Sachverhalt:
A.
A.a. Die Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich führt eine Strafuntersuchung gegen den 1971 geborenen A._ wegen mehrfacher qualifizierter Veruntreuung, mehrfacher qualifizierter ungetreuer Geschäftsbesorgung, mehrfacher Urkundenfälschung und weiterer Tatbestände. Dem Beschuldigten wird vorgeworfen, im Namen zweier Investment-Gesellschaften die Vermögen von rund 130 vermögenden türkischen Staatsangehörigen bei der Bank B._ verwaltet und in mindestens vier Fällen Kundenvermögen von insgesamt ungefähr 32 Millionen USD veruntreut und rund 15 Millionen USD verspekuliert und die dabei entstandenen Finanzlöcher mit Vermögenswerten anderer Kunden ausgeglichen zu haben. Dabei soll er insbesondere mit gefälschten Kundenunterschriften Offshore-Gesellschaften gegründet und für diese bei verschiedenen Schweizer Banken mit ebenfalls gefälschten Kundenunterschriften Konten eröffnet haben. Von den Konten der geschädigten Kunden bei der Bank B._ verlegte er dabei mutmasslich grosse Vermögenswerte ohne geschäftliche Grundlage auf von ihm kontrollierte Gesellschaftskonten bzw. ins Ausland. Um die bei einzelnen Kunden durch nicht autorisierte Finanzspekulationen entstandenen Negativsaldi und Verluste auszugleichen, soll er ferner Überweisungen zwischen Kundenkonten vorgenommen haben. Die betroffenen Kunden habe er dabei über Jahre hinweg mit gefälschten Auszügen über den tatsächlichen Stand ihrer Konten getäuscht.
A.b. A._ wurde am 18. Februar 2020 festgenommen. Am 21. Februar 2020 ordnete das Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich Untersuchungshaft an. Diese wurde mehrmals verlängert, letztmals am 20. November 2020 bis zum 20. Mai 2021.
B.
Gegen den Verlängerungsentscheid des Zwangsmassnahmengerichts vom 20. November 2020 erhob A._ Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich. Mit Beschluss vom 23. Dezember 2020 wies das Obergericht, III. Strafkammer, die Beschwerde ab. Zur Begründung führte es im Wesentlichen aus, es bestünden ein dringender Tatverdacht für die A._ vorgeworfenen Delikte sowie Flucht- und Kollusionsgefahr. Überdies sei die Haftverlängerung verhältnismässig.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 1. Februar 2021 beantragt A._, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und ihn aus der Untersuchungshaft zu entlassen. In prozessualer Hinsicht ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Zur Begründung macht er im Wesentlichen geltend, es bestünde weder Flucht- noch Kollusionsgefahr und die Haftverlängerung sei unverhältnismässig.
Die Staatsanwaltschaft schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht verzichtete auf eine Stellungnahme.
A._ äusserte sich mit Eingabe vom 17. Februar 2021 nochmals zur Sache.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den angefochtenen, kantonal letztinstanzlichen (vgl. <ref-law>, <ref-law>) Entscheid über die Fortsetzung von Untersuchungshaft im Verfahren vor der Staatsanwaltschaft (vgl. Art. 224 i.V.m. <ref-law>) steht die Beschwerde in Strafsachen nach <ref-law> an das Bundesgericht offen.
1.2. Der Beschwerdeführer nahm am vorinstanzlichen Verfahren teil und hat als Häftling und direkter Adressat des angefochtenen Entscheids ein rechtlich geschütztes Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung. Er ist damit zur Beschwerde legitimiert (vgl. <ref-law>).
1.3. Mit der Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Bei Beschwerden, die gestützt auf das Recht der persönlichen Freiheit (Art. 10 Abs. 2 und Art. 31 BV) wegen strafprozessualer Haft erhoben werden, prüft das Bundesgericht die Auslegung und Anwendung der Strafprozessordnung im Hinblick auf die Schwere des Eingriffs frei (<ref-ruling> E. 1.2 S. 189; <ref-ruling> E. 2 S. 125; 340 E. 2.4 S. 346).
1.4. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, die von den Beschwerdeführern geltend gemacht und begründet werden (vgl. <ref-law>).
2.
2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.2. Soweit der Beschwerdeführer die tatsächlichen Feststellungen des Obergerichts in Frage stellen wollte, legt er nicht dar und ist nicht ersichtlich, dass diese offensichtlich falsch wären oder auf einem massgeblichen Mangel beruhen würden. Er erhebt auch keine entsprechende ausdrückliche Rüge. Zwar macht er verschiedentlich geltend, das Obergericht würdige einzelne Beweismittel falsch. Dass dies willkürlich wäre bzw. die daraus hervorgegangenen tatsächlichen Feststellungen offensichtlich falsch wären, legt er aber nicht nachvollziehbar dar. Die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz erweisen sich daher als für das Bundesgericht verbindlich.
2.3. In ihrer Stellungnahme an das Bundesgericht führt die Staatsanwaltschaft aus, dass sie inzwischen von einem Deliktsbetrag von rund 60 Millionen USD zum Nachteil von 14 Geschädigten ausgeht. Im vorliegenden bundesgerichtlichen Verfahren handelt es sich dabei allerdings um neue Tatsachen, die nach <ref-law> nicht berücksichtigt werden können. Es ist im Folgenden daher beruhend auf dem angefochtenen Entscheid von einem mutmasslichen Deliktsbetrag von insgesamt rund 32 Millionen USD zum Nachteil von vier Kunden auszugehen.
3.
3.1. Nach den Grundvoraussetzungen von <ref-law> ist Untersuchungshaft insbesondere zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist und ein im Gesetz genannter Haftgrund vorliegt, wozu unter anderem Fluchtgefahr und Kollusionsgefahr zählen (vgl. Art. 221 Abs. 1 lit. a und b StPO). Die Haft muss überdies verhältnismässig sein (vgl. Art. 5 Abs. 2 und Art. 36 Abs. 3 BV, Art. 197 Abs. 1 lit. c und Art. 212 Abs. 2 lit. c StPO). Mit dem angefochtenen Entscheid bejahte das Obergericht das Vorliegen eines dringenden Tatverdachts sowie von Flucht- und Kollusionsgefahr und beurteilte die Haft als verhältnismässig.
3.2. Der teilweise geständige Beschwerdeführer bestreitet den dringenden Tatverdacht vor Bundesgericht nicht mehr. Darauf ist daher nicht einzugehen. Hingegen macht der Beschwerdeführer geltend, es bestehe weder Flucht- noch Kollusionsgefahr.
3.3. Da das Vorliegen eines Haftgrundes für die Rechtmässigkeit der Haft genügt, ist vorerst Fluchtgefahr zu prüfen. Eine solche setzt ernsthafte Anhaltspunkte dafür voraus, dass die beschuldigte Person sich durch Flucht dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion entziehen könnte (<ref-law>). Im Vordergrund steht dabei eine mögliche Flucht ins Ausland, denkbar ist jedoch auch ein Untertauchen im Inland. Bei der Bewertung, ob Fluchtgefahr besteht, sind die gesamten konkreten Verhältnisse zu berücksichtigen. Es müssen Gründe bestehen, die eine Flucht nicht nur als möglich, sondern als wahrscheinlich erscheinen lassen. Die Schwere der drohenden Strafe ist zwar ein Indiz für Fluchtgefahr, genügt jedoch für sich allein nicht, um den Haftgrund zu bejahen. Miteinzubeziehen sind die familiären und sozialen Bindungen, die berufliche und finanzielle Situation und die Kontakte zum Ausland. Selbst bei einer befürchteten Reise in ein Land, welches die beschuldigte Person grundsätzlich an die Schweiz ausliefern bzw. stellvertretend verfolgen könnte, ist die Annahme von Fluchtgefahr nicht ausgeschlossen. Die Wahrscheinlichkeit einer Flucht nimmt in der Regel mit zunehmender Verfahrens- bzw. Haftdauer ab, da sich auch die Dauer des allenfalls noch abzusitzenden strafrechtlichen Freiheitsentzugs mit der bereits geleisteten prozessualen Haft, die auf die mutmassliche Freiheitsstrafe anzurechnen wäre (<ref-law>), kontinuierlich verringert (<ref-ruling> E. 4.3 S. 166 f. mit verschiedenen Hinweisen; Urteile des Bundesgerichts 1B_24/2021 vom 2. Februar 2021 E. 5.2 und 1B_379/2019 vom 15. August 2019 E. 6.1).
3.4. Der Beschwerdeführer wird namentlich der mehrfachen qualifizierten Veruntreuung gemäss <ref-law>, der mehrfachen qualifizierten ungetreuen Geschäftsbesorgung nach <ref-law> und der mehrfachen Urkundenfälschung gemäss <ref-law> dringend verdächtigt. Der erste Tatbestand steht unter einer Strafdrohung von bis zu zehn Jahren Freiheitsstrafe und beim zweiten sowie dritten Tatbestand gilt jeweils ein Strafrahmen von bis zu fünf Jahren Freiheitsstrafe. Mit Blick auf die dem Beschwerdeführer vorgeworfenen Straftaten, die hohe Deliktssumme und das zumindest partielle Geständnis droht ihm bei einer zumindest teilweise wahrscheinlichen Verurteilung eine langjährige Freiheitsstrafe. In einem aktenkundigen Schreiben vom Februar 2020 an eine im Ausland lebende Bekannte (sog. "Geständnis-Brief") ging er im Übrigen selbst davon aus, drei bis fünf Jahre im Gefängnis verbüssen zu müssen, was gemäss seiner Beschwerdeschrift mit Blick auf die gesetzliche Regelung einer möglichen bedingten Entlassung einem insgesamt ausgesprochenen Freiheitsentzug von fünf bis sieben Jahren entsprechen würde. Der Beschwerdeführer beruft sich auf das Urteil des Bundesgerichts 6B_28/ 2018 vom 7. August 2018, in dem dieses in einem anderen Fall von Vermögensverwaltungsdelikten bei einem Schaden von über 100 Millionen Franken eine Freiheitsstrafe von fünf Jahren und sechs Monaten als angemessen beurteilt habe. Selbst wenn der vom Beschwerdeführer vorgenommene Vergleich einschlägig wäre, müsste er immer noch mit einer entsprechend langen Freiheitsstrafe rechnen. Nachdem er inzwischen ungefähr ein Jahr in Haft ist, verbleibt demnach das Risiko einer mehrjährigen Freiheitsstrafe, die zweifellos einen erheblichen Fluchtanreiz zu setzen vermag. Hinzu kommen die mit dem Strafverfahren verbundenen Kosten und Zivilforderungen. Da er nicht nachvollziehbar darlegen kann, wie er diese begleichen könnte, ergibt sich auch daraus ein grosser Anreiz, sich der Schuldenfalle durch Flucht zu entziehen.
3.5. Der Beschwerdeführer ist schweizerisch-türkischer Doppelbürger. Seine Mutter lebt in der Türkei. Sein volljähriger Sohn und seine 15-jährige Tochter, sein Bruder sowie seine Ehefrau halten sich in der Schweiz auf. Seine Gattin will sich allerdings von ihm scheiden lassen oder die Scheidung hat bereits im Ausland stattgefunden, wurde aber in der Schweiz nicht gemeldet. Der Beschwerdeführer geht jedenfalls selbst nicht vom Weiterbestand der Ehe aus. Hingegen steht er in einer neuen, wenn auch offenbar noch nicht gefestigten Beziehung zu einer anderen Frau, die er vermutlich von seiner Geschäftstätigkeit in Dubai kennt. Im bereits erwähnten "Geständnis-Brief" vom Februar 2020 an diese Frau stellt er nach Verbüssung der ihm drohenden Freiheitsstrafe eine gemeinsame Zukunft in Aussicht, auch wenn er zu erkennen gibt, dass die Beziehung durch die Strafverfolgung möglicherweise bedroht ist. Insgesamt pflegt der Beschwerdeführer mithin zwar enge Kontakte zur Schweiz. Er hat aber ein neues Leben angedacht und könnte insbesondere in die Türkei ausreisen. Wohl droht ihm dort möglicherweise ebenfalls eine Strafverfolgung. Wie die Vorinstanz jedoch zu Recht festhält, würde ihm mit einer Freilassung gegebenenfalls faktisch die Wahlmöglichkeit eingeräumt, welcher Strafverfolgung er sich stellen möchte. Nicht erhärtet ist sein Einwand, er setze sich in der Türkei wegen vermeintlichen Verbindungen zur Gülen-Bewegung politischer Verfolgung sowie der ihm angedrohten Rache aus dem Umkreis seiner Gläubigerschaft aus. Denkbar wäre überdies eine Ausreise nach Dubai. Dort weilt nicht nur die Adressatin des "Geständnis-Briefs", sondern es gibt auch Indizien, wonach er vor Ort über Grundeigentum verfügt. Das bestreitet er zwar. Er vermag aber nicht ausreichend und nachvollziehbar darzutun, weshalb die Ausreise aus der Schweiz bzw. Einreise in ein anderes Land überhaupt ausgeschlossen sein sollte und er von der Türkei nicht im Bedarfsfall die nötigen Reisepapiere erhalten könnte, sofern er tatsächlich, wie er behauptet, über keine mehr verfügen sollte. Im Übrigen hat er nicht zuletzt von seiner beruflichen Tätigkeit her grosse Erfahrungen im Reisen.
3.6. Unklar sind die finanziellen Verhältnisse des Beschwerdeführers. Mit dem Obergericht ist jedoch angesichts der ihm vorgeworfenen Straftaten die Möglichkeit ernsthaft in Betracht zu ziehen, dass er im Ausland über finanzielle Ressourcen verfügt. Er hat Vermögenswerte seiner Klienten ins Ausland transferiert und es ist nicht auszuschliessen, dass verstecktes Vermögen vorhanden oder es ihm möglich ist, auf Aktiven zuzugreifen, die bei den Offshore-Gesellschaften angelegt sind, an denen er beteiligt ist. Einzelne Transaktionen sind möglicherweise nicht einmal schriftlich oder elektronisch belegt. Überdies gibt es Anhaltspunkte für Investitionen in bzw. Beteiligungen an Immobilien in London, Istanbul, Deutschland und eventuell Dubai. Angesichts dieser Umstände und auch mit Blick auf die einschlägigen Fachkenntnisse des Beschwerdeführers ist die Einschätzung des Obergerichts nicht zu beanstanden, es könne nicht ausgeschlossen werden, dass er sich finanziell abgesichert habe bzw. über Ressourcen im Ausland verfüge, auch wenn er behauptet, sein Vermögen für die Rückzahlung der Verluste aufgebraucht zu haben.
3.7. Der Beschwerdeführer beruft sich darauf, seit April 2019 sei ihm bekannt gewesen, dass einzelne geschädigte Klienten über den Zustand ihrer Konten Bescheid wussten. Zudem sei ihm im Januar 2020 zugetragen worden, es gebe gegen ihn eine Strafanzeige. Trotzdem habe er keine Fluchtvorbereitungen getroffen und sich dem behördlichen Zugriff nicht entzogen, bevor er am 18. Februar 2020 festgenommen worden sei. Das belege seine Bereitschaft, sich dem Strafverfahren in der Schweiz zu stellen und schliesse Fluchtgefahr aus. Dabei handelt es sich jedoch nur um Behauptungen des Beschwerdeführers. Dem stehen die für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen des Obergerichts gegenüber, dass der Beschwerdeführer vor seiner Verhaftung davon ausging, es verbleibe ihm noch eine gewisse Zeit, bis die mutmasslichen Straftaten "innert sechs Monaten" bzw. "bis Juni" mit grosser Wahrscheinlichkeit herauskommen würden. Zudem führte er im erwähnten "Geständnis-Brief" aus, mit dem Erlös des Verkaufs eines Hauses in X._/TK das Bekanntwerden der fragwürdigen Transaktionen aufschieben zu können. Zwar ging er dabei auch davon aus, allenfalls eine Freiheitsstrafe verbüssen zu müssen. Daraus lässt sich aber nicht ableiten, dass er die strafrechtlichen Konsequenzen seines Verhaltens vollständig erfasst hatte. Seine Ausführungen im fraglichen Brief kommen, insbesondere hinsichtlich der ihm in der Folge vorgeworfenen Urkundendelikte, auch keinem umfassenden Geständnis gleich. Überdies verblieb ihm die ausdrückliche Hoffnung, den Schaden noch verringern zu können, und er ging jedenfalls davon aus, dass es noch einige Zeit dauern würde, bis seine Handlungen strafrechtliche Folgen zeitigen würden. Er konnte daher immer noch planen, sich dem Zugriff der Strafverfolgung später zu entziehen, zumal er damals nicht zu wissen vermochte, in welchem Umfang seine deliktischen Handlungen bekannt werden würden. Das frühere Verhalten des Beschwerdeführers widerlegt Fluchtgefahr demnach nicht.
3.8. Ist das Vorliegen von Fluchtgefahr im vorliegenden Fall zu bejahen, braucht nicht mehr geprüft zu werden, ob auch ein Kollusionsrisiko besteht.
4.
4.1. Wie alle strafprozessualen Zwangsmassnahmen hat Untersuchungshaft bzw. deren Anordnung oder Verlängerung verhältnismässig zu sein (vgl. Art. 5 Abs. 2 und Art. 36 Abs. 3 BV, Art. 197 Abs. 1 lit. c und Art. 212 Abs. 2 lit. c StPO). Die Untersuchungshaft muss durch die Bedeutung der Straftat gerechtfertigt sein (<ref-law>) und darf nicht länger dauern als die zu erwartende Freiheitsstrafe (<ref-law>). Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung verlangt der Verhältnismässigkeitsgrundsatz von den Behörden, umso zurückhaltender zu sein, je mehr sich die Haft der zu erwartenden Freiheitsstrafe nähert; dabei ist jedoch nicht das Verhältnis der erstandenen Haftdauer zur zu erwartenden Freiheitsstrafe als solches entscheidend, sondern es ist vielmehr auf die Umstände des Einzelfalls abzustellen (<ref-ruling> E. 3.5 S. 182 f.).
4.2. Der Beschwerdeführer befindet sich seit rund einem Jahr in Haft und muss mit einer mehrjährigen Freiheitsstrafe rechnen. Damit droht noch keine Überhaft. Dass eine Haftverlängerung um sechs Monate <ref-law> widersprechen würde, macht er im Unterschied zum vorinstanzlichen Verfahren nicht mehr geltend. Er beruft sich auch nicht auf mögliche Ersatzmassnahmen. Entsprechende Vorkehren, die im vorliegenden Fall geeignet erschienen, sind im Übrigen auch nicht ersichtlich. Schliesslich setzt die Staatsanwaltschaft zusätzliche personelle Ressourcen für die Untersuchung der fraglichen mutmasslichen Delikte ein, um diese zeitgerecht voranzutreiben. Dass es zu für die Haftfrage massgeblichen Verzögerungen bei der Strafuntersuchung gekommen wäre, wie der Beschwerdeführer geltend macht, ist angesichts der Komplexität des vorliegenden Falles nicht ersichtlich.
5.
Die mit dem angefochtenen Entscheid bestätigte Haftverlängerung erweist sich als bundesrechtskonform, weshalb die Beschwerde unbegründet und abzuweisen ist.
Bei diesem Verfahrensausgang würde der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Er stellt jedoch ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nach <ref-law>. Seine Rechtsbegehren erscheinen nicht als von vornherein aussichtslos. Auch wenn bei der Beurteilung von Fluchtgefahr angenommen werden muss, dass der Beschwerdeführer im Ausland möglicherweise über Vermögen verfügt, ist mit Blick auf seine Parteirechte als Beschuldigter im Freiheitsentzug (vgl. Art. 29 Abs. 3 i.V.m. Art. 31 und 32 BV) für die Frage der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung mangels eindeutiger Beweislage von der prozessualen Bedürftigkeit des Beschwerdeführers auszugehen. Damit ist ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung mit seinem Rechtsvertreter zu gewähren und es ist diesem aus der Bundesgerichtskasse eine angemessene Entschädigung zu entrichten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird dem Beschwerdeführer Rechtsanwalt Stephan Schlegel als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Rechtsanwalt Stephan Schlegel wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Februar 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Uebersax