Sachverhalt:
A.
Die türkische Staatsangehörige A._ (geb. am 14. Oktober 1979) reiste am 8. November 2008 als Sängerin und Folkloretänzerin in die Schweiz ein. Am 20. Februar 2009 heiratete sie den ebenfalls aus der Türkei stammenden C._, der über das Schweizer Bürgerrecht verfügt. Sie erhielt die Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib beim Ehemann. Die Bewilligung wurde letztmals bis zum 19. Februar 2014 verlängert.
Am 18. Juni 2010 wurde dem Ehepaar die Tochter D._ geboren. Sie besitzt die schweizerische Staatsbürgerschaft. Per 1. Juli 2013 trennte sich A._ von ihrem Ehemann.
Seit Ende August 2009 wurde A._ bzw. ihre Familie durch die Sozialhilfe unterstützt. Das Migrationsamt des Kantons Zürich verwarnte sie am 3. Mai 2012 und stellte ihr schwerer wiegende ausländerrechtliche Massnahmen in Aussicht, falls sie oder ihre Familie weiterhin auf Sozialhilfe angewiesen sein oder ihr Verhalten zu anderen berechtigten Klagen Anlass geben sollte. Am 24. September 2013 verwarnte das Migrationsamt A._ erneut und drohte ihr den Widerruf bzw. die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung an.
Per 31. Januar 2014 erfolgte die Abmeldung in die Türkei; die Sozialhilfebehörde hatte die Leistungen für A._ und deren Tochter bereits im November 2013 infolge Ausreise ins Ausland eingestellt.
Die Ehe von A._ und C._ wurde mit Urteil des Familiengerichts Izmir vom 19. Februar 2016 geschieden. Die Tochter D._ wurde unter die alleinige Sorge der Mutter gestellt und dem Kindsvater ein Besuchsrecht eingeräumt.
B.
Am 14. Januar 2015 beantragte A._ beim schweizerischen Generalkonsulat in Istanbul eine Einreisebewilligung für langfristigen Aufenthalt in der Schweiz. Das Migrationsamt des Kantons Zürich wies das Gesuch am 21. April 2016 ab. Den dagegen erhobenen Rekurs wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich am 29. Juni 2017 ab, unter Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich bestätigte auf Beschwerde hin den Entscheid der Sicherheitsdirektion, ebenfalls unter Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung, mit Urteil vom 22. November 2017.
C.
A._ erhebt am 4. Januar 2018 Beschwerde beim Bundesgericht und stellt sinngemäss die Anträge, das angefochtene Urteil aufzuheben und ihr die Aufenthaltsbewilligung zu erteilen; zudem ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung.
Das Verwaltungsgericht, die Sicherheitsdirektion und das Staatssekretariat für Migration verzichten auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen verfahrensabschliessende Entscheide oberer kantonaler Gerichtsbehörden in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich offen (Art. 83 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG). Sie ist unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (<ref-law>).
1.2. Die Beschwerdeführerin trägt vor - allerdings ohne entsprechende Rechtsgrundlagen anzuführen -, sie habe als sorgeberechtigte Mutter eines Schweizer Kindes ein Recht auf Aufenthalt in der Schweiz. Damit macht sie in (gerade noch) vertretbarer Weise einen Aufenthaltsanspruch geltend, der in Betracht fallen könnte. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit zulässig (<ref-law> e contrario). Auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen (Form, Frist und Legitimation gemäss Art. 42, Art. 100 Abs. 1 und Art. 89 Abs. 1 BGG) sind erfüllt. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Gemäss Art. 8 Ziff. 1 EMRK hat jede Person das Recht auf Achtung ihres Privat- und Familienlebens, ihrer Wohnung und ihrer Korrespondenz; einschlägig ist im vorliegenden Zusammenhang das Recht auf Achtung des Familienlebens. Art. 8 Ziff. 1 EMRK garantiert grundsätzlich keinen Anspruch auf Aufenthalt in einem Konventionsstaat. Es ergibt sich daraus weder ein Recht auf Einreise noch auf Wahl des Orts, welcher für das Familienleben am geeignetsten erscheint. Das durch Art. 8 Ziff. 1 EMRK geschützte Recht auf Achtung des Familienlebens kann nur angerufen werden, wenn eine staatliche Entfernungs- oder Fernhaltemassnahme zur Trennung von Familienmitgliedern führt (<ref-ruling> E. 5.1 S. 26; <ref-ruling> E. 3.1 S. 146; <ref-ruling> E. 4.1.1 S. 249; <ref-ruling> E. 2.1 S. 154; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 145; <ref-ruling> E. 3.1 S. 285; <ref-ruling> E. 3a S. 342; Urteil des EGMR Slivenko gegen Lettland vom 9. Oktober 2003 [48321/99], § 94 mit Hinweisen).
2.1.1. Die Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführerin ist spätestens mit Ablauf der Gültigkeitsdauer am 19. Februar 2014 erloschen (vgl. Art. 61 Abs. 1 lit. c AuG [SR 142.20]), wohl aber bereits mit der Abmeldung vom 3. Februar 2014 (vgl. Art. 61 Abs. 1 lit. a AuG). Dass der damalige Noch-Ehemann sie und die Tochter gegen ihren Willen aus der Schweiz abgemeldet habe, wie die Beschwerdeführerin behauptet, ist nicht erstellt, hat sie doch selbst am 3. Februar 2014 das Abmeldeformular mit dem Hinweis, wonach mit der Abmeldung sämtliche Aufenthaltsbewilligungen in der Schweiz erlöschen würden, unterschrieben. Wie es sich genau damit verhält, kann indessen offen bleiben, da die Aufenthaltsbewilligung in jedem Fall erloschen ist, bevor die Beschwerdeführerin sich um die dauerhafte Rückkehr in die Schweiz bemühte.
2.1.2. Die Beschwerdeführerin hat keinen bundesrechtlichen Anspruch auf Aufenthalt in der Schweiz. Indessen verfügt ihre Tochter über das Schweizer Bürgerrecht und darf gemäss <ref-law> jederzeit in die Schweiz einreisen. Beabsichtigt die Tochter (gestützt auf den Willen der sorgeberechtigten Mutter), von diesem Recht Gebrauch zu machen, und wird der Beschwerdeführerin der Aufenthalt verweigert, würden Mutter und Kind getrennt. Ob daraus gemäss Art. 8 Ziff. 1 EMRK ein Rechtsanspruch der Mutter auf Einreise in die Schweiz zum Verbleib bei der Tochter entsteht, kann offen bleiben. Jedenfalls wären die Voraussetzungen nicht notwendigerweise die gleichen wie in den bisher vom Bundesgericht beurteilten Fällen, bei denen es um die Bewilligungsverweigerung nach bisherigem gemeinsamen Aufenthalt in der Schweiz ging (umgekehrter Familiennachzug, BGE <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 146).
2.2. So oder anders gilt der Anspruch auf Achtung des Familienlebens gemäss Art. 8 Ziff. 1 EMRK nicht absolut. Der Eingriff in das geschützte Rechtsgut ist statthaft, soweit er gesetzlich vorgesehen und in einer demokratischen Gesellschaft notwendig ist für die nationale oder öffentliche Sicherheit, für das wirtschaftliche Wohl des Landes, zur Aufrechterhaltung der Ordnung, zur Verhütung von Straftaten, zum Schutz der Gesundheit oder der Moral oder zum Schutz der Rechte und Freiheiten anderer (Art. 8 Ziff. 2 EMRK). Die Konvention verlangt, dass die individuellen Interessen an der Erteilung bzw. am Erhalt des Anwesenheitsrechts und die öffentlichen Interessen an dessen Verweigerung sorgfältig gegeneinander abgewogen werden (<ref-ruling> E. 5.1 S. 26; <ref-ruling> E. 6.1 S. 47; <ref-ruling> E. 3.1 S. 147; <ref-ruling> E. 2.2 S. 336; <ref-ruling> E. 2.1 S. 147; Urteil des EGMR El Ghatet gegen Schweiz vom 8. November 2016 [56971/10] § 53).
2.3. Beim umgekehrten Familiennachzug gestützt auf das Aufenthaltsrecht eines Kindes mit schweizerischer Nationalität führt die Verweigerung des Nachzugs dazu, dass das Schweizer Kind faktisch gezwungen ist, auszureisen oder im Ausland zu bleiben, weil ein minderjähriges Kind in ausländerrechtlicher Hinsicht das Schicksal des Inhabers der elterlichen Sorge teilt (<ref-ruling> E. 5.4 S. 28). Dadurch wird die aus der Staatsbürgerschaft fliessende Niederlassungsfreiheit des Kindes gemäss <ref-law> berührt; indirekt betroffen ist auch das Recht auf Schutz vor Ausweisung gemäss <ref-law> bzw. gemäss Art. 12 Abs. 4 UNO-Pakt II (SR 0.103.2), wonach niemandem willkürlich das Recht entzogen werden darf, in sein eigenes Land einzureisen. Deswegen müssen im Fall der Verweigerung der Bewilligung an den sorgeberechtigten Elternteil nebst der Zumutbarkeit der Ausreise bzw. des Verbeibs des Schweizer Kindes im Ausland besondere, namentlich ordnungs- oder sicherheitspolizeiliche Gründe vorliegen, welche die weitreichenden Folgen der erwähnten Reflexwirkung zu rechtfertigen vermögen. Allein das öffentliche Interesse, eine restriktive Einwanderungspolitik betreiben zu können, genügt hierzu nicht. Liegt gegen den ausländischen, sorgeberechtigten Elternteil eines Schweizer Kindes nichts vor, was ihn als unerwünschte Person erscheinen lässt oder auf ein missbräuchliches Vorgehen zum Erwerb der Aufenthaltsberechtigung hinweist, ist regelmässig davon auszugehen, dass dem schweizerischen Kind nicht zugemutet werden darf, dem Elternteil in dessen Heimat zu folgen bzw. mit ihm dort zu verbleiben, und dass im Rahmen der Interessenabwägung nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK sein privates Interesse, in der Schweiz aufzuwachsen, das öffentliche Interesse an einer restriktiven Zuwanderungspolitik überwiegt (vgl. BGE <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 250 f.; <ref-ruling> E. 5.2 S. 287; <ref-ruling> E. 2.2.4 S. 158; <ref-ruling> E. 4.4 S. 152). Schliesslich wird in dieser Konstellation vom sorgeberechtigten Elternteil auch nicht verlangt, dass er in der Vergangenheit ein tadelloses Verhalten im Sinn der Rechtsprechung (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 27; <ref-ruling> E. 6.1 und 6.2 S. 46 ff.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 319 ff.) an den Tag gelegt hat (BGE <ref-ruling> E. 3.3. S. 148).
3.
3.1. Eine fortgesetzte und erhebliche Sozialhilfeabhängigkeit kann dem Verbleib des sorgeberechtigten ausländischen Elternteils eines Schweizer Kindes im umgekehrten Familiennachzug entgegenstehen, wenn keine Änderung absehbar erscheint (BGE <ref-ruling> E. 5.2.5 S. 256). Das angefochtene Urteil enthält keine Angaben über den Umfang des Sozialhilfebezugs der Beschwerdeführerin. Den Akten kann jedoch gestützt auf <ref-law> entnommen werden, dass die Beschwerdeführerin seit ihrer Heirat mit C._ durchgehend von der Sozialhilfe hatte unterstützt werden müssen. Gemäss der Verfügung vom 24. September 2013, mit der das Migrationsamt die zweite Verwarnung aussprach, hatte die Beschwerdeführerin zusammen mit ihrer Familie am 11. März 2013 insgesamt Fr. 101'286.30 als Sozialhilfe erhalten; der Bezug dauerte bis zur Ausreise (deren Datum unbekannt ist, die jedoch Ende 2013 oder Anfang 2014 erfolgt sein dürfte) an. Das Migrationsamt erwog in seiner Verwarnungsverfügung vom 24. September 2013, der Widerrufsgrund nach aArt. 62 lit. e AuG (heute: Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG) sei erfüllt. Vor diesem Hintergrund erscheint fraglich, ob die Bewilligung verlängert worden wäre. Aus den Akten ergibt sich, dass die Beschwerdeführerin im März 2013 eine Stelle in einem geringen Teilzeitpensum in einem Coiffeurgeschäft angenommen hat, was indessen nicht zu einer Ablösung von der Sozialhilfe führte. Dass dies auch auf die mangelnde Unterstützung ihres damaligen Gatten zurückzuführen ist, wie eine abweichende Minderheit der Kammer der Vorinstanz vorträgt, mag zutreffen, ist aber vor dem Hintergrund der Tatsache, dass die Ehegatten in sozialhilferechtlicher Hinsicht als Unterstützungseinheit aufgefasst werden, nicht rechtserheblich. Obwohl sich die Beschwerdeführerin schon seit fast fünf Jahren in der Schweiz aufhielt, verfügte sie im Zeitpunkt der zweiten Verwarnung vom 24. September 2013 nur über geringe Deutschkenntnisse. Die Integration der Beschwerdeführerin muss somit als mangelhaft bezeichnet werden. Da sie keine relevante Ausbildung abgeschlossen hat und kaum über Berufserfahrung verfügt, ist davon auszugehen, dass sie mittelfristig nicht in der Lage wäre, den Lebensunterhalt für sich und ihre Tochter (soweit nicht von Alimentenbevorschussungen gedeckt) zu bestreiten (über Alimentenzahlungen des Kindsvaters ist nichts bekannt). Würde die Beschwerdeführerin in der Schweiz Aufenthalt nehmen, wäre sie mit grosser Wahrscheinlichkeit von der Sozialhilfe abhängig. Aufgrund der schlechten Integration in sprachlicher und beruflicher Hinsicht ist zu vermuten, dass dieser Zustand längere Zeit andauern würde. Das öffentliche Interesse an der Verweigerung des Aufenthalts ist somit als erheblich einzustufen.
3.2. Das private Interesse der Beschwerdeführerin an einer Rückkehr in die Schweiz erscheint dagegen relativ gering. Sie hat nur fünf Jahre hier gelebt und sich dabei kaum integriert. Auf Seiten der Tochter ist festzuhalten, dass diese die Schweiz im Alter von dreieinhalb Jahren verlassen hat; im Zeitpunkt des angefochtenen Urteils war sie siebeneinhalb Jahre alt. Es ist anzunehmen, dass sie keine Landessprache gelernt hat und kaum noch über Erinnerungen an ihre ersten Lebensjahre in der Schweiz verfügt. Zu ihrem Vater haben sie selbst und die Beschwerdeführerin anscheinend keinen Kontakt mehr; er soll seine Tochter in der Türkei nie besucht haben. Bereits vor der Trennung von seiner damaligen Ehefrau, vom 8. August 2011 bis 11. Mai 2012, befand sich der Kindsvater in Haft. Der Kontakt zur Tochter war somit schon damals stark eingeschränkt; nach der Abreise ist er ganz abgebrochen. Angesichts dieser Tatsachen besteht mit Blick auf das Kindeswohl zum heutigen Zeitpunkt kein Interesse, in die Schweiz zurückzukehren; im Gegenteil würde das Kind ohne Not aus seiner gewohnten Umgebung herausgerissen. Es ist nicht nur der Beschwerdeführerin, sondern auch ihrer Tochter trotz deren Schweizer Staatsbürgerschaft zumutbar, in der Türkei zu verbleiben, wo beide ein neues Zuhause gefunden haben.
3.3. Nach dem Gesagten ist die Verweigerung der Aufenthaltsbewilligung verhältnismässig im Sinn von Art. 96 Abs. 1 AuG und Art. 8 Ziff. 2 EMRK.
4.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen.
4.1. Bei diesem Verfahrensausgang hätte die unterliegende Beschwerdeführerin die Verfahrenskosten zu tragen; sie hat indessen um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht. Das Bundesgericht befreit eine Partei, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, auf Antrag von der Bezahlung der Gerichtskosten und von der Sicherstellung der Parteientschädigung, sofern ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (<ref-law>).
4.2. Das Begehren der Beschwerdeführerin um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung im umgekehrten Familiennachzug zum Verbleib bei ihrer Tochter, welche die schweizerische Staatsbürgerschaft besitzt, erscheint nicht geradezu aussichtslos. Die Beschwerdeführerin reicht dem Bundesgericht zum Nachweis ihrer Mittellosigkeit eine "Armutsbescheinigung" der Stadt Izmir vom 28. April 2016 ein. Diese stellt keinen aktuellen Bedürftigkeitsnachweis dar. Nachdem aber die Vorinstanz der Beschwerdeführerin mit Urteil vom 22. November 2017 die unentgeltliche Rechtspflege gewährt hat, ist mangels gegenteiliger Anhaltspunkte davon auszugehen, dass die Mittellosigkeit unverändert gegeben ist. Dies auch deshalb, weil der Interessenabwägung im Urteil die Vermutung zugrundeliegt, dass die Beschwerdeführerin im Fall einer Wohnsitznahme in der Schweiz von der Sozialhilfebehörde unterstützt werden müsste. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist daher gutzuheissen mit der Folge, dass die Beschwerdeführerin von der Bezahlung der Gerichtskosten befreit wird.
Der Vertreter der Beschwerdeführerin macht zu Recht keine Entschädigung im Sinn von <ref-law> geltend, ist er doch kein patentierter Rechtsanwalt (vgl. auch <ref-ruling> E. 4).
Es ist keine Parteientschädigung geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. September 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Genner