Sachverhalt:
A.
Die Jugendstaatsanwaltschaft Winterthur wies A._ mit Verfügung vom 29. Januar 2020 am 30. Januar 2020 im Rahmen einer Beobachtung und im Anschluss daran mit Verfügung vom 21. August 2020 gleichentags im Rahmen einer Unterbringung vorsorglich in das Kantonale Jugendheim ein.
Das Bezirksgericht Winterthur (Jugendgericht) fand ihn mit Urteil vom 25. März 2021 schuldig des Raubs, des Angriffs (Dossier 2), der Sachbeschädigung, der Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte sowie der Übertretung des Personenbeförderungsgesetzes; es sprach ihn frei von den Vorwürfen des Angriffs (Dossier 1) und der strafbaren Vorbereitungshandlungen zu schwerer Körperverletzung.
Es ordnete eine ambulante Behandlung nach <ref-law> sowie die Unterbringung im Sinne von <ref-law> an und bestrafte ihn mit 4 Monaten Freiheitsentzug, einer persönlichen Leistung von 4 Tagen sowie einer Busse von Fr. 80.--. Diese Strafen waren durch Haft sowie die stationäre Behandlung erstanden. Es verpflichtete ihn, unter solidarischer Haftung allfälliger Mittäter, zu Genugtuung und Schadenersatz und verwies die Zivilforderungen teils auf den Zivilweg.
Das Urteil erwuchs in Rechtskraft.
B.
Die Jugendanwaltschaft Winterthur als zuständige Vollzugsbehörde wies A._ mit Vollzugsverfügung vom 29. Oktober 2021 mit Wirkung vom 25. März 2021 definitiv in das Kantonale Jugendheim ein (<ref-law>; Art. 42 Abs. 1 und 2 JStPO). Nach der Rechtsmittelbelehrung konnte die Verfügung innert 10 Tagen seit der Zustellung oder Eröffnung beim Obergericht des Kantons Zürich eingereicht werden (<ref-law>; <ref-law>).
Gegen die Vollzugsverfügung erhoben seine Mutter B.A._ und A._ am 8. November 2021 beim Obergericht des Kantons Zürich Beschwerde. Sie beantragten, die Verfügung aufzuheben und A._ nach Hause zu entlassen, und beschwerten sich über eine Rechnung von Fr. 300.-- für Anwaltskosten.
Das Obergericht des Kantons Zürich trat mit Beschluss vom 18. November 2021 auf die Beschwerde nicht ein. Es leitete die Eingabe von A._ der Direktion der Justiz und des Innern zur Prüfung eines verwaltungsrechtlichen Rechtsmittels weiter, nahm die Kosten auf die Staatskasse und sprach keine Entschädigung zu.
C.
Die Oberjugendanwaltschaft des Kantons Zürich beantragt beim Bundesgericht mit Beschwerde in Strafsachen, den obergerichtlichen Beschluss aufzuheben und die Sache zu neuer Beurteilung an das Obergericht zurückzuweisen.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerde in Strafsachen unterliegen ratione materiae Entscheide über den Vollzug von Strafen und Massnahmen (<ref-law>), auch jene des Jugendstrafrechts.
1.2. Die Kantone regeln die Organisation und die Befugnisse der Jugendstrafbehörden und können Oberjugendanwaltschaften vorsehen (Art. 7 Abs. 3 und Art. 8 Abs. 1 und 3 JStPO).
Die Oberjugendanwaltschaft hat am vorinstanzlichen Verfahren nicht direkt als Partei teilgenommen, ist aber eine der Jugendanwaltschaft Winterthur übergeordnete Behörde. Sie übt im Jugendstrafverfahren diejenigen Befugnisse aus, die im Verfahren gegen Erwachsene die Oberstaatsanwaltschaft ausübt. Sie ist allgemein zuständig für die Jugendstrafverfolgung im Kanton und die damit verbundenen Vollzugsaufgaben sowie für die Erhebung von Rechtsmitteln vor den kantonalen und eidgenössischen Instanzen; sie vertritt demnach den Kanton Zürich auch in Rechtsmittelverfahren vor Bundesgericht (insb. § 114 Abs. 1 und 3 lit. d sowie § 116 Abs. 3 des Gesetzes über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess des Kantons Zürich [GOG/ZH; LS 211.1]).
Der Oberjugendanwaltschaft ist mithin die Beschwerdeberechtigung gleicherweise zuzugestehen wie der Zürcher Oberstaatsanwaltschaft nach Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 BGG und damit grundsätzlich ohne Einschränkung (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.4.3; Urteile 6B_1159/2018 vom 18. September 2019 E. 1; 6B_564/2018 vom 2. August 2018).
1.3. Gemäss <ref-law> ist zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b).
Nach konstanter Rechtsprechung muss die beschwerdeführende Person ein aktuelles und praktisches Interesse an der Behandlung der Beschwerde haben. Mit diesem Erfordernis soll sichergestellt werden, dass das Gericht konkrete und nicht bloss theoretische Fragen entscheidet (<ref-ruling> E. 2.3.1; <ref-ruling> E. 1.3.1). Ergeht die vorinstanzliche Entscheidung nicht in der Sache, sondern zur Zulässigkeit der Beschwerde, lässt sich annehmen, dass sich das rechtlich geschützte Interesse in diesem Fall nicht aus einer Berechtigung an der Sache ergibt, sondern aus der Berechtigung, am Verfahren teilzunehmen (NIKLAUS OBERHOLZER, in: Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2015, N. 10 zu <ref-law>). Da eine Rechtsverweigerung wegen Verneinung der Zuständigkeit gerügt wird, ist die Legitimation zu bejahen (vgl. Urteil 6B_961/2019 vom 14. Februar 2020 E. 2).
1.4. Die Oberjugendanwaltschaft führt Beschwerde nicht in der Sache, sondern prozessualiter gegen den selbständig eröffneten vorinstanzlichen Nichteintretensentscheid, in dem die Vorinstanz ihre Zuständigkeit verneint. Der Entscheid schliesst das Verfahren aktuell vor der Vorinstanz, aber mit der Überweisung an die Verwaltungsbehörde nicht definitiv ab. Es kann offenbleiben, ob der Entscheid im Sinne von Art. 92 oder Art. 93 BGG zu qualifizieren ist.
1.5. Das Bundesgericht beurteilt bundesrechtliche Zuständigkeitsvorschriften frei und die Verletzung kantonalrechtlicher Zuständigkeitsvorschriften unter dem Titel willkürlicher Auslegung und Rechtsanwendung (vgl. Urteil 6B_961/2019 vom 14. Februar 2020 E. 4.1).
2.
2.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz entscheide überspitzt formalistisch, indem sie ausführe, die Direktion der Justiz und des Innern könne die Eingabe allenfalls an die Jugendanwaltschaft überweisen, die das Gesuch um Aufhebung der Unterbringung gemäss <ref-law> behandeln könne. Der Beschwerdegegner wolle aus der Schutzmassnahme entlassen werden. Gegen die definitive Anordnung wie die Ablehnung der Entlassung sei die Beschwerde im Sinne von <ref-law> gegeben. Die vorinstanzliche Auffassung laufe auf eine zu vermeidende temporäre Rechtsmittelzersplitterung hinaus. Selbständige nachträgliche Entscheide - und um einen solchen gehe es der Sache nach - seien mit Beschwerde anfechtbar. <ref-law> beinhalte entgegen der Vorinstanz keine abschliessende Aufzählung der mit Beschwerde anfechtbaren Entscheide betreffend den jugendstrafrechtlichen Vollzug. Vielmehr seien materiell auf die JStPO gestützte Vollzugsentscheide gemäss <ref-law> mit Beschwerde anfechtbar (mit Hinweis auf Urteil 6B_532/2011 vom 29. September 2011 E. 2.2 betr. die amtliche Verteidigung im Sinne von <ref-law>).
2.2. Die Vorinstanz führt aus, die kantonale Beschwerde richte sich gegen eine Vollzugsverfügung betreffend eine Schutzmassnahme nach <ref-law>. Beschwerde könne nur gemäss <ref-law> geführt werden. Diese Aufzählung sei abschliessend (mit Hinweisen auf die Botschaft vom 21. Dezember 2005 zur Vereinheitlichung des Strafprozessrechts, BBl 2006 1373; Urteil 6B_282/2015 vom vom 18. März 2015 E. 2 sowie die Literatur). Gegen diese Vollzugsverfügung sei im Kanton Zürich keine Beschwerde nach <ref-law> möglich. Das kantonale Recht sehe in § 35 des Straf- und Justizvollzugsgesetzes (StJVG/ZH; LS 331) vor, dass Entscheide, die nicht gemäss <ref-law> anfechtbar seien, gemäss dem Verwaltungsrechtspflegegesetz (VRG/ZH; LS 175.2) angefochten werden können.
Mit der Vollzugsverfügung werde der Vollzug einer Unterbringung nach dem rechtskräftigen Urteil angeordnet. Es werde weder eine bestehende Massnahme geändert noch der Jugendliche in eine andere Einrichtung überwiesen. Die Beschwerde richte sich nicht gegen ein zulässiges Anfechtungsobjekt. Die Rechtsmittelbelehrung erweise sich als falsch. Der Jugendliche müsse auf verwaltungsrechtlichem Weg vorgehen. Zur Beurteilung verwaltungsrechtlicher Rechtsmittel sei sie nicht zuständig (§§ 19 ff. VRG/ZH). Die Eingabe sei an die Direktion der Justiz und des Innern zur Prüfung eines verwaltungsrechtlichen Rechtsmittels weiterzuleiten (<ref-law>).
2.3.
2.3.1. Gemäss <ref-law> sind die Bestimmungen der Strafprozessordnung (StPO) anwendbar, sofern dieses Gesetz keine besondere Regelung enthält.
Die Besonderheit des Jugendstrafrechts bringt es mit sich, dass die Untersuchungsbehörde, die Jugendanwaltschaft, bundesrechtlich auch für den Vollzug zuständig ist (Art. 42 Abs. 1, Art. 6 Abs. 1 lit. b und Art. 1 JStPO). Mit dieser gesetzlichen Lösung wird die "Beziehungskonstanz" erhalten, die es der Fachbehörde ermöglicht, den Überblick zu wahren und rasch reagieren zu können (DIETER HEBEISEN, in: Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, Jugendstrafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 2 <ref-law>).
Die JStPO ist ein Spezialgesetz zur StPO. Treten Normkonflikte auf, geht die JStPO als lex specialis vor, während Bestimmungen der StPO in analoger Weise Anwendung finden (HUG/SCHLÄFLI, in: Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, Jugendstrafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 1 und 10 zu <ref-law>).
2.3.2. Die JStPO sieht als Rechtsmittel im Rahmen des Vollzugs von Sanktionen die Beschwerde vor und regelt dabei zugleich in <ref-law> das zulässige Anfechtungsobjekt.
Die Unterbringung wird von der "urteilenden Behörde" angeordnet (<ref-law>). Die Vollzugsbehörde bestimmt, wer mit dem Vollzug betraut wird (<ref-law>), und damit u.a. auch die geeignete Einrichtung oder den Vollzugsort (Urteil 6B_549/2014 vom 23. März 2015 E. 4.2). Urteile werden gemäss <ref-law> von der zuständigen Verwaltungsbehörde mit Vollzugsverfügung vollstreckt. Dieser Rechtsordnung entsprechend erfolgte in casu der Vollzug des rechtskräftigen Unterbringungsurteils durch die definitive Einweisung in das Kantonale Jugendheim mit der "Vollzugsverfügung" der Jugendanwaltschaft als Verwaltungsbehörde (wie bereits die vorsorgliche Einweisung, oben Sachverhalt A).
2.3.3. Gemäss der sinngemäss anwendbaren Bestimmung von <ref-law> haben die Kantone das Verfahren beim Vollzug von Strafen und Massnahmen zu regeln und bestimmen "in der Regel ein Verwaltungsverfahren" (HEBEISEN, a.a.O., N. 8 Zu <ref-law>).
Eine Durchsicht des JStG und der JStPO zeigt die Konzeption einer Zuständigkeitsordnung auf, die pragmatisch dem jeweiligen Sachbereich entstammt. Abgesehen davon ist keine zwingende Logik in der Verfahrensordnung erkennbar (vgl. HEBEISEN, a.a.O., NN. 9 ff. und insb. NN. 12 ff. zu <ref-law>). Einer systematischen Auslegung ist damit die Grundlage entzogen. Es erscheint nicht angezeigt, punktuell diese Zuständigkeitsregelung zu durchbrechen und damit allenfalls neue Inkompatibilitäten zu schaffen.
Es sind keine durchschlagenden Argumente für den Rechtsstandpunkt der Beschwerdeführerin erkennbar. Nach der vorinstanzlich begründeten kantonalrechtlichen Verfahrensordnung im Sinne von <ref-law> gilt das Verwaltungsverfahren (wobei das Beschleunigungsgebot der besonderen Beachtung bedarf, vgl. Urteil 6B_1376/2021 vom 26. Januar 2022 E. 2.3.1 ff.). Angesichts der "ausschliesslichen" Vollzugszuständigkeit der Kantone (<ref-law>; HUG/SCHLÄFLI, a.a.O., N. 1 zu <ref-law>) ist die Zuständigkeitsbestimmung den Kantonen überantwortet und das kantonale Recht massgebend.
2.4. Zusammengefasst erliess die Jugendanwaltschaft lediglich eine definitive "Vollzugsverfügung" in Befolgung des rechtskräftigen Strafurteils, wie sich dies mit Klarheit aus dem Wortlaut der Verfügung ergibt (Beschwerdebeilage, act. 3, <ref-law> i.V.m. <ref-law>). Sie entschied in keiner Weise sachlich über eine Massnahme, sodass die Argumentation der Beschwerdeführerin, <ref-law> sei anwendbar, ins Leere zielt. Diese Verfügung ist der Streit- oder Verfahrensgegenstand, der nicht erweitert oder verändert werden kann ("le litige peut être réduit, mais ne saurait être ni élargi, ni transformé par rapport à ce qu'il était devant l'autorité précédente"; <ref-ruling> E. 4.4.2; Urteil 2C_418/2021 vom 18. Mai 2021 E. 3). Auf ausserhalb des Streitgegenstands liegende Anträge, Rügen und weitere Vorbringen kann daher von vornherein nicht eingetreten werden (Urteil 6B_1285/2019 vom 22. Dezember 2020 E. 2.1).
Die Beschwerdeführerin vermag überdies nicht darzulegen, inwiefern der angefochten Akt Recht verletzt (<ref-law>). Weder benennt sie eine klare Norm für ihren Rechtsstandpunkt noch begründet sie bundesrechtskonform qualifiziert (<ref-law>) eine willkürliche Auslegung und Anwendung des massgebenden kantonalen Rechts. Schliesslich lässt sich aufgrund der Weiterleitung der kantonalen Eingabe an die Verwaltungsbehörde auch keine formelle Rechtsverweigerung annehmen.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Es sind keine Kosten zu erheben (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Februar 2022
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Jacquemoud-Rossari
Der Gerichtsschreiber: Briw