Sachverhalt:
A.
Die A._ AG (Klägerin, Gesuchstellerin, Beschwerdeführerin) mit Sitz in U._ reichte am 27. März 2019 beim Obergericht des Kantons Obwalden Klage betreffend Abschluss eines Service-Vertrags gegen die B._ AG, V._, (Beklagte, Gesuchsgegnerin, Beschwerdegegnerin 2) ein. Dabei stellte sie auch ein Gesuch um (superprovisorische) Anordnung vorsorglicher Massnahmen. Es wurden Verfahren unter den Nummern OG 19/011 und P 19/012 eröffnet.
Mit Entscheid vom 29. März 2019 wies der Obergerichtspräsident I, Andreas Jenny (Gesuchsgegner, Beschwerdegegner 1), im Verfahren P 19/012 das Gesuch um superprovisorische Massnahmen ab. Mit Schreiben vom 17. April 2019 teilte die A._ AG mit, dass sie Zweifel an der Unvoreingenommenheit bzw. Neutralität des verfahrensführenden Obergerichtspräsidenten I habe und ersuchte um Auskunft zu einigen Fragen. Mit Schreiben vom 23. April 2019 beantwortete der Obergerichtspräsident I die gestellten Fragen.
B.
Mit Gesuch vom 29. April 2019 beantragte die A._ AG, dass der Obergerichtspräsident I in den Verfahren OG 19/011 und P 19/012 in den Ausstand zu treten habe.
Mit Schreiben vom 7. Mai 2019 nahm der Obergerichtspräsident I Stellung zum Gesuch und hielt fest, dass aus seiner Sicht die Vorbringen der Gesuchstellerin das Vorliegen eines Ausstandsgrundes nicht zu belegen vermöchten und er deshalb bereit und verpflichtet sei, seine Amtspflichten in diesem Fall zu erfüllen. Ebenfalls am 7. Mai 2019 ging die Stellungnahme der B._ AG ein.
Mit Entscheid vom 26. Juni 2019 wies das Obergericht des Kantons Obwalden das Ausstandsbegehren ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Gesuchstellerin dem Bundesgericht, es sei der Entscheid des Obergerichts des Kantons Obwalden vom 26. Juni 2019 aufzuheben und es sei das Ausstandsgesuch vom 29. April 2019 gutzuheissen und der Beschwerdegegner 1 zu verpflichten, in den Verfahren zwischen der Beschwerdeführerin und der Beschwerdegegnerin 2 in den Ausstand zu treten und sich künftig jeglicher Amtshandlungen zu enthalten. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Am 9. September 2019 reichte die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht eine weitere Eingabe ein.
Auf die Einholung von Vernehmlassungen wurde verzichtet.
D.
Mit Verfügung vom 3. September 2019 wurde das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1).
1.1. Es geht um eine kartellrechtliche Streitigkeit, für die das Bundesrecht (<ref-law>) eine einzige kantonale Instanz vorsieht (<ref-law>). Die Beschwerde in Zivilsachen, die sich gegen einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren (<ref-law>) richtet, ist demnach unabhängig vom Streitwert zulässig (<ref-law>). Auf die fristgerecht eingereichte Beschwerde (<ref-law>) ist unter Vorbehalt hinreichender Begründung (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>) einzutreten.
Demgegenüber hat die Eingabe der Beschwerdeführerin vom 9. September 2019, die nach Ablauf der Beschwerdefrist von 30 Tagen (<ref-law>) eingereicht wurde, unbeachtet zu bleiben. Die Beschwerde ist innert der vorgesehenen Beschwerdefrist vollständig begründet einzureichen (<ref-law>); diese gesetzliche Frist kann nicht erstreckt werden (<ref-law>). Ein Anwendungsfall von <ref-law> liegt nicht vor.
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Mit Blick auf die Begründungspflicht der beschwerdeführenden Partei (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind; es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.4). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Stützt sich der angefochtene Entscheid auf mehrere selbständige Begründungen, so muss sich die Beschwerde mit jeder einzelnen auseinandersetzen, sonst wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.4 S. 44).
Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im vorinstanzlichen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116). Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen und der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus.
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2.3.1; <ref-ruling> E. 2 S. 117, 264 E. 2.3 S. 266). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.1, 167 E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.2.5 S. 339; je mit Hinweisen).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90).
1.4. Die Beschwerdeführerin verkennt diese Grundsätze über weite Strecken. Sie stellt ihren rechtlichen Vorbringen zunächst eine Sachverhaltsdarstellung voran, in der sie die Hintergründe des Rechtsstreits und den Ablauf des Verfahrens aus eigener Sicht schildert, ohne substanziiert Ausnahmen von der Sachverhaltsbindung geltend zu machen. Zudem kritisiert sie in ihrer weiteren Beschwerdebegründung unter Berufung auf <ref-law> und Art. 6 EMRK die Sachverhaltsdarstellung im angefochtenen Entscheid hinsichtlich der Zusammenfassung ihrer Vorbringen, ohne ihre Behauptungen jedoch mit präzisen Aktenhinweisen zu verbinden. Abgesehen davon behauptet sie lediglich pauschal, es sei im Sachverhalt des angefochtenen Entscheids ein Vorbringen weggelassen worden, zeigt jedoch mit keinem Wort auf, inwiefern die entsprechende Ergänzung des Sachverhalts für den konkreten Fall wesentlich sein soll und das rechtliche Gehör eine ausdrückliche Erwähnung in den Erwägungen des angefochtenen Entscheids erfordert hätte. Die entsprechenden Ausführungen haben unbeachtet zu bleiben.
2.
Die Beschwerdeführerin bringt vor, die Vorinstanz habe <ref-law> verletzt, indem sie nicht berücksichtigt habe, dass beim Beschwerdegegner 1 aus verschiedenen Gründen ein klarer Anschein der Voreingenommenheit bestehe.
2.1. <ref-law> umschreibt die Ausstandsgründe auf Gesetzesebene. So sieht der von der Beschwerdeführerin angerufene <ref-law> etwa vor, dass eine Gerichtsperson in den Ausstand tritt, wenn sie in einer anderen Stellung, insbesondere als Mitglied einer Behörde, als Rechtsbeiständin oder Rechtsbeistand, als Sachverständige oder Sachverständiger, als Zeugin oder Zeuge, als Mediator oder Mediatorin in der gleichen Sache tätig war. Die Bestimmung enthält in Abs. 1 lit. f ausserdem eine Generalklausel, wonach eine Gerichtsperson in den Ausstand tritt, wenn sie "aus anderen Gründen", insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder ihrer Vertretung, befangen sein könnte. Im Rahmen der Konkretisierung dieser Generalklausel sind die aus <ref-law> fliessenden Grundsätze zu beachten (<ref-ruling> E. 4.2 S. 222 mit Hinweis).
Voreingenommenheit und Befangenheit im Sinne der Generalklausel werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn im Einzelfall anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände Gegebenheiten vorliegen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit der Gerichtsperson zu erwecken. Da Befangenheit ein innerer, schwer nachweisbarer Zustand ist, braucht sein tatsächliches Vorliegen nicht bewiesen zu werden. Es genügt vielmehr, wenn Umstände bestehen, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Solche Umstände können namentlich in einem bestimmten Verhalten der betreffenden Gerichtsperson liegen. Auf das bloss subjektive Empfinden einer Partei kann bei dieser Beurteilung allerdings nicht abgestellt werden. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen (<ref-ruling> E. 4.3; <ref-ruling> E. 3.1.1; <ref-ruling> E. 4.1; je mit Hinweisen).
Verfahrensmassnahmen eines Gerichtsmitglieds als solche, seien sie richtig oder falsch, vermögen im Allgemeinen keinen objektiven Verdacht der Befangenheit zu begründen. Dasselbe gilt für einen allenfalls materiell falschen Entscheid. Anders liegt es nur, wenn besonders krasse oder wiederholte Irrtümer vorliegen, die als schwere Verletzung der Richterpflichten bewertet werden müssen. In diesem Zusammenhang ist zu beachten, dass Verfahrensverstösse im dafür vorgesehenen Rechtsmittelverfahren zu rügen sind und grundsätzlich nicht als Begründung für die Verletzung von <ref-law> herangezogen werden können (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 3a S. 138; <ref-ruling> E. 3b; <ref-ruling> E. 3b/bb; seither etwa Urteile 4A_172/2019 vom 4. Juni 2019 E. 4.1.2; 4A_364/2018 vom 6. August 2018 E. 6).
2.2.
2.2.1. Wie die Vorinstanz zutreffend erwog, hat der Beschwerdegegner 1, indem er einem Mitarbeitenden der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin auf telefonische Anfrage hin mitteilte, dass er das Verfahren betreffend vorsorgliche Massnahmen (P 19/012) als spruchreif erachte, keine Voreingenommenheit zum Ausdruck gebracht. Vielmehr erteilte er auf Grundlage der gesetzlichen Regelung, die im summarischen Verfahren keinen zweiten Schriftenwechsel vorsieht (Art. 248 lit. d i.V.m. <ref-law>), sowie seiner vorläufigen Einschätzung, wonach sich keine Beweiserhebungen aufdrängten, lediglich Auskunft über den voraussichtlichen Verfahrensablauf. Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Ansicht wurde damit in keiner Weise zum Ausdruck gebracht, eine weitere Stellungnahme der Beschwerdeführerin gestützt auf ihr verfassungsmässiges Replikrecht (dazu <ref-ruling> E. 2) sei auf jeden Fall irrelevant und sinnlos. Die Vorinstanz hat den Vorwurf, dass damit das unbedingte Replikrecht ignoriert worden sei, zu Recht als haltlos erachtet. Der im kantonalen Verfahren anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin war es unbenommen, von ihrem Replikrecht Gebrauch zu machen, indem sie dem Gericht eine Stellungnahme zur Gesuchsantwort einreichte.
Ein Anschein der Befangenheit liegt nicht vor.
2.2.2. Offensichtlich unbegründet ist zudem der Vorwurf, der Beschwerdegegner 1 habe mit seinem Prüfprogramm im Rahmen des Entscheids über die superprovisorischen Massnahmen seine Voreingenommenheit zum Ausdruck gebracht. Wie die Vorinstanz zutreffend ausführte, ist dem Beschwerdegegner 1 keine Befangenheit vorzuwerfen, indem er die weiteren Voraussetzungen der Anordnung superprovisorischer Massnahmen - so insbesondere die Hauptsachenprognose - prüfte, obwohl er bereits die Voraussetzung der zeitlichen Dringlichkeit verneint hatte. Ein solches Vorgehen ist nicht zu beanstanden und begründet aus objektiver Sicht keinen Anschein der Befangenheit. Inwiefern in den Erwägungen des Entscheids über die superprovisorischen Massnahmen die Voreingenommenheit des Beschwerdegegners 1 konkret zum Ausdruck kommen soll, vermag die Beschwerdeführerin nicht aufzuzeigen. Es kann diesbezüglich auf die zutreffenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid verwiesen werden (<ref-law>).
2.2.3. Ebenso wenig vermag die Beschwerdeführerin eine Voreingenommenheit des Beschwerdegegners 1 aufzuzeigen, indem sie kritisiert, er habe zwei von ihr eingereichte Beweismittel (Schlussbericht des Sekretariats der Wettbewerbskommission [WEKO] in Sachen C._ vom 1. Mai 2018 sowie Gutachten der Zürcher Hochschule für Angewandte Wissenschaften [ZHAW]) nicht bzw. nicht hinreichend gewürdigt, während er sich in seinem Entscheid über die superprovisorischen Massnahmen vom 29. März 2019 massgeblich auf einen von der Beschwerdegegnerin 2 eingereichten Aufsatz aus der Fachzeitschrift sic! sowie die Entscheide der Handelsgerichte Zürich und Bern gestützt habe. Der Vorinstanz ist auch in dieser Hinsicht keine Verletzung von <ref-law> vorzuwerfen und es kann auf die zutreffenden Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen werden.
2.2.4. Offensichtlich unbegründet ist schliesslich der Vorwurf, die drei Oberrichter, die über das Ausstandsbegehren gegen den Beschwerdegegner 1 entschieden, seien befangen gewesen, weshalb der Anspruch der Beschwerdeführerin auf ein unparteiisches Gericht nach <ref-law> verletzt sei. Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin liegt keine "funktionale Unterstellung" oder ein "Unterordnungsverhältnis" der übrigen Richter gegenüber dem Beschwerdegegner 1 vor, die den Anschein der Befangenheit erwecken könnten. Auch mit der blossen Behauptung, dass die am angefochtenen Entscheid beteiligten Richter ihren Wohnsitz "in unmittelbarer Nähe" zum Wohnsitz des Beschwerdegegners 1 hätten, vermag sie weder eine Missachtung von <ref-law> noch eine Verletzung von <ref-law> aufzuzeigen.
3.
Die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Beschwerdeführerin wird bei diesem Ausgang des Verfahrens kostenpflichtig (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 2 und 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Obwalden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. September 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Leemann