Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1994) stammt aus Sri Lanka. Er ersuchte in der Schweiz wiederholt um Asyl:
- Das Staatssekretariat für Migration (SEM) wies sein erstes Gesuch vom 18. November 2015 am 25. Mai 2017 ab und hielt ihn an, das Land bis zum 19. Juli 2017 zu verlassen. A._ gelangte hiergegen erfolglos an das Bundesverwaltungsgericht (Entscheid vom 24. August 2017). Im Anschluss hieran wurde ihm eine neue Ausreisefrist bis zum 22. September 2017 angesetzt. Ab dem 20. September 2017 war der Aufenthaltsort von A._ nicht mehr bekannt.
- Am 19. Dezember 2017 schrieb das SEM ein von A._ eingeleitetes zweites Asylverfahren ab; es wertete sein Ersuchen als unbegründetes bzw. wiederholt gleich begründetes Mehrfachgesuch (vgl. <ref-law> [SR 142.31]).
- Am 7. März 2018 ersuchte A._ ein drittes Mal um Asyl, wobei er sich diesmal auf Nachfluchtgründe berief. Das SEM setzte am 12. März 2018 den Vollzug der Wegweisung einstweilen aus; gleich entschied das Bundesverwaltungsgericht am 19. März 2018 insoweit, als sich bei ihm die Frage einer allfälligen Wiedererwägung oder Revision seines Urteils stellte.
- Am 30. April 2018 wies das SEM das Asylgesuch vom 7. März 2018 ab und hielt A._ an, die Schweiz bis zum 25. Juni 2018 zu verlassen, ansonsten er in Haft genommen und unter Zwang in seinen Heimatstaat zurückgeführt würde. Gegen die Verfügung des SEM gelangte A._ am 1. Juni 2018 wiederum an das Bundesverwaltungsgericht; dessen Entscheid steht zurzeit noch aus.
B.
Am 16. Februar 2018 nahm das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau (MIKA) A._ in eine Ausschaffungshaft nach Art. 77 AuG (SR 142.20; Ausschaffungshaft wegen fehlender Mitwirkung bei der Beschaffung der Reisedokumente ["kleine Ausschaffungshaft" von höchstens 60 Tagen]). Die Einzelrichterin am Verwaltungsgericht des Kantons Aargau prüfte diese am 19. Februar 2018 und bestätigte sie bis zum 15. April 2018. Gestützt auf das dritte, nach der Inhaftierung von A._ am 15. Februar 2018 eingereichte Asylgesuch und der damit verbundenen vorübergehenden Aussetzung des Wegweisungsvollzugs durch die Asylbehörden ersuchte A._ am 19. März 2018 darum, ihn aus der Ausschaffungshaft zu entlassen. Der Einzelrichter am Verwaltungsgericht des Kantons Aargau (im Weitern auch als "Haftrichter" bezeichnet) lehnte dies am 29. März 2018 ab und genehmigte gleichzeitig eine Verlängerung der administrativen Festhaltung von A._ im Rahmen einer ordentlichen Ausschaffungshaft (Art. 76 AuG) um zwei Monate bis zum 14. Juni 2018. Am 1. Mai 2018 beantragte A._ erneut, aus der Ausschaffungshaft entlassen zu werden. Der Haftrichter wies das entsprechende Gesuch am 9. Mai 2018 ab.
C.
A._ beantragt vor Bundesgericht, den Entscheid vom 9. Mai 2018 aufzuheben, seinen Antrag auf Haftentlassung gutzuheissen und ihn auf freien Fuss zu setzen. Für den Fall des Unterliegens ersucht er darum, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. A._ macht im Wesentlichen geltend, dass mit einem Entscheid zu seinem dritten Asylgesuch nicht in absehbarer Zeit gerechnet werden könne, da dieses zu einem ordentlichen Verfahren und nicht, wie vom Einzelrichter im Entscheid vom 29. März 2018 vorausgesetzt, zu einer (weiteren) formlosen Abschreibung geführt habe. Nachdem er sich seit dem 15. Februar 2018 in Haft befinde und die Ausschaffung nicht absehbar erscheine, rechtfertige es sich nicht, seine Festhaltung fortzusetzen.
Das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Der Einzelrichter am Verwaltungsgericht Aargau verzichtete darauf, "sich detailliert vernehmen zu lassen" und verwies auf seine Erwägungen im angefochtenen Urteil. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) beantragt, die Beschwerde abzuweisen; eine Ausreise von A._ nach Sri Lanka sei sowohl selbständig wie zwangsweise möglich und absehbar.
A._ hält mit Eingabe vom 20. Juni 2018 an seinen Anträgen und Ausführungen fest und betont noch einmal, dass der Vollzug der Wegweisung nicht absehbar erscheine.
D.
Mit Entscheid vom 11. Juni 2018 genehmigte der Einzelrichter am Verwaltungsgericht des Kantons Aargau die Verlängerung der Ausschaffungshaft von A._ um drei weitere Monate bis zum 14. September 2018.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den kantonal letztinstanzlichen Entscheid über eine Zwangsmassnahme im Ausländerrecht kann der Betroffene mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht gelangen (Art. 82 i.V.m. Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 89 Abs. 1 BGG; Urteil 2C_312/2018 vom 11. Mai 2018 E. 1 mit Hinweis). Wegen des mit der Anordnung ausländerrechtlicher Administrativhaft verbundenen schweren Eingriffs in die persönliche Freiheit kommt dem entsprechenden Freiheitsentzug eigenständige Bedeutung zu; die Haft erscheint nicht als bloss untergeordnete Vollzugsmassnahme zur Wegweisung, weshalb der Ausschlussgrund von <ref-law> keine Anwendung findet (<ref-ruling> E. 1.1.3 S. 139 f.; <ref-ruling> E. 5.5 S. 101 f.; THOMAS HUGI YAR, § 10 Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, in: Uebersax/Rudin/Hugi Yar/Geiser [Hrsg.], Ausländerrecht, 2. Aufl. 2008, N. 10.181).
1.2. Zwar ist die administrative Festhaltung des Beschwerdeführers am 11. Juni 2018 um weitere drei Monate verlängert worden, doch lässt dies das aktuelle Interesse an der Überprüfung des angefochtenen Entscheids vom 9. Mai 2018 nicht dahin fallen (so <ref-ruling> E. 1 S. 208 ff.), zumal der Beschwerdeführer auch geltend macht, ihm sei seine Freiheit nicht "auf die gesetzlich vorgeschriebene Weise" im Sinne von Art. 5 EMRK entzogen worden (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 mit Hinweis auf das Urteil des EGMR Jusic gegen Schweiz vom 2. Dezember 2010 [Nr. 4691/06] §§ 68 ff.). Auf die frist- (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 203 f.) und formgerecht (vgl. Art. 82, 86 Abs. 1 lit. d, 89 Abs. 1 und Art. 90 sowie Art. 42 und 106 Abs. 1 BGG) eingereichte Eingabe ist einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich potentiell stellenden Fragen zu beantworten, wenn diese in seinem Verfahren nicht mehr formell korrekt (Begründungs- und Mitwirkungspflicht) vorgebracht werden (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286; <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f.; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insoweit, als die entsprechende Rüge präzis und in Auseinandersetzung mit den Ausführungen der Vorinstanz begründet wird (<ref-law>; Urteil 2C_268/2018 vom 11. April 2018 E. 1.2; <ref-ruling> E. 3 S. 415; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
2.2. Der Sachverhalt, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat, ist für das Bundesgericht verbindlich (<ref-law>), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E.1.4.3 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 351 f.). Zur Sachverhaltsfeststellung gehört auch die auf Indizien gestützte Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 2.3 S. 265 ff.; Urteil 2C_402/2015 vom 11. November 2016 E. 2.2.2). Auf in diesem Zusammenhang lediglich appellatorisch formulierte Kritik geht das Bundesgericht nicht weiter ein (vgl. <ref-ruling> E. 10.1 S. 445 mit Hinweisen).
2.3.
2.3.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe den Sachverhalt willkürlich festgestellt, indem sie dem Umstand keine Rechnung getragen habe, dass im Entscheid vom 29. März 2018 "unmissverständlich festgehalten" worden sei, "dass sich eine Haftentlassung aufdränge, falls das SEM das Asylgesuch vom 7. März 2018 nicht innert eines Monats formlos abgeschrieben habe"; es liege hierin auch eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Der Beschwerdeführer erhebt die entsprechenden Rügen weitgehend appellatorisch; er legt entgegen seiner Begründungspflicht nicht dar, inwiefern die Vorinstanz den Sachverhalt in diesem Zusammenhang offensichtlich falsch festgestellt und welchen Teilgehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör sie verletzt haben soll.
2.3.2. In der Sache selber wären die Rügen unbegründet: Rechtskräftig und verbindlich wird lediglich das Dispositiv eines Entscheids, nicht dessen Begründung, es sei denn, sie sei mit der Formulierung "im Sinne der Erwägungen" zu dessen Gegenstand gemacht worden, was hier nicht der Fall war. Zwar hat der Einzelrichter im Urteil vom 29. März 2018 ausgeführt: "Sollte bis in einem Monat sein (drittes) Asylgesuch noch nicht als Mehrfachgesuch nach <ref-law> abgeschrieben worden sein, dürfte sich ein Haftentlassungsgesuch geradezu aufdrängen". Gerade dies ist in der Folge geschehen: Der Beschwerdeführer hat am 1. Mai 2018 um Haftentlassung ersucht. Der Haftrichter hatte sich im Entscheid vom 29. März 2018 inhaltlich zum Ausgang des neuen Verfahrens nicht geäussert. Die Prüfung des Haftrichters im Entscheid vom 9. Mai 2018 umfasste die Frage, ob im Zeitpunkt seines Urteils die Voraussetzungen gegeben waren, um die Ausschaffungshaft fortbestehen zu lassen; dabei war er nicht an die Ausführungen zum Asylverfahren im Entscheid vom 29. März 2018 gebunden.
2.3.3. Dass der Haftrichter im Entscheid vom 9. Mai 2018 keinen direkten Bezug auf die umstrittene Passage im Urteil vom 29. März 2018 genommen hat, verletzte auch die verfassungsrechtliche Begründungspflicht im Rahmen des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) nicht: Im Entscheid vom 29. März 2018 ist nur festgehalten worden, dass sich ein Haftentlassungsgesuch aufdränge, falls bis in einem Monat das dritte Asylgesuch (noch) nicht als Mehrfachgesuch nach <ref-law> abgeschrieben worden sei (<ref-law>; vgl. das Urteil 2C_846/2017 vom 30. Oktober 2017 E. 2.3; <ref-ruling> E. 2.1 S. 145; <ref-ruling> E. 5.2 S. 236). Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers wurde ihm damit nicht automatisch eine Haftentlassung in Aussicht gestellt; es wurde ihm lediglich zugestanden, dass auf ein weiteres Haftentlassungsgesuch hin der Fall noch einmal geprüft würde - gegebenenfalls auch ausserhalb der für Haftentlassungsgesuche geltenden Sperrfristen (vgl. Art. 80 Abs. 5 AuG). Im Entscheid vom 9. Mai 2018 kam der Haftrichter zum Schluss, dass immer noch alle Haftvoraussetzungen erfüllt waren und trotz des materiellen Entscheids des SEM mit einem raschen Abschluss des Verfahrens vor dem Bundesverwaltungsgericht gerechnet werden könne. Der entsprechende Punkt müsse vom Amt für Migration und Integration jedoch weiterhin im Auge behalten werden; gegebenenfalls habe dieses die nötigen Konsequenzen zu ziehen, falls es tatsächlich zu einer Verzögerung des Asylbeschwerdeverfahrens kommen sollte (vgl. E. II.3 3. und 4. Absatz des Entscheids vom 9. Mai 2018).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, dass ein Ende des Asylverfahrens nicht als absehbar gelten könne, weshalb er freizulassen sei. "Nachdem er sich seit dem 15. Februar 2018 in Haft befinde und heute ein zwangsweiser Vollzug realistischerweise nicht" möglich erscheine, rechtfertige es "sich unter dem Aspekt des Übermassverbots und der Zweckgebundenheit der ausländerrechtlichen Haft" nicht, seine Festhaltung alleine noch in der vagen Hoffnung aufrechtzuerhalten", dass das Asylverfahren allenfalls in den nächsten Tagen abgeschlossen werden könnte. Mit Blick auf das hängige Asyl- bzw. Beschwerdeverfahren erscheine eine Ausschaffung in naher Zukunft als wenig wahrscheinlich. Seine Haft sei zu beenden, da der Vollzug der Wegweisung sich aus rechtlichen bzw. tatsächlichen Gründen als undurchführbar erweise (Art. 80 Abs. 6 lit. a AuG). Das SEM habe ihm in seiner Verfügung vom 30. April 2018 eine neue Ausreisefrist gesetzt, um das Land freiwillig verlassen zu können, und ihm erst im Unterlassensfall in Aussicht gestellt, in Haft genommen und unter Zwang nach Sri Lanka verbracht zu werden.
3.2.
3.2.1. Wurde ein erstinstanzlicher Weg- oder Ausweisungsentscheid eröffnet, kann die zuständige Behörde die betroffene Person zur Sicherstellung von deren Vollzug unter anderem in Ausschaffungshaft nehmen, wenn bei ihr "Untertauchensgefahr" besteht, d.h. konkrete Anzeichen befürchten lassen, dass sie sich der Ausschaffung entziehen will (Art. 76 Abs. 1 Ziff. 3 AuG), bzw. ihr bisheriges Verhalten darauf schliessen lässt, dass sie sich behördlichen Anordnungen widersetzt (Art. 76 Abs. 1 Ziff. 4 AuG). Der Beschwerdeführer ist am 24. August 2017 im ersten Asylverfahren rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen worden, womit ein Wegweisungsentscheid vorliegt, dessen zwangsweiser Vollzug mit einer Ausschaffungshaft sichergestellt werden konnte.
3.2.2. Am 30. April 2018 hielt das SEM den Beschwerdeführer im dritten Asylverfahren erstinstanzlich an, die Schweiz zu verlassen; die Sicherung des Vollzugs dieser Wegweisung konnte ebenfalls Gegenstand einer Ausschaffungshaft bilden, nachdem der Beschwerdeführer ab dem 20. September 2017 untergetaucht war und er sich dem Zugriff der Behörden für den Vollzug der ersten Wegweisung entzogen hatte. Die sri-lankischen Behörden stellten den schweizerischen Behörden bereits Mitte Dezember 2017 in Aussicht, dass sie für den Beschwerdeführer Reisepapiere ausstellen würden, nachdem er sich nicht selber um die Rückkehr in seine Heimat bemüht hatte. Das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau nahm ihn deshalb am 16. Februar 2018 in die "kleine" Ausschaffungshaft nach Art. 77 AuG ("Ausschaffungshaft wegen fehlender Mitwirkung bei der Beschaffung der Reisedokumente"). Ein Rückflug war für den 15. April 2018 gebucht, musste in der Folge indessen wegen des Asylgesuchs des Beschwerdeführers storniert werden. Die Festhaltung wurde am 29. März 2018 als ordentliche Ausschaffungshaft nach Art. 76 AuG wegen Untertauchensgefahr weitergeführt und um zwei Monate verlängert; in diesem Zeitraum hatte der Beschwerdeführer am 7. März 2018 sein drittes Asylgesuch gestellt, welches das SEM am 30. April 2018 abwies.
3.2.3. Dass der Beschwerdeführer während seiner Ausschaffungshaft ein Asylgesuch eingereicht hat, lässt den Wegweisungsentscheid nicht entfallen und änderte grundsätzlich an der Zulässigkeit seiner Festhaltung nichts. Das Bundesgericht erachtet die Fortsetzung der Ausschaffungshaft in dieser Situation als zulässig, falls mit dem Abschluss des Asylverfahrens und dem Vollzug der Wegweisung in absehbarer Zeit gerechnet werden kann (vgl. die Urteile 2C_260/2018 vom 9. April 2018 E. 4.2 und 2C_268/2018 vom 11. April 2018 E. 2.1.1; <ref-ruling> E. 2.3.3 S. 413; <ref-ruling> E. 2b S. 380). Diese Rechtsprechung betrifft zwar in erster Linie Fälle, in denen ein vereinfachtes Asylverfahren absehbar ist und deshalb mit keiner nennenswerten Verzögerung der Ausschaffung gerechnet werden muss. Sie lehnt sich an den Entscheid des EuGH i.S. Arslan (C-534/11) vom 30. Mai 2013 an: Danach findet die Rückführungsrichtlinie (Richtlinie 2008/115/EG des Europäischen Parlaments und des Rats vom 16. Dezember 2008 über gemeinsame Normen und Verfahren in den Mitgliedstaaten zur Rückführung illegal aufhältiger Drittstaatsangehöriger, ABl. L 348 vom 24. Dezember 2008 S. 98 ff.) keine Anwendung zwischen dem Schutzantrag bis zum Erlass der erstinstanzlichen Entscheidung darüber oder bis zur Entscheidung über einen allfälligen Rechtsbehelf; dem steht indessen - so der Entscheid des EuGH - nicht entgegen, dass wer sich bereits gemäss Art. 15 der Rückführungsrichtlinie in Haft befindet, auf der Grundlage einer nationalen Rechtsvorschrift weiterhin festgehalten werden darf, falls sich nach einer fallspezifischen Beurteilung sämtlicher relevanter Umstände ergibt, dass der Schutzantrag einzig und allein zu dem Zweck gestellt wurde, den Vollzug der Rückführungsentscheidung zu verzögern oder zu gefährden (vgl. CARSTEN HÖRICH, Abschiebung nach europäischen Vorgaben, 2015, S. 183 ff.). Ob dies der Fall ist, bestimmt sich nicht (allein) nach der Art des Verfahrens, in dem das Asylgesuch behandelt wird (Nichteintretensentscheid, Mehrfachgesuch usw.), sondern vor allem nach einer Abschätzung der wahrscheinlichen weiteren Dauer des Asylverfahrens. Der Beschwerdeführer kann deshalb nichts daraus ableiten, dass nur sein zweites Asylgesuch im Verfahren nach <ref-law> erledigt wurde, das SEM über sein drittes Gesuch indessen im Normalverfahren ("materieller Entscheid") mit einer Beschwerdemöglichkeit an das Bundesverwaltungsgericht entschieden hat.
3.2.4. Das SEM hat das dritte Asylgesuch vom 7. März 2018 am 30. April 2018 abgewiesen und den Beschwerdeführer angehalten, das Land bis zum 25. Juni 2018 selbständig zu verlassen, andernfalls er in Haft genommen und unter Zwang in seinen Heimatstaat zurückgeführt werden könnte. Die entsprechende Standardformulierung ist unglücklich gewählt, trägt den tatsächlichen Verhältnissen des Einzelfalls keine Rechnung (bestehende Inhaftierung) und ist geeignet, den Anschein zu erwecken, dass dem Betroffenen eine neue Frist angesetzt wird, innert welcher er selbständig das Land verlassen kann. Dies ist nicht der Fall: Nach Art. 69 Abs. 1 lit. c AuG schafft die zuständige Behörde die ausländische Person aus, wenn sie sich bereits in Ausschaffungshaft befindet, ein rechtskräftiger Wegweisungsentscheid vorliegt und sie einer selbständigen Rückreise nicht zustimmt (vgl. Art. 28 Abs. 1 lit. a der Verordnung vom 12. November 2008 über die Anwendung polizeilichen Zwangs und polizeilicher Massnahmen im Zuständigkeitsbereich des Bundes (ZAV; SR 364.3). Zurzeit ist der Entscheid des SEM vom 30. April 2018 - im Gegensatz zum ursprünglichen Wegweisungsentscheid vom 24. August 2017 dessen Vollzug für die Dauer des Asylverfahrens ausgesetzt wurde - zwar noch nicht rechtskräftig. Der Beschwerdeführer darf zur Sicherung des Vollzugs des erstinstanzlichen Wegweisungsentscheids - nach Art 76 Abs. 1 AuG genügt ein solcher und ist nicht erforderlich, dass dieser bereits rechtskräftig wäre - dennoch solange in Haft behalten werden, bis das bundesverwaltungsgerichtliche Verfahren abgeschlossen ist, falls hiermit in absehbarer Zeit gerechnet werden kann und die Haft die maximal zulässige Dauer nicht überschreitet (Art. 79 AuG).
4.
4.1. Die Ausschaffungshaft soll den Vollzug der Entfernungsmassnahme sicherstellen und muss ernsthaft geeignet sein, diesen Zweck zu erreichen, was nicht (mehr) der Fall ist, wenn die Weg- oder Ausweisung trotz der behördlichen Bemühungen nicht in einem dem konkreten Fall angemessenen Zeitraum vollzogen werden kann. Die Festhaltung hat, weil unverhältnismässig, dann als unzulässig zu gelten und ist gestützt auf Art. 80 Abs. 6 lit. a AuG (rechtliche oder tatsächliche Undurchführbarkeit des Vollzugs der Weg- oder Ausweisung) zu beenden, wenn triftige Gründe für eine solche Verzögerung sprechen oder praktisch feststeht, dass sich der Vollzug kaum innert vernünftiger Frist wird realisieren lassen (<ref-ruling> E. 4.1.3 S. 61 mit Hinweisen). Die Ausschaffungshaft muss verhältnismässig und zweckbezogen auf die Sicherung des Wegweisungsverfahrens ausgerichtet sein; es muss jeweils aufgrund sämtlicher Umstände geklärt werden, ob sie (noch) geeignet bzw. erforderlich erscheint und nicht gegen das Übermassverbot, d.h. das sachgerechte und zumutbare Verhältnis von Mittel und Zweck, verstösst (zur Ausschaffungshaft: <ref-ruling> E. 5.1 S. 5 und unpublizierte E. 7; <ref-ruling> E. 4 S. 440 ff.; zur Durchsetzungshaft: <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 97; <ref-ruling> E. 2.2 S. 100).
4.2. Die entsprechenden Anforderungen an die ausländerrechtliche Festhaltung ergeben sich aus dem Verhältnismässigkeitsgrundsatz (Art. 5 Abs. 2 und Art. 36 Abs. 3 i.V.m. <ref-law>) einerseits sowie dem Haftzweck, der Rechtsprechung zu Art. 5 Ziff. 1 lit. f EMRK und der Rückführungsrichtlinie andererseits: Diese geht grundsätzlich vom Vorrang der freiwilligen Ausreise aus (vgl. Art. 7 RL 2008/115/ EG). Machen die Mitgliedstaaten - als "letztes Mittel" - von Zwangsmassnahmen zur Durchführung der Abschiebung von Widerstand leistenden Drittstaatsangehörigen Gebrauch, so müssen die Mittel verhältnismässig sein und dürfen nicht über die Grenzen des Erforderlichen hinausgehen. Drittstaatsangehörige, gegen die ein Rückkehrverfahren hängig ist, können nur in Haft genommen werden, wenn im konkreten Fall keine anderen, milderen Zwangsmassnahmen wirksam erscheinen; die Haftdauer hat so kurz wie möglich zu sein; sie darf sich nur auf die Dauer der laufenden Abschiebungsvorkehrungen erstrecken, soweit diese mit der gebotenen Sorgfalt vorangetrieben werden (vgl. Art. 15 Abs. 1 RL 2008/115/EG; vgl. das Urteil des EuGH vom 5. Juni 2014 C-146/14 PPU Bashir Mohamed Ali Mahdi Randnr. 53 ff.).
4.3. Im Fall des Beschwerdeführers sind die Voraussetzungen für eine Fortsetzung der Ausschaffungshaft grundsätzlich (vgl. aber unten E. 5) gegeben:
4.3.1. Er ist bereits einmal in der Schweiz untergetaucht und hat sich nach dem ersten Asylverfahren geweigert, in seine Heimat zurückzukehren, womit er den Haftgrund von Art. 76 Abs. 1 Ziff. 3 i.V.m. Ziff. 4 AuG gesetzt hat. Er macht nicht geltend, dass und weshalb der Einzelrichter in seinem Entscheid vom 9. Mai 2018 auf diesen nicht mehr hätte abstellen dürfen. Der Vollzug des Wegweisungsentscheids erscheint im Moment noch in "absehbarer" Zeit bzw. in einem "vernünftigen zeitlichen Rahmen" im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung möglich. Nach den Auskünften, die vom Haftrichter im Hinblick auf die Haftverlängerung vom 11. Juni 2018 beim Bundesverwaltungsgericht eingeholt wurden, ist derzeit für die hängige Beschwerde von einer maximalen Bearbeitungsdauer von rund zwei Monaten auszugehen, vermutlich dürfte der Entscheid - so das Bundesverwaltungsgericht - aber bereits früher vorliegen. Das Bundesverwaltungsgericht ist sich bewusst, dass der Beschwerdeführer festgehalten wird und deshalb für alle beteiligten Behörden das Beschleunigungsgebot gilt (vgl. Art. 75 Abs. 2 bzw. 76 Abs. 4 AuG; Art. 15 Abs. 1 RL 2008/115/EG [nötige Sorgfalt]).
4.3.2. Der Beschwerdeführer macht in seiner Replik geltend, in einem anderen, ähnlich gelagerten Fall, sei die Ausschaffungshaft beendet worden, nachdem das Bundesverwaltungsgericht dort von einer Verfahrensdauer von drei Monaten ausgegangen sei. Dies ändert indessen nichts an der Zulässigkeit des vorliegend angefochtenen Entscheids in diesem Punkt: Das Verwaltungsgericht ist hier von einer Verfahrensdauer von zwei Monaten oder weniger ausgegangen, weshalb die Fälle bereits diesbezüglich nicht miteinander verglichen werden können; im angeblichen Parallelfall war zudem die Rede von "mindestens" drei Monaten, hier von zwei Monaten oder weniger. Im Übrigen legt der Beschwerdeführer nicht dar, inwiefern der von ihm angerufene Fall in den anderen entscheidwesentlichen Punkten mit seinem verglichen werden könnte. Erforderlich ist eine Gesamtsicht über die Vergleichbarkeit, welche aufgrund seiner Darlegungen nicht möglich ist. Nur in diesem Fall kann die Rüge einer rechtsungleichen Behandlung geprüft werden. Soweit der Beschwerdeführer darauf hinweist, dass "praxisgemäss" noch ein zweiter Schriftenwechsel im Asylbeschwerdeverfahren durchgeführt werden müsse, ist ein solcher bis jetzt nicht angeordnet worden; im Übrigen ist das Amt für Migration und Integration im angefochtenen Entscheid damit beauftragt worden, den Fortgang des Beschwerdeverfahrens zu verfolgen und bei Verfahrensverzögerungen gegebenenfalls die nötigen Konsequenzen zu ziehen.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer wendet ein, dass mildere Mittel als die Haft ebenso geeignet wären, seine Anwesenheit für den Vollzug der Wegweisung sicherzustellen; während des hängigen Beschwerdeverfahrens vor dem Bundesverwaltungsgericht habe er keinerlei Veranlassung, sich nicht zur Verfügung der Behörden zu halten, weshalb zur Kontrolle eine Meldepflicht genügt hätte. Die Vorinstanz hat in ihrem Entscheid hierzu festgestellt: "Eine mildere Massnahme zur Sicherstellung des Vollzugs der Wegweisung ist nicht ersichtlich". Eine Durchsicht der weiteren Haftentscheide der Vorinstanz ergibt, dass es sich hierbei um eine Standardformulierung handelt und der Haftrichter der entsprechenden Frage inhaltlich offenbar nicht die ihr zukommende Bedeutung beigemessen hat.
5.2.
5.2.1. Wird dauernd und ohne Prüfung allenfalls milderer Mittel immer der Freiheitsentzug als einzig geeignete Massnahme erachtet, um den Wegweisungsvollzug sicherzustellen, verletzt dies das Verhältnismässigkeitsprinzip (<ref-law>). Dieses gebietet, jeweils im Einzelfall das mildeste, gerade noch wirksame Mittel einzusetzen und eine Verletzung des Übermassverbots zu vermeiden, d.h. ein sachgerechtes, zumutbares Verhältnis von Mittel und Zweck zu wahren (Urteil 2C_312/2018 vom 11. Mai 2018 E.3.3.2; <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 97; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 4 S. 440 ff.; HÄFELIN/MÜLLER/UHLMANN, Allgemeines Verwaltungsrecht, 7. Aufl. 2016, N. 514 ff., 527 ff., 555 ff.; TSCHANNEN/ZIMMERLI/MÜLLER, Allgemeines Verwaltungsrecht, 4. Aufl. 2014, § 21; WIEDERKEHR/RICHLI, Praxis des allgemeinen Verwaltungsrechts, Bd. I, 2012, N. 1735 mit Hinweisen, N. 1745, N. 1793 ff., N. 1830 ff. und N. 1844 ff.; RHINOW/SCHEFER/UEBERSAX, Schweizerisches Verfassungsrecht, 3. Aufl. 2016, N. 1221 ff.). Die entsprechenden Anforderungen decken sich mit den Vorgaben von Art. 15 Abs. 1 der Rückführungsrichtlinie (vgl. das EuGH Urteil Mahdi, a.a.O., Rdnr. 61; JULIAN AUGUSTIN, Die Rückführungsrichtlinie der Europäischen Union, 2016, S. 418 f.; HÖRICH, a.a.O., S. 167 ff.). Art. 64e lit. a AuG (in der Fassung vom 18. Juni 2010) sieht in Konkretisierung dieser Bestimmung als mildere Massnahme etwa vor, dass die zuständige Behörde die ausländische Person nach der Eröffnung der Wegweisungsverfügung - statt zu inhaftieren - verpflichten kann, sich regelmässig bei einer Behörde zu melden (vgl. DANIÈLE REVEY, in: Nguyen/Amarelle [Editeurs], Code annoté de droit des migrations, Volume II: Loi sur les étrangers [LEtr], N. 2 u. 3 zu Art 64e LEtr; MARC SPESCHA, in: Spescha et al. [Hrsg.], Migrationsrecht, 4. Aufl. 2015, N. 1 zu Art. 64e AuG); denkbar ist auch eine Eingrenzung auf ein bestimmtes Gebiet, falls ein rechtskräftiger Wegweisungsentscheid - wie hier jener vom 24. August 2017 - vorliegt (vgl. Art. Art. 74 Abs. 1 lit. b AuG). Im Rahmen der Kontrolle der Verhältnismässigkeit der Haft muss der Haftrichter die Möglichkeit milderer Massnahme tatsächlich prüfen und sich jeweils bezogen auf den Einzelfall dazu äussern, weshalb diese seiner Ansicht nach nicht als hinreichend wirksam zur Sicherung des Wegweisungsvollzugs gelten können.
5.2.2. Der Anspruch auf rechtliches Gehör ist berührt, wenn der Haftrichter schematisch und ohne weitere Begründung davon ausgeht, es bestehe zum Vornherein keine mildere Massnahme als die Inhaftierung. Aus dem Haftentscheid muss ersichtlich werden, ob und welche anderen Massnahmen geprüft und aus welchem Grund sie verworfen wurden. Der entsprechende Aspekt gehört zum haftrichterlichen Prüfungsprogramm. Fehlt es an einer entsprechenden Begründung, wird dem Betroffenen die Möglichkeit genommen, den Haftentscheid sachgerecht bei der nächst höheren Instanz anzufechten und sich mit den diesbezüglich Überlegungen des Haftrichters auseinanderzusetzen (vgl. zur Begründungspflicht der Verhältnismässigkeit bei der Dublin-Haft: <ref-ruling> E. 2.2 S. 145 f.; allgemein zur Begründungspflicht: <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 253; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 564 f.).
5.2.3. In Anbetracht der Schwere des durch die Festhaltung begründeten Eingriffs in die persönliche Freiheit des Beschwerdeführers ist der angefochtene Entscheid in diesem Punkt ungenügend begründet; die Vorinstanz hat ihre Prüfungsbefugnis in unzulässiger Weise beschränkt (vgl. <ref-ruling> E. 11.7 S. 303; <ref-ruling> E. 3 S. 38 ff., vgl. auch das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts D-3061/2016 vom 23. Mai 2016 E. 5.2 in fine [Dublin-Haft]). Das Bundesgericht kritisierte die Praxis des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau bezüglich der Prüfung von Haftalternativen bereits im Urteil 2C_312/2018 vom 11. Mai 2018 (E. 3.3.4), nahm dort aber die entsprechende Beurteilung noch selber vor. Im vorliegenden Fall rechtfertigt es sich, die Beschwerde im Sinne der Erwägungen (begründete Prüfung allfälliger Haftalternativen) gutzuheissen und die Sache diesbezüglich an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese hat ihren neuen Entscheid so rasch wie möglich zu fällen und zu begründen (vgl. <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 146 ff. [Dublin-Haft]).
6.
Bei diesem Verfahrensausgang obsiegt der Beschwerdeführer teilweise. Es ist ihm im entsprechenden Umfang eine Parteientschädigung zu Lasten des Kantons Aargau zuzusprechen. Da die Voraussetzungen für die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung erfüllt sind (<ref-law>), ist die Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers im Umfang des Unterliegens des Beschwerdeführers aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen. Der Kanton Aargau hat keine Gerichtskosten zu tragen (vgl. 66 Abs. 3 BGG); es ist ihm keine Entschädigung geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der angefochtene Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 9. Mai 2018 aufgehoben. Die Sache wird im Sinne der Erwägungen zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist:
2.1. Es werden keine Kosten erhoben.
2.2. Dem Beschwerdeführer wird Rechtsanwältin Clivia Wullimann, Grenchen, als unentgeltliche Rechtsbeiständin beigegeben; ihr wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
3.
Der Kanton Aargau hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 2. Kammer, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juni 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar