Faits :
A.
Par jugement du 27 août 2020, le Tribunal de police de l'arrondissement de Lausanne a condamné A._ pour lésions corporelles simples qualifiées, voies de fait qualifiées, menaces qualifiées et contrainte à 240 jours-amende à 80 fr. le jour, avec sursis pendant quatre ans, ainsi qu'à une amende de 1'500 fr., la peine privative de liberté de substitution étant fixée à 15 jours en cas de non-paiement fautif.
B.
Par jugement du 13 janvier 2021, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois a admis partiellement l'appel formé par A._. Elle a réduit la peine infligée à A._ à 180 jours-amende, le montant du jour-amende étant fixé à 80 fr.; elle a maintenu le sursis et confirmé l'amende de 1'500 francs.
En substance, elle a retenu que, entre 2016 et 2017, A._ avait, à de multiples occasions, isolé, menacé, giflé et frappé son épouse ainsi que lui avait serré le cou.
C.
Contre ce dernier jugement, le Ministère public du canton de Vaud forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral. Il conclut, principalement, à la réforme du jugement attaqué en ce sens que le jugement de première instance est confirmé, la peine pécuniaire étant arrêtée à 240 jours-amende. A titre subsidiaire, il requiert l'annulation du jugement attaqué et le renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision.
Invités à se déterminer, la cour cantonale et l'intimé y ont renoncé.

Considérant en droit :
1.
En application de l'art. 81 al. 1 let. b ch. 3 LTF, l'accusateur public a qualité pour former un recours en matière pénale.
Savoir quelle autorité au sein d'un canton constitue l'accusateur public est une question qui doit se résoudre à l'aune de la LTF. Lorsqu'il existe un ministère public compétent pour la poursuite de toutes les infractions sur l'ensemble du territoire, seule cette autorité aura la qualité pour recourir au Tribunal fédéral. En revanche, savoir qui, au sein de ce ministère public, a la compétence de le représenter est une question d'organisation judiciaire, soit une question qui relève du droit cantonal (<ref-ruling> consid. 1.5.2).
Dans le canton de Vaud, l'art. 27 al. 2 de la loi du 19 mai 2009 sur le Ministère public (LMPu/VD; RS/VD 173.21) dispose que le procureur général ou ses adjoints sont seuls compétents pour saisir le Tribunal fédéral.
En l'espèce, le mémoire de recours est signé par le Procureur général adjoint du canton de Vaud. Le recours est donc recevable.
2.
Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir réduit la peine de 240 jours-amende à 180 jours-amende.
La cour cantonale a considéré que le prononcé d'une peine pécuniaire était adéquat pour sanctionner les infractions retenues. Elle a estimé ensuite que la peine de 240 jours-amende à 80 fr. le jour, avec sursis pendant quatre ans, était appropriée. Toutefois, comme, depuis le 1er janvier 2018, sauf disposition contraire, la peine pécuniaire ne pouvait pas excéder 180 jours-amende (art. 34 al. 1, 1re phrase, CP dans sa teneur modifiée par la loi fédérale du 19 juin 2015 [Réforme du droit des sanctions]; RO 2016 1249; FF 2012 p. 4385), elle a réduit d'office la quotité de la peine pécuniaire à 180 jours-amende.
2.1. Dans un premier grief, le recourant soutient que le juge devrait tout d'abord fixer un "quantum, en unités pénales", puis seulement décider du genre de peine.
Selon une jurisprudence constante, le juge doit d'abord déterminer le genre de la peine devant sanctionner une infraction, puis en fixer la quotité. Pour déterminer le genre de la peine, il doit tenir compte, à côté de la culpabilité de l'auteur, de l'adéquation de la peine, de ses effets sur l'auteur et sur sa situation sociale ainsi que de son efficacité du point de vue de la prévention. Il n'y a pas lieu de revenir sur cette jurisprudence qui a été récemment confirmée (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 244 ss). Le grief soulevé par le recourant doit être rejeté.
2.2. Dans un second grief, le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir mélangé les règles applicables selon l'ancien droit et selon le nouveau droit.
2.2.1. L'ancien art. 34 al. 1 CP (dans sa teneur jusqu'au 31 décembre 2017) prévoyait que la peine pécuniaire, sauf disposition contraire de la loi, ne pouvait pas excéder 360 jours-amende. Lors de la réforme du droit des sanctions, le législateur a modifié cette disposition. Le nouvel art. 34 al. 1 CP, entré en vigueur le 1er janvier 2018, dispose que, "sauf disposition contraire, la peine pécuniaire est de trois jours-amende au moins et ne peut excéder 180 jours-amende. Le juge fixe leur nombre en fonction de la culpabilité de l'auteur" (RO 2016 1249; FF 2012 p. 4385). La loi sur la réforme du droit des sanctions ne prévoit pas de règles particulières sur le droit transitoire (FF 2012 p. 4385; <ref-ruling> consid. 4.2.1 p. 246).
2.2.2. Selon l'art. 2 al. 1 CP, la loi pénale ne s'applique qu'aux faits commis après son entrée en vigueur (principe de la non-rétroactivité de la loi pénale). Cependant, en vertu de l'art. 2 al. 2 CP, une loi nouvelle s'applique aux faits qui lui sont antérieurs si, d'une part, l'auteur est mis en jugement après son entrée en vigueur et si, d'autre part, elle est plus favorable à l'auteur que l'ancienne (exception de la lex mitior). Il en découle que l'on applique en principe la loi en vigueur au moment où l'acte a été commis, à moins que la nouvelle loi ne soit plus favorable à l'auteur (<ref-ruling> consid. 4.2.1 p. 246).
Pour déterminer quel est le droit le plus favorable, il y a lieu d'examiner l'ancien et le nouveau droit dans leur ensemble et de comparer les résultats auxquels ils conduisent dans le cas concret. Le nouveau droit ne doit être appliqué que s'il conduit effectivement à un résultat plus favorable au condamné (<ref-ruling> consid. 4.2.2 p. 246). Par ailleurs, l'ancien et le nouveau droit ne peuvent pas être combinés. Ainsi, on ne saurait, à raison d'un seul et même état de fait, appliquer l'ancien droit pour déterminer quelle infraction a été commise et le nouveau droit pour décider si et comment l'auteur doit être puni (<ref-ruling> consid. 4.2.2 p. 246 s.; <ref-ruling> consid. 6.2.3 p. 88 s.; arrêt 6B_1053/2018 du 26 février 2019 consid. 3.4). Si l'un et l'autre droit conduisent au même résultat, c'est l'ancien droit qui est applicable (<ref-ruling> consid. 4.2.2 p. 247; arrêt 6B_14/2007 du 17 avril 2007 consid. 4.2).
2.2.3. Dans un arrêt récent, le Tribunal fédéral a rappelé que, dans la mesure où le nouvel art. 34 al. 1 CP prévoyait une diminution de la peine pécuniaire maximale de 360 à 180 jours-amende, le nouveau droit visait à réduire le champ d'application de la peine pécuniaire et par conséquent à accroître celui de la peine privative de liberté, ce qui permettait de considérer que l'ancien régime des peines était, à tout le moins sous cet angle, moins sévère que le droit en vigueur depuis le 1er janvier 2018 (<ref-ruling> consid. 4.3.2).
2.2.4. Suivant le juge de première instance qui avait appliqué l'ancien droit, la cour cantonale a déclaré qu'une peine pécuniaire - qui pouvait selon le droit en vigueur en 2017 se monter à 240 jours-amende - était suffisante pour sanctionner le comportement du recourant. Puis, dans la suite de son raisonnement, elle a appliqué le nouveau droit pour ramener la quotité de cette peine de 240 à 180 jours-amende. Cette manière de faire consiste à combiner l'application de l'ancien et du nouveau droit, ce qui contrevient à la jurisprudence. Le recours doit donc être admis sur ce point, le jugement attaqué doit être annulé et la cause doit être renvoyée à la cour cantonale pour qu'elle fixe une nouvelle peine.
Dans son nouveau jugement, la cour cantonale devra, dans une première étape, appliquer à l'infraction en cause l'ancien droit, sous l'empire duquel les faits se sont produits. Elle devra déterminer si, dans le système de l'ancien droit, une peine pécuniaire de 240 jours-amende correspond à la culpabilité du recourant. Dans une seconde étape, elle devra appliquer le nouveau droit dans sa totalité à cette même infraction, ce qui devra conduire, à culpabilité identique, à retenir une sanction de 240 jours de peine privative de liberté. Dès lors qu'il est admis qu'une peine privative de liberté est plus sévère qu'une peine pécuniaire, elle devra appliquer l'ancien droit et confirmer la peine pécuniaire de 240 jours-amende. Si la cour cantonale arrive à la conclusion que, selon le système de l'ancien droit, la gravité de la faute du recourant doit conduire à une peine pécuniaire de moins de 240 jours-amende, par exemple de 180 jours-amende, elle pourra prononcer une peine pécuniaire de 180 jours-amende. Dans ce cas, l'application du nouveau droit conduira au même résultat et ne sera donc pas plus favorable.
3.
Le recours doit être admis, le jugement attaqué doit être annulé et la cause doit être renvoyée à la cour cantonale pour nouveau jugement dans le sens des considérants.
Il n'y a pas lieu d'allouer une indemnité à l'accusateur public qui obtient gain de cause (cf. art. 68 al. 3 LTF). Il est statué sans frais judiciaires (art. 66 al. 1, 2e phrase, LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis, le jugement attaqué est annulé et la cause est renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 22 décembre 2021
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Jacquemoud-Rossari
La Greffière : Kistler Vianin