Sachverhalt:
A.
A.A._ (geb. 1978; Beschwerdeführerin) und B.A._ (geb. 1980; Beschwerdegegner) sind die Eltern von C.A._ (geb. 2013). Die Eltern leben getrennt.
B.
B.a. Mit superprovisorischem Entscheid vom 11. April 2018 errichtete das Bezirksgericht Weinfelden eine Beistandschaft und teilte die Obhut für C.A._ dem Beschwerdegegner zu.
B.b. Mit Entscheid vom 5. Februar 2019 bestätigte das Bezirksgericht die superprovisorische Obhutszuteilung sowie die Beistandschaft. Die im hälftigen Miteigentum stehende Liegenschaft der Parteien wies es dem Beschwerdegegner zur alleinigen Nutzung für sich und C.A._ zu. Die Beschwerdeführerin wurde berechtigt, die Tochter an zwei Nachmittagen pro Woche von 12.00 Uhr bis 17.00 Uhr sowie an jedem zweiten Wochenende jeweils von Freitag, 17.00 Uhr, bis Sonntag, 17.00 Uhr, zu oder mit sich auf Besuch zu nehmen. Das Gericht verpflichtete den Vater, für den Barunterhalt von C.A._ in Höhe von Fr. 565.00 aufzukommen. Die Mutter wurde zur Bezahlung eines Unterhaltsbeitrags von Fr. 2'000.-- verpflichtet.
B.c. Eine gegen diesen Entscheid erhobene Berufung der Beschwerdeführerin wies das Obergericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 2. April 2019 ab.
C.
C.a. Am 14. Mai 2019 stellte die Beschwerdeführerin ein Gesuch um Abänderung des Entscheids vom 5. Februar 2019. Im Rahmen dieses Verfahrens stellte auch der Beschwerdegegner ein Abänderungsgesuch.
C.b. Mit Entscheid vom 3. April 2020 wies das Bezirksgericht Weinfelden das Abänderungsgesuch der Beschwerdeführerin ab (Ziff. 1); das Gesuch des Beschwerdegegners hiess es teilweise gut (Ziff. 1 f.) und änderte die Besuchsregelung wie folgt: Die Beschwerdeführerin wurde berechtigt, die Tochter an einem Nachmittag pro Woche von 12.00 Uhr bis 17.00 Uhr (anstatt vorher an zwei Nachmittagen) sowie an jedem zweiten Wochenende jeweils von Freitag, 17.00 Uhr, bis Sonntag, 17.00 Uhr, zu oder mit sich auf Besuch zu nehmen (Ziff. 2.1). Die von der Beschwerdeführerin dem Beschwerdegegner für C.A._ geschuldeten monatlichen Unterhaltsbeiträge wurden neu festgesetzt (ab 1. Juli 2019 Fr. 565.--; Ziff. 2.2); ebenso der vom Beschwerdeführer zu leistende Betrag (ab 1. Juli 2020 Fr. 645.--, ab 1. August 2020 Fr. 365.--; Ziff. 2.3), und das Gericht erteilte den Parteien Weisungen (Ziff. 4 bis 6, teils unter Strafandrohung), u.a. die Verpflichtung, im Hinblick auf eine sachliche Kommunikation betreffend Kinderbelange Beratung in Anspruch zu nehmen (Ziff. 6).
D.
D.a. Gegen den Entscheid vom 3. April 2020 erhob die Beschwerdeführerin am 16. April 2020 Berufung beim Obergericht des Kantons Thurgau. Sie beantragte, Ziff. 1, 2 und 4 des Entscheides seien aufzuheben. Die Tochter sei unter ihre alleinige Obhut zu stellen. Dem Beschwerdegegner sei ein begleitetes Besuchsrecht einzuräumen, inkl. Ferienrecht, und ihm seien Weisungen zu erteilen. Weiter sei er zur Bezahlung angemessener Unterhaltsbeiträge an sie selbst und an die Tochter zu verpflichten. Eventualiter beantragte sie die Erstellung eines Erziehungsgutachtens über sie selbst, und die Tochter sei von einer Fachperson zu den Tätlichkeiten und zur Ausübung von psychischer und physischer Gewalt durch den Beschwerdegegner zu befragen.
D.b. Der Beschwerdegegner beantragte mit Berufungsantwort vom 4. Mai 2020, die Berufung sei abzuweisen. Beide Parteien äusserten sich ein weiteres Mal und die Beschwerdeführerin brachte mehrfach weitere Beweismittel und Behauptungen vor.
D.c. Am 13. Juli 2020 ernannte das Obergericht Rechtsanwältin Karin Looser Hürsch zur Kinderanwältin für C.A._. Die Kinderanwältin erstattete dem Obergericht am 21. August 2020 Bericht, wozu beide Parteien Stellung nahmen.
D.d. Am 12. August 2020 beantragte die Beschwerdeführerin ein Erziehungsfähigkeitsgutachten über den Beschwerdegegner.
D.e. Am 14. Oktober 2020 beantragte die Beschwerdeführerin, dem Beschwerdegegner sei die Obhut über die Tochter superprovisorisch zu entziehen. Weiter verlangte die Beschwerdeführerin neu die Zuteilung der ehelichen Liegenschaft, dem Beschwerdegegner sei zu verbieten, sich ihr anzunähern, die Akten einer Strafuntersuchung gegen den Beschwerdegegner wegen mehrfacher Tätlichkeiten gegenüber C.A._ seien beizuziehen und eventualiter sei Frau D._, die Mutter der Beschwerdeführerin, als Zeugin zu befragen.
Gleichzeitig änderte sie ihre Berufungsanträge. Der Beschwerdegegner solle die Tochter an einem Nachmittag pro Woche von 12.00 Uhr bis 17.00 Uhr und jedes zweite Wochenende von Samstag, 9.00 Uhr bis 12.00 Uhr, begleitet auf Besuch nehmen können. Auf eine Ferien- und Feiertagsregelung sei zu verzichten, bis er eine Erziehungsschule besucht habe. Er sei zu Unterhaltsbeiträgen an sie selbst von Fr. 2'000.-- bis Oktober 2019, Fr. 770.-- von November 2019 bis April 2020 resp. Fr. 1'410.-- von Mai 2020 bis Oktober 2020 zu verpflichten. Ab November 2020 habe er ihr und an den Unterhalt der Tochter Fr. 2'830.-- zu bezahlen. Den Antrag auf Erstellung eines Erziehungsgutachtens zog sie zurück. Der Beschwerdegegner und die Kinderanwältin nahmen je am 6. November 2020 hierzu Stellung.
D.f. Den superprovisorischen Antrag wies das Obergericht mit verfahrensleitender Verfügung vom 15. Oktober 2020 ab. Mit Entscheid vom 10. November 2020 wurde der Antrag auf (super) provisorische Umteilung der Obhut definitiv abgewiesen. Gleichzeitig ordnete das Gericht ein Ergänzungsgutachten beim Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienst U._ (KJPD) an, wobei die Parteien dem Vorgehen zustimmten. Mit dem Gutachten wurde E._ (KJPD, Fachstelle Gutachten) beauftragt.
D.g. Am 16. Februar 2021 unterbreiteten die Gutachter einen vorläufigen Ergebnisbericht, der den Parteien vorgelegt wurde. Eine der Gutachterpersonen, F._, erstattete an der Berufungsverhandlung mündlich Bericht und beantwortete Ergänzungsfragen der Parteien.
D.h. Die Berufungsverhandlung fand am 24. Februar 2021 statt. Die Parteien einigten sich darauf, eine Erziehungsberatung zu beginnen (mit je separaten Gesprächen, aber bei derselben Institution, wobei die beiden beratenden Fachpersonen ihre Arbeit eng miteinander abstimmen sollten, um einen kooperativen Informationsaustausch bezüglich Tochter aufzubauen). Der Beschwerdegegner erklärte, die Organisation an die Hand zu nehmen. Die Parteien und die Kinderanwältin konnten zum Ergebnisbericht und der Befragung der Gutachterin sowie zu allen Anträgen Stellung nehmen.
D.i. Mit Entscheid vom 24. Februar/3. März 2021 erklärte das Obergericht die Berufung für unbegründet, soweit darauf einzutreten sei (Ziff. 1 des Urteilsdispositivs). Es genehmigte die Vereinbarung der Parteien zur Erziehungsberatung (Ziff. 2.a), hob daher den Entscheid vom 3. April 2020 in Bezug auf die in Ziff. 6 des erstinstanzlichen Urteils angeordnete Beratung auf (Ziff. 2.b), und bestätigte den erstinstanzlichen Entscheid im Übrigen (Ziff. 2.c). Die Kosten des Verfahrens auferlegte das Gericht grundsätzlich der Beschwerdeführerin, gewährte dieser aber die unentgeltliche Rechtspflege (Ziff. 3-5).
E.
E.a. Gegen diesen Entscheid des Obergerichts gelangt die Beschwerdeführerin mit Eingabe vom 30. April 2021 an das Bundesgericht. Sie beantragt unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten des Beschwerdegegners, Ziff. 1 und Ziff. 2.c des angefochtenen Urteils seien aufzuheben. Wie vor Vorinstanz beantragt sie die alleinige Obhut über die Tochter. Dem Beschwerdegegner sei ein angemessenes Recht auf persönlichen Verkehr an jedem zweiten Wochenende einzuräumen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sodann beantragt sie die unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
E.b. Das Bundesgericht hat die Akten der Vorinstanzen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1).
1.2. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid betreffend Abänderung von Eheschutzmassnahmen. Vor Bundesgericht ist insbesondere die Obhut strittig. Dabei handelt es sich um eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache nach <ref-law>. Die Parteien sind zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>) und die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Insofern ist die Beschwerde in Zivilsachen gegeben.
2.
2.1. Eheschutzentscheide gelten als vorsorgliche Massnahmen im Sinn von <ref-law> (<ref-ruling> E. 5). Mit der Beschwerde kann somit nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (vgl. auch <ref-ruling> E. 4.1). Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Das bedeutet, die rechtsuchende Partei muss klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darlegen, inwiefern ein verfassungsmässiges Recht verletzt worden sein soll. Dabei ist, unter Wahrung des erörterten Rügeprinzips, auch darzulegen, inwiefern eine richtige Anwendung der gerügten Verfassungsbestimmung zu einem anderen Ergebnis geführt hätte (Urteile 5A_750/2020 vom 6. Mai 2021 E. 3.2; 5A_733/2019 vom 28. Oktober 2019 E. 3.3; 5A_853/2009 vom 4. Februar 2010 E. 1.2; 5D_151/2009 vom 12. November 2009 E. 3.1). Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.2; je mit Hinweisen).
2.2. Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen, wozu auch der sog. Prozesssachverhalt zählt (<ref-ruling> E. 1.3.1), kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz solche Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1). Es gilt wiederum das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>.
2.3. Wird eine Verletzung des Willkürverbots nach <ref-law> geltend gemacht, reicht es nicht aus, die Lage aus der eigenen Sicht darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Es ist im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 1.4.1; <ref-ruling> E. 2.2).
2.3.1. Willkür in der Sachverhaltsfeststellung und in der Beweiswürdigung liegt vor, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges Beweismittel, das für den Entscheid wesentlich sein könnte, unberücksichtigt gelassen hat oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen getroffen hat (<ref-ruling> E. 4.4 mit Hinweisen). Vorausgesetzt ist dabei, dass die angefochtene Tatsachenermittlung den Entscheid im Ergebnis und nicht bloss in der Begründung als willkürlich erscheinen lässt (<ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen). Namentlich in der Indizienbeweiswürdigung ist zu beachten, dass Willkür nicht schon dann vorliegt, wenn die vom Sachgericht gezogenen Schlüsse nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmen, sondern nur, wenn die Beweiswürdigung offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-law>; BGE <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 4.3; <ref-ruling> E. 4.2.1; vgl. auch Urteil 5A_51/2014 vom 14. Juli 2014 E. 3; je mit Hinweisen). Den Begründungsanforderungen genügt nicht, wer seinen Ausführungen einen Sachverhalt zugrunde legt, der im angefochtenen Entscheid nicht festgestellt ist (Urteil 5A_123/2019 vom 6. Dezember 2019 E. 1.4 mit Hinweis), wer sich darauf beschränkt, die vorinstanzlichen Feststellungen als "an den Haaren herbeigezogen" (Urteil 2C_949/2010 vom 18. Mai 2011 E. 5.2), als "offensichtlich unrichtig" oder als "nicht zutreffend" zu bezeichnen (Urteil 4A_128/2018 vom 6. August 2018 E. 2.2.2), wer einzelne Beweise anführt und diese anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet haben möchte (Urteil 4A_199/2019 vom 12. August 2019 E. 2.3), wer die Sachlage aus seiner Sicht darlegt und den davon abweichenden Entscheid als willkürlich bezeichnet (Urteil 5D_183/2015 vom 1. Februar 2016 E. 3) oder wer dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung unterbreitet, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (Urteil 4A_199/2019 vom 12. August 2019 E. 2.3 in fine mit Hinweisen; zum Ganzen zuletzt Urteil 5A_582/2018 vom 1. Juli 2021 E. 2.2).
In der Beschwerde erwähnt die Beschwerdeführerin Tatsachen, die sich nicht aus dem angefochtenen Entscheid ergeben, ohne diesbezüglich eine Sachverhaltsrüge zu erheben. Solche Tatsachenvorbringen bleiben unbeachtlich. Dasselbe gilt für jene Sachverhaltsrügen, in welchen die Beschwerdeführerin nicht aufzeigt, inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein könnte.
2.3.2. Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft; dabei ist erforderlich, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling>7 E. 2.1, 16 E. 2.1; zuletzt Urteil 5A_582/2018 vom 1. Juli 2021 E. 2.3; je mit Hinweisen).
3.
3.1. Das Obergericht erwog zusammengefasst in Bezug auf die Obhutszuteilung, wenn die Erziehungsfähigkeit bei beiden Elternteilen gegeben sei, seien vor allem Kleinkinder und grundschulpflichtige Kinder demjenigen Elternteil anzuvertrauen, der die Möglichkeit habe und dazu bereit sei, sie persönlich zu betreuen. Erfüllten beide Elternteile diese Voraussetzungen ungefähr in gleicher Weise, könne die Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse ausschlaggebend sein. Schliesslich sei - je nach Alter des Kindes - seinem eindeutigen Wunsch Rechnung zu tragen, wobei das Gericht auch darauf hinwies, dass Kindeswohl und Kindeswille voneinander abweichen könnten. Besonders Loyalitätskonflikte könnten das Kind in eine psychische Notsituation führen, und dazu, dass der Kinderwille nur verzerrt artikuliert und/oder wahrgenommen werden könne. Als ebenfalls zu berücksichtigende Kriterien nennt die Vorinstanz die Bereitschaft der Elternteile, mit dem anderen in Kinderbelangen zusammenzuarbeiten, und dass die Zuteilung der Obhut von einer persönlichen Bindung und echter Zuneigung getragen sein sollte.
Die Vorinstanz nimmt sodann auf die kinderpsychiatrische und kinderpsychologische Begutachtung aus dem Jahr 2018 Bezug. Demnach sei das Mädchen grundsätzlich altersgerecht entwickelt, wobei sich Entwicklungsauffälligkeiten und eine emotionale Belastung zeige, weshalb eine kinderpsychiatrische Abklärung und allenfalls eine Kindertherapie zu empfehlen sei. Die Erziehungsfähigkeit werde bei beiden Elternteilen bejaht. Das Wohlverhalten des Vaters gegenüber der Mutter erscheine allerdings besser als umgekehrt; Letztere scheine die Trennung noch nicht akzeptieren zu können. Die Mutter binde die Tochter stärker an sich als der Vater. Beide Eltern befürworteten den Kontakt zum jeweils anderen Elternteil und wiesen grundsätzlich eine ausreichende Bindungstoleranz auf, wobei die Bindungstoleranz beim Vater im Hinblick auf die mütterliche Herkunftsfamilie positiver zu beurteilen sei als bei der Mutter, die Kontakte der Tochter zur Familie des Vaters über mehrere Jahre zu verhindern versucht habe, weil sie sich offenbar selbst durch die Familie nicht akzeptiert gefühlt habe. Als problematisch gesehen wurde sodann das Essverhalten (Essstörung) der Mutter, was sich negativ auf die Tochter auswirken könne. Die Gutachter hätten schliesslich empfohlen, den Lebensmittelpunkt beim Beschwerdegegner zu belassen und der Beschwerdeführerin grosszügige Kontakte einzuräumen, wobei der Umfang der Betreuungszeiten von der Entwicklung der Anorexie der Beschwerdeführerin sowie von deren Kooperationsfähigkeit mit dem Vater abhänge.
Im vom Obergericht eingeholten Ergänzungsgutachten vom 16. Februar 2021 (vorläufiger Ergebnisbericht) wurde gemäss Vorinstanz beiden Eltern ein grosszügiges und adäquates Wohnumfeld attestiert. Beim Vater habe das Mädchen ein eigenes Bett, bei der Mutter schlafe sie in deren Doppelbett. Der Wochenablauf des Mädchens sei von vielen Umgebungswechseln geprägt. Insbesondere gebe es während der väterlichen Betreuungszeit jede Woche mehrere auswärtige Übernachtungen (bei den Grosseltern väterlicherseits und bei der Freundin des Beschwerdegegners). Das Gutachten komme zum Schluss, dass es für das Kind wünschenswert wäre, wenn es weniger solche alltägliche Umgebungswechsel hätte; insbesondere die häufigen Wechsel der Schlafplätze könnten mit zunehmendem Alter eine Belastung darstellen und stressauslösend wirken. Es "nerve" das Mädchen schon heute; sie habe auch zum Ausdruck gebracht, dass sie weniger Zeit gemeinsam mit dem Vater, dessen Partnerin und deren Kindern verbringen wolle. Gemäss Ergebnisbericht sei die emotionale Situation des Mädchens von Auffälligkeiten geprägt. Der Nachtrennungskonflikt ihrer Eltern habe sie in einen belastenden Loyalitätskonflikt gebracht, sie zeige als Bewältigungs- und Lösungsstrategie eine Überangepasstheit. Im Vergleich zur Begutachtung im Jahr 2018 habe ihre Belastung stark zugenommen. Das Eskalationsniveau sei hoch und zum aktuellen Zeitpunkt ein konstruktives elterliches Zusammenwirken "in keiner Weise möglich".
Auch bei der Erziehungsfähigkeit gebe es gemäss Gutachter Veränderungen. In Bezug auf die Mutter habe sich kein negatives Einwirken ihres Essverhaltens feststellen lassen. Hingegen habe sich das Wohlverhalten der Kindsmutter gegenüber dem Kindsvater stark verschlechtert und diese beziehe die Tochter in den elterlichen Konflikt mit ein, was den Loyalitätskonflikt verstärke. In Bezug auf den Kindsvater stünden Vorwürfe der Beschwerdeführerin im Raum betreffend häuslicher Gewalt gegenüber der Tochter sowie von Grenzüberschreitungen ("WC-Thematik"). Die Vorwürfe gingen teils auf Aussagen der Tochter zurück, seien aber vor dem Hintergrund des Loyalitätskonflikts mit Vorsicht zu betrachten. In der Beobachtung der Interaktion zwischen Vater und Tochter hätten die Gutachter "eine harmonische und vertrauensvolle, in keiner Weise von Angst geprägte oder in anderer Form auf gewaltvolle, belastende Erfahrungen hinweisende Beziehung zwischen Tochter und Vater" geschildert. Wie die Vorinstanz festhält, setzten die Gutachter daher Fragezeichen in Bezug auf den Wahrheitsgehalt der Vorwürfe. Die Erziehungsfähigkeit des Beschwerdegegners hätten sie nicht als eingeschränkt betrachtet.
In Bezug auf die von der Tochter geäusserten Wünsche erwähnt die Vorinstanz, diese habe gemäss Gutachter unterschiedliche Wünsche geäussert. Das Mädchen befinde sich noch in einer präintentionalen Phase des Kinderwillens. Die Wünsche seien Ausdruck eines Bedürfnisses nach Gerechtigkeit. Sie wünsche sich, dass die Eltern nicht mehr streiten würden und zufrieden seien. Auch gegenüber der Kinderanwältin habe das Kind ausformuliert, sie wünsche sich, dass die Eltern nicht mehr streiten. Weiter habe sie gesagt, beim Vater sei es manchmal schön, manchmal weniger schön; bei der Mutter sei es immer schön; eigentlich fände sie es bei der Mutter immer schöner. Gemäss Vorinstanz nehme auch die Kinderanwältin wahr, dass sich der Loyalitätskonflikt verstärke. Immer mehr Personen würden in den elterlichen Streit hineingezogen. Da die Mutter die Hauptbetreuungsperson gewesen sei, sei nachvollziehbar, dass das Kind bei der Mutter leben wolle, ihr dürfe aber nicht die Entscheidungsverantwortung auferlegt werden. Das Kindesinteresse liege auf dem Ende der Streitereien. Die Kinderanwältin beantrage, die Obhut beim Beschwerdegegner zu belassen.
Die Vorinstanz geht sodann auf den Amtsbericht der Beiständin vom 31. Dezember 2019 ein. Darin werde beschrieben, dass der Loyalitätskonflikt der Tochter durch die Übergaben von einem Elternteil zum anderen verstärkt werde. Insbesondere die Wechsel an den Nachmittagen seien schwierig und führten dazu, dass sich das Kind hin- und hergerissen fühle. An den Wochenenden sei es einfacher, weil sie da zwei ganze Tage mit der Mutter verbringen könne. Es sei zu überlegen, ob nur noch ein Besuchsnachmittag pro Woche stattfinden solle.
Die Vorinstanz erwog schliesslich zusammenfassend, die gutachterlichen Erkenntnisse erschienen widerspruchlos und vollständig. Demnach gebe es eine spürbare Verschärfung des Konflikts auf der Elternebene, die eine Kindeswohlgefährdung begründe. Die bereits 2018 eingeschränkte Bindungstoleranz der Beschwerdeführerin habe noch einmal abgenommen, auch habe diese eine fehlende Distanz zur Tochter, was sich am Einbezug in den elterlichen Konflikt zeige. Die insofern eingeschränkte Erziehungsfähigkeit der Beschwerdeführerin spreche gegen eine Obhutsumteilung. Das Kind selbst äussere sich ambivalent über den Vater. Die Vorwürfe gegen den Beschwerdegegner (häusliche Gewalt, Grenzüberschreitungen) seien vor dem Hintergrund des Loyalitätskonfliktes und der Fremdinduktion durch die Kindsmutter einzuordnen. Es zeige sich gemäss Gutachter eine erhebliche Diskrepanz zwischen beobachtetem Verhalten der Tochter gegenüber dem Vater und ihren Äusserungen. Die Tochter sei nicht urteilsfähig in Bezug auf die Obhutsfrage. Die Erziehungsfähigkeit des Beschwerdegegners erachtet die Vorinstanz nicht als eingeschränkt. Bei der konkreten Betreuungssituation räumt die Vorinstanz zwar ein, dass die Beschwerdeführerin das Kind selbst betreuen könnte, wohingegen das Betreuungskonzept des Beschwerdegegners mit den vielen Ortswechseln nicht ideal sei, dieser habe aber Änderungen in Aussicht gestellt, weshalb aus diesem Blickwinkel ein Obhutswechsel unverhältnismässig sei. Das Kind wohne seit dem superprovisorischen Entscheid vom 11. April 2018 beim Vater und brauche Kontinuität und Stabilität. Damit sprächen mehr Gründe gegen als für einen Wechsel, weshalb die Obhut beim Beschwerdegegner zu belassen sei.
3.2. In der Folge regelte die Vorinstanz die Besuchskontakte zwischen der Beschwerdeführerin und dem Kind (zur Ausgestaltung siehe Vorne Sachverhalt lit. C.b und D.i).
Vor Bundesgericht stellt die Beschwerdeführerin keine separaten Anträge zum Besuchsrecht für den Fall, dass die Obhut nicht ihr übertragen werden sollte. Die Besuchsrechtsregelung, inkl. die Streichung eines Nachmittags, kann daher nicht überprüft werden.
3.3. Obwohl von der Beschwerdeführerin vor der Vorinstanz beantragt, verzichtete das Obergericht auf die Erteilung von Weisungen gegenüber dem Beschwerdegegner (beantragt war u.a., der Beschwerdegegner dürfe die Tochter nicht weiter über die Besuche bei der Mutter ausfragen; er habe die häufigen auswärtigen Übernachtungen während seiner Betreuungszeit zu reduzieren). Die Vorinstanz hielt immerhin fest, wenn sich der Beschwerdegegner nicht an seine diesbezüglich gemachten Versprechungen halte (u.a. Reduktion der auswärtigen Übernachtungen), wären Massnahmen im bereits eingeleiteten Scheidungsverfahren möglich.
Auch zur Frage allfälliger Weisungen stellt die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht keine Anträge, womit auch darauf nicht weiter einzugehen ist.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin macht in mehreren Punkten Willkür in der Sachverhaltsfeststellung und/oder der Beweiswürdigung geltend.
4.1.1. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz sei bei ihr willkürlich von einer eingeschränkten Erziehungsfähigkeit ausgegangen. Die Gutachter hätten vielmehr beim Beschwerdegegner Einschränkungen der Erziehungsfähigkeit in Bezug auf sein Kooperationsverhalten ihr gegenüber festgestellt. Bei ihr hingegen gehe keine eingeschränkte Erziehungsfähigkeit aus dem Gutachten hervor. Ihr werde ausdrücklich eine ausreichende Bindungstoleranz attestiert, an ihrer Erziehungsfähigkeit lägen keinerlei Zweifel vor. Die aus dem Gutachten gezogenen Schlüsse seien willkürlich.
Die Beschwerdeführerin übergeht dabei, dass die Gutachter im Ergänzungsgutachten vom 16. Februar 2021 festhielten (vgl. vorstehend E. 3.1 vierter Abschnitt), dass sich die Bindungstoleranz der Beschwerdeführerin gegenüber dem ersten Gutachten verschlechtert habe, während ebensolches beim Beschwerdegegner nicht festgestellt wurde. Die Beschwerdeführerin setzt sich damit nicht auseinander, womit ihre Rüge appellatorisch bleibt.
4.1.2. Als willkürlich erachtet die Beschwerdeführerin sodann die Feststellung, dass sie die Tochter in den Elternkonflikt miteinbeziehe. Der Vorwurf stimme nicht. Es sei vielmehr der Beschwerdegegner, der die Tochter ausfrage nach Besuchen bei ihr und diese unter Druck setze. Sie habe dem Gericht am 14. Oktober 2020 Aussagen des Kindes gegenüber den Grosseltern mütterlicherseits zur Kenntnis gebracht, aus denen die Beeinflussung und das Ausfragen des Kindes durch den Beschwerdegegner eindeutig hervor gingen, worauf die Vorinstanz indes mit keinem Wort eingegangen sei.
Die Vorinstanz erwähnt besagte Eingabe im Zusammenhang mit den Erwägungen zur Einschätzung der Gutachter, dass die Art, wie die Beschwerdeführerin Aussagen der Tochter ins Verfahren einbringe und wie sie auf Tonbandaufnahmen die Tochter Erzählungen wiederholen lasse (suggestive Frageweise), zeige, dass sie nicht kindeswohlgerecht auf solche Aussagen eingehen könne. Die Vorinstanz sieht darin die Erkenntnis der Gutachter gestützt, dass sich die Erziehungsfähigkeit der Beschwerdeführerin seit dem ersten Gutachten reduziert habe. Indem die Beschwerdeführerin sich nicht im Detail mit diesen Argumenten auseinandersetzt, kommt sie ihrer Rügepflicht nicht nach. Es reicht nicht, einfach das eigene Erleben zu schildern (vgl. E. 2.3.1).
Ebenso nicht einzugehen ist auf die im selben Kontext erhobene Rüge, die Vorinstanz sei willkürlich davon ausgegangen, sie sei eher bereit den Konflikt auf rechtlicher Ebene auszutragen, wodurch sie das Kind stärker in den Elternkonflikt miteinbeziehe als der Beschwerdegegner. Die Aussage lässt sich so dem angefochtenen Urteil nicht entnehmen, die Vorinstanz hat vielmehr aus den soeben aufgezeigten anderen Kriterien geschlossen, die Beschwerdeführerin beeinflusse das Kind. Die Rüge geht daher an der Sache vorbei.
4.1.3. Weiter wirft die Beschwerdeführerin der Vorinstanz vor, ihr willkürlich die gesamte Verantwortung für den Elternkonflikt zuzuweisen. Der Beschwerdegegner schüre den Konflikt auch, so wie auch dessen Freundin.
Der Vorwurf geht an der Sache vorbei, da die Vorinstanz aus neutraler Perspektive betrachtet an keiner Stelle die Verantwortung für den Elternkonflikt allein der Beschwerdeführerin zuweist. Die Vorinstanz argumentiert vielmehr mit dem Einbezug der Tochter in den Elternkonflikt, was sie bei der Beschwerdeführerin stärker für gegeben erachtete als beim Beschwerdegegner. Für die Zuteilung argumentiert die Vorinstanz denn auch nicht damit, welcher Elternteil den Konflikt zwischen den Eltern stärker schürt. Insofern ist auf die Rüge nicht weiter einzugehen.
4.1.4. Die Beschwerdeführerin rügt sodann, beim Beschwerdegegner lägen klare Einschränkungen in der Erziehungsfähigkeit vor, wozu die Vorinstanz willkürlich Fakten ignoriere. Sie spricht von Grenzüberschreitungen, einer "WC-Thematik" und häuslicher Gewalt gegenüber der Tochter durch den Beschwerdegegner. Dass es zu solchen Vorfällen gekommen sei, sei durch die Einbringung durch sie selbst und durch Ausführungen der Kindesvertreterin erwiesen. Die Vorinstanz habe diese Vorfälle willkürlich nicht in ihre Würdigung miteinbezogen.
Aus dem angefochtenen Urteil geht nicht hervor, was konkret geschehen sein soll. Auch die Beschwerdeführerin zeigt dies nicht auf, sie schildert in der Beschwerde an das Bundesgericht keine einzige konkrete Situation. Sie kommt damit ihrer Rügepflicht nicht nach, weshalb auf die Kritik nicht eingetreten werden kann.
4.1.5. Im selben Zusammenhang rügt die Beschwerdeführerin, dass die Strafakten eines Verfahrens, das sie gegen den Beschwerdegegner eingeleitet hatte, von der Vorinstanz nicht beigezogen worden seien. Das Aussageverhalten des Beschwerdegegners im Strafverfahren und dessen Verhalten gegenüber der Tochter hätten ihrer Ansicht nach Anhaltspunkte in Bezug auf die Obhutszuteilung gegeben.
Die Beschwerdeführerin macht damit eine (willkürliche) Verletzung ihres Rechts auf Beweis geltend. Allerdings führt sie auch hier nicht aus, was für Taten sie dem Beschwerdegegner zur Last legt. Damit verpasst sie es aufzuzeigen, dass ein Beizug der Strafakten angezeigt gewesen wäre.
4.1.6. Eine Verletzung ihres Rechts auf Beweis macht die Beschwerdeführerin auch geltend, soweit die Vorinstanz ein von ihr eingereichtes privates "Gutachten" vom 15. Juli 2020 nicht berücksichtigt hat.
Die Vorinstanz hatte hierzu festgestellt, dass das Schreiben von einem Professor der Universität Luzern angefertigt worden sein solle, wobei unklar bleibe, wer dieser Professor sei, was für Qualifikationen und Fachgebiete dieser habe, und ob wirklich er oder eine andere Person das Schreiben verfasst hätten. Die Vorinstanz erachtete als unglaubhaft, dass ein Professor unter dem Briefkopf des Dekanats der kultur- und sozialwissenschaftlichen Fakultät ein anonymes Gutachten verfasse und dann erst noch Urteile des deutschen Gerichtshofes zitiere, wie dies im Schreiben gemacht werde. Insofern sei die Authentizität zumindest zweifelhaft. Diesen Ausführungen vermag die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht nichts entgegenzusetzen. Die Rüge ist unbegründet, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
4.1.7. Was schliesslich die Rüge angeht, die Vorinstanz habe ihr Recht auf Beweis in willkürlicher Weise verletzt, indem sie ein Whistleblower- Schreiben vom 23. Juni 2020 aus dem Recht gewiesen habe, geht die Beschwerdeführerin mit keinem Wort auf den Inhalt des Schreibens ein und was dieses zur Sache hätte beitragen können. Insofern ist auch auf diese Rüge nicht einzutreten.
4.1.8. Da es der Beschwerdeführerin in keinem Punkt gelingt eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung darzutun, hat das Bundesgericht vom von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt auszugehen (<ref-law>; vorstehend E. 2.2 und 2.3.1).
5.
5.1. In der Sache beantragt die Beschwerdeführerin die Umteilung der Obhut für die Tochter an sie selbst. Kurz zusammengefasst ist sie der Ansicht, sie sei mindestens im selben Umfang erziehungsfähig wie der Beschwerdegegner inkl. Bindungstoleranz, sie könne die Tochter im Gegensatz zum Beschwerdegegner persönlich betreuen, womit ihr Betreuungskonzept besser sei, und die Tochter habe klar den Willen geäussert, dass sie lieber bei ihr leben wolle.
Die Prüfungsbefugnis des Bundesgerichts ist, wie ausgeführt, beschränkt (vgl. E. 2.1 und E. 2.3.2).
5.2. Für die Zuteilung der (faktischen) Obhut an einen Elternteil im Eheschutzverfahren gelten grundsätzlich dieselben Kriterien wie im Scheidungsfall. Vorab ist die Erziehungsfähigkeit der Eltern zu klären. Dazu gehört die Fähigkeit des Elternteils, den Kontakt zwischen dem Kind und dem andern Elternteil zu fördern (sog. Bindungstoleranz; <ref-ruling> E. 2.7; vgl. auch Urteile 5A_729/2020 vom 4. Februar 2021 E. 3.3.5.1; 5A_616/2020 vom 23. November 2020 E. 2.1.1; je mit Hinweisen). Ist die Erziehungsfähigkeit bei beiden Elternteilen gegeben, kann die Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse ausschlaggebend sein. Schliesslich ist - je nach Alter der Kinder - ihrem eindeutigen Wunsch Rechnung zu tragen. Diesen Kriterien lassen sich die weiteren Gesichtspunkte zuordnen, so die Bereitschaft eines Elternteils, mit dem andern in Kinderbelangen zusammenzuarbeiten, oder die Forderung, dass eine Zuteilung der Obhut von einer persönlichen Bindung und echter Zuneigung getragen sein sollte (Urteil 5A_262/2019 vom 30. September 2019 E. 6.1 mit Hinweisen; vgl. <ref-ruling> E. 3.2.3 f., 612 E. 4.3 f.; <ref-ruling> E. 5.3). Die Möglichkeit der Eltern, die Kinder persönlich zu betreuen, spielt hauptsächlich dann eine Rolle, wenn spezifische Bedürfnisse der Kinder eine persönliche Betreuung notwendig erscheinen lassen oder wenn ein Elternteil auch in den Randzeiten (morgens, abends und an den Wochenenden) nicht bzw. kaum zur Verfügung stünde (vgl. zuletzt zum Ganzen Urteil 5A_730/2020 vom 21. Juni 2021 E. 3.3.1.1 mit weiteren Kriterien und Hinweisen dazu).
Beim Entscheid über die Obhut ist der Sachrichter in vielfacher Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen. Ermessensentscheide dieser Art überprüft das Bundesgericht an sich frei; es greift allerdings nur ein, wenn die kantonale Instanz von dem ihr zustehenden Ermessen einen falschen Gebrauch gemacht hat, d.h. wenn sie grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgegangen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 3.2.5, 612 E. 4.5; <ref-ruling> E. 2.2.1; <ref-ruling> E. 2; je mit Hinweisen). Das sachgerichtliche Ermessen bezieht sich zum einen auf die Auswahl und Handhabung der Beurteilungselemente. Die Frage, ob der Entscheid auch vor dem Willkürverbot standhält, ist zum andern auch anhand der Wirkung auf das Kindeswohl zu beurteilen; dieses ist in Obhutsfragen besonders unmittelbar angesprochen. Wenn das Kindeswohl im Ergebnis gefährdet ist, greift das Bundesgericht unabhängig davon ein, ob die Vorinstanz ihren Entscheid anhand einschlägiger Gesichtspunkte getroffen hat, die je für sich allein betrachtet in vertretbarer Weise angewendet worden sind (Urteil 5A_730/2020 vom 21. Juni 2021 E. 3.3.1.2).
5.3. Wie bereits beschrieben wurde (vgl. E. 3.1, E. 4.1.1 hiervor), knüpfte die Vorinstanz vorab an der Erziehungsfähigkeit beider Eltern an. Die Vorinstanz schätzte die Erziehungsfähigkeit des Beschwerdegegners als besser ein als diejenige der Beschwerdeführerin. Bei der Beschwerdeführerin wurde insbesondere die (nicht ausreichende) Bindungstoleranz als einschränkend wahrgenommen. Die Beschwerdeführerin vermag vor Bundesgericht nicht darzulegen, dass diese Einschätzung der Vorinstanz willkürlich wäre (E. 4.1.1). Ist beim Beschwerdegegner eine höhere Erziehungsfähigkeit gegeben, kann der Vorinstanz bereits aus diesem Grund keine Willkür vorgeworfen werden, wenn sie die Obhut für die Tochter bei diesem beliess. Zusätzlich betonte die Vorinstanz, dass die Tochter Stabilität und Konstanz brauche, was wiederum für den Beschwerdegegner sprach, da die Tochter bereits seit über zwei Jahren hauptsächlich bei diesem wohnt. Zu erwähnen ist, dass die Beschwerdeführerin das Kind mehr selbst und in ruhigerem Umfeld betreuen könnte, ohne die vielen Ortswechsel, die das Kind offenbar schon heute belasten. Die Vorinstanz folgt aber der bundesgerichtlichen Rechtsprechung, wenn sie die Erziehungsfähigkeit stärker gewichtete. Weiter wurde zwar festgestellt, dass die Tochter sich dahin gehend geäussert hatte, lieber bei der Mutter wohnen zu wollen, vorliegend aber nicht ausgeschlossen werden kann, dass diese Aussagen zumindest teilweise von der Beschwerdeführerin induziert waren oder aber aus dem Loyalitätskonflikt herrührten, wobei angesichts des Alters der Tochter in jedem Fall nicht allein auf ihren Willen abgestellt werden könnte. Die von der Beschwerdeführerin gegen den Beschwerdegegner erhobenen Vorwürfe betreffend häuslicher Gewalt und Grenzüberschreitungen blieben im bundesgerichtlichen Verfahren schliesslich unsubstanziiert.
Vor diesem Hintergrund ist zusammengefasst keine Willkür ersichtlich, wenn die Vorinstanz die Obhut einstweilen beim Vater beliess. Sollten sich im Strafverfahren Erkenntnisse ergeben, die eine Kindeswohlgefährdung vermuten lassen, oder wenn das Wohl des Kindes aus anderen Gründen einen Obhutswechsel rechtfertigt, ist eine Änderung der Obhutsregelung jederzeit möglich.
5.4. Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden konnte.
6.
Bei diesem Ausgang wird die Beschwerdeführerin grundsätzlich kosten- (<ref-law>), nicht hingegen entschädigungspflichtig (<ref-law>), da keine Vernehmlassungen eingeholt wurden. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war die Beschwerde von Anfang an aussichtslos (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Kosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, C.A._ und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Oktober 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann