Sachverhalt:
A.
Die Stiftung Sonneblick Walzenhausen ist Eigentümerin der Parzelle Nr. 226 (Grundbuch Walzenhausen). Auf deren südlichem, oberhalb des Dorfes Walzenhausen in der Kurzone gelegenem Bereich befinden sich zwei Gebäude (Assek.-Nrn. 170 und 171; "Sonneblick"), die früher als Gast- und Beherbergungshäuser dienten und derzeit leer stehen. Am 22. September 2016 ersuchte die Stiftung die Baubewilligungskommission Walzenhausen, die Umnutzung der beiden Gebäude in ein Asyl-Durchgangszentrum und gewisse bauliche Massnahmen zu bewilligen. Gegen das Vorhaben erhoben unter anderem die nächstgelegenen Nachbarn A._ sowie B. und C. D._ Einsprache. Am 15. August 2017 hiess die Baubewilligungskommission die Einsprachen gut und verweigerte die Bewilligung. Dagegen gelangte die Stiftung an das Departement Bau und Volkswirtschaft des Kantons Appenzell Ausserrhoden, das ihren Rekurs am 11. April 2018 guthiess und die Sache an die Baubewilligungskommission zurückwies.
B.
Gegen den Rekursentscheid erhoben A._ sowie B. und C. D._ gemeinsam Beschwerde beim Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden. Mit Urteil vom 21. Februar 2019 wies das Gericht ihr Rechtsmittel ab.
C.
Mit gemeinsamer Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 2. Mai 2019 an das Bundesgericht beantragen A._ sowie B. und C. D._, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und die Baubewilligung zu verweigern bzw. eventuell die Sache zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an das Obergericht zurückzuweisen. Am 8. Mai 2019 teilt ihr Rechtsvertreter brieflich mit, A._ nehme von der Beschwerde Abstand, da er seine Liegenschaft verkauft habe und weggezogen sei. B. und C. D._ hielten hingegen an der Beschwerde fest.
Die Stiftung und das Obergericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Einwohnergemeinde hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. E._, Beigeladener 2 im Verfahren vor dem Obergericht, hat sich nicht geäussert. Die aus dem Rubrum entfernte F._ AG, Beigeladene 3 im obergerichtlichen Verfahren, hat auf eine Teilnahme am Verfahren verzichtet. B. und C. D._ haben am 16. August 2019 eine weitere Stellungnahme eingereicht.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid über die Bewilligungsfähigkeit einer Umnutzung mit begleitenden Baumassnahmen. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG); ein Ausschlussgrund nach <ref-law> liegt nicht vor. Die Beschwerdeführer 2 (nachfolgend: Beschwerdeführer) haben erfolglos am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen, sind als Eigentümer der Parzelle Nr. 1040, die an die Bauparzelle und die Zufahrt zum vorgesehenen Asyl-Durchgangszentrum angrenzt, auch materiell beschwert und damit nach <ref-law> zur Beschwerde legitimiert. Auch sonst steht einem Eintreten auf ihre Beschwerde grundsätzlich nichts entgegen. In Bezug auf den Beschwerdeführer 1, der von der Beschwerde Abstand genommen hat, ist das Verfahren abzuschreiben (Art. 71 i.V.m. Art. 73 Abs. 1 ZPR [SR 273]; Urteil 2C_144/2009 vom 15. Juni 2009 E. 1.1).
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Das Bundesgericht wendet dieses Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, welche die beschwerdeführende Person vorbringt und begründet (vgl. <ref-law>). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten, soweit die Verletzung von Grundrechten gerügt wird (<ref-law>). Die Anwendung von kantonalem Recht überprüft das Bundesgericht grundsätzlich nur auf Willkür und bloss insoweit, als eine solche Rüge präzis vorgebracht und begründet wird (<ref-law> i.V.m. <ref-law> und <ref-law>). Es legt seinem Urteil im Weiteren den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, deren Sachverhaltsfeststellung sei offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62), oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
3.
3.1. Die Beschwerdeführer rügten im vorinstanzlichen Verfahren, das dem Regierungsrat des Kantons Appenzell Ausserrhoden unterstellte Departement Bau und Volkswirtschaft habe über den Rekurs der Beschwerdegegnerin entschieden, obschon diese auf rechtsgeschäftlicher Grundlage durch das ebenfalls dem Regierungsrat unterstellte Departement Gesundheit und Soziales vertreten werde. Da diese Konstellation jener entspreche, in welcher der urteilende Richter gleichzeitig eine der Verfahrensparteien vertrete, hätte es jedoch wie von ihnen beantragt als Gesamtbehörde wegen Befangenheit in den Ausstand treten müssen. Die Vorinstanz hat diese Kritik im angefochtenen Entscheid zurückgewiesen, da zum einen ein Ausstandsbegehren nicht gegen eine Gesamtbehörde, sondern nur gegen einzelne Personen gerichtet werden könne, und zum anderen weder nach Art. 8 Abs. 1 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Appenzell Ausserrhoden vom 9. September 2002 (VRPG/AR; bGS 143.1) noch nach <ref-law> ein Ausstandsgrund bestehe.
3.2. Im vorliegenden Verfahren rügen die Beschwerdeführer zwar erneut eine Verletzung ihres Anspruchs auf ein faires Verfahren gemäss <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Diese Verletzung soll sich aber im Wesentlichen bereits daraus ergeben, dass die Beschwerdegegnerin im Rekursverfahren in der erwähnten Weise vertreten wurde. Mit den einlässlichen Ausführungen der Vorinstanz zur Frage der Befangenheit setzen sich die Beschwerdeführer nicht weiter auseinander. Aus ihren Vorbringen ergibt sich daher nichts, was die vorinstanzliche Beurteilung, die vorliegenden Umstände begründeten keinen Anschein der Befangenheit, als bundesrechts- bzw. EMKR-widrig erscheinen liesse. Die Vorinstanz hat ferner zu Recht darauf hingewiesen, dass ein Ausstandsbegehren nicht gegen eine Gesamtbehörde gerichtet werden könne (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.3 S. 227 f.; Urteil 1B_138/2013 vom 24. September 2013 E. 2.1). Dass die Argumentation der Beschwerdegegnerin im Rekursverfahren aufgrund der erwähnten Vertretung von vornherein mehr Gewicht gehabt hätte, substanziieren die Beschwerdeführer sodann nicht und ist nicht ersichtlich. Auf ihre Rüge der Verletzung der Waffengleichheit ist daher nicht weiter einzugehen (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.1 f. S. 124 mit Hinweisen). Soweit die formelle Rüge der Beschwerdeführer überhaupt den Begründungsanforderungen genügt (vgl. E. 2), ist sie demnach unbegründet.
4.
4.1. In materieller Hinsicht ist zunächst strittig, ob das vorgesehene Asyl-Durchgangszentrum zonenkonform ist. Die Vorinstanz hat diese Frage - wie vor ihr bereits das Departement und die Einwohnergemeinde - bejaht. Nach Art. 25 des Baugesetzes des Kantons Appenzell Ausserrhoden vom 12. Mai 2003 (BauG/AR; bGS 721.1) seien in der Kurzone Bauten und Anlagen zulässig, die dem Kurbetrieb und der Erholung dienten (Abs. 1). Die Gemeinden könnten durch Baureglement weitere Bauten wie Wohnbauten, Hotels, Ferienwohnungen, Ladengeschäfte, Kliniken usw. zulassen (Abs. 2). Die Einwohnergemeinde Walzenhausen gestatte nach Art. 18 Abs. 7 ihres Baureglements vom 5. Februar 2013 nebst den Bauten gemäss Art. 25 Abs. 1 BauG/AR auch Altersheime, Kliniken, Hotels, Ferienwohnungen, Gastgewerbe, Ladengeschäfte sowie Arzt- und Heilpraxen, ziehe den Kreis der in der Kurzone zulässigen Bauten mithin weit. In Berücksichtigung ihres aufgrund der Gemeindeautonomie erhöhten Spielraums bei der Auslegung des kommunalen Rechts sei deshalb vertretbar, dass sie das vorgesehene Asyl-Durchgangszentrum als zonenkonform eingestuft habe, zumal in Art. 18 Abs. 7 des Baureglements die Aufzählung weder als abschliessend noch als ausschliesslich bezeichnet werde. Die Beurteilung der Einwohnergemeinde sei im Weiteren mit der einschlägigen bundesgerichtlichen Rechtsprechung vereinbar. Insbesondere seien die vorliegenden Umstände mit jenen des Urteils 1C_285/2015 vom 19. November 2015 vergleichbar, mit dem das Bundesgericht die Umnutzung eines Ferienzentrums in ein Asyl-Durchgangszentrum geschützt habe. Zudem erfolge die Beherbergung der Asylsuchenden auch hier befristet, weshalb die Umnutzung des "Sonneblicks" in ein Asyl-Durchgangszentrum auch mit dem Urteil 1C_40/2010 vom 9. März 2010 im Einklang stehe.
4.2. Die Beschwerdeführer rügen eine willkürliche Auslegung von Art. 25 Abs. 2 BauG/AR in Verbindung mit Art. 18 Abs. 7 des Baureglements und machen insbesondere geltend, die Aufzählung der in der Kurzone zusätzlich zulässigen Bauten gemäss letzterer Bestimmung sei abschliessend, weshalb bei deren Anwendung kein Spielraum bestehe.
Soweit diese Rüge überhaupt den Begründungsanforderungen genügt, ist sie unbegründet. Gemäss der ständigen Praxis des Bundesgerichts ist ein Entscheid willkürlich (<ref-law>), wenn er im Ergebnis offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtssatz klar verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 7.3 S. 174 f.; <ref-ruling> E. 3.6.2 S. 287). Vorliegend ergeben sich weder aus dem Wortlaut noch den weiteren Auslegungselementen klare Hinweise, dass die Aufzählung in Art. 18 Abs. 7 des Baureglements abschliessend wäre und deshalb bei dessen Anwendung kein Spielraum bestünde. Ebenso wenig bestehen Anhaltspunkte, dass nach dieser Bestimmung in Verbindung mit Art. 25 Abs. 2 BauG/AR das vorgesehene Asyl-Durchgangszentrum wegen seines Zwecks unzulässig wäre. Dass in der Kurzone lediglich dem Tourismus dienende Bauten gestattet wären, wie die Beschwerdeführer nahelegen, widerspricht demgegenüber klar der Aufzählung von Art. 18 Abs. 7 des Baureglements. Bereits aus Art. 25 Abs. 2 BauG/AR ergibt sich zudem, dass die in dieser Aufzählung genannten Bauten nicht dem Kurbetrieb und der Erholung dienen müssen. Unter diesen Umständen ist es weder offensichtlich unhaltbar noch sonst wie willkürlich, dass die Vorinstanz die Auslegung der Einwohnergemeinde, das Asyl-Durchgangszentrum sei nach Art. 18 Abs. 7 des Baureglements in der Kurzone gestattet, in Berücksichtigung des der Gemeinde insoweit zukommenden Beurteilungsspielraums (vgl. Urteil 1C_499/2015 vom 7. Dezember 2015 E. 3.4) geschützt hat. Dies gilt umso mehr, als auch nicht ersichtlich ist, inwiefern diese Auslegung mit Art. 18 Abs. 1 des Raumplanungsgesetzes vom 22. Juni 1979 (RPG; SR 700) nicht vereinbar sein sollte, und die Beschwerdeführer zu Recht nicht geltend machen, sie stehe im Widerspruch zur erwähnten, von der Vorinstanz zitierten bundesgerichtlichen Rechtsprechung (vgl. vorne E. 4.1).
5.
Umstritten ist weiter, ob die Zufahrt zum vorgesehenen Asyl-Durchgangszentrum den Anforderungen genügt. Die Vorinstanz hat diese Frage - wie bereits das Departement - bejaht. Die Zufahrt sei rechtlich hinreichend - was die Einwohnergemeinde noch verneint hatte - und genüge auch in technischer Hinsicht. Die Beschwerdeführer stellen beides in Abrede.
5.1. Die Erschliessung von Land setzt nach Art. 19 Abs. 1 RPG unter anderem voraus, dass eine für die betreffende Nutzung hinreichende Zufahrt besteht. Art. 95 Abs. 3 lit. a BauG/AR verlangt eine für die vorgesehene Nutzung hinreichende, rechtlich gesicherte, auch den Bestimmungen des (heute geltenden) Strassengesetzes des Kantons Appenzell Ausserrhoden vom 26. Oktober 2009 (StrG/AR; bGS 731.11) genügende Zufahrt, falls notwendig mit Abstellplätzen für Motorfahrzeuge. Gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist eine Zufahrt nach Art. 19 Abs. 1 RPG hinreichend, wenn die Zugänglichkeit sowohl für die Benützer der Bauten als auch für Fahrzeuge der öffentlichen Dienste gewährleistet ist. Die Zufahrten sollten verkehrssicher sein und haben sich nach den zonengerechten Baumöglichkeiten jener Flächen zu richten, die sie erschliessen sollen. Für Erschliessungsanlagen auf fremdem Grund ist deren rechtliche Sicherstellung nachzuweisen. Was als hinreichende Zufahrt gilt, hängt von der beanspruchten Nutzung des Grundstücks sowie den massgeblichen (namentlich örtlichen) Umständen des Einzelfalls ab. Die einzelnen Anforderungen ergeben sich im Detail erst aus dem kantonalen Recht und der kantonalen Gerichts- und Verwaltungspraxis, die sich am bundesrechtlichen Rahmen zu orientieren haben. Bei der Beurteilung, ob eine Zufahrt ein Baugrundstück hinreichend erschliesst, steht den kantonalen und kommunalen Behörden ein erhebliches Ermessen zu (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 3.3.2 S. 135; <ref-ruling> E. 3a S. 68; Urteil 1C_433/2017 vom 17. April 2018 E. 4.1 mit Hinweisen; s. auch E. JEANNERAT, Praxiskommentar RPG: Nutzungsplanung, 2016, Art. 19 N. 26 ff.).
5.2.
5.2.1. Die fragliche Zufahrt zweigt im Gebiet "Güetli" in Walzenhausen von der Kantonsstrasse ab und steigt anschliessend zum vorgesehenen Asyl-Durchgangszentrum an. Sie gehört mehrheitlich zum übrigen Gemeindegebiet und liegt mit Ausnahme eines kleinen Bereichs in der Kurve bei dem Grundstück der Beschwerdeführer und zwei weiteren Grundstücken auf der Parzelle Nr. 226, auf deren südlichem Teil das Asylzentrum betrieben werden soll. Sie ist im Grundbuch auf den betreffenden Grundstücken als öffentlicher Fuss- und Fahrweg angemerkt und bildet Teil des Strassennetzes der Flurgenossenschaft Güetli-Ruten-Weid-Sonneblick. Sämtliche Mitglieder dieser Genossenschaft haben hinsichtlich der Zufahrtsstrasse für ihre im Anhang der Genossenschaftsstatuten aufgeführten Grundstücke das uneingeschränkte Fuss- und Fahrwegrecht (Art. 19 Abs. 1 der Statuten), alle Anstösser der Strasse sind Mitglieder der Genossenschaft (Anhang 1 der Statuten).
5.2.2. Die Beschwerdeführer machten im vorinstanzlichen Verfahren bezüglich der Frage der rechtlich hinreichenden Zufahrt in erster Linie geltend, das Fuss- und Fahrwegrecht gemäss Art. 19 der Genossenschaftsstatuten sowie die Widmung als öffentliche Strasse beträfen nur die ausgeschiedene Strassenfläche. Sie erstreckten sich nicht auf Vorplätze der Strassenanstösser und Parkplätze, ohne deren Inanspruchnahme ein genügendes Kreuzen und Ausweichen nicht möglich sei. Die blosse Erklärung der betroffenen Grundeigentümer, sie duldeten die Inanspruchahme ihres Grundeigentums für solche Manöver, genüge nach der kantonalen Rechtsprechung für eine rechtlich gesicherte Zufahrt nicht. Im Weiteren sei die dauernde Benützung der neben der Zufahrtsstrasse auf der Parzelle Nr. 226 der Beschwerdegegnerin gelegenen Wiese für Ausweichmanöver bau- und strassenrechtlich unzulässig, weil die entsprechenden Flächen nicht dafür bestimmt und gewidmet seien und auch keine Bewilligung für diese Nutzung vorliege.
Die Vorinstanz hat diese Kritik im angefochtenen Entscheid zurückgewiesen. Für Kreuzungs- und Ausweichmanöver müssten keine privaten Einfahrten und Vorplätze der Strassenanstösser in Anspruch genommen werden. In der Kurve bei (u.a.) dem Grundstück der Beschwerdeführer sei die Fahrbahn, die von sämtlichen Mitgliedern der Flurgenossenschaft sowie von der Öffentlichkeit in Anspruch genommen werden dürfe, genügend breit. Beim Einlenker in die Kantonsstrasse könnten entgegenkommende Fahrzeuge im Fahrbahnbereich der Parzelle Nr. 226 abgewartet werden. Im Übrigen könne der Beschwerdegegnerin nicht das Recht abgesprochen werden, jene Teile der Strassenanlage zu befahren und zu begehen, die auf ihrer Parzelle Nr. 226 lägen, wozu auch die Bankette, die Ausweichstelle beim Abzweiger zur Parzelle Nr. 1053 und Teile der Abzweiger in Richtung Ruten und Güetli gehörten. Dasselbe gelte für allfällige Kreuzungsmanöver auch für die strassenseitige Hälfte des Parkplatzes beim Einlenker in die Kantonsstrasse, die sich ebenfalls auf der Parzelle Nr. 226 befinde.
5.2.3. Im vorliegenden Verfahren erheben die Beschwerdeführer die Rüge des fehlenden Nutzungsrechts für die Inanspruchnahme des Grundeigentums der Strassenanstösser nicht mehr. Sie machen aber geltend, bei den Ausweichmöglichkeiten auf der Parzelle Nr. 226 der Beschwerdegegnerin - das heisst den vorgenannten Teilen der Strassenanlage, der strassenseitigen Hälfte des erwähnten Parkplatzes sowie der Wiese neben der Zufahrtsstrasse - handle es sich nur um prekaristische Behelfsausweichplätze, nicht um rechtlich gesicherte und als Strasse gewidmete Flächen, wie sie nach Art. 19 Abs. 1 RPG erforderlich seien. Mit Ausnahme der Ausweichstelle beim Abzweiger zur Parzelle Nr. 1053 - für die allerdings eine kantonale Bewilligung nötig gewesen wäre, weil sie im übrigen Gemeindegebiet und damit nicht in einer Bauzone liege - seien diese Ausweichstellen nicht bewilligt, obschon dies erforderlich wäre, und auch nicht bewilligungsfähig. Zum Teil könnten sie zudem nur unter Missachtung der Verkehrsregeln (Rechtsvortritt) benützt werden.
Diese Rüge ist unbegründet. Die Baubewilligung der Einwohnergemeinde für die Ausweichstelle beim Abzweiger zur Parzelle Nr. 1053 stammt aus dem Jahr 1999 und damit aus der Zeit vor dem Inkrafttreten von Art. 25 Abs. 2 RPG am 1. September 2000, wonach über Bauvorhaben ausserhalb der Bauzonen die zuständige kantonale Behörde entscheidet. Die Beschwerdeführer bringen zudem nicht vor, die Ausweichstelle sei entgegen dem Vorbringen der Vorinstanz in der Vernehmlassung im übrigen Gemeindegebiet nicht bewilligungsfähig. Wieso sie bundesrechtswidrig sein sollte, erschliesst sich deshalb nicht. Dasselbe gilt für die weiteren erwähnten Ausweichmöglichkeiten. Dass die schon heute mögliche Nutzung der Zufahrtsstrasse im Bereich der Abzweiger in Richtung Ruten und Güetli für allfällige Ausweichmanöver einer besonderen Bewilligung und Widmung bedürfte oder solche Manöver nur unter Missachtung der Verkehrsregeln (Rechtsvortritt) möglich wären - ein soweit ersichtlich neues tatsächliches Vorbringen der Beschwerdeführer -, ist weder dargetan noch ersichtlich. Ebenso wenig ist erkennbar, dass die Bankette, die strassenseitige Hälfte des Parkplatzes beim Einlenker in die Kantonsstrasse und, von Fussgängern, insbesondere die Wiese neben dem unteren Teil der Zufahrtsstrasse für allfällige Ausweichmanöver im Begegnungsfall - die ebenfalls schon heute möglich sind - nur bei Vorliegen einer entsprechenden Bewilligung und Widmung benützt werden dürften. Auch aus den weiteren Vorbringen der Beschwerdeführer ergibt sich nicht, dass die erwähnten Ausweichmöglichkeiten bundesrechtswidrig wären, zumal ihr Einwand, zwei davon lägen im Gewässerabstandsbereich, nach <ref-law> unzulässig ist. Die vorinstanzliche Beurteilung, die Zufahrt sei rechtlich hinreichend, ist demnach bundesrechtlich nicht zu beanstanden.
5.3.
5.3.1. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid im Zusammenhang mit der Frage, ob die Zufahrtsstrasse in technischer Hinsicht genügt, vorab auf die Ausführungen des Departements zu den Normen des Schweizerischen Verbands der Strassen- und Verkehrsfachleute (VSS) verwiesen. Dieses hatte erklärt, beim zwischen dem Einlenker in die Kantonsstrasse und dem Abzweiger in Richtung Ruten gelegenen (unteren) Teil der Zufahrt handle es sich um eine Zufahrtsstrasse gemäss Ziff. 4 der VSS-Norm 640 045 (Projektierung, Grundlagen; Strassentyp: Erschliessungsstrassen), für die der Grundbegegnungsfall "Personenwagen/Personenwagen bei stark reduzierter Geschwindigkeit" massgeblich sei. Dafür reiche der Strassenabschnitt insgesamt aus. Der zwischen dem erwähnten Abzweiger und dem vorgesehenen Asyl-Durchgangszentrum gelegene (obere) Teil der Zufahrtsstrasse sei als Grundstückszufahrt im Sinne von Ziff. 3 der VSS-Norm SN 640 050 (Grundstückszufahrten) zu qualifizieren. Für die Fahrbahnbreite gelte somit ein Richtwert von 3 m, der eingehalten sei. Diese Ausführungen hat die Vorinstanz insbesondere mit eigenen Feststellungen zu den konkreten Verhältnissen ergänzt. Sie hat dabei namentlich festgehalten, die Umnutzung des "Sonneblicks" in ein Asyl-Durchgangszentrum werde weder zu einer publikumsintensiven Nutzung noch zu Mehrverkehr führen; der Verkehr werde im Vergleich zur früheren Nutzung vielmehr abnehmen. Im Hinblick auf die Begegnungsfälle von Motorfahrzeugen sei die Zufahrtsstrasse hinreichend. Insbesondere seien ausreichend Kreuzungsmöglichkeiten vorhanden, auch wenn die Strasse grösstenteils nur einspurig befahrbar sei. In Anbetracht der konkreten Verhältnisse sei auch die Sicherheit der Fussgänger gewährleistet, und zwar trotz fehlender Strassenbeleuchtung sowie auch im Winter.
5.3.2. Die Beschwerdeführer rügen, die Vorinstanz habe in verschiedener Hinsicht den rechtserheblichen Sachverhalt unrichtig oder unvollständig festgestellt oder in Bezug auf die Frage, ob die Zufahrt in technischer Hinsicht genüge, falsch beurteilt. So sei durchaus mit Mehrverkehr sowie damit zu rechnen, dass die Zufahrtsstrasse diesen nicht aufzunehmen vermöge. Weiter sei zu berücksichtigen, dass sich die Bewohnerinnen und Bewohner des Asylzentrums voraussichtlich in Gruppen bewegen würden, weshalb Motorfahrzeuge mit Fussgängergruppen kreuzen können müssten, was angesichts der schmalen und steilen Strasse nicht gewährleistet sei. Auch sei den Verhältnissen im Winter Rechnung zu tragen, da diese vor allem ein derartiges Kreuzen praktisch unmöglich machten und die Ausweich- und Kreuzungsmöglichkeiten für Fussgänger übermässig einschränkten. Im Weiteren bedürfe es einer Strassenbeleuchtung, um den Erfordernissen der Verkehrssicherheit zu genügen. Dass die beanstandete vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung willkürlich wäre (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3.6.2 S. 287), geht aus den Ausführungen der Beschwerdeführer allerdings nicht hervor. Ebenso wenig ergibt sich daraus, dass die Vorinstanz mit der kritisierten Beurteilung der konkreten Verhältnisse das erhebliche Ermessen, das ihr in Bezug auf die Frage des Vorliegens einer hinreichenden Zufahrt zukommt (vgl. vorne E. 5.1), willkürlich oder sonst wie bundesrechtswidrig ausgeübt hätte. Die Beschwerdeführer begnügen sich im Wesentlichen vielmehr damit, der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung und -beurteilung ihre eigene gegenüberzustellen. Soweit ihre Vorbringen überhaupt den Begründungsanforderungen genügen, ergibt sich daraus daher keine Bundesrechtsverletzung.
5.3.3. Die Beschwerdeführer rügen weiter, die Zufahrtsstrasse genüge in gewissen Punkten den VSS-Normen nicht. So sei der Einlenkradius bei der Einmündung in die Kantonsstrasse zu klein und die Fahrbahn beim Standort 7 des vorinstanzlichen Augenscheins zu wenig breit. Soweit sie in diesem Zusammenhang neue Tatsachen im Sinne von <ref-law> vorbringen, ist dies unzulässig. Darauf ist indes nicht näher einzugehen. Die Vorinstanz hat in ihrer Vernehmlassung ausgeführt, die VSS-Normen seien nicht schematisch und starr, sondern verhältnismässig und unter Berücksichtigung der örtlichen Verhältnisse anzuwenden, wobei den zuständigen Behörden ein erheblicher Spielraum zustehe. Da der Motorfahrzeugverkehr durch die Umnutzung des "Sonneblicks" in ein Asylzentrum eher abnehmen werde und die örtlichen Verhältnisse keine hohen Fahrgeschwindigkeiten erlaubten, änderte in Berücksichtigung der weiteren Umstände selbst eine geringfügige Unterschreitung der Fahrbahnbreite gemäss VSS-Normen beim Standort 7 des vorinstanzlichen Augenscheins nichts daran, dass die Strasse zum vorgesehenen Asyl-Durchgangszentrum sicher sei. Dass eine Anwendung der VSS-Normen in der von der Vorinstanz bereits im angefochtenen Urteil erwähnten Weise (vgl. dazu Urteile 1C_219/2018 vom 9. November 2018 E. 8.2; 1C_433/2017 vom 17.April 2018 E. 4.5.3 mit Hinweisen) vorliegend gegen Bundesrecht verstossen würde, machen die Beschwerdeführer nicht geltend. Ebenso wenig geht aus ihren Vorbringen hervor, dass der angefochtene Entscheid in Bezug auf die Einhaltung der VSS-Normen auf einer willkürlichen oder sonst wie bundesrechtswidrigen Ausübung des der Vorinstanz insoweit zustehenden Spielraums beruhen würde. Die erwähnte Rüge der Beschwerdeführer ist daher ebenfalls unbegründet.
5.3.4. Soweit die Beschwerdeführer das angebliche Ungenügen der Zufahrt in technischer Hinsicht auch damit begründen, die möglichen Ausweichstellen seien aus den bereits genannten Gründen rechtlich nicht gesichert, ist auf die vorstehenden Ausführungen zu verweisen (vgl. vorne E. 5.2.3). Auch mit diesem Vorbringen vermögen die Beschwerdeführer die einlässlich begründete Beurteilung der Vorinstanz, die Zufahrt sei auch in technischer Hinsicht hinreichend, somit nicht in Frage zu stellen. Der angefochtene Entscheid verletzt in Bezug auf die Frage der Zufahrt kein Bundesrecht.
6.
Die Beschwerdeführer rügen schliesslich, die Vorinstanz habe zu Unrecht verneint, dass es an einem auf die örtlichen Verhältnisse abgestimmten, verbindlichen Sicherheits-, Betriebs- und Betreuungskonzept für das vorgesehene Asyl-Durchgangszentrum mangle. Die allgemeinen und vom Kanton St. Gallen ausgearbeiteten Dokumente, welche die Beschwerdegegnerin eingereicht habe, seien unzureichend und vermöchten den Ansprüchen eines Baubewilligungsverfahrens nicht zu genügen. Die Voraussetzungen von Art. 22 Abs. 2 lit. a RPG für die Erteilung einer Baubewilligung seien daher nicht erfüllt. Inwiefern die von der Beschwerdegegnerin eingereichten Konzepte des Kantons St. Gallen - der das Asylzentrum betreiben soll - den örtlichen Verhältnissen nicht angemessen und welche konkreten Anforderungen speziell für das vorgesehene Asylzentrum erforderlich wären, erläutern die Beschwerdeführer allerdings nicht. Ebenso wenig setzen sie sich mit der Feststellung der Vorinstanz auseinander, es sei nicht einzusehen, wieso die Einwohnergemeinde - die zum Schluss gekommen war, es fehle an einem hinreichenden Sicherheitskonzept - anhand der eingereichten Konzepte gegebenenfalls nicht selbst hätte Auflagen in die Baubewilligung aufnehmen können. Soweit die Vorbringen der Beschwerdeführer überhaupt den Begründungsanforderungen genügen, geht daraus daher nicht hervor, dass der angefochtene Entscheid im hier interessierenden Punkt bundesrechtswidrig wäre. Die Vorinstanz durfte vielmehr ohne Bundesrecht zu verletzen zum Schluss kommen, dass die eingereichten Konzepte der Erteilung der Baubewilligung nicht entgegenstehen, ebenso, dass die Baubewilligungskommission Walzenhausen verpflichtet gewesen wäre, sie zu überprüfen, allenfalls auf das vorgesehene Asylzentrum zugeschnittene Ergänzungen einzufordern und entsprechende Auflagen zu formulieren, was sie im Rahmen der Neubeurteilung nachzuholen habe. Die Beschwerde erweist sich somit auch insoweit und damit insgesamt als unbegründet.
7.
Demnach ist die Beschwerde abzuweisen. In Bezug auf den Beschwerdeführer 1 ist das Verfahren abzuschreiben (vgl. vorne E. 1).
Bei diesem Verfahrensausgang werden die Beschwerdeführer 2 kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Sie haben zudem die obsiegende Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (<ref-law>). Der Beschwerdeführer 1 hat keine Kosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Verfahren wird in Bezug auf den Beschwerdeführer 1 infolge Rückzugs der Beschwerde abgeschrieben.
2.
Die Beschwerde der Beschwerdeführer 2 wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden den Beschwerdeführern 2 unter solidarischer Haftung auferlegt.
4.
Die Beschwerdeführer 2 haben die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'500.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Departement Bau und Volkswirtschaft des Kantons Appenzell Ausserrhoden, der Einwohnergemeinde Walzenhausen, E._ und dem Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. April 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Baur