Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 23. Juni 2015 sprach die Durchführungsstelle für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Gemeinde Thalwil A._ (geboren 1937) und ihrem inzwischen verstorbenen Ehemann (geboren 1936), beide Bezüger von AHV-Altersrenten, unter Anrechnung eines Vermögensverzichtes ("nicht belegter Vermögensverbrauch") von Fr. 79'000.- Ergänzungsleistungen von monatlich Fr. 4'432.- mit Wirkung ab 1. Januar 2015 zu. Die dagegen erhobene Einsprache wies die von der Gemeinde Thalwil auf den 1. Oktober 2015 mit der Abwicklung der Zusatzleistungen beauftragte Sozialversicherungsanstalt des Kantons Zürich ab (Entscheid vom 7. Oktober 2016).
B.
A._ liess dagegen Beschwerde erheben und die Aufhebung des Einspracheentscheides beantragen. Es seien ihr die gesetzlichen Leistungen zuzusprechen. Insbesondere sei von der Anrechnung von Verzichtsvermögen abzusehen. Mit Entscheid vom 12. Mai 2017 hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Beschwerde in dem Sinne gut, als es den Einspracheentscheid aufhob und die Sache an die Sozialversicherungsanstalt des Kantons Zürich, Zusatzleistungen zur AHV/IV, zurückwies, damit sie im Sinne der Erwägungen über den Anspruch auf Zusatzleistungen ab Januar 2015 neu verfüge.
C.
Die Sozialversicherungsanstalt des Kantons Zürich, Zusatzleistungen zur AHV/IV, führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 12. Mai 2017 sei aufzuheben und der Einspracheentscheid vom 7. Oktober 2016 zu bestätigen.
A._ beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid verpflichtet die Beschwerdeführerin, den Anspruch auf Zusatzleistungen ab Januar 2015 ohne Berücksichtigung eines Verzichtsvermögens nach Art. 11 Abs. 1 lit. g ELG zu berechnen und darüber neu zu verfügen. Dabei handelt es sich materiell um einen Endentscheid im Sinne von <ref-law> (Urteil 9C_550/2017 vom 6. Dezember 2017 E. 1 mit Hinweis).
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde ans Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen (u.a.) Bundesrecht verletzt (<ref-law>), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, <ref-law>). Hingegen hat eine freie Überprüfung des vorinstanzlichen Entscheids in tatsächlicher Hinsicht zu unterbleiben. Ebenso entfällt eine Prüfung der Ermessensbetätigung nach den Grundsätzen zur Angemessenheitskontrolle.
3.
3.1. Anspruch auf Ergänzungsleistungen haben insbesondere Personen mit Wohnsitz und gewöhnlichem Aufenthalt in der Schweiz, die eine AHV-Altersrente beziehen (Art. 4 Abs. 1 lit. a ELG). Nach Massgabe der Vorschriften des Bundes über die Ergänzungsleistungen zur Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung und aufgrund des zürcherischen Zusatzleistungsgesetzes vom 7. Februar 1971 (ZLG; ZH-Lex 831.3) werden Zusatzleistungen ausgerichtet. Diese bestehen aus Ergänzungsleistungen gemäss ELG, Beihilfen und Zuschüssen (§ 1 ZLG).
3.2. Die jährliche Ergänzungsleistung entspricht dem Betrag, um den die anerkannten Ausgaben die anrechenbaren Einnahmen übersteigen (Art. 9 Abs. 1 ELG). Als Einnahmen angerechnet werden auch Einkünfte und Vermögenswerte, auf die verzichtet worden ist (Art. 11 Abs. 1 lit. g ELG). Der Tatbestand dieser Bestimmung ist erfüllt, wenn die Leistungsansprecherin ohne rechtliche Verpflichtung und ohne adäquate Gegenleistung auf Einkünfte oder Vermögen verzichtet hat (<ref-ruling> E. 2.2 S. 270; <ref-ruling> E. 3.2 S. 70; <ref-ruling> E. 4.2 S. 332 mit Hinweisen). Dabei ist ein Verzicht nicht alleine deswegen anzunehmen, weil jemand vor der Anmeldung zum EL-Bezug über seinen Verhältnissen gelebt haben könnte; das System der Ergänzungsleistungen bietet keine gesetzliche Handhabe für eine wie auch immer geartete "Lebensführungskontrolle" (<ref-ruling> E. 4b S. 206; <ref-ruling> E. 5d S. 354 f.; JÖHL/USINGER-EGGER, Ergänzungsleistungen zur AHV/IV, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Band XIV, Soziale Sicherheit, 3. Aufl. 2016, S. 1886; CARIGIET/KOCH, Ergänzungsleistungen zur AHV/IV, 2. Aufl. 2009, S. 173 f.; MICHEL VALTERIO, Commentaire de la loi fédérale sur les prestations complémentaires à l'AVS et à l'AI, 2015, S. 169 f.).
