen Behörde abhängt (<ref-law>). Vor Inkrafttreten der StPO am 1. Januar 2011 war diese Möglichkeit noch auf die Mitglieder der obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden beschränkt (aArt. 347 Abs. 2 lit. b StGB, aufgehoben durch Anhang 1 zur StPO, Ziff. II/8). Die StPO-Beschwerde gegen erstinstanzliche Entscheide betreffend die Erteilung oder Verweigerung einer Ermächtigung ist nicht vorgesehen (vgl. <ref-law>).
1.2. Im Kanton Zürich ist der Kantonsrat zuständig für die Ermächtigung zur Strafverfolgung der Mitglieder des Regierungsrats, des Obergerichts, des Verwaltungsgerichts und des Sozialversicherungsgerichts (§ 131 Abs. 1 des Zürcher Kantonsratsgesetzes vom 25. März 2019 [KRG/ZH; LS 171.1]; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.2 S. 275 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 115). Ermächtigungen betreffend unterinstanzliche Richterinnen und Richter bzw. kantonale Beamte (gemäss <ref-law>) wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen erteilt oder verweigert demgegenüber das Obergericht als richterliche Behörde (§ 148 des Gesetzes vom 10. Mai 2010 des Kantons Zürich über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess [GOG/ZH; LS 211.1]). § 148 GOG/ZH wurde auf den Zeitpunkt des Inkrafttretens der StPO am 1. Januar 2011 erlassen (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 275 f.).
1.3. Ermächtigungsentscheide von nicht richterlichen Behörden (gestützt auf politisch-juristische Erwägungen) stellen nach der Praxis des Bundesgerichtes grundsätzlich keine strafprozessualen Zwischenentscheide (im Sinne von <ref-law>) dar, sondern selbstständige öffentlich-rechtliche Endentscheidungen gestützt auf Gerichtsverfassungsrecht des Bundes bzw. der Kantone (vgl. BGE <ref-ruling> E. 1 S. 115 f.). Gegen entsprechende kantonale Entscheide über die Verweigerung der Ermächtigung zur Strafverfolgung von obersten Behördenmitgliedern ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht von Gesetzes wegen ausgeschlossen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 272 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 115; Urteil 1C_102/2014 vom 15. Oktober 2014 E. 1.3).
1.4. Im vorliegenden Fall hat die III. Strafkammer des Obergerichtes die Ermächtigung zur Strafverfolgung von zwei (kantonalen) Polizeibediensteten und einer Staatsanwältin grossteils verweigert.
1.5. In <ref-ruling> hatte das Bundesgericht eine Ermächtigung zur Strafverfolgung von Zürcher Polizeibeamten zu beurteilen. Es entschied, dass nach kantonalem Recht (§ 148 GOG/ZH) das Obergericht (und nicht die Oberstaatsanwaltschaft) für den Ermächtigungsentscheid zuständig ist. Diese Regelung hält auch vor <ref-law> stand, der Ermächtigungsentscheide durch richterliche Instanzen keineswegs ausschliesst (<ref-ruling> E. 2.2-2.3 S. 275-277).
Was die Frage des zulässigen Rechtsmittels betrifft, entschied das Bundesgericht, die Ermächtigung stelle zwar eine Prozessvoraussetzung für das Strafverfahren dar; das Ermächtigungsverfahren sei von diesem jedoch "notwendig getrennt" (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 272). Die Ermächtigung bzw. ihre Verweigerung ist als selbstständiger Entscheid in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (i.S.v. <ref-law>) grundsätzlich anfechtbar. Zwar sieht <ref-law> für die Verweigerung von Ermächtigungen einen Ausschlussgrund vor. Dieser knüpft jedoch an aArt. 347 Abs. 2 lit. b StGB an (in der Fassung von 2002, aufgehoben mit Inkrafttreten der StPO). Danach konnten die Kantone die Strafverfolgung der Mitglieder lediglich ihrer obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden wegen Verbrechen oder Vergehen im Amt vom Vorentscheid einer nicht richterlichen Behörde abhängig machen. Der Grund für den Ausschluss der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten besteht darin, dass bei solchen Entscheiden politische Gesichtspunkte berücksichtigt werden dürfen. Die Entscheide eignen sich damit nur beschränkt für die gerichtliche Überprüfung. Mit dem Erlass von <ref-law> ist die Zulässigkeit eines Strafverfolgungsprivilegs aber auf alle Mitglieder kantonaler Vollziehungs- und Gerichtsbehörden ausgedehnt worden. Es bestehen keine Hinweise, dass damit eine Erweiterung des Ausschlusses der Beschwerde gemäss <ref-law> auch auf kantonale Staatsbedienstete, welche nicht Mitglieder der obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden sind, vorgenommen werden sollte. Dafür wäre denn auch kein sachlicher Grund ersichtlich. Bei diesen Staatsbediensteten dürfen politische Gesichtspunkte für den Ermächtigungsentscheid keine Rolle spielen. Dieser ist daher der gerichtlichen Überprüfung in jeder Hinsicht zugänglich, womit kein Grund besteht, die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten auszuschliessen (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 272 f.).
Diese Praxis wurde insbesondere für Ermächtigungsentscheide betreffend Mitglieder einer kantonalen Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde, Mitarbeitende einer kantonalen Strafvollzugsanstalt, den Leiter eines kommunalen Sozialamts bzw. kantonale Bezirksrichter bestätigt (zitiertes Urteil 1C_102/2014 E. 1.5 mit Hinweisen). Sie ist auch auf den vorliegenden Fall von kantonalen Polizeibediensteten und einer Staatsanwältin anwendbar.
1.6. Die Beschwerde ist folglich als solche in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegenzunehmen. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde scheidet aus.
1.7. Zu prüfen ist weiter, inwieweit der Beschwerdeführer (im Lichte von <ref-law>) beschwerdelegitimiert erscheint.
Im Rahmen des (Teil-) Vorwurfes 2 legt der Beschwerdeführer den beanzeigten Polizeibediensteten zur Last, sie hätten eine weibliche Person, nämlich ein mutmassliches Opfer des ihm selber vorgeworfenen Menschenhandels, gegen deren Willen während etwa zwei Monaten in einem Frauenschutzhaus festgehalten. Der Beschwerdeführer legt in diesem Zusammenhang nicht nachvollziehbar dar, inwiefern er hier persönlich von einer Straftat (Amtsmissbrauch, Nötigung, Freiheitsberaubung) betroffen wäre oder als Beschuldigter im sachkonnexen Strafverfahren (wegen Menschenhandels und weiteren Delikten) ein eigenes rechtlich geschütztes Interesse an der Anfechtung der Nichtermächtigung zur Strafverfolgung zweier Polizeibediensteter hätte. Vexatorische oder allgemeine prozesstaktische Motive begründen kein rechtlich geschütztes Anfechtungsinteresse im Sinne von <ref-law>.
Wie den nachfolgenden materiellen Erwägungen zu entnehmen ist, kann offen bleiben, wie es sich mit der Frage der Beschwerdelegitimation bei der Nichterteilung der Ermächtigung zum Vorwurf 7 und zum weiteren Teilvorwurf 2 (Aussagenbeeinflussung) verhält. Über das schutzwürdige Anfechtungsinteresse hinaus ist kein (zusätzlicher) nicht wieder gutzumachender Rechtsnachteil (<ref-law>) zu verlangen, da der angefochtene Beschluss sich verfahrensabschliessend auswirkt, soweit keine Ermächtigung erfolgt (vgl. <ref-law>).
1.8. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen von <ref-law> geben zu keinen weiteren Vorbemerkungen Anlass.
2.
Der Beschwerdeführer macht (im Wesentlichen zusammengefasst) geltend, die von ihm beanzeigten Polizeikräfte und die beanzeigte Staatsanwältin hätten diverse Verfahrensbestimmungen (darunter <ref-law>) verletzt. Die in einem Frauenschutzhaus festgehaltene und polizeilich beeinflusste Geschädigte habe "gar nicht erfassen" können, ob sie von den Polizeibediensteten korrekt behandelt worden sei. Aus ihrer pauschal gehaltenen Aussage, sie sei korrekt und professionell behandelt worden, lasse sich "nicht ableiten, dass es zu keinen strafbaren Handlungen gekommen" wäre. Seiner Ansicht nach sei es auch "nicht nachvollziehbar, weshalb" hinsichtlich der drei Briefe der Geschädigten, in denen sie zunächst Vorwürfe gegen die Polizeibediensteten erhoben hatte, "noch Abklärungsbedarf" bestanden hätte. Für einen strafrechtlichen Anfangsverdacht gegen die Polizistin und den Polizisten genüge es, dass das im Frauenschutzhaus Besprochene nicht protokolliert bzw. in den Akten dokumentiert worden sei. Was den Vorwurf gegen die Staatsanwältin (gesetzwidrige Briefkontrolle, Amtsmissbrauch) betrifft, liege zwar "kein Missbrauch von Amtsgewalt" vor, "wenn Zwang aufgelöst" bzw. "kein Zwang" angewendet wurde. Es bestünden gegen sie jedoch Verdachtsmomente einer (allenfalls versuchten) Begünstigung. Diese sei darin zu sehen, dass die durch eine mangelhafte Briefkontrolle Bevorteilten "ihre Verfahrensposition verbessert" hätten bzw. "nach wenigen Monaten aus der Haft entlassen" worden seien.
3.
Das Ermächtigungsverfahren dient nicht der allgemeinen Überprüfung der Rechtmässigkeit von Verfahrenshandlungen der Polizei oder der Staatsanwaltschaft; dafür ist das Rechtsmittel der Beschwerde vorgesehen (<ref-law>). Im Ermächtigungsverfahren dürfen - ausser im hier nicht vorliegenden Fall von beanzeigten obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden - nur strafrechtliche Gesichtspunkte berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 2.4 S. 278). § 148 GOG/ZH und <ref-law> bezwecken, dass Staatsbedienstete vor mutwilliger Strafverfolgung geschützt werden. Ein Strafverfahren soll daher erst durchgeführt werden können, wenn das Obergericht vorher seine Zustimmung dazu erteilt hat. Gestützt darauf kann die Staatsanwaltschaft dann die Untersuchung eröffnen. Der förmliche Entscheid über die Eröffnung oder die Nichtanhandnahme obliegt kraft ausdrücklicher bundesrechtlicher Regelung (Art. 309 und 310 StPO) in jedem Fall der für das Verfahren zuständigen Staatsanwaltschaft (<ref-ruling> E. 2.3 S. 277; zitiertes Urteil 1C_102/2014 E. 5).
4.
4.1. Zum Vorwurf des Beschwerdeführers, die zwei beanzeigten Polizeibediensteten hätten eine mutmassliche Geschädigte während deren Aufenthalt im Frauenschutzhaus zu belastenden Aussagen gegen ihn gedrängt (Teilvorwurf 2), erwägt die Vorinstanz Folgendes:
Der Beschwerdeführer habe drei handgeschriebene Briefe eingereicht, die angeblich von der Geschädigten stammten. Zwar sei darin behauptet worden, die Polizeikräfte hätten sie zu Aussagen gegen ihn gedrängt. Am 22. Oktober 2018 sei die Geschädigte jedoch zu diesen Briefen polizeilich befragt worden. Sie habe eingeräumt, dass die dortigen Behauptungen nicht der Wahrheit entsprochen hätten. Die vom Beschwerdeführer beanzeigten Polizeibediensteten hätten sich vielmehr stets absolut professionell, korrekt und anständig verhalten, und sie schäme sich dafür, ihnen Unannehmlichkeiten zu bereiten. Sie habe die drei Briefe nicht aus freiem Willen geschrieben, sondern auf Anweisung bzw. unter Druck des Beschwerdeführers und dessen Mutter, bei der sie damals gewohnt habe. Seine Mutter habe sie, die Geschädigte, 24 Stunden am Tag kontrolliert. Der Beschwerdeführer habe die Geschädigte mit dem Tod bedroht bzw. ihr angedroht, ihren Familienangehörigen etwas anzutun. Ein strafrechtlicher Verdacht gegen den beanzeigten Polizisten oder die Polizistin sei in diesem Zusammenhang, laut Vorinstanz, nicht ersichtlich.
4.2. Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, begründet nach wie vor keinen ernsthaften Verdacht von strafbaren Handlungen der beanzeigten Polizeikräfte:
Dass selbstständige, nicht von der Staatsanwaltschaft an die Polizei delegierte Einvernahmen im Ermittlungsverfahren nach klarer gesetzlicher Vorschrift nicht parteiöffentlich durchgeführt werden müssen (Art. 147 i.V.m. Art. 142 Abs. 2 und Art. 312 Abs. 2 bzw. Art. 306 f. StPO), wird schon im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt (vgl. <ref-law>). Zwar stellt sich der Beschwerdeführer auf den Standpunkt, die Staatsanwaltschaft habe die Einvernahmen nicht in Anwendung von Art. 306 f. StPO angeordnet, sondern gestützt auf <ref-law>. Wie es sich damit verhält, braucht hier jedoch nicht weiter vertieft zu werden: Selbst wenn diesbezüglich ein - mit StPO-Beschwerde anzufechtender - Verfahrensfehler erkennbar wäre, ergäbe sich daraus kein nachvollziehbarer strafrechtlicher Vorwurf gegen die beteiligten Polizeikräfte. In diesem Zusammenhang sind auch keine offensichtlich unzutreffenden entscheiderheblichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz dargetan. Die Ansicht des Beschwerdeführers, es habe zum Hintergrund der fraglichen drei Briefe der Geschädigten kein weiterer Abklärungsbedarf bestanden, ist sachlich nicht nachvollziehbar.
4.3. Weiter wirft der Beschwerdeführer der untersuchungsleitenden Staatsanwältin (im Strafverfahren gegen ihn selber wegen Menschenhandels und weiteren Delikten) vor, sie habe im Rahmen einer Briefkontrolle einen kolludierenden Brief einer inhaftierten Person nicht zurückbehalten. Im fraglichen Brief habe diese Person die (damals ebenfalls noch in Haft befindliche) Geschädigte angeleitet, wie diese ihn (den Beschwerdeführer) belasten sollte (Vorwurf 7).
4.4. In diesem Zusammenhang erwägt die Vorinstanz Folgendes: Kein Missbrauch von Amtsgewalt im Sinne von <ref-law> liege vor, wenn Amtsträger ihre Befugnisse dazu missbrauchten, behördlichen Zwang aufzulösen. Auch eine vorschriftswidrige Unterlassung, Zwang auszuüben, sei gemäss Lehre und Praxis nicht als Amtsmissbrauch strafbar. In solchen Konstellationen könne gegebenenfalls Begünstigung (<ref-law>) in Frage kommen; ansonsten sei allfälliges vorschriftswidriges Verhalten disziplinarrechtlich zu ahnden.
Der Beschwerdeführer werfe der Staatsanwältin nicht vor, sie habe überhaupt keine haftrechtliche Briefkontrolle vorgenommen; vielmehr lege er ihr die Weiterleitung eines kolludierenden Briefes (nach erfolgter Kontrolle der Haftkorrespondenz) zur Last. Angezeigt sei folglich kein Unterlassungsdelikt, sondern der Vorwurf eines aktiven deliktischen Handelns. Durch die Freigabe eines Briefes im Rahmen der haftrechtlichen Briefkontrolle habe die Staatsanwältin keinen hoheitlichen Zwang ausgeübt, sondern strafprozessualen Zwang (Beschränkung des Briefverkehrs von Häftlingen) aufgelöst. Für den Vorwurf des Amtsmissbrauchs sei daher ein deliktsrelevanter Tatverdacht zu verneinen. Verdachtsmomente für eine allfällige Begünstigung habe der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer nicht vorgebracht.
4.5. Auch in diesem Zusammenhang werden in der Beschwerdeschrift keine offensichtlich unzutreffenden entscheiderheblichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz nachvollziehbar dargetan. Ebenso wenig bestehen ernsthafte Anzeichen für ein tatbestandsmässiges und rechtswidriges strafbares Verhalten der beanzeigten Staatsanwältin:
Was der Beschwerdeführer vorbringt, lässt die materiellstrafrechtlichen Erwägungen des Obergerichtes, etwa zur Unterscheidung zwischen Tätigkeitsdelikten und unechten Unterlassungsdelikten oder zu den objektiven Tatbestandsmerkmalen des Amtsmissbrauchs, nicht als bundesrechtswidrig erscheinen. Er räumt mit Hinweis auf die strafrechtliche Kommentarliteratur ausdrücklich ein, "Lehre und Rechtsprechung" gingen davon aus, "dass kein Missbrauch von Amtsgewalt vorliege, wenn Zwang aufgelöst" oder "kein Zwang" angewendet wurde. Soweit der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang (Vorwurf 7) unzulässige Noven vorbringt, ist darauf nicht einzutreten (<ref-law>).
Selbst seine neuen Vorbringen zum Tatbestand der Begünstigung (<ref-law>) wären im Übrigen strafrechtlich nicht nachvollziehbar. Der objektive Tatbestand der Begünstigung verlangt, dass die Täterschaft jemanden der Strafverfolgung oder dem Sanktionsvollzug entzieht. Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Tatbestandsmerkmalen nicht auseinander. Seine Ansicht, eine (versuchte) Begünstigung könne darin gesehen werden, dass der Absender des Briefes und dessen Empfängerin "ihre Verfahrensposition verbessert" hätten bzw. "nach wenigen Monaten aus der Haft entlassen" worden seien, erläutert er nicht näher. Weder wird die Entlassung aus strafprozessualer Haft (<ref-law>) im Tatbestand von <ref-law> erwähnt, noch wäre ersichtlich, wie über eine angeblich mangelhafte Briefkontrolle versucht worden sein könnte, die Beteiligten einer Strafverfolgung zu entziehen. Die blosse Verbesserung einer allgemeinen "Verfahrensposition" im Strafprozess erfüllt den Tatbestand der Begünstigung nicht.
4.6. Dass das Obergericht in den hier noch streitigen Punkten die Ermächtigung zur Strafverfolgung verweigerte, erweist sich als bundesrechtskonform.
4.7. Zwar beanstandet der Beschwerdeführer beiläufig auch noch, die Vorinstanz habe ihm die Einsicht in gewisse Akten verweigert. Diese pauschalen Vorbringen erfüllen jedoch die gesetzlichen Substanziierungsanforderungen an die Rüge einer Verletzung des rechtlichen Gehörs nicht (<ref-law>). Darauf ist nicht einzutreten.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Da sich die Beschwerde als zum Vornherein aussichtslos erweist, ist das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen (Art. 64 Abs. 1-2 BGG). Im vorliegenden Fall kann (angesichts der ungünstigen finanziellen Situation und längeren Inhaftierung des Beschwerdeführers) auf die Erhebung von Gerichtskosten ausnahmsweise verzichtet werden (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht zuzusprechen, auch nicht den privaten Beschwerdegegnern, die nicht anwaltlich vertreten waren (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Januar 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Forster