Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1966) ist Staatsangehöriger der Dominikanischen Republik. Er lebt nach einem Aufenthalt in Italien seit August 2013 mit der hier niederlassungsberechtigten Landsfrau B._ (geb. 1980) zusammen. Aus der Beziehung sind vier Kinder hervorgegangen (geb. 2010, 2011, 2013 und 2015), die ebenfalls über Niederlassungsbewilligungen verfügen. Das Migrationsamt des Kantons Zürich erteilte A._ am 24. November 2014 eine - letztmals bis zum 19. November 2019 verlängerte - Aufenthaltsbewilligung im Rahmen eines schwerwiegenden persönlichen Härtefalls. A._ wurde wegen seiner Sozialhilfeabhängigkeit bzw. jener seiner Familie wiederholt verwarnt und ermahnt (17. Februar 2016, 6. Januar 2017 und 2. Juli 2018).
B.
Das Migrationsamt des Kantons Zürich lehnte es am 31. März 2020 wegen der fortbestehenden Sozialhilfeabhängigkeit ab, die Aufenthaltsbewilligung von A._ zu verlängern; es berücksichtigte dabei auch dessen Verschuldung und (untergeordnete) Straffälligkeit. Die hiergegen gerichteten kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg (Entscheid der Sicherheitsdirektion vom 4. November 2020 und Urteil des Verwaltungsgerichts vom 26. Mai 2021).
C.
A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich aufzuheben und das Migrationsamt anzuweisen, seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Er macht sinngemäss geltend, die aufenthaltsbeendende Massnahme sei unverhältnismässig. Es wurden am 16. Juli 2021 die vorinstanzlichen Akten eingeholt; am 15. Juli 2021 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde aufschiebende Wirkung beigelegt.

Erwägungen:
1.
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>). Für das Eintreten genügt, wenn der Betroffene in vertretbarer Weise dartun kann, dass ein potenzieller Anspruch auf die beantragte Bewilligung besteht; ob die jeweiligen Voraussetzungen tatsächlich gegeben sind, bildet Gegenstand der inhaltlichen Beurteilung (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 315; <ref-ruling> E. 1.1 S. 179 f., 497 E. 3.3 S. 500 f.). Ist die Zulässigkeit eines Rechtsmittels zweifelhaft, umfasst die der Beschwerde führenden Partei obliegende Begründungspflicht gemäss <ref-law> grundsätzlich auch die Eintretensvoraussetzungen (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 48; <ref-ruling> E. 1.1 S. 251; Urteil 2C_669/2020 vom 28. August 2020 E. 2.1).
1.2.
1.2.1. Der Beschwerdeführer kann sich als Drittstaatsangehöriger zur Begründung seines Bewilligungsanspruchs nicht in vertretbarer Weise auf das Freizügigkeitsabkommen vom 21. Juni 1999 (FZA [SR 0.142.112.681]) oder auf Art. 20 VFP (Bewilligungserteilung aus wichtigen Gründen [SR 142.203]) berufen, auch wenn er sich in Italien aufgehalten hat; dasselbe gilt für die in der Schweiz - so oder anders - nicht anwendbare Unionsbürgerrichtlinie (Richtlinie 2004/38/EG, ABl. L 229 vom 29. Juni 2004 S. 35 ff.).
1.2.2. Bei der Bewilligung in Anwendung von <ref-law> (Härtefallbewilligung) geht es um eine Ermessensbewilligung, auf deren Erteilung kein Anspruch besteht; ein solcher kann weder aus dem Willkürverbot, dem Rechtsgleichheitsgebot noch dem Verhältnismässigkeitsprinzip abgeleitet werden (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 308; <ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 6.2; Urteil 2C_661/2016 vom 9. November 2016 E. 1.2 mit Hinweisen). Diesbezüglich wären (im Rahmen einer subsidiären Verfassungsbeschwerde) ausschliesslich Rügen bezüglich verfahrensrechtlicher Punkte zulässig, deren Verletzung einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommt und die das Gericht von der Bewilligungsfrage getrennt beurteilen könnte ("Star"-Praxis; <ref-ruling> E. 2 u. 4). Der Beschwerdeführer erhebt keine solchen Rügen.
