Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 10. September 2013 sprach die IV-Stelle des Kantons Zürich der 1970 geborenen A._ rückwirkend ab 1. August 2010 eine ganze Rente der Invalidenversicherung zu. Dieser Anspruch wurde revisionsweise bestätigt (Mitteilung vom 24. April 2014). Im Jahr 2015 leitete die IV-Stelle ein weiteres Revisionsverfahren ein und veranlasste unter anderem eine interdisziplinäre Begutachtung bei der Zentrum für Interdisziplinäre Medizinische Begutachtungen AG (ZIMB), Schwyz (Expertise vom 19. Dezember 2016). Mit Verfügung vom 5. September 2017 hob die IV-Stelle die ganze Rente auf Ende des der Zustellung der Verfügung folgenden Monats auf.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ab. Gleichzeitig wies es auch das Gesuch um unentgeltliche Rechtsvertretung und Prozessführung ab (Entscheid vom 1. Juli 2019).
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 1. Juli 2019 sei aufzuheben, und die IV-Stelle sei zu verpflichten, die gesetzlichen Leistungen zu erbringen, insbesondere sei die Invalidenrente weiterhin auszurichten. Weiter sei ihr die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren und in der Person der Unterzeichnenden eine unentgeltliche Rechtsvertreterin zu bewilligen.

Erwägungen:
1.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>), die Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz nur, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
2.
Die Beschwerdeführerin beantragt (neben der Weiterausrichtung der ganzen Rente), es sei ihr die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren und in der Person der Unterzeichnenden eine unentgeltliche Rechtsvertreterin zu bewilligen. Aus ihrer Begründung ergibt sich, dass sie zum einen um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren ersuchen lässt, und zum anderen den angefochtenen Entscheid in Bezug auf das abgewiesene Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung im kantonalen Beschwerdeverfahren anficht.
3.
3.1. In Würdigung der medizinischen Aktenlage, insbesondere gestützt auf das interdisziplinäre Gutachten der ZIMB vom 19. Dezember 2016, gelangte die Vorinstanz zum Ergebnis, die Versicherte sei ab September 2016 in einer leidensangepassten Tätigkeit uneingeschränkt arbeitsfähig.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz wie auch die Experten der ZIMB hätten ein strukturiertes Beweisverfahren gemäss <ref-ruling> durchführen müssen.
3.2.
3.2.1. Für die Festsetzung der Arbeitsfähigkeit bei psychischen Leiden definiert das strukturierte Beweisverfahren gemäss <ref-ruling> systematisierte Indikatoren, die - unter Berücksichtigung leistungshindernder äusserer Belastungsfaktoren einerseits und Kompensationspotentialen (Ressourcen) anderseits - erlauben, das tatsächlich erreichbare Leistungsvermögen einzuschätzen (<ref-ruling> E. 2 S. 285ff., E. 3.4-3.6 und 4.1 S. 291 ff.). Bei der Beurteilung der Arbeitsfähigkeit haben sich sowohl die medizinischen Sachverständigen als auch die Organe der Rechtsanwendung in ihrer Einschätzung des Leistungsvermögens an den normativen Vorgaben zu orientieren, die Gutachter im Idealfall gemäss der entsprechend formulierten Fragestellung (<ref-ruling> E. 5.2 S. 306f.).
3.2.2. Gelangt der Rechtsanwender nach der Beweiswürdigung zum Schluss, ein Gutachten erfülle sowohl die mit <ref-ruling>definierten versicherungsmedizinischen Massstäbe wie auch die allgemeinen rechtlichen Beweisanforderungen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232), ist es beweiskräftig, und die darin formulierten Stellungnahmen zur Arbeitsfähigkeit sind zu übernehmen. Eine davon losgelöste juristische Parallelüberprüfung nach Massgabe des strukturierten Beweisverfahrens soll nicht stattfinden (<ref-ruling> E. 5.2.3 S. 307; vgl. auch <ref-ruling> E. 4.3 S. 53 f.).
3.3.
3.3.1. Entgegen den Vorbringen in der Beschwerde orientiert sich die ZIMB-Expertise an den normativen Vorgaben gemäss <ref-ruling>(vgl. insbes. Gutachten S. 86 ff.). Soweit die Beschwerdeführerin moniert, die Gutachter hätten die beiden älteren Kinder als Ressource erwähnt, dabei aber übersehen, dass der älteste Sohn aufgrund psychischer Beschwerden selber IV-Rentner sei, vermag sie damit den Beweiswert der Expertise nicht in Frage zu stellen. Es ist nicht zu beanstanden, dass die Gutachter den ältesten Sohn als Teil des sozialen Netzwerkes und damit als Ressource bezeichneten, zumal sie dessen Erkrankung bei ihren Ausführungen zu den sozialen Belastungen der Versicherten berücksichtigten (Gutachten S. 89). Sodann kann die Beschwerdeführerin mit ihrem pauschalen Einwand, eine "Berücksichtigung der diversen gesundheitlichen Einschränkungen im Rahmen der Komorbiditätsprüfung" hätte die Gesamtbeurteilung "stark verändert", nichts zu ihren Gunsten ableiten. Das ZIMB-Gutachten äusserte sich auch zu den Komorbiditäten. Es kann auf die entsprechenden Ausführungen auf Seite 91 der Expertise verwiesen werden.
3.3.2. Gestützt auf die Expertise der ZIMB hat die Vorinstanz erwogen, in psychiatrischer Hinsicht habe trotz gewisser Einschränkungen der Versicherten angesichts ihres Aktivitätsniveaus (geregelter Tagesablauf, Haushalt, kreative Tätigkeiten, Freiwilligenarbeit) sowie ihres Sozialverhaltens (Pflege sozialer Kontakte mit Kolleginnen, Verbringung der Wochenenden mit Sohn) keine Depression mehr konstatiert werden können. Nicht zu bestätigen gewesen seien die Diagnosen eines Aufmerksamkeitsdefizitsyndroms (unter Berücksichtigung der jahrelangen klaglosen Arbeitstätigkeit) sowie einer posttraumatischen Belastungsstörung (Nichterfüllung der ICD-10 Kriterien). Die Experten seien zum ausführlich begründeten und für das Gericht nachvollziehbaren Schluss gelangt, dass nunmehr eine ausschliesslich somatisch bedingte vollständige Arbeitsunfähigkeit in der angestammten Tätigkeit vorliege, indes unter Wahrung qualitativer Schonkriterien für die Hals- und Lendenwirbelsäule eine 100%ige Arbeitsfähigkeit in angepasster Tätigkeit bestehe.
Diese unbestrittenen Feststellungen sind für das Bundesgericht verbindlich. Mit Blick darauf besteht kein Grund zu einer gesonderten (rechtlichen) Prüfung nach Massgabe des strukturierten Beweisverfahrens (vgl. E. 3.2).
3.3.3. Nach dem Gesagten verletzte die Vorinstanz kein Bundesrecht, indem sie - unter Berücksichtigung der ZIMB-Expertise vom 19. Dezember 2016 - ab September 2016 von einer uneingeschränkten Arbeitsfähigkeit in einer leidensangepassten Tätigkeit ausging.
4.
In prozessualer Hinsicht strittig ist der Anspruch der Beschwerdeführerin auf unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung im kantonalen Beschwerdeverfahren.
4.1. Nach <ref-law> muss das Recht, sich verbeiständen zu lassen, gewährleistet sein. Wo die Verhältnisse es rechtfertigen, wird der beschwerdeführenden Person ein unentgeltlicher Rechtsbeistand bewilligt. Die Voraussetzungen für die Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung sind praxisgemäss erfüllt, wenn der Prozess nicht aussichtslos, die Partei bedürftig und die anwaltliche Verbeiständung notwendig oder doch geboten ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 7.1 S. 2; <ref-ruling> E. II/1b S. 47).
4.2.
4.2.1. Eine Person ist bedürftig, wenn sie nicht in der Lage ist, für die Prozesskosten aufzukommen, ohne dass sie Mittel beanspruchen müsste, die zur Deckung des Grundbedarfs für sie und ihre Familie notwendig sind (<ref-ruling> E. 2.5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3b S. 205). Die prozessuale Bedürftigkeit beurteilt sich nach der gesamten wirtschaftlichen Situation des Rechtsuchenden im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs (BGE 120 I 1 E. 2a; Urteil 9C_26/2016 vom 25. Februar 2016 E. 9.1).
Grundsätzlich obliegt es der gesuchstellenden Person, ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse vollständig darzulegen und soweit möglich auch zu belegen. Diesbezüglich trifft sie eine umfassende Mitwirkungspflicht. Aus den eingereichten Belegen muss auf jeden Fall auch der aktuelle Grundbedarf der das Gesuch stellenden Partei hervorgehen. Zudem müssen die Belege über sämtliche ihrer finanziellen Verpflichtungen sowie über ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse Aufschluss geben. Verweigert die gesuchstellende Person die zur Beurteilung ihrer aktuellen wirtschaftlichen Gesamtsituation erforderlichen Angaben oder Belege, kann die Bedürftigkeit ohne Verfassungsverletzung verneint werden. Gelingt es ihr - in grundsätzlicher Erfüllung ihrer Obliegenheiten - in ihrer ersten Eingabe nicht, die Bedürftigkeit zur Zufriedenheit des Gerichts nachzuweisen, ist sie zur Klärung aufzufordern. <ref-law> schreibt jedoch der Behörde, die mit einem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege befasst ist, den Untersuchungsgrundsatz nicht vor. Insbesondere ist sie weder verpflichtet, den Sachverhalt von sich aus nach jeder Richtung hin abzuklären, noch muss sie unbesehen alles, was behauptet wird, von Amtes wegen überprüfen. Sie muss indessen den Sachverhalt dort (weiter) abklären, wo noch Unsicherheiten und Unklarheiten bestehen, sei es, dass sie von einer Partei auf solche - wirkliche oder vermeintliche - Fehler hingewiesen wird, sei es, dass sie solche selbst feststellt (Urteil 9C_784/2017 vom 12. Januar 2018 E. 2 mit Hinweis auf 8C_777/2012 vom 7. Januar 2013 E. 3.2).
4.2.2. Die Vorinstanz hat erwogen, mittels aufgelegtem Formular zur Abklärung der prozessualen Bedürftigkeit vom 25. September 2017 habe die Beschwerdeführerin ihre Bedürftigkeit in Bezug auf die Einkommensverhältnisse ausgewiesen. Zwar habe sie es unterlassen, nach Anzeige des Wohnortswechsels vom 31. Januar 2018 die aktuellen Unterlagen nachzureichen, jedoch dürfe von einer grundsätzlich unveränderten Einkommens- und Ausgabensituation ausgegangen werden. Indes habe bereits die 1. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich mit Beschluss vom 6. Oktober 2009 betreffend vorsorgliche Massnahmen (Prozesskostenvorschuss) im Ehescheidungsverfahren den Antrag der Beschwerdeführerin auf Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung sowie einer unentgeltlichen Rechtsbeiständin abgelehnt. Das Obergericht habe festgestellt, dass die Beschwerdeführerin zumindest Miteigentümerin einer Liegenschaft in U._/Serbien sei, wobei davon auszugehen sei, dass diese einen erheblichen Wert aufweise und die Gesuchstellerin nicht daran interessiert sei, ihren Anteil an der Liegenschaft zu verkaufen, da sie diesen auf ihre Tochter übertragen wolle. Gemäss Vorinstanz hätte unter diesen Voraussetzungen die Mitwirkungspflicht geboten resp. hätte es der Beschwerdeführerin oblegen, sich über die Eigentumsverhältnisse an genannter Liegenschaft zu äussern und die notwendigen Unterlagen über einen Verkauf oder eine Übertragung beizubringen, weshalb angenommen werden könne, sie sei weiterhin Eigentümerin der besagten Liegenschaft. Daraus erhelle, dass ihrem Gesuch mangels hinreichender Substantiierung der Prozessarmut nicht stattgegeben werden könne. Dies habe umso mehr zu gelten, als die durch ihre Rechtsbeiständin fachkundig vertretene Beschwerdeführerin unter Ziff. 13 des Formulars vom 25. September 2017 ausdrücklich darauf hingewiesen worden sei, dass unvollständige oder unrichtige Angaben sowie fehlende Belege ohne weitere Nachfrage zur Abweisung des Gesuchs führen könnten.
4.2.3.
4.2.3.1. Die Beschwerdeführerin hat im Formular zur Abklärung der prozessualen Bedürftigkeit vom 25. September 2017 unter dem Titel "Vermögen" einzig die Rubriken "Bank- und Postkonti" sowie "Motorfahrzeuge" ausgefüllt. Die Rubrik "Liegenschaft im In- und Ausland" hingegen liess sie leer. Wenn die Vorinstanz angesichts der im obergerichtlichen Beschluss erwähnten Liegenschaft in Bezug auf diesen Punkt Zweifel an der Korrektheit resp. Vollständigkeit des ausgefüllten Fragebogens hegte, hätte sie die Versicherte auffordern müssen (<ref-law>), sich dazu zu äussern und insbesondere Auskunft über die Eigentumsverhältnisse an der Liegenschaft zu geben (vgl. E. 4.2.1). Daran ändert auch der Umstand nichts, dass die Beschwerdeführerin in Ziff. 13 des Formulars zur Abklärung der prozessualen Bedürftigkeit auf die Folgen von unvollständigen oder unrichtigen Angaben hingewiesen worden war. Die (umfassende) Mitwirkungspflicht einer gesuchstellenden Person geht nicht so weit, dass sie über den Verbleib jedes Vermögensgegenstandes, der sich einmal in ihrem Eigentum befunden hat, (bereits) von sich aus Mitteilung machen müsste. Daher geht es nicht an, dass die Vorinstanz ohne Nachfrage bei der Beschwerdeführerin, einzig gestützt auf den vor über neun Jahren ergangenen Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich, die Annahme traf, die Beschwerdeführerin sei weiterhin Eigentümerin dieser Liegenschaft, und in der Folge das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung mangels hinreichender Substantiierung der Prozessarmut abwies.
4.2.3.2. Vor Bundesgericht legt die Beschwerdeführerin verschiedene Dokumente ins Recht, mit welchen sie die Eigentumsübertragung der Liegenschaft an ihre Tochter belegen will. Bei diesen erstmals vor Bundesgericht eingereichten Unterlagen handelt es sich um unechte Noven im Sinne von <ref-law>. Solche dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt, was in der Beschwerde näher darzulegen ist (<ref-ruling> E. 3 S. 395). Mit Blick auf die obigen Ausführungen (E. 4.2.3.1) sind diese Voraussetzungen hier erfüllt.
4.2.3.3. Der letztinstanzlich aufgelegte Vergleich vom 15. September 2010 vor dem Grundgericht in U._ sowie der Beschluss des Katasteramtes für Immobilien in U._ belegen, dass die Versicherte die Eigentumsrechte an besagter Liegenschaft in Serbien im Jahr 2010 auf ihre Tochter übertragen hat. Zwar ergibt sich aus dem ebenfalls neu eingereichten Einspracheentscheid der Durchführungsstelle der Stadt V._ betreffend Zusatzleistungen zur AHV/IV vom 9. Februar 2016, dass von einem Vermögensverzicht in der Höhe von Fr. 29'516.- (hypothetischer Wert der Liegenschaft) ausgegangen werde, da die Übertragung ohne adäquate Gegenleistung erfolgt sei. Nachdem die Eigentumsrechte indes bereits im Jahr 2010 übertragen worden waren, kann darin in Bezug auf das im Jahr 2017 gestellte Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung kein rechtsmissbräuchliches Verhalten erblickt werden; anders zu beurteilen wäre allenfalls eine Entäusserung von Vermögen in einem hängigen Verfahren (vgl. Urteil 8C_607/2013 vom 28. November 2013 E. 6.2, in: SVR 2014 UV Nr. 9 S. 29).
Mit Blick auf das Gesagte ist die Bedürftigkeit der Versicherten zu bejahen, hat doch die Vorinstanz das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung einzig aufgrund von falschen Annahmen über die Eigentumsverhältnisse an der Liegenschaft in Serbien abgewiesen, indessen die Bedürftigkeit in Bezug auf die Einkommensverhältnisse als ausgewiesen erachtet (vgl. E. 4.2.2 in initio).
4.3. Die weiteren Voraussetzungen der fehlenden Aussichtslosigkeit des Prozesses und der Gebotenheit der Verbeiständung wird die Vorinstanz, an welche die Sache in diesen Punkten zurückzuweisen ist, beurteilen.
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin unterliegt in Bezug auf den geltend gemachten Rentenanspruch und obsiegt in der Frage des Anspruchs auf unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung im vorinstanzlichen Verfahren.
5.2. Angesichts der speziellen Umstände des Einzelfalls wird ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet (<ref-law>). Damit wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>) gegenstandslos, soweit es sich auf die unentgeltliche Prozessführung bezieht. Ihrem Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung kann entsprochen werden, da die Bedürftigkeit anhand der Akten ausgewiesen ist. Die Beschwerdeführerin wird der Gerichtskasse jedoch Ersatz zu leisten haben, wenn sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>). Da die Versicherte teilweise obsiegt, steht ihr eine dementsprechend reduzierte Parteientschädigung zu (<ref-law>), welche der Kanton Zürich als Gegenpartei im Verfahren um die unentgeltliche Rechtspflege trägt (<ref-law>). In diesem Umfang ist (auch) ihr Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
In teilweiser Gutheissung der Beschwerde wird der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 1. Juli 2019 aufgehoben, soweit er den Anspruch der Beschwerdeführerin auf unentgeltliche Rechtspflege im kantonalen Beschwerdeverfahren zum Gegenstand hat. Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie die weiteren Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege prüfe und darüber neu entscheide. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen, und es wird der Beschwerdeführerin Rechtsanwältin Regula Aeschlimann Wirz als Rechtsbeiständin beigegeben.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Der Kanton Zürich hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1400.- zu entschädigen.
5.
Der Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1400.- ausgerichtet.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 21. Januar 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Stanger