Faits :
A.
Le 12 mars 2018, B._ SA (ci-après : la demanderesse) a introduit à l'encontre de A._ (ci-après : la défenderesse, la recourante) une action en restitution portant sur deux montres faisant l'objet d'un séquestre auprès de l'office des poursuites de Porrentruy. Dans sa réponse, la défenderesse a notamment indiqué ne pas contester ne pas être la propriétaire des montres en question mais estimer avoir une prétention en dommages et intérêts à l'encontre de la demanderesse et, dès lors, être en droit de conserver les objets litigieux à titre de garantie. Invitée à préciser ses conclusions et indiquer si sa réponse devait être comprise comme une demande reconventionnelle, la défenderesse a sollicité l'assistance judiciaire. Elle a en outre ultérieurement déposé une demande reconventionnelle pour le cas où sa requête d'assistance judiciaire serait rejetée, par laquelle elle concluait notamment au paiement de 944'500 fr. à titre de dommages et intérêts pour violation du contrat de collaboration.
B.
Par décision du 28 novembre 2018, la Juge civile du Tribunal de première instance a rejeté la requête d'assistance judiciaire de la défenderesse. Le Tribunal cantonal de la République et canton du Jura a confirmé cette décision par arrêt du 29 avril 2019 en rejetant le recours interjeté par la défenderesse contre cette décision.
C.
Par acte du 7 juin 2019, la recourante exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Toujours sans l'assistance d'un mandataire professionnel, elle y formule de multiples conclusions (cf. infra, consid. 1.2).
La demanderesse et l'autorité précédente concluent au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité.
La recourante a déposé une réplique de manière spontanée.

Considérant en droit :
1.
1.1. La décision de refus de l'assistance judiciaire est une décision incidente susceptible de causer un préjudice irréparable à la recourante au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4; <ref-ruling> consid. 1.1). Dès lors que la cause principale pour laquelle l'assistance judiciaire est sollicitée est une contestation civile dont la valeur litigieuse dépasse 30'000 fr., le recours en matière civile est recevable en vertu des art. 72 al. 1 et 74 al. 1 let. b LTF. Interjeté en temps utile contre la décision prise sur recours par le Tribunal cantonal jurassien, le recours est également recevable au regard des art. 100 al. 1 et 75 LTF.
1.2. Si le recours est en principe recevable, la majorité des conclusions de la recourante ne le sont en revanche pas.
C'est le cas tout d'abord des conclusions portant sur des points ne faisant pas l'objet de la présente procédure initiée par la requête d'assistance judiciaire de la recourante. Ces conclusions nouvelles sont irrecevables (<ref-law>). Ainsi, la conclusion tendant à ce qu'il soit constaté que le séquestre des montres faisant l'objet de la demande n'est pas " valable " et à " annuler les procédures qui en ont découlé " (chiffre 1) n'est pas admissible. Il en va de même des conclusions tendant à ce qu'il soit constaté que la recourante a été induite en erreur par la juge de première instance (chiffre 2), que la recourante a agi de bonne foi dans la présente procédure (deuxième chiffre 3), que les preuves ont été mal interprétées et que les juges cantonaux ont commis un abus de pouvoir et ont constaté de manière inexacte et incomplète les données pertinentes (chiffre 4). Ne sont pas recevables non plus les conclusions de la recourante tendant à ce que la restitution des montres ne soit pas ordonnée (chiffre 5) et à ce que " l'application d'un for juridique identique pour toutes les procédures " soit constatée (chiffre 6).
2.
S'agissant des autres conclusions (à l'exception des conclusions 8 et 9, cf. infra consid. 3), on comprend qu'elles visent à ce que l'arrêt entrepris soit annulé et la requête d'assistance judiciaire admise.
2.1. Après avoir rappelé les conditions d'octroi de l'assistance judiciaire selon l'<ref-law>, l'autorité précédente a examiné les chances de succès de la recourante dans la procédure au fond. Elle s'est ainsi penchée sur l'action reconventionnelle formée par la recourante, cette dernière fondant son droit à ne pas restituer les montres litigieuses sur des prétentions en dommages et intérêts à l'encontre de la demanderesse qu'elle fait valoir de manière reconventionnelle. Le Tribunal cantonal a constaté que la recourante avait requis l'assistance judiciaire après le dépôt de sa réponse afin de bénéficier des services d'un avocat pour éventuellement déposer une demande reconventionnelle. Estimant qu'une demande reconventionnelle doit impérativement être déposée et motivée avec la réponse et qu'un dépôt ultérieur est exclu, il a considéré que la demande de la recourante avait été déposée de manière tardive. Faute de chances de succès de la recourante, il a estimé que la requête d'assistance judiciaire devait être rejetée. Pour le surplus, il a précisé qu'il semblait que la demande reconventionnelle n'avait pas été introduite au for conventionnel, sans juger toutefois nécessaire de trancher cette question.
2.2. En vertu de l'<ref-law>, le mémoire de recours doit indiquer, notamment, les conclusions et les motifs (al. 1); ces derniers doivent exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit (al. 2). Le présent recours ne répond, dans une large mesure, pas à ces exigences. En effet, une grande partie des développements de la recourante ne se rapportent pas à sa requête d'assistance judiciaire mais à d'autres éléments du contentieux opposant les parties. Ces éléments, sur lesquels l'autorité précédente ne s'est pas appuyée dans le cadre de son examen des chances de succès de la recourante au fond, sont dénués de pertinence pour la présente procédure ayant uniquement pour objet le refus de l'octroi de l'assistance judiciaire à la recourante par les autorités cantonales.
Au demeurant, la recourante se limite pour l'essentiel à invoquer sa bonne foi et son manque de connaissances juridiques. Elle fait valoir que la notion même de demande reconventionnelle lui étant inconnue, elle ne pouvait qu'ignorer qu'une telle demande devait impérativement être déposée en même temps que sa réponse. Elle estime à cet égard que le courrier de la Juge civile du 21 juin 2018 devait être compris comme une invitation à déposer une demande reconventionnelle et non comme une simple invitation à préciser sa réponse en indiquant notamment si celle-ci devait être comprise en ce sens qu'elle englobait une demande reconventionnelle. La recourante méconnaît que les constatations de l'autorité précédente quant au déroulement de la procédure à son niveau et en première instance lient le Tribunal fédéral (<ref-ruling> consid. 1.3.1). L'autorité précédente a retenu que la Juge civile de première instance a invité la recourante à préciser ses conclusions et à indiquer si sa réponse devait être comprise comme une demande reconventionnelle. Elle a également retenu qu'à la suite de cette interpellation, la recourante s'est adressée par deux fois au Tribunal avant de déposer une demande reconventionnelle le 16 août 2018. Sur la base de ces constatations, dont la recourante ne démontre pas en quoi elles seraient arbitraires, il n'est pas établi en quoi l'autorité précédente aurait violé le droit en rejetant la requête d'assistance judiciaire faute de chances de succès de la recourante dans la procédure au fond. De plus, on notera que la simple lecture du premier alinéa de l'<ref-law>, selon lequel une demande reconventionnelle peut être déposée par le défendeur " dans sa réponse " pour autant que la prétention qu'il invoque soit soumise à la même procédure que la demande principale, aurait permis à la recourante de connaître le moment auquel une demande reconventionnelle doit être introduite selon les règles régissant la procédure civile. Enfin, s i la recourante soutient à juste titre que mener à bien une procédure judiciaire comme celle dont il est question en l'espèce peut nécessiter des connaissances juridiques approfondies, elle n'explique en rien pourquoi ne pas avoir sollicité l'assistance judiciaire à un stade antérieur de la procédure. Selon les constatations de l'autorité précédente, c'est en effet seulement environ un mois après que la Juge civile l'a invité à préciser ses conclusions que la recourante a requis l'assistance judiciaire.
2.3. Il convient enfin de préciser que, contrairement à ce que soutient la recourante, les autorités cantonales ne l'ont pas privée de " sa seule chance de pouvoir obtenir des dommages et intérêts [...] ". Si le Tribunal de première instance venait à confirmer les conclusions de l'examen prima facie auquel il s'est livré dans le cadre de sa décision portant sur la requête d'assistance judiciaire en refusant d'entrer en matière sur la demande reconventionnelle, sa décision n'emporterait pas autorité de la chose jugée sur ce point. La recourante resterait alors libre de déposer une action à l'encontre de la demanderesse dans laquelle elle pourrait faire valoir les prétentions qu'elle estime avoir à l'encontre de cette dernière. Libre à elle de joindre à cette demande une requête d'assistance judiciaire comprenant notamment l'exonération d'avances et de sûretés (<ref-law>). La recourante concédant dans son recours être propriétaire de biens immobiliers, on se contentera de préciser à cet égard que selon la jurisprudence, il faut, au moment de déterminer l'indigence du requérant, également tenir compte de sa fortune, en particulier des immeubles dont il est propriétaire. Ainsi, il peut être requis de sa part qu'il entame sa fortune immobilière pour soutenir le procès, en mettant l'immeuble en location, en sollicitant un prêt garanti par celui-ci, voire en l'aliénant (<ref-ruling> consid. 5).
3.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. La recourante sera condamnée à payer les frais de la procédure fédérale (<ref-law>) et à verser à la demanderesse, invitée à se déterminer sur le recours, une indemnité. On notera à ce titre que les conclusions selon les chiffres 8 et 9 du recours étaient d'emblée vouées à l'échec en ce qu'elles visaient à ce que des dépens soient alloués à la recourante et mis à la charge de la demanderesse. La recourante n'étant pas assistée d'un avocat, elle ne pouvait prétendre à ce qu'une indemnité lui soit versée à titre de dépens (<ref-ruling> consid. 4).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à la demanderesse une indemnité de 1'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué à la recourante, au Tribunal cantonal du canton du Jura, Cour civile, et à B._ SA.
Lausanne, le 4 septembre 2019
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
Le Greffier : Curchod