Faits :
A.
A._ a travaillé en tant que cuisinier. Il a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité datée du 18 avril 2011, dans laquelle il indiquait être en arrêt de travail depuis le 12 juillet 2010, en raison d'une arthrite septique avec absence de cartilage (ou arthrose aigüe) au niveau du genou gauche.
Entre autres mesures d'instruction, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a recueilli des renseignements auprès des médecins traitants de l'assuré, dont le docteur B._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur. Il a soumis les pièces médicales au docteur C._, médecin au Service médical régional de l'AI (SMR). Celui-ci a fixé le début de l'incapacité durable de travail au 15 septembre 2010; il a conclu à une capacité de travail nulle dans l'activité habituelle, mais entière dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles à compter du 17 août 2011 (avis du SMR des 11 juillet et 30 octobre 2012). Par la suite, l'administration a octroyé à A._ des mesures d'ordre professionnel sous forme principalement d'un reclassement professionnel pour une formation d'assistant RH du 6 décembre 2012 au 2 septembre 2013; elle a versé des indemnités journalières pour la période du 16 octobre 2012 au 2 novembre 2013 (communications des 2 novembre 2012 et 18 septembre 2013, et décisions d'indemnités journalières des 27 novembre 2012 et 20 septembre 2013).
Par décision du 8 décembre 2014, l'administration a nié le droit de A._ à une rente d'invalidité, au motif d'un taux d'invalidité de 35 %.
B.
Statuant le 25 janvier 2018 sur le recours formé par A._, qui concluait à l'octroi d'une rente entière d'invalidité limitée dans le temps du 1er octobre 2011 au 15 octobre 2012, avec intérêt moratoire de 5 % à compter du 1er octobre 2013, puis à une rente "partielle" dès le 1er septembre 2013, le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, l'a partiellement admis. Il a réformé la décision du 8 décembre 2014 en ce sens que A._ a droit à un quart de rente du 1er novembre 2013 au 7 mai 2014 et a renvoyé le dossier de la cause à l'administration pour instruction complémentaire dans le sens des considérants, puis nouvelle décision, quant au droit de l'intéressé à une rente d'invalidité dès le 8 mai 2014.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation partielle en tant qu'il n'a pas reconnu son droit à une rente d'invalidité avant le 1er novembre 2013. Il conclut principalement à l'octroi d'une rente entière entre le 1er octobre 2011 et le 15 octobre 2012, en sus du quart de rente accordé par la juridiction cantonale pour la période du 1er novembre 2013 au 5 juillet 2014 (recte: 7 mai 2014; cf. recours p. 5). A titre subsidiaire, il requiert le renvoi de la cause au Tribunal cantonal, respectivement à l'administration, pour instruction complémentaire.
L'office AI et l'Office fédéral des assurances sociales ont renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2 p. 59; <ref-ruling> consid. 1 p. 476).
1.2. La décision par laquelle l'autorité de première instance statue matériellement sur le droit à une rente de l'assurance-invalidité pour une période déterminée et renvoie la cause à l'administration pour nouvelle décision en ce qui concerne la période postérieure constitue, pour la première partie de la décision, une décision partielle susceptible d'être attaquée séparément et, pour la seconde partie, une décision incidente qui ne peut être attaquée qu'aux conditions de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.4.6 p. 147; arrêt 9C_929/2015 du 10 août 2016 consid. 2.1).
1.3. En l'espèce, la juridiction cantonale a statué matériellement sur le droit du recourant à un quart de rente de l'assurance-invalidité du 1er novembre 2013 au 7 mai 2014 (ch. II du dispositif du jugement entrepris) et renvoyé la cause à l'administration pour instruction complémentaire en ce qui concerne la période postérieure à cette date (ch. III du dispositif). En ce qu'il porte sur l'octroi d'une rente entière d'invalidité entre le 1er octobre 2011 et le 15 octobre 2012, le recours de l'assuré est dirigé contre une décision partielle susceptible d'être attaquée séparément. Interjeté dans le délai légal de trente jours dès la notification de celle-ci, il est dès lors recevable.
2.
2.1. Le recours en matière de droit public (<ref-law>) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il statue sur la base des faits retenus par la juridiction précédente (<ref-law>), qu'il peut rectifier ou compléter d'office si des lacunes et erreurs manifestes apparaissent aussitôt (<ref-law>). Il n'examine en principe que les griefs allégués et motivés (<ref-law>) surtout s'ils portent sur la violation des droits fondamentaux (<ref-law>). Il ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Le recourant n'est habilité à critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62 et les références).
2.2. Les constatations de l'autorité cantonale de recours sur l'atteinte à la santé, la capacité de travail de la personne assurée et l'exigibilité - pour autant qu'elles ne soient pas fondées sur l'expérience générale de la vie - relèvent d'une question de fait et ne peuvent donc être contrôlées par le Tribunal fédéral que sous un angle restreint (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 398). On rappellera, en particulier, qu'il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une solution autre que celle de l'autorité cantonale semble concevable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 72; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 205). Pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que sa motivation soit insoutenable; il faut encore que cette décision soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 3.4 p. 53).
3.
En instance fédérale, est seul litigieux le droit du recourant à une rente d'invalidité pour la période du 1er octobre 2011 au 15 octobre 2012. Compte tenu des motifs du recours, le litige porte plus particulièrement sur le point de savoir si l'assuré a présenté une incapacité de travail d'au moins 40 % en moyenne sans interruption notable durant l'année qui a précédé la naissance du droit éventuel à une rente (<ref-law>), soit entre le 1er octobre 2010 et le 30 septembre 2011 (<ref-law>).
Le jugement attaqué expose de manière complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs à la notion d'invalidité (art. 7 et 8 al. 1 LPGA en relation avec l'<ref-law>) et à son évaluation (<ref-law> et <ref-law>), ainsi qu'à la valeur probante des rapports médicaux (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 232; <ref-ruling> consid. 3 p. 352). Il suffit d'y renvoyer.
4.
4.1. En ce qui concerne la période seule litigieuse en instance fédérale, la juridiction cantonale a constaté que le recourant avait présenté une incapacité de travail entière dans son activité habituelle de cuisinier à partir du 15 septembre 2010; pour ce faire, elle s'est fondée essentiellement sur les conclusions du docteur B._, reprises par le docteur C._ du SMR (avis des 11 juillet et 30 octobre 2012). Dans la mesure où le médecin traitant faisait état d'une capacité de travail entière dans une activité adaptée aux limitations somatiques dès le 17 août 2011, elle a retenu qu'au 1er octobre 2011 (moment de l'éventuel droit à la rente compte tenu du dépôt de la demande de prestations qu'elle a fixé au 18 avril 2011; art. 29 al. 1 et 3 LAI), l'intéressé n'avait pas présenté une incapacité de travail d'au moins 40 % en moyenne durant une année sans interruption notable (<ref-law>). En conséquence, elle a nié le droit du recourant à une rente d'invalidité pour la période du 1er octobre 2011 au 15 octobre 2012.
4.2. Le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir constaté les faits de manière manifestement inexacte et d'avoir violé l'<ref-law> en niant son droit à une rente de l'assurance-invalidité pour la période du 1er octobre 2011 au 15 octobre 2012. Il allègue être en incapacité de travailler depuis le 12 juillet 2010, et non uniquement à compter du 15 septembre 2010, comme l'a retenu la juridiction cantonale à la suite de l'office intimé. Avant tout, il reproche aux premiers juges d'avoir considéré qu'au 1er octobre 2011, il n'avait pas présenté une incapacité de travail d'au moins 40 % en moyenne durant une année sans interruption notable. L'assuré fait à cet égard grief à l'autorité de recours d'avoir considéré que sa capacité de travail était entière dans une activité adaptée à compter du 17 août 2011.
5.
5.1. Pour admettre que le recourant présentait une pleine capacité de travail dans une activité adaptée à ses limitations somatiques dès le 17 août 2011, les premiers juges se sont fondés sur la date arrêtée par le médecin du SMR, lequel s'était sur ce point lui-même référé aux conclusions émises par le docteur B._ dans un rapport daté du 24 août 2011 (avis du SMR des 11 juillet et 30 octobre 2012). A la lecture de ce rapport, qui fait suite à une consultation intervenue le 17 août 2011, on constate que le docteur B._ n'a pas, contrairement à ce que la juridiction cantonale a retenu, indiqué que "l'assuré présentait une capacité de travail médico-théorique entière dans une activité adaptée à compter du 17 août 2011". Ce médecin a seulement mentionné qu'une reprise du travail "pourrait être envisagée", que la situation était "sensiblement stabilisée actuellement" et que "des discussions en vue d'une reconversion professionnelle pourraient [...] être nécessaires". On ajoutera que dans un rapport ultérieur, daté du 8 novembre 2011, le docteur B._ a précisé que l'assuré avait été "maintenu à l'incapacité de travail à 100 %"; ce n'est qu'à ce moment-là que le médecin a fait état d'une situation pouvant être considérée "comme globalement stabilisée même si quelques améliorations progressives peuvent être encore attendues", et conclu qu'une activité adaptée "pourrait être exigible à 100 %".
Par ailleurs, on ne peut pas non plus déduire du courrier adressé au recourant par Axa le 28 décembre 2011, auquel se réfère également la juridiction cantonale, que l'assureur perte de gain aurait retenu que "le recourant présentait une capacité de travail totale dans une activité adaptée à compter du mois d'août 2011". Dans cette correspondance, par laquelle Axa a informé l'assuré de la poursuite du versement des indemnités journalières à 100 % jusqu'au 30 avril 2012, il faut admettre que référence est faite au rapport du docteur B._ du 8 novembre 2011, dès lors qu'Axa a en effet retranscrit les conclusions émises par ce médecin à ce moment-là ("Il ressort des renseignements médicaux en notre possession qu'en tant que cuisinier, vous présentez une incapacité de travail totale. Dans une activité adaptée [...], votre capacité pourrait être exigible à 100 %. La situation peut être considérée comme globalement stabilisée, même si quelques améliorations progressives peuvent être encore attendues").
Compte tenu de ce qui précède, la constatation des premiers juges selon laquelle le recourant présentait une capacité de travail entière dans une activité adaptée depuis le 17 août 2011 est manifestement inexacte. La date déterminante à cet égard est bien plutôt celle du 8 novembre 2011.
5.2. En admettant que le recourant a recouvré une capacité de travail entière dans une activité adaptée dès le 8 novembre 2011, on constate qu'au 1er octobre 2011 (moment de la naissance du droit à la rente déterminé par la juridiction cantonale et non contesté par les parties), il a présenté une incapacité de travail d'au moins 40 % en moyenne durant une année sans interruption notable. Il n'est à cet égard pas nécessaire de trancher la question de savoir à partir de quelle date le recourant a présenté une incapacité durable de travail dès lors que même si, à la suite des premiers juges, l'on fixe le début de l'incapacité durable de travail au 15 septembre 2010 (et non pas au 12 juillet 2010, comme allégué par l'intéressé), la condition posée par l'<ref-law> est remplie. Par la suite, le recourant a recouvré une capacité de travail dans une activité adaptée à partir de novembre 2011. L'office intimé a toutefois estimé que celle-ci ne pouvait pas être mise en oeuvre sans l'octroi préalable de mesures d'ordre professionnel. Avant de mettre l'assuré au bénéfice d'un reclassement à partir d'octobre 2012, il l'avait soumis dans un premier temps à des tests d'évaluation (cf. note du 12 janvier 2012) puis avait interrompu toute mesure parce que l'état de santé n'était pas stabilisé (cf. note du 16 mars 2012). Dans ces conditions, la capacité résiduelle de travail ne pouvant être utilement mise en oeuvre avant le début des mesures de reclassement, il y a lieu de reconnaître au recourant le droit à une rente entière d'invalidité pour la période du 1er octobre 2011 au 15 octobre 2012.
6.
En conséquence, le recours se révèle bien fondé et le jugement entrepris doit être réformé en ce sens que le recourant a droit, en sus d'un quart de rente du 1er novembre 2013 au 7 mai 2014, à une rente entière d'invalidité du 1er octobre 2011 au 15 octobre 2012.
7.
Compte tenu de l'issue du litige, l'office intimé, qui succombe, doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>), ainsi que les dépens que peut prétendre le recourant pour l'ensemble de la procédure (art. 68 al. 1 et 5 LTF); les chiffres IV et V du dispositif du jugement attaqué étant confirmés.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. Le chiffre II du dispositif de la décision du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, du 25 janvier 2018 est réformé en ce sens que le recourant a droit, en sus d'un quart de rente du 1er novembre 2013 au 7 mai 2014, à une rente entière d'invalidité du 1er octobre 2011 au 15 octobre 2012.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3.
L'intimé versera au recourant la somme de 3'200 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral et pour la procédure antérieure.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 8 juin 2018
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
La Greffière : Perrenoud