Faits :
A.
Par ordonnance du 2 avril 2019, le Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant du canton de Genève (ci-après: le Tribunal de protection) a notamment accordé à A._ et B._ l'autorité parentale conjointe sur leur fils C._ (2012), attribué la garde de l'enfant au père, réservé à la mère un droit de visite et fixé les modalités de celui-ci, donné instruction à la mère de s'abstenir de toute consommation d'alcool avant et pendant chaque visite, respectivement de renoncer à une visite ou l'écourter si elle ne se sentait pas en état de s'occuper adéquatement de l'enfant, exhorté la mère à mettre en place les suivis requis sur le plan médical et thérapeutique auprès d'un lieu de consultation spécialisé, donné instruction à la mère d'organiser avec ses médecins la réalisation de tests toxicologiques inopinés et, cela fait, de prier ceux-ci d'en adresser aux curateurs les résultats, accompagnés de tous commentaires médicaux utiles, invité la mère à délier ces praticiens de leur secret médical, afin de les autoriser à collaborer dans la mesure utile avec le Service de protection des mineurs et notamment, à informer sans délai celui-ci en cas de péjoration de l'état de leur patiente ou d'interruption de sa prise en charge et instauré une curatelle d'organisation et de surveillance du droit de visite. Il a déclaré son ordonnance immédiatement exécutoire.
Par acte du 3 juin 2019, la mère a interjeté recours, concluant à l'annulation de l'ordonnance précitée et, préalablement, à la restitution de l'effet suspensif.
Par décision du 14 juin 2019, le Président de la Chambre de surveillance de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Chambre de surveillance) a restitué l'effet suspensif au recours.
B.
Par acte du 27 juin 2019, le père exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut principalement à l'annulation de la décision querellée et à ce qu'il soit dit que l'effet suspensif n'est pas restitué, respectivement à ce que la demande d'effet suspensif soit rejetée. Subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. Il demande également que les frais et dépens des procédures cantonale et fédérale soient mis à la charge de l'intimée, subsidiairement à ce que la cause soit renvoyée à la Chambre de surveillance pour qu'elle statue à nouveau sur les frais et dépens de la procédure cantonale.
Invitée à se déterminer, l'intimée a conclu à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement au rejet de celui-ci dans la mesure de sa recevabilité. La cour cantonale s'en est quant à elle " rapport[ée] quant à l'octroi de l'effet suspensif et [s'est] référ[ée] aux considérants de son arrêt quant au fond ".

Considérant en droit :
1.
1.1. Interjeté en temps utile (<ref-law>) et dans la forme légale (<ref-law>) par une partie qui a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (<ref-law>), le recours est dirigé contre une décision qui suspend l'exécution d'une ordonnance portant notamment sur l'autorité parentale, la garde et l'institution d'une curatelle d'organisation et de surveillance du droit de visite, à savoir une décision incidente rendue dans une cause de nature non pécuniaire (arrêt 5A_331/2015 du 20 janvier 2016 consid. 1 non publié in <ref-ruling>), sujette au recours en matière civile (<ref-law>).
1.2. Hormis les décisions mentionnées à l'<ref-law>, une décision préjudicielle ou incidente ne peut être entreprise immédiatement que si elle peut causer un préjudice irréparable (<ref-law>) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (<ref-law>).
En l'occurrence, seule l'hypothèse de l'<ref-law> entre en considération. Le " préjudice irréparable " au sens de cette disposition doit être de nature juridique et ne pas pouvoir être réparé ultérieurement par une décision finale favorable au recourant (<ref-ruling> consid. 1.3 et les références). Il appartient au recourant d'alléguer et d'établir la possibilité que la décision préjudicielle ou incidente lui cause un tel dommage, à moins que celui-ci ne fasse d'emblée aucun doute (<ref-ruling> consid. 2.2 et les références).
En l'espèce, contrairement à ce que soutient la mère, le recourant fait valoir à juste titre que la décision attaquée, qui le prive notamment de l'autorité parentale et de la garde pendant la durée de la procédure de deuxième instance, est susceptible d'entraîner un préjudice irréparable. En effet, selon la jurisprudence, lorsque les mesures provisionnelles litigieuses concernent le sort des enfants, la décision qui les ordonne peut entraîner un tel préjudice à la partie recourante, car même le succès du recours au fond ne pourrait pas compenser rétroactivement l'exercice des prérogatives parentales dont l'intéressé a été frustré pendant la période écoulée (<ref-ruling> consid. 1 et les références; arrêt 5A_663/2018 du 12 septembre 2018 consid. 3). La pièce produite par l'intimée, à savoir une ordonnance de mesures superprovisionnelles rendue le 8 juillet 2019 par le Tribunal de protection, n'est - indépendamment de la question de savoir si ledit tribunal était compétent pour rendre une telle ordonnance - pas propre à modifier cette conclusion. Il s'agit en effet d'une décision postérieure à la décision querellée (cf. infra consid. 2.3), qui n'instaure qu'un droit de visite en faveur du père mais ne traite ni de l'autorité parentale ni de la garde, objets de la présente procédure.
2.
2.1. Lorsque, comme en l'espèce, la décision attaquée porte sur des mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2), seule la violation de droits constitutionnels peut être invoquée. Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés (" principe d'allégation ", <ref-law>), c'est-à-dire expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.4). Le recourant doit ainsi indiquer quelle disposition constitutionnelle aurait été violée et préciser en quoi consiste la violation (<ref-ruling> consid. 3 et les références).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que s'il démontre la violation de droits constitutionnels, conformément au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1).
2.3. En vertu de l'<ref-law>, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente. Cette exception, dont il appartient au recourant de démontrer que les conditions sont remplies (<ref-ruling> consid. 1.2 et la référence; arrêt 5A_904/2015 du 29 septembre 2016 consid. 2.3 non publié in <ref-ruling>), vise les faits qui sont rendus pertinents pour la première fois par la décision attaquée. Il peut s'agir de faits et moyens de preuve qui se rapportent à la régularité de la procédure devant la juridiction précédente ou qui sont déterminants pour la recevabilité du recours au Tribunal fédéral ou encore qui sont propres à contrer une argumentation de l'autorité précédente objectivement imprévisible pour les parties avant la réception de la décision (arrêts 5A_243/2019 du 17 mai 2019 consid. 2.3; 5A_904/2015 précité consid. 2.3). En dehors de ces cas, les nova ne sont pas admissibles, qu'il s'agisse de faits ou moyens de preuve survenus postérieurement à la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 5.2.4; <ref-ruling> consid. 1.2 et les références) ou d'éléments que les parties ont négligé de présenter aux autorités cantonales (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 4.4.3).
En l'espèce, la pièce nouvelle produite par le père à l'appui de son recours, à savoir un contrat de bail du 11 juin 2019, est antérieure à la décision querellée sans que le recourant explique en quoi l'une des exceptions de l'<ref-law> serait remplie. Partant, elle est d'emblée irrecevable. Les autres documents que le recourant a joints à son écriture sont en revanche recevables en tant qu'il s'agit de copies de pièces figurant déjà au dossier cantonal ou d'actes procéduraux.
3.
3.1. Considérant que la levée de l'effet suspensif prévue par l'<ref-law> devait être appréciée de cas en cas et ne devait pas être prononcée de manière trop large, que la nécessité de la mise en oeuvre immédiate de la décision devait correspondre à l'intérêt du mineur et que, de manière générale en matière de garde, la situation prévalant au moment de la décision devait être maintenue, l'autorité cantonale a jugé qu'en l'espèce, le dossier ne laissait pas apparaître d'urgence particulière à ce que la mesure ordonnée soit exécutée immédiatement, dès lors que le mineur habitait avec ses deux parents, et qu'il convenait par conséquent d'octroyer l'effet suspensif au recours.
3.2. Le recourant reproche à l'autorité cantonale d'avoir arbitrairement établi les faits, apprécié les preuves de manière insoutenable, violé son droit d'être entendu, commis un déni de justice formel et appliqué arbitrairement les art. 446 al. 1 et 450c CC en accordant l'effet suspensif au recours de la mère.
En substance, il soutient qu'elle aurait omis de traiter, respectivement aurait arbitrairement écarté, son allégué selon lequel il allait déménager le 15 juin 2019 au plus tard, alors qu'il l'avait fait valoir dans sa réponse sur l'effet suspensif du 11 juin 2019 et avait produit l'e-mail de la régie confirmant l'attribution d'un appartement de 2.5 pièces. Il soutient que cet élément serait décisif pour l'issue du litige, dès lors que la juridiction précédente s'est uniquement fondée sur la vie commune des parties pour nier le caractère urgent des mesures prononcées.
L'autorité cantonale aurait par ailleurs arbitrairement omis de constater d'autres faits pertinents, en particulier les problèmes d'alcool de la mère et le comportement inadéquat de celle-ci envers l'enfant.
3.3.
3.3.1. Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. implique, en particulier, le devoir pour l'autorité de motiver sa décision, afin que le destinataire puisse la comprendre, la contester utilement s'il y a lieu et exercer son droit de recours à bon escient. Pour répondre à ces exigences, le juge doit mentionner, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause. Il n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à l'examen des questions décisives pour l'issue du litige (<ref-ruling> consid. 5.2 et les références). Dès lors que l'on peut discerner les motifs qui ont guidé la décision de l'autorité, le droit à une décision motivée est respecté même si la motivation présentée est erronée. La motivation peut d'ailleurs être implicite et résulter des différents considérants de la décision. En revanche, une autorité viole l'art. 29 al. 2 Cst. si elle omet de se prononcer sur des griefs qui présentent une certaine pertinence ou de prendre en considération des allégués et arguments importants pour la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 3.2.1 et les références).
3.3.2. En l'espèce, après avoir constaté que, selon la mère, la vie commune des parties rendait " totalement absurde " l'application immédiate de l'ordonnance du premier juge, l'autorité cantonale s'est contentée de retenir qu'il n'y avait pas d'urgence particulière au dossier, le mineur habitant actuellement avec ses deux parents. Ce faisant, elle a complètement passé sous silence l'argument du père - pourtant documenté et pertinent pour l'issue du litige - relatif à la prise d'un domicile séparé prévue pour le 15 juin 2019, violant ainsi l'art. 29 al. 2 Cst. Le grief du recourant doit par conséquent être admis et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour qu'elle examine cet élément et, si besoin est, procède à une nouvelle pesée des intérêts.
4.
En définitive, le recours est admis dans la mesure de sa recevabilité et l'affaire est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. Les frais judiciaires sont mis à la charge de l'intimée, qui succombe (<ref-law>) et qui versera en outre une indemnité de dépens au recourant (art. 68 al. 1 et 2 LTF). S'agissant des frais de la procédure cantonale, la juridiction précédente a indiqué qu'il serait statué à leur sujet dans la procédure au fond, de sorte qu'il n'y a pas lieu à ce stade de se prononcer sur ce point.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis dans la mesure où il est recevable, l'arrêt entrepris annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3.
Une indemnité de 2'000 fr., à verser au recourant à titre de dépens, est mise à la charge de l'intimée.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Président de la Chambre de surveillance de la Cour de justice du canton de Genève et au Service de protection des mineurs.
Lausanne, le 25 juillet 2019
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Feinberg