Sachverhalt:
A.
A._ und C._ sind die (unverheirateten) Eltern von B._, geboren 2017. Auf Gesuch von B._ vom 20. Juli 2018 erliess der Einzelrichter am Bezirksgericht Schwyz im vorsorglichen Massnahmenverfahren ZES 2018 401 am 1. April 2019 die Verfügung, mit welcher er B._ unter die Obhut von dessen Mutter (C._) stellte, das Besuchsrecht für dessen Vater (A._) festlegte, für B._ eine Besuchsbeistandschaft errichtete sowie den Vater zur Bezahlung von Beiträgen an den Unterhalt von B._ und eines Prozesskostenvorschusses verpflichtete. Dieser Entscheid erwuchs in Rechtskraft.
B.
Am 11. Dezember 2018 reichte B._ gegen seinen Vater beim Bezirksgericht Schwyz Klage ein, unter anderem mit dem Rechtsbegehren, dass die elterliche Sorge über ihn C._ zuzuteilen sei. Mit Klageantwort vom 29. April 2019 beantragte der Kindsvater insbesondere, dass B._ unter der gemeinsamen elterlichen Sorge der Kindseltern zu belassen sei. Mit Verfügung vom 1. Mai 2019 wies das Bezirksgericht die Parteien darauf hin, dass die Kindsmutter als Verfahrensbeteiligte aufgenommen werde. Mit Urteil vom 25. August 2020 wurde die elterliche Sorge der Kindsmutter alleine zugeteilt (Dispositiv-Ziffer 1). A._ focht die Alleinsorge beim Kantonsgericht Schwyz an, welches die Berufung mit Urteil vom 11. Mai 2021 abwies.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 14. Juni 2021 ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt, es sei Dispositiv-Ziffer 1 des Urteils des Kantonsgerichts dahingehend abzuändern, dass B._ unter der gemeinsamen elterlichen Sorge belassen wird. Eventuell sei das Verfahren zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Kantonsgericht hat zur Beschwerde vereinzelte Bemerkungen angebracht, im Übrigen aber auf die Stellung eines Antrags verzichtet. C._ (nachfolgend: Beschwerdegegnerin) beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Parteien haben Replik und Duplik eingereicht.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht über die elterliche Sorge und das Besuchsrecht entschieden hat (Art. 72 Abs. 1, Art. 75 Abs. 1, Art. 90 BGG). Vor Bundesgericht wird lediglich die Zuteilung der elterlichen Sorge angefochten. Die Eintretensvoraussetzungen geben im Übrigen zu keinen Bemerkungen Anlass.
2.
2.1. Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft behauptete Rechtsverletzungen (<ref-law>) mit freier Kognition. Bei der Überprüfung von Ermessensentscheiden (<ref-law>) auferlegt es sich aber Zurückhaltung. Es schreitet nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 4.2; <ref-ruling> E. 2c/aa). Weiter ist das Bundesgericht an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (<ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig (<ref-law>), das heisst willkürlich (vgl. <ref-ruling> E. 4.3; <ref-ruling> E. 1.2.2), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Behebung der erwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2).
2.2. Mit der Beschwerde in Zivilsachen darf der Beschwerdeführer keine neuen Tatsachen und Beweismittel vorbringen, es sei denn, erst der Entscheid der Vorinstanz habe dazu Anlass gegeben (<ref-law>). Diese Voraussetzung ist von vornherein nicht erfüllt, soweit eine Tatsache sich zwar auf das vorinstanzliche Prozessthema bezieht, jedoch erst nach dem Zeitpunkt eingetreten ist, in welchem sie im vorinstanzlichen Verfahren letztmals hätte berücksichtigt werden können. Solch "echte" Noven sind im bundesgerichtlichen Verfahren unzulässig. Gleiches gilt auch für Beweismittel, die erst nach dem angefochtenen Entscheid erstellt wurden (<ref-ruling> E. 5.2.4; <ref-ruling> E. 2.1). Etwaige seit dem angefochtenen Entscheid eingetretene Entwicklungen, die im angefochtenen Entscheid nicht erwähnt sind, sind aufgrund des Novenverbots für das Bundesgericht unbeachtlich.
3.
3.1. In sachverhaltlicher Hinsicht steht fest, dass die Kindseltern bereits vor der Geburt von B._ die gemeinsame elterliche Sorge vereinbarten, weil sie alle drei als Familie zusammenleben wollten, sich aber schon trennten, als B._ knapp vier Monate alt war.
3.2. Die Vorinstanz hat erwogen, dass es zwischen den Eltern an jeglicher mündlichen Kommunikation fehle und auch die schriftliche Kommunikation seitens des Beschwerdeführers ungenügend sei. Vorliegend handle es sich nicht um blosse Auseinandersetzungen oder Meinungsverschiedenheiten der Kindseltern, sondern um eine schwerwiegende Kommunikationsunfähigkeit bzw. Kommunikationsschwierigkeit. Diese scheine nicht bloss vorübergehender Natur zu sein. Seit dem am 1. April 2019 ergangenen vorsorglichen Massnahmeentscheid sei eine Verbesserung der Kommunikation (seitens des Kindsvaters) weder behauptet worden noch sei eine solche ersichtlich. Es sei zwar erstellt, dass der Kindsvater mittels Informationstabellen und per WhatsApp hinsichtlich der Besuchsrechtsausübung schriftlich in gewissem Umfang kommuniziere. Ein Zusammenwirken der Kindseltern bzw. eine Entscheidfindung hinsichtlich wesentlicher Fragen der elterlichen Sorge könne in praktikabler Weise aber nicht schriftlich erfolgen. Ausserdem habe der Kindsvater aus unerklärlichem Grund seine Zustimmung für den Bezug einer Identitätskarte zunächst verweigert und damit seine fehlende Mitwirkung dokumentiert. Erst anlässlich der Parteibefragung vom 7. Februar 2019 im vorsorglichen Massnahmeverfahren habe der Kindsvater festgehalten, er würde heute die Zustimmung zur Ausstellung der Identitätskarte erteilen und den entsprechenden Antrag der Kindsmutter anerkannt. Es sei insgesamt mit dem Bezirksgericht davon auszugehen, dass die Eltern in Bezug auf Fragen, für welche es bei gemeinsamer elterlicher Sorge einer Einigung bedarf, jedes Mal auf die Mitwirkung der Behörden angewiesen wären, was in dringenden Fällen für das Kindeswohl kritisch sein könne, so z.B. bei Unfällen oder schweren Erkrankungen von B._. In der Vergangenheit habe sich bereits in Bezug auf Impfungen von B._ weiteres, mögliches Konfliktpotenzial gezeigt. Da die Kindsmutter mit dem Kindsvater nicht einmal sprechen, geschweige denn diskutieren könne, sei die elterliche Sorge über B._ einem Elternteil allein zuzuteilen. Dass die elterliche Sorge, für den vorliegenden Fall der Alleinzuteilung der Kindsmutter zuzuteilen sei, werde vom Kindsvater nicht in Abrede gestellt.
3.3. Der Beschwerdeführer argumentiert, es sei gerichtsnotorisch, dass Kommunikationsschwierigkeiten in der ersten Zeit nach der Trennung des Paares nicht unüblich seien. Zur Verarbeitung dieses Ereignisses würden Eltern in der Regel einen Zeitraum von zwei bis drei Jahren benötigen. Erst wenn der elterliche Konflikt darüber hinaus anhalte, spreche man von einem chronischen Konflikt. Gleiches müsse für die Annahme einer anhaltenden Kommunikationsunfähigkeit gelten. Sodann seien seit April 2019 keine Sorgerechtsentscheidungen angefallen. Eine einzige verweigerte Mitwirkung sei noch kein Grund für die Alleinsorge, zumal nicht ersichtlich sei, weshalb die erst im Rahmen der Parteibefragung im vorsorglichen Massnahmeverfahren betreffend Kinderbelange erteilte Zustimmung zur Unterschrift für die Identitätskarte das Kindeswohl konkret beeinträchtigt hätte. Dieser Sachverhalt sei nicht schönzureden, aber zu relativieren. Es sei sodann belegt, dass er über WhatsApp und mithilfe von Kommunikationstabellen mit der Kindsmutter kommuniziere. Die Vorinstanz setze zu hohe Massstäbe an die für das gemeinsame Sorgerecht notwendige Kommunikation. Aus welchen Gründen die Vorinstanz nicht davon ausgehe, dass sich die Kommunikation noch verbessern werde, sei nicht nachvollziehbar. Bis anhin wirke sich sodann kein Mangel negativ auf das Kind aus. Die Annahme der Vorinstanz, es müsse bei Aufrechterhaltung des gemeinsamen Sorgerechts für fast jede Angelegenheit der elterlichen Sorge die Kindesschutzbehörde oder der Richter angerufen werden, sei willkürlich, aktenwidrig und blosse Panikmacherei.
3.4. Demgegenüber stellt sich die Beschwerdegegnerin mit der Vorinstanz auf den Standpunkt, es sei vorliegend von einer chronischen, zeitlich unbegrenzten Kommunikationsunfähigkeit bzw. Kommunikationsverweigerung seitens des Kindsvaters auszugehen. Der Kindsvater habe es bis heute nicht geschafft, mit ihr zu kommunizieren. Vielmehr ignoriere er sie gänzlich und kümmere sich überhaupt nicht um das Wohlergehen seines Sohnes. Auf dieser Basis sei eine gemeinsame Sorge völlig undenkbar.
4.
4.1. Kinder stehen, solange sie minderjährig sind, unter der gemeinsamen elterlichen Sorge von Mutter und Vater (<ref-law>). Sind die Eltern nicht miteinander verheiratet und anerkennt der Vater das Kind oder wird das Kindesverhältnis durch Urteil festgestellt und die gemeinsame elterliche Sorge nicht bereits im Zeitpunkt des Urteils verfügt, so kommt die gemeinsame elterliche Sorge aufgrund einer gemeinsamen Erklärung der Eltern zustande (<ref-law>). Auf Begehren eines Elternteils, des Kindes oder von Amtes wegen regelt die Kindesschutzbehörde bzw. das Gericht die Zuteilung der elterlichen Sorge neu, wenn dies wegen wesentlicher Änderung der Verhältnisse zur Wahrung des Kindeswohls nötig ist (Art. 298d Abs. 1 und 3 ZGB).
4.2. Die gemeinsame elterliche Sorge bildet im neuen, seit 1. Juli 2014 geltenden Sorgerecht den Grundsatz, von dem nur abgewichen werden soll, wenn das Kindeswohl es gebietet (<ref-ruling> E. 7.3.2). Ein derartiger Entscheid ist nicht leichtfertig zu treffen. Eine solche Ausnahme fällt in Betracht, wenn die Eltern in einem schwerwiegenden Dauerkonflikt stehen oder in Kinderbelangen anhaltend kommunikationsunfähig sind. Vorausgesetzt ist weiter, dass sich die Probleme zwischen den Eltern auf die Kinderbelange als Ganzes beziehen und das Kindeswohl konkret beeinträchtigen. Erforderlich ist die konkrete Feststellung, in welcher Hinsicht das Kindeswohl beeinträchtigt ist. Schliesslich ist eine Abweichung vom Grundsatz der gemeinsamen elterlichen Sorge nur dort am Platz, wo Aussicht darauf besteht, mit der Zuteilung der elterlichen Sorge an einen Elternteil allein eine Entlastung der Situation herbeizuführen (<ref-ruling> E. 3.5 und 3.7; <ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 4.6 und 4.7; Urteil 5A_1044/2018 vom 1. Juli 2019 E. 2.1). Damit ist zwangsläufig eine Prognose darüber verbunden, wie sich das Verhältnis zwischen den Eltern entwickeln wird (Urteil 5A_22/2016 vom 2. September 2016 E. 4.2). Dieser Wahrscheinlichkeitsaussage über die künftige Entwicklung müssen konkrete Anhaltspunkte zugrunde liegen, die aktenmässig erstellt sind. Mit anderen Worten muss aufgrund einer tatsachenbasierten Sachverhaltsprognose geprüft werden, ob das gemeinsame Sorgerecht eine erhebliche Beeinträchtigung des Kindeswohls befürchten lässt (Urteile 5A_106/2019 vom 16. März 2020 E. 5.4; 5A_497/2017 vom 7. Juni 2018 E. 3.2; 5A_186/2016 vom 2. Mai 2016 E. 4). Damit trägt die Rechtsprechung dem Willen des Gesetzgebers Rechnung, wonach die Alleinsorge nicht schon dort ausgesprochen werden darf, wo sie dem Kindeswohl am besten gerecht würde. Das Parlament hat das Konzept der freien richterlichen Sorgerechtszuteilung ausdrücklich verworfen (<ref-ruling> E. 3.7; Urteile 5A_886/2018 vom 9. April 2019 E. 4.1; 5A_903/2016 vom 17. Mai 2017 E. 4.1). Die gemeinsame Elternverantwortung soll nach dem Willen des Gesetzgebers die unteilbare Aufgabe der Eltern bleiben und grundsätzlich auch von zerstrittenen Eltern praktiziert werden müssen (FOUNTOULAKIS/BREITSCHMID, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch, 6. Auf. 2018, N. 2 zu <ref-law>). Allerdings lässt sich das gemeinsame Sorgerecht nur zum Wohle des Kindes ausüben, wenn die Eltern in Bezug auf die grundsätzlichen Kinderbelange ein Mindestmass an Übereinstimmung aufweisen und wenigstens im Ansatz einvernehmlich handeln können (<ref-ruling> E. 3.5; Urteil 5A_377/2021 vom 21. Februar 2022 E. 3.1).
4.3. Unter Berücksichtigung dieser Grundsätze liegen hier die Voraussetzungen für die Aufhebung der gemeinsamen elterlichen Sorge und die Übertragung auf die Kindsmutter allein nicht vor.
4.3.1. Dass es zwischen den Eltern Kommunikationsprobleme gibt, ist unstreitig. Die Ausübung der gemeinsamen elterlichen Sorge setzt aber entgegen der Auffassung der Vorinstanz nicht zwingend voraus, dass sich die Eltern persönlich treffen, um Belange des Kindes zu diskutieren. Es kann namentlich auch auf schriftlichem Weg, per E-Mail oder mithilfe von anderen Medien kommuniziert werden (<ref-ruling> E. 2.4.1; Urteil 5A_345/2016 vom 17. November 2016 E. 5). Eine schriftliche Kommunikation kann insbesondere dann zielführender sein, wenn Eltern nicht miteinander reden, weil emotionale Inhalte rasch überhandnehmen und im verbalen Schlagabtausch einen sachlichen Austausch unmöglich machen (STAUB, Das Wohl des Kindes bei Trennung und Scheidung, 2018, S. 144). Nach den vorinstanzlichen Feststellungen findet der Austausch zwischen den Eltern vorliegend vorwiegend per WhatsApp statt. Weil die Kindsmutter unstrittig als genügend kooperationswillig anzusehen ist, kann von ihr erwartet werden, dass sie dem Kindsvater wichtige Informationen über das Kind zur Wahrung der elterlichen Sorge auf diesem Weg mitteilt. Sodann wird zwischen den Kindseltern zusätzlich mit Hilfe von Informationstabellen, wenn auch nicht vollständig ausgefüllt, über alltägliche Belange berichtet. Aus dem angefochtenen Entscheid geht hervor, dass die Beiständin diesbezüglich beim Kindsvater einen Verbesserungswillen erkannt hat. Am 17. Januar 2020 meldete sich die Beiständin beim Kindsvater und teilte ihm mit, sie habe den Eindruck, dass er sich bemühe in der Tabelle ein ganz klein wenig mehr zu schreiben. Zumindest eine schriftliche Minimalkommunikation zwischen den Kindseltern ist somit offensichtlich vorhanden.
4.3.2. Befremdlich ist, dass der Beschwerdeführer seine Zustimmung zur Ausstellung einer Identitätskarte erst im Rahmen der Parteibefragung vom 7. Februar 2019 erteilt hat. Der Beschwerdeführer muss sich bewusst sein, dass die grundlose Verweigerung von Mitwirkung bei wichtigen Entscheidungen Grund für das alleinige Sorgerecht eines Elternteils sein kann. Allerdings ist neben der Einmaligkeit dieser Mitwirkungsverweigerung zu berücksichtigen, dass sich diese in der ersten Phase nach der Trennung ereignet hat.
4.3.3. Kein Vorwurf kann dem Beschwerdeführer demgegenüber im Zusammenhang mit dem von der Vorinstanz erwähnten Beispiel der Impfungen gemacht werden. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin am 27. März 2018 per WhatsApp lediglich unter Hinweis auf das bestehende gemeinsame Sorgerecht darauf aufmerksam gemacht, dass er in Zukunft bereits vorgängig über anstehende Impftermine informiert werden möchte. Damit hat der Beschwerdeführer zutreffend erkannt, dass die Impfung keine alltägliche oder dringliche Angelegenheit i.S.v. <ref-law> ist, die bei gemeinsamer elterlicher Sorge dem betreuenden Elternteil alleine zum Entscheid zu überlassen ist (s. dazu <ref-ruling> E. 6.2.1 mit Hinweisen). Demgegenüber gibt es keine Anhaltspunkte dafür, dass der Beschwerdeführer den von der Kinderärztin empfohlenen Impfungen nicht ausdrücklich oder konkludent zugestimmt hätte, wenn die Beschwerdegegnerin den Beschwerdeführer über den anstehenden Termin vorgängig informiert hätte. Es ist durch nichts belegt, dass sich die Kindseltern diesbezüglich in der Sache uneinig gewesen wären oder dass der Beschwerdeführer der Beschwerdegegnerin wegen der erfolgten Impfungen weitere Vorwürfe gemacht hätte. Weshalb in Bezug auf medizinische Belange unüberwindbare Differenzen bestehen sollen und es deshalb unbedingt erforderlich sein soll, dass die Kindsmutter die alleinige Entscheidungsbefugnis hat, geht aus dem angefochtenen Entscheid nicht hervor.
4.3.4. Obschon der Beschwerdeführer einer systematischen Auswertung und Aufbewahrung von ihn betreffenden Aufnahmen einer privaten Überwachungskamera nicht zugestimmt hat, hat die Beschwerdegegnerin im kantonalen Verfahren umfangreiches Videomaterial eingereicht. Darauf ist einerseits zu sehen, wie der Beschwerdeführer vor oder nach den Kindesübergaben mitunter den Stinkefinger in die ihn störende Kamera hält und eine Kommunikation mit der Beschwerdegegnerin konsequent verweigert. Gestützt auf das von der Beschwerdegegnerin eingereichte Videomaterial mussten die Vorinstanzen aber andererseits ebenfalls feststellen, dass B._ nicht ungerne zum Beschwerdeführer geht, was sich mit dem im angefochtenen Entscheid wiedergegebenen Eindruck der Beiständin in ihrem Bericht vom 9. Januar 2020 deckt, dass der Kindsvater seinen Sohn liebt und sich bemüht, ihn am Besuchstag gut zu betreuen. Ausserdem ist erstellt, dass die Übergabe des Kindes persönlich durch die Kindseltern erfolgt und ohne grössere Auseinandersetzungen bewerkstelligt werden kann. Gleichwohl muss sich der Beschwerdeführer die Frage gefallen lassen, wie er seinem Sohn eine respektvolle Haltung gegenüber anderen Menschen vermitteln möchte, wenn er es nicht einmal für nötig erachtet, die Beschwerdegegnerin bei den Kindesübergaben zu begrüssen und zu verabschieden.
4.3.5. Auch wenn die Kindseltern bislang bedauerlicherweise nur sehr eingeschränkt und lediglich auf schriftlichem Wege miteinander kommunizieren, rechtfertigt dies noch nicht die Annahme der generellen Einigungsunfähigkeit. Die Behauptung der Beschwerdegegnerin, es gehe dem Beschwerdeführer nur darum, sie zu schikanieren, weshalb er nicht in der Lage sei, Entscheidungen ausschliesslich im Interesse des Kindes zu treffen, findet im vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt keine hinreichende Stütze und dass sich der Konflikt zwischen den Kindseltern auf sämtliche Lebensbereiche von B._ erstrecke, hat die Vorinstanz ebenfalls nicht festgestellt. Insgesamt liegen daher die Voraussetzungen für die Aufhebung der gemeinsamen Sorge nicht vor. Namentlich fehlt es im angefochtenen Entscheid an konkreten Anhaltspunkten, die den Schluss nahelegen würden, dass sich die Beibehaltung des ursprünglich vereinbarten gemeinsamen Sorgerechts schädigend auf das Kind auswirken würde. Es ist zwar zu befürchten, dass B._ mit zunehmendem Alter die fehlende mündliche Kommunikation seiner Eltern bei den Kindesübergaben mehr und mehr zu spüren bekommen wird. Es ist aber nicht ersichtlich, in welcher Weise die Zuteilung der Alleinsorge etwas zur Verbesserung der Situation beitragen und somit die Interessen des Kindes besser wahren würde. Hingegen hat die Beibehaltung des gemeinsamen Sorgerechts für B._ den Vorteil, dass er in dem Bewusstsein aufwächst, dass beide Elternteile für ihn Verantwortung tragen.
5.
Aus den dargelegten Gründen ist die Beschwerde gutzuheissen und B._ unter der gemeinsamen elterlichen Sorge zu belassen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt die Beschwerdegegnerin. Sie hat deshalb für die Verfahrenskosten aufzukommen (<ref-law>) und den Beschwerdeführer zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Über die Kosten und Entschädigungen des kantonalen Verfahrens wird das Kantonsgericht neu zu befinden haben (Art. 67 und Art. 68 Abs. 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Dispositiv-Zifffer 1 des Urteils des Kantonsgerichts Schwyz, 1. Zivilkammer, vom 11. Mai 2021 wird dahingehend abgeändert, dass B._, geb. 2017, unter der gemeinsamen elterlichen Sorge belassen wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverteilung der Kosten und der Parteientschädigungen des vorangegangenen Verfahrens an das Kantonsgerichts Schwyz, 1. Zivilkammer, zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Schwyz, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. April 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Buss