Faits :
A.
Par jugement du 17 décembre 2018, le Tribunal de police de l'arrondissement de La Côte a condamné X._, pour dommages à la propriété et injure, à une peine pécuniaire de 45 jours-amende à 30 fr. le jour, avec sursis durant deux ans, ainsi qu'à une amende de 300 francs.
B.
Par jugement du 25 mars 2019, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud a déclaré irrecevable l'appel formé par X._ contre ce jugement.
C.
X._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 25 mars 2019, en concluant, avec suite de frais et dépens, principalement à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle instruction et nouvelle décision. Subsidiairement, il conclut à sa réforme en ce sens que son appel formé contre le jugement du 17 décembre 2018 est admis, qu'il est acquitté, qu'une indemnité de 12'522 fr. 90 lui est allouée à titre de dépens pour la procédure de première instance et qu'une indemnité de 2'200 fr. lui est accordée à titre de réparation du dommage économique subi en raison de la procédure. Il conclut également à ce qu'il soit acheminé "à rapporter, par toutes voies de droit utiles, la preuve des faits allégués dans la présente écriture". Il sollicite par ailleurs l'octroi de l'effet suspensif.
Par ordonnance du 28 mai 2019, le Président de la Cour de droit pénal du Tribunal fédéral a rejeté la demande d'effet suspensif présentée par X._.

Considérant en droit :
1.
Le recourant produit une pièce qui ne ressort pas du dossier cantonal. Celle-ci est irrecevable (cf. art. 99 al. 1 LTF).
2.
Le recourant fait grief à l'autorité précédente d'avoir établi les faits de manière arbitraire et d'avoir violé les art. 90, 91 al. 1 et 2 ainsi que 399 al. 3 CPP en considérant que sa déclaration d'appel écrite avait été déposée tardivement.
2.1. Le Tribunal fédéral est lié par les faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), à moins qu'ils n'aient été constatés en violation du droit ou de manière manifestement inexacte au sens des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, soit pour l'essentiel de façon arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 98). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 30; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 368). L'appréciation des preuves est arbitraire ou manifestement inexacte au sens de l'art. 97 al. 1 LTF lorsqu'elle est en contradiction avec le dossier ou contraire au sens de la justice et de l'équité ou lorsque l'autorité ne tient pas compte, sans raison sérieuse, d'un élément propre à modifier la décision, se trompe sur le sens et la portée de celui-ci ou, se fondant sur les éléments recueillis, en tire des constatations insoutenables (cf. <ref-ruling> consid. 3.6.2 p. 287; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 233 s.).
2.2. Selon l'art. 91 CPP, un délai est réputé observé si l'acte de procédure est accompli auprès de l'autorité compétente au plus tard le dernier jour du délai (al. 1). Les écrits doivent être remis au plus tard le dernier jour du délai à l'autorité pénale, à la Poste suisse, à une représentation consulaire ou diplomatique suisse ou, s'agissant de personnes détenues, à la direction de l'établissement carcéral (al. 2).
La preuve de l'expédition d'un acte de procédure en temps utile incombe à la partie, respectivement à son avocat. Une preuve stricte est exigée, la vraisemblance prépondérante ne suffisant pas. Il convient en effet, en matière de délais, de s'en tenir à des principes simples et à des solutions claires, sous peine d'ouvrir la porte à de longues et oiseuses discussions, voire à des abus. Le pli recommandé est à cet égard une preuve aisée à établir, alors que, dans le cas d'un envoi par pli simple, la preuve peut être rapportée par différents moyens, en particulier par témoins (arrêt 6B_1317/2016 du 20 septembre 2017 consid. 3 et les références citées).
2.3. La cour cantonale a exposé que le délai pour déposer la déclaration d'appel écrite était arrivé à échéance le 18 janvier 2019. Le sceau postal apposé sur le pli qui avait contenu cet acte indiquait la date du 19 janvier 2019. L'autorité précédente a considéré que le recourant n'avait pas apporté la preuve d'un dépôt le 18 janvier 2019 et a retenu que la déclaration d'appel écrite avait été envoyée le lendemain, soit après l'échéance du délai prévu à l'art. 399 al. 3 CPP.
2.4. Le recourant ne conteste pas que le délai pour déposer sa déclaration d'appel écrite fût arrivé à échéance le 18 janvier 2019. Il affirme que la secrétaire de son avocat aurait déposé le pli qui contenait celle-ci à un office postal à cette date, après l'heure de la dernière levée du courrier. Cela expliquerait que le pli en question ne fût parvenu au centre de courrier que le 19 janvier 2019 et portât un sceau indiquant cette date.
Ce faisant, le recourant conteste les faits retenus par la cour cantonale. Son argumentation s'avère purement appellatoire et, partant, irrecevable, dès lors qu'elle consiste à opposer sa propre version des événements à celle de l'autorité précédente, sans démontrer en quoi celle-ci serait arbitraire. En effet, ce récit ne repose en définitive que sur ses propres déclarations, de sorte que le recourant n'a aucunement fait la preuve de l'observation du délai litigieux.
En définitive, la cour cantonale pouvait, sans arbitraire, retenir que la déclaration d'appel écrite avait été déposée à la date figurant sur le sceau postal du pli qui la contenait, soit le 19 janvier 2019. Pour le reste, le recourant n'explique pas en quoi, sur la base de cet élément de fait, l'autorité précédente aurait pu violer les art. 90, 91 al. 1 et 2 ou 399 al. 3 CPP.
3.
Le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Le recourant, qui succombe, supporte les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 27 juin 2019
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Graa