Sachverhalt:
A.
A.a. B._ (Kläger, Beschwerdegegner) ist Landwirt und Mitglied der Genossenschaft A._ (Beklagte, Beschwerdeführerin). Letztere ist ihrerseits Mitglied der Genossenschaft C._.
Die Genossenschaft C._ gründete im März 2014 mit den grössten regionalen Milchvermarktungsorganisationen die D._ AG, eine Selbsthilfeorganisation mit dem Ziel, saisonale Ungleichgewichte auf dem Markt abzufedern. Anlässlich einer Delegiertenversammlung im November 2014 beschlossen die Delegierten der Genossenschaft C._, einen Beitrag von maximal 0.35 Rappen pro kg vermarkteter Milch zu erheben. Das "Inkasso" erfolge unter anderem durch die Mitgliederorganisationen der Genossenschaft C._. So zog die Beklagte diese Beiträge auch bei B._ ein und "leitete" sie an die Genossenschaft C._ "weiter".
A.b. Ein (anderer) Landwirt aus U._ wehrte sich erfolgreich gegen die von der Beklagten zu Gunsten der D._ AG erhobenen Beiträge. Mit Entscheid vom 18. Oktober/9. November 2017 entschied das Obergericht des Kantons Thurgau, dass der Beklagten kein (statutarisches) Recht zustehe, diese Beiträge bei ihren Mitgliedern einzuziehen. Auf die dagegen erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht mit Urteil 4A_653/2017 vom 30. April 2018 nicht ein.
B.
B.a. Nachdem B._ im September 2018 ein Betreibungsbegehren gegen die Beklagte eingereicht hatte, erhob er am 19. März 2019 beim Bezirksgericht (Einzelgericht) Weinfelden Klage. Er verlangte, die Beklagte sei zu verurteilen, ihm Fr. 26'187.50 nebst Zins zu 5 % seit 1. Juli 2011 zu bezahlen. Er begründete die Klage damit, dass nun - mit dem Obergerichtsurteil vom 18. Oktober/9. November 2017 - feststehe, dass die Beiträge für die D._ AG bei den Landwirten (und folglich auch bei ihm) von der Beklagten zu Unrecht eingezogen worden seien. Er (B._) habe eine Nichtschuld bezahlt, weshalb er seine ungerechtfertigt erbrachten Leistungen gestützt auf Art. 62 ff. OR klageweise zurückfordere.
Mit Entscheid vom 26. August/2. September 2020 wies die Einzelrichterin am Bezirksgericht die Klage ab.
B.b. B._ focht diesen Entscheid mit Berufung beim Obergericht des Kantons Thurgau an. Dieses hiess die Berufung mit Entscheid vom 30. März 2021 gut, schützte die Klage teilweise und verurteilte die Beklagte, B._ Fr. 23'718.10 nebst Zins zu 5 % seit 1. Juli 2011 zu bezahlen. Es befand, B._ habe die erwähnten Beiträge in der Tat ohne Rechtsgrund (mangels statutarischer Grundlage) an die Beklagte geleistet (beziehungsweise seien ihm die Beiträge ungerechtfertigt vom Milchgeld abgezogen worden). Zum beklagtischen Einwand der fehlenden Bereicherung erwog es, dass die Beklagte zwar ihrerseits statutarisch verpflichtet gewesen sei, der Genossenschaft C._ Beiträge zu leisten (und sie die Beiträge ihrer Mitglieder insofern an die Genossenschaft C._ "weitergeleitet" habe). Allerdings habe die Beklagte diese Beiträge der Genossenschaft C._ unabhängig von den Beiträgen ihrer Mitglieder entrichten müssen. Die Beklagte habe die (rechtsgrundlos) erhaltenen Leistungen von B._ mithin verwendet, um Beiträge zu bezahlen, die sie sonst aus eigenen Mitteln hätte finanzieren müssen. Im Umfang dieser "Nichtverminderung des Vermögens" sei die Beklagte bereichert im Sinne von Art. 62 ff. OR. Die Verjährung sei noch nicht eingetreten, habe B._ doch erst mit dem Entscheid des Obergerichts vom 18. Oktober/9. November 2017 gewusst, dass seine Leistungen aufgrund der fehlenden statutarischen Grundlage rechtsgrundlos erfolgt seien.
C.
Die Genossenschaft A._ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und die Klage sei abzuweisen.
Das Obergericht begehrt die Abweisung der Beschwerde, soweit auf sie einzutreten sei, unter Verzicht auf Vernehmlassung und Hinweis auf den angefochtenen Entscheid. Der Beschwerdegegner beantragt, sowohl die Beschwerde in Zivilsachen als auch die subsidiäre Verfassungsbeschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Beschwerdeführerin reichte ein weiteres Schreiben ein, worauf der Beschwerdegegner mitteilte, er halte an den bisherigen Ausführungen fest.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid des Obergerichts ist ein Endentscheid (Art. 90 BGG) einer Vorinstanz im Sinne von Art. 75 BGG.
2.
2.1. Der Streitwert erreicht die Grenze von Fr. 30'000.-- gemäss Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG nicht, wie auch die Beschwerdeführerin einräumt. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde in Zivilsachen nach Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt. Die Beschwerdeführerin macht geltend, dies sei der Fall.
2.2. Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung liegt vor, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (<ref-ruling> E. 1 S. 165; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.2 S. 210; je mit weiteren Hinweisen). Der Begriff der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung ist restriktiv auszulegen. Soweit es bei der aufgeworfenen Frage lediglich um die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf einen konkreten Fall geht, handelt es sich nicht um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4 mit weiteren Hinweisen). Wenn geltend gemacht wird, dass von den unteren Instanzen viele gleichartige Fälle zu beurteilen sein werden, muss die zu beurteilende Streitsache überdies geeignet sein, die Frage auch mit Bezug auf die anderen Fälle zu klären (<ref-ruling> E. 4 S. 343). Schliesslich muss die Beantwortung der vorgelegten Rechtsfrage im betreffenden Verfahren unerlässlich sein: Eine Frage, die zwar an sich von grundsätzlicher Bedeutung wäre, hingegen den Ausgang des Verfahrens nicht zu beeinflussen vermag, kann die Zulässigkeit der ordentlichen Beschwerde nicht begründen (Urteil 4A_653/2017 vom 30. April 2018 E. 3 mit Hinweisen).
Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, so ist in der Beschwerde auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist (Art. 42 Abs. 2 Satz 2 BGG).
2.3. Die Beschwerdeführerin formuliert in ihrer Beschwerde vier Rechtsprobleme, denen sie grundsätzliche Bedeutung zumisst:
2.3.1. Sie wirft zunächst folgende Frage auf:
"Sind Statuten i.S.v. Art. 57 ZPO von Amtes wegen zu berücksichtigen?"
Die Beschwerdeführerin macht sinngemäss geltend, die erst im Berufungsverfahren vollständig eingereichten Statuten der Genossenschaft C._ seien von der Vorinstanz aus dem Recht gewiesen worden. Das Obergericht habe dies mit dem Argument begründet, die Voraussetzungen von Art. 317 ZPO ("Neue Tatsachen, neue Beweismittel und Klageänderung") seien nicht eingehalten worden. Indes stellten Statuten nicht Tatsachen oder Beweismittel dar, sondern materielles Recht: Statuten einer Genossenschaft hätten nach der Gründung keinen vertraglichen Charakter, da sie nur durch Mehrheitsbeschluss abgeändert werden könnten. Es handle sich um eine "autonome Satzung". Als solche wären die Genossenschaftsstatuten der Genossenschaft C._ - so die Beschwerdeführerin - im Berufungsverfahren "von Amtes wegen" anzuwenden gewesen.
Diese Ausführungen verfehlen ihr Ziel. Die Beschwerdeführerin wirft dem Obergericht eine Rechtsverletzung vor. Sie zeigt hingegen nicht konkret auf, inwiefern der Streitfrage grundsätzliche Bedeutung zukommt. In der Beschwerde wird namentlich nicht ausgeführt, in welcher Hinsicht das Rechtsproblem kontrovers sein soll, geschweige denn unter Hinweis auf Rechtsprechung oder Doktrin. Die blosse, allgemein gehaltene Behauptung, die Frage sei "bislang nicht höchstrichterlich geklärt" worden und werde sich "in der Rechtsanwendungspraxis und dem Novenrecht immer wieder stellen", begründet keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im vorstehend dargestellten Sinne, zumal sie sich ohne Weiteres in einem Fall stellen könnte, in dem der für die Beschwerde in Zivilsachen erforderliche Streitwert erreicht ist.
Im Übrigen tut die Beschwerdeführerin auch nicht hinreichend dar, weshalb die Behandlung des aufgeworfenen Themenkomplexes für den Ausgang des Verfahrens entscheidend wäre. Sie verweist zwar in der materiellen Beschwerdebegründung vereinzelt auf die Statuten der Genossenschaft C._ und namentlich deren Art. 9. Sie möchte diese Bestimmung in einem bestimmten Sinn interpretiert haben, ohne dass sich aus den Ausführungen aber nachvollziehbar ergäbe, inwiefern die Streitfrage im vorliegenden Fall überhaupt entschieden zu werden braucht.
2.3.2. Die zweite dem Bundesgericht unterbreitete Frage lautet:
"Gilt Art. 317 Abs. 1 ZPO auch für Beweise, die bereits im erstinstanzlichen Verfahren auszugsweise im Recht lagen?"
Die Beschwerdeführerin bringt vor, die Statuten der Genossenschaft C._ seien "auszugsweise" bereits durch den Beschwerdegegner im erstinstanzlichen Verfahren ins Recht gelegt worden. Daraus scheint sie schliessen zu wollen, dass die Statuten in ihrer Gesamtheit ungeachtet der Regel in Art. 317 Abs. 1 ZPO im Berufungsverfahren hätten eingeführt werden dürfen. Es bedürfe "diesbezüglich" der bundesgerichtlichen Klärung.
Abgesehen davon, dass die Beschwerdeführerin auch hier nicht begründet, weshalb es sich um eine umstrittene und entscheiderhebliche Frage handeln soll, kritisiert sie offensichtlich einzig die Anwendung von Art. 317 Abs. 1 ZPO und der zu dieser Bestimmung entwickelten Grundsätze der Rechtsprechung im konkreten Fall. Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung ist nicht auszumachen.
2.3.3. Art. 67 Abs. 1 OR macht den Beginn der relativen Verjährungsfrist abhängig vom Zeitpunkt, in dem "der Verletzte von seinem Anspruch Kenntnis erhalten hat". Die Beschwerdeführerin erblickt ein weiteres Rechtsproblem von grundsätzlicher Bedeutung in der vorinstanzlichen Anwendung von Art. 67 Abs. 1 OR, und zwar wie folgt:
" Beginnt die relative Verjährungsfrist in Rückforderungsprozessen ab dem Zeitpunkt, an dem der Gläubiger sein sachliches/tatsächliches Klagefundament kennt[,] oder zu dem Zeitpunkt, an dem er die rechtlichen Grundlagen für seinen Anspruch kennt?"
Auch in diesem Zusammenhang stellt die Beschwerdeführerin ihre Rechtsauffassung dem Standpunkt der Vorinstanz gegenüber und schliesst mit der Behauptung, diese Sache sei höchstrichterlich "noch nie geklärt worden". Dies genügt den Anforderungen zur Begründung einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung nicht, zumal sich das Bundesgericht bereits deutlich zur fristauslösenden Kenntnisnahme im Sinne von Art. 67 Abs. 1 OR geäussert hat (siehe nur zuletzt <ref-ruling> E. 4.1.3 S. 85 und grundlegend <ref-ruling> E. 3.4 mit Hinweisen).
2.3.4. Schliesslich möchte die Beschwerdeführerin beantwortet haben:
" Liegt eine Ersparnisbereicherung nach Art. 64 OR vor, wenn der Bereicherungsschuldner dank rechtsgrundlosen Zahlungen seinen Vermögensstand halten konnte?"
Die Beschwerdeführerin moniert, dass das Obergericht die Nichtverminderung ihres Vermögens als "Ersparnisbereicherung" qualifiziert habe. Unter diesen Begriff sei - so führt sie aus - aber "etwas anderes" zu verstehen, etwa die "Nutzung von Parkplätzen ohne vertragliche Grundlage", die zu einer "Ersparnis von Mietkosten" führe. Die Beschwerdeführerin belässt es bei dieser abstrakten Kritik, ohne aufzuzeigen, inwiefern sich in Bezug auf das Bereicherungserfordernis nach Art. 64 OR eine entscheidrelevante Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG stellen sollte.
2.4. Die Beschwerde in Zivilsachen ist nicht zulässig. Es ist nicht darauf einzutreten.
3.
3.1. Folglich steht die von der Beschwerdeführerin ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne der Art. 113-119 BGG offen.
3.2.
3.2.1. Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Diesbezüglich gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG). Dies bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.2; je mit weiteren Hinweisen).
3.2.2. Macht die beschwerdeführende Partei eine Verletzung des Willkürverbots geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich (<ref-ruling> E. 3 S. 352; <ref-ruling> E. 5.5). Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern bloss, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen).
3.2.3. Soweit die Beschwerde diesen Begründungsanforderungen nicht genügt, ist darauf von vornherein nicht einzutreten. Dies gilt namentlich, soweit die Beschwerdeführerin die Verletzung zivilprozessualer Bestimmungen (und namentlich von Art. 317 Abs. 1 ZPO) beanstandet und diese ohne Weiteres einer Missachtung der verfassungsrechtlich garantierten Verfahrensgrundrechte (insbesondere von Art. 29 Abs. 2 BV) gleichsetzt.
3.3. Die Beschwerdeführerin rügt im Wesentlichen eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV).
Konkret macht sie geltend, die Vorinstanzen hätten es unterlassen, Rechtsanwalt Christoph Spahr (den Rechtsvertreter des Beschwerdegegners) zu befragen. Dieser sei nämlich auch Anwalt im ersten Prozess (des anderen Landwirts) gewesen, in dem die Gerichte letztlich die Rechtsgrundlosigkeit der bei ihren Mitgliedern eingezogenen Beiträge festgestellt hätten (Sachverhalt Bst. A.b). Daraus ergebe sich, dass Rechtsanwalt Christoph Spahr - und mit ihm der Beschwerdegegner - schon seit einiger Zeit Kenntnis von der Grundlosigkeit der Vermögensverschiebung gehabt habe; entsprechend sei der Beginn der Verjährungsfrist früher anzusetzen und die Verjährung jedenfalls vor Einleitung der Betreibung im September 2018 eingetreten. Dazu hätte Rechtsanwalt Christoph Spahr - so die Beschwerdeführerin - befragt werden müssen. Indem die Vorinstanz diesen Beweisantrag "ohne jede Begründung" übergangen habe, sei sie in Willkür verfallen.
Diese Kritik geht am angefochtenen Entscheid vorbei. Die Vorinstanz hielt ausdrücklich fest, dass eine "Wissenszurechnung" nur insoweit stattfinde, "als der Wissenserwerb des Vertreters im Rahmen einer von der Vollmacht gedeckten Rechtshandlung" erfolgt sei. Diese Passage übergeht die Beschwerdeführerin. Sie zeigt entsprechend nicht auf, inwiefern es vor dem Hintergrund dieser rechtlichen Feststellung geradezu verfassungswidrig sein sollte, den Rechtsvertreter des Beschwerdegegners nicht zu befragen. Im Kern beanstandet die Beschwerdeführerin, dass die Vorinstanz den Zeitpunkt der (verjährungs-) fristauslösenden Kenntnisnahme im Sinne von Art. 67 Abs. 1 OR falsch bestimmte. Sie rügt, unter dem Titel ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör, eine unrichtige Gesetzesanwendung. Damit dringt sie im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde nicht durch.
3.4. Ferner kritisiert die Beschwerdeführerin verschiedentlich (teilweise unter dem Vorwand der Gehörsverletzung, so insbesondere in den Rz. 23-26 und 34-38, teilweise ausdrücklich) die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz. Eine offensichtliche Unrichtigkeit weist sie indes nicht aus. Die blosse Behauptung, der angefochtene Entscheid widerspreche "der tatsächlichen Situation", wie sie sich aus den "beklagt.act. 7 und 14" ergebe, begründet keine Willkür. Darauf ist nicht weiter einzugehen.
3.5. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in Zivilsachen wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. November 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Stähle