Faits :
A.
Par jugement du 18 avril 2018, le Tribunal pénal du Tribunal de première instance de la République et canton du Jura a condamné X._, pour faux dans les certificats et escroquerie, à une peine privative de liberté de 24 mois, avec sursis durant deux ans, peine partiellement complémentaire à celle prononcée le 20 janvier 2010 par le Ministère public jurassien. Il a en outre condamné le prénommé à payer à l'assurance A._ une somme de 393'549 fr. 80 avec intérêts.
B.
Par jugement du 6 février 2019, la Cour pénale du Tribunal cantonal jurassien, statuant sur l'appel formé par X._ contre ce jugement, a réformé celui-ci en ce sens qu'une partie de l'accusation portant sur l'infraction de faux dans les certificats est classée, que X._ est condamné, pour faux dans les certificats et escroquerie, à une peine privative de liberté de 18 mois, avec sursis durant deux ans, peine cumulative à celle prononcée le 20 janvier 2010 par le Ministère public jurassien, ainsi qu'à une peine pécuniaire de 60 jours-amende à 10 fr. le jour. Elle a confirmé le jugement pour le surplus.
La cour cantonale a retenu les faits suivants.
B.a. X._ s'est installé en 2003 en tant que thérapeute indépendant. En 2012, il a déposé une demande d'enregistrement au Registre de médecine empirique (ci-après : RME). A l'appui de celle-ci, il a renvoyé à des documents fournis à l'occasion de précédentes demandes, en particulier à des diplômes émanant de l'Université B._ et du Collège C._. Sa demande a été refusée en février 2012.
B.b. Entre septembre 2007 et décembre 2009, X._ a obtenu des indemnités journalières perte de gain de la part de l'assurance A._, pour un montant total de 393'549 fr. 80. Ces montants ont été obtenus sur la base de certificats médicaux successifs faisant état d'incapacités de travail de 50% à 100%, alors que, durant la même période, le prénommé a facturé des prestations remboursées par l'assurance maladie complémentaire à raison de taux d'activité supérieurs.
C.
X._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 6 février 2019, en concluant, avec suite de frais et dépens, principalement à sa réforme en ce sens qu'il est acquitté et que l'assurance A._ est renvoyée à faire valoir ses prétentions devant la juridiction civile. Subsidiairement, il conclut à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.

Considérant en droit :
1.
Le recourant reproche à la cour cantonale de l'avoir condamné pour faux dans les certificats.
1.1. D'après l'<ref-law>, sera puni d'une peine privative de liberté de trois ans au plus ou d'une peine pécuniaire celui qui, dans le dessein d'améliorer sa situation ou celle d'autrui, aura contrefait ou falsifié des pièces de légitimation, des certificats ou des attestations, aura fait usage, pour tromper autrui, d'un écrit de cette nature, ou aura abusé, pour tromper autrui, d'un écrit de cette nature, véritable mais non à lui destiné.
1.2. La cour cantonale a exposé qu'aucune autorisation de pratiquer n'était nécessaire dans le cadre des médecines naturelles. Le remboursement des prestations de cette nature par les assureurs-maladie dépendait des conditions générales de ces derniers et de leurs listes internes des personnes habilitées à exercer et à facturer des prestations sur la base de la LCA. Cette qualité était en principe reconnue aux personnes enregistrées au RME. Dans le cadre de sa demande d'enregistrement au RME, le recourant avait utilisé des diplômes dont le contenu était mensonger, dès lors qu'il n'avait pas réalisé la formation indiquée, propre à aboutir au titre délivré. Ce faisant, le recourant avait eu l'intention d'améliorer sa situation, respectivement de se faciliter la vie, puisqu'il avait admis que, selon les renseignements pris auprès de cette institution, la production de tels titres faciliterait son inscription.
1.3. Le recourant ne conteste pas que les diplômes universitaires constituent des certificats au sens de l'<ref-law>. Il ne conteste pas davantage que l'infraction de faux dans les certificats puisse être réalisée par la création ou l'usage d'un faux intellectuel (cf. ATF 70 IV 169 consid. 2 p. 171 ss; arrêt 9X.1/1999 du 7 juillet 2000 consid. 8d; concernant la notion de faux intellectuel, cf. <ref-ruling> consid. 2.2.2 p. 14 s.). Le recourant soutient en revanche qu'il aurait bien suivi la formation dispensée par l'Université B._ et le Collège C._ afin d'obtenir les diplômes concernés, quelle qu'en fût la valeur.
Contrairement à ce que suggère le recourant, la cour cantonale n'a pas uniquement considéré que les diplômes en question étaient dénués de valeur ou ne lui permettaient pas d'exercer la médecine en Suisse. Elle a retenu que l'Université B._ et le Collège C._ n'avaient pas de présence physique aux Etats-Unis d'Amérique ou au Royaume-Uni, mais y disposaient uniquement de boîtes à lettres, alors que le recourant prétendait avoir périodiquement suivi des cours à Londres. Des documents émanant de l'Université B._ indiquaient que le titulaire d'un diplôme de docteur en médecine était autorisé à pratiquer une activité médicale aux Etats-Unis d'Amérique ou au Royaume-Uni, ce qui n'était en réalité pas le cas. En outre, le recourant avait présenté des diplômes identiques ou similaires portant cependant des dates différentes, ainsi deux doctorats en médecine, l'un daté de 1990 et l'autre de 1996, le premier censé provenir de l'Université B._ et du Collège C._ et le second uniquement de l'Université B._. Le prétendu doctorat en psychologie du Collège C._ présenté par l'intéressé était quant à lui daté, selon la version produite, de 1987 ou de 1989. Enfin, il était impossible que le recourant eût réalisé toutes les formations dont il se prévalait et qui lui auraient permis d'obtenir un doctorat en psychopathologie en 1988 du Collège C._, un doctorat en psychologie en 1987 ou 1989 - alors que l'intéressé aurait suivi des cours, durant la même période, à l'Institut D._ -, une autorisation de pratiquer la psychiatrie en Arkansas en 1989, un diplôme universitaire de médecines naturelles en 1990 - pour 2'560 heures de cours -, un doctorat en médecine de l'Université B._ en 1990 - pour 5'500 heures -, un diplôme en maladies mentales en 1992 à Paris, un "master of medical science" de l'Université B._ en 1993 ainsi que, la même année, un titre de professeur spécialisé en psychopathologie clinique et psychiatrie, obtenu notamment sur la base de prétendus travaux et publications scientifiques, quand bien même celui-ci n'avait aucune formation psychiatrique ni n'avait rien publié avant 1995. En outre, entre 1989 et 1999, le recourant avait exercé en tant que psychothérapeute et psychanalyste dans son cabinet. En définitive, l'autorité précédente a retenu que ce dernier n'avait jamais suivi un enseignement ni accompli une formation auprès de l'Université B._ et du Collège C._, alors que les diplômes concernés constataient faussement qu'il y aurait obtenu des grades académiques, notamment des doctorats.
L'argumentation du recourant s'écarte à cet égard de manière inadmissible de l'état de fait de l'autorité précédente, par lequel le Tribunal fédéral est lié (cf. <ref-law>) et dont il ne prétend pas qu'il aurait été établi de manière arbitraire. Il en va ainsi lorsque l'intéressé affirme avoir suivi un enseignement afin d'obtenir les diplômes litigieux, en se référant à l'audition de E._. Le prénommé a seulement déclaré avoir eu le recourant comme étudiant dans les années 1970, ce qui ne démontre nullement que celui-ci aurait accompli un cursus correspondant aux divers diplômes présentés, émanant de l'Université B._ et du Collège C._.
Il apparaît ainsi que le recourant a fait usage de diplômes constatant faussement qu'il aurait accompli des études académiques et obtenu des grades dans le domaine médical auprès de l'Université B._ et du Collège C._, en vue d'obtenir son enregistrement au RME. Pour le reste, le recourant ne conteste pas que les diplômes concernés pussent être constitutifs de faux intellectuels, en raison de leur valeur probante accrue.
La cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en le condamnant, en raison de ces agissements, pour faux dans les certificats. Le grief doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Le recourant conteste sa condamnation pour escroquerie.
2.1. En vertu de l'<ref-law>, se rend coupable d'escroquerie celui qui, dans le dessein de se procurer ou de procurer à un tiers un enrichissement illégitime, aura astucieusement induit en erreur une personne par des affirmations fallacieuses ou par la dissimulation de faits vrais ou l'aura astucieusement confortée dans son erreur et aura de la sorte déterminé la victime à des actes préjudiciables à ses intérêts pécuniaires ou à ceux d'un tiers.
L'escroquerie consiste à tromper la dupe. Pour qu'il y ait escroquerie, une simple tromperie ne suffit cependant pas; il faut qu'elle soit astucieuse. Il y a tromperie astucieuse, au sens de l'<ref-law>, lorsque l'auteur recourt à un édifice de mensonges, à des manoeuvres frauduleuses ou à une mise en scène, mais aussi lorsqu'il donne simplement de fausses informations, si leur vérification n'est pas possible, ne l'est que difficilement ou ne peut raisonnablement être exigée, de même que si l'auteur dissuade la dupe de vérifier ou prévoit, en fonction des circonstances, qu'elle renoncera à le faire en raison d'un rapport de confiance particulier (<ref-ruling> consid. 2.2.2 p. 154 s.; <ref-ruling> consid. 5.2 p. 79 s.). L'astuce n'est toutefois pas réalisée si la dupe pouvait se protéger avec un minimum d'attention ou éviter l'erreur avec le minimum de prudence que l'on pouvait attendre d'elle. Il n'est cependant pas nécessaire qu'elle ait fait preuve de la plus grande diligence ou qu'elle ait recouru à toutes les mesures possibles pour éviter d'être trompée. L'astuce n'est exclue que si elle n'a pas procédé aux vérifications élémentaires que l'on pouvait attendre d'elle au vu des circonstances. Une co-responsabilité de la dupe n'exclut toutefois l'astuce que dans des cas exceptionnels (<ref-ruling> consid. 2.2.2 p. 155; <ref-ruling> consid. 5.2 p. 81).
2.2. La cour cantonale a exposé que le recourant avait reçu la somme totale de 393'549 fr. 80 de la part de son assureur, sous la forme d'indemnités journalières perte de gain, en raison d'incapacités de travail partielle et totale du 7 septembre 2007 au 5 septembre 2009 d'après les certificats médicaux établis par son médecin traitant. Selon les honoraires perçus par le recourant durant ces périodes, ce dernier aurait cependant travaillé à 120% durant le dernier trimestre de 2007, alors qu'il se trouvait en incapacité totale de travail, respectivement à 80% en décembre 2007. En 2008, il aurait travaillé à 47% alors qu'il s'était trouvé en incapacité médicale moyenne de 82,44%. Il aurait finalement travaillé à 87% en 2009, alors qu'il s'était trouvé en incapacité moyenne de 83,89%.
Selon l'autorité précédente, le recourant, en tant que prétendu médecin, jouissait d'une confiance particulière de la part de son assureur et ses incapacités de travail avaient été attestées par un médecin. Le taux des incapacités de travail avait varié au fil des mois. Selon les renseignements pris par le médecin interne de l'assureur auprès du médecin traitant du recourant, ce dernier affirmait toujours pouvoir reprendre une activité à 50% et n'avait indiqué le contraire qu'en janvier 2009. Ces éléments, en particulier l'annonce d'une augmentation prochaine de l'activité, étaient de nature à décourager l'assureur de mettre en oeuvre des examens de contrôle couteux. En outre, le recourant avait fait l'objet d'une opération du poignet en octobre 2008, élément qui renforçait la crédibilité de ses incapacités de travail. On ne pouvait reprocher à l'assureur de ne pas avoir demandé à l'intéressé de se soumettre à une expertise, celui-ci ayant finalement épuisé son droit aux prestations en septembre 2009.
2.3. En l'espèce, le recourant ne peut être suivi lorsqu'il suggère que sa situation aurait été comparable à celle d'un assuré qui aurait tout d'abord perçu des prestations d'assurance à bon droit puis aurait, par la suite, simplement omis d'aviser son assureur d'une amélioration de son état de santé (cf. à cet égard <ref-ruling> consid. 2 p. 13 ss). Il ressort en effet du jugement attaqué que l'intéressé a successivement annoncé à son assureur différents taux d'incapacité de travail, appuyés par les certificats médicaux de son médecin traitant, principalement en raison d'une arthrose au poignet droit causée par un accident. Le recourant a en particulier subi une opération du poignet en octobre 2008, laquelle a justifié une incapacité totale de travail du 20 octobre 2008 au 11 janvier 2009. Or, dès septembre 2007, il a pu travailler à un taux supérieur au taux de travail résiduel qui ressortait des différents certificats médicaux utilisés, notamment en rencontrant des patients, en réalisant des séances "par téléphone" ou en assurant des soins par le biais de machines, c'est-à-dire sans avoir recours au poignet dont il souffrait. Ainsi, le recourant ne s'est pas seulement prévalu d'un certificat médical qui aurait constaté une incapacité de travail tout d'abord réelle et qui se serait par la suite réduite, sans en avertir son assureur. Il a fait établir des certificats médicaux par son médecin traitant, principalement sur la base d'une affection locale dont il ne ressort pas du jugement attaqué qu'elle aurait été simulée ou exagérée, sans préciser à son assureur qu'il parvenait en réalité à oeuvrer à un taux résiduel plus important que celui qui ressortait de ces documents, notamment en modifiant sa manière de pratiquer ou en accomplissant d'autres activités ne mettant pas son poignet à l'épreuve. Le recourant a donc adopté un comportement actif puisque, même après avoir constaté qu'il pouvait poursuivre son travail en dépit de ses problèmes médicaux - ce qui a en particulier été le cas pour le dernier trimestre 2007, durant lequel il a effectivement pu travailler à 100% -, il a obtenu et produit des certificats médicaux qui ne tenaient pas compte de l'activité qu'il pouvait concrètement déployer en modifiant ses pratiques. Ce faisant, il a trompé son assureur.
La tromperie était astucieuse, dès lors que le recourant a successivement annoncé divers taux d'incapacité de travail tout en dissimulant que ceux-ci étaient surévalués compte tenu de la capacité résiduelle dont il faisait preuve. Contrairement à ce que soutient le recourant, l'assureur ne pouvait, en l'occurrence, se protéger aisément. En effet, l'élément décisif n'était pas le taux d'incapacité de travail fondé sur l'affection locale dont souffrait le recourant et qui lui interdisait d'utiliser ses mains dans son travail, aspect qui aurait certes pu faire l'objet d'un examen médical diligenté à la demande de l'assureur. On ne voit pas comment ce dernier pouvait se douter que, indépendamment de ses problèmes au poignet constatés par son médecin traitant, le recourant poursuivait - sans recourir à ses mains - son activité professionnelle à un taux supérieur au taux résiduel annoncé, en mettant à profit l'aide de machines ou en procédant par téléphone. Sur ce plan, l'assureur ne pouvait guère vérifier quel était le taux d'activité effectif du recourant, lequel dirigeait son cabinet et se rendait donc inévitablement sur place. Bien que l'assureur eût, durant la période en question, pris en charge des prestations fournies par le recourant à ses patients au titre de la LCA, cela ne lui permettait pas encore de réaliser quel était le taux d'activité réel de l'intéressé. Sur ce point, la cour cantonale a retenu que les prestations remboursées par l'assureur n'étaient pas nécessairement incompatibles avec la capacité de travail résiduelle annoncée de l'intéressé. En outre, le taux d'incapacité du recourant variait régulièrement tandis que certaines prestations facturées à son nom étaient en réalité accomplies par des collaborateurs indépendants. Comme l'a d'ailleurs relevé l'autorité précédente, il a en définitive fallu procéder à une expertise comptable et financière portant sur les années 2004 à 2012 afin de déterminer quelle avait été l'activité réelle du recourant durant les périodes d'incapacité de travail totale ou partielle. C'est donc en vain que le recourant prétend que l'astuce serait exclue en raison d'une absence de vérifications de son assureur à cet égard.
La dissimulation, par le recourant, de sa véritable capacité de travail résiduelle durant la période concernée a permis à ce dernier d'obtenir des indemnités perte de gain supérieures à celles qui auraient dû lui être versées compte tenu de l'activité qu'il continuait à déployer et aux gains correspondants. Cette tromperie astucieuse a poussé l'assureur du recourant à verser des prestations pour partie indues, soit à accomplir un acte préjudiciable à ses intérêts pécuniaires.
Pour le reste, l'argumentation du recourant est irrecevable dans la mesure où elle s'écarte de l'état de fait de la cour cantonale - dont l'intéressé ne prétend ni ne démontre qu'il aurait été établi arbitrairement -, ainsi lorsque celui-ci soutient qu'il aurait uniquement, durant les périodes concernées, accompli des "tâches de base" sans véritablement travailler. Elle est également irrecevable dans la mesure où elle consiste à regretter - sans présenter à cet égard un grief répondant aux exigences de motivation découlant des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF - que ses collaborateurs, censés avoir réalisé "une part importante du chiffre d'affaires" concerné, n'eussent pas été auditionnés par l'autorité précédente.
En définitive, la cour cantonale pouvait, sans violer le droit fédéral, condamner le recourant pour escroquerie. Le grief doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
3.
Le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Comme il était dépourvu de chances de succès, la demande d'assistance judiciaire doit être rejetée (<ref-law>). Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>), dont le montant sera fixé en tenant compte de sa situation financière, laquelle n'apparaît pas favorable. L'intimée, qui n'a pas été invitée à se déterminer, ne saurait prétendre à des dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'200 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour pénale.
Lausanne, le 5 avril 2019
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Graa