Faits :
A.
A.a. Par jugement du 26 mars 2013, le Tribunal criminel de l'arrondissement de La Côte a notamment reconnu A._ coupable d'actes d'ordre sexuel avec des enfants, de contrainte sexuelle et de pornographie. Il l'a condamné à une peine privative de liberté de neuf ans et a ordonné un traitement psychiatrique au sens de l'<ref-law>. Il lui a en outre interdit d'exercer une profession d'enseignant ou d'éducateur pour une durée de cinq ans. Enfin, il l'a condamné à verser, à titre de réparation du tort moral, 20'000 fr. à B._, 15'000 fr. à C._ et 8'000 fr. à D._.
Cette condamnation repose notamment sur les fait suivants:
Alors qu'il travaillait en qualité d'enseignant spécialisé à l'école E._ à U._ entre les mois d'août 2010 et de mai 2011, A._ a commis des abus sexuels sur trois enfants. Il a exploité sa position de professeur et la fragilité affective de son élève B._, né en 2000, qui présentait un trouble envahissant du développement, des troubles du comportement ainsi que des troubles cognitifs importants, en lui faisant sucer son sexe à une occasion et en lui infligeant des actes de sodomie à quatre reprises. Il a frotté son sexe en érection contre le torse dénudé de C._, né en 1999, enfant considéré comme un peu craintif, discret, manquant de maturité et demandant le soutien et la présence des adultes. Il a sucé le sexe de celui-ci en le maintenant par les pieds, l'a contraint à lui faire une fellation et l'a sodomisé. Il a enfin touché le sexe, par-dessus ses vêtements, de D._, enfant né en 1999 et présentant un trouble de la conduite, de l'acquisition du langage et un retard mental léger. Puis, il l'a forcé à toucher son propre sexe en érection à travers ses habits.
Au cours de l'année 2011, A._ est entré en contact, en se faisant passer pour un adolescent de 17 ans sur les réseaux sociaux, avec des dizaines de jeunes garçons âgés de 13 à 22 ans, à qui il a fait des propositions à caractère sexuel; il a physiquement rencontré l'un d'eux. Entre les mois de février et d'octobre 2011, il a reçu 69 courriels contenant des images ou des vidéos à caractère pédopornographique; il a téléchargé sur son ordinateur et stocké sur un disque dur externe des images montrant des garçons de moins de 16 ans mêlés à des actes sexuels. Enfin, son carnet d'adresse contenait les noms de plusieurs dizaines de jeunes garçons accompagnés de leurs adresses postale et électronique ainsi que de leur âge, parmi lesquels six enfants âgés entre 10 et 13 ans qu'il avait admis avoir rencontrés.
A.b. Par jugement du 25 juillet 2013, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois a rejeté l'appel formé par A._ contre cette décision. Elle a en revanche admis l'appel du Ministère public vaudois et modifié le jugement du Tribunal criminel de l'arrondissement de La Côte dans le sens qu'elle a ordonné l'internement du condamné au sens de l'<ref-law> en lieu et place du traitement psychiatrique prononcé en première instance.
A.c. Par arrêt du 24 juin 2014 (6B_970/2013), la Cour de droit pénal du Tribunal fédéral a rejeté, dans la mesure où il était recevable, le recours interjeté par A._ contre ce dernier jugement.
B.
B.a. Le 11 février 2021, A._ a déposé une demande de révision, concluant à l'annulation du jugement du 26 mars 2013 du Tribunal criminel de l'arrondissement de La Côte et du jugement du 25 juillet 2013 de la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois. A l'appui de sa demande de révision, il a produit un écrit manuscrit daté du 22 décembre 2020 qui émanerait de B._ et dont la teneur est la suivante:
" Le 15.09.11, j'ai fait une déclaration à Mme l'inspectrice F._, affirmant que Mr A._ m'avait violé. Ce n'est pas vrai! Toutes les accusations que j'ai portées contre A._ n'étaient que des mensonges inventés par Mme G._ qui m'a manipulé et qui m'a forcé à faire ce faux témoignage. Aujourd'hui, je veux dire la vérité afin que Mr A._ soit libéré et que Mme G._ soit condamnée. J'ai été terriblement traumatisé par l'attitude de Mme G._ et par ce faux témoignage qu'elle a réussi à m'arracher et je réclame le droit d'être dédommagé. "
B.b. Par jugement du 17 février 2021, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois a refusé d'entrer en matière sur la demande de révision déposée par A._. En bref, elle a estimé que le nouveau moyen de preuve proposé par le prénommé n'était pas sérieux et que le motif de révision invoqué était d'emblée manifestement mal fondé.
C.
C.a. Le 11 mars 2021, A._ a demandé le réexamen du jugement rendu le 17 février 2021 par la Cour d'appel pénale vaudoise et a simultanément déposé une nouvelle demande de révision, concluant à l'annulation du jugement du 26 mars 2013 du Tribunal criminel de l'arrondissement de La Côte et du jugement du 25 juillet 2013 de la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois. A l'appui de cette demande, il a produit une déclaration écrite du chanoine H._ datée du 8 mars 2021, dont la teneur est la suivante:
" Je m'appelle H._ j'ai 71 ans. Je suis un religieux dans la congrégation du Grand-St-Bernard depuis 51 ans et prêtre dans l'Eglise catholique de Notre Seigneur Jésus-Christ depuis 43 ans.
Après avoir parlé longtemps et à plusieurs reprises avec B._, je jure en mon âme et conscience que B._ reconnaît et affirme en son âme et conscience que:
1) M. A._ ne l'a pas violé.
2) Mme G._ l'a forcé à dire des mensonges et contraint à porter un faux témoignage.
B._ demande de pouvoir en témoigner devant la justice. A titre personnel, je demande la révision du procès qui a condamné A._ et je réclame le droit de pouvoir y donner mon propre témoignage.
Je fais suffisamment confiance en la justice qui est en Suisse pour croire que le témoignage de B._ et le mien seront entendus et le procès révisé. "
C.b. Par jugement du 23 mars 2021, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois a refusé d'entrer en matière sur la demande de révision déposée par A._, estimant que les motifs invoqués étaient d'emblée manifestement mal fondés.
D.
Contre le jugement cantonal du 17 février 2021, A._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral (6B_361/2021). Il conclut, principalement, à la réforme du jugement attaqué en ce sens qu'il est entré en matière sur la demande de révision du 11 février 2021 et que la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour qu'elle se prononce sur la demande de révision, en application des art. 412 al. 2 et 413 CPP. A titre subsidiaire, il requiert l'annulation du jugement attaqué et le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. En outre, il sollicite l'assistance judiciaire.
Il dépose également un recours en matière pénale contre le jugement du 23 mars 2021 (6B_664/2021). Il conclut, principalement, qu'il soit entré en matière sur la demande de révision du 11 mars 2021 et que la cause soit renvoyée à l'autorité cantonale pour qu'elle se prononce sur la demande de révision. A titre subsidiaire, il requiert l'annulation du jugement attaqué et le renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision. En outre, il sollicite l'assistance judiciaire.
Invités à se déterminer sur les recours, la cour cantonale et le ministère public y ont renoncé.

Considérant en droit :
1.
Les deux recours sont dirigés contre deux jugements émanant de la cour cantonale. Ceux-ci concernent tous deux la révision du jugement du 26 mars 2013 du Tribunal criminel de l'arrondissement de La Côte, respectivement du jugement du 25 juillet 2013 de la Cour d'appel pénale vaudoise et traitent du même motif de révision. Il se justifie de les joindre et de statuer par une seule décision (<ref-law> et 24 PCF).
2.
Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir déclaré ses demandes de révision irrecevables en application de l'<ref-law>. Il lui fait grief d'avoir écarté les rétractations du 22 décembre 2020 de B._, sans même entendre l'intéressé. De même, il lui reproche d'avoir considéré la déclaration écrite du 8 mars 2021 du chanoine H._, qui attestait que B._ reconnaissait ne pas avoir été violé par le recourant et se proposait de témoigner sur les circonstances de ce revirement, manifestement irrecevable, sans procéder à une quelconque mesure d'instruction.
2.1.
2.1.1. Aux termes de l'<ref-law>, toute personne lésée par un jugement entré en force peut en demander la révision s'il existe des faits ou des moyens de preuves qui étaient inconnus de l'autorité inférieure et qui sont de nature à motiver l'acquittement ou une condamnation sensiblement moins sévère ou plus sévère du condamné.
Les faits ou moyens de preuves invoqués doivent ainsi être nouveaux et sérieux. Les faits ou moyens de preuves sont inconnus lorsque le juge n'en a pas eu connaissance au moment où il s'est prononcé, c'est-à-dire lorsqu'ils ne lui ont pas été soumis sous quelque forme que ce soit (<ref-ruling> consid. 5.1.2 p. 66 s.). Ils sont sérieux lorsqu'ils sont propres à ébranler les constatations de fait sur lesquelles se fonde la condamnation et que l'état de fait ainsi modifié rend possible un jugement sensiblement plus favorable au condamné (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 199; <ref-ruling> consid. 5.1.4 p. 68).
2.1.2. La procédure du rescindant instituée par le Code de procédure pénale se déroule, en principe, en deux phases, à savoir un examen préalable de la recevabilité (art. 412 al. 1 et 2 CPP) et un examen des motifs invoqués (art. 413 al. 1 et 3 CPP). Selon l'<ref-law>, la juridiction d'appel n'entre pas en matière sur la demande de révision si celle-ci est manifestement irrecevable ou non motivée ou si une demande de révision invoquant les mêmes motifs a déjà été rejetée par le passé. Cet examen préalable et sommaire porte principalement sur les conditions de recevabilité de la demande de révision (par exemple la qualité pour recourir, le respect des conditions de délai et de forme de la demande, le caractère définitif du jugement entrepris, l'existence d'un motif de révision sur le plan abstrait, etc.). La jurisprudence a précisé que la juridiction d'appel pouvait également refuser d'entrer en matière lorsque les motifs de révision invoqués apparaissaient d'emblée non vraisemblables ou mal fondés (<ref-ruling> consid. 3.5 p. 129; arrêt 6B_273/2020 du 27 avril 2020 consid. 1.1), ou encore lorsque la demande de révision apparaît abusive (arrêts 6B_1110/2019 du 18 décembre 2019 consid. 1.1.2; 6B_324/2019 du 24 avril 2019 consid. 3.1). La frontière entre, d'une part, l'examen préalable des motifs de révision jugés non vraisemblables qui aboutit à une décision de non entrée en matière (<ref-law>) et, d'autre part, l'examen des motifs jugés non fondés qui conduit au rejet de la demande (<ref-law>) est délicate. L'examen préalable portant sur le bien-fondé des moyens invoqués doit s'exercer de manière restrictive (LAURA JACQUEMOUD-ROSSARI, in Commentaire romand, Code de procédure pénale suisse, 2e éd., 2019, n° 3 ad <ref-law>).
2.1.3. Le Tribunal fédéral est un juge du droit. Il ne peut revoir les faits établis par l'autorité précédente que si ceux-ci l'ont été de manière manifestement inexacte (<ref-law>), c'est-à-dire arbitraire (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356). On peut renvoyer, sur la notion d'arbitraire, aux principes maintes fois exposés par le Tribunal fédéral (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 155 s.; <ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 244). En bref, pour qu'il y ait arbitraire, il ne suffit pas que la décision attaquée apparaisse discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable et cela non seulement dans sa motivation, mais aussi dans son résultat.
Savoir si l'autorité cantonale s'est fondée sur une juste conception de faits ou de moyens de preuves nouveaux et sérieux est une question de droit. En revanche, savoir si un fait ou un moyen de preuve était effectivement inconnu du juge est une question de fait qui peut être revue pour arbitraire dans l'établissement des faits et l'appréciation des preuves. Il en va de même de la question de savoir si un fait nouveau ou un moyen de preuve nouveau est propre à modifier l'état de fait retenu puisqu'elle relève de l'appréciation des preuves, étant rappelé qu'une vraisemblance suffit au stade du rescindant. Enfin, c'est de nouveau une question de droit de savoir si la modification de l'état de fait est juridiquement pertinente, c'est-à-dire de nature, en fonction des règles de droit de fond applicables, à entraîner une décision plus favorable au condamné en ce qui concerne la culpabilité, la peine ou les mesures (<ref-ruling> consid. 1 p. 73 et les arrêts cités).
3.
3.1. Dans son premier jugement, la cour cantonale a refusé d'entrer en matière sur la demande de révision du 11 février 2021, en application de l'<ref-law>, considérant que les motifs de révision apparaissaient d'emblée mal fondés. Elle a, d'abord, déclaré qu'elle ignorait si B._ avait véritablement écrit et signé le document produit à l'appui de la demande de révision, aucune pièce d'identité n'y étant jointe. Elle a reproché au recourant de ne pas avoir donné des indications sur les contacts et communications qu'il aurait pu avoir avec l'enfant et qui permettraient de comprendre dans quel contexte ce revirement avait eu lieu. Elle a contesté la spontanéité et l'indépendance de cette déclaration pour le motif qu'elle rejoindrait la position de défense du recourant. Elle a acquis la conviction que l'auteur de l'écrit n'était pas véritablement B._, mais le recourant lui-même, utilisant éventuellement un auteur médiat. Elle a ajouté que le contenu de l'écrit demeurait vague et sommaire, singulièrement imprécis lorsqu'il s'agissait d'exposer les prétendus moyens de contrainte et la manipulation qui auraient permis à G._ d'obtenir de l'enfant qu'il accuse mensongèrement le requérant. Elle a conclu que cette déclaration écrite ne constituait pas un moyen de preuve sérieux propre à ébranler les constatations ayant fondé la condamnation du requérant, compte tenu des éléments à charge retenus par le Tribunal criminel de l'arrondissement de La Côte, en particulier de la véracité et de la crédibilité des déclarations de l'enfant vérifiées par une expertise, et de l'absence totale de consistance de la thèse du complot déjà présentée par le recourant à l'époque (jugement du 17 février 2021 p. 9).
3.2. Dans son second jugement, la cour cantonale a considéré que le témoignage du chanoine H._ n'était pas un moyen de preuve sérieux, dès lors qu'il ne faisait état que de la subjectivité du chanoine au sujet de la sincérité d'une rétractation qui, en soi, était sujette à caution. Selon la cour cantonale, le sentiment du chanoine quant aux rétractations de l'une des victimes n'était pas propre à ébranler les constatations faites par les premiers juges, lesquels ne s'étaient pas fondés sur les seules déclarations de l'enfant pour forger leur conviction, mais également sur une expertise de crédibilité recoupée par les circonstances du dévoilement des abus, les observations psychiatriques et l'absence de consistance de la thèse du complot. La cour cantonale a donc conclu que les auditions de H._ et de B._ ne permettraient pas une appréciation différente de la force probante du nouveau moyen de preuve allégué (jugement du 23 mars 2021 p. 9 et 10).
3.3. Il n'est pas contesté que les messages de l'enfant et du chanoine produits par le recourant à l'appui de ses demandes de révision constituent des faits nouveaux, jamais portés précédemment à la connaissance des premiers juges. Ils portent au surplus sur une question décisive et déterminante, puisque les juges de l'époque se sont fondés, essentiellement, sur les propos de l'enfant B._ pour retenir que le recourant lui avait fait sucer son sexe et lui avait infligé des actes de sodomie.
Face à deux versions contradictoires d'une même personne (témoin, victime, prévenu), le juge doit expliquer les raisons qui l'ont amené à retenir une version plutôt qu'une autre. La cour cantonale a d'emblée écarté la rétractation de B._, au motif que l'inspirateur ou l'auteur intellectuel de l'écrit n'était pas véritablement B._, mais le recourant, usant, le cas échéant, d'un tiers; elle expliquait à cet égard que l'auteur de la lettre n'était pas identifiable et que le recourant n'avait donné aucune information sur les circonstances entourant cette rétractation.
En retenant que le revirement de B._ avait une origine douteuse, la cour cantonale a versé dans l'arbitraire. Elle ne pouvait en effet arriver à cette conclusion, alors que la lettre était signée, en se limitant à dire que le recourant n'avait donné aucune information sur le contexte du revirement. Il incombait à la cour cantonale d'entrer en matière sur la demande de révision pour éclaircir les raisons qui avaient amené B._ à revenir sur ses accusations de l'époque, par exemple en interpellant le recourant ou en interrogeant B._. Dans le second jugement, la cour cantonale a confirmé que les rétractations de B._ étaient floues et d'origine douteuse et n'étaient en conséquence pas propres à ébranler les constatations faites par les premiers juges. Pourtant, l'appréciation de la cour cantonale, selon laquelle la rétractation de B._ est d'origine douteuse, était contredite par les déclarations écrites du chanoine, qui attestait que B._ reconnaissait avoir accusé à tort le recourant et qui proposait d'expliquer le contexte de ce revirement. La cour cantonale ne pouvait dans ces conditions écarter le témoignage du chanoine au seul motif que celui-ci se bornait à exprimer un sentiment d'un tiers. Cette objection n'est en effet pas pertinente, dans la mesure où il s'agissait dans un premier temps uniquement d'établir les circonstances du dévoilement.
En définitive, la cour cantonale ne pouvait pas, au stade de l'examen préalable, affirmer que les motifs de révision invoqués étaient manifestement mal fondés. Elle devait entrer en matière sur les demandes de révision et ordonner des mesures d'instruction complémentaires pour éclairer les circonstances entourant la rétractation de B._. Le recourant avait d'ailleurs requis l'audition des auteurs des messages. Cette mesure d'instruction ne pouvait dans la configuration d'espèce être écartée sans violer le droit d'être entendu du recourant, dont il invoque également la violation.
4.
Les recours dirigés contre les jugements des 17 février 2021 et 23 mars 2021 doivent donc être admis, dits jugements doivent être annulés, la cause étant renvoyée à la cour cantonale pour nouvel examen. Il lui incombera d'ordonner des mesures d'instruction complémentaires nécessaires pour éclaircir les raisons qui auraient amené B._ à se rétracter. Ce n'est qu'ensuite que la cour cantonale pourra déterminer si cette rétractation est mal fondée ou si elle peut vraisemblablement conduire à une modification de la condamnation du recourant.
5.
Le recourant obtient gain de cause. Il ne supporte pas de frais judiciaires (art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF). Il peut prétendre à des dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Sa demande d'assistance judiciaire est ainsi sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 6B_361/2021 et 6B_664/2021 sont jointes.
2.
Le recours dirigé contre le jugement du 17 février 2021 (6B_361/2021) est admis, le jugement attaqué est annulé et la cause est renvoyée à la cour cantonale pour nouveau jugement.
3.
Le recours dirigé contre le jugement du 23 mars 2021 (6B_664/2021) est admis, le jugement attaqué est annulé et la cause est renvoyée à la cour cantonale pour nouveau jugement.
4.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
5.
Le canton de Vaud versera en mains de l'avocat du recourant une indemnité de 6'000 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 16 février 2022
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Jacquemoud-Rossari
La Greffière : Kistler Vianin