Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ (geb. 1973) ist Staatsangehöriger des Kosovo. Am 4. März 1997 reiste er illegal in die Schweiz ein und stellte am 11. März 1997 ein Asylgesuch. Das damalige Bundesamt für Flüchtlinge (BFF) lehnte das Asylgesuch ab und wies A.A._ aus der Schweiz weg. Dieser leistete der Wegweisungsanordnung zunächst keine Folge, galt dann ab Mai 1998 aber als verschwunden. Während seines ersten Aufenthalts in der Schweiz erwirkte A.A._ zwei Strafbefehle.
A.b. Am 13. Juni 2000 heiratete A.A._ im Kosovo eine in der Schweiz niederlassungsberechtigte Landsfrau. Zum Verbleib bei seiner Ehefrau wurde ihm in der Folge in der Schweiz die Aufenthaltsbewilligung erteilt. Aus der Ehe gingen zwei Kinder hervor (B.A._, geb. 2003 und C.A._, geb. 2005).
A.c. Zwischen 2003 und 2012 trat A.A._ in der Schweiz strafrechtlich wie folgt in Erscheinung:
- Strafbefehl des Bezirksamts Bremgarten vom 6. Januar 2003: Busse von Fr. 200.-- wegen Ungehorsams als Schuldner im Betreibungs- und Konkursverfahren;
- Strafbefehl des Bezirksamts Bremgarten vom 17. Juli 2008: Busse von Fr. 250.-- wegen Widerhandlung gegen das Polizeigesetz;
- Urteil des Gerichtspräsidiums Bremgarten vom 22. Februar 2010: Geldstrafe von 25 Tagessätzen à Fr. 70.-- wegen Raufhandels (bedingt aufgeschoben bei einer Probezeit von drei Jahren, von der Staatsanwaltschaft Limmattal / Albis am 26. März 2012 wegen Nichtbewährung für vollziehbar erklärt);
- Strafbefehl des Bezirksamts Bremgarten vom 21. Mai 2010: Geldstrafe von 25 Tagessätzen à Fr. 70.-- wegen Drohung;
- Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Limmattal / Albis vom 26. März 2012: Geldstrafe von 50 Tagessätzen à Fr. 100.-- wegen Misswirtschaft;
- Urteil des Kriminalgerichts des Kantons Luzern vom 3. Mai 2016: Freiheitsstrafe von vier Jahren wegen gewerbs- und bandenmässigen Diebstahls, mehrfacher qualifizierter Sachbeschädigung, mehrfacher Sachbeschädigung, mehrfachen Hausfriedensbruchs, mehrfacher Hehlerei sowie mehrfachen Führens eines Motorfahrzeugs ohne erforderlichen Führerausweis;
- Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Muri-Bremgarten vom 29. Juni 2016: Busse von Fr. 80.-- wegen Widerhandlung gegen ein gerichtliches Verbot;
- Strafbefehl der Staatsanwaltschaft des Kantons Zug vom 29. August 2016: Geldstrafe von 5 Tagessätzen à Fr. 50.-- wegen Missbrauchs von Ausweisen und Schildern;
- Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Muri-Bremgarten vom 1. September 2016: Busse von Fr. 300.-- wegen Ungehorsams gegen amtliche Verfügungen;
- Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Muri-Bremgarten vom 30. Juni 2017: Freiheitsstrafe von 180 Tagen wegen mehrfachen Führens eines Motorfahrzeugs ohne den erforderlichen Führerausweis, Urkundenfälschung, Diebstahls, Sachbeschädigung sowie Hausfriedensbruchs.
A.d. Beim Betreibungsamt Zufikon war A.A._ per 13. Juli 2017 mit offenen Betreibungen auf einem Gesamtbetrag von Fr. 41'000.-- sowie 100 ungetilgten Verlustscheinen über insgesamt rund Fr. 265'000.-- verzeichnet.
B.
Nach Gewährung des rechtlichen Gehörs verfügte das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau am 9. Oktober 2017, dass die am 30. September 2012 abgelaufene Aufenthaltsbewilligung von A.A._ nicht mehr verlängert werde; unter Ansetzung einer 90-tägigen Ausreisefrist wies es ihn aus der Schweiz weg.
Die gegen diese Verfügung erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg (Einspracheentscheid des Rechtsdiensts des MIKA vom 14. Juni 2018; Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 25. September 2018). Nur bezüglich der Ausreisefrist passte der Rechtsdienst des MIKA die Ausgangsverfügung vom 9. Oktober 2017 an und gewährte A.A._ neu eine Ausreisefrist von 90 Tagen nach Rechtskraft der Ausgangsverfügung.
C.
Mit Eingabe vom 29. Oktober 2018 erhebt A.A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts vom 25. September 2018, die Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung und das Absehen von einer Wegweisung. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen.
Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der letztinstanzliche, verfahrensabschliessende Entscheid eines kantonalen Gerichts auf dem Gebiet des öffentlichen Rechts, welcher grundsätzlich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt (vgl. <ref-law>, <ref-law>, <ref-law>).
1.2. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde auf dem Gebiet des Ausländerrechts unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen. Der Beschwerdeführer ersucht um Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung und begründet dies damit, er habe Anspruch darauf, sein Familienleben in der Schweiz leben zu können. Er stützt diesen Anspruch auf <ref-law> (SR 142.20) sowie Art. 8 EMRK. Für das Eintreten genügt, dass ein potentieller Anspruch auf den Familiennachzug in vertretbarer Weise dargetan wird. Dies ist hier der Fall. Ob die Bewilligungsvoraussetzungen gegeben sind, ist Gegenstand der materiellen Beurteilung (<ref-ruling> E. 1.1 S. 179).
1.3. Nicht eingetreten werden kann hingegen auf den Antrag, es sei von der Wegweisung abzusehen. Gegen den kantonalen Wegweisungsentscheid ist zwar die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegeben (Art. 83 lit. c Ziff. 4 und Art. 113 BGG), soweit die Verletzung besonderer verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht wird (Art. 115 und 116 BGG; vgl. <ref-ruling> ff.). Der Beschwerdeführer erhebt jedoch keine substanziierten Verfassungsrügen.
1.4. Die übrigen Eintretensvoraussetzungen (<ref-law>, <ref-law>, <ref-law>) geben nicht zu Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist - unter dem erwähnten Vorbehalt (vgl. E. 1.3 hiervor) einzutreten. Weil die Beschwerde als offensichtlich unbegründet zu qualifizieren ist, kommt das vereinfachte Verfahren nach <ref-law> zur Anwendung.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>).
2.2. Seinem Urteil legt das Bundesgericht den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zu Grunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (<ref-law>). Offensichtlich unrichtig ist die Feststellung des Sachverhalts, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62).
3.
Zu Recht bestreitet der Beschwerdeführer nicht, dass aufgrund des Strafverdikts des Kriminalgerichts Luzern vom 3. Mai 2016 ein Widerrufsgrund vorliegt (<ref-law>), der im Grundsatz das Erlöschen seines Anspruchs auf Familiennachzug zur Folge hat (<ref-law>). Summarisch zu prüfen ist damit einzig die Rüge, die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung sei unverhältnismässig und verletze <ref-law> bzw. Art. 8 Ziff. 2 EMRK.
Nicht gefolgt werden kann in diesem Zusammenhang dem Argument des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe für die Gewichtung des öffentlichen Fernhalteinteresses nicht darauf abstellen dürfen, dass es sich bei gewerbs- und bandenmässigem Diebstahl um eine Anlasstat gemäss <ref-law> handle. Zwar trifft zu, dass die genannte Bestimmung nicht auf Taten anwendbar ist, die - wie hier - vor dem 1. Oktober 2016 begangen worden sind. Eine Anwendbarkeit von <ref-law> hat die Vorinstanz aber gar nicht postuliert. Vielmehr hat sie mit Blick auf die unter <ref-law> und Art. 8 Ziff. 2 EMRK vorzunehmende Interessenabwägung Wertungsgesichtspunkte hervorgehoben, die auch in der Bundesverfassung zum Ausdruck gelangen (vgl. <ref-law>: "Einbruchsdelikte"). Dieses Vorgehen entspricht der konstanten Rechtsprechung des Bundesgerichts, wonach den Wertungen des Verfassungsgebers Rechnung zu tragen ist, soweit dies nicht zu einem Widerspruch mit übergeordnetem Recht führt (<ref-ruling> E. 5.3 S. 31; Urteile 2C_41/2019 vom 18. September 2019 E. 5.2; 2C_508/2019 vom 10. September 2019 E. 4.2). Ein solcher Widerspruch ist vorliegend aber nicht ersichtlich: Bei einer Freiheitsstrafe von vier Jahren ist praxisgemäss von einem grossen migrationsrechtlichen Verschulden auszugehen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 147); auch mit Blick auf die erheblichen Schulden des Beschwerdeführers (vgl. Bst. A.d hiervor), ist deshalb bundes- und völkerrechtlich nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz von einem sehr grossen öffentlichen Fernhalteinteresse ausging. Der Beschwerdeführer macht sodann zu Recht nicht geltend, die Vorinstanz habe seine privaten Interessen an einem Verbleib in der Schweiz unzutreffend gewichtet. Damit bleibt es dabei, dass das sehr grosse öffentliche Fernhalteinteresse die grossen Interessen des Beschwerdeführers an einem Verbleib in der Schweiz überwiegt. Weitere Ausführungen zur Interessenabwägung erübrigen sich; für Einzelheiten kann vollumfänglich auf den einlässlich und zutreffend begründeten Entscheid der Vorinstanz verwiesen werden (<ref-law>).
Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
4.
Dem Verfahrensausgang entsprechend hat der unterliegende Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 2. Kammer, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Oktober 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner