Sachverhalt:
A.
Die Eheleute B.A._ und A.A._ sind Eigentümer des bewaldeten Grundstücks Nr. xxx in der Einwohnergemeinde Rapperswil-Jona/SG. Am 28. Mai 2018 stürzten zwei sich auf dieser Parzelle befindliche, allem Anschein nach morsche Bäume auf die im Eigentum der Einwohnergemeinde stehende C._-Strasse. Die Notrufzentrale des Kantons St. Gallen benachrichtigte in der Folge die örtliche Feuerwehr, welche die Baumstämme zerkleinerte und die Strasse vom Holz befreite.
B.
Am 30. Mai 2018 stellte die Sicherheitsverwaltung der Einwohnergemeinde Rapperswil-Jona den Eheleuten (nachfolgend: die Grundeigentümer) Rechnung für den Einsatz. Bei fünf Arbeitsstunden zu Fr. 60.--, einer Grundgebühr und einer Einsatzstunde für schwere Fahrzeuge von Fr. 380.-- ergab sich ein Total von Fr. 680.--. Der Stadtrat von Rapperswil-Jona (Entscheid vom 9. Juli 2018) und die Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen (Entscheid vom 31. Januar 2019) bestätigten dies.
C.
Die Grundeigentümer gelangten an das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, dessen Abteilung III die Beschwerde abwies (Entscheid B 2019/33 vom 7. Mai 2019). Das Verwaltungsgericht erwog im wesentlichen, der Feuerwehreinsatz vom 28. Mai 2018 sei durch den Sturz zweier morscher Bäume vom Grundstück der Grundeigentümer auf die Strasse ausgelöst worden. Ob die Stammfäulnis zuvor erkennbar gewesen sei, spiele keine Rolle, da die Grundeigentümer ohnehin als Zustandsstörer zu gelten hätten. Beim Einsatz vom 28. Mai 2018 habe es sich um eine Sicherungs- und Behebungsmassnahme gehandelt, die gestützt auf das kantonale Feuerwehrrecht vorzunehmen und den Zustandsstörern in Rechnung zu stellen gewesen sei. Die Beseitigung der Baumstämme zähle nicht zum gewöhnlichen, von der Gemeinde zu tragenden Strassenunterhalt. Wie es sich mit Art. 41 ff. OR verhalte, müsse nicht geklärt werden, zumal Bäume als Werk im Sinne von Art. 58 OR ausser Betracht fielen. Auch in betraglicher Hinsicht sei die Verfügung nicht zu beanstanden.
D.
Mit Eingabe vom 13. Juni 2019 erheben die Grundeigentümer beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben.
Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (Art. 32 Abs. 1 BGG) hat die Akten beigezogen und von einem Schriftenwechsel abgesehen.

Erwägungen:
1.
Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten liegen vor (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht prüft das Bundesrecht von Amtes wegen (Art. 106 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 4.2 S. 62) und mit uneingeschränkter (voller) Kognition (Art. 95 lit. a BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 93).
2.2. Die Verletzung von verfassungsmässigen Individualrechten (einschliesslich der Grundrechte) und des rein kantonalen Rechts prüft das Bundesgericht nur, soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG). In der Beschwerde ist daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, dass und inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 41). Rein appellatorische Kritik entspricht diesen Anforderungen nicht (<ref-ruling> E. 2.1 S. 133).
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.5 S. 31). Die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen können von Amtes wegen oder auf Rüge hin berichtigt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 105 Abs. 2 und Art. 97 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.1 S. 155). "Offensichtlich unrichtig" ist mit "willkürlich" gleichzusetzen (<ref-ruling> E. 2.3.3 S. 42 f.). Tatfrage ist auch die Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 3 S. 112). Die Anfechtung der vorinstanzlichen Feststellungen unterliegt der qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit (<ref-ruling> E. 4.1 S. 52 f.; vorne E. 2.2).
3.
3.1. Die Grundeigentümer anerkennen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz insoweit, als von ihrem Grundstück aus zwei Bäume auf die benachbarte Gemeindestrasse gefallen sind. Sie bemerken, dass die Stammfäulnis nicht erkennbar gewesen und betonen, dass die Feuerwehr durch die Gemeinde (und nicht durch sie, die Grundeigentümer) aufgeboten worden sei. Eine sie treffende Kostenpflicht bestehe nicht. Vielmehr sei die Gemeindestrasse im Unterhalt vernachlässigt gewesen, was erst den Feuerwehreinsatz ausgelöst habe. Entsprechend seien die Kosten der Einwohnergemeinde in deren Eigenschaft als Werkeigentümerin aufzuerlegen. Die Vorinstanz habe verkannt, dass nicht die Bäume, sondern die Gemeindestrasse ein Werk im Sinne von Art. 58 OR darstelle. Ein Waldeigentümer sei nicht verpflichtet, den Wald zu unterhalten. Das blosse Belassen eines Naturzustandes führe zu keiner Grundeigentümerhaftpflicht. Namentlich habe der Eigentümer eines Grundstücks auch nicht für Schäden zu haften, die durch Pflanzen oder Tiere hervorgerufen würden.
3.2.
3.2.1. Die Grundeigentümer stützen sich hauptsächlich auf die Regeln zum ausservertraglichen Haftpflichtrecht (Art. 41 ff. OR, insbesondere Art. 58 OR [Werkeigentümerhaftung]) und bringen damit sinngemäss vor, die sich stellenden Rechtsfragen seien im Kern bundesrechtlicher Natur. Bundesrecht ist von Amtes wegen und mit voller Kognition zu prüfen (vorne E. 2.1). Die Vorinstanz hat zu Art. 58 OR festgehalten, dass es sich bei Bäumen "in aller Regel (und auch vorliegend) " nicht um ein Werk im Sinne dieser Bestimmung handelt. Dies ist zutreffend: Unter Werken im Sinne der Werkeigentümerhaftung gemäss Art. 58 Abs. 1 OR sind Gebäude oder andere stabile, künstlich hergestellte, bauliche oder technische Anlagen zu verstehen, die mit dem Erdboden, sei es direkt oder indirekt, dauerhaft verbunden sind (<ref-ruling> E. 1.1 S. 740). Bäume fallen nicht darunter.
3.2.2. Die Grundeigentümer machen freilich geltend, sie hätten gar nicht behauptet, bei den Bäumen handle es sich um Werke. Gegenteils stellen sie sich - jedenfalls im bundesgerichtlichen Verfahren - auf den Standpunkt, die Gemeindestrasse bilde ein Werk im Sinne von Art. 58 OR, weshalb die Einwohnergemeinde für die Kosten der Beseitigung der Baumstämme aufzukommen habe. Auf Art. 58 OR vermöchten sie sich indes nur zu berufen, wenn sie bundesrechtskonform vorbringen könnten, die Einwohnergemeinde als Eigentümerin habe ihnen dadurch einen Schaden zugefügt, dass die Gemeindestrasse fehlerhaft angelegt oder mangelhaft unterhalten gewesen sei. Ein derartiger Mangel der Strasse ist vorinstanzlich aber nicht festgestellt, was für das Bundesgericht verbindlich ist (Art. 105 Abs. 1 BGG; vorne E. 2.3). Die Grundeigentümer machen vor Bundesgericht in recht allgemeiner Weise geltend, die Strasse sei unzulänglich unterhalten gewesen. Weshalb dies zum Umfallen der beiden Bäume hätte beitragen können, weisen sie aber in keiner Weise nach, die Art. 105 Abs. 2 (vorne E. 2.3) in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG genügen könnte (vorne E. 2.2). Ihre Vorbringen bleiben appellatorisch und sind insofern nicht zu hören.
3.2.3. Von Bundesrechts wegen steht den Grundeigentümern auch kein auf das Nachbarrecht gestützter Anspruch offen, obwohl sie dies anklingen lassen. Vielmehr ergibt sich aus Art. 700 ZGB folgendes: Werden Sachen durch Wasser, Wind, Lawinen oder andere Naturgewalt oder zufällige Ereignisse auf ein fremdes Grundstück gebracht (...), so hat der Grundeigentümer dem Berechtigten deren Aufsuchung und Wegschaffung zu gestatten (Abs. 1). Für den hieraus entstehenden Schaden kann er Ersatz verlangen und hat hiefür an diesen Sachen ein Retentionsrecht (Abs. 2). Dies ist folgendermassen zu verstehen: Aufgrund von Art. 684 ZGB sind übermässige Einwirkungen auf das Eigentum der Nachbarn zu unterlassen (<ref-ruling> E. 3.1 und 3.2 S. 245 f.). Stürzt ein Baum vom einwirkenden auf das benachbarte Grundstück, ist der Eigentümer des einwirkenden Grundstücks berechtigt (Art. 700 Abs. 1 ZGB) und verpflichtet (Art. 641 Abs. 2 ZGB; <ref-ruling> E. 2 S. 167; <ref-ruling>), den Baum auf eigene Kosten zu beseitigen. Schädigt er bei Aufsuchen und Wegschaffen des Baums das betroffene Grundstück, hat er den hieraus entstehenden "Räumungsschaden" zu ersetzen (Art. 700 Abs. 2 ZGB; <ref-ruling> E. 2 S. 220).
3.2.4. Die Grundeigentümer wenden ein, nicht sie, sondern die Einwohnergemeinde habe die örtliche Feuerwehr mit der Beseitigung der Bäume beauftragt. Sie scheinen damit andeuten zu wollen, dass die Einwohnergemeinde folglich auch für die Kosten aufzukommen habe. Dies ist schon mit Blick auf Art. 700 Abs. 2 ZGB nicht zutreffend, wonach der Eigentümer des betroffenen Grundstücks die Räumungskosten auf den Eigentümer des einwirkenden Grundstücks überwälzen kann. Vor allem aber übersehen sie, dass das Zivilrecht von den öffentlich-rechtlichen Sonderbestimmungen überlagert wird, soweit es namentlich um den Schutz von Polizeigütern geht. Als typisches Polizeigut sind Leib und Leben zu betrachten (PIERRE TSCHANNEN/ULRICH ZIMMERLI/MARKUS MÜLLER, Allgemeines Verwaltungsrecht, 4. Aufl. 2014, § 54 N. 15). In ihren öffentlich-rechtlichen Befugnissen werden die Kantone durch das Bundeszivilrecht nicht eingeschränkt (Art. 6 Abs. 1 ZGB; Urteil 2C_469/2017 vom 1. Dezember 2017 E. 3.3.1, in: ASA 86 S. 503, StR 73/2018 S. 218). Dass ein auf der Fahrbahn befindlicher Baum die Sicherheit der Verkehrsteilnehmer erheblich gefährdet, liegt auf der Hand. Entsprechend duldet die Beseitigung keinen Aufschub und kann der Werkeigentümer nicht zuwarten, bis der Eigentümer des einwirkenden Grundstücks handelt. Der Einwohnergemeinde (bzw. der Notrufzentrale, die tätig wurde; Sachverhalt, lit. A) ist nicht vorzuwerfen, durch ihr "eigenmächtiges" Verhalten gegen Bundesgesetzes oder Verfassungsrecht verstossen zu haben. Gemäss Art. 100 Abs. 2 lit. b des Strassengesetzes (des Kantons St. Gallen) vom 12. Juni 1988 (StrG/SG; sGS 731.1) sind Beeinträchtigungen der Strasse durch Pflanzen unzulässig und (bei bedrohten Polizeigütern) unmittelbar zu beheben (Art. 100 Abs. 1 StrG/SG).
3.2.5. Die Vorinstanz ist dabei verfassungsrechtlich haltbar davon ausgegangen, dass es sich bei den Grundeigentümern unter den gegebenen Umständen um Zustandsstörer handle. Zustandsstörer ist, wer über die Sache, die den ordnungswidrigen Zustand verursacht, die rechtliche oder tatsächliche Gewalt ausübt (<ref-ruling> E. 3.1 S. 336). Als Eigentümer des einwirkenden Grundstücks haben Zustandsstörer den polizeiwidrigen Zustand unmittelbar zu verantworten, selbst wenn die Störung letztlich durch Dritte, Naturereignisse, höhere Gewalt oder Zufall hervorgerufen wird (Urteil 2C_1096/2016 vom 18. Mai 2018 E. 2.5.2, in: ASA 87 S. 58). Nach Art. 46bis des Gesetzes (des Kantons St. Gallen) vom 18. Juni 1968 über den Feuerschutz (FSG/SG; sGS 871.1) sind Hilfeleistungen zugunsten des Zustandsstörers nur unentgeltlich, wenn es sich um ein versichertes Ereignis nach dem Gesetz (des Kantons St. Gallen) vom 26. Dezember 1960 über die Gebäudeversicherung (GVG/SG; sGS 873.1) handelt. Dass ein Elementarschadenfall vorliege, ist vorinstanzlich weder festgestellt noch wird dies von den Grundeigentümern behauptet. Damit ist insbesondere nicht dargetan, dass das Ereignis durch einen Sturmwind bewirkt worden sein könnte (Art. 31 Abs. 1 Ziff. 3 GVG/SG).
3.2.6. Im Unterschied zu den Elementarschadenfällen sind Sicherungs- und Behebungsmassnahmen aufgrund gesetzlicher Vorschriften kostenpflichtig (Art. 46bis Abs. 2 FSG/SG). Das Gesetz bestimmt, dass die Kosten in einem solchen Fall auf den Verursacher zu überwälzen sind (Art. 46ter Abs. 1 FSG/SG). Die Vorinstanz hat die Begriffe "Verursacher" und " (Zustands-) Störer" als gleichbedeutend erachtet, was mit Blick auf die gegebenen Sachumstände jedenfalls nicht verfassungswidrig ist (Urteil 2C_1096/2016 vom 18. Mai 2018 E. 2.7). Damit ergibt sich, dass die Vorinstanz willkürfrei erwägen konnte, die entstandenen Kosten seien in Anwendung von Art. 46bis Abs. 2 und Art. 46ter Abs. 1 FSG/SG in Verbindung mit Art. 100 Abs. 1 und 2 StrG/SG verfügungsweise auf die Grundeigentümer zu überwälzen.
3.2.7. Nichts zu ihren Gunsten vermögen die Grundeigentümer schliesslich aus dem Bundesgesetz vom 4. Oktober 1991 über den Wald (WaG; SR 921.0) abzuleiten. Ihre Auffassung, wonach ein Waldeigentümer nicht verpflichtet sei, den Wald zu unterhalten und daher das "blosse Belassen eines Naturzustandes" von vornherein zu keiner Grundeigentümerhaftpflicht führen könne (vorne E. 3.1), findet im Waldgesetz keine Grundlage. Der Wald ist gemäss Art. 20 Abs. 1 WaG so zu bewirtschaften, dass er seine Funktionen dauernd und uneingeschränkt erfüllen kann. Dies schliesst zwar nicht aus, dass er zeitweise extensiv bewirtschaftet wird. So oder anders darf die Nichtbewirtschaftung eines bewaldeten oder unbewaldeten Grundstücks aber zu keiner Gefährdung von Polizeigütern Dritter führen. Eine derartige Gefährdung hat sich vorliegend verwirklicht, unabhängig davon, ob die Stammfäulnis erkennbar war oder nicht. Der angefochtene Entscheid ist polizei- und kausalabgaberechtlich bundesrechtskonform und verfassungsrechtlich haltbar.
3.3. Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
4.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens den Grundeigentümern aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Diese tragen ihren Anteil zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftbarkeit (Art. 66 Abs. 5 BGG). Der Gemeinde Rapperswil-Jona, die in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Entschädigung zu (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'200.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt. Diese tragen ihren Anteil zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftbarkeit.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Juli 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher