Sachverhalt:
A.
X._ erstattete am 20. März 2018 bei der Staatsanwaltschaft Basel-Stadt Strafanzeige gegen A._ und B._ wegen Diebstahls, "Falschaussage" und "Prozessbetrug". Die Staatsanwaltschaft erliess am 29. Mai 2018 zwei Nichtanhandnahmeverfügungen. Gegen diese erhob X._ Beschwerde beim Appellationsgericht Basel-Stadt. Dieses wies die Beschwerde am 7. August 2018 ab, soweit es darauf eintrat.
B.
X._ führt Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid des Appellationsgerichts vom 7. August 2018. Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass Richter Hoenen an diesem nicht hätte mitwirken dürfen.
C.
Das Appellationsgericht beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Staatsanwaltschaft reichte keine Vernehmlassung ein. X._ replizierte.

Erwägungen:
1.
Der Privatkläger ist zur Beschwerde gegen eine Einstellungsverfügung nur legitimiert, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung seiner Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). In erster Linie geht es um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung gemäss <ref-law>, die üblicherweise vor den Zivilgerichten geltend gemacht werden müssen. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG hat der Beschwerdeführer darzulegen, dass die gesetzlichen Legitimationsvoraussetzungen erfüllt sind. Richtet sich die Beschwerde gegen die Einstellung oder Nichtanhandnahme eines Verfahrens, hat der Privatkläger nicht notwendigerweise bereits vor den kantonalen Behörden eine Zivilforderung geltend gemacht. Selbst wenn er bereits adhäsionsweise privatrechtliche Ansprüche geltend gemacht hat (vgl. <ref-law>), werden in der Einstellungsverfügung keine Zivilklagen behandelt (<ref-law>). In jedem Fall muss der Privatkläger im Verfahren vor Bundesgericht darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderungen auswirken kann. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen Begründungsanforderungen nicht, kann darauf nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderungen es geht (<ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen). Unbekümmert um die fehlende Legitimation in der Sache selbst kann der Privatkläger die Verletzung von Verfahrensrechten geltend machen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt. Zulässig sind Rügen formeller Natur, die von der Prüfung der Sache getrennt werden können. Nicht zu hören sind Rügen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen. Ein in der Sache nicht legitimierter Beschwerdeführer kann deshalb weder die Beweiswürdigung kritisieren, noch kann er geltend machen, die Begründung sei materiell unzutreffend. Er kann hingegen vorbringen, auf ein Rechtsmittel sei zu Unrecht nicht eingetreten worden, er sei nicht angehört worden, er habe keine Gelegenheit erhalten, Beweisanträge zu stellen oder er habe keine Einsicht in die Akten nehmen können (<ref-ruling> E. 1.1; Urteil 6B_611/2017 vom 9. März 2018 E. 1.1; je mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer rügt unter anderem, die Besetzung des vorinstanzlichen Gerichts sei nicht gesetzeskonform und sein Anspruch auf rechtliches Gehör sei verletzt worden. Jedenfalls in diesem Umfang ist auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe sich nicht zu seinen Vorbringen zur Befangenheit des Staatsanwaltes Karl Aschmann geäussert (Beschwerde, S. 11).
Der Beschwerdeführer machte im vorinstanzlichen Verfahren sinngemäss geltend, dass A._ gegen ihn und weitere Personen Strafanzeige unter Beilage widerrechtlich erlangter Akten erstattet habe. Infolge dieser Anzeige sei ein Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer und weitere Personen eröffnet worden; die Anklage werde vor Gericht von Staatsanwalt Karl Aschmann vertreten. Letzterer habe deshalb kein Interesse, die Herkunft der von A._ eingereichten Akten in Frage zu stellen und diesbezüglich ein Strafverfahren zu eröffnen. Staatsanwalt Aschmann sei mithin befangen.
2.2. Die Vorinstanz erwägt hierzu, dass der Umstand, dass Staatsanwaltschaft Aschmann eine andere Auffassung als der Beschwerdeführer vertrete, für sich alleine keinen Ausstandsgrund darstelle. Umstände, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken würden, seien weder erkennbar noch durch den Beschwerdeführer vorgebracht worden. So sei Staatsanwalt Aschmann nicht vorbefasst. Das Verhalten von A._ und B._ präjudiziere das Verfahren gegen den Beschwerdeführer nicht. Bereits im Berufungsurteil vom 30. Oktober 2017 sei festgestellt worden, dass die von A._ eingereichten Aktenkopien verwertbar seien. Es sei auch sonst nicht ersichtlich, welchen Einfluss der Ausgang des Verfahrens gegen A._ und B._ auf das inzwischen vor dem Bundesgericht geführte Verfahren gegen den Beschwerdeführer haben sollte. Das Ausstandsgesuch sei abzuweisen, wobei offenbleiben könne, ob dieses überhaupt rechtzeitig gestellt worden sei (Entscheid, S. 4 f.).
2.3. Die Vorinstanz äussert sich nicht zur konkreten Rüge des Beschwerdeführers, wonach der Staatsanwalt kein Interesse habe, ein Verfahren gegen A._ in Bezug auf die von diesem eingereichten Unterlagen zu eröffnen. Der Hinweis auf das Berufungsurteil vom 30. Oktober 2017 ist unbehelflich, nachdem der Beschwerdeführer dieses bereits am 11. April 2018 mittels Beschwerde in Strafsachen beim Bundesgericht angefochtenen hatte (Verfahren 6B_383/2018) und dabei - unter anderem - geltend gemacht hatte, dass die zur Diskussion stehenden Akten unverwertbar seien (Beschwerde vom 11. April 2018, S. 27 f.). Im Übrigen beschränkt sich die Vorinstanz darauf, einen Anschein der Befangenheit des Staatsanwaltes und einen Einfluss eines allfälligen Strafverfahrens gegen A._ und B._ auf die Position des Beschwerdeführers zu verneinen, ohne darzulegen, weshalb dies der Fall sein sollte. Eine solche Begründung genügt den Anforderungen von <ref-law> nicht und verletzt den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör.
3.
Die Beschwerde ist gutzuheissen und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Es handelt sich hierbei um einen prozessrechtlichen Entscheid, der die Beurteilung der Sache nicht präjudiziert. Weitere Vernehmlassungen sind - neben der bereits vorliegenden - deshalb nicht erforderlich (vgl. Urteil 6B_800/2018 vom 18. Oktober 2018 E. 4 mit Hinweis).
Es erübrigt sich, auf die weiteren Rügen des Beschwerdeführers einzugehen. Hinzuweisen ist dennoch im Hinblick auf den durch die Vorinstanz ohnehin neu zu fällenden Entscheid auf <ref-ruling> E. 2.2.1, wonach jede Besetzung des Gerichts, die sich nicht mit sachlichen Gründen rechtfertigen lässt, die Garantie des verfassungsmässigen Richters nach <ref-law> verletzt.
4.
Für das bundesgerichtliche Verfahren sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Beschwerdeführer liess sich nicht anwaltlich vertreten, weshalb er keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung hat.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Appellationsgerichts Basel-Stadt vom 7. August 2018 wird aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Juni 2019
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Moses