Faits :
A.
A._, ressortissant algérien né en 1986, est arrivé en Suisse en 2012 et a été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour valable jusqu'au 25 avril 2013. Le 27 mars 2017, l'intéressé a épousé une ressortissante belge titulaire d'une autorisation d'établissement et a obtenu une autorisation de séjour pour regroupement familial valable jusqu'au 26 mars 2022. Le 1er septembre 2018, A._ et son épouse ont pris un domicile séparé. Le divorce des époux a été prononcé le 6 décembre 2018.
B.
Le 17 février 2020, le Service des migrations du canton de Neuchâtel (ci-après: le Service cantonal) a révoqué l'autorisation de séjour de A._ et prononcé son renvoi de Suisse. Le 1er février 2021, le Département de l'économie et de l'action sociale du canton de Neuchâtel (actuellement: le Département de l'emploi et de la cohésion sociale; ci-après: le Département) a rejeté le recours déposé par l'intéressé à l'encontre de cette décision.
Par arrêt du 27 octobre 2021, la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours formé par A._ contre la décision du Département du 1er février 2021. Les juges cantonaux ont retenu, en substance, qu'aucune raison personnelle majeure (sous l'angle notamment des violences conjugales invoquées par l'intéressé et de la réintégration de celui-ci dans son pays d'origine) ne justifiait la poursuite de son séjour en Suisse. L'autorité précédente a également considéré que le renvoi de A._ en Algérie était possible et exigible.
C.
A l'encontre de l'arrêt du 27 octobre 2021, A._ dépose un recours constitutionnel subsidiaire auprès du Tribunal fédéral. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à la réforme de l'arrêt entrepris en ce sens que son autorisation de séjour est maintenue et prolongée. Subsidiairement, il requiert le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.
Par ordonnance du 30 novembre 2021, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a accordé l'effet suspensif au recours.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1).
1.1. Aux termes de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions relatives à une autorisation de droit des étrangers à laquelle ni le droit fédéral, ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit, sous l'angle de la recevabilité, qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et que, partant, la voie du recours en matière de droit public soit ouverte (cf. <ref-ruling> consid. 1.1).
En l'espèce, le recourant, qui soutient avoir été victime de violence conjugale de la part de son épouse, invoque - bien qu'implicitement - l'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers et l'intégration (LEI; RS 142.20) selon lequel, après dissolution de la famille, le droit du conjoint à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité subsiste lorsque la poursuite du séjour en Suisse s'impose pour des raisons personnelles majeures. Sous cet angle, il fait valoir de manière défendable l'éventualité d'un droit de séjour en Suisse, de sorte que son recours échappe au motif d'irrecevabilité prévu à l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, étant précisé que le point de savoir si l'intéressé remplit les conditions pour obtenir l'autorisation requise relève du fond et non de la recevabilité (cf. <ref-ruling> consid. 1.1). La voie du recours en matière de droit public est donc ouverte, sous réserve de ce qui suit.
1.2. Le recourant soutient que, contrairement à ce qu'a retenu le Tribunal cantonal, l'exécution du renvoi ne serait ni possible ni raisonnablement exigible; elle violerait en outre le principe de proportionnalité (cf. recours, p. 6 s.). Dans la mesure où l'intéressé entendait par là se plaindre de son renvoi de Suisse et requérir son admission provisoire, le recours en matière de droit public n'est pas ouvert (art. 83 let. c ch. 3 LTF; cf. arrêt 2C_668/2021 du 20 décembre 2021 consid. 1.2). En outre, du moment que, sur ce point, le recourant ne fait pas valoir de griefs formels équivalant à un déni de justice en lien avec cette disposition, son recours est également irrecevable en tant que recours constitutionnel subsidiaire (cf. arrêt 2C_529/2020 du 6 octobre 2020 consid. 3.2). Par ailleurs, la critique dépasse de toute façon l'objet de la présente procédure, qui porte sur la révocation de l'autorisation de séjour par les autorités cantonales, alors que l'admission provisoire relève de la compétence du Secrétariat d'Etat aux migrations (art. 83 al. 1 LEI; cf. arrêts 2C_668/2021 du 20 décembre 2021 consid. 1.2 et 2C_145/2019 du 24 juin 2019 consid. 1.3).
1.3. Le fait que le recourant ait, de manière erronée, déclaré former un recours constitutionnel subsidiaire ne saurait lui nuire, à condition que le recours remplisse les exigences légales de la voie de droit qui lui est ouverte (<ref-ruling> consid. 1.1).
1.4. Au surplus, l'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>). Déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes requises (<ref-law>) par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (<ref-law>), le recours, envisagé comme un recours en matière de droit public, est donc recevable.
1.5. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>). Dans la mesure où elles ne ressortiraient pas du dossier cantonal, les pièces accompagnant le recours ne seront pas prises en considération.
2.
2.1. Saisi d'un acte envisagé comme un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral contrôle librement le respect du droit fédéral (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF; arrêt 2C_300/2019 du 31 janvier 2020 consid. 2.1, non publié in <ref-ruling>).
En revanche, sous réserve des cas non pertinents visés à l'art. 95 let. c à e LTF, le recours en matière de droit public ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal en tant que tel. Il est néanmoins possible de faire valoir que l'application du droit cantonal consacre une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à un autre droit fondamental (cf. <ref-ruling> consid. 6.1). Le Tribunal fédéral n'examine toutefois le moyen tiré de la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé de manière précise par le recourant, conformément au principe d'allégation (<ref-law>). Dans ce cas, l'acte de recours doit contenir un exposé succinct des droits fondamentaux violés et préciser en quoi consiste la violation (cf. <ref-ruling> consid. 2.1).
2.2. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Selon l'<ref-law>, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-ruling> consid. 6; <ref-ruling> consid. 1.6). Conformément à l'<ref-law>, la partie recourante doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (cf. arrêt 2C_300/2019 du 31 janvier 2020 consid. 2.2, non publié in <ref-ruling>).
3.
Dans un grief d'ordre formel, qu'il convient d'examiner en premier lieu (<ref-ruling> consid. 3), le recourant se plaint de la violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.). Il soutient que le Tribunal cantonal aurait dû "administrer des preuves d'office et requérir de l'intéressé qu'il fournisse des éléments plus pertinents que ceux déjà produits" en lien avec la "maltraitance psychologique" dont il s'était plaint en cours de procédure (recours, p. 8). A ce sujet, il mentionne également le "principe inquisitoire" en lien avec l'art. 14 de la loi neuchâteloise du 27 juin 1979 sur la procédure et la juridiction administratives (LPJA/NE; RS/NE 152.30).
3.1. La critique relative au "principe inquisitoire", que l'intéressé déduit de l'art. 14 LPJA/NE, n'a pas à être traitée, faute de respecter les exigences de motivation accrues de l'<ref-law> (cf. supra consid. 2.1). En effet, le recourant n'expose pas en quoi cet article aurait été appliqué de manière arbitraire (art. 9 Cst.) ou contraire à un autre droit fondamental.
3.2. La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. le droit pour le justiciable de fournir des preuves quant aux faits de nature à influer sur le sort de la décision (<ref-ruling> consid. 2.3). Le droit de faire administrer des preuves suppose que le fait à prouver soit pertinent, que le moyen de preuve proposé soit nécessaire pour constater ce fait et que la demande soit présentée selon les formes et délais prescrits (cf. <ref-ruling> consid. 5.3; arrêt 2C_498/2020 du 14 janvier 2021 consid. 4.1). Cette garantie constitutionnelle n'empêche pas l'autorité de mettre un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude qu'elles ne pourraient l'amener à modifier son opinion (<ref-ruling> consid. 6.3.1). Le refus d'une mesure probatoire par appréciation anticipée des preuves ne peut être remis en cause devant le Tribunal fédéral qu'en invoquant l'arbitraire (art. 9 Cst.) de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 5.2.2; arrêt 2C_429/2021 du 16 décembre 2021 consid. 3.1).
3.3. En l'espèce, le recourant ne soutient pas qu'il aurait proposé au Tribunal cantonal des moyens de preuve au sujet des violences conjugales alléguées et que cette autorité aurait (arbitrairement) refusé de les administrer en violation de son droit d'être entendu. Il se limite à affirmer que l'autorité précédente aurait dû ordonner d'office des mesures probatoires en ce sens. Dans ces conditions, toute violation du droit d'être entendu est exclue. Le grief est infondé et doit être rejeté.
4.
Le divorce des époux ayant été prononcé le 6 décembre 2018, le recourant ne peut, ce qu'il ne fait d'ailleurs pas, se prévaloir de l'art. 43 al. 1 LEI ou de l'ALCP (cf. <ref-ruling> consid. 3.1) pour en déduire un droit de séjour en Suisse. Il n'est en outre pas contesté que l'union conjugale a duré moins de trois ans. L'intéressé ne peut dès lors rien déduire de l'art. 50 al. 1 let. a LEI, de sorte que seul l'art. 50 al. 1 let. b LEI peut entrer en ligne de compte en l'espèce.
5.
Le recourant estime que le Tribunal cantonal a nié à tort l'existence de "maltraitance au sens de l'art. 50 LEI" (recours, p. 6). Se référant aux SMS de son ex-femme produits en cours de procédure, lesquels en substance seraient propres à démontrer que celle-ci "jou[ait] avec les sentiments de son époux", l'intéressé affirme que le Tribunal cantonal serait tombé dans l'arbitraire en refusant de reconnaître qu'il "avait subi d'importantes pressions psychologiques de la part de son épouse" (recours, p. 6).
5.1. L'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEI permet au conjoint étranger de demeurer en Suisse après la dissolution de l'union conjugale, lorsque la poursuite de son séjour s'impose pour des raisons personnelles majeures. Les raisons personnelles majeures visées à l'al. 1 let. b, sont notamment données lorsque le conjoint est victime de violence conjugale, que le mariage a été conclu en violation de la libre volonté d'un des époux ou que la réintégration sociale dans le pays de provenance semble fortement compromise (art. 50 al. 2 LEI).
L'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEI vise à régler les situations qui échappent aux dispositions de l'art. 50 al. 1 let. a LEI. A cet égard, c'est la situation personnelle de l'intéressé qui est décisive. Il s'agit par conséquent uniquement de décider du contenu de la notion juridique indéterminée "raisons personnelles majeures" et de l'appliquer au cas d'espèce, en gardant à l'esprit que l'art. 50 al. 1 let. b LEI confère un droit à la poursuite du séjour en Suisse (<ref-ruling> consid. 3.1; arrêt 2C_737/2020 du 23 novembre 2020 consid. 4.2).
5.2. S'agissant de la violence conjugale, la personne admise dans le cadre du regroupement familial doit établir qu'on ne peut plus exiger d'elle qu'elle poursuive l'union conjugale, parce que cette situation risque de la perturber gravement (arrêts 2C_681/2021 du 26 janvier 2022 consid. 5.1 et 2C_831/2018 du 27 mai 2019 consid. 4.2.1). La violence conjugale doit par conséquent revêtir une certaine intensité (<ref-ruling> consid. 3.1). La notion de violence conjugale inclut également la violence psychologique; le fait d'exercer des contraintes psychiques d'une certaine constance et intensité peut fonder un cas de rigueur après dissolution de la communauté conjugale, au sens de l'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEI (cf. <ref-ruling> consid. 3.2.2; arrêt 2C_40/2019 du 25 mai 2020 consid. 4.2).
5.3. La personne étrangère qui se prétend victime de violences conjugales sous l'angle de l'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEI est soumise à un devoir de coopération accru (cf. art. 90 LEI; arrêt 2C_777/2015 du 26 mai 2016 consid. 3.3, non publié in <ref-ruling>). Lorsque des contraintes psychiques sont invoquées, il lui incombe d'illustrer de façon concrète et objective, ainsi que d'établir par preuves, le caractère systématique de la maltraitance, respectivement sa durée, ainsi que les pressions subjectives qui en résultent. Des affirmations d'ordre général ou des indices faisant état de tensions ponctuelles sont insuffisants (arrêts 2C_365/2020 du 26 août 2020 consid. 4.2 et 2C_693/2019 du 21 janvier 2020 consid. 4.4).
5.4. En l'espèce, il ressort de l'arrêt entrepris qu'en octobre 2018, soit un mois après la séparation des époux, le recourant avait exposé au Service cantonal qu'il "voulait rester au domicile conjugal" et qu'il "avait cru à ce mariage, mais que son épouse lui avait déclaré qu'elle n'avait plus de sentiment pour lui et qu'elle voulait qu'il parte" (arrêt attaqué, p. 6). A cette occasion, il ne s'était pas plaint de violences conjugales (psychiques) et ses déclarations successives à ce sujet apparaissaient contradictoires. Concernant les contraintes psychiques alléguées par l'intéressé et le climat au sein du couple, l'autorité précédente a constaté que les pièces produites par le recourant en cours de procédure (en particulier les SMS de son ex-femme) "ne rend[ai]ent [...] aucunement compte" des violences conjugales subies.
5.5. Tel que l'a retenu à juste titre le Tribunal cantonal, les éléments invoqués par le recourant ne suffisent pas à admettre l'application de l'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEI en lien avec les "maltraitances psychologiques" dont l'intéressé affirme avoir été victime. En particulier, le fait que la relation avec son ex-femme ait pu le faire souffrir, notamment parce que celle-ci "jou[ait] avec [s]es sentiments" (recours, p. 6), n'est de toute évidence pas propre à faire apparaître une maltraitance psychologique constante et d'une intensité suffisante à fonder un cas de rigueur après dissolution de la communauté conjugale au sens de la disposition en question. A titre de comparaison, le Tribunal fédéral a admis un tel cas (oppression domestique) en présence d'une situation dans laquelle le mari d'une femme étrangère ne lui donnait que 11 francs par mois, ne lui fournissait aucune nourriture, avait pris la carte pour le lave-linge en lui enjoignant de faire la lessive à la main, avait supprimé les connexions TV, téléphone et internet, la privant ainsi de contact avec l'extérieur, et avait emporté presque tout le mobilier lorsqu'il avait quitté le domicile conjugal, laissant à son épouse un matelas à même le sol (arrêt 2C_361/2018 du 21 janvier 2019 consid. 4.4).
5.6. Au surplus, l'intéressé ne prétend pas que le mariage aurait été conclu en violation de sa libre volonté (art. 50 al. 2 LEI, deuxième hypothèse) ou que la réintégration sociale dans son pays d'origine serait fortement compromise (art. 50 al. 2 LEI, troisième hypothèse). Il ressort du reste de l'arrêt attaqué que le recourant a vécu jusqu'à l'âge de 26 ans en Algérie, pays de résidence de ses parents adoptifs et de ses six frères et soeurs. On peut en déduire qu'il a conservé des attaches culturelles et sociales dans ce pays et qu'il pourra compter sur le soutien de ses proches sur place. Ainsi, même si son retour en Algérie ne sera pas exempt de difficultés, une réintégration ne paraît pas d'emblée insurmontable, étant précisé que le simple fait que la personne étrangère doive retrouver des conditions de vie qui sont usuelles dans son pays de provenance ne saurait suffire à maintenir son titre de séjour, même si ces conditions de vie sont moins avantageuses que celles dont cette personne bénéficie en Suisse (cf. arrêts 2C_9/2022 du 9 février 2022 consid. 5.2 et 2C_213/2019 du 20 septembre 2019 consid. 5.1.1).
5.7. Dans ces circonstances, c'est sans violer l'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEI que le Tribunal cantonal a retenu que l'intéressé ne pouvait pas invoquer des raisons personnelles majeures pour en déduire un droit de séjour en Suisse. Le grief y relatif est donc rejeté.
6.
Compte tenu de ce qui précède, le recours, envisagé comme un recours en matière de droit public, doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours, envisagé comme un recours en matière de droit public, est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service des migrations et au Département de l'emploi et de la cohésion sociale de la République et canton de Neuchâtel, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, ainsi qu'au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 29 mars 2022
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : F. Aubry Girardin
Le Greffier : A. Ermotti