Sachverhalt:
A.
Am 15. April 2021 ersuchte das slowakische Justizministerium die Schweizer Behörden um Auslieferung des slowakischen Staatsangehörigen A._ zur Vollstreckung einer Freiheitsstrafe von sechs Jahren und sechs Monaten gemäss dem Urteil des Bezirksgerichts Liptovsky Mikulas vom 2. Oktober 2019 in Verbindung mit dem Berufungsurteil des Landgerichts Zilina vom 8. September 2020. Am 28. April 2021 erliess das Bundesamt für Justiz (BJ) einen Auslieferungshaftbefehl gegen A._. Dieser wurde am 3. Mai 2021 verhaftet und in Auslieferungshaft versetzt. Anlässlich seiner Einvernahme vom 4. Mai 2021 erklärte sich A._ mit einer vereinfachten Auslieferung an die Slowakei nicht einverstanden. Mit Entscheid vom 21. Mai 2021 bewilligte das BJ die Auslieferung von A._. Eine von diesem dagegen am 22. Juni 2021 erhobene Beschwerde wies das Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, am 27. Juli 2021 ab.
B.
Gegen den Entscheid des Bundesstrafgerichts vom 27. Juli 2021 gelangte A._ mit Beschwerde vom 9. August 2021 an das Bundesgericht. Er beantragt, seine Auslieferung an die Slowakische Republik sei an die folgende schriftliche Zusicherung des Justizministeriums der Slowakische Republik oder einer anderen zuständigen slowakischen Behörde zu knüpfen: "Die Haftbedingungen dürfen nicht unmenschlich oder erniedrigend im Sinne von Art. 3 EMRK sein; die physische und psychische Integrität der ausgelieferten Person muss gewahrt sein (vgl. auch Art. 7, 10 und 17 des UNO-Pakts II). Die Gesundheit des Häftlings muss in angemessener Weise sichergestellt werden, insbesondere mittels Zugang zu genügender medizinischer und psychiatrischer Versorgung. Die diplomatische Vertretung der Schweiz sowie der vom Auszuliefernden beauftragte Schweizer Anwalt sind jederzeit berechtigt, die ausgelieferte Person ohne jegliche Überwachungsmassnahmen zu besuchen. Der ausgelieferten Person ist jederzeit zu ermöglichen, sich an diese zu wenden."
Das BJ beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Die Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts verweist auf den angefochtenen Entscheid und hält an dessen Begründung fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen einen Entscheid auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unter den in <ref-law> genannten Voraussetzungen zulässig. Im vorliegenden Fall geht es um eine Auslieferung und damit um ein Sachgebiet, bei dem die Beschwerde nach <ref-law> insoweit möglich ist. Weiter ist erforderlich, dass es sich um einen besonders bedeutenden Fall handelt.
Ein besonders bedeutender Fall liegt insbesondere vor, wenn Gründe für die Annahme bestehen, dass elementare Verfahrensgrundsätze verletzt worden sind oder das Verfahren im Ausland schwere Mängel aufweist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 mit Hinweisen). <ref-law> bezweckt die wirksame Begrenzung des Zugangs zum Bundesgericht im Bereich der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen. Ein besonders bedeutender Fall ist deshalb mit Zurückhaltung anzunehmen. Dem Bundesgericht steht insofern ein weiter Ermessensspielraum zu (<ref-ruling> E. 1.2 mit Hinweisen).
Ein besonders bedeutender Fall kann auch bei einer Auslieferung nur ausnahmsweise angenommen werden. In der Regel stellen sich insoweit keine Rechtsfragen, die der Klärung durch das Bundesgericht bedürfen, und kommt den Fällen auch sonst wie keine besondere Tragweite zu (<ref-ruling> E. 1.3.4).
1.2. Gemäss <ref-law> ist in der Begründung der Rechtsschrift in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass ein besonders bedeutender Fall nach <ref-law> vorliegt, so ist auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist (<ref-ruling> E. 1.5 mit Hinweisen).
1.3. Nach <ref-law> entscheidet die Abteilung in Dreierbesetzung über Nichteintreten auf Beschwerden, bei denen kein besonders bedeutender Fall vorliegt (Abs. 1). Der Entscheid wird summarisch begründet und es kann ganz oder teilweise auf den angefochtenen Entscheid verwiesen werden (Abs. 3).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer bringt vor Bundesgericht erstmals vor, sein Gesundheitszustand stehe einer Auslieferung entgegen. Er habe während der (relativ kurzen) Auslieferungshaft am 12. Mai 2021 und am 30. Mai 2021 einen Suizidversuch unternommen. Bei ihm müsse somit ein hohes Mass an Selbstgefährdung konstatiert werden und er sei an Leib und Leben gefährdet. Zwar stelle die Suizidabsicht für sich alleine keinen Grund für eine Ablehnung der Auslieferung dar. Der um Auslieferung ersuchte Staat habe aber immerhin die Verpflichtung, sicherzustellen, dass der ersuchende Staat der realen Gefährdung des Lebens durch Suizid der auszuliefernden Person Rechnung trage. Davon könne bei der Slowakei nicht ohne Weiteres ausgegangen werden. Bezüglich der medizinischen Versorgung der Häftlinge bestünden in slowakischen Gefängnissen Mängel bzw. diese böten nur eine suboptimale Betreuung an. Folglich sei eine Zusicherung des ersuchenden Staates zu fordern, so dass ihm eine psychiatrische und medizinische Betreuung zuteil werde.
2.2. Dabei handelt es sich um ein neues Begehren, welches im bundesgerichtlichen Verfahren unzulässig ist (<ref-law>). Bereits aus diesem Grund ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Daran ändert auch nichts, dass der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers geltend macht, ihm hätten die Berichte der beiden Suizidversuche am 22. Juni 2021 bei der Beschwerdeerhebung an das Bundesstrafgericht nicht vorgelegen. Im Übrigen liegt ohnehin kein bedeutender Fall vor, wie die nachfolgenden Ausführungen ergeben.
2.3. Die anwendbaren Staatsverträge und das IRSG (SR 351.1) sehen keine Möglichkeit vor, eine Auslieferung aus gesundheitlichen Gründen zu verweigern. Im Gegensatz zu gewissen anderen Staaten, haben weder die Schweiz noch die Slowakei einen entsprechenden Vorbehalt zum Europäischen Auslieferungsübereinkommen vom 13. Dezember 1957 (EAUe; SR 0.353.1) angebracht (vgl. ROBERT ZIMMERMANN, La coopération judiciaire internationale en matière pénale, 5. Aufl. 2019, Rz. 699 S. 773; Urteil 1C_456/2020 vom 26. November 2020 E. 2.3 mit Hinweisen). Nach ständiger Rechtsprechung kann daher ein Auslieferungsgesuch nicht wegen des schlechten Gesundheitszustands des Verfolgten abgelehnt werden. Es ist Sache des ersuchenden Staates, dafür zu sorgen, dass der Auszuliefernde eine angemessene medizinische Behandlung bekommt und seinem Gesundheitszustand entsprechend untergebracht oder allenfalls, mangels Hafterstehungsfähigkeit, aus der Haft entlassen wird (vgl. Urteil 1C_366/2021 vom 29. Juni 2021 E. 2.2 mit Hinweisen).
Ausserordentliche Umstände, aufgrund welcher der Gesundheitszustand einer Auslieferung ausnahmsweise entgegenstehen würde (insb. ein Verstoss gegen Art. 3 EMRK), sind hier offensichtlich nicht gegeben (vgl. Urteil des EGMR A.S. gegen Schweiz vom 30. Juni 2015, Beschwerde-Nr. 39350/13, §§ 31-34). Der Gesundheitszustand des Beschwerdeführers bildet folglich kein Auslieferungshindernis.
2.4. Dies gilt umso mehr, als das BJ in seiner Stellungnahme festgehalten hat, dass es im Falle einer Auslieferung die slowakischen Behörden auf eine mögliche Suizidgefahr und die entsprechende Medikation des Beschwerdeführers hinweisen wird, falls dieser das wünschen sollte. Überdies haben die slowakischen Behörden auf Anfrage des BJ mit Schreiben vom 19. August 2021 bestätigt, dass eine entsprechende medizinische Betreuung im Gefängnis bzw. allenfalls im Spital oder in einer anderen medizinischen Institution erfolgen wird, sofern der Gesundheitszustand des Beschwerdeführers dies erfordert. Die vom Beschwerdeführer beantragte Zusicherung liegt demnach vor.
Inwiefern aus einem anderen Grund ein besonders bedeutender Fall gegeben wäre, legt der Beschwerdeführer nicht dar und ist auch nicht ersichtlich. Der Angelegenheit kommt keine aussergewöhnliche Tragweite zu. Für das Bundesgericht besteht deshalb kein Anlass, die Sache an die Hand zu nehmen.
3.
Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege kann wegen Aussichtslosigkeit nicht bewilligt werden (<ref-law>). Unter den gegebenen Umständen erscheint es indessen gerechtfertigt, dem Beschwerdeführer keine Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Justiz, Fachbereich Auslieferung, und dem Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. September 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier