Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht trat mit Urteil vom 16. April 2019 auf drei Beschwerden der Gesuchstellerin nicht ein (Urteil 6B_318/2019, 6B_319/2019 und 6B_321/2019). Es entschied im Wesentlichen, die Gesuchstellerin zeige nicht auf, inwiefern ihr durch den angefochtenen Rückweisungsbeschluss des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 21. November 2018 ein nicht wiedergutzumachender Nachteil im Sinne von <ref-law> erwachsen könnte (Verfahren 6B_321/2019). Auf die Beschwerden der Gesuchstellerin gegen die Entscheide des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 4. Februar 2019 betreffend Rechtsverzögerung trat das Bundesgericht nicht ein, weil die Eingaben der Gesuchstellerin den gesetzlichen Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG nicht zu genügen vermochten (Verfahren 6B_318/2019 und 6B_319/2019).
Die Gesuchstellerin ersucht um Revision des bundesgerichtlichen Urteils vom 16. April 2019.
2.
Gemäss <ref-law> erwachsen Entscheide des Bundesgerichts am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft. Das Gericht kann auf ein eigenes Urteil zurückkommen, wenn einer der vom Gesetz (Art. 121-123 BGG) abschliessend aufgezählten Revisionsgründe vorliegt. Der Revisionsgrund ist frist- und formgerecht geltend zu machen. Es obliegt dem Gesuchsteller aufzuzeigen, welcher Revisionsgrund inwiefern vorliegen soll (<ref-law>; Urteil 6F_10/2018 vom 8. Mai 2018 E. 2).
3.
Von vornherein nicht eingetreten werden kann auf das Revisionsgesuch, soweit sich die Gesuchstellerin auf <ref-law> beruft. Die Revision wegen Verletzung der EMRK kann gemäss <ref-law> nur verlangt werden, wenn der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte in einem endgültigen Urteil festgestellt hat, dass die EMRK oder Protokolle dazu verletzt worden sind. Das ist hier offenkundig nicht der Fall.
4.
Die Gesuchstellerin beruft sich zudem auf Art. 34 f. und <ref-law>. Sie beanstandet, das Urteil vom 16. April 2019 sei zu Unrecht im Einzelrichterverfahren ergangen, wobei ihr Ausstandsgesuch gegen Bundesrichter Denys ignoriert worden sei. Damit übersieht sie, dass der Abteilungspräsident gemäss <ref-law> über das Nichteintreten auf offensichtlich unzulässige Beschwerden (lit. a) sowie auf Beschwerden, die offensichtlich keine hinreichende Begründung enthalten (lit. b), als Einzelrichter entscheidet. Der Gesuchstellerin wurde im Urteil vom 16. April 2019 erläutert, weshalb der Entscheid im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> erging. Ebenso wenig wurde deren Ausstandsgesuch übergangen. Das Bundesgericht wies vielmehr darauf hin, dass auf offensichtlich unzulässige Ausstandsgesuche nach der Rechtsprechung nicht einzutreten ist. Ein Revisionsgrund liegt insofern offensichtlich nicht vor.
5.
Die Revision kann weiter verlangt werden, wenn einzelne Anträge unbeurteilt geblieben sind (<ref-law>) oder das Bundesgericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat (<ref-law>). Der Revisionsgrund von <ref-law> hat sich auf den Gegenstand des zu revidierenden Urteils zu beziehen; handelt es sich dabei um einen Nichteintretensentscheid, muss der Revisionsgrund die Nichteintretensmotive beschlagen (Urteil 6F_10/2018 vom 8. Mai 2018 E. 2).
Die Gesuchstellerin stellt sich in ihrem Revisionsgesuch erneut auf den Standpunkt, es liege eine Rechtsverzögerung vor. Das Bundesgericht trat im Urteil vom 16. April 2019 auf die Rüge der Rechtsverzögerung nicht ein, weil die Beschwerde keine den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG genügende Begründung enthielt. Diese formellrechtliche Würdigung der seinerzeitigen Beschwerdeschrift lässt sich als solche im Revisionsverfahren nicht überprüfen. Die Gesuchstellerin zeigt in ihrer Eingabe nicht ansatzweise auf, dass und inwiefern das Bundesgericht mit seinem Nichteintretensentscheid und den diesen begründenden Erwägungen einen Revisionsgrund gesetzt haben könnte. Das Revisionsgesuch entbehrt insofern einer tauglichen Begründung (<ref-law>). Darauf ist nicht einzutreten.
6.
Auf das Revisionsgesuch ist nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Gesuchstellerin die Gerichtskosten (<ref-law>). Ihrer finanziellen Lage ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden der Gesuchstellerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Juli 2019
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Unseld