Faits :
A.
A.a. Dans le cadre d'une instruction contre inconnus pour blanchiment d'argent aggravé (art. 305bis ch. 1 et 2 CP), le Ministère public de la Confédération (ci-après : le MPC ou le recourant) a placé, le 18 juin 2019, sous scellés des documents - contenus dans trois classeurs fédéraux - remis le 11 précédent par la banque A._ AG; cette documentation avait été requise par ordre de dépôt et de séquestre du 7 mars 2019.
Le 5 décembre 2019, le Tribunal des mesures de contrainte du canton de Vaud (ci-après : Tmc) a en substance admis la demande de levée des scellés déposée le 4 juillet 2019 par le MPC. Cette ordonnance a été annulée le 19 mai 2020 par le Tribunal fédéral (cause 1B_28/2020), lequel a considéré que la requête de levée des scellés du MPC avait été déposée tardivement (cf. consid. 2.2); la restitution à la banque A._ AG des pièces a été ordonnée (cf. consid. 3).
A.b. Le 9 juillet 2020, le MPC a à nouveau requis de la banque A._ AG différents documents. Ceux-ci ont été produits dans trois classeurs le 5 août 2020, accompagnés d'une demande de mise sous scellés. Cette mesure a été apposée le 10 août 2020.
Par requête du 26 août 2020, le MPC a demandé au Tmc de lever les scellés apposés sur ces trois classeurs. Le MPC a en particulier relevé que son ordonnance de dépôt du 9 juillet 2020 portait sur les mêmes éléments que ceux visés par son ordre de dépôt du 7 mars 2019. Le MPC fondait sa nouvelle demande sur la réception, le 29 juin 2020, d'un rapport du 26 précédent de la Police judiciaire fédérale (ci-après : PJF). La banque A._ AG s'est en substance opposée à cette démarche, soutenant notamment que le rapport précité ne constituerait pas un élément nouveau justifiant le second ordre de dépôt.
B.
Le 14 décembre 2020, le Tmc a rejeté la demande de levée des scellés du 26 août 2020.
Rappelant l'existence de soupçons suffisants de la commission de l'infraction de blanchiment d'argent aggravé (clients de la banque placés sur la liste des personnes visées notamment par des mesures internationales de gel des avoirs; corruption dans l'administration et le pouvoir de leur pays d'origine; transferts en 2011 - moment d'une révolution dans le pays en cause - par la banque suisse d'environ USD 65 millions pour une banque sise à l'étrangeren faveur d'un membre de cette famille; et dénonciation le 18 mai 2017 de l'Autorité fédérale de surveillance des marchés financiers [FINMA] de la banque A._ AG pour avoir omis d'en informer le Bureau de communication en matière de blanchiment d'argent [MROS]; cf. consid. 10/b p. 7 s.), le Tmc a cependant considéré qu'aucun motif ne justifiait dans le cas d'espèce la répétition de la saisie des mêmes documents que ceux ayant été restitués à la suite de l'arrêt 1B_28/2020 du 19 mai 2020 (cf. consid. 10/g p. 9 s.).
C.
Par acte du 11 janvier 2021, le MPC forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre cette ordonnance, concluant à son annulation, à la levée des scellés apposés le 10 août 2020 sur la documentation remise par A._ AG le 5 août 2020 dans trois classeurs fédéraux, à leur remise en l'autorisant à exploiter leur contenu pour les besoins de la procédure préliminaire en cours, étant précisé que leur pertinence et leur contenu au regard de l'<ref-law> avaient déjà été examinés par le Tmc dans sa décision du 5 décembre 2019. A titre subsidiaire, le recourant demande le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision en tenant compte du fait que l'ordre de dépôt du MPC portant sur la documentation précitée était conforme au droit fédéral et donc admissible. Le MPC requiert également l'octroi de l'effet suspensif en ce sens qu'interdiction soit faite au Tmc de restituer les trois classeurs fédéraux des documents sous scellés jusqu'à droit connu sur l'issue du présent litige.
L'autorité précédente a renoncé à se déterminer. La banque A._ AG (ci-après : l'intimée) s'en est rapportée à justice s'agissant de la requête d'effet suspensif et a conclu à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. Le 15 mars 2021, respectivement le 9 avril suivant, le MPC et la banque intimée ont persisté dans leurs conclusions.
Par ordonnance du 29 janvier 2021, le Juge présidant de la Ire Cour de droit public du Tribunal fédéral a admis la demande d'effet suspensif.

Considérant en droit :
1.
Conformément à l'art. 393 al. 1 let. c CPP, un recours n'est ouvert contre les décisions du Tmc que dans les cas prévus par ledit code. Aux termes de l'<ref-law>, cette juridiction statue définitivement sur la demande de levée des scellés au stade de la procédure préliminaire. Le code ne prévoit pas de recours cantonal contre les autres décisions rendues par le Tmc dans le cadre de la procédure de levée des scellés. La voie du recours en matière pénale au Tribunal fédéral - acte déposé en temps utile (art. 46 al. 1 let. c et 100 al. 1 LTF; <ref-ruling> consid. 1.2.1 p. 359) - est ainsi en principe directement ouverte contre de tels prononcés (art. 80 al. 2 in fine LTF; <ref-ruling> consid. 1 p. 465).
Le Tmc a rejeté la demande de levée des scellés formée par le MPC, ce qui équivaut à ordonner le maintien de cette mesure, puis la restitution des pièces à la banque intimée. Partant, le MPC a un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de l'ordonnance entreprise (cf. art. 81 al. 1 let. a et b ch. 3 LTF; arrêts 1B_108/2020 du 25 novembre 2020 consid. 5.1; 1B_526/2017 du 4 mai 2018 consid. 1.2 et les arrêts cités).
La décision attaquée, qui ne met pas un terme à la procédure pénale, est de nature incidente; le recours en matière pénale contre un tel prononcé n'est dès lors recevable qu'aux conditions de l'<ref-law>, soit en présence d'un préjudice irréparable (<ref-ruling> consid. 1 p. 465). En matière d'administration des preuves, un tel préjudice doit être reconnu au ministère public lorsque, sans les moyens de preuve en cause, l'accusation risque d'être entravée au point de rendre impossible ou, à tout le moins, particulièrement difficile, la continuation de la procédure pénale. Tel n'est cependant pas le cas si le ministère public dispose d'autres mesures d'instruction pour continuer la procédure et pour, le cas échéant, rendre une ordonnance de mise en accusation. Il appartient dans tous les cas au ministère public d'alléguer et de démontrer la réalisation des conditions d'application de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 292, 284 consid. 2.4 p. 287 s.). Il n'en va pas différemment en matière de levée des scellés (arrêts 1B_298/2020 du 17 mars 2021 consid. 1.2; 1B_108/2020 du 25 novembre 2020 consid. 5.2 et les arrêts cités).
Certes, il ne paraît pas exclu que le MPC encoure le risque de perdre définitivement certains moyens de preuve (cf. les dates des pièces en cause figurant ad ch. 18 de la demande de levée du 26 août 2020 et la durée des obligations de conservation incombant à la banque en vertu de l' art. 7 al. 3 de la loi fédérale du 10 octobre 1997 concernant la lutte contre le blanchiment d'argent et le financement du terrorisme [LBA; RS 955.0]). Cela étant, si le défaut de production au dossier des pièces sous scellés peut certainement entraver ou rendre plus difficile l'instruction, la poursuite de celle-ci ne semble pas d'emblée impossible en l'absence des pièces litigieuses, le MPC disposant de la documentation concernant les relations bancaires des personnes en cause (cf. ad I/4 p. 2 des déterminations du MPC du 15 mars 2020). Eu égard toutefois à l'issue du litige, cette question de recevabilité peut rester indécise.
2.
Le MPC ne conteste pas que les pièces requises dans sa seconde demande de levée des scellés sont les mêmes que celles ayant fait l'objet de la restitution ordonnée à la suite de l'arrêt 1B_28/2020 du 19 mai 2020 du Tribunal fédéral.
Le recourant soutient cependant que les conditions permettant la réitération de la saisie de ces documents auraient été réalisées dans le cas d'espèce. Selon le MPC, cela découlerait de la production du rapport "d'analyse" de la PJF du 26 juin 2020 le 29 suivant (nouvelle circonstance de fait) et des conclusions en ressortant relatives à l'éventuelle commission de l'infraction d'organisation criminelle (nouvelle circonstance de droit). Le MPC soutient également n'avoir pas délibérément ignoré le délai de 20 jours de l'<ref-law>, ne pouvant ainsi lui être reproché un abus de droit. Il fait encore grief à l'autorité précédente d'avoir outrepassé son pouvoir d'examen en déniant toute force probante au rapport de la PJF.
2.1. Selon l'<ref-law>, les documents, enregistrements et autres objets qui ne peuvent être ni perquisitionnés ni séquestrés parce que l'intéressé fait valoir son droit de refuser de déposer ou de témoigner ou pour d'autres motifs sont mis sous scellés et ne peuvent être ni examinés, ni exploités par les autorités pénales (al. 1); si l'autorité pénale ne demande pas la levée des scellés dans les 20 jours, les documents et les autres objets mis sous scellés sont restitués à l'ayant droit (al. 2); si l'autorité pénale demande la levée des scellés, les tribunaux suivants statuent définitivement sur la demande dans le mois qui suit son dépôt : le tribunal des mesures de contrainte, dans le cadre de la procédure préliminaire (al. 3 let. a) ou le tribunal saisi de la cause, dans les autres cas (al. 3 let. b); le tribunal peut faire appel à un expert pour examiner le contenu des documents, des enregistrements et des autres objets (al. 4).
Le délai de 20 jours prévu par l'<ref-law> est un délai légal, qui ne peut être prolongé (<ref-law>). Son non-respect - que celui-ci ait été conscient ou pas (arrêt 1B_117/2012 du 26 mars 2012 consid. 2.4) - entraîne la restitution des objets placés sous scellés (arrêts 1B_460/2020 du 16 décembre 2020 consid. 2.2; 1B_28/2020 du 19 mai 2020 consid. 2.1; 1B_243/2019 du 19 décembre 2019 consid. 2.1; 1B_304/2018 du 13 novembre 2018 consid. 2.2).
Selon la jurisprudence, des éléments qui ont été restitués peuvent faire l'objet d'une nouvelle perquisition/d'un nouvel ordre de dépôt dans la mesure où la procédure a évolué (arrêts 1B_304/2018 du 13 novembre 2018 consid. 2.3; 1B_424/2013 du 22 juin 2014 consid. 2.5), c'est-à-dire en présence d'une modification (i) des circonstances de droit ou de fait ou (ii) de l'appréciation de celles-ci par les autorités chargées de l'enquête depuis la précédente saisie (arrêt 1B_117/2012 du 26 mars 2012 consid. 2.4 ["dass eine Entwicklung des Strafverfahrens stattgefunden hat, d.h. dass sich die rechtlichen oder tatsächlichen Verhältnisse oder auch nur ihre Einschätzung durch die Untersuchungsbehörden seit der letzten Sicherstellung verändert haben"]; ANDREAS J. KELLER, in DONATSCH/LIEBER/ SUMMERS/WOHLERS [édit.], SK-Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung, 3e éd. 2020, n° 37 ad <ref-law>; JEANNERET/KUHN, Précis de procédure pénale, 2e éd. 2018, n° 14026c p. 353; SCHMID/JOSITSCH, Schweizerische Strafprozessordnung [StPO], Praxiskommentar, 3e éd. 2018, n° 10 ad <ref-law>; MOREILLON/PAREIN-REYMOND, CPP, Code de procédure pénale, 2e éd. 2016, n° 14 ad <ref-law>; THORMANN/BRECHBÜHL, in Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, Jugendstrafprozessordnung, vol. II, 2e éd. 2014, n° 21 ad <ref-law>). Cette possibilité ne doit cependant pas être utilisée afin d'ignorer consciemment le délai de l'<ref-law> et de prolonger ainsi, de manière contraire à la volonté du législateur, la procédure; ce comportement serait alors contraire au principe de la bonne foi (cf. <ref-law>; KELLER, op. cit., n° 37 ad <ref-law>; THORMANN/BRECHBÜHL, op. cit., n° 21 ad <ref-law>).
2.2. L'autorité précédente a considéré qu'au vu des différents éléments au dossier - dont la comparaison du contenu de la première demande de levée des scellés (4 juillet 2019) et de la seconde (26 août 2020), ainsi que les déterminations de la banque intimée du 23 octobre 2020 -, il n'y avait pas eu d'évolution de la procédure permettant la répétition de la saisie des documents ayant été restitués à la banque intimée à la suite de l'arrêt 1B_28/2020 du 19 mai 2020.
Selon le Tmc, le rapport de la PJF, ainsi que son résumé porté à la connaissance de la banque intimée, ne faisaient que reprendre des informations publiquement disponibles depuis de nombreuses années (cf. les références bibliographiques données et la méthodologie exposée); le MPC s'était d'ailleurs également fondé dans sa première demande sur certains de ces renseignements ou documents pour démontrer l'existence de soupçons suffisants de la commission d'infractions et le rapport de police ne faisait qu'étayer, de manière extrêmement complète, ces éléments, soit que les valeurs patrimoniales déposées sur les comptes ouverts auprès de la banque intimée par la famille mise en cause - environ USD 76 millions - pouvaient provenir d'activités criminelles (corruption, gestion déloyale des intérêts publics et extorsion). L'autorité précédente a enfin relevé que le MPC n'avait en outre pas attendu le dépôt de ce rapport pour requérir la documentation bancaire litigieuse (cf. l'ordonnance du 7 mars 2019 antérieure au mandat du 13 mars 2019 donné à la police).
2.3. Ce raisonnement ne prête pas le flanc à la critique et le MPC ne développe aucune argumentation propre à le remettre en cause.
Certes, au cours de l'enquête, on ne saurait peut-être avoir des exigences en matière de motivation similaires à celles prévalant pour la réouverture d'une instruction à la suite notamment d'un classement (cf. <ref-law>; voir sur cette disposition <ref-ruling> consid. 2.3 p. 197 s.; arrêt 6B_980/2019 du 9 octobre 2019 consid. 2.1). Un certain de degré de motivation des nouvelles circonstances s'impose cependant, sauf à permettre aux autorités pénales de contourner le délai de l'<ref-law> et obtenir ainsi la réparation d'une erreur - consciente ou pas - de procédure. Eu égard au principe de la bonne foi (cf. <ref-law>), un tel devoir vaut d'autant plus en l'occurrence vu le motif de la restitution des pièces (tardiveté de la demande de levée des scellés) et la chronologie rapprochée du cas d'espèce (restitution en mai 2020 et nouvel ordre de dépôt de juillet 2020). Or, faute d'énumération claire, la lecture du recours ne permet pas d'emblée de relever quels seraient les éléments nouveaux mis en évidence par le rapport du 26 juin 2020 de la PJF.
En tout état de cause, le propre d'une enquête est d'apporter des éléments afin d'étayer - ou d'infirmer - les soupçons existants, ce que la terminologie utilisée en lien avec le rapport de la PJF par le MPC vient d'ailleurs démontrer (cf. notamment "analyse approfondie", "synthèse critique et détaillée" [ad ch. 43], "renforcer" [ad ch. 45], "étaye et renforce" [ad ch. 48 du recours]). Dans le cadre particulier de la problématique faisant l'objet du présent litige et sur laquelle seule portait l'examen du Tmc, la production d'un nouveau moyen de preuve - dont la valeur probante sur le fond n'est ainsi pas remise en cause - ne suffit en principe pas pour considérer, sur le plan factuel, que l'instruction aurait évolué au sens de la jurisprudence précitée et que la réitération de l'acte de contrainte serait dès lors autorisée. Cela vaut y compris si cet acte, tel le rapport de la PJF, permet de consolider les soupçons de la commission d'infractions, respectivement l'utilité potentielle des pièces litigieuses. Le chef de prévention supplémentaire qui découlerait du rapport de la PJF - organisation criminelle (<ref-law> en lien avec l'<ref-law>) - ne permet pas non plus en l'occurrence de retenir que la procédure aurait pris une nouvelle orientation juridique, soit que cette nouvelle infraction n'aurait pas pu être envisagée précédemment. Cette constatation s'impose eu égard à l'infraction déjà retenue dans les deux demandes de levée des scellés (cf. blanchiment d'argent aggravé [art. 305bis ch. 1 et 2 CP]), ainsi qu'en raison des circonstances entourant la réalisation de celle-ci (soupçons d'activités illicites à l'origine des valeurs patrimoniales litigieuses en raison de corruption, de gestion déloyale des intérêts publics et d'extorsion [cf. ad II/B p. 5 s de la demande du 4 juillet 2019 et p. 6 de la requête du 26 août 2020]). La seconde demande de levée des scellés - qui ne mentionne d'ailleurs toujours que cette même infraction - renvoie en outre essentiellement à la procédure de levée des scellés précédente s'agissant des soupçons suffisants de la commission d'une infraction; aucune argumentation spécifique n'est en revanche développée s'agissant de l'organisation criminelle (cf. ad II/B p. 6 de la requête du 26 août 2020).
3.
Il s'ensuit que le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires (<ref-law>). La banque intimée, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'avocats, a droit à des dépens, à la charge de la Confédération (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Une indemnité de dépens, fixée à 1'500 fr., est alloué à la banque intimée, à la charge de la Confédération.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal des mesures de contrainte du canton de Vaud.
Lausanne, le 16 juin 2021
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Chaix
La Greffière : Kropf