Erwägungen:
1.
Am 9. April 2018 erhob A._ (Beschwerdeführer) beim Bezirksgericht Bremgarten eine Klage gegen B._ (Beschwerdegegner), mit der er Schadenersatz zufolge einer Körperverletzung geltend macht. Das Klagebegehren lautet, B._ sei zu verurteilen, "CHF 29'999 zzgl. Zins zu 5 % (ab 1. Januar 2013 auf CHF 28'300 sowie ab 1. Januar 2015 auf CHF 2'711) " zu bezahlen. Das Bezirksgericht beschränkte das Prozessthema auf die Frage der Verjährung der geltend gemachten Ansprüche. Mit Entscheid vom 21. November 2018 wies es die Klage "vollumfänglich" ab. Die von A._ dagegen erhobene Berufung wies das Obergericht des Kantons Aargau mit Urteil vom 23. Mai 2019 ab.
A._ verlangt mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und die Sache sei "zur materiellen Beurteilung" an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Das angefochtene Urteil des Obergerichts ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer Vorinstanz im Sinne von <ref-law>. Die Beschwerde in Zivilsachen ist aufgrund des Streitwertes von weniger als Fr. 30'000.-- (<ref-law>) nicht zulässig, weshalb die vom Beschwerdeführer erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne der Art. 113-119 BGG offen steht.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Eine Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>).
3.
Das Bezirksgericht ging davon aus, dass sich das Klagebegehren des Beschwerdeführers nur auf die beiden Positionen "Kosten für die notwendige Inanspruchnahme von Privatlehrern in den Jahren 2011 und 2012 (Fr. 28'300.00) " sowie "nicht durch die Versicherung gedeckte Gesundheitskosten der Jahre 2011-2013 (Fr. 2'711.00) " beziehe, wobei vom Gesamtbetrag von Fr. 31'011.-- nur Fr. 29'999.-- eingeklagt würden. Insoweit beurteilte es den Anspruch als verjährt. Das Obergericht bestätigte diese Auslegung des Klagebegehrens. Im Wesentlichen gestützt auf den Umstand, dass der Beschwerdeführer lediglich für die Beträge Fr. 28'300.-- und Fr. 2'711.-- Zinsen forderte, befand es, sein Klagebegehren beziehe sich nicht auf den in der Klagebegründung ebenfalls erwähnten Schadenersatz für Erwerbsausfall im Betrag von Fr. 154'200.--, und schloss, das Bezirksgericht sei auf diese zu Recht nicht eingegangen.
Der Beschwerdeführer rügt, dieses Vorgehen sei überspitzt formalistisch und verstosse gegen <ref-law>.
<ref-law> verbietet überspitzten Formalismus als besondere Form der Rechtsverweigerung. Eine solche liegt vor, wenn für ein Verfahren rigorose Formvorschriften aufgestellt werden, ohne dass die Strenge sachlich gerechtfertigt wäre, wenn die Behörde formelle Vorschriften mit übertriebener Schärfe handhabt oder an Rechtsschriften überspannte Anforderungen stellt und den Rechtssuchenden den Rechtsweg in unzulässiger Weise versperrt. Wohl sind im Rechtsgang prozessuale Formen unerlässlich, um die ordnungsgemässe und rechtsgleiche Abwicklung des Verfahrens sowie die Durchsetzung des materiellen Rechts zu gewährleisten. Nicht jede prozessuale Formstrenge steht demnach mit <ref-law> im Widerspruch. Überspitzter Formalismus ist nur gegeben, wenn die strikte Anwendung der Formvorschriften durch keine schutzwürdigen Interessen gerechtfertigt ist, zum blossen Selbstzweck wird und die Verwirklichung des materiellen Rechts in unhaltbarer Weise erschwert oder verhindert (<ref-ruling> E. 1.3.2; <ref-ruling> E. 2.4.2 S. 11 mit weiteren Hinweisen; siehe für das Zivilverfahrensrecht <ref-ruling> E. 3.5 f.).
Die Vorinstanz hat die Rechtsbegehren des Beschwerdeführers nicht zum Selbstzweck ausgelegt, sondern, um den Gegenstand des vorliegenden Prozesses zu ermitteln. Bei Teilklagen wie der Vorliegenden hat die klagende Partei jeden einzelnen (Teil-) Anspruch gemäss den allgemeinen Substanziierungsanforderungen schlüssig vorzutragen, so dass das Gericht durch Subsumtion unter die einschlägigen Gesetzesbestimmungen die Begründetheit beurteilen und die beklagte Partei sich dagegen verteidigen kann (<ref-ruling> E. 2.4 S. 460 f. mit Hinweisen). Die Auslegung stellt vor diesem Hintergrund keinen überspitzten Formalismus dar und ist von Verfassung wegen nicht zu beanstanden, zumal das Ergebnis, wonach sich das Klagebegehren des Beschwerdeführers ausschliesslich auf die beiden genannten Positionen bezieht und demnach alleine diese vom Gericht zu beurteilen sind, jedenfalls nicht unhaltbar ist. Die Rüge des Beschwerdeführers ist unbegründet.
Bei dieser Sachlage ist nicht auf die Kritik des Beschwerdeführers einzugehen, soweit sich diese gegen die Eventualbegründung der Vorinstanz richtet, wonach auch in Bezug auf den Erwerbsausfallschaden bereits die Verjährung eingetreten ist.
4.
Die Beschwerde ist offensichtlich unbegründet und daher im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten gemäss <ref-law> dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Dem Beschwerdegegner ist im bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand entstanden, für den er nach <ref-law> zu entschädigen wäre.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 2. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. September 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz