Sachverhalt:
A.
Die J._ AG (nachfolgend: J._ AG) ist Eigentümerin der Liegenschaften Nrn. 976, 977 und 3039 an der Burgstrasse in Weinfelden (Weiler Burg). Die Grundstücke sind der zweigeschossigen Dorfzone (D2) zugeteilt, mit Ausnahme eines 12 - 16 m breiten Streifens, der in der Freihaltezone liegt. Dieser Streifen grenzt an das Burgbächli und dessen natürlich gestaltetes Rückhaltebecken an. Die umliegenden Häuser Burgstrasse 63, 66, 68, 70 und 75 sind im Hinweisinventar der Denkmalpflege als "wertvoll" eingestuft, das Haus Burgstrasse 74 als "in der Gesamtform erhaltenswert".
Am 18. Januar 2012 stellte die J._ AG bei der Politischen Gemeinde Weinfelden (im Folgenden: die Gemeinde) ein Baugesuch für diese Parzellen. Die geplante "Überbauung Burgstrasse" soll drei Mehrfamilienhäuser (A, B und C) mit insgesamt 21 Wohnungen umfassen, sowie 30 unterirdische und 8 oberirdische Parkplätze.
Am 29. Februar 2012 wurde die Initiative "Massvolles Bauen im Hard" eingereicht, mit der die Zuweisung der Parzellen Nrn. 976, 977 und 3039 zur Wohnzone für Einfamilienhäuser in Hanglage verlangt wurde. Die Initiative wurde am 25. November 2012 von den Stimmbürgern verworfen.
B.
Am 12. Dezember 2012 wies die Gemeinde die Einsprachen gegen das Baugesuch ab und erteilte die Baubewilligung unter Auflagen. Zuvor hatte das kantonale Amt für Umwelt am 18. Juli 2012 seine Zustimmung zur Unterschreitung des kantonalen Gewässerabstands erteilt.
Dagegen führten mehrere Einsprecher erfolglos Rekurs an das Departement für Bau und Umwelt des Kantons Thurgau (DBU) und Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Am 23. Dezember 2014 hiess das Bundesgericht die Beschwerde der Einsprecher gut und wies die Sache zu neuer Beurteilung an die Gemeinde zurück, um nochmals die Unterschreitung des kantonalen Gewässerabstands zu beurteilen (Urteil 1C_471/2014).
C.
Am 11. November 2015 reichte die J._ AG ein mit Bezug auf die Fassadengestaltung und den Umgebungsplan abgeändertes Baugesuch ein; Gebäudestellung und -volumen blieben unverändert. Dagegen erhoben mehrere Eigentümer von angrenzenden Grundstücken erneut Einsprache. Die Gemeinde wies die Einsprachen am 13. September 2016 ab und erteilte die Baubewilligung.
Dagegen führten die Einsprecher zunächst Rekurs an das DBU und, nach dessen Abweisung am 17. Februar 2017, Beschwerde an das Verwaltungsgericht. Dieses wies die Beschwerde am 20. Dezember 2017 ab.
D.
Gegen den verwaltungsgerichtlichen Entscheid haben die im Rubrum genannten Einsprecher am 9. April 2018 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht erhoben. Sie beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache sei zur Neuregelung der Kosten im kantonalen Verfahren an die Vorinstanz zurückzuweisen.
E.
Die J._ AG (Beschwerdegegnerin) beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das DBU und das Verwaltungsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
Die Beschwerdeführer haben auf eine Replik verzichtet.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Bundesrecht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich die willkürliche Anwendung von kantonalem Recht) prüft es dagegen nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und genügend begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat, sofern dieser nicht offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 105 und Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel können nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
2.
Die Beschwerdeführer rügen zunächst eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, weil ihnen die Stellungnahme der Denkmalpflege vom 13. Januar 2016 und das Privatgutachten der IBID AG vom 17. August 2015 sowohl im Einsprache- als auch im Rekursverfahren vorenthalten worden seien.
2.1. Das Verwaltungsgericht erachtete die erstinstanzliche Verletzung des rechtlichen Gehörs als im Rekursverfahren, spätestens aber im Verfahren vor Verwaltungsgericht, geheilt. Den Beschwerdeführern sei am 24. November 2016 die Stellungnahme der Gemeinde vom 15. November 2016 samt Beilagenverzeichnis zur Kenntnisnahme zugestellt worden. Die Beschwerdeführer hätten somit die Möglichkeit gehabt, die darin aufgelisteten Unterlagen, namentlich die Stellungnahme der Denkmalpflege und des Privatgutachtens IBID AG, anzufordern, um dazu Stellung zu nehmen. Da sich die Beschwerdeführer jedoch nicht mehr vernehmen liessen, habe das DBU davon ausgehen dürfen, dass die Beschwerdeführer auf eine Stellungnahme verzichteten, auch zu den ihnen bisher noch nicht bekannten Dokumenten.
Jedenfalls aber sei der Mangel im Verfahren vor Verwaltungsgericht geheilt worden. Die Beschwerdeführer hätten am 23. Juni 2017 Einsicht in die Unterlagen erhalten und sich dazu äussern können, und das Verwaltungsgericht habe ihre Eingabe mit derselben umfassenden Kognition überprüfen können wie das DBU. Es könne auch nicht davon ausgegangen werden, dass eine der Vorinstanzen aufgrund der Eingaben der Beschwerdeführer anders entschieden hätte, weshalb eine Rückweisung nur zu einer unnötigen Verzögerung führen würde.
2.2. Die Einwände der Beschwerdeführer gegen eine Heilung im Rekursverfahren erscheinen berechtigt: Diese hatten bereits in ihrem Rekurs an das DBU die Auffassung vertreten, das von der Gemeinde absichtlich Versäumte könne im Rekursverfahren nicht nachgeholt werden; der Gemeinde stehe ein eigener Ermessensspielraum und somit Autonomie zu, weshalb ihnen schon im Einspracheverfahren Gelegenheit gegeben werden müsse, zu den Akten Stellung zu nehmen. Wenn das DBU dennoch eine Heilung im Rekursverfahren herbeiführen wollte, hätte es den Beschwerdeführern die fehlenden Akten mit der Aufforderung zur Stellungnahme zustellen müssen. Den Beschwerdeführern war die Existenz des Privatgutachtens IBID AG und der Stellungnahme der Denkmalpflege bereits aus dem Einspracheentscheid bekannt, d.h. das zugestellte Beilagenverzeichnis lieferte insoweit keine neuen Erkenntnisse. Unter diesen Umständen durfte das Schweigen der Beschwerdeführer auf die Mitteilung vom 24. November 2016 nur als Verzicht auf eine Replik zur Rekursvernehmlassung der Gemeinde gewertet werden und nicht als Verzicht auf eine Stellungnahme zu den bislang vorenthaltenen Unterlagen.
2.3. Dagegen wurde den Beschwerdeführern die Stellungnahme des Denkmalschutzes und das Privatgutachten IBID AG im verwaltungsgerichtlichen Verfahren zugestellt und ihnen Gelegenheit zur Stellungnahme gegeben. Das Verwaltungsgericht hat dargelegt, dass ihm als erste richterliche Instanz eine umfassende Kognition zukomme (E. 1.2 des angefochtenen Entscheids). Es hat diese Kognition vorliegend auch ausgeschöpft. Insbesondere begnügte es sich nicht damit, den Entscheid der Gemeinde lediglich als nachvollziehbar oder vertretbar zu qualifizieren, sondern begründete, weshalb ein besonderer Einzelfall vorliege, der eine Unterschreitung des gesetzlichen Gewässerabstands rechtfertige, gestützt auf die Feststellungen am Augenschein, amtliche Karten, das Privatgutachten IBID AG und die Stellungnahme des Amts für Denkmalpflege.
Das Argument der Beschwerdeführer, das DBU habe mit seiner Weigerung, ihnen die entscheidrelevanten Dokumente zur Kenntnis zu bringen, die Verletzung des rechtlichen Gehörs noch "massiv verschlimmert", mit der Folge, dass sie nicht mehr habe geheilt werden können, überzeugt nicht: Das DBU hat die Akteneinsicht nicht verweigert, sondern ging (wenn auch zu Unrecht) davon aus, dass die Beschwerdeführer darauf stillschweigend verzichtet hätten.
2.4. Nach dem Gesagten ist die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs abzuweisen.
3.
Die Beschwerdeführer rügen eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung. Die Vorinstanzen hätten einseitig auf das im Auftrag der Bauherrschaft erstellte Parteigutachten der IBID AG abgestellt, ohne - wie von den Beschwerdeführern beantragt - eine Stellungnahme der ENHK oder der EDK einzuholen, oder - wie vom Amt für Denkmalpflege empfohlen - die Fachkommission Hochbau der Gemeinde oder den SIA-Gestaltungsbeirat zu konsultieren. Die vom Verwaltungsgericht gegebene Begründung, wonach sich die Mehrheit der Stimmbürger mit der Abstimmung über die Initiative "Massvolles Bauen im Hard" vom 25. November 2012 für die Bewilligung des Projekts ausgesprochen habe, sei unhaltbar: Abstimmungsgegenstand sei die Zonenplanänderung und nicht das konkrete Projekt gewesen.
3.1. Schon die Denkmalpflege sprach sich in ihrer Stellungnahme vom 13. Januar 2016 gegen die Einholung eines Gutachtens der ENHK oder der EKD aus, weil der Weiler Burg im ISOS lediglich als Weiler von lokaler Bedeutung aufgeführt sei. Dies wurde vom Verwaltungsgericht bestätigt. Es hielt überdies fest, dass keine zwingende Verpflichtung für die Gemeinde bestanden habe, die Fachkommission Hochbau der Gemeinde Weinfelden oder den SIA Gestaltungsbeirat zu konsultieren. Auch dies wird von den Beschwerdeführern nicht bestritten. Es lag damit im Ermessen der Gemeinde, sich mit den bereits vorhandenen Stellungnahmen des Amts für Denkmalpflege zu begnügen.
3.2. Die Beschwerdegegnerin hatte mit dem Baugesuch eine "Beurteilung der Ortsbildverträglichkeit der geplanten Überbauung im Ortsbild Burg" der IBID AG vom 17. August 2015 eingereicht. Dieses setzt sich ausführlich mit dem Ortsbild und der Siedlungsentwicklung des Weilers Burg auseinander und beurteilt die Einordnung des Projekts unter dem Blickwinkel von Gebäudeanordnung und -volumen, Gebäude- und Aussenraumgestaltung. Es handelt sich unstreitig um ein Parteigutachten. Das Abstellen auf ein Parteigutachten ist jedoch nicht per se unzulässig (vgl. <ref-ruling> E. 3b und c S. 353 f.; <ref-ruling> E. 3.2 S. 270 f.). Es ist vielmehr Aufgabe der zuständigen Behörden und Gerichte, Parteigutachten kritisch zu würdigen und zu überprüfen. Stimmen die darin enthaltenen Fakten und überzeugen die vorgebrachten Argumente, so dürfen sie der Sachverhaltsfeststellung zugrundegelegt werden. Die Beschwerdeführer setzen sich inhaltlich mit dem Gutachten der IBID AG nicht auseinander und legen nicht dar, inwiefern dieses unrichtige oder unvollständige Aussagen enthält, die von den Vorinstanzen nicht hätten berücksichtigt werden dürfen.
4.
Materiell ist in erster Linie die Unterschreitung des Gewässerabstands streitig.
4.1. Gemäss § 76 des am 1. Januar 2013 in Kraft getretenen Thurgauer Planungs- und Baugesetzes vom 21. Dezember 2011 (PBG) beträgt der Abstand gegenüber Seen, Weihern und Flüssen 30 m, gegenüber Bächen und Kanälen 15 m, soweit Gewässerraumlinien oder Sondernutzungspläne nichts anderes bestimmen.
Das Verwaltungsgericht hat offengelassen, ob es sich beim "Burgweiher", einem Retentionsbecken des Burgbächlis, aus rechtlicher Sicht um einen Weiher bzw. ein stehendes Gewässer oder um einen Teil des Bachs handelt, d.h. ob ein Gewässerabstand von 30 m oder nur von 15 m einzuhalten sei. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer wurde diese Frage auch im zweiten - vorliegend angefochtenen - Entscheid nicht beantwortet (vgl. E. 5.5.4 S. 36 des angefochtenen Entscheids), weil der Gewässerabstand in jedem Fall unterschritten werde und die Bewilligung so oder so erteilt werden durfte.
4.2. § 93 PBG sieht vor, dass ein Unterschreiten dieser Abstände im Einzelfall mit Zustimmung des Kantons bewilligt werden kann, sofern keine erheblichen öffentlichen Interessen entgegenstehen. Diese Regelung entspricht fast wörtlich der bisherigen Rechtslage (Art. 64 und 80 des Planungs- und Baugesetzes vom 16. August 1996 [aPBG]), die für das erste Baugesuch massgeblich waren und im Entscheid 1C_471/2014 vom 23. Dezember 2014 behandelt wurden.
4.3. Im damaligen Entscheid (E. 3) ging das Bundesgericht davon aus, dass es (vorbehältlich der Zustimmung der kantonalen Behörde) im Ermessen der Gemeinde liege, eine Unterschreitung des kantonalen Gewässerabstands zu bewilligen. Da Art. 80 aPBG eine Ausnahme nur "im Einzelfall" zulasse, müsse die Gemeinde insbesondere darlegen, welche besonderen Umstände im konkreten Fall eine Unterschreitung des kantonalen Gewässerabstands rechtfertigten. Die Einhaltung der bundesrechtlichen Bestimmungen zum Gewässerraum gemäss der Gewässerschutzverordnung vom 28. Oktober 1998 [GSchV; SR 814.201] und ihrer Übergangsbestimmungen) sei eine notwendige, nicht aber hinreichende Bedingung für die Unterschreitung der grösseren kantonalen Gewässerabstände, da diesen ansonsten keine selbstständige Bedeutung mehr zukäme. Zu berücksichtigen seien daher auch raumplanerische Interessen an der Freihaltung von Gewässern. Auch Interessen des Ortsbild- und Denkmalschutzes könnten eine Rolle spielen: Je höher die Qualität der Überbauung und je besser ihre Verträglichkeit mit geschützten Bauten in ihrer Umgebung seien, desto eher und weiter könne eine Unterschreitung des Gewässerabstands bewilligt werden. Umgekehrt könnten höhere Anforderungen an die Einordnung und Gestaltung einer Überbauung gestellt werden, wenn diese in den kantonalen Gewässerabstand hineinragen solle.
Das Bundesgericht hob damals den angefochtenen Entscheid auf, weil die Gemeinde auch nicht ansatzweise begründet hatte, welche besonderen Umstände des Einzelfalls ein Unterschreiten des kantonalen Gewässerabstands im streitigen Ausmass rechtfertigten und inwiefern dies insbesondere mit den Interessen von Raumplanung, Ortsbild- und Denkmalschutz vereinbar sei.
4.4. Im neuen Baubewilligungsentscheid begründete die Gemeinde die Unterschreitung des Gewässerabstands ausführlich. Sie führte aus, dass keine öffentlichen Interessen des Gewässerschutzes entgegenstünden. Das Gewässer sei von der Burg- und Wingertstrasse her auch nicht wahrnehmbar; erkennbar seien lediglich die Sträucher und Bestockungen entlang des Bachlaufs. Diese befänden sich auf dem 12-16 m breiten Streifen der Freihaltezone. An der Grenze der Freihalte- zur Dorfzone ändere sich die Topographie: Im Bereich der Freihaltezone falle das Gelände gegen Norden hin steiler zum Burgbächli ab. Diese markante Böschung mit ihrer Bestockung bilde die Abgrenzung zur Landwirtschaftszone im Norden. Aus raumplanerischer Sicht sei es wünschenswert, die bestehende Baulücke am nördlichen Siedlungsrand zu füllen und - im Interesse des haushälterischen Umgangs mit dem Boden - optimal zu nutzen. Der nördliche Siedlungsrand werde im Sinne einer Fortführung der Gebäudekette (Verbindung Gebäude Serwart und Greminger) geschlossen. Eine Beeinträchtigung des Ortsbildes sei nicht auszumachen: Der historische Siedlungsrand gegen das Burgbächli sei bereits durch die Anbauten des Vielzweckbauernhauses Burgstrasse 63 und die modernen Wohnbauten am Weiherweg verwischt worden. Lage und Volumen der drei Gebäude passten sich in den Geländeverlauf und das bestehende heterogene Ortsbild ein. Die von der Landwirtschaftszone (Norden) her sichtbare Abtreppung der Gebäudefirste werde durch das Gebäude B weitergeführt. Das Gebäude C trete aufgrund seiner Ausrichtung in einen Dialog mit dem Giebel des Gebäudes Burgstrasse 75 und Gebäude A trete nur untergeordnet in Erscheinung. Der Zugang zum Gewässer sei jederzeit gewährleistet. Die Erteilung der Ausnahmebewilligung beeinträchtige weder öffentliche noch erhebliche private Interessen. Schliesslich habe sich das Weinfelder Stimmvolk am 25. November 2012 mit der Ablehnung der Initiaitive "Massvolles Bauen im Hard" dafür ausgesprochen, dass die Bauparzellen in der Dorfzone verblieben und entsprechend ausgenützt und überbaut werden dürften.
Damit liegt nunmehr ein eigenständiger, begründeter Ermessensentscheid der Gemeinde zur Gewässerabstandsunterschreitung vor. Die Gemeinde hat insbesondere dargelegt, welche besonderen Umstände des Einzelfalls aus ihrer Sicht eine Unterschreitung des kantonalen Gewässerabstands rechtfertigen (markante Böschung; bestehende Baulücke) und hat eine Interessenabwägung vorgenommen, unter Berücksichtigung auch von Interessen der Raumplanung und des Ortsbildschutzes. Insofern ist sie den Vorgaben des Bundesgerichtsentscheids 1C_471/2014 nachgekommen.
5.
Die Beschwerdeführer halten den Entscheid für willkürlich. Sie machen geltend, die Bauparzellen liessen sich auch bei Einhaltung eines Gewässerabstands von 30 m noch überbauen und die Baulücke sinnvoll (auf einer Tiefe von immerhin noch 30 m) schliessen, weshalb keine Notwendigkeit bestehe, von der gesetzlichen Vorschrift abzuweichen. Es bestehe auch kein öffentliches Interesse an einer verdichteten Bauweise am Rand des Siedlungsgebiets, noch dazu unter erheblicher Verkürzung des gesetzlichen Gewässerabstands. Im Übrigen sei die Baulücke in rechtswidriger Weise geschaffen worden, weil der Abriss des vorbestehenden Wohnhauses mit Scheune bewilligt worden sei, ohne gleichzeitig ein neues Projekt zu bewilligen, wie dies Art. 26 Abs. 1 des Baureglements der Gemeinde Weinfelden vorsehe. Sofern es darum gehe, planerisch eine Bebauung bis an die Grenze der insgesamt 200 m langen Freihaltezone zu ermöglichen, hätte dies gemäss § 76 Abs. 2 i.V.m. § 25 Abs. 2 Ziff. 6 PBG durch einen Sondernutzungsplan und nicht durch Ausnahmebewilligung geschehen müssen. Schliesslich sei die Verträglichkeit der projektierten Bauten mit den sie umgebenden kommunalen Schutzobjekten und dem Ortsbild des Weilers Burg willkürlich bejaht worden.
5.1. Die von der Gemeinde vorgenommene und vom Verwaltungsgericht bestätigte Interessenabwägung kann vom Bundesgericht nur auf Willkür hin überprüft werden. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder sogar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht weicht vom Entscheid der kantonalen Instanz nur ab, wenn dieser offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 318 f. mit Hinweisen). Dies ist nicht dargetan:
5.2. Das Verwaltungsgericht hat aufgrund seines Augenscheins bestätigt, dass die Liegenschaften der Beschwerdegegnerin als Baulücke zwischen den überbauten Parzellen Nrn. 973 und 4094 in Erscheinung treten, und der Rand der Freihaltezone, mit dem an dieser Stelle zum Burgbächli abfallenden Bord, eine natürliche Grenze zwischen Siedlungs- und Nichtsiedlungsgebiet darstellt. Es erscheint daher nachvollziehbar und jedenfalls nicht willkürlich, vom Vorliegen eines besonderen Einzelfalls auszugehen, der eine Unterschreitung des kantonalen Gewässerabstands rechtfertigt. Zwar könnte dies nach Art. 76 Abs. 2 PBG/TG im Wege der Sondernutzungsplanung geschehen; es ist aber nicht bundesrechtswidrig, auf eine Planung zu verzichten und die Herabsetzung des Gewässerabstands im Einzelfall durch eine Ausnahmebewilligung zu gestatten, wenn - wie hier - der grösste Teil des Geländes bereits überbaut ist und es nur noch um die Schliessung einer Baulücke geht. Im Übrigen liegt mit der Freihaltezone auch eine planerische Grundlage für die von der Gemeinde gewählte Grenzziehung vor.
Raumplanerisch besteht ein Interesse daran, die vom Baureglement zugelassene Ausnützung auszuschöpfen, da es sich um eine der letzten Baulandreserven im Gebiet handelt. Die Abbruchbewilligung für die Vorgängerbaute ist vorliegend nicht zu überprüfen, sondern hätte gesondert angefochten werden müssen. Das Mass der Gewässerraumunterschreitung (das überdies von der offengelassenen Qualifikation des Rückhaltebeckens als Weiher oder als Bach abhängt) genügt für sich allein nicht, um Willkür zu begründen.
5.3. Auch die Erwägungen der Vorinstanzen zum Ortsbildschutz lassen keine Willkür erkennen.
Die Beschwerdeführer berufen sich auf die Stellungnahmen der Denkmalpflege. Diese hatte am 8. Mai 2013 ausgeführt, die Wuchtigkeit der Gebäude bedränge die umgebenden Bauten in der Dorfzone, was durch die Gebäudestellung der rückwärtig angeordneten Bauten noch verstärkt werde, beeinträchtige die geschützten Kulturobjekte und störe das noch gut erhaltene Erscheinungsbild dieses Ensembles. Noch in ihrer Stellungnahme vom 13. Januar 2016 bezeichnete sie das Volumen der geplanten Gebäude, insbesondere die Gebäudetiefe, als zu gross, und kritisierte die Fassadengestaltung.
Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer hat das Verwaltungsgericht diese Kritik der Denkmalpflege nicht ignoriert, sondern hat sich ausführlich mit ihr auseinandergesetzt. Es hielt sie für offensichtlich unzutreffend, weil nördlich der Burgstrasse und damit direkt östlich und westlich der zu überbauenden Parzellen bereits Gebäude mit ganz erheblichen Gebäudeflächen und -volumina vorhanden seien. Die geplante Überbauung weise ähnliche Grundformen und Kubaturen auf wie die vorhandenen Häuser; zum Teil seien die geplanten, zweigeschossigen Häuser sogar weniger breit bzw. lang als die bestehenden. Die äussere Gestaltung weise zwar eine moderne Architektur auf, enthalte aber auch Elemente der näheren Umgebung, z.B. die Holzlattenverkleidung der Häuser A und B und der den umgebenden Häusern angepasste Farbton des Verputzes von Haus C. Im Übrigen würde die Einhaltung an der Höhe der Häuser, die im Süden entlang der Burgstrasse platziert seien, kaum etwas ändern; auch der Grenzabstand im Osten zur Liegenschaft Nr. 4094 bliebe unverändert, weshalb die Wirkung auf die Nachbarbauten gleich bliebe. Alle Empfehlungen zum Weiler Burg gemäss ISOS-Inventar (Umgebungszone 0.0.32 im Perimeter des Inventars "Ottenberg Südhang") seien beachtet worden.
Die Beschwerdeführer kritisieren diese Erwägungen als "laienhaft" und "naiv"; sie zeigen aber nicht auf, inwiefern die tatsächlichen Feststellungen des Verwaltungsgerichts offensichtlich unrichtig und die Erwägungen zum Ortsbildschutz willkürlich seien. Dies ist auch nicht ersichtlich.
6.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens werden die Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 und 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführer haben die private Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 4'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Politischen Gemeinde Weinfelden, dem Departement für Bau und Umwelt des Kantons Thurgau und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. September 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Die Gerichtsschreiberin: Gerber