Sachverhalt:
A.
A.a. A._ und B._ sind die unverheirateten Eltern von C._ (geb. 2015). Die Eltern trennten sich kurz nach der Geburt des Sohns. C._ steht unter der alleinigen elterlichen Sorge der Mutter.
A.b. Mit Beschluss vom 27. Juli 2016 errichtete die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Horgen (im Folgenden: KESB) für C._ eine Beistandschaft im Sinne von <ref-law>. Am 2. November 2016 erliess sie eine detaillierte Regelung über das Besuchsrecht des Vaters. Am 29. November 2017 traf die KESB in teilweiser Gutheissung der Anträge des Vaters eine neue Besuchsregelung, die im Zeitraum von mindestens sechs Monaten 26 Einzelbegleitungen des Vaters und des Kindes à 1.5 Stunden vorsah, ohne Anwesenheit der Mutter. Dieser Beschluss wurde von beiden Elternteilen mit Beschwerde an den Bezirksrat weitergezogen. Der Bezirksrat hiess in seinem Urteil vom 5. Oktober 2020 die Beschwerde der Mutter teilweise (mit Bezug auf die Kostentragung für die Besuchsbegleitung) gut und wies jene des Vaters ab.
A.c. Der Vater erhob Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde reformierte dieses mit Urteil vom 25. März 2021 und Berichtigung vom 1. April 2021 das Urteil des Bezirksrats. Es hob Dispositivziffer I des Urteils des Bezirksrates vom 5. Oktober 2020 ersatzlos auf und ersetzte Dispositivziffer 1 des Beschlusses der KESB durch folgende Fassung:
"1. Der Antrag der Beiständin vom 28. Februar 2017 sowie der Antrag des Kindsvaters vom 6. Juni 2017 bezüglich persönlichem Verkehr werden teilweise gutgeheissen, wobei der persönliche Verkehr im Zeitraum von mindestens sechs Monaten mittels Einzelbegleitungen des Kindesvaters und des Kindes ohne Anwesenheit der Kindsmutter durchzuführen ist und
a) während der ersten drei Monate wöchentliche Kontakte à 1.5 Stunden in einem abgeschlossenen kinderfreundlichen Raum in der Stadt Zürich,
b) ab dem vierten Monat zwei Kontakte wöchentlich à 2 Stunden am Wohnort des Kindsvaters stattfinden und
c) der Umsetzung der Einzelbegleitung eine maximal sechswöchige Kennenlernphase zwischen Kind und Begleitperson vorausgehen soll.
Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen."
B.
B.a. Mit Beschwerde vom 11. Mai 2021 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, C._ unter die gemeinsame elterliche Sorge der Eltern zu stellen. Zudem verlangt er den sukzessiven Ausbau bzw. die Ausweitung seines Besuchsrechts über sechs Monate bis hin zu einem Betreuungsanteil vom 50 %, der vom siebten Monat an im Sinne einer alternierenden Obhut gelten soll. In diesem Zusammenhang fordert er, ein Gutachten bei der Fachstelle Kinder- und Jugendpsychiatrie der Psychiatrischen Universitätsklinik Zürich einzuholen. Er beantragt ferner, die Kosten der Besuchsbegleitung B._ (Beschwerdegegnerin), eventualiter hälftig ihr und der KESB oder dem Bezirksrat Horgen aufzuerlegen.
B.b. Der Beschwerdeführer stellt für das Verfahren vor dem Bundesgericht ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Verfügung vom 12. Mai 2021 hat das Bundesgericht dieses Gesuch insoweit abgewiesen, als der Beschwerdeführer um die Bestellung eines Rechtsvertreters durch das Bundesgericht nachsuchte. In derselben Verfügung wies das Bundesgericht den Antrag des Beschwerdeführers auf vorsorgliche Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung bis zum Vorliegen der fachgutachterlichen Prüfung eines kindeswohlgerechten Beziehungsaufbaus ab.
B.c. Auch die Beschwerdegegnerin ersucht um unentgeltliche Rechtspflege (Schreiben vom 20. Mai 2021).
B.d. Das Bundesgericht hat die Akten eingeholt, jedoch keinen Schriftenwechsel angeordnet.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin über die elterliche Sorge, das väterliche Besuchsrecht bzw. den persönlichen Verkehr und die Kosten der Besuchsbegleitung entschieden hat (Art. 75 und Art. 90 BGG). Der Sorgerechtsstreit zwischen unverheirateten Eltern gilt nach der Rechtsprechung als nicht vermögensrechtliche Zivilsache im Sinne von <ref-law> (Urteile 5A_239/2021 vom 29. November 2021 E. 1; 5A_241/2018 vom 18. März 2019 E. 1.2; 5A_139/2017 vom 31. August 2017 E. 1). Diese Qualifikation gilt auch für die erwähnten weiteren Streitfragen, zumal die mit dem Entscheid über die elterliche Sorge befasste Kindesschutzbehörde (unter Vorbehalt der gerichtlichen Zuständigkeit für die Unterhaltsklage) auch die übrigen Punkte regelt (<ref-law>). Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt, die er auch fristgerecht erhoben hat (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (vgl. <ref-law>). In der Beschwerdebegründung ist daher in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid rechtswidrig sein soll. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken; die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 1.7.1; <ref-ruling> E. 2). Das Bundesgericht kann die Beschwerde auch aus anderen als den geltend gemachten Gründen gutheissen. Ebenso kann es den Entscheid mit einer Begründung bestätigen, die von derjenigen der Vorinstanz abweicht (<ref-ruling> E. 3.2.3; <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 4).
2.2. Beim Entscheid über die elterliche Sorge, über den persönlichen Verkehr bzw. die Betreuungsanteile und über andere Kinderbelange ist der Sachrichter, der die Parteien und die weitere Umgebung des Kindes am besten kennt, in vielfacher Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen (vgl. <ref-ruling> E. 4.5; Urteil 5A_467/2017 vom 13. März 2018 E. 1.4 mit Hinweis). Bei der Überprüfung solcher Ermessensentscheide schreitet das Bundesgericht nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 5.3.2; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 4.2; Urteil 5A_647/2020 vom 16. Februar 2021 E. 1.5).
2.3. Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (<ref-law>). Diesbezüglich kann nur vorgebracht werden, diese Feststellungen seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich, oder würden auf einer anderen Bundesrechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (z.B. einer Verletzung von <ref-law> oder <ref-law>) beruhen. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Das Bundesgericht prüft daher nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (<ref-ruling> E. 5.4; <ref-ruling> E. 2.3). Tatfrage ist auch die Beweiswürdigung, womit die Anfechtung der diesbezüglichen vorinstanzlichen Feststellungen ebenfalls der qualifizierten Begründungspflicht unterliegt (Urteil 5A_438/2018 vom 30. Oktober 2018 E. 1.3; vgl. auch <ref-ruling> E. 4.1).
3.
Anlass zur Beschwerde gibt zunächst die Verweigerung der gemeinsamen elterlichen Sorge.
3.1. Kinder stehen, solange sie minderjährig sind, unter der gemeinsamen elterlichen Sorge von Mutter und Vater (<ref-law>). Sind die Eltern nicht miteinander verheiratet und anerkennt der Vater das Kind oder wird das Kindesverhältnis durch Urteil festgestellt und die gemeinsame elterliche Sorge nicht bereits im Zeitpunkt des Urteils verfügt, so kommt die gemeinsame elterliche Sorge aufgrund einer gemeinsamen Erklärung der Eltern zustande (<ref-law>). Weigert sich ein Elternteil, die Erklärung über die gemeinsame elterliche Sorge abzugeben, so kann der andere Elternteil die Kindesschutzbehörde anrufen (<ref-law>). Die Kindesschutzbehörde verfügt die gemeinsame elterliche Sorge, sofern nicht zur Wahrung des Kindeswohls an der alleinigen elterlichen Sorge der Mutter festzuhalten oder die alleinige elterliche Sorge dem Vater zu übertragen ist (<ref-law>).
Damit bildet die gemeinsame elterliche Sorge den Grundsatz. Dem liegt die Annahme zugrunde, dass dem Wohl der minderjährigen Kinder am besten gedient ist, wenn die Eltern das Sorgerecht gemeinsam ausüben. Von diesem Grundsatz soll nur dann abgewichen werden, wenn eine andere Lösung die Interessen des Kindes ausnahmsweise besser wahrt (<ref-ruling> E. 7.3.2 mit Hinweisen). Die Zuteilung der elterlichen Sorge an einen Elternteil allein muss deshalb eine eng begrenzte Ausnahme bleiben, ohne dass für die Alleinzuteilung der elterlichen Sorge aber gleich strenge Voraussetzungen gelten wie für den Entzug der elterlichen Sorge im Sinn einer Kindesschutzmassnahme gestützt auf <ref-law> (<ref-ruling> E. 4).
Eine Ausnahme fällt in Betracht, wenn die Eltern in einem schwerwiegenden Dauerkonflikt stehen oder in Kinderbelangen anhaltend kommunikationsunfähig sind. Blosse Auseinandersetzungen oder Meinungsverschiedenheiten, wie sie in allen Familien vorkommen und insbesondere mit einer Trennung oder Scheidung einhergehen können, dürfen nicht Anlass für eine Alleinzuteilung des elterlichen Sorgerechts bzw. für die Belassung eines bestehenden Alleinsorgerechtes sein (<ref-ruling> E. 3.5, 56 E. 3, 1 E. 3.3; je mit Hinweisen). Vorausgesetzt ist weiter, dass sich die Probleme zwischen den Eltern auf die Kinderbelange als Ganzes beziehen und das Kindeswohl konkret beeinträchtigen. Erforderlich ist die konkrete Feststellung, in welcher Hinsicht das Kindeswohl beeinträchtigt ist (Urteil 5A_497/2017 vom 7. Juni 2018 E. 3.2 mit Hinweis). Schliesslich ist eine Abweichung vom Grundsatz der gemeinsamen elterlichen Sorge nur dort am Platz, wo Aussicht darauf besteht, mit der Zuteilung der elterlichen Sorge an einen Elternteil allein eine Entlastung der Situation herbeizuführen (<ref-ruling> E. 3.7).
Die elterliche Sorge ist ein Pflichtrecht; sie hat das Recht und die Pflicht zum Gegenstand, über die wesentlichen Belange des Kindes zu entscheiden, insbesondere mit Bezug auf die Erziehung, die gesetzliche Vertretung und die Vermögensverwaltung (<ref-ruling> E. 3.1; Urteil 5A_198/2013 vom 14. November 2013 E. 4.1). Dies erfordert vorab, dass der Sorgerechtsinhaber Zugang zu aktuellen Informationen über das Kind hat. Für eine sinnvolle Ausübung des Sorgerechts wird aber in der Regel auch der persönliche Kontakt zum Kind unabdingbar sein; es ist nur schwer vorstellbar, dass ein sorgeberechtigter Elternteil pflichtgemäss Entscheidungen zum Wohl des Kindes treffen kann, wenn über lange Zeit kein irgendwie gearteter Austausch zwischen ihm und dem Kind stattfindet. Wo das Sorgerecht den Eltern gemeinsam zusteht oder zustehen soll, ist schliesslich erforderlich, dass diese in Bezug auf die grundsätzlichen Kinderbelange ein Mindestmass an Übereinstimmung aufweisen und wenigstens im Ansatz einvernehmlich handeln können. Ist dies nicht der Fall, führt ein gemeinsames Sorgerecht fast zwangsläufig zu einer Belastung des Kindes, die anwächst, sobald dieses das fehlende Einvernehmen der Eltern selbst wahrnehmen kann. Im Übrigen drohen auch Gefahren wie die Verschleppung wichtiger Entscheidungen, beispielsweise im Zusammenhang mit einer notwendigen medizinischen Behandlung (<ref-ruling> E. 3.5).
3.2. Die Vorinstanz erwägt, dass zwischen dem Beschwerdeführer und der Beschwerdegegnerin keinerlei Kommunikation stattfindet. Die Beschwerdegegnerin weigere sich seit C._s Geburt, dem Beschwerdeführer Informationen zu seinem Sohn zu liefern; sie sei bis zum heutigen Tag nicht dazu bereit und wehre sich auch gegen den Vorschlag der Beiständin, den Beschwerdeführer einmal pro Monat mit Statusberichten zu bedienen. Der Beschwerdeführer seinerseits sei nicht damit einverstanden, dass sich die Beschwerdegegnerin gegen eine Impfung entschieden habe, und habe sein Kind deshalb in Todesgefahr gewähnt. Zudem habe der Beschwerdeführer in den vergangenen fünf Jahren wiederholt darauf hingewiesen, dass er sich nicht im selben Raum wie die Beschwerdeführerin aufhalten könne. Auch wenn es grundsätzlich möglich wäre, über E-Mail oder schriftlich zu kommunizieren, ändere dies mit Blick auf die vorliegende Konstellation nichts daran, dass die Parteien offensichtlich aktuell nicht in der Lage seien, sich auszutauschen und zum Wohl ihres Kindes in minimalem Masse zusammenzuwirken. Von beiden Eltern seien auch keine ernsthaften Bemühungen ersichtlich, aus der verfahrenen Situation herauszufinden, zwischen der konfliktbeladenen Elternebene einerseits und dem Eltern-Kind-Verhältnis andererseits zu unterscheiden und das Kind aus dem elterlichen Konflikt herauszuhalten. Der Konflikt habe sich im Gegenteil zwischen den Parteien in den vergangenen drei Jahren zusehends verhärtet und sei zum Schauplatz zahlreicher Strafverfahren und Gewaltschutzmassnahmen geworden, wobei der Beschwerdeführer gegen letztere teilweise verstossen habe. Dass die Beschwerdegegnerin mittlerweile bereit sei, dem Beschwerdeführer den Kontakt zu seinem Kind im Rahmen eines begleiteten Besuchsrechts ohne ihre Anwesenheit zu ermöglichen, ändere nichts daran, dass von einem schwerwiegenden Dauerkonflikt betreffend sämtliche Kinderbelange auszugehen sei. Die Voraussetzungen um die gemeinsame elterliche Sorge anzuordnen, seien so nicht gegeben.
3.3. Der Beschwerdeführer tadelt die Feststellung der Vorinstanz, wonach er seit Verfahrensbeginn jeglichen Kontakt mit der Beschwerdegegnerin verweigert habe, als aktenwidrig. Die Akten der KESB würden belegen, dass er sich nicht nur bei der Paar- und Familienberatung, sondern auch bei der freiwilligen Beratung des Kinder- und Jugendzentrums von Beginn weg um einen guten, aber vor allem auch respektvollen Elternkontakt bemüht habe. Trotz seiner wiederholten Bemühungen habe die KESB auch die Anordnung einer Mediation verweigert, dies unter Hinweis auf die fehlende Bereitschaft der Beschwerdegegnerin. Die KESB liefere damit ein weiteres eindrückliches Beispiel für strukturbedingte und systematische Benachteiligung von Vätern in familienrechtlichen Angelegenheiten bei Schweizer Behörden. Der Beschwerdeführer verweist auf die diversen Lügen und Falschaussagen der Beschwerdegegnerin und erinnert an die unzähligen unnötigen Gewaltschutz- und Strafverfahren und Kontaktverbote. Obwohl er deswegen eine psychiatrische Abklärung der Beschwerdegegnerin gefordert habe, interessiere sich bis heute abgesehen von der Kinderschutzgruppe des Kinderspitals Zürich keine Behörde für das krankhafte Verhalten der Mutter.
In der Folge widerspricht der Beschwerdeführer der vorinstanzlichen "Mutmassung", wonach ein Sorgerechtsinhaber kaum pflichtgemässe Entscheidungen zum Wohl des Kindes treffen könne, wenn er über längere Zeit keinen irgendwie gearteten Kontakt zum Kind hatte. Ein verantwortungsvoller und pflichtbewusster Elternteil wolle und könne die besten Entscheidungen für sein Kind treffen, solange die elterliche Verantwortung gleichberechtigt geteilt und dem Machtmissbrauch eines Elternteils entgegengewirkt werde. Hier beschränke sich der Elternkonflikt auf eine gleichberechtigte Betreuungsregelung; Konflikte zu anderen Themen seien gar nicht möglich, da die Beschwerdegegnerin seit C._s Geburt ihrer elterlichen Verantwortung niemals nachgekommen sei, was für ihre mangelnde Erziehungsfähigkeit spreche. Gemäss der Konferenz für Kindes- und Erwachsenenschutz KOKES und der KESB hätten elterliche Sorge und Obhut daher schon vor Jahren auf den andern Elternteil übertragen werden müssen.
Weiter bestreitet der Beschwerdeführer, nicht damit einverstanden gewesen zu sein, dass sich die Beschwerdegegnerin gegen alle Impfungen entschieden habe. Er habe nur beanstandet, dass die Beschwerdegegnerin ihrer Anhörungspflicht nicht nachgekommen sei. Die Meinung des Kindsvaters könne ohne Anhörung gar nicht bekannt sein. Entgegen dem angefochtenen Entscheid seien die Warnungen zur Todesgefahr nicht von ihm, sondern von der Kinderärztin gekommen.
Dem Beschwerdeführer zufolge könnten sich die Parteien erst dann austauschen und zum Wohl des Kindes zusammenwirken, wenn der Machtmissbrauch der alleinigen elterlichen Sorge behoben und die Beschwerdegegnerin dazu verpflichtet wurde, sich ernsthaft um einen Ausweg aus der verfahrenen Situation zu bemühen, die elterliche Verantwortung gleichberechtigt zu teilen und somit zwischen der Elternebene und dem Kind-Vater-Verhältnis zu unterscheiden respektive das Kind aus dem elterlichen Konflikt herauszuhalten. Der Beschwerdeführer befürchtet, dass sich der Konflikt weiter verhärten werde, solange die gemeinsame elterliche Sorge und alternierende Obhut nicht angeordnet werde und weder die Beschwerdegegnerin noch die Behörden bereit seien, ihn als gleichwertigen Elternteil zu behandeln. Es sei willkürlich, pauschal von einem schwerwiegenden Dauerkonflikt betreffend sämtliche Kinderbelange auszugehen, solange die Beschwerdegegnerin durch den Missbrauch der alleinigen elterlichen Sorge in ihrer anhaltenden Kommunikationsverweigerung bestärkt werde.
3.4. Soweit der Beschwerdeführer Kritik am von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt übt, ist er damit nicht zu hören. Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, mit der Beschwerdegegnerin schon seit Jahren nicht kommunizieren zu können. Er begnügt sich vielmehr damit, ausschliesslich die Beschwerdegegnerin für die fehlende Kommunikation verantwortlich zu machen. Was der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang vorträgt, belegt weder eine lückenhafte Feststellung des Sachverhalts noch eine willkürliche Beweiswürdigung.
Auch in rechtlicher Hinsicht ist der angefochtene Entscheid im Lichte der geschilderten Grundsätze (E. 3.1) nicht zu beanstanden. Entgegen dem, was der Beschwerdeführer anzunehmen scheint, orientiert sich der Entscheid für oder gegen die gemeinsame elterliche Sorge einzig am Kindeswohl. Er dient nicht dazu, einen Elternteil für sein Verhalten zu belohnen oder zu bestrafen. Ebenso wenig hilft dem Beschwerdeführer seine (von der Vorinstanz teilweise geteilte) Kritik am Bezirksrat: Gegenstand des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens ist ausschliesslich das Urteil des Obergerichts (<ref-law>; s. oben E. 1). Das Obergericht verletzt auch kein Bundesrecht, wenn es die Prognose wagt, dass die gemeinsame elterliche Sorge zu keiner Entschärfung des Elternkonflikts führen würde. Dagegen kommt auch die Behauptung des Beschwerdeführers nicht auf, dass er nicht den Streit suche, sondern das Kind vor der Mutter schützen möchte. Soweit der Beschwerdeführer schliesslich <ref-law> für verletzt erachtet, ist er daran zu erinnern, dass sich das Gleichbehandlungsgebot an den Staat richtet und keine Drittwirkung auf Verhältnisse zwischen Privatpersonen hat (<ref-ruling> E. 2b). In einer Beschwerde gegen einen Entscheid über eine Streitigkeit, in der sich Privatpersonen gegenüber stehen, kann sich der Beschwerdeführer deshalb nicht auf das Gleichbehandlungsgebot im Sinne von <ref-law> berufen (<ref-ruling> E. 9.4; <ref-ruling> E. 5.2; Urteile 5A_1005/2017 vom 23. August 2018 E. 3.4.3; 5A_601/2017 vom 17. Januar 2018 E. 5.4.1 mit Hinweisen).
4.
Der Beschwerdeführer verlangt, C._s Betreuung nach dem "stetig steigenden Aufbau während der ersten 6 Monate" im Sinne einer alternierenden Obhut mit einem väterlichen Betreuungsanteil von mindestens 50 % regeln (s. Sachverhalt Bst. B.a). Bei gemeinsamer elterlicher Sorge prüft die Kindesschutzbehörde im Sinne des Kindeswohls die Möglichkeit einer alternierenden Obhut, wenn ein Elternteil oder das Kind dies verlangt (<ref-law>). Steht der von der Vorinstanz festgestellte schwerwiegende elterliche Dauerkonflikt, insbesondere die anhaltende Kommunikationsunfähigkeit der Eltern, schon der gemeinsamen elterlichen Sorge entgegen (E.3), so muss auch eine alternierende Obhut als Betreuungslösung ausscheiden, setzt doch gerade die praktische Umsetzung einer alternierenden Kinderbetreuung voraus, dass die Eltern fähig und bereit sind, in Kinderbelangen miteinander zu kommunizieren und zu kooperieren (<ref-ruling> E. 4.3), ja dass sie in einem höheren Mass als bei einer einseitigen Betreuungsregelung zur konstruktiven Austragung ihrer Konflikte in der Lage sind (ANDREA BÜCHLER/SANDRO CLAUSEN, in: FamKomm Scheidung, Bd. I, 3. Aufl., 2017, N 9 zu <ref-law>). Soweit sie auf die Anordnung der alternierenden Obhut zielt, ist die Beschwerde deshalb abzuweisen.
5.
Zu prüfen bleibt die Regelung des persönlichen Verkehrs (Besuchsrecht).
5.1. Gemäss <ref-law> haben Eltern, denen die elterliche Sorge oder Obhut nicht zusteht, und das minderjährige Kind gegenseitig Anspruch auf angemessenen persönlichen Verkehr. Dabei handelt es sich um ein gegenseitiges Pflichtrecht, das in erster Linie dem Interesse des Kindes dient (<ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 3b/aa). Oberste Richtschnur für die Ausgestaltung des persönlichen Verkehrs ist das Kindeswohl (<ref-ruling> E. 5; vgl. auch <ref-ruling> E. 5.4). Das Gericht hat sich deshalb in erster Linie an den Bedürfnissen des Kindes zu orientieren; die Interessen der Eltern haben hinter dem vorrangig massgebenden Kindeswohl zurückzutreten (<ref-ruling> E. 2.1). In diesem Sinn hat auch der persönliche Verkehr zum Zweck, die positive Entwicklung des Kindes zu gewährleisten und zu fördern. In der Entwicklung des Kindes sind seine Beziehungen zu beiden Elternteilen wichtig, da sie bei seiner Identitätsfindung eine entscheidende Rolle spielen können (<ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 3c).
5.2. Die Vorinstanz erwägt mit dem Bezirksrat, dass zwischen dem Beschwerdeführer und seinem Sohn mittlerweile seit über viereinhalb Jahren kein Kontakt mehr stattgefunden hat. Der Beschwerdeführer leide an einer psychischen Erkrankung (Anpassungsstörung mit längerer depressiver Reaktion). Laut dem behandelnden Arzt sei aber nicht davon auszugehen, dass sich diese Erkrankung negativ auf die kindliche Entwicklung auswirke. Auch bestünden keine Anzeichen, dass der Beschwerdeführer aufgrund seiner psychischen Verfassung gegenüber seinem Sohn Gewalt anwenden könnte. Aufgrund der Akten sei im Gegenteil anzunehmen, dass der fehlende Kontakt zu seinem Sohn massgebend zur Verschlechterung seines psychischen Zustands und zu den strafbaren Handlungen beigetragen habe. Es dürfe deshalb davon ausgegangen werden, dass der Kontaktaufbau zu seinem Sohn zu einer Verbesserung der psychischen Verfassung des Beschwerdeführers führen werde. Infolge der durch den langjährigen Kontaktabbruch eingetretenen Entfremdung sei die Anordnung eines begleiteten Besuchsrechts erforderlich, um in einem ersten Schritt eine behutsame Wiederannäherung zwischen Vater und Kind sicherzustellen. Ein Sachverständigengutachten zur Frage des Besuchsrechts sei nicht nötig.
Im Übrigen teilt das Obergericht die Meinung des Bezirksrats, wonach die Besuchsrechtsbegleitung zu befristen ist. Mit Blick auf die lange Zeit ohne Kontakt, den Loyalitätskonflikt des Kindes und weitere Unsicherheitsfaktoren seien im Kindeswohl für einen langsamen und behutsamen Kontaktaufbau mindestens sechs Monate angemessen. Ferner sei dem Anliegen des Beschwerdeführers zu entsprechen, dass sich mit der Zeit eine Intensivierung der Besuche aufdränge. Während der ersten drei Monate erschienen begleitete Kontakte von wöchentlich eineinhalb Stunden als angemessen. Ab dem vierten Monat seien Dauer und Frequenz der begleiteten Kontakte auf zwei Mal wöchentlich zwei Stunden zu erhöhen. Obwohl bei einer Einzelbegleitung durch eine Fachperson die Ausübung des Besuchsrechts nicht zwingend auf eine bestimmte Örtlichkeit beschränkt sein müsse, sei ein neutraler Ort für den Kontaktaufbau in hochstrittigen Fällen wie dem vorliegenden mit Blick auf das Kindeswohl sinnvoll. Ab dem vierten Monat hätten die begleiteten Besuche aber im Umfeld des Beschwerdeführers stattzufinden.
Schliesslich hält die Vorinstanz dafür, dass eine detaillierte Betreuungsregelung für die Zeit nach Abschluss der begleiteten Besuche nicht zwingend gleichzeitig mit der Regelung der begleiteten Besuche festgelegt werde. Selbstverständlich sei aber ein nahtloser Übergang von begleiteten zu unbegleiteten Kontakten zu gewährleisten. Es sei die Aufgabe der KESB, die Modalitäten der darauf folgenden Besuchskontakte rechtzeitig festzulegen.
5.3. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz eine aktenwidrige, unrichtige und unvollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts sowie Rechtsverletzungen und Willkür vor. Es mute äusserst oberflächlich, unnahbar und anmassend an, wenn das Obergericht festhalte, dass sich die Fronten zwischen den Parteien in den letzten Jahren weiter verhärtet hätten, so dass heute ein Scherbenhaufen vorliege. Eine Besuchsbegleitung sei ausschliesslich deshalb nötig, weil die Beschwerdegegnerin C._ seit seiner Geburt besonders niederträchtig misshandle und mit höchster krimineller Energie skrupellos von ihm entfremde. Hinzu komme die völlig offensichtlich strukturelle Geschlechterdiskriminierung der Behörden, die der väterlichen Betreuung die Gewalt ausübende Mutter aufzwingen wollen. Im Namen aller misshandelter und missbrauchter Kinder in der Schweiz sei es nun wirklich an der Zeit, die Prioritäten seitens des Gesetzgebers wie auch der Behörden kritisch zu hinterfragen.
Weiter bemängelt der Beschwerdeführer die vorinstanzliche Behauptung, wonach sich C._ und sein Vater nicht kennen würden. Dies stimme seit über acht Monaten nicht mehr, denn am 18. August 2020 sei der erste Kindergartentag gewesen. Damals habe er, der Beschwerdeführer, begleitet vom Pfarrer seinen Sohn getroffen. C._ sei ohne zu zögern sofort zu ihm gekommen und habe sehr gut auf ihn reagiert. Sie hätten sich umarmt und begrüsst und knapp zehn Minuten unterhalten. Die Beschwerdegegnerin habe das Kind verfolgt, sich dem Beschwerdeführer auf bedrohliche Art und Weise genähert und sich ins Gespräch eingemischt. Die ersten Worte des Sohns seien gewesen, dass er gar nicht gewusst habe, wie sein Vater aussehe.
In der Folge vermisst der Beschwerdeführer im angefochtenen Entscheid eine Begründung, weshalb das ursprüngliche und eigentliche Zuhause des Sohns keinen kindergerechten Treffpunkt für die Durchführung der Besuche darstellen und stattdessen für die Betreuung des Kindes durch seinen entfremdeten Vater ein "neutraler" Ort erforderlich sein sollte. Auch diesbezüglich werde die Gewalt ausübende Beschwerdegegnerin bevorteilt.
Was die Dauer der Besuchsbegleitung angeht, erachtet der Beschwerdeführer eine "begleitete Betreuung" von mindestens sechs Monaten als nicht verhältnismässig; ein solcher Zeitraum entbehre jeder vernünftigen oder verhältnismässigen entwicklungspsychologischen Erfahrung. Der Beschwerdeführer erinnert daran, dass C._s Eingewöhnung in der Kinderkrippe im Alter von einem Jahr gemäss Aktenlage der KESB innerhalb von zwei Wochen, diejenige im Kindergarten im Alter von 4 1⁄2 Jahren in 30 Minuten erfolgte. Dies decke sich auch mit seinen eigenen Erfahrungen als jahrelanger Kinderbetreuer. Eine Besuchsbegleitung von zwei Monaten sei mehr als ausreichend. Alles andere wäre Geschlechterdiskriminierung und reine Willkür. Er lasse sich als erfahrener Kinderbetreuer von über 300 "fremden" Kindern nicht weiterhin von den Behörden einreden, er sei weniger wert oder kompetent als andere, unerfahrenere, nicht leibliche Betreuungspersonen.
Aus alledem folgert der Beschwerdeführer, dass von einer Fachstelle ermittelt werden müsse, wie lange ein angeblich kindeswohlgerechter begleiteter Kontakt- und Betreuungsaufbau eines leiblichen Vaters, der zufälligerweise nebenbei auch jahrelanger Kinderbetreuer von 300 fremden Kindern war, andauern soll. Er wehrt sich dagegen, dass die Beurteilung und Anordnung eines unbegleiteten Betreuungsrechts wie auch einer gleichberechtigten Betreuungsregelung von mindestens 50% einem späteren Verfahren vor der KESB vobehalten bleiben soll. Der gegenteilige Standpunkt der Vorinstanz sei erneut Ausdruck einer Geschlechterdiskriminierung und strukturbedingter behördlicher Gewalt gegenüber Vätern und Kindern. Er aber lasse sich weder von der KESB noch von der Beiständin nötigen. Die Vorinstanz verkenne die Lage, wenn sie behaupte, für eine längere Phase des Kontaktaufbaus spreche der tiefgreifende Konflikt der Eltern, weil die Gefahr bestehe, dass es im Zusammenhang mit dem Kontaktaufbau zum Vater zu einem Loyalitätskonflikt beim Kind kommen könne. Dieser Konflikt könne ausschliesslich durch eine Gleichbehandlung der beiden Elternteile gemildert werden. Ein Loyalitätskonflikt bestehe, wenn schon, einzig und allein darum, weil dem Kind seit seiner Geburt durch die Mutter und die Behörden die Haltung aufgezwungen werde, dass sein Vater aufgrund seines Geschlechts keinen Stellenwert habe und weniger fähig sein soll, ihn zu betreuen. Nur wenn dem Kind sofort die Gleichstellung und Gleichbehandlung seitens der Behörden aufgezeigt werde, könne ein Loyalitätskonflikt verhindert werden, jedoch bestimmt nicht dadurch, dass man ihm vermittle, er dürfe mit seinem Vater weniger Zeit verbringen als mit seiner Mutter.
5.4.
5.4.1. Soweit der Beschwerdeführer in seinen weitschweifigen, wenig kohärenten Erörterungen Kritik an den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen übt, ist darauf erneut nicht einzutreten. Der Beschwerdeführer begnügt sich über weite Strecken damit, dem angefochtenen Entscheid seine eigene Sichtweise gegenüberzustellen. Die Erkenntnis, dass sich die Fronten zwischen den Eltern weiter verhärtet hätten, ist keine Feststellung des Obergerichts selbst, sondern entstammt der vorinstanzlichen Zusammenfassung des Entscheids des Bezirksrats. Inwiefern das Obergericht diesen Entscheid nicht zutreffend wiedergibt, ist der Beschwerde nicht zu entnehmen. Soweit der Beschwerdeführer der Vorinstanz vorwirft, sich über seine Begegnung mit C._ an dessen ersten Kindergartentag hinwegzusetzen, legt er jedenfalls nicht dar, was dieser Kontakt von behaupteten zehn Minuten, an dem auch die Beschwerdegegnerin zugegen war, am vorinstanzlichen Befund ändert, dass sich Vater und Sohn zuerst kennenlernen müssten.
5.4.2. Auch in rechtlicher Hinsicht vermögen die vom Beschwerdeführer erhobenen Beanstandungen den angefochtenen Entscheid nicht zu erschüttern. Die Vorinstanz begründet ausführlich und plausibel, weshalb ein über die Dauer von sechs Monaten begleitetes, in den ersten drei Monaten an einem neutralen Ort zu organisierendes Besuchsrecht in der gegebenen Situation im Interesse des fünfjährigen Knaben liegt, der seinen Vater nicht persönlich kennt. Dass der Beschwerdeführer grundsätzlich in der Lage ist, das Besuchsrecht ohne Begleitung auszuüben, stellt das Obergericht nicht in Abrede. Soweit der Beschwerdeführer eine Berücksichtigung seiner grossen Erfahrungen als professioneller Betreuer fremder Kinder vermisst und sich unablässig über eine strukturbedingte Diskriminierung als Vater beklagt, übersieht er, dass die Vorinstanz begleitete, anfänglich an einem neutralen Ort durchzuführende Besuche nicht nur wegen des mehrjährigen vollständigen Kontaktabbruchs anordnet, sondern auch mit Blick auf den tiefgreifenden Elternkonflikt und die Unwägbarkeiten in der Entwicklung des Beziehungsaufbaus. Von daher laufen die vom Beschwerdeführer angestellten Vergleiche mit C._s Eingewöhnungszeiten in der Kinderkrippe und im Kindergarten genauso ins Leere wie die pauschale Behauptung, dass sich ein Loyalitätskonflikt beim Kind nur durch eine sofortige Gleichstellung verhindern lasse. Von vornherein an der Sache vorbei geht auch der in diesem Zusammenhang sinngemäss erhobene Vorwurf, dass zur Dauer der Besuchsbegleitung kein Sachverständigengutachten eingeholt worden sei. Denn für welche Dauer eine Besuchsbegleitung unter den konkret festgestellten Umständen anzuordnen ist, hat als Ermessens- und damit als Rechtsfrage allein die zuständige Behörde und nicht eine zur Sachverhaltsfeststellung beigezogene Fachstelle zu entscheiden (vgl. <ref-ruling> E. 6.2.2 mit Hinweis).
Schliesslich stört sich der Beschwerdeführer daran, dass die Vorinstanz den persönlichen Verkehr nur für die Dauer von sechs Monaten regelt und die Regelung der Besuchskontakte nach Abschluss des begleiteten Besuchsrechts einem späteren Entscheid der KESB vorbehält. Diesbezüglich ist festzuhalten, was folgt: Zwar ergibt sich aus der Rechtsprechung zur Ehescheidung, dass im Scheidungsurteil grundsätzlich eine endgültige, auf Dauer ausgelegte Regelung des persönlichen Verkehrs zwischen dem nicht betreuenden Elternteil und dem Kind zu treffen ist, auch wenn diese später gegebenenfalls abgeändert werden muss (<ref-ruling> E. 2.2.2; <ref-ruling> E. 3b; <ref-ruling> E. 3b/bb; Urteil 5A_103/2018 vom 6. November 2018 E. 3.3.1). Es kann offenbleiben, ob bzw. inwiefern sich diese Rechtsprechung auf die hier gegebene Situation übertragen lässt, in der die Kindesschutzbehörde die behutsame Anbahnung erstmaliger persönlicher Kontakte zwischen dem Beschwerdeführer und seinem fünfjährigen Sohn zu organisieren hat und dabei nicht vorhersehen kann, wie sich der Beziehungsaufbau zwischen Vater und Sohn gestalten wird. Denn wie weit sich die Beurteilung künftiger Entwicklungen auch in konkreten endgültigen Regelungen niederschlagen muss, ist eine Frage des behördlichen Ermessens. Gegen die vorinstanzliche Ausübung dieses Ermessens kommt der Beschwerdeführer nicht auf. Allein zu behaupten, eine auf sechs Monate beschränkte Regelung sei Ausdruck einer Geschlechterdiskriminierung und strukturbedingter Gewalt gegenüber Vätern und Kindern, genügt nicht. Es bleibt damit bei der bereits von der Vorinstanz ausgesprochenen Aufforderung an die KESB, zeitgerecht über eine Anschlusslösung zu befinden.
6.
Umstritten ist schliesslich, wer für die Kosten der Besuchsbegleitung aufzukommen hat.
6.1. Die Vorinstanz begründet ausführlich, weshalb sie beide Elternteile für die gestörte Kommunikation verantwortlich hält und sie deshalb die Kosten der Besuchsbegleitung wie bereits die KESB, aber anders als der Bezirksrat, den Parteien je zur Hälfte auferlegt.
6.2. Der Beschwerdeführer ist der Meinung, dass ausschliesslich die Beschwerdegegnerin dafür verantwortlich ist, dass der Kontakt zum Sohn abgebrochen ist und jetzt wieder mit Hilfe eines Besuchsbegleiters aufgebaut werden muss. Deshalb müsse nun auch die Beschwerdegegnerin allein für die Kosten der Besuchsbegleitung aufkommen. Ihn als erfahrenen Kinderbetreuer an den Kosten einer nicht verschuldeten Besuchsbegleitung zu beteiligen, sei an Absurdität und Akzeptanz der Geschlechterdiskriminierung und Gewalt gegen Väter nicht mehr zu überbieten und würde seine Berufswürde unwiederbringlich zerstören.
6.3. Nach <ref-law> haben die Eltern für den Unterhalt der Kinder aufzukommen, inbegriffen die Kosten von Erziehung, Ausbildung und Kindesschutzmassnahmen. Der Beschwerdeführer stellt dies nicht in Abrede, noch bestreitet er die Befugnis der Vorinstanz, darüber zu befinden, in welchem Umfang einem Elternteil die Kosten der Besuchsbegleitung überbunden werden. Sein einziger Vorwurf geht dahin, dass die Vorinstanz darüber hinwegsehe, dass die Notwendigkeit einer Besuchsbegleitung allein auf die Beschwerdegegnerin zurückzuführen ist. Allein damit ist er nicht zu hören. Aufgrund des willkürfrei erstellten Sachverhalts steht fest, dass für die zerrüttete Beziehung der Parteien nicht allein die Beschwerdegegnerin verantwortlich gemacht werden kann. Weitere Einwände gegen die Kostenverteilung bringt er nicht vor. Dass sich der Beschwerdeführer daher hälftig an den Kosten der Besuchsbegleitung zu beteiligen hat, ist nicht zu beanstanden.
7.
Nach dem Gesagten, ist die Beschwerde abzuweisen, soweit auf diese einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen, wobei bei der Festlegung der Höhe den besonderen Umständen des Einzelfalls Rechnung getragen wird (<ref-law>). Eine Entschädigung der Beschwerdegegnerin (<ref-law>) entfällt, da diese weder zur Hauptsache noch zum Gesuch um aufschiebende Wirkung Stellung nehmen musste. Beide Parteien ersuchen für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren um unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>). Das Gesuch der Beschwerdegegnerin ist nach dem Gesagten gegenstandslos, dasjenige des Beschwerdeführers abzuweisen. Die vorausgegangenen Erwägungen haben deutlich gemacht, dass die Beschwerde von Beginn weg keine Aussicht auf Erfolg haben konnte.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
2.1. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
2.2. Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, mitgeteilt.
Lausanne, 21. Februar 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn