Faits :
A.
A.A._, né en 1969, et B.A._, née en 1972, se sont mariés le 25 février 2000 à Genève.
Les enfants C._, née en 2000, aujourd'hui majeure, D._, née en 2003, et E._, né en 2006, sont issus de leur union.
Les parties se sont séparées au mois de janvier 2015 et l'épouse est demeurée au domicile conjugal avec les enfants.
B.
Par jugement de mesures protectrices de l'union conjugale du 28 avril 2016, le Tribunal de première instance du canton de Genève (ci-après: le Tribunal) a notamment confié à la mère la garde sur les enfants, attribué au père un large droit de visite s'exerçant, à défaut d'entente, au minimum le lundi de 16 h à 18 h chez leur mère, une nuit par semaine, à savoir le mercredi dès la sortie de l'école au jeudi matin de retour à l'école, le vendredi précédant le week-end avec leur mère de la sortie de l'école au samedi matin à 9 h, un week-end sur deux jusqu'au dimanche soir à 18 h et durant la moitié des vacances scolaires. L'époux a en outre été astreint, dès le 1er novembre 2015, au versement d'une contribution mensuelle pour l'entretien de la famille de 1'300 fr., hors allocations familiales.
C.
Par requête du 13 juillet 2017, l'épouse a formé action en divorce et a notamment conclu à l'attribution de la garde sur les enfants ainsi qu'à l'octroi d'un droit de visite en faveur du père. Dans ses dernières conclusions du 22 janvier 2018, celui-ci a conclu à l'instauration d'une garde partagée comprenant notamment, en sa faveur, la prise en charge des enfants le mardi soir et la nuit du mardi au mercredi.
D.
Par rapport du 11 juillet 2018, le Service d'évaluation et d'accompagnement de la séparation parentale (SEASP) a recommandé le maintien de la garde de fait sur les enfants à la mère et l'octroi d'un droit de visite au père devant se dérouler, sauf accord contraire entre les parents, du mercredi 19 h au jeudi 8 h, une semaine sur deux en alternance du vendredi 18 h au samedi 10 h et du samedi 10 h au lundi 8 h, ainsi que quatre semaines de vacances par année.
E.
Par jugement du 15 mars 2019, le Tribunal a, entre autres, prononcé le divorce des parties, maintenu l'autorité parentale conjointe, attribué la garde des deux enfants encore mineurs à la mère, accordé un droit de visite au père, à exercer, sauf accord contraire entre les parties, du mercredi 19 h au jeudi 8 h, une semaine sur deux en alternance du vendredi 18 h au samedi 10 h et du samedi 10 h au lundi 8 h, ainsi que la moitié des vacances scolaires, attribué la jouissance du logement familial à l'épouse, condamné l'époux à contribuer à l'entretien des enfants et intégralement accordé à la mère la bonification pour tâches éducatives au sens de l'<ref-law>.
F.
L'époux a formé appel contre le jugement précité en concluant notamment à l'instauration d'un régime de garde alternée sur les enfants D._ et E._, en ce sens que les modalités de prise en charge prévues dans le jugement soient élargies du mardi 19 h au mercredi 8 h. Il a également pris des conclusions concernant l'entretien des enfants et l'attribution des bonifications pour tâches éducatives.
Par arrêt du 13 décembre 2019, expédié le 15 janvier 2020, la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) a réformé le jugement entrepris en tant qu'il concernait les contributions d'entretien dues en faveur des enfants et confirmé pour le surplus le jugement du 15 mars 2019.
G.
Par acte du 17 février 2020, l'ex-époux interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 13 décembre 2019. Il conclut, avec suite de frais et dépens, à sa réforme en ce sens qu'un régime de garde alternée soit instauré selon les conclusions déjà prises en appel, à ce qu'il lui soit donné acte de son engagement à verser une contribution d'entretien de 100 fr. par enfant jusqu'à l'âge de 15 ans révolus et de 200 fr. par enfant jusqu'à la majorité, voire au-delà en cas d'études régulières et sérieuses suivies, mais au plus tard jusqu'à 25 ans, allocations familiales non comprises, à ce que les bonifications pour tâches éducatives soient attribuées à chacun des parents par moitié et à ce que la procédure soit renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Le recourant sollicite également le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Invitée à se déterminer, la Cour de justice s'est référée aux considérants de son arrêt.
Par réponse du 1er décembre 2020, l'ex-épouse a conclu, avec suite de frais et dépens, à l'irrecevabilité de la conclusion en modification de l'attribution des bonifications pour tâches éducatives et, pour le surplus, au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité.

Considérant en droit :
1.
Déposé en temps utile (<ref-law>) et dans la forme légale (<ref-law>) par une partie qui a qualité pour recourir (art. 76 al. 1 let. a et b LTF), le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (<ref-law>), dans une affaire matrimoniale (<ref-law>) de nature non pécuniaire dans son ensemble (parmi plusieurs: arrêts 5A_489/2019 du 24 août 2020 consid. 2.1; 5A_159/2020 du 4 mai 2020 consid. 1 et les références). Le recours est donc en principe recevable.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être lié ni par les motifs de l'autorité précédente, ni par les moyens des parties; il peut donc admettre le recours en se fondant sur d'autres motifs que ceux invoqués par le recourant, comme il peut le rejeter en opérant une substitution de motifs (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 2). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une autorité de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling> consid. 1.4). En outre, le Tribunal fédéral ne connaît de la violation de droits fondamentaux ou de dispositions de droit cantonal que si un tel grief a été invoqué et motivé par le recourant (" principe d'allégation ", <ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 3.3; <ref-ruling> consid. 1.2, 397 consid. 1.4 in fine), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling> précité; <ref-ruling> consid. 1.4.2).
2.2. Le grief d'application arbitraire du droit fédéral n'est pas recevable en tant que tel dans un recours en matière civile, en ce sens que saisi d'un tel recours, le Tribunal fédéral examine librement l'application du droit fédéral; cette cognition ne peut pas être restreinte en limitant le contrôle de l'application des lois fédérales à l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 1.2; arrêt 5A_348/2017 du 14 septembre 2017 consid. 2.1). Le Tribunal fédéral examine donc avec pleine cognition la violation d'une disposition de droit fédéral que le recourant invoque sous l'angle restreint de l'arbitraire (arrêts 5A_583/2018 du 18 janvier 2019 consid. 2.2; 4A_8/2013 du 2 mai 2013 consid. 2.2 non publié aux <ref-ruling>).
2.3. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que s'il démontre la violation de droits constitutionnels, conformément au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1). L'appréciation des preuves n'est arbitraire que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a procédé à des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 2.3).
3.
Le recourant soulève un grief d'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'application des art. 133 al. 1 et 2 CC ainsi que 298 al. 2ter CC. Nonobstant le terme utilisé par le recourant, l'examen de la conformité de la décision entreprise aux dispositions qui précèdent ne sera toutefois pas limité à l'arbitraire (cf. supra consid. 2.2).
3.1. Le recourant reproche en substance à la cour cantonale d'avoir refusé d'élargir les modalités de prise en charge des enfants en sa faveur du mardi à 19 h au mercredi à 8 h.
3.2.
3.2.1. Selon l'<ref-law>, le juge règle les droits et les devoirs des père et mère conformément aux dispositions régissant les effets de la filiation. Cette réglementation porte notamment sur l'autorité parentale, la garde de l'enfant, les relations personnelles ou la participation de chaque parent à la prise en charge de l'enfant et la contribution d'entretien.
3.2.2. Lorsque - comme en l'espèce - l'autorité parentale est exercée conjointement, le juge examine, selon le bien de l'enfant, la possibilité de la garde alternée, si le père, la mère ou l'enfant la demande (<ref-law>).
Pour apprécier les critères d'attribution des droits parentaux, le juge du fait, qui connaît le mieux les parties et le milieu dans lequel vit l'enfant, dispose d'un large pouvoir d'appréciation (<ref-ruling> consid. 3.2.5 et les références). Le Tribunal fédéral ne substituera ainsi qu'avec retenue sa propre appréciation à celle de la juridiction cantonale. Il n'interviendra que si la décision s'écarte sans motif des principes établis par la doctrine et la jurisprudence, lorsque le juge s'est fondé sur des faits qui ne devaient jouer aucun rôle pour la solution du cas d'espèce, ou lorsque, au contraire, il n'a pas tenu compte de circonstances qui auraient impérativement dû être prises en considération (<ref-ruling> consid. 1 et les références; arrêt 5A_821/2019 du 14 juillet 2020 consid. 4.1).
3.3. Dans la décision entreprise, la juridiction précédente a considéré qu'au vu de l'investissement des parents envers leurs enfants, de leurs bonnes capacités parentales et de leur aptitude à communiquer à leur sujet, ainsi que de la proximité géographique de leurs logements, l'instauration d'une garde partagée serait possible dans son principe, y compris avec une alternance durant la même semaine auprès de chacun des parents, puisque ceux-ci avaient déjà adopté ce mode de faire, lequel convenait aux enfants, qui avaient exprimé ne pas vouloir être séparés de leur père pendant plusieurs jours consécutifs. La cour cantonale a cependant estimé qu'il n'y avait pas lieu de faire droit aux conclusions du père, qui sollicitait, au titre de garde alternée, uniquement l'ajout de la nuit du mardi au mercredi. D'une part, cela posait problème pour l'enfant E._. En effet, dès lors que le père travaillait le mercredi, l'enfant serait seul l'après-midi, alors que la mère était disponible pour s'en occuper et répondre à ses besoins. Quoi qu'en disait le père, l'enfant était un peu jeune pour " se gérer seul " et il n'était pas dans son intérêt d'être livré à lui-même chaque mercredi après-midi, dans l'attente de son retour. La situation actuelle de chômage du père ne modifiait pas cette appréciation, puisqu'il allait devoir retrouver un autre emploi sans aucune garantie d'obtenir éventuellement congé le mercredi après-midi. Au demeurant, l'enfant D._ s'était finalement faite à la mise en place des modalités actuelles de garde, auxquelles elle avait d'abord éprouvé des difficultés à s'habituer, et avait indiqué qu'un nouveau changement lui poserait à nouveau des difficultés. Quant à C._, à présent majeure, elle avait renoncé à la nuit du mercredi au jeudi chez son père depuis qu'elle poursuivait ses études à U._. En définitive, les juges cantonaux ont considéré qu'il était dans l'intérêt des enfants que le mode de garde actuel, qui perdurait depuis la séparation des parties et qui convenait à ceux-ci, soit maintenu, et ont relevé que la mère était ouverte aux éventuelles propositions que le père pourrait faire pour voir ses enfants à d'autres moments.
3.4. En l'espèce, l'autorité cantonale s'est attachée à examiner dans quelle mesure un élargissement de la prise en charge des enfants par le père permettrait à ce dernier de bénéficier d'une garde partagée. Elle a toutefois perdu de vue la question principale à trancher, à savoir si - indépendamment de la qualification à donner aux modalités de prise en charge - l'élargissement requis, à savoir une nuit supplémentaire par semaine, était opportun et répondait au bien-être des enfants. A cet égard, l'argumentation de la cour cantonale selon laquelle le père ne pourrait pas s'occuper de E._ le mercredi après-midi est totalement dénuée de pertinence, dès lors que le recourant ne remet pas en question la prise en charge par la mère durant la journée du mercredi. Il faut ainsi constater qu'en s'appuyant sur des faits qui ne devaient jouer aucun rôle pour la solution du cas d'espèce, l'autorité cantonale a abusé de son pouvoir d'appréciation.
La juridiction précédente a en outre refusé d'élargir la prise en charge des enfants par le père au motif qu'un nouveau changement dans les modalités de garde poserait des difficultés à D._, laquelle avait déjà éprouvé des problèmes à s'habituer à la mise en place des modalités existantes. Cela étant, comme le relève le recourant, il ressort de l'état de fait de l'arrêt entrepris que l'enfant, entendue le 16 mai 2018 par le SEASP, a uniquement déclaré que l'organisation hebdomadaire prévalant à l'époque de son audition ne la dérangeait pas et qu'un autre mode de faire lui demanderait davantage de travail dans son élaboration et sa mise en place. Or, des inconvénients d'ordre purement organisationnel peuvent difficilement être évités en cas de modification dans la prise en charge d'enfants et ne sauraient en l'espèce constituer un motif rédhibitoire.
Finalement, en l'absence de motivation convaincante des juges cantonaux sur la question litigieuse, le fait de s'en remettre aux bonnes dispositions de la mère quant à un élargissement de la prise en charge des enfants par le recourant ne saurait être admis, dès lors que cela reviendrait à permettre à celle-ci de décider du sort de la conclusion en cause, ce qui n'est pas acceptable.
Au vu de ce qui précède, le grief doit être admis et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
4.
Dans le cadre de la fixation des contributions d'entretien en faveur des enfants, le recourant se plaint d'une application arbitraire des art. 276 et 285 CC, ainsi que de la violation de ces mêmes dispositions.
Dès lors que les modalités de prise en charge des enfants devront être réexaminées et qu'elles revêtent une influence sur la fixation des contributions d'entretien en faveur de ceux-ci, il n'y a pas lieu, en l'état, de statuer sur le grief soulevé.
5.
Le recourant conclut au partage par moitié des bonifications pour tâches éducatives, que l'arrêt querellé a intégralement attribuées à la mère au motif que celle-ci assumait la plus grande partie de la prise en charge des enfants.
Le grief est d'emblée irrecevable, faute d'être motivé (cf. supra consid. 2.1). Au demeurant, l'art. 52f bis al. 2, 1e phr., RAVS dispose que l'autorité impute la totalité de la bonifications pour tâches éducatives à celui des parents qui assume la plus grande partie de la prise en charge des enfants communs. Or, il n'apparaît pas que l'admission de la conclusion du recourant en élargissement de la prise en charge des enfants pour une nuit supplémentaire par semaine le conduirait à s'occuper de ceux-ci sur une durée hebdomadaire supérieure à celle assumée par la mère. Aussi, quand bien même il serait recevable, le grief devrait de toute manière être rejeté.
6.
En définitive, le recours est partiellement admis dans la mesure où il est recevable. L'arrêt attaqué est annulé en tant qu'il porte sur les modalités de prise en charge des enfants D._ et E._ ainsi que sur l'entretien des enfants des parties et la cause est renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision sur ces questions. Le recours est rejeté pour le surplus. Autant qu'elle n'est pas sans objet, la requête d'assistance judiciaire du recourant est admise (<ref-law>). Les frais judiciaires, par 2'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée, qui succombe pour l'essentiel (<ref-law>). Une indemnité de 2'500 fr., à verser au recourant à titre de dépens, est mise à la charge de l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF); au cas où les dépens ne pourraient pas être recouvrés, la Caisse du Tribunal fédéral versera au conseil du recourant une indemnité de 2'500 fr. à titre d'honoraires de conseil d'office (<ref-law>). Le recourant est rendu attentif au fait qu'il est tenu de rembourser ultérieurement la Caisse du Tribunal fédéral s'il est en mesure de le faire (<ref-law>). Il appartiendra à l'autorité cantonale de statuer à nouveau sur les frais et dépens de la procédure cantonale (art. 67 et 68 al. 5 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis dans la mesure où il est recevable. L'arrêt attaqué est annulé en tant qu'il porte sur les modalités de prise en charge des enfants D._ et E._ ainsi que sur l'entretien des enfants des parties et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. Le recours est rejeté pour le surplus.
2.
Autant qu'elle n'est pas sans objet, la requête d'assistance judiciaire du recourant est admise et Me Katarzyna Kedzia Renquin, avocate, lui est désignée comme conseil d'office.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
4.
Une indemnité de 2'500 fr., à verser au recourant à titre de dépens, est mise à la charge de l'intimée; au cas où les dépens ne pourraient pas être recouvrés, la Caisse du Tribunal fédéral versera au conseil du recourant une indemnité de 2'500 fr. à titre d'honoraires de conseil d'office.
5.
La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure cantonale.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 24 décembre 2020
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Gudit