Sachverhalt:
A.
Am 28. Oktober 2019 entschied der Amtsgerichtspräsident des Richteramts Bucheggberg-Wasseramt, in Sachen A._ gegen B.B._ und C.B._ auf A._s Revisionsgesuch mangels rechtzeitiger Bezahlung des Kostenvorschusses nicht einzutreten. Laut Ziffer 4 der Verfügung hat A._ die Gerichtskosten von pauschal Fr. 300.-- zu bezahlen. Die Verfügung hat das Aktenzeichen "xxx" und trägt einen Stempel mit Datum vom 22. April 2020, dem zufolge dieser Entscheid vollstreckbar ist.
B.
Mit Zahlungsbefehl Nr. yyy des Betreibungsamts Region Solothurn vom 5. März 2020 betrieb der Kanton Solothurn, vertreten durch die Zentrale Gerichtskasse, A._ für den Betrag von Fr. 300.-- nebst Zins zu 5 % seit 8. Januar 2020. Als Forderungsurkunde/Forderungsgrund ist Folgendes angegeben: "Fall-Nr. xxx, Rechn.-Nr. zzz vom 26.11.2019". Dazu kamen eine Mahngebühr ohne Zins von Fr. 50.-- sowie Betreibungskosten (Ausstellung des Zahlungsbefehls) von Fr. 33.30. A._ erhob Rechtsvorschlag.
C.
In der Folge ersuchte der Kanton Solothurn das Richteramt Bucheggberg-Wasseramt in der Betreibung Nr. yyy für die genannten Beträge um Erteilung der definitiven Rechtsöffnung. Die Amtsgerichtsstatthalterin entsprach dem Gesuch für den Betrag von Fr. 300.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 8. Januar 2020, nicht jedoch mit Bezug auf die Mahngebühr. Ferner verpflichtete sie A._, dem Kanton Solothurn die Betreibungskosten von Fr. 33.30 zu ersetzen. Die dagegen von A._ erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Solothurn ab, soweit es darauf eintrat. Auch A._s Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Rechtsmittelverfahren wurde abgewiesen. Das Urteil datiert vom 7. Mai 2021 und wurde A._ am 11. Mai 2021 zugestellt.
D.
Mit Beschwerde vom 10. Juni 2021 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, das angefochtene Urteil "entschädigungspflichtig als widerrechtlich ggf. als willkürlich aufzuheben" und "in der Sache selbst zu entscheiden". Ausserdem ersucht er für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Verfügung vom 14. Juni 2021 teilte die II. zivilrechtliche Abteilung dem Beschwerdeführer mit, dass das Bundesgericht keine Rechtsanwälte vermittelt und es an ihm liegt, eine Rechtsvertretung mit der Interessenwahrung zu betrauen. Mit Eingabe vom 23. Juni 2021 (Datum der Postaufgabe) verlangt der Beschwerdeführer, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, jedoch keinen Schriftenwechsel angeordnet.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein Entscheid über eine vermögensrechtliche Zwangsvollstreckungssache (Art. 72 Abs. 2 Bst. a BGG). Die gesetzliche Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG) ist nicht erreicht. Diesfalls ist die Beschwerde in Zivilsachen dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 Bst. a BGG). Dieser Begriff ist restriktiv auszulegen (zum Ganzen <ref-ruling> E. 1.3). Ist eine Beschwerde nur unter der besagten Voraussetzung zulässig, so hat der Beschwerdeführer in der Beschwerdeschrift auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist (<ref-law>), ansonsten die Beschwerde in Zivilsachen unzulässig ist (BGE a.a.O. mit Hinweis). Hier begnügt sich der Beschwerdeführer mit der Behauptung, als Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung sei zu prüfen, ob "die Gerichtskostenrechnungen als nachweispflichtige Sendungen zuzustellen" sind. Eine Begründung, weshalb es sich dabei um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne der zitierten Norm handle, ist der Beschwerde nicht zu entnehmen. Die Beschwerde in Zivilsachen ist deshalb unzulässig und die Zulässigkeit der Beschwerde richtet sich nach den Vorschriften über die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>). Das Obergericht hat als obere kantonale Instanz auf Rechtsmittel hin entschieden (Art. 114 i.V.m. <ref-law>). Der angefochtene Entscheid betrifft den verfahrensbeteiligten Beschwerdeführer in seinen rechtlich geschützten Interessen (<ref-law>) und schliesst das kantonale Verfahren ab (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Die rechtzeitig erhobene (Art. 117 i.V.m. <ref-law>) Beschwerde ist grundsätzlich zulässig.
2.
2.1. Die Beschwerde an das Bundesgericht ist ein reformatorisches Rechtsmittel (<ref-law>). Die rechtsuchende Partei muss grundsätzlich einen Antrag in der Sache stellen (<ref-ruling> E. 1.3), also angeben, welche Punkte des kantonalen Entscheids sie anficht und inwiefern der angefochtene Entscheid abgeändert werden soll (<ref-ruling> E. 3.1; Urteil 5A_346/2016 vom 29. Juni 2017 E. 2.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Allein der Antrag, den angefochtenen Entscheid aufzuheben, genügt hierzu nicht und macht die Beschwerde an sich unzulässig. Ausnahmsweise reicht ein blosser Rückweisungsantrag aus, wenn das Bundesgericht im Falle einer Gutheissung in der Sache naturgemäss nicht selbst entscheiden könnte (<ref-ruling> E. 1.3). Für die Auslegung der Rechtsbegehren kann das Bundesgericht die Begründung der Beschwerde heranziehen (<ref-ruling> E. 1.2).
2.2. Unter dem Titel "Es wird beantragt" verlangt der Beschwerdeführer vom Bundesgericht, das vorinstanzliche Urteil aufzuheben und "in der Sache selbst zu entscheiden" (s. Sachverhalt Bst. D). Inwiefern der angefochtene Entscheid abgeändert werden soll, ist diesem Begehren nicht zu entnehmen. Unter Berücksichtigung der weiteren Ausführungen in der Beschwerdebegründung wird aber insgesamt deutlich, dass der Beschwerdeführer zumindest sinngemäss die Abweisung des Rechtsöffnungsbegehrens verlangt. Insofern ist dem gesetzlichen Erfordernis eines reformatorischen Antrags Genüge getan.
3.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Der Beschwerdeführer muss in seiner Eingabe präzise angeben, welche verfassungsmässigen Rechte verletzt worden sind, und im Einzelnen substanziiert darlegen, worin die Verletzung besteht. Eine Überprüfung von Amtes wegen, wie sie dem Bundesgericht hinsichtlich des Gesetzes- und Verordnungsrechts des Bundes zusteht (<ref-law>), findet nicht statt. Das Bundesgericht untersucht deshalb nicht von sich aus, ob der angefochtene kantonale Entscheid verfassungsmässig ist. Es prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.2). In tatsächlicher Hinsicht legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Auch diesbezüglich kann das Bundesgericht nur dann korrigierend eingreifen, wenn der Beschwerdeführer eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte dartut (<ref-law>).
Wer sich auf eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) berufen will, kann sich demnach nicht darauf beschränken, die Sach- oder Rechtslage aus seiner Sicht darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Vielmehr ist anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 4b). Willkür liegt zudem nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheids, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 6.1; <ref-ruling> E. 3.4; <ref-ruling> E. 5.4). Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, begründet keine Willkür (<ref-ruling> a.a.O.; <ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 3.1; je mit Hinweisen).
4.
Anlass zur Beschwerde gibt die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung gestützt auf den Kostenentscheid eines Gerichts.
