Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1987) ist serbischer Staatsangehöriger. Er reiste am 2. Januar 2016 in die Schweiz ein und heiratete hier am 5. Januar 2016 die Schweizer Staatsangehörige B._ (geb. 1993). Am 17. Februar 2016 wurde ihm im Rahmen des Familiennachzugs eine zuletzt bis zum 4. Januar 2019 verlängerte Aufenthaltsbewilligung erteilt.
B.
Aufgrund eines von B._ vefassten Schreibens traf das Migrationsamt des Kantons Zürich (nachfolgend: das Migrationsamt) ab Mitte 2016 Abklärungen wegen Scheineheverdachts und liess die Ehegatten am 19. November 2018 polizeilich befragen. Aufgrund der Ergebnisse dieser Abklärungen wies das Migrationsamt am 2. Dezember 2019 ein Gesuch A._s vom 13. Dezember 2018 um Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung ab und ordnete dessen Wegweisung aus der Schweiz an.
Dieser Entscheid wurde von den kantonalen Instanzen bestätigt (vgl. Entscheid der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich vom 30. September 2020 und Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 29. April 2021), wobei das Bezirksgericht Zürich zwischenzeitlich mit Urteil und Verfügung vom 6. Juli 2020 erkannt hatte, dass A._ nicht der Vater des am 5. Juli 2019 geborenen Sohns B._s sei, und den Ehegatten zudem mit Urteil vom 17. Juli 2020 das Getrenntleben bewilligt hatte.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 24. Juni 2021 gelangt A._ an das Bundesgericht. Er stellt den Antrag, das Migrationsamt unter Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts vom 29. April 2021 anzuweisen, seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern; eventualiter sei die Sache zu neuer Entscheidung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen.
Einem Gesuch A._s, seiner Beschwerde die aufschiebende Wirkung beizulegen, hat das Bundesgericht mit Präsidialverfügung vom 30. Juni 2021 entsprochen. Ferner hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens beigezogen.

Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer macht vorliegend in vertretbarer Weise geltend, aufgrund von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG (in der hier noch anwendbaren, bis Ende 2018 geltenden Fassung [AS 2007 5437 ff.]; vgl. Urteil 2C_125/2021 vom 17. August 2021 E. 3) Anspruch auf die Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung zu haben. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist daher zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 83 lit. c Ziff. 2, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90 BGG). Auf die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde (Art. 42, Art. 100 Abs. 1 BGG) des hierzu legitimierten Beschwerdeführers (<ref-law>) ist einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Unter Berücksichtigung der Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) prüft es jedoch nur die vorgebrachten Rügen, wenn rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 2). Bezüglich der Verletzung von Grundrechten besteht eine qualifizierte Rügeobliegenheit (<ref-law>).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Eine Berichtigung oder Ergänzung der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung ist von Amtes wegen (<ref-law>) oder auf Rüge hin (<ref-law>) möglich. Von den tatsächlichen Grundlagen des vorinstanzlichen Urteils weicht das Bundesgericht jedoch nur ab, wenn diese offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen, und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang zudem entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.6).
2.3. Zur Sachverhaltsfeststellung (vgl. E. 2.2 hiervor) gehört auch die auf Indizien gestützte Beweiswürdigung. Die Sachverhaltsfeststellung bzw. Beweiswürdigung erweist sich als offensichtlich unrichtig und damit als willkürlich im Sinne von <ref-law>, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3; Urteil 2C_310/2014 vom 25. November 2014 E. 1.2). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen; auf rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsdarstellung bzw. Beweiswürdigung der Vorinstanz geht das Gericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 10.1).
3.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG; die Vorinstanz sei zu Unrecht davon ausgegangen, dass die von dieser Bestimmung für die Gewährung eines nachehelichen Aufenthaltsanspruchs verlangte dreijährige Frist vorliegend nicht erreicht worden sei.
3.1. Nach Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG besteht der Anspruch des Ehegatten auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nach den Artikeln 42 und 43 AIG fort, wenn die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre bestanden hat und eine erfolgreiche Integration besteht. Für die Berechnung der dreijährigen Frist gemäss Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG ist nach der Rechtsprechung auf die in der Schweiz gelebte Ehegemeinschaft abzustellen (vgl. <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 3.5.1; <ref-ruling> E. 3.3). Massgeblicher Zeitpunkt für die retrospektive Berechnung der Dauer der ehelichen Gemeinschaft ist in der Regel die Aufgabe der Haushaltsgemeinschaft (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3.2). Eine (relevante) Ehegemeinschaft liegt vor, solange die eheliche Beziehung tatsächlich gelebt wird und ein gegenseitiger Ehewille besteht (vgl. <ref-ruling> E. 2). Mehrere Phasen des Zusammenlebens, unterbrochen durch Trennungsphasen, können bei der Berechnung der Dreijahresfrist addiert werden, sofern die ernsthafte Weiterführung der Ehegemeinschaft noch beabsichtigt wird (vgl. <ref-ruling> E. 4.5.2, mit Hinweisen). Die Frist nach Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG gilt absolut; bereits das Fehlen weniger Wochen oder Tage schliesst den Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung aus (vgl. Urteil 2C_281/2017 vom 26. März 2018 E. 2.2, mit Hinweisen).
3.2. Die Vorinstanz ging im Grundsatz davon aus, dass der Beschwerdeführer allein aus ausländerrechtlichen Motiven den Schein einer ehelichen Beziehung mit B._ erweckt habe (vgl. E. 3.4 des angefochtenen Urteils), mithin vorliegend von einer Scheinehe auszugehen sei. Im Sinne einer Eventualerwägung erwog sie sodann aber, dass ein nachehelicher Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nach Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG selbst dann nicht bestehe, wenn nicht von einer Scheinehe auszugehen wäre (vgl. E. 4.1 des angefochtenen Urteils).
Zur Begründung führte die Vorinstanz aus, dass eine allfällige eheliche Gemeinschaft zwischen B._ und dem Beschwerdeführer spätestens ab dem 19. Dezember 2017 nicht mehr bestanden habe: Am 19. Dezember 2017 habe sich B._ von der angeblichen gemeinsamen Wohnung in C._ nach Zürich zu ihren Eltern abgemeldet. Der Beschwerdeführer habe an dieser Adresse in Zürich nie gewohnt, sondern sei dort ab Mitte Mai 2018 lediglich angemeldet gewesen. Überdies habe im Verlauf des Jahres 2017 die (aussereheliche) Beziehung B._s zum Vater ihres am 5. Juli 2019 geborenen Sohnes ihren Anfang genommen. In einer E-Mail vom 22. Juni 2019 habe B._ gegenüber dem Migrationsamt überdies angegeben, dass ihr Ehewille "[s]eit Mai 2017" erloschen sei. Weshalb B._ gegenüber dem Migrationsamt falsche Angaben bezüglich des Erlöschens ihres Ehewillens und ihrer ausserehelichen Beziehung gemacht haben solle, sei nicht nachvollziehbar (vgl. zum Ganzen E. 4.2 des angefochtenen Urteils)
3.3. Die sachverhaltsbezogenen Erwägungen (vgl. E. 3.2 hiervor) der Vorinstanz sind ausführlich ausgefallen. Sie vermögen sich auf ein ganzes Netz von Indizien abzustützen. So basiert etwa die vorinstanzliche Feststellung, wonach der Beschwerdeführer nie tatsächlich bei den Eltern von B._ gewohnt hat, unter anderem auf der (unbestrittenen) Tatsache, dass der Beschwerdeführer an dieser Adresse weder anlässlich der polizeilichen Wohnungskontrollen vom 14. und 23. November 2018 noch anlässlich der wiederholten Besuche des mit der Vorführung beauftragten Beamten ab dem 19. September 2018 jemals angetroffen werden konnte, und dass weder die Polizeibeamten noch der Betreibungsbeamte in der Wohnung Gegenstände ausmachen konnten, die darauf hingedeutet hätten, dass der Beschwerdeführer dort jemals gewohnt hätte (vgl. E. 3.1.1.3 des angefochtenen Urteils). In Kombination mit der - ebenfalls unbestrittenen Feststellung -, dass die Beziehung B._s mit dem Vater ihres Kindes Mitte 2017 ihren Anfang genommen und dass B._ das aus dieser Beziehung hervorgegangene Kind am 5. Juli 2019 zur Welt gebracht hat, liegen verschiedene überaus gewichtige Anhaltspunkte dafür vor, dass die Ehe von B._ und dem Beschwerdeführer - soweit es sich dabei nicht von allem Anfang an um eine Scheinehe handelte - jedenfalls zu Beginn des Jahres 2019 nicht mehr gelebt worden ist.
3.4. Diese eindeutige Indizienlage (vgl. E. 3.3 hiervor) vermag der Beschwerdeführer nicht plausibel zu widerlegen. So erklärt er zwar, warum er bei den Polizeikontrollen und bei den Besuchen des Betreibungsbeamten jeweils abwesend gewesen sei (vgl. Rz. 29 der Beschwerde). Er legt jedoch nicht ansatzweise dar, warum weder die Polizeibeamten noch der Betreibungsbeamte Anzeichen dafür erkennen konnten, dass sich in der Wohnung der Eltern von B._ ein (weiterer) Mann aufhalte. Weiter kann der Beschwerdeführer mit Blick auf die Frage, wann sein Zusammenleben mit B._ geendet hat, nichts daraus abzuleiten, dass das Bezirksgericht Zürich in seinem Urteil vom 17. Juli 2020 (vgl. Bst. B hiervor) festgestellt hat, dass die Ehegatten "seit Winter 2018/19 getrennt leb[t]en" (vgl. Rz. 38 der Beschwerde); abgesehen davon, dass diese Angabe nicht bedeutet, dass die eheliche Beziehung bis mindestens am 5. Januar 2019 angehalten hätte, ist nämlich davon auszugehen, dass das Bezirksgericht bezüglich des genauen Trennungszeitpunkts keine näheren Abklärungen getroffen, sondern auf die (übereinstimmenden) Angaben der Parteien abgestellt hat.
Die weiteren Beschwerdeausführungen, die sich im Wesentlichen mit der - hier letztlich nicht entscheidenden - Frage auseinandersetzen, ob zwischen dem Beschwerdeführer und B._ eine Schein-ehe vorgelegen hat, müssen als appellatorisch bezeichnet werden.
3.5. Entgegen der in der Beschwerde geäusserten Auffassung bestehen nach dem Gesagten keine Anhaltspunkte dafür, dass die Vorinstanz bei der Feststellung der massgeblichen Tatsachen in Willkür verfallen wäre (vgl. zu diesem Massstab E. 2.2 und 2.3 hiervor). Mit der Vorinstanz ist deshalb davon auszugehen, dass die Dreijahresfrist von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG vorliegend nicht erreicht worden ist. Dass die Vorinstanz offengelassen hat, ob im Falle des Beschwerdeführers von einer gelungenen Integration ausgegangen werden kann, ist bundesrechtlich nicht zu beanstanden. Ein Anspruch nach Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG wird nicht geltend gemacht. Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet. Sie ist abzuweisen.
4.
Bei diesem Verfahrensausgang (vgl. E. 3.5 hiervor) sind die Verfahrenskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. September 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner