Sachverhalt:
A.
Aufgrund einer Strafanzeige von A._ wegen übler Nachrede bzw. Verleumdung führt das Untersuchungsamt St. Gallen ein Strafverfahren gegen B._.
Am 21. Februar 2019 stellte A._ das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Am 27. Februar 2019 wies das Untersuchungsamt dieses ab. Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde schützte die Anklagekammer des Kantons St. Gallen am 8. Mai 2019 teilweise. Sie bejahte den Anspruch von A._ auf unentgeltliche Rechtpflege (Art. 136 Abs. 2 lit. a und b StPO) mit Wirkung ab dem 21. Februar 2019, nicht hingegen auf die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands (<ref-law>). Auf die von A._ hiergegen eingereichte Beschwerde trat das Bundesgericht am 19. Juni 2019 nicht ein, da sie den gesetzlichen Formerfordernissen nicht genügte (Urteil 1B_299/2019).
B.
Am 8. Juli 2019 ersuchte A._ erneut um die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands. Am 9. Juli 2019 wies das Untersuchungsamt das Gesuch ab.
Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde wies die Anklagekammer am 15. August 2019 ab; ebenso wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren. Sie auferlegte A._ die Entscheidgebühr von Fr. 1'000.--.
C.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, den Entscheid der Anklagekammer vom 15. August 2019 aufzuheben, und weiteren Anträgen.
D.
Die Anklagekammer hat (unter Verweis auf den angefochtenen Entscheid) auf Vernehmlassung ausdrücklich verzichtet; stillschweigend ebenso das Untersuchungsamt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht hat dem Beschwerdeführer das Schreiben, mit dem die Vorinstanz auf Vernehmlassung verzichtet hat, am 20. November 2019 zur Kenntnisnahme zugestellt. Mit Schreiben vom 17. Januar 2020, also knapp zwei Monate später, hat sich der Beschwerdeführer erneut geäussert; dies, wie er selber darlegt, "reichlich spät". Ob das Schreiben berücksichtigt werden kann, kann dahingestellt bleiben. Wäre dies zu bejahen, änderte sich am Ausgang des Verfahrens nichts.
2.
Die Vorinstanz hat dem Bundesgericht mit dem Verzicht auf Vernehmlassung die Akten des kantonalen Beschwerdeverfahrens (Dossier AK.2019.274-AK) zugesandt. Der Beschwerdeführer äussert in seiner Eingabe vom 17. Januar 2020 die Sorge, darin könnten unzutreffende Behauptungen enthalten sein, die ihm vorenthalten worden seien. Um dies überprüfen zu können, ersucht er um die Zustellung des Aktenverzeichnisses des Dossiers AK.2019.274-AK.
Dieses Dossier enthält die Beschwerde des Beschwerdeführers vom 19. Juli 2019 mitsamt Beilagen an die Vorinstanz, den Verzicht des Untersuchungsamtes auf Vernehmlassung dazu, welchen die Vorinstanz dem Beschwerdeführer zur Orientierung zustellte, ein Aktenverzeichnis und den angefochtenen Entscheid. Das Dossier enthält somit keine Akten, die dem Beschwerdeführer vorenthalten wurden. Die verlangte Zustellung des Aktenverzeichnisses erübrigt sich damit.
3.
In der Sache geht es um die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands nach <ref-law>. Diese hat die Vorinstanz bereits in ihrem Entscheid vom 8. Mai 2019 zur Wahrung der Rechte des Beschwerdeführers als nicht notwendig erachtet (zur restriktiven Rechtsprechung insoweit: <ref-ruling> E. 2b/bb f. S. 147 f.; Urteil 1B_39/2019 vom 20. März 2019 E. 2.4; je mit Hinweisen). Auf die vom Beschwerdeführer dagegen erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht am 19. Juni 2019 nicht ein. Der Entscheid der Vorinstanz vom 8. Mai 2019 erwuchs damit in Rechtskraft. Entsprechend hatte die Vorinstanz im hier angefochtenen Entscheid nur noch zu prüfen, ob sich seither eine rechtserhebliche Veränderung der Verhältnisse ergeben hatte. Die Vorinstanz erwägt, eine solche Änderung sei aus den Akten nicht ersichtlich und werde in der teils schwer verständlichen Beschwerde auch nicht hinreichend dargetan.
Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was diese Auffassung als bundesrechtswidrig erscheinen lassen könnte. Eine Verletzung von <ref-law> ist nicht erkennbar. Soweit sich der Beschwerdeführer auf Grundrechte beruft, legt er nicht in einer den qualifizierten Anforderungen von <ref-law> (dazu <ref-ruling> E. 1.3 S. 30 mit Hinweisen) genügenden Weise dar, inwiefern sie verletzt sein sollen und sich daraus - entgegen der erwähnten restriktiven Rechtsprechung - ein Anspruch auf unentgeltliche Bestellung eines Rechtsbeistands ergeben soll. Das ist auch nicht auszumachen. Nicht zu beanstanden ist es sodann, wenn die Vorinstanz die bei ihr erhobene Beschwerde als aussichtslos beurteilt und deshalb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren abgewiesen hat. Eine mangelhafte Begründung ihres Entscheids kann der Vorinstanz nicht vorgeworfen werden. Wenn sie sich auf das Wesentliche beschränkt hat, verletzt das kein Bundesrecht (<ref-ruling> E. 5.2 S. 70 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 183; je mit Hinweisen).
4.
Die Beschwerde ist deshalb abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann. Da sie aussichtslos war, kann die unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gemäss <ref-law> nicht bewilligt werden. Unter den gegebenen Umständen rechtfertigt es sich jedoch, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Untersuchungsamt St. Gallen, und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juni 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Härri