4.1. Beruht die Forderung auf einem vollstreckbaren gerichtlichen Entscheid, so wird die definitive Rechtsöffnung erteilt, wenn nicht der Betriebene durch Urkunden beweist, dass die Schuld seit Erlass des Entscheids getilgt oder gestundet worden ist, oder die Verjährung anruft (Art. 80 Abs. 1, Art. 81 Abs. 1 SchKG). Nach der Rechtsprechung muss die in Betreibung gesetzte Forderung im Zeitpunkt des Erlasses des Zahlungsbefehls fällig gewesen sein (<ref-ruling> E. 4). Das gilt auch im Verfahren der definitiven Rechtsöffnung (Urteil 5A_954/2015 vom 22. März 2016 E. 3.1). Fälligkeit bedeutet, dass der Gläubiger die Leistung einfordern darf (<ref-ruling> E. 3.2.1), ohne noch den Eintritt einer Bedingung oder den Ablauf einer Frist abwarten zu müssen (<ref-ruling> E. 3c). Im Bestreitungsfall liegt die Beweislast beim Gläubiger; er hat den Nachweis der Fälligkeit zu erbringen (Urteile 5D_168/2019 vom 23. Dezember 2019 E 3.4.2.1; 5A_695/2017 vom 18. Juli 2018 E. 3.2; je mit Hinweisen). Schweigt sich der zu vollstreckende Entscheid selbst darüber aus, wann die durch das Urteil festgestellte Forderung fällig wird, so tritt die Fälligkeit zusammen mit der Rechtskraft ein (Stéphane Abbet, La mainlevée d'opposition, Commentaire des articles 74 à 84 LP, Stämpflis Handkommentar, 2017, N 23 zu <ref-law>; Daniel Staehelin, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Bd. I, 2. Aufl., 2010, N 39 zu <ref-law>). Die Voraussetzung der Fälligkeit bei Anhe-bung der Betreibung kann der Betriebene durch die Erhebung des Rechtsvorschlages in Frage stellen; er muss sich eine zwangsweise Vollstreckung verfrüht geltend gemachter Ansprüche des Gläubigers nicht gefallen lassen (<ref-ruling> E. 5a).
4.2. Das Obergericht stellt fest, dass dem Beschwerdeführer mit Verfügung vom 28. Oktober 2019 des Richteramts Bucheggberg-Wasseramt im Verfahren BWZPO.2019.757 Gerichtskosten von Fr. 300.-- auferlegt worden seien. Dieser Entscheid sei gemäss Bescheinigung vom 22. April 2020 vollstreckbar. "Unbestrittenermassen" stelle ein solcher auf Geld lautender Entscheid bei gehöriger Eröffnung und Eintritt der Vollstreckbarkeit einen definitiven Rechtsöffnungstitel im Sinne von <ref-law> dar. Aus den Vorakten ergibt sich für das Obergericht, dass sich der Beschwerdeführer weder auf Tilgung oder Stundung noch auf die Verjährung berief und keine entsprechenden Belege zu den Akten reichte, die den Rechtsöffnungstitel entkräften würden. In seiner Beschwerdeschrift gehe der Beschwerdeführer nicht auf die Erwägungen des erstinstanzlichen Gerichts ein. Folglich lasse sich seiner Eingabe nicht entnehmen, inwiefern die erste Instanz das Recht unrichtig angewendet oder den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt haben soll. Den Anforderungen an eine Beschwerdeschrift sei damit nicht Genüge getan; die Beschwerde sei demnach abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
4.3. Der Beschwerdeführer stellt sich auf den Standpunkt, dass die Gerichtskosten erst nach Ablauf von dreissig Tagen seit Zustellung der Rechnung fällig werden. Dies ergebe sich aus § 205 GVG in der Fassung gemäss dem Gesetz über die Verzugszinsen für öffentlich-rechtliche Forderungen vom 17. Juni 2002, das seit 1. Juli 2003 in Kraft sei. Der Beschwerdeführer hält daran fest, dass der Beschwerdegegner ihm keine Rechnung zugesandt habe, so dass der Zahlungsbefehl unter "Missachtung und Verletzung des § 205 GVG erfolgte". Dem Beschwerdegegner die Rechtsöffnung zu erteilen, obwohl er die Zustellung der Rechnung nicht nachwies, sei widerrechtlich, sogar willkürlich. Mittels entsprechender Beweisanträge habe er vor den Vorinstanzen verlangt, dass der Beschwerdegegner zu verpflichten sei, entsprechend <ref-law> die Nachweise der Zustellung für die Rechnung vorzulegen, für die er die Rechtsöffnung verlangt. Die kantonalen Instanzen hätten diese Beweisanträge nicht zur Kenntnis genommen und damit seinen Anspruch auf rechtliches Gehör und auf ein faires Verfahren verletzt. In der Folge rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung des "Gleichheitsgrundsatzes". Das Richteramt habe in seinem Urteil zwei gleiche Sachverhalte mit identischen Rechtsfragen beurteilt, die nicht nachweisungspflichtig zugestellte Rechnung und die Mahnung jedoch "diametral anders betrachtet, obwohl sie gleich zu behandeln wären." Die Rechnung sei als zugestellt anerkannt worden, die Mahnung nicht, obwohl für keine der beiden Urkunden ein Zustellnachweis vorliege. Unter dem Titel einer Verletzung von Treu und Glauben im Sinne von <ref-law> beklagt sich der Beschwerdeführer schliesslich über die Dauer des erstinstanzlichen Verfahrens. Mit 164 Tagen sei der Zeitraum vom 21. September 2020 (Duplik des Beschwerdeführers) bis zum 4. März 2021 (erstinstanzliches Urteil) "unter Berücksichtigung der Einfachheit der Sach- und Rechtslage" als ungebührlich lange einzustufen.
4.4. Von vornherein nicht einzutreten ist auf die Reklamationen, die sich gegen den Entscheid der ersten Instanz richten. Denn Gegenstand der Beschwerde an das Bundesgericht ist ausschliesslich der Entscheid der letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Soweit der Beschwerdeführer (sinngemäss) eine Verletzung des verfassungsmässigen Anspruchs auf Beurteilung binnen angemessener Frist (<ref-law>) ausgemacht haben will, trifft es zwar zu, dass er diesen Vorwurf schon vor der Vorinstanz erhob und sich diese mit keinem Wort dazu äussert. Nach der Rechtsprechung fehlt es aber grundsätzlich am aktuellen Rechtsschutzinteresse (<ref-law>) an einer Rechtsverzögerungsbeschwerde, wenn der angeblich verzögerte Entscheid in der Zwischenzeit ergangen ist (<ref-ruling> E 1). Auf diese Rüge ist deshalb nicht einzutreten. Insbesondere kann auch nicht gesagt werden, dass der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang hinreichend substanziiert und in vertretbarer Weise eine Verletzung der EMRK rügt, was dazu Anlass geben könnte, eine Rechtsverzögerungsbeschwerde trotz fehlenden aktuellen Interesses zu behandeln (s. Urteil 5A_911/2019 vom 28. Januar 2020 E. 4.1 mit Hinweis). Die pauschale Behauptung, es sei gegen "einige Artikel der EMRK" verstossen worden, genügt nicht.
4.5. Auch in der Sache sind die Beanstandungen des Beschwerdeführers zum Scheitern verurteilt. Das Gesetz über die Verzugszinsen für öffentlichrechtliche Forderungen vom 17. Juni 2002 und das (auf den 1. Januar 2011 aufgehobene) Gerichtsverfassungsgesetz vom 13. Juni 1976, auf dessen § 205 sich der Beschwerdeführer beruft, sind Erlasse des Kantons Zürich (s. Offizielle Gesetzessammlung des Kantons Zürich, Bd. 57, S. 277, bzw. Bd. 65, S. 566). Sie haben für die Beurteilung eines Rechtsöffnungsgesuchs, das sich um eine Gerichtskostenforderung des Kantons Solothurn dreht, keine Bedeutung. Dass die umstrittene Gerichtskostenforderung nach Massgabe anderer Vorschriften, insbesondere solcher des solothurnischen Rechts, erst mit der Zustellung einer (separaten) Rechnung bzw. mit Ablauf einer dort angegebenen Zahlungsfrist fällig geworden wäre und das Obergericht dies in verfassungswidriger Anwendung solch einschlägiger Normen übergangen hätte, macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Entsprechend ist seiner (sinngemässen) Rüge, dass die Forderung im Zeitpunkt des Erlasses des Zahlungsbefehls mangels Nachweises der Zustellung der Rechnung gar nicht fällig gewesen sei, der Boden entzogen.
Soweit sich der Beschwerdeführer darüber beklagt, dass der Beschwerdegegner die Rechtsöffnung gestützt auf eine (nicht zugestellte) Rechnung verlange, trifft es zwar zu, dass der Zahlungsbefehl und das Rechtsöffnungsbegehren nicht auf die Verfügung des Richteramts Bucheggberg-Wasseramt vom 28. Oktober 2019 (s. Sachverhalt Bst. A), sondern auf die Rechnung vom 26. November 2019 (s. Sachverhalt Bst. B) Bezug nehmen, als definitiver Rechtsöffnungstitel im Sinne von <ref-law> jedoch einzig die besagte Verfügung in Frage kommt. Die von der Zentralen Gerichtskasse ausgestellte Rechnung verweist jedoch (unter Angabe der Geschäftsnummer des Gerichts) ausdrücklich auf den Entscheid vom 28. Oktober 2019. Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, inwiefern die Vorinstanz seine verfassungsmässigen Rechte verletzt, wenn sie angesichts des unmittelbar erkennbaren Zusammenhangs zwischen der Rechnung vom 26. November 2019 und der Verfügung vom 28. Oktober 2019 von sich aus prüft, ob mit dem eingereichten Kostenentscheid ein zur definitiven Rechtsöffnung berechtigender Titel vorliegt (vgl. Urteil 5D_23/2018 vom 31. August 2018 E. 4).
Schliesslich macht der Beschwerdeführer auch nicht geltend, dass sich aus dem Kostenentscheid selbst ergäbe, wann die Gerichtskosten von Fr. 300.-- zur Zahlung fällig werden, noch bemängelt er als Verletzung seiner verfassungsmässigen Rechte, dass die Vorinstanzen dem Beschwerdegegner keinen Nachweis der Fälligkeit abverlangten, obwohl er die Zustellung der Rechnung vom 26. November 2019 bestritt bzw. auf einem diesbezüglichen Nachweis bestand (vgl. Urteil 5A_950/2014 vom 16. April 2015 E. 3.6.2). Nachdem er auch nicht in Frage stellt, dass die Verfügung vom 28. Oktober 2019 im Zeitpunkt der Zustellung des Zahlungsbefehls vollstreckbar war, ist jedenfalls unter Willkürgesichtspunkten nicht zu beanstanden, dass das Obergericht die Fälligkeit der Gerichtskostenforderung als notwendige Voraussetzung der Rechtsöffnung stillschweigend unterstellt und nicht weiter thematisiert (s. oben E. 4.1). Kann die Frage nach der Zustellung der Rechnung aus den dargelegten Gründen ausser Acht bleiben, so braucht auch nicht erörtert zu werden, ob sich das Obergericht dem Vorwurf einer Gehörsverletzung oder einer Verletzung des Anspruchs auf ein faires Verfahren aussetzt, wenn es sich nicht zu den Beweisanträgen äussert, die der Beschwerdeführer im Zusammenhang mit dem geforderten Zustellungsnachweis stellte. Gewiss verschafft der in <ref-law> verfassungsmässig garantierte Gehörsanspruch einer Partei (unter anderem) das Recht, mit ihren Beweisanträgen gehört zu werden (<ref-ruling> E. 3.2). Die formelle Natur des Gehörsanspruchs (<ref-ruling> E. 2.2 mit Hinweisen) ist jedoch nicht Selbstzweck (Urteile 5A_69/2019 vom 20. Juni 2019 E. 2.3; 5A_968/2016 vom 14. Juni 2017 E. 3.3; 5A_749/2016 vom 11. Mai 2017 E. 6). Nicht anders verhält es sich mit dem Anspruch auf ein faires Verfahren (<ref-law>), soweit dieser verfassungsmässigen Garantie im vorliegenden Zusammenhang neben dem Gehörsanspruch überhaupt eigenständige Bedeutung zukommt.
5.
Nach alledem erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist deshalb abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung für das bundesgerichtliche Verfahren gegenstandslos. Bei diesem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Wie die vorigen Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren als von Anfang an aussichtslos gelten, weshalb das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren abzuweisen ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. September 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Monn