Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft, Untersuchungsamt St. Gallen, trat mit Nichtanhandnahmeverfügung vom 3. August 2018 auf die Strafklagen von A._ gegen Rechtsanwalt B._ wegen des Verdachts der mehrfachen üblen Nachrede, der mehrfachen Verleumdung, der Beschimpfung sowie der Verletzung des Geheim- oder Privatbereichs durch Aufnahmegeräte nicht ein und auferlegte A._ die Verfahrenskosten. Gegen die in der Nichtanhandnahmeverfügung verfügte Kostenauflage erhob A._ Beschwerde. Nach Aufforderung zur Leistung einer Sicherheit für allfällige Kosten und Entschädigungen ersuchte A._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Der Präsident der Anklagekammer des Kantons St. Gallen wies mit Entscheid vom 5. Oktober 2018 das Gesuch ab und setzte A._ eine Frist von 10 Tagen zur Leistung einer Sicherheit von Fr. 800.--, ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten werde. Zur Begründung führte die Anklagekammer zusammenfassend aus, dass die unentgeltliche Rechtspflege nur im Hinblick auf die Durchsetzung von Zivilansprüchen gewährt werde. Zivilforderungen mache der Beschwerdeführer nicht geltend. Überdies belege der Beschwerdeführer seine Einkommens- und Vermögenssituation nur ungenügend.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 12. November 2018 Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer macht einzig Ausführungen bezüglich der ungenügenden Darlegung seiner Einkommens- und Vermögenssituation. Mit der Hauptbegründung der Anklagekammer, dass ohne Geltendmachung von Zivilforderungen kein Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege des Privatklägers bestehe, setzt er sich nicht auseinander. Der Beschwerdeführer vermag daher nicht aufzuzeigen, inwiefern die Begründung der Anklagekammer, die zur Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege führte, bzw. der Entscheid der Anklagekammer selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>). Mit dem Entscheid in der Sache selbst wird das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Präsidenten der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. November 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli