Sachverhalt:
A.
A.a. Das Betreibungsamt Thalwil-Rüschlikon-Kilchberg verarrestierte am 16. und am 18. Oktober sowie am 21. November 2018 in Vollzug der Arrestbefehle Nr. 90/2020, Nr. 91/2020, Nr. 92/2020 und Nr. 93/2020 den Liquidationsanteil von A.A._ am Nachlass von C.A._.
A.b. Die vier Arreste wurden durch die Betreibungen Nr. 148'129, Nr. 148'130, Nr. 151'049 und Nr. 151'050 prosequiert. Mit Urteilen vom 10. Juli 2019 wurde in den beiden erstgenannten und mit Urteilen vom 10. Januar 2020 in den beiden letztgenannten Betreibungen die definitive Rechtsöffnung erteilt. Die Begehren um Fortsetzung der Betreibungen datieren vom 17. Juli 2019 und vom 21. Januar 2020.
B.
Am 29. September 2020 gelangte A.A._ an das Bezirksgericht Horgen als untere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs. Er beantragte die Bestätigung, dass die vier Arreste dahingefallen seien sowie die Freigabe der vom Arrestbeschlag erfassten Vermögenswerte. Zur Begründung seiner Rechtsbegehren brachte er insbesondere vor, dass die Arreste seien nicht rechtzeitig prosequiert worden. Das Bezirksgericht wies die Beschwerde am 14. Oktober 2020 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Gegen das erstinstanzliche Urteil wandte sich A.A._ an das Obergericht des Kantons Zürich als obere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs und erneuerte seine Rechtsbegehren. Seine Beschwerde wurde am 10. Dezember 2020 abgewiesen.
Gegen das erstinstanzliche Urteil wandte sich A.A._ an das Obergericht des Kantons Zürich als obere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs und erneuerte seine Rechtsbegehren. Seine Beschwerde wurde am 10. Dezember 2020 abgewiesen.
D. A.A._ hat am 28. Dezember 2020 beim Bundesgericht eine Beschwerde eingereicht. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils sowie der Arreste Nr. 90/2018, Nr. 91/2018, Nr. 92/2018 und Nr. 93/2018. Mit Eingabe vom 3. März 2021 hat er sich ein weiteres Mal an das Bundesgericht gewandt.
Er stellt ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, indes keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Entscheide kantonaler Aufsichtsbehörden in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen unabhängig eines Streitwertes der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law> i.V.m. Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 2 lit. c BGG). Die Beschwerde ist grundsätzlich zulässig. Das nach Fristablauf eingereichten Schreiben des Beschwerdeführers wird nicht berücksichtigt (<ref-law>).
1.2. Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen. Er ist als Arrestschuldner vom angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung. Er ist daher zur Beschwerde berechtigt (Art. 76 Abs. 1 lit. a und b BGG).
1.3. Mit der vorliegenden Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen, wobei hier das Rügeprinzip gilt (BGE 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.4). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel sind nur zulässig, soweit der vorinstanzliche Entscheid dazu Anlass gibt (<ref-law>), was in der Beschwerde näher darzulegen ist (<ref-ruling> E. 3).
2.
Anlass zur Beschwerde gibt die Rechtzeitigkeit der Prosequierung eines Steuerarrestes.
2.1. Hat der Steuerpflichtige keinen Wohnsitz in der Schweiz oder scheint der Bezug der Steuern gefährdet, so kann die zuständige Steuerbehörde eine Sicherstellung der direkten Bundessteuern anordnen (<ref-law>). Nach dieser Regelung richtet sich auch das kantonale Steuerrecht (§ 181 StG/ZH). Die Sicherstellungsverfügung ist dem Arrestbefehl nach <ref-law> gleichgestellt (<ref-law>; § 182 StG/ZH), wobei letzter vom Richter zu bewilligen ist. Demgegenüber tritt die Steuerbehörde zugleich als Gläubigerin und Arrestbewilligungsinstanz auf. Während gegen deren Arrestbefehl keine Einsprache möglich ist (<ref-law>; § 182 Abs. 2 StG/ZH), kann die Sicherstellungsverfügung auf dem verwaltungsrechtlichen Weg angefochten werden (<ref-law>; § 182 Abs. 2 StG/ZH; <ref-ruling> E. 7.3.1 und 7.3.2; <ref-ruling> E. 4.1.1 und 4.1.2).
2.2. Der Arrest wird durch das zuständige Betreibungsamt vollzogen (<ref-law>; § 182 Abs. 1 StG/ZH). In der Praxis erlässt die Steuerbehörde eine Sicherstellungsverfügung, dem sie einen Arrestbefehl beifügt, welcher die Arrestgegenstände bezeichnet. Ihm kommt für sich genommen keine eigenständige Bedeutung zu, da er nur zugleich mit der Sicherstellungsverfügung durchsetzbar ist. Das mit dem Vollzug des Arrestes beauftragte Betreibungsamt setzt anschliessend den Steuerpflichtigen in Kenntnis (<ref-ruling> E. 7.3.2). Der Steuerarrest ist wie der Arrest nach <ref-law> nur eine provisorische Sicherungsmassnahme (<ref-ruling> E. 7.3.3; BGE <ref-ruling> E. 4.1). Sie fällt dahin, wenn der Arrest nicht fristgerecht prosequiert wird (<ref-law>). Während die Prosequierung des Arrestes nach <ref-law> durch Klageerhebung und anschliessende Betreibung oder direkt durch Betreibung erfolgen kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4), gelten für den Steuerarrest die verwaltungsrechtlichen Regelungen.
2.2.1. So gilt der Arrest als prosequiert, sobald das Einschätzungsverfahren eröffnet ist, eine Mahnung oder eine Busse ausgesprochen wurde. Wurde der Arrest vorab vollzogen, so muss innert zehn Tagen ab Erhalt der Arresturkunde das Einschätzungsverfahren eröffnet oder eine Betreibung auf Sicherheitsleistung eingeleitet werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 7.3.3.1).
2.2.2. Wurde hingegen das Einschätzungsverfahren vorhereröffnet, so muss innert zehn Tagen ab Eröffnung des Entscheides eine Betreibung auf Zahlung erfolgen, um den Arrest aufrecht zu erhalten (<ref-law>; <ref-ruling> E. 7.3.3.1). Als Klageerhebung im Sinne von <ref-law> gilt nicht nur die Einleitung eines Veranlagungs-, Nachsteuer- oder Bussenverfahrens, sondern auch der Erlass der Sicherstellungsverfügung, welche ebenfalls zum Rechtsöffnungstitel führt (<ref-law>; § 181 Abs. 1 StG/ZH; FREY, Sicherstellungsverfügung und Arrestbefehl, 2009, S. 267-270; u.a. CRESTANI, Rolle und Aufgaben des Betreibungsamts im Arrestverfahren, ZZZ 2017 S. 173).
2.3. Im vorliegenden Fall erliess das kantonale Steueramt insgesamt vier Sicherstellungsverfügungen jeweils mit einem Arrestbefehl vom selben Datum. Den vom Beschwerdeführer und (soweit davon betroffen) von seiner Ehefrau dagegen erhobenen Beschwerden war kein Erfolg beschieden.
2.4. Mit Urteilen vom 10. Juli 2019 erteilte das Bezirksgericht Horgen den Beschwerdegegnern in der Betreibungen Nr. 148'129 und Nr. 148'130 (Arreste Nr. 90/2018 und Nr. 91/2018) am 10. Januar 2020 auch in den Betreibungen Nr. 151'049 und Nr. 151'050 (Arreste Nr. 92/2018 und Nr. 93/2018) die definitive Rechtsöffnung. Die Vorinstanz hielt fest, dass die Fortsetzungsbegehren in den zwei erstgenannten Betreibungen am 17. Juli 2019 gestellt und am 19. Juli 2019 beim Betreibungsamt eingegangen und in den zwei weiteren Betreibungen am 21. Januar 2020 gestellt und am 22. Januar 2020 eingegangen und daher alle rechtzeitig erfolgt seien. Nach Ansicht des Beschwerdeführers sind hingegen sämtliche Arreste verspätet prosequiert worden.
2.5. Bezüglich der Arreste Nr. 90/2018 und Nr. 91/2018 bestreitet der Beschwerdeführer das Datum der Fortsetzungsbegehren.
2.5.1. Der Beschwerdeführer hält der vorinstanzlichen Feststellung entgegen, dass das Gesuch erst am 8. August 2019 gestellt worden sei. Diesen Sachverhalt habe die Betreibungsamtsleiterin in ihrem Schreiben an die Beschwerdegegner vom 3. Oktober 2019 selber bestätigt. Zudem spiele das Datum auf dem Fortsetzungsbegehren und der Eingangsstempel des Betreibungsamtes keine Rolle, da beide möglicherweise nachträglich angebracht worden seien.
2.5.2. Wann ein Gesuch gestellt wird und wann es beim Betreibungsamt eintrifft, beschlägt den Sachverhalt. Dieser wird von der Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich festgestellt (E. 1.3). Dagegen kann der Beschwerdeführer lediglich vorbringen, er sei offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich, oder würde auf anderen Bundesrechtsverletzungen beruhen. Zudem ist in der Beschwerde darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann. Gemäss dem hierfür geltenden strengen Rügeprinzip prüft das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Vorbringen, während es auf ungenügend begründete Vorwürfe und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (<ref-ruling> E. 5.4).
2.5.3. Gemäss dem Eingangsstempel sind die beiden Fortsetzungsbegehren am 17. Juli 2019 gestellt und am 19. Juli 2019 beim Betreibungsamt eingetroffen. Das in seinem Schreiben vom 3. Oktober 2019 erwähnte Datum, der 8. August 2019, entspricht gemäss Auffassung der Vorinstanz demjenigen der Pfändungsankündigung und stelle daher ein Versehen dar. Mit dieser Begründung setzt sich der Beschwerdeführer nicht rechtsgenüglich auseinander. Er begnügt sich mit der Schilderung seiner Sicht der Dinge und stellt bezüglich des massgeblichen Datums reine Mutmassungen auf. Weshalb es sich bei dem im betreibungsamtlichen Schreiben vom 3. Oktober 2019 erwähnten Datum nicht um ein Versehen handeln sollte, darauf geht der Beschwerdeführer nicht ein. Auf seine Darlegungen ist daher nicht einzutreten.
2.6. Bezüglich der Arreste Nr. 92/2018 und Nr. 93/2018 bringt der Beschwerdeführer vor, die Fortsetzungsbegehren vom 21. Januar 2020 seien nicht innert der gesetzlichen Frist von zehn Tagen gestellt worden. Er begründet seinem Standpunkt mit dem Wortlaut von <ref-law>.
2.6.1. Zur Arrestsprosequierung bestimmt <ref-law> für den Fall, in welchem der Schuldner keinen Rechtsvorschlag erhoben hat, dass der Gläubiger innert 20 Tagen, nachdem ihm das Gläubigerdoppel des Zahlungsbefehls zugestellt worden ist, das Fortsetzungsbegehren stellen muss (Satz 1). Wird der Rechtsvorschlag nachträglich beseitigt, so beginnt die Frist mit der rechtskräftigen Beseitigung des Rechtsvorschlags (Satz 2). Die Bestimmung wurde mit dem Bundesbeschluss vom 11. Dezember 2009 über die Genehmigung und die Umsetzung des Lugano-Übereinkommens von 2009 revidiert und ist seit dem 1. Januar 2011 in Kraft (AS 2010 5601).
2.6.2. Nach dem Wortlaut der Bestimmung muss der Gläubiger innert 20 Tagen das Fortsetzungsbegehren stellen, sofern der Schuldner keinen Rechtsvorschlag erhoben habe (Satz 1). Daraus scheint der Beschwerdeführer ableiten zu wollen, dass in den Fällen, in denen - wie vorliegend - Rechtsvorschlag erhoben worden war, immer die in <ref-law> ebenfalls genannte Frist von 10 Tagen gelte. Damit blendet er aber aus, dass diese Bestimmung weiter festhält (Satz 2), dass im Fall der "nachträglichen Beseitigung des Rechtsvorschlags" ("Si l'opposition a été ecarté...", "Se l'opposizione è stata rimossa...") die Frist erst dann (d.h. mit rechtskräftiger Beseitigung) beginnt. Dabei kann es sich nur um die (in Satz 1 erwähnte) Frist handeln, die auch zur Stellung des Fortsetzungsbegehrens gemäss <ref-law> immer 20 Tage beträgt (BOVEY, La révision de la Convention de Lugano et le séquestre, JdT 2012 II S. 101; STOFFEL/CHABLOZ, Voies d'exécution, 3. Aufl. 2016, § 8 Rz. 130; AMONN/WALTHER, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 9. Aufl. 2013, § 51 Rz. 95; OCHSNER, La validation et la conversion du séquestre, SJ 2016 II S. 30; MEIER-DIETERLE, in: Prozessuale Besonderheiten im Arrestrecht, in: Festschrift Jolanta Kren Kostkiewicz, 2018, S. 574). Zwar wird der Wortlaut zum Teil als nicht eindeutig bezeichnet (KREN KOSTKIEWICZ, in: Schulthess Kommentar zum SchKG, 2017, N. 26 zu Art. 279; REISER, Arrest in Theorie und Praxis, BlSchK 2015 S. 182); der Botschaft zur Gesetzesänderung lässt sich indes nichts Gegenteiliges entnehmen (Botschaft vom 18. Februar 2009 zum Bundesbeschluss über die Genehmigung und die Umsetzung des revidierten Lugano-Übereinkommens, BBl 2009 1777, Ziff. 4.1 S. 1824). Insoweit ist die Ansicht der Vorinstanz, dass die beiden strittigen Arreste fristgerecht prosequiert worden sind, im Ergebnis nicht zu beanstanden.
2.7. Nach dem Gesagten kann der Vorinstanz hinsichtlich der fristgerechten Arrestprosequierung keine Verletzung von Bundesrecht vorgeworfen werden. Daran können die zumeist allgemein gehaltenen Vorwürfe des Beschwerdeführers, sie habe rein willkürlich und ergebnisorientiert sowie in Verletzung seines rechtlichen Gehörs entschieden, nichts ändern. Nicht einzugehen ist auf seine Kritik am Betreibungsamt, dessen Arbeitsweise nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit auf die darin erhobenen Rügen einzutreten ist. Zufolge Aussichtslosigkeit der Beschwerdebegehren kann das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege nicht bewilligt werden kann (<ref-law>). Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten vom Beschwerdeführer zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. April 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante