Sachverhalt:
A.
Die griechischen Strafverfolgungsbehörden führen gegen A._ und B._ ein Strafverfahren wegen aktiver und passiver Bestechung sowie Geldwäscherei. In diesem Zusammenhang ersuchte Griechenland die Schweiz mit Rechtshilfeersuchen vom 27. April 2018 um Herausgabe der Bankunterlagen betreffend die auf die Stiftung C._ lautende Geschäftsbeziehung bei der Bank D._ SA. Mit Schlussverfügung vom 16. April 2019 gab die Bundesanwaltschaft dem Ersuchen statt. Zwei Tage später ersuchte A._ um Einsicht in die Akten des Rechtshilfeverfahrens, was die Bundesanwaltschaft mit Verfügung vom 24. April 2019 ablehnte.
In der Folge erhob A._ sowohl gegen die Verfügung vom 16. April 2019 (betr. Herausgabe von Beweismitteln) als auch gegen die Verfügung vom 24. April 2019 (betr. Akteneinsicht) Beschwerde an das Bundesstrafgericht. Mit zwei separaten Entscheiden vom 19. Juni 2019 trat das Bundesstrafgericht auf die erste Beschwerde nicht ein und wies die zweite ab.
B.
Mit zwei vom 1. Juli 2019 datierenden Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._ dem Bundesgericht hauptsächlich, die Entscheide des Bundesstrafgerichts seien aufzuheben und die Akteneinsicht sei zu gewähren (Verfahren 1C_362/2019) bzw. die Rechtshilfe zu verweigern (Verfahren 1C_363/2019). In prozessualer Hinsicht beantragt er die Anordnung vorsorglicher Massnahmen und die Sistierung des Beschwerdeverfahrens, bis das von ihm bei der Bundesanwaltschaft eingeleitete Wiedererwägungsverfahren abgeschlossen sei.
Es wurde kein Schriftenwechsel durchgeführt.

Erwägungen:
1.
1.1. Den beiden Beschwerden liegt derselbe Sachverhalt zu Grunde und sie werfen teils dieselben Rechtsfragen auf. Die Verfahren sind deshalb zu vereinen.
1.2. Gemäss Art. 71 BGG i.V.m. Art. 6 Abs. 1 BZP (SR 273) kann der Richter aus Gründen der Zweckmässigkeit das Verfahren aussetzen, insbesondere wenn das Urteil von der Entscheidung in einem anderen Rechtsstreit beeinflusst werden kann. Vorliegend würde die beantragte Sistierung dem im Rechtshilfeverfahren geltenden Gebot der raschen Erledigung (Art. 17a IRSG [SR 351.1]) zuwiderlaufen. Sie drängt sich auch mit Blick auf den Verfahrensausgang nicht auf (vgl. dazu Urteil 1C_339/2011 vom 18. August 2011 E. 3). Das Gesuch ist deshalb abzuweisen.
2.
2.1. Gemäss Art. 84 BGG ist gegen einen Entscheid auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen die Beschwerde nur zulässig, wenn er unter anderem eine Übermittlung von Informationen aus dem Geheimbereich betrifft und es sich um einen besonders bedeutenden Fall handelt (Abs. 1).
Ein besonders bedeutender Fall liegt insbesondere vor, wenn Gründe für die Annahme bestehen, dass elementare Verfahrensgrundsätze verletzt worden sind oder das Verfahren im Ausland schwere Mängel aufweist (Abs. 2; <ref-ruling> E. 1 S. 104 ff. mit Hinweisen).
Art. 84 BGG bezweckt die wirksame Begrenzung des Zugangs zum Bundesgericht im Bereich der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen. Ein besonders bedeutender Fall ist deshalb mit Zurückhaltung anzunehmen. Dem Bundesgericht steht insofern ein weiter Ermessensspielraum zu (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 1.2 S. 104 f. mit Hinweisen).
Gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung der Rechtsschrift in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass ein besonders bedeutender Fall nach Artikel 84 vorliegt, so ist auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist (<ref-ruling> E. 1.5 S. 107 mit Hinweisen).
Erachtet das Bundesgericht eine Beschwerde auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen als unzulässig, so fällt es gemäss Art. 107 Abs. 3 BGG - abgesehen von einem hier nicht gegebenen Ausnahmefall - den Nichteintretensentscheid innert 15 Tagen seit Abschluss eines allfälligen Schriftenwechsels.
Nach Art. 109 BGG entscheidet die Abteilung in Dreierbesetzung über Nichteintreten auf Beschwerden, bei denen kein besonders bedeutender Fall vorliegt (Abs. 1). Der Entscheid wird summarisch begründet. Es kann ganz oder teilweise auf den angefochtenen Entscheid verwiesen werden (Abs. 3).
2.2. Im Verfahren 1C_363/2019 (betr. Herausgabe von Beweismitteln) geht es um die Übermittlung von Informationen aus dem Geheimbereich und damit um ein Sachgebiet, bei dem die Beschwerde nach Art. 84 Abs. 1 BGG insoweit möglich ist. Ob dies auch für das Verfahren 1C_362/2019 (betr. Akteneinsicht) zutrifft, ist fraglich, kann jedoch offenbleiben. Es handelt sich jedenfalls um keinen besonders bedeutenden Fall.
Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, er sei entgegen der Auffassung der Vorinstanz direkt und persönlich von einer Rechtshilfemassnahme betroffen, weil er Beschuldigter im griechischen Strafverfahren sei. Dies ist unzutreffend. Die Person, gegen die sich das ausländische Strafverfahren richtet, ist nur dann persönlich betroffen im Sinne von Art. 21 Abs. 3 IRSG, wenn sie selbst sich in der Schweiz einer konkreten Massnahme - wie etwa einer Hausdurchsuchung oder einer Beschlagnahme bzw. Herausgabe von ihr gehörenden Dokumenten - zu unterwerfen hat. Dies ist hier nicht der Fall (siehe auch Art. 9a lit. a IRSV [SR 351.11]). Der Umstand allein, dass eine Rechtshilfemassnahme ein im Ausland gegen den Beschwerdeführer hängiges Verfahren fördert oder dass er in einem zur Herausgabe bestimmten Dokument erwähnt wird, genügt nicht, um sein Beschwerderecht zu begründen (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 5.2.3 S. 139; <ref-ruling> E. 1.2 f. S. 164 f.; <ref-ruling> E. 2a S. 109 f.; je mit Hinweisen).
Rechtsfragen von grundsätzlicher Bedeutung stellen sich nicht. Auch sonst ist der Fall nicht von aussergewöhnlicher Tragweite. Das gilt ebenfalls hinsichtlich der verweigerten Akteneinsicht mangels Parteistellung. Für das Bundesgericht besteht daher kein Anlass, die Sache an die Hand zu nehmen.
3.
Auf die Beschwerden ist somit nicht einzutreten. Damit wird das Gesuch des Beschwerdeführers um vorsorgliche Massnahmen gegenstandslos.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Sistierungsgesuch wird abgewiesen.
2.
Die Verfahren 1C_362/2019 und 1C_363/2019 werden vereinigt.
3.
Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Bundesanwaltschaft, dem Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, und dem Bundesamt für Justiz, Fachbereich Rechtshilfe, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juli 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Dold