Sachverhalt:
A.
A.A._ wurde im Jahr 1967 geboren und ist slowakische Staatsangehörige. Sie reiste 1996 zusammen mit ihrem ersten Sohn (geboren 1989) in die Schweiz ein und heiratete hier einen Schweizer Bürger. Aufgrund dieser Ehe verfügt sie über eine Niederlassungsbewilligung. Die Ehe wurde 2006 geschieden. In der Folge lebte A.A._ zwei Jahre in einer neuen Beziehung mit einem anderen Schweizer. Nach der Trennung hielt das Paar sporadisch Kontakt, woraus der zweite Sohn von A.A._, B.A._ (geboren im Jahr 2010), hervorging. Er wurde durch den Vater anerkannt und erhielt das Schweizer Bürgerrecht. Der Vater kommt seiner Unterhaltspflicht nach und nimmt sein Besuchsrecht regelmässig wahr.
Am 19. Oktober 2012 reichte A.A._ bei der Einwohnergemeinde Langenthal, in der sie seit 1996 mit einem zweijährigen Unterbruch (2007-2009) wohnt, ein Gesuch um Einbürgerung ein. Mit Verfügung vom 24. April 2015 wies die Gemeinde das Begehren um Zusicherung des Gemeindebürgerrechts ab, weil A.A._ Sozialhilfe bezogen und nicht zurückbezahlt hatte und weiterhin sozialhilfeabhängig war.
Die hiergegen von A.A._ am 28. Mai 2015 erhobene Beschwerde wies das Regierungsstatthalteramt Oberaargau mit Entscheid vom 21. Januar 2016 ab. In der Folge gelangte A.A._ ans Verwaltungsgericht des Kantons Bern. Mit Urteil vom 24. April 2018 wies dieses ihre Verwaltungsgerichtsbeschwerde ebenfalls ab.
B.
Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 28. Mai 2018 beantragt A.A._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei insoweit aufzuheben, als damit ihre Verwaltungsgerichtsbeschwerde abgewiesen wurde, und es sei ihr das Gemeindebürgerrecht von Langenthal zuzusichern.
Die Einwohnergemeinde Langenthal beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Regierungsstatthalteramt hat auf eine Stellungnahme verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Sinne von <ref-law> ist gemäss <ref-law> gegen Entscheide über die ordentliche Einbürgerung ausgeschlossen. Eine andere ordentliche Beschwerde fällt nicht in Betracht. Damit ist die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss <ref-law> im Grundsatz gegeben.
1.2. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann nach <ref-law> die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden. Zur Beschwerde ist gemäss <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Die in <ref-law> genannte Voraussetzung ist erfüllt. Das nach <ref-law> erforderliche rechtlich geschützte Interesse kann durch kantonales oder eidgenössisches Gesetzesrecht oder unmittelbar durch ein spezielles Grundrecht oder bundesverfassungsrechtliche Verfahrensgarantien begründet sein (<ref-ruling> E. 4 S. 191 und E. 6.2 S. 199; <ref-ruling> E.1 S. 219; je mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung des Diskriminierungsverbots gemäss <ref-law>. Dazu ist sie legitimiert (vgl. zum Ganzen: <ref-ruling> E. 1 S. 308 ff. mit Hinweisen).
1.3. Nicht einzutreten ist auf die Rüge der Verletzung von Art. 14 EMRK. Bereits aus dem klaren Wortlaut der Bestimmung ergibt sich, dass sie nicht ein allgemeines Diskriminierungsverbot darstellt, sondern nur in Bezug auf die in der Konvention anerkannten Rechte zum Tragen kommt (Urteil des EGMR Glor gegen die Schweiz vom 30. April 2009, Nr. 13444/04, E. 45). Die Beschwerdeführerin legt jedoch nicht dar, dass vorliegend der Schutzbereich eines Konventionsrechts betroffen wäre (<ref-law>).
2.
Auf den 1. Januar 2018 sind im Kanton Bern das totalrevidierte Gesetz vom 13. Juni 2017 über das Kantons- und Gemeindebürgerrecht (Kantonales Bürgerrechtsgesetz, KBüG; BSG 121.1) sowie die Verordnung vom 20. September 2017 über das Kantons- und Gemeindebürgerrecht (Kantonale Bürgerrechtsverordnung, KBüV; BSG 121.111) und auf eidgenössischer Ebene das Bundesgesetz vom 20. Juni 2014 über das Schweizer Bürgerrecht (Bürgerrechtsgesetz, BüG; SR 141.0) in Kraft getreten. Gemäss Art. 30 Abs. 1 KBüG und <ref-law> werden vor dem Inkrafttreten dieser Gesetze eingereichte Einbürgerungsgesuche nach den Bestimmungen des bisherigen Rechts behandelt. Vorliegend sind somit das alte Gesetz vom 9. September 1996 über das Kantons- und Gemeindebürgerrecht (aKBüG; BAG 97-23), die alte Verordnung vom 1. März 2006 über das Einbürgerungsverfahren (Einbürgerungsverordnung, aEbüV; BAG 06-36) sowie das Bundesgesetz vom 29. September 1952 über Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts (Bürgerrechtsgesetz, aBüG; AS 1952 1087) anwendbar.
3.
3.1. <ref-law> regelt die Zuständigkeiten von Bund und Kantonen beim Erwerb und Verlust des Bürgerrechts. Nach <ref-law> erlässt der Bund Mindestvorschriften über die Einbürgerung von Ausländerinnen und Ausländern durch die Kantone und erteilt die Einbürgerungsbewilligung. Abs. 2 ergänzt Abs. 1, wonach der Bund den Erwerb und Verlust der Bürgerrechte durch Abstammung, Heirat und Adoption sowie den Verlust aus anderen Gründen und die Wiedereinbürgerung regelt. Abs. 2 betrifft damit in erster Linie die ordentliche Einbürgerung, um die es auch im vorliegenden Fall geht. Nach der Rechtsprechung ist es den Kantonen grundsätzlich erlaubt, über die in dieser Bestimmung ausdrücklich als Mindestvorschriften bezeichneten Voraussetzungen des Bundes für die ordentliche Einbürgerung hinauszugehen (Urteil 1D_1/2014 vom 1. Oktober 2014 E. 3.6 mit Hinweisen auf Rechtsprechung und Literatur). Die zusätzlichen kantonalen Einbürgerungsvoraussetzungen müssen allerdings auch mit dem übrigen Verfassungsrecht und vor allem mit den Grundrechten vereinbar sein. Insbesondere dürfen sie nicht zu unsachlichen oder diskriminierenden Unterscheidungen führen oder eine Einbürgerung übermässig erschweren, so dass eine solche kaum mehr erreichbar wäre (dazu und zum Ganzen: Urteil 1D_3/2014 vom 11. März 2015 E. 2.4 mit Hinweisen).
3.2. Am 24. November 2013 nahm das Stimmvolk des Kantons Bern die mit der kantonalen Volksinitiative "Keine Einbürgerung von Verbrechern und Sozialhilfeempfängern" unterbreitete Änderung von Art. 7 der Verfassung des Kantons Bern vom 6. Juni 1993 (KV/BE; SR 131.212) an. Die revidierte Bestimmung trat am 11. Dezember 2013 in Kraft (Gewährleistung durch die Bundesversammlung am 11. März 2015, vgl. BBl 2015 3035 ff.) und hat folgenden Wortlaut:
Art. 7 Bürgerrecht
1 Erwerb und Verlust des Kantons- und Gemeindebürgerrechts werden im Rahmen des Bundesrechts durch die Gesetzgebung unter Vorbehalt folgender Grundsätze geregelt.
2 Das Kantonsbürgerrecht beruht auf dem Gemeindebürgerrecht.
3 Nicht eingebürgert wird namentlich, wer:
a wegen eines Verbrechens rechtskräftig verurteilt worden ist oder wer für eine Straftat zu einer Freiheitsstrafe von mindestens zwei Jahren rechtskräftig verurteilt worden ist;
b Leistungen der Sozialhilfe bezieht oder bezogene Leistungen nicht vollumfänglich zurückgezahlt hat;
c nicht nachweislich über gute Kenntnisse einer Amtssprache verfügt;
d nicht nachweislich über ausreichende Kenntnisse des schweizerischen und kantonalen Staatsaufbaus und seiner Geschichte verfügt;
e nicht über eine Niederlassungsbewilligung verfügt.
4 Es besteht kein Anspruch auf Einbürgerung.
Der Anwendungsbereich von Art. 7 Abs. 3 lit. b KV/BE wird in zeitlicher Hinsicht durch das kantonale Verordnungsrecht begrenzt, indem dieses den Nachweis verlangt, dass in den letzten zehn Jahren keine Sozialhilfe bezogen bzw. in Anspruch genommene Leistungen vollumfänglich zurückbezahlt wurden (Art. 3 Abs. 2 und Art. 11 Abs. 2 lit. h aEbüV).
3.3. Das Bundesgericht hat mit Urteil 1D_4/2016 vom 4. Mai 2017 festgehalten, dass Art. 7 Abs. 3 lit. b KV/BE unmittelbar anwendbar ist und damit auch ohne Ausführungsgesetzgebung auf einbürgerungswillige Personen Anwendung findet. Weiter legte das Bundesgericht dar, der Verweis in Art. 7 Abs. 1 KV/BE sei so zu verstehen, dass die Grundrechte der Bundesverfassung im Einzelfall zu beachten seien. Der Regierungsrat des Kantons Bern habe zwecks verfassungskonformer direkter Anwendung der neuen Bestimmung die EbüV angepasst und die einschlägige Wegleitung teilweise geändert, was nicht zu beanstanden sei. Konkretisierungsbedürftig sei einzig gewesen, wie lange früher erfolgte Sozialhilfebezüge in zeitlicher Hinsicht zu berücksichtigen seien, was auf Verordnungsstufe habe geregelt werden können. Die Zehn-Jahres-Frist konkretisiere die Verhältnismässigkeit in zeitlicher Hinsicht. Die Wegleitung halte fest, dass der (nicht selbstverschuldete oder selbstverschuldete) Sozialhilfebezug, wenn er wegen einer körperlichen, geistigen oder psychischen Behinderung oder während der Minderjährigkeit erfolgt sei, kein Einbürgerungshindernis darstelle (ein allfälliger Sozialhilfebezug durch die Eltern werde Minderjährigen nicht angerechnet). Damit werde kein neues Recht gesetzt, sondern das Diskriminierungsverbot (<ref-law>) und die Rechtsprechung des Bundesgerichts (<ref-ruling>) konkretisiert (Urteil 1D_4/2016 vom 4. Mai 2017 E. 2.6 f. mit Hinweisen, in: ZBl 119/2018 S. 143).
4.
4.1. In tatsächlicher Hinsicht legte das Verwaltungsgericht dar, die Beschwerdeführerin habe von März bis Mai 2010 sowie von Ende November 2010 bis Ende Januar 2015 für sich und ihren Sohn wirtschaftliche Hilfe im Umfang von Fr. 94ʹ385.-- erhalten. Gemäss den Akten dürfte sich dieser Betrag im weiteren Verlauf des Jahres 2015 um rund Fr. 6ʹ000.-- erhöht haben. Im Jahr 2016 habe sich der Sozialhilfebezug mutmasslich noch auf rund Fr. 4ʹ300.-- belaufen (monatlicher Fehlbetrag von Fr. 360.-- gemäss Sozialhilfebudget 2016). Der Sozialhilfebezug sei unbestritten, desgleichen, dass er zumindest teilweise auf die Beschwerdeführerin selbst (nicht auf ihr Kind) entfalle. Folglich sei sachverhaltlich von im massgeblichen Zeitraum bezogenen, nicht zurückbezahlten Sozialhilfeleistungen auszugehen, weiter von einem bis heute andauernden Sozialhilfebezug, der sich allerdings wie bereits 2016 in bescheidenem Rahmen halten dürfte.
4.2. Gestützt auf diese Feststellungen hielt das Verwaltungsgericht fest, die Einbürgerung sei gemäss Art. 7 Abs. 3 lit. b KV grundsätzlich ausgeschlossen. Die Beschwerdeführerin bestreitet dies nicht. Umstritten ist allerdings, ob dieser Ausschluss vor dem Diskriminierungsverbot standhält.
4.3. Gemäss <ref-law> darf niemand diskriminiert werden, namentlich nicht wegen der Herkunft, der Rasse, des Geschlechts, des Alters, der Sprache, der sozialen Stellung, der Lebensform, der religiösen, weltanschaulichen oder politischen Überzeugung oder wegen einer körperlichen, geistigen oder psychischen Behinderung. Die Diskriminierung stellt eine qualifizierte Ungleichbehandlung von Personen in vergleichbaren Situationen dar, indem sie eine Benachteiligung von Menschen bewirkt, die als Herabwürdigung oder Ausgrenzung einzustufen ist, weil sie an Unterscheidungsmerkmalen anknüpft, die einen wesentlichen und nicht oder nur schwer aufgebbaren Bestandteil der Identität der betroffenen Personen ausmachen. Der Schutz der Verfassungsbestimmung fällt allgemein in Betracht, wenn eine mehr oder weniger bestimmbare Gruppe von gesellschaftlicher Herabwürdigung und Abwertung oder Ausgrenzung nach stereotypen Vorurteilen bedroht ist. Das Diskriminierungsverbot gemäss <ref-law> schliesst indes die Anknüpfung an ein verpöntes Merkmal - wie beispielsweise die soziale Stellung - nicht absolut aus. Eine solche begründet zunächst lediglich den blossen Verdacht einer unzulässigen Differenzierung. Diese kann indes durch eine qualifizierte Rechtfertigung umgestossen werden. Eine indirekte oder mittelbare Diskriminie-rung liegt demgegenüber vor, wenn eine Regelung, die keine offensichtliche Benachteiligung von spezifisch gegen Diskriminierung geschützten Gruppen enthält, in ihren tatsächlichen Auswirkungen Angehörige einer solchen Gruppe besonders benachteiligt, ohne dass dies sachlich begründet wäre (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 250 f. mit Hinweisen).
4.4. Das Verwaltungsgericht prüfte eine Diskriminierung unter den Gesichtspunkten der sozialen Stellung, der Behinderung, des Geschlechts und der Eigenschaft als alleinerziehende Person. Es kam zum Schluss, dass keine Anknüpfung an ein verpöntes Merkmal vorliege bzw. dass eine qualifizierte Rechtfertigung bestehe. Die Beschwerdeführerin bestreitet dies.
5.
5.1. Zunächst macht die Beschwerdeführerin eine Diskriminierung aufgrund der sozialen Stellung geltend. Sie werde als Sozialhilfeempfängerin einer Gruppe von Menschen zugerechnet, die in der historischen und gegenwärtigen Realität durch negative gesellschaftliche Zuschreibungen definiert werde. Diese Zuschreibungen manifestierten sich insbesondere dadurch, dass ihre Situation als selbstverschuldet, als generelles, in ihrer Person liegendes Unvermögen oder als Folge eines liederlichen Lebenswandels oder schlicht als Faulheit gewertet werde. Das Verwaltungsgericht gehe von unrealistischen Annahmen aus, wenn es annehme, sie könne sich über kurz oder lang von der Sozialhilfe lösen.
5.2. In <ref-ruling> hat sich das Bundesgericht eingehend mit der Frage der Diskriminierung von sozialhilfeabhängigen Personen auseinandergesetzt. Trotz des Umstands, dass zum Merkmal der sozialen Stellung auch die wirtschaftliche Leistungsfähigkeit gehören könne, hat es ausgeführt, dass Personen, die auf Sozialhilfe angewiesen sind, im Zusammenhang mit der Einbürgerung kaum als verfassungsrechtlich geschützte Gruppe verstanden werden könnten. Zu unterschiedlich seien die zur Sozialhilfe führenden Gegebenheiten. Die Abhängigkeit von der Sozialhilfe stelle nicht zwingend ein wesentliches Merkmal der Persönlichkeit dar und könne abgelegt werden. Auch könnten der Rechtsprechung im Allgemeinen und der Gesetzgebung im Bereich des Ausländerrechts im Speziellen keine Anhaltspunkte für das Bestehen einer geschützten Gruppe entnommen werden. Schliesslich konnte die Frage mit Blick auf die im Vordergrund stehende Behinderung der damaligen Beschwerdeführerin offenbleiben (a.a.O., E. 5 S. 56 ff. mit Hinweisen). In <ref-ruling> wies das Bundesgericht die Beschwerde einer jungen Frau ab, die auf Sozialhilfe angewiesen war und deshalb die im kantonalen Recht verankerte Voraussetzung der wirtschaftlichen Selbsterhaltungsfähigkeit nicht erfüllte. Mit Blick auf ihre Abstammung von nicht vermögenden Eltern hielt es fest, dass nicht von einem Diskriminierungstatbestand gesprochen werden könne. Von Bedeutung sei, dass die Frage der Abstammung nur vorübergehend von Bedeutung sei und die Benachteiligung mit der Aufnahme einer eigenständigen Erwerbstätigkeit entfalle (a.a.O., nicht publ. E. 3.2 und E. 4 S. 312 ff. mit Hinweisen).
5.3. Vor dem Hintergrund dieser Rechtsprechung prüfte das Verwaltungsgericht zu Recht vorab, ob angesichts der persönlichen Situation der Beschwerdeführerin die Sozialhilfeabhängigkeit als wesentlicher und nicht oder nur schwer aufgebbarer Bestandteil ihrer Identität bezeichnet werden kann. Dabei berücksichtigte es, dass sie sich trotz Migrationshintergrund und Erwerbstätigkeit im Niedriglohnbereich bis zur Geburt ihres zweiten Sohnes finanziell selbst erhalten konnte und bis ins Jahr 2010 keine Sozialhilfe beziehen musste. Seither sei sie zwar sozialhilfeabhängig, habe den monatlichen Unterstützungsbeitrag der Gemeinde jedoch von ca. Fr. 1ʹ427.-- im Jahr 2013 auf etwa Fr. 360.-- im Jahr 2016 senken können. Ihr Sohn sei im August 2017 eingeschult worden, was ihre berufliche Flexibilität wohl weiter erhöht habe. Angesichts dessen und mit Blick auf den zuletzt bekannten Unterstützungsbetrag dürfte es ihr über kurz oder lang möglich sein, sich vollständig von der Sozialhilfe zu lösen. Um dieses Ziel zu erreichen, müsse sie nicht, wie sie vorbringe, vollzeitlich erwerbstätig sein, und es treffe nicht zu, dass es ihr auf lange Zeit hin verunmöglicht sei, mehr zu arbeiten. - Es erscheint zutreffend, wenn das Verwaltungsgericht gestützt auf diese Erwägungen davon ausging, die Beschwerdeführerin sei nur vorübergehend in ihrer wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit eingeschränkt. Der angefochtene Entscheid hält deshalb in diesem Punkt vor dem Diskriminierungsverbot stand.
6.
6.1. Die Beschwerdeführerin bringt weiter vor, aufgrund der zeitweisen Behinderung ihres Sohnes "assoziiert" diskriminiert worden zu sein. Da sich die Krankheit auf die ersten drei Lebensjahre erstreckt habe, sei von einer langfristigen Einschränkung auszugehen. Das Verwaltungsgericht hielt dazu fest, dass eine assoziierte Diskriminierung vorliege, wenn eine Person benachteiligt werde, weil eine Drittperson tatsächliche oder mutmassliche Trägerin eines Diskriminierungsmerkmals sei. Vorausgesetzt sei, dass das Diskriminierungsmerkmal der Drittperson sich direkt auf die Betroffenen auswirke. Es verwies in dieser Hinsicht auf das Urteil 1D_8/2009 vom 19. Januar 2011 und auf <ref-ruling>. Im erstgenannten Entscheid hat das Bundesgericht eine derartige Auswirkung hinsichtlich der Invalidität und der damit verbundenen Sozialhilfeabhängigkeit des Vaters auf die Tochter verneint; die Invalidität wirke sich nicht direkt auf die Tochter aus, weshalb deren Nichteinbürgerung wegen fehlender wirtschaftlicher Selbsterhaltungsfähigkeit nicht diskriminierend sei (a.a.O., E. 4.3). Im letztgenannten Entscheid wurde hingegen die assoziierte Diskriminierung eines Mannes bejaht, dessen Einbürgerung durch die Gemeinde verweigert worden war, einzig weil seine Ehefrau das islamische Kopftuch trug. Der Mann sei in spezifischer Weise gegenüber anderen Gesuchstellern ungleich behandelt worden, ohne dass sich diese Ungleichbehandlung qualifiziert begründen lasse (a.a.O., E. 5.2 S. 62 ff. mit Hinweisen).
6.2. Aus dem angefochtenen Entscheid ergibt sich, dass beim Sohn B.A._ am Ende seines ersten Lebensjahrs eine rezidivierende obstruktive Bronchitis auftrat, weshalb er im zweiten Lebensjahr (2012) gehäuft krank war, immer wieder inhalieren musste und wiederholt Konsultationen im Kinderspital notwendig waren. Im dritten Lebensjahr (2013) hatte sich die Situation stabilisiert und der Betreuungsaufwand abgenommen; B.A._ konnte während drei Tagen pro Woche die Kindertagesstätte besuchen. Ab August 2015 war er im Kindergarten und wurde an insgesamt vier Tagen extern betreut. Wegen des intensiven Betreuungsbedarfs konnte die Beschwerdeführerin im Jahr 2012 und wohl einige Zeit danach nur eingeschränkt erwerbstätig sein. Bereits ab 2013 vermochte sie ihr Arbeitspensum aber zu erhöhen und in den Folgejahren konnte die monatliche Unterstützung durch die Sozialhilfe deutlich reduziert werden.
6.3. Das Verwaltungsgericht kam angesichts dieser Gegebenheiten zum Schluss, dass die frühere Krankheit des Kindes, welche schwergewichtig in dessen zweitem Lebensjahr eine intensive Betreuung durch die Mutter erforderlich machte, nicht als eine Behinderung im Sinne von <ref-law> zu qualifizieren sei. Entsprechend verneinte es eine assoziierte Diskriminierung.
6.4. Diese Einschätzung des Verwaltungsgerichts hält vor dem Diskriminierungsverbot stand. Gemäss <ref-law> bilden Personen mit einer körperlichen, geistigen oder psychischen Behinderung eine spezifische Gruppe. Es zählen dazu Personen, die in ihren körperlichen, geistigen oder psychischen Fähigkeiten auf Dauer beeinträchtigt sind und für welche die Beeinträchtigung je nach ihrer Form schwerwiegende Auswirkungen auf elementare Aspekte der Lebensführung hat. Mit Blick auf die Einbürgerung von Behinderten ist mithin entscheidend, ob ihnen insgesamt oder einer bestimmten abgrenzbaren Untergruppe von ihnen durch eine Rechtsnorm oder durch die Umsetzung derselben in der Praxis rechtlich oder faktisch dauernd verunmöglicht wird, sich einbürgern zu lassen (<ref-ruling> E. 7.2.4 S. 175; vgl. auch Art. 2 Abs. 1 des gestützt auf <ref-law> erlassenen Bundesgesetzes vom 13. Dezember 2002 über die Beseitigung von Benachteiligungen von Menschen mit Behinderungen [Behindertengleichstellungsgesetz, BehiG; SR 151.3] und dazu das zur Publikation bestimmte Urteil 2C_927/2017 vom 29. Oktober 2018 E. 5.2 mit Hinweisen). Obgleich "dauernd" in diesem Zusammenhang nicht notwendigerweise "für immer" bedeutet, so stellt eine Krankheit, die im dritten Jahr stabilisiert und geheilt werden kann, mit Blick auf die Möglichkeit der Einbürgerung keine hinreichend lange Beeinträchtigung dar. Dies gilt auch dann, wenn mit der Beschwerdeführerin davon auszugehen ist, dass die Erkrankung zu einer gewissen Verlangsamung der Entwicklung geführt hat.
Eine Diskriminierung aufgrund einer Behinderung liegt deshalb nicht vor. <ref-law> erweist sich in dieser Hinsicht als ebensowenig verletzt wie die von der Beschwerdeführerin ergänzend angerufene Bestimmung von Art. 5 des Übereinkommens vom 13. Dezember 2006 über die Rechte von Menschen mit Behinderungen (SR 0.109). Es kann damit offenbleiben, ob vor dem Hintergrund der in Erwägung 6.1 hiervor erwähnten Rechtsprechung bei der Beschwerdeführerin eine Diskriminierung hätte angenommen werden können, wenn eine Behinderung ihres Sohnes stattdessen zu bejahen gewesen wäre.
7.
7.1. Schliesslich prüfte das Verwaltungsgericht, ob die Beschwerdeführerin aufgrund ihres Geschlechts oder als Alleinerziehende oder allenfalls, im Sinne der sogenannten "intersektionellen" Diskriminierung, als alleinerziehende Frau diskriminiert werde. Eine (indirekte) Geschlechterdiskriminierung (vgl. dazu <ref-ruling> E. 6.1.2 S. 419) verneinte es, weil es keinen signifikanten Unterschied in der Sozialhilfequote bei Ausländerinnen und Ausländern gebe. Weiter erwog es, ob "alleinerziehend" als Lebensform im Sinne von <ref-law> betrachtet werden könne. Es liess die Frage letztlich offen, stellte jedoch eine besondere Benachteiligung von alleinerziehenden Frauen fest, da diese statistisch gesehen ein deutlich erhöhtes Risiko trügen, in Sozialhilfeabhängigkeit zu geraten. Allerdings verneinte es eine Diskriminierung, weil die Ungleichbehandlung auf einer qualifizierten Rechtfertigung beruhe. Dabei berücksichtigte es, dass die Sozialhilfeabhängigkeit der Beschwerdeführerin mit dem zunehmenden Alter ihres Sohnes weniger auf die Betreuungspflichten und mehr auf den Umstand, dass sie keine (zusätzliche) Arbeitsstelle gefunden habe, zurückzuführen sei. Mit derartigen Schwierigkeiten seien alle arbeitswilligen ausländischen Personen konfrontiert, nicht nur alleinerziehende.
7.2. Diese Beurteilung ist im Ergebnis nicht zu beanstanden. Wie aus der in Erwägung 5.2 hiervor zitierten Rechtsprechung hervorgeht, ist nicht nur von Bedeutung, ob die Sozialhilfeabhängigkeit mit einem Diskriminierungstatbestand im Sinne von <ref-law> zusammenhängt, sondern auch, ob dieser Zusammenhang dauernd oder nur vorübergehend ins Gewicht fällt. In dieser Hinsicht entscheidend erscheint der Umstand, dass sich die Betreuungspflichten der Beschwerdeführerin reduziert haben und von ihr erwartet werden kann, das Arbeitspensum entsprechend zu erhöhen. Im Zeitpunkt der Erhebung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde (Februar 2016) betrug ihr Arbeitspensum denn auch rund 40 %, wobei nach der neueren bundesgerichtlichen Rechtsprechung für den hauptbetreuenden Elternteil ab der obligatorischen Einschulung des Kinds grundsätzlich eine Erwerbsarbeit in einem Pensum von 50 % zumutbar wird, ab Eintritt in die Sekundarstufe I eine solche von 80 % und ab Vollendung des 16. Lebensjahres ein Vollzeiterwerb (<ref-ruling> E. 4.7.6 S. 497; Urteil 5A_327/2018 17. Januar 2019 E. 5.2.3 mit Hinweisen). Hat sich der monatliche Fehlbetrag für das Jahr 2016 gemäss den vorinstanzlichen Feststellungen bereits auf Fr. 360.-- reduziert, so erscheint eine Ablösung von der Sozialhilfe realistisch. Gelingt es der Beschwerdeführerin trotz entsprechendem Willen nicht, ihr Pensum zu erhöhen, so ist dies, wie die Vorinstanz ebenfalls richtig festgehalten hat, jedenfalls nicht ihrer Eigenschaft als alleinerziehende Frau zuzuschreiben. Eine Diskriminierung ist somit auch in dieser Hinsicht zu verneinen.
8.
<ref-law> erweist sich somit als nicht verletzt. Eine Verletzung dieser Bestimmung folgt auch nicht aus einer Kombination der im Vorangehenden separat diskutierten Faktoren, wie dies die Beschwerdeführerin vorbringt. Hinzuweisen ist allerdings auf den von der Vorinstanz angebrachten Vorbehalt, es erscheine als fraglich, ob für die Einbürgerung die Rückzahlung der Sozialhilfe im vollen Umfang, insbesondere derjenigen während den ersten Lebensjahren ihres jüngeren Sohnes, gefordert werden dürfte. Diese Frage kann auch im bundesgerichtlichen Verfahren offenbleiben, da nach dem Ausgeführten die Einbürgerung jedenfalls gestützt auf die fortdauernde, wenn auch abnehmende Sozialhilfeabhängigkeit verweigert werden durfte.
9.
Die Beschwerde ist aus den genannten Gründen abzuweisen.
Die Beschwerdeführerin stellt ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Da die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind, kann dem Gesuch entsprochen werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
2.1. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2. Rechtsanwältin Rahel Beyeler wird zum unentgeltlichen Rechtsbeistand ernannt und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
3.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Stadt Langenthal, dem Regierungsstatthalteramt Oberaargau und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Mai 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Dold