Sachverhalt:
A.
Am 7. Dezember 2017 schlossen A._ und B._ im Rahmen eines Eheschutzverfahrens am Bezirksgericht Horgen eine Vereinbarung über die Regelung des Getrenntlebens, die vom Gericht mit Urteil am gleichen Tag genehmigt wurde. Damit verpflichtete sich der Ehemann zur Leistung eines einmaligen Unterhaltsbeitrages an seine Ehefrau von Fr. 6'500.-- für die Zeit vom 1. Dezember 2016 bis und mit November 2017. Mit dieser Zahlung sollten alle Unterhaltsansprüche der Ehefrau abgegolten werden. Die Zahlung sollte bis am 28. Dezember 2017 erfolgen. Für die Verrechenbarkeit wurde auf Art. 125 Ziff. 2 OR verwiesen.
B.
B.a. Mit Zahlungsbefehl Nr. xxx des Betreibungsamtes Meilen-Herrliberg-Erlenbach vom 9. April 2018 betrieb B._ A._ für "Ehegattenunterhalt gemäss Trennungsvereinbarung vom 07.12.2017" in der Höhe von Fr. 6'500.-- plus Zins zu 5% seit 29. Dezember 2017. Der Betriebene erhob Rechtsvorschlag.
B.b. Das Bezirksgericht Meilen gewährte B._ am 19. September 2018 die definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 6'500.-- nebst Zins zu 5% seit dem 12. April 2018 plus Kosten und Entschädigung. Im Mehrumfang wies es das Zinsbegehren ab.
B.c. Das Obergericht des Kantons Zürich wies die von A._ gegen den Rechtsöffnungsentscheid erhobene Beschwerde am 7. Dezember 2018 ab und auferlegte ihm die Entscheidgebühr von Fr. 450.--.
C.
Mit Beschwerde vom 11. Januar 2019 ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und die Abweisung des von B._ (Beschwerdegegnerin) eingereichten Rechtsöffnungsgesuchs. Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung.
Es sind die kantonalen Akten beigezogen, indes keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist das Urteil des Obergerichts als Rechtsmittelbehörde über einen definitiven Rechtsöffnungsentscheid, mithin in einer Schuldbetreibungs- und Konkurssache (Art. 72 Abs. 2 lit. a und Art. 75 BGG). Der gesetzliche Streitwert wird nicht erreicht. Damit ist die Beschwerde in Zivilsachen nicht gegeben, zumal keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung geltend gemacht wird oder ersichtlich ist (Art. 74 Abs. 1 lit. b und Abs. 2 lit. a BGG; <ref-ruling> E. 1). Die Eingabe des Beschwerdeführers wird daher als Verfassungsbeschwerde entgegengenommen (Art. 113 BGG).
1.2. Mit einer Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden (Art. 116 BGG). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip präzise vorgebracht und begründet werden (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG). Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheides klar und einlässlich darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 2.4).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 118 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der angefochtene Entscheid dazu Anlass gibt. Neue Begehren sind nicht zulässig (Art. 117 i.V.m. Art. 99 BGG).
2.
2.1. Das Obergericht hat festgehalten, dass gemäss der konstanten Praxis des Bundesgerichts und der überwiegenden Lehre im definitiven Rechtsöffnungsverfahren der Einwand der Tilgung nur erhoben werden kann, wenn sie nach Erlass des Urteils erfolgt ist. Hingegen könne die Tilgung vor Erlass nicht mehr berücksichtigt werden, andernfalls der Rechtsöffnungsrichter den Rechtsöffnungstitel und damit die darin festgehaltene Zahlungsverpflichtung materiell überprüfen müsste, wofür er nicht zuständig sei.
2.2. Der Beschwerdeführer macht demgegenüber geltend, dass er im Rahmen des Vergleichs sehr wohl die Einrede der Verrechnung erhoben habe, was aus dem Urteil hervorgehe, das am selben Tag gefällt wurde.
3.
Anlass zur Beschwerde gibt der Zeitpunkt, in dem die Einrede der Verrechnung gegenüber einem definitiven Rechtsöffnungstitel erhoben werden kann.
3.1. Beruht die Forderung auf einem vollstreckbaren gerichtlichen Entscheid, so kann der Gläubiger beim Richter die Aufhebung des Rechtsvorschlags verlangen (Art. 80 Abs. 1 SchKG). Der Rechtsöffnungsrichter hat einzig zu prüfen, ob sich die in Betreibung gesetzte Forderung aus dem vorgelegten gerichtlichen Urteil ergibt, hingegen hat er sich nicht mit der materiellen Richtigkeit des Urteils zu befassen. Ein Rechtsöffnungstitel liegt nur vor, sofern das Urteil den Schuldner zur definitiven Zahlung einer bestimmten Geldsumme verpflichtet. Der Betrag muss aus dem Urteil hervorgehen oder sich zumindest in Verbindung mit der Begründung oder aus dem Verweis auf andere Dokumente klar ergeben (<ref-ruling> E. 2.3). Die definitive Rechtsöffnung wird erteilt, wenn nicht der Betriebene durch Urkunden beweist, dass die Schuld seit Erlass des Entscheides getilgt oder gestundet worden ist, oder die Verjährung anruft (Art. 81 Abs. 1 SchKG). Dabei kann jede sich aus dem Zivilrecht ergebende Möglichkeit der Tilgung angerufen werden, wozu insbesondere die Verrechnung gehört (<ref-ruling> E. 4.2.1).
3.2. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz vor, den im Eheschutzverfahren ergangenen Entscheid des Bezirksgerichts ("Urteil und Verfügung vom 07. Dezember 2017") nicht gelesen zu haben. Daraus gehe nämlich hervor, dass er im Rahmen des Vergleichs sehr wohl die Einrede der Verrechnung erhoben habe. In Ziff. 5 des gleichentags gefällten Urteils werde das Thema der Verrechenbarkeit denn auch explizit aufgeführt, wobei die Formulierung auf den Einwand der Gegenpartei zurückgegangen sei und den vorangehenden Vergleich überhaupt erst ermöglicht habe. Daraus folgert der Beschwerdeführer, dass der angefochtene Entscheid offensichtlich auf einer nicht zutreffenden Grundlage beruhe.
3.2.1. Wie es sich mit dem genauen Ablauf der Vergleichsverhandlung verhalten hat und wie es zur erwähnten Formulierung gekommen ist, ist für die im konkreten Fall zu beantwortende Frage nicht von Belang. Insbesondere ist nicht massgebend, ob und in welchem Moment des Eheschutzverfahrens der Beschwerdeführer die Einrede der Verrechnung erhoben hat. Damit erübrigt sich auch die Prüfung der Frage, ob hier überhaupt eine rechtsgenüglich begründete Sachverhaltsrüge vorliegt.
3.2.2. Entscheidend ist einzig, in welchem Moment der Beschwerdeführer die Einrede der Tilgung durch Verrechnung erheben kann. Der Wortlaut von Art. 81 Abs. 1 SchKG ist diesbezüglich klar. Der Betreibungsschuldner kann die Tilgung nur einwenden, wenn diese nach Erlass des Urteils erfolgt ist. Vor Erlass des Urteils behauptete Tilgungen sind vom Sachrichter zu berücksichtigen. Nur so ist gewährleistet, dass der Rechtsöffnungsrichter die konkrete Zahlungsverpflichtung nicht materiell überprüfen muss (vgl. <ref-ruling> E. 6.1.2; <ref-ruling> E. 2.5). Die Lehre stimmt dieser Auslegung überwiegend zu (STAEHELIN, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 5, 10 zu Art. 81; SCHMIDT, in: Commentaire romand, Poursuite et faillite, 2005, N. 4 zu Art. 81; GILLIÉRON, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, Bd. I, 1999, N. 44, 46 zu Art. 80; STOFFEL/CHABLOZ, Voies d'exécution, 3. Aufl. 2016, § 4 Rz. 107; VOCK/AEPLI-WIRZ, in: Schulthess-Kommentar SchKG, 2017, N. 5 zu Art. 81; VOCK, in: Kurzkommentar SchKG, 2. Aufl. 2014, N. 2 zu Art. 81).
3.2.3. Im vorliegenden Fall bringt der Beschwerdeführer vor, er habe im Rahmen des Eheschutzverfahrens einen "Anspruch auf Verrechnung" geltend gemacht. Wie es sich damit verhält, kann - wie bereits gesagt - offen bleiben. Soweit der Beschwerdeführer sich zum Vergleich und Urteil äussert, ist er darauf hinzuweisen, dass diese nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bilden. Gemäss den unbestrittenen Feststellungen der Vorinstanz hat der Beschwerdeführer im Rahmen des Rechtsöffnungsverfahrens keine Einwendungen erhoben, die sich auf die Zeit nach dem Erlass des Eheschutzentscheides beziehen. Damit erwächst der Vorinstanz kein Vorwurf, die verfassungsmässigen Rechte des Beschwerdeführers verletzt zu haben, als sie die Beschwerde gegen den Rechtsöffnungsentscheid abgewiesen hat.
3.3. Schliesslich verlangt der Beschwerdeführer, dass ihm die vorinstanzlichen Gerichtskosten zurückerstattet und seine Parteikosten ersetzt werden, und dies auch im Falle, dass seine Beschwerde keinen Erfolg haben sollte. Die Vorinstanz hat die Beschwerde in der Sache abgewiesen und dem Beschwerdeführer zufolge seines Unterliegens eine Entscheidgebühr von Fr. 450.-- auferlegt und keine Parteientschädigung zugesprochen. Diese Kostenregelung richtet sich nach dem Ausgang des Verfahrens, wie sie in Art. 106 Abs. 1 i.V.m Art. 95 Abs. 3 ZPO festgehalten wird. In welcher Weise die Vorinstanz in diesem Punkt die verfassungsmässigen Rechte des Beschwerdeführers verletzt haben sollte, legt dieser nicht dar. Auf dieses Vorbringen ist daher nicht einzutreten.
4.
Nach dem Gesagten ist der Verfassungsbeschwerde, soweit sie den Begründungsanforderungen überhaupt entspricht, kein Erfolg beschieden. Die Rechtsbegehren erschienen von vornherein als aussichtslos, weshalb das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der um unentgeltlichen Rechtspflege abzuweisen ist (Art. 64 Abs. 1 BGG). Ausgangsgemäss werden die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Juni 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante