Erwägungen:
1.
Mit Entscheid vom 27. Januar 2016 eröffnete das Kreisgericht See-Gaster den Konkurs über den Beschwerdeführer, in dessen Konkursmasse sich unter anderem die selbstbewohnte 31⁄2-Zimmer-Maisonette-Wohnung Nr. xxx im Erd- und Obergeschoss an der B._strasse yyy in V._ (Grundstück zzz) befindet. Mit Verfügung vom 10. Oktober 2017 befahl das mit der Verwertung befasste Konkursamt U._ dem Beschwerdeführer die ordnungsgemässe Rückgabe der Wohnung. Die dagegen erhobenen Rechtsmittel blieben erfolglos (Urteile 5A_1035/2017 und 5A_1037/2017 vom 29. Dezember 2017).
Auf Antrag der Beschwerdegegnerin wies das Kreisgericht See-Gaster den Beschwerdeführer mit Entscheid vom 17. Januar 2018 zur unverzüglichen Räumung und Übergabe der Wohnung an die Beschwerdegegnerin an und ermächtigte die Politische Gemeinde U._ zur Vollstreckung auf erstes Ersuchen der Beschwerdegegnerin hin.
Mit Beschwerde vom 30. Januar 2018 wandte sich der Beschwerdeführer an das Kantonsgericht St. Gallen. Mit Entscheid vom 14. Februar 2018 wies das Kantonsgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
Gegen diesen Entscheid hat der Beschwerdeführer am 26. Februar 2018 Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Mit Verfügung vom 28. Februar 2018 hat das Bundesgericht das Gesuch um superprovisorische Anordnung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen. Am 19. März 2018 (Postaufgabe) hat der Beschwerdeführer - noch binnen der Beschwerdefrist - seine Beschwerde ergänzt.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Das Kantonsgericht hat den Streitwert der vorliegenden Angelegenheit mit Fr. 17'200.-- angegeben. Es hat auf den Nutzungswert der Wohnung abgestellt und diesen wie folgt ermittelt: Abzustellen sei auf die unbestrittenen Angaben des Beschwerdeführers, der von einem mittleren Verkehrswert von Fr. 955'000.-- ausgehe. Auf der Basis eines Zinssatzes von 5 % resultierten monatlich knapp Fr. 3'980.--. Ausgehend vom Zeitraum zwischen dem Vollstreckungsbegehren (22. Dezember 2017) und dem Zeitpunkt, bis zu welchem der Beschwerdeführer sich nunmehr noch gegen die Räumung wehre (30. April 2018), betrage der Streitwert gemäss <ref-law> Fr. 17'200.--.
Der Beschwerdeführer geht in seiner Beschwerde an das Bundesgericht demgegenüber von einem Streitwert von Fr. 350'000.-- aus. Dazu ist zunächst festzuhalten, dass das vorliegende Verfahren nicht dazu dient, irgendwelche Streitwerte rechtskräftig festzustellen. Der entsprechende (Feststellungs-) Antrag zielt am Verfahrensthema vorbei und ist im Übrigen neu und auch deshalb unzulässig (<ref-law>). Im Übrigen bezeichnet der Beschwerdeführer die Streitwertberechnung des Kantonsgerichts als fiktiv und nicht fundiert, ohne jedoch aufzuzeigen, inwiefern sie unzutreffend sein sollte. Soweit überhaupt nachvollziehbar, scheint er davon auszugehen, dass die Streitwertangabe Auswirkungen auf das zu erwartende Verwertungsergebnis haben könnte. Dies trifft jedoch nicht zu. Die Angabe des Streitwerts bezieht sich auf das konkret vorliegende Verfahren, in dem es nicht um die Verwertung geht, und dient einzig der Prüfung, ob die Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht zulässig ist oder nicht (<ref-law>).
Es ist demnach mit dem Kantonsgericht von einem Streitwert von unter Fr. 30'000.-- auszugehen. Da auch keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung vorliegt (<ref-law>), ist die Beschwerde in Zivilsachen unzulässig und die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln (<ref-law>). In einer Verfassungsbeschwerde kann nur die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorgebracht werden (<ref-law>). Die Qualifikation der Eingabe als Verfassungsbeschwerde bleibt insofern ohne Konsequenzen, als der Beschwerdeführer die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ohnehin als einzigen Beschwerdegrund bezeichnet.
Die Verfassungsbeschwerde ist zu begründen (Art. 117 i.V.m. <ref-law>), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids ist klar und detailliert darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399; <ref-ruling> E. 2.4 S. 368).
3.
Mit seiner zweiten Beschwerdeschrift macht der Beschwerdeführer geltend, Finanzierung und Schuldentilgung seien zustande gekommen und die Zahlung erfolgt. Er versucht dies mit Belegen vom 6. und 17. März 2018 nachzuweisen. Vor Bundesgericht dürfen neue Tatsachen und Beweismittel allerdings nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel sind damit in der Regel ausgeschlossen. Insbesondere können keine Tatsachen oder Beweismittel vorgebracht werden, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid verwirklicht haben (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123 mit Hinweis). Auf die angeblich erfolgte Tilgung ist demnach nicht einzugehen. Soweit der Beschwerdeführer (insbesondere in seiner ersten Beschwerdeschrift und wie vor Kantonsgericht) geltend macht, die Tilgung seiner Schulden sei möglich bzw. im Gange und die entsprechenden Mittel seien vorhanden, was nachgewiesen worden sei, handelt es sich um blosse appellatorische Behauptungen. Es fehlt jegliche Auseinandersetzung mit den entsprechenden kantonsgerichtlichen Erwägungen, wonach der Beschwerdeführer bloss die Tilgung mit Hilfe eines Darlehens der gemäss Handelsregistereintrag mehrheitlich von ihm beherrschten C._ GmbH bzw. mit bei einer gewissen Bank D._ zu seinen Gunsten deponierten Guthaben in Aussicht gestellt habe. Dies könne nicht genügen, da nach dem klaren Wortlaut von <ref-law> eine die Vollstreckung hindernde Tatsache im Zeitpunkt des Vollstreckungsentscheids bereits eingetreten und im Falle der Tilgung sogar mittels Urkunden bewiesen sein müsse.
Der Beschwerdeführer macht ausserdem geltend, er sei in einer Notlage, weil er weder eine Ersatzwohnung habe noch einen angemessenen Zeitraum für einen Abschluss (gemeint wohl: der Schuldentilgung) erhalten habe. Es liege auch kein konkreter Käufer und kein konkretes Kaufangebot vor. Er sei immer noch Eigentümer der Wohnung und wolle einen Beitrag zur allfälligen Veräusserung zum bestmöglichen Preis leisten. Die unverzügliche Vollstreckung sei Willkür. Bei alldem fehlt eine Auseinandersetzung mit den diesbezüglichen Erwägungen des Kantonsgerichts, wonach die Konkursverwaltung nach ihrem Ermessen entscheide, wie lange der Schuldner in einer zur Konkursmasse gehörenden Wohnung verbleiben dürfe und <ref-law> ihm kein Recht einräume, bis zur Verwertung in der Wohnung zu verbleiben. Dass der Zeitpunkt der Grundstücksverwertung noch nicht bestimmt sei, stehe einer Ausweisungsverfügung nicht entgegen. Inwiefern das Fehlen eines konkreten Kaufangebots aus verfassungsrechtlichen Gründen einer Ausweisung entgegen stehen sollte, erläutert der Beschwerdeführer nicht. Die Ausweisung hindert ihn sodann nicht, sich weiterhin um eine bestmögliche Verwertung zu bemühen. Was schliesslich seine angebliche Notlage angeht, so setzt er sich nicht mit der kantonsgerichtlichen Erwägung auseinander, dass er bereits seit der Eröffnung des Konkurses vor zwei Jahren mit der Zwangsverwertung seiner Wohnung habe rechnen müssen und seine Behauptung verspätet sei, noch keinen Wohnersatz zu haben. Jedenfalls bietet auch der von ihm nunmehr angerufene <ref-law> keine Grundlage, sein renitentes Verhalten mit einem weiteren Verbleib in seiner Wohnung zu belohnen.
Der Beschwerdeführer verlangt schliesslich die Aufhebung der Rechtskraft der Entscheide 5A_1035/2017 und 5A_1037/2017 vom 29. Dezember 2017. Wie dem Beschwerdeführer bereits mit Schreiben vom 8. Januar 2018 mitgeteilt wurde, sind diese Entscheide rechtskräftig (<ref-law>) und kann das Bundesgericht auf sie nicht zurückkommen. Es kann auch nicht nachträglich ihre Rechtskraft aufheben.
Die Beschwerde ist folglich abzuweisen, soweit auf sie überhaupt eingetreten werden kann. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Eingabe wird als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen.
2.
Die Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
3.
Das Gesuch um aufschiebende Wirkung wird als gegenstandslos abgeschrieben.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. April 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg