Sachverhalt:
A.
Das Regionalgericht Berner Jura-Seeland sprach A._ mit Urteil vom 15. August 2017 des Hausfriedensbruchs, der falschen Anschuldigung, des Fahrenlassens ohne Führerausweis sowie diverser weiterer Strassenverkehrsdelikte schuldig und verurteilte ihn gestützt auf das zum damaligen Zeitpunkt geltende Recht zu 720 Stunden gemeinnütziger Arbeit anstelle einer Geldstrafe von 180 Tagessätzen zu je Fr. 30.--. Das Obergericht des Kantons Bern, 1. Strafkammer, wies die Berufung von A._ mit Urteil vom 31. Januar 2020 ab.
B.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt, er sei freizusprechen vom Vorwurf des Hausfriedensbruchs, der falschen Anschuldigung und des Fahrenlassens ohne Führerausweis. Die ausgesprochene Strafe sei angemessen zu reduzieren. Die vorinstanzlichen Kosten seien entsprechend neu zu verlegen und es sei ihm eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen. In prozessualer Hinsicht beantragt A._, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Mit separater Eingabe verlangt er ausserdem die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung.
C.
Mit Verfügung vom 12. März 2020 wies der Präsident der Strafrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab.
D.
Das Obergericht, die Generalstaatsanwaltschaft und die B._ AG wurden zur Vernehmlassung eingeladen. Das Obergericht und die Generalstaatsanwaltschaft verzichteten auf eine Vernehmlassung. Die B._ AG beantragt die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Dem Beschwerdeführer wird vorgeworfen, trotz Hausverbots am 5. Oktober 2015 den B._-Shop in U._ betreten zu haben. Er stellt sich auf den Standpunkt, es liege kein gültiger Strafantrag vor, weshalb ein Freispruch hätte erfolgen müssen. D._, der den Strafantrag für die Beschwerdegegnerin 2 gestellt habe, sei für diese nicht zeichnungsberechtigt. Die strafantragstellende Person müsse über eine gültige Vollmacht verfügen oder im Handelsregister eingetragen sein. Es sei im vorliegenden Verfahren keine entsprechende Vollmacht eingereicht und innerhalb der Antragsfrist keine rechtsgültige Delegation der Strafantragstellung nachgewiesen worden. In rechtsstaatlicher Hinsicht könne erwartet werden, dass ein gültiger Strafantrag vorliege, der auch mittels Dokumenten überprüft werden könne. Eine formale Betrachtung sei zur Wahrung des Rechtsschutzes unverzichtbar.
1.2. Die Vorinstanz bejaht das Vorliegen eines gültigen Strafantrags. Sie erwägt, D._ sei zwar nicht zeichnungsberechtigt für die Beschwerdegegnerin 2. Er sei aber für die Sicherheit und den Schutz von Kunden, Mitarbeitern und Gegenständen in den B._- Shops verantwortlich. Ihm obliege damit eine besondere Verantwortung für das Aufrechterhalten der Sicherheit und die Ausübung des Hausrechts im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung. Eine rein formale Betrachtung des Strafantragsrechts sei nicht praxistauglich. Gerade grosse Firmen würden eine Vielzahl von Hausverboten aussprechen, wobei die Einhaltung der Hausverbote und die Überwachung der Sicherheit im Sinne einer wirtschaftlichen Arbeitsteilung oft delegiert werde. Wäre für jeden Strafantrag die Unterschrift eines zeichnungsberechtigten Mitarbeiters erforderlich, würde dies zu einer unnötigen und nicht praktikablen Erschwerung der Prozesse führen.
1.3. Die Beschwerdegegnerin 2 schliesst sich in ihrer Vernehmlassung den Ausführungen der Vorinstanz an. Sie ergänzt im Hinblick auf das Argument der Praktikabilität, dass sie 17'000 Mitarbeiter beschäftige. Es sei im Unternehmen deshalb eine interne Unterschriftenregelung eingeführt worden, die auch nicht zeichnungsberechtigten Mitarbeitern die Befugnis erteile, in ihren Tätigkeitsbereichen für die Gesellschaft zu handeln und zu signieren. D._ sei von der Beschwerdegegnerin 2 mit der Aufrechterhaltung der Sicherheit in den B._-Shops beauftragt worden. Gerade in Bezug auf die Sicherheit verfüge er über sämtliche Befugnisse, um die Kunden und Shop-Mitarbeiter zu schützen. Dazu gehörten unter anderem das Aussprechen und Durchsetzen von Hausverboten.
1.4.
1.4.1. Hausfriedensbruch begeht und auf Antrag bestraft wird, wer gegen den Willen des Berechtigten in ein Haus, in eine Wohnung, in einen abgeschlossenen Raum eines Hauses oder in einen unmittelbar zu einem Hause gehörenden umfriedeten Platz, Hof oder Garten oder in einen Werkplatz unrechtmässig eindringt oder, trotz der Aufforderung eines Berechtigten, sich zu entfernen, darin verweilt (<ref-law>). Träger des Hausrechts ist derjenige, dem die Verfügungsgewalt über die Räume zusteht, gleichgültig, ob jene auf einem dinglichen oder obligatorischen Recht oder einem öffentlich-rechtlichen Verhältnis beruht (<ref-ruling> E. 3a S. 84 mit Hinweisen). Nicht Träger des Hausrechts ist, wer nur dazu berechtigt ist, die Interessen des Eigentümers der betreffenden Liegenschaft auszuüben (vgl. <ref-ruling> E. 1c S. 170 f. mit Hinweisen; Urteil 6B_960/2017 vom 2. Mai 2018 E. 1; DANIEL STOLL, in: Commentaire romand, Code pénal, Bd. I, 2009, N. 26 zu <ref-law>).
1.4.2. Gemäss <ref-law> kann jede Person, die durch die Tat verletzt worden ist, die Bestrafung des Täters beantragen. Die Antragsberechtigung gemäss <ref-law> richtet sich nach dem Träger des angegriffenen Rechtsgutes. Handelt es sich nicht um höchstpersönliche Rechtsgüter, kann auch derjenige im Sinne von <ref-law> verletzt sein, in dessen Rechtskreis die Tat unmittelbar eingreift, sowie derjenige, dem eine besondere Verantwortung für die Erhaltung des Gegenstandes obliegt (<ref-ruling> E. 1.2 S. 51 mit Hinweisen). Das Hausrecht zählt nicht zu den höchstpersönlichen Rechtsgütern und ist in Bezug auf die Antragsberechtigung wie ein Vermögensrecht zu behandeln (<ref-ruling> E. 1c S. 170 f.; Urteil 6B_7/2018 vom 17. Oktober 2018 E. 2.3).
1.4.3. Das Recht, Strafantrag zu stellen, ist grundsätzlich höchstpersönlicher Natur und unübertragbar (<ref-ruling> E. 2.3.4 S. 387; <ref-ruling> E. 2.1 S. 98 f.; je mit Hinweisen). Daraus folgt aber nicht, dass das Antragsrecht nicht auch von einem Vertreter ausgeübt werden kann (Vertretung in der Erklärung, Antragsbefugnis). Hierfür genügt die Erteilung einer generellen Vollmacht. Dem Vertreter kann darüber hinaus auch die Entscheidung übertragen werden, ob er Strafantrag stellen will (Vertretung im Willen). Dies gilt freilich nur, wo die Verletzung materieller Rechtsgüter in Frage steht, die nicht direkt von der Person des Berechtigten, sondern etwa vom Inhalt einer vertraglichen Beziehung abhängen (z.B. bei Hausfriedensbruch). Die Ermächtigung des Vertreters zur Antragstellung darf namentlich dann angenommen werden, wenn das betreffende Delikt materielle Rechtsgüter verletzt, mit deren Wahrung oder Verwaltung der Vertreter allgemein betraut ist (<ref-ruling> E. 3c S. 209; <ref-ruling> E. 1b und c S. 169 ff.; Urteil 6B_924/2016 vom 24. März 2017 E. 4.3.1; je mit Hinweisen).
1.4.4. Ist eine juristische Person verletzt, so richtet sich die Zuständigkeit, Strafantrag zu stellen, nach deren Organisation. Befugt ist dasjenige Organ, das zur Wahrung der durch das Delikt verletzten Interessen berufen ist. Bei einer Aktiengesellschaft handelt es sich dabei grundsätzlich um den Verwaltungsrat (vgl. <ref-ruling> E. 1b S. 170). Bei juristischen Personen sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sodann all jene Personen berechtigt, wegen eines Deliktes gegen das Vermögen der juristischen Person in deren Vertretung Strafantrag zu stellen, die ausdrücklich oder stillschweigend damit beauftragt sind, die infrage stehenden Interessen der juristischen Person zu wahren bzw. den betreffenden Vermögenswert zu verwalten. Massgebend ist, dass der Strafantrag dem Willen der Gesellschaftsorgane nicht widerspricht und von diesen genehmigt werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 1b S. 170 mit Hinweisen). Zur Stellung eines Strafantrags bedarf es keiner besonderen Ermächtigung im Sinne von <ref-law>, wenn der Strafantrag lediglich darauf abzielt, den öffentlichen Ankläger in die Lage zu versetzen, das Strafverfahren einzuleiten (Urteil 6B_545/2016 vom 6. Februar 2017 E. 1.3 mit Hinweisen).
1.4.5. Nach dem Gesagten ist zu unterscheiden zwischen der eigenen Strafantragsberechtigung einer Person und der Befugnis, als Vertreterin für die strafantragsberechtigte Person einen Strafantrag zu stellen. Während etwa Liegenschaftsverwaltungen bei Hausfriedensbruch im eigenen Namen nicht strafantragsberechtigt sind (Urteil 6B_960/2017 vom 2. Mai 2018 E. 1), ist das Stellen eines Strafantrags in Vertretung der Eigentümerschaft zulässig. Dabei ist davon auszugehen, dass Liegenschaftsverwaltungen auch ohne schriftliche Vollmacht im Namen des geschädigten Eigentümers Strafantrag stellen dürfen, weil sie aufgrund ihrer Funktion als zur Wahrung des Hausrechts verpflichtet und als zur Antragstellung im Namen des Eigentümers ermächtigt anzusehen sind (vgl. <ref-ruling> E. 1c S. 170 f.; Urteil 6B_924/2016 vom 24. März 2017 E. 4). In einem grösseren Unternehmen ist grundsätzlich entscheidend, dass der den Antrag stellende Angestellte kraft seiner Funktion gerade für den Schutz jener Rechtsgüter zu sorgen hat, die durch die betreffende strafbare Handlung verletzt worden sind (JÖRG REHBERG, Der Strafantrag, in: ZStR Nr. 85 (1969), S. 247 ff., S. 260; vgl. auch <ref-ruling> E. 1c S. 171).
1.5.
1.5.1. Vorliegend ist zunächst die eigene Strafantragsberechtigung der strafantragstellenden Person zu prüfen. D._ war für die Beschwerdegegnerin 2 nicht zeichnungsberechtigt. Er hatte weder echte noch faktische Organstellung inne. Es kam ihm keine geschäftsführende Position im Unternehmen zu. Er war auch nicht verfügungsberechtigt über den betreffenden B._-Shop. Wie bereits ausgeführt, ist Träger des Hausrechts, wem die Verfügungsgewalt über die Sache zusteht. Wer nur dazu berechtigt ist, die Interessen der verfügungsberechtigten Person auszuüben, ist nicht selbst Hausrechtsinhaber (vgl. oben E. 1.4.1). D._ kam die Rolle zu, die Interessen der Beschwerdegegnerin 2 als der Hausrechtsberechtigten wahrzunehmen. Er nahm durch die Ausführung dieser Tätigkeit aber keine eigenen Interessen wahr. Im Zusammenhang mit Aneignungsdelikten ist gemäss der Rechtsprechung darauf abzustellen, ob die Interessen einer Person am Gebrauch der Sache durch die Wegnahme derselben unmittelbar beeinträchtigt wurden (<ref-ruling> E. 1.2 S. 51 mit Hinweisen). Darauf kann auch bei Hausfriedensbruch abgestellt werden. Eine solche unmittelbare Beeinträchtigung der Interessen ist bei einem Angestellten einer juristischen Person zu verneinen, wenn dieser keine Geschäftsführungsbefugnisse wahrnimmt (vgl. Urteile 6B_776/2016 vom 8. November 2016 E. 1.4.3 und 6B_762/2008 vom 8. Januar 2009 E. 3.5).
1.5.2. D._ kommt zwar gemäss den verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz ein Aufgabenbereich zu, zu welchem die Gewährleistung der Sicherheit und der Schutz von Kunden, Mitarbeitern und Gegenständen in den B._-Shops gehört. Es kommt ihm also eine Verantwortung zur Wahrung des Hausrechts innerhalb der Beschwerdegegnerin 2 zu. Er hat aber gleichwohl keine eigenen rechtlich geschützten Interessen an der Durchsetzung des Hausrechts, die durch dessen Verletzung unmittelbar beeinträchtigt würden. D._ hat auch kein gleichgelagertes Interesse wie die Beschwerdegegnerin 2 (vgl. dazu CHRISTOF RIEDO, in: Basler Kommentar, Strafrecht, Bd. I, 4. Aufl. 2019, N. 12 zu <ref-law> mit Hinweisen). Der Vorinstanz ist zwar darin zu folgen, dass es unpraktikabel wäre, für jeden Strafantrag die Unterschrift eines zeichnungsberechtigten Mitarbeiters zu verlangen. Dies ist allerdings angesichts der Rechtsprechung zur Möglichkeit, einen Vertreter zur Strafantragstellung zu ermächtigen, auch nicht erforderlich. D._ kam keine eigene Strafantragsberechtigung zu.
1.6.
1.6.1. Es stellt sich die Frage, ob D._ den Strafantrag als ermächtigter Vertreter der Beschwerdegegnerin 2 gestellt hat. Der Beschwerdeführer bringt zutreffend vor, dass keine Vollmacht bei den Akten liegt. Die Vorinstanz setzt sich mit dieser Frage nicht auseinander. Sie geht nicht darauf ein, ob D._ den Strafantrag in eigenem Namen gestellt oder auf ein allfälliges Stellvertretungsverhältnis hingewiesen hat. Auch der Vernehmlassung der Beschwerdegegnerin 2 ist hierzu nichts zu entnehmen. Diese weist zwar auf eine interne Unterschriftenregelung hin, macht aber nicht geltend, dass in Bezug auf D._ eine solche Regelung bestanden habe. Hingegen stellt die Vorinstanz verbindlich fest, dass D._ durch die Hausrechtsinhaberin mit der Aufrechterhaltung der Sicherheit in den B._-Shops beauftragt worden ist. Es war seine Aufgabe, im Interesse der Beschwerdegegnerin 2 für die Sicherheit und den Schutz von Kunden, Mitarbeitern und Gegenständen besorgt zu sein und es oblag ihm eine besondere Verantwortung für das Aufrechterhalten der Sicherheit und die Ausübung des Hausrechts. Ergänzend kann dem erstinstanzlichen Urteil entnommen werden, dass D._ ein Mitarbeiter der Beschwerdegegnerin 2 war. Aus den Akten geht sodann hervor, dass er den Strafantrag nicht in eigenem Namen, sondern als Vertreter im Namen der Beschwerdegegnerin 2 gestellt hat.
1.6.2. D._ war als Angestellter der Beschwerdegegnerin 2 zur Wahrung des durch den Beschwerdeführer verletzten Hausrechts in den B._-Shops zuständig. Er hat den Strafantrag als Vertreter für die geschädigte Beschwerdegegnerin 2 gestellt. Es ist sodann davon auszugehen, dass der Strafantrag nicht gegen den Willen der Gesellschaft gestellt wurde. D._ ist aufgrund seiner Funktion zur Wahrung des Hausrechts verpflichtet und als zur Antragstellung im Namen der Beschwerdegegnerin 2 ermächtigt anzusehen. Es liegt ein gültiger Strafantrag vor. Der Schuldspruch wegen Hausfriedensbruchs ist zu bestätigen.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt, es hätte ein Freispruch von den Vorwürfen der falschen Anschuldigung und des Fahrenlassens ohne Führerausweis erfolgen müssen.
Hinsichtlich des Vorwurfs der falschen Anschuldigung bringt er vor, er habe sich in einem Sachverhaltsirrtum befunden. Ihm werde zu Unrecht vorgeworfen, er habe wider besseres Wissen und in bewusster Schädigungsabsicht in der staatsanwaltlichen Einvernahme vom 9. Mai 2014 behauptet, die Beschwerdegegnerin 3 habe sich des Amtsmissbrauchs schuldig gemacht. Er habe sich an eine Leibesvisitation erinnert, die sich im Bahnhof Biel auf die geschilderte Art und Weise zugetragen habe. Es sei ihm nicht bewusst gewesen, dass es sich dabei um verschiedene Tathergänge und unterschiedliche Polizeiorgane gehandelt habe.
Bezüglich des Fahrenlassens ohne Führerausweis bringt er vor, er habe nicht gewusst, dass das Führen eines Kleinmotorrades einen Führerausweis der Kategorie A1 voraussetze. Inhabern von Führerausweisen der Kategorie B, die vor dem 1. April 2003 ausgestellt wurden, sei es gemäss Art. 3 der Verordnung über die Zulassung von Personen und Fahrzeugen zum Strassenverkehr vom 27. Oktober 1976 (VZV; SR 741.51; Stand: 7. August 2001) erlaubt, auch Kleinmotorräder zu führen. Ihm habe nicht bewusst sein müssen, dass ein Führerausweis der Kategorie B zum Lenken eines Kleinmotorrades nicht (mehr) genüge. Es sei zudem auf die soziale Usanz abzustellen. Demnach dürfe der Halter auf die Aussage eines Freundes, dass dieser im Besitz der notwendigen Fahrberechtigung sei, vertrauen. Er habe in guten Treuen darauf vertrauen dürfen, dass sein Kollege über kein Fahrzeug mehr verfügte und ihn gerade deshalb darum bat, sein Fahrzeug ausleihen zu dürfen. Es fehle ihm am subjektiven Tatbestandselement des vorsätzlichen bzw. fahrlässigen Ignorierens des nicht vorhandenen Ausweisbesitzes.
2.2. Was der Täter wusste, wollte und in Kauf nahm und ob er sich in einem Irrtum befand, betrifft sogenannte innere Tatsachen und ist folglich Tatfrage (<ref-ruling> E. 6.3 S. 375; <ref-ruling> E. 4.2.3 S. 4 f.; je mit Hinweisen). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz kann vor Bundesgericht nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich im Sinne von <ref-law> ist, und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law> und <ref-law>). Willkür im Sinne von <ref-law> liegt vor, wenn die vorinstanzliche Beweiswürdigung schlechterdings unhaltbar ist, d.h. wenn die Behörde in ihrem Entscheid von Tatsachen ausgeht, die mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen oder auf einem offenkundigen Fehler beruhen. Dass eine andere Lösung oder Würdigung ebenfalls vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt für die Annahme von Willkür nicht (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 244; <ref-ruling> E. 6.3 S. 375; je mit Hinweisen). Die Rüge der Willkür muss in der Beschwerde explizit vorgebracht und substantiiert begründet werden (<ref-law>). Auf ungenügend begründete Rügen oder rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3 S. 30; <ref-ruling> E. 4.2 S. 53; je mit Hinweisen).
2.3. Die Vorbringen des Beschwerdeführers zum Vorwurf der falschen Anschuldigung betreffen die tatsächlichen Voraussetzungen des Sachverhaltsirrtums und können lediglich unter dem Gesichtspunkt der Willkür geprüft werden. Seine Vorbringen zum Vorwurf des Fahrenlassens ohne Führerausweis beziehen sich ausschliesslich auf Tatfragen des subjektiven Tatbestands und sind damit ebenfalls nur auf Willkür zu prüfen. Der Beschwerdeführer begnügt sich damit, seine eigene Sicht der Dinge darzustellen. Er zeigt nicht auf, inwiefern die vorinstanzlichen Erwägungen Recht verletzen oder willkürlich sein sollten. Er genügt damit weder seiner Begründungspflicht (<ref-law>) noch der qualifizierten Rügepflicht (<ref-law>). Auf die entsprechenden Rügen ist nicht einzutreten.
3.
Der Beschwerdeführer begründet seine Anträge zur Neuverlegung der Kosten der kantonalen Verfahren und die Zusprechung einer angemessenen Parteientschädigung nicht, weshalb darauf nicht einzutreten ist.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Da die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind, kann dem Gesuch entsprochen werden (<ref-law>). Es sind daher keine Kosten zu erheben. Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers ist aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung auszurichten (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Der Beschwerdegegnerin 2, die nicht durch einen extern mandatierten Anwalt, sondern durch ihren eigenen Rechtsdienst vertreten ist, steht keine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. THOMAS GEISER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 5 zu <ref-law>). Der Beschwerdegegnerin 3 ist keine Entschädigung zuzusprechen, da sie im bundesgerichtlichen Verfahren nicht zur Vernehmlassung eingeladen wurde und ihr somit keine Umtriebe entstanden sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers wird für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- aus der Bundesgerichtskasse ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Juli 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Schär