Sachverhalt:
A.
Der im Januar 1964 geborene A._ meldete sich im Dezember 2002 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Mit Verfügung vom 27. Oktober 2005 sprach ihm die IV-Stelle Bern eine ganze Invalidenrente ab dem 1. September 2002 zu (Invaliditätsgrad 100 %). Mit Mitteilungen vom 5. Juni 2009, 25. Januar 2011 und 8. Mai 2013bestätigte sie einen unveränderten Anspruch. Im Februar 2016 leitete die Verwaltung erneut ein Revisionsverfahren ein. Nach Abklärungen, Sistierung der Rentenzahlung (Verfügung vom 6. September 2018) und Durchführung des Vorbescheidverfahrens hob sie die Rente mit Verfügung vom 6. August 2019 rückwirkend auf den 31. Oktober 2013 auf.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 30. Juni 2020 ab.
C.
A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, unter Aufhebung des Entscheids vom 30. Juni 2020 sei die IV-Stelle zu verpflichten, ihm auch über den 31. Oktober 2013 hinaus die gesetzlichen Leistungen, namentlich eine ganze Invalidenrente, zu gewähren; eventualiter sei die Invalidenrente im Sinne von <ref-law> (SR 831.201) erst auf Ende Oktober 2018 aufzuheben. Ferner ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist. Eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung weist damit die Tragweite von Willkür auf. Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erscheint. Eine Sachverhaltsfeststellung ist etwa dann offensichtlich unrichtig, wenn das kantonale Gericht den Sinn und die Tragweite eines Beweismittels offensichtlich falsch eingeschätzt, ohne sachlichen Grund ein wichtiges und für den Ausgang des Verfahrens entscheidendes Beweismittel nicht beachtet oder aus den abgenommenen Beweisen unhaltbare Schlüsse gezogen hat. Solche Mängel sind in der Beschwerde aufgrund des strengen Rügeprinzips (vgl. <ref-law>) klar und detailliert aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen; Urteil 9C_752/2018 vom 12. April 2019 E. 1.2).
2.
2.1. Ändert sich der Invaliditätsgrad eines Rentenbezügers erheblich, so wird die Rente von Amtes wegen oder auf Gesuch hin für die Zukunft entsprechend erhöht, herabgesetzt oder aufgehoben (<ref-law> [SR 830.1]). Anlass zur Rentenrevision gibt jede wesentliche Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen seit Zusprechung der Rente, die geeignet ist, den Invaliditätsgrad und damit den Anspruch zu beeinflussen. Insbesondere ist die Rente bei einer wesentlichen Änderung des Gesundheitszustandes revidierbar. Hingegen ist die lediglich unterschiedliche Beurteilung eines im Wesentlichen gleich gebliebenen Sachverhalts im revisionsrechtlichen Kontext unbeachtlich (<ref-ruling> E. 2.3 S. 10 f. mit Hinweisen). Weder eine im Vergleich zu früheren ärztlichen Einschätzungen ungleich attestierte Arbeitsunfähigkeit noch eine unterschiedliche diagnostische Einordnung des geltend gemachten Leidens genügt somit per se, um auf einen verbesserten oder verschlechterten Gesundheitszustand zu schliessen; notwendig ist in diesem Zusammenhang vielmehr eine veränderte Befundlage (SVR 2012 IV Nr. 18 S. 81, 9C_418/2010 E. 4.2; Urteil 9C_346/2019 vom 6. September 2019 E. 2.1.1 mit weiteren Hinweisen).
Die Herabsetzung oder Aufhebung einer Rente erfolgt frühestens vom ersten Tag des zweiten der Zustellung der Verfügung folgenden Monats an (<ref-law> [SR 831.201]) resp. rückwirkend ab Eintritt der für den Anspruch erheblichen Änderung, wenn der Bezüger die Leistung zu Unrecht erwirkt hat oder der ihm nach <ref-law> zumutbaren Meldepflicht nicht nachgekommen ist (<ref-law>, sowohl in der bis Ende 2014 als auch in der seither geltenden Fassung).
2.2. Bei der Beurteilung der Arbeits (un) fähigkeit stützt sich die Verwaltung und im Beschwerdefall das Gericht auf Unterlagen, die von ärztlichen und gegebenenfalls auch anderen Fachleuten zur Verfügung zu stellen sind. Ärztliche Aufgabe ist es, den Gesundheitszustand zu beurteilen und dazu Stellung zu nehmen, in welchem Umfang und bezüglich welcher Tätigkeiten die versicherte Person arbeitsunfähig ist. Hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes ist entscheidend, ob dieser für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge sowie der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen der Experten begründet sind (<ref-ruling> E. 3.2 S. 145; <ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352 mit Hinweis).
3.
Die Vorinstanz hat dem Gutachten der Academy of Swiss Insurance Medicine, Universitätsspital Basel (asim), vom 20. Oktober 2017Beweiskraft beigemessen und gestützt darauf eine uneingeschränkte Arbeitsfähigkeit seit dem 9. Oktober 2013 festgestellt. Weiter hat sie eine - im Vergleich zum Zustand bei der Rentenzusprache im Oktober 2005 - erhebliche Verbesserung des Gesundheitszustandes festgestellt und einen Revisionsgrund im Sinne von <ref-law> bejaht. Sodann hat das kantonale Gericht dem Beschwerdeführer vorgeworfen, er habe seine Meldepflicht verletzt, indem er der IV-Stelle verschwiegen habe, dass nunmehr ein psychischer Gesundheitsschaden fehle, was für ihn bereits mit dem Gutachten des Dienstes B._ vom 9. Oktober 2013 (das die Staatsanwaltschaft des Kantons Bern am 31. Mai 2016 der IV-Stelle zugesandt hatte) erkennbar gewesen sei. Schliesslich hat es die Notwendigkeit von (vorgängig durchzuführenden) Eingliederungsmassnahmen verneint und die rückwirkende Rentenaufhebung auf den 31. Oktober 2013 bestätigt.
4.
4.1. Es liegt keine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör resp. der Begründungspflicht vor, wenn eine sachgerechte Anfechtung des vorinstanzlichen Entscheids möglich war (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 436 mit Hinweisen; Urteil 9C_255/2020 vom 13. August 2020 E. 3.1), was hier zutrifft.
4.2.
4.2.1. Der Beschwerdeführer bestreitet zunächst die Beweiskraft des asim-Gutachtens und das Vorliegen eines Revisionsgrundes.
4.2.2. Laut verbindlicher (vgl. vorangehende E. 1) vorinstanzlicher Feststellung beruhte die Rentenzusprache vom 27. Oktober 2005 auf dem Gutachten des Zentrums für versicherungsmedizinische Begutachtung ZVMB GmbH (nachfolgend: ZVMB) vom 11. Juli 2005. Darin erhoben die Experten u.a. folgende Befunde: "desolater" Zustand, ausgeprägte Hypomimie, klinisch nur kurzzeitige Aufmerksamkeitsleistungen, unzureichende Orientierung betreffend Zeit, Ort und allgemeine Situation, verwaschener, einsilbiger, verlangsamter monotoner verbaler Ausdruck, Grundstimmung insgesamt verzweifelt, hoffnungslos, abgrundtief traurig und gequält, Hinweise für latente Suizidalität, emotional verarmte, verflachte Reaktion auf explorierte Themen, psychomotorische Hemmung, paranoid-halluzinatorische Phänomene. Sie führten aus, Hinweise für Aggravation oder Simulation hätten nicht gefunden werden können, und die zu erwartende Verdeutlichung habe sich sehr in Grenzen gehalten.
4.2.3. Der psychiatrische asim-Gutachter setzte sich einlässlich und nachvollziehbar mit früheren ärztlichen Einschätzungen auseinander. Er legte insbesondere überzeugend dar, weshalb er die Auffassungen des behandelnden (und über keinen Facharzttitel verfügenden) med. pract. C._ nicht teilte. Eine gesundheitliche Verbesserung erblickte er insbesondere im Umstand, dass der Versicherte seit dem letzten Klinikaufenthalt, der 2016 "wohl" im Zusammenhang mit einem Strafverfahren "geplant" erfolgte, nicht mehr in stationärer Behandlung gewesen war. Zudem ergab seine psychopathologische Befunderhebung weitgehend normale Resultate, die mit jenen des ZVMB-Gutachten s nicht vergleichbar sind. Entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers führte er - wie auch die neuropsychologischen Experten - einleuchtend aus, weshalb und inwiefern er bezüglich gewisser Symptome nicht von einer authentischen Präsentation, sondern von fehlender Kooperation und Aggravation resp. "wahrscheinlicher" Simulation ausging. Auch in diesem Zusammenhang gilt es zu berücksichtigen, dass die ärztliche Beurteilung naturgemäss unausweichlich Ermessenszüge trägt (<ref-ruling> E. 3.4.2.3 S. 253; Urteil 9C_397/2015 vom 6. August 2015 E. 5.3).
4.2.4. Nach dem Gesagten genügt dass asim-Gutachten sowohl hinsichtlich der erheblichen Sachverhaltsveränderung als auch der Einschätzung der Arbeitsfähigkeit den Anforderungen an die Beweiskraft (vgl. vorangehende E. 2.2). Diese wird auch nicht durch die nachträglichen Ausführungen des med. pract. C._ (etwa im Bericht vom 28. April 2019) erschüttert (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3b/bb und cc S. 353). Die entsprechende vorinstanzliche Beweiswürdigung und Sachverhaltsfeststellung sind nicht offensichtlich unrichtig und bleiben für das Bundesgericht verbindlich (vgl. vorangehende E. 1). Ohnehin beschränkt sich der Beschwerdeführer auf weiten Strecken darauf, die medizinischen Unterlagen abweichend von der Vorinstanz zu würdigen und daraus andere Schlüsse zu ziehen, was indessen nicht genügt (<ref-ruling> E. 1.3 S. 30; Urteil 9C_517/2019 vom 4. November 2019 E. 3.5; vgl. auch vorangehende E. 1).
4.3.
4.3.1. Weiter stellt der Beschwerdeführer eine (schuldhafte) Verletzung der Meldepflicht in Abrede und hält deswegen die rückwirkende Rentenaufhebung für unzulässig.
4.3.2. Ausgangspunkt für den Zeitpunkt der Rentenaufhebung ist Art. 88bis Abs. 2 IVV. Danach ist entscheidend, ob der Versicherte die Leistungen zu Unrecht erwirkte oder die ihm nach <ref-law> obliegende Meldepflicht verletzte (vorangehende E. 2. 1).
Das kantonale Gericht ist - wie die IV-Stelle - nicht von einer ursprünglich rechtswidrigen Rentenzusprache ausgegangen. Folglich fällt eine unrechtmässige Erwirkung der Leistung durch den Versicherten von vornherein ausser Betracht.
4.3.3. Zwar betrifft die Meldepflicht nach dem Wortlaut von <ref-law> explizit auch eine "wesentliche Änderung des Gesundheitszustandes". Diese Bestimmung kann jedoch - auch mit Blick auf <ref-law> - in guten Treuen nicht so verstanden werden, dass bei unterschiedlicher Auffassung über den Gesundheitszustand die versicherte Person verpflichtet wäre, das von ihr bestrittene Ergebnis der Begutachtung im Sinne einer Meldung an die Verwaltung vorwegzunehmen. Dies gilt jedenfalls, soweit keine Anhaltspunkte bestehen für eine Ausschöpfung der hinzugewonnenen Arbeitsfähigkeit oder für ausserhäusliche Aktivitäten, die mit dem geltend gemachten Leiden schlichtweg unvereinbar sind (Urteile 9C_561/2018 vom 8. Februar 2019 E. 5.4.3; 9C_582/2015 vom 9. März 2016 E. 3.3; 9C_343/2012 vom 11. Oktober 2012 E. 4.6).
In Bezug auf die - mit einer Strafdrohung verbundene (<ref-law> in Verbindung mit Art. 87 Abs. 1 und 6 AHVG) - Meldepflichtverletzung ist kein Strafverfahren aktenkundig. Im Fall des Urteils 9C_582/2015 vom 9. März 2016 E. 3.3 ging das Bundesgericht aufgrund einer Observierung davon aus, dass der Betroffene entgegen seinen Angaben in der Lage gewesen war, verschiedene ausserhäusliche Aktivitäten (Pneus mit einem Gewicht von 15 kg ausladen, abstellen und tragen, ein schweres Motorrad fahren) ohne sichtbare Einschränkung zu bewältigen. Hier dagegen sind (jedenfalls für den Zeitraum ab Kenntnis des FPD-Gutachtens vom 9. Oktober 2013) keine solchen Aktivitäten dokumentiert. Anders als die IV-Stelle anzunehmen scheint, war der Versicherte auch nicht verpflichtet, ihr jedes (auch von ihm für unzutreffend gehaltene) medizinische Dokument einzureichen. Die IV-Stelle selber - resp. deren Regionaler Ärztlicher Dienst - erachtete denn auch das Gutachten des Dienstes B._ nicht als zuverlässige Grundlage für die Beurteilung des gesundheitlichen Zustands resp. der Arbeitsfähigkeit, was Anlass gab für die Begutachtung durch die asim. Zwar hatte der Beschwerdeführer das G utachten des Dienstes B._ resp. das darin festgehaltene Fehlen eines Gesundheitsschadens verschwiegen, weil er sich davon Vorteile finanzieller Art und in Bezug auf ein Strafverfahren erhofft hatte, wie die Vorinstanz verbindlich (vorangehende E. 1) festgestellt hat. Das allein genügt indessen nicht für den Vorwurf einer schuldhaften Meldepflichtverletzung. Nach dem Gesagten durfte die Rente nicht rückwirkend, sondern erst ex nunc et pro futuro, d.h. (grundsätzlich; vgl. sogleich E. 4.4) auf Ende September 2019 aufgehoben werden.
4.4.
4.4.1. Schliesslich wehrt sich der Beschwerdeführer gegen die Rentenaufhebung ohne vorherige Durchführung von Eingliederungsmassnahmen.
4.4.2. Bei Versicherten, deren Rente revisionsweise herabgesetzt oder aufgehoben werden soll, sind nach mindestens fünfzehn Jahren Bezugsdauer oder wenn sie das 55. Altersjahr zurückgelegt haben, praxisgemäss in der Regel vorgängig Massnahmen zur Eingliederung durchzuführen, bis sie in der Lage sind, das medizinisch-theoretisch (wieder) ausgewiesene Leistungspotenzial mittels Eigenanstrengung auszuschöpfen und erwerblich zu verwerten. Ausnahmen von der diesfalls grundsätzlich ("vermutungsweise") anzunehmenden Unzumutbarkeit einer Selbsteingliederung liegen namentlich dann vor, wenn die langjährige Absenz vom Arbeitsmarkt auf invaliditätsfremde Gründe zurückzuführen ist, wenn die versicherte Person besonders agil, gewandt und im gesellschaftlichen Leben integriert ist oder wenn sie über besonders breite Ausbildungen und Berufserfahrungen verfügt. Verlangt sind immer konkrete Anhaltspunkte, die den Schluss zulassen, die versicherte Person könne sich trotz ihres fortgeschrittenen Alters und/oder der langen Rentenbezugsdauer mit entsprechender Absenz vom Arbeitsmarkt ohne Hilfestellungen wieder in das Erwerbsleben integrieren. Die IV-Stelle trägt die Beweislast dafür, dass die versicherte Person entgegen der Regel in der Lage ist, das medizinisch-theoretisch (wieder) ausgewiesene Leistungspotenzial auf dem Weg der Selbsteingliederung erwerblich zu verwerten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 211 mit zahlreichen Hinweisen und E. 6 S. 214 f.; Urteile 9C_574/2019 vom 16. Oktober 2019 E. 3.1 mit Hinweisen und 9C_183/2015 vom 19. August 2015 E. 5, in: SVR 2015 IV Nr. 41 S. 139).
Fehlt der Eingliederungswille bzw. die subjektive Eingliederungsfähigkeit, d.h. ist die Eingliederungsbereitschaft aus invaliditätsfremden Gründen nicht gegeben, darf die Rente ohne vorgängige Prüfung von Massnahmen der (Wieder-) Eingliederung und ohne Durchführung des Mahn- und Bedenkzeitverfahrens nach <ref-law> herabgesetzt oder aufgehoben werden. Berufliche Massnahmen können zwar unter anderem dazu dienen, subjektive Eingliederungshindernisse im Sinne einer Krankheitsüberzeugung der versicherten Person zu beseitigen. Es bedarf indessen auch diesfalls eines Eingliederungswillens bzw. einer entsprechenden Motivation der versicherten Person. Es sind insbesondere die gegenüber der Verwaltung und den medizinischen Experten gemachten Aussagen betreffend Krankheitsüberzeugung bzw. Arbeitsmotivation zu berücksichtigen. Ebenfalls von Belang sein können die im Vorbescheidverfahren und vor kantonalem Versicherungsgericht gemachten Ausführungen resp. gestellten Anträge (Urteile 9C_50/2020 vom 9. Juli 2020 E. 3.1; 9C_797/2018 vom 10. September 2019 E. 5.1, je mit Hinweisen).
4.4.3. Entgegen der Auffassung der IV-Stelle ist mit Blick auf den hier (grundsätzlich) massgebenden Zeitpunkt der Rentenaufhebung (vgl. vorangehende E. 4.3.3) die Rechtsprechung betreffend die Unzumutbarkeit der Selbsteingliederung (<ref-ruling> E. 5.1 S. 211; vgl. vorangehende E. 4.4.2) einschlägig.
Die Vorinstanz hat indessen die subjektive Eingliederungsfähigkeit des Versicherten verneint. Diesem Schluss hat sie insbesondere folgende Sachverhaltsfeststellungen zugrunde gelegt: Organisiert durch die Klinik D._ habe der Versicherte seit Jahren an zwei Morgen pro Woche je 2,5 Stunden in einer Tagesstätte gearbeitet (Papier und Altpapier von Hand zerreissen), wobei er (laut eigenen Angaben) in diesem geschützten Umfeld oder im ersten Arbeitsmarkt mehr (bis 100 %) arbeiten möchte. Aktenkundig seien aber namentlich täuschendes und manipulatives Verhalten resp. entsprechende Tendenzen, und es fehle jeglicher Versuch, die bereits seit Oktober 2013 vorhandene Arbeitsfähigkeit über die Tätigkeit am geschützten Arbeitsplatz hinaus zu verwerten.
4.4.4. Dass die soeben wiedergegebenen vorinstanzlichen Feststellungen offensichtlich unrichtig sein sollen, ist nicht ersichtlich und wird auch nicht substanziiert geltend gemacht. Auf die blosse appellatorische Kritik und abweichende Darstellung des Beschwerdeführers in diesem Zusammenhang ist nicht weiter einzugehen (vgl. vorangehende E. 4.2.4 in fine). Damit bleibt auch die vorinstanzliche Feststellung der fehlenden Eingliederungsbereitschaft (im Zeitpunkt der Rentenaufhebung) verbindlich (vorangehende E. 1). Dass das kantonale Gericht unter den gegebenen Umständen die Durchführung beruflicher Massnahmen vor der Rentenaufhebung für verzichtbar gehalten hat, stellt keine Bundesrechtsverletzung dar.
4.5. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde insoweit begründet, als die Rente nicht rückwirkend, sondern auf Ende September 2019 aufzuheben ist (vgl. vorangehende E. 4.3.3).
5.
Die Gerichtskosten sind entsprechend dem Ausmass des Obsiegens und Unterliegens aufzuteilen (<ref-law>). Der teilweise obsiegende Beschwerdeführer hat Anspruch auf eine reduzierte Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Soweit dadurch nicht gegenstandslos geworden, kann seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege entsprochen werden (<ref-law>). Er hat der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn er später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 30. Juni 2020 und die Verfügung der IV-Stelle Bern vom 6. August 2019 werden insoweit abgeändert, als die Invalidenrente auf Ende September 2019 aufgehoben wird. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwältin Anna Härry wird als unentgeltliche Anwältin bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 800.- werden zu Fr. 400.- dem Beschwerdeführer und zu Fr. 400.- der Beschwerdegegnerin auferlegt. Der Anteil des Beschwerdeführers wird vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Die Beschwerdegegnerin hat die Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1400.- zu entschädigen.
5.
Der Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1400.- ausgerichtet.
6.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern zurückgewiesen.
7.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 1. März 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Dormann