Erwägungen:
1.
Mit Urteil 4D_65/2021 vom 5. Januar 2022 trat das Bundesgericht auf eine von A._ (Gesuchsteller) gegen den Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern vom 17. November 2021 erhobene Beschwerde mangels hinreichender Begründung im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht ein.
Mit Eingabe vom 4. Februar 2022 beantragt der Gesuchsteller dem Bundesgericht die Revision des Urteils 4D_65/2021 vom 5. Januar 2022.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts kann nur aufgrund der in den Art. 121-123 BGG abschliessend aufgezählten Gründe verlangt werden.
Rechtsschriften müssen die Begehren und deren Begründung mit Angabe der Beweismittel enthalten (<ref-law>), ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.1). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>).
In einem Revisionsgesuch ist dementsprechend unter Angabe der Beweismittel der Revisionsgrund im Einzelnen darzulegen. Dabei genügt es nicht, das Vorliegen eines solchen einfach zu behaupten; vielmehr muss dargetan werden, weshalb dieser gegeben und inwiefern gestützt darauf das Urteilsdispositiv abzuändern ist (siehe etwa Urteil 4F_14/2021 vom 2. Dezember 2021 E. 3 mit Hinweisen).
3.
Der Gesuchsteller erwähnt zwar Art. 121, 122 und 123 BGG, macht jedoch keine Revisionsgründe im Sinne dieser Bestimmungen geltend, geschweige denn legt er einen solchen im Einzelnen dar. Vielmehr kritisiert er frei das bundesgerichtliche Urteil 4D_65/2021 vom 5. Januar 2022 sowie die Verfahrensleitung des Regionalgerichts. Das Revisionsgesuch ist somit nicht rechtsgenügend begründet, weshalb darauf - ohne Durchführung eines Schriftenwechsels (<ref-law>) - nicht einzutreten ist.
4.
Es ist unklar, ob der Gesuchsteller auch für das Revisionsverfahren (sinngemäss) um unentgeltliche Rechtspflege ersucht. Jedenfalls könnte einem solchen Antrag nicht entsprochen werden, weil das Revisionsgesuch aussichtslos war (<ref-law>). Die Gerichtskosten sind gemäss <ref-law> dem Gesuchsteller aufzuerlegen. Parteientschädigungen sind keine zuzusprechen (Art. 68 Abs. 2 und 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, und der Verfahrensbeteiligten schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Februar 2022
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Leemann