Faits :
A.
A.a. A._ SA a pour but principal la fabrication et la commercialisation de médailles, pièces commémoratives, insignes, etc. Ses administrateurs sont B._, président, C._ et D._, tous avec signature collective à deux. Parmi les employés de la société figuraient trois cadres disposant également de la signature collective à deux, soit E._, F._ et G._.
Les 15 et 19 octobre 2020, A._ SA a déposé auprès du Ministère public une plainte pénale contre E._, F._ et G._, notamment pour escroquerie, subsidiairement vol et gestion déloyale. Selon cette plainte, les prénommés avaient, à l'insu du conseil d'administration, ouvert le 28 octobre 2019 un compte au nom de A._ SA auprès de la banque H._; ils étaient les seuls à disposer de ce compte qui n'avait jamais fait partie de la comptabilité de A._ SA. Ils avaient ensuite amené des clients de A._ SA à verser sur ce compte des montants dus à A._ SA. Ils avaient prélevé de l'argent sur ce compte et avaient consigné 100'000 fr. auprès de la banque I._ pour libérer le capital d'une nouvelle société (J._ SA). A._ SA demandait, au titre de l'urgence, le séquestre du compte H._, des 100'000 fr. consignés pour la création de cette nouvelle société, des lingots d'or qui se trouveraient chez F._ et E._ et d'une carte de crédit de la banque K._ de A._ SA utilisée par ce dernier pour des dépenses privées.
A.b. Le 23 octobre 2020, le Ministère public a ordonné l'ouverture d'une instruction contre E._, G._ et F._, prévenus d'escroquerie, vol et gestion déloyale, pour avoir, en résumé, ouvert le compte H._, encaissé sur ce compte des factures établies au nom de A._ SA, tiré profit de ces sommes, soustrait des déchets aurifères ensuite convertis en or et utilisé une carte de crédit de la société pour des dépenses privées. Le procureur a adressé le 27 octobre 2020 un courriel au mandataire de la plaignante, lui indiquant qu'il avait, le même jour, pris les mesures bancaires urgentes. Le 3 novembre 2020, la police a interpellé et interrogé les prévenus. Les 13 et 17 novembre 2020, la police a également entendu une employée de A._ SA et B._.
A.c. Le 30 décembre 2020, le Ministère public a formellement ordonné le séquestre du compte ouvert au nom des J._ SA en formation (solde: 100'000 fr.). Le même jour, il a ordonné le séquestre d'un compte de L._ Sàrl à la banque I._ (solde: 101'749.48 fr.), de deux comptes privés de F._ à la banque K._ (solde: 9'562.69 fr.) et à la banque M._ (solde: 20'000 fr.), de deux comptes privés de G._ à la banque I._ et à la banque M._, ainsi que d'un compte privé de E._ auprès de la banque M._.
A.d. Fin décembre 2020, la plaignante a, par l'intermédiaire de Me N._, demandé au procureur la levée des séquestres sur les comptes privés des prévenus et le versement à A._ SA des sommes correspondant aux montants dus. Les trois prévenus ont fait part de leur accord à ce que les fonds se trouvant sur le compte des J._ SA soient remis à la société plaignante (mais avec une condition, s'agissant de F._).
Le 21 janvier 2021, la plaignante a, par l'intermédiaire de Me N._, invité le Ministère public à statuer sur les restitutions. Le 29 janvier 2021, le Ministère public a décidé que la somme de 100'000 fr. se trouvant sur le compte de consignation de J._ SA serait débloquée et versée à A._ SA. Avec l'accord des intéressés, le procureur a décidé le remboursement à A._ SA de 79'998.40 fr. à prélever sur le compte à la banque M._ de G._ et de 104'200 fr. à prendre sur le compte de la banque I._ de E._. Pour le surplus, le séquestre était maintenu sur les comptes privés des prévenus, notamment en couverture des frais et indemnités, étant précisé qu'il n'était pas exclu que d'autres sommes doivent encore être restituées à A._ SA. Enfin, le dernier compte séquestré de L._ Sàrl serait libéré par décision séparée.
F._ et L._ SA ont recouru contre cette décision. Par arrêt du 16 mars 2021, l'Autorité de recours en matière pénale du Tribunal cantonal neuchâtelois (ci-après: le Tribunal cantonal ou l'ARMP) a déclaré irrecevable le recours de L._ SA et rejeté celui de F._. Cet arrêt n'a pas fait l'objet d'un recours au Tribunal fédéral et le dossier a été restitué au Ministère public le 12 mai 2021, après l'expiration du délai de recours, prolongé par les féries de Pâques.
A.e. Le 7 avril 2021, Me Federico Domenghini a écrit au Ministère public qu'il avait été mandaté par A._ SA pour la représenter dans la procédure; il sollicitait la consultation du dossier et demandait que le procureur l'appelle pour faire le point. Il a précisé, par téléphone du 13 avril 2021, qu'il défendait désormais les intérêts de A._ SA sur le plan pénal, Me N._ restant mandataire de la société pour les aspects civils.
Par lettre du 13 avril 2021, le procureur a demandé à Mes N._ et Domenghini de confirmer par écrit la répartition des tâches entre eux et de préciser si Me Domenghini pouvait désormais être seul convoqué aux actes d'enquête dans la procédure pénale. Le procureur ajoutait qu'une procédure distincte (MP.2020.5975) avait été ouverte afin de déterminer si des infractions avaient été commises par les organes de A._ SA en lien avec l'obtention d'indemnités RHT et l'emploi d'un prêt Covid-19. Me Domenghini était invité à préciser s'il intervenait également dans cette procédure.
A.f. Le 16 avril 2021, Me Domenghini a demandé au Ministère public une confirmation concernant la restitution des montants séquestrés en faveur de sa cliente, en relevant que, concernant les prévenus E._ et G._, rien ne s'opposait à une restitution immédiate, mais que, s'agissant du prévenu F._, il convenait d'attendre l'expiration du délai de recours contre l'arrêt rendu le 16 mars 2021 par l'ARMP. Me Domenghini relevait qu'il n'avait pas encore eu accès au dossier. Il requérait une liste des séquestres et demandait si le procureur avait envisagé une détention provisoire de E._, du fait que celui-ci avait, en cours d'enquête, essayé de prendre contact avec des employés de A._ SA. Par lettre du 22 avril 2021, Me Domenghini a insisté sur l'urgence des versements demandés. Il constatait qu'il n'avait pas encore eu accès au dossier et demandait qu'une décision formelle soit rendue en cas de refus de cette consultation. Il s'est encore plaint, le lendemain, du fait que les biens séquestrés des prévenus G._ et E._ n'avaient pas encore été libérés. Le 28 avril 2021, Me Domenghini a annoncé au Ministère public qu'il déposerait un recours si le procureur ne répondait pas dans les heures à venir aux demandes formulées dans ses courriers précédents.
Le même jour, le procureur a écrit à Me Domenghini. Il exposait que le mandataire de F._ avait refusé d'indiquer si un recours serait déposé contre l'arrêt du 16 mars 2021. Comme le délai de recours n'était pas encore échu, c'était un montant de 234'200 fr. - donc sans les 50'000 fr. de F._ - qui allait pouvoir être versé à A._ SA, les décisions de virement étant en voie de finalisation. Le Ministère public précisait que le dossier de la cause se trouvait encore à l'ARMP et ne reviendrait qu'à l'expiration du délai de recours, soit dès le 6 mai 2021. Dès réception, le dossier serait numérisé afin de faciliter la consultation par les parties. S'agissant d'un éventuel placement en détention, le procureur relevait qu'un risque de collusion ne saurait raisonnablement être retenu, bon nombre d'auditions ayant déjà eu lieu. Les paiements annoncés ont été effectués et ont été crédités à A._ SA entre le 30 avril et le 12 mai 2021.
A.g. Le 28 avril 2021, le procureur a demandé à A._ SA, dans le cadre de la procédure MP.2020.5975 (Covid-19), de lui fournir les décomptes mensuels de son personnel pour mars 2020 à mars 2021. Me Domenghini a répondu le 29 avril 2021. Il relevait que si le Ministère public avait certes indiqué que le dossier MP.2020.5564 se trouvait encore à l'ARMP, il ignorait en revanche les questions concernant le dossier Covid-19; il demandait au Procureur d'indiquer la date à partir de laquelle le dossier MP.2020.5564 pourrait être consulté et précisait que A._ SA restait dans l'attente de réponses au sujet de la procédure Covid-19 (MP.2020.5975).
Dans une lettre du 6 mai 2021, le Ministère public a fait remarquer à Me Domenghini que, le 13 avril 2021, il lui avait demandé d'indiquer si son mandat portait aussi sur la deuxième procédure (MP.2020.5975), mais qu'il n'avait pas répondu à cette demande. Le procureur considérait toutefois que le courrier du 29 avril 2021 équivalait à une déclaration de mandat pour cette procédure également. Il précisait qu'il statuerait sur la consultation du dossier après avoir reçu les décomptes demandés dans sa lettre du 28 avril 2021.
Le 18 mai 2021, le Ministère public a accusé réception des décomptes transmis par A._ SA le 10 mai 2021. Il précisait au mandataire de A._ SA que le dossier concernant la procédure ouverte pour déterminer si des infractions pénales avaient été commises par les organes de A._ SA, en lien avec l'obtention d'indemnités RHT et l'emploi d'un prêt Covid-19 n'était, pour le moment, pas consultable, les auditions de B._ et E._ devant encore avoir lieu; il rappelait que le dossier était consultable au plus tard après la première audition par le Ministère public et l'administration des preuves principales (<ref-law>).
Par courrier du 25 mai 2021, A._ SA a fait savoir au procureur que la caisse de compensation avait suspendu le traitement des demandes d'indemnités RHT dans l'attente de l'issue de la procédure pénale MP.2020.5975. A._ SA demandait quand les auditions de B._ et E._ étaient programmées et rappelait sa situation difficile et la nécessité de recevoir des indemnités RHT. Le 25 mai 2021 également, A._ SA a réitéré sa demande de consulter le dossier MP.2020.5564.
B.
Le 28 mai 2021, A._ SA a déposé auprès de l'ARMP un recours pour déni de justice et retard injustifié à l'encontre du Ministère public.
Le dossier de la procédure MP.2020.5564 a été scanné et, le 2 juin 2021, le Ministère public l'a transféré électroniquement aux mandataires des parties, notamment à celui de A._ SA; ce dernier a indiqué le 4 juin 2021 qu'il n'avait "pas reçu de lien" et un nouveau lien lui a été envoyé le 10 juin 2021.
C.
Par arrêt du 9 juillet 2021, l'ARMP a rejeté le recours de A._ SA, dans la mesure de sa recevabilité. La recourante avait pu consulter le dossier MP.2020.5564, de sorte que le recours était sans objet sur ce point. Cela étant, le dossier s'était trouvé à l'ARMP du mois de mars jusqu'au 12 mai 2021 et une réponse positive donnée le 2 juin 2021 à une demande adressée au procureur le 25 mai 2021 n'était pas choquante, ce d'autant moins que le dossier devait être scanné (ce qui ne pouvait pas se faire avant le 12 mai 2021) et que le mandataire de la recourante était absent jusqu'au 13 juin 2021 (arrêt entrepris consid. 4). Par ailleurs, l'ARMP relevait que les paiements en faveur de la recourante avaient été effectués et que, pour le reste, la recourante ne disait pas clairement à quels autres actes concrets le Ministère public aurait dû procéder; elle n'avait effectué aucune mise en demeure formelle (arrêt entrepris consid. 5). En outre, il n'appartenait pas à l'ARMP, saisie d'un recours pour déni de justice et non pas d'une demande de récusation, d'ordonner le transfert d'un dossier d'un procureur à un autre (arrêt entrepris consid. 6). Enfin, l'ARMP a considéré que si le procureur n'avait pas toujours agi dans les plus brefs délais, on ne pouvait pas, dans une procédure complexe dans laquelle les actes d'enquête étaient pour l'essentiel apparemment délégués à la police, considérer qu'il aurait manqué à ses devoirs, ajoutant cependant qu'il serait opportun que la police établisse prochainement un rapport intermédiaire et que le Ministère public, sur cette base, puisse notamment statuer formellement sur les éventuels séquestres (arrêt entrepris consid. 7).
D.
A._ SA interjette un recours en matière pénale auprès du Tribunal fédéral contre cet arrêt, concluant, avec suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt du 9 juillet 2021, à la constatation d'une violation du principe de célérité et d'un déni de justice par le Ministère public et à ce qu'il soit ordonné au Ministère public de conduire sans délai - et si nécessaire de conclure - les procédures objets du recours du 28 mai 2020.
Invités à se prononcer, tant la cour cantonale que le Ministère public y ont renoncé, le Ministère public se référant toutefois à l'arrêt attaqué.

Considérant en droit :
1.
L'arrêt attaqué a été rendu par une autorité statuant en tant que dernière instance cantonale (<ref-law>) dans le cadre d'une procédure pénale. Le recours en matière pénale est en principe ouvert (<ref-law>).
1.1. Cet arrêt - qui rejette, dans la mesure de sa recevabilité, le recours déposé par la plaignante - ne met pas fin à la procédure pénale en cours et revêt un caractère incident. Il ne porte ni sur la compétence, ni sur une demande de récusation au sens de l'<ref-law> et ne peut donc en principe faire l'objet d'un recours en matière pénale qu'aux conditions de l'<ref-law>, l'hypothèse prévue à l'<ref-law> n'entrant pas en considération dans le cas d'espèce. En matière pénale, le préjudice irréparable au sens de la disposition susmentionnée se rapporte à un dommage de nature juridique qui ne puisse pas être réparé ultérieurement par un jugement final ou une autre décision favorable au recourant (<ref-ruling> consid. 1.3.1). Il incombe au recourant de démontrer l'existence d'un tel préjudice lorsque celui-ci n'est pas d'emblée évident (<ref-ruling> consid. 2.3).
1.2. Comme le relève la recourante, le Tribunal fédéral renonce à l'exigence d'un préjudice irréparable lorsqu'est allégué un retard injustifié, constitutif d'un déni de justice formel (<ref-ruling> consid. 1.1). Tel est le cas en l'espèce, de sorte qu'il convient d'entrer en matière.
2.
Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.4.3). La partie recourante ne peut critiquer les constatations de fait ressortant de la décision attaquée que si celles-ci ont été effectuées en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 6). Conformément à l'<ref-law>, la partie recourante doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 5.1). Par ailleurs, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
Dans une rubrique intitulée "résumé des faits", la recourante présente son propre exposé des faits censé compléter celui de l'arrêt entrepris "par des informations supplémentaires qui sont importantes pour l'évaluation du présent cas". Une telle argumentation, dans la mesure où elle s'écarte des faits établis dans l'arrêt attaqué ou les complète, sans qu'il soit indiqué que ceux-ci seraient manifestement inexacts ou arbitraires, est irrecevable.
3.
3.1. Invoquant un déni de justice, la recourante fait grief au Ministère public d'avoir tardé à lui accorder l'accès au dossier MP.2020.5564. Dans son arrêt, l'instance précédente a constaté que le Ministère public avait statué positivement sur la demande d'accès au dossier puisque celui-ci avait été scanné et transmis sous forme électronique aux mandataires des parties, dont celui de la recourante, le 2 juin 2021, puis le 10 juin 2021 apparemment en raison d'un problème technique avec la première transmission, ce que la recourante ne remet pas en cause dans son mémoire de recours. L'instance précédente pouvait dès lors à juste titre considérer que le recours cantonal déposé le 28 mai 2021 était devenu sans objet sur ce point (cf. arrêts 2C_6/2020 du 22 janvier 2020 consid. 2.2; 2C_1014/2013 du 22 août 2014 consid. 7.1 in fine; 8C_698/2012 du 12 décembre 2012 consid. 1). La critique de la recourante doit donc être rejetée.
3.2. La recourante se plaint ensuite du fait que l'accès au dossier MP.2020.5975 ne lui aurait toujours pas été accordé. Sur ce point, l'instance précédente a constaté que le recours cantonal du 28 mai 2021 ne portait pas sur la consultation du dossier de la procédure MP.2020.5975. La recourante ne cherche pas à démontrer, dans son mémoire de recours, que ce constat serait manifestement inexact ou arbitraire, les conclusions de son recours cantonal se référant d'ailleurs uniquement au dossier MP.2020.5564. La recourante ne saurait dès lors invoquer, pour la première fois dans son recours auprès du Tribunal fédéral, un déni de justice en lien avec la consultation du dossier MP.2020.5975 ou un retard à statuer dans cette procédure. Les critiques y relatives sont irrecevables (cf. <ref-ruling> consid. 4.4.3; <ref-ruling> consid. 5.3.2).
3.3. La recourante critique également le fait que le dossier MP.2020.5564 serait incomplet. Elle se réfère à cet égard à son courrier du 19 août 2021, postérieur à l'arrêt entrepris rendu le 9 juillet 2021. Ce grief apparaît lui aussi nouveau puisqu'il n'a pas été soulevé devant l'instance précédente et repose en outre sur des faits qui ne ressortent pas de l'arrêt entrepris. Il est donc irrecevable (cf. <ref-ruling> consid. 4.4.3; <ref-ruling> consid. 5.3.2).
3.4. Enfin, invoquant un retard injustifié, la recourante affirme que, contrairement à ce que prétend l'ARMP, elle est intervenue à plusieurs reprises auprès du Ministère public non seulement pour obtenir la libération des comptes bloqués, mais aussi pour obtenir des informations pertinentes sur l'avancement de l'enquête. Elle ajoute avoir également transmis des informations importantes au Ministère public afin que ce dernier puisse évaluer la nécessité de prendre les mesures nécessaires. Or, selon la recourante, toutes ces demandes et transmissions d'informations auraient été ignorées par le procureur. La recourante se réfère sur ce point à ses courriers des 16 avril et 19 août 2021. La critique de la recourante, en tant qu'elle se fonde sur son courrier du 19 août 2021 postérieur à l'arrêt entrepris, est irrecevable (cf. <ref-law>). Pour le reste, elle doit être écartée. La recourante paraît en effet perdre de vue que le Ministère public a, par écrit du 28 avril 2021, répondu à ses divers courriers (cf. ci-dessus consid. Af en fait, dernier paragraphe). La cour cantonale a de plus constaté - sans que cela ne soit remis en cause par la recourante - que les paiements qui devaient intervenir en faveur de cette dernière avaient été effectués. Comme relevé dans l'arrêt entrepris, la recourante n'expose pas clairement à quels actes concrets le Ministère public aurait encore dû procéder. Elle n'est pas plus claire dans son recours au Tribunal fédéral. En l'occurrence, l'instance précédente peut être suivie lorsqu'elle affirme que la plaignante n'aurait pas mis le procureur en demeure de statuer formellement sur les séquestres éventuels et en particulier sur le sort des lingots d'or qui auraient été saisis. Le courrier du 16 avril 2021 de la recourante ne permet pas d'aboutir à une autre conclusion.
4.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours, dans la mesure où il est recevable. Succombant, la recourante doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Ministère public de la République et canton de Neuchâtel et au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Autorité de recours en matière pénale.
Lausanne, le 5 novembre 2021
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Chaix
La Greffière : Arn