Erwägungen:
1.
Mit Entscheid vom 6. Mai 2021 schrieb das Zivilgericht Basel-Stadt in einem vom Beschwerdeführer gegen die Beschwerdegegnerin eingeleiteten Forderungsprozess das Verfahren zufolge Klagerückzugs als erledigt ab und verurteilte den Beschwerdeführer zur Bezahlung einer Parteientschädigung von Fr. 1'344.80 an die Beschwerdegegnerin.
Mit Entscheid vom 16. Juli 2021 wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt eine vom Beschwerdeführer gegen den zivilgerichtlichen Entscheid vom 6. Mai 2021 erhobene Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
Mit Eingabe vom 6. September 2021 erklärte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, gegen den Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 16. Juli 2021 Beschwerde zu erheben.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt. Die Beschwerdegegnerin reichte dem Bundesgericht am 10. September 2021 unaufgefordert eine Stellungnahme ein.
2.
2.1. Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann. Dazu muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2, 115 E. 2). Eine allfällige Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im vorinstanzlichen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2, 115 E. 2). Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen und der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 1.2.3; <ref-ruling> E. 2). Stützt sich der angefochtene Entscheid auf mehrere selbständige Begründungen, so muss sich die Beschwerde mit jeder einzelnen auseinandersetzen, sonst wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.4 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.4).
2.2. Der Beschwerdeführer setzt sich in seiner Beschwerdeeingabe vom 6. September 2021 nicht hinreichend mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 16. Juli 2021 auseinander und zeigt nicht auf, inwiefern die Vorinstanz mit ihrem Entscheid Bundesrecht verletzt hätte. Er erwähnt zwar das Willkürverbot (Art. 9 BV) und die Europäische Menschenrechtskonvention (EMRK), zeigt jedoch nicht hinreichend auf, inwiefern die Vorinstanz entsprechende Bestimmungen verletzt haben soll (Art. 106 Abs. 2 BGG). Die Eingabe vom 6. September 2021 erfüllt damit die erwähnten Begründungsanforderungen offensichtlich nicht.
Auf die Beschwerde ist somit mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege samt Rechtsbeistand für das bundesgerichtliche Verfahren ist bereits wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG). Unter den gegebenen Umständen ist jedoch ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG). Der Beschwerdegegnerin steht keine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. September 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Leemann