Faits :
A.
A._ a bénéficié de prestations complémentaires depuis le 1er juin 2014. Averti de l'existence d'un bien immobilier non-déclaré, situé à l'étranger, le Service genevois des prestations complémentaires (SPC) a recalculé le montant des prestations dues depuis l'origine et exigé de l'assurée qu'elle lui restitue la somme de 94'568 fr. 60 (dont 47'030 fr. de prestations complémentaires fédérales) versée à tort du 1er juin 2014 au 31 août 2020 (décisions des 31 août et 5 octobre 2020, confirmées sur opposition le 10 décembre 2020).
B.
L'intéressée a recouru contre la décision du 10 décembre 2020 auprès de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales. Confirmant l'obligation de restituer en raison d'une violation du devoir d'informer mais considérant que le SPC avait fait des erreurs dans l'appréciation du montant à restituer, la cour cantonale a partiellement admis le recours, a annulé la décision contestée et a renvoyé la cause à l'administration afin qu'elle rende une nouvelle décision dans le sens des considérants (arrêt du 16 septembre 2021).
C.
Le SPC forme un recours en matière de droit public à l'encontre de cet arrêt. Il en demande l'annulation en tant qu'il concerne les prestations complémentaires fédérales. Il conclut par ailleurs à l'octroi de l'effet suspensif au recours.
A._ conclut au rejet du recours. Elle sollicite en outre l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. L'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) soutient le recours de l'administration.

Considérant en droit :
1.
La juridiction cantonale a annulé la décision administrative litigieuse et a renvoyé la cause au recourant pour qu'il rende une nouvelle décision au sens des considérants. La question de savoir si l'arrêt cantonal est une décision finale, au sens de l'<ref-law>, ou incidente, au sens de l'<ref-law> (l'<ref-law> n'est pas pertinent en l'espèce) peut rester ouverte dès lors qu'il conviendrait de toute façon d'entrer en matière sur le recours. En effet, en exigeant du SPC qu'il rende une nouvelle décision prenant en compte les modifications apportées à ses calculs, le tribunal cantonal contraint ce dernier à statuer sur certains points du litige d'une façon qu'il juge contraire au droit, ce qui lui cause un dommage irréparable au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 1.2).
2.
Le recours en matière de droit public (au sens des <ref-law>) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par cette dernière (<ref-law>). Cependant, il peut rectifier les faits ou les compléter d'office s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Le recourant ne peut critiquer les faits que s'ils ont été constatés de façon manifestement inexacte ou contraire au droit et si la correction d'un tel vice peut influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
3.
Au regard des conclusions du recours, le litige porte uniquement sur le montant des prestations complémentaires fédérales à restituer. Vu les motifs du recours, il s'agit singulièrement de déterminer si la juridiction cantonale était en droit de réduire les montants du produit de la fortune immobilière ainsi que des frais d'entretien immobilier pris en considération par le recourant pour déterminer les ressources et les charges de l'intimée, au prorata du nombre de mois durant lesquels l'ayant droit, en 2014, avait perçu des prestations complémentaires (depuis le mois de juin) et, en 2019, était resté propriétaire du bien immobilier non déclaré (jusqu'en septembre).
4.
Le recourant, soutenu par l'OFAS, reproche exclusivement aux premiers juges d'avoir violé le droit fédéral en "procéd[ant] à tort à la proratisation des montants [du produit de la fortune mobilière et des frais d'entretien immobilier]" pour les années 2014 et 2019. Il soutient pour l'essentiel que les prestations complémentaires sont versées mensuellement mais calculées sur une base annualisée.
5.
Selon le droit applicable au moment où les faits déterminants se sont produits (soit en l'espèce les dispositions de la LPC et de l'OPC-AVS/AI dans leur teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2020 [cf. <ref-ruling> consid. 4.3.1] dès lors que la décision administrative litigieuse a été prise le 10 décembre 2020), les prestations complémentaires se composent notamment de la prestation complémentaire annuelle (<ref-law>) qui est une prestation en espèces (<ref-law>) payée mensuellement (<ref-law>). Le calcul de la prestation complémentaire annuelle en ce qui concerne les revenus déterminants, dont fait partie le produit de la fortune immobilière (<ref-law>), se fonde en principe sur les revenus obtenus au cours de l'année précédant celle pour laquelle la prestation est servie (<ref-law>). Les dépenses reconnues se déterminent également sur une base annuelle (cf. <ref-law>). Les premiers juges ont dès lors violé le droit fédéral en réduisant le montant du produit de la fortune immobilière et des frais d'entretien immobilier proportionnellement au nombre de mois durant lesquels l'intimée, en 2014, avait perçu des prestations complémentaires et, en 2019, était restée propriétaire du bien immobilier non-déclaré.
En conséquence, le recours est manifestement fondé. Il doit être dès lors admis selon la procédure simplifiée de l'<ref-law>. Il convient ainsi d'annuler l'arrêt cantonal et de confirmer la décision sur opposition du 10 décembre 2020 en tant qu'ils portent sur les prestations complémentaires fédérales. On précisera que la modification par la juridiction cantonale du taux de change appliqué pour l'année 2019 ne change rien au fait que l'intimée n'a pas droit à des prestations complémentaires pour ladite année; le montant à restituer reste inchangé. Le présent arrêt rend en outre sans objet la demande d'effet suspensif.
6.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge de l'intimée qui succombe pour l'essentiel (<ref-law>). Elle a cependant déposé une demande d'assistance judiciaire. Dès lors que la condition de l'indigence est remplie (art. 64 al. 1 et 2 LTF), l'assistance judiciaire lui est accordée. L'intimée est toutefois rendue attentive au fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal fédéral si elle retrouve ultérieurement une situation financière lui permettant de le faire (<ref-law>).
La cause est renvoyée au tribunal cantonal pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure antérieure (art. 67 et 68 al. 5 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. L'arrêt de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 16 septembre 2021 est annulé et la décision sur opposition du 10 décembre 2020 du Service genevois des prestations complémentaires est confirmée, en tant qu'ils portent sur le montant des prestations complémentaires fédérales.
2.
L'assistance judiciaire est accordée et Me Stéphane Rey est désigné comme avocat d'office de l'intimée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimée. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la Caisse du Tribunal fédéral.
4.
Une indemnité de 2800 fr. est allouée à l'avocat de l'intimée à titre d'honoraires à payer par la Caisse du Tribunal fédéral.
5.
La cause est renvoyée à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure antérieure.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 21 avril 2022
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Cretton