Sachverhalt:
A.
C._ (geb. 2013) ist die Tochter von A._ (geb. 1974) und B._ (geb. 1980). Die Eltern waren nie miteinander verheiratet. Sie lebten bis zirka Ende 2015, als die Mutter mit der Tochter die Wohnung verliess, zusammen in U._ (BS). Heute lebt C._ in V._ (BL) im Haushalt ihrer Mutter mit deren neuem Partner und ihren Halbgeschwistern. In U._ (BS) beim Vater wohnt wochenweise seine Ehefrau, die jede zweite Woche mit ihrem minderjährigen Sohn in W._ (Deutschland) lebt. Mit Entscheid vom 9. Juni 2016 übertrug die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) des Kantons Basel-Stadt C._s Eltern die gemeinsame elterliche Sorge für ihr Kind.
B.
B.a. Am 19. Oktober 2016 leitete C._ mit einer Unterhaltsklage gegen A._ vor dem Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt ein Verfahren ein. Der Vater stellte Anträge betreffend die übrigen Kinderbelange. Der Prozess wurde aufgeteilt und bezüglich der Obhut und des persönlichen Verkehrs bzw. der Betreuungsanteile ein neues Verfahren eröffnet. Der Unterhaltsstreit ist beim Zivilgericht hängig und bis zum rechtskräftigen Entscheid über die Obhut und den persönlichen Verkehr bzw. die Betreuungsanteile sistiert. Gestützt auf ein entsprechendes Gesuch von A._ verbot das Zivilgericht B._ mit superprovisorischer Verfügung und unter Strafandrohung, mit C._ vor Abschluss des Verfahrens betreffend die Obhutszuteilung aus dem Kanton Basel-Stadt wegzuziehen. Am 25. September 2018 genehmigte das Gericht eine Vereinbarung der Eltern über die vorsorgliche Regelung der Obhut sowie des Besuchs- und Ferienrechts. Mit Entscheid vom 8. November 2018 errichtete es vorsorglich eine Besuchsrechts- und Erziehungsbeistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB; am 26. Februar 2019 ernannte die KESB Leimental eine neue Beiständin.
B.b. Mit Entscheid vom 18. September 2019 erkannte das Zivilgericht, dass C._ unter der alternierenden Obhut ihrer Eltern steht und die Betreuungsanteile der Eltern je 50 % betragen, wobei C._ abwechslungsweise eine Woche bei der Mutter und eine Woche beim Vater verbringe und der Wechsel jeweils montags nach Schulschluss stattfinde. Auch die Schulferien sollte C._ je zur Hälfte bei der Mutter und beim Vater verbringen. Weiter bestimmte das Zivilgericht, die Erziehungsgutschriften der AHV den Eltern je hälftig anzurechnen. Dazu kamen weitere, vor Bundesgericht nicht mehr streitige Anordnungen.
C.
C.a. B._ legte beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt Berufung ein. Sie beantragte, A._ die elterliche Sorge zu entziehen und sie ihr allein zuzuteilen. Weiter verlangte sie, C._ unter ihre alleinige Obhut zu stellen und dem Vater ein Besuchsrecht an jedem zweiten Wochenende und ein Ferienrecht von zwei Wochen pro Jahr einzuräumen. Auch die Erziehungsgutschriften beanspruchte sie in vollem Umfang.
C.b. Mit Verfügung vom 19. Dezember 2019 entband der verfahrensleitende Appellationsgerichtspräsident C._s bisherige Kindesvertreterin, Advokatin Nadja Pini, auf deren Gesuch hin von ihrem Mandat und setzte neu Advokatin Regula Diehl als Kindesvertreterin ein.
C.c. In seiner Anschlussberufung stellte A._ - soweit vor Bundesgericht noch streitig - das Begehren, die Obhut über C._ ihm allein zuzuteilen, C._s zivilrechtlichen Wohnsitz an seine Adresse zu verlegen und der Mutter ein Recht auf persönlichen Verkehr von maximal 40 % einzuräumen. Weiter verlangte er, die Mutter anzuweisen, C._ dauerhaft vom Reiten abzumelden. Ebenso sei B._ anzuweisen, die Vaterschaftsanerkennung nach deutschem Recht zu unterzeichnen und sich damit einverstanden zu erklären, dass die Tochter die deutsche Staatsbürgerschaft und einen deutschen Pass erhalte.
C.d. Die Kindesvertreterin liess sich zur Berufung vernehmen. Sie reichte jedoch keine Anschlussberufungsantwort ein, sondern erklärte, sich generell an der Berufungsverhandlung mündlich zu äussern. Am 23. April 2020 wurde C._, mit ihrem Einverständnis in Begleitung ihrer Kindesvertreterin, von einer Richterin und der Gerichtsschreiberin des Appellationsgerichts angehört.
C.e. Am 6. Mai 2020 fand die Berufungsverhandlung statt. Am selben Tag fällte das Appellationsgericht seinen Entscheid. Den Antrag der Mutter, dem Vater die elterliche Sorge zu entziehen und ihr allein zuzuteilen, wies es ab. Es entschied, dass für C._s Betreuung alle zwei Wochen jeweils von Mittwochmittag ab Schulschluss bis und mit dem folgenden Montagmorgen bis Schulbeginn der Vater und in der übrigen Zeit die Mutter zuständig ist. Die Schulferien verbringe C._ je zur Hälfte bei der Mutter und beim Vater; die Ferien würden jeweils am Samstag um 12:00 Uhr beginnen und enden, unabhängig davon, ob der Ferienbeginn oder das Ferienende mit einem Besuchsblock der Tochter beim Vater zusammenfällt oder nicht. Dazu kamen weitere Modalitäten betreffend die Ferien und C._s Kontakte zum jeweils nicht betreuenden Elternteil. Weiter bestimmte das Appellationsgericht, dass die Erziehungsgutschriften der Mutter angerechnet werden. Den Antrag des Vaters betreffend den Reitsport wies es ab. Auch die weiter gehenden Anträge wurden abgewiesen. Der Entscheid wurde A._ am 11. Juli 2020 zugestellt.
D.
D.a. Mit Beschwerde vom 7. September 2020 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, den Entscheid des Appellationsgerichts aufzuheben und anzuordnen, dass die Tochter C._ (Beschwerdegegnerin 2) unter der alternierenden Obhut der Eltern steht (Ziff. 1). Es sei festzulegen, dass die Betreuungsanteile der Eltern jeweils 50 % betragen und die Beschwerdegegnerin 2 dabei abwechslungsweise eine Woche bei der Mutter und eine Woche beim Vater verbringt, wobei der Wechsel jeweils montags nach Schulschluss staffindet (Ziff. 2). Die Ferienregelung sei insofern aufzuheben und abzuändern, als die Ferien am Samstag jeweils um 8.00 Uhr beginnen und jeweils am Freitag um 18.00 Uhr enden; im Übrigen sei die Ferienregelung zu bestätigen (Ziff. 3). Weiter verlangt der Beschwerdeführer, die Erziehungsgutschriften hälftig unter den Eltern aufzuteilen (Ziff. 4). Er hält an seinem Antrag betreffend den Reitsport fest (Ziff. 5; Bst. C.c). Ebenso wiederholt er sein Begehren, B._ (Beschwerdegegnerin 1) zur Kooperation bezüglich der Vaterschaftsanerkennung in Deutschland und der Beantragung der deutschen Staatsbürgerschaft für die Beschwerdegegnerin 2 zu verpflichten (Ziff. 6; Bst. C.c). Eventualiter zu jedem einzelnen dieser Anträge verlangt der Beschwerdeführer, die Sache zwecks Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
D.b. Vom Bundesgericht dazu eingeladen, sich zur Beschwerde zu äussern, beantragt die Beschwerdegegnerin 1, die Beschwerde vollumfänglich abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Ausserdem ersucht sie für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege (Vernehmlassung vom 19. Mai 2021). Auch die Beschwerdegegnerin 2 stellt das Begehren, die Beschwerde vollumfänglich abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Weiter verlangt sie, die Kosten der Kindesvertretung im bundesgerichtlichen Verfahren dem Beschwerdeführer aufzuerlegen; eventualiter sei ihr zufolge Mittellosigkeit der Beschwerdegegnerin 1 die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren (Eingabe vom 1. Juni 2021). Das Appellationsgericht schliesst ebenfalls auf Abweisung der Beschwerde (Schreiben vom 29. April 2021). In seiner Stellungnahme zu den Vernehmlassungen hält der Beschwerdeführer an seinen Beschwerdebegehren (Bst. D.a) fest (Eingabe vom 11. Juni 2021). Am 14. Juni 2021 folgte eine Noveneingabe der Beschwerdegegnerin 1, am 28. Juni 2021 ein Schreiben derselben mit Bemerkungen zur Stellungnahme des Beschwerdeführers. Letztere Eingabe wurde dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.

Erwägungen:
1.
Der Streit vor Bundesgericht dreht sich um die elterliche Obhut, die Betreuungsanteile bzw. den persönlichen Verkehr zwischen Vater und Tochter sowie um weitere Kinderbelange, über die gestützt auf <ref-law> und <ref-law> das mit der Unterhaltsklage befasste Zivilgericht und in der Folge das Appellationsgericht entschieden haben. Das sind Zivilsachen im Sinne von <ref-law>. Da sowohl vermögensrechtliche (die Aufteilung der Erziehungsgutschriften) als auch nicht vermögensrechtliche Punkte umstritten sind, gilt insgesamt kein Streitwerterfordernis (<ref-ruling> E. 1.1). Der Zivilprozess betreffend die Unterhaltsklage ist vor erster Instanz hängig und sistiert (s. Sachverhalt Bst. B.a). Das Appellationsgericht behandelt nur einen Teil der ursprünglich gestellten Begehren. Diese können unabhängig vom Unterhaltsstreit beurteilt werden. Der angefochtene Entscheid beschlägt deshalb einen vor Bundesgericht anfechtbaren Teilentscheid (Art. 91 Bst. a BGG; <ref-ruling> E. 1.2.1). Ansonst geben die Eintretensvoraussetzungen zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>) und urteilt mit freier Kognition. Es ist allerdings nicht gehalten, wie ein erstinstanzliches Gericht alle sich stellenden rechtlichen Fragen von sich aus zu untersuchen, wenn der Beschwerdeführer diese nicht mehr thematisiert (<ref-ruling> E. 1.3). Deshalb ist in der Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer muss auf den angefochtenen Entscheid eingehen und aufzeigen, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt; er soll im Schriftsatz mit seiner Kritik an den Erwägungen der Vorinstanz ansetzen, die er als rechtsfehlerhaft erachtet (vgl. <ref-ruling> E. 2a). Für Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt ausserdem das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2).
2.2. Beim Entscheid über die Anordnung einer alternierenden Obhut und über andere Kinderbelange ist der Sachrichter, der die Parteien und die weitere Umgebung des Kindes am besten kennt, in vielfacher Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen (<ref-ruling> E. 4.5). Bei der Überprüfung solcher Ermessensentscheide schreitet das Bundesgericht nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 5.3.2; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 4.2).
2.3. Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (<ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig (<ref-law>), das heisst willkürlich (vgl. <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 1.5 mit Hinweis), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1). In der Beschwerde ist auch darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2).
3.
Der Streit dreht sich hauptsächlich um die alternierende Obhut bzw. um die Betreuungsanteile und um den persönlichen Verkehr zwischen Vater und Tochter. Der Beschwerdeführer besteht auf der alternierenden Obhut und der Betreuungsregelung, wie sie das Zivilgericht festgelegt hatte (s. Sachverhalt Bst. B.b).
3.1.
3.1.1. Bei gemeinsamer elterlicher Sorge prüft das (mit der Unterhaltsklage befasste) Gericht im Sinne des Kindeswohls die Möglichkeit einer alternierenden Obhut, wenn ein Elternteil oder das Kind dies verlangt (Art. 298b Abs. 3 Satz 2 i.V.m. Abs. 3ter ZGB). Wie die Obhut im konkreten Fall zu regeln ist, hat das Gericht unabhängig von den Wünschen der Eltern und losgelöst von einer diesbezüglichen Übereinkunft nach Massgabe des Kindeswohls zu beurteilen (Urteil 5A_794/2017 vom 7. Februar 2018 E. 3.1). Denn nach der Rechtsprechung gilt das Kindeswohl als oberste Maxime des Kindesrechts (<ref-ruling> E. 5.4 mit Hinweis). Es ist für die Regelung des Eltern-Kind-Verhältnisses immer der entscheidende Faktor. Die Interessen und Wünsche der Eltern haben in den Hintergrund zu treten (<ref-ruling> E. 5). Bei gegebenen Voraussetzungen kann die alternierende Obhut auch gegen den Willen eines Elternteils angeordnet werden (Urteil 5A_164/2019 vom 20. Mai 2020 E. 3.4.3 mit Hinweis, nicht publ. in: <ref-ruling>).
3.1.2. Wie <ref-law>, der in einem Scheidungs- oder Eheschutzverfahren für verheiratete Eltern gilt (<ref-law>), gelangt auch der inhaltlich identische <ref-law> nicht nur dann zur Anwendung, wenn ein Elternteil gegen den Willen des anderen vor Gericht eine (ungefähr) hälftige Betreuung erreichen will. Vielmehr gilt diese Vorschrift allgemein und insbesondere auch dann, wenn ein Elternteil sein Kind auch unter der Woche betreuen möchte, anstatt es nur übers Wochenende zu sich auf Besuch zu nehmen. Denn in diesem Fall dreht sich der Streit nicht mehr nur um den persönlichen Verkehr des nicht obhutsberechtigten Elternteils mit dem Kind (<ref-law>), sondern um Betreuungsanteile im Sinne von <ref-law>, mithin um die Obhut selbst. Entsprechend verträgt es sich nicht mit der gesetzlichen Ordnung, einem Elternteil unter Hinweis darauf, dass das Kind unter der Obhut des andern Elternteils stehe, lediglich einen Anspruch auf angemessenen persönlichen Verkehr zuzugestehen (Urteil 5A_373/2018 vom 8. April 2019 E. 3.1; vgl. auch Urteil 5A_418/2019 vom 29. August 2019 E. 3.5.2). Ist ein Elternteil an der Betreuung der Kinder massgeblich beteiligt, so hat das Gericht vielmehr auch im Urteilsspruch als Betreuungsform grundsätzlich die alternierende Obhut anzuordnen. Angesichts der gesetzlichen Vorschrift muss der betreffende Elternteil für diese Anordnung kein zusätzliches Interesse geltend machen (Urteil 5A_139/2020 vom 26. November 2020 E. 3.2.3, zur Publikation vorgesehen).
3.1.3. Ob die alternierende Obhut überhaupt in Frage kommt und ob sie sich mit dem Kindeswohl verträgt, hängt von den konkreten Umständen ab. Das bedeutet, dass der Richter gestützt auf festgestellte Tatsachen der Gegenwart und der Vergangenheit eine sachverhaltsbasierte Prognose darüber zu stellen hat, ob die alternierende Obhut als Betreuungslösung aller Voraussicht nach dem Wohl des Kindes entspricht (<ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweisen). Unter den Kriterien, auf die es bei dieser Beurteilung ankommt, ist zunächst die Erziehungsfähigkeit der Eltern hervorzuheben, und zwar in dem Sinne, dass die alternierende Obhut grundsätzlich nur dann in Frage kommt, wenn beide Eltern erziehungsfähig sind. Weiter erfordert die alternierende Obhut organisatorische Massnahmen und gegenseitige Informationen. Insofern setzt die praktische Umsetzung einer alternierenden Betreuung voraus, dass die Eltern fähig und bereit sind, in den Kinderbelangen miteinander zu kommunizieren und zu kooperieren. Allein aus dem Umstand, dass ein Elternteil sich einer alternierenden Betreuungsregelung widersetzt, kann indessen nicht ohne Weiteres auf eine fehlende Kooperationsfähigkeit der Eltern geschlossen werden, die einer alternierenden Obhut im Wege steht. Ein derartiger Schluss kann nur dort in Betracht fallen, wo die Eltern aufgrund der zwischen ihnen bestehenden Feindseligkeiten auch hinsichtlich anderer Kinderbelange nicht zusammenarbeiten können, mit der Folge, dass sie ihr Kind im Szenario einer alternierenden Obhut dem gravierenden Elternkonflikt in einer Weise aussetzen würden, die seinen Interessen offensichtlich zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.3).
Zu berücksichtigen ist ferner die geographische Situation, namentlich die Distanz zwischen den Wohnungen der beiden Eltern, und die Stabilität, welche die Weiterführung der bisherigen Regelung für das Kind gegebenenfalls mit sich bringt. In diesem Sinne fällt die alternierende Obhut eher in Betracht, wenn die Eltern das Kind schon vor ihrer Trennung abwechselnd betreuten. Weitere Gesichtspunkte sind die Möglichkeit der Eltern, das Kind persönlich zu betreuen, das Alter des Kindes, seine Beziehungen zu (Halb- oder Stief-) Geschwistern und seine Einbettung in ein weiteres soziales Umfeld (vgl. Urteile 5A_46/2015 vom 26. Mai 2015 E. 4.4.2 und 4.4.5; 5A_345/2014 vom 4. August 2014 E. 4.2). Auch dem Wunsch des Kindes ist Beachtung zu schenken, selbst wenn es bezüglich der Frage der Betreuungsregelung (noch) nicht urteilsfähig ist. Das Gericht, das den Sachverhalt von Amtes wegen erforscht (<ref-law>), muss im konkreten Fall entscheiden, ob und gegebenenfalls in welcher Hinsicht Hilfe von Sachverständigen erforderlich ist, um die Aussagen des Kindes zu interpretieren, insbesondere um erkennen zu können, ob diese seinem wirklichen Wunsch entsprechen. Während die alternierende Obhut in jedem Fall die Erziehungsfähigkeit beider Eltern voraussetzt, sind die weiteren Beurteilungskriterien oft voneinander abhängig und je nach den konkreten Umständen des Einzelfalls von unterschiedlicher Bedeutung. So spielen das Kriterium der Stabilität und dasjenige der Möglichkeit zur persönlichen Betreuung des Kindes bei Säuglingen und Kleinkindern eine wichtige Rolle. Geht es hingegen um Jugendliche, kommt der Zugehörigkeit zu einem sozialen Umfeld grosse Bedeutung zu. Die Kooperationsfähigkeit der Eltern wiederum verdient besondere Beachtung, wenn das Kind schulpflichtig ist oder die geografische Entfernung zwischen den Wohnorten der Eltern ein Mehr an Organisation erfordert (<ref-ruling> E. 4.3).
3.2.
3.2.1. Das Appellationsgericht setzt sich eingehend mit den erwähnten Kriterien auseinander. Es bejaht die Erziehungsfähigkeit beider Eltern und erklärt, auch die bestehenden Bindungen der Tochter zu beiden Elternteilen, die Möglichkeiten der Eltern zur persönlichen Betreuung und das Alter des Kindes sprächen durchaus für eine alternierende Obhut. Die Kriterien der Stabilität bzw. Kontinuität der Verhältnisse, der Beziehung der Kindes zu (Halb- oder Stief-) Geschwistern und des Wunsches des Kindes ständen einer alternierenden Obhut jedenfalls nicht entgegen. Demgegenüber sind die Gesichtspunkte der geographischen Situation und der Einbettung des Kindes in ein weiteres soziales Umfeld der vorinstanzlichen Beurteilung zufolge ungünstig für eine alternierende Obhut in einem paritätischen Wechselmodell respektive erheischen insoweit eine besonders ausgeprägte Fähigkeit und Bereitschaft der Eltern, in den Kinderbelangen miteinander zu kommunizieren und zu kooperieren, sowie eine beiderseitige Kompromissbereitschaft, Grosszügigkeit und Flexibilität. Gerade dieses hier letztlich ausschlaggebende Kriterium sei allerdings nicht in hinreichendem Mass erfüllt. Zwar wögen der erhebliche, die Tochter belastende Elternkonflikt betreffend die Betreuungsregelung und gewisse andere Kinderbelange sowie die Einschränkungen in der Kommunikation und Kooperation zwischen den Eltern nicht dermassen schwer, dass sie die Alleinzuteilung der elterlichen Sorge an einen Elternteil rechtfertigen können. Unter Hinweis auf Vorfälle im Dezember 2019 und Februar 2020 konstatiert das Appellationsgericht aber, dass die Eltern wegen kleinlicher Streitigkeiten um die Übergangszeiten die Situation - noch dazu vor den Augen der Tochter - hätten eskalieren lassen. Eine für ein Wechselmodell ausreichende Zusammenarbeit unter den Eltern habe auch mit Hilfe der dafür eingesetzten Beiständin und anderer Fachpersonen wie Mediatoren nicht etabliert werden können. Unter diesen Umständen entspreche eine alternierende Obhut weder mit dem vom Zivilgericht angeordneten wöchentlichen noch mit einem anderen paritätischen Wechselmodell dem Kindeswohl der Tochter, so die Schlussfolgerung der Vorinstanz. Die für C._ beste Lösung bestehe vielmehr darin, sie unter die alleinige Obhut eines Elternteils zu stellen und ihr und dem anderen Elternteil ein umfangreiches Recht auf persönlichen Verkehr einzuräumen.
3.2.2. Mit Blick auf die Frage, in die Obhut welches Elternteils C._ zu stellen sei, stellt das Appellationsgericht klar, dass die Erziehungsfähigkeit, die Betreuungsmöglichkeiten und die Bindungstoleranz der Eltern bei beiden Parteien in etwa gleichwertig seien. Ausschlaggebend sei deshalb das Kriterium der Stabilität und der Kontinuität sowie der sozialen Einbettung. C._ lebe seit der Trennung ihrer Eltern bei ihrer Mutter und sei in V._ (BL) mittlerweile verwurzelt. Eine grundlegende Veränderung in ihrem örtlichen und sozialen Umfeld und ein Schulwechsel wären ihrem Wohl abträglich und seien deshalb zu vermeiden. Gestützt auf diese Überlegungen und unter Hinweis auf die Einschätzung im psychologischen Gutachten der Fachstelle Familienrecht der Kinder- und Jugendpsychiatrischen Klinik Basel-Stadt vom 27. August 2018 kommt die Vorinstanz zum Schluss, dass die alleinige Obhut der Mutter zu belassen sei.
3.2.3. Für die Regelung des persönlichen Verkehrs zwischen C._ und ihrem Vater ist laut Vorinstanz an die vorsorgliche Regelung vom 25. September 2018 (vgl. Sachverhalt Bst. B.a) anzuknüpfen, der zufolge der persönliche Verkehr mit dem Vater während mehr als einem Jahr sowohl rechtlich als auch tatsächlich knapp 40 % der Betreuung umfasste. Für C._s Entwicklung sei es wichtig, dass sie weiterhin nicht nur am Wochenende, sondern auch unter der Woche, das heisst während der Schulzeit, Zeit mit ihrem Vater verbringen und so den Alltag mit ihm teilen kann. Die Vorinstanz erinnert daran, "dass sich der Vater insoweit offenkundig engagierte und zuverlässig einbrachte". Nachdem der persönliche Verkehr in der Vergangenheit kontinuierlich habe ausgebaut werden können, sei auch kein Grund ersichtlich, den persönlichen Verkehr auf ein Minimum zu beschränken, wie die Mutter dies verlange. Für ein umfangreiches Kontaktrecht spreche auch der Umstand, dass mehrere Kriterien für eine alternierende Obhut erfüllt sind. Schliesslich gelte es bei der Festlegung des Besuchsrechts im Interesse von Vater und Tochter soweit möglich die Anzahl der Wechsel zu beschränken und direkte Wechsel zwischen den Eltern zu vermeiden. Gestützt auf diese Überlegungen kommt das Appellationsgericht zum Schluss, dass das Kindeswohl am besten durch eine Besuchsregelung gewahrt wird, bei welcher der Vater alle zwei Wochen jeweils von Mittwochmittag ab Schulschluss bis und mit dem folgenden Montagmorgen bis Schulbeginn für C._s Betreuung zuständig ist. Gemessen an der Gesamtzahl Stunden zweier Schulwochen belaufe sich der Betreuungsanteil des Vaters bei dieser Regelung auf 35 %. Mit dieser Lösung könnten die für C._ belastenden und konfliktträchtigen Wechsel von bisher zwölf auf vier pro Monat "relevant reduziert" werden; die Eltern hätten weniger Berührungspunkte und damit weniger Konfliktpotenzial und müssten weniger kommunizieren. Da der Betreuungsanteil der Mutter unter der Woche deutlich grösser ist als derjenige des Vaters, könne die Mutter viel mehr alltägliche Angelegenheiten als bei einem paritätischen Wechselmodell ohne Kommunikation und Kooperation mit dem Vater erledigen, wodurch die diesbezüglichen Schwierigkeiten der Eltern gegenüber dem erstinstanzlich angeordneten wochenweisen Wechselmodell signifikant reduziert würden. Betreffend das Ferienrecht findet das Appellationsgericht, dass der erstinstanzliche Entscheid, wonach C._ die Schulferien je zur Hälfte bei der Mutter und beim Vater verbringe, dem Kindeswohl entspreche. Die von der Beschwerdegegnerin 1 vorgetragenen Gründe, weshalb das Ferienrecht auf zwei Wochen pro Jahr zu begrenzen sei, lässt es nicht gelten. "Damit künftig Streitigkeiten möglichst vermieden werden können", erläutert das Appellationsgericht im Detail die Modalitäten zur Ausübung des Ferienrechts, darunter den Beginn und das Ende der Ferien, das jeweils auf Samstag, 12:00 Uhr festgelegt ist. Die Vorinstanz weist darauf hin, dass sich der Betreuungsanteil des Beschwerdeführers unter (zusätzlicher) Berücksichtigung der Ferienzeit auf insgesamt 39 % beläuft. Zuletzt stellt der angefochtene Entscheid klar, dass sich eine gerichtliche Festlegung von C._s Wohnsitz erübrige, da das Kind in der Obhut der Mutter in V._ (BL) lebe.
3.3.
3.3.1. Der Beschwerdeführer legt der Vorinstanz zur Last, <ref-law> verletzt und den Sachverhalt offensichtlich falsch festgestellt zu haben. Die Sachverhaltsrüge richtet sich gegen die vorinstanzlichen Erwägungen zur Fähigkeit und Bereitschaft der Eltern, in Kinderbelangen miteinander zu kommunizieren und zu kooperieren. Der Beschwerdeführer bestreitet, dass sich die Kommunikationsfähigkeit ab etwa Dezember 2019 verschlechtert habe. Anlässlich der Berufungsverhandlung habe die neue Kindesvertreterin (s. Sachverhalt Bst. C.b) erklärt, die aus Kindersicht notwendige Kooperation der Eltern sei nicht im Ansatz vorhanden. Sie habe damit in nicht nachvollziehbarer Weise den Aussagen der ersten Kindesvertreterin und den Feststellungen des Zivilgerichts widersprochen. Anders als die vorherige Kindesvertreterin, die mit der Beschwerdegegnerin 2 zwischen Dezember 2017 und September 2019 14-mal gesprochen habe, sei es mit der neuen nur zu drei Treffen gekommen, eines davon in Anwesenheit der Beschwerdegegnerin 1 und ein weiteres anlässlich der gerichtlichen Anhörung. Der Beschwerdeführer folgert, dass die Ausführungen der neuen Kindesvertreterin auf einer oberflächlichen Kontaktaufnahme mit C._ basieren und daher für die Regelung der Obhut nicht massgebend sein dürfen. Stattdessen seien die Darlegungen der früheren Kindesvertreterin für die Beurteilung der Kommunikationsfähigkeit der Eltern weiterhin zu berücksichtigen; diesen komme ein massgebliches Gewicht zu.
In der Folge erinnert der Beschwerdeführer daran, dass die Beschwerdegegnerin 1 schon im Jahr 2017 anlässlich der Berichterstattung des Kinder- und Jugenddienstes eine Ausdehnung des Besuchsrechts strikte abgelehnt habe. Im Sommer 2018 sei sie eigenmächtig von W._ nach V._ (BL) gezogen und habe sich damit der superprovisorischen Verfügung des Zivilgerichts Basel-Stadt vom 10. Juli 2018 (s. Sachverhalt Bst. B.a) widersetzt. "Bezeichnenderweise" falle die von der Vorinstanz konstatierte Verschlechterung der Kommunikations- und Kooperationsfähigkeit seit Dezember 2019 genau in den Zeitraum, in welchem die Beschwerdegegnerin 1 mit dem Entscheid des Zivilgerichts konfrontiert wurde. Für den Beschwerdeführer steht fest, dass die Beschwerdegegnerin 1 die Betreuung durch den Vater mit Kalkül zu minimieren versucht und ihre Strategie im Anschluss an den erstinstanzlichen Entscheid noch verstärkte, um die alternierende Obhut im Berufungsverfahren zu vereiteln. Die angeblich mangelnde Kommunikationsfähigkeit gründe somit nur im derzeit geführten Prozess betreffend Obhut und Betreuungsregelung; sei dieses Verfahren einmal rechtskräftig beendet, so werde sich die Situation in jedem Fall beruhigen.
Weiter tadelt der Beschwerdeführer die vorinstanzliche Argumentation als widersprüchlich. Das Appellationsgericht gehe davon aus, dass sich die Kooperationsschwierigkeiten im Wesentlichen auf die Wechsel der Tochter vom einen Elternteil zum andern beschränken, und lasse die alternierende Obhut einzig und allein daran scheitern, um dann aber trotzdem ein Betreuungsmodell anzuordnen, das genau dieselbe Anzahl Wechsel erfordert. Aufgrund dessen könne die (bestrittene) erhebliche Einschränkung der Kommunikations- und Kooperationsfähigkeit der Eltern nicht derart wesentlich sein, dass die alternierende Obhut ausgeschlossen werden müsste, so die Schlussfolgerung des Beschwerdeführers. Offensichtlich falsch sei auch die vorinstanzliche Feststellung, wonach eine alternierende Obhut für C._ grundlegende Veränderungen in örtlicher und sozialer Hinsicht mit sich brächte. Dass im Falle der Anordnung einer alternierenden Obhut ein C._s Wohl abträglicher Schulwechsel erforderlich wäre, bestreitet der Beschwerdeführer mit dem Hinweis darauf, dass er C._ seit dem Umzug nach V._ (BL) problemlos von seinem Wohnort in U._ (BS) zum Kindergarten und später zur Schule gebracht habe. Die Situation sei auch gemäss der vorinstanzlich angeordneten Betreuungsregelung nicht anders.
3.3.2. Keine dieser Beanstandungen vermag den angefochtenen Entscheid zu erschüttern. Was die Ausführungen der Kindesvertreterinnen angeht, versäumt es der Beschwerdeführer schon aufzuzeigen, inwiefern die Aussagen der gegenwärtig eingesetzten Vertreterin für den vorinstanzlichen Obhutsentscheid massgebend oder wenigstens von wesentlicher Bedeutung waren. Vor allem aber lässt die Beschwerde eine Erklärung vermissen, weshalb die Vorinstanz zur Beurteilung der Kooperations- und Kommunikationsfähigkeit der Eltern überhaupt auf die Angaben einer Kindesvertretung angewiesen war, die sich dadurch auszeichnet, dass sie das Kind über einen längeren Zeitraum wiederholt getroffen und dabei (angeblich) profunde Eindrücke von dessen Position und Wünschen gewonnen hat. Die vage Behauptung, dank der Vielzahl von Treffen mit der früheren Vertreterin seien C._s Anliegen "auf einer breit abgestützten Grundlage" in das erstinstanzliche Verfahren eingeflossen, genügt nicht. Soweit der Beschwerdeführer der Beschwerdegegnerin 1 des Weitern unterstellt, die Kommunikation und Kooperation zwischen den Eltern im Anschluss an den erstinstanzlichen Entscheid mit Blick auf das Berufungsverfahren mutwillig untergraben zu haben, gibt er sich damit zufrieden, dem angefochtenen Entscheid seine eigene Sicht der Dinge gegenüber zu stellen. Mit den vorinstanzlichen Schilderungen über die Entwicklungen seit Dezember 2019 setzt er sich nicht auseinander. Auf diese Weise lassen sich die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung nicht als offensichtlich unrichtig, das heisst als willkürlich ausweisen (vgl. E. 2.3). Ins Leere läuft auch der Vorwurf, dass sich die Vorinstanz in Widersprüche verstricke. Entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers verneint der angefochtene Entscheid die Möglichkeit einer alternierenden Obhut nicht einzig und allein wegen der spannungsgeladenen Wechsel des Kindes vom einen Elternteil zum andern. Das Appellationsgericht legt ausführlich dar, weshalb die von ihm getroffene Regelung des persönlichen Verkehrs einem paritätischen Modell mit wochenweisen Wechseln vorzuziehen ist. So betont es etwa den Umstand, dass die Hauptbetreuungszeit während der Schulzeit weiterhin auf die Mutter entfalle, was die elterlichen Probleme bei der Kommunikation und Kooperation gegenüber der erstinstanzlichen Betreuungsregelung signifikant entschärfe (vgl. E. 3.2.3). Abermals versäumt es der Beschwerdeführer, auf den angefochtenen Entscheid einzugehen. Soweit er dem angefochtenen Entscheid schliesslich entnommen haben will, dass eine alternierende Obhut für C._ einen ihrem Wohl abträglichen Schulwechsel bedeuten würde, täuscht sich der Beschwerdeführer. Solcherlei stellt das Appellationsgericht nicht fest.
3.4.
3.4.1. In rechtlicher Hinsicht wirft der Beschwerdeführer dem Appellationsgericht als Verletzung von <ref-law> vor, die Beschwerdegegnerin 2 unter die alleinige Obhut der Beschwerdegegnerin 1 zu stellen, obwohl die Betreuungsanteile der Eltern unter Berücksichtigung der Ferien und Feiertage mit 61 % (Mutter) und 39 % (Vater) nahezu gleich gross sind. Mit einem Gesamtbetreuungsanteil von knapp 40 % gehe die vorinstanzlich für ihn, den Beschwerdeführer, getroffene Regelung eindeutig über ein übliches Wochenendbesuchsrecht hinaus. Angesichts dessen hätte die Vorinstanz in jedem Fall die alternierende Obhut feststellen müssen.
3.4.2. Die Rüge ist begründet. Es widerspricht der Rechtsprechung, C._ bei einer Betreuungsregelung, die den Beschwerdeführer weit über vierzehntägliche Wochenendbesuche hinaus an der Betreuung seines Kindes beteiligt, trotzdem in der alleinigen Obhut der Beschwerdegegnerin 1 zu belassen. Entgegen dem, was die Vorinstanz unterstellt, setzt der Begriff der alternierenden Obhut, wie er auch <ref-law> zugrunde liegt, keine strikt hälftige Betreuung voraus (E. 3.1.2). Die vorinstanzlichen Erwägungen lassen keinen Zweifel daran, dass der Beschwerdeführer nach dem Willen des Appellationsgerichts "umfangreich" an C._s Betreuung mitwirken soll. Die Vorinstanz selbst spricht im Zusammenhang mit ihren Prozentrechnungen denn auch ausdrücklich von Betreuungsanteilen und nicht von einem Recht auf persönlichen Verkehr. Konkrete Gründe, die trotz des massgeblichen Betreuungsanteils des Beschwerdeführers gegen die Anordnung bzw. die Bezeichnung der vorliegenden Betreuungsform als alternierende Obhut sprechen könnten, sind weder dem angefochtenen Entscheid noch den gegnerischen Vernehmlassungen zu entnehmen und auch nicht ersichtlich. Entgegen dem, was die Beschwerdegegnerinnen anzunehmen scheinen, sprechen in der gegebenen Situation insbesondere auch die elterlichen Schwierigkeiten in der Kooperation und Kommunikation nicht gegen eine alternierende Obhut. Kommt das Appellationsgericht zum Schluss, dass das spannungsgeladene Verhältnis der Eltern einer Betreuungsregelung wie der nun getroffenen nicht entgegensteht, ja begründet es seinen Entscheid gerade damit, dass sich das Streitpotenzial mit der fraglichen Regelung gegenüber dem erstinstanzlich angeordneten Wechselmodell reduzieren lasse, so wäre es vielmehr widersprüchlich, unter Hinweis auf den bestehenden Elternkonflikt von der Anordnung der alternierenden Obhut abzusehen. Im Urteilsspruch ist als Betreuungsform deshalb neu die alternierende Obhut anzuordnen. Der Wohnsitz der Beschwerdegegnerin 2 ist an jenen der Beschwerdegegnerin 1 zu knüpfen (vgl. das zur Publikation vorgesehene Urteil 5A_139/2020 vom 26. November 2020 E. 3.2.3).
3.4.3. Unter dem Titel "Rechtsverletzungen" argumentiert der Beschwerdeführer weiter, dass es keine Gründe gebe, weshalb eine alternierende Obhut mit einer hälftigen Aufteilung der Betreuungsanteile nicht im Kindeswohl sein soll. Sämtliche Faktoren würden für eine alternierende Obhut sprechen und insbesondere das Gutachten vom 27. August 2018, dem zufolge eine alternierende Obhut im Kindeswohl sei, könne in keiner Weise als überholt gelten. Weshalb sich die vom Appellationsgericht festgelegten Zuständigkeiten für C._s Betreuung trotz des willkürfrei festgestellten Sachverhalts nicht mit den bundesrechtlichen Vorgaben zur Ausübung des diesbezüglichen Ermessens vertragen, ist der Beschwerde jedoch nicht zu entnehmen. Vielmehr wiederholt der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang die Beanstandungen, die er gegen die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung erhebt und die sich - wie oben dargelegt - allesamt als unbegründet erweisen (s. E. 3.3). Entsprechend hat es hinsichtlich der Festlegung der Betreuungsanteile mit dem angefochtenen Entscheid sein Bewenden.
3.5.
3.5.1. Anlass zur Beschwerde gibt ausserdem die Anordnung, wonach C._s Ferien jeweils am Samstag um 12:00 Uhr beginnen und enden (s. E. 3.2.3). Der Beschwerdeführer erachtet diesen Zeitpunkt als unüblich. Er erinnert daran, dass die Ferien nach der bisherigen Übung der Eltern jeweils am Samstag um 8:00 Uhr begonnen und am Freitag um 18:00 Uhr geendet hätten. In diesem Sinn habe auch das Zivilgericht die Ferien für das ganze Jahr 2019 geregelt. Für die Tochter sei es "sicherlich besser", wenn die Ferienübergabe nicht mitten am Tag erfolgt. Die Vorinstanz erkläre nicht, weshalb die Ferien mitten am Tag beginnen oder enden sollen. Angesichts der unzureichenden Begründung sei das rechtliche Gehör der Parteien verletzt. Die Ferienübergabe mitten am Tag habe zur Folge, dass die Ferien eigentlich nur sechs ganze Tage (Sonntag bis Freitag) umfassen, während die Eltern bei der bisher gelebten und vor Bundesgericht beantragten Regelung ganze sieben Tage planen können. Daher verletze die fragliche Regelung der Ferienübergabe <ref-law>.
3.5.2. Ob ein Entscheid hinreichend begründet ist (dazu <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 3.3), beurteilt sich anhand seines Ergebnisses, das im Urteilsspruch zum Ausdruck kommt und das allein die Rechtsstellung der betroffenen Person (en) berührt (<ref-ruling> E. 6.1). Unter diesem Blickwinkel ist der angefochtene Entscheid nicht zu beanstanden. Das Appellationsgericht führt aus, die Ferienmodalitäten müssten im Interesse der Streitvermeidung klar geregelt werden. Ausserdem sei es sinnvoll, dass C._ künftig nicht ausschliesslich vom Vater "geholt und gebracht" wird, sondern die Mutter insoweit eine "etwas aktivere Rolle" einnimmt. In der Folge erläutert die Vorinstanz ausführlich, welcher Elternteil das Kind jeweils zum Ferienbeginn zum andern bringt und es am Ende wieder abholt. Warum diese ausführlichen Erläuterungen keine Begründung des streitigen Übergabezeitpunkts sein können, mag der Beschwerdeführer nicht erklären und ist auch nicht ersichtlich.
In der Sache ist auch mit Blick auf die hier betroffene Detailregelung des Ferienrechts daran zu erinnern, dass es bei der Festlegung der persönlichen Kontakte darum geht, den elterlichen Kontakt mit dem Kind in dessen Interesse zu regeln, als oberste Richtschnur somit immer das Kindeswohl gilt, während die Interessen der Eltern zurückzustehen haben (vgl. Urteil 5C.46/2003 vom 16. April 2003 E. 2.1, publ. in: FamPra.ch 2003, S. 945; s. auch oben E. 3.1.1). Was das Kindeswohl im konkreten Streitpunkt angeht, begnügt sich der Beschwerdeführer mit der pauschalen Behauptung, Ferienübergaben nicht mitten am Tag seien für die Tochter sicherlich besser. Allein damit vermag er gegen die vorinstanzliche Ausübung des Ermessens (s. E. 2.2) bei der Festlegung des Ferienrechts nichts auszurichten. Soweit er sich einzig an der geringfügigen Umstellung stört, welche die vorinstanzliche Regelung gegenüber den bisher praktizierten Übergabezeiten bedeutet, tut er keinen Zusammenhang mit dem Kindeswohl dar, so dass als Erklärung für seine Reklamationen nur mehr die eigene Einschätzung übrig bleibt. Allein darauf kommt es nicht an.
3.6.
3.6.1. Regelt das Gericht die gemeinsame elterliche Sorge, die Obhut oder die Betreuungsanteile nicht miteinander verheirateter Eltern, so muss es gemäss Art. 52fbis Abs. 1 der Verordnung über die Alters- und Hinterlassenenversicherung vom 31. Oktober 1947 (AHVV; SR 831.101) gleichzeitig die Anrechnung der Erziehungsgutschriften festlegen. Betreuen beide Eltern ihr Kind zu gleichen Teilen, so wird die Erziehungsgutschrift hälftig aufgeteilt (<ref-law>). Solange sich die Parteien nicht auf eine andere Aufteilung geeinigt haben, darf das Gericht grundsätzlich keine andere als die in den zitierten Normen vorgegebene hälftige Aufteilung anordnen. Eine genau hälftige Aufteilung der Betreuungszeiten ist hierfür allerdings nicht vorausgesetzt. Eine hälftige Aufteilung der Erziehungsgutschriften ist nach der Rechtsprechung auch dann anzuordnen, wenn beide Eltern tatsächlich einen wesentlichen Teil an der Betreuung übernommen haben. Bei der Beurteilung kann das Gericht auch mitberücksichtigen, ob bzw. in welchem Ausmass die Betreuungsaufgaben einen Elternteil an einer Erwerbstätigkeit und damit am Aufbau seiner Altersvorsorge hindern (s. ausführlich das zur Publikation vorgesehene Urteil 5A_139/2020 vom 26. November 2020 E. 3.4 mit Hinweisen).
3.6.2. Der Beschwerdeführer stellt vor Bundesgericht das Begehren, die Erziehungsgutschriften gemäss <ref-law> hälftig unter den Eltern aufzuteilen (s. Sachverhalt Bst. D.a). In seinem Schriftsatz führt er zur Begründung dieses Antrags aus, er verlange die Feststellung der alternierenden Obhut sowie die hälftige Aufteilung der Betreuungsanteile; damit seien die Erziehungsgutschriften ihm auch hälftig anzurechnen. Nach dem Gesagten bleibt es hinsichtlich der Betreuungsanteile bei der vorinstanzlichen Regelung, wonach die Beschwerdegegnerin 2 zu knapp 40 % vom Beschwerdeführer und zu rund 60 % von der Beschwerdegegnerin 1 betreut wird (E. 3.4). Angesichts dieser in etwa gleichmässigen Aufteilung der Betreuung zwischen den Eltern besteht kein Grund, von der hälftigen Teilung der Erziehungsgutschriften abzuweichen. Die Beschwerde ist in diesem Punkt gutzuheissen.
4.
Zu beurteilen bleiben zwei weitere Anträge betreffend zwei verschiedene Kinderbelange, über die das Appellationsgericht unter dem Titel Kindesschutzmassnahmen entschieden hat.
4.1. Hart umstritten ist zum einen die Freizeitaktivität des Reitens (Beschwerdebegehren Ziff. 5; s. Sachverhalt Bst. D.a).
4.1.1. Das Appellationsgericht zitiert <ref-law>, wonach der Elternteil, der das Kind betreut, in einer Kindesangelegenheit allein entscheiden kann, wenn die Angelegenheit alltäglich oder dringlich oder der andere Elternteil nicht mit vernünftigem Aufwand zu erreichen ist. Fragen der Freizeitgestaltung gälten grundsätzlich als alltäglich. Entsprechend könne ein Elternteil über die Ausübung einer Freizeitbeschäftigung während seiner eigenen Betreuungszeit grundsätzlich allein entscheiden, wenn das Kind dieser Aktivität nicht zwingend auch während der Betreuungszeit des anderen Elternteils nachgehen muss. Nicht alltäglichen Charakter hätten Entscheidungen betreffend die Ausübung gefährlicher bzw. risikoreicher Sportarten. Bezogen auf den konkreten Fall stellt die Vorinstanz fest, dass das "Ponyreiten im Zelt", an dem C._ teilnimmt, sich an Kinder ab ca. sechs Jahren richte und unter qualifizierter Leitung stattfinde. Die bald siebenjährige Tochter könne unbestrittenerweise sicher Rad fahren. Insoweit gebe es heute keine motorischen Bedenken gegen das Reiten. Die Mutter habe versichert, dass C._ korrekte Schutzkleidung trage. Zwar berge das Ponyreiten auch gewisse Risiken. Es könne unter den gegebenen Umständen aber nicht als gefährliche oder risikoreiche Sportart bezeichnet werden, über deren Ausübung beide Eltern gemeinsam entscheiden müssten. Von der Gefährlichkeit her sei die Aktivität etwa dem Schlitteln vergleichbar, das der Beschwerdeführer selbst mit C._ ausübe und offenbar als unproblematisch empfinde. Mit Bezug auf die Befürchtung des Beschwerdeführers, dass seine Tochter dereinst zum Sportreiten mit Pferden wechseln wolle, erklärt die Vorinstanz, allein wegen dieser Eventualität sei der Beschwerdegegnerin 1 nicht bereits heute zu verbieten, die Beschwerdegegnerin 2 zum Ponyreiten zu bringen. In Anwendung von <ref-law> sei die Beschwerdegegnerin 1 berechtigt, das Kind während ihrer Betreuungszeit am Ponyreiten unter fachkundiger Leitung teilnehmen zu lassen. Der Beschwerdegegner sei nicht verpflichtet, die Beschwerdegegnerin 2 während seiner Betreuungszeit zum Reiten zu bringen. Der Antrag des Beschwerdeführers, die Beschwerdegegnerin 1 anzuweisen, die Beschwerdegegnerin 2 vom Reiten abzumelden, wurde abgewiesen.
4.1.2. Der Beschwerdeführer will eine Verletzung von <ref-law> ausgemacht haben. Was er hierzu zu sagen hat, genügt den Begründungsanforderungen (E. 2.1) freilich nicht. Mit den ausführlichen vorinstanzlichen Erläuterungen, weshalb das Kinder-Ponyreiten erlaubt sein müsse und allein die Möglichkeit eines späteren Wechsels zum Reiten mit Pferden ein Verbot nicht rechtfertigen könne, setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Stattdessen begnügt er sich mit unzulässigen Verweisen auf den Massnahmeentscheid vom 19. Februar 2020, mit dem der Appellationsgerichtspräsident der Mutter vorsorglich verboten hatte, die Tochter reiten zu lassen. Nichts anderes gilt für seine weitere Behauptung, es sei "klar nachgewiesen" worden, dass C._ motorische Defizite aufweist. Darauf ist nicht einzutreten.
4.2. Zum anderen geht es um Anweisungen betreffend die Vaterschaftsanerkennung in Deutschland und C._s deutsche Staatsangehörigkeit (Beschwerdebegehren Ziff. 6; s. Sachverhalt Bst. D.a).
4.2.1. Mit Bezug auf den Antrag, die Beschwerdegegnerin 1 zur Unterzeichnung der Vaterschaftsanerkennung nach deutschem Recht anzuhalten, räumt die Vorinstanz ein, dass die Anerkennung eines Kindes durch den Vater nach § 1595 Abs. 1 des deutschen Bürgerlichen Gesetzbuches (BGB) der Zustimmung der Mutter bedarf. Gemäss Art. 19 Abs. 1 des Einführungsgesetzes zum Bürgerlichen Gesetzbuche (EGBGB) richte sich die Abstammung und somit auch die Anerkennung eines Kindes durch den Vater aber alternativ nach dem Recht, in dem das Kind im Zeitpunkt der Anerkennungserklärung seinen gewöhnlichen Aufenthalt hat, oder nach dem Recht des Staates, dem der Vater angehört. Die Vorinstanz stellt fest, dass sich C._s gewöhnlicher Aufenthalt im Zeitpunkt der Anerkennung durch den Vater in der Schweiz befunden habe. Sie erinnert daran, dass die Vaterschaftsanerkennung nach Schweizer Recht nicht der Zustimmung der Mutter bedarf. Weshalb die in der Schweiz formgültig erfolgte Vaterschaftsanerkennung in Deutschland nicht anerkannt werden sollte, sei folglich nicht ersichtlich. Damit scheine die Unterzeichnung einer Vaterschaftsanerkennung nach deutschem Recht zur Wahrung der Interessen der Tochter und des Vaters nicht erforderlich. Die E-Mail der Botschaft der Bundesrepublik Deutschland vom 15. Mai 2020 sei verspätet eingereicht worden; im Übrigen sei die Auskunft mangels Begründung auch nicht überprüfbar. Was die Erlangung der deutschen Staatsbürgerschaft und des deutschen Passes angeht, findet die Vorinstanz, es sei nicht erkennbar und werde auch nicht dargelegt, weshalb es zur Wahrung von C._s Wohl erforderlich sein soll, dass das Kind zusätzlich zur spanischen auch die deutsche Nationalität und entsprechende Papiere erhält. Folglich bestehe auch diesbezüglich kein Anlass für eine Weisung an die Beschwerdegegnerin 1.
4.2.2. Die Beanstandungen des Beschwerdeführers sind zum Scheitern verurteilt. So beklagt sich der Beschwerdeführer mit einer Sachverhalts- und einer Gehörsrüge darüber, dass die Vorinstanz die E-Mail der deutschen Botschaft vom 15. Mai 2020 "schlichtweg ignoriert" habe. Er übersieht dabei, dass der angefochtene Entscheid das Datum des 6. Mai 2020 trägt. Weiter argumentiert er, ohne Kooperation der Beschwerdegegnerin 1 für die Vaterschaftsanerkennung in Deutschland ein weiteres Gerichtsverfahren anstrengen zu müssen, was nicht im Sinne der Parteien und schon gar nicht im Interesse der Tochter sei. Der vorinstanzlichen Einschätzung, wonach die in der Schweiz erfolgte Vaterschaftsanerkennung in Deutschland anerkannt werden können sollte, hält er entgegen, dies sei "nachgewiesenermassen nicht der Fall", weshalb die Vorinstanz den Sachverhalt offensichtlich falsch feststelle respektive das Recht falsch anwende. Allein damit ist nichts gewonnen. Als "klare Diskriminierung des Kindsvaters" und als "vollkommen willkürlich" tadelt der Beschwerdeführer zuletzt, dass das Appellationsgericht die Erforderlichkeit der deutschen Nationalität für die Beschwerdegegnerin 2 in Frage stelle. Auch diese Vorwürfe gehen an der Sache vorbei. Sie haben nichts mit dem Wohl des Kindes zu tun, sondern beziehen sich allenfalls auf dasjenige des Vaters, der sich ungleich behandelt fühlt. Im Übrigen spricht die Vorinstanz C._ weder ihr Recht auf Abstammung noch ihren (allfälligen) Anspruch auf die deutsche Staatsangehörigkeit ab. Gegenstand der Beurteilung ist lediglich, ob der Beschwerdegegnerin 1 in Gestalt einer Kindesschutzmassnahme die beantragten Weisungen zu erteilen sind. Dass es hierfür allein auf das Kindeswohl ankommt, stellt der Beschwerdeführer nicht in Abrede.
5.
5.1. Im Ergebnis ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben. Die Beschwerdegegnerin 2 ist (bei unveränderter Betreuungsregelung) unter die alternierende Obhut ihrer Eltern zu stellen, wobei der Wohnsitz des Kindes bei der Mutter festzulegen ist (E. 3.4.2). Weiter ist die Erziehungsgutschrift gestützt auf <ref-law> hälftig aufzuteilen. Das Appellationsgericht wird über die Kosten des Berufungsverfahrens neu zu befinden haben (<ref-law> e contrario; <ref-law>). Bei diesem Verfahrensausgang rechtfertigt es sich, die Gerichtskosten, welche die Kosten der Kindesvertreterin einschliessen (Urteil 5A_637/2018 vom 22. Mai 2019 E. 9.1), zu zwei Dritteln dem Beschwerdeführer und zu einem Drittel der Beschwerdegegnerin 1 aufzuerlegen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin 2 werden keine Gerichtskosten auferlegt (<ref-law>). Damit wird ihr (lediglich eventualiter gestelltes) Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gegenstandslos. Dem Verfahrensausgang entsprechend hat der Beschwerdeführer die Beschwerdegegnerin 1 für das bundesgerichtliche Verfahren auch zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
5.2. Dem Gesuch der Beschwerdegegnerin 1 um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren kann entsprochen werden; die diesbezüglichen Voraussetzungen (<ref-law>) sind erfüllt. Der auf die Beschwerdegegnerin 1 entfallende Anteil der Gerichtskosten ist vorläufig auf die Bundesgerichtskasse zu nehmen. Der Anwalt der Beschwerdegegnerin 1 ist direkt aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen, soweit sein notwendiger Aufwand für die Vertretung nicht aus der zugesprochenen Parteientschädigung der Beschwerdegegnerin 1 (E. 5.1) gedeckt werden kann (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin 1 wird darauf hingewiesen, dass sie der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten hat, falls sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>).
5.3. Die Kindesvertreterin ist im Umfang des notwendigen Aufwands zu entschädigen. Ermessensweise wird die Entschädigung auf Fr. 1'500.-- (inkl. Auslagen und Mehrwertsteuer) festgesetzt.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
1.1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Die Ziffern II./1, II./2 sechster Absatz und III des Entscheids des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, vom 6. Mai 2020 werden aufgehoben und es wird wie folgt neu erkannt:
II./1.
Die Tochter C._, geboren 2013, steht unter der alternierenden Obhut ihrer Mutter B._ und ihres Vaters A._. Der Wohnsitz der Tochter befindet sich am Wohnsitz der Mutter.
II./2. sechster Absatz
Die Erziehungsgutschriften werden gemäss <ref-law> hälftig aufgeteilt.
1.2. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigungen des kantonalen Verfahrens an die Vorinstanz zurückgewiesen.
1.3. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Das Gesuch der Beschwerdegegnerin 1 um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird der Beschwerdegegnerin 1 Rechtsanwalt Ozan Polatli als Rechtsbeistand beigegeben.
3.
3.1. Die Gerichtskosten von Fr. 4'500.-- (einschliesslich der Entschädigung der Kindesvertreterin) werden zu Fr. 3'000.-- dem Beschwerdeführer und zu Fr. 1'500.-- der Beschwerdegegnerin 1 auferlegt. Der Anteil der Beschwerdegegnerin 1 wird indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
3.2. Die Kindesvertreterin Rechtsanwältin Regula Diehl wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'500.-- entschädigt.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin 1 für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.2. Rechtsanwalt Ozan Polatli wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 3'000.-- entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Juli 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn