Par ces motifs, la Juge présidant la Ire Cour de droit civil prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Il n'est pas perçu de frais ni alloué de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 1er février 2022
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant: Kiss
Le Greffier : O. Carruzzo