Erwägungen:
1.
Vor dem Amtsgerichtspräsidium von Bucheggberg-Wasseramt ist ein Strafverfahren gegen B._ wegen Widerhandlungen gegen das Strassenverkehrsgesetz hängig. Der Privatkläger A._ stellte am 26. September 2020 ein Ausstandsgesuch gegen die Amtsgerichtspräsidenten Stefan Altermatt und Ueli Kölliker. Die Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn trat mit Beschluss vom 5. November 2020 auf die Ausstandsgesuche nicht ein. Zur Begründung führte die Beschwerdekammer zusammenfassend aus, dass Amtsgerichtspräsident Ueli Kölliker am vorliegend in Frage stehenden Strafverfahren nicht mitwirke, weshalb kein Rechtsschutzinteresse des Gesuchstellers an der Beurteilung des Ausstandsgesuches bestehe. Bezüglich Amtsgerichtspräsident Stefan Altermatten führe der Gesuchsteller keinerlei Indizien oder Beweismittel an, welche seine Behauptung willkürlicher früherer Entscheide untermauern könnten. Der blosse Umstand, dass die abgelehnte Gerichtsperson in früheren Verfahren (auch) zu Ungunsten des Gesuchstellers entschieden habe, begründe keine Befangenheit.
2.
A._ erhob am 11. Dezember 2020 Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer setzt sich nicht mit der Begründung der Beschwerdekammer auseinander. So ergibt sich aus seinen Ausführungen nicht, welches Fehlverhalten er konkret den abgelehnten Gerichtspersonen vorwirft. Er legt nicht ansatzweise dar, inwiefern die Begründung der Beschwerdekammer bzw. deren Beschluss selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
4.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (Art. 64 BGG). Indessen ist davon abzusehen, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Dezember 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli