Sachverhalt:
A.
A.a. A._ reichte beim Verein für höhere Prüfungen in Rechnungswesen und Controlling (nachfolgend: Prüfungsorganisation/Verein examen.ch) am 8. April 2020 Anmeldungsunterlagen für die höhere Fachprüfung für Experten in Rechnungslegung und Controlling 2021 ein. Weiter stellte er ein Ausstandsbegehren gegen B._, Mitglied der Prüfungskommission, sowie ein Gesuch um Nachteilsausgleich.
Mit Schreiben vom 16. April 2020 teilte ihm die Prüfungsorganisation in der Person der Prüfungsleiterin, C._, mit, dass die Anmeldung zur Prüfung im Jahr 2021 ab Sommer 2020 möglich sei. Über das Gesuch um Nachteilsausgleich werde die Prüfungskommission innert drei Monaten entscheiden.
A.b. Mit Eingabe vom 5. Mai 2020 erhob A._ beim Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI) eine Rechtsverweigerungsbeschwerde und beantragte den Ausstand von B._ und C._, im Laufe des Verfahrens sodann jenen von D._, Mitarbeiter des SBFI. Zudem verlangte er die Feststellung einer Diskriminierung und den Erlass verschiedener vorsorglicher Massnahmen.
Mit Verfügung vom 14. Juli 2020 wies das SBFI die Rechtsverweigerungsbeschwerde sowie die Ausstandsbegehren gegen C._ und D._ ab. Dem Begehren um Erlass einer Feststellungsverfügung wurde nicht entsprochen und der Antrag auf Erlass vorsorglicher Massnahmen wurde abgewiesen. Hinsichtlich des Ausstandsgesuchs gegen B._ wurde festgehalten, dass darüber im Rahmen der Prüfung zu befinden sei.
A.c. Mit Verfügung vom 31. Juli 2020 hiess die zuständige Prüfungskommission das Gesuch um Nachteilsausgleich teilweise gut. Am 6. November 2020 hob sie ihren Entscheid jedoch wiedererwägungsweise auf, woraufhin das SBFI eine von A._ am 4. August 2020 erhobene Beschwerde mit Verfügung vom 1. Dezember 2020 als gegenstandslos geworden abschrieb. Ein Verfahren betreffend den Nachteilsausgleich ist derzeit vor dem Bundesverwaltungsgericht hängig (Verfahren B-6231/2020).
B.
Eine gegen die Verfügung des SBFI vom 14. Juli 2020 erhobene Beschwerde von A._ wies das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 27. Oktober 2020 ab, soweit es darauf eintrat und die Beschwerde nicht gegenstandslos geworden war.
C.
Gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 27. Oktober 2020 erhebt A._ mit Eingabe vom 10. November 2020 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt grundsätzlich die Aufhebung des angefochtenen Urteils bzw. die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung im Sinne der Begehren an die Vorinstanz.
Im Einzelnen stellt er sinngemäss folgende Anträge:
1. Der Abschreibungsentscheid betreffend die Rechtsverweigerungsbeschwerde gegen die Nichtanhandnahme seiner vorzeitigen Anmeldung zur Prüfung sei aufzuheben und die Anmeldung sei zu behandeln; eventualiter sei festzustellen, dass der Beschwerdegegner für die Gegenstandslosigkeit verantwortlich sei und es seien ihm die Kosten aufzuerlegen.
2. Das Ausstandsgesuch gegen B._ sei gutzuheissen oder die Sache sei zur vollständigen materiellen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
3. Das Verfahren bezüglich Nachteilsausgleichs sei in das vorliegende Hauptverfahren zu integrieren und zur materiellen Behandlung an die Vorinstanz zurückzuweisen bzw. das Bundesgericht solle über die beantragten Nachteilausgleichsmassnahmen selbst entscheiden.
4. Das Ausstandsgesuch gegen die Prüfungsleiterin, C._, sei gutzuheissen und der Beschwerdegegner sei anzuweisen, die Betreuung des Beschwerdeführers rund um die Absolvierung der Prüfung an eine andere Person von examen.ch, eventualiter an eine andere sachverständige Person ausserhalb examen.ch, zu delegieren.
5. Es sei festzustellen, dass die Anmeldung des Beschwerdeführers gültig erfolgt ist.
6. Es sei festzustellen, dass der Beschwerdeführer durch den Beschwerdegegner diskriminiert worden sei.
7. Die Prüfungskosten seien von Fr. 2'700.-- auf Fr. 2'500.-- bzw. - aufgrund der Verletzung des Äquivalenzprinzips, des Gleichbehandlungsgrundsatzes und des Diskriminierungsverbots - auf Fr. 1'000.-- zu senken. Ferner sei festzustellen, dass die Werbekosten für die Unterkunft und die Kosten für Diplomfeierlichkeiten nicht zu den erforderlichen Prüfungskosten zu zählen seien und nicht erhoben werden dürften.
Sodann sei seine im Zusammenhang mit der Prüfungsausschreibung bzw. Prüfungsanmeldung 2021 erfolgte Zustimmung zu einer Cookie-Richtlinie sowie zu den AGB und den Datenschutzbestimmungen des Vereins examen.ch aufzuheben und es sei festzustellen, dass die Ablehnungsmöglichkeit der Personendaten im Anmeldeformular nicht den Anforderungen von Art. 37 Abs. 3 BBV entspreche. Der Verein examen.ch sei daher anzuweisen, die Erzwingung der Zustimmung zu den rechtswidrigen Datenschutzbestimmungen aufzuheben und die Ablehnungsmöglichkeit gemäss Art. 37 BBV zu gestalten.
Zudem sei festzustellen, dass der Verein examen.ch keine gesetzliche Grundlage habe, die Daten der Kandidaten zu publizieren oder weiterzuleiten, und es sei bezüglich des Beschwerdeführers festzuhalten, dass er jeglicher Publikation von Daten zu seiner Person, sei es bei examen.ch oder beim SBFI, ablehnt habe.
8. Die schriftlichen und mündlichen Prüfungen des Beschwerdeführers seien an der Universität Zürich, Institut für BWL, bzw. bei einem anderen kompetenten Prüfungsträger ausserhalb des Vereins examen.ch abzuhalten (Teilantrag a). Eventualiter sei das SBFI zu verpflichten, die Prüfungen gemäss den besonderen Anforderungen des Nachteilsausgleichsgesuchs an eine dritte Prüfungsträgerin zu delegieren (Teilantrag b).
9. Es sei festzustellen, dass der Beschwerdegegner gegen Datenschutzbestimmungen verstossen habe.
Der Beschwerdeführer ersucht zudem um den Erlass verschiedener vorsorglicher Massnahmen.
Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf Vernehmlassung. Das SBFI und die Prüfungsorganisation schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Die Prüfungsorganisation ersucht zudem um Sistierung des vorliegenden bundesgerichtlichen Verfahrens bis zur rechtskräftigen Erledigung der vor Bundesverwaltungsgericht hängigen Beschwerde über den Nachteilsausgleich.
D.
Mit Schreiben vom 16. November 2020 reichte der Beschwerdeführer verschiedene Nachträge ein und stellte zusätzlich den Antrag, der Verein examen.ch sei anzuweisen, die Anmeldeunterlagen des Beschwerdeführers vom 8. April 2020 vorab mit Aktenverzeichnis dem Bundesgericht einzureichen.
Mit Schreiben vom 3. Dezember 2020 stellte der Beschwerdeführer sodann einen Antrag auf vorsorgliche Feststellung, dass die Regelung der Nachteilsausgleichsmassnahmen in das vorliegende bundesgerichtliche Verfahren "zurückzuintegrieren" sei und der Beschwerdeführer "nicht aufgrund des rechtswidrigen und rechtsmissbräuchlichen Abschreibungsbeschlusses des SBFI vom 1. Dezember 2020 Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht einlegen" müsse.
Mit Eingabe vom 5. Dezember 2020 informierte der Beschwerdeführer das Bundesgericht, dass er beabsichtige, gegen den Abschreibungsbeschluss des SBFI vom 1. Dezember 2020 Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht zu erheben. Daher würden die mit Schreiben vom 3. Dezember 2020 beantragten vorsorglichen Massnahmen die Sache präjudizieren. Am 9. Dezember 2020 stellte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht eine Kopie der von ihm erhobenen Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht zu.
