Sachverhalt:
Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt führt eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen mehrfacher Drohung und Nötigung. Das Zwangsmassnahmengericht Basel-Stadt ordnete für A._ am 1. Oktober 2021 Untersuchungshaft bis zum 29. Oktober 2021 an. A._ stellte am 14. Oktober 2021 ein Haftentlassungsgesuch, welches vom Zwangsmassnahmengericht am 20. Oktober 2021 abgewiesen wurde. Dagegen gelangte A._ am 24. Oktober 2021 an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, welches die Beschwerde am 10. November 2021 mit einzelrichterlichem Entscheid abwies.
Gegen den Entscheid des Appellationsgerichts hat A._ am 20. November 2021 Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht erhoben. Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und er umgehend aus der Haft zu entlassen. Eventualiter sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und er unter Auferlegung von Ersatzmassnahmen umgehend aus der Haft zu entlassen. Die Staatsanwaltschaft beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Zwangsmassnahmengericht liess sich nicht vernehmen. Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet und beantragt Beschwerdeabweisung. Der Beschwerdeführer hat mit Eingabe vom 8. Dezember 2021 an seiner Beschwerde festgehalten.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit dem angefochtenen Entscheid hat die Vorinstanz die Abweisung eines Haftentlassungsgesuchs im Sinne von Art. 228 StPO bestätigt. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht offen (vgl. Art. 78 Abs. 1, Art. 80 Abs. 1 und 2 und Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG). Der Beschwerdeführer hat vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen und befindet sich soweit bekannt nach wie vor in Haft. Er ist deshalb nach Art. 81 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt. Dass er - wie die Staatsanwaltschaft vorbringt - die am 29. Oktober 2021 verfügte Verlängerung der Untersuchungshaft nicht erneut angefochten hat, ändert daran nichts. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde in Strafsachen grundsätzlich einzutreten.
1.2. Der angefochtene Beschluss betrifft eine Zwangsmassnahme im Sinne von Art. 196 ff. StPO. Die Auslegung und die Anwendung der in der StPO geregelten Voraussetzungen für Grundrechtsbeschränkungen prüft das Bundesgericht mit freier Kognition (Art. 95 lit. a BGG). Die nach Art. 98 BGG vorgeschriebene Beschränkung der Rügegründe ist auf strafprozessuale Zwangsmassnahmen nicht anwendbar (<ref-ruling> E. 2.4 S. 346 mit Hinweisen).
1.3. Der Beschwerdeführer rügt die Verletzung vieler verschiedener Bestimmungen der StPO, der Bundesverfassung und der EMRK. Er begründet seine Rügen teilweise nicht bzw. ungenügend. Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG).
2.
Der Verfahrensantrag des Beschwerdeführers, das Dispositiv des bundesgerichtlichen Entscheids sei unmittelbar nach getroffenem Entscheid (separat) zu eröffnen, ist abzuweisen. Dem Beschleunigungsgebot in Haftsachen (vgl. Art. 5 Abs. 2 StPO) ist Rechnung zu tragen, indem das getroffene Urteil den Verfahrensbeteiligten rasch eröffnet wird.
3.
Die Vorinstanz und die Staatsanwaltschaft haben dem Bundesgericht die in der Sache ergangenen Akten eingereicht. Der Beschwerdeführer beantragt weitere Beweismassnahmen, namentlich die Edition weiterer Dokumente sowie Erkundigungen bei der Staatsanwaltschaft, beim Zwangsmassnahmengericht und bei der Vorinstanz. Diese Anträge sind abzuweisen, weil sich der für den vorliegenden Entscheid rechtlich relevante Sachverhalt mit hinreichender Klarheit aus den Akten ergibt und nicht ersichtlich ist, inwiefern die Abnahme weiterer Beweise zusätzliche entscheidwesentliche Erkenntnisse liefern könnten.
4.
Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe den entscheidwesentlichen Sachverhalt in Verletzung verschiedener in der Bundesverfassung und der EMRK gewährleisteter Garantien (Art. 9, Art. 29 und Art. 32 Abs. 2 BV sowie Art. 3, Art. 5 und Art. 6 EMRK) unrechtmässig festgestellt.
4.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, die Vorinstanz habe hinsichtlich der sachverhaltlichen Grundlage ihres Entscheids keinen eigenen Aktenbestand geführt. Die Staatsanwaltschaft habe dem Zwangsmassnahmengericht bzw. der Vorinstanz wie im Kanton Basel-Stadt üblich nur eine Auswahl der gesamten Strafakten zur Verfügung gestellt. Nach der Retournierung an die Staatsanwaltschaft seien diese Akten mit den weiteren Akten des Strafverfahrens vereinigt worden, ohne dass ersichtlich bzw. nachprüfbar sei, welche Akten der Vorinstanz vorgelegen hätten.
Die Staatsanwaltschaft führt dazu in ihrer Vernehmlassung an das Bundesgericht aus, sie habe am 29. Oktober 2021 bei der Vorinstanz Kopien der gesamten damals vorliegenden Akten der Strafuntersuchung eingereicht. Diese Akten habe die Vorinstanz nach der Fällung ihres Entscheids an die Staatsanwaltschaft zurückgeschickt. Die Staatsanwaltschaft hat dem Bundesgericht Kopien der Akten der Strafuntersuchung eingereicht. Gemäss Aussage der Staatsanwaltschaft handelt es sich dabei um diejenigen Akten, welche zuvor schon bei der Vorinstanz eingereicht wurden.
4.2. Es besteht keine Veranlassung, die diesbezüglichen Ausführungen der Staatsanwaltschaft anzuzweifeln. Der Vorinstanz standen die gesamten bis zum 29. Oktober 2021 vorliegenden Akten der Strafuntersuchung zur Verfügung. Soweit der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang eine offensichtlich unrechtmässige Feststellung des Sachverhalts (vgl. Art. 97 Abs. 1 BGG) und eine Verletzung von Verfahrensgarantien der Bundesverfassung und der EMRK überhaupt ausreichend begründet, dringt er mit seiner Rüge nicht durch.
5.
Zwangsmassnahmen können im Strafverfahren ergriffen werden, wenn sie gesetzlich vorgesehen sind, ein hinreichender Tatverdacht vorliegt und sie verhältnismässig sind (Art. 197 Abs. 1 StPO). Untersuchungshaft ist nur zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist und ausserdem Flucht-, Kollusions- oder Wiederholungsgefahr vorliegt (Art. 221 Abs. 1 StPO). Weiter ist sie zulässig, wenn ernsthaft zu befürchten ist, eine Person werde ihre Drohung, ein schweres Verbrechen auszuführen, wahr machen (Art. 221 Abs. 2 StPO). Das zuständige Gericht ordnet an Stelle der Untersuchungshaft eine oder mehrere mildere Massnahmen an, wenn sie den gleichen Zweck wie die Haft erfüllen (Art. 237 Abs. 1 StPO). Als freiheitsentziehende Zwangsmassnahme ist die Untersuchungshaft aufzuheben, sobald ihre Voraussetzungen nicht mehr erfüllt sind, die von der StPO vorgesehene oder von einem Gericht bewilligte Dauer abgelaufen ist oder Ersatzmassnahmen zum gleichen Ziel führen (Art. 212 Abs. 2 StPO). Untersuchungs- und Sicherheitshaft dürfen nicht länger dauern als die zu erwartende Freiheitsstrafe (Art. 212 Abs. 3 StPO).
Die Vorinstanz erachtete im angefochtenen Entscheid einen dringenden Tatverdacht, den Haftgrund der Kollusionsgefahr und die Verhältnismässigkeit der Untersuchungshaft als gegeben. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von Art. 221 Abs. 1 i.V.m. Art. 212 und (sinngemäss) Art. 237 Abs. 1 StPO. Er bringt vor, es bestehe kein dringender Tatverdacht (vgl. E. 6 hiernach) und keine Kollusionsgefahr (vgl. E. 7 hiernach). Ausserdem sei die Fortführung der Untersuchungshaft nicht verhältnismässig (vgl. E. 8 hiernach).
6.
6.1. Im Gegensatz zum erkennenden Sachrichter hat das Bundesgericht bei der Überprüfung des allgemeinen Haftgrundes des dringenden Tatverdachtes keine erschöpfende Abwägung sämtlicher belastender und entlastender Beweisergebnisse vorzunehmen. Macht eine inhaftierte Person geltend, sie befinde sich ohne ausreichenden Tatverdacht in strafprozessualer Haft, ist vielmehr zu prüfen, ob aufgrund der bisherigen Untersuchungsergebnisse genügend konkrete Anhaltspunkte für ein Verbrechen oder Vergehen und eine Beteiligung der Beschwerdeführerin oder des Beschwerdeführers an dieser Tat vorliegen, die Strafbehörden somit das Bestehen eines dringenden Tatverdachts mit vertretbaren Gründen bejahen durften. Im Haftprüfungsverfahren genügt dabei der Nachweis von konkreten Verdachtsmomenten, wonach das untersuchte Verhalten mit erheblicher Wahrscheinlichkeit die fraglichen Tatbestandsmerkmale erfüllen könnte. Zur Frage des dringenden Tatverdachts bzw. zur Schuldfrage hat das Bundesgericht weder ein eigentliches Beweisverfahren durchzuführen noch dem erkennenden Strafgericht vorzugreifen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 318; 330 E. 2.1 S. 333 f.; je mit Hinweisen).
6.2.
Die Staatsanwaltschaft wirft dem Beschwerdeführer vor, seiner Nichte mehrfach mit dem Tod gedroht zu haben. Dies für den Fall, dass sie sich von ihrem Lebensgefährten trenne. Die letzte Drohung soll der Beschwerdeführer nicht direkt an seine Nichte gerichtet haben, sondern an seinen Bruder, welcher die Drohung dann der Nichte ausgerichtet habe. Die Nichte des Beschwerdeführers hat sich im Strafverfahren als Privatklägerin konstituiert.
Die Vorinstanz stützt sich für die Bejahung des dringenden Tatverdachts hauptsächlich auf die Aussagen der Privatklägerin und einer Bekannten der Privatklägerin. Die Privatklägerin wurde von den Untersuchungsbehörden zweimal einvernommen. Ohne der durch den Sachrichter vorzunehmenden Beweiswürdigung vorzugreifen, ist der Auffassung der Vorinstanz zuzustimmen, wonach die Privatklägerin die Erlebnisse nachvollziehbar geschildert hat und ihre Aussagen grundsätzlich glaubhaft sind. Aus den Einvernahmeprotokollen geht insbesondere hervor, dass die Privatklägerin sich vor dem Beschwerdeführer fürchtet. Zu Recht hat die Vorinstanz sodann berücksichtigt, dass die Aussagen der Privatklägerin durch die Aussagen der Bekannten gestützt werden. Der Beschwerdeführer bringt vor, sein Bruder habe ihn in der staatsanwaltschaftlichen Einvernahme entlastet und namentlich bestritten, von ihm eine Drohung empfangen und der Privatklägerin ausgerichtet zu haben. Dieser Einwand ist zwar richtig, ändert aber nichts daran, dass aufgrund der Untersuchungsergebnisse auch noch im Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids genügend konkrete Anhaltspunkte vorlagen, wonach der Beschwerdeführer der Privatklägerin mehrfach mit dem Tod gedroht hatte. Die Vorinstanz durfte das Bestehen eines dringenden Tatverdachts mit vertretbaren Gründen bejahen.
7.
7.1. Der Haftgrund der Kollusionsgefahr liegt vor, wenn ernsthaft zu befürchten ist, dass die oder der Beschuldigte Personen beeinflusst oder auf Beweismittel einwirkt, um so die Wahrheitsfindung zu beeinträchtigen (Art. 221 Abs. 1 lit. b StPO). Verdunkelung kann insbesondere in der Weise erfolgen, dass sich die beschuldigte Person mit Zeuginnen oder Zeugen, Auskunftspersonen, Sachverständigen oder Mitbeschuldigten ins Einvernehmen setzt oder sie zu wahrheitswidrigen Aussagen veranlasst oder dass sie Spuren und Beweismittel beseitigt. Strafprozessuale Haft wegen Kollusionsgefahr soll verhindern, dass die beschuldigte Person die wahrheitsgetreue Abklärung des Sachverhalts vereitelt oder gefährdet. Die theoretische Möglichkeit, dass die beschuldigte Person kolludieren könnte, genügt indessen nicht, um Haft unter diesem Titel zu rechtfertigen. Es müssen vielmehr konkrete Indizien für die Annahme von Verdunkelungsgefahr sprechen. Das Vorliegen des Haftgrunds ist nach Massgabe der Umstände des jeweiligen Einzelfalls zu prüfen (<ref-ruling> E. 4.2).
Konkrete Anhaltspunkte für Kollusionsgefahr können sich namentlich ergeben aus dem bisherigen Verhalten der beschuldigten Person im Strafprozess, aus ihren persönlichen Merkmalen, aus ihrer Stellung und ihren Tatbeiträgen im Rahmen des untersuchten Sachverhalts sowie aus den persönlichen Beziehungen zwischen ihr und den sie belastenden Personen. Bei der Frage, ob im konkreten Fall eine massgebliche Beeinträchtigung des Strafverfahrens wegen Verdunkelung droht, ist auch der Art und Bedeutung der von Beeinflussung bedrohten Aussagen bzw. Beweismittel, der Schwere der untersuchten Straftaten sowie dem Stand des Verfahrens Rechnung zu tragen (<ref-ruling> E. 4.2). Je weiter das Strafverfahren vorangeschritten ist und je präziser der Sachverhalt bereits abgeklärt werden konnte, desto höhere Anforderungen sind an den Nachweis von Verdunkelungsgefahr zu stellen (<ref-ruling> E. 3.2.2). Nach Abschluss der Strafuntersuchung bedarf der Haftgrund der Kollusionsgefahr einer besonders sorgfältigen Prüfung (<ref-ruling> E. 4.2).
7.2. Zwar haben bis zum Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids schon verschiedene Einvernahmen stattgefunden. Die Privatklägerin wurde bereits am 14. Oktober 2021 zum zweiten Mal einvernommen und zwar in Anwesenheit des Beschwerdeführers (im Nebenraum). Der Bruder des Beschwerdeführers, welcher die letzte Drohung an die Privatklägerin weitergeleitet haben soll, wurde am 10. November 2021 und damit am Tag des angefochtenen Entscheids ebenfalls zum zweiten Mal einvernommen. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid allerdings darauf hingewiesen, dass noch weitere Einvernahmen anstehen dürften. Wie den Akten der Strafuntersuchung entnommen werden kann, wurde die Einvernahme der Tante der Privatklägerin bzw. der Schwester des Beschwerdeführers per 22. November 2021 und eine Einvernahme des Beschwerdeführers per 2. Dezember 2021 angesetzt. Somit war die Strafuntersuchung im Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids noch nicht abgeschlossen.
Die Privatklägerin beschuldigt den Beschwerdeführer, sie mittels Drohungen zu einem von ihm gewünschten Verhalten gedrängt zu haben, namentlich sich nicht von ihrem Lebensgefährten zu trennen. Der Beschwerdeführer und die Privatklägerin sind miteinander verwandt. Auch weitere Zeugen und Auskunftspersonen gehören zur Familie des Beschwerdeführers oder sind mit der Familie des Beschwerdeführers freundschaftlich verbunden. Die Aussagen der Privatklägerin sowie von Zeugen und Auskunftspersonen ist für die Strafuntersuchung von grosser Relevanz. Eine am 7. Oktober 2021 einvernommene Auskunftsperson hat explizit ausgesagt, sie habe Angst vor dem Beschwerdeführer und wolle wegen der Freundschaft zwischen ihren Eltern und dem Beschwerdeführer bzw. dem Bruder des Beschwerdeführers gewisse Fragen nicht beantworten. Sie habe die Befürchtung, dass sich das Problem zwischen dem Beschwerdeführer und der Privatklägerin ansonsten auf sie und ihre Familie ausbreiten könnte.
Unter den gegebenen Umständen sprachen jedenfalls im Zeitpunkt des Haftentlassungsgesuchs und des angefochtenen Entscheids konkrete Indizien für die Annahme von Verdunkelungsgefahr. Dies zumal die Strafuntersuchung noch nicht abgeschlossen war und namentlich zu befürchten war, der Beschwerdeführer könnte im Falle einer Haftentlassung seine Schwester beeinflussen, deren Einvernahme noch bevorstand. Was der Beschwerdeführer einwendet, ist nicht geeignet, Kollusionsgefahr zu verneinen. Die Vorinstanz ging im Ergebnis zu Recht davon aus, es sei ernsthaft zu befürchten, der Beschwerdeführer könnte im Falle einer Haftentlassung die Privatklägerin, Zeugen oder Auskunftspersonen beeinflussen, um die Wahrheitsfindung zu beeinträchtigen.
8.
Die fortgesetzte Untersuchungshaft ist auch nicht unverhältnismässig. Der Beschwerdeführer befand sich im Zeitpunkt des Haftentlassungsgesuchs seit zwei und im Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids seit gut sechs Wochen in Haft. Angesichts der Schwere der Drohungen, derer der Beschwerdeführer dringend verdächtig ist, droht noch keine Überhaft. Die Ausführungen des Beschwerdeführers zu der angeblich unzulässigen Verfahrensführung bzw. der Rolle der Kriminalpolizei im Strafverfahren sind in diesem Zusammenhang irrelevant. Jedenfalls beim Verfahrensstand im Zeitpunkt des Haftentlassungsgesuchs und des angefochtenen Entscheids war zudem nicht ersichtlich, inwiefern die Kollusionsgefahr mit der Anordnung der vom Beschwerdeführer genannten Ersatzmassnahmen wirksam gebannt werden könnte.
Darüber, ob Kollusionsgefahr - wovon die Vorinstanz auszugehen scheint - im Hinblick auf eine allfällige Hauptverhandlung vor dem Sachgericht auch nach dem Abschluss der Strafuntersuchung noch gegeben wäre, ist vorliegend nicht zu befinden. Immerhin ist daran zu erinnern, dass der Haftgrund der Kollusionsgefahr nach Abschluss der Strafuntersuchung einer besonders sorgfältigen Prüfung bedarf (E. 7.1 hiervor) und einer weniger stark ausgeprägten Kollusionsgefahr unter Umständen auch mittels Anordnung von Ersatzmassnahmen begegnet werden kann (vgl. Urteil 1B_575/2021 vom 8. November 2021 E. 4.2 f.).
9.
Nach dem Ausgeführten stehen die Abweisung des Haftentlassungsgesuchs des Beschwerdeführers und der angefochtene Entscheid nicht im Widerspruch zu Art. 221 Abs. 1 i.V.m. Art. 212 und Art. 237 Abs. 1 StPO. Inwiefern die vom Beschwerdeführer weiter angerufenen Bestimmungen ihm einen darüber hinausgehenden Schutz gewähren sollten, ist weder dargetan noch ersichtlich. Ob fortbestehende Haft auch wegen Ausführungsgefahr im Sinne von Art. 221 Abs. 2 StPO gerechtfertigt gewesen wäre, wurde von der Vorinstanz nicht eingehend geprüft und ist vorliegend nicht zu entscheiden. Diese Frage könnte indes in den Vordergrund rücken, falls die Strafbehörden beabsichtigen, an der Untersuchungshaft des Beschwerdeführers über den Abschluss der Strafuntersuchung hinaus festzuhalten.
10.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt, dem Zwangsmassnahmengericht des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Dezember 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Mattle