Sachverhalt:
A.
A._ ist Eigentümer des Grundstücks Nr. 2435, Grundbuch Luzern, rechtes Ufer. Per 1. Dezember 2017 (Inkraftsetzungsdatum des Bauinventars der Stadt Luzern) wurde die auf dem Grundstück befindliche Liegenschaft an der B._-Strasse als erhaltenswerte Baute in das Bauinventar der Stadt Luzern aufgenommen. Mit Eingabe vom 3. Mai 2018 ersuchte A._ die Dienststelle Hochschulbildung und Kultur des Kantons Luzern, es sei festzustellen, dass die Liegenschaft ohne genügende gesetzliche Grundlage als erhaltenswertes Objekt im Bauinventar eingetragen worden sei. Die Liegenschaft sei aus dem Bauinventar zu entfernen. Die Dienststelle Hochschulbildung und Kultur trat am 21. August 2018 nicht auf das Gesuch ein. Zur Begründung führt sie aus, dem Beschwerdeführer fehle es an einem schutzwürdigen Interesse für einen Feststellungsentscheid. Gegen diesen Nichteintretensentscheid erhob A._ Beschwerde beim Bildungs- und Kulturdepartement des Kantons Luzern. Dieses wies die Beschwerde mit Entscheid vom 27. September 2019 ab, soweit es darauf eintrat. Dagegen erhob A._ Beschwerde an das Kantonsgericht Luzern, welches die Beschwerde am 28. April 2020 abwies.
B.
Mit Eingabe vom 8. Juni 2020 führt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Kantonsgerichts vom 28. April 2020 sei aufzuheben. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an das Kantonsgericht zurückzuweisen.
Das Bildungs- und Kulturdepartement verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das Kantonsgericht verzichtet ebenfalls auf eine Vernehmlassung und beantragt, die Beschwerde abzuweisen.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid des Kantonsgerichts steht grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen (Art. 82 lit. a, 86 Abs. 1 lit. d und 90 BGG). Der Beschwerdeführer, der am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen hat, macht geltend, die Vorinstanz habe den Nichteintretensentscheid der Dienststelle zu Unrecht geschützt, indem sie ihm ein aktuelles und schutzwürdiges Interesse an seinem Feststellungsbegehren bezüglich des Bauinventareintrags abgesprochen habe. Zu dieser Rüge ist er nach <ref-law> befugt, ungeachtet seiner Legitimation in der Sache (vgl. dazu hiernach E. 2 f.). Auf die Beschwerde ist daher einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht unter Einschluss des Bundesverfassungsrechts, von Völkerrecht und von kantonalen verfassungsmässigen Rechten sowie die offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts gerügt werden (Art. 95 lit. a-c und <ref-law>). Soweit die Vorinstanz kantonales Recht anzuwenden hatte, kann im Wesentlichen geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verstosse gegen Bundesrecht bzw. gegen die verfassungsmässigen Rechte und Grundsätze. Das Bundesgericht prüft kantonales Recht somit nur auf Bundesrechtsverletzung, namentlich Willkür, hin. Frei prüft es die Verletzung kantonaler verfassungsmässiger Rechte. Soweit es dabei allerdings um die Auslegung von kantonalem Gesetzes- und Verordnungsrecht geht, prüft dies das Bundesgericht wiederum ausschliesslich unter dem Gesichtswinkel der Willkür (<ref-ruling> E. 2 S. 149 f.).
2.
2.1. Nach § 44 Abs. 1 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Luzern vom 3. Juli 1972 (VRG/LU; SRL 40) hat die in der Sache zuständige Behörde auf Begehren einer Partei, die ein schutzwürdiges Interesse nachweist, den Bestand, Nichtbestand oder Inhalt von Rechten und Pflichten festzustellen.
Gemäss § 1c Abs. 2 des Gesetzes über den Schutz der Kulturdenkmäler des Kantons Luzern vom 8. März 1960 (DSchG/LU; SRL 595) können Eigentümer von im Bauinventar eingetragenen Objekten bei der zuständigen Dienststelle beantragen, dass ein Feststellungsentscheid über die Eintragung erlassen wird, sofern sie ein schutzwürdiges Interesse nachweisen. Der Feststellungsentscheid ist in der Regel innert 6 Monaten seit dem Antrag zu erlassen.
2.2. Das kantonale Recht sieht somit grundsätzlich ausdrücklich vor, dass ein Feststellungsentscheid über die Eintragung erwirkt werden kann, sofern ein schutzwürdiges Interesse nachgewiesen wird. Gemäss der vorinstanzlichen Auslegung seien dabei die Anforderungen an ein schutzwürdiges Interesse im Sinne von § 1c Abs. 2 DSchG/LU identisch mit denjenigen gemäss § 44 Abs. 1 VRG/LU. Das in § 44 Abs. 1 VRG/LU vorausgesetzte Feststellungsinteresse könne sowohl rechtlicher als auch tatsächlicher Natur sein. Es müsse aber aktuell sein, mithin müsse ein berechtigtes und aktuelles Bedürfnis an der sofortigen Klärung eines konkreten Rechtszustandes bestehen. Dabei bedeute aktuell, dass der Gesuchsteller bei Verweigerung Gefahr laufen würde, Massnahmen zu treffen oder zu unterlassen, mit der Folge, dass ihm daraus Nachteile erwachsen könnten. Das Feststellungsinteresse dürfe überdies nicht bloss abstrakte, theoretische Rechtsfragen zum Gegenstand haben, sondern müsse sich auf konkrete Rechte oder Pflichten beziehen. Im Vordergrund stehe das Interesse, dank der vorzeitigen Rechtsklärung das Risiko nachteiliger Dispositionen zu vermeiden.
Diese Ausführungen der Vorinstanz stellt der Beschwerdeführer grundsätzlich nicht in Frage, selbst wenn diese vorinstanzliche Auslegung des Denkmalschutzgesetzes seiner Ansicht nach "restriktiv bzw. prohibitiv" sei. Dass die Auslegung willkürlich wäre, macht er aber zu Recht nicht geltend. Dies ist auch nicht ersichtlich.
3.
Es bleibt zu prüfen, ob der Beschwerdeführer ein schutzwürdiges Interesse im Sinne von § 1c Abs. 2 DSchG/LU an einem Feststellungsentscheid bezüglich des Eintrags seiner Liegenschaft im Bauinventar hat.
3.1. Gemäss § 1a Abs. 1 DSchG/LU erfasst die zuständige Dienststelle die nach § 1 DSchG/LU erhaltenswerten unbeweglichen Werke für jede Gemeinde in einem Bauinventar. Die Eigentümer der betroffenen Werke sind in das Verfahren einzubeziehen.
Nach § 142 Abs. 2 des Planungs- und Baugesetzes des Kantons Luzern vom 7. März 1989 (PBG/LU; SRL 735) sind in historischen Ortskernen Neubauten und bauliche Veränderungen im Massstab, im Material und in der Farbgebung der bestehenden Bebauung anzupassen. Gebäude dürfen erst abgebrochen werden, wenn die Baubewilligung für den Neubau erteilt ist. Das Gleiche gilt für Gebäude, die sich in einer Zone zum Schutz des Ortsbildes befinden oder im Bauinventar eingetragen sind. Gemäss Abs. 3 dieser Bestimmung ist die für Denkmalpflege und Archäologie zuständige kantonale Dienststelle in das Verfahren einzubeziehen, wenn im Bauinventar als schützenswert eingetragene Objekte oder im archäologischen Fundstelleninventar eingetragene Fundstellen von Planungen oder Bewilligungen betroffen sind (vgl. § 1c Abs. 1 DSchG/LU). Eingriffe in eingetragene Fundstellen sind von der zuständigen Dienststelle zu bewilligen. Die Bewilligung ist gebührenfrei.
3.2. Gestützt auf diese kantonalen Bestimmungen und die Botschaft des Regierungsrates des Kantons Luzern an den Kantonsrat zum Entwurf von Änderungen des Gesetzes über den Schutz der Kulturdenkmäler sowie des Planungs- und Baugesetzes vom 4. Juli 2008 (B 68) erwog die Vorinstanz, das Bauinventar habe vor allem verwaltungsanweisende Wirkung und diene in der Regel als Grundlage für eine allfällige eigentümerverbindliche Umsetzung im Nutzungsplanverfahren. Gegenüber den Eigentümern eines in das Bauinventar aufgenommenen Objekts entfalte es bloss beschränkte Wirkung (Botschaft, B 68, S. 7, S. 11). Indessen sei nicht in Abrede zu stellen, dass der Eintrag in bestimmten Fällen aufgrund der Bestimmungen des DschG/LU und des PBG/LU direkt in die Rechtsstellung des Grundeigentümers einwirken könne. Dies gelte namentlich dort, wo die erhaltenswerte Baute abgebrochen und durch einen Neubau ersetzt werden solle bzw. aus einem anderen Grund ein Baubewilligungsverfahren durchzuführen sei. Denkbar sei auch, dass bei einem konkret in Aussicht genommenen Verkauf der erhaltenswerten Liegenschaft ein Einfluss auf den Kaufpreis verzeichnet werden müsse. Der Beschwerdeführer habe aber hierzu nichts Aktuelles und Konkretes vorgebracht, was für ein schutzwürdiges Interesse an der Überprüfung des Bauinventareintrags sprechen würde. Da für einen Feststellungsentscheid aber der Nachweis eines aktuellen Rechtsschutzinteresses (z.B. mittels eines konkreten Bauprojekts) vorausgesetzt werde, habe das Departement den Nichteintretensentscheid der Dienststelle zu Recht geschützt.
3.3. Diese Ausführungen der Vorinstanz sind grundsätzlich nicht zu beanstanden. Zwar trifft das Vorbringen des Beschwerdeführers zu, dass mit dem Eintrag in das Bauinventar erhöhte qualitative Anforderungen an den Erhalt und die Eingliederung gestellt werden und grundsätzlich bis zum Vorliegen einer Baubewilligung ein Abbruchverbot gilt (vgl. § 142 Abs. 2 PBG). Damit kann ein Eintrag in das Bauinventar zu Eigentumsbeschränkungen führen. Zudem kann die Aufnahme ins Bauinventar und die Veröffentlichung des Eintrags, wie vom Beschwerdeführer behauptet, "nach dem gewöhnlichen Lauf der Dinge und der allgemeinen Lebenserfahrung" allenfalls auch Auswirkungen auf den Wert der Liegeschaft haben bzw. in einem Wertverlust des Grundstücks resultieren. Entgegen seiner Behauptung hat dies die Vorinstanz indes nicht "negiert", sondern ebenfalls so festgehalten (vgl. E. 3.2 hiervor).
Gemäss der nicht zu beanstandenden Auffassung der Vorinstanz ist jedoch entscheidend, dass derzeit eine solche allfällige Wertminderung durch den Eintrag ins Bauinventar nicht aktuell und vom Beschwerdeführer auch nicht konkret dargetan ist. Daran ändert sein Einwand nichts, er habe sehr wohl "konkrete Bauabsichten" geäussert, indem er geltend gemacht habe, dass aufgrund seines Gesundheitszustandes bauliche Massnahmen ins Auge gefasst werden müssten (behindertengerechte Bauweise).
Wie die Vorinstanz aufgezeigt hat, ist bei der Beurteilung des aktuellen Interesses gemäss dem gesetzgeberischen, kantonalen Willen ausschlaggebend, ob ein konkretes Bauprojekt vorliegt, d.h. bauliche Massnahmen effektiv geplant sind bzw. bereits konkrete Bau- oder Verkaufspläne vorliegen (vgl. Botschaft, B 68, a.a.O., S. 7). Absichten, welche "ins Auge gefasst werden müssten", reichen somit zur Darlegung eines aktuellen Interesses ebenso wenig aus, wie die eigentumsbeschränkenden und allfällig den Verkehrswert beeinflussenden Wirkungen des Eintrags. Der Beschwerdeführer zeigt vorliegend weder auf, inwiefern seine Liegenschaft behindertengerecht umgebaut werden müsste noch inwiefern der Inventareintrag bei dem Bauvorhaben ein Hindernis darstellen würde. Insofern verfängt auch sein Einwand nicht, es könne von ihm im Rahmen der Überprüfung des Bauinventareintrags nicht verlangt werden, dass er bereits konkrete Plangrundlagen vorlege und Dispositionen tätigen müsse, welche sich im Nachhinein als unnütz erweisen könnten. Die Vorinstanz machte dem Beschwerdeführer nicht zum Vorwurf, er habe keine Plangrundlagen eingereicht. Stattdessen warf sie ihm vor, er habe überhaupt nichts "Aktuelles und Konkretes" vorgebracht, wodurch belegt würde, dass der Bauinventareintrag zum aktuellen Zeitpunkt einen unmittelbaren Einfluss auf die Liegenschaft habe. Solche Auswirkungen zu belegen, wäre ihm jedoch möglich gewesen, auch ohne allfällige nachteilige Dispositionen im Sinne von Planungskosten tätigen zu müssen. Denn vom Beschwerdeführer wäre einzig verlangt worden, seine Bauabsichten nicht nur zu behaupten, sondern konkret aufzuzeigen, welche Anpassungen in welchem Zeitraum vorgenommen werden müssten.
Unter diesen Umständen kann die Folgerung der Vorinstanz, ein rein virtuelles Interesse hinsichtlich einer unspezifischen, im Bereich des Möglichen liegenden Bautätigkeit vermöge jedenfalls kein aktuelles Rechtsschutzinteresse an einem Feststellungsbegehren zu begründen, weder als akten- und rechtswidrig noch als willkürlich bezeichnet werden.
An der überzeugenden vorinstanzlichen Beurteilung ändert sodann auch die Rüge des Beschwerdeführers nichts, wonach er aufgrund der weitgehenden Unbestimmtheit des Bauinventars dazu gezwungen sei, das inventarisierte Objekt wesentlich tiefer zu bewerten, als wenn es nicht inventarisiert wäre. Aus diesem Umstand, sofern er denn überhaupt zutrifft, lässt sich kein schutzwürdiges Interesse ableiten, welches den Beschwerdeführer dazu berechtigen würde, die Korrektheit des Inventareintrags jederzeit überprüfen zu lassen. Wie erwähnt, hat er nicht unabhängig von einem konkreten Bauvorhaben bzw. konkreten Plänen - einzig aufgrund des Umstands, dass der Eintrag im Bauinventar gestützt auf die kantonalen Bestimmungen gewisse einschränkende Wirkungen zeigt - ein schutzwürdiges, aktuelles Interesse an der Feststellung, ob der Eintrag ins Bauinventar rechtmässig erfolgt ist.
Schliesslich verfängt auch der Verweis des Beschwerdeführers auf das Urteil der Vorinstanz vom 5. September 2017 nicht (7H 17 26, insb. E. 3). Wie die Vorinstanz zu Recht festgehalten hat, sind die Umstände nicht vergleichbar. Im dortigen Fall stand die Zulässigkeit einer aktuellen Nutzung in Frage. Zudem wurde hinreichend konkretisiert, dass ein Ersatzneubau für ein zonenwidriges Wohnhaus erstellt werden sollte. Vorliegend hat der Eintrag in das Bauinventar weder einen Einfluss auf die aktuelle Nutzung, noch hat der Beschwerdeführer konkrete bauliche Massnahmen aufgezeigt, welche vom Eintrag betroffen sind.
3.4. Es ist daher weder rechtswidrig noch willkürlich, dass die Vorinstanz entschied, die Dienststelle bzw. das Departement habe die Beschwerdelegitimation des Beschwerdeführers zu Recht aufgrund der mangelnden Konkretheit und Aktualität des Interesses verneint. Dass die Vorinstanz die Überprüfung des Bauinventars bzw. der darin behaupteten Tatsachen zu Unrecht verhindert hätte, trifft nach dem Gesagten nicht zu.
4.
Demzufolge erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bildungs- und Kulturdepartement des Kantons Luzern und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Mai 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier