Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1989) ist die ledige Mutter von D._ (geb. 2010) und E._ (geb. 2012). Die elterliche Sorge für E._ teilt sie sich mit dessen Vater F._.
A.b. Mit Entscheiden vom 19. Juni 2014 und 9. September 2014 entzog die Kindes- und Erwachsenenbehörde U._ (KESB) den Eltern das Aufenthaltsbestimmungsrecht. Seither lebt E._ bei einer Pflegefamilie.
B.
Mit Schreiben vom 21. Februar 2021 beantragte die damalige Beiständin von E._, G._, der KESB, die elterliche Sorge von A._ in Bezug auf die Abgabe eines Medikaments zur Behandlung der bei E._ diagnostizierten (einfachen) Aktivitäts- und Aufmerksamkeitsstörung (ADHS) einzuschränken. A._ beantragte am 9. März 2021 einerseits den Ausstand von B._ - sie war Mitglied der KESB - und anderseits die Abweisung des Antrags auf Einschränkung der elterlichen Sorge. Die KESB wies am 8. April 2021 das Ausstandsbegehren ab und schränkte die elterliche Sorge von A._ antragsgemäss ein. An diesem Entscheid wirkte B._ mit.
C.
Hiergegen erhob A._ beim Obergericht des Kantons Thurgau Beschwerde. Dieses wies die Beschwerde mit Entscheid vom 8. Juni 2021 (eröffnet am 13. Juli 2021) ab.
D.
Mit Beschwerde vom 12. August 2021 gelangt A._ (nachfolgend: Beschwerdeführerin) ans Bundesgericht und beantragt sinngemäss die Aufhebung des Entscheids des Obergerichts, die vollständige Klärung des Sachverhalts und die neue Beurteilung der Angelegenheit durch eine neu und unbefangen zusammengesetzte KESB.
Am 17. August 2021 und am 20. August 2021 haben die Berufsbeistandschaft V._ und das Obergericht auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die KESB schliesst am 30. August 2021 unter Hinweis auf ihren Entscheid auf Abweisung der Beschwerde. Ausserdem teilt sie mit, dass B._ seit dem 1. Mai 2021 nicht mehr bei der Behörde tätig ist. B._ hat sich nicht vernehmen lassen.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin über die Beschränkung der elterlichen Sorge und gleichzeitig über den Ausstand eines Mitglieds der KESB entschieden hat (Art. 75 und Art. 90 BGG). Dabei handelt es sich um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG) ohne Streitwert. Die Beschwerde in Zivilsachen ist deshalb für die Hauptsache und das Ausstandsbegehren (vgl. <ref-ruling> E. 1.1) das zutreffende Rechtsmittel. Die unvollständige Bezeichnung des Rechtsmittels durch die Beschwerdeführerin bleibt unschädlich (vgl. Urteil 5A_88/2017 vom 25. September 2017 E. 1.1, nicht publiziert in: <ref-ruling>). Die Beschwerdeführerin ist nach Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt, die sie auch fristgerecht erhoben hat (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 1 lit. b BGG). Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
2.
2.1. Umstritten ist die Abweisung des gegen B._ gestellten Ausstandsgesuches und in der Folge deren Mitwirkung am Entscheid in der Hauptsache.
Das Verfahren vor der Erwachsenenschutzbehörde bestimmt sich nach den Art. 443 ff. ZGB und im Übrigen nach der Zivilprozessordnung, soweit die Kantone nichts anderes bestimmen (Art. 450 f. ZGB). Der Ausstand von Behördenmitgliedern ist nicht im Zivilgesetzbuch geregelt. Für den Kanton Thurgau erklärt § 19 Abs. 1 der Verordnung vom 22. Dezember 2012 des Obergerichts zum Kindes- und Erwachsenenschutz (Kindes- und Erwachsenenschutzverordnung, KESV; RB 211.24) insoweit die Bestimmungen der Zivilprozessordnung für anwendbar. Diese gelangen als ergänzendes kantonales Recht zur Anwendung (<ref-ruling> E. 2.3).
2.2. Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann die Verletzung von Bundesrecht, einschliesslich des Verfassungsrechts, sowie von Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 Bst. a und b BGG). Abgesehen von den hier nicht einschlägigen Ausnahmen von Art. 95 Bst. c-e BGG ist die fehlerhafte Anwendung des kantonalen Rechts kein Beschwerdegrund vor Bundesgericht. Vielmehr kann auch hinsichtlich des kantonalen Rechts nur gerügt werden, dessen Anwendung führe zu einer Rechtsverletzung nach Art. 95 Bst. a oder b BGG, namentlich einem Verstoss gegen das Willkürverbot oder einer Verletzung anderer verfassungsmässiger Rechte (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 1.2). Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Notwendig ist, dass in der Beschwerde klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt wird, inwieweit die angerufenen Rechte verletzt wurden (<ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 1.3).
Diesen Anforderungen genügt die Beschwerde nicht, soweit die Beschwerdeführerin appellatorisch und pauschal auf diverse Grundrechte verweist. Auf die Beschwerde kann deshalb insoweit nicht eingetreten werden. Ebenso nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit diese allgemein das Recht auf Aufklärung und Information betrifft, da auch diese Rügen zu pauschal gefasst sind. Keine hinreichend substanziierten Ausführungen enthält die Beschwerdeschrift sodann insoweit, als die Beschwerdeführerin eine offensichtliche Vorbefasstheit der Oberrichterin H._ geltend macht.
2.3. Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Diesbezüglich kann nur vorgebracht werden, diese Feststellungen seien offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich, oder würden auf einer anderen Bundesrechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG (z.B. Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV oder Art. 8 ZGB) beruhen. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Auch hier gilt das strenge Rügeprinzip nach Art. 106 Abs. 2 BGG (vgl. dazu E. 2.2 hiervor).
Die Beschwerdeführerin erhebt verschiedene Sachverhaltsrügen, beschränkt sich indessen auf die Darstellung der Geschehnisse aus ihrer Sicht und setzt sich nicht ausreichend mit dem angefochtenen Entscheid auseinander. Auf die Beschwerde kann deshalb auch insoweit nicht eingetreten werden.
3.
3.1. Gemäss den Feststellungen des Obergerichts begründet die Beschwerdeführerin das Ausstandsgesuch mit der Mitwirkung von B._ an einem früheren Verfahren betreffend fürsorgerische Unterbringung. Im Raum stehe der Vorwurf des Amtsmissbrauchs. Tatsächlich sei B._ an Entscheiden beteiligt gewesen, mit denen eine Beschwerde der Beschwerdeführerin gegen die Anordnung einer fürsorgerischen Unterbringung abgewiesen und später die Massnahme verlängert worden sei. Sowohl diese früheren Verfahren wie auch das aktuelle Verfahren betreffend die teilweise Einschränkung der elterlichen Sorge hätten den psychischen Zustand und die Lebenssituation der Beschwerdeführerin und damit eine vergleichbare Thematik zum Gegenstand. Ausserdem habe B._ nicht am Entscheid mitgewirkt, der zur Entlassung der Beschwerdeführerin aus der fürsorgerischen Unterbringung geführt habe. Der Vorwurf, es bestehe ein Anschein der Befagenheit, sei daher nicht geradezu abwegig. Unter diesen Umständen hätte das Ausstandsgesuch ohne Mitwirkung von B._ behandelt werden müssen. Aufgrund der klaren Ausgangslage in der Hauptsache sei jedoch nicht davon auszugehen, dass die KESB dort in einer anderen Besetzung zu einem abweichenden Entscheid hätte gelangen können. Eine Aufhebung dieses Entscheids und die Rückweisung der Sache zu neuer Entscheidung über das Ausstandsbegehren würde daher einen formalistischen Leerlauf darstellen und zu unnötigen Verzögerungen führen, die nicht mit dem Kindeswohl vereinbar seien.
