Sachverhalt:
A.
A.a. Die C._ AG (mittlerweile in Liquidation) bezweckte unter anderem den Import und Export von sowie den Grosshandel mit Getränken, Lebensmitteln sowie Waren im Haushaltsbereich. B._ war seit Gründung der Gesellschaft am 10. Mai 2010 bis zum 19. September 2015 kollektivzeichnungsberechtigtes Mitglied des Verwaltungsrats.
Die A._ GmbH bezweckt insbesondere den Handel mit Lebensmitteln und Getränken aller Art. Sie wurde am 21. August 2015 ins Handelsregister des Kantons Schwyz eingetragen. B._ war zu Beginn Vorsitzender der Geschäftsführung und ist seit April 2018 Geschäftsführer mit Einzelunterschrift.
A.b. Von Juli 2015 bis August 2017 wurden Saucen der Marke "Heinz" (Zolltarifnummern 2103.2000 und 2103.9000) sowie Bier der Marke "Corona" (Zolltarifnummer 2203.0031) im Namen verschiedener Unternehmen (u.a. der C._ AG und der A._ GmbH) in die Schweiz importiert.
A.c. Am 22. Juli 2017 eröffnete die Zollkreisdirektion Basel (nachfolgend: die Zollkreisdirektion) wegen des Verdachts von Widerhandlungen gegen die Zoll- und Mehrwertsteuergesetzgebung eine Strafuntersuchung gegen B._. Am gleichen Tag wurde auch gegen die A._ GmbH eine Strafuntersuchung eröffnet.
Am 21. Februar 2019 teilte die Zollkreisdirektion B._ mit, dass sie beabsichtige, Abgaben in Höhe von Fr. 415'988.45 bei ihm nachzufordern. Das Schreiben wurde nicht abgeholt.
A.d. Am 16. April 2020 eröffnete die Oberzolldirektion B._ das Schlussprotokoll der Strafuntersuchung. Insbesondere warf sie ihm vor, im Zeitraum vom 18. April 2013 bis 30. August 2018 aufgrund von gefälschten Rechnungen und den darauf enthaltenen unzutreffenden Ursprungserklärungen sowie mittels Aufteilung der für einen einzigen Empfänger bestimmten Sendungen auf verschiedene Empfänger die zollfreie Einfuhr erwirkt und dadurch Zollabgaben in Höhe von Fr. 216'137.40 sowie Mehrwertsteuern in Höhe von Fr. 16'442.70 hinterzogen und dadurch eine Widerhandlung gegen die Zoll- und Verwaltungsstrafgesetzgebung begangen zu haben.
B.
Mit Verfügung ebenfalls vom 16. April 2020 forderte die Oberzolldirektion von B._ Abgaben in Höhe von Fr. 255'631.35 (inkl. Verzugszins) nach (Dispositivziffer 1); zudem wurden die C._ AG im Umfang von Fr. 156'313.45 und die A._ GmbH im Umfang von Fr. 98'266.85 für solidarisch leistungspflichtig erklärt (Dispositivziffer 2).
Eine von B._ gegen die Nachleistungsverfügung vom 16. April 2020 erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 23. Februar 2021 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 12. April 2021 gelangt B._ an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts vom 23. Februar 2021 sowie von Dispositivziffer 1 der Verfügung der Oberzolldirektion vom 16. April 2020. Prozessual ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Das Bundesgericht hat die Akten eingeholt, sonst jedoch keine Instruktionsmassnahmen verfügt.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen verfahrensabschliessenden Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, der beim Bundesgericht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten angefochten werden kann (Art. 82 lit. a, Art. 83, Art. 86 Abs. 1 lit. a, Art. 90 BGG). Auf die form- und fristgerecht (Art. 42, Art. 100 Abs. 1 BGG) eingereichte Beschwerde des hierzu legitimierten Beschwerdeführers (<ref-law>) ist einzutreten.
1.2. Anfechtungsgegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet einzig der vorinstanzliche Entscheid, der die Verfügung der Oberzolldirektion vollumfänglich ersetzt hat (sog. Devolutiveffekt; <ref-law>). Soweit der Beschwerdeführer im vorliegenden Verfahren die Aufhebung von Dispositivziffer 1 der Verfügung der Oberzolldirektion verlangt, ist daher auf die Beschwerde nicht einzutreten. Immerhin gelten Entscheide unterer Instanzen als inhaltlich mitangefochten (vgl. Urteil 2C_717/ 2017 vom 25. November 2019, E. 1.2, m.w.H.).
2.
2.1. Im bundesgerichtlichen Verfahren gilt der Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen (<ref-law>). Unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) prüft das Bundesgericht jedoch nur die geltend gemachten Rechtsverletzungen, sofern rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.5).
2.2. Seinem Urteil legt das Bundesgericht den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zu Grunde (<ref-law>), es sei denn, die Feststellungen der Vorinstanz seien offensichtlich unrichtig oder beruhten auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (<ref-law>). Offensichtlich unrichtig ist die Feststellung des Sachverhalts, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 4.1.2).
3.
Gemäss Art. 12 Abs. 1 lit. a des Bundesgesetzes über das Verwaltungsstrafrecht vom 22. März 1974 (VStrR; SR 313.0) ist eine Abgabe, die infolge einer Widerhandlung gegen die Verwaltungsgesetzgebung des Bundes zu Unrecht nicht erhoben worden ist, ohne Rücksicht auf die Strafbarkeit einer bestimmten Person nachzuentrichten. Leistungspflichtig ist nach Art. 12 Abs. 2 VStrR unter anderem, wer in den Genuss des unrechtmässigen Vorteils gelangt ist, insbesondere der zur Zahlung der Abgabe Verpflichtete.
Bezogen auf den vorliegenden Fall setzt die Nachzahlungspflicht eine Widerhandlung gegen die Zoll- bzw. Mehrwertsteuergesetzgebung voraus; nicht erforderlich ist hingegen, dass die abgabepflichtige Person im Sinn von Art. 12 Abs. 2 VStrR ein Verschulden trifft oder dass gegen sie eine Strafverfolgung eingeleitet wurde (<ref-ruling> E. 3.4.3; Urteile 2C_382/2017 vom 13. Dezember 2018 E. 2.2; 2C_912/2015 vom 20. September 2016 E. 5.1).
4.
Vorliegend ging die Vorinstanz davon aus, dass der Beschwerdeführer sich einen unrechtmässigen Zollvorteil verschafft habe, indem er Waren bei der Einfuhr zu Unrecht zu Präferenzsätzen verzollt habe (vgl. für mexikanisches Bier der Zolltarifnummer 2203.0031 Anhang II des Landwirtschaftsabkommens vom 27. November 2000 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und den Vereinigten Mexikanischen Staaten [Landwirtschaftsabkommen CH-MX; SR 0.632.315.631.11]; vgl. für deutsche Gewürzsaucen der Zolltarifnummern 2103.2000 und 2103.9000 Art. 1 Abs. 2 i.V.m. Tabelle I i.V.m. Tabelle IV lit. c und Tabelle II des Protokolls Nr. 2 zum Freihandelsabkommen vom 22. Juli 1972 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und der Europäischen Wirtschaftsgemeinschaft [FHA CH-EWG; SR 0.632.401.2]). Weil die Einfuhrsteuer auf diesem zu niedrigen Betrag erhoben worden sei (<ref-law> [SR 641.20]), habe er sich auch einen unrechtmässigen Einfuhrsteuervorteil verschafft (vgl. E. 3.3.3 des angefochtenen Entscheids).
Konkret hätten die C._ AG und die A._ GmbH für die streitbetroffenen Einfuhren keine gültigen Ursprungszeugnisse beigebracht. Angesichts der jeweiligen Rechnungsbeträge sei zwar nicht zu beanstanden, dass statt einer Warenverkehrsbescheinigung EUR.1 (vgl. Art. 16 Abs. 1 lit. a Anhang I des Freihandelsabkommens vom 27. November 2000 zwischen den EFTA-Staaten und den Vereinigten Mexikanischen Staaten [FHA EFTA-MX; SR 0.632.315.631.1; Anhang I ist weder in der AS noch in der SR publiziert, allerdings unter <www.efta.int/free-trade/free-trade-agreements/mexico/> verfügbar]; Art. 15 Abs. 1 lit. a Anlage I des Regionalen Übereinkommens vom 15. Juni 2011 über Pan-Europa-Mittelmeer-Präferenzursprungsregeln [PEMP-Übereinkommen; SR 0.946.31]) eine "Erklärung auf der Rechnung" (vgl. für das eingeführte Bier Art. 16 Abs. 1 lit. b Anhang I FHA EFTA-MX; für die eingeführten Gewürzsaucen Art. 15 Abs. 1 lit. c Anlage I PEMP-Übereinkommen ["Ursprungserklärung"]) vorgelegt worden sei (Art. 16 Abs. 1 lit. b i.V.m. Art. 21 Abs. 1 lit. b Anhang I FHA EFTA-MX; Art. 21 Abs. 1 i.V.m. Art. 15 Abs. 1 lit. c Anlage I PEMP-Übereinkommen) (vgl. E. 3.1.1 des angefochtenen Urteils). Aufgrund der Umstände (Aufteilung einer Sendung auf jeweils drei, teilweise nicht existierende Empfänger; gleiche Wortwahl und teils gleiche Formatierung von Rechnungen angeblich unterschiedlicher Exporteure) habe die Zollkreisdirektion allerdings berechtigterweise Zweifel an der Echtheit der Erklärungen auf der Rechnung gehegt und diese deshalb einer Prüfung durch die zuständigen mexikanischen bzw. deutschen Behörden unterziehen lassen (Art. 30 Abs. 2 Anhang I FHA EFTA-MX i.V.m. Art. 5 FHA EFTA-MX i.V.m. Art. 14 Anhang III Landwirtschaftsabkommen CH-MX; Art. 31 Abs. 2 Anlage I PEMP-Übereinkommen bzw. Art. 32 Abs. 2 des Protokolls Nr. 3 vom 15. Dezember 2005 über die Bestimmung des Begriffs "Erzeugnisse mit Ursprung in" oder "Ursprungserzeugnisse" und über die Methoden der Zusammenarbeit der Verwaltungen [in den vorliegend anwendbaren Fassungen vom 1. Juli 2013, AS 2013 2733, bzw. 15. Dezember 2005, AS 2005 3599, die beide in Bezug auf die hier relevanten Bestimmungen identisch sind; nachfolgend aProtokoll Nr. 3]; vgl. E. 3.1.2.1 des angefochtenen Urteils).
Die deutsche Behörde habe auf Anfrage hin für sämtliche ihr übermittelten Erklärungen mitgeteilt, dass das Unternehmen, welches die Rechnung ausgestellt haben solle, diese tatsächlich nicht ausgestellt und auch die darauf befindlichen Ursprungserklärungen weder erstellt noch unterschrieben habe. Insofern habe durch die zuständige Behörde weder die Echtheit noch die Richtigkeit der Erklärungen bestätigt werden können. Die entsprechenden Ursprungserklärungen seien deshalb als ungültig zu betrachten (Art. 32 Abs. 6 Anlage I PEMP-Übereinkommen bzw. Art. 33 Abs. 6 aProtokoll Nr. 3) (vgl. E. 3.1.2.2 des angefochtenen Urteils).
In Bezug auf die Rechnungen aus Mexiko habe die zuständige Behörde teilweise ebenfalls festgehalten, dass das Unternehmen, welches die Rechnung ausgestellt haben solle, dies tatsächlich nicht getan habe, weshalb die Echtheit nicht bestätigt werden könne. Teilweise habe diese Behörde aber auch nur erklärt, dass das Unternehmen, welches die Rechnung ausgestellt haben solle, der Herstellerin des Bieres der Marke "Corona" nicht bekannt sei, und dass die Herstellerin mit jenem Unternehmen keine Geschäfte tätige; angesichts des Umstands, dass auf den Rechnungen teilweise im Briefkopf angegeben werde, die Ausstellerin der Rechnung sei Verteilerin der Herstellerin, kämen zusätzliche Zweifel an der Echtheit der Ursprungserklärungen auf. So oder anders hätten die mexikanischen Behörden nicht genügend Informationen geliefert, damit von der Echtheit der Ursprungserklärungen ausgegangen werden könne (Art. 31 Abs. 5 Anhang I FHA EFTA-MX i.V.m. Art. 5 FHA EFTA-MX i.V.m. Art. 14 Anhang III Landwirtschaftsabkommen CH-MX), weshalb die Oberzolldirektion zurecht davon ausgegangen sei, dass keine präferenzielle Behandlung gewährt werden könne (vgl. E. 3.1.2.3 und E. 3.1.3 des angefochtenen Entscheids). Dies gelte im Übrigen auch für jene Rechnungen, die den in den jeweiligen Ausfuhrstaaten zuständigen Behörden nicht zur Überprüfung vorgelegt worden seien, ergebe sich doch aus den Akten nicht, dass diese Fälle anders gelagert wären, als die tatsächlich überprüften Fälle.
Die Oberzolldirektion habe vor diesem Hintergrund für die Verzollung sämtlicher betroffenen Einfuhren den Normalansatz zugrunde legen dürfen (vgl. E. 3.2 des angefochtenen Entscheids).
In Bezug auf die persönliche Nachleistungspflicht (Art. 12 Abs. 2 VStrR) des Beschwerdeführers erwog die Vorinstanz, entgegen (teilweise) anderslautender Deklaration seien sämtliche Einfuhren durch die C._ AG und die A._ GmbH zollrechtlich veranlasst worden. Bei der C._ AG sei der Beschwerdeführer für Ein- und Verkauf verantwortlich und zudem als Verwaltungsrat tätig gewesen; bei der A._ GmbH sei er Geschäftsführer gewesen. Er habe damit zumindest als faktisches Organ die Einfuhren veranlasst und sei deshalb nach <ref-law> zollzahlungspflichtig (vgl. E. 3.4.4 des angefochtenen Entscheids).
5.
Was der Beschwerdeführer gegen die Würdigung der Vorinstanz einwendet, überzeugt nicht.
5.1. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe den Untersuchungsgrundsatz verletzt, weil sie nicht sämtliche Erklärungen auf der Rechnung durch den Ausfuhrstaat habe überprüfen lassen. Inhaltlich beanstandet der Beschwerdeführer damit die vorinstanzliche Feststellung, dass auch bezüglich der von den mexikanischen bzw. deutschen Behörden nicht überprüften Rechnungen kein gültiger Ursprungsnachweis vorliegt.
Die Rüge ist unbegründet: Vorliegend hatte die Zollkreisdirektion eine sehr grosse Zahl von Einfuhren mit überschaubarem Warenwert zu überprüfen; Gegenstand dieser Einfuhren bildeten immer dieselben Produkte (Bier und Gewürzsauce), die überdies - jedenfalls gemäss den vom Beschwerdeführer beigebrachten Dokumenten - über ähnliche Lieferketten beschafft worden sind. Bei dieser Sachlage ist nicht zu beanstanden, dass die EZV den zuständigen Behörden Mexikos und Deutschlands nur eine (repräsentative) Stichprobe der eingereichten Ursprungserklärungen zur Prüfung unterbreitet hat. Aus dem Umstand, dass sie sodann für keine der unterbreiteten Rechnungen eine Bestätigung der Echtheit erhalten hat (vgl. E. 4 hiervor), durfte sie ferner willkürfrei schliessen, dass es sich mit den anderen - inhaltlich und formal gleich gestalteten Rechnungen - nicht anders verhalte. Der Beschwerdeführer substanziiert auch im vorliegenden Verfahren nicht, dass die Fälle unterschiedlich gelagert wären. Mit der Vorinstanz ist deshalb davon auszugehen, dass für sämtliche streitbetroffenen Einfuhren keine gültigen Ursprungsnachweise vorliegen (<ref-law>).
Da es rechtlich für die hier zu beurteilenden Fragen im Übrigen nicht darauf ankommt, ob die Rechnungen mit den Ursprungserklärungen gefälscht worden sind (vgl. Art. 31 Abs. 5 Anhang I FHA EFTA-MX i.V.m. Art. 5 FHA EFTA-MX i.V.m. Art. 14 Anhang III Landwirtschaftsabkommen CH-MX; Art. 32 Abs. 6 Anlage I PEMP-Übereinkommen bzw. Art. 33 Abs. 6 aProtokoll Nr. 3), ist auf die diesbezüglichen Vorbringen des Beschwerdeführers nicht weiter einzugehen. Anzubringen ist einzig der Hinweis, dass die Vorinstanz ausdrücklich offen gelassen hat, ob der Beschwerdeführer Ursprungserklärungen gefälscht hat (vgl. E. 3.1.4 des angefochtenen Entscheids).
5.2. In rechtlicher Hinsicht beanstandet der Beschwerdeführer, dass es selbst bei einer allfälligen Unvollständigkeit bzw. Fehlerhaftigkeit der Ursprungserklärungen nicht angehe, Abgaben nachzubelasten.
In diesem Zusammenhang ist der Vorinstanz beizupflichten, dass die Präferenzbehandlung der vorliegend eingeführten Waren von einem gültigen Ursprungsnachweis abhing (vgl. zu den Anforderungen an die Erklärung eines nicht ermächtigten Ausführers insbesondere Art. 21 Abs. 5 Satz 1 Anhang 1 FHA EFTA-MX [in Bezug auf Mexiko]; Art. 24 Abs. 1 Satz 1 Anlage I PEMP-Übereinkommen und Art. 25 Satz 1 aProtokoll Nr. 3 [in Bezug auf Deutschland]). Nachdem der Beschwerdeführer nicht darzulegen vermag, dass solche Ursprungsnachweise hier vorliegen, ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz davon ausgegangen ist, dass Waren bei der Einfuhr fahrlässig oder vorsätzlich unrichtig angemeldet worden sind (<ref-law>, <ref-law>) und damit eine Widerhandlung gegen die Verwaltungsgesetzgebung des Bundes vorliegt (Art. 12 Abs. 1 VStrR).
5.3. Schliesslich argumentiert der Beschwerdeführer, das Kantonsgericht Schwyz habe in einem Strafurteil unmissverständlich festgehalten, dass er nicht Geschäftsführer der C._ AG gewesen sei; entsprechend sei er auch nicht Schuldner allfälliger Zollgebühren und Verzugszinsen.
Diesbezüglich ist auf die zutreffende vorinstanzliche Erwägung zu verweisen, dass die vom Kantonsgericht Schwyz geprüfte strafrechtliche Frage, ob der Tatbestand der ungetreuen Geschäftsbesorgung erfüllt ist, von der zollrechtlichen Beurteilung der Abgabepflicht zu unterscheiden ist (vgl. E. 3.4.4 des angefochtenen Entscheids). Die Vorinstanz hat für das Bundesgericht verbindlich festgestellt, dass der Beschwerdeführer zumindest faktisches Organ der C._ AG gewesen ist und als solches einen Teil der streitbetroffenen Einfuhren veranlasst habe. Weitere Einfuhren hat der Beschwerdeführer in seiner Eigenschaft als Verwaltungsrat der A._ GmbH veranlasst. Damit ist offensichtlich, dass er mit Blick auf die streitbetroffenen Einfuhren zu den Zollschuldnern gehört (<ref-law>).
5.4. Weitere Rügen erhebt der Beschwerdeführer nicht. Da nicht ersichtlich ist, dass das angefochtene Urteil anderweitig an offensichtlichen rechtlichen Mängeln leiden könnte, erübrigen sich Weiterungen.
6.
Die Beschwerde erweist sich nach den vorstehenden Erwägungen als unbegründet. Sie ist abzuweisen.
7.
7.1. Dem Antrag auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege kann nicht stattgegeben werden, zumal die Beschwerdeanträge im Lichte ihrer Begründung als aussichtslos erscheinen (<ref-law>).
7.2. Damit trägt der Beschwerdeführer die Verfahrenskosten (<ref-law>); bei der Bemessung der Verfahrenskosten ist dem Umstand Rechnung zu tragen, dass erst im Endentscheid über die unentgeltliche Rechtspflege befunden worden ist (vgl. E. 7.1 hiervor). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Verfahrenskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juni 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner