Faits :
A.
A.A._ (1967) et B.A._ (1966), se sont mariés le 14 mai 2016. Aucun enfant n'est issu de cette union. Les parties sont chacune les parents de trois enfants, aujourd'hui majeurs, issus de précédentes unions.
Les époux vivent séparés depuis le mois de septembre 2018.
B.
Par décision de mesures protectrices de l'union conjugale du 18 février 2020, le Tribunal de première instance du canton de Genève a notamment condamné le mari à contribuer à l'entretien de son épouse par le versement mensuel de 3'700 fr. dès le 28 novembre 2018, puis de 4'200 fr. dès le prononcé du jugement.
Statuant sur appel de l'époux par arrêt du 28 août 2020 envoyé pour notification aux parties par plis recommandés du 24 septembre 2020, la Cour de justice du canton de Genève a réformé le jugement querellé en ce sens que la contribution d'entretien a été arrêtée à 3'000 fr. par mois dès le 28 novembre 2018 et jusqu'au 29 février 2020, et à 3'700 fr. par mois dès le 1er mars 2020.
C.
Par acte du 26 octobre 2020, A.A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut principalement à la réforme de l'arrêt querellé en ce sens qu'il ne doit s'acquitter d'aucune contribution à l'entretien en faveur de son épouse et, subsidiairement, au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision. Par ailleurs, il sollicite le bénéficie de l'assistance judiciaire et requiert, à titre préalable, l'octroi de l'effet suspensif au recours.
Par ordonnance du 10 novembre 2020, le Président de la Cour de céans a accordé l'effet suspensif pour les arriérés de contributions dues jusqu'à la fin du mois précédant le dépôt de la requête d'effet suspensif, mais l'a refusé pour l'avenir.
L'intimée a conclu au rejet de la requête d'effet suspensif et a sollicité d'être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.

Considérant en droit :
1.
Déposé en temps utile (art. 45 al. 1 et 100 al. 1 LTF) et dans la forme légale (art. 42 al. 1 LTF), le recours est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF; <ref-ruling> consid. 4) rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 LTF), dans une affaire matrimoniale (art. 72 al. 1 LTF) de nature pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et al. 4 et 74 al. 1 let. b LTF). Le recourant a participé à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt digne de protection à la modification ou l'annulation de la décision entreprise (art. 76 al. 1 let. a et b LTF). Le recours est donc en principe recevable.
2.
2.1. Comme la décision attaquée porte sur des mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF (<ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 5), la partie recourante ne peut dénoncer que la violation de droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés par le recourant ( "principe d'allégation "; art. 106 al. 2 LTF), c'est-à-dire s'ils ont été expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.4). En particulier, une décision ne peut être qualifiée d'arbitraire (art. 9 Cst.) que si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité (<ref-ruling> consid. 7.3; <ref-ruling> consid. 4.1); il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 7.1, 170 consid. 7.3; <ref-ruling> consid. 4.3 et les arrêts cités).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Dans l'hypothèse d'un recours soumis à l'art. 98 LTF, le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que s'il démontre la violation de droits constitutionnels, conformément au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1). Le recourant ne peut se limiter à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; il doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.4.3). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (art. 106 al. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 2.3 et les références).
En l'espèce, la partie " en fait " développée aux pages 6 à 13 du recours sera ignorée en tant que les faits qui y sont exposés ne sont pas expressément visés par les griefs examinés ci-après, qu'ils s'écartent de ceux contenus dans l'arrêt attaqué sans que le recourant ne démontre à satisfaction leur établissement arbitraire ou que leur correction influerait sur le sort de la cause.
3.
3.1. Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir établi de manière manifestement inexacte sa situation financière et celle de l'intimée (art. 97 al. 1 LTF).
En lien avec sa propre situation, il soutient qu'elle a été établie de manière arbitraire, au motif que le jugement querellé ne tient pas compte - et ne mentionne même pas dans la partie en fait - les nouvelles pièces qu'il a produites le 14 juillet 2020 faisant état de revenus plus faibles et de charges plus élevées que ceux retenus, alors même que la cour cantonale aurait admis la recevabilité de la totalité des pièces produites. Il fait aussi valoir que les juges cantonaux auraient omis arbitrairement de tenir compte dans l'établissement de ses charges de la contribution d'entretien de 700 fr. par mois qu'il verse à son fils majeur encore en formation, quand bien même il aurait produit la preuve de son paiement en main de celui-ci. Il reproche en outre à la cour cantonale d'avoir fait preuve d'arbitraire en omettant de retenir le fait qu'il courait un risque sérieux et actuel d'être mis en poursuite et de perdre son emploi, alors que cela ressortait des pièces 11 à 16 et 29 qu'il avait produites, et en omettant les éléments qu'il avait allégués en lien avec ses incapacités de travail et sa situation psychologique.
En ce qui concerne la situation financière de son épouse, il fait valoir en substance que les juges cantonaux ont minimisé l'expérience professionnelle de celle-ci en ne retenant pas qu'elle avait travaillé durant 27 ans auprès de C._, ce qui lui permettrait de retrouver aisément un travail du même type. Il soutient également que la cour cantonale omet arbitrairement de retenir que son épouse avait attendu 14 mois après avoir quitté le domicile familial avant de solliciter une contribution d'entretien, sans fournir aucune explication quant à la source de ses revenus durant cette période. Il en découle selon lui qu'elle a pu décemment vivre sans son aide financière durant plus d'une année, ce qui démontrerait non seulement qu'elle dispose d'une certaine capacité financière, mais aussi et surtout qu'il existe une possible volonté de sa part de dissimuler sa fortune. Le recourant reproche encore à la cour cantonale d'avoir arbitrairement ignoré le fait que son épouse n'avait pas prouvé ce qu'elle avait fait de sa fortune, notamment de la totalité de ses avoirs de prévoyance de 480'000 fr. - selon les faits retenus par le jugement querellé, elle avait perçu cet argent après son licenciement en 2014 et l'avait dépensé et prêté à des proches ainsi qu'à son mari - et de la somme de 12'500 fr. correspondant à un solde de prêt qu'il lui avait remboursé.
3.2. À propos de l'établissement de la situation financière du mari, il ressort du jugement querellé (consid. 2.2) que les pièces qui ont été admises concernent en particulier des documents tendant à mettre à jour la situation de l'époux, en particulier ses dépenses postérieures à la mise en délibération de la cause en première instance, et à montrer les récentes recherches d'emploi de l'épouse, ce qui à la lumière de l'état de fait (consid. B.a et B.c) correspond aux pièces complémentaires nos 28 à 31 produites par le recourant le 2 mars 2020, ainsi que des recherches d'emploi effectuées en février et mars 2020 par l'intimée que celle-ci a produites à l'appui de sa réponse. C'est donc de manière erronée que le recourant soutient que les pièces qui auraient été produites le 14 juillet 2020 ont été admises en appel. Au surplus, celui-ci n'explique pas pour quel motif ces pièces produites après que la cause a été gardée à juger par les juges cantonaux seraient recevables (voir à ce sujet <ref-ruling> consid. 2.2.3-2.2.6; arrêt 5A_456/2016 du 28 octobre 2016 consid. 4.1.2), de sorte que sa critique est irrecevable (cf. supra consid. 2.2). S'agissant du reproche fait à la cour cantonale d'avoir omis dans l'établissement de ses charges les 700 fr. par mois qu'il verse à son fils majeur, il ne ressort pas de l'arrêt attaqué que le recourant aurait soulevé ce grief dans son appel. Celui-ci ne prétend du reste pas dans son recours avoir soulevé un tel grief en instance cantonale, ni ne se plaint sur ce point d'un déni de justice formel (art. 29 al. 1 Cst.). Le grief est ainsi d'emblée irrecevable, faute d'épuisement matériel des instances cantonales (<ref-ruling> consid. 1.1 et les arrêts cités; arrêt 5A_734/2018 du 4 décembre 2018 consid. 2.2). Quant aux prétendus risques de perte d'emploi ou de mise en poursuite ainsi qu'à la question de sa situation psychologique, le recourant évoque des faits qui ne ressortent pas de l'arrêt attaqué sans démontrer que ceux-ci auraient été omis de manière insoutenable ni que leur correction influerait sur le sort de la cause.
S'agissant de l'établissement de la situation financière de l'épouse, la motivation du recours ne permet pas de comprendre en quoi le fait que la cour cantonale retienne que l'intimée ait travaillé de " nombreuses années " comme opératrice de saisie auprès de C._ " sans formation particulière " constituerait une constatation insoutenable des faits, dès lors que le recourant expose que son épouse a exercé ce travail durant 27 ans et qu'il ne conteste pas son absence de formation dans ce domaine. Partant, la critique est irrecevable (cf. supra consid. 2.2). Autre est la question de savoir si cette expérience professionnelle permettrait raisonnablement d'exiger d'elle la reprise d'une activité lucrative, ce qui est une question de droit (cf. notamment <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 4.2.2.2) qu'il n'y a pas lieu de traiter puisque le recourant ne dénonce aucune violation de droits constitutionnels dans l'application de celui-ci (cf. supra consid. 2.1). Par ailleurs, le recourant n'expose pas en quoi le fait que la cour cantonale ait omis de retenir que son épouse avait pu vivre pendant 14 mois sans son aide ou que celle-ci n'avait pas démontré de quelle façon elle avait dépensé 12'500 fr., ni apporté la preuve qu'elle avait effectivement dépensé la totalité de ses avoirs de prévoyance serait susceptible d'influencer le sort de la cause. Le seul fait d'affirmer de manière péremptoire que ces éléments modifieraient concrètement la situation financière de son épouse ou démonteraient une capacité financière de celle-ci est insuffisant, partant irrecevable (cf. supra consid. 2.2).
4.
Le recourant fait également valoir que la cour cantonale aurait fait une application arbitraire de l'art. 176 al. 1 ch. 1 cum 163 CC. Sa critique reposant entièrement sur des faits non établis dans l'arrêt cantonal, dont il n'a pas démontré le caractère insoutenable de leur constatation ou de leur omission (supra consid. 3), elle est irrecevable.
5.
Les considérations qui précèdent conduisent à l'irrecevabilité du recours. Les conclusions du recourant étaient d'emblée vouées à l'échec, ce qui entraîne le rejet de sa requête d'assistance judiciaire (art. 64 al. 1 LTF) et sa condamnation aux frais de la procédure fédérale (art. 66 al. 1 LTF). Celui-ci est en outre condamné à verser une indemnité de dépens à l'intimée pour ses déterminations sur l'effet suspensif (art. 68 al. 1 LTF); au cas où les dépens ne pourraient pas être recouvrés, la Caisse du Tribunal fédéral versera au conseil de l'intimée le montant de cette indemnité à titre d'honoraires de conseil d'office (art. 64 al. 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
3.
Autant qu'elle n'est pas sans objet, la requête d'assistance judiciaire de l'intimée est admise et Me Tania Sanchez Walter, avocate à Genève, lui est désignée comme conseil d'office.
4.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
5.
Une indemnité de 500 fr., à verser à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge du recourant; au cas où les dépens ne pourraient pas être recouvrés, la Caisse du Tribunal fédéral versera au conseil de l'intimée le montant de cette indemnité à titre d'honoraires de conseil d'office.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 25 mars 2021
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
Le Greffier : Piccinin