Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1963 geborene A._ war zuletzt von Mai 1998 bis März 2002 beim Seniorenzentrum B._ als ungelernter Pfleger angestellt und in dieser Eigenschaft bei der Aargauischen Pensionskasse APK berufsvorsorgeversichert. Im Mai 2002 meldete er sich wegen einer Diskushernie bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Prüfung der medizinischen Verhältnisse verneinte die IV-Stelle des Kantons Aargau den Anspruch auf eine Invalidenrente (Verfügung vom 13. Februar 2003). Auf Einsprache des Versicherten holte sie beim Zentrum für Medizinische Begutachtungen (ZMB), ein Gutachten ein, welches am 2. November 2006 erstattet wurde. Mit Einspracheentscheid vom 21. Mai 2007 hielt die IV-Stelle an ihrer Verfügung fest. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach sie A._ aufgrund einer Verschlechterung des Gesundheitszustandes ab 1. Juli 2004 eine halbe und ab 1. Juli 2006 eine ganze Rente zu (Verfügung vom 25. September 2008).
A.b. Die von A._ gegen den Einspracheentscheid vom 21. Mai 2007 erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons Aargau teilweise gut, soweit es darauf eintrat. Es wies die Sache zur weiteren Abklärung und neuerlichen Entscheidung (über den ganzen Zeitraum seit der Anmeldung) an die IV-Stelle zurück (unangefochten in Rechtskraft erwachsenes Urteil vom 5. Mai 2009).
A.c. Die IV-Stelle liess A._ durch die MEDAS (Gutachten vom 20. Juni 2014), und durch die BEGAZ GmbH (Gutachten vom 8. November 2017), polydisziplinär begutachten. Nach Rücksprache mit dem Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) stellte sie in einem Vorbescheid vom 9. Mai 2018 die rückwirkende Zusprache einer ganzen Rente ab 1. Juli 2002 in Aussicht. Am 20. November 2018 verfügte sie wie vorbeschieden.
B.
B.a. Die Aargauische Pensionskasse APK erhob Beschwerde mit dem Rechtsbegehren, die Verfügung vom 20. November 2018 sei aufzuheben und der Zeitpunkt des Eintritts der relevanten Arbeitsunfähigkeit nicht vor Juli 2003 festzusetzen. Das angerufene Versicherungsgericht des Kantons Aargau lud A._ zum Verfahren bei, welcher sich wie die IV-Stelle mit dem Antrag auf Abweisung der Beschwerde vernehmen liess.
B.b. Die Instruktionsrichterin informierte die Parteien am 20. Dezember 2019, dass die Einholung eines Obergutachtens in den Fachgebieten Allgemeine Innere Medizin, Orthopädie, Neurologie und Psychiatrie beim ABI, Ärztliches Begutachtungsinstitut GmbH, beabsichtigt werde. Von der ihnen gleichzeitig eingeräumten Gelegenheit, allfällige Einwendungen gegen die vorgesehene Begutachtung zu erheben oder Ergänzungsfragen zu formulieren, machten die Parteien keinen Gebrauch. Mit Beschluss vom 19. Februar 2020 wurde das ABI mit der Begutachtung beauftragt. Es erstattete sein Gutachten am 2. September 2020. Die Aargauische Pensionskasse APK und A._ hielten an ihren Anträgen fest (Eingaben vom 21. September und 30. Oktober 2020).
Mit Beschluss vom 6. Januar 2021 stellte das Versicherungsgericht den ABI-Gutachtern eine Rückfrage zu der von ihnen vorgenommenen retrospektiven Arbeitsunfähigkeitsbeurteilung, welche sie mit Schreiben vom 1. Februar 2021 beantworteten. A._ nahm dazu nochmals Stellung. Die Aargauische Pensionskasse APK und die IV-Stelle liessen sich nicht mehr vernehmen.
B.c. Mit Urteil vom 19. März 2021 hiess das Versicherungsgericht des Kantons Aargau die Beschwerde gut, hob die Verfügung vom 20. November 2018 auf und stellte fest, dass A._ ab 1. August 2006 Anspruch auf eine Viertelsrente der Invalidenversicherung hat.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erheben und die Aufhebung des kantonalen Urteils sowie die Bestätigung der Verfügung vom 20. November 2018 beantragen. Es sei ihm ab 1. Juli 2002 eine ganze Rente zuzusprechen. Eventualiter sei ihm ab 1. Juli 2002 eine halbe und ab 1. August 2006 eine ganze Rente zuzusprechen. Subeventualiter sei die Angelegenheit an das kantonale Gericht zur Einholung eines Obergutachtens zurückzuweisen. Weiter sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung, Verbeiständung) zu gewähren.
Die IV-Stelle und die als Mitinteressierte zum Verfahren beigeladene Aargauische Pensionskasse APK schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Die Aargauische Pensionskasse APK beantragt zudem eventualiter die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung an das kantonale Versicherungsgericht. Der Beschwerdeführer äusserte sich abschliessend in einer weiteren Eingabe vom 25. August 2021.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweis). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.2. Die Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung der Vorinstanz ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig (willkürlich), wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist. Es genügt somit nicht, dass eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erscheint. Willkür liegt insbesondere vor, wenn die Vorinstanz offensichtlich unhaltbare Schlüsse gezogen, erhebliche Beweise übersehen oder solche grundlos ausser Acht gelassen hat (<ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweisen).
1.3. Die vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit sind tatsächlicher Natur (<ref-ruling> E. 3.2), weshalb sie das Bundesgericht seiner Urteilsfindung zugrunde zu legen hat. Gleiches gilt für die konkrete Beweiswürdigung. Dagegen betrifft die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln eine vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 8.2 mit Hinweisen).
2.
2.1. Im Verfahren vor Bundesgericht gibt es keine Anschlussbeschwerde (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.5). Wer mit dem angefochtenen Entscheid nicht einverstanden ist, muss ihn innert der Beschwerdefrist (<ref-law>) selbst anfechten. Sodann kann das Bundesgericht nicht über die fristgerecht gestellten Rechtsbegehren der Parteien hinausgehen (<ref-law>), wobei Ausgangspunkt der Bindungswirkung das beschwerdeführerische und nicht das beschwerdegegnerische Rechtsbegehren ist (JOHANNA DORMANN, in: Basler Kommentar zum BGG, 3. Aufl. 2018, N. 2 zu <ref-law>).
2.2. Dem von der Aargauischen Pensionskasse APK gestellten Eventualantrag auf Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung kommt keine selbstständige Bedeutung zu.
3.
3.1. Streitig und zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht Bundesrecht verletzte, indem es dem Beschwerdeführer - in Aufhebung der Verfügung vom 20. November 2018 - mit Wirkung ab 1. August 2006 eine Viertelsrente der Invalidenversicherung zusprach.
3.2. Im angefochtenen Urteil werden die massgebenden Rechtsgrundlagen zutreffend dargelegt. Es betrifft dies namentlich die Bestimmungen und Grundsätze zum Beginn (<ref-law> in der bis 31. Dezember 2007 gültig gewesenen Fassung) und zum Umfang des Rentenanspruchs (<ref-law> in der bis 31. Dezember 2007 gültig gewesenen Fassung; vgl. nunmehr <ref-law>). Richtig sind auch die Ausführungen zum Beweiswert und zur Beweiswürdigung medizinischer Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 2.2.2; <ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 3, je mit Hinweisen) sowie insbesondere zum Beweiswert von Gerichtsgutachten, von denen das Gericht nicht ohne zwingende Gründe abweicht (<ref-ruling> E. 6.2.3.2; <ref-ruling> E. 4.4; <ref-ruling> E. 3b/aa). Darauf wird verwiesen.
4.
4.1. Es steht fest, dass der Beschwerdeführer in seiner Arbeitsfähigkeit eingeschränkt ist aufgrund einer anhaltenden mittelgradigen depressiven Episode (ICD-10 F32.1), einem chronischen lumbosakralen Schmerzsyndrom (ICD-10 M54.5), Nacken-Schulter-Arm-Handbeschwerden unter Betonung der dominanten rechten Seite (ICD-10 M79.60/M75.4/Z98.8), chronischen Kniebeschwerden beidseits (ICD-10 M17.0), einer Leberzirrhose Child B (8 Punkte) (ICD-10 K74.71) und einer grossen vertikalen Bauchwandhernie (ICD-10 K43.2). Ebenso ist unbestritten, dass er seine angestammte Tätigkeit als ungelernter Pfleger seit Sommer 2001 (letzter Arbeitstag: 8. Juli 2001) aus gesundheitlichen Gründen nicht mehr ausüben kann.
4.2. Uneinigkeit besteht demgegenüber in der Frage, seit wann und in welchem Umfang sein Leistungsvermögen auch in einer angepassten Tätigkeit (d.h. in einer wechselbelastenden, körperlich leichten Tätigkeit ohne längerdauernde Zwangshaltungen des Rumpfs, ohne Einsatz der oberen Extremitäten oberhalb des Schulterniveaus, ohne langdauerndes Stehen und Gehen sowie ohne wiederholtes Heben und Tragen von Lasten über 10 kg) aus psychischen Gründen eingeschränkt ist.
4.2.1. Das kantonale Gericht gelangte zum Ergebnis, der Beschwerdeführer sei seit August 2006 in einer angepassten Tätigkeit nur noch zu 50 % arbeitsfähig. Es stützte sich dafür auf das Gerichtsgutachten vom 2. September 2020, welchem es Beweiswert beimass, und seine Interpretation (dazu E. 4.2.3.2) der ergänzenden Stellungnahme der ABI-Gutachter vom 1. Februar 2021.
4.2.2. Der Beschwerdeführer beanstandet, die ABI-Gutachter hätten nicht begründet, weshalb er - abweichend von den Berichten der behandelnden Ärzte und dem ZMB-Gutachten vom 2. November 2006 - zwischen 2002 und 2006 leidensangepasst vollschichtig arbeitsfähig gewesen sein soll. Eine Auseinandersetzung mit der Einschätzung der ZMB-Gutachter, welche ihm eine entsprechende Arbeitsunfähigkeit lange vor 2006 attestiert hätten, habe nicht stattgefunden. Letztlich werde im ABI-Gutachten vom 2. September 2020 und im angefochtenen Entscheid als Beginn der Arbeitsunfähigkeit ein beliebiger Zeitpunkt im Jahr 2006 angenommen. Zudem seien sämtliche bisherigen Gutachter zum Ergebnis gelangt, dass eine um mindestens 70 % eingeschränkte Arbeitsfähigkeit vorliege. Auf die davon abweichende Einschätzung im Gerichtsgutachten vom 2. September 2020 könne nicht abgestellt werden, weil eine nachvollziehbare Begründung fehle.
4.2.3.
4.2.3.1. Gemäss dem psychiatrischen ABI-Teilgutachten kann die in den Gutachten des ZMB vom 2. November 2006, der MEDAS vom 20. Juni 2014 sowie der BEGAZ vom 8. November 2017 attestierte Arbeitsfähigkeit von 0 bzw. 30 % aufgrund des diagnostizierten mittelgradigen depressiven Zustandsbildes nicht nachvollzogen werden. Die RAD-Ärztin Dr. med. C._, Fachärztin Psychiatrie und Psychotherapie FMH, habe die Arbeitsfähigkeit auf 50 % eingeschätzt und zu Recht darauf hingewiesen, dass bei der vorliegenden mittelgradigen depressiven Störung keine vollständige Arbeitsunfähigkeit bestehe (Stellungnahme vom 8. Dezember 2017). Im Übrigen werde auch im Gutachten der MEDAS vom 20. Juni 2014 davon ausgegangen, dass nach therapeutischen Massnahmen allenfalls eine Arbeitsfähigkeit von 50 % zu erreichen wäre. Mit Blick darauf, dass der Beschwerdeführer nie stationär psychiatrisch behandelt worden und immer in der Lage gewesen sei, im Rahmen seiner Familie zu leben, Auto zu fahren, soziale Kontakte zu pflegen, und dass Hinweise auf eine längere Zeit dauernde schwere depressive Episode fehlten, könne auch rückwirkend keine höhere Arbeitsunfähigkeit als 50 % attestiert werden. Deren Beginn sei auf November 2006 festzusetzen; von April 2000 bis Oktober 2006 habe demgegenüber eine volle Arbeitsfähigkeit bestanden.
4.2.3.2. Da indessen die ABI-Gutachter in der Gesamtbeurteilung davon abweichend März bzw. April 2006 als Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit nannten, forderte das kantonale Gericht sie zu einer nachvollziehbaren Erläuterung dieser widersprüchlichen Angaben auf. In ihrer Stellungnahme vom 1. Februar 2021 gaben sie an, sie hätten sich mangels eindeutiger Eckpunkte auf einen adäquat erscheinenden Zeitpunkt festlegen müssen, es dabei allerdings unterlassen, sich im Gutachten auf einen Zeitpunkt zu einigen. So stütze sich ihre Gesamtbeurteilung auf den Bericht des behandelnden Psychiaters und ihr psychiatrisches Teilgutachten auf die Einschätzung der ZMB-Gutachter. Abschliessend könne - dem ZMB-Gutachten folgend - die nicht wesentlich eingeschränkte Arbeitsfähigkeit von April 2000 bis Oktober 2006 und eine Arbeitsfähigkeit von 50 % ab November 2006 bestätigt werden.
Zu dieser ergänzenden Stellungnahme vom 1. Februar 2021 erwog die Vorinstanz, es sei nachvollziehbar, hinsichtlich des Zeitpunktes des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit von 50 % auf das ZMB-Gutachten vom 2. November 2006 abzustellen, welches (anders als der Bericht des behandelnden Psychiaters) auf einer detaillierten Befunderhebung beruhe. Indessen sei bereits ab August (statt November) 2006 eine Arbeitsunfähigkeit von 50 % als überwiegend wahrscheinlich anzunehmen, weil die ZMB-Gutachter die Befunde zu diesem Zeitpunkt erhoben hätten.
4.2.3.3. Die bundesgerichtliche Überprüfung der vorinstanzlichen Beweiswürdigung hat sich darauf zu beschränken, ob die Sachverhaltsfeststellung im angefochtenen Urteil mit Blick auf die vorgebrachten Rügen offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung beruht, namentlich hinsichtlich der Regeln über den Beweiswert von ärztlichen Berichten. Dabei ist betreffend ein Gerichtsgutachten, wie es hier vorliegt, zu beachten, dass rechtsprechungsgemäss nicht ohne zwingende Gründe von den Einschätzungen der gerichtlich einberufenen Experten abzuweichen ist (<ref-ruling> E. 6.2.3.2). Ob solche zwingenden Gründe gegeben sind, hat das Gericht nach den für die Beweiswürdigung geltenden Regeln zu prüfen.
Im Rahmen der Beweiswürdigung ist sodann zu berücksichtigen, dass die psychiatrische Exploration von der Natur der Sache her nicht ermessensfrei erfolgen kann. Sie eröffnet dem begutachtenden Psychiater daher praktisch immer einen gewissen Spielraum, innerhalb dessen verschiedene medizinisch-psychiatrische Interpretationen möglich, zulässig und zu respektieren sind, sofern der Experte lege artis vorgegangen ist (Urteil 9C_634/2015 vom 15. März 2016 E. 6.1, in: SVR 2017 IV Nr. 5 S. 10).
4.2.3.4. Was den Grad der Arbeitsunfähigkeit anbelangt, hat die Vorinstanz zwingende Gründe, vom Gerichtsgutachten vom 2. September 2020 abzuweichen, zu Recht verneint. Der psychiatrische Gutachter stützte seine Einschätzung auf eine Exploration des Versicherten sowie eine einlässliche Auseinandersetzung mit den Vorakten und äusserte sich zu den Standardindikatoren gemäss <ref-ruling>. Er zeigte die Diskrepanz zwischen den objektivierbaren Befunden und der subjektiven Krankheitsüberzeugung auf. Weiter legte er in nachvollziehbarer Weise dar, weshalb er vorangehenden ärztlichen Beurteilungen nicht folgte und zu einer Arbeitsfähigkeit von 50 % gelangte. Daran vermögen die Einwendungen in der Beschwerde, welche sich auf eine abweichende Würdigung der medizinischen Vorakten beschränken, nichts zu ändern.
4.2.3.5. Zu prüfen bleibt der Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, welchen die ABI-Gutachter abschliessend auf November 2006 (als Zeitpunkt der Erstattung des ZMB-Gutachtens) und die Vorinstanz davon abweichend auf August 2006 (als Zeitpunkt der Befunderhebung durch die ZMB-Gutachter) festlegten. Es erscheint sachgerecht, sich für die Festlegung dieses Zeitpunktes - entsprechend der präzisierenden Stellungnahme der ABI-Gutachter vom 1. Februar 2021 - auf das ZMB-Gutachten vom 2. November 2006 zu stützen, weil es (anders als dasjenige der MEDAS [2014] oder der BEGAZ [2017]) wenige Jahre nach der (im Mai 2002 erfolgten) Anmeldung bei der Invalidenversicherung erstattet wurde und die hier interessierende Frage klar beantwortet. Dass die ABI-Gutachter und die Vorinstanz aus der Massgeblichkeit des ZMB-Gutachtens vom 2. November 2006 nun aber den Schluss zogen, der Beginn der Arbeitsunfähigkeit sei auf August bzw. November 2006 festzulegen (d.h. auf den Zeitpunkt der Befunderhebung bzw. der Gutachtenserstattung), vermag nicht zu überzeugen: Die ZMB-Gutachter äusserten sich unmissverständlich dahingehend, dass der Beschwerdeführer bereits mit der Erwerbsaufgabe im Jahr 2001 - sein letzter Arbeitstag war gemäss dem von der Arbeitgeberin am 10. Mai 2002 unterzeichneten Arbeitgeberfragebogen der 8. Juli 2001 - arbeitsunfähig wurde, mithin lange Zeit vor der Erstellung des ZMB-Gutachtens am 2. November 2006 bzw. der zugrunde liegenden gutachterlichen Befunderhebung im August 2006. Mit anderen Worten bestehen zwingende Gründe, vom ABI-Gutachten vom 2. September 2020 und der präzisierenden Stellungnahme vom 1. Februar 2021 hinsichtlich des Zeitpunktes des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit abzuweichen und auf das ZMB-Gutachten vom 2. November 2006 abzustellen, wonach der Beschwerdeführer seit der Erwerbsaufgabe im Jahr 2001, mithin seit 9. Juli 2001, in seiner Arbeitsfähigkeit eingeschränkt ist.
4.3. Nach dem Gesagten hält die im angefochtenen Urteil getroffene Feststellung, wonach der Beschwerdeführer seit August 2006 zu 50 % arbeitsunfähig ist, vor Bundesrecht nicht stand. Sie ist dahingehend zu korrigieren, dass die Einschränkung seit 9. Juli 2001 besteht. Damit konnte der Rentenanspruch des Beschwerdeführers nach Ablauf des Wartejahres am 1. Juli 2002 entstehen (<ref-law> in der bis 31. Dezember 2007 gültig gewesenen Fassung).
5.
5.1. Zu prüfen bleiben die erwerblichen Auswirkungen der festgestellten Arbeitsunfähigkeit von 50 % in einer leidensangepassten Tätigkeit. Unbestritten ist das von der Vorinstanz auf der Grundlage von Durchschnittswerten gemäss der vom Bundesamt für Statistik herausgegebenen Lohnstrukturerhebung (LSE) für das Jahr 2002 ermittelte Valideneinkommen von Fr. 55'260.55 (bzw. von Fr. 57'801.85 für das im angefochtenen Urteil als massgebend betrachtete Jahr 2006). Betreffend das vom kantonalen Gericht ebenfalls gestützt auf die LSE festgesetzte Invalideneinkommen ist einzig streitig, ob zu Recht kein Abzug vom Tabellenlohn gewährt und damit entsprechend einer Arbeitsunfähigkeit von 50 % ein Wert von Fr. 28'572.40 (bzw. Fr. 29'598.65 für das Jahr 2006) berechnet wurde. Die mithin zur Diskussion stehende Frage, ob ein (behinderungsbedingt oder anderweitig begründeter) Abzug vom Tabellenlohn vorgenommen werden muss, ist rechtlicher Natur und als solche vom Bundesgericht frei zu prüfen (<ref-ruling> E. 4.2).
5.2. Grundsätzlich ist ein Abzug vom Tabellenlohn vorzunehmen, wenn ein Versicherter seine Arbeitsfähigkeit nicht vollschichtig einsetzen kann, weil Teilzeitarbeit bei Männern statistisch gesehen vergleichsweise weniger gut entlöhnt wird als eine Vollzeittätigkeit (vgl. Urteil 9C_421/2017 vom 19. September 2017 E. 2.1.1 mit Hinweis). Der Entscheid darüber hat sich stets nach dem konkreten Beschäftigungsgrad (hier: 50 %) und den jeweils aktuellen Werten zu richten (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.5.1 mit Hinweis; Urteil 8C_805/2016 vom 22. März 2017 E. 3.2). So geht aus der hier einschlägigen LSE 2002 (Tabelle T8*) hervor, dass Männer mit einfachen und repetitiven Tätigkeiten im Anforderungsniveau 4 bei einem Arbeitspensum zwischen 50 und 74 % aufgerechnet auf ein Vollzeitpensum durchschnittlich mit Fr. 4213.- ein um 10.09 % tieferes Einkommen als Vollzeitbeschäftigte (Fr. 4686.-) erwirtschafteten und dass die durchschnittliche Einbusse bei einem Arbeitspensum zwischen 25 und 49 % (Fr. 3756.-) sogar 19.58 % betrug.
5.3. Die Vorinstanz anerkannte zwar, dass sich gemäss Tabelle T2* der LSE 2006 (welche das gleiche Bild wie Tabelle T8* der LSE 2002 vermittelt) ein Beschäftigungsgrad von 50 % lohnmindernd auswirkt. Dass sie dafür dennoch keinen Abzug gewährte, begründete sie damit, dass der Beschwerdeführer damals (d.h. 2006) über 50 Jahre alt gewesen sei, was gemäss Tabelle T9 der LSE 2006 einen lohnerhöhenden Faktor darstelle. Wie der 1963 geborene Beschwerdeführer zutreffend einwendet, war er indessen im von der Vorinstanz als massgebend betrachteten Jahr 2006 erst 43 (und 2002 mithin erst 39) Jahre alt, sodass die Herleitung eines lohnerhöhenden Umstandes im angefochtenen Urteil auf einer offensichtlich unrichtigen Tatsachenfeststellung beruht.
5.4. Bei dieser Sachlage bleibt als alleiniger Umstand - lohnmindernd - der Beschäftigungsgrad zu berücksichtigen, welchem aufgrund der in E. 5.2 dargelegten statistischen Werte mit einem Abzug von 15 % Rechnung zu tragen ist. Wird das auf diese Weise ermittelte Invalideneinkommen von Fr. 24'286.55 dem unbestritten gebliebenen Valideneinkommen von Fr. 55'260.55 gegenübergestellt, resultiert ein Invaliditätsgrad von 56.05 bzw. gerundet 56 %, welcher Anspruch auf eine halbe Invalidenrente verleiht (woran nach den zutreffenden Ausführungen in der Beschwerde selbst die Gewährung eines Abzuges von 20 % [Invaliditätsgrad von gerundet 59 %] nichts ändern würde).
5.5. Zusammenfassend ergibt sich, dass das vorinstanzliche Urteil, gemäss welchem dem Beschwerdeführer ab 1. August 2006 eine Viertelsrente zusteht, bundesrechtwidrig ist. Es ist dahingehend abzuändern, dass der Beschwerdeführer ab 1. Juli 2002 Anspruch auf eine halbe Rente hat.
6.
6.1. Der Beschwerdeführer obsiegt teilweise, indem er sich mit Erfolg für einen Anspruchsbeginn im Jahr 2002 statt 2006 und die Zusprache einer halben statt einer Viertelsrente einsetzte. Entsprechend diesem Prozessausgang sind ihm die Gerichtskosten zu einem Viertel und der IV-Stelle zu drei Vierteln aufzuerlegen (Art. 65 Abs. 1 und Art. 66 Abs. 1 Satz BGG); weiter ist ihm zu Lasten der Beschwerdegegnerin eine reduzierte Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>). Die als Mitinteressierte zum Verfahren beigeladene Aargauische Pensionskasse APK hat als mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betraute Institution von vornherein keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).
6.2. Soweit der Beschwerdeführer nicht obsiegt, ist ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, da die Bedürftigkeit aktenkundig ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos erschien und die anwaltliche Vertretung geboten war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach der Beschwerdeführer der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn er später dazu im Stande ist.
6.3. Bei diesem Prozessausgang ist die Sache zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen (Art. 67 und 68 Abs. 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Das Urteil des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 19. März 2021 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Aargau vom 20. November 2018 werden insoweit abgeändert, als der Beschwerdeführer ab 1. Juli 2002 Anspruch auf eine halbe Rente der Invalidenversicherung hat. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen. Rechtsanwalt Dr. iur. Michael E. Meier wird als unentgeltlicher Anwalt des Beschwerdeführers bestellt.
3.
Von den Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer Fr. 200.- und der Beschwerdegegnerin Fr. 600.- auferlegt. Der Anteil des Beschwerdeführers wird vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Die Beschwerdegegnerin hat den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2100.- zu entschädigen.
5.
Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 700.- ausgerichtet.
6.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons Aargau zurückgewiesen.
7.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Aargauischen Pensionskasse APK, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 30. November 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann