Fatti:
A.
A._, cittadino italiano nato in Svizzera nel..., dispone di un permesso di domicilio dal 14 settembre 1978.
Con sentenza del 4 luglio 2006, è stato riconosciuto colpevole di infrazione grave alle norme della circolazione (eccesso di velocità) e condannato a una multa di fr. 800.--. Indebitato, dipende dell'assistenza pubblica dal febbraio 2014.
B.
Preso atto del fatto che A._ aveva a carico 20 procedure esecutive (per complessivi fr. 164'241.53) e 22 attestati di carenza beni (per un totale di fr. 90'348.53), era stato condannato penalmente e aveva ottenuto delle prestazioni di aiuto sociale (per un ammontare di fr. 26'414.--), con decisione del 13 agosto 2015 la Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino lo ha ammonito, avvertendolo che - se la situazione debitoria si fosse aggravata o avesse violato nuovamente l'ordine pubblico - sarebbe stata presa in esame la possibilità di emettere nei suoi confronti una revoca del permesso di domicilio.
Su ricorso, la liceità di tale provvedimento è stata confermata sia dal Consiglio di Stato (28 febbraio 2018) che dal Tribunale amministrativo ticinese (7 ottobre 2019). In particolare, nella sua pronuncia quest'ultimo ha rilevato che l'ammonimento era giustificato, siccome il ricorrente era oberato di debiti e la misura risultava proporzionata.
C.
L'8 novembre 2019, A._ ha impugnato il giudizio della Corte cantonale con ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale. Con tale atto, chiede che l'ammonimento sia annullato e protesta spese e ripetibili per tutte le istanze.
La Corte cantonale si è riconfermata nelle conclusioni della propria sentenza. Ad essa ha fatto in sostanza rinvio anche la Sezione della popolazione. Il Consiglio di Stato si è invece rimesso al giudizio del Tribunale federale.

Diritto:
1.
1.1. L'impugnativa è stata presentata nei termini (<ref-law>) contro una decisione finale di un tribunale superiore (art. 86 cpv. 1 lett. d e 2, <ref-law>) e da persona legittimata in tal senso (<ref-law>). Concernendo un ammonimento ai sensi dell'<ref-law>, essa sfugge anche alla clausola di cui all'art. 83 lett. c n. 2 LTF, di modo che può essere trattata quale ricorso ordinario in materia di diritto pubblico (art. 83 segg. LTF; sentenze 2C_750/2014 del 27 ottobre 2015 consid. 1.2, non pubblicato in <ref-ruling>, e 2C_114/2012 del 26 marzo 2013 consid. 1.1).
1.2. In ragione dell'effetto devolutivo dei ricorsi interposti, l'insorgente è però legittimato a formulare conclusioni riguardanti solo l'annullamento o la riforma della sentenza del Tribunale cantonale amministrativo. Per quanto direttamente volte alla modifica delle decisioni emesse dalla Sezione della popolazione e dal Consiglio di Stato ticinesi, le conclusioni tratte nel ricorso sono quindi inammissibili (<ref-ruling> consid. 1.4 pag. 144).
2.
2.1. Il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto federale (<ref-law>); nondimeno, tenuto conto dell'onere di allegazione e motivazione posto dalla legge (art. 42 cpv. 1 e 2 LTF), si confronta di regola solo con le censure sollevate. Esigenze più severe valgono poi in relazione alla violazione di diritti fondamentali, che vanno motivate con precisione (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4.2 pag. 254).
2.2. Per quanto riguarda i fatti, il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento svolto dall'autorità inferiore (<ref-law>). Può scostarsene se è stato eseguito violando il diritto ai sensi dell'<ref-law> o in modo manifestamente inesatto. L'eliminazione del vizio deve inoltre poter influire in maniera determinante sull'esito della causa (<ref-law>). A meno che non ne dia motivo la decisione impugnata, ciò che va dimostrato, non può neanche tenere conto di fatti o mezzi di prova nuovi (<ref-law>).
