Sachverhalt:
A.
A._ ist Vater einer gut sechsjährigen Tochter, die bei der getrennt von ihm lebenden Ehefrau und Kindesmutter in St. Gallen wohnt. Im Zusammenhang mit der Ausübung seines Besuchsrechts kam es insbesondere wegen verspäteter Rückgaben der Tochter zu Konflikten mit dem Besuchsrechtsbeistand C._ und den mit der Überwachung der Rückgaben betrauten "Begleiteten Besuchstage (BBT) " in St. Gallen. Anfang Dezember 2015 führte eine verspätete Rückgabe zum Widerruf des Auftrags durch die BBT und zum Ausfallen der Besuchstage bis Ende Januar 2016. Nach einer verspäteten Rückgabe Anfang März 2016 "hob" der Beistand das Besuchsrecht offenbar mit Schreiben vom 21. März 2016 "auf". Erst ab dem 20. November 2016 fanden auf superprovisorische Verfügung der Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen vom 8. November 2016 hin die Besuchstage am ersten und dritten Sonntag jeden Monats wieder statt. Am 1. März 2017 hiess die Verwaltungsrekurskommission eine Beschwerde von A._ vom 9. Mai 2016 gut und entschied, die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Region St. Gallen habe mit Entscheid vom 7. April 2016 zu Unrecht dessen Gesuch vom 8. Januar 2016 um einen Beistandswechsel abgewiesen. Sie entliess C._ aus dem Amt und wies die KESB an, umgehend einen neuen Beistand zu ernennen.
B.
Am 11. August 2017 reichte A._ bei der Anklagekammer des Kantons St. Gallen Strafanzeige gegen C._ und das damalige KESB-Mitglied B._ ein. Er erhob gegen beide den Vorwurf der Verletzung der Fürsorge- oder Erziehungspflicht und des Amtsmissbrauchs. Mit Entscheid vom 4. Oktober 2017 erteilte die Anklageklammer die Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens gegen C._; hinsichtlich B._ lehnte sie die Ermächtigung ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 29. Januar 2018 beantragt A._, den Entscheid der Anklagekammer in Bezug auf B._ aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Anklagekammer zurückzuweisen; eventuell sei die Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens gegen B._ wegen Amtsmissbrauchs zu erteilen.
B._ und die Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Die Anklagekammer hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. A._ reichte am 7. September 2018 weitere Bemerkungen ein.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit dem angefochtenen Entscheid hat die zuständige Anklagekammer in Bezug auf die Beschwerdegegnerin, nicht aber den Besuchsrechtsbeistand die Erteilung der Ermächtigung verweigert, deren es nach dem kantonalen Recht für die Eröffnung eines Strafverfahrens gegen diese beiden Personen bezüglich der strittigen Tatvorwürfe bedarf (vgl. <ref-law> i.V.m. Art. 17 Abs. 2 lit. b des Einführungsgesetzes des Kantons St. Gallen vom 3. August 2010 zur Schweizerischen Straf- und Jugendstrafprozessordnung [EG-StPO; sGS 962.1]; <ref-ruling> E. 3c S. 276 f.; Urteil 1C_421/2014 vom 13. April 2015 E. 5). Ihr ablehnender Entscheid kann als kantonal letztinstanzlicher Endentscheid mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden, gehört doch die Beschwerdegegnerin nicht den obersten kantonalen Vollziehungs- und Gerichtsbehörden an, weshalb der Ausschlussgrund von <ref-law> nicht zur Anwendung kommt (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG; <ref-ruling> E. 1.3.1 f. S. 272 f.).
1.2. Aus der Beschwerdebegründung geht hervor, dass der Beschwerdeführer die Verweigerung der Ermächtigung nur hinsichtlich des Vorwurfs des Amtsmissbrauchs anficht. Dieser Straftatbestand schützt sowohl den Staat als auch den betroffenen Bürger, weshalb der Beschwerdeführer insoweit ein schutzwürdiges Interesse an einer allfälligen Strafverfolgung hat. Er ist daher nach Art. 89 Abs. 1 zur Beschwerde legitimiert, zumal er auch am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen hat (Urteil 1C_382/2012 vom 10. Oktober 2012 E. 2.6). Auch sonst steht einem Sachurteil nichts entgegen.
