Sachverhalt:
A.
Der 1959 geborene A._ war bis 30. November 2017 als Merchandiser bei der B._ GmbH tätig gewesen. Vom 1. Dezember 2017 bis 30. Mai 2018 absolvierte er ein von der Invalidenversicherung unterstütztes Arbeitstraining im Spital C._ (vgl. Zielvereinbarung für Arbeitstraining vom 28. November 2017). Am 31. Mai 2018 meldete sich A._ beim Regionalen Arbeitsvermittlungszentrum (RAV) zur Arbeitsvermittlung an und am 19. Juni 2018 beantragte er Arbeitslosenentschädigung ab 31. Mai 2018. Mit Arbeitsvertrag vom 15. Juli 2018 konnte mit dem Spital ein weiterer, vom 1. September 2018 bis 31. August 2019 dauernder Einsatz als Reinigungsmitarbeiter mit einem Arbeitspensum von 70 % vereinbart werden. Am 30. Juli 2018 stellte das Amt für Wirtschaft und Arbeit (AWA) des Kantons Zürich (nachfolgend: AWA) A._ verfügungsweise wegen fehlender persönlicher Arbeitsbemühungen vor Beginn der kontrollierten Arbeitslosigkeit ab 1. Juni 2018 für die Dauer von dreizehn Tagen in der Anspruchsberechtigung ein. Auf Einsprache hin hielt das AWA an der Verfügung vom 30. Juli 2018 fest (Einspracheentscheid vom 19. November 2018).
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 2. März 2020 ab.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und sinngemäss beantragen, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids und des Einspracheentscheids sei auf eine Einstellung in der Anspruchsberechtigung zu verzichten und ihm die dreizehn Arbeitslosentaggelder auszurichten. Weiter ersucht A._ um unentgeltliche Rechtspflege.
Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG). Als Rechtsfrage gilt, ob die rechtserheblichen Tatsachen vollständig festgestellt und ob der Untersuchungsgrundsatz bzw. die Beweiswürdigungsregeln nach <ref-law> beachtet wurden (nicht publ. E. 1 des Urteils <ref-ruling>).
2.
2.1. Streitig ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie die mit Einspracheentscheid vom 19. November 2018 bestätigte Verfügung des AWA vom 30. Juli 2018 schützte.
2.2. Die für die Beurteilung der erhobenen Beschwerde massgebenden gesetzlichen Bestimmungen und die von der Rechtsprechung hierzu konkretisierten Grundsätze hat das kantonale Gericht zutreffend dargelegt (vgl. Art. 17 Abs. 1 und Art. 30 Abs. 1 lit. c und Abs. 3 AVIG sowie <ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 S. 530 f.; ARV 2005 Nr. 4 S. 56 E. 3.1, C 208/03; Urteil 8C_21/2015 vom 3. März 2015 E. 3.5 mit weiteren Hinweisen). Darauf wird verwiesen.
3.
3.1. Die Vorinstanz hat (verbindlich) festgestellt, dem Versicherten sei anlässlich eines im Rahmen des Arbeitstrainings geführten Standortgesprächs vom 18. März 2018 mitgeteilt worden, dass im Spital C._ zum damaligen Zeitpunkt ein Anstellungsverbot geherrscht habe. Eine verbindliche Zusage einer Festanstellung sei auch nicht in der Aussage der zuständigen Vertreterin des Spitals vom 18. März 2018 zu sehen, wonach eine 20%-ige Anstellung "durchaus denkbar" sei. Gleiches gelte für die von D._ (Firma F._, zuständige Durchführungsstelle) in der E-Mail vom 29. Mai 2018 festgehaltenen Option einer 40 %-Stelle ab Juni/Juli 2018 mit einer "noch nicht offiziellen" Möglichkeit einer Pensumssteigerung um weitere 20 % ab Ende August 2018. Damit habe er, so die Vorinstanz weiter, ab diesem Zeitpunkt Kenntnis einer drohenden Arbeitslosigkeit nach Abschluss des bis 30. Mai 2018 befristeten Arbeitstrainings gehabt. Überdies sei der Versicherte aus medizinischer Sicht in einer leidensadaptierten Tätigkeit zu 80 % arbeitsfähig gewesen. Gesucht habe er jedoch eine Teilzeitstelle im Umfang von 60 %, sodass die bloss vage in Aussicht gestellte Tätigkeit die Arbeitslosigkeit nicht vollständig beendet hätte.
3.2. Das kantonale Gericht hat einlässlich begründet, weshalb es die gestützt auf <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> vom AWA vorgenommene Einstellung in der Anspruchsberechtigung schützte. Inwiefern die obigen Feststellungen tatsächlicher Natur offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich sein sollen, vermag der Beschwerdeführer nicht zu begründen. Insbesondere kann dem kantonalen Gericht keine unvollständige oder willkürliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts vorgeworfen werden, wenn es den Umstand, dass D._ am 29. Mai 2018 die zuständige Eingliederungsfachperson der Sozialversicherungsanstalt des Kantons Zürich (SVA; E._) um die Möglichkeit einer ein- oder zweimonatigen Verlängerung des Arbeitstrainings anfragte, nicht in ihre Erwägungen miteinbezogen hat. Dass es bei der vorliegenden Problematik nebst dem Finden einer Anschlussstelle auch um eine mögliche Verlängerung der Eingliederungsmassnahme ging, wie der Beschwerdeführer einwendet, spielt bei der Beurteilung der Frage, ob er sich vor der Arbeitslosigkeit genügend um zumutbare Arbeit bemüht hat, keine Rolle. Entgegen der entsprechenden Kritik hat die Vorinstanz ebenso wenig erhebliche Beweise ausser Acht gelassen, indem sie nicht gewürdigt hat, dass E._ am Standortgespräch vom 18. März 2018 fehlte. Richtig ist zwar, dass die Begleitung des Standortgesprächs im März 2018 eine der Aufgaben von E._ gewesen war (Zielvereinbarung für Arbeitstraining vom 28. November 2017 S. 2). Für die Erfüllung des Einstellungstatbestands der fehlenden Arbeitsbemühungen vor Arbeitslosigkeit ist indessen nicht entscheidrelevant, dass sie an dem zwischen dem Versicherten, D._ und dem Spital geführten Gespräch, offenbar unfallbedingt, nicht teilnehmen konnte und auch keine Stellvertretung bestimmt wurde. Die Feststellung der Vorinstanz, dass anlässlich dieses Gesprächs nur vage mündliche, unverbindliche Zusicherungen zur Weiterbeschäftigung abgegeben worden seien, ist bundesrechtskonform. Gleiches gilt für den daraus gezogenen Schluss, dass es dem Beschwerdeführer seit diesem Standortgespräch am 18. März 2018 somit hätte bewusst sein müssen, dass er aufgrund der fehlenden verbindlichen Zusage einer Weiterbeschäftigung von Arbeitslosigkeit bedroht und damit zur Stellensuche verpflichtet gewesen sei, was keiner besonderen Aufforderung mehr bedurft habe. Diese unverbindlichen Äusserungen zu einer möglichen Weiterbeschäftigung am Spital können den Beschwerdeführer nicht davon entbinden, die erforderlichen Arbeitsbemühungen zu tätigen. Aus der Zielvereinbarung vom 28. November 2017 geht unmissverständlich hervor, dass es in seiner Verantwortlichkeit lag, aktiv bei der Stellensuche mitzuarbeiten, sollte sich im Standortgespräch im März 2018 kein Anschlussvertrag ergeben, was in der Folge eintrat. Die dem Versicherten obliegende Schadenminderungspflicht gilt auf dem gesamten Gebiet der Sozialversicherung (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 461). Der Einwand in der Beschwerde, für ihn seien die IV-Eingliederungsmassnahmen im Vordergrund gestanden, weshalb er die Regeln der Arbeitslosenversicherung als Rechtsunkundiger nicht habe wissen müssen, geht daher ebenfalls fehl. Wie in den übrigen Zweigen der Sozialversicherung hat die versicherte Person auch bei der Arbeitslosenversicherung ihr Möglichstes zur Schadenminderung von sich aus, d.h. ohne besondere Aufforderung durch eine Amtsstelle oder Abgabe eines Merkblattes, vorzukehren (ARV 1980 Nr. 44 S. 109, C 199/79; Urteil C 199/05 vom 29. September 2005 E. 2.2). Sie hat sich bereits während der Kündigungsfrist oder - wie hier - vor Ablauf eines befristeten Einsatzes und somit vor ihrer Anmeldung bei der Arbeitslosenversicherung unaufgefordert um Stellen zu bemühen (vgl. E. 2.2. oben). Einer expliziten Aufforderung durch D._ oder E._ hierzu bedurfte es daher nicht, wie das kantonale Gericht zutreffend festhielt. Der Beschwerdeführer legt jedenfalls nicht dar, dass er seitens der Durchführungsstelle oder der SVA im Sinne einer Befreiung von der Pflicht zur Stellensuche falsch informiert worden wäre, weshalb die diesbezügliche Berufung auf den Grundsatz von Treu und Glauben nicht greift. Soweit der Beschwerdeführer vorbringt, er hätte in guten Treuen von einer Verlängerung des Arbeitstrainings ausgehen dürfen, was auch D._ und E._ getan hätten, ist dies aufgrund der geschilderten Aktenlage nicht stichhaltig, zumal D._ erst am 29. Mai 2018 E._ bezüglich einer möglichen Verlängerung des Einsatzes wegen Krankheit des Versicherten anfragte und festhielt, es sei sein dringendes Anliegen, die Angelegenheit schnellstmöglich zu klären, da das Arbeitstraining Ende Mai 2018 ausliefe. Die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen bleiben daher insgesamt verbindlich, womit die bestätigte Sanktion wegen fehlender Arbeitsbemühungen vor Bundesrecht standhält. Gegen die Dauer der Einstellung wendet sich der Beschwerdeführer nicht, sodass sich Weiterungen hierzu erübrigen.
4.
4.1. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).
4.2. Nach <ref-law> wird einer Partei die unentgeltliche Rechtspflege nur gewährt, wenn sie bedürftig ist und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint.
4.3. Gemäss eigenen Angaben in der Beschwerde ergibt die Gegenüberstellung der genannten (nicht näher geprüften) Ausgaben mit den Einnahmen einen monatlichen Überschuss von Fr. 1167.-. Dieser Einnahmenüberschuss erlaubt es dem Beschwerdeführer, die Verfahrenskosten innert absehbarer Zeit zu begleichen (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 223 f.; Urteil 8C_909/2014 vom 6. Mai 2015 E. 3.3). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) ist mangels ausgewiesener Bedürftigkeit abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, IV. Kammer, und dem Staatssekretariat für Wirtschaft (SECO) schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. Juni 2020
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Heine
Die Gerichtsschreiberin: Polla