Sachverhalt:
A.
Am 8. Juli 2015 eröffnete die Staatsanwaltschaft des Kantons Zug gegen A._ eine Strafuntersuchung wegen gewerbsmässigen Betrugs und weiteren Delikten. Mit Eingabe vom 20. September 2018 stellte A._ gegen den verfahrensleitenden Staatsanwalt, Andreas Sidler, ein Ausstandsgesuch. Mit Urteil vom 20. Dezember 2018 wies das Obergericht des Kantons Zug das Gesuch ab. Das Bundesgericht wies die von A._ dagegen erhobene Beschwerde ebenfalls ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 1B_51/2019 vom 28. März 2019).
Am 10. April 2019 stellte A._ erneut ein Ausstandsgesuch gegen Staatsanwalt Sidler. Mit Beschluss vom 6. Juni 2019 wies das Obergericht das Gesuch ab.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht vom 15. August 2019 beantragt A._, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und Staatsanwalt Sidler in den Ausstand zu versetzen. Eventualiter sei die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Obergericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Der Beschwerdegegner verweist auf seine Stellungnahme im vorinstanzlichen Verfahren. Die Beschwerdeführerin hält in ihrer Stellungnahme dazu an ihren Anträgen und Rechtsauffassungen fest.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren in einer Strafsache (Art. 78 Abs. 1 und Art. 92 Abs. 1 BGG). Das Obergericht hat als letzte und einzige kantonale Instanz entschieden (Art. 80 BGG i.V.m. Art. 59 Abs. 1 StPO). Die Beschwerdeführerin ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und lit. b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde befugt. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
2.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung der Begründungspflicht (Art. 29 Abs. 2 BV). Ihr Vorbringen sei im angefochtenen Entscheid zwar kurz und sinngemäss wiedergegeben, jedoch nicht gewürdigt worden. Diese Kritik ist unzutreffend. Das Obergericht hat sich eingehend mit dem beanstandeten Schreiben von Staatsanwalt Sidler (vgl. dazu sogleich) auseinandergesetzt und detailliert dargelegt, weshalb darin seiner Auffassung nach kein Ausstandsgrund zu erblicken sei. Der Anspruch auf rechtliches Gehör verlangt nicht, dass sich die Behörde mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken (<ref-ruling> E. 5.2 S. 70 f. mit Hinweisen).
3.
3.1. Gemäss Art. 56 lit. f StPO tritt eine in einer Strafbehörde tätige Person in den Ausstand, wenn sie aus anderen Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand, befangen sein könnte. Bei dieser Bestimmung handelt es sich um eine Generalklausel, welche alle Ausstandsgründe erfasst, die in Art 56 lit. a-e StPO nicht ausdrücklich vorgesehen sind. Sie entspricht Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Danach hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Die Rechtsprechung nimmt Voreingenommenheit und Befangenheit an, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Solche Umstände können namentlich in einem bestimmten Verhalten des Richters begründet sein. Dabei ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken. Für die Ablehnung ist nicht erforderlich, dass der Richter tatsächlich befangen ist.
Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK sind bei der Ablehnung eines Staatsanwalts nur anwendbar, wenn er ausnahmsweise in richterlicher Funktion tätig wird, wie das bei Erlass eines Strafbefehls zutrifft. Amtet er jedoch, wie vorliegend, als Strafuntersuchungsbehörde, beurteilt sich die Ausstandspflicht nach Art. 29 Abs. 1 BV. Dieser Bestimmung kommt im Vorverfahren freilich hinsichtlich der Unparteilichkeit des Staatsanwalts ein mit Art. 30 Abs. 1 BV weitgehend übereinstimmender Gehalt zu (nach Erhebung der Anklage wird die Staatsanwaltschaft dagegen wie die beschuldigte Person und die Privatklägerschaft zur Partei, vgl. Art. 104 Abs. 1 StPO; eingehend dazu und zum Ganzen: <ref-ruling> E. 3.2.1 f. S. 179 f.; Urteil 1B_51/2019 vom 28. März 2019 E. 3.1; je mit Hinweisen).
3.2. Die Beschwerdeführerin begründete ihr Ausstandsgesuch mit einem Schreiben des Beschwerdegegners vom 1. April 2019. Dieser bezieht sich darin auf den bei ihm eingegangenen E-Mail-Verkehr zwischen der Beschwerdeführerin und einer weiteren Person. Er hält fest, die Beschwerdeführerin habe deswegen derart umfangreiche Ergänzungsfragen an den Zeugen B._ gestellt, weil sie gegen ihn eine Strafanzeige wegen Konkursdelikten vorbereitete. Dies sei eine Umgehung der Zeugenstellung und damit problematisch. Weiter geht der Beschwerdegegner auf die vom 23. November 2018 datierende Replik des Rechtsvertreters der Beschwerdeführerin im vorangehenden Ausstandsverfahren ein. Der Rechtsvertreter habe ihm vorgeworfen, er begehe Rufmord, verwende rassistische Ausdrücke und sei ein Rassist, predige Wasser und trinke Wein, blase wissentlich und willentlich Zahlen auf, fabriziere absichtlich Unwahrheiten, um die Beschuldigte in faktischer Beugehaft zu halten, und habe das Amtsgeheimnis verletzt. Der Beschwerdegegner wies diese Darstellungen als unwahr zurück und hielt fest, es scheine, als zielten diese Ausdrücke darauf ab, seine Ehre in Verruf zu bringen, indem er u.a. systematisch und zweifellos als Straftäter dargestellt werde. Weiter schrieb er, er habe in den letzten drei Monaten keinen Strafantrag betreffend Ehrverletzungsdelikte eingereicht und auch keine weiteren rechtlichen Schritte unternommen. Betreffend die Vorwürfe der angeblichen Amtsgeheimnisverletzungen habe der Rechtsvertreter der Gesuchstellerin ohne genauere Faktenkenntnis strafrechtlich relevante Vorwürfe gegen ihn erhoben. Für einen zugelassenen Rechtsvertreter sei dieses Auftreten gegenüber einer Justizbehörde ungewöhnlich. Er werde sich erlauben, diese aggressive und allenfalls standeswidrige Vorgehensweise in Zukunft mittels geeigneter Ordnungsinstrumente zu unterbinden. Entsprechend mahne er ihn ab und ersuche ihn, sein Verhalten zu mässigen.
3.3. Die Beschwerdeführerin macht zum einen geltend, es stelle einen Missstand dar, wenn ein Staatsanwalt während des Vorverfahrens eine Beschuldigte vorbehaltslos als Betrügerin darstelle. Zudem weist sie auf einen Untersuchungsbericht vom September 2017, der vieles unwahr darstelle. Damit erneuert sie ihre Kritik aus dem früheren Ausstandsverfahren, mit der sich das Bundesgericht bereits im Urteil 1B_51/2019 vom 28. März 2019 auseinandergesetzt und die es als unbegründet erachtet hat. Darauf kann verwiesen werden.
3.4. Zum andern bestreitet die Beschwerdeführerin, dass der Beschwerdegegner als Straftäter dargestellt worden sei. Auch sei nicht behauptet worden, er sei ein Rassist. Die weiteren erwähnten Ausdrücke seien aus sachlichem Grund verwendet worden und würden weder Ehre noch Anstand verletzen. Wenn ein Staatsanwalt der Verteidigung aktenwidrig Vorwürfe mache und Konsequenzen androhe, um zu erreichen, dass sie zukünftig zurückhaltender agiere und nicht länger auf Missstände hinweise, erzeuge das den Anschein von Befangenheit. Weiter sei davon auszugehen, dass das beanstandete Schreiben eine Reaktion auf eine Strafanzeige gewesen sei, die sie am 13. März 2019 gegen den Beschwerdegegner erhoben habe. Das Obergericht hätte diesen Umstand berücksichtigen müssen. Es erwecke den Anschein der Befangenheit, dass der Beschwerdegegner diese Strafanzeige im weiteren Ausstandsverfahren vorsätzlich verschwiegen habe. Der angefochtene Beschluss bedeute im Ergebnis, dass es gerechtfertigt sei, wenn ein verfahrensleitender Beamter die im Ausstandsverfahren gegen ihn erhobenen und ihm missfallenden Beanstandungen zum Anlass nehme, den Gesuchsteller zu sanktionieren. Dies verletze neben Art. 56 lit. f auch Art. 63 und Art. 4 Abs. 1 StPO. Schliesslich würden auch die Ausführungen im Zusammenhang mit dem Zeugen B._ den Anschein der Befangenheit hervorrufen. Der Beschwerdegegner werfe ihrem Rechsvertreter problematisches bzw. verpöntes Verhalten vor, ohne dass eine Rechts- oder Pflichtverletzung ersichtlich sei. Zudem scheine es, als wolle er den Zeugen B._ schützen.
3.5. Verbale Anfeindungen, Unterstellungen oder auch das Erheben einer Strafanzeige durch eine Partei vermögen nicht für sich allein den Anschein der Befangenheit beim Adressaten zu begründen. Andernfalls hätte es die betreffende Partei in der Hand, einen Richter in den Ausstand zu versetzen und so die Zusammensetzung des Gerichts zu beeinflussen. Massgeblich ist in derartigen Fällen die Reaktion des Betroffenen. Antwortet dieser etwa mit einer Strafanzeige wegen Ehrverletzung und Zivilforderungen, so erhält der Konflikt dadurch eine persönliche Dimension, welche seine Unbefangenheit tangiert. Auch andere Formen der Reaktion, welche nicht mehr sachgerecht sind, können zu einem Ausstandsgrund führen. Ob ein solcher vorliegt, ist immer aufgrund einer Gesamtbetrachtung zu entscheiden (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 22; Urteil 1B_664/2012 vom 19. April 2013 E. 3.3; je mit Hinweisen).
3.6. Nicht zu beanstanden ist vor diesem Hintergrund die Äusserung im Schreiben vom 1. April 2019, es sei problematisch, wenn Ergänzungsfragen darauf ausgerichtet seien, eine Strafanzeige gegen den Zeugen vorzubereiten. Diese Aussage ist sachlich. Dass insofern keine Rechts- oder Pflichtverletzung ersichtlich sei, ist zutreffend aber irrelevant, da eine solche dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin in der betreffenden Passage nicht vorgeworfen wird.
Weiter lässt sich entgegen der Behauptung der Beschwerdeführerin belegen, dass ihr Rechtsvertreter sämtliche der in jenem Schreiben genannten Vorwürfe geäussert hatte. Zwar wird der Beschwerdegegner in der Replik vom 23. November 2018 nicht direkt als Rassist bezeichnet, es wird ihm jedoch vorgeworfen, rassistische Ausdrücke zu verwenden und sich von rassistischen Schreiben der Geschädigten "beflügeln" zu lassen. Diese und die weiteren in E. 3.2 hiervor aufgeführten Äusserungen gehen über eine sachliche Kritik weit hinaus, sind in polemischem Ton gehalten und erscheinen, in ihrer Summe betrachtet, als ein persönlicher Angriff auf den Beschwerdegegner.
Zu beurteilen ist, ob die Reaktion des Beschwerdegegners hierauf noch als sachlich erscheint. Zutreffend ist in dieser Hinsicht, dass er dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin Konsequenzen androhte, wobei nicht klar zum Ausdruck kommt, worin diese bestehen sollen. Ob sich der Hinweis auf "geeignete Ordnungsinstrumente" auf sitzungspolizeiliche Massnahmen im Sinne von Art. 63 StPO bezieht und ob bzw. inwiefern diese Bestimmung im vorliegenden Zusammenhang anwendbar wäre, erscheint dabei zweitrangig. Auch ist nicht allein ausschlaggebend, dass der Beschwerdegegner erwähnt, er habe keinen Strafantrag betreffend Ehrverletzungen eingereicht, obwohl dieser Hinweis durchaus als Warnung verstanden werden kann. Denn zu berücksichtigen ist auch, dass der Beschwerdegegner den Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin im Ergebnis lediglich abgemahnt und ersucht hat, sein Verhalten zu mässigen.
Die Reaktion des Beschwerdegegners ist insgesamt betrachtet nicht geeignet, den Anschein der Befangenheit zu begründen. Wer harte und auch überzogene, nur teilweise mit sachlichen Argumenten untermauerte Kritik äussert und einem Staatsanwalt pauschal die Fähigkeit und den Willen abspricht, ein Verfahren in einer recht- und gesetzmässigen Weise zu führen, hat keinen Anlass, jede Formulierung der Gegenseite auf die Goldwaage zu legen. Er muss sich vielmehr bis zu einem gewissen Grad gefallen lassen, dass auch diese nicht emotionsfrei reagiert und etwas Mühe bekundet, Gelassenheit zu bewahren (Urteil 1B_183/2009 vom 13. Oktober 2009 E. 3.4).
An dieser Einschätzung ändert auch der Hinweis der Beschwerdeführerin auf die von ihr am 13. März 2019 gegen den Beschwerdegegner erhobene Strafanzeige nichts. Dass dem Beschwerdegegner vorzuwerfen sei, diese Strafanzeige "vorsätzlich verschwiegen" zu haben, ist unverständlich, da es der Beschwerdeführerin offen stand, in ihrem Ausstandsgesuch darauf hinzuweisen, wovon sie jedoch absah. Im bundesgerichtlichen Verfahren handelt es sich bei diesem Vorbringen um ein unzulässiges Novum (Art. 99 Abs. 1 BGG). Dass das Schreiben vom 1. April 2019 aus heiterem Himmel gekommen sei und nur als Reaktion auf die Strafanzeige und Versuch, die Verteidigung einzuschüchtern, interpretiert werden kann, scheint zudem unzutreffend. Anlass für das Schreiben war der E-Mail-Verkehr zwischen der Beschuldigten und einer Drittperson, welcher gemäss den Angaben des Verfassers wenige Tage zuvor bei ihm eingetroffen war und dem er entnahm, dass die Ergänzungsfragen an den Zeugen B._ offenbar eine Strafanzeige wegen Konkursdelikten hatten vorbereiten helfen sollen. Dass er dieses Vorgehen als problematisch erachtete und in diesem Zusammenhang die bereits länger zurückliegenden Äusserungen in der Replik vom 23. November 2018 thematisierte, erscheint nicht als abwegig und begründet jedenfalls nicht den Anschein der Befangenheit.
4.
Die Beschwerde ist aus diesen Gründen abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sie hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1-2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zug, I. Beschwerdeabteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Oktober 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Dold