Faits :
A.
Le 13 novembre 2018, l'Assurance B._ SA (ci-après: B._) et son directeur général ont déposé plainte pénale contre A._ pour injure, calomnie, subsidiairement diffamation et tentative de contrainte. Ils ont allégué en substance que le prénommé, ancien administrateur de C._ SA, avait pris contact en 2012, 2014 et 2017 avec eux en vue d'obtenir le paiement de 73'500 francs qu'il estimait lui être dû depuis 1999. B._ lui avait répondu qu'il ne semblait pas qu'une facture était en souffrance et que le prénommé n'était vraisemblablement pas titulaire de la créance, celle-ci étant au demeurant prescrite. A._ avait alors régulièrement adressé à B._, à son directeur général et à des collaborateurs, des courriers à leur yeux attentatoires à l'honneur et constitutifs d'une tentative de contrainte.
Par ordonnance pénale du 12 février 2019, le Ministère public du parquet régional de Neuchâtel a condamné A._ en substance à une peine de 60 jours-amende à 50 francs le jour avec sursis pendant 5 ans, à une amende de 600 francs comme peine additionnelle, au paiement des frais judiciaires de 400 francs et au versement d'une indemnité de dépens aux plaignants de 1'200 francs. Il a encore rendu le prénommé attentif au fait que toute nouvelle récidive pourrait entraîner, outre une nouvelle condamnation pénale, la révocation du sursis, voire au besoin une saisine de l'Autorité de protection de l'enfant et de l'adulte du Littoral et du Val-de-Travers, en vue de l'institution d'une mesure tutélaire. Le prénommé s'est opposé à cette ordonnance.
Le 1 er juillet 2019, A._ a demandé au Tribunal de police du Littoral et du Val-de-Travers (ci-après: le Tribunal de police) le bénéfice de l'assistance judiciaire et la désignation de l'avocat Gautier Aubert. Lors de l'audience 2 juillet 2019, le Tribunal de police a rejeté la requête d'assistance judiciaire. Par ordonnance du 3 juillet 2019, cette décision orale a été confirmée par écrit, au motif que, malgré l'indigence avérée du prénommé, l'affaire n'était pas d'une gravité telle qu'elle requérait l'assistance d'un mandataire.
Par décision du 9 juillet 2019, le Tribunal de police a reconnu A._ coupable de diffamation (<ref-law>), de calomnie (<ref-law>), d'injure (<ref-law>) et de tentative d'extorsion et de chantage (art. 156 et 22 CP). Il l'a condamné en substance à une peine de 60 jours-amende à 30 francs le jour avec sursis pendant 5 ans, au paiement d'une indemnité de dépens de 3'443.95 francs aux plaignants ainsi qu'au paiement des frais judiciaires arrêtés à 1'760 francs.
Le 12 juillet 2019, A._ a déposé une déclaration d'appel à l'encontre de cette décision.
Par arrêt du 23 août 2019, l'Autorité de recours en matière pénale du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours déposé par A._ contre l'ordonnance de refus d'assistance judiciaire du 3 juillet 2019, en lui accordant toutefois le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure de recours devant elle.
B.
Agissant par la voie du recours en matière pénale, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler les chiffres 1 et 2 de l'arrêt du 23 août 2019, de lui accorder l'assistance judiciaire totale et de désigner Me Gautier Aubert comme son avocat d'office. Il requiert aussi l'assistance judiciaire pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
Invités à se déterminer, le Tribunal de police et le Tribunal cantonal renoncent à déposer des observations.

Considérant en droit :
1.
Conformément à l'<ref-law>, une décision relative à la défense d'office dans une cause pénale peut faire l'objet d'un recours en matière pénale. Le recourant, prévenu et auteur de la demande de désignation d'un défenseur d'office, a qualité pour recourir (<ref-law>). Le refus de désigner un avocat d'office au prévenu est susceptible de lui causer un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 205; <ref-ruling> consid. 4 p. 338 s.).
Pour le surplus, le recours est formé en temps utile (<ref-law>) contre une décision rendue en dernière instance cantonale (<ref-law>) et les conclusions présentées sont recevables au regard de l'<ref-law>.
2.
Le recourant se plaint du refus de l'instance précédente de lui désigner un avocat d'office, invoquant une violation des art. 29 al. 3 Cst., 6 al. 3 let. c CEDH ainsi que 132 al. 1 let. b, al. 2 et 3 CPP.
2.1. En vertu de l'art. 29 al. 3 Cst., toute personne qui ne dispose pas de ressources suffisantes a droit, à moins que sa cause ne paraisse dépourvue de toute chance de succès, à l'assistance judiciaire gratuite. Si la sauvegarde de ses droits le requiert, elle a en outre le droit à la commission d'office d'un conseil juridique.
En dehors des cas de défense obligatoire visés à l'<ref-law>, l'<ref-law> soumet le droit à l'assistance d'un défenseur d'office aux conditions que le prévenu soit indigent et que la sauvegarde de ses intérêts justifie une telle assistance. S'agissant de la seconde condition, elle s'interprète à l'aune des critères mentionnés à l'art. 132 al. 2 et 3 CPP. Ainsi, les intérêts du prévenu justifient une défense d'office notamment lorsque la cause n'est pas de peu de gravité et qu'elle présente, sur le plan des faits ou du droit, des difficultés que le prévenu seul ne pourrait pas surmonter (<ref-law>). En tout état de cause, une affaire n'est pas de peu de gravité lorsque le prévenu est passible d'une peine privative de liberté de plus de quatre mois ou d'une peine pécuniaire de plus de 120 jours-amende (<ref-law>). Si les deux conditions mentionnées à l'<ref-law> doivent être réunies cumulativement, il n'est pas exclu que l'intervention d'un défenseur soit justifiée par d'autres motifs (comme l'indique l'adverbe "notamment"), en particulier dans les cas où cette mesure est nécessaire pour garantir l'égalité des armes ou parce que l'issue de la procédure pénale a une importance particulière pour le prévenu, par exemple s'il est en détention (arrêt 1B_93/2018 du 29 mai 2018 consid. 3.1 et les arrêts cités).
Les critères énoncés par l'art. 132 al. 1, let. b, 2 et 3 CPP reprennent largement la jurisprudence du Tribunal fédéral en matière d'assistance judiciaire, rendue sur la base des art. 29 al. 3 Cst. et 6 ch. 3 let. c CEDH (<ref-ruling> consid. 3.5; arrêt 1B_477/2011 du 4 janvier 2012 consid. 2.2). Selon cette jurisprudence, la désignation d'un défenseur d'office dans une procédure pénale est nécessaire lorsque le prévenu est exposé à une longue peine privative de liberté ou s'il est menacé d'une peine qui ne peut être assortie du sursis. Elle peut aussi l'être, selon les circonstances, lorsque le prévenu encourt une peine privative de liberté de quelques semaines à quelques mois si, à la gravité relative du cas, s'ajoutent des difficultés particulières du point de vue de l'établissement des faits ou des questions juridiques soulevées, qu'il ne serait pas en mesure de résoudre seul (<ref-ruling> consid. 3.5; arrêts 6B_243/2017 du 21 septembre 2017 consid. 2.2; 1B_167/2016 du 1 er juillet 2016 consid. 3.4). En revanche, lorsque l'infraction n'est manifestement qu'une bagatelle, en ce sens que son auteur ne s'expose qu'à une amende ou à une peine privative de liberté de courte durée, la jurisprudence considère que l'auteur n'a pas de droit constitutionnel à l'assistance judiciaire (<ref-ruling> consid. 3.5 et les références citées).
Pour évaluer ensuite si l'affaire présente des difficultés que le prévenu ne pourrait pas surmonter sans l'aide d'un avocat, il y a lieu d'apprécier l'ensemble des circonstances concrètes. La nécessité de l'intervention d'un conseil juridique doit ainsi reposer sur des éléments objectifs, tenant principalement à la nature de la cause, et sur des éléments subjectifs, fondés sur l'aptitude concrète du requérant à mener seul la procédure (arrêts 1B_93/2018 du 29 mai 2018 consid. 3.1; 1B_257/2013 du 28 octobre 2013 consid. 2.1 in SJ 2014 I p. 273).
S'agissant de la difficulté objective de la cause, à l'instar de ce qu'elle a développé en rapport avec les chances de succès d'un recours (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 397; <ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 135), la jurisprudence impose de se demander si une personne raisonnable et de bonne foi, qui présenterait les mêmes caractéristiques que le requérant mais disposerait de ressources suffisantes, ferait ou non appel à un avocat (<ref-ruling> consid. 9.1 p. 537; arrêt 1B_257/2013 du 28 octobre 2013 consid. 2.1 in SJ 2014 I p. 273). La difficulté objective d'une cause est admise sur le plan juridique lorsque la subsomption des faits donne lieu à des doutes, que ce soit de manière générale ou dans le cas particulier (arrêt 1B_93/2018 du 29 mai 2018 consid. 3.1).
Pour apprécier la difficulté subjective d'une cause, il faut tenir compte des capacités du prévenu, notamment de son âge, de sa formation, de sa plus ou moins grande familiarité avec la pratique judiciaire, de sa maîtrise de la langue de la procédure (arrêt 1B_257/2013 du 28 octobre 2013 consid. 2.1 in SJ 2014 I p. 273), ainsi que des mesures qui paraissent nécessaires, dans le cas particulier, pour assurer sa défense, notamment en ce qui concerne les preuves qu'il devra offrir (arrêt 1B_93/2018 du 29 mai 2018 consid. 3.1).
2.2. En l'espèce, le Tribunal cantonal a considéré que la cause n'était pas d'une difficulté objective particulière en tant qu'elle concernait des infractions qui font partie du langage courant et sont communément utilisées par les médias (diffamation, calomnie, injure, extorsion, chantage), sans que la subsomption des faits ne présente de difficultés qu'un prévenu ne pourrait surmonter seul; de plus, la peine encourue se limitait à 60 jours-amende, soit un cas bagatelle qui ne justifiait en principe pas l'octroi d'une défense d'office. L'instance précédente a encore estimé que le prévenu, certes âgé, était rompu aux affaires puisqu'il dirigeait une société anonyme; ses courriers témoignaient d'un niveau d'éducation élevé, qui découlait tant du langage utilisé que de sa compréhension globale de l'affaire et de son usage de certains termes techniques (notamment la notion de prescription). Enfin, la cour cantonale a relevé que le prénommé avait su défendre ses droits avant l'intervention de son avocat, en sollicitant un report d'audience.
2.3. Par jugement du 9 juillet 2019, le Tribunal de police a condamné le recourant à une peine de 60 jours-amende à 30 francs le jour avec sursis pendant 5 ans. La peine pécuniaire est certes inférieure au seuil de 120 jours-amende énoncé à l'<ref-law>, à partir duquel une cause ne saurait être considérée comme étant de peu de gravité. Le fait que la peine n'atteint pas le seuil fixé par cette disposition ne permet cependant pas d'admettre automatiquement l'existence d'un cas de peu de gravité (cf. <ref-ruling> consid. 3.6; arrêt 1B_93/2018 du 29 mai 2018 consid. 3.3). En effet, la cause n'est pas dépourvue de toute complexité, contrairement à l'avis de l'instance précédente. L'établissement des faits n'est pas aisé dans la mesure où le litige entre le prévenu et les parties plaignantes a de nombreuses ramifications et remonte à une vingtaine d'années. Le recourant précise à cet égard que l'audience du 2 juillet 2019 a duré près de trois heures.
S'ajoute à cela que le recourant a été condamné pour quatre infractions, ce qui entraîne l'application des règles sur le concours (<ref-law>), à propos desquelles le système légal et la jurisprudence ne sont pas aisées à comprendre pour une personne non juriste. De même, le mécanisme de la preuve de la bonne foi - notamment au regard des créances que le recourant estime avoir contre B._ - implique le soutien d'un avocat, ce d'autant plus que le montant total en jeu sur le plan civil est de plusieurs dizaines de milliers de francs. Par ailleurs, en tant que non-juriste, le recourant n'est pas suffisamment conscient des possibilités que lui offre le Code pénal pour adapter la quotité de la peine à la gravité de la faute commise.
Quant à la difficulté subjective de la cause, il faut prendre en compte le fait que le recourant aura bientôt 80 ans, qu'il est à la retraite depuis une quinzaine d'années et que, lors de sa vie active, il organisait des cours de perfectionnement à la conduite sur un circuit automobile. On ne saurait dès lors retenir qu'il est familiarisé avec la pratique judiciaire et son langage. On peine d'ailleurs à suivre la cour cantonale lorsqu'elle soutient que le recourant était rompu aux affaires puisqu'il dirigeait une société anonyme; d'une part, cet élément ne prend pas en compte la situation actuelle du recourant qui est à la retraite depuis une quinzaine d'années; d'autre part, le fait d'être rompu aux affaires n'implique pas nécessairement d'avoir été familiarisé avec la pratique judiciaire.
Le recourant avance encore que la mention d'une potentielle dénonciation auprès de l'Autorité de protection de l'enfant et de l'adulte pour une éventuelle mesure tutélaire, figurant dans le dispositif de l'ordonnance pénale du 12 février 2019, a eu un impact personnel important sur lui. Il fait valoir qu'il n'avait d'autre choix que de s'opposer à l'ordonnance précitée notamment en raison du préjudice moral que lui causait le maintien de cette mention. Ce point a, au demeurant, été abandonné par le Tribunal de police dans son jugement du 9 juillet 2019, ce qui démontre la pertinence de s'être opposé à l'ordonnance pénale.
De plus, le fait que les parties plaignantes soient représentées par un avocat peut conduire à reconnaître plus facilement au recourant le droit à l'assistance d'un avocat, en application du principe de l'égalité des armes (cf. arrêt 1B_167/2016 du 1 er juillet 2016 consid. 3.6). Cela se justifie d'autant plus en l'espèce qu'une des parties plaignantes est une compagnie d'assurances importante. En effet, tel qu'il est garanti par l'art. 6 CEDH, le principe de l'égalité des armes requiert que chaque partie se voie offrir une possibilité raisonnable de présenter sa cause dans des conditions qui ne la placent pas dans une situation de net désavantage par rapport à son adversaire (cf. <ref-ruling> consid. 4.2.1 p. 124; <ref-ruling> consid. 2.1.2.1 p. 229). Il suppose un équilibre non seulement entre l'accusé et le Ministère public soutenant l'accusation, mais aussi entre l'accusé et la partie civile. Il est notamment violé si l'accusé s'est vu refuser le droit d'être assisté par un défenseur, alors que le lésé bénéficie de l'assistance d'un avocat et qu'il peut s'exprimer sur la question de la culpabilité (arrêt 6B_385/2009 du 7 août 2009 consid. 2.1 et la référence citée). La cour cantonale n'a d'ailleurs pas analysé le principe de l'égalité des armes en tant que critère indépendant, mais a simplement considéré que l'absence de difficulté objective et subjective de la cause ne suffisait pas à violer l'égalité des armes.
Quant à la condition de l'indigence, il n'est pas contesté que le recourant ne dispose pas des moyens nécessaires à la rémunération d'un défenseur d'office.
Vu ces éléments, la nomination d'un avocat d'office apparaissait nécessaire à la sauvegarde des intérêts du recourant.
2.4. Partant, en refusant d'octroyer l'assistance judiciaire au recourant, l'instance précédente a violé le droit fédéral (<ref-law>).
3.
Il résulte de ce qui précède que le recours est admis. L'ordonnance du 3 juillet 2019 et l'arrêt attaqué sont annulés. Le Tribunal fédéral statue lui-même sur le fond (<ref-law>), octroie l'assistance judiciaire gratuite au recourant et désigne Me Gautier Aubert en tant qu'avocat d'office du recourant, avec effet dès le 1 er juillet 2019 (date de la requête d'assistance judiciaire). La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure cantonale de recours.
Le recourant, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un avocat, a droit à des dépens à la charge du canton de Neuchâtel pour la procédure fédérale (<ref-law>). Il n'est pas perçu de frais judiciaires (<ref-law>). La requête d'assistance judiciaire pour la procédure fédérale est dès lors sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. L'arrêt du 23 août 2019 et l'ordonnance du 3 juillet 2019 sont annulés. Me Gautier Aubert est désigné en tant qu'avocat d'office du recourant à partir du 1 er juillet 2019. La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure cantonale de recours.
2.
Une indemnité de dépens pour la procédure fédérale, fixée à 2'000 francs, est allouée au mandataire du recourant, à la charge du canton de Neuchâtel.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Tribunal de police du Littoral et du Val-de-Travers, à l'Autorité de recours en matière pénale du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel, au mandataire de D._ et de l'assurance B._ SA.
Lausanne, le 27 novembre 2019
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Chaix
La Greffière : Tornay Schaller