Sachverhalt:
A.
A.a. Die C._ GmbH (Klägerin 1, Gesuchstellerin 1), wurde 1992 gegründet und bezweckt den "Vertrieb von Nahrungsergänzungsmitteln für Boden, Pflanzen, Tier und Mensch sowie von technischen Produkten zur Vitalisierung". Sie betreibt seit 2013 eine Zweigniederlassung in U._. D._ (Kläger 2, Gesuchsteller 2), ist als Geschäftsführer der C._ GmbH eingetragen.
A.b. Die A._ GmbH (Beklagte, Gesuchsgegnerin) bezweckt den "Vertrieb von marktgerechten Agrar-, Gebrauchs- und Verbrauchsprodukten, insb. Heimtierfutter und Nahrungsergänzungen für Boden, Pflanzen, Tier und Mensch sowie Erbringung von Dienstleistungen in diesen Bereichen, vorwiegend in der Schweiz". Sie wurde am 21. März 2007 gegründet und am 10. Mai 2007 unter der Firma "E._ GmbH" ins Handelsregister eingetragen. Die Umfirmierung in A._ GmbH erfolgte am 2. April 2014.
A.c. Die A._ GmbH ist Inhaberin der CH-Wortmarke Nr. 629 410 "REICO" und der CH-Wort-/Bildmarke Nr. 629 989 "REICO", die beide am 1. Dezember 2011 hinterlegt wurden. Am 14. Dezember 2011 registrierte sie den Domainnamen "reico-vital-systeme.com". Die C._ GmbH ist Inhaberin der am 12. März 2007 registrierten deutschen Wort-/Bildmarke DE 30722813 "REICO VITAL-SYSTEME" sowie des Domainnamens "reico-schweiz.com". D._ ist Inhaber der Gemeinschaftswortmarke Nr. 008808842 "REICO" mit Priorität vom 13. Januar 2010 und hat am 19. Februar 2013 eine Gemeinschafts-Wort-/Bildmarke "REICO VITAL-SYSTEME" angemeldet.
A.d. Am 12. Dezember 2013 gelangten die Kläger an das Handelsgericht des Kantons St. Gallen mit den Begehren, es sei der Beklagten unter Strafandrohung zu verbieten, unter den (Wort- sowie Wortbild-) Zeichen "REICO", "REICO Schweiz", "Reico-Vital-Schweiz" und/oder "Reico Vital Systeme" Tierfutter, Nahrungsergänzungsmittel, Boden- und Pflanzenprodukte und/oder Körperhygieneprodukte zu bewerben, anzubieten, in Verkehr zu bringen etc. (Ziffer 1) und es sei ihr zu verbieten, diese Zeichen als Unternehmensbezeichnung im geschäftlichen Verkehr zu verwenden (Ziffer 2). Die Beklagte sei zudem zu verpflichten, ihr die CH-Marken Nr. 629 410 "REICO" und Nr. 629 989 "REICO" zu übertragen, eventuell seien diese nichtig zu erklären (Ziffer 3). Die Beklagte sei ausserdem zu verpflichten, sämtliche für die entschädigungslose Übertragung des Domainnamens "reico-vital-schweiz.com" erforderlichen Erklärungen abzugeben, eventuell sei die Nichtigkeit dieses Namens festzustellen und die US-Registrierungsbehörde anzuweisen, ihn zu löschen (Ziffer 4).
A.e. Mit Entscheid vom 5. Juli 2016 hiess das Handelsgericht des Kantons St. Gallen die Klage im Wesentlichen gut. Mit Urteil 4A_489/2016 vom 27. Februar 2017 (<ref-ruling>) hiess das Bundesgericht die Beschwerde der Beklagten gut und wies die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurück.
Mit Entscheid vom 16. Mai 2017 hiess das Handelsgericht des Kantons St. Gallen die Klage wiederum gut.
B.
B.a. Mit Urteil vom 3. Januar 2018 (4A_429/2017) hiess das Bundesgericht die Beschwerde der Beklagten gut, hob den Entscheid des Handelsgerichts St. Gallen vom 16. Mai 2017 auf und wies die Klage ab.
B.b. Mit Revisionsgesuch vom 16. Februar 2018 stellen die Kläger die Anträge, (1) es sei das Urteil des Bundesgerichts 4A_429/2017 vom 3. Januar 2018 aufzuheben und die Beschwerde der Gesuchsgegnerin gegen den Entscheid des Handelsgerichts des Kantons St. Gallen vom 16. Mai 2017 abzuweisen, (2) eventualiter sei das Urteil des Bundesgerichts 4A_429/2017 vom 3. Januar 2018 aufzuheben und die Sache an das Handelsgericht des Kantons St. Gallen zur Neubeurteilung insbesondere mit der Anweisung zurückzuweisen, den Sachverhalt auf Prioritätsrechte der Gesuchsteller am Domainnamen "reico-schweiz.com" sowie am Handelsnamen "REICO" zu prüfen, und dabei - soweit diesbezügliche Vorbringen der Gesuchsteller substanziiert bestritten worden sind - den Gesuchsteller 2 als Partei zu befragen, die Beweisaussage des Gesuchstellers 2 einzuholen sowie Herrn F._, Herrn RA G._, Frau H._ und Herrn I._ als Zeugen einzuvernehmen, sowie abzuklären, ob die Gesuchsgegnerin die von den Gesuchstellern behauptete Übernahme des Marketingplans substanziiert bestritten hat. Die Gesuchsteller berufen sich auf <ref-law> und bringen vor, das Bundesgericht habe übersehen, dass (1) die Gesuchstellerin 1 den Domainnamen reico-schweiz.com bereits registriert und benutzt habe, bevor die Gesuchsgegnerin ihre Rechtspersönlichkeit erlangte, dass (2) die Gesuchstellerin 1 der Gesuchsgegnerin den Domainnamen reico-schweiz.com zur Benutzung zur Verfügung gestellt und die Kontrolle darüber behalten habe, dass (3) die Gesuchstellerin ihren Handelsnamen REICO bereits benutzt habe, bevor die Gesuchsgegnerin ihre Rechtspersönlichkeit erlangt habe, dass (4) die Gesuchsgegnerin im Verfahren vor dem Handelsgericht nicht bestritten habe, den Marketingplan der Gesuchsteller übernommen zu haben und dass (5) sich die Kündigung vom 3. Mai 2013 auf das gesamte Vertragsverhältnis der Parteien bezogen und insbesondere auch die Nutzung des Domainnamens reico-schweiz.com beinhaltet habe.
B.c. Es wurde keine Vernehmlassung eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Revisionsgesuch wegen Verletzung von Verfahrensvorschriften ist innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des Entscheids einzureichen (<ref-law>). Das Revisionsgesuch gegen das Urteil vom 3. Januar (zugestellt am 17. Januar) 2018, mit dem die Gesuchsteller Verfahrensfehler rügen, ist fristgerecht eingereicht worden. Die Legitimation ist gegeben (<ref-ruling> E. 2.5.2). Auf das Gesuch ist unter Vorbehalt gehöriger Begründung (Art. 42 Abs. 2, 106 Abs. 2 BGG) einzutreten.
2.
Die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts kann unter anderem verlangt werden, wenn das Gericht in den Akten liegende, erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat.
2.1. Der Revisionsgrund von <ref-law> liegt nur vor, wenn das Gericht eine Tatsache oder ein bestimmtes Aktenstück übersehen oder mit einem falschen Wortlaut wahrgenommen hat, nicht wenn die Tatsache oder das Aktenstück in der äusseren Erscheinung richtig wahrgenommen wurde, aber allenfalls eine unzutreffende beweismässige oder rechtliche Würdigung vorgenommen worden ist. Ein Versehen liegt auch nicht vor, wenn die materiellrechtliche Beurteilung aus prozessrechtlichen Gründen abgelehnt worden ist und deshalb einzelne (verfahrensrechtliche) Anträge (Beweis, Sistierung usw.) unbeurteilt geblieben sind (<ref-ruling> E. 2a; Urteile 2F_20/2012 vom 25. September 2012 E. 2.1, 5F_7/2012 vom 7. September 2012 E. 1 und 4F_1/2007 vom 13. März 2007 E. 6.1; PIERRE FERRARI, in: Corboz et al. [Hrsg.], Commentaire de la LTF, 2. Aufl. 2014, N. 17 f. zu <ref-law>). Der entsprechende Revisionsgrund kann zudem nur angerufen werden, wenn "erhebliche Tatsachen" unberücksichtigt geblieben sind, d.h. solche, die zugunsten des Gesuchstellers zu einer anderen Entscheidung hätten führen müssen, wären sie berücksichtigt worden. Die Revision dient nicht dazu, um angebliche Rechtsfehler des Bundesgerichts zu korrigieren (<ref-ruling> E. 3; Urteile 4F_20/2013 vom 11. Februar 2014 E. 3.1; 2F_20/2012 vom 25. September 2012 E. 2.1; 5F_7/2012 vom 7. September 2012 E. 2.3). Mit ihren Vorbringen kritisieren die Gesuchsteller weitgehend die tatsächliche und rechtliche Würdigung im Urteil 4A_429/2017 vom 3. Januar 2018. Dazu steht das Revisionsverfahren nicht zur Verfügung. Soweit sich die Gesuchsteller nicht auf Tatsachen berufen, die aus Versehen im Sinne von <ref-law> unbeachtet geblieben sein sollen, ist auf ihre Vorbringen nicht einzugehen.
2.2. Die Gesuchsteller kritisieren die Erwägung in E. 3.2 des Bundesgerichtsurteils vom 3. Januar 2018 als "blanken Irrtum", wonach sich aus dem vom Handelsgericht festgestellten Sachverhalt nicht ergebe, dass die Beschwerdegegner am umstrittenen Zeichen in der Schweiz vor der Eintragung der Marken in irgendeiner Weise berechtigt gewesen wären. Sie erkennen zwar, im angefochtenen Urteil werde festgehalten, dass die Gesuchstellerin 1 Inhaberin des Domainnamens reico-schweiz.com ist. Sie rügen jedoch, das Bundesgericht habe versehentlich nicht berücksichtigt, dass der betreffende Domainname bereits am 21. März 2007 von der Gesuchstellerin 1 registriert und gebraucht worden sei, und damit bevor die am 21. März 2007 gegründete Gesuchsgegnerin mit Handelsregistereintrag vom 10. Mai 2007 ihre Rechtspersönlichkeit erlangt habe. Die Gesuchsteller berufen sich für das Datum der Registrierung des Domainnamens auf die Akten des kantonalen Verfahrens, nämlich ihre Klage sowie ihren Parteivortrag. Dass die von ihnen im vorliegenden Verfahren als erheblich angesehene Tatsache im Entscheid des Handelsgerichts vom 16. Mai 2017 festgestellt sei (vgl. <ref-law>) oder die Gesuchsteller im bundesgerichtlichen Verfahren 4A_429/2017 prozesskonform eine Ergänzung des verbindlichen Sachverhalts beantragt hätten, weisen sie nicht nach. Dasselbe gilt für die angeblich versehentlich nicht berücksichtigte Tatsache, dass die Gesuchsgegnerin von der Gesuchstellerin 1 zum Gebrauch des Domainnamens reico-schweiz.com berechtigt und verpflichtet worden sei, wobei die Gesuchstellerin 1 stets die Kontrolle über die Domain und die Vertriebsplattform behalten habe. Unter diesen Umständen ist davon auszugehen, dass diese behaupteten Tatsachen nicht aus Versehen, sondern aus prozessualen Gründen unberücksichtigt geblieben ist.
2.3. Als offensichtliches Versehen beanstanden die Gesuchsteller sodann die Erwägung des Bundesgerichts in E. 3.2 wonach sie im Verfahren vor Handelsgericht mit dem Hinweis auf eine "Lieferung" nach der Gründung der Gesuchsgegnerin, aber vor deren Eintragung im Handelsregister, die Gebrauchspriorität des Zeichens "REICO" nicht beweisen konnten. Sie halten dafür, das Bundesgericht habe versehentlich nicht berücksichtigt, dass sie sich nicht allein auf eine Lieferung, sondern insbesondere auch auf den Gebrauch des Handelsnamens REICO auf einer Rechnung berufen hätten. Das Bundesgericht hat sich in diesem Zusammenhang - wie die Gesuchsteller selbst erkennen - ausdrücklich mit ihrem damaligen Vorbringen auseinandergesetzt, sie hätten entgegen dem Schluss des Handelsgerichts den Gebrauch des Zeichens "REICO" nach der Gründung, aber vor dem Handelsregistereintrag bewiesen, indem sie eine Rechnung vorlegten. Es ist offensichtlich, dass der Ausdruck "Lieferung" sich auf die gesamte Transaktion mit entsprechendem Gebrauch des Zeichens bezieht und auch die Rechnungsstellung umfasst. Ein Versehen liegt nicht vor.
2.4. Ein weiteres Versehen werfen die Gesuchsteller dem Bundesgericht sodann im Zusammenhang mit der angeblichen Übernahme des Marketingplans durch die Gesuchsgegnerin vor. Die Gesuchsteller hatten im bundesgerichtlichen Verfahren geltend gemacht, das Handelsgericht habe festgestellt, dass die Gesuchsgegnerin die Übernahme des Marketingplans zugestanden habe. Dem widersprach das Bundesgericht im Urteil vom 3. Januar 2018 und hielt fest, solches habe die Vorinstanz nicht festgestellt; an der von den Gesuchstellern angerufenen Stelle im angefochtenen Entscheid des Handelsgerichts waren lediglich ihre eigenen Vorbringen dargestellt. Die Gesuchsteller bestreiten dies im Revisionsgesuch nicht. Vielmehr bringen sie vor, dem Urteil des Handelsgerichts lasse sich nicht entnehmen, dass die Gesuchsgegnerin die Behauptung der Übernahme des Marketingplans bestritten hätte. Dies habe das Bundesgericht versehentlich nicht berücksichtigt. Ein Versehen liegt entgegen der Ansicht der Gesuchsteller nicht vor. Das Bundesgericht hat die Rüge der Gesuchsteller behandelt und verworfen, wonach die Gesuchsgegnerin die Übernahme des Marketingplans zugestanden habe. Wenn sie nun geltend machen, die Gesuchsgegnerin habe die Übernahme nicht bestritten, so versuchen sie lediglich mit anderer Argumentation den Entscheid in der Sache zu kritisieren, was im Revisionsverfahren nicht zulässig ist.
2.5. Schliesslich kritisieren die Gesuchsteller, das Bundesgericht habe versehentlich nicht berücksichtigt, dass die Gesuchstellerin 1 mit Schreiben vom 3. Mai 2013 die zwischen den Parteien bestehende "Kooperationsvereinbarung" aus wichtigem Grund gekündigt habe; daraus ergebe sich, dass sie ebenfalls der Auffassung gewesen sei, zwischen den Parteien habe ein Vertragsverhältnis bestanden. Dies habe das Bundesgericht übersehen in seiner Erwägung 2.4.4, wonach namentlich die beabsichtigte Zusammenarbeit nicht zustande kam, "denn die Beschwerdegegnerin 1 [d.h. die Gesuchstellerin 1 im vorliegenden Verfahren] bestritt in ihrer Kündigung vom 3. Mai 2013 eine Verpflichtung zur Belieferung der Beschwerdeführerin, während die Beschwerdeführerin ihrerseits behauptete, es bestehe ein Vertriebsvertrag mit ihr". Das Bundesgericht hat den im damals angefochtenen Entscheid des Handelsgerichts wiedergegebenen Wortlaut des Kündigungsschreibens der Gesuchstellerin 1 zutreffend zur Kenntnis genommen. Es hat aus diesem Schreiben andere Schlüsse gezogen als die Gesuchsteller. Ein Versehen liegt nicht vor. Soweit die Gesuchsteller im Übrigen auch im vorliegenden Zusammenhang materielle Kritik am Urteil vom 3. Januar 2018 üben, verkennen sie den Zweck des Revisionsverfahrens.
2.6. Die von den Gesuchstellern beanstandeten tatsächlichen Feststellungen im angefochtenen Urteil vom 3. Januar 2018 beruhen nicht auf Versehen. Der angerufene Revisionsgrund liegt nicht vor.
3.
Das Revisionsgesuch ist abzuweisen. Diesem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten den Gesuchstellern (solidarisch, intern zu gleichen Teilen) zu auferlegen (<ref-law>). Da keine Vernehmlassung eingeholt wurde, sind der Gesuchsgegnerin keine entschädigungspflichtigen Parteikosten erwachsen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden den Gesuchstellern (solidarisch, intern je zur Hälfte) auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. März 2018
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Die Gerichtsschreiberin: Marti-Schreier