Sachverhalt:
A.
Mit Urteil vom 11. September 2014 sprach das Grundgericht Prizren in Kosovo A._ der schweren und der leichten Körperverletzung schuldig und verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von zwei Jahren und sechs Monaten. Mit Urteil vom 25. Februar 2015 gab das Appellationsgericht Kosovo der Berufung von A._ nicht statt und bestätigte damit das erstinstanzliche Urteil.
Die kosovarischen Behörden schrieben A._ am 21. August 2017 über Interpol zur Fahndung und Festnahme aus. Am 17. September 2017 wurde er in Basel festgenommen. Gleichtags ordnete das Bundesamt für Justiz (BJ) die provisorische Auslieferungshaft an.
Am 3. Oktober 2017 übermittelte die Botschaft der Republik Kosovo in Bern dem BJ ein Ersuchen um Auslieferung zur Vollstreckung der erwähnten Freiheitsstrafe. Das Ersuchen wurde später mit weiteren Unterlagen ergänzt. A._ widersetzte sich der Auslieferung. Mit Entscheid vom 21. November 2017 wurde sie vom BJ bewilligt.
Dagegen erhob A._ am 21. Dezember 2017 beim Bundesstrafgericht Beschwerde. Mit Entscheid vom 15. Februar 2018 wies das Bundesstrafgericht die Beschwerde ab, ebenso das akzessorisch gestellte Haftentlassungsgesuch. Gleichzeitig machte es die Auslieferung von der Bedingung abhängig, dass Kosovo eine Reihe von Garantieerklärungen betreffend die Haftbedingungen und das Besuchsrecht durch die diplomatische Vertretung der Schweiz sowie durch die Angehörigen abgibt.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht vom 26. Februar 2018 beantragt A._, der Entscheid des Bundesstrafgerichts sei aufzuheben und das Auslieferungsersuchen abzuweisen. Er selbst sei umgehend aus der Haft zu entlassen. Eventualiter sei die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz (en) zurückzuweisen. Zudem sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu geben.
Das Bundesstrafgericht verweist in seiner Stellungnahme auf den angefochtenen Entscheid. Das BJ beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten. Es liege kein besonders bedeutender Fall vor. Der Beschwerdeführer hat für die Einreichung einer Replik ein Fristerstreckungsgesuch eingereicht (vgl. E. 1 hiernach).

Erwägungen:
1.
Mit Verfügung vom 13. März 2018 wurde dem Beschwerdeführer eine Frist zu Stellungnahme bis am 23. März 2018 gesetzt. Das betreffende Schreiben ist am 15. März 2018 beim Rechtsvertreter des Beschwerdeführers eingetroffen. Am letzten Tag der Frist verlangt dieser, die Frist zu erstrecken und dabei zu berücksichtigen, dass er bis am 9. April 2018 büroabwesend sei. Zur Begründung führt er an, wegen anderer dringender Pendenzen bisher keine Zeit gefunden zu haben.
Gemäss <ref-law> können richterlich bestimmte Fristen aus zureichenden Gründen erstreckt werden, wenn das Gesuch vor Ablauf der Frist gestellt worden ist. Bei der Beurteilung des Gesuchs ist der Dringlichkeit der Angelegenheit Rechnung zu tragen. Gegen Entscheide auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen beträgt die Beschwerdefrist lediglich zehn Tage (<ref-law>), worin die besondere Bedeutung des Gebots der Verfahrensbeschleunigung in diesem Bereich zum Ausdruck kommt (vgl. <ref-law>). Die beantragte Fristverlängerung zu gewähren würde diesem gesetzgeberischen Ansinnen diametral zuwiderlaufen. Das Gesuch ist deshalb abzuweisen. Dem Beschwerdeführer stattdessen eine Nachfrist von ein paar Tagen anzusetzen, wäre zwecklos, da dessen Rechtsvertreter bis am 9. April 2018 abwesend ist. Indem er mit dem Gesuch bis zum letzten Tag der angesetzten Frist zugewartet hat, hat er das Risiko auf sich genommen, angesichts der Abweisung nicht mehr rechtzeitig reagieren zu können.
2.
2.1. Gegen einen Entscheid auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unter den in <ref-law> genannten Voraussetzungen zulässig. Im vorliegenden Fall geht es um eine Auslieferung und damit um ein Sachgebiet, bei dem die Beschwerde nach <ref-law> insoweit möglich ist. Weiter ist erforderlich, dass es sich um einen besonders bedeutenden Fall handelt.
<ref-law> bezweckt die wirksame Begrenzung des Zugangs zum Bundesgericht im Bereich der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 160 mit Hinweisen). Ein besonders bedeutender Fall ist mit Zurückhaltung anzunehmen (<ref-ruling> E. 2.4 S. 144 mit Hinweis).
Ein besonders bedeutender Fall kann auch bei einer Auslieferung nur ausnahmsweise angenommen werden. In der Regel stellen sich insoweit keine Rechtsfragen, die der Klärung durch das Bundesgericht bedürfen, und kommt den Fällen auch sonst wie keine besondere Tragweite zu (<ref-ruling> E. 1.3.4 S. 161).
Bei der Beantwortung der Frage, ob ein besonders bedeutender Fall gegeben ist, steht dem Bundesgericht ein weiter Ermessensspielraum zu (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 160 mit Hinweis).
Nach <ref-law> entscheidet die Abteilung in Dreierbesetzung über Nichteintreten auf Beschwerden, bei denen kein besonders bedeutender Fall vorliegt (Abs. 1). Der Entscheid wird summarisch begründet und es kann ganz oder teilweise auf den angefochtenen Entscheid verwiesen werden (Abs. 3).
2.2. Zwar geht es um eine Auslieferung und damit ein Sachgebiet, bei dem die Beschwerde insoweit nach <ref-law> möglich ist. Nach der zutreffenden Ansicht des BJ handelt es sich jedoch um keinen besonders bedeutenden Fall.
Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, Kosovo sei derart korrupt, dass eine unabhängige Justiz und faire Strafprozesse nicht gewährleistet seien. Zudem legt er ein vom 23. Februar 2018 datierendes Schreiben seines Verteidigers im kosovarischen Strafverfahren vor. Darin werde bestätigt, dass er gestützt auf manipulierte bzw. gefälschte Beweise verurteilt worden sei. Die Familie des mutmasslich Geschädigten habe seinen damaligen Verteidiger unter Druck gesetzt und mit dem Tod bedroht, doch die kosovarische Polizei habe keine Strafuntersuchung eingeleitet. Die betreffende Anzeige habe sie mit der zweifelhaften Begründung nicht aushändigen wollen, sie sei nicht mehr auffindbar. Dies zeige, dass er bei einer Rückkehr in den Kosovo an Leib und Leben gefährdet sei. Die Schweiz sollte sich nicht mit diplomatischen Garantieerklärungen über die korrupten Verhältnisse im kosovarischen Justizapparat täuschen lassen.
Wie oben ausgeführt, machte die Vorinstanz die Auslieferung von diplomatischen Zusicherungen abhängig. Diese verlangen insbesondere eine mit Art. 3 EMRK vereinbare Behandlung und eine hinreichende medizinische Versorgung. Die diplomatische Vertretung der Schweiz ist danach berechtigt, den Ausgelieferten jederzeit und unangemeldet ohne jegliche Überwachungsmassnahmen zu besuchen. Der Ausgelieferte hat zudem das Recht, sich jederzeit an die diplomatische Vertretung der Schweiz zu wenden. Derartige Garantieerklärungen stehen im Einklang mit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 6.7 ff. S. 169 ff.). Wenn die Vorinstanz die Auslieferung nach deren Abgabe als zulässig angesehen hat, ist das nicht zu beanstanden (vgl. das ebenfalls eine Auslieferung in die Republik Kosovo betreffende Urteil 1C_6/2018 vom 12. Februar 2018 E. 1.2.1 mit Hinweis).
Beim Schreiben des früheren Strafverteidigers des Beschwerdeführers handelt es sich um ein nach <ref-law> unzulässiges Novum. Auf die darin erhobenen Behauptungen ist deshalb nicht weiter einzugehen.
Rechtsfragen von grundsätzlicher Bedeutung stellen sich nicht. Auch sonst ist der Fall nicht von aussergewöhnlicher Tragweite. Für das Bundesgericht besteht daher kein Anlass, die Sache an die Hand zu nehmen.
3.
Auf die Beschwerde ist aus den genannten Gründen nicht einzutreten. Damit wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos. Der Beschwerde kam im vorliegenden Fall ohnehin schon von Gesetzes wegen aufschiebende Wirkung zu (<ref-law>).
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Justiz, Fachbereich Auslieferung, und dem Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. März 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Dold