Faits :
A.
A._ et B._, tous deux nés en 1966, se sont mariés le 10 septembre 1999 en France. Ils sont les parents de C._ et de D._, des jumelles nées le 10 juillet 2001.
B.
B.a. Le 30 août 2016, A._ a saisi le Tribunal de première instance de la République et canton de Genève (ci-après: le Tribunal) d'une requête unilatérale en divorce, au motif qu'il vivait séparé de B._ depuis plus de deux ans, soit à compter du mois de décembre 2012. Il a pris des conclusions tendant, outre au prononcé du divorce, au constat de l'absence de logement conjugal à attribuer - subsidiairement à l'attribution en sa faveur de la maison de U._ si celle-ci devait être considérée comme tel -, à l'attribution en sa faveur de l'autorité parentale et de la garde de C._ et de D._, alors mineures, tout en réservant un large droit de visite à son épouse, au versement par son épouse d'une contribution à l'entretien des filles et à son propre entretien ainsi qu'à la restitution par son épouse de certains bijoux, le régime matrimonial étant liquidé pour le surplus.
B.b. Lors de l'audience de conciliation du 11 septembre 2017, B._ a déclaré être séparée de son époux depuis le mois de décembre 2015, et non depuis décembre 2012. Elle était néanmoins d'accord de divorcer.
Invitée à se déterminer par écrit, B._ a répondu à la demande en divorce, concluant notamment au prononcé du divorce, à l'octroi d'un droit d'habitation sur le logement familial de U._, au maintien de l'autorité parentale conjointe, à ce que la garde des enfants lui soit confiée, à l'allocation d'une contribution d'entretien en faveur des enfants ainsi que pour elle-même et à ce qu'A._ soit condamné à lui verser les montants de 935'947 fr., 362'240 USD et 399'925 EUR à titre de restitution des sommes qu'il lui avait empruntées, et cela fait, à ce qu'il soit constaté que le régime matrimonial des époux était liquidé.
B.c. Le Tribunal a tenu une seconde audience le 11 avril 2018, au cours de laquelle il a ordonné un nouvel échange d'écritures.
Par réplique du 18 juillet 2018 et duplique du 30 novembre 2018, les parties se sont déterminées sur quelque 50 pages chacune, maintenant leurs positions et actualisant leurs conclusions.
B.d. Durant la procédure, le Tribunal a sollicité des avances de frais.
Le 2 septembre 2016, une avance de frais de 20'000 fr., réduite par la suite à 10'000 fr., a été réclamée à A._ à la suite du dépôt de sa demande en divorce. Débouté de ses conclusions tendant respectivement à l'octroi de l'assistance judiciaire et d'une provisio ad litem, l'avance a été maintenue et A._ s'en est acquittée le 14 août 2017.
Par décisions des 21 novembre 2017 et 11 septembre 2018, le Tribunal a requis le versement par A._ d'avances de frais complémentaires portant respectivement sur des montants de 12'000 fr. et de 20'822 fr. 10, et concernant en particulier les frais de représentation des enfants par leur curatrice.
A._ s'est opposé à ces versements et a requis, subsidiairement, des prolongations des délais de paiement. Le Tribunal a néanmoins maintenu ses décisions, tout en prolongeant, à au moins trois reprises, les délais de paiement.
B.e. Après que A._ s'était vu impartir un ultime délai de grâce pour procéder au paiement des avances de frais, sous peine d'irrecevabilité, le Tribunal a, par jugement du 12 mars 2019, déclaré irrecevable la demande en divorce formée par A._ le 30 août 2016 (ch. 1 du dispositif), mis les frais judiciaires, par 30'000 fr., à la charge de ce dernier (ch. 2), dit qu'il n'était pas alloué de dépens (ch. 3) et débouté les parties de toute autre conclusion (ch. 4).
Statuant par arrêt du 6 novembre 2019, la Chambre civile de la Cour de justice genevoise a admis l'appel formé par B._ contre le jugement du 12 mars 2019. Celui-ci a été réformé en ce sens que le ch. 4 de son dispositif était annulé et que la cause était renvoyé au Tribunal pour reprise de la procédure et traitement des conclusions de B._. Le jugement a été confirmé pour le surplus.
C.
A._ forme un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 6 novembre 2019. Il conclut, avec suite de frais et dépens, principalement à sa réforme en ce sens que le jugement du 12 mars 2019 est maintenu. Subsidiairement, il conclut à l'annulation de l'arrêt et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Préalablement, il requiert l'octroi de l'effet suspensif à son recours.
Des déterminations sur le fond n'ont pas été requises.
D.
Par ordonnance présidentielle du 20 février 2020, la requête d'effet suspensif a été rejetée.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité du recours qui lui est soumis (<ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 1).
1.1. La décision attaquée a été rendue en matière civile (<ref-law>) et le recours a été interjeté dans le délai (art. 46 al. 1 let. c et 100 al. 1 LTF), par la partie qui a succombé dans ses conclusions prises devant l'autorité cantonale de dernière instance statuant sur recours (art. 75 al. 1 et 76 al. 1 LTF).
1.2. Le prononcé par lequel une juridiction cantonale renvoie une affaire à une autorité de première instance ne représente qu'une étape vers la décision finale, partant, constitue une décision incidente, qui ne porte ni sur la compétence ni sur une demande de récusation (cf. <ref-law>), et qui tombe ainsi sous le coup de l'<ref-law> (cf. parmi d'autres: <ref-ruling> consid. 1.2 p. 148). Une telle décision peut faire l'objet d'un recours uniquement si elle est susceptible de causer un préjudice irréparable (<ref-law>) ou si l'admission du recours pourrait conduire immédiatement à une décision finale et permettrait d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (<ref-law>).
En l'occurrence, par l'arrêt entrepris, la cour cantonale a renvoyé la cause de divorce à l'autorité de première instance pour qu'elle reprenne la procédure et traite les conclusions formulées par l'intimée, de sorte que le recours au Tribunal fédéral contre cet arrêt n'est recevable qu'aux conditions de l'art. 93 al. 1 let. a ou b LTF.
Point n'est toutefois besoin d'examiner si ces conditions sont réunies en l'espèce, dès lors que le recours doit être rejeté pour les motifs qui suivent.
2.
Le recourant débute son mémoire par une présentation personnelle des faits. Une telle manière de procéder, dans la mesure où les faits exposés s'écartent des constatations de l'instance précédente ou les complètent, sans qu'il soit indiqué que ceux-ci seraient manifestement inexacts ou arbitraires, est irrecevable, le Tribunal fédéral n'étant pas une instance d'appel (cf. <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356).
3.
Le recourant soutient que les conclusions prises en première instance par l'intimée - quant au prononcé du divorce et à ses effets accessoires - auraient dû suivre le sort de la demande principale et donc être déclarées irrecevables. En particulier, se prévalant de l'arrêt publié aux <ref-ruling>, il fait valoir que les conclusions de l'intimée ne constituaient pas des conclusions reconventionnelles et ne pouvaient dès lors pas être jugées de manière indépendante de la demande principale qu'il avait formée unilatéralement en application de l'<ref-law>.
3.1.
3.1.1. Aux termes de l'<ref-law>, un époux peut demander le divorce lorsque, au début de la litispendance ou au jour du remplacement de la requête par une demande unilatérale, les conjoints ont vécu séparés pendant deux ans au moins.
Saisi d'une demande unilatérale de divorce, le tribunal cite les parties aux débats et vérifie l'existence d'un motif de divorce (<ref-law>). Si le motif de divorce est avéré, le tribunal tente de trouver un accord entre les époux sur les effets du divorce (<ref-law>). Si le motif du divorce n'est pas avéré ou qu'aucun accord n'est trouvé, le tribunal fixe un délai au demandeur pour déposer une motivation écrite. Si le délai n'est pas respecté, la demande est déclarée sans objet et rayée du rôle (<ref-law>).
L'<ref-law> prévoit que la suite de la procédure est régie par les dispositions relatives au divorce sur requête commune, à condition que les époux aient vécu séparés pendant moins de deux ans au début de la litispendance (let. a) et qu'ils aient accepté le divorce (let. b). L'acceptation peut être implicite, en particulier lorsqu'un conjoint dépose lui-même une demande en divorce, devant le même ou un autre juge, dans une cause interne ou internationale. Ce qui est déterminant c'est qu'il n'y a plus de doute sur le fait que les deux époux veulent le divorce, c'est-à-dire qu'il y ait un accord sur le principe même du divorce (<ref-ruling> consid. 3 p. 484 s.; <ref-ruling> consid. 5.3 p. 424).
3.1.2. La reconvention est une action introduite par le défendeur contre le demandeur dans un procès pendant. Ce n'est pas un moyen de défense, mais une véritable action qui poursuit un but propre (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 716; <ref-ruling> consid. 3a p. 208). La reconvention présuppose que le défendeur conteste le bien-fondé de la prétention réclamée dans la demande principale et partant conclut à son rejet, alors que, de son côté, il forme une nouvelle demande (arrêt 4A_317/2019 du 30 juin 2020 consid. 1.3.1 et les références citées).
Il ne peut y avoir de demande reconventionnelle en ce qui concerne le principe du divorce quand la dissolution du mariage repose sur un seul et même motif, les parties visant alors le même but (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 716 s.). Cela étant, lorsqu'en pareil cas, le défendeur conclut également au prononcé du divorce et prend ses propres conclusions quant aux effets accessoires, il dispose d'un droit propre à ce que le juge statue sur le divorce. Le jugement de divorce concerne dès lors la demande de divorce des deux époux, aussi bien celle du demandeur que celle du défendeur (<ref-ruling> consid. 4.3.3 p. 719).
3.1.3. Le principe de la bonne foi (<ref-law>) et l'interdiction de l'abus de droit (<ref-law>) sont des principes fondamentaux de l'ordre juridique suisse (art. 5 al. 3 Cst.). Ils s'appliquent aussi en procédure civile, loi dans laquelle ce principe est désormais codifié à l'<ref-law>. Il s'adresse à tous les participants au procès, parties et juge (<ref-ruling> consid. 5 p. 252). Constitue notamment un abus de droit l'attitude contradictoire d'une partie. Lorsqu'une partie adopte une certaine position, elle ne peut pas ensuite soutenir la position contraire, car cela revient à tromper l'attente fondée qu'elle a créée chez sa partie adverse; si elle le fait, c'est un venire contra factum proprium, qui constitue un abus de droit qui ne mérite pas la protection du droit (<ref-ruling> consid. 2.3.2 et les références citées; arrêt 5A_570/2017 du 27 août 2018 consid. 6.1).
3.2. En l'espèce, il faut concéder au recourant que l'intimée n'a pas pris de conclusion reconventionnelle tendant au prononcé du divorce pour un motif autre que celui invoqué par le recourant à l'appui de sa demande unilatérale (en l'occurrence l'<ref-law>). Il n'en demeure pas moins que, lors de l'audience de conciliation du 11 septembre 2017, puis de sa réponse écrite subséquente, l'intimée avait également conclu au prononcé du divorce, se prévalant alors précisément de l'accord du recourant à cet égard. L'invocation par l'intimée des <ref-law> et 292 al. 1 CPC permet en effet de déduire que celle-ci, qui soutenait avoir vécu séparée de son époux depuis moins de deux ans - soit depuis décembre 2015 -, entendait que la procédure se poursuive selon les dispositions relatives au divorce sur requête commune en cas d'accord partiel. L'intimée avait du reste pris ses propres conclusions sur les effets accessoires du divorce, conformément à ce que l'<ref-law> prévoit, sans que celles-ci revêtissent un caractère subsidiaire à celles du recourant.
Cela étant, les constatations de la cour cantonale ne permettent pas de déduire qu'à un moment ou à un autre de la procédure, le recourant avait pour sa part contesté l'existence d'un commun accord sur le principe du divorce, ni encore qu'il était revenu sur sa volonté de divorcer. Il est à cet égard relevé que la procédure cantonale a duré plus de trois ans, que les parties se sont exprimées à plusieurs reprises, tant sur les diverses requêtes de mesures provisionnelles que sur le fond (cf. arrêt attaqué, consid. 2.2 p. 9). Dans ce contexte, sauf à consacrer un abus de droit proscrit par la loi, il ne saurait être admis que le recourant puisse se prévaloir de l'irrecevabilité de sa demande en raison de circonstances qui lui sont imputables - en l'occurrence l'absence de paiement des avances de frais requises dans le délai imparti (cf. <ref-law>) - pour en déduire la caducité des conclusions prises par l'intimée. Au contraire, il faut admettre que cette dernière dispose d'un droit propre à ce qu'il soit statué sur le divorce (cf. <ref-ruling> consid. 4.3.3 p. 719), celle-ci ayant pris ses propres conclusions tant quant au prononcé du divorce - en se fondant à cet égard sur l'accord du recourant (cf. <ref-law>) - qu'à ses effets accessoires.
Au surplus, en tant que la cour cantonale a renvoyé la cause à l'autorité précédente pour " reprise de la procédure " et " traitement des conclusions de [l'intimée] ", on ne voit pas qu'il est d'emblée exclu que, dans ce cadre, une avance de frais soit requise de cette dernière, ni que, le cas échéant, le recourant soit encore autorisé à se déterminer sur les conclusions prises par l'intimée.
4.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Les frais judiciaires concernant la requête d'effet suspensif et le recours, arrêtés à 3'500 fr., sont mis à la charge du recourant, qui succombe (<ref-law>). Une indemnité de 500 fr., à payer à l'intimée à titre de dépens pour ses déterminations sur l'effet suspensif, est mise à la charge du recourant (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Une indemnité de 500 fr., à payer à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre civile.
Lausanne, le 23 novembre 2020
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
Le Greffier : Tinguely