Sachverhalt:
A.
Seit Dezember 2019 reichte A._ bei der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich zahlreiche Strafanzeigen gegen eine Vielzahl von Behördenmitgliedern und Beamten ein.
B.
B.a. Mit Eingaben vom 18. und 28. März 2020 sowie vom 2. und 15. Mai 2020 erhob er beim Obergericht des Kantons Zürich Beschwerde wegen Rechtsverweigerung. Zur Begründung führte er im Wesentlichen aus, die Oberstaatsanwaltschaft halte seine Anzeigen zu Unrecht zurück. Mit Verfügung und Beschluss UV200012 vom 28. Juli 2020 schrieb das Obergericht die Beschwerde vom 18. März 2020 als infolge Rückzugs erledigt ab. Gleichzeitig wies es die übrigen Beschwerden ab, soweit es darauf eintrat, auferlegte A._ die Gerichtsgebühr von Fr. 500.-- und sprach ihm keine Entschädigung zu.
B.b. Am 6. Oktober 2020 erhob A._ beim Obergericht des Kantons Zürich eine Rechtsverzögerungsbeschwerde gegen die Oberstaatsanwaltschaft, da diese seit rund zehn Monaten eine von ihm gegen Staatsanwältin B._ eingereichte Strafanzeige noch nicht behandelt habe. Mit Verfügung und Beschluss UV200031 vom 25. November 2020 wies das Obergericht die Beschwerde ab.
B.c. Gegen die Verfügungen und Beschlüsse UV200012 und UV200031 des Obergerichts führte A._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Das Bundesgericht eröffnete hierzu die Verfahren 1B_403/2020 und 1B_613/2020. Mit Urteil vom 21. Januar 2021 vereinigte es die genannten Verfahren und trat auf die Beschwerden wegen Verletzung der gesetzlichen Begründungspflicht nicht ein. Ergänzend hielt das Bundesgericht fest, dass selbst wenn auf die Beschwerden einzutreten gewesen wäre, unter den gegebenen Umständen nicht erkennbar sei, wie die angefochtenen Entscheide gegen Bundesrecht unter Einschluss der Grund- und Menschenrechte verstossen sollten.
C.
C.a. Mit Eingabe vom 2. Januar 2021 erhob A._ beim Obergericht des Kantons Zürich erneut Rechtsverzögerungsbeschwerde, da er vor mehr als einem Jahr bei der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich Strafanzeige gegen drei Polizisten eingereicht habe und in dieser Sache seither nichts mehr unternommen worden sei. In seiner Eingabe stellte A._ zudem ein Ausstandsbegehren gegen den Kammerpräsidenten des Obergerichts, da zwischen ihnen eine Feindschaft bestehe, was aufgrund einer von ihm verfassten "Google-Bewertung" belegt sei. Das Obergericht wies die Beschwerde mit Verfügung und Beschluss UV210001 vom 22. Januar 2021 ab und auferlegte A._ die Gerichtsgebühr von Fr. 500.--. Auf das Ausstandsgesuch gegen den Kammerpräsidenten trat das Obergericht nicht ein. Hiergegen erhob A._ mit Eingabe vom 27. Januar 2021 Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht und beantragte, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und ihm eine Entschädigung zuzusprechen. Ausserdem ersucht er um die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Hierzu wurde das bundesgerichtliche Verfahren 1B_39/2021 eröffnet. Die Oberstaatsanwaltschaft und das Obergericht beantragen die Abweisung der Beschwerde. A._ äusserte sich mit weiteren Eingaben zur Sache.
C.b. Mit Schreiben vom 12. Januar 2021 erhob A._ beim Obergericht des Kantons Zürich eine weitere Beschwerde wegen Rechtsverweigerung. Zur Begründung führte er aus, die Oberstaatsanwaltschaft habe die von ihm am 20. Januar 2020 gegen einen Gerichtsschreiber des Obergerichts eingereichte Strafanzeige bisher nicht behandelt. In seinem Schreiben stellte A._ zudem Ausstandsbegehren gegen zwei Oberrichter und eine Oberrichterin, da diese mit dem von ihm angezeigten Gerichtsschreiber zusammenarbeiten würden und deshalb befangen seien. Das Obergericht wies die Beschwerde mit Verfügung und Beschluss UV210003 vom 22. Januar 2021 ab. Auf die Ausstandsgesuche trat das Obergericht nicht ein. Mit dagegen erhobener Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht beantragt A._, dass der Entscheid des Obergerichts aufzuheben und das Strafverfahren gegen den angezeigten Gerichtsschreiber unverzüglich zu bearbeiten sei. Überdies beantragt er eine Entschädigung und die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Bundesgericht eröffnete dazu das Verfahren 1B_40/2021. Die Oberstaatsanwaltschaft und das Obergericht beantragen die Abweisung der Beschwerde. A._ äusserte sich auch in diesem Verfahren mit weiteren Eingaben zur Sache.
C.c. Mit Eingaben vom 14. März 2021 beantragt A._ in den bundesgerichtlichen Verfahren 1B_39/2021 und 1B_40/2021 den Ausstand der Bundesrichter François Chaix und Thomas Müller sowie der Bundesrichterin Monique Jametti.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerdeverfahren 1B_39/2021 und 1B_40/2021 verfügen über die gleichen Verfahrensbeteiligten und es geht in der Sache um die ähnlich gelagerten Rechtsfragen der Rechtsverweigerung oder -verzögerung sowie um vergleichbare Ausstandsfragen. Es rechtfertigt sich daher, die genannten Verfahren zu vereinigen.
2.
Auf die im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren eingereichten, aber nicht näher begründeten Ausstandsgesuche gegen die Bundesrichter François Chaix und Thomas Müller sowie die Bundesrichterin Monique Jametti ist nicht einzutreten. Die Tatsache, dass der Beschwerdeführer in mehreren bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren erfolglos blieb, an welchen die genannten Mitglieder der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung mitgewirkt haben, stellt für sich alleine keinen zulässigen Ausstandsgrund dar (<ref-law>). Daran vermag auch der Umstand nichts zu ändern, dass der Beschwerdeführer wegen der für ihn nachteiligen Urteile unterdessen gegen die genannten Gerichtspersonen Strafanzeige eingereicht hat (vgl. Urteile 1B_401/2019 vom 4. Oktober 2019 E. 3.5, 1B_236/2019 vom 9. Juli 2019 E. 2.1; 6B_385/2015 vom 12. Mai 2015 E. 2). Bei unzulässigen Ausstandsgesuchen ist kein Verfahren nach <ref-law> durchzuführen. Auf die Gesuche ist vielmehr nicht einzutreten.
3.
Angefochten sind zwei strafrechtliche Entscheide, bei denen sich die Frage der Zulässigkeit einer Beschwerde in Strafsachen nach <ref-law> stellt. Da auf die Beschwerden ohnehin nicht einzutreten ist, kann an dieser Stelle offenbleiben, ob es sich bei den angefochtenen Entscheiden um anfechtbare End- oder Zwischenentscheide nach Art. 90 und Art. 93 BGG handelt.
4.
4.1. Gemäss <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken; die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheides massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 2). Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>). Im Zusammenhang mit einer Beschwerde wegen Rechtsverzögerung oder -verweigerung obliegt es deshalb der rechtsuchenden Person, sachbezogen darzutun, inwiefern durch den Entscheid bzw. das Untätigsein einer Behörde <ref-law> verletzt wurde (Urteile 1B_2/2017 vom 28. Februar 2017 E. 3; 1B_115/2015 vom 21. Juli 2017 E. 4).
4.2. Diesen Anforderungen genügen die beiden Beschwerdeschriften nicht. Der Beschwerdeführer begnügt sich damit, die vorinstanzlichen Ausführung zur Verneinung einer Rechtsverzögerung oder -verweigerung pauschal als falsch zu bezeichnen oder seine eigene subjektive Sicht zum Untätigsein der Oberstaatsanwaltschaft im Zusammenhang mit der von ihm erhobenen Strafanzeigen darzutun. Belege für seine diesbezüglichen Beanstandungen reicht er nicht ein. Soweit er sich in seinen Ausführungen auf ein anscheinend stattgefundenes Telefongespräch mit der Oberstaatsanwaltschaft vom 2. Februar 2021 beruft, handelt es sich um eine Tatsache, welche sich erst nach den angefochtenen Entscheiden ereignete und damit ein vor Bundesgericht unzulässiges echtes Novum darstellt (<ref-law>). Ebenfalls nicht substanziiert wendet sich der Beschwerdeführer gegen die vorinstanzlichen Erwägungen, mit welchen diese das Nichteintreten auf die gegen mehrere Oberrichter und eine Oberrichterin eingereichten Ausstandsbegehren begründete. Das Vorbringen, die Befangenheit der genannten Gerichtspersonen sei offensichtlich, weshalb sich eine weitergehende Begründung erübrige, entspricht im Lichte der zitierte Rechtsprechung keiner hinreichenden Beschwerdebegründung. Im Zusammenhang mit den ebenfalls erhobenen Willkürrügen genügt es sodann nicht, bloss zu behaupten, die vorinstanzlichen Ausführungen seien willkürlich. Vielmehr verlangt das Rügeprinzip nach <ref-law> auch hier eine konkrete Begründung, welche Gesetzesbestimmung oder welcher Rechtsgrundsatz in unhaltbarer Weise angewandt worden sein und worin die Willkür liegen soll.
4.3. Zusammenfassend ergibt sich aus den Beschwerden mithin nicht, dass und inwiefern die angefochtenen Entscheide verfassungs- oder sonstwie bundesrechtswidrig sein könnten. Dies ist auch nicht ersichtlich. Das Obergericht hat unter korrekter Berücksichtigung der massgebenden Rechtsprechung des Bundesgerichts nachvollziehbar dargelegt, dass und weshalb unter den gegebenen Umständen keine Rechtsverzögerung oder -verweigerung vorliegt (Verfügung und Beschluss UV210003 E. 3.1; Verfügung und Beschluss UV210001 E. 3.2). Hierauf kann verwiesen werden (<ref-law>).
5.
Nach dem Ausgeführten genügt die Beschwerde den gesetzlichen Begründungsanforderungen offenkundig nicht, weshalb auf sie nicht einzutreten ist. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend werden die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer auferlegt (<ref-law>). Da die Beschwerde aussichtslos war, kann die unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gemäss <ref-law> nicht bewilligt werden. Einen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>) oder eine Genugtuung hat der Beschwerdeführer bei diesem Verfahrensausgang nicht.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die bundesgerichtlichen Verfahren 1B_39/2021 und 1B_40/2021 werden vereinigt.
2.
Auf die Ausstandsgesuche gegen drei Mitglieder der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung wird nicht eingetreten.
3.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
4.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
5.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
6.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich, dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, und Rechtsanwalt C._, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Mai 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Hahn