2.
2.1. Das Ermächtigungserfordernis dient namentlich dem Zweck, Behördenmitglieder und Beamte vor mutwilliger Strafverfolgung zu schützen und damit das reibungslose Funktionieren staatlicher Organe sicherzustellen. Ein Strafverfahren soll erst durchgeführt werden können, wenn die zuständige Behörde vorher ihre Zustimmung erteilt hat. Der förmliche Entscheid über die Eröffnung oder die Nichtanhandnahme obliegt kraft ausdrücklicher bundesrechtlicher Regelung der Staatsanwaltschaft (Art. 309 und 310 StPO; <ref-ruling> E. 2.3 S. 277).
2.2. Beim Entscheid über die Erteilung der Ermächtigung dürfen - ausser bei obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden - nur strafrechtliche Gesichtspunkte berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 2.4 S. 277 f.). Nicht jeder behördliche Fehler begründet dabei die Pflicht zur Ermächtigungserteilung. Erforderlich ist vielmehr ein Mindestmass an Hinweisen auf ein strafrechtlich relevantes Verhalten; ein solches muss in minimaler Weise glaubhaft erscheinen (Urteile 1C_584/2017 vom 1. Juni 2018 E. 2; 1C_63/2017 vom 22. Mai 2017 E. 2.2 mit Hinweis). In Zweifelsfällen ist die Ermächtigung zu erteilen; es gilt der Grundsatz "in dubio pro duriore". Ist zum Zeitpunkt des Ermächtigungsentscheids die Sach- oder Rechtslage nicht von vornherein klar, darf die zuständige Behörde die Ermächtigung zur Strafverfolgung nicht mit der Begründung verweigern, es fehle an einem hinreichenden Tatverdacht (Urteile 1C_584/2017 vom 1. Juni 2018 E. 2; 1C_96/2013 vom 17. Juni 2013 E. 4.2).
3.
Nach <ref-law> wird Amtsmissbrauch mit Freiheitsstrafe bis zu fünf Jahren oder Geldstrafe bestraft. Die Amtsgewalt missbraucht, wer die Machtbefugnisse, die ihm sein Amt verleiht, unrechtmässig anwendet, das heisst kraft seines Amtes verfügt oder Zwang ausübt, wo dies nicht geschehen dürfte (<ref-ruling> E. 1a/aa S. 211 mit Hinweisen). Gemäss der Literatur sind Fälle der vorsätzlichen Rechtsbeugung in Form der Entscheidung einer Rechtssache durch einen Amtsträger zum Nachteil einer Partei unter Missachtung des Rechts gegebenenfalls als Amtsmissbrauch zu qualifizieren (vgl. STEFAN HEIMGARTNER, in: Niggli/Wiprächtiger [Hrsg.], Basler Kommentar Strafrecht II, 3. Aufl. 2013, N. 17 zu <ref-law> mit Hinweisen). Das Bundesgericht hat sich dazu, soweit ersichtlich, noch nicht (abschliessend) geäussert (vgl. Urteil 1C_453/2015 vom 23. Oktober 2015 E. 3.2.2). Gleiches gilt hinsichtlich der Frage, ob ein Missbrauch der Amtsgewalt allenfalls auch durch Unterlassung möglich ist. In der Lehre wird teilweise die Ansicht vertreten, dies sei in der Regel zu verneinen, da durch Passivität grundsätzlich kein Zwang ausgeübt werden könne (vgl. HEIMGARTNER, a.a.O., N. 18 zu <ref-law> mit Hinweisen). Ein Amtsmissbrauch nach den Regeln des Unterlassungsdelikts gemäss <ref-law> liege aber gegebenenfalls vor, wenn der Amtsträger es unterlasse, einen Grundrechtseingriff bzw. eine Zwangssituation aufzuheben, obschon er als Garant dazu verpflichtet wäre, oder wenn er den Amtsmissbrauch eines Untergebenen im Sinne einer Mit- oder Nebentäterschaft wissentlich und willentlich geschehen lasse, obschon er die Garantenpflicht hätte, einzugreifen (vgl. HEIMGARTNER, a.a.O., N. 18 f. zu <ref-law>; FREY/OMLIN, Amtsmissbrauch - die Ohnmacht der Mächtigen, AJP 2005, S. 86 und 89 f.). In subjektiver Hinsicht ist (Eventual-) Vorsatz erforderlich (Urteil 6B_185/2016 vom 30. November 2016 E. 4.1.1 mit Hinweis). Daran fehlt es etwa, wenn der Amtsträger im Glauben handelt, er übe seine Machtbefugnisse pflichtgemäss aus (vgl. HEIMGARTNER, a.a.O., N. 22 zu <ref-law>). Vorausgesetzt ist zudem die Absicht, sich oder einem Dritten einen unrechtmässigen Vorteil zu verschaffen oder einem anderen einen Nachteil zuzufügen, wobei Eventualabsicht genügt (Urteil 6B_1169/ 2014 vom 6. Oktober 2015 E. 2.1 mit Hinweis).
4.
4.1. Der Beschwerdeführer wirft der Beschwerdegegnerin vor, sie habe durch ihr Mitwirken am Entscheid der KESB vom 7. April 2016, mit dem sein Gesuch um Beistandswechsel abgewiesen wurde, Amtsmissbrauch in der Form des Handlungsdelikts begangen. Als für die Aufsicht über den Beistand zuständiges KESB-Mitglied habe sie gewusst, dass dieser sein Besuchsrecht ohne Vorliegen einer Kindeswohlgefährdung für Januar 2016 und ab März 2016 zeitlich unbeschränkt "aufgehoben" habe. Trotz dieser offensichtlich unbegründeten und damit willkürlichen Massnahme des Beistands habe sie den beantragten Beistandswechsel abgelehnt.
4.2. Die Vorinstanz führt im angefochtenen Entscheid aus, es bestünden keine hinreichend konkreten Anhaltspunkte, dass die Beschwerdegegnerin durch ihre Mitwirkung am erwähnten Entscheid der KESB vorsätzlich Rechtsbeugung habe begehen wollen. Dessen spätere Aufhebung durch die Verwaltungsrekurskommission sei bei einem mehrstufigen Rechtsmittelweg möglich und für sich allein kein Hinweis auf einen möglicherweise strafbaren Einsatz hoheitlicher Gewalt. Die Beschwerdegegnerin bringt ergänzend vor, der Entscheid der KESB sei aus damaliger Sicht verständlich und nachvollziehbar gewesen.
4.3. Die Verwaltungsrekurskommission übt in ihrem Beschwerdeentscheid zum Teil deutliche Kritik an der KESB. Diese sei auf das Hauptvorbringen des Beschwerdeführers, das Besuchsrecht sei entgegen dem Kindeswohl über mehrere Wochen zu Unrecht "ausgesetzt" worden, ohne dass der Beistand etwas dagegen unternommen hätte, mit keinem Wort eingegangen. Auch habe sie es unterlassen, nähere Abklärungen zu den Umständen vorzunehmen, die zur mehrmonatigen "Einstellung" des Besuchsrechts geführt hätten. Weder habe sie Einsicht in die Akten des Beistands genommen noch die "Einstellung" des Besuchsrechts, die faktisch einer Massregelung des Beschwerdeführers gleichgekommen sei, hinterfragt, obschon genau dies nötig gewesen wäre. Diese Kritik berücksichtigt freilich nur unzureichend, dass die KESB bereits im April 2016 entschieden, die "Suspendierung" des Besuchsrechts im Entscheidzeitpunkt mithin nicht bereits über Monate angedauert hatte, und scheint namentlich deshalb überzogen. Aus den Erwägungen der Verwaltungsrekurskommission geht zudem bei aller Kritik nicht hervor, dass die Ablehnung des Beistandswechsels durch die KESB nicht nur unzutreffend, sondern geradezu unhaltbar gewesen wäre.
Der Entscheid der Verwaltungsrekurskommission deutet demnach zwar darauf hin, dass es sich die Beschwerdegegnerin, die unbestritten für die Aufsicht über den Beistand zuständig war, bei der Ablehnung des Beistandswechsels etwas zu leicht gemacht haben dürfte. Konkrete Anhaltspunkte, dass sie vorsätzlich pflichtwidrig sowie mit der Absicht gehandelt hätte, den Beistand in der ihm vorgeworfenen amtsmissbräuchlichen Massregelung des Beschwerdeführers zu stützen - wie dieser namentlich geltend macht -, ergeben sich daraus jedoch keine. Solches legen auch die vom Beschwerdeführer genannten weiteren Umstände nicht nahe (vgl. E. 5.5). Der angefochtene Entscheid verstösst insoweit daher nicht gegen Bundesrecht.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer wirft der Beschwerdegegnerin ausserdem Amtsmissbrauch durch Unterlassung vor. Sie sei trotz ihrer Kenntnis von der grundlosen "Suspendierung" und "Nichtwiederinstallierung" seines Besuchsrechts durch den Beistand nicht eingeschritten, sondern habe sich geweigert, ihre Aufgabe als Aufsichtsperson über diesen wahrzunehmen. Dies sei an ihrem Verzicht, den vom Beistand per Ende August 2016 geschuldeten Rechenschaftsbericht einzufordern, und an ihrer vorbehaltlosen Genehmigung des in verschiedener Hisicht ungenügenden und beschönigenden Schlussberichts gut ersichtlich.
5.2. Die Vorinstanz führt im angefochtenen Entscheid aus, Amtsmissbrauch könne nicht durch Unterlassung begangen werden, da bei einer solchen kein Zwang angewendet werde. Anhaltspunkte, dass die Beschwerdegegnerin wissentlich ein unrechtmässiges Verhalten des Beistands geduldet hätte, bestünden zudem keine. Die Beschwerdegegnerin macht namentlich geltend, es sei nicht Aufgabe der Aufsichtsperson der KESB, jeden Schritt der Beistandschaft zu überwachen. Es handle sich nicht um eine "doppelte Beistandschaft", sondern um eine allgemeine Aufsichtspflicht, weshalb sie keine Garantenstellung gehabt habe. Der Beschwerdeführer habe zudem während des gesamten Verfahrens nie gemäss <ref-law> die KESB angerufen, um gegen die "Sistierung" des Besuchsrechts durch den Beistand vorzugehen. Da die Überprüfung der Entlassung des Beistands durch die Verwaltungsrekurskommission pendent gewesen sei, habe sie keinen Anlass gehabt, vor deren Entscheid aktiv zu werden.
5.3. Soweit die Vorinstanz die Möglichkeit eines Amtsmissbrauchs durch Unterlassung in absoluter Weise verneint, stellt sie sich in Widerspruch zur dargelegten Literatur (vgl. E. 3). Wie daraus hervorgeht, ist die Rechtslage keineswegs so klar, dass insoweit ein strafbares Verhalten der Beschwerdegegnerin von vornherein zu verneinen und die Ermächtigung für die Eröffnung einer Strafuntersuchung aus diesem Grund zu verweigern wäre. Nicht zu überzeugen vermögen weiter die Vorbringen der Beschwerdegegnerin zum Fehlen einer Garantenstellung. Gemäss der Lehre muss die KESB den Beistand zwar nur generell beaufsichtigen. Sie hat jedoch von Amtes wegen einzuschreiten, wenn sie erfährt, dass die Interessen der verbeiständeten Person durch dessen Tätigkeit oder Untätigkeit gefährdet sind (vgl. KURT AFFOLTER-FRINGELI, in: Fountoulakis et al. [Hrsg.], Kindes- und Erwachsenenschutzrecht, 2016, S. 279 Rz. 8.279; HAUSHEER/GEISER/AEBI-MÜLLER, Das Familienrecht des Schweizerischen Zivilgesetzbuches, 6. Aufl. 2018, S. 535 Rz. 20.154). Aus dem gesetzlichen Auftrag der KESB (vgl. Art. 307 und 388 Abs. 1 ZGB) wird zudem gefolgert, eine Garantenstellung im Sinne von <ref-law> sei für die eigentlichen Behördenmitglieder ohne Weiteres zu bejahen (vgl. BERNARD/INDERMAUR/MEYER/ZIHLMAN, in: Fountoulakis et al. [Hrsg.], Kindes- und Erwachsenenschutzrecht, 2016, S. 860 f. Rz. 21.26 ff.). Als für die Aufsicht über den Besuchsrechtsbeistand zuständiges KESB-Mitglied hatte die Beschwerdegegnerin nach dieser Literatur demnach eine Garantenstellung gegenüber der Tochter des Beschwerdeführers und die Pflicht, gegebenenfalls zum Schutz von deren Interessen gegen die Amtsausübung des Beistands einzuschreiten.
5.4. Dem steht nicht von vornherein entgegen, dass der Beschwerdeführer gegen die "Suspendierung" und "Nichtwiederinstallierung" des Besuchsrechts nach <ref-law> hätte die KESB anrufen können, dies aber nicht getan hat. Die Möglichkeit, nach dieser Bestimmung an die Behörde zu gelangen, tritt zu deren Pflicht, gegebenenfalls von Amtes wegen einzuschreiten, hinzu (vgl. AFFOLTER-FRINGELI, a.a.O., S. 279 f. Rz. 8.280 ff.; HAUSHEER/GEISER/AEBI-MÜLLER, a.a.O., S. 535 f. Rz. 20.155). Nicht ausschlaggebend ist ausserdem, dass bei der Verwaltungsrekurskommission ein Beschwerdeverfahren bezüglich Beistandswechsel hängig war, bildete die Frage des Besuchsrechts doch nicht Verfahrensgegenstand. Beide Umstände sind allerdings im Zusammenhang mit der Frage, wieso die Beschwerdegegnerin untätig blieb, zu deren Gunsten zu berücksichtigen, zumal der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde an die Verwaltungsrekurskommission nur knapp auf die "Suspendierung" des Besuchsrechts im März 2016 hinwies. Sie legen nahe, dass die Beschwerdegegnerin keinen offenkundigen Anlass zum Einschreiten hatte und nicht deshalb untätig blieb, weil sie die dem Beistand vorgeworfene amtsmissbräuchliche Massregelung des Beschwerdeführers wissentlich und willentlich sowie mit Nachteilszufügungsabsicht dulden oder unterstützen wollte.
5.5. Konkrete gegenteilige Anhaltspunkte bestehen keine. Insbesondere deutet nichts darauf hin, dass die Beschwerdegegnerin mit dem von ihr nicht bestrittenen Verzicht, vom Beistand den offenbar per Ende August 2016 geschuldeten Rechenschaftsbericht einzuverlangen, eine als missbräuchlich erkannte Amtsausübung decken oder fördern wollte. Ebenso wenig sind Umstände dargetan oder ersichtlich, die darauf schliessen liessen, sie habe den wenig ausgewogen und beschönigend erscheinenden Schlussbericht des Beistands aus diesem Grund vorbehaltlos genehmigt. Auch die Versäumnisse im Zusammenhang mit dem Entscheid der KESB über den Beistandswechsel deuten nicht auf solches hin (vgl. E. 4.3). Der angefochtene Entscheid beruht hinsichtlich des Vorwurfs des Amtsmissbrauchs durch Unterlassung demnach weder auf einer offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung noch ist er sonst bundesrechtswidrig. Dass die Vorinstanz die Ermächtigung in Bezug auf den Beistand erteilt hat, ändert daran nichts, bestehen doch mangels konkreter Hinweise auf ein strafbares Verhalten der Beschwerdegegnerin auch keine Anhaltspunkte dafür, dass diese in strafwürdiger Weise am dem Beistand vorgeworfenen Amtsmissbrauch mitgewirkt hat.
6.
Demnach ist die Beschwerde abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Da die Stadt St. Gallen der Beschwerdegegnerin Rechtsschutz gewährt hat, sind dieser für das Verfahren vor Bundesgericht keine Kosten entstanden. Es ist daher keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 - 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. November 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Baur