Sachverhalt:
A.
A.a. Die Stadt St. Gallen führt eine Oberstufe, die vom Bildungsdepartement des Kantons St. Gallen als Schule für hochbegabte Jugendliche in den Bereichen Sport, Musik und Gestaltung anerkannt ist (nachfolgend: "Talentschule"). Die Talentschule wird teilweise auch von Schülerinnen und Schülern mit Wohnsitz ausserhalb der Stadt St. Gallen besucht.
A.b. Im Zusammenhang mit dem Besuch einer Schule für Hochbegabte bezeichnet nach Art. 53bis Abs. 2 Ziff. 2 des Volksschulgesetzes des Kantons St. Gallen vom 13. Januar 1983 (VSG; sGS 213.1) die Regierung durch Verordnung den "Beitrag der Schulgemeinde an das Schulgeld". Gestützt auf diese Bestimmung beschloss der Regierungsrat des Kantons St. Gallen am 12. Juni 2018 den IX. Nachtrag zur Verordnung vom 11. Juni 1996 über den Volksschulunterricht (VVU, sGS 213.12). Damit setzte er "das Schulgeld" fest, das die abgebenden Schulträger für jene Schüler bezahlen müssen, die in einer anderen (innerkantonalen) Gemeinde eine Sport- oder Kunstschule besuchen. Gemäss diesem Nachtrag beträgt das Schulgeld für Sportschulen, deren hochbegabte Schüler in Regelklassen integriert sind, ab dem 1. August 2018 jährlich Fr. 11'000.-- pro Schüler (vgl. Art. 11bis Abs. 2 lit. a VVU), für Sportschulen mit reinen Talentklassen Fr. 19'000.-- (vgl. Art. 11bis Abs. 2 lit. b VVU) und für Kunstschulen Fr. 15'000.-- (vgl. Art. 11ter Abs. 3 VVU).
A.c. Am 23. Juli 2018 wurde der IX. Nachtrag zur VVU im Amtsblatt des Kantons St. Gallen publiziert.
B.
B.a. Mit Eingabe vom 22. August 2018 erhebt die Stadt St. Gallen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Sie beantragt, den IX. Nachtrag zur VVU aufzuheben und die Regierung des Kantons St. Gallen anzuweisen, bei der Ausarbeitung von Nachträgen zur VVU im Bereich der auswärtigen Beschulung einschliesslich Beschulung Hochbegabter die Verfassungsgrundsätze, namentlich Art. 8 und <ref-law> sowie das Gesetzmässigkeitsprinzip einzuhalten, und verschiedenen kantonalen Gesetzesnormen Nachachtung zu verschaffen.
Der Kanton St. Gallen stellt den Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventualiter sei die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werde.
B.b. Den prozessualen Antrag der Stadt St. Gallen, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen, hat das Bundesgericht nach Durchführung eines Schriftenwechsels mit Präsidialverfügung vom 17. Oktober 2018 abgewiesen.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den angefochtenen kantonalen Erlass ist zulässig (Art. 82 lit. b, Art. 87 Abs. 1 BGG). Die Eingabe der Beschwerdeführerin erfolgt fristgerecht (<ref-law>).
1.2. Vertieft zu prüfen ist die Legitimation der Beschwerdeführerin.
1.2.1. Die Beschwerdeführerin erhebt Beschwerde wegen Verletzung der Gemeindeautonomie. Dazu ist sie gestützt auf <ref-law> berechtigt. Für das Eintreten auf die Beschwerde ist allein entscheidend, dass sie vom angefochtenen Erlass in ihrer Eigenschaft als Trägerin hoheitlicher Gewalt berührt ist und eine Verletzung der Autonomie geltend macht. Beides ist hier der Fall. Die Beschwerdeführerin ist Trägerin einer Sport- und Musikschule auf Sekundarstufe I. Sie bringt in vertretbarer Art und Weise vor, Art. 53 des Volksschulgesetzes des Kantons St. Gallen vom 13. Januar 1983 (VSG, sGS 213.1 [in der hier massgeblichen Fassung vom 15. August 2017]) vermittle ihr das Recht, für den Besuch ihrer Schulen durch auswärtige Schüler ein angemessenes Schulgeld festzusetzen. Ob diese Behauptung für den hier interessierenden Fall der Sportschulen zutrifft, und die beanspruchte Autonomie tatsächlich besteht, ist keine Frage des Eintretens, sondern der materiellen Beurteilung. Dasselbe gilt für die Frage, ob die Autonomie im konkreten Fall verletzt wurde (<ref-ruling> E. 1.1.3 S. 407; <ref-ruling> E. 1.2 S. 45; je mit Hinweisen).
1.2.2. Die Beschwerdeführerin beschränkt sich in ihrer Beschwerde allerdings nicht auf die Rüge, der Erlass des IX. Nachtrags zur VVU greife zu Unrecht in ihren Autonomiebereich ein (vgl. zur Zulässigkeit dieses Vorbringens <ref-ruling> E. 2.3). Vielmehr macht sie weitere Rechtsverletzungen geltend, deren Zusammenhang zur Gemeindeautonomie zumindest nicht ohne Weiteres ersichtlich ist. Diese Rügen wären - unter dem Vorbehalt der nachfolgend einzugrenzenden Rügegründe (vgl. E. 2 hiernach) - nur zulässig, wenn die Beschwerdeführerin sich insoweit auf die allgemeine Legitimationsbestimmung von <ref-law> berufen könnte (vgl. SEILER/VON WERDT/GÜNGERICH/OBERHOLZER, BGG Kommentar, 2. Aufl. 2015, N. 86 zu <ref-law>).
Gestützt auf <ref-law> kommt einer Gemeinde das Beschwerderecht zu, wenn sie durch den angefochtenen Entscheid gleich oder ähnlich wie eine Privatperson betroffen oder aber in spezifischer Weise in schutzwürdigen eigenen hoheitlichen Interessen berührt ist, namentlich wenn einem Entscheid präjudizielle Bedeutung für die öffentliche Aufgabenerfüllung zukommt (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 508 ff.). Wenn ein kantonaler Entscheid einer Gemeinde finanzielle Lasten auferlegt, ist die Beschwerdelegitimation nur dann zu bejahen, wenn die Gemeinde in hoheitlichen Befugnissen berührt ist und zentrale öffentliche Interessen auf dem Spiel stehen (<ref-ruling> E. 1.2.4). Das gilt auch im Verfahren der abstrakten Normenkontrolle (Urteil 2C_949/2013 vom 24. März 2014 E. 2.2.2). Aus den Darlegungen der Beschwerdeführerin geht nun hervor, dass die streitigen Schulbeiträge eine beträchtliche Höhe erreichen und für den Betrieb der Sport- und Kunstschule von einer gewissen Relevanz sind. Das Bundesgericht hat vorliegend die Frage zu behandeln, ob der Regierungsrat die innerkantonalen Beiträge der abgebenden Schulträger für den Besuch der Sport- und Kunstschule festsetzen durfte, und falls ja, inwiefern hierbei bundesrechtliche Vorgaben bestehen (insbesondere aus Art. 8, 9 und 19 BV). Die Beantwortung dieser Fragen wirkt sich nicht nur auf die Beschwerdeführerin aus, sondern auf zahlreiche weitere Schulträger des Kantons St. Gallen und auch anderer Kantone. Soweit dem Kanton im innerkantonalen Verhältnis untersagt bzw. nur unter Bedingungen gestattet würde, das Schulgeld für die Sport- und Kunstschulen auf Volksschulstufe festzulegen, würde sich dies zudem unter Umständen auf die Interkantonale Vereinbarung für Schulen mit spezifisch-strukturierten Angeboten für Hochbegabte (HBV, sGS 211.83) auswirken, an welcher der Kanton St. Gallen beteiligt ist. Die Entscheidung der hier aufgeworfenen Fragen hat damit grosse präjudizielle Wirkung. Aus diesen Gründen rechtfertigt es sich, vorliegend davon auszugehen, die Beschwerdeführerin sei in der Wahrnehmung hoheitlicher Aufgaben qualifiziert betroffen.
1.3. Soweit die Aufhebung des IX. Nachtrags zur VVU in Frage steht, ist damit auf die Beschwerde einzutreten. Anders liegt der Fall hinsichtlich des Antrags, die Regierung sei anzuweisen, sich bei der Ausarbeitung zukünftiger Nachträge zur VVU an die Verfassungsgrundsätze und an das kantonale Recht zu halten. Einerseits stellt die Bindung gesetzgebender Organe an übergeordnetes Recht eine Selbstverständlichkeit dar (<ref-law>), die sich schon aus der Verfassung ergibt und keiner abstrakten Feststellung durch das Bundesgericht bedarf. Anderseits beschränkt sich der Streitgegenstand des vorliegenden Verfahrens auf den angefochtenen Erlass; die künftige Ausgestaltung des Erlasses durch das dafür zuständige Organ bildet hingegen nicht Gegenstand der vorliegend vorzunehmenden abstrakten Normenkontrolle. In diesem Verfahren entscheidet das Bundesgericht - abgesehen von der Anordnung von provisorischen Ersatzregelungen und der Feststellung der Rechtswidrigkeit des angefochtenen Erlasses (vgl. dazu RÜTSCHE BERNHARD, Rechtsfolgen von Normenkontrollen. Entwicklungen in Praxis und Lehre seit dem Fall Hegetschweiler vor zwei Jahrzehnten, in: ZBl 6/2005, S. 273 ff.) - rein kassatorisch. Es ist damit - auch aus Gewaltenteilungsüberlegungen - darauf beschränkt, die mit übergeordnetem Recht (vgl. zu den Rügemöglichkeiten E. 2 hiernach) unvereinbaren Bestimmungen aufzuheben (vgl. Urteil 4C_2/2011 vom 17. Mai 2011 E. 4).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht und von kantonalen verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 95 lit. a und c BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft jedoch unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Die Verletzung von Grundrechten und kantonalem Recht untersucht es gemäss <ref-law> in jedem Fall nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht; <ref-ruling> E. 1.5 S. 144 mit Hinweisen).
Soweit die Beschwerdeführerin in ihren Rechtsschriften eine Verletzung von <ref-law>, <ref-law>, <ref-law> und <ref-law> in Verbindung mit Art. 89 Abs. 2 der Verfassung des Kantons St. Gallen (KV SG, sGS 111.1) geltend macht, werden ihre Vorbringen diesen gesetzlichen Begründungsanforderungen (teilweise knapp) gerecht. Im Zusammenhang mit der Rüge, die Gemeindeautonomie sei verletzt worden, ist dabei auch die Frage aufzuwerfen, ob und gegebenenfalls welchen Gestaltungsspielraum Art. 53 und Art. 53 bis VSG den Gemeinden des Kantons St. Gallen mit Blick auf die Festsetzung der Schulgelder an ihren Schulen gewähren.
Nicht genügend substanziiert ist hingegen die behauptete Verletzung des Diskriminierungsverbots (<ref-law>); insoweit fehlt es schon an einem Anhaltspunkt, wonach die für sich genommen rechtsgenüglich behauptete Ungleichbehandlung von Talentschülerinnen und -schülern mit Aufenthalt am Ort ihrer Schule und solchen ohne Aufenthalt an diesem Ort an ein verpöntes Merkmal im Sinne von <ref-law> anknüpfen würde. Auf die entsprechenden Vorbringen der Beschwerdeführerin ist im Folgenden nicht weiter einzugehen.
2.2. Die Verletzung kantonalen Gesetzesrechts ist einer Überprüfung durch das Bundesgericht im Grundsatz nicht zugänglich (<ref-law> e contrario; vgl. Urteil 1C_2018 vom 2. April 2019 E. 1.2). Die Rüge der Beschwerdeführerin, der angefochtene Erlass verstosse gegen Art. 120 und Art. 121 des Gemeindegesetzes des Kantons St. Gallen vom 21. April 2009 (GG, sGS 151.2), ist daher im Folgenden nicht weiter zu erörtern. Insoweit kann sich die Beschwerdeführerin auch nicht auf eine Verletzung des Gesetzmässigkeitsprinzips (<ref-law>) berufen, zumal sonst - "durch die Hintertür" und entgegen dem Zweck von <ref-law> (vgl. TSCHANNEN/ZIMMERLI/MÜLLER, Allgemeines Verwaltungsrecht, 4. Aufl. 2014, § 19 Rn. 44) - die Möglichkeit eröffnet würde, vor Bundesgericht eine Verletzung einfachen kantonalen Rechts geltend zu machen.
Nicht weiter einzugehen ist auch auf den Einwand der Beschwerdeführerin, der IX. Nachtrag zur VVU verletze "das Erfordernis der Angemessenheit" gemäss Art. 53 Abs. 3 VSG, selbst wenn damit implizit eine Verletzung des allgemeinen Verhältnismässigkeitsgrundsatzes (<ref-law>) und damit eine Verletzung von Bundesrecht (<ref-law>) angedeutet sein sollte. Der Verhältnismässigkeitsgrundsatz nach <ref-law> ist - wie auch das Legalitätsprinzip (<ref-law>) - kein verfassungsmässiges Recht, sondern ein Verfassungsgrundsatz, dessen Einhaltung vom Bundesgericht im Zusammenhang mit der Überprüfung eines kantonalen Erlasses ausserhalb von Grundrechtseingriffen nur aus dem Blickwinkel des Willkürverbots (<ref-law>) überprüft werden kann (<ref-ruling> E. 4.4 S. 386; <ref-ruling> E. 1.3 S. 46; <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 157; Urteil 2C_578/2018 vom 4. Februar 2019 E. 4.1).
3.
Das Bundesgericht überprüft die Verfassungsmässigkeit eines allgemeinverbindlichen Erlasses im Rahmen der abstrakten Normenkontrolle zwar mit freier Kognition, auferlegt sich aber mit Rücksicht auf die verfassungsmässige Kompetenzordnung im föderalistischen Bundesstaat allgemein eine gewisse Zurückhaltung (<ref-ruling> E. 3.2 S. 15). Nach ständiger Rechtsprechung ist massgebend, ob der betreffenden Norm nach anerkannten Auslegungsregeln ein Sinn zugemessen werden kann, der mit den angerufenen Verfassungsgarantien vereinbar ist; das Bundesgericht hebt eine kantonale Norm nur auf, sofern sie sich jeglicher verfassungskonformen Auslegung entzieht, nicht jedoch, wenn sie einer solchen in vertretbarer Weise zugänglich bleibt (<ref-ruling> E. 4 S. 14; <ref-ruling> E. 2 S. 323).
4.
Die Beschwerdeführerin bringt vor, der IX. Nachtrag zur VVU greife in ihre Autonomie ein; nach Art. 53 Abs. 2 und 3 VSG sei die Festlegung des Schulgelds ausschliesslich Sache der Gemeinden. Daran ändere auch Art. 53 bis VSG nichts.
4.1. <ref-law> gewährleistet die Gemeindeautonomie nach Massgabe des kantonalen Rechts. Nach der Rechtsprechung ist eine Gemeinde in einem Sachbereich autonom, wenn der dafür bundesverfassungsrechtlich zuständige kantonale Gesetzgeber diesen Sachbereich nicht abschliessend geordnet, sondern ihn ganz oder teilweise der Gemeinde zur Regelung überlassen und ihr dabei eine relativ erhebliche Entscheidungsfreiheit eingeräumt hat. Der geschützte Autonomiebereich kann sich auf die Befugnis zum Erlass oder Vollzug eigener kommunaler Vorschriften beziehen oder einen entsprechenden Spielraum bei der Anwendung kantonalen oder eidgenössischen Rechts betreffen. Der Schutz der Gemeindeautonomie setzt eine solche nicht in einem ganzen Aufgabengebiet, sondern lediglich im streitigen Bereich voraus. Im Einzelnen ergibt sich der Umfang der kommunalen Autonomie aus dem für den entsprechenden Bereich anwendbaren kantonalen Verfassungs- und Gesetzesrecht (<ref-ruling> E. 5.2 S. 244 f. mit Hinweisen; Urteil 1C_141/2014 vom 4. August 2014 E. 2.1).
Auch das st. gallische Verfassungsrecht schützt die Gemeindeautonomie. Nach Art. 89 Abs. 1 KV/SG sind die Gemeinden autonom, soweit das Gesetz ihre Entscheidungsfreiheit nicht einschränkt. In der Rechtssetzung hat die Gemeinde demnach Entscheidungsfreiheit, wenn das Gesetz keine abschliessende Regelung trifft oder die Gemeinde ausdrücklich zur Rechtssetzung ermächtigt (Art. 89 Abs. 2 KV/SG).
4.2. Für das Schulwesen sind die Kantone zuständig (<ref-law>). Vor diesem Hintergrund fragt sich, ob der Gesetzgeber des Kantons St. Gallen die Festlegung des Schulgelds - wie von der Beschwerdeführerin behauptet - tatsächlich den Gemeinden überantwortet hat, oder ob dafür nicht vielmehr der Kanton selbst zuständig ist.
Art. 53 Abs. 3 VSG sieht in diesem Zusammenhang vor, das Schulgeld für den auswärtigen Schulbesuch trage die Schulgemeinde am Ort, wo sich die Schülerin oder der Schüler aufhalte. Die Beschwerdeführerin leitet aus dieser Bestimmung - in Zusammenschau mit Art. 120 und 121 GG - ab, die kommunalen Schulträger seien im Grundsatz für die Festlegung der Schulgelder zuständig. Dies bestätigt ausdrücklich auch der Kanton in seiner Vernehmlassung. Umstritten ist jedoch, ob Art. 53 bis VSG für den Besuch einer Sport- oder Kunstschule durch hochbegabte Jugendliche eine andere Regelung vorsieht. Nach Art. 53 bis Abs. 2 Ziff. 2 VSG bezeichnet nämlich die Regierung "durch Verordnung [...] den Beitrag der Schulgemeinde an das Schulgeld". In der Botschaft der Regierung des Kantons St. Gallen vom 10. Januar 2006 zum IX. Nachtrag zum Volksschulgesetz (Amtsblatt des Kantons St. Gallen Nr. 4 vom 23. Januar 2006, S. 177) wird zu dieser Bestimmung ausgeführt:
"Bei der Festlegung des Gemeindebeitrags an das Schulgeld ist die Regierung [...] frei; innerkantonal soll die Kostenbeteiligung der Gemeinde in keinem Fall die durchschnittlichen schulischen Kosten je Kind und Regelklasse auf der Oberstufe (zurzeit Fr. 15'000.--) übersteigen. [...] Den Eltern oder in privater Absprache allenfalls den Verbänden bzw. anderen privaten Unterstützungsquellen verbleiben die Differenz zu den vollen Schulkosten sowie die Lebens- und die Trainingskosten."
Im Abschnitt zu den Kosten des IX. Nachtrags zum Volksschulgesetz (Amtsblatt des Kantons St. Gallen Nr. 4 vom 23. Januar 2006, S. 178) wird weiter erläutert:
"[...] Für die Gemeinden als Gesamtheit fallen die Kosten des Nachtrags nicht ins Gewicht, da es um Einzelfälle geht. Hingegen trifft ein einzelnes Schulgeld die betroffene Gemeinde in aller Regel als zusätzliche Kostenbelastung, da mit dem Austritt des hochbegabten Schulkindes aus der gemeindeeigenen Schulklasse nicht bzw. höchstens zufällig eine Schulklasse eingespart werden kann."
4.3. Wie das Bildungsdepartement des Kantons St. Gallen in seiner Vernehmlassung zutreffend vorbringt, kann Art. 53bis Abs. 2 Ziff. 2 VSG vor dem Hintergrund seiner Entstehungsgeschichte nicht anders verstanden werden, als dass der Kanton den Beitrag der Schulträgers an das Schulgeld der auswärtigen Schule abschliessend festlegt. Der Begriff des "Beitrags" ist entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin nicht so zu verstehen, dass die Möglichkeit bestünde, von den Aufenthaltsgemeinden weitere Schulgelder zu verlangen, im Gegenteil: Der Beitrag dieser Gemeinden soll durch die kantonale Verordnungsregelung ausdrücklich beschränkt werden, um diese nicht über Gebühr zu belasten. Das Finanzierungskonzept der Sport- und Musikschulen ist darauf ausgerichtet, dass ein allfällig verbleibender Differenzbetrag zu dem von der aufnehmenden Schulgemeinde verlangten Schulgeld von Eltern, Verbänden oder anderer privater Seite geleistet wird. Art. 53bis Abs. 2 Ziff. 2 VSG ermächtigt die Regierung des Kantons St. Gallen folglich dazu, den Beitrag der abgebenden Schulträger zum Schulgeld verbindlich und abschliessend festzulegen.
Der vorliegend angefochtene IX. Nachtrag zur VVU ist von der vorgenannten Gesetzesbestimmung damit vollumfänglich abgedeckt. Der Beitrag jedenfalls des abgebenden Schulträgers ist durch das kantonale Recht abschliessend geregelt. Ein verfassungsrechtlich geschützter Autonomiebereich der Beschwerdeführerin, der es ihr erlauben würde, von den Aufenthaltsgemeinden weitergehende Beiträge zu verlangen, besteht nicht.
4.4. Auch dass Art. 53bis Abs. 2 Ziff. 2 VSG als Rechtsgrundlage des IX. Nachtrags zur VVU selbst die Gemeindeautonomie verletzen würde, ist nicht ersichtlich. Aussichtslos ist namentlich der Ansatz der Beschwerdeführerin, die Rechtswidrigkeit von Art. 53bis Abs. 2 Ziff. 2 VSG mit den normhierarchisch gleichgestellten Art. 119 - 121 GG zu begründen. Der Grundsatz, dass der zwingend unentgeltlich zu erbringende Grundschulunterricht von der Wohnsitzgemeinde des Kindes finanziert wird (vgl. Urteil 2C_561/2018 vom 20. Februar 2019), entspricht zwar der Ausgestaltung des Schulrechts in vielen Kantonen; zwingend vorgeschrieben ist eine solche Konzeption jedoch nicht, zumal es den Kantonen frei steht, das Schulwesen selbst zu organisieren (vgl. <ref-law>) und auch die St. Galler Kantonsverfassung keine Regelung vorsieht, die den kantonalen Gesetzgeber insoweit verpflichten würde.
4.5. Die Autonomiebeschwerde erweist sich aufgrund der vorstehenden Ausführungen als unbegründet.
5.
Als nächstes zu prüfen ist die Rüge der Beschwerdeführerin, der IX. Nachtrag zur VVU (bzw. die diesem Nachtrag zugrunde liegende Gesetzeskonzeption von Art. 53 bis Abs. 2 Ziff. 2 VSG [vgl. dazu E. 4.2 hiervor]) verletze das Willkürverbot (<ref-law>) bzw. das Gleichheitsgebot (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin macht insbesondere geltend, sportlich oder künstlerisch hochbegabte Schülerinnen und Schüler, die eine auswärtige Talentschule besuchten, würden ohne Grund anders behandelt, als Schülerinnen und Schüler, die aus anderen Gründen eine Schule ausserhalb ihres Wohnorts besuchten.
5.1. Ein Erlass ist willkürlich, wenn er sich nicht auf ernsthafte sachliche Gründe stützen lässt oder sinn- und zwecklos ist; er verletzt das Rechtsgleichheitsgebot, wenn er rechtliche Unterscheidungen trifft, für die ein vernünftiger Grund in den zu regelnden Verhältnissen nicht ersichtlich ist, oder Unterscheidungen unterlässt, die sich aufgrund der Verhältnisse aufdrängen, wenn also Gleiches nicht nach Massgabe seiner Gleichheit gleich und Ungleiches nicht nach Massgabe seiner Ungleichheit ungleich behandelt wird. Vorausgesetzt ist, dass sich die ungerechtfertigte Gleich- bzw. Ungleichbehandlung auf eine wesentliche Tatsache bezieht (<ref-ruling> E. 3b S. 299; <ref-ruling> E. 6a S. 26). Dem Gesetzgeber verbleibt bei der Verfolgung gesetzgebungspolitischer Ziele und der dazu eingesetzten Mittel ein weiter Gestaltungsspielraum (<ref-ruling> E. 3b S. 299; <ref-ruling> E. 4a S. 104; <ref-ruling> E. 2b S. 13 f.).
5.2. Im Ausgangspunkt ist festzuhalten, dass es den Kantonen grundsätzlich unbenommen ist, die Finanzierung für den Besuch spezieller Schulen durch hochbegabte Schülerinnen und Schüler anders zu regeln, als die Finanzierung ordentlicher Schulen (vgl. <ref-law>). Sind für das Schulwesen - wie im Kanton St. Gallen - grundsätzlich die Schulgemeinden zuständig (Art. 88 Abs. 1 lit. b und Art. 92 KV/SG in Verbindung mit Art. 4 Abs. 1 VSG/SG), ist sachlich auch nachzuvollziehen, dass jene Gemeinden, die sportlich und künstlerisch hochbegabte Schülerinnen und Schüler hervorbringen, finanziell nicht übermässig dafür belastet werden sollen, dass diesen Jugendlichen durch das kantonale Recht die Möglichkeit geboten wird, ihre Talente an speziellen Schulen anderer Gemeinden besonders entfalten zu können (vgl. zu diesem Gesetzgebungsgedanken schon E. 4.2 hiervor). Schon aus diesem Grund erscheint es als sachlich begründet, die von den abgebenden Schulträgern zu bezahlenden Beiträge innerhalb des Kantons zu harmonisieren und auf einen gewissen Betrag zu begrenzen (Art. 53bis Abs. 2 Ziff. 2 VSG in Verbindung mit Art. 11bis Abs. 2 und Art. 11ter Abs. 3 VVU).
Soweit die Höhe des von der Regierung des Kantons St. Gallen vorliegend festgelegten Betrags angesichts der wenig substanziierten Begründung der Beschwerdeführerin einer Beurteilung durch das Bundesgericht überhaupt zugänglich ist (vgl. E. 2.2 hiervor), liegt sodann keine Willkür vor. Das Bildungsdepartement des Kantons St. Gallen hat im vorliegenden Verfahren nachvollziehbar dargelegt, wie die Regierung die Beiträge rechnerisch festgelegt hat. Dass die verwendete Methode sinn- und zwecklos wäre und unhaltbare Resultate zeitigen würde, wird durch die Beschwerdeführerin nicht hinreichend belegt; insbesondere bezüglich der "gemischten Klassen" (Art. 11bis Abs. 2 lit. a VVU), die gemäss den Angaben der Verfahrensbeteiligten vorrangig durch Regelschüler mit Wohnort in der Stadt St. Gallen besucht werden, kann nicht beanstandet werden, dass der Regierungsrat insoweit auf die Grenzkosten abgestellt und keine Vollkostenentschädigung durch die Wohnortgemeinde vorgesehen hat.
5.3. Die vorstehenden Überlegungen gelten umso mehr, wenn man sich den spezifischen inner- und interkantonalen Koordinationsbedarf vor Augen führt, der im Zusammenhang mit der Förderung spezifischer sportlicher und künstlerischer Talente auf Volksschulstufe anfällt.
5.3.1. Die vorliegende Streitigkeit bewegt sich im Kontext der spezifischen schulischen Förderung sportlicher oder künstlerischer Hochbegabung von Jugendlichen, die noch volksschulpflichtig sind. Nur deshalb stellt sich überhaupt die Frage, ob - und in welchem Ausmass - die Wohnsitzgemeinde für das Schulgeld an den Talentschulen aufzukommen hat. Für weiterführende Angebote nach Abschluss der Volksschule muss sie das (unter dem Vorbehalt anderslautender kantonaler Regelungen) nicht mehr; gefragt sind vielmehr die interessierten Sport- und Musikverbände und andere Förderorganisationen, wobei selbstredend nicht ausgeschlossen ist, dass diese Verbände und Organisationen auch Beiträge an spezifische Förderangebote auf Volksschulstufe entrichten (vgl. in diesem Zusammenhang beispielsweise das Rahmenkonzept des Kantons Thurgau für die Begabtenförderung in Sport und Musik vom 14. Juni 2011, Z. 6 S. 10, <https://dek.tg.ch /public/upload/assets/12304/Rahmenkonzept%20%3 F r%20die% 20Begabtenf%3Frderung%20i%20Sport%20un%20Musik%20vom%2014.%20Juni%202011.pdf> [22.10.2019]).
5.3.2. Die Jugendlichen, auf welche die erwähnten Förderangebote zugeschnitten sind, weisen teilweise sehr spezifische Talente auf. Entsprechend steht die Infrastruktur für eine zielgerichtete Förderung in Einzelfällen schweizweit nur an wenigen Standorten zur Verfügung (z.B. Sportschule für Skispringer in Einsiedeln). Die Frage der Finanzierung stellt sich also nicht nur innerkantonal, sondern auch interkantonal. Um auch kantonsübergreifend eine zielgerichtete Talentförderung sicherzustellen, haben siebzehn Kantone die HBV abgeschlossen. Zweck dieser interkantonalen Vereinbarung ist insbesondere, die gegenseitige Anerkennung dieser Schulen und die Finanzierung der Ausbildung sicherzustellen (siehe Art. 1 Abs. 2 lit. a und c HBV). In einem Anhang werden die Schulgelder festgelegt, welche der Wohn-sitzkanton an den Trägerkanton überweist.
Für die vorliegenden Zwecke interessant ist, dass die im interkantonalen Verhältnis festgelegten Beträge (vgl. als Beispiele: Schulgeld für die Sekundarschule in Herisau/AR: Fr. 8'000.-- pro Halbjahr; Schulgeld für die Oberstufenschule der Stadt Thun/BE: Fr. 9'900.-- pro Halbjahr; Schulgeld für die Sportschule Glarnerland: Fr. 7'500.-- pro Halbjahr; Schulgeld für die Talentschule St. Gallen Fr. 5'500.-- bzw. Fr. 7'500.-- pro Halbjahr [vgl. zum Ganzen <https://edudoc.educa.ch/ static/web/arbeiten/hbv_2018_2019.pdf>]) sich im Bereich der Beträge bewegen, die der Kanton St. Gallen innerkantonal für das Verhältnis unter den Gemeinden festgelegt hat. Auch im interkantonalen Verhältnis werden im Interesse eines effektiven Zugangs talentierter Schüler zu den Sport- und Kunstschulen Pauschalen verwendet und nicht etwa individuell berechnete Vollkosten entschädigt.
5.3.3. Koordinationsbedarf besteht auch innerkantonal: Ein gegenüber der Wohnsitzgemeinde bestehender verfassungsrechtlicher Anspruch auf Besuch einer Talentschule existiert grundsätzlich nicht. In der Praxis hat dies in der Vergangenheit in einzelnen Kantonen zur Folge gehabt, dass gewisse Wohnsitzgemeinden Gesuche um Übernahme von Schulgeldern für den Besuch auswärtiger (inner- oder ausserkantonaler) Talentschulen übernommen haben, andere hingegen nicht (vgl. in diesem Zusammenhang beispielsweise den Antrag des Regierungsrates des Kantons Zürich vom 23. Oktober 2013 für eine Änderung des Volksschulgesetzes und die dort enthaltenen Erläuterungen zur Ausgangslage [<https://www.zh.ch/bin/ktzh/rrb/beschluss. pdfrrbNr =1189&name=5034_Volksschulgesetz&year=2013&_charset_=UTF-8>]). Ob die jungen Sportlerinnen und Sportler, Künstlerinnen und Künstler ihren besonderen Talenten entsprechend beschult werden konnten, hing mit anderen Worten vom Wohlwollen ihrer jeweiligen Wohnsitzgemeinden bzw. der Bereitschaft ihrer Eltern ab, für das Schulgeld aufzukommen (vgl. Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen B 2016/137 vom 23. April 2018 E. 3 [mit Hinweis auf ein Urteil nicht publiziertes Urteil desselben Gerichts aus dem Jahr 2009, das die Einforderung des Differenzbetrags von den Eltern als verfassungsrechtlich zulässig erachtete]). Auch wenn Art. 67a Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BV im Einzelfall keine Grundlage für die finanzielle Unterstützung eines Talents bilden (vgl. Urteil 2C_605/2008 vom 24. Februar 2009 E. 5.3), läuft eine derart unkoordinierte und rechtsungleiche Praxis der aus den genannten Bestimmungen abzuleitenden verfassungsrechtlichen Zielsetzung, spezifische musikalische und sportliche Talente zu fördern, diametral zuwider. Gerade aus Rechtsgleichheitsüberlegungen bestehen manifeste Gründe für eine innerkantonale Harmonisierung.
5.3.4. Die Modelle, wie die Schulkosten im Bereich der Spitzensport- und Kunstförderung mit Blick auf einen rechtsgleichen Zugang zu den Talentschulen innerkantonal verteilt werden, sind verschieden, und es muss den Kantonen angesichts der vorstehend erwähnten Besonderheiten der Spitzensport- und Musikförderung insoweit auch ein erheblicher Ermessensspielraum eingeräumt werden. Der Kanton Zürich beispielsweise kennt eine Regelung, die derjenigen des Kantons St. Gallen ähnelt: Er verpflichtet die Wohnsitzgemeinde, der Trägergemeinde ein Schulgeld zu entrichten, wobei "die Trägergemeinde die Vorgaben aus den interkantonalen Abkommen zu berücksichtigen hat" (vgl. den bereits erwähnten Antrag des Regierungsrates des Kantons Zürich vom 23. Oktober 2013, Weisung Ziff. 2, S. 3). Ähnliche Zweckgedanken liegen den vorliegend angefochtenen Bestimmungen zugrunde: So hat sich die Regierung bei der Festlegung der Beiträge in Art. 11bis Abs. 2 und Art. 11ter Abs. 3 VVU gemäss den Angaben des Bildungsdepartements im vorliegenden Verfahren an den Werten orientiert, die interkantonal für den Besuch von Talentschulen durch Jugendliche mit Wohnsitz ausserhalb des Trägerkantons (vgl. die im Anhang zur HBV definierten Werte; dazu E. 5.3.2 hiernach) festgelegt sind. Zwar ist bei den im Anhang zur HBV enthaltenen Ansätzen (vgl. auszugsweise E. 5.3.2 hiervor) durchaus möglich, dass neben den von den Aufenthaltsgemeinden geleisteten Schulgeldern weitere Finanzierungsquellen erschlossen werden müssen, um die Talentschulen zu betreiben. Den Trägergemeinden steht es aber offen, diese Kosten selber zu tragen, oder aber mit Sportvereinen, Sport- und Musikverbänden und anderen Förderorganisationen - oder auch mit dem Kanton - in Verbindung zu treten, um die Finanzierung sicherzustellen (vgl. beispielsweise die Lösung im Kanton Luzern, wonach der Kanton einen gewissen Beitrag übernimmt, § 59 Abs. 3 in Verbindung mit § 62 des Gesetzes des Kantons Luzern vom 1. Januar 2000 über die Volksschulbildung [VBG; SRL 400a]). Soweit ein Kanton keine geradezu willkürliche Regelung trifft - und eine solche ist im Falle des Kantons St. Gallen nicht ersichtlich - besteht für das Bundesgericht kein Anlass, auf dem Wege der abstrakten Normenkontrolle einzuschreiten.
5.4. Zusammengefasst bestehen nachvollziehbare Gründe, die Finanzierung des Besuchs von Talentschulen durch besonders begabte junger Sportlerinnen und Sportler bzw. Künstlerinnen und Künstler (wie der Kanton St. Gallen) anders zu regeln, als auswärtige Schulbesuche aus anderen Gründen. Eine Verletzung des Gleichheitsgebots (<ref-law>) oder des Willkürverbots (<ref-law>) durch den hier zu überprüfenden IX. Nachtrag zur VVU ist damit zu verneinen.
6.
Abschliessend zu prüfen ist das Argument der Beschwerdeführerin, der IX. Nachtrag zur Verordnung über den Volksschulunterricht bewirkeeine Verletzung des Anspruchs auf unentgeltlichen Grundschulunterricht (<ref-law>).
6.1. <ref-law> gewährleistet den Anspruch auf ausreichenden und unentgeltlichen Grundschulunterricht. Die Norm begründet einen rechtlich durchsetzbaren verfassungsmässigen Individualanspruch auf eine positive staatliche Leistung im Bildungsbereich; sie umschreibt damit ein soziales Grundrecht. Träger des Rechtsanspruchs sind Kinder und Jugendliche vom Kindergarten, soweit dieser obligatorisch ist, bis und mit der Sekundarstufe I (<ref-ruling> E. 2.1 S. 3 f.; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 156 m.H.). Der Anspruch auf Unentgeltlichkeit schliesst aus, für den "ausreichenden Grundschulunterricht" ein Schulgeld zu verlangen; gemeint ist damit der Unterricht, der dem betroffenen Kind jene Lerninhalte vermitteln soll, die in der hiesigen Wertordnung als unverzichtbar gelten (<ref-ruling> E. 3.2 S. 354) und für den entsprechend eine Schulpflicht besteht (<ref-ruling> E. 3.1.3 S. 7 f.).
6.2. Der Anspruch von <ref-law> besteht selbstredend auch für Schülerinnen und Schüler, die aufgrund sportlicher, künstlerischer oder anderweitiger Hochbegabung besondere öffentliche Schulen besuchen. Sofern für die Förderung solcher Hochbegabung auf der Sekundarstufe I öffentliche Schulen existieren, auf deren Besuch ein gesetzlicher Anspruch besteht (vgl. hier Art. 53 bis Abs. 1 VSG und dazu Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 16. Dezember 2010 E. 2.5 [=GVP 2010 Nr. 3])), darf von den Eltern deshalb zumindest insoweit kein Schulgeld verlangt werden, als es um den unverzichtbaren Grundschulunterricht geht. Abgedeckt davon sind auch spezifische Fördermassnahmen (beispielsweise Einzelunterricht, Unterstützungsangebote bei den Hausaufgaben), die aufgrund des grossen Trainings- und Übungspensums eines sportlich oder künstlerisch begabten Kindes erforderlich sind, um einen ausreichenden Grundschulunterricht sicherzustellen. In diesem Sinne bringt die Beschwerdeführerin zutreffend vor, dass von den Eltern eines solchen Kindes jedenfalls insoweit nicht verlangt werden kann, Schulgelder zu entrichten. Anders verhält es sich indes mit Ausgaben, die für die Förderung des spezifischen Talents anfallen (bspw. für sportartspezifische Trainings oder individuellen Instrumentalunterricht). Diese dürfen den Eltern oder den interessierten Musik- und Sportverbänden überbunden werden, ohne dass dadurch <ref-law> verletzt wäre.
6.3. Aufgrund des eben Ausgeführten wäre es unzulässig, die Eltern eines Talentschülers oder einer Talentschülerin für den Differenzbetrag aufkommen zu lassen, der entstünde, wenn das vom Schulträger der Talentschule festgesetzte Schulgeld den vom abgebenden Schulträger bezahlten (in Art. 11bis Abs. 2 und Art. 11ter Abs. 3 VVU festgelegten) Beitrag übersteigen würde; dies gilt zumindest insoweit, als sie dadurch zum unentgeltlich zu erbringenden ausreichenden Grundschulunterricht beitragen müssten.
Die Frage braucht an dieser Stelle allerdings nicht vertieft zu werden: Der IX. Nachtrag zur Verordnung über den Volksschulunterricht bezieht sich grundsätzlich nur auf die Schulgelder, die von den abgebenden Schulträgern zu leisten sind. Keine Vorgaben ergeben sich bezüglich der Fragen, ob die Trägergemeinde der Talentschule von Drittpersonen den Differenzbetrag zu einem eigenständig festgesetzten Schulgeld erheben darf, und wer für einen solchen Differenzbetrag aufzukommen hätte; namentlich schliessen Art. 11bis Abs. 2 und Art. 11ter Abs. 3 VVU nicht aus, dass dafür der Kanton, die Trägergemeinde der Talentschule, interessierte Sportverbände oder andere Förderinstitutionen aufkommen. Insoweit lassen sich Art. 11bis Abs. 2 und Art. 11ter Abs. 3 VVU ohne Weiteres verfassungskonform auslegen (vgl. zu diesem Massstab E. 3 hiervor).
7.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde unbegründet und somit abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Verfahrensausgang trägt die Beschwerdeführerin, die eigene Vermögensinteressen verfolgt, die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 und 3 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. November 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner