Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ (geb. 1959; Beschwerdeführer) und B.A._ (geb. 1967; Beschwerdegegnerin) heirateten am 12. August 1999. Sie sind die Eltern der gemeinsamen Kinder C.A._ (geb. 2001) und D.A._ (geb. 2005). Die Ehegatten trennten sich im Juli 2012.
A.b. Mit Urteil vom 12. September 2018 schied das Kantonsgericht Nidwalden die Ehe und genehmigte eine (unbestritten gebliebene) Teilvereinbarung über die Nebenfolgen der Scheidung. Soweit hier interessierend beliess das Gericht weitergehend die Kinder unter gemeinsamer elterlicher Sorge. Die (faktische) Obhut übertrug es der Mutter und dem Vater räumte es ein Besuchs- und Ferienrecht ein. Den von A.A._ für die Kinder ab dem 1. Juni 2017 monatlich zu bezahlenden Barunterhalt legte es fest auf Fr. 1'854.-- für C.A._ und Fr. 1'922.05. für D.A._ (zzgl. Kinderzulagen). Für ausserordentliche Kinderkosten sollten die Eltern je hälftig aufkommen; Betreuungsunterhalt wurde keiner festgelegt. Ferner hielt das Kantonsgericht fest:
"Diese Kinderunterhaltsbeiträge sind bis zur Volljährigkeit der Kinder zu leisten. Absolviert das Kind in diesem Zeitpunkt eine Erstausbildung, so dauert die Zahlungspflicht bis zu deren Abschluss (<ref-law>). Vorbehalten bleibt, dass es dem Kind ab dann zuzumuten ist, an seinen Unterhalt einen Beitrag aus seinem Arbeitserwerb beizusteuern (<ref-law>)."
Die Gerichtskosten auferlegte das Kantonsgericht zu drei Vierteln A.A._, den es ausserdem verpflichtete, an B.A._ eine reduzierte Parteientschädigung zu bezahlen. Vollumfänglich auferlegte es A.A._ ausserdem die Kosten für die vollständige Ausfertigung des Urteils.
B.
Gegen dieses Urteil erhob A.A._ soweit den Kindesunterhalt, den Vorsorgeausgleich sowie die Prozesskosten betreffend Berufung beim Obergericht des Kantons Nidwalden. Mit Urteil vom 2. April 2020 (eröffnet am 22. Mai 2020) hiess dieses das Rechtsmittel teilweise gut und regelte den Kindesunterhalt neu. Dabei bezifferte es den für C.A._ zu bezahlenden monatlichen Barunterhalt mit Fr. 1'984.10 und jenen für D.A._ mit Fr. 1'802.80. Ansonsten beliess das Obergericht es bei der Regelung des Kantonsgerichts und hielt fest, von welchen finanziellen Verhältnissen es ausging (alles Dispositivziffer 1). Im Übrigen wies das Obergericht die Berufung ab (Dispositivziffer 2). Die Kosten des Berufungsverfahrens auferlegte das Obergericht zu drei Vierteln A.A._, den es ausserdem zur Zahlung einer Parteientschädigung an B.A._ verpflichtete (Dispositivziffern 3 und 4).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 22. Juni 2020 gelangt A.A._ ans Bundesgericht. Er beantragt unter Kosten- und Entschädigungsfolgen, den von ihm zu bezahlenden Barunterhalt in Aufhebung von Ziffer 1 des Urteils des Obergerichts um mindestens Fr. 300.-- je Kind herabzusetzen. Zudem sei dem Sohn zumindest die Hälfte seines derzeitigen Lehrlingslohns, ausmachend Fr. 725.--, anzurechnen und sei B.A._ zu verpflichten, sich proportional zu ihrem Überschuss von mindestens Fr. 6'970.-- am Barunterhalt zu beteiligen. Eventualiter sei die Sache ans Obergericht zurückzuweisen und dieses unter Ermittlung des Überschusses der Ehefrau zu entsprechender Festsetzung des Unterhalts zu verpflichten. Schliesslich seien die Gerichtskosten des Berufungsverfahrens in Aufhebung von Ziffer 3 des Urteils des Obergerichts entsprechend dem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens neu zu verteilen.
Mit Verfügungen vom 24. Juni und vom 31. August 2020 hat das Bundesgericht die Gesuche von A.A._ um Einräumung einer Nachfrist zur Nachbesserung der Beschwerdeschrift und um Erteilung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde abgewiesen, Letzteres nach Anhörung der weiteren Beteiligten. Am 3. Juli 2020 verzichtet das Obergericht auf eine Vernehmlassung in der Sache. Mit Eingabe vom 28. Juli 2020 beantragt B.A._, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Am 17. und 24. August 2020 haben die Parteien an ihren bisherigen Anträgen festgehalten. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Endentscheid (<ref-law>) eines oberen kantonalen Gerichts, das auf Rechtsmittel hin (<ref-law>) über die vermögensrechtlichen Nebenfolgen einer Ehescheidung (Kindesunterhalt) sowie die Kosten des Berufungsverfahrens und damit über eine vermögensrechtliche Zivilsache nach <ref-law> entschieden hat. Der erforderliche Streitwert von Fr. 30'000.-- ist entgegen der Bedenken der Beschwerdegegnerin erreicht (Art. 74 Abs. 1 Bst. b, Art. 51 Abs. 1 Bst. a sowie Abs. 4 und <ref-law>), womit unerheblich bleibt, ob sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 Bst. a BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt, die er auch fristgerecht (<ref-law>) eingereicht hat. Auf die Beschwerde ist unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen einzutreten.
1.2.
1.2.1. Die Beschwerde an das Bundesgericht ist ein reformatorisches Rechtsmittel (<ref-law>). Die beschwerdeführende Partei muss deshalb grundsätzlich einen Antrag in der Sache stellen, das heisst angeben, welche Punkte des kantonalen Entscheids sie anficht und inwiefern das Bundesgericht den angefochtenen Entscheid abändern soll. Rechtsbegehren, die eine Geldsumme zum Gegenstand haben, sind zu beziffern (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.3). Für die Auslegung der Rechtsbegehren ist allerdings die Begründung der Beschwerde heranzuziehen (<ref-ruling> E. 6.2). Auf nicht bezifferte Anträge tritt das Bundesgericht deshalb ausnahmsweise ein, wenn sich aus der Beschwerdebegründung, allenfalls in Verbindung mit dem angefochtenen Entscheid, ohne Weiteres ergibt, was in der Sache verlangt wird (<ref-ruling> E. 2). Andernfalls reicht ein nicht bezifferter Antrag nur aus, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung der Beschwerde in der Sache naturgemäss nicht selbst entscheiden könnte, namentlich weil der entscheiderhebliche Sachverhalt nicht festgestellt wurde (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 3.1; zum Ganzen Urteil 5A_841/2017 vom 18. Dezember 2018 E. 2.1, nicht publiziert in: <ref-ruling>).
1.2.2. Soweit der Beschwerdeführer die Anrechnung verschiedener (Mindest-) Beiträge an den vom Obergericht festgelegten Kindesunterhalt beantragt, genügt die Beschwerde diesen Anforderungen bloss teilweise: Ausreichend beziffert sind die Begehren insoweit, als der Beschwerdeführer die Reduktion des von der Vorinstanz festgesetzten Unterhalts um bestimmte Beträge verlangt. In diesem Umfang lässt sich (auch) mit Blick auf die Beschwerdebegründung bestimmen, auf welchen Betrag das Bundesgericht die Kindesunterhaltsbeiträge festlegen soll. Es wäre überspitzt formalistisch und würde einer (formellen) Rechtsverweigerung gleichkommen, wenn in dieser Situation mit der Beschwerdegegnerin auf einem genau bezifferten Begehren bestanden würde (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 4.3 und 6.2; Urteile 5A_164/2019 vom 20. Mai 2020 E. 4.3, nicht publiziert in: <ref-ruling>; 5A_775/2018 vom 15. April 2019 E. 4.1). Ausreichend ist auch der eventuell gestellten Rückweisungsantrag, den der Beschwerdeführer mit einer unvollständigen Feststellung des Sachverhalts begründet.
Nicht einzutreten ist dagegen auf den Antrag, die Unterhaltsbeiträge in nicht bestimmtem Umfang über die genannten Mindestbeiträge hinaus zu reduzieren: Insoweit bleibt unklar, welcher Unterhaltsbeitrag letztlich zugesprochen werden soll, womit dem Bezifferungserfordernis nicht genüge getan wird.
1.3. Der Sohn der Parteien erreichte während des vorinstanzlichen Verfahrens die Volljährigkeit (<ref-law>; vorne Bst. A.a), was das Obergericht nicht weiter thematisierte. Aus den Akten (vgl. Vollmacht vom 21. Dezember 2019; Akten Obergericht, Beilage 18 zur Eingabe vom 13. Januar 2020) ergibt sich und es wird auch nicht bestritten, dass der Sohn die Beschwerdegegnerin ermächtigte, die Unterhaltsbeiträge auch über den Eintritt der Volljährigkeit hinaus in seinem Namen geltend zu machen. Dieser war und ist es daher möglich, während des vorinstanzlichen Verfahrens wie nun auch vor Bundesgericht im Scheidungsverfahren Unterhalt für den volljährigen Sohn geltend zu machen (<ref-ruling> E. 3.1.5; Urteile 5A_512/2020 vom 7. Dezember 2020 E. 1.2; 5A_600/2019 vom 9. Dezember 2020 E. 8.2). Unter diesen Umständen schadet es auch nicht, dass das Obergericht den Sohn nicht mehr eigens zu diesem Thema anhörte. Allerdings muss im Urteilsdispositiv festgehalten werden, dass die Unterhaltsbeiträge zu Handen des volljährigen Kindes zu zahlen sind (<ref-ruling> E. 3.1.5; Urteil 5A_119/2017 vom 30. August 2017 E. 10).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Angesichts der in Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG festgelegten allgemeinen Begründungspflicht prüft das Bundesgericht allerdings grundsätzlich nur die erhobenen Rügen. Es ist nicht gehalten, wie ein erstinstanzliches Gericht alle sich stellenden Rechtsfragen zu untersuchen, soweit solche nicht (mehr) vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2.4). Die beschwerdeführende Partei muss dabei auf den angefochtenen Entscheid eingehen und aufzeigen, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Sie soll im Schriftsatz mit ihrer Kritik an den Erwägungen der Vorinstanz ansetzen, die sie als rechtsfehlerhaft erachtet, und nicht bloss die Rechtsstandpunkte erneut bekräftigen, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, (<ref-ruling> E. 1.2.2; <ref-ruling> E. 2).
Zu beachten ist, dass das Sachgericht beim Entscheid über den Kindesunterhalt in vielfacher Hinsicht auf sein Ermessen (<ref-law>) verwiesen ist (Urteil 5A_244/2018 vom 26. August 2019 E. 3.1, nicht publiziert in: <ref-ruling>). Bei der Überprüfung von derartigen Ermessensentscheiden auferlegt sich das Bundesgericht Zurückhaltung. Es schreitet nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 4.5; <ref-ruling> E. 11.2).
2.2. Was den Sachverhalt angeht, so legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (<ref-law>). Diesbezüglich kann nur vorgebracht werden, diese Feststellungen seien offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich, oder würden auf einer anderen Bundesrechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (z.B. Verletzung von <ref-law> oder <ref-law>) beruhen. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Das Bundesgericht prüft daher nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (<ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.3).
Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Hiervon erfasst sind unechte Noven, also Tatsachen, die im bisherigen Verfahren bereits hätten vorgebracht werden können, aber nicht vorgebracht wurden. Echte Noven, d.h. Tatsachen, die erst entstanden sind, nachdem vor der Vorinstanz keine neuen Tatsachen und Beweismittel mehr vorgetragen werden konnten, sind im Verfahren vor Bundesgericht demgegenüber grundsätzlich unbeachtlich (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.1.2). Nicht zu beachten sind damit die Ausführungen der Parteien zu nach Ergehen des angefochtenen Urteils eingetretenen Umständen, namentlich aber zur Entwicklung des Einkommen des Beschwerdeführers und die zugehörigen Beschwerdebeilagen 8 und 9.
3.
3.1. Vor Bundesgericht ist vorab die Berechnung des für die beiden Kinder zu bezahlenden Unterhalts strittig. Dazu erwägt das Obergericht, es stünden grundsätzlich zwei Methoden zur Verfügung: Die einstufig-konkrete und die zweistufig-konkrete Berechnungsmethode. Vorliegend habe die Erstinstanz sich für ein einstufiges Vorgehen entschieden. Die Parteien seien damit einverstanden und das Vorgehen sei angesichts der sehr guten finanziellen Verhältnisse - das Gesamteinkommen der Parteien betrage über Fr. 30'000.-- - nicht zu beanstanden. Unter diesen Umständen sei es auch gerechtfertigt, die Bedarfspositionen der Kinder zu erhöhen bzw. grosszügiger zu berücksichtigen. Dies gelte auch für den (betreibungsrechtlichen) Grundbedarf, der angemessen erhöht werden könne. Gleichzeitig sei es auch bei der einstufig-konkreten Methode zulässig, gewisse Pauschalisierungen vorzunehmen. Entsprechend hat das Obergericht den Grundbetrag der Kinder wie bereits das Bezirksgericht von Fr. 600.-- (gemäss den einschlägigen Richtlinien des Kantons Nidwalden) um 50 % erhöht und auf Fr. 900.-- festgesetzt.
3.2. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz vor, vom hohen Einkommen der Parteien auf eine hohe Lebenshaltung geschlossen zu haben, ohne dass diese nachgewiesen worden wäre. Zu Unrecht stelle sich die Vorinstanz ferner auf den Standpunkt, dass der um 50 % erhöhte Grundbedarf keine Kosten für Freizeitaktivitäten beinhalte. Da keine luxuriöse Lebensführung der Parteien nachgewiesen sei, rechtfertige es sich nicht, den Grundbetrag zu erhöhen und zusätzlich sämtliche Freizeitaktivitäten separat abzugelten. Mit der Aufstellung der detaillierten Bedarfspositionen sei auch die Erweiterung des Grundbedarfs abgedeckt. Entsprechend sei der Bedarf der Kinder um je Fr. 300.-- zu reduzieren. Im Sinne einer Vorbemerkung rügt der Beschwerdeführer ausserdem, die Kinder seien zu keinem Zeitpunkt zur Lebenshaltung befragt worden, was der "UNO-Konvention" widerspreche.
Die Beschwerdegegnerin schliesst sich im Wesentlichen dem Obergericht an und verweist ausserdem darauf, dass die Kinder einzig im Rahmen des Barunterhaltes am Lebensstandard des unterhaltspflichtigen Elternteils partizipierten. Weitergehend habe der Beschwerdeführer im bisherigen Verfahren selbst der Erhöhung der Grundbeträge um 30 % bzw. 25 % zugestimmt bzw. diese explizit anerkannt. Darauf sei er zu behaften. Zudem sei eine derart offensichtlich geringfügige Pauschalisierung ins Ermessen des Gerichts gestellt und daher nicht zu beanstanden. Die Lebenshaltung der Familie sei im Übrigen durch die Vorinstanz (mittels Parteibefragung und Urkunden) korrekt festgestellt worden.
3.3. Vorab genügt das Vorbringen des Beschwerdeführers, es sei die "UNO-Konvention" verletzt, den für die Beschwerde in Zivilsachen geltenden Begründungserfordernissen nicht (vgl. dazu vorne E. 2) : Weder nennt er die seiner Ansicht nach betroffene Konvention, noch äussert er sich zur Art der angeblichen Verletzung oder begründet er diese auch nur ansatzweise. Hieran ändert nichts, dass aus den Umständen wohl wird geschlossen werden dürfen, dass der Beschwerdeführer Art. 12 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (Kinderrechtskonvention, KRK; SR 0.107) anspricht.
Sodann stellen die Parteien das methodische Vorgehen der Vorinstanz (Anwendung der einstufig-konkreten Methode) (auch) vor Bundesgericht nicht in Frage. Hierauf ist im vorliegenden Zusammenhang daher nicht weiter einzugehen (vorne E. 2.1; weitergehend zur Methodenfrage aber hinten E. 5.5). Was schliesslich die Kosten für Freizeitaktivitäten betrifft, beanstandet der Beschwerdeführer zwar deren separate Berücksichtigung im Bedarf der Kinder. Er zieht daraus aber keine über die ebenfalls beantragte Reduktion des Grundbedarfs hinausgehenden Schlussfolgerungen, womit hierauf nicht gesondert einzugehen ist (zum Grundbedarf vgl. sogleich E. 3.4).
3.4. Gemäss <ref-law> soll der Unterhaltsbeitrag den Bedürfnissen des Kindes sowie der Lebensstellung und Leistungsfähigkeit der Eltern entsprechen (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.1; Urteil 5A_311/2019 vom 11. November 2020 E. 5.4 [zur Publikation bestimmt]). Ist die Lebensstellung der Eltern besonders günstig, hat das Kind grundsätzlich Anspruch auf eine grosszügige Berechnung seines Bedarfs. Dabei ist von der tatsächlich gelebten Lebenshaltung der Eltern auszugehen und nicht von jener, die sie sich aufgrund ihres (hohen) Einkommens leisten könnten (<ref-ruling> E. 3b; Urteile 5A_489/2019 und 5A_504/2019 vom 24. August 2020 E. 8.1; 5A_102/2019 vom 12. Dezember 2019 E. 4.1). Auch eine konkrete Bedarfsermittlung, wie sie hier in Frage steht, kommt nicht ohne gewisse Pauschalisierungen aus und das Abstellen auf vorgegebene Bedarfszahlen ist unumgänglich und zulässig, sofern die erforderlichen Anpassungen vorgenommen werden (Urteile 5A_90/2017 vom 24. August 2017 E. 9.1; 5A_1020/2015 vom 15. November 2016 E. 5.1; 5A_142/2013 vom 8. August 2013 E. 3.1).
Der Beschwerdeführer beanstandet die nach dem Ausgeführten ohnehin zulässige Berechnung des Grundbedarfs der Kinder mit Hilfe eines Pauschalbetrags nicht. Er wendet sich aber gegen die Erhöhung dieses Betrags aufgrund der vorherrschenden guten finanziellen Verhältnisse. Insofern bringt der Beschwerdeführer prinzipiell zwar zu Recht vor, dass von überdurchschnittlichen Einkommensverhältnissen nicht ohne weiteres auf eine hohe Lebenshaltung der Eltern geschlossen werden darf. Allerdings bestreitet er die günstige Einkommenslage im Grundsatz nicht. Sodann wirft er der Vorinstanz zwar eine falsche Berechnung seines Einkommens vor, welches diese schwankend mit rund Fr. 20'000.-- im Monat bezifferte. Soweit er sich diesbezüglich aber nicht ohnehin auf unzulässige echte Noven bezieht, belässt er es bei einer Darstellung seiner eigenen Sichtweise, ohne dem Obergericht eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung auch nur vorzuwerfen. Hierauf ist daher nicht weiter einzugehen (vorne E. 2.2). Ausgehend von dem von der Vorinstanz festgestellten hohen Gesamteinkommen der Parteien und unter Berücksichtigung des ihr zukommende Ermessens (vgl. vorne E. 2.1), ist die bescheidene Erhöhung des Grundbedarfs der Kinder unabhängig vom Nachweis der konkreten Lebenshaltung der Eltern nicht zu beanstanden. Die Beschwerde ist insoweit unbegründet, ohne dass zu prüfen wäre, ob der Vorwurf des fehlenden Nachweises der Lebenshaltung der Parteien zutrifft.
4.
4.1. Weiter ist umstritten, ob der Sohn sich sein in der Ausbildung (Berufslehre) erzieltes Einkommen an den Unterhalt anrechnen lassen muss. Nach Dafürhalten der Vorinstanz kommt es bei der Beurteilung, ob dies dem Sohn zumutbar ist, auf den Vergleich zwischen der Leistungsfähigkeit der Eltern und jener des Kindes an. Vorliegend würden die Eltern über Fr. 30'000.-- im Monat verdienen (vgl. dazu auch vorne E. 3.4). Das Einkommen des Sohnes bewege sich, abhängig vom jeweiligen Bildungsjahr, zwischen Fr. 660.-- und 1'450.-- im Monat. Seine Leistungsfähigkeit stehe damit in keinem Verhältnis zur jener der Eltern. Vorliegend sei auch kein Betreuungsunterhalt geschuldet. Unter diesen Umständen habe die Erstinstanz, der ein Ermessensspielraum zu belassen sei, zu Recht auf eine Anrechnung des Lehrlingslohns verzichtet.
4.2. Der Beschwerdeführer sieht hierdurch Art. 285 Abs. 1 und <ref-law> verletzt. Das Gericht habe sein Ermessen überschritten und den "Sachverhalt (...) falsch ausgelegt", indem es das Einkommen des Sohnes nicht mindestens teilweise an den Unterhaltsbeitrag anrechnete. Aufgrund einer blossen Gegenüberstellung der Leistungsfähigkeit des Sohns mit jener der Eltern könne nicht darüber entschieden werden, ob dem Kind die Berücksichtigung des Einkommens zumutbar sei. Vielmehr müssten die gesamten Umstände wie beispielsweise die Höhe des Einkommens und des Vermögens, das Alter, die Bedürfnisse, erzieherische Gründe und die Höhe des Bedarfs berücksichtigt werden. Vorliegend gelte es zu beachten, dass der Sohn bereits mündig und ein junger Erwachsener sei. Anders als bei einem Minderjährigen sei es ihm eher zumutbar, seinen Bedarf selbst zu finanzieren. Ausserdem sei es dem Sohn gemäss den Zahlen im angefochtenen Urteil möglich, seinen Bedarf aktuell zu 58 % und im nächsten Jahr (4. Bildungsjahr) zu 73 % selbst zu decken. Neben den Eigenverdienst des Sohnes trete ein vom Beschwerdeführer bezahltes Taschengeld von Fr. 400.-- im Monat. Zusammen mit den vom Obergericht gesprochenen Unterhaltsbeiträgen ergebe dies ein Einkommen, das die Grenzen eines hohen Lebensstandards eines 18-Jährigen überschreite, zumal dieser noch in der Lehre sei und bei der Mutter wohne. Neben der grosszügigen Bedarfsberechnung (erhöhter Grundbedarf, Berücksichtigung von Freizeitaktivitäten) werde der Sohn durch die Vorinstanz doppelt und dreifach begünstigt. Dem Beschwerdeführer könne sodann nicht entgegengehalten werden, dass kein Betreuungsunterhalt geschuldet ist, da dieser andere Bedürfnisse abdecke. Alles in allem sei es dem Sohn zumutbar, während dem 3. Bildungsjahr mindestens 50 % und im letzten Bildungsjahr mindestens 80 % seines Lehrlingslohns zu seinem Bedarf beizusteuern.
Die Beschwerdegegnerin schliesst sich auch hier der Vorinstanz an. Das Obergericht habe in seinem Entscheid die Umstände des Einzelfalls korrekt berücksichtigt. Ein Kind habe sein Einkommen nicht vollumfänglich für die Deckung seines Barbedarfs zu verwenden. Vielmehr sei das Einkommen bloss "zu berücksichtigen" (<ref-law>), und zwar in dem Mass, in dem dies dem Kind "zugemutet werden kann" (<ref-law>). Neu, völlig unbelegt und widersprüchlich sei das Vorbringen zum Taschengeld für den Sohn. Eine "dreifache Begünstigung" liege sodann nicht vor. Die Bedarfsberechnung sei korrekt erfolgt und hier stehe die Festsetzung des angemessenen Barunterhalts in Frage. Schliesslich weist die Beschwerdegegnerin darauf hin, dass der Sohn seine Ausbildung erst am 1. August 2018 begonnen habe, während der Unterhalt für beide Kinder ab dem 1. Juni 2017 festgelegt worden sei.
4.3. Gemäss Art. 276 Abs. 2 1. Teilsatz ZGB sorgen die Eltern gemeinsam, ein jeder Elternteil nach seinen Kräften, für den gebührenden Unterhalt des Kindes. Der Unterhaltsbeitrag soll nach <ref-law> den Bedürfnissen des Kindes sowie der Lebensstellung und Leistungsfähigkeit der Eltern entsprechen; dabei sind das Vermögen und die Einkünfte des Kindes zu berücksichtigen (vgl. Urteil 5A_311/2019 vom 11. November 2020 E. 5 [zur Publikation bestimmt]). Die Eltern sind von der Unterhaltspflicht in dem Mass befreit, als dem Kind zugemutet werden kann, den Unterhalt aus seinem Arbeitserwerb oder anderen Mitteln zu bestreiten (<ref-law>). Diese Regelung betont die der Unterhaltspflicht vorgehende Eigenverantwortung des Kindes (Urteil 5C.150/2005 vom 11. Oktober 2005 E. 4.4.1, in: FamPra.ch 2006 S. 480; FOUNTOULAKIS/BREITSCHMID, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 6. Aufl. 2018, N. 31 zu <ref-law>; HEGNAUER, Berner Kommentar, 1997, N. 114, 118 und 147 zu <ref-law>; vgl. auch <ref-ruling> E. 7.1; Urteil 5A_97/2017 vom 23. August 2017 E. 9.1). Die Zumutbarkeit i.S.v. <ref-law> bestimmt sich einerseits aus dem Vergleich der Leistungsfähigkeit von Eltern und Kind und andererseits nach der Höhe ihrer Leistungen und dem Bedarf des Kindes. Mit anderen Worten hängt der Umfang der Berücksichtigung des Kindeseinkommens von den Verhältnissen des Einzelfalls ab. Die kantonalen Gerichte verfügen bei dieser Beurteilung über Ermessen (Urteile 5A_727/2018 vom 22. August 2019 E. 5.3.1; 5A_129/2019 vom 10. Mai 2019 E. 9.3, in: FamPra.ch 2019 S. 1012; allgemein zum Ermessen vgl. vorne E. 2.1). Diese Grundsätze gelten nicht nur für den Unterhalt minderjähriger, sondern auch für denjenigen volljähriger Kinder (Urteil 5A_129/2019 vom 10. Mai 2019 E. 2 und 9.3, in: FamPra.ch 2019 S. 1012), wobei ein allfälliger Arbeitserwerb des Kindes hier gegebenenfalls ohnehin bereits mit Blick auf <ref-law> zu berücksichtigen ist (Urteil 5A_481/2016 vom 2. September 2016 E. 2.1).
4.4. Die Beschwerdegegnerin bemerkt zu Recht, dass vorliegend die Festsetzung des Unterhalts ab dem 1. Juni 2017 in Frage steht (vorne Bst. A.b) und der Sohn der Parteien im Jahre 2019 volljährig wurde (vorne Bst. A.a und E. 1.3). Sowohl für die Zeit vor als auch nach dem Eintritt der Mündigkeit erachtete die Vorinstanz aufgrund der hohen Leistungsfähigkeit der Eltern eine Anrechnung seines Einkommens als dem Sohn nicht zumutbar. Der Beschwerdeführer wendet insofern korrekt ein, dass es für die Zumutbarkeit der Einkommensberücksichtigung nicht nur auf eine Gegenüberstellung der Leistungsfähigkeit des Sohnes und jener der Eltern ankommt. Anders als er meint, ist dieses Element indes sehr wohl auch von Bedeutung und durfte das Obergericht (selbst in massgebender Weise) darauf abstellen. Weitergehend führt der Beschwerdeführer zwar aus, weshalb in seiner Wahrnehmung das Einkommen des Sohnes trotz der grossen Einkommensdifferenz zu berücksichtigen wäre. Er geht dabei aber nicht auf die Überlegungen der Vorinstanz zu den gegebenen finanziellen Verhältnissen ein, womit er das angefochtene Urteil insoweit auch nicht in Frage zu stellen vermag. Richtig verweist die Beschwerdegegnerin sodann darauf, dass die Feststellung einzelner Bedarfspositionen nicht mit der Frage nach der Anrechnung des Kindeseinkommens vermischt werden darf. Folglich hat die Art und Weise der Bedarfsberechnung hier ausser Acht zu bleiben. Im Übrigen geht es nicht an, eine aufgrund der Umstände gerechtfertigte grosszügige Bedarfsberechnung auf dem Weg der Anrechnung des Kindeseinkommens wieder rückgängig zu machen. Nicht zu beanstanden ist weiter die Feststellung der Vorinstanz, dass dem Beschwerdeführer das gesamte Einkommen für die Deckung des Barbedarfs des Sohnes zur Verfügung steht, weil kein Betreuungsunterhalt geschuldet sei: Weshalb bei der Erhebung der finanziellen Leistungsfähigkeit des Vaters dessen weitere Lasten nicht sollten berücksichtigt werden können, ist nicht ersichtlich. Keine Stütze im vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt, der insoweit auch nicht beanstandet wird, finden schliesslich die Ausführungen des Beschwerdeführers zu weiteren Leistungen, namentlich von Taschengeld in nicht unerheblichem Umfang. Hierauf ist nicht weiter einzugehen (vorne E. 2.2). Zusammenfassend vermag der Beschwerdeführer keine Bundesrechtsverletzung aufzuzeigen, zumal mit Blick auf das der Vorinstanz zukommende Ermessen.
5.
5.1. Umstritten ist schliesslich, wie der Unterhalt zwischen den Eltern aufzuteilen ist. Das Obergericht erachtet auch die Beschwerdegegnerin als finanziell leistungsfähig. Indes gelte es dem Umstand Rechnung zu tragen, dass ihr neben der Erwerbstätigkeit die gesamte Kinderbetreuung obliege und sie damit doppelt belastet sei. Als betreuender Elternteil erbringe sie Naturalunterhalt, der bei der Verteilung des Barunterhalts berücksichtigt werden müsse. Da kein Betreuungsunterhalt geschuldet sei und die Kindsmutter einer höheren Erwerbstätigkeit nachgehe, als nach dem Schulstufenmodell erwartet werden dürfe, rechtfertige es sich, den Barbedarf gänzlich beim Beschwerdeführer zu belassen. Dies gelte umso mehr, als dieser in sehr guten finanziellen Verhältnissen lebe und ihm auch nach der Bezahlung des Barbedarfs ein überdurchschnittlich hoher Überschuss verbleibe.
5.2. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz eine unvollständige und damit willkürliche Feststellung des Sachverhalts vor, da es nicht abgeklärt habe, welchen Überschuss die Beschwerdegegnerin erwirtschafte. Bei der Bestimmung dieses Überschusses sei insbesondere zu beachten, dass die Beschwerdegegnerin mit einem neuen Lebenspartner zusammenlebe. Falsch sei es auch, bei der Berechnung des Überschusses von ihm, dem Beschwerdeführer, auf das Existenzminimum abzustellen. Angesichts der günstigen Verhältnisse hätte der effektive Lebensstandard (erweiterter Bedarf) berücksichtigt werden müssen. Falsch berechnet worden sei auch das Einkommen des Beschwerdeführers (vgl. dazu schon vorne E. 3.4). Nicht gelten lässt der Beschwerdeführer das Argument der Doppelbelastung: Wenn die Beschwerdegegnerin in der Lage sei, ein volles Erwerbspensum auszuüben, lasse dies auf einen marginalen Betreuungsbedarf der Kinder schliessen, zumal auch mit Blick auf deren Alter und den Umstand, dass sie in Ausbildung und tagsüber ausser Haus seien. Vom mündigen Sohn könne sodann erwartet werden, dass er im Haushalt mithelfe und nicht nur im "Hotel Mama" verweile. Schliesslich besorge die Beschwerdegegnerin den Haushalt auch wegen ihres neuen Lebenspartners, der in der Familienwohnung lebe. Auch dieser könne seinen Teil zur Haushaltsführung erbringen. Das Obergericht gehe entgegen der gesetzlichen Regelung, wonach die Eltern gemeinsam für den Unterhalt der Kinder aufkommen, von der unrichtigen Annahme aus, dass der Beschwerdeführer alleine den Unterhalt beider Kinder zu bezahlen habe.
Die Beschwerdegegnerin teilt die Einschätzung der Vorinstanz, wonach ausschliesslich der Beschwerdeführer für den Barunterhalt der Kinder aufzukommen habe. Unzutreffend sei insbesondere das Vorbringen, das Obergericht habe den von der Beschwerdegegnerin erzielten Überschuss ermitteln müssen. Damit spreche der Beschwerdeführer eine Unterhaltsberechnung nach der zweistufig-konkreten Methode an, was angesichts der Anwendung der einstufig-konkreten Methode einer unzulässigen Vermischung der Berechnungsmethoden gleichkomme.
5.3. Grundsätzlich sorgen beide Elternteile, ein jeder nach seinen Kräften, für den in Form von Pflege, Erziehung und Geld zu erbringenden Unterhalt (Art. 276 Abs. 1 und 2 ZGB). Dies gilt an sich auch für den gesamten Barunterhalt, der sich nach <ref-law> bemisst (vgl. dazu bereits vorne E. 3). Soweit die Elternteile getrennt leben und deshalb auch getrennte Haushaltskassen führen, wird praktisch relevant, wer an wen welchen Geldbetrag zu entrichten hat. Steht das Kind wie hier unter der alleinigen Obhut des einen Elternteils, indem es in dessen Haushalt lebt und den anderen Elternteil nur im Rahmen des Besuchs- und Ferienrechts sieht, so leistet der obhutsberechtigte Elternteil seinen Unterhaltsbeitrag bereits vollständig in natura, indem er dem Kind Pflege und Erziehung erweist (sog. Naturalunterhalt). Diesfalls fällt der Geldunterhalt vor dem Hintergrund der Gleichwertigkeit von Bar- und Naturalunterhalt (<ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 5b; ausdrücklich bestätigt auch für den geänderten Wortlaut von <ref-law> im Urteil 5A_727/2018 vom 22. August 2019 E. 4.3.2, in: FamPra.ch 2019 S. 1215) grundsätzlich vollständig dem anderen Elternteil anheim (Urteil 5A_311/2019 vom 11. November 2020 E. 5.5 [zur Publikation bestimmt]). Dies ändert sich jedoch im Zeitpunkt, in welchem das Kind volljährig wird. Volljährige Personen sind nicht mehr auf die Betreuung durch die Eltern angewiesen, weshalb sich die Pflicht sie zu unterstützen auf einen finanziellen Beitrag an den Lebensunterhalt konzentriert. Hierzu sind beide Elternteile im Rahmen ihrer wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit gleichermassen verpflichtet, womit kein Grund mehr besteht, den Barunterhalt anders als entsprechend dieser Leistungsfähigkeit auf die Eltern zu verteilen (Urteile 5A_926/2019 vom 30. Juni 2020 E. 6.4; 5A_1032/2019 vom 9. Juni 2020 E. 5.4.2 mit Hinweisen, in: FamPra.ch 2020 S. 1068; 5A_643/2015 vom 15. März 2016 E. 7.1).
5.4. Gestützt auf diese Rechtsprechung ist es nicht zu beanstanden, dass das Obergericht die (obhutsberechtigte; vorne Bst. A.b) Beschwerdegegnerin während der Minderjährigkeit der Kinder nicht verpflichtete, neben den Naturalleistungen auch noch Barunterhalt zu bezahlen, sondern diesen allein dem Beschwerdeführer auferlegte. Es ist ausserdem weder ersichtlich noch dargetan, dass aufgrund der Umstände ausnahmsweise von einer entsprechenden Verlegung des Barunterhalts abzuweichen wäre; gestützt auf das angefochtene Urteil kann ausgeschlossen werden, dass die Beschwerdegegnerin leistungsfähiger als der Beschwerdeführer ist (vgl. Urteil 5A_311/2019 vom 11. November 2019 E. 5.5 und 8.1 [zur Publikation bestimmt]).
Als bundesrechtswidrig erweist sich das angefochtene Urteil hingegen insoweit, als das Obergericht den Barunterhalt auch nach Eintritt der Volljährigkeit der Kinder in der gleichen Art und Weise verlegt. Wie dargelegt, kommt es für die Aufteilung des Unterhalts unter den Eltern ab diesem Zeitpunkt allein auf die wirtschaftliche Leistungsfähigkeit an und spielt eine allfällig in naturaerbrachte Leistung keine Rolle mehr. Damit bringt der Beschwerdeführer jedenfalls in dieser Hinsicht auch zu Recht vor, dass der von der Beschwerdegegnerin erwirtschaftete Überschuss zu ermitteln gewesen wäre. Anders als die Beschwerdegegnerin meint, liegt hierin keine unzulässige Vermischung der Berechnungsmethoden; die Ermittlung ihrer Leistungsfähigkeit erfolgt nicht hinsichtlich der Berechnung des Unterhalts, sondern mit Blick auf dessen Verteilung unter die Eltern. Die Beschwerde ist damit teilweise begründet. Auf die weiteren Vorbringen der Parteien braucht nicht mehr eingegangen zu werden.
5.5. Angaben zum Bedarf der Beschwerdegegnerin und damit auch zu ihrer Leistungsfähigkeit lassen sich dem angefochtenen Urteil nicht entnehmen. Unter diesen Umständen ist das Bundesgericht auch nicht in der Lage, einen reformatorischen Entscheid auszufällen. Die Sache ist daher entsprechend dem Eventualantrag des Beschwerdeführers in diesbezüglicher Aufhebung des angefochtenen Urteils zur Ergänzung des Sachverhalts und zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen (<ref-law>).
Dabei ist zu beachten, dass das Bundesgericht im zur Publikation vorgesehenen Urteil 5A_311/2019 vom 11. November 2019 seine Methodik zur Unterhaltsberechnung weiterentwickelt hat. Danach ist der Kindesunterhalt neu schweizweit zwingend nach der zweistufig-konkreten Methode zu ermitteln (Urteil, a.a.O., E. 7 [auch zum diesbezüglichen Vorgehen]). Vorbehalten bleiben allerdings besondere Situationen. So kann bei aussergewöhnlich guten Verhältnissen auch anders vorgegangen oder ganz von einer konkreten Berechnung abgesehen werden, weil hier letztlich nur noch die Frage zentral ist, wo der Kindesunterhalt aus erzieherischen und aus konkreten Bedarfsgründen seine Grenze findet (Urteil, a.a.O., E. 6.6). Besondere Regeln gelten schliesslich für den Volljährigenunterhalt. Dieser ist maximal auf das familienrechtliche Einkommen einschliesslich der Ausbildungskosten begrenzt, d.h. das volljährige Kind profitiert nicht von einem allfälligen Überschuss der Eltern (Urteil, a.a.O., E. 7.2). Diese Grundsätze wird das Obergericht in seinem neuen Entscheid ebenso zu berücksichtigen haben, wie die referierten Grundlagen zur Verlegung des Volljährigenunterhalts unter den Eltern (vorne E. 5.3) sowie die prozessualen Auswirkungen des Eintritts der Volljährigkeit des Sohns (vorne E. 1.3).
6.
Der Beschwerdeführer beantragt ausserdem die Neuverlegung der Gerichtskosten des Berufungsverfahrens entsprechend dem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens. Da das Obergericht neu über den Kindesunterhalt zu entscheiden hat, wird es auch neu über die Kostenfolgen dieses Verfahrens zu befinden haben (inkl. der Parteikosten; Art. 67 und 68 Abs. 5 BGG). Das angefochtene Urteil ist auch diesbezüglich aufzuheben, ohne dass weiter auf den Antrag des Beschwerdeführers einzugehen wäre. Nicht strittig sind dagegen die Prozesskosten des erstinstanzlichen Verfahrens und ihre Verlegung.
7.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen, soweit darauf eingetreten wird. Die Sache ist unter Aufhebung des angefochtenen Urteils zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Selbst bei offenem Ausgang des Verfahrens gilt die Rückweisung an die Vorinstanz zu neuem Entscheid im Hinblick auf die Parteientschädigung und die Gerichtskosten als vollständiges Obsiegen der betreffenden Partei (<ref-ruling> E. 11.1). Unter diesen Umständen obsiegen die Parteien je zur Hälfte. Entsprechend sind ihnen die Gerichtskosten (inkl. die Kosten des Verfahrens betreffend aufschiebende Wirkung) je zur Hälfte aufzuerlegen (<ref-law>) und die Parteikosten wettzuschlagen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Nidwalden vom 2. April 2020 aufgehoben und die Sache zu neuem Entscheid im Sinn der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 8'000.-- werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt.
3.
Die Parteientschädigungen werden wettgeschlagen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Nidwalden, Zivilabteilung, und dem Kantonsgericht des Kantons Nidwalden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Mai 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber