Sachverhalt:
A.
Zwischen der A._ SA (Bauherrin, Beschwerdeführerin) und der B._ AG (Ingenieurin, Beschwerdegegnerin; heute: C._ AG) besteht ein Bauingenieurvertrag. Gestützt auf diesen Vertrag erbrachte die Ingenieurin diverse Leistungen beim Umbau einer Liegenschaft in V._. Im Verlauf des Bauprojekts kam es zu Auseinandersetzungen.
B.
B.a. Die Ingenieurin klagte am 23. Juni 2016 beim Bezirksgericht Brig, Östlich-Raron und Goms gegen die Bauherrin.
B.a.a. Die Ingenieurin beantragte im Wesentlichen, die Bauherrin sei zu verpflichten, ihr Werklohn von Fr. 254'840.70 und Mehrwertsteuer von Fr. 20'387.25 zu bezahlen, beides zuzüglich Zins.
In der Klageantwort verlangte die Bauherrin die Abweisung der Klage und erhob Widerklage. Sie beantragte, die Ingenieurin sei zu verpflichten, ihr zu viel bezahltes Honorar von Fr. 105'867.-- nebst Zins zurückzuzahlen. Zudem habe ihr die Ingenieurin einen Verspätungsschaden von Fr. 600'000.-- nebst Zins zu ersetzen.
Die Ingenieurin beantragte die kostenpflichtige Abweisung der Widerklage.
In der Duplik präzisierte die Bauherrin ihre Widerklage, indem sie beantragte, die Ingenieurin sei zu verpflichten, ihr Fr. 168'863.40 nebst Zins zu 5 % seit 3. Oktober 2016 zu bezahlen als Rückerstattung zu viel eingenommener Honorare und als Schadenersatz.
Nach einer Instruktionsverhandlung und einem Beweisverfahren verzichteten die Parteien auf mündliche Parteivorträge und präzisierten abermals ihre Rechtsbegehren.
Die Ingenieurin beantragte, die Widerklage der Bauherrin sei abzuweisen, sofern darauf eingetreten werden könne. Demgegenüber sei die Bauherrin zu verpflichten, ihr folgende Zahlungen zu leisten:
Fr. 83'145.70 nebst Zin s zu 5 % seit 13. April 2015;
Fr. 108'625.-- nebst Zins zu 5 % seit 13. April 2015;
Fr. 2'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 4. Oktober 2013;
Fr. 44'571.-- nebst Zins zu 5 % seit 17. März 2014;
Fr. 8'720.-- nebst Zins zu 5 % seit 4. Januar 2014;
Fr. 20'387.25 als Mehrwertsteuer zuzüglich 5 % Zins seit Fälligkeit.
Die Bauherrin stellte abschliessend folgende Anträge: Die Klage sei abzuweisen. Die erste Widerklage sei teilweise gutzuheissen und es sei die Ingenieurin zu verpflichten, ihr Fr. 19'449.-- nebst Zins zu 5 % seit 3. Oktober 2016 zu bezahlen als Rückerstattung zu viel empfangener Honorare. Die zweite Widerklage werde zurückgezogen.
B.a.b. Mit Urteil vom 17. Dezember 2019 verpflichtete das Bezirksgericht die Bauherrin, der Ingenieurin folgende Beträge zu bezahlen:
Fr. 108'625.-- nebst Zins zu 5 % seit 13. April 2015;
Fr. 2'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 4. Oktober 2013;
Fr. 44'571.-- nebst Zins zu 5 % seit 17. März 2014; und
Fr. 6'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 23. Juni 2016.
Hinzu kamen Mehrwertsteuern von insgesamt Fr. 12'895.70, davon
Fr. 8'690.-- nebst Zins zu 5 % seit 13. April 2015;
Fr. 160.-- nebst Zins zu 5 % seit 4. Oktober 2013;
Fr. 3'565.70 nebst Zins zu 5 % seit 17. März 2014; und
Fr. 480.-- nebst Zins zu 5 % seit 23. Juni 2016 (Dispositiv-Ziffer 1a).
Im Übrigen wies es die Klage der Ingenieurin ab (Dispositiv-Ziffer 1b).
Die Widerklage der Bauherrin über Fr. 600'000.-- schrieb es infolge Klagerückzugs vom Geschäftsverzeichnis ab (Dispositiv-Ziffer 2). Im Übrigen wies es die Widerklage der Bauherrin ab (Dispositiv-Ziffer 3).
Die Gerichtskosten auferlegte es den Parteien wie folgt:
Fr. 9'480.15 der Gerichtskosten der Hauptklage zu Lasten der Ingenieurin (Dispositiv-Ziffer 4a);
die übrigen Gerichtskosten der Hauptklage von Fr. 17'606.-- zu Lasten der Bauherrin (Dispositiv-Ziffer 4b);
die Gerichtskosten der zurückgezogenen Widerklage von Fr. 19'327.70 zu Lasten der Bauherrin (Dispositiv-Ziffer 4c); und
die Gerichtskosten der aufrechterhaltenen Widerklage von Fr. 20'986.15 ebenfalls zu Lasten der Bauherrin (Dispositiv-Ziffer 4d).
Das Bezirksgericht verpflichtete die Bauherrin, der Ingenieurin eine Parteientschädigung von insgesamt Fr. 45'085.-- zu bezahlen, nämlich Fr. 12'285.-- für die Hauptklage, Fr. 18'000.-- für die zurückgezogene Widerklage und Fr. 14'800.-- für die abgewiesene Widerklage (Dispositiv-Ziffer 5a). Zudem verpflichtete es die Bauherrin zur Bezahlung von Fr. 15'259.85 an die Ingenieurin für geleistete Gerichtskostenvorschüsse (Dispositiv-Ziffer 5b).
Schliesslich verpflichtete es die Ingenieurin, der Bauherrin für die Hauptklage eine Parteientschädigung von Fr. 6'615.-- zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 6).
B.b. Gegen dieses Urteil des Bezirksgerichts erhob die Bauherrin Berufung und die Ingenieurin Anschlussberufung.
Mit Urteil vom 14. April 2021 wies das Kantonsgericht Wallis die Berufung und die Anschlussberufung ab. Es bestätigte das Urteil des Bezirksgerichts " mit neuer Formulierung von Ziffer 1a " (Dispositiv-Ziffer 1).
Danach bezahlt die Bauherrin der Ingenieurin unter Berücksichtigung der geleistete Honorarvorschüsse von Fr. 468'000.-- und des geschuldeten Gesamtbetrags von Fr. 577'471.70 noch Fr. 109'471.70 inklusive MWST nebst Zins zu 5 % an offenem Honorar, und zwar wie folgt:
B.b. Fr. 44'005.-- und Fr. 8'690.-- MWST je nebst Zins zu 5 % ab 13. April 2015 unter dem Titel "Restanz des Honorars für die Bauleitung/ Ausmass und MWST auf den gesamten Betrag von Fr. 108'625.--";
B.b. Fr. 44'571.-- und Fr. 3'565.70 MWST je nebst Zins zu 5 % ab 17. März 2014 unter dem Titel "Nachträge";
B.b. Fr. 2'000.-- und Fr. 160.-- MWST je nebst Zins zu 5 % ab 4. Oktober 2013 unter dem Titel "Pauschale Beweissicherung";
B.b. Fr. 6'000.-- und Fr. 480.-- MWST je nebst Zins zu 5 % ab 23. Juni 2016 unter dem Titel "Pauschale Reproduktionskosten"
(Dispositiv-Ziffer 2).
Die Verfahrenskosten für die Berufung von Fr. 7'200.-- auferlegte das Kantonsgericht der Bauherrin (Dispositiv-Ziffer 3) und jene für die Anschlussberufung von Fr. 4'800.-- der Ingenieurin (Dispositiv-Ziffer 4). Sodann erklärte das Kantonsgericht, die Gerichtskosten für das Berufungs- und Anschlussberufungsverfahren von insgesamt Fr. 12'000.-- würden mit dem Kostenvorschuss der Bauherrin verrechnet. Die Ingenieurin schulde der Bauherrin für den geleisteten Kostenvorschuss Fr. 4'800.-- (Dispositiv-Ziffer 5).
Es sprach der Ingenieurin eine Parteientschädigung von Fr. 3'900.-- inklusive MWST und Auslagen zu (Dispositiv-Ziffer 6) und der Bauherrin eine solche von Fr. 2'600.-- inklusive MWST und Auslagen (Dispositiv-Ziffer 7).
C.
Die Bauherrin führt Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Sie beantragt, das kantonsgerichtliche Urteil sei teilweise aufzuheben. Die Sache sei an das Kantonsgericht zurückzuweisen, damit dieses die Kosten- und Entschädigungsfolgen des Berufungsverfahrens und des erstinstanzlichen Verfahrens korrigiere. Eventualiter sei die Kosten- und Entschädigungsfolge des Berufungsverfahrens neu zu regeln, indem die Bauherrin Fr. 4'536.-- der Kosten des Berufungsverfahrens trägt und die Ingenieurin Fr. 2'664.--. Die Ingenieurin habe der Bauherrin Gerichtskostenvorschüsse im Betrag von Fr. 7'464.-- zu erstatten. Die Bauherrin habe der Ingenieurin eine Parteientschädigung von Fr. 2'457.-- zu leisten und die Ingenieurin der Bauherrin eine solche von Fr. 4'043.--. Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens seien der Ingenieurin oder dem Kanton Wallis aufzuerlegen. Die Ingenieurin oder subsidiär der Kanton Wallis habe der Bauherrin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung zu bezahlen. Dem Gesuch der Bauherrin um aufschiebende Wirkung entsprach das Bundesgericht mangels Widerspruchs mit Präsidialverfügung vom 11. Juni 2021. Die Ingenieurin beantragt die Abweisung der Beschwerde und der subsidiären Verfassungsbeschwerde, während das Kantonsgericht auf Gegenbemerkungen verzichtet und auf sein Urteil verweist. Die Parteien haben unaufgefordert repliziert und dupliziert.

Erwägungen:
1.
1.1.
Die Beschwerdeführerin reichte ihre Beschwerde auf Französisch ein. Gemäss <ref-law> wird das bundesgerichtliche Verfahren in der Regel in der Sprache des angefochtenen Entscheids geführt. Das Urteil des Bundesgerichts ergeht daher auf Deutsch.
1.2. In vermögensrechtlichen Angelegenheiten ist die Beschwerde in Zivilsachen nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (<ref-law>). Nach <ref-law> bestimmt sich der Streitwert bei Beschwerden gegen Endentscheide nach den Begehren, die vor der Vorinstanz streitig geblieben waren (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2). Hier lagen diese Begehren deutlich über der Streitwertgrenze. Da sich die Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>) als grundsätzlich zulässig erweist, ist auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten (<ref-law>).
1.3. Die Beschwerdeschrift hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (<ref-law>). Da die Beschwerde in Zivilsachen ein reformatorisches Rechtsmittel ist (<ref-law>), darf sich die beschwerdeführende Partei grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu beantragen, sondern muss einen Antrag in der Sache stellen. Sie muss demnach angeben, welche Punkte des Entscheides angefochten und welche Abänderungen beantragt werden. Im Falle von Geldforderungen sind die Anträge zu beziffern und zwar auch bei Anfechtung der Prozesskosten des kantonalen Verfahrens (<ref-ruling> E. 1.2; Urteil des Bundesgerichts 4A_33/2021 vom 19. Juli 2021 E. 5; je mit Hinweisen).
1.3.1. Grundsätzlich ist ein materieller Antrag erforderlich; Anträge auf Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung oder blosse Aufhebungsanträge genügen nicht und machen die Beschwerde unzulässig. Ein blosser Rückweisungsantrag reicht ausnahmsweise aus, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung in der Sache nicht selbst entscheiden könnte, weil die erforderlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz fehlen (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 3.1; je mit Hinweisen). Es genügt indessen, wenn aus der Begründung mindestens sinngemäss ersichtlich ist, in welchem Sinn das angefochtene Urteil abgeändert werden soll (<ref-ruling> E. 1.2 S. 136; <ref-ruling> E. 2 S. 236 f. mit Hinweisen).
1.3.2. In den Rechtsbegehren beziffert die Beschwerdeführerin (im Eventualbegehren) die ihr vor Kantonsgericht zuzusprechenden Beträge. Insoweit genügt das Begehren den in E. 1.3 hiervor dargelegten Anforderungen. In Bezug auf die erstinstanzlichen Prozesskosten fehlt in den Rechtsbegehren eine Bezifferung. Aus der Beschwerdebegründung ergibt sich aber, dass die Beschwerdeführerin beantragt, der Beschwerdegegnerin 60 % und ihr selbst 40 % der Kosten und der Parteientschädigungen aufzuerlegen, wobei sie die gestützt auf die Annahmen der Erstinstanz zuzusprechenden Beträge angibt. Dies genügt (vgl. E. 1.3.1 hiervor). Allerdings beanstandet sie die Kostenverteilung der Erstinstanz auch im Grundsatz. Diese habe die Prozesskosten verteilt, wie wenn drei separate Klagen zu beurteilen wären, statt die Streitwerte zusammenzuzählen, beziehungsweise auf den höheren Streitwert abzustellen, wo die Begehren von Haupt- und Widerklage sich gegenseitig ausschliessen. Insoweit hat die Vorinstanz zwar die Beträge festgehalten, welche die Erstinstanz den Klage- und Widerklagebegehren zugewiesen hat. Aufgrund welcher Überlegungen die Beträge festgesetzt wurden, ergibt sich aus dem angefochtenen Entscheid aber nicht im Einzelnen. Dies wäre aber notwendig, damit das Bundesgericht den erstinstanzlichen Kostenentscheid überprüfen und gegebenenfalls selbst Korrekturen vornehmen könnte. Damit erweist sich der Rückweisungsantrag als ausreichend (vgl. E. 1.3.1 hiervor).
2.
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Allerdings prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2, 115 E. 2).
Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. Unerlässlich ist im Hinblick auf <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2, 115 E. 2).
3.
Die Beschwerdeführerin wendet sich gegen die vorinstanzliche Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen. Sie rügt eine Verletzung von Art. 106 und Art. 105 Abs. 2 ZPO.
3.1.
3.1.1. Die Vorinstanz erwog, die Erstinstanz habe die Beschwerdeführerin zu folgenden Honorarzahlungen verpflichtet: Fr. 108'625.-- (Bauleitung); Fr. 44'571.-- (Nachträge); Fr. 6'000.-- (Reproduktionskosten); Fr. 2'000.-- (Beweissicherung) und Fr. 12'895.70 (Mehrwertsteuern 8 %). Ein über Fr. 373'500.-- hinausgehendes Grundhonorar und höhere Reproduktionskosten habe die Erstinstanz verneint. Die Erstinstanz habe den Anspruch der Beschwerdegegnerin unter Berücksichtigung von Fr. 16'200.-- für den Zugangsstollen (inkl. MWST) mit insgesamt Fr. 563'791.70 beziffert. Sie habe zudem festgestellt, dass die Beschwerdeführerin bereits Honorarvorschüsse von Fr. 484'200.-- geleistet habe. Den widerklageweise geltend gemachten Rückerstattungsanspruch der Beschwerdeführerin von Fr. 19'449.-- habe sie abgelehnt. Verneint habe sie auch einen Abzug vom Grundhonorar wegen nicht kontrollierter Schlussabrechnung.
Weiter hielt die Vorinstanz fest, im Berufungsverfahren seien die Ansprüche der Beschwerdegegnerin aus Nachträgen, Reproduktionskosten und Beweissicherung nicht mehr streitig gewesen. Demgegenüber habe die Beschwerdeführerin das Honorar für die Bauleitung von Fr. 108'625.-- beanstandet und die Rückerstattung des Grundhonorars im Umfang von Fr. 19'449.-- zuzüglich Zins verlangt, weil die Beschwerdegegnerin die Schlussabrechnung nicht kontrolliert habe. Sodann habe die Beschwerdeführerin kritisiert, im erstinstanzlichen Dispositiv seien die Honorarvorschüsse nicht richtig verrechnet worden, was Auswirkungen auf die Kostenverteilung habe. Auf der anderen Seite habe die Beschwerdegegnerin in der Anschlussberufung auf einem um Fr. 83'145.70 zuzüglich MWST von Fr. 6'651.65 höheren Grundhonorar beharrt.
3.1.2. Die Vorinstanz wies die Berufung der Beschwerdeführerin ab, indem sie der Beschwerdegegnerin für Bauleitung und Ausmass Fr. 108'625.-- nebst MWST von Fr. 8'690.-- und Zins zu 5 % ab 13. April 2015 zusprach und auf eine Kürzung des Honorars mangels Kontrolle der Schlussrechnung verzichtete.
Die Vorinstanz wies auch die Anschlussberufung ab, worin die Beschwerdegegnerin beantragt hatte, die Beschwerdeführerin habe ihr Fr. 83'145.70 plus Fr. 6'651.65 MWST und 5 % Zins ab dem 13. April 2015 zu bezahlen.
3.1.3. Die Beschwerdeführerin rügte vor Vorinstanz, die Erstinstanz habe vergessen, die von der Beschwerdegegnerin geforderten Beträge mit den unbestrittenermassen geleisteten Honorarvorschüssen abzugleichen. Das erstinstanzliche Dispositiv halte einzig fest, dass die Beträge zuzüglich Zinsen zu bezahlen seien, obschon ein Grossteil davon bereits überwiesen worden sei.
Dazu erwog die Vorinstanz, die Erstinstanz habe festgestellt, es seien Honorarvorschüsse von Fr. 468'000.-- geleistet worden. In der Folge habe sie diese nicht berücksichtigt und auch im Dispositiv nicht erwähnt, als sie die zu bezahlenden Beträge bestimmt habe. Dies könne im Berufungsverfahren "der Klarheit wegen" nachgeholt werden.
Weiter erwog die Vorinstanz, die Beschwerdeführerin habe Honorarvorschüsse von Fr. 468'000.-- geleistet. Dem stünden folgende Zahlungsverpflichtungen der Beschwerdeführerin gegenüber:
Fr. 373'500.-- und MWST von Fr. 29'880.-- unter dem Titel "Honorar";
Fr. 108'625.-- und MWST von Fr. 8'690.-- unter dem Titel "Honorar für Bauleitung und Ausmass";
Fr. 44'571.-- und MWST von Fr. 3'565.70 unter dem Titel "Honorar Nachträge";
Fr. 2'000.-- und MWST von Fr. 160.-- unter dem Titel "Pauschale Beweissicherung";
Fr. 6'000.-- und MWST von Fr. 480.-- unter dem Titel "Pauschale Reproduktionskosten".
Dies ergebe ein Total von Fr. 577'471.70. Hinzu kämen jeweils Zinsen zu 5 % ab Fälligkeit. Es verbleibe mithin ein der Beschwerdegegnerin zustehender Betrag von insgesamt Fr. 109'471.70 inklusive MWST nebst Zins zu 5 %, der sich wie folgt aufteile:
Fr. 44'005.-- und Fr. 8'690.-- MWST nebst Zins zu 5 % ab 13. April 2015 unter dem Titel "Restanz des Honorars für die Bauleitung und das Ausmass und MWST auf den gesamten Betrag von Fr. 108'625.--";
Fr. 44'571.-- und MWST von Fr. 3'565.70 nebst Zins zu 5 % ab 17. März 2014 unter dem Titel "Honorar Nachträge";
Fr. 2'000.-- und MWST von Fr. 160.-- nebst Zins zu 5 % ab 4. Oktober 2013 unter dem Titel "Pauschale Beweissicherung";
Fr. 6'000.-- und MWST von Fr. 480.-- nebst Zins zu 5 % ab 23. Juni 2016 unter dem Titel "Pauschale Reproduktionskosten".
3.1.4. Zur Verteilung der Prozesskosten erwog die Vorinstanz, die Beschwerdeführerin unterliege mit ihrer Berufung und die Beschwerdegegnerin mit ihrer Anschlussberufung. Entsprechend trage die Beschwerdeführerin die Kosten der Berufung und die Beschwerdegegnerin jene der Anschlussberufung.
Da das erstinstanzliche Urteil bestätigt werde, bleibe es auch bei der dortigen Kostenregelung. Die Aufnahme der geleisteten Zahlungen in das Dispositiv diene "der wünschbaren Klarheit" und wirke sich nicht auf den Verfahrensausgang aus, so dass sie bei der Kostenverteilung unberücksichtigt bleibe.
In der Berufung seien Fr. 127'300.-- strittig gewesen und in der Anschlussberufung Fr. 83'145.70, was einem Verhältnis von 60 % zu 40 % entspreche.
Gemäss Art. 16 Abs. 1 des Gesetzes betreffend den Tarif der Kosten und Entschädigung vor Gerichts- oder Verwaltungsbehörden vom 11. Februar 2009 (GTar; SGS 173.8) bewege sich die Gebühr bei einer geldwerten Streitigkeit des Zivilrechts bei einem Streitwert von Fr. 210'445.70 zwischen Fr. 9'000.-- und Fr. 42'000.--; diese Ansätze gälten auch für das Berufungsverfahren, wobei nach Art. 19 GTar eine Reduktion von bis zu 60 % möglich sei. Im Berufungsverfahren sei ein einfacher Schriftenwechsel ohne mündliche Verhandlung durchgeführt worden, wobei Anschlussberufung erhoben worden sei. Das Dossier sei relativ umfangreich und es stellten sich Fragen rechtlicher sowie tatsächlicher Natur von einem gewissen Schwierigkeitsgrad. Deshalb sei eine Gebühr von Fr. 7'200.-- für die Berufung und von Fr. 4'800.-- für die Anschlussberufung angemessen.
Das Anwaltshonorar bemesse sich gemäss Art. 27 Abs. 1 und 3 GTar im gesetzlich vorgegebenen Rahmentarif nach der Natur und Bedeutung des Falls, der Schwierigkeit, dem Umfang, der vom Rechtsbeistand nützlich aufgewandten Zeit und der finanziellen Situation der Partei. Für das Berufungsverfahren sei eine Reduktion von 60 % zu berücksichtigen, womit das Honorar im Prinzip Fr. 5'760.-- bis Fr. 7'880.-- betrage (Art. 32 Abs. 2, Art. 35 Abs. 1 lit. a GTar). Diese Ansätze könnten bei einem ausserordentlich hohen Aufwand überschritten und bei einem Missverhältnis zwischen der Entschädigung gemäss GTar und der effektiven Arbeit der Rechtsbeistände unterschritten werden (Art. 29 Abs. 1 und 2 GTar). Unter Berücksichtigung des angeführten Rahmentarifs und der hiervor genannten Kriterien, namentlich des mit der Vertretung im Berufungsverfahren verbundenen Aufwands mit Haupt- und Anschlussberufung ohne mündliche Verhandlung, erachtete die Vorinstanz für beide Seiten eine volle Parteientschädigung von Fr. 6'500.-- inklusive Auslagen und Mehrwertsteuer als angemessen. Schliesslich verpflichtete die Vorinstanz die Beschwerdeführerin zu einer Parteientschädigung von Fr. 3'900.-- (60 %) und die Beschwerdegegnerin zu einer solchen von Fr. 2'600.-- (40 %).
3.2. <ref-law> sieht als Regel die Kostenverteilung unter den Prozessparteien nach ihrem Obsiegen und Unterliegen im Prozess vor (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweisen). Im Anschluss daran erlaubt die Bestimmung von <ref-law>, aus besonderen Gründen von diesem Prinzip abzuweichen (<ref-ruling> E. 2.3). Das Gesetz räumt dem Gericht den Spielraum ein, auf Billigkeitserwägungen zurückzugreifen, wenn im Einzelfall die Belastung der unterlegenen Partei mit Prozesskosten als ungerecht erscheint. Dazu wurden in Art. 107 Abs. 1 lit. a-f ZPO typisierte Fallgruppen geschaffen (<ref-ruling> E. 4.2). Dabei ist zu beachten, dass das Gericht im Anwendungsbereich von <ref-law> nicht nur über Ermessen darüber verfügt, wie es die Kosten verteilen will, sondern zunächst und insbesondere bei der Frage, ob es überhaupt von den allgemeinen Verteilungsgrundsätzen nach <ref-law> abweichen will (<ref-ruling> E. 3.3.2; <ref-ruling> E. 3). Das Bundesgericht schreitet nur ein, wenn die Vorinstanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgegangen ist, wenn Tatsachen berücksichtigt wurden, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn umgekehrt Umstände ausser Betracht geblieben sind, die zwingend hätten beachtet werden müssen. In derartige Ermessensentscheide wird ferner eingegriffen, wenn sich diese als offensichtlich unbillig oder als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 11.2 mit Hinweis; Urteil 4A_345/2018 vom 5. November 2018 E. 3).
3.3. Die Beschwerdeführerin macht zu Recht geltend, dass die Vorinstanz das erstinstanzliche Urteil nur scheinbar bestätigte.
In Dispositiv-Ziffer 1a des erstinstanzlichen Urteils war die Beschwerdeführerin ohne Vorbehalt oder Bedingung dazu verurteilt worden, der Beschwerdegegnerin Fr. 108'625.-- nebst Zins zu 5 % seit 13. April 2015 zu bezahlen. Die Vorinstanz reduzierte diesen Betrag auf Fr. 44'005.-- nebst Zins zu 5 % seit 13. April 2015. Entsprechend verringerte sich der Gesamtbetrag, den die Beschwerdeführerin der Beschwerdegegnerin zu bezahlen hat, von Fr. 174'091.70 gemäss erstinstanzlichem Urteil auf Fr. 109'471.70 gemäss vorinstanzlichem Urteil.
Damit obsiegte die Beschwerdeführerin mit ihrer Berufung teilweise, denn der Betrag, den sie der Beschwerdegegnerin gemäss Dispositiv zu bezahlen hat, wurde um Fr. 64'620.-- reduziert. Daran ändert nichts, dass die Vorinstanz gleichzeitig festhielt, die Berufung werde abgewiesen. Die vorinstanzliche Intervention diente nicht bloss der Klarheit. Es war nötig, dass die Vorinstanz das erstinstanzliche Dispositiv korrigiert. Denn die Erstinstanz hatte versäumt, den Honorarvorschüssen der Beschwerdeführerin im Dispositiv Rechnung zu tragen. Die Erstinstanz hatte nirgends festgehalten, dass die Honorarvorschüsse abzuziehen waren von den Beträgen, die es in sein Dispositiv aufgenommen hatte. Ganz im Gegenteil hatte die Erstinstanz in der Urteilsbegründung darauf hingewiesen, dass die Beschwerdeführerin den Betrag von Fr. 161'196.-- zuzüglich MWST von Fr. 12'895.70 an die Beschwerdegegnerin zu bezahlen habe.
Dass die Erstinstanz die Honorarvorschüsse versehentlich übergangen hatte, legen auch ihre Erwägungen zur Verteilung der Prozesskosten nahe. Sie hatte nämlich festgehalten, die Beschwerdegegnerin obsiege mit ihrer Klage zu 65 %. Die Beschwerdegegnerin hatte ursprünglich Fr. 275'227.95 eingeklagt und diese Summe nachträglich auf Fr. 267'448.95 reduziert. Nimmt man 65 % der eingeklagten Summe, dann landet man ungefähr beim Betrag von Fr. 174'091.70, den die Beschwerdeführerin gemäss Dispositiv-Ziffer 1a des erstinstanzlichen Urteils der Beschwerdegegnerin hätte zahlen müssen. Daraus lässt sich schliessen, dass die Erstinstanz der Beschwerdegegnerin Fr. 174'091.70 zusprechen wollte und nicht den Betrag von Fr. 109'471.70, den die Vorinstanz der Beschwerdegegnerin zusprach.
Dass die Erstinstanz die Honorarvorschüsse schlicht vergessen hatte, zeigt sich auch daran, dass sie anscheinend übersah, dass man einen Schuldner nicht unbesehen zur Bezahlung von Schuldzinsen verurteilen kann, soweit dieser bereits Honorarvorschüsse geleistet hat.
Indem die Vorinstanz die erstinstanzliche Dispositiv-Ziffer 1a korrigierte, änderte sie die Rechtslage. Es ist daher unhaltbar, wenn die Vorinstanz erklärt, am Ergebnis ändere sich nichts, weshalb die Berufung vollumfänglich abzuweisen sei. Das Urteil der Erstinstanz war falsch und die Vorinstanz hat es teilweise korrigiert. Trotzdem auferlegte die Vorinstanz die gesamten Prozesskosten der Berufung der Beschwerdeführerin. Damit verletzte sie Bundesrecht.
3.4. Die Beschwerde ist gutzuheissen und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sie wird neu über die erst- und zweitinstanzlichen Prozesskosten zu befinden haben. Dabei wird sie auch zu prüfen haben, ob sich die Klage und Widerklage nicht gegenseitig ausschliessen (<ref-law>).
3.5. Die Beschwerdeführerin trägt vor, die Höhe der Honorarvorschüsse sei unklar gewesen. Sie habe insgesamt Fr. 484'200.-- bezahlt, während die Vorinstanz von einem anderen Betrag ausgegangen sei. In der Tat veranschlagten sowohl die Erstinstanz als auch die Vorinstanz abzugsfähige Honorarvorschüsse von insgesamt Fr. 468'000.--. Sie erwogen nämlich, dass die Zahlung von Fr. 16'200.-- die nicht mehr strittige Rechnung für den Zugangsstollen mit Lift betroffen habe. Falsch ist demgegenüber das Vorbringen der Beschwerdeführerin, wonach die Beschwerdegegnerin im Berufungsverfahren nicht einmal den Betrag von Fr. 468'000.-- anerkannt habe. Es trifft zwar zu, dass die Beschwerdegegnerin in der Berufungsantwort und Anschlussberufung bloss Fr. 433'333.30 erwähnt. Aber die Beschwerdeführerin übersieht, dass zu diesem Betrag die Mehrwertsteuer von 8 % hinzuzurechnen ist, womit sich Honorarvorschüsse von insgesamt Fr. 468'000.-- ergeben. Zudem vermerkt die Beschwerdegegnerin zu Recht, dass sie die Honorarvorschüsse bereits zu Beginn des Verfahrens in einer Klagebeilage transparent auswies.
4.
Die Beschwerde ist gutzuheissen. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen zur Neuregelung der erst- und zweitinstanzlichen Prozesskosten.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdegegnerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde in Zivilsachen wird gutgeheissen. Das Urteil des Kantonsgerichts Wallis vom 14. April 2021 wird aufgehoben und die Sache an das Kantonsgericht zurückgewiesen zur Neuregelung der erst- und zweitinstanzlichen Prozesskosten.
3.
Die Gerichtskosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
4.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht des Kantons Wallis, I. Zivilrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. September 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Luczak