Faits :
A.
A._ (2007) est née à Genève de la relation hors mariage entre C._ (1976) et B._ (1965). Celui-ci a aussi deux autres enfants, aujourd'hui majeurs.
Depuis juillet 2013, A._ et C._ se sont installées auprès de la mère de celle-ci en Sicile.
B.
B.a. Le 10 avril 2018, A._, représentée par sa mère, a déposé auprès du Tribunal de première instance du canton de Genève (ci-après: le Tribunal) une action en constatation de paternité à l'encontre de B._ et demandé qu'il soit condamné à contribuer à son entretien par le versement de 1'000 fr. par mois, allocations familiales non comprises, dès le 1er avril 2017.
Par ordonnance de mesures provisionnelles du 16 octobre 2018, le Tribunal a donné acte à B._ de son engagement à contribuer à l'entretien de sa fille à hauteur de 400 fr. par mois, allocations familiales en sus, dès le 10 avril 2018.
Par jugement du 24 septembre 2019, le Tribunal a notamment constaté que B._ était le père de A._ (ch. 1 du dispositif) et donné acte au père de son engagement à verser 400 fr. par mois en faveur de sa fille dès le prononcé du jugement et jusqu'à ses seize ans révolus, puis 600 fr. par mois jusqu'à sa majorité et au-delà en cas d'études sérieuses et ininterrompues (ch. 4). Il a aussi fixé le coût de l'entretien convenable de l'enfant à 600 fr. par mois, correspondant aux frais effectifs, allocations familiales non déduites (ch. 5).
B.b. Statuant par arrêt du 1er mai 2020, adressé aux parties par pli recommandé du 22 mai 2020, sur l'appel interjeté par l'enfant, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) a annulé le ch. 5 du dispositif de cette décision et complété le ch. 4 en ce sens que les éventuelles allocations familiales étaient dues en sus de la contribution d'entretien, celle-ci étant en outre adaptée chaque 1er janvier à l'indice italien des prix à la consommation (ISTAT), pour la première fois le 1er janvier 2021, l'indice de base étant celui du mois du prononcé de l'arrêt cantonal, à moins que le père ne prouve que son revenu n'a pas augmenté proportionnellement à l'adaptation sollicitée.
C.
Par acte du 24 juin 2020, A._ interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle conclut à l'annulation de l'arrêt cantonal et principalement à sa réforme, en ce sens que la contribution d'entretien est fixée à 830 fr. par mois, allocations familiales non comprises. Subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Au préalable, elle sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Des déterminations n'ont pas été requises.

Considérant en droit :
1.
Déposé en temps utile (<ref-law>) et dans la forme légale (<ref-law>), par une partie qui a la qualité pour recourir (<ref-law>), contre une décision finale (<ref-law>) rendue sur recours par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans une affaire civile (<ref-law>) de nature pécuniaire (arrêt 5A_85/2017 du 19 juin 2017 consid. 1) dont la valeur litigieuse requise est atteinte (art. 51 al. 1 let. a et al. 4, 74 al. 1 let. b LTF), le recours est en principe recevable.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être lié ni par les moyens des parties ni par les motifs de l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling> consid. 1.4). Cela ne signifie pas qu'il examine, comme le ferait un juge de première instance, toutes les questions juridiques qui pourraient se poser. Compte tenu de l'obliga-tion de motiver imposée par l'<ref-law>, il ne traite que les questions qui sont soulevées devant lui par les parties, à moins que la violation du droit ne soit manifeste (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 2.2).
S'agissant du droit étranger, selon l'<ref-law>, le recours permet de faire valoir que la décision attaquée n'a pas appliqué le droit étranger désigné par le droit international privé suisse. Dans les contestations de nature pécuniaire, comme en l'espèce, la décision peut sinon être attaquée pour violation de l'art. 9 Cst., soit pour application arbitraire du droit étranger (<ref-law> et 96 let. b LTF a contrario; <ref-ruling> consid. 3.2; arrêt 5A_648/2018 du 25 février 2019 consid. 2.1 non publié aux <ref-ruling>). La décision entreprise ne doit dès lors être annulée que si elle est manifestement insoutenable, viole une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou encore heurte d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité (<ref-ruling> consid. 2.3.1; <ref-ruling> consid. 3.1). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 2.4 et les références).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law> in fine). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire (art. 9 Cst.; <ref-ruling> consid. 2.2 et la référence), doit satisfaire au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1), étant rappelé que l'appréciation des preuves ne se révèle arbitraire que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'une preuve propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a effectué des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 1.1 et la référence). Les critiques appellatoires sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 2.3 et les arrêts cités).
3.
La cause revêt un caractère international au vu de la résidence habituelle de la recourante en Italie et du domicile en Suisse de l'intimé. A juste titre, la recourante ne remet en question ni la compétence des autorités suisses pour connaître du présent litige (<ref-law>) ni l'application du droit italien (<ref-law> et art. 4 al. 1 de la Convention de La Haye du 2 octobre 1973 sur la loi applicable aux obligations alimentaires [RS 0.211.213.01]).
4.
La recourante conteste l'établissement de ses coûts directs et des charges de sa mère et sollicite en outre la prise en compte des coûts indirects de sa prise en charge dans le cadre du calcul de la contribution d'entretien.
5.
Il ressort de l'arrêt entrepris que selon l'art. 315 du Code civil italien, l'enfant a le droit d'être entretenu, éduqué et assisté moralement par ses parents, conformément à ses capacités, ses inclinaisons naturelles et ses aspirations. Chaque parent doit contribuer à l'entretien de l'enfant proportionnellement à ses revenus, peu importe que l'enfant soit né de parents non mariés (art. 30 de la Constitution italienne). Le juge doit alors tenir compte des besoins courants de l'enfant, de son standard de vie dans le cadre de la cohabitation avec chaque parent, du temps passé avec chaque parent, des ressources financières de chaque parent et de la valeur économique de la prise en charge en nature de l'enfant par chaque parent (art. 337 ter du Code civil italien). Les parents doivent contribuer à l'entretien de l'enfant proportionnellement à leurs ressources et en fonction de leurs capacités de gain et de prise en charge en nature (art. 316 bis du Code civil italien).
L'autorité cantonale a considéré qu'ainsi, le droit italien prévoyait, tout comme le droit suisse, d'établir les besoins et les ressources des parties en vue de fixer l'entretien dû à un mineur en fonction du niveau de vie de ses parents. En l'espèce, elle a fixé les besoins de l'enfant à 439 fr. 60par mois. Ce montant comprenait 360 fr. de minimum vital de base, 32 fr. 70 de cours de danse, 13 fr. 80 de cours de théâtre et 33 fr. 10 de frais scolaires, aucune charge de loyer ou d'assurance-maladie n'étant assumée, le système de santé italien prenant en charge 95% des frais.
S'agissant du budget mensuel de la mère, elle a pris en considération 810 fr. de minimum vital de base, 100 fr. de frais d'eau chaude et de chauffage et 50 fr. de frais de déplacement, à savoir des charges de 960 fr. par mois. En tenant compte de revenus mensuels de 1'400 fr. par mois, la mère disposait d'un solde disponible d'environ 440 fr. par mois. La Cour de justice a ensuite considéré que, p uisque la mère prodiguait à la recourante l'entier de ses soins en nature, l'essentiel du coût financier de l'enfant devait être supporté par le père. La mère devait cependant aussi participer, dans une moindre mesure, aux dépenses de sa fille, compte tenu de la situation financière des parents, du disponible de chacun d'eux (440 fr. pour la mère et 834 fr. pour le père) et de la différence du coût de la vie entre Genève et U._ (Sicile). En définitive, l'engagement de l'intimé de verser 400 fr. par mois jusqu'en 2023 puis 600 fr. jusqu'à la majorité de la recourante voire au-delà en cas d'études sérieuses et suivies appa raissait équitable et approprié par rapport à la situation financière des parties.
6.
La recouranteexpose que le montant du minimum vital de base retenu dans ses charges ainsi que dans celles de sa mère procède d'une application arbitraire des art. 337 teret 316 bis du Code civil italien.
6.1. L'autorité cantonale a retenu un montant de base mensuel de 810 fr. dans les charges de la mère et de 360 fr. dans le budget de la recourante. Elle a jugé que la réduction de 15% des montants de base fixés dans les normes d'insaisissabilité genevoises 2020 opérée par le premier juge n'apparaissait pas tenir compte dans une mesure appropriée du coût de la vie moindre existant dans le s ud de l'Italie. Il résultait de l'étude " Prix et salaires " publiée en mai 2018 par UBS que l'indice du niveau des prix, loyer non inclus, à Genève était supérieur d'environ 29% à celui existant à Rome. Or le coût de la vie dans une commune du Sud de l'Italie était notoirement inférieur à celui prévalant dans la capitale italienne, de sorte qu'il convenait de réduire de 40% les montants de base LP.
6.2. La recourante fait valoir qu'afin d'éviter tout arbitraire, la Cour de justice n'aurait pas dû réduire de plus de 29% le minimum vital de base pris en considération par rapport à celui prévu en Suisse. Elleexpose qu'elle vit non loin du bord de mer et de la station touristique de Milazzo où les prix sont notoirement plus élevés qu'au milieu des terres. Il ne serait dès lors " de loin pas évident " que le coût de la vie à Milazzo soit inférieur à celui à Rome,et une réduction de 40% ne reposerait sur aucun fondement.
6.3. Force est de constater que la recourante ne reproche pas à l'autorité cantonale de s'être fondée sur les montants de base prévus dans les normes d'insaisissabilité genevoises 2020 ni de les avoir réduits pour tenir compte du niveau de vie au lieu de sa résidence. En tant qu'elle remet en question, de manière purement appellatoire, la proportion de cette réductio n, elle ne démontre aucunement que le montant de base mensuel retenu par l'autorité cantonale, à savoir 810 fr. pour sa mère et 360 fr. pour elle-même - qui constitue une question de fait et non de droit comme le soutient la recourante - serait arbitraire. Elle ne précise d'ailleurs pas quels sont les frais concrets auxquels elle ferait face et qui ne seraient pas couverts par ce montant. Insuffisamment motivé, le grief est irrecevable (cf. supra consid. 2.1 et 2.2).
7.
La recourante se plain t d'un établissement arbitraire des faits et d'une application arbitraire des art. 337 teret 316 bis du Code civil italien en lien avec les montants de certains postes de charge retenus dans ses besoins mensuels.
7.1. En premier lieu, la recourante fait valoir que c'est un montant de 38 fr. et non de 32 fr. 70 qui aurait dû être retenu par l'autorité cantonale s'agissant de ses cours de danse, comme cela ressortirait d'une pièce qu'elle avait produite en appel mais que l'autorité cantonale avait omis de mentionner, selon laquelle le montant du cours de hip-hop s'était élevé à 390 euros dès 2018, auquel s'ajoutait une cotisation annuelle de 30 euros (pièce 30 produite en appel).
L'autorité cantonale a retenu que la recourante suivait des cours de danse depuis 2015, dont le prix s'élevait à 370 euros par an, ce qui, réparti sur douze mois et converti en francs suisses, représentait 32 fr. 70 par mois, montant qu'elle a intégré dans ses besoins mensuels.
Contrairement à ce que soutient la recourante, il s'agit là d'un grief d'établissement inexact des faits et non d'application arbitraire du droit italien. Dans la mesure où il ressort du mémoire d'appel que la recourante a elle-même allégué un montant de 370 euros par année à titre de frais de cours de danse, et où ce montant ressortait effectivement de la première des deux pièces à laquelle elle renvoyait et qui concerne l'année 2017 (pièce 17), il n'apparaît pas arbitraire d'avoir retenu le montant précité quand bien même un autre chiffre ressortirait de la seconde pièce mentionnée par la recourante dans son appel, relative à l'année 2018 (pièce 30), étant encore rappelé que nonobstant l'application de la maxime inquisitoire (<ref-law>), la recourante n'était pas dispensée de son devoir de collaborer activement à la procédure (<ref-ruling> consid. 3.2.1; arrêt 5A_361/2019 du 21 février 2020 consid. 5.3 et les références). Le grief doit ainsi être rejeté.
7.2. La recourante conteste le montant retenu par l'autorité cantonale en lien avec ses frais de cours de théâtre. Elle expose que l'autorité cantonale a correctement constaté qu'elle avait produit une facture de 150 euros pour ses cours de théâtre pour l'année 2017, et, en appel, une facture d'un montant de 505 euros pour l'année 2018-2019. Elle se plaint cependant de ce que l'autorité cantonale a urait omis de prendre en compte ce dernier montant, correspondant à 44 fr. 50 par mois, dans l'établissement de ses besoins mensuels, ne retenant que 13 fr. par mois sur la base de la facture de 2017.
L'autorité cantonale a retenu que la recourante avait allégué un montant de 13 euros par mois à titre de frais pour des cours de théâtre. Elle a par ailleurs indiqué qu'une attestation du 16 novembre 2017 établissait que la recourante suivait bien des cours de théâtre à cette période dont le coût s'élevait à 150 euros. Elle a également relevé que la recourante s'était inscrite à un cours de cinéma prévoyant 25 euros de frais d'inscription et 480 euros pour le cours complet pour l'année 2018-2019, soit 505 euros au total. Elle a jugé qu'au vu de ces pièces, seul le montant allégué de 13 euros par mois, soit 13 fr. 80, pour les cours de théâtre suivis par la recourante apparaissait justifié et l'a ainsi intégré dans les besoins mensuels de cette dernière.
Il apparaît ici encore que la recourante avait elle-même allégué en appel, dans ses charges, un montant de 13 fr. 80 par mois pour les cours de théâtre et que ce montant correspondait à celui indiqué dans la pièce 18 à laquelle elle renvoyait. La prise en compte de ce montant dans les charges mensuelles de la recourante ne saurait être qualifiée d'insoutenable, au vu du contenu de la pièce précitée et du devoir de collaboration des parties (cf. supra consid. 7.1 et les références citées). Au demeurant, il apparaît qu'en considérant que seul le montant allégué de 13 euros par mois, soit 13 fr. 80, dont la recourante s'acquittait, était justifié, elle a implicitement considéré qu'au vu du niveau de vie des parties, il ne se justifiait pas de prendre en compte les frais d'une activité plus onéreuse, ce dont la recourante ne démontre pas le caractère insoutenable.
7.3. La recourante conteste le montant de 100 fr. retenu au titre de frais d'eau chaude et de chauffage dans les charges de sa mère. Elle soutient qu'il aurait fallu retenir la somme de 198 fr. par mois.
7.3.1. L'autorité cantonale a relevé que d'après l'attestation de la commune de U._, la recourante et sa mère résidaient à la " contrada tragana vico quarto 3". Les factures d'énergie produites ne concernaient toutefois pas ce lieu puisqu'elles indiquaient un autre numéro de rue. Les explications de la recourante selon lesquelles il s'agirait d'une erreur des fournisseurs n'étaient pas convaincantes dès lors qu'elle avait elle-même précisé que l'immeuble regroupait plusieurs appartements et qu'elle n'avait fourni aucun élément pour établir l'union alléguée de ceux-ci en un seul logement. L'autorité cantonale a dès lors procédé à une estimation des frais d'eau chaude et de chauffage qu'elle a fixés à 100 fr. par mois.
7.3.2. La recourante reproche à l'autorité cantonale de s'être montrée excessivement sévère. Elle fait valoir que l'explication avancée par sa grand-mère, à savoir une simple erreur des fournisseurs, était crédible puisqu'il s'agissait d'un seul et même bâtiment et que les factures étaient effectivement payées par sa mère. Elle ajoute que dans son audition du 17 juin 2019 devant le tribunal (p-v d'audition, p. 3), sa grand-mère avait déclaré " J'explique, qu'auparavant, il y avait trois appartements dans l'immeuble. Ces trois appartements ont été réunis c'est pourquoi l'adresse a changé, étant précisé que ce n'est que le numéro qui a changé. (...) Nous n'avons pas deux logements séparés. " Elle ajoute qu'elle n'était pas en mesure de produire une attestation de l'administration italienne, la réunion des appartements n'ayant jamais fait l'objet d'une demande d'autorisation. L'autorité cantonale aurait ainsi dû tenir compte de " toutes les factures d'énergie pour déterminer cette charge " et en fixer le montant à 198 fr., et non l'estimer, de manière arbitraire, à 100 fr.
7.3.3. Le grief de la recourante concerne une question d'établissement des faits (cf. supra consid. 2.2.), à savoir le montant des frais de chauffage et d'eau chaude, dont elle ne parvient cependant pas à établir le caractère insoutenable. En effet, quand bien même la grand-mère de la recourante s'acquitterait d'un montant de 198 fr. par mois de frais d'eau chaude et de chauffage pour le logement qu'elle partage avec sa fille et sa petite-fille, il n'apparaîtrait pas arbitraire de tenir compte seulement de la moitié de ce montant au titre de charge de la mère de la recourante, l'autre moitié relevant des charges de la grand-mère.
8.
Se plaignant d' une application arbitraire des art. 337 teret 316 bis du Code civil italien, la recourante conteste le montant de 1'400 fr. par mois retenu à titre de revenus de sa mère.
8.1. A teneur de l'arrêt entrepris, l'autorité de première instance avait retenu que l'on pouvait exiger de la mère de la recourante qu'elle exerce une activité lucrative à 80% en qualité de secrétaire d'entreprise en Italie, ce qui lui permettait de réaliser un salaire de 1'046 euros, suffisant pour couvrir ses charges. En appel, C._, qui avait allégué vivre des revenus de sa propre mère (à savoir une rente AVS mensuelle de 1'495,63 euros et une contribution d'entretien de son ex-époux de 259,73 euros) indiquait ne pas être en mesure de trouver un travail, notamment en raison du fait qu'elle s'occupait quotidiennement de sa mère malade. Celle-ci avait confirmé que sa fille lui prodiguait une surveillance permanente et des soins constants en raison de son état de santé. L'autorité cantonale a relevé que la disponibilité de C._ permettait à la mère de celle-ci de ne pas faire appel à un tiers, qu'elle devrait sans aucun doute rémunérer, pour prendre soin d'elle. Elle a dès lors jugé que le règlement des frais de la recourante et de sa mère par la grand-mère, soit 1'399 fr. 60par mois (960 fr. [charges de C._] + 439 fr. 60[charges de A._]), correspondait à la rémunération consentie pour les soins ainsi dispensés à plein temps. Les revenus perçus par la mère de C._, soit au minimum 1'755 euros par mois - auxquels il n'était pas exclu que s'ajoutent des revenus locatifs vu la grandeur de l'immeuble dont elle avait la jouissance -, s'ils n'étaient pas importants, suffisaient à couvrir les besoins de la famille. Ni C._ ni sa mère n'avaient eu recours à l'aide publique ou à des emprunts auprès de tiers pour couvrir leurs charges incom pressibles. Relevant enfin que les salaires nets dans le s ud de l'Italie étaient de manière générale inférieurs de plus de 50% à ceux pratiqués à Genève selon l'étude " Prix et salaires " d'UBS, l'autorité cantonale a estimé qu'un salaire mensuel net de l'ordre de 1'400 fr. pour prendre soin et veiller sur une personne malade jour et nuit, n'apparaissait pas excessif. En définitive, après le paiement de ses propres charges, la mère de la recourante disposait encore d'un disponible d'environ 440 fr. par mois.
8.2. La recourante reproche à l'autorité cantonale d'avoir arbitrairement jugé que sa mère était en mesure de couvrir l'entier de leurs charges à toutes les deux par les revenus qu'elle percevait à titre de contre-prestation aux soins prodigués à sa grand-mère. Elle fait valoir qu'à suivre le raisonnement de la Cour de justice, sa grand-mère ne vivrait qu'avec 271 euros par mois, ce qui ne couvrirait pas même son minimum vital. Par ailleurs, l'affirmation selon laquelle sa grand-mère percevrait des revenus locatifs serait purement fantaisiste car rien dans le dossier ne permettait de retenir que le bâtiment était grand au point d'en permettre facilement une location partielle et les apparte ments avaient en tout état été réunis ce qui faisait obstacle à toute location. L'autorité cantonale avait arbitrairement retenu qu'il n'avait jamais été fait appel à l'aide publique puisque sa mère avait sollicité une rente d'insertion italienne, qui lui avait cependant été refusée. Elle ne tenait du reste pas compte du fait que si ses charges ainsi que celles de sa mère étaient correctement établies, celle-ci ne disposerai ten réalité plus que d'un solde disponible de 121 fr. La recourante fait en outre valoir qu'un revenu de 1'400 fr. est disproportionné pour la Sicile. Il résultaiten effet des offres d'emploi qu'elle avait produites qu'un salaire de 600 euros par mois était offert pour un poste de secrétaire téléphoniste à plein temps et que le salaire moyen mensuel d'une secrétaire en Italie s'élevait à 707 euros par mois. Il était ainsi " douteux " qu'une simple aide à domicile puisse être rémunérée deux fois plus qu'une secrétaire téléphoniste.
8.3. Contrairement à ce que fait valoir la recourante, l'autorité cantonale n'a pas tenu compte de revenus locatifs dans le calcul de la contribution d'entretien, se contentant de ne pas exclure que de tels revenus soient perçus par la mère. En outre, la recourante ne démontre pas que sa famille aurait eu recours à des emprunts auprès de tiers, ni ne conteste qu'elle ne reçoit pas d'aide de l'Etat italien, exposant elle-même que la demande d'aide introduite par mère a été refusée. Quant au point de savoir quel serait le solde disponible de sa grand-mère, il est dénué de pertinence, dès lors que seul les montants des ressources des parents de la recourante sont déterminants pour fixer la contribution d'entretien en sa faveur. Sur ce point, il n'apparaît pas arbitraire de retenir que le fait que sa grand-mère s'acquitte régulièrement des frais de la recourante et de sa mère constitue une forme de rémunération versée à la mère pour les soins qu'elle lui fournit. Au demeurant, il n'apparaîtrait pas non plus insoutenable de considérer que la mère de la recourante, qui a librement choisi de s'occuper de sa propre mère plutôt que d'exercer une activité lucrative, devrait en réalité se voir imputer un revenu hypothétique, la recourante ne démontrant au demeurant pas que cela contreviendrait de manière choquante au droit italien ni que le montant retenu à ce titre, qu'elle qualifie de " douteux ", serait en l'occurrence arbitraire. Il faut encore relever que la détermination des revenus de C._ a pour seul but de fixer la capacité contributive de celle-ci, élément pertinent pour fixer la répartition des besoins de la recourante entre ses parents. En l'espèce, dès lors que le père a été condamné à contribuer à l'entretien de sa fille par le versement de 400 fr. par mois jusqu'à ses 16 ans, puis de 600 fr. par mois, et que les besoins mensuels de l'enfant ont été fixés à 439 fr. 60 fr., ces considérations ont uniquement pour conséquence d'astreindre la mère à s'acquitter des besoins financiers de l'enfant à raison de 39 fr. 60 fr. par mois en sus des soins qu'elle lui fournit en nature, ce qui n'est pas insoutenable au vu de l'ensemble des circonstances de l'espèce, étant au surplus relevé que la contribution d'entretien du père s'entend éventuelles allocations familiales en sus et qu'à tout le moins à compter des 16 ans de l'enfant, l'entier de ses besoins financiers seront en réalité couverts par la contribution d'entretien qui s'élèvera alors à 600 fr. par mois.
9.
Dans un dernier moyen, la recourante fait valoir qu'il faudrait ajouter à ses frais directs les coûts indirects de sa prise en charge, à savoir la contrevaleur de sa prise en charge en nature exclusive par sa mère, partant, qu'il serait " raisonnable et proportionné " de condamner l'intimé à contribuer à son entretien à hauteur de l'intégralité de son dispo nible, à savoir 834 fr. La critique de la recourante est irrecevable, dès lors qu'elle se limite à faire valoir que l'art. 316 bis du Code civil italien prévoit " tout comme le droit suisse " que les parents doivent contribuer à l'entretien de l'enfant proportionnellement à leurs ressources et en fonction de leurs capacités de gain et de prise en charge en nature. Ce faisant, elle ne soulève pas de grief d'application arbitraire du droit étranger (cf. supra consid. 2.1).
10.
En définitive, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable, aux frais de la recourante (<ref-law>). Celui-ci étant d'emblée voué à l'échec, la requête d'assistance judiciaire de la recourante doit être rejetée (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'octroyer de dépens à l'intimé, qui n'a pas été invité à se déterminer (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours en matière civile est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire de la recourante est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Il n'est pas alloué de dépens.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 26 janvier 2021
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Dolivo