1.2.3. <ref-law> (Bewilligung nach Auflösung der Familiengemeinschaft) ist auf ihn nicht anwendbar, da er nicht verheiratet ist und die Beziehung zu seiner Partnerin im Übrigen fortbesteht (vgl. <ref-ruling> E. 2). Eine strafrechtliche Landesverweisung (<ref-law>) steht zum Vornherein nicht zur Diskussion. Da sich der Beschwerdeführer nicht seit 10 Jahren im Land aufhält und er nicht darlegt, inwiefern er hier als besonders gut integriert gelten könnte, ergibt sich für ihn schliesslich auch kein vertretbarer Anspruch auf die beantragte Bewilligung aus dem Schutz seines Rechts auf Privatleben (vgl. BGE144 I 266 ff.).
1.3.
1.3.1. Aus einem Konkubinat kann sich ein Bewilligungsanspruch ergeben, wenn die partnerschaftliche Beziehung seit Langem eheähnlich gelebt wird oder konkrete Hinweise auf eine unmittelbar bevorstehende Hochzeit hindeuten. Die Beziehung der Konkubinatspartner muss bezüglich Art und Stabilität in ihrer Substanz einer Ehe gleichkommen. Dabei ist wesentlich, ob die Partner in einem gemeinsamen Haushalt leben; zudem ist der Natur und Länge ihrer Beziehung sowie ihrem Interesse und ihrer Bindung aneinander, etwa durch Kinder oder andere Umstände wie die Übernahme von wechselseitiger Verantwortung, Rechnung zu tragen (Urteile 2C_9/2020 vom 29. Juni 2020 E. 5.3.3 und 2C_880/2017 vom 3. Mai 2018 E. 3.1; <ref-ruling> E. 3.1 S. 148; Urteil der Grossen Kammer des EGMR Yigit gegen die Türkei vom 2. November 2010 [Nr. 3976/05] §§ 93 und 96).
1.3.2. Der Beschwerdeführer lebt seit 2013 mit seiner in der Schweiz niederlassungsberechtigten Partnerin und seinen Kindern zusammen, deren Sorge- und Obhutsrecht er mit ihr teilt. Die Eltern kommen für den gemeinsamen Haushalt auf und übernehmen Verantwortung für den Partner bzw. die Partnerin sowie die gemeinsamen Kinder. Es besteht deshalb ein gefestigtes Konkubinat; auch die intakten Beziehungen zu seinen Kindern fallen in den Schutzbereich des Rechts auf Familienleben nach Art. 8 EMRK. Der Beschwerdeführer kann daher in vertretbarer Weise einen Bewilligungsanspruch geltend machen im Sinne von <ref-law>. Der entsprechende Ausschlussgrund steht der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten deshalb nicht entgegen.
1.4. Da die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen (Art. 82 lit. a, 86 Abs. 1 lit. d, 89 Abs. 1 und 100 Abs. 1 BGG) gegeben sind, ist mit folgenden Präzisierungen auf die Beschwerde einzutreten:
1.4.1. In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314). Inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung und die Sachverhaltsfeststellung klarerweise unhaltbar sein sollen, muss in der Beschwerdeschrift detailliert aufgezeigt werden (<ref-ruling> E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Es genügt nicht, lediglich einzelne Elemente aufzugreifen, die anders als im angefochtenen Entscheid hätten gewichtet werden können, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik bloss die eigene Auffassung zu unterbreiten, ohne in Auseinandersetzung mit der Begründung im angefochtenen Entscheid darzutun, dass und inwiefern der Sachverhalt in Verletzung von <ref-law> festgestellt worden ist bzw. die Beweiswürdigung sich als offensichtlich fehlerhaft erweist (vgl. BGE <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.).
1.4.2. Der Beschwerdeführer beanstandet die Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung weitestgehend appellatorisch, d.h. er wiederholt seine Sicht der Dinge und stellt diese jener der Vorinstanz gegenüber, ohne sich in gezielter Vertiefung mit deren für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form sachbezogen auseinanderzusetzen und darzulegen, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sind. Dies genügt zur Beschwerdebegründung im bundesgerichtlichen Verfahren nicht (vgl. LAURENT MERZ, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger/Kneubühler [Hrsg.], Basler Kommentar BGG, 3. Aufl. 2018, N. 53 zu <ref-law>). Auf die in diesem Sinn ungenügend begründeten Darlegungen wird im Folgenden nicht weiter eingegangen.
2.
2.1. Verfügt ein Ausländer über nahe Verwandte mit einem gefestigten Anwesenheitsrecht in der Schweiz und wird die intakte familiäre Beziehung tatsächlich gelebt, kann es Art. 8 EMRK bzw. <ref-law> verletzen, wenn ihm die Anwesenheit untersagt und damit sein Familienleben beeinträchtigt wird (<ref-ruling> E. 3.3 S. 272 f.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 285 mit Hinweisen). Der Anspruch auf Achtung des Familienlebens gemäss Art. 8 Ziff. 1 EMRK gilt indessen nicht absolut. Der Eingriff in das geschützte Rechtsgut ist statthaft, soweit er gesetzlich vorgesehen und in einer demokratischen Gesellschaft notwendig ist für die nationale oder öffentliche Sicherheit, für das wirtschaftliche Wohl des Landes, zur Aufrechterhaltung der Ordnung, zur Verhütung von Straftaten, zum Schutz der Gesundheit oder der Moral oder zum Schutz der Rechte und Freiheiten anderer (Art. 8 Ziff. 2 EMRK). Die Konvention verlangt, dass die individuellen Interessen an der Erteilung bzw. am Erhalt des Anwesenheitsrechts und die öffentlichen Interessen an dessen Verweigerung sorgfältig gegeneinander abgewogen werden (<ref-ruling> E. 5.1 S. 26; <ref-ruling> E. 6.1 S. 47; <ref-ruling> E. 3.1 S. 147; <ref-ruling> E. 2.2 S. 336; <ref-ruling> E. 2.1 S. 147; Urteil des EGMR El Ghatet gegen Schweiz vom 8. November 2016 [Nr. 56971/10] § 53).
2.2.
2.2.1. Der Beschwerdeführer musste in der Schweiz bereits kurz nach seiner Einreise von der Sozialhilfe unterstützt werden. Bis Februar 2020 betrugen die an ihn erfolgten Zahlungen rund Fr. 36'000.--. Vom 11. Februar 2014 bis 19. März 2020 bezogen seine Konkubinatspartnerin und die vier Kinder ihrerseits etwa Fr. 262'169.--; im Hinblick auf die Unterstützungsgemeinschaft, die der Beschwerdeführer nicht infrage stellt, hat er sich ausländerrechtlich somit rund Fr. 298'170.-- an Sozialhilfeleistungen anrechnen zu lassen (Stand 17. Februar 2020), was als erheblich zu gelten hat. Auch wenn er seit dem 1. Oktober 2020 keine Sozialhilfegelder mehr bezieht, sind seine Partnerin und die Kinder doch nach wie vor auf solche angewiesen. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern die Beweiswürdigung der Vorinstanz, wonach dies mangels Nachweises einer dauerhaften Aufnahme einer Arbeitstätigkeit noch keine erfolgreiche Integration auf dem Arbeitsmarkt belege und keine nachhaltige Besserung absehbar sei, offensichtlich unhaltbar wäre.
2.2.2. Der Sozialhilfebezug hat als selbst verschuldet zu gelten: In den sieben Jahren seiner Anwesenheit ist der Beschwerdeführer nur wenige Monate einer Erwerbstätigkeit auf dem ersten Arbeitsmarkt nachgegangen (50%-Pensum von Oktober 2016 bis Februar 2017). An einem Deutsch-Alphabetisierungskurs hat er wegen fehlender Motivation nicht teilgenommen, obwohl er wiederholt erklärt hatte, dass seine Stellensuche durch die fehlenden Sprachkenntnisse erschwert sei. Gegenüber dem Migrationsamt hat er eingeräumt, dass seine Arbeitsbemühungen "auch grösser" hätten sein können. Soweit er auf die Pandemiesituation verweist und geltend macht, dass diese seine Arbeitssuche behindere, verkennt er, dass er sich bereits in den Jahren zuvor nicht um seine wirtschaftliche Integration gekümmert hat. Der Beschwerdeführer hat in vorwerfbarer Weise sein Arbeitspotenzial und seine Steuerungsmöglichkeiten zur nachhaltigen Ablösung von der Sozialhilfe über Jahre hinweg unzureichend ausgeschöpft (Verletzung der Schadensminderungspflicht) und seine Sozialhilfeabhängigkeit (und diejenige seiner Angehörigen) ausländerrechtlich verschuldet.
2.2.3. Es besteht im Hinblick hierauf und auf seine finanzielle Situation (am 28. August 2019: 20 Verlustscheine über Fr. 26'186.50) bzw. seine Straffälligkeit (80 Tagessätze Geldstrafe und 600 Stunden gemeinnützige Arbeit: Handel mit Kokain, Diebstahl, Hausfriedensbruch usw.) ein erhebliches öffentliches Interesse daran, dass er das Land verlässt. Sein privates Interesse bzw. jenes seiner Angehörigen und insbesondere der Kinder, dass er im Land verbleiben kann, ist demgegenüber zu relativieren: Der Beschwerdeführer lebt erst seit etwas mehr als sieben Jahren in der Schweiz und ist im Alter von rund 46 Jahren in das Land gekommen; er wurde in der Heimat sozialisiert, wo zwei volljährige Kinder und weitere Verwandte von ihm leben, die ihm bei seiner Reintegration behilflich sein können. Nachdem er für seine Angehörigen bereits heute nicht aufkommen kann, ändert sich diesbezüglich durch seine Pflicht nichts, das Land verlassen zu müssen. Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, mit der Sprache und den Gebräuchen in seiner Heimat nicht mehr vertraut zu sein; auch legt er nicht dar, den Kindern die heimatliche Kultur nicht vermittelt zu haben (vgl. das Urteil 2C_709/2019 vom 17. Januar 2020 E. 6.2.2). Immerhin hielt sich die Familie 2019 bereits für einen Monat in der gemeinsamen Heimat auf. Im Hinblick auf die Sprachschwierigkeiten des Beschwerdeführers auf Deutsch dürfte in der Familie (auch) Spanisch gesprochen werden. Im Übrigen können die Kinder mit ihrer Mutter in der Schweiz verbleiben; ihre Rückkehr in die gemeinsame Heimat ist aber nicht grundsätzlich ausgeschlossen, da sich die Kinder noch in einem anpassungsfähigen Alter befinden (vgl. das Urteil 2C_709/2019 vom 17. Januar 2020 E. 6.2.2). Im Übrigen kann der Beschwerdeführer die Beziehungen zu seiner Partnerin und den Kindern gegebenenfalls besuchsweise und über die Neuen Medien leben.
2.2.4. Was der Beschwerdeführer weiter einwendet, überzeugt nicht: Soweit er auf <ref-ruling> ff. verweist, übersieht er, dass es in diesem Entscheid um die Zumutbarkeit der Ausreise eines Kindes mit Schweizer Staatsbürgerschaft und den sich für dieses hieraus ergebenden Rechten ging. Ihm ist wiederholt Gelegenheit geboten worden (ausländerrechtliche Verwarnungen und Mahnungen), sich hier (doch noch) sozial wie wirtschaftlich zu integrieren; er hat diese Chancen nicht zu nutzen gewusst, obwohl ihm mehrmals angedroht worden war, dass seine Bewilligung ohne Verhaltensänderung widerrufen oder nicht mehr verlängert werde. Die entsprechenden Massnahmen sind jeweils ohne Erfolg geblieben, weshalb es sich heute nicht mehr rechtfertigt, ihn erneut (nur) zu verwarnen und ihm - wie gewünscht - noch eine weitere Bewährungschance zu geben.
3.
3.1. Der mit der aufenthaltsbeendenden Massnahme verbundene Eingriff in das Recht auf Schutz des Familienlebens nach Art. 8 Ziff. 1 EMRK beruht auf einer gesetzlichen Grundlage (<ref-law>); er dient dem Schutz des Sozialsystems und damit dem wirtschaftlichen Wohl des Landes (vgl. das Urteil 2C_1064/2017 vom 15. Juni 2018 E. 6.3). Die privaten Interessen des Beschwerdeführers und seiner Angehörigen daran, dass er im Land verbleiben kann, sind zwar von Bedeutung, überwiegen jedoch das gegenläufige öffentliche Interesse nicht (mehr), nachdem der Beschwerdeführer die ihm wiederholt gebotenen Chancen, sich wirtschaftlich und sozial zu integrieren, nicht genutzt hat. Der angefochtene Entscheid verletzt damit weder Art. 8 EMRK noch <ref-law> (i.V.m. <ref-law>).
3.2. Die Beschwerde kann im Verfahren nach <ref-law> abgewiesen werden; es wird ergänzend auf die Begründung im angefochtenen Entscheid verwiesen (<ref-law>). Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Oktober 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar