Faits :
A.
Ressortissant camerounais né en 1977, X._ a déposé une demande d'asile en Suisse le 27 mai 2016. Par décision du 20 juillet 2016, le Secrétariat d'Etat aux migrations (ci-après: le SEM) n'est pas entré en matière sur cette demande et a prononcé le renvoi de Suisse de l'intéressé vers l'Allemagne en application de la procédure Dublin, tout en chargeant le canton de Berne d'exécuter le renvoi. X._ a formé recours contre ce prononcé au Tribunal administratif fédéral, qui l'a rejeté par arrêt du 19 août 2016. A cette même date, la compagne de X._, au bénéfice d'une admission provisoire en Suisse, a donné naissance à un enfant, que l'intéressé a reconnu.
Le 21 octobre 2016, X._ a adressé au SEM une première demande de réexamen de la décision du 20 juillet 2016, qui a été rejetée le 11 novembre 2016. Saisi d'un recours contre cette décision, le Tribunal administratif fédéral, qui avait suspendu l'exécution du renvoi, l'a rejeté par arrêt du 28 février 2018.
B.
A la demande du Service des migrations de l'Office de la population et des migrations du canton de Berne (ci-après: l'Office cantonal), X._ a été appréhendé par la police cantonale le 24 mai 2018 et placé en détention pour une durée de six semaines dans le cadre d'une procédure Dublin, soit jusqu'au 4 juillet 2018.
Le 25 mai 2018, X._ a formé une nouvelle demande de réexamen auprès du SEM, qui l'a rejetée par décision du 28 mai 2018. A cette même date, le Tribunal cantonal des mesures de contrainte du canton de Berne (ci-après: le Tribunal des mesures de contrainte) a confirmé la détention de l'intéressé jusqu'au 4 juillet 2018.
Le recours formé par X._ contre la décision du SEM du 28 mai 2018, considéré comme une demande de révision de l'arrêt du 28 février 2018, a été rejeté, dans la mesure de sa recevabilité, par le Tribunal administratif fédéral le 12 juin 2018.
Le recours formé par l'intéressé contre le jugement du Tribunal des mesures de contrainte du 28 mai 2018 a été rejeté par le Juge unique du Tribunal administratif du canton de Berne (ci-après: le Tribunal administratif) le 22 juin 2018.
C.
Contre le jugement du 22 juin 2018, X._ forme un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. Il demande, sous suite de dépens, la suspension du renvoi vers l'Allemagne, l'annulation du jugement du 22 juin 2018 et le renvoi de l'affaire "à l'autorité intimée au sens des considérants". Il sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Par ordonnance présidentielle du 28 juin 2018, la II e Cour de droit public du Tribunal fédéral a renoncé à percevoir une avance de frais, imparti des délais d'échange d'écritures et dit que le recours ne bloquait pas l'exécution du renvoi vers l'Allemagne.
Le Tribunal des mesures de contrainte renonce à se déterminer et renvoie à la motivation de sa décision du 28 mai 2018. Le Tribunal administratif renonce à prendre position. L'Office cantonal renvoie aux considérants du Tribunal administratif et informe le Tribunal fédéral que la compagne de X._ a déposé une demande de regroupement familial pour lui, encore en suspens. En outre, en raison du refus de l'intéressé de prendre le 19 juin 2018 le vol réservé à destination de Berlin, sa détention a été prononcée sur la base de l'art. 76a al. 4 LEtr (RS 142.20), un transfert vers l'Allemagne étant prévu pour le 9 juillet 2018. Le SEM conclut au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. Le recourant n'a pas déposé d'observations finales.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 3).
1.1. L'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause relevant de la détention administrative dans le cadre de la procédure Dublin, pour laquelle la voie du recours en matière de droit public est en principe ouverte (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 1 p. 141; arrêt 2C_1052/2016 du 26 avril 2017 consid. 1.2, non publié in <ref-ruling>). L'objet de la présente procédure ne peut toutefois consister que dans l'examen du caractère licite de la détention (cf. <ref-ruling> consid. 4.3.2 p. 149), ce que le représentant du recourant ne semble pas avoir saisi dans la mesure où il critique également la décision initiale de non-entrée en matière et de renvoi, l'arrêt du Tribunal administratif fédéral la confirmant (arrêt du 19 août 2016) et les décisions rejetant les demandes de réexamen (arrêts des 28 février 2018 et 12 juin 2018), ainsi que la mesure d'interdiction d'entrée en Suisse prononcée à l'encontre du recourant. Le recours est irrecevable sur ces points.
1.2. Le recours apparaît en outre, dans son ensemble, irrecevable eu égard aux exigences de l'<ref-law>.
1.2.1. Les mémoires doivent être rédigés dans une langue officielle, indiquer les conclusions, les motifs et les moyens de preuve, et être signés (<ref-law>). Les motifs doivent exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit (<ref-law>). Pour satisfaire à ces exigences, le recourant doit discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (cf. <ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 286; <ref-ruling> consid. 2 p. 89; <ref-ruling> consid. 1.4.1 p. 53). Il doit exister un lien entre la motivation et la décision litigieuse. Lorsque le mémoire de recours consiste à reprendre mot pour mot devant le Tribunal fédéral la même motivation que celle présentée devant l'instance inférieure, un tel lien n'existe pas et le recours est inadmissible sous l'angle de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 309; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 246 s.; arrêt 1C_247/2017 du 12 mai 2017 consid. 2).
1.2.2. En l'occurrence, le représentant du recourant méconnaît à l'évidence les exigences susmentionnées. Le recours déposé au Tribunal fédéral reprend en effet quasiment mot pour mot le recours déposé devant le Tribunal administratif, en se contentant de remplacer les mots "décision du 28 mai 2018" par "décision du 22 juin 2018", le terme "intimée" par "Tribunal" et de déplacer certains paragraphes. Le représentant du recourant invoque, dans les mêmes termes, les griefs déjà exposés devant le Tribunal administratif, mais ne discute aucunement des motifs retenus dans l'arrêt querellé, qui répond pourtant en détails aux arguments soulevés et expose de manière convaincante les fondements de la détention du recourant. En d'autres termes, on ne comprend pas en quoi le recourant conteste la conformité au droit de l'arrêt attaqué. Le recours est partant inadmissible.
2.
Au demeurant, on peut douter que le recours ait encore un objet, dès lors que la détention ordonnée le 24 mai 2018 en application de l'art. 76a al. 1, 2 et 3 let. c LEtr a pris fin le 4 juillet 2018, que le recourant a par la suite été détenu, selon les informations de l'Office cantonal, sur la base d'un autre fondement juridique, à savoir l'art. 76a al. 4 LEtr, compte tenu de son refus de monter dans un vol pour l'Allemagne mi-juin 2018 et que son transfert pour l'Allemagne devait avoir lieu le 9 juillet 2018. Ainsi, si, au moment du recours déposé le 26 juin 2018, le recourant disposait d'un intérêt actuel, celui-ci a désormais disparu.
Le recourant invoque certes, sans toutefois discuter la motivation de l'arrêt entrepris sur ce point (cf. supra consid. 1.2), une violation de l'art. 8 CEDH, en se prévalant de sa relation avec sa compagne et son enfant. Dans le cadre de la détention administrative, un grief tiré de la violation de la CEDH, notamment de l'art. 8 CEDH, peut justifier l'entrée en matière nonobstant l'absence d'intérêt actuel au recours (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 143; arrêts 2C_1052/2016 du 26 avril 2017 consid. 1.3, non publié in <ref-ruling>; 2C_104/2017 du 6 mars 2017 consid. 3). En l'espèce cependant, en faisant valoir que l'exécution du renvoi serait contraire à la protection de la vie familiale garantie par l'art. 8 CEDH, le recourant ne s'en prend pas à la détention, mais uniquement à son renvoi. Or, celui-ci ne fait pas l'objet de l'examen du juge de la détention, à moins que la décision de renvoi n'apparaisse manifestement inadmissible, soit arbitraire ou nulle (cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 58; <ref-ruling> consid. 2.2.2 p. 198), ce que le dossier ne fait pas ressortir en l'occurrence. En effet, rien n'indique que l'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 19 août 2016 confirmant le renvoi du recourant, qui est entré en force, soit arbitraire ou nul. Même si le recours remplissait les exigences de recevabilité fixées à l'<ref-law>, il devrait ainsi être déclaré sans objet et le grief tiré de la CEDH irrecevable (cf. arrêts 2C_448/2018 du 6 juin 2018 consid. 6.1; 2C_1177/2013 du 17 janvier 2014 consid. 2.2).
3.
Il résulte de ce qui précède que le recours est irrecevable, dans la mesure où il n'est pas sans objet. Compte tenu de la situation du recourant, il sera statué sans frais (art. 66 al. 1 deuxième phrase LTF). La demande d'assistance judiciaire s'agissant des frais (cf. <ref-law>) est partant sans objet.
Le recourant a également sollicité l'assistance judiciaire pour ses frais de représentation. L'assistance judiciaire peut comprendre l'attribution d'un avocat (cf. <ref-law>). Le représentant du recourant n'est pas avocat. Il ne peut donc être désigné par le Tribunal fédéral comme défenseur d'office du recourant. Indépendamment des chances de succès (cf. <ref-law>), la demande d'assistance judiciaire doit donc être rejetée sur ce point (cf. arrêt 2C_260/2018 du 9 avril 2018 consid. 5.2).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est irrecevable dans la mesure où il n'est pas sans objet.
2.
Il n'est pas perçu de frais de justice.
3.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée dans la mesure où elle n'est pas sans objet.
4.
Le présent arrêt est communiqué au représentant du recourant, à l'Office de la population et des migrations, au Tribunal cantonal des mesures de contrainte et au Tribunal administratif du canton de Berne, Cour des affaires de langue française, ainsi qu'au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 19 juillet 2018
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Kleber