Sachverhalt:
A.
Die A._ AG (Klägerin, Gesuchstellerin, Beschwerdeführerin) ist eine Personalberaterin und -vermittlerin. Eine ihrer Kundinnen ist die C._ AG.
Die A._ AG vertritt die Auffassung, sie habe mit der B._ Sàrl (Beklagte, Gesuchsgegnerin, Beschwerdegegnerin) im November 2020 einen Projektvertrag abgeschlossen und in diesem Zusammenhang ein Konkurrenzverbot vereinbart. Konkret seien die Parteien übereingekommen, dass die B._ Sàrl bis 12 Monate nach Beendigung des Projektvertrags keine direkte Geschäftsbeziehung mit der C._ AG aufnehme. Der Projektvertrag sei am 8. April 2021 beendet worden, folglich dauere das Konkurrenzverbot bis am 9. April 2022. Dennoch habe die B._ Sàrl mit der C._ AG im Frühling 2021 einen Vertrag abgeschlossen und damit das Konkurrenzverbot verletzt.
B.
B.a. Am 17. Juni 2021 reichte die A._ AG beim Handelsgericht des Kantons Zürich eine Klage mit folgenden materiellen Rechtsbegehren ein:
"1. Die Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin einen Betrag von CHF 100'000.-- zu bezahlen.
2. Es sei der Beklagten unter Androhung von Straffolgen von <ref-law> zu verbieten, für die Dauer von 12 Monaten vom 9. April 2021 bis 9. April 2022, eine Geschäfts- oder Vertragsbeziehung mit C._ AG aufzunehmen und/ oder zu unterhalten."
Mit dem Leistungsbegehren (Ziffer 1) verlangt die A._ AG die Bezahlung einer aufgrund der Verletzung des Konkurrenzverbots (angeblich) geschuldeten Konventionalstrafe, mit dem Unterlassungsantrag (Ziffer 2) bezweckt sie die Durchsetzung des behaupteten Konkurrenzverbots.
Ausserdem stellte sie in der gleichen Rechtsschrift ein Gesuch um vorsorgliche Massnahmen, und zwar wie folgt:
"Der Beklagten sei vorsorglich für die Dauer des Verfahrens bis und mit 9. April 2022, unter Androhung von Straffolgen von <ref-law> und einer Busse von CHF 1'000 für jeden Tag der Nichterfüllung gegen die Organe der Gesellschaft, zu verbieten mit C._ AG eine Geschäfts- oder Vertragsbeziehung aufzunehmen und/oder zu unterhalten."
B.b. Mit Verfügung vom 21. Juni 2021 setzte das Handelsgericht der B._ Sàrl eine "einmalige Frist" von 20 Tagen zur Beantwortung des Massnahmegesuchs an. Am 16. Juli 2021 beantragte diese die Ansetzung einer Nachfrist. Dieses Gesuch wies das Handelsgericht mit Verfügung vom gleichen Tag ab. Die B._ Sàrl reichte in der Folge keine Gesuchsantwort ein.
B.c. Mit Beschluss vom 4. August 2021 wies das Handelsgericht das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen ab.
C.
Die A._ AG verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, der Beschluss des Handelsgerichts sei aufzuheben und die in der Klageschrift beantragten vorsorglichen Massnahmen seien durch das Bundesgericht anzuordnen. Eventualiter sei die Sache zur Sachverhaltsergänzung und zum neuen Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Handelsgericht verzichtete auf Vernehmlassung. Die Beschwerdegegnerin stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, wobei sie in der Begründung der Beschwerdeantwort auch um Nichteintreten ersucht. Beide Parteien reichten ein weiteres Schreiben ein.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen einen Entscheid des Handelsgerichts, das als einzige kantonale Instanz im Sinne von <ref-law> urteilte, steht grundsätzlich die Beschwerde in Zivilsachen offen, gemäss <ref-law> unabhängig vom Streitwert (<ref-ruling> E. 1.2; siehe auch <ref-ruling> E. 1.1, 2 E. 1.2.2 S. 5).
1.2.
1.2.1. Die Beschwerde ist gemäss <ref-law> zulässig gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen. Vor- und Zwischenentscheide, welche nicht die Zuständigkeit oder den Ausstand zum Gegenstand haben, sind unter den in <ref-law> genannten Voraussetzungen beim Bundesgericht anfechtbar.
1.2.2. Entscheide über vorsorgliche Massnahmen gelten nur dann als Endentscheide im Sinne von <ref-law>, wenn sie in einem eigenständigen Verfahren ergehen. Selbständig eröffnete Massnahmeentscheide, die vor oder während eines Hauptverfahrens erlassen werden und nur für die Dauer des Hauptverfahrens Bestand haben beziehungsweise unter der Bedingung, dass ein Hauptverfahren eingeleitet wird, stellen Zwischenentscheide im Sinne von <ref-law> dar (<ref-ruling> E. 1.1.1; <ref-ruling> E. 1.1 S. 327 f.). Dies gilt nicht nur, wenn eine vorsorgliche Massnahme erlassen, sondern auch wenn eine solche verweigert wird (Urteile 4A_391/2021 vom 30. September 2021 E. 6.1; 4A_386/2021 vom 31. August 2021 E. 1.1; 4A_2/2021 vom 19. Juli 2021 E. 1.1.1; 4A_121/2021 vom 26. Februar 2021 E. 6.1; je mit weiteren Hinweisen).
1.2.3. Die Beschwerdeführerin beruft sich auf <ref-law> und behauptet, der angefochtene Beschluss könne einen "nicht wieder gutzumachenden Nachteil" bewirken. In der Begründung scheint sie indes nicht zu differenzieren zwischen der Voraussetzung des "nicht leicht wieder gutzumachenden Nachteils" im Sinne von <ref-law> und dem Nachteilsbegriff in <ref-law>, die klar voneinander abzugrenzen sind (vgl. <ref-ruling> E. 6.3; eingehend: Urteil 5A_934/2014 vom 5. März 2015 E. 2.3; sodann etwa Urteil 4A_523/2020 vom 23. Februar 2021 E. 1.2.2 f.). Sie scheint den Nachteil insbesondere im "weiteren Zeitablauf" begründet zu sehen, der als solcher kein Nachteil rechtlicher Natur ist, wie ihn <ref-law> aber voraussetzt (<ref-ruling> E. 1.2 S. 479; <ref-ruling> E. 2.2 S. 801; <ref-ruling> E. 1.2; je mit Hinweisen).
1.2.4. Die Beschwerdeführerin beantragt in ihrem Massnahmegesuch die antizipierte, nicht mehr rückgängig zu machende Vollstreckung dessen, was sie auch in der Klage verlangt. Massnahmebegehren und Klageantrag-Ziffer 2 stimmen überein; in beiden Fällen ersucht die Beschwerdeführerin um Durchsetzung des Konkurrenzverbots, befristet bis am 9. April 2022. Mit dem Handelsgericht ist nicht damit zu rechnen, dass bis zu diesem Zeitpunkt ein Urteil in der Sache ergehen wird. Es kann davon ausgegangen werden, dass der Streit zwischen den Parteien um die Realvollstreckung des Konkurrenzverbots mit dem Entscheid über die vorsorgliche Massnahme endet, da es in einem späteren Zeitpunkt an einem praktischen Interesse an der Vollstreckung des ohnehin nur bis am 9. April 2022 geltenden Konkurrenzverbots fehlt (siehe <ref-ruling> E. 2.3 S. 477; vgl. ferner <ref-ruling> E. 2.7 S. 732; so bereits die Konstellation im Urteil 4P.201/2004 vom 29. November 2004 E. 4).
Ob der Beschluss, mit dem das Massnahmegesuch abgewiesen wurde, unter diesem Gesichtspunkt anfechtbar ist (vgl. auch Urteil 5D_219/2017 vom 24. August 2018 E. 1.1), kann letztlich dahingestellt bleiben. Denn die Beschwerde ist - wie nachfolgend aufzuzeigen sein wird - ohnehin abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.
Mit der Beschwerde gegen einen Entscheid über vorsorgliche Massnahmen kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>), auch in der vorliegenden, besonders gelagerten Konstellation (vgl. <ref-ruling> E. 2.2-2.4). Davon geht denn auch die Beschwerdeführerin aus. Sie moniert eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) und des "Anspruchs auf gleiche und gerechte Behandlung" (<ref-law>).
3.
Macht die beschwerdeführende Partei eine Verletzung des Willkürverbots geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich (<ref-ruling> E. 3 S. 352; <ref-ruling> E. 5.5). Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern bloss, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen). Erforderlich ist zudem, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist, was von der beschwerdeführenden Partei aufzuzeigen ist (BGE <ref-ruling> E. 2.1 S. 19 mit Hinweisen).
4.
4.1. Nach <ref-law> trifft das Gericht die notwendigen vorsorglichen Massnahmen, wenn die gesuchstellende Partei glaubhaft macht, dass ein ihr zustehender Anspruch verletzt ist oder eine Verletzung zu befürchten ist (lit. a) und ihr aus der Verletzung ein nicht leicht wieder gutzumachender Nachteil droht (lit. b). Ist ein Schaden für die Gegenpartei zu befürchten, so kann das Gericht die Anordnung vorsorglicher Massnahmen von der Leistung einer Sicherheit durch die gesuchstellende Partei abhängig machen (<ref-law>).
4.2. Das Handelsgericht erachtete es - in einem ersten Schritt (vorinstanzliche Erwägungen 5.1-5.4) - als glaubhaft gemacht, dass (i) die Beschwerdegegnerin ein vereinbartes Konkurrenzverbot verletzt habe oder eine solche Verletzung zu befürchten sei, (ii) der Beschwerdeführerin dadurch ein nicht leicht wieder gutzumachender Nachteil in Form einer Rufschädigung drohe und (iii) darüber dringlich entschieden werden müsse. Indes scheitere das Massnahmebegehren an der "Verhältnismässigkeit" (vorinstanzliche Erwägung 5.5) : Da das beantragte Verbot die Hauptsache "präjudiziere", sei ein besonders strenger Massstab bei der Interessenabwägung anzulegen. Dabei falle ins Gewicht, dass die Verletzung des Konkurrenzverbots "nur in Bezug auf [...] eine Mitarbeiterin" der Beschwerdegegnerin drohe. Ausserdem sei weder dargetan noch ersichtlich, "dass und inwiefern die Rufschädigung auch dann noch drohen würde, wenn die [Beschwerdeführerin] in der Hauptsache obsieg[te]". Damit wäre ihr Ruf "verteidigt bzw. wiederhergestellt". Bei Gutheissung des Massnahmebegehrens würde hingegen - so die Vorinstanz weiter - die Beschwerdegegnerin "faktisch betreffend eine[n] Tei[l] des Hauptverfahrens unterliegen, was durchaus ein erheblicher Nachteil" darstelle. "Insgesamt" überwiege das Interesse der Beschwerdegegnerin daran, dass das Verfahren "nicht präjudiziert" werde, das Interesse der Beschwerdeführerin "an der Durchsetzung des Konkurrenzverbots in einem einzigen Fall und für einen Zeitraum von wenigen Monaten".
4.3. Die Beschwerde führerin kritisiert diese handelsgerichtliche Interessenabwägung als willkürlich. Die Beschwerde gegnerin ficht dagegen die vorinstanzlichen Erwägungen 5.1-5.4 an und rügt sinngemäss, das Handelsgericht habe die dort geprüften Anspruchsvoraussetzungen von <ref-law> zu Unrecht bejaht. Sie beanstandet namentlich, dass ihr keine Nachfrist zur Einreichung einer Gesuchsantwort zugestanden wurde (siehe Sachverhalt B.b).
5.
5.1. Es ist der Beschwerdeführerin zuzugestehen, dass der angefochtene Beschluss zumindest missverständlich ist:
Nach der neueren, mittlerweile verschiedentlich bestätigten bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist beim Entscheid über die Frage, ob vorsorgliche Massnahmen nach <ref-law> zu treffen sind, grundsätzlich keine Interessenabwägung vorzunehmen (<ref-ruling> E. 5; Urteile 4A_49/2020 vom 3. Juni 2020 E. 4.1; 4A_575/2018 vom 12. März 2019 E. 2.1; so im Übrigen bereits <ref-ruling> E. 5b; <ref-ruling> E. 5 S. 10 f. und E. 8c S. 12 f.; anders dagegen <ref-ruling> E. 2.3 S. 476 und E. 3.2 S. 478; Urteile 4A_367/2008 vom 14. November 2008 E. 4.2; 5A_181/2007 vom 26. Juni 2007 E. 3.1 und dann auch wieder Urteil 5A_126/2015 vom 14. April 2015 E. 4). Ist glaubhaft gemacht, dass ein Anspruch verletzt ist oder verletzt zu werden droht (<ref-law>) und dass ein Nachteil im Sinne von <ref-law> zu befürchten ist, sind Massnahmen zu treffen. Es ist nicht erforderlich, dass der zu befürchtende Nachteil gewichtiger oder wahrscheinlicher ist als jener Nachteil, welcher der Gesuchsgegnerin im Falle der Anordnung der vorsorglichen Massnahmen droht. Den Interessen der Gesuchsgegnerin ist allenfalls mit einer Sicherheitsleistung im Sinne von <ref-law> Rechnung zu tragen (im Einzelnen: <ref-ruling> E. 5).
Es mag scheinen, als habe die Vorinstanz die jeweiligen Nachteile und Interessen abgewogen und gestützt darauf die Anordnung vorsorglicher Massnahmen verweigert. Nachdem das Handelsgericht auch das blosse Interesse der Beschwerdegegnerin, in diesem Massnahmeverfahren nicht zu unterliegen, als ausschlaggebend erachtete, gleichzeitig aber feststellte, mit einem Entscheid in der Hauptsache sei vor Ablauf des (befristeten) Konkurrenzverbots nicht zu rechnen, wirft die Beschwerdeführerin zu Recht die Frage auf, ob ihr nicht "faktisch der Rechtsschutz für die Durchsetzung des Konkurrenzverbots verweigert" werde.
5.2. Umgekehrt ist Folgendes zu beachten:
Wohl sind die Anspruchsvoraussetzungen nach <ref-law> lediglich mit dem (reduzierten) Beweismass des Glaubhaftmachens nachzuweisen. Es genügt mithin im Allgemeinen, wenn für das Vorhandensein der behaupteten Tatsachen gewisse Elemente sprechen, selbst wenn das Gericht noch mit der Möglichkeit rechnet, dass sie sich nicht verwirklicht haben könnten (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 613); die Rechtslage ist grundsätzlich nur summarisch zu prüfen und vorläufig zu beurteilen, ohne die sich stellenden rechtlichen Fragen endgültig zu klären (siehe <ref-ruling> E. 4.2 S. 91). Stehen aber vorsorgliche Massnahmen zur Diskussion, die einer Vollstreckung des Hauptsacheanspruchs gleichkommen und endgültige Wirkung haben - der Streit mithin keine über die Anordnung der vorsorglichen Massnahmen hinausgehende Bedeutung hat -, ist nach konstanter bundesgerichtlicher Rechtsprechung dem Umstand Rechnung zu tragen, dass derartige Massnahmen besonders schwer in die Rechtsstellung der Gegenpartei eingreifen. Entsprechend werden sie nur restriktiv bewilligt und unterstehen sie erhöhten Anforderungen. Diese Anforderungen beziehen sich sowohl auf das Vorhandensein der rechtserheblichen Tatsachen wie auch auf sämtliche Voraussetzungen für die Anordnung einer vorsorglichen Massnahme. Insbesondere ist (vorsorglicher) Rechtsschutz in diesen Fällen nur zu gewähren, wenn der Anspruch relativ klar begründet erscheint (<ref-ruling> E. 6.4 S. 381; <ref-ruling> E. 2.3 und 3.2 S. 478 f.; Urteile 5D_219/2017 vom 24. August 2018 E. 4.2.2; 5A_560/2014 vom 17. September 2014 E. 5; 4A_611/2011 vom 3. Januar 2012 E. 4.1; ferner auch <ref-ruling> E. 3c S. 460 und Urteil 4A_50/2019 vom 28. Mai 2019 E. 3.2.4; FABIENNE HOHL, Procédure civile, Bd. II, 2. Aufl. 2010, Rz. 1844-1847 S. 336 f.).
5.3. Es ist bei dieser Ausgangslage und unter Willkürgesichtspunkten nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz einen strengen Massstab an die Bewilligung der beantragten, mit dem betreffenden Antrag im Hauptprozess übereinstimmenden vorsorglichen Massnahme angelegt hat. Ob das Massnahmegesuch unter dem Titel der "Verhältnismässigkeit" abzuweisen war, wie dies das Handelsgericht getan hat, ist im vorliegenden Fall nicht von Bedeutung. Denn ein Entscheid wird einzig dann als willkürlich aufgehoben, wenn er nicht nur in der Begründung, sondern auch im Resultat offensichtlich unrichtig ist (BGE <ref-ruling> E. 2.1 S. 19 mit Hinweisen). Dies ist nicht der Fall. Die Vorinstanz hat in vertretbarer Weise darauf abgestellt, dass die Anforderungen an die Begründetheit eines Massnahmebegehrens besonders streng sind, wenn - faktisch - die abschliessende Beurteilung des Hauptsacheanspruchs in Frage steht. Ihre Ausführungen sind denn auch nicht so zu verstehen, dass sie das Massnahmegesuch an den entgegenstehenden Interessen der Beschwerdegegnerin scheitern gelassen hätte. Entscheidend waren die erhöhten Voraussetzungen für die Anordnung von Massnahmen zur vorsorglichen, endgültigen Durchsetzung eines ohnehin befristeten Unterlassungsanspruchs. So hat das Handelsgericht genau genommen das Vorliegen eines drohenden, nicht leicht wieder gutzumachenden Nachteils im Sinne von <ref-law> verneint, wenn es - nun mit Rücksicht auf die erwähnten strengen Anforderungen - schloss, der Ruf der Beschwerdeführerin wäre beim Obsiegen in der Hauptsache (betreffend Konventionalstrafe) "verteidigt bzw. wiederhergestellt" respektive habe die Beschwerdeführerin das Gegenteil jedenfalls nicht hinreichend dargetan (siehe vorinstanzliche Erwägung 5.5). Inwiefern der so verstandene vorinstanzliche Beschluss im Ergebnis willkürlich sein sollte, ist der Beschwerde nicht zu entnehmen. Auch eine Verletzung des "Gleichbehandlungsanspruchs" ist nicht auszumachen.
6.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (siehe Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschäd igen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Dezember 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Stähle