Sachverhalt:
A.
Am 31. Oktober 2017 verurteilte das Bezirksgericht Pfäffikon A._ wegen fahrlässiger schwerer Körperverletzung, mehrfachen Fahrens in fahrunfähigem Zustand, versuchter Vereitelung von Massnahmen zur Feststellung der Fahrunfähigkeit, pflichtwidrigen Verhaltens bei Unfall, Entwendung eines Motorfahrzeugs zum Gebrauch und mehrfachen Fahrens ohne Berechtigung zu 30 Monaten Freiheitsstrafe (unbedingt), unter Anrechnung der Haft von einem Tag. Es ordnete die ambulante Behandlung des alkoholabhängigen A._ an und schob zu deren Gunsten den Vollzug der Freiheitsstrafe auf. Überdies widerrief es den bedingten Vollzug für eine im Jahr 2012 mit Strafbefehl ausgesprochene Geldstrafe von 10 Tagessätzen zu je Fr. 30.--. Das Urteil erwuchs in Rechtskraft.
B.
Am 29. Januar 2020 erkannte der a.o. Amtsgerichtsstatthalter von Solothurn-Lebern (im Folgenden: Einzelrichter) A._ schuldig des mehrfachen Führens eines Motorfahrzeugs in qualifiziert fahrunfähigem Zustand, der versuchten Vereitelung von Massnahmen zur Feststellung der Fahrunfähigkeit, des mehrfachen Führens eines Motorfahrzeugs ohne Führerausweis, des Führens eines Motorfahrzeugs ohne Haftpflichtversicherung, der mehrfachen Entwendung eines Motorfahrzeugs zum Gebrauch und des Nichtmitführens des Fahrzeugausweises. Er verurteilte A._ zu 16 Monaten Freiheitsstrafe (unbedingt), unter Anrechnung von 67 Tagen Untersuchungshaft; dies als teilweise Zusatzstrafe zum Urteil des Bezirksgerichts Pfäffikon. Im Weiteren auferlegte er A._ eine Geldstrafe von 20 Tagessätzen zu je Fr. 10.-- und eine Busse von Fr. 100.--. Die vom Bezirksgericht Pfäffikon angeordnete ambulante Behandlung hob er auf.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn (im Folgenden: Staatsanwaltschaft) und A._ meldeten Berufung an.
Die Staatsanwaltschaft ersuchte in ihrer Berufungserklärung das Obergericht des Kantons Solothurn darum, von Amtes wegen zu prüfen, ob die Beurteilung der vorliegenden Strafsache in die Kompetenz des Einzelrichters oder des Amtsgerichts (als Dreiergericht) falle.
A._ brachte in seiner Berufungserklärung vor, der Einzelrichter habe seine Urteilskompetenz überschritten. Dessen Entscheid sei aufzuheben und die Sache zum neuen erstinstanzlichen Entscheid an das Amtsgericht zurückzuweisen.
C.
Mit Zwischenentscheid vom 10. Juni 2020 wies das Obergericht des Kantons Solothurn (Strafkammer) den Antrag auf Rückweisung der Sache zur erstinstanzlichen Beurteilung durch das Amtsgericht ab. Das Obergericht befand, der Einzelrichter habe seine Urteilskompetenz nicht überschritten.
D.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, den Zwischenentscheid des Obergerichts aufzuheben. Es sei die Nichtigkeit des Urteils des Einzelrichters sowie die Unverwertbarkeit der von diesem abgenommenen Beweise festzustellen und die Sache zur Durchführung einer erstinstanzlichen Hauptverhandlung an das dafür zuständige Amtsgericht zurückzuweisen.
E.
Die Staatsanwaltschaft hat auf Vernehmlassung verzichtet. Das Obergericht hat Gegenbemerkungen eingereicht mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. A._ hat dazu Stellung genommen.

Erwägungen:
1.
Gegen den angefochtenen Entscheid ist gemäss <ref-law> die Beschwerde in Strafsachen gegeben. Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist somit nach <ref-law> zulässig. Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt. Der angefochtene Entscheid stellt einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid über die sachliche Zuständigkeit des Einzelrichters dar (vgl. <ref-law>) und ist damit nach <ref-law> anfechtbar. Auf die Beschwerde ist - unter Vorbehalt der folgenden Erwägungen - einzutreten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Bejahung der sachlichen Zuständigkeit des Einzelrichters verletze Art. 19 Abs. 2 und <ref-law> sowie § 12 Abs. 1 lit. c und § 15 Abs. 1 des Gesetzes vom 13. März 1977 des Kantons Solothurn über die Gerichtsorganisation (GO/SO; BGS 125.12).
2.2. Gemäss <ref-law> können Bund und Kantone als erstinstanzliches Gericht ein Einzelgericht vorsehen für die Beurteilung von (a) Übertretungen; (b) Verbrechen und Vergehen, mit Ausnahme derer, für welche die Staatsanwaltschaft eine Freiheitsstrafe von mehr als zwei Jahren, eine Verwahrung nach Artikel 64 StGB, eine Behandlung nach Artikel 59 Absatz 3 StGB oder, bei gleichzeitig zu widerrufenden bedingten Sanktionen, einen Freiheitsentzug von mehr als zwei Jahren beantragt.
Gelangt das Gericht zum Schluss, in einem bei ihm hängigen Verfahren komme eine Strafe oder Massnahme in Frage, die seine Urteilskompetenz überschreitet, so überweist es nach <ref-law> den Fall spätestens nach Abschluss der Parteivorträge dem zuständigen Gericht. Dieses führt ein eigenes Beweisverfahren durch.
Gemäss § 12 Abs. 1 lit. c GO/SO beurteilt der Amtsgerichtspräsident als Strafrichter alle Verbrechen und Vergehen sowie die damit zusammenhängenden Übertretungen, soweit der Staatsanwalt in der Anklage eine Geldstrafe oder eine Freiheitsstrafe von nicht mehr als 18 Monaten sowie eine Massnahme mit Ausnahme jener nach Artikel 59, 60, 61, 64 und 65 StGB beantragt. Nach § 15 Abs. 1 GO/SO beurteilt das Amtsgericht als Strafgericht in Dreierbesetzung alle Verbrechen und Vergehen, für die keine andere Gerichtsbehörde zuständig ist.
2.3. Soweit der Beschwerdeführer die Verletzung von § 12 Abs. 1 lit. c und § 15 Abs. 1 GO/SO rügt, kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. Die Verletzung einfachen kantonalen Gesetzesrechts kann er hier nicht geltend machen (vgl. Art. 95 lit. c und d BGG). Dass die Vorinstanz § 12 Abs. 1 lit. c und § 15 Abs. 1 GO/SO willkürlich angewandt und damit <ref-law> verletzt habe, bringt er nicht vor. Das Bundesgericht hat sich deshalb dazu nicht zu äussern (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3).
2.4. Der Vorentwurf zur Schweizerischen Strafprozessordnung vom Juni 2001 sah die Urteilskompetenz des Einzelgerichts bei Freiheitsstrafen bis zu 3 Jahren vor (Art. 24 Abs. 1 lit. b). Dies wurde im Vernehmlassungsverfahren als zu weit kritisiert. Dem trug der Bundesrat Rechnung. Er schlug vor, die Grenze bei 2 Jahren festzusetzen; dies in Anlehnung an <ref-law>, wonach die Möglichkeit des bedingten Vollzugs bei Freiheitsstrafen ebenfalls bis zu 2 Jahren besteht (Botschaft vom 21. Dezember 2005 zur Vereinheitlichung des Strafprozessrechts, BBl 2006 1139).
In der parlamentarischen Beratung wurde der Vorschlag des Bundesrates teilweise immer noch als zu weit angesehen. Im Ständerat beantragte die Minderheit, die Urteilskompetenz des Einzelgerichts auf ein Jahr zu begrenzen (AB 2006 S 995 f.); im Nationalrat auf 6 Monate (AB 2007 N 947 f.). Beides lehnten die Räte ab und stimmten dem Entwurf des Bundesrates zu.
2.5. Von der ihnen nach <ref-law> eingeräumten Befugnis machen der Bund und die Kantone unterschiedlich Gebrauch.
Nur die Kantone Bern (Art. 55 Abs. 2 sowie Art. 56 Abs. 1 und 2 lit. a EG ZSJ; BSG 271.1), Genf (Art. 95 f. LOJ; rsGE E 2 05), Jura (Art. 20 LiCPP; RSJU 321.1), Neuenburg (Art. 25 f. OJN; RSN 161.1), Tessin (Art. 50 Abs. 4 LOG; RL 177.100), Wallis (Art. 12 Abs. 1 lit. a EGStPO; SGS-VS 312.0) und Zug (§ 32 Abs. 3 GOG; BGS 161.1) räumen dem Einzelgericht eine Urteilskompetenz bis zu zwei Jahren Freiheitsstrafe ein; ebenso der Bund (<ref-law>; SR 173.71).
Nebst dem Kanton Solothurn beschränkt der Kanton Freiburg (Art. 75 JG; SGF 130.1) die Urteilskompetenz des Einzelgerichts auf 18 Monate.
Aargau (§ 11 EG StPO; SAR 251.200), Appenzell Ausserrhoden (Art. 17 Abs. 1 lit. b JG; bGS 145.31), Basel-Landschaft (§ 14 Abs. 1 lit. a EG StPO; SGS 250), Basel-Stadt (§ 79 Abs. 3 Ziff. 3 GOG; SG BS 154.100), Luzern (§ 35 Abs. 2 lit. b JusG; SRL Nr. 260), Nidwalden (Art. 15 GerG; NG 261.1), Obwalden (Art. 49 f. GOG; GDB 134.1), St. Gallen (Art. 16 EGzStPO; sGS 962.1), Schaffhausen (Art. 33 JG; SHR 173.200), Uri (Art. 19d GOG; RB 2.3221), Waadt (Art. 7 f. LVCPP; RSV 312.01) und Zürich (§ 27 GOG; LS 211.1) legen die Grenze bei 12 Monaten fest.
Der Kanton Schwyz sieht die Zuständigkeit des Einzelgerichts nur bei Übertretungen und Einsprachen gegen Strafbefehle vor (§ 21 und § 32 Abs. 3 JG; SRSZ 231.110), der Kanton Glarus lediglich bei Übertretungen (Art. 14 Abs. 2 GOG; GS III A/2).
Kein Einzelgericht kennen Appenzell Innerrhoden (Art. 9 EG StPO; GS 312.000), Graubünden (Art. 19 EGzSTPO; BR 350.100) und Thurgau (§ 21 ZSRG; RB TG 271.1).
2.6. Die deutliche Mehrheit der Kantone schöpft die ihnen von <ref-law> gewährte Befugnis demnach nicht aus. Dies zeigt, dass die im Gesetzgebungsverfahren bereits auf 2 Jahre herabgesetzte Urteilskompetenz des Einzelgerichts überwiegend immer noch als zu weit angesehen wird.
Auch im Schrifttum wird der von <ref-law> vorgesehene Kompetenzrahmen für das Einzelgericht als zu weit kritisiert. Er sei rechtsstaatlich bedenklich (DANIEL KIPFER, in: Schweizerische Strafprozessordnung, Basler Kommentar, 2. Aufl. 2014, N. 5 zu <ref-law>). Die Zurückdrängung des Kollegialprinzips im Bereich mittelschwerer Kriminalität stelle eine fragwürdige Rationalisierung dar (MARK PIETH, Schweizerisches Strafprozessrecht, 3. Aufl. 2016, S. 74).
2.7. Dieses Unbehagen gegenüber einer (zu) weiten Urteilskompetenz des Einzelrichters ist nachvollziehbar. Bei Beurteilung eines Falles durch diesen findet keine Beratung im Richtergremium statt. Eine solche erhöht aber in der Regel die Qualität des Urteils, weil mehrere Richter auf Gesichtspunkte hinweisen können, die ein einzelner möglicherweise nicht gesehen hätte (NIKLAUS OBERHOLZER, Grundzüge des Strafprozessrechts, 4. Aufl. 2020, S. 38 N. 116; ARNOLD MARTI, Einzelrichter an Obergerichten: fragwürdige Rationalisierungsmassnahme zu Lasten der demokratischen Justizkultur, in: Jusletter vom 16. Juni 2008, Ziff. 1). In einer Beratung zeigt sich zudem, ob die Auffassung eines Richters allfälliger Kritik seiner Kollegen standhält. Die Beurteilung durch ein Richtergremium erhöht überdies die Akzeptanz des Urteils (MARTI, a.a.O., Ziff. 4; PASCAL PAYLLIER und andere, in: Arn und andere [Hrsg.], Organisation der kantonalen und eidgenössischen Strafbehörden, 2011, S. 116 N. 49). Weiss der Betroffene, dass mehrere Richter seinen Fall eingehend beraten haben, wird er sich in der Regel mit dem Ergebnis eher abfinden können, als bei Beurteilung durch einen Einzelrichter. Fällt ein Kollegialgericht ein Urteil, verteilt sich die Verantwortung dafür ausserdem auf mehrere Schultern und muss sie nicht ein Richter alleine tragen (FRANZ RIKLIN, StPO-Kommentar, 2. Aufl. 2014, N. 2 zu <ref-law>). Nicht ohne Grund sieht deshalb das Bundesgerichtsgesetz die Kompetenz des Einzelrichters nur in engen Grenzen vor (Art. 108 und Art. 32 Abs. 2 BGG).
2.8. Dies alles spricht für eine restriktive Anwendung von <ref-law>. Die Grenze von 2 Jahren ist daher streng zu handhaben. Sie darf unter keinen Umständen überschritten werden. Massgeblich ist dabei, welchen Freiheitsentzug der Betroffene aufgrund des Urteils des Einzelgerichts insgesamt zu erdulden hat. Dies ergibt sich aus der in <ref-law> ausdrücklich enthaltenen Regelung, wonach widerrufene bedingte Sanktionen mit zu berücksichtigen sind bei der Beurteilung, ob die Kompetenz des Einzelgerichts noch gegeben ist. Es besteht kein Grund, dies beim Widerruf der bedingten Entlassung aus dem Strafvollzug gemäss <ref-law> anders zu handhaben (ebenso SCHMID/JOSITSCH, Schweizerische Strafprozessordnung, Praxiskommentar, 3. Aufl. 2018, N. 11 zu <ref-law>; DIESELBEN, Handbuch des schweizerischen Strafprozessrechts, 3. Aufl. 2017, S. 136 N. 376; J EANNERET/KUHN, Précis de procédure pénale, 2. Aufl. 2018, S. 187 Fn. 30). <ref-law>, der die Strafbefehlskompetenz der Staatsanwaltschaft (bis höchstens 6 Monate Freiheitsstrafe) regelt, sieht die Einrechnung einer zu widerrufenden bedingten Entlassung aus dem Strafvollzug vor. Bei der Urteilskompetenz des Einzelgerichts kann nichts anderes gelten. Dafür, dass der Gesetzgeber insoweit eine zu widerrufende bedingte Entlassung aus dem Strafvollzug ausschliessen wollte, enthalten die Gesetzesmaterialien keine Anhaltspunkte. Die Kantone Aargau, Basel-Landschaft und Genf (dazu oben E. 2.5) sehen bei der Regelung der Kompetenz des Einzelgerichts denn auch ausdrücklich vor, dass dem Widerruf der bedingten Entlassung aus dem Strafvollzug ebenso Rechnung zu tragen ist wie dem Widerruf bedingter Sanktionen nach <ref-law>.
2.9. Der Einzelrichter auferlegte dem Beschwerdeführer eine Freiheitsstrafe von 16 Monaten. Die vom Bezirksgericht Pfäffikon angeordnete ambulante Behandlung hob er in Anwendung von <ref-law> wegen Erfolglosigkeit auf. Er erwog, dies habe von Gesetzes wegen (<ref-law>) zur Folge, dass die vom Bezirksgericht Pfäffikon ausgesprochene Freiheitsstrafe von 30 Monaten vollziehbar werde. Eine Anrechnung der ambulanten Behandlung auf diese Strafe nach <ref-law> lehnte er ab, da jene zu keiner nennenswerten Einschränkung der persönlichen Freiheit geführt habe. Wie der Beschwerdeführer zutreffend vorbringt, verantwortet der Einzelrichter damit einen Freiheitsentzug von insgesamt 46 Monaten. Dies übersteigt die Grenze von 2 Jahren nach <ref-law>. Wenn sich der Einzelrichter als zuständig angesehen hat, verletzt das daher Bundesrecht. Er hätte den Fall gemäss <ref-law> dem Amtsgericht überweisen müssen.
2.10. Die Vorinstanz misst dem Umstand wesentliches Gewicht zu, dass der Einzelrichter die Freiheitsstrafe von 30 Monaten nicht selber aussprach und insoweit auch keinen bedingten Vollzug widerrief. Dies überzeugt nicht. Entscheidend ist, dass der Beschwerdeführer die Freiheitsstrafe von 30 Monaten erst aufgrund des einzelrichterlichen Urteils verbüssen muss. Die Situation ist insoweit vergleichbar mit dem Widerruf des bedingten Strafvollzugs. Hier wie dort wird die Freiheitsstrafe aufgeschoben und kommt es erst dann zu deren Vollzug, wenn dies nachträglich angeordnet wird.
Wäre der Auffassung der Vorinstanz zu folgen, wären im Übrigen noch deutlich krassere Fälle denkbar als hier, da nach der Rechtsprechung der Aufschub selbst einer langen Freiheitsstrafe zugunsten einer ambulanten Behandlung ausnahmsweise in Betracht kommen kann (<ref-ruling> E. 8b [6 Jahre Freiheitsstrafe]).
2.11. Die Beschwerde wird demnach, soweit darauf einzutreten ist, gutgeheissen. Der angefochtene Beschluss und das Urteil des Einzelrichters werden aufgehoben. Die Sache wird dem Amtsgericht zur Durchführung einer neuen Hauptverhandlung mit eigenem Beweisverfahren (<ref-law>) überwiesen. Gemäss § 12 Abs. 2 GO/SO wird der Einzelrichter im Verfahren vor dem Amtsgericht in den Ausstand zu treten haben, falls der Beschwerdeführer nicht ausdrücklich darauf verzichtet.
Ob das Urteil des Einzelrichters - wie der Beschwerdeführer vorbringt - als geradezu nichtig hätte angesehen werden müssen, kann offen bleiben.
3.
Gerichtskosten werden keine erhoben (<ref-law>). Der Kanton hat dem Vertreter des Beschwerdeführers eine Entschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist damit hinfällig.
Die Vorinstanz wird das Berufungsverfahren als gegenstandslos abzuschreiben und insoweit auch über die Kosten- und Entschädigungsfolgen zu befinden haben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird, soweit darauf eingetreten werden kann, gutgeheissen. Der Beschluss des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 10. Juni 2020 und das Urteil des a.o. Amtsgerichtsstatthalters von Solothurn-Lebern vom 29. Januar 2020 werden aufgehoben. Die Sache wird dem Amtsgericht zur Durchführung einer neuen Hauptverhandlung überwiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Solothurn hat dem Vertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Matthias Wasem, eine Entschädigung von Fr. 2'500.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie der Staatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Solothurn (Strafkammer) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Mai 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Härri