Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Zahlungsbefehl des Betreibungsamtes Arth vom 25. August 2017 betrieb der Kanton Schwyz, vertreten durch das Verkehrsamt, A._ für eine Forderung von Fr. 2'463.10. Als Forderungsgrund bzw. Forderungsurkunde wurden angegeben: "Rechnung Nr. xxx vom 06.07.2017 CHF 2'403.10, Kosten für die Einleitung der Betreibung CHF 60.00, FAK Führerausweis, Mahngebühr Nachbelastung, Ausfallgebühren, Verfügungen, Einzugsaufträge an Polizei, Verkehrssteuern, Mahngebühren". A._ erhob fristgerecht Rechtsvorschlag.
A.b. Am 25. Oktober 2017 stellte der Kanton Schwyz, vertreten durch das Verkehrsamt, beim Bezirksgericht Schwyz das Gesuch um definitive Rechtsöffnung für dem Betrag von Fr. 2'463.10 sowie die Betreibungskosten von Fr. 112.30. Das Bezirksgericht wies das Rechtsöffnungsgesuch mit Verfügung vom 27. November 2017 ab.
A.c. Das Kantonsgericht Schwyz wies die vom Kanton Schwyz, vertreten durch das Verkehrsamt, dagegen erhobene Beschwerde am 24. Juli 2018 ab.
B.
Mit Beschwerde in Zivilsachen, eventualiter subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 14. September 2018 ist der Kanton Schwyz, vertreten durch das Verkehrsamt, an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des kantonsgerichtlichen Beschlusses und die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung im Umfang von Fr. 2'403.10.
A._ (Beschwerdegegner) verlangt die Abweisung der Beschwerde und die Zusprechung einer Parteientschädigung sowie einer Genugtuung. Das Kantonsgericht hat sich dazu vernehmen lassen, ohne einen Antrag zu stellen.
Die Stellungnahmen wurden dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Entscheid der oberen kantonalen Instanz, die als Rechtsmittelbehörde über ein Gesuch um Erteilung der definitiven Rechtsöffnung in der Höhe von Fr. 2'403.10 befunden hat. Gegen diesen Endentscheid steht die Beschwerde an das Bundesgericht zur Verfügung (Art. 90, Art. 72 Abs. 2 lit. a und Art. 75 Abs. 1 BGG). Allerdings ist aufgrund der gesetzlichen Streitwertgrenze die Beschwerde in Zivilsachen nur gegeben, falls es sich um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung handelt (Art. 74 Abs. 1 lit. b und Abs. 2 lit. a BGG).
1.2. Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung ist nur zurückhaltend anzunehmen. Sie liegt vor, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung von Bundesrecht herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1.2). Soweit es hingegen einzig um die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf den Einzelfall geht, handelt es sich nicht um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-ruling> E. 1.3). So verhält es sich im vorliegenden Fall. Zwar begründet der Beschwerdeführer das Vorliegen einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung mit der seiner Ansicht nach widersprüchlichen Praxis der Gerichte in seinem Kanton. Bisher seien die vorgelegten Urkunden immer als definitive Rechtsöffnungstitel qualifiziert worden. Nunmehr bestehe seit dem Beschluss des Kantonsgerichts die Gefahr, dass in Zukunft für gleichartige Fälle keine Rechtsöffnung mehr erteilt werde. Konkret geht es indes einzig um die Auslegung eines Schriftstückes im Hinblick auf die Qualifikation als definitiver Rechtsöffnungstitel im Kanton Schwyz. Damit sind die Voraussetzungen für die Beschwerde in Zivilsachen nicht erfüllt und die Eingabe des Beschwerdeführers wird als Verfassungsbeschwerde entgegengenommen (<ref-law>).
1.3. Mit einer Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden (<ref-law>). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip präzise vorgebracht und begründet werden (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheides klar und einlässlich darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt sein sollen (BGE 133 II E. 3.1; <ref-ruling> E. 2.4).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der angefochtene Entscheid dazu Anlass gibt. Neue Begehren sind nicht zulässig (Art. 117 i.V.m. <ref-law>).
2.
2.1. Das Kantonsgericht hat festgehalten, dass die "2. Mahnung und Betreibungsandrohung" des Beschwerdeführers vom 6. Juli 2017 eine Rechnung und keine Verfügung darstelle und ihm daher für den geforderten Betrag die definitive Rechtsöffnung nicht erteilt werden könne.
2.2. Der Beschwerdeführer macht demgegenüber geltend, das eingereichte Dokument stelle eine Kostenverfügung dar, welche für den Adressaten ohne weiteres als solche erkennbar sei. Es komme einem überspitzten Formalismus gleich, wenn ihm gestützt darauf keine definitive Rechtsöffnung erteilt werde.
3.
Anlass zur Beschwerde geben die Anforderungen an einen definitiven Rechtsöffnungstitel für eine öffentlich-rechtliche Forderung.
3.1. Beruht die Forderung auf einem vollstreckbaren gerichtlichen Entscheid, so kann der Gläubiger beim Richter die Aufhebung des Rechtsvorschlags (definitive Rechtsöffnung) verlangen. Gerichtlichen Entscheiden gleichgestellt sind unter anderem die Verfügungen schweizerischer Verwaltungsbehörden (Art. 80 Abs. 1 und Abs. 2 Ziff. 2 SchKG; <ref-ruling> E. 2.1). Demgegenüber ist die Vollstreckung ausländischer öffentlich-rechtlicher Forderungen in der Regel nicht möglich (<ref-ruling> E. 3). Seit dem 1. Januar 2011 bildet die ganze Schweiz einen einheitlichen Vollstreckungsraum für alle Verfügungen eidgenössischer, kantonaler und kommunaler Behörden oder ihnen gleichgestellter (privater) Organisationen. Sie berechtigten zur definitiven Rechtsöffnung ungeachtet ihrer Grundlage im Bundesrecht, im kantonalen oder im kommunalen Recht. Erforderlich ist in jedem Fall eine vollstreckbare individuell-konkrete Anordnung der Behörde, womit eine blosse Rechnung nicht genügt (<ref-ruling> E. 2.1; STAEHELIN, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 102, 112, 120 zu Art. 80; ABBET, in: Abbet/ Veuillet (Hrsg.), La mainlevée de l'opposition, 2017, N. 126, 127 zu Art. 80). Es ist gerade im Bereich der Massenverwaltung durchaus üblich und zulässig, wenn das Gemeinwesen zunächst eine Rechnung mit der Aufforderung zur Zahlung stellt. Erfolgt daraufhin keine freiwillige Zahlung, so ist eine vollstreckbare Verfügung zu erlassen, um die definitive Rechtsöffnung zu erhalten (Urteil 2C_144/2015 vom 4. November 2015 E. 3.2.3).
3.2. Der Rechtsöffnungsrichter hat von Amtes wegen zu prüfen, ob die mit dem Gesuch um definitive Rechtsöffnung eingereichten Unterlagen eine vollstreckbare Verfügung darstellen (STAEHELIN, a.a.O., N. 50 zu Art. 84). Dabei befasst er sich nicht mit der materiellrechtlichen Grundlage der in Betreibung gesetzten Forderung, sondern nimmt lediglich eine Prüfung der Titelqualität vor. Für die Anerkennung als definitiver Rechtsöffnungstitel muss aus der Verfügung insbesondere die Zahlungspflicht des Schuldners und deren Höhe sowie die Identität des Betreibenden mit dem Gläubiger bzw. des Betriebenen mit dem Schuldner hervorgehen. Zudem muss die Vollstreckbarkeit gegeben sein. Schliesslich hat der Rechtsöffnungsrichter von Amtes wegen eine allfällige Nichtigkeit des Titels (<ref-ruling> E. 2) oder der Betreibung festzustellen (<ref-ruling> E. 4.1; STAEHELIN, a.a.O., N. 14, 128 zu Art. 80; vgl. SCHWANDER, Zu den verschiedenen Funktionen der Rechtsöffnung, in: Schuldbetreibung und Konkurs am Wandel, 2000, S. 375).
3.3. Dem Beschwerdeführer kann daher nicht gefolgt werden, soweit er meint, da der Beschwerdegegner die Titelqualität seiner Rechnung im kantonalen Verfahren nicht bestritten habe, müsse ihm die definitive Rechtsöffnung gewährt werden. Ebenso wenig kann er aus dem Umstand, dass der Rechtsöffnungsrichter zwar von einer Verfügung ausgegangen ist und das Rechtsöffnungsgesuch dann aus anderen Gründen abgewiesen hat, etwas für seinen Standpunkt ableiten; Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet einzig der Beschluss des Kantonsgerichts. Keine Rolle spielt schliesslich, ob die kantonalen Behörden Rechnungen - wie die vorliegend strittige - bisher als definitive Rechtsöffnungstitel qualifiziert haben, wie der Beschwerdeführer behauptet. Weshalb die Vorinstanz dem Beschwerdeführer im Rechtsmittelverfahren eigens hätte Gelegenheit geben müssen, um sich zur kantonalen Rechtsöffnungspraxis äussern und die Rechnung vom 6. Juli 2017 erläutern zu können, ist unter dem Blickwinkel des Anspruchs auf rechtliches Gehör nicht nachvollziehbar. Zudem hätten aufgrund des Novenverbotes (<ref-law>) vom Beschwerdeführer ohnehin keine weiteren Belege eingereicht werden können, wie die Vorinstanz in ihrer Vernehmlassung an das Bundesgericht zu Recht betont.
3.4. Bleibt zu prüfen, ob die "2. Mahnung und Betreibungsandrohung" des Beschwerdeführers vom 6. Juli 2017 die Merkmale einer Verfügung im Sinne von <ref-law> aufweist.
3.4.1. Nach der Rechtsprechung zeichnet sich eine solche Verfügung als eine behördliche Anordnung aus, mit welcher der Adressat zur Leistung eines bestimmten Geldbetrages an das Gemeinwesen aufgefordert wird (<ref-ruling> E. 2.2.1). Die meisten Kantone haben diesen bundesrechtlichen Verfügungsbegriff (<ref-law>) wörtlich oder sinngemäss in ihre Gesetze übernommen (Urteil 2C_444/2015 vom 4. November 2015 E. 3.2.1), so auch der Kanton Schwyz, der die Verfügungen als hoheitliche, individuelle und einseitige Anordnungen einer Behörde umschreibt, mit welchen Rechte und Pflichten bestimmter Personen begründet, abgeändert oder aufgehoben werden (§ 6 Abs. 1 lit. a VRP/SZ).
3.4.2. Aus der "2. Mahnung und Betreibungsandrohung" des Verkehrsamtes geht eine detaillierte Auflistung der ausstehenden Verkehrssteuern sowie verschiedener Gebühren und Zustellungskosten hervor. Sie verweist auf die Rechnung Nr. xxx, welche trotz Zahlungserinnerung noch nicht beglichen worden sei. Alsdann folgt die Bitte, den Rechnungsbetrag samt Mahngebühr von Fr. 20.-- bis am 26. Juli 2017 zu überweisen. Zwar sieht das kantonale Recht keine Pflicht vor, eine Verfügung als solche zu bezeichnen. Indes muss auch aus einer Rechnung der klare Wille des Gemeinwesens hervorgehen, den Adressaten zu einer konkreten Leistung zu verpflichten. Nur dann liegt eine hoheitliche und verbindliche Anordnung vor, die das Wesen der Verfügung ausmacht (<ref-ruling> E. 2.2.1; vgl. KIENER/RÜTSCHE/ KUHN, Öffentliches Verfahrensrecht, 2. Aufl. 2015, Rz. 355). Eine blosse Zahlungsaufforderung - unter Bezugnahme auf die vorangehende Rechnung - genügt darum selbst dann nicht, wenn sie mit einer Betreibungsandrohung verbunden ist. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers kann von überspitztem Formalismus nicht gesprochen werden, wenn die Vorinstanz zum Schluss gekommen ist, die im konkreten Fall angebrachte Rechtsmittelbelehrung für die Verkehrssteuern und Gebühren könne den fehlenden Verfügungscharakter nicht ersetzen.
3.5. Die Vorinstanz hat daher keine verfassungsmässigen Rechte des Beschwerdeführers verletzt, wenn sie das Vorliegen eines definitiven Rechtsöffnungstitels in Gestalt einer Verfügung verneint hat.
4.
Nach dem Gesagten ist der als Verfassungsbeschwerde behandelten Eingabe des Beschwerdeführers kein Erfolg beschieden. Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdeführer, der im amtlichen Wirkungskreis handelt, indes Vermögensinteressen wahrnimmt, die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Dem nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdegegner ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden, weshalb eine Parteientschädigung nicht zu bezahlen ist (<ref-law>). Seinem Antrag auf Zusprechung einer Genugtuung kann zufolge abschliessender Regelung betreffend die Parteientschädigung nicht entsprochen werden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in Zivilsachen wird nicht eingetreten und die Eingabe vom 14. September 2018 wird als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen.
2.
Die Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Schwyz, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. März 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante