Faits :
A.
A._, né en 1966, est inscrit en résidence principale à Genève, à l'adresse où réside sa mère, qui vit dans un appartement de 4,5 pièces pour lequel elle s'acquitte d'un loyer mensuel de 1'850 fr. A._ n'est pas titulaire du bail et ne participe pas au paiement du loyer. L'intéressé est le père de trois enfants nés en 1995, 2007 et 2008, qui résident à Genève où ils sont scolarisés. Il est également le père d'un quatrième enfant, C._, né en 2013 de sa relation avec D._.
Depuis le 1er juillet 2018, A._ est inscrit en résidence secondaire dans la commune de E._ (VD), où il est propriétaire d'une villa de 7,5 pièces dans laquelle habitent D._ et C._. Ceux-ci sont inscrits en résidence principale à E._ depuis le 1er août 2018.
Le 16 juillet 2018, A._ a rempli un questionnaire relatif à la détermination du domicile fiscal. Selon ce questionnaire, l'intéressé, qui réside à E._ pendant la semaine, se rend une fois par semaine à Genève, où il passe la plupart de ses week-ends.
B.
Par décision du 27 septembre 2019, l'Administration cantonale des impôts du canton de Vaud (ci-après: l'Administration cantonale) a arrêté le domicile fiscal de A._ à E._ dès le 1er janvier 2019. Le 29 octobre 2019, le contribuable a recouru contre cette décision auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal).
Par décision incidente du 3 janvier 2020, le juge instructeur du Tribunal cantonal (ci-après: le juge instructeur) a octroyé à A._ l'assistance judiciaire partielle, l'exonérant du paiement de l'avance de frais et des frais judiciaires et l'astreignant à s'acquitter d'une franchise mensuelle de 50 fr. à titre de participation aux frais de procès dès et y compris le 28 février 2020 (<ref-law>). Le juge instructeur a refusé d'attribuer à A._ un avocat d'office, considérant que, s'agissant d'une procédure simple, une telle mesure ne se justifiait pas (<ref-law>). Le 2 juin 2020, le Tribunal cantonal a rejeté le recours de l'intéressé, confirmé la décision de l'Administration cantonale du 27 septembre 2019 et arrêté à 500 fr. les frais judiciaires. Ceux-ci ont provisoirement été laissés à la charge de l'Etat, le contribuable ayant été mis au bénéfice de l'assistance judiciaire partielle.
C.
A l'encontre de l'arrêt du 2 juin 2020, A._ dépose un "recours" auprès du Tribunal fédéral. Dans la mesure où ses conclusions sont compréhensibles, il requiert, à titre préalable, une "restitution de délai" et l'octroi de l'effet suspensif à son recours. Principalement, l'intéressé conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt entrepris et à ce que l'assistance judiciaire lui soit octroyée "dans la procédure d'impôt". Subsidiairement, le recourant demande le renvoi de la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
L'Administration cantonale dépose des observations et conclut à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. Le Tribunal cantonal renonce à se déterminer et se réfère aux considérants de son arrêt.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 116).
1.1. Le recours est formellement dirigé contre l'arrêt (final) rendu par le Tribunal cantonal le 2 juin 2020, dans lequel cette autorité a confirmé la décision de l'Administration cantonale du 27 septembre 2019 arrêtant le domicile fiscal du contribuable à E._ dès le 1er janvier 2019. Cependant, à la lecture du mémoire de recours, on constate que celui-ci ne porte que sur la question de l'assistance judiciaire, laquelle a été tranchée par le juge instructeur dans sa décision incidente du 3 janvier 2020. Du moment que le recourant ne formule aucun grief à l'encontre de la problématique à la base de l'arrêt du 2 juin 2020 (domicile fiscal), force est de constater que le présent recours est en réalité dirigé, à titre principal, contre la décision incidente du 3 janvier 2020 (pièce 19 du dossier cantonal concernant l'assistance judiciaire). Il sied donc d'examiner si les conditions pour pouvoir contester cette décision sont remplies en l'espèce.
1.1.1. Selon la jurisprudence, le refus d'accorder l'assistance judiciaire est une décision incidente qui peut, si elle est notifiée séparément comme en l'espèce, faire l'objet d'un recours immédiat auprès du Tribunal fédéral en vertu de l'<ref-law>. En effet, une telle décision est de nature à causer un préjudice irréparable au sens de cette disposition (cf. arrêts 4D_22/2020 du 29 juin 2020 consid. 2 et 2D_73/2015 du 30 juin 2016 consid. 1.1). Cette jurisprudence s'applique aussi lorsque l'autorité compétente, tout en accordant l'assistance judiciaire partielle au requérant (par exemple en l'exonérant du paiement des frais judiciaires), refuse de lui attribuer un avocat d'office, car le fait d'être privé de l'assistance d'un mandataire professionnel pourrait, selon les circonstances, causer un préjudice irréparable à l'intéressé.
1.1.2. En l'occurrence, dans sa décision du 3 janvier 2020, le juge instructeur a octroyé au recourant l'assistance judiciaire partielle, refusant en même temps de lui attribuer un mandataire d'office. Conformément à la jurisprudence rappelée ci-dessus, cette décision pouvait être contestée immédiatement par un recours auprès du Tribunal fédéral. Tel n'a toutefois pas été le cas. Or, selon l'<ref-law>, "si le recours n'est pas recevable en vertu des al. 1 et 2 ou qu'il n'a pas été utilisé, les décisions préjudicielles et incidentes peuvent être attaquées par un recours contre la décision finale dans la mesure où elles influent sur le contenu de celle-ci". La décision incidente du 3 janvier 2020 n'ayant pas été attaquée immédiatement, elle ne peut être contestée par l'intéressé dans le cadre du présent recours contre l'arrêt (final) du 2 juin 2020 que s'il apparaît que la désignation d'un avocat d'office aurait été en mesure d'influencer ledit arrêt final. Pour répondre à cette question, il faudrait en principe examiner le litige (fiscal) au fond: en effet, s'il devait s'avérer que le recours du contribuable auprès du Tribunal cantonal était de toute manière voué à l'échec, l'assistance d'un mandataire professionnel n'y aurait rien changé. Cette question souffre toutefois de demeurer indécise, car le recours doit dans tous les cas être rejeté pour les raisons exposées ci-dessous (consid. 4-9).
1.2. L'intéressé a déclaré former un "recours" auprès du Tribunal fédéral. Cette désignation imprécise ne saurait lui nuire à condition que le recours remplisse les exigences légales de la voie de droit qui lui est ouverte (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 370).
1.3. La décision incidente du 3 janvier 2020 a été rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). Le litige principal (qui détermine la voie de recours contre une telle décision, cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p. 264; arrêt 2D_73/2015 du 30 juin 2016 consid. 1.2) concerne une cause de droit public (<ref-law>) ne tombant pas sous le coup de l'une des exceptions prévues à l'<ref-law>. La voie du recours en matière de droit public est donc en principe ouverte.
1.4. Le recourant, qui est le destinataire de la décision entreprise, a un intérêt digne de protection à en demander l'annulation, dès lors que ladite décision refuse de lui attribuer un avocat d'office pour l'assister dans le contentieux fiscal qui l'oppose à l'Administration cantonale. L'intéressé a donc la qualité pour recourir dans la présente procédure au sens de l'<ref-law>.
1.5. Pour le surplus, le recours a été interjeté en temps utile (<ref-law>). Il est donc recevable, sous réserve de ce qui suit.
1.6. Selon l'<ref-law>, les mémoires doivent notamment indiquer les conclusions, les motifs et les moyens de preuve. Aux termes de l'<ref-law>, les motifs doivent exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit. Pour satisfaire cette exigence de motivation, le recourant doit discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 60). En l'occurrence, le recours, qui est parsemé de phrases incomplètes, confuses ou tout simplement incompréhensibles, ne respecte que très partiellement cette obligation. Bien qu'il s'agisse d'un cas limite, il peut néanmoins être admis en l'espèce que le recours a été déposé dans les formes prescrites (<ref-law>), dans la mesure où il ne faut pas se montrer trop formaliste quant aux exigences liées à la motivation lorsque la partie recourante agit en personne (cf. arrêt 2C_841/2017 du 6 novembre 2018 consid. 1.4).
Il sera dès lors entré en matière, mais partiellement, soit uniquement sur les (rares) griefs formulés de manière intelligible.
2.
Sous réserve des cas non pertinents visés à l'art. 95 let. c à e LTF, le recours en matière de droit public ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal en tant que tel. En revanche, il est possible de faire valoir que l'application du droit cantonal consacre une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à un autre droit fondamental (cf. <ref-ruling> consid. 6.1 p. 324; arrêt 2C_458/2020 du 6 octobre 2020 consid. 2.1). Le Tribunal fédéral n'examine toutefois le moyen tiré de la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé de manière précise par le recourant (<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 41).
3.
A titre préliminaire, le recourant demande au Tribunal fédéral de lui accorder une restitution du délai pour déposer les pièces relatives à sa requête d'assistance judiciaire pour la procédure fédérale (recours, p. 8). Cependant, comme on le verra ci-dessous (consid. 9), la requête en question doit de toute manière être rejetée, le recours paraissant d'emblée dépourvu de chances de succès. Une restitution du délai pour produire les pièces susmentionnées ne serait donc d'aucune utilité pour le recourant, de sorte que sa demande ne peut qu'être écartée.
4.
Le recourant fait valoir à plusieurs reprises une violation de son droit d'être entendu. Ses critiques à ce sujet sont toutefois formulées de manière incompréhensible et ne peuvent pas être traitées (cf. <ref-law>; supra consid. 2).
5.
S'agissant du fond, soit de l'assistance judiciaire pour la procédure devant le Tribunal cantonal, le recourant ne remet pas en question la franchise mensuelle de 50 fr. que le juge instructeur l'a astreint à payer dès le 28 février 2020 (supra let. B). Cette question ne doit donc pas être examinée. Le seul point litigieux est ainsi le refus du juge instructeur d'attribuer à l'intéressé un avocat d'office en raison du fait que, s'agissant d'une procédure simple, une telle mesure ne se justifiait pas.
5.1. Le recourant se prévaut d'une violation de l'art. 29 al. 3 Cst. A son avis, le litige "pose des questions qui ne sont pas dénuées de complexité" (recours, p. 21 s.), de sorte que la présence d'un avocat serait nécessaire.
5.2. En matière de droit public, le droit à l'assistance judiciaire est réglé en premier lieu par le droit de procédure cantonal (arrêt 8C_376/2014 du 14 août 2014 consid. 2). Indépendamment de cette réglementation, le droit à l'assistance judiciaire repose sur l'art. 29 al. 3 Cst., lequel confère au justiciable une garantie minimale (cf. arrêts 2C_188/2020 du 15 avril 2020 consid 6.2 et 2C_1012/2018 du 29 janvier 2019 consid. 3.1). Etant donné qu'en l'occurrence le recourant ne prétend pas qu'une règle de droit cantonal lui conférerait une protection plus étendue que celle de l'art. 29 al. 3 Cst., le grief tiré de la violation du droit à l'assistance judiciaire doit être traité exclusivement à la lumière de cette disposition constitutionnelle (arrêt 8C_376/2014 du 14 août 2014 consid. 2).
5.3. Aux termes de l'art. 29 al. 3 Cst., toute personne qui ne dispose pas de ressources suffisantes a droit, à moins que sa cause paraisse dépourvue de toute chance de succès, à l'assistance judiciaire gratuite. Elle a en outre droit à l'assistance gratuite d'un défenseur, dans la mesure où la sauvegarde de ses droits le requiert. Selon la jurisprudence, il se justifie en principe de désigner un avocat d'office à la personne indigente lorsque la situation juridique de celle-ci est susceptible d'être affectée de manière particulièrement grave (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 301; arrêts 1C_464/2019 du 5 décembre 2019 consid. 7.2 et 1C_215/2018 du 22 mai 2018 consid. 5). Lorsque, sans être d'une portée aussi capitale, la procédure en question met sérieusement en cause les intérêts du requérant, il faut en sus que l'affaire présente des difficultés en fait et en droit que celui-ci ne peut surmonter seul (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 301; arrêts 1C_464/2019 du 5 décembre 2019 consid. 7.2; 1C_215/2018 du 22 mai 2018 consid. 5; 2D_73/2015 du 30 juin 2016 consid. 6.1). Le point décisif est toujours de savoir si la désignation d'un avocat d'office est objectivement nécessaire dans le cas d'espèce. A cet égard, il faut tenir compte des circonstances concrètes de l'affaire, de la complexité des questions de fait et de droit, des particularités que présentent les règles de procédure applicables, des connaissances juridiques du requérant, du fait que la partie adverse est assistée d'un avocat et de la portée qu'a pour le requérant la décision à prendre, avec une certaine réserve lorsque sont en cause principalement ses intérêts financiers (cf. arrêts 1C_464/2019 du 5 décembre 2019 consid. 7.2; 1C_215/2018 du 22 mai 2018 consid. 5; 2D_73/2015 du 30 juin 2016 consid. 6.1).
5.4. En l'espèce, le juge instructeur a considéré qu'il s'agissait d'une procédure simple, notamment en ce qui concernait l'administration des preuves, et que l'assistance d'un avocat d'office n'était donc pas nécessaire.
5.5. Le recourant se prévaut de la complexité de la cause pour justifier la désignation d'un avocat d'office. Il ne fournit toutefois aucune explication à ce propos et ne mentionne du reste jamais la problématique fiscale à la base de la procédure (détermination du domicile fiscal). Quoi qu'il en soit, ce critère n'apparaît pas rempli en l'espèce. En effet, la cause ne présentait pas de difficultés particulières sur le plan tant factuel que juridique justifiant l'assistance d'un mandataire professionnel. La détermination du domicile fiscal du recourant reposait essentiellement sur des éléments de fait à l'établissement desquels il était parfaitement à même de participer seul, tels que son lieu de résidence pendant la semaine et les week-ends, la typologie et les dimensions des logements où il séjournait, le lieu de résidence des membres de sa famille, ses liens personnels avec ceux-ci, ses activités associatives, etc. Ainsi, le 16 juillet 2018, le recourant, qui maîtrise la langue de la procédure, a été en mesure de remplir le questionnaire relatif à la détermination du domicile fiscal sans l'aide d'un avocat. En outre, les motifs à l'appui de la décision de l'Administration cantonale du 27 septembre 2019 (pièce 4 du dossier cantonal; cf. <ref-law>) étaient exposés de manière suffisamment claire pour que le contribuable puisse comprendre cette décision et la contester utilement sans être assisté par un conseil. Le recourant a du reste pu, toujours sans l'assistance d'un mandataire professionnel, déposer auprès du Tribunal cantonal un recours recevable et complet, fondé sur des éléments factuels et juridiques pertinents (liens de l'intéressé avec le canton de Genève, relations avec ses amis et sa famille, etc. [cf. arrêt du 2 juin 2020, p. 2]). Finalement, la détermination du domicile fiscal d'un contribuable concerne uniquement les intérêts financiers de celui-ci, ce qui impose une certaine réserve dans l'examen de la nécessité d'un avocat d'office (cf. supra consid. 5.3 in fine).
Dans ces circonstances, en considérant que l'assistance d'un avocat n'était objectivement pas nécessaire, le juge instructeur n'a pas violé l'art. 29 al. 3 Cst.
6.
Les griefs soulevés par le recourant en lien avec l'<ref-law>, qui constitue dans le présent cas du droit cantonal supplétif (arrêt 2C_531/2017 du 21 juin 2017 consid. 4.3), ne sont pas motivés conformément aux exigences accrues de l'<ref-law> et n'ont pas à être traités (cf. supra consid. 2).
7.
Le recourant mentionne également les art. 132, 133 et 385 CPP (recours, p. 2 et 20), qui ne sont d'aucune pertinence en l'espèce, le présent litige n'ayant pas un caractère pénal.
8.
Au surplus, les nombreux droits fondamentaux évoqués par le contribuable de manière confuse et décousue (art. 9, 32 et 36 Cst., art. 6 CEDH, art. 14 Pacte ONU II, "inégalité de traitement", "principe de la légalité et de la sécurité juridique"), ne font pas l'objet d'une motivation conforme aux exigences posées par l'<ref-law> (cf. supra consid. 2). Les griefs y relatifs n'ont donc pas à être examinés plus avant.
9.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité, ce qui rend sans objet la requête d'effet suspensif formulée par l'intéressé (recours, p. 6).
Le recourant a sollicité sa mise au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure devant le Tribunal fédéral. La cause paraissant d'emblée dépourvue de chances de succès, cette requête doit être rejetée (<ref-law>). Les frais judiciaires seront mis à la charge du recourant, mais ils seront fixés en tenant compte de sa situation financière obérée (art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, à l'Administration cantonale des impôts du canton de Vaud et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lausanne, le 19 novembre 2020
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Ermotti