Sachverhalt:
A.
Am 30. August 2011 beantragte die Gemeinde Bettingen beim Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt einen Enteignungsbeschluss zur Liegenschaft Parzelle 74 im Grundbuch Bettingen, die sich in der Zone für Nutzungen im öffentlichen Interesse befindet. Die damalige Eigentümerin stellte sich mit einer als "Einsprache/Begehren" bezeichneten Eingabe gegen die vorgesehene Enteignung. In der Folge zog sich das Enteignungsverfahren in die Länge. Am 12. Dezember 2015 gelangten die Rechtsnachfolger der zwischenzeitlich verstorbenen Einsprecherin mit der Bitte um vordringliche Behandlung der Einsprache an den Regierungsrat. Am 4. Mai 2016 reichte A._ als Rechtsnachfolger beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht Beschwerde wegen Rechtsverweigerung und Rechtsverzögerung ein. Mit Urteil vom 8. Dezember 2016 hiess das Verwaltungsgericht die Rechtsverzögerungsbeschwerde gut und forderte den Regierungsrat auf, innert angemessener Frist einen Entscheid über den weiteren Verfahrensgang zu treffen.
B.
Am 10. Juni 2017 erhob A._ erneut eine Rechtsverzögerungsbeschwerde beim Appellationsgericht mit dem Antrag, den Regierungsrat aufzufordern, im formellen Enteignungsverfahren innerhalb eines Monats zu entscheiden, unter Kostenfolge zulasten des Staates. Mit Beschluss vom 5. Juli 2017 schrieb der Regierungsrat das Enteignungsverfahren ab und sprach A._ eine Entschädigung für die entstandenen Anwaltskosten zu. Dem Appellationsgericht beantragte der Regierungsrat die Abweisung der Rechtsverzögerungsbeschwerde. A._ hielt jedoch daran fest. Mit Urteil vom 11. Dezember 2017 wies das Appellationsgericht die Rechtsverzögerungsbeschwerde ab, soweit es darauf eintrat, und auferlegte A._ die ordentlichen Kosten des verwaltungsgerichtlichen Verfahrens mit einer Gebühr von Fr. 600.--.
C.
A._ führt Beschwerde beim Bundesgericht mit den Anträgen, das Urteil des Appellationsgerichts aufzuheben (Rechtsbegehren 2) und das kantonale Verfahren unter Kostenfolge für den Staat abzuschreiben (Rechtsbegehren 3). Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens seien ebenfalls dem Staat aufzuerlegen (Rechtsbegehren 4); allenfalls sei A._ die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren (Rechtsbegehren 1).
Das Appellationsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Weitere Rechtsschriften gingen beim Bundesgericht nicht mehr ein.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid über eine Rechtsverzögerungsbeschwerde im kantonalen Verfahren in einer Enteignungssache. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen (<ref-law>).
1.2. Der Beschwerdeführer war am vorinstanzlichen Verfahren beteiligt und hat insoweit ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids, als er dadurch beschwert ist (vgl. <ref-law>).
1.3. Mit der Beschwerde an das Bundesgericht kann, von hier nicht interessierenden Ausnahmen abgesehen, nur die Verletzung von Bundesrecht (vgl. <ref-law>) sowie die offensichtlich unrichtige, d.h. willkürliche, Feststellung des Sachverhaltes (vgl. <ref-law>) gerügt werden. Auch soweit die Vorinstanz kantonales Recht anzuwenden hatte, prüft das Bundesgericht den angefochtenen Entscheid nur auf Bundesrechtsverletzung, namentlich Willkür hin.
1.4. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an, behandelt aber grundsätzlich nur in der Beschwerdeschrift behauptete und ausreichend begründete Rechtsverletzungen, wobei angebliche Grundrechtsverletzungen (unter Einschluss von Willkür bei der Sachverhaltserhebung sowie bei der Auslegung und Anwendung von kantonalem Recht) besonders substanziiert werden müssen (vgl. <ref-law> und <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4 S. 176; <ref-ruling> E. 1.6 S. 130; <ref-ruling> E. 1.4 S. 254 f.).
2.
2.1. Mit Beschluss des Regierungsrats vom 5. Juli 2017 wurde das Enteignungsverfahren abgeschrieben und dem Beschwerdeführer der Parteiaufwand entschädigt. An sich stellt sich daher die Frage, ob die Vorinstanz das seit dem 10. Juni 2017 bei ihr hängige Rechtsverzögerungsbeschwerdeverfahren nicht hätte als gegenstandslos bzw. erledigt abschreiben sollen. Allerdings hielt der Beschwerdeführer an seiner Beschwerde auch nachträglich noch fest. Wie es sich damit verhält, kann offen bleiben. Jedenfalls ist der Beschwerdeführer in der Sache nicht mehr beschwert. Er tut auch kein entsprechendes Feststellungsinteresse dar. Mit seiner Beschwerde an das Bundesgericht kann er nur noch erreichen, dass er von den ihm vorinstanzlich auferlegten Kosten für die Behandlung der Rechtsverzögerungsbeschwerde im Umfang von Fr. 600.-- befreit wird. Dem entspricht immerhin sein Rechtsbegehren 3 in der Beschwerde an das Bundesgericht. Die Beschwerde erweist sich daher nur in diesem Umfang überhaupt als zulässig.
2.2. Der Beschwerdeführer zieht die Unvoreingenommenheit des Appellationsgerichtspräsidenten in Zweifel. Seine entsprechenden Behauptungen genügen indessen weder für eine ausreichende Rüge noch bestehen nachvollziehbare Anhaltspunkte für eine Befangenheit. Darauf ist daher nicht weiter einzugehen.
2.3. Der Beschwerdeführer versucht aufzuzeigen, dass die vorinstanzliche Beurteilung der Rechtsverzögerungsbeschwerde falsch sei. Die Würdigung der Rechtsverzögerungsbeschwerde spielt jedoch für die Frage der Kostenverteilung nur noch indirekt eine Rolle. Der Beschwerdeführer müsste diesen Zusammenhang dartun und ausführen, inwiefern der angefochtene Entscheid in diesem Konnex Bundesrecht verletzt. Indessen legt er nicht dar, weshalb die von ihm gerügten tatsächlichen Feststellungen des Appellationsgerichts offensichtlich unrichtig sein sollten und inwiefern dies für die Kostenauflage rechtserheblich sein sollte. Überdies führt er nicht aus, welche kantonale Bestimmung die Vorinstanz bei der Kostenverlegung qualifiziert falsch ausgelegt oder angewendet haben sollte. Seine Beschwerde erfüllt insoweit die Voraussetzungen einer ausreichenden Begründung nicht. Selbst wenn von einer genügend begründeten Beschwerde auszugehen wäre, erschiene die Auferlegung einer Entscheidgebühr im Ergebnis nicht unhaltbar. Der Beschwerdeführer muss sich insofern vorhalten lassen, trotz fehlendem Rechtsschutzinteresse an der Beschwerde festgehalten und damit den Prozessaufwand vergrössert zu haben. Ein Verstoss gegen Bundesrecht ist nicht ersichtlich. Schliesslich bestreitet der Beschwerdeführer die Höhe der ihm auferlegten Entscheidgebühr nicht bzw. bringt dagegen keine zureichenden Argumente vor.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Zwar ist wegen Aussichtslosigkeit der gestellten Begehren auch das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen (vgl. <ref-law>); es rechtfertigt sich aber, ausnahmsweise von der Erhebung von Gerichtskosten für das bundesgerichtliche Verfahren abzusehen (vgl. Art. 66 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Eine Parteientschädigung wird nicht verlangt und ist nicht zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. März 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Uebersax