Sachverhalt:
A.
A._ ist Vater einer knapp zehnjährigen Tochter, C._, die bei der getrennt von ihm lebenden Kindesmutter in X._ wohnt. Im Zusammenhang mit der Ausübung seines Besuchsrechts kam es insbesondere wegen verspäteter Rückgaben der Tochter zu Konflikten mit dem Besuchsrechtsbeistand D._ und den mit der Überwachung der Rückgaben betrauten "Begleiteten Besuchstage (BBT) " in X._. Mit Entscheid vom 1. März 2017 wurde D._ aus seinem Amt als Berufsbeistand entlassen und B._ übernahm die Besuchsrechtsbeistandschaft für C._.
B.
Mit Eingabe vom 18. Dezember 2020 erhob A._ Strafanzeige gegen B._ wegen des Verdachts des Amtsmissbrauchs, der Amtsgeheimnisverletzung und der Verletzung der Fürsorge- und Erziehungspflicht. Er wirft ihr vor, sie habe mit ihrer Amtsführung ihn und die Kindsmutter ungleich behandelt, die Akten mangelhaft geführt bzw. Geschehnisse verzerrt dargestellt, ihm die Akteneinsicht verweigert und ihn verunmöglichte Besuchskontakte nicht nachholen lassen bzw. die Nachholwochenenden nicht festgelegt. Damit habe sie sich amtsmissbräuchlich verhalten und sich auch der Verletzung der Fürsorge- und Erziehungspflichten schuldig gemacht. Ferner habe sie sich gegenüber einem gerichtlich eingesetzten Gutachter in einer das Amtsgeheimnis verletzenden Weise geäussert. Das Untersuchungsamt St. Gallen überwies die Sache zum Entscheid über die Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung an die Anklagekammer des Kantons St. Gallen. Mit Entscheid vom 26. Mai 2021 erteilte diese die Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens wegen des Verdachts auf Verletzung des Amtsgeheimnisses. In Bezug auf die übrigen Tatvorwürfe verweigerte sie mangels hinreichenden Anfangsverdachts die Ermächtigung.
C.
Mit Eingabe vom 22. Juli 2021 führt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt, den Entscheid der Anklagekammer vom 26. Mai 2021 insoweit aufzuheben, als keine Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen B._ wegen Amtsmissbrauchs erteilt worden sei. Die Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens gegen B._ wegen Amtsmissbrauchs sei zu erteilen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Anklagekammer verzichtete auf Vernehmlassung. Die Beschwerdegegnerin verzichtet ebenfalls auf eine Vernehmlassung. Das Untersuchungsamt beantragt die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den angefochtenen Entscheid betreffend die Verweigerung der Ermächtigung zur Strafuntersuchung wegen Amtsmissbrauchs steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen (<ref-ruling> E. 1.3.1). Die Beschwerdegegnerin gehört nicht den obersten kantonalen Vollziehungs- und Gerichtsbehörden an, weshalb der Ausschlussgrund gemäss Art. 83 lit. e BGG nicht zur Anwendung gelangt (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.2).
1.2. Gemäss Art. 7 Abs. 2 lit. b StPO können die Kantone vorsehen, dass die Strafverfolgung der Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen von der Ermächtigung einer nicht richterlichen Behörde abhängt. Diese Bestimmung bietet den Kantonen die Möglichkeit, die Strafverfolgung sämtlicher Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden von einer Ermächtigung abhängig zu machen. Als Vollziehungsbehörden gelten alle Organisationen, die öffentliche Aufgaben wahrnehmen. Der Kanton St. Gallen hat von seiner gesetzlichen Kompetenz Gebrauch gemacht und ein Ermächtigungsverfahren eingeführt (Art. 17 Abs. 2 lit. b des Einführungsgesetzes des Kantons St. Gallen vom 3. August 2010 zur Schweizerischen Straf- und Jugendstrafprozessordnung [EG-StPO]; sGS 962.1; vgl. Urteil 1C_23/2021 vom 31. Mai 2021 E. 1.2). Die hier angezeigte Beschwerdegegnerin fällt als Gemeindeangestellte und Berufsbeiständin in den Anwendungsbereich des Ermächtigungserfordernisses (vgl. <ref-ruling> E. 2.7).
1.3. Mit dem angefochtenen Entscheid hat die Anklagekammer die Ermächtigung zur Strafverfolgung gegen die angezeigte Person wegen Amtsmissbrauchs verweigert. Damit fehlt es an einer Prozessvoraussetzung für die Durchführung des Strafverfahrens, womit das Verfahren abgeschlossen ist. Angefochten ist somit ein Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG).
1.4. Der der Beschwerdegegnerin vorgeworfene Straftatbestand des Amtsmissbrauchs gemäss Art. 312 StGB schützt sowohl den Staat als auch den betroffenen Bürger (Urteil 1C_23/2021 vom 31. Mai 2021 E. 1.4 mit Hinweis), weshalb der Beschwerdeführer insoweit ein schutzwürdiges Interesse an einer allfälligen Strafverfolgung hat. Da er zudem am kantonalen Verfahren in Bezug auf den Vorwurf des Amtsmissbrauchs erfolglos teilgenommen hat und seine Strafanzeige diesbezüglich nicht mehr weiter behandelt werden kann, ist er zur Erhebung der Beschwerde berechtigt (Art. 89 Abs. 1 BGG). Nachdem die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen ebenfalls erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Im Ermächtigungsverfahren dürfen, ausser bei obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden, nur strafrechtliche Gesichtspunkte berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 2.4). Das Ermächtigungserfordernis dient namentlich dem Zweck, Behördenmitglieder und Beamte vor mutwilliger Strafverfolgung zu schützen und damit das reibungslose Funktionieren staatlicher Organe sicherzustellen. Ein Strafverfahren soll daher erst durchgeführt werden können, wenn die Anklagekammer vorher ihre Zustimmung dazu erteilt hat. Gestützt darauf kann die Staatsanwaltschaft dann die Untersuchung eröffnen. Der förmliche Entscheid über die Eröffnung oder die Nichtanhandnahme obliegt kraft ausdrücklicher bundesrechtlicher Regelung (Art. 309 und 310 StPO) in jedem Fall der Staatsanwaltschaft (<ref-ruling> E. 2.3; Urteil 1C_23/2021 vom 31. Mai 2021 E. 3.1.1 mit Hinweisen).
2.2. Rechtsprechungsgemäss ist für die Erteilung der Ermächtigung ein Mindestmass an Hinweisen auf strafrechtlich relevantes Verhalten zu verlangen. Nicht jeder behördliche Fehler begründet die Pflicht zur Erteilung der Ermächtigung zur Strafverfolgung. Vielmehr muss eine Kompetenzüberschreitung oder eine gemessen an den Amtspflichten missbräuchliche Vorgehensweise oder ein sonstiges Verhalten, das strafrechtliche Konsequenzen zu zeitigen vermag, in minimaler Weise glaubhaft erscheinen und es müssen genügende Anhaltspunkte für eine strafbare Handlung vorliegen. Der Entscheid über die Ermächtigung zur Strafuntersuchung ist demjenigen über die Anhandnahme eines Strafverfahrens bzw. über die Einstellung eines eröffneten Strafverfahrens vorangestellt. Es ist daher zwangsläufig, dass die Ermächtigung bereits bei einer geringeren Wahrscheinlichkeit einer strafrechtlichen Verantwortlichkeit erteilt werden muss, als sie für die Einstellung eines schon eröffneten Strafverfahrens erforderlich ist. Im Zweifel ist nach dem Grundsatz "in dubio pro duriore" die Ermächtigung zu erteilen (vgl. Urteil 1C_23/2021 vom 31. Mai 2021 E. 3.1.1 mit Hinweisen; zum Grundsatz "in dubio pro duriore" vgl. auch <ref-ruling>).
3.
3.1. Die Anklagekammer erwog, die vom Beschwerdeführer angezeigten Vorwürfe betreffend den angeblichen Amtsmissbrauch würden darauf hinauslaufen, dass die Beschwerdegegnerin ihr obliegende Pflichten nicht wahrgenommen habe, sich mithin der Unterlassung schuldig gemacht habe. Ein Missbrauch von Amtsgewalt durch Unterlassung sei aber in der Regel nicht möglich. Ein solcher käme höchstens in Betracht, wenn die Beschwerdegegnerin als Garantin verpflichtet gewesen wäre, einen Grundrechtseingriff aufzuheben. Davon sei aber bei der angeblich unterlassenen Nachholung früher ausgefallener vergangener Besuche, der Nichtausweitung von Besuchsrechten, der Festlegung von Telefonzeiten sowie dem Zeitpunkt und Umfang von Akteneinsicht nicht auszugehen. Ein Anfangsverdacht auf Amtsmissbrauch sei daher nicht gegeben, weshalb keine Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung zu erteilen sei.
3.2. Der Beschwerdeführer bringt dagegen vor, der Amtsmissbrauch komme insbesondere in der Systematik und der Fülle aller der ihn benachteiligenden Handlungen zum Ausdruck, sei es nun ein aktives Tun oder ein passives Verhalten trotz eigentlicher Handlungspflicht. Entscheidend sei, dass die Beschwerdegegnerin die ihr kraft ihres Amtes verliehene Macht dazu missbraucht habe, ihn systematisch zu benachteiligen und ihm zustehende Rechte, nämlich der gerichtlich festgelegte Kontakt zu seiner Tochter, zu verwehren bzw. zu erschweren. Durch ihr pflichtwidriges Verhalten lägen Eingriffe in seine Grundrechte, namentlich in Art. 13 BV, Art. 8 EMRK und Art. 17 Uno-Pakt II vor. Diese Bestimmungen würden das Recht auf Zusammenleben oder auf persönliche Kontakte zwischen dem minderjährigen Kind und beiden Elternteilen, wenn die Beziehung zwischen den Eltern beendet sei, schützen. Es wäre Aufgabe der Beschwerdegegnerin gewesen, die gerichtlich festgelegte Besuchsregelung zum Durchbruch zu verhelfen und für deren effektive Umsetzung besorgt zu sein. Indem sie dies aber verhindert bzw. erschwert habe, bestünde ein Anfangsverdacht, dass sie sich des Amtsmissbrauchs schuldig gemacht habe.
3.3. Nach Art. 312 StGB wird Amtsmissbrauch mit Freiheitsstrafe bis zu fünf Jahren oder Geldstrafe bestraft. Die Amtsgewalt missbraucht, wer die Machtbefugnisse, die ihm sein Amt verleiht, unrechtmässig anwendet, das heisst kraft seines Amtes verfügt oder Zwang ausübt, wo dies nicht geschehen dürfte (<ref-ruling> E. 1a/aa mit Hinweisen). Gemäss der Literatur sind Fälle der vorsätzlichen Rechtsbeugung in Form der Entscheidung einer Rechtssache durch einen Amtsträger zum Nachteil einer Partei unter Missachtung des Rechts gegebenenfalls als Amtsmissbrauch zu qualifizieren (vgl. STEFAN HEIMGARTNER, in: Basler Kommentar Strafrecht II, 4. Aufl. 2019, N. 17 zu Art. 312 StGB mit Hinweisen). Das Bundesgericht hat sich dazu noch nicht (abschliessend) geäussert (vgl. Urteil 1C_57/2018 vom 19. November 2018 E. 3 mit Hinweis).
Gleiches gilt hinsichtlich der Frage, ob ein Missbrauch der Amtsgewalt allenfalls auch durch Unterlassung möglich ist. In der Lehre wird teilweise die Ansicht vertreten, dies sei in der Regel zu verneinen, da durch Passivität grundsätzlich kein Zwang ausgeübt werden könne (vgl. HEIMGARTNER, a.a.O., N. 18 zu Art. 312 StGB mit Hinweisen). Ein Amtsmissbrauch nach den Regeln des Unterlassungsdelikts gemäss Art. 11 StGB liege aber gegebenenfalls vor, wenn der Amtsträger es unterlasse, einen Grundrechtseingriff bzw. eine Zwangssituation aufzuheben, obschon er als Garant dazu verpflichtet wäre, oder wenn er den Amtsmissbrauch eines Untergebenen im Sinne einer Mit- oder Nebentäterschaft wissentlich und willentlich geschehen lasse, obschon er die Garantenpflicht hätte, einzugreifen (vgl. Urteil 1C_57/2018 vom 19. November 2018 E. 3 mit Hinweisen auf HEIMGARTNER, a.a.O., N. 18 f. zu Art. 312 StGB; FREY/OMLIN, Amtsmissbrauch - die Ohnmacht der Mächtigen, AJP 2005, S. 86 und 89 f.). In subjektiver Hinsicht ist (Eventual-) Vorsatz erforderlich. Daran fehlt es etwa, wenn der Amtsträger im Glauben handelt, er übe seine Machtbefugnisse pflichtgemäss aus. Vorausgesetzt ist zudem die Absicht, sich oder einem Dritten einen unrechtmässigen Vorteil zu verschaffen oder einem anderen einen Nachteil zuzufügen, wobei Eventualabsicht genügt (vgl. Urteil 1C_109/2021 vom 8. Juni 2021 E. 4.1 mit Hinweis).
3.4. Es ist fraglich, ob der Beschwerdeführer mit seinen Vorbringen in seiner Beschwerde an das Bundesgericht in rechtsgenüglicher Weise aufzeigt, worin der von ihm geltend gemachte Amtsmissbrauch der Beschwerdegegnerin exakt liegen soll. Vor Bundesgericht verweist er nämlich einzig auf seine Strafanzeige vom 18. Dezember 2020 und die darin erwähnten angeblichen Pflichtverletzungen. Dieser Verweis ist grundsätzlich unzulässig, da die Begründung der Beschwerde in dieser selber enthalten sein muss (<ref-ruling> E. 1.2.3). Damit genügt er seiner Begründungspflicht nicht (vgl. Art. 42 Abs. 1 f. BGG). Den Einwänden des Beschwerdeführers gegen die vorinstanzliche Rechtsanwendung kann indes ohnehin nicht gefolgt werden. Es trifft zwar zu, dass Amtsmissbrauch unter Umständen auch durch Unterlassung begangen werden kann (vgl. E. 3.3 hiervor). Dem widerspricht die Anklagekammer allerdings nicht. Sie hielt einzig fest, bei der angeblich unterlassenen Nachholung früher ausgefallener vergangener Besuche, der Nichtausweitung von Besuchsrechten, der Festlegung von Telefonzeiten sowie dem Zeitpunkt und Umfang der Akteneinsicht sei nicht von einem Grundrechtseingriff auszugehen, welchen die Beschwerdegegnerin als Garantin hätte aufheben müssen. Darauf kann verwiesen werden (Art. 109 Abs. 3 BGG; vgl. E. 3.2 des angefochtenen Entscheids). Daran ändert auch die Behauptung des Beschwerdeführers nichts, es lägen Grundrechts- bzw. Konventionsverletzungen vor, zumal er auch diesbezüglich nicht substanziiert aufzeigt, worin diese liegen sollen. Dazu wäre er aber verpflichtet (Art. 106 Abs. 2 BGG). Der Beschwerdeführer vermag mithin mit seinen Vorbringen keine genügenden Anhaltspunkte für ein im Sinne von Art. 312 StGB strafrechtlich relevantes Verhalten der Beschwerdegegnerin darzutun. Dies gilt umso mehr, als ohnehin nicht jeder behördliche Fehler bereits die Pflicht zur Erteilung der Ermächtigung zur Strafverfolgung begründen würde (vgl. E. 2.2 hiervor). Die Anklagekammer hat unter diesen Umständen kein Bundesrecht verletzt, wenn sie die Ermächtigung zur Verfolgung der Beschwerdegegnerin wegen Amtsmissbrauchs nicht erteilte.
4.
Demnach ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Er hat die anwaltlich vertretene private Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die private Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Untersuchungsamt St. Gallen, und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Februar 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier