Faits :
A.
A.a. X._, ressortissant chilien né en 1967, est entré légalement en Suisse le 5 octobre 1985. Le 26 juin 1992, à la suite du rejet de sa demande d'asile, il a quitté le territoire helvétique pour se rendre en Suède, pays dont il a obtenu la nationalité.
X._ est revenu en Suisse le 8 septembre 2001 afin de vivre auprès de sa mère, au bénéfice d'une autorisation d'établissement. Après avoir initialement refusé d'octroyer une autorisation de séjour à l'intéressé, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) est revenu sur sa décision et a accordé, le 10 février 2004, une autorisation de séjour de courte durée UE/AELE au requérant.
Le 12 mars 2005, X._ a épousé une ressortissante suisse. Le 18 mars 2005, le Service cantonal lui a octroyé une autorisation de séjour UE/AELE valable jusqu'au 11 mars 2010. Les époux ont été autorisés à vivre séparés par prononcé du Tribunal civil d'arrondissement de Lausanne du 13 février 2007.
Le 22 mars 2010, le Service cantonal a procédé au renouvellement de l'autorisation de séjour UE/AELE de X._ pour une durée d'une année. Par décision du 6 septembre 2011, ledit service a refusé de transformer l'autorisation de séjour de l'intéressé en autorisation d'établissement, au motif que la situation professionnelle et financière du requérant n'était pas favorable. Il a toutefois renouvelé son autorisation de séjour UE/AELE pour une durée d'une année, estimant que les conditions de l'art. 6 par. 1 Annexe I de l'Accord du 21 juin 1999 entre la Confédération suisse, d'une part, et la Communauté européenne et ses Etats membres, d'autre part, sur la libre circulation des personnes (ci-après: l'ALCP ou l'Accord; RS 0.142.112.681), étaient remplies. Le 15 mars 2013, le Service cantonal a réitéré son refus de transformer l'autorisation de séjour de l'intéressé en autorisation d'établissement. Il a néanmoins renouvelé l'autorisation de séjour UE/AELE de X._ pour une durée de douze mois.
A.b. Après l'obtention de sa première autorisation de séjour, X._ a occupé divers emplois, principalement comme électricien. Le 25 mai 2007, il a été engagé par une entreprise de construction pour une durée indéterminée. Dans le courant de l'année 2009, l'intéressé a accompli des missions de travail temporaires. Entre avril et juin 2011, il a effectué plusieurs postulations en vue de trouver un travail, qui n'ont toutefois pas abouti. X._ a par ailleurs travaillé dans le cadre de deux missions temporaires, du 2 au 18 novembre 2011, d'une part, et du 25 novembre au 5 décembre 2011, d'autre part.
Depuis le mois de juillet 2006, X._ bénéficie de prestations de l'aide sociale (revenu d'insertion).
A.c. X._ a été mis en arrêt de travail à 100 % du 29 avril au 29 mai 2011, du 30 mai au 31 août 2011, du 1er septembre au 30 novembre 2011, du 1er décembre 2011 au 15 mars 2013, puis pour une durée indéterminée à partir du 21 août 2013. Le 1er juillet 2014, l'Office AI du canton de Vaud (ci-après: l'Office AI) a constaté que, depuis le 1er décembre 2011, X._ présentait une incapacité de travail et de gain totale dans toute activité lucrative. L'Office AI a reconnu à l'intéressé le droit à une rente entière basée sur un degré d'invalidité de 100 %. Compte tenu du délai d'attente d'un an et de la tardiveté de la demande de rente, celle-ci n'a été versée qu'à compter du 1er mars 2014.
A.d. Durant son séjour en Suisse, X._ a été condamné à trois reprises:
- le 9 juillet 2008, par le juge d'instruction de l'arrondissement de Lausanne, à une peine de vingt jours-amende à 30 fr. et à une amende de 450 fr., pour injure et menaces;
- le 20 août 2008, par le juge d'instruction de l'arrondissement de Lausanne, à une amende de 1'000 fr., pour conduite sans permis de conduire;
- le 19 mars 2010, par l'autorité pénale de l'arrondissement de Lausanne, à une peine de dix jours-amende à 20 fr. et à une amende de 200 fr., pour menaces et infraction à la loi fédérale sur les armes.
B.
Le 19 septembre 2014, le Service cantonal a refusé de renouveler l'autorisation de séjour de X._, au motif que son union conjugale avec une citoyenne suisse avait duré moins de trois ans. Le Service cantonal s'est toutefois déclaré favorable à l'octroi d'une autorisation de séjour UE/AELE à l'intéressé dans le cadre du droit de demeurer, sous réserve de l'approbation du Secrétariat d'Etat aux migrations (ci-après: le Secrétariat d'Etat). Par décision du 2 juillet 2015, celui-ci a refusé d'approuver l'octroi d'une autorisation de séjour UE/AELE en faveur de X._ et a prononcé son renvoi de Suisse.
Le 6 août 2015, X._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal administratif fédéral. Par arrêt du 15 mai 2017, le Tribunal administratif fédéral a admis le recours, annulé la décision du Secrétariat d'Etat du 2 juillet 2015 et approuvé "l'octroi en faveur d'une autorisation de séjour en faveur de X._, au titre du droit de demeurer " (sic).
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, le Département fédéral de justice et police (ci-après: le Département fédéral) demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 15 mai 2017, de confirmer la décision du Secrétariat d'Etat du 2 juillet 2015 et de renvoyer la cause à cette autorité en vue de la fixation d'un nouveau délai de départ à l'intimé.
Le Tribunal administratif fédéral dépose des observations et conclut au rejet du recours. L'intimé demande en substance le rejet du recours, subsidiairement le renvoi de la cause au Tribunal administratif fédéral pour nouvelle décision au sens des considérants.

Considérant en droit :
1.
1.1. Selon l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions relatives à une autorisation de droit des étrangers à laquelle ni le droit fédéral, ni le droit international ne donnent droit. Le droit de séjour et d'accès à une activité économique est accordé aux ressortissants d'un État membre de la Communauté européenne conformément aux dispositions de l'ALCP, qui sont directement applicables et leur permettent en outre, à certaines conditions, de demeurer sur le territoire d'une autre partie contractante après la fin de leur activité économique. En l'occurrence, l'intimé est ressortissant suédois. A partir du 6 septembre 2011, il a bénéficié d'une autorisation de séjour en application de l'<ref-law>; il a ainsi potentiellement droit à la délivrance d'une autorisation de séjour au sens de l'<ref-law>. Le recours échappe dès lors au motif d'irrecevabilité prévu à l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, sans toutefois que cela ne préjuge de l'issue du litige au fond (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 179; arrêt 2C_1061/2013 du 14 juillet 2015 consid. 1.2).
1.2. En vertu de l'<ref-law>, le Département fédéral a qualité pour recourir devant le Tribunal fédéral, dans la mesure où l'acte attaqué - qui infirme la décision du Secrétariat d'Etat du 2 juillet 2015 refusant l'approbation à l'octroi d'une autorisation -, rendu en matière de droit des étrangers, est susceptible de violer la législation dans l'un de ses domaines d'attributions (arrêt 2C_743/2017 du 15 janvier 2018 consid. 1.1).
1.3. Au surplus, le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue dans une cause de droit public (<ref-law>) par le Tribunal administratif fédéral (<ref-law>). Déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi, il est donc recevable.
2.
Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Selon l'<ref-law>, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-ruling> consid. 6 p. 358; <ref-ruling> consid. 1.6 p. 377 s.). Conformément à l'<ref-law>, la partie recourante doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 6.2 p. 288).
Dans la mesure où le recourant présente une argumentation partiellement appellatoire, en opposant sa propre version des faits à celle du Tribunal administratif fédéral ou en complétant librement l'état de fait, sans cependant invoquer ni l'arbitraire, ni une constatation manifestement inexacte des faits, le Tribunal fédéral ne peut pas en tenir compte. Il sera donc statué sur la base des faits tels qu'ils ressortent de l'arrêt attaqué.
3.
Le recourant invoque la violation de l'<ref-law> cum <ref-law>.
3.1. Selon l'<ref-law>, les ressortissants d'une partie contractante ont le droit de demeurer sur le territoire d'une autre partie contractante après la fin de leur activité économique. L'<ref-law> renvoie, conformément à l'art. 16 de l'Accord, au règlement (CEE) 1251/70 (ci-après: le règlement 1251/70) et à la directive 75/34/CEE, "tels qu'en vigueur à la date de la signature de l'Accord".
L'art. 2 par. 1 let. b du règlement 1251/70, dans sa version au moment de la signature de l'Accord, prévoit qu'a le droit de demeurer sur le territoire d'un Etat membre le travailleur qui, résidant d'une façon continue sur le territoire de cet Etat depuis plus de deux ans, cesse d'y occuper un emploi salarié à la suite d'une incapacité permanente de travail. Si cette incapacité résulte d'un accident du travail ou d'une maladie professionnelle ouvrant droit à une rente entièrement ou partiellement à charge d'une institution de cet Etat, aucune condition de durée de résidence n'est requise. L'art. 4 par. 2 de ce même règlement précise que les périodes de chômage involontaire, dûment constatées par le bureau de main-d'oeuvre compétent, et les absences pour cause de maladie ou accident sont considérées comme des périodes d'emploi au sens de l'art. 2 par. 1. L'art. 22 de l'ordonnance du 22 mai 2002 sur l'introduction progressive de la libre circulation des personnes entre, d'une part, la Confédération suisse et, d'autre part, l'Union européenne et ses États membres, ainsi qu'entre les Etats membres de l'Association européenne de libre-échange (OLCP; RS 142.203) dispose enfin notamment que les ressortissants de l'UE qui ont le droit de demeurer en Suisse selon l'accord sur la libre circulation des personnes reçoivent une autorisation de séjour UE/AELE.
Selon la Directive du Secrétariat d'Etat aux migrations concernant l'introduction progressive de la libre circulation des personnes, le droit de demeurer s'interprète comme le droit du travailleur de maintenir sa résidence sur le territoire de l'État d'accueil lorsqu'il cesse d'y exercer une activité. Les bénéficiaires du droit de demeurer conservent leurs droits acquis en qualité de travailleur (maintien du droit à l'égalité de traitement avec les nationaux) en vertu de l'ALCP et de ses protocoles, bien qu'ils ne bénéficient plus du statut de travailleur. Ce droit de séjour est en principe maintenu, indépendamment du fait que la personne ait bénéficié ou non d'éventuelles prestations de l'aide sociale, et s'étend aux membres de la famille indépendamment de leur nationalité (Directives SEM OLCP, novembre 2017, ch. 10.3.1). Toutefois, pour pouvoir prétendre à demeurer en Suisse sur la base de l'<ref-law> en relation avec l'art. 2 par. 1 let. b du règlement 1251/70, il est indispensable qu'au moment où survient l'incapacité permanente de travail, le travailleur ait encore effectivement ce statut (cf. arrêts 2C_289/2017 du 4 décembre 2017 consid. 4.5.1 et 2C_1034/2016 du 13 novembre 2017 consid. 2.2 et 4.2).
3.2. Dans le cas particulier, l'intimé réside en Suisse de façon continue depuis le 8 septembre 2001. Il a été mis au bénéfice de diverses autorisations de séjour à partir du 10 février 2004. Par décision du 1er juillet 2014, l'Office AI du canton de Vaud a admis l'existence d'une incapacité de travail et de gain totale de l'intéressé à partir du 1er décembre 2011. Il convient donc d'examiner si celui-ci, qui remplit sans conteste la condition du séjour en Suisse de plus de deux ans, a cessé une activité salariée en raison de son incapacité permanente de travail au sens de l'art. 2 par. 1 let. b du règlement 1251/70. Cette question suppose de se demander si, au 1er décembre 2011 (cf. supra consid. 3.1 in fine), l'intimé bénéficiait du statut de travailleur salarié au sens de l'<ref-law>, ce que conteste le recourant.
4.
4.1. L'<ref-law> prévoit que le travailleur salarié ressortissant d'une partie contractante (ci-après: le travailleur salarié) qui occupe un emploi d'une durée égale ou supérieure à un an au service d'un employeur de l'Etat d'accueil reçoit un titre de séjour d'une durée de cinq ans au moins à dater de sa délivrance. Celui-ci est automatiquement prolongé pour une durée de cinq ans au moins. Lors du premier renouvellement, sa durée de validité peut être limitée, sans pouvoir être inférieure à un an, lorsque son détenteur se trouve dans une situation de chômage involontaire depuis plus de douze mois consécutifs. Selon l'<ref-law>, le titre de séjour en cours de validité ne peut être retiré au travailleur salarié du seul fait qu'il n'occupe plus d'emploi, soit que l'intéressé ait été frappé d'une incapacité temporaire de travail résultant d'une maladie ou d'un accident, soit qu'il se trouve en situation de chômage involontaire dûment constatée par le bureau de main-d'oeuvre compétent.
4.2. Aux termes de l'<ref-law>, dans la mesure où l'application de l'Accord implique des notions de droit communautaire, il sera tenu compte de la jurisprudence pertinente de la Cour de justice des Communautés européennes (actuellement: Cour de justice de l'Union européenne; ci-après: la CJUE) antérieure à la date de sa signature. Dans un arrêt de principe du 26 novembre 2015 (<ref-ruling>), le Tribunal fédéral a toutefois rappelé que, de jurisprudence constante, dans le but d'assurer une situation juridique parallèle entre les États membres de la Communauté européenne, d'une part, et entre ceux-ci et la Suisse, d'autre part, il s'inspire des arrêts rendus par la CJUE après la date de signature de l'ALCP, pour autant que des motifs sérieux ne s'y opposent pas (<ref-ruling> consid. 3.6 p. 61 et les nombreuses références citées; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 38).
L'acception de "travailleur" constitue une notion autonome du droit de l'UE, qui ne dépend donc pas de considérations nationales (arrêts 2C_289/2017 du 4 décembre 2017 consid. 4.2; 2C_1061/2013 du 14 juillet 2015 consid. 4.2; cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 117 s.). Il sied donc de vérifier l'interprétation qui en est donnée en droit communautaire.
4.2.1. La CJUE estime que la notion de travailleur, qui délimite le champ d'application du principe de la libre circulation des travailleurs, doit être interprétée de façon extensive, tandis que les exceptions et dérogations à cette liberté fondamentale doivent, au contraire, faire l'objet d'une interprétation stricte. Doit ainsi être considérée comme un "travailleur" la personne qui accomplit, pendant un certain temps, en faveur d'une autre personne et sous la direction de celle-ci, des prestations en contrepartie desquelles elle touche une rémunération (existence d'une prestation de travail, d'un lien de subordination et d'une rémunération). Cela suppose l'exercice d'activités réelles et effectives, à l'exclusion d'activités tellement réduites qu'elles se présentent comme purement marginales et accessoires (cf. arrêt de la CJCE du 23 mars 1982 Levin C-53/81, par. 17; <ref-ruling> consid. 2.2.4 p. 6 et consid. 3.3.2 p. 9; arrêt 2C_289/2017 du 4 décembre 2017 consid. 4.2.1). Ne constituent pas non plus des activités réelles et effectives celles qui ne relèvent pas du marché normal de l'emploi, mais sont destinées à permettre la rééducation ou la réinsertion de personnes diminuées sur le plan physique ou psychique. En revanche, ni la nature juridique de la relation de travail en cause au regard du droit national (par ex. contrat de travail sui generis), ni la productivité plus ou moins élevée du travailleur, ni son taux d'occupation (par ex. travail sur appel), ni l'origine des ressources pour le rémunérer (privées ou publiques), ni même l'importance de cette rémunération (par ex. salaire inférieur au minimum garanti) ne sont, en eux-mêmes et à eux seuls, des éléments décisifs pour apprécier la qualité de travailleur au sens du droit communautaire (cf. arrêts 2C_289/2017 du 4 décembre 2017 consid. 4.2.1 et 2C_761/2015 du 21 avril 2016 consid. 4.2.1).
4.2.2. Pour apprécier si l'activité exercée est réelle et effective, on peut tenir compte de l'éventuel caractère irrégulier des prestations accomplies, de leur durée limitée, ou de la faible rémunération qu'elles procurent. La libre circulation des travailleurs suppose, en règle générale, que celui qui s'en prévaut dispose des moyens d'assurer sa subsistance, surtout dans la phase initiale de son installation dans le pays d'accueil, lorsqu'il est à la recherche d'un emploi. Ainsi, le fait qu'un travailleur n'effectue qu'un nombre très réduit d'heures - dans le cadre, par exemple, d'une relation de travail fondée sur un contrat de travail sur appel - ou qu'il ne gagne que de faibles revenus, peut être un élément indiquant que l'activité exercée n'est que marginale et accessoire (cf. <ref-ruling> consid. 3.4 p. 347 et les arrêts de la CJCE cités). A cet égard, le Tribunal fédéral a eu l'occasion de préciser qu'un travail exercé au taux de 80% pour un salaire mensuel de 2'532 fr. 65 ne représentait pas un emploi à tel point réduit ou une rémunération si basse qu'il s'agirait d'une activité purement marginale et accessoire sortant du champ d'application de l'<ref-law> (arrêt 2C_1061/2013 du 14 juillet 2015 consid. 4.4). En revanche, le Tribunal de céans a considéré qu'une activité à taux partiel donnant lieu à un salaire mensuel d'environ 600 à 800 fr. apparaissait tellement réduite et peu rémunératrice qu'elle devait être tenue pour marginale et accessoire (arrêt 2C_1137/2014 du 6 août 2015 consid. 4.3 et 4.4).
4.3. En vertu de l'<ref-law>, "les autorisations de séjour de courte durée, de séjour et frontalières UE/AELE peuvent être révoquées ou ne pas être prolongées, si les conditions requises pour leur délivrance ne sont plus remplies".
4.4. En procédant à une interprétation de ces principes, le Tribunal fédéral a jugé qu'un étranger au bénéfice d'une autorisation de séjour UE/AELE peut perdre le statut de travailleur au sens de l'ALCP et par conséquent se voir refuser la prolongation, respectivement se voir révoquer l'autorisation de séjour dont il est titulaire si:
1) il se trouve dans un cas de chômage volontaire;
2) on peut déduire de son comportement qu'il n'existe (plus) aucune perspective réelle qu'il soit engagé à nouveau dans un laps de temps raisonnable (cf. notamment arrêt de la CJCE du 26 mai 1993 Tsiotras C-171/91, par. 14); ou
3) il adopte un comportement abusif, par exemple en se rendant dans un autre Etat membre pour y exercer un travail fictif ou d'une durée extrêmement limitée dans le seul but de bénéficier de prestations sociales meilleures que dans son Etat d'origine ou que dans un autre Etat membre (<ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 4; arrêts 2C_289/2017 du 4 décembre 2017 consid. 4.3 et 2C_412/2014 du 27 mai 2014 consid. 3.2).
4.5. En l'espèce, l'intimé a été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour UE/AELE de courte durée le 10 février 2004. Le 12 mars 2005, il a épousé une ressortissante suisse et s'est vu octroyer, le 18 mars 2005, une autorisation de séjour valable jusqu'au 11 mars 2010. Le 22 mars 2010, alors même que la vie commune des époux - d'une durée inférieure à deux ans - avait pris fin quelque trois ans plus tôt et que l'intimé était sans emploi et percevait des prestations de l'aide sociale, celui-ci a - de manière incompréhensible - obtenu une prolongation de son autorisation de séjour d'une durée d'une année. Cette autorisation a encore été prolongée d'une année le 6 septembre 2011, cette fois-ci au titre de l'<ref-law>. A cette date, l'intimé émargeait toujours à l'aide sociale et se trouvait sans emploi depuis quelque dix-huit mois. Il ne ressort par ailleurs pas de l'arrêt entrepris que l'intimé aurait, à tout le moins postérieurement au 22 mars 2010, procédé à des recherches d'emploi en dehors de la période allant du mois d'avril 2011 au mois de juin 2011, qu'il aurait été en incapacité de travail totale ou partielle entre le 22 mars 2010 et le 29 avril 2011 ni non plus qu'il aurait pu prétendre à des indemnités de chômage entre le 22 mars 2010 et le 6 septembre 2011. Les conditions de l'<ref-law> n'étaient dès lors pas remplies au 6 septembre 2011 (cf. arrêts 2C_289/2017 du 4 décembre 2017 consid. 4.4 et 2C_390/2013 du 10 avril 2014 consid. 4.3), étant précisé que l'autorisation délivrée par le Service cantonal à cette date n'avait qu'une nature déclarative et non pas constitutive (<ref-ruling> consid. 2.2 in fine p. 332; <ref-ruling> consid. 4 p. 58; arrêt de la CJUE du 21 juillet 2011 Dias C-325/09, par. 48-55). On cherche en outre en vain quelle autorisation de séjour aurait pu être délivrée à l'intéressé à un autre titre.
Il convient encore d'examiner si l'intimé a pu acquérir la qualité de travailleur au sens de l'ALCP après le 6 septembre 2011. A ce sujet, il ressort de l'arrêt entrepris que l'intéressé a effectué deux missions temporaires, du 2 au 18 novembre 2011 et du 25 novembre au 5 décembre 2011. Leur brièveté et le fait que l'intimé a continué à percevoir des prestations de l'aide sociale durant ces périodes - au cours desquelles il était au demeurant en incapacité de travail - n'ont toutefois pas permis à celui-ci d'activer son statut de travailleur avant la survenance, le 1er décembre 2011, de son incapacité de travail permanente (cf. arrêt 2C_390/2013 du 10 avril 2014 consid. 4.4), ce que l'autorité précédente ne nie pas. A cela s'ajoute qu'il n'apparaît pas que l'intimé aurait dû mettre un terme à une activité salariée en raison de la survenance de son incapacité de travail permanente ou que celle-ci lui aurait valu d'être exclu de l'assurance-chômage. Peu importe dans ces circonstances que l'intéressé ait ou non eu la qualité de travailleur antérieurement à l'année 2010, cette question pouvant dès lors souffrir de demeurer indécise. Quant à la "situation particulière" de l'intimé, contrairement à l'avis du Tribunal administratif fédéral, il n'y a pas lieu d'en tenir compte lors de l'examen de l'<ref-law> et des dispositions communautaires auxquelles il renvoie, ainsi que de l'art. 6 Annexe I ALPC. Cela étant, l'autorité précédente a méconnu les dispositions précitées en considérant que l'intimé pouvait être mis au bénéfice d'un droit de demeurer sur le territoire helvétique.
5.
Ayant retenu que l'intéressé disposait d'un droit de séjour fondé sur l'<ref-law> cum <ref-law>, l'instance précédente n'a pas examiné si les conditions d'octroi d'une autorisation de séjour au sens de l'<ref-law>, de l'<ref-law> cum art. 30 al. 1 let. b LEtr et 31 al. 1 OASA, ainsi que de l'art. 29 LEtr, tous invoqués par l'intimé devant celle-ci, étaient remplies (cf. arrêt entrepris, p. 11).
5.1. Il ressort des pièces relatives à la demande d'assistance judiciaire formulée par l'intimé devant le Tribunal administratif fédéral, que l'intéressé perçoit des prestations complémentaires. Il ne dispose ainsi pas des "moyens financiers suffisants pour ne devoir faire appel à l'aide sociale" au sens de l'<ref-law> et ne peut partant bénéficier d'une autorisation de séjour sans activité lucrative (cf. arrêts 2C_59/2017 du 4 avril 2017 consid. 6 et 2C_222/2010 du 29 juillet 2010 consid. 6.2.2).
5.2. Quant à la question de savoir si l'intimé peut se prévaloir d'un droit de séjour fondé sur l'<ref-law> cum art. 30 al. 1 let. b LEtr et 31 al. 1 OASA, respectivement sur l'art. 29 LEtr, elle doit être examinée par l'instance précédente, à laquelle la cause doit être renvoyée. La nature potestative de ces dispositions exclut en effet leur examen au fond devant le Tribunal fédéral dans le cadre du présent recours en matière de droit public (cf. supra consid. 1.1).
6.
Compte tenu de ce qui précède, le recours doit être admis et l'arrêt attaqué annulé. La cause sera renvoyée au Tribunal administratif fédéral pour décision sur les points susmentionnés. Succombant, l'intimé devrait supporter les frais judiciaires; compte tenu des circonstances, il y sera néanmoins renoncé (<ref-law>; cf. arrêts 2C_689/2017 du 1er février 2018 consid. 2 et 2C_276/2017 du 4 avril 2017 consid. 4). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'autorité recourante (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis.
2.
L'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 15 mai 2017 est annulé et la cause est renvoyée à cette autorité pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué au Département fédéral de justice et police, au représentant de l'intimé, au Tribunal administratif fédéral, Cour VI, au Service de la population du canton de Vaud, ainsi qu'au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 5 mars 2018
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Ermotti