Erwägungen:
1.
A._ erhob mit Eingabe vom 25. August 2021 "Beschwerde gegen den Beschluss des Obergerichts des Kantons Solothurn". Da der angefochtene Beschluss der Beschwerde nicht beilag, forderte das Bundesgericht A._ mit Verfügung vom 27. August 2021 auf, den fehlenden angefochtenen Beschluss bis spätestens am 10. September 2021 dem Bundesgericht einzureichen, ansonsten die Rechtsschrift unbeachtet bleibe (<ref-law>). Die Verfügung vom 27. August 2021 wurde als "Einschreiben (R) " versandt. Die Post sandte die Verfügung mit dem Vermerk "Nicht abgeholt" an das Bundesgericht zurück. Für den Beschwerdeführer bestand indessen mit Blick auf das von ihm angestrengte Verfahren die Pflicht, dafür zu sorgen, dass ihm Gerichtsurkunden zugestellt werden können (<ref-ruling> E. 1.2.3; <ref-ruling> E. 2a). Die Verfügung vom 27. August 2021 gilt somit als zugestellt (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 4 S. 51). Da der Beschwerdeführer innert Frist der Aufforderung in der Verfügung vom 27. August 2021 nicht nachkam, ist androhungsgemäss in Anwendung von <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> auf die Beschwerde nicht einzutreten.
2.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. September 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli