Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht trat auf eine gegen den Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 24. September 2021 erhobene Beschwerde aus formellen Gründen nicht ein (Urteil 6B_1268/2021 vom 10. Januar 2022).
Die Gesuchstellerin gelangte am 29. Januar 2022 mit einem Wiedererwägungsgesuch an das Bundesgericht. Nach Erhalt des bundesgerichtlichen Antwortschreibens vom 2. Februar 2022 wendet sie sich am 21. Februar 2022 mit einer "Revision in Strafsachen nach Art. 121 lit. a-d BGG" an das Bundesgericht. Sie verlangt zudem die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
2.
Entscheide des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (<ref-law>). Das Bundesgericht kann auf seine Urteile nur zurückkommen, wenn einer der in den <ref-law> abschliessend aufgeführten Revisionsgründe vorliegt. Allfällige Revisionsgründe sind in gedrängter Form darzulegen (vgl. Art. 42 Abs. 2 i.V.m. Art. 121-123 BGG). Der Revisionsgrund hat sich auf den Gegenstand des zu revidierenden Urteils zu beziehen; handelt es sich dabei um einen Nichteintretensentscheid, muss der Revisionsgrund die Nichteintretensmotive beschlagen.
3.
Das zu beurteilende Revisionsgesuch geht an der Sache vorbei und genügt nicht den gesetzlichen Formvorschriften gemäss <ref-law> i.V.m <ref-law>. Die Gesuchstellerin beruft sich zwar formell auf die Revisionsgründe von <ref-law>. Sie verkennt jedoch deren Anwendungsbereich. Das Bundesgericht trat mit Urteil 6B_1268/2021 vom 10. Januar 2022 auf die Beschwerde im Verfahren nach <ref-law> nicht ein, weil die Eingabe keine den gesetzlichen Anforderungen genügende Begründung enthielt (<ref-law>). Diese formellrechtliche Würdigung lässt sich als solche im Revisionsverfahren nicht überprüfen.
Die Gesuchstellerin macht geltend, das Bundesgericht habe ihr "weniger zugesprochen als mit der Rechtsmittelbelehrung zugestanden" (<ref-law>) und ihren Beschwerdeantrag auf Freisprechung und Entschädigung unbeurteilt gelassen (<ref-law>). Sie übersieht, dass das Wesen des Nichteintretens auf eine Beschwerde darin liegt, dass die in der Sache gestellten Anträge und damit einhergehenden Ausführungen materiell nicht beurteilt werden (müssen). Das Verfahren endet aus formellen Gründen ohne Beurteilung der Rechtsbegehren. Damit scheidet eine Verletzung von Verfahrensvorschriften i.S. v. Art. 121 lit. b und c BGG, die ein Eintreten auf die Beschwerde voraussetzen, zwangsläufig aus. Die Revision kann sich nur auf die Eintretensfrage beziehen (Urteil 2F_26/2020 vom 10. Februar 2021 E. 2.2.1; 6F_30/2016 vom 20. Dezember 2016 E. 4 und 6F_18/2016 vom 12. September 2016 E. 2.3 mit Hinweisen).
Soweit die Gesuchstellerin dem Bundesgericht weiter vorwirft, die Vorschriften über die Besetzung des Gerichts verletzt (<ref-law>) und in den Akten liegende Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt (<ref-law>) zu haben, begründet sie mit ihren Ausführungen nicht das Vorliegen des jeweils angerufenen Revisionsgrunds, sondern beanstandet - unter dem subjektiven Eindruck, Opfer einer Fehlverurteilung und eines Justizirrtums geworden zu sein - im Ergebnis nur, dass das Bundesgericht auf die aus ihrer Sicht hinreichend begründete Beschwerde hätte eintreten und den Entscheid des Appellationsgerichts vom 24. September 2021 in einer Dreierbesetzung nach <ref-law> hätte überprüfen müssen. Damit beanstandet die Gesuchstellerin sinngemäss eine falsche Rechtsanwendung von <ref-law> und <ref-law> und übt Kritik an der rechtlichen Behandlung der Beschwerde, mit welcher sie im Revisionsverfahren nicht zu hören ist. Die rechtliche Beurteilung eines Sachverhalts kann von den Prozessparteien noch so als falsch empfunden werden, zu einer Revision berechtigt sie nicht (vgl. Urteil 6F_21/2020 vom 3. Februar 2021 E. 2.4 mit Hinweis).
Insgesamt ergibt sich aus der Eingabe der Gesuchstellerin nicht und es ist auch nicht ersichtlich, dass und inwiefern das Bundesgericht mit seinem Urteil 6B_1268/2021 vom 10. Januar 2022 und den dieses begründenden Erwägungen einen Revisionsgrund gemäss <ref-law> gesetzt haben könnte. Das Revisionsgesuch ist, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann, als offensichtlich unbegründet abzuweisen, ohne dass sich das Bundesgericht zu allen, teilweise nur schwer verständlichen Ausführungen der Gesuchstellerin ausdrücklich äussern müsste.
4.
Das bundesgerichtliche Verfahren ist nicht kostenfrei. Ausgangsgemäss trägt die Gesuchstellerin die Gerichtskosten (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist infolge Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Der finanziellen Lage der Gesuchstellerin ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).
5.
Das Bundesgericht behält sich vor, weitere offensichtlich unzulässige Revisionsgesuche in dieser Angelegenheit ohne förmliche Behandlung abzulegen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Der Gesuchstellerin werden die Gerichtskosten von Fr. 800.-- auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. März 2022
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Jacquemoud-Rossari
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill