Sachverhalt:
A.
A._ (nachfolgend: der Steuerpflichtige) hat trotz zweimaliger Mahnung keine Steuererklärung für die Jahre 2007 bis 2009 eingereicht.
B.
B.a. Mit Verfügung vom 23. Februar 2012 setzte die Steuerverwaltung des Kantons Basel-Stadt (nachfolgend: die kantonale Steuerverwaltung) das steuerbare Einkommen des Steuerpflichtigen für die Steuerperioden 2007 bis 2009 im Rahmen einer Ermessensveranlagung wie folgt fest:
- für das Jahr 2007 auf Fr. 344'300.-- für die kantonalen Steuern und Fr. 340'300.-- für die direkte Bundessteuer (davon je Fr. 150'000.-- aus unselbständiger Erwerbstätigkeit);
- für das Jahr 2008 auf Fr. 342'400.-- für die kantonalen Steuern und Fr. 360'900.-- für die direkte Bundessteuer (davon je Fr. 150'000.-- aus unselbständiger Erwerbstätigkeit);
- für das Jahr 2009 auf Fr. 411'000.-- für die kantonalen Steuern und Fr. 429'300.-- für die direkte Bundessteuer (davon je Fr. 150'000.-- aus unselbständiger Erwerbstätigkeit).
Eine gegen die Ermessensveranlagung erhobene Einsprache wies die kantonale Steuerverwaltung mit Entscheid vom 11. Juni 2012 ab.
B.b. Der Steuerpflichtige focht den Einspracheentscheid der Steuerverwaltung bei der Steuerrekurskommission des Kantons Basel-Stadt (nachfolgend: die Steuerrekurskommission) an; seinen Rechtsmitteln war jedoch kein Erfolg beschieden (vgl. Entscheide vom 19. September 2013).
Anders entschied in der Folge das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (nachfolgend: das Appellationsgericht) : Es hiess die Rechtsmittel des Steuerpflichtigen mit Urteil vom 13. Juli 2015 teilweise gut, hob die Entscheide der Steuerrekurskommission vom 19. September 2013 sowie den Einspracheentscheid der kantonalen Steuerverwaltung vom 11. Juni 2012 auf und wies die Sache zu neuer Veranlagung im Sinne der Erwägungen an die kantonale Steuerverwaltung zurück. Inhaltlich bezog sich der Rückweisungsentscheid allein auf die Schätzung des Einkommens aus unselbständiger Erwerbstätigkeit, die das Appellationsgericht deshalb als willkürlich erachtete, weil der Steuerpflichtige seine Tätigkeit als B._ per 30. September 2007 aufgegeben hatte, so dass für die Jahre 2008 und 2009 jedenfalls insoweit kein Einkommen von Fr. 150'000.-- angenommen werden konnte. Hingegen hielt das Appellationsgericht ausdrücklich fest, angesichts des intransparenten Verhaltens des Steuerpflichtigen bleibe der kantonalen Steuerverwaltung unbenommen, "im Rahmen ihres Ermessens ein zusätzliches unselbständiges Einkommen zu schätzen, welches [dem Steuerpflichtigen] aus seinen Tätigkeiten und als Organ bei verschiedenen Gesellschaften angerechnet werden [könne]".
B.c. Mit Veranlagungsverfügungen vom 5. November 2015 setzte die kantonale Steuerverwaltung das Einkommen des Steuerpflichtigen aus unselbständiger Erwerbstätigkeit neu wie folgt fest:
- für das Jahr 2007 auf Fr. 125'000.-- (daraus resultierte neu ein steuerbares Einkommen von Fr. 319'300.-- für die kantonalen Steuern und Fr. 315'300.-- für die direkte Bundessteuer);
- für das Jahr 2008 auf Fr. 86'000.-- (daraus resultierte neu ein steuerbares Einkommen von Fr. 278'400.-- für die kantonalen Steuern und Fr. 298'100.-- für die direkte Bundessteuer);
- für das Jahr 2009 auf Fr. 70'000.-- (daraus resultierte neu ein steuerbares Einkommen von Fr. 331'000.-- für die kantonalen Steuern und Fr. 351'200.-- für die direkte Bundessteuer).
Die gegen diese Veranlagungsverfügungen erhobenen Einsprachen hiess die kantonale Steuerverwaltung mit Entscheid vom 20. April 2016 in Bezug auf die Neueinschätzung der Einkünfte aus unselbständiger Erwerbstätigkeit teilweise gut, im Übrigen wies sie die Rechtsmittel ab; sie setzte das Einkommen für das Jahr 2008 neu auf Fr. 270'400.-- (Staats- und Gemeindesteuern) bzw. Fr. 290'300.-- (direkte Bundessteuer) fest. Was die vom Steuerpflichtigen im Einspracheverfahren ebenfalls thematisierte Einschätzung des Einkommens aus selbständiger Erwerbstätigkeit sowie die Aufrechnung von Unterstützungsabzügen anbelangt, erging ein "Nichteintretensentscheid". Im kantonalen Rechtsmittelverfahren wurden diese Einspracheentscheide vollumfänglich bestätigt (vgl. Entscheide der Steuerrekurskommission vom 27. April 2017 sowie Urteil des Appellationsgerichts vom 16. August 2018).
C.
Mit Eingabe vom 1. Oktober 2018 erhebt der Steuerpflichtige Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des Urteils des Appellationsgerichts vom 16. August 2018 (einschliesslich des Rückweisungsentscheids vom 13. Juli 2015) und die Rückweisung der Sache zur neuen Veranlagung der Bundessteuer und der kantonalen Steuer pro 2007 bis 2009 an die kantonale Steuerverwaltung.
Das Appellationsgericht und die eidgenössische Steuerverwaltung beantragen die kostenfällige Abweisung der Beschwerde. Die kantonale Steuerverwaltung verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
I. Prozessuales
1.
1.1. Die Vorinstanz hat zu den Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Basel-Stadt einerseits und der direkten Bundessteuer anderseits ein gemeinsames Urteil erlassen, was zulässig ist, soweit die streitigen Rechtsfragen - wie vorliegend - übereinstimmend geregelt sind. Die Steuerpflichtigen durften das vorinstanzliche Urteil deshalb auch mit einer einzigen Beschwerdeschrift anfechten (<ref-ruling> E. 1.2 S. 296).
1.2. Die Sachurteilsvoraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten liegen vor (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90, Art. 100 Abs. 1 BGG in Verbindung mit Art. 146 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer [DBG; SR 642.11] bzw. Art. 73 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden [StHG; SR 642.14]). Auf die Beschwerde ist damit einzutreten.
1.3. Gegenstand der bundesgerichtlichen Überprüfung bildet auch das Urteil des Appellationsgerichts vom 13. Juli 2015. Das Appellationsgericht hat der kantonalen Steuerverwaltung darin keine verbindlichen Vorgaben dazu gemacht, wie das Einkommen des Beschwerdeführers aus unselbständiger Erwerbstätigkeit neu zu bemessen sei. Das Urteil vom 13. Juli 2015 ist als Zwischenentscheid zu qualifizieren. War die Beschwerde nach <ref-law> unzulässig oder wurde von ihr kein Gebrauch gemacht, blieb der Zwischenentscheid mit der Beschwerde gegen den Endentscheid anfechtbar, zumal sich der Zwischenentscheid auf den Inhalt des Endentscheids offensichtlich ausgewirkt hat (<ref-law>) : Im nun angefochtenen Endentscheid konnte die Vorinstanz nämlich darauf verzichten, die im Rückweisungsentscheid bereits geprüften Elemente erneut zu erwähnen. Dass der Beschwerdeführer den kantonalen Rückweisungsentscheid nicht angefochten hat, bewirkt demzufolge nicht, dass er sein Beschwerderecht diesbezüglich verwirkt hätte (vgl. NICOLAS VON WERDT, in: Seiler et al. [Hrsg.], SHK Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2015, N. 35 ff. zu <ref-law>; Uhlmann, a.a.O., N. 27 zu <ref-law>). Eine "res iudicata" liegt (auch) insoweit nicht vor; das Bundesgericht kann die Veranlagungen der Jahre 2007 bis 2009 deshalb - im Rahmen seiner Kognition - vollumfänglich auf ihre Rechtsmässigkeit hin prüfen.
2.
2.1. Das Bundesgericht prüft das Bundesrecht von Amtes wegen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 465) und mit uneingeschränkter (voller) Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 180). Dies trifft auch auf das harmonisierte kantonale und kommunale Steuerrecht zu. Vorbehalten bleiben Konstellationen, in welchen das Harmonisierungsrecht den Kantonen und Gemeinden einen gewissen Gestaltungsspielraum ("une certaine marge de manoeuvre") belässt oder gar keine Anwendung findet (Art. 1 Abs. 3 Satz 1 StHG). In einem solchen Fall beschränkt die Kognition sich auf die Verletzung verfassungsmässiger Individualrechte, namentlich des Willkürverbots (<ref-law>). Der angeblichen Verletzung verfassungsmässiger Individualrechte (unter Einschluss der Grundrechte) geht das Bundesgericht nur nach, falls eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (<ref-law>; qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit; <ref-ruling> E. 5.1 S. 319).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil im Regelfall den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 BGG beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 116). Unter den gleichen Voraussetzungen kann eine beschwerdeführende Partei die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine entsprechende Rüge ist hinreichend zu substanziieren (<ref-ruling> E. 5.1 S. 356, 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254).
Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Das Novenrecht vor Bundesgericht kann nicht dazu dienen, im vorinstanzlichen Verfahren Versäumtes nachzuholen oder die verletzte Mitwirkungspflicht zu heilen (Urteil 2C_392/2017 vom 11. Januar 2018 E. 1.4.2.1 mit Hinweisen).
II. Formelle Rügen
3.
Der Beschwerdeführer rügt sinngemäss, die Vorinstanz habe eine formelle Rechtsverweigerung begangen und seinen Gehörsanspruch verletzt, weil sie in ihrem Urteil vom 16. August 2018 das Vorgehen der unteren kantonalen Instanzen geschützt habe, im zweiten Rechtsgang auf seine Eingaben teilweise nicht einzutreten. Dasselbe trägt er mit Blick auf den teilweisen Nichteintretensentscheid der Vorinstanz im zweiten Rechtsgang vor.
3.1. Inhaltlich beziehen sich die vom Beschwerdeführer gerügten Nichteintretensentscheide auf jene Teile der streitbetroffenen Veranlagungen, deren Rechtsmässigkeit das Appellationsgericht schon im ersten Rechtsgang bestätigt hat (keine offensichtliche Unrichtigkeit der Ermessensveranlagung mit Blick auf das Einkommen des Beschwerdeführers aus selbständiger Erwerbstätigkeit [vgl. Urteil des Appellationsgerichts vom 13. Juli 2015, E. 5] und keine offensichtliche Unrichtigkeit des Verzichts auf Abzüge für Unterhaltszahlungen [vgl. Urteil des Appellationsgerichts vom 13. Juli 2015, E. 6]). Wenn der Beschwerdeführer diese Aspekte im zweiten Rechtsgang noch einmal geprüft haben wollte, wirft dies - wie die Vorinstanz zutreffend erkannt hat - die Frage nach der Bindungswirkung von Rückweisungsentscheiden auf. Aufschlussreich ist diesbezüglich zunächst der Blick auf die Rechtswirkungen von Rückweisungsentscheiden des Bundesgerichts.
3.2. Hebt das Bundesgericht einen Entscheid auf und weist es die Sache zu neuer Beurteilung an eine untere Instanz zurück, ist die erneut mit der Sache befasste Behörde - unter Vorbehalt prozessual zulässiger Noven, die eine andere Sichtweise nahelegen - an die rechtliche Begründung des Bundesgerichts gebunden; die Bindungswirkung erstreckt sich auch auf das Bundesgericht selbst, wenn es nach dem Entscheid der unteren Instanz im zweiten Rechtsgang erneut mit der Angelegenheit befasst wird. Damit soll verhindert werden, dass über bereits verbindlich entschiedene rechtliche Streitfragen ein zweites Verfahren stattfindet. Entgegen missverständlicher anderweitiger Formulierungen erstreckt sich die Bindungswirkung deshalb nicht nur auf "die rechtliche Beurteilung, (...) mit der die Rückweisung begründet wird". Bindungswirkung hat die rechtliche Begründung des Rückweisungsentscheids vielmehr auch mit Blick auf (streitgegenständliche) Aspekte, für welche das Bundesgericht im ersten Rechtsgang die Rechtmässigkeit des angefochtenen Entscheids bestätigt und auf eine Rückweisung verzichtet hat (zum Ganzen <ref-ruling> E. 2 und E. 2.1 S. 335 f.).
3.3. Dieselbe Bindungswirkung wie seinen eigenen Rückweisungsentscheiden billigt das Bundesgericht auch den Rückweisungsentscheiden des Bundesverwaltungsgerichts zu (vgl. Urteil 9C_865/2017 vom 4. Juni 2018 E. 5.2.1), obwohl es im diesbezüglich anwendbaren Verfahrensrecht an einer ausdrücklichen gesetzlichen Grundlage fehlt (vgl. <ref-law>). Bei Lichte betrachtet, dürfte es sich bei der Bindungswirkung von Rückweisungsentscheiden deshalb um einen allgemeinen Grundsatz des öffentlichen Verfahrensrechts handeln, der zwar nicht in allen Verfahrensordnungen von Bund und Kantonen ausdrücklich erwähnt wird, aber auch ohne solche Erwähnung Geltung beansprucht (<ref-ruling> E. 5.2.3 S. 484; <ref-ruling> E. 2 S. 241 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 388 f.; Urteile 1C_205/2016 vom 10. November 2016 E. 4.6.2; 2C_570/2015 vom 20. Januar 2016 E. 1.8; 8C_3/2013 vom 24. Juli 2013 E. 3.5; 9C_203/2011 vom 22. November 2011 E. 4.2; vgl. zur Rechtslage im Kanton Zürich MARCO DONATSCH, in: Kommentar zum Verwaltungsrechtspflegegesetz des Kantons Zürich (VRG), 3. Aufl. 2014, N. 14 ff. zu § 64 VRG; zur [früheren] Rechtslage im Kanton Basel-Stadt ALEXANDRA SCHWANK, Das verwaltungsinterne Rekursverfahren des Kantons Basel-Stadt, 2003, S. 85, 203).
In Anbetracht dieser Ausgangslage kann offensichtlich nicht als willkürlich bezeichnet werden, wenn die Vorinstanz in Anwendung des basel-städtischen Verwaltungsverfahrensrechts zum Schluss kommt, die kantonale Steuerverwaltung und die Steuerrekurskommission hätten die von ihr im ersten Rechtsgang bereits abschliessend beurteilten Fragen im zweiten Rechtsgang nicht mehr neu zu prüfen gehabt, sondern sich auf jene Fragen beschränken können und müssen, die mit dem Rückweisungsentscheid offengelassen worden seien. Zwar trifft zu, dass der Streitgegenstand auch nach dem Rückweisungsentscheid des Appellationsgerichts im ersten Rechtsgang die ganze Veranlagung der kantonalen Steuern und der Bundessteuer für die Jahre 2007 bis 2009 umfasst hat. Insoweit sind die kantonale Steuerverwaltung und die Steuerrekurskommission zu Unrecht davon ausgegangen, auf die Rechtsmittel des Beschwerdeführers sei "nicht einzutreten". Richtig wäre stattdessen gewesen, wenn sie auf die Bindungswirkung des Rückweisungsentscheids des Appellationsgerichts hingewiesen, auf weitere Ausführungen zu den entsprechenden Rügen verzichtet und die Rechtsmittel in diesem Punkte abgewiesen hätten. Inhaltlich ändert sich an der Sache jedoch nichts; so oder anders durften sich die kantonalen Instanzen mit den bereits im ersten Rechtsgang entschiedenen materiellen Streitfragen - unter dem Vorbehalt echter Noven - nicht erneut auseinandersetzen. Eine formelle Rechtsverweigerung liegt nicht vor, nachdem die Vorinstanz im ersten kantonalen Rechtsgang über das Einkommen des Beschwerdeführers aus selbständiger Erwerbstätigkeit und die Abzüge für Unterhaltszahlungen verbindlich entschieden hatte und es dem Beschwerdeführer möglich ist, die Richtigkeit dieser Erwägungen im vorliegenden Verfahren vom Bundesgericht überprüfen zu lassen (vgl. E. 1.2 hiervor).
III. Direkte Bundessteuer
4.
4.1. Hat ein Steuerpflichtiger trotz Mahnung seine Verfahrenspflichten nicht erfüllt oder können die Steuerfaktoren mangels zuverlässiger Unterlagen nicht einwandfrei ermittelt werden, so nimmt die Veranlagungsbehörde die Veranlagung nach pflichtgemässem Ermessen vor (<ref-law>). Unerheblich ist dabei, aus welchen Gründen der Beschwerdeführer die genaue Entwicklung der Einkünfte nicht belegen konnte oder wollte. Für die Vornahme einer Veranlagung nach pflichtgemässem Ermessen genügt es, dass die Steuerfaktoren mangels zuverlässiger Unterlagen nicht einwandfrei ermittelt werden können; ein Verschulden ist nicht erforderlich (vgl. Urteile 2C_799/2017, 2C_800/2017 vom 18. September 2018 E. 3.1; 2C_1205/2012, 2C_1206/2012 vom 25. April 2013 E. 2; 2C_279/2011, 2C_280/2011 vom 17. Oktober 2011 E. 2.2, in: StE 2012 B 93.5 Nr. 26). Gewiss sein muss aber immerin der Grundtatbestand, dass also beispielsweise überhaupt Einkommen aus einer selbständigen oder unselbständigen Erwerbstätigkeit erzielt worden ist (vgl. Urteil 2C_554/2013 vom 30. Januar 2014 E. 2.3 m.w.H.).
4.2. Der Steuerpflichtige kann eine Ermessensveranlagung nur wegen offensichtlicher Unrichtigkeit anfechten (<ref-law>). Prozessual bedeutet dies, dass es zur Umkehr der Beweislast kommt (vgl. Urteil 2C_435/2017 vom 18. Februar 2019 E. 2.1). Der Nachweis der offensichtlichen Unrichtigkeit ist nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung umfassend zu führen und kann nicht nur einzelne Positionen der Ermessensveranlagung betreffen. Vielmehr wird der Steuerpflichtige, der seine Mitwirkungspflichten im Veranlagungsverfahren nicht erfüllt und dadurch eine Ermessensveranlagung bewirkt hat, in der Regel die versäumten Mitwirkungshandlungen nachholen - also eine nicht eingereichte Steuererklärung bzw. fehlende Belege nachträglich vorlegen - müssen, um die Einsprache genügend zu begründen. Der Unrichtigkeitsnachweis muss zudem mit der Begründung der Einsprache und damit innert der Einsprachefrist angeboten werden (Urteile 2C_799/2017, 2C_800/2017 vom 18. September 2018 E. 3.3; 2C_504/2010 vom 22. November 2011 E. 2.2 mit Hinweisen, in: StR 67/2012 S. 143).
4.3. Offensichtlich unrichtig ist eine Schätzung, die einen wesentlichen Gesichtspunkt übergangen oder falsch gewürdigt hat. Das Bundesgericht ist an die Ermessenseinschätzung gebunden, wenn sie auf einer richtigen und vollständigen Sachverhaltsermittlung und auf einer sachgerechten Abwägung der Gesamtheit der für die Veranlagung massgebenden Verhältnisse beruht, wobei den zuständigen Behörden ein gewisser Spielraum für die zahlenmässige Auswertung der Untersuchungsergebnisse zusteht; solange sich ihre Schätzung im Rahmen des so gegebenen Spielraums hält, kann das Bundesgericht nicht eingreifen (Urteile 2C_799/2017, 2C_800/2017 vom 18. September 2018 E. 3.4; 2C_1205/2012, 2C_1206/2012 vom 25. April 2013 E. 3.3; 2C_279/2011, 2C_280/2011 vom 17. Oktober 2011 E. 3.1 mit Hinweis, in: StE 2012 B 93.5 Nr. 26).
5.
Zu prüfen ist zunächst, ob die Vorinstanz zu Recht davon ausgegangen ist, der Beschwerdeführer sei in den massgebenden Steuerperioden selbständig erwerbstätig gewesen und ihm sei Einkommen aus dieser Tätigkeit erwachsen.
5.1. Einkünfte aus selbständiger Erwerbstätigkeit unterliegen der Einkommenssteuer (<ref-law>). Für eine selbständige Erwerbstätigkeit kennzeichnend ist die Tätigkeit einer natürlichen Person, mit der diese auf eigenes Risiko, unter Einsatz der Produktionsfaktoren Arbeit und Kapital, in einer von ihr frei gewählten Arbeitsorganisation, dauernd oder vorübergehend, haupt- oder nebenberuflich, in jedem Fall aber mit der Absicht der Gewinnerzielung am Wirtschaftsverkehr teilnimmt. Untergeordnete Anhaltspunkte sind etwa die Beschäftigung von Personal, das Ausmass der Investitionen, ein vielfältiger, wechselnder Kundenstamm und das Vorliegen eigener Geschäftsräumlichkeiten. Die Prüfung ist von Fall zu Fall aufgrund einer umfassenden Würdigung der tatsächlichen Umstände vorzunehmen. Die einzelnen Gesichtspunkte dürfen dabei nicht isoliert betrachtet werden und können auch in unterschiedlicher Intensität auftreten (vgl. zum Ganzen u.a. <ref-ruling> E. 2.4.2 S. 256 ff.; <ref-ruling> E. 5b S. 120 f.; je m.w.H.; Urteile 2C_551/2018 vom 11. Juni 2019 E. 2.1.4; 2C_873/2017 vom 15. November 2018 E. 3.1).
5.2. Die Vorinstanz stellte fest, der Beschwerdeführer sei in den massgebenden Steuerperioden Eigentümer verschiedener Liegenschaften in U._ gewesen (C._-Strasse aaa, C._-Strasse bbb, C._-Strasse ccc, C._-Strasse ddd, C._-Strasse eee, D._-Strasse fff, E._-Strasse ggg, F._-Strasse). Die hieraus erzielten Erträge habe er nur unzureichend offengelegt; Angaben, die eine Qualifikation des erzielten Einkommens erlaubt hätten, habe er überhaupt keine gemacht.
Mit Blick auf das allfällige Vorliegen einer selbständigen Erwerbstätigkeit stellte die Vorinstanz fest, dass der Beschwerdeführer unter der Adresse <G._> eine Homepage betreibe. Darauf preise er seine Liegenschaften als Mietobjekte an, wobei er "umfassende Dienstleistungen: Vom Umzug über die Möblierung bis hin zu Sekretariatsarbeiten" anbiete. Für diese Dienstleistungen beschäftige er Personal. Weiter biete sich G._ unter der Rubrik "Objektsuche" für beratende Unterstützung "bei der Suche eines passenden Miet- und Kaufobjektes sowie beim Verkauf [von] Immobilie[n]" an. Daneben würden verschiedene weitere Dienstleistungen angeboten (Anmeldung bei den Behörden insbesondere für Neuzuzüger aus dem Ausland, Erledigung von Umzügen, Organisation von Versicherungen und Ferienvertretungen, Erledigung persönlicher Sekretariatsdienste, Fahrdienste, Unterhalt und Wartung von Wohnungen sowie Wäscheservice). Schliesslich würden Angebote für den Kauf von Liegenschaften im Postleitzahlkreis hhh oder im V._ an zentraler Lage entgegengenommen sowie ein Architekt "für die Realisierung verschiedener Bauprojekte" gesucht. Daraus werde deutlich, dass der Beschwerdeführer unter der Firma G._ mit der Absicht der Gewinnerzielung am Wirtschaftsverkehr teilgenommen habe, und zwar mit Angeboten, die weit über die Vermietung der eigenen Liegenschaften hinausgingen. Mangels jeglicher Nachweise oder Beweisofferten könne die pauschale Behauptung des Beschwerdeführers, eine solche Tätigkeit sei nie ausgeübt worden, nicht gehört werden. Festzustellen sei in diesem Zusammenhang auch, dass die Finanzierung der Liegenschaften des Beschwerdeführers weitgehend im Dunkeln bleibe; jedenfalls überstiegen die deklarierten Grundpfandschulden die deklarierten Steuerwerte der Liegenschaften deutlich. Hinzu kämen weitere Schulden, für die unklar sei, worin der Finanzierungszweck bestehe. Auch die Erwerbspreise und die Finanzierung der während der Steuerperioden erworbenen Liegenschaften würden vom Beschwerdeführer nicht offengelegt. In den Tätigkeiten des Beschwerdeführers manifestiere sich jedoch die Absicht der planmässigen Erweiterung des Liegenschafteneigentums an der C._-Strasse und in den beiden auf der Homepage genannten Quartieren der Stadt U._.
Vor diesem Hintergrund erwog die Vorinstanz, dass die Tätigkeit des Beschwerdeführers nicht allein auf Liegenschaftsgeschäfte bei sich zufällig bietender Gelegenheit abziele, sondern in einer systematischen, planmässigen Art und Weise erfolge; insgesamt scheine sie deshalb auf Erwerb gerichtet zu sein, was auf selbständige Erwerbstätigkeit hindeute. Die ermessensweise Aufrechnung eines Einkommens aus dieser selbständigen Erwerbstätigkeit sei nicht zu beanstanden; der Beschwerdeführer trage auch keine Anhaltspunkte vor, die auf eine offensichtliche Unrichtigkeit der Höhe des geschätzten Einkommens schliessen liesse.
5.3. Der Beschwerdeführer beanstandet, die Vorinstanz sei zu Unrecht davon ausgegangen, er habe in den Jahren 2007, 2008 und 2009 Einkommen aus selbständiger Erwerbstätigkeit erzielt. Die Ermessensveranlagung basiere in diesem Punkt auf einer offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung und verletze Bundesrecht. Unzutreffend sei insbesondere, dass der von ihm betriebene Kauf von Liegenschaften und die Vermietung derselben als selbständige Erwerbstätigkeit zu qualifizieren sei.
5.4. Steuerbarer gewerbsmässiger Liegenschaftenhandel im Sinne einer selbständigen Erwerbstätigkeit liegt gemäss bundesgerichtlicher Praxis dann vor, wenn die steuerpflichtige Person An- und Verkäufe von Liegenschaften systematisch und mit der Absicht der Gewinnerzielung vornimmt. Erforderlich ist die Entwicklung einer Tätigkeit, die in ihrer Gesamtheit auf Erwerb gerichtet ist (BGE <ref-ruling> E. 6a S. 124; <ref-ruling> E. 3b S. 449 f.; Urteil 2C_966/2016 vom 25. Juli 2017 E. 3.3). Als Indizien kommen in Betracht: Die systematische bzw. planmässige Art und Weise des Vorgehens (aktives, wertvermehrendes Tätigwerden durch Parzellierung, Überbauung, Werbung usw.; Erwerb in der offenkundigen Absicht, die Liegenschaft möglichst rasch mit Gewinn weiterzuverkaufen; Ausnützung der Marktentwicklung), die Häufigkeit der Liegenschaftsgeschäfte, der enge Zusammenhang eines Geschäfts mit der beruflichen Tätigkeit der steuerpflichtigen Person, der Einsatz spezieller Fachkenntnisse, die kurze Besitzesdauer, der Einsatz erheblicher fremder Mittel zur Finanzierung der Geschäfte, die Verwendung der erzielten Gewinne bzw. deren Wiederanlage in gleichartige Vermögensgegenstände oder die Realisierung der Gewinne im Rahmen einer Personengesellschaft (vgl. Urteil 2C_551/2018 vom 11. Juni 2019, E. 2.1.3 m. w. H.). Keine selbständige Erwerbstätigkeit bzw. kein gewerbsmässiger Immobilienhandel liegt vor, wenn lediglich das eigene Vermögen verwaltet wird, insbesondere etwa durch die Vermietung eigener Liegenschaften. Daran ändert nichts, wenn das Vermögen umfangreich ist, professionell verwaltet wird und kaufmännische Bücher geführt werden (Urteile 2C_966/2016 vom 25. Juli 2017 E. 3.4; 2C_1204/2013 vom 2. Oktober 2014 E. 2.4, in: StE 2015 B 23.1 Nr. 82; 2C_948/2010 vom 31. Oktober 2011 E. 2.5, in: StE 2012 B 23.2 Nr. 40; je mit Hinweisen).
5.5. Was der Beschwerdeführer vorträgt, ist nicht geeignet, den vorinstanzlichen Entscheid im Lichte der vorstehend skizzierten Rechtslage als bundesrechtswidrig erscheinen zu lassen:
5.5.1. Soweit er geltend macht, auf die Inhalte der Website <G._> könne nicht abgestellt werden, ist ihm nicht zu folgen. Er bestreitet nämlich nicht, Urheber der Website <G._> zu sein. Es ist davon auszugehen, dass er auf dieser Website keine falschen Angaben über die Tätigkeiten im Zusammenhang mit seinen Immobilien gemacht hat, zumal ihm schon lauterkeitsrechtlich verboten ist, über sich, seine Firma und seine Leistungen unrichtige oder irreführende Angaben zu verbreiten (vgl. <ref-law> [SR 241]). Der Beschwerdeführer hat sich deshalb für die hier interessierenden Zwecke auf dem Inhalt der Website behaften zu lassen.
5.5.2. Mit dem Vorbringen, die Website sei erst im Juli 2009 aufgeschaltet worden und deshalb für die hier interessierenden Steuerperioden nicht aussagekräftig, ist der Beschwerdeführer im vorliegenden Verfahren nicht zu hören (<ref-law>); dies hätte er vielmehr schon im kantonalen Verfahren vortragen müssen. Dass er dieser Obliegenheit rechtzeitig - also bis zum Rückweisungsentscheid vom 13. Juli 2015 (vgl. E. 2.2 und E. 3.3 hiervor) - nachgekommen wäre, wird in der Beschwerde nicht geltend gemacht.
5.5.3. Entgegen der Andeutungen des Beschwerdeführers ist der Inhalt der Website <G._> überdies auch nicht der einzige Anhaltspunkt, auf dessen Grundlage die Vorinstanz auf eine selbständige Erwerbstätigkeit geschlossen hat. Nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz hat der Beschwerdeführer in den massgeblichen Steuerperioden vielmehr in regelmässigen Abständen und örtlich konzentriert neue Liegenschaften erworben und zu ihrer Finanzierung erhebliche Fremdmittel eingesetzt. Damit liegen massgebliche Indizien für eine selbständige Erwerbstätigkeit vor (vgl. E. 5.4 hiervor).
5.6. Insgesamt hat die Vorinstanz vor diesem Hintergrund zu Recht geschlossen, es liege selbständige Erwerbstätigkeit vor. Dass das daraus erzielte Einkommen offensichtlich unrichtig geschätzt worden wäre, macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist der Vorinstanz damit weder eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung noch eine Verletzung von Art. 18 Abs. 1 und 2 DBG vorzuwerfen.
6.
Weiter rügt der Beschwerdeführer, ihm sei zu Unrecht der Abzug von Unterhaltszahlungen an seine im Ausland lebenden sieben minderjährigen Kinder verwehrt worden.
6.1. Die Vorinstanz erwog in diesem Zusammenhang im Rückweisungsentscheid vom 13. Juli 2015, elf der vom Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang insgesamt eingereichten Zahlungsbelege lauteten nicht auf den Beschwerdeführer, sondern auf H._. Die Belege erfüllten damit nicht die Anforderungen, welche von der Rechtsprechung für den Beweis von Geldzahlungen ins Ausland vorausgesetzt würden. Die angebotenen Beweise genügten daher nicht als Nachweis für die offensichtliche Unrichtigkeit (vgl. zu diesem Massstab E. 4.2 hiervor) der Verweigerung der Abzüge in den Ermessensveranlagungen.
6.2. Der Beschwerdeführer hält diese Begründung für ungenügend. Er habe schon im Rechtsmittelverfahren im Jahr 2012 beantragt, H._ als Zeugen zu befragen. Dieser Beweis sei zu Unrecht in antizipierter Beweiswürdigung nicht abgenommen worden; es könne nicht gesagt werden, dass eine Befragung von vornherein nicht geeignet sei, um zu belegen, dass die Überweisungen mit seinem Geld und in seinem Auftrag erfolgt seien. Hinzu komme, dass es sich bei H._ um einen seiner Bekannten handle, der sicher nicht zufällig Beträge an seine Kinder überweise. Es sei deshalb willkürlich zu behaupten, die angebotenen Beweise würden nicht genügen.
6.3. Aufgrund der Ausführungen in der Beschwerdeschrift bleibt unklar, ob der Beschwerdeführer dem Appellationsgericht als Vorinstanz des Bundesgerichts oder einer der Vorinstanzen des Appellationsgerichts den Vorwurf macht, taugliche Beweismittel in antizipierter Beweiswürdigung zu Unrecht nicht abgenommen zu haben. Sollte sich der Vorwurf gegen eine der kantonalen Vorinstanzen richten, ist daran zu erinnern, dass Anfechtungsgegenstand vor Bundesgericht einzig das Urteil des Appellationsgericht bildet. Davon abgesehen substanziiert der Beschwerdeführer nicht hinreichend, dass er gegenüber der Vorinstanz rechtzeitig den Beweisantrag gestellt hätte, H._ zu befragen; solches ist auch nicht ersichtlich. Soweit die Beschwerde in diesem Punkt überhaupt hinreichend begründet ist (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law> [vgl. E. 2.2 hiervor]), ist eine Verletzung des Gehörsanspruchs (<ref-law>) in Form einer unzulässigen antizipierten Beweiswürdigung nicht ersichtlich. Auch angesichts der hohen Anforderungen an den Nachweis von Geldzahlungen ins Ausland (vgl. Urteil 2C_582/2017 vom 23. Februar 2018 E. 4.2, m. w. H.) durfte die Vorinstanz zudem willkürfrei annehmen, die vom Beschwerdeführer behaupteten Zahlungen seien unbelegt. Der angefochtene Entscheid ist auch in diesem Punkt nicht zu beanstanden.
7.
Der Beschwerdeführer beanstandet schliesslich, die Vorinstanz habe zu Unrecht die Position der kantonalen Steuerverwaltung und der Steuerrekurskommission geschützt, wonach er als Organ verschiedener Gesellschaften Entschädigungen in Höhe von Fr. 75'195.-- (2007), Fr. 78'000.-- (2008) und Fr. 70'000.-- (2009) vereinnahmt und insoweit Einkommen aus unselbständiger Erwerbstätigkeit erzielt habe.
7.1. Die Vorinstanz verweist bezüglich der Frage, ob die Steuerverwaltung (auch) bezüglich des Einkommens aus unselbständiger Erwerbstätigkeit zu Recht zu einer Ermessensveranlagung geschritten sei, auf die Erwägungen der Steuerrekurskommission. Danach stammten die ermessensweise festgesetzten Einkünfte aus unselbständiger Erwerbstätigkeit aus Betrieben, bei denen der Beschwerdeführer selber Gesellschafter sei bzw. als Organ fungiere. Dem Beschwerdeführer hätten verschiedene Möglichkeiten offengestanden, um das Ausbleiben von Vergütungen bzw. einen gegenüber den Ermessensveranlagungen kleineren Betrag dieser Vergütungen zu belegen. Als Organ der fraglichen Gesellschaften habe er Zugriff auf die Formulare, mit welchen diese die Bezüge ihrer Organe offenzulegen hätten. Auf dieser Grundlage erwog die Vorinstanz, der Beschwerdeführer sei seiner Pflicht, den Nachweis des materiell wahren Sachverhalts in der Einsprache gehörig anzutreten (vgl. zu dieser Pflicht E. 4.2 hiervor), nicht nachgekommen; mit dem Antrag auf Einholung amtlicher Erkundigungen versuche er trotz der Möglichkeit zu eigener Beweisführung erneut, ihm selber obliegenden Abklärungen der Steuerverwaltung zuzuschieben. Die Steuerverwaltung habe ihn deshalb zu Recht amtlich eingeschätzt.
Was die Höhe des Einkommens aus unselbständiger Erwerbstätigkeit anbelangt, erwog die Vorinstanz, die Steuerverwaltung habe ihre Einschätzung im Einzelnen aufgeschlüsselt. Von vornherein nicht zu beanstanden sei die Berechnung des im Jahr 2007 noch erzielten Lohnes als Lehrer. Mit Blick auf die Organtätigkeiten des Beschwerdeführers in verschiedenen Gesellschaften sei davon auszugehen, dass er als Geschäftsmann die ausgewiesenen, umfangreichen Tätigkeiten nicht unentgeltlich ausgeübt habe. Ihm seien überdies nur Einnahmen aus Gesellschaften zugerechnet worden, die in den betreffenden Steuerperioden auch aktiv gewesen seien. Überdies sei im Falle des Beschwerdeführers als Wirtschaftsreferenten nicht davon auszugehen, dass seine in verschiedenen Sparten tätigen Unternehmen allesamt unrentabel oder gar verlustträchtig gewesen seien. Die einzelnen Bezüge erschienen plausibel. Es sei nicht ersichtlich, dass die Steuerverwaltung bei der Einschätzung des Einkommens aus unselbständiger Erwerbstätigkeit wesentliche Gesichtspunkte übergangen oder falsch gewürdigt hätte.
7.2. Der Beschwerdeführer bringt gegen diese ausführlichen und überzeugenden Erwägungen der Vorinstanz nichts Stichhaltiges vor. Nachdem er im Grundsatz nicht zu bestreiten scheint, durch sein Verhalten Anlass zu einer Ermessensveranlagung gegeben zu haben, lag es an ihm, die offensichtliche Unrichtigkeit der amtlichen Schätzung zu beweisen (vgl. E. 4.2 hiervor). Wie die Vorinstanz willkürfrei erwogen hat, ist ihm dieser Beweis durch die Einreichung von Eigenbestätigungen nicht gelungen; die Annahme, dass Bestätigungen von Drittpersonen - insbesondere wenn sie auf amtlichem Formular erfolgen - gegenüber den vom Beschwerdeführer eingereichten Eigenbestätigungen einen beweisrechtlichen Mehrwert gehabt hätten, ist in einer Konstellation wie der vorliegenden jedenfalls nicht unhaltbar. Der Beschwerdeführer behauptet zwar, solche Drittbestätigungen wären de facto auf Eigenbestätigungen hinausgelaufen, weil er in den betreffenden Gesellschaften zeichnungsberechtigt gewesen sei. Mit diesem Argument dringt er allerdings schon deshalb nicht durch, weil er nicht geltend macht, in den betreffenden Gesellschaften einzelzeichnungsberechtigt und für die Einreichung der Formulare zuständig gewesen zu sein. Jedenfalls lässt sich dem angefochtenen Urteil eine solche Einzelzeichnungsberechtigung nicht entnehmen, und der Beschwerdeführer legt auch nicht dar, dass die Vorinstanz den Sachverhalt insoweit offensichtlich unrichtig festgestellt hätte.
Anzumerken ist abschliessend (ein weiteres Mal), dass der Beschwerdeführer sich sachbezogen mit dem angefochtenen Entscheid auseinanderzusetzen gehabt hätte (vgl. <ref-law>); mit allfälligen Fehlern unterer Instanzen befasst sich das Bundesgericht nicht, soweit solche Fehler nicht bereits zum Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens gemacht worden sind.
7.3. Der angefochtene Entscheid ist damit auch mit Blick auf die Schätzung von Einkommen aus unselbständiger Erwerbstätigkeit nicht zu beanstanden.
8.
Damit erweist sich die Beschwerde für die direkte Bundessteuer als unbegründet und ist abzuweisen.
IV. Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Basel-Stadt
9.
Soweit hier interessierend, stimmen die Bestimmungen des Gesetzes des Kantons Basel-Stadt vom 12. April 2000 über die direkten Steuern (StG/BS; SG 640.100; vgl. insbesondere §§ 19 Abs. 1, 153, 158 Abs. 2, 160 Abs. 4) aufgrund der diesbezüglichen Harmonisierung (vgl. Art. 7 Abs. 1, Art. 42, Art. 46 Abs. 3, Art. 48 Abs. 2 StHG) mit den oben angewendeten Bestimmungen des DBG überein. Entsprechend kann für die Zwecke der Staats- und Gemeindesteuern auf die obigen Erwägungen verwiesen werden; es ergibt sich insoweit dasselbe Ergebnis. Die Beschwerde erweist sich damit auch hinsichtlich der Staats- und Gemeindesteuern als unbegründet und ist abzuweisen.
V. Kosten und Entschädigungen
10.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65 i.V.m. <ref-law>) und mit Blick auf die vorliegend noch strittigen Steuerbeträge (vgl. Bst. B.c und E. 4-9 hiervor) auf Fr. 6'500.-- festzusetzen. Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Betreffend die direkte Bundessteuer der Steuerperioden 2007, 2008 und 2009 wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Betreffend die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Basel-Stadt der Steuerperioden 2007, 2008 und 2009 wird die Beschwerde abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. September 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner