Sachverhalt:
A.
Der 1989 geborene A.A._ ist kosovarischer Staatsangehöriger und reiste am 4. September 1992 im Rahmen des Familiennachzugs in die Schweiz ein. Seither verfügt er über eine Niederlassungsbewilligung. Am 5. Januar 2012 heiratete er seine Landsfrau B.E._ (geb. 1991), die am 3. September 2012 zwecks Familiennachzug in die Schweiz einreiste. Aus der Ehe gingen die beiden Kinder C.A._ (geb. 2013) und D.A._ (geb. 2015) hervor.
A.A._ wurde während seines Aufenthalts in der Schweiz mehrmals straffällig. Namentlich verurteilte ihn das Obergericht des Kantons Bern mit Urteil vom 11. Dezember 2014 zu einer Freiheitsstrafe von vier Jahren und sechs Monaten sowie 90 Tagessätzen Geldstrafe wegen Raufhandels und eventualvorsätzlicher versuchter Tötung (begangen am 16. August 2009). Die mit Urteil vom 11. Dezember 2014 ausgesprochene Freiheitsstrafe verbüsst A.A._ seit 1. Februar 2016, wobei das ordentliche Strafende auf den 31. Juli 2020 fällt. Eine bedingte Entlassung ist per 31. Januar 2019 möglich.
B.
B.a. Das Migrationsamt des Kantons Solothurn (Migrationsamt) widerrief mit Verfügung vom 14. Januar 2016 die Niederlassungsbewilligung von A.A._ und wies ihn auf den Tag seiner Entlassung aus dem Straf- und Massnahmenvollzug aus der Schweiz weg (Dispositiv-Ziff. 1 und Ziff. 3 der Verfügung vom 14. Januar 2016). Weiter verweigerte es die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von B.A._ (geb. E._), wies sie aus der Schweiz weg und setzte eine Ausreisefrist bis 31. März 2016 an (Dispositiv-Ziff. 2 und 4 der Verfügung vom 14. Januar 2016). Gleichzeitig forderte das Migrationsamt B.A._ auf, sich und ihre Söhne C.A._ und D.A._ ordnungsgemäss bei der Einwohnergemeinde Solothurn abzumelden und die Ausreise an der Schweizer Grenze bestätigen zu lassen (Dispositiv-Ziff. 5 der Verfügung vom 14. Januar 2016).
B.b. Eine Beschwerde gegen die Verfügung vom 14. Januar 2016 an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn blieb erfolglos (Urteil vom 13. April 2016). Demgegenüber hiess das Bundesgericht eine Beschwerde gegen das verwaltungsgerichtliche Urteil teilweise gut und hob den angefochtenen Entscheid insoweit auf, als die Aufenthaltsbewilligung der Ehefrau nicht verlängert und für sie sowie die beiden Söhne eine Ausreisefrist angesetzt worden war. Aufgehoben wurde der angefochtene Entscheid weiter in Bezug auf die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege im verwaltungsgerichtlichen Verfahren. Das Bundesgericht wies die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts, zu neuer Entscheidung in Bezug auf die Aufenthaltsbewilligung der Ehefrau und die unentgeltliche Rechtspflege sowie zur Neuverlegung der Kosten- und Entschädigungsfolgen an die Vorinstanz zurück. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab, soweit auf sie einzutreten war (Urteil 2C_432/2016 vom 26. Januar 2018).
C.
Mit Urteil vom 21. März 2018 hob das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn Dispositiv-Ziff. 2, 4 und 5 der Verfügung vom 14. Januar 2016 auf (Dispositiv-Ziff. 1 Satz 1 des Urteils vom 21. März 2018). Es verlängerte die Aufenthaltsbewilligung von B.A._ bis zur bedingten oder definitiven Entlassung ihres Ehemannes A.A._ aus dem Strafvollzug (Dispositiv-Ziff. 1 Satz 2 des Urteils vom 21. März 2018). Weiter wies es B.A._ sowie ihre beiden Söhne C.A._ und D.A._ auf den Tag der Entlassung von A.A._ aus dem Straf- und Massnahmenvollzug weg und verpflichtete sie, die Schweiz zu verlassen (Dispositiv-Ziff. 1 Satz 3 des Urteils vom 21. März 2018).
D.
Gegen das Urteil vom 21. März 2018 gelangen A.A._ (Beschwerdeführer 1), B.A._ (Beschwerdeführerin 2), C.A._ (Beschwerdeführer 3) und D.A._ (Beschwerdeführer 4) mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 19. April 2018 an das Bundesgericht. Sie beantragen die Aufhebung von Dispositiv-Ziff. 1 des angefochtenen Urteils (Antrag Ziff. 1) und die Erteilung der Niederlassungsbewilligung an die Beschwerdeführerin 2 (Antrag Ziff. 2). Eventualiter sei der Beschwerdeführerin 2 eine Aufenthaltsbewilligung mit einer Gültigkeitsdauer von zwei Jahren zu erteilen (Antrag Ziff. 3). Die Beschwerdeführer 2-4 seien nicht aus der Schweiz wegzuweisen (Antrag Ziff. 4). Für den Fall des Unterliegens ersuchen sie um unentgeltliche Rechtspflege (Antrag Ziff. 8).
Das Migrationsamt und das Verwaltungsgericht beantragen die Abweisung der Beschwerde, soweit auf sie eingetreten werden kann. Zu diesen Vernehmlassungen nehmen die Beschwerdeführer mit Eingabe vom 12. Juli 2018 Stellung.
Dem Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung mit Verfügung vom 25. April 2018 entsprochen.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde vom 19. April 2018 frist- und grundsätzlich formgerecht angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher, verfahrensabschliessender Entscheid eines oberen Gerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2, Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG).
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide betreffend die Wegweisung und Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Art. 83 lit. c Ziff. 2 und Ziff. 4 BGG). In Bezug auf die Bewilligungsfrage reicht es für das Eintreten auf die Beschwerde aus, wenn sich die betroffene Person in vertretbarer Weise auf einen Bewilligungsanspruch beruft. Ob dieser tatsächlich besteht, bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 332; <ref-ruling> E. 1.1 S. 179; Urteil 2C_432/2016 vom 26. Januar 2018 E. 1.2).
1.1.1. Das Bundesgericht hat mit Urteil 2C_432/2016 vom 26. Januar 2018 einen grundsätzlichen Anspruch der Beschwerdeführerin 2 auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung unter Vorbehalt möglicher Erlöschensgründe bejaht (vgl. zit. Urteil, E. 5.3.3). Die Vorinstanz hat keine solchen Erlöschensgründe festgestellt (vgl. angefochtenes Urteil, E. 2.2). Vor diesem Hintergrund machen die Beschwerdeführer in gerade noch vertretbarer Weise geltend, dass die Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführerin 2 gestützt auf Art. 33 Abs. 1 des Bundesgesetzes über die Ausländerinnen und Ausländer und über die Integration (Ausländer- und Integrationsgesetz, AIG; SR 142.20 [bis 31. Dezember 2018 und soweit im Folgenden die altrechtliche Fassung massgeblich ist: AuG]) i.V.m. Art. 58 Abs. 1 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit (VZAE; SR 142.201) um zwei Jahre zu verlängern gewesen wäre.
1.1.2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unter dem Blickwinkel von Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG auch in Bezug auf die Beschwerdeführer 3 und 4 zulässig. Sie machen in ebenfalls vertretbarer Weise geltend, dass das vorinstanzliche Urteil ihren selbständigen Niederlassungsanspruch verletze, der ihnen als Kinder eines im Zeitpunkt ihrer Geburt hier niederlassungsberechtigten Ausländers gemäss Art. 43 Abs. 3 AuG zustehe (vgl. auch Urteil 2C_432/2016 vom 26. Januar 2018 E. 1.2.1; zum intertemporal anwendbaren Recht vgl. Art. 126 Abs. 1 AIG sowie Urteile 2C_903/2010 vom 6. Juni 2011 E. 3.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; 2C_167/2018 vom 9. August 2018]).
1.1.3. Zusätzlich zur ordentlichen Beschwerde nach Art. 82 ff. BGG erheben die Beschwerdeführer mit gleichlautenden Anträgen ausdrücklich auch subsidiäre Verfassungsbeschwerde. In diesem Rahmen machen sie unter Beachtung der qualifizierten Rügepflicht gemäss Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG aber keine verfassungsbezogenen Rügen geltend, die nicht bereits im Rahmen der ordentlichen Beschwerde zu behandeln wären. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde erweist sich vor diesem Hintergrund als unzulässig (vgl. Art. 113 BGG; <ref-ruling> E. 1.1 S. 307; Urteile 2C_200/2017 vom 14. Juli 2017 E. 1.2.2; 2C_167/2018 vom 9. August 2018 E. 1.1.2).
1.2. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten geben an dieser Stelle zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass. Namentlich sind die Beschwerdeführer gemäss Art. 89 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt. Unter Vorbehalt der nachfolgenden E. 2.1.3 ist auf das Rechtsmittel einzutreten.
2.
Die Beschwerdeführer verlangen die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils (Antrag Ziff. 1) und machen geltend, dass der Beschwerdeführerin 2 im Verfahren vor dem Verwaltungsgericht gestützt auf Art. 43 Abs. 2 AuG die Niederlassungsbewilligung hätte erteilt werden müssen. Im bundesgerichtlichen Verfahren beantragen sie zudem ausdrücklich die Erteilung einer Niederlassungsbewilligung an die Beschwerdeführerin 2 (Antrag Ziff. 2). Nach dem angerufenen Art. 43 Abs. 2 AuG haben die Ehegatten von Personen mit Niederlassungsbewilligung nach einem ordnungsgemässen und ununterbrochenen Aufenthalt von fünf Jahren einen Anspruch auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung.
2.1. Die Erteilung von Aufenthalts- und Niederlassungsbewilligungen sind an unterschiedliche Voraussetzungen geknüpft und nicht mit denselben Rechtsfolgen verbunden. Die Aufenthaltsbewilligung ist befristet, wird für einen bestimmten Aufenthaltszweck erteilt und kann mit weiteren Bedingungen verbunden werden (vgl. Art. 33 Abs. 2 und Abs. 3 AuG). Demgegenüber wird die Niederlassungsbewilligung unbefristet und ohne Bedingungen erteilt (Art. 34 Abs. 1 AuG). Ausserdem unterscheiden sich die beiden Bewilligungsarten auch bezüglich der zulässigen Widerrufsgründe (vgl. Art. 62 und Art. 63 AuG).
2.1.1. Das Verfahren vor dem kantonalen Migrationsamt, das mit Verfügung vom 14. Januar 2016 erstinstanzlich abgeschlossen wurde, betraf in Bezug auf die Beschwerdeführerin 2 die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. In den nachfolgenden Rechtsmittelverfahren vor dem Verwaltungs- und dem Bundesgericht konnte sich dieser Streitgegenstand des erstinstanzlichen Verfahrens nur verengen, nicht aber erweitern oder inhaltlich verändern (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 462 f.; Urteile 2C_807/2016 vom 17. Juli 2017 E. 1.2; 2C_961/2013 vom 29. April 2014 E. 3.3). Angesichts des unterschiedlichen Charakters von Aufenthalts- und Niederlassungsbewilligung ist es vor diesem Hintergrund aus bundesrechtlicher Sicht nicht zu beanstanden, wenn sich die Vorinstanz im Einklang mit dem bundesgerichtlichen Urteil 2C_432/2016 vom 26. Januar 2018 (vgl. E. 5.3.3) auf die Frage beschränkte, ob einer Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführerin 2 Erlöschensgründe im Sinne von Art. 51 Abs. 2 lit. b i.V.m. Art. 62 Abs. 1 AuG entgegenstehen (vgl. auch Urteil 2C_961/2013 vom 29. April 2014 E. 3.4 und E. 3.5).
2.1.2. Zu beachten ist weiter, dass die Erteilung einer Niederlassungsbewilligung grundsätzlich auf Gesuch der betreffenden ausländischen Person hin erfolgt (vgl. auch Art. 60 ff. VZAE). Dass ein entsprechendes Gesuch eingereicht worden sei, bevor das Verwaltungsgericht im Rückweisungsverfahren sein Urteil fällte, machen die anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer nicht geltend. Nach ihren Ausführungen im bundesgerichtlichen Verfahren und den Beilagen zur Beschwerde war das vielmehr erst am 17. April 2018 und damit nach dem angefochtenen Urteil der Fall, wobei dieser Umstand hier als echtes Novum (Art. 99 Abs. 1 BGG; vgl. Urteil 2C_50/2017 vom 22. August 2018 E. 3.1 mit Hinweisen) keine Berücksichtigung finden kann. Die Vorinstanz hatte auch deshalb keine Veranlassung, sich zu einem allfälligen Niederlassungsanspruch der Beschwerdeführerin 2 zu äussern. Über einen Anspruch auf Niederlassungsbewilligung der Beschwerdeführerin 2 hat auf ihr Gesuch hin erstinstanzlich das Migrationsamt zu entscheiden. In analoger Anwendung von Art. 59 Abs. 2 VAZE ist ihr gegebenenfalls bis zum Verfahrensabschluss der vorübergehende Aufenthalt zu bewilligen (vgl. Urteil 2C_1154/2016 vom 25. August 2017 E. 2.3 mit Hinweisen), soweit die Gültigkeit ihrer Aufenthaltsbewilligung vorher ablaufen sollte.
2.1.3. Abzuweisen ist nach dem Dargelegten der Antrag auf Aufhebung des angefochtenen Urteils, soweit die Beschwerdeführer geltend machen, dass die Vorinstanz die Erteilung einer Niederlassungsbewilligung an die Beschwerdeführerin 2 zum Verfahrensgegenstand hätte machen sollen. Nicht einzutreten ist auf den Antrag Ziff. 2, mit dem die Beschwerdeführer im bundesgerichtlichen Verfahren die Erteilung einer Niederlassungsbewilligung an die Beschwerdeführerin 2 beantragen. Das entsprechende Begehren geht wie gezeigt über den Streitgegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens hinaus (vgl. Art. 99 Abs. 2 BGG; E. 2.1.1 hiervor).
2.2. Die Beschwerdeführer machen weiter geltend, dass es mit Art. 33 AuG nicht zu vereinbaren sei, die Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführerin 2 lediglich bis zur bedingten oder definitiven Entlassung des Beschwerdeführers 1 aus dem Strafvollzug zu verlängern.
2.2.1. Nach Art. 33 Abs. 1 AuG wird die Aufenthaltsbewilligung für Aufenthalte mit einer Dauer von mehr als einem Jahr erteilt. Bei der erstmaligen Erteilung beträgt ihre Gültigkeitsdauer ein Jahr; sie kann um zwei Jahre verlängert werden (Art. 58 Abs. 1 Satz 1 VZAE). Ausnahmen sind in begründeten Einzelfällen möglich (Art. 58 Abs. 1 Satz 2 VZAE). Die Aufenthaltsbewilligung ist befristet und kann verlängert werden, wenn keine Widerrufsgründe nach Art. 62 Abs. 1 AuG vorliegen (Art. 33 Abs. 3 AuG). Sie wird für einen bestimmten Aufenthaltszweck erteilt und kann mit weiteren Bedingungen verbunden werden (Art. 33 Abs. 2 AuG). Erfolgte die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung gestützt auf eine Zulassungsbestimmung für einen bestimmten Aufenthaltszweck, so ist bei einer Änderung des Aufenthaltszwecks eine neue Bewilligung erforderlich (Art. 54 VZAE). Sofern der Aufenthaltszweck vor Ablauf der Bewilligungsdauer entfällt, kann die Aufenthaltsbewilligung widerrufen werden (vgl. Art. 62 Abs. 1 lit. d AuG; <ref-ruling> E. 3.6.3 S. 297 mit Hinweisen).
2.2.2. Nach Massgabe dieser Bestimmungen ist es aus bundesrechtlicher Sicht nicht zu beanstanden, wenn die Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführerin 2 auf den Zeitpunkt der Entlassung des Beschwerdeführers 1 aus dem Strafvollzug befristet wurde. Das Anwesenheitsrecht der Beschwerdeführerin 2 leitet sich aus der Niederlassungsbewilligung des Beschwerdeführers 1 ab (vgl. Art. 43 Abs. 1 AuG). Dass ein zusätzlicher Aufenthaltszweck vorliegen soll, wird nicht rechtsgenüglich geltend gemacht und ist auch nicht ersichtlich. Sobald die Gültigkeit der Niederlassungsbewilligung des Beschwerdeführers 1 abläuft, was gemäss Art. 70 Abs. 1 VZAE im Zeitpunkt seiner Entlassung aus dem Strafvollzug der Fall sein wird (vgl. auch Urteil 2C_432/2016 vom 26. Januar 2018 E. 4.3.4), entfällt folglich auch der Aufenthaltszweck der Beschwerdeführerin 2 und kann gestützt auf Art. 62 Abs. 1 lit. d AuG ein Widerruf ihrer Bewilligung erfolgen (vgl. <ref-ruling> E. 3.6.3 S. 297 mit Hinweisen). Ist der Wegfall des Aufenthaltszwecks der Beschwerdeführerin 2 wie hier in zeitlicher Hinsicht absehbar, erweist es sich vor diesem Hintergrund ebenfalls als zulässig, ihre Aufenthaltsbewilligung auf diesen Zeitpunkt hin zu befristen (vgl. auch <ref-ruling> E. 5.2.3 S. 237 f.; Urteil 2C_394/2016 vom 26. August 2016 E. 4.1).
2.2.3. Daran ändert mit Blick auf Art. 62 Abs. 1 lit. d AuG und Art. 58 Abs. 2 VZAE nichts, dass die Aufenthaltsbewilligung gemäss Art. 33 Abs. 1 AuG grundsätzlich für Aufenthalte mit einer Dauer von mehr als einem Jahr erteilt wird: Zunächst stand im Zeitpunkt des angefochtenen Urteils am 21. März 2018 nicht fest, ob der Beschwerdeführer 1 bereits zum frühestmöglichen Zeitpunkt am 31. Januar 2019 bedingt aus dem Strafvollzug entlassen wird und die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung die Dauer von einem Jahr nicht doch überschreiten wird. Des Weiteren kann die Aufenthaltsbewilligung wie schon dargelegt bereits vor Ablauf der Aufenthaltsdauer von einem Jahr widerrufen werden, soweit der Aufenthaltszweck entfällt (vgl. Art. 62 Abs. 1 lit. d AuG). Zusammen mit der zeitlich zwar noch nicht exakt feststehenden, aber absehbaren Entlassung des Beschwerdeführers 1 aus dem Strafvollzug liegt damit ein sachlicher Grund im Sinne von Art. 58 Abs. 1 Satz 2 VZAE vor, die Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführerin 2 auf eine Dauer zu befristen, die je nach Entlassungsdatum des Beschwerdeführers 1 weniger als ein Jahr beträgt. Auch unter diesem Blickwinkel erweist sich das Vorgehen des Verwaltungsgerichts als bundesrechtskonform.
2.3. Die weiteren Rügen, die von den Beschwerdeführern im Zusammenhang mit der Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführerin 2 erhoben werden, erweisen sich ebenfalls als unbegründet, soweit sie den Begründungsanforderungen im bundesgerichtlichen Verfahren (vgl. Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2, Art. 106 Abs. 2 BGG) überhaupt genügen. Namentlich ist der Aufenthaltsanspruch (Art. 43 Abs. 1 AuG) der Beschwerdeführerin 2 nicht verletzt, indem das Verwaltungsgericht auf den Zeitpunkt des Ablaufs ihrer Aufenthaltsbewilligung die Wegweisung der Beschwerdeführerin 2 verfügt (vgl. Art. 64 Abs. 1 lit. c AuG). Die Wegweisung kann freilich in Wiedererwägung gezogen werden, soweit das neue Sachumstände verlangen (vgl. Art. 29 BV; BGE <ref-ruling> E. 2.1 S. 181; Urteil 2C_1106/2018 vom 4. Januar 2019 E. 3.2.1). Dazu kann auch ein Gesuch um Erteilung der Niederlassungsbewilligung und der damit verbundene, vorübergehend bewilligte Aufenthalt zählen (vgl. E. 2.1.2 hiervor).
3.
Die Beschwerdeführer rügen weiter, die Vorinstanz verletze den selbständigen Niederlassungsanspruch der Beschwerdeführer 3 und 4, indem sie deren Wegweisung aus der Schweiz verfügt.
3.1. Die Niederlassungsbewilligung von Kindern ist ebenso wie jene von erwachsenen Personen selbständiger Natur (vgl. Art. 34 Abs. 1 AuG) und kann nur widerrufen werden, wenn bei diesen selbst ein Widerrufsgrund vorliegt (vgl. Urteile 2C_95/2018 vom 7. August 2018 E. 7; 2C_359/2014 vom 1. Dezember 2014 E. 4.4; 2C_656/2011 vom 8. Mai 2012 E. 3.1; je mit Hinweisen). Darauf wurde die Vorinstanz bereits mit Urteil 2C_432/2016 vom 26. Januar 2018 hingewiesen (vgl. E. 5.3.2). Dass ausländische Kinder aus familienrechtlicher Perspektive das ausländerrechtliche Schicksal ihrer Eltern regelmässig teilen (vgl. <ref-ruling> E. 5.4 S. 28 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 614), ändert am selbständigen Charakter ihrer Niederlassungsbewilligung nichts.
3.2. Gemäss den Feststellungen der Vorinstanz im Urteil vom 13. April 2016, das Anlass für das bundesgerichtliche Verfahren 2C_432/2016 gab, verfügt der Beschwerdeführer 3 über eine Niederlassungsbewilligung (vgl. dort E. 11.1; Art. 105 Abs. 2 BGG). Da für ihn kein Widerrufsgrund vorliegt, verletzt die angeordnete Wegweisung seinen Niederlassungsanspruch (vgl. Art. 34 Abs. 1 und Art. 64 Abs. 1 lit. c AuG). Die Beschwerde erweist sich in diesem Punkt als begründet.
3.3. Für den Beschwerdeführer 4 war nach den Feststellungen der Vorinstanz im Urteil vom 13. April 2016 "noch kein Ausländerausweis erstellt" worden (vgl. dort E. 11.1; Art. 105 Abs. 2 BGG), was aber noch nicht heisst, dass er nicht im Besitz einer Niederlassungsbewilligung ist. Der Ausstellung eines Ausländerausweises kommt diesbezüglich kein konstitutiver Charakter zu (vgl. Art. 41 Abs. 1 und Abs. 3 AuG; Art. 71 VZAE; Urteil 2C_745/2008 vom 24. Februar 2009 E. 1.2.1; PETER UEBERSAX, Einreise und Anwesenheit, in: Ausländerrecht, Uebersax/Rudin/Hugi Yar/Geiser [Hrsg.], 2. Aufl. 2009, Rz. 7.282; NGUYEN MINH SON, in: Code annoté de droit des migrations, Nguyen/Amarelle [Hrsg.], Band 2: Ausländergesetz, 2017, N. 2 zu Art. 41 AuG).
3.3.1. Fest steht jedenfalls, dass der Beschwerdeführer 1 im Zeitpunkt der Geburt des Beschwerdeführers 4 am 12. Mai 2015 noch über die Niederlassungsbewilligung verfügte, sodass letzterer gemäss Art. 43 Abs. 3 AuG grundsätzlich einen Anspruch auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung hatte. Im hier angefochtenen Urteil vom 21. März 2018 äussert sich die Vorinstanz sodann nicht näher zur Bewilligungssituation des Beschwerdeführers 4. Im bundesgerichtlichen Verfahren blieb die Darstellung der Beschwerdeführer unwidersprochen, wonach auch der Beschwerdeführer 4 über eine Niederlassungsbewilligung verfügt
3.3.2. Die vorinstanzlichen Urteile vom 13. April 2016 und 21. März 2018 enthalten keine eindeutigen Angaben zur Bewilligungssituation des Beschwerdeführers 4 (vgl. Art. 112 Abs. 1 lit. b BGG), und auch die Akten lassen insoweit keine klaren Schlüsse zu (vgl. Art. 105 Abs. 2 BGG). Auf dieser Grundlage lässt sich die Rechtmässigkeit der verfügten Wegweisung in Bezug auf den geltend gemachten Niederlassungsanspruch nicht überprüfen; das angefochtene Urteil ist auch in Bezug auf die Wegweisung des Beschwerdeführers 4 aufzuheben (Art. 112 Abs. 3 BGG).
4.
Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten teilweise gutzuheissen. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben, soweit die Beschwerdeführer 3 und 4 aus der Schweiz weggewiesen wurden. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie einzutreten ist. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist nicht einzutreten.
4.1. In Bezug auf die Wegweisung der Beschwerdeführer 3 und 4 obsiegen die Beschwerdeführer in einem untergeordneten Punkt. Im Übrigen unterliegen sie und tragen die Gerichtskosten (vgl. Art. 66 Abs. 1 und Abs. 4 BGG). Im Rahmen ihres Obsiegens steht den Beschwerdeführern für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung zu (vgl. Art. 68 Abs. 1 BGG).
4.2. Darüber hinaus beantragen die Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege. Soweit sie im bundesgerichtlichen Verfahren unterliegen, waren die Aussichten auf einen Erfolg ihrer Beschwerde allerdings gering, sodass die unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit ihrer Begehren nicht gewährt werden kann (vgl. Art. 64 Abs. 1 BGG). Ihr Gesuch ist abzuweisen, soweit es zufolge ihres teilweisen Obsiegens nicht gegenstandslos geworden ist.
4.3. Angesichts des Ausgangs des Verfahrens vor dem Bundesgericht sind die kantonalen Kosten- und Entschädigungsfolgen neu zu regeln; die Sache ist zu diesem Zweck an die Vorinstanz zurückzuweisen (vgl. Art. 67 und Art. 68 Abs. 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird teilweise gutgeheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 21. März 2018 wird aufgehoben, soweit die Beschwerdeführer 3 und 4 aus der Schweiz weggewiesen wurden. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
3.1. Die Gerichtskosten werden im Umfang von Fr. 750.-- den Beschwerdeführern auferlegt.
3.2. Der Kanton Solothurn hat die Rechtsvertreterin der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 800.-- zu entschädigen.
3.3. Das Gesuch der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
4.
Zur Neuverlegung der Kosten und Parteientschädigungen des kantonalen Verfahrens wird die Sache an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Januar 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Fellmann