Erwägungen:
1.
Mit Urteil 1C_429/2019 vom 23. März 2020 wies das Bundesgericht eine Beschwerde von A._ vom 26. August 2019 ab, soweit es darauf eintrat. Mit Eingabe vom 12. Juni 2020 an das Bundesgericht ersucht A._ um Revision des bundesgerichtlichen Entscheids verbunden mit dem Antrag, die im Verfahren 1C_429/2019 gestellten Rechtsbegehren gutzuheissen, d.h. die ihn betreffende Integrationsempfehlung der Sozialen Einrichtungen und Betriebe (SEB) der Stadt Zürich zu vernichten und einen Bericht über deren Löschung zu veranlassen. In prozessualer Hinsicht beantragt er die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Zur Begründung macht er im Wesentlichen geltend, das Bundesgericht habe aus Versehen in den Akten liegende erhebliche Tatsachen nicht berücksichtigt, was einen massgeblichen Revisionsgrund darstelle. Das Bundesgericht habe nämlich in E. 4.4 seines Urteils vom 23. März 2020 eine Gehörsverweigerung im Verfahren vor dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich im Zusammenhang mit vom Gesuchsteller angerufenen Tonaufnahmen verneint, weil dieses zwar nicht im fraglichen Verfahren, aber unter Verweis auf ein anderes paralleles Verfahren die Tonaufnahmen geprüft habe. Der Gesuchsteller steht auf dem Standpunkt, dass es sich dabei um andere Tonaufnahmen gehandelt habe, weshalb das verwaltungsgerichtliche Verfahren an einem wesentlichen Mangel gelitten habe. Indem das Bundesgericht diese Verwechslung der aktenkundigen Tonaufnahmen nicht erkannt habe, habe es den behaupteten Revisionsgrund gesetzt.
2.
2.1. Entscheide des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (<ref-law>). Eine nochmalige Überprüfung der einem Urteil des Bundesgerichts zugrunde liegenden Streitsache ist grundsätzlich ausgeschlossen. Auf ein Urteil des Bundesgerichts kann lediglich im Verfahren der Revision (<ref-law>) zurückgekommen werden. Ein solches steht jedoch nur offen, wenn einer der in den <ref-law> abschliessend aufgeführten Revisionsgründe vorliegt (<ref-law>). Nach <ref-law> kann die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts insbesondere dann verlangt werden, wenn das Gericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat. Der Gesuchsteller behauptet hier einzig das Vorliegen dieses Revisionsgrunds. Allerdings muss der Gesuchsteller den Revisionsgrund gemäss den Anforderungen an die Begründung einer Rechtsschrift an das Bundesgericht mit der erforderlichen Dichte substanziieren (vgl. <ref-law>). Dabei ist namentlich die blosse Kritik der rechtlichen Würdigung des bundesgerichtlichen Urteils nicht zulässig. Fehlt es an einer rechtsgenüglichen Begründung, tritt das Bundesgericht auf ein Revisionsbegehren nicht ein.
2.2. Der Gesuchsteller war an verschiedenen Verfahren vor dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich beteiligt. Im bundesgerichtlichen Verfahren 1C_429/2019 war das Urteil VB.2018.00488 des Verwaltungsgerichts vom 25. April 2019 angefochten. E. 4.4 des hier strittigen bundesgerichtlichen Urteils 1C_429/2019 vom 23. März 2020 lautet wie folgt:
" Weiter beanstandet der Beschwerdeführer, das Verwaltungsgericht habe verschiedene angebotene Beweismittel wie Audiodateien auf einer CD nicht abgenommen. In einer Präsidialverfügung des Bezirksrats Zürich vom 20. November 2017 hatte der Beschwerdeführer Gelegenheit erhalten, den Inhalt der anscheinend unleserlichen CD in anderer Form in die verschiedenen Parallelverfahren im Zusammenhang mit der Integrationsempfehlung einzubringen. In der Folge hielt das Verwaltungsgericht fest, es könne in antizipierter Beweiswürdigung von der Abnahme der Audiodateien absehen. Diese Erwägung findet sich zwar nicht im hier angefochtenen Entscheid, sondern ausführlich in E. 4 im parallelen, am gleichen Tag (25. April 2019) ergangenen Urteil des Verwaltungsgerichts VB.2018.00483, womit der Beschwerdeführer über dessen Beweggründe im Bilde war. Auch insofern liegt daher keine Gehörsverweigerung vor."
Das Bundesgericht hat mithin, wie vom Gesuchsteller behauptet, die in den Akten liegenden Tonaufnahmen nicht aus Versehen unberücksichtigt gelassen. Es hat vielmehr darauf abgestellt, dass das Verwaltungsgericht in antizipierter Beweiswürdigung global von der Abnahme der Audiodateien abgesehen hatte, weshalb der Gesuchsteller die Motive des verwaltungsgerichtlichen Urteils gekannt habe. Es ist zwar möglicherweise etwas aussergewöhnlich, dass ein Gericht wie hier das Verwaltungsgericht zur Begründung seines Urteils auf seine Erwägungen in einem anderen parallelen Entscheid verweist. Das Bundesgericht sah darin aufgrund der konkreten Umstände, insbesondere mit Blick auf die verschiedenen vom Gesuchsteller angestrengten Verfahren vor dem Verwaltungsgericht, aber keine Gehörsverweigerung.
2.3. Im Übrigen hatte der Gesuchsteller in seiner damaligen Beschwerde an das Bundesgericht im Verfahren 1C_429/2019 vom 26. August 2019 gar nicht geltend gemacht, dass das Verwaltungsgericht die, wie er heute behauptet, falschen Tonaufnahmen gewürdigt haben sollte. Die damalige Rüge (Ziff. 2.3 der Beschwerde vom 26. August 2019) lautete wie folgt:
"Indem sich die Vorinstanz in keiner Weise mit dem angebotenen und eingereichten Beweismittel (Beilage 7 zum Rekurs) auseinandersetzt, auch nicht etwa, indem sie es in antizipierter Beweiswürdigung beurteilt oder die Verwertbarkeit der Tonaufnahmen als Beweismittel prüfte, hat sie das Recht auf Abnahme der gehörig angebotenen Beweismittel und mithin das rechtliche Gehör (<ref-law>) verletzt. Ebenso hat sie damit den Untersuchungsgrundsatz verletzt, was beides gerügt wird."
Wie das Bundesgericht in E. 3 seines hier angefochtenen Urteils vom 23. März 2020 festhielt, trat es auf die bei ihm erhobene Beschwerde des Gesuchstellers nur soweit ein, als diese auch rechtsgenüglich begründet war. Entgegen der damaligen Behauptung des Gesuchstellers hatte das Verwaltungsgericht eine antizipierte Beweiswürdigung vorgenommen. Dass es dabei falsche Tonaufnahmen gewürdigt hätte, hatte der Gesuchsteller in seiner Beschwerde an das Bundesgericht aber gar nicht vorgebracht. Das war überdies auch nicht ohne Weiteres ersichtlich. Ein massgebliches Versehen des Bundesgerichts ist daher offensichtlich nicht erkennbar.
2.4. Das Revisionsgesuch läuft mithin auf eine unzulässige Kritik an der rechtlichen Würdigung im bundesgerichtlichen Urteil vom 23. März 2020 hinaus.
3.
Demnach ist auf das Revisionsgesuch ohne weiteren Schriftenwechsel nicht einzutreten.
Das Gesuch des Gesuchstellers um unentgeltliche Rechtspflege ist wegen Aussichtslosigkeit seiner Begehren abzuweisen (vgl. <ref-law>). Angesichts des Verfahrensausgangs wird der unterliegende Gesuchsteller damit kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Gesuchsteller, der Stadt Zürich und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Juni 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Uebersax