Faits :
A.
A._ (1980) et B._ (1975) se sont mariés en 2002 à E._ (Royaume-Uni). Deux enfants sont issus de cette union: C._ (2009) et D._ (2015).
Les époux ont convenu de vivre séparés pour une durée indéterminée lors d'une audience tenue devant la Présidente du Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte (ci-après: la Présidente) le 20 juillet 2017.
Les modalités de leur séparation ont fait l'objet de plusieurs décisions de mesures protectrices de l'union conjugale. La garde des enfants a notamment été confiée au père et la mère condamnée à contribuer à l'entretien de ses enfants par ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugale du 24 août 2017, confirmée en deuxième instance le 21 novembre 2017.
B.
B.a. Par requête de mesures protectrices de l'union conjugale du 20 décembre 2018, le père a notamment conclu à la modification des contributions d'entretien en faveur de ses enfants.
Dans ses déterminations du 20 février 2019, l'épouse a conclu au rejet des conclusions de l'époux et a pris des conclusions reconventionnelles principales (garde exclusive en sa faveur et droit de visite du père) et subsidiaires (garde alternée), conclusions qu'elle a précisées le 5 avril 2019.
B.b. Par prononcé du 4 juillet 2019, la Présidente a notamment confirmé que l'autorité parentale sur les enfants était attribuée conjointement aux parents (I), a dit que la garde des enfants serait exercée de manière alternée par ceux-ci et en a prévu les modalités (II), a fixé le domicile administratif des enfants chez leur mère (III), a exhorté les parties à entreprendre un travail de coparentalité (IV), a fixé les pensions dues par la mère en faveur des enfants (V et VII) et arrêté les montants nécessaires à leur entretien convenable (VI et VIII), a ordonné à l'épouse d'informer immédiatement son mari de toute modification de ses revenus (IX), a confirmé la mesure de protection au sens de l'art. 308 al. 1 et 2 CC en cours auprès du Service de protection de la jeunesse (ci-après: le SPJ) (XI; ndr: absence de chiffre X du dispositif), a renvoyé la décision sur l'indemnité d'office du conseil de l'épouse à une décision ultérieure (XII), a rendu la décision sans frais judiciaires ni dépens (XIII) et a rejeté toutes autres ou plus amples conclusions (XIV).
B.c. Statuant sur appels des deux conjoints, le Juge délégué de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a, par arrêt du 29 novembre 2019, réformé les chiffres II, III, V, VI, VII et VIII du dispositif du prononcé attaqué. Cela fait, il a confirmé que la garde des enfants était attribuée au père, les relations personnelles continuant à s'exercer selon les modalités convenues dans la convention de mesures protectrices du 10 octobre 2018 (III.II), fixé le domicile administratif des enfants chez celui-ci (III.III), arrêté le montant assurant l'entretien convenable de C._ à 1'170 fr. depuis le 1 er janvier 2019 (III.V), dit que la mère contribuerait à l'entretien de celui-ci par le versement d'une pension mensuelle de 1'115 fr. du 1 er janvier au 30 juin 2019, puis de 1'170 fr., allocations familiales dues en sus (III.VI), arrêté le montant assurant l'entretien convenable de D._ à 1'445 fr. par mois du 1 er janvier au 30 juin 2019 et à 1'150 fr. depuis lors (III.VII) et fixé la pension en faveur de celui-ci à 1'390 fr. du 1 er janvier au 30 juin 2019 et à 1'150 fr. depuis lors, allocations familiales en sus (III.VIII), le prononcé querellé étant confirmé pour le surplus. Il a également mis à la charge de l'épouse les frais de son appel arrêtés à 800 fr. (IV), dit que les frais de l'appel de l'époux, arrêtés à 800 fr., étaient laissés provisoirement à la charge de l'Etat par 200 fr. pour l'époux et mis à la charge de l'épouse par 600 fr. (V), fixé l'indemnité du conseil d'office de l'époux à 2'670 fr., TVA et débours compris (VI), dit que le bénéficiaire de l'assistance judiciaire était, dans la mesure de l'<ref-law>, tenu au remboursement des frais judiciaires et de l'indemnité du conseil d'office mis à la charge de l'Etat (VII), condamné l'épouse à verser la somme de 3'750 fr. à l'époux à titre de dépens de deuxième instance (VIII) et dit que l'arrêt était exécutoire (IX).
C.
Par acte du 3 janvier 2020, l'épouse exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle conclut principalement à la réforme de l'arrêt querellé en ce sens que les chiffres I, II, III, IV, XI, XIII et XIV du dispositif du prononcé du 4 juillet 2019 sont confirmés, que la pension mensuelle en faveur de C._ est arrêtée à 745 fr. du 1 er janvier au 30 juin 2019, puis à 501 fr. dès le 1 er juillet 2019, la moitié des allocations familiales dues en sus, que le montant assurant l'entretien convenable de C._ est fixé à 888 fr. 70 par mois du 1 er janvier au 30 juin 2019, puis à 953 fr. 25 dès le 1 er juillet 2019, que la pension mensuelle en faveur de D._ est fixée à 1'020 fr. du 1 er janvier au 30 juin 2019, puis à 493 fr. dès le 1 er juillet 2019, la moitié des allocations familiales dues en sus, que le montant assurant l'entretien convenable de D._ est fixé à 1'164 fr. 65 par mois du 1 er janvier au 30 juin 2019, puis à 928 fr. 25 dès le 1 er juillet 2019, que les frais judiciaires d'appel sont entièrement mis à la charge de l'intimé, subsidiairement laissés à la charge de l'Etat, et que l'intimé est condamné à lui verser la somme de 3'750 fr. à titre de dépens de deuxième instance. Subsidiairement, elle conclut à la confirmation des ch. I, II, III, IV, XI, XIII et XIV du prononcé du 4 juillet 2019 et à ce que la cause soit renvoyée à la juridiction précédente pour nouvelle instruction et nouvelle décision sur les questions traitées aux ch. V, VI, VII, VIII, IX et XII du prononcé de première instance. Plus subsidiairement, elle conclut à l'annulation de l'entier de l'arrêt querellé, sous réserve des ch. VI et VII de son dispositif, et au renvoi de la cause à la juridiction précédente pour nouvelle instruction et nouvelle décision. Plus subsidiairement encore, et si par impossible la garde des enfants est accordée au père, elle conclut à ce que la pension en faveur de C._ soit fixée à 700 fr. par mois dès le 1 er juillet 2019, le montant assurant l'entretien convenable de celui-ci étant arrêté à 890 fr. dès cette date, et à ce que la pension en faveur de D._ soit fixée à 700 fr. par mois dès le 1 er juillet 2019, le montant assurant son entretien convenable étant arrêté à 872 fr. par mois dès cette date.
Invités à se déterminer sur la requête d'effet suspensif assortissant le recours, l'intimé a conclu à son rejet et a requis le bénéfice de l'assistance judiciaire et le Juge délégué s'en est remis à justice.
D.
Par ordonnance du 29 janvier 2020, le Président de la II e Cour de droit civil a rejeté la requête d'effet suspensif.
Des déterminations sur le fond n'ont pas été requises.

Considérant en droit :
1.
Déposé en temps utile (art. 46 al. 2 et 100 al. 1 LTF) et dans la forme légale (<ref-law>), le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4) rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (<ref-law>), dans une affaire matrimoniale (<ref-law>) de nature non pécuniaire dans son ensemble (arrêt 5A_805/2019 du 27 mars 2020 consid. 1 et les références). La recourante a participé à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt digne de protection à la modification ou l'annulation de la décision entreprise (art. 76 al. 1 let. a et b LTF). Le recours est donc en principe recevable.
2.
2.1. Comme la décision attaquée porte sur des mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 5, 585 consid. 3.3), la partie recourante ne peut dénoncer que la violation de droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés par le recourant (" principe d'allégation "; <ref-law>), c'est-à-dire s'ils ont été expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.4). Le recourant ne peut se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en procédure d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition, notamment en se contentant d'opposer sa thèse à celle de l'autorité précédente; les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF <ref-ruling> consid. 2.4 et la référence). Par ailleurs, le grief doit être développé dans le recours même, un renvoi à d'autres écritures ou à des pièces n'étant pas admissible (<ref-ruling> consid. 3.2 et les références; arrêt 5A_756/2019 du 13 février 2020 consid. 2.1).
Une décision ne peut être qualifiée d'arbitraire (art. 9 Cst.) que si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité (<ref-ruling> consid. 7.3; <ref-ruling> consid. 4.1); il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 7.1, 170 consid. 7.3; <ref-ruling> consid. 4.3).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que s'il démontre la violation de droits constitutionnels, conformément au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il n'y a arbitraire que lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 1.1 et la référence). Le recourant ne peut pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; il doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.4.3). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (<ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 1.3.1 et la référence).
3.
La recourante émet plusieurs griefs à l'encontre du refus de la juridiction précédente d'instaurer une garde alternée.
3.1.
3.1.1. Elle reproche tout d'abord à la cour cantonale d'avoir violé son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.) en s'écartant du rapport du SPJ du 17 juillet 2018 sans motiver en quoi ce document - qui était le fruit d'une instruction menée sur la durée, après avoir rencontré les enfants et les professionnels les entourant - serait moins pertinent que les déterminations de la curatrice de l'enfant, alors que celle-ci n'avait pas rencontré souvent les enfants et que les dernières déclarations de C._ devaient être considérées avec réserve. L'autorité aurait également omis de faire référence à la Convention du 20 novembre 1989 relative aux droits de l'enfant (CDE; RS 0.107), alors qu'elle avait invoqué notamment son art. 19.
3.1.2. L'obligation de motiver, telle qu'elle découle du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), est respectée lorsque le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause (<ref-ruling> consid. 3.4.1; <ref-ruling> consid. 5.2; <ref-ruling> consid. 4.3.2 et les références). L'autorité n'a pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais elle peut au contraire se limiter à ceux qui lui paraissent pertinents (ATF <ref-ruling> consid. 5.2; <ref-ruling> consid. 1.3.1). La motivation peut être implicite et résulter des différents considérants de la décision (<ref-ruling> consid. 3.2.1).
3.1.3. En l'espèce, la cour cantonale a expliqué les raisons pour lesquelles elle s'est écartée du rapport du SPJ, à savoir que celui-ci était relativement ancien et antérieur à la convention selon laquelle les parents avaient confirmé le régime de garde exclusive au père, de sorte qu'il ne constituait pas un élément nouveau susceptible de justifier une modification du régime. La décision attaquée remplit ainsi les exigences de l'art. 29 al. 2 Cst. (cf. supra consid. 3.1.2). Pour le surplus, le grief de la recourante se confond en réalité avec celui d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits, qui sera examiné ci-après (cf. infra consid. 3.2).
S'agissant de la référence à l'art. 19 CDE que la cour cantonale aurait omise, le fait que celle-ci n'ait pas expressément mentionné cette disposition dans sa décision n'est pas constitutif d'une violation du droit d'être entendu, dès lors qu'elle a examiné les arguments de la recourante relatifs aux violences domestiques et pris sa décision au regard du bien de l'enfant (cf., à ce propos, infra consid. 3.3.3.2).
Infondé, le grief de violation de l'art. 29 al. 2 Cst. doit être rejeté.
3.2. La recourante fait également grief à la cour cantonale d'avoir arbitrairement établi les faits. En tant qu'elle fait valoir que la juridiction précédente aurait constaté de manière manifestement inexacte que le système de garde exclusive découlait d'une convention de mesures protectrices de l'union conjugale du 24 août 2017, alors qu'il s'agissait en réalité d'un prononcé et non d'une convention, la recourante - qui ne met pas en cause le fait que la garde a été effectivement attribuée au père depuis cette date - n'explique nullement en quoi la correction de cet élément aurait une influence sur l'issue du litige (cf. supra consid. 2.1). En tant qu'elle soutient que la décision du 24 août 2017 était erronée et qu'il serait dès lors arbitraire de se fonder sur celle-ci pour justifier le maintien de la garde au père, la recourante se contente de présenter, de manière appellatoire (cf. supra consid. 2.2), sa propre appréciation de cette décision, en perdant au demeurant de vue que celle-ci a été confirmée en deuxième instance par arrêt du 21 novembre 2017. Dans la mesure où la recourante fait valoir que l'intimé aurait été arbitrairement considéré comme un homme au foyer, qu'il n'aurait jamais été convenu qu'il s'occupe des enfants et qu'elle travaille à plein temps, qu'elle s'occupait exclusivement de ceux-ci avant de partir au travail et que seule la paresse de l'intimé l'avait empêché de trouver du travail en Suisse, la recourante ne fait, là encore, que présenter de manière appellatoire sa propre vision de la situation (cf. supra consid. 2.2). En tant qu'elle soutient que les constatations de l'autorité cantonale à cet égard, qui seraient " fondées sur des stéréotypes préconçus sur la répartition des tâches lorsqu'un parent travaille et l'autre pas, [...] pourrai[en]t constituer une discrimination au sens des art. 8 et 9 de la Constitution fédérale et de l'art. 14 CEDH ", sa critique ne remplit manifestement pas les exigences de l'<ref-law> (cf. supra consid. 2.1). Il en va de même de l'affirmation péremptoire selon laquelle l'hospitalisation de C._ au mois de février 2018 serait due à l'attribution de la garde exclusive au père. Dans la mesure où elle reproche à la cour cantonale de ne pas avoir détaillé le rapport du SPJ du 17 juillet 2018 et de ne pas l'avoir "examiné avec suffisamment d'attention ", la recourante se contente de présenter sa propre lecture de ce document et ne critique pas de manière claire et détaillée (cf. supra consid. 2.2) le raisonnement de la cour cantonale, qui explique pour quelles raisons il se justifie de s'écarter de ce rapport. Enfin, les arguments de la recourante relatifs aux déclarations et déterminations de la curatrice, dont elle minimise la valeur probante, ainsi qu'aux souhaits de l'enfant C._ en début de procédure, à l'état de son fils à cet époque et au lien que D._ a avec elle sont appellatoires, partant irrecevables (cf. supra consid. 2.2).
Au vu de ce qui précède, le grief est irrecevable.
3.3.
3.3.1. La recourante reproche ensuite à la juridiction précédente d'avoir arbitrairement appliqué l'art. 298 al. 2 ter CC, violé la Convention du Conseil de l'Europe sur la prévention et la lutte contre la violence à l'égard des femmes et la violence domestique (Convention d'Istanbul; RS 0.311.35) ainsi que les art. 3, 8 et 14 CEDH en refusant d'instaurer une garde alternée. Elle lui fait grief de s'être fondée " pratiquement exclusivement " sur les déterminations de la curatrice, contenant notamment des " déclarations spontanées " de C._ contredisant ses précédentes déclarations selon lesquelles il voulait voir davantage sa mère. Par ailleurs, l'arrêt entrepris minimise l'impact des violences subies, tend à les excuser et " semble considérer " qu'un père peut être violent contre la mère, sans que cela affecte ses capacités parentales, ce qui contredit la position officielle de la Suisse, qui a confirmé à un comité des droits de l'homme des Nations-Unies qu'il ne faisait aucun doute que la violence domestique entravait la capacité des parents à exercer leurs droits parentaux. Citant l'art. 7 de la Convention d'Istanbul, la recourante explique avoir peiné à obtenir une réponse globale de la part des autorités, les autorités civiles n'ayant pas tenu compte de la condamnation pénale de l'intimé. Au vu de l'art. 48 de la Convention précitée, la juridiction précédente ne pouvait par ailleurs s'appuyer sur la convention signée par les parties le 10 octobre 2018, laissant la garde au père. La cour cantonale aurait également omis d'appliquer la jurisprudence de la Cour européenne des droits de l'homme en matière de violences domestiques en ne prenant pas les mesures adéquates pour la protéger ainsi que ses enfants et en ne traitant pas de l'impact significatif de la violence sur les enfants, compte tenu notamment de l'hospitalisation de l'enfant aîné pour des actes d'automutilation et des idées suicidaires. Compte tenu du fait qu'elle dispose actuellement d'un droit de visite très large et que les disponibilités des parties sont similaires, l'autorité cantonale aurait versé dans l'arbitraire en refusant l'instauration d'une garde alternée aux seuls motifs du conflit parental et du maintien de la stabilité. Celle-ci ne serait d'ailleurs nullement remise en cause en cas de garde partagée, la seule différence pratique résidant dans le fait que, toutes les deux semaines, les enfants viendraient chez leur mère plus tôt dans la journée et qu'ils resteraient le dimanche soir avec elle. Soulignant qu'elle continue de demander la garde exclusive dans la procédure de divorce, la mère relève que la décision du premier juge constituait un " pas dans la bonne direction ", le père utilisant la garde exclusive pour lui mettre la pression sur les plans économique et psychologique depuis plus de deux ans.
3.3.2. Le droit suisse satisfait aux exigences des art. 7 et 48 de la Convention d'Istanbul (Message du Conseil fédéral concernant l'approbation de la convention du Conseil de l'Europe sur la prévention et la lutte contre la violence à l'égard des femmes et la violence domestique [convention d'Istanbul], FF 2017 163, spéc. 180 et 226). Ces dispositions obligent en outre les Etats parties mais ne créent pas de droits subjectifs (cf. arrêt 6B_1015/2019 du 4 décembre 2019 consid. 5.5.7; KÄLIN/KÜNZLI, Universeller Menschenrechtsschutz, 4e éd., 2019, no 11.67). Par ailleurs, comme la recourante ne prétend pas que la législation suisse contreviendrait aux art. 3, 8 et 14 CEDH ni ne démontre que ceux-ci auraient une portée propre dans le présent contexte, on peut se limiter à examiner ses critiques sous l'angle de l'<ref-law>, dont elle soulève également l'application arbitraire.
3.3.3.
3.3.3.1. Bien que l'autorité parentale conjointe soit désormais la règle (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.3, 56 consid. 3) et qu'elle comprenne le droit de déterminer le lieu de résidence de l'enfant (<ref-law>), elle n'implique pas nécessairement l'instauration d'une garde alternée (<ref-ruling> consid. 4.2, 617 consid. 3.2.3; arrêt 5A_534/2019 du 31 janvier 2020 consid. 3.1 et les références). Le juge doit néanmoins examiner, nonobstant et indépendamment de l'accord des parents quant à une garde alternée, si celle-ci est possible et compatible avec le bien de l'enfant (<ref-ruling> consid. 4.2, 617 consid. 3.2.3). En matière d'attribution des droits parentaux, le bien de l'enfant constitue la règle fondamentale, les intérêts des parents devant être relégués au second plan (<ref-ruling> consid. 3.2.3 et les références; arrêts 5A_534/2019 précité consid. 3.1; 5A_462/2019 du 29 janvier 2020 consid. 3.2). Le juge doit évaluer, sur la base de la situation de fait actuelle ainsi que de celle qui prévalait avant la séparation des parties, si l'instauration d'une garde alternée est effectivement à même de préserver le bien de l'enfant. A cette fin, il doit en premier lieu examiner si chacun des parents dispose de capacités éducatives et s'il existe une bonne capacité et volonté de ceux-ci de communiquer et coopérer, compte tenu des mesures organisationnelles et de la transmission régulière d'informations que nécessite ce mode de garde. A cet égard, on ne saurait déduire une incapacité à coopérer entre les parents du seul refus d'instaurer la garde alternée. En revanche, un conflit marqué et persistant entre les parents portant sur des questions liées à l'enfant laisse présager des difficultés futures de collaboration et aura en principe pour conséquence d'exposer de manière récurrente l'enfant à une situation conflictuelle, ce qui pourrait apparaître contraire à son intérêt (<ref-ruling> consid. 3.2.3; arrêts 5A_534/2019 précité consid. 3.1; 5A_462/2019 précité consid. 3.2 et les références). Si les parents disposent tous deux de capacités éducatives, le juge doit dans un deuxième temps évaluer les autres critères d'appréciation pertinents pour l'attribution de la garde. Au nombre des critères essentiels pour cet examen, entrent en ligne de compte la situation géographique et la distance séparant les logements des deux parents, la capacité et la volonté de chaque parent de favoriser les contacts entre l'autre parent et l'enfant, la stabilité que peut apporter à l'enfant le maintien de la situation antérieure - en ce sens notamment qu'une garde alternée sera instaurée plus facilement lorsque les deux parents s'occupaient de l'enfant en alternance déjà avant la séparation -, la possibilité pour chaque parent de s'occuper personnellement de l'enfant, l'âge de celui-ci et son appartenance à une fratrie ou à un cercle social ainsi que le souhait de l'enfant s'agissant de sa propre prise en charge, quand bien même il ne disposerait pas de la capacité de discernement à cet égard. Les critères d'appréciation précités sont interdépendants et leur importance varie en fonction du cas d'espèce (<ref-ruling> consid. 3.2.3; arrêts 5A_462/2019 précité consid. 3.2; 5A_260/2019 du 5 novembre 2019 consid. 3.1).
Pour apprécier ces critères, le juge du fait, qui connaît le mieux les parties et le milieu dans lequel vit l'enfant, dispose d'un large pouvoir d'appréciation (<ref-ruling> consid. 3.2.5 et les références; arrêts 5A_534/2019 précité consid. 3.1; 5A_260/2019 précité consid. 3.1 et les références). Le Tribunal fédéral n'intervient que s'il s'est écarté sans motif des principes établis par la doctrine et la jurisprudence, lorsqu'il s'est fondé sur des faits qui ne devaient jouer aucun rôle pour la solution du cas d'espèce, ou lorsque, au contraire, il n'a pas tenu compte de circonstances qui auraient impérativement dû être prises en considération (<ref-ruling> consid. 3.2.5 et la référence; arrêt 5A_534/2019 précité consid. 3.1).
3.3.3.2. En l'espèce, la recourante reproche à la cour cantonale de n'avoir pas tenu compte des violences domestiques commises par le père et remet en cause les capacités parentales de celui-ci. Dans le cadre de son examen, la juridiction précédente a toutefois pris en considération cet élément. Relevant que la condamnation de l'intimé par ordonnance pénale pour lésions corporelles simples qualifiées, injures et menaces qualifiées contre l'épouse pour des faits survenus d'avril à août 2017, soit avant la séparation des parties, n'était pas définitive et que la question des violences devait être prise en compte dans l'appréciation du bien des enfants, la juridiction précédente a estimé qu'en l'espèce, le maintien du régime actuel se justifiait par l'intérêt supérieur de ceux-ci, dont la sécurité n'était nullement compromise par l'attribution de la garde au père, quand bien même la condamnation pénale serait confirmée. Soulignant que les faits reprochés au père n'avaient pas empêché que la garde exclusive lui soit accordée depuis le 24 août 2017, la cour cantonale a estimé que la recourante ne pouvait revenir sur ces faits anciens pour prétendre à une garde alternée. En l'occurrence, dans la mesure où les enfants sont sous la garde exclusive du père depuis la séparation et qu'il ne ressort nullement du dossier que le SPJ ou d'autres intervenants auraient remis en doute les aptitudes de celui-ci, il n'apparaît pas que l'autorité cantonale aurait manifestement outrepassé son pouvoir d'appréciation (cf. supra consid. 3.3.3.1) en considérant que les faits reprochés à l'intimé ne remettaient, en l'espèce, pas en cause sa capacité parentale. S'agissant de la capacité de la mère, la cour cantonale a retenu, sur la base des dernières déterminations du SPJ, que celle-ci semblait avoir de la peine à entendre les besoins de ses enfants et à les faire passer avant ses propres intérêts, et que son aptitude à favoriser le contact avec l'autre parent était sujette à caution, ce que la recourante ne discute pas (cf. supra consid. 2.2). Par ailleurs, si la volonté actuelle de l'enfant C._ concernant le maintien de la situation a certes été prise en compte par la cour cantonale pour refuser l'octroi d'une garde alternée, ce critère n'a pas été considéré comme décisif mais simplement comme un élément supplémentaire dans le cadre de l'appréciation globale de la situation. Enfin, autant que recevable, l'argument de la recourante selon lequel la stabilité de la prise en charge des enfants ne serait pas remise en cause par l'instauration d'une garde alternée puisqu'elle dispose déjà d'un large droit de visite est, en l'espèce, infondé. En effet, selon les constatations de l'arrêt querellé, la psychologue de C._ a indiqué ne pas pouvoir se prononcer sur les effets d'une garde alternée, en précisant que si C._ voyait plus sa mère, il pourrait aller mieux comme retomber dans un conflit de loyauté, ce qu'a aussi souligné la curatrice de l'enfant. Par ailleurs, dans ses dernières déterminations du 17 septembre 2019, le SPJ a conclu au maintien de la garde exclusive en faveur du père. Compte tenu en particulier de l'ampleur du conflit conjugal et de la nécessité de préserver les enfants de celui-ci, notamment d'éviter le risque pour C._ de retomber dans un grave conflit de loyauté, la cour cantonale n'a pas manifestement outrepassé son pouvoir d'appréciation en refusant d'apporter, en l'état et alors qu'un travail de coparentalité était en cours, tout changement à la prise en charge des enfants.
Autant que recevables, les griefs de la recourante doivent être rejetés.
4.
La recourante reproche également à la cour cantonale d'avoir violé l'art. 18 de la Convention d'Istanbul, le principe de l'interdiction de l'arbitraire et l'<ref-law> s'agissant des contributions d'entretien dues en faveur de ses deux enfants. Elle soutient que lesdites pensions, qui incluent une contribution de prise en charge, l'empêchent de bénéficier de l'indépendance économique dont elle a besoin compte tenu des abus subis. Au vu des montants fixés et du fait que des postes importants de son budget ont été exclus, son minimum vital ne serait pas couvert. Elle soutient également que l'intimé est seul responsable de sa propre situation économique et renvoie, si par impossible le Tribunal fédéral devait considérer qu'elle doit verser des pensions en faveur des enfants, aux calculs mentionnés dans son appel et à sa réponse à l'appel de l'intimé.
En l'espèce, indépendamment de la pertinence et de l'applicabilité des dispositions invoquées par la recourante à la présente cause (cf., s'agissant de la Convention d'Istanbul, arrêt 6B_1015/2019 précité consid. 5.5.7 et la doctrine citéeet, au sujet de l'<ref-law> en mesures protectrices de l'union conjugale, arrêt 5A_405/2019 du 24 février 2020 consid. 7.2), la recourante ne développe aucune critique claire et détaillée (cf. supra consid. 2.1 et 2.2) à l'encontre des motifs de la décision querellée concernant les pensions des enfants, le simple renvoi à ses écritures d'appel étant à cet égard insuffisant (cf. supra consid. 2.1).
Partant, les griefs de la recourante sont irrecevables.
5.
En conclusion, le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Les frais judiciaires sont mis à la charge de la recourante, qui succombe (<ref-law>). L'intimé, qui a obtenu gain de cause s'agissant de l'effet suspensif mais n'a pas été invité à se déterminer sur le fond, a droit à une indemnité de dépens réduits (art. 68 al. 1 et 2 LTF), ce qui rend sa demande d'assistance judiciaire sans objet. Compte tenu de l'issue de la cause, il n'y a pas lieu de modifier les frais et dépens de la procédure cantonale (art. 67 et 68 al. 5 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Une indemnité de 500 fr., à verser à l'intimé à titre de dépens, est mise à la charge de la recourante.
4.
La demande d'assistance judiciaire de l'intimé est sans objet.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Juge délégué de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 13 mai 2020
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Feinberg