Sachverhalt:
A.
Das Obergericht des Kantons Aargau verurteilte A._ am 21. Oktober 2019 zweitinstanzlich wegen vorsätzlicher Tötung seiner Ehefrau, Täuschung der Behörden, Drohung, Beschimpfung und Tätlichkeit zu einer Freiheitsstrafe von 13 Jahren, einer Geldstrafe von 180 Tagessätzen zu Fr. 10.-- sowie einer Busse von Fr. 300.-- (Dispositiv-Ziff. 3 f.) und ordnete eine stationäre therapeutische Behandlung von psychischen Störungen an (Dispositiv-Ziff. 5). Vom Vorwurf der versuchten Nötigung sprach es ihn frei und stellte eine Verletzung des Beschleunigungsgebots fest (Dispositiv-Ziff. 1 f.). Ferner verfügte es über die Beschlagnahmungen, entschied über die Zivilansprüche und regelte die Kosten- sowie Entschädigungsfolgen (Dispositiv-Ziff. 6 ff.).
B.
A._ beantragt mit Beschwerde in Strafsachen, Dispositiv-Ziff. 5 und 10.1 des obergerichtlichen Urteils seien aufzuheben. Es sei von der Anordnung einer stationären Massnahme im Sinne von <ref-law> abzusehen, eventualiter sei die Angelegenheit zu neuer Beurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Die erstinstanzlichen Verfahrenskosten seien ihm maximal im Umfang von Fr. 84'802.70 aufzuerlegen. Er ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
C.
Das Obergericht und die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Aargau verzichten mit Hinweis auf die Ausführungen im obergerichtlichen Urteil auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer weist einleitend darauf hin, dass er die ihm in der Anklage vorgeworfenen Taten, insbesondere das Tötungsdelikt, nach wie vor bestreite, seine Beschwerde sich jedoch primär nur gegen die Massnahmenanordnung und die Kostenauflage richte (Beschwerde S. 4). Verfahrensgegenstand vor Bundesgericht bilden damit ausschliesslich die Anordnung der stationären therapeutischen Behandlung von psychischen Störungen und die Höhe der erstinstanzlichen Verfahrenskosten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt zunächst, indem die Vorinstanz bei der Anordnung der Massnahme auf das mängelbehaftete, nicht schlüssige und im Ergebnis untaugliche forensisch-psychiatrische Gutachten vom 14. respektive 28. Mai 2014 abstelle, verletze sie Bundesrecht sowie verstosse gegen das Willkürverbot. Er kritisiert unter anderem, dass das erste Gespräch zwischen der Sachverständigen und ihm im Inselspital Bern ohne vorgängige Information der Verteidigung, ohne formellen Begutachtungsauftrag und ohne Rechtsbelehrung des Beschwerdeführers stattgefunden habe. Damit seien bei der Ausarbeitung des Gutachtens Art. 184 Abs. 3 und Art. 184 Abs. 5 [recte: Art. 185 Abs. 5] StPO verletzt worden.
2.2. Die Vorinstanz gibt zunächst den Inhalt der mit der Beauftragung der Sachverständigen einhergehenden Akten zusammengefasst wieder. Sie erwägt, aufgrund der Aktenlage sei davon auszugehen, dass die Sachverständige in einer ersten Phase von der Staatsanwaltschaft lediglich den Auftrag erhalten habe, Empfehlungen zur weiteren Behandlung und Platzierung des Beschwerdeführers abzugeben, was den zweistündigen Explorationstermin vom 15. August 2013 erforderlich gemacht habe. Ob die Sachverständige den Beschwerdeführer anlässlich dieses Termins belehrt habe, stehe nicht fest. Gestützt auf die Beweislage sei jedoch anzunehmen, dass sie im Rahmen dieses Gesprächs den Tatvorwurf und damit eng zusammenhängende Fragen (wie die Beziehung zu seiner verstorbenen Ehefrau) nicht mit ihm besprochen habe. Thema des Gesprächs seien einzig mit dem Tatvorwurf nicht direkt verknüpfte Fragen zu seiner Biografie gewesen. Zwar könne nicht ausgeschlossen werden, dass einzelne dieser Informationen auch in das Gutachten eingeflossen seien, zumal das Gespräch vom 15. August 2013 bei den Gutachtensgrundlagen ebenfalls aufgeführt sei. Dies habe sich jedoch nicht zum Nachteil des Beschwerdeführers ausgewirkt. Vielmehr seien die Aussagen zu seiner Biografie für ihn entlastend, weil sie die Diagnose der Persönlichkeitsstörung stützten, die letztlich zur Annahme einer verminderten Schuldfähigkeit geführt hätten. Ferner sei im Gutachten ausgewiesen und unbestritten, dass der Beschwerdeführer im Rahmen des Explorationsgesprächs vom 5. September 2013 über seine Rechte ordnungsgemäss belehrt worden sei. Unter diesen Umständen erweise sich das Gutachten als verwertbar (Urteil S. 77 ff.).
2.3.
2.3.1. Eine Massnahme ist anzuordnen, wenn eine Strafe allein nicht geeignet ist, der Gefahr weiterer Straftaten des Täters zu begegnen, ein Behandlungsbedürfnis des Täters besteht oder die öffentliche Sicherheit dies erfordert und die Voraussetzungen der Art. 56-61, 63 oder 64 StGB erfüllt sind (<ref-law>). Ist der Täter psychisch schwer gestört, so kann das Gericht gemäss <ref-law> eine stationäre Behandlung anordnen, wenn das Verbrechen oder Vergehen des Täters mit seiner psychischen Störung in Zusammenhang steht und zu erwarten ist, dadurch lasse sich der Gefahr weiterer mit seiner psychischen Störung in Zusammenhang stehender Taten begegnen.
2.3.2. Das Gericht stützt sich bei seinem Entscheid über die Anordnung einer Massnahme auf eine sachverständige Begutachtung. Diese äussert sich über die Notwendigkeit und die Erfolgsaussichten einer Behandlung des Täters, die Art und die Wahrscheinlichkeit weiterer möglicher Straftaten und die Möglichkeiten des Vollzugs der Massnahme (<ref-law>, <ref-law>; <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 326; Urteil 6B_933/2018 vom 3. Oktober 2019 E. 3.1, zur Publikation vorgesehen).
Als Sachverständige können natürliche Personen ernannt werden, die auf dem betreffenden Fachgebiet die erforderlichen besonderen Kenntnisse und Fähigkeiten besitzen (<ref-law>). Gemäss <ref-law> ernennt die Verfahrensleitung die sachverständige Person. Sie erteilt ihr einen schriftlichen Auftrag, der die Bezeichnung der sachverständigen Person, allenfalls den Vermerk, dass die sachverständige Person für die Ausarbeitung des Gutachtens weitere Personen unter ihrer Verantwortung einsetzen kann, die präzis formulierten Fragen, die Frist zur Erstattung des Gutachtens, den Hinweis auf die Geheimhaltungspflicht der sachverständigen Person und ihrer allfälligen Hilfspersonen sowie den Hinweis auf die Straffolgen eines falschen Gutachtens nach <ref-law> enthält (<ref-law>). Sie gibt den Parteien - ausser bei blossen Laboruntersuchungen - vorgängig Gelegenheit, sich zur sachverständigen Person und zu den Fragen zu äussern und dazu eigene Anträge zu stellen (<ref-law>). Die sachverständige Person ist für das Gutachten persönlich verantwortlich (<ref-law>). Bei Erhebungen durch die sachverständige Person können die beschuldigte Person und, im Umfang ihres Verweigerungsrechts, Personen, die zur Aussage- oder Zeugnisverweigerung berechtigt sind, die Mitwirkung oder Aussage verweigern. Die sachverständige Person weist die betroffenen Personen zu Beginn der Erhebungen auf dieses Recht hin (<ref-law>).
Die beschuldigte Person betreffend stimmt die Vorschrift in <ref-law> inhaltlich mit jener in <ref-law> überein. Gemäss dieser weisen die Polizei oder die Staatsanwaltschaft die beschuldigte Person zu Beginn der ersten Einvernahme in einer ihr verständlichen Sprache darauf hin, dass sie die Aussage und die Mitwirkung verweigern kann. Da sich die in <ref-law> enthaltene Vorschrift spezifisch auf die beschuldigte Person bezieht, ist davon auszugehen, dass die sachverständige Person diese zu Beginn ihrer Erhebungen über deren Rechte informieren muss. Diese Aufklärung ist auch erforderlich, wenn die beschuldigte Person zuvor bereits von der Polizei oder der Staatsanwaltschaft belehrt wurde (Urteile 1B_51/2020 vom 25. Februar 2020 E. 2.2.1; 6B_824/2018 vom 19. September 2018 E. 1.1 mit Hinweisen). Gemäss <ref-law> sind Einvernahmen, die ohne die in Abs. 1 der Bestimmung genannten Hinweise durchgeführt wurden, nicht verwertbar. Bei der Orientierung der beschuldigten Person handelt es sich nicht um eine blosse Gültigkeitsvorschrift, bei deren Verletzung eine Verwertung nicht gänzlich ausgeschlossen, sondern nach Massgabe von <ref-law> möglich bliebe. Vielmehr ist die Einvernahme absolut unverwertbar (vgl. <ref-law>; Botschaft vom 21. Dezember 2005 zur Vereinheitlichung des Strafprozessrechts, BBl 2006 1193 Ziff. 2.4.2; Urteile 1B_51/2020 vom 25. Februar 2020 E. 2.2.1; 6B_824/2018 vom 19. September 2018 E. 1.1).
2.4.
2.4.1. Gemäss den verbindlichen vorinstanzlichen Feststellungen tötete der Beschwerdeführer seine Ehefrau am 23. Juli 2013 (Urteil S. 63). Er wurde gleichentags festgenommen. Am 5. August 2013 fragte die Staatsanwaltschaft die Sachverständige an, ob sie bereit wäre, den Auftrag zur Erstattung eines forensisch-psychiatrischen Gutachtens zu übernehmen. Gleichentags stellte sie dieser eine Besuchsbewilligung und den Entwurf des Gutachtensauftrags mit dem Hinweis zu, dass sich die Verteidigung dazu noch werde äussern können. Im Entwurf wird sowohl auf die Pflicht zur wahrheitsgemässen Begutachtung als auch auf die Straffolgen einer Pflichtverletzung hingewiesen. Ferner wird darauf aufmerksam gemacht, dass die beschuldigte Person vor Beginn der Begutachtung auf deren Aussageverweigerungsrecht und darauf hinzuweisen ist, dass die Sachverständige gegenüber den Strafverfolgungsbehörden nicht dem Arztgeheimnis unterliegt und die Informationen aus den Gesprächen Eingang in das Gutachten finden sowie im Gerichtsverfahren zur Verwertung gelangen können. Ferner wird die Empfehlung ausgesprochen, die Belehrung aktenkundig zu machen und deren Durchführung von der zu untersuchenden Person unterschriftlich bestätigen zu lassen.
In einer Telefonnotiz der Staatsanwaltschaft vom 14. August 2013 wird festgehalten, dass die Sachverständige den Beschwerdeführer am 15. und 16. August 2013 im Inselspital Bern besuchen und danach der Staatsanwaltschaft mitteilen werde, welche vorläufige Diagnose sie stellen oder welche Empfehlung zur weiteren Behandlung sie erteilen könne. Gemäss einer weiteren Telefonnotiz der Staatsanwaltschaft vom 16. August 2013 motivierte die Sachverständige den Beschwerdeführer anlässlich des Gesprächs vom 15. August 2013 dazu, mit ihr zu sprechen. Der Beschwerdeführer habe von seiner Kindheit in der Türkei, seiner Arbeitssituation und seiner ersten Ehe in der Schweiz erzählt. Er habe auch über seine verstorbene Ehefrau sprechen wollen, was die Sachverständige abgeblockt habe. Diese gab der Staatsanwaltschaft gestützt auf dieses Gespräch vorab mündlich Empfehlungen betreffend die weitere Platzierung und Behandlung des Beschwerdeführers, die sie am 19. August 2013 schriftlich festhielt.
Nachdem der Beschwerdeführer durch seinen Verteidiger gerügt hatte, die Sachverständige habe mit ihm anlässlich ihres Besuchs am 15. August 2013 bereits den Tatvorwurf besprochen, bestätigte der Leiter der Bewachungsstation des Inselspitals Bern am 20. August 2013, die Sachverständige habe dem Beschwerdeführer in aller Deutlichkeit erklärt, dass das Delikt und seine somatischen Beschwerden nicht "Gegenstand des Gutachtens" (gemeint wohl ihres derzeitigen Auftrags) seien, was der Beschwerdeführer akzeptiert habe. Am 20. August 2013 wurde die Sachverständige formell mit der Erstattung des Gutachtens beauftragt. Mit Schreiben vom 25. August 2013 an die Staatsanwaltschaft hielt die Sachverständige fest, der Beschwerdeführer habe im Gespräch vom 15. August 2013 über seine rechtliche Situation in der Schweiz, seine zwei in der Türkei lebenden Kinder, die politische Benachteiligung und Ausgrenzung der Kurden in der Türkei und seine frustranen Bemühungen, für seine Kinder in der Schweiz die Aufenthaltsbewilligung zu erlangen, berichtet. Es sei in keinem Augenblick über die Rahmenbedingungen des Tatvorwurfs (weder über seine Ehefrau noch über die Beziehung zu dieser) oder über den konkreten Tatvorwurf gesprochen worden. Im Gegenteil habe die Sachverständige den Tatvorwurf konsequent ausgespart, weil ihr vollkommen bewusst gewesen sei, dass weder die Staatsanwaltschaft noch der Verteidiger mit dem Beschwerdeführer über dieses Thema gesprochen hätten und es nicht in ihrer Kompetenz liege, die Erstbefragung zum Tatvorwurf durchzuführen. Im Gutachten vom 28. Mai 2014 wird bei den Grundlagen des Gutachtens auch das Gespräch vom 15. August 2013 aufgeführt, in teilweisem Widerspruch dazu wird jedoch im Gutachten die Exploration vom 5. September 2013 als "Erstkontakt" bezeichnet (Urteil S. 77 f.).
2.4.2. Die Vorinstanz stellt damit für das Bundesgericht verbindlich fest (vgl. <ref-law>), dass die Sachverständige beim zweistündigen Explorationstermin vom 15. August 2013 den Auftrag hatte, Empfehlungen zur weiteren Behandlung und Platzierung des Beschwerdeführers abzugeben. Unbestritten ist, dass sie zu diesem Zeitpunkt noch nicht formell mit der Erstellung des Gutachtens beauftragt war, jedoch bereits den Entwurf des Gutachtensauftrags mit den Belehrungen erhalten hatte. Die Rechtsnatur und die Rechtmässigkeit dieses "Vorabauftrags" der Sachverständigen sowie die Frage, ob sie in der Folge allenfalls vorbefasst im Sinne von Art. 56 lit. b (i.V.m. Art. 183 Abs. 3) StPO war, braucht vorliegend mangels Rüge nicht beurteilt zu werden (vgl. zur Vorbefassung bei Vorabgutachten: Urteile 1B_141/2017 vom 10. Oktober 2017 E. 4.4; 1B_343/2016 vom 3. Oktober 2016 E. 2.5; 1B_196/2015 vom 17. Mai 2016 E. 4.4.4; je mit Hinweisen).
2.4.3. Zu prüfen ist, ob die vom Beschwerdeführer anlässlich dieses Gesprächs gemachten Angaben verwertbar sind. Die Vorinstanz stellt fest, dass der Beschwerdeführer im Rahmen des Explorationsgesprächs vom 5. September 2013 über seine Rechte ordnungsgemäss belehrt worden ist. Spätestens ab diesem Zeitpunkt sind seine Angaben gegenüber der Sachverständigen verwertbar. Hingegen konnte die Vorinstanz nicht erstellen, ob der Beschwerdeführer von der Sachverständigen im Rahmen ihres "Vorabauftrags" über sein Mitwirkungs- und Aussageverweigerungsrecht sowie darüber informiert worden war, dass sie gegenüber der Staatsanwaltschaft nicht an die ärztliche Schweigepflicht gebunden ist. Da es Aufgabe der Strafverfolgungsbehörde wäre, eine entsprechende Belehrung nachzuweisen, ist davon auszugehen, dass diese nicht erfolgte. Dies bedeutet, dass der Beschwerdeführer weder darüber aufgeklärt wurde, dass die Sachverständige der Staatsanwaltschaft den Inhalt des Gesprächs rapportieren darf beziehungsweise wird, noch, dass er die Fragen der Sachverständigen nicht beantworten muss. Erschwerend fällt vorliegend ins Gewicht, dass der Beschwerdeführer im Gesprächszeitpunkt noch nicht wusste, dass die Sachverständige später ein forensisch-psychiatrisches Gutachten über ihn erstellen wird und dass seine Äusserungen in die gutachterliche Beurteilung einfliessen werden. Damit verfügte der Beschwerdeführer bei seiner Entscheidung, ob er mit der Sachverständigen spricht und was er ihr erzählt beziehungsweise wie er sich verhält, nicht über alle relevanten Informationen.
Weiter ist zu berücksichtigen, dass die Sachverständige gemäss einer Aktennotiz in ihrer mündlichen Beurteilung gegenüber der Staatsanwaltschaft unter anderem ausgeführt habe, der Beschwerdeführer habe anlässlich des Gesprächs vom 15. August 2013 auch ihr den kranken, alten Mann vorgespielt, sei nicht kommunikativ gewesen und habe sich angeblich an nichts erinnern können. Dies sei rund 15 Minuten so gegangen. Sie habe dem Beschwerdeführer dann klar gemacht, dass dies zu nichts führe. Sie habe ihm die verschiedenen Möglichkeiten und Konsequenzen aufgezeigt. Nach etwas mehr als 15 Minuten habe der Beschwerdeführer begonnen wie aus dem "Nähkästchen" zu reden. Sie hätten seine Kindheit in der Türkei, seine Arbeitssituation, seine erste Ehe in der Schweiz und Weiteres aufarbeiten können (Aktennotiz der Staatsanwaltschaft vom 16. August 2013, kantonale Akten, act. G 264). Was das erwähnte "Aufzeigen der verschiedenen Möglichkeiten und Konsequenzen" konkret umfasste, ergibt sich aus der Aktennotiz nicht. Unklar ist, ob dies der im Gutachten erwähnte Hinweis der Sachverständigen war, dass "eine Demenz ein schweres Krankheitsbild mit einer ausgeprägten ungünstigen medizinischen und somit auch Legalprognose" sei. Gemäss Gutachten sei dieser Hinweis beim ersten Explorationstermin erfolgt, als sich der Beschwerdeführer mit Symptomen einer fortgeschrittenen Demenz präsentiert habe. Nach dem Hinweis habe er seine Haltung geändert und habe ein mehr als einstündiges und weitestgehend adäquates Gespräch führen können, bei dem er biografische Daten aus seiner Kindheit und Jugend sowie Details über seine zwei Söhne lückenlos habe wiedergeben können (Gutachten vom 28. Mai 2014, kantonale Akten, act. G 177; vgl. auch act. G 170). Entweder wird in der Aktennotiz und im Gutachten das gleiche Gespräch beschrieben, womit die Angaben des Beschwerdeführers vom 15. August 2013 in nicht unbedeutendem Umfang in das Gutachten eingeflossen sind, oder der Beschwerdeführer hat sich sowohl beim Gespräch vom 15. August 2013 als auch bei jenem vom 5. September 2013 zunächst als alt und vergesslich dargestellt und sein Verhalten nach einem Hinweis der Sachverständigen geändert. Ob ein solcher "Hinweis" der Sachverständigen zulässig ist (vgl. Beschwerde S. 13), braucht vorliegend nicht beurteilt zu werden. Jedenfalls ergibt sich aus den Akten, dass der Beschwerdeführer anlässlich des Gesprächs vom 15. August 2013 aufgrund eines Hinweises der Sachverständigen sein Verhalten änderte, sich öffnete und zu erzählen begann.
Die Vorinstanz kann nicht ausschliessen, dass einzelne Angaben des Beschwerdeführers vom Gespräch vom 15. August 2013 in das Gutachten eingeflossen sind. Dass es sich dabei lediglich um Informationen zur Biografie des Beschwerdeführers gehandelt haben soll, erscheint irrelevant. Aufgrund des Gesagten muss davon ausgegangen werden, dass auch die Verhaltensänderung des Beschwerdeführers nach dem "Hinweis" der Sachverständigen in deren Beurteilung einfloss. Ferner erscheint die vorinstanzliche Beurteilung, die Aussagen zu seiner Biografie seien für den Beschwerdeführer entlastend, weil sie die Diagnose der Persönlichkeitsstörung stützten, die letztlich zur Annahme einer verminderten Schuldfähigkeit geführt habe, zumindest diskutabel. Es ist ungewiss, zu welcher Einschätzung die Sachverständige gelangt wäre, wenn der Beschwerdeführer sein Verhalten nicht geändert hätte.
2.4.4. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass es sich vorliegend nicht um einen Fall handelt, in dem ein Explorand anlässlich einer Begutachtung, über die er informiert war und bei der ihm das rechtliche Gehör gemäss <ref-law> gewährt worden war, von der Sachverständigen nicht auf sein Mitwirkungs- und Aussageverweigerungsrecht hingewiesen wurde. Ob in einer derartigen Konstellation die Aussagen zur Biografie des Exploranden verwertbar wären, erscheint gestützt auf die Rechtsprechung und die Lehre fraglich (vgl. Urteil 6B_824/2018 vom 19. September 2018 E. 1.2 zweitletzter Absatz; Urteil des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 29. Januar 2003, ZR 102/2003 S. 152 ff.; NIKLAUS OBERHOLZER, Grundzüge des Strafprozessrechts, 4. Aufl. 2020, N. 1038; MARIANNE HEER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 32 zu <ref-law>), braucht jedoch vorliegend nicht beurteilt zu werden.
Vorliegend muss davon ausgegangen werden, dass der Beschwerdeführer anlässlich des Gesprächs vom 15. August 2013, das im Übrigen ohne vorgängige Information des Verteidigers stattfand, weder über sein Mitwirkungs- und Aussageverweigerungsrecht noch über die Rolle der Sachverständigen beziehungsweise den Umstand, dass diese gegenüber der Staatsanwaltschaft nicht an das Arztgeheimnis gebunden ist, informiert wurde und auch nicht wusste, dass die Sachverständige über ihn ein forensisch-psychiatrisches Gutachten erstellen wird, in das seine verbalen sowie nonverbalen Angaben einfliessen könnten. Damit sind <ref-law> und der Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör verletzt. Dies hat zur Folge, dass die Angaben, die der Beschwerdeführer gegenüber der Sachverständigen anlässlich des Gesprächs vom 15. August 2013 machte, nicht verwertbar sind und nicht in das Gutachten hätten einfliessen dürfen. Gestützt auf die vorinstanzlichen Feststellungen ist davon auszugehen, dass dies dennoch geschah. Aus dem Gutachten ergibt sich nicht, welche Angaben des Beschwerdeführers vom 15. August 2013 in welchem Umfang in das Gutachten einflossen. Ebenso wenig ist ersichtlich, ob er sich bei den (weiteren) Explorationsterminen, als er über das Gutachten informiert und über seine Rechte belehrt worden war, nochmals gleich verhielt und seine Angaben wiederholte. Angesichts all dieser formellen Mängel und Unsicherheiten verletzt die Vorinstanz Bundesrecht, indem sie bei der Anordnung der stationären Behandlung von psychischen Störungen auf das forensisch-psychiatrische Gutachten vom 14. respektive 28. Mai 2014 abstellt.
2.5. Die Vorinstanz wird ein neues Gutachten einholen müssen. Damit erübrigt es sich auf die weiteren Rügen des Beschwerdeführers (zum Gutachten und der Anordnung der stationären therapeutischen Behandlung von psychischen Störungen) einzugehen. Die Vorinstanz wird in ihrem neuen Urteil die Kosten neu verlegen und sich dabei auch mit dem Vorbringen des Beschwerdeführers auseinandersetzen müssen, wonach ihm die Kosten für das Gutachten vom 14. respektive 28. Mai 2014 nicht auferlegt werden können. Es erübrigt sich daher, vorliegend auf die entsprechende Rüge einzugehen.
3.
Die Beschwerde ist gutzuheissen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Dispositiv-Ziffern 5, 9.1 und 10.1 des Urteils des Obergerichts des Kantons Aargau vom 21. Oktober 2019 sind aufzuheben und die Sache ist zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Es sind keine Kosten zu erheben (<ref-law>). Der Kanton Aargau hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG), womit dessen Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gegenstandslos wird. Die Entschädigung ist praxisgemäss dessen Rechtsvertreter auszurichten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Die Dispositiv-Ziffern 5, 9.1 und 10.1 des Urteils des Obergerichts des Kantons Aargau vom 21. Oktober 2019 werden aufgehoben und die Sache wird zur neuen Beurteilung an das Obergericht zurückzuweisen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Aargau hat den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Martin Künzle, für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Strafgericht, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. April 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Andres