Sachverhalt:
A.
Das Appellationsgericht Basel-Stadt verurteilte A._ am 30. Oktober 2017 als Berufungsinstanz wegen mehrfacher ungetreuer Geschäftsbesorgung mit Bereicherungsabsicht, mehrfacher Urkundenfälschung und mehrfachen Vergehens gegen das Bundesgesetz über die direkte Bundessteuer sowie gegen das Gesetz über die direkten Steuern des Kantons Basel-Stadt zu einer bedingten Geldstrafe.
B.
Mit Urteil 6B_383/2018 vom 15. November 2018 hiess das Bundesgericht eine von A._ gegen das Berufungsurteil erhobene Beschwerde in Strafsachen gut und wies die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurück. Das Bundesgericht kam zum Schluss, der Spruchkörper des Berufungsgerichts sei unrechtmässig besetzt worden. Nach der Rückweisung durch das Bundesgericht wurde der Spruchkörper des Berufungsgerichts durch Christian Hoenen, den Vorsitzenden der strafrechtlichen Abteilung des Appellationsgerichts, neu bestimmt, wobei im Vergleich zum vormaligen Spruchkörper kein personeller Wechsel vorgenommen wurde. Mit Eingabe vom 10. Dezember 2018 beantragte A._ den Ausstand der Berufungsrichter Claudius Gelzer, Carl Gustav Mez sowie der Berufungsrichterin Annatina Wirz. Im gleichen Zusammenhang erhob er Einwände gegen die Bestellung des Spruchkörpers durch Christian Hoenen. Das Appellationsgericht Basel-Stadt wies das Ausstandsbegehren am 2. April 2019 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
A._ führt mit Eingabe vom 20. Mai 2019 Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Er beantragt, der Entscheid des Appellationsgerichts vom 2. April 2019 sei aufzuheben. Sinngemäss beantragt er, der Vorsitzende der strafrechtlichen Abteilung des Appellationsgerichts, der instruierende Gerichtspräsident und der Spruchkörper seien als verfassungswidrig eingesetzt und damit als befangen zu bezeichnen.
Claudius Gelzer und Carl Gustav Mez beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen. Annatina Wirz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Christian Hoenen und die Vorinstanz beantragen sinngemäss die Abweisung der Beschwerde.
D.
Das vom Beschwerdeführer gestellte Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung bzw. um Erlass von vorsorglichen Massnahmen hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung mit Verfügung vom 27. Juni 2019 abgewiesen. Der Beschwerdeführer hat mit Eingabe vom 16. Juli 2019 an seinen Anträgen festgehalten und zusätzlich beantragt, das Strafverfahren gegen ihn sei in einem anderen Kanton fortzuführen.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer hat gleichzeitig zu seiner Beschwerde gegen den Entscheid des Appellationsgerichts vom 2. April 2019 Beschwerde gegen einen Zwischenentscheid vom 19. März 2019 erhoben, mit welchem das Appellationsgericht seinen Antrag auf Rückweisung der Sache an das erstinstanzliche Strafgericht zur Durchführung einer neuen Hauptverhandlung abgewiesen hat. Was die Beschwerde gegen den Zwischenentscheid vom 19. März 2019 betrifft, wurde unter der Verfahrensnummer 1B_247/2019 ein separates Verfahren eröffnet. Der Antrag des Beschwerdeführers auf Vereinigung der Verfahren 1B_269/2019 und 1B_247/2019 ist abzuweisen; mit der Beurteilung der beiden Beschwerden am selben Tag ist eine genügende Koordination sichergestellt.
1.2. Der Beschwerdeführer beantragt, seine Beschwerde sei von der strafrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts zu behandeln, eventualiter sei die strafrechtliche Abteilung zur Vernehmlassung einzuladen. Die Art. 29 ff. des Reglements für das Bundesgericht vom 20. November 2006 (BGerR; SR 173.110.131) regeln die Zuständigkeit zwischen den verschiedenen Abteilungen des Bundesgerichts. Die I. öffentlich-rechtliche Abteilung behandelt unter anderem Beschwerden in Strafsachen gegen strafprozessuale Zwischenentscheide (<ref-law>). Zuständig zur Behandlung der vorliegenden Beschwerde ist somit die I. öffentlich-rechtliche Abteilung. Die Voraussetzungen für die Durchführung eines Verfahrens gemäss <ref-law> sind nicht erfüllt. Die erwähnten Verfahrensanträge des Beschwerdeführers sind somit abzuweisen.
2.
2.1. Beim angefochtenen Entscheid vom 2. April 2019 handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über die Zuständigkeit bzw. ein Ausstandsbegehren in einer Strafsache (vgl. Art. 78 Abs. 1 und Art. 92 Abs. 1 BGG). Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt hat als letzte und einzige kantonale Instanz entschieden (vgl. <ref-law> i.V.m. <ref-law>). Als beschuldigte Person ist der Beschwerdeführer gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und lit. b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde befugt. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde gegen den angefochtenen Entscheid vorbehältlich zulässiger und genügend begründeter Rügen (vgl. Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>) einzutreten. Nicht einzutreten ist indessen auf den erst am 16. Juli 2019 und damit verspätet vorgebrachten Antrag, das Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer sei in einem anderen Kanton fortzuführen.
2.2. Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet der Entscheid vom 2. April 2019 mit welchem die Vorinstanz das Ausstandsbegehren des Beschwerdeführers vom 10. Dezember 2018 abgewiesen hat. Auf Anträge und Rügen des Beschwerdeführers, die nicht diesen Entscheid betreffen, ist hier nicht einzugehen (vgl. <ref-law>). Nicht Verfahrensgegenstand bildet namentlich die Frage, ob die per 4. Oktober 2018 vorgenommene Änderung des Organisationsreglements des Appellationsgerichts (SG 154.150) formell korrekt beschlossen worden ist.
3.
Der Beschwerdeführer bringt mehrfach vor, die Vorinstanz habe zu gewissen Vorbringen nicht Stellung genommen. Darin könnte die Rüge einer Verletzung der sich aus <ref-law> ergebenden gerichtlichen Begründungspflicht erblickt werden.
Die aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör fliessende grundsätzliche Pflicht der gerichtlichen Behörde, ihren Entscheid zu begründen, bedeutet nicht, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzen und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegen muss. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (vgl. <ref-ruling> E. 9.2 S. 65 mit Hinweisen).
Diesen Anforderungen genügt der Entscheid der Vorinstanz. Soweit der Beschwerdeführer eine Verletzung von <ref-law> in hinreichender Weise gerügt und begründet hat (vgl. <ref-law>), vermag er damit nicht durchzudringen.
4.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines Anspruchs auf ein unabhängiges und unparteiisches Gericht. Er macht geltend, der Spruchkörper hätte nicht von Christian Hoenen eingesetzt werden dürfen, da dieser in der Sache vorbefasst und damit befangen gewesen sei. Weiter bringt er vor, dass nach der Rückweisung durch das Bundesgericht wieder die drei gleichen Richter eingesetzt worden sind, sei schon an sich unrechtmässig. Schliesslich macht er geltend, die eingesetzten Berufungsrichter seien befangen.
4.1. Nach <ref-law>, Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 14 Abs. 1 UNO-Pakt II (SR 0.103.2) hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Die verfassungs- bzw. konventionsrechtlichen Garantien werden unter anderem in der Strafprozessordnung konkretisiert (<ref-ruling> E. 4.2.1 S. 428 mit Hinweisen). Sie sind verletzt, wenn bei einer Gerichtsperson objektiv betrachtet Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten der betreffenden Person oder in äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Für den Ausstand wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken. Mit anderen Worten muss gewährleistet sein, dass der Prozess aus Sicht aller Beteiligten als offen erscheint (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 179; <ref-ruling> S. 329 E. 5.1).
Gemäss <ref-law> tritt eine Person namentlich dann in den Ausstand, wenn sie in einer anderen Stellung, insbesondere als Mitglied einer Behörde, in der gleichen Sache tätig war (lit. b), oder wenn sie aus anderen Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand, befangen sein könnte (lit. f). Ist eine Gerichtsperson in derselben Stellung mit der gleichen Sache mehrfach befasst, liegt kein Fall der Vorbefassung gemäss <ref-law> vor. Eine Mehrfachbefassung in diesem Sinn kann aber im Rahmen des Auffangtatbestands von <ref-law> relevant werden (Urteil des Bundesgerichts 1B_94/2019 vom 15. Mai 2019 E. 2.3 mit Hinweisen).
Wenn eine Gerichtsperson, die an einem durch die Rechtsmittelinstanz aufgehobenen Entscheid beteiligt war, nach der Rückweisung der Sache an der Neubeurteilung mitwirkt, liegt darin noch keine unzulässige Mehrfachbefassung (Urteil des Bundesgerichts 1B_94/2019 vom 15. Mai 2019 E. 2.4; vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 410). Von den beteiligten Richtern wird grundsätzlich erwartet, dass sie die Sache mit der nötigen Professionalität und Unvoreingenommenheit nochmals behandeln. Anders verhält es sich nur ausnahmsweise, etwa wenn ein Richter durch sein Verhalten oder durch Bemerkungen klar zum Ausdruck gebracht hat, dass er nicht willens oder fähig ist, von seiner im aufgehobenen Entscheid vertretenen Auffassung Abstand zu nehmen und die Sache unbefangen neu wieder aufzunehmen (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 146; Urteil des Bundesgerichts 1B_94/2019 vom 15. Mai 2019 E. 2.4).
4.2. Wie die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid feststellte, hatte Christian Hoenen im Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer bereits mehrfach Rechtsmittel des Beschwerdeführers zu beurteilen. Dieser Umstand und dass die Entscheide jeweils nicht im Sinne des Beschwerdeführers ausfielen, ist jedoch für sich allein nicht geeignet, den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen (vgl. E. 4.1 hiervor). Dass Christian Hoenen als Vorsitzender der strafrechtlichen Abteilung des Appellationsgerichts den Spruchkörper des Berufungsgerichts eingesetzt hat, steht sodann nicht im Widerspruch zu <ref-law>, wonach im gleichen Fall nicht als Mitglied des Berufungsgerichts wirken kann, wer als Mitglied der Beschwerdeinstanz tätig geworden ist. Konkrete Hinweise, die darauf hindeuten würden, dass Christian Hoenen befangen sein könnte, sind nicht substanziiert dargetan und nicht ersichtlich. Dass die Vorinstanz das Ausstandsgesuch gegen Christian Hoenen nicht guthiess, ist somit nicht zu beanstanden.
4.3. Im Urteil 6B_383/2018 vom 15. November 2018 hat das Bundesgericht mit Blick auf <ref-law> bemängelt, dass - mit Ausnahme des vorsitzenden Richters - der Spruchkörper des Berufungsgerichts trotz des vom kantonalen Recht insoweit eingeräumten erheblichen Ermessens nicht von einer demokratisch legitimierten, weisungsungebundenen Gerichtsperson, sondern von der ersten Gerichtsschreiberin gebildet wurde (a.a.O., E. 1.2.1 f.). Hingegen hat das Bundesgericht im erwähnten Entscheid nicht angeordnet, die vormals eingesetzten Richter dürften bei der neu vorzunehmenden Spruchkörperbildung nicht mehr berücksichtigt werden. Dass Christian Hoenen bei der Bildung des Spruchkörpers im Vergleich zum vormaligen Spruchkörper keinen personellen Wechsel vorgenommen hat, steht somit nicht im Widerspruch zum Urteil 6B_383/2018 und begründet für sich auch keine Befangenheit im Sinne von <ref-law> (vgl. E. 4.1 hiervor). Ebenfalls nicht bundesrechtswidrig ist, dass Richter Claudius Gelzer im gegen den Beschwerdeführer geführten Strafverfahren als Berufungsrichter eingesetzt wurde, obwohl er inzwischen schwerpunktmässig in der privatrechtlichen und der öffentlich-rechtlichen Abteilung des Appellationsgerichts tätig ist.
4.4. Zu prüfen bleibt, ob die erneut eingesetzten Berufungsrichter durch ihr Verhalten zum Ausdruck gebracht haben, dass sie nicht in der Lage sind, die Sache unbefangen neu wieder aufzunehmen, womit sie den Ausstandsgrund von <ref-law> erfüllen würden.
4.4.1. Wird der Ausstandsgrund von <ref-law> aus materiellen oder prozessualen Rechtsfehlern abgeleitet, so sind diese nur wesentlich und begründen nur dann einen hinreichenden Anschein der Befangenheit, wenn sie besonders krass sind und wiederholt auftreten, sodass sie einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkommen und sich einseitig zulasten einer der Prozessparteien auswirken (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 180; <ref-ruling> E. 2.3 S. 146). Ansonsten sind primär die zur Verfügung stehenden Rechtsmittel gegen beanstandete Verfahrenshandlungen auszuschöpfen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 75; <ref-ruling> E. 3b/bb S. 158 f.; je mit Hinweisen).
4.4.2. Der Beschwerdeführer wirft dem Berufungsgericht bzw. den eingesetzten Berufungsrichtern verschiedene Verfehlungen und Verfahrensfehler vor, die er allerdings nur teilweise näher substanziiert. Die vom Beschwerdeführer beanstandeten zeitlichen Abläufe im ersten Berufungsverfahren erscheinen nicht ungewöhnlich. Richterinnen und Richter setzen sich vor einer Gerichtsverhandlung mit den Prozessakten auseinander. Wenn sie im Anschluss an die Verhandlung in der Lage sind, innerhalb von wenigen Tagen ein fundiertes Urteil zu fällen, weist dies nicht darauf hin, dass sie sich in der Sache bereits vor der Verhandlung eine unumstössliche Meinung gebildet haben. Nicht ausreichend substanziiert ist der Einwand des Beschwerdeführers, Richter Carl Gustav Mez und Richterin Annatina Wirz seien befangen, weil sie nicht in die Gerichtsorganisation eingebunden seien und sich keine eigene Meinung bildeten, sondern Richter Claudius Gelzer frei gewähren liessen. Soweit der Beschwerdeführer sodann eine Information des Präsidenten des Appellationsgerichts zu Handen der Presse kritisiert, ist auch darauf nicht weiter einzugehen, zumal der Beschwerdeführer nicht darlegt, inwiefern diese Information den eingesetzten Berufungsrichtern zuzurechnen bzw. anzulasten wäre.
Der Beschwerdeführer bringt unter anderem vor, Claudius Gelzer habe ihm anlässlich der mündlichen Eröffnung des (inzwischen aufgehobenen) Berufungsurteils vom 30. Oktober 2017 eine Standpauke gehalten. Weiter kritisiert er den Zwischenentscheid vom 19. März 2019, mit welchem das Appellationsgericht seinen Antrag auf Rückweisung der Sache an das erstinstanzliche Strafgericht zur Durchführung einer neuen Hauptverhandlung abgewiesen hat. Diese und die weiteren Ausführungen des Beschwerdeführers zum prozessualen Vorgehen der eingesetzten Berufungsrichter lassen jedenfalls nicht auf besonders krasse und wiederholt auftretende Rechtsfehler schliessen, die einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkommen würden. Dass der vorsitzende Richter anlässlich der mündlichen Urteilsbegründung klare Worte findet, liegt in der Natur der Sache und impliziert für sich keine Befangenheit.
Schliesslich bringt der Beschwerdeführer vor, ihm sei im Berufungsverfahren bisher kein Verteidiger bestellt worden, obwohl ein Fall notwendiger Verteidigung im Sinne von <ref-law> vorliege. Gleichzeitig führt er indessen an, er wolle sich selber verteidigen und erachte die Mandatierung eines Verteidigers gegen seinen Willen als EMRK-widrig. Den Einwand der unzureichenden Verteidigung hat der Beschwerdeführer in seinem Ausstandsgesuch vom 10. Dezember 2018 noch nicht erhoben. Es ist nicht Sache des Bundesgerichts, sich im vorliegenden Verfahren als erste Instanz mit der Frage der notwendigen Verteidigung auseinanderzusetzen. Jedenfalls kann den eingesetzten Berufungsrichtern auch insoweit keine schwere Amtspflichtverletzung vorgeworfen werden.
4.4.3. Soweit der Beschwerdeführer überhaupt in genügender Weise begründet, inwiefern die eingesetzten Berufungsrichter durch ihr Verhalten zum Ausdruck gebracht haben sollten, dass sie nicht dazu in der Lage sind, die Sache unbefangen neu wieder aufzunehmen, oder inwiefern sie sonst einen Ausstandsgrund gemäss <ref-law> erfüllen sollten, dringt er mit seiner Rüge nicht durch.
5.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Dezember 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Mattle