Sachverhalt:
A.
Am 3. Februar 2016 erteilte die Bausektion des Stadtrats von Zürich der Baudirektion des Kantons Zürich die Baubewilligung für innere Umbauten und den Anbau eines Fluchttreppenhauses beim Gebäude Vers.-Nr. 28100669 auf dem Grundstück Kat.-Nr. AA3348 in Zürich. Dieses Gebäude mit dem Namen "Zum Oberen Schönberg" ist Teil eines historischen Landguts, das heute neben dem Hauptgebäude der Universität Zürich liegt und universitären Zwecken dient. Nach dem früheren Besitzer Johann Jakob Bodmer trägt das betroffene Gebäude auch den Namen "Bodmerhaus". Im Dispositiv der Baubewilligung wurde der Nachweis über die rechtskräftige formelle Unterschutzstellung des Bodmerhauses, eines Nebengebäudes (Haus "Zum Schneggli") und der Umgebung vor Baubeginn vorbehalten.
B.
Der Verein Zürcher Heimatschutz (ZVH) focht die Baubewilligung am 14. März 2016 beim Baurekursgericht des Kantons Zürich an. Die Gebäudeversicherung Kanton Zürich wurde dem Verfahren als Mitbeteiligte beigeladen. Auf Ersuchen der Baudirektion wurde das Rekursverfahren am 1. April 2016 sistiert.
Am 16. März 2016 genehmigte der Stadtrat von Zürich den verwaltungsrechtlichen Vertrag vom 22. Januar 2016 zwischen dem Kanton Zürich, vertreten durch die Baudirektion, als Eigentümer und der Stadt Zürich, vertreten durch die Denkmalpflege, über die Unterschutzstellung des Bodmerhauses, des Hauses "Zum Schneggli" und der Umgebung. Ein Auszug dieses Beschlusses wurde im kantonalen Amtsblatt vom 1. April 2016 mit Rechtsmittelbelehrung veröffentlicht. Der Entscheid erwuchs unangefochten in formelle Rechtskraft.
Auf Ersuchen der Baudirektion setzte das Baurekursgericht das Rekursverfahren mit Verfügung vom 15. Juli 2016 fort. Es wies den Rekurs mit Entscheid vom 3. März 2017 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Der ZVH zog den Rekursentscheid an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich weiter. Dieses wies die Beschwerde mit Urteil vom 31. August 2017 ab.
D.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 9. November 2017 beantragt der ZVH die Aufhebung des angefochtenen Urteils. Weiter seien die Vorinstanzen anzuhalten, seine Rügen materiell zu behandeln.
Die Baudirektion und die Bausektion der Stadt Zürich stellen den Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventualiter sei diese abzuweisen. Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Gebäudeversicherung schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
In der Replik vom 7. Januar 2018 hält der Beschwerdeführer an seinen Anträgen fest. Die Baudirektion hat daraufhin Gegenbemerkungen eingereicht. In der Folge haben sich die Verfahrensbeteiligten nicht mehr geäussert.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid über eine baurechtliche Bewilligung (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen; ein Ausschlussgrund nach <ref-law> liegt nicht vor.
1.2. Die Baubewilligung betrifft ein unter Denkmalschutz stehendes Gebäude. Der Beschwerdeführer als kantonal (und nicht gesamtschweizerisch) tätige Heimatschutzorganisation kann sich nicht auf das Verbandsbeschwerderecht gemäss Art. 12 Abs. 1 lit. b des Bundesgesetzes vom 1. Juli 1966 über den Natur- und Heimatschutz (NHG; SR 451) i.V.m. <ref-law> berufen. Das Verbandsbeschwerderecht gemäss § 338b des Zürcher Planungs- und Baugesetzes vom 7. September 1975 (PBG) gilt nur für die kantonale Ebene, nicht aber vor Bundesgericht.
Die Beschwerdebefugnis des ZVH bestimmt sich folglich gemäss <ref-law>. Danach ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung besitzt. Der Beschwerdeführer macht selbst nicht geltend, dass er oder die Mehrzahl seiner Mitglieder eine enge (insbesondere räumliche) Beziehung zu dem vom Umbau betroffenen Bodmerhaus hätten. Der statutarische Zweck des Beschwerdeführers, sich für die Belange des Heimat-, Denkmal-, Landschaft- und Naturschutzes im Kanton Zürich einzusetzen, genügt nicht, um die Beschwerdebefugnis nach <ref-law> zu begründen.
Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts kann eine Heimatschutz-Vereinigung, der auf kantonaler Ebene ein Verbandsbeschwerderecht zusteht, vor Bundesgericht lediglich (aber immerhin) geltend machen, im kantonalen Verfahren in ihren Parteirechten verletzt worden zu sein (Urteil 1C_475/2015 vom 7. Dezember 2015 E. 1.2 mit Hinweisen). Dagegen kann sie auf diesem Weg keine (indirekte) Überprüfung des Entscheids in der Hauptsache erlangen. Nicht einzutreten ist daher auf formelle Rügen, deren Beurteilung von der Prüfung in der Sache selbst nicht getrennt werden können (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 436 f.; "Star-Praxis" analog).
1.3. Das unterinstanzliche Baurekursgericht hat die Zulässigkeit des umstrittenen Fluchttreppenhauses als Anbau an das Bodmerhaus unter dem Blickwinkel der kantonalen Denkmalschutzvorschriften nicht geprüft. Dieses teilweise Nichteintreten wurde damit begründet, dass der Schutzvertrag, der den Schutzumfang beim Bodmerhaus detailliert festlegt, unangefochten in Rechtskraft erwachsen sei. Das Urteil der Vorinstanz hat den Baurekursentscheid geschützt. Dabei setzte sich die Vorinstanz mit den Vorbringen des Beschwerdeführers zur Koordinationspflicht gemäss Art. 25a Abs. 1 RPG (SR 700) sowie zu den Regeln über ein faires Verfahren (<ref-law>), zum Vertrauensprinzip (<ref-law>) und zum Verbot des überspitzten Formalismus (Art. 29 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) auseinander; sie verneinte, dass die Trennung zwischen Baubewilligungs- und Denkmalschutzverfahren im vorliegenden Fall diese Verfahrensgrundsätze verletzt habe.
Auf die Vorbringen des Beschwerdeführers, die sich auf kantonales Denkmalschutzrecht stützen, wurde im Ergebnis gar nicht eingetreten. Insoweit steht der nach der "Star-Praxis" zulässige Vorwurf im Raum, der Beschwerdeführer habe teilweise eine formelle Rechtsverweigerung erlitten. Soweit sich die Beschwerde gegen die Handhabung von Verfassungsrecht und von Art. 25a Abs. 1 und Abs. 2 lit. d RPG richtet, lässt sich die Beurteilung dieser Verfahrensvorwürfe indessen nicht von der Prüfung der konkreten Umstände in der Sache trennen; zu derartigen Rügen ist der Beschwerdeführer an sich nicht befugt (vgl. oben E. 1.2). Insgesamt erscheint es sehr fraglich, ob die Legitimation des Beschwerdeführers vorliegend gegeben ist. Letztlich kann diese Frage offenbleiben, denn die von ihm gerügten Verfahrensvorschriften sind nicht verletzt worden; dieses Ergebnis ist nachfolgend zu begründen (unten E. 2 und 3).
2.
2.1. Im Zentrum der Beschwerde an das Bundesgericht steht die Vorschrift von Art. 25a Abs. 2 lit. d RPG, wonach die für die Koordination verantwortliche Behörde für eine inhaltliche Abstimmung sowie möglichst für eine gemeinsame oder gleichzeitige Eröffnung der Verfügungen zu sorgen hat. Die Baubewilligung vom 3. Februar 2016 wurde dem Beschwerdeführer am 11. Februar 2016 zugestellt. Der Schutzentscheid vom 16. März 2016 wurde am 1. April 2016 amtlich veröffentlicht. Nach dem Beschwerdeführer wird ihm zu Unrecht vorgehalten, er hätte hintereinander die Baubewilligung und den Denkmalschutzentscheid anfechten müssen. Stattdessen bestehe der Sinn von Art. 25a RPG darin, eine gemeinsame Anfechtung sicherzustellen. Der Schutzentscheid habe nicht losgelöst von der Baubewilligung im Nachhinein eröffnet werden dürfen. Die blosse Auflage in der Baubewilligung, dass vor Baubeginn der Schutzvertrag rechtskräftig werden müsse, erfülle Art. 25a Abs. 1 und Abs. 2 lit. d RPG entgegen der Ansicht der Vorinstanz nicht. Art. 25a RPG sei in willkürlicher Weise seines Sinngehalts entleert worden. Ausserdem hätten die von den Behörden zu vertretenden, konkreten Umstände in ihrer Kombination den Beschwerdeführer in verfassungswidriger Weise daran gehindert, den Denkmalschutzentscheid anzufechten. Im Vergleich zum Verfahren vor der Vorinstanz beruft sich der Beschwerdeführer dabei nicht nur auf die oben bei E. 1.3 genannten Ansprüche, sondern auch auf Art. 6 Ziff. 1 EMRK.
2.2. Die Regeln von Art. 25a Abs. 1 und 2 RPG zur Koordinationspflicht stellen lediglich bundesrechtliche Minimalanforderungen an die entsprechenden kantonalen Verfahren dar (vgl. Urteil 1A.175/2003 vom 27. November 2003 E. 2.3; ARNOLD MARTI, in: Kommentar zum Bundesgesetz über die Raumplanung, Zürich 1999, Art. 25a N. 9-12). Verlangt ist dabei nicht eine maximale, sondern bloss eine ausreichende Koordination (Urteil 1C_309/2013 vom 4. Juli 2013 E. 3.3.1; MARTI, a.a.O., Art. 25a N. 23). Dem vom Beschwerdeführer im Zusammenhang mit Art. 25a RPG angeführten Willkürverbot (<ref-law>) kommt keine eigenständige Bedeutung zu.
Ein gestaffeltes Vorgehen der Behörden ist nach der Rechtsprechung nur zulässig, sofern dadurch die erforderliche materielle und soweit möglich formelle Koordination der Entscheide nicht vereitelt wird (<ref-ruling> E. 5d S. 39 mit Hinweisen). Eine rein inhaltliche Abstimmung der erforderlichen Spezialbewilligungen mit der Baubewilligung genügt diesen Anforderungen grundsätzlich nicht. Erforderlich ist, dass die Spezialbewilligungen auch erstinstanzlich erteilt sind, damit sie im Rechtsmittelverfahren zusammen mit der Baubewilligung beurteilt werden können (<ref-ruling> E. 3d S. 278 f.).
Die Formulierung von Art. 25a Abs. 2 lit. d RPG fordert mit dem Wort "möglichst" von den Behörden keine strikte Pflicht zur gemeinsamen Eröffnung ihrer Verfügungen (vgl. dazu Urteil 1C_231/2011 vom 16. Dezember 2011 E. 5.3, in: URP 2012 S. 225). Im Urteil 1C_529/2014 vom 13. Oktober 2015 betrachtete das Bundesgericht die wenige Tage hintereinander erfolgte Eröffnung zweier Verfügungen als mit Art. 25a Abs. 2 lit. d RPG vereinbar, weil es den damaligen Beschwerdeführern möglich gewesen sei, die beiden Verfügungen am gleichen Tag anzufechten (a.a.O., E. 2.5). Es verstösst auch nicht in jedem Fall gegen Art. 25a Abs. 2 lit. d RPG, wenn zwei koordinationspflichtige Verfügungen zeitlich so weit auseinander eröffnet werden, dass die Rechtsmittelfristen sich nicht überlappen. Ausnahmsweise kann es mit dieser Bestimmung vereinbar sein, dass die Behörde die zeitlich erste Verfügung ohne Abwarten der nachfolgenden Verfügung der anderen Behörde eröffnet, wenn die materielle Koordination in hinreichendem Masse sichergestellt ist, insbesondere keine Gefahr widersprüchlicher Entscheide besteht. Ebenso muss sichergestellt sein, dass die Parteirechte der Betroffenen insgesamt ausreichend gewahrt sind. In einem solchen Fall liegt ein triftiger Grund für eine Ausnahme vom Grundsatz der gleichzeitigen Eröffnung nach Art. 25a Abs. 2 lit. d RPG vor.
2.3. Im Kanton Zürich sind die Zuständigkeiten auf kommunaler Ebene für den Denkmalschutz (Gemeindevorstand bzw. Exekutive, vgl. § 211 Abs. 2 PBG) und für die Erteilung der Baubewilligung (Baubehörde, vgl. § 318 PBG) getrennt, wenn diese Behörden nach dem kommunalen Recht nicht zusammenfallen. Gemäss § 9 Abs. 1 lit. a der kantonalen Bauverfahrensverordnung vom 3. Dezember 1997 (BVV; LS 700.6) ist im Regelfall die örtliche Baubehörde für die Koordination verantwortlich. Ihr obliegt somit die Koordination, falls eine solche im Einzelfall zu bejahen ist. Nach § 8 Abs. 1 BVV sorgt die für die Koordination verantwortliche Stelle bei Vorhaben, die durch mehrere Stellen zu prüfen sind, für die ausreichende formelle und materielle Koordination der Beurteilungen, für widerspruchsfreie Entscheide und für einheitliche Rechtsmittelbelehrungen.
Nach dem angefochtenen Urteil geht die Praxis im Kanton Zürich grundsätzlich von einer Trennung zwischen Baubewilligungs- und Denkmalschutzverfahren aus. Dabei geht in der Regel das Denkmalschutzverfahren voraus und das Baubewilligungsverfahren für entsprechende spätere Änderungen erfolgt anschliessend. Es ist jedoch nach dem kantonalen Recht nicht ausgeschlossen, dass über die Schutzfrage bei Einleitung des Baubewilligungsverfahrens - wie im vorliegenden Fall - noch nicht entschieden ist. Soweit in einem derartigen Fall ein enger sachlicher Zusammenhang zwischen den Denkmalschutzmassnahmen und den Anforderungen an die baulichen Massnahmen besteht, ist ein Koordinationsbedarf im Sinne von Art. 25a Abs. 1 RPG gegeben. Das Denkmalschutzverfahren kann aber auch andere Fragen berühren, welche die Baubewilligung nicht betreffen. Um Denkmalschutz und Baubewilligung in sachgerechter Weise aufeinander abzustimmen, sind unterschiedliche Verfahrensgestaltungen denkbar; entscheidend ist, dass die materielle und - soweit möglich und nötig - die formelle Koordination (vgl. oben E. 2.2) sichergestellt sind. Im vorliegenden Fall hat die Vorinstanz die Anwendbarkeit des Koordinationsgebots zufolge des engen Sachzusammenhangs zwischen der baurechtlichen Bewilligungsfähigkeit des umstrittenen Anbaus und dem denkmalrechtlichen Schutz der vom Umbau betroffenen Bestandteile der Liegenschaft zu Recht bejaht.
2.4. Die Baubewilligung vom 3. Februar 2016 wurde nicht nur in unbestimmter Weise von künftigen Denkmalschutzmassnahmen abhängig gemacht. Vielmehr wurde in den Erwägungen der Baubewilligung auf den am 22. Januar 2016 abgeschlossenen bzw. öffentlich beurkundeten Schutzvertrag über Gebäude und Garten beim Bodmerhaus hingewiesen. Im vorliegenden Fall war - im Unterschied zur Situation beim Urteil 1C_470/2009 vom 3. Mai 2010 - der genaue Umfang der Denkmalschutzmassnahmen mit dem öffentlich beurkundeten Schutzvertrag grundeigentümerverbindlich geregelt worden. Bei der Genehmigung dieses Schutzvertrags durch den Stadtrat, welche als Schutzentscheid anfechtbar war, handelte es sich bloss noch um eine formelle Bestätigung; letztere hatte - wie bereits die Vorinstanz erklärt hat - keine Auswirkungen auf diesen Vertrag. Der Beschwerdeführer widerspricht der diesbezüglichen Feststellung der Vorinstanz im Übrigen auch nicht. Bei diesem Vorgehen der Behörden bestand keine Gefahr widersprüchlicher Entscheide. Deswegen ist es nicht zu beanstanden, dass die Baubewilligung - um Zeit zu gewinnen - ausnahmsweise zeitlich vor dem formellen Schutzentscheid beschlossen worden ist.
2.5. Im vorliegenden Fall waren Baubewilligung und Schutzentscheid beim Baurekursgericht des Kantons Zürich anfechtbar; eine einheitliche Rechtsmittelinstanz im Sinne von Art. 33 Abs. 4 RPG ist gegeben. Einzig der Beschwerdeführer hatte als Drittbetroffener bei der Ausschreibung des Baugesuchs die Zustellung des baurechtlichen Entscheids verlangt. Die Baubehörde durfte davon ausgehen, dass ihm infolge einer Eröffnung der Baubewilligung ohne Abwarten des formalen Schutzentscheids keine Beeinträchtigung seiner Partei- bzw. Verfahrensrechte drohte. Anders verhielt es sich beim Urteil 1C_236/2013 vom 4. Februar 2014 E. 3; dort bestand das Risiko einer Staffelung von Rechtsmittelverfahren mit unterschiedlichen Beteiligten zu inhaltlich gleichartigen Streitpunkten, was nicht nur Art. 25a Abs. 2 lit. d, sondern auch Art. 25a Abs. 3 RPG widerspricht. Ferner kommt es vorliegend nicht erheblich auf die Umstände der Koordination zwischen Baubewilligung und Denkmalschutz bei einem Gebäude in einem anderen Stadtquartier an; die vom Beschwerdeführer beantragte diesbezügliche Aktenedition erweist sich für das Verfahren vor der Vorinstanz wie vor Bundesgericht als entbehrlich.
3.
Auch die Überprüfung weiterer Sachumstände unter dem Blickwinkel von Art. 25a Abs. 1 und Abs. 2 lit. d RPG, des Gebots eines gleichen und gerechten bzw. fairen Verfahrens (<ref-law>), des Vertrauensprinzips (<ref-law>) und des Verbots des überspitzten Formalismus (Art. 29 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) führen zu keinem anderen Ergebnis. Unter diesen Umständen braucht nicht weiter erörtert zu werden, inwiefern Art. 6 Ziff. 1 EMRK im Falle des Beschwerdeführers, der öffentliche Interessen verfolgt, überhaupt anwendbar ist.
Die Vorinstanz hat gestützt auf die Verfahrensakten festgestellt, dass der Schutzvertrag dem Beschwerdeführer schon vor der am 1. April 2016 erfolgten Veröffentlichung des Denkmalschutzentscheids bekannt gewesen sei. Weiter erachtete sie die fragliche Klausel im Schutzvertrag als deutlich und in genügender Schriftgrösse verfasst, so dass daraus die denkmalpflegerische Zulässigkeit des umstrittenen Anbaus erkennbar sei. Für die Vorinstanz war aus den Akten an keiner Stelle ersichtlich, dass die Sistierung des Rekursverfahrens durch das Baurekursgericht am 1. April 2016 den Zweck verfolgt haben sollte, den Beschwerdeführer von der Anfechtung des am selben Tag veröffentlichten Schutzentscheids bzw. des Schutzvertrags abzuhalten. Vielmehr habe der Beschwerdeführer dessen Anfechtung offenbar bewusst unterlassen, wie die Vorinstanz ebenfalls unter Bezugnahme auf die Akten festgestellt hat. Die Einwände des Beschwerdeführers sind nicht geeignet, die offensichtliche Unrichtigkeit der diesbezüglichen Feststellungen der Vorinstanz im Sinne von Art. 97 Abs. 1 i.V.m. <ref-law> darzutun.
Unter diesen Umständen ist nicht ersichtlich, dass die Behörden den Beschwerdeführer an einer Anfechtung des Denkmalschutzentscheids gehindert hätten. Sie waren rechtlich nicht verpflichtet, ihn auf die besondere Tragweite des Schutzvertrags oder auf die Unabhängigkeit der Frist für einen Rekurs gegen den Schutzentscheid vom Gang des Rekursverfahrens über die Baubewilligung hinzuweisen, zumal der Beschwerdeführer über besonderes Fachwissen im kantonalen Bau-, Denkmalschutz- und Verwaltungsverfahrensrecht verfügt. Da der Beschwerdeführer den Schutzentscheid nicht angefochten hat, wurden seine Verfahrensrechte nicht verletzt, wenn im kantonalen Rechtsmittelverfahren auf seine Kritik am Schutzvertrag nicht eingetreten worden ist.
Aus diesen Gründen missachtet das angefochtene Urteil weder die Koordinationspflicht (Art. 25a Abs. 1 und 2 RPG) noch die vom Beschwerdeführer gerügten verfassungsrechtlichen Verfahrensansprüche.
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Die nicht anwaltlich vertretene Beschwerdegegnerin beantragt eine Parteientschädigung; eine solche steht ihr jedoch nicht zu, zumal sie in ihrem amtliche Wirkungskreis obsiegt (<ref-law>). Die Gebäudeversicherung des Kantons Zürich und die Bausektion der Stadt Zürich haben zu Recht keine Parteientschädigung geltend gemacht.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Baudirektion des Kantons Zürich, der Bausektion der Stadt Zürich, der Gebäudeversicherung Kanton Zürich und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Mai 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Kessler Coendet