3.2. Ein nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 30 Abs. 1 BV verpönter Anschein der Befangenheit kann sich immer dann ergeben, wenn eine bestimmte Gerichtsperson in einem früheren Verfahren mit einer konkreten Streitsache schon einmal befasst war (<ref-ruling> E. 5.1; jüngst etwa Urteil 1B_562/2021 vom 16. November 2021 E. 3.3). Bei der KESB handelt es sich um ein Gericht im konventions- und verfassungsrechtlichen Sinn (<ref-ruling> E. 3), weshalb diese Voraussetzungen, wie die Vorinstanz richtig erkennt, auch hier gelten. Unbestritten ist sodann das mit der Vorbefassung von B._ begründete Ausstandsgesuch der Beschwerdeführerin nicht offensichtlich unzulässig oder missbräuchlich. Damit fehlt es an den Voraussetzungen, um auf die Durchführung eines ordentlichen Ausstandsverfahrens zu verzichten (<ref-ruling> E. 4.2.2; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1c; Urteil 5A_962/2020 vom 10. Februar 2021 E. 3.2), mithin eines Verfahrens ohne Mitwirkung des abgelehnten Mitglieds (vgl. § 19 Abs. 3 und 4 KESV). Auch dies hat das Obergericht richtig erkannt.
3.3. Allerdings erachtet das Obergericht es aus prozessökonomischen Gründen und mit Blick auf das Kindeswohl als entbehrlich, das mangelhaft durchgeführte Verfahren zu wiederholen. Dem ist in grundsätzlicher Hinsicht entgegenzuhalten, dass die Garantie eines unabhängigen und unparteiischen Gerichts formeller Natur ist und ihre Verletzung ungeachtet der Erfolgsaussichten des Standpunkts der Beschwerdeführerin sowohl zur Aufhebung des Entscheids über den Ausstand als auch des zwischenzeitlich ergangenen Entscheids in der Hauptsache führt (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.2; <ref-ruling> E. 4a; jüngst etwa Urteil 4A_576/2020 vom 10. Juni 2021 E. 3.2). Ohnehin bleibt die Überlegung der Vorinstanz, wonach die KESB auch bei ordentlicher Besetzung keinen anderen Entscheid in der Sache gefällt hätte, sich die unrichtige Besetzung des Gerichts mit anderen Worten nicht ausgewirkt habe, blosse Spekulation. Ausserdem führt das Obergericht mit keinem Wort aus, weshalb das Kind bei Durchführung eines ordentlichen Verfahren gefährdet und das Kindeswohl daher ein Abweichen von den einschlägigen Konventions- und Verfassungsbestimmungen rechtfertigen könnte.
4.
Soweit darauf einzutreten ist, ist die Beschwerde demzufolge gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Die Angelegenheit ist an die KESB zurückzuweisen, damit diese ein konventions- und verfassungsmässiges Ausstandsverfahren durchführt und anschliessend in der Sache neu entscheidet (Art. 107 Abs. 2 BGG).
Bei diesem Ausgang des Verfahrens obsiegt die Beschwerdeführerin mit ihren Anträgen im Wesentlichen. Obgleich auf die Beschwerde teilweise nicht eingetreten werden kann, rechtfertigt es sich unter diesen Umständen nicht, deswegen Kosten auszuscheiden. Entsprechend sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Die nicht anwaltlich vertretene Beschwerdeführerin, die keinen ausserordentlichen Aufwand darzutun vermag, hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 4.1).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Thurgau vom 8. Juni 2021 aufgehoben. Die Sache wird zur Neubeurteilung an die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde U._ zurückgewiesen. Im Übrigen wird auf die Beschwerde nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde U._, der Berufsbeistandschaft V._ und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. März 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber