Sachverhalt:
A.
Die IV-Stelle Basel-Stadt sprach der 1965 geborenen A._ mit Verfügung vom 9. Januar 2008 ab dem 1. September 2005 eine ganze Invalidenrente und zwei Kinderrenten zu. Mit Verfügungen vom 27. Januar 2017 verneinte die IV-Stelle Basel-Landschaft den Anspruch eine Kinderrente für die Tochter B._ ab August 2016 und forderte die von März 2016 bis dahin zu viel ausgerichteten IV-Kinderrenten zurück. Gegen diese Verfügungen erhob A._ beim Kantonsgericht Basel-Landschaft Beschwerde mit der Begründung, die IV-Stelle Basel-Landschaft sei für die Verfügungen bezüglich Kinderrenten nicht zuständig. Infolge Beschwerdeanerkennung schrieb das Kantonsgericht mit Beschluss vom 4. August 2017 das Verfahren ab und hob die Verfügungen vom 27. Januar 2017 auf. Mit Verfügungen vom 14. September 2017 verneinte die IV-Stelle Basel-Stadt den Anspruch von A._ auf die Kinderrente ihrer Tochter ab August bzw. ab März 2016 und forderte die von März bis August 2016 zu viel ausbezahlten Renten in der Höhe von Fr. 4'428.- zurück.
B.
Die hiergegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 26. Juni 2018 ab.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentliche-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, unter teilweiser Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die Rückerstattungsverfügung vom 14. September 2017 aufzuheben.
Die Beschwerdegegnerin und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung, erstere mit Verweis auf den angefochtenen Entscheid. Die Vorinstanz schliesst auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Unter Berücksichtigung der Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) prüft es nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind, und ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr aufgegriffen werden (<ref-ruling> E. 2 S. 394 mit Hinweisen).
1.2.
1.2.1. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>; <ref-ruling>), was in der Beschwerde näher darzulegen ist (<ref-ruling> E. 3 S. 395). Der vorinstanzliche Verfahrensausgang allein bildet noch keinen hinreichenden Anlass im Sinne von <ref-law> für die Zulässigkeit von unechten Noven, die bereits im kantonalen Verfahren ohne Weiteres hätten vorgebracht werden können. Das Vorbringen von Tatsachen, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid ereigneten oder entstanden (echte Noven), ist vor Bundesgericht unzulässig (<ref-ruling> E. 1.2 S. 22 f. mit Hinweisen; Urteile 8C_158/2017 vom 22. August 2017 E. 2; 8C_15/2009 vom 11. Januar 2010 E. 4.1).
1.2.2. Die Beschwerdeführerin reicht vor Bundesgericht neu den von ihr am 6. August 2016 unterzeichneten Ausbildungsnachweis der Ausgleichskasse Arbeitgeber Basel sowie einen ebenfalls an die Ausgleichskasse adressierten Bericht des Dr. med. C._, FMH Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 4. September 2016 ein. Diese Dokumente stammen unbestrittenermassen aus der Zeit vor dem angefochtenen Gerichtsentscheid. Aufgrund der darauf vermerkten Adressen hätten sie Teil der Verwaltungsakten bilden sollen, doch fanden sie aus nicht weiter geklärten Gründen keinen Eingang in das vorinstanzliche Verfahren. Dazu hätte durchaus Anlass bestanden: Die streitige Rückforderung fiel ausschliesslich in den Kompetenzbereich der Ausgleichskasse, die denn auch zuhanden der unmittelbar verfahrensbeteilgten IV-Stelle eine Stellungnahme verfasste und wozu auch die notwendigen Akten zu liefern gewesen wären (vgl. dazu <ref-ruling> E. 1c/aa S. 215 f. mit Hinweis auf das vom BSV herausgegebene Kreisschreiben über die Rechtspflege in der AHV, der IV, der EO und bei den EL, in der damaligen Fassung vom 1. Mai 1993; heute in der ab 1. Oktober 2005 gültigen Fassung, Rz. 2047). Vor diesem Hintergrund und obwohl die Beschwerdeführerin zur Zulässigkeit ihrer Noveneingabe nichts vorbringt, fragt sich, ob sie im vorliegenden Verfahren damit zu hören ist. Wie es sich im Einzelnen damit verhält, kann jedoch offen bleiben. Denn auch wenn auf die neuen Akten eingegangen wird, ändert sich, wie nachfolgend aufzuzeigen ist, am Ausgang des Verfahrens nichts.
2.
Streitig ist ausschliesslich, ob die Vorinstanz die Verwirkung des Rückerstattungsanspruchs der Beschwerdegegnerin zu Recht verneint hat.
3.
3.1. Gemäss <ref-law> sind unrechtmässig bezogene Leistungen zurückzuerstatten. Der Rückforderungsanspruch erlischt mit dem Ablauf eines Jahres, nachdem die Versicherungseinrichtung davon Kenntnis erhalten hat, spätestens aber mit dem Ablauf von fünf Jahren nach der Entrichtung der einzelnen Leistung (<ref-law>).
Unter der Wendung "nachdem die Versicherungseinrichtung davon Kenntnis erhalten hat" ist der Zeitpunkt zu verstehen, in dem die Verwaltung bei Beachtung der ihr zumutbaren Aufmerksamkeit hätte erkennen müssen, dass die Voraussetzungen für eine Rückerstattung bestehen. Es geht - mit andern Worten - um den Zeitpunkt, in dem sich der Versicherungsträger hätte Rechenschaft geben müssen über Grundsatz, Ausmass und Adressat des Rückforderungsanspruchs. Erfordert die Leistungsfestsetzung (oder die Rückforderung) das Zusammenwirken mehrerer mit der Durchführung der Versicherung betrauter Behörden, genügt es für den Beginn des Fristenlaufs, dass die nach der Rechtsprechung erforderliche Kenntnis bei einer der zuständigen Verwaltungsstellen vorhanden ist (<ref-ruling> E. 4.1 S. 8; <ref-ruling> E. 1 S. 382; <ref-ruling> E. 5a S. 274; <ref-ruling> E. 4a S. 433; Urteil 9C_454/2012 vom 18. März 2013 E. 4, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2013 IV Nr. 24 S. 66; ULRICH MEYER, Die Rückerstattung von Sozialversicherungsleistungen, in: Ausgewählte Schriften, THOMAS GÄCHTER [Hrsg.], 2013, S. 141 ff., 147 f.). In <ref-ruling> erkannte das Bundesgericht ferner, dass der mit dem blossen Datenaustausch zwischen IV-Stelle und Ausgleichskasse verbundene (geringfügige) zeitliche Aufwand grundsätzlich nicht zu einem Aufschub des Fristbeginns führe.
3.2. Die Vorinstanz hielt mit Bezug auf den Ablauf der relativen einjährigen Verwirkungsfrist fest, die Beschwerdegegnerin habe erstmals im August 2016 Kenntnis vom Lehrabbruch der Tochter der Versicherten erhalten. Jedoch habe sie erst im Januar 2017 erfahren, dass das Lehrverhältnis bereits per 29. Februar 2016 aufgelöst worden sei. Damit seien der Beschwerdegegnerin erst im Januar 2017 alle im konkreten Einzelfall erheblichen Umstände zugänglich gewesen, aus deren Kenntnis sich der Rückforderungsanspruch dem Grundsatz nach und in seinem Ausmass gegenüber einer bestimmten rückerstattungspflichtigen Person ergebe. Der Beginn der Verwirkungsfrist sei daher auf Januar 2017 festzulegen. Mit der Rückerstattungsverfügung vom 14. September 2017 habe die Beschwerdegegnerin somit die relative einjährige Verwirkungsfrist nach <ref-law> gewahrt.
3.3. Aus den Akten lässt sich bezüglich Kenntnisnahme des Lehrabbruchs lediglich entnehmen, dass der Ausgleichskasse am 11. August 2016 anstelle einer Bestätigung des Lehrstellenbetriebs ein befristeter Arbeitsvertrag zwischen der Tochter der Beschwerdeführerin und einem Drittunternehmen, mit Stellenantritt ab 8. August 2016, zugestellt wurde. Ob in der Folge die Kasse, wie sie in den Vernehmlassungen darlegte, die Beschwerdeführerin um Angaben zum Zweck des Praktikums und Datum des Lehrabbruchs gebeten hat, lässt sich anhand der unvollständig vorliegenden Akten nicht eruieren. Eine Rückweisung der Angelegenheit an die Vorinstanz zur Vervollständigung der Akten ist dennoch entbehrlich, da sich selbst bei einer bereits im August 2016 erfolgten Kenntnis am Ausgang des Verfahrens nichts ändern würde.
4.
4.1. Bei den Fristen nach <ref-law> handelt es sich um von Amtes wegen zu berücksichtigende Verwirkungsfristen (<ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen). Diese sind rechtsprechungsgemäss gewahrt, wenn vor Ablauf der massgebenden Frist eine Rückerstattungsverfügung ergeht (Urteil 9C_320/2014 vom 29. Januar 2015, E. 2.2, in: SZS 2015 S. 257; SVR 2004 ALV Nr. 5 S. 13, C 17/03 E. 4.3.2 mit Hinweisen; UELI KIESER, ATSG-Kommentar, 3. Auflage 2015, N. 65 zu Art. 25). Wurde die Rückforderung einmal frist- und formgerecht geltend gemacht, ist die Frist zu ihrer Festsetzung ein für alle Mal gewahrt, und zwar selbst dann, wenn die entsprechende Verfügung nachträglich aufgehoben und durch eine inhaltlich berichtigte neue ersetzt werden muss. Das spätere rechtliche Schicksal der Rückerstattungsverfügung spielt demnach keine Rolle. In solchen Fällen stellt sich die Frage der Verwirkung erst wieder bei der Vollstreckung, nachdem die Rückerstattungsforderung rechtskräftig geworden ist (Urteile 9C_778/2016 vom 12. Dezember 2017 E. 5.1 in: SVR 2018 KV Nr. 6 S. 30; 8C_616/2009 vom 14. Dezember 2009 E. 3.2 in: SVR 2010 ALV Nr. 4).
4.2. Die Beschwerdeführerin wendet sinngemäss ein, die Verfügungen über die Rückerstattungsforderung vom 27. Januar 2017 seien nichtig und jene vom 14. September 2017 - mit Verwirkungsfolge - zu spät erlassen.
4.3. Es steht fest, dass die Verfügungen vom 27. Januar 2017, mit denen die IV-Stelle Basel Landschaft die zu viel bezahlten Renten zurückforderte, unbestrittenermassen von einer örtlich unzuständigen IV-Stelle erlassen worden waren. Nach Aufhebung dieser Verfügungen durch das Kantonsgericht Basel-Landschaft ergingen am 14. September 2017 inhaltlich identische Verwaltungsakte durch die zuständige Beschwerdegegnerin. Die zuvor durch eine örtlich unzuständige Behörde erlassenen Verfügungen waren entgegen der beschwerdeweise vertretenen Meinung nicht (mit Wirkung ex tunc) nichtig, sondern lediglich anfechtbar (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 68 mit Hinweisen). Mit Verfügungen vom 27. Januar 2017 wurde die Rückforderung der Kinderrenten für die Monate März bis August 2016 erstmals geltend gemacht. Dass diese nachträglich gerichtlich aufgehoben und durch eine neue Verfügung ersetzt wurden, spielt rechtsprechungsgemäss keine Rolle (vgl. hiervor E. 4.1). Mit dem Erlass der Verfügungen vom 27. Januar 2017 wurde auch der Fristenlauf beendet. Wann genau dieser begonnen hatte, kann bei dieser Sachlage offen bleiben. Ob die Beschwerdegegnerin, wie vorinstanzlich erwogen, erst im Januar 2017 Kenntnis vom Lehrabbruch der Tochter der Beschwerdeführerin hatte, oder ob sie davon, wie vor Bundesgericht geltend gemacht wird, bereits im August 2016 informiert worden war, ändert am Ergebnis nichts. So oder anders wurde die einjährige relative Verwirkungsfrist nach <ref-law> mit den Verfügungen vom 27. Januar 2017 gewahrt. Gleiches gilt unbestrittenermassen für die absolute fünfjährige Verwirkungsfrist.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die unterliegende Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>)

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. März 2019
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Elmiger-Necipoglu