Sachverhalt:
A.
Der 1974 im Irak geborene A._ reiste im August 1999 erstmals in die Schweiz ein, wo er ein Asylgesuch stellte, das abgewiesen wurde. Nach der Bestätigung des Asylentscheids durch die Rechtsmittelinstanz Anfang 2002 verliess er die Schweiz wieder. In der Folge kehrte er zurück und stellte im Mai 2003 ein weiteres Asylgesuch, dem ebenfalls nicht stattgegeben wurde. Am 2. Dezember 2005 heiratete er die 1968 geborene Schweizerin B._. Daraufhin wurde ihm der Aufenthalt in der Schweiz bewilligt; zudem zog er sein Rechtsmittel gegen den zweiten Asylentscheid zurück. Im September 2010 ersuchte er um erleichterte Einbürgerung. Am 4. Juli 2011 unterzeichneten er und B._ eine gemeinsame Erklärung, wonach sie in einer intakten Ehe lebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten hegten. Mit Verfügung vom 22. August 2011 wurde er erleichtert eingebürgert.
B.
Am 28. Oktober 2011 stellten die Ehegatten beim Gerichtspräsidium Zofingen ein gemeinsames Scheidungsbegehren. Mit Entscheid vom 15. Dezember 2011 wurde ihre kinderlos gebliebene Ehe geschieden. Am 28. Januar 2013 heiratete A._ im Irak eine 1983 geborene Irakerin. Im März 2014 meldete er sich bei seiner Wohngemeinde persönlich in die Türkei ab; die Schweiz hatte er bereits früher verlassen. Nach vorgängigen Erkundigungen bei B._ im Februar 2015 eröffnete das Staatssekretariat für Migration SEM im Oktober 2015 ein Verfahren zur Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung. Am 21. Februar 2017 erklärte es diese mit Zustimmung der beiden Heimatkantone Appenzell Ausserrhoden und Luzern für nichtig. Zudem hielt es fest, die Nichtigkeit erstrecke sich auf alle Familienmitglieder, deren Schweizer Bürgerrecht auf der nichtig erklärten Einbürgerung beruhe, zurzeit somit insbesondere auf die am 9. Oktober 2014 geborene Tochter von A._ mit seiner neuen Ehefrau.
C.
Gegen diesen Entscheid gelangte A._, der sich seit Anfang 2016 wieder in der Schweiz aufhält (mittlerweile offenbar mit seiner neuen Ehefrau und dem gemeinsamen Kind), an das Bundesverwaltungsgericht. Mit Urteil vom 5. März 2019 wies dieses sein Rechtsmittel ab.
D.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 30. April 2019 an das Bundesgericht beantragt A._, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts aufzuheben und seine erleichterte Einbürgerung wie auch das darauf beruhende Bürgerrecht von Familienmitgliedern nicht als nichtig zu erklären. Im Weiteren sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen und ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Das Staatssekretariat und das Bundesverwaltungsgericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. A._ hat sich nicht mehr geäussert.
E.
Mit Verfügung vom 29. Mai 2019 erteilte der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts über die Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a sowie Art. 90 BGG); ein Ausschlussgrund nach <ref-law> liegt nicht vor (<ref-law> e contrario). Der Beschwerdeführer nahm ohne Erfolg am vorinstanzlichen Verfahren teil, ist durch den angefochtenen Entscheid auch materiell beschwert und damit nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Auch sonst steht einem Sachurteil grundsätzlich nichts entgegen.
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet dieses von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, welche die beschwerdeführende Person vorbringt und begründet (vgl. <ref-law>). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten, soweit die Verletzung von Grundrechten gerügt wird (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil weiter den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich, oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
3.
3.1. Gemäss Art. 50 Abs. 1 des am 1. Januar 2018 in Kraft getretenen Bürgerrechtsgesetzes vom 20. Juni 2014 (BüG; SR 141.0) richten sich Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts nach dem Recht, das bei Eintritt des massgebenden Tatbestands in Kraft steht. Die vorliegende Streitsache ist somit nach dem Bürgerrechtsgesetz vom 29. September 1952 (aBüG; AS 1952 1087) zu beurteilen, das im Zeitpunkt der erleichterten Einbürgerung des Beschwerdeführers und deren strittiger Nichtigerklärung in Kraft stand.
3.2. Nach Art. 27 Abs. 1 aBüG kann ein Ausländer nach der Eheschliessung mit einem Schweizer Bürger ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung stellen, wenn er insgesamt fünf Jahre in der Schweiz gewohnt hat, seit einem Jahr hier wohnt und seit drei Jahren in ehelicher Gemeinschaft mit dem Schweizer Bürger lebt. Neben dem formellen Bestehen der Ehe ist eine tatsächliche Lebensgemeinschaft erforderlich, die vom intakten gemeinsamen Willen zu einer stabilen ehelichen Gemeinschaft getragen wird. Art. 26 Abs. 1 aBüG setzt für die erleichterte Einbürgerung ferner voraus, dass der Bewerber in der Schweiz integriert ist, die schweizerische Rechtsordnung beachtet und die innere und äussere Sicherheit der Schweiz nicht gefährdet. Alle Einbürgerungsvoraussetzungen müssen sowohl im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung als auch in demjenigen der Einbürgerung erfüllt sein (<ref-ruling> E. 2.1 S. 67 mit Hinweis).
3.3. Nach Art. 41 Abs. 1 aBüG kann die Einbürgerung vom Bundesamt mit Zustimmung der Behörde des Heimatkantons nichtig erklärt werden, wenn sie durch falsche Angaben oder Verheimlichung erheblicher Tatsachen erschlichen worden ist. Das blosse Fehlen der Einbürgerungsvoraussetzungen genügt nicht. Die Nichtigerklärung der Einbürgerung setzt vielmehr voraus, dass diese "erschlichen", das heisst mit einem unlauteren und täuschenden Verhalten erwirkt worden ist. Arglist im Sinne des strafrechtlichen Betrugstatbestands ist nicht erforderlich. Immerhin ist notwendig, dass die betroffene Person bewusst falsche Angaben macht bzw. die Behörde bewusst in einem falschen Glauben lässt und so den Vorwurf auf sich zieht, es unterlassen zu haben, diese über eine erhebliche Tatsache zu informieren (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 2.2 S. 67 mit Hinweisen). Die Möglichkeit zur Nichtigerklärung besteht nicht unbegrenzt, sondern geht durch Zeitablauf unter (vgl. Art. 41 Abs. 1bis aBüG). Die Nichtigkeit erstreckt sich auf alle Familienglieder, deren Schweizer Bürgerrecht auf der nichtig erklärten Einbürgerung beruht, sofern nicht ausdrücklich anders verfügt wird (Art. 41 Abs. 3 aBüG).
3.4. Bei der Prüfung der Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung hat die Behörde insbesondere zu untersuchen (vgl. <ref-law>), ob die Ehe im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung tatsächlich gelebt wurde, wobei die eingebürgerte Person mitwirkungspflichtig ist. Die Behörde trägt die Beweislast für das Fehlen einer tatsächlich gelebten Ehe. Da es im Wesentlichen um innere Vorgänge geht, die ihr oft nicht bekannt und nur schwer zu beweisen sind, darf sie von bekannten Tatsachen (Vermutungsbasis) auf unbekannte (Vermutungsfolge) schliessen (sog. tatsächliche Vermutung). Solche Wahrscheinlichkeitsfolgerungen, die aufgrund der Lebenserfahrung gezogen werden, betreffen die Beweiswürdigung und bewirken keine Umkehr der Beweislast. Die eingebürgerte Person muss daher nicht den Beweis des Gegenteils erbringen; vielmehr kann sie sich mit dem Gegenbeweis begnügen. Dies bedeutet, dass sie Zweifel an der Richtigkeit der Vermutungsbasis und dem daraus gezogenen Schluss wecken muss. Es reicht entsprechend, wenn sie einen Grund anführt, der es als plausibel erscheinen lässt, dass sie entgegen der Vermutung der Behörde im massgeblichen Zeitpunkt mit dem Schweizer Ehepartner in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft lebte und diesbezüglich nicht gelogen hat. Dabei kann es sich etwa um ein ausserordentliches Ereignis handeln, das nach der erleichterten Einbürgerung eintrat und zum raschen Zerfall des Willens zur ehelichen Gemeinschaft führte, oder darum, dass sie die Schwere der ehelichen Probleme nicht erkannte und den wirklichen Willen hatte, mit dem Schweizer Ehepartner auch weiterhin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft zu leben (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 3 S. 165 f; <ref-ruling> E. 3.2 S. 485 f.).
4.
4.1. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Urteil ausgeführt, das Staatssekretariat habe angesichts des Geschehensablaufs, insbesondere des nur wenige Wochen nach der erleichterten Einbürgerung gestellten gemeinsamen Scheidungsbegehrens - was für eine seit Langem zerrüttete Ehe spreche -, zu Recht vermutet, der Beschwerdeführer habe im Einbürgerungszeitpunkt nicht mehr in einer stabilen und zukunftsgerichteten Ehe mit seiner damaligen Schweizer Ehefrau gelebt und sich mit der gegenteiligen Erklärung vom 4. Juli 2011 (vgl. vorne Bst. A) die erleichterte Einbürgerung erschlichen. Diese Vermutung habe der Beschwerdeführer nicht entkräften können. Die Wahrnehmung der anscheinend intakten Beziehung eines anderen Ehepaares nach der Einbürgerung möge für seine damalige Ehefrau zwar der Auslöser für den spontanen Entschluss zur Scheidung gewesen sein. Daraus könne jedoch nicht abgeleitet werden, erst der Vergleich mit dieser Beziehung habe zur (plötzlichen) Zerrüttung der Ehe geführt. Ebenso wenig sei plausibel, dass dem Beschwerdeführer die ehelichen Probleme nicht bewusst gewesen seien und er sich aufrichtig um den Fortbestand der gemeinsamen Beziehung bemüht habe. Seine Vorbringen sprächen vielmehr für die erwähnte Vermutung.
4.2. Zweifel am Bestehen eines intakten gemeinsamen Willens zu einer stabilen ehelichen Gemeinschaft sind namentlich angebracht, wenn kurze Zeit nach der erleichterten Einbürgerung die Trennung erfolgt oder die Scheidung eingeleitet wird (<ref-ruling> E. 2 S. 165 mit Hinweisen). Als kurze Zeit gilt nach der Rechtsprechung eine Zeitspanne von bis zu zwei Jahren (Urteile 1C_466/2018 vom 15. Januar 2019 E. 5.3; 1C_377/2017 vom 12. Oktober 2017 E. 2.1.2 mit Hinweisen). Nach der erleichterten Einbürgerung des Beschwerdeführers im August 2011 verstrichen gut zwei Monate bis zum gemeinsamen Scheidungsbegehren Ende Oktober 2011 und knapp vier Monate bis zur Scheidung Mitte Dezember 2011. Rund anderthalb Monate länger dauerte es ab der Erklärung der Ehegatten im Juli 2011, in einer intakten Ehe zu leben und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten zu hegen. Angesichts dieser sehr kurzen Zeitspannen durften die Vorinstanz und das Staatssekretariat von der tatsächlichen Vermutung ausgehen, die Ehegatten hätten im Zeitpunkt der Erklärung und der erleichterten Einbürgerung nicht mehr in einer stabilen, von einem intakten gemeinsamen Ehewillen getragenen ehelichen Gemeinschaft gelebt.
4.3. Es stellt sich somit die Frage, ob der Beschwerdeführer diese Vermutung im erwähnten Sinn (vgl. vorne E. 3.4) zu entkräften vermag. Zwar stellt er sie als unbegründet dar und bringt insbesondere vor, seine damalige Ehefrau habe in der Ehe einer Nachbarin das Wunschbild einer Ehe erkannt und sei nach der erleichterten Einbürgerung von einem Tag auf den anderen davon ausgegangen, ihre Ehe sei nicht so, weshalb sie sich scheiden lassen wolle. Erst in diesem Moment habe er realisiert, dass die Ehe gescheitert sei; bis zu diesem Zeitpunkt sei er davon ausgegangen, sie funktioniere und sei intakt. Er habe sich daraufhin der Scheidung nicht widersetzt, weil dies wegen des Scheidungswillens seiner damaligen Ehefrau sinnlos gewesen wäre. Dass die Feststellung der Vorinstanz, diese Vorbringen wie auch seine weiteren Ausführungen in diesem Zusammenhang vermöchten die erwähnte Vermutung nicht zu entkräften, willkürlich sei, macht der Beschwerdeführer jedoch nicht geltend. Vielmehr stellt er sich ohne weitere Begründung auf den Standpunkt, ob trotz seiner Einwände an der Vermutung festgehalten werden könne, sei eine Rechts- und keine Sachverhaltsfrage.
Dies ist unzutreffend. Ob die vom Beschwerdeführer genannten Umstände bzw. Gründe geeignet sind, die erwähnte tatsächliche Vermutung zu entkräften, ist eine Frage der Beweiswürdigung und beschlägt daher die Feststellung des Sachverhalts (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 397; Urteil 5A_182/2017 vom 2. Februar 2018 E. 3.2.2). Soweit er mit seinem Vorbringen, es gehe um eine Rechtsfrage, implizit rügen sollte, die Vorinstanz habe mit der Zurückweisung seiner Gegenargumente und dem Abstellen auf diese Vermutung Art. 41 Abs. 1 aBüG falsch angewandt und dadurch Bundesrecht verletzt, ist dies daher unbegründet.
4.4. Der Beschwerdeführer verknüpft seine Kritik an der Beurteilung der Vorinstanz, er vermöge die erwähnte Vermutung nicht in Zweifel zu ziehen, denn auch - obwohl er selbst diese Frage als Rechtsfrage qualifiziert - mit seiner Rüge der unrichtigen Sachverhaltsfeststellung. Insbesondere macht er geltend, die Vorinstanz habe an mehreren Stellen an sich klare Aussagen von ihm gezielt gegen ihn verwendet. Zudem sei ihre Sachverhaltsfeststellung teilweise krass widersprüchlich.
Soweit er damit implizit eine willkürliche Beweiswürdigung im Zusammenhang mit der Frage der Entkräftung der Vermutung rügen sollte, ist dies unzutreffend. Zwar hat die Vorinstanz verschiedene seiner Aussagen zu seinen Ungunsten interpretiert, obschon eine andere Interpretation nicht nur möglich, sondern naheliegender oder sogar unerlässlich gewesen wäre. Das von ihr gezeichnete Bild des Beschwerdeführers ist deshalb negativer, als es sich aus den Akten ergibt, zumal sie es im Wesentlichen bei ihrer Kritik bewenden lässt, ohne näher zu erläutern, wie er sich stattdessen hätte verhalten sollen. Diese Schwächen der vorinstanzlichen Begründung, die der Beschwerdeführer zu Recht bemängelt, stellen das angefochtene Urteil in den wesentlichen Punkten jedoch nicht in Frage. Angesichts der Umstände der Ehe, der weiteren bekannten Tatsachen und des ganzen Geschehensablaufs ist die Erklärung des Beschwerdeführers für das rasche Scheitern der Ehe so kurz nach der erleichterten Einbürgerung trotz der psychischen Erkrankung seiner damaligen Ehefrau und der von dieser beschriebenen krankheitsbedingten Impulsivität im Zusammenhang mit der Scheidung in der Gesamtbetrachtung wenig plausibel. Daran vermag die überschwängliche Schilderung des Beschwerdeführers durch seine damalige Ehefrau im Rahmen des Einbürgerungsverfahrens nichts zu ändern, zumal diese ihre Ehe in den nachträglichen Stellungnahmen vom Februar 2015 und August 2016 im Widerspruch dazu klar negativ beschrieben und in letzterer Stellungnahme zudem zum Ausdruck gebracht hat, dass sie bereits vor dem Entschluss zur Scheidung seit Längerem unzufrieden war. Wenig plausibel ist aus den genannten Gründen auch die Beteuerung des Beschwerdeführers, er sei bis zur Mitteilung der Scheidungsabsicht seiner damaligen Ehefrau von einer funktionierenden und intakten Ehe ausgegangen. Es erscheint entsprechend nicht als willkürlich (vgl. <ref-ruling> E. 3.6.2 S. 287; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234 mit Hinweisen), dass die Vorinstanz wie vor ihr bereits das Staatssekretariat die vom Beschwerdeführer genannten Umstände bzw. Gründe als unzureichend beurteilt hat, um die tatsächliche Vermutung zu entkräften er habe mit seiner damaligen Ehefrau im Zeitpunkt der erwähnten Erklärung im Juli und der erleichterten Einbürgerung im August 2011 nicht (mehr) in einer stabilen, von einem intakten gemeinsamen Ehewillen getragenen ehelichen Gemeinschaft gelebt. Sie durfte deshalb ohne Willkür auf diese Vermutung abstellen und damit auch davon ausgehen, der Beschwerdeführer habe die erleichterte Einbürgerung durch falsche Angaben und das Verheimlichen erheblicher Tatsachen im Sinne von Art. 41 Abs. 1 aBüG erschlichen.
4.5. Dass die Vorinstanz den Nichtigkeitsgrund des Erschleichens im Sinne von Art. 41 Abs. 1 aBüG bejaht hat, verstösst demnach nicht gegen Bundesrecht. Sie hat im Weiteren die Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung zu Recht weder als unverhältnismässig noch als rechtsfehlerhafte Ermessensausübung beurteilt (vgl. dazu Urteil 1C_578/2008 vom 11. November 2009 E. 3.1). Der angefochtene Entscheid bzw. die strittige Nichtigerklärung verletzt deshalb auch insoweit und damit insgesamt kein Bundesrecht, zumal die Fristen von Art. 41 Abs. 1bis aBüG ebenfalls eingehalten sind. Bundesrechtskonform ist ferner, dass die Vorinstanz die Erstreckung der Nichtigkeit auf die Tochter des Beschwerdeführers mit seiner neuen Ehefrau und allfällige weitere Familienglieder, deren Schweizer Bürgerrecht auf der nichtig erklärten Einbürgerung beruht, bestätigt hat. Gründe gegen diese in Art. 41 Abs. 3 aBüG grundsätzlich vorgesehene Erstreckung der Nichtigkeit bringt der Beschwerdeführer nicht vor und sind nicht ersichtlich (vgl. <ref-ruling> E. 5.3 f. S. 170 f.).
5.
Demnach ist die Beschwerde abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens würde der Beschwerdeführer an sich kostenpflichtig (<ref-law>). Er stellt jedoch ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Da sich aus den Akten seine Bedürftigkeit ergibt und sein Rechtsbegehren nicht geradezu als aussichtslos beurteilt werden kann, ist das Gesuch gutzuheissen (vgl. <ref-law>). Damit sind keine Gerichtskosten zu erheben. Der Rechtsvertreter ist für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse angemessen zu entschädigen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
2.1. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2. Fürsprech Jürg Walker wird für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- aus der Bundesgerichtskasse entschädigt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Staatssekretariat für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung VI, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Oktober 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Baur