Faits :
A.
Le 10 avril 2015 (cause P_1), le Tribunal cantonal valaisan a reconnu A._ irresponsable et l'a en conséquence acquitté des chefs d'accusation de diffamation (<ref-law>), d'injures (<ref-law>) et de menaces. Une mesure thérapeutique institutionnelle au sens de l'art. 59 al. 1 et 2 CP a toutefois été ordonnée; celle-ci se fondait sur le rapport d'expertise psychiatrique du 26 juin 2014 du docteur B._ et sur son complément du 8 septembre 2014.
Par décision du 29 septembre 2015 (TAP P_2), le Tribunal d'application des peines et mesures (TAPEM) a refusé à A._ la levée de la mesure thérapeutique institutionnelle, respectivement la libération conditionnelle (<ref-law>). Ce prononcé a été confirmé le 3 mars 2016 par le Juge unique de la Chambre pénale du Tribunal cantonal du Valais (TCV P_3).
Le 12 avril 2017 (TAP P_4), le TAPEM a levé le traitement des troubles mentaux en milieu ouvert et ordonné à la place un traitement des troubles mentaux, soin étant laissé au Service de l'application des peines et mesures de déterminer si cette mesure thérapeutique institutionnelle serait exécutée en milieu ouvert ou fermé.
Le TAPEM a refusé, le 13 novembre 2018, la libération conditionnelle de la mesure thérapeutique institutionnelle et maintenu cette mesure (TAP P_5), décision confirmée par le Juge unique de la Chambre pénale le 30 avril 2019 (TVC P_6).
Par requête du 11 novembre 2019 (TAP P_7), l'Office des sanctions et mesures d'accompagnement (OSAMA) a demandé au TAPEM l'examen du maintien ou de la levée de la mesure, respectivement la prolongation de celle-ci (<ref-law>). Dans ce cadre, un mandat a été confié le 30 [recte 31] janvier 2020 au docteur C._ du Centre neuchâtelois de psychiatrie, afin qu'il réalise un complément d'expertise.
Le 30 mars 2020 (TMC P_8), le TAPEM - agissant par le Juge F._ - a saisi le Tribunal des mesures de contrainte du canton du Valais (Tmc) afin que A._ soit placé en détention pour des motifs de sûreté, puisque le rapport d'expertise ne pouvait être déposé préalablement à l'échéance de la mesure le 15 [recte 10] avril 2020. Dans ses déterminations, A._ a notamment conclu au rejet de cette demande, à sa libération immédiate et à l'octroi de l'assistance judiciaire. Par ordonnance du 2 avril 2020, le Tmc - statuant par le biais du Juge E._ - a ordonné la détention pour des motifs de sûreté de A._ pour la durée de trois mois, soit jusqu'au 10 juillet 2020.
Dans le cadre des observations susmentionnées, A._ a également conclu à l'incompétence de "tout magistrat intégré à la structure administrative du Tribunal d'application des peines et mesures et du Tribunal des mesures de contrainte", requête transmise au Juge unique de la Chambre pénale comme objet de sa compétence. Le Juge du Tmc intimé s'est opposé à cette demande.
B.
B.a. Dans son arrêt du 6 mai 2010, le Juge unique de la Chambre pénale a rejeté la demande de récusation.
Cette autorité a relevé qu'il n'était pas déterminant que le Juge intimé - saisi en tant que membre du Tmc par le TAPEM - exerce également une fonction de magistrat auprès de cette seconde autorité ou que ces deux autorités judiciaires forment une unité organisationnelle. Selon la cour cantonale, était en revanche décisif de savoir si le juge appelé à statuer sur la détention pour des motifs de sûreté - soit le Juge intimé - s'était déjà prononcé dans la même affaire, ce qui n'était pas le cas.
B.b. Le 8 juin 2020 (cause 1B_290/2020), A._ forme un recours en matière pénale contre cet arrêt, concluant à son annulation et à l'incompétence pour statuer sur la demande de mise en détention pour des motifs de sûreté le concernant de tout magistrat intégré dans la structure administrative du TAPEM et du Tmc en raison de leur dépendance et de leur partialité. Le recourant demande également l'octroi de l'assistance judiciaire.
Le Juge intimé a en substance conclu au rejet du recours. Quant à l'autorité précédente, elle s'est référée à ses considérants, produisant les dossiers TCV P_9, TMC P_8 et TAPEM P_10. Le 2 juillet 2020, le recourant a persisté dans ses conclusions.
C.
C.a. Le 15 mai 2020, le Juge unique de la Chambre pénale a rejeté le recours formé par A._ contre l'ordonnance du 2 avril 2020 de mise en détention pour des motifs de sûreté.
Il a en substance confirmé l'existence d'une base légale permettant ce type de détention, ainsi que celle d'un risque de récidive qu'aucune mesure de substitution ne permettait de pallier.
C.b. Par acte du 17 juin 2020 (cause 1B_311/2020), A._ forme un recours en matière pénale contre cet arrêt, concluant à son annulation, à sa libération immédiate et à la constatation de l'illicéité de sa détention depuis le 10 avril 2020. Le recourant sollicite également l'octroi de l'assistance judiciaire.
Le Tmc a renoncé à déposer des déterminations et l'autorité précédente s'est référée à ses considérants, produisant le dossier P3 20 84. L'OSAMA a conclu au rejet du recours, en se référant aux considérants de l'arrêt attaqué. Le 3 juillet 2020, le recourant a relevé qu'au vu de la décision du TAPEM du 2 juillet 2020 ordonnant la prolongation de la mesure thérapeutique, sa conclusion en libération immédiate était sans objet; il a cependant relevé que la question de la légalité de cette mesure entre le 10 avril et le 2 juillet 2020 restait d'actualité.

Considérant en droit :
1.
Les recours dans les causes 1B_290/2020 et 1B_311/2020 sont dirigés contre des décisions différentes, mais concernent le même recourant, ainsi que les faits en lien avec la détention pour des motifs de sûreté dans le cadre de la procédure ultérieure indépendante relative à la prolongation de la mesure institutionnelle ordonnée en avril 2015. L'issue de la première procédure pouvant influencer celle de la seconde, il y a lieu de joindre ces deux causes et de statuer dans un seul arrêt (<ref-law> et 24 PCF).
2.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 186).
2.1. Conformément aux art. 78 et 92 al. 1 LTF, une décision incidente en matière pénale portant sur la compétence ou une demande de récusation peut faire immédiatement l'objet d'un recours en matière pénale. Le recourant, dont la demande de récusation a été rejetée, a qualité pour recourir en vertu de l'<ref-law>. Formé en temps utile (art. 45 al. 1 et 100 al. 1 LTF) contre une décision rendue en instance cantonale unique (<ref-law>), le recours dans la cause 1B_290/2020 est recevable.
2.2. S'agissant ensuite de la décision attaquée dans la cause 1B_311/2020, elle a été rendue par une autorité statuant en tant que dernière instance cantonale (<ref-law>). Celle-ci s'est prononcée sur la validité de la détention du recourant pour des motifs de sûreté, laquelle a été ordonnée dans le cadre d'une procédure judiciaire ultérieure indépendante (<ref-law>) concernant la prolongation d'une mesure institutionnelle (<ref-law>; arrêt 1B_111/2020 du 31 mars 2020 consid. 1 non destiné à la publication). Le recours en matière pénale est dès lors ouvert.
Depuis le jugement du 2 juillet 2020 prolongeant notamment la mesure institutionnelle ordonnée le 10 avril 2015 de deux ans, le recourant ne se trouve plus en détention pour des motifs de sûreté. La conclusion tendant à la libération immédiate est donc sans objet et le recourant n'a en principe aucun intérêt actuel et pratique à obtenir l'annulation ou la modification de la décision entreprise. Le Tribunal fédéral fait cependant exceptionnellement abstraction de l'exigence d'un intérêt actuel lorsque la contestation peut se reproduire en tout temps dans des circonstances identiques ou analogues, que sa nature ne permet pas de la trancher avant qu'elle perde son actualité et que, en raison de sa portée de principe, il existe un intérêt public suffisamment important à la solution de la question litigieuse (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 143; <ref-ruling> consid. 1.3.3 p. 78; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 208). En outre, dans des circonstances particulières, le Tribunal fédéral entre aussi en matière, en dépit de la disparition d'un intérêt actuel, sur le recours d'une personne qui formule de manière défendable un grief de violation manifeste de la CEDH; cela suppose une obligation de motivation accrue comparable à celle qui est prévue à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 143; <ref-ruling> consid. 4.3.1 et 4.3.4 p. 299 ss; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 276). A cet égard, le recourant, qui prend une conclusion en constatation de l'illicéité de la détention pour des motifs de sûreté subie, invoque en particulier et de manière motivée une violation de la CEDH; celle-ci découlerait du défaut de base légale permettant la détention pour des motifs de sûreté dans le cadre d'une procédure indépendante ultérieure relative à la prolongation d'une mesure institutionnelle au sens de l'<ref-law> et de la jurisprudence de la CourEDH y relative. Il y a dès lors lieu d'entrer en matière dans la cause 1B_311/2020, l'examen étant cependant limité aux griefs invoqués de manière conforme aux obligations susmentionnées.
2.3. Invoquant les art. 6 par. 1 CEDH, 30 al. 1 Cst. et 4 CPP, le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir considéré que l'indépendance et l'impartialité du Tmc et du TAPEM seraient respectées par l'organisation judiciaire valaisanne. Selon le recourant, tel ne serait pas le cas dès lors que ces deux autorités judiciaires feraient partie de la même structure administrative et que les membres de l'un ou l'autre siégeraient indépendamment dans ces deux tribunaux.
2.4. Selon l'<ref-law>, les autorités pénales sont indépendantes dans l'application du droit et ne sont soumises qu'aux règles du droit.
La Confédération et les cantons désignent leurs autorités pénales et en arrêtent la dénomination (<ref-law>). Exception faite de l'autorité de recours (<ref-law>) et de la juridiction d'appel (<ref-law>), la Confédération et les cantons peuvent instaurer plusieurs autorités pénales de même type; ils en définissent les compétences à raison du lieu et de la matière (<ref-law>). L'<ref-law> prévoit que le tribunal des mesures de contrainte ordonne la détention provisoire et la détention pour des motifs de sûreté et, si cela est prévu par le présent code, ordonne ou autorise d'autres mesures de contrainte (al. 1); les membres du tribunal des mesures de contrainte ne peuvent pas statuer sur le fond dans la même affaire (al. 2).
Il appartient aux cantons, respectivement à la Confédération, de déterminer s'ils veulent confier les attributions du Tmc à une entité distincte des autres tribunaux de première instance, à une chambre du tribunal de première instance, à la direction de la procédure du tribunal de première instance ou à un juge unique (HENZELIN/MAEDER MORVANT, in Commentaire romand, 2e éd. 2019, n° 7 ad <ref-law>; MOREILLON/PAREIN-REYMOND, Petit commentaire, Code de procédure pénale, 2e éd. 2016, nos 4 ss ad <ref-law>; ANDREAS J. KELLER, in DONATSCH/HANSJAKOB/LIEBER (édit.), Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung [StPO], 2e éd. 2014, n° 5 ad <ref-law>; voir arrêt 1B_188/2012 du 19 avril 2012 consid. 2.3 confirmant l'organisation judiciaire du Tmc du canton de Bâle-ville assuré par un tournus des présidents du tribunal pénal [§ 75, 77 et 78 Gesetz betreffend die Organisation der Gerichte und der Staatsanwaltschaft vom 3. Juni 2015]); il peut également être rattaché à une autorité de deuxième instance (SCHMID/JOSITSCH, Schweizerische Strafprozessordnung, Praxiskommentar, 3e éd. 2018, n° 6 ad <ref-law>; MOREILLON/PAREIN-REYMOND, op. cit., no 11 ad <ref-law>; DANIEL KIPFER, in Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, Art. 1-195 StPO, 2e éd. 2014, n° 3 ad <ref-law>; K ELLER, op. cit., no 5 ad <ref-law>, auteur relevant cependant que le Tmc est en principe une autorité de première instance). Vu la règle d'indépendance de l'<ref-law> et dans la mesure où l'organisation judiciaire ne permet pas une séparation stricte du tribunal des mesures de contrainte des autres tribunaux pénaux prévus aux <ref-law>, l'indépendance du juge du Tmc doit être garantie dans le cas d'espèce: ledit magistrat ne devra ainsi pas avoir participé antérieurement à un autre titre dans la même affaire, respectivement ne pourra plus agir à un autre titre dans ce dossier, notamment en tant que juge du fond (cf. <ref-law> ["dans une même affaire", "im gleichen Fall", "nella medesima causa"]; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 53 s.; HENZELIN/MAEDER MORVANT, op. cit., n° 9 ad <ref-law>; SCHMID/JOSITSCH, op. cit., n° 7 ad <ref-law>; KELLER, op. cit., n° 6 ad <ref-law>).
2.5. A teneur de l'art. 12 al. 1 de la loi valaisanne sur l'organisation de la Justice du 11 février 2009 (LOJ; RS/VS 173.1), le tribunal des mesures de contrainte est un tribunal centralisé de première instance, composé de plusieurs juges, et dont le siège est à Sion (1ère phrase); il statue dans la composition du juge unique (2ème phrase); le juge des mesures de contrainte peut être saisi en permanence et il peut tenir séance en tout lieu qui lui paraît opportun (3ème phrase). Le tribunal de l'application des peines et mesures est un tribunal centralisé de première instance, composé de plusieurs juges, et dont le siège est à Sion (art. 12 al. 2 1ère phrase LOJ). Il statue dans la composition du juge unique, sauf disposition contraire de la loi (art. 12 al. 2 2ème phrase LOJ). Le juge des mesures de contrainte et le juge de l'application des peines et mesures peuvent être affectés à un autre tribunal ou au traitement d'autres affaires déterminées (art. 15 al. 2 LOJ [art. 12 al. 3 LOJ]). Le tribunal des mesures de contrainte et le tribunal de l'application des peines et mesures sont réunis en une seule structure administrative; un même magistrat peut exercer les deux fonctions; pour le surplus, le Tribunal cantonal fixe dans un règlement l'organisation interne (art. 12 al. 4 LOJ). Selon l'art. 15 du Règlement d'organisation des tribunaux valaisans du 21 décembre 2010 (ROT; RS/VS 173.100), les juges des mesures de contrainte et de l'application des peines et mesures se suppléent d'office en cas d'empêchement, de récusation ou de surcharge de travail. Le Tribunal cantonal tranche la question de savoir si cette dernière condition est remplie.
2.6. Un magistrat est récusable pour l'un des motifs prévus aux art. 56 let. a à e CPP. De jurisprudence constante, le fait qu'un magistrat agisse, au même titre, à plusieurs reprises dans une même cause ne constitue pas en soi un motif de récusation au sens de l'<ref-law>. Le fait cependant que le juge ait déjà participé à l'affaire à un stade antérieur de la procédure peut éveiller le soupçon de partialité en raison d'autres circonstances qui peuvent entrer dans le champ d'application de l'art. 56 let. f CPP (<ref-ruling> consid. 4.2.1 p. 429; <ref-ruling> consid. 3.4 p. 116 s.; <ref-ruling> consid. 3d p. 57 ss; arrêt 1B_509/2019 du 11 mars 2020 consid. 3.3 et les arrêts cités; voir également <ref-ruling> consid. 3.1 p. 74 et 3.3 p. 75 s.).
Selon l'<ref-law>, toute personne exerçant une fonction au sein d'une autorité pénale est tenue de se récuser lorsqu'elle a agi à un autre titre dans la même cause, en particulier comme membre d'une autorité, conseil juridique d'une partie, expert ou témoin. La notion de "même cause" au sens de l'<ref-law> s'entend de manière formelle, c'est-à-dire comme la procédure ayant conduit à la décision attaquée ou devant conduire à celle attendue. Elle n'englobe en revanche pas une procédure distincte ou préalable se rapportant à la même affaire au sens large, soit au même ensemble de faits et de droits concernant les mêmes parties. Ainsi, une "même cause" au sens de l'<ref-law> implique une identité de parties, de procédure et de questions litigieuses (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 73).
Le cas de récusation visé par cette disposition présuppose aussi que le magistrat en question ait agi à "un autre titre", soit dans des fonctions différentes. Tel n'est pas le cas du juge qui doit trancher à nouveau d'une cause suite à l'annulation de sa décision et au renvoi de la cause par l'autorité de recours, des juges d'appel qui ont à examiner à nouveau l'affaire qu'ils ont renvoyée à l'autorité inférieure ou du juge qui tranche plusieurs recours subséquents ou concomitants. La garantie du juge impartial ne commande pas non plus la récusation d'un juge au simple motif qu'il a, dans une procédure antérieure - voire dans la même affaire -, tranché en défaveur du requérant. La jurisprudence considère en effet que le magistrat appelé à statuer à nouveau après l'annulation d'une de ses décisions est en général à même de tenir compte de l'avis exprimé par l'instance supérieure et de s'adapter aux injonctions qui lui sont faites (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 73 s.)
2.7. En l'occurrence, le Juge intimé est certes membre tant du TAPEM (cf. https://www.vs.ch/web/tribunaux/tribunal-de-l-application-des-peines-et-mesures, consulté le 7 juillet 2020 à 10h40) que du Tmc (cf. https://www.vs.ch/web/tribunaux/tribunal-des-mesures-de-contrainte, consulté le 7 juillet 2020 à 10h41). Il est cependant établi que, dans le cas d'espèce, le Juge intimé est saisi en tant que membre du Tmc sur la problématique de la détention pour des motifs de sûreté dans le cadre de l'examen de la prolongation de la mesure institutionnelle ordonnée en avril 2015 contre le recourant. Il est également incontesté que le magistrat intimé n'est pas le membre du TAPEM en charge de la procédure au fond. Eu égard aux considérations précédentes en lien avec un éventuel rattachement du Tmc à une autre juridiction - notamment de première instance -, la configuration d'espèce - soit deux magistrats différents et n'agissant pas dans le cas d'espèce au nom de la même autorité judiciaire - est suffisante pour assurer les garanties d'indépendance et d'impartialité qu'exige l'<ref-law>, notamment quant à l'examen par un autre juge de la question matérielle. Cela vaut d'autant plus que le recourant ne remet pas en cause l'affirmation du Juge intimé relative à l'absence de traitement de sa part - à quelque titre que ce soit - de cause le concernant (cf. le constat y relatif dans l'arrêt attaqué p. 5 et les déterminations du Juge intimé du 12 juin 2020).
Le recourant ne fait pas valoir d'autres motifs de prévention, notamment au sens de l'art. 56 let. f CPP, à l'encontre du Juge intimé.
Partant, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en rejetant la demande de récusation formée par le recourant, faute de motif de prévention découlant de l'organisation structurelle du Tmc.
3.
Dans la cause 1B_311/2020, le recourant se plaint de violations des art. 5 CEDH, 5 al. 4 et 190 Cst. Il soutient à cet égard qu'il n'existerait aucune base légale permettant la détention pour des motifs de sûreté prononcée dans le cadre de l'examen d'une demande de prolongation d'une mesure thérapeutique institutionnelle (<ref-law>). Il se prévaut notamment de l'arrêt de la CourEDH I.L. c. Suisse du 3 décembre 2019 (requête n° 72939/16).
3.1. Aux termes de l'art. 5 par. 1 CEDH, toute personne a droit à la liberté et à la sûreté. Nul ne peut être privé de sa liberté, sauf dans les cas suivants et selon les voies légales, à savoir, notamment s'il est détenu régulièrement après condamnation par un tribunal compétent (let. a) ou s'il s'agit de la détention régulière d'une personne susceptible de propager une maladie contagieuse, d'un aliéné, d'un alcoolique, d'un toxicomane ou d'un vagabond (let. e). Pour respecter l'art. 5 par. 1 CEDH, la détention doit avoir lieu "selon les voies légales" et "être régulière". En la matière, la CEDH renvoie pour l'essentiel à la législation nationale et consacre l'obligation d'en respecter les normes de fond comme de procédure, mais elle exige de surcroît la conformité de toute privation de liberté au but de l'art. 5 CEDH : protéger l'individu contre l'arbitraire (arrêt de la CourEDH I.L. c. Suisse du 3 décembre 2019 [requête n° 72939/16], § 38).
Dans l'arrêt précité, la CourEDH a retenu qu'en l'absence de base légale spécifique - incontestée sur la détention pour des motifs de sûreté en cas de procédures indépendantes ultérieures relatives à la prolongation de mesures au sens de l'<ref-law> (arrêt 1B_111/2020 du 31 mars 2020 consid. 2.3 destiné à la publication) -, le maintien en détention d'une personne n'emportait pas violation de l'art. 5 CEDH lorsque qu'elle se basait sur une "jurisprudence ancienne et constante" (arrêt de la CourEDH I.L. c. Suisse du 3 décembre 2019 [requête n° 72939/16], § 48). Une pratique est notamment constante lorsqu'elle est fondée sur cinq précédents (arrêt de la CourEDH Laumont c. France du 8 novembre 2001 [requête n° 43626/98] § 27 et 51). Un seul précédent jurisprudentiel ne saurait en revanche constituer une base légale suffisamment précise, étant donc incompatible avec les principes de sécurité juridique; il en va de même de quatre précédents concernant des situations comparables, mais pas identiques (arrêt de la CourEDH I.L. c. Suisse du 3 décembre 2019 [requête n° 72939/16], § 52). La CourEDH a en conséquence considéré que le seul arrêt de principe du Tribunal fédéral concernant la problématique de la prolongation d'une mesure thérapeutique institutionnelle, à savoir l'<ref-ruling>, ne suffisait pas (arrêt de la CourEDH I.L. c. Suisse du 3 décembre 2019 [requête n° 72939/16], § 28, 51 et 53). En l'absence de jurisprudence constante du Tribunal fédéral, la question du critère de l' "ancienneté" a été laissée indécise (arrêt de la CourEDH I.L. c. Suisse du 3 décembre 2019 [requête n° 72939/16], § 54; arrêt 1B_111/2020 du 31 mars 2020 consid. 2.4 et 2.5 destiné à la publication).
Dans l'arrêt 1B_111/2020 du 21 mars 2020, destiné à la publication - ultérieur à l'arrêt susmentionné de la CourEDH -, le Tribunal fédéral a rappelé que l'application par analogie des dispositions sur la détention pour des motifs de sûreté en matière de procédures indépendantes ultérieures concernant notamment la prolongation de mesures thérapeutiques reposait sur une longue et constante jurisprudence (arrêt 1B_111/2020 du 31 mars 2020 consid. 2.7 destiné à la publication et les nombreux arrêts cités en lien avec des prononcés relatifs à des procédures ultérieures indépendantes en matière de placement institutionnel, d'internement ou de prolongation d'une mesure existante). En particulier, le Tribunal fédéral a relevé que lorsqu'une question juridique de principe était traitée et publiée au recueil officiel, tel n'était généralement pas le cas des décisions ultérieures la confirmant. Il a également considéré que des prononcés étaient identiques, respectivement comparables, lorsqu'ils traitaient de problématiques juridiques similaires et que leur solution concordait; en matière de détention pour des motifs de sûreté dans le cadre d'une procédure ultérieure indépendante, il est ainsi déterminant de savoir si l'exécution d'une peine ou d'une mesure privative de liberté par la personne concernée entre sérieusement en considération, que ce soit à titre de placement en institution/internement ou de prolongation d'une mesure en cours (arrêt 1B_111/2020 du 31 mars 2020 consid. 2.6 destiné à la publication; voir également la teneur de l'<ref-law> du projet de révision du Code de procédure pénale d'août 2019 [FF 2019 6347 6447 s.]).
3.2. Eu égard à ces considérations, respectivement aux arrêts ultérieurs confirmant cette appréciation (dont dernièrement les arrêts 1B_207/2020 du 26 mai 2020 consid. 3, 1B_160/2020 du 28 avril 2020 consid. 2), il apparaît qu'une base légale suffisante - fondée sur une longue et constante jurisprudence du Tribunal fédéral - permet, par une application par analogie des <ref-law>, le placement en détention pour des motifs de sûreté dans le cadre d'une procédure ultérieure indépendante relative à la prolongation d'une mesure institutionnelle au sens de l'<ref-law>.
Partant, ce premier grief est écarté.
4.
Selon le recourant, la décision ordonnant la détention pour des motifs de sûreté était illicite, faute de risque de récidive justifiant cette mesure (art. 221 al. 1 let. c CPP).
4.1. En vertu de l'art. 221 al. 1 let. c CPP, la détention provisoire peut être ordonnée lorsqu'il y a sérieusement lieu de craindre que le prévenu "compromette sérieusement la sécurité d'autrui par des crimes ou des délits graves après avoir déjà commis des infractions du même genre". Cette disposition pose trois conditions pour admettre un risque de récidive. En premier lieu, le prévenu doit en principe déjà avoir commis des infractions du même genre et il doit s'agir de crimes ou de délits graves. Deuxièmement, la sécurité d'autrui doit être sérieusement compromise. Troisièmement, une réitération doit, sur la base d'un pronostic, être sérieusement à craindre (<ref-ruling> consid. 2.5 p. 14).
La gravité de l'infraction dépend, outre de la peine menace prévue par la loi, de la nature du bien juridique menacé et du contexte, notamment la dangerosité présentée concrètement par le prévenu, respectivement son potentiel de violence. La mise en danger sérieuse de la sécurité d'autrui par des crimes ou des délits graves peut en principe concerner tout type de biens juridiquement protégés. Ce sont en premier lieu les délits contre l'intégrité corporelle et sexuelle qui sont visés (<ref-ruling> consid. 2.6 et 2.7 p. 14 s.). Pour établir le pronostic de récidive, les critères déterminants sont la fréquence et l'intensité des infractions poursuivies. Cette évaluation doit prendre en compte une éventuelle tendance à l'aggravation telle qu'une intensification de l'activité délictuelle, une escalade de la violence ou une augmentation de la fréquence des agissements. Les caractéristiques personnelles du prévenu doivent en outre être évaluées (<ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 13; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 86).
En général, la mise en danger de la sécurité d'autrui est d'autant plus grande que les actes redoutés sont graves. En revanche, le rapport entre gravité et danger de récidive est inversement proportionnel. Cela signifie que plus l'infraction et la mise en danger sont graves, moins les exigences seront élevées quant au risque de réitération. Lorsque la gravité des faits et leurs incidences sur la sécurité sont particulièrement élevées, on peut ainsi admettre un risque de réitération à un niveau inférieur. Il demeure qu'en principe le risque de récidive ne doit être admis qu'avec retenue comme motif de détention. Dès lors, un pronostic défavorable est nécessaire (et en principe également suffisant) pour admettre l'existence d'un tel risque (<ref-ruling> consid. 2.9 p. 17).
Bien qu'une application littérale de l'art. 221 al. 1 let. c CPP suppose l'existence d'antécédents, le risque de réitération peut être également admis dans des cas particuliers alors qu'il n'existe qu'un antécédent, voire aucun dans les cas les plus graves. La prévention du risque de récidive doit en effet permettre de faire prévaloir l'intérêt à la sécurité publique sur la liberté personnelle du prévenu (<ref-ruling> consid. 3 et 4 p. 18). Le risque de récidive peut également se fonder sur les infractions faisant l'objet de la procédure pénale en cours, si le prévenu est fortement soupçonné de les avoir commises (<ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 12).
4.2. En l'occurrence, il n'est pas contesté qu'un risque élevé de récidive a été relevé dans les rapports d'expertises psychiatriques de 2014 et de 2017. Cela étant, celui-ci concernait principalement des infractions contre l'honneur (menaces, injures). Ces chefs de prévention ne constituent manifestement pas des délits graves faute de mettre en principe en danger la sécurité d'autrui. A cette première constatation s'ajoute le fait que la majorité des comportements délictueux reprochés au recourant ont été a priori réalisés à l'encontre du personnel soignant dans le cadre de ses prises en charge et/ou traitements (voir en particulier les faits retenus dans le jugement d'avril 2015 [cf. consid. 2 p. 4 dudit arrêt], la violence verbale et les menaces de mort à l'encontre du personnel de la Fondation D._ lors du séjour effectué entre septembre 2015 et février 2016, le comportement grossier - en particulier contre le personnel féminin - au Centre d'accueil pour adultes en difficulté lors de son séjour d'avril à juin 2016 [cf. p. 8 de l'arrêt attaqué]); or, il peut être rappelé que le recourant est anosognosique de son trouble et s'oppose aux traitements préconisés (cf. les rapports d'expertise de 2014 et 2017; cf. p. 7 de l'arrêt attaqué). Cela peut certes effectivement compliquer le travail du personnel médical, respectivement déclencher les actes redoutés, mais, dans un tel contexte, cela ne saurait suffire à considérer que la sécurité publique serait sérieusement mise en danger. C'est le lieu de relever que le seul acte de violence physique indiqué dans la décision attaquée semble avoir été commis dans des circonstances similaires (coups au personnel soignant au cours d'une hospitalisation en 2011 [cf. p. 8 de la décision entreprise]); le lieu et la date de cet événement permettent d'ailleurs de relativiser le risque retenu à cet égard dans les deux expertises. Eu égard à la nature des infractions redoutées et au cadre dans lequel celles-ci ont été réalisées, les difficultés entourant la prise en charge médicale du recourant - refus/abandon de traitement et/ou échecs de ceux entrepris - ne suffisent pas pour justifier le placement du recourant en détention pour des motifs de sûreté.
Vu cette configuration particulière - dont la mesure précédemment en cours fondée sur deux expertises - et sauf à violer le principe de proportionnalité, un motif de détention ne saurait pas non plus résulter du seul fait qu'une expertise psychiatrique était attendue. Il appartient en effet aux autorités d'agir en temps utile, que ce soit pour obtenir les rapports médicaux nécessaires, pour tenir compte de l'éventuel défaut de réalisation des conditions posées à l'<ref-law> et/ou pour assurer le suivi thérapeutique de l'intéressé, le cas échéant, en contactant les autorités civiles de protection de l'adulte; cette hypothèse peut d'autant plus entrer en considération lorsque la mesure tend avant tout à protéger l'intéressé de lui-même (cf. notamment <ref-law>).
Au vu des considérations précédentes, la cour cantonale a violé le droit fédéral en considérant qu'il existait un risque de récidive permettant le placement du recourant en détention pour des motifs de sûreté entre le 10 avril et le 2 juillet 2020.
5.
5.1. Dans la cause 1B_290/2020, le recours est rejeté.
Le recourant a demandé l'octroi de l'assistance judiciaire (<ref-law>). Eu égard à la question posée, son recours n'était pas d'emblée dénué de chances de succès et cette requête doit être admise. Par conséquent, il y a lieu de désigner Me Olivier Derivaz en tant qu'avocat d'office du recourant pour la procédure fédérale et de lui allouer une indemnité, fixée de manière forfaitaire, à titre d'honoraires, qui seront supportés par la caisse du Tribunal fédéral. Il n'est pas perçu de frais judiciaires (<ref-law>), ni alloué de dépens (art. 68 al. 3 LTF).
5.2. S'agissant de la cause 1B_311/2020, le recours est admis. L'arrêt attaqué est annulé et il est constaté que la détention pour des motifs de sûreté subie par le recourant entre le 10 avril et le 2 juillet 2020 ne se justifiait pas par un risque de récidive (cf. art. 221 al. 1 let. c CPP). La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision sur les frais et dépens.
Le recourant, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un avocat, a droit à des dépens à la charge du canton du Valais (<ref-law>). Il n'est pas perçu de frais judiciaires (<ref-law>). La requête d'assistance judiciaire est ainsi sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 1B_290/2020 et 1B_311/2020 sont jointes.
2.
Le recours dans la cause 1B_290/2020 est rejeté.
3.
La requête d'assistance judiciaire dans la cause 1B_290/2020 est admise. Me Olivier Derivaz est désigné comme avocat d'office du recourant et une indemnité de 1'500 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le recours 1B_311/2020 est admis. L'arrêt du 15 mai 2020 du Juge unique de la Chambre pénale du Tribunal cantonal valaisan est annulé. Il est constaté que la détention pour des motifs de sûreté subie par le recourant entre le 10 avril et le 2 juillet 2020 ne se justifiait pas par un risque de récidive. La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision sur les frais et dépens.
5.
La requête d'assistance judiciaire dans la cause 1B_311/2020 est sans objet.
6.
Une indemnité de dépens de 2'000 fr. est allouée au mandataire du recourant à la charge du canton du Valais.
7.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
8.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à l'Office des sanctions et des mesures d'accompagnement du canton du Valais, au Tribunal des mesures de contrainte du canton du Valais et au Juge unique de la Chambre pénale du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 4 août 2020
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Chaix
La Greffière : Kropf