In zeitlicher Hinsicht ist zu beachten, dass für die Berücksichtigung eines Vermögensverzichts in der EL-Berechnung grundsätzlich unerheblich ist, wie weit die Verzichtshandlung zurückliegt (Urteil 9C_846/2010 vom 12. August 2011 E. 4.2.2; CARIGIET/KOCH, a.a.O., S. 176; VALTERIO, a.a.O., S. 167).
3.3. Die EL-ansprechende Person hat sich im Rahmen ihrer Mitwirkungspflicht an der Abklärung des rechtserheblichen Sachverhalts zu beteiligen (<ref-law> und <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> und Art. 1 Abs. 1 ELG; SVR 2010 EL Nr. 7 S. 19, 9C_724/2009 E. 3.2.3.1 und 3.2.3.2; Urteil 8C_567/2007 vom 2. Juli 2008 E. 6.3). Insbesondere hat sie bei einer ausserordentlichen Abnahme des Vermögens diejenigen Tatsachen zu behaupten und soweit möglich auch zu belegen, die einen Vermögensverzicht ausschliessen (Urteil 9C_904/2011 vom 5. März 2012 E. 4.2; vgl. auch <ref-ruling> E. 4b in fine S. 206 und ZAK 1989 S. 408, P 11/88 E. 3b). Ist ein einmal bestehendes Vermögen nicht mehr vorhanden, trägt sie die Beweislast dafür, dass es in Erfüllung einer rechtlichen Pflicht oder gegen eine adäquate Gegenleistung hingegeben worden ist (<ref-ruling> E. 6a S. 208). Dabei genügt weder die blosse Möglichkeit eines bestimmten Sachverhalts noch Glaubhaftmachen, sondern es gilt der Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit. Dieser ist erfüllt, wenn für die Richtigkeit der Sachbehauptung nach objektiven Gesichtspunkten derart gewichtige Gründe sprechen, dass andere denkbare Möglichkeiten vernünftigerweise nicht massgeblich in Betracht fallen. Bei Beweislosigkeit, d.h. wenn es dem Leistungsansprecher nicht gelingt, einen (überdurchschnittlichen) Vermögensrückgang zu belegen oder die Gründe dafür rechtsgenügend darzutun, wird ein Vermögensverzicht angenommen und ein hypothetisches Vermögen sowie darauf entfallender Ertrag angerechnet (Urteil 9C_115/2016 vom 12. Juli 2016 E. 4.1 mit Hinweis auf SZS 2015 S. 264 [9C_732/2014 E. 4.1.1] sowie <ref-ruling> E. 6 S. 221).
3.4. Nach Art. 17a ELV wird der anzurechnende Betrag von Vermögenswerten, auf die verzichtet worden ist, jährlich um 10'000 Franken vermindert (Abs. 1). Dabei ist der Wert des Vermögens im Zeitpunkt des Verzichtes unverändert auf den 1. Januar des Jahres, das auf den Verzicht folgt, zu übertragen und dann jeweils nach einem Jahr zu vermindern (Abs. 2). Für die Berechnung der jährlichen Ergänzungsleistung ist der verminderte Betrag am 1. Januar des Bezugsjahres massgebend (Abs. 3).
4.
Streitig und zu prüfen ist, ob im Rahmen der Ermittlung des Leistungsanspruchs für das Jahr 2015 ein Verzichtsvermögen im Sinne von Art. 11 Abs. 1 lit. g ELG anzurechnen ist. Anders als die Beschwerdeführerin verneinen die Vorinstanz und die Beschwerdegegnerin die Frage.
4.1. Wie sich dem Einspracheentscheid entnehmen lässt, ermittelte die Verwaltung das von ihr festgestellte Verzichtsvermögen wie folgt: Sie ging von einem Ende 2005 bestehenden Vermögen von Fr. 570'000.- aus und zog davon die belegten Auslagen der Jahre 2006 bis 2012 von Fr. 223'006.- sowie den Betrag von Fr. 70'000.- für einen erhöhten Lebensstandard ab. Daraus ergab sich ein Wert von Fr. 276'994.-, der am 1. Januar 2013 hätte vorhanden sein müssen. Aus der Tatsache, dass die Beschwerdegegnerin und ihr verstorbener Ehemann am 1. Januar 2013 aber nur noch über ein Vermögen von Fr. 179'815.- verfügten, schloss die Verwaltung auf einen Vermögensverzicht von Fr. 90'000.- (per 1. Januar 2013). Nach Addition von Fr. 9'000.- für einen weiteren Vermögensverzicht, welchen sie im Jahr 2014 festgestellt habe, und nach Berücksichtigung der Amortisation gemäss Art. 17a ELV bezifferte sie schliesslich das anrechenbare Verzichtsvermögen per 1. Januar 2015 mit Fr. 79'000.-.
4.2. Das kantonale Gericht erwog, es bestehe eine qualifizierte Begründungspflicht für den Verbleib der Mittel, soweit sich das Vermögen in einem Umfang vermindert habe, der mit einer aufwändigen Lebenshaltung nicht erklärt werden könne. Fehle eine stichhaltige Begründung, sei ein Vermögensverzicht anzunehmen. Aus diesem Grund müsse der Betrag, der als Ausdruck einer nicht besonders aufwändigen Lebenshaltung gelten könne, ermittelt werden. Es rechtfertige sich, ihn grosszügig anzusetzen, damit nicht eine (unzulässige) Lebensführungskontrolle stattfinde. Im Fall der Leistungsansprecherin sei von einem Betrag von Fr. 85'200.- auszugehen, entsprechend dem Durchschnitt der in den Jahren 2007 bis 2012 (nach dem Erbschaftszufluss im Jahr 2006) getätigten Ausgaben (d.h. ohne Einbezug des Jahres 2006, in welchem einmalig hohe Ausgaben angefallen seien). In einem nächsten Schritt stellte die Vorinstanz in jedem einzelnen Jahr von 2006 bis 2012 die anerkannten Ausgaben (d.h. den Durchschnittswert zuzüglich eines allfälligen von der Verwaltung anerkannten anrechenbaren Mehraufwandes wie beispielsweise für Anwaltskosten im Zusammenhang mit der Erbteilung, Umzugskosten etc.) den effektiven Ausgaben gegenüber. Gestützt darauf gelangte sie zum Ergebnis, dass (nur) 2008 (Fr. 9'800.-) und 2010 (Fr. 2'300.-) die effektiven Ausgaben die anerkannten überstiegen, weshalb in diesen beiden Jahren auf einen nicht durch die aufwändige Lebenshaltung erklärten Vermögensverzehr zu schliessen sei. Wie es sich mit einer allfälligen, von der Beschwerdegegnerin geltend gemachten Rückzahlung an das Sozialamt verhalte, könne offen gelassen werden, weil im (dafür in Frage kommenden) Jahr 2006 die anerkannten Ausgaben die effektiven Auslagen überstiegen hätten. Unter Berücksichtigung der jährlichen Amortisation von Fr. 10'000.- sei ab 2011 kein Verzichtsvermögen mehr anzurechnen. Damit erübrige sich auch eine Prüfung der von der Beschwerdegegnerin eingereichten Kontoauszüge. Der Leistungsanspruch sei ohne Berücksichtigung eines Verzichtsvermögens neu zu berechnen.
4.3. In ihrer Beschwerde hält die Verwaltung an der Berechnung des Verzichtsvermögens gemäss Einspracheentscheid fest. Sie rügt, der angefochtene Entscheid sei hinsichtlich der Ermittlung des Vermögensrückganges und der Feststellung fehlenden anrechenbaren Verzichtsvermögens bundesrechtswidrig. Die Vorinstanz habe die Beweispflicht der Versicherten ausser Acht gelassen und unhaltbare Annahmen getroffen, insbesondere mit der Festsetzung des durchschnittlichen Grundbetrages auf Fr. 85'200.-.
4.4. Die Beschwerdegegnerin macht geltend, die Ausführungen der Verwaltung genügten nicht, die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung als offensichtlich falsch bzw. willkürlich erscheinen zu lassen. Das kantonale Gericht habe keine Beweisregeln missachtet, sondern ihr richtigerweise mit einer grosszügigen Handhabung der Ausgaben des täglichen Lebens eine Beweiserleichterung gewährt. Eine Überprüfung von Vermögensverzehr in der Vergangenheit - hier 10 Jahre zurück - sei unverhältnismässig und unzulässig. Im Übrigen habe sie schon im vorinstanzlichen Verfahren Bank- und Postbelege für Fr. 148'992.30 an bisher nicht berücksichtigten Auslagen beigebracht, zu welchen sich die Beschwerdeführerin mit keinem Wort geäussert habe. Sie habe damals auch den Einbezug der Steuerbelastung in den Jahren 2005 bis 2012 und der Rückzahlung ans Sozialamt (ca. Fr. 30'000.- im Jahr 2006) sowie den Beizug der entsprechenden Akten beantragt. Nach dem Beweismass der überwiegenden Wahrscheinlichkeit sei erstellt, dass sie das Geld für den täglichen Lebensbedarf verwendet habe. Zudem bestehe absolut kein Anhaltspunkt für einen irgendwie gearteten Vermögensverzicht.
5.
5.1. Dem beschwerdeführerischen Vorbringen, wonach das kantonale Gericht die Beweispflicht der Leistungsansprecherin missachtet habe, ist entgegenzuhalten, dass die Beschwerdegegnerin als Tatsache, die einen Vermögensverzicht ausschliesst, stets vorgebracht hatte, sie und ihr zwischenzeitlich verstorbener Ehemann hätten das ihnen im Rahmen einer Erbschaft zugefallene Vermögen (nachdem sie zuvor von der Sozialhilfe gelebt hatten) für den allgemeinen Lebensbedarf verwendet, wobei sie der Vorinstanz zum Beweis die Steuerakten und die Bank- und Postkontoauszüge der vergangenen Jahre sowie eine tabellarische Zusammenstellung über den Vermögensverbrauch einreichte. Das kantonale Gericht prüfte daraufhin den geltend gemachten Vermögensverzehr Jahr für Jahr anhand verschiedener, sich aus den Unterlagen ergebender Parameter (Vermögensveränderung, Einkommen, effektive und anerkannte Ausgaben). Inwiefern es damit die Beweisregel, wonach die EL-ansprechende Person bei einer ausserordentlichen Abnahme des Vermögens diejenigen Tatsachen zu belegen hat, die einen Vermögensverzicht ausschliessen (E. 3.3 hiervor), verletzt haben soll, ist nicht ersichtlich. Denn mit der Beibringung der erwähnten Unterlagen ist die Leistungsansprecherin ihrer Pflicht, an der Sachverhaltsabklärung mitzuwirken und die einen Vermögensverzicht ausschliessenden Tatsachen soweit möglich zu belegen, nachgekommen. Eine Beweislosigkeit, wie sie die Beschwerdeführerin für gegeben hält und deren Folgen die Leistungsansprecherin zu tragen hätte (vorstehend E. 3.3), liegt nicht vor.
5.2. Im Übrigen beschränkt sich die Beschwerde darauf, die vorinstanzlichen tatsächlichen Feststellungen zu den einzelnen Parametern (Vermögen, Einkommen und Ausgaben) als unhaltbar bzw. offensichtlich falsch zu rügen und pauschal auf das im Einspracheentscheid Gesagte zu verweisen. Sie ist damit nicht ausreichend substanziert. Insbesondere unterlässt es die Verwaltung, sich mit den (von ihr lediglich in allgemeiner Weise beanstandeten) detaillierten vorinstanzlichen Berechnungen im Einzelnen auseinanderzusetzen. Damit vermag sie eine offensichtliche Unrichtigkeit der dem angefochtenen Entscheid zugrunde liegenden Tatsachenfeststellungen, wonach die Beschwerdegegnerin in den Jahren 2008 und 2010 auf Vermögen im Umfang von Fr. 9'800.- und Fr. 2'300.- verzichtet hat, nicht darzutun. Diese sind deshalb für das Bundesgericht verbindlich.
5.3. Bleibt es damit bei dem im angefochtenen Entscheid verbindlich festgestellten Vermögensverzicht von Fr. 9'800.- im Jahr 2008 und von Fr. 2'300.- im Jahr 2010, war zufolge jährlicher Amortisation im Sinne von Art. 17a Abs. 1 und 2 ELV am 1. Januar 2015 als für den streitigen Anspruch massgebendem Stichtag (Art. 17a Abs. 3 ELV) kein Verzichtsvermögen mehr anzurechnen, wie die Vorinstanz zutreffend erkannt hat. Dies führt zur Abweisung der Beschwerde.
6.
Die Gerichtskosten werden der unterliegenden Beschwerdeführerin auferlegt (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. Juni 2018
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann