Erwägungen:
1.
Das Zwangsmassnahmengericht des Kantons Basel-Stadt wies mit Verfügung vom 3. Juni 2019 das Haftentlassungsgesuch von A._ zur Zeit ab. Das Haftentlassungsgesuch sei ausschliesslich mit dem Hinweis auf eine angebliche Hafterstehungsunfähigkeit aus gesundheitlichen Gründen gestellt worden. Der gefängnisärztliche Dienst werde angewiesen, den Beschuldigten umgehend zu untersuchen und dem Zwangsmassnahmengericht einen Bericht einzureichen. Sollte aus medizinischer Sicht die Hafterstehungsfähigkeit nicht gegeben sein, werde der vorliegende Entscheid in Wiedererwägung gezogen.
Gegen die Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts erhob A._ am 7. Juni 2019 Beschwerde. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt sistierte mit Verfügung vom 13. Juni 2019 das Beschwerdeverfahren bis ein neuer Entscheid des Zwangsmassnahmengerichts vorliege. Sollte das Zwangsmassnahmengericht seinen Entscheid vom 3. Juni 2019 in Wiedererwägung ziehen, werde die Beschwerde infolge Gegenstandslosigkeit abgeschrieben. Sollte der Entscheid bestätigt werden, werde das Beschwerdeverfahren unverzüglich an die Hand genommen.
2.
A._ erhob mit Eingabe vom 17. Juni 2019 Beschwerde in Strafsachen gegen die Verfügung des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt.
Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt nahm mit Verfügung vom 28. Juni 2019 das sistierte Beschwerdeverfahren wieder auf, nachdem das Zwangsmassnahmengericht auf Grund der Stellungnahme des medizinischen Dienstes es abgelehnt hatte, den Entscheid vom 3. Juni 2019 in Wiedererwägung zu ziehen.
3.
Mit der Wiederaufnahme des sistierten Beschwerdeverfahrens ist die Beschwerde gegen den Zwischenentscheid des Appellationsgerichts vom 13. Juni 2019 gegenstandslos geworden. Die Beschwerde ist somit im Verfahren nach <ref-law> abzuschreiben.
Über die Kostenfolgen einer gegenstandslos gewordenen Beschwerde ist gemäss <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> mit summarischer Begründung zu entscheiden. Danach sind die Kosten im Regelfall derjenigen Partei aufzuerlegen, die sich bei der Beurteilung des Rechtsstreites materiell im Unrecht befunden hätte. Vorliegend erübrigt es sich indessen, den mutmasslichen Prozessausgang im Hinblick auf den hier zu treffenden Kostenentscheid zu bestimmen, da für das vorliegende Verfahren keine Gerichtskosten zu erheben sind (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG) und andererseits dem nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer praxisgemäss keine Parteientschädigung zuzusprechen ist (vgl. <ref-law>).

Demnach verfügt der Präsident:
1.
Die Beschwerde im Verfahren 1B_309/2019 wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Diese Verfügung wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt, dem Zwangsmassnahmengericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, und dem Appellationsgericht Basel-Stadt, Präsidentin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Juli 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli