Sachverhalt:
A.
A._ und B._ (Beklagte, Beschwerdeführerinnen) beauftragten die C._ AG (damals firmierend unter "C._ AG"; Klägerin, Beschwerdegegnerin) am 24. Oktober 2014 mit ihrer Vertretung in mehreren am Mietgericht Zürich hängigen Verfahren. Anfangs Februar 2015 endete das Mandatsverhältnis, nachdem es zwischen den Parteien zu Unstimmigkeiten gekommen war. Am 22. Juni 2015 stellte die Klägerin den Beklagten die Schlussrechnung für ihre Bemühungen und Auslagen. Die Beklagten bezahlten diese Schlussrechnung nicht. Sie erhoben gegen die von der Klägerin gegen sie eingeleiteten Betreibungen Rechtsvorschlag.
B.
Am 23. März 2018 gelangte die Klägerin mit einem Schlichtungsgesuch an das Friedensrichteramt Winterthur. Dieses stellte der Klägerin am 28. Mai 2018 die Klagebewilligung aus, nachdem die Beklagten der Schlichtungsverhandlung unentschuldigt fern geblieben waren.
Mit Klage vom 25. September 2018 beantragte die Klägerin beim Bezirksgericht Winterthur, die Beklagten seien zu verpflichten, ihr Fr. 8'425.20 (Betrag aus offener Honorarrechnung) und Fr. 3'000.-- (Betrag aus vorgeschossenem Gerichtskostenvorschuss) zu bezahlen, je nebst Zins zu 5 % seit 6. Februar 2015. Ferner sei der Rechtsvorschlag in den Betreibungen Nr. www beziehungsweise yyy des Betreibungsamtes Winterthur-Stadt zu beseitigen und es sei der Klägerin provisorische Rechtsöffnung zu erteilen. Ausserdem verlangte sie die Bezahlung der Betreibungskosten und der Kosten des Schlichtungsverfahrens sowie die Erstattung der von ihr vorgeschossenen Gerichtskosten, jeweils mit Erteilung der definitiven Rechtsöffnung für diese Kosten und zuzusprechende Parteientschädigung.
Die Beklagten beantragten die vollumfängliche Abweisung der Klage. Ferner begehrten sie, die Einträge der Betreibungen Nr. xxx und www beziehungsweise Nr. zzz und yyy des Betreibungsamtes Winterthur-Stadt seien zu löschen beziehungsweise das Betreibungsamt sei anzuweisen, den Registereintrag zu löschen respektive diesen keinem Dritten bekannt zu geben.
Mit Urteil vom 11. Mai 2020 trat das Bezirksgericht auf die Anträge der Klägerin um Erteilung der provisorischen beziehungsweise definitiven Rechtsöffnung nicht ein. In teilweiser Gutheissung der Klage verpflichtete es die Beklagten in solidarischer Haftung, der Klägerin Fr. 8'092.40 nebst Zins zu 5 % seit 4. Juli 2015 und Fr. 3'000.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 16. Februar 2018 zu bezahlen. In diesem Umfang beseitigte es den Rechtsvorschlag in den Betreibungen Nr. www und yyy. Ferner verpflichtete es die Beklagten, der Klägerin die Betreibungskosten von Fr. 258.25 zu ersetzen und regelte die Kosten- und Entschädigungsfolgen ausgangsgemäss (im Umfang von 97 %) zulasten der Beklagten.
Dagegen erhoben die Beklagten Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich mit im Wesentlichen gleichen Anträgen wie in der Klageantwort. Mit Urteil vom 9. November 2020 wies das Obergericht die Berufung ab und bestätigte das Urteil des Bezirksgerichts. Die zweitinstanzliche Entscheidgebühr von Fr. 1'800.-- auferlegte es den Beklagten.
C.
Mit "Nichtigkeitsbeschwerde und subsidiäre[r] Verfassungsbeschwerde" beantragen die Beschwerdeführerinnen dem Bundesgericht, es sei die Nichtigkeit der Klagebewilligung und des Urteils des Bezirksgerichts Winterthur festzustellen und es seien das Urteil des Obergerichts und dasjenige des Bezirksgerichts Winterthur aufzuheben. Die Entscheidgebühr des Berufungsverfahrens von Fr. 1'800.-- sei der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen. Die Klage sei abzuweisen und die Einträge der Betreibungen Nr. xxx und www (A._) und Nr. zzz und yyy (B._) des Betreibungsamtes Winterthur-Stadt seien zu löschen beziehungsweise das Betreibungsamt sei anzuweisen, den Registereintrag zu löschen respektive diesen keinem Dritten bekannt zu geben. Ferner sei die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, für ihre anwaltliche Vertretung im erstinstanzlichen Verfahren die festgesetzte Parteientschädigung von Fr. 5'616.-- (inkl. MwSt) zu entrichten.
Es wurden keine Vernehmlassungen zur Beschwerde eingeholt.
D.
Mit Verfügung vom 13. Januar 2021 wurde der Beschwerde mangels Opposition aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil ist ein verfahrensabschliessender Endentscheid (Art. 117 i.V.m. <ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 114 i.V.m. <ref-law>). Der Streitwert erreicht die erforderliche Streitwertgrenze von <ref-law> nicht, weshalb die Beschwerde in Zivilsachen nicht gegeben ist. Die erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde erweist sich demnach als das zulässige Rechtsmittel (<ref-law>).
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist nur gegen letztinstanzliche kantonale Entscheide zulässig (Art. 114 i.V.m. <ref-law>). Soweit die Beschwerdeführerinnen die Feststellung der Nichtigkeit der Klagebewilligung und des Urteils des Bezirksgerichts Winterthur verlangen oder - was über weite Strecken der Beschwerdeschrift zutrifft - ihre Kritik gegen das erstinstanzliche Urteil richten, kann darauf nicht eingetreten werden.
1.2. Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Der Beschwerdeführer muss angeben, welches verfassungsmässige Recht verletzt wurde, und substanziiert darlegen, worin die Verletzung besteht (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.6; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von verfassungsmässigen Rechten liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als verfassungswidrig erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie auf einer Verletzung verfassungsmässiger Rechte beruht (Art. 116 i.V.m. <ref-law>). Wird Letzteres geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese verfassungswidrig, insbesondere willkürlich, sein soll (<ref-ruling> E. 7.1, 585 E. 4.1; je mit Hinweisen). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 117 i.V.m. <ref-law>).
1.4. Die Beschwerdeführerinnen verkennen diese Grundsätze über weite Strecken, indem sie dem Bundesgericht in frei gehaltenen Ausführungen bloss ihre eigene Sicht der Dinge unterbreiten, ohne sich hinreichend mit den vorinstanzlichen Erwägungen auseinanderzusetzen und im Einzelnen deren offensichtliche Unhaltbarkeit beziehungsweise Verfassungswidrigkeit aufzuzeigen. Indem sie über zahlreiche Seiten hinweg ihre Ansichten zur örtlichen und sachlichen Zuständigkeit des Erstgerichts sowie zu verschiedenen Bestimmungen und Grundsätzen der Zivilprozessordnung ausbreiten und an den Begründungen der vorinstanzlichen Urteile appellatorische Kritik äussern, verkennen sie, dass das Bundesgericht keine Appellationsinstanz ist, der im Verfahren der subsidiären Verfassungsbeschwerde die freie Überprüfung des Sachverhalts und der Rechtsanwendung zustünde.
Sie erwähnen zwar mehrere Bestimmungen der Bundesverfassung, so <ref-law>, <ref-law>, <ref-law> und Art. 5 Abs. 1, 3 und 4 BV, gehen jedoch nicht hinreichend auf die Erwägungen im angefochtenen Entscheid ein und begründen nicht nachvollziehbar, inwiefern die Vorinstanz, deren Entscheid einziges Anfechtungsobjekt im bundesgerichtlichen Verfahren bildet, diese Bestimmungen verletzt haben soll. In Bezug auf <ref-law> übersehen sie zudem, dass die dort garantierten Grundsätze rechtsstaatlichen Handelns keine selbständig anrufbaren verfassungsmässigen Rechte begründen (vgl. etwa <ref-ruling> E. 5.8.2 S. 199).
Auf die Beschwerde kann daher grösstenteils mangels hinreichender Begründung nicht eingetreten werden. Soweit wenigstens ansatzweise eine hinreichende Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte auszumachen ist, ist dazu Nachstehendes auszuführen.
2.
Ihren erstmals vor Bundesgericht erhobenen Nichtigkeitsantrag begründen die Beschwerdeführerinnen mit Hinweis auf die "auf den ersten Blick erkennbare fehlende örtliche und sachliche Zuständigkeit der Vor- und Vorvorinstanzen und die überdies rechtlich mehrfach nicht vollstreckbaren Rechtsbegehren der Klage". Sie hätten dies bei der Vorinstanz gerügt, diese habe sich aber mit keinem Wort dazu geäussert, was eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehörs darstelle und <ref-law> und Art. 6 Abs. 1 EMRK (Anspruch auf den gesetzmässigen Richter) verletze.
Der Nichtigkeitsantrag entbehrt der Grundlage. Die Beschwerdeführerinnen wollen - zu Unrecht - nicht gelten lassen, dass das Bezirksgericht aufgrund ihrer Klageantwort Einlassung auf den Gerichtsstand in Winterthur annehmen durfte. Von einer offensichtlich fehlenden örtlichen und sachlichen Zuständigkeit, welche die Nichtigkeit nach sich ziehen könnte, kann keine Rede sein, und ebenso wenig von einer Verletzung des Anspruchs auf das gemäss Gesetz zuständige Gericht nach <ref-law>. Sodann kann der Vorinstanz in diesem Zusammenhang auch keine Verletzung des Gehörsanspruchs angelastet werden. Sie erachtete die Berufung in diesem Punkt für ungenügend begründet, da der Vorwurf, das erstinstanzliche Gericht habe das rechtliche Gehör der Beschwerdeführerinnen oder deren Anspruch auf ein unparteiisches Gericht verletzt, nicht ansatzweise nachvollziehbar sei. Die Beschwerdeführerinnen zeigen nicht auf, dass und inwiefern die Vorinstanz damit verfassungsmässige Rechte verletzt haben soll.
Unerfindlich ist schliesslich, wie die Beschwerdeführerinnen aus dem Umstand, dass die Beschwerdegegnerin in ihren ursprünglichen Rechtsbegehren nicht bloss die Beseitigung des Rechtsvorschlags in den gegen sie erhobenen Betreibungen begehrte, sondern auch die Erteilung der provisorischen beziehungsweise definitiven Rechtsöffnung beantragte, die Nichtigkeit zufolge offensichtlicher Unzuständigkeit ableiten will. Das Bezirksgericht ist auf die Rechtsöffnungsbegehren nicht eingetreten (Dispositivziffer 1). Die Vorinstanz hat den Beschwerdeführerinnen zutreffend erklärt, dass das Bezirksgericht damit - und indem es den Zinsenlauf ab einem späteren als dem beantragten Datum laufen liess - der Beschwerdegegnerin in Übereinstimmung mit dem Dispositionsgrundsatz nicht mehr, sondern weniger, als diese in ihren Rechtsbegehren beantragt hatte, zusprach. Die dagegen gerichtete Kritik der Beschwerdeführerinnen ist nicht zu hören, da sie bloss am eigenen Standpunkt festhalten, anstatt die Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts aufzuzeigen.
3.
Der Nichtigkeitsantrag erweist sich als unbegründet, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann.
4.
Unter dem Titel "Begründung betreffend die subsidiäre Verfassungsbeschwerde" nehmen sie erneut ihre Argumentation auf, wonach <ref-law> (zuständiges Gericht) und <ref-law> (rechtliches Gehör) verletzt worden sein soll.
4.1. Der verfassungsmässige Anspruch auf rechtliches Gehör umfasst das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines in seine Rechtsstellung eingreifenden Akts zur Sache zu äussern. Er verlangt von der Behörde, dass sie seine Vorbringen tatsächlich hört, ernsthaft prüft und in ihrer Entscheidfindung angemessen berücksichtigt. Dies gilt für alle form- und fristgerechten Äusserungen, Eingaben und Anträge, die zur Klärung der konkreten Streitfrage geeignet und erforderlich erscheinen (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 188 mit Hinweisen). Daraus folgt auch die Verpflichtung des Gerichts, seinen Entscheid zu begründen. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass der Betroffene den Entscheid gegebenenfalls sachgerecht anfechten kann. Sie muss kurz die wesentlichen Überlegungen nennen, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die es seinen Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 436; <ref-ruling> E. 3.2.4 S. 41; <ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 5.1; je mit Hinweisen).
4.2. Diesen Anforderungen an die Begründung eines Entscheids kam die Vorinstanz nach. Mit Blick auf die erfolgte Einlassung auf das Verfahren vor dem Bezirksgericht Winterthur erübrigten sich eingehende Ausführungen zu den einzelnen Vorbringen der Beschwerdeführerinnen betreffend die behauptete Unzuständigkeit und zu den in diesem Zusammenhang angeblich verletzten Bestimmungen der Zivilprozessordnung, zumal die Vorinstanz die diesbezüglichen Darlegungen - unwiderlegt - teilweise als nicht nachvollziehbar taxierte.
Auch in diesem Kontext verfehlen die Beschwerdeführerinnen die Anforderungen an eine rechtsgenügliche Begründung einer Gehörsrüge oder einer Verletzung anderer verfassungsmässiger Rechte.
5.
In der Sache halten die Beschwerdeführerinnen die ergangenen Entscheide jedenfalls für willkürlich (<ref-law>). Sie beharren auf ihrem Standpunkt, der Beschwerdegegner habe seine anwaltliche Sorgfaltspflicht mehrfach schuldhaft verletzt, weshalb sie berechtigt seien, die Honorarforderung mit Schadenersatzansprüchen zu verrechnen. Sie verweisen auf ein anderes Urteil der I. Zivilkammer des Obergerichts vom 9. April 2015 des Kantons Zürich, das einen sehr ähnlich gelagerten Fall betreffe und in dem das Obergericht anders entschieden habe. Das Bezirksgericht habe sich dazu in Widerspruch gesetzt. Die Vorinstanz hörte die Beschwerdeführerinnen mit diesen Ausführungen nicht, da sie nicht hinlänglich begründet seien. Das wird von den Beschwerdeführerinnen zwar gerügt, aber nicht als verfassungswidrig ausgewiesen. Auch im Weiteren vermögen sie das Bundesgericht nicht zu überzeugen, dass die Vorinstanz widersprüchlich oder offensichtlich haltlos und damit willkürlich entschieden hätte. Es bleibt somit auch beim materiellen Entscheid betreffend die Klage (weitgehende Gutheissung).
6.
Was schliesslich die Anträge zu den kantonalen Gerichts- und Parteikosten anbelangt, basieren diese auf den Standpunkten der Beschwerdeführerinnen, mit denen sie aber - auch vor Bundesgericht - nicht durchgedrungen sind. Es besteht daher von vornherein kein Grund, in die Kostenregelung der Vorinstanz einzugreifen.
7.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend werden die Beschwerdeführerinnen kostenpflichtig, in solidarischer Haftbarkeit (Art. 66 Abs. 1 und 5). Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand erwachsen, weshalb keine Parteientschädigung zugesprochen wird.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführerinnen auferlegt, in solidarischer Haftbarkeit.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Januar 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Stähle