Faits :
A.
Par jugement du 8 janvier 2019, le Tribunal de police de la République et canton de Genève a condamné A._ pour violation de domicile et exhibitionnisme, à une peine pécuniaire de 45 jours-amende à 30 fr., sous déduction de deux jours de détention avant jugement, avec sursis pendant trois ans et aux frais de la procédure fixés à 1'301 francs.
B.
Par arrêt du 25 mai 2020, la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice genevoise a partiellement admis l'appel formé par A._, a ordonné le classement de la procédure, débouté le prénommé de ses conclusions en indemnisation, l'a condamné aux frais de la procédure de première instance et à la moitié des frais de la procédure d'appel et a indemnisé son défenseur d'office. Elle a en outre mis un quart des frais de la procédure d'appel à la charge de l'Université de Genève et laissé le solde à la charge de l'État.
En bref, il en ressort les éléments suivants.
B.a. Le 13 novembre 2017, B._, agente de sécurité au service de l'Université de Genève, a déposé plainte pénale contre A._ pour exhibitionnisme. Elle lui reprochait d'être, le 29 septembre 2017 aux alentours de 20h30, dans le bâtiment universitaire d'Uni Mail, alors qu'il faisait l'objet d'une interdiction de fréquenter tous les locaux universitaires, sorti des toilettes pour handicapé avec le sexe hors du pantalon, de ne pas l'avoir recouvert, bien qu'elle lui ait demandé de le cacher et d'avoir cheminé jusqu'à la sortie du bâtiment, le sexe toujours visible.
B.b. Le 23 novembre 2017, sur appel d'un agent de sécurité de l'université, la police est intervenue et a interpellé A._ dans une salle de cours d'un bâtiment de l'université. Le jour même, C._, ingénieure de sécurité à la division bâtiments, logistique et sécurité de l'Université de Genève, a adressé une plainte pénale au nom, pour le compte et sur papier à en-tête de celle-ci, contre A._ notamment pour violation de domicile, à laquelle était jointe une interdiction d'entrée dans les locaux universitaires signifiée au prénommé le 24 septembre 2014. Cette interdiction a fait l'objet d'un recours, formé par A._, devant la Chambre administrative de la Cour de justice genevoise qui a estimé, dans son arrêt du 21 décembre 2015, qu'il ne s'agissait pas d'une décision administrative attaquable, l'accueil réservé aux tiers et l'accès à ses locaux relevant du libre choix de l'Université de Genève.
B.c. Par courrier du 1 er novembre 2019 adressé à la Chambre pénale d'appel et de révision, B._ a déclaré retirer sa plainte, indiquant ne pas se sentir en état d'être confrontée à A._ dans le cadre de la procédure orale prévue.
La procédure écrite a alors été ordonnée, avec l'accord des parties.
C.
A._ forme un recours au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 25 mai 2020. Il conclut, en substance, à ce qu'aucun frais ne soit mis à sa charge, à ce que toute idée de culpabilité soit " effacée ", à son indemnisation et à l'allocation de dépens. Il requiert, par ailleurs, l'assistance judiciaire.
Invités à déposer des observations sur le recours, la cour cantonale y a renoncé cependant que le ministère public a conclu à son rejet. A._ s'est déterminé sur ces écritures par courrier adressé le 24 mars 2021, lequel a été communiqué à titre de renseignements au ministère public et à la cour cantonale le 29 mars 2021.

Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre une décision de classer la procédure, prise par une autorité de dernière instance cantonale, mettant toutefois les frais de première instance et une part des frais de deuxième instance à la charge du recourant et lui refusant toute indemnité. Dans cette mesure, il dispose d'un intérêt juridique à l'annulation de la décision, partant de la qualité pour recourir.
2.
Le recourant requiert la désignation d'un avocat. En application de l'<ref-law>, l'attribution d'un avocat par le Tribunal fédéral suppose une incapacité totale de la partie de procéder elle-même, le principe étant qu'elle est tenue de veiller elle-même à ce que son écriture réponde aux exigences légales de motivation (art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF) et de mandater, au besoin, un avocat de son choix qui sollicitera l'octroi de l'assistance judiciaire (cf. arrêts 6B_1171/2020 du 15 janvier 2021 consid. 1; 6B_1207/2020 du 24 novembre 2020 consid. 4; 6B_13/2015 du 11 février 2015 consid. 3 et les références citées). En l'espèce, le recourant ne paraît pas manifestement incapable de procéder au vu de ses écritures, si bien qu'il n'y a pas lieu de lui attribuer un défenseur au titre de l'<ref-law>.
3.
3.1. Le Tribunal fédéral n'est pas une autorité d'appel, auprès de laquelle les faits pourraient être rediscutés librement. Il est lié par les constatations de fait de la décision entreprise (<ref-law>), à moins qu'elles n'aient été établies en violation du droit ou de manière manifestement inexacte au sens des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, à savoir, pour l'essentiel, de façon arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. Une décision n'est pas arbitraire du seul fait qu'elle apparaît discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable et cela non seulement dans sa motivation mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 155 s.; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 503; sur la notion d'arbitraire v. <ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 244). Le Tribunal fédéral n'entre en matière sur les moyens fondés sur la violation de droits fondamentaux, dont l'interdiction de l'arbitraire, que s'ils ont été invoqués et motivés de manière précise (<ref-law>; ATF <ref-ruling> consid. 1.1 p. 503). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 156). Lorsque l'appréciation des preuves et la constatation des faits sont critiquées en référence à la présomption d'innocence (art. 6 par. 2 CEDH, 32 al. 1 Cst. et 10 CPP), le principe in dubio pro reo n'a pas de portée plus large que l'interdiction de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 156; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 503).
3.2. Le recourant débute ses écritures par une vaste rediscussion des faits et des moyens de preuve consistant à opposer sa propre appréciation, point par point du jugement, à celle de la cour cantonale. Purement appellatoire, son argumentation est irrecevable.
4.
Le recourant fait grief à la cour cantonale d'avoir violé son droit d'être entendu en ne traitant pas certains de ses griefs pourtant soulevés dans sa déclaration d'appel.
4.1. Une autorité commet un déni de justice formel et viole l'art. 29 al. 1 Cst. lorsqu'elle n'entre pas en matière dans une cause qui lui est soumise dans les formes et délais prescrits, alors qu'elle devrait s'en saisir (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 157; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 232). Elle viole en revanche le droit d'être entendu découlant de l'art. 29 al. 2 Cst. lorsqu'elle ne respecte pas son obligation de motiver ses décisions afin que le justiciable puisse les comprendre et exercer ses droits de recours à bon escient. Pour satisfaire à cette exigence, il suffit que l'autorité mentionne au moins brièvement les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé sa décision. Elle n'a pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à ceux qui, sans arbitraire, peuvent être tenus pour pertinents (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 157; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 237; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 270). La motivation peut d'ailleurs être implicite et résulter des différents considérants de la décision (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 565). En revanche, une autorité se rend coupable d'une violation du droit d'être entendu si elle omet de se prononcer sur des griefs qui présentent une certaine pertinence ou de prendre en considération des allégués et arguments importants pour la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 565; <ref-ruling> consid. 5.2 p. 248).
4.2. Avec le recourant, il convient d'admettre que la cour cantonale n'a pas traité certains de ses griefs, qu'il avait pourtant soulevés dans sa déclaration d'appel motivée et qu'il réitère dans son recours, en relation en particulier avec le déroulement de la procédure préliminaire et la procédure de première instance. Afin de respecter le droit d'être entendu du recourant, la cour cantonale aurait ainsi dû se prononcer sur ces griefs, à tout le moins sur ceux qui présentaient une certaine pertinence. Il en va en particulier ainsi des griefs soulevés en relation avec la confrontation avec B._, son absence à l'audience de première instance et sur le caractère exploitable de ses déclarations, ainsi qu'en relation avec le droit d'accès du recourant au dossier dans la mesure où la cour cantonale s'est appuyée principalement sur les déclarations de la prénommée afin d'établir les faits sur lesquels elle s'est ensuite fondée pour mettre les frais relatifs à ce volet du dossier à la charge du recourant. Celui-ci s'est également plaint du fait que les enregistrements de vidéosurveillance de l'université n'avaient pas été versés au dossier malgré ses demandes réitérées et reproche aux autorités un comportement contraire à la bonne foi. Ce grief, qui n'a pas été examiné par la cour cantonale, devra également être traité. L'arrêt attaqué devra donc être annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour qu'elle examine l'ensemble des griefs dûment soulevés par le recourant qui présentent une certaine pertinence.
Quant aux griefs soulevés par le recourant qui sont en rapport avec les faits pour lesquels il a été renvoyé pour violation de domicile, en particulier ceux relatifs au déroulement de l'audience de première instance, à la violation du principe de l'accusation et de l'égalité des armes, ils sont sans objet dans la mesure où il a été acquitté en relation avec ceux-ci et que les frais relatifs à ce volet de l'affaire ne pouvaient, en réalité, pas être mis à sa charge, comme cela ressort du consid. 7.4 infra.
5.
Le recourant se plaint de n'avoir pas été assisté d'un défenseur d'office durant la procédure préliminaire et de première instance.
5.1. En dehors des cas de défense obligatoire (<ref-law>), l'<ref-law> soumet le droit à l'assistance d'un défenseur d'office aux conditions que le prévenu soit indigent et que la sauvegarde de ses intérêts justifie une telle assistance. S'agissant de la seconde condition, elle s'interprète à l'aune des critères mentionnés à l'art. 132 al. 2 et 3 CPP. Ainsi, les intérêts du prévenu justifient une défense d'office notamment lorsque la cause n'est pas de peu de gravité et qu'elle présente, sur le plan des faits ou du droit, des difficultés que le prévenu seul ne pourrait pas surmonter (<ref-law>). En tout état de cause, une affaire n'est pas de peu de gravité lorsque le prévenu est passible d'une peine privative de liberté de plus de quatre mois, d'une peine pécuniaire de plus de 120 jours-amende ou d'un travail d'intérêt général de plus de 480 heures (<ref-law>). Pour savoir si l'affaire présente des difficultés de fait ou de droit (art. 132 al. 2 in fine CPP), il faut tenir compte, selon la jurisprudence, des circonstances concrètes, de la complexité des questions de fait et de droit, des particularités que présentent les règles de procédure applicables, des connaissances juridiques du requérant ou de son représentant, du fait que la partie adverse est assistée d'un avocat et de la portée qu'a pour le requérant la décision à prendre, avec une certaine réserve lorsque sont en cause principalement ses intérêts financiers (arrêts 6B_1237/2019 du 3 juillet 2020 consid. 4.2.2; 6B_243/2017 du 21 septembre 2017 consid. 2.2).
5.2. Concernant la demande du recourant tendant à la désignation d'un défenseur d'office, il convient de relever que le ministère public a rendu, le 30 septembre 2017, une ordonnance de refus de nomination d'un avocat d'office (versée au dossier cantonal; cf. <ref-law>). A la suite du recours formé par le recourant, cette ordonnance a été confirmée par arrêt du 23 mars 2018 de la Chambre pénale de recours de la Cour de justice genevoise (versé au dossier cantonal; cf. <ref-law>). Dans le cadre de son appel, le recourant a réitéré sa demande d'assistance juridique, à laquelle la cour cantonale a donné suite par ordonnance du 9 avril 2019 (versée au dossier cantonal; cf. <ref-law>). Il ressort en particulier de cette décision que la cour cantonale a estimé que l'assistance d'un défenseur paraissait justifiée, en appel. Contrairement à ce que soutient le recourant, le fait qu'un défenseur lui ait été désigné, au stade de la procédure d'appel, ne signifie pas que tel aurait dû être le cas dès le début de la procédure. A cet égard, il n'indique nullement en quoi les conditions de l'art. 132 al. 2 et 3 CPP, dont il n'invoque pas la violation, aurait été remplies déjà durant la procédure préliminaire et de première instance. Le fait que l'autorité précédente ait procédé à une appréciation différente n'est pas de nature à faire apparaître que tel aurait été le cas. En particulier, la procédure d'appel étant régie par des règles procédurales partiellement différentes, la cour cantonale pouvait estimer qu'apparaissaient, à ce stade, des difficultés que le prévenu seul ne pourrait pas surmonter. En outre, dans le cas d'espèce, la cour cantonale a procédé à une appréciation différente de la situation juridique de celle à laquelle est parvenue l'autorité de première instance. Dans cette mesure, il pouvait, par conséquent, également lui apparaître que des difficultés supplémentaires se poseraient nécessitant l'assistance d'un défenseur d'office. Le recourant ne peut ainsi rien tirer de l'absence d'un défenseur d'office durant la procédure préliminaire et de première instance quant à la validité des moyens de preuve administrés durant ces phases de la procédure. Infondés, ses griefs à cet égard doivent être rejetés.
6.
Le recourant fait grief à la cour cantonale de ne pas avoir procédé à diverses mesures d'instruction qu'il évoque à différentes reprises dans son mémoire. Il semble également reprocher à la cour cantonale de ne pas avoir tenu d'audience.
Il ressort toutefois d'un courrier adressé le 2 décembre 2019 à la cour cantonale par le conseil du recourant - dont les actes sont opposables au recourant (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 287) - qu'au vu du retrait de plainte intervenu concernant l'infraction d'exhibitionnisme, la question encore litigieuse, à caractère juridique prépondérant, pouvait être traitée par la voie écrite « et ce d'autant plus que les réquisitions de preuve présentées par [s]on mandant se rapportaient à l'infraction à l'<ref-law> » (pièce 15 dossier cantonal de deuxième instance; cf. <ref-law>). A la suite de l'accord des parties pour une procédure écrite, la cour cantonale a ordonné un échange d'écritures et fixé un délai pour le dépôt d'un mémoire écrit (pièce 16 dossier cantonal de deuxième instance; cf. <ref-law>). Dans le cadre de son mémoire d'appel du 20 janvier 2020, le recourant, par son avocat, n'a pas réitéré ses requêtes de preuves (pièce 20 dossier cantonal de deuxième instance; cf. <ref-law>). Dès lors que le recourant, par la voix de son avocat, a accepté la procédure écrite, il ne peut s'en plaindre devant le Tribunal fédéral (cf. principe de la bonne foi en procédure, art. 5 al. 3 Cst.; cf. <ref-ruling> consid. 3.4.2 p. 406). En outre, c'est à bon droit que la cour cantonale n'a pas statué concernant les mesures d'instruction à l'administration desquelles le recourant a renoncé. Il ne formule d'ailleurs aucun grief de violation du droit d'être entendu à ce sujet. Ses critiques relatives aux moyens de preuve qui n'ont pas été administrés sont donc, faute d'épuisement des voies de droit cantonales, irrecevables (cf. <ref-law>).
7.
Le recourant conteste la mise à sa charge des frais de première et deuxième instance ainsi que le refus de lui allouer toute indemnité.
7.1. Conformément à l'<ref-law>, lorsque la procédure fait l'objet d'une ordonnance de classement ou que le prévenu est acquitté, tout ou partie des frais de procédure peuvent être mis à sa charge s'il a, de manière illicite et fautive, provoqué l'ouverture de la procédure ou rendu plus difficile la conduite de celle-ci. La condamnation d'un prévenu acquitté à supporter tout ou partie des frais doit respecter la présomption d'innocence, consacrée par les art. 32 al. 1 Cst. et 6 par. 2 CEDH. Celle-ci interdit de rendre une décision défavorable au prévenu libéré en laissant entendre que ce dernier serait néanmoins coupable des infractions qui lui étaient reprochées. Une condamnation aux frais n'est ainsi admissible que si le prévenu a provoqué l'ouverture de la procédure pénale dirigée contre lui ou s'il en a entravé le cours. A cet égard, seul un comportement fautif et contraire à une règle juridique, qui soit en relation de causalité avec les frais imputés, entre en ligne de compte. Pour déterminer si le comportement en cause est propre à justifier l'imputation des frais, le juge peut prendre en considération toute norme de comportement écrite ou non écrite résultant de l'ordre juridique suisse pris dans son ensemble, dans le sens d'une application par analogie des principes découlant de l'<ref-law>. Le fait reproché doit constituer une violation claire de la norme de comportement. Une condamnation aux frais ne peut se justifier que si, en raison du comportement illicite du prévenu, l'autorité était légitimement en droit d'ouvrir une enquête. Elle est en tout cas exclue lorsque l'autorité est intervenue par excès de zèle, ensuite d'une mauvaise analyse de la situation ou par précipitation. La mise des frais à la charge du prévenu en cas d'acquittement ou de classement de la procédure doit en effet rester l'exception (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 204 s. et les références citées).
7.2. En substance, la cour cantonale a estimé que l'infraction d'exhibitionnisme devait être classée en raison du retrait de plainte. Dans le cadre de l'examen de la question des frais, elle a toutefois estimé, en se fondant sur les déclarations de la lésée, que les faits dénoncés étaient réalisés. Elle a relevé que ceux-ci étaient de nature à porter atteinte à la personnalité de celle-ci, raison pour laquelle ils constituaient un comportement propre à provoquer l'ouverture d'une procédure indépendamment de leur caractère pénal ou non.
Au vu de l'admission du recours pour violation du droit d'être entendu du recourant, la mise des frais à sa charge en relation avec cet aspect du dossier est également annulée et la question devra être réexaminée par la cour cantonale, après l'examen des griefs soulevés par le recourant et qui n'ont pas été traités par la cour cantonale en violation de son droit d'être entendu (cf. supra consid. 4.2).
7.3. S'agissant de l'infraction de violation de domicile, la cour cantonale a estimé qu'elle devait être classée dès lors que la personne ayant déposé plainte au nom de l'Université de Genève n'était pas habilitée à la représenter. Après avoir exposé les dispositions du droit cantonal pertinentes, elle a indiqué que l'art. 28 al. 1 et 2 de la loi genevoise sur l'Université (LU; RS/GE C 1 30) disposait clairement que l'université était représentée vis-à-vis de l'extérieur par la rectrice ou le recteur, ce que sous-tendait également l'art. 88 al. 2 du statut de l'université. Une délégation à des tiers n'apparaissait pas d'emblée exclue. Au vu de la jurisprudence posant des exigences sévères concernant la qualité pour déposer plainte pénale au nom d'une personne morale de droit public, elle ne pouvait toutefois être tacite. L'art. 12 de la loi genevoise sur la procédure administrative (LPA; RS/GE E 5 10), qui règlementait les pouvoirs décisionnels des services de l'État et non leur capacité à représenter la personne morale de droit public vis-à-vis des tiers, n'apparaissait à cet égard pas propre à suppléer cette absence de délégation formelle ou de procuration. Dans ces conditions, l'on ne pouvait admettre que la co-directrice du service " santé au travail, environnement, prévention et sécurité ", dépendant de la division " bâtiments, logistique et sécurité ", certes rattachée au rectorat, était fondée à déposer valablement plainte pénale au nom de l'Université de Genève, étant relevé que ni ce service, ni cette division ne figurait dans la LU/GE, le règlement cantonal ou les règlements internes publiés sur le site de l'institution. Un classement devait par conséquent être prononcé s'agissant de l'infraction de violation de domicile.
En ce qui concerne les frais, la cour cantonale a relevé que la présence du recourant dans les locaux de l'université en dépit de l'interdiction valable qui lui avait été signifiée était avérée. Le recourant ne pouvait ignorer cette interdiction, pour l'avoir contestée sans succès devant la Chambre administrative de la Cour de justice, qui avait rappelé à cette occasion que l'accueil réservé aux tiers et l'accès à ses locaux relevait du libre choix de l'Université de Genève. Or cette présence était de nature à troubler la possession des locaux de l'Université de Genève, laquelle était légitimée à agir pour faire cesser ce trouble, conformément aux <ref-law>. Partant, indépendamment de son caractère pénal ou non, il était établi que le recourant avait adopté un comportement fautif contrevenant à une règle de l'ordre juridique suisse protégeant la possession. Par conséquent, les frais de la procédure de première instance devaient être laissés à la charge du recourant.
La cour cantonale a également estimé que, dans la mesure où l'absence de plainte valable s'agissant de la violation de domicile aurait dû être constatée en première instance déjà, mais où le retrait de la plainte de B._ n'était intervenu qu'au stade de l'appel, il se justifiait de ne mettre à charge du recourant que la moitié des frais de la procédure d'appel.
7.4. En substance, le recourant conteste avoir adopté un comportement contraire au droit, dans la mesure où il aurait le droit de se rendre dans les locaux de l'université comme n'importe quel citoyen. Il remet en outre en cause la validité de l'interdiction d'entrée dans les locaux de l'université qui lui a été notifiée le 24 septembre 2014.
7.4.1. La cour cantonale a estimé que l'interdiction d'entrée notifiée au recourant le 24 septembre 2014 était valable, se référant notamment à l'<ref-ruling> consid. 2b p. 78. Selon cet arrêt, la volonté de l'ayant droit de ne pas laisser entrer une personne dans un espace déterminé peut être valablement exprimée non seulement par l'ayant droit lui-même ou, s'il s'agit d'une personne morale, par ses organes, mais aussi par de simples employés de l'ayant droit. Toutefois, des arrêts postérieurs ont quelque peu nuancé cette jurisprudence. Le Tribunal fédéral a ainsi jugé que, pour que l'infraction de violation de domicile soit réalisée, il faut que l'auteur agisse contre la volonté de l'ayant droit, soit, s'agissant des locaux de l'administration ou de lieux publics, le fonctionnaire compétent selon les dispositions et les règles du droit public applicables (<ref-ruling> consid. 3 p. 33; <ref-ruling> consid. 3 p. 53; arrêt 6B_1056/2013 consid. 2.1 du 20 août 2014 et les références citées). C'est le droit cantonal qui détermine souverainement quels sont les organes par l'intermédiaire desquels le canton dispose des locaux qui lui appartiennent (ATF <ref-ruling> consid. 3 p. 53). Il faut déterminer si la volonté de l'ayant droit était suffisamment reconnaissable. Lorsqu'il s'agit de lieux voués à une tâche de l'État, l'accès peut être interdit par des indications spéciales ou résulter de la destination des lieux. Il n'est pas nécessaire que ces restrictions soient expressément formulées par l'ayant droit, puisqu'elles peuvent aussi résulter des circonstances. Ainsi, lorsqu'un lieu est ouvert au public dans un but précis et que ce but est clairement reconnaissable pour chacun, celui qui y pénètre en poursuivant d'autres objectifs agit contre la volonté de l'ayant droit (<ref-ruling> consid. 5b p. 39; arrêt 6B_1056/2013 précité consid. 2.1 et les références citées).
Quoi qu'il en soit, le point de savoir si, comme l'a souligné la cour cantonale, la volonté de l'ayant droit de ne pas laisser entrer une personne dans un espace déterminé peut être valablement exprimée par de simples employés de l'ayant droit peut demeurer indécis en l'espèce et n'est pas pertinent. En effet l'arrêt cité par la cour cantonale à l'appui de son raisonnement (<ref-ruling> consid. 2b p. 78) a été rendu en relation avec l'infraction de violation de domicile, soit du point de vue pénal. Or s'agissant de la mise des frais à la charge d'un prévenu acquitté, la cour cantonale, dans le respect du principe de la présomption d'innocence, ne s'est pas fondée sur la réalisation de l'infraction afin de mettre les frais à la charge du recourant mais sur les règles de droit civil, soit sur les règles de la possession (<ref-law>). Ainsi, il convenait d'examiner les conditions d'application de ces règles.
7.4.2. A teneur de l'<ref-law>, le possesseur troublé dans sa possession peut actionner l'auteur du trouble, même si ce dernier prétend à quelque droit sur la chose. L'action fondée sur l'<ref-law> implique que l'auteur cause un trouble illicite. Le trouble causé à la possession est illicite lorsqu'il n'est autorisé ni par le possesseur, ni par la loi (<ref-ruling> consid. 3.2.2 p. 149; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 635). Il n'est pas nécessaire que l'auteur du trouble ait commis une faute (PAUL-HENRI STEINAUER, Les droits réels, tome I, 6e éd. 2019, no 470). Le consentement du possesseur peut être exprès ou tacite, concomitant à l'atteinte ou donné par avance mais alors il est révocable en tout temps. Il doit être donné par le possesseur actuel, non par un auxiliaire de la possession (PAUL-HENRI STEINAUER, op. cit., no 410). Par auxiliaire de la possession, on entend celui qui exerce directement la maîtrise de fait sur un bien mais seulement à titre de subalterne, pour le compte d'une autre personne qui, elle, est possesseur (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 205; ATF 58 II 371 consid. 2 p. 375; PAUL-HENRI STEINAUER, op. cit., n° 219).
7.4.3. En substance, la cour cantonale a estimé que la présence du recourant dans les locaux de l'Université de Genève était de nature à troubler la possession de celle-ci et que le recourant avait ainsi adopté un comportement fautif contrevenant à une règle de l'ordre juridique suisse protégeant la possession. Toutefois, contrairement aux conditions légales présidant à la mise des frais de procédure à la charge du prévenu acquitté (cf. supra consid. 7.1), celles pour l'application de l'<ref-law> ne comprennent pas l'existence d'une faute. Ainsi, le seul fait que le recourant ait troublé la possession de l'Université de Genève n'est pas encore suffisant pour l'application de l'<ref-law>. La cour cantonale semble déduire la faute du recourant du fait qu'une interdiction d'entrée dans les locaux de l'université lui avait été signifiée le 24 septembre 2014 et que, par conséquent, il savait qu'il n'avait pas le droit de pénétrer dans lesdits locaux. Cependant, le consentement - et donc également l'absence de consentement - ne peut être donné que par le possesseur, à l'exclusion d'un auxiliaire de la possession. En l'occurrence, l'interdiction d'entrée est signée par " C._, ingénieur de sécurité " (annexée à la plainte du 23 novembre 2017; cf. <ref-law>), soit la même personne que celle ayant déposé plainte pénale au nom de l'Université de Genève. La cour cantonale s'est en particulier appuyée sur la décision rendue le 21 décembre 2015 par la Chambre administrative de la Cour de justice genevoise pour considérer que l'interdiction d'entrée signifiée au recourant le 24 septembre 2014 était valide. Or il ressort de l'arrêt en question que la Chambre administrative ne s'est pas prononcée, en tant que telle, sur la validité de l'interdiction. Elle s'est contentée de constater que celle-ci ne constituait pas une décision administrative et donc qu'elle ne pouvait pas faire l'objet d'un recours. Le fait qu'elle ait rappelé que l'accueil réservé aux tiers et l'accès à ses locaux relevait du libre choix de l'Université de Genève ne signifiait pas encore qu'elle avait jugé l'interdiction du 24 septembre 2014 comme valable. Le juge pénal était ainsi libre et se devait d'examiner la validité de cette interdiction (cf. sur le pouvoir d'examen du juge pénal par rapport à une décision de l'autorité administrative : <ref-ruling> consid. 2.1 et 2.2 p. 249; <ref-ruling> consid. 2a p. 31 et le renvoi à l'<ref-ruling>). Dans la mesure où la cour cantonale a reconnu que la signataire de la plainte pénale du 23 novembre 2017 n'avait pas le pouvoir de représenter l'Université de Genève, la prénommée ne pouvait pas valablement exprimer la volonté de celle-ci, c'est-à-dire la volonté du possesseur. Tout au plus doit-elle être considérée comme une auxiliaire de la possession, qui ne peut toutefois exprimer le consentement - ou son absence - en lieu et place du possesseur (cf. supra consid. 7.4.2). Dès lors que les locaux de l'université sont ouverts au public, le recourant pouvait en déduire que celle-ci consentait tacitement à la présence du " public ". A tout le moins, il ne ressort pas des faits établis par la cour cantonale qu'une indication quelconque (émanant d'une personne habilitée à représenter l'université) limitant l'entrée des locaux de l'université à certaines personnes serait visible ou pourrait être déduite de toute autre manière. En outre, comme l'interdiction du 24 septembre 2014 n'était pas propre à exprimer valablement la volonté de l'Université de Genève, la cour cantonale ne pouvait considérer que le recourant avait adopté un comportement fautif en ne tenant pas compte de cette interdiction.
7.4.4. Au vu de ce qui précède, il n'apparaît pas que le recourant aurait, par un comportement illicite et fautif, provoqué l'ouverture de la procédure pénale dirigée contre lui ou en aurait entravé le cours. Une mise à sa charge des frais de la procédure de première instance était, dès lors, exclue sur la base de l'<ref-law>. Le recours du recourant doit donc être admis sur ce point, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale afin que celle-ci dispense le recourant de supporter des frais de la procédure préliminaire et de première instance en relation avec les faits ayant fait l'objet de la plainte de l'Université de Genève.
7.5. Le recourant requiert l'indemnisation de son dommage en relation avec l'enquête menée contre lui.
Dans la mesure où la question des frais (art. 423 à 428 CPP) préjuge celle de l'indemnisation (art. 429 à 434 CPP; cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 272), il incombera à la cour cantonale d'examiner la question de l'indemnisation du recourant après avoir repris la question des frais s'agissant du volet du dossier en relation avec les faits ayant fait l'objet de la plainte de B._. Quant aux faits ayant fait l'objet de la plainte de l'Université de Genève, la cour cantonale ne pouvait, en application de l'<ref-law>, refuser d'indemniser le recourant dans la mesure où elle ne pouvait mettre les frais y relatifs à sa charge (cf. supra consid. 7.4.3 et 7.4.4). L'arrêt attaqué sera également annulé sur ce point et la cause renvoyée à la cour cantonale pour qu'elle entre en matière sur les prétentions en indemnisation du recourant.
A cet égard, il est relevé que, dans la mesure où le recourant a bénéficié d'un classement de la procédure et contrairement à ce qu'il soutient, les deux jours de détention qu'il a effectués ne constituent pas une détention excessive au sens de l'<ref-law> mais bien une détention injustifiée dont l'indemnisation s'examine à l'aune de l'art. 429 al. 1 let. c CPP (cf. arrêts 6B_1076/2016 du 12 janvier 2017 consid. 3.3 et 3.4; 6B_979/2013 du 25 février 2014 consid. 2.1). Pour le surplus, concernant les autres mesures de contrainte auxquelles le recourant a été soumis (notamment le prélèvement de son ADN et la saisie de ses données signalétiques) et pour autant que les conditions d'une indemnisation du tort moral soient réalisées, la cour cantonale devra déterminer si elles étaient injustifiées et, par conséquent, les examiner à l'aune de l'art. 429 al. 1 let. c CPP ou si elles étaient illicites et donc les examiner à l'aune de l'<ref-law>, étant rappelé que, dans le second cas, l'<ref-law> n'est pas applicable et l'indemnité due indépendamment de la faute du prévenu.
7.6. Le recourant fait encore valoir que ses conditions de détention auraient été illicites et qu'il aurait été brutalisé lors de son arrestation.
Dans la mesure où il se plaint de ce que la plainte qu'il a déposée à ce sujet n'aurait pas été instruite, ses critiques sortent du cadre de l'objet du litige, qui est circonscrit par l'arrêt attaqué, et sont irrecevables (cf. <ref-law>). En effet, sa plainte à ce sujet a fait l'objet d'une procédure distincte contre les différents intervenants (P/4977/2018) ayant conduit au prononcé d'une ordonnance de non-entrée en matière du 15 août 2018, confirmée par arrêt de la Chambre pénale de recours du 10 octobre 2018 (versés au dossier cantonal; cf. <ref-law>). Ainsi, concernant les actes reprochés aux intervenants en tant que tels, les faits ont été examinés dans les cadre de la procédure susmentionnée et les griefs du recourant à cet égard sont irrecevables.
En revanche, le recourant a invoqué, devant les autorités cantonales déjà, que ses conditions de détention avaient été illicites (bruit de ventilation, lumière, hygiène etc.). Or la cour cantonale n'a pas abordé cette question, ni exposé pourquoi elle n'en faisait rien, cependant que la motivation relative aux art. 426 al. 2 et 430 al. 1 CPP n'est manifestement pas pertinente à cet égard, dès lors que ces dispositions ne sont pas applicables à une indemnité afférente à des conditions de détention illicites. Il incombera donc à la cour cantonale, dans le cadre du renvoi, de se prononcer sur ce point également.
7.7. Le recourant conteste également la mise à sa charge des frais de deuxième instance. Au vu de l'admission de son recours, l'arrêt est également annulé sur ce point, que la cour cantonale devra réexaminer une fois qu'elle aura statué à nouveau sur les autres questions pertinentes.
8.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être partiellement admis, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision au sens des considérants. Vu le sort du recours, il n'y a pas lieu d'examiner les autres griefs soulevés par le recourant qui deviennent sans objet.
Le recourant obtient largement gain de cause. Il ne supporte pas de frais (<ref-law>). Il n'a pas droit à des dépens dès lors qu'il n'est pas assisté par un avocat et qu'il n'a pas démontré avoir engagé d'autres frais pour le dépôt de son recours (<ref-law>). Sa requête d'assistance judiciaire est sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. Pour le surplus, le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre pénale d'appel et de révision.
Lausanne, le 4 mai 2021
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Denys
La Greffière : Livet