2.3. Dato che l'insorgente non sostiene rispettivamente dimostra che siano stati accertati violando il diritto e, in particolare, il divieto d'arbitrio, e neppure pretende siano dati gli estremi per addurre fatti nuovi, gli accertamenti che emergono dal giudizio impugnato vincolano il Tribunale federale anche nel caso concreto (<ref-law>).
3.
3.1. Il Tribunale amministrativo ticinese ha dapprima rilevato che le condizioni per applicare l'accordo sulla libera circolazione delle persone (ALC; RS 0.142.112.681) non erano date, di modo che la fattispecie andava esaminata solo in base al diritto interno. Detto ciò, ha concluso che, al momento in cui la Sezione della popolazione ha emanato il provvedimento impugnato, il motivo di revoca previsto dall'art. 63 cpv. 1 lett. b LStrl era adempiuto e, nel contempo, che la pronuncia di un ammonimento era adeguata alle circostanze del caso.
3.2. Nella misura in cui fa riferimento all'ALC, il ricorso si basa su fatti nuovi (inizio di una nuova attività lavorativa quale contabile a partire dal maggio 2019; situazione descritta al p.to 27 del gravame), che il Tribunale federale non può tenere in considerazione (precedente consid. 2). Anche il presente giudizio esaminerà pertanto la fattispecie unicamente in relazione al diritto interno.
4.
Oggetto di litigio è l'ammonimento pronunciato dalla Sezione della popolazione del Cantone Ticino, la cui liceità è stata in seguito confermata sia dal Consiglio di Stato che dal Tribunale amministrativo, siccome il ricorrente era oberato di debiti e la misura risultava proporzionata.
4.1. In virtù dell'<ref-law>, se un provvedimento si giustifica ma risulta inadeguato alle circostanze, alla persona interessata può essere rivolto un ammonimento con la comminatoria di tale provvedimento. Questa misura consente di sanzionare un comportamento scorretto o indurre ad un comportamento desiderato mediante la minaccia di un provvedimento nell'ambito del diritto degli stranieri, in caso di inosservanza (sentenza 2C_665/2014 del 9 ottobre 2014 consid. 3.3; MARC SPESCHA, in: Spescha/Thür/Zünd/Bolzli/Hruschka/de Weck, Migrationsrecht, Kommentar, 5a ed. 2019, n. 9 ad <ref-law>). In quanto emanazione del principio di proporzionalità, l'ammonimento deve in sostanza impedire che si giunga ad un provvedimento che pone fine al soggiorno in Svizzera e, nel contempo, segnalare al suo destinatario l'esistenza di un comportamento problematico, in un momento in cui l'adozione della misura prospettata non si giustifica ancora (<ref-ruling> consid. 4.2 pag. 404).
Come indicato anche dalla Corte cantonale, la pronuncia di questo provvedimento presuppone però anzitutto che il comportamento rimproverato al beneficiario di un permesso sia suscettibile di giustificare l'adozione della misura prospettata. Nella fattispecie, va quindi chiarito se la revoca del permesso di soggiorno prefigurata in caso di inosservanza dell'avvertimento sarebbe legittima (<ref-ruling> consid. 4.3 pag. 404; sentenza 2C_280/2014 del 22 agosto 2014 consid. 3).
4.2. L'<ref-law>, cui la Corte cantonale rinvia, prevede che il permesso di domicilio può essere revocato se lo straniero ha violato gravemente o espone a pericolo l'ordine e la sicurezza pubblici in Svizzera o all'estero o costituisce una minaccia per la sicurezza interna o esterna della Svizzera.
In base all'<ref-law>, nella versione in vigore fino al 31 dicembre 2018, applicabile alla fattispecie (<ref-law>; sentenza 2C_1072/2019 del 25 marzo 2020 consid. 7.1), questo motivo di revoca vale anche nei confronti di stranieri che soggiornano regolarmente e ininterrottamente in Svizzera da oltre 15 anni.
4.3. Una violazione della sicurezza e dell'ordine pubblici a causa del mancato adempimento di doveri di diritto pubblico o privato sono dati solo davanti a un comportamento temerario (art. 80 cpv. 1 lett. b dell'ordinanza sull'ammissione, il soggiorno e l'attività lucrativa del 24 ottobre 2007 [OASA; RS 142.201], sempre nella versione in vigore fino al 31 dicembre 2018). Anche in presenza di un indebitamento, è quindi necessario che esso sia dovuto a un comportamento colpevole e particolarmente riprovevole, ciò che non va ammesso con facilità (<ref-ruling> consid. 3.3 pag. 304; sentenze 2C_93/2018 del 21 gennaio 2019 consid. 3.4; 2C_27/2018 del 10 settembre 2018 consid. 2.1 e 2C_658/2017 del 25 giugno 2018 consid. 3.1).
Ritenuto che l'art. 80 vOASA si riferiva sia all'art. 62 cpv. 1 lett. c LStrI (fino al 1° gennaio 2018, art. 62 lett. c) che all'<ref-law> va d'altra parte aggiunto che la questione a sapere se l'indebitamento temerario può essere considerato anche una lesione qualificata dell'ordine e della sicurezza pubblici ai sensi dell'<ref-law> va giudicata in base all'entità dei debiti accumulati (sentenze 2C_71/2019 del 14 febbraio 2020 consid. 4.1.3; 2C_62/2019 del 14 febbraio 2020 consid. 3.1.2 e 2C_93/2018 del 21 gennaio 2019 consid. 3.5). In questo contesto, è difficile stabilire un chiaro limite. In base alla giurisprudenza sin qui resa in materia, ciò è ad ogni modo il caso in presenza di debiti per un importo: di fr. 188'000.-- (attestati di carenza beni; sentenza 2C_517/2017 del 4 luglio 2018); di fr. 303'732.95 (attestati di carenza beni; sentenza 2C_164/2017 del 12 settembre 2017); di fr. 172'543.-- (attestati di carenza beni, cui si aggiungevano esecuzioni per fr. 4'239.--; sentenza 2C_997/2013 del 21 luglio 2014).
5.
Nella fattispecie, occorre concordare con i Giudici ticinesi sul fatto che la condanna indicata al precedente p.to A, non poteva essere posta alla base dell'ammonimento. Da un lato, perché essa era già lontana nel tempo; d'altro lato, poiché risulta essere l'unica a carico del ricorrente e concerne un'infrazione che, se non va certo banalizzata, nell'ottica del citato <ref-law> non va neanche enfatizzata.
Per lo meno in base ai fatti che risultano dal giudizio impugnato, che vincolano anche il Tribunale federale (art. 105 cpv. 1 LTTF), diversamente vanno invece giudicate le conclusioni in merito alla situazione debitoria, che non possono essere condivise.
5.1. Come indicato nel ricorso, la Corte cantonale riconosce in effetti che l'accumulo di debiti non basta, poiché per potere ammettere una grave violazione dell'ordine e della sicurezza pubblici ai sensi dell'art. 63 cpv. 1 lett. b StrI, tale da giustificare la revoca di un permesso di soggiorno di una persona che si trova in Svizzera dalla nascita (art. 63 cpv. 2 vLStrI), occorre: da una parte, che i debiti siano ingenti; d'altra parte, che l'indebitamento sia temerario, ovvero non dovuto a semplice trascuratezza, bensì a un comportamento colpevole e particolarmente riprovevole (precedente consid. 4).
5.2. In merito a quest'ultimo aspetto - che compete all'autorità provare o rendere per lo meno molto verosimile, svolgendo accertamenti in tale senso (sentenza 2C_797/2019 del 20 febbraio 2020 consid. 3.3; 2C_62/2019 del 14 febbraio 2020 consid. 3.1.1; 2C_138/2018 del 16 gennaio 2019 consid. 3.2 e 2C_27/2018 del 10 settembre 2018 consid. 2.2) - non adduce però nessun elemento concreto al quale riferirsi.
5.2.1. Nel considerando 5 a pagina 5 del giudizio impugnato, viene in effetti più volte posto l'accento sul fatto che il ricorrente da tempo non lavora e percepisce l'aiuto sociale.
Di per sé, riguardo alle ragioni del suo indebitamento, che dev'essere temerario, cioè particolarmente riprovevole (precedente consid. 4.3), queste osservazioni non sono però dirimenti e a tal fine non basta nemmeno sottolineare che egli sia "oberato dai debiti ", poiché anche ciò non dice ancora nulla sul motivo dell'indebitamento.
5.2.2. Tra la pronuncia dell'ammonimento e quella della decisione del Consiglio di Stato la situazione debitoria dell'insorgente ha inoltre registrato un certo miglioramento.
Come indicato dalla Corte cantonale medesima, le procedure esecutive si sono infatti assestate a fr. 135'418.68, mentre prima ammontavano a fr. 164'241.53, e l'importo relativo agli attestati di carenza beni è passato da fr. 90'348.53 a fr. 76'964.55.
5.2.3. Il miglioramento riscontrato, non può infine essere relativizzato nemmeno dall'osservazione secondo cui - per stessa ammissione del ricorrente - i suoi debiti restano elevati.
Davanti alla questione a sapere se sia data la temerarietà, di rilievo - a favore di chi lo ha attuato - è in effetti il miglioramento, non l'ammontare del debito residuo, il quale assume semmai importanza nella misura in cui avrebbe potuto essere diminuito maggiormente e questo non è avvenuto a causa di un comportamento temerario del ricorrente. Anche una simile ipotesi non viene però qui provata, e per altro nemmeno sostenuta.
5.3. Ritenuto che la prova della temerarietà competeva alle autorità migratorie (precedente consid. 5.2) e che la stessa non è stata addotta, l'ammonimento pronunciato nei confronti del ricorrente - che viene ciò nondimeno esortato ad affrontare seriamente la sua situazione, a maggior ragione se avesse nel frattempo ricominciato a lavorare - dev'essere di conseguenza annullato (sentenza 2C_71/2019 del 14 febbraio 2020 consid. 4.3), senza che sia necessario chiedersi se l'indebitamento raggiungesse anche il limite richiesto per rientrare sotto l'<ref-law> (precedente consid.4.3).
6.
6.1. Per quanto precede, nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è accolto e, in riforma del giudizio impugnato, l'ammonimento è annullato.
6.2. Soccombente, lo Stato del Cantone Ticino è dispensato dal pagamento delle spese giudiziarie (<ref-law>); esso deve però corrispondere al ricorrente, patrocinato da un avvocato, un'indennità per ripetibili per la sede federale (art. 68 cpv. 1 e 2 LTF).
6.3. Da parte sua, il Tribunale amministrativo dovrà nuovamente esprimersi sulle spese e sulle ripetibili della sede cantonale (art. 68 cpv. 5 e art. 107 cpv. 2 LTF).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è accolto. In riforma della sentenza emanata il 7 ottobre 2019 dal Tribunale amministrativo del Cantone Ticino, l'ammonimento pronunciato il 13 agosto 2015 nei confronti del ricorrente è annullato.
2.
Non vengono prelevate spese.
3.
Lo Stato del Cantone Ticino verserà al ricorrente un'indennità di fr. 2'500.-- per ripetibili della sede federale.
4.
La causa è rinviata al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino per nuova decisione sulle spese e sulle ripetibili della sede cantonale.
5.
Comunicazione al patrocinatore del ricorrente, alla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino, nonché alla Segreteria di Stato della migrazione.