Sachverhalt:
A.
A.A._ und B.A._ (Bauherrschaft, Beschwerdeführer) wollten im Jahre 2010 das bestehende Gebäude auf ihrem Grundstück in U._ um- und ausbauen. Zu diesem Zweck schloss die Bauherrschaft diverse Werkverträge ab, unter anderem mit der B._ AG (Unternehmerin, Beschwerdegegnerin) über einen Montagebau in Holz und Fenster, Aussentüren und Treppen zum Preis von Fr. 519'439.--. Als Gerichtsstand ist in Ziffer 9 dieses Werkvertrags der Sitz der Unternehmerin in V._ vereinbart. Die Bauherrschaft beauftragte zudem eine Architektin, welche den Um- und Ausbau jedoch nie vollendete; sie wurde im Oktober 2013 aus dem Schweizerischen Ingenieur- und Architektenverein (SIA) ausgeschlossen und mit Entscheid der Architektenkammer vom 14. September 2016 auf unbestimmte Zeit von der Liste der Architekten gestrichen, die im Kanton Waadt zur Berufsausübung berechtigt sind.
B.
B.a. Am 17. Oktober 2014 erhob die Unternehmerin beim Bezirksgericht Willisau Klage aus Werkvertrag und beantragte, die Bauherrschaft sei zu verpflichten, ihr unter solidarischer Haftbarkeit Fr. 148'986.15 nebst 5 % Zins seit dem 28. September 2013 zu bezahlen. Sie klagte damit Forderungen aus Werkvertrag, Nachträgen sowie übrigen Aufwendungen ein. Die Bauherrschaft beantragte die Abweisung der Klage und erhob Widerklage mit dem Begehren, die Unternehmerin sei zu verpflichten, ihr den Betrag von Fr. 500'000.-- nebst Verzugszins zu 5 % seit 1. Dezember 2011 zu bezahlen.
Die Bauherrschaft stellte zudem einen Antrag auf vorsorgliche Beweisabnahme nach <ref-law>, den der Bezirksgerichtspräsident abwies. Während das Kantonsgericht Luzern auf die hiergegen erhobene Beschwerde nicht eintrat, hiess das Bundesgericht die im Anschluss eingereichte Beschwerde in Zivilsachen mit Entscheid vom 12. Mai 2017 gut wegen Verweigerung des rechtlichen Gehörs mangels hinreichender Begründung des Abweisungsentscheids (Verfahren 4A_128/2017). Mit nunmehr gehörig begründetem Entscheid vom 13. Juli 2017 wies das Bezirksgericht Willisau das Gesuch der Bauherrschaft um vorsorgliche Beweisführung erneut ab. Das Kantonsgericht Luzern sowie das Bundesgericht (Verfahren 4A_441/2017) schützten diesen Entscheid.
Mit Urteil vom 11. September 2018 verpflichtete das Bezirksgericht Willisau die Bauherrschaft, der Unternehmerin unter solidarischer Haftung Fr. 117'343.95 nebst 5 % Zins seit 28. September 2013 zu bezahlen und wies die Klage im Mehrumfang sowie die Widerklage ab. Das Bezirksgericht erachtete den Werkvertrag sowie diverse Nachträge und Regiearbeiten als gehörig erfüllt und wies die von der Bauherrschaft vorgebrachten Einwände grösstenteils als unsubstanziiert ab. Insbesondere könne der Unternehmerin kein Architektenfehler angelastet werden; zumal die Bauherrschaft nicht konkretisiert habe, aufgrund welcher gegenseitigen Willensübereinstimmung - abweichend vom klaren Wortlaut des Werkvertrags - die Unternehmerin die Verantwortung für die gesamte Bauleitung übernommen habe. In Bezug auf die Widerklage kam die Bauherrschaft nach Ansicht des Bezirksgerichts ebenfalls ihrer Behauptungs- und Substanziierungslast nicht nach. Da sie nicht aufgezeigt habe, dass sie allfällige Mängel fristgerecht rügte, wies das Bezirksgericht die Widerklage ab, ohne diesbezüglich Beweise abgenommen zu haben.
B.b. Das Kantonsgericht Luzern wies mit Urteil vom 25. Juni 2019 die von der Bauherrschaft erhobene Berufung ab und bestätigte den Entscheid des Bezirksgerichts Willisau.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen begehrt die Bauherrschaft im Wesentlichen, die Klage sei abzuweisen und die Unternehmerin widerklageweise zu verpflichten, ihr den Betrag von Fr. 500'000.-- nebst Verzugszins zu 5 % seit 1. Dezember 2011 zu bezahlen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt in ihrer Antwort, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen.
Das Kantonsgericht Luzern beantragt in seiner Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei, und hebt namentlich hervor, dass es teilweise auf die Berufung nicht eintrat mangels hinreichender Auseinandersetzung der Beschwerdeführer mit dem Entscheid des Bezirksgerichts.
D.
Mit Verfügung vom 17. Oktober 2019 wurde das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen).
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>) eines oberen kantonalen Gerichts, das in einer Zivilsache (<ref-law>) als Rechtsmittelinstanz entschieden hat (<ref-law>). Der Streitwert von Fr. 30'000.-- ist erreicht (<ref-law>). Die Rechtsbegehren der Beschwerdeführer sind im kantonalen Verfahren nicht geschützt worden (<ref-law>) und die Beschwerde erging fristgerecht (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist unter Vorbehalt einer rechtsgenüglichen Begründung (<ref-law> und <ref-law>) einzutreten.
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Mit Blick auf die Begründungspflicht der beschwerdeführenden Partei (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind; es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.4 S. 400).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
2.
Die Beschwerdeführer rügen in verschiedener Hinsicht eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts und vermengen dabei teilweise Tatfragen mit der rechtlichen Würdigung.
So bezeichnen sie vorab die Erwägung der Vorinstanz, wonach eine Abnahme des (Teil-) Werks der Beschwerdegegnerin stattfand, die mit dem Protokoll vom 12. Februar 2012 urkundengemäss in Bezug auf die gemeinsame Prüfung nach Art. 58 SIA-Norm 118 ausgewiesen sei, als offensichtlich unrichtig. Sie beschränken sich indessen auf diesen appellatorischen Vorwurf, ohne sich mit dem Inhalt des erwähnten Protokolls im Einzelnen auseinanderzusetzen, geschweige denn zu erklären, inwiefern die Vorinstanz diesen willkürlich festgestellt haben könnte. Damit erfüllen sie die Anforderungen einer rechtsgenüglichen Sachverhaltsrüge im Sinne von <ref-law> nicht. Im Übrigen ist die rechtliche Schlussfolgerung der Vorinstanz, aus dem unterzeichneten Protokoll gehe hervor, dass das Werk abgenommen wurde, ebenfalls nicht zu beanstanden.
Die Beschwerdeführer machen weiter geltend, sie hätten jedenfalls fristgerecht eine der SIA-Norm 118 genügende Mängelrüge erhoben, was die Vorinstanz verkannt habe. Zur Begründung beziehen sie sich - wie bereits vor Vorinstanz - im Wesentlichen auf ein Schreiben vom 26. März 2012, in welchem sie die Konstruktionsmängel der Beschwerdegegnerin gerügt hätten und auf weitere Korrespondenz zwischen den Parteien. Die Beschwerdeführer übersehen damit, dass der Behauptungs- und Substanziierungslast im Prinzip in den Rechtsschriften nachzukommen ist; der bloss pauschale Verweis auf Beilagen genügt in aller Regel nicht, um eine Tatsache substanziiert zu behaupten (Urteile 4A_398/2018 vom 25. Februar 2019 E. 10.4.1; 4A_281/2017 vom 22. Januar 2018 E. 5 mit zahlreichen Hinweisen) und schon gar nicht, um Willkür an den Feststellungen der Vorinstanz auszuweisen. Die formellen Anforderungen an eine gehörige Rüge verkennen die Beschwerdeführer auch insoweit, als sie in diesem Zusammenhang dem Bundesgericht ferner ganze Absätze unterbreiten, welche sie schlicht aus ihren vorinstanzlichen Rechtsschriften herauskopierten. Dem Urteil des Bundesgerichts ist der von der Vorinstanz festgestellte Sachverhalt zugrunde zu legen (<ref-law>), wonach dem Schreiben vom 26. März 2012 weder eine konkrete Aufforderung zur Nachbesserung entnommen werden kann noch spezifiziert wird, welcher Unternehmer für welche Mängel verantwortlich sein soll.
Im Zusammenhang mit der weiteren Sachverhalts-Kritik, namentlich hinsichtlich der Erstellung des Werks, der angeblich fehlenden Notifizierung seitens der Unternehmerin bezüglich Probleme auf der Baustelle und der vorgenommenen energetischen Einschätzung der Werkleistungen, beschränken sich die Beschwerdeführer sodann darauf, den Feststellungen im angefochtenen Urteil ihre eigene Sicht der Dinge gegenüberzustellen. Auch damit erfüllen sie die Anforderungen von <ref-law> nicht. Hinzu kommt in Bezug auf den Vorwurf, die Unternehmerin habe es unterlassen, sie über Schwierigkeiten auf der Baustelle zu informieren, dass weder dargetan noch ersichtlich ist, inwiefern die Probleme auf der Baustelle etwas mit den gemäss Werkvertrag erbrachten Einzelleistungen der Beschwerdegegnerin, welche nicht Bauleiterin war, zu tun hätten. Insoweit scheitert eine Korrektur des Sachverhalts auch an der Entscheiderheblichkeit (<ref-law>).
3.
Die Beschwerdeführer rügen, ihr Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>, <ref-law>), der auch ihr Recht auf Beweis (<ref-law>) umfasse, sei mehrfach verkannt worden. Zudem habe die Vorinstanz unter Verletzung von <ref-law> (bezüglich des Prozesses vor erster Instanz) sowie von <ref-law> (bezüglich des Berufungsverfahrens) Nova nicht berücksichtigt.
Nachdem erstellt ist, dass die Beschwerdeführer nicht spezifizierten, welcher Unternehmer für welche Mängel verantwortlich sein soll (vgl. vorstehend E. 2), konnte die Vorinstanz mangels sachgerecht substanziierter Mängelrüge im Sinne von <ref-law> (vgl. dazu <ref-ruling> E. 1a; Urteil 4A_251/2018 vom 11. September 2018 E. 3 mit zahlreichen Hinweisen) auch darauf verzichten, Beweis über die behaupteten Mängel abzunehmen. Denn entgegen der Prämisse, die der Argumentation der Beschwerdeführer unterliegt, können fehlende Substanziierungen nicht mit Beweisanträgen nachgeholt werden, zumal die Abnahme eines Beweises einen schlüssigen Parteivortrag voraussetzt. Damit ist der Rüge der Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör durch unterlassene Beweisabnahme der Boden entzogen.
In Bezug auf die nach Ansicht der Beschwerdeführer von der Vorinstanz zu Unrecht unberücksichtigt gebliebenen Nova ist sodann weder dargetan noch ersichtlich, inwiefern eine Behebung des angeblichen Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein könnte (<ref-law>), womit offen gelassen werden kann, ob es sich um zulässige Nova handelte.
4.
Die Beschwerdeführer rügen mehrfache Verletzungen von Bundesrecht im Zusammenhang mit der grösstenteils gutgeheissenen Hauptklage, namentlich bezüglich der zugesprochenen Vergütung für Bestellungsänderungen bzw. für Nachträge sowie für die Regiearbeiten und Arbeiten bezüglich des Parkettbodens.
4.1. Die Beschwerdeführer wenden sich gegen den Schluss der Vorinstanz, wonach die nachträglich vereinbarten Bestellungen zu vergüten sind, indem sie geltend machen, die Beschwerdegegnerin habe ihnen nicht im Sinne von <ref-law> sowie Art. 25 SIA-Norm 118 angezeigt, dass die gehörige oder rechtzeitige Ausführung des Werkes gefährdet war. Die Vorinstanz habe verkannt, dass die Beschwerdegegnerin - zufolge Verletzung ihrer vertraglichen (Anzeige-) Pflichten (<ref-law> sowie Art. 23 Abs. 1 SIA-Norm 118) - ihre zusätzlich erwachsenen Kosten selbst zu tragen habe.
4.2. Selbst wenn der Inhalt der SIA-Norm 118 als gerichtsnotorisch anzusehen wäre (offen gelassen in Urteil 4A_582/2016 vom 6. Juli 2017 E. 4.5-6 mit Hinweisen), könnte der Vorinstanz im Ergebnis keine Rechtsverletzung vorgeworfen werden, zumal die Beschwerdeführer mit ihrer Behauptung, die Beschwerdegegnerin habe ihnen nicht angezeigt, dass die gehörige oder rechtzeitige Erstellung des Werks gefährdet sei, die Feststellungen des angefochtenen Entscheids verlassen (vgl. dazu vorstehend E. 2).
Im Übrigen übergehen sie mit ihrem Vorwurf bezüglich angeblich verletzter Anzeigepflichten gemäss dem Obligationenrecht sowie SIA-Norm 118, dass sie sich nach den Erwägungen der Vorinstanz nicht zur Feststellung des Bezirksgerichts äusserten, wonach sie mit Unterzeichnung der Bestellungsänderungen ihr Einverständnis erklärten. Die Rechtsmittelkläger müssen sich mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzen und können sich nicht auf eine blosse Wiederholung ihrer Vorbringen vor erster Instanz beschränken, wenn sie eine andere Beurteilung im Rechtsmittelverfahren erreichen wollen; sonst bleibt es bei den Erwägungen des angefochtenen Entscheids (<ref-ruling> E. 4.3.1 S. 375; Urteile 4A_397/2016 vom 30. November 2016 E. 3.1; 5A_111/2016 vom 6. September 2016 E. 5.3). Aus diesem Grund tritt denn auch das Bundesgericht auf Rügen nicht ein, welche eine sachbezogene Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Urteils vermissen lassen (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 2 S. 116; Urteil 4A_174/2017 vom 1. September 2017 E. 4.4.2.4). Da die Beschwerdeführer auch vor Bundesgericht nicht auf die Feststellung der Vorinstanz eingehen, sie hätten schriftlich erklärt, mit den Bestellungsänderungen einverstanden zu sein, ist davon auszugehen, dass die Bauherrschaft diese Änderungen akzeptierte, welche durch Verhältnisse, die eine gehörige oder rechtzeitige Ausführung des Werkes gefährdeten, notwendig wurden. Damit wären die Nachträge selbst dann zu vergüten, wenn die Beschwerdegegnerin die allfällige Gefährdung der Ausführung tatsächlich nicht rechtzeitig angezeigt hätte.
In Bezug auf die zugesprochene Vergütung für Regiearbeiten ging die Vorinstanz unter anderem aufgrund einzelner übersetzter Wörter davon aus, dass die Zusammenstellung der Regierapporte von den Vertragsparteien besprochen wurde, und schützte die Begründung des Bezirksgerichts, wonach die Bauherrschaft diese Arbeiten ebenfalls genehmigte, indem sie ein Dokument namens "Regiearbeiten Stand 11.11.2011" unterzeichnete. Die Beschwerdeführer beschränken sich auch hier auf appellatorische Vorwürfe ohne zu begründen, weshalb keine Vergütung für Arbeiten geschuldet sein sollte, für welche sie sich einverstanden erklärt hatten.
Hinsichtlich der Parkettarbeiten wiederholen die Beschwerdeführer ihren Einwand, der Parkettboden sei zur Unzeit und insoweit nicht lege artis verlegt worden, zumal weitere Arbeiten zu diesem Zeitpunkt noch im Gange gewesen seien, und die Architektin ihr Mandat niedergelegt hätte. Sie setzen sich indessen auch vor Bundesgericht nicht mit der Erwägung auseinander, dass sie mit der E-Mail vom 12. Dezember 2011 der Unternehmerin angeboten hatten, die Heizungsverantwortlichen zu kontaktieren, damit das Holz verlegt werden könne. Damit bleibt es bei dem Schluss der Vorinstanz, dass der Parkettboden nicht zur Unzeit verlegt wurde.
5.
Schliesslich scheitern die von den Beschwerdeführern mit Widerklage geltend gemachten Ansprüche - wie die Vorinstanz zutreffend erwog - bereits daran, dass einerseits keine Mängelrüge hinsichtlich der einzelnen von der Beschwerdegegnerin erstellten Werke erhoben wurde respektive dass andererseits die behauptete Verantwortung der Beschwerdegegnerin für die gesamte Bauleistung nicht erwiesen ist. Demnach sind die der Vorinstanz vorgeworfenen Rechtsverletzungen im Zusammenhang mit der abgewiesenen Widerklage im Ergebnis unbegründet.
6.
Die Beschwerde ist als unbegründet abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens werden die Beschwerdeführer - zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung - kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Sie haben die Beschwerdegegnerin, die sich vor Bundesgericht anwaltlich vernehmen liess, wiederum zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung, zudem für ihren vor Bundesgericht erwachsenen Aufwand zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1, 2 und 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 8'500.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführer haben die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 9'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Januar 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Hug