Mit Eingabe vom 27. Januar 2021 stellte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht ein Schreiben zu, mit dem Betreff "Bezifferung Forderung (mit Nachklagevorbehalt) bezüglich Begehren Schadenersatz (nebst dem Begehren betreffend Prüfungsgebühr) ". Die Prüfungsorganisation replizierte mit Schreiben vom 2. Februar 2021. Der Beschwerdeführer nahm dazu mit Schreiben vom 6. Februar 2021 Stellung.
Mit zwei Eingaben vom 23. Februar 2021 reichte der Beschwerdeführer weitere Bemerkungen im Zusammenhang mit dem Nachteilsausgleich und stellte neue Anträge betreffend lauterkeits- und datenschutzrechtliche Fragen.
Der Beschwerdeführer reichte zudem weitere Eingaben ein, die in keinem direkten Zusammenhang zum vorliegenden Verfahren stehen.

Erwägungen:
1.
1.1. Als Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts unterliegt das angefochtene Urteil des Bundesverwaltungsgerichts grundsätzlich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a und Art. 90 BGG). Die Ausnahme gemäss Art. 83 lit. t BGG greift nicht, da es vorliegend nicht um eine Fähigkeitsbewertung geht (vgl. Urteile 2C_778/2020 vom 23. Oktober 2020 E. 2.1 mit Hinweisen; 2C_502/2019 vom 30. Oktober 2019 E. 1.2).
1.2. Nach <ref-law> ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur legitimiert, wer u.a. ein schutzwürdiges Interesse an der Beurteilung seiner Eingabe hat (lit. c). Dieses muss nicht nur bei der Beschwerdeeinreichung, sondern auch noch im Zeitpunkt der Urteilsfällung aktuell und praktisch sein. Fällt das aktuelle Interesse im Verlaufe des Verfahrens dahin, wird die Sache als erledigt erklärt; fehlte es schon bei Beschwerdeeinreichung, ist auf die Eingabe nicht einzutreten (<ref-law> i.V.m. <ref-law> [SR 273]; <ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen).
Dem angefochtenen Urteil kann entnommen werden, dass der Beschwerdeführer seine Anmeldeunterlagen innerhalb der ordentlichen Anmeldefrist (7. September bis 31. Oktober 2020) erneut bei der Prüfungsorganisation eingereicht hatte, die ihm einen Zulassungsentscheid per Anfang November 2020 zugesichert hatte. Dass die zweite Anmeldung fristgerecht erfolgte, bestätigt auch die Prüfungsorganisation in ihrer Beschwerdeantwort an das Bundesgericht. Damit fehlte das Erfordernis eines aktuellen Interesses an der Behandlung des Rechtsbegehrens betreffend die Rechtsverweigerung im Hinblick auf die Nichtanhandnahme der (vorzeitigen) Anmeldung (Teilbegehren im Antrag 1) bereits im Zeitpunkt der Einreichung der vorliegenden Beschwerde, sodass darauf nicht einzutreten ist. Auch besteht kein Grund, ausnahmsweise vom diesem Erfordernis abzusehen (vgl. dazu <ref-ruling> E. 1.1). Ob derzeit noch ein schutzwürdiges Interesse an der Prüfung der geltend gemachten Rechtsverweigerung durch die Nichtbehandlung des Ausstandsgesuchs gegen ein Mitglied der Prüfungskommission (Antrag 2) sowie des Antrags betreffend Ausstand der Prüfungsleiterin (Antrag 4) besteht, kann offenbleiben, weil sich die Beschwerde ohnehin als unbegründet erweist.
1.3. Im Übrigen wurde die Beschwerde, einschliesslich der Beschwerdeergänzungen vom 16. November 2020 und 3. Dezember 2020 fristgerecht eingereicht (<ref-law>), wobei aufgrund des Schreibens des Beschwerdeführers vom 5. Dezember 2020 davon auszugehen ist, dass Letztere gegenstandslos wurde (vgl. vorne, Sachverhalt D).
Die ebenfalls als Beschwerdeergänzungen zu qualifizierenden Eingaben des Beschwerdeführers vom 21. Januar 2021 und vom 23. Februar 2021 wurden dem Bundesgericht ausserhalb der 30-tägigen, nicht erstreckbaren Beschwerdefrist (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) zugestellt. Sie sind deshalb unbeachtlich. Im Übrigen bilden weder allfällige Schadenersatzansprüche noch lauterkeits- und datenschutzrechtliche Fragen Gegenstand des vorliegenden Verfahrens (vgl. E. 2 hiernach), sodass darauf ohnehin nicht einzutreten wäre.
1.4. Der Beschwerdeführer muss in Auseinandersetzung mit den Ausführungen im angefochtenen Entscheid sachbezogen darlegen, dass und inwiefern die Vorinstanz mit ihrem Entscheid Recht verletzt hat (vgl. Art. 42 Abs. 1 bzw. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.3). Mit Bezug auf die Rüge des offensichtlich unrichtig festgestellten Sachverhalts und in Bezug auf die Verletzung von Grundrechten und kantonalem Recht gilt eine qualifizierte Rüge- und Substantiierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 mit zahlreichen Hinweisen). Ob die vorliegende Eingabe den gesetzlichen Begründungsanforderungen genügt, erscheint zweifelhaft, da sich der Beschwerdeführer über weite Strecken darauf beschränkt, seine Sicht der Dinge darzulegen. Ob auf die Eingabe deswegen insgesamt nicht einzutreten ist, kann dahingestellt bleiben, da die Beschwerde sich in der Sache selber als unbegründet erweist.
2.
2.1. Streitgegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens kann nur sein, was bereits Gegenstand des erstinstanzlichen Verfahrens war oder allenfalls hätte sein sollen und was gemäss der Dispositionsmaxime zwischen den Parteien noch strittig ist. Im Laufe des Rechtsmittelverfahrens kann sich der Streitgegenstand vor einer höheren Instanz grundsätzlich nur verengen, jedoch nicht erweitern oder verändern (<ref-ruling> E. 4.2; Urteil 2C_699/2017 vom 12. Oktober 2018 E. 4.2).
2.2. Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bilden eine Rechtsverweigerung, die Feststellung einer Diskriminierung sowie einzelne Ausstandsgesuche, nicht jedoch das Gesuch um Nachteilsausgleich (vgl. E. 2.2 des angefochtenen Urteils). Darüber entschied die zuständige Prüfungskommission mit separater Verfügung vom 31. Juli 2020. Dagegen erhob der Beschwerdeführer am 4. August 2020 Beschwerde beim SBFI. Den Akten kann entnommen werden, dass die Prüfungskommission ihren Entscheid vom 31. Juli 2020 am 6. November 2020 aufhob, woraufhin das SBFI die Beschwerde mit Verfügung vom 1. Dezember 2020 als gegenstandslos geworden abschrieb. Gegen die Abschreibungsverfügung erhob der Beschwerdeführer mit Eingabe vom 9. Dezember 2020 Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht (Verfahren B-6231/2020). Dieses Verfahren ist derzeit vor dem Bundesverwaltungsgericht hängig.
2.3. Soweit der Beschwerdeführer der Vorinstanz vorwirft, sie habe zu Unrecht das vorinstanzliche Verfahren in der vorliegend zu beurteilenden Sache von jenem betreffend den Nachteilsausgleich abgetrennt, stossen seine Einwände ins Leere.
In seiner vorliegend mitangefochtenen Zwischenverfügung vom 24. September 2020 erwog das Bundesverwaltungsgericht zutreffend, dass die Beschwerdeinstanz keine Fragen beurteilen dürfe, über welche die Vorinstanz nicht entschieden habe. Weil der Entscheid der Prüfungsorganisation über das Gesuch um Nachteilsausgleich erst am 31. Juli 2020 erging, hatte das SBFI keine Möglichkeit gehabt, im Rahmen seines Entscheids vom 14. Juli 2020 darüber zu befinden. Eine gegen die Verfügung vom 31. Juli 2020 erhobene Beschwerde war im Zeitpunkt der Zwischenverfügung des Bundesverwaltungsgerichts vom 24. September 2020 beim SBFI hängig, sodass das Bundesverwaltungsgericht keine Verfahrensvereinigung hätte anordnen können. Vor diesem Hintergrund ist nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz das vom Beschwerdeführer gestellte Gesuch um Verfahrensvereinigung abwies, soweit sie darauf eintrat. Ohnehin ist keine Abhängigkeit der Begehren betreffend die (vorzeitige) Anmeldung zur Prüfung und den Ausstand von Mitarbeitern der Prüfungsorganisation vom Ausgang des Verfahrens in Sachen Nachteilsausgleichs ersichtlich.
Im Ergebnis hat die Vorinstanz den Verfahrensgegenstand korrekt festgelegt.
2.4. Vor diesem Hintergrund liegen die im Zusammenhang mit dem Nachteilsausgleich erhobenen Anträge 3 und (teilweise) 8b ausserhalb des Streitgegenstands, sodass darauf nicht einzutreten ist. Gleich verhält es sich mit den Anträgen betreffend Prüfungsgebühren (teilweise Antrag 7), jenen betreffend datenschutzrechtliche Aspekte (teilweise Antrag 7 und Antrag 9) sowie jenen, die sich auf die Prüfungsmodalitäten beziehen (Anträge 8a und teilweise 8b). Darauf wird ebenfalls nicht eingetreten.
Sodann ging es im Schreiben der Prüfungsorganisation vom 16. April 2020 bzw. in der Verfügung des SBFI vom 14. Juli 2020 nur um die vorzeitige Anmeldung des Beschwerdeführers zur Prüfung, nicht jedoch um die Prüfungsanmeldung innerhalb der ordentlichen Anmeldefrist (vgl. auch E. 2.3 des angefochtenen Urteils). Auf den Antrag des Beschwerdeführers, es sei festzustellen, dass seine Anmeldung gültig erfolgt sei (Antrag 5), ist daher ebenfalls nicht einzutreten. Ohnehin sind Feststellungsbegehren im bundesgerichtlichen Verfahren nur zulässig, sofern an der Feststellung ein schutzwürdiges Interesse besteht und dieses nicht ebenso gut mit einem Leistungsbegehren gewahrt werden kann (<ref-ruling> E. 1.7 mit Hinweisen). Ein solches Interesse ist vorliegend nicht ersichtlich.
3.
3.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, sofern sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>).
3.2. Der Beschwerdeführer rügt zwar eine falsche bzw. willkürliche Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz. Aus der Beschwerdebegründung geht indessen nicht klar hervor, welche Sachverhaltsfeststellungen bzw. -abklärungen konkret beanstandet werden. Umso weniger gelingt es ihm, diese als willkürlich erscheinen zu lassen. Damit vermögen seine Ausführungen der qualifizierten Rüge- und Substanziierungspflicht (vgl. E. 1.4 hiervor) nicht zu genügen, sodass darauf nicht weiter einzugehen ist.
4.
Der Beschwerdeführer rügt, sein Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) sei in zweifacher Hinsicht verletzt worden. Einerseits habe die Vorinstanz zu Unrecht eine Verletzung der Begründungspflicht durch das SBFI verneint; andererseits wiege die vom Bundesverwaltungsgericht festgestellte Verletzung des rechtlichen Gehörs im Zusammenhang mit dem verfrühten Abbruch des Schriftenwechsels durch das SBFI derart schwer, dass eine Heilung nicht möglich gewesen wäre.
4.1. Der Anspruch auf rechtliches Gehör ist formeller Natur. Seine Verletzung führt ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids (<ref-ruling> E. 5.3).
4.1.1. Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör folgt unter anderem die Pflicht der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken (<ref-ruling> E. 5.2 mit Hinweisen). Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 9.2; <ref-ruling> E. 3.2).
4.1.2. Nach der Rechtsprechung kann eine nicht besonders schwerwiegende Verletzung des rechtlichen Gehörs als geheilt gelten, wenn die betroffene Person die Möglichkeit erhält, sich vor einer Instanz zu äussern, welche sowohl die Tat- als auch die Rechtsfragen uneingeschränkt überprüft. Von einer Rückweisung der Sache ist selbst bei einer schwerwiegenden Verletzung des rechtlichen Gehörs dann abzusehen, wenn und soweit die Rückweisung zu einem formalistischen Leerlauf und damit zu unnötigen Verzögerungen führen würde, die mit dem (der Anhörung gleichgestellten) Interesse der betroffenen Partei an einer beförderlichen Beurteilung der Sache nicht zu vereinbaren wären (<ref-ruling> E. 2.8.1; <ref-ruling> E. 2.3.2).
4.2. Hinsichtlich der geltend gemachten Verletzung der Begründungspflicht hält die Vorinstanz fest, die Verfügung des SBFI vom 14. Juli 2020 sei zwar sehr knapp gehalten; insgesamt ergebe sich allerdings daraus, dass es dem Beschwerdeführer zumutbar sei, sich an die Prüfungsordnung zu halten und eine verfrühte Anmeldung mit Blick auf die Sicherhaltung eines geordneten Prüfungsablaufs nicht möglich sei (vgl. E. 4.2 des angefochtenen Urteils). Sodann war der Beschwerdeführer unstreitig in der Lage, die Verfügung anzufechten. Damit genügt die Begründung den verfassungsrechtlichen Anforderungen. Die Vorinstanz hat zu Recht eine Verletzung der Begründungspflicht verneint.
Sodann hat das Verwaltungsgericht eine (geringfügige) Verletzung der Orientierungspflicht als Teilgehalt des rechtlichen Gehörs (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3.4) insoweit bejaht, als das SBFI den Beschwerdeführer über die Ansetzung des Schriftenwechsels nicht informiert hatte. Sie erachtete die Verletzung jedoch als geheilt (vgl. E. 5 des angefochtenen Urteils). Dies ist nicht zu beanstanden, zumal das Bundesverwaltungsgericht über die gleiche Kognition verfügte und der Mangel - entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers - nicht besonders schwer wog. Dass ihm daraus ein Nachteil entstanden sein soll, legt der Beschwerdeführer nicht dar.
5.
Soweit der Beschwerdeführer sinngemäss rügt, die Vorinstanz habe sein Begehren betreffend Rechtsverweigerung im Hinblick auf die Nichtanhandnahme der verfrühten Anmeldung zu Unrecht als gegenstandslos geworden erachtet, sind seine Einwände unbegründet: Die Beschwerdelegitimation vor Bundesverwaltungsgericht - wie auch vor Bundesgericht - setzt unter anderem voraus, dass der Betroffene ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung der angefochtenen Verfügung hat (<ref-law>). Die Regelung gemäss <ref-law> entspricht <ref-law> und ist in Anlehnung an diese Bestimmung auszulegen (vgl. <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.1; vgl. E. 1.2 hiervor und E. 7.2 des angefochtenen Urteils).
Wie bereits erwogen, hatte sich der Beschwerdeführer innerhalb der ordentlichen Anmeldefrist (erneut) zur Prüfung angemeldet. In der Folge sicherte ihm die Prüfungsorganisation mit E-Mail vom 18. September 2020 - und somit während Rechtshängigkeit des vorinstanzlichen Beschwerdeverfahrens - einen Zulassungsentscheid Anfang November zu (vgl. E. 1.2 hiervor). Vor diesem Hintergrund durfte die Vorinstanz, ohne Bundesrecht zu verletzen oder eine Rechtsverweigerung zu begehen, annehmen, dass das aktuelle und praktische Interesse des Beschwerdeführers an der Beantwortung der Frage, ob die Nichtanhandnahme seiner verfrühten Anmeldung eine Rechtsverweigerung darstelle, nach der Rechtshängigkeit dahinfiel und das entsprechende Begehren als gegenstandslos abschreiben.
Ebenfalls nicht zu beanstanden ist, dass die Vorinstanz auf sein Begehren um Feststellung, dass seine Prüfungsanmeldung gültig erfolgt sei, nicht eingetreten ist, zumal dieses, wie bereits erwogen, ausserhalb des Streitgegenstandes lag (vgl. E. 2.4 hiervor).
6.
Entgegen den Behauptungen des Beschwerdeführers hat die Vorinstanz weder eine Rechtsverweigerung begangen noch sonstwie Bundesrecht verletzt, indem sie keine materielle Beurteilung des Ausstandsgesuchs gegen B._ vorgenommen hat.
Wie dem angefochtenen Urteil und den Akten zu entnehmen ist, hatte die Prüfungsorganisation über das Ausstandsgesuch nicht entschieden (vgl. E. 2.2 des angefochtenen Urteils). Vor diesem Hintergrund durfte die Vorinstanz lediglich darüber befinden, ob das SBFI das Ausstandsgesuch hätte behandeln müssen, nicht aber über dessen inhaltliche Begründetheit. Das Bundesverwaltungsgericht hat in Auslegung der Prüfungsordnung erwogen, dass das Ausstandsbegehren sinnvollerweise erst dann gestellt bzw. bearbeitet werden könne, wenn feststehe, dass überhaupt eine Prüfung durchgeführt wird, d.h. nach der (gültigen) Anmeldung. Sodann hat es festgehalten, dass es nicht ersichtlich sei, weshalb es dem Beschwerdeführer nicht zumutbar gewesen sein sollte, sein Ausstandsbegehren nach der Anmeldung zur Prüfung zu stellen (vgl. E. 3.3 des angefochtenen Urteils). Durch seine weitgehend appellatorische Kritik vermag der Beschwerdeführer nicht substanziiert darzutun, inwiefern die vorinstanzlichen Erwägungen Bundesrecht, insbesondere die von ihm angerufenen <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK, verletzen.
7.
Der Beschwerdeführer beantragt die Gutheissung des Ausstandsgesuchs gegen die Prüfungsleiterin, C._ (teilweise Antrag 4). Die Vorinstanz ist diesbezüglich zum Schluss gelangt, dass das SBFI dieses Ausstandsgesuch zu Recht abgewiesen habe. Zur Begründung führte sie im Wesentlichen aus, aus dem Umstand, dass die Prüfungsleiterin dem Beschwerdeführer mitgeteilt habe, dass sich die Ausstandsgesuche nach der Prüfungsordnung richteten, ergäben sich keine Hinweise auf deren Befangenheit (vgl. E. 6.2 des angefochtenen Urteils). Inwiefern die vorinstanzliche Auffassung bundesrechtswidrig sein soll, ist nicht ersichtlich und wird vom Beschwerdeführer auch nicht konkret dargetan.
8.
Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, das Bundesverwaltungsgericht habe zu Unrecht eine Rechtsverzögerung im Zusammenhang mit der Behandlung seines Gesuchs betreffend den Nachteilsausgleich verneint.
Die Vorinstanz hat diesbezüglich erwogen, dass die Behandlungsdauer des Gesuchs des Beschwerdeführers um Nachteilsausgleich von Anfang April bis Ende Juli 2020 knapp vier Monate betragen habe. Sie erachtete diese Behandlungsdauer angesichts des Umfangs des vom Beschwerdeführer gestellten Gesuchs als angemessen und verneinte eine Verletzung des Rechtsverzögerungsgebots (vgl. E. 3.2 des angefochtenen Urteils).
Was der Beschwerdeführer dagegen einwendet, überzeugt nicht. So kann aus dem Umstand, dass die Prüfungsorganisation über das Nachteilsausgleichsgesuch erst entschied, nachdem die Vorinstanz über ein Gesuch des Beschwerdeführers um vorsorgliche Massnahmen im Zusammenhang mit der Nichtanhandnahme seiner verfrühten Anmeldung befunden hatte (Zwischenverfügung vom 24. Juli 2020), keine Rechtsverzögerung abgeleitet werden. Unzutreffend sind sodann seine Behauptungen, wonach die Vorinstanz in ihrer Zwischenverfügung vom 24. September 2020 eine Rechtsverzögerung bejaht hätte. Dort hatte das Bundesverwaltungsgericht lediglich ausgeführt, dass in jenem Zeitpunkt noch kein Endentscheid des SBFI über den Nachteilsausgleich vorgelegen habe, weshalb es in der Folge das Gesuch des Beschwerdeführers um Verfahrensvereinigung abwies (vgl. E. 2.3 hiervor).
9.
Weiter macht der Beschwerdeführer sinngemäss geltend, durch die zweimalige Anmeldung zur Prüfung sei er diskriminiert worden. Dabei beruft er sich - insbesondere im Rahmen seiner Beschwerdeergänzung vom 16. November 2020 - auf verschiedene Normen des Bundes- und Völkerrechts (so namentlich auf Art. 8 Abs. 2, Art. 10 Abs. 2, Art. 27 Abs. 2 und Art. 63 Abs. 2 BV, Art. 13 Abs. 2 lit. b UNO-Pakt I [SR 0.103.1], Art. 24 und 27 des Übereinkommens über die Rechte von Menschen mit Behinderungen vom 13. Dezember 2006 [SR 0.109]). Dabei beschränkt er sich darauf, ohne hinreichende Auseinandersetzung mit den vorinstanzlichen Erwägungen, die eigene Auffassung festzuhalten. Auch genügen seine diesbezüglichen Ausführungen den Anforderungen an Verfassungsrügen nicht (vgl. E. 1.4 hiervor), sodass darauf nicht weiter einzugehen ist. Sein Antrag auf Feststellung einer Diskriminierung ist somit abzuweisen, soweit überhaupt darauf einzutreten ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Behandlung besteht (vgl. E. 2.4 hiervor).
10.
Der Beschwerdeführer beanstandet schliesslich die Kostenverlegung im Zusammenhang mit den im vorinstanzlichen Verfahren gegenstandslos gewordenen Begehren (Feststellung einer Rechtsverweigerung wegen Nichtanhandnahme der verfrühten Annahme und Ansetzung einer Nachfrist für die Behandlung des Gesuchs um Nachteilsausgleich).
10.1. Die Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens richten sich nach dem Reglement vom 21. Februar 2008 über die Kosten und Entschädigungen vor dem Bundesverwaltungsgericht (VGKE; SR 173.320.2). Gemäss dessen Art. 5 werden die Verfahrenskosten in der Regel jener Partei auferlegt, deren Verhalten die Gegenstandslosigkeit bewirkt hat. Ist das Verfahren ohne Zutun der Parteien gegenstandslos geworden, so werden die Kosten aufgrund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrunds festgelegt.
10.2. Die Vorinstanz hat gestützt auf diese Bestimmung erwogen, dass vorliegend nicht klar bestimmbar sei, wessen Verhalten die Gegenstandslosigkeit bewirkt habe. Sie ist indessen zum Schluss gekommen, dass der Beschwerdeführer mit seiner Rechtsverweigerungsbeschwerde auch vor Eintritt des Erledigungsgrunds nicht durchgedrungen wäre, da die Verweigerung der vorzeitigen Anmeldung durch die Prüfungsorganisation zur Wahrung eines geordneten Anmeldeablaufs sowie aus Gründen der Gleichbehandlung gerechtfertigt und verhältnismässig erscheine. Gleich verhalte es sich mit dem Begehren betreffend Entscheidung über das Nachteilsausgleichgesuch. In der Folge auferlegte das Bundesverwaltungsgericht die Verfahrenskosten betreffend die gegenstandslos gewordenen Begehren dem Beschwerdeführer (vgl. E. 9.1 des angefochtenen Urteils).
Indem sich der Beschwerdeführer im Wesentlichen darauf beschränkt, diese Schlussfolgerungen zu bestreiten und zu behaupten, dass die Gegenstandslosigkeit durch die Prüfungsorganisation zu verantworten sei, vermag er nicht darzutun, dass die vorinstanzlichen Ausführungen bundesrechtswidrig seien. Sein (eventualiter gestellte) Antrag auf Feststellung, dass die Prüfungsorganisation für die Gegenstandslosigkeit verantwortlich sei, sodass ihr die Kosten aufzuerlegen seien (teilweise Antrag 1), ist somit abzuweisen.
11.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Mit dem vorliegenden Urteil in der Hauptsache werden das vom Beschwerdeführer gestellte Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen sowie der Antrag der Prüfungsorganisation auf Sistierung des vorliegenden Verfahrens gegenstandslos (vgl. <ref-ruling> E. 10 zur aufschiebenden Wirkung).
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Es ist keine Parteientschädigung geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Verfahrenskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. März 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Ivanov