Sachverhalt:
A.
Der 1957 geborene A._, der in einem Vollpensum als angestellter Schweisser und daneben als selbstständiger Landwirt tätig war, meldete sich am 13. April 2015 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Luzern gewährte ihm Unterstützung beim Arbeitsplatzerhalt (Mitteilung vom 23. Dezember 2015) und schloss die Arbeitsvermittlung nach einer Besprechung mit dem Versicherten am 7. März 2018 ab. Mit Vorbescheid vom 24. August 2018 kündigte die Verwaltung an, A._ habe rückwirkend ab 1. Oktober 2015 Anspruch auf eine ganze und ab dem 1. Januar 2018 auf eine halbe Invalidenrente. Daran hielt sie mit Verfügung vom 5. August 2019 fest. Am 5. November 2019 erging die entsprechende Berechnungsverfügung.
B.
Die gegen die Verfügung vom 5. August 2019 erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 1. Juli 2020 ab (5V 19 280). Auf die gegen die Berechnungsverfügung vom 5. November 2019 erhobene Beschwerde trat das Kantonsgericht ebenfalls mit Entscheid vom 1. Juli 2020 (5V 19 371) nicht ein.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten verlangt A._ die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids (5V 19 280) und die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung an das Kantonsgericht. Eventuell beantragt er, ihm sei rückwirkend ab 1. Oktober 2015 eine ganze Invalidenrente bis mindestens 31. Dezember 2017 und ab 1. Januar 2018 mindestens eine Dreiviertelsrente auszurichten.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie die von der IV-Stelle am 5. August 2019 verfügte Herabsetzung der ganzen auf eine halbe Invalidenrente auf den 1. Januar 2018 hin bestätigte.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer macht eine Verletzung der Begründungspflicht (als Teilgehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> und <ref-law>) geltend.
Er führt aus, er könne nicht nachvollziehen, weshalb die Vorinstanz nicht der Arbeitsfähigkeitsschätzung des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) gefolgt sei, da eine entsprechende Begründung im angefochtenen Entscheid fehle. Damit dringt der Versicherte nicht durch. Denn das kantonale Gericht gab zu erkennen, von welchen Überlegungen es sich leiten liess. So führte es aus, der RAD habe bei seiner Einschätzung noch nicht über den beweiskräftigen Bericht des Kreisarztes Dr. med. B._, Facharzt für Chirurgie sowie Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates, vom 15. September 2017 verfügt. Darüber hinaus sei der Beschwerdeführer von Dr. med. B._ persönlich untersucht worden, weshalb auf die Einschätzung des RAD, der keine Exploration zugrunde liege, nicht abgestellt werden könne.
Im Weiteren begründete die Vorinstanz entgegen den Vorbringen des Beschwerdeführers auch, aus welchen Gründen sie den von der IV-Stelle gewährten leidensbedingten Tabellenlohnabzug im Umfang von 10 % bestätigte.
3.2. Eine sachgerechte Anfechtung war damit in beiden Punkten zweifellos möglich (vgl. statt vieler: <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 436 mit Hinweisen). Die Rüge der Gehörsverletzung ist unbegründet.
4.
4.1. Das kantonale Gericht erwog, dem kreisärztlichen Bericht des Dr. med. B._ vom 15. September 2017 komme Beweiswert zu. Unbestritten seien nur Unfallfolgen als Gesundheitsschäden mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit zu beurteilen. In Anlehnung an die soeben genannte ärztliche Stellungnahme kam die Vorinstanz zum Schluss, dass der Beschwerdeführer seit dem Unfall vom 20. Juni 2014 als vollständig arbeitsunfähig gelte. Ab dem 13. September 2017 (kreisärztliche Untersuchung) sei ihm eine leidensangepasste Tätigkeit wieder im Umfang von 50 % zumutbar.
4.2. Der Versicherte macht dagegen geltend, die Feststellung der Vorinstanz, wonach sich auf die Erwerbsfähigkeit nur rein unfallbedingte Diagnosen und Einschränkungen auswirken würden, widerspreche den medizinischen Stellungnahmen des RAD vom 5. April und 21. August 2017. Dieser habe, anders als Dr. med. B._, weiterhin eine vollständige Arbeitsunfähigkeit attestiert. Erst ab dem 1. März 2017 sei der RAD von einer 40%igen Arbeitsfähigkeit in einer angepassten Tätigkeit ausgegangen.
4.3.
4.3.1. Vorab ist dem Beschwerdeführer dahingehend beizupflichten, dass die Invalidenversicherung final konzipiert ist (vgl. <ref-ruling> E. 5.3.1 S. 225 mit Hinweis). Somit sind grundsätzlich auch die unfallfremden Einschränkungen zu berücksichtigen. Daraus kann der Versicherte hier jedoch nichts zu seinen Gunsten ableiten. Denn das kantonale Gericht würdigte die medizinischen Akten und begründete, weshalb es auf den Bericht des Dr. med. B._ abstellte und warum es für die Arbeitsfähigkeitsbeurteilung nur die Unfallfolgen als relevant erachtete.
Der Versicherte vermag allein mit dem Hinweis auf die Berichte des RAD, die nach dem Gesagten in der vorinstanzlichen Beweiswürdigung Berücksichtigung fanden, nicht darzutun, inwiefern die Sachverhaltsfeststellungen des kantonalen Gerichts offensichtlich unrichtig oder sonstwie bundesrechtswidrig sein sollen. So handelt es sich bei den vom Beschwerdeführer vorgebrachten Leiden - bis auf die Allergieerkrankung - um Beschwerden, die vom Kreisarzt ebenfalls aufgegriffen und beurteilt wurden. So gab auch Dr. med. B._ an, dass der Versicherte unter Bewegungseinschränkungen des revaskulisierten osteosynthetisch versorgten subtotal amputierten rechten Zeigefingers leide. Ob eine Kraftverminderung in den Händen vorliegt, prüfte auch Dr. med. B._. Er konnte jedoch keine solche erkennen. Gemäss dem Kreisarzt sei der Händedruck seitengleich kräftig gewesen. Ebenfalls erachtete auch Dr. med. B._ das permanente Tragen von festem orthopädischem Schuhwerk mit links integrierter Heidelberger-Schiene als notwendig. Der RAD listete zwar eine allergische Alveolitis bei beruflicher Exposition (Bauer) sowie eine leichte obstruktive Bronchitis bei den Diagnosen mit Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit auf, was nicht nachvollziehbar ist. Denn die von ihm angenommene 40%ige Arbeitsfähigkeit führte er einzig auf die Unterschenkel- sowie die Handproblematik zurück.
4.3.2. Nach dem Gesagten ist die vorinstanzliche Annahme, der Beschwerdeführer sei ab dem 13. September 2017 in einer leidensangepassten Tätigkeit wieder 50 % arbeitsfähig, zumindest nicht willkürlich.
5.
5.1. Was die Verwertbarkeit der dem Beschwerdeführer in einer Verweisungstätigkeit bescheinigten Arbeitsfähigkeit aus Gründen des Alters anbelangt, stellte das kantonale Gericht in Anwendung der massgeblichen Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 3.3 S. 462) auf den Bericht des Dr. med. B._ vom September 2017 ab. Die Vorinstanz führte aus, der damals 60-jährige Versicherte sei noch vor einer Aktivitätsdauer von knapp fünf Jahren gestanden. Er habe nach der obligatorischen Schulzeit eine Lehre als Carrosseriespengler gemacht und anschliessend in diesem Beruf gearbeitet. Während zehn Jahren habe er diese Tätigkeit als Selbstständigerwerbender ausgeführt. Seit 1996 sei er als Schweisser und Teamleiter bei der C._ AG tätig gewesen. Ausserdem habe er 1993 den elterlichen Hof mit ca. 20 Pferden übernommen. Der Beschwerdeführer verfüge daher über langjährige Berufserfahrung in verschiedenen Bereichen und Positionen (selbstständig, angestellt, Führungsfunktion). Trotz der gesundheitlichen Einschränkungen, die ihm insbesondere handwerkliche Tätigkeiten nicht mehr bzw. nur noch in einer Hilfs-/Zudienfunktion zumutbar seien, ständen ihm noch genügend Tätigkeiten offen, die er verrichten könne.
5.2. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, dass die Vorinstanz offensichtlich unrichtige Tatsachenfeststellungen getroffen oder sonstwie Bundesrecht verletzt hätte. Mit Blick auf das Zumutbarkeitsprofil des Dr. med. B._ (Bericht vom 15. September 2017) macht der Versicherte zwar zu Recht geltend, dass ihm feinmotorische Tätigkeiten nicht mehr möglich seien. Dass damit jedoch sämtliche Überwachungs- und Kontrollfunktionen ausscheiden würden, die das kantonale Gericht namentlich als zumutbar erachtete, vermag nicht zu überzeugen.
6.
6.1. Bei versicherten Personen, deren Rente revisionsweise herabgesetzt oder aufgehoben werden soll, sind nach mindestens fünfzehn Jahren Bezugsdauer oder wenn sie das 55. Altersjahr zurückgelegt haben, praxisgemäss in der Regel vorgängig Massnahmen zur Eingliederung durchzuführen, bis sie in der Lage sind, das medizinisch-theoretisch (wieder) ausgewiesene Leistungspotenzial mittels Eigenanstrengung auszuschöpfen und erwerblich zu verwerten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 211).
In Anlehnung daran erwog die Vorinstanz, für die Herabsetzung der ganzen auf eine halbe Invalidenrente auf den 1. Januar 2018 hin seien grundsätzlich vorgängige Eingliederungsmassnahmen erforderlich. Mit Mitteilung vom 27. November 2017 habe die Verwaltung dem Beschwerdeführer Beratung und Unterstützung beim Erhalt des derzeitigen Arbeitsplatzes durch die Eingliederungsberatung gewährt. Am 14. Dezember 2017 sei ein Arbeitgebergespräch zusammen mit Vertretern des Unfallversicherers und der C._ AG durchgeführt worden, wobei die IV-Stelle erneut den Anspruch auf Arbeitsvermittlung bestätigt habe. Die Arbeitgeberin habe mitgeteilt, dass sie den Beschwerdeführer weiterhin beschäftigen wolle. Am 6. März 2018 sei die Bekanntgabe des Versicherten gegenüber der IV-Stelle erfolgt, dass er bei der C._ AG bleiben werde, so gut es gehe. Für ihn stimme dies und er benötige keine Unterstützung mehr. Gemäss Vorinstanz schloss die IV-Stelle die Arbeitsvermittlung mit Mitteilung vom 7. März 2018 ab. Das kantonale Gericht kam in Anlehnung an diese Feststellungen zum Schluss, dass es für die IV-Stelle - auch wegen mangelndem Eingliederungswillen seitens des Beschwerdeführers - keinen Eingliederungsbedarf gegeben habe.
6.2. Es ist fraglich, ob diese vorinstanzlichen Erwägungen im Lichte der bundesgerichtlichen Rechtsprechung bundesrechtskonform sind (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 211). Insbesondere stellt sich die Frage, ob dem Versicherten mangelnder Eingliederungswille vorgeworfen werden kann und ob die IV-Stelle in dieser Konstellation auf Eingliederungsmassnahmen - oder zumindest auf ein Mahn- und Bedenkzeitverfahren - verzichten durfte. Dies kann jedoch offen bleiben, da das kantonale Gericht im Sinne einer Eventualbegründung erkannte, dass der Beschwerdeführer so oder anders zur Selbsteingliederung fähig gewesen sei. So habe bei ihm keine lange Absenz vom Arbeitsmarkt vorgelegen, da er in den letzten Jahren stets - wenn auch mit gesundheitsbedingten Unterbrüchen - für die C._ AG gearbeitet habe. Ausserdem verfüge er über eine langjährige Berufserfahrung in verschiedenen Bereichen sowie Funktionen und sei darüber hinaus nach Lage der Akten als genügend agil, gewandt und integriert zu betrachten. In Anbetracht dieser vom Versicherten nicht bestrittenen und somit für das Bundesgericht verbindlichen (vgl. E. 1 oben) Tatsachen sowie der darauf abgestützten und nicht weiter angefochtenen Eventualbegründung verletzte die Vorinstanz kein Bundesrecht, wenn sie im Ergebnis von der Zumutbarkeit der Selbsteingliederung ausging.
7.
7.1. Für die Ermittlung des Valideneinkommens ist entscheidend, was die versicherte Person im massgebenden Zeitpunkt aufgrund ihrer beruflichen Fähigkeiten und persönlichen Umstände nach dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit als Gesunde tatsächlich verdienen würde. Die Einkommensermittlung hat so konkret wie möglich zu erfolgen. Da nach empirischer Feststellung in der Regel die bisherige Tätigkeit im Gesundheitsfall weitergeführt worden wäre, ist Anknüpfungspunkt für die Bestimmung des Valideneinkommens grundsätzlich der letzte vor Eintritt der Gesundheitsschädigung erzielte, nötigenfalls der Teuerung und der realen Einkommensentwicklung angepasste Verdienst (<ref-ruling> E. 4.1 S. 325 f.; <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 224 mit Hinweisen; vgl. auch Urteil 9C_651/2019 vom 18. Februar 2020 E. 6.2 mit Hinweisen). Praxisgemäss gehören dazu - ohne Rücksicht auf den hiefür erforderlichen zeitlichen oder leistungsmässigen Aufwand - namentlich auch Einkünfte aus einer Nebenbeschäftigung, sofern sie bereits im Gesundheitsfall erzielt wurden und weiterhin erzielt worden wären, wenn die versicherte Person keine gesundheitliche Beeinträchtigung erlitten hätte (Urteil 8C_671/2010 vom 25. Februar 2011 E. 4.5.2 mit weiteren Hinweisen, in: SVR 2011 IV Nr. 55 S. 163).
7.2.
7.2.1. Basierend auf dem zuletzt erzielten Einkommen des Versicherten als Schweisser bei der C._ AG ermittelte das kantonale Gericht ein Valideneinkommen in der Höhe von Fr. 77'090.-. In Bezug auf die Tätigkeit als Landwirt stellte es auf die Ergebnisse des Abklärungsberichts Landwirtschaft vom 21. August 2018 ab. Es bestätigte die Annahme der IV-Stelle, wonach ein im Gesundheitsfall erzieltes relevantes Erwerbseinkommen aus der Landwirtschaft zu verneinen sei mit der Begründung, der Beschwerdeführer habe zwar mit seinem Landwirtschaftsbetrieb in den meisten Jahren ein (geringfügig) positives Ergebnis erzielt. Werde dieses jedoch in ein Verhältnis zu den aufgewendeten Stunden gestellt, sei nicht von einer eigentlichen Erwerbstätigkeit auszugehen. Es könne offen bleiben, ob die im Jahr 2012 erhaltenen Taggelder in der Höhe von Fr. 17'740.- als Einkommen anzurechnen seien oder ob sie nicht ohnehin aufgrund von <ref-law> ausser Acht zu lassen wären. Ebenfalls müsse die Frage nicht beantwortet werden, ob der Eigenmietwert im Umfang von Fr. 13'447.- vom Einkommen als selbstständiger Landwirt in Abzug zu bringen sei.
7.2.2. Der Betrag von Fr. 77'090.- bleibt vom Beschwerdeführer unangefochten, weshalb darauf nicht weiter einzugehen ist. Er bringt jedoch vor, die Vorinstanz habe <ref-law> verletzt, indem sie den im Rahmen seiner selbstständigen Tätigkeit als Landwirt erzielten Verdienst unberücksichtigt gelassen habe. Es sei auf die Einträge in seinem Individuellen Konto (IK) abzustellen, wonach er von 2010 bis 2012 ein durchschnittliches Jahreseinkommen von Fr. 9246.25 erzielt habe. Würden die Jahre 2007 bis 2012 betrachtet, sei sogar ein durchschnittliches Einkommen von Fr. 12'029.- heranzuziehen.
7.3.
7.3.1. Die Vorinstanz ging davon aus, dass der Beschwerdeführer mit seinem Landwirtschaftsbetrieb in den meisten Jahren ein (geringfügig) positives Ergebnis erwirtschaftet habe. Ihre Schlussfolgerung, wonach bei diesen Einkünften im Verhältnis zu den aufgewendeten Stunden von keinem relevanten Erwerb ausgegangen werden könne, hält mit Blick auf die Rechtsprechung (E. 7.1 oben) nicht stand. Es handelt sich unbestritten um einen Verdienst aus der selbstständigen Landwirtschaftstätigkeit, den der Versicherte bei der Ausgleichskasse meldete und auch abrechnete. Weshalb dieses Einkommen letztlich keinen relevanten Nebenverdienst darstellen soll, ist mit der Begründung der Vorinstanz nicht nachvollziehbar. Denn der zeitliche oder leistungsmässige Aufwand, den der Beschwerdeführer aufwendete, um dieses Einkommen zu erzielen, führt nicht zum vornherein dazu, dass es im Rahmen des Valideneinkommens unberücksichtigt zu bleiben hat (vgl. E. 7.1). Das kantonale Gericht liess folglich den genauen Betrag des Verdienstes aus der Landwirtschaft mit dieser Begründung zu Unrecht offen.
7.3.2. Dem Versicherten ist darin beizupflichten, dass zur Bestimmung des Valideneinkommens bei Selbstständigerwerbenden zumeist auf die im IK eingetragenen Einkommen abzustellen ist (Urteil 8C_529/2017 vom 22. November 2017 E. 2.2 mit weiteren Hinweisen). Es steht jedoch sowohl der versicherten Person als auch der Verwaltung und im Beschwerdefall dem Gericht der Gegenbeweis offen, dass das tatsächlich erzielte (beitragspflichtige) Einkommen (erheblich) höher oder tiefer ist als die verabgabten IK-Einkünfte (vgl. Urteile 8C_328/2020 vom 3. September 2020 E. 2.2 mit Hinweis auf 8C_9/2009 vom 10. November 2009 E. 3.3, in: SVR 2010 IV Nr. 26 S. 79; 8C_443/2018 vom 30. Januar 2019 E. 2.1 und 9C_48/2018 vom 18. Mai 2018 E. 6.1). Die Vorinstanz legte in Anlehnung an den Abklärungsbericht Landwirtschaft vom 21. August 2018 dar, dass in den letzten fünf Jahren vor dem ersten Unfallereignis von 2014 jeweils die Minimaleinkommen verbucht worden seien. Die Verwaltung habe daher korrekterweise bei der Ausgleichskasse die effektiv erwirtschafteten Einkommen erfragt und diese im Zusammenspiel mit den Angaben der Steuerbehörde berücksichtigt. Damit ist für das Bundesgericht verbindlich festgestellt, dass der tatsächlich erzielte Verdienst nicht dem Betrag im IK-Auszug entspricht, weshalb die dort aufgeführten Einkünfte nicht in diesem Umfang übernommen werden können. Die Sache ist daher an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie das anrechenbare Einkommen aus der selbstständigen Landwirtschaftstätigkeit klärt bzw. das Valideneinkommen neu beurteilt.
7.4. Weiter nahm das kantonale Gericht ein Invalideneinkommen von Fr. 31'936.82 an. Dabei berücksichtigte es einen Abzug vom Tabellenlohn von 10 %, den es mit der dem Beschwerdeführer lediglich noch zumutbaren Teilzeitarbeit und mit dessen Alter rechtfertigte. Der Versicherte verlangt einen Abzug von mindestens 15 %. Er verweist auf die vorinstanzlichen Erwägung zur Frage nach der Verwertbarkeit der Restarbeitsfähigkeit (E. 5.6.2) und macht geltend, gemäss Zumutbarkeitsprofil des Dr. med. B._ und gestützt darauf, dass er nur noch mit Automatikgetriebe fahren könne, sei ein zusätzlicher Leidensabzug von nicht unter 5 % zu gewähren. Dazu ist festzuhalten, dass Dr. med. B._ bei seiner Arbeitsfähigkeitsschätzung und dem Zumutbarkeitsprofil bereits berücksichtigte, dass der Beschwerdeführer keine Gegenstände mehr heben und tragen kann, die schwerer als 15 kg sind und ihm feinmotorische Arbeiten nicht mehr zumutbar sind. Auch mit Blick auf diese Einschränkungen kann davon ausgegangen werden, dass noch von einem genügend breiten Spektrum an realisierbaren Tätigkeiten auszugehen ist. Der Versicherte vermag nicht darzutun, dass das kantonale Gericht sein Ermessen rechtsmissbräuchlich angewendet haben soll, weshalb es beim vorinstanzlichen Abzug von 10 % sein Bewenden hat.
Im Übrigen ist das Invalideneinkommen masslich unbestritten, weshalb sich diesbezüglich Weiterungen erübrigen.
8.
Zusammenfassend ist die Beschwerde insofern gutzuheissen, als die Sache an das kantonale Gericht zurückzuweisen ist, damit es das Valideneinkommen in Bezug auf die Landwirtschaftstätigkeit ermittle. Gestützt darauf wird es unter Berücksichtigung des vorstehend festgestellten Invalideneinkommens über den Rentenanspruch ab 1. Januar 2018 neu zu entscheiden haben.
9.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz gilt für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten wie auch der Parteientschädigung als vollständiges Obsiegen im Sinne von Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG (vgl. <ref-ruling> E. 11.1 S. 312). Demgemäss sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin zu überbinden (<ref-law>). Des Weiteren hat sie dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Kantonsgerichts Luzern vom 1. Juli 2020 wird aufgehoben. Die Sache wird im Sinne der Erwägungen zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 1. April 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Huber