Sachverhalt:
A.
Am 7. Dezember 2015 erhob B._ (Beschwerdegegnerin) beim Richteramt Olten-Gösgen Klage gegen die heutige A._ AG (Beschwerdef ührerin) sowie die Gebr. C._, mit der sie gestützt auf <ref-law> (Haftung des Werkeigentümers) die Zusprechung einer "Teilgenugtuung" in der Höhe von Fr. 30'000.-- verlangte, unter Nachklagevorbehalt.
Mit Verfügungen vom 6. September und 28. Oktober 2016 beschränkte der Amtsgerichtspräsident das Verfahren in Bezug auf die heutige A._ AG auf die Frage der Verjährung, in Bezug auf die Gebr. C._ auf die Frage der Passivlegitimation. Mit "Zwischenentscheid" vom 6. Februar 2017 wies der Amtsgerichtspräsident die Klage gegenüber der heutigen A._ AG wegen Verjährung ab, gegenüber der Gebr. C._ mangels Passivlegitimation.
Dagegen erhob B._ Berufung an das Obergericht des Kantons Solothurn. Mit Urteil ZKBER.2017.26 vom 3. Januar 2018 hiess dieses die Berufung teilweise gut. Es hob den Entscheid des Amtsgerichtspräsidenten bezüglich der Klageabweisung gegenüber der heutigen A._ AG auf und wies die Sache zur Weiterführung des Verfahrens zurück an die Vorinstanz. Im Übrigen wies es die Berufung ab, soweit es darauf eintrat.
Auf die von der heutigen A._ AG gegen dieses Urteil erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht mit Urteil 4A_53/2018 vom 15. März 2018 nicht ein. Die Beschwerde von B._ wies das Bundesgericht mit Urteil 4A_63/2018 vom 15. März 2018 ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Nach Durchführung einer Hauptverhandlung mit Partei- und Zeugenbefragung stellte der Amtsgerichtspräsident mit Urteil vom 17. Januar 2019 fest, "dass es sich um einen Teilklageentscheid handelt", und verurteilte die A._ AG, B._ eine Genugtuung im Betrag von Fr. 15'000.-- zu bezahlen.
Hiergegen erhob die A._ AG Berufung an das Obergericht und ersuchte in der Sache um Abweisung der Klage. B._ schloss in ihrer Berufungsantwort auf Abweisung der Berufung. Mit Urteil ZKBER.2019.27 vom 13. August 2019 hiess das Obergericht die Berufung teilweise gut und reduzierte die zugesprochene Genugtuung in Anwendung von <ref-law> auf Fr. 12'000.--.
C.
Die A._ AG verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, die U rteile des Obergerichts vom 3. Januar 2018 und vom 13. August 2019 seien aufzuheben und die Klage von B._ sei vollumfänglich abzuweisen.
B._ begehrt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Die Vorinstanz hat Antrag auf Abweisung der Beschwerde gestellt, unter Hinweis auf die Akten und die Urteilsbegründung und Verzicht auf Gegenbemerkungen zur Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in Zivilsachen ist bei einem zweitinstanzlichen kantonalen Gerichtsentscheid über eine vermögensrechtliche Angelegenheit wie dem Vorliegenden nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (<ref-law>). Der Streitwert bestimmt sich gemäss <ref-law> nach den Begehren, die vor der Vorinstanz streitig geblieben waren. Im Berufungsverfahren ZKBER.2019.27 vor dem Obergericht lagen noch Fr. 15'000.-- im Streit. Der Streitwert erreicht somit die gesetzliche Mindestgrenze nicht. Daran ändert entgegen den Ausführungen in der Beschwerdeschrift nichts, dass die Beschwerdeführerin gemäss <ref-law> durch die Beschwerde gegen den Endentscheid auch den Rückweisungsentscheid des Obergerichts vom 3. Januar 2018 angefochten hat und im Berufungsverfahren ZKBER.2017.26 noch Fr. 30'000.-- streitig geblieben waren. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde in Zivilsachen dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>). Dass dies hier der Fall sein soll, macht die Beschwerdeführerin nicht geltend und ist auch nicht ersichtlich. Folglich ist die Beschwerde in Zivilsachen nicht zulässig. Damit stünde die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen (<ref-law>), mit der die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden kann (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin erhebt indessen keine Verfassungsbeschwerde und begründet in ihrer Beschwerdeschrift auch keine Verfassungsrügen (siehe Art. 106 Abs. 2 und Art. 117 BGG).
Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
2.
Ausgangsgemäss wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (siehe Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG). Dem geringen Aufwand des Gerichts wird durch eine reduzierte Gerichtsgebühr Rechnung getragen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Januar 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz