Erwägungen:
1.
1.1. Nach zahlreichen früheren straf- und verwaltungsrechtlichen Verfahren betreffend Vorfälle im Zusammenhang mit der Verletzung von tierschutz- und tierseuchenrechtlichen Bestimmungen gingen im Frühjahr 2017 beim Veterinäramt des Kantons Thurgau neue Anzeigen wegen Missständen tierschutzrechtlicher Natur auf dem Betrieb von A._ ein. Es kam in der Folge zu Beschlagnahmungen, Euthanasie bzw. Verkäufen von Tieren.
1.2. Am 9. April 2018 sprach das Veterinäramt des Kantons Thurgau gegenüber A._ wegen der zahlreichen und massiven Verstössen gegen die Tierschutzgesetzgebung ein umfassendes und unbefristetes Tierhalteverbot aus. Mit Zwischenentscheid vom 9. Oktober 2018 lehnte das Departement für Erziehung und Kultur des Kantons Thurgau das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ab. A._ gelangte hiergegen an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau, welches seine Beschwerde am 6. Februar 2019 abwies. Der Entscheid erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
1.3. Das Departement für Erziehung und Kultur des Kantons Thurgau wies am 4. November 2019 den Rekurs von A._ gegen das vom Veterinäramt am 9. April 2018 verfügte umfassende Tierhalteverbot ab; einer allfälligen Beschwerde entzog es die aufschiebende Wirkung. A._ gelangte hiergegen an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau, welches mit Zwischenentscheid vom 26. Februar 2020 das Gesuch von A._ um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung und Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung abwies. Gleichzeitig forderte es A._ auf, innert einer Frist von 20 Tagen ab Rechtskraft des Zwischenentscheids einen Kostenvorschuss von Fr. 4'000.-- zu leisten; andernfalls werde auf seine Beschwerde nicht eingetreten. Das Verwaltungsgericht bezeichnete die Eingabe von A._ "als offensichtlich unbegründet und aussichtslos"; zudem sei seine prozessuale Bedürftigkeit nicht ausgewiesen. Auf eine hiergegen gerichtete Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten trat das Bundesgericht am 7. Mai 2020 nicht ein (Urteil 2C_338/2020).
1.4. A._ leistete den durch das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau am 26. Februar 2020 einverlangten Kostenvorschuss von Fr. 4'000.-- innert der ihm gesetzten Frist nicht. Das Gericht trat deshalb am 15. Juli 2020 androhungsgemäss auf seine Beschwerde nicht ein: Die fristgerechte Leistung eines Kostenvorschusses stelle eine Prozessvoraussetzung dar. Trete eine Behörde mangels rechtzeitiger Leistung des Kostenvorschusses auf eine Beschwerde nicht ein, sei dies nicht überspitzt formalistisch, sofern - wie dies hier der Fall gewesen ist - die Partei über die Höhe des Vorschusses, die Zahlungsfrist und die Säumnisfolgen rechtsgenüglich informiert worden sei. Eine Behörde sei unter keinem Titel verpflichtet, auf ein Rechtsmittel einzutreten, wenn eine Verfahrensvoraussetzung, wie sie die Leistung des Kostenvorschusses darstelle, nicht erfüllt werde, auch wenn dies für die Partei schwerwiegende Folgen nach sich ziehe.
1.5. A._ ist gegen diesen Entscheid mit Eingabe vom 24. August 2020 an das Bundesgericht gelangt. Mit Schreiben vom 26. August 2020 wurde er darüber informiert, dass seine Eingabe vermutlich den Begründungsanforderungen an Eingaben an das Bundesgericht nicht genügen dürfte, er aber noch bis zum Ablauf der Beschwerdefrist Gelegenheit habe, seine Eingabe zu verbessern. A._ reichte am 15. September 2020 eine überarbeitete Version seiner ersten Eingabe ein. Es wurden keine Vernehmlassungen oder Akten eingeholt.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 des Bundesgerichtsgesetzes (BGG; SR 173.110) haben Rechtsschriften an das Bundesgericht die Begehren und die Begründung zu enthalten. Diese muss sachbezogen sein und sich auf den Gegenstand des angefochtenen Entscheids beziehen. Die beschwerdeführende Partei muss in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Urteils massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form plausibel darlegen, inwiefern die Vorinstanz Rechte und Rechtsnormen verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen). Das Bundesgericht ist an den Sachverhalt gebunden, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig ermittelt (<ref-law>). Inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung und Sachverhaltsfeststellung in diesem Sinn klarerweise unhaltbar sein sollen, muss in der Beschwerdeschrift detailliert aufgezeigt und damit qualifiziert begründet werden (<ref-ruling> E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen).
2.2. In seiner ersten Eingabe hielt der Beschwerdeführer ausschliesslich fest: "Ich möchte mich zu diversen willkürlichen Anschuldigungen noch nicht schriftlich äussern, da im Strafverfahren Amtsmissbräuche, ungetreue Geschäftsführung und andere diverse Straftaten des Veterinäramtes oder der Regierung im Nachhinein noch geheilt werden können". Diese Begründung genügte den gesetzlichen Anforderungen nicht.
2.3. Hieran ändert die verbesserte Eingabe des Beschwerdeführers vom 15. September 2020 nichts: Die Vorinstanz hat die bundesgerichtliche Rechtsprechung zutreffend wiedergegeben; der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzen würde. Seine Ausführungen sind allgemeiner Natur; soweit er darauf hinweist, das ihm eine Nachfrist hätte angesetzt werden müssen, legt er nicht dar, weshalb: Der Beschwerdeführer hatte von allen Elementen Kenntnis, um rechtzeitig seinen Kostenvorschuss zu leisten. Er tut nicht dar, inwiefern die Annahme der Vorinstanz, seine Bedürftigkeit sei nicht erwiesen, im Rahmen der Sachverhaltsfeststellung bzw. der Beweiswürdigung offensichtlich unhaltbar wäre. Soweit er einwendet, es bestehe ein öffentliches Interesse an seinem Fall, weshalb auf seine Beschwerde einzutreten sei, setzt er sich mit der gegenteiligen Auffassung der Vorinstanz nicht weiter auseinander. Warum das Verwaltungsverfahren hätte sistiert werden müssen, bis das Strafverfahren abgeschlossen sei, begründet der Beschwerdeführer ebenfalls nicht weiter. Seine Vorbringen erschöpfen sich - soweit sie überhaupt sachbezogen sind - in unzulässiger appellatorischer Kritik am angefochtenen Entscheid, was für die Beschwerdebegründung vor Bundesgericht nicht genügt (vgl. LAURENT MERZ, in: Niggli/ Uebersax/Wiprächtiger/Kneubühler [Hrsg.], Basler Kommentar BGG, 2. Aufl. 2018, N. 53 zu <ref-law>).
3.
3.1. Weil die Beschwerde offensichtlich keine sachbezogene Begründung enthält, ist darauf im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> durch den Präsidenten als Instruktionsrichter nicht einzutreten.
3.2. Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Sollten seine Vorbringen (auch) ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren umfassen, müsste dieses abgewiesen werden, weil die Beschwerde in der vorliegenden Form als aussichtslos zu gelten hätte (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. September 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar