Erwägungen:
1.
A._ verbüsst eine lebenslängliche Freiheitsstrafe. Zurzeit befindet er sich im Untersuchungsgefängnis Solothurn. Zuvor war er in der Justizvollzugsanstalt (JVA) Bostadel untergebracht.
Mit einer Eingabe vom 15. Februar 2021 wandte sich A._ an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Er rügte dabei, die kantonalen Behörden hätten bislang nicht über einen Antrag vom 5. März 2020 auf begleitete Ausgänge entschieden. Im Rahmen des Schriftenwechsels beanstandete er ferner, er wisse bis heute nicht, wann er an einem Qualifikationsverfahren der Ausbildung zum Gebäudereiniger EFZ teilnehmen könne. Zudem machte er geltend, es liege nach wie vor kein Vollzugsplan vor.
Das Verwaltungsgericht nahm die genannte Eingabe als Rechtsverweigerungs- und Rechtsverzögerungsbeschwerde entgegen. Es wies das Rechtsmittel mit Urteil vom 15. Juni 2021 ab, soweit es darauf eintrat. Zur Begründung führte es aus, A._ fehle es an einem aktuellen Rechtsschutzinteresse. Über seinen Antrag vom 5. März 2020 sei nämlich mit Verfügung des Amtes für Justizvollzug des Kantons Solothurn vom 18. Februar 2021 entschieden worden; dabei habe man ihm Ausgänge in Doppelbegleitung der Polizei bewilligt. Er habe überdies zwischenzeitlich (nämlich im Mai 2021) die Abschlussprüfung Gebäudereiniger EFZ absolvieren können. Hinsichtlich des Vollzugsplanes habe das Departement des Innern des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 4. Februar 2021 eine Rechtsverzögerung festgestellt und das Amt für Justizvollzug angewiesen, den entsprechenden Plan zu erarbeiten. Im Übrigen hätten die kantonalen Behörden nach der Gesamtheit der Umstände stets innert angemessener Frist reagiert.
2.
Mit Eingabe vom 24. Juni 2021 erhebt A._ "Rekurs" (recte: Beschwerde) an das Bundesgericht. Er beantragt sinngemäss, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 15. Juni 2021 aufzuheben und eine Rechtsverweigerung sowie eine Rechtsverzögerung festzustellen.
Das Amt für Justizvollzug beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Das Verwaltungsgericht stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Departement des Innern verzichtet auf Vernehmlassung. Der Beschwerdeführer hält mit Eingabe vom 16. August 2021 an seinem Rechtsmittel fest.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Das Verwaltungsgericht hat erwogen, über die Anliegen des Beschwerdeführers sei inzwischen entschieden worden. Deshalb fehle es ihm an einem aktuellen Rechtsschutzinteresse, zumal er keinen ausdrücklichen Antrag auf Feststellung einer Rechtsverzögerung oder -verweigerung stelle. Der Beschwerdeführer setzt sich mit dieser Begründung nicht auseinander. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Da sein Rechtsbegehren unter den gegebenen Umständen aussichtslos ist, ist das Gesuch abzuweisen (<ref-law>). Von einer Kostenauflage ist dennoch abzusehen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Justizvollzug, dem Departement des Innern des Kantons Solothurn und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. August 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: König