Sachverhalt:
A.
Der 1981 geborene A._ war seit 1. Mai 2013 bei der B._ als Bohrgehilfe angestellt und damit bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (Suva) obligatorisch unfallversichert. Am 3. Juli 2013 meldete die Arbeitgeberin der Suva, er habe am 21. Juni 2013 auf einer Baustelle beim Anheben von Gegenständen (Bohrgestänge) einen Riss am Hals erlitten. Am 16. Juli 2017 diagnostizierte Dr. med. C._, Facharzt für Allgemeine Innere Medizin, eine foraminale Irritation C6 rechts. Mit Schreiben vom 23. Juli 2013 verneinte die Suva ihre Leistungspflicht. Der vom Krankenversicherer des Versicherten beauftragte Case Manager beantragte bei der Suva am 28. November 2014 eine Wiedererwägung dieses Ablehnungsentscheides. Am 18. September 2015 verlangte der Versicherte den Erlass einer anfechtbaren Verfügung. Am 14. Oktober 2015 teilte ihm die Suva mit, das Schreiben vom 23. Juli 2013 sei in Rechtskraft erwachsen; auf ein allfälliges Wiedererwägungsgesuch trete sie nicht ein. Am 18. März 2016 erhob der Versicherte beim Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen Rechtsverweigerungsbeschwerde mit dem Antrag, die Suva habe innert nützlicher Frist eine anfechtbare Verfügung zu erlassen. Am 12. April 2016 verfügte diese, sie könne keine Versicherungsleistungen erbringen, da weder ein Unfall noch eine unfallähnliche Körperschädigung noch eine Berufskrankheit vorlägen. Mit Entscheid vom 9. Mai 2016 schrieb das kantonale Gericht das Rechtsverweigerungsverfahren ab. Mit Einspracheentscheid vom 21. Juni 2017 bestätigte die Suva ihre Verfügung vom 12. April 2016.
B.
In Gutheissung der hiergegen erhobenen Beschwerde hob das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen den Einspracheentscheid auf und wies die Sache zur Prüfung des Anspruchs auf die gesetzlichen Leistungen und zum Erlass einer entsprechenden Verfügung an die Suva zurück (Entscheid vom 15. April 2019).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die Suva die Aufhebung des kantonalen Entscheides, eventuell Rückweisung der Sache zu weiteren Beweiserhebungen an die Vorinstanz.
Der Versicherte schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei; zudem verlangt er die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 44 mit Hinweisen).
Beim angefochtenen Rückweisungsentscheid handelt es sich, da das Verfahren noch nicht abgeschlossen wird und die Rückweisung auch nicht einzig der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient, um einen selbstständig eröffneten Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law>. Die Zulässigkeit der Beschwerde setzt somit - alternativ - voraus, dass der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b). Mit der Qualifizierung des Ereignisses vom 21. Juni 2013 als Unfall enthält der angefochtene Entscheid materiell verbindliche Feststellungen, welche die Suva bei Vorliegen der übrigen Erfordernisse verpflichten, dem Beschwerdegegner Leistungen zuzusprechen. Da der darauf beruhende Endentscheid praktisch nicht angefochten und das Ergebnis nicht mehr korrigiert werden könnte, liegt ein nicht wieder gutzumachender Nachteil nach <ref-law> vor (nicht publ. E. 1.2.2 des Urteils <ref-ruling>, in: SVR 2014 UV Nr. 23 S. 73, 8C_494/2013). Auf die Beschwerde ist daher einzutreten.
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
3.
3.1. Auf den 1. Januar 2017 sind die mit Bundesgesetz vom 25. September 2015 revidierten Bestimmungen des UVG in Kraft getreten (AS 2016 4375; BBl 2008 5395, 2014 7911). Versicherungsleistungen für Unfälle, die sich vor deren Inkrafttreten ereignet haben, und für Berufskrankheiten, die vor diesem Zeitpunkt ausgebrochen sind, werden nach bisherigem Recht gewährt (vgl. Übergangsbestimmung in <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 287). So verhält es sich auch hier, weshalb nachfolgend auf das bisherige Recht und die dazu ergangene Rechtsprechung Bezug genommen wird.
3.2. Das kantonale Gericht hat die rechtlichen Grundlagen und die Rechtsprechung zum Unfallbegriff, insbesondere zum Merkmal der Ungewöhnlichkeit des äusseren Faktors, richtig dargelegt (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 79, 130 V 117 E. 2.1 S. 118). Gleiches gilt zu den unfallähnlichen Körperschädigungen, die auch ohne ungewöhnliche äussere Einwirkung Unfällen gleichgestellt waren, wobei rechtsprechungsgemäss am Erfordernis des äusseren Faktors festzuhalten war (Art. 6 Abs. 2 aUVG i. V. m. Art. 9 Abs. 2 aUVV; vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 328, 129 V 466). Richtig sind auch die vorinstanzlichen Ausführungen zur Geltung des Untersuchungsgrundsatzes (<ref-law>), zum massgebenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 2.3 S. 30) und zum Beweiswert der "Aussagen der ersten Stunde" (<ref-ruling> E. 5.2.2 S. 174, 121 V 45 E. 2a S. 47). Darauf wird verwiesen.
4.
Streitig und zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht das Ereignis vom 21. Juni 2013 entgegen der Suva zu Recht als Unfall qualifizierte.
4.1. Die Suva stellte im Einspracheentscheid vom 21. Juni 2017 auf die Angaben in der Schadenmeldung vom 3. Juli 2013 und im Fragebogen vom 15. Juli 2013 ab, wonach der Versicherte am 21. Juni 2013 beim Anheben von Gegenständen Nackenschmerzen verspürt habe, ohne dass etwas Ungewöhnliches passiert sei. Somit verneinte sie einen Unfall und eine unfallähnliche Körperschädigung.
4.2. Die Vorinstanz erwog im Wesentlichen, der Beschwerdegegner mache geltend, er sei am 21. Juni 2013 von einer Bohrstange an der rechten Nackenseite getroffen worden. Dies lasse sich mit dem in der Schadenmeldung vom 3. Juli 2013 und im Fragebogen vom 15. Juli 2013 formulierten Sachverhalt - Anheben von Gegenständen - grundsätzlich in Einklang bringen. Laut dem Versicherten stammten die Angaben im letztgenannten Fragebogen nicht von ihm. Aber unabhängig davon, wer ihn ausgefüllt habe, falle auf, dass die Formulierung "Anheben von Gegenständen" lediglich aus der Schadenmeldung vom 3. Juli 2013 übernommen worden sei und damit die Anforderungen an eine detaillierte Sachverhaltsschilderung nicht erfülle. Die Schadenmeldung stamme zudem von der Arbeitgeberin, was ihren Beweiswert zusätzlich massgebend mindere. Weiter sei nicht sicher, dass der Fragebogen vom 15. Juli 2013 tatsächlich das Ereignis so wiedergebe, wie es der Versicherte spontan geschildert habe bzw. hätte. Im Zeugnis des Dr. med. C._ vom 16. Juli 2013 sei seine Beschwerdesymptomatik, aber nicht das Ereignis beschrieben worden. Dieses Zeugnis spreche somit nicht gegen die Glaubwürdigkeit der Schilderung eines Schlags durch eine Bohrstange. Persönlich habe der Versicherte das Ereignis vom 21. Juni 2013 erstmals am 15. Mai 2015 im Spital D._ geschildert und angegeben, er habe bei der Arbeit beim Halten eines in einer Maschine eingespannten Eisenstabs einen Schlag in die rechte Hals- und Nackenseite bekommen. Es könne somit nicht gesagt werden, er sei von versicherungsrechtlichen Überlegungen beeinflusst gewesen. Einen Schlag durch eine Bohrstange habe zudem der beim Ereignis vom 21. Juni 2013 anwesend gewesene E._ in den Telefongesprächen mit dem Case Manager des Krankenversicherers (siehe E-Mail des Letzteren vom 23. Februar 2015) und mit der Rechtsvertreterin des Beschwerdegegners vom 11. Dezember 2015 geschildert. Seine Angaben erschienen glaubwürdig. Der Umstand, dass er nicht mehr gewusst habe, wo genau der Versicherte von der Bohrstange getroffen worden sei, vermöge seine Darstellung nicht in Zweifel zu ziehen. Bedeutend sei, dass er sich daran erinnert habe, die Bohrstange sei nicht vom Versicherten, sondern von einem Hilfskran gehoben worden. Andernfalls hätte er von ihr nicht im Nacken getroffen werden können. Entgegen der Suva sei nicht erkennbar, wie er beim Heben einer Bohrstange am Nacken hätte verletzt werden können. Denn hierbei erfolge in der Regel kein Zwick bzw. Riss im Nacken, sondern im Rücken. Zusammenfassend sei davon auszugehen, dass der Beschwerdegegner von einer Bohrstange getroffen worden sei. Der Unfallbegriff sei somit erfüllt.
5.
5.1.
5.1.1. In der Schadenmeldung vom 3. Juli 2013 legte die Arbeitgeberin dar, der Beschwerdegegner habe auf einer Baustelle beim Anheben von Gegenständen einen Riss im Hals erlitten. Als beteiligte Gegenstände führte sie Bohrgestänge an. Nicht gefolgt werden kann der Argumentation der Vorinstanz, der Beweiswert dieser Schadenmeldung sei massgebend gemindert, da sie von der Arbeitgeberin stamme. Die Suva führt nämlich zu Recht aus, dass die Schadenmeldung in der Regel anhand der Angaben des versicherten Arbeitnehmers ausgefüllt wird und eine Ausnahme hiervon vorliegend nicht ersichtlich ist. Dies bestreitet der Beschwerdegegner nicht.
Hinzu kommt, dass der Inhalt der Schadenmeldung im Fragebogen vom 15. Juli 2013 im Wesentlichen bestätigt wurde. Hierin wurde nämlich ausgeführt, die Beschwerden des Versicherten würden auf das Anheben von Gegenständen auf einer Baustelle zurückgeführt. Zeugen wurden trotz ausdrücklicher Nachfrage in diesem Fragebogen nicht angegeben. Die Frage, ob sich etwas Besonderes ereignet habe (Ausgleiten, Sturz, usw.), wurde verneint. Damit enthält der Fragebogen - wie die Suva richtig geltend macht - hinreichende Angaben zum Ablauf des Ereignisses vom 21. Juni 2013. Soweit die Vorinstanz offen liess, ob dieser Fragebogen vom Beschwerdegegner ausgefüllt wurde, ist dies nicht nachvollziehbar. Denn abgesehen davon, dass der Fragebogen - wie die Vorinstanz feststellte und auch die Suva anführt - seine Unterschrift trägt, legt der Versicherte nicht dar, welche andere Person ihn ausgefüllt haben sollte. Vielmehr führte der ihn betreuende Case Manager seines Krankenversicherers in der E-Mail vom 23. Februar 2015 aus, der Beschwerdegegner habe am 15. Juli 2013 den Terminus "Anheben von Gegenständen" gebraucht.
Dr. med. C._, bei dem der Versicherte am 24. Juni 2013 in Behandlung war, führte im Zeugnis vom 16. Juli 2013 aus, dieser habe laut seinen Angaben am 21. Juni 2013 beim Arbeiten plötzlich einen Zwick im Hals rechts verspürt. Seither bestehe ein Wärmegefühl/Ziehen im Arm rechts.
5.1.2. Erstmals in der E-Mail an die Suva vom 23. Februar 2015 - mithin ein Jahr und acht Monate nach dem Ereignis vom 21. Juni 2013 - gab der Case Manager des Krankenversicherers des Beschwerdegegners gegenüber der Suva an, er habe telefonischen Kontakt mit dem Teamleiter F._ gehabt. Dieser habe ihn an E._ verwiesen, der beim Ereignis vom 21. Juni 2013 mit dem Beschwerdegegner auf der Baustelle gewesen sei. E._ habe am Telefon gesagt, eine ca. 35 kg schwere und zwei Meter lange Bohrstange sei weggerutscht und habe den Versicherten am Nacken getroffen; dieser habe nach dem Schlag bemerkt, dass sein Nacken schmerze.
Bei der Erstkonsultation im Spital D._ am 15. Mai 2015 legte der Versicherte dar, er habe am 21. Juni 2013 bei der Arbeit einen Schlag in die rechte Hals- und Nackenseite bekommen, als er einen Eisenstab gehalten habe, der in eine Maschine eingespannt gewesen sei. Er sei danach von einem Sockel 60 cm gestürzt. Danach habe ein brennender Schmerz in der rechten Halsregion und im rechten Arm bestanden.
Am 11. Dezember 2015 gab die Rechtsvertreterin des Versicherten den Inhalt ihres gleichentags geführten Telefonats mit E._ schriftlich wieder. Sie führte im Wesentlichen aus, nach seinen Angaben seien sie beim Verrohren im Rahmen einer Erdsondenbohrung gewesen. Ein solches Rohr habe ein Gewicht bis zu 70 kg. Das Rohr werde mit einem Seilzug, einer Kette mit dem Kran raufgezogen. Der Versicherte sei relativ nahe am Rohr gestanden. Dieses sei dann beim "Schlupf" (ca. 4 cm dick, runder doppelter Ring) durchgerutscht und habe dem Versicherten ans Bein geschlagen. Auf Rückfrage hin, ob der Schlag nicht am Nacken gewesen sei, habe E._ geantwortet, das wisse er nicht mehr.
5.2.
5.2.1. Nach dem Gesagten wurde weder in der Schadenmeldung vom 3. Juli 2013 noch im Fragebogen vom 15. Juli 2013 noch im Zeugnis des Dr. med. C._ vom 16. Juli 2013 erwähnt, der Versicherte sei am 21. Juni 2013 von einer Bohrstange am Hals bzw. Nacken getroffen worden. Mit der Suva ist davon auszugehen, dass ein derart wesentliches Sachverhaltselement als Schadensursache nicht vergessen geht und bei der Erhebung der Umstände, welche zum Unfall geführt haben sollen, bereits in der anfänglichen Hergangsschilderung, sicher aber auf konkrete Nachfrage des Versicherers hin angeführt wird. Wäre der Beschwerdegegner beim Ausfüllen des Fragebogens am 15. Juli 2013 mithin der Auffassung gewesen, er sei von einer Bohrstange am Hals bzw. Nacken getroffen worden, hätte er dies in der dafür vorgesehenen Rubrik "Auf welche Tätigkeit/Umstände führen Sie die Beschwerden zurück? Ausführliche Schilderung des Vorfalls" vermerken müssen und nicht bloss von einem "Anheben von Gegenständen" sprechen dürfen. Selbst wenn zusätzlich berücksichtigt wird, dass er über keine besonderen juristischen Kenntnisse verfügt, leuchtet nicht ein, dass ein derart bedeutsamer Umstand unerwähnt geblieben ist.
Unbeheflich ist das Vorbringen des Beschwerdegegners, er habe im Unfallzeitpunkt nur sehr schlecht Deutsch gesprochen. Denn E._ führte anlässlich des Telefonats mit der Rechtsvertreterin des Versicherten vom 11. Dezember 2015 aus, dieser habe "Baustellen-Deutsch" gesprochen und "sei nicht auf den Kopf gefallen". Zudem war er am 15. Mai 2015 im Spital D._ in der Lage, die spätere Version des Ereignisses vom 21. Juni 2013 mit dem Schlag durch eine Bohrstange detailliert zu schildern.
Nach der Beweismaxime der "Aussagen der ersten Stunde" sind - der Suva folgend - die Angaben des Beschwerdegegners im Fragebogen daher ein gewichtiges Indiz, das gegen die spätere Version eines Schlags durch eine Bohrstange spricht (<ref-ruling> E. 5.2.2 S. 174; vgl. auch Urteil 8C_696/2013 vom 14. November 2013 E. 4.2).
5.2.2. Weiter fällt auf, dass Dr. med. C._ am 24. Juni 2013 - mithin drei Tage nach dem Ereignis vom 21. Juni 2013 - beim Versicherten keine äussere Verletzung feststellte (z.B. Schürfung, Prellmarke oder Bluterguss). Eine solche wäre aber - wie die Suva zu Recht vorbringt - zu erwarten gewesen, wenn ihn eine Bohrstange am Hals bzw. Nacken getroffen hätte.
5.2.3. Weiter weist die Suva richtig darauf hin, dass der angegebene Zeuge E._ gemäss der Telefonnotiz der Rechtsvertreterin des Versicherten vom 11. Dezember 2015 angab, dieser sei vom Rohr am Bein getroffen worden, bzw. nicht mehr wisse, ob er am Nacken getroffen worden sei. Damit sind von seiner Einvernahme keine entscheidrelevanten Erkenntnisse zu erwarten, weshalb darauf zu verzichten ist (antizipierte Beweiswürdigung; vgl. <ref-ruling> E. 6.5 S. 368, 136 I 229 E. 5.3 S. 236). Gleiches gilt - entgegen dem Beschwerdegegner - hinsichtlich einer Befragung des vom Krankenversicherer eingesetzten Case Managers G._, da er beim Ereignis vom 21. Juni 2013 nicht dabei war.
5.3. Zusammenfassend ist das Unfallmerkmal des ungewöhnlichen äusseren Faktors nicht erstellt. Es liegt daher Beweislosigkeit vor, deren Folgen der Beschwerdegegner zu tragen hat, der aus dem unbewiesen gebliebenen Sachverhalt Rechte ableiten wollte (<ref-ruling> E. 3.2 S. 429; SVR 2016 UV Nr. 44 S. 145, 8C_358/2016 E. 3.4). Er kann daher unter dem Titel "Unfall" keine Leistungen der Suva beanspruchen.
6.
Die Diagnose einer unfallähnlichen Körperschädigung nach Art. 6 Abs. 2 aUVG i. V. m. Art. 9 Abs. 2 aUVV ist aufgrund der medizinischen Akten nicht erstellt und wird auch nicht geltend gemacht. Unter diesem Titel ist die Suva somit ebenfalls nicht leistungspflichtig.
7.
Der unterliegende Beschwerdegegner trägt die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG). Die unentgeltliche Rechtspflege kann ihm gewährt werden (<ref-law>). Er hat der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn er später dazu in der Lage ist (<ref-law>)

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 15. April 2019 wird aufgehoben.
2.
Dem Beschwerdegegner wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwältin Christa Rempfler wird als unentgeltliche Anwältin bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Der Rechtsvertreterin des Beschwerdegegners wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'400.- ausgerichtet.
5.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen zurückgewiesen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. September 2019
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Jancar