Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer beantragte dem Regionalgericht Bern-Mittelland mit Klage vom 1. Juli 2020, die Beschwerdegegnerin sei zu verurteilen, sein Arbeitszeugnis dahingehend zu ändern, dass der Kündigungsgrund und der Hinweis auf die Geheimhaltungspflicht zu streichen seien. Zudem forderte er eine Genugtuung in der Höhe von Fr. 10'000.--. Mit Entscheid vom 28. Oktober 2021 verurteilte das Regionalgericht die Beschwerdegegnerin zur Streichung einer Passage aus dem Arbeitszeugnis; soweit weitergehend wies es die Klage ab.
Mit Entscheid vom 13. Dezember 2021 trat das Obergericht des Kantons Bern auf eine vom Beschwerdeführer gegen den regionalgerichtlichen Entscheid vom 28. Oktober 2021 erhobene Berufung wegen formeller Mängel der Rechtsmitteleingabe nicht ein.
Mit Eingabe vom 16. Dezember 2021 erklärte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern vom 13. Dezember 2021 mit Beschwerde anfechten zu wollen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 2.1).
2.1. Der Streitwert erreicht die Streitwertgrenze für eine Beschwerde in Zivilsachen gemäss <ref-law> nicht. Diese ist daher nur zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>), was die beschwerdeführende Partei aufzuzeigen hat (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer behauptet nicht, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt und es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern sich eine solche stellen könnte. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde in Zivilsachen nicht zulässig, sondern es steht die subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne der Art. 113-119 BGG offen.
2.2. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann ausschliesslich die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Diesbezüglich gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten nicht von Amtes wegen, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 in Verbindung mit <ref-law>). Dies bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.2; je mit weiteren Hinweisen).
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kam (Art. 118 Abs. 2 und <ref-law>), was die beschwerdeführende Partei präzise geltend zu machen hat (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.2). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-ruling> E. 7.1, 585 E. 4.1).
Neue tatsächliche Vorbringen und Beweismittel sind grundsätzlich ausgeschlossen und neue Begehren unzulässig (Art. 99 i.V.m. <ref-law>).
3.
Der Beschwerdeführer setzt sich in seiner Beschwerdeeingabe vom 16. Dezember 2021 nicht hinreichend mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids des Obergerichts des Kantons Bern vom 13. Dezember 2021 auseinander und zeigt nicht auf, inwiefern die Vorinstanz mit ihrem Nichteintretensentscheid verfassungsmässige Rechte verletzt hätte. Vielmehr unterbreitet er dem Bundesgericht in frei gehaltenen Ausführungen seine Sicht der Dinge und reicht in unzulässiger Weise verschiedene neue Beweismittel ein. Die Eingabe vom 16. Dezember 2021 erfüllt damit die erwähnten Begründungsanforderungen offensichtlich nicht.
Auf die Beschwerde ist somit mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (<ref-law>).
4.
Der Beschwerdeführer wird bei diesem Verfahrensausgang kostenpflichtig (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin steht keine Parteientschädigung zu, da ihr aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Februar 2022
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Leemann