Sachverhalt:
A.
A.a. B.A._ (geb. xx.xx.2007) ist die Tochter von A.A._ und C._. Ende November 2017 kam es zu Gefährdungsmeldungen des Gymnasiums U._ und der Musikschule V._. Nachdem sie die Situation untersucht hatte, errichtete die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Basel-Stadt mit Entscheid vom 5. April 2018 für B.A._ eine Erziehungsbeistandschaft gemäss Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB.
A.b. Am 29. Mai 2018 erklärte sich A.A._ damit einverstanden, B.A._ zeitweilig im Heim D._ unterzubringen. Darauf beschloss die KESB, zur Sicherung dieser Unterbringung der Mutter gestützt auf Art. 445 Abs. 1 und <ref-law> das Aufenthaltsbestimmungsrecht über ihre Tochter vorsorglich zu entziehen und das Kind im erwähnten Heim unterzubringen. Der Beiständin wurden zusätzliche Aufgaben und Befugnisse aufgetragen, darunter die Sicherstellung der medizinischen Versorgung, die Aufgleisung einer kinderpsychiatrischen Abklärung und bei Bedarf entsprechende therapeutische Massnahmen, die Überprüfung der schulischen Situation und nötigenfalls die Organisation des Schulbesuchs, die Koordination des Kontakts zwischen Mutter und Tochter mit Einbezug des Heims sowie den Einbezug der Mutter in die erforderlichen Prozesse und die Stärkung ihrer Erziehungsrolle sowie -kompetenzen. Die vorsorgliche Massnahme wurde bis zum 31. August 2018 befristet.
A.c. Nachdem sie am 6. August 2018 gestützt auf <ref-law> Advokatin Nina Blum als Kindesvertreterin eingesetzt hatte, bestätigte die KESB mit Entscheid vom 29. August 2018 die Aufhebung des Aufenthaltsbestimmungsrechts und B.A._s Unterbringung im Heim D._. Die Erziehungsbeistandschaft wurde beibehalten und die erwähnten Aufgaben und Befugnisse der Beiständin (Bst. A.b) wurden bestätigt, wobei die Beiständin zusätzlich abzuklären hatte, ob und inwieweit der Kontakt zwischen B.A._ und ihrem Vater wiederhergestellt werden kann. A.A._ wurde angewiesen, sich weiterhin in psychotherapeutische Behandlung zu begeben.
B.
B.a. Sowohl A.A._ als auch B.A._ erhoben Beschwerde beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht. Soweit vor Bundesgericht noch streitig, beantragte A.A._ die sofortige Erteilung des Aufenthaltsbestimmungsrechts über ihre Tochter und die sofortige Wiederherstellung der normalen Mutter-Kind-Beziehung. Handelnd durch ihre Kindervertreterin verlangte auch B.A._, wieder zu Hause bei der Mutter platziert zu werden. Eventualiter verlangte sie, die Massnahme spätestens im Juli 2019 und danach jährlich zu überprüfen.
B.b. Mit Verfügung vom 28. Januar 2019 kündigte das Verwaltungsgericht an, eine Verhandlung anzusetzen, an der neben den Beschwerdeführerinnen, der Vorinstanz und der Beiständin auch eine Vertreterin des Teams Multisystemische Therapie Kinderschutz (MST-CAN) der Klinik für Kinder und Jugendliche der UPK Basel als Auskunftsperson teilnehmen sollte. Ferner wurde die Spitex X._ ersucht, telefonisch oder schriftlich über den Zustand der Familienwohnung zu berichten. Ausserdem kündigte der Verfahrensleiter an, B.A._ in Anwesenheit der Kindesvertreterin anzuhören.
B.c. In der Folge beantragte A.A._ einen zweiten Schriftenwechsel und umfassende Akteneinsicht. Weiter verlangte sie, an der Kindesanhörung (gegebenenfalls per Videoübertragung) teilnehmen zu können. Soweit die Erkundigung bei der Spitex einen Besuch ihrer Wohnung zur Folge habe, sei ihr und ihrem Rechtsvertreter die Teilnahme zu ermöglichen; der Bericht der Spitex sei schriftlich abzugeben und ihr dazu eine Stellungnahme zu ermöglichen. Am 4. Februar 2019 verfügte das Verwaltungsgericht, die Akten A.A._ zuzustellen; die weiteren Verfahrensanträge wurden abgewiesen.
B.d. Nachdem es entsprechend dem Antrag der Kindesvertreterin einen Bericht bei B.A._s behandelnder Psychologin eingeholt und die Beiständin zu einem Hausbesuch bei A.A._ geschickt hatte, führte das Verwaltungsgericht am 6. Mai 2019 die Kindesanhörung in Anwesenheit der Kindesvertreterin durch. Am 14. Mai 2019 fand die Verhandlung statt. Gleichentags entschied das Verwaltungsgericht, die Beschwerden abzuweisen. Ausserdem ordnete es an, dass der nächste Verlaufsbericht der Beiständin per Ende Mai 2020 zu erfolgen habe.
C.
C.a. Mit Eingabe vom 19. Juli 2019 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die Sache zur Neuverhandlung an die Vorinstanz zurückzuweisen; "evtl. abschliessend (reformatorisch) durch das Bundesgericht zu entscheiden" (Ziffer 1). Weiter ersucht sie um Akteneinsicht in sämtliche von den am Verfahren Beteiligten herangezogenen Unterlagen, Aufzeichnungen usw. (Ziffer 2). Ausserdem seien ein zweiter Schriftenwechsel und eine mündliche Parteiverhandlung anzuberaumen (Ziffer 3). "Im Hinblick dazu" beantragt die Beschwerdeführerin unter Ziffer 4 ihrer Anträge, die KESB und die Vorinstanz aufzufordern
"im Einzelnen anzugeben, aufgrund welcher
a. Beweise aus dem Zeitraum des Urteils der Vorinstanz,
b. unmittelbaren Begegnungen aus dem Zeitraum des Urteils der Vorinstanz, Untersuchungen, Begutachtungen, Augenscheinen in der Wohnung usw. (mit) der Beschwerdeführerin, ihrer Tochter, Personen aus dem schulischen und persönlichen Umfeld,
c. Personen, Behörden und Institutionen, welche nicht in die rechtliche Auseinandersetzung mit der Beschwerdeführerin einbezogen und somit unbefangen sind,
die Vorinstanz und die Beschwerdegegnerin zum Schluss gekommen sind, es gebe im vorliegenden Fall keine Möglichkeit, eine weniger schwere Massnahme als die vollständige Aufhebung des Aufenthaltsbestimmungsrechts anzuordnen, insbesondere die Wiedererteilung des Aufenthaltsbestimmungsrechts (Rückplatzierung) kombiniert mit weniger weitgehenden Massnahmen gemäss Art. 307 f. ZGB mit dem regelmässigen Besuch einer Psychotherapie verbunden mit einem Coaching für Erziehungsfragen abhängig zu machen."
Weiter stellt die Beschwerdeführerin das Begehren, von einer in der aktuellen rechtlichen Auseinandersetzung nicht involvierten Fachperson ein psychiatrisches Gutachten erstellen zu lassen, das die Frage beantwortet, ob es von vornherein ausgeschlossen ist, dass sich die Beschwerdeführerin in eine Psychotherapie begibt, sich coachen lässt und sich an Ratschläge und Auflagen im Sinne von Art. 307 f. ZGB hält (Ziffer 5). Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht die Beschwerdeführerin überdies um unentgeltliche Rechtspflege (Ziffer 6).
C.b. Mit Verfügung vom 22. Juli 2019 teilte die II. zivilrechtliche Abteilung der Beschwerdeführerin mit, dass das Bundesgericht die kantonalen Akten einstweilen nicht einhole, damit ihr Rechtsvertreter entsprechend dem gestellten Begehren direkt bei den kantonalen Behörden Akteneinsicht nehmen kann. Ein Schriftenwechsel wurde im bundesgerichtlichen Verfahren nicht angeordnet.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist der Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin (Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG) über eine Massnahme zum Schutz des Kindes geurteilt hat. Das ist eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit, die in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG) und keinen Vermögenswert hat. Die Beschwerdeführerin ist zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>), die Beschwerdefrist gewahrt (<ref-law>). Die Beschwerde ist grundsätzlich gegeben.
2.
In Ziffer 3 ihrer Anträge verlangt die Beschwerdeführerin, einen zweiten Schriftenwechsel und eine mündliche Parteiverhandlung "anzuberaumen" (s. Sachverhalt Bst. C.a). In der Beschwerde findet sich dazu keine Erklärung. Im Dunkeln bleibt namentlich, ob sich das Begehren auf das bundesgerichtliche Verfahren oder auf die Neubeurteilung durch das Verwaltungsgericht bezieht, an welches das Bundesgericht die Sache zurückweisen soll. Mangels Begründung ist auf den Antrag nicht einzutreten (<ref-law>).
3.
3.1. Auch im ordentlichen Beschwerdeverfahren befasst sich das Bundesgericht nur mit formell ausreichend begründeten Rügen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.; s. auch Urteil 5A_92/2008 vom 25. Juni 2008 E. 2.3). Nach <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Die Beschwerdeführerin muss auf den angefochtenen Entscheid eingehen und im Einzelnen aufzeigen, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286; <ref-ruling> E. 2 S. 116). Allgemein gehaltene Einwände, die sie ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorbringt, genügen nicht (<ref-ruling> E. 3 S. 749).
3.2. Für Vorbringen betreffend die Verletzung von Grundrechten gilt ausserdem das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; <ref-ruling> a.a.O.). Die Beschwerdeführerin muss in ihrer Eingabe präzise angeben, welche Grundrechte verletzt worden sind, und im Einzelnen substanziiert darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 5.1 S. 41; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 3.2 S. 399 f.). Das Rügeprinzip gilt überdies auch dort, wo die Vorinstanz Bestimmungen der Schweizerischen Zivilprozessordnung nach Massgabe von <ref-law> oder gestützt auf einen entsprechenden Verweis des kantonalen Rechts als kantonales Verfahrensrecht anwendet (Urteil 5A_145/2019 vom 25. Februar 2019 E. 3 mit Hinweisen). Die korrekte Handhabung des kantonalen Rechts prüft das Bundesgericht nur auf Willkür (<ref-law>) hin (s. dazu <ref-ruling> E. 5.1 S. 41).
3.3. Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (<ref-law>). Diesbezüglich kann die Beschwerdeführerin nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig (<ref-law>), das heisst willkürlich (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 1.5 S. 130 mit Hinweis), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1). In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22).
4.
Anlass zur Beschwerde gibt die vorinstanzliche Erkenntnis, dass der Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts und die Beibehaltung der Erziehungsbeistandschaft im Zeitpunkt, als das Verwaltungsgericht sein Urteil fällte, weiterhin erforderlich und verhältnismässig sind.
4.1. Kann der Gefährdung des Kindes nicht anders begegnet werden, so hat die Kindesschutzbehörde es den Eltern oder, wenn es sich bei Dritten befindet, diesen wegzunehmen und in angemessener Weise unterzubringen (<ref-law>). Diese Kindesschutzmassnahme hat zur Folge, dass das Recht, den Aufenthaltsort des Kindes zu bestimmen, den Eltern bzw. einem Elternteil entzogen und der Kindesschutzbehörde übertragen wird, die nunmehr für die Betreuung des Kindes verantwortlich ist (Urteil 5A_335/2012 vom 21. Juni 2012 E. 3.1). Zutreffend erläutert der angefochtene Entscheid die Voraussetzungen für einen Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts, wie sie sich aus der Rechtsprechung zur zitierten Norm ergeben (s. dazu die Urteile 5A_404/2016 vom 10. November 2016 E. 3; 5A_724/2015 vom 2. Juni 2016 E. 6.3; je mit Hinweisen). Insbesondere ist die Entziehung des Aufenthaltsbestimmungsrechts nur zulässig, wenn der Gefährdung des Kindes nicht durch andere Massnahmen gemäss Art. 307 und Art. 308 ZGB begegnet werden kann (Grundsätze der Verhältnismässigkeit und der Subsidiarität; s. dazu Urteil 5A_724/2015 vom 2. Juni 2016 E. 6.3, nicht publ. in: <ref-ruling>; ferner die Urteile 5A_70/2016 vom 25. April 2016 E. 3.1 und 5A_548/2015 vom 15. Oktober 2015 E. 4.3).
Laut Vorinstanz war die Aufhebung des Aufenthaltsbestimmungsrechts und B.A._s Platzierung im Heim D._ zur Wahrung des Kindeswohls offensichtlich geboten, notwendig und angemessen gewesen, als die KESB am 29. August 2018 ihren Entscheid fällte (s. Sachverhalt Bst. B). Das Verwaltungsgericht weist darauf hin, dass für die Beurteilung der Kindesschutzmassnahme auf die Verhältnisse im Zeitpunkt seines Entscheids abzustellen, ein einmal angeordneter Obhutsentzug aber aufzuheben ist, wenn das Kindeswohl bei den Inhabern der elterlichen Sorge nicht mehr gefährdet ist. Entsprechend prüft es, "ob die Massnahme heute anders beurteilt werden muss". Gegen diese Vorgehensweise hat die Beschwerdeführerin vom Grundsatz her nichts einzuwenden.
4.2. Das Verwaltungsgericht zitiert aus dem Abschlussbericht MST-CAN vom 3. Januar 2019 betreffend die Begleitung vom 4. März bis 30. September 2018. Der Bericht empfehle, B.A._ weiterhin in einer geeigneten, familiär geführten, sozialpädagogischen Institution unterzubringen, damit sie lerne, positive und tragfähige Beziehungen aufzubauen und sich neue Strategien im Umgang mit Frustrationen und Überforderung anzueignen. In der Anhörung vom 6. Mai 2019 habe B.A._ gesagt, dass es ihr bei der Familie D._ schlecht gehe und sie sich in der Schule in Y._ nicht wohl fühle. Zurück zur Mutter wolle sie wegen der Freunde, der Schule, den nervigen Familienmitgliedern im Heim D._ und wegen ihrer Mutter, der es im Moment nicht gut gehe, weil sie nicht da sei. Ihren Vater wolle B.A._ nicht wiedersehen. Die Therapie bei Frau E._ erachte sie als reine Zeitverschwendung.
Gemäss dem Bericht der behandelnden Psychologin vom 9. Mai 2019 befinde sich B.A._ seit Oktober 2018 in Therapie. Angesichts der momentan hohen psychosozialen Belastung wirke B.A._ trotz ihres prinzipiell offenen und positiven Temperaments affektlabil; sie sei leicht zu verunsichern. In der Meinungs- und Wertbildung scheine sie sich noch stark an ihrer Mutter zu orientieren, an die sie - mit allen Vor- und Nachteilen - sehr loyal gebunden sei. Die bestehende Belastungssituation bringe das Kind einzig mit der Fremdplatzierung in Verbindung, während es andere Zusammenhänge nicht wahrzunehmen scheine oder - gemäss der Mutter - im Rahmen der Therapie nicht verbalisieren wolle.
Weiter zitiert das Verwaltungsgericht die Aussagen der Beiständin anlässlich der Gerichtsverhandlung. Demnach fühle sich B.A._ in der Schule wohl. Sie komme gut mit und habe Anschluss gefunden. Bei der Familie D._ zeige sie sich angepasst und "funktioniere". Mit der Therapeutin werde versucht, einen Kontakt mit dem Vater anzubahnen. Für das Wohl des Kindes sei es geboten, die Platzierung noch weiterzuführen. Frau F._ von MST-CAN habe an der Gerichtsverhandlung ausgeführt, solange die Mutter die Fremdplatzierung nicht bejahen könne, sei es für B.A._ schwierig, sich dort zu entfalten; diesbezüglich könne bis jetzt nur wenig Entwicklung beobachtet werden. Aufgrund von B.A._s Verhalten in den ersten Wochen der Begleitung sei die Verdachtsdiagnose einer Anpassungsstörung, das heisst einer Reaktion auf die Ereignisse im häuslichen Umfeld gestellt worden. Die Fremdplatzierung habe sofort zu einer Beruhigung der Situation geführt. Schliesslich erwähnt das Verwaltungsgericht die Aussagen der Vertreterin der KESB. Diese habe betont, dass B.A._ seit der Fremdplatzierung regelmässig zur Schule gehe und dass eine sofortige Veränderung zum jetzigen Zeitpunkt nicht ideal sei, da B.A._ viel erlebt habe und mit dem bevorstehenden Sekundarschulübertritt sowie im Zusammenhang mit der Kontaktaufnahme des Vaters weitere Herausforderungen anstünden. Zunächst sei auf eine weitere Ausarbeitung der Besuche bei der Mutter hinzuarbeiten.
Was die Beschwerdeführerin angeht, stellt das Verwaltungsgericht fest, dass diese aktuell nicht mehr von der Spitex betreut werde. Laut dem Bericht vom 7. Februar 2019 habe die Beschwerdeführerin nach dem letzten Kontakt am 26. Juli 2018 bei Besuchen die Tür nicht mehr geöffnet; schliesslich sei sie nicht mehr erreichbar gewesen. An der Gerichtsverhandlung hätten die Erziehungsbeiständin, die Kindesvertreterin und der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin übereinstimmend berichtet, dass sich die Wohnsituation unterdessen stark verbessert habe. Die Vertreterin der KESB habe zu bedenken gegeben, dass die Wohnsituation nicht ausschlaggebend für die Kindesschutzmassnahmen gewesen sei und die diesbezügliche Verbesserung "Symptombewältigung, aber nicht Lösung für die Kernproblematik" sei. Dem angefochtenen Entscheid zufolge ergab sich an der Gerichtsverhandlung überdies, dass die Beschwerdeführerin die begonnene Psychotherapie nach zwei bis drei Sitzungen abgebrochen hatte. Die Beschwerdeführerin habe erklärt, dass ihr die Psychotherapie nicht gut getan habe, jedoch beteuert, an sich zu arbeiten. Der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin habe betont, dass die Mutter bereit sei, sich coachen zu lassen; Frau F._ von MST-CAN habe grosse Bedenken bezüglich einer "Rückplatzierung" ohne Coaching der Beschwerdeführerin geäussert. Die Erziehungsbeiständin habe darauf hingewiesen, dass die Beschwerdeführerin lernen müsse, Hilfe anzunehmen. Die Akzeptanz der Fremdplatzierung seitens der Beschwerdeführerin sei sehr wichtig für die Zusammenarbeit und für die Ausdehnung der Besuchsregelung. Die Erziehungskompetenzen der Mutter seien noch nicht so gewachsen, dass B.A._ zu Hause eine angemessene Erziehung erfahre. Laut der Vertreterin der KESB sei eine Psychotherapie und ein Coaching für die Kindsmutter sehr wichtig und eine solche Begleitung nicht erst in Anspruch zu nehmen, wenn Probleme auftreten. Der Sinn der Erziehungsbeistandschaft bestehe nicht darin, der Beschwerdeführerin immer wieder Hilfe anzubieten; die Initiative müsse auch von ihr ergriffen werden. Bei einer "Rückplatzierung" zum jetzigen Zeitpunkt bestehe das Risiko, dass insbesondere die Nachhaltigkeit der Wohnsituation nicht gegeben sei.
Gestützt auf diese (resümierten) Feststellungen kommt das Verwaltungsgericht zum Schluss, dass sich B.A._s Situation seit dem Entscheid der KESB massgeblich und erfreulich verändert habe. Demgegenüber habe sich die Situation der Beschwerdeführerin nicht wesentlich verändert. Hinsichtlich des Zustands der Wohnung sei eine nachhaltige Instandhaltung noch nicht nachgewiesen. Ohnehin sei die Wohnsituation für die Fremdplatzierung und die Errichtung einer Erziehungsbeistandschaft nicht allein ausschlaggebend gewesen. Vor dem Hintergrund des bisherigen Fallverlaufs könne nicht auf die Beteuerungen des Rechtsvertreters der Beschwerdeführerin abgestellt werden, wonach seine Mandantin bereit sei, sich coachen zu lassen. Die Beschwerdeführerin habe wiederholt signalisiert, sich helfen lassen zu wollen; eine Einsicht in den eigenen Unterstützungsbedarf sei anlässlich der Gerichtsverhandlung jedoch nicht zu erkennen gewesen. Die begonnene Psychotherapie habe sie nach kurzer Zeit wieder abgebrochen und die Begleitung von MST-CAN lediglich als "nett" bezeichnet. Damit fehle es am Nachweis, dass die Beschwerdeführerin zur Verhaltensänderung bereit sei. Abschliessend weist das Verwaltungsgericht auf die Gefahr hin, dass sich die Situation im Falle einer zu frühen "Rückplatzierung" wieder verschlechtert und eine erneute Fremdplatzierung erforderlich ist, der bisherige Heimplatz aber nicht mehr zur Verfügung steht. Ein "Hin und Her" und den Beginn einer "Heimkarriere" gelte es unbedingt zu vermeiden. Das Verwaltungsgericht stellt aber klar, dass B.A._s Rückkehr zur Mutter das Ziel sei, und nennt die Voraussetzungen, die im Hinblick darauf erfüllt sein müssen.
4.3. Die Beschwerdeführerin wirft dem Verwaltungsgericht vor, nicht auf die Verhältnisse im Zeitpunkt des Entscheides abzustellen, sondern seinen Entscheid stattdessen auf Geschehnisse im Zeitpunkt der Entziehung des Aufenthaltsbestimmungsrechts zu stützen. Sie rügt eine Verletzung von Art. 307 f. und <ref-law>. Ausserdem verletze der angefochtene Entscheid eine Reihe von Verfassungsbestimmungen (Art. 5 Abs. 2, Art. 9, 11, 13, 14, 29, 29a, 30, 36 Abs. 2 BV) sowie Art. 6 und 8 EMRK. Anstatt sich mit dem angefochtenen Entscheid auseinanderzusetzen, begnügt sich die Beschwerdeführerin damit, die Sach- und Rechtslage aus eigener Sicht zu schildern. Das zeigen die nachfolgenden Erwägungen:
4.3.1. Soweit sich die Beschwerdeführerin an den vorinstanzlichen Erwägungen zu B.A._s Situation stört, übersieht sie, dass einer Aufhebung des Entscheids der KESB in erster Linie die vorinstanzlichen Feststellungen bezüglich ihrer eigenen Situation entgegenstehen. Die Erkenntnisse des Verwaltungsgerichts zur Frage, ob sie im Zusammenhang mit der Psychotherapie zu einem Coaching bereit wäre, will die Beschwerdeführerin jedoch nicht gelten lassen. Dass sich ihre Situation nicht wesentlich verändert und verbessert habe, tadelt sie als willkürliche Behauptung; die von der Vorinstanz zitierten Äusserungen seien auf die Vergangenheit bezogen, nicht auf die Gegenwart. Da eine Gerichtsverhandlung kein Gespräch zulasse, das dem Sachverhalt, der Schwere des Eingriffs und der vielschichtigen Sachlage gerecht wird, sei ein Gutachten unverzichtbar. Mittels einer Expertise sei abzuklären, ob sie, die Beschwerdeführerin, bereit sei, sich in Psychotherapie zu begeben, sich in Lebens- und Erziehungsfragen coachen zu lassen und Ratschläge zu befolgen.
Ist die Beschwerdeführerin in tatsächlicher Hinsicht nicht mit dem angefochtenen Entscheid einverstanden, so hat sie in einem ersten Schritt und unter Gewärtigung der Nichteintretensfolge darzutun, inwiefern die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen, so wie sie von der Vorinstanz vorgenommen wurden, unvollständig und daher offensichtlich unrichtig sind (s. E. 3.3); darunter fällt auch der Vorwurf, das Gericht habe seine Auffassung aus dafür untauglichen Beweismitteln abgeleitet, weil es beispielsweise mangels eigener Fachkunde bestimmte Streitfragen nicht zu beurteilen vermag (Urteil 5A_361/2010 vom 10. September 2010 E. 4.2.2 mit Hinweis). Hier begnügt sich die Beschwerdeführerin damit, ihre Sichtweise auszubreiten. Insbesondere ist ihrem Schriftsatz nicht zu entnehmen, warum das Verwaltungsgericht gestützt auf die vorhandenen Feststellungen keine Prognose hinsichtlich ihrer Bereitschaft zu einer Verhaltensänderung stellen konnte, welche Tatsachen diesbezüglich noch zusätzlich zu erheben gewesen wären und inwiefern es für die Beurteilung geradezu zwingend auf ihre persönliche Anhörung durch eine sachverständige Person ankomme. Allein mit ihren pauschalen Klagen darüber, dass eine Gerichtsverhandlung nicht den geeigneten Rahmen für ein vertieftes Gespräch biete, vermag die Beschwerdeführerin nichts auszurichten. Auch dass es dem Verwaltungsgericht am Sachverstand fehle, um die erwähnte Gutachterfrage beantworten zu können, macht die Beschwerdeführerin nicht geltend, noch stellt sie in Abrede, dass sie die begonnene Psychotherapie nach kurzer Zeit abbrach, sich den Kontakten mit der Spitex verschloss und die Begleitung durch die MST-CAN wenig interessiert als "nett" abtat. Warum das Verwaltungsgericht angesichts von alledem nicht zum Schluss kommen durfte, dass es ihr an der Bereitschaft zur Verhaltensänderung fehle, mag die Beschwerdeführerin nicht erklären.
4.3.2. Die vorigen Ausführungen gelten sinngemäss, soweit die Beschwerdeführerin eine Verletzung von Art. 307 f. ZGB ausgemacht haben will. Die Beschwerdeführerin gibt sich damit zufrieden, ohne Bezug zum konkreten Fall die gesetzlich umschriebenen Möglichkeiten aufzuzählen. Sie argumentiert, dass die Vorinstanz im Sinne des Verhältnismässigkeitsgebots den Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts hätte aufheben und durch Massnahmen nach Art. 307 f. ZGB hätte ersetzen müssen. Es fehle der von der Vorinstanz und der KESB nach Massgabe von <ref-law> "geschuldete Nachweis", dass die getroffenen Massnahmen die einzig geeigneten sind und es keine weniger schwerwiegende, weniger in die grundrechtlichen Positionen als Familie eingreifende und gleichwohl die Interessen der Tochter wahrende Massnahmen gab. Die Rüge geht fehl. <ref-law> handelt davon, wer das Vorhandensein einer behaupteten Tatsache zu beweisen hat. Ob der Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts im Zeitpunkt der vorinstanzlichen Entscheidfällung im Sinne des Verhältnismässigkeitsgrundsatzes (Art. 389 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>) geeignet und erforderlich ist, hat mit der Feststellung von Tatsachen nichts zu tun, sondern beschlägt die Rechtsfrage, wie die Kindesschutzbehörde auf einen bestimmten Sachverhalt reagieren soll.
4.3.3. Darüber hinaus beruft sich die Beschwerdeführerin auf das "Verhältnismässigkeitsprinzip als eigenständiges Handlungsgebot" (<ref-law>), auf das Willkürverbot (<ref-law>), auf den "Schutz der Familie" (Art. 8 EMRK), den Schutz der Kinder und Jugendlichen (<ref-law>), den Schutz der Privatsphäre (<ref-law>), das Recht auf Ehe und Familie (<ref-law>) sowie auf die Verhältnismässigkeit als Voraussetzung für die Einschränkungen der Grundrechte (<ref-law>). Soweit diesen Verfassungsrügen neben den geltend gemachten Gesetzesverletzungen überhaupt eine selbständige Bedeutung zukommt, genügt die Beschwerde den erhöhten Begründungsanforderungen (E. 3.2) nicht; darauf ist nicht einzutreten. Unter dem Blickwinkel des Willkürverbots (<ref-law>) und der Verhältnismässigkeit nach <ref-law> wiederholt die Beschwerdeführerin die bereits erwähnten und behandelten Vorwürfe; diesbezüglich kann auf die vorangehenden Erwägungen (E. 4.3.1 und 4.3.2) verwiesen werden. Als willkürlich taxiert die Beschwerdeführerin, dass die Vorinstanz "Psychotherapie und Coaching" als sinnvoll und notwendig erachte, aber im Entscheid nicht einbeziehe. Auch dieser Vorwurf geht fehl. Die KESB fordert die Beschwerdeführerin explizit zur psychotherapeutischen Behandlung auf und ordnet die Stärkung der mütterlichen Erziehungsrolle und -kompetenzen an (s. Sachverhalt Bst. A.b und A.c).
4.3.4. Schliesslich beruft sich die Beschwerdeführerin auf ihre Ansprüche auf ein faires Verfahren, auf rechtliches Gehör und auf Zugang zu einem Gericht. Sie rügt eine Verletzung von Art. 29, 29a und 30 BV sowie von Art. 6 EMRK. Anlass zur Beanstandung gibt eine Textstelle aus dem angefochtenen Entscheid, wonach "die Akzeptanz für die Fremdunterbringung seitens der Kindsmutter... sehr wichtig für die Zusammenarbeit und für die Ausdehnung der Besuchsregelung [sei]" und "die Erziehungskompetenzen der Kindsmutter... noch nicht so gewachsen [seien], dass B.A._ eine angemessene Erziehung erfahre". Die Beschwerdeführerin findet, hier werde der Umstand, dass sie sich durch rechtliche Schritte gegen eine Massnahme wehrt, "gegen sie gewertet und verwertet" und offen angekündigt, dass die Ausdehnung der Besuchsregelung von der Akzeptanz der Fremdplatzierung abhängig gemacht wird. Dies sei rechtsmissbräuchlich und führe dazu, dass eine Anfechtung von Massnahmen eingeschränkt oder verunmöglicht wird. Abermals versäumt es die Beschwerdeführerin aufzuzeigen, inwiefern die angerufenen Verfassungsnormen und Art. 6 EMRK im Einzelnen verletzt sind (E. 3.2). Vor allem aber übersieht sie grundlegend, dass die Vorinstanz an der besagten Stelle gar nicht ihre eigene Einschätzung ausdrückt, sondern lediglich wiedergibt, was die Erziehungsbeiständin anlässlich der Gerichtsverhandlung vom 14. Mai 2019 zu Protokoll gab. Damit laufen auch diese Rügen ins Leere.
5.
5.1. Nach dem Gesagten hat es mit dem angefochtenen Entscheid sein Bewenden. Damit erübrigen sich Erörterungen zu den weiteren Anträgen, die - soweit sie überhaupt begründet sind - jedenfalls vom Hauptbegehren abhängen (vgl. Sachverhalt Bst. C.a), mit dem sich die Beschwerdeführerin gegen die Kindesschutzmassnahmen wehrt. Die Beschwerde ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang hat die Beschwerdeführerin als unterliegende Partei grundsätzlich für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Den mit der Bearbeitung der Beschwerde verbundenen Aufwand lastet das Bundesgericht zu einem beträchtlichen Teil dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin an. Die von ihm verfasste Beschwerde lässt das nötige Verständnis für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren und die Sorgfalt vermissen, wie sie das Bundesgericht von einem Rechtsanwalt erwartet. Es rechtfertigt sich daher, dem Rechtsvertreter direkt die Hälfte der Gerichtskosten aufzuerlegen. Dem Kanton Basel-Stadt ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.
5.2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen. Wie die vorigen Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren als von vornherein aussichtslos gelten. Damit mangelt es an einer materiellen Anspruchsvoraussetzung für die Gewährung des Armenrechts (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden zur Hälfte der Beschwerdeführerin und zur Hälfte ihrem Rechtsvertreter Rechtsanwalt Heinrich Ueberwasser auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Basel-Stadt, B.A._, Rechtsanwalt Heinrich Ueberwasser und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Dreiergericht, sowie C._, Basel, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. November 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn