Sachverhalt:
A.
A.a. Am 31. August 2019 schrieb das Erziehungsdepartement des Kantons Basel-Stadt (als Bedarfs- und Vergabestelle) mit Publikation sowohl im kantonalen Amtsblatt als auch auf der Internetplattform SIMAP im offenen Verfahren einen Dienstleistungsauftrag für die Lieferung von Stoff-Handtuchrollen für die Schulen des Kantons Basel-Stadt während dreier Jahre mit Option auf Verlängerung um weitere zwei Jahre, mit Beginn ab 1. Januar 2020, aus. Gemäss detailliertem Aufgabenbeschrieb wurde ein Anbieter gesucht, welcher:
"- entsprechende Stoff-Handtuchrollen zur Verfügung stellt, d.h. auch über ein
entsprechendes Eigenlager verfügt;
- frischgewaschene Stoff-Handtuchrollen anliefert an rund 40 Standorte im
Raume Basel an einen Abladeort pro Standort;
- verschmutzte, gebrauchte Stoff-Handtuchrollen abholt bei rund 40
Standorten im Raume Basel;
- Stoff-Handtuchrollen wäscht.
Das Auswechseln der Stoff-Handtuchrollen erfolgt durch Mitarbeitende des Erziehungsdepartements vor Ort am jeweiligen Standort.
Stoff-Handtuchrollen-Spender befinden sich bereits vor Ort und sind nicht Gegenstand der vorliegenden Ausschreibung."
A.b. Gemäss Ausschreibung galten folgende Zuschlagskriterien mit folgender Gewichtung:
Preis 50 % Auftragsabwicklung 40 % Referenzauskunft 10 %
Den Ausschreibungsunterlagen, auf welche in der Ausschreibung verwiesen und welche direkt von der Internetplattform SIMAP heruntergeladen werden konnten, war zu entnehmen, dass für die Bewertung eines Angebots maximal 10'000 Punkte zu vergeben waren. Zudem wurde festgehalten, dass für die Punktevergabe zugunsten des Zuschlagskriteriums Preis (maximal 5'000 Punkte) als Preisbewertungsmethode auf eine "linear verkürzte Preisbewertung auf Basis 150 %" abgestellt wurde. Letzteres wurde mit einer Grafik, nämlich einer linearen Preiskurve, illustriert, wobei diesbezüglich kommentiert wurde, das Preis-Beispiel gemäss Kurve folge einer Preisgewichtung von 65 %. Das günstigste Angebot erhalte 6'500 Punkte, Angebote, welche anderthalb mal so teuer seien, 0 Punkte. Dazwischen sei die Verteilung linear. Um für einen Zuschlag in Frage zu kommen, müssten mindestens 75 % der möglichen Punkte erzielt werden. Allfällige Angebote waren an das (als Beschaffungsstelle/Organisator fungierende) Bau- und Verkehrsdepartement des Kantons Basel-Stadt, Kantonale Fachstelle für öffentliche Beschaffungen (Departement), zu richten.
A.c. Die Ausschreibung wurde nicht angefochten. Es gingen zwei Angebote ein, nämlich seitens der A._ AG und der B._ SA, wobei das Angebot der ersteren mit 7'725 Punkten und jenes der letzteren mit 8'305 Punkten bewertet wurde. Daraufhin wurde der B._ SA am 29. November 2019 mit Publikation am 30. November 2019 der Zuschlag erteilt.
B.
In der von der A._ AG angeforderten Begründung der Vergabe bzw. dem entsprechenden Entscheid des Departements vom 11. Dezember 2019 wurde unter anderem ausgeführt, der von der A._ AG offerierte, tiefere Preis von Fr. 321'900.-- sei gemäss dem Preisbewertungsmodell mit der maximalen Punktzahl von 5'000 Punkten, der von der B._ SA offerierte Preis von Fr. 351'500.-- mit 4'080 Punkten bewertet worden. Das Zuschlagskriterium Auftragsabwicklung sei nach den Unterkriterien Auftragsverständnis, logistische Leistungsfähigkeit sowie Herstellung und Umweltaspekte bewertet worden. Gemäss Begründung bzw. Bewertung schnitt die B._ SA bei allen drei Unterkriterien jeweils besser als die A._ AG ab und erhielt diesbezüglich insgesamt 3'325 Punkte, während auf die A._ AG 1'725 Punkte entfielen. Bezüglich des dritten (Haupt) -Zuschlagskriteriums Referenzauskunft erhielten beide Anbieter die maximale Punktzahl von je 1'000 Punkten. Der Rückstand von 920 Punkten aus der Preisbewertung wurde bei der B._ SA demnach durch die Bewertung des Zuschlagskriteriums Auftragsverständnis mehr als wettgemacht.
Der gegen diesen Entscheid von der A._ AG erhobene Rekurs blieb gemäss Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht vom 16. Juni 2020 erfolglos.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiärer Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht vom 31. August 2020 beantragt die A._ AG (Beschwerdeführerin) die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils und der Zuschlagsverfügung vom 30. November 2019. Der Zuschlag betreffend die Lieferung und Reinigung von Stoff-Handtuchrollen für die Schulen des Kantons Basel-Stadt sei an die Beschwerdeführerin zu erteilen. Eventualiter sei das vorinstanzliche Urteil aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Subeventualiter sei festzustellen, dass der Zuschlagsentscheid vom 30. November 2019 rechtswidrig sei. Ausserdem wird beantragt, der Beschwerde sofort und superprovisorisch, eventualiter nach vorheriger Anhörung der Beschwerdegegner, die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen und demgemäss dem "Beschwerdegegner 1" [Departement] sofort zu untersagen, mit der "Beigeladenen" [B._ SA] vor Abschluss des bundesgerichtlichen Verfahrens einen Vertrag gemäss Zuschlagsentscheid vom 30. November 2019 abzuschliessen, unter Gestattung von Bestellungen für den laufenden Bedarf während dem Beschwerdeverfahren mit Kündigungsfrist von maximal einem Monat.
Das Departement (Beschwerdegegner) beantragt in seiner Vernehmlassung, auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht einzutreten, eventualiter diese abzuweisen. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde sei abzuweisen. Die Vorinstanz schliesst in ihrer Vernehmlassung auf Abweisung der Beschwerde, die B._ SA lässt sich nicht vernehmen. Die Beschwerdeführerin repliziert mit Eingabe vom 21. Oktober 2020, während die B._ SA (Beschwerdegegnerin) mit Eingabe vom 3. November 2020 zur Replik der Beschwerdeführerin Stellung nimmt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1).
1.2. Der angefochtene Entscheid erging auf dem Gebiet der öffentlichen Beschaffungen. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht ist daher nur zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt und der geschätzte Wert des zu vergebenden Auftrags den massgeblichen Schwellenwert erreicht (<ref-law>). Die beiden Voraussetzungen müssen kumulativ erfüllt sein (<ref-ruling> E. 1.2; Urteil 2C_1021/2016, 2D_39/2016 vom 18. Juli 2017 E. 2.1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Die zweitgenannte Voraussetzung ist vorliegend unstreitig und offensichtlich erfüllt.
1.2.1. Bei der Frage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von <ref-law> (in der bis am 31. Dezember 2020 gültigen Fassung [vgl. <ref-law>]; AS 2006 1205 ff.; ab 1. Januar 2021 <ref-law>; AS 2020 641 ff.,685) muss es sich um eine Rechtsfrage aus dem Gebiet des öffentlichen Beschaffungsrechts handeln. Keine Grundsatzfrage stellt die Anwendung rechtsprechungsgemässer Prinzipien auf einen Einzelfall dar. Der blosse Umstand, dass die aufgeworfene Rechtsfrage noch nie entschieden wurde, genügt ebenfalls nicht, um ihr grundsätzlichen Charakter zu verleihen. Vielmehr muss es sich um eine Rechtsfrage handeln, deren Entscheid für die Praxis wegleitend sein kann und die von ihrem Gewicht her nach einer höchstrichterlichen Klärung ruft (<ref-ruling> E. 1.2.1; Urteil 2C_1021/2016, 2D_39/2016 vom 18. Juli 2017 E. 2.1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Zudem muss es sich um eine Frage handeln, die für die Lösung des konkreten Falles erheblich ist (<ref-ruling> E. 1.2.1). Eine Frage, die zwar an sich von grundsätzlicher Bedeutung wäre, aber den Ausgang des Verfahrens nicht zu beeinflussen vermag, führt mangels Rechtsschutzinteresse an der abstrakten Erörterung einer Rechtsfrage nicht zum Eintreten auf die Beschwerde. Im Rahmen ihrer Begründungspflicht hat die Beschwerdeführerin darzutun, dass die Voraussetzung nach <ref-law> erfüllt ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.1; Urteile 2C_639/2017 vom 21. Dezember 2017 E. 1.4.1; 2C_553/2015 vom 26. November 2015 E. 1).
1.2.2. Die Beschwerdeführerin unterbreitet dem Bundesgericht folgende Rechtsfrage, der sie grundsätzliche Bedeutung zumisst: "Muss die nachträgliche Anfechtung der Preiskurve bei einfachsten Vergaben und gleichzeitiger Ausschreibung mit Preisgewichtungen von lediglich 50 % und zusätzlich nur unbestimmt formulierten Zuschlagskriterien zugelassen werden?"
1.2.3. Grundsätzlich sind Mängel in der Ausschreibung sofort mittels Anfechtung geltend zu machen, denn die Ausschreibung gilt als selbständig anfechtbare Verfügung, welche nicht mehr im Rahmen der Zuschlagsverfügung angefochten werden kann (vgl. Art. 15 Abs. 1bis lit. a und Abs. 2 der Interkantonalen Vereinbarung vom 15. März 2001 über das öffentliche Beschaffungswesen [IVöB; SG 914.500], welcher der Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt in dieser Form durch Beschluss vom 22. Oktober 2002 zugestimmt hat; Urteil 2C_91/2013 vom 23. Juli 2013 E. 4.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Dies folgt rechtsprechungsgemäss auch aus dem Beschleunigungsgebot bzw. der Verfahrenseffizienz, denn es soll nicht das gesamte Vergabeverfahren nach dem Zuschlag wegen eines Ausschreibungsmangels aufgehoben werden müssen. Die Rechtsprechung lässt jedoch die Anfechtung der Ausschreibung und damit die Ausgestaltung des Zuschlagskriteriums Preis erst nach der Zuschlagserteilung (und damit nachträglich im Sinne der Fragestellung) zu, wenn es einem Anbieter nach Treu und Glauben auch bei der gebotenen Aufmerksamkeit nicht möglich war, die Unregelmässigkeit (der Ausschreibung) zu erkennen. Jedenfalls darf von einem Anbieter nicht verlangt werden, dass er die Ausschreibung und die dazugehörigen Unterlagen einer vertieften rechtlichen Überprüfung unterzieht. Der Ausschluss des Rechtsweges ist deshalb auf klare oder offensichtliche Unregelmässigkeiten beschränkt (<ref-ruling> E. 4.3; Urteil 2C_409/2015 vom 28. September 2015 E. 4.2; HANSJÖRG SEILER, Zwei Jahrzehnte Vergabe-Rechtsprechung, in: Zufferey/Beyeler/Scherler [Hrsg.], Aktuelles Vergaberecht 2018, S. 206 f. [SEILER, Vergabe-Rechtsprechung]). Die Rechtsprechung hat demnach die aufgeworfene Rechtsfrage bereits in dem Masse beantwortet, als die Antwort überhaupt für die Praxis wegleitend sein kann.
1.2.4. Ob bei "einfachsten Vergaben", einer Preisgewichtung von 50 % und unbestimmt formulierten Zuschlagskriterien ein Fall vorliegt, welcher eine nachträgliche Anfechtung im Rahmen der Anfechtung des Zuschlags erlaubt, lässt sich demgegenüber nicht in allgemein gültiger Weise festlegen. Ob unter diesen Umständen ein bei der gebotenen Aufmerksamkeit nicht erkennbarer Mangel vorliegt, hängt von sämtlichen Umständen des Einzelfalles ab. Bereits der Punkt, ob eine einfachste Vergabe vorliegt, ist unklar und lässt sich nicht auf definierte Begriffe abstützen. Zudem kommt es auf die konkrete Preiskurve bzw. Bewertungsmethode bezüglich Preis an, insbesondere die Preisspanne (hier 150 %) und die Art der Kurve (linear, degressiv). Auch die übrigen Zuschlagskriterien sind relevant. Schliesslich ist auch das Zusammenspiel sämtlicher Zuschlagskriterien und der Bewertungsmethoden entscheidend. Die Antwort auf die aufgeworfene Frage hängt somit vom Einzelfall ab und kann deshalb nicht wegleitend für die Praxis sein (vgl. Urteil 2C_257/2016 vom 16. September 2016 E. 1.2.3).
1.2.5. Im Weiteren handelt es sich auch deshalb um keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung, weil entgegen der Beschwerdeführerin in sachverhaltsmässiger Hinsicht keine "unbestimmt formulierten Zuschlagskriterien" vorlagen. Aus der Beschwerdebegründung ergibt sich, dass sich die Beschwerdeführerin bei diesem vermeintlichen Umstand auf die (zum Hauptkriterium Auftragsabwicklung) formulierten Unterkriterien Auftragsverständnis, logistische Leistungsfähigkeit sowie Herstellung und Umweltaspekte bezieht. Diese seien in der Ausschreibung nicht publiziert worden. Gemäss vorinstanzlicher, unange-fochtener Sachverhaltsfeststellung (vgl. E. 3.5.2 angefochtenes Urteil) waren die Unterkriterien jedoch in den Ausschreibungsunterlagen (Pflichtenheft, Register E und F) enthalten. Somit fehlt der von der Beschwerdeführerin aufgeworfenen Rechtsfrage zumindest teilweise auch die Sachverhaltsbasis, weshalb es sich diesbezüglich um eine abstrakte Rechtsfrage handelt, welche für die Lösung des konkreten Falles nicht erheblich ist (vgl. Urteile 2C_553/2015 vom 26. November 2015 E. 2.6; 2C_409/2015 vom 28. September 2015 E. 3.4.3).
1.2.6. Mangels Vorliegen einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung kann auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten somit nicht eingetreten werden. Zu prüfen bleibt die Zulässigkeit der subsidiären Verfassungsbeschwerde (Art. 113 i.V.m. Art. 83 lit. f, Art. 119 BGG).
1.3. Zur subsidiären Verfassungsbeschwerde ist gemäss <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Letzteres ist im Bereich des öffentlichen Vergabewesens der Fall, wenn die nicht berücksichtigte Anbieterin eine reelle Chance gehabt hätte, im Falle der Gutheissung ihres Rechtsmittels den Zuschlag zu erhalten (<ref-ruling> E. 4.1 mit Hinweisen).
Vorliegend gingen nur zwei Angebote ein. Zudem erzielte die Beschwerdeführerin bei der Bewertung über 75 % der zu vergebenden Punkte, weshalb sie gemäss Ausschreibungsunterlagen als Zuschlagsempfängerin in Frage kam. Ausserdem war sie am vorinstanzlichen Verfahren beteiligt. Auf die vorliegende, subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist deshalb einzutreten.
2.
2.1. Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Ausgeschlossen ist damit die Rüge der Missachtung von Gesetzes- und Konkordatsrecht. Ebenfalls nicht selbständig gerügt werden kann die Verletzung des den Submissionserlassen zugrunde liegenden Transparenzgebotes und des beschaffungsrechtlichen Diskriminierungsverbotes. Diesen Grundsätzen kommt nicht der Rang selbständiger Verfassungsgarantien zu (Urteile 2C_257/2016 vom 16. September 2016 E. 2.1 mit Hinweisen; 2C_1196/2013 vom 21. Februar 2014 E. 1.5). Die Prüfung der Anwendung der eidgenössischen, interkantonalen oder kantonalen Submissionsgesetzgebung ist deshalb auf die Verletzung des verfassungsmässigen Willkürverbots (<ref-law>) oder anderer verfassungsmässiger Rechte beschränkt (Urteil 2D_58/2013 vom 24. September 2014 E. 2.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; vgl. Urteile 2C_665/2015 vom 26. Januar 2016 E. 2.3; 2C_1196/2013 vom 21. Februar 2013 E. 1.5).
2.2. Ob ein angefochtener Entscheid verfassungsmässige Rechte der Beschwerdeführerin verletzt, prüft das Bundesgericht nur, soweit in der Beschwerde klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt wurde, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (qualifizierte Rügepflicht; Art. 117 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 mit Hinweisen; Urteile 2C_665/2015 vom 26. Januar 2016 E. 2.4; 2C_315/2013 vom 18. September 2014 E. 3, nicht publ. in: <ref-ruling>). Beruft sich die Beschwerdeführerin auf das Willkürverbot, muss sie anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheides dartun, dass und inwiefern der angefochtene Entscheid willkürlich, d.h. unhaltbar ist. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.4; Urteile 2C_384/2016 vom 6. März 2017 E. 1.3.5, nicht publ. in: <ref-ruling>; 2C_665/2015 vom 26. Januar 2016 E. 2.4).
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Auf eine Rüge der willkürlichen Sachverhaltsfeststellung geht das Bundesgericht nur ein, wenn diese den Anforderungen der qualifizierten Rügepflicht genügt (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; vgl. E. 2.2 oben). Auf appellatorische Kritik an der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung geht das Bundesgericht nicht ein (Urteile 2D_58/2013 vom 24. September 2014 E. 2.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 2C_384/2016 vom 6. März 2017 E. 1.3.5, nicht publ. in: <ref-ruling>).
2.4. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). <ref-law> zielt auf Tatsachen ab, die erst durch das angefochtene Urteil rechtserheblich werden. Solche sogenannte "unechte Noven" sind beispielsweise zulässig, wenn die Vorinstanz ein neues rechtliches Argument anführt, mit dem die Partei zuvor nicht konfrontiert worden war (Urteil 2C_395/2017 vom 7. Juni 2018 E. 2.1). Unzulässig sind hingegen neue Tatsachen, die bereits der Vorinstanz hätten vorgelegt werden können (<ref-ruling> E. 4.4.3). Tatsachen und Beweismittel, welche sich erst nach dem angefochtenen Entscheid ereignet haben oder entstanden sind, können nicht durch letzteren veranlasst worden sein und sind als sog. "echte Noven" vor Bundesgericht von vornherein unzulässig (<ref-ruling> E. 3.1.2; Urteil 2C_98/2018 vom 7. November 2018 E. 2.3.1 mit Hinweisen).
3.
3.1. Bezüglich des Unterkriteriums Herstellung und Umweltaspekte (zum Haupt-Zuschlagskriterium Auftragsabwicklung) erhielt die Beschwerdeführerin unter anderem, weil die Qualitätskontrolle (bezüglich des Waschens der Stoff-Handtuchrollen) nicht nachgewiesen sei, nur 225 Punkte im Gegensatz zu 725 Punkten zugunsten der Beschwerdegegnerin. Die Vorinstanz hat diesbezüglich im Wesentlichen festgestellt, der mit dem Angebot eingereichte Prüfbericht des Labors C._ vom 18. Juni 2019 zeige keinen Zusammenhang zur Beschwerdeführerin. Die Beschwerdeführerin rügt diesbezüglich eine aktenwidrige und damit willkürliche, vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung. In diesem Bericht sei die "A._ AG" aufgeführt. Sie verweist in diesem Zusammenhang auch auf einen Laborbericht von C._ aus dem Jahr 2015, der sich bei den Rekursakten befindet. Dem Laborbericht 2019, der an eine D._ GmbH gerichtet ist, lässt sich allerdings kein Hinweis auf die Beschwerdeführerin entnehmen. Der Laborbericht 2015 führt demgegenüber im Betreff "A._ AG" auf und bezeichnet auch die geprüften Stoff-Handtuchrollen mit "A._ AG". Weitere Argumente enthält die Beschwerdeschrift nicht und blosse Verweise auf Eingaben im vorinstanzlichen Verfahren genügen der qualifizierten Rügepflicht nicht (vgl. E. 2.3 oben). Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung erweist sich demnach als willkürfrei bzw. verfassungskonform, weshalb die Sachverhaltsrüge unberechtigt ist.
3.2. Im Weiteren behauptet die Beschwerdeführerin mit Verweis auf einen Internetlink, die Beschwerdegegnerin biete keine Stoff-Handtuchrollen mehr an. Diese Behauptung bezieht sich, sofern sie überhaupt zutreffen sollte, auf eine nach dem vorinstanzlichen Urteil entstandene Tatsache und kann deshalb als echtes Novum vor Bundesgericht nicht berücksichtigt werden (vgl. E. 2.4 oben). Zudem legt die Beschwerdeführerin replikweise Allgemeine Geschäftsbedingungen der Beschwerdegegnerin vom Juni 2020, ein Schreiben vom 6. Dezember 2000 des Erziehungsdepartements des Kantons Basel-Stadt (Erziehungsdepartement), Ressort Schulen, an verschiedene Schulhäuser in Basel, E-Mail-Verkehr zwischen der Beschwerdeführerin und dem Erziehungsdepartement vom Februar/März und Oktober 2019 sowie eine Offerte der Beschwerdeführerin an das Erziehungsdepartement vom 16. Oktober 2019 (für ein Alternativprodukt zu Stoff-Handtuchrollen) ins Recht. Im Wesentlichen beabsichtigt die Beschwerdeführerin, mit diesen Dokumenten ihren Vorwurf der willkürlichen Auftragsvergabe zu untermauern. Soweit die genannten Allgemeinen Geschäftsbedingungen nach dem angefochtenen Urteil (vom 16. Juni 2020) entstanden sind, sind sie als echtes Novum unzulässig. Ansonsten hätten dieses Dokument wie auch die übrigen vor Bundesgericht vorgelegten Dokumente bereits im vorinstanzlichen Verfahren, welches die Rechtmässigkeit der Ausschreibung und Bewertung thematisierte, eingebracht werden müssen und stellen somit unzulässige, unechte Noven dar (vgl. E. 2.4 oben).
4.
4.1. Im Weiteren rügt die Beschwerdeführerin, sie habe die Auswirkung der Preiskurve bzw. Preisspanne von 150 % nicht erkennen können. Die Publikation sei irreführend gewesen. Sie verfüge nicht über Rechts- und mathematische bzw. naturwissenschaftliche Kenntnisse, weshalb ihr nicht vorgeworfen werden könne, die Ausschreibung nicht angefochten zu haben. Sie rügt damit sinngemäss, ihr sei in Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) die Anfechtung der Preiskurve mit dem Zuschlagsentscheid verwehrt worden.
4.2. Die Vorinstanz hat im Wesentlichen erwogen, die Zuschlagskriterien seien in der Ausschreibung transparent und verbindlich festgelegt worden. Die Preisgewichtung mit 50 % mit dem entsprechenden Punktemaximum von 5'000 Punkten und die lineare Preisbewertung auf der Basis von 150 % seien aufgezeigt worden. Die Methode sei grafisch dargestellt und textlich erläutert worden. Es sei einfach erkennbar gewesen, dass das günstigste Angebot mit dem Punktemaximum und das anderthalb mal so teure Angebot mit null Punkten bewertet werde. Wenn die Beschwerdeführerin der Auffassung sei, bereits ein um 25 % teureres Angebot (Preisspanne 125 %) hätte mit null Punkten bewertet werden müssen, hätte sie die Ausschreibung anfechten müssen. Die Anfechtung mit dem Zuschlagsentscheid sei verspätet. Diese stehe auch im Einklang mit der Rechtsprechung.
4.3. Den Erwägungen der Vorinstanz ist zuzustimmen. Sofern mit der konkreten Preiskurve bzw. Preisspanne von 150 % überhaupt eine Unregelmässigkeit verbunden gewesen sein sollte, so wäre dies aufgrund der Ausschreibungsunterlagen gemäss Rechtsprechung (vgl. E. 1.2.3 oben) einfach erkennbar gewesen. Dass in der Illustration ein Beispiel gewählt wurde, welches den Preis mit 65 % gewichtet, ist zwar ungeschickt, ändert jedoch nichts daran, dass klar ersichtlich war, dass von einem Punktemaximum von 5'000 Punkten beim günstigsten Preis ausgegangen wird und die Punktezahl linear abnimmt bis zum Endpunkt von null Punkten bei einem Preis, der 150 % des günstigsten Preises ausmacht.
4.4. Auch ohne rechtliche oder mathematische Kenntnisse musste für die Beschwerdeführerin, als sie ihr Angebot zu einem Preis von Fr. 321'900.-- kalkulierte, bei gebotener Aufmerksamkeit nachvollziehbar sein, dass ausgehend von ihrem Angebot eine Preisspanne von 150 % erst bei einem Angebotspreis von Fr. 482'850.-- bzw. einer Differenz von Fr. 160'950.-- zu einer Bewertung mit null Punkten führt, sodass ein (gegenüber ihrer Offerte) um Fr. 30'000.-- bis Fr. 40'000.-- teureres Angebot bei einer linearen Kurve nicht mit viel weniger Punkten, sondern immer noch mit einer stattlichen Anzahl von 4'068 bis 3'757 Punkten [z.B. 5'000 - (5'000: 160'950 x 30'000)] zu Buche schlägt (konkret führte das um Fr. 29'600.-- teurere Angebot der Beschwerdegegnerin zum Preis von Fr. 351'500.-- zu 4'080 Punkten). Auch war angesichts der Gewichtung klar, dass weitere 5'000 Punkte und damit die Hälfte der Gesamtpunktzahl auf zwei andere Zuschlagskriterien (mit einer Gewichtung von 40 % und 10 %) verteilt würden.
4.5. Damit war offensichtlich, dass alleine mit einem preislich günstigeren Angebot der Zuschlag noch keinesfalls gesichert war. Entgegen der Beschwerdeführerin spielt es auch keine Rolle, dass eine Preiskurve gar nicht in den Ausschreibungsunterlagen publiziert sein muss (§ 22 Abs. 1 des Gesetzes vom 20. Mai 1999 über öffentliche Beschaffungen des Kantons Basel-Stadt [Beschaffungsgesetz BS; SG 914.100] e contrario). Entscheidend ist, dass die Preiskurve bzw. Preisbewertungsmethode mit der Ausschreibung publiziert wurde, was die einschlägige Rechtsmittelfrist auslöst. Der Beschwerdeführerin die Anfechtung der Preiskurve bzw. der Ausgestaltung des Zuschlagskriteriums Preis erst mit dem Zuschlag zu verwehren, ist deshalb nicht unhaltbar bzw. willkürlich, sondern bundesrechtskonform. Die entsprechende Rüge erweist sich somit als unberechtigt.
4.6.
4.6.1. Die Vorinstanz hat in E. 3.5 und 3.5.1 des angefochtenen Urteils "lediglich ergänzend" ausgeführt, dass die vorliegende Preiskurve nicht zu einer Unterschreitung der rechtsprechungsgemäss minimalen Gewichtung des Preises von 20 % führe bzw. nicht zu flach verlaufe und demnach rechtskonform sei.
4.6.2. Die Beschwerdeführerin rügt diesbezüglich eine Verletzung des Prinzips der Zuschlagserteilung an das wirtschaftlich günstigste Angebot (vgl. Art. 13 lit. f IVöB, § 26 Abs. 1 Beschaffungsgesetz BS). Sie macht geltend, die Preisspanne von 150 % führe zu einer unzulässigen Untergewichtung des Preises unter die Mindestgrenze von 20 %. Korrekterweise sei eine Preisspanne von 125 % anzuwenden.
4.6.3. Nachdem die Vorinstanz jedoch willkürfrei bzw. bundesrechtskonform zum Schluss gekommen ist, dass die Beschwerdeführerin die Preiskurve bzw. Preisbewertungsmethode bereits mit der Ausschreibung hätte anfechten können und müssen und ihr Anfechtungsrecht in diesem Sinne verwirkt hat, ist die Beschwerdeführerin mit ihren materiellen Vorbringen zur Preiskurve vor Bundesgericht nicht mehr zu hören. Sie hat ihr diesbezügliches Anfechtungsrecht, auch im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde, verwirkt.
5.
5.1. Bei diesem Resultat erübrigt es sich, auf die Rüge der Beschwerdeführerin einzugehen, ihr Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) und die Begründungspflicht seien verletzt worden, weil die Vorinstanz sich nicht mit ihren Argumenten bezüglich Preiskurve (zu flache Preiskurve bei Preisspanne von 150 %; unzulässige Abschwächung des Preiskriteriums) auseinandergesetzt habe. Wenn die Beschwerdeführerin wie vorliegend bereits vor der Vorinstanz ihr Anfechtungsrecht bezüglich Preiskurve verwirkt hatte, war die Vorinstanz auch nicht mehr gehalten, darauf in der Sache einzugehen.
5.2. Wie sich den E. 3.5 und 3.5.1 des angefochtenen Urteils entnehmen lässt, hat sich die Vorinstanz ausserdem "ergänzend" mit der gewählten Preiskurve bzw. Preisspanne auseinandergesetzt, wenn auch nur rudimentär. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs und der Begründungspflicht würde deshalb selbst dann nicht vorliegen, wenn materiell auf diese Rüge einzugehen wäre (vgl. zum rechtlichen Gehör <ref-ruling> E. 5.2; vgl. zur Begründungspflicht <ref-ruling> E. 5.2; <ref-ruling> E. 3.2.4; <ref-ruling> E. 5.1 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 5.2).
6.
6.1. Die Beschwerdeführerin rügt in Bezug auf das Zuschlagskriterium Auftragsabwicklung bzw. die drei Unterkriterien Auftragsverständnis, logistische Leistungsfähigkeit sowie Herstellung und Umweltaspekte, die Bewertung ihres Angebots sei willkürlich erfolgt. Soweit sie replikweise vorbringt, die Unterkriterien zum Zuschlagskriterium Auftragsabwicklung seien in den Ausschreibungsunterlagen nicht aufgeführt gewesen, übt sie appellatorische Kritik an der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung (vgl. E. 1.2.5 oben) und ist damit schon deshalb nicht zu hören. Dass die Gewichtung der einzelnen, genannten Unterkriterien in den Ausschreibungsunterlagen aufgeführt war, wurde und wird entgegen der Beschwerdeführerin von der Vorinstanz gar nicht behauptet. Abgesehen davon ist dieser Punkt für die Bewertung zumindest vorliegend nicht relevant.
6.2. Rechtsprechungsgemäss verfügt die Vergabe- bzw. Beschaffungsstelle bei der Bewertung der Angebote über einen erheblichen Ermessensspielraum, in welchen das Bundesgericht nur mit besonderer Zurückhaltung, sprich nur bei Missbrauch oder Überschreitung des Ermessens eingreift. Die Überprüfung durch das Bundesgericht ist somit so oder so auf den Blickwinkel der Willkür (<ref-law>) beschränkt (<ref-ruling> E. 6; Urteile 2C_785/2014 vom 12. Februar 2015; 2D_15/2011 vom 31. Oktober 2011 E. 2.3; vgl. dazu auch SEILER, Vergabe-Rechtsprechung, S. 221 ff.).
6.3.
6.3.1. Bezüglich des Unterkriteriums Auftragsverständnis wurde gemäss Ausschreibungsunterlagen (Pflichtenheft, Register E) verlangt, die Auftragsabwicklung (beteiligte Stellen, Zeithorizont, Verrechnung, Ablauf etc.) auf maximal fünf Powerpointfolien oder zwei A4-Seiten zu beschreiben. Zu vergeben waren maximal 1'500 Punkte (Gewichtung 15 %). Die Vorinstanz hat erwogen (E. 4.3.1 angefochtenes Urteil), die Beschreibung durch die Beschwerdeführerin sei eher rudimentär (eine Powerpointfolie) und ohne inhaltlichen Bezug zum spezifischen Auftragsverständnis ausgefallen, wogegen die Beschwerdegegnerin mehr auf die spezifischen Anforderungen eingegangen sei. Eine Überschreitung des Beurteilungsspielraums sei nicht zu erkennen. Das Angebot der Beschwerdeführerin wurde diesbezüglich mit 875 Punkten, jenes der Beschwerdegegnerin mit 1'000 Punkten bewertet.
6.3.2. Die Beschwerdeführerin führt diesbezüglich entgegen der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung aus, sie habe für dieses Unterkriterium nur 375 Punkte erhalten, wogegen der Beschwerdegegnerin 500 Punkte zugestanden worden seien. Wenn sie überdies vorbringt, sie habe auf einer A4-Seite den groben Ablauf der Auftragsabwicklung geschildert, wogegen mit der weitschweifigen Beschreibung der Beschwerdegegnerin kein Mehrwert verbunden sei, äussert sie appellatorische Kritik. Es ist durchaus sachgerecht, eine ausführlichere und konkretere Beschreibung mit mehr Punkten zu bewerten. Eine Ermessensüberschreitung liegt nicht vor. Das vorinstanzliche Urteil erweist sich diesbezüglich nicht als unhaltbar bzw. willkürlich, sondern als bundesrechtskonform.
6.3.3. Hinsichtlich des Unterkriteriums Logistische Leistungsfähigkeit (Pflichtenheft, Register E) wurde auf Register F der Ausschreibungsunterlagen verwiesen. Dort wurden unter anderem Angaben zu Art, Anzahl, Eigentumsverhältnissen und Hauptdomizil der Anlieferfahrzeuge sowie Angaben zu Lagerort und Lagerkapazität der Stoff-Handtuchrollen verlangt. Auch hier waren maximal 1'500 Punkte (Gewichtung 15 %) zu vergeben. Die Vorinstanz hat diesbezüglich erwogen (E. 4.3.2 angefochtenes Urteil), die Beschwerdegegnerin habe besser abgeschnitten, weil sie im Gegensatz zur Beschwerdeführerin über ein Zwischenlager in der Region Basel und über sieben Fahrzeuge zur Anlieferung (gegenüber dreien der Beschwerdeführerin) verfüge. Eine Ermessensüberschreitung sei nicht erkennbar. Das Angebot der Beschwerdeführerin wurde diesbezüglich mit 625 Punkten, jenes der Beschwerdegegnerin mit 1'500 Punkten bewertet.
6.3.4. Die Beschwerdeführerin macht diesbezüglich im Wesentlichen geltend, die Ausschreibung habe nicht erwähnt, dass ein Lager in der Region Basel erforderlich sei. Auch sei nicht berücksichtigt worden, dass die Beschwerdegegnerin mit ihren Fahrzeugen mehr Kunden als die Beschwerdeführerin bedienen müsse.
Ersteres schliesst jedoch nicht aus, den Umstand, wonach ein Lager in der Nähe des Lieferortes besteht, bei der Bewertung positiv zu berücksichtigen. Dass damit eine unhaltbare Diskriminierung der Beschwerdeführerin verbunden sei (vgl. dazu SEILER, Vergabe-Rechtsprechung, S. 213 f.), wird von letzterer nicht rechtsgenüglich gerügt. Auch mag es sein, dass die Beschwerdegegnerin mehr Kunden als die Beschwerdeführerin versorgen muss. Diese Hypothese führt jedoch noch nicht dazu, dass die Bewertung, welche der Beschwerdegegnerin eine höhere logistische Leistungsfähigkeit als der Beschwerdeführerin zubilligt, den Ermessensspielraum überschreitet. Auch in diesem Punkt erweist sich das vorinstanzliche Urteil als bundesrechtskonform.
6.3.5. Bezüglich des Unterkriteriums Herstellung und Umweltaspekte waren Angaben unter anderem zu Material- und Produktezertifikaten, Umweltmanagement, Transportwegen und Produktionsorten (der Stoff-Handtuchrollen) gefordert (Pflichtenheft, Register E). Es waren maximal 1'000 Punkte (Gewichtung 10 %) zu vergeben. Die Vorinstanz hat diesbezüglich im Wesentlichen erwogen (E. 4.3.3 angefochtenes Urteil), bezüglich Distanz zur Wäscherei, Produktionsort, Produktezertifikat und Transport (Hersteller/Anbieter) seien beide Anbieter gleich bewertet worden (Die Beschwerdeführerin erhielt bezüglich Distanz zur Wäscherei 25 Punkte mehr [<ref-law>], die Beschwerdegegnerin beim Transport). Deutlich unterschiedlich sei jedoch die Bewertung bezüglich Umweltzertifizierung der Wäscherei und Qualitätssicherung erfolgt. Die Beschwerdegegnerin habe diesbezüglich mehrere gültige und relevante Zertifikate anerkannter Zertifizierungsstellen vorlegen können. Die Beschwerdeführerin dagegen habe weder eine Qualitätskontrolle (vgl. E. 3.1 oben) noch eine Umweltzertifizierung vorlegen können. Das Angebot der Beschwerdeführerin wurde hinsichtlich des genannten Unterkriteriums mit 225 Punkten, dasjenige der Beschwerdegegnerin mit 1'000 Punkten bewertet.
6.3.6. Bezüglich Qualitätskontrolle übt die Beschwerdeführerin appellatorische Kritik an der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung, wonach keine Laboruntersuchung bezüglich Qualitätskontrolle der Wäscherei vorgelegt wurde (vgl. E. 3.1 oben) und bringt nichts vor, was die vorinstanzliche Bewertung in Zweifel ziehen kann. Bezüglich Umweltzertifikat beschränken sich die Ausführungen der Beschwerdeführerin auf appellatorische Kritik an der vorinstanzlichen Beurteilung. Sie vermögen jedoch die hauptsächliche Beanstandung, wonach die Beschwerdeführerin kein verifizierbares und unabhängiges Umweltzertifikat, sondern kurz gesagt lediglich eine Selbstdeklaration vorgelegt hat, nicht zu entkräften. Demnach ist die vorinstanzliche Bewertung bzw. Beurteilung des Unterkriteriums Herstellung und Umweltaspekte nicht als willkürlich, sondern als bundesrechtskonform zu qualifizieren.
7.
7.1. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde erweist sich demzufolge als unbegründet und ist abzuweisen. Aufgrund der vorstehenden Erwägungen sind auch der Eventualantrag und der Subeventualantrag abzuweisen.
7.2. Bei diesem Verfahrensausgang trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (Art. 65, Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegnerin ist aufgrund der kurzen, eingereichten Stellungnahme kein nennenswerter Aufwand entstanden. Ihr ist ebenso wenig eine Parteientschädigung zuzusprechen wie dem Beschwerdegegner, welcher in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt hat (Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. März 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Quinto