Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1979 geborene A._ war im Servicebereich angestellt und in dieser Eigenschaft über seine Arbeitgeberin obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen bei der AXA Versicherungen AG (nachfolgend: AXA) versichert. Am 9. Dezember 2004 verlor er die Herrschaft über seinen Personenwagen und kollidierte mit einem entgegenkommenden Lastwagen. Er zog sich ein Polytrauma zu, mit unter anderem multiplen offenen Frakturen der Schädel- und Gesichtsschädelknochen, Le-Fort-I-Fraktur beidseits, Le-Fort-II-Fraktur beidseits, Le-Fort-III-Fraktur beidseits, nasoethmoidale Trümmerfraktur, traumatisches Hirnödem, Contusio bulbi beidseits, Contusio labyrinthi beidseits. Die AXA veranlasste beim Swiss Medical Assessment- und Business-Center (SMAB AG) ein polydisziplinäres Gutachten, das am 26. November 2009 erstattet wurde. Mit Verfügung vom 25. Mai 2010 stellte sie die vorübergehenden Leistungen (Heilkosten und Taggelder) per 31. Dezember 2009 ein, sprach dem Versicherten für die Unfallfolgen an Knie, Ellbogen und Auge links eine Integritätsentschädigung von 30 % zu und verneinte im Übrigen einen Rentenanspruch. Eine hiergegen erhobene Einsprache wies sie ab. Mit Entscheid vom 13. September 2013 hiess das Kantonsgericht Luzern die Beschwerde des Versicherten gut und wies die Sache an die AXA zurück, damit sie eine Begutachtung einhole und über die Leistungspflicht neu verfüge.
A.b. In Nachachtung des kantonalen Entscheids beauftragte die AXA das Begutachtungszentrum BL (BEGAZ) mit einem polydisziplinären Gutachten, das am 4. Juli 2014 ausgefertigt wurde. Darauf gestützt und nach Rücksprache mit ihrem vertrauensärztlichen Dienst verfügte sie am 4. Mai 2016 die Leistungseinstellung per 31. Dezember 2007, sprach dem Versicherten eine Integritätsentschädigung von 35 % zu und verneinte den Anspruch auf eine Invalidenrente. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 22. Juni 2017 fest.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Luzern mit Entscheid vom 28. Juni 2018 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, die Sache sei unter Aufhebung des Einsprache- und des kantonalen Entscheids zur ergänzenden medizinischen Abklärung an die AXA zurückzuweisen. Sämtliche Untersuchungs- und Berichtskosten des Prof. Dr. med. B._ seien ihm zurückzuerstatten.
Die Vorinstanz erachtet die Rügen betreffend Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes, der Begründungspflicht und des Grundsatzes eines fairen Verfahrens allesamt für unbegründet und beantragt unter Hinweis auf den kantonalen Entscheid die Abweisung der Beschwerde. Während die Beschwerdegegnerin ebenfalls auf Beschwerdeabweisung schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht im Beschwerdeverfahren (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1 S. 236; <ref-ruling> E. 1.6 S. 280).
1.2. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht Bundesrecht verletzt hat, als es den Rentenanspruch des Versicherten verneinte und eine Integritätsentschädigung von 35 % bestätigte. Hierbei ist insbesondere strittig, ob für die Beurteilung der genannten Leistungsansprüche auf die vorliegenden medizinischen Unterlagen, namentlich auf das BEGAZ-Gutachten vom 4. Juli 2014 abzustellen ist, was die Vorinstanz bejahte.
3.
3.1. Die Vorinstanz hat die rechtlichen Grundlagen für die beweisrechtlichen Anforderungen an einen ärztlichen Bericht (<ref-ruling> E. 4.6 S. 471, 134 V 231 E. 5.1 S. 232, <ref-ruling> E. 3a S. 532) sowie für die Integritätsentschädigung (Art. 24 und 25 UVG, <ref-law>, Anhang 3 zur UVV) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3.2. Zu ergänzen ist, dass externen Beurteilungen, die nach <ref-law> im Verwaltungsverfahren eingeholt wurden, volle Beweiskraft zuzuerkennen ist, solange nicht konkrete Indizien gegen die Zuverlässigkeit der Expertise sprechen (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.4 S. 227; <ref-ruling> E. 3b/bb S. 353).
4.
4.1. Zunächst macht der Beschwerdeführer geltend, dass das BEGAZ-Gutachten nicht auf einer vollständigen Dokumentation gründe, da die medizinischen Akten aus den Jahren 2005-2008 nicht aufgeführt seien. Wie bereits die Vorinstanz zu Recht erkannte, besticht dieses Argument nicht. Entgegen den Behauptungen des Beschwerdeführers wurde das BEGAZ-Gutachten auf der Grundlage der gesamten und sehr umfangreichen medizinischen Akten erstellt. Dies ergibt sich explizit aus den einleitenden Erläuterungen des Gutachtens, wonach die vorgängige Aktenlage gestützt auf das polydisziplinäre Gutachten vom 26. November 2009 als bekannt vorausgesetzt werde. Auf die nochmalige Aufführung der Akten aus den Jahren 2005-2008 werde zur besseren Übersichtlichkeit verzichtet. Die genannten Dokumente würden jedoch weiterhin zur Verfügung stehen.
4.2. Ferner rügt der Beschwerdeführer, dass der neurologische Teil des BEGAZ-Gutachtens unvollständig und mangelhaft sei, da der zuständige Gutachter das MRI des Schädels vom 23. August 2010 nicht eingesehen und auch keine neue Bildgebung veranlasst habe. Der Umstand, dass der Fachneurologe das MRI vom 23. August 2010 nicht einsehen konnte, ist zwar bedauerlich, ändert jedoch nichts an der Rechtslage und insbesondere auch nichts am Beweiswert des BEGAZ-Gutachtens. Gemäss dem neuropsychologischen Abklärungsbericht der Psychiatrie C._ lieferte der MRI-Befundbericht keinen Nachweis einer intrakraniellen Raumforderung, keine übermässige Atrophie und keine Zeichen einer stattgehabten Ischämie. Dem ergänzenden Aktenkonsilium vom 3. November 2011 lässt sich ferner entnehmen, dass sich das initial befundete Hirnödem gemäss cranialen MRI-Befunden nachweislich komplett zurückgebildet hat, so dass nicht von einer Schädigung des Gehirns auszugehen ist. Prof. Dr. med. B._, behandelnder Facharzt für Neurologie, bestätigte denn auch in seiner Stellungnahme vom 17. Juni 2015, dass die neurologischen Abklärungen, die den BEGAZ-Gutachtern zur Verfügung standen oder zum Zeitpunkt der Begutachtung gemacht wurden, genügend waren. Übereinstimmend dazu wurde im ABI-Gutachten vom 17. April 2018, das im Rahmen des invalidenversicherungsrechtlichen Verfahrens erstellt wurde, festgehalten, dass aus neurologischer Sicht in den Befunderhebungen und Einschätzungen der Arbeitsfähigkeit mit den vorangehenden neurologischen Gutachtern Kongruenz bestehe. Unter diesen Umständen durften die BEGAZ-Gutachter auf zusätzliche Abklärungen im Sinne einer neuen Bildgebung des Schädels verzichten, ohne hierbei die Beweiskraft des Gutachtens zu schmälern.
4.3. Hinsichtlich des psychiatrischen Teilgutachtens lässt der Beschwerdeführer einwenden, die Diagnosen und Berichte der behandelnden Ärzte würden ein ganz anderes Bild zeigen. So bestehe gemäss Bericht vom 16. Februar 2015 des Dr. med. C._ eine Schmerzerkrankung im Stadium III nach Gerbershagen. Die vollständige Lektüre des Berichts des Zentrums D._ vom 11. September 2015 zeigt allerdings, dass die Ärzte insbesondere auf die fehlende Validierung der psychiatrischen Diagnosen hinwiesen. Daraus ist zu schliessen, dass die dort erwähnten Diagnosen, wie das organische Psychosyndrom, welches im Übrigen auch sonst in keinem Bericht je diagnostiziert wurde, nicht als erstellt zu gelten haben. Auf ähnliche Inkonsistenzen wurde bereits im Gutachten der SMAB AG vom 26. November 2009 hingewiesen. So stellte der Fachneurologe fest, dass die vom Versicherten behauptete vollständige Amnesie seines Lebens vor dem Unfall medizinisch gar nicht möglich sei. So sei undenkbar, dass das resistentere episodische Gedächtnis mit Enkodierung biographischer Erinnerungsinhalte gänzlich versage, wogegen andere deutlich störanfälligere Gedächtnisstrukturen, so zum Beispiel das prozedurale Gedächtnis für Autofahren, PC-Schreiben sowie die Sprache, praktisch nicht mehr gestört seien. Dr. med. E._, FMH Facharzt in Psychiatrie und Psychotherapie, stellte ebenfalls Widersprüchlichkeiten fest, die er in seiner Beurteilung detailliert beschrieb. Er kam zum Schluss, dass differenzialdiagnostisch eine erhebliche bewusstseinsnahe Aggravationstendenz des Exploranden in Betracht zu ziehen sei.
Zusammenfassend liegen keine konkreten Indizien vor, die gegen die Zuverlässigkeit des BEGAZ-Gutachten vom 4. Juli 2014 sprechen. Die Vorinstanz verletzte demzufolge kein Bundesrecht, als sie für die Beurteilung der Leistungsansprüche auf das beweiswertige Gutachten abstellte und - zumindest implizit - in antizipierter Beweiswürdigung auf weitere Abklärungen verzichtete (<ref-ruling> E. 5.3 S. 236). Auch liegt darin weder eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes (<ref-law>) vor noch wurde der Anspruch des Beschwerdeführers auf ein faires Verfahren (Art. 6 Ziff. 1 EMRK) sonstwie beeinträchtigt.
5.
5.1. In erwerblicher Hinsicht wird die von der Vorinstanz bestätigte Ablehnung eines Rentenanspruchs vom Beschwerdeführer nicht bestritten. Mangels offensichtlicher rechtlicher Mängel hat eine diesbezügliche Überprüfung des vorinstanzlichen Entscheids nicht zu erfolgen (zur Rüge- und Begründungspflicht E. 1.1 hiervor).
5.2. Bestritten wird jedoch die zugesprochene Integritätsentschädigung von insgesamt 35 %. Der Beschwerdeführer rügt, dass der Integritätsschaden von 5 % für den neurologischen Aspekt nicht korrekt bemessen worden sei. Die restlichen 30 % des Integritätsschadens für den orthopädischen (25 %) und ophthalmologischen (5 %) Teilbereich werden hierbei nicht bemängelt, weshalb auch dies nicht weiter zu prüfen ist (zur Rüge- und Begründungspflicht E. 1.1 hiervor).
5.2.1. Gemäss dem gutachterlich erhobenen Status ist beim Versicherten die Blick- und Pupillenmotorik intakt. Die Sensibilität sei im Bereich der Stirn links schwächer als rechts, im Mittelgesicht beidseits sei eine verminderte Sensibilitätswahrnehmung und im Unterkieferbereich bestehe symmetrisch eine intakte Wahrnehmung. Die facialis-versorgte Gesichtsmuskulatur sei symmetrisch innerviert. Zungen- und Gaumensegelmotorik seien intakt. Das Gehör sei symmetrisch, Weber sei leicht nach rechts lateralisiert. Gestützt auf diese - vom Beschwerdeführer unbestrittenen - Feststellungen kam der begutachtende Neurologe zum Ergebnis, dass die Sensibilitätsstörung im linken, stärker als im rechten Gesichtsbereich mit einem Integritätsschaden von 5 % zu beziffern sei. Ein weitergehender Schaden wurde verneint. Der Beschwerdeführer verweist demgegenüber auf den Bericht des Prof. Dr. med. B._ vom 17. Juni 2015, der den neurologischen Integritätsschaden mit 15 % beziffert; 10 % für die muskulären Innervationsstörungen im Gesicht (Wange, orbicularis oculi, Mund partiell), 5 % aufgrund der partiellen Sensibilitätsstörungen am Gesicht links.
5.2.2. Unbestrittenermassen ist vorliegend die Suva-Tabelle 17 (Integritätsschaden bei Ausfällen und Funktionsstörungen der Hirnnerven; vgl. zu deren Bedeutung <ref-ruling> E. 1c S. 32 und Urteil 8C_430/2014 vom 21. Dezember 2015 E. 3 mit weiteren Hinweisen, publiziert in SVR 2016 UV Nr. 14 S. 43) anwendbar. Gemäss dem angefügten Kommentar zu den Ausfällen einzelner Hirnnerven ist hierbei zu berücksichtigen, dass sobald mehrere Teilbereiche des Nervus trigenimus betroffen sind, nicht einfach addiert werden kann, da auch der vollständige Funktionsausfall gesamthaft höchstens mit 30 % entschädigt wird. Also muss die Summe einzelner Integritätsschäden immer mit diesem Gesamtschaden verglichen und gewichtet werden. Unter Berücksichtigung dieser Umstände vermag der Beschwerdeführer mit der abweichenden Einschätzung des Privatgutachters, der eine unzulässige Summierung der einzelnen Teilbereiche vornimmt, keine konkreten Indizien gegen die Zuverlässigkeit der gutachterlichen Schätzung des Integritätsschadens darzulegen (E. 3.2 hiervor). Folglich verletzte die Vorinstanz kein Bundesrecht, als sie - ohne hierbei die Begründungspflicht zu verletzen - eine Integritätsentschädigung von gesamthaft 35 % bestätigte.
6.
Schliesslich beantragt der Beschwerdeführer die Rückerstattung sämtlicher Untersuchungs- und Berichtskosten für das Privatgutachten des Prof. Dr. med. B._ vom 17. Juni 2015.
Nach der Rechtsprechung sind unter dem Titel Parteientschädigung auch die notwendigen Kosten privat eingeholter Gutachten zu vergüten, soweit die Parteiexpertise für die Entscheidfindung unerlässlich war (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5c S. 63). Da das vom Beschwerdeführer beigebrachte Privatgutachten des Prof. Dr. med. B._ vom 17. Juni 2015 für die Beurteilung nicht erforderlich, sondern eine solche auch aufgrund der von der Beschwerdegegnerin eingeholten Unterlagen ohne weiteres möglich war, ist dem Antrag nicht stattzugeben.
7.
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 30. Oktober 2018
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Elmiger-Necipoglu