Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ (geb. 1980) und B.A._ (geb. 1984, kenianische Staatsangehörige) heirateten 2008. Aus ihrer Beziehung sind die beiden Kinder C.A._ (geb. 2007) und D.A._ (geb. 2009) hervorgegangen. Die Parteien leben seit dem 23. Juli 2011 getrennt.
A.b. Mit Eheschutzentscheid vom 8. Dezember 2011 genehmigte das Kreisgericht U._ eine von den Parteien geschlossene Vereinbarung über die Regelung ihres Getrenntlebens.
B.
B.a. Sodann schied es mit Urteil vom 21. April 2015 die Ehe der Parteien und regelte die Nebenfolgen der Scheidung.
B.b. A.A._ erhob dagegen Berufung an das Kantonsgericht St. Gallen. Gleichzeitig verlangte er die Abänderung des Eheschutzentscheides vom 8. Dezember 2011. Das Kantonsgericht nahm letzteres Begehren als Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen im Scheidungsverfahren entgegen. Es entschied darüber am 18. August 2017 und schlug die Kosten zur Hauptsache. Gleichentags urteilte es mit separatem Entscheid über die Berufung, welche es teilweise guthiess. Soweit für das hiesige Verfahren von Belang, setzte es die von A.A._ ab Rechtskraft des Berufungsurteils an den Unterhalt seiner beiden Töchter zu bezahlenden Beiträge neu fest, indexierte die Unterhaltsbeiträge und sprach B.A._ keinen nachehelichen Unterhalt zu. Im Übrigen wies es die Berufung ab, soweit es darauf eintrat.
B.c. Gegen das Berufungsurteil betreffend die Scheidung - nicht aber gegen den gleichentags ergangenen Entscheid betreffend die vorsorglichen Massnahmen - führte A.A._ Beschwerde an das Bundesgericht. Dieses hiess sein Rechtsmittel teilweise gut. Es wies die Sache an das Kantonsgericht zurück, damit es den Sachverhalt ergänze, den Bedarf der Familie neu festlege, den Kindesunterhalt neu berechne, die Erziehungsgutschriften hälftig auf die Parteien aufteile und über den Vorsorgeausgleich neu entscheide (Urteil 5A_743/2017 vom 22. Mai 2019).
C.
C.a. Das Kantonsgericht gab den Parteien im Rückweisungsverfahren die Gelegenheit zur Stellungnahme. A.A._ machte davon am 18. Juli 2019 Gebrauch, B.A._ am 16. September 2019. Beide Parteien erstatteten verschiedene weitere Eingaben.
C.b. Am 5. Juni 2020 fällte das Kantonsgericht seinen neuen Entscheid. Soweit für das vorliegende Verfahren relevant, legte es die von A.A._ geschuldeten Kindesunterhaltsbeiträge für den Zeitraum ab Rechtskraft des Berufungsurteils neu fest. Es hielt in seiner Urteilsbegründung fest, dass bis zu diesem Zeitpunkt die mit Massnahmenentscheid vom 18. August 2017 gesprochenen Kinderalimente geschuldet seien.
D.
D.a. A.A._ (Beschwerdeführer) gelangt dagegen mit Beschwerde vom 13. Juli 2020 an das Bundesgericht. Er beantragt, die Kinderalimente seien bereits per 1. September 2017 neu zu regeln. Seine Rechtsbegehren lauten auf Verpflichtung zur Bezahlung von in mehrere Phasen gestaffelten, konkret bezifferten, gegenüber dem angefochtenen Entscheid tieferen Kindesunterhaltsbeiträgen. Ausserdem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
D.b. Während das Kantonsgericht auf eine Vernehmlassung verzichtet hat, beantragte B.A._ (Beschwerdegegnerin) am 4. September 2020 die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei, und stellte ihrerseits ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Der Beschwerdeführer hat nicht repliziert.
D.c. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten eingeholt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist der Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin (<ref-law>) entschieden hat. Die Vorinstanz urteilte auf Rückweisung des Bundesgerichts hin (Urteil 5A_743/2017 vom 22. Mai 2019), sodass die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich zulässig bleibt (Urteil 5A_367/2020 vom 19. Oktober 2020 E. 1.1 mit Hinweis). Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>) und hat diese rechtzeitig erhoben (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Das Bundesgericht befasst sich aber grundsätzlich nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (<ref-law>). Es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2.3 S. 24 mit Hinweis). In der Begründung ist deshalb in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht (Urteil 5A_963/2014 vom 9. November 2015 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>).
2.2. Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten geltend gemacht wird. Das Bundesgericht prüft deren Verletzung nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; Rügeprinzip). Es prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368).
2.3. Sodann ist das Bundesgericht an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (<ref-law>). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann einzig vorgebracht werden, sie seien offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweis), oder sie würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) beruhen. Ausserdem muss in der Beschwerde aufgezeigt werden, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234 mit Hinweis).
Diese Anforderungen gelten auch für die Vernehmlassung der Beschwerdegegnerin (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 89 mit Hinweisen). Soweit sie mit Bezug auf die ihr angerechnete hypothetische Erwerbstätigkeit ausführt, diese könne faktisch nicht erzielt werden, stellt sie auf einen Sachverhalt ab, der sich nicht aus dem angefochtenen Entscheid ergibt, ohne diesbezüglich unrichtige Sachverhaltsfeststellung zu rügen. Ihr Vorbringen bleibt deshalb unbeachtlich.
2.4. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Voraussetzungen für eine nachträgliche Einreichung von Tatsachen und Beweismitteln erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 3 S. 346). Nach Erlass des angefochtenen Entscheids entstandene (sog. echte) Noven sind vor Bundesgericht unzulässig (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123 mit Hinweis).
Der Beschwerde ist ein Schreiben des Steueramtes des Kantons St. Gallen vom 25. Juni 2020 beigelegt, welches als echtes Novum von vornherein nicht berücksichtigt werden kann. Auf die darauf gründende Kritik in der Beschwerdeschrift, die Vorinstanz habe die "kontinuierlichen Ansprüche des Steueramtes" nicht berücksichtigt, ist deshalb nicht einzugehen. Auch die übrigen Beschwerdebeilagen (Zahlungsbefehl des Betreibungsamtes V._ Nr. xxx vom 18. September 2019, Entscheid des Kantonsgerichts vom 6. September 2019 betreffend definitive Rechtsöffnung) bleiben unbeachtlich, zumal der Beschwerdeführer nicht darlegt, inwiefern die Voraussetzungen für eine nachträgliche Geltendmachung dieser unechten Noven gegeben sein sollen.
3.
Anlass zur Beschwerde gibt vorab, dass die Vorinstanz die Kindesunterhaltsbeiträge per Rechtskraft des angefochtenen Entscheids neu festlegte.
3.1. Die Vorinstanz führte diesbezüglich aus, die bis zum Eintritt der Rechtskraft ihres Entscheids zu leistenden Unterhaltsbeiträge seien durch den rechtskräftigen Entscheid betreffend vorsorgliche Massnahmen vom 18. August 2017 geregelt. Dieser gelte während der Dauer des Scheidungsverfahrens bis zur Rechtskraft des Urteils, in welchem die betreffenden Punkte definitiv geregelt werden.
3.2. Der Beschwerdeführer moniert, beim Entscheid über die vorsorglichen Massnahmen sei der Grundbetrag der Kinder ebenfalls erhöht und zur Ermittlung des Betreuungsunterhalts dieselbe Methode wie im Scheidungsverfahren angewandt worden, was das Bundesgericht in seinem Rückweisungsurteil beides für bundesrechtswidrig erklärt habe. Sowohl das Berufungsurteil betreffend die Ehescheidung als auch jenes betreffend die vorsorglichen Massnahmen seien am 18. August 2017 gefällt worden und mit gleicher Post versandt worden. Beide Rechtsmittelbelehrungen haben daraufhin gelautet, dass die Urteile unverzüglich zu vollziehen seien. Er habe dies nur so verstehen können, dass die vorsorglichen Massnahmen rückwirkend und der Entscheid über die Ehescheidung ab Urteilsdatum zu gelten haben. Sein Verzicht auf eine Beschwerde gegen den Massnahmenentscheid sei ausschliesslich durch dessen Rechtsmittelbelehrung begründet gewesen. Ferner hätten beide Parteien der Vorinstanz im Verfahren auf Rückweisung beantragt, den Kindesunterhalt rückwirkend zu bestimmen. Die Vorinstanz gehe darauf nicht ein, womit sie ihrer Begründungspflicht nicht nachgekommen sei.
3.3. Soweit der Beschwerdeführer eine Verletzung der Begründungspflicht als Teilgehalt seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) geltend macht, ist seiner Rüge kein Erfolg beschieden. Die Vorinstanz begründete die fehlende Rückwirkung des angefochtenen Entscheids mit der Wirkung der vorsorglichen Massnahmen bis zur Rechtskraft des Scheidungsurteils. Diese Begründung mag knapp gehalten sein. Nichtsdestotrotz ist sie ausreichend, nannte die Vorinstanz doch auch die gesetzlichen Bestimmungen (Art. 268 Abs. 2 und Art. 276 Abs. 2 und 3 ZPO) sowie diverse Lehrmeinungen, auf welche sie ihren Entscheid stützte. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers war die Vorinstanz nicht gehalten, explizit auf die in die Vergangenheit reichenden Anträge der Parteien Bezug zu nehmen (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 436 mit Hinweisen). Die Begründung im angefochtenen Entscheid erlaubte es dem Beschwerdeführer, diesen sachgemäss anzufechten (vgl. <ref-ruling> E. 9.2 S. 65 mit Hinweisen), was er denn auch getan hat.
3.4. Es bleibt zu prüfen, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hat, indem sie die neuen Unterhaltsbeiträge erst ab Rechtskraft ihres Entscheids sprach.
3.4.1. Wie für den nachehelichen Unterhalt (<ref-law>) bestimmt das Scheidungsgericht auch für den Kindesunterhalt den Beginn der Beitragspflicht (Urteile 5A_952/2019 vom 2. Dezember 2020 E. 9.1.1; 5A_97/2017, 5A_114/2017 vom 23. August 2017 E. 11). Grundsätzlich beginnt die Beitragspflicht im Zeitpunkt des Eintritts der formellen Rechtskraft des Scheidungsurteils. Ermessensweise kann das Sachgericht der pflichtigen Partei rückwirkend auf einen früheren Zeitpunkt - etwa jenen des Eintritts der Teilrechtskraft (im Scheidungspunkt) - eine Unterhaltspflicht auferlegen (<ref-ruling> E. 5.3 S. 194; Urteile 5A_952/2019 vom 2. Dezember 2020 E. 9.1.1; 5A_97/2017, 5A_114/2017 vom 23. August 2017 E. 11). Dies gilt unabhängig von der Frage, ob für die Zeit nach Eintritt der Teilrechtskraft schon gestützt auf einen Massnahmenentscheid eine Unterhaltspflicht besteht (<ref-ruling> E. 5.3 S. 194; <ref-ruling> E. 3c/aa S. 123 mit Hinweis; Urteil 5A_952/2019 vom 2. Dezember 2020 E. 9.1.1 mit Hinweisen). Wurden für die Dauer des Scheidungsverfahrens vorsorgliche Massnahmen angeordnet, kann aber der Beginn der Beitragspflicht nicht auf einen Zeitpunkt festgesetzt werden, der vor dem Eintritt der Teilrechtskraft liegt (<ref-ruling> E. 5.3 S. 195; Urteil 5A_97/2017, 5A_114/2017 vom 23. August 2017 E. 11).
Hinsichtlich der Bestimmung des Beginns der Unterhaltspflicht verfügt das Sachgericht über einen Ermessensspielraum (<ref-law>; BGE <ref-ruling> E. 3b/bb in fine S. 123 und E. 3d/aa S. 124; Urteil 5A_952/2019 vom 2. Dezember 2020 E. 9). Ermessensentscheide dieser Art überprüft das Bundesgericht an sich frei; es greift allerdings nur ein, wenn die kantonale Instanz von dem ihr zustehenden Ermessen einen falschen Gebrauch gemacht hat, d.h. wenn sie grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgegangen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 3.2.5 S. 622, 612 E. 4.5 S. 617; je mit Hinweisen).
3.4.2. In der Regel gelten die im Scheidungsfall gesprochenen Unterhaltsbeiträge ab Rechtskraft des Rentenurteils (vgl. Urteile 5A_34/2015 vom 29. Juni 2015 E. 4; 5A_95/2012 vom 28. März 2012 E. 4.1; 5A_310/2010 vom 19. November 2010 E. 10.3, in: FamPra.ch 2010 S. 452; 5C.244/2006 vom 13. April 2007 E. 2.4.3). Von dieser Regel kann und muss das Gericht im Rahmen der pflichtgemässen Ausübung seines Ermessens abweichen, wenn Umstände vorliegen, die eine andere Regelung gebieten. Im vorliegenden Fall war zu berücksichtigen, dass die Vorinstanz auf Rückweisung hin neu entschieden hat. Hätte sie im ersten Umgang bundesrechtskonform entschieden, wären die im Scheidungsurteil vom 18. August 2017 gesprochenen Unterhaltsbeiträge in Rechtskraft erwachsen. Bereits aus diesem Grund hätte sich aufgedrängt, die am 5. Juni 2020 neu zugesprochenen Unterhaltsbeiträge auf das seinerzeitige Urteilsdatum festzulegen. Zudem weist der Beschwerdeführer zutreffend darauf hin, dass der - seinerzeit gleichzeitig gefällte - Massnahmenentscheid hinsichtlich der Berechnung des Kindesunterhalts mit denselben Rechtsfehlern behaftet ist wie jene, die zur Aufhebung des Entscheids vom 18. August 2017 durch das Bundesgericht führten und aufgrund derer die Vorinstanz ihr Scheidungsurteil neu fällen musste. Indem die Vorinstanz die (korrigierten) Unterhaltsbeiträge erst auf den Zeitpunkt des neuen Entscheids wirken liess, hat sie unberücksichtigt gelassen, dass der Beschwerdeführer dadurch die falsch - und namentlich zu hoch - berechneten Unterhaltsbeiträge für gut drei Jahre länger bezahlen müsste. Mit anderen Worten hat sie einen Umstand ausser Acht gelassen, der in ihre Entscheidfindung hätte einfliessen müssen. Daran ändert die Tatsache nichts, dass der Beschwerdeführer den Massnahmenentscheid nicht angefochten hat. Aus dem angefochtenen Entscheid ergibt sich schliesslich nicht, dass neue Tatsachen vorgelegen hätten, welche zu berücksichtigen gewesen wären und dafür gesprochen hätten, den Beginn der Unterhaltspflicht trotz fehlerhaftem Massnahmenentscheid auf den Eintritt der Rechtskraft des neuen Scheidungsurteils zu legen. Die Vorinstanz hat somit ihr Ermessen bundesrechtswidrig ausgeübt, weshalb die Beschwerde in diesem Punkt gutzuheissen ist. Es erübrigt sich, auf die weiteren in diesem Zusammenhang vorgetragenen Rügen einzugehen.
4.
Streitig ist ferner das Vorgehen der Vorinstanz bei der Berechnung der Unterhaltsbeiträge.
4.1. In diesem Zusammenhang nimmt der Beschwerdeführer Anstoss an der Höhe der im Barbedarf der beiden Töchter berücksichtigten Grundbeträge.
4.1.1. In ihrem Entscheid vom 18. August 2017 hatte die Vorinstanz die betreibungsrechtlichen Grundbeträge der Mädchen um rund 40 % erhöht. Das Bundesgericht lehnte die dafür angeführten Gründe in seinem Urteil 5A_743/2017 vom 22. Mai 2019 ab und hielt fest, die Grundbeträge hätten sich an den betreibungsrechtlichen Richtlinien zu orientieren. Eine bloss pauschale, prozentmässige Erhöhung des Grundbetrages für Mehrkosten, wie sie die Vorinstanz zur Begründung angeführt hatte (Notwendigkeit der doppelten Anschaffung von Gegenständen für die Kinder), sei nicht zulässig, da solche grundsätzlich konkret zu behaupten und auszuweisen seien (E. 5.2.4).
Daraufhin erhöhte die Vorinstanz die Grundbeträge im angefochtenen Entscheid lediglich um 20 %. Sie führte aus, die betreibungsrechtlichen Grundbeträge seien derart tief angesetzt, dass sie die effektiven durchschnittlichen Kinderkosten kaum zu decken vermögen, weshalb sie praxisgemäss um 20 % erhöht würden. Nur bei krassen Mangellagen könne allenfalls auf den Zuschlag verzichtet werden. Dies treffe vorliegend nicht zu, weshalb ein Zuschlag von 20 % nicht im Widerspruch zum bundesgerichtlichen Rückweisungsurteil stehe. Diesem zufolge hätten sich die Grundbeträge lediglich an den betreibungsrechtlichen Richtlinien zu orientieren, seien aber für das Familienrecht nicht unverändert zu übernehmen.
4.1.2. Wie der Beschwerdeführer zutreffend aufwirft, hat die Vorinstanz den Gleichbehandlungsgrundsatz verletzt, indem sie die Eltern auf den betreibungsrechtlichen Grundbeträgen beliess, während sie die Grundbeträge der Mädchen erhöhte (vgl. Urteile 5A_244/2018 vom 26. August 2019 E. 3.4.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; 5A_743/2017 vom 22. Mai 2019 E. 5.2.3). Entgegen der Auffassung der Beschwerdegegnerin profitieren hiervon nicht grundsätzlich beide Parteien in gleichem Masse. Vorliegend berücksichtigte die Vorinstanz in den ersten beiden Phasen der Unterhaltsberechnung im Bedarf der Parteien keine Steuerlasten, beliess aber dem Beschwerdeführer in der ersten Phase den "Überschuss" von monatlich Fr. 120.-- zur Bezahlung seiner Steuern. Aufgrund dieser Vorgehensweise ist davon auszugehen, dass sie die bei korrekter Bemessung der Grundbeträge der Mädchen rechnerisch frei werdenden Mittel in den ersten Phasen als Bedarfsposition oder "Überschussanteil" für die Bezahlung der Steuern auf die Parteien verteilt und sie in den weiteren Phasen dem Überschuss zugewiesen hätte. Unstreitig fällt die Steuerlast beim Beschwerdeführer höher aus als bei der Beschwerdegegnerin und partizipiert Letztere nicht am Überschuss, zumal ihr kein nachehelicher Unterhalt zugesprochen wurde. Damit würde sich die Reduktion der Grundbeträge der Mädchen hauptsächlich zugunsten des Beschwerdeführers auswirken. Diese rechnerischen Veränderungen bzw. ihre Auswirkungen auf die Höhe der Unterhaltsbeiträge sind bei wie vorliegend knappen finanziellen Verhältnissen nicht vernachlässigbar.
4.1.3. Die Beschwerde ist mithin auch in diesem Punkt gutzuheissen. Da der angefochtene Entscheid keine Feststellungen zu den mutmasslichen Steuerlasten für die ersten Phasen der Unterhaltsberechnung enthält, kann das Bundesgericht nicht reformatorisch entscheiden. Die Sache muss deshalb - obwohl vom Beschwerdeführer gerade nicht gewünscht - erneut an die Vorinstanz zurückgewiesen werden. Eine Rückweisung zu neuem Entscheid ist auch ohne entsprechenden Antrag möglich (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 11.1 S. 312 mit Hinweis). Die Vorinstanz wird den Bedarf der Familie neu festzulegen, hinsichtlich der Steuerlasten nötigenfalls den Sachverhalt zu ergänzen und den Kindesunterhalt per 1. September 2017 neu zu berechnen haben. Dabei wird sie die Grundsätze zur Unterhaltsberechnung beachten müssen, welche das Bundesgericht in seinem zur Publikation vorgesehenen Urteil 5A_311/2019 vom 11. November 2020 vorgegeben hat. Namentlich sei an dieser Stelle darauf verwiesen, dass ein auf die daran Berechtigten zu verteilender Überschuss nur entstehen kann, wenn das familien rechtliche Existenzminimum aller Familienmitglieder gedeckt ist (a.a.O. E. 7.3), während ein sog. Mankofall nur vorliegen kann, wenn die vorhandenen Mittel zur Deckung der betreibungs rechtlichen Existenzminima für den Bar- und/oder Betreuungsunterhalt nicht ausreichen (a.a.O. E. 7.2).
4.2. Ferner moniert der Beschwerdeführer, die Vorinstanz hätte ihm im Rahmen der Unterhaltsberechnung den Überschuss zur Schuldentilgung belassen sollen. Indem sie hierauf nicht eingegangen sei, habe sie ihre Begründungspflicht verletzt. Sodann hätte sie aufgrund des uneingeschränkten Untersuchungsgrundsatzes alle rechtserheblichen Umstände zu berücksichtigen gehabt, die sich im Laufe des Verfahrens ergaben.
4.2.1. Vorab ist festzuhalten, dass Schulden bei knappen finanziellen Verhältnissen in der Regel keine Berücksichtigung im Bedarf des Unterhaltsschuldners finden können, sondern diesfalls allein auf das betreibungsrechtliche Existenzminimum abzustellen ist. Lassen die finanziellen Mittel demgegenüber eine Erweiterung auf das familienrechtliche Existenzminimum zu, ist eine Schuldentilgung gegebenenfalls im Bedarf zu berücksichtigen (vgl. Urteil 5A_311/2019 vom 11. November 2020 E. 7.2 mit Hinweisen), nicht - wie vom Beschwerdeführer angestrebt - im Rahmen der Überschussverteilung. Ob in die Bedarfsrechnung eine Position für Schulden aufzunehmen ist oder nicht, stellt eine Rechtsfrage dar, während deren konkrete Höhe eine Tatfrage beschlägt (Urteil 5A_244/2018 vom 26. August 2019 E. 3.4.2 mit Hinweis, nicht publ. in: <ref-ruling>).
4.2.2. Der angefochtenen Entscheid enthält keine Feststellung darüber, dass und in welcher Höhe der Beschwerdeführer eine konkrete Schuldenlast behauptet hätte. Der Beschwerdeführer verweist auf seine Eingabe vom 18. Juli 2019 (kant. act. FO/4, Ziff. 8 S. 7), mit welcher er beantragt habe, den Überschuss zur Schuldentilgung zu verwenden. Auch an besagter Aktenstelle präzisiert er indessen weder die fragliche Schuldenlast noch geht er auf die Frage der Zulässigkeit ihrer Geltendmachung als Novum ein.
4.2.3. Der Beschwerdeführer tut nicht substanziiert dar, inwiefern die Vorinstanz ihre Begründungspflicht verletzt haben soll, indem sie auf derart unspezifische Ausführungen nicht explizit einging (vgl. vorne E. 2.2 und 3.3). Auch der Vorwurf der Verletzung der Untersuchungsmaxime geht fehl, zumal der Beschwerdeführer nicht aufzeigt, dass die Vorinstanz den Sachverhalt hinsichtlich seiner Schulden willkürlich festgestellt hätte (vgl. Urteil 5A_724/2015 vom 2. Juni 2016 E. 4.5, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: FamPra.ch 2016 S. 1088). Wurde die Schuldenlast nicht konkret behauptet, fehlt sodann für die Prüfung der Rechtsfrage, ob Schulden im Bedarf des Beschwerdeführers zu berücksichtigen gewesen wären, die tatsächliche Grundlage. Vor Bundesgericht beschränkt sich der Beschwerdeführer ebenfalls darauf zu verlangen, es sei bis zum Ende seiner Unterhaltspflicht zwecks Schuldenrückzahlung auf eine Überschussverteilung zu verzichten, ohne die Gesamtsumme der vermeintlichen Schuldenlast zu nennen. Schliesslich wäre selbst für den Fall, dass unter den gegebenen Umständen eine allfällige Schuldenlast im Rahmen der Überschussverteilung zu berücksichtigen wäre und nicht bei der Bedarfsrechnung, nicht dargetan, inwiefern die Vorinstanz das ihr hierfür zustehende Ermessen bundesrechtswidrig ausgeübt haben sollte. Der Beschwerde ist in diesem Punkt kein Erfolg beschieden.
4.3. Zu Recht weisen demgegenüber beide Parteien in ihren jeweiligen Eingaben darauf hin, dass die Vorinstanz den Beginn der letzten Phase für die Unterhaltsberechnung falsch festgesetzt hat. Das Bundesgericht hielt bereits in seinem Rückweisungsurteil fest, dass die dritte Phase gemäss Schulstufenmodell vorliegend mit dem Monat Juli 2025 beginne (Urteil 5A_743/2017 vom 22. Mai 2019 E. 5.3.3), was im angefochtenen Entscheid in E. 6 (S. 10) korrekt wiedergegeben wird. Die Vorinstanz wird ihre Berechnungen im neuen Entscheid entsprechend anzupassen haben.
5.
Im Ergebnis wird die Beschwerde teilweise gutgeheissen und die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückgewiesen. Diese wird auch über die Verteilung der Prozesskosten im Berufungsverfahren neu entscheiden müssen (vgl. Art. 67 und Art. 68 Abs. 5 BGG).
5.1. Die Rückweisung der Sache zu neuem Entscheid gilt für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten wie auch der Parteientschädigung als vollständiges Obsiegen im Sinne von Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG, unabhängig davon, ob sie beantragt und ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder im Eventualantrag gestellt wird (<ref-ruling> E. 11.1 S. 312 mit Hinweis). Der Beschwerdeführer obsiegt betreffend den Beginn der neu ermittelten Unterhaltspflicht sowie teilweise hinsichtlich der Unterhaltsberechnung. Es rechtfertigt sich deshalb, den Parteien die Gerichtskosten je zur Hälfte aufzuerlegen. Der Beschwerdeführer hat der Rechtsvertreterin der Beschwerdegegnerin eine reduzierte Parteientschädigung zu entrichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
5.2. Da beide Parteien Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege gestellt haben, denen zufolge gegebener Voraussetzungen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG) entsprochen werden kann, sind die Gerichtskosten vorläufig auf die Gerichtskasse zu nehmen. Ferner ist nicht anzunehmen, dass die Beschwerdegegnerin die reduzierte Parteientschädigung beim Beschwerdeführer erhältlich machen können wird. Hierfür sowie im Rahmen ihres Unterliegens wird ihre Rechtsvertreterin direkt aus der Bundesgerichtskasse entschädigt (<ref-law> i.V.m. Art. 10 des Reglements vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht [SR 173.110.210.3]). Die Parteien werden darauf hingewiesen, dass sie der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten haben, falls sie später dazu in der Lage sind (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Ziff. 3 und 4 des Entscheiddispositivs des Kantonsgerichts St. Gallen, II. Zivilkammer, vom 5. Juni 2020 werden aufgehoben und die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie den Bedarf der Familie neu festlege, hinsichtlich der Steuerlasten nötigenfalls den Sachverhalt ergänze, den Kindesunterhalt im Sinne der Erwägungen neu berechne und die Verfahrenskosten neu verteile. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
2.1. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
2.2. Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen und es wird ihr Rechtsanwältin Evelyne Angehrn als unentgeltliche Rechtsbeiständin beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Der Beschwerdeführer hat die Rechtsvertreterin der Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'700.-- zu entschädigen. Die Entschädigung wird indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen und Rechtsanwältin Evelyne Angehrn wird aus dieser mit insgesamt Fr. 3'000.-- entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. April 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Gutzwiller