Erwägungen:
1.
A._ führt mit Eingabe vom 13. April 2020 Rechtsverweigerungsbeschwerde gegen das Obergericht des Kantons Zürich. Seit dem 3. November 2019 führe die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich ein Strafverfahren gegen ihn. Grund dieses Verfahrens sei ein "Konflikt" zwischen ihm und der Kantonspolizei Zürich. Sein Schreiben zur Lösung des Konflikts an die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich sei von dieser nicht beantwortet worden. Deshalb sei er an das Obergericht des Kantons Zürich gelangt, welches sich jedoch weigere, ein Verfahren durchzuführen. Das Obergericht habe ihm seine Beschwerde im Original zurückgesandt.
2.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Bei Verfassungsrügen wie der geltend gemachten Rechtsverweigerung (Art. 29 Abs. 1 BV) besteht eine qualifizierte Rügepflicht. Die Rüge muss in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen).
3.
Aus den Ausführungen des Beschwerdeführers ergibt sich nicht, in welcher Form und mit welcher Begründung sich das Obergericht geweigert haben sollte, ein Verfahren durchzuführen. Somit kann das Bundesgericht nicht prüfen, ob das Obergericht gegen das Verbot der Rechtsverweigerung verstiess und damit Art. 29 Abs. 1 BV verletzte. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
4.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (Art. 64 BGG). Indessen ist davon abzusehen, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Mai 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli