Sachverhalt:
A.
A.a. Der serbische Staatsangehörige A.A._ (geb. 1963) heiratete am 27. November 1988 D.A._ (geb. 1971), ebenfalls serbische Staatsangehörige. Am 8. Juni 1989 wurde die gemeinsame Tochter B.A._ in Serbien geboren. A.A._ erhielt im Jahr 1990 erstmals eine Aufenthaltsbewilligung, nachdem er bereits 1986 als Saisonnier in der Schweiz gearbeitet hatte. Seine Frau erhielt ebenfalls im Jahr 1990 im Rahmen des Familiennachzugs eine Aufenthaltsbewilligung. Am 19. Oktober 1996 wurde der gemeinsame Sohn C.A._ in U._/ZH geboren. Ihm wurde ebenfalls eine Aufenthaltsbewilligung erteilt. Am 25. November 1997 erteilte der Kanton Zürich A.A._ und seinem Sohn C.A._ je eine Niederlassungsbewilligung. Die Aufenthaltsbewilligung von D.A._ wurde regelmässig verlängert, letztmals bis zum 26. Juni 2001. C.A._ reiste am 31. Oktober 1998 aus der Schweiz aus. D.A._ verliess die Schweiz am 1. Juli 2001.
A.b. Am 4. Mai 2010 ersuchte A.A._ um Familiennachzug seiner Frau und seines Sohnes. D.A._ reiste am 27. Juni 2010 mit dem Sohn C.A._ in die Schweiz ein. Die Dienststelle für Bevölkerung und Migration des Kantons Wallis (nachfolgend: DBM) wies das Gesuch um Familiennachzug am 13. Juli 2010 ab. D.A._ wurde in der Folge wegen Aufenthalts und Erwerbstätigkeit ohne Bewilligung inhaftiert. Nach ihrer Ausreise aus der Schweiz mit Sohn C.A._ am 28. Oktober 2010 erliess das Bundesamt für Migration (BFM) gegenüber D.A._ ein Einreiseverbot, das bis zum 24. Oktober 2013 gültig war.
A.c. Am 8. Februar 2011 stellte A.A._ erneut ein Gesuch um Familiennachzug seiner Frau und seines Sohnes. Die DBM wies das Gesuch am 18. Mai 2011 ab. Dieser Entscheid wurde vom Staatsrat des Kantons Wallis am 25. Januar 2012 auf Beschwerde hin bestätigt.
A.d. Ein weiteres Gesuch von A.A._ um Familiennachzug seines Sohnes vom 29. März/12. April 2012 wies die DBM am 24. Juli 2013 ab.
B.
Mit Schreiben vom 29. Januar/17. Februar 2014 und 25. Februar 2016 ersuchte A.A._ um Familiennachzug seiner Frau. Die DBM wies diese Gesuche am 16. August 2016 ab. Die hiergegen gerichteten kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg (Entscheid des Staatsrates des Kantons Wallis vom 21. Juni 2017 und Urteil des Kantonsgerichtes Wallis vom 27. April 2018).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 30. Mai 2018 beantragt A.A._, es sei das Urteil des Kantonsgerichts Wallis vom 27. April 2018 aufzuheben und es sei ihm der Familiennachzug seiner Ehefrau zu gewähren bzw. die Vorinstanz sei im Sinne der Erwägungen anzuweisen, ein neues Urteil zu erlassen.
Das Kantonsgericht Wallis und der Staatsrat des Kantons Wallis beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) lässt sich nicht vernehmen.
D.
Mit Verfügung vom 19. Juni 2018 wies das Bundesgericht ein Gesuch A.A._s um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das vorliegende Verfahren ab.

Erwägungen:
1.
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Zusammenhang mit Bewilligungen ausgeschlossen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>). Ein entsprechender Anspruch besteht im vorliegenden Fall gestützt auf Art. 43 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; ab 1. Januar 2019 in revidierter Fassung Art. 43 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer und über die Integration [AIG; SR 142.20], wobei vorliegend gemäss <ref-law> noch die Fassung von Art. 43 AuG zur Anwendung gelangt) i.V.m. <ref-law> (nicht fristgerechter Familiennachzug des Ehegatten zu einer Person mit Niederlassungsbewilligung) sowie Art. 8 EMRK und <ref-law> (Schutz des Privat- und Familienlebens) : Der Beschwerdeführer verfügt über eine Niederlassungsbewilligung und hat damit ein gefestigtes Anwesenheitsrecht; er hat die intakte familiäre Beziehung zu seiner Frau bisher grenzüberschreitend gelebt (vgl. <ref-ruling> E. 6.1 S. 12); durch den angefochtenen Entscheid wird das Recht des Ehepaares auf Schutz ihres Familienlebens berührt.
1.2. Ob die erforderlichen Bewilligungsvoraussetzungen im Einzelfall gegeben sind, ist praxisgemäss eine Frage der materiellen Beurteilung; für das Eintreten genügt, dass - wie hier - ein potentieller Anspruch auf den Familiennachzug in vertretbarer Weise dargetan wird (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 179). Auf die frist- (<ref-law>) und formgerecht (<ref-law>) eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (vgl. Art. 82 ff. und Art. 86 lit. d BGG) des durch den vorinstanzlichen Endentscheid (<ref-law>) betroffenen Beschwerdeführers (vgl. <ref-law>) ist einzutreten.
1.3. Der Beschwerdeführer hat mit seinem Rechtsmittel eine Statistik des BFM eingereicht, mit welcher er zu belegen versucht, dass im Kanton Wallis bislang keine Sensibilität für Härtefälle besteht. Das entsprechende Beweismittel ist unbeachtlich:
Nach <ref-law> dürfen neue Tatsachen und Beweismittel im bundesgerichtlichen Verfahren lediglich insoweit vorgebracht werden, als der angefochtene Entscheid hierzu Anlass gibt. Die eingereichte Statistik ist im Sinne dieser Bestimmung als neu zu qualifizieren, da sie nicht ohne Recherche aufgefunden werden kann und damit nicht als notorisch gilt (vgl. BERNHARD CORBOZ, in: ders./Wurzburger/Ferarri/Frésard/Aubry Girardin [Hrsg.], Commentaire de la LTF, 2. Aufl. 2014, N. 13b zu <ref-law>, mit Hinweis). Der Beschwerdeführer hätte die Statistik rechtzeitig in das kantonale Verfahren einbringen können und müssen. Die Problematik, in deren Kontext der Beschwerdeführer dieses Dokument vorlegt, bildete schon bei der Vorinstanz Verfahrensgegenstand, und die nachgereichte Statistik bestand bereits im Zeitpunkt des vorinstanzlichen Verfahrens. Nur weil das Kantonsgericht Wallis nicht der rechtlichen Beurteilung des Beschwerdeführers gefolgt ist, gibt der angefochtene Entscheid nicht bereits Anlass, im bundesgerichtlichen Verfahren die Beweismittel zu ergänzen. Dazu müsste das kantonale Gericht materielles Recht derart angewendet haben, dass bestimmte Sachumstände neu und erstmals - durch den angefochtenen Entscheid - Rechtserheblichkeit erhielten. Dies ist hier nicht der Fall, wurde das Nachzugsgesuch doch durch sämtliche Instanzen mit analoger Begründung im Rahmen von Art. 47 Abs. 4 AuG (heute AIG) abgewiesen (vgl. auch Urteile 2C_323/2018 vom 21. September 2018 E. 1.4; 2C_50/2017 vom 22. August 2018 E. 3; 2C_1071/2014 vom 28. Mai 2015 E. 1.4).
2.
2.1. Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich potentiell stellenden Fragen zu beantworten, wenn diese in seinem Verfahren nicht mehr formell korrekt (Begründungs- und Mitwirkungspflicht) vorgebracht werden (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem sowie interkantonalem Recht. Das Bundesgericht geht auf entsprechende Rügen nur ein, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287).
2.2. Das Bundesgericht ist an den Sachverhalt gebunden, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig. Zur Sachverhaltsfeststellung gehört auch die auf Indizien gestützte Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 2.3 S. 265 ff.; Urteil 2C_402/2015 vom 11. November 2016 E. 2.2.2). Inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung bzw. die Sachverhaltsfeststellung offensichtlich unhaltbar ist, muss in der Beschwerdeschrift klar und detailliert aufgezeigt werden (<ref-ruling> E. 4.2; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.3 S. 262); es gilt diesbezüglich eine qualifizierte Begründungspflicht (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.). Soweit der Beschwerdeführer die Beweiswürdigung der Vorinstanz bloss appellatorisch beanstandet - d.h. lediglich seine Sicht der Dinge derjenigen der Vorinstanz gegenüberstellt, ohne darzutun, inwiefern diese die Beweise in Verletzung von <ref-law> (Willkürverbot) gewürdigt hat - ist auf seine Ausführungen nicht weiter einzugehen.
3.
Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe ihn und seine Ehefrau zu Unrecht nicht angehört.
3.1. Der Richter kann das Beweisverfahren schliessen, wenn die Anträge nicht erhebliche Tatsachen betreffen. Gleichermassen kann er Beweisanträge ohne Verletzung des rechtlichen Gehörs ablehnen, wenn er aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener antizipierter Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E 3.3 S. 64, mit Hinweis).
3.2. Gemäss den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>) hat der Beschwerdeführer im Verfahren vor dem kantonalen Verwaltungsgericht eine mündliche Anhörung beider Ehegatten beantragt, um darzulegen, dass ihre Ehe nach wie vor Bestand hat und sie sich nicht getrennt haben. Da die Vorinstanz aber von einem tatsächlich gelebten Eheverhältnis ausgegangen ist, bestand für sie kein zwingender Grund, die Ehegatten zu diesem Punkt anzuhören. Vielmehr durfte sie auf eine solche Anhörung in antizipierter Beweiswürdigung verzichten. Dies gilt umso mehr, als der verfassungsrechtliche Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) dem Betroffenen kein Recht verleiht, seine Anliegen und Standpunkte mündlich vorbringen zu können (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.2 S. 193; <ref-ruling> E. 9.6.1; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 5.1).
Zwar macht der Beschwerdeführer vor dem Bundesgericht geltend, im Rahmen einer mündlichen Anhörung hätten er und seine Ehefrau weitere Umstände als die intakte eheliche Beziehung darlegen können, wie etwa das von ihnen für die Ausbildung der Kinder erbrachte Opfer oder die Tatsache, dass ihre Eltern in Serbien entgegen der Annahme der Vorinstanz nicht in Alters- und Pflegeheimen untergebracht gewesen seien (vgl. Beschwerde, S. 3 f.). Insoweit stösst der Beschwerdeführer aber schon deshalb ins Leere, weil er nicht substantiiert aufzeigt, dass er bei der Vorinstanz zu diesen Punkten eine mündliche Anhörung beantragt hat.
Entgegen der Meinung des Beschwerdeführers ergibt sich vorliegend auch nicht in Analogie zu Art. 47 Abs. 4 Satz 2 AuG (bzw. AIG), dass seine Ehefrau hätte angehört werden müssen. Diese Vorschrift sieht zwar vor, dass Kinder über 14 Jahre zu den Voraussetzungen eines nachträglichen Familiennachzugs im Sinne von Art. 47 Abs. 4 Satz 2 AuG (bzw. AIG) angehört werden, sofern dies erforderlich ist. Eine analoge Anwendung von Art. 47 Abs. 4 Satz 2 AuG (bzw. AIG) im vorinstanzlichen Verfahren war aber schon deshalb nicht geboten, weil nicht substantiiert ist, dass eine solche Anhörung der Ehefrau zu einem für den vorliegenden Fall rechtswesentlichen Punkt erforderlich gewesen wäre. Im Übrigen hat der gesuchstellende Beschwerdeführer, wie die Vorinstanz in bindender Weise festhält (<ref-law>), seine Argumente im vorinstanzlichen Verfahren mehrmals darlegen können (vgl. E. 3.2.1 des angefochtenen Urteils).
4.
Gemäss Art. 43 Abs. 1 AuG haben ausländische Ehegatten und ledige Kinder unter 18 Jahren von Personen mit Niederlassung Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen. Der Anspruch auf Familiennachzug muss innert fünf Jahren geltend gemacht werden; beim Nachzug von Kindern über zwölf Jahren hat der Nachzug innert zwölf Monaten zu erfolgen (<ref-law>). Die Fünfjahresfrist gilt nach ständiger Rechtsprechung auch für den Ehegatten, und zwar auch dann, wenn er im Ausland für die Kinder gesorgt hat und später mit diesen in die Schweiz gelangen will (Urteil 2C_323/2018 vom 21. September 2018 E. 4.2.2 und 4.2.4, mit Hinweisen). Die Frist für Gesuche um Familiennachzug im Sinne von <ref-law> beginnt dabei grundsätzlich mit der Erteilung der Niederlassungsbewilligung oder der Entstehung des Familienverhältnisses zu laufen (<ref-law>); indessen läuft die Frist frühestens mit Inkrafttreten des Ausländergesetzes am 1. Januar 2008 (AS 2007 5489), sofern vor diesem Zeitpunkt die Einreise erfolgt oder das Familienverhältnis entstanden ist (<ref-law>). Ein nachträglicher Familiennachzug wird nur bewilligt, wenn wichtige familiäre Gründe geltend gemacht werden (<ref-law>).
5.
Im Zeitpunkt des Inkrafttretens des Ausländergesetzes am 1. Januar 2008 verfügte der ausländische Beschwerdeführer über eine Niederlassungsbewilligung und war er bereits verheiratet. Damit begann die fünfjährige Frist für ein Gesuch um Nachzug seiner ausländischen Gattin am 1. Januar 2008 zu laufen und endete am 1. Januar 2013. Demgemäss wurden die Nachzugsgesuche vom 29. Januar/17. Februar 2014 bzw. 25. Februar 2016 nicht fristgerecht gestellt. Dies wird seitens des Beschwerdeführers nicht bestritten.
Indessen macht er geltend, gestützt auf <ref-law> bzw. aufgrund wichtiger familiärer Gründe sei ein nachträglicher Familiennachzug zu bewilligen.
6.
6.1. Wichtige familiäre Gründe im Sinne von <ref-law> liegen vor, wenn das Kindswohl nur durch einen Nachzug in die Schweiz sachgerecht gewahrt werden kann (Art. 75 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit [VZAE; SR 142.201]), beispielsweise wenn die weiterhin notwendige Betreuung der Kinder im Herkunftsland wegen des Todes oder der Krankheit der betreuenden Person nicht mehr gewährleistet ist und keine sinnvolle Alternative in der Heimat gefunden werden kann (Urteil 2C_38/2017 vom 23. Juni 2017 E. 4.3, mit Hinweisen). An den Nachweis der fehlenden Betreuungsmöglichkeit im Heimatland stellt die Rechtsprechung umso höhere Anforderungen, je älter das nachzuziehende Kind ist und je grösser die Integrationsschwierigkeiten erscheinen, die ihm hier drohen (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 289; Urteile 2C_147/2015 vom 22. März 2016 E. 2.4.3; 2C_767/2015 vom 19. Februar 2016 E. 5.1.2).
Der Begriff der wichtigen familiären Gründe hat im Zusammenhang mit dem Nachzug des Ehepartners keine ausdrückliche Regelung in der VZAE gefunden; auch erhielt er weder in der bisherigen Rechtsprechung noch in der Lehre schärfere Konturen (vgl. Urteil 2C_323/2018 vom 21. September 2018 E. 8.2.2, mit Hinweisen auf Rechtsprechung und Literatur).
Es obliegt im Rahmen seiner Mitwirkungspflichten dem Gesuchsteller, die Umstände, welche die wichtigen familiären Gründe im Sinne von <ref-law> begründen, nicht nur zu behaupten, sondern auch zu belegen (vgl. <ref-law>; Urteile 2C_1154/2016 vom 25. August 2017 E. 3.1; 2C_1/2017 vom 22. Mai 2017 E. 4.1.4; 2C_303/2014 vom 20. Februar 2015 E. 6.1 in fine).
6.2. Trotz seines Ausnahmecharakters ist <ref-law> so zu handhaben, dass der Anspruch auf Schutz des Familienlebens nach Art. 8 EMRK nicht verletzt wird (Urteile 2C_303/2014 vom 20. Februar 2015 E. 6.1; 2C_97/2013 vom 26. August 2013 E. 2.3).
Praxisgemäss geht das Bundesgericht davon aus, dass eine Familie, die freiwillig jahrelang getrennt gelebt hat, dadurch ihr beschränktes Interesse an einem ortsgebundenen (gemeinsamen) Familienleben zum Ausdruck bringt; in einer solchen Konstellation, in der die familiären Beziehungen während Jahren über die Grenzen hinweg besuchsweise und über die modernen Kommunikationsmittel gelebt werden, überwiegt regelmässig das der ratio legis von <ref-law> zugrunde liegende legitime Interesse an der Einwanderungsbeschränkung, solange nicht objektive, nachvollziehbare Gründe, welche von den Betroffenen zu bezeichnen und zu rechtfertigen sind, etwas anderes nahelegen (Urteile 2C_323/2018 vom 21. September 2018 E. 8.2.2; 2C_348/2016 vom 17. März 2017 E. 2.3; 2C_914/2014 vom 18. Mai 2015 E. 4.1).
Ein nachträglicher Nachzug kommt nicht in Betracht, wenn der Nachzugswillige die Einhaltung von Fristen, die ihm die Zusammenführung der Familie ermöglicht hätte, versäumt hat und keine gewichtigen Gründe geltend macht, um erst später einen derartigen Nachzug zu beantragen. Namentlich dort, wo die Familie selber die Trennung freiwillig herbeigeführt hat, bedarf es stichhaltiger Gründe, die zum Wohle der Familie eine andere Lösung erforderlich machen (Urteil 2C_914/2014 vom 18. Mai 2015 E. 3.1, mit weiteren Hinweisen). So kann ein nachträglicher Nachzug verweigert werden, wenn Frau und Kinder bisher bereits im Ausland getrennt vom Vater lebten und weiterhin dort leben können (vgl. Urteile 2C_38/2017 vom 23. Juni 2017 E. 4.3; 2C_1/2017 vom 22. Mai 2017; 2C_887/2014 vom 11. März 2015; 2C_205/2011 vom 3. Oktober 2011).
6.3.
6.3.1. Die Vorinstanz hat das Vorliegen von wichtigen familiären Gründen im Sinne von <ref-law> im Wesentlichen mit der Begründung verneint, der Beschwerdeführer und seine Ehefrau würden seit dem 1. Juli 2001 grundsätzlich geografisch getrennt leben, er in der Schweiz und sie in Serbien. Nur in der Zwischensaison sei er jeweils nach Serbien zurückgekehrt. Spätestens 2007 seien alle dortigen Betreuungsaufgaben der Ehefrau weggefallen. Dennoch habe der Beschwerdeführer bis zum 4. Mai 2010 gewartet, um für seine Frau sowie seinen damals 14-jährigen Sohn um Familiennachzug zu ersuchen. Der Beschwerdeführer habe dies zwar damit begründet, dass der Sohn aus Gründen des Kindeswohles zuerst die Volksschule in Serbien hätte beenden sollen. Diese Einschätzung des Beschwerdeführers widerspreche aber dem Sinn und Zweck der gesetzlichen Fristen für den Familiennachzug, wonach minderjährige Kinder die Möglichkeit erhalten sollen, zwecks Erleichterung der Integration so früh wie möglich in der Schweiz zur Schule zu gehen. Jedenfalls stelle dies keinen wichtigen Grund für ein verspätetes Gesuch dar. Es sei davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer und seine Ehefrau im Jahr 2007 entschieden hätten, dem Zusammenleben in der Schweiz keine Priorität einzuräumen (vgl. E. 4.2.7 und 6.1 des angefochtenen Entscheids).
An anderer Stelle des angefochtenen Entscheids wird ausgeführt, der Beschwerdeführer und dessen Ehefrau hätten seit dem Jahr 2001 nicht mehr in der Schweiz zusammengelebt und der Staatsrat sei richtigerweise zur Einschätzung gelangt, das Ehepaar habe sich freiwillig für diese Art des Familienlebens entschieden (E. 5.3 des angefochtenen Entscheids).
6.3.2. Der Beschwerdeführer bestreitet, dass er und seine Ehefrau - wie die Vorinstanz annimmt - freiwillig über Jahre hinweg getrennt lebten.
6.4.
6.4.1. Vorliegend fällt ins Gewicht, dass der Beschwerdeführer am 8. Februar 2011 um den Nachzug seiner Ehefrau ersucht hat. Damit hat sich der Beschwerdeführer vor Ablauf der fünfjährigen Nachzugsfrist für seine Ehefrau, aber nach Ablauf der zwölfmonatigen Nachzugsfrist für seinen damals schon über zwölfjährigen Sohn darum bemüht, seiner Ehefrau eine Übersiedlung in die Schweiz zu ermöglichen. Diese Bemühungen blieben aber fruchtlos, da die DBM das Gesuch (zusammen mit dem gleichzeitig für den Sohn eingereichten Nachzugsgesuch) abwies. Gemäss den für das Bundesgericht bindenden Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>) erfolgte die Abweisung des Antrages auf Ehegattennachzug unter anderem mit der Begründung, die Frau des Beschwerdeführers sei mit einem Einreiseverbot belegt.
Selbst wenn die Ehegatten ihre geografische Trennung bei der Ausreise der Ehefrau aus der Schweiz am 1. Juli 2001 selbst herbeigeführt hätten, kann aufgrund der genannten, fristgerechten Bemühungen des Beschwerdeführers um Nachzug seiner Ehefrau im Februar 2011 nicht angenommen werden, dass die beiden Ehepartner seit dem Jahr 2001 (bzw. seit dem Juli dieses Jahres) ununterbrochen freiwillig räumlich voneinander getrennt gelebt haben. In letzterem Punkt wirft der Beschwerdeführer deshalb der Vorinstanz zu Recht eine willkürliche Beurteilung vor (vgl. Beschwerde, S. 7). Daran nichts ändern kann der Umstand, dass die Abweisung des Nachzugsgesuchs vom 8. Februar 2011 in Bezug auf die Ehefrau unter Hinweis auf die ihr gegenüber verfügte Einreisesperre begründet wurde und der Beschwerdeführer diesen Entscheid nicht angefochten hat (vgl. Bst. C des angefochtenen Entscheids). Ebenso wenig erscheint in diesem Kontext massgeblich, dass die Ehefrau des Beschwerdeführers diese Einreisesperre zuvor durch ihr Verhalten selbst herbeigeführt hat.
Ob vorliegend wichtige familiäre Gründe für das nachträgliche Familiennachzugsgesuch unter blossem Hinweis auf ein angebliches jahrelanges freiwilliges Getrenntleben verneint werden können, kann aber an dieser Stelle letztlich dahingestellt bleiben. Denn wie im Folgenden ersichtlich wird, sind jedenfalls keine wichtigen familiären Gründe ersichtlich, das Gesuch um Nachzug der Ehefrau erst am 29. Januar 2014 (und danach) gestellt zu haben.
6.4.2. Bei der hier vorzunehmenden Prüfung, ob wichtige familiäre Gründe für einen nachträglichen Familiennachzug vorliegen (vgl. <ref-law>), ist zu berücksichtigen, dass es einzig noch um den Nachzug der Ehegattin des Beschwerdeführers geht. Gründe, diesen Nachzug erst am 29. Januar 2014 und damit nach Ablauf der fünfjährigen Frist bis zum 1. Januar 2013 geltend zu machen, können - wie die Vorinstanz zutreffend erkannt hat - namentlich vorliegen, wenn die Ehefrau des Beschwerdeführers gegenüber Verwandten im Ausland Betreuungsaufgaben wahrnehmen musste.
Der Beschwerdeführer macht geltend, seine Ehefrau habe in Serbien nicht nur die Grosseltern, sondern vorab auch die eigenen Kinder betreuen müssen (vgl. insbesondere Beschwerde, S. 4).
Zum Zeitpunkt des (ersten) hier streitbetroffenen Nachzugsgesuchs für die Ehefrau vom 29. Januar 2014 war der gemeinsame Sohn C.A._ noch nicht volljährig. Selbst wenn als allgemeinnotorisch angenommen würde, dass bei nicht volljährigen Kindern auch über das 16. Altersjahr hinaus ein - wenn auch gegenüber dem Betreuungsbedarf bei jüngeren Kindern verringertes - Betreuungsbedürfnis besteht, könnte daraus nichts zu Gunsten des Beschwerdeführers abgeleitet werden. Denn der Beschwerdeführer hat trotz der ihn treffenden Mitwirkungspflicht (vgl. <ref-law>) nicht behauptet, geschweige denn belegt, dass die Betreuung des Sohnes C.A._ bis zur Einreichung des Gesuches vom 29. Januar 2014 nur von seiner Ehefrau hätte übernommen werden können.
Die gemeinsame Tochter B.A._, die in Serbien aufgewachsen ist, war bereits vor dem am 1. Januar 2013 erfolgten Ablauf der Fünfjahresfrist volljährig. Hinsichtlich der Tochter bestand also kein rechtserheblicher Betreuungsbedarf mehr. Im Übrigen waren die Eltern des Beschwerdeführers, die nach seinen Angaben von seiner Ehefrau betreut worden waren, und sein Schwiegervater im Jahr 2012 bereits verstorben. Selbst wenn sich die Schwiegermutter des Beschwerdeführers - entgegen seiner im angefochtenen Entscheid wiedergegebenen Darstellung in einer älteren Rechtsschrift (vgl. E. 4.2.4 des angefochtenen Entscheids) - nicht in einem Alters- und Pflegeheim befunden haben sollte (in diesem Sinne Beschwerde, S. 4), ist davon auszugehen, dass sie nicht von der Ehefrau des Beschwerdeführers betreut wurde. Denn nach den verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz (<ref-law>) machte der Beschwerdeführer im vorangegangenen Verfahren nicht geltend, es hätte in Bezug auf seine Schwiegermutter in Serbien keine Angebote der Drittbetreuung gegeben (vgl. E. 4.2.6 des angefochtenen Entscheids).
Jedenfalls im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuches vom 29. Januar 2014 bestand damit kein wichtiger familiärer Grund, den Nachzug verspätet geltend zu machen.
Die Vorinstanz ist somit zu Recht zum Schluss gelangt, dass keine wichtigen Gründe für einen nachträglichen Familiennachzug im Sinne von <ref-law> gegeben sind.
7.
Die Verneinung eines wichtigen Grundes im Sinne von <ref-law> erscheint vorliegend als mit dem Anspruch auf Schutz des Familienlebens nach Art. 8 EMRK vereinbar. Da es dem Beschwerdeführer und seiner Ehefrau unbenommen gewesen wäre, ihr Nachzugsgesuch fristgerecht einzureichen, liegt kein Härtefall vor, welcher die Gewährung des Nachzugs der Ehefrau gestützt auf letztere Bestimmung oder gestützt auf <ref-law> erfordern würde (vgl. zur grundsätzlichen Vereinbarkeit von <ref-law> mit Art. 8 EMRK Urteil 2C_323/2018 vom 21. September 2018 E. 6.2 ff. und 8.1).
Aus dem vom Beschwerdeführer angerufenen Recht auf Ehe (<ref-law>; vgl. auch Art. 12 EMRK) ergibt sich kein Anspruch darauf, dass ein Aufnahmestaat verpflichtet wäre, den grenzüberschreitenden Familiennachzug vorbehaltlos und jederzeit zuzulassen. Die positive Ehefreiheit garantiert das Recht zur Eheschliessung, d.h. die Freiheit einer heiratsfähigen Person, selbst zu entscheiden, ob, wann und wen sie wie heiraten möchte. Die negative Ehefreiheit gewährleistet das Recht, sich nicht zu verheiraten (vgl. PETER UEBERSAX, in: Waldmann/Belser/Epiney [Hrsg.], Bundesverfassung, 2015, N. 11 und 12 zu <ref-law>). Die Ehefreiheit verschafft in keiner ihrer Formen einen Anspruch auf ein Familienleben an einem bestimmten, frei wählbaren Ort. Migrationsrechtlich gehen in diesem Zusammenhang Art. 8 EMRK und <ref-law> der Ehefreiheit vor (Urteil 2C_323/2018 vom 21. September 2018 E. 6.5.3). Die Heirat ist dem Beschwerdeführer und seiner Ehefrau nicht verboten worden, auch hatten sie die Möglichkeit, die Voraussetzungen für den Familiennachzug zu erfüllen; es erübrigt sich unter diesen Umständen, auf die entsprechende Rüge weiter einzugehen.
Auch die übrigen Rügen der Verletzung des Rechts auf Familie (<ref-law>), des Rechtsgleichheitsgebotes (<ref-law>) und der Menschenwürde (<ref-law>) erweisen sich mit Blick auf das Ausgeführte - soweit sie überhaupt genügend substantiiert sind (vgl. <ref-law>) - als unbegründet. Dies gilt grundsätzlich auch mit Bezug auf das Vorbringen, der angefochtene Entscheid verstosse gegen das Willkürverbot (<ref-law>). Trotz der hiervor festgestellten willkürlichen Beurteilung der Freiwilligkeit des Getrenntlebens durch die Vorinstanz (vgl. E. 6.4.1) erscheint der angefochtene Entscheid im Ergebnis nicht als verfassungswidrig, weshalb er rechtsprechungsgemäss nicht wegen Willkür aufzuheben ist (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.; <ref-ruling> E. 3.2.5 S. 339; je mit Hinweisen).
8.
8.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist nach dem Gesagten abzuweisen.
8.2. Nachdem das Bundesgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege am 19. Juni 2018 abgewiesen hat, sind die bundesgerichtlichen Verfahrenskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Die Kosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Dienststelle für Bevölkerung und Migration, dem Staatsrat des Kantons Wallis, dem Kantonsgericht Wallis, Öffentlichrechtliche Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juli 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: König