Sachverhalt:
A.
A.a. Unter dem Namen "Foundation A._" ist im Handelsregister des Kantons Zug eine Stiftung im Sinne von <ref-law> eingetragen (Beschwerdeführerin). Sie bezweckt die Förderung des Tier-, Umwelt- und Landschaftsschutzes sowie von gemeinnützigen Projekten in den Bereichen der erneuerbaren Energien und der Erzeugung biologischer Produkte und deren Strukturen für eine nachhaltige Agrarpolitik im In- und Ausland.
Am 19. Dezember 2017 schloss B._ mit der Foundation A._ einen Schenkungsvertrag und verpflichtete sich unter Auflage der Änderung des Namens der Stiftung und der Anpassung des Stiftungszwecks, der Stiftung die von ihm gehaltenen 100 Namenaktien der C._ AG zu überlassen. B._ ist Alleinaktionär dieser Gesellschaft.
A.b. Am 1. Februar 2018 leitete B._ beim Friedensrichteramt der Stadt Zug ein Schlichtungsverfahren ein und beantragte die Feststellung der Nichtigkeit und Unverbindlichkeit des Vertrags vom 19. Dezember 2017. Das Friedensrichteramt erteilte B._ am 6. April 2018 die Klagebewilligung, von der dieser in der Folge aber keinen Gebrauch machte.
A.c. Am 27. März 2018 ernannte die Eidgenössische Stiftungsaufsicht (ESA) für die Foundation A._ einen Sachwalter. Gestützt auf dessen Bericht vom 12. Juni 2018 sprach sie gegenüber der Stiftung am 3. Juli 2018 das Verbot aus, zur Führung jeglicher Prozesse im Zusammenhang mit der Schenkung vom 19. Dezember 2017 stiftungseigenes Vermögen zu verwenden. Die Anordnung umfasse nicht nur die Abwehr der Klage betreffend Gültigkeit der Schenkung, sondern sämtliche mit der Schenkung im Zusammenhang stehende Rechtshandlungen. Soweit der Stiftungsrat dennoch beabsichtige, den Zivilprozess betreffend die Nichtigkeit bzw. Unverbindlichkeit der Schenkung zu führen, habe er die mutmasslichen Kosten für das erstinstanzliche Verfahren in der Höhe von Fr. 5,5 Mio. sicherzustellen.
B.
Die von der Foundation A._ gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 21. Oktober 2019 (eröffnet am 23. Oktober 2019) ab.
C.
Am 22. November 2019 gelangt die Foundation A._ mit Beschwerde in Zivilsachen ans Bundesgericht. Sie beantragt, es seien das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts sowie die Verfügung der ESA aufzuheben. Eventuell sei die Sache zu neuer Beurteilung an das Bundesverwaltungsgericht zurückzuweisen.
Mit Eingaben vom 4. März und vom 9. April 2020 verzichten das Bundesverwaltungsgericht und die ESA auf eine Vernehmlassung. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des vorinstanzlichen Verfahrens eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Fristgerecht (<ref-law>) angefochten ist ein Endentscheid (<ref-law>) des Bundesverwaltungsgerichts (<ref-law>) im Bereich der Aufsicht über die Stiftungen und damit ein öffentlich-rechtlicher Entscheid, der in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht und gemäss Art. 74 Abs. 2 Bst. b Ziff. 4 BGG der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt. Die Angelegenheit ist vermögensrechtlicher Natur (<ref-ruling> E. 1.3). Entgegen Art. 112 Abs. 1 Bst. d BGG fehlen im angefochtenen Urteil Angaben zum Streitwert. Mit Blick auf die gemäss der Verfügung vom 3. Juli 2018 erfassten Beträge (vorne Bst. A.c) ist das Streitwerterfordernis von Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG aber erfüllt. Die Beschwerdeführerin ist sodann grundsätzlich nach <ref-law> zur Beschwerde legitimiert. Dies gilt jedoch nicht, soweit die streitbetroffene Anordnung sich heute nicht mehr auswirkt. Insofern fehlt es an einem aktuellen und praktischen Interesse an der Beschwerdeführung (Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG; <ref-ruling> E. 1.1). Dies betrifft die Pflicht zur Sicherstellung der Kosten des Zivilprozesses betreffend die Unverbindlichkeit der Schenkung vom 19. Dezember 2017, nachdem dieser Prozess nicht anhängig gemacht wurde (vgl. vorne Bst. A.b).
1.2. Unzulässig ist der Antrag, es sei (auch) die Verfügung der ESA vom 3. Juli 2018 aufzuheben. Diese Verfügung ist durch den Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts ersetzt worden (Devolutiveffekt), bildet im Verfahren vor Bundesgericht nicht mehr Anfechtungsobjekt und gilt inhaltlich als mit dem Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts angefochten (vgl. <ref-ruling> E. 1.4).
2.
2.1. Entscheide, die der Beschwerde ans Bundesgericht unterliegen, müssen nach <ref-law> einer Reihe von inhaltlichen Mindestanforderungen genügen. So sind die Vorbringen der Parteien zu nennen, nämlich ihre Begehren, Begründungen, Beweisvorbringen und Prozesserklärungen (Bst. a). Alsdann hat die Vorinstanz klar festzuhalten, von welchem Sachverhalt sie ausgegangen ist und welche rechtlichen Überlegungen sie angestellt hat. Insbesondere sind die angewendeten Gesetzesbestimmungen zu nennen (Bst. b). Genügt ein Entscheid diesen Anforderungen nicht, so kann das Bundesgericht ihn an die Vorinstanz zur Verbesserung zurückweisen oder aufheben (<ref-law>). Hingegen steht es ihm nicht zu, sich an die Stelle der Vorinstanz zu setzen, die ihrer Aufgabe nicht nachgekommen ist. Das Bundesgericht prüft die verfahrensrechtlichen Folgen von <ref-law> von Amtes wegen. Es wird somit unabhängig von einem Antrag einer Prozesspartei tätig, denn nur so kann es seine Aufgabe wahrnehmen (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 1.2.1; <ref-ruling> E. 2.2; Urteil 5A_222/2019 vom 28. April 2020 E. 4.1 mit zahlreichen Hinweisen).
<ref-law> findet sich im siebten Abschnitt des vierten Kapitels des Bundesgerichtsgesetzes, der unter dem Titel "Kantonales Verfahren" Mindestvorschriften zu eben diesem Verfahren enthält (SEILER, in: Seiler et al. [Hrsg.], Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2. Aufl. 2015, N. 22 der Vorbemerkungen zu den Art. 110-112 BGG). Entsprechend ist diese Bestimmung unmittelbar allein auf Urteile (letzter) kantonaler Instanzen anwendbar (vgl. etwa DOLGE, in: Spühler et al. [Hrsg.], Praxiskommentar Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2013, N. 1 zu <ref-law>). Aufgrund der identischen Ausgangs- und Interessenlage rechtfertigt es sich indessen, <ref-law> analog ebenfalls auf Entscheide eidgenössischer Vorinstanzen des Bundesgerichts und damit auch des Bundesverwaltungsgerichts anzuwenden (DONZALLAZ, Loi sur le Tribunal fédéral, Commentaire, 2008, N. 4438 zu <ref-law>; EHRENZELLER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 17 zu <ref-law>; SEILER, a.a.O., N. 51 zu <ref-law>; im Ergebnis ebenso: Urteile 8C_515/2019 vom 12. März 2020 E. 1 mit Hinweisen; 9C_305/2016 vom 23. Mai 2017 E. 2.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 1C_129/2012 und 1C_133/2012 vom 12. November 2012 E. 3.2 [einleitend], in: URP 2013 S. 523; ablehnend: CORBOZ, in: Corboz et al. [Hrsg.], Commentaire de la LTF, 2. Aufl. 2014, N. 3 zu <ref-law>).
2.2. Die in Art. 112 Abs. 1 Bst. a und b BGG formulierten Anforderungen sollen es der betroffenen Partei ermöglichen, sich ein Bild über die Tragweite des Entscheids zu verschaffen, und es ihr erlauben, diesen auf seine Richtigkeit zu überprüfen und gegebenenfalls anfechten zu können (<ref-ruling> E. 1.2.1). Dazu gehört auch eine klare Trennung von Sachverhalt und Rechtsfragen. Nach der Rechtsprechung sind vor diesem Hintergrund sogenannte "Dass-Entscheide" nur für kürzere Urteile zulässig, da sie regelmässig schwer lesbar sind, was ihre Nachvollziehbarkeit beeinträchtigt (Urteile 5A_1016/2018 vom 9. Oktober 2019 E. 2.1; 5A_984/2016 vom 27. April 2017 E. 2.2; betreffend das Bundesverwaltungsgericht vgl. jüngst etwa Urteil 8C_515/2019 vom 12. März 2020 E. 1).
Die vorliegende Angelegenheit liegt an der Schnittstelle zwischen der öffentlich-rechtlichen Aufsicht über die Stiftungen und der Zivilgerichtsbarkeit und weist eine nicht unerhebliche Komplexität auf (vgl. E. 2.3 hiernach). Dies verlangt nach einem möglichst einfach gegliederten und redigierten und entsprechend gut verständlichen Entscheid. Das Bundesverwaltungsgericht hat demgegenüber ein insgesamt elfseitiges Urteil erlassen, welches vollständig in der Dass-Form gehalten und entsprechend schwer lesbar ist. Damit vermag das angefochtene Erkenntnis bereits aus diesem Grund den Anforderungen von <ref-law> nicht zu genügen. Weiteres kommt, nebst dem bereits erwähnten Fehlen der Streitwertangabe (vorne E. 1.1), hinzu:
2.3.
2.3.1. Streitbetroffen ist das gegenüber der Beschwerdeführerin ausgesprochene Verbot, zur Führung von Prozessen und zur Vornahme von Rechtshandlungen im Zusammenhang mit der Schenkung vom 19. Dezember 2017 stiftungseigenes Vermögen zu verwenden (vorne Bst. A.c und B sowie E. 1.1). Dies kommt im Ergebnis einem Prozessführungs- bzw. Handlungsverbot in diesem Zusammenhang gleich. Nach Ansicht der Beschwerdeführerin wird dadurch insbesondere <ref-law> verletzt.
2.3.2. Die Aufsichtsbehörde hat nach dieser Bestimmung dafür zu sorgen, dass das Stiftungsvermögen seinen Zwecken gemäss verwendet wird. Sie wacht darüber, dass die Organe der Stiftung sich an das Gesetz, die Stiftungsurkunde, allfällige Reglemente und die guten Sitten halten (<ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 5). Zur Erfüllung dieser Aufgabe steht der Aufsichtsbehörde eine Anzahl präventiver und repressiver Aufsichtsmittel zur Verfügung (<ref-ruling> E. 3a; für Beispiele vgl. Urteile 5A_875/2018 vom 4. Februar 2019 E. 5.1; 5A_232/2010 vom 16. September 2010 E. 3.1.2; 5A_274/2008 vom 19. Januar 2009 E. 5.1).
In diesem Rahmen kann die Aufsichtsbehörde eine Stiftung unter Umständen auch dazu anhalten, einen ihr gegenüber geltend gemachten Anspruch (im Sinne eines subjektiven Rechts) ohne gerichtlichen Entscheid anzuerkennen und zu bezahlen. Dies setzt jedoch voraus, dass der Anspruch ohne weiteres ausgewiesen ist. Würde die Stiftung in diesen Fällen die Zahlung ablehnen und es auf eine gerichtliche Auseinandersetzung ankommen lassen, bestünde die (ernsthafte) Gefahr, dass sie Verfahrenskosten und Prozessentschädigungen ausrichten müsste, was letztlich zu einer zweckwidrigen Verwendung des Stiftungsvermögens führte. Bestehen dagegen Zweifel am Anspruch, muss der Entscheid über diesen dem Zivilgericht überlassen bleiben (BGE <ref-ruling> E. 6; RIEMER, in: Berner Kommentar, 1981, N. 141 ff. zu <ref-law>; vgl. auch <ref-ruling> E. 3b; Urteile 2C_684/2015 vom 24. Februar 2017 E. 6.6.2; A.519/84 vom 10. Dezember 1984 E. 4, in: SZS 1985 S. 194). Die Aufsichtsbehörde ist immer dann zum Einschreiten befugt, wenn in der Leistungsverweigerung durch die Stiftung zugleich eine Pflichtverletzung ihrer Organe liegt (<ref-ruling> E. 3 S. 99; GRÜNINGER, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 2018, N. 11 zu <ref-law>). Ein Eingreifen der Aufsichtsbehörde muss mit Blick darauf, dass streitige Zivilsachen durch die Zivilgerichte zu beurteilen sind (Art. 1 Bst. a ZPO) und jede Person Anspruch auf Beurteilung durch ein durch Gesetz geschaffenes (auch in sachlicher Hinsicht zuständiges) Gericht hat (Art. 6 Ziff. 1 EMRK; <ref-law>; statt vieler: <ref-ruling> E. 3.3), die Ausnahme bleiben. Diese Grundsätze gelten nicht nur im Zusammenhang mit der Abwehr von Ansprüchen Dritter, sondern auch für die Anweisung, keine Rechtshandlungen gegenüber Dritten vorzunehmen.
2.3.3. Das Bundesverwaltungsgericht kommt zum Schluss, dass ein Zivilprozess betreffend die Schenkung vom 19. Dezember 2017 für die Beschwerdeführerin aussichtlos sei, weshalb die Aufsichtsbehörde die strittige Anweisung habe treffen dürfen. Zur Begründung verweist es ohne weitere Würdigung auf ein Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 13. Dezember 2018, ein Urteil des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 14. März 2018 sowie den Bericht des Sachwalters vom 12. Juni 2018 (vgl. zu diesem vorne Bst. A.c).
Nach der Rechtsprechung ist es auch mit Blick auf Art. 112 Abs. 1 Bst. b BGG zulässig, zur Begründung eines der Beschwerde in Zivilsachen unterliegenden Urteils auf die schriftliche Begründung des erstinstanzlichen Entscheids zu verweisen, sofern vor der zweiten Instanz keine beachtlichen Gründe vorgebracht werden, zu denen die erste Instanz noch nicht Stellung bezogen hat. Hierdurch macht die obere Instanz sich die erstinstanzlichen Erwägungen zu eigen und das Bundesgericht prüft die Rechtsanwendung in deren Licht. Entsprechend muss klar ersichtlich sein, welche tatsächlichen Feststellungen und Erwägungen der unteren Instanz übernommen werden (<ref-ruling> E. 3b; Urteile 4A_477/2018 und 4A_481/2018 vom 16. Juli 2019 E. 3.2.1; 4A_611/2018 vom 5. Juni 2019 E. 3.3.1; 5A_369/2016 vom 27. Januar 2017 E. 3.1; je mit Hinweisen).
Das angefochtene Urteil genügt diesen Anforderungen mit dem Hinweis auf zwei in anderen Verfahren ergangene Entscheide sowie den Bericht des Sachwalters von vornherein nicht. Es erschliesst sich denn auch inhaltlich nicht, aus welchen Gründen das Bundesverwaltungsgericht die bei ihm erhobenen Beschwerde abgewiesen hat: Die Urteile der Zürcher Gerichte sind in anderen Sachzusammenhängen ergangen. Ohne weitere Erläuterungen bleibt unklar, inwiefern die dort getroffenen tatsächlichen Feststellungen und die angestellten rechtlichen Überlegungen die Schlussfolgerungen des Bundesverwaltungsgerichts gemessen an <ref-law> bzw. den einschlägigen rechtlichen Grundlagen stützen. Der Bericht des Sachwalters äussert sich sodann zwar zur vorliegenden Problematik. Auch diesbezüglich bleibt jedoch dahingestellt, welche Überlegungen das Bundesverwaltungsgericht als korrekt würdigt und übernimmt und vor dem Hintergrund der einschlägigen Bestimmung zur Begründung der streitbetroffenen Anordnung beizieht.
2.4. Unter diesen Umständen kann das Bundesgericht die Rechtsmässigkeit des angefochtenen Urteils nicht überprüfen. Dieses ist mithin aufzuheben und die Angelegenheit zu neuer Entscheidung unter Berücksichtigung der Vorgaben von <ref-law> an das Bundesverwaltungsgericht zurückzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens brauchen die Rügen des Beschwerdeführers nicht behandelt zu werden.
3.
Die Kosten werden bei Rückweisung nach <ref-law> nicht nach dem Ausgang des Verfahrens, sondern nach dem Verursacherprinzip verlegt (<ref-law>; Urteile 5A_1016/2018 vom 9. Oktober 2019 E. 3; 5A_984/2016 vom 27. April 2017 E. 3; anders: Urteil 5A_884/2012 vom 16. Mai 2013 E. 7). Entsprechend wären die Kosten des Verfahrens grundsätzlich der Schweizerischen Eidgenossenschaft aufzuerlegen. Es rechtfertigt sich jedoch, auf die Erhebung von Kosten zu verzichten (<ref-law>). Hingegen hat die Schweizerische Eidgenossenschaft die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 21. Oktober 2019 wird aufgehoben. Die Sache wird zur Behandlung im Sinne der Erwägungen an das Bundesverwaltungsgericht zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Die Schweizerische Eidgenossenschaft hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 10'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Eidgenössischen Departement des Innern EDI und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Juni 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber