Sachverhalt:
A.
Mit Urteil vom 18. September 2017 erteilte das Bezirksgericht Bülach der Stadt Zürich in der gegen A._ eingeleiteten Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Kloten (Zahlungsbefehl vom 17. November 2016) gestützt auf einen Pfändungsverlustschein vom 13. März 2002 und die darin genannte Verfügung des Polizeirichters der Stadt Zürich vom 15. Mai 1998 definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 490.05 und Betreibungskosten sowie Kosten- und Entschädigung. Mit Eingabe vom 4. Februar 2018 hob A._ beim Bezirksgericht Bülach eine negative Feststellungsklage nach <ref-law> an und beantragte sinngemäss die Aufhebung der genannten Betreibung und die Feststellung seiner Nichtschuld. Mit Verfügung vom 20. April 2018, eröffnet zunächst in unbegründeter, hernach in begründeter Form, trat das Bezirksgericht auf die Klage nicht ein und bewilligte A._ die unentgeltliche Prozessführung.
B.
Dagegen erhob A._ mit Eingabe vom 5. Juli 2018 (Poststempel) Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Im Wesentlichen stellte er den Antrag, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Klage gutzuheissen. Dabei rügte er auch, dass das Bezirksgericht sein Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung nicht behandelt habe. Mit Beschluss und Urteil vom 18. Dezember 2019 wies das Obergericht die Beschwerde sowie das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters ab und setzte die zweitinstanzliche Entscheidgebühr auf Fr. 100.-- fest. Auf die zusätzlich erhobene Aufsichtsbeschwerde trat es mangels Zuständigkeit nicht ein.
C.
Mit Eingabe vom 29. Januar 2019 (Postaufgabe) ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer verlangt im Wesentlichen die vollumfängliche Gutheissung der Klage, eventuell die Rückweisung der Sache an das Bezirksgericht zur erneuten Durchführung der Hauptverhandlung unter Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsbeistands.
Des Weiteren beantragt er auch für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege inklusive unentgeltlichem Rechtsbeistand.
Die Stadt Zürich (Beschwerdegegnerin) und das Obergericht haben auf die Einreichung einer Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin in einer Schuldbetreibungssache entschieden hat (Art. 90, Art. 75, Art. 72 Abs. 2lit. a BGG). Der Streitwert erreicht den für die Beschwerde in Zivilsachen erforderlichen Betrag von Fr. 30'000.-- nicht (<ref-law>).
1.2. Ist die Streitwertgrenze nicht erreicht, bleibt zu prüfen, ob sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von <ref-law> stellt und die Beschwerde in Zivilsachen aus diesem Grund zulässig ist. Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung liegt vor, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.1; je mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer sieht eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung namentlich in der Frage, ob nach Erteilung der definitiven Rechtsöffnung auf negative Feststellungsklage gemäss <ref-law> hin ungeachtet des Vorliegens einer materiell rechtskräftigen Verfügung diese noch einmal umfassend überprüft werden kann. Das Bundesgericht hat diese Rechtsfrage indes bereits beantwortet. Nach konstanter Rechtsprechung können auf Klage gemäss <ref-law> hin diejenigen Tatsachen nicht mehr beurteilt werden, welche von der materiellen Rechtskraft des definitiven Rechtsöffnungstitels umfasst werden (Urteile 5A_135/2019 vom 24. April 2019 E. 3.1.2, in: SJ 2019 I S. 416 f.; 5A_424/2015 vom 27. April 2016 E. 4, in: BlSchK 2017 S. 171 ff.; 5A_269/2013 vom 26. Juli 2013 E. 5.1.2; s. dazu auch AMONN/WALTHER, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 9. Aufl. 2013, § 20 Rz. 19 f.).
Auch in seiner weiteren Beschwerdebegründung zeigt der Beschwerdeführer nicht auf, welche konkrete und überdies entscheiderhebliche Rechtsfrage einer dringenden Klärung bedürfte. Da der Beschwerdeführer keine Rechtsfragen von grundsätzlicher Bedeutung aufwirft und da der Streitwert nicht erreicht wird, kann auf die Beschwerde in Zivilsachen nicht eingetreten werden.
1.3. Hingegen ist die Eingabe, wie eventuell beantragt, als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (<ref-law>). Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Diesen Vorwurf prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert begründet worden ist (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.2).
2.
Dem Antrag des Beschwerdeführers, es sei ihm für das Verfahren vor Bundesgericht ein Rechtsbeistand beizuordnen, kann nicht stattgegeben werden. Im bundesgerichtlichen Verfahren ist es grundsätzlich an der beschwerdeführenden Person, für eine Vertretung besorgt zu sein. Anhaltspunkte für eine Unfähigkeit zur Prozessführung im Sinne von <ref-law> fehlen vorliegend und von der Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters nach <ref-law> muss schon deshalb abgesehen werden, weil der Beschwerdeführer seine Eingabe und sein Gesuch erst kurz vor Ablauf der Beschwerdefrist eingereicht hat, womit allfällige Begründungsmängel in der Beschwerdeschrift von vornherein nicht mehr rechtzeitig behoben werden könnten.
3.
Der Beschwerdeführer hatte die Beschwerde gegen den bezirksgerichtlichen Entscheid gemäss deren Deckblatt inklusive einer zusätzlichen Aufsichtsbeschwerde gegen das Bezirksgericht Bülach erhoben. Die Vorinstanz teilte ihm dazu mit, sie sei insoweit nicht zuständig. Inwieweit eine Weiterleitung der Aufsichtsbeschwerde an die zuständige Stelle am Ausgang der vorliegend interessierenden Sache etwas zu ändern vermocht hätte, ist nicht ersichtlich.
4.
Anlass zur Beschwerde gibt namentlich die vom Obergericht geschützte Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung für das erstinstanzliche Verfahren. Der Beschwerdeführer strebt die erneute Durchführung der erstinstanzlichen Hauptverhandlung unter Beiordnung eines beliebigen unentgeltlichen Rechtsbeistands an.
4.1. Das Bezirksgericht hat sich zum in der Klage vom 4. Februar 2018 gestellten Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung unbestrittenermassen zu keinem Zeitpunkt geäussert, was vom Obergericht zu Recht moniert wurde. Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, das Obergericht hätte den Fall aufgrund der festgestellten Gehörsverletzung zur Beurteilung der Voraussetzungen der unentgeltlichen Verbeiständung an das Bezirksgericht zurückweisen müssen. Er besteht indes auf seinem Standpunkt, die Voraussetzungen für die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands für das erstinstanzliche Verfahren seien entgegen der Auffassung des Obergerichts gegeben gewesen.
4.2. Diesem Standpunkt des Beschwerdeführers kann nicht gefolgt werden.
4.2.1. Jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, hat Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand (<ref-law>). Für den Anwendungsbereich der Zivilprozessordnung wird in Art. 117 f. ZPO seit Januar 2011 der als verfassungsrechtliche Minimalgarantie in <ref-law> verankerte Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege auf Gesetzesstufe geregelt. Ein Anspruch auf unentgeltliche Rechtsvertretung besteht nach dem Gesagten nur dann, wenn die betroffene Person bedürftig, ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos und der Beizug eines Rechtsvertreters notwendig ist.
4.2.2. Als aussichtslos gilt ein Prozess, bei dem die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren, folglich Erstere kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten, wobei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgebend sind (Statt vieler <ref-ruling> E. 2.2.4; <ref-ruling> E. 2.3.1; <ref-ruling> E. 2.5.3; <ref-ruling> E. 4b; <ref-ruling> E. 2b).
4.2.3. Vorliegend hat die Beschwerdegegnerin den im Verlustschein vom 13. März 2002 aufgeführten Gesamtbetrag in Betreibung gesetzt, wobei die im Verlustschein als Forderungsurkunde genannte Strafverfügung vom 15. Mai 1998 (samt Rechtskraftbescheinigung) aktenkundig ist. Mit seinen Einwänden gegen die Höhe der in dieser Verfügung festgesetzten Kosten ist der Beschwerdeführer längst nicht mehr zu hören; diesbezüglich kann auf die Erwägungen zur bereits bestehenden bundesgerichtlichen Rechtsprechung (oben E. 1.2) verwiesen werden. Die besondere Verjährbarkeit der Forderung ergibt sich alsdann aus <ref-law>; für die sinngemäss behauptete Nichtigkeit des Verlustscheins hat der Beschwerdeführer keine stichhaltigen Gründe angeführt und solche sind auch nicht erkennbar. Schliesslich kann im Verfahren nach <ref-law> die behauptete fehlende finanzielle Leistungsfähigkeit zur Tilgung der Forderung nicht berücksichtigt werden. Diese Thematik ist vielmehr Gegenstand des Pfändungsverfahrens. Gemäss <ref-law> obliegt der Vollzug der Pfändung dem Betreibungsamt. Missachtet das Betreibungsamt im Pfändungsverfahren das dem Schuldner zustehende betreibungsrechtliche Existenzminimum, kann sich dieser dagegen mit betreibungsrechtlicher Beschwerde zur Wehr setzen (vgl. <ref-law>). Bei dieser Sach- und Rechtslage konnten der negativen Feststellungsklage offensichtlich keine ernsthaften Gewinnaussichten beigemessen werden, weshalb die Klage als von vornherein aussichtslos erschien. Gegenteiliges hat im Übrigen auch das Bezirksgericht nicht angenommen. Die Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung (bei welcher es sein Bewenden hat) hat es einzig damit begründet, dass der Beschwerdeführer nicht über die erforderlichen Mittel verfüge. Über das zusätzliche Erfordernis der fehlenden Aussichtslosigkeit hat es entgegen der eindeutigen Gesetzeslage (wonach die Voraussetzungen der Bedürftigkeit und Nicht-Aussichtslosigkeit kumulativ erfüllt sein müssen) gutmütig hinweggesehen.
4.2.4. Im Ergebnis hält es somit vor <ref-law> stand, dass das Obergericht einen Anspruch des Beschwerdeführers auf Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands für die erstinstanzliche Hauptverhandlung verneint hat. Hatte der Beschwerdeführer bereits wegen Aussichtslosigkeit der Klage keinen Anspruch auf gerichtliche Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsanwalts, braucht auf die weitere Voraussetzung der Notwendigkeit anwaltlichen Beistands ebenso wenig eingegangen zu werden wie auf die offenbar im angefochtenen Entscheid vertretene Auffassung, die mittellose Partei habe die Pflicht, die Person der gewünschten Rechtsbeiständin oder des gewünschten Rechtsbeistands im Gesuch zu bezeichnen (vgl. dazu aber den Wortlaut von <ref-law>).
5.
In der Sache argumentiert der Beschwerdeführer auch vor Bundesgericht, es seien ihm in der Strafverfügung vom 15. Mai 1998 zu Unrecht Kosten auferlegt worden; weder damals noch heute habe er über die notwendigen Mittel zu deren Bezahlung verfügt. Wie bereits dargelegt, lässt er dabei ausser Acht, dass bei der Beurteilung der erhobenen negativen Feststellungsklage nach <ref-law> die Res-iudicata-Wirkung der genannten Verfügung beachtet werden muss (s. oben E. 1.2). Mit der vorinstanzlichen Erwägung, dass die beanstandete Strafverfügung rechtskräftig und nicht nichtig sei und der Beschwerdeführer namentlich auch keine Tilgung oder Stundung der daraus hervorgehenden Schuld geltend gemacht habe, setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Inwiefern der Entscheid des Obergerichts, worin die gegen die in Betreibung gesetzte Forderung erhobenen Einwände als durchwegs unbehelflich erachtet wurden, die angerufenen Grundrechte der BV und Rechte der EMRK verletzen könnte, ist weder dargetan noch ersichtlich.
6.
Der Beschwerdeführer macht zuletzt geltend, er hätte für das Verfahren vor Obergericht Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege (inklusive Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands) gehabt und wendet sich ausserdem gegen die Höhe der ihm von den Vorinstanzen auferlegten Gerichtskosten. Er legt indes nicht in nachvollziehbarer Weise dar, weshalb das Obergericht <ref-law> verletzt hat, indem es seine Beschwerde als aussichtslos erachtet hat. Darauf ist nicht einzutreten. Der Beschwerdeführer begründet ebenfalls nicht rechtsgenüglich, weshalb die ihm vom Obergericht auferlegte (sehr moderate) Gerichtsgebühr von Fr. 100.-- verfassungswidrig sei bzw. das Obergericht deren Höhe nicht hinreichend begründet habe. Er übergeht in diesem Zusammenhang die - im Übrigen zutreffenden - Erwägungen des Obergerichts, wonach gemäss <ref-law> die Kantone die Tarife für die Prozesskosten festlegen und im Kanton Zürich die Gebührenverordnung des Obergerichts vom 8. September 2010 (GebV OG; LS 211.11) zur Anwendung gelangt. Aufgrund der vom Obergericht zitierten Bestimmungen konnte der Beschwerdeführer mit hinreichender Deutlichkeit erkennen, von welchen Überlegungen sich das Obergericht hat leiten lassen. Dasselbe gilt auch hinsichtlich der erstinstanzlichen Gerichtsgebühr von Fr. 90.-- (welche aufgrund der durch das Bezirksgericht gewährten unentgeltlichen Prozessführung ohnehin einstweilen auf die Staatskasse genommen wurde).
7.
Aus den dargelegten Gründen ist der Beschwerde kein Erfolg beschieden. Angesichts der konkreten Umstände wird ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird damit in Bezug auf die Gerichtskosten gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in Zivilsachen wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Januar 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss