Sachverhalt:
A.
A.a. Zur vergleichsweisen Regelung einer Aberkennungsklage einigten sich A._ und ihr Vater, B._, am 15. März 2018 vor dem Bezirksgericht Meilen (soweit vor Bundesgericht noch relevant) wie folgt:
"1. Die Klägerin verpflichtet sich, ihren hälftigen Miteigentumsanteil an der Ferienwohnung in der Überbauung "C._" in U._, Frankreich (genaue Umschreibung des Miteigentumsanteils gemäss 'Attestation' von D._ vom 23. Oktober 2006, act. 3/4) an den Beklagten zu übertragen.
Die Klägerin verpflichtet sich, bis spätestens 31. Mai 2018 sämtliche für die Übertragung dieses Miteigentumsanteils notwendigen Mitwirkungshandlungen vorzunehmen.
Verweigert die Klägerin die rechtzeitige Mitwirkung, schuldet sie dem Beklagten eine Konventionalstrafe im Betrag von CHF 50'000.-.
Der Beklagte verpflichtet sich, nach Erfüllung der notwendigen Mitwirkungshandlungen durch die Klägerin unverzüglich die Handänderung zu veranlassen.
2. Als Gegenleistung für die Übertragung des Miteigentumsanteils gemäss Ziff. 1 verpflichtet sich der Beklagte, der Klägerin bis spätestens 31. Dezember 2018 den Betrag von CHF 67'000.- zu zahlen.
Der Beklagte verpflichtet sich, der Klägerin zur Sicherstellung dieser von der Erfüllung von Ziff. 1 abhängigen Zahlungspflicht bis spätestens 30. April 2018 eine schriftliche Garantie einer Schweizer Grossbank im Betrag von CHF 67'000.- auszuhändigen, welche gegebenenfalls im Sinne von vorstehendem Abs. 1 leistungspflichtig wird.
-..]
6. Dieser Vergleich ist an die Bedingung geknüpft, dass der Beklagte der Klägerin bis spätestens 30. April 2018 die Bankgarantie gemäss Ziff. 2 aushändigt.
-..]"
A.b. Mit Beschluss vom 16. Mai 2018 hielt das Bezirksgericht fest, die Bedingung gemäss Ziff. 2 i.V.m. Ziff. 6 des Vergleichs sei durch die fristgerechte Aushändigung des unwiderruflichen Zahlungsversprechens der E._bank vom 26. April 2018 erfüllt worden, womit der Vergleich für beide Parteien wirksam geworden sei. Darauf schrieb es den Aberkennungsprozess als durch Vergleich erledigt ab. Mit Urteil vom 11. September 2018 wies das Bezirksgericht A._s Revisionsgesuch betreffend den Vergleich (Bst. A.a) ab.
B.
In der Folge ersuchte B._ das Bezirksgericht um Vollstreckung von Ziff. 1 des Vergleichs (Bst. A.a). Mit Urteil vom 15. April 2021 verpflichtete das Bezirksgericht A._ unter Strafandrohung, binnen zehn Tagen ab Rechtskraft des Entscheids die "Procuration pour Maître F._ tout clerc ou employé" zur Übertragung des Miteigentumsanteils auf B._ allein auf einem Notariat im Kanton Zürich mittels beglaubigter Unterschrift zu unterzeichnen und B._ im Original mit beglaubigter Unterschrift zuzustellen. A._s Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wies es ab. Die gegen den Vollstreckungs- und den Rechtspflegeentscheid erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich ab, ebenso A._s Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren (Entscheid vom 27. Mai 2021). Erfolglos gelangte A._ an das Bundesgericht. Ihre Beschwerde und ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wurden abgewiesen. Am 24. August 2021 wurde ihr das Urteil 5A_544/2021 vom 4. August 2021 zugestellt.
C.
Mit Revisionsgesuch vom 23. September 2021 beantragt A._ (Gesuchstellerin), das Urteil 5A_544/2021 im Sinne der ursprünglich gestellten Anträge zu revidieren, also den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und dieses oder eventuell das Bezirksgericht anzuweisen, das Vollstreckungsgesuch (Bst. B) abzuweisen. Ebenso seien das Bundesgericht, das Obergericht und das Bezirksgericht anzuweisen, ihr für die jeweiligen Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Schliesslich ersucht die Gesuchstellerin auch für das Revisionsverfahren um unentgeltliche Rechtspflege.

Erwägungen:
1.
Soweit hier von Interesse, kann die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts unter anderem verlangt werden, wenn die Vorschriften über die Besetzung des Gerichts oder über den Ausstand verletzt worden sind (Art. 121 Bst. a BGG) oder wenn das Gericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat (Art. 121 Bst. d BGG). Findet das Bundesgericht, dass ein Revisionsgrund zutrifft, so hebt es den früheren Entscheid auf und entscheidet neu (<ref-law>). Revisionsbegehren gestützt auf Art. 121 Bst. a BGG sind binnen dreissig Tagen nach der Entdeckung des Ausstandsgrunds beim Bundesgericht einzureichen (Art. 124 Abs. 1 Bst. a BGG). Gesuche nach Art. 121 Bst. d BGG betreffen eine "Verletzung anderer Verfahrensvorschriften" im Sinne von Art. 124 Abs. 1 Bst. b BGG (s. Urteil 5F_37/2020 vom 1. März 2021 E. 1). Für deren Geltendmachung muss das Revisionsgesuch binnen dreissig Tagen nach Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des Entscheids beim Bundesgericht eingereicht werden. Mit der vorliegenden Eingabe hat die Gesuchstellerin diese Fristen gewahrt. Die Revision ist zulässig.
2.
Zur Hauptsache verlangt die Gesuchstellerin die Revision des Urteils 5A_544/2021 gestützt auf Art. 121 Bst. d BGG.
2.1. Ein Entscheid des Bundesgerichts kann nach Art. 121 Bst. d BGG in Revision gezogen werden, wenn das Gericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat. Dies ist der Fall, wenn das Gericht ein Aktenstück übersehen oder eine bestimmte wesentliche Aktenstelle unrichtig, insbesondere nicht mit ihrem wirklichen Wortlaut oder in ihrer tatsächlichen Tragweite, wahrgenommen hat. Eine Tatsache, deren versehentliche Ausserachtlassung gerügt wird, ist im Gesetzessinne erheblich, wenn der zu revidierende Entscheid bei ihrer Berücksichtigung anders und für die gesuchstellende Partei günstiger hätte ausfallen müssen (Urteile 5F_17/2020 vom 12. August 2020 E. 2.2; 5F_22/2020 vom 13. Juli 2020 E. 6.2; 9F_4/2020 vom 20. Mai 2020 E. 2.1; 5F_12/2019 vom 28. Januar 2020 E. 3.1; je mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 3). Vom eigentlichen Inhalt der Tatsache, auf den allein sich das Versehen des Bundesgerichts zu beziehen hat, ist deren rechtliche Würdigung zu unterscheiden; diese ist einer Revision nach Art. 121 Bst. d BGG entzogen (Urteil 5F_12/2019 vom 28. Januar 2020 E. 3.1). Der Revisionsgrund ist nicht gegeben, wenn das Bundesgericht die fraglichen Aktenstellen und Vorbringen zwar berücksichtigt, aber nicht so gewürdigt und beurteilt hat, wie die Gesuchstellerin es wünscht und im Beschwerdeverfahren beantragt hatte (Urteil 5F_24/2018 vom 1. Juli 2019 E. 1).
2.2. Die Beanstandungen der Gesuchstellerin drehen sich hauptsächlich um Ziffer 1 Absatz 2 des Vergleichs vom 15. März 2018 (s. Sachverhalt Bst. A.a). Zusammengefasst macht die Gesuchstellerin geltend, mit der Formulierung "spätestens bis 31. Mai 2018" hätten die Parteien "tatsachenkenntlich im Sinne von <ref-law>" bestimmt, dass die Unterzeichnung der Vollmachtsurkunde bis dann und keinen Tag später zu erfolgen hatte. Unter anderem argumentiert sie, falls es sich bei der fraglichen Klausel, wie vom Obergericht und Bundesgericht "interpretiert", um einen Erfüllungszeitpunkt handeln würde, müsste im Vergleich stehen, dass der Vertrag "am" 31. Mai 2018 und nicht "bis" zu diesem Tag zu unterzeichnen ist. Weiter beruft sich die Gesuchstellerin darauf, dass ihr die fristgerechte Unterzeichnung "aktenkundig" verunmöglicht worden sei, da der Gesuchsgegner die Vollmachtsurkunde erst mehrere Monate später vorgelegt habe. Die Vorlage dieser Urkunde sei "tatsachenkenntlich (<ref-law>) " für ihre Unterzeichnung im vertraglich festgelegten Zeitraum zwingend erforderlich gewesen, so dass die Vertragsverpflichtung mangels Vorlage der Urkunde bis zum 31. Mai 2018 nie in Kraft trat und auch die daran anknüpfende Konventionalstrafe nach Ziffer 1 Absatz 3 des Vergleichs nie wirksam wurde. In Gutheissung der Revision seien die bisher ergangenen Gerichtsentscheide deshalb aufzuheben und das gegnerische Vollstreckungsgesuch (s. Sachverhalt Bst. B) abzuweisen.
Ein versehentlich übersehenes "Faktum" will die Gesuchstellerin auch im Zusammenhang mit den Grundstückgewinnsteuern und den Grundbuch- und Notariatsgebühren identifiziert haben. In ihrer Beschwerde an das Bundesgericht habe sie sich auf ihre Stellungnahme zum Vollstreckungsgesuch berufen. Demnach habe sie die Vollmachtsurkunde nicht unterzeichnet, weil im Vertrag weder die Steuern- und Gebührentragung durch den Beschwerdegegner noch die Bedingung vermerkt war, dass die Eigentumsübertragung im Grundbuch erst nach Eingang des Betrags auf dem Notarenkonto vollzogen werden darf. Dem Bundesgericht wirft die Gesuchstellerin vor, dieses "Abgabenfaktum" zu negieren, damit ins Austauschverhältnis unter den Parteien einzugreifen und deren gegenseitige Leistungen ins Ungleichgewicht zu bringen. Es lasse im Sinne von Art. 121 Bst. d BGG unberücksichtigt, dass eine dem Austauschverhältnis der Eigentumsübertragung entsprechende Urkunde auch im Februar 2020 noch nicht vorlag.
2.3. Die Gesuchstellerin will im Revisionsverfahren auf die bundesgerichtliche Interpretation der fraglichen Vertragsklausel zurückkommen und ihre eigene Lesart des Vergleichs vom 15. März 2018 durchsetzen. Damit betreffen ihre Beanstandungen im heutigen Revisionsverfahren weder ein Übersehen von Tatsachen oder Aktenstücken noch eine falsche Wahrnehmung des Wortlauts der streitigen Vereinbarung. Dass das Bundesgericht den Vergleich in seiner äusseren Erscheinung richtig wahrgenommen hat, steht ausser Frage und wird auch nicht bestritten. Der Gesuchstellerin geht es darum, die Ermittlung des Willens der Vergleichsparteien zu bestreiten, also die (subjektive oder objektivierte) Auslegung der umstrittenen Übereinkunft (s. dazu Erwägung 3.1 des Urteils 5A_544/2021). Damit übersieht sie, dass allein die Würdigung und Beurteilung einer aktenkundigen Tatsache kein Grund für eine Revision nach Art. 121 Bst. d BGG sein kann (E. 2.1). Das Gesagte gilt sinngemäss für die angeblich unberücksichtigten Beanstandungen betreffend die Steuern und Gebühren, die bei der Eigentumsübertragung anfallen. Das Bundesgericht befasst sich in Erwägung 3.3 des beanstandeten Urteils sehr wohl mit dieser Thematik. Die Gesuchstellerin wiederholt mit ihren heutigen Vorbringen ihre eigene Sichtweise, wonach die fraglichen Abgaben allein vom Beschwerdegegner zu tragen sind, und bringt damit zum Ausdruck, dass sie mit der damaligen Würdigung des Prozessstoffs und ihrer diesbezüglichen Vorbringen nicht einverstanden ist. Allein darin liegt keine versehentliche Ausserachtlassung aktenkundiger Tatsachen im Sinne von Art. 121 Bst. d BGG.
3.
Darüber hinaus erachtet die Gesuchstellerin auch den Revisionsgrund von Art. 121 Bst. a BGG als gegeben.
3.1. Gemäss Art. 121 Bst. a BGG kann die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts verlangt werden, wenn die Vorschriften über die Besetzung des Gerichts oder über den Ausstand verletzt worden sind. Damit sind die in <ref-law> festgelegten Ausstandsvorschriften gemeint (Urteil 5F_5/2010 vom 7. Juli 2010 E. 3.1). Danach treten die am Bundesgericht tätigen Richter, Richterinnen, Gerichtsschreiber und Gerichtsschreiberinnen von Amtes wegen in den Ausstand, wenn einer der in Art. 34 Abs. 1 Bst. a-e BGG genannten Gründe erfüllt ist. Die Bestimmungen kodifizieren die in <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK festgelegten Garantien des verfassungsmässigen Gerichts. Demnach hat jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch darauf, dass ihre Angelegenheit von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Gericht ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird (<ref-ruling> E. 5.2; <ref-ruling> E. 2.1.2.1; je mit Hinweisen). Voreingenommenheit und Befangenheit werden angenommen, wenn sich im Einzelfall anhand der tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände Gegebenheiten einstellen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Gerichts zu erwecken. Diese Umstände können namentlich in einem bestimmten Verhalten der betreffenden Gerichtsperson begründet sein. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss in objektiver Weise begründet erscheinen. Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass die Person tatsächlich befangen ist (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 2.1).
3.2. Die Gesuchstellerin beklagt sich darüber, dass sie vom Bundesgericht im Urteil 5A_544/2021 auf ungewöhnliche, geradezu lehrmeisterliche Art und Weise mit fragwürdigen Formulierungen richtiggehend zurechtgeweisen werde. Sie zitiert Passagen aus den bundesgerichtlichen Erwägungen, in denen sich das Bundesgericht ihrer Meinung nach im Ton vergreift (z.B. "Die Beschwerdeführerin pocht darauf,...", "Die weitschweifigen Erörterungen der Beschwerdeführerin...", "Bei aller Beharrlichkeit, mit der sie sich an ihre Lesart der Vertragsklausel klammert,...", "Auch die weiteren Beanstandungen sind zum Scheitern verurteilt."), und beteuert, dass ihre Beschwerde sachlich gehalten und auch vom Umfang her angemessen sei. Die Formulierungen, mit herabsetzender Wirkung und aufgrund der Internetpublikation für jedermann einsehbar, brächten eine ihr gegenüber durchwegs grundlos negative geprägte Haltung des Bundesgerichts zum Ausdruck, was eine unvoreingenommene Herangehensweise und Beurteilung offensichtlich erschwere und daher offenkundig den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecke. Im Zusammenhang mit der vom Gesuchsgegner vorgelegten Vollmachtsurkunde, welche die Steuer- und Gebührentragung durch denselben nicht enthalte (vgl. E. 2.2), stelle das Bundesgericht ausserdem unsubstanziiert und einseitig auf die Vorbringen des Gesuchsgegners ab. Das sei eine unzulässige Entscheidfindung zu dessen Gunsten und begründe eine Befangenheit im Sinne von Art. 121 Bst. a BGG.
3.3. Was den zuletzt erwähnten Vorwurf angeht, übersieht die Gesuchstellerin, dass ihr das Revisionsverfahren auch unter dem Titel von Art. 121 Bst. a BGG nicht die Möglichkeit bietet, einen Entscheid, den sie für unrichtig hält, neu beurteilen zu lassen (<ref-ruling> E. 3). Soweit sie die Ausstandsvorschriften wegen der im beanstandeten Urteil verwendeten Formulierungen für verletzt hält, fällt einzig der Auffangtatbestand von Art. 34 Abs. 1 Bst. e BGG in Betracht. Danach haben Gerichtspersonen in den Ausstand zu treten, wenn sie aus anderen Gründen befangen sein könnten. Die Norm nennt exemplarisch besondere Freundschaft oder persönliche Feinschaft mit einer Partei oder ihrer Vertretung. Abgesehen von derlei Umständen können auch andere Einflüsse wie gesellschaftliche Sitten, Gewohnheiten, Werturteile, die öffentliche Meinung oder bestimmte politische Ereignisse auf die Unabhängigkeit des richterlichen Urteils einwirken und die innere Freiheit von Gerichtspersonen beeinträchtigen (Verfügung 2C_466/2010 vom 25. Oktober 2010 E. 2.4.2 mit Hinweis). Allein die hier beanstandeten Ausdrucksweisen und Schreibarten, derer sich die - von allen involvierten Gerichtspersonen gutgeheissene - Urteilsbegründung bedient, vermögen objektiv betrachtet keine ernsthaften Zweifel an der für einen korrekten und fairen Prozess notwendigen Offenheit der mitwirkenden Gerichtspersonen hervorzurufen. Etliche der von der Gesuchstellerin kritisierten Formulierungen finden sich in einer Vielzahl (öffentlich zugänglicher) bundesgerichtlicher Urteile und entsprechen dem allgemein üblichen Sprachgebrauch auf deutsch verfasster Urteilsbegründungen schweizerischer Gerichte. Von einer unnötig herabsetzenden Wirkung kann nicht die Rede sein. Im Übrigen behauptet die Gesuchstellerin zu Recht nicht, dass die fraglichen Formulierungen im Sinne von Art. 34 Abs. 1 Bst. e BGG gar den Anschein einer persönlichen Feindschaft zu ihr oder zu ihrem Vertreter erwecken würden. Soweit sie darüber hinaus ihr Befremden über weniger geläufige Formulierungen äussert, ist daran zu erinnern, dass gerade das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren als (grundsätzlich) rein schriftlicher Prozess auch von der individuellen Schreibweise der mit dem Fall befassten Gerichtspersonen geprägt ist. Die Garantie auf ein unabhängiges und unparteiisches Gericht vermittelt keinen Anspruch darauf, dass eine Urteilsbegründung des Bundesgerichts nach den Vorgaben einer einförmigen, standardisierten Sprache abgefasst ist. Im Gegenteil könnte eine allzu starke Orientierung an Textbausteinen und Standardformulierungen den Rechtsunterworfenen auch den Eindruck vermitteln, dass sich das Bundesgericht nicht hinreichend mit dem konkreten Fall befasst.
4.
Nach alledem ist das Revisionsgesuch abzuweisen. Als unterliegende Partei hat die Gesuchstellerin für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Dem Gesuchsgegner ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen. Wie die vorigen Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren als von Anfang aussichtslos gelten. Damit mangelt es an einer materiellen Anspruchsvoraussetzung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch der Gesuchstellerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Gesuchstellerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Januar 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn