Sachverhalt:
A.
A._ (Mieter, Beschwerdeführer) ist Untermieter der von der Stadt B._ (Vermieterin, Beschwerdegegnerin) untervermieteten 1-Zimmerwohnung an der Strasse U._ 60 in B._. Nachdem der Hauptvermieter das Hauptmietverhältnis per 30. September 2019 wegen Sanierungsbedarf der Wohnung gekündigt hatte, kündigte auch die Vermieterin das Mietverhältnis mit dem Mieter mit amtlich genehmigten Formular vom 28. Mai 2019 per 31. August 2019. Der Mieter holte die eingeschrieben versandte Kündigung am 5. Juni 2019 bei der Post ab, nachdem ihm zuvor eine Abholungseinladung hinterlegt worden war.
B.
B.a. Am 4. Juli 2019 focht der Mieter die Kündigung bei der Schlichtungsbehörde in Mietsachen des Bezirksgerichts Bülach an. Das Verfahren der Mietkündigungsanfechtung ist nach den Angaben des Mieters beim Mietgericht des Bezirksgerichts hängig.
B.b. Am 8. Oktober 2019 leitete die Vermieterin am Bezirksgericht Bülach ein Ausweisungsbegehren im Verfahren um Rechtsschutz in klaren Fällen ein. Mit Urteil und Verfügung vom 20. November 2019 hiess das Bezirksgericht das Ausweisungsbegehren gut und verpflichtete den Mieter, das Mietobjekt unverzüglich zu räumen und der Vermieterin zu übergeben, unter Androhung der Zwangsvollstreckung. Sodann wies das Bezirksgericht das Gesuch des Mieters um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege ab.
Gegen diese Entscheide erhob der Mieter Berufung und Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Mit Beschluss und Urteil vom 15. Januar 2020 wies das Obergericht die Berufung, die Beschwerde und das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Rechtsmittelverfahren ab.
C.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer mit der als "Dringlicher Eilantrag" betitelten Eingabe vom 1. Februar 2020 Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Neben weiteren Begehren beantragte er sinngemäss die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids, die Gewährung der aufschiebenden Wirkung und der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Mit der vom 14. Februar 2020 datierten Eingabe (eingegangen am 24. Februar 2020) ergänzte der Beschwerdeführer seine Beschwerdebegründung, erhob weitere "Rechtsbegehren und Anträge" sowie subsidäre Verfassungsbeschwerde.
Mit Verfügung vom 4. Februar 2020 wurde das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.
Auf das Einholen von Vernehmlassungen wurde verzichtet.

Erwägungen:
1.
Die Sachurteilsvoraussetzungen der Beschwerde in Zivilsachen sind erfüllt, insbesondere auch das Streitwerterfordernis mit einem Streitwert von Fr. 33'120.-- (<ref-law>), und geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Unter Vorbehalt einer rechtsgenüglichen Begründung (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>) ist daher auf die Beschwerde in Zivilsachen einzutreten.
Damit fällt die ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde ausser Betracht (<ref-law>). Auf diese ist nicht einzutreten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer schildert unter dem Titel "Sachverhalt, Fakten, Rechtslage" den Sachverhalt aus seiner eigenen Sicht. Er geht dabei über die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz hinaus, ohne eine Sachverhaltsrüge nach den oben genannten Grundsätzen zu erheben (Erwägung 2.2). Darauf kann nicht abgestellt werden.
3.2. Der Beschwerdeführer wiederholt seine bereits vor der Vorinstanz vorgebrachte Rüge, dass das vom Kanton genehmigte Kündigungsformular für Mietverträge missverständlich sei und eine irreführende bzw. falsche Rechtsmittelbelehrung enthalte. Auf dem Kündigungsformular werde erklärt, dass die Kündigung innert 30 Tagen "nach Empfang" angefochten werde könne. Der Normalbürger verstehe nach Treu und Glauben unter dem Wort "Empfang" nicht die vom Bundesgericht vertretene Empfangstheorie, sondern den Zeitpunkt, wenn der Adressat die Kündigung in den Händen halte. Sowieso habe er sieben Tage Zeit, die eingeschriebene Postsendung abzuholen.
Diese Rüge ist offensichtlich unbegründet. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist die Belehrung auf dem amtlich genehmigten Kündigungsformular korrekt, womit seine Argumentation der unrichtigen "Rechtsmittelbelehrung" an der Sache vorbei geht. Im Übrigen kann hierfür auf die zutreffende Erwägung 3.4 im angefochtenen Entscheid verwiesen werden (<ref-law>).
3.3. Der Beschwerdeführer wendet sich gegen die Kostenauferlegung im kantonalen Verfahren. Er moniert eine Verletzung von Art. 2 und 4 ZGB, <ref-law>, Art. 6, Art. 13 und Art. 14 EMRK sowie der kantonalen Gesetze über Controlling und Rechnungslegung und die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess.
Auch diese Rüge ist offensichtlich unbegründet, wobei hierfür auf die Erwägungen 4 und 5 im vorinstanzlichen Entscheid verwiesen werden kann (<ref-law>), die im Einklang mit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung stehen.
3.4. Im gleichen Zusammenhang wirft der Beschwerdeführer der Vorinstanz eine fehlende Begründung bzw. einen "fehlenden Detaillierungsgrad" vor und beklagt eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör bzw. eine "formelle Rechtsverweigerung".
Diese Vorbringen sind haltlos. Eine formelle Rechtsverweigerung liegt vor, wenn eine Behörde auf eine ihr frist- und formgerecht unterbreitete Sache nicht eintritt, obschon sie darüber befinden müsste (<ref-ruling> E. 4.2). Das ist hier offensichtlich nicht der Fall. Die Vorinstanz legte sodann dar, dass die Eingabe des Beschwerdeführers aussichtslos sei und daher eine der Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege nicht vorliege (<ref-law>). Vor diesem Hintergrund kann auch von einer Verletzung der Begründungspflicht durch die Vorinstanz offensichtlich nicht die Rede sein (vgl. dazu <ref-ruling> E. 6.1).
3.5. Auch im Übrigen genügt der Beschwerdeführer den Begründungsanforderungen offensichtlich nicht.
Er kritisiert das Urteil der Vorinstanz als eine "falsche unangemessene willkürliche Verfahrens- und Rechtsverweigerung mit stossender illegaler Fristenberechnung bei Rechtsmitteln im Mietwesen" und rügt die Verletzung einer Vielzahl von Bestimmungen der Bundesverfassung, der EMRK, der zürcherischen Kantonsverfassung und des Sozialhilfegesetzes des Kantons Zürich. Er schildert dabei aber einzig den Sachverhalt aus seiner eigenen Sicht, wonach er alle Fristen immer eingehalten habe und er als Sozialhilfeempfänger zu schützen sei, ohne aber auf die ausführlichen Erwägungen der Vorinstanz hinreichend konkret einzugehen, geschweige denn rechtsgenüglich aufzuzeigen, inwiefern die Vorinstanz seine Rechte verletzt haben soll.
3.6. Die Beschwerde ist somit im Verfahren nach <ref-law> ohne Einholung von Vernehmlassungen und mit summarischer Begründung abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
4.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen, weil die Beschwerde als von vornherein aussichtslos erscheint (<ref-law>). Darüber musste unter den gegebenen Umständen nicht vorgängig separat entschieden werden (vgl. Urteil 4A_20/2011 vom 11. April 2011 E. 7.2.2).
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da ihr aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Februar 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger