Faits :
A.
A._, né en 1980, est originaire du Nigéria.
Le 17 novembre 2020, A._ a été condamné par le Tribunal pénal de première instance de la République et canton du Jura (ci-après: le Tribunal pénal de première instance) à une peine pécuniaire de 20 jours-amende à 10 francs avec sursis durant trois ans pour séjour illégal en Suisse.
Le 29 novembre 2021, le Tribunal pénal de première instance a condamné A._ à une peine privative de liberté ferme de 25 mois, sous déduction de 300 jours de détention provisoire subis, pour crime contre la loi fédérale sur les stupéfiants, pour avoir vendu de la cocaïne et ainsi s'être adonné à un trafic de stupéfiants par métier, tout en mettant de manière consciente directement ou indirectement en danger la santé de nombreuses personnes, infractions commises à réitérées reprises sur une période de plusieurs mois. Le Tribunal pénal de première instance a en outre ordonné l'expulsion de l'intéressé du territoire suisse avec interdiction d'y entrer durant 5 ans et son renvoi.
Le 10 janvier 2022, A._, qui avait purgé une partie de sa peine par anticipation, a été mis au bénéfice d'une libération conditionnelle (<ref-law>).
B.
Par décision du même jour rendue par le Service de la population de la République et canton du Jura (ci-après: le Service cantonal), A._ a été mis en détention en vue de son renvoi.
Par décision du 12 janvier 2022, la juge administrative du Tribunal de première instance de la République et canton du Jura (ci-après: la juge administrative du Tribunal de première instance) a reconnu la légalité et l'adéquation de la mise en détention de l'intéressé jusqu'au 31 mars 2022 en vue de son renvoi dans son pays d'origine.
Par arrêt du 28 février 2022, le Tribunal cantonal de la République et canton du Jura (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours formé par A._ à l'encontre de la décision du 12 janvier 2022 de la juge administrative du Tribunal de première instance.
C.
Le 7 mars 2022, A._ a déposé un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire devant le Tribunal fédéral. Il demande, outre le bénéfice de l'assistance judiciaire, l'annulation de l'arrêt du 28 février 2022 du Tribunal cantonal et sa libération immédiate. Il conclut également à ce que le Tribunal fédéral "étudie" le recours constitutionnel subsidiaire formé pour violation des droits constitutionnels.
Le Tribunal cantonal et le Service cantonal concluent au rejet du recours et à la confirmation de l'arrêt attaqué. Le Secrétariat d'Etat aux migrations dépose des observations et conclut au maintien de la détention administrative. Le recourant ne dépose pas d'observations complémentaires.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1).
1.1. Le recours constitutionnel subsidiaire n'étant recevable que si la voie du recours ordinaire est exclue (cf. <ref-law>), il convient d'examiner d'abord la recevabilité du recours en matière de droit public.
1.2. Le recours en matière de droit public est en principe ouvert, dans une cause portantcomme en l'espèce sur des mesures de contrainte en matière de droit des étrangers (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 1.1.3). En raison de la gravité de l'atteinte à la liberté individuelle liée à l'ordre de détention administrative prononcé en droit des étrangers, la privation de liberté correspondante n'apparaît pas comme une simple mesure d'exécution subordonnée au renvoi, de sorte que le motif d'exclusion de l'art. 83 let. c ch. 4 LTF ne s'applique pas (<ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 1.1.3; <ref-ruling> consid. 5.5; arrêt 2C_696/2021 du 12 octobre 2021 consid. 1.1).
1.3. Partant, la voie du recours en matière de droit public est ouverte, ce qui conduit à l'irrecevabilité du recours constitutionnel subsidiaire (<ref-law> a contrario).
1.4. Pour le reste, le recourant, destinataire de l'arrêt attaqué, dispose d'un intérêt actuel digne de protection à l'annulation de la décision attaquée, de sorte qu'il bénéficie de la qualité pour recourir (<ref-law>). En outre, déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites (<ref-law>), à l'encontre d'un arrêt final (<ref-law>) rendu par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), le recours en matière de droit public est recevable, sous réserve de ce qui suit.
1.5. L'objet du litige devant le Tribunal fédéral est uniquement l'arrêt du 28 février 2022 du Tribunal cantonal qui confirme la détention administrative du recourant jusqu'au 31 mars 2022 en vue de son renvoi. Partant, les critiques du recourant qui portent sur des décisions rendues dans d'autres procédures ne sont pas recevables. Il en va notamment ainsi des griefs qui portent sur la décision pénale qui a fixé le principe du renvoi du recourant dans son pays d'origine ou qui concernent des décisions des autorités bâloises, qui lui auraient refusé l'octroi d'un titre de séjour. De même, il ne sera pas tenu compte des critiques à l'encontre de la décision du 12 janvier 2022 de la juge administrative du Tribunal de première instance, en raison de l'effet dévolutif complet du recours au Tribunal cantonal (<ref-ruling> consid. 1.2).
1.6. Par ailleurs, la partie recourante doit développer la motivation de façon complète dans son mémoire de recours, de sorte qu'un renvoi aux actes cantonaux ne suffit pas (cf. <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 4.10). En l'occurrence, à l'appui de son grief "Autres demendes" (sic), le recourant se contente de renvoyer à ses "diverses correspondances ci-dessous qui doivent en principe figurées dans le dossier à requis" (sic). Son argumentation ne sera dès lors pas examinée et partant, dans la mesure où le recourant se contente de motiver des violations de droits fondamentaux par renvoi à des écritures au dossier, il n'en sera pas tenu compte (cf. également <ref-law>; infra consid. 2.1).
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral et du droit international (cf. art. 95 let. a et b et 106 al. 1 LTF). Toutefois, les griefs de violation des droits fondamentaux sont soumis à des exigences de motivation accrue (cf. <ref-law>). La partie recourante doit indiquer les principes constitutionnels qui n'auraient pas été respectés et expliquer de manière claire et précise en quoi ces principes auraient été violés (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1.3).
2.2. Dans son mémoire, le recourant, assisté d'un mandataire professionnel, invoque la violation de plusieurs droits fondamentaux de manière très confuse et présente une motivation peu claire, voire peu compréhensible. Ainsi, notamment, dans un grief "Sur l'erreur manifeste d'appréciation", le recourant se plaint de la composition de l'autorité précédente, qui serait contraire à l'art. 30 al. 1 Cst., en invoquant des dispositions de la loi sur la procédure administrative du canton de Zurich, ainsi qu'une jurisprudence du Tribunal fédéral rendue en matière de mesures thérapeutiques. Dans la mesure où l'arrêt attaqué n'a pas été rendu par une autorité zurichoise et qu'il ne traite pas de mesures thérapeutiques, l'argumentation du recourant n'explique pas de manière conforme à l'<ref-law> en quoi l'art. 30 al. 1 Cst. serait violé en l'espèce. De même, le recourant se plaint d'une "atteinte disproportionnée au droit de l'accès à une représentation légale", sans pour autant prétendre qu'il remplissait les conditions légales pour être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire au sens de l'art. 29 al. 3 Cst. devant l'autorité précédente.
Partant, ces griefs, qui ne remplissent pas les conditions de recevabilité de l'<ref-law>, ne seront pas examinés plus avant.
2.3. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.4.3). La partie recourante ne peut critiquer les constatations de fait ressortant de la décision attaquée que si celles-ci ont été effectuées en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 6). Conformément à l'<ref-law>, la partie recourante doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 5.1).
2.4. En l'espèce, le recourant expose sa propre version des faits, sans se plaindre du caractère manifestement inexact ou incomplet des constatations cantonales. Tel est notamment le cas du grief relatif à l'art. 81 al. 2 LEI dans le cadre duquel le recourant prétend avoir été détenu, dans un premier temps, à la prison de Porrentruy avec des personnes en détention préventive ou purgeant une peine, en violation de cette disposition. Il n'en seradonc pas tenu compte.Partant, le Tribunal fédéral statuera exclusivement sur la base des faits retenus par le Tribunal cantonal.
3.
A juste titre, le recourant ne conteste pas que les conditions légales pour sa mise en détention administrative sur la base de l'art. 76 al. 1 let. b ch. 1, 3 et 4 LEI (RS 142.20) sont réunies. En effet, une décision d'expulsion entrée en force a été rendue le 29 novembre 2021 par le Tribunal pénal de première instance à l'encontre du recourant sur la base de l'<ref-law> qui n'a pas été exécutée. En outre, il ressort de l'arrêt attaqué que le recourant a mis gravement en danger la vie et l'intégrité corporelle d'autrui et qu'il a été condamné pour crime (art. 10 et 111 CP), de sorte qu'il remplit les conditions de l'art. 76 al. 1 let. b ch. 1 LEI, en lien avec l'art. 75 al. 1 let. g et h LEI. Au surplus, d'après les constatations des juges cantonaux, le recourant est déjà tombé dans la clandestinité et a tenté d'obtenir l'asile sous une fausse identité. Par ailleurs, il a clairement déclaré qu'il ne voulait pas retourner au Nigeria. Dès lors, des éléments concrets existent faisant craindre que le recourant se soustraie au renvoi, respectivement qu'il refuse à obtempérer aux instructions des autorités. Partant, sa mise en détention administrative est également justifiée au regard de l'art. 76 al. 1 let. b ch. 3 et 4 LEI.
4.
Invoquant les art. 5 CEDH, 76a al. 1 let. b LEI et 78 al. 1 LEI, le recourant soutient que sa détention administrative serait contraire au principe de proportionnalité. Il soutient notamment qu'un renvoi dans son pays d'origine ne serait pas possible à brève échéance.
4.1. Il sied en premier lieu de relever que les art. 76a et 78 LEI ne sont pas applicables en l'espèce, puisque le recourant n'est pas en détention dans le cadre de la procédure Dublin (art. 76a LEI), ni en détention pour insoumission (art. 78 LEI), mais en détention en vue de son renvoi en application de l'art. 76 LEI (cf. supra consid. 3). Partant, le Tribunal fédéral n'examinera pas plus avant ces dispositions.
4.2. La détention administrative doit être levée notamment si l'exécution du renvoi ou de l'expulsion s'avère impossible pour des raisons juridiques ou matérielles (art. 80 al. 6 let. a LEI). Dans ce cas, la détention dans l'attente de l'expulsion ou du renvoi ne peut en effet plus être justifiée par une procédure d'éloignement en cours; elle est, de plus, contraire à l'art. 5 par. 1 let. f CEDH (cf. <ref-ruling> consid. 4.1.1 et les références; arrêts 2C_984/2020 du 7 janvier 2021 consid. 4.1; 2C_955/2020 du 10 décembre 2020 consid. 5.1; 2C_634/2020 du 3 septembre 2020 consid. 6.1). Les raisons juridiques ou matérielles doivent être importantes (" triftige Gründe "), l'exécution du renvoi devant être qualifiée d'impossible lorsque le rapatriement est pratiquement exclu, même si l'identité et la nationalité de l'étranger sont connues et que les papiers requis peuvent être obtenus (arrêts 2C_984/2020 du 7 janvier 2021 consid. 4.1; 2C_955/2020 du 10 décembre 2020 consid. 5.1; 2C_634/2020 du 3 septembre 2020 consid. 6.1; 2C_672/2019 du 22 août 2019 consid. 5.1 et les références). Il s'agit d'évaluer la possibilité d'exécuter la décision de renvoi en fonction des circonstances de chaque cas d'espèce. Le facteur décisif est de savoir si l'exécution de la mesure d'éloignement semble possible dans un délai prévisible respectivement raisonnable avec une probabilité suffisante (arrêts 2C_984/2020 du 7 janvier 2021 consid. 4.1; 2C_955/2020 du 10 décembre 2020 consid. 5.1; 2C_634/2020 du 3 septembre 2020 consid. 6.1; 2C_597/2020 du 3 août 2020 consid. 4.1). La détention viole l'art. 80 al. 6 let. a LEI, ainsi que le principe de proportionnalité, lorsqu'il y a de bonnes raisons de penser que tel ne pourra pas être le cas. Sous l'angle de l'art. 80 al. 6 let. a LEI, la détention ne doit être levée que si la possibilité de procéder à l'expulsion est inexistante ou hautement improbable et purement théorique, mais pas s'il y a une chance sérieuse, bien que mince, d'y procéder (cf. <ref-ruling> consid. 4.1; arrêts 2C_984/2020 du 7 janvier 2021 consid. 4.1; 2C_955/2020 du 10 décembre 2020 consid. 5.1; 2C_634/2020 du 3 septembre 2020 consid. 6.1; 2C_597/2020 du 3 août 2020 consid. 4.1).
4.3. En l'occurrence, il ressort de l'arrêt attaqué que des démarches ont été entreprises par le Service cantonal pour obtenir les documents nécessaires au renvoi du recourant, étant précisé que ce dernier n'a pas collaboré et n'a rien entrepris,afin de disposer d'un document de voyage. Par ailleurs, si les vols spéciaux ont été suspendus durant une période en raison de la vague de coronavirus de l'hiver 2021-2022, les renvois au Nigéria sont de nouveau possibles par voie aérienne. Cela a été confirmé par le Secrétariat d'Etat aux migrations, dans ses observations, qui considère l'exécution du renvoi du recourant comme "imminente", celui-ci ayant été reconnu le 20 janvier 2022 par les autorités nigérianes comme étant un de leurs ressortissants, de sorte qu'un laisser-passer peut être établi à tout moment. En outre, la détention administrative de l'intéressé, prononcée pour un peu moins de trois mois, n'excède pas la durée maximale de six mois prévue à l'art. 79 al. 1 LEI.
Dans ces circonstances, l'arrêt attaqué confirmant la détention administrative du recourant respecte le principe de proportionnalité, ainsi que l'art. 80 al. 6 let. a LEI et l'art. 5 par. 1 let. f CEDH.
5.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recoursen matière de droit public, dans la mesure où il est recevable.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
Le recourant, qui succombe, a demandé l'octroi de l'assistance judiciaire (<ref-law>). Son recours était cependant d'emblée dénué de chances de succès, de sorte que cette requête doit être rejetée (cf. arrêt2C_696/2021 du 12 octobre 2021 consid. 7). Au vu des circonstances de la cause, il se justifie toutefois de ne pas percevoir de frais pour la procédure fédérale (cf. <ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours en matière de droit public est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
4.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
5.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service de la population et à la Cour administrative du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, ainsi qu'au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 30 mars 2022
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : F. Aubry Girardin
Le Greffier : A. Wiedler