Sachverhalt:
A.
Dr. A._ erlitt am 9. August 1997 einen Unfall und wurde am 5. September 2001 von Prof. Dr. B._ erstmals an der Halswirbelsäule operiert. Es wurde eine Versteifung (Spondylodese) der Wirbel C6 und C7 durchgeführt. Am 22. Juni 2004 erlitt A._ erneut einen Unfall. Am 30. August 2004 führte B._ eine zweite Operation durch, bei der er die Bandscheibe zwischen den Wirbeln C5 und C6 durch eine Prothese ersetzte. Da sich diese Prothese im Laufe der Zeit lockerte, wurde sie in einer weiteren Operation am 9. Mai 2007 wieder entfernt und - zusätzlich zur bestehenden Versteifung der Wirbel C6 und C7 - eine Spondylodese der Wirbel C5 und C6 durchgeführt. Am 24. Juni 2010 erstattete die Beschwerdeführerin gegen B._ Strafanzeige wegen vorsätzlicher (allenfalls eventualvorsätzlicher) schwerer Körperverletzung und Urkundenfälschung. Die Staatsanwaltschaft stellte nach Einholung eines Gutachtens mit Verfügung vom 22. Mai 2013 das Strafverfahren ein und verwies die Zivilklage auf den Zivilweg. Das Appellationsgericht wies mit Entscheid BES.2013.53 vom 19. August 2014 eine Beschwerde von A._ gegen diese Verfügung ab, soweit es darauf eintrat. Dieser Entscheid ist mangels weiterer Anfechtung am 11. November 2014 in Rechtskraft erwachsen.
Am 6. November 2014 erhob A._ erneut Strafanzeige gegen B._, mit der sie ihm mehrfache Vergehen gegen das Heilmittelgesetz, vorsätzliche (ev. fahrlässige) schwere Körperverletzung, Urkundenfälschung (ev. Betrug) und Warenfälschung vorwarf. Mit Nichtanhandnahmeverfügung vom 12. Januar 2016 trat die Staatsanwaltschaft nicht auf die Strafanzeige ein, weil die fraglichen Straftatbestände und teilweise auch die Prozessvoraussetzungen eindeutig nicht erfüllt gewesen seien. Mit Entscheid BES.2016.22 vom 22. Dezember 2016 wies das Appellationsgericht eine Beschwerde von A._ gegen diesen Entscheid ab, soweit es darauf eintrat, und leitete die Akten zur Prüfung der Voraussetzungen einer Revision des Entscheids BES.2013.53 an das Berufungsgericht weiter. Dieses trat mit Beschluss vom 1. September 2017 (DG.2017.8) nicht auf das Revisionsgesuch ein, da gegen eine Einstellungsverfügung nicht die Revision, sondern einzig eine Wiederaufnahme im Sinne von Art. 323 der Strafprozessordnung (StPO) zur Verfügung stehe. A._ erhob sowohl gegen den Entscheid BES.2016.22 als auch gegen den Entscheid DG.2017.8 Beschwerde ans Bundesgericht. Mit Entscheid vom 27. November 2017 vereinigte dieses die beiden Beschwerden, wies die Beschwerde gegen den Entscheid vom 22. Dezember 2016 ab, soweit es darauf eintrat (Verfahren 6B_290/2017), und trat auf die Beschwerde gegen den Entscheid vom 1. September 2017 nicht ein (Verfahren 6B_1187/2017). Es leitete die kantonalen Akten zwecks Prüfung der Wiederaufnahme der Einstellungsverfügung vom 22. Mai 2013 an die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt weiter.
Am 1. Oktober 2018 erliess die Staatsanwaltschaft eine Verfügung, wonach gemäss rechtskräftiger Einstellungsverfügung vom 22. Mai 2013 (Verfahren V100628 085) keine Wiederaufnahme erfolge.
B.
A._ erhob Beschwerde gegen die Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 1. Oktober 2018. Das Appellationsgericht Basel-Stadt wies die Beschwerde am 30. September 2019 ab.
C.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen. Sie beantragt, der Entscheid des Appellationsgerichts vom 30. September 2019 sei aufzuheben. Die Sache sei an die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt zur Prüfung der neuen Tatsachen und Beweismittel und zur Anordnung der Verfahrenswiederaufnahme zurückzuweisen. Der vorinstanzliche Entscheid sei auch aufgrund einer Verletzung des Gleichbehandlungsgebots sowie aufgrund der unterbliebenen Aufklärung durch B._ über die Risiken der Bandscheibenprothese aufzuheben. Die Sache sei an die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt zurückzuweisen, damit diese die verlangten CE-Kennzeichnungen für verschiedene Prothesenmodelle einfordere. Schliesslich sei die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt anzuweisen, bei der Food and Drug Administration (FDA) verbindlich abzuklären, ob die Person, die am 30. August 2004 eine PCM-Prothese erhalten habe, an der klinischen Pilotstudie für die Zulassung der PCM-Prothesen zur Therapie der Adjacent Segment Disease teilgenommen habe.

Erwägungen:
1.
Gegenstand des vorliegenden Verfahrens ist einzig der Entscheid des Appellationsgerichts Basel-Stadt vom 30. September 2019. Im genannten Entscheid geht es um die Frage, ob die Staatsanwaltschaft die Wiederaufnahme des mit Verfügung vom 22. Mai 2013 eingestellten Strafverfahrens zu Recht verweigert hat.
Die Ausführungen der Beschwerdeführerin sind äusserst weitschweifig und wiederholend. Dabei wird sehr ausführlich der bisherige Verfahrensgang wiedergegeben. Daneben enthält die Beschwerde zu einem grossen Teil Ausführungen zu früheren Verfahren bzw. Entscheiden, die nicht Gegenstand des vorliegenden bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens bilden. Bereits aufgrund dessen kann auf einen Grossteil der Beschwerde nicht eingetreten werden. Dies betrifft etwa den Einwand, das Appellationsgericht als Beschwerdeinstanz im Verfahren BES.2013.53 sei nach Art. 16 und Art. 20 StPO nicht zuständig gewesen zur Beurteilung der neuen Tatsachen und Beweismittel. Unzulässig ist auch die Rüge der Beschwerdeführerin, die Staatsanwaltschaft habe ihr im Verfahren V100628 085 das rechtliche Gehör nicht gewährt.
2.
2.1. Gemäss <ref-law> ist zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Legitimiert ist nach Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG insbesondere die Privatklägerschaft, mithin die geschädigte Person, die ausdrücklich erklärt, sich am Strafverfahren als Straf- oder Zivilklägerin zu beteiligen (<ref-law>). Geschädigt ist, wer durch die Straftat in seinen Rechten unmittelbar verletzt ist (<ref-law>).
Die Privatklägerschaft ist zur Beschwerde in Strafsachen indes nur berechtigt, wenn sich der angefochtene Entscheid auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Als Zivilansprüche im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG gelten solche, die ihren Grund im Zivilrecht haben und deshalb ordentlicherweise vor den Zivilgerichten durchgesetzt werden müssen. In erster Linie handelt es sich um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung nach <ref-law>. Nicht in diese Kategorie gehören Ansprüche, die sich aus öffentlichem Recht ergeben. Öffentlich-rechtliche Ansprüche, auch solche aus öffentlichem Staatshaftungsrecht, können nicht adhäsionsweise im Strafprozess geltend gemacht werden und zählen nicht zu den Zivilansprüchen im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG (<ref-ruling> E. 1.2.4 S. 461; <ref-ruling> E. 2.2 f. S. 191 f.; Urteil 6B_307/2019 vom 13. November 2019 E. 3.1, zur Publikation vorgesehen). Das Bundesgericht tritt deshalb auf solche Beschwerden der Privatklägerschaft gegen Ärzte in konstanter Rechtsprechung nicht ein, soweit sie in der Funktion eines öffentlich-rechtlichen Angestellten einen Schaden verursachen (Urteile 6B_1290/2018 vom 4. April 2019 E. 3; 6B_730/2017 vom 7. März 2018 E. 1.6; 6B_1181/2017 vom 13. November 2017 E. 3 f., 6B_603/2016 vom 26. Juni 2017 E. 1.1 und 6B_465/2016 vom 17. März 2017 E. 1.1). Diese Rechtsprechung wurde unlängst in einem Grundsatzentscheid erneut bestätigt (Urteil 6B_307/2019 vom 13. November 2019, zur Publikation vorgesehen), worauf auch für den vorliegenden Fall vollumfänglich verwiesen werden kann.
Der Privatkläger muss im Verfahren vor Bundesgericht darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderung auswirken kann. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen Anforderungen nicht, kann auf das Rechtsmittel nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderung es geht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 4 mit Hinwei sen).
2.2. Zur Legitimation führt die Beschwerdeführerin aus, sie sei Privatklägerin gemäss <ref-law>. Ihr sei eine ungenügend getestete und nicht sichere Prothese eingesetzt worden. Diese habe sich mit der Zeit verschoben und starke Schmerzen verursacht. Sie habe deswegen nachweislich gesundheitlichen sowie wirtschaftlichen Schaden (Erwerbsausfall aufgrund von Arbeitsunfähigkeit) erlitten. Sie verlange daher Schadenersatz und Genugtuung.
2.3. Vorliegend ist nicht ohne Weiteres ersichtlich, inwiefern allfällige Ansprüche der Beschwerdeführerin zivilrechtlicher und nicht vielmehr öffentlich-rechtlicher Natur sind. Die Beschwerdeführerin wurde von B._ am Universitätsspital Basel operiert. Die ihm vorgeworfenen Delikte soll der Arzt im Rahmen seiner Tätigkeit am Universitätsspital Basel begangen haben. Dabei handelt es sich um eine selbständige öffentlich-rechtliche Anstalt mit eigener Rechtspersönlichkeit (§ 2 Abs. 1 des heute geltenden Gesetzes des Kantons Basel-Stadt vom 16. Februar 2011 über die öffentlichen Spitäler des Kantons Basel-Stadt, Öffentliche Spitäler-Gesetz, ÖSpG; SG 331.100). Gemäss § 3 des Gesetzes des Kantons Basel-Stadt vom 17. November 1999 über die Haftung des Staates und seines Personals (Haftungsgesetz; SG 161.100) haftet der Staat für den Schaden, den sein Personal in Ausübung seiner amtlichen Tätigkeit Dritten widerrechtlich zufügt (Abs. 1). Gegenüber dem fehlbaren Personal steht der geschädigten Person kein Anspruch zu (Abs. 2). Wo der Staat gemäss § 3 für Schaden haftet, hat die geschädigte Person Anspruch auf Genugtuung, wenn sie in ihren Persönlichkeitsrechten schwer verletzt worden ist (§ 4a). Handelte B._ als Angestellter des Universitätsspitals, beurteilen sich allfällige Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche der Beschwerdeführerin gegen ihn ausschliesslich nach dem Haftungsgesetz und sind demnach öffentlich-rechtlicher Natur. Zwar wäre es möglich, dass B._ die Beschwerdeführerin privatärztlich behandelte (vgl. § 13 ÖSpG), jedoch wäre es an dieser gelegen, diesen Umstand in ihrer Beschwerde darzulegen. Ein Verzicht auf solche Ausführungen ist vorliegend nicht möglich, da sich privatrechtliche Auswirkungen aufgrund der in Frage stehenden Vorwürfe und des Adressaten der Strafanzeigen gerade nicht ohne Weiteres aus den Akten ergeben. Der Beschwerdeführerin sind die strengen Begründungsanforderungen hinsichtlich der Beschwerdelegitimation bekannt, wurde sie doch bereits im Urteil 6B_290/2017 vom 27. November 2017 darauf aufmerksam gemacht. Auf die Beschwerde kann mangels hinreichender Begründung der Legitimation in der Sache grundsätzlich nicht eingetreten werden.
3.
3.1. Unbekümmert der fehlenden Legitimation in der Sache selbst kann die Privatklägerschaft mit Beschwerde in Strafsachen eine Verletzung ihrer Parteirechte rügen, die ihr nach dem Verfahrensrecht, der Bundesverfassung oder der EMRK zustehen und deren Missachtung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft. Zulässig sind nur Rügen formeller Natur, die von der Prüfung der Sache getrennt werden können. Das geforderte rechtlich geschützte Interesse ergibt sich diesfalls aus der Berechtigung, am Verfahren teilzunehmen. Nicht zu hören sind Rügen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen (sog. "Star-Praxis"; <ref-ruling> E. 1.1 S. 5 mit Hinweisen). Soweit eine Rüge zulässig ist, ist klar und detailliert darzulegen, inwieweit das angerufene Recht verletzt worden sein soll (<ref-law>).
3.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die neuen Tatsachen und Beweismittel seien nie im gesetzlich vorgesehenen Verfahren von der zuständigen Behörde geprüft worden. Gemäss <ref-law> wären diese von der Staatsanwaltschaft in einem Wiederaufnahmeverfahren zu prüfen gewesen. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von Art. 2, Art. 5, Art. 6 und Art. 7 StPO sowie des in <ref-law> verankerten Legalitätsprinzips. Zudem macht sie eine Rechtsverweigerung geltend. Der Beschwerdeführerin kann nicht gefolgt werden. Vorliegend wurde die Möglichkeit einer Verfahrenswiederaufnahme zunächst von der Staatsanwaltschaft geprüft. Sie kam in der Verfügung vom 1. Oktober 2018 zum Schluss, die Voraussetzungen für eine Wiederaufnahme lägen nicht vor. Im Beschwerdeverfahren vor Vorinstanz wurde überprüft, ob die Wiederaufnahme zu Recht verweigert wurde, was bejaht wurde. Wie bereits die Vorinstanz ausgeführt hat, ist eine Prüfung der Wiederaufnahme nicht mit der Bejahung der Voraussetzungen für eine Wiederaufnahme gleichzusetzen. Liegen die Voraussetzungen für eine Wiederaufnahme nicht vor, beispielsweise weil die zuständige Behörde die Neuheit der Tatsachen und Beweismittel verneint, erfolgt keine (weitergehende oder erneute) Prüfung in der Sache. Dies entspricht dem in der Strafprozessordnung (<ref-law>) vorgesehenen Vorgehen und stellt keine Verletzung von Bundesrecht dar. Der Vorwurf der Beschwerdeführerin, die aus ihrer Sicht neuen Tatsachen und Beweismittel seien nicht von der zuständigen Behörde im gesetzlich vorgesehenen Verfahren geprüft worden, erweist sich als unbegründet.
3.3. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz sei auf Ziff. 60, 63 f., 66 und 77 ihrer Beschwerde nicht eingegangen. Sie rügt damit sinngemäss eine Verletzung des rechtlichen Gehörs. Auch dieser Einwand ist unbegründet. Die Beschwerdeführerin äusserte sich an den von ihr genannten Stellen ihrer Beschwerde vor Vorinstanz zu verschiedenen Themenbereichen. Zunächst wirft sie dem Gutachter Prof. C._ Begünstigung vor. Dieser Vorwurf bildet allerdings nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens. Die Vorinstanz ging daher zu Recht nicht darauf ein. Weiter machte die Beschwerdeführerin im Wesentlichen Ausführungen zum angeblich fehlerhaften Gutachten von C._, wobei sie sich unter anderem auf ein Schreiben von Swissmedic vom 17. September 2015 bezieht. Zudem macht sie geltend, B._ sei nicht lege artis vorgegangen bei ihrer Behandlung. Bezüglich der von der Beschwerdeführerin als neu bezeichneten Tatsachen und Beweismittel erwägt die Vorinstanz, diese seien allesamt bereits in früheren Verfahren eingebracht worden. Die von der Beschwerdeführerin angesprochenen Themenbereiche (Unvollständigkeit der Krankenakten, Zuverlässigkeit bzw. Manipulation des Gutachtens, Vorwurf der fahrlässigen schweren Körperverletzung, ordnungsgemässe Durchführung des Eingriffs und hinreichende Patientenaufklärung) seien bereits rechtskräftig abgehandelt worden. Auch das Schreiben von Swissmedic vom 17. September 2015 sei bereits Gegenstand eines rechtskräftig abgeschlossenen Verfahrens gewesen. Zudem gehe aus diesem nichts für die Frage einer beruflichen Sorgfaltspflichtverletzung im Hinblick auf die Verursachung einer schweren Körperverletzung durch die Operation hervor. Auf die von der Beschwerdeführerin in Ziff. 60, 63 f., 66 und 77 ihrer Beschwerde genannten Themenbereiche und die angeblich neuen Tatsachen und Beweismittel wurde damit im vorinstanzlichen Entscheid eingegangen. Es ist keine Verletzung des rechtlichen Gehörs ersichtlich. Die Vorinstanz musste - angesichts der vielen Wiederholungen in der Beschwerde - nicht auf jedes Vorbringen mehrfach eingehen.
3.4. Die Beschwerdeführerin erblickt eine weitere Verletzung ihres rechtlichen Gehörs darin, dass die Vorinstanz die Staatsanwaltschaft nicht zur Einreichung einer Duplik aufgefordert habe. Der Einwand ist unbegründet. Die Replik der Beschwerdeführerin im vorinstanzlichen Verfahren wurde der Staatsanwaltschaft am 15. März 2019 zur Kenntnisnahme zugestellt. Die Staatsanwaltschaft hatte anschliessend die Gelegenheit, sich erneut vernehmen zu lassen. Sie verzichtete jedoch darauf. Daraufhin erging der vorinstanzliche Entscheid. Inwiefern einer der Parteien das rechtliche Gehör nicht gewährt worden sein soll, ist nicht ersichtlich.
3.5. Die Beschwerdeführerin beanstandet, die Vorinstanz habe zwei ihrer Anträge (Antrag betreffend Einholung der CE-Kennzeichnung der Prothese und Antrag auf weitere Abklärungen zur Pilotstudie bei der FDA) nicht behandelt. Dies trifft nicht zu. Die Vorinstanz hat die Beschwerde der Beschwerdeführerin insgesamt abgewiesen. Sie geht in ihrer Begründung auf sämtliche Anträge ein. Zum Antrag auf Einholung der CE-Kennzeichnung für PCM-Prothesen erwägt sie, bei den Ausführungen der Beschwerdeführerin zur fehlenden CE-Kennzeichnung des Implantats handle es sich um eine Wiederholung appellatorischer Kritik am Entscheid BES.2013.53. Damit verneint die Vorinstanz einen Anspruch auf Einholung der geforderten Kennzeichnung. Gleiches gilt für den Antrag der Beschwerdeführerin bezüglich Abklärungen bei der FDA zur Pilotstudie für die Zulassung der Prothese zur Therapie der Adjacent Segment Disease. Dazu führt die Vorinstanz aus, die Einwände betreffend die angeblich fehlenden klinischen Studien zum Einsatz der Prothese bei Adjacent Segment Disease seien bereits früher bekannt gewesen und die Kritik sei insgesamt im Verfahren BES.2013.53 abgehandelt worden. Somit erübrigte es sich, bei der FDA (weitere) Auskünfte betreffend der durchgeführten Studien einzuholen.
3.6. Die weiteren Ausführungen und Anträge der Beschwerdeführerin betreffen in weiten Teilen die Sache selbst, worauf nicht eingetreten werden kann. Dies gilt etwa für ihren Einwand, die Vorinstanz habe den Sachverhalt unrichtig festgestellt, Beweise nicht abgenommen und die Aussagen ungleich gewürdigt. Ebenfalls nicht eingegangen werden kann auf die Behauptung der Beschwerdeführerin, die neuen Tatsachen und Beweismittel seien nicht bereits in früheren Verfahren berücksichtigt worden, Beanstandungen betreffend das Gutachten von C._, die angeblich mangelhafte Aufklärung vor dem operativen Eingriff und die Kritik an der ärztlichen Behandlung. Nachdem keine Prüfung in der Sache erfolgt, kann auch auf die Anträge betreffend Einholung der CE-Kennzeichnungen sowie Abklärungen bei der FDA nicht eingegangen werden.
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang sind die bundesgerichtlichen Kosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Februar 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Schär