Sachverhalt:
A.
A.A._ (geb. 1984) und B.A._ (geb. 1984) heirateten 2005. Aus ihrer Beziehung ist die Tochter C.A._ (geb. 2005) hervorgegangen. Die Parteien leben seit 2006 getrennt.
Nach der Trennung der Eltern lebte C.A._ zunächst beim Vater und wurde danach vorübergehend in einer Pflegefamilie fremdplatziert. Ende 2008 wurde C.A._ in die Obhut der Mutter gegeben. Aufgrund von deren Suchtproblematik musste C.A._ erneut fremdplatziert werden. Am 1. Juli 2011 wurde C.A._ unter die Obhut des Vaters gestellt, wo sie seither lebt. Der Kontakt zur Kindsmutter fand anfangs nur selten (halbjährlich), im Rahmen eines begleiteten Besuchsrechts statt. Das Besuchsrecht wurde zwischenzeitlich ausgedehnt.
B.
B.a. Mit Urteil vom 1. Juni 2016 schied das Kreisgericht Wil die Ehe der Parteien und regelte die Nebenfolgen der Scheidung. Die vor Bundesgericht noch streitige elterliche Sorge übertrug das Kreisgericht dem Vater allein (Ziff. 2.a). Darüber hinaus ordnete es an, dass die bestehende Beistandschaft gemäss Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB fortgeführt werde und die Beiständin den Eltern insbesondere für die Wiederaufnahme und die Durchführung der Mutter-/Kindkontakte sorge (Ziff. 2.b). Ferner regelte das Kreisgericht den persönlichen Verkehr zwischen Mutter und Tochter (Ziff. 3).
B.b. Dagegen erhob B.A._ am 13. Juni 2016 Berufung beim Kantonsgericht St. Gallen. Sie verlangte insbesondere, Ziff. 2.a und 3 seien aufzuheben, und beantragte, die Tochter C.A._ unter der gemeinsamen elterlichen Sorge zu belassen. Weiter sei ihr ein Besuchsrecht an jedem zweiten Wochenende einzuräumen, das schrittweise zeitlich auszudehnen sei und zunächst begleitet und dann unbegleitet stattzufinden habe. Der Beiständin von C.A._ sei die Aufgabe zu übertragen, die begleiteten Besuche zu organisieren und C.A._ sowie die Parteien bei der Umsetzung des gerichtlichen Besuchsplans zu unterstützen.
B.c. Mit Urteil vom 24. September 2018 hob das Kantonsgericht unter anderem Ziff. 2 des Entscheids des Kreisgerichts auf. Es entschied, dass C.A._ in der gemeinsamen elterlichen Sorge belassen wird, unter der Obhut des Vaters steht und ihren Wohnsitz bei ihm hat (Ziff. 2). Zudem regelte das Kantonsgericht insbesondere den persönlichen Verkehr der Mutter mit C.A._ (Ziff. 3) und ordnete die Weiterführung der Beistandschaft für C.A._ nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB an (Ziff. 4).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 29. Oktober 2018 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt, Ziff. 2 des vorinstanzlichen Urteils sei aufzuheben und C.A._ unter seine alleinige elterliche Sorge zu stellen.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht über die Nebenfolgen der Ehescheidung entschieden hat (Art. 72 Abs. 1, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Vor Bundesgericht ist lediglich die Zuteilung der elterlichen Sorge und damit eine nicht vermögensrechtliche Nebenfolge der Ehescheidung streitig. Die Beschwerde unterliegt deshalb keinem Streitwerterfordernis. Der Beschwerdeführer ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Die Beschwerde ist zulässig.
2.
Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft behauptete Rechtsverletzungen (<ref-law>) mit freier Kognition. Bei der Überprüfung von Ermessensentscheiden (<ref-law>) auferlegt es sich aber Zurückhaltung. Es schreitet nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 4.5 S. 617; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 279; <ref-ruling> E. 2 S. 123 f.; <ref-ruling> E. 5.4 S. 211). Weiter ist das Bundesgericht an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (<ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig (<ref-law>), das heisst willkürlich (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 1.5 S. 130 mit Hinweis), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Behebung der erwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22).
3.
Umstritten ist, ob die elterliche Sorge bei beiden Eltern belassen oder dem Vater allein zugeteilt werden soll.
3.1. Die Vorinstanz hält zunächst fest, dass die Einwände des Beschwerdeführers in erster Linie in der Befürchtung gründeten, die Beschwerdegegnerin könne oder wolle die elterliche Sorge wegen ihrer Suchtproblematik nicht mehr pflichtgemäss ausüben. Diese Argumentation laufe auf eine Entziehung der elterlichen Sorge gestützt auf <ref-law> hinaus, welche auch eine Alleinzuteilung der elterlichen Sorge gemäss <ref-law> rechtfertigen würde. Mithin sei in einem ersten Schritt zu prüfen, ob die Suchtproblematik eine Sorgerechtsentziehung nach Art. 311 Abs. 1 Ziff. 1 und 2 ZGB erforderlich mache. Dies verneint die Vorinstanz.
3.1.1. Mit Bezug auf eine Sorgerechtsentziehung nach <ref-law> sei unbestritten, dass die Beschwerdegegnerin bzw. Mutter während etlicher Jahre drogenabhängig gewesen sei. Inzwischen scheine sich die Situation aber umfassend verbessert zu haben. So befinde sich die Beschwerdegegnerin im Methadonprogramm des Kantonsspitals U._, lebe in einer eigenen Wohnung in geordneten Verhältnissen und habe sich ein gutes Umfeld aufgebaut. Sie sei zwar nach Art. 393 und Art. 394 Abs. 1 i.V.m. Art. 395 Abs. 1 bis 3 ZGB verbeiständet, dies allein stelle aber noch keinen Grund für die Entziehung der elterlichen Sorge dar. Die seitherigen Entwicklungen würden sodann darauf hinweisen, dass die Beschwerdegegnerin nun über die physischen und psychischen Voraussetzungen verfüge, ihren Anteil an der elterliche Sorge wahrzunehmen. Die Beiständin könne ihr auch bei der Sorgerechtsausübung zur Seite stehen. Von den aus der Hauptbetreuung fliessenden Rechten und Pflichten sowie hinsichtlich Entscheidungen über alltägliche oder dringliche Angelegenheiten von C.A._ (vgl. <ref-law>) sei die Mutter schliesslich ohnehin entlastet, zumal die Obhut beim Vater verbleibe.
3.1.2. Gleiches gelte für eine Sorgerechtsentziehung nach <ref-law>, welche ein "Sich-nicht-ernstlich-Kümmern" bzw. eine gröbliche Verletzung der elterlichen Pflichten voraussetze. Die Mutter setze sich mittlerweile für mehr Kontakte zu ihrer Tochter ein, nehme die ihr zugestandenen Besuche zuverlässig und engagiert wahr und zeige nicht nur Interesse am unmittelbaren persönlichen Kontakt, sondern auch an direkter Information durch die Schule sowie an der schulischen Entwicklung von C.A._.
3.2. Die Vorinstanz verneint sodann die Voraussetzungen für die Alleinzuteilung der elterlichen Sorge gemäss <ref-law>. Insbesondere liege kein schwerwiegender elterlicher Dauerkonflikt oder eine anhaltende Kommunikationsunfähigkeit der Eltern vor, welche eine Alleinzuteilung der elterlichen Sorge gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung rechtfertigen würde (s. E. 4.1). Es stehe zwar zweifelsfrei fest, dass das Verhältnis zwischen den Eltern seit Jahren in hohem Masse spannungsgeladen sei und sie sich gegenseitig Vorwürfe machen würden. Allerdings sei es dabei meist um das Verhalten der Beschwerdegegnerin in der Vergangenheit bzw. das Besuchsrecht gegangen. Demgegenüber fänden sich keine Anhaltspunkte in den Akten, dass sich der bisherige Konflikt zwischen den Eltern um grundsätzliche Fragen der elterlichen Sorge gedreht habe. Auch weise der Beschwerdeführer auf keinen konkreten Fall hin, in dem aufgrund der elterlichen Streitigkeiten Entscheidungen im Bereich der elterlichen Sorge blockiert oder verzögert worden wären, und über offene Auseinandersetzungen werde weder von den Parteien noch von den involvierten Drittpersonen berichtet. Die abstrakte Befürchtung des Vaters, künftige Diskussionen hinsichtlich der Entscheidungen betreffend C.A._ wären bei der Beibehaltung der elterlichen Sorge absehbar, was das Kindeswohl gefährden würde, reiche für die Alleinzuteilung der elterlichen Sorge nicht aus.
Weiter kommt die Vorinstanz zum Schluss, dass vom Umstand, dass der Vater die Sorge in der Vergangenheit (faktisch) mehrheitlich allein ausgeübt habe, nicht ohne Weiteres auf die Zukunft geschlossen werden könne. Angesichts der positiven Veränderungen der persönlichen Situation der Beschwerdegegnerin erscheine es plausibel, dass sie nun wieder dazu bereit und fähig sei, (Mit-) Verantwortung zu übernehmen. Namentlich habe sie sich seit einiger Zeit dafür eingesetzt, den Kontakt zur Tochter wieder aufzunehmen bzw. auszudehnen. Das Interesse der Beschwerdegegnerin an C.A._ beschränke sich nicht auf den persönlichen Kontakt, sondern auch auf die weiteren Belange des Kindes.
Ferner hält die Vorinstanz fest, dass gestützt auf die fehlende Kommunikation zwischen den Eltern in der Vergangenheit, die im fehlenden Kontakt bzw. in der faktischen Absenz der Beschwerdegegnerin gründete, nicht prognostiziert werden könne, dass eine solche auch in Zukunft ausgeschlossen sein werde. Keiner der beiden Elternteile scheine sodann bestrebt, seine Sorgeberechtigung künftig zu missbrauchen. Vor diesem Hintergrund liege kein Ausnahmefall vor, der eine Abweichung von der Regel der gemeinsamen elterlichen Sorge gemäss <ref-law> gebiete.
Die Vorinstanz weist im Weiteren darauf hin, dass die aktive Beteiligung der Beschwerdegegnerin an den Entscheidungen der elterlichen Sorge nicht von einem Tag auf den anderen "von Null auf Hundert" erweitert werden könne, sondern dass sich ein Modus werde bilden müssen, wie die Eltern dabei kommunizieren können. Dabei dürfe auf die Unterstützung und Vermittlung durch die Kindesbeiständin gezählt werden. Nicht zuletzt werde die Beschwerdegegnerin diesbezüglich auch auf ihre Beiständin zurückgreifen können. Schliesslich verbleibe die Obhut über C.A._ (unverändert) beim Vater.
3.3. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von <ref-law>, indem die Vorinstanz davon ausgegangen sei, dass das Verhalten der Beschwerdegegnerin in der Vergangenheit kein Grund dafür sei, ihr dieses Verhalten auch für die Zukunft zu unterstellen bzw. dass das inzwischen geweckte Interesse der Beschwerdegegnerin an C.A._ ausreiche, um im Sinn des Kindeswohls von der Statuierung des alleinigen Sorgerechts als "ultima ratio" abzusehen. Sodann sei zu beanstanden, dass die Vorinstanz mit Verweis auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung die Frage der Sorgerechtszuteilung allein auf die zukünftige Zusammenarbeit der Eltern in Fragen der elterlichen Sorge beschränke. Es sei für die Beurteilung der vorliegenden Sorgerechtsstreitigkeit aber massgeblich, dass nicht nur die Eltern untereinander, sondern auch die Beschwerdegegnerin und C.A._ jahrelang keinen Kontakt miteinander hatten. Diese Entfremdung von der Beschwerdegegnerin sei mit Blick auf das künftige Kindeswohl von C.A._ zu berücksichtigen. Der Beschwerdeführer habe die Sorge im Ergebnis schlicht alleine ausgeübt. Die Beschwerdegegnerin habe in den prägenden Jahren von C.A._s Kindheit mit Abwesenheit und Desinteresse "geglänzt" und damit ihre Rolle als Sorgerechtsberechtigte selbst und freiwillig aufgegeben. Es könne nicht im Kindeswohl liegen, dass nunmehr wieder die Kindsmutter, als zuvor über Jahre hinweg völlig unbeteiligte und desinteressierte Dritte, in mittlerweile etablierte Diskussions- und Entscheidungsmechanismen zwischen Vater und Tochter einbezogen werden müsse. Im Ergebnis liege es somit nicht im Kindeswohl, der Mutter bzw. den Eltern nun das gemeinsame Sorgerecht einzuräumen.
Abgesehen davon liege, entgegen der Auffassung der Vorinstanz, durchaus eine spezifische Ausnahmesituation gemäss <ref-law> vor. So habe sich die Beschwerdegegnerin jahrelang nicht um die Tochter gekümmert und "dazu auch schlicht ihre (erzieherischen, bindungsmässigen und auch finanziellen) Pflichten gegenüber dem Kind gröblich verletzt." Es handle sich daher nicht um einen eigentlichen Entzug der elterlichen Sorge, denn entzogen werden könne nur, was zuvor Bestand gehabt habe. Die Beschwerdegegnerin habe die elterliche Sorge faktisch aber nie ausgeübt. Die elterliche Sorge der Beschwerdegegnerin habe folglich nie tatsächlich, sondern lediglich rechtstheoretisch bestanden. In anderen Lebensfragen werde in diesem Zusammenhang Rechtsmissbrauch angenommen. Wenn nun also entgegen dem eigenen Verhalten der Beschwerdegegnerin in der Vergangenheit ihr Recht auf Einbezug in Sorgerechtsfragen durchgesetzt werden solle, so sei dieses Verhalten als rechtsmissbräuchlich im Sinn von <ref-law> zu qualifizieren. Das Kindeswohl von C.A._ vermöge einen solchen Rechtsmissbrauch vorliegend nicht auszuschliessen. Dazu müsse "das Wohl des Kindes konkret zwingend einen Einbezug der Kindsmutter in Sorgerechtsfragen erheischen". Die bloss allgemeine und abstrakte Möglichkeit, der Einbezug der Beschwerdegegnerin in Sorgerechtsfragen sei für das Kind förderlich, vermöge nicht zu genügen. Vielmehr werde C.A._ dadurch zusätzlichen Entscheidungs- und Loyalitätskonflikten ausgesetzt. Dies sei der Kontinuität der inzwischen stabil gewordenen psychischen Verhältnisse abträglich.
Schliesslich stellt der Beschwerdeführer auch die Erziehungseignung der Beschwerdegegnerin (sie befinde sich nach wie vor in einem Drogenersatzprogramm, sei von Sozialleistungen abhängig und nicht erwerbstätig) in Frage.
4.
4.1. Die Kinder stehen, solange sie minderjährig sind, unter der gemeinsamen elterlichen Sorge von Vater und Mutter (<ref-law>). In einem Scheidungsverfahren überträgt das Gericht einem Elternteil aber die alleinige elterliche Sorge, wenn dies zur Wahrung des Kindeswohls nötig ist (<ref-law>). Damit bildet die gemeinsame elterliche Sorge den Grundsatz (s. auch Art. 298a Abs. 1, Art. 298b Abs. 2 und Art. 298d Abs. 1 ZGB). Dem liegt die Annahme zugrunde, dass dem Wohl der minderjährigen Kinder am besten gedient ist, wenn die Eltern das Sorgerecht gemeinsam ausüben. Von diesem Grundsatz soll nur dann abgewichen werden, wenn eine andere Lösung die Interessen des Kindes ausnahmsweise besser wahrt. Die Zuteilung der elterlichen Sorge an einen Elternteil allein muss deshalb eine eng begrenzte Ausnahme bleiben. Eine solche Ausnahme fällt in Betracht, wenn die Eltern in einem schwerwiegenden Dauerkonflikt stehen oder in Kinderbelangen anhaltend kommunikationsunfähig sind. Vorausgesetzt ist weiter, dass sich die Probleme zwischen den Eltern auf die Kinderbelange als Ganzes beziehen und das Kindeswohl konkret beeinträchtigen. Erforderlich ist die konkrete Feststellung, in welcher Hinsicht das Kindeswohl beeinträchtigt ist. Schliesslich ist eine Abweichung vom Grundsatz der gemeinsamen elterlichen Sorge nur dort am Platz, wo Aussicht darauf besteht, mit der Zuteilung der elterlichen Sorge an einen Elternteil allein eine Entlastung der Situation herbeizuführen (<ref-ruling> E. 3.5 und 3.7 S. 199 und 201). Damit ist zwangsläufig eine Prognose darüber verbunden, wie sich das Verhältnis zwischen den Eltern entwickeln wird. Dieser Wahrscheinlichkeitsaussage über die künftige Entwicklung müssen konkrete Anhaltspunkte zugrunde liegen, die aktenmässig erstellt sind. Mit anderen Worten muss aufgrund einer tatsachenbasierten Sachverhaltsprognose geprüft werden, ob das gemeinsame Sorgerecht eine erhebliche Beeinträchtigung des Kindeswohls befürchten lässt (Urteil 5A_903/2016 vom 17. Mai 2017 E. 4.1 mit Hinweisen). Damit trägt die Rechtsprechung dem Willen des Gesetzgebers Rechnung, wonach die Alleinsorge nicht schon dort ausgesprochen werden darf, wo sie dem Kindeswohl am besten gerecht würde. Das Parlament hat das Konzept der freien richterlichen Sorgerechtszuteilung ausdrücklich verworfen (AB 2012 N 1635; vgl. <ref-ruling> E. 3.7 S. 201).
4.2. In seiner jüngeren Rechtsprechung bejahte das Bundesgericht die Voraussetzungen für die Alleinzuteilung des Sorgerechts an einen Elternteil beispielsweise im Fall eines heftig geführten Nachtrennungskonflikts, der sich zunehmend verstärkte, chronifizierte und auf die verschiedensten Lebensbereiche des Kindes erstreckte; die schliesslich errichtete Beistandschaft brachte keine Verbesserung und die Beiständin schilderte das Mandat angesichts der Emotionalität der Eltern als nicht führbar (Urteil 5A_923/2014 vom 27. August 2015 E. 2 und 5.5, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in FamPra.ch 2015 S. 960). Die Alleinsorge eines Elternteils sah das Bundesgericht auch in einem Fall als zulässig an, in welchem die Kommunikation zwischen den Eltern komplett blockiert war und sich der chronifizierte Konflikt auf verschiedene Lebensbereiche des Kindes erstreckte, in welchen ein Zusammenwirken erforderlich gewesen wäre. Anstehende Entscheide konnten nicht getroffen werden, insbesondere in Bezug auf eine Therapie. In tatsächlicher Hinsicht war erstellt, dass der Vater einen gegen die Mutter gerichteten Machtkampf über das Kind austrug, dass das Kind unter diesem Missbrauch und allgemein unter dem Elternkonflikt stark litt und dass bei ihm eine darauf zurückzuführende psychische Störung diagnostiziert wurde (Urteil 5A_89/2016 vom 2. Mai 2016 E. 3 f.). Demgegenüber veranschaulicht ein neueres Urteil, dass eine Abweichung vom Grundsatz der gemeinsamen elterlichen Sorge eben eine eng begrenzte Ausnahme bleiben muss. Im dort beurteilten Fall ergab sich zwar das Bild zerstrittener Eltern, denen die Kommunikation und die Zusammenarbeit schwer fiel und die mit ihrem nicht unerheblichen Konflikt die Tochter beeinträchtigten. Allerdings arbeiteten die Eltern in jüngerer Zeit mit Blick auf das Kindeswohl vermehrt zusammen. Auch das Besuchsrecht des Vaters funktionierte. Damit einhergehend war eine Verbesserung der gesundheitlichen und schulischen Situation der Tochter feststellbar (Urteil 5A_499/2016 vom 30. März 2017 E. 4).
4.3. Gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist die Interventionsschwelle für die Alleinzuteilung der elterlichen Sorge nach <ref-law> tiefer als für den Entzug der elterlichen Sorge als Kindesschutzmassnahme nach <ref-law>: Während <ref-law> eine Gefährdung des Kindeswohls voraussetzt, verlangt <ref-law>, dass die Alleinzuteilung im Kindeswohl liegt (vgl. <ref-ruling> E. 4; Urteil 5A_186/2016 vom 2. Mai 2016 E. 4). A maiore ad minus ist die Alleinzuteilung des Sorgerechts gemäss <ref-law> mithin in Betracht zu ziehen, wenn die in <ref-law> umschriebenen Voraussetzungen für einen Entzug der elterlichen Sorge vorliegen (vgl. auch ANDREA BÜCHLER/SANDRO CLAUSEN, in: FamKomm Scheidung, Bd. I, 3. Aufl. 2017, N 16 zu <ref-law>). Die Voraussetzungen von <ref-law> sind gegeben, wenn die Eltern wegen Unerfahrenheit, Krankheit, Gebrechen, Abwesenheit, Gewalttätigkeit oder ähnlichen Gründen ausserstande sind, die elterliche Sorge pflichtgemäss auszuüben (Ziff. 1) oder wenn sich die Eltern nicht ernstlich um das Kind gekümmert bzw. ihre Pflichten gegenüber dem Kinde gröblich verletzt haben (Ziff. 2). Beim Entzug der elterlichen Sorge nach <ref-law> handelt es sich um eine ultima ratio (<ref-ruling> E. 4.5 S. 477).
4.4.
4.4.1. Im Lichte der dargelegten Grundsätze ist es nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz den Parteien die gemeinsame elterlichen Sorge belässt, wie aus den nachfolgenden Erwägungen erhellt. Der Beschwerdeführer verkennt nämlich den Ausnahmecharakter einer Zuteilung der alleinigen elterlichen Sorge gemäss <ref-law>. Der Richter hat nicht frei darüber zu befinden, ob die gemeinsame oder die alleinige elterliche Sorge dem Kindeswohl besser entspricht, sondern einzig zu prüfen, ob eine Alleinsorge zur Wahrung des Kindeswohls nötig ist (<ref-law>, oben E. 4.1 und 4.3). Entgegen dem, was der Beschwerdeführer anzunehmen scheint, geht es im Anwendungsbereich von <ref-law> nicht darum zu prüfen, ob es im Kindeswohl liegt, den Eltern das gemeinsame Sorgerecht zu erteilen oder ob das Kindeswohl den Einbezug der Kindsmutter in Sorgerechtsfragen "erheischt" (s. oben E. 4.3).
4.4.2. Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, es sei ein Anwendungsfall von <ref-law> gegeben. Dass sich die Beschwerdegegnerin aufgrund ihrer Suchtproblematik in der Tat "nicht ernstlich" um C.A._ kümmern bzw. ihre elterliche Sorge in tatsächlicher Hinsicht nicht ausüben konnte, stellt das Kantonsgericht nicht in Abrede. Unbestritten sind aber auch die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, wonach sich die Situation zwischenzeitlich umfassend verbessert hat, die Beschwerdegegnerin seit dem Entzug in der Psychiatrischen Klinik V._ im Jahr 2015 clean ist, in geordneten Verhältnissen lebt und von der Beiständin von C.A._ als zuverlässig und engagiert beschrieben wird. Laut Vorinstanz hat sie auch ihr Besuchsrecht in der jüngsten Vergangenheit pflichtgemäss wahrgenommen. Vor Bundesgericht erhebt der Beschwerdeführer diesbezüglich keine weiteren Einwände mehr. Warum die Vorinstanz angesichts der positiven Entwicklungen bei der Beschwerdegegnerin und ihrem ernst zu nehmenden Interesse gegenüber C.A._ andere rechtliche Schlüsse hätte ziehen müssen, zeigt der Beschwerdeführer nicht auf und ist auch nicht ersichtlich.
Soweit der Beschwerdeführer es weiter darauf absieht, die Zuteilung der Alleinsorge aufgrund der fehlenden Erziehungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin zu rechtfertigen, beruft er sich auf den Tatbestand von <ref-law>. In dieser Hinsicht vermag er vor Bundesgericht aber nichts auszurichten. Insbesondere zeigt er nicht auf, inwiefern ein Zusammenhang zwischen der Erziehungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin und dem Umstand, dass sie Sozialleistungen bezieht bzw. nicht erwerbstätig ist, besteht. Sodann spricht der Beschwerdeführer der Beschwerdegegnerin die Fähigkeit ab, C.A._ grundlegende "Werte in der Erziehung und Gestaltung des Lebens" zu vermitteln. Diese pauschale Behauptung findet im angefochtenen Entscheid keine Stütze.
Vor diesem Hintergrund verletzt das Kantonsgericht kein Bundesrecht, wenn es die strengen Voraussetzungen für eine Alleinzuteilung der elterlichen Sorge an den Beschwerdeführer gestützt auf Art. 311 Abs. 1ZGB verneint.
4.4.3. Der Beschwerdeführer verkennt sodann den Begriff des Rechtsmissbrauchs: Vor Bundesgericht führt er sinngemäss ins Feld, die Beschwerdegegnerin habe ihr Sorgerecht durch die jahrelange (faktische) Nichtausübung verwirkt. Sie verhalte sich rechtsmissbräuchlich, wenn sie nun entgegen ihrem bisherigen Verhalten auf der gemeinsamen elterlichen Sorge beharre. Der Beschwerdeführer lässt ausser Acht, dass das Sorgerecht nicht nur Rechte, sondern auch Pflichten einschliesst. Es handelt sich mithin um ein sog. Pflichtrecht (<ref-ruling> E. 3.5 197). Wie die Vorinstanz feststellt und der Beschwerdeführer auch nicht bestreitet, hat sich die Beschwerdegegnerin seit der Verbesserung ihrer persönlichen Lebenssituation ernsthaft darum bemüht, sowohl ihren diesbezüglichen Rechten als auch Pflichten nachzukommen. Warum die Erfüllung ihrer Pflichten oder das Bemühen, diesen (nunmehr) nachzukommen, ein rechtsmissbräuchliches Verhalten der Beschwerdegegnerin im Sinn von <ref-law> darstellen soll, legt der Beschwerdeführer nicht dar und ist auch nicht ersichtlich. Im Übrigen sticht ins Auge, dass der Beschwerdeführer sein Sorgerecht selbst jahrelang nicht ausgeübt hat bzw. seinen diesbezüglichen Pflichten nicht nachgekommen ist (s. Sachverhalt Bst. B).
4.4.4. Unbehelflich ist im Weiteren der Versuch des Beschwerdeführers, den angefochtenen Entscheid mit Blick auf die in der Rechtsprechung zu <ref-law> entwickelten Voraussetzungen für die ausnahmsweise Zuteilung der Alleinsorge (s. E. 4.1) ins Wanken zu bringen. Der Vorinstanz ist nicht entgangen, dass die Kommunikation zwischen den Parteien gestört und das Verhältnis spannungsgeladen ist. Hingegen lassen sich dem angefochtenen Entscheid keine Feststellungen darüber entnehmen, dass diese Spannungen zwischen den Eltern das Wohl von C.A._ konkret gefährden würden, etwa in dem Sinn, dass die Tochter gerade infolge des Elternkonflikts psychisch angeschlagen ist. Dass die Vorinstanz den rechtserheblichen Sachverhalt in dieser Hinsicht im Sinn von <ref-law> (s. E. 2) offensichtlich unvollständig oder unrichtig festgestellt hätte, behauptet der Beschwerdeführer nicht. Sodann bringt er nicht vor, dass die Eltern, wie von der Rechtsprechung für die Zuteilung der Alleinsorge verlangt (s. E. 4.2.), in einem schwerwiegenden Dauerkonflikt stehen oder in Kinderbelangen anhaltend kommunikationsunfähig sind. Auch dass sich die Probleme zwischen den Eltern auf die Kinderbelange als Ganzes beziehen und das Kindeswohl konkret beeinträchtigen, wird vom Beschwerdeführer nicht vorgebracht. Vielmehr konzentriert er sich in seiner Eingabe darauf, den Sachverhalt aus seiner Sicht zu schildern, und betont, dass das zwischenzeitlich etablierte bzw. bewährte "Sorgerechtssystem" zwischen C.A._ und ihm nicht plötzlich durch das Mitwirken der Beschwerdegegnerin aufgeweicht werden solle. Allein damit ist jedoch keine Bundesrechtsverletzung dargetan.
Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, dass sich der bisherige Konflikt zwischen den Eltern nie um grundsätzliche Fragen der elterlichen Sorge bzw. um die Eckpunkte der Lebensplanung von C.A._ gedreht oder auf verschiedene, von der elterlichen Sorge umfasste Lebensbereiche (Ausbildung, religiöse Erziehung, medizinische Belange etc.) erstreckt hat, erhebt der Beschwerdeführer keine konkreten Einwände. Gleiches gilt hinsichtlich der vorinstanzlichen Feststellungen, dass die Beschwerdegegnerin nicht bestrebt scheint, ihre Sorgerechtsberechtigung künftig in dem Sinn zu missbrauchen, jegliche die Tochter betreffende Entscheidungen des Beschwerdeführers in Frage zu stellen. Allein die abstrakten Befürchtungen des Beschwerdeführers, die Spannungen zwischen den Eltern könnten sich bei gemeinsamer elterlicher Sorge auf verschiedene Lebensbereiche des Kindes ausbreiten, in welchen ein Zusammenwirken erforderlich ist, sind kein Grund, um vom gesetzlichen Regelfall der gemeinsamen elterlichen Sorge abzuweichen. Dies gilt umso mehr, als dort, wo die Eltern bislang konkret zusammen zu wirken hatten, nämlich beim Besuchsrecht, dem angefochtenen Entscheid zufolge eine funktionierende Lösung gefunden werden konnte. Dass die Obhut über C.A._ und ihr Wohnsitz beim Beschwerdeführer belassen werden, bestreitet die Beschwerdegegnerin nicht. Die vage Befürchtung des Beschwerdeführers, dass die 13-jährige C.A._ die Beschwerdegegnerin bei Diskussionen mit dem Vater zu ihren Gunsten instrumentalisieren könnte, ist nicht stichhaltig und führt zu keinem anderen Ergebnis.
Selbst wenn man in Übereinstimmung mit dem Beschwerdeführer davon ausginge, dass es vorliegend um die Erteilung des gemeinsamen elterlichen Sorgerechts ginge (s. E. 4.4.1), würde dies am Ergebnis nichts ändern: Gestützt auf die vorinstanzlichen Feststellungen bestehen keine Anhaltspunkte, dass das Kindeswohl im Konflikt mit der gemeinsamen elterlichen Sorge steht (vgl. <ref-law>).
Mithin ist das Begehren des Beschwerdeführers bereits deshalb zum Scheitern verurteilt, weil es an einer konkret festgestellten Beeinträchtigung des Kindeswohls fehlt.
5.
Aus dem Gesagten ergibt sich, dass die Vorinstanz die von der Rechtsprechung entwickelten Kriterien für die Zuteilung der Alleinsorge gemäss <ref-law> bundesrechtskonform angewandt hat.
Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet und ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Er hat deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. April 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Nyffeler