Faits :
A.
Par jugement du 11 octobre 2018, la Juge pénale du Tribunal de première instance du canton du Jura a déclaré A._ coupable de lésions corporelles simples, de voies de fait, de diffamation, d'injure, de menaces et d'infractions à la LCR. Elle l'a condamné à une peine pécuniaire de 90 jours-amende, le montant du jour-amende étant fixé à 10 francs, à une amende contraventionnelle de 300 francs et à 90 % des frais judiciaires le concernant, fixés à 7'286,60 francs.
Selon le même jugement, le frère de A._ a été libéré des préventions de soustraction d'une chose mobilière, de voies de fait, de vol, de dommages à la propriété et de diffamation. Il a en revanche été reconnu coupable d'injure et de menaces.
Par l'intermédiaire de l'avocate B._, A._ a déposé une déclaration d'appel le 18 février 2019 à l'encontre de ce jugement. Dans cet acte, il a sollicité le bénéfice de l'assistance judiciaire et la nomination de l'avocate B._ en vue de la procédure d'appel, comme ce fut le cas lors de la procédure de première instance. Par ordonnance du 19 mars 2019, la Cour pénale du Tribunal cantonal du canton du Jura a invité A._ à se prononcer sur le maintien de la défense d'office, respectivement de l'assistance judiciaire en seconde instance. Par courrier du 25 mars 2019, Me B._ a confirmé la demande d'assistance judiciaire, faisant valoir que A._ en bénéficiait dans la procédure de première instance, que sa situation financière ne s'était pas améliorée et que les circonstances ayant conduit à l'octroi de l'assistance judiciaire ne s'étaient pas modifiées.
Par décision du 3 avril 2019, le Président de la Cour pénale du Tribunal cantonal du canton du Jura a retiré l'assistance judiciaire gratuite au prénommé pour la procédure d'appel.
B.
Par acte du 7 mai 2019, A._ forme un recours au Tribunal fédéral contre la décision du 3 avril 2019, concluant à l'octroi de l'assistance judiciaire et implicitement à la nomination de B._ en tant que défenseur d'office. Il demande aussi à être dispensé des frais judiciaires dans la présente procédure.
Invité à se déterminer, le Président de la Cour pénale du Tribunal cantonal a conclu au rejet du recours. Le Ministère public du canton du Jura a quant à lui renoncé à présenter des observations.

Considérant en droit :
1.
Conformément à l'<ref-law>, une décision relative à la défense d'office dans une cause pénale peut faire l'objet d'un recours en matière pénale. Le recourant, prévenu et auteur de la demande de désignation d'un défenseur d'office, a qualité pour recourir (<ref-law>). Le refus de désigner un avocat d'office au prévenu est susceptible de lui causer un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 205; <ref-ruling> consid. 4 p. 338 s.).
Pour le surplus, le recours est formé en temps utile (<ref-law>) contre une décision rendue en dernière instance cantonale (<ref-law>) et les conclusions présentées sont recevables au regard de l'<ref-law>.
2.
Le recourant se plaint du refus de l'instance précédente de lui désigner un avocat d'office, invoquant une violation de l'<ref-law>.
2.1. En vertu de l'art. 29 al. 3 Cst., toute personne qui ne dispose pas de ressources suffisantes a droit, à moins que sa cause ne paraisse dépourvue de toute chance de succès, à l'assistance judiciaire gratuite. Si la sauvegarde de ses droits le requiert, elle a en outre le droit à la commission d'office d'un conseil juridique.
En dehors des cas de défense obligatoire visés à l'<ref-law>, l'<ref-law> soumet le droit à l'assistance d'un défenseur d'office aux conditions que le prévenu soit indigent et que la sauvegarde de ses intérêts justifie une telle assistance. S'agissant de la seconde condition, elle s'interprète à l'aune des critères mentionnés à l'art. 132 al. 2 et 3 CPP. Ainsi, les intérêts du prévenu justifient une défense d'office notamment lorsque la cause n'est pas de peu de gravité et qu'elle présente, sur le plan des faits ou du droit, des difficultés que le prévenu seul ne pourrait pas surmonter (<ref-law>). En tout état de cause, une affaire n'est pas de peu de gravité lorsque le prévenu est passible d'une peine privative de liberté de plus de quatre mois ou d'une peine pécuniaire de plus de 120 jours-amende (<ref-law>). Si les deux conditions mentionnées à l'<ref-law> doivent être réunies cumulativement, il n'est pas exclu que l'intervention d'un défenseur soit justifiée par d'autres motifs (comme l'indique l'adverbe "notamment"), en particulier dans les cas où cette mesure est nécessaire pour garantir l'égalité des armes ou parce que l'issue de la procédure pénale a une importance particulière pour le prévenu, par exemple s'il est en détention (arrêt 1B_93/2018 du 29 mai 2018 consid. 3.1 et les arrêts cités).
Les critères énoncés par l'art. 132 al. 1, let. b, 2 et 3 CPP reprennent largement la jurisprudence du Tribunal fédéral en matière d'assistance judiciaire, rendue sur la base des art. 29 al. 3 Cst. et 6 ch. 3 let. c CEDH (<ref-ruling> consid. 3.5; arrêt 1B_477/2011 du 4 janvier 2012 consid. 2.2). Selon cette jurisprudence, la désignation d'un défenseur d'office dans une procédure pénale est nécessaire lorsque le prévenu est exposé à une longue peine privative de liberté ou s'il est menacé d'une peine qui ne peut être assortie du sursis. Elle peut aussi l'être, selon les circonstances, lorsque le prévenu encourt une peine privative de liberté de quelques semaines à quelques mois si, à la gravité relative du cas, s'ajoutent des difficultés particulières du point de vue de l'établissement des faits ou des questions juridiques soulevées, qu'il ne serait pas en mesure de résoudre seul (<ref-ruling> consid. 3.5; arrêts 6B_243/2017 du 21 septembre 2017 consid. 2.2; 1B_167/2016 du 1 er juillet 2016 consid. 3.4). En revanche, lorsque l'infraction n'est manifestement qu'une bagatelle, en ce sens que son auteur ne s'expose qu'à une amende ou à une peine privative de liberté de courte durée, la jurisprudence considère que l'auteur n'a pas de droit constitutionnel à l'assistance judiciaire (<ref-ruling> consid. 3.5 et les références citées).
Pour évaluer ensuite si l'affaire présente des difficultés que le prévenu ne pourrait pas surmonter sans l'aide d'un avocat, il y a lieu d'apprécier l'ensemble des circonstances concrètes. La nécessité de l'intervention d'un conseil juridique doit ainsi reposer sur des éléments objectifs, tenant principalement à la nature de la cause, et sur des éléments subjectifs, fondés sur l'aptitude concrète du requérant à mener seul la procédure (arrêts 1B_93/2018 du 29 mai 2018 consid. 3.1; 1B_257/2013 du 28 octobre 2013 consid. 2.1 in SJ 2014 I p. 273).
S'agissant de la difficulté objective de la cause, à l'instar de ce qu'elle a développé en rapport avec les chances de succès d'un recours (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 397; <ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 135), la jurisprudence impose de se demander si une personne raisonnable et de bonne foi, qui présenterait les mêmes caractéristiques que le requérant mais disposerait de ressources suffisantes, ferait ou non appel à un avocat (<ref-ruling> consid. 9.1 p. 537; arrêt 1B_257/2013 du 28 octobre 2013 consid. 2.1 in SJ 2014 I p. 273). La difficulté objective d'une cause est admise sur le plan juridique lorsque la subsomption des faits donne lieu à des doutes, que ce soit de manière générale ou dans le cas particulier (arrêt 1B_93/2018 du 29 mai 2018 consid. 3.1).
Pour apprécier la difficulté subjective d'une cause, il faut tenir compte des capacités du prévenu, notamment de son âge, de sa formation, de sa plus ou moins grande familiarité avec la pratique judiciaire, de sa maîtrise de la langue de la procédure (arrêt 1B_257/2013 du 28 octobre 2013 consid. 2.1 in SJ 2014 I p. 273), ainsi que des mesures qui paraissent nécessaires, dans le cas particulier, pour assurer sa défense, notamment en ce qui concerne les preuves qu'il devra offrir (arrêt 1B_93/2018 du 29 mai 2018 consid. 3.1).
2.2. En l'espèce, le Président de la Cour pénale du Tribunal cantonal a considéré qu'il s'agissait d'une affaire de peu de gravité au sens de l'<ref-law>. Il a relevé l'absence d'appel ou d'appel-joint de la part du Ministère public et l'application de l'interdiction de la reformatio in pejus, en vertu de laquelle le recourant ne s'exposait pas à une peine pécuniaire supérieure à 90 jours-amende; de plus, la cause ne présentait pas de difficultés particulières en fait ou en droit, s'agissant d'un banal conflit familial; il y avait uniquement lieu de savoir si le recourant avait porté atteinte à l'honneur de son frère, menacé celui-ci et frappé son neveu; les faits étaient en outre partiellement admis par le recourant s'agissant des atteintes à l'honneur et les questions juridiques à trancher avaient déjà été examinées par la première instance. L'instance précédente a enfin souligné que le prénommé avait déjà été partie à plusieurs procédures pénales ou civiles devant les autorités judiciaires jurassiennes, de sorte qu'il était en mesure de défendre seuls ses intérêts dans une procédure pénale ne représentant aucune complexité particulière.
Le recourant critique cette appréciation et soutient que l'intervention d'un avocat est nécessaire pour requérir des preuves supplémentaires (audition de témoins), refusées par l'instance précédente. Il fait aussi valoir qu'il n'est pas universitaire, ne dispose pas de connaissances juridiques et a de la peine à comprendre le langage juridique. Il ne comprend pas pourquoi l'assistance judiciaire, qui lui avait été octroyée en première instance, lui a été retirée pour la procédure d'appel.
2.3. Par jugement du 11 octobre 2018, le recourant a été condamné à une peine pécuniaire de 90 jours-amende, à une amende contraventionnelle de 300 francs ainsi qu'au 90 % des frais judiciaires le concernant fixés à 7'286.80 francs. La peine pécuniaire est certes inférieure au seuil de 120 jours-amende énoncé à l'<ref-law>, à partir duquel une cause ne saurait être considérée comme étant de peu de gravité. Le fait que la peine n'atteint pas le seuil fixé par cette disposition ne permet cependant pas d'admettre automatiquement l'existence d'un cas de peu de gravité (cf. <ref-ruling> consid. 3.6; arrêts 1B_93/2018 du 29 mai 2018 consid. 3.3; 1B_167/2016 du 1 er juillet 2016 consid. 3.5). En l'occurrence, les circonstances qui avaient commandé l'assistance d'un défenseur d'office en première instance ne se sont pas modifiées lors de la procédure d'appel. En effet, la cause n'est pas dépourvue de toute complexité, contrairement à l'avis de l'instance précédente. Il sied d'abord de relever que le recourant fait appel à la fois en qualité de prévenu, en contestant les faits, leur qualification juridique et la peine prononcée, et à la fois en qualité de partie plaignante, en mettant en cause l'acquittement partiel de son frère. Cette double qualité complique la procédure et présente des difficultés que le prévenu a de la peine à surmonter seul.
S'ajoute à cela que le recourant a été condamné pour six infractions protégeant des biens juridiques de nature différente, ce qui entraîne l'application des règles sur le concours (<ref-law>), à propos desquelles le système légal et la jurisprudence ne sont pas simples à comprendre pour une personne non juriste.
Ensuite, quoi qu'en pense l'instance précédente, le fait que les questions juridiques qui se posent encore (preuve de la vérité ou de la bonne foi) ont déjà été examinées par le juge de première instance n'implique pas en soi que le prévenu n'ait pas besoin d'un avocat pour la procédure d'appel. Le recourant a par ailleurs vu ses réquisitions de preuve rejetées en première instance (audition de témoins). L'assistance d'un mandataire professionnel paraît justifiée à cet égard aussi. Le fait que le recourant ait déjà eu affaire à la justice ne modifie pas cette appréciation, compte tenu de l'ensemble des circonstances particulières du cas d'espèce.
Quant à la condition de l'indigence, il n'est pas contesté que le recourant ne dispose pas des moyens nécessaires à la rémunération d'un défenseur d'office.
Vu ces éléments, la nomination d'un avocat d'office apparaissait nécessaire à la sauvegarde des intérêts du recourant.
2.4. Partant, en refusant d'octroyer l'assistance judiciaire au recourant, l'instance précédente a violé le droit fédéral (<ref-law>).
3.
Il résulte de ce qui précède que le recours est admis. La décision du 3 avril 2019 est annulée. Le Tribunal fédéral statue lui-même sur le fond (<ref-law>), octroie l'assistance judiciaire gratuite au recourant pour la procédure d'appel et désigne Me B._ en tant qu'avocate d'office du recourant.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis et la décision du 3 avril 2019 est annulée. L'assistance judiciaire gratuite est octroyée au recourant pour la procédure d'appel. Me B._ est désignée en tant qu'avocate d'office.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Ministère public du canton du Jura, à Me B._ et au Président de la Cour pénale du Tribunal cantonal du canton du Jura.
Lausanne, le 29 juillet 2019
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Chaix
La Greffière : Tornay Schaller