Sachverhalt:
A.
Mit Gesuch vom 9. Dezember 2020 gelangte die B._ Anlagestiftung (Gesuchstellerin, Beschwerdegegnerin) an das Handelsgericht des Kantons Bern und beantragte, es sei der A._ AG (Gesuchsgegnerin, Beschwerdeführerin) zu befehlen, der Gesuchstellerin die Büro- und Produktionshallen an der U._strasse, V._ unverzüglich geräumt, gereinigt und in ordnungsgemässem Zustand abzugeben, unter Androhung der Zwangsvollstreckung im Unterlassungsfall.
Mit Verfügung vom 14. Dezember 2020 wurde der Gesuchsgegnerin Frist zur Stellungnahme eingeräumt.
Mit Schreiben vom 24. Dezember 2020 beantragte die Gesuchsgegnerin fristgerecht die Abweisung des Gesuchs. Sie beantragte ausserdem, dass das Gericht die Parteien zu Gesprächen einlade und unter Führung des Gerichts eine Lösung gefunden werde.
Mit Verfügung vom 29. Dezember 2020 gab der Vizepräsident dem zweiten Begehren der Gesuchsgegnerin nicht statt. Zudem informierte er die Parteien, dass kein zweiter Schriftenwechsel durchgeführt und ein schriftlicher Entscheid gefällt werde.
Mit Schreiben vom 30. Dezember 2020 hielt die Gesuchstellerin an ihren Ausführungen im Gesuch vom 9. Dezember 2020 fest. Sie erklärte ausserdem, dass sie nicht bereit sei, mit der Gesuchsgegnerin noch weitere (Vergleichs-) Gespräche zu führen.
B.
Mit Entscheid vom 18. Januar 2021 hiess das Handelsgericht des Kantons Bern das Gesuch gut und verurteilte die Gesuchsgegnerin, die Büro- und Produktionshallen an der U._strasse, V._ bis am 26. Februar 2021, 12:00 Uhr, zu verlassen und diese der Gesuchstellerin geräumt, gereinigt und in ordnungsgemässem Zustand abzugeben. Für den Fall, dass die Gesuchsgegnerin den Anordnungen des Ausweisungsentscheids nicht innert Frist Folge leistet, ordnete das Handelsgericht die zwangsweise Räumung an.
Das Handelsgericht wies insbesondere darauf hin, dass die Schlichtungsbehörde Berner Jura-Seeland den Parteien am 5. Oktober 2020 einen Urteilsvorschlag unterbreitet hatte, der feststellte, dass das streitgegenständliche Mietverhältnis per 31. August 2020 gekündigt wurde. Da keine Partei den Urteilsvorschlag innert 20 Tagen abgelehnt habe, komme ihm seit dem 26. Oktober 2020 die Wirkung eines rechtskräftigen Entscheids zu. Zwischen den Parteien sei zudem unbestritten, dass in der Zwischenzeit kein neues Mietverhältnis begründet worden sei. Die Voraussetzungen von <ref-law> seien somit erfüllt.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Gesuchsgegnerin dem Bundesgericht, es sei der Entscheid des Handelsgerichts des Kantons Bern vom 18. Januar 2021 aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz beantragt in ihrer Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde.
D.
Mit Verfügung vom 16. Februar 2021 wurde dem Gesuch um aufschiebende Wirkung superprovisorisch stattgegeben.
Mit Verfügung vom 11. März 2021 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 143 mit Hinweisen).
1.1. Das angefochtene Urteil des Handelsgerichts ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer einzigen kantonalen Instanz im Sinne von <ref-law>. Dagegen steht die Beschwerde in Zivilsachen nach <ref-law> unabhängig vom Streitwert offen (<ref-ruling> E. 1.2). Die Beschwerdeführerin ist mit ihren Begehren unterlegen (<ref-law>) und die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>).
1.2. Die Beschwerdeschrift hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (<ref-law>). Da die Beschwerde in Zivilsachen ein reformatorisches Rechtsmittel ist (<ref-law>), darf sich die beschwerdeführende Partei grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu beantragen, sondern sie muss einen Antrag in der Sache stellen. Anträge auf Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung oder blosse Aufhebungsanträge genügen nicht und machen die Beschwerde unzulässig (<ref-ruling> E. 3.1). Ein blosser Rückweisungsantrag reicht ausnahmsweise aus, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung nicht selbst in der Sache entscheiden könnte (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.3 S. 383; <ref-ruling> E. 3.1).
Die Beschwerdeführerin stellt einzig einen Rückweisungsantrag. Sie beschränkt sich darauf, eine Verletzung des Anspruchs auf Durchführung einer öffentlichen Gerichtsverhandlung nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK zu rügen. Das Bundesgericht könnte, sollte es die Rechtsauffassung der Beschwerdeführerin in diesem Punkt teilen, nicht selbst entscheiden, sondern müsste die Sache zur Behebung des behaupteten Verfahrensmangels an die Vorinstanz zurückweisen. Unter diesen Umständen ist von einem hinreichenden Antrag auszugehen.
1.3. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Mit Blick auf die Begründungspflicht der beschwerdeführenden Partei (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind; es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.4). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
2.
Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz eine Verletzung ihres auf Art. 6 Ziff. 1 EMRK gestützten Anspruchs auf Durchführung einer öffentlichen mündlichen Verhandlung vor.
2.1. Nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person ein Recht darauf, dass über Streitigkeiten in Bezug auf ihre zivilrechtlichen Ansprüche und Verpflichtungen ( "des contestations sur ses droits et obligations de carac tère civil"; "determinations of civil rights and obligations") oder über eine gegen sie erhobene strafrechtliche Anklage von einem unabhängigen und unparteiischen, auf Gesetz beruhenden Gericht in einem fairen Verfahren, öffentlich und innerhalb angemessener Frist verhandelt wird. Das Urteil muss grundsätzlich öffentlich verkündet werden.
Die in Art. 6 Ziff. 1 EMRK garantierte öffentliche Gerichtsverhandlung stellt ein fundamentales Prinzip dar, das nicht nur für den Einzelnen wichtig ist, sondern ebenso sehr als Voraussetzung für das Vertrauen in das Funktionieren der Justiz erscheint (<ref-ruling> E. 4a S. 324; <ref-ruling> E. 5d S. 35; Urteil 2C_204/2020 vom 3. August 2020 E. 2.3.1, zur Publ. vorgesehen; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.2). Der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte (EGMR) begründet die Pflicht zur Durchführung einer öffentlichen Verhandlung mit der Absage an jede Form von Geheimjustiz und der (demokratischen) Kontrolle der Behörden, was letztlich auch das Vertrauen in diese stärke. Die Öffentlichkeit des Verfahrens trägt dazu bei, dass die Garantie auf ein "faires Verfahren" tatsächlich umgesetzt wird (Urteil Osinger gegen Österreich Nr. 54645/00 vom 24. März 2005 § 44). Aus dem Anspruch auf eine (publikums-) öffentliche Verhandlung folgt grundsätzlich ein Anspruch auf eine mündliche Verhandlung (<ref-ruling> E. 3.1.1 S. 190 f. mit Hinweisen).
Die Pflicht, eine öffentliche Verhandlung durchzuführen, ist indes in zweifacher Hinsicht nicht absolut: Zunächst können die Parteien auf eine öffentliche Verhandlung - explizit oder stillschweigend - verzichten. Sodann sind Ausnahmen vom Grundsatz zulässig (<ref-ruling> E. 2.2 S. 444; <ref-ruling> E. 3.1.1 S. 190 f. mit Hinweisen). Eine Reihe von Gründen, aus welchen keine öffentliche Verhandlung durchgeführt werden muss, ergibt sich insbesondere unmittelbar aus Art. 6 Ziff. 1 EMRK ( "Presse und Öffentlichkeit können jedoch während des gan zen oder eines Teiles des Verfahrens ausgeschlossen werden, wenn dies im Interesse der Moral, der öffentlichen Ordnung oder der nationalen Sicherheit in einer demokratischen Gesellschaft liegt, wenn die Interessen von Jugendlichen oder der Schutz des Privatlebens der Prozessparteien es verlangen oder - soweit das Gericht es für unbedingt erforderlich hält - wenn unter besonderen Umständen eine öffentliche Verhandlung die Interessen der Rechtspflege beeinträchtigen würde"). Von einer ausdrücklich beantragten öffentlichen Verhandlung kann nach der Rechtsprechung abgesehen werden, wenn der Antrag der Partei als schikanös erscheint oder auf eine Verzögerungstaktik schliessen lässt und damit dem Grundsatz der Einfachheit und Raschheit des Verfahrens zuwiderläuft oder sogar rechtsmissbräuchlich ist. Als Grund für die Verweigerung einer beantragten öffentlichen Verhandlung fällt auch die hohe Technizität der zur Diskussion stehenden Materie in Betracht (<ref-ruling> E. 1 S. 281 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 3b/cc und 3b/ee S. 56 f.).
2.2. Die Beschwerdeführerin bringt vor, sie habe in ihrer Stellungnahme vom 24. Dezember 2020 beantragt, dass "die Parteien zu Gesprä chen eingeladen werden und unter Führung des Gerichts eine Lösung gefunden wird". Dass sie sich - damals noch nicht anwaltlich vertreten - bei ihrem Begehren nicht explizit auf ihren konventionsrechtlichen Anspruch aus Art. 6 Ziff. 1 EMRK berufen habe, könne ihr nicht zum Nachteil gereichen, da der Antrag auf Durchführung einer öffentlichen mündlichen Verhandlung aus der Formulierung hinreichend klar hervorgehe. Den Ausführungen in Ziffer 2 der Verfügung vom 29. Dezember 2020 lasse sich denn auch entnehmen, dass die Vorinstanz verstanden habe, dass die Beschwerdeführerin die Durchführung einer öffentlichen mündlichen Verhandlung wünsche.
Trotzdem habe die Vorinstanz das Begehren mit der lapidaren Begründung abgewiesen, dass das summarische Verfahren um Rechtsschutz in klaren Fällen nicht vorsehe, dass das Handelsgericht die Parteien zu Gesprächen im Rahmen einer Verhandlung vorlade. In einer Fussnote habe sie zudem darauf hingewiesen, dass die Parteien bereits aussergerichtliche Vergleichsverhandlungen geführt hätten und es nun an ihnen liege, sich ausserhalb des Gerichtsverfahrens auf eine gute und zielführende Lösung zu verständigen, die sämtlichen Interessen Rechnung trage. Andere Gründe, weshalb auf die beantragte Verhandlung zu verzichten sei, habe die Vorinstanz nicht dargelegt. Sie habe das entsprechende Begehren gar nicht unter konventionsrechtlichen Gesichtspunkten geprüft. Die Vorinstanz habe auch nicht auf einen stillschweigenden Verzicht der Beschwerdeführerin auf Durchführung einer öffentlichen mündlichen Verhandlung schliessen dürfen.
Mit der Verweigerung der Durchführung einer öffentlichen mündlichen Verhandlung sei die Beschwerdeführerin der Möglichkeit beraubt worden, die besonderen Aspekte des konkreten Falls in direktem Kontakt mit dem urteilenden Gericht zu erläutern. Die rudimentären Ausführungen der Vorinstanz bezüglich der festgesetzten Räumungsfrist legten aber nahe, dass sie sich diesbezüglich nicht mit der komplexen wirtschaftlichen Situation der Beschwerdeführerin auseinandergesetzt habe; dem hätte mit der Durchführung einer öffentlichen mündlichen Verhandlung vorgegriffen werden können.
2.3. Die Beschwerdeführerin vermag mit ihren Ausführungen keine Konventionsverletzung aufzuzeigen. Zwar trifft zu, dass es sich bei der im Verfahren nach <ref-law> beurteilten Mieterausweisung grundsätzlich um eine Streitigkeit in Bezug auf zivilrechtliche Ansprüche und Verpflichtungen im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK handelt (Urteil 4A_451/2020 vom 12. November 2020 E. 2.1). Die Beschwerdeführerin bringt jedoch zu Unrecht vor, sie habe in ihrer Stellungnahme vom 24. Dezember 2020 die Durchführung einer öffentlichen mündlichen Verhandlung beantragt:
Wie alle Prozesshandlungen sind Rechtsbegehren nach Treu und Glauben auszulegen, insbesondere im Lichte der dazu gegebenen Begründung. Dabei ist nicht einfach die allenfalls unrichtige Bezeichnung oder Ausdrucksweise massgebend (Urteil 4A_653/2018 vom 14. November 2019 E. 6.3 mit Hinweisen). Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Ansicht ist der zweitletzte Satz der Stellungnahme vom 24. Dezember 2020 zum Ausweisungsgesuch ("Aus diesem Grund bitten wir das Obergericht, dass die Parteien zu Gesprächen eingeladen werden und unter Führung des Gerichts eine Lösung gefunden wird.") weder nach seinem Wortlaut noch unter Berücksichtigung der Begründung als Begehren um Durchführung einer öffentlichen mündlichen Gerichtsverhandlung zu verstehen. Aus der Antragsbegründung, die sich an die Ausführungen zum Ausweisungsgesuch anschliesst, ergibt sich vielmehr, dass die Beschwerdeführerin einzig um Durchführung gerichtlicher Vergleichsverhandlungen ersuchte. Abgesehen davon, dass sie ihre Bereitschaft erklärte, mit der Beschwerdegegnerin "über eine einvernehmliche Lösung zu sprechen, welche beide Interessen gleichermassen berücksichtigt", verweist die Beschwerdeführerin in der fraglichen Eingabe auf ein "Gesamtkonzept zur Zukunftssicherung unseres Unternehmens" sowie auf laufende Gespräche mit einem Investor. Auch wenn berücksichtigt wird, dass die Beschwerdeführerin damals noch nicht anwaltlich vertreten war, kommt darin das Anliegen zum Ausdruck, hinsichtlich der Mieterausweisung unter Einbezug der über das konkrete Verfahren hinausgehenden Interessen der Parteien mit Hilfe des Gerichts eine einvernehmliche Lösung im Sinne eines Vergleichs zu erzielen.
Dabei ist nicht ersichtlich, inwiefern der von der Beschwerdeführerin ins Feld geführte Umstand, wonach sie in der Stellungnahme vom 24. Dezember 2020 einlässlich dargelegt habe, welche verheerenden Folgen eine Ausweisung für sie zeitigen würde, für ihren Standpunkt sprechen soll. Eine Gerichtsverhandlung unter Einbezug der Öffentlichkeit wird in der fraglichen Eingabe weder ausdrücklich noch sinngemäss beantragt. Es bestand unter diesen Umständen auch kein Anlass des Gerichts, "der damals nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin zumindest unter Ansetzung einer kurzen Frist die [Möglichkeit zu geben], an ihrem Antrag um Durchführung einer öffentlichen mündlichen Verhandlung festzuhalten". Unverständlich ist in diesem Zusammenhang auch die Behauptung, aus Ziffer 2 der Verfügung vom 29. Dezember 2020 ergebe sich, dass die Vorinstanz die Beschwerdeführerin in dem Sinne verstanden habe, sie wünsche die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung. Vielmehr wies die Vorinstanz an besagter Stelle ausdrücklich darauf hin, dass die Parteien bereits vor der Schlichtungsbehörde und anschliessend aussergerichtlich Vergleichsverhandlungen geführt hätten, und dass es nun an ihnen sei, sich ausserhalb eines Gerichtsverfahrens auf eine Lösung zu verständigen. Angesichts des eindeutig auf Vergleichsgespräche beschränkten Antrags ist die Vorinstanz nachvollziehbar davon ausgegangen, eine darüber hinausgehende öffentliche mündliche Gerichtsverhandlung werde nicht verlangt. Da das anwendbare Prozessrecht eine solche nicht zwingend vorschreibt (vgl. <ref-law>), wäre ein entsprechender Antrag jedoch erforderlich gewesen (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 2e/aa S. 48). Der Umstand, dass die Vorinstanz in ihrer Verfügung nicht ausdrücklich auf die EMRK Bezug nahm, stellt im Übrigen keine Gehörsverletzung dar (zum Anspruch auf Begründung: <ref-ruling> E. 5.2 S. 70 f.; <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 436; <ref-ruling> E. 3.2.4 S. 41).
Die fragliche Prozesserklärung der Beschwerdeführerin in ihrer Stellungnahme vom 24. Dezember 2020 ist somit nach Treu und Glauben nicht als Antrag auf Durchführung einer öffentlichen mündlichen Gerichtsverhandlung zu verstehen, sondern als Begehren, unter gerichtlicher Leitung Vergleichsgespräche zwischen den Parteien zu führen. Letztere stellen keinen Schritt auf dem Weg zur gerichtlichen Streitentscheidung dar, sondern stehen ausserhalb des Erkenntnisverfahrens. Die Bemühungen des Gerichts, zwischen den Parteien zu vermitteln, gelten nicht als Gerichtsverhandlung und unterstehen nicht dem Grundsatz der Justizöffentlichkeit (<ref-ruling> E. 2.4 S. 34). Dass sie einen konventionsrechtlichen Anspruch auf Durchführung von Vergleichsgesprächen vor der Vorinstanz gehabt hätte, macht die Beschwerdeführerin zu Recht nicht geltend.
Der Vorinstanz ist demnach keine Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK vorzuwerfen, wenn sie im konkreten Fall keine öffentliche mündliche Gerichtsverhandlung durchführte.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Mai 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Leemann