Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Eingabe vom 25. Mai 2018 stellte A._ beim Bezirksgericht Zofingen das Gesuch um Konkurseröffnung nach <ref-law>. Er wurde daraufhin von der Präsidentin des Bezirksgerichts zur vollständigen Offenlegung seiner Einkommens- und Vermögensverhältnisse und zur Auskunft über ein allenfalls bereits durchgeführtes Konkursverfahren sowie zur Leistung eines Kostenvorschusses aufgefordert.
A.b. Am 27. Juni 2018 wies die Präsidentin des Bezirksgerichts das Gesuch von A._ ab. Das Obergericht des Kantons Aargau wies die von A._ dagegen erhobene Beschwerde am 21. August 2018 ab.
B.
A._ ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 1. Oktober 2018 an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheides und die Gutheissung des Gesuchs um Konkurseröffnung.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Es sind die kantonalen Akten, indes keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen Entscheide des Konkursrichters ist die Beschwerde in Zivilsachen unabhängig eines Streitwertes gegeben (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 2 lit. d BGG). Der Schuldner, dessen Gesuch um Eröffnung des Konkurses von der Vorinstanz abgewiesen worden ist, hat ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung und Änderung des angefochtenen Entscheides. Er ist daher zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>).
1.2. Die Abweisung des Konkursbegehrens stellt einen Endentscheid dar (<ref-law>) und fällt nicht unter <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.2). Daraus ergibt sich, dass der Beschwerdeführer sämtliche Beschwerdegründe vorbringen kann und das Bundesgericht nicht auf die Prüfung verfassungsmässiger Rechte beschränkt ist (<ref-law>).
2.
Anlass zur Beschwerde geben die Voraussetzungen zur Konkurseröffnung auf Antrag des Schuldners, welche das Obergericht als nicht erfüllt erachtet hat.
2.1. Der Schuldner kann die Konkurseröffnung selber beantragen, indem er sich beim Gericht zahlungsunfähig erklärt (<ref-law>). Der Richter eröffnet den Konkurs, wenn keine Aussicht auf eine Schuldenbereinigung besteht (Art. 191 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>). Anlässlich der SchKG-Revision von 1994 wurden die Voraussetzungen für die Eröffnung eines Insolvenzverfahrens strenger gefasst. Seither genügt eine blosse Erklärung des Schuldners nicht mehr, um den Konkurs zu bewirken. Der Richter hat - wie in der vorherigen Praxis - zu prüfen, ob das Gesuch sich als missbräuchlich erweist. Stellt sich heraus, dass der Schuldner mit seinem Antrag einzig die Zugriffsrechte der Gläubiger zunichte machen will, indem er zum Beispiel eine Lohnpfändung loswerden will, erweist sich der Antrag als rechtsmissbräuchlich und die Konkurseröffnung ist zu verweigern. Würde der Richter jedem Schuldner den Konkurs bewilligen, so würde die in <ref-law> vorgesehene Lohnpfändung jede Bedeutung verlieren und die Interessen der Gläubiger wären nicht mehr gewahrt. <ref-law> begründet ein Insolvenzverfahren mit dem Ziel, den Erlös aus den schuldnerischen Vermögenswerten in gerechter Weise auf alle Gläubiger aufzuteilen. Wer freiwillig seinen eigenen Konkurs begehrt, muss demnach über ein gewisses Vermögen verfügen, dessen Erlös seinen Gläubigern übertragen werden kann (<ref-ruling> E. 6.1.2 S. 618). Hingegen wollte der Gesetzgeber mit der Insolvenzerklärung keine Schuldensanierung für Private ermöglichen, die über keine finanziellen Mittel mehr verfügen (zur amtlichen Publikation bestimmtes Urteil 5A_435/2018 vom 25. Oktober 2018 E. 2.2; <ref-ruling> E. 6 S. 616; Urteile 5A_915/2014 vom 14. Januar 2015 E. 5.1; 5A_676/2008 vom 15. Januar 2009 E. 2.1; 5A_676/2008 vom 15. Januar 2009 E. 2.1).
2.2. Im vorliegenden Fall ergaben die Abklärungen des Konkursgerichtes, dass der Schuldner (bei betreibungsamtlich registrierten Schulden von insgesamt Fr. 55'704.--) über monatliche Einkünfte von Fr. 2'764.60 (IV-Rente Fr. 1'995.-- und berufliche Vorsorge Fr. 809.60) und bei Ausgaben von Fr. 2'455.10 einen monatlichen Überschuss von Fr. 309.50 verfügt. Laut Gesuch vom 25. Mai 2018 verfügte er neben einem Konto bei der Post (Saldo von Fr. 640.34 am 7. Mai 2018) über keine anderen Vermögenswerte und gemäss der Steuererklärung für das Jahr 2017 über kein steuerbares Vermögen. Gestützt darauf sah das Konkursgericht die Voraussetzungen für eine Konkurseröffnung als nicht gegeben. Das Obergericht bestätigte dieses Ergebnis und verwies insbesondere auf die aktuelle Praxis des Bundesgerichts in dieser Frage.
2.3. Nach Ansicht des Beschwerdeführers würde ihm das Konkursverfahren zu einem wirtschaftlichen Neustart und damit zu einer Stabilisierung seiner schwierigen gesundheitlichen Situation verhelfen. Zudem sei das Gebot der Rechtsgleichheit verletzt, wenn nur solche Schuldner den Konkurs verlangen können, die noch Vermögen aufweisen, die mittellosen Schuldner hingegen von dieser Möglichkeit ausgeschlossen werden. Dass im Hinblick auf ein Konkursverfahren überhaupt Aktiven vorhanden sein müssen, sei überhaupt nicht zwingend.
2.4. Einziger Streitpunkt ist das Fehlen von Vermögen des Beschwerdeführers, welches zur Abweisung seines Antrages geführt hat.
2.4.1. Mit seiner Sichtweise übergeht der Beschwerdeführer, dass der Gesetzgeber dem Schuldner gerade keine voraussetzungslose Konkurseröffnung ermöglichen wollte. Im Gegenteil wurde durch die Revision von 1994 die bisherige Praxis bekräftigt, wonach das Konkursverfahren infolge Insolvenzerklärung an gewisse Bedingungen gebunden ist und zudem nicht rechtsmissbräuchlich erfolgen darf. Das Argument, dass nur eine bestimmte Gruppe von Schuldnern Zugang zu einem Konkurs habe, wurde bereits im Grundsatzurteil aus dem Jahre 2007 behandelt und stellt - wie für den Beschwerdeführer, dem es offenbar nicht gelingt, Aktiven zu bilden - keine relevante Rechtsungleichheit dar: Das SchKG kennt kein Institut, welches jedem Schuldner ermöglicht, ein Schutzverfahren zu erlangen (<ref-ruling> E. 6.1.2 S. 619).
2.4.2. Die aktuelle Rechtslage gründet im Wesentlichen auf einem Ausgleich zwischen dem Anliegen des Schuldners, einen wirtschaftlichen Neustart zu erreichen, und dem Anspruch der Gläubiger, ihre Forderungen berechtigterweise einzutreiben. Deshalb hat (wie in E. 2.1 erwähnt) derjenige, der freiwillig seinen eigenen Konkurs begehrt, über "gewisse Vermögenswerte" zu verfügen (Urteil 5A_435/2018, a.a.O., E. 2.3, mit Hinweisen). In welchem Umfang ein Mindestmass an verwertbarem Vermögen zu einem minimalen Erlös für die Gläubiger vorliegen soll (vgl. WUFFLI, Aktuelles zur Insolvenzerklärung nach <ref-law>, AJP 2016 S. 1501 f.; vgl. bereits WALTHER, in: ZBJV 2009 S. 398; HUNKELER, in: Aktuelle Anwaltspraxis 2009, 2009, S. 1367), ist hier nicht zu erörtern. Wenn die Vorinstanz mit Blick auf das Vermögen des Beschwerdeführers von Fr. 640.34 und die Schulden von Fr. 55'704.-- (bzw. eine mögliche Dividende von ca. 1 %) das Gesuch um Konkurseröffnung abgewiesen und damit den Beschwerdeführer einem Schuldner ohne jegliches verwertbares Vermögen gleichgesetzt hat, stellt dies keine Verletzung von Bundesrecht dar.
2.4.3. Der Beschwerdeführer betont im Weiteren, dass die kantonale Praxis in dieser Frage nicht durchwegs so streng sei, wie die Rechtsprechung des Bundesgerichts dies vorgebe. Soweit dies zutreffen sollte, vermag der Beschwerdeführer daraus noch keine Anpassung der Rechtsprechung in dem Sinne fordern, als dass der Schuldner ohne Weiteres den Konkurs über sein Vermögen erwirken kann, selbst wenn er über keine verwertbaren Aktiven verfügt. Es ist daran zu erinnern, dass mit <ref-law> kein Verfahren zur privaten Schuldensanierung der am meisten Verschuldeten eingeführt wurde, wie das Bundesgericht mehrfach festgehalten hat (wie zuletzt im Urteil 5A_435/2018, a.a.O., E. 2.2, mit Hinweisen). Letztlich liegt es am Gesetzgeber, in diesem Bereich eine angemessene Lösung zu finden, die den finanziellen Interessen aller Beteiligten gerecht wird.
3.
Der Beschwerde ist kein Erfolg beschieden. Aufgrund der konkreten Umstände wird auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet. Damit wird das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege gegenstandslos, zumal dem nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer keine entschädigungspflichtigen Auslagen entstanden sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird als gegenstandslos abgeschrieben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksgericht Zofingen